慣性モーメント

慣性モーメント（かんせいモーメント、）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ とは、物体の角運動量 と角速度 との間の関係を示す量である。
定義.
質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル は次のように書ける。
ここで は 番目の質点の質量、 は回転軸上の原点との相対座標でありはその大きさである。この式からわかるように、 は と向きは必ずしも一致しないが、 を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をとすると、
と表せる。この変換 は2階のテンソルであり、との各成分は
という形に表される。ここに はクロネッカーのデルタ、 はベクトル の 成分である。 を行列表示すると
となる。この定義から は対称テンソルである。この2階のテンソル を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 、、 を（それぞれ 、 、 軸に関する）慣性モーメント係数（）と呼び、
、、 は 慣性乗積（）と呼ぶ。
なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 を用いて
となる。
ある軸まわりの慣性モーメント.
物体をある回転軸まわりに回転させたとき、と同じ向きをもつ単位ベクトルをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。
ここで、は角速度の大きさである。
ここに与えられたスカラー量 formula_2 をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。
慣性主軸と主慣性モーメント.
慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 を選ぶことで対角化（すなわち と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は
と単純に表すことができる。
計算例.
棒の両端の質量.
重さの無視できる長さ の棒の両端に、質量 、 の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ 、 とする。このとき、中心に対する慣性モーメント は、
と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。
円板.
半径 、全質量 の、一様な密度 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは
となる。
これは中心から半径 、幅 のリングの質量 を考えると
より、このリングの慣性モーメント が
だから
より求めることができる。
リング状円板.
円板外半径 、くり抜き内半径 、全質量 のリング状円板では、前出の を用いて
となる。
性質.
一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。
また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 をとり、軸が重心から距離 だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント は
となる。
慣性テンソル の物体が角速度 で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー は
と表示できる。
応用.
工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。