円分体

円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の m ( > 2 ) {\displaystyle m(>2)} 乗根 ζ ( ≠ ± 1 ) {\displaystyle \textstyle \zeta (\neq \pm 1)} を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。 以下において、特に断らない限り、 ζ n = e 2 π i / n {\displaystyle \zeta _{n}=e^{2\pi i/n}} とする。 3 以上の整数 m に対して、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の拡大次数 [ Q ( ζ m ) : Q ] {\displaystyle \textstyle [\mathbb {Q} (\zeta _{m}):\mathbb {Q} ]} は、 φ ( m ) {\displaystyle \textstyle \varphi (m)} である。但し、 φ ( n ) {\displaystyle \textstyle \varphi (n)} はオイラー関数である。 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。 3 以上の整数 m に対して、 m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は、相異なる素数、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} と素因数分解すると、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} は、 Q ( ζ p 1 e 1 ) , … ,   Q ( ζ p r e r ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),\ldots ,\ \mathbb {Q} (\zeta _{p_{r}^{e_{r}}})} の合成体であり、 Gal ⁡ ( Q ( ζ m ) / Q ) ≅ ( Z / m Z ) × ≅ ( Z / p 1 e 1 Z ) × × ⋯ × ( Z / p r e r Z ) × {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times }\times \cdots \times (\mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}\mathbb {Z} )^{\times }} が成立する。また、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} で分岐する有理素数は、 p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} に限る。 Q ( ζ m ) ∩ R = Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} である。この Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} を、最大実部分体または実円分体という。 一意分解整域となる円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} )は、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} は一意分解整域でない。 類数が 2 である円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m ≢ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \textstyle (m\not \equiv 2{\pmod {4}}} ) は、m = 39, 56 だけである。 円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} に含まれる代数的整数の集合は、 Z [ ζ m ] {\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} [\zeta _{m}]} である。 m を 3 以上の整数として、円分体を K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} とする。 (1) m が素数のとき K の判別式は、 ( − 1 ) ( m − 1 ) / 2 m m − 2 {\displaystyle (-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}} である。 (2) m = p h {\displaystyle m=p^{h}} (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき K の判別式は、 ε p p h − 1 ( h ( p − 1 ) − 1 ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}} である。但し、 ε = { − 1 ( p = h = 2 ,  or  p ≡ 3 ( mod 4 ) ) , + 1 ( p = 2 , h ≧ 3 ,  or  p ≡ 1 ( mod 4 ) ) . {\displaystyle \varepsilon ={\begin{cases}-1&(p=h=2,{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {4}}),\\+1&(p=2,\,h\geqq 3,{\mbox{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}}).\end{cases}}} (3) m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( r ≧ 2 ,   p 1 , … ,   p r {\displaystyle \textstyle r\geqq 2,\ p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は相異なる素数、 e 1 , … , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} であるときには 円分体 Q ( ζ p i e i ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{e_{i}}})} の判別式を D i {\displaystyle D_{i}} とすると、 K の判別式は、 ∏ i = 1 r D i φ ( m ) / φ ( p i e i ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{r}D_{i}^{\varphi (m)/\varphi (p_{i}^{e_{i}})}} である。 クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem) K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 m ≧ 3 {\displaystyle \textstyle m\geqq 3} が存在して、 K ⊂ Q ( ζ m ) {\displaystyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{m})} となる。 例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。 クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。 素数 p に対して、 x p + y p = z p {\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} の左辺を、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} 上で分解すると、 ( x + y ) ( x + ζ p y ) ⋯ ( x + ζ p p − 1 y ) = z p {\displaystyle (x+y)(x+\zeta _{p}y)\cdots (x+\zeta _{p}^{p-1}y)=z^{p}} となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、 p = 23 {\displaystyle p=23} のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、 p = 23 {\displaystyle p=23} (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。 クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。 クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。 素数 p は、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の類数を割り切らない。 正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。 クンマーの補題 素数 p が正則素数であれば、円分体 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε を、 ε ≡ a   ( mod ⁡   ( 1 − ζ p ) p ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon \equiv a\ (\operatorname {mod} \ (1-\zeta _{p})^{p})} となる有理整数 a が存在するようにとると、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数 ε 0 {\displaystyle \textstyle \varepsilon _{0}} が存在して、 ε = ε 0 p {\displaystyle \textstyle \varepsilon =\varepsilon _{0}^{p}} と表される。 正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。 ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 Q ( ζ 3 ) ,   Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。 以下において、p を奇素数とする。 円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の類数を h ( m ) {\displaystyle h(m)} 、最大実部分体 Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} の類数を h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} とすると、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} ( h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} は有理整数)と表すことができる。 このとき、 h 1 ( m ) {\displaystyle h_{1}(m)} を第1因子または相対類数、 h 2 ( m ) {\displaystyle h_{2}(m)} を第2因子または実類数という。 第1因子については、以下の様な性質がある。 素数 p に対して、p が h ( p ) {\displaystyle h(p)} を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。 つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。 この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、 p 2 {\displaystyle p^{2}} が、 ∑ j = 1 p − 1 j 2 k {\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{p-1}j^{2k}} を割り切る様な整数 k ( 1 ≦ k ≦ ( p − 3 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle (1\leqq k\leqq (p-3)/2)} が存在することである。 h 1 ( p ) {\displaystyle h_{1}(p)} が奇数であるならば、 h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} は奇数である。 クンマーは、第1因子の増大度に対して、 lim p → ∞ h 1 ( p ) / γ ( p ) = 1 {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }h_{1}(p)/\gamma (p)=1} と予想した。 但し、 γ ( p ) = p ( p + 3 ) / 4 / ( 2 ( p − 3 ) / 2 π ( p − 1 ) / 2 ) {\displaystyle \textstyle \gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi ^{(p-1)/2})} 。 この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。 lim p → ∞ log ⁡ ( h 1 ( p ) / γ ( p ) ) log ⁡ p = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {\log(h_{1}(p)/\gamma (p))}{\log p}}=0} 。 第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。 q を素数とし、 n > 1 {\displaystyle n>1} とする。 p = ( 2 q m ) 2 + 1 {\displaystyle p=(2qm)^{2}+1} が素数であるならば、 h 2 ( p ) > 2 {\displaystyle h_{2}(p)>2} である。 ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は h 2 ( p ) {\displaystyle h_{2}(p)} を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。 円分体の類数を求めるには、 h ( m ) = h 1 ( m ) h 2 ( m ) {\displaystyle h(m)=h_{1}(m)h_{2}(m)} より、第1因子と第2因子を求めればよい。 第1因子 h 1 ( m ) = δ ( 2 m ) 1 2 φ ( m ) − 1 ∏ χ ∈ S ∑ n = 1 m − 1 χ ( n ) n {\displaystyle h_{1}(m)={\frac {\delta }{(2m)^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n} 。 ここで、 δ = { 1 ( m ≢ 0 ( mod 4 ) ) , 1 2 ( m ≡ 0 ( mod 4 ) ) , {\displaystyle \delta ={\begin{cases}1&(m\not \equiv 0{\pmod {4}}),\\{\frac {1}{2}}&(m\equiv 0{\pmod {4}}),\end{cases}}} S は、 χ ( − 1 ) = − 1 {\displaystyle \chi (-1)=-1} を満たす、法 m に関する指標の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | ∏ χ ∈ S ∑ k = 1 p − 1 χ ( k ) k | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}\left|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k\right|} 。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 h 1 ( p ) = 1 ( 2 p ) ( p − 3 ) / 2 | G ( η ) G ( η 2 ) ⋯ G ( η p − 2 ) | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{(2p)^{(p-3)/2}}}|G(\eta )G(\eta ^{2})\cdots G(\eta ^{p-2})|} ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根とし、 G ( X ) = ∑ j = 0 p − 2 g j X j {\displaystyle \textstyle G(X)=\sum _{j=0}^{p-2}g_{j}X^{j}} 。 但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、 j = 0 , 1 , … , p − 2 {\displaystyle \textstyle j=0,1,\ldots ,p-2} に対して、 1 ≦ g j ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq g_{j}\leqq p-1} は、 g j ≡ g j   ( mod ⁡   p ) {\displaystyle \textstyle g^{j}\equiv g_{j}\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たす正整数とする。 p の倍数ではない整数 r に対して、 1 ≦ R ( r ) ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq R(r)\leqq p-1} を、 r ≡ R ( r )   ( mod ⁡   p ) {\displaystyle \textstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 また、 1 ≦ r ′ ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq r'\leqq p-1} を、 r r ′ ≡ 1   ( mod ⁡   p ) {\displaystyle \textstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 M p = ( R ( r s ′ ) ) r , s = 1 , 2 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle M_{p}=(R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots ,(p-1)/2}} とおくと、 h 1 ( p ) = 1 p ( p − 3 ) / 2 | det M p | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|\det M_{p}|} である。 第2因子 h 2 ( m ) = 2 1 2 φ ( m ) − 1 R ∏ χ ∈ T ∑ n = 1 [ m − 1 2 ] χ ( n ) log ⁡ | 1 − ζ m n | {\displaystyle h_{2}(m)={\frac {2^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}{R}}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[{\frac {m-1}{2}}]}\chi (n)\log |1-\zeta _{m}^{n}|} 。 ここで、R は、 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} の単数基準、T は、 χ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (-1)=1} を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。 特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R ∏ k = 1 ( p − 3 ) / 2 | ∑ j = 0 ( p − 3 ) / 2 η 2 k j log ⁡ | 1 − ζ p g j | | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}\eta ^{2k^{j}}\log |1-\zeta _{p}^{g^{j}}|\right|} 。 ここで、η は、1 の原始 p − 1 {\displaystyle p-1} 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。 m が素数のとき、以下の様な式がある。 k = 2 , 3 , … , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle \textstyle k=2,3,\ldots ,(p-1)/2} に対して、 δ k = ( 1 − ζ p k ) ( 1 − ζ p − k ) ( 1 − ζ ) ( 1 − ζ − 1 ) {\displaystyle \delta _{k}={\sqrt {\textstyle {\frac {(1-\zeta _{p}^{k})(1-\zeta _{p}^{-k})}{(1-\zeta )(1-\zeta ^{-1})}}}}} とおく。 g を法 p に関する原始根とし、 δ = δ g {\displaystyle \delta =\delta _{g}} とおく。 また、σ を、 σ ( ζ p ) = ζ p g {\displaystyle \textstyle \sigma (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{g}} を満たす、 Gal ⁡ ( Q ( ζ p ) / Q ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )} の生成元とする。 M = ( log ⁡ σ i + j ( δ ) ) i , j = 0 , 1 , … , ( p − 5 ) / 2 {\displaystyle M=(\log \sigma ^{i+j}(\delta ))_{i,j=0,1,\ldots ,(p-5)/2}} とおくと、 h 2 ( p ) = 2 ( p − 3 ) / 2 R | det M | {\displaystyle h_{2}(p)={\frac {2^{(p-3)/2}}{R}}|\det M|} 。 但し、R は、 Q ( ζ p ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})} の単数基準とする。