クヌースの矢印表記

クヌースの矢印表記（クヌースのやじるしひょうき、）とは、1976年にドナルド・クヌースが巨大数を表現するために発明した表記法である。これは、乗算が加算の反復であり、冪乗が乗算の反復であるのと同様の考え方に基づくもので、冪乗の反復（テトレーション）を表す演算の表記法である。例えば宇宙論で使われた最大の数は、クヌースの矢印表記で表すとおよそformula_1<ref group="注釈">複数の宇宙の全質量を1個のブラックホールに圧縮しそれが蒸発した後に、ポアンカレの回帰定理に従い再びブラックホールができる時間。値を冪指数で表現するとformula_2
これを用いると、
などと書ける。
それ以上.
さらにクヌースは、三重以上の矢印演算子を定義した。三重矢印は二重矢印による演算を反復する演算子であり、ペンテーションを表す。
同様に、四重矢印演算子も定義できる。これはヘキセーションを表す。
これを一般的に述べると、 重の矢印演算子は、 重の矢印演算子の反復として表すことができる。
具体例を挙げると、14↑↑↑↑4 は 14↑↑↑14↑↑↑14↑↑↑14 である。
なお、矢印を使った指数の記法 formula_12 も、クヌースの矢印記号の特殊例（一重矢印）として再解釈される。
定義.
 重の矢印演算子を formula_13 と略記することにする。このとき、クヌースの矢印表記は、次のように定義される。
ただし、である。なおなので、最初の2式の優先順位はどちらでもよい。
結合規則.
クヌースの矢印（通常の指数計算である も含む）は右結合である。つまり、formula_15 と書かれたときこれは formula_16 を表し、formula_17 ではない。
具体例を挙げると、
は
だが、
ではない。
他の記法との関係.
既に述べた通り、1重のクヌースの矢印は冪乗を表す。また、2重のクヌースの矢印はテトレーションを表す。
また、formula_23 を用いてアッカーマン関数の一般解を表すことができる。
ハイパー演算子は、積・和・後者関数も表せる以外は、formula_23 を使ったクヌースの記法と等価である。
コンウェイのチェーン表記は、3連では formula_23 を使ったクヌースの矢印表記と等価だが、さらに長く続けることで、クヌースの矢印表記では簡潔に表せない、あるいは現実的に表せない大きな数、たとえばグラハム数の範囲などを表すことができる。
配列表記も3変数ではクヌースの矢印表記と等価だが、この配列表記をさらに長く続けた場合は、コンウェイのチェーン表記よりもはるかに効率的に数が爆発する。具体的には、4変数の配列表記でコンウェイのチェーン表記レベル、5変数でその拡張表記レベルとなり、6変数以上となるとそのレベルを超える。
また、多角形表記も巨大数のレベルとしてはクヌースの矢印表記レベルの巨大数を作ることができ、ハイパーE表記も拡張表記でない段階ではクヌースの矢印表記と同程度の増加速度である。
フォントの都合による代替表記.
コンピュータ上でのテキストとして表記する場合、フォントによっては↑のような記号が無い場合もあるため、a^^bのようにサーカムフレックスを並べる表記を行う場合がある。クヌース自身も、これを代替的あるいは簡便な記法として認めている。
指数表記 "a""b" のかわりに a^b と書くのも、これと同じである。