На примере типичнейших физических моделей закрепим навыки работы с функциями и познакомимся с быстрым, удобным и красивым визуализатором PyPlot, предоставляющим всю мощь питоновской Matplotlib. Будет много картинок (упрятанных под спойлеры) Удостоверяемся, что под капотом всё чистое и свежее: Теперь к задачам! В физике под термином перенос понимают необратимые процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины.
Линейное одномерное уравнение переноса (или уравнение адвекции) – простейшее дифференциальное уравнение в частных производных – записывается в виде   Для численного решения уравнения переноса можно использовать явную разностную схему:   где  — значение сеточной функции на верхнем временном слое. Эта схема устойчива при числе Куранта    Линейный источник (перенос с поглощением): . Воспользуемся явной разностной схемой:    Усилим поглощение :  
heatmap(t, X, Ans0)
 Дифференциальное уравнение теплопроводности (или уравнение диффузии тепла) записывается следующим образом:   Это уравнение параболического типа, содержащее первую производную по времени t и вторую по пространственной координате x. Оно описывает динамику температуры например, остывающего или нагреваемого металлического стержня (функция T описывает профиль температуры по координате х вдоль стержня). Коэффициент D называется коэффициентом теплопроводности (диффузии). Он может быть как постоянным, так и зависеть, как явно от координат, так и от самой искомой функции D(t, x,T).  Рассмотрим линейное уравнение(Коэффициент диффузии и источники тепла не зависят от температуры). Разностная аппроксимация дифференциального уравнения с помощью явной и неявной схемы Эйлера соответственно:     Намного более интересные решения можно получить для нелинейного уравнения теплопроводности, например, с нелинейным источником тепла . Если задать его в таком виде, то получится решение в форме тепловых фронтов, распространяющихся в обе стороны от зоны первичного нагрева  Еще более неожиданные решения возможны при нелинейности также и коэффициента диффузии. Например, если взять , a , то можно наблюдать эффект горения среды, локализованный в области ее первичного нагрева (S-режим горения "с обострением").
Заодно проверим, как наша неявная схема работает с нелинейностью и источников и коэффициента диффузии  Волновое уравнение гиперболического типа   описывает одномерные линейные волны без дисперсии. Например, колебания струны, звук в жидкости (газе) или электромагнитные волны в вакууме (в последнем случае уравнение должно быть записано в векторном виде). Простейшей разностной схемой, аппроксимирующей данное уравнение, является явная пятиточечная схема    Эта схема, получившая название «крест», имеет второй порядок точности по времени и по пространственной координате и является трехслойной по времени.  Чтобы построить поверхность, воспользуемся PyPlot'ом не как окружением Plots, а непосредственно:  И на десерт распространение волны со скоростью зависящей от координаты:   heatmap(U, yaxis=("Координаты возмущения", (0, 50), 0:10:50))
 На сегодня достаточно. Для более детального ознакомления:
ссылка PyPlot на гитхаб, еще примеры использования в качестве окружения Plots и хорошая русскоязычная памятка по Julia.