ハールウェーブレット

ハールウェーブレット（英: Haar wavelet）とは、ウェーブレットの一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した。Daubechiesウェーブレットの一つでもある。 ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、連続では無いため、微分可能では無い事。 ウェーブレット関数の定義は以下の通り。 ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 2 , − 1 1 2 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 対応するスケーリング関数は以下の通り。 ϕ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψn, k が定義できる。 ψ n , k ( t ) = 2 n / 2 ψ ( 2 n t − k ) , t ∈ R . {\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbf {R} .} 下記の性質を持つ。δi, j はクロネッカーのデルタ。 ∫ R ψ n , k ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0} ‖ ψ n , k ‖ L 2 ( R ) 2 = ∫ R ψ n , k ( t ) 2 d t = 1 {\displaystyle \quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbf {R} )}^{2}=\int _{\mathbf {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1} ∫ R ψ n 1 , k 1 ( t ) ψ n 2 , k 2 ( t ) d t = δ n 1 , n 2 δ k 1 , k 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1},n_{2}}\delta _{k_{1},k_{2}}} ハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。 { ψ n , k ( t ) ; n ∈ Z , k ∈ Z } {\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;;\;n\in \mathbf {Z} ,\;k\in \mathbf {Z} \}} スケール n 1 {\displaystyle n_{1}} のハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。 { ϕ n 1 , k ( t ) , ψ n 2 , k ( t ) ; n 2 ∈ Z , k ∈ Z , n 1 ≤ n 2 } {\displaystyle \{\phi _{n_{1},k}(t),\psi _{n_{2},k}(t)\;;\;n_{2}\in \mathbf {Z} ,\;k\in \mathbf {Z} ,\;n_{1}\leq n_{2}\}} 整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数 ϕ n , k {\displaystyle \phi _{n,k}} が定義できる。 ϕ n , k ( t ) = 2 n / 2 ϕ ( 2 n t − k ) , t ∈ R . {\displaystyle \phi _{n,k}(t)=2^{n/2}\phi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbf {R} .} 下記の性質を持つ。 ∫ R ϕ n , k ( t ) d t = 2 − n / 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k}(t)\,dt=2^{-n/2}} ‖ ϕ n , k ‖ L 2 ( R ) 2 = ∫ R ϕ n , k ( t ) 2 d t = 1 {\displaystyle \quad \|\phi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbf {R} )}^{2}=\int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1} 同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。 ∫ R ϕ n , k 1 ( t ) ϕ n , k 2 ( t ) d t = δ k 1 , k 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k_{1}}(t)\phi _{n,k_{2}}(t)\,dt=\delta _{k_{1},k_{2}}} 異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。 ∫ R ϕ n 1 , k 1 ( t ) ϕ n 2 , k 2 ( t ) d t {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n_{1},k_{1}}(t)\phi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt} = 2 n 1 + n 2 2 ∫ k 1 2 n 1 k 1 + 1 2 n 1 ϕ ( 2 n 2 t − k 2 ) d t {\displaystyle =2^{\frac {n_{1}+n_{2}}{2}}\int _{\frac {k_{1}}{2^{n_{1}}}}^{\frac {k_{1}+1}{2^{n_{1}}}}\phi (2^{n_{2}}t-k_{2})\,dt} = { 2 n 1 + n 2 2 ( min { k 1 + 1 2 n 1 , k 2 + 1 2 n 2 } − max { k 1 2 n 1 , k 2 2 n 2 } ) k 2 2 n 2 < k 1 + 1 2 n 1 ∧ k 1 2 n 1 < k 2 + 1 2 n 2 , 0 otherwise. {\displaystyle ={\begin{cases}2^{\frac {n_{1}+n_{2}}{2}}(\min\{{\frac {k_{1}+1}{2^{n_{1}}}},{\frac {k_{2}+1}{2^{n_{2}}}}\}-\max\{{\frac {k_{1}}{2^{n_{1}}}},{\frac {k_{2}}{2^{n_{2}}}}\})\quad &{\frac {k_{2}}{2^{n_{2}}}}<{\frac {k_{1}+1}{2^{n_{1}}}}\land {\frac {k_{1}}{2^{n_{1}}}}<{\frac {k_{2}+1}{2^{n_{2}}}},\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。 ϕ ( t ) = ϕ ( 2 t ) + ϕ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)} ψ ( t ) = ϕ ( 2 t ) − ϕ ( 2 t − 1 ) {\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)} 解像度を指定した場合は以下の通り。 ϕ n , k ( t ) = ϕ n + 1 , 2 k ( t ) + ϕ n + 1 , 2 k + 1 ( t ) 2 {\displaystyle \phi _{n,k}(t)={\frac {\phi _{n+1,2k}(t)+\phi _{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt {2}}}} ψ n , k ( t ) = ϕ n + 1 , 2 k ( t ) − ϕ n + 1 , 2 k + 1 ( t ) 2 {\displaystyle \psi _{n,k}(t)={\frac {\phi _{n+1,2k}(t)-\phi _{n+1,2k+1}(t)}{\sqrt {2}}}} ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。 ∫ R ϕ n 1 , k 1 ( t ) ψ n 2 , k 2 ( t ) d t {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt} = { 1 2 ( ∫ R ϕ n 1 , k 1 ( t ) ϕ n 2 + 1 , 2 k 2 ( t ) d t − ∫ R ϕ n 1 , k 1 ( t ) ϕ n 2 + 1 , 2 k 2 + 1 ( t ) d t ) n 1 > n 2 , 0 otherwise. {\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\int _{\mathbf {R} }\phi _{n_{1},k_{1}}(t)\phi _{n_{2}+1,2k_{2}}(t)\,dt-\int _{\mathbf {R} }\phi _{n_{1},k_{1}}(t)\phi _{n_{2}+1,2k_{2}+1}(t)\,dt\right)\quad &n_{1}>n_{2},\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} ウェーブレット ウェーブレット変換 離散ウェーブレット変換 次元削減 Haar-like特徴（英語版）