一次方程式

数学における一次方程式（いちじほうていしき、）は一次多項式の根を求めるものである。
一変数の場合.
"a", "b" は実数の定数とするとき、
なる形をとる。後者の形の場合は、"a" ≠ 0 ならば（"a"−1 = 1⁄"a" が存在するから）一意的に解けて "x" = −"b"⁄"a" がその解である。"a" = 0 のとき、"b" ≠ 0 ならば不能、"b" = 0 ならば不定である。
二変数の場合.
一般形は
で、これは {（"x", "y"）| "ax" + "by" + "c" = 0} なる集合、つまり平面上の直線を表すと考えられる。直線が座標軸と平行でない場合、
なる形で扱うことができる。これはふつう、"x" を自由変数とし "y" を "x" の従属変数とみるとき、一次関数と呼ぶ。
三変数および更に多変数の場合.
三変数の場合
はユークリッド空間 R3 における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル n := ("a", "b", "c") に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば
なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の "n"-次元で考えれば、R"n" 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち "n"-変数の一次方程式
は超平面の方程式である。一次形式
は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は
の形に書くこともできる。
更なる一般化.
一次方程式の理論は係数や解を（実数や複素数のような数に限らず）一般の（非可換）体としてもそのまま成り立つ。特に、係数が（非可換）体 "K" であるような一次方程式が拡大体 "L"/"K" で解を持つならば、既に "K" において解を持ち、"K" における一般解がそのまま "L" における一般解になる。
"A" が行列、"x" がベクトル値の変数、"b" を定ベクトルとするとき、一次方程式
は "A" が正則ならば解くことができて "x" = "A"−1"b" となる。
より一般に、集合 "X" に作用素の集合 "T" が与えられているとき、"X"-値の変数 "x" に対して作用 τ ∈ "T" および定元 "b" ∈ "X" を与えれば、方程式
は意味を持ち、τ の逆作用素 τ−1が存在すれば "x" = τ−1"b" となる。特に "T" が群 "G" で "X" が"G"-加群 "M" のとき、
なども意味を持つ。