コーシー・ビネの公式

代数学におけるコーシー・ビネの公式（こーしー・びねのこうしき、英: Cauchy–Binet formula）、あるいは、コーシー・ビネの定理、コーシー・ビネの展開とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネ（英語版）およびオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する恒等式で、2つの行列の積から作られる正方行列の行列式は、元の行列から取り出せる最大の小行列式の積の和に等しいというものであり、行列の成分が実数や複素数などの可換環において成立する。 n を自然数とし、集合 {1, …, n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。S を要素数 (|S| = )m の [n] の部分集合とする。AS を、A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、BS を、B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。 このとき積 AB は m × m行列となり、その行列式は det ( A B ) = ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) {\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})} となる。ただし、総和について、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。 A := ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , m ⋯ a m , n ) , B := ( b 1 , 1 ⋯ b 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b m , 1 ⋯ b m , m ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 ⋯ b n , m ) {\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,m}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,m}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}},\quad B:={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}} と成分表示すると、公式は | ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a 1 , k b k , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ k = 1 n a m , k b k , 1 ⋯ ∑ k = 1 n a m , k b k , m | = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n | a 1 , k 1 ⋯ a 1 , k m ⋮ ⋱ ⋮ a m , k 1 ⋯ a m , k m | | b k 1 , 1 ⋯ b k 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b k m , 1 ⋯ b k m , m | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,1}&\cdots &\sum \limits _{k=1}^{n}a_{m,k}b_{k,m}\end{vmatrix}}&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&\cdots &a_{1,k_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,k_{1}}&\cdots &a_{m,k_{m}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&\cdots &b_{k_{1},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{k_{m},1}&\cdots &b_{k_{m},m}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} と表現できる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k1 < … < km ≤ n を満たす整数の組 (k1, k2, …, km) の全てに対して取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。 記法 A ( i 1 ⋯ i l j 1 ⋯ j l ) ≡ | a i 1 , j 1 ⋯ a i 1 , j l ⋮ ⋱ ⋮ a i l , j 1 ⋯ a i l , j l | {\displaystyle A{\begin{pmatrix}i_{1}&\cdots &i_{l}\\j_{1}&\cdots &j_{l}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&\cdots &a_{i_{1},j_{l}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{l},j_{1}}&\cdots &a_{i_{l},j_{l}}\end{vmatrix}}} を使えば ( A B ) ( 1 ⋯ m 1 ⋯ m ) = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n A ( 1 ⋯ m k 1 ⋯ k m ) B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) {\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}} となる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k1 < … < km ≤ n を満たす整数の組 (k1, k2, …, km) の全てに対して和を取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。 行列式の多重線型性により det ( A B ) = | ∑ p 1 = 1 n a 1 , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a 1 , p m b p m , m ⋮ ⋱ ⋮ ∑ p 1 = 1 n a m , p 1 b p 1 , 1 ⋯ ∑ p m = 1 n a m , p m b p m , m | = ∑ p 1 = 1 n ⋯ ∑ p m = 1 n | a 1 , p 1 ⋯ a 1 , p m ⋮ ⋱ ⋮ a m , p 1 ⋯ a m , p m | b p 1 , 1 ⋯ b p m , m = ∑ p : [ m ] → [ n ] A ( 1 ⋯ m p ( 1 ) ⋯ p ( m ) ) b p ( 1 ) , 1 ⋯ b p ( m ) , m {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&={\begin{vmatrix}\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{1,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{1,p_{m}}b_{p_{m},m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{p_{1}=1}^{n}a_{m,p_{1}}b_{p_{1},1}&\cdots &\sum \limits _{p_{m}=1}^{n}a_{m,p_{m}}b_{p_{m},m}\end{vmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{p_{1}=1}^{n}\cdots \sum \limits _{p_{m}=1}^{n}{\begin{vmatrix}a_{1,p_{1}}&\cdots &a_{1,p_{m}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,p_{1}}&\cdots &a_{m,p_{m}}\end{vmatrix}}\,b_{p_{1},1}\cdots b_{p_{m},m}\\&=\textstyle \sum \limits _{p:[m]\to [n]}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\p(1)&\cdots &p(m)\end{pmatrix}}b_{p(1),1}\cdots b_{p(m),m}\end{aligned}}} が導かれる。最後の式の p は {1, …, m} から {1, …, n} への写像である。 行列式の反対称性により p が単射の場合のみ行列式は非零なので、p(i) = k(π(i)) と置き換えられる。ここで、置換 π : [m] → [m] は m次対称群 S m {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}} の元であり、k : [m] → [n] は i < j ⇒ k(i) < k(j) を満たす関数である。これより det ( A B ) = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ π ∈ S m ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) sgn ⁡ ( π )   A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) ∑ π ∈ S m sgn ⁡ ( π )   b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m = ∑ k : [ m ] → [ n ] i < j ⇒ k ( i ) < k ( j ) A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n A ( 1 ⋯ m k 1 ⋯ k m ) B ( k 1 ⋯ k m 1 ⋯ m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(AB)&=\textstyle \sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}\sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}\\&=\textstyle \sum \limits _{k:[m]\to [n] \atop i<j\Rightarrow k(i)<k(j)}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k_{1}&\cdots &k_{m}\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}k_{1}&\cdots &k_{m}\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}\end{aligned}}} が成り立つ。なお、sgn(π) は置換 π の符号であり、行列式の反対称性 A ( 1 ⋯ m k ( π ( 1 ) ) ⋯ k ( π ( m ) ) ) = sgn ⁡ ( π )   A ( 1 ⋯ m k ( 1 ) ⋯ k ( m ) ) {\displaystyle A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(\pi (1))&\cdots &k(\pi (m))\end{pmatrix}}=\operatorname {sgn}(\pi )~A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\k(1)&\cdots &k(m)\end{pmatrix}}} および、 B ( k ( 1 ) ⋯ k ( m ) 1 ⋯ m ) = ∑ π ∈ S m sgn ⁡ ( π )   b k ( π ( 1 ) ) , 1 ⋯ b k ( π ( m ) ) , m {\displaystyle B{\begin{pmatrix}k(1)&\cdots &k(m)\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{\pi \in {\mathfrak {S}}_{m}}\operatorname {sgn}(\pi )~b_{k(\pi (1)),1}\cdots b_{k(\pi (m)),m}} を用いた。 コーシー・ビネの公式を具体例で確認してみる。 （例1）m = 1, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 ) , B = ( 1 3 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 ) , det ( A B ) = 4 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}},\det(AB)=4} である。 S = { 1 } , { 2 } , { 3 } {\displaystyle S=\{1\},\{2\},\{3\}} であるから、 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = det ( 1 ) ⋅ det ( 1 ) + det ( 1 ) ⋅ det ( 3 ) + det ( 2 ) ⋅ det ( 0 ) = 4. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\det(1)\cdot \det(1)+\det(1)\cdot \det(3)+\det(2)\cdot \det(0)=4.} となる。 （例2）m = 2, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 ) , B = ( 1 1 3 1 0 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 6 6 2 ) , det ( A B ) = | 4 6 6 2 | = − 28 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6\\6&2\end{vmatrix}}=-28} である。 S = { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}} であるから、 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 3 1 | ⋅ | 1 1 3 1 | + | 1 2 1 − 1 | ⋅ | 3 1 0 2 | + | 1 2 3 − 1 | ⋅ | 1 1 0 2 | = ( − 2 ) × ( − 2 ) + ( − 3 ) × 6 + ( − 7 ) × 2 = − 28. {\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}\\&\qquad \qquad =(-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2=-28.\\\end{aligned}}} となる。 （例3）m = 3, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 ) , B = ( 1 1 0 3 1 0 0 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 ) , det ( A B ) = | 4 6 2 6 2 − 1 − 2 0 0 | = 20 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2\\6&2&-1\\-2&0&0\end{vmatrix}}=20} である。 S = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2,3\}} であるから、 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 | | 1 1 0 3 1 0 0 2 1 | = ( − 10 ) × ( − 2 ) = 20. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{vmatrix}}=(-10)\times (-2)=20.} となる。 （例4）m = 4, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 1 0 0 ) , B = ( 1 1 0 1 3 1 0 0 0 2 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\3&1&0&0\\0&2&1&0\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 ) , det ( A B ) = | 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 | = 0 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{vmatrix}}=0} である。 S {\displaystyle S} は存在しないから、 ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = 0. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=0.} となる。 A ≐ ( δ 1 i 1 ⋯ δ m i 1 ⋯ δ n i 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ δ 1 i m ⋯ δ m i m ⋯ δ n i m ) , B ≐ ( δ j 1 1 ⋯ δ j m 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 m ⋯ δ j m m ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 n ⋯ δ j m n ) ( i k ∈ [ n ] , j k ∈ [ n ]   f o r   k ∈ [ m ] ) {\displaystyle A\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{1}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{1}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{m}}\end{pmatrix}},\quad B\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{j_{1}}^{1}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{m}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{n}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{n}\end{pmatrix}}\quad (i_{k}\in [n],j_{k}\in [n]\mathrm {~for~} k\in [m])} とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}} である。 これをコーシー・ビネの公式に代入し、一般化されたクロネッカーのデルタ δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m ≡ | δ j 1 i 1 ⋯ δ j m i 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 i m ⋯ δ j m i m | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&\equiv {\begin{vmatrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{m}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} を使えば、 δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m = ∑ 1 ≤ k 1 < ⋯ < k m ≤ n δ k 1 ⋯ k m i 1 ⋯ i m δ j 1 ⋯ j m k 1 ⋯ k m ( i p ∈ [ n ] , j p ∈ [ n ]   f o r   p ∈ [ m ] ) {\displaystyle \delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}=\sum _{1\leq k_{1}<\cdots <k_{m}\leq n}\delta _{k_{1}\cdots k_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{k_{1}\cdots k_{m}}\quad (i_{p}\in [n],j_{p}\in [n]\mathrm {~for~} p\in [m])} が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。 これは単位行列の基本的性質 δ j i = ∑ k = 1 n δ k i δ j k ( i ∈ [ n ] , j ∈ [ n ] ) {\displaystyle \delta _{j}^{i}=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{k}\quad (i\in [n],j\in [n])} の一般化である。 m > n の場合、1 ≤ k1 < … < km ≤ n となる整数の組 (k1, k2, …, km) は存在しないから、公式の右辺は 0 となる。このとき A, B の階数はこの場合高々 n だから、m × m 行列 AB の階数も高々 n (< m) であるので、公式の左辺 det(AB) は 0 となり、公式が成り立つ。 m = n のとき、A, B は正方行列である。1 ≤ k1 < … < km ≤ n となる整数の組 (k1, k2, …, km) は [n] に等しいから、公式は ( A B ) ( 1 ⋯ m 1 ⋯ m ) = A ( 1 ⋯ m 1 ⋯ n ) B ( 1 ⋯ n 1 ⋯ m ) {\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &n\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}1&\cdots &n\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}} すなわち det(AB) = det(A)det(B) となる。 m = 0 のとき、A, B そして AB は空行列（ただし、n > 0 なら行列の型は異なる）であり、空行列の行列式は定義により 1 だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。 m = 1 のとき、公式は det ∑ j = 1 n A 1 , j B j , 1 = ∑ k = 1 n det ( A k 1 ) det ( B 1 k ) {\displaystyle \det \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}=\sum \limits _{k=1}^{n}\det(A_{k}^{1})\det(B_{1}^{k})} となるが、1×1行列 A に対して det(A) = A だから、自明の式を述べているに過ぎない。 m = 2 は非自明な公式を与える最小の m であり、そのときの公式 | ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 1 ∑ k = 1 n a 1 , k b k , 2 ∑ k = 1 n a 2 , k b k , 1 ∑ k = 1 n a 2 , k b k , 2 | = ∑ 1 ≤ k 1 < k 2 ≤ n | a 1 , k 1 a 1 , k 2 a 2 , k 1 a 2 , k 2 | | b k 1 , 1 b k 1 , 2 b k 2 , 1 b k 2 , 2 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,1}&\sum \limits _{k=1}^{n}a_{1,k}b_{k,2}\\\sum \limits _{k=1}^{n}a_{2,k}b_{k,1}&\sum \limits _{k=1}^{n}a_{2,k}b_{k,2}\end{vmatrix}}=\textstyle \sum \limits _{1\leq k_{1}<k_{2}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{1,k_{1}}&a_{1,k_{2}}\\a_{2,k_{1}}&a_{2,k_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{k_{1},1}&b_{k_{1},2}\\b_{k_{2},1}&b_{k_{2},2}\end{vmatrix}}} はビネ・コーシーの恒等式と呼ばれる。 a , x {\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {x}}} などは3次元ベクトルとする。 1 = 1 ( m = 0 ) a ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ( m = 1 ) | a ⋅ x a ⋅ y b ⋅ x b ⋅ y | = | a 2 a 3 b 2 b 3 | | x 2 y 2 x 3 y 3 | + | a 3 a 1 b 3 b 1 | | x 3 y 3 x 1 y 1 | + | a 1 a 2 b 1 b 2 | | x 1 y 1 x 2 y 2 | = ( a × b ) ⋅ ( x × y ) ( m = 2 ) | a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z | = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 | | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | = { a ⋅ ( b × c ) } { x ⋅ ( y × z ) } ( m = 3 ) | a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z a ⋅ w b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z b ⋅ w c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z c ⋅ w d ⋅ x d ⋅ y d ⋅ z d ⋅ w | = 0 ( m = 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}1&=1&(m=0)\\{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\&=\{{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}\{{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})\}&(m=3)\\{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}&=0&(m=4)\end{aligned}}} m > 3 の場合、右辺は常に0である。なお、 m = 2 の式はスカラー四重積に対するビネ・コーシーの恒等式、 m = 3 の式はスカラー三重積の積に対する公式であり、 m = 4 の式より四重積 (ベクトル解析) の公式   [ a , b , c ] d = [ d , b , c ] a + [ a , d , c ] b + [ a , b , d ] c ( [ a , b , c ] = a ⋅ ( b × c ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}~[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}&=[{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}\quad ([{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))\end{aligned}}} が導かれる。