レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが "Recreations in the Theory of Numbers" の中で命名したものである。
10進法における"n"桁のレピュニットは formula_1の形に表される。"n" = 2, 19, 23, 317, 1031, ...() のときに、"Rn" は素数となる。2進法における"n"桁のレピュニットはメルセンヌ数formula_2 である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。
レピュニットの性質.
"m" が "n" を割り切るならば、"Rm" は "Rn" を割り切る。よって、"n" が合成数ならば、"Rn" は合成数となる。
100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a)。
レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。
"Rn" は、"n" が3の累乗数のとき（"n" が 1 = 30 のときも含む）は全てハーシャッド数である。
901型の例.
前述の通り、"R"2n は11つまり"R"2 で割り切れる。同様に、2×"n"桁の"R"2n は、n桁の"R"n で割り切れる。さらに、nが奇数の時、"R"n は11で割り切れないから、"R"2 と　"R"n　は互いに素となる。よって、"R"2nは、"R"2 × "R"n で割り切れて、その商は、"n"桁の数 100…1 ÷ 11 の計算値となるから、 "n"-1 桁の数 9090…91 である。
これらの関係を表にまとめると以下のようになる。
"n"が偶数の時の"R""2n"、その他 についての例は以下。
レピュニット素数.
現在、"Rn" で "n" = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された "R"49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した。
2007年4月3日、H. Dubner は "n"=109297 の場合が PRP であると発表し、その後 "n"≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、M. Voznyy は "n"=270343 の場合が PRP であると発表した。
2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。
レピュニットの素因数分解.
レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている。
基数 10 のレピュニットの "R"1 から "R"122 までの素因数分解の一覧を示す。
"n" が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。
※ 素因数の数(含重複)
2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。
一般化.
10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 "a" に対して"n"桁のレピュニットは formula_3と定義される。
前述の通り、"a" = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、"a" が素数ならば、これは "a""n" − 1 の約数の和に一致する。
基数 "a" ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは "R"5(3) = 112, "R"4(7) = 202, "R"3(18) = 73 の場合しかない（Bugeaud 1999b）。
"Fd"("x") を "d" 次の円分多項式とすると、
と表すことができる。