極値

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。
定義.
 次元ユークリッド空間 の開集合 上で定義された実数値関数 をとる。
関数 を定義域 に属する点 のある 近傍に制限すると値 がその最小値であるとき、値 を関数 の極小値（）といい、点 を関数 の極小点（）という。この条件は論理式を用いると
と表せる。同様に関数 を定義域 に属する点 のある 近傍に制限すると値 がその最大値であるとき値 を関数 の極大値（）といい、点 を関数 の極大点（）という。
極小値と極大値を総称して極値（）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。
上の条件に現れる を へ置き換えたとき、値 を関数 の狭義の極小値（）という。同様に狭義の極大値（）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）
必要条件.
 次元ユークリッド空間 の開集合 上で定義された実数値関数 をとり、これが微分可能であるとする。
定義域 に属する点 における関数 の勾配 
が であるとき、点 を関数 の停留点（）あるいは臨界点（）といい、値 を停留値（）あるいは臨界値（）という。
点 が関数 の極値点であるためには、点 が関数 の停留点であることが必要である。
十分条件.
 次元ユークリッド空間 の開集合 上で定義された実数値関数 をとり、これが2回連続微分可能であるとする。
関数 の停留点 におけるヘッセ行列
が正の定符号（）であるならば関数 は点 において狭義の極小値をとる。またヘッセ行列 が負の定符号（）であるならば関数 は点 において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 は点 において極値をとらない（このとき点 は関数 の鞍点と呼ばれる）。
この方法により、ヘッセ行列 が特異行列で停留点 が退化している場合を除けば、極値判定ができる。