等比数列

等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、英: common ratio）という。 例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、12/4, 36/12, 108/36, …）が常に等しいならその数列は等比数列である。 等比数列 {an} について、（定義より公比は 0 でないため）公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる（特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。 a , a r , a r 2 , … , a r n , … . {\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.} a0 を初項とすれば、n 番目の項 an は以下のように表せる。 a n = a r n . {\displaystyle a_{n}=ar^{n}.} これが等比数列の一般項である。 等比数列を漸化式で表すと、 { a 0 = a a n + 1 = r a n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}} となる。 公比 r が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、 a n = a ( − | r | ) n = ( − 1 ) n a | r | n {\displaystyle a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}} となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。 公比が負の数列として、例えば　3, −6, 12, −24, …　なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は a n = 3 ⋅ ( − 2 ) n = ( − 1 ) n 3 ⋅ 2 n {\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}} となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。 形式的に等比数列の一般項の対数をとると log ⁡ a n = log ⁡ a + n log ⁡ r {\displaystyle \log a_{n}=\log a+n\log r} となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。 等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ。 等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。 ∑ k = 0 n a r k = a + a r + ⋯ + a r n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{n}} r ≠ 1 の場合、(1 − r) を掛けると、 ( 1 − r ) ∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r ) ∑ k = 0 n r k = a ( 1 − r ) ( 1 + r + ⋯ + r n − 1 + r n ) = a ( ( 1 + r + ⋯ + r n − 1 + r n ) − ( r + r 2 + ⋯ + r n + r n + 1 ) ) = a ( 1 − r n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}&=a(1-r)\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}r^{k}\\&=a(1-r)(1+r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=a\left((1+{\bcancel {r+\dotsb +r^{n-1}+r^{n}}})\right.\\&\left.-({\bcancel {r+r^{2}+\dotsb +r^{n}}}+r^{n+1})\right)\\&=a(1-r^{n+1})\end{aligned}}} となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。 ∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}={\dfrac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.} ただし、r = 1 の場合は ∑ k = 0 n a = ( n + 1 ) a {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a=(n+1)a} である。第 m 項から第 n 項までの和は ∑ k = m n a r k = ∑ k = 0 n a r k − ∑ k = 0 m − 1 a r k = a ( r m − r n + 1 ) 1 − r ( r ≠ 1 ) . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=m}^{n}ar^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}ar^{k}-\sum \limits _{k=0}^{m-1}ar^{k}={\dfrac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}\quad (r\neq 1)\,.} 等比数列の級数（総和）を等比級数または幾何級数と呼ぶ。例えば初項 a, 公比 r の等比級数は以下のように書ける： ∑ k = 0 ∞ a r k = a + a r + ⋯ + a r k + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+\dotsb +ar^{k}+\dotsb {}\,.} 等比級数は初項が 0 （a = 0）の場合や公比の絶対値が 1 より小さい（|r| < 1）場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく（a ≠ 0）公比の絶対値が 1 以上（|r| ≥ 1）の場合には等比級数は発散する。 無限級数は数列の第 n 項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。 ∑ k = 0 ∞ a r k := lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = a lim n → ∞ 1 − r n + 1 1 − r = | r | < 1 a 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}} 例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する： ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 ) k = 1 1 − 1 2 = 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.}