パウリ行列

パウリ行列（パウリぎょうれつ、英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ、英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの複素2次正方行列の組のことである。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。 σ 1 = σ x = [ 0 1 1 0 ] ,  σ 2 = σ y = [ 0 − i i 0 ] ,  σ 3 = σ z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} 添字は数学では 1, 2, 3 が、物理学では x, y, z が使われる。座標系によっては添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。 上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。 σ 0 = I = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} パウリ行列は次の性質を満たす。 パウリ行列は σ k † = σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }=\sigma _{k}\qquad (k=1,2,3)} を満たすエルミート行列であり、 σ k † σ k = σ k σ k † = I ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle {\sigma _{k}}^{\dagger }\sigma _{k}=\sigma _{k}{\sigma _{k}}^{\dagger }=I\qquad (k=1,2,3)} を満たすユニタリ行列でもある。 パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。 σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = I {\displaystyle {\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I} また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。 σ 1 σ 2 = − σ 2 σ 1 = i σ 3 , σ 2 σ 3 = − σ 3 σ 2 = i σ 1 , σ 3 σ 1 = − σ 1 σ 3 = i σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}} すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について { σ i 2 = I = − i σ 1 σ 2 σ 3 σ i σ j = − σ j σ i ( i ≠ j ) {\displaystyle {\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}} が成り立つ。ここでクロネッカーのデルタ δij とエディントンのイプシロン εijk を用いれば、これらをまとめて σ i σ j = δ i j I + i ∑ k = 1 3 ε i j k σ k ( i , j , k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)} と書くことができる。 パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に [ σ i , σ j ] = σ i σ j − σ j σ i = 2 i ∑ k = 1 3 ϵ i j k σ k , { σ i , σ j } = σ i σ j + σ j σ i = 2 δ i j I {\displaystyle {\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}} となる。 それぞれのパウリ行列は、固有値 +1 と −1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、 | σ 1 , + ⟩ = 1 2 [ 1 1 ] , | σ 1 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − 1 ] | σ 2 , + ⟩ = 1 2 [ 1 i ] , | σ 2 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − i ] | σ 3 , + ⟩ = [ 1 0 ] , | σ 3 , − ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{alignedat}}} である。 パウリ行列 σk (k = 1, 2, 3) のトレース (Tr) は 0 となり、行列式 (det) は −1 となる。 Tr ⁡ ( σ k ) = 0 det ( σ k ) = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{k})&=0\\\det(\sigma _{k})&=-1\end{aligned}}} 2次単位行列 σ0 = I を含めた場合、 Tr ⁡ ( σ 0 ) = 2 det ( σ 0 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{0})&=2\\\det(\sigma _{0})&=1\end{aligned}}} である。 単位行列を含めたパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) について、 Tr ⁡ ( σ μ σ ν ) = 2 δ μ ν ( μ , ν = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{\mu }\sigma _{\nu })=2\delta _{\mu \nu }\quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)} が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト＝シュミット内積（英語版） ⟨A, B⟩ = Tr(A†B) について、直交する。 複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含むパウリ行列は直交基底をなす。よって、任意の複素2次行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) の線形結合として、次の形で書ける。 A = s 0 I + s 1 σ 1 + s 2 σ 2 + s 3 σ 3 = ∑ μ = 0 3 s μ σ μ {\displaystyle A=s_{0}I+s_{1}\sigma _{1}+s_{2}\sigma _{2}+s_{3}\sigma _{3}=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}s_{\mu }\sigma _{\mu }} ここで複素係数 sμ は s μ = 1 2 Tr ⁡ ( A σ μ ) ( μ = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle s_{\mu }={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (A\sigma _{\mu })\quad (\mu =0,1,2,3)} で与えられる。 また、任意の2次エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 sμ は実数になる。 部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル（実ベクトル）はストークスベクトル（英語版）と呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。 パウリ行列の性質 σ i 2 = I {\displaystyle {\sigma _{i}}^{2}=I} から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式 exp ⁡ ( i a σ i ) = I cos ⁡ a + i σ i sin ⁡ a ( a ∈ C ) {\displaystyle \exp(ia\sigma _{i})=I\cos a+i\sigma _{i}\sin a\quad (a\in \mathbb {C} )} を満たす。 さらに実ベクトル a→ = (a1, a2, a3) ∈ R3 とパウリ行列の組 σ→ = (σ1, σ2, σ3) に対し、 exp ⁡ ( i a → ⋅ σ → ) = I cos ⁡ | a → | + i ( n → ⋅ σ → ) sin ⁡ | a → | {\displaystyle \exp(i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=I\cos {|{\vec {a}}|}+i({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {|{\vec {a}}|}} が成り立つ。ただし、n→ は n → = 1 | a → | ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})} で与えられる単位ベクトルである。 a→ が実ベクトルの場合、exp(i a→⋅σ→) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k = 1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の基底であることによる。 パウリ行列は、行列式を 1 とする 2次ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群 SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である。パウリ行列に −i/2 を乗じた X 1 = − i 2 σ 1 = [ 0 − i / 2 − i / 2 0 ] X 2 = − i 2 σ 2 = [ 0 − 1 / 2 1 / 2 0 ] X 3 = − i 2 σ 3 = [ − i / 2 0 0 i / 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&-i/2\\-i/2&0\end{bmatrix}}\\X_{2}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{bmatrix}}\\X_{3}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}-i/2&0\\0&i/2\end{bmatrix}}\end{aligned}}} は 𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係 [ X 1 , X 2 ] = X 3 , [ X 2 , X 3 ] = X 1 , [ X 3 , X 1 ] = X 2 {\displaystyle [X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}} を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースが 0 かつ反エルミート Tr ⁡ ( X ) = 0 X † = − X {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (X)&=0\\X^{\dagger }&=-X\end{aligned}}} である元 X から構成されるが、X1, X2, X3 はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、 exp ⁡ ( ∑ k = 1 3 t k X k ) ( t 1 , t 2 , t 3 ∈ R ) {\displaystyle \exp(\sum \limits _{k=1}^{3}t_{k}X_{k})\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )} の形で与えることができる。 量子力学において、パウリ行列はスピン 1/2 の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 J1, J2, J3 は交換関係 [ J 1 , J 2 ] = i ℏ J 3 , [ J 2 , J 3 ] = i ℏ J 1 , [ J 3 , J 1 ] = i ℏ J 2 {\displaystyle [J_{1},J_{2}]=i\hbar J_{3},\,[J_{2},J_{3}]=i\hbar J_{1},\,[J_{3},J_{1}]=i\hbar J_{2}} を満たす。ただし、ℏ = h/2π はディラック定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は [ J i , J j ] = i ℏ ∑ k = 1 3 ε i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}J_{k}} と表すことができる。ここで、 J 1 1 / 2 = ℏ 2 σ x = ℏ 2 [ 0 1 1 0 ] J 2 1 / 2 = ℏ 2 σ y = ℏ 2 [ 0 − i i 0 ] J 3 1 / 2 = ℏ 2 σ z = ℏ 2 [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\J_{2}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\\J_{3}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}} を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J1, J2, J3 の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J3 を選び対角化している。J31/2 の固有値は +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン 1/2 の状態を記述する。 パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σμ (μ= 0, 1, 2, 3) は反交換関係 { γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν I {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I} を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列 γ 0 = [ I 2 0 0 − I 2 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{bmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}\quad (j=1,2,3)} を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。 γ 0 = σ 3 ⊗ I 2 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)} パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L↑+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L = O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛTgΛ = g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。 L = { Λ ∈ G L ( 4 , R ) | Λ T g Λ = g } {\displaystyle L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}} 一方、順時固有ローレンツ群 L↑+ = SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から L + ↑ = { Λ ∈ L | Λ 00 ≥ 1 , det Λ = 1 } {\displaystyle L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}} として、定義される。ここで4元ベクトル x = (x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ→ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列 X = ∑ μ = 0 3 σ μ x μ = x 0 I + x → ⋅ σ → = [ x 0 + x 3 x 1 + i x 2 x 1 − i x 2 x 0 − x 3 ] {\displaystyle X=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{bmatrix}}} を導入する。その行列式は det X = ( x 0 ) 2 − ( x 1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 {\displaystyle \det X=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}} であり、ミンコフスキー内積 ⟨x, x⟩ を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換 X ′ = A X A † {\displaystyle X'=AXA^{\dagger }} を定義すると、 det X ′ = det X {\displaystyle \det X'=\det X} であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A) = Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L↑+ への2対1の準同型写像を与える。その核は Z2 = {±1} であり、群の同型対応 S L ( 2 , C ) / Z 2 ≅ L + ↑ {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }} が成り立つ。 パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。 e k = − i σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)} を導入すると、関係式 e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − I {\displaystyle {e_{1}}^{2}={e_{2}}^{2}={e_{3}}^{2}=-I} e 1 e 2 = − e 2 e 1 = e 3 , e 2 e 3 = − e 3 e 2 = e 1 , e 3 e 1 = − e 1 e 3 = e 2 {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}} を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式 i 2 = j 2 = k 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1} i j = − j i = k , j k = − k j = i , k i = − i k = j {\displaystyle ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j} と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像 a 1 + b i + c j + d k ↦ a I + b e 1 + c e 2 + d e 3   ( a , b , c , d ∈ R ) {\displaystyle a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )} は和と積と保ち、四元数の2次正方行列表現を与える。この像は M = { [ a − d i − ( c + b i ) c − b i a + d i ] | a , b , c , d ∈ R } = { ( α β − β ¯ α ¯ ) | α , β ∈ C } {\displaystyle M=\left\{{\begin{bmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\end{bmatrix}}\,{\Biggl |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\,{\Biggl |}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}} であり、H と M は R-多元環として同型である。