有理化

数学において、有理化（ゆうりか、）とは、根号を含む式（とくに平方根を含む分数式の分母または分子）から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数（代数的無理数）を有理数に変える操作であることからこの名がある。
概要.
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば
などがあげられる。
抽象代数学的にはこの例は、formula_2 を有理数体、formula_3 が有理数の平方ではないとしたとき
という formula_2 の二次拡大体を考えると、
が成り立つ、という主張に一般化できる。
これは formula_7 の各元 formula_8 に対し、その拡大 formula_9 に関する共役元 formula_10 を掛ければ
（この formula_12 は formula_8 の（拡大 formula_14 に関する）ノルムと呼ばれる。）が formula_2 に属すということから"まさに有理化によって" 証明されるわけである。
一般に、体 "K" の（有限次ガロア）拡大体 "L" の元に対し、その元の拡大 "L"/"K" に関する共役元（二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある）をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 "K" に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。
実数化.
formula_2 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、formula_2 を実数体 formula_18 にとりかえ、"d" = −1 としてみよう。
（ここで、formula_20 は虚数単位のことである。）であって、各元（つまり複素数）formula_21 の formula_22 に関する共役元とは、共役複素数 formula_23 のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると
は formula_18 に属する。したがってたとえば、
などの変形が可能である。このような変形を（分母の）実数化ということがある。