常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、数学において、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n . ) {\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)} という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。 F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n . ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)} ここで F, x は F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = ( F 1 ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) , … , F r ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) ) x ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x m ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right)\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}} を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。 また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。 x ( n ) ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n − 1 ) ( t ) ) ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r   k = 0 , 1 , … , n . ) . {\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right).} 常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。 常微分方程式が d n x d t n + a n − 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a 0 ( t ) x = b ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)} の形に表されるとき線型であるという。ただし、ak(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。 線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。 以下に例を挙げておく 。 y = x d y d x + x n f ( d y d x ) . {\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.} y = x d y d x + y n f ( d y d x ) . {\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.} ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。 d y d x = y 1 − m x 1 − n f ( y m x n ) . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).} 　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。 d y d x = d A ( x ) d x F ( y A ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).} 　 A(x)，F は既知関数。 d y d x = B ( x ) F ( y + A ( x ) ) − d A ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.} 　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。 y = x d y d x + P ( x ) ( d 2 y d x 2 ) n . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.} y = x d y d x + f ( d 2 y d x 2 ) . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).} 上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。 y = x d y d x + f ( x n d 2 y d x 2 ) . {\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.} 　 n は実数，ただし，n ≠ 2，f は既知関数。 x d 2 y d x 2 + ( 1 + f ( y ) ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} 　 f(y) は既知関数。 x d 2 y d x 2 + ( α + γ y n ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} 　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。 d 2 y d x 2 = f ( α + β x + γ y k + ℓ x + m y ) . {\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).} 　　f (·) は既知関数。 α , β , γ , k , ℓ , m {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m} は実数．ただし， γ ℓ − β m = 0 {\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0} 。 連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x1(t),..., xn(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x1(t), x2(t) とする。それらの一階の導関数を x'1(t), x'2(t) として、 F ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 , {\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,} G ( t , x 1 , x 2 , x 1 ′ ( t ) , x 2 ′ ( t ) ) = 0 {\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0} は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。 一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。 F k ( t ; x 1 , … , x m ; x 1 ( 1 ) , … , x m ( 1 ) ; … ; x 1 ( n ) , … , x m ( n ) ) = 0 , k = 1 , 2 , … , r . {\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.} ここで xi(j)(t) は、未知関数 xi(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。 これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x1(t),..., xm(t) をその解という。 具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、 d y d x = a z + b , {\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,} d z d x = c y + d {\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d} は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。 一例を挙げておく。 { F ( y , d z d x ) = 0 , G ( z , d w d x ) = 0 , H ( w , d y d x ⋅ ( d w d x ) − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}} x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする。