ワグスタッフ素数

数論において、ワグスタッフ素数（英: Wagstaff prime）は、 p = 2 q + 1 3 {\displaystyle p={{2^{q}+1} \over 3}} の形をした素数 p である。ただし q は別の素数である。ワグスタッフ素数は、数学者のサミュエル S. ワグスタッフ・ジュニア（英語版）にあやかって名付けられた。Prime Pages では、フランソワ・モラン（ドイツ語版）が Eurocrypt（英語版） の 1990年 の学会での講演において、この素数を名付けた事に言及している。ワグスタッフ素数は新メルセンヌ予想と関連しており、暗号理論への応用を持っている。 最初の3つのワグスタッフ素数は、3, 11, 43 である。なぜならば 3 = 2 3 + 1 3 , 11 = 2 5 + 1 3 , 43 = 2 7 + 1 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}} 最初のいくつかのワグスタッフ素数は以下のものである。 3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, … オンライン整数列大辞典の数列 A000979 2013年10月の時点で、ワグスタッフ素数か確率的素数（PRP)になるとわかっている指数 q {\displaystyle q} を、小さい順に並べると以下のようになる。 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531 オンライン整数列大辞典の数列 A000978 2010年2月に、Tony Reix が次のワグスタッフ確率的素数を発見した。 2 4031399 + 1 3 {\displaystyle {\frac {2^{4031399}+1}{3}}} これは 1,213,572 桁の数であり、当時見つかっていた中で3番目に大きい確率的素数であった。 2013年9月、Ryan Propper はさらに2つのワグスタッフ確率的素数の発見を知らせた。 2 13347311 + 1 3 {\displaystyle {\frac {2^{13347311}+1}{3}}} と 2 13372531 + 1 3 {\displaystyle {\frac {2^{13372531}+1}{3}}} である。いずれも400万桁よりわずかに多い桁数をもった確率的素数である。4031399 と 13347311 の間にワグスタッフ確率的素数を生み出す指数があるのかどうか、今のところ知られていない。 これらの数は q の値が 83339 までのときは素数であることが証明されている。2020年12月 (2020-12)現在[ref] q > 83339 のときは確率的素数である。 q = 42737 のときに素数であることの証明は François Morain によって、 Opteron processor上で 743 GHz-days（英語版） 間ワークステーションのいくつかのネットワーク上で動作している分散された ECPP（英語版） を実行することによって、2007 年になされた。それはその発見から2009年3月まででは ECPP による素数の証明では3番目に大きい素数であった。 今のところ知られているアルゴリズムで、ワグスタッフ数が素数であることを最も早く証明できるものは、ECPP である。 Jean Penné による LLR (Lucas-Lehmer-Riesel) ツールは、 Vrba-Reix test の手段でワグスタッフ確率的素数を見つけるために使われる。それはワグスタッフ数を法とした x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} のもとでの digraph の周期性に基づいた PRP テストである より一般的な次の形の数を考えることが自然である Q ( b , n ) = b n + 1 b + 1 {\displaystyle Q(b,n)={\frac {b^{n}+1}{b+1}}} ただし底は b ≥ 2 {\displaystyle b\geq 2} である。 n {\displaystyle n} が奇数のときには b n + 1 b + 1 = ( − b ) n − 1 ( − b ) − 1 = R n ( − b ) {\displaystyle {\frac {b^{n}+1}{b+1}}={\frac {(-b)^{n}-1}{(-b)-1}}=R_{n}^{(-b)}} であるので、これらの一般化されたワグスタッフ数は、負の底 − b {\displaystyle -b} をもったレピュニット数のケースと考えられることがある。 いくつかの特定の b {\displaystyle b} の値について、（非常に小さい n {\displaystyle n} に対して例外があるかもしれないがそれを除いて）すべての Q ( b , n ) {\displaystyle Q(b,n)} は、「代数的な」分解のために合成数である。具体的には、 b {\displaystyle b} が奇数の指数をもった完全冪の形（例えば 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, etc. オンライン整数列大辞典の数列 A070265）であれば、 m {\displaystyle m} が奇数のとき x m + 1 {\displaystyle x^{m}+1} が x + 1 {\displaystyle x+1} で割り切れるという事実によって、これらの特殊な場合には Q ( a m , n ) {\displaystyle Q(a^{m},n)} は a n + 1 {\displaystyle a^{n}+1} で割り切れる。別のケースは k を正の整数として b = 4 k 4 {\displaystyle b=4k^{4}} のときである（例えば 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. オンライン整数列大辞典の数列 A141046）。このとき aurifeuillean factorization（英語版） がある。 しかしながら、 b {\displaystyle b} が代数的な分解をもたないときは、 Q ( b , n ) {\displaystyle Q(b,n)} が素数になる n {\displaystyle n} が無数に存在するという予想を立てることができる。（ b {\displaystyle b} ≤ 300 に対しては、素数や PRP が知られていない 9 つの底 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, and 284 が存在し、PRP は知られているが素数であることが証明されていないような 7 つの底 53, 124, 150, 182, 205, 222, and 296 が存在する。リストを見よ。すべての n が奇素数であることに注意せよ。） オンライン整数列大辞典の数列 A084742 b = 53, 124, 150, 182, 205, 222, 296 に対しては確率的素数しか存在ない。 b = 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, 284 に対しては素数も PRP も知られていない。 代数的な分解のために、b = 8, 27, 32, 64, 125, 243 に対しては素数が存在しない。（b = 1 の場合はすべて 1 だが 1 は素数でない） すべての奇素数がリストにあることが期待される。 b = 10 {\displaystyle b=10} に対して、素数は次のように現れる。9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091, … オンライン整数列大辞典の数列 A097209。また、これらの n は次のようになる。5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... オンライン整数列大辞典の数列 A001562。 Q ( b , p r i m e ( n ) ) {\displaystyle Q(b,prime(n))} が素数になるような最小の底 b は 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (この列は n = 2 で始まる) オンライン整数列大辞典の数列 A103795