変分原理

変分原理（へんぶんげんり、英語: variational principle）は、変分法を用いた物理学の原理。 特に、 幾何光学においては、フェルマーの原理 電磁気学におけるディリクレの原理 古典力学、電磁気学、量子力学などにおいては、作用次元を持つので、最小作用の原理という。 変分原理は積分の形で扱うので、座標系の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。 作用積分S を、 S [ q ( t ) ] := ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t , {\displaystyle S\left[q(t)\right]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,} とする。L はラグランジアン、q(t) は一般化座標、 q ˙ ( t ) := d q ( t ) / d t {\displaystyle {\dot {q}}(t):=dq(t)/dt} はその時間微分、すなわち一般化速度である。ここで、ある時刻t1、t2 において、q(t1)、q(t2) は固定されているとする。 この作用積分 S に対する変分原理は、作用積分に対する停留値問題を考えることであり、 δ S [ q ( t ) ] = δ ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t = 0 {\displaystyle \delta S\left[q(t)\right]=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt=0} ということに相当する。 変分は、一般化座標 q を、 q ( t ) → q ( t ) + δ q ( t ) , {\displaystyle q(t)\to q(t)+\delta q(t),} と時刻 t 上で δq だけ微小変化させることに相当する。変分におけるこの微小変化は仮想的な変位を与えることであり、これは時間 t に対する微小変位 dq とは異なった概念である。δq は元の経路 q(t) 近傍の別の（仮想的な）経路との差であり、他方、時間変化 dq は経路 q に沿った変化の大きさを表す。 一般化座標 q の微小変化 δq について、始点 t =t1 と終点 t =t2 においては経路が固定されているので、 δ q ( t 1 ) = δ q ( t 2 ) = 0 {\displaystyle \delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0} は常に満たされる。 一般化座標 q の表す経路の変化に伴い、一般化速度 q ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} も微小変化する。 q ˙ ( t ) → q ˙ ( t ) + δ q ˙ ( t ) . {\displaystyle {\dot {q}}(t)\to {\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t).} ここで、一般化速度の微小変化 δ q ˙ ( t ) {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)} は、ある時刻t における、二つの経路での一般化速度の差を表す。 δ q ˙ ( t ) = d d t δ q ( t ) . {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)={\frac {d}{dt}}\delta q(t).} 作用積分の変分を計算すると、 δ S [ q ( t ) ] = S [ q + δ q ] − S [ q ] = ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) + δ q ( t ) , q ˙ ( t ) + δ q ˙ ( t ) , t ) d t − ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + δ q , q ˙ + δ q ˙ , t ) − { L ( q , q ˙ + δ q ˙ , t ) − L ( q , q ˙ + δ q ˙ , t ) } − L ( q , q ˙ , t ) ] d t , {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q(t)\right]&=S\left[q+\delta q\right]-S\left[q\right]\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t)+\delta q(t),{\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t),t)dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-\left\{L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)\right\}-L(q,{\dot {q}},t)\right]dt,\end{aligned}}} と変形できる。ここで δ q {\displaystyle \delta q} および δ q ˙ {\displaystyle \delta {\dot {q}}} は充分小さいので、積分中の第一項と第二項、第三項と第四項の組はそれぞれ偏微分の形に書き換えられ、 δ S [ q ( t ) ] = ∫ t 1 t 2 [ ∂ L ∂ q δ q + ∂ L ∂ q ˙ δ q ˙ ] d t = ∫ t 1 t 2 [ ∂ L ∂ q δ q + d d t ( ∂ L ∂ q ˙ δ q ) − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ) δ q ] d t = ∂ L ∂ q ˙ δ q | t 1 t 2 + ∫ t 1 t 2 [ ∂ L ∂ q − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ) ] δ q d t , {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q(t)\right]&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right]dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q\right]dt\\&=\left.{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {q}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\right]\delta qdt,\end{aligned}}} となる。δq (t1) = δq (t2) = 0 から第一項は 0 となる。q(t) の任意の微小変化 δq(t) に対して、作用積分の変分がゼロ δS = 0 である条件として、 ∂ L ∂ q ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\right)=0,} を得る。これはオイラー＝ラグランジュ方程式になっている。 同様にして変分原理を、幾何光学（光線光学）における光の反射や屈折の問題について適用すれば、フェルマーの原理が得られる。フェルマーの原理において、作用積分に対応するものは空間の 2 点間を結ぶ経路の光路長であり、ラグランジアンに対応するものは屈折率となる。 微分形のガウスの法則、 ∇ ⋅ E ( r ) = ρ ( r ) ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}} および静磁場におけるファラデーの電磁誘導の法則、 ∇ × E ( r ) = 0 {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {0}}} が成り立つ静電場について、電場 E ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})} を静電ポテンシャル ϕ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} で書き直せば、 E ( r ) = − ∇ ϕ ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})} 次のポアソン方程式が得られる。 0 = ∇ 2 ϕ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 . {\displaystyle 0=\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}.} ここで、 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} は位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} における電荷密度、 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} は国際単位系における真空の誘電率、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} はラプラシアンを表す。 この方程式は、次の ϕ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} の汎関数 F [ ϕ ( r ) ] {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]} について変分原理を用いることでも得られる。 F [ ϕ ( r ) ] = ∫ V { 1 2 | ∇ ϕ ( r ) | 2 − ρ ( r ) ε 0 ϕ ( r ) } d V . {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]=\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\phi ({\boldsymbol {r}})\right\}dV.} 積分中の項を ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 倍した、 ε 0 2 | ∇ ϕ ( r ) | 2 {\displaystyle {\varepsilon _{0} \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}} は静電場のエネルギー密度であり、 ρ ( r ) ϕ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}})} は電荷密度の位置エネルギーである。 境界上 ∂ V {\displaystyle \partial V} で δ ϕ ( r ) = 0 {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})=0} として、 汎関数 F [ ϕ ( r ) ] {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]} の変分を考えると、 δ F [ ϕ ( r ) ] = ∫ V { 1 2 | ∇ ( ϕ ( r ) + δ ϕ ( r ) ) | 2 − ρ ( r ) ε 0 ( ϕ ( r ) + δ ϕ ( r ) ) } d V − ∫ V { 1 2 | ∇ ϕ ( r ) | 2 − ρ ( r ) ε 0 ϕ ( r ) } d V = ∫ V { 1 2 ( ∇ ϕ ( r ) + ∇ δ ϕ ( r ) ) ⋅ ( ∇ ϕ ( r ) + ∇ δ ϕ ( r ) ) − ρ ( r ) ε 0 δ ϕ ( r ) − 1 2 | ∇ ϕ ( r ) | 2 } d V = ∫ V { 1 2 ( | ∇ ϕ ( r ) | 2 + 2 ∇ δ ϕ ( r ) ⋅ ∇ ϕ ( r ) + | ∇ δ ϕ ( r ) | 2 ) − ρ ( r ) ε 0 δ ϕ ( r ) − 1 2 | ∇ ϕ ( r ) | 2 } d V = ∫ V { ∇ δ ϕ ( r ) ⋅ ∇ ϕ ( r ) − ρ ( r ) ε 0 δ ϕ ( r ) } d V {\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\phi ({\boldsymbol {r}})]&=\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left|\nabla \left(\phi ({\boldsymbol {r}})+\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right)\right|^{2}-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\left(\phi ({\boldsymbol {r}})+\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right)\right\}dV-\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\phi ({\boldsymbol {r}})\right\}dV\\&=\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left(\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})+\nabla \delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right)\cdot \left(\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})+\nabla \delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right)-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})-{1 \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}\right\}dV\\&=\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left(\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}+2\nabla \delta \phi ({\boldsymbol {r}})\cdot \nabla \phi ({\boldsymbol {r}})+\left|\nabla \delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}\right)-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})-{1 \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}\right\}dV\\&=\int _{V}\left\{\nabla \delta \phi ({\boldsymbol {r}})\cdot \nabla \phi ({\boldsymbol {r}})-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right\}dV\end{aligned}}} と変形できる。ここで、 δ ϕ ( r ) {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})} の二次の項は無視した。ナブラの積の規則より、次の式が成り立つから、 ∇ δ ϕ ⋅ ∇ ϕ = ∇ ⋅ ( δ ϕ ∇ ϕ ) − δ ϕ ∇ 2 ϕ {\displaystyle \nabla \delta \phi \cdot \nabla \phi =\nabla \cdot (\delta \phi \nabla \phi )-\delta \phi \nabla ^{2}\phi } 変分は、 δ F [ ϕ ( r ) ] = ∫ V { ∇ ⋅ ( δ ϕ ( r ) ∇ ϕ ( r ) ) − δ ϕ ( r ) ∇ 2 ϕ ( r ) − ρ ( r ) ε 0 δ ϕ ( r ) } d V = ∫ ∂ V δ ϕ ( r ) ∇ ϕ ( r ) ⋅ d S − ∫ V { ∇ 2 ϕ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 } δ ϕ ( r ) d V = − ∫ V { ∇ 2 ϕ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 } δ ϕ ( r ) d V {\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\phi ({\boldsymbol {r}})]&=\int _{V}\left\{\nabla \cdot \left(\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right)-\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\right\}dV\\&=\int _{\partial V}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\cdot d{\boldsymbol {S}}-\int _{V}\left\{\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\right\}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})dV\\&=-\int _{V}\left\{\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\right\}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})dV\end{aligned}}} となる。ここで、ガウスの発散定理および境界上 ∂ V {\displaystyle \partial V} で静電ポテンシャルの変分 δ ϕ ( r ) {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})} がゼロであることを使った。 このことから、汎関数 F [ ϕ ( r ) ] {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]} の変分が任意の δ ϕ ( r ) {\displaystyle \delta \phi ({\boldsymbol {r}})} に対しゼロになる条件は、 δ F [ ϕ ( r ) ] = − ∫ V { ∇ 2 ϕ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 } δ ϕ ( r ) d V = 0 {\displaystyle \delta F[\phi ({\boldsymbol {r}})]=-\int _{V}\left\{\nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\right\}\delta \phi ({\boldsymbol {r}})dV=0} 関数 ϕ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} が領域 V {\displaystyle V} 上でポアソン方程式、 ∇ 2 ϕ ( r ) + ρ ( r ) ε 0 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi ({\boldsymbol {r}})+{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}=0} を満たすことであることが確認できる。 ここではリッツの変分原理 (Ritz variational principle) の応用として、変分原理を用いた基底状態の波動関数の近似について述べる。 ハミルトニアン H