オイラーのφ関数

オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、）とは、正の整数 に対して、 と互いに素である 以上 以下の自然数の個数 を与える数論的関数 である。これは
と表すこともできる（ここで は と の最大公約数を表す）。慣例的にギリシャ文字の （あるいはformula_2）で表記されるため、オイラーの 関数（ファイかんすう、）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。
例.
 から までの値は以下の通りである。
性質.
 を素数とすると、 から のうちに の素因子である を因子として含むものは存在しないから、 が成り立つ。さらに、 を自然数としたとき、 から の中で を因子として含むもの、すなわち の倍数は 個あるから、次が成立することが確かめられる。
また、 を互いに素な自然数とすると、 が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言う。これらのことからさらに、任意の自然数 における値を知ることができる。実際に、 はどの二つも相異なる素因数であるとして、以下のように を計算することができる。
自然数 で が を割り切るものとすると、 から までの自然数のうち との最大公約数が であるものの数は 個である。特に、 から までの自然数は との最大公約数によって類別されるから、 が の正の約数全てをわたる和に関して等式
が成り立つ（ は が を割り切るの意）。
 を位数 の巡回群とすれば、 の約数 に対して の位数 の元は 個存在する。特に、巡回群 の生成元になりうる元は 個存在する。
自然数 とするとき、剰余環 に属する剰余類 が既約、つまり の単数である必要十分な条件は代表元 が と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は に等しい。同じことだが、群 の位数を , 環 の単数群を で表すとき、等式
が成立する。これは特に、オイラーの定理 formula_5 の成立を意味する。また同じ式から、の 乗根で原始的であるものの一つを とし、既約剰余類群 を円分拡大 のガロア群と見れば が円の 分多項式の次数に等しいことも従う。
 ならば である。また、 ならば
が成り立つ。ここで はオイラー定数である。もし であれば のかわりに とおくことができる。一般に任意の に対して
が十分大きな に対して成り立つ。簡明な下界として formula_8 がある。
 を約数関数とすると、 において、
が成り立つ。
トーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。
 が より大きい奇数の時、 はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。 となる が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の に対して、 となる の個数がちょうど 個であるような は無数に存在することが知られている。