対称差

数学において、2 つの集合 と との対称差（たいしょうさ、）とは、“ に属し、 に属さないもの” と “ に属し、 に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合 と との対称差を、記号
などで表す。例えば、 と との対称差は に等しい： 。
任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を算法としてアーベル群となる。空集合 はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を加法とし共通部分 を乗法とするとき、ブール環となる。
性質.
対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる：
 を 1 つの集合とし、 を の 2 つの部分集合とする。集合 における二項演算として排他的論理和 → を定義すれば、 における指示関数に関して次が成り立つ： の任意の元 に対して
アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける：
対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる：
特に、 は の部分集合である： 。また、 と とが互いに素であるときかつそのときに限り である。さらには、 と とは互いに素であって、集合 は の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式
によって和集合を定義することもできる。
代数学的な性質.
対称差について、次の 4 つが成り立つ：
 を 1 つの集合とし、 を の冪集合とする。 の元 に の元 を対応させれば、 における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して はアーベル群となる。空集合 はその群の単位元である。 の任意の元 に対して は の逆元であるから、 はブール群でもある。 がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 はクラインの四元群 と同型である。
共通部分は対称差に対して分配法則を満たす：
よって、 を 1 つの集合とするとき、 の元 に の元 を対応させて得られる二項算法を加法とし、 の元 に の元 を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、 は環となる。また、 はブール環でもある。
多項対称差.
対称差は結合法則と交換法則を満たすので、個の集合…の対称差△…△=(…(△△…△は順番に依らない。このことから対称差はより一般に（各元における重複度が有限であるような）集合族　formula_1　に対し以下のように拡張できる。
上記のような集合族について formula_3 及び各 formula_4 がともに有限集合であるとき、対称差の濃度について以下のような公式が成り立つ（和集合の場合にも同様の公式が成り立つ）。
測度空間上の対称差.
2つの集合の対称差の「大きさ」は2つの集合がどれだけ異なるかを表していると思える。
今 を集合 上の測度とし を測度有限な可測集合全体とする。
このとき上の関数のを
と定めると、これは 上の擬距離になる。
この擬距離に関して2つの集合間の距離が0になることは、2つの集合の定義関数が に関して殆どいたるところ一致することの必要十分条件である。
 が の元であるとき formula_7 が成立する。