Разбие́ние натурального числа́ 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — это такое представление числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 в виде суммы положительных целых чисел 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{m}}
  
, которое, в отличие от композиции, не учитывает порядок слагаемых. Слагаемые 
  
    
      
        
          λ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{k}}
  
 в разбиении называются частями. В канонической записи разбиения слагаемые перечисляются в невозрастающем порядке.
 Если 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ≥
        
          λ
          
            2
          
        
        ⋯
        ≥
        
          λ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\dots \geq \lambda _{m}}
  
, то соответствующее этому набору чисел разбиение обычно обозначается как {
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        ,
        
          λ
          
            2
          
        
        ,
        …
        
          λ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \lambda _{m}}
  
} = 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
. Число 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 при этом называют мощностью разбиения и обозначают 
  
    
      
        
          |
        
        λ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\lambda |}
  
, а число 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 называют длиной разбиения и обозначают 
  
    
      
        l
        (
        λ
        )
      
    
    {\displaystyle l(\lambda )}
  
.
 Число разбиений 
  
    
      
        p
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p(n)}
  
 натурального числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 является одним из фундаментальных объектов изучения в комбинаторике.
 Например, {3, 1, 1} или {3, 2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует 
  
    
      
        p
        (
        5
        )
        =
        7
      
    
    {\displaystyle p(5)=7}
  
 разбиений числа 5: {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}.
 Некоторые значения числа разбиений 
  
    
      
        p
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p(n)}
  
 приведены в следующей таблице:
 Последовательность числа разбиений 
  
    
      
        p
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p(n)}
  
 имеет следующую производящую функцию:
 Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.
 Изучая производящую функцию последовательности 
  
    
      
        p
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle p(n)}
  
, Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть на произведении 
  
    
      
        (
        1
        −
        x
        )
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        (
        1
        −
        
          x
          
            3
          
        
        )
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})...}
  
. При раскрытии скобок это бесконечное произведение приобретает следующий вид:
 В правой части слагаемые имеют вид 
  
    
      
        (
        −
        1
        
          )
          
            q
          
        
        
          x
          
            (
            3
            
              q
              
                2
              
            
            −
            q
            )
            
              /
            
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (-1)^{q}x^{(3q^{2}-q)/2},}
  
 где 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 пробегает все возможные целые значения, и в этом случае сами числа 
  
    
      
        (
        3
        
          q
          
            2
          
        
        −
        q
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle (3q^{2}-q)/2}
  
 называются обобщёнными пятиугольными. При натуральных 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 они называются просто пятиугольными.
 Из этого наблюдения Эйлер выдвинул предположение о пентагональной теореме:
 а впоследствии её доказал. Эта теорема позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.
 Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном в 1918 году, а в 1920 году независимо от них — российским математиком Успенским:
 Например, 
  
    
      
        p
        (
        1000
        )
        ≈
        2
        
          ,
        
        44
        ⋅
        
          10
          
            31
          
        
      
    
    {\displaystyle p(1000)\approx 2{,}44\cdot 10^{31}}
  
. 
 Впоследствии Харди и Рамануджан нашли более точное выражение в виде суммы, а Радемахер вывел точный сходящийся ряд, по которому можно находить сколь угодно близкие асимптотические представления:
 где
 Здесь суммирование ведётся по 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, взаимно простым с 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, а 
  
    
      
        s
        (
        m
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle s(m,k)}
  
 — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.
 Количество разбиений числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 на слагаемые, не превышающие 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, удовлетворяет рекуррентной формуле:
 с начальными значениями:
 При этом количество всевозможных разбиений числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 равно 
  
    
      
        P
        (
        n
        ,
        
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P(n,\;n)}
  
.
  Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга. Диаграмма Юнга разбиения 
  
    
      
        (
        
          k
          
            1
          
        
        ,
        
        
          k
          
            2
          
        
        ,
        
        …
        ,
        
        
          k
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (k_{1},\;k_{2},\;\ldots ,\;k_{m})}
  
 — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}}
  
, над ней расположена строка длиной 
  
    
      
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{2}}
  
, и т. д. до 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
-й строки длины 
  
    
      
        
          k
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{m}}
  
. Строки выровнены по левому краю.
 Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек 
  
    
      
        (
        x
        ,
        
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\;y)}
  
 таких, что
 где 
  
    
      
        [
        x
        ]
      
    
    {\displaystyle [x]}
  
 обозначает целую часть 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
.
 В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.
 Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что
 Сопряженным (или транспонированным) разбиением к 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 называется разбиение, чья диаграмма Юнга является диаграммой Юнга разбиения 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
, отражённая относительно прямой 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
  
. Например, сопряжённым к разбиению (6,4,4,1) будет разбиение (4,3,3,3,1,1). Сопряжённое разбиение обозначается 
  
    
      
        
          λ
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \lambda '}
  
.
 Пусть имеются два разбиения 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 и 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
. Тогда для них определены следующие операции:
 Например, если 
  
    
      
        λ
        =
        (
        321
        )
        ,
        μ
        =
        (
        22
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =(321),\mu =(22)}
  
, то 
  
    
      
        λ
        +
        μ
        =
        (
        541
        )
        ,
        λ
        ∪
        μ
        =
        (
        32221
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \lambda +\mu =(541),\lambda \cup \mu =(32221).}
  

 Операции сложения, как и операции умножения, двойственны относительно сопряжения[источник не указан 336 дней]:
 Пусть имеются два разбиения 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 и 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
.
 Лексикографический порядок. Говорят, что 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 старше 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 по лексикографическому порядку, если существует такое натуральное 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, что 
  
    
      
        
          λ
          
            i
          
        
        =
        
          μ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{i}=\mu _{i}}
  
 для каждого 
  
    
      
        i
        <
        k
      
    
    {\displaystyle i<k}
  
, а также 
  
    
      
        
          λ
          
            k
          
        
        >
        
          μ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{k}>\mu _{k}}
  
.
 В таблице выше разбиения расположены в лексикографическом порядке.
 Естественный (частичный) порядок. Говорят, что 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 старше 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 по естественному порядку (обозначается 
  
    
      
        λ
        ≥
        μ
      
    
    {\displaystyle \lambda \geq \mu }
  
), если для каждого 
  
    
      
        i
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle i\geq 1}
  
 выполняется неравенство 
  
    
      
        
          λ
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            i
          
        
        ≥
        
          μ
          
            1
          
        
        +
        
          μ
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          μ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{i}\geq \mu _{1}+\mu _{2}+\dots +\mu _{i}}
  
.
 Начиная с n=6 можно найти разбиения, которые невозможно сравнить в этом смысле. Например, (3, 1, 1, 1) и (2, 2, 2).
 Для естественного порядка выполняется эквивалентность:
 Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.