偏差値

偏差値（へんさち、）とは、データの値が、平均50、標準偏差10のデータに変換（標準化）したときに示す値のことである。無次元数である。偏差値50で平均（上位&下位50%）であり、偏差値55（あるいは45）で上位（下位）30.85%、偏差値60（あるいは40）で上位（下位）15.87%、偏差値65（あるいは35）で上位（下位）6.68%、偏差値70（あるいは30）で上位（下位）2.28％、偏差値75（あるいは25）で上位（下位）0.62%、偏差値80（あるいは20）で上位（下位）0.13%である。
ある試験の受験者全体の中で相対的にいる位置を知るために用いる学力偏差値において、25（下位0.62%）前後から偏75（上位0.62%）の範囲に全受験者の偏差値が基本的には収まる。しかし、極端な試験結果だった場合のみ、100以上やマイナスの偏差値になるケースも存在する。
概要.
偏差値とは、データを一律に標準偏差（スケール）10、平均50に変換したときの値のことである。異なるデータでの偏差値の比較は、データが正規分布に近いことを前提としている。したがって、データが正規分布に大きく従わない場合は、偏差値は必ずしも適切な指標とはいえない（全ての値が同一の場合、後述の一般式では導き出せない）。
正規分布であるデータにおいて、平均50からの±10区間（40～60）は全体の約68.3%、±20区間（30～70）は約95.4%、±30区間（20～80）は約99.73%、±40区間（10～90）は約99.9937%、±50区間（0～100）は約99.999953%である。
例えば、全受験者数が100万人の学力試験の場合、偏差値80以上の者は、ほぼ1350人となる（日本の実際の統計では、10代における同じ年齢の人口はおおよそ110〜120万人程度。40代は180〜200万人程度）。
偏差値は全ての実数を取りうるが、偏差値が±50区間（0～100）を外れる割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。
偏差値は前述のとおり、平均を50、標準偏差を10とした値の事であり、優劣の判断は元の数字の特性に依存する。学力テストなど高い得点ほど良い場合は偏差値が高いほど良いとされる。また、ゴルフのスコアのように低い得点ほど良い場合は、偏差値も低い方が良いとされる。射的など目標にどれだけ近いかとする場合は中心である50が最も良いとされ、それから離れるほど悪い結果とされる。
数式による表記.
データの値 に対する偏差値 は次の式で定義される。
ここで、
なお、分子 は偏差である。特に、値 が平均値 に等しいときは、偏差が となり、偏差値は となる。また、値 が全て等しいときは、標準偏差 となり、偏差値がこの式では定義できない。この場合、値の偏差値を全て とする。