整関数

複素解析における整函数（せいかんすう、）は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。
二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。
解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素関数論の初歩（しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる）である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, , ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, , ピカール, , ら（そしてネヴァンリンナを忘れることはできない）によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。
整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするものであり、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。
整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。
解析函数論における整函数.
複素解析函数の分類は普通はそれらの複雑さ、つまりそれらの持つ特異点に従ってなされる。多項式函数を除けば、本項の主題である整函数、整函数の商として極のみを特異点に持つ有理型函数、そして真性特異点あるいは分岐点を持つような函数は一変数複素解析函数の中でもっとも複雑である。
整函数は多項式函数の一般化として現れ、ある意味で「無限次数の多項式」のように振る舞う。ゆえに整函数は、多項式函数を除いてもっとも単純な解析函数であり、有限な領域において特異点を持たず、無限遠点においてただ一つの特異点を持つ（後述）。それでも、整函数の研究は難しく、二百年近い研究史にも拘らず未だに多くの未解決問題を抱えている。
基本理論.
複素解析函数 が に関して正則とすれば、テイラー–マクローリンの公式により点 の周りで整級数 formula_1 に展開される。整級数論により、上の級数は を中心とし、コーシー–アダマールの定理により formula_2 で与えられる半径 をもつ開円板上で絶対かつ一様に収束することが分かる。複素解析函数論の主結果は、収束半径が と最も近くにある特異点との間の距離 によって決まることである。複素解析函数が整であるとは、それが複素数平面の任意の点において正則であるときに言う。したがって、整函数は有限の距離にある特異点を持たない。ある点 において正則な函数は において無限回微分可能であることを思い出そう。
 が整函数ならば、任意の点において正則であるから、収束整級数 formula_3 に展開され、また無限遠点を除いて特異点を持たないから整級数の収束半径は無限大であり、すなわちこの級数は任意の に対して収束する。したがって formula_4 が成り立つ。またそれゆえ、整函数の任意の階数の導函数もまた整函数になる。
コーシーの積分公式: formula_5 は、分数式 を整級数に展開することにより、各テイラー係数を積分 formula_6 によって決定できる。ただし上記の両方の積分では、積分路 は を囲まないとする。さらに を を中心とする半径 の円板上での函数の最大絶対値とすれば、極めて重要な formula_7 が簡単な論法により得られる。
整函数に関する重要な結果としてリウヴィルの定理がある:
この定理はコーシーの不等式を適用して証明できる。すなわち、 が何であっても が有界であることに注意して、 を無限大に飛ばせば所望の結果を得る。
このリウヴィルの定理から、代数学の基本定理「次数 の任意の多項式は、重複度を込めて 個の根を持つ」の簡単な証明が得られる。次のピカールの小定理はリウヴィルの定理の強化版であると考えられる:
詳しくは後述するが、ある意味で整函数論はピカールの小定理のまったく周辺を周っている。
整函数は有界ならば定数であり、また無限遠点以外では特異点を持てないから、定数でない任意の整函数に対して無限遠点は特異点である。可能性としてその特異点は極または真性特異点であるが、前者の（無限遠点に極を持つ）場合、その整函数は多項式である。後者の（無限遠に真性特異点を持つ）場合、その函数は超越整函数と言う。
これは解析接続の原理からの帰結である。
これは孤立零点の原理によっても示せる。
特にシュヴァルツの補題が導ける。
より一般に、任意の劣調和函数（例えば や が消えない場合の などはそう）は最大値の原理を満足する。また任意の調和函数（例えば はそう）は最大値および最小値の原理を満足する。
は最大絶対値の原理の非有界領域への一般化である。
増大度.
定義により、整函数は無限遠点にのみ孤立特異点を持つ。整函数 に対して formula_8 を調べることには意義がある。この函数 をフラグメン–リンデレーフの指示函数と呼ぶ。この函数は周期が の周期函数で、実数値以外に または も値として取りうる。これに関して
が言える。したがって同じ仮定のもとで
「整函数が可算集合上でとる値から一意に決定されることが保証される条件はあるか」という問いは自然である。集合をこのように制限しない場合には、この問いはアプリオリに否決されるものと思われ、実際成り立たないことが示せる。この種の問いにおいて、カールソンの結果は tout un pan de recherche に起源を持つ。それは以下のように述べられる:
証明にはフラグメン–リンデレーフの指示函数を用いる。
ポーヤの定理.
整函数が適当な集合上で整数値をとるという条件は、その増大に制限を課す。 は例えば以下の定理を証明した:
言い換えれば、自然数全体の成す集合上で整数値をとる多項式でない整函数として（増大度の意味で）最小のものは、函数 である。
この結果は幾何数列上整数値をとる整函数に対するものに一般化できる。
クラフト–ブルメンタール理論.
増大度が有限でない整函数は無限増大度であるという。有限増大度 の場合には、エミール・ボレルにより「その上で増大度が となる半径 の円が無限個存在するならば、それら以外の無限個の円上で増大度が著しく低くなることが起こり得る」（そのような整函数は異常増大 ("irregular growth") であるという）という言及がかなり早い時期に与えられているが、同じ現象は無限増大度の場合にも存在する。
そのような理論は、整函数の型の存在と公式 formula_9 に従って与えられる増大度 に基づく。
整函数論の応用.
整函数論は、リウヴィルの定理により、代数学の基本定理のシンプルでエレガントな証明を可能にする。
増大度が整数でない整函数は無限個の零点を持つという性質により、リーマンゼータ函数が に無限個の零点を持つことの証明にも整函数論はあらわれる。
二つの整函数の商である有理型函数の研究にも整函数論は応用される。有理型函数はさまざまな微分方程式に関する問題に自然にあらわれる。
整函数や有理型函数に対する方法論は、より複雑な（複数の変数などに関する……）解析函数の研究に対する重要な示唆や直観の源を与えるものでもある。