線型部分空間

数学、とくに線型代数学において、線型部分空間（せんけいぶぶんくうかん、linear subspace）または部分ベクトル空間（ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace）とは、ベクトル空間の部分集合で、それ自身が元の空間の演算により線型空間になっているもののことである。
ベクトル空間のある部分集合が、それ自身ある演算に関してベクトル空間の構造を持っていたとしても、その演算がもとの空間の演算でないならば部分線型空間とは呼ばない、ということに注意されたい。また、文脈により紛れの恐れのない場合には、線型部分空間のことを単に部分空間と呼ぶことがある。
定義.
体 "K" 上のベクトル空間 "L" の空でない
部分集合 "S" ⊆ "L" に対して、和やスカラー積は元の線型空間 "L" で定義された演算として、
(for all "a", "b" ∈ "S" and for all α ∈ "K") が満たされるとき、"S" を "L" の線型部分空間と呼ぶ。
性質.
ベクトル空間 "V" の線型部分空間 "U", "W" に対し、その和
と交わり
も "V" の線型部分空間である。
また、"V' " も "K" 上の線型空間であって "f" が "V" から "V' " への線型写像であるとき、"V" の任意の線型部分空間 "W" に対して
は "V" の線型部分空間であり、"V' " の任意の線型部分空間 "W' " に対して 
は "V' " の線型部分空間である。特に、"f" の像 Im "f" = "f"("V")、核 Ker "f" = "f" -1({0'}) は、それぞれ "V' ", "V" の線型部分空間である。ただし 0' は "V' " の零元を表す。