双子素数

双子素数（ふたごそすう、）とは、差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである。双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である。双子素数を小さい順に並べた列は、次の通りである。
各組の2素数の平均値（中間の偶数）は、次の通りである。3連続した数 () は2と3双方の倍数を含むことから、3の倍数で唯一素数である 3 を含む (3, 5) の組である 4 以外は全て 6 (=2x3) の倍数となる。
双子素数の予想.
素数が無数に存在することは古代ギリシアで既に知られており、ユークリッドの『原論』に証明がある。これに対し、双子素数が無数に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」は、いまだに数学上の未解決問題である。
双子素数予想が古代ギリシア時代から知られていたとの記述も一部文献に見られるが、確証は得られていない。A. de Polignac (1849年) は、双子素数予想を一般化して、任意の偶数を差とする素数の組が無数にあるか、という問題を提出している。
上からの評価式など部分的な結果があるが、その中でも漸近公式の予想は注目に値する。双子素数の組の数の漸近公式はハーディ・リトルウッド予想の一部であり、これは素数定理と似通った次のような双子素数の漸近的な分布公式を予想している。
 以下の双子素数の組の数は、漸近的に
で与えられる。後者の積分による表示式の方が良い近似を与える。ここで、定数 は次のような無限積で定義される。
この定数 は「ハーディ・リトルウッド定数」の一つである。
この問題は、特に2素数の場合のゴールドバッハの予想に密接に関係しており、篩法などの研究者によって双方の研究が同時に進められてきた。
2004年5月に、「双子素数が無数に存在することの証明」と題された論文が Richard Arenstorf によって提出され、上記のハーディ・リトルウッドの予想が正しいと主張されたが、内容に重大な誤りがあるとして著者自身によって撤回された。
例.
最初の20組の双子素数.
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269,271), (281, 283), (311, 313), …
知られている最大の双子素数.
2020年7月現在で知られている最大の双子素数は、388,342 桁の である。これは、2016年9月に分散コンピューティングプロジェクトの一つである PrimeGrid により発見された。