作用・角変数

作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。 n {\displaystyle n} 自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、 n {\displaystyle n} 個の関数的に独立な孤立積分 F i {\displaystyle F_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち [ F i , F j ] = 0 {\displaystyle \left[F_{i},F_{j}\right]=0} を満足することである。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 F i {\displaystyle F_{i}} が値 f i {\displaystyle f_{i}} を取る超曲面 ⋂ i = 1 n F i − 1 ( f i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{i}^{-1}(f_{i})} が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が存在しハミルトニアン H {\displaystyle H} が J {\displaystyle \mathbf {J} } だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が作用・角変数である。 変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ( p , q ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いると、ハミルトンの特性関数 S ( q , α ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})} を S = S 1 ( q 1 , α ) + S 2 ( q 2 , α ) + ⋯ + S n ( q n , α ) {\displaystyle S=S_{1}(q_{1},\mathbf {\alpha } )+S_{2}(q_{2},{\boldsymbol {\alpha }})+\cdots +S_{n}(q_{n},{\boldsymbol {\alpha }})} という形に書くことができる。積分定数 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} の値が特定されると、各座標 q i {\displaystyle q_{i}} が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。 ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration) 運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion) このとき、定数 α {\displaystyle \mathbf {\alpha } } により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分 J i := 1 2 π ∮ p i d q i = 1 2 π ∮ ∂ S i ∂ q i ( q i , α ) d q i {\displaystyle J_{i}:={\frac {1}{2\pi }}\oint p_{i}\,dq_{i}={\frac {1}{2\pi }}\oint {\frac {\partial S_{i}}{\partial q_{i}}}(q_{i},{\boldsymbol {\alpha }})dq_{i}} により作用変数 (action variable) J i = J i ( α ) {\displaystyle J_{i}=J_{i}({\boldsymbol {\alpha }})} が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は S = S ( q , J ) {\displaystyle S=S(\mathbf {q} ,\mathbf {J} )} という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ( p , q ) ↦ ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\mapsto (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} により角変数 (angle variable) θ i := ∂ S ∂ J i {\displaystyle \theta _{i}:={\frac {\partial S}{\partial J_{i}}}} が導入される。角変数 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は運動の一周期の間に 2 π {\displaystyle 2\pi } 変化する。 作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を用いるとき、系のハミルトニアンは H = H ( J ) {\displaystyle H=H(\mathbf {J} )} であるため、正準方程式は d J i d t = − ∂ H ∂ θ i = 0 ,     d θ i d t = ∂ H ∂ J i =: ω i ( J ) {\displaystyle {\frac {dJ_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta _{i}}}=0,\ \ {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}=:\omega _{i}(\mathbf {J} )} となる。従ってその解はただちに J i = C o n s t . ,     θ i = ω i ( J ) t + β i {\displaystyle J_{i}=\mathrm {Const.} ,\ \ \theta _{i}=\omega _{i}(\mathbf {J} )t+\beta _{i}} と求まる ( β i {\displaystyle \beta _{i}} は定数)。従って ω i = ∂ H ∂ J i {\displaystyle \omega _{i}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}} は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。 振動数 ω = ( ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})} がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 θ = ω t + β {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\omega }}t+{\boldsymbol {\beta }}} はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。 可積分ハミルトニアン H 0 {\displaystyle H_{0}} に摂動 ϵ H 1 {\displaystyle \epsilon H_{1}} が加わったハミルトニアン H = H 0 ( J ) + ϵ H 1 ( J , θ ) {\displaystyle H=H_{0}(\mathbf {J} )+\epsilon H_{1}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン H 0 {\displaystyle H_{0}} に関する作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 ( J ∗ , θ ∗ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ^{*},{\boldsymbol {\theta }}^{*})} への正準変換 S = S ( θ , J ∗ ) {\displaystyle S=S({\boldsymbol {\theta }},\mathbf {J} ^{*})} を摂動的に決定するというアイデアに基づいている。 作用変数 J {\displaystyle J} は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する断熱不変量になる。 1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。 H = p 2 2 m + 1 2 m ω 0 2 q 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}q^{2}} この系はエネルギー E {\displaystyle E} が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 S {\displaystyle S} はエネルギーを積分定数とする S = ∫ ± 2 m E − m 2 ω 0 2 q 2 d q {\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2mE-m^{2}\omega _{0}^{2}q^{2}}}\,dq} という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は J = E / ω 0 {\displaystyle J=E/\omega _{0}} , θ = arcsin ⁡ ( m ω 0 2 J q ) {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\sqrt {\frac {m\omega _{0}}{2J}}}q\right)} と計算できる。 q = 2 J m ω 0 sin ⁡ θ ,     p = 2 m ω 0 J cos ⁡ θ {\displaystyle q={\sqrt {\frac {2J}{m\omega _{0}}}}\,\sin \theta ,\ \ p={\sqrt {2m\omega _{0}J}}\,\cos \theta } H = ω 0 J {\displaystyle H=\omega _{0}J} 3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} を用いるとき変数分離系となる。 H = 1 2 ( p r 2 + 1 r 2 p θ 2 + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ p ϕ 2 ) − μ r {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}p_{\theta }^{2}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}p_{\phi }^{2}\right)-{\frac {\mu }{r}}} 対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。 S = ∫ ± 2 C + 2 μ r − G 2 r 2 d r + ∫ ± G 2 − G z 2 sin 2 ⁡ θ d θ + G z ϕ {\displaystyle S=\int \pm {\sqrt {2C+{\frac {2\mu }{r}}-{\frac {G^{2}}{r^{2}}}}}dr+\int \pm {\sqrt {G^{2}-{\frac {G_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}}}d\theta +G_{z}\phi } 系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 ( J r , J θ , J ϕ , w r , w θ , w ϕ ) {\displaystyle (J_{r},J_{\theta },J_{\phi },w_{r},w_{\theta },w_{\phi })} は次のように求められる。 J r = μ a [ 1 − 1 − e 2 ] ,     J θ = μ a ( 1 − e 2 ) ( 1 − cos ⁡ I ) ,     J ϕ = μ a ( 1 − e 2 ) cos ⁡ I {\displaystyle J_{r}={\sqrt {\mu a}}\left[1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right],\ \ J_{\theta }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,(1-\cos I),\ \ J_{\phi }={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\,\cos I} w r = M ,     w θ = M + ω ,     w ϕ = M + ω + Ω {\displaystyle w_{r}=M,\ \ w_{\theta }=M+\omega ,\ \ w_{\phi }=M+\omega +\Omega } ここに a {\displaystyle a} は軌道長半径、 e {\displaystyle e} は軌道離心率、 I {\displaystyle I} は軌道傾斜角、 M {\displaystyle M} は平均近点離角、 ω {\displaystyle \omega } は近点引数、 Ω {\displaystyle \Omega } は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは H = − μ 2 2 ( J r + J θ + J ϕ ) 2 {\displaystyle H=-{\frac {\mu ^{2}}{2(J_{r}+J_{\theta }+J_{\phi })^{2}}}} と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。