超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。
正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、"n" 次元超立方体を formula_1 と書く。
正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。
右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。
作図.
超立方体を作図するには、
を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。
こうして作図された超立方体は、"n" 次元ユークリッド空間を formula_2 で表して
でも定義できる。
性質.
特にことわらない限り、辺の長さが "a" の "n" 次元超立方体について述べる。
超体積は
超表面積は
である。
ファセット ("n" - 1 次元面) は "n" - 1 次元超立方体である。したがって一般に、"m" (0 ≤ m ≤ "n" - 1) 次元面は "m" 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。
対角線の長さは、
である。
"m" 次元面の個数は
である。これはの第 "n" + 1 段の三角形の第 "m" + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、formula_3 を二項展開し、formula_4 を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は formula_5 個、辺（1次元面）は formula_6 個、ファセットは formula_7 個である。formula_8 はパスカルの三角形の第 "n" + 1 段の "m" + 1 番目の数字であり、"n" - 1 次元単体の "m" - 1 次元面の個数である。
"m" (0 ≤ m ≤ "n" - 2) 次元面に集まる"l" ("m" + 1 ≤ l ≤ "n" - 1) 次元面の個数は
である。これはパスカルの三角形の第 "n" - "m" + 1 段の "l" - "m" + 1 番目の数字であり、"n" - "m" - 1 次元単体の "l" - "m" - 1 次元面の個数である。
双対は正軸体である。
任意の "l" 次元面と "m" 次元面（"l" ≠ "m" でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には "n" 本の辺が集まり、互いに直交する。