普遍性

数学において普遍性（、または ）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。
普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。
このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエルの論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。
概要.
"U" : "D" → "C" を 圏 "D" から圏 "C" への関手とし、"X" を"C" の対象とする。"X" から "U" への普遍射 （universal morphism） は、"D" の対象 "A" と"C"の射 φ : "X" → "U"("A") からなる対("A", φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。
射 "g" の存在は、直感的には("A", φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、("A", φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。
また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。"U" から "X" への普遍射は、"D"の対象"A" と"C"の射 φ : "U"("A") → "X" の対("A", φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。
ここで、人によっては一方を"普遍射"と呼び、もう一方を"余普遍射"（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。
表現可能関手による定義.
エミリー・リール（）は『Category Theory in Context』において、圏 の対象 に対する普遍性（）を次のように定義している：
定義を言い換えると、 の普遍性とは、(表現可能)関手 と を用いて米田の補題から定まる自然変換 が自然同型であるという性質のことである。
圏 が小さなhom集合を持つ（各対象 について である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である。
例.
ベクトル空間のテンソル積.
体 上のベクトル空間 について、任意の双線形写像 に対して を満たす準同型 がただ1つ存在するような -ベクトル空間 と双線形写像 の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの を と表し、 と のテンソル積と呼ぶ。
テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、 からの双線形写像の集合を与える対応は関手 （ とは -ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 が定まり、従って は表現可能関手である。双線形写像 はこのとき、同型 によって恒等射が写る先として定まる。
また、カノニカルな双線形写像 は一点集合からの写像 によっても表される。いま、任意の と に対して、テンソル積の性質から が成り立つような準同型 がただ1つ定まる。従って は一点集合から への普遍射である。
剰余群への射影.
群 の正規部分群 について、剰余群 への射影を で表す。群準同型 について、 が の核 ( が の単位元となる の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって を満たす群準同型 がただ1つ存在することがわかる。
(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を で表す。群 に対して、群準同型 であって を満たすものの集合を とおくと、この対応は関手 をなす。準同型定理の主張から、任意の に対して同型 が存在して、さらに唯一性からこの同型は について自然であることがわかる。
以上のことから、剰余群 と剰余群への射影 は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる の各要素）に言及しなくてよくなる。
ファン・カンペンの定理.
位相空間 formula_2 は、2つの開部分集合 formula_3 によって覆われるものとする。すなわち、formula_4 が成り立つとする。このとき、共通部分 formula_5 からの包含写像 formula_6 と formula_7 による可換図式は、位相空間の圏 において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 と が を満たすとき、 と を満たすような連続写像 がただ1つ存在する。
よい条件（formula_5 は空でなく弧状連結）の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。
さまざまな普遍性.
随伴関手との関係.
("A"1, φ1) を "X"1 から "U" への普遍射、 ("A"2, φ2) を "X"2 から "U" への普遍射とする。普遍性から、任意の射 "h" : "X"1 → "X"2 に対して一意な射 "g" : "A"1 → "A"2 が存在して、次の図式を可換にする。
もし "全ての" "C" の対象 "X""i" に"U" への普遍射が認められるならば、"Xi" formula_9 "Ai" 及び "h" formula_9 "g" によって"C" から "D" への関手 "V"が定義される。 これに伴って、φ"i" は 1"C" （"C" の恒等関手） から "U V" への自然変換を定義する。関手 ("V", "U") は随伴関手の対となる。（"V" は "U" の左随伴、及び "U" は "V" の右随伴）
同様の言明は "U" からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての "C" における "X" について、関手 "V" : "C" → "D" が得られ、これは "U" への右随伴になっている。（つまり "U" は "V" の左随伴である。）
実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。"F" と "G" を単位（unit）η と余単位（co-unit）ε （定義は随伴関手の記事を参考のこと）によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 "C" と "D" への普遍射が得られる。
普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が "C" 中の全ての対象 （同様に、"D" の全ての対象）について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。