信頼区間

信頼区間（しんらいくかん、）とは、統計学で母集団の真の値（母平均等）が含まれることが、かなり確信 (confident) できる数値範囲のことである。
例えば95%CIとは、信頼区間を計算するために用いた数学的モデルが有意水準α = 0.05の検定で棄却されないパラメーターの範囲を指す。真の値は未測定であっても確率変数ではなく、特定の区間に含まれるか含まれないかは確定している。
数学的には、母数空間 "Θ" 上の関数 "g" : "Θ" → R が母数 "θ" ∈ "Θ" でとる値 "g"("θ") を統計的に推定するために用いられる区間をいう。実数 0 < "α" < 1 と（観測できない）母数 "θ" により定まる確率分布 "P" = "P" をもつ母集団からの標本 "X", …, "X" に関する統計量 "a", "b" が不等式
を満たすとき、閉区間 ["a", "b"] を "g"("θ") の 100(1 − "α")% 信頼区間という。値 1 − "α"（または 100(1 − "α")%）は、信頼水準（）または信頼係数（）と呼ばれ、慣習的には95%や99%（つまり "α" = 0.05, 0.01）などの数値を用いる。これを
と表記することもある。
例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、"g"("θ") に当たるのはA候補の支持率である。
2019年には科学者800人超が『"Nature"』に署名を掲載し、誤って使われていることも多い「統計的有意性」を使うのをやめて信頼区間を互換区間（compatible interval、調和区間、適合区間、非矛盾区間）という言葉に言い換えて使用すべきだとされた。
解釈.
上の言い方は「候補Aの支持率が35%から45%である確率は95%である」
というふうにとられやすいが、これは（少なくとも従来の統計学の主流的考え方としては）誤解である。
別の例として、観測値から海王星の質量を推定する場合を以下に記す。
1.「信頼水準90%で、海王星の質量は "a" から "b" の間である」
とは言えるが、観測から得られた値 "a" と "b" に基づいて
2.「海王星の質量が "a" から "b" の間に入る確率は90%である」
と言うことはできない。質量はあくまで定数であって、誤差が生じるのは観測による、つまり "a" と "b" が誤差を含む統計量だからである。従来の統計学（確率を頻度として定義する頻度主義）の考え方では海王星の例（1）を言い直せば、
1'.「同じ測定を10回行えば、9回程度の頻度（割合）で『海王星の質量は "a" から "b" の間である』という測定結果が得られる」
ということになる。
ただし、確率を信頼の度合いとして定義するベイズ推計学の考え方では、2のような言い方は必ずしも誤りではない。この場合、普通用いられる考え方はベイズ確信区間（Bayesian credible interval）である。これはまず θ の値として予想される事前確率分布から出発して、次に観測データが与えられた条件での θ の条件付確率分布を求め、これを事後確率分布として“信頼”区間の表現に用いる方法である。
具体例.
 を、平均 、分散 の正規分布に従う母集団から抽出した独立な標本とする。そこで標本平均と不偏分散をそれぞれ
とおけば
は自由度 "n" − 1 のt分布に従う。
ここで "T" が従う分布は（観測できない）母数 "θ" = ("μ", "σ"2) にはよらないことに注意。
"t""n"−1("α") をこの分布の上側100"α"%点とすれば
となる。したがって
が成り立ち、平均 "g"("θ") = "μ" の 100(1 − "α")% 信頼区間
が得られる。