多角数定理

とは「すべての自然数は高々 個の 角数の和である」という数論の定理である。
特に の場合を（ガウスの）三角数定理、 の場合を（ラグランジュの）四平方定理という。
多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。
多角数.
"k" 番目の "m" 角数とは、次の公式
で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に "k" 個ある正 "m" 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が "k" 番目の "m" 角数になっている。
これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。
例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の "m" 角数は 1 であり、2番目の "m" 角数は "m" である。
精密化.
"N" = 2"m" - 1 を表すには "P""m"(2) + ("m" - 1)"P""m"(1) とするより他にないから、"m" 個未満の "m" 角数の和では表されない自然数がある。"N" = 9"n" + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。"N" = 8"n" + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、"m" 個未満の "m" 角数で表されない自然数は有限個である。"m" ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 "N" ≥ 108("m" - 2) は "m" - 1 個の "m" 角数の和で表される。また、"m" ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 formula_2 は四個の "m" 角数の和で表される。また、"m" ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 formula_3 は四個の "m" 角数の和で表される。
証明.
三角数.
三平方和定理により
と表されるから
となる "x", "y", "z" が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。
四角数.
四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。
五角数以上.
十分大きな "N" に対してのみ証明する。"m" ≥ 5, "N" ≥ 108("m" - 2) とすれば
であるから
となる二個の奇数 2"d" ± 1 が存在する。
"N" ≡ "b" + "r" (mod "m" - 2) となるように
を選び、
とする。"a", "b" は共に奇数であるから、4"a" - b2 ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、
となる三個の奇数 "x" ≥ "y" ≥ "z"′≥ 0 が存在する。"b" + "x" + "y" - "z" ≡ 0 (mod 4) となるように "z" = ± "z"′の符号を決め、
とすれば
となる。ただし
とする。0 ≤ "r" ≤ "m" - 4 であるから、"w""n" ≥ 0 であれば "N" ≥ 108("m" - 2) が高々 "m" 個の "m" 角数で表されることになる。以下において "w""n" ≥ 0 であることを証明する。
であるから
である。同時に
であるから
である。4"a" - "b"2 = "x"2 + "y"2 + "z"2 を固定して "x" + "y" + "z" が最大となるのは "x" = "y" = "z" のときであるから
"w"4 は整数であるから
"x" ≥ "y" ≥ |"z"| により
である。
平方数と三角数の和.
三平方和定理により、8"N" + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
となる "x", "y", "z" が存在する。法 8 で考え、"y", "z" は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4"N" + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
となる "x", "y", "z" が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。
2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。