交換関係 (量子力学)

量子力学における交換関係（こうかんかんけい、）とは、演算子としてあらわされた物理量が満たす量子力学特有の関係である。
定義.
二つの演算子（formula_1、formula_2 とする）に対して、
を交換子 () と言う。交換子も演算子であり、特に formula_1、formula_2 がともにエルミートであるとき、交換子は歪エルミートとなる。量子力学において、この交換子を規定する関係が交換関係である。
普通の数はかける順序を逆にしても値は同じだが、量子力学における演算子は必ずしもそうではなく、formula_6 が formula_7 にならない場合がある。formula_8 のとき、formula_1 と formula_2 は可換である、あるいは formula_1 と formula_2 は交換するという。formula_13 のとき、formula_1 と formula_2 は非可換である、あるいは formula_1 と formula_2 は交換しないという。
formula_1 と formula_2 が可換なことと formula_1, formula_2 の同時固有状態が存在することは等価である。
性質.
交換子で定義される交換関係は次の性質を満たす。
正準交換関係.
演算子には物理量に対応するものがあり、特に正準共役な変数同士の交換関係を正準交換関係 (, CCR) と言う。正準共役な関係にある、[[座標]] formula_27 と[[運動量]] formula_28 で、
という 交換関係が成り立つ（formula_30で formula_31 は[[プランク定数]]）。勿論、古典論では上記の結果はゼロ（formula_32）となる。
反交換関係.
formula_33
を反交換子 () といい、これから規定される関係を、反交換関係 と言う。特に正準共役な変数同士の反交換関係を正準反交換関係 (, CAR) と言う。formula_34という表式もしばしば用いられる。反交換子もまた演算子であり、特に formula_1、formula_2 がともに[[エルミート作用素|エルミート]]であるとき、反交換子もまた[[エルミート作用素|エルミート]]となる。反交換関係は[[フェルミ粒子]]などを扱う際に用いられる。
ポアソンの括弧式.
古典[[解析力学]]において、 [[正準座標]] formula_37 と [[正準変数|正準運動量]] formula_38 の関数 formula_39 と formula_40 に対して、
で定められる量を[[ハミルトン力学|ポアソンの括弧式]]という。[[ハミルトン力学|ポアソンの括弧式]]は次のような関係式を満たしている。
交換関係と同様の関係式を満たしており、量子力学での交換関係は古典力学のポアソンの括弧式に相当する。（[[正準量子化]]の項も参照）
関連項目.
[[Category:量子力学]]