差分の差分法

差分の差分法（さぶんのさぶんほう、英: difference in differences）とは計量経済学や社会学における量的調査において用いられる、観測データによって実験的な研究を模倣するための統計手法である。'Difference-in-Differences' や'DID'、'DD' と呼ばれることもある。差分の差分法は成果（つまり、反応変数や被説明変数）における処置（つまり、説明変数や独立変数）の効果を、処置群における成果変数の時間を通じた平均的な変化と対照群における時間を通じた変化と比較することで計算している。この方法は、あるバイアス（平均回帰バイアスなど）を持っているが、選択バイアスの効果をある程度取り除くことができる。同一被験者による処置効果（つまり時間についての変化を測る）の場合と異なる被験者間による処置効果（つまり処置群と対照群の間の変化を測る）の場合とは対照的に、差分の差分法は異なる時点での処置群と対照群の間の差を取り、さらにその異なる時点の差の差を取る。 差分の差分法では2時点、もしくはそれ以上の時点で計測されたデータを必要する。図の例において、処置群は線Pで表現され対照群は線Sで表現されている。どちらのグループも処理を受ける前（つまり独立変数もしくは説明変数）の時点1における成果変数（非説明変数）が計測され、点 P1 と S1 で表されている。処置群は処置を受け、両方のグループはその後の時点2において再び測定される。時点2における処置群と対照群の差（つまり、P2 と S2 の差）は処置の効果を説明できない。なぜならば、処置群と対照群は時点1において同じ点から出発したわけではないからである。差分の差分法はそれゆえに二つのグループ間の成果の変数の"普通の"差（もしどちらのグループも処置を受けなかった場合の差）を計測する。その差は点線Qで表される（P1 から Q への傾きは S1 から S2 への傾きと同じである）。処置効果は観測された成果変数と"普通の"成果変数の差（P2 と Q の差）である。 以下のモデルを考える。 y i s t   =   γ s + λ t + δ D s t + ϵ i s t {\displaystyle y_{ist}~=~\gamma _{s}+\lambda _{t}+\delta D_{st}+\epsilon _{ist}} ここで y i s t {\displaystyle y_{ist}} は個人 i {\displaystyle i} が s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} を所与とした下での被説明変数である。 s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} の次元は例えば国と時間を表している。 γ s {\displaystyle \gamma _{s}} と λ t {\displaystyle \lambda _{t}} は s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} のそれぞれの垂直的な切片である。 D s t {\displaystyle D_{st}} は処置状態を示すダミー変数であり、 δ {\displaystyle \delta } は処置効果、 ϵ i s t {\displaystyle \epsilon _{ist}} は誤差項である。 ここで y ¯ s t   =   1 n ∑ i = 1 n y i s t {\displaystyle {\overline {y}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{ist}} , γ ¯ s   =   1 n ∑ i = 1 n γ s   =   γ s {\displaystyle {\overline {\gamma }}_{s}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s}~=~\gamma _{s}} , λ ¯ t   =   1 n ∑ i = 1 n λ t   =   λ t {\displaystyle {\overline {\lambda }}_{t}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}~=~\lambda _{t}} , D ¯ s t   =   1 n ∑ i = 1 n D s t   =   D s t {\displaystyle {\overline {D}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}D_{st}~=~D_{st}} , ϵ ¯ s t   =   1 n ∑ i = 1 n ϵ i s t {\displaystyle {\overline {\epsilon }}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{ist}} , とし、単純化のために s = 1 , 2 {\displaystyle s=1,2} かつ t = 1 , 2 {\displaystyle t=1,2} とする。すると ( y ¯ 11 − y ¯ 12 ) − ( y ¯ 21 − y ¯ 22 ) {\displaystyle ({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})} = [ ( γ 1 + λ 1 + δ D 11 + ϵ ¯ 11 ) − ( γ 1 + λ 2 + δ D 12 + ϵ ¯ 12 ) ] − [ ( γ 2 + λ 1 + δ D 21 + ϵ ¯ 21 ) − ( γ 2 + λ 2 + δ D 22 + ϵ ¯ 22 ) ] {\displaystyle =\left[(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\epsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\epsilon }}_{12})\right]-\left[(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\epsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\epsilon }}_{22})\right]} = δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) + ϵ ¯ 11 − ϵ ¯ 12 + ϵ ¯ 22 − ϵ ¯ 21 {\displaystyle =\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\epsilon }}_{11}-{\overline {\epsilon }}_{12}+{\overline {\epsilon }}_{22}-{\overline {\epsilon }}_{21}} 完全に説明変数が外生的であるという仮定の下で E [ ( y ¯ 11 − y ¯ 12 ) − ( y ¯ 21 − y ¯ 22 ) ]   =   δ ( D 11 − D 12 ) + δ ( D 22 − D 21 ) {\displaystyle E\left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})} となる。一般性を失わずに、 D 22 = 1 {\displaystyle D_{22}=1} かつ D 11 = D 12 = D 21 = 0 {\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0} であると仮定すれば、差分の差分法による推定量は以下のように与えられる。 δ