等長写像

数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。
定義.
距離空間 ("X", "d") の任意の元を "x", "y" とする（"d" は距離関数）。このとき、"X" から別の距離空間 (" X' ", " d' ") への写像 "f" が、
なる関係を満たすとき、写像 "f" は距離を保つ、あるいは "f" は等長写像であるという。定義から、等長写像が単射であることはすぐに分かる。
距離空間 "X", "Y" の間に距離を保つ全単射 (isometry) が存在するとき、"X" と "Y" は距離空間として等長 (isometric) であるという。また、距離空間 "X" からそれ自身への距離を保つ全単射を "X" 上の等長変換という。"X" 上の等長変換の全体は群を成し、それを "X" の等長変換群とよぶ。
定義をノルム空間に適用すると、ベクトル空間 "X" におけるノルムを || · ||"X" で表すとき、写像 "f": "X" → "X"' が等長写像であるための条件は
となる。特に "f" が線形写像ならばこれは ||"x"||"X" = ||"f"(x)||"X"' と同じである。
計量.
以下では "X" をノルム空間とする。"X" の部分集合 "W" に対して、"f"("W"):= {"f"("x") | "x"∈"W"} とする。"X" 内の二つの部分集合 "C", "C に対し、等長写像 "f" が存在して "f"(" C' ") = "C" が言えるとき、"C" と " C' " は合同であるという。また、"aC":= {"ax" | "x"∈"C"} としたとき、ある正数 "k" が存在して "f"(" C' ") = "kC" がいえれば、"C" と " C' " は相似"'であるという。
"X" がさらに計量ベクトル空間であって、||"x"|| = <"x", "x">1/2 であり、"f" が線形変換ならば、"f" は内積を変えない。これは次のようにして分かる。"X" の元 "x", "y" に対し、内積の実部に関して
となる。虚部が等しいことは、"x" を -"ix" に置き換えると <-"ix", "y"> の実部が <"x", "y"> の虚部に等しいことから確かめられる。逆に内積を保てばもちろん等長写像になる。
直交変換・ユニタリ変換.
"X" が実ベクトル空間であるとき、線形な等長変換として直交変換が対応する。これは直交行列 "T" を用いて "Tx" と書くことができる。複素ベクトル空間では同様な写像にユニタリ変換（およびその行列表現としてのユニタリ行列）が対応する。
一般に、実ベクトル空間内の等長写像は直交行列 "T" とあるベクトル "a" を用いて "Tx" + "a" と書くことができる（アフィン変換）。このうち、|"T"| = 1であるものを特にユークリッドの運動と呼ぶ。これは "回転"・"平行移動" の二つを合成してできるものである。上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、リーマン多様体の間の等長写像（各点の微分が等長写像になるというように定義される。"詳しい方の加筆を求む!"）はその構造をすべて保存する。このような等長写像は運動と呼ばれ、運動の全体はある群をなす。