ウィグナーのD行列

ウィグナーのD行列（ウィグナーのDぎょうれつ、英: Wigner D-matrix）は、SU(2)およびSO(3)（英語版）の既約表現におけるユニタリ行列である。D行列の複素共役は球対称な剛体回転子（英語版）のハミルトニアンの固有関数である。1927年にユージン・ウィグナーにより導入された。Dは「表現、表示」を意味するドイツ語: Darstellungの頭文字からとられている。 Jx, Jy, JzをSU(2)およびSO(3)のリー代数の生成子とする。量子力学において、これらの3つの演算子は角運動量演算子のベクトル成分である。たとえば、原子内における電子の軌道角運動量、電子のスピン角運動量、剛体回転子の角運動量として現われる。 これら全ての場合において、上の3演算子は次の交換関係を満たす。 [ J x , J y ] = i J z , [ J z , J x ] = i J y , [ J y , J z ] = i J x {\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x}} ここで、iは虚数単位であり、ディラック定数ħは1とした。カシミール演算子（英語版） J 2 = J x 2 + J y 2 + J z 2 {\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}} はこれらすべてのリー代数生成子と交換する。したがって、Jzと同時に対角化することができる。 ここから球面基底、すなわち次を満たすケットからなる完全系を定義することができる。 J 2 | j m ⟩ = j ( j + 1 ) | j m ⟩ , J z | j m ⟩ = m | j m ⟩ {\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle } ここで、SU(2)の場合 j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...、SO(3) の場合j = 0, 1, 2, ...であり、どちらの場合でも m = −j, −j + 1, ..., jである。 3次元回転演算子を以下のように書くこととする。 R ( α , β , γ ) = e − i α J z e − i β J y e − i γ J z {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}}} ここで、 α, β, γはオイラー角である（zyz規約、右手系、右ねじの法則、active interpretation[訳語疑問点]を採用する）。 ウィグナーのD行列はこの球面基底上で回転演算子を表現する2j + 1次元ユニタリ正方行列であり、以下の行列要素を持つ。 D m ′ m j ( α , β , γ ) ≡ ⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = e − i m ′ α d m ′ m j ( β ) e − i m γ {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma }} ここで、 d m ′ m j ( β ) = ⟨ j m ′ | e − i β J y | j m ⟩ = D m ′ m j ( 0 , β , 0 ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)} はウィグナーの（小文字）d行列の行列要素である。 したがって、この基底では D m ′ m j ( α , 0 , 0 ) = e − i m ′ α δ m ′ m {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}} は対角行列で、γ要素についても同様だが、β要素については対角行列でない。 ウィグナーは次の式を与えた。 d m ′ m j ( β ) = [ ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ( j + m ) ! ( j − m ) ! ] 1 2 ∑ s = s m i n s m a x [ ( − 1 ) m ′ − m + s ( cos ⁡ β 2 ) 2 j + m − m ′ − 2 s ( sin ⁡ β 2 ) m ′ − m + 2 s ( j + m − s ) ! s ! ( m ′ − m + s ) ! ( j − m ′ − s ) ! ] {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right]} sは、分母の階乗が非負になるような範囲、すなわち s m i n = m a x ( 0 , m − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {min} }=\mathrm {max} (0,m-m')} から s m a x = m i n ( j + m , j − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {max} }=\mathrm {min} (j+m,j-m')} までの総和をとる。 注：ここで定義されるd行列の行列要素は実数である。よく使われるz-x-z規約のオイラー角では、上式における係数 ( − 1 ) m ′ − m + s {\displaystyle (-1)^{m'-m+s}} は ( − 1 ) s i m − m ′ {\displaystyle (-1)^{s}i^{m-m'}} と置き換わり、半数が純虚数となる。d行列の要素の実数性は量子力学的応用上好ましく、ここでz-y-z規約を採用した理由の一つである。 d行列の要素はa, bを非負としてヤコビ多項式（英語版、ドイツ語版、フランス語版、スペイン語版） P k ( a , b ) ( cos ⁡ β ) {\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )} と関連づけることができる。 k = min ( j + m , j − m , j + m ′ , j − m ′ ) {\displaystyle k=\min(j+m,j-m,j+m',j-m')} とし、 k = { j + m : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m j − m : a = m − m ′ ; λ = 0 j + m ′ : a = m − m ′ ; λ = 0 j − m ′ : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m {\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}} b = 2 j − 2 k − a {\displaystyle b=2j-2k-a} かつ a , b ≥ 0 {\displaystyle a,b\geq 0} とすると、次の式がなりたつ。 d m ′ m j ( β ) = ( − 1 ) λ ( 2 j − k k + a ) 1 2 ( k + b b ) − 1 2 ( sin ⁡ β 2 ) a ( cos ⁡ β 2 ) b P k ( a , b ) ( cos ⁡ β ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )} D行列の複素共役が満たすさまざまな性質を簡潔にあらわすため、次の演算子 ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3)} を導入する。 J