球充填

球充填（きゅうじゅうてん、英語: sphere packing）とは、互いに重なり合わない球を並べて空間を充填することである。通常は同一の大きさの球と3次元ユークリッド空間を扱う。しかし、球の大きさが一様ではない場合や、2次元空間（その場合の球は円）や高次元空間（その場合の球は超球）、さらには双曲空間（英語版）のような非ユークリッド空間にも適用できる　（位相幾何的に定式化される）。 典型的な球充填問題とは、ある空間について最も稠密に球を詰め込む配置を見出す問題である。空間全体に対する球によって占められた空間の比率を充填密度（英: density of arrangement）と呼ぶ。無限に広い空間への充填では、測定する体積によって局所的な充填密度が変わるため、通常は密度の平均を最大化するか、十分大きな体積を測定するときの漸近的な密度を最大化することを問題とする。 3次元空間の充填では、等しい大きさの球による最密充填は空間の74%を占める。等しい大きさの球によるランダム充填は一般に64%前後の密度を持ち、最も緩い充填は5.5％ぐらいになることが実験によって確かめられている。 球面の中心が格子と呼ばれる極めて対称的なパターンとなる配置を、正規 (regular) 配置（または周期 (periodic) 配置、あるいは格子 (lattice) 配置と呼ぶ。格子状に配置されていない場合は、非正規 (irregular) 配置または非周期 (aperiodic) 配置と呼ぶ。正規配置は非正規配置よりも扱いやすく、対称性の高さのおかげで分類や密度測定が容易に行える。 3次元における球充填問題は、任意次元における球充填という問題のクラスの一部である。2次元における同等な問題は円による平面充填（英語版）である。 2次元ユークリッド空間（平面）については、カール・フリードリヒ・ガウスが最も密度の高い円の正規配置は六方充填配置であることを証明した。これは、円の中心が六方格子（ハニカム構造のようなもの）になっており、それぞれの円は6個の円で囲まれている。その充填密度は π 12 ≈ 0.9069 {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.9069} である。 1940年、ハンガリー(マジャル人)の数学者ラースロー・フェイェシュ＝トート（英語版）は、六方格子が正規も非正規も含めたあらゆる円充填の中で最も高密度であることを証明した。 これを一般化した概念を「円充填 (circle packing)」と呼び、様々な大きさの円を組み合わせて平面を充填することを指す。これは、等角写像、リーマン面といった概念の離散化した類似物を生み出す。 3次元ユークリッド空間において、等しい球のもっとも稠密な配置は最密構造と呼ばれる構造の族を成す。そのうちの一つを構築する方法の例を以下に示す。まず平面上で球を稠密に配置する。3つの球が互いに接するよう配置すると、その真ん中にできた凹みに第4の球を置くことができる。これを一段目の上のあらゆる箇所で行えば、新たな稠密な配置が生成される。第3層は、上から見て第1層と同じ配置になる場合と、第1層の凹みのうち第2層が使っていない位置に球を配置する場合がある。つまり一つの層が取り得る配置は3種類存在する。これらをA、B、Cと名付ける。 このような最密構造の族の中には、正規格子となる単純な配置が二つ存在する。その一方は層がABCABC…という順で並ぶもので、立方最密充填（または面心立方充填）と呼ばれる。もう一方はABAB…と交互に並ぶもので、六方最密充填と呼ぶ。しかし、これら以外にも任意の層の組合せが可能である（ABAC、ABCBA、ABCBAC、など）。いずれの配置も1つの球は12個の球に囲まれており、平均密度は π 18 ≈ 0.74048 ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {18}}}\approx 0.74048\cdots } (A093825) である。 ガウスは1831年にこれらの配置が正規配置の中で最も高密度であることを証明した。 1611年、ヨハネス・ケプラーは、これが正規配置と非正規配置全てについて最高密度の配置であると予想した。この命題はケプラー予想と呼ばれる。1998年、トーマス・C・ヘイルズ（英語版）は1953年にフェイェシュ＝トートが示唆した手法を使って、ケプラー予想を証明したと発表した。ヘイルズの証明は、コンピュータを使ってあらゆる個々のケースを調べつくすという方法であった。審査員はヘイルズの証明の正しさを99%としており、ケプラー予想は「ほぼ」証明された状態と言える。後の2014 年、Halesの率いるチームは自動証明検証ツールを用いて形式的証明を完了したと発表し、疑念を晴らした。。 物理系ではほかの種類の格子充填もよくみられる。例として、 π / 6 ≈ 0.5236 {\displaystyle \pi /6\approx 0.5236} の密度を持つ立方格子や、 π / 3 3 ≈ 0.6046 {\displaystyle \pi /3{\sqrt {3}}\approx 0.6046} の密度を持つ六方格子、 π 3 / 16 ≈ 0.3401 {\displaystyle \pi {\sqrt {3}}/16\approx 0.3401} の密度を持つ正方格子がある。またもっとも疎な格子充填では密度は0.0555である。 球充填において、隣接する球同士が押さえつけあって互いを拘束している状態をジャミング（英語版）という。ジャミングしている球充填で最も疎なものは、密度が0.49365しかない希薄な面心立方格子である。 球を稠密に配置しようとすると、3個の球を互いに接するように配置して、4つ目をその凹みに配置することになる。このようにして作られる配置は、5個目の球までは上述した正規配置のいずれかと一致する。しかし、6個目の球を配置するといかなる正規配置とも一致しなくなる。さらにこの手順を続けることで、圧縮に対して安定なランダム稠密配置を構築できる可能性がある。 球を1つずつ無作為に追加していって圧縮すると、一般にそれ以上圧縮できない「非正規」充填もしくは「ジャミング」充填配置に行きつく。非正規充填の充填密度は約64%となる。2008年の研究では、63.4%が密度の上限であることが解析的に予想されている。1次元や2次元では事情が異なり、1次元球（線分）または2次元球（円盤）を圧縮すると正規充填が生じる。 3次元より高次元では、8次元までの超球の最密正規充填が知られている。超球の非正規充填についてはほとんど何も知られていない。次元によっては最密充填が非正規であるかもしれず、いくつかの次元（例えば10次元）では既知の最も密な非正規充填の方が既知の最も密な正規充填よりも密度が高い。 この問題は20世紀中ごろから関心をもたれ始め、4次元の場合については1982年にエリッヒ・フリードマンによって正24胞体の頂点を中心とする配置が最密になることが証明されている。 2016年、マリナ・ヴィヤゾフスカは8次元空間において正規・非正規を問わない最適充填がE8格子（英語版）だと証明した。さらにその直後、共同研究者とともに、24次元における最適充填がリーチ格子（英語版）だという証明を発表した。どちらの格子もその次元における既知の配置の中でもっとも稠密なものであった。ヴィヤゾフスカの証明では、慎重に選ばれたモジュラー関数のラプラス変換を用いて球対称な関数 f {\displaystyle f} を構築する。 f {\displaystyle f} はそれ自身およびフーリエ変換 f