ルジャンドル記号

数論において、ルジャンドル記号（るじゃんどるきごう、）は数 が奇素数（すなわち 3 以上の素数） を法とするゼロでない平方剰余かを分類する乗法的関数である。ルジャンドル記号の値はそれぞれ、 を法として がゼロでない平方剰余なら 1、非平方剰余なら −1、ゼロなら 0 となる。
名称はこの関数を導入した数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。
ルジャンドル記号は、1798年に平方剰余の法則を証明しようとしたアドリアン＝マリ・ルジャンドルにより導入された。この記号の一般化には高次のヤコビ記号やディリクレ指標が含まれる。ルジャンドル記号の表記上の便利さは、やアルティン記号などの代数的整数論で使用される他のいくつかの「記号」の導入に影響を与えた。
定義.
formula_1 を奇数の素数とする。整数 formula_2 が formula_1 を法とする完全平方と合同である場合は、formula_2 は formula_1 を法とする平方剰余であり、そうでない場合は formula_1 を法とする平方非剰余である。ルジャンドル記号は次のように定義される formula_2 と formula_1 の関数である。
ルジャンドルによる最初の定義は、次のように式を明示したものだった。
先に発見されルジャンドルにも知られていたオイラーの規準によると、これら2つの定義は同等である。よって、ルジャンルドルが貢献したのは、mod pでのaの平方剰余性を記録する便利な表記法を導入したことにあった。比較の目的で、ガウスはaがpを法とする剰余であるか非剰余であるかに応じて、"a"R"p"と"a"N"p"という表記を使用した。印刷の都合上、ルジャンドル記号は("a" | "p") または ("a"/"p") と表記されることがある。"a" が0, 1, 2...であるときの数列 ("a" | "p") は周期pで周期的であり、ルジャンドル数列と呼ばれることがある。{0,1,−1}という値は{1,0,1}または{0,1,0}であることがある。次の表の各行は、説明したように周期性を示していることが分かる。
値の表.
ルジャンドル記号 formula_11 の表 ("p" ≤ 127, "a" ≤ 30, "p" は奇素数)
ルジャンドル記号の性質.
ルジャンドル記号には平方剰余の法則とともに効率的に計算するために使うことのできる便利な性質がいくつかある。
ルジャンドル記号と平方剰余.
"p" と "q" を別々の奇素数とする。ルジャンドル記号を使用すると、平方剰余の法則を次のように簡潔に表すことができる。
多くの平方剰余の証明()はルジャンドルの式に基づく。
さらに、平方剰余の法則の様々な証明を作るために、ルジャンドル記号の代わりとなる表現がいくつか考案された。
計算例.
平方剰余の法則を含む上記の性質をルジャンドル記号を評価するために使用できる。例えば
またはより効率的な計算では
ヤコビ記号の記事()にはルジャンドル記号の操作の例がさらにある。