算術幾何平均

数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。
定義.
formula_1 である複素数 formula_2 について
と定めれば数列 formula_3 と formula_4 は同じ値に収束する。その極限を formula_2 の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 formula_6 の根号の符号は算術平均 formula_7 の側にあるものを選ぶものとする。
formula_8 の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。
formula_9 の場合は、次式になる。
&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\sin^2\theta}}\\
&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(\frac{a+b}{2}\right)\sqrt{1-\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2\sin^2\theta}}\\
概要.
formula_2 が正の実数である場合、
が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、
となることから
という関係が成り立っている。{"a""n"} は下に有界な単調減少数列であり、{"b""n"} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{"a""n"} の極限を α とし、{"b""n"} の極限を β とすると定義の漸化式から
が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {"a""n"}, {"b""n"} は "n" → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
性質.
正の定数 formula_11 に対し
が成り立つ。
この数列の収束は
を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
また次のことが知られている。
右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
証明.
複素数 formula_2 の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
formula_13となるように formula_6 の根号の符号を決めると約束したので、
である。formula_15 を formula_7 の階差とすれば
である。したがって、級数 formula_17 は絶対収束する。すなわち、数列 formula_3 は収束し、数列 formula_19 は formula_3 と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、formula_2 は正の実数とする。
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}}\\
&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}\\
formula_22 と置換すると、
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{a^2x^2+b^2x^2+b^2x^4+a^2}}\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(a+b)^2x^2+(bx^2-a)^2}}\\
&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{bx^2-a}{2x}\right)^2}}\\
formula_23 と置換することによって、
となる。したがって、
=\frac{\pi}{2M(a,b)}\\
formula_2 が複素数である場合は、積分路 formula_23 と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。
formula_27, formula_28 とすれば、
&=\frac{(b/a)x^2-1}{(1+b/a)x}=\frac{(u+iv)x^2-1}{(1+u+iv)x}\\
&=\frac{(ux^2-1+ivx^2)(1+u-iv)}{\left((1+u)^2+v^2\right)x}\\
&=\frac{(u+u^2+v^2)x^2-(1+u)+ivx^2+iv}{(1+2u+u^2+v^2)x}\\
これに formula_29 を代入すると
&=\frac{iv\frac{1+2u+^2+v^2}{u^2+v^2+u}}{(1+2u+u^2+v^2)\sqrt{\frac{1+u}{u+u^2+v^2}}}\\
&=\frac{iv}{\sqrt{(1+u)(u+u^2+v^2)}}\\
であり、formula_30 となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 formula_31 の間（原点に近いところ）を通る。また、formula_32, formula_33 とすると、
&=\frac{(u'^2+v'^2)(u'+iv')x^2-(u'-iv')}{2(u'^2+v'^2)x}\\
これに formula_34 を代入すれば
であるから、積分路は極 formula_35 の間を通る。
算術調和平均.
formula_1 である複素数 formula_2 について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列
である。つまり、算術調和平均は formula_2 の幾何平均に等しい。このことは
から明らかである。
調和幾何平均.
formula_1 である複素数 formula_2 について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列
である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、formula_41 を逆数にして
から明らかである。