集合の被覆

数学において被覆（ひふく、cover）とは、ある集合がその集合の部分集合の族で覆われるとき、その部分集合の族のことをいう。
定義.
集合 "S" に対し、"I" を添字集合とする "S" の部分集合族 {"U""i"}"i"∈"I" が
を満たすとき、集合族 {"U""i"}"i"∈"I" を集合 "S" の被覆と呼ぶ。
"S" を部分集合にもつ集合 "X" が与えられているとき、被覆の概念を次のように少し拡張したものもよく用いられる。
集合 "X" と "X" の部分集合 "S" に対し、
を満たす "X" の部分集合族 {"U""i"}"i"∈"I" を "X" の部分集合 "S" の（"X" における）被覆と呼ぶ。
もし "X" が "S" に一致すれば、これは最初の意味での被覆である。
被覆の例.
以下 formula_3 は正の整数全体の集合、formula_4 は実数全体の集合とする。
よって、集合族 formula_6 は開区間 (0, 1) の被覆である。
よって、集合族 formula_8 は半開区間 [0, 1) の formula_4 における被覆である。
被覆に関するいくつかの定義.
被覆の性質に関する定義.
集合 "S" とその被覆 "U" = {"U""i" | "i" ∈ "I"} に対して
以下では "S" を位相空間とする。
被覆同士の関係についての定義.
集合 "S" と その被覆 "U" = {"U""i" | "i" ∈ "I"} 、被覆 "V" = {"V""j" | "j" ∈ "J"} があるとする。以下で開被覆を考えているときは、 "S" は位相空間であるとする。