公約数

公約数（こうやくすう、common divisor, common factor）とは、2 つ以上の自然数について、そのいずれの約数にもなることができる整数のことである。
定義.
2つ以上の整数に共通な約数。公約数は、最大公約数の約数となる。例えば、formula_1とformula_2の公約数はformula_1とformula_2の最大公約数formula_5を求め、最大公約数formula_5の約数formula_7となる。
例.
一般には約数は自然数の範囲内で考えることが多いので、例えば、formula_8とformula_9とformula_10（この最小公倍数は432）の公約数はformula_11である。約数を整数の範囲内で考えるとき、約数には符号の違いを許すので、その個数はformula_12倍となる。どういう範囲で考えているのかを常にはっきりさせておくべきである。
諸概念.
公約数の内最大のものを最大公約数という。公約数は、全て最大公約数の約数であるので、最大公約数を求めれば全ての公約数を求めることができる。前述の例で言えば、formula_8とformula_9とformula_10との最大公約数はformula_1であるので、formula_1の約数をすべて求めればそれが3つの数の全ての公約数になる。formula_18は全ての自然数の公約数である。
また、2つ以上の多項式について、それぞれを因数分解したときに共通に現れる因数（因子、factor）も公約数（あるいは公約元、共通因子、common factor など）と呼ぶ。例えば、formula_19とformula_20について、formula_21は公約数である。
最大公約数がformula_18であるような2つの整数の組は、互いに素であるという。
一般化.
単項イデアル整域formula_23（例えば整数の全体formula_24や実数係数多項式の全体formula_25はそうである）において、その2つの元formula_26に対し、集合
に含まれるイデアルの生成元をformula_28とformula_29の公約元という。特に
を満たすformula_31をformula_28とformula_29の最大公約元という。更に、このformula_34がformula_23の単元であるとき、formula_28とformula_29は互いに素であるという。つまり、
互いに素という概念は、更に一般の環でイデアルの間の関係として一般化される。環formula_42の2つのイデアルformula_43が
を満たすとき、formula_45とformula_46は互いに素であるという。