ユニタリ作用素

数学の一分野、函数解析学におけるユニタリ作用素（ユニタリさようそ、）は、ヒルベルト空間上の自己同型写像、すなわち構造（今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる位相構造）を保つ全単射である。与えられたヒルベルト空間 からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合は群を成し、 のヒルベルト群 と呼ばれることもある。
定義と注意.
ヒルベルト空間 上の有界線型作用素 がユニタリ作用素であるとは、それが を満足するときに言う。ただし、 は のエルミート共軛で は恒等作用素である。
上記よりも弱く、条件 のみを満たすものは等距作用素 と呼ばれ、条件 を満たすものは余等距作用素 と呼ばれる。即ち、ユニタリ作用素は等距かつ余等距なる有界作用素である。
内積を用いれば、この定義は以下のように書き直すことができる。
ヒルベルト空間 上の有界線型作用素 がユニタリであるとは、
ときにいう。
注意.
実は上記定義における条件を、以下のように一見緩いものに取り換えても、同値な定義が得られる。
同値であることを見るには、 が内積を保つことから が等距（したがって有界線型作用素）となることに注意すればよい。実は の値域が稠密であることよりそれが有界な逆作用素 を持つことが保証されるが、それは明らかに を満たす。 
またユニタリ作用素の定義において、作用素の線型性は内積の線型性および正定値性から従うので、定義の意味を変えることなく作用素が線型であるという仮定は落とすことができる。実際、
という計算が成り立つから、斉次性が従う。 
も同様に示せるから、加法性も成り立つ。
一般化.
ユニタリ作用素を一般化するものとして、ユニタリ元 がある。単位的*-環において、その元 がユニタリ元であるとは、 を満たすときに言う。ただし、 は単位元である。