ハーゲン・ポアズイユ流れ

ハーゲン・ポアズイユ流れ（ハーゲン・ポアズイユながれ、）とは、管径が一定の円管を流れる粘性をもつ流体（非圧縮性のニュートン流体）の定常層流解、つまり円形の管の中をゆっくり流れる水などの流れ方に関する厳密解である。このような流れでは非圧縮性ニュートン流体の運動方程式であるナビエ・ストークス方程式を解析的に解くことができ、この流れは数少ない厳密解のうち最も有名でかつ重要な流れである。
特にハーゲン・ポアズイユの法則（）またはハーゲン・ポアズイユの式（）と言った場合には、このような流れにおける（体積）流量に関する公式のことを指す。また、「ハーゲン」を省略してポアズイユ流れとも呼ばれるが、概要で説明されるようにこの呼び方は正当な評価とは言えない。
概要.
粘性流体が管径が一定の円管を層流で流れる場合、その流速分布は、厳密に
となる。ここに、"u" は流下方向の流速、"r" は円管中心からの半径方向の距離（0 < "r" < "a" ）、"g" は重力加速度、"I"e は動水勾配またはエネルギー勾配、νは動粘性係数、"a" は円管の半径である。この式は、円管内を層流で流れる粘性流体の速度分布が放物線を描くことを表す。
この流速分布は、1839年にドイツのゴットヒルフ・ハーゲン（土木技術者で、下水道などの設計をしていた）が、1840年にフランスのジャン・ポアズイユ（医師で、血流の研究をしていた）がそれぞれ別々に発見した。それで、このような流れの解をハーゲン・ポアズイユ流れと呼ぶ。ヨーロッパなど、特に技術者より医師の方が社会的地位が高いと考えられていた地域などでは、技術者であるハーゲンの名前をあえて省き、単にポアズイユ流れと呼ぶこともあるが、これは正当な評価とは言えない。
この方程式はナビエ・ストークス方程式（レイノルズ方程式）において、
という条件から導くことが出来る。しかし、先に述べたハーゲンとポアズイユは、このナビエ・ストークス方程式を十分に理解してこの流速分布を誘導したのではなく、実験を行ってその観察などからこの法則を発見したと考えられている。
ハーゲン・ポアズイユの式.
前述した流速分布式を断面で積分することにより、以下の（体積）流量"Q" に関するハーゲン・ポアズイユの式が得られる。
ここで、各記号の意味は前述と同じである。
これを変形すると、
となり、半径"a" の円管を用意し、そこに粘性流体を層流で流したときに流れる流量"Q" 、及び円管内の2点間のピエゾ水頭をで計測して動水勾配"I"e を測定できれば、その流体の動粘性係数"ν"を求めることができる。
ダルシー・ワイスバッハの式との関係.
この結果を、ダルシー・ワイスバッハの式：
に代入することで、摩擦損失係数"f" とレイノルズ数：
の関係が次式で与えられる。