確率の公理

コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとり重要である。ベイズ確率を形式化する代替的アプローチは、によって与えられる。
コルモゴロフによる公理系.
まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。
formula_1 は、根元事象と呼ばれる要素の集合、formula_2 は formula_1 の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。formula_4 は formula_2 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系formula_6 を確率空間と呼ぶ。
さらに formula_1 が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する。
公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる。
一般化加法定理を満たす formula_4 は、formula_2 が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である。
公理.
以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。
formula_1 は任意の集合、formula_2 は formula_1 上の完全加法族（σ-集合体）（あるいは有限加法族）、formula_4 は formula_2 上の集合関数とする。formula_4 が次の3条件を満たすとき、formula_4 は formula_33 上の確率測度となり、formula_1 は標本空間、formula_2 は事象空間と呼ばれる。
第一の公理.
事象の確率は非負の実数を取る。
ここで formula_2 は事象空間である。従って確率測度 formula_4 は、測度の中でも特に、有限値しか取らない。負の確率を取る理論では、第一の公理は緩和される。
第二の公理.
これは、の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの根元事象が起こる確率は1となる。
第三の公理.
これは、σ-加法性の仮定である。互いに素な集合 (Disjoint sets) の任意の可算個の列（と同義）formula_40 は、下記を満たす。
単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、formula_2 は完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される。一般に、は第三の公理を緩和する。
結果.
コルモゴロフの公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。
単調性.
AがBの部分集合の場合、Aの確率はBの確率以下となる。
"単調性の証明".
単調性を作るため、formula_44 とする。ただし、formula_45とし、formula_46 に対して formula_47 とする。集合列 formula_48 は互いに素であり、formula_49 となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。
第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 formula_51 に収束するため、formula_52 および formula_53 が得られる。
空集合の確率.
事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が formula_55 とは限らない。
"空集合の確率の証明".
1つ前の証明で、formula_53 は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。
は収束するから、formula_58 とおくと、
も収束する。formula_60 と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、formula_61 となる。
余事象の法則.
formula_62
"余事象の法則の証明".
formula_63 は排反であり、formula_64 である。よって、
そして formula_66"（公理2に従う）"
確率の値域.
単調性から即座に次が従う。
"有界性の証明".
formula_70 に単調性の性質を使うと、formula_53 より、
その他の性質.
もう一つの重要な性質は下記である。
これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり"、AまたはBが"起こる確率は"、Aが"起こる確率と"Bが"起こる確率の和から"AとB"の両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。
まず、
であるから、
また、
formula_78 を消去すれば、求める結果が得られる。
加法定理の任意の数の集合への拡張は、包除原理である。
また、加法定理においてBを"A"の余事象"A"とすると
つまり、事象が発生し"ない"確率（つまり余事象）は、1から発生する確率を引いたものである。
簡単な例：コイントス.
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
この場合、下記のように定義できよう。
コルモゴロフの公理から次が分かる。
表でも裏でもない確率は0となる。
表か裏か"いずれか"の確率は、1となる。
また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。