曲率

曲率（きょくりつ、）とは、曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。
例えば、半径 "r" の円周の曲率は "1/r" であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。
曲線の曲率.
定義.
ある任意の曲線において、線上の点 "P"0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 "P"（位置ベクトル r"P" で表されるとする）までの距離を "s" とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）
このとき点 "P" の位置は、
のように、変数 "s" の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り r"P" = r とする。）
このとき、点 "P" で接する方向の単位ベクトル（これを t"P" とする）は、
となる。（位置ベクトルの変位分 "Δr が十分小さいとき、|"Δr| = "Δs" であるから、これは単位ベクトルである。）
同様に、formula_3 と表される点 "Q" を考えるとき、点 "Q" 上の単位接線ベクトル t"Q" は、
であり、二つの単位接線ベクトル t"P" 、t"Q" のなす角度を "Δθ" とすると、
である。
"Δθ"が十分小さい、すなわち "Δ"s が十分小さいとき、
と見做せる。
従って、接線傾斜 "Δθ" の変動率である χ を以下のように定義できる。
一般に χ を曲率、χ の逆数 "R" を曲率半径と言う。
また、特に曲線が高次のとき、Δ"s" → 0 の極限で二つの接線によって決まる平面を、点 "P" における接触平面と言う。
性質.
更に、t を "s" で微分すると、
が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは "d" r/"ds" が単位ベクトルのため、
となり、これを "s" について微分すると、
となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。
ベクトル t と n の外積、
で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。