十二進法

十二進法（じゅうにしんほう）とは、12 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。時間の表記として世界中で一般的に使用されている。
十二進法が使われている例.
暦が12か月周期であることは諸説あるが、数え方は十二進数である。（太陰暦を参照）
記数法.
整数.
十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、十を A , 十一を B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。
本節では慣用に従い、通常のアラビア数字を十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと十二倍になり、右に一桁動くと十二分の一になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。
(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。
数列の進み方も、上記の表のように、十進数の 14 が十二進数では 12 となり、二桁の最後も BB となる。十二進法は「4×3＝10」となるので、数列は4の倍数や3の倍数が進みやすいという傾向を持っている。従って、3で割り切れる六進法（2×3＝10）や十八進法（2×9＝10）や三十進法（2×15＝10）、4で割り切れる二十進法（4×5＝10）との親和性が強い傾向が見られる（→矩形数）。2と3で割り切れる点は六進法や十八進法と同じであるが、「4×奇素数」で桁上がりする構造は二十進法と同じである。
また、十八進法とは4と9の立場が逆転する。十八進法では一桁で9分割が可能となるが、4ずつは一の位が「4→8→C→G→2→6→A→E→0→4」の9個循環になる。十二進法では一桁で4分割が可能となるが、9ずつは一の位が「9→6→3→0→9」の4個循環になる。
5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、すなわち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば：
となる。
；倍数の法則
十二進表記の整数は、以下の数値になる。
累乗数の換算表.
以下の表に、十二進数で表記した十二の累乗数と、それを六進数（底が二の三倍）、十進数（底が二の五倍）、二十進数（底が四の五倍）に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。
十二進数は「3の倍数」かつ「4の倍数」進数であるが、桁上がりの速さは、「3の倍数」の六進数よりは「4の倍数」の二十進数に近い。3乗への桁上がりでは、六進数とは8倍の差｛1000 = 12000 = 1728｝だが、二十進数とは5倍の差｛5000 = 11C0 = 8640｝になる。4乗への桁上がりでも、六進数とは24倍＝16倍の差｛10000 = 240000 = 20736｝、十進数とは2倍の差｛10000 = 20736｝、二十進数とは8倍の差｛80000 = 10EE8 = 165888｝、十八進数とも5倍の差｛50900 = 10000 = 104976｝である。
また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する｛両者とも(300万)前後。10A3A28 = 100000 = 3200000｝。十二の累乗数と十八の累乗数も同じく、十二の六乗と十八の五乗が最も接近する｛両者とも(200万)前後。771600 = 100000 = 1889568｝。
他のN進数との互換.
他のN進数を十二進数に変換するには、整数部分はそのまま十二進数に変換し、小数部分は十二の累乗数を他のN進数に変換した数値を掛ける。
（例）六進数 1.225245314（2の平方根）
よって、1.225245314 ≒ 1.4B7917 となる。
（例）十進数 42.195（フルマラソンのキロ数）
よって、42.195 ≒ 36.24 となる。
（例）十六進数 73.93（倍率、細分値）
よって、73.93 = 97.6A83 となる。
（例）二十進数 56.B38（倍率、細分値）
よって、56.B38 ≒ 8A.685 となる。
小数と除算.
桁が一つ動く度に数が十二倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では：
を、それぞれ意味する。十二と五は互いに素なので、 や は約分できず、既約分数になる。
計算例.
十二進法は、10 の素因数分解が「10 = 2×3」になり、2の冪指数が2つになる。従って、冪指数が一対一の関係になる六進法（10 = 2×3）や十進法（10 = 2×5）とは様々な面で異なる。十二進法と似たような現象は、二十進法（10 = 2×5）や十八進法（10 = 2×3）でも発生する。
加減算の例.
十二進法では十二倍ごとに桁を変えるので、小数では「y年m箇月」の計算が容易になる。
2の演算の例.
、すなわち十進分数の 、六進分数の に当たる小数は、十進数では3.75、六進数では3.43に対して、十二進数では3.9となり小数点以下が一桁になる。これは、十進数や六進数では2の冪指数が1つ（すなわち底が単偶数）なのに対して、十二進数では2の冪指数が2つ含まれているからである。<br>
これらの小数を分解すると、十進数では 3 + (= ) と 3 + (= ) が で同値となる。六進数でも、3 + (= ) と 3 + (= ) が で同値となる。
前述の 3.9を一桁下げた 0.39(12)は、十進数では 0.3125、六進数で 0.1513 になる。
これは、素因数分解の上既約分数にすると の小数だが、十進数の場合 5×0.0625（分子が5）で0.3125、
六進数の場合 5×0.0213（分子が3）で0.1513になるのに対して、十二進数の場合 5×0.09（分子が3）で0.39になる。<br>
このように、十進数の場合「2の4乗には5の4乗」、六進数の場合「2の4乗には3の4乗」であるのに対して、十二進数では「2の4乗には3の2乗」となり、2の冪指数が偶数の場合は分子となる3の冪指数は1/2になる。
この十二進数の数式は、十進数では 0.3125×6 = 1.875、六進数では0.1513×10 = 1.513となるが、小数部分を既約分数にすると になる。 すなわち の小数も、十進数では7×0.125 = 0.875で「7×5」、六進数では11×0.043 = 0.513で「7×3」の数が現れるのに対して、十二進数では7×0.16 = 0.A6 となる。つまり、2の冪指数が奇数の時、逆数の分子は6の倍数になる。<br>
この十二進数0.A6を分数化すると、十進数では = 、六進数でも = となり、数値が一致する。
前記の小数を一桁上げた数式で、十進数では 3.75×6 = 22.5、六進数では 3.43×10 = 34.3となるが、小数部分を既約分数にすると になる。<br>
これをy年m箇月の計算に当て嵌めることも可能で、十進数で換算すると「3年9箇月の6倍は22年6箇月」とも言える。
3の演算の例.
十二進法は奇数の因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が2×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が3の場合、逆数の分子は2＝2になる（→詳細はこちらも参照すること）。冪指数が小さい場合でも、六進法の場合 1/3は0.2、1/9 (1/13) は0.04（分子が2）に対して、十二進法では 1/3は0.4（分子が2）、1/9は0.14（分子が2）になる。
十進数の 57.6÷9、十二進数の57.6 ÷ 9 の商は、以下の通りとなる。
桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576(10) は 64×9 だが、576(12) は 810、つまり十進数換算値が 90×9 である。576(12)を十進数で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。
更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では 400÷9 = 54 となる。
576(10) を十進数で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で 400(12)となる。50(12) は 60 なので、4 を加えた 54(12) も 64 に等しい。別の言い方をすると、「五百七十六個の九分割は六十四個」は「四グロスを九人で分けて、五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。このように、十二進法では、「400個」の物品を3人や9人でぴったり分けることができる。
十二進法の1.75 列びに ()は、十進分数では ではなく、 すなわち黄金比の概数になる。
「十分の三」は、十進法が0.3、六進法が0.1444…に対して、十二進法では0.37249…になる。「十分の三」の近似値である「二十七分の八」は、六進法が0.144に対して、十二進法では0.368で分子・分母が六進法の八倍になる。十二進分数 の六進数換算値は = になる。
六進数は「2の4乗には3の4乗」「3の4乗には2の4乗」という一対一の関係なので、3も0.0024で分子が2 となり、2÷3 では分子に現れる数は 2 = 2、すなわち 144×0.0024 = 0.4424となる。<br>
しかし、十二進数では「2の4乗には3の2乗」とは逆に「3の4乗には2の8乗」の関係になり、2÷3 で分子に現れる数は 2 の 714（すなわち 4424 = 1024）ではなく、2 = (2) で 9594（すなわち 203504 = 16384）となる。3も0.0194で分子が2となり、2÷3 も 54×0.0194 = 0.9594となる。<br>
0.9594を六進数で分解すると、0.9594 = = ()、0.4424は = ()となり、双方の差は203504 ÷ 4424 = 24倍 となる。
「1年に1回」を概数にすると の分数になるが、六進法と十二進法の両方とも、3（七百二十九分割）は小数点以下六桁になる。分数に換算すると、六進法の場合 0.000332 = () = ()になるが、十二進法の場合 0.0048A8 = ( = ) = ()になる。<br>
六進法の3は分子が2＝144＝64、分母が23000＝1000000＝46656に対して；十二進法で3をすると、分子は2＝2454＝30544＝4096、分母は1000000＝144000000＝2985984で分子・分母が六進法の六十四倍になる。
十進法の 100　や 1000 など十の冪数、二十進法の 100（＝400）や 1000（＝8000）など二十の冪数、十六進法の 100（＝256）など二の冪数進法による冪数は、3や9で割り切れないが、十二進法では割り切れる（六進法も同様）。十進法の 100 は十二進法では 84、十六進法の 100 は十二進法では 194 となる（→他の商は後述）。
2と3を除く演算の例.
5を除数とする演算を割り切る条件は、被除数の約数に5が含まれることが条件になる。
十二進法で循環節が長くなる例として、5（）が20桁、7（）が42桁が挙げられる。逆に、十進法では22桁、二十進法では55桁、六進法や十八進法でも110桁になるB（）は、十二進法では僅B桁＝11桁になる。
一桁小数による分割.
十二進法では 0.1 が「十二分の一」になるため、0.3 は 1/4 になり、0.4 は 1/3 になり、0.6 は 1/2 になり、0.A（十進法で10/12）は 5/6 になる。その他、m/d として分数化できる一桁小数として、0.8は 2/3 となり、0.9は 3/4 となる。
従って、ある数値に 0.4 を掛けると 1/3 になり、0.9 を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる（ただし、五分割はできない）。他のN進法との連関では、1/3 である 0.4 は六進法の 0.2 や十八進法の 0.6と同値になり、1/4 である 0.3 は二十進法の 0.5 と同値になる。
小数との置換表.
以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二は三と四では割り切れるが五では割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。五が対応できなくても四と三が対応できることから、十二進法は「小から大へ」の分割法を採っているのが特徴である。
可分性が最も上がる例は、「5の倍数」が被除数になるパターンである。このパターンでは、7の倍数とB（十一）の倍数を除いてほぼ割り切れる。「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンでは、16＝18までの3の倍数のうち、割り切れない数は13＝15だけとなる。
また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が0.1111…となって1111＝259（＝(37×7)）の倍数となって循環し、5 = (m/41) = (m/25)の小数は 0.01235… となって1235＝311の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB（十進法の11）で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497…で四桁になり、これに最も近い37の倍数は 2494（＝31104＝4144＝(37×7×16)となる。
そして、5 = (m/21)の小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁と長く、先頭五桁が05915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1))となる。十二進法における5の循環節は 4×5 となり、5が四桁、5が二十桁、5が百桁になる。逆に、六進法では 5 = 0.01235…で五桁、十八進法でも5 = 0.0CH5…で四桁となる。
計算表.
ここでは、(10)を A 、(11)を B と表記する。
十二進法は「3×4＝10」となる「奇数の四倍」進法なので、六進法（3×2＝10）や十進法（5×2＝10）といった「冪指数が一対一」のN進法とは異なる要素を持っている。十二進法の乗算を覚える要領として、以下の点が挙げられる。次の「奇数の四倍」進法となる二十進法（5×4＝10）や、底が「九の二倍」となる十八進法（9×2＝10）は、この応用編となる。
命数法.
十二進命数法とは、12 を底とする命数法である。
数詞.
自然言語で十二進命数法の数詞を持つものは少ない。ナイジェリアのジャンジ語 (Janji)、ビリ・ニラグ語 (Gbiri-Niragu)、グワンダラ語ニンビア方言 (Nimbia)、ピティ語 (Piti) などが十二進命数法のグループを作り、またネパールのチェパン語 (Chepang) も十二進命数法を用いている。
以下にグワンダラ語ニンビア方言の数詞を示す。
ゲルマン語派の数詞は、十二以下と十三以降とで構成が異なる。以下に英語、ドイツ語、スウェーデン語の数詞を示す。
十一と十二の数詞の語源はそれぞれ 1 余り、2 余りを意味する *ainlif, *twalif であり、十三以降の数詞は十進法に基づく数詞だが、十二以下と十三以降で構成が異なるのを十二進法の影響とする説がある。
英語の hundred など、現在「百」「十二進数84」を意味する語は、中世までは「百二十」「十二進数A0」を意味することがあった（ を参照）。ロジバンは十, 十一, 十二に個別の数詞があり、十二進法に対応している（実際には十六進法にまで対応する）。
単位系.
現在、十二進法はもっぱら単位系で使われている。数は十進記数法で 9, 10, 11 と表し、12 や 144 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる。すなわち、記数法と単位が一致していない。
単位の十二進法は、言語の数詞とは無関係に発生したと考えられる。1 年がほぼ 12 か月であること（360 ÷ 30 = 12。満月と新月の回数がほぼ 12 回）に因むとされる。メソポタミア文明ではこれが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と同様に主に時間を示す際の基数となった。1 日 24 時間の 24 は 12 の 2 倍であり、六十進法の 60 は 12 と 30 の最小公倍数である。黄道十二宮はこれに基づく。中国の十二支も黄道十二宮と同じように、循環する十二進法である。
また、 12 は 4×3 であり、1 とその数以外の約数が 2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、4 までの全てで割り切れる点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。十進法の 10 は、1 とその数以外の約数が、2 と 5 の 計 2 個しかない。六進法の 6 は、1 とその数以外の約数が 2 と 3 の計 2 個で便利であるが、4 分割ができず、4 分割は 2 倍 の 12 か、平方数の 36 まで待たねばならない。
例えば、通貨を3単位×4の十二進法にすると、1728 (= 123) の貨幣を 12 (= 121) と 36 (= 121×3、122÷4) と 144 (= 122) と 432 (= 122×3、123÷4) の四種類の貨幣に分けて、「432の貨幣が2枚」で二分割（1728÷2 = 864）したり、「432の貨幣が1枚 + 144の貨幣が1枚」で三分割（1728÷3 = 576）したり、「432の貨幣が1枚」で四分割（1728÷4 = 432）したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が2枚」で八分割（1728÷8＝216）したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が1枚 + 12の貨幣が1枚」で九分割（1728÷9＝192）したりすることが可能になる。後述のペンス通貨やアス通貨が、このような三分割と四分割を考慮した単位に該当する。
日本では、12 ヶ月を 1 年というのに対して、144 ヶ月 (= 12 年) を 1 回りという。
物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 122)、グレートグロス (1728 = 123)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。1971年2月15日まで、イギリスポンドは、1 ポンドは 240 ペンスであり、12 ペンスが 1 シリング、20 シリングが 1 ポンドであった。
この他にも、ヤード・ポンド法は十二進法が主流であり、長さの 1 フィート = 12 インチ = 144 ライン = 1728 ポイントである。同じく、1 トロイポンド = 12 トロイオンス = 144 スカラプル = 1728 シードである。プラモデルの縮尺に 1/144 (= 12-2) が多いのも、12 フィートすなわち 144 インチを逆数にしたサイズが由来である。
また、ローマ帝国の数詞や単位は十進法が通例であったが、アス (as) 通貨は異例で十二進法を想定した単位を設定した。アス通貨の下部単位として、1/2 アスのセミス (semis)、1/3 アスのトリエンス (triens)、2/3 アスのベス (bes)、1/4 アスのクォドランス (quadrans)、3/4 アスのドドランス (dodrans)、1/6 アスのセクスタンス (sextans)、1/12 アスのウンシア (uncia)、5/12 アスのクインクンクス (quincunx) が使用されており、中でも semis は「半」を意味する接頭辞 "semi-" の語源にもなっている。しかし、1/144 アス (= 1/12 ウンシア) や 12 アス (= 144 ウンシア) の単位は設定されず、1/24 アスのセミウンシア (semiuncia) と 2 アス (= 24 ウンシア）のドゥポンディウス (dupondius) のみであった。
他の単位との関連.
十二進法で百分率や千分率と同じ冪数分率を作ると、「百四十四分率」「千七百二十八分率」「二万七百三十六分率」となる。ここで問題になる点は、3 つまり「三分割をp回」した際の小数の分子・分母の大きさである。1/9＝3は六進法と十二進法の両方とも小数第二位となり、六進法は「三十六分率」、十二進法は「百四十四分率」でほぼ互角となる。百四十四分率は(1/16)＝2まで収容できるが、3以後が大きく変わり、十二進法では(1/27)＝3の小数が千七百二十八分率となり、(1/81)＝3の小数が二万七百三十六分率まで膨れる。
一方で、六進法は2と3の冪指数が同じなので、1728＝12000＝1000の1/8である「二百十六分率」｛216＝1000＝160｝で1/8と(1/27)の両方が収容可能で、1000の6/8である「千二百九十六分率」｛1296＝10000＝900｝で(1/16)と(1/81)の両方（つまり2と3の両方で四回分割）まで収容可能となり、いずれも1000に満たない。別の言い方をすると、六進法は「四分割は36まで待たねばならない」が「八分割と二十七分割は216まで待てばよい」のに対して、十二進法は「二十七分割は1728まで待たねばならない」。
(m/27)の小数は、六進法では 12＝8＝2の倍数だが、十二進法では 54＝64＝2の倍数になる。そして、(m/81)の小数は、六進法では 24＝16の倍数だが、十二進法では 194＝256の倍数まで膨れてしまう。
このため、除数が「指数が大きい3の冪数」となる割り算では、十二進法は開きが大きくなりやすい。例として、被除数を 2 = 194 = 1104 = 256 とする。
2454 = 30544 = 4096 であり、31B14 = 1223224 = 65536 であり、3 = 3969 = 50213 = 6561 である。<br>
小数点を消すと、六進法の場合 30544 ÷ 13252 = 2（十進換算：4096 ÷ 2048 = 2）で2倍の開きであるが、十二進法の場合 31B14 ÷ 9594 = 4（十進換算：65536 ÷ 16384 = 4）で4倍の開きになる。同じく、3で割った商を、3で割った商で割ると、六進法の場合 30544 ÷ 2212 = 12 で8倍の開き（経過した3の冪指数も、商となる2の冪指数も3で同じ）だが、十二進法の場合 31B14 ÷ 714 = 54 で 64倍の開き（経過した3の冪指数は3だが、商となる2の冪指数が6）になってしまう。
以下の表に示す通り、商の小数点を消した数値も、十二進法では3（27＝23）で割ると被除数の2倍＝64倍＝54倍になり、3（729＝509）で割ると被除数の(2)倍＝4096倍＝2454倍まで膨れてしまう。これに対して、六進法では3（729＝3213）で割ると被除数の2倍＝64倍＝144倍の数値になる。
このように、十二進法の小数は、「一桁で四分割」「二桁で八分割と九分割」ができる長所を持つ一方で、「3の冪指数が大きい割り算の分子・分母」が膨大になってしまうという短所も持っている。
指数え.
十二進法の指数えは、同じ3で割り切れる六進法とは様相が異なる。十二進法の指数えは、親指が指標となり、各指の3つの指骨(末節骨 ・中節骨・基節骨)を小指から数える。片手を十二（10）までの数、もう片手を十二の倍数として、片手で十二まで数えて、もう一方の手に繰り上げて百四十四（100）まで数える
。（実際は十三進法を用いて百六十八まで数えられるが、一般的ではない）
架空の世界での使用.
SF作品でも、人類と異なる文明が十二進法を使っているとする設定はよく見られるものである。
H・G・ウェルズは『冬眠二百年』（"When the Sleeper Wakes", 1899年）や『モダンユートピア』（"A Modern Utopia", 1905年）で十二進法を使用し、12 = dozen, 144 (=122) = gross, 1728 (=123) = dozand, 20736 (=124) = myriad としている。
J・R・R・トールキンによる人工言語、エルフ語 (Elvish) の数詞は十二進法である（→クウェンヤ）。
十二進法の推進.
英米では、十二進法を採用するよう主張する人々がいる。人間の手指の数に由来する、原始的で、2と5でしか割り切れない十進法ではなく、3でも4でも割り切れる十二進法の方が理に適っているとされるためである。これらの人々は、十二進法を表す語として、英語で通常使われる duodecimal を「十のおまけ」という言い方だとして嫌い、dozenal を使う。なお、dozenal に相当するスペイン語は、doce（十二）を形容詞化した docenal である。十と十一を意味する数字には A と B を用いず、十 を T または X 、十一 を E で、或いはその変形で表したり、十 を * で、十一を # で表したりする。これらの十二進法推進団体は、百分率（パーセント：記号は「％」）に代わって百四十四分率（パーグロス：記号は"per gross"を縮めた「p/g」）の使用を主張したり、周角の360度（十二進法で260度）から144度（十二進法で100度）または720度（十二進法で500度）への変更も主張している。
なお、十進法以外を採用しようという主張は、近年ではコンピュータの二進法との相性から八進法や十六進法についても主張されている。しかし、八進法や十六進法は「2の冪数」進法なので、2でしか割り切れない。つまり、1/3や1/5といった奇数分割ができない。また、「3の倍数」進法を採用しようという立場から、十二進法以外では六進法や三十進法についても主張されており、それぞれの長短も議論されている。「5の倍数」に囚われない指数えの方法として、十二進法での指の「関節」で数える方法、六進法での「もう片手は六の位」とする方法 が提案されている。
Unicode 8.0 では、十二進法のための10 ( = U+218A, 180度回転した2)と 11（ = U+218B, 180度回転した3）の2つの数字が符号位置を与えられた。この2つの数字はアイザック・ピットマンの考案による。