リース函数

数学においてリース函数（リースかんすう、英: Riesz function）とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う： R i e s z ( x ) = − ∑ k = 1 ∞ ( − x ) k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.} F ( x ) = 1 2 R i e s z ( 4 π 2 x ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)} とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし x 2 coth ⁡ x 2 = ∑ n = 0 ∞ c n x n = 1 + 1 12 x 2 − 1 720 x 4 + ⋯ {\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots } であるなら、F は次で定義される。 F ( x ) = ∑ k = 1 ∞ x k c 2 k ( k − 1 ) ! = 12 x − 720 x 2 + 15120 x 3 − ⋯ {\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots } ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を x   exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle x\ \exp(-x)} に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また F は F ( x ) = ∑ k = 1 ∞ k k + 1 ¯ x k B 2 k   {\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}\ } で定義されることもある。 n k ¯ {\displaystyle n^{\overline {k}}} はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、Bn はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は x が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の x についてはより興味深く、繊細な問題となる。 1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。 Riesz ⁡ ( x ) = O ( x e ) ( as  x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )} ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»。 リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今 M ( R i e s z ( z ) ) = ∫ 0 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle {\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}} とすれば、 ℜ ( s ) > − 1 {\displaystyle \Re (s)>-1} のときに ∫ 0 1 R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}} は収束し、一方 ℜ ( s ) < − 1 2 {\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}} であれば成長条件により ∫ 1 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}} は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 − 1 < ℜ ( s ) < − 1 2 {\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}} の上で定義されることが分かる。この領域上では、 Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) = M ( R i e s z ( z ) ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))} が成り立つ。 するとメリン逆変換により、リース函数を式 R i e s z ( z ) = ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) z − s d s {\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds} で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。 J. garcia（脚注を参照）は、ボレル和（英語版）を使うことで f ( x ) {\displaystyle f(x)} に関する次の積分表現を得た。 exp ⁡ ( − x ) − 1 = ∫ 0 ∞ f ( t ) t ρ ( x / t ) d t {\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt} ここで ρ ( x ) = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \rho (x)=x-\lfloor x\rfloor } は 'x' の小数部分である。 F のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753×1017 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、 | z | < 9 {\displaystyle |z|<9} に対する F ( z ) {\displaystyle F(z)} の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。 その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今 R i e s z ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}} である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! = x exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)} に近付く。実際、リースは次の式を示していた：   ∑ n = 1 ∞ R i e s z ( x / n 2 ) = x exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz(x/n^{2})=x\exp(-x)}}}} 。 収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された R i e s z ( x ) = x exp ⁡ ( − x ) − ∑ k = 1 ∞ ( ζ ( 2 k ) − 1 ) ( ( − 1 ) k + 1 ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) ) x k {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}} が得られる。 この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る： R i e s z ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n − 2 k ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)} ∑ k = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( x / n 2 ) k ( k − 1 ) ! = x ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 exp ⁡ ( − x n 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).} ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、 R i e s z ( x ) = x ( 6 π 2 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 ( exp ⁡ ( − x n 2 ) − 1 ) ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)} と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。 上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる： R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x − x ( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 exp ⁡ ( − x n 2 ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).} この式は次のように整理できる： R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x + x ( − 90 π 4 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 ( 1 − exp ⁡ ( − x n 2 ) ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).} マレク・ウォルフは において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している： R i e s z ( x ) = c o n s t × x 1 / 4 sin ⁡ ( ϕ − 1 2 γ 1 log ⁡ ( x ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).} ここで γ 1 = 14.13472514... {\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...} はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また c o n s t = 7.7750627... × 10 − 5 {\displaystyle const=7.7750627...\times 10^{-5}} および ϕ = − 0.54916... = ( − 31 , 46447 ∘ ) {\displaystyle \phi =-0.54916...=(-31,46447^{\circ })} である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された リース函数のゼロ点と一致する。