シェルピンスキー数

シェルピンスキー数（シェルピンスキーすう、"Sierpinski number"）とは、全ての自然数 "n" に対して "k" × 2"n" + 1 が合成数（素数ではない 2 以上の整数）となるような正の奇数 "k" のことである。
言い換えると、"k" がシェルピンスキー数ならば次の集合の元は全て合成数となる。
1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキ (Waclaw Sierpinski, 1882–1969) は、全ての "n" について "k" × 2"n" + 1 が決して素数とならない正の奇数 "k" が無限にあることを証明した。
1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、"S""n" = 78557 × 2"n" + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって "S""n" は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば "n" が偶数ならば "S""n" は 3 で割り切れ、"n" が 4 で割って 1 余る数ならば "S""n" は 5 で割り切れる。
知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。
シェルピンスキーの問題.
78557 がシェルピンスキー数であることは証明されているが、この数が最小のシェルピンスキー数であるかどうかはまだ分かっていない。最小のシェルピンスキー数を求める問題を、"シェルピンスキーの問題"という。
Seventeen or Bust.
分散コンピューティングによるプロジェクト "Seventeen or Bust" では、シェルピンスキーの問題の解決を目的として、78557 より小さいシェルピンスキー数の候補に対して素数の検索を行っている。プロジェクト名の由来は、プロジェクトを開始した2002年3月の時点で17個の候補があったためである。検索している全ての候補について素数が発見されたならば 78557 が最小のシェルピンスキー数ということになる。
このプロジェクトにより、2016年10月の時点で12個の素数が発見されており、2016年11月現在、素数となる数が見つかっていない "k" は、21181, 22699, 24737, 55459, 67607 の5個である。
2004年12月30日には、"k" = 28433 の系列で2,357,207桁の素数 28433 × 27830457 + 1 が発見された。発見時には、38番目のメルセンヌ素数である 26972593 - 1（2,098,960桁）を抜いて、当時知られていた素数の中では4番目に大きなものとして記録された。2007年5月5日には、"k" = 19249 の系列で3,918,990桁の素数 19249 × 213018586 + 1 が発見された。2012年6月の時点で知られている素数の中では10番目に大きい（9番目までは全てメルセンヌ素数）。
2016年10月31日には、"k" = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 × 231172165 + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい（6番目までは全てメルセンヌ素数）。。
リーゼル数.
リーゼル数 ("Riesel number") とは、シェルピンスキー数と似た定義の数であり、全ての自然数 "n" に対して "k" × 2"n" − 1 が合成数となる正の奇数 "k" である。スウェーデンの数学者ハンス・リーゼルに因む。知られているリーゼル数は
と続く。509203 が最小のリーゼル数かどうかは知られていない。シェルピンスキー数に対する Seventeen or Bust と同様の取り組みとして、リーゼル数に対しては Riesel Sieve Project が立ち上げられ、その後 PrimeGrid が作業を引き継いでいる。509203 より小さく、"k" × 2"n" − 1 の形で素数となるものが見つかっていない "k" は2020年12月の時点で48個ある。
ブリエ数.
ブリエ数 ("Brier number") とは、シェルピンスキー数でもあり、リーゼル数でもある数である。つまり、全ての自然数 "n" に対して "k" × 2"n" + 1 および "k" × 2"n" − 1 が合成数となる正の奇数 "k" のことである。
知られているブリエ数は
3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, … ()
と続く。これより小さなブリエ数があるかどうかは分かっていない。