一様可積分性

一様可積分性（いちようかせきぶんせい、英: uniform integrability）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が L p {\displaystyle \mathbb {L} ^{p}} の意味において収束するための必要十分条件を与える。 次の定義が適用される。 確率変数のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が一様可積分であるとは、 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} が与えられた時、 E ( | X | I | X | ≥ K ) ≤ ϵ {\displaystyle E(|X|I_{|X|\geq K})\leq \epsilon } がすべての X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} に対して成立するような K ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle K\in [0,\infty )} が存在することを言う。ただし I | X | ≥ K {\displaystyle I_{|X|\geq K}} は指示関数 I | X | ≥ K = { 1 if  | X | ≥ K , 0 if  | X | < K {\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K\end{cases}}} である。 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が一様可積分であるとは、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に含まれるすべての X {\displaystyle X} に対して、 E ( | X | ) ⩽ K {\displaystyle \mathrm {E} (|X|)\leqslant K} となるような有限の K {\displaystyle K} が存在する。 すべての ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対してある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在し、 P ( A ) ⩽ δ {\displaystyle \mathrm {P} (A)\leqslant \delta } となるようなすべての可測な A {\displaystyle A} および、すべての X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} に対して、 E ( | X | : A ) ⩽ ϵ {\displaystyle \mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon } が成立する。 の二つが成立することを言う。 次のような結果がある。 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる: lim K → ∞ sup X ∈ C E ( | X | | | X | ≥ K ) = 0. {\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}E(|X|||X|\geq K)=0.} 確率変数 X n ,   n = 1 , 2 , … {\displaystyle X_{n},\ n=1,2,\ldots } の列を考える。 X n ( ω ) = n ,   ∀ ω ∈ ( 0 , 1 n ) ,   X n ( ω ) = 0  otherwise {\displaystyle X_{n}(\omega )=n,\ \forall \omega \in \left(0,{\frac {1}{n}}\right),\ X_{n}(\omega )=0{\text{ otherwise}}} と定義する。すべての n に対して E ( | X n | ) = 1 {\displaystyle E(|X_{n}|)=1} であるため、明らかに X n ∈ L 1 {\displaystyle X_{n}\in \mathbb {L} ^{1}} である。しかし、上の一つ目の定義に従えば E ( | X n | , | X n | ≥ K ) = 1   ∀ n ≥ K {\displaystyle E(|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ \forall n\geq K} であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。 上の二つ目の定義によれば、 X n {\displaystyle X_{n}} が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし X {\displaystyle X} が一様可積分な確率変数であれば、 E ( | X | ) = E ( | X | , | X | > K ) + E ( | X | , | X | < K ) {\displaystyle E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)} と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} に含まれることが分かる。また、任意の L 1 {\displaystyle \mathbb {L} ^{1}} 確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。 確率変数 X n {\displaystyle X_{n}} のどのような列も、ある可積分な非負の Y {\displaystyle Y} によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、   | X n ( ω ) | ≤ | Y ( ω ) | ,   Y ( ω ) ≥ 0 ,   E ( Y ) < ∞ {\displaystyle \ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty } が成立しているなら、確率変数 { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は一様可積分である。 L p {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}} ( p > 1 {\displaystyle p>1} ) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。 ダンフォード（英語版）–ペティス（英語版）の定理 確率変数 X n ⊂ L 1 ( μ ) {\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )} のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において相対コンパクト（英語版）であることである。 ド・ラ・バレ・プーサン（英語版）の定理 族 { X α } α ∈ A {\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }} が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 G ( t ) {\displaystyle G(t)} で lim t → ∞ G ( t ) t = ∞ {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty } および sup α E ( G ( | X α | ) ) < ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha }E(G(|X_{\alpha }|))<\infty } を満たすようなものが存在することである。 数列 { X n } {\displaystyle \{X_{n}\}} が L 1 {\displaystyle L_{1}} ノルムにおいて X {\displaystyle X} へと収束するための必要十分条件は、それが X {\displaystyle X} へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。