全単射

数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。
全単射であることを1対1上への写像[上への1対1写像] (one-to-one onto mapping)あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。
写像 "f" が全単射のとき、"f" は可逆であるともいう。
定義.
写像 "f": "A" → "B" に対し、2つの条件
がともに成り立つとき、写像 "f" は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。
"f": "A" → "B" が全単射であることは、
が成り立つことと等価である。実際、全射と単射の定義を合わせれば、全射の定義における存在記号 formula_2 を唯一存在記号 formula_3 に置き換えればよいことがすぐに分かる。