三十一角形

三十一角形（さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon）は、多角形の一つで、31本の辺と31個の頂点を持つ図形である。内角の和は5220°、対角線の本数は434本である。 正三十一角形においては、中心角と外角は11.612…°で、内角は168.387…°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は S = 31 4 a 2 cot ⁡ π 31 ≃ 76.21197 a 2 {\displaystyle S={\frac {31}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{31}}\simeq 76.21197a^{2}} cos ⁡ ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は五次方程式、三次方程式を解くことにより求められる。 z 5 = 1 {\displaystyle z^{5}=1} の複素数解を σ , σ 2 , σ 3 , σ 4 {\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4}} として 以下には、中間結果（五次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。 x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 31 + 2 cos ⁡ 10 π 31 + 2 cos ⁡ 12 π 31 = − 1 + λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4 5 x 2 = 2 cos ⁡ 4 π 31 + 2 cos ⁡ 20 π 31 + 2 cos ⁡ 24 π 31 = − 1 + λ 1 σ 4 + λ 2 σ 3 + λ 3 σ 2 + λ 4 σ 5 x 3 = 2 cos ⁡ 8 π 31 + 2 cos ⁡ 22 π 31 + 2 cos ⁡ 14 π 31 = − 1 + λ 1 σ 3 + λ 2 σ + λ 3 σ 4 + λ 4 σ 2 5 x 4 = 2 cos ⁡ 16 π 31 + 2 cos ⁡ 18 π 31 + 2 cos ⁡ 28 π 31 = − 1 + λ 1 σ 2 + λ 2 σ 4 + λ 3 σ + λ 4 σ 3 5 x 5 = 2 cos ⁡ 6 π 31 + 2 cos ⁡ 26 π 31 + 2 cos ⁡ 30 π 31 = − 1 + λ 1 σ + λ 2 σ 2 + λ 3 σ 3 + λ 4 σ 4 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{31}}+2\cos {\frac {10\pi }{31}}+2\cos {\frac {12\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\lambda _{4}}{5}}\,\\&x_{2}=2\cos {\frac {4\pi }{31}}+2\cos {\frac {20\pi }{31}}+2\cos {\frac {24\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{4}+\lambda _{2}\sigma ^{3}+\lambda _{3}\sigma ^{2}+\lambda _{4}\sigma }{5}}\,\\&x_{3}=2\cos {\frac {8\pi }{31}}+2\cos {\frac {22\pi }{31}}+2\cos {\frac {14\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{3}+\lambda _{2}\sigma +\lambda _{3}\sigma ^{4}+\lambda _{4}\sigma ^{2}}{5}}\,\\&x_{4}=2\cos {\frac {16\pi }{31}}+2\cos {\frac {18\pi }{31}}+2\cos {\frac {28\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma ^{2}+\lambda _{2}\sigma ^{4}+\lambda _{3}\sigma +\lambda _{4}\sigma ^{3}}{5}}\,\\&x_{5}=2\cos {\frac {6\pi }{31}}+2\cos {\frac {26\pi }{31}}+2\cos {\frac {30\pi }{31}}={\frac {-1+\lambda _{1}\sigma +\lambda _{2}\sigma ^{2}+\lambda _{3}\sigma ^{3}+\lambda _{4}\sigma ^{4}}{5}}\,\\\end{aligned}}} ここで λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}} は λ 1 = 31 ( 36 σ + 201 σ 2 + 66 σ 3 + 106 σ 4 ) 5 λ 2 = 31 ( 36 σ 2 + 201 σ 4 + 66 σ + 106 σ 3 ) 5 λ 3 = 31 ( 36 σ 3 + 201 σ + 66 σ 4 + 106 σ 2 ) 5 λ 4 = 31 ( 36 σ 4 + 201 σ 3 + 66 σ 2 + 106 σ ) 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma +201\sigma ^{2}+66\sigma ^{3}+106\sigma ^{4})}}\,\\&\lambda _{2}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{2}+201\sigma ^{4}+66\sigma +106\sigma ^{3})}}\,\\&\lambda _{3}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{3}+201\sigma +66\sigma ^{4}+106\sigma ^{2})}}\,\\&\lambda _{4}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{4}+201\sigma ^{3}+66\sigma ^{2}+106\sigma )}}\,\\\end{aligned}}} cos ⁡ ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} を用いた以下の三次方程式の解の一つである。 u 3 − x 1 2 u 2 + x 1 + x 3 4 u − x 2 + 2 8 = 0 {\displaystyle u^{3}-{\frac {x_{1}}{2}}u^{2}+{\frac {x_{1}+x_{3}}{4}}u-{\frac {x_{2}+2}{8}}=0} 変数変換 v = u + x 1 6 {\displaystyle v=u+{\frac {x_{1}}{6}}} 整理すると v 3 − 6 − x 1 + x 2 − x 3 12 v − 24 − 6 x 1 + 12 x 2 − 6 x 3 − 3 x 4 − x 5 216 = 0 {\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{216}}=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解は cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 1 3 6 − x 1 + x 2 − x 3 ⋅ cos ⁡ ( 1 3 arccos ⁡ 24 − 6 x 1 + 12 x 2 − 6 x 3 − 3 x 4 − x 5 2 ( 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) 3 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {24-6x_{1}+12x_{2}-6x_{3}-3x_{4}-x_{5}}{2(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})^{\frac {3}{2}}}}\right)} 上記三次方程式を変形すると v 3 − 6 − x 1 + x 2 − x 3 12 v − ( 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) ( 129 − 10 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 ) 216 ⋅ 67 = 0 {\displaystyle v^{3}-{\frac {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}{12}}v-{\frac {(6-x_{1}+x_{2}-x_{3})(129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4})}{216\cdot 67}}=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解は cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 1 3 6 − x 1 + x 2 − x 3 ⋅ cos ⁡ ( 1 3 arccos ⁡ 129 − 10 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}\cdot \cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}\right)} 平方根、立方根で表すと cos ⁡ 2 π 31 = x 1 6 + 6 − x 1 + x 2 − x 3 6 129 − 10 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 + i 27 ( 1091 − 96 x 1 − 348 x 2 − 367 x 3 + 114 x 4 ) 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 3 + 6 − x 1 + x 2 − x 3 6 129 − 10 x 1 + 81 x 2 − 48 x 3 − 30 x 4 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 − i 27 ( 1091 − 96 x 1 − 348 x 2 − 367 x 3 + 114 x 4 ) 134 6 − x 1 + x 2 − x 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{31}}={\frac {x_{1}}{6}}+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\\+{\frac {\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}{6}}{\sqrt[{3}]{{\frac {129-10x_{1}+81x_{2}-48x_{3}-30x_{4}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1091-96x_{1}-348x_{2}-367x_{3}+114x_{4})}}{134{\sqrt {6-x_{1}+x_{2}-x_{3}}}}}}}\end{aligned}}} 正三十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正三十一角形は折紙により作図が不可能な図形である。