常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、）とは、数学において、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 の未知関数 に対して、（既知の）関数 を用いて
という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。 は未知関数 の 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。
ここで は
を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。
また、多くの 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。
常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。
線型常微分方程式.
常微分方程式が
の形に表されるとき線型であるという。ただし、 および は を変数とする既知の関数である。 の方程式は特に斉次 () な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 () な方程式と呼ばれる。
非線型常微分方程式.
線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。
以下に例を挙げておく 。
1階非線型常微分方程式.
ここに、 は実数であり、 は既知関数である。