ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックス（）とは、素朴集合論において、自身を要素として持たない集合全体からなる集合の存在を認めると矛盾が導かれるというパラドックス。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡においてフレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に現れ、1903年出版のフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（）の後書きに収録された。なお、ラッセルに先立ってツェルメロも同じパラドックスを発見しており、ヒルベルトやフッサールなどゲッティンゲン大学の同僚に伝えた記録が残っている。
ラッセルの型理論（階型理論）の目的のひとつは、このパラドックスを解消することにあった。
概要.
自分自身を要素として持たない集合全体からなる集合を formula_1 とする。いま formula_2 と仮定すると、formula_3 の定義より formula_4 となるから矛盾。一方、formula_4 と仮定すると、再び formula_3 の定義より formula_2 となるから、やはり矛盾する。
集合論が形式化されていないことが矛盾の原因なのではなく、このパラドックスは、古典述語論理上の理論として形式化された無制限の内包公理を持つ素朴集合論や、直観主義論理上の素朴集合論においても生じる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更してもラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は矛盾の解消を参照。
矛盾の解消.
公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進められ、素朴（だが超越的）なformula_3 の構成を許容しない体系が構築された。
公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。
例えば素朴集合論では、上のような集合の存在を保証するために次の内包公理を置いた：
しかしながら、内包公理からは、上述のとおり、
が構成でき、パラドックスが発生する。
したがって、集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
歴史.
起源.
通説では、1902年6月16日付のラッセルからフレーゲへの書簡がこのパラドックスの起源とされている。しかし、1899年から1900年にかけてエルンスト・ツェルメロが独立に同じパラドックスを発見し、ダフィット・ヒルベルトやエドムント・フッサールに伝えていた。そのため、「ツェルメロ=ラッセルのパラドックス」と呼ぶべきという意見もある。