モーメント (確率論)

確率論や統計学におけるモーメント（英: moment）または積率（せきりつ）とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。 X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。 ⟨ ( X − α ) n ⟩ n = 1 , 2 , … {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots } ここで、⟨…⟩ は期待値を取る操作を表す。 X が離散型の場合は、 ⟨ ( X − α ) n ⟩ = ∑ i = 1 ∞ ( x i − α ) n Pr ( X = x i ) {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\alpha )^{n}\Pr(X=x_{i})} ここで x1, x2, … は確率変数 X の実現値である。 X が連続型の場合は、 ⟨ ( X − α ) n ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ( x − α ) n p ( x ) d x {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\alpha )^{n}p(x)\,dx} ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。 特に α = 0 の場合に、モーメントは mn と記される。 m n = ⟨ X n ⟩ n = 1 , 2 , … {\displaystyle m_{n}=\langle X^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots } 期待値 μ は 1次のモーメント m1 に等しい。分散 σ2 は これと2次のモーメント、つまり m1, m2 を用いて表すことができる。すなわち、 μ = m 1 , σ 2 = m 2 − m 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=m_{1},\\\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.\end{aligned}}} m1 に関する n 次モーメントを μn で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。 μ n = ⟨ ( X − m 1 ) n ⟩ n = 1 , 2 , … {\displaystyle \mu _{n}=\langle (X-m_{1})^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots } ここで、2次の中心モーメント μ2 は分散と一致する。 一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布 p ( x ) = 1 π 1 x 2 + 1 {\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{x^{2}+1}}} において、モーメントは全て無限大に発散する。 確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する： M ( ξ ) := ⟨ e ξ X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ e ξ x p ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}M(\xi )&:=\langle e^{\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}} その級数表示 M ( ξ ) = ∑ n = 0 ∞ ⟨ X n ⟩ n ! ξ n {\displaystyle M(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}\xi ^{n}} においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント mn = <Xn> が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。 m n = d n M ( ξ ) d ξ n | ξ = 0 {\displaystyle m_{n}={\frac {d^{n}M(\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}} 確率変数Xに対する特性関数を次のように定義する： Φ ( ξ ) := ⟨ e i ξ X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ e i ξ x p ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\xi )&:=\langle e^{i\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}} 特性関数についても、その級数表示において、n 次のモーメントは ξ の n 次の項の係数に現れる。 Φ ( ξ ) = ∑ n = 0 ∞ ⟨ X n ⟩ n ! ( i ξ ) n {\displaystyle \Phi (\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}(i\xi )^{n}} この関係からモーメントは、特性関数の導関数によって、次のように与えることができる。 m n = 1 i n d n Φ ( ξ ) d ξ n | ξ = 0 {\displaystyle m_{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {d^{n}\Phi (\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}} n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。 c 1 = m 1 c 2 = m 2 − m 1 2 c 3 = m 3 − 3 m 1 m 2 + 2 m 1 3 c 4 = m 4 − 4 m 3 m 1 − 3 m 2 2 + 12 m 2 m 1 2 − 6 m 1 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}} 逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。 m 1 = c 1 m 2 = c 2 + c 1 2 m 3 = c 3 + 3 c 1 c 2 + c 1 3 m 4 = c 4 + 3 c 2 2 + 4 c 1 c 3 + 6 c 1 2 c 2 + c 1 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}} 確率質量関数が P ( x = k ) = λ k e − λ k ! {\displaystyle P(x=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}} で与えられるポアソン分布において、モーメントは次のように与えられる。 m 1 = λ m 2 = λ 2 + λ m 3 = λ 3 + 3 λ 2 + λ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\lambda \\m_{2}&=\lambda ^{2}+\lambda \\m_{3}&=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda \\&\vdots \end{aligned}}} 確率密度関数が p ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left({-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)} で与えられる正規分布において、n 次の中心モーメントは n が奇数のときは 0 で、偶数のときのみ 0 でない値をとる。 μ n = { 0 ( n : odd ) ( n − 1 ) ! !   σ n ( n : even ) {\displaystyle \mu _{n}={\begin{cases}0&(n:{\text{odd}})\\(n-1)!!~\sigma ^{n}&(n:{\text{even}})\end{cases}}} n!! は二重階乗。