有界

数学において集合が有界（ゆうかい、）である、または有界集合（ゆうかいしゅうごう、）であるとは、ある種の「差渡しの大きさ」に関する有限性をそれが持つときにいう。有界でない集合は非有界（ひゆうかい、）であるという。
定義.
順序集合の有界性.
順序集合 ("X", ≤) とその空でない部分集合 "A" を考える。"X" の元 "L" が、"A" の任意の元 "a" について "a" ≤ "L" を満たすとき、"L" を "A" の上界 といい、上界を持つ "A" は上に有界であるまたは「上から抑えられる」 という。また "X" の元 "l" が、"A" の任意の元 "a" について "l" ≤ "a" を満たすならば、"l" を "A" の下界 といい、下界を持つ "A" は下に有界である、または「下から押さえられる」 という。
上に有界かつ下に有界な集合は単に有界であるという。
順序集合 ("X", ≤) が半順序 ≤ に関して最大元および最小元を持つならば、この半順序は有界順序 である、または "X" は有界順序集合 であるという。有界順序を持つ順序集合 "X" に対し、部分集合 "S" に順序を制限した ("S", ≤) は必ずしも有界順序にはならない。
距離空間の有界性.
距離空間 ("M", "d") の部分集合 "S" が有界であるとは、"S" が有限な半径を持つ球で覆えることをいう。すなわち、"M" の元 "x" と正数 "r" > 0 で、任意の "S" の元 "s" に対して "d" ("x", "s") < "r" となるようなものが存在するとき、"S" は有界であるという。
"M" がそれ自身を "M" の部分集合とみて有界であるとき、"d" を有界距離函数 といい、"M" を有界距離空間 と呼ぶ。
ここで"S"が空集合でないときは中心"x"を"S"の元に選ぶとしても同値である。
また同値な特徴付として"S"の直径 diam S := sup{"d"("x", "y") | "x", "y" ∈ "S"} が有限というものがある。