最大と最小

数学、特ににおいて、半順序集合の部分集合 の最大元（さいだいげん、）とは、 の全ての元の中で最も大きいものである。また、半順序集合の部分集合 の最小元（さいしょうげん、, ）とは、 の全ての元の中で最も小さいものである。最大元（resp. 最小元）は最小元（resp. 最大元）のである。
本項では数学での用語について述べ、それ以外は「その他」に記載している。
厳密な定義.
正式には次のように定義される。 を 1 つの半順序集合とし、 を の 1 つの部分集合とする。そのとき、次の条件
を満たす の元 を の最大元という。また、次の条件
を満たす の元 を の最小元という。定義より、 の最大元（resp. 最小元）は の 1 つの（resp. 下界）である。また、 の最大元（resp. 最小元）が存在するならば、それはただ 1 つだけ存在する。
半順序集合 自身の最小元と最大元とを、それぞれ bottom と top あるいは zero （） と unit （） ということもある。また、その最小元と最大元とを、それぞれ記号 と とで表すこともある。半順序集合自身の最小元と最大元とが存在する場合、その半順序集合を bounded poset という。半順序集合が可補束であるとき、記号 と とが好んで使われる。
全順序に関する最大元・最小元.
全順序集合においては、極大元は必ず最大元であり、それを maximum とも呼ぶ。同様に極小元は最小元であり minimum と呼び、最大元と最小元をまとめて extremum と呼ぶ。
また、特に確率論などにおいては（指示関数との親和性のために）実数 の最大値と最小値（ の最大元と最小元）をそれぞれ
のように表記することがある。