リーマン和

リーマン和（リーマンわ、英語: Riemann sum）とは、 実数区間 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 上で、 a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b} なる数列があるとし、 代表点 ξ k ( x k − 1 ≤ ξ k ≤ x k , k = 1 , 2 , 3 , … , n ) {\displaystyle \xi _{k}(x_{k-1}\leq \xi _{k}\leq x_{k},k=1,2,3,\dots ,n)} と数列の有限差分 Δ x k := x k − x k − 1 {\displaystyle \Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}} が lim n → ∞ Δ x k = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Delta x_{k}=0} を満たし、 区間 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 上で定義された実数値連続函数 f {\displaystyle f} があるとき、 ∑ k = 1 n f ( ξ k ) Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}} のことである。 この n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } での極限が、リーマン積分 ∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ξ k ) Δ x k {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}} である。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 最初にリーマン和を左リーマン和 ∑ k = 1 n f ( x k − 1 ) Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})\Delta x_{k}} と右リーマン和 ∑ k = 1 n f ( x k ) Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}} の形で導入したのはオイラーであるが、 それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。 以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった 。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， d d x ∫ a x f ( s ) d s = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(s)ds=f(x)} を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．" これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。 左リーマン和 右リーマン和 中点則 例えば、 [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} のとき 等差数列 x k = 1 + k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、 ∑ k = 1 n x k − 1 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 1 + k − 1 n ) 2 1 n = 7 3 − 3 2 n + 1 6 n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}} ∑ k = 1 n x k 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 1 + k n ) 2 1 n = 7 3 + 3 2 n + 1 6 n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}} となる。 等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、 ∑ k = 1 n x k − 1 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 2 n + 2 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}} ∑ k = 1 n x k 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 2 k n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 − 2 n + 2 − 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}} となる。 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} は [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で ∑ k = 1 n x k − 1 2 Δ x k ≤ ∑ k = 1 n ξ k 2 Δ x k ≤ ∑ k = 1 n x k 2 Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}} の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限で収束するので、 ∫ 1 2 x 2 d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n ξ k 2 Δ x k = 7 3 {\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}} が得られる。 [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} のとき 等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、 ∑ k = 1 n 1 x k − 1 Δ x k = ∑ k = 1 n 1 2 k − 1 n ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = n ( 2 1 n − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k-1}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)} ∑ k = 1 n 1 x k Δ x k = ∑ k = 1 n 1 2 k n ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)} となる。 f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} は [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で ∑ k = 1 n 1 x k − 1 Δ x k ≥ ∑ k = 1 n 1 ξ k Δ x k ≥ ∑ k = 1 n 1 x k Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}} の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限で収束するので、 ∫ 1 2 1 x d x = lim n → ∞ n ( 2 1 n − 1 ) = lim n → ∞ n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)} が得られる。