ラマヌジャンのタウ函数

ラマヌジャンのタウ関数（ラマヌジャンのタウかんすう）は， Ramanujan (1916) によって研究された関数で，次の等式によって定義される関数 τ: N → Z である： ∑ n ≥ 1 τ ( n ) q n = q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24 = η ( z ) 24 = Δ ( z ) , {\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),} ただし Im z > 0 なる z に対し q = exp(2πiz) であり，η はデデキントのイータ関数であり，関数 Δ(z) はラマヌジャンのデルタ関数と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則尖点形式である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．イアン・G・マクドナルド（英語版） (Ian G. Macdonald) による公式が Dyson (1972) において与えられた． タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典の数列 A000594）： Ramanujan (1916) は τ(n) の次の3つの性質を観察したが証明はしなかった： τ(mn) = τ(m)τ(n) が gcd(m, n) = 1 のとき成り立つ（つまり τ は乗法的関数である）． τ(pr + 1) = τ(p)τ(pr) − p11τ(pr − 1) が p が素数で r > 0 のとき成り立つ． |τ(p)| ≤ 2p11/2 がすべての素数 p に対して成り立つ． 最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）． k ∈ Z と n ∈ Z>0 に対して，σk(n) を n の約数の k 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが σk(n) を用いて表せる．いくつかを挙げる： τ ( n ) ≡ σ 11 ( n )   mod   2 11  for  n ≡ 1   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8} τ ( n ) ≡ 1217 σ 11 ( n )   mod   2 13  for  n ≡ 3   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8} τ ( n ) ≡ 1537 σ 11 ( n )   mod   2 12  for  n ≡ 5   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8} τ ( n ) ≡ 705 σ 11 ( n )   mod   2 14  for  n ≡ 7   mod   8 {\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8} τ ( n ) ≡ n − 610 σ 1231 ( n )   mod   3 6  for  n ≡ 1   mod   3 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3} τ ( n ) ≡ n − 610 σ 1231 ( n )   mod   3 7  for  n ≡ 2   mod   3 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3} τ ( n ) ≡ n − 30 σ 71 ( n )   mod   5 3  for  n ≢ 0   mod   5 {\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5} τ ( n ) ≡ n σ 9 ( n )   mod   7  for  n ≡ 0 , 1 , 2 , 4   mod   7 {\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7} τ ( n ) ≡ n σ 9 ( n )   mod   7 2  for  n ≡ 3 , 5 , 6   mod   7 {\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7} τ ( n ) ≡ σ 11 ( n )   mod   691. {\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.} 素数 p ≠ 23 に対して，次が成り立つ： τ ( p ) ≡ 0   mod   23  if  ( p 23 ) = − 1 {\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1} τ ( p ) ≡ σ 11 ( p )   mod   23 2  if  p  is of the form  a 2 + 23 b 2 {\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}} τ ( p ) ≡ − 1   mod   23  otherwise . {\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.} f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a(n) は整数であるとする．次の問題を考える： f が虚数乗法をもたないとき，ほとんどすべての素数 p は a ( p ) ≠ 0 mod p {\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}} という性質を持つことを証明せよ．実際，多くの素数はこの性質を持たなければならず，したがってそれらは ordinary と呼ばれる．ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり，p と互いに素な n に対して a(n) mod p が決定されたが，a(p) mod p の計算方法の手掛かりは得られていない．この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり，それは確かに無限個の素数 p に対して a(p) = 0 でありしたがって 0 mod p であることを保証する．無限個の素数 p に対して a(p) ≠ 0 mod p なるウェイト > 2 の虚数乗法を持たない f の例は知られていない（ほとんどすべての p に対しては正しいのであるが）．無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるような例もまた知られていない．本当に無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるのかどうか疑い始めた人々もいた．証拠として多くの人は（ウェイト 12 の）ラマヌジャンの τ(p) を挙げた．τ(p) = 0 mod p であることが分かっている最大の p は p = 7758337633 である．方程式 τ(p) ≡ 0 mod p の解は 1010 まででは p = 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633 のみである． Lehmer (1947) はすべての n に対して τ(n) ≠ 0 であると予想し，これはレーマーの予想と呼ばれることもある．レーマーは n < 214928639999 に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22)．次の表はこの条件がいくつまでの n について成り立つかの進展をまとめたものである．