同値

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。
英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。
演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
性質.
基本的な性質.
同値の基本的な性質は以下の通り。<br>（formula_1は論理包含（ならば）、formula_2は論理積（かつ））
その他.
他にも次のような性質がある。<br>
（formula_3 は否定、formula_4 は排他的論理和）
必要十分条件.
二つの条件 "p" 、"q" に対して、「 "p" を満たすものは全て "q" も満たす 」 というとき、「 "p" は "q" である為の十分条件である 」 あるいは 「 "q" は "p" である為の必要条件である 」 という。
また、「 "p" は "q" である為の十分条件であり、"q" は "p" である為の十分条件である 」 というとき、「 "p" は "q" である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 "p" と "q" とは同値である 」 という。
例 1.
ある数が４の倍数である為には、その数は少なくとも偶数である必要がある。つまり、偶数であることは、４の倍数である為の必要条件である。ただし、偶数であっても、必ずしも４の倍数であるとは限らない。
また、ある数が４の倍数である為には、その数が８の倍数であれば十分である。つまり、８の倍数であることは、４の倍数である為の十分条件である。ただし、その数が８の倍数でなくとも、必ずしも４の倍数でないとは限らない。
他方、ある数が２の倍数である為には、その数は少なくとも偶数でなければならない。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の必要条件である。また、その数が偶数であれば、その数は必ず２の倍数である。つまり、偶数であることは、２の倍数である為の十分条件である。すなわち、偶数であることは、２の倍数である為の必要十分条件であり、両者は同値である。
例 2.
自然数変数 "n" についての条件 "p"("n"), "q"("n") を次のように定める。
そのとき、"p"("n") は "q"("n") である為の必要十分条件である。すなわち、"n" > 10 は 2"n" > 20 である為の必要十分条件である。
例 3.
実数変数 "x" についての条件 "p"("x"), "q"("x") を次のように定める。
そのとき、"p"("x") は "q"("x") である為の十分条件である。しかし、−1 は "q"("x") を満たすが "ｐ"("x") を満たさないので、 「"q"("x") を満たす実数は全て "p"("x") を満たす」 とはいえない。よって、"q"("x") は "p"("x") である為の十分条件ではない。従って、"p"("x") は "q"("x") である為の必要十分条件ではない。
例 4.
￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 "A" 、"B" についての条件 "p"("A", "B"), "q"("A", "B") を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。"A" 、"B" は { 真、偽 } の元の変数である。)
そのとき、"p"("A", "B") は "q"("A", "B") である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( "A" ⇔"B" ) = 真」 は 「( ￢"A" )⇔"B" = 真」 である為の必要十分条件である。