ルーシェの定理

ルーシェの定理 (仏: Théorème de Rouché、英: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。 定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。 D   {\displaystyle D\ } を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、 ∂ D {\displaystyle \partial D} をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、 K   {\displaystyle K\ } を D   {\displaystyle D\ } の閉包 （= D + ∂ D   {\displaystyle D+\partial D\ } ） とし、 f ( z )   {\displaystyle f(z)\ } および g ( z )   {\displaystyle g(z)\ } を K   {\displaystyle K\ } 上で定数でない正則な複素関数で、 ∂ D   {\displaystyle \partial D\ } 上で、 | f ( z ) | > | g ( z ) |   {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|\ } を満たすとすれば、 D   {\displaystyle D\ } 内での f ( z ) + g ( z )   {\displaystyle f(z)+g(z)\ } と f ( z )   {\displaystyle f(z)\ } の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。 まず、 log ⁡ ( f ( z ) + g ( z ) ) = log ⁡ f ( z ) + log ⁡ ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) {\displaystyle \log(f(z)+g(z))=\log f(z)+\log(1+g(z)/f(z))} であることに注目する。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} および g ( z ) {\displaystyle g(z)} は D {\displaystyle D} で極を持たないので偏角の原理 から f ( z ) + g ( z ) {\displaystyle f(z)+g(z)} の D {\displaystyle D} 内における零点の個数をnとすれば、 n = 1 2 π i ∮ ∂ D d log ⁡ ( f ( z ) + g ( z ) ) d z d z = 1 2 π i [ ∮ ∂ D d log ⁡ f ( z ) d z d z + ∮ ∂ D d log ⁡ ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) d z d z ] {\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz\\&={\frac {1}{2\pi i}}\left[\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz+\oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz\right]\end{aligned}}} である。 ここで ω : K → C {\displaystyle \omega \colon K\to \mathbb {C} } を、 ω ( z ) = 1 + g ( z ) / f ( z ) {\displaystyle \omega (z)=1+g(z)/f(z)} で定義する。 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|} という条件から、 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > 0 {\displaystyle |f(z)|>0} であり、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} および g ( z ) {\displaystyle g(z)} は K {\displaystyle K} 上で正則であるから、 ω ( z ) {\displaystyle \omega (z)} は ∂ D {\displaystyle \partial D} 上で正則である。従って ω ( z ) {\displaystyle \omega (z)} による ∂ D {\displaystyle \partial D} の像を C {\displaystyle C} とすれば、 C {\displaystyle C} も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。 上の式の右辺第2項の積分を考えれば、 ∮ ∂ D d log ⁡ ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) d z d z = ∮ ∂ D d log ⁡ ω d ω d ω d z d z = ∮ C d log ⁡ ω d ω d ω {\displaystyle \oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz=\oint _{\partial D}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}{\frac {d\omega }{dz}}dz=\oint _{C}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}d\omega } である。結局この式の値は log ⁡ ω {\displaystyle \log \omega } を C {\displaystyle C} 上のある点を始点として C {\displaystyle C} に沿って一周した場合の増分になるが、 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|} という条件から C {\displaystyle C} 上では Re ⁡ ω {\displaystyle \operatorname {Re} \omega } は正であり、 C {\displaystyle C} は log ⁡ ω {\displaystyle \log \omega } の分岐点である ω = 0 {\displaystyle \omega =0} を一周しないので、その値は 0 である。従って、 n = 1 2 π i ∮ ∂ D d log ⁡ ( f ( z ) + g ( z ) ) d z d z = 1 2 π i ∮ ∂ D d log ⁡ f ( z ) d z d z {\displaystyle n={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz} が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。 f ( z ) = z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}} を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、 f ( z )   {\displaystyle f(z)\ } が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。 R   {\displaystyle R\ } を正の実数とし、 D = { z ∣ | z | < R }   {\displaystyle D=\{z\mid |z|<R\}\ } と置く。また、 g ( z ) = a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0   {\displaystyle g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\ } h ( z ) = z n   {\displaystyle h(z)=z^{n}\ } と置く。 R   {\displaystyle R\ } を十分大きく取れば ∂ D   {\displaystyle \partial D\ } 上で | h ( z ) | > | g ( z ) |   {\displaystyle |h(z)|>|g(z)|\ } が成立するので、 D   {\displaystyle D\ } 内における h ( z )   {\displaystyle h(z)\ } と h ( z ) + g ( z )   {\displaystyle h(z)+g(z)\ } (= f ( z )   {\displaystyle f(z)\ } ) の零点の個数は一致し、 h ( z )   {\displaystyle h(z)\ } の形から明らかなように、その値は n となる。 リーマンの写像定理 遠木幸成・阪井章　『関数論』　学術図書出版社、1966年、82-83頁。 松田哲　『複素関数』　岩波書店、1996年、110-111頁。