直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり × の行列 の転置行列を と表すときに、 を満たすような のこと。ただし、 は 次の単位行列であり、 自身も直交行列である。
有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 のことである。すなわち、
 を の任意のベクトルとするときに、
が成り立つ。ただし、 は内積を表す。
定義.
 次正方行列 の 転置行列 が の逆行列になっているとき、すなわち を満たすとき、 は直交行列であるという。
直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 の任意のベクトル に対し、内積を とする。 が行列 により に変換されたとき、内積は
となるので、行列 が直交行列であるのは計量ベクトル空間 の内積を変えないとき、かつそのときに限る。
直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。 次直交行列全体の集合を 次直交群といい、() と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、() と書く。
例.
回転行列.
2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。
置換行列.
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。
反射行列.
単位ベクトル に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列） は、以下の式で与えられ、直交行列となる（ は単位行列）。