多項定理

数学における多項定理（たこうていり、）とは、多項和 (multinomial) の冪を展開した式を表すものである。二項定理において項数を一般化したものである。
定理の主張.
多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 , 非負整数 に対して、項和の任意の -冪を展開すると
となることを示すものである。ここで係数 は多項係数と呼ばれ、
となる。また、 は非負整数であり、総和は となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は となる。また、 はここでは、二項定理の場合と同様に、（ が零のときも含めて恒等的に） と定義している。
多重添字記法を用いると、定理の主張は
略記できる。ここに、 であって、 および に対して である。
例えば、formula_4 を展開すると、次のようになる：
証明.
組合せ論的証明.
二項定理の組合せ論的証明と同様に証明できる。
個の の積を一度に展開し切ることを考える。
一度に展開すると、それぞれの から の1つだけを取った文字 個の総乗の総和となる。
これらの積のうち、並び替えて になるものは、個の 、…、個の を並べる場合の数だけあるから、多項係数 、すなわち の係数は となる。
指数について帰納法.
二項定理と同様に、指数 についての数学的帰納法で証明できる。
 のとき、
より成り立つ。
ある について成り立つと仮定する。
より、
最後の等号は
が成り立つことを用いたが、これは右辺の階乗表示：
を通分すると左辺になることが示せる。
項数について帰納法.
二項定理を既知とすると、項数 について数学的帰納法により証明できる。
まず のとき、 であり両辺は単項で に等しい。
次に、 に対して多項定理が成り立つと仮定する。
に帰納法の仮定を適用して
を得る。最後の等号は
が成り立つことを用いたが、これは例えば階乗による表示を用いれば
と示せる。
応用例.
一般ライプニッツ則.
3個以上の函数の積の高階導函数に対しても、一般のライプニッツの法則を適用することができる：