多角形

初等幾何学における多辺形（たへんけい、）または多角形（たかっけい、; ）は、閉あるいは閉曲線を成す、線分の閉じた有限鎖で囲まれた平面図形を言う。多角形を構成するこれら線分をその多角形の辺 (edge, "side") と呼び、それらの二つの辺が交わる点をその多角形の頂点 (vertex, "corner") と呼ぶ。 個の辺を持つ多角形は -角形 ("-gon") あるいは -辺形 (-lateral) と呼ぶ。例えば三角形は三辺形である。多角形は、より一般の任意次元における超多面体の二次元の例になっている。
多角形に関する基本的な幾何学的概念は特定の目的に応じて様々な方法で適応されてきた。数学においてはしばしば有界な閉折れ線や自己交叉を持たない単純多角形に限って問題にするため、そのようなもののみ多角形と呼ぶこともある。他方、多角形の境界が自分自身と交わることを許す流儀もあり、その場合星型多角形やその他のが形作られる。その他の多角形の一般化については後述。
多角形 (poly­gon) の語は、「多い」を意味する (ラテン転写: polús) と「角」（カド）を意味する (ラテン転写: gōnía, cōnía) に由来する。二つの相隣る (adjacent) 辺とそれらの交点としての頂点の成す幾何学的対象が角（カク、平面角）で、その大きさを測る数値（測度）を角度（角の測度）と呼ぶ。
なお、図形に関してはしばしば、その周辺の枠だけについて議論しているのか、面としてその内側と外側を区別しているのか曖昧なことがあるが、多角形についても同様であり、たとえば後者について議論していることを明確にするために「面分」（「線分」からの類推）などといった語が使われることなどがある。
面についての考慮をともなわない、「点と辺からなる対象」としては、（グラフ理論の意味の）「グラフ」の一種とみなすことができ、（多角形に限らないが）図形やグラフの特徴などについて、しばしば相互の用語などを使って説明などがなされることがある（一例として、多面体グラフの記事を参照のこと）。
歴史.
多角形は古代より知られてきた。正多角形は古代ギリシアにおいて既に知られている。
また五芒星のような非凸正多角形（星型多角形）も早くも紀元前7世紀ごろ、アリストノトスのクラテール（において発見され、現在カピトリーノ美術館に収蔵されている）に描かれている。
一般の非凸多角形の系統的研究として最初に知られたものは、14世紀にによって為された。
1952年には多角形の概念を複素平面 上に一般化（各実次元に虚次元を一つづつ追加）したものとしての概念を導入した。
用語.
多角形の
分類.
辺の数.
多角形は第一義的にその辺の数で分類できる。 個の辺を持つ多角形は -角形あるいは -辺形と呼ぶ。
凸性・凹性.
多角形をその凸性あるいは凹性によって特徴付けることができる:
多角形の内角の和／外角の和.
"n" 角形の内角の総和は、多角形の形状に関わらず（凸であれ凹であれ）　formula_1　である。これはどのような多角形でも、対角線で適当に区切ることで (n-2) 個の三角形に分割できることから導かれる。正 "n" 角形の内角は全て等しいので、正 "n" 角形の内角は formula_2 である。
"n" 角形の外角の総和は、"n"の値によらず、常に360度（ラジアン角では2π）である。
面積公式.
多角形の面積は、頂点の位置ベクトルから外積を用いて計算することができる。
多角形の頂点を反時計回りに並べて、それらの位置ベクトルをformula_3とすると、その面積は
という式になる。ただし、formula_5とする。
この式を使うと凹多角形でも問題なく計算できるが、自己交差を持つなどの特殊な場合には適用できないので注意が必要である。
ちなみに、時計回りの時は負になるだけなので、どちら回りかよく分からないときには全体の絶対値をとればよい。
合同条件.
辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し合同関係が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は合同である。
また、辺の数に関係なく、二つの多角形の面積が等しければ、適当に分割することによって、二つの多角形を合同にすることができる。（ボヤイの定理）
相似条件.
辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し相似関係が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は相似である。
コンピュータグラフィック.
直線のみから成る多角形は、コンピュータグラフィックで多用される射影変換に対して閉じている（元が多角形であれば、変換先も曲線になったりせず多角形になる、ということ）ことから、サーフェスモデルのプリミティブなどとして多用されている。詳細はポリゴンの記事を参照のこと。
一般化.
多角形の概念はいくつかの観点から一般化される。重要なものをいくつか挙げる: