ラグランジュ部分多様体

formula_1をシンプレクティック多様体であるとする。
formula_2の部分多様体formula_3が
ラグランジュ部分多様体であるとは、
(1) formula_4
(2) formula_5
を満たすことをいう。
例１.
formula_6をn次元シンプレクティック多様体であるとする。
また、formula_7を次を満たすformula_6上の
滑らかな関数たちとしよう。
(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる
ポアソン構造に関して、formula_9が成立する。
ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。
(ii) formula_10はformula_2上で一次独立である。
formula_12はformula_13の外微分を表す。
formula_6からformula_15への写像formula_16を
formula_17
で定義する。
このとき、もしformula_18が
formula_16の正則値であるならば、
formula_20
はラグランジュ部分多様体である。
例２.
formula_2をｎ次元多様体とし、
formula_22でその余接バンドルを表すとする。
余接バンドルを正準２形式formula_23の入ったシンプレクティック多様体であると
思うと、formula_24はラグランジュ部分多様体である。