В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида
 Здесь S обозначает классическое действие, 
  
    
      
        H
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        ;
        
          p
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          p
          
            n
          
        
        ;
        t
        )
      
    
    {\displaystyle H(q_{1},\dots ,q_{n};p_{1},\dots ,p_{n};t)}
  
 — классический гамильтониан, 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 — обобщённые координаты.
 Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).
 В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.
 Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.
 Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.
 Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции 
  
    
      
        S
        (
        q
        ,
        
          p
          ′
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle S(q,p',t)}
  
 (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для 
  
    
      
        H
        (
        q
        ,
        p
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle H(q,p,t)}
  
 и 
  
    
      
        
          H
          ′
        
        (
        
          q
          ′
        
        ,
        
          p
          ′
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle H'(q',p',t)}
  
 при следующем преобразовании:
 Новые уравнения движения становятся
 Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции 
  
    
      
        S
        (
        q
        ,
        
          p
          ′
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle S(q,p',t)}
  
, которая делает 
  
    
      
        
          H
          ′
        
        (
        
          q
          ′
        
        ,
        
          p
          ′
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle H'(q',p',t)}
  
 тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и
 Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что
 Поскольку уравнение (1) даёт 
  
    
      
        p
        =
        ∂
        S
        
          /
        
        ∂
        q
        ,
      
    
    {\displaystyle p=\partial S/\partial q,}
  
 можно записать
 что является уравнением Гамильтона — Якоби.
 Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о 
  
    
      
        
          q
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{1}}
  
) и соответствующий ей импульс 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              S
            
            
              ∂
              
                q
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}}
  
 входят в уравнение в форме
 Тогда можно положить
 где 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}}
  
 — произвольная постоянная, 
  
    
      
        
          g
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{1}}
  
 — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид
 где 
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}}
  
 — произвольные постоянные, 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 — константа интегрирования. Напомним, что при этом 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 является функцией конечной точки 
  
    
      
        (
        
          q
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          q
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n})}
  
. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:
 Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.
 Также если в голономной системе с 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 степенями свободы кинетическая энергия имеет вид 
  
    
      
        T
        =
        
          
            1
            2
          
        
        f
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          A
          
            m
          
        
        (
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
          
            2
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2}),}
  
 и потенциальная энергия имеет вид 
  
    
      
        Π
        =
        
          
            1
            f
          
        
        f
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          Π
          
            m
          
        
        (
        
          q
          
            m
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m}),}
  
 где 
  
    
      
        f
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          F
          
            m
          
        
        (
        
          q
          
            m
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m}),}
  
 то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби.