剰余の定理

多項式に関する剰余の定理（じょうよのていり、）は、多項式 ("x") をモニックな（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 "x" − "a" で割ったときの剰余は ("a") であるという定理。とくに、 ("a") = 0 ならば ("x") が "x" − "a" を因数にもつことが分かる（因数定理）。
概要.
多項式 ("x") を "d"("x") で割るとき、次式を満たす多項式 "q"("x"), "r"("x") が一意に存在する：
これを多項式における除法の原理といい、このときの "q"("x") を商、"r"("x") を剰余と呼ぶ。また、"d"("x") を除数または除多項式、 ("x") を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg("r") < deg("d") は、多項式 "r"("x") の次数が "d"("x") の次数より小さいことを表している（一意性のための条件）。
除多項式がモニックな二項一次式 "d"("x") = "x" − "a" であるとき、次数についての条件 deg("r") < deg("d") は剰余 "r"("x") が "x" に関係しないある定数 "r" であることを意味する。すなわち は
と分解され、さらに "x" = "a" とおけば "x" − "a" = 0 なので ("a") = "r" であることが分かる。
同様に、除多項式 "d"("x") がモニックとは限らない二項一次式 "ax" + "b" であれば
となる多項式 "q"("x") と定数 "r" が一意に定まる。"ax" + "b" = 0 となる "x", つまり を代入すれば を得る。