中心二項係数

数学における中心二項係数（ちゅうしんにこうけいすう、英: Central binomial coefficient）は、n番目の中心二項係数を ( 2 n n ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 = 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! n ! ( n ≥ 0 ) {\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)} とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。 中心二項係数の n ≧ 0 の値は 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000984） パスカル行列では、対角線に沿って表示される。 A 10 , 10 = [ 1 _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 _ 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 _ 10 15 21 28 36 45 55 1 4 10 20 _ 35 56 84 120 165 220 1 5 15 35 70 _ 126 210 330 495 715 1 6 21 56 126 252 _ 462 792 1287 2002 1 7 28 84 210 462 924 _ 1716 3003 5005 1 8 36 120 330 792 1716 3432 _ 6435 11440 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 _ 24310 1 10 55 220 715 2002 5005 11440 24310 48620 _ ] , {\displaystyle A_{10,10}={\begin{bmatrix}{\underline {1}}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&{\underline {2}}&3&4&5&6&7&8&9&10\\1&3&{\underline {6}}&10&15&21&28&36&45&55\\1&4&10&{\underline {20}}&35&56&84&120&165&220\\1&5&15&35&{\underline {70}}&126&210&330&495&715\\1&6&21&56&126&{\underline {252}}&462&792&1287&2002\\1&7&28&84&210&462&{\underline {924}}&1716&3003&5005\\1&8&36&120&330&792&1716&{\underline {3432}}&6435&11440\\1&9&45&165&495&1287&3003&6435&{\underline {12870}}&24310\\1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&{\underline {48620}}\end{bmatrix}},} 属関数は中心二項係数に適用される。 1 1 − 4 x = 1 + 2 x + 6 x 2 + 20 x 3 + 70 x 4 + 252 x 5 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .} ウォリス積は、中心二項係数の漸近形式で記述できる。 ( 2 n n ) = 2 2 n ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ ( 2 n ) ∼ 4 n π n ( n → ∞ ) {\displaystyle {2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\quad (n\rightarrow \infty )} 最後の式は、スターリングの公式を使用して簡単に導出できる。一方、比較によるスターリング公式は、定数を決定するために使用できる。 単純な境界は次のように与えられる。 4 n 2 n + 1 ≤ ( 2 n n ) ≤ 4 n , ( n ≥ 1 ) . {\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n},\qquad (n\geq 1)\!\,.} より良い境界は次のとおり: 4 n 4 n ≤ ( 2 n n ) ≤ 4 n 3 n + 1 , ( n ≥ 1 ) , {\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}},\qquad (n\geq 1)\!\,,} そして、さらに高い精度が必要な場合： ( 2 n n ) = 4 n π n ( 1 − c n n ) , {\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)\!\,,} 1 9 < c n < 1 8 , ( n ≥ 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}},\qquad (n\geq 1)\!\,.} 奇数の中心二項係数は 1 だけである。 n番目のカタラン数を Cn とすると C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = ( 2 n ) ! n ! ( n + 1 ) ! , ( n ≥ 0 ) . {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.} 中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。 Γ ( 2 n + 1 ) Γ ( n + 1 ) 2 = 1 n B ⁡ ( n + 1 , n ) , {\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,} n は実数で、ここで Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)\,} はガンマ関数、 B ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,} はベータ関数である。 ∑ k = 0 n ( 2 k k ) ( 2 n − 2 k n − k ) = 4 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}} ( 2 n n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}} はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。 ( 2 n n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 {\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}