ディリクレの関数

ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような関数のことである。
ただし、ℚ は有理数全体の成す集合であり、ℝ ∖ ℚ は無理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者のペーター・グスタフ・ディリクレに因んで命名された。
積分可能性.
が成り立つから、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。一方、ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である ℚ はルベーグ測度に関して零集合であることによる。
周期性.
この関数は、任意の有理数formula_4に対して formula_5 となる。これは有理数体 ℚ が加法について閉じていることによる。
また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。
連続関数の極限としての表示.
ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、
と表せることが示されている（したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である）。その方法は次による。
任意の有理数 を考える。! は、十分大きな に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 は、いくら を大きく取っても ! が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数
を表示できれば、() = lim[→∞] F(!) となって決着がつく。（ は単独で考えても興味深い関数である。） は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos2(π) は、 が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
が結論付けられる。従って、
となる訳である。