垂直

垂直（すいちょく、）であること、すなわち垂直性 () はある一方の直線を適当に平行移動させた時、直角に交わる二つの直線の間の関係性を言う。つまり、その２直線が交わっても、ねじれでも垂直の場合がある。但し、中学校までは、交わる場合のみを扱うことが多い。この性質は関連するほかの幾何学的対象に対しても拡張される。
垂線 () に関連して垂線の「足」() という術語がしばしば用いられる。考える図形の向きは如何様にも変えることができるから、足と謂えどもそれが必ずしも図形の下方にあるわけではない。
垂直性はより一般の数学概念である直交性の特別の場合と考えられる。すなわち、垂直性とは古典的な幾何学的対象に関する直交性を言うものである。ゆえに、より進んだ数学において、より複雑な幾何学的直交性（例えば曲面とその法線の関係など）に対して「垂直」あるいは「垂線」のような語を用いることもある。
定義.
「二つの直線が互いに垂直」であるとは、それら二つの直線のある一方を適当に平行移動させた時、直角を成すときにいう。
このとき、前者の直線が後者に対して垂直ならば後者の直線も前者に対して垂直となるという意味において、垂直性は対称的であり、そういった理由から（どれが何に対してというような限定を抜きにして）これら二直線は（互いに）垂直であるという風にも言うことができる。
垂線の作図.
点 を通り直線 に垂直な直線の定木とコンパスを用いた作図は以下のようにする:
この が に垂直であることを見るには、 と に対して の条件が成り立つことにより、 と が等しいことを知ればよい。そうすれば と に対して二辺夾角相等 (SAS) の条件が成り立つから、 と が等しい。
点 を通る直線 に対する垂線を得るために（円周角に関する）タレスの定理を利用することができる。
直角の作図法の基礎としてピュタゴラスの定理を用いることができる。例えば、長さの比が となるような棒を節で繋いだ鎖を使って三角形を作れば、一番長い辺の対角が直角になる。