逆数

逆数（ぎゃくすう、）とは、ある数に掛け算した結果が となる数である。すなわち、数 の逆数 とは次のような関係を満たす。
通常、 の逆数は分数の記法を用いて のように表されるか、冪の記法を用いて のように表される。
 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。
上述の式から明らかなように、 と の役割を入れ替えれば、 は の逆数であると言える。従って、 の逆数が であるとき の逆数は である。
 が である場合、任意の数との積は になるため、（ であれば） に対する逆数は存在しない。
また、任意の について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は 以外には存在しない。 を除く任意の数 について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。
1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はと呼ばれる。
例.
以下に具体例をいくつか挙げる。ここで はネイピア数、 は虚数単位、 は複素数の絶対値、 は複素数の偏角を表す。また、 は複素数 の共役複素数、 は数 の絶対値を表す。
合同式での逆数.
合同式において逆数を考えることができる。 を で割ると 余るとき、 を の を法とする逆数と呼ぶ。合同式で表すと以下のようになる。 
例えば、 となるので、法 において は の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、 の逆数は存在せず、 や の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、 の倍数の逆数は存在せず、 の逆数はそれ自身になる。
定義上、 は と互いに素である必要がある。つまり、一般に合同式での逆数は存在するとは限らない。例えば、 や を満たす は存在しない。
素数 を法とする場合、 以外の全ての元が逆数を持つ。法 を例とすると次のようになる。
合同式での逆数はオイラーの定理によって計算できる。 に逆数 が存在するならば
なので、
（ここで はオイラーのφ関数）であり、逆に と が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、 が素数の場合以下のようになる（フェルマーの小定理から直接導かれる）。
また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式（ディオファントス方程式の一種）が と について整数解を持つことと同値である。
この式の解は、 と が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。
日本における学校教育.
日本の小学校では、小学6年生で分数の掛け算・割り算について学習する際に、逆数について学習し、（実際には具体的な数を用いる）で割ることと を掛けることが同じ結果を得ることなどを学ぶ。この事は中学校の課程で、加法における逆元、つまり負の数について学ぶ準備になっている。