超弾性

超弾性（ちょうだんせい、Hyperelasticity）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル）を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十％～数百％の大ひずみ状態を想定している。 弾性とは、ある位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} の応力がそこの変形勾配 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} を用いると、 P = P ( F ( X ) , X ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} と書ける。 特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 t 0 {\displaystyle t_{0}} における状態と t {\displaystyle t} における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 Φ {\displaystyle \Phi } が得られる。 Φ ( F ( X ) , X ) = ∫ t 0 t P ( F ( X ) , X ) : F ˙ d t {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt} Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} Φ ( F , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}},{\boldsymbol {X}})} と考えると、 Φ ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}} は Φ ˙ = ∑ i , J = 1 3 ∂ Φ ∂ F i J F ˙ i J {\displaystyle {\dot {\Phi }}=\sum _{i,J=1}^{3}{\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}{\dot {F}}_{iJ}} と書ける。 これを: Φ ˙ = P : F ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\boldsymbol {P}}:{\dot {\boldsymbol {F}}}} と比較すると、 P i J {\displaystyle P_{iJ}} は P i J = ∂ Φ ∂ F i J {\displaystyle P_{iJ}={\frac {\partial \Phi }{\partial F_{iJ}}}} と書ける。結局、 P ( F ( X ) , X ) = ∂ Φ ( ( X ) , X ) ∂ F {\displaystyle {\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})={\frac {\partial \Phi (({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}{\partial {\boldsymbol {F}}}}} と表される。ここで、 C = F T F {\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}} より、 Φ {\displaystyle \Phi } を C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} の関数として表す。 Φ ( F ( X ) , X ) = Φ ( C ( X ) , X ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\Phi ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})} 1 2 C ˙ = E ˙ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}} より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} について同様の式展開を行うと、 Φ ˙ = ∂ Φ ∂ C : C ˙ = 1 2 S : C ˙ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}} S ( C ( X ) , X ) = 2 ∂ Φ ∂ C = ∂ Φ ∂ E {\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}} となる。 まず、 C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} で表記した ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} の式を次のように変形する。 ( 1 2 S − ∂ Φ ∂ C ) : C ˙ = 0 {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}\right):{\dot {\boldsymbol {C}}}=0} 非圧縮性を有することから、 J = 1 , J ˙ = 0 {\displaystyle J=1,{\dot {J}}=0} を J ˙ = 1 2 J C − 1 : C ˙ {\displaystyle {\dot {J}}={\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}} に代入して、 1 2 J C − 1 : C ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}=0} を得る。二つの式を比較して、 1 2 S − ∂ Φ ∂ C = γ 1 2 J C − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\gamma {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}} を得る。今、 γ {\displaystyle \gamma } は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は J {\displaystyle J} のままの方が便利なので、 J = 1 {\displaystyle J=1} を代入していない。変形すると、 S = 2 ∂ Φ ∂ C + γ J C − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}+\gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}} ここで、 p = 1 3 t r σ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}} と定義すると、 p = 1 3 t r σ = 1 3 J − 1 S : C = 2 3 J − 1 ∂ Φ ∂ C : C + γ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}+\gamma } 上の結果から、 γ {\displaystyle \gamma } と p {\displaystyle p} は ∂ Φ ∂ C : C = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}=0} のときにのみ一致する。これは、 Φ ( α C ) = Φ ( C ) {\displaystyle \Phi (\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi ({\boldsymbol {C}})} となるときに成立する。ここで、 C