遅延ポテンシャル

電磁気学における遅延ポテンシャル（ちえんぽてんしゃる、英: retarded potentials）は、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式（英語版）の解の一つで、与えられた電荷分布と電流分布によって作られる電磁場を表す。 遅延ポテンシャルは、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式（英語版）（後述の式(1-2-4)）の解の一つで、以下の式(1-1-1)で与えられる。本節では、必要に応じたいくつかの数学的補足をしながら、遅延ポテンシャルについて論じる。 A r e t ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} 　(1-1-1a) φ r e t ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( s , t r e t ) | r − s | d s {\displaystyle \varphi _{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} 　(1-1-1b) ここで、ds は、微小体積要素を表す。また、tretは、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。 t r e t := t − | r − s | c {\displaystyle t_{\mathrm {ret} }:=t-{\frac {|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}{c}}} 　(1-1-2) 電磁場は、光速 c {\displaystyle c} で伝播する。光速は有限な速度である。従って、過去に発生した原因（電流、電荷分布）と、それに起因して未来に起こる結果（電磁波の観測）との間には、時間遅れが生じる。遅滞時間は、この時間遅れを表現している。 遅延ポテンシャルに対して、 B = rot ⁡ A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}} (1-1-3a) E = − ∂ A ∂ t − grad ⁡ [ ϕ ] {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}-\operatorname {grad} [\phi ]} 　(1-1-3b) とすると、ジェフィメンコ方程式 即ち B ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s , t r e t ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ i ( s , t r e t ) ∂ t ) × ( r − s ) d 3 s {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial {\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{\partial t}}\right)\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}} 　(1-1-4a) E ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ s ∈ R 3 ( ( ( ρ ( s , t r e t ) | r − s | 3 + 1 | r − s | 2 c ∂ ρ ( s , t r e t ) ∂ t ) ( r − s ) ) − 1 | r − s | c 2 ∂ i ( s , t r e t ) ∂ t ) d 3 s {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}\left(\left(\left({\frac {\rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}+{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{2}c}}{\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{\partial t}}\right)({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\right)-{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{\partial t}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {s}}} 　(1-1-4b) が導出される。式(0-1-4a), (0-1-4b)は、共に、通常の意味のマックスウェル方程式(式(1-2-1),(1-2-2))の解になっている（詳細は、Wikipediaの項目ジェフィメンコ方程式を参照のこと）。ここで、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (あるいは、HTML表記のRnは、n次元実数ベクトル空間を意味する。 議論の出発点は、以下のマックスウェルの方程式 [M1]　 div ⁡ B = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {B}}=0} (1-2-1a) [M2]　 rot ⁡ E + ∂ B ∂ t = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=0} 　(1-2-1b) [M3]　 rot ⁡ H − ∂ D ∂ t = i {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {i}}} 　(1-2-1c) [M4]　 div ⁡ D = ρ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {D}}=\rho } 　(1-2-1d) であり、真空中について検討しているため、以下の構造方程式が考え併せられる。 [SE1]　 B = μ 0 H {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\mu _{0}}{\boldsymbol {H}}} 　(1-2-2a) [SE2]　 D = ϵ 0 E {\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\epsilon _{0}}{\boldsymbol {E}}} 　(1-2-2b) ここで、 i {\displaystyle {\boldsymbol {i}}} は、与えられた電流密度を表すベクトル場 ρは、電荷密度を表すスカラー場、 B , E , H , D {\displaystyle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}},{\boldsymbol {D}}} は、 それぞれ、磁束密度、電場、磁場、電束密度を表すベクトル場であり、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は、真空の透磁率、 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} は、真空の誘電率である。 マックスウェルの方程式に対し、ローレンツゲージ div ⁡ A + 1 c ∂ φ ∂ t = 0 {\displaystyle \operatorname {div} A+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0} 　(1-2-3) を課すことで、以下のポテンシャル形式のマックスウェル方程式が得られる。 ◻ A = − μ 0 i {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}=-{\mu _{0}}{\boldsymbol {i}}} (1-2-4a) ◻ φ = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \Box \varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}} 　(1-2-4b) 上記のポテンシャル形式のマックスウェル方程式は、φ(r, t ) 、A(r, t )それぞれについて、独立に解くことが出来る。ここで、φ(r, t ) は電位、A(r, t ) は磁気ベクトルポテンシャルを意味し、（勝手に）与えられた電荷分布をρ(r, t ) 、（勝手に）与えられた電流密度を i(r, t )とする。さらに、 ◻ {\displaystyle \Box } は、 ダランベール演算子、即ち、 ◻ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 {\displaystyle \Box =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}+{\nabla }^{2}} 　(1-2-5) を表す。c は光速を表す。 遅延ポテンシャル(1-1-3)は、上記の偏微分方程式を、以下の仮定の下で解いた厳密解である。 電荷密度ρ(r, t )と、 電流密度 i ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {r}},t)} とが、r, t のみの関数である（自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けない）。 前記の電流密度と、電荷密度以外に、電場、磁場を生み出すものが存在しない。 電荷密度、電流密度は、無限の過去では、0に収束する。 電荷密度、電流密度は、無限遠では0に収束する。 電荷密度、電流密度は、自由空間に配置されている（境界のない時空間を仮定している）。 時空因果律が成り立つ。 1番目以外の仮定以外は物理学的にもっともらしい仮定だが、1番目の仮定は近似的である。即ち、仮に真空中であってもベルシェ効果等の自己相互作用が無視できないケースでは、適用ができないことを意味し、さらに、物質が介在するような一般的な場合には、電流密度の存在が新たな電流密度（例えば、磁化電流や渦電流等）を発生させたり、電荷密度の存在が、あらたな電荷密度（分極電荷）を発生させるといった効果があり得るため、適用に注意を要する。この意味で、遅延ポテンシャルは数学的に厳密解であるのと同時に、物理学的には近似解としての性格を持つ。 ポテンシャル形式のマックスウェルの方程式から、遅延ポテンシャルのうち、 特に磁気ベクトルポテンシャルについてを導出する。導出の戦略は下記の通りである。 STEP1:ポテンシャル形式のマックスウェル方程式のフーリエ変換 STEP2:グリーン関数が従う方程式を導出する。 STEP3:Step2で得られた方程式の空間成分に球面座標変換を施し、等方性（球称性）を考慮する。 STEP4:グリーン関数を求める。 STEP5:解のフーリエ逆変換2 STEP6:解のフーリエ逆変換2 STEP7:時空因果律に反する解を棄却する。 電位スカラーポテンシャルも同様に導出されるが、これについては、 上記戦略にて同様に導出されるので、省略する。 本節の議論は、オッペンハイマー（特に7章p33以降）川村(p151～),砂川(特にP254付近)と概ね同等である。 従って、本筋の部分については、個々の補助定理や個々の結論にいちいち文献指示をつけない。 本記事は、現代工学との整合性に留意し、E-B対応、国際単位系で議論しているが、上記文献の中には別の立場に立っているものもある。しかし単位の換算程度の問題については、特段断わりをいれない。数学的な扱い等に特に留意を要する個所については重要性、難易度に応じ、文献指示、脚注、付録をつけることにする。 本節では、ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の両辺の、A, iそれぞれの、時間成分に対し、 それぞれ、（一変数の意味で）フーリエ変換を施す。本節の結論は、以下の補題1に集約される。 補題 1 (ポテンシャル形式のマックスウェル方程式のフーリエ変換) 4変数(t,x,y,z)を持つR3値関数A (t,x,y,z), i (t,x,y,z)が、 ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の磁場成分、即ち以下の式(2-1-1) の解とする。 ◻ A = − μ 0 i {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}=-{\mu _{0}}{\boldsymbol {i}}} 　(2-1-1) このとき、4変数(x,y,z,ω)を持つR3値関数 A