双曲線

双曲線（そうきょくせん、）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。
双曲線の方程式.
双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。
この場合、焦点の座標は
と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF - PF'| は 2 となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±, 0) を双曲線の頂点という。
双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 formula_3 までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 formula_4 に等しい。
また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は
である。
特に、漸近線が直交している、すなわち = であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。
反比例のグラフ も双曲線の一種である。これは、直角双曲線： を原点の回りに だけ回転させた双曲線に等しい。
双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。
円錐曲線としての双曲線.
双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。
離心率が であるような円錐曲線を C とする。このとき、 ＞ 1 であれば、 C は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が = - , 焦点の一つが F(,0) となったとする。双曲線の任意の点 P(,) に対し、方程式
が成立するが、formula_8 となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
さらに に関して平方完成させることにより、
これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに平行移動：formula_11 , Y= を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。