範疇 (数学)

数学において、範疇（はんちゅう）とは位相空間の部分集合を 2 通りに分類する方法のことである。カテゴリーと呼ぶことも多いが、同様にカテゴリーと呼ばれる圏とは全く異なるものである。
定義.
"X" を位相空間とし、"A" をその部分集合とする。
"A" の閉包の内部が空であるとき、"A" は疎であるという。"A" が可算個の疎な集合の和集合で表せるとき "A" は第 1 類であるといい、そうでないとき "A" は第 2 類であるという。第 1 類の集合をやせた集合ともいう。
第 1 類の集合の部分集合は第 1 類であり、可算個の第 1 類の集合の和集合は第 1 類である。
ベールの範疇定理.
完備距離空間の空でない開部分集合は第 2 類である。これをベールの範疇定理と呼ぶ。この定理は特に関数解析などで有用である。
この定理は、次のように言い換えることもできる：
ベール空間.
ベール空間とは、空でない任意の開部分集合が第 2 類であるような位相空間のことである。
ベールの範疇定理は、完備距離空間がベール空間であることを意味している。局所コンパクトなハウスドルフ空間もベール空間である。