零点

複素解析における正則函数 の零点（れいてん、ゼロてん、）は函数が非自明でない限り孤立する。零点が孤立することは、一致の定理あるいは解析接続の一意性の成立において重要である。
孤立零点には重複度 (order of multiplicity) が定まる。代数学における類似の概念として非零多項式の根の重複度（あるいは重根）が定義されるが、多項式函数はその不定元を複素変数と見れば整函数を定めるから、これはその一般化である。
零点が孤立すること.
以下、 はガウス平面 の開集合、 は正則で、 の元 は の零点 () とする。このとき函数 は、適当な半径 の開円板 において、整級数
に展開することができる。ここで定数項は だから、添字は から始まっていることに注意。また各項の係数は で与えられる。
上記の級数展開において、以下の二者択一が考えられる:
以上のことを、以下の定義および定理にまとめることができる。
例.
 を複素数とし、複素函数 を
と定めれば、これは整函数（つまり の全域で正則）で、-位の孤立零点である。実際、 だが となることは容易に確かめられる。
応用.
孤立零点の原理から、以下のような原理が導かれる。
解析的延長の原理.
以下、 は の領域（連結開集合）とし、 は 上で定義された正則函数とする。
例えば、 を 内の連結開集合で、実数直線 内の少なくとも二点を含む区間 （ゆえに の各点は孤立しない）を含むものとすると、
このことは、 内の区間 上で定義された函数を、 を含む 内の連結開集合 上で定義された解析函数に延長する方法は高々一つしか許されないことを意味している。
零点の数.
偏角の原理を用いれば、与えられた正則函数に対して適当な円板上に存在する零点の数を（重複度を込めて）数えることができる。
この定理はベッセル関数の零点を計算するのにも用いられる()。
零点の数値計算.
解析関数の零点を数値的に求める手法についてはKravanja et al. (2000)、を参照せよ。