LU分解

数学における行列のLU分解（エルユーぶんかい、）とは、正方行列 "A" を下三角行列 "L" と上三角行列 "U" の積に分解すること。すなわち "A" = "LU" が成立するような "L" と "U" を求めることをいう。正方行列 "A" のLU分解が存在する必要十分条件はすべての首座小行列式が 0 でないことである。また "L" の対角成分をすべて 1 とすれば分解はただ一通りに定まる。文献によってはLR分解とも呼ばれる（それは"A"を左三角(left triangular)と右三角(right triangular)の行列の積に分解するということにちなむ）。
LU分解の手法.
以下、"n" 次正方行列の場合で説明する。基本的には"A" = "LU" の各成分について書き下した "n"2 個の式を解くことにより、行列 "L" , "U" を求めるのだが、このままでは未知の係数の個数（"n" ("n" + 1) 個）が式の個数（"n"2個）より多いので解けない。これを解くための解法には ドゥーリトル法 と クラウト法 の2つがある。
例.
ドゥーリトル法による2次行列のLU分解を行う。与えられた正方行列"A" の成分を"aij" とする。
応用.
連立1次方程式.
連立1次方程式
の解き方に、行列 "A" を LU分解する方法がある。"L" , "U" は下三角行列、上三角行列であるため、逆行列を求めることなく計算することが可能である。このため、同じ"A" に対しb だけを変えていくつも連立方程式を解く場合、LU分解は有用である。
与えられた方程式
に対し、変数y を
とおき、これを上式に代入する。
から変数y を求める。求めた解y を"Ux = y の右辺に代入し、解 x を求めることができる。
"Ly = bはガウスの消去法の前進消去、"Ux = yは後退代入に対応する。
逆行列.
行列 "A" を LU 分解すると、
により逆行列"A"-1 を求められる。
また、
の解"xi" を並べた行列formula_11は "AX" = "I" を満たすので、このようにしても逆行列"A"-1 を求めることができる。
行列式.
行列 "A" を LU 分解できれば、その行列式は簡単に求めることができる。なぜならば、行列 "L" および "U" は三角行列であることから、それらの行列式 |"L" | , |"U" | は対角成分の積で表され、|"A" | は、
と計算できるからである。