レヴィ・チヴィタ接続

数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > 接続 > ベクトルバンドルの接続 > アフィン接続 > レヴィ・チヴィタ接続 数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン幾何学 > レヴィ・チヴィタ接続 レヴィ-チヴィタ接続（レヴィ-チヴィタせつぞく、英: Levi-Civita connection）とは、リーマン多様体M上に共変微分という概念を定める微分演算子で、Mがユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体の場合は、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における（通常の意味の）微分をMに射影したものが共変微分に一致する。 レヴィ-チヴィタ接続は擬リーマン多様体においても定義でき、一般相対性理論に応用を持つ。 レヴィ-チヴィタ「接続」という名称はより一般的なファイバーバンドルの接続概念の特殊な場合になっている事により、接続概念から定義される「平行移動」（後述）を用いる事で、M上の相異なる2点を「接続」してこれら2点における接ベクトルを比較可能になる。 レヴィ-チヴィタ接続において定義される概念の多くは一般のファイバーバンドルの接続に対しても定義できる。 レヴィ-チヴィタ接続の名称はイタリア出身の数学者トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる。 Mを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体とし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線とし、さらに v ( t ) {\displaystyle v(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とし（すなわち各時刻tに対し、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は v ( t ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle v(t)\in T_{c(t)}M} を満たすとし）、 ∇ d t v ( t ) := P r c ( t ) ( d d t v c ( t ) ) {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)} と定義する。ここでPrはMの点c(t)における R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の接平面（と自然に同一視可能なTc(t)M）への射影である。またX、YをM上のベクトル場とするとき、 ∇ X Y | P := ∇ d t Y exp ⁡ ( t X ) ( P ) {\displaystyle \nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}} と定義する。ここで exp ⁡ ( t X ) ( P ) {\displaystyle \exp(tX)(P)} は時刻0に点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を通るXの積分曲線である。実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からMに誘導されるリーマン計量（とその偏微分）のみから計算できる事が知られている。具体的には以下の通りである： 定理 ― Mに局所座標 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を取るとき、以下が成立する（アインシュタインの縮約で表記）： ∇ d t v ( t ) = ( d d t v i ( t ) + d x j ( t ) d t v k ( t ) Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ...(1) 　　　where Γ j k i = 1 2 g i ℓ ( ∂ g k ℓ ∂ x j + ∂ g ℓ j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x ℓ ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)} ...(2) ここで v ( t ) = v i ( t ) ∂ ∂ x i {\displaystyle v(t)=v^{i}(t){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} であり、 ( g i ℓ ) i ℓ {\displaystyle (g^{i\ell })_{i\ell }} は ( g ℓ j ) ℓ j {\displaystyle (g_{\ell j})_{\ell j}} の逆行列である。すなわち δ i j {\displaystyle \delta ^{i}{}_{j}} をクロネッカーのデルタとするとき、 g i ℓ g ℓ j = δ i j {\displaystyle g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}} である。 証明 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の元を成分で y → = ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y^{1},\ldots ,y^{n})} と表し、局所座標が ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で表せるMの元の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における成分表示を y → ( x 1 , … , x m ) = ( y 1 ( x 1 , … , x m ) , … , y n ( x 1 , … , x m ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x^{1},\ldots ,x^{m})=(y^{1}(x^{1},\ldots ,x^{m}),\ldots ,y^{n}(x^{1},\ldots ,x^{m}))} と表すと、 d d t v → ( t ) {\displaystyle {d \over dt}{\vec {v}}(t)} = d d t ( v k ( t ) ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle ={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) + v k ( t ) d x j ( t ) d t ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))} である。 ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {\partial {\vec {y}}}{\partial x^{k}}}(x(t))} はMの y → ( x ( t ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x(t))} における接平面に属しているので、 P r c ( 0 ) ( d d t v → ( t ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) + v k ( t ) d x j ( t ) d t P r t = 0 ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)} ...(A) が成立する。よって後は P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\tfrac {\partial ^{2}{\vec {y}}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t))\right)} の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)} = a j k i ( t ) ∂ y → ∂ x i ( x ( t ) ) {\displaystyle =a_{jk}^{i}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}(x(t))} ...(B) と書いて係数の a j k i ( t ) {\displaystyle a_{jk}^{i}(t)} を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「 a j k i ( t ) {\displaystyle a_{jk}^{i}(t)} 」を単に「 a j k i {\displaystyle a_{jk}^{i}} 」と書き、偏微分から「 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 」を省略する。すると、 a j k i g i ℓ = a j k i ⟨ ∂ y → ∂ x i , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle a_{jk}^{i}g_{i\ell }=a_{jk}^{i}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ) , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle =\left\langle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}\right),{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } であるので、 a j k i = g i ℓ ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle a_{jk}^{i}=g^{i\ell }\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } ...(C) である。一方ライプニッツ・ルールより ∂ g k ℓ ∂ x j = ∂ ∂ x j ⟨ ∂ y → ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle {\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}={\partial \over \partial x^{j}}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } = ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ + ⟨ ∂ y → ∂ x k , ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle =\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle } であるので、添字をサイクリックに回すと、 ( ∂ g k ℓ ∂ x j ∂ g j k ∂ x ℓ ∂ g ℓ j ∂ x k ) = ( 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ) ( ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ ⟨ ∂ 2 y → ∂ x ℓ ∂ x j , ∂ y → ∂ x k ⟩ ⟨ ∂ 2 y → ∂ x k ∂ x ℓ , ∂ y → ∂ x j ⟩ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}\\{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\\{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{j}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{\ell }},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle \end{pmatrix}}} である。これを解いて、 ∂ g k ℓ ∂ x j + ∂ g ℓ j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x ℓ = 2 ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x ℓ ⟩ {\displaystyle {\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}=2\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\,\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle } よって Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} の定義と(C)より、 a j k i = Γ j k i {\displaystyle a_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}} が結論付けられる。よって(A)、(B)、(C)から P r c ( 0 ) ( d d t v → ( t ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k + v k ( t ) d x j ( t ) d t Γ j k i ∂ y → ∂ x i {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}} = ( d v i ( t ) d t + Γ j k i d x j ( t ) d t v k ( t ) ) ∂ y → ∂ x i {\displaystyle =\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}} 同様に X = X i ∂ ∂ x i {\displaystyle X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} 、 Y = Y i ∂ ∂ x i {\displaystyle Y=Y^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} とすると、以下が成立する： 定理 ― 　 ∇ X Y = ( X j ∂ Y i ∂ x j + X j Y k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ...(3) 前節で述べたように ∇ d t v ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)} や∇XYはMに内在的な量なので、一般のリーマン多様体に対しても、(1)、(2)、(3)式をもってこれらの量を定義できる： 定義 (レヴィ-チヴィタ接続) ―  ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とする。Mのベクトル場X、Yに対し、(2)、(3)式のように定義された ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} を対応させる演算子∇を ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続（英: Levi-Civita connection）、リーマン接続（英: Riemannian connection）もしくはリーマン・レヴィ-チヴィタ接続（英: Riemann Levi-Civita connection）と呼びといい、 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} を∇XYをYのX方向の共変微分（英: covariant derivative）という。 さらに c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} をを c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とするとき、(1)式のように定義された ∇ d t v ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)} を曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿ったYの共変微分（英: covariant derivative）という。 レヴィ-チヴィタ接続の定義は(1)、(2)、(3)式に登場する局所座標 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} に依存しているが、局所座標によらずwell-definedである事を証明できる。 レヴィ-チヴィタ接続を局所座標 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で表したとき、(2)式で定義される Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} を局所座標 ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} に関するクリストッフェル記号という。 レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる： 定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― レヴィ-チヴィタ接続は以下の5つの性質を満たす。またM上のベクトル場の組にM上のベクトル場を対応させる汎関数で以下の5つの性質をすべて満たすものはレヴィ-チヴィタ接続に限られる： ∇ f X + g Y Z = f ∇ X Z + g ∇ Y Z {\displaystyle \nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z} (関数に関する左線形性) ∇ X ( a Y + b Z ) = a ∇ X Y + b ∇ X Z {\displaystyle \nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z} (実数に関する右線形性)　 ∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y} 　（ライプニッツ則） ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]} (捻れなし） Z ( g ( X , Y ) ) = g ( ∇ Z X , Y ) + g ( X , ∇ Z Y ) {\displaystyle Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)} （計量との両立） ここでX、Y、ZはM上の任意の可微分なベクトル場であり、f、gはM上定義された任意の実数値C∞級関数であり、a、bは任意の実数であり、 f Y {\displaystyle fY} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} において f ( u ) Y u {\displaystyle f(u)Y_{u}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分であり、 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} はリー括弧（英語版）である。 条件1のように、任意のC∞級関数に対して線形性が成り立つことを C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形であるという。一般に C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} の値はXPのみに依存しP以外の点QにおけるXの値XQには依存しない。 なお、5番目の条件は後述するテンソル積の共変微分を用いると、 ∇ Z g = 0 {\displaystyle \nabla _{Z}g=0} とも書ける。 上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。 定理 (Koszulの公式) ―  X、Y、Zをリーマン多様体M上の任意の可微分なベクトル場とするとき、以下が成立する： Koszulの公式（英: Koszul formula）： 2 g ( ∇ X Y , Z ) = X g ( Y , Z ) + Y g ( Z , X ) − Z g ( X , Y ) − g ( X , [ Y , Z ] ) + g ( Y , [ Z , X ] ) + g ( Z , [ X , Y ] ) {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])} リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたM上のベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が ∇ d t v ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=0} を恒等的に満たすとき、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上平行であるという。また、 c ( t 0 ) {\displaystyle c(t_{0})} 上の接ベクトル w 0 ∈ T c ( t 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(t_{0})}M} と c ( t 1 ) {\displaystyle c(t_{1})} 上の接ベクトル w 1 ∈ T c ( t 1 ) M {\displaystyle w_{1}\in T_{c(t_{1})}M} に対し、 v ( t 0 ) = w 0 {\displaystyle v(t_{0})=w_{0}} 、 v ( t 1 ) = w 1 {\displaystyle v(t_{1})=w_{1}} を満たす c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上の平行なベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が存在するとき、 w 1 {\displaystyle w_{1}} は w 0 {\displaystyle w_{0}} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動（英: parallel transportation along c ( t ) {\displaystyle c(t)} ）した接ベクトルであるという。 ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー（英語版）（英: holonomy）という。 右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って w 0 ∈ T c ( 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(0)}M} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} まで平行移動したベクトルを φ c , t ( v ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}M} とすると φ c , t   :   T c ( 0 ) M → T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}M} は線形変換であり、しかも計量を保つ。すなわち以下が成立する： 定理 (平行移動は計量を保つ) ―  g ( φ c , t ( v ) , φ c , t ( w ) ) = g ( v , w ) {\displaystyle g(\varphi _{c,t}(v),\varphi _{c,t}(w))=g(v,w)} 実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる： 定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体M上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} と c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上のベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} に対し、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った平行移動を φ c , t ( v ) {\displaystyle \varphi _{c,t}(v)} とすると、以下が成立する： ∇ v d t ( 0 ) {\displaystyle {\nabla v \over dt}(0)} = d d t φ c , t − 1 ( v ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{d \over dt}\varphi _{c,t}{}^{-1}(v(t))\right|_{t=0}} とくに点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} からu自身までのM上の閉曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って一周する場合、接ベクトル v ∈ T u M {\displaystyle v\in T_{u}M} を平行移動した元を φ c ( v ) {\displaystyle \varphi _{c}(v)} と書くことにすると、 H o l ( ∇ , P ) := { ϕ c ∣ c {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P):=\{\phi _{c}\mid c} はPからP自身までの区分的になめらかな閉曲線 } {\displaystyle \}} は（合成関数で積を定義するとき） T u M {\displaystyle T_{u}M} 上の回転群の（閉とは限らない）部分リー群になる。 H o l ( ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P)} をレヴィ-チヴィタ接続∇に関するホロノミー群（英語版）（英: holonomy group）という。Mが弧状連結であれば H o l ( ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P)} は点Pによらず同型である。 ( e 1 , … , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} を接バンドル T M {\displaystyle TM} の局所的な基底とし、X、YをM上のベクトル場とし、 Y = Y j e j {\displaystyle Y=Y^{j}e_{j}} とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から ∇ X Y = X ( Y j ) e j + Y j ∇ X e j {\displaystyle \nabla _{X}Y=X(Y^{j})e_{j}+Y^{j}\nabla _{X}e_{j}} である。この式は、共変微分 ∇ X Y = ∇ X ( Y j e j ) {\displaystyle \nabla _{X}Y=\nabla _{X}(Y^{j}e_{j})} にライプニッツ則を適用して成分部分の微分 X ( Y j ) e j {\displaystyle X(Y^{j})e_{j}} と基底部分の微分 Y j ∇ X e j {\displaystyle Y^{j}\nabla _{X}e_{j}} の和として表現したものと解釈できる。 そこで以下のような定義をする： 定義 (接続形式) ―  Xに行列 ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を対応させる行列値の1-形式 ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を ( ∇ X e 1 , … , ∇ X e m ) = ( e 1 , … , e m ) ω ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)} により定義できる。 ω i j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}} を局所的な基底 ( e 1 , … , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関するレヴィ-チヴィタ接続の接続形式（英: connection form）という。またωを接続行列（英: connection matrix）とも呼ぶが、紛れがなければωの事も接続形式と呼ぶ。 定義から明らかに ω i j ( e k ) = Γ i k j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}(e_{k})=\Gamma ^{i}{}_{kj}} が成立する。さらに以下が成立する： 定理 ―  ( e 1 , … , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} をTMの局所的な正規直交基底とすると、 ( e 1 , … , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する接続形式 ω {\displaystyle \omega } は交代行列である。すなわち、 t ω = − ω {\displaystyle {}^{t}\omega =-\omega } 実際、 c ( t ) := exp ⁡ ( t X ) {\displaystyle c(t):=\exp(tX)} に沿った平行移動を φ c , t {\displaystyle \varphi _{c,t}} とするとき、平行移動は計量を保つ変換、すなわち、回転変換であったので、基底の微分である接続形式は、共変微分の平行移動による特徴づけより、 ( d d t φ c , t − 1 e 1 | c ( t ) , … , d d t φ c , t − 1 e m | c ( t ) ) = ( ∇ d c d t e 1 , … , ∇ d c d t e m ) = ( e 1 , … , e m ) ω ( d c d t ) {\displaystyle ({\tfrac {d}{dt}}\varphi _{c,t}{}^{-1}e_{1}|_{c(t)},\ldots ,{\tfrac {d}{dt}}\varphi _{c,t}{}^{-1}e_{m}|_{c(t)})=(\nabla _{\tfrac {dc}{dt}}e_{1},\ldots ,\nabla _{\tfrac {dc}{dt}}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega ({\tfrac {dc}{dt}})} となり、回転変換の微分として書ける。よってよって接続形式は回転群 S O ( m ) {\displaystyle \mathrm {SO} (m)} のリー代数 s o ( m ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)} の元、すなわち交代行列である。 リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} で測地線方程式 ∇ d t d d t c ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}{d \over dt}c(t)=0} を恒等的に満たすものを測地線という。2階微分は物理的には加速度であるので、測地線とは加速度が恒等的に0である曲線、すなわちユークリッド空間における直線を一般化した概念であるとみなせる。 常微分方程式の局所的な解の存在一意性から、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における接ベクトル v ∈ T P M {\displaystyle v\in T_{P}M} に対し、ある ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} が存在し、 c ( 0 ) = P {\displaystyle c(0)=P} 、 d c d t ( 0 ) = v {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}(0)=v} を満たす測地線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} が ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} 上で一意に存在する。この測地線を exp ⁡ ( t v ) {\displaystyle \exp(tv)} と書く。 しかし測地線は任意の長さに延長できるとは限らない。たとえば R 2 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}} （に通常のユークリッド空間としての計量を入れた空間）において、測地線 c ( t ) = ( 1 − t , 0 ) {\displaystyle c(t)=(1-t,0)} は t < 1 {\displaystyle t<1} までしか延長できない。任意の測地線がいくらでも延長できるとき、リーマン多様体は測地線完備であるという。 測地線が R {\displaystyle \mathbb {R} } 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。 定理 (Hopf-Rinowの定理（英語版）) ―  ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} を連結なリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } をM上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である： ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はgが定める距離に関し、距離空間として完備である。 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} は測地線完備である。 全ての点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。 ある点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。 M上の任意の2点P、Qに対し、PとQの両方を通る（ ∇ {\displaystyle \nabla } に関する）測地線が存在する。 gが定める距離に関し、Mの有界閉集合はコンパクトである。 測地線方程式は曲線uの長さ ∫ a b ‖ d u d t ‖ d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|dt} を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式に等しい。ここで ‖ v ‖ := g ( v , v ) {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}} である。すなわち、測地線は長さに関する停留曲線（≒端点を固定した曲線のなす空間において「微分」がゼロのなる曲線）である。 また測地線方程式は曲線uの「エネルギー」 ∫ a b ‖ d u d t ‖ 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|^{2}dt} を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式にもなっている。 リーマン多様体M上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ ‖ ∇ d s d c d s ‖ {\displaystyle \left\|{\nabla \over ds}{dc \over ds}\right\|} をMにおける c ( s ) {\displaystyle c(s)} の測地線曲率[訳語疑問点]（英: geodesic curvature）、あるいは単に曲率（英: curvature）という。よって測地線は、曲率が0の曲線と言い換える事ができる。 測地線の局所的存在性から、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における接ベクトル空間TPMの原点の近傍 0 P ∈ U ⊂ T P M {\displaystyle 0_{P}\in U\subset T_{P}M} の任意の元 v ∈ U {\displaystyle v\in U} に対し、測地線 exp P ⁡ ( t v ) {\displaystyle \exp _{P}(tv)} が存在する。必要ならUを小さく取り直す事で写像 v ∈ U ↦ exp P ⁡ ( v ) ∈ M {\displaystyle v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M} が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間TPMの開集合からMへの中への同型なので、 v ∈ U ↦ exp P ⁡ ( v ) ∈ M {\displaystyle v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M} をMの点Pの周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標をMの点uにおける正規座標（英語版）（英: normal coordinate）という。 レヴィ-チヴィタ接続を成分で書いた ∇ X Z = ( X j ∂ Z i ∂ x j + X j Z k ( t ) Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Z=\left(X^{j}{\partial Z^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Z^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} より、 M = R m {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{m}} であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号は全て0になる。よって この「平たい」空間とのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」空間とのズレを測る。 ズレを測るため、クリストッフェル記号 Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} が全て0であれば、 ∇ X Z = X ( Z i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Z=X(Z^{i}){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} となる事に着目する。この事実から「平たい」空間では、 ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z = X Y ( Z i ) ∂ ∂ x i − Y X ( Z i ) ∂ ∂ x i = [ X , Y ] ( Z i ) ∂ ∂ x i = ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle \nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z=XY(Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}-YX(Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}=[X,Y](Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}=\nabla _{[X,Y]}Z} が常に成立する事を示せる。そこで R ( X , Y ) Z := ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z} と定義すると、 R ( X , Y ) Z {\displaystyle R(X,Y)Z} はMが「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味において R ( X , Y ) Z {\displaystyle R(X,Y)Z} はMの「曲がり具合」を表している考えられる。 M上のベクトル場X、Y、Zに対し、 R ( X , Y ) Z := ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z} と定義し、Rを ∇ {\displaystyle \nabla } に関する曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）という。RはX、Y、Zのいずれに関しても C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である事が知られており、したがって、各 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対し、 R P   :   ( X , Y , Z ) ∈ T P M × T P M × T P M ↦ R ( X , Y ) Z ∈ T P M {\displaystyle R_{P}~:~(X,Y,Z)\in T_{P}M\times T_{P}M\times T_{P}M\mapsto R(X,Y)Z\in T_{P}M} というテンソルとみなせる。 次の事実が知られている： 定理 ― リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続の曲率は以下を満たす： g ( R ( X , Y ) Z , W ) = − g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)} g ( R ( X , Y ) Z , W ) = g ( R ( Z , W ) X , Y ) {\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)} ビアンキの第一恒等式： R ( X , Y ) Z + R ( Y , Z ) X + R ( Z , X ) Y = 0 {\displaystyle R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0} ビアンキの第二恒等式： ( ∇ X R ) ( Y , Z ) + ( ∇ Y R ) ( Z , X ) + ( ∇ Z R ) ( X , Y ) = 0 {\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)=0} ここで ( ∇ X R ) {\displaystyle (\nabla _{X}R)} はRが3つの接ベクトルX、Y、Wを引数にとって1つの接ベクトル R ( X , Y ) W {\displaystyle R(X,Y)W} を返す事から、Rをテンソル積 T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T M {\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes TM} の元とみなしたときの共変微分である。テンソル積に対する共変微分の定義は後述する。 曲率はクリストッフェル記号 Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} を用いて以下のように表すことができる： 定理 ―  R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x ℓ ) ∂ ∂ x j = R i j k ℓ ∂ ∂ x i {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}=R^{i}{}_{jk\ell }{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} と成分表示すると、以下が成立する： R i j k ℓ = ∂ Γ i ℓ j ∂ x k − ∂ Γ i k j ∂ x ℓ + Γ i k m Γ m ℓ j − Γ i ℓ m Γ m k j {\displaystyle R^{i}{}_{jk\ell }={\partial \Gamma ^{i}{}_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma ^{i}{}_{kj} \over \partial x^{\ell }}+\Gamma ^{i}{}_{km}\Gamma ^{m}{}_{\ell j}-\Gamma ^{i}{}_{\ell m}\Gamma ^{m}{}_{kj}} 点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を原点とする正規座標 ( x 1 , . . . , x m ) {\displaystyle (x^{1},...,x^{m})} を使うと曲率は以下のように特徴づけられる： 定理 ― : g i j = δ i j + 1 3 R i k j ℓ x k x ℓ + O ( | x | 3 ) {\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+{1 \over 3}R_{ikj\ell }x^{k}x^{\ell }+O(|x|^{3})} ここで R i k j ℓ := g ( R ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x k ) ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x ℓ ) {\displaystyle R_{ikj\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})} である。 また、 ξ   :   U ⊂ R 2 → M {\displaystyle \xi ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M} を任意のなめらかな関数とし、 X := ξ ∗ ( ∂ ∂ x 1 ) {\displaystyle X:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}\right)} 、 Y := ξ ∗ ( ∂ ∂ x 2 ) {\displaystyle Y:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}\right)} とし、 φ t X ( Q ) := e x p Q ( t X ) {\displaystyle \varphi _{t}^{X}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tX)} 、 φ t Y ( Q ) := e x p Q ( t Y ) {\displaystyle \varphi _{t}^{Y}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tY)} に沿った平行移動を ( φ ∗ X ) t   :   E Q → E φ t ( Q ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{X})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\varphi _{t}(Q)}} 、 ( φ ∗ Y ) t   :   E Q → E ψ t ( Q ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{Y})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\psi _{t}(Q)}} とすると、曲率を以下のように特徴づけられる： 定理 ― 　 ( φ ∗ Y ) − t ∘ ( φ ∗ X ) − t ∘ ( φ ∗ Y ) t ∘ ( φ ∗ X ) t ( Z ) = Z + t 2 R ( X , Y ) Z + o ( t 2 ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}(Z)=Z+t^{2}R(X,Y)Z+o(t^{2})} この定理はKoszul接続においても成立する。 ∇ {\displaystyle \nabla } をリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続とし、PをMの点とし、 v , w ∈ T P M {\displaystyle v,w\in T_{P}M} とし、さらに e 1 , … , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} を T P M {\displaystyle T_{P}M} の基底とする。 定義 ― 　 S e c P ( v , w ) := g P ( R P ( v , w ) w , v ) g P ( v , v ) g P ( w , w ) − g P ( v , w ) 2 {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関する断面曲率（英: sectional curvature）という。 R i c P ( v , w ) := ∑ i g P ( R P ( e i , v ) w , e i ) {\displaystyle \mathrm {Ric} _{P}(v,w):=\sum _{i}g_{P}(R_{P}(e_{i},v)w,e_{i})} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関するリッチ曲率（英: Ricci curvature）という。 S P := ∑ i , j g P ( R P ( e i , e j ) e j , e i ) {\displaystyle S_{P}:=\sum _{i,j}g_{P}(R_{P}(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i})} = ∑ j R i c P ( e j , e j ) {\displaystyle =\sum _{j}\mathrm {Ric} _{P}(e_{j},e_{j})} を点Pにおけるスカラー曲率（英: scalar curvature）という。 なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ 1 n − 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}}} 倍、 1 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n(n-1)}}} 倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。 また断面曲率は K P ( v , w ) {\displaystyle K_{P}(v,w)} という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では S e c P ( v , w ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)} という表記を採用した。 定義から明らかなように、以下が成立する： 定理 ―  v、wの張る平面がv'、w'の張る平面と等しければ、以下が成立する： S e c u ( v , w ) = S e c u ( v ′ , w ′ ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(v,w)=\mathrm {Sec} _{u}(v',w')} さらにm次元リーマン多様体Mが別のリーマン多様体 M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} の余次元1の部分リーマン多様体、すなわち M ⊂ M ¯ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} 、 dim ⁡ M ¯ = dim ⁡ M + 1 {\displaystyle \dim {\bar {M}}=\dim M+1} の場合は、以下が成立する： 定理 ― i≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、 S e c u ( e i , e j ) = S e c ¯ u ( e i , e j ) + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}} ここで e 1 , … , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} における主方向で κ 1 , … , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} を対応する主曲率であり、 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はMのuにおける断面曲率であり、 S e c ¯ u ( X , Y ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(X,Y)} は M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} のuにおける断面曲率（後述）である。 よって特にMが2次元リーマン多様体で M ¯ {\displaystyle {\bar {M}}} が R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の場合はMの断面曲率 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はガウス曲率κ1κ2に一致する（Theorema Egregium）。 本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はリーマン多様体なので、Mの余接ベクトルζにはζと自然に同一視できる接ベクトル ζ ∗ {\displaystyle \zeta ^{*}} が存在する。したがってM上の1-形式αに対し、αの共変微分を ∇ X α := ( ∇ X α ∗ ) ∗ {\displaystyle \nabla _{X}\alpha :=(\nabla _{X}\alpha ^{*})^{*}} により定義する。ここでXはM上のベクトル場である。するとM上のベクトル場Yに対しライプニッツ則 X ( α ( Y ) ) = ( ∇ X α ) ( Y ) + α ( ∇ X Y ) {\displaystyle X(\alpha (Y))=(\nabla _{X}\alpha )(Y)+\alpha (\nabla _{X}Y)} が成り立つ。 より一般に、TをM上の(r,s)-テンソル場、すなわち ( T M ) r ⊗ ( T ∗ M ) s {\displaystyle (TM)^{r}\otimes (T^{*}M)^{s}} に値を取るM上のテンソル場とするとき、任意にM上の1-形式 α 1 , … , α r {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}} とM上のベクトル場 Y 1 , … , Y s {\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{s}} を選んでTを写像 T   :   ( T ∗ M ) r × ( T M ) s → R {\displaystyle T~:~(T^{*}M)^{r}\times (TM)^{s}\to \mathbb {R} } とみなして、Tの共変微分をライプニッツ則を満たすよう ( ∇ X T ) ( α 1 , … , α r , Y 1 , … , Y s ) := X T ( ( α 1 , … , α r , Y 1 , … , Y s ) ) − ∑ i = 1 r T ( ( α 1 , … , ∇ X α i , … , α r , Y 1 , … , Y s ) ) − ∑ j = 1 s T ( ( α 1 , … , α r , Y 1 , … , ∇ X Y j , … , Y s ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{X}T)(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}):=&XT((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{i=1}^{r}T((\alpha _{1},\ldots ,\nabla _{X}\alpha _{i},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{j=1}^{s}T((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,\nabla _{X}Y_{j},\ldots ,Y_{s}))\end{aligned}}} と定義する。この定義は α 1 , … , α r {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}} , Y 1 , … , Y s {\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{s}} の取り方によらずwell-definedである。 なお微分形式に関しては ⋀ i T ∗ M ⊂ ⨂ i T ∗ M {\displaystyle \bigwedge _{i}T^{*}M\subset \bigotimes _{i}T^{*}M} と見なすことによりテンソル積の共変微分を用いて微分形式の共変微分を定義できる。 最後に一般相対性理論で重要な擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続について述べる。ここで擬リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} とはリーマン多様体と同様、各点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対してuに関してなめらかで非退化な二次形式 g u   :   T u M × T u M → R {\displaystyle g_{u}~:~T_{u}M\times T_{u}M\to \mathbb {R} } を対応させるが、gに正定値性を要求しないものである。このようなgを擬リーマン計量という。 擬リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} の場合もgが正定値とは限らないだけで、リーマン多様体の場合と同じ式でレヴィ-チヴィタ接続を定義できる。またリーマン多様体の場合と同じ公理によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事も可能である。 平行移動、共変微分、測地線、正規座標、曲率といった概念も同様に定義でき、平行移動はgを保つ線形写像となる。 一方、リーマン多様体のものとの違いとしては、Hopf-Rinowの定理が成り立たない事が挙げられる。リーマン多様体の場合、MがコンパクトであればMは距離空間として完備なのでHopf-Rinowの定理からMは測地線完備になる。しかしMがコンパクトであっても、M上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラス[訳語疑問点]が知られている。 また擬リーマン多様体では ‖ v ‖ := g ( v , v ) {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}} が定義できるとは限らないので、測地線を長さ ∫ a b ‖ d u d t ‖ d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|dt} の停留場曲線として特徴づける事はできない。しかしエネルギー ∫ a b ‖ d u d t ‖ 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|^{2}dt} は擬リーマン多様体でも定義でき、測地線をエネルギーの停留曲線として特徴づけられる。一般相対性理論においては、これはエネルギーを極小にする曲線が自由落下の軌道である事を意味する。 レヴィ・チヴィタ接続は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ(Tullio Levi-Civita)の名前に因んでいるが、エルヴィン・クリストッフェル(Elwin Bruno Christoffel)によりそれ以前に"発見"されていた。レヴィ・チヴィタは、 グレゴリオ・リッチ・クルバストロ（英語版）(Gregorio Ricci-Curbastro)とともに、クリストッフェルの記号 を用いて平行移動の概念を定義し、平行移動と曲率との関係を研究した。それによって完整（英語版）の現代的概念を開発した。 レヴィ・チヴィタによる曲線に沿ったベクトルの平行移動や内在的微分という概念は、元々 M n ⊂ R n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{\frac {n(n+1)}{2}}} という特別な埋め込みに対して考えられた。しかし、実際にはそれらは抽象的なリーマン多様体にたいしても意味をなす概念である。何故ならば、クリストッフェルの記号は任意のリーマン多様体上で意味を持つからである。 1869年、クリストッフェルは、ベクトルの内在的微分の各成分は反変ベクトルと同様な変換にしたがうことを発見した。この発見はテンソル解析の真の始まりである。1917年になって初めて、レヴィ・チヴィタによって、アフィン空間に埋め込まれた曲面の内在的微分が、周囲のアフィン空間での通常の微分の接方向成分として解釈された。