正二十面体

正二十面体（せいにじゅうめんたい、）は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。
正多面体のひとつである正十二面体の頂点周りを面の中心まで切頂することによって得られる（双対関係）。
また、正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる。
計量.
一辺の長さをaとすると、
頂点、辺、面の座標.
以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで formula_1 は黄金比 formula_2 、
formula_3 である。
対称性.
正二十面体のは5文字の交代群 formula_18 に同型である。位数は60。この非可換単純群は5文字の対称群 formula_19 の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は冪根による解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインはの理論を利用して一般の五次方程式の解析的解法を導く本を書いた 。詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性についてはを見よ。
（鏡映を含めた）正二十面体の完全 (full) な対称群はとして知られる。位数は120。そしてこれは回転対称群と、正二十面体の中心を通る鏡映によって生成されるサイズ2の群 formula_20 との直積 formula_21 に同型である。
また、双対図形である正十二面体の回転の群ならびに対称変換の群は、どちらも正二十面体のそれと全く等しい。
この図形を枠に持つ立体.
正二十面体を枠に持つのは次の立体である。
近縁となるジョンソンの立体.
正二十面体と近縁となるジョンソンの立体は次の通りである。