ノルム

解析学において、ノルム (, ) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。
定義.
 を実数体 または複素数体 （あるいは絶対値を備えた任意の位相体）とし、 上のベクトル空間 を考える。このとき任意の と任意の に対して、
を満たす関数 を のノルムと呼ぶ。ベクトル空間 と 上のノルム との組 を、ノルム を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、ノルム空間などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に で表す。なお、（正定値性）を定義の内に含めることが多いが、この性質は以下のように定理として導くことができる。左から順に、独立性、劣加法性、斉次性を用いている。
formula_1
ノルムの定義から独立性を除いたものを満足する函数 を半ノルム と呼ぶ。
種々のノルム.
有限次元ベクトルのノルム.
成分が実数あるいは複素数であるベクトル を考える。今 を実数あるいは複素数の絶対値とすると、
も重要である。
ノルムの構成.
二つのノルム空間 ("X", ‖•‖"X"), ("Y", ‖•‖"Y") が与えられたとき、直積空間 "X" × "Y" には
でノルムが定まる。
ノルム空間 ("Z", ‖•‖"Z") が与えられたとき、ベクトル空間 "W" と単射な線型作用素 "f": "W" → "Z" に対して
は "W" のノルムとなる。
ベクトル空間 "V" が半ノルム "p" を持つとき、部分空間 "V"⊥ := {"v" ∈ "V" | "p"("v") = 0} による商空間 "V"∼ := "V"/"V"⊥ は、π: "V" → "V"∼ を自然な射影として 
となるようなノルムを備える。
性質.
幾何学的性質.
ノルム空間 のノルム に対し、2変数の実数値関数 を
で定めて、 をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する距離という。 が の距離函数を定めることはノルムの定義から直ちに分かる。距離空間 ("V", "d") の位相をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する位相という。
空間 にノルムが与えられたとき、ノルムが 1 である元の全体をしばしば単位球面 または二次元の場合は特に単位円 と呼ぶ。ノルムの定める位相とはノルムに関する開単位球面の和に表される集合を開集合とするような位相のことである。
ノルム空間 における線型演算はノルムが に誘導する位相に関して連続であり、ノルム空間 は位相線型空間を成す。位相線型空間 に対し、 に適当なノルム が存在して から誘導される位相 T がもとの位相 に等しいとき、位相線型空間 V はノルム付け可能またはノルム化可能 であるという。
ノルムの同値性.
空間 "X" の与えられた二つのノルム‖•‖, ‖•‖′ に対し、これらノルムがそれぞれ定める "X" の位相が相等しいとき、これらのノルムは互いに同値であるという。これは適当な定数 "C"1, "C"2 > 0 で
となるようなものが取れることと同値である。
"V" が有限次元ノルム空間ならば、"V" 上のノルムの同値類は唯一つである。