セルバーグ跡公式

セルバーグ跡公式（セルバーグせきこうしき、Selberg trace formula）とは、Selberg (1956) で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ が余コンパクト（英語版）な場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標のフロベニウス公式（英語版）(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G=R の余コンパクト部分群 Z のときには、セルバーグ跡公式は本質的にポアソン和公式である。 G/Γ がコンパクトでないときは、アイゼンシュタイン級数を使い記述された連続スペクトルとなり、より難しくなる。セルバーグは、G が群 SL2(R) の非コンパクトの場合に結果をもたらし、さらに高いランクの群への拡張がアーサー・セルバーグ跡公式（英語版）(Arthur-Selberg trace formula)である。 Γ がリーマン面の基本群のとき、セルバーグ跡公式は、リーマン面の測地線の長さを意味する幾何学的データの項にラプラシアンのような微分作用素のスペクトルを書き表す。この場合にはセルバーグ跡公式は、リーマンの明示公式に似た形となり、素数のリーマンゼータ函数のゼロ点に関係し、ゼータのゼロ点はラプラシアンの固有値に対応し、素数は測地線に対応する。この類似に動機を得て、セルバーグはリーマン面のセルバーグゼータ函数を導入し、解析的な性質は、このセルバーグ跡公式にエンコードされる。 セルバーグの跡公式は位相群上の関数空間に作用する積分作用素の跡を二通りの方法で計算することで得られる。有限次元ベクトル空間に作用する線形作用素、つまり行列の場合、対角成分の和と固有値の和はともに行列の跡に等しいので 対角成分の和 ＝ 固有値の和 が成り立つのであった。簡単にいうとこの等式の積分作用素版がセルバーグの跡公式である。 セルバーグの跡公式は次のような議論を経て導出される。G を位相群、Γ をその離散部分群、f を G 上の関数とする。G 上の関数 φ に対して G 上の関数 R( f )φ を ( R ( f ) ϕ ) ( x ) = ∫ G f ( y ) ϕ ( x y ) d y {\displaystyle (R(f)\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\mathrm {d} y} で定義する。R( f ) は関数空間に作用する線形作用素である。φ が左からの Γ 作用で不変であれば R( f )φ もそうである。さらに φ が Γ ⧵G 上の二乗可積分関数であるとき R( f )φ もそうなるのであれば R( f ) はヒルベルト空間 L2(Γ ⧵G) の線形作用素を定める。この跡を二通りの方法で計算する。 まず、スペクトル・サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは固有値の和の方である。L2(Γ ⧵G) が R( f ) の作用で不変な部分空間 Vπ （π は添字）達のヒルベルト直和に分解し、L2(Γ ⧵G) = ⨁π Vπ とかけたとする。このとき、跡の性質から tr ⁡ ( R ( f ) ) = ∑ π tr ⁡ ( R ( f ) | π ) {\displaystyle \operatorname {tr} (R(f))=\sum _{\pi }\operatorname {tr} (R(f)|_{\pi })} が成り立つ。ここで tr(R( f )|π) は R( f ) を不変部分空間 Vπ の線形作用素とみたときの跡である。これがスペクトル・サイドと呼ばれる方の計算結果である。セルバーグの跡公式といったとき、 L2(Γ ⧵G) の分解としてはこの空間を G の右正則表現の空間と見立てて既約表現への分解を考えることが多い。もともとのセルバーグの論文ではラプラシアンの固有空間への分解を考えていた。より荒く連続スペクトラムと離散スペクトラムへの分解でもよい。 次に幾何サイドと呼ばれる方の計算をする。行列の例えでいうとこれは対角成分の和の方である。まず R( f ) の定義から簡単な計算により ( R ( f ) ϕ ) ( x ) = ∫ Γ ∖ G ( ∑ γ ∈ Γ f ( x − 1 γ y ) ) ϕ ( y ) d y {\displaystyle (R(f)\phi )(x)=\int _{\Gamma \backslash G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\right)\phi (y)\mathrm {d} y} がわかる。よって R( f ) は積分核 K ( x , y ) = ∑ γ ∈ Γ f ( x − 1 γ y ) {\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)} によって定義される積分作用素である。積分核によって定義される作用素の跡は、核関数の対角集合に沿っての積分と等しくなることが知られている。つまり tr ⁡ ( R ( f ) ) = ∫ Γ ∖ G K ( x , x ) d x {\displaystyle \operatorname {tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K(x,x)\mathrm {d} x} が成り立つ。右辺の K を f に戻して計算を進めると tr ⁡ ( R ( f ) ) = ∑ γ ∈ { Γ } vol ⁡ ( Γ γ ∖ G γ ) ∫ G γ ∖ G f ( x − 1 γ x ) d x {\displaystyle \operatorname {tr} (R(f))=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}\operatorname {vol} (\Gamma _{\gamma }\backslash G_{\gamma })\int _{G_{\gamma }\backslash G}f(x^{-1}\gamma x)\mathrm {d} x} が成り立つことがわかる。ここで {Γ} は Γ の共役類の代表元全体の集合、 Gγ と Γγ はそれぞれ G および Γ における γ の中心化群である。これが幾何サイドと呼ばれる方の計算結果である。 以上の R( f ) の跡の二通りの計算から ∑ γ ∈ { Γ } vol ⁡ ( Γ γ ∖ G γ ) ∫ G γ ∖ G f ( x − 1 γ x ) d x = ∑ π tr ⁡ ( R ( f ) | π ) {\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}\operatorname {vol} (\Gamma _{\gamma }\backslash G_{\gamma })\int _{G_{\gamma }\backslash G}f(x^{-1}\gamma x)\mathrm {d} x=\sum _{\pi }\operatorname {tr} (R(f)|_{\pi })} が成り立つことがわかった。これがセルバーグの跡公式である。もちろん、以上の議論は跡の存在や無限和の収束について何も仮定を置いていない形式的なものなので、これだけでは何も証明できていない。実際に成立する等式を得るためには状況に応じて適切な前提を置き厳密な議論を行わねばならない。 簡単な場合として G = R、Γ = Z の場合を考える。この場合、 {Γ} = Z、 Γγ = Z、 Gγ = R などに注意すれば幾何サイドは ∑ γ ∈ Z f (γ) と計算できる。スペクトル・サイドを計算するために L2(Z ⧵R) = ⨁n ∈ Z C e−2πin・ という分解をとる。簡単に分かるように C e−2πin・ は R( f ) の不変部分空間になっており、この空間での R( f ) の跡は ˆf (n) である。ここで ˆf は f のフーリエ変換である。したがってスペクトル・サイドは ∑ γ ∈ Z ˆf (γ) となるので、この場合の跡公式は ∑ n ∈ Z f ( n ) = ∑ n ∈ Z f