十九角形

十九角形（じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、Enneadecagon、enneakaidecagon や nonadecagon とも）は、多角形の一つで、19本の辺と19個の頂点を持つ図形である。内角の和は3060°で、対角線の本数は152本である。 正十九角形においては、中心角と外角は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は S = 19 4 a 2 cot ⁡ π 19 ≃ 28.4652 a 2 {\displaystyle S={\frac {19}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}\simeq 28.4652a^{2}} で、外接円の半径 R は R = a 2 csc ⁡ π 19 ≃ 3.037767 a {\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\simeq 3.037767a} で与えられる。 cos ⁡ ( 2 π / 19 ) {\displaystyle \cos(2\pi /19)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。 以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す。 2 cos ⁡ 2 π 19 + 2 cos ⁡ 16 π 19 + 2 cos ⁡ 14 π 19 = − 1 + ω 2 133 + 57 3 i 2 3 + ω 133 − 57 3 i 2 3 3 = α 2 cos ⁡ 4 π 19 + 2 cos ⁡ 6 π 19 + 2 cos ⁡ 10 π 19 = − 1 + 133 + 57 3 i 2 3 + 133 − 57 3 i 2 3 3 = β 2 cos ⁡ 8 π 19 + 2 cos ⁡ 18 π 19 + 2 cos ⁡ 12 π 19 = − 1 + ω 133 + 57 3 i 2 3 + ω 2 133 − 57 3 i 2 3 3 = γ {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19}}+2\cos {\frac {18\pi }{19}}+2\cos {\frac {12\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\gamma \\\end{aligned}}} さらに、以下のような関係式が得られる。 ( 2 cos ⁡ 2 π 19 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 16 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 14 π 19 ) 3 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω ( β + 1 ) + 3 ω 2 ( α − 1 ) ( 2 cos ⁡ 2 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 16 π 19 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 14 π 19 ) 3 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω 2 ( β + 1 ) + 3 ω ( α − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を取ると 2 cos ⁡ 2 π 19 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 16 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 14 π 19 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω ( β + 1 ) + 3 ω 2 ( α − 1 ) 3 2 cos ⁡ 2 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos ⁡ 16 π 19 + ω ⋅ 2 cos ⁡ 14 π 19 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω 2 ( β + 1 ) + 3 ω ( α − 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}} よって 6 cos ⁡ 2 π 19 = α + 3 α + 7 β + 12 − 6 ω ( β + 1 ) + 3 ω 2 ( α − 1 ) 3 + 3 α + 7 β + 12 − 6 ω 2 ( β + 1 ) + 3 ω ( α − 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19}}=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}} 整理すると cos ⁡ 2 π 19 = 1 6 ( − 1 + ω 2 133 + 57 3 i 2 3 + ω 133 − 57 3 i 2 3 3 + 38 + ( 10 + 6 ω 2 ) 133 + 57 3 i 2 3 + ( 10 − 3 ω ) 133 − 57 3 i 2 3 3 3 + 38 + ( 10 − 3 ω 2 ) 133 + 57 3 i 2 3 + ( 10 + 6 ω ) 133 − 57 3 i 2 3 3 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{19}}=&{\frac {1}{6}}\left({\tfrac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10+6\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10-3\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {38+(10-3\omega ^{2}){\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+(10+6\omega ){\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}}\right)\\\end{aligned}}} 正十九角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正十九角形は折紙により作図可能である。