ビリアル定理

ビリアル定理（ビリアルていり、）とは、多粒子系において、粒子が動き得る範囲が有限である場合に、古典力学、量子力学系のいずれにおいても成立する以下の関係式のことである。
 は系の粒子数、 は系全体の運動エネルギー
で、 は粒子 の運動量、 は粒子 の位置座標、 は粒子 に働く力、 は粒子 の質量である。 は物理量の平均操作（ここでは長時間平均）を意味する。
粒子 に働く力 が、系全体のポテンシャルエネルギー を用いて と表せるならば、ビリアル定理は、
という形で表せる。
ポテンシャルエネルギー が中心力ポテンシャルで、粒子間の距離の乗に比例する形
で表せる(ここでべき指数は力の法則がformula_5になるように選んだ)ならば、
となる。中心力が電磁気力や重力の場合を考えると、 であるから、
となる。ビリアル定理から次のことが言える。
また、同等のこととして、
ということが示される。
ビリアルとはラテン語で「力」という意味であり、ビリアル定理の名はそれに因む。ビリアル定理におけるビリアルとは、1870年にルドルフ・クラウジウスが導入した量で、各粒子の位置と運動量のドット積の総和 によって定義される を指す。
証明.
古典力学系の場合のビリアル定理の証明。ビリアル
を時間で微分すると、
より以下の関係が得られる。
この式の両辺を から時間 の範囲で積分して で割り、 の極限をとって長時間平均する。すると、粒子が動き得る範囲は有限なのでビリアル も有限だから、左辺は 0 に収束する。
 (2 \left\langle K \right\rangle + \sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i \right\rangle ) </math>
ここで、 は圧力、 は系の体積である。気体分子運動論では上式から圧力を求める。
一般化.
一般化されたビリアル定理を、超ビリアル定理 と言う。座標 と共役運動量 を考え、この 2 つの量を変数とした関数 を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な境界条件の基で任意に選べるとする。ハミルトニアンを として、ポアソン括弧（詳細はハミルトン力学を参照）の時間平均、
となるのが古典的な超ビリアル定理である。量子力学では、上記交換子の基底状態における期待値がゼロとなる。
これが量子力学的な超ビリアル定理である。ここで、 として上記のビリアルをとる。すなわち、
とすれば、通常のビリアル定理が導かれる。