正弦定理

正弦定理（せいげんていり、英:"law of sines"）とは三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。
概要.
△ABC において、BC = "a", CA = "b", AB = "c", 外接円の半径を "R" とすると、
が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。
これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した
を正弦定理であると表現することもできる。
証明.
以下の証明では角度は弧度法で表している。なお "π" = 180°である。
直径 BD を取る。
円周角の定理より ∠A = ∠D である。
△BDC において、BD は直径だから、
である。よって、正弦の定義より、
である。ゆえに
変形すると
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
BC = "a" = 2"R" であり、
であるから、
は成り立つ。
直径 BD を取る。
円に内接する四角形の性質から、
である。つまり、
となる。
BD は直径だから、
である。よって、正弦の定義より、
である。変形すると
が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。
以上より正弦定理が成り立つ。
また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」（円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理）を導くことができる。
球面三角法における正弦定理.
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ "a", "b", "c" とすると、
が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。