有限要素法

有限要素法（ゆうげんようそほう、, FEM）は数値解析手法の一つ。
解析的に解くことが難しい微分方程式の近似解を数値的に得る方法の一つであり、
Turner-Clough-Martin-Toppによって導入された。
方程式が定義された領域を小領域（要素）に分割し、各小領域における方程式を比較的単純で共通な補間関数で近似する。
構造力学分野で発達し、他の分野でも広く使われている手法である。その背景となる理論は、関数解析(リースの表現定理、ラックス＝ミルグラムの定理など)と結びついて、数学的に整然としている。
FEMを用いて現象を研究・分析することを「有限要素解析（FEA）」と呼ぶことがある。
アルゴリズム.
多くの場合に有限要素法では、近似解を求めることが連立一次方程式を解くことに帰着される (つまり最終的には数値線形代数の知識が必要になる)。得られる全体の係数行列は一般に疎行列となる。使用記憶領域の削減と計算速度向上のため、行列のデータ構造には様々な形式が用いられ、その格納形式に対応して効率よく解くソルバーが存在する。たとえば、直接法で解く場合のスカイライン法などが知られている。
形状関数.
形状関数とは、節点における物理量（変位など）から要素内の物理量を内挿するために用いられる関数である。たとえば四面体一次要素の場合、4つの頂点に節点"i" = 1, ... , 4 がとられ、節点"i" に対する形状関数"Ni" とそれぞれの点における物理量"ui" を用いて、要素内の任意の点 "p" における物理量"up" は形状関数の線形結合として
と表される。
形状関数"Ni" には、
という性質がある。
構造解析分野への応用.
複雑な構造物を小さな要素の集合体として、（静的解析の場合）一次方程式に各節点の変位量の境界条件（ディリクレ境界条件やノイマン境界条件等）を代入して解く。
対象の構造に外力が加わって変形する場合などを解析する際に、構造解析には大きく分けて、変位を未知数にとる変位法と応力を未知数にとる応力法があり、有限要素構造解析では変位法が主流である。その理由は、応力法に比べてアルゴリズムが機械的に実行でき、プログラミングに適しているからである。機械設計分野ではCADモデルを用いた解析が浸透している。
その他の分野への応用.
構造解析では使用している式に意味づけをしているが、その他の分野では手法として使用することが多い。電子状態計算（→実空間法）・電気工学・電磁場解析・流体解析など、微分方程式で記述されるあらゆる場の問題に適用可能であって、近年ではそれらの連成解析（流体構造連成、電磁場構造解析など）も盛んに研究されている。
また、従来は取扱いが難しかったクラックや大変形問題に対して、格子を用いないメッシュフリー法の研究も行われている。