スターリングの近似

スターリングの近似（英: Stirling's approximation）またはスターリングの公式（英: Stirling's formula）は、階乗、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング（英語版）にちなむ。 スターリングの近似は精度に応じていくつかの形がある。応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号を用いて、 log ⁡ n ! = n log ⁡ n − n + O ( log ⁡ n ) {\displaystyle \log n!=n\log n-n+O(\log n)} である。O(log n) における次の項は (1/2)log 2πn である。故に、次によい近似の漸近公式（英語版）は n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} である。（ここで記号 ∼ {\displaystyle \sim } は両辺の比が（n → ∞ のとき） 1 に収束することを意味する。） n! の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。そのような評価として、任意の正の整数 n に対して 2 π n n + 1 / 2 e − n ≤ n ! ≤ e n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\,n^{n+1/2}e^{-n}\leq n!\leq en^{n+1/2}e^{-n}} が成り立ち、従って任意の n に対して比 n!/(nn+1/2e−n) は √2π = 2.5066... と e = 2.71828... の間にある。 スターリングの近似は階乗の複素引数への拡張の一つであるガンマ関数 Γ(z)（正の整数 n に対し Γ(n) = (n − 1)! が成り立つ；ボーア・モレルップの定理も参照）に拡張することができ、 Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z ( | arg ⁡ z | ≤ π − ε , | z | → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (\vert \arg z\vert \leq \pi -\varepsilon ,\;\vert z\vert \to \infty )} が成り立つ（ただし ε > 0）。|arg z | → π のときは収束が遅くなるため、応用上は相補公式などを用いて |arg z | ≤ π/2 程度に制限することが多い。 スターリングの公式の厳密な証明にはオイラーの和公式、あるいは鞍点法といった複素解析の技法などを用いられることが多いが、初等的に導くことも可能である。まず階乗の対数を積分で近似する。logが凹関数であることから k-1<x<k (k=2,3,...) に対して log ⁡ k − ( k − x ) { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } < log ⁡ x < log ⁡ k − 1 k ( k − x ) {\displaystyle \log k-(k-x)\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\log x\;<\;\log k-{\frac {1}{k}}(k-x)} これを k-1 から k まで積分して log ⁡ k − 1 2 { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } < ∫ k − 1 k log ⁡ x d x < log ⁡ k − 1 2 k ∫ k − 1 k log ⁡ x d x + 1 2 k < log ⁡ k < ∫ k − 1 k log ⁡ x d x + 1 2 { log ⁡ k − log ⁡ ( k − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}&\log k-{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx\;<\;\log k-{\frac {1}{2k}}\\&\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2k}}\;<\;\log k\;<\;\int _{k-1}^{k}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log k-\log(k-1)\}\end{aligned}}} k=m+1,m+2,...,n に対して足し合わせると log ⁡ n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log ⁡ k > ∫ m n log ⁡ x d x + ∑ k = m + 1 n 1 2 k > ∫ m n log ⁡ x d x + 1 2 n − 1 2 m + ∫ m n 1 2 x d x = ( n + 1 / 2 ) log ⁡ n − n + 1 / ( 2 n ) − ( m + 1 / 2 ) log ⁡ m + m − 1 / ( 2 m ) log ⁡ n ! m ! = ∑ k = m + 1 n log ⁡ k < ∫ m n log ⁡ x d x + 1 2 { log ⁡ n − log ⁡ m } = ( n + 1 / 2 ) log ⁡ n − n − ( m + 1 / 2 ) log ⁡ m + m {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {1}{2k}}\\&>\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{2m}}+\int _{m}^{n}{\frac {1}{2x}}\,dx\\&=(n+1/2)\log n-n+1/(2n)-(m+1/2)\log m+m-1/(2m)\\\log {\frac {n!}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}} n n + 1 / 2 e − n + 1 / ( 2 n ) m m + 1 / 2 e − m + 1 / ( 2 m ) < n ! m ! < n n + 1 / 2 e − n m m + 1 / 2 e − m {\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}} ここで a n = n ! n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle \;a_{n}={\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}\;} と定めると e 1 / ( 2 n ) e 1 / ( 2 m ) < a n a m < 1 {\displaystyle {\frac {e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}}}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<1} m,n→∞のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき lim m → ∞ a 2 m a m = 1 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{m}}}=1} これとウォリスの公式の系 lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = π {\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\sqrt {\pi }}\;} と比較すると、 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! = 4 n ( a n n n + 1 / 2 e − n ) 2 n a 2 n ( 2 n ) 2 n + 1 / 2 e − 2 n = a n 2 2 a 2 n {\displaystyle {\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}={\frac {4^{n}(a_{n}n^{n+1/2}e^{-n})^{2}}{{\sqrt {n}}a_{2n}(2n)^{2n+1/2}e^{-2n}}}={\frac {a_{n}^{2}}{{\sqrt {2}}a_{2n}}}} lim n → ∞ a n = lim n → ∞ 4 n ( n ! ) 2 n ( 2 n ) ! 2 a 2 n a n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4^{n}(n!)^{2}}{{\sqrt {n}}(2n)!}}{\frac {{\sqrt {2}}a_{2n}}{a_{n}}}={\sqrt {2\pi }}} を得る。 精度を改善するために an を評価する。 log ⁡ a m a m + 1 = log ⁡ m ! − ( m + 1 2 ) log ⁡ m + m − log ⁡ ( m + 1 ) ! + ( m + 3 2 ) log ⁡ ( m + 1 ) − m − 1 = ( m + 1 2 ) log ⁡ ( 1 + 1 m ) − 1 = ( m + 1 2 ) ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k 1 m k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 1 m k + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 2 k 1 m k − 1 = ∑ k = 2 ∞ ( k − 1 ) ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) 1 m k {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}&=\log m!-\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log m+m-\log(m+1)!+\left(m+{\frac {3}{2}}\right)\log(m+1)-m-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{m}}\right)-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}{\frac {1}{m^{k}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}{\frac {1}{m^{k}}}\end{aligned}}} log ⁡ a n 2 π = ∑ m = n ∞ log ⁡ a m a m + 1 = ∑ k = 2 ∞ ( k − 1 ) ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) ∑ m = n ∞ 1 m k = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) { 1 n k − 1 + O ( 1 n k ) } = 1 12 n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{n}}{\sqrt {2\pi }}}&=\sum _{m=n}^{\infty }\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\left\{{\frac {1}{n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}} 従って n ! ∼ 2 π n ( n e ) n exp ⁡ ( 1 12 n ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}\right)} オイラーの乗積表示によるガンマ関数の定義の対数をとり log ⁡ Γ ( z ) = log ⁡ { ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) } = lim N → ∞ ( z − 1 ) log ⁡ N + ∑ n = 1 N { log ⁡ n − log ⁡ ( n + z − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\log {\big \{}(z-1)\Gamma (z-1){\big \}}\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\sum _{n=1}^{N}{\big \{}\log n-\log(n+z-1){\big \}}\end{aligned}}} f ( n ) = log ⁡ n − log ⁡ ( n + z − 1 ) {\displaystyle f(n)=\log n-\log(n+z-1)} にオイラーの和公式を適用すれば log ⁡ Γ ( z ) = lim N → ∞ ( z − 1 ) log ⁡ N + ∫ n = 1 N f ( n ) d n + 1 2 ( f ( N ) + f ( 1 ) ) + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( N ) − f ( 2 k − 1 ) ( 1 ) ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) ( 2 m + 1 ) ! f ( 2 m + 1 ) ( n ) d n = lim N → ∞ ( z − 1 ) log ⁡ N + [ n log ⁡ n − n − ( n + z − 1 ) log ⁡ ( n + z − 1 ) + ( n + z − 1 ) ] n = 1 N + 1 2 { log ⁡ N − log ⁡ ( N + z − 1 ) − log ⁡ z } + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = lim N → ∞ ( N + z − 1 2 ) { log ⁡ N − log ⁡ ( N + z − 1 ) } + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) { 1 N 2 k − 1 − 1 ( N + z − 1 ) 2 k − 1 − 1 + 1 z 2 k − 1 } + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n = − z + 1 + ( z − 1 2 ) log ⁡ z − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) ( 1 − 1 z 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) 2 m + 1 { 1 n 2 m + 1 − 1 ( n + z − 1 ) 2 m + 1 } d n {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\int _{n=1}^{N}f(n)\,dn+{\frac {1}{2}}{\big (}f(N)+f(1){\big )}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{(2m+1)!}}f^{(2m+1)}(n)\,dn\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+{\bigg [}n\log n-n-(n+z-1)\log(n+z-1)+(n+z-1){\bigg ]}_{n=1}^{N}+{\frac {1}{2}}{\big \{}\log N-\log(N+z-1)-\log z{\big \}}\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=\lim _{N\to \infty }\left(N+z-{\frac {1}{2}}\right){\big \{}\log N-\log(N+z-1){\big \}}+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z\\&\qquad +\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left\{{\frac {1}{N^{2k-1}}}-{\frac {1}{(N+z-1)^{2k-1}}}-1+{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right\}\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\\&=-z+1+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}\left(1-{\frac {1}{z^{2k-1}}}\right)\\&\qquad +\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )}{2m+1}}\left\{{\frac {1}{n^{2m+1}}}-{\frac {1}{(n+z-1)^{2m+1}}}\right\}dn\end{aligned}}} となる。右辺の定数を集めて C = 1 − ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) n 2 m + 1 {\displaystyle C=1-\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)}}+\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)n^{2m+1}}}} とすれば log ⁡ Γ ( z ) = C − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 − ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 {\displaystyle \log \Gamma (z)=C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}-\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}} となり、この主要部をガンマ関数の相補公式に代入して z → i ∞ {\displaystyle z\to i\infty } とすれば Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin ⁡ π z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}} π i + log ⁡ z + log ⁡ Γ ( z ) + log ⁡ Γ ( − z ) − log ⁡ sin ⁡ π z − log ⁡ π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0} π i + log ⁡ z + C − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + C + z + ( − z − 1 2 ) ( π i + log ⁡ z ) − log ⁡ sin ⁡ π z − log ⁡ π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+C+z+\left(-z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\pi i+\log z\right)-\log \sin \pi z-\log \pi =0} 2 C + π i 2 − π i z − log ⁡ sin ⁡ π z − log ⁡ π = 0 {\displaystyle 2C+{\frac {\pi i}{2}}-\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0} となるが log ⁡ sin ⁡ π z = log ⁡ ( e π i z − e − π i z ) − π i 2 − log ⁡ 2 ∼ π i z − π i 2 − log ⁡ 2 {\displaystyle \log \sin \pi z=\log \left(e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}\right)-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2\sim \pi iz-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2} であるから C = log ⁡ 2 π 2 {\displaystyle C={\frac {\log 2\pi }{2}}} を得る。剰余項については α = 2 1 + cos ⁡ arg ⁡ z {\displaystyle \alpha ={\frac {2}{1+\cos \arg z}}} として | ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 | ≤ | B 2 m | 2 m ∫ n = 1 N d n | n + z − 1 | 2 m + 1 ≤ | B 2 m | 2 m α 2 m + 1 ∫ n = 1 N d n ( n + | z | − 1 ) 2 m + 1 = | B 2 m | α 2 m + 1 | z | 2 m = O ( z − 2 m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}\right|&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}}\\&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha ^{2m+1}}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}}={\frac {\left|B_{2m}\right|}{\alpha ^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}}=O\left(z^{-2m}\right)\\\end{aligned}}} である。故に log ⁡ Γ ( z ) = log ⁡ 2 π 2 − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) z 2 k − 1 + O ( z − 2 m ) {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {\log 2\pi }{2}}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}}+O\left(z^{-2m}\right)} を得る。最初の数項を書き下せば log ⁡ Γ ( z ) ∼ log ⁡ 2 π − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 − 1 1680 z 7 + 1 1188 z 9 {\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \log {\sqrt {2\pi }}-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}} Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z exp ⁡ ( 1 12 z − 1 360 z 3 + 1 1260 z 5 − 1 1680 z 7 + 1 1188 z 9 ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\exp \left({\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}-{\frac {1}{1680z^{7}}}+{\frac {1}{1188z^{9}}}\right)} とやり、指数関数のテイラー展開により Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e ) z ( 1 + 1 12 z + 1 288 z 2 − 139 51840 z 3 ) {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}\right)} となる。 スターリングの公式は鞍点法の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体（負の実数を除く）で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは z {\displaystyle z} を正の実数に限定する。ガンマ関数は t = z ( 1 + u ) {\displaystyle t=z(1+u)} の置換により Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t = ∫ − 1 ∞ z z ( 1 + u ) z e − z − z u z d u = z z + 1 e − z ∫ − 1 ∞ e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u = z z + 1 e − z ( ∫ − 1 − ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u + ∫ − ε ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u + ∫ ε ∞ e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u ) ( ε ≪ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt\\&=\int _{-1}^{\infty }z^{z}(1+u)^{z}e^{-z-zu}zdu\\&=z^{z+1}e^{-z}\int _{-1}^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\\&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }{e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du}+\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right)\qquad (\varepsilon \ll 1)\\\end{aligned}}} となるが、 z {\displaystyle z} が十分に大きければ u = 0 {\displaystyle u=0} の付近が支配的であるから Γ ( z + 1 ) ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ∞ ∞ e − z u 2 2 d u {\displaystyle \Gamma (z+1)\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du} という近似が許され、ガウス積分により Γ ( z + 1 ) ∼ z z + 1 e − z 2 π z = 2 π z ( z e ) z {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim z^{z+1}e^{-z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}} を得る。 ε = z − 1 3 {\displaystyle \varepsilon =z^{-{\tfrac {1}{3}}}} として、近似の誤差は | ∫ − 1 − ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u | ≤ 1 ε ∫ − 1 − ε | − u ( 1 + u ) e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } | d u = 1 ε z [ e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } ] − 1 − ε = 1 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } − 0 ≈ z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}} | ∫ ε ∞ e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u | ≤ 2 ε ∫ ε ∞ | 2 u ( 1 + u ) ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } | d u = 2 ε z [ − e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } ] ε ∞ = 0 − 2 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } ≈ 2 z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}} ∫ − ε ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u = ∫ − ε ε e − z ( u 2 2 − u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 e z ( u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z u 3 3 + z O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z O ( u 4 ) ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left({\tfrac {u^{2}}{2}}-{\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}e^{z\left({\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+{\frac {zu^{3}}{3}}+zO(u^{4})\right)du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+zO(u^{4})\right)du\\\end{aligned}}} | ∫ − ε ε e − z { u − log ⁡ ( 1 + u ) } d u − ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | ≤ | z O ( ε 4 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | = | O ( z − 1 3 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | {\displaystyle \left|\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du-\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|\leq \left|zO(\varepsilon ^{4})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|=\left|O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|} であり z 2 3 e − z 1 / 3 2 ≪ z − 1 2 ( z → ∞ ) {\displaystyle z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\ll z^{-{\tfrac {1}{2}}}\qquad (z\to \infty )} であるから Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z ( 1 + O ( z − 1 3 ) ) {\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\right)} を得る。これは lim z → ∞ Γ ( z + 1 ) 2 π z ( z e ) z = 1 ( | arg ⁡ z | < π ) {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|\arg z|<\pi )} を示すに十分である。ただし、実際の誤差は O ( z − 1 ) {\displaystyle O(z^{-1})} であるが、それを鞍点法で示すのは困難である。 より正確に記すと、次のようになる。 n ! = 2 π n ( n e ) n e λ n {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}}} ここで 1 12 n + 1 < λ n < 1 12 n . {\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.} スターリングの公式は以下の級数（スターリング級数）の近似（初項で打ち切ったもの）である。 n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } としたとき、省かれた級数はその最初の項とそれ以降が相殺するように漸近していく。これは漸近展開の一例である。 以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。 ln ⁡ n ! ∼ n ln ⁡ n − n + 1 2 ln ⁡ 2 π n + 1 12 n − 1 360 n 3 + 1 1260 n 5 − 1 1680 n 7 + ⋯ {\displaystyle \ln n!\sim n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi n+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots } この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。 すべての正の整数に対して、 n ! = Π ( n ) = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1)} が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数を表す。 しかしながら、パイ関数（英語版） Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)} は、階乗とは異なり、より広く、正でない整数を除いてすべての複素数に対して定義される。それにもかかわらず、スターリングの公式をなお適用することができる。Re z > 0 であれば log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ 2 π + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt} が成り立つ。 部分積分を繰り返すことで次が得られる log ⁡ Γ ( z ) ∼ ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ 2 π + ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n ( 2 n − 1 ) z 2 n − 1 . {\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}.} ここで Bn は n 番目のベルヌーイ数である。（無限和は収束しないので、この公式は漸近展開にすぎないことに注意する。）公式はεを正数として |arg z| < π − ε であるときに絶対値の十分大きい z に対して成り立つ。公式の右辺に現れる級数はスターリング級数と呼ばれる。最初の m 項が使われるとき誤差項は O ( z − 2 m − 1 ) {\displaystyle O(z^{-2m-1})} である。対応する近似は Γ ( z ) = 2 π z   ( z e ) z ( 1 + O ( 1 z ) ) {\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right)} のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re z が定数の複素変数 z に対してである。例えば直線 1/4 + it 上でリーマン・ジーゲルテータ関数（英語版）の Im z において適用されたスターリングの公式を見よ。 スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。 Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( ℜ z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re {z}>0)} ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアベル・プラナの和公式を適用して得られる。 log ⁡ Γ ( z ) = lim N → ∞ z log ⁡ N + ∑ n = 1 N log ⁡ n − ∑ n = 0 N log ⁡ ( n + z ) {\displaystyle \log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }z\log N+\sum _{n=1}^{N}\log n-\sum _{n=0}^{N}\log(n+z)} d d z log ⁡ Γ ( z ) = lim N → ∞ log ⁡ N − ∑ n = 0 N 1 n + z {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }\log N-\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n+z}}} d 2 d z 2 log ⁡ Γ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}} ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} なら f = ( n + z ) − 2 {\displaystyle f=(n+z)^{-2}} は右半平面において正則であるからプラナの和公式により d 2 d z 2 log ⁡ Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 d t + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t = 1 z + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}dt+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}} 積分して d d z log ⁡ Γ ( z ) = C 1 + log ⁡ z − 1 2 z + i ∫ 0 ∞ − ( z + i t ) − 1 + ( z − i t ) − 1 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=C_{1}+\log z-{\frac {1}{2z}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1}}dt} log ⁡ Γ ( z ) = C 2 + C 1 z + z log ⁡ z − log ⁡ z 2 + i ∫ 0 ∞ − log ⁡ ( z + i t ) + log ⁡ ( z − i t ) e 2 π t − 1 d t = C 2 + C 1 z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=C_{2}+C_{1}z+z\log z-{\frac {\log z}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-\log(z+it)+\log(z-it)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&=C_{2}+C_{1}z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}} ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} なら | tan ⁡ ( t / z ) | < M {\displaystyle |\tan(t/z)|<M} は有界であるから | ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ | ∫ 0 | z | 1 / 2 arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | + | ∫ | z | 1 / 2 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ ∫ 0 | z | 1 / 2 ∑ k = 1 ∞ | t / z | k d t 2 π t + M ∫ | z | 1 / 2 ∞ e 2 π d t ( e 2 π − 1 ) e t e 2 π ( | z | > 1 ) ≤ ∫ 0 | z | 1 / 2 d t 2 π ( | z | − t ) + M e 2 π e 2 π − 1 ∫ t = | z | 1 / 2 ∞ e − 2 π t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|&\leq \left|\int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|+\left|\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\sum _{k=1}^{\infty }|t/z|^{k}dt}{2\pi t}}+M\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {e^{2\pi }dt}{(e^{2\pi }-1)e^{t}e^{2\pi }}}\qquad (|z|>1)\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {dt}{2\pi (|z|-t)}}+{\frac {Me^{2\pi }}{e^{2\pi }-1}}\int _{t=|z|^{1/2}}^{\infty }e^{-2\pi t}dt\end{aligned}}} lim z → ∞ | ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ lim z → ∞ 1 2 π [ log ⁡ ( | z | − t ) ] 0 | z | 1 / 2 + lim z → ∞ M e 2 π 2 π ( e 2 π − 1 ) [ − e − 2 π t ] | z | 1 / 2 ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0} である。 スターリングの公式と比較して積分定数を求め log ⁡ Γ ( z ) = 1 2 log ⁡ 2 π − z + ( z − 1 2 ) log ⁡ z + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {1}{2}}\log 2\pi -z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt} 真数に直して Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( ℜ z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re z>0)} を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。 トーマス・ベイズの John Canton への書簡が1763年に王立協会により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数ではないとされていた。 スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。 ∫ 0 ∞ 2 arctan ⁡ ( t / z ) exp ⁡ 2 π t − 1 d t = ln ⁡ Γ ( z ) − ( z − 1 2 ) ln ⁡ z + z − 1 2 ln ⁡ 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi } 一つの方法として、階乗冪の逆数の収束級数を使う方法がある。 z n ¯ = z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) {\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)} としたとき、次のようになる。 ∫ 0 ∞ 2 arctan ⁡ ( t / z ) exp ⁡ 2 π t − 1 d t = ∑ n = 1 ∞ c n ( z + 1 ) n ¯ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}} ここで c n = 1 n ∫ 0 1 x n ¯ ( x − 1 2 ) d x {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx} である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。 ln ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln ⁡ z − z + 1 2 ln ⁡ 2 π + 1 12 ( z + 1 ) + 1 12 ( z + 1 ) ( z + 2 ) + 59 360 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) + 29 60 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) ( z + 4 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (z)&=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \\&\quad +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots \end{aligned}}} これは、 ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} のとき収束する。 ガンマ関数の（関数電卓などの）計算機向けの近似として次の式がある。 Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e z sinh ⁡ 1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}} これは、次と同等である。 2 ln ⁡ Γ ( z ) ∼ ln ⁡ 2 π − ln ⁡ z + z { 2 ln ⁡ z + ln ⁡ ( z sinh ⁡ 1 z + 1 810 z 6 ) − 2 } {\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}} これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦関数のテイラー展開の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機（電卓など）でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した。 Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。 Γ ( z ) ∼ 2 π z { 1 e ( z + 1 12 z − 1 10 z ) } z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}} これは、次と同等である。 ln ⁡ Γ ( z ) ∼ 1 2 ( ln ⁡ 2 π − ln ⁡ z ) + z { ln ⁡ ( z + 1 12 z − 1 10 z ) − 1 } {\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}} この公式は最初に次の形でアブラーム・ド・モアブルにより1730年に発見された。 n ! ∼ [ c o n s t a n t ] ⋅ n n + 1 2 e − n {\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\tfrac {1}{2}}}e^{-n}} スターリングの貢献は定数が 2 π {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} であることを示したことである。より正確な形式はジャック・ビネが見出した。 スターリングの近似の「一次」バージョン n ! = n n {\displaystyle n!=n^{n}} は、マックス・プランクが1901年の黒体放射の論文で使用した。これは多量の光子や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論でよく使われ、例えばピーター・デバイとルイ・ド・ブロイも使っている。アルベルト・アインシュタインとサティエンドラ・ボースは違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。