中間値の定理

中間値の定理（ちゅうかんちのていり、）とは、実数の区間の連結性に関する以下のような存在型の定理である。
この「明らか」な定理の証明を与えたのはボルツァーノである。
概要.
直感的には、平面上に異なる2点をとり、この2点を結ぶ連続な曲線を描く。そしてこの2点の位置関係が互いに反対側になるように直線を引いたとき、その曲線と直線とがどこかで必ず交点を持つ、ということに相当している。
ある種自明のように思われるが、これは実数の閉区間が連結であり、その連続像が再び閉区間したがって連結となること（一般に連結な位相空間の連続写像による像はやはり連結である）から成り立つ定理である。
なお、「任意の閉区間が連結である」ことと「実数の連続性が成立する」ことは同値であり（例えば、有理数体上では［"a", "b"］は連結でない）、中間値の定理自体も結局は実数の連続性と同値である。
中間値の定理のある種の逆、つまり任意の中間値をとる関数は連続である、は成り立たないことがダルブーにより示されている。
また、より一般に、連結空間上の実数値連続関数について以下のことが成り立ち、これも中間値の定理と呼ばれる。
この連結空間 を実数の有界閉区間 に、2点 をその両端点 に限定すると冒頭に述べた主張が得られる。
証明.
ということだけである（この事実はここでは認めて話を進めることにする）。
存在型の定理.
この種の定理は「存在」に関しては保証してくれるが、「具体的にどこにあるか」については分からない。具体的にどこにあるのか知りたい場合には別の考察が必要であるが、「存在」さえ確かめられれば、それでいい場合も多い。
似たような存在型の定理に、ロルの定理や平均値の定理などがある。