濃度 (数学)

数学、特に集合論において、濃度、カーディナリティ（のうど、）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。
濃度の関係.
シュレーダー=ベルンシュタインの定理により、 かつ なら、 が成り立つ。さらに、選択公理を仮定すれば、任意の集合 と に対して、 または が成り立つ。
 が常に成り立つ集合への数学的対象の割り当てを濃度といい、濃度として割り当てられる数学的対象を基数という（濃度 は などとも表記される）。
厳密な定義.
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 の濃度の最も古い定義は、 と一対一対応のつくすべての集合からなるクラス としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、 が空でないならば、一対一対応のつくすべての集合を集めたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、 を空でない集合としたとき、集合 に を対応させる写像を考えることによって、宇宙から への単射が存在し、より、 は真のクラスである。
様々な集合の濃度.
有限集合.
有限集合の濃度は自然数を使って表せられる。濃度が"n" である集合を"n" 点集合という。
可算集合.
自然数全体からなる集合の濃度を可算無限濃度または単に可算濃度という（古くは可付番濃度とも呼ばれた）。通常、formula_1（アレフ・ゼロ）あるいは formula_2 と表記される。formula_3はヘブライ文字のアレフである。濃度が可算無限になる集合を可算無限集合または単に可算集合（）という。たとえば、整数全体からなる集合、有理数全体からなる集合はいずれも可算無限集合である。可算無限以下である濃度を高々可算な濃度または単に可算濃度という。
可算無限濃度には以下の性質がある。
非可算集合.
連続体濃度とは実数全体からなる集合の濃度である。formula_3 あるいは formula_12 と表記される（ベート数を使って formula_13 と書くこともできる）。カントールの対角線論法によって formula_14 が成り立つことが証明される。ユークリッド空間をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持つ。さらにはユークリッド空間の上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度である。
連続体濃度の冪濃度は formula_15 あるいは formula_16 などと表記される。ユークリッド空間上の関数全体などはこの濃度を持つ。
集合演算と濃度.
濃度の間に以下の演算が定義される（詳しくは基数#基数演算を参照）。
を と の和という。
を と の積という。
を を底、 を指数とする冪という。
このとき以下が成立。