巡回多元環

数学、とくに代数的整数論において、巡回多元環（じゅんかいたげんかん、）とは、体の巡回拡大から構成される中心的単純環の一種で、一般四元数環の一般化。
定義.
可換体 上の多元環 が巡回多元環であるとは、それが 上 -次の正規単純環であって、かつ -次の巡回部分体を持つときに言う。
具体的に、体の 次巡回拡大 に対し、そのガロア群 の生成元を とし、 をとる。, の定める 上の巡回多元環 は、 個の文字 を基底に持つ 次元 -ベクトル空間 ( は直和) を台となる線型空間とし、 に乗法を一般の元 
に対して
と定めたものである。これは に対する以下の二条件
を線型に拡張したものとして与えられる。特に、 は の乗法単位元（したがって、）。また、 は の元を動かさない の非自明な自己同型であるから、 の元は と可換。これにより が 上中心的であることが従う。
一般化.
巡回多元環は、2-コサイクル（）に対する (crossed product algebra) と呼ばれる多元環に一般化される（巡回拡大に対する接合積が巡回多元環である）。接合積は群環の一般化でもある。