マクスウェル分布

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マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。
導出.
気体分子運動論では、成分を とする速度ベクトル について、 方向の速度成分 の分布は、分子の質量を 、ボルツマン定数を 、絶対温度を 、係数を として
に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 を求めるには に関して積分した値が1になれば良いので
より、 となる。したがって、 方向の速度成分 の分布は
となる。
また、 方向の各速度の分布は互いに独立で、
が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ の分布は
となる。ここで、 は半径 で厚さ の球殻の体積に相当するので、 となり、またスカラー量である速さ の大きさは なので、マクスウェル分布は
より
となる。
マクスウェル分布はの一つである。
速度分布.
分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。
導かれる速度.
マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。
まず1つ目の速度が英語で""と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度」や「最確速度」などと呼ばれるものであり、記号で と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので
より
となる。
次に求められる速度が平均速度 である。これはマクスウェル分布の期待値なので
となる。
最後に求められる速度が根二乗平均速度 である。これはマクスウェル分布のモーメントなので
となる。
また、これら3つの速度の比は
と表される。