電磁場テンソル

電磁場テンソル（でんじばテンソル）とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。 電磁場の強度（field strength）F は二階のテンソル F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} と定義される。 ここで A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル A μ = ( ϕ c , A ) ,   A μ = η μ ν A ν = ( − ϕ c , A ) {\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right)} である。 また、微分も相対論的な4元ベクトル ∂ μ = ∂ ∂ x μ = ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)} である。 定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。 これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E と磁束密度 B の各成分に対応する。 電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}} B = ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}} と表される。 あるいは各成分毎に E j / c = ∂ j A 0 − ∂ 0 A j = − F 0 j {\displaystyle E_{j}/c=\partial _{j}A_{0}-\partial _{0}A_{j}=-F_{0j}} B i ϵ i j k = ∂ j A k − ∂ k A j = F j k {\displaystyle B_{i}\epsilon _{ijk}=\partial _{j}A_{k}-\partial _{k}A_{j}=F_{jk}} と書くことが出来る。 具体的には ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( − E x / c , − E y / c , − E z / c ) {\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{x}/c,-E_{y}/c,-E_{z}/c)} ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B x , B y , B z ) {\displaystyle (F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})} である。上付きの F μ ν = η μ ρ η ν σ F ρ σ {\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }F_{\rho \sigma }} は ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( E x / c , E y / c , E z / c ) {\displaystyle (F^{01},F^{02},F^{03})=(E_{x}/c,E_{y}/c,E_{z}/c)} ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B x , B y , B z ) {\displaystyle (F^{23},F^{31},F^{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})} となる。それぞれ行列の形で表せば ( F μ ν ) = [ 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 B z − B y E y / c − B z 0 B x E z / c B y − B x 0 ] , {\displaystyle (F_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{bmatrix}},} ( F μ ν ) = [ 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 B z − B y − E y / c − B z 0 B x − E z / c B y − B x 0 ] {\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{bmatrix}}} となる。 完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル F ~ μ ν = 1 2 ϵ μ ν ρ σ F ρ σ {\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }} が定義される。 具体的には ( F ~ 01 , F ~ 02 , F ~ 03 ) = ( F 23 , F 31 , F 12 ) = ( B x , B y , B z ) {\displaystyle ({\tilde {F}}^{01},{\tilde {F}}^{02},{\tilde {F}}^{03})=(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})} ( F ~ 23 , F ~ 31 , F ~ 12 ) = ( F 01 , F 02 , F 03 ) = ( − E x / c , − E y / c , − E z / c ) {\displaystyle ({\tilde {F}}^{23},{\tilde {F}}^{31},{\tilde {F}}^{12})=(F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{x}/c,-E_{y}/c,-E_{z}/c)} であり、行列の形で表せば ( F ~ μ ν ) = [ 0 B x B y B z − B x 0 − E z / c E y / c − B y E z / c 0 − E x / c − B z − E y / c E x / c 0 ] {\displaystyle ({\tilde {F}}^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}} となる。 媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル G によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には ( G 01 , G 02 , G 03 ) = ( D x , D y , D z ) {\displaystyle (G^{01},G^{02},G^{03})=(D_{x},D_{y},D_{z})} ( G 23 , G 31 , G 12 ) = ( H x / c , H y / c , H z / c ) {\displaystyle (G^{23},G^{31},G^{12})=(H_{x}/c,H_{y}/c,H_{z}/c)} である。このテンソル G はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル G は電磁場の強度 F と G μ ν = 1 Z 0 F μ ν + P μ ν = 1 c μ 0 F μ ν + P μ ν {\displaystyle G^{\mu \nu }={\frac {1}{Z_{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }={\frac {1}{c\mu _{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }} で関係付けられる。ここで P は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 P と磁化 M である。 具体的には ( P 01 , P 02 , P 03 ) = ( P x , P y , P z ) {\displaystyle (P^{01},P^{02},P^{03})=(P_{x},P_{y},P_{z})} ( P 23 , P 31 , P 12 ) = ( − M x / c , − M y / c , − M z / c ) {\displaystyle (P^{23},P^{31},P^{12})=(-M_{x}/c,-M_{y}/c,-M_{z}/c)} である。 サブ電磁テンソル G と分極テンソル P をそれぞれ行列の形で表せば ( G μ ν ) = [ 0 D x D y D z − D x 0 H z / c − H y / c − D y − H z / c 0 H x / c − D z H y / c − H x / c 0 ] {\displaystyle (G^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}/c&-H_{y}/c\\-D_{y}&-H_{z}/c&0&H_{x}/c\\-D_{z}&H_{y}/c&-H_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}} ( P μ ν ) = [ 0 P x P y P z − P x 0 − M z / c M y / c − P y M z / c 0 − M x / c − P z − M y / c M x / c 0 ] {\displaystyle (P^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&P_{x}&P_{y}&P_{z}\\-P_{x}&0&-M_{z}/c&M_{y}/c\\-P_{y}&M_{z}/c&0&-M_{x}/c\\-P_{z}&-M_{y}/c&M_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}} である。 球面座標系 (ct, r, θ, φ) による4元ポテンシャルの成分表示は A μ = ( − ϕ c , A r , r A θ , r A φ sin ⁡ θ ) {\displaystyle A_{\mu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},A_{r},rA_{\theta },rA_{\varphi }\sin \theta \right)} であり、電磁場強度 F として ( F μ ν ) = [ 0 − E r / c − r E θ / c − r E φ sin ⁡ θ / c E r / c 0 r B φ − r B θ sin ⁡ θ r E θ / c − r B φ 0 r 2 B r sin ⁡ θ r E φ sin ⁡ θ / c r B θ sin ⁡ θ − r 2 B r sin ⁡ θ 0 ] {\displaystyle (F_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-E_{r}/c&-rE_{\theta }/c&-rE_{\varphi }\sin \theta /c\\E_{r}/c&0&rB_{\varphi }&-rB_{\theta }\sin \theta \\rE_{\theta }/c&-rB_{\varphi }&0&r^{2}B_{r}\sin \theta \\rE_{\varphi }\sin \theta /c&rB_{\theta }\sin \theta &-r^{2}B_{r}\sin \theta &0\\\end{bmatrix}}} が得られる。 平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において η μ ν = diag ⁡ ( − 1 , 1 , r 2 , r 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,r^{2},r^{2}\sin ^{2}\theta )} η μ ν = diag ⁡ ( − 1 , 1 , 1 r 2 , 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,{\tfrac {1}{r^{2}}},{\tfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }})} であり、電磁場強度の添え字を上げると ( F μ ν ) = [ 0 E r / c E θ / c r E φ / c r sin ⁡ θ − E r / c 0 B φ / r − B θ / r sin ⁡ θ − E θ / c r − B φ / r 0 B r / r 2 sin ⁡ θ − E φ / c r sin ⁡ θ B θ / r sin ⁡ θ − B r / r 2 sin ⁡ θ 0 ] {\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&E_{r}/c&E_{\theta }/cr&E_{\varphi }/cr\sin \theta \\-E_{r}/c&0&B_{\varphi }/r&-B_{\theta }/r\sin \theta \\-E_{\theta }/cr&-B_{\varphi }/r&0&B_{r}/r^{2}\sin \theta \\-E_{\varphi }/cr\sin \theta &B_{\theta }/r\sin \theta &-B_{r}/r^{2}\sin \theta &0\\\end{bmatrix}}} となる。 例えば、原点に点電荷 q が存在するときの電磁場テンソルは ( F μ ν ) = [ 0 1 4 π ϵ 0 c q r 2 0 0 − 1 4 π ϵ 0 c q r 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0\\-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}} で表される。 電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義からビアンキ恒等式 ∂ ρ F μ ν + ∂ μ F ν ρ + ∂ ν F ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0} が成り立つ。 双対テンソルを用いれば ∂ μ F ~ μ ν = 1 2 ϵ μ ν ρ σ ∂ μ F ρ σ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\mu }F_{\rho \sigma }=0} と表すことも出来る。 この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0} ∇ × E + ∂ B ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=\mathbf {0} } と対応する。 自由空間における電磁場の運動方程式は ∂ μ F μ ν = − Z 0 c j ν = − μ 0 j ν {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-{\frac {Z_{0}}{c}}\,j^{\nu }=-\mu _{0}j^{\nu }} と表される。 ここで j は4元電流密度である。 この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t = μ 0 j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}} と対応する。 媒質中の運動方程式は ∂ μ G μ ν = − 1 c j ν {\displaystyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }=-{\frac {1}{c}}\,j^{\nu }} と表される。 成分ごとにそれぞれ ∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho } ∇ × H − ∂ D ∂ t = j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {j}}} である。 電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。 相対論的な粒子の位置を X = (ct, r) で表すとき、電荷 q を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は p ˙ μ = − q X ˙ ν F ν μ ( X ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)} となる。 ここで p は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。 時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 F は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため F μ ν = D μ A ν − D ν A μ = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }={\mathcal {D}}_{\mu }A_{\nu }-{\mathcal {D}}_{\nu }A_{\mu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} となる。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は D μ F μ ν = − Z 0 c j ν {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }F^{\mu \nu }=-{\frac {Z_{0}}{c}}\,j^{\nu }} であり、共変微分への置き換えが必要となる。