転置行列

転置行列（てんちぎょうれつ、）とは、 行 列の行列 に対して の 要素と 要素を入れ替えてできる 行 列の行列のことである。転置行列は などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、）といい、「 を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
定義.
行列
の転置行列 は
で定義される。このとき は 行列である。
性質.
 は行列、 はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
転置行列により定義される行列.
転置により定義される特別な行列として以下がある。
これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
線形写像との関係.
 行列 を 次元ベクトル空間 から 次元ベクトル空間 への線形写像 とみなすとき、 の転置行列 には の転置写像 が対応する。これは の双対空間 から の双対空間 への線形写像 で、 に対して
によって定義される。この定義は と の自然なペアリングを と表記すれば、 に対して
という関係式によって書き直すこともできる。