複素共役

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 の共役複素数を記号で で表す。
複素数 （ は実数、 は虚数単位）の共役複素数 は
である。極形式表示した複素数 （, は実数）の共役複素数 は、偏角を反数にした複素数である：
複素数の共役をとる複素関数 は環同型である。すなわち次が成り立つ。
複素共役は実数を変えない：
逆に、 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
複素共役変換は、 の全ての点で複素微分不可能である。
複素共役変換を 上の線型変換と見ると、その表現行列は
代数方程式について、
すなわち
が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。
定義と特徴づけ.
複素数 （ は実数、 は虚数単位）の複素共役とは、
を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。
複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 に対して、次が成り立つ。
さらに、複素共役は実数を保つ：
逆に、 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
（証明）
性質.
計算法則.
 を複素数とする。以下の性質が成り立つ。
上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。
複素数の種々の値.
複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。
代数方程式.
実係数多項式 が虚数根 をもつならば、 の共役複素数 も の根である。すなわち、実数係数多項式 について
が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。
複素解析.
複素共役変換 は、 の全ての点で複素微分不可能である。
実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において
が成り立つ。
複素数空間.
複素線形空間 の標準内積 
は次の式で定義される：