運動量保存則

運動量保存則（うんどうりょうほぞんそく、）とは、ある系に外力が働かない限り（閉鎖系）、その系の運動量の総和（全運動量）は不変であるという物理法則（保存則）である。運動量保存の法則ともいう。
最初、デカルトが『哲学原理』の中で質量と速さの積の総和を神から与えられた不変量として記述したが、ベクトルを用いて現在の形の運動量とその保存則を導いたのはホイヘンスである。
外力が働かない問題の例としては、物体の衝突問題がある。二体の衝突問題は、エネルギー保存の法則と運動量保存則を考えることで解くことができる。完全弾性衝突のときのみ物体の運動エネルギーは保存される。一方、完全弾性衝突に限らず外力が働かない限り、運動量は保存される。
運動量保存則と運動方程式.
質点の運動量 formula_1（以下、ベクトル量は太字で表す）は
formula_2
である。ここで、formula_3 は質点の質量、formula_4 は質点の位置ベクトル、formula_5 は質点の速度である。
ニュートンの運動方程式
formula_6
より、この質点に働く力 formula_7 について以下が成り立つ：
formula_8
すなわち質点に外部から働く力は、質点の運動量の時間変化に等しい。よって、質点に外力が働かない formula_9 では質点の運動量 formula_1 は不変である（保存する）。
また、上式について時刻formula_11からformula_12までの積分は
formula_13
となり、この運動量の変化を表すベクトルformula_14は力積 と呼ばれる。
２質点系の運動量保存則.
２質点系において各質点の運動量の和は、添字をそれぞれの質点に対応させれば、
formula_15
と書き表すことができる。あるいは、各質点の質量と速度をあらわに書いて、
formula_16
と表すこともできる。
全質点の運動量の和 formula_17 は、2質点系に限らず、その系の全運動量あるいは重心（質量中心）の運動量、並進運動の運動量などと呼ばれる。
全運動量の時間微分は、各質点の運動量の時間微分の和に等しい。
formula_18
前節にしたがってニュートンの運動方程式から、それぞれの運動量の時間微分を質点に働く力に置き換えることができる。
formula_19
したがって、全運動量の時間変化は各質点に働く力の和に等しいことが分かる。
各質点に外力が働かない場合、作用・反作用の法則より formula_20 が成り立ち、全運動量formula_17 が保存することが示される。
２つの質点が衝突した際、衝突前後で系の全運動量は保存する。したがって、
formula_22
より
formula_23
が成立する。
また適当な慣性系において全運動量はゼロであるため、例えば衝突前および衝突後の速度に対して以下が成り立つ：
formula_24
この場合、衝突前後での速度の大きさの比は以下のようになる。
formula_25
またこの速度比 を用いて衝突後の運動エネルギーを表すと、
formula_26
となる。特に とすればこれは衝突過程でのエネルギー保存の法則を表している。
N質点系の運動量保存則.
N質点系の場合についても、2質点系の場合と全く同様の議論が成り立つ。
N質点系の全運動量 formula_17 を
formula_28
と定義できる。ここで、formula_29 は formula_30 番目の質点の運動量である。
全運動量の時間微分は
formula_31
より
formula_32
である。
formula_30 番目の質点に働く力 formula_34 は formula_35 番目の質点から働く力 formula_36 の総和と外力 formula_37 の和
formula_38
で表すことができる。よって、
formula_39
となる。さらに、作用・反作用の法則から相異なる質点 の間で formula_40 が成り立つ。したがって内力の和はゼロとなる。
formula_41
結局、全運動量の時間微分は各質点に働く外力の和に等しくなる。
formula_42
よって、系に外力が働かなければ、系の全運動量は不変である（保存する）。
解析力学における運動量保存則.
解析力学によれば、ネーターの定理により空間並進の無限小変換に対する作用積分の不変性に対応する保存量として運動量が導かれる。
流体力学における運動量保存則.
流体中の微小要素に運動量保存則を適用することができ、これによって得られる式を流体力学における運動量保存則とよぶ。また、特に非圧縮性流体の場合はナビエ-ストークス方程式と呼ばれ、これは流体の挙動を記述する上で重要な式である。