コーシーの積分公式

コーシーの積分公式（コーシーのせきぶんこうしき）は、コーシーの第2定理、コーシーの積分表示 () ともいわれ、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって示された、ガウス平面上のある領域において正則な関数の周回積分についての定理である。
公式.
"D" を単連結領域、"C" を "D" 内にある長さを持つ単純閉曲線、"f"("z") を "D" 上の正則関数とする。"C" によって囲まれる領域の任意の 1 点 "a" において、以下の式が成立する。
また、この式を用いて "f"("z") の "n" 階複素導関数を与えることができる。"a" を "z" に置き換えて、積分変数を "ζ" で置き換えると
この式の両辺について、差分商formula_3の極限をとることを繰り返すことで以下の式が示され、また正則な関数が複素変数の意味で無限回微分可能であることも示される。
具体例.
具体的な例として関数は
と経路"C"は|"z"| = 2(つまり半径2の円)とする。
関数"g"("z")について経路Cの積分を求めるため、"g"("z")の特異点を知る必要がある。
次のように"g"("z")を書き換えることができることに注意して
ここで formula_7 formula_8である。
よって, "g"("z")はformula_9とformula_10に極を持つ。
この極の絶対値は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。
この積分はコーシーの積分定理により2つの積分に分割できる。
経路Cの積分は"z"1 と "z"2の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。
それぞれ"z"1周囲の経路"C"1と"z"2周囲の経路"C"2と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。
"C"1周囲の積分は、"f"1("z") = ("z" − "z"1)"g"("z")により与えられる。
これは正則関数である（経路内に他の特異点が含まれていないため）。
単純化するため "f"1 を
とすると、
コーシーの積分定理より
積分を次のように評価できる。
もう一方の経路に対しても同様に行う。
元の経路"C"の積分は、これらの2つの積分の合計である。
他の解法では部分分数分解を使った初歩的な技法により積分が求められる。