ディリクレ積分

ディリクレ積分（ディリクレせきぶん、英: Dirichlet integral）とは、広義積分 ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx} のことである。これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分の意味では可積分でない。 この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。 f(z) = eiz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 Cr, CR を定める（赤領域を左に見るように進む向きを正とする）。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により ∫ C R e i z z d z + ∫ − R − r e i x x d x + ∫ C r e i z z d z + ∫ r R e i x x d x = 0 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{-R}^{-r}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx+\int _{C_{r}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{r}^{R}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx=0\qquad \cdots (1)} となる。 まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により ∫ − R − r e i x x d x + ∫ r R e i x x d x = − ∫ r R e − i x x d x + ∫ r R e i x x d x = 2 i ∫ r R sin ⁡ x x d x .     ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{-r}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx&=-\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{-ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx\\&=2i\int _{r}^{R}{\dfrac {\sin x}{x}}dx.\ \ \cdots (2)\end{aligned}}} 次に C R {\displaystyle C_{R}} についての周回積分は R → ∞ {\displaystyle R\rightarrow \infty } でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題) 置換 z = R e i t {\displaystyle z=Re^{it}} により、 | ∫ C R f ( z ) d z | = | ∫ 0 π f ( R e i t ) i R e i t d t | ≤ ∫ 0 π | f ( R e i t ) | R d t = ∫ 0 π e − R sin ⁡ t d t = 2 ∫ 0 π 2 e − R sin ⁡ t d t ≤ 2 ∫ 0 π 2 e − 2 R t / π d t ( ∵     t ∈ [ 0 , π 2 ]   ⟹   2 π t ≤ sin ⁡ t ) = π R ( 1 − e − R ) → 0 ( R → ∞ ) .     ⋯ ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|&=\left|\int _{0}^{\pi }f(Re^{it})iRe^{it}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{\pi }|f(Re^{it})|R\,dt=\int _{0}^{\pi }e^{-R\sin t}dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R\sin t}dt\\&\leq 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-2Rt/\pi }dt\quad \left(\because \ \ t\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\ \Longrightarrow \ {\dfrac {2}{\pi }}t\leq \sin t\right)\\&={\frac {\pi }{R}}(1-e^{-R})\to 0\quad (R\to \infty ).\ \ \cdots (3)\end{aligned}}} また、 C r {\displaystyle C_{r}} についての周回積分は r → 0 {\displaystyle r\to 0} で − i π {\displaystyle -i\pi } となることを示す。（留数定理） z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} のとき、指数関数 e z {\displaystyle e^{z}} の定義により、 e i z z = 1 z ∑ n = 0 ∞ ( i z ) n n ! = 1 z + ∑ n = 1 ∞ i n n ! z n − 1 . {\displaystyle {\frac {e^{iz}}{z}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}.} g ( z ) := ∑ n = 1 ∞ i n n ! z n − 1 {\displaystyle g(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}} とおくと、 ∫ C r e i z z d z = ∫ C r 1 z d z + ∫ C r g ( z ) d z . {\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {e^{iz}}{z}}dz=\int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz+\int _{C_{r}}g(z)dz.} ここで、置換 z = r e i t {\displaystyle z=re^{it}} により、 ∫ C r 1 z d z = ∫ π 0 1 r e i t i r e i t d t = i ∫ π 0 d t = − i π . {\displaystyle \int _{C_{r}}{\dfrac {1}{z}}dz=\int _{\pi }^{0}{\dfrac {1}{re^{it}}}ire^{it}dt=i\int _{\pi }^{0}dt=-i\pi .} 次に、 ∫ C r g ( z ) d z → 0     ( r → 0 ) {\displaystyle \int _{C_{r}}g(z)dz\to 0\ \ (r\to 0)} を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合 K := { z   ;   | z | ≤ 1 } {\displaystyle K:=\{z\ ;\ |z|\leq 1\}} で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、 ∃ M > 0 ,   ∀ z ∈ K   ;   | g ( z ) | ≤ M . {\displaystyle {}^{\exists }M>0,\ {}^{\forall }z\in K\ ;\ |g(z)|\leq M.} r {\displaystyle r} を十分小さくとれば、経路 C r {\displaystyle C_{r}} （の像）は K に含まれるから、 | ∫ C r g ( z ) d z | ≤ ∫ C r | g ( z ) | | d z | ≤ M ∫ C r | d z | = M π r → 0     ( r → 0 ) .     ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \left|\int _{C_{r}}g(z)dz\right|\leq \int _{C_{r}}|g(z)||dz|\leq M\int _{C_{r}}|dz|=M\pi r\to 0\ \ (r\to 0).\ \ \cdots (4)} 以上より、(1) において r → 0 ,   R → ∞ {\displaystyle r\to 0,\ R\to \infty } とすれば、(2)～(4)より 0 + 2 i ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x − i π = 0 {\displaystyle 0+2i\int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx-i\pi =0} すなわち ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx={\dfrac {\pi }{2}}} が従う。 高橋, 礼司『複素解析』東京大学出版会〈基礎数学8〉、1990年。ISBN 978-4-13-062106-9。