ベッセル関数

ベッセル関数（ベッセルかんすう、）とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式におけるformula_1の特殊解の1つである。
上の式において、formula_3は、任意の実数である（次数と呼ばれる）。formula_3が整数formula_5に等しい場合がとくに重要である。
formula_3及びformula_7はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、formula_3の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など）。
そもそもベッセル関数は、惑星の軌道運動に関するケプラー方程式をベッセルが解析的に解いた際に導入された。
応用.
ベッセル解はラプラス方程式またはヘルムホルツ方程式の円柱座標系および極座標系における分離解として見出される。従ってベッセル関数は、電波伝播や静電位差などの解を求める際に重要である（円柱座標系においては整数次数 formula_9、極座標系においては半整数次数 formula_10 のベッセル関数がそれぞれ解として得られる）。例えば、
など。
ベッセル関数はまた、信号処理のような問題で有用な特性を持つ（例えば、FM合成、カイザー窓やベッセルフィルタなど）。
定義.
ベッセルの微分方程式は2階の線形微分方程式であるので、線形独立な2つの解が存在するはずである。しかしながら、解を議論する状況に応じて解の様々な表現が便利に使われている。代表的ないくつかの解の表現について以下で説明する。
第1種及び第2種ベッセル関数.
これらの関数がベッセル関数群としては最も一般的な形式である。
非整数の formula_3 に対しては、formula_11 と formula_21 とがベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える。他方でformula_3 が整数の場合には、formula_23 という関係が成り立つため、2つの解は線形従属となる。整数次数に対して formula_24 と線形独立な第2の解は、第2種ベッセル関数によって与えられる。
非整数の formula_3 に対しては、formula_11 と formula_21 とが線形独立な2つの解を既に与えているので、formula_25 は解の表現としては冗長である。整数 formula_5 に対しては、formula_36 は formula_24 と線形独立な第2の解を与えている。
整数 formula_5 に対して、formula_36 と formula_40 の間に formula_41 という関係が成り立ち、従って両者は線形従属である。
formula_11 及び formula_25 はどちらも、負の実軸を除く複素平面上で formula_44 の解析的な関数（正則な関数）である。formula_3 が正の整数のとき、これらの関数は負の実軸上に分岐点を持たず、したがって formula_44 の整関数となる。また、固定した formula_44 に対して、ベッセル関数は formula_3 の整関数となる。
ハンケル関数.
ここで、formula_52は虚数単位である。formula_11とformula_25との線形結合によって与えられるこれらの解の表現は、第三種ベッセル関数として知られている(ハンケル関数は円筒波の方程式における、内側もしくは外側への円筒波の伝播の解を表現する)。
変形ベッセル関数.
ベッセル関数はformula_55の複素数値に対しても適切に定義されており、応用上は formula_55が純虚数の場合が特に重要である。この場合、ベッセルの微分方程式への解は第1種及び第2種の変形ベッセル関数と呼ばれ、以下のように定義される。
これらの関数は、formula_55が実数のときに関数値が実数となるように定義されている。またこれらの関数は、変形されたベッセルの微分方程式
に対する2つの線形独立な解を与えている。
変形ベッセル関数には以下の性質がある。
ここで、n は正の整数またはゼロ。
球ベッセル関数・球ノイマン関数.
第1種及び第2種のベッセル関数から、球ベッセル関数(spherical Bessel functions)と球ノイマン関数(spherical Neumann functions)がそれぞれ以下のように定義される。
これらの関数は、球ベッセル微分方程式
に対する2つの線形独立な解を与えている。
量子力学における3次元自由粒子のシュレーディンガー方程式の動径方向の解のうち、正則なものは球ベッセル関数で表され、正則でないものは球ノイマン関数で表される。
また3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル内部の動径方向の解のうち、原点で発散しないものは球ベッセル関数で表され、原点で発散するものは球ノイマン関数で表される。
球ハンケル関数.
ここで、formula_52 は虚数単位である。
また、非負の整数 "n" について:
formula_70 は、実数xに関してformula_71の複素共役となる。
量子力学では、3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル外部の動径方向の解は、球ハンケル関数で表される。第一種球ハンケル関数は外向き、第二種球ハンケル関数は内向きを表す。
変形球ベッセル関数.
第1種及び第2種の変形ベッセル関数から、変形球ベッセル関数(英:modified spherical Bessel functions)が以下のように定義される。
これらの関数は、変形球ベッセル微分方程式
に対する2つの線形独立な解を与えている。
変形球ベッセル関数には以下の性質がある。
ここで、n は正の整数またはゼロ。
積分表示.
Bessel の積分表示
Hansen の積分表示
Poisson の積分表示
Schläfli の積分表示
Schafheitlin の積分表示 ただし複号は上が formula_76, 下が formula_77
Heine の積分表示 ただし複号は上が formula_76, 下が formula_77
Whittaker の積分表示 ここに formula_80 はルジャンドル多項式
漸近展開.
formula_81 のときベッセル関数は以下の漸近形を持つ。