連続の方程式

連続の方程式（れんぞくのほうていしき、、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。
保存則と密接に関わっている。
狭義.
狭義には、流体力学における質量保存則
 + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 
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あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した
を指す。
広義.
広義には、スカラー物理量 "q" についての保存則
あるいは、更に一般化して、"q" の輸送方程式（一般の保存則）
を指すこともある。
広義の連続の方程式の導出.
広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。"q" をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。
"q" についての連続の式は、
と表現できる。
ここで "q" は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、"q" の密度 ρ、"q" の流束 j 、"q" の湧き出し密度 σ を導入すると、
と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す "q" の流量であることを表している。
これにより連続の式は
となる。
ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると
となるので、微分形
が得られる。
特に、湧き出しがないときの連続の式
を保存形、あるいは、"q" の保存則の微分形と呼ぶ。
流体における連続の式.
質量保存則.
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は
となる。
質量保存則から連続の式は
となる。
輸送定理による導出.
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。
ここで、formula_11 は実質微分であり、Ω("t" ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。
これより、
が成立する。
この式は、実質微分の定義
と公式
を使って、
と等価であることがわかる。
非圧縮性流体についての連続の方程式.
連続の方程式
に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、formula_17 となるので、ρ≠ 0 であることから、
を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。
この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。
電磁気学における連続の方程式.
電荷保存則.
電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は
となる。
変位電流.
マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式
に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式
において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、
となり、ガウスの式
を代入することで連続の式が得られる。
四元電流.
電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 "J"μ (μ= 0, 1, 2, 3) を
と表す。ここで "c" は光速である。微分演算子
を定義すると、連続の式は
と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。
量子力学.
量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。
Ψ(r , "t" ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を
と定義すると、シュレディンガー方程式
を用いて、確率に対する連続の式
が得られる。
連続の式の導出.
シュレディンガー方程式とその複素共役の式
それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
更に
となり、連続の式
ただし、
が得られる。
拡散方程式.
ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則（フィックの第一法則）により流束は
と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 formula_36 をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式
が得られる。