連続の方程式

連続の方程式（れんぞくのほうていしき、英: equation of continuity、連続方程式、連続の式、連続式などとも言う）は物理学で一般的に適用できる方程式で、「原因もなく物質が突然現れたり消えたりすることはない」という自然な考え方を表す。 保存則と密接に関わっている。 狭義には、流体力学における質量保存則 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0} （ρは密度、v は流れの速度、t は時間である。∇はナブラを参照。） あるいは、この式を非圧縮性流体に適用した ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} を指す。 広義には、スカラー物理量 q についての保存則 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} （ρ：q の密度、j：q の流束） あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式（一般の保存則） ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma } （σ：q の湧き出し密度） を指すこともある。 広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。 q についての連続の式は、 領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 d M d t {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量（流量） J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。 d M d t + J = S {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S} と表現できる。 ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、 M = ∫ Ω ρ d V J = ∮ ∂ Ω j ⋅ d S S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}} と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。 これにより連続の式は d d t ∫ Ω ρ d V + ∮ ∂ Ω j ⋅ d S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V} となる。 ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると ∫ Ω { ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j − σ } d V = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0} となるので、微分形 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma } が得られる。 特に、湧き出しがないときの連続の式 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。 速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は j = ρ v {\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}} となる。 質量保存則から連続の式は ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0} となる。 速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。 0 = d d t ∫ Ω ( t ) ρ d V = ∫ Ω ( t ) ( D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v ) d V {\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV} ここで、 D D t {\displaystyle {D \over Dt}} は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。 これより、 D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} が成立する。 この式は、実質微分の定義 D D t ≡ ∂ ∂ t + v ⋅ ∇ {\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla } と公式 ∇ ⋅ ( ρ v ) = ρ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ ρ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho } を使って、 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0} と等価であることがわかる。 連続の方程式 D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、 D ρ D t = 0 {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0} となるので、ρ≠ 0 であることから、 ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。 この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。 電磁気学における連続の式とは電荷の保存則の微分形である。ρ を電荷密度、j を電流密度とすれば、連続の式は ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} となる。 マクスウェルの方程式において、電荷の保存則を満たすためにオリジナルのアンペールの式 ∇ × H = j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}} に変位電流を導入する必要があった。修正されたアンペールの式 ∇ × H = ∂ D ∂ t + j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}} において、両辺に発散 ∇· を作用させると、左辺はゼロとなるので、 ∇ ⋅ ∂ D ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} となり、ガウスの式 ∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho } を代入することで連続の式が得られる。 電荷の保存則を表す連続の式は四元電流を使うことで、ローレンツ共変でコンパクトな形にすることができる。四元電流 Jμ (μ= 0, 1, 2, 3) を J μ = ( c ρ , j ) {\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)} と表す。ここで c は光速である。微分演算子 ∂ μ = ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)} を定義すると、連続の式は ∂ μ J μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0} と表現できる。ただし、添字におけるアインシュタインの規約を採用した。 量子力学における連続の式は確率の保存則を表す。 Ψ(r , t ) を規格化された波動関数とする。確率密度 ρ、確率流束 j を ρ = Ψ ∗ Ψ j = ℏ 2 m i [ Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}} と定義すると、シュレディンガー方程式 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi } を用いて、確率に対する連続の式 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} が得られる。 シュレディンガー方程式とその複素共役の式 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ , − i ℏ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}} それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると i ℏ Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + i ℏ Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ℏ 2 2 m Ψ ∗ ∇ 2 Ψ + ℏ 2 2 m Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}} 更に i ℏ ∂ ( Ψ ∗ Ψ ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)} となり、連続の式 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} ただし、 ρ = Ψ ∗ Ψ j = ℏ 2 m i [ Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}} が得られる。 ブラウン運動などのミクロスケール由来の現象による物質の質量輸送現象を考える。このとき、経験則であるフィックの法則（フィックの第一法則）により流束は j = − κ ∇ ρ {\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho } と密度の勾配で与えられる。係数 κ は拡散係数と呼ばれ、次元 L 2   T − 1 {\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}} をもつ。拡散係数が定数の時、連続の式から拡散方程式 ∂ ρ ∂ t = κ ∇ 2 ρ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho } が得られる。