Z変換

関数解析学において、Z変換（ゼットへんかん、Z-transform）とは、ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素。関数変換。
なお、Z変換という呼び方は、ラプラス変換のことを「S変換」と呼んでいるようなものであり、定義式中の遅延要素である"z"に由来する名前である。
定義.
列"x""n"のZ変換は以下の式で定義される:
ここで"n"は整数で"z"は複素数である。なお後述の片側Z変換に対してこれを両側Z変換（two-sided Z-transform、bilateral Z-transform）と呼ばれる。
"n"<0 で"x""n"=0のような場合は、総和の範囲を 0 〜 ∞ で計算できる：
これを元の定義と区別して片側Z変換（single-sided Z-transform、unilateral Z-transform）と呼ぶこともある。工学の分野などでは因果律を想定するので、こちらの式で定義することがある。
二次元信号（例えば画像）に対する二次元Z変換の定義は類似的である：
収束領域.
なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束する"z"の領域（収束領域，Region of Convergence）を以下のように書ける:
厳密にはこの収束領域内においての"X"("z")を、"x""n"のZ変換と定義する。
二次元Z変換の収束領域の定義は類似する：
逆Z変換.
Z変換の逆変換である逆Z変換（inverse Z-transform）は次のようになる:
ここで"i"は虚数単位で積分路"C"は"X"("z")の極を全て含むような閉路である。
なおこの式は留数定理を用いて留数の和として計算することができる。しかし、手計算で計算するときは以下の方法がよく使われる：
いずれにせよ、定義に示した積分計算そのものを直接計算することは稀である。
性質.
積分路 formula_8 は formula_9 と formula_10 のROCの共同区域にある閉路であり、 formula_11 は formula_12 と formula_13 のROCの共同区域にある閉路である。
積分路 formula_8 は formula_9 と formula_17 のROCの共同区域にある閉路であり、 formula_11 は formula_19 と formula_20 のROCの共同区域にある閉路である。
離散時間のLTIシステム.
離散時間のLTIシステムは以下の定数係数の線形差分方程式としてモデル化できる：
一般には、formula_21と認める。
方程式の両辺をZ変換すると、
を得られて、
は、伝達関数と呼ばれ、その分母多項式は特性多項式と呼ばれる。
伝達関数を分析すれば、システム特性の解明に役立つ。
他の変換との関係性.
ラプラス変換との関係.
Z変換は両側ラプラス変換を離散化したものである。つまり離散化された関数
のラプラス変換
に対応する。但し、"T"はサンプリング周期であり、"e""sT"がZ変換における"z"に対応する。
離散時間フーリエ変換との関係.
Z変換は離散時間フーリエ変換(DTFT)の拡張である。DTFTはZ変換で"z"="e""iω"を代入したものと一致する。言い換えると、複素平面で単位円上のZ変換がDTFTであると解釈できる。