区間 (数学)

数学における（実）区間（じつくかん、）は、ある集合の中から任意の二点を示し、その間にあるすべての元からなる集合である。例えば、すべての実数における区間 ["a", "b"] は を満たす実数 全体からなる集合であり、この場合は と の両方を含む区間である。他の例として、実数全体の成す集合 , 負の実数全体の成す集合, 空集合なども区間といえる。
実数に限らず、勝手な全順序集合（例えば整数の集合や有理数の集合）上でも区間の概念は定義できる。
実区間は積分および測度論において、「大きさ」「測度」「長さ」などと呼ばれる量を容易に定義できるもっとも単純な集合として重要な役割がある。測度の概念は実数からなるより複雑な集合に対して拡張され、ボレル測度やルベーグ測度といったような概念までにつながっていく。
不確定性や数学的近似および算術的丸めがあっても勝手な公式に対する保証された一定範囲を自動的に与える一般の法としての区間演算を考えるにあたって、区間はその中核概念を成す。
一般化.
高次元区間.
多くの文脈において、-次元区間は、各座標軸上に各々ひとつ取った 個の区間の直積集合 として書ける の部分集合として定義される。
 のとき、これは各辺が座標軸に平行な矩形領域（各区間の長さが等しければ正方形領域）として見ることができ、同様に のとき、軸に平行な直方体領域（同様に立方体領域）となる。高次元の場合にも、 個の区間の直積は有界な -次元超立方体またはである。
いま定義した意味の区間 のファセット ("facet") は、 を定義する直積因子のうち任意の非退化区間 を の有限端点のみからなる退化区間に取り換えて得られる区間を言う。 の面集合とは、 自身および の任意のファセットの面となるもの全てからなる集合である。 の頂点集合とは、 の一点のみからなる面全体の成す集合を言う。
いくつかの場合には、一次元の場合の記法を流用した記法も用いられる。 を成分表示したものが および であるとき、
複素区間.
複素数の区間は複素数平面内の矩形領域もしくは円形領域の何れかとして定義することができる。
区間の位相環.
区間は両端点を座標とする平面上の点と対応付けることができ、したがって区間からなる集合を平面上の領域と対応付けることができる。一般に、区間を実数直線の直積集合 に属する順序対 と対応付けるとき、 はしばしば暗黙の仮定としてあるが、数学的構造を見る目的でこの制約は課さず、 なる「逆向き区間」("reversed intervals") も許すことにする。そうすると、区間 全体の成す集合は、 同士の直和に成分ごとの和と積を入れた位相環と同一視できる。 
この直和環 は二つのイデアル および を持つ。この環の乗法単位元は退化区間 である。二つのイデアルに入らない区間 乗法逆元 を持つ。通常の位相のもと、この区間からなる代数系は位相環を成す。この環の単元群は各座標軸（これはいまこの環のイデアルとして与えられているのであった）で分けられる四つの四分象限からなる。単元群のは第一象限である。
任意の区間は、その中点を中心とする対称区間と考えることができる。M Warmus が1956年に出版した再構成では、「均衡区間」("balanced interval") の軸を点に退化した区間 の軸に沿って用いている。
区間の環を、直和環 ではなくて、分解型複素数平面に同一視したのは M. Warmus と D. H. Lehmer である。同一視は
を通して得られる。この平面上の線型かつ環同型な写像は、平面上に乗法構造を与え、そこでは通常の複素数の算術にあるようななどの類似物を考えることができるようになる。