カプレカー数

カプレカー数（カプレカーすう、Kaprekar number）とは、次のいずれかで定義される自然数である。
名称は、インドの数学者 D. R. カプレカル（英語表記: D. R. Kaprekar）にちなむ。カプレカ数、カプリカ数ともいい、原語であるマラーティー語の発音に近づけてカプレカル数ともいう。
定義1.
正の整数を2乗し、上位と下位のゼロでない数桁ずつに分けて、それらの和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。
例えば、297 はカプレカー数である。2972 = 88209 であり、これを上位の2桁 88 と下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となる。
この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる。
定義1のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。
定義2（カプレカー定数）.
整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。
例えば、7641 − 1467 = 6174 であるから、6174 はこの定義でのカプレカー数である。10進4桁では唯一のものであり、カプレカー定数とも呼ばれる。3桁における唯一のカプレカー定数は、495 である。
この定義でのカプレカー数（カプレカー定数）を小さな順に並べると、こうなる。
なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカー数は全て9の倍数である。
最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと
となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる（1111 の倍数だけが 0 になり，その他は 6174 になる）。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。
この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4（途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの）は全てカプレカー数である。
外部リンク.