指数 (初等整数論)

初等整数論における指数（しすう、"index"）は、解析学における指数関数・対数関数の概念の類似物である。標数と呼ばれることもある。
定義.
互いに素な正の整数 "n" と整数 "a" に対して "a""k" ≡ 1 (mod "n") なる合同式が成り立つような最小の正の整数 "k" を、"n" を法とする "a" の位数（いすう、"multiplicative order" of "a" modulo "n"）と呼び、 ord"n" ("a") や O"n"("a") などと記す。
φ("n") を "n" のオイラー数とするとき、ord"n"("g") = φ("n") となる整数 "g" が存在するならば、"g" の属する法 "n" の剰余類 "g" mod "n" を "n" を法とする原始根（げんしこん、"primitive root" modulo "n"）と呼ぶ。すなわち "n" を法とする原始根とは、"n" を法とする既約剰余類全体が乗法に関して成す群 (Z / "n" Z)× が巡回群であるときの、その生成元のことである。
原始根が存在するのは "n" が 2, 4, "p""k", 2"p""k"
("p" は奇素数 "k"は自然数) の場合に限られる。
"g" mod "n" が法 "n" に関する原始根であるならば、原始根の定義により任意の"a" mod "n" ∈ (Z / "n" Z)× に対して
なる整数 "e" が φ("n") を法として唯一つ定まる。このときこの "e" mod φ("n") を、原始根 "g" mod "n" を底（てい、"base"）とする "a" mod "n" の指数とよび、Ind"g"("a") と記す。
紛れのおそれが無いならば、これらの定義に現れる剰余類（に関する記述）をその代表元となる整数（に関する記述）であるかのように記す。
性質.
以下、"g" を整数 "n" を法とする原始根として任意に選んで固定しておく。また、"a" や "b" は "n" とは互いに素であるとする。