相対位相

部分位相空間（ぶぶんいそうくうかん、）とは、数学の位相空間論周辺分野における概念の1つで、位相空間の部分集合でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう。そのような位相は、部分空間位相 , 相対位相 あるいはトレース位相 などと呼ばれる。
定義.
与えられた位相空間 ("X", τ) と "X" の部分集合 "S" に対し、"S" 上の相対位相は
で定義される。つまり、"S" の部分集合が相対位相に関して "S" の開集合であるための必要十分条件は、それが "X" の開集合（τ に属する元）との交わりに書けることである。"S" が相対位相 τ"S" を備えているならば、"S" はそれ自身位相空間 ("S", τ"S") を成し、("X", τ) の部分空間と呼ばれる。特に断らない限り、位相空間の部分集合には、相対位相が入っているものと仮定するのが普通である。
あるいは、位相空間 "X" の部分集合 "S" の相対位相を、包含写像
を連続にする最も粗い位相として定義することもできる。
より一般に、集合 "S" から位相空間 "X" への単射 "i" が存在するとき、"S" 上の誘導位相は "i" を連続にする最も粗い位相として定義される。この位相に関する開集合系は、ちょうど "X" の開集合 "U" に対する引き戻し "i"−1("U") の形になっている部分集合の全体によって与えられる。このとき、"S" は "X" における自身の像（像には "X" からの相対位相を入れる）と同相であり、"i" は位相埋め込みと呼ばれる。
例.
以下、R は実数全体の集合に通常の位相をいれたものとする。
部分空間の性質.
相対位相に関して、以下のような普遍性による特徴づけができる。"Y" が "X" の部分空間で "i": "Y" → "X" を包含写像とするとき、任意の位相空間 "Z" に対して写像 "f": "Z" → "Y" が連続となることと、合成写像 "i" ∘ "f" が連続となることは同値である。
この性質は、"Y" 上の部分位相の定義として用いることができるという意味で、相対位相を特徴付ける性質である。
以下、相対位相に関する性質を挙げる。以下では "S" は位相空間 "X" の部分空間とする。
部分空間へ遺伝する位相的性質.
位相空間がある位相的性質を持つとき、その任意の部分空間がやはり同じ性質を持つならば、その位相的性質は遺伝的 であるという。それより弱く、その任意の閉部分空間だけがその性質を保つならば、そのような性質を弱遺伝的 という。