圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。
二つの圏が等しいとは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩いでさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。
圏論が初めて現れるのは "General Theory of Natural Equivalences"（「自然同値に関する一般理論」）と題された論文 である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの『圏論の基礎』がある。
定義.
圏の定義にはいくつか同値なものが存在するが、よく用いられるものの一つを以下に示す。
圏 は以下のものからなる:
このとき、任意の三対象 に対し、射の合成と呼ばれる二項演算 が存在して以下の公理を満足する:
これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。文献によっては各対象を対応する恒等射と同一視して、対象の存在を陽に仮定しない定義を採用するものもある。
文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある。
例.
以下は圏の例である。参照。
諸定義.
以下では特に断らない限り "C" を圏、"X" や "Y" をその対象、その間の射を "ƒ" : "X" → "Y" とする。参照。
関手.
2 つの圏 "C", "D" があったとき、
という対応 "F" で射の合成や恒等射を保つものは（共変 ("covariant")）関手 "F" とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は "C" から "D" への反変関手 ("contravariant functor") とよばれる。"C" から "D" への反変関手を考えるということは "C" の双対圏 "C"op から "D" への共変関手を考えるということと同じになる。
自然変換.
自然変換 ("natural transformation") は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型 ("natural isomorphism") にて表現される。
2 つの関手 "F", "G" に対し、"F" から "G" への自然変換が存在して η"x" が "C" に含まれる全ての対象 "x" に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型 ("naturally isomorphic") であるという。
高次圏.
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。
例えば、「二次元の圏」である（"bicategory") もしくは (2-category) は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」("2-cell") は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」("exchange law") が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である—これは(狭義)モノイド圏である。
この手法を任意の自然数 "n" で拡張し、"n"-圏（"n-category"、"n" 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する "ω-category" と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of "n"-categoriesが挙げられる。
空間を圏で表す.
(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 "C"O と同一視することができる：obj("C"O) = O とし、"p", "q" ∈ O = obj("C"O) について "p" ≤ "q" のとき、およびそのときに限り "p" から "q" への射がただ 1 つ存在する、として "C"O における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 "X" に対してその開集合系 "O"("X") を圏と見なすことができる。
"G" が群のとき、対象 "Y" ただ 1 つからなり、Hom ("Y", "Y") ≡ "G" であるような圏を "G" と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。
歴史.
1945年のサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによる、代数的位相幾何学において直感的／組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。
その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。