ティッツ系

数学におけるティッツ系（てぃっつけい、Tits system）あるいは ("B", "N")-対は、ある種の群に対してそれまで個別に与えられていた多くの証明を統一的に取り扱うためにジャック・ティッツによって導入された、リー型の群上のある種の構造である。ティッツ系を備えた群は、体上の一般線型群と「だいたい」同じようなものと見なせる。
定義.
以下の公理を満たす4つ組 をティッツ系という。ただし は群、 と はその部分群であり、 は の部分集合である。
 を の（狭義の）ボレル部分群、 を のカルタン部分群、 を のワイル群と呼び、 の生成系 は の優生成系あるいはルート系と呼ばれる。また、 の元はルートあるいは鏡映という。 はコクセター系を成し、特に生成系 の位数をティッツ系の階数と呼ぶ。
 がティッツ系ならば、 のルート系 は によって一意に決定される。そのため群 はBN対あるいは ("B", "N")-対を持つともいう。
定義における は一般線型群 の上半三角行列全体の成す群の類似であり、同じく は正則対角行列の、 は の正規化群のそれぞれ類似対応物である。 
性質.
群 "G" がBN対を持つとき、ブリュア分解と呼ばれる分解
が成り立つ。
ティッツ系 ("G", "B", "N", "S") に対し、"W" のルート系 "S" の部分集合 "X" で生成される "W" の部分群を "W""X" とし、"P""X" = "BWXB" とおくと、"P""X" は "G" の "B" を含む部分群である。"G" の部分群 "P" が "B" のある "G"-共役を含むとき、"P" を放物型部分群という。放物型部分群 "P" は一意的に存在する "X" ⊂ "S" により "P""S" と共役である。すなわち、放物型部分群とは、"P""X" ("X" ⊂ "S") を "G" の内部自己同型で写したものの総称である。特に "B" の共役となっている部分群を、（広義の）ボレル部分群あるいは極小放物型部分群と呼ぶ。
応用.
ティッツ系を利用すれば多くのリー型の群に関する命題の証明が簡単になる。少し詳しく述べれば、"G" が、"B" が可解群で"B" の共軛全ての交わりは自明となるようなBN対を持ち、"W" の生成系を二つの空でない互いに可換な集合に分解することができないならば、"G" はそれが完全である限り単純群である。実用上はこれらの条件の確認は "G" が完全であること以外は容易に確認であり、"G" が完全群であることの確認は少々込み入った計算を要する（そして、実はいくつかの小さいリー型の群は完全あるいは単純にならない）。しかし、群の完全性は単純性よりは比較的容易に示せるのが普通である。