ハーン多項式

ハーン多項式（はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる。 ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される: Q n ( x ; α , β , N ) = 3 F 2 ( − n , n + α + β + 1 , − x α + 1 , − N ; 1 ) , x = 0 , 1 , … , N . {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,n+\alpha +\beta +1,-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.} α , β < − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta <-1} または α , β < − N {\displaystyle \alpha ,\beta <-N} に対して以下の直交関係を満たす: ∑ x = 0 N ( α + x x ) ( β + N − x N − x ) Q m ( x ; α , β , N ) Q n ( x ; α , β , N ) = ( − 1 ) n ( n + α + β + 1 ) N + 1 ( β + 1 ) n n ! ( 2 n + α + β + 1 ) ( α + 1 ) n ( − N ) n N ! δ m n . {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.} 但し、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。 以下の漸化式が成り立つ。 − x Q n ( x ) = A n Q n + 1 ( x ) − ( A n + C n ) Q n ( x ) + C n Q n − 1 ( x ) . {\displaystyle -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).} 但し、 Q n ( x ; α , β , N ) {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)} を Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} と略記し、 A n = ( n + α + β + 1 ) ( n + α + 1 ) ( N − n ) ( 2 n + α + β + 1 ) ( 2 n + α + β + 2 ) , C n = n ( n + α + β + N + 1 ) ( n + β ) ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {(n+\alpha +\beta +1)(n+\alpha +1)(N-n)}{(2n+\alpha +\beta +1)(2n+\alpha +\beta +2)}},\\C_{n}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +N+1)(n+\beta )}{(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta +1)}}\end{aligned}}} とした。 次の差分方程式を満たす: n ( n + α + β + 1 ) Q n ( x ) = B ( x ) Q n ( x + 1 ) − ( B ( x ) + D ( x ) ) Q n ( x ) + D ( x ) Q n ( x − 1 ) . {\displaystyle n(n+\alpha +\beta +1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).} 但し、 B ( x ) = ( x + α + 1 ) ( x − N ) , D ( x ) = x ( x − β − N − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}B(x)&=(x+\alpha +1)(x-N),\\D(x)&=x(x-\beta -N-1).\end{aligned}}} ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす: ω ( x ; α , β , N ) Q n ( x ) = ( − 1 ) n ( β + 1 ) n ( − N ) n ∇ n ω ( x ; α + n , β + n , N − n ) . {\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}(\beta +1)_{n}}{(-N)_{n}}}\nabla ^{n}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,N-n).} 以下の母関数を持つ: 1 F 1 ( − x α + 1 ; − t ) 1 F 1 ( x − N β + 1 ; t ) = ∑ n = 0 N ( − N ) n ( β + 1 ) n n ! Q n ( x ; α , β , N ) t n {\displaystyle {_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}-x\\\alpha +1\end{matrix}};-t\right){_{1}F_{1}}\left({\begin{matrix}x-N\\\beta +1\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}} 2 F 0 ( − x , − x + β + N + 1 − ; − t ) 2 F 0 ( x − N , x + α + 1 − ; t ) = ∑ n = 0 N ( − N ) n ( α + 1 ) n n ! Q n ( x ; α , β , N ) t n {\displaystyle {_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}-x,-x+\beta +N+1\\-\end{matrix}};-t\right){_{2}F_{0}}\left({\begin{matrix}x-N,x+\alpha +1\\-\end{matrix}};t\right)=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(-N)_{n}(\alpha +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}} [ ( 1 − t ) − α − β − 1 3 F 2 ( 1 2 ( α + β + 1 ) , 1 2 ( α + β + 2 ) , − x α + 1 , − N ; − 4 t ( 1 − t ) 2 ) ] N = ∑ n = 0 N ( α + β + 1 ) n n ! Q n ( x ; α , β , N ) t n {\displaystyle \left[(1-t)^{-\alpha -\beta -1}{_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +2),-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right)\right]_{N}=\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +\beta +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)t^{n}} 変数 x {\displaystyle x} と n {\displaystyle n} を交換することによって双対ハーン多項式 R x ( λ ( n ) ; α , β , N ) {\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\alpha ,\beta ,N)} が得られる: Q x ( n ; α , β , N ) = R n ( λ ( x ) ; α , β , N ) . {\displaystyle Q_{x}(n;\alpha ,\beta ,N)=R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,N).}