スキューズ数

スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、 以下の素数の個数 および 対数積分 について、 を満たす最小の自然数 の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような 自体を指すこともある。2021年時点で、このような は 1014 より大きく 1.3983 × 10316 未満であることが知られているが、正確な値は不明である。
歴史.
素数定理によれば、 は漸近的に に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に が小さいあいだは常に の方が大きいように見える。このことから、 となる が存在するか、という問題が自然に考えられる。ガウスやリーマンはそのような は存在しない、と予想していた。スキューズの指導教官であるリトルウッドは、1914年の論文において、そのような が存在することのみならず、 の符号は無限回変わることを示した。すなわち、 と は無限回抜きつ抜かれつするのである。しかし、リトルウッドの証明は、いつ初めて が を追い抜くか、という見積もりを与えるようなものではなかった。
スキューズは、1933年の論文において、リーマン予想が真であるとの仮定の下に、 となる は、次の数以下に存在することを証明した。
これがオリジナルのスキューズ数であり、第一スキューズ数とも呼ばれる。
後にグラハム数などにその座を譲ることになるが、当時としては意味のある数学的議論に登場する最大の数であった。なお、この見積もりは非常に大雑把なものであり、後述のように評価は大幅に改良される。
さらに、スキューズは1955年には、リーマン予想が真であると仮定することなしに、 は次の数以下に存在することを証明した。
これは第二スキューズ数と呼ばれる。よりシンプルな表現の近似 formula_3 も第二スキューズ数の近似値としてしばしば用られる。
評価の改良.
スキューズの与えたこれらの見積もりは非常に大きいため、より小さな評価を与える研究が進められた。それは、コンピュータを用いてリーマンゼータ関数の零点を計算することによって行われる。Lehman (1966) が示したところによると、1.53 × 101165 から 1.65 × 101165 の間に となるような整数 が連続して 10500 個以上ある。H. J. J. te Riele (1987) は上からの評価を約 7 × 10370 にまで、Bays & Hudson (2000) は約 1.3983 × 10316 にまで下げ、その付近に なる が存在することを示した。
一方、Rosser & Schoenfeld (1962) は、 においては常に であることを示した。この記録は Brent (1975) によって 8 × 1010 にまで、Kotnik (2008) によって 1014 にまで更新された。
正確にいつ初めて が が追い抜くのかは、未解決の問題である。それどころか、 となる具体的な の値はひとつも知られていない。
Wintner (1941) は、 なる の割合は正であることを示し、Rubinstein & Sarnak (1994) はその割合がおよそ 0.00000026 であることを示した。