二十六角形

二十六角形（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。 正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は S = 26 4 a 2 cot ⁡ π 26 ≃ 53.53232 a 2 {\displaystyle S={\frac {26}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{26}}\simeq 53.53232a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 26 ) {\displaystyle \cos(2\pi /26)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 26 = cos ⁡ π 13 = 1 12 72 + 72 ⋅ cos ⁡ 2 π 13 = 1 12 72 + 72 ⋅ 1 12 ( 104 − 20 13 + 12 − 39 3 + 104 − 20 13 − 12 − 39 3 + 13 − 1 ) = 0.970941... {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}=\cos {\frac {\pi }{13}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot \cos {\frac {2\pi }{13}}}}={\frac {1}{12}}{\sqrt {72+72\cdot {\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)}}=0.970941...} 関係式 α = 2 cos ⁡ 2 π 26 + 2 cos ⁡ 6 π 26 + 2 cos ⁡ 18 π 26 = 1 + 13 2 β = 2 cos ⁡ 14 π 26 + 2 cos ⁡ 10 π 26 + 2 cos ⁡ 22 π 26 = 1 − 13 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{2}}\\&\beta =2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}={\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos ⁡ 2 π 26 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 + 2 cos ⁡ 6 π 26 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 + 2 cos ⁡ 18 π 26 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 26 = − 1 2 cos ⁡ 2 π 26 ⋅ 2 cos ⁡ 6 π 26 ⋅ 2 cos ⁡ 18 π 26 = β − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}+2\cos {\frac {6\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}+2\cos {\frac {18\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{26}}=-1\\&2\cos {\frac {2\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{26}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{26}}=\beta -2\end{aligned}}} 解と係数の関係より x 3 − α x 2 − x − ( β − 2 ) = 0 {\displaystyle x^{3}-\alpha x^{2}-x-(\beta -2)=0} 変数変換 x = y + α / 3 {\displaystyle x=y+\alpha /3} 整理すると y 3 − 13 + 13 6 y + 26 + 5 13 27 = 0 {\displaystyle y^{3}-{\frac {13+{\sqrt {13}}}{6}}y+{\frac {26+5{\sqrt {13}}}{27}}=0} 三角関数、逆三角関数を用いて解は x = 1 + 13 6 + 2 3 13 + 13 2 cos ⁡ ( 1 3 arccos ⁡ − ( 26 + 5 13 ) 2 ( 13 + 13 2 ) 3 2 ) {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}\right)} 平方根、立方根を用いて x = 1 + 13 6 + 1 3 13 + 13 2 − ( 26 + 5 13 ) 2 ( 13 + 13 2 ) 3 2 + i 3 39 2 ( 13 + 13 2 ) 3 2 3 + 1 3 13 + 13 2 − ( 26 + 5 13 ) 2 ( 13 + 13 2 ) 3 2 − i 3 39 2 ( 13 + 13 2 ) 3 2 3 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2\left({\frac {13+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{\tfrac {3}{2}}}}}}} x = 1 + 13 6 + 1 3 − ( 26 + 5 13 ) 2 + i 3 39 2 3 + 1 3 − ( 26 + 5 13 ) 2 − i 3 39 2 3 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}} cos ⁡ ( 2 π / 26 ) {\displaystyle \cos(2\pi /26)} を平方根と立方根で表すと cos ⁡ 2 π 26 = 1 + 13 12 + 1 6 − ( 26 + 5 13 ) 2 + i 3 39 2 3 + 1 6 − ( 26 + 5 13 ) 2 − i 3 39 2 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{26}}={\frac {1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-(26+5{\sqrt {13}})}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{2}}}}} 正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正二十六角形は折紙により作図可能である。  十三角形 ポータル 数学 表示 編集