ビネ・コーシーの恒等式

代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、英: Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ（英語版）および オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する、次の恒等式 ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) = ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) + ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) {\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)+\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})} ( a i , b i , c i , d i ∈ K   ( i = 1 , ⋯ , n ) ) {\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in \mathbb {K} \ (i=1,\cdots ,n))} のことである。ここで、 K {\displaystyle \mathbb {K} } は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。 ci = ai かつ di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式（英語版）が得られる。これはユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} におけるコーシー＝シュワルツの不等式を強化したものである。 右辺第2項を展開すると ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i c i b j d j + a j c j b i d i ) + ∑ i = 1 n a i c i b i d i − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i d i b j c j + a j d j b i c i ) − ∑ i = 1 n a i d i b i c i = ( ∑ 1 ≤ i < j ≤ n + ∑ 1 ≤ j < i ≤ n + ∑ 1 ≤ i = j ≤ n ) a i c i b j d j − ( ∑ 1 ≤ i < j ≤ n + ∑ 1 ≤ j < i ≤ n + ∑ 1 ≤ i = j ≤ n ) a i d i b j c j = ∑ 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ n a i c i b j d j − ∑ 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ n a i d i b j c j = ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum \limits _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\left(\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}+\sum \limits _{1\leq j<i\leq n}+\sum \limits _{1\leq i=j\leq n}\right)a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum \limits _{1\leq i\leq n \atop 1\leq j\leq n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}\\&=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)\end{aligned}}} となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。) n = 3, K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } のとき ( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( c 1 d 2 − c 2 d 1 ) + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) ( c 2 d 3 − c 3 d 2 ) + ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) ( c 1 d 3 − c 3 d 1 ) ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = ( a × b ) 3 ( c × d ) 3 + ( a × b ) 1 ( c × d ) 1 + ( a × b ) 2 ( c × d ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}} すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式 ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ( a , b , c , d ∈ R 3 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})} が得られる。（この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。） この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば { ( a × b ) × c } ⋅ d = { ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a } ⋅ d ∴   ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle {\begin{aligned}\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}&=\left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}\\\therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\end{aligned}}} とベクトル三重積の公式が得られる。 また、c = a, d = b とおくと、 ‖ a × b ‖ 2 = ‖ a ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 ( a , b ∈ R 3 ) {\displaystyle \|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|^{2}=\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\|{\boldsymbol {b}}\|^{2}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})^{2}\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{3})} と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。 以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である： n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、AS を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、BS を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。 m × m行列である積 AB の行列式は det ( A B ) = ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) {\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})} となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。 特別な場合として、m = 2 として A = ( a 1 … a n b 1 … b n ) , B = ( c 1 d 1 ⋮ ⋮ c n d n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}} を適用すれば | ∑ i = 1 n a i c i ∑ i = 1 n a i d i ∑ i = 1 n b i c i ∑ i = 1 n b i d i | = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n | a i a j b i b j | | c i d i c j d j | {\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\\\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}&\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq i<j\leq n}{\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}}} となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。