ディガンマ関数

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、英: digamma function）あるいはプサイ関数（ぷさいかんすう、英: psi function）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。 ガンマ関数 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} に対し、その対数微分 ψ ( z ) = d d z ln ⁡ Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}} をディガンマ関数と呼ぶ。 ディガンマ関数は、 z = 0 , − 1 , − 2 , … ( z ∈ Z ∖ Z + ) {\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots (z\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} ^{+})} で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。 ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示 1 Γ ( z ) = lim n → ∞ z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z n ! {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}}} を対数微分することで、ディガンマ関数における ψ ( z ) = lim n → ∞ { ln ⁡ n − 1 z − ∑ k = 1 n 1 z + k } {\displaystyle \psi (z)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right\}} という表示を得る。特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、次の特殊値 ψ ( 1 ) = lim n → ∞ { ln ⁡ n − ∑ k = 1 n 1 k } = − γ {\displaystyle \psi (1)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right\}=-\gamma } を得る。但し、 γ = 0.5772 … {\displaystyle \gamma =0.5772\ldots } はオイラーの定数である。 また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。 ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 z {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}} この関係式から、一般に ψ ( z + n ) = ψ ( z ) + ∑ k = 1 n 1 z + k − 1 {\displaystyle \psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k-1}}} であり、特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、特殊値 ψ ( n + 1 ) = − γ + ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} が得られる。 ディガンマ関数とその導関数は z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … ( z ∈ C ∖ { 0 , Z − } ) {\displaystyle z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,\mathbb {Z} ^{-}\})} で次の級数表示を持つ。 ψ ( z ) = − γ − ∑ n = 0 ∞ ( 1 z + n − 1 n + 1 ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ z − 1 ( n + 1 ) ( z + n ) {\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}} ψ ( k ) ( z ) = ( − 1 ) k + 1 k ! ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) k + 1 {\displaystyle \psi ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k\,!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{k+1}}}} これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {z}{n}}{\biggr )}e^{-z/n}} の対数微分から導かれるものである、 また、 z = 0 {\displaystyle z=0} でのテイラー展開により、 | z | < 1 {\displaystyle |\,z\,|<1} の領域で次のように級数表示される。 ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) z n − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1}} ただし、 ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} はリーマンゼータ関数を表す。 R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0} のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。 ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s − 1 ( 1 + s ) z ) d s s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}e^{-s}-{\frac {1}{(1+s)^{z}}}{\biggr )}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}} ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − s s − e − z s 1 − e − s ) d s {\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {e^{-s}}{s}}-{\frac {e^{-zs}}{1-e^{-s}}}{\biggr )}\mathrm {d} s} ψ ( z ) = − γ + ∫ 1 ∞ s z − 1 − 1 s z ( s − 1 ) d s {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{1}^{\infty }{\frac {s^{z-1}-1}{s^{z}(s-1)}}\mathrm {d} s} ψ ( z + 1 ) = ln ⁡ z − 1 2 z − ∫ 0 ∞ ( 1 2 coth ⁡ ( s 2 ) − 1 s ) e − z s d s {\displaystyle \psi (z+1)=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {coth} \left({\dfrac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{s}}{\biggr )}e^{-zs}\mathrm {d} s} 但し、 coth ⁡ ( s 2 ) {\displaystyle \coth \left({\frac {s}{2}}\right)} は双曲線余接関数を表す。 また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。 ψ ( y ) − ψ ( x ) = ∫ 0 1 u x − 1 − u y − 1 1 − u d u {\displaystyle \psi (y)-\psi (x)=\int _{0}^{1}{\frac {u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}}\mathrm {d} u} ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。 ψ ( 1 − z ) − ψ ( z ) = π cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)} 但し、 cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle \cot(\pi z)} は余接関数を表す。 z → ∞ ( | arg ⁡ z | < π ) {\displaystyle z\to \infty \,(|\arg z|<\pi )} のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。 ψ ( z ) ∼ ln ⁡ z − 1 2 z − ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n z 2 n = ln ⁡ z − 1 2 z − 1 12 z 2 + 1 120 z 4 − 1 252 z 6 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}\\&=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+\cdots \end{aligned}}} 但し、 B 2 n {\displaystyle B_{2n}} はベルヌーイ数である。 ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。 ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma } ψ ( n ) = − γ + ∑ k = 1 n − 1 1 k = − γ + H n − 1 { n ∣ n ∈ Z + ∖ { 1 } } {\displaystyle \psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\setminus \{1\}\,\}} 但し、 H n − 1 {\displaystyle H_{n-1}} は調和数を表す。 また、正の半整数において、次の値をとる。 ψ ( 1 / 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 {\displaystyle \psi (1/2)=-\gamma -2\ln {2}} ψ ( n + 1 / 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 + 2 ∑ k = 0 n − 1 1 2 k + 1 { n ∣ n ∈ Z + } {\displaystyle \psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln {2}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2k+1}}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\,\}}