公倍数

公倍数（こうばいすう）とは、２つ以上の整数に共通な倍数。例えば、formula_1とformula_2の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数にformula_3を含めないので、公倍数にもformula_3を含めない。
公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、formula_1とformula_2の最小公倍数はformula_7である。
与えられた2つ（以上）の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、formula_8とformula_7の最小公倍数はformula_10であるが、formula_11である。
一般化.
二つの整数formula_12の公倍数とは、formula_13の倍数全体の集合formula_14は整数全体を動くformula_15、formula_16の倍数全体の集合formula_17は整数全体を動くformula_15の集合の共通部分formula_19に属する整数のことである。
formula_19はある整数formula_21を用いてformula_22は整数全体を動くformula_15の形に表すことができる。このようなformula_21は正と負の2つが存在し、正の方をformula_13とformula_16の最小公倍数という。これらの概念はformula_12が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。
この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。