不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜんガンマかんすう、）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の積分表示から、積分区間の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を変数に置き換えたものとして定義される。
定義.
不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。
0以上の実数 "x" と、 実部が正の複素数 "a" に対し
性質.
ガンマ関数の定義は
であるから、
となる。
また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで
という関係が成り立つことも分かる。
さらに、以下のような式が成り立つ。
ここで、
である。
微分.
MeijerのG関数から: