トレミーの定理

トレミーの定理（トレミーのていり、）とは、円に内接する四角形 "ABCD" において、辺の長さに関する等式：
が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。
トレミーの定理を一般化したオイラーの定理（オイラーのていり）とは、必ずしも円に内接しない四角形 "ABCD" において、辺の長さに関するトレミーの不等式（）：
が成り立つという幾何学の定理のことである。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 "A", "B", "C", "D" に関して、辺の長さに関する等式：
が成り立つならば、4点 "A", "B", "C", "D" は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 "ABCD" は同一の円に内接する。
証明.
計算の便宜をはかり、"a" = "AD", "b" = "AB", "c" = "BC", "d" = "DC" とおくことにする。また、"A" = ∠"A" = ∠"DAB", "B" = ∠"B" = ∠"ABC", "C" = ∠"C" = ∠"BCD", "D" = ∠"D" = ∠"CDA" のこととする。
余弦定理および内接四角形の性質より、
が成り立つ。ここから cos "A" を消去して、
を得る。また "AC" について同様にして
となるから、2 式を掛けて
を得る。これを整理すれば、
となる。すなわち、
が示された。
円に関する反転を用いた証明.
Dを中心とする適当な円 formula_11 に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。
このとき
formula_12
が成り立つ。
このとき、一般性を失わずに formula_11 の半径を1と置くことができる。 このとき formula_14はそれぞれ以下のように表される。 
この式の両辺に formula_16 をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。
一般化.
一般化にケイシーの定理がある。