コンパクト化

コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。 位相空間X のコンパクト化（英: compactification）とは、X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。X を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる。 厳密な定義は以下のとおりである。 埋め込み写像を強調して、組 ( K , i ) {\displaystyle (K,i)} の事をX のコンパクト化という事もある。 また文脈から i {\displaystyle i} が自明な時は i {\displaystyle i} を略して K {\displaystyle K} をX のコンパクト化という。 例えばX を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の縁を含まない単位円盤 { x ∈ R n ∣ | x | < 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid |x|<1\}} としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とするX のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤をK とすると、X はKの中で稠密ではないので、Kは包含写像に対するX のコンパクト化ではない。 X は i {\displaystyle i} によりそのコンパクト化K に埋め込まれているので、K はいわばXのに「点を付け加えて」コンパクト化したものとみなす事ができる。実応用上、こうした「付け加えた点」（すなわち K ∖ i ( X ) {\displaystyle K\setminus i(X)} の点）は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、 K ∖ i ( X ) {\displaystyle K\setminus i(X)} をコンパクト化 ( K , i ) {\displaystyle (K,i)} の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。 X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。したがって実用上はX の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある（例えばX が多様体であるときにコンパクト化K として多様体になるものを選ぶ等）。 位相空間 X {\displaystyle X} のコンパクト化 ( K 0 , i 0 ) {\displaystyle (K_{0},i_{0})} 、 ( K 1 , i 1 ) {\displaystyle (K_{1},i_{1})} に対し、同相写像 j : K 0 → K 1 {\displaystyle j:K_{0}\to K_{1}} が存在し、 i 1 = j ∘ i 0 {\displaystyle i_{1}=j\circ i_{0}} となるとき ( K 0 , i 0 ) {\displaystyle (K_{0},i_{0})} と ( K 1 , i 1 ) {\displaystyle (K_{1},i_{1})} は同値であるという。 著名なコンパクト化の方法として、アレクサンドロフの一点コンパクト化とストーン・チェックのコンパクト化という両極端なものがある。前者はその名の通り、１点付け加えるだけで（コンパクトでない）任意の空間X をコンパクト化する方法である。これはいわば「最小の」コンパクト化で、X の任意のコンパクト化K に対し、アレクサンドロフの一点コンパクト化 X ∗ {\displaystyle X^{*}} は必ずK の商空間になる。より直観的にいえば、K の無限遠境点を一点に潰したものがアレクサンドロフの一点コンパクト化に一致する。（ただしこの性質が成り立つには X ∗ {\displaystyle X^{*}} もK もハウスドルフであることが必要）。 一方ストーン・チェックのコンパクト化は逆の極端で、X の任意のハウスドルフなコンパクト化K に対し、K はストーン・チェックのコンパクト化の商空間になる。すなわちK はストーン・チェックのコンパクト化の無限遠境点を適当な同値関係で割ったものとしてできあがる。したがってストーン・チェックのコンパクト化はいわばハウスドルフな中では「もっとも大きな」コンパクト化である。ストーン・チェックのコンパクト化はX がチコノフ空間であるときにその存在が証明されている。しかしX がT1空間でありさえすればその類似物（ウォールマンのコンパクト化）が作れる事が知られている。 位相空間がハウスドルフなコンパクト化を持つ必要十分条件はその位相空間がチコノフ空間（完全正則ハウスドルフ）であること。 ハウスドルフ空間 X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化 ( i , K ) {\displaystyle (i,K)} に対し、 i ( X ) {\displaystyle i(X)} が K {\displaystyle K} の開部分集合となる必要十分条件は X {\displaystyle X} が局所コンパクトであること。 ( i , K ) {\displaystyle (i,K)} をハウスドルフ空間 X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化とするとき、 K {\displaystyle K} の濃度 | K | {\displaystyle |K|} は高々 2 2 | X | {\displaystyle 2^{2^{|X|}}} である。 X {\displaystyle X} をコンパクトでない位相空間とし、 ∞ {\displaystyle \infty } を X {\displaystyle X} 上に存在しない一点とし、 X ∗ := X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{*}:=X\cup \{\infty \}} に以下の位相を入れたものを考える。 さらに i : X ↪ X ∗ {\displaystyle i:X\hookrightarrow X^{*}} を包含写像とする。この時、 X ∗ {\displaystyle X^{*}} はコンパクトである事が示せ、しかも i ( X ) {\displaystyle i(X)} が X ∗ {\displaystyle X^{*}} で稠密である事も示せるので、 ( X ∗ , i ) {\displaystyle (X^{*},i)} はコンパクト化の条件を満たす。 ( X ∗ , i ) {\displaystyle (X^{*},i)} の事をX の（アレクサンドロフの）一点コンパクト化という。 アレクサンドロフの一点コンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている： （有限次元の）多様体や単体的複体などの幾何学の代表的な研究対象はハウスドルフ性と局所コンパクト性を満たすので、その一点コンパクト化はハウスドルフ性を満たす。 しかし無限次元ヒルベルト空間をはじめ解析学の研究対象には局所コンパクトではないものも多く、一点コンパクトのハウスドルフ性が保証されない。この為このような研究分野では一点コンパクトの適応範囲は限定的になる。 コンパクトではない空間の一点コンパクト化 X ∗ {\displaystyle X^{*}} がハウスドルフ空間であれば以下の性質（普遍性）を満たす事が知られている： なお前述のように、 X ∗ {\displaystyle X^{*}} がハウスドルフになる必要十分条件は X {\displaystyle X} が局所コンパクトなハウスドルフ空間である事である。 n次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の一点コンパクト化は、n次元球面 S n {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} と同相である。特にリーマン球面 C