4元電流密度

4元電流密度（よんげんでんりゅうみつど、）とは、電荷密度と電流密度を相対論的な時空における4元ベクトルとして記述したものである。
4元電流密度はローレンツ変換の下でベクトルとして変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 、空間成分が電流密度 であり
と書かれる。光速度 により電荷密度の次元が電流密度の次元に換算される。
基礎方程式.
電荷の保存則を表す連続の方程式は、4元ベクトルの発散
の形で書かれる。
4元電流密度は電磁場の源（ソース）でありマクスウェルの方程式
を満たす。ここで は電磁場テンソル、 は電磁ポテンシャルである。また は磁気定数である。
また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力
を受ける。
ラグランジュ形式.
物質 と電磁場 が相互作用する系の作用積分は
と書かれる。相互作用項 は一般に
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
 \frac{\delta S_\text{int}[X,A]}{\delta A_\mu(x)}</math>
と表される。
微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。
古典粒子.
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。
位置 にある粒子が電荷 を帯びているとき、作用汎関数は
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
 \int \dot{X}_i^\mu(\lambda)\, \delta^4(X_i(\lambda)-x)\, d\lambda</math>
である。
フェルミ粒子.
量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 で記述される。質量が の自由なフェルミ粒子の運動項は
で与えられる。ここで はガンマ行列である。
フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。
従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は
の形となる。ここで は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、 はディラック場 の の下での変換性を表すチャージである。
従って相互作用項は
であり、4元電流密度は
となる。