質量行列

質量行列（しつりょうぎょうれつ）は 解析力学では、対称 行列 M であり、ある系の 一般化座標系qの時間微分 q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} とその系の運動エネルギー T との関係を次式で表す。 T = 1 2 q ˙ T M q ˙ {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}} } ここで、 q ˙ T {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}} は、ベクトル q ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} } の 転置 を表す。この方程式は、質量 m {\displaystyle m} m {\displaystyle m} と速度vを持つ粒子の運動エネルギーの公式に似ている。すなわち T = 1 2 m | v | 2 = 1 2 v ⋅ m v {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v} } これは、システムの各粒子の位置をqで表すことによって得られる。 一般に、質量行列Mは状態qに依存し、したがって時間とともに変化する。 ラグランジュ力学は、常微分方程式(実際には連立微分方程式のシステム)を生成する。これは、システム内のすべての粒子の位置を完全に定義する一般化座標の任意のベクトルによってシステムの進展を記述する。上記の運動エネルギー式は、すべての粒子の全運動エネルギーを表す方程式の1つの項である。 q = [ x 1 x 2 ] T {\displaystyle q={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} 。 T = ∑ i = 1 2 1 2 m i x i ˙ 2 {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}} T = 1 2 q ˙ T M q ˙ {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}} M = [ m 1 0 0 m 2 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}} M = diag ⁡ [ m 1 I n 1 , m 2 I n 2 , … , m N I n N ] {\displaystyle M=\operatorname {diag} \left[m_{1}I_{n_{1}},\,m_{2}I_{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}I_{n_{N}}\right]} niが'I×N I nは単位行列、または： M = [ m 1 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ m 1 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 m 2 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ⋯ m 2 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ m N ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ m N ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}} q = [ x y α ] {\displaystyle q={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}} x 1 = ( x , y ) + R ( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) v 1 = ( x ˙ , y ˙ ) + R α ˙ ( − sin ⁡ α , cos ⁡ α ) x 2 = ( x , y ) − R ( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) v 2 = ( x ˙ , y ˙ ) − R α ˙ ( − sin ⁡ α , cos ⁡ α ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}} 2 T = m x ˙ 2 + m y ˙ 2 + m R 2 α ˙ 2 − 2 R d sin ⁡ ( α ) x ˙ α ˙ + 2 R d cos ⁡ ( α ) y ˙ α ˙ {\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}} m = m 1 + m 2 {\displaystyle m=m_{1}+m_{2}} と d = m 1 − m 2 {\displaystyle d=m_{1}-m_{2}} 。この式は、次のように行列形式で記述でき T = 1 2 q ˙ T M q ˙ {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}} M = [ m 0 − R d sin ⁡ α 0 m R d cos ⁡ α − R d sin ⁡ α R d cos ⁡ α R 2 m ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}} 慣性モーメント ストレスエネルギーテンソル