シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。
概要.
2つの多項式を以下のようにする。
このとき、("m" + "n") 個の変数をもつ連立方程式
が自明でない解 "x""k" = α"m"+"n"−1−"k" (0 ≤ "k" ≤ "m" + "n" − 1) を持つことと、"f", "g" が共通根 α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される ("m" + "n") 次の正方行列である。
また、この行列の行列式を "R"("f","g") と表し、終結式（しゅうけつしき、resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。
と因数分解するとき、
"f"("x") と "g"("x") が共通根をもつための必要十分条件は "R"("f","g") = 0 である。多項式 "f"("x")="a"0"x""n" + "a"1"x""n"−1 + … + "a""n"−1"x" + "a""n" が重根をもつための必要十分条件は "f" とその導多項式 "f"′ が共通根を持つことであり、また、"f" の判別式 "D"("f") が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として