バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

数学において、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（）は、数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれ、最も難しい数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン＝ダイアーにちなんで名づけられている。、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。
予想は代数体 "K" 上の楕円曲線 "E" に伴う数論的データを "E" の ハッセ・ヴェイユの "L"-関数 "L"("E", "s") の "s" = 1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、"E" の点のなすアーベル群 "E"("K") のランクは "L"("E", "s") の "s" = 1 における零点の位数であり、"s" = 1 における "L"("E", "s") のテイラー展開における最初の 0 でない係数は "K" 上の "E" に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている 。
概要.
楕円曲線上の有理点（"x" 座標も "y" 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 "E" 上の2点 "P" = ("x"1, "y"1), "Q" = ("x"2, "y"2) に対し、直線 "PQ" と "E" との交点と "x" 軸に関して対称な位置にある点 ("x"3, "y"3)を "P" + "Q" で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照）
このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、アーベル群をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。
アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / "m"1Z, ..., Z / "m""t"Z の直積
に同型であることが知られている。この "r" のことを楕円曲線 "E" の階数とよぶ。
楕円曲線 "E" の "L" 関数 "L"("E", "s")を、"s" = 1 の周りでテイラー展開すると次のように書けたとする。
このとき、"r" はこの楕円曲線の階数になるというのがBSD予想である。
背景.
 はモーデルの定理「楕円曲線上の有理点のなす群は有限基底を持つ」を証明した。これは任意の楕円曲線に対して曲線上の有理点の有限部分集合が存在して、それらからすべての有理点が生成されるということを意味する。
曲線上の有理点の個数が無限であれば、有限基底のある点は無限位数を持たなければならない。無限位数を持つ"独立な"基底の点の個数を曲線のランクを呼び、楕円曲線の重要な不変性質である。
楕円曲線のランクが 0 であれば、曲線は有限個の有理点しか持たない。一方、曲線のランクが 0 よりも大きければ、曲線は無限個の有理点を持つ。
モーデルの定理は楕円曲線のランクが常に有限であることを示しているが、すべての曲線のランクを計算する効率的な手法を与えてはいない。ある楕円曲線のランクは数値計算を用いて計算することができるが、（知識の現在の状態では）これらをすべての曲線を扱うように一般化することはできない。
"L"-関数 "L"("E", "s") は各素数 "p" を法とした曲線上の点の個数からオイラー積を構成することによって楕円曲線 "E" に対して定義できる。この "L"-関数はリーマンのゼータ関数と二元二次形式に対して定義されるディリクレの "L"-級数に類似である。それはハッセ・ヴェイユの "L"-関数の特別な場合である。
"L"("E", "s") の自然な定義は複素平面で Re("s") > 3/2 である "s" の値に対してしか収束しない。ヘルムート・ハッセ () は "L"("E", "s") を解析接続によって複素平面全体に拡張できると予想した。この予想はまず虚数乗法を持つ楕円曲線に対して によって証明された。その後、モジュラー性定理の帰結として、Q 上のすべての楕円曲線に対して正しいことが証明された。
一般の楕円曲線上の有理点を見つけることは難しい問題である。与えられた素数 "p" を法として楕円曲線上の点を見つけることは概念的には直截である、なぜならばチェックすべき可能性は有限個しかないからである。しかしながら、大きい素数に対しては、計算量は膨大である。
歴史.
1960年代初頭、ピーター・スウィンナートン＝ダイアーは、たくさんの素数 "p" に対して、ランクのわかっている楕円曲線上の "p" を法とする点の個数（"Np" と表記される）をコンピュータによる数値計算により求めた。この計算には、EDSAC 2（、EDSACの後継機）が使われた。これらの数値的結果から、 はランク "r" の曲線 "E" の "Np" は漸近法則
に従うことを予想した。ここで "C" は定数である。
最初はこれはグラフのプロットの幾分微かな傾向に基づいていた。このため （バーチの Ph.D. アドバイザー）は懐疑的になった。時間とともに数値的な証拠は積み上がった。
今度はこれは彼らを曲線の "L"-関数 "L"("E", "s") の "s" = 1 における振る舞いについての一般的な予想、すなわちそれはこの点において位数 "r" の零点を持つであろうという予想を立てることに導いた。これは、"L"("E", "s") の解析接続は虚数乗法を持つ曲線に対してしか確立されておらずこれはまた数値計算の例の主なソースであったことも考えると、当時先見の明のある予想であった。（"L"-関数の逆数はある視点から研究のより自然な対象であることに注意しよう。これは零点よりもむしろ極を考えるべきであることを意味する。）
その後予想は "s" = 1 における "L"-関数の正確な主要テイラー係数の予想を含むように拡張された。それは予想では
によって与えられる。ここで右辺の量は、キャッセルズ (Cassels)、テイト ()、シャファレヴィッチ () 他によって研究された、曲線の不変量である： これらは捩れ群の位数、テイト・シャファレヴィッチ群、そして有理点たちの基底の標準的高さを含む 。
現在の状況.
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想は特別な場合においてのみ証明されている：
ランクが 1 よりも大きい曲線に対しては、予想が正しいことの広範囲に渡る数値的な証拠があるが、全く何も証明されていない。
帰結.
リーマン予想と同じく、この予想から多くの結果が導かれる。以下はそのうちの 2 つである：