近傍系

数学の位相空間論周辺分野において、点の近傍系（きんぼうけい、）あるいは近傍フィルター（きんぼうフィルター、）とは、その点の近傍全体の成す集合族をいう。
定義.
位相空間 "X" とその任意の元 "x" に対して、"x" の（全）近傍系 formula_1 とは、"x" の近傍全体の成すフィルターをいう。
点 "x" における基本近傍系 , 近傍基 あるいは局所基 とは、近傍フィルターのフィルター基をいう。すなわち formula_1 の部分集合 formula_3 が基本近傍系であるというのは、各近傍 "V" に対して formula_3 の元 "B" で "V" に含まれるものがとれること、記号で書けば
が成立することをいう。
逆に、任意のフィルター基に関すると同様、基本近傍系 formula_3 から近傍フィルター formula_1 を得ることができる。それには
とすればよい。
また近傍系は以下のように公理的に特徴づけられる。集合 "X" とその任意の元 "x" に対して "X" の部分集合のなす空でない族 formula_1 が次の 4 つの条件を満たすとき、集合 "X" 上に formula_1 を近傍系とする位相が唯ひとつ定まる。
言葉で書くと次のようになる。
性質.
半ノルム空間、つまり半ノルムの誘導する位相を備えたベクトル空間において、任意の近傍系 formula_1 は原点 0 における近傍系 formula_19 を
と平行移動することによって得られる。これはベクトルの加法が半ノルムの誘導する位相に関して分離連続であるという仮定から従う。従って、この空間の位相は原点における近傍系のみから決定される。より一般に、位相が平行移動不変距離や擬距離から定まる場合にも同様のことが成り立つ。
空でない集合 "A" の任意の近傍系は "A" の近傍フィルターと呼ばれるフィルターを成す。