総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
定義.
結合律を満たす積 × の定義される集合 "M" の元の列 "a", "a", …, "a" の総乗を
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 "E" に対し、"E" の濃度を "n" とする。このとき、"E" の元を "I" = {1, 2, …, "n"} で添え字付けて、"E" の元の全体を「"I" を添え字集合とする元の列 ("x") 」とすることができる。この列の総乗を
などのように表す。ここで、"E" の濃度が 0、すなわち、添え字集合 "I" が空集合であってもよい。特に、集合 "M" が積 × に関する単位元 1 を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1 であるとする。（空積も参照）
積が非結合的な場合.
積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、"a" × "a" × … × "a" という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。
このとき、formula_6 と書くことにすると、
の意味になる。このようなものはあまり応用がない。
無限乗積.
総和と同様に、可算無限列 formula_8 の総乗
を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。
定義.
実数や複素数からなる可算列 ("x") の無限乗積を定義する。無限乗積 formula_10 が収束するとは2条件
が成り立つことをいう。無限乗積 formula_11 が収束するとき、その値を
と定める。この値は番号 "m" の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim "x" = 1 が成り立つ。
また数列 ("x") に対して無限乗積
formula_13
が収束するとき、無限乗積 formula_14 は絶対収束するという。無限乗積 formula_14 が絶対収束するのは無限級数 formula_16 が絶対収束するとき、かつそのときに限る。
例.
三角関数の無限乗積展開
ウォリス積
オイラー乗積
ガンマ関数