筆算

筆算（ひっさん）とは、紙に書いて行う計算のことである。その他の計算方法には、暗算、珠算（そろばん）、電卓計算などがある。
暗算と筆算には計算のプロセスに違いが見られる。通常の暗算は日常会話で読み上げたり話したりするときの数を利用し、それは各位に一、十、百のように数詞を当てたものであり、漢数字の九百九のように途中の位に値がなくても成立する。そのため通常の暗算の計算プロセスは位取りの原理の認識（あるいは0の認識）が筆算ほど強くないと言われている。
一方、筆算は計算のプロセスで位取りの原理を利用するため、0は極めて重要な意味を持つ。筆算の計算のプロセスを暗算に応用した筆算式暗算もある。
筆算の方法.
筆算では、分解して計算を行うが、この場合、どのように分解するか、また、紙に計算過程を書く場合の書き方が重要になる。そのため筆算のやり方（便法）が古くから考案されている。一般的には、主に小学校の算数で習得するような、十進法による四則演算（加法、減法、乗法、除法）の筆算がよく知られている。勿論、十進法以外のN進法でも筆算は可能である。日本の場合、以前は高校で開平法の筆算を扱うこともあったが、それについては近年はあまり見なくなっている。
原理的には、位取りと繰り上がり・繰り下がりの仕方さえ覚えれば、アルゴリズムとしては基本的な一桁ないし二桁同士の加減乗除の各演算をするだけで、大きな桁の計算でも計算が可能であるようになっている。具体的な手順は、位取りに気をつけて各位の演算を行い、その結果を桁が縦にそろうように羅列・配置しておき、乗除算においては順次、加減算については順次あるいは最後に一気に、それらを縦に加減して答えを出すといった具合である。
このように方法が単純であるので、計算能力の高低にあまり関係なく実質何桁でも計算できるが、桁数あるいは口数が増えれば位取りや数の繰り上げ・繰り下がりを考慮する手間が増えるため、やはり少々面倒になるのは否めない。
筆算による乗算.
筆算による乗算は、乗数が1桁の場合、右の図(a)のようになる。138×8=1104を例に解説する。
乗数が2桁以上の場合は、右の図(b)のようになる。592×69=40848を例に解説する。
もし乗数に100の位、1000の位…があれば、被乗数と乗数の10の位の積を計算した後、被乗数と乗数の100の位の積を2桁ずらして100の位の位置から、被乗数と乗数の1000の位の積を3桁ずらして1000の位の位置から…として書けばよい。
図(b)のような筆算を長乗法と呼ぶ。
被乗数と乗数の一方または両方が小数である場合は、計算途中では小数点を無視して計算し、最後に積に小数点を打つが、このとき被乗数と乗数の小数点以下の桁数の合計の桁数が積の末位からの小数点以下の桁数となるように打つ。
これらのように乗数の下の位から順にかけ算することで解を求める方法を尾乗法と呼ぶ。筆算では尾乗法が一般的である。
対して、乗数の上の位から求める方法を頭乗法と呼び、こちらは暗算の達人などが暗算時に用いる。
筆算による除算.
乗算と減算の組み合わせで、除算を行うことができる。筆算による除算を、21508÷62=346余り56で解説する。
このような筆算を長除法と呼び、記号として「⟌（U+27CC）」が使われるのが特徴的である。
小学校の教育では以下のように説明される。
ちなみに途中の計算過程が明示される形式ではないが、「⟌」を上下反転させたような記号を使ってその右上に被除数、左に除数、下に商を書く形の除法の表し方もあり、これを短除法といい、素因数分解や進法変換など連続して除算を行う場合などで用いられることがある。
筆算による開平.
上記の加算、減算、乗算の組み合わせで、開平（平方根の計算）ができる。
筆算による開平をformula_1 を例に解説する。
暗算・筆算と教育.
算数教育は暗算中心主義と筆算中心主義に大別される。イギリスやフランスなどでは筆算中心の教育がとられてきた。