完備束

数学の一分野における完備束（）とは部分集合が常に上限と下限を持つ半順序集合のことである。
完備束は束の重要な例で順序集合論及び普遍代数の研究対象であり、数学及び計算機科学に多くの応用を持つ。
には様々な異なる定義があるので注意を要する（例えば完備半順序 ("CPO") は完備束とは異なる概念である）。特に重要な完備束のクラスとしてや ("locale") がある。
定義.
半順序集合 formula_1 の任意の部分集合が下限（最大下界）及び上限（最小上界）を持つとき、 formula_1 を完備束という。
半順序集合 formula_1 の部分集合 formula_4 に対し、
その下限を formula_5 と書き formula_4 の結び（）といい、
その上限を formula_7 と書き formula_4 の交わり（）という。
formula_9 は formula_1 の最小元、 formula_11 は formula_1 の最大元となるので、完備束は有界束の特別なクラスである。
完備半束.
半順序集合において、任意の部分集合が上限を持つことと任意の部分集合が下限を持つこととは同値であり、これらは完備束であることとも同値である。
なので完備（上）半束（）及び完備下半束（）も完備束と同じ対象を表す。
ただし、準同型の定義が異なる（下記の写像の節を参照）。
完備部分束.
完備束 formula_13 とその部分集合 formula_14 について、
formula_14の任意の部分集合の formula_13 での下限及び上限が全て formula_14 に属するとき、
formula_14 を formula_13 の完備部分束（）という。
上の条件を「任意の空でない部分集合」に取り替えたものは閉部分束（）と言われる。
写像.
完備束の間の下限及び上限を保つ写像を完備準同型（完備束準同型）（）という。
正確に述べると、
完備束 formula_20 の間の写像 formula_21 が完備準同型であるとは
が formula_13 の任意の部分集合 formula_4 に対して満たすことをいう。
このような写像は自動的に単調増加写像となる。
この定義はしばしば強すぎることがあり、その場合は上限を保存する写像もしくは下限を保存する写像を考える。それらは各々完備（上）半束準同型（）及び完備下半束準同型（）と呼ばれる。
完備半束準同型には以下の様な特徴付けが存在する。
完備束間の写像が完備上半束準同型となることとガロア接続（）の下随伴（）となることは同値。
同様に、完備束間の写像が完備下半束準同型となることとガロア接続の上随伴（）となることは同値。（このようなガロア接続は完備準同型に対し一意的に定まる）
自由完備束と完備化.
自由完備半束.
完備半束の圏における自由対象を自由完備半束（）という。
言い換えると
集合 formula_26 と完備半束 formula_27 及びその間の写像 formula_28 について、formula_27 が formula_26 を生成系とする自由完備半束であるとは次の普遍性を満たすことである。
任意の集合に対しそれの生成する自由完備半束を具体的に構成することができる。
即ち、
（二点以上の元を含む）集合 formula_26 に対し、その冪集合 formula_36 は包含関係を順序として、formula_26 を生成系とする自由完備半束となる（但し、写像 formula_38 は各元をその元のみからなる一点集合に写す写像）。
普遍性は次のように言える。
完備半束 formula_13 及び写像 formula_32 が与えられたとき、
とすれば formula_42 は formula_34 を満たす完備半束準同型となる。
自由完備束.
完備束と完備準同型の圏における同様の問題はより困難である。
集合 formula_26 が三点以上の要素を含むとき formula_26 で生成される完備束はいくらでも大きい濃度を取りうるため、 formula_26 で生成される自由完備束は存在し得ない。
但し（空でない）集合 formula_26 が高々二点しか含まないとき formula_26 で生成される自由完備束は存在する（それは二点ブール代数及び一点集合である）。
完備化.
半順序集合に対して、それから生成される「最大の」完備束を考えることは一般には出来ない（なぜなら、離散順序集合に対してそれを考えればそれは自由完備束となるから）。
しかし、半順序集合に対して、それから生成される「最小の」完備束を考えることはできる。
これを具体的に構成する方法が によりデデキント切断を一般化することで与えられてる（）。
完備束と閉包作用素.
完備半束に対するデデキント・マクニール完備化は完備半束を集合族（と包含関係及び合併のなす完備半束）として表現していると思える。この構成を任意の閉包作用素に一般化することが出来る。
すなわち、
完備束 formula_49 上に閉包作用素 formula_50 （つまり、 formula_51 、formula_52 、formula_53 を満たす写像）が与えられたとき、 formula_54 の像 formula_55 は再び完備束となる。
デデキント・マクニール完備化は完備束を冪集合上の閉包作用素の像として与えていると見なすことが出来る。
さらなる結果.
によると完備束から自分自身への単調写像の不動点全体は再び完備束になる。これは閉包作用素の場合の結果の一般化とみなせる。