密度行列

量子力学・量子論において、密度行列 (みつどぎょうれつ、英語: density matrix) または密度演算子 (density operator) は、量子状態を表す演算子（またはその行列表示）である。状態ベクトルや波動関数が単独では「純粋状態」しか表現できないのに対し、密度演算子・密度行列は混合状態も表現することができる。 本項ではまず背景として混合状態とは何かについて解説し、その後に密度演算子・密度行列について解説する。 本節では、密度行列の概念の背後にある、混合状態の概念を説明する。次節ではこれを踏まえて密度行列の概念を説明する。 量子力学では、系の状態は状態ベクトルもしくは純粋状態と呼ばれるベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } で書き表され、その振幅は波動関数 ψ ( x ) = ⟨ x ∣ ψ ⟩ {\displaystyle \psi (x)=\langle x\mid \psi \rangle } によって書き表されるが、こうした方法による系の記述方法は実験者がψ(x)の値を完全に知っているというのが暗黙の前提である。さもなければψ(x)を数式で書き表す事ができないので、系の数学的な解析ができなくなる。 しかしこの暗黙の前提は、実験者が系に関する情報を不完全にしか知らない場合には成り立たない。特に量子統計力学で想定されるような、数モル ≈ 10 23 {\displaystyle \approx 10^{23}} 個もの粒子を扱う状況下において、全ての粒子の情報を実験者が完全に知っていると仮定するのは現実的ではない。 そこでこうした、系に対する情報の不足石坂 et.al. 12がある状況下における量子力学を記述するため、混合状態と呼ばれる複数の純粋状態に確率を付加した状態を考える必要がある。これは例えば「半分の確率で純粋状態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } であり、残り半分の確率で純粋状態 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } になる」といったものが混合状態である。 混合状態でいうところの「混合」の確率は、古典的な確率論の確率（ベイズ確率）である。 混合状態の「混合」とは量子力学的な状態の重ね合わせではない。これを偏光の例で説明する。光子には右円偏光と左円偏光がある。以下、右偏光と左偏光をそれぞれ純粋状態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } で表すことにする。 量子力学では状態の重ね合わせが可能なので、ある光子の | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } の状態とこれと同じ光子の | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } の状態を1/2ずつ重ね合わせると、光子は | R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle {|R\rangle +|L\rangle \over 2}} という状態になる。これを規格化すれば | R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle {|R\rangle +|L\rangle \over {\sqrt {2}}}} である。この状態にある光子は垂直方向に偏光であり、垂直方向の偏光板は通過できる。 これに対し、無偏光の状態にある光は、上記のような重ね合わせでは表現できず、混合状態によって記述する必要がある。無偏光の光とは例えば、光に含まれる複数の光子のうち50％の光子が | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } の状態にあり、これらとは別の光子である残り50%の光子が | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } の状態にある場合である。このような状態にある光の中に重ね合わせ状態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} の光子は存在しない。また上述の状態にある光は横向きの偏光板を完全に通過するが、縦向きの偏光板にはある程度吸収されるなど、物理的性質も ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} とは異なる。 このような「50%が | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、残り50%が | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」という統計的な状態、すなわち個々の粒子が「確率1/2で | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、確率1/2で | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」となっている状態を記述するのが混合状態である。 混合状態を記述する単純な記述方法は、状態ベクトルとその生起確率を並べて書く、というものである。例えば「確率1/2で | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、確率1/2で | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」という混合状態であれば、 s = ( ( 1 / 2 , | R ⟩ ) , ( 1 / 2 , | L ⟩ ) ) {\displaystyle s=((1/2,|R\rangle ),(1/2,|L\rangle ))} と状態を記述する。しかしこの記述方法は、実質的に同一（＝観測によって区別できない）の状態が複数の異なる表記を持ってしまうという欠点を持つ石坂 et.al. 12。 このため密度行列という表記方法を採用する必要があるのだが、これについては次章で述べることとし、本節ではまず上述した欠点を具体例で示す。 | + ⟩ := | R ⟩ + | L ⟩ 2 {\displaystyle |+\rangle :={|R\rangle +|L\rangle \over {\sqrt {2}}}} 、 | − ⟩ := | R ⟩ − | L ⟩ 2 {\displaystyle |-\rangle :={|R\rangle -|L\rangle \over {\sqrt {2}}}} と定義し、 s ′ = ( ( 1 / 2 , | + ⟩ ) , ( 1 / 2 , | − ⟩ ) ) {\displaystyle s'=((1/2,|+\rangle ),(1/2,|-\rangle ))} という状態記述を考えると、s'は前述のsと見かけ上全く異なるにもかかわらず、観測によって両者は区別できない石坂 et.al. 12。すなわち、どのような物理量Aを持ってきても、sでAを観測したときの観測値の確率分布とs'でAを観測したときの観測値の確率分布は同一となる石坂 et.al. 12。 実際、任意の観測値aに対し、 Pr [ A {\displaystyle \Pr[A} の観測値が a ∣ s ] = 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid s]={1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | L ⟩ ] + 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid |L\rangle ]+{1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | R ⟩ ] = ⟨ L | P a | L ⟩ + ⟨ R | P a | R ⟩ 2 {\displaystyle a\mid |R\rangle ]={\langle L|P_{a}|L\rangle +\langle R|P_{a}|R\rangle \over 2}} であり、 Pr [ A {\displaystyle \Pr[A} の観測値が a ∣ s ′ ] = 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid s']={1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | + ⟩ ] + 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid |+\rangle ]+{1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | − ⟩ ] = ⟨ + | P a | + ⟩ + ⟨ − | P a | − ⟩ 2 = ⟨ L | P a | L ⟩ + ⟨ R | P a | R ⟩ 2 {\displaystyle a\mid |-\rangle ]={\langle +|P_{a}|+\rangle +\langle -|P_{a}|-\rangle \over 2}={\langle L|P_{a}|L\rangle +\langle R|P_{a}|R\rangle \over 2}} が成立するので両者は等しい。ここでPaはaの固有空間への射影である。 密度行列は、混合状態を数学的に記述する為の道具立てであり、しかも上述した単純な記述方法のような欠点を持たない事である。 本章では、密度行列の定義とその性質を述べ、次章において単純な記述方法の欠点が解消されている事を見る。 密度行列の概念を導入する前準備として、簡単な数学的考察を行う。 系が純粋状態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } にあるとき、物理量 A