有理型関数

複素解析において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、ゆうりがたかんすう、）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、）であるとは、（複素数平面あるいは連結）リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）であって極全体の集合が離散集合であるような複素関数のことを指す。
有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。
例.
多項式関数は正則であるから、例えば formula_1 のような有理関数は全て C 上有理型である。また、関数 formula_2 や formula_3 も C 上有理型で、ガンマ関数やリーマンのゼータ関数も同様である。
一方、対数関数 formula_4 や formula_5 は C 上有理型でない。例えば後者は formula_6 に真性特異点を持つ。
言い換え.
リーマン面の言葉で言えば、有理型関数というのは、「リーマン球面への正則関数であって、常に formula_8 の値をとる定数関数ではないもの」ということと同じである。このとき有理型関数の極とはリーマン球面の無限遠点 formula_8 へ移される複素数のことである。