オイラー線

オイラー線（オイラーせん、 ）は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。オイラー線は正三角形以外の全ての三角形に対して定義できる。三角形におけるオイラー線の概念は、四角形や三角錐などの図形にも拡張されている。
概要.
上の図の三角形において、
これらの点を通る赤い線がオイラー線である。
重心 G は線分 OH を 1 ： 2 の比率に内分する。
すなわち、外心 O ・重心 G ・垂心 H の間には常に、formula_1 の関係が成り立っている。
直線の存在の証明.
この3点が同一直線上にあることを証明する方法を何通りか挙げる。
線上の特殊な点.
オイラー線上にある外心・重心・垂心以外の重要な点をいくつか挙げる。
その他の性質.
点Pに対し、3つの三角形 PAB, PBC, PCA のオイラー線が1点で交わる条件は、「Pが外接円上かノイベルグ3次曲線上にある」である。これは、とその息子によって証明された。以下に主な点と簡単な証明を示す。
拡張.
3次元以上の単体においても重心は存在する。また、すべての頂点を通る外接球が存在するためその中心である外心も存在する。よって、この2点を通る直線が定義可能である。
四面体におけるオイラー線は、外心・重心とモンジュ点を通る。四面体に垂心が存在する場合はモンジュ点と一致するため、これもオイラー線上にある。