重根 (多項式)

重根（じゅうこん、）とは、1変数多項式 formula_1 の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。
概要.
1 変数多項式 formula_1 が、定数 formula_3, formula_4, formula_5, …, formula_6を用いて
の形に因数分解され、formula_4, formula_5, …, formula_6 の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を formula_1 の重根という。
方程式 formula_12 の解は一般に
つまり "xy"-座標系において formula_14 と "x" 軸との交点の "x" 座標である。formula_1 が1変数多項式のとき、formula_14 が formula_17 で "x" 軸に接するなら、formula_18は formula_1 の重根となる。
したがって formula_1 は formula_17 における微分も 0 となり、 formula_17 が formula_1 の重根であることと
であることは同値である。
定義.
体 "K" 上の多項式 formula_1 と "K" の元 formula_18に対し、formula_27 が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数 formula_28 と多項式 formula_29 で
を満たすものが存在するとき、formula_18 を formula_1 の重根という。特に formula_29 が formula_18 を根に持たないならば、formula_28 を根 formula_18 の重複度（ちょうふくど、"multiplicity"）という。
判別式.
多項式 formula_1 の根を formula_4, formula_5, …, formula_6 とし、その全体から作られる最簡交代式（差積）の平方
を多項式 formula_1 あるいは方程式 formula_12 の判別式（はんべつしき、"discriminant"）という。
これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が formula_44 であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。
これは、
によって保証される。
たとえば、二次方程式 formula_45（formula_46） の根を formula_18, formula_48 とすると、根と係数の関係により
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
となる。formula_46よりformula_53 であるので、実用上は分母を掃った formula_54 を判別式として用いることが多い。