ハンケル変換

ハンケル変換 (Hankel transform) とは、連続関数に対する積分変換 (en) である。関数 f(r) に対する次数 ν {\displaystyle \nu } のハンケル変換は以下で定義される。 F ν ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J ν ( k r ) r d r {\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr} ここで Jν は次数 ν (ν ≥ −1/2) のベッセル関数である。そして、基底関数の直交性から、逆ハンケル変換 Fν(k) は以下となることが分かる。 f ( r ) = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) J ν ( k r ) k   d k {\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k~dk} ハンケル変換はドイツの数学者ヘルマン・ハンケルにより提案され、フーリエ・ベッセル変換と呼ばれることもある。無限区間におけるフーリエ変換と有限区間のフーリエ級数の関係と同様の関係が、ハンケル変換とフーリエ・ベッセル変換の間にもあると言える。 関数 f(r) のハンケル変換が定義されるのは、f(r) が連続で区間 (0, ∞) で定義されているか、区分的に連続で (0, ∞) 内のどの小区間でも有限であり、かつ積分 ∫ 0 ∞ | f ( r ) | r 1 / 2 d r {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr} が有限であるときである。 しかしフーリエ変換と同様に、たとえば f ( r ) = ( 1 + r ) − 3 / 2 {\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}} のような、上の積分が有限でないような関数にも拡張できるが、ここでは触れない。 ベッセル関数を使うことで、重み因子 r に関して直交基底 (en) を作ることができる。 ∫ 0 ∞ J ν ( k r ) J ν ( k ′ r ) r   d r = δ ( k − k ′ ) k {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r~dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}} ここで k と k' はどちらも 0 より大きい。 関数 f(r) と g(r) のハンケル変換 Fν(k) と Gν(k) が定義できるとき、プランシュレルの定理 (en) により以下が成り立つ。 ∫ 0 ∞ f ( r ) g ( r ) r   d r = ∫ 0 ∞ F ν ( k ) G ν ( k ) k   d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)r~dr=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k~dk.} プランシュレルの定理の特別な場合がパーセバルの定理であり、以下で示される。 ∫ 0 ∞ | f ( r ) | 2 r   d r = ∫ 0 ∞ | F ν ( k ) | 2 k   d k . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}r~dr=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}k~dk.} これらのことは、基底の直交性から導かれる。 零次のハンケル変換は、回転対称な関数の二次元フーリエ変換と同じである。 動径ベクトル r の二次元関数 f(r) のフーリエ変換は以下のようになる。 F ( k ) = 1 2 π ∬ f ( r ) e − i k ⋅ r d r . {\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d\mathbf {r} .} ここで極座標系 (r, θ) を考え、ベクトル k が θ = 0 の軸上の値を取るとすると、上のフーリエ変換は以下のように書ける。 F ( k ) = 1 2 π ∫ r = 0 ∞ ∫ θ = 0 2 π f ( r , θ ) e − i k r cos ⁡ ( θ ) r d r d θ {\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,dr\,d\theta } ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。 F ( k ) = F ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J 0 ( k r ) r d r {\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\,dr} これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。 ハンケル変換は、FHA サイクル (en) と呼ばれる積分演算のうちの一つである。二次元変換では、A をアーベル変換 (en)、F をフーリエ変換、H を零次のハンケル変換のそれぞれ演算子とすると、投影断層定理 (en) の特別な場合として回転対称な関数については以下のようになる。 F A = H . {\displaystyle FA=H.\,} つまりある関数にアーベル変換を1次元関数に適用し、その結果にフーリエ変換を適用することと、その関数にハンケル変換を適用することは、等価である。これは多次元に拡張できる。 K n ( z ) {\displaystyle K_{n}(z)} は第2種変形ベッセル関数である。表中の d 2 F 0 d k 2 + 1 k d F 0 d k {\displaystyle {\frac {d^{2}F_{0}}{dk^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {dF_{0}}{dk}}} は、球対称な関数 F 0 ( k ) {\displaystyle F_{0}(k)} に極座標系 ( k , θ ) {\displaystyle (k,\theta )} におけるラプラス演算子 (en) を適用することを意味する。 Gaskill, Jack D., "Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics", John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5 Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed. ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 179–223  GSL リファレンスマニュアル, 第32章 離散ハンケル変換