Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.
 В 1987 году Этьен Жис и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
            e
            o
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}
  
 не удовлетворяет альтернативе Титса. А именно, группа Томпсона 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
, которая вкладывается в группу 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
            e
            o
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}
  
, не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.
 В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом.
 Для любой подгруппы 
  
    
      
        G
        ⩽
        
          
            H
            o
            m
            e
            o
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})}
  
 выполняется хотя бы одно из следующих условий:
 Во втором случае группа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.
 Если все элементы группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 инвариантна относительно действия группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
.
 Если действие группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее дельта-мер Дирака, соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
.
 Для группы Томпсона 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).
 Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.
 Для любой подгруппы 
  
    
      
        G
        ⩽
        
          
            H
            o
            m
            e
            o
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})}
  
, действующей на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:
 В случае, если все гомеоморфизмы из 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 сохраняют ориентацию, то есть 
  
    
      
        G
        ⩽
        
          
            
              H
              o
              m
              e
              o
            
          
          
            +
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G\leqslant {\rm {Homeo}}_{+}(S^{1})}
  
, в первом условии можно заменить 
  
    
      
        
          
            I
            s
            o
            m
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Isom}}(S^{1})}
  
 на группу вращений 
  
    
      
        
          
            
              I
              s
              o
              m
            
          
          
            +
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
        ≅
        
          
            
              S
              O
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Isom}}_{+}(S^{1})\cong {\rm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )}
  
 и, тем самым, в этом случае группа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 сама абелева.
 Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — Маргулиса.
В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью.
Любая борелевская вероятностная мера на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
, носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру Леберга. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.
 В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.
 Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.
 Если действие группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 равномерно непрерывно, то замыкание группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 в пространстве 
  
    
      
        
          
            H
            o
            m
            e
            o
          
        
        (
        
          S
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Homeo}}(S^{1})}
  
, рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыкании.
 Если минимальное действие 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 на окружности 
  
    
      
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S^{1}}
  
 не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in S^{1}}
  
 существует такая бесконечная последовательность 
  
    
      
        {
        
          g
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{g_{i}\}}
  
 элементов из 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, что
 Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима лемма о пинг-понге, откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.