複素共役

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 z の共役複素数を記号で z で表す 複素数 z = a + bi（a, b は実数、i は虚数単位）の共役複素数 z は z ¯ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i} である。極形式表示した複素数 z = r(cos θ + i sin θ)（r ≥ 0, θ は実数）の共役複素数 z は、偏角を反数にした複素数である： z ¯ = r { cos ⁡ ( − θ ) + i sin ⁡ ( − θ ) } {\displaystyle {\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}} 複素数の共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環同型である。すなわち次が成り立つ。 z + w = z + w zw = z w 複素共役は実数を変えない： z が実数 ⇔ z = z 逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。 複素共役変換は、C の全ての点で複素微分不可能である。 複素共役変換を R 上の線型変換と見ると、その表現行列は [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} 代数方程式について、 「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も P(x) の虚数根である」 すなわち 実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0 が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。 複素数 z = a + bi（a, b は実数、i は虚数単位）の複素共役とは、 z ¯ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-b\,i} を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。 複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z に対して、次が成り立つ。 ・ は全単射 z + w = z + w zw = z w さらに、複素共役は実数を保つ： z が実数 ⇔ z = z 逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。 （証明） σ : C → C は環準同型写像で、 実数 r に対して σ(r) = r を満たすとする。 (σ(i))2 = σ(i2) = σ(−1) = −1 (σ(i) + i)(σ(i) − i) = 0 ∴  σ(i) = ±i ゆえに、複素数 z = x + yi（x, y は実数）に対して、 σ(z) = σ(x + yi) = σ(x) + σ(y)σ(i) = x + y σ(i) = x ± yi σ(x + yi) = x + yi のとき、σ は恒等写像。 σ(x + yi) = x − yi のとき、σ は複素共役変換である。（証明終） z, w を複素数とする。以下の性質が成り立つ。 z {\displaystyle z} が実数 ⇔ z ¯ = z {\displaystyle {\overline {z}}=z} z {\displaystyle z} が純虚数 ⇔ z ¯ = − z ≠ 0 {\displaystyle {\overline {z}}=-z\neq 0} z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}} z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}} z w ¯ = z ¯ ⋅ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}} ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯   ( w ≠ 0 ) {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)} z n ¯ = ( z ¯ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}} （n は整数） 上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。 z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} （対合） | z | = | z ¯ | {\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|} z z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2}} z + z ¯ = 2 Re ⁡ z {\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z} z − z ¯ = 2 i Im ⁡ z {\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z} 1 z = z ¯ | z | 2   ( z ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)} 逆数は、絶対値と共役で表せる。 複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。 Re ⁡ z = z + z ¯ 2 {\displaystyle \operatorname {Re} z={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}} Im ⁡ z = z − z ¯ 2 i {\displaystyle \operatorname {Im} z={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}} | z | = z z ¯ {\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}} e i arg ⁡ z = z z ¯ {\displaystyle e^{i\arg z}={\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}} 実係数多項式 f(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も f(x) の根である。すなわち、実数係数多項式 f(x) について f ( α ) = 0 ⟺ f ( α ¯ ) = 0 {\displaystyle f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0} が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。 複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。 実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において exp ⁡ ( z ¯ ) = exp ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}} log ⁡ ( z ¯ ) = log ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}} （ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について） が成り立つ。 複素線形空間 Cn の標準内積 <・|・> : Cn × Cn → R≥0 は次の式で定義される： x = ( x 1 , ⋯ , x n ) , y = ( y 1 , ⋯ , y n ) ∈ C n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\boldsymbol {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}} に対して、 ⟨ x , y ⟩ := ∑ i = 1 n x i y i ¯ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle :=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}}