関手

圏論における関手（かんしゅ、）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。
歴史.
関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。
20世紀初めのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。
20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。
ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。
その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中で様々な数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。
定義.
共変関手.
圏 から圏 への関手、特に共変関手（きょうへんかんしゅ、） は、
すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。
反変関手.
関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる（合成を逆向きにする）ような対応が多数存在する。そこで、 から への 反変関手（はんへんかんしゅ、） が、各対象 を 対象 に対応させ、各射 を射 に対応させるとき、以下の性質
を満たすものとして定義される。
注意.
 の双対圏 を考えるならば、反変関手 をかわりに（共変）関手 （場合によっては ）と見ることによって、共変関手の概念だけで処理することができる。
反変関手はまれに「余関手」（よかんしゅ、）と呼ばれることもあるが、圏論の文脈で「（圏論的）双対」（つまり「全ての矢印を逆向きにする」）を意味する接頭辞「余」の使い方とは乖離がある。（共変）関手 は射 を射 に対応させるものだが、ここで双対を得るために全ての矢印を逆向きにするなら射 に射 が対応することになる。これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している。つまり関手とは自己双対的な概念であり、字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している。
性質.
関手の公理からの重要な帰結として
の二つがあげられる。
いかなる圏 においても、（こうとうかんしゅ、） が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。函手 および に対し、それらの合成 を考えることができる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が圏の圏における射となることが示される。
唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするようなモノイドと同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。
自然変換.
圏として定式化された数学理論の上に関手によってさまざまな自然な構成が与えられるが、自然変換によって2つの構成を比較する「自然な準同型」が記述される。時に2つの見かけ上異なった構成が同等の概念を定めていることがあるが、この状況は2つの関手の間の自然同型になっている自然変換によってとらえられる。
 が圏 と の間の（共変）関手であるとき、 から への自然変換 は に含まれる全ての対象 に対し の射 を与える。このとき、 の任意の射 に対し、 が成り立つ。 これは即ち、以下の図式が可換になることを意味している。
函手 から への自然変換 が存在して が に含まれる全ての対象 に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型であるといい、 などと書く。圏 の間の関手 について自然同型 がともに成り立つならば と は同等なもの（圏同値）と見なされる（さらにこれら二つの自然同型 (≈) が厳密に等号 (=) で成り立つを考えることもできるが、実用上これは条件として強すぎる）。
 から への関手を対象とし、関手の間の自然変換を射とすることで関手圏 が考えられる。こうして得られる圏に図式の圏や前層の圏、層の圏がある。また、群 が作用する集合の圏は を圏と見なしたときの と同値になる。
関手に対する様々な条件.
以下 を関手とする。
表現可能関手.
圏 の対象 について や の形にかけるような から Sets （または の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。
特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。テンソル積や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。