九十七角形

九十七角形（きゅうじゅうしちかくけい、きゅうじゅうななかっけい、enneacontaheptagon）は、多角形の一つで、97本の辺と97個の頂点を持つ図形である。内角の和は17100°、対角線の本数は4559本である。 正九十七角形においては、中心角と外角は3.711…°で、内角は176.288…°となる。一辺の長さが a の正九十七角形の面積 S は S = 97 4 a 2 cot ⁡ π 97 ≃ 748.48261 a 2 {\displaystyle S={\frac {97}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{97}}\simeq 748.48261a^{2}} 関係式 x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 97 + 2 cos ⁡ 72 π 97 + 2 cos ⁡ 70 π 97 x 2 = 2 cos ⁡ 10 π 97 + 2 cos ⁡ 28 π 97 + 2 cos ⁡ 38 π 97 x 3 = 2 cos ⁡ 50 π 97 + 2 cos ⁡ 54 π 97 + 2 cos ⁡ 4 π 97 x 4 = 2 cos ⁡ 56 π 97 + 2 cos ⁡ 76 π 97 + 2 cos ⁡ 20 π 97 x 5 = 2 cos ⁡ 86 π 97 + 2 cos ⁡ 8 π 97 + 2 cos ⁡ 94 π 97 x 6 = 2 cos ⁡ 42 π 97 + 2 cos ⁡ 40 π 97 + 2 cos ⁡ 82 π 97 x 7 = 2 cos ⁡ 16 π 97 + 2 cos ⁡ 6 π 97 + 2 cos ⁡ 22 π 97 x 8 = 2 cos ⁡ 80 π 97 + 2 cos ⁡ 30 π 97 + 2 cos ⁡ 84 π 97 x 9 = 2 cos ⁡ 12 π 97 + 2 cos ⁡ 44 π 97 + 2 cos ⁡ 32 π 97 x 10 = 2 cos ⁡ 60 π 97 + 2 cos ⁡ 26 π 97 + 2 cos ⁡ 34 π 97 x 11 = 2 cos ⁡ 88 π 97 + 2 cos ⁡ 64 π 97 + 2 cos ⁡ 24 π 97 x 12 = 2 cos ⁡ 52 π 97 + 2 cos ⁡ 68 π 97 + 2 cos ⁡ 74 π 97 x 13 = 2 cos ⁡ 66 π 97 + 2 cos ⁡ 48 π 97 + 2 cos ⁡ 18 π 97 x 14 = 2 cos ⁡ 58 π 97 + 2 cos ⁡ 46 π 97 + 2 cos ⁡ 90 π 97 x 15 = 2 cos ⁡ 96 π 97 + 2 cos ⁡ 36 π 97 + 2 cos ⁡ 62 π 97 x 16 = 2 cos ⁡ 92 π 97 + 2 cos ⁡ 14 π 97 + 2 cos ⁡ 78 π 97 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\\x_{2}=&2\cos {\frac {10\pi }{97}}+2\cos {\frac {28\pi }{97}}+2\cos {\frac {38\pi }{97}}\\x_{3}=&2\cos {\frac {50\pi }{97}}+2\cos {\frac {54\pi }{97}}+2\cos {\frac {4\pi }{97}}\\x_{4}=&2\cos {\frac {56\pi }{97}}+2\cos {\frac {76\pi }{97}}+2\cos {\frac {20\pi }{97}}\\x_{5}=&2\cos {\frac {86\pi }{97}}+2\cos {\frac {8\pi }{97}}+2\cos {\frac {94\pi }{97}}\\x_{6}=&2\cos {\frac {42\pi }{97}}+2\cos {\frac {40\pi }{97}}+2\cos {\frac {82\pi }{97}}\\x_{7}=&2\cos {\frac {16\pi }{97}}+2\cos {\frac {6\pi }{97}}+2\cos {\frac {22\pi }{97}}\\x_{8}=&2\cos {\frac {80\pi }{97}}+2\cos {\frac {30\pi }{97}}+2\cos {\frac {84\pi }{97}}\\x_{9}=&2\cos {\frac {12\pi }{97}}+2\cos {\frac {44\pi }{97}}+2\cos {\frac {32\pi }{97}}\\x_{10}=&2\cos {\frac {60\pi }{97}}+2\cos {\frac {26\pi }{97}}+2\cos {\frac {34\pi }{97}}\\x_{11}=&2\cos {\frac {88\pi }{97}}+2\cos {\frac {64\pi }{97}}+2\cos {\frac {24\pi }{97}}\\x_{12}=&2\cos {\frac {52\pi }{97}}+2\cos {\frac {68\pi }{97}}+2\cos {\frac {74\pi }{97}}\\x_{13}=&2\cos {\frac {66\pi }{97}}+2\cos {\frac {48\pi }{97}}+2\cos {\frac {18\pi }{97}}\\x_{14}=&2\cos {\frac {58\pi }{97}}+2\cos {\frac {46\pi }{97}}+2\cos {\frac {90\pi }{97}}\\x_{15}=&2\cos {\frac {96\pi }{97}}+2\cos {\frac {36\pi }{97}}+2\cos {\frac {62\pi }{97}}\\x_{16}=&2\cos {\frac {92\pi }{97}}+2\cos {\frac {14\pi }{97}}+2\cos {\frac {78\pi }{97}}\\\end{aligned}}} ( x 1 + x 9 ) , ( x 1 − x 9 ) 2 {\displaystyle (x_{1}+x_{9}),\quad (x_{1}-x_{9})^{2}} のように和、差の二乗を計算すると x 1 = − 1 + 97 2 − 97 − 7857 2 2 + 97 − 2425 2 + 5141 − 25927033 2 2 2 − 97 + 4753 2 − 1649 + 2705233 2 2 + 2037 + 3841297 2 − 3488605 + 12162451874697 2 2 2 2 = − 1 + 97 2 − 97 − 9 97 2 2 + 97 − 5 97 2 + 5141 − 517 97 2 2 2 − 97 + 7 97 2 − 1649 + 167 97 2 2 + 2037 + 199 97 2 − 3488605 + 354099 97 2 2 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-{\sqrt {7857}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-{\sqrt {2425}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-{\sqrt {25927033}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+{\sqrt {4753}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+{\sqrt {2705233}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+{\sqrt {3841297}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+{\sqrt {12162451874697}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-9{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-5{\sqrt {97}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-517{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+7{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+167{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+199{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+354099{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos ⁡ 2 π 97 ⋅ 2 cos ⁡ 72 π 97 + 2 cos ⁡ 72 π 97 ⋅ 2 cos ⁡ 70 π 97 + 2 cos ⁡ 70 π 97 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 97 = x 1 + x 12 2 cos ⁡ 2 π 97 ⋅ 2 cos ⁡ 72 π 97 ⋅ 2 cos ⁡ 70 π 97 = x 3 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{97}}=x_{1}+x_{12}\\&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}=x_{3}+2\\\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − x 1 u 2 + ( x 1 + x 12 ) u − ( x 3 + 2 ) = 0 {\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}+(x_{1}+x_{12})u-(x_{3}+2)=0} この三次方程式を解くことにより、 cos ⁡ ( 2 π / 97 ) {\displaystyle \cos(2\pi /97)} を平方根と立方根で表すことが可能である。 正九十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正九十七角形は折紙により作図可能である。