ノルム (体論)

体論において、ノルム ("norm") は、体の拡大（とくにガロア拡大などの代数拡大）に付随して現れる写像の一種で、拡大体の元をもとの体の元に移す性質を持つ。
定義.
体の有限次元拡大 "L" / "K" に対し、"L" の元 α のノルム "N""L"/"K"(α) は以下のように定義される。
"K" の "L" を含む代数閉包 "K"a を固定し、σ"i" : "L" → "K" a (1 ≤ "i" ≤ "n") を "K" の元を固定する相異なる中への同型の全体とするとき
ここで、["L":"K"]"i" は非分離次数である。
例.
"L" を複素数体 C, "K" を実数体 R とすると、R の代数閉包は C であり、R を固定する C の自己同型は恒等写像と複素共役をとる写像の 2 つであるから、任意の複素数 α = "a" + "ib"に対して
(\alpha) 
 = \alpha \bar{\alpha} 
 = |\alpha|^2 
 = a^2 + b^2
が拡大 C / R に関する α のノルムである。
一般化.
有限群 "G" と "G" 上の加群 "M" に対して、写像
を "G"-加群 "M" のノルム写像という。"x" の "ノルム"
は "G" の作用に対して不変である。すなわち、"M" の "G"-不変な元全体のなす部分加群を "M""G" とあらわすと Im("N""G") ⊂ "M""G" が成り立つ。
ガロア拡大 "L" / "K" に対して、乗法群 "L"* をガロア群 "G" = Gal("L" / "K") 上の加群と見なすとノルム写像 "N""G" は拡大のノルム "N""L"/"K" となる。