リース＝ソリンの定理

数学におけるリース＝ソリンの定理（リース＝ソリンのていり、英: Riesz-Thorin theorem）とは、「作用素の補間」に関する一結果で、しばしばリース＝ソリンの補間定理（Riesz-Thorin interpolation theorem）やリース＝ソリンの凸性定理（Riesz-Thorin convexity theorem）と呼ばれる。リース・マルツェルとその指導学生オロフ・ソリン（英語版）の名にちなむ。 この定理は、 L p {\displaystyle L^{p}} の間の線形写像のノルムを評価する。この定理の有用性は、 L p {\displaystyle L^{p}} のいくつかが、その他の空間よりも簡単な構造を備えることに由来する。通常はそのような空間として、ヒルベルト空間である L 2 {\displaystyle L^{2}} や、 L 1 ,   L ∞ {\displaystyle L^{1},\ L^{\infty }} などが考えられる。したがって、リース＝ソリンの定理を使うことで、2つの簡単な場合に成り立つ定理を、より複雑な場合へ拡張することができる。マルチンケーヴィッチの定理は同様の定理であるが、それはある非線形写像のクラスに対しても適用される。 はじめに次の定義が必要となる： 定義 r 0 , r 1 {\displaystyle r_{0},r_{1}} を、 0 < r 0 < r 1 ≤ ∞ {\displaystyle 0<r_{0}<r_{1}\leq \infty } を満たす2つの数とする。このとき 0 < θ < 1 {\displaystyle 0<\theta <1} に対して、 r θ {\displaystyle r_{\theta }} を次の関係式を満たすものとして定義する： 1 r θ = 1 − θ r 0 + θ r 1 . {\displaystyle {\frac {1}{r_{\theta }}}={\frac {1-\theta }{r_{0}}}+{\frac {\theta }{r_{1}}}.} f ∈ L p θ {\displaystyle f\in L^{p_{\theta }}} を積 | f | = | f | 1 − θ | f | θ {\displaystyle |f|=|f|^{1-\theta }|f|^{\theta }} に分解し、その p θ {\displaystyle p_{\theta }} 次の冪にヘルダーの不等式を適用することで、 L p {\displaystyle L^{p}} 空間の研究の基礎となる次の結果を得ることが出来る： 命題（ L p {\displaystyle L^{p}} -ノルムの対数凸性） 各 f ∈ L p 0 ∩ L p 1 {\displaystyle f\in L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}} は次を満たす： ‖ f ‖ p θ ≤ ‖ f ‖ p 0 1 − θ ‖ f ‖ p 1 θ . {\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }.} この結果の名前は、 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 上の写像 p ↦ log ⁡ ‖ f ‖ L p {\displaystyle p\mapsto \log \|f\|_{L^{p}}} の凸性に由来するものである。これにより L p 0 ∩ L p 1 ⊂ L p θ {\displaystyle L^{p_{0}}\cap L^{p_{1}}\subset L^{p_{\theta }}} が分かる。 一方、レイヤーケーキ分解 f = f 1{|f|>1} + f 1{|f|≤1} を考えると、 f 1{|f|>1} ∈ Lp0 および f 1{|f|≤1} ∈ Lp1 であることが分かり、したがって次の結果が得られる： 命題 Lpθ 内の各  f  は和  f  = g + h として書くことが出来る。ただし g ∈ Lp0 および h ∈ Lp1 である。 特に上述の結果は、Lpθ はすべての可測函数からなる空間内の Lp0 + Lp1 および Lp0と Lp1 の加法的和集合（英語版） に属することを意味する。したがって、包含関係に関する次の系が得られる： 系 Lp0 ∩ Lp1 ⊂ Lpθ ⊂ Lp0 + Lp1. 実際、加法的和集合 Lp0 + Lp1 上で定義される作用素を扱うことはしばしばある。例えば、リーマン＝ルベーグの補題（英語版）によると、フーリエ変換は L1(Rd) を L∞(Rd) に写す有界作用素であり、プランシュレルの定理によるとフーリエ変換は L2(Rd) からそれ自身への有界作用素である。したがってフーリエ変換 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は、次のように定めることで (L1 + L2) (Rd) へと拡張することが出来る： F ( f 1 + f 2 ) = F L 1 ( f 1 ) + F L 2 ( f 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})} ただし  f1  ∈ L1(Rd) および  f2  ∈ L2(Rd) である。したがって、そのような作用素の振る舞いを「補間部分空間」Lpθ 上で調べることは自然な成り行きとなる。 そのため、元の例に戻り、加法的和集合 L1 + L2 上のフーリエ変換は同じ作用素の二つの具体化の和を取る事で得られることに注意されたい。すなわち F L 1 : L 1 ( R d ) → L ∞ ( R d ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^{d}),} F L 2 : L 2 ( R d ) → L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} が成立する。これらは実際、部分空間 (L1 ∩ L2) (Rd) 上で一致するという意味で「同一の」作用素である。その共通部分には単函数が含まれるため、その作用素は L1(Rd) および L2(Rd) の両空間において稠密である。稠密に定義された連続函数は一意な拡張を許すため、 F L 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}} および F L 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}} は「同一」と考えることに問題はない。 したがって、加法的和集合 Lp0 + Lp1 上の作用素を研究する問題は、本質的には二つの自然な空間 Lp0 および Lp1 から二つの目的空間 Lq0 および Lq1 への有界作用素を研究する問題に帰着される。そのような作用素は加法的和集合の空間 Lp0 + Lp1 を Lq0 + Lq1 に写すため、それらの作用素は補間空間 Lpθ を対応する補間空間 Lqθ に写すものであると期待することは自然である。 リース＝ソリンの補間定理を述べる上でいくつかの方法がある：前節での記号を利用するために、ここでは加法的和集合を用いた方式を採用する。 リース＝ソリンの補間定理 (Ω1, Σ1, μ1) および (Ω2, Σ2, μ2) を σ-有限測度空間とする。1 ≤ p0 ≤ p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 ≤ q1 ≤ ∞ とし、T : Lp0(μ1) + Lp1(μ1) → Lq0(μ2) + Lq1(μ2) を Lp0(μ1)（Lp1(μ1)）から Lq0(μ2)（Lq1(μ2)）への有界線型作用素とする。また 0 < θ < 1 に対し、pθ, qθ を前節のように定義する。このとき T は Lpθ(μ1) から Lqθ(μ2) への有界作用素であり、作用素ノルムに関する次の不等式を満たす： ‖ T ‖ L p θ → L q θ ≤ ‖ T ‖ L p 0 → L q 0 1 − θ ‖ T ‖ L p 1 → L q 1 θ . {\displaystyle \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }.} 言い換えると、T が (p0, q0)-型かつ (p1, q1)-型であるなら、T はすべての 0 < θ < 1 に対して (pθ, qθ)-型ということになる。このため、この補間定理は絵を用いて表現することが出来る。実際 T のリース図（Riesz diagram）は、単位正方形 [0, 1] × [0, 1] 内の点 (1/p、1/q) で T が (p, q)-型であるようなものすべての集合として描かれる。補間定理は、T のリース図が凸集合であることを述べている。すなわち、リース図内の与えられた二点に対して、それらを結ぶ線分もまたその図に含まれる。 この補間定理は、元々リース・マルツェルによって1927年に証明された。その1927年の論文では、リース図の下半分の三角形、すなわち、p0 ≤ q0 かつ p1 ≤ q1 が成り立つ部分においてのみ証明が与えられた。オロフ・ソリン（英語版）はその残りの部分も含めた正方形全体に対して補間定理を拡張した。ソリンの証明は元々1938年に出版され、1948年の彼の学位論文で拡張された。 リース＝ソリンの補間定理の証明は、必要な上界を得る上で、アダマールの三線定理（英語版）に主に依っている。Lp空間の双対空間の特徴付けにより、次の等式が成立することが分かる。 ‖ T f ‖ q θ = sup ‖ g ‖ p θ ≤ 1 | ∫ ( T f ) g d μ 2 | . {\displaystyle \|Tf\|_{q_{\theta }}=\sup _{\|g\|_{p_{\theta }}\leq 1}\left|\int (Tf)g\,d\mu _{2}\right|.} C 内の各 z に対し、 f  および g の適切な派生形  fz  および gz を定義することで、次の整函数 ϕ ( z ) = ∫ ( T f z ) g z d μ 2 {\displaystyle \phi (z)=\int \left(Tf_{z}\right)g_{z}\,d\mu _{2}} を得ることが出来る。この z = θ での値は ∫ ( T f ) g {\displaystyle \int (Tf)g} となる。このとき、直線 Re(z) = 0 および Re(z) = 1 上での Φ の上界を得るために仮定を用いることが出来る。するとアダマールの三線定理によって、直線 Re(z) = θ 上の Φ の補間的な上界を得ることが出来る。あとはその z = θ での上界が求めるものであることを調べればよい。 前節で紹介されている証明の概要は、すでに T が解析的に変動する場合に対しても一般化されている。実際、整函数 φ ( z ) = ∫ ( T z f z ) g z d μ 2 {\displaystyle \varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2}} の上界を得る上ためには、同様の証明を行えば良い。すると、エリアス・スタインの1956年の論文において出版された次の結果が導かれる。 スタインの補間定理. (Ω1, Σ1, μ1) および (Ω2, Σ2, μ2) をσ-有限測度空間（英語版）とする。1 ≤ p0 ≤ p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 ≤ q1 ≤ ∞ を仮定し、次を定義する： S = {z ∈ C : 0 < Re(z) < 1} , S = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} . L1(μ1) 内の単函数の空間から、Ω2 上のすべての μ2-可測函数の空間への線型作用素の集まり {Tz : z ∈ S} を考える。この作用素に対し、次の性質を仮定する： 写像 z ↦ ∫ ( T z f ) g d μ 2 {\displaystyle z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}} は、すべての単函数  f  および g に対して、S 上連続かつ S 上正則である。 ある定数 k < π に対し、それらの作用素は次の一様有界性を満たす： sup z ∈ S e − k | Im ( z ) | | ∫ ( T z f ) g μ 2 | < ∞ {\displaystyle \sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\left|\int (T_{z}f)g\,\mu _{2}\right|<\infty } Tz は、Re(z) = 0 なら、 Lp0(μ1) から Lq0(μ2) への有界作用素である。 Tz は、Re(z) = 1 なら、Lp1(μ1) から Lq1(μ2) への有界作用素である。 作用素ノルムは次の一様有界性を満たす。 sup Re ( z ) = 0 , 1 e − k | Im ( z ) | log ⁡ ‖ T z ‖ < ∞ . {\displaystyle \sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty .} すると、各 0 < θ < 1 に対し、作用素 Tθ は Lpθ(μ1) から Lqθ(μ2) への有界作用素となる。 実ハーディ空間と有界平均振動（英語版）の理論により、ハーディ空間 H1(Rd) と有界平均振動の空間 BMO 上の作用素を扱う上でスタインの補間定理を使うことが可能となる。これはチャールズ・フェファーマンとエリアス・スタインによる結果である。 本記事の第一節で、フーリエ変換 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は L1(Rd) から L∞(Rd) への有界作用素かつ L2(Rd) からそれ自身への有界作用素であることが確かめられた。同様の議論により、周期函数  f  : T → C を、値がフーリエ係数 f