多重散乱理論

散乱理論では単独のポテンシャルにおける電子（散乱するものは電子以外にも光や他の粒子など様々なものが存在）の散乱を扱ったが、現実の散乱は、多数のポテンシャル下でかつ散乱される対象も多数存在する。また一つの電子に限っても、散乱は一回限りでなく複数回散乱される。このような多重な散乱を扱う理論が多重散乱理論(Multiple scattering theory)である。
格子上に配置したランダムなポテンシャル下での電子.
多重散乱理論には扱う対象により様々なものが考えられるが、以下に一つの例として並進対称に配置した格子系において、各格子（サイト）上にポテンシャルがランダム（非周期的）に配置した場合を考える。以下、散乱されるのは電子としておく。
サイトnにあるポテンシャルをVn、自由電子（または無摂動）のハミルトニアンをH0として、系を記述するハミルトニアンHを、
とする。次にこれを以下のように変形する。
ここで、
であり、formula_1は任意の周期ポテンシャル。つまりポテンシャルVnを周期的部分formula_2と非周期的部分formula_3とに分けた訳である。zは複素エネルギー。上式で、v(z)は次のようvn(z)の和になっている。
更に、この系におけるグリーン関数をG(z)とすると、G(z)は、
であり、
とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、
となる。Tを総散乱行列と言う。総散乱行列Tをサイトの和の形で表すと、
となる。サイトnのポテンシャルvnのみを考え、散乱理論の場合と同じ要領でt行列が定義できる。
加えて、
である。総散乱行列TはサイトnでのTnの和、
と表現でき、各Tnは、
更に、
である。ここで、
よりtnが出てくる。以上から総散乱行列Tは、t行列により次のように表される。
形式解の提示.
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。
分解されたTnn'は、
となる。G0は自由電子のグリーン関数とする（formula_4）。これにより、厳密な形式解を得ることができる。Tnn'は更に、
となる。Tnn'はサイトnから始まって、サイトn'で終わる全ての散乱過程を記述していることとなる。一方Tnは、
であり、これはサイトnは考慮されるが、終点としてのサイトn'を考えていない。そして、Tnn'の形式解は（但し、ここでr→kへのフーリエ変換及び、角運動量表示を導入している）、