周期的境界条件

周期的境界条件（しゅうきてききょうかいじょうけん、）は、境界条件の一つ。周期境界条件とも言う。
1次元の場合.
1次元の場合、定義域の幅formula_1の関数formula_2が周期的境界条件を持っているならば、
である。
結晶の例.
周期的境界条件はしばしば並進対称性をもつ系を考察する場合に用いられる。
例えば単位胞の大きさがformula_4、系の大きさがformula_1である1次元の結晶を考える場合に、波動関数formula_6に対して次のような境界条件が課せられる。
この時formula_1はformula_4の整数倍で無くてはならない。これをボルン=フォン・カルマン境界条件という。
周期的境界条件を課すことで、波動関数をformula_1の間で自乗可積分にすることができるため規格化できるようになる。
このような人工的な境界条件の設定は表面での関数に対する拘束が、考察の対象である関数の大域的な性質に寄与しないであろうと考えられる場合によく用いられる。
そのような仮定はformula_12の極限の考察と組み合わせられることが多い。
N次元の場合.
一般の次元Nに対しては、線形独立なN個のベクトルformula_13を用いて、
formula_13がなす胞を定義域とする関数formula_15に対する周期境界条件は
のように表される。
この場合も基本並進ベクトルをformula_17もつ結晶を考えるのであれば、
formula_13がなす胞は
基本並進ベクトルがなす単位胞を敷き詰めることが出来なくてはならない。