中央値

中央値（ちゅうおうち、）あるいはメジアン、メディアンとは、データや集合の代表値の一つで、順位が中央である値のことである。ただし、データの大きさが偶数の場合は、中央順位2個の値の算術平均をとる。
中間値の定理の「中間値」はこの中央値の意味とは異なる。
例えば5人の年齢10歳、32歳、96歳、100歳、105歳からなるデータの中央値は、順位が上からも下からも3である96（歳）となる。0歳の子供が2人増えて7人になると、中央値は32歳となる。
平均値との関係.
中央値は平均値と同様に集団の代表値を得る目的で使う。例えば年収からなるデータの場合を考えてみると分かりやすい。
一部の富裕層が平均年収をつり上げてしまう例を考える。人口100人の集落で、90人が年収200万円だとしても、10人が年収5000万円であれば平均年収は680万円となる。
一方中央値は、年収が低い順（高い順）に国民を並べたときに丁度真ん中になる人の年収を表している。この場合、中央値はあいかわらず200万円であり、一部の富裕層の年収が中央値に与える影響はゼロになる。
例えば一人の億万長者が小さな町に引っ越してくれば平均年収はつり上がってしまうが、年収の中央値はたかだか一順位分変わるに過ぎない。
厳密な定義.
実確率変数 の累積分布関数を とするとき、 は実数値非単調減少関数、右連続関数となる。この時、次の不等式を満たす実数 を中央値（メディアン）と呼ぶ。
ただし、積分記号はリーマン＝スティルチェス積分の意味である。
データの大きさが有限値（ とする）である場合は、以下のように簡単に記述することができる。（ただし、同一の順位が無いと仮定する。）
データの値を とする。それらを小さい順に並べ替えたものを とするとき、formula_2 の中央値 formula_3 は
により定義される。なお、単純に formula_5 とならないのは、formula_6 の添字が ではなく だからである。
中央値は
を最小にする性質をもっている。（ただし、そうなる値は一意ではない）
すなわち中央値はデータの値との絶対差（距離）の総和を最小にする値である（データの大きさが偶数のときは、その値 は一意には定まらないが便宜上、上で述べた定義を採用する）。
またこれを大きさ で割ったものを平均偏差 (Mean deviation) という。
平均偏差は、値と中央値の絶対差の平均であり、同じ次元である標準偏差などと比べ、平方根をとる必要がなく、簡単な値となる。
確率分布の中央値.
1次元の確率分布 に対し、
を満たす を、中央値と呼ぶ。