射 (圏論)

数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。
圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。
射の、そして射がその上で定義される構造（対象）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 ("arrow") と呼ばれることもある。
定義.
圏 は二種類の類からなり、一つは対象の類、いま一つは射の類である。
任意の射に対して、始域（ドメインあるいはソース）および終域（コドメインあるいはターゲット）と呼ばれる二つの演算が定義される。射 が始域 と終域 を持つとき、これを で表す。つまり、射は始域から終域へ向かう「矢印」として表される。 から への射全体の成す集まりは、 あるいは単に で表され、射の類、ホム類 ("hom-class") あるいは（特に類が小さいとき）射集合またはホム集合 ("hom-set")（"hom" は同じを意味する "homo-" あるいは準同型 ("homomorphism") から）と呼ばれる。 や と書かれることもある。ホム「集合」などと呼ぶのは、射の全体が必ずしも集合を成すことは要求されないことを考えれば少々語弊のある名称であることに注意。
任意の三対象 に対して、合成と呼ばれる二項演算 が存在し、二つの射 と との合成射は あるいは と書かれる。射の合成はしばしば可換図式として表される。例えば
射は二つの公理を満足する:
具体圏 においては、恒等射はまさに恒等写像であり、合成はまさに通常の写像の合成である。この場合、結合律は写像の合成が結合的であることから満たされる。
本当は終域と始域は射を決定する情報の一部であることに注意すべきである。例えば、集合の圏において、射は写像であるが、順序対全体の成す集合（つまりグラフ）としては一致するが終域の異なる二つの写像というのは、圏論的に見れば相異なる。そこで射の類 は が異なれば交わりを持たないと仮定する文献もある。実用上はこれはあまり問題ではなく、この仮定が満たされない場合には射にその始域と終域とを（順序三つ組の第二、第三成分として）追加してやれば回避することができる。
例.
更なる例は圏論の項を参照せよ。