高度合成数

高度合成数（こうどごうせいすう、英: highly composite number）とは、自然数で、それ未満のどの自然数よりも約数の個数が多いものをいう。
1から順に高度合成数を表すと
例えば24は約数を（1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24）と8個持ち、24未満で約数を8個以上持つ自然数は存在しないので、高度合成数である。なお1と2は合成数ではないが、高度合成数に含める。
素因数分解との関係.
約数の個数は素因数分解で求まる。例えば 15120 = 24 × 33 × 5 × 7　であるから、約数の個数は (4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80 個である。
概要.
高度合成数の概念は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。
明らかに高度合成数は無限に存在する。というのも、正整数の正の約数の個数はいくらでも大きくなりうるためである。
高度合成数は
という形で素因数分解され、
を満たす数である ("p"("b")は 2 から数えて"b"番目の素数)。
また素因数には 2 から "p"("b") までの全ての素数を含む。
なお 4 と 36 以外の高度合成数では "ap"= 1 である。
したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。
大雑把に言って、ある数が高度合成数になるには、できるだけ小さな素因数を持ち、しかも同じものを多く持ち過ぎない点を必要とする。
例えば 18 = 2×3×3 は、12 = 2×2×3 より大きく、しかも同じ数の約数しか持たないので高度合成数ではない。
しかし、同じ素因数を多く持つと約数の数は比較的少なくなる。
例えば、8 = 2×2×2 は 6 = 2×3 より大きく､同じ数の約数しか持たないので高度合成数にはならない。
高度合成数は、伝統的な度量衡の体系にしばしば現れ（例：時間の24や 60、角度の360、ダースの 12 など）、また工学的な設計によく使われる。
これは除算を含む計算が簡単に行える利点による。
"Q"("x") で "x" 以下の高度合成数の個数を表すと、1 より大きな定数 "a", "b" が存在して
が成り立つ。