最小公倍数

最小公倍数（さいしょうこうばいすう、）とは、formula_1ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。
定義.
2つ以上の整数 formula_2の最小公倍数とは、formula_2の公倍数のうち最小の正整数である。
つまり、formula_2を、素数 () を用いて
p^{e_p(j)}\ \ \ (e_p(j)\ge 0,\ \ \varepsilon_j=\pm 1)
と素因数分解したとき、formula_2の最小公倍数は
で与えられる。
例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。
諸概念.
公倍数は最小公倍数の倍数である。
証明
formula_6 の最小公倍数を formula_7 とする．
formula_6 の一般の公倍数を formula_9 とし，formula_10 と置く。
変形して formula_11 …①
①右辺は formula_9 は formula_6 の公倍数、formula_7 も同じく formula_6 の公倍数。
よって①の左辺 formula_16 は formula_6 の公倍数になる。
しかしformula_18 となり、最小公倍数 formula_7 よりも一般公倍数 formula_16 が小さく矛盾．
すなわち formula_21。よって公倍数 formula_22 であり最小公倍数の倍数となっている．(証明終）
正整数formula_23に対して、formula_24とformula_25の最大公約数formula_26と最小公倍数formula_27との間には
という関係がある。
しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、formula_28とすると、formula_29であるが、formula_30である。
多項式の最小公倍数.
多項式のformula_1でない公倍数のうち、最も次数の低いものを最小公倍数という。例えば、formula_32とformula_33の最小公倍数はformula_34である。
多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。