不完全ガンマ関数

数学において、不完全ガンマ関数（ふかんぜんガンマかんすう、英: incomplete gamma function）あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。（完全）ガンマ関数の積分表示から、積分区間の端点の一方（すなわち積分域の始点か終点）を変数に置き換えたものとして定義される。 不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。 0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し 第1種不完全ガンマ関数 γ ( a , x ) {\displaystyle \gamma (a,x)} γ ( a , x ) = ∫ 0 x t a − 1 e − t d t {\displaystyle \gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!} 第2種不完全ガンマ関数 Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma (a,x)} Γ ( a , x ) = ∫ x ∞ t a − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt\,\!} ガンマ関数の定義は Γ ( a ) = ∫ 0 ∞ t a − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (a)=\int _{0}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt} であるから、 γ ( a , x ) + Γ ( a , x ) = Γ ( a ) {\displaystyle \gamma (a,x)+\Gamma (a,x)=\Gamma (a)} となる。 また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで γ ( a + 1 , x ) = a γ ( a , x ) − x a e − x Γ ( a + 1 , x ) = a Γ ( a , x ) + x a e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (a+1,x)&=a\gamma (a,x)-x^{a}e^{-x}\\\Gamma (a+1,x)&=a\Gamma (a,x)+x^{a}e^{-x}\end{aligned}}} という関係が成り立つことも分かる。 さらに、以下のような式が成り立つ。 Γ ( a , 0 ) = Γ ( a ) γ ( a , x ) → Γ ( a ) ( x → ∞ ) Γ ( 0 , x ) = − Ei ⁡ ( − x )  for  x > 0 Γ ( 1 / 2 , x ) = π erfc ⁡ ( x ) γ ( 1 / 2 , x ) = π erf ⁡ ( x ) Γ ( 1 , x ) = e − x γ ( 1 , x ) = 1 − e − x {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (a,0)&=\Gamma (a)\\\gamma (a,x)&\to \Gamma (a)\quad (x\to \infty )\\\Gamma (0,x)&=-\operatorname {Ei} (-x)\quad {\text{ for }}x>0\\\Gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)\\\gamma (1/2,x)&={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)\\\Gamma (1,x)&=e^{-x}\\\gamma (1,x)&=1-e^{-x}\end{aligned}}} ここで、 Ei : 指数積分 erf : 誤差関数 erfc :相補誤差関数で、erfc(x) = 1 − erf(x) である。 ∂ Γ ( a , x ) ∂ x = − x a − 1 e x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{a-1}}{e^{x}}}} MeijerのG関数から: T ( m , a , x ) = G m − 1 , m m , 0 ( 0 , 0 , … , 0 a − 1 , − 1 , … , − 1 | x ) {\displaystyle T(m,a,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\a-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)} T ( m , a , z ) = − ( − 1 ) m − 1 ( m − 2 ) ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ ( a − t ) z t − 1 ] | t = 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z a − 1 + n n ! ( − a − n ) m − 1 {\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (a-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{a-1+n}}{n!(-a-n)^{m-1}}}} 時 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} ∂ Γ ( a , x ) ∂ a = ln ⁡ x Γ ( a , x ) + x T ( 3 , a , x ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln x\Gamma (a,x)+x\,T(3,a,x)} ∂ 2 Γ ( a , x ) ∂ a 2 = ln 2 ⁡ x Γ ( a , x ) + 2 x [ ln ⁡ x T ( 3 , a , x ) + T ( 4 , a , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (a,x)+2x[\ln x\,T(3,a,x)+T(4,a,x)]} ∂ m Γ ( a , x ) ∂ a m = ln m ⁡ x Γ ( a , x ) + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 ⁡ x T ( 3 + n , a , x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (a,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,a,x)} と P j n = ( n j ) j ! = n ! ( n − j ) ! . {\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}