フロベニウス自己準同型

可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、英: Frobenius endomorphism, Frobenius map) （フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ）は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 p をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を p 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。 p を素数、 R を標数 p の可換環（たとえば、有限体や正標数の整域）とする。フロベニウス自己準同型写像（フロベニウス写像） F : R → R は、R の任意の元 r に対し F ( r ) = r p {\displaystyle F(r)=r^{p}} により定義される。明らかに、これは R の乗法と整合的、つまり F ( r s ) = ( r s ) p = r p s p = F ( r ) F ( s ) {\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s)} が成り立ち、さらに F ( 1 ) = 1 {\displaystyle F(1)=1} となる。一方で、 R の加法に関しても興味深いことが言える。式 (r + s)p を二項展開する。p は素数であるので、p! を割り切るが、q < p に対しいかなる q! も割り切らない。よって 1 ≤ k ≤ p − 1 であれば、p は二項係数 p ! k ! ( p − k ) ! {\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}} の分子を割り切るが、分母を割り切らない。 したがって、 rp と sp を除くすべての項の係数は標数 p で割り切れるので、それらは消える。したがって、 F ( r + s ) = ( r + s ) p = r p + s p = F ( r ) + F ( s ) {\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s)} となる。以上からフロベニウス写像 F : R → R は環準同型である。 R と S を標数 p の環、φ : R → S を環準同型とすると、 ϕ ( x p ) = ϕ ( x ) p {\displaystyle \phi (x^{p})=\phi (x)^{p}} が成り立つ。ここで FR と FS をそれぞれ R と S 上のフロベニウス写像とすれば、この式は ϕ ∘ F R = F S ∘ ϕ {\displaystyle \phi \circ F_{R}=F_{S}\circ \phi } と書き換えられる。つまりフロベニウス写像たちは標数 p の可換環がなす圏の恒等関手上の自然変換である。 R が被約環（たとえば体などの整域）のとき、フロベニウス写像は単射となる。なぜならば、F(r) = 0 は rp = 0 を意味するので r は冪零であり、自明となるから。さらに逆も正しい。 またフロベニウス写像は、R が体であるときでさえ、全射であるとは限らない。たとえば、K = Fp(t) を p 元体 Fp に超越元 t を添加した体とする。同じことだが、K = Fp(t) を Fp 係数の一変数有理函数の体とする。このとき、F の像は t を含まない。もし t を像に含むとすると、有理函数 q(t)/r(t) で、その p 乗 q(t)p/r(t)p が t となるものが存在する。しかし、この p 乗の次数は p deg(q) − p deg(r) ゆえ、p の倍数である。特に、t の次数 1 とは一致しない。これは矛盾。以上から、t は F の像ではない。 体 K が完全であるとは、標数が 0 であるか、正の標数かつフロベニウス写像が全射であることを言う。たとえば、すべての有限体は完全である。 有限体 Fp を考える。フェルマーの小定理により、Fp のすべての元 x は、xp = x を満たす。同じことだが、多項式 Xp − X の根である。したがって、Fp の元は、この多項式の p 個の根を決定し、この多項式は次数 p なので、どんなに体を拡大しても p 個よりも多くの根を持つことはない。特に、K が Fp の代数拡大（代数的閉包、または他の有限体のような）であれば、 K のフロベニウス写像に関する不変体は Fp である。 R を標数 p > 0 の環とする。R が整域であれば、同じ理由でフロベニウス写像の不動点は素体の元である。しかしながら、R が整域でないと、Xp − X は p 個よりも多い根を持つかもしれない。たとえば、R = Fp × Fp のとき、このようなことが起きる。 同様の性質を有限体 F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} も持つ。 F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} のすべての元は、多項式 X p e − X {\displaystyle X^{p^{e}}-X} の根であるので、K が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の代数拡大であれば、F を K のフロベニウス写像としたとき、 K の Fe に関する不変体は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} である。R が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} -代数であるような整域であれば、フロベニウス写像の e 乗の固定点は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の像の元である。 フロベニウス写像の繰り返しは、R の元の列 x , x p , x p 2 , x p 3 , … {\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\dotsc } をもたらす。この繰り返しの列は、フロベニウス閉包（英語版）(Frobenius closure)やイデアルの密着閉包(tight closure)の定義に使われる。 有限体の拡大のガロア群は、有限次元拡大の場合、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成される[要検証 – ノート]。まず、基礎体が素体の場合を考える。q = pe として Fq を q 元体とする。Fq のフロベニウス写像 F は素体 Fp を固定するので、ガロア群 Gal(Fq/Fp) の元である。実際、このガロア群は位数 e の巡回群であり、F は生成元である。なぜならば、F e は、元 x を xq へ写すことにより作用し、これは Fq 上の恒等写像である。Fq のすべての自己同型は F のべきで、生成元は e に互いに素な i に対して、べき F i である。 ここで有限体 Fq f を Fq の体の拡大と考える。Fq f のフロベニウス自己同型 F は、基礎体 Fq を固定しないが、その e-番目の繰り返し F e を固定する。ガロア群 Gal(Fq f /Fq) は位数 f の巡回群で、F e により生成される。この群は Gal(Fq f /Fp) の部分群で、F e により生成される。Gal(Fq f /Fq) の生成元は、べき F ei である。ここの i は、f と互いに素である。 フロベニウス自己同型は、絶対ガロア群 Gal ⁡ ( F q ¯ / F q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right)} の生成元ではない。何故ならば、このガロア群は、 Z