鎖複体

数学において、鎖複体（さふくたい）あるいはチェイン複体 (英: chain complex) と双対鎖複体あるいは余鎖複体、コチェイン複体 (英: cochain complex) は、元来は代数トポロジーの分野で使われていた。（余）鎖複体は、位相空間の様々な次元の（コ）サイクル（英語版）と（コ）バウンダリの間の関係を表す代数的な手段である。より一般的に、ホモロジー代数では、空間との関係を立ち去った抽象的な鎖複体の研究がされる。ホモロジー代数としての研究では、（余）鎖複体を公理的に代数的構造として扱う。 （余）鎖複体の応用は、通常、ホモロジー群（余鎖複体ではコホモロジー群）を定義し適用する。より抽象的な設定では、様々な同値関係（たとえば、チェインホモトピー（英語版）のアイデアで始まるもの）が複体へ適用される。鎖複体は、アーベル圏で定義することも容易にできる。 鎖複体 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })} は、アーベル群、あるいは加群の列 ..., A2, A1, A0, A−1, A−2, ... であり、準同型（境界作用素 (boundary operator) あるいは微分 (differential) と呼ばれる) dn: An → An−1 で結ばれ、任意の2つの引き続いた境界作用素の合成は、すべての n について 0 となる (dn ∘ dn+1 = 0) ような作用素である。鎖複体は、普通は次のように書かれる。 ⋯ → A n + 1 → d n + 1 A n → d n A n − 1 → d n − 1 A n − 2 → ⋯ → d 2 A 1 → d 1 A 0 → d 0 A − 1 → d − 1 A − 2 → d − 2 ⋯ {\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots } 鎖複体の概念を少し変えたものが、双対鎖複体 (cochain complex) の概念である。双対鎖複体 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })} はアーベル群、もしくは加群の列 ..., A−2, A−1, A0, A1, A2, ... であり、準同型 d n : A n → A n + 1 {\displaystyle d^{n}\colon A^{n}\to A^{n+1}} により結ばれ、2つの連続する写像は、すべての n についてゼロ写像 : d n + 1 d n = 0 {\displaystyle d^{n+1}d^{n}=0} である。 ⋯ → A − 2 → d − 2 A − 1 → d − 1 A 0 → d 0 A 1 → d 1 A 2 → ⋯ → A n − 1 → d n − 1 A n → d n A n + 1 → ⋯ . {\displaystyle \cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {d^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}A^{n+1}\to \cdots .} 各々の A n {\displaystyle A_{n}} あるいは、 A n {\displaystyle A^{n}} の添え字 n {\displaystyle n} は、次数 (degree)、あるいは次元と呼ばれる。鎖複体と双対鎖複体の定義の唯一の違いは、鎖複体の場合は、境界作用素が次数を下げることに対し、双対複体の境界作用素は次数を上げることである。つまり、片側にのみ無限に続く複体でなければ、鎖複体と余鎖複体は、形式的には全く同じものである。 ほとんどすべての Ai が 0 である、つまり、有限個を除き、左右に 0 になり延長されている場合を有界鎖複体 (bounded chain complex) という。例として、（有限）単体複体のホモロジー論を定義する複体がある。鎖複体は、ある固定した次数 N より上ですべて 0 であれば上に有界 (bounded above) といい、ある固定した次数より小さいときにすべて 0 となる場合を下に有界 (bounded below) という。明らかに、上にも下にも有界であることと、複体が有界であることとは同値である。 インデックスを省いて、d についての基本的関係は、 d d = 0 {\displaystyle dd=0} と考えることができる。鎖複体の個別の群の元を、チェイン (chain)、鎖（コチェイン複体では コチェイン (cochain)）と呼ぶ。鎖複体の場合の d の像をバウンダリ (boundary)、境界輪体、双対鎖複体の場合はコバウンダリ (coboundary)、余境界輪体と呼び、その全体は群をなす。鎖複体の場合 d の核（つまり、d により 0 へ写される元のなす部分群）の元は、サイクル (cycle) 、輪体、双対鎖複体の場合はコサイクル (cocycle)、余輪体と呼ばれる。基本的な関係から、（コ）バウンダリーは（コ）サイクルである。この現象は、（コ）ホモロジーを使い系統的に研究されている。 チェイン写像（鎖写像）と呼ばれる、鎖複体の間の自然な射の概念がある。2つの複体 M* と N* が与えられると、2つの複体の間のチェイン写像は、Mi から Ni への準同型の列であって、M と N のバウンダリ写像に関する図式全体が可換となるものである。チェイン複体とチェイン写像は圏をなす。 V = V* と W = W* を鎖複体とすると、それらのテンソル積 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} は、次数 i の元たちが ( V ⊗ W ) i = ⨁ { j , k | j + k = i } V j ⊗ W k {\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k}} で与えられ、微分が ∂ ( a ⊗ b ) = ∂ a ⊗ b + ( − 1 ) | a | a ⊗ ∂ b {\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{|a|}a\otimes \partial b} で与えられる鎖複体である。ここに、a と b はそれぞれ V と W の任意の斉次ベクトルであり、 | a | {\displaystyle |a|} は a の次数を表す。 このテンソル積により、（任意の可換環 K に対し）K-加群の鎖複体の圏 Ch K {\displaystyle {\text{Ch}}_{K}} は対称モノイダル圏（英語版）となる。このモノイダル積についての単位対象は、次数 0 の鎖複体と見た基礎環 K である。ブレイディング（英語版）は、斉次元の単純なテンソル上 a ⊗ b ↦ ( − 1 ) | a | | b | b ⊗ a {\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{|a||b|}b\otimes a} により与えられる。符号はブレイディングがチェイン写像となるために必要である。さらに、K-加群の鎖複体の圏は、内部Homも持つ。鎖複体 V と W が与えられると、V と W の内部Hom, hom(V,W) は、次数 n の元が Π i Hom K ⁡ ( V i , W i + n ) {\displaystyle \Pi _{i}\operatorname {Hom} _{K}(V_{i},W_{i+n})} により与えられ、微分が ( ∂ f ) ( v ) = ∂ ( f ( v ) ) − ( − 1 ) | f | f ( ∂ ( v ) ) {\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{|f|}f(\partial (v))} により与えられる鎖複体である。すると、自然な同型 Hom ( A ⊗ B , C ) ≅ Hom ( A , Hom ( B , C ) ) {\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))} がある。 位相空間 X が与えられたとする。 自然数 n に対し、Cn(X) を X の特異 n-単体により形式的に生成される自由アーベル群とし、バウンダリ写像を次で定義する： ∂ n : C n ( X ) → C n − 1 ( X ) : ( σ : [ v 0 , … , v n ] → X ) ↦ ( ∂ n σ = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i σ ( [ v 0 , … , v