米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、）とは、小さなhom集合をもつ圏 について、共変あるいは反変hom関手 , から集合値関手 への自然変換と、値となる集合 の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、エミリー・リールによれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは である。
米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。
概要.
主張の内容.
 を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち の各対象 , に対して は集合であるとする。対象 を固定するとき、共変hom関手 は対象 に対して、集合 を割り当て、射 に対して写像 を割り当てる関手であった。さらに、 を集合値関手とし、 から へのすべての自然変換のクラス について考える。
このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射formula_1が存在し、この同型は と について自然である、という主張が米田の補題である。また、 が反変関手 である場合も、反変hom関手 との間にformula_2という全単射が存在して、これは と について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。
米田写像の対応.
関手 は共変 () とする。このとき、共変hom関手 から への自然変換 は、任意の の射 に対して formula_3 が定義から成り立つ。いま、 の場合に、 での恒等射 がどのように写るかを追うことで、等式formula_4を得る。ここから、自然変換 の情報は formula_5 から全て得られることがわかる。
証明.
米田写像 を、自然変換 に対して formula_6 で定める。 が全単射であることを示す。
単射性： に対して、自然変換 が存在して であったとする。このとき、任意の射 に対して は formula_7 を満たす。これにより の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような は一意に定まるため、 は単射である。
全射性： を任意に固定する。 の対象 それぞれに対して、写像 を formula_8 で定める。このとき、 と に対して formula_9 が成り立つことから、 はある自然変換 のコンポーネントである。定義から であるため が成り立つ。すなわち は全射である。
補題の帰結.
普遍性.
集合値関手 が、ある と自然同型であるとき、 を表現可能関手 (representable functor) といい、 は の表現対象 (representing object) あるいは単に の表現という。 が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。
逆に、上記定理の条件を満たす と の組を の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 と に対して、 の への普遍性 (universality) とは、 と の射 の組であって、任意の と の射 に対して、 の射 がただ1つ存在して、 が成り立つことを言う。
普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する。
米田埋め込み.
米田写像の自然性から、対象 に関手 、あるいは を割り当てる操作は、関手
formula_10を構成する。米田の補題から formula_11 であるため、 () は忠実充満であることが言える。このことから、 () を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは や などの記号によって表されることもある。
関手 に対して、 の「要素の圏」(category of elements) とは、、 の組とその関係を保つ の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み を用いたコンマ圏 ) のことである。 から の情報を取り出す関手を と表すとき、 は の余極限 (と同型) である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。
前層の部分対象分類子.
有限の極限を持つ圏 上のとは からの反変関手 のことであり、このとき前層の圏を で表す。圏 のとは、(存在するならば) の対象 とモノ射 (は終対象) であって、任意のモノ射 に対して、 かつその可換図式が引き戻しとなるような formula_12 がただ1つ存在するようなものを言う。
前層の圏 への米田埋め込みを で表すとする。いま、 に部分対象分類子 が存在するならば、特に () についてformula_13が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が について自然であることから、 は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 の部分対象を調べればよいことがわかる。
豊穣圏での補題.
豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は -豊穣圏、2-圏は -豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、 の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。
ただし豊穣圏の理論において「関手圏」 のhom対象 にあたるものは、関手 のである。formula_14