線型独立

線型代数学において、 本のベクトルが線型独立（せんけいどくりつ、）または一次独立であるとは、それらのベクトルが張る空間が 次元部分線形空間になることである。
線型独立であるベクトルたちは、何れも、零ベクトルでない。
具体的には、 本のベクトル が線型独立であるとは、formula_1 をスカラーとして、
が成り立つことである（#定義）。
線型独立でないことを線型従属（一次従属）という。
定義.
自明な線型関係.
任意のベクトル に対して
である。これを の自明な線型関係と呼ぶ。これ以外の線型関係があるかないかで線型従属、線型独立になる。
線型従属.
線型関係
において、ある で であるとき、 は線型従属（一次従属）であるという。このとき は残り 本のベクトルの線型結合で表せる。このとき が張る線形空間の次元は 未満になる。
線型独立.
ベクトル が線型従属でないときこの集合は線型独立（一次独立）であるという。つまり、スカラー に対して
このとき、どのベクトルも残り 本が張る線形部分空間外のベクトルである。 
文脈から明らかなときには単に従属、独立などと言うこともある。
例.
数ベクトル空間における例.
のベクトル.
実際 を二つの実数として formula_7 を に関して解けば がわかる。
この場合、ベクトルによって形成される行列は
列の線型結合を次のように書ける
ある 0 でないベクトル Λ に対して "A"Λ = 0 かどうかに興味がある。これは "A" の行列式に依存し、それは
行列式が 0 でないから、ベクトル (1, 1) と (−3, 2) は線型独立である。
別のやり方で、"n" 座標の "m" ベクトルを持っていて "m" < "n" とする。このとき "A" は "n"×"m" 行列であり Λ は "m" 成分を持つ列ベクトルで、再び "A"Λ = 0 に興味がある。前に見たように、これは "n" 方程式のリストに同値である。"A" の最初の "m" 列、最初の "m" 方程式を考えよう； 方程式の全リストの任意の解は減らされたリストでも解でなければならない。実は、〈"i"...,"i"〉 が "m" 行の任意のリストであれば、方程式はそれらの行に対して正しくなければならない。