軌道長半径

軌道長半径（きどうちょうはんけい、）とは、幾何学において楕円や双曲線のパラメータを表す数である。
楕円.
楕円では、軌道長半径とは長軸方向の半径である。軌道長半径を含む直線は中心と2つの焦点、楕円周上で最も曲率の大きい2点を通過する。円の場合には、軌道長半径は半径と一致する。
軌道長半径の長さ formula_1 は、軌道短半径 formula_2, 離心率 formula_3, 半通径 formula_4 と次のような関係がある。
formula_5
1つの焦点と formula_4 を固定し、もう1つの焦点を一方向にどこまでも引き伸ばすと放物線が得られる。formula_1 と formula_2 は無限大になるが、formula_1 の方が formula_2 よりも早く増加する。
軌道長半径は、1つの焦点から楕円周上への1点に至る、最小距離と最大距離の平均値となる。極座標系で1つの焦点を原点、もう1つの焦点をx軸の正方向に置くと、
formula_11
となり、
formula_12 と formula_13 の平均値は
formula_14
となる。
双曲線.
双曲線では、軌道長半径とは2つの分岐の間の半分の距離である。 が 軸方向にあるとすると、
formula_15
となる。
半通径と離心率を使うと、
formula_16
と書ける。
双曲線の主軸は、軌道長半径と同じ方向である。
天文学.
天体力学では、主星の周りを円または楕円軌道を描いて回る小さな天体の公転周期 formula_17 は、以下の式で表せる。
formula_18
ここで
この式から、同じ軌道長半径を持つ楕円軌道の公転周期は、離心率に関わらず同じであることが分かる。
天文学において、軌道長半径は公転周期と並んで最も重要な軌道要素の1つである。太陽系では、軌道長半径はケプラーの第3法則によって公転周期と関係づけられる。
formula_21
ここで は年で表した公転周期、 は天文単位で表した軌道長半径である。この式は、アイザック・ニュートンによって導かれた二体問題を記述する次の式から重力の項を単純化したものである。
formula_22
ここで
通常、 は よりも充分大きいため、 の影響は無視でき、ケプラーの式が導かれる。
位置ベクトルからの軌道長半径の計算.
天体力学では、軌道長半径 formula_1 は天体の位置ベクトルから計算できる。
その値は楕円では
formula_24
双曲線では
formula_25
となる。ただし、
formula_26
であり、主星の質量と全体の位置エネルギーが与えられると、軌道離心率には関係なく、軌道長半径の値が決まる。
ここで、
例.
国際宇宙ステーションは、公転周期が91.74分で、軌道長半径は6738kmである。