ベータ関数

数学におけるベータ関数（ベータかんすう, 英: beta function）とは, 特殊関数のひとつである. ベータ関数は, 第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお, ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は, 第二種オイラー積分と呼ばれる）. 一般化された関数として, セルバーグ積分がある. ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , ℜ ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} を満たす複素数 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対して, ベータ関数は次式で定義される: B ( x , y ) := ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y):=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.} ベータ関数は次のような対称性を持つ. B ( x , y ) = B ( y , x ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x).} 置換積分による計算を行う. u = 1 − t {\displaystyle u=1-t} とおくと, d t = − d u {\displaystyle {\rm {d}}t=-{\rm {d}}u} であり, また積分区間は t : 0 → 1 {\displaystyle t\colon 0\to 1} から u : 1 → 0 {\displaystyle u\colon 1\to 0} へと変化するから, B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = − ∫ 1 0 ( 1 − u ) x − 1 u y − 1 d u = ∫ 0 1 ( 1 − u ) x − 1 u y − 1 d u = ∫ 0 1 t y − 1 ( 1 − t ) x − 1 d t = B ( y , x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,\,y)&=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t\\&=-\int _{1}^{0}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}(1-u)^{x-1}u^{y-1}\,{\rm {d}}u\\&=\int _{0}^{1}t^{y-1}(1-t)^{x-1}\,{\rm {d}}t\\&=\mathrm {B} (y,\,x).\end{aligned}}} したがって, B ( x , y ) = B ( y , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (y,\,x)} が示された. ベータ関数は次の関係式を満たす. x B ( x , y + 1 ) = y B ( x + 1 , y ) . {\displaystyle x\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x+1,\,y).} B ( x , y ) = B ( x + 1 , y ) + B ( x , y + 1 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\mathrm {B} (x+1,\,y)+\mathrm {B} (x,\,y+1).} ( x + y ) B ( x , y + 1 ) = y B ( x , y ) . {\displaystyle (x+y)\mathrm {B} (x,\,y+1)=y\mathrm {B} (x,\,y).} B ( x , x ) = 2 1 − 2 x B ( 1 2 , x ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,x)=2^{1-2x}\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right).} B ( x , y ) B ( x + y , z ) = B ( y , z ) B ( y + z , x ) = B ( z , x ) B ( z + x , y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\,\mathrm {B} (x+y,\,z)=\mathrm {B} (y,\,z)\,\mathrm {B} (y+z,\,x)=\mathrm {B} (z,\,x)\,\mathrm {B} (z+x,\,y).} 変数変換を行うことで, 以下の形にも表示できる. いずれも, 定義域は ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , ℜ ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} である。 B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 sin 2 x − 1 ⁡ θ cos 2 y − 1 ⁡ θ d θ . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,{\rm {d}}\theta .} B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,{\rm {d}}t.} B ( x , y ) = 1 2 x + y − 1 ∫ − 1 1 ( 1 + t ) x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.} log ⁡ ( ζ ( ζ − 1 ) ) {\displaystyle \log(\zeta (\zeta -1))} のリーマン面上の積分路として, 実軸上の ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,\,1)} 内の点から出発し, 1 {\displaystyle 1} を正の向きに, 0 {\displaystyle 0} を正の向きに, 1 {\displaystyle 1} を負の向きに, 0 {\displaystyle 0} を負の向きの順で回って, 元の点に戻るポッホハマーの積分路（英語版）を取れば, 次のポッホハマーの表示が成り立つ. ( 1 − e 2 π i x ) ( 1 − e 2 π i y ) B ( x , y ) = ∫ C ζ x − 1 ( 1 − ζ ) y − 1 d ζ . {\displaystyle \left(1-e^{2\pi ix}\right)\left(1-e^{2\pi iy}\right)\mathrm {B} (x,\,y)=\int _{C}\zeta ^{x-1}(1-\zeta )^{y-1}\,{\rm {d}}\zeta .} ベータ関数は, 次のようにガンマ関数と結び付く. B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.} B ( x , y ) = 1 y ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y n + 1 _ n ! ( x + n ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {y^{\underline {n+1}}}{n!(x+n)}}.} ただし, x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} は下降階乗冪: x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) , {\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1),} である. B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)={\frac {x+y}{xy}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.} スターリングの公式より, 複素数 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} の実部が十分大きな正の値であるとき, B ( x , y ) ∼ 2 π x x − 1 / 2 y y − 1 / 2 ( x + y ) x + y − 1 / 2 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}\,y^{y-1/2}}{(x+y)^{x+y-1/2}}}.} 一方, x {\displaystyle x} が十分大きく y {\displaystyle y} が固定されているとき, B ( x , y ) ∼ Γ ( y ) x − y . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y)\sim \mathrm {\Gamma } (y)\,x^{-y}.} 複素数 x {\displaystyle x} に対して, 以下が成り立つ. B ( 1 , x ) = 1 x . {\displaystyle \mathrm {B} (1,\,x)={\frac {1}{x}}.} B ( x , 1 − x ) = π sin ⁡ ( π x ) ( x ∉ Z ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}\qquad (x\notin \mathbb {Z} ).} B ( 1 2 , x ) = 2 2 x − 1 { Γ ( x ) } 2 Γ ( 2 x ) . {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,x\right)={\frac {2^{2x-1}\{\Gamma (x)\}^{2}}{\Gamma (2x)}}.} 特に, B ( 1 2 , 1 2 ) = π . {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},\,{\frac {1}{2}}\right)=\pi .} 非負の整数 l {\displaystyle l} , m {\displaystyle m} に対して, 以下が成り立つ. B ( l + 1 , m + 1 ) = l ! m ! ( l + m + 1 ) ! = 1 ( l + m + 1 ) ( l + m m ) . {\displaystyle \mathrm {B} (l+1,\,m+1)={\frac {l!\,m!}{(l+m+1)!}}={\frac {1}{(l+m+1){\dbinom {l+m}{m}}}}.} B ( l + 1 2 , m + 1 ) = 2 2 m + 1 ( 2 l ) ! m ! ( l + m ) ! l ! ( 2 l + 2 m + 1 ) ! = 2 ( 2 l − 1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! ( 2 l + 2 m + 1 ) ! ! . {\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+1\right)={\frac {2^{2m+1}\,(2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!}}={\frac {2\,(2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}}.} B ( l + 1 2 , m + 1 2 ) = π ( 2 l ) ! ( 2 m ) ! 2 2 l + 2 m l ! m ! ( l + m ) ! = π ( 2 l − 1 ) ! ! ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 l + 2 m ) ! ! . {\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi \,(2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\,l!\,m!\,(l+m)!}}={\frac {\pi \,(2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}}.} E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927. オイラー積分 ガンマ関数 ガンマ分布 二項係数 不完全ベータ関数 ベータ分布 『ベータ関数の積分公式』 - 高校数学の美しい物語 『ベータ関数』 - コトバンク ベータ関数とは？ ～ 性質と公式 ～ - 数理アラカルト ベータ関数とは～定義と性質8つとその証明～ - 数学の景色 ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明 - 数学の景色 Weisstein, Eric W. "Beta Function". mathworld.wolfram.com (英語).