ヘンゼルの補題

数学のヘンゼルの補題（ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma）とは、1変数多項式が素数 p を法として単根（英語版）を持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つの互いに素な多項式（英語版）に因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題（英: Hensel's lifting lemma）とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。 p の冪指数を無限に大きくしていったときの（射影極限の意味での）極限を取ることにより、法 p での根（または因数分解）を p 進整数上での根（または因数分解）に持ち上げることができる。 この補題は、任意の可換環を係数とする多項式に対して、p をイデアル、「互いに素な2つの多項式」を「2つの多項式が生成するイデアルが1を含む」に置き換えることにより一般化できる。一般化された補題も同じ名前で呼ばれる。 ヘンゼルの補題は、解析的整数論の一分野である p 進解析学の基礎である。 ヘンゼルの補題の証明は構成的（英語版）であり、証明からヘンゼル持ち上げの効率的なアルゴリズムが得られる。これは多項式の因数分解のアルゴリズムの基礎である。また有理数体上の線型代数学についての最も効率の良いアルゴリズムが得られる[要検証 – ノート]。 ヘンゼルの補題は、ヘンゼルよりも早く1846年にテオドル・シェーネマン（英語版）によって証明されていた。また、「存在」についての主張だけならシェーネマンよりも早くカール・フリードリヒ・ガウスによっても知られていた。 もともとのヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の因数分解と、素数 p、もしくはその冪乗を法とする剰余類環を係数とする多項式の因数分解との関係についてのものであった。素数 p を極大イデアルに置き換えることで、この補題は整数から任意の可換環へそのまま一般化できる（ Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の極大イデアルはある素数 p で p Z {\displaystyle p\mathbb {Z} } と書けるのであった）。 この一般化を正確に書くためには、整数の場合の合同算術を一般化しておく必要があるので、この文脈で通常使われる用語を正確に定義しておこう。 R を可換環、I を R のイデアルとする。R の元を正準写像（英語版） R → R / I {\displaystyle R\to R/I} による像で置き換えることを、I を法とする還元、または法 I での還元と呼ぶ。 例えば、 f ∈ R [ X ] {\displaystyle f\in R[X]} を R 係数の多項式とするとき、その I を法とする還元 f mod I {\displaystyle f{\bmod {I}}} とは、f の係数を R / I {\displaystyle R/I} での像に置き換えることで得られる ( R / I ) [ X ] = R [ X ] / I R [ X ] {\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]} の多項式のことをいう。 R [ X ] {\displaystyle R[X]} の2つの多項式 f と g が法 I で係数が等しくなるとき、つまり f − g ∈ I R [ X ] {\displaystyle f-g\in IR[X]} であるとき、この2つの多項式は法 I で合同であるといい、 f ≡ g ( mod I ) {\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}} で表す。 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} の法 I での因数分解とは、h を法 I で R [ X ] {\displaystyle R[X]} の2つ（以上）の多項式 f, g の積として書き表す h ≡ f g ( mod I ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}} ことをいう。 持ち上げとは還元の逆の操作である。つまり、 R / I {\displaystyle R/I} の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように R {\displaystyle R} （もしくはある k > 1 に対する R / I k {\displaystyle R/I^{k}} ）の元に置き換えることをいう。 例えば、多項式 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} が法 I で h ≡ f g ( mod I ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}} と因数分解されているとき、この因数分解を法 I k {\displaystyle I^{k}} へ持ち上げるとは、多項式 f ′ , g ′ ∈ R [ X ] {\displaystyle f',g'\in R[X]} であって f ′ ≡ f ( mod I ) , {\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},} g ′ ≡ g ( mod I ) , {\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},} h ≡ f g ( mod I k ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I^{k}}}} を満たすものを見つけることである。ヘンゼルの補題は、この因数分解の持ち上げが緩い条件のもとで常に可能であることを主張するものである。 元々のヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の素数 p を法とする因数分解を p の冪乗を法とする因数分解、もしくは p 進整数環上の因数分解に持ち上げることを主張（そして証明）するものであった。この補題は、整数を任意の可換環、素数を極大イデアル、そして p 進整数環をその極大イデアルについての完備化に置き換えることで簡単に一般化できる。証明の仕方も同じである。この一般化された補題も広く用いられる。本記事で述べるのもこれである。 R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をその極大イデアルの1つ、そして h = α 0 X n + ⋯ + α n − 1 X + α n {\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}} を R [ X ] {\displaystyle R[X]} の多項式で最高次の係数 α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} が m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} に含まれないものとする。 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとしているので、 その剰余環 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} は体である。したがって ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} は単項イデアル整域なので、 特に一意分解環である。これは、任意のゼロではない ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} の多項式は ( R / m ) {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})} のゼロでない元とモニック（最高次の係数が1という意味）な既約多項式の積として一意的にかけることを意味する。 ヘンゼルの補題は、h の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での互いに素な多項式への因数分解は、任意の k に対して m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} を法とする因数分解に一意的に持ち上げられることを主張する。 もう少し詳しく書くと、上述の仮定のもとで、法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} でモニックかつ互いに素（英語版）な多項式 f と g を使って h ≡ α 0 f g ( mod m ) {\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}}} と分解できたとすると、全ての正の整数 k に対してモニック多項式 f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} が存在して次の式 h ≡ α 0 f k g k ( mod m k ) f k ≡ f ( mod m ) g k ≡ g ( mod m ) {\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}}\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}}\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}}\end{aligned}}} が成り立ち、しかもこのような性質を持つ f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} は法 m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} で一意ということを主張する。 大切で特別な場合として f = X − r {\displaystyle f=X-r} であるときを考える。この場合、互いに素という仮定は r は h mod m {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}} の単根であるということを意味する。したがってこの場合にはヘンゼルの補題の主張は次のようになる（これもヘンゼルの補題と言われる）。 記号と仮定は今までと同じとし、r を h mod m {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}} の単根とする。このとき、r は全ての正の整数 n に対して h mod m n {\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}} の単根に一意的に持ち上げることができる。つまり、任意の正の整数 n 対して h mod m n {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}} の単根 r n ∈ R / m n {\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}} であって r n ≡ r ( mod m ) {\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}} を満たすものが一意的に存在する。 全ての正の整数 n に対して R / m n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}} に持ち上げることができるので、n を限りなく大きくしていったときの"極限"を考えたくなる。これが p 進整数が考案された主な理由の1つである。 R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとすると、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のベキたちは R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 進位相と呼ばれる位相についての基本近傍系になる。この位相による完備化は局所環 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} の完備化と同一視でき、また射影極限 lim ← R / m n {\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}} とも同一視できる。この完備局所環は R