ボールの跳ね返り運動

ボールの跳ね返り運動（ボールのはねかえりうんどう）とは、他の物体に衝突して跳ね返るボールの物理的な振る舞いのことである。特に他の物体表面と衝突する直前、瞬間、直後の運動について概説する。跳ね返るボールの振る舞いの一部は、高校または学部レベルの物理学において、力学の導入として役立つような題材である一方、その挙動を正確にモデリングすると複雑であり、スポーツ工学（英語版）にも関連がある。 ボールのふるまいは一般に斜方投射（重力、抗力、マグヌス効果、浮力の影響を受ける）として扱うことができるが、特に他物体との衝突は、通常反発係数によって特徴づけられる（ボールそのものや衝突面の性質、衝突速度、回転、温度や圧力などの局所的な条件によって変化する）。多くのスポーツ競技においては、フェアプレーを担保するために、ボールの弾性に一定の制限を課し、ボールの空力的な特性を不正に変化させることを禁じている。ボールの弾性は、メソアメリカの球戯が行われていたような古い時期からスポーツの特徴の一つになっていた。 バウンドするボールの運動は、投射運動に従う。現実のボールには、以下のような多くの力が作用している。代表的なものとしては、重力（FG）、空気抵抗による抗力（FD）、ボールのスピンによるマグヌス力（FM）、浮力（FB）などがある。一般に、ボールの運動を解析するには、これらの力全てを考慮に入れた上で運動方程式を用いればよい。なお、以下では面に対して水平でボールの進行方向と同じ向きをx軸、面に対して垂直な方向をy軸、面に対して水平でボールの進行方向に直交する向きをz軸とする。またそれぞれの軸の単位方向ベクトルをそれぞれi, j, kと表す。 ∑ F = m a F G + F D + F M + F B = m a = m d v d t = m d 2 r d t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum \mathbf {F} &=m\mathbf {a} \\\mathbf {F} _{\text{G}}+\mathbf {F} _{\text{D}}+\mathbf {F} _{\text{M}}+\mathbf {F} _{\text{B}}&=m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\end{aligned}}} ここで、mはボールの質量である。また、a、v、rはそれぞれ、時間tにおけるボールの加速度、速度、位置を表す。 重力は物体に対して鉛直下向きに働き、その大きさは以下の等式で表せる。 F G = m g {\displaystyle F_{\text{G}}=mg} ここでmはボールの質量、gは重力加速度であり、地球上では9.764 m/s2から9.834 m/s2の間の大きさとなる。通常、重力以外のボールに働く力は、重力に比べると十分小さいため、重力の影響が支配的であるとする理想的な条件（英語版）の元で解析することがしばしばある。重力だけがボールに作用するとする場合、空中を飛んでいる間は力学的エネルギーが保存される。運動方程式は以下の式で与えられる。 a = − g j v = v 0 + a t r = r 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=-g\mathbf {j} \\\mathbf {v} &=\mathbf {v} _{\text{0}}+\mathbf {a} t\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\end{aligned}}} ここでa、v、rはそれぞれ、時間tにおけるボールの加速度、速度、位置を表し、v0、r0はそれぞれ、ボールの初速度および初期位置を表す。 より具体的な例を解析する。ボールが地面に接触してバウンドし、地面に対して角度θの向きに運動するとき、その運動のx軸方向成分とy軸方向成分（それぞれ水平方向と垂直方向の動きを表す）は次のように表せる。 この方程式からは、平らな面に衝突して跳ね返ったボールが到達する最大の高度（H）と飛距離（R）および次に地面に衝突するまでの時間（T）が得られる。 H = v 0 2 2 g sin 2 ⁡ ( θ ) R = v 0 2 g sin ⁡ ( 2 θ ) T = 2 v 0 g sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\sin ^{2}\left(\theta \right)\\R&={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin \left(2\theta \right)\\T&={\frac {2v_{0}}{g}}\sin \left(\theta \right)\end{aligned}}} 以上では重力の影響のみを考慮してボールの運動を解析したが、さらに空気抵抗（および抗力や風に関連する効果）、マグヌス効果、浮力を考慮に入れることによって、より詳細に解析することができる。ボールが軽ければ軽いほど容易に加速するため、ボールが軽いほど空気抵抗などの重力以外の力の影響を、より強く受けることになる。 ボールの周りの空気の流れは、以下で定義されるレイノルズ数（Re）の値の範囲によって、層流または乱流のいずれかに分類される。 Re = ρ D v μ {\displaystyle {\text{Re}}={\frac {\rho Dv}{\mu }}} ここで、ρは空気密度（英語版）、μは空気の粘性係数、Dはボールの直径、vはボールの空気に対する速さである。例えば空気の温度が20 °Cのときには、ρ = 1.2 kg/m3、μ = 1.8×10−5 Pa·sである。 レイノルズ数が非常に小さいときには（Re < 1）、ボールにかかる抗力の大きさは以下のストークスの法則により表される。 F D = 6 π μ r v {\displaystyle F_{\text{D}}=6\pi \mu rv} ここで、rはボールの半径である。この抗力は、ボールの進行方向とは反対向きに作用する（すなわち − v {\displaystyle \textstyle -\mathbf {v} } で表される方向）。但し、スポーツで用いられるボールのほとんどは、レイノルズ数が104〜105の範囲におさまることが多く、ストークスの法則を適用することができない。レイノルズ数が大きい場合には、ボールにかかる抗力の大きさは以下の式（英語版）で表せる。 F D = 1 2 ρ C d A v 2 {\displaystyle F_{\text{D}}={\frac {1}{2}}\rho C_{\text{d}}Av^{2}} ここで、Cdは抗力係数、Aはボールの断面積である。 進行方向とは逆の向きの抗力を受けることで、ボールは飛行する間に力学的エネルギーを失うため、高度や飛距離が減少することになる。また他方では、横風によってボールは本来の経路から逸脱する場合もある。ゴルフなどのプレーヤーは、この両方の効果を考慮に入れる必要がある。 ボールのスピンは、マグヌス効果を通じてその弾道に影響を与える。クッタ・ジュコーフスキーの定理によれば、空気を非粘性流体と仮定しその中を回転する球を考えると、マグヌス力は以下のように表せる。 F M = 8 3 π r 3 ρ ω v {\displaystyle F_{\text{M}}={\frac {8}{3}}\pi r^{3}\rho \omega v} ここで、rはボールの半径、ωはボールの角速度、ρは空気密度、vは空気に対するボールの速度である。マグヌス力は、運動方向と回転軸のそれぞれに対して垂直な向きに働く（つまり、 ω