約数

数学において整数 の約数（やくすう、）とは、 を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、 を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、）が使われることが多い。
整数 が整数 の約数であることを、記号 | を用いて と表す。
約数の定義を式で表すと、「整数 が の約数であるとは、ある整数 をとると が成立することである」であるが、条件「」を外すこともある（その場合、 のとき も約数になる）。
自然数（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。
定義.
整数 が の約数であるとは、「ある整数 をとると が成立することである」であるが、条件「」を外すこともある。このときは、 のときに限り も約数になる。約数が無数にある整数は だけである。
負の符号は本質的な問題ではないため、ここでは以下現れる数はすべて自然数とする。
どのような自然数 に対しても、 と自分自身 は の約数である。 以上の自然数はさらに、約数の個数が であるかそれより大かで分けられる。 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。
例えば、
は素数であるが、 の約数は、
より、 の6個である。
合成数の列は
例えば は約数の個数が12個もあり、もれなく挙げるのはたいへんである。そこで、「 が の約数ならば、 も の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。
一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。
一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。
素因数分解の可能性と一意性（特に一意性）は自明な定理ではない（これを算術の基本定理という）。しかし、これにより約数を式で表すことができる：
約数の個数.
自然数 の正の約数の個数を で表す。
上記の表で先頭の数はを参照。
約数の和.
自然数 の正の約数の和を、約数関数 で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。
 の素因数分解を とすると、
約数の和から元の自然数の求め方.
正の約数の和が となる自然数 を求めるには、初項 の素因数のべき和の積を既知とするところから求める必要がある。
例：正の約数の和が になる自然数 の求め方：
一般化.
約数の概念は、除法の原理が定義される、整域で一般化される。ユークリッド整域などの一意分解整域、例えば可換体上の一変数多項式環 などである。
すなわち、任意の元 に対し、 を余りなく割り切る元を の約元（divisor）あるいは因子（factor）という。 が真の約元を持たないとき を既約元という（素因子あるいは既約因子ともいう）。
ユークリッド整域では単元（unit, 可逆元 invertible element）倍の違いを除いて素因数分解の一意性が成り立つ。素因数分解の一意性を要求しないならば、さらに一般の可換環 に対しても、単項イデアルの包含関係により約数の概念を拡張することができる。すなわち、 に対し、単項イデアル が を満たすとき、 は の約元（あるいは約数、因子）であるといい、 と表す。このとき、 は の倍元（または倍数）であるともいう。