標数

標数（ひょうすう、）は、環あるいは体の特徴を表す非負整数のひとつ。整域の標数は 0 または素数に限られる。
定義.
"R" を単位元を持つ環（単位的環）、1"R" をその乗法単位元とする。また、正整数 "n" に対し
と定めるとき、 "n" 1"R" = 0"R" （0"R" は "R" の零元）なる整数 "n" > 0 が存在するならば、その最小値を環 "R" の標数という。他方、このような "n" が存在しないとき、環 "R" の標数は 0 と定める。標数が 0 でないことを表すのに正標数という用語を用いることもある。環 "R" の標数をしばしば ch("R"), char("R") のように記す。
素整域・素体.
"R" を任意の単位的環とする。単位的環 "R" の（単位的環としての）部分環は必ず単位元 1"R" を含む。したがって、1"R" の生成する環は全ての部分環に含まれ、"R" の最小の部分環となる。ここで、写像
を 0 および負の整数 "m" = −"n" ("n" > 0) に対しては
と定めることによって定義する。このとき、φ"R" は環の準同型を定め、像 φ"R"(Z) = { "n" 1"R" | "n" ∈ Z } は単位元 1"R" の生成する単位的環に一致する。一方、準同型 φ"R" の核 Ker(φ"R") = { "n" ∈ Z | "n" 1"R" = 0 } は Z のイデアルを成すが、Z はユークリッド整域ゆえ、Ker(φ"R") は単項イデアル "m"Z（ただし "m" ≧ 0）で、"m" は "R" の標数 char("R") に一致する。以上より、環の準同型定理により "R" において 1"R" の生成する単位的環は "m" = char("R") を法とする剰余環 Z / "m" Z に同型である。
さらに単位的環 "R" が整域であるとき、φ"R"(Z) は整域を成す。これを整域 "R" の素整域と呼ぶ。像が整域であることから、この準同型 φ"R" の核は Z の素イデアルで、したがって {0} または素数 "p" の生成する単項イデアル ("p") = "p" Z の形に書ける。ゆえに、いずれの整域についてもその標数は 0 か素数に限られる。
素体（そたい、）は自分自身以外に部分体を持たない体のことである。体は整域であるから、上で見たことから "F" が正標数 "p" の体ならば "F" は必ず Z / "p" Z に同型なる素整域を含む。一方、Z / "p" Z は体であるので、正標数の体の素整域はそれ自身が素体となる。"F" の標数が 0 の場合には、有理整数環 Z が "F" に含まれるが、"F" が体であることから有理数体 Q（に同型な体）が "F" に含まれる。よって Q は標数 0 の素体である。ゆえに、素体は Q および Z / "p" Z （"p" は素数）によって（同型の違いを除いて）すべて尽くされているということができる。また、ここから標数 0 の体は必ず Q を含むので無限体であり、有限体は必ず正標数を持つことも確認できる。
体 に対し、 を characteristic exponent という。
性質.
ある環 "R" とその任意の部分環 "S" に対して、"S" の標数は "R" の標数に等しい。
一方、剰余環の標数は元の環の標数に等しいとは限らない。例えば、"p"-進整数環 Z"p" は Z を部分環として含み、標数 0 であるが、その唯一の極大イデアル "p" Z"p" による剰余環は Z / "p" Z に同型で標数は "p" である。環 "R" とそのイデアル "I" （とくに、DVRとその極大イデアル）に対し、 "R" と "R/I" の標数が等しい状況を等標数、異なる状況を混標数とよぶことがある。