積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。
積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。
4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。
ただし formula_1 は未知の関数、"f" は既知の関数、"K" は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。
積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。
固有値問題の一般化としての積分方程式.
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、formula_6 を行列、formula_7 を固有ベクトル、formula_8 を対応する固有値として、
と書くことができる。
添字 formula_10、formula_11 を連続変数 formula_12、formula_13 で置き換えて連続極限を取ると、formula_11 に関する総和は formula_13 に関する積分、行列 formula_16 とベクトル formula_17 はそれぞれ積分核 formula_18 と固有関数 formula_19 に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式
が得られる。
一般に、formula_18 は超関数であってもよい。超関数 formula_22 が formula_23 でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。