シムソンの定理

幾何学におけるシムソンの定理とは、△ABC の外接円上の点 P から三角形の各辺 BC, CA, AB におろした垂線の足 L, N, M がすべて同一直線上にある（共線関係にある）という定理である。この直線のことをシムソン線（シムソンライン）と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。 Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。 シムソン線による包絡線はデルトイド（内サイクロイドの一種）となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。 初等幾何による証明 A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。 AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。 ∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。 点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。 ∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…① 直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…② 点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。 ∠CBP>90度だから 直線BAに対してLとCは反対側にあるから 直線BAに対してLとPは同じ側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③ ∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④ ①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。 したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D. 複素数による証明 △ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。 外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,fとする。 x の共役複素数を x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} とすると A,B,C,Pは単位円上の点だから、 | a | = | b | = | c | = 1. {\displaystyle |a|=|b|=|c|=1.} …(1) PL と BC のなす角は直角だから、 ( d − 1 ) ( c ¯ − b ¯ ) + ( d ¯ − 1 ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-1)({\bar {c}}-{\bar {b}})+({\bar {d}}-1)(c-b)=0.} …(2) L,B,C は同一直線上にあるから、 ( d − b ) ( c ¯ − b ¯ ) − ( d ¯ − b ¯ ) ( c − b ) = 0. {\displaystyle (d-b)({\bar {c}}-{\bar {b}})-({\bar {d}}-{\bar {b}})(c-b)=0.} …(3) b b ¯ = c c ¯ = | b | 2 = | c | 2 = 1 {\displaystyle b{\bar {b}}=c{\bar {c}}=|b|^{2}=|c|^{2}=1} である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、 2 d = b + c − b c + 1. {\displaystyle 2d=b+c-bc+1.} 同様にして、 2 e = c + a − c a + 1 ,     2 f = a + b − a b + 1. {\displaystyle 2e=c+a-ca+1,\ \ 2f=a+b-ab+1.} 次に ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) {\displaystyle (e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)} を求めると、 4 ( ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) ) = ( ( a ¯ b − a b ¯ ) ( | c | 2 − 1 ) + ( b ¯ c − b c ¯ ) ( | a | 2 − 1 ) + ( a c ¯ − c a ¯ ) ( | b | 2 − 1 )   + a ( | c | 2 − | b | 2 ) + b ( | a | 2 − | c | 2 ) + c ( | b | 2 − | a | 2 )   + a ¯ ( | b | 2 − | c | 2 ) + b ¯ ( | c | 2 − | a | 2 ) + c ¯ ( | a | 2 − | b | 2 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}4((e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d))&=(({\bar {a}}b-{\bar {ab}})(|c|^{2}-1)+({\bar {b}}c-{\bar {bc}})(|a|^{2}-1)+({\bar {ac}}-{\bar {ca}})(|b|^{2}-1)\\&\ +a(|c|^{2}-|b|^{2})+b(|a|^{2}-|c|^{2})+c(|b|^{2}-|a|^{2})\\&\ +{\bar {a}}(|b|^{2}-|c|^{2})+{\bar {b}}(|c|^{2}-|a|^{2})+{\bar {c}}(|a|^{2}-|b|^{2})).\end{aligned}}} となり、 | a | = | b | = | c | = 1 {\displaystyle |a|=|b|=|c|=1} だから ( e − d ) ( f ¯ − d ¯ ) − ( e ¯ − d ¯ ) ( f − d ) = 0 {\displaystyle (e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)=0} となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D. 清宮俊雄『幾何学　発見的研究法』（改訂版）科学新興新社、1988年3月。ISBN 978-4-89428-188-2。http://foruma.co.jp/sankousyo/sankousyo2679。  清宮俊雄「4.7」『初等幾何学』裳華房〈基礎数学選書 7〉、2002年8月（原著1972年5月）。ISBN 978-4-7853-1107-0。https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1107-0.htm。  - 2002年にオンデマンド印刷で復刊。 高木貞治『近世数学史談・数学雑談』（復刻版）共立出版、1996年12月、90-93頁。ISBN 978-4-320-01551-7。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015517。