カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（英: Kardar–Parisi–Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール（英語版）、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。 ∂ h ∂ t ( x → , t ) = ν ∇ 2 h ( x → , t ) + λ 2 ( ∇ h ) 2 ( x → , t ) + η ( x → , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}h\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)+\eta \left({\vec {x}},t\right).} h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} は、時刻 t {\displaystyle \textstyle t} での x → {\displaystyle \textstyle {\vec {x}}} における界面の高さを表し、 ν {\displaystyle \textstyle \nu } は界面張力、 λ {\displaystyle \textstyle \lambda } は非線形効果の強さ、 η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} は確率的なノイズを表す。ノイズ項 η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} は、 { ⟨ η ( x → , t ) ⟩ = 0 ⟨ η ( x → , t ) η ( x → ′ , t ′ ) ⟩ = 2 D δ d ( x → − x → ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\right\rangle &=0\\\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle &=2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)\end{aligned}}\right.} を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで ⟨ ⋅ ⟩ {\displaystyle \textstyle \left\langle \cdot \right\rangle } は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 δ ( ⋅ ) {\displaystyle \textstyle \delta \left(\cdot \right)} はディラックのデルタを表す。また D {\displaystyle \textstyle D} はノイズの強さである。 界面の高さ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} は、 x → {\displaystyle \textstyle {\vec {x}}} に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。 右辺第2項の非線形項 λ 2 ( ∇ h ) 2 ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle {\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)} がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.) になる。 界面の傾きを θ {\displaystyle \textstyle \theta } とし、その方向に速度 v {\displaystyle \textstyle v} で界面が成長すると考えると、微小時間 δ t {\displaystyle \textstyle \delta t} の間に、界面の高さは δ h = [ ( v δ t ) 2 + ( v δ t tan ⁡ θ ) 2 ] 1 / 2 {\displaystyle \textstyle \delta h=\left[\left(v\delta t\right)^{2}+\left(v\delta t\tan \theta \right)^{2}\right]^{1/2}} だけ変化する。 tan ⁡ θ = | ∇ h | {\displaystyle \textstyle \tan \theta =\left|\nabla h\right|} と置き換えられることに注意すれば、 δ h δ t = v [ 1 + ( ∇ h ) 2 ] 1 / 2 ≃ v + v 2 ( ∇ h ) 2 + ⋯ , {\displaystyle {\frac {\delta h}{\delta t}}=v\left[1+\left(\nabla h\right)^{2}\right]^{1/2}\simeq v+{\frac {v}{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\cdots ,} とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。 高さの関数 h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} を関数 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} を用いて、 h ( x → , t ) = ( 2 ν / λ ) ln ⁡ W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)=\left(2\nu /\lambda \right)\ln W\left({\vec {x}},t\right)} と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される。この変換をコール・ホップ変換という。 ∂ W ∂ t ( x → , t ) = ν ∇ 2 W ( x → , t ) + λ 2 ν η ( x → , t ) W ( x → , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).} これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。 W ( x → , t ) = ∫ ( 0 → , 0 ) ( x → , t ) D x → ′ ( t ′ ) exp ⁡ { − ∫ 0 t d t ′ [ ν 2 ( d x → ′ ( t ′ ) d t ′ ) 2 + λ 2 ν η ( x → ′ , t ′ ) ] } . {\displaystyle \displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.} 上記の経路積分より、 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} は、 ( 0 → , 0 ) {\displaystyle \textstyle ({\vec {0}},0)} と ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \left({\vec {x}},t\right)} を結ぶ、 d + 1 {\displaystyle \textstyle d+1} 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。 別の有用な変換として、ベクトル場 v → ( x → , t ) = − ∇ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\nabla h\left({\vec {x}},t\right)} を用いて、界面の高さ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} を v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}} で書き換えると、方程式は以下の形になる。 ∂ v → ∂ t ( x → , t ) + λ v → ( x → , t ) ⋅ ( ∇ v → ) ( x → , t ) = ν ∇ 2 v → ( x → , t ) − ∇ η ( x → , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {}{\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).} ここで λ = 1 {\displaystyle \textstyle \lambda =1} と置けば、これは v → {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}} を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは λ v → ( x → , t ) = − λ ∇ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\lambda \nabla h\left({\vec {x}},t\right)} を改めて v → ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)} に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。 [要出典] KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、 x → → b x → , t → b z t , v → → b α − 1 v → ( h → b α h ) , {\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow b{\vec {x}},\quad t\rightarrow b^{z}t,\quad {\vec {v}}\rightarrow b^{\alpha -1}{\vec {v}}\quad \left(h\rightarrow b^{\alpha }h\right),} ノイズ η ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)} について、 ⟨ η ( x → , t ) η ( x → ′ , t ′ ) ⟩ = 2 D δ d ( x → − x → ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \textstyle \left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle =2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)} の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、 δ ( x ) → b − 1 δ ( x ) , δ ( t ) → b − z δ ( t ) , {\displaystyle \delta \left(x\right)\rightarrow b^{-1}\delta \left(x\right),\quad \delta \left(t\right)\rightarrow b^{-z}\delta \left(t\right),} と変換されるので、バーガース方程式は、 b α − z − 1 ∂ v → ∂ t ( x → , t ) + b 2 α − 3 λ v → ( x → , t ) ⋅ ( ∇ v → ) ( x → , t ) = b α − 3 ν ∇ 2 v → ( x → , t ) − b − ( d + 2 + z ) / 2 ∇ η ( x → , t ) , ∂ v → ∂ t ( x → , t ) + b α + z − 2 λ v → ( x → , t ) ⋅ ( ∇ v → ) ( x → , t ) = b z − 2 ν ∇ 2 v → ( x → , t ) − b ( z − 2 α − d ) / 2 ∇ η ( x → , t ) . {\displaystyle \left.{\begin{aligned}b^{\alpha -z-1}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{2\alpha -3}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{\alpha -3}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right),\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{\alpha +z-2}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{z-2}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{\left(z-2\alpha -d\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).\end{aligned}}\right.} となる。ここで λ {\displaystyle \lambda } の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 α {\displaystyle \textstyle \alpha } , z {\displaystyle \textstyle z} について、 α + z = 2 {\displaystyle \textstyle \alpha +z=2} が成り立つことになる。