対合

対合（たいごう、ついごう、）は、自分自身をその逆として持つ写像である。
これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質
を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元
を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。
対合つき代数系.
群 "G" が与えられ、その上の写像 "I": "G" → "G" が対合であって、次の関係
を満たすとき、対合 "I" は "G" の群構造と両立するといい、組 ("G", "I") を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算
は "g", "h" を "G" の元とすれば
を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。
また、環 "R" とその上に対合 "*": "R" → "R" で
を満たすものの組 ("R", "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算（と単項演算、0項演算）のみからなる代数系 "A" にその上の対合 σ が存在するとき、σ が A からその逆代数系 "A"opp への準同型となる（つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる）とき、代数系 "A" の構造と対合 σ は両立するといい、組 ("A", σ) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、"n" 次全行列環 "M""n"("K") ("K" は可換環あるいは体)に、行列を転置させる写像 "t" を考えたとき、"x", "y" を行列、λ をスカラーとすると
が満たされるので、("M""n"("K"), "t") は対合つき多元環である。
体 "L" が対合となる自己同型 σ を持つとき、σ の固定体を "F" とすると、拡大 "L"/"F" は二次拡大である。 
対合で生成される群.
鏡映群、コクセター群は、（位数 2 の元という意味での）対合からなる生成系を持つ群である。