行列の階数

線型代数学における行列の階数（かいすう、; ランク）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。
例えば、行列 の階数 （あるいは または丸括弧を落として ）は、 の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元に等しく、また の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。
定義.
任意の行列 について、以下はいずれも同値である。
文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 の階数は定義される。
注意.
いま の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に の階数と呼ぶことができる。これについて、 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、 は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 に出ている。
性質.
 を 行列とする。また、 を表現行列 の線型写像とする。
階数の計算.
例えば、行列
は、基本変形を行うことによって
と書けるから、 の階数は である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。
線型写像の階数.
 をベクトル空間とし、線型写像 が与えられたとき、 の像 の次元を線型写像 の階数と呼び、 や などで表す。 や は一般に無限次元であっても、像の次元 が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
 や が有限次元ならば、行列表現によって は表現行列 の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 のとり方に依らない。
ベクトル空間 に対して が 次元とすれば、線型写像 の階数は 以下である。実際に、 となるとき、線型写像 は非退化（ひたいか、）であるという。そうでないときには、像 は で へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 の核
の次元 を の退化次数と呼ぶ。 の退化次数を や などで表すことがある。次の公式
が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。