グリーン関数

グリーン関数（グリーンかんすう、英: Green's function）とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。 物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。物理学におけるグリーン関数はプロパゲーター（伝播関数）とも呼ばれる。 J. A. Green により導入された組合せ論的関数のことをグリーン関数と呼ぶこともある。これはグリーン多項式とも呼ばれる。有限シュバレー群（オリジナルは有限体上の一般線型群）の既約表現を記述する数学的対象である。 下の偏微分方程式の（初期値）境界値問題を例に考える。 L y ( x ) = − f ( x ) x ∈ Ω y ( x ) = y 1 ¯ x ∈ Γ 1 ∂ y ( x ) ∂ n = y 2 ¯ x ∈ Γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} y({\boldsymbol {x}})&=-f({\boldsymbol {x}})&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\y({\boldsymbol {x}})&={\bar {y_{1}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial y({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}&={\bar {y_{2}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}} ここで、 L {\displaystyle \mathrm {L} } は微分作用素、 Ω {\displaystyle \Omega } は領域であり、領域の境界 Γ {\displaystyle \Gamma } は、 y 1 ¯ {\displaystyle {\bar {y_{1}}}} が規定されている境界 Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} と、 ∂ y / ∂ n {\displaystyle \partial y/\partial n} が規定されている境界 Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{2}} からなり、 Γ 1 ∪ Γ 2 = Γ {\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}=\Gamma } 、 Γ 1 ∩ Γ 2 = ϕ {\displaystyle \Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}=\phi } であるものとする。また、 n {\displaystyle n} は境界での外向き法線方向を示す。 上記の問題に対するグリーン関数 G ( x , x ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x'}})} とは次の条件を満たす関数のことである。 L G ( x , x ′ ) = − δ ( x − x ′ ) x ∈ Ω G ( x , x ′ ) = 0 x ∈ Γ 1 ∂ G ( x , x ′ ) ∂ n = 0 x ∈ Γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')&=-\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}')&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')&=0&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')}{\partial n}}&=0&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}} ここに、x′ はソース点の位置を表す。 無限領域におけるグリーン関数を基本解という。 境界が単純（無限領域、半無限領域、無限平板領域など）でない場合にはグリーン関数を解析的に求めるのは大変困難である。 グリーン関数はもともと微分方程式の境界値問題に現れる関数である。物理学においても微分方程式を解くためにグリーン関数を用いることも多いが、量子物理学ではこれを拡張して使っている。つまり物理学においてグリーン関数は2通りの意味で扱われている。 境界値問題における微分方程式の主要解を意味し、与えられた全ての境界条件・初期条件を満足する。物理学では、微分方程式を直接解く代わりに、まず単純な点源問題の解であるグリーン関数を求めた後、重ね合わせの原理によって微分方程式の解をグリーン関数を用いて表す。 ある物理系を構成する個々の状態間の相関関数を与える関数として使われ、位置や時間などで指定されたある状態から他の状態への伝達(伝播)の特性を表す。詳細はプロパゲーターやグリーン関数 (多体理論)を参照。 電磁気学におけるポアソン方程式 Δ φ ( r ) = − ρ ( r ) {\displaystyle \Delta \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\rho ({\boldsymbol {r}})} の解 φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} を求めたい。この方程式の解として積分方程式 φ ( r ) = ∫ G ( r , r ′ ) ρ ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})\rho ({\boldsymbol {r'}})d{\boldsymbol {r'}}} を仮定し、ポアソン方程式に代入するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} の満たすべき式が得られる。 Δ G ( r , r ′ ) = − δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \Delta G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})=-\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}})} これを解くために両辺をフーリエ変換すると、 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} のフーリエ変換 g ( k , r ′ ) = e − i k ⋅ r ′ k 2 {\displaystyle g({\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {r'}})={\frac {e^{-i{\boldsymbol {k\cdot r'}}}}{{\boldsymbol {k}}^{2}}}} が得られる 。 これを逆フーリエ変換するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} が求まる。 G ( r , r ′ ) = 1 4 π | r − r ′ | {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})={\frac {1}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|}}} よってポアソン方程式の解は次のように求まる。 φ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r'}})}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|}}d{\boldsymbol {r'}}} 以上のことから、位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の点電荷が別の位置 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} に作る静電ポテンシャルを表したものがグリーン関数であり、これを重ね合わせたものが電荷分布 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} の作る静電ポテンシャル φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} であることがわかる。 微分演算子を線型演算子 L と見て、微分方程式 Lφ = −ρ を解きたいとき、一種の逆演算子 L−1 を求めることができれば、φ = −L−1ρ というように微分方程式を解くことができる。これは線型代数における連立方程式において、係数行列の逆行列を求めることができれば連立方程式を解くことができることと対応している。このような L−1 をグリーン演算子 (Green's operator, Green operator) という。グリーン演算子を行列表示したときの行列要素をグリーン関数という。 このようにグリーン関数を抽象的な演算子と考えて取り扱うことには次のような利点がある。 微分演算子や積分演算子だけでなく、第二量子化のような抽象的な演算子を用いた理論に対してもそのまま用いられる。それは定常状態のシュレーディンガー方程式においてハミルトニアンを第二量子化における演算子で書かれていると考えるだけである。 複雑な関係式を簡潔に見通しよく書ける場合があり、一般的な性質の議論を見通し良く行える 例えば、方程式 ( − H