偶関数と奇関数

数学において偶関数（ぐうかんすう、）および奇関数（きかんすう、）は、変数の符号を反転させる変換に関してそれぞれ、特定の対称性を満足する関数である。これらは解析学の多くの分野、殊に冪級数やフーリエ級数に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する冪関数の冪指数の（整数としての）偶奇に由来する（すなわち、関数 は が偶数のとき偶関数であり、 が奇数のとき奇関数である）。
この、関数の偶奇性 ("parity of function") の概念は、始域および終域がともに加法逆元（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意のアーベル群、（必ずしも可換でない）環や体、あるいはベクトル空間などが挙げられるから、従って例えば実変数実数値の関数やベクトル変数複素数値の関数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。
以下では特に断りのない限り、それら函数のグラフの対称性を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。
定義.
関数 が偶関数であるとは、
が任意の について成立することである。また、関数 が奇関数であるとは、
が任意の について成立することである。
性質.
函数の偶奇分解.
偶関数全体の成す集合、奇関数全体の成す集合はともにベクトル空間の構造を持つ（さらに偶関数の全体は可換多元環を成す。一方、奇関数の全体は積について閉じておらず多元環を成さない）。
また、任意の関数 に対し、
で定義される函数 および はそれぞれ偶関数および奇関数であり、それぞれ の偶成分 (even part) および奇成分 (odd part) という。
このとき、明らかに が成り立つが、関数 が偶関数かつ奇関数となるのは のとき、かつそのときに限るから、そのような表し方はただ一通りである。すなわち、関数全体の成すベクトル空間は、偶関数全体の成すベクトル空間と奇関数全体の成すベクトル空間の直和に分解される。