交換法則

初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（"commutative property"; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
しかし引き算や割り算はそうではない。
その他に交換法則を満たすものとしては主に次のようなものがある。
また、交換法則を満たさない主要な演算としては次のようなものがある。
ただし、ベクトルの外積のように、絶対値および絶対値に相当する数を考えたときに、交換法則は成り立つものも多い。
歴史と語源.
可換性質の暗黙的な使用は古代に遡る。古代エジプト人は積の計算の簡素化に乗法の可換性を用いているし、エウクレイデスが著書『原論』において乗法の可換性を仮定していたことは良く知られている。明示的な形で交換法則が立ち現れるのは、数学者により函数論が築かれ始める18世紀後半から19世紀初頭にかけてである。今日では可換性は数学の大部分の分野で良く知られた基本性質として扱われている。
記録上 "commutative" の語が初めて現れるのはの回顧録(1814年)で、現在では可換性と呼ばれる性質を持つ函数を記述するために "commutatives" の語が用いられている。語義はフランス語で「置き換え」や「入れ替え」を意味する "commuter" に「傾向がある」ことを意味する接尾辞 "-ative" が付いたものだから、字面通りに読めば「入れ替えようとするもの」である。
定義と語法.
「交換」あるいは「可換」("commutative") という語は（関連はあるが厳密には異なる）いくつかの意味で用いられる。「交換法則」や「可換律」のように言うとき、一般的にはそれは二項演算（あるいはより一般に二項関係や）に結び付けられた性質のことを言うものと理解される。特定の演算を固定して考えるとき、その演算の引数となる二つの元で、交換法則の言う条件式を満足するものに対しては、それらの二元が（与えられた演算のもとで）「交換する」「可換である」("commute") と言い表す。
以下、集合 上に二項演算 が定められているものとして:
より一般に、
あるいはまた、
交換法則の遍在.
群論や集合論において、（複数の演算を持つ）様々な代数系が、それが持つ特定の演算が交換法則を満足するとき「可換」と呼ばれる。
それらの分野の結果を利用する他の分野、例えば解析学や線型代数学では良く分かっている演算（例えば、実数や複素数に対する加法や乗法）は、いちいち断らなくても暗黙の仮定として証明等の中で縦横に用いられる