ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、英語: Hölder mean）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、英語: generalized mean）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。 p を0でない実数とする。正の実数 x1, ... , xn に対して指数 p のヘルダー平均は次で定義される： M p ( x 1 , … , x n ) := ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}} p = 0 のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。 M 0 ( x 1 , … , x n ) := ∏ i = 1 n x i n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n}):={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}} さらに、重み wi （正の数のセット。ただし ∑ w i = 1 {\displaystyle \sum w_{i}=1} ）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される： M p ( x 1 , … , x n ) := ( ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p M 0 ( x 1 , … , x n ) := ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}} 重みを考えない平均は、すべての重みを wi = 1/n としたものに相当する。 いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている。 最小値 M − ∞ ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = min { x 1 , … , x n } {\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} 調和平均 M − 1 ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} 幾何平均 M 0 ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 … x n n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}} 算術平均 M 1 ( x 1 , … , x n ) = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} 二乗平均平方根 M 2 ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} 立方平均 M 3 ( x 1 , … , x n ) = x 1 3 + ⋯ + x n 3 n 3 {\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}} 最大値 M + ∞ ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = max { x 1 , … , x n } {\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} ヘルダー平均は次の性質をもつ： 引数 x1, ... , xn の最小値と最大値の間にある。 min ( x 1 , … , x n ) ≤ M p ( x 1 , … , x n ) ≤ max ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})} 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される： M p ( x 1 , … , x n ) = M p ( P ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))} 他の平均と同様、引数 x1, ... , xn に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ： M p ( b x 1 , … , b x n ) = b M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=bM_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} 準算術平均（英語版）と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。 M p ( x 1 , … , x n k ) = M p [ M p ( x 1 , … , x k ) , M p ( x k + 1 , … , x 2 k ) , … , M p ( x ( n − 1 ) k + 1 , … , x n k ) ] {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{nk})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk})\right]} 一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば M p ( x 1 , … , x n ) ≤ M q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})} である。また2つの平均が等しいのは x1 = x2 = ⋯ = xn のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して ∂ ∂ p M p ( x 1 , … , x n ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0} が成り立つためである。 特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均 n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}} を意味する。 ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい p の場合には小さい信号値を強調し、大きい p の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a] powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p) p が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。 p が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。 ヘルダー平均はさらに一般化 f-平均（英語版）に一般化できる。 M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n f ( x i ) ) {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)} この式は f(x) = log x とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は f(x) = xp とすることで得られる。