次元論 (代数学)

数学において、次元論（じげんろん、英: dimension theory）は可換環論の一分野であり、可換環の次元の概念や、より一般にスキームのそれを研究する分野である。 理論はアフィン環、すなわち体上有限生成多元環である整域に対しては、はるかに単純である。ネーターの正規化定理（英語版）により、そのような環のクルル次元は基礎体上の超越次数であり、理論は代数幾何学と並行して進む。代数多様体の次元（英語版）を参照。一般的な理論は幾何学的でなくなる傾向がある。特に、ネーター的でない環に対して知られていることはほとんどない。（Kaplansky の commutative rings は非ネーターのケースに詳しい。）今日、標準的なアプローチは本質的にブルバキとEGAのアプローチである。これは次数付き加群を本質的に使い、他のものの中で射影多様体の次数の一般化である重複度の役割を強調する。このアプローチでは、クルルの単項イデアル定理は系として現れる。 この記事を通して、 dim {\displaystyle \operatorname {dim} } は環のクルル次元を表し、 ht {\displaystyle \operatorname {ht} } は素イデアルのクルル次元（すなわちその素イデアルにおける局所化のクルル次元）を表す。 R をネーター環または付値環とする。すると dim ⁡ R [ x ] = dim ⁡ R + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} R[x]=\operatorname {dim} R+1} である。R がネーター環であるときは、これは下記の基本定理（特に、クルルの単項イデアル定理）から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。R の任意の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して以下が成り立つ。 ht ⁡ ( p R [ x ] ) = ht ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})} . p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に縮小する R [ x ] {\displaystyle R[x]} の任意の素イデアル q ⊋ p R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]} に対して、 ht ⁡ ( q ) = ht ⁡ ( p ) + 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1} これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。 Spec ⁡ R [ x ] → Spec ⁡ R {\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R} の各ファイバーにおいて、長さ ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} の素イデアルの列は存在しえない。 アルティン環（例えば体）の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 R に対して dim ⁡ R [ x 1 , … , x n ] = n . {\displaystyle \operatorname {dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.} ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、I を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアル（すなわち m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のあるベキと m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の間にある）とする。 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を associated graded ring gr I ⁡ R = ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}} のポワンカレ級数とする。つまり、 F ( t ) = ∑ 0 ∞ ℓ ( I n / I n + 1 ) t n {\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}} ただし ℓ {\displaystyle \ell } は（アルティン環 ( gr I ⁡ R ) 0 = R / I {\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I} 上の）加群の長さを意味する。 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} が I を生成するとすれば、それらの I / I 2 {\displaystyle I/I^{2}} における像は次数 1 をもち gr I ⁡ R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} を R / I {\displaystyle R/I} -多元環として生成する。ヒルベルト・セールの定理によって、F は位数 d ≤ s {\displaystyle d\leq s} の極を t = 1 {\displaystyle t=1} にちょうど1つもつ有理関数である。 ( 1 − t ) − d = ∑ 0 ∞ ( d − 1 + j d − 1 ) t j {\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j}} , であるので、 F ( t ) = ( 1 − t ) d F ( t ) ( 1 − t ) − d {\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}} における t n {\displaystyle t^{n}} の係数は ∑ 0 N a k ( d − 1 + n − k d − 1 ) = ( 1 − t ) d F ( t ) | t = 1 n d − 1 d − 1 ! + O ( n d − 2 ) {\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2})} の形であることがわかる。つまり、 ℓ ( I n / I n + 1 ) {\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})} は n の次数 d − 1 {\displaystyle d-1} の多項式 P {\displaystyle P} である。P は gr I ⁡ R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} のヒルベルト多項式と呼ばれる。 d ( R ) = d {\displaystyle d(R)=d} とおく。また、 δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} を R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアルを生成できる、R の元の最小個数とする。我々の目標は次の基本定理を証明することである。 δ ( R ) = d ( R ) = dim ⁡ R {\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R} s を δ ( R ) {\displaystyle \delta (R)} であるようにとることができるから、既に上記から δ ( R ) ≥ d ( R ) {\displaystyle \delta (R)\geq d(R)} である。次に d ( R ) ≥ dim ⁡ R {\displaystyle d(R)\geq \operatorname {dim} R} を d ( R ) {\displaystyle d(R)} についての帰納法で証明する。 p 0 ⊊ ⋯ ⊊ p m {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}} を R の素イデアルの列とする。 D = R / p 0 {\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}} とし、x を 0 でも単元でもない D の元とする。x は零因子でないので、完全列 0 → D → x D → D / x D → 0 {\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0} がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって d ( D ) > d ( D / x D ) ≥ d ( R / p 1 ) {\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})} である。（これは本質的にアルティン・リースの補題から従う。ステートメントと証明はヒルベルト・サミュエル関数を参照。） R / p 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}} において、列 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} は長さ m − 1 {\displaystyle m-1} の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、 m − 1 ≤ dim ⁡ ( R / p 1 ) ≤ d ( R / p 1 ) ≤ d ( D ) − 1 ≤ d ( R ) − 1 {\displaystyle m-1\leq \operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1} である。主張が従う。 dim ⁡ R ≥ δ ( R ) {\displaystyle \operatorname {dim} R\geq \delta (R)} を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。 補題: R は、任意の i に対して ( x 1 , … , x i ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})} を含む任意の素イデアルの高さは ≥ i {\displaystyle \geq i} であるような元 x 1 , … , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} を含む。 （注意：このとき ( x 1 , … , x s ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{s})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素である。）証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは prime avoidance を使うことだ。 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、 k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} とおく。すると、 dim ⁡ R ≤ dim k ⁡ m / m 2 {\displaystyle \operatorname {dim} R\leq \operatorname {dim} _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} , なぜならば m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} の基底は中山の補題によって m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の生成集合に持ちあがるからである。等号が成り立つならば、R は正則局所環と呼ばれる。 dim ⁡ R