サイクロイド

サイクロイド（）とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線（はいせん）とも呼ばれる。サイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。
サイクロイド.
定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという（→）。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。
動円の半径を , 回転角を とすると、サイクロイドの媒介変数表示は
サイクロイドの微分方程式は
外サイクロイド.
定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド（がい-）という（→）。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線（がいはいせん）とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。
定円の半径を , 動円の半径を , 回転角を とすると、外サイクロイドの媒介変数表示は
定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときとなる。
内サイクロイド.
定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド（ない-）という（→）。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線（ないはいせん）とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。
定円の半径を 、動円の半径を 、回転角を 、ただし とすると、内サイクロイドの媒介変数表示は
定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径、3:1のときデルトイド、4:1 のときアステロイドとなる。