二十九角形

二十九角形（にじゅうきゅうかくけい、にじゅうきゅうかっけい、icosienneagon）は、多角形の一つで、29本の辺と29個の頂点を持つ図形である。内角の和は4860°、対角線の本数は377本である。 正二十九角形においては、中心角と外角は12.413…°で、内角は167.586…°となる。一辺の長さが a の正二十九角形の面積 S は S = 29 4 a 2 cot ⁡ π 29 ≃ 66.66265 a 2 {\displaystyle S={\frac {29}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{29}}\simeq 66.66265a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 29 ) {\displaystyle \cos(2\pi /29)} の値は、七次方程式、二次方程式を解くことにより冪根で表現される。 z 7 = 1 {\displaystyle z^{7}=1} の複素数解を σ , σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 , σ 6 {\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4},\sigma ^{5},\sigma ^{6}} として cos ⁡ 2 π 29 = λ 1 + λ 1 2 − 4 λ 5 4 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{29}}={\frac {\lambda _{1}+{\sqrt {\lambda _{1}^{2}-4\lambda _{5}}}}{4}}} ここで λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 , λ 5 , λ 6 , λ 7 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4},\lambda _{5},\lambda _{6},\lambda _{7}} は λ 1 = − 1 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 7 λ 2 = − 1 + u 1 σ 6 + u 2 σ 5 + u 3 σ 4 + u 4 σ 3 + u 5 σ 2 + u 6 σ 7 λ 3 = − 1 + u 1 σ 5 + u 2 σ 3 + u 3 σ + u 4 σ 6 + u 5 σ 4 + u 6 σ 2 7 λ 4 = − 1 + u 1 σ 4 + u 2 σ + u 3 σ 5 + u 4 σ 2 + u 5 σ 6 + u 6 σ 3 7 λ 5 = − 1 + u 1 σ 3 + u 2 σ 6 + u 3 σ 2 + u 4 σ 5 + u 5 σ + u 6 σ 4 7 λ 6 = − 1 + u 1 σ 2 + u 2 σ 4 + u 3 σ 6 + u 4 σ + u 5 σ 3 + u 6 σ 5 7 λ 7 = − 1 + u 1 σ + u 2 σ 2 + u 3 σ 3 + u 4 σ 4 + u 5 σ 5 + u 6 σ 6 7 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\frac {-1+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}}{7}}\,\\&\lambda _{2}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{6}+u_{2}\sigma ^{5}+u_{3}\sigma ^{4}+u_{4}\sigma ^{3}+u_{5}\sigma ^{2}+u_{6}\sigma }{7}}\,\\&\lambda _{3}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{5}+u_{2}\sigma ^{3}+u_{3}\sigma +u_{4}\sigma ^{6}+u_{5}\sigma ^{4}+u_{6}\sigma ^{2}}{7}}\,\\&\lambda _{4}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{4}+u_{2}\sigma +u_{3}\sigma ^{5}+u_{4}\sigma ^{2}+u_{5}\sigma ^{6}+u_{6}\sigma ^{3}}{7}}\,\\&\lambda _{5}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{3}+u_{2}\sigma ^{6}+u_{3}\sigma ^{2}+u_{4}\sigma ^{5}+u_{5}\sigma +u_{6}\sigma ^{4}}{7}}\,\\&\lambda _{6}={\frac {-1+u_{1}\sigma ^{2}+u_{2}\sigma ^{4}+u_{3}\sigma ^{6}+u_{4}\sigma +u_{5}\sigma ^{3}+u_{6}\sigma ^{5}}{7}}\,\\&\lambda _{7}={\frac {-1+u_{1}\sigma +u_{2}\sigma ^{2}+u_{3}\sigma ^{3}+u_{4}\sigma ^{4}+u_{5}\sigma ^{5}+u_{6}\sigma ^{6}}{7}}\,\\\end{aligned}}} ここで u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 {\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},u_{5},u_{6}} は u 1 = 29 ( 3578 σ 6 + 666 σ 5 + 2717 σ 4 + 3764 σ 3 − 34 σ 2 + 288 σ ) 7 u 2 = 29 ( 3578 σ 5 + 666 σ 3 + 2717 σ + 3764 σ 6 − 34 σ 4 + 288 σ 2 ) 7 u 3 = 29 ( 3578 σ 4 + 666 σ + 2717 σ 5 + 3764 σ 2 − 34 σ 6 + 288 σ 3 ) 7 u 4 = 29 ( 3578 σ 3 + 666 σ 6 + 2717 σ 2 + 3764 σ 5 − 34 σ + 288 σ 4 ) 7 u 5 = 29 ( 3578 σ 2 + 666 σ 4 + 2717 σ 6 + 3764 σ − 34 σ 3 + 288 σ 5 ) 7 u 6 = 29 ( 3578 σ + 666 σ 2 + 2717 σ 3 + 3764 σ 4 − 34 σ 5 + 288 σ 6 ) 7 {\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{6}+666\sigma ^{5}+2717\sigma ^{4}+3764\sigma ^{3}-34\sigma ^{2}+288\sigma )}}\,\\&u_{2}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{5}+666\sigma ^{3}+2717\sigma +3764\sigma ^{6}-34\sigma ^{4}+288\sigma ^{2})}}\,\\&u_{3}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{4}+666\sigma +2717\sigma ^{5}+3764\sigma ^{2}-34\sigma ^{6}+288\sigma ^{3})}}\,\\&u_{4}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{3}+666\sigma ^{6}+2717\sigma ^{2}+3764\sigma ^{5}-34\sigma +288\sigma ^{4})}}\,\\&u_{5}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma ^{2}+666\sigma ^{4}+2717\sigma ^{6}+3764\sigma -34\sigma ^{3}+288\sigma ^{5})}}\,\\&u_{6}={\sqrt[{7}]{29(3578\sigma +666\sigma ^{2}+2717\sigma ^{3}+3764\sigma ^{4}-34\sigma ^{5}+288\sigma ^{6})}}\,\\\end{aligned}}} 正二十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正二十九角形は折紙により作図が不可能な図形である。