Коэффициент связи резонаторов — безразмерная величина, характеризующая степень взаимодействия двух резонаторов
 Коэффициенты связи используют в теории резонаторных фильтров. Резонаторы фильтров могут быть как электромагнитными, так и акустическими. Вместе с резонансными частотами и внешними добротностями резонаторов коэффициенты связи являются обобщёнными параметрами фильтров. Для осуществления настройки амплитудно-частотной характеристики фильтра бывает вполне достаточно ограничиться оптимизацией только этих обобщённых параметров.
 Этот термин в теорию фильтров впервые ввёл M. Dishal [1]. В некоторой степени он является аналогом коэффициента связи двух индуктивностей или коэффициентов связи двух колебательных контуров. Значение этого термина многократно уточнялось с развитием теории связанных резонаторов и фильтров. Более поздние определения коэффициента обобщают или уточняют предшествующие определения.
 Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащиеся в монографии Г. Маттея и др [2].
Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближёнными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой
 
  
    
      
        k
        =
        
          |
        
        
          f
          
            o
          
        
        −
        
          f
          
            e
          
        
        
          |
        
        
          /
        
        
          f
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}
  
 (1)
 где 
  
    
      
        
          f
          
            e
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{e},}
  
 
  
    
      
        
          f
          
            o
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{o}}
  
 — частоты чётных и нечётных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              f
              
                o
              
            
            
              f
              
                e
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e}}}.}
  
 Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{0}.}
  

 В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 определяется формулой
 
  
    
      
        k
        =
        
          K
          
            12
          
        
        
          /
        
        
          
            
              x
              
                1
              
            
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}
  
 (2)
 для резонаторов последовательного типа и формулой
 
  
    
      
        k
        =
        
          J
          
            12
          
        
        
          /
        
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}
  
 (3)
 для резонаторов параллельного типа. Здесь 
  
    
      
        
          K
          
            12
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle K_{12},}
  
 
  
    
      
        
          J
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{12}}
  
 — параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x_{1},}
  
 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  
 — параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{0},}
  
 а 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle b_{1},}
  
 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{2}}
  
 — параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.
 Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение
 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        =
        
          L
          
            m
          
        
        
          /
        
        
          
            
              L
              
                1
              
            
            
              L
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}
  
 (4)
 для резонаторов с индуктивной связью и значение
 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        =
        
          C
          
            m
          
        
        
          /
        
        
          
            (
            
              C
              
                1
              
            
            +
            
              C
              
                m
              
            
            )
            (
            
              C
              
                2
              
            
            +
            
              C
              
                m
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}
  
 (5)
 для резонаторов с ёмкостной связью. Здесь 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle L_{1},}
  
 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
 — индуктивность и ёмкость первого контура, 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle L_{2},}
  
 
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
  
 — индуктивность и ёмкость второго контура, а 
  
    
      
        
          L
          
            m
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle L_{m},}
  
 
  
    
      
        
          C
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{m}}
  
 — межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная ёмкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи колебательных контуров.
 Уточнение приближённой формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид
 
  
    
      
        k
        =
        (
        
          f
          
            o
          
          
            2
          
        
        −
        
          f
          
            e
          
          
            2
          
        
        )
        
          /
        
        (
        
          f
          
            o
          
          
            2
          
        
        +
        
          f
          
            e
          
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).}
  
 (6)
 При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 имеет отрицательное значение, если 
  
    
      
        
          f
          
            o
          
        
        <
        
          f
          
            e
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{o}<f_{e}.}
  

 Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{L}}
  
 по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при 
  
    
      
        
          L
          
            m
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle L_{m}>0}
  
 и отрицательное значение при 
  
    
      
        
          L
          
            m
          
        
        <
        0.
      
    
    {\displaystyle L_{m}<0.}
  

 Коэффициент же ёмкостной связи колебательных контуров 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{C}}
  
 всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента ёмкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид
 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        =
        −
        
          C
          
            m
          
        
        
          /
        
        
          
            (
            
              C
              
                1
              
            
            +
            
              C
              
                m
              
            
            )
            (
            
              C
              
                2
              
            
            +
            
              C
              
                m
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}.}
  
 (7)
 Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{L},}
  
 а связь по электрическому полю — коэффициентом ёмкостной связи 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{C}.}
  
 Абсолютные величины 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{L}}
  
 и 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{C}}
  
 обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{L}}
  
 и 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{C}}
  
 может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].
 Сложение коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]
 
  
    
      
        k
        =
        (
        
          k
          
            L
          
        
        +
        
          k
          
            C
          
        
        )
        
          /
        
        (
        1
        +
        
          k
          
            L
          
        
        
          k
          
            C
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).}
  
 (8)
 Эта формула получается из определения (6) с учётом формул (4) и (7).
 Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нём знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи.
 Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант 
  
    
      
        
          k
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{i},}
  
 отвечающих дискретному спектру резонансных частот 
  
    
      
        
          f
          
            i
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{i},}
  
 а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
        .
      
    
    {\displaystyle k(f).}
  

 Очевидно, что эта функция должна отвечать условию
 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
        
          
            |
          
          
            f
            =
            
              f
              
                i
              
            
          
        
        =
        
          k
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.}
  
 (9)
 Кроме того, функция 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle k(f)}
  
 должна обращаться в нуль на тех частотах 
  
    
      
        
          f
          
            z
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{z},}
  
 на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию
 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
        
          
            |
          
          
            f
            =
            
              f
              
                z
              
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}
  
 (10)
 Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-ёмкостной связью, когда взаимная индуктивность 
  
    
      
        
          L
          
            m
          
        
        >
        0.
      
    
    {\displaystyle L_{m}>0.}
  
 Его частота 
  
    
      
        
          f
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{z}}
  
 выражается формулой [6]
 
  
    
      
        
          f
          
            z
          
        
        =
        
          
            
              L
              
                m
              
            
            
              /
            
            [
            (
            
              L
              
                1
              
            
            
              L
              
                2
              
            
            −
            
              L
              
                m
              
              
                2
              
            
            )
            
              C
              
                m
              
            
            ]
          
        
        
          /
        
        (
        2
        π
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ).}
  
 (11)
 На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle k(f),}
  
 обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и ёмкостной связи 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle k_{L}(f)}
  
 и 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        (
        f
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{C}(f),}
  
 определяемые формулами
 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        (
        f
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      W
                      ˙
                    
                  
                
                
                  12
                  L
                
              
              (
              f
              )
            
            
              [
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  11
                  L
                
              
              (
              f
              )
              +
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  11
                  C
                
              
              (
              f
              )
              ]
              [
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  22
                  L
                
              
              (
              f
              )
              +
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  22
                  C
                
              
              (
              f
              )
              ]
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}
  
 (12)
 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        (
        f
        )
        =
        
          
            
              
                
                  
                    
                      W
                      ˙
                    
                  
                
                
                  12
                  C
                
              
              (
              f
              )
            
            
              [
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  11
                  L
                
              
              (
              f
              )
              +
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  11
                  C
                
              
              (
              f
              )
              ]
              [
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  22
                  L
                
              
              (
              f
              )
              +
              
                
                  
                    
                      W
                      ¯
                    
                  
                
                
                  22
                  C
                
              
              (
              f
              )
              ]
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}
  
 (13)
 Здесь 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
 обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 обозначает магнитную часть энергии, а индекс 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно 
  
    
      
        
          |
        
        
          U
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |U_{1}|^{2},}
  
 
  
    
      
        
          |
        
        
          U
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          U
          
            2
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}
  
 и 
  
    
      
        
          |
        
        
          U
          
            2
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle |U_{2}|^{2},}
  
 где 
  
    
      
        
          U
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{1}}
  
 — комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а 
  
    
      
        
          U
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{2}}
  
 — комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.
 Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи произвольных колебательных контуров [6]
 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        (
        f
        )
        =
        
          
            
              L
              
                m
              
            
            
              
                L
                
                  1
                
              
              
                L
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            2
            
              (
              1
              +
              
                f
                
                  1
                
                
                  −
                  2
                
              
              
                f
                
                  2
                
              
              )
              (
              1
              +
              
                f
                
                  2
                
                
                  −
                  2
                
              
              
                f
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}
  
 (14)
 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        (
        f
        )
        =
        
          
            
              −
              
                C
                
                  m
                
              
            
            
              (
              
                C
                
                  1
                
              
              +
              
                C
                
                  m
                
              
              )
              (
              
                C
                
                  2
                
              
              +
              
                C
                
                  m
                
              
              )
            
          
        
        
          
            2
            
              (
              1
              +
              
                f
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              
                f
                
                  −
                  2
                
              
              )
              (
              1
              +
              
                f
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              
                f
                
                  −
                  2
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}.}
  
 (15)
 где 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1},f_{2}}
  
 — резонансные частоты первого и второго контура, возмущённые связями. Видно, что значения функций 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle k_{L}(f)}
  
 и 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle k_{C}(f)}
  
 при 
  
    
      
        f
        =
        
          f
          
            1
          
        
        =
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}
  
 совпадают с константами 
  
    
      
        
          k
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{L}}
  
 и 
  
    
      
        
          k
          
            C
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{C},}
  
 определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция 
  
    
      
        k
        (
        f
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle k(f),}
  
 рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте 
  
    
      
        
          f
          
            z
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{z},}
  
 выражаемой формулой (11).
 Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{0}.}
  
 Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.
 Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведён вывод приближённых формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1},}
  
 отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 и 
  
    
      
        i
        +
        1
      
    
    {\displaystyle i+1}
  
 — порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид
 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                f
                
                  2
                
              
              −
              
                f
                
                  1
                
              
            
            
              
                f
                
                  2
                
              
              
                f
                
                  1
                
              
              
                g
                
                  i
                
              
              
                g
                
                  i
                  +
                  1
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}}},}
  
 (16)
 где 
  
    
      
        
          g
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{i}}
  
 
  
    
      
        (
        i
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2...
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (i=0,1,2...n+1)}
  
 — нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот, 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре, 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1},f_{2}}
  
 — граничные частоты полосы пропускания.
 Значения нормированных параметров 
  
    
      
        
          g
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{i}}
  
 для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам
 
  
    
      
        
          g
          
            0
          
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle g_{0}=1,}
  
 
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
        =
        2
        
          a
          
            1
          
        
        
          /
        
        γ
        ,
      
    
    {\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}
  

 
  
    
      
        
          g
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              4
              
                a
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                a
                
                  k
                
              
            
            
              
                b
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                g
                
                  k
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},}
  
 
  
    
      
        k
        =
        2
        ,
        3
        …
        n
        ,
      
    
    {\displaystyle k=2,3\dots n,}
  
 (17)
 
  
    
      
        
          g
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle g_{n+1}=1,}
  
 если 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 чётное,
 
  
    
      
        
          g
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          c
          t
          h
        
        
          
          
            2
          
        
        (
        β
        
          /
        
        4
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),}
  
 если 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 нечётное.
 Здесь использованы обозначения
 
  
    
      
        β
        =
        2
        
          a
          r
          t
          h
        
        
        
          
            
              10
              
                −
                Δ
                L
                
                  /
                
                10
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}
  
 
  
    
      
        γ
        =
        
          s
          h
        
        
        (
        
          
            β
            
              2
              n
            
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta }{2n}}),}
  
 (18)
 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        =
        
          s
          i
          n
        
        
        
          
            
              2
              (
              k
              −
              1
              )
              π
            
            
              2
              n
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi }{2n}},}
  
 
  
    
      
        
          b
          
            k
          
        
        =
        
          γ
          
            2
          
        
        +
        
          s
          i
          n
        
        
          
          
            2
          
        
        (
        k
        π
        
          /
        
        n
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),}
  
 
  
    
      
        (
        k
        =
        1
        ,
        2...
        n
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle (k=1,2...n),}
  

 где 
  
    
      
        Δ
        L
      
    
    {\displaystyle \Delta L}
  
 — требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.
 Формулы (16) являются приближёнными не только потому, что при их выводе использовались приближённые определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближёнными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.
 В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточнённого варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}}
  
 на частоте 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}}
  
 зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных 
  
    
      
        d
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
        (
        f
        )
        
          /
        
        d
        f
        
          
            |
          
          
            f
            =
            
              f
              
                0
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0}}.}
  
 Это значит, что точные значения коэффициентов 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1},}
  
 обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщённых параметров фильтров перед их оптимизацией.
 Приближённые формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}.}
  
 Коэффициенты 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}}
  
 симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}}
  
 монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.
 Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи 
  
    
      
        
          k
          
            i
            ,
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{i,i+1}}
  
 для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].
 Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют перекрёстными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.
 Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} }
  
 размерности 
  
    
      
        n
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle n\times n}
  
 [12, 4]. Она симметрична. Её каждый недиагональный элемент 
  
    
      
        
          M
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ij}}
  
 является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов 
  
    
      
        
          k
          
            i
            j
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle k_{ij}.}
  
 Каждый диагональный элемент 
  
    
      
        
          M
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ii}}
  
 является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}}
  
. В настроенном фильтре все элементы 
  
    
      
        
          M
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{ii}}
  
 равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.
 Достоинством матриц 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} }
  
 является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с перекрёстными связями. В частности матрицы 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} }
  
 часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счёт того, расчёт частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчётом характеристики реального фильтра.