倍音

倍音（ばいおん、、、、、）とは、楽音の音高とされる周波数に対し、2以上の整数倍の周波数を持つ音の成分。1倍の音、すなわち楽音の音高とされる成分を基音と呼ぶ。
弦楽器や管楽器などの音を正弦波（サインウェーブ）成分の集合に分解すると、元の音と同じ高さの波の他に、その倍音が多数（理論的には無限個）現れる。
ただし、現実の音源の倍音は必ずしも厳密な整数倍ではなく、倍音ごとに高めであったり低めであったりするのが普通で、揺らいでいることも多い。逆に、簡易な電子楽器の音のように完全に整数倍の成分だけの音は人工的な響きに感じられる。
歴史的な背景.
古来合唱などで、本来聞こえるはずのない高い声がしばしば聞かれる現象が知られており、「天使の声」などと呼ばれて神秘的に語られていた。これらは倍音を聴取していたものだと現在では考えられている。
科学的な背景.
倍音は、数学者のマラン・メルセンヌによって1636年に発見された。
1753年、ダニエル・ベルヌーイは、波動方程式の解として三角関数を想定することにより、弦の振動は基本周波数とその整数倍の周波数の成分（倍音）の重ね合わせとして表せることを発見した。
この概念は、19世紀の数学者ジョゼフ・フーリエの見出したフーリエ級数によって体系的に理論化された。フーリエ級数とは、周期関数 formula_1 を正弦波（三角関数）の重ね合わせとして表現するものであり、オイラーの公式を用いれば以下のように表現できる。なお、formula_2 は formula_1 の周期であり、formula_4を満たす。
第1の式は、周波数 formula_7 の正弦波 formula_8 を formula_9 倍したものを全ての整数 formula_10 に関して重ね合わせると元の波動 formula_1 に等しくなることを意味している（なお、formula_9の値は一般には複素数であり、その絶対値が各倍音の振幅となって現れ、偏角が各倍音の位相のずれとなって現れる。虚数成分はformula_10の正負を足し合わせると消えてしまう。右の式ではその点を考慮して、実数のみによって表示している）。
ここで、n = ± 1 のものが基音であり、その周波数は formula_14 である。
次に、n = ± 2 に対応するものを考えると、その周波数は formula_15 であり、これは基音の第「2倍」音になる。同様に、n = ± 3, ± 4, ± 5…についても、その周波数はそれぞれ 3f, 4f, 5fになる。このようにして、周期的な波形を持つ音は基音と倍音の重ね合わせとして表せることが保証されている。
ただし、この手法では基本周波数が既知であることが仮定されるほか、倍音以外の上音を含むと正常に検出できないなどの欠点があるため、実際の音声処理ではフーリエ級数を発展させたフーリエ変換と呼ばれる手法が利用されている。ただし、フーリエ変換にも実用上の難点が多いため、実際には離散フーリエ変換、短時間フーリエ変換などといった手法が使用されている（詳細は各項を参照）。
音の分類.
基音.
基音（）は複合音に含まれる最も周波数の低い音である。基本波（）とも呼ばれる。
基音は楽音の音高（ピッチ）をほぼ規定する。その周波数は基本周波数 formula_16 として表現される。
各倍音と倍音列.
基音の"n"倍の周波数を持つ倍音を第"n"倍音と呼び、倍音を順に並べたものを倍音列という。高次倍音ほど隣り合う倍音の音程が狭まるのが特徴で、各倍音の音程関係は基音の音高に関係なく維持される。
以下、第16倍音までの、各倍音の基音との音程、半音を単位とした音高差、C3を基音とした場合の音名、平均律のそれからのずれを記す。音名についてはオクターヴ表記の国際式を参照のこと。
上記、倍音の周波数と平均律の音程を視覚的に現した図を示す。赤色が平均律、青色と数字が倍音の次数を現している。渦巻きの１周が1オクターブに対応する。
オーバーブローとフラジオレット.
管楽器や弦楽器では、同じ管や弦の長さでも、一部の倍音成分を強調してより高い音を奏でることが出来る。特に金管楽器ではその出される音のほとんどはこの奏法による。このような音や奏法を、管楽器ではオーバーブロー（）、弦楽器ではフラジオレット（）またはハーモニクスと呼ぶ。なお、物理的には、元になる振動の第"n"倍音を強調して新たな基音とする状態を、第"n"次モードと呼ぶ。
分析.
倍音の構造を理解することは音高および音色の理解に直結するため、倍音を分析する様々な手法が提案されている。
基本波フィルタリング.
基本波フィルタリングは複合音に対するフィルタリングで基音波形のみを抽出する操作である。基音は全ての倍音・上音より低い周波数を持つため、複合音をローパスフィルタに通すことで原理的には基本波が得られる。
現実の音響信号を解析するには遮断周波数の設定と低域雑音への対策が重要になる。まず複合音からローパスフィルタで基本波を取り出すため、その遮断周波数 formula_17が formula_18 を必ず満たす必要がある。基本波フィルタリングを基本周波数推定に用いる場合、formula_16 を知るために formula_16 に依存するパラメータ formula_17 を設定する必要があり、何らかの工夫が必要になる。また現実の信号はノイズを含むため、ローパスフィルタを通過する低域雑音によって基本波が純音波形から崩れる場合があり、何らかの工夫が必要になる。
基本波フィルタリングは基本周波数推定、特にゼロ交差法による推定でしばしば利用される。