Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{2}}
  
, 
  
    
      
        
          b
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{3}}
  
, 
  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots }
  
 (члены прогрессии), в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих членов, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на ненулевое фиксированное число 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 для данной последовательности (знаменатель прогрессии). При этом 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ≠
        0
        ,
        q
        ≠
        0
        ;
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        q
        ,
        n
        ∈
        
          N
        
        ,
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2}
  
.
 Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.
 Произведением первых 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 членов геометрической прогрессии 
  
    
      
        
          {
          
            b
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
  
 называется произведение от 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
 до 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
  
, то есть выражение вида 
  
    
      
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        ⋅
        
          b
          
            2
          
        
        ⋅
        
          b
          
            3
          
        
        ⋅
        …
        ⋅
        
          b
          
            n
            −
            2
          
        
        ⋅
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        ⋅
        
          b
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod \limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot b_{3}\cdot \ldots \cdot b_{n-2}\cdot b_{n-1}\cdot b_{n}.}
  

Обозначение: 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  
.
 Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
 Если каждый член геометрической прогрессии больше предыдущего, то прогрессия называется возрастающей; если меньше предыдущего, то убывающей.
 
Геометрическая прогрессия возрастает, если выполняется один из наборов условий:
 или
 Геометрическая прогрессия убывает, если выполняется один из наборов условий:
 или
 Запишем разность между 
  
    
      
        
          (
          
            n
            +
            1
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(n+1\right)}
  
-м и 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-м членами геометрической прогрессии по формуле общего члена:
 Для возрастающей прогрессии эта разность должна быть положительной независимо от номера 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, а для убывающей — отрицательной. Условия, выписанные в доказываемом утверждении, как раз и гарантируют, что разность членов 
  
    
      
        
          b
          
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n+1}}
  
 и 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
  
 будут иметь определённый знак.■
 При 
  
    
      
        q
        <
        0
      
    
    {\displaystyle q<0}
  
 — знакочередующейся, при 
  
    
      
        q
        =
        1
      
    
    {\displaystyle q=1}
  
 — стационарной (постоянной).
 Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
 то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов.
 Однако это не только свойство, но и признак геометрической прогрессии, формулировка которого звучит следующим образом:
 Последовательность положительных чисел тогда и только тогда является геометрической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое предшествующего и последующего членов.
 Данный признак можно расширить на другие случаи. Если её члены отрицательны, получим 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        −
        
          
            
              b
              
                n
                −
                1
              
            
            ⋅
            
              b
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}=-{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}
  
, где 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
.
 Если знаки членов прогрессии чередуются, получим 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          
            (
            
              −
              1
            
            )
          
          
            n
            +
            j
          
        
        
          
            
              b
              
                n
                −
                1
              
            
            ⋅
            
              b
              
                n
                +
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}=\left(-1\right)^{n+j}{\sqrt {b_{n-1}\cdot b_{n+1}}}}
  
, где 
  
    
      
        j
        =
        0
      
    
    {\displaystyle j=0}
  
 либо 
  
    
      
        j
        =
        1
      
    
    {\displaystyle j=1}
  
 и 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
.
 Если на координатной плоскости нанести точки с координатами 
  
    
      
        
          (
          
            n
            ;
            
            
              b
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(n;\,b_{n}\right)}
  
, где 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — номер (натуральное число), а 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
  
 — 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой 
  
    
      
        q
        >
        0
      
    
    {\displaystyle q>0}
  
, то все точки будут принадлежать графику функции:
  где 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 — это знаменатель геометрической прогрессии, а 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
 — её первый член .
Это означает, что справедлива теорема: Для того чтобы последовательность 
  
    
      
        
          {
          
            b
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}
  
 являлась геометрической прогрессией при 
  
    
      
        q
        >
        0
      
    
    {\displaystyle q>0}
  
, необходимо и достаточно, чтобы 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{n}}
  
 являлась показательной функцией (от 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
), заданной на множестве натуральных чисел. 
 Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:
 По определению геометрической прогрессии.
 По определению геометрической прогрессии.
 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            −
            i
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            +
            i
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            i
          
        
        
          b
          
            n
            +
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}
  

 
  
    
      
        log
        ⁡
        (
        
          b
          
            n
          
        
        )
        =
        log
        ⁡
        (
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        =
        log
        ⁡
        (
        
          b
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        ⋅
        log
        ⁡
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)}
  

Формула общего члена арифметической прогрессии:

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        (
        n
        −
        1
        )
        ⋅
        d
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}
  
.
В нашем случае

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        log
        ⁡
        (
        
          b
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})}
  
,

  
    
      
        d
        =
        log
        ⁡
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle d=\log(q)}
  
.
 
  
    
      
        
          b
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            −
            i
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            n
            −
            1
            +
            i
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            i
          
        
        
          b
          
            n
            +
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}
  

 
Пусть 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        ,
        
          a
          
            l
          
        
        ,
        
          a
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}}
  
 — соответственно 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-й, 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
-й, 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
-й члены геометрической прогрессии, где 
  
    
      
        k
        ,
        
        l
        ,
        
        m
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle k,\,l,\,m\in \mathbb {N} }
  
. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство геометрической прогрессии, называемое тождеством геометрической прогрессии:  
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.}
  

Раскроем произведение 
  
    
      
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}}
  
:

  
    
      
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          q
          
            0
          
        
        ⋅
        
          q
          
            1
          
        
        ⋅
        
          q
          
            2
          
        
        ⋅
        …
        ⋅
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          q
          
            0
            +
            1
            +
            2
            +
            …
            +
            (
            i
            −
            1
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.}
  

Выражение 
  
    
      
        0
        +
        1
        +
        2
        +
        …
        +
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle 0+1+2+\ldots +(n-1)}
  
 представляет собой арифметическую прогрессию с 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{1}=0}
  
 и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна 
  
    
      
        
          S
          
            n
          
        
        =
        n
        ⋅
        
          
            
              
                a
                
                  1
                
              
              +
              
                a
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        =
        n
        ⋅
        
          
            
              0
              +
              (
              n
              −
              1
              )
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.}
  

Откуда

  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          q
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          b
          
            1
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        
          q
          
            
              
                n
                (
                0
                +
                (
                n
                −
                1
                )
                )
              
              2
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                b
                
                  1
                
              
              
                b
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            )
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                b
                
                  1
                
              
              
                b
                
                  n
                
              
            
            )
          
          
            
              n
              2
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.}
  

 
  
    
      
        
          P
          
            k
            ,
            n
          
        
        =
        
          ∏
          
            i
            =
            k
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                b
                
                  i
                
              
            
            
              
                ∏
                
                  j
                  =
                  1
                
                
                  k
                  −
                  1
                
              
              
                b
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              P
              
                n
              
            
            
              P
              
                k
                −
                1
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}
  

 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                b
                
                  1
                
              
              
                (
                
                  1
                  −
                  
                    q
                    
                      n
                    
                  
                
                )
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                
                  1
                  −
                  q
                
              
            
            −
            
              b
              
                1
              
            
            
              
                
                  q
                  
                    n
                  
                
                
                  1
                  −
                  q
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        −
        
          b
          
            1
          
        
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              q
              
                n
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.}
  
 Если 
  
    
      
        
          |
          q
          |
        
        <
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \left|q\right|<1,}
  
 то 
  
    
      
        
          q
          
            n
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle q^{n}\to 0}
  
 при 
  
    
      
        n
        →
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle n\to \infty .}
  
 Поэтому 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              q
              
                n
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.}
  
 Следовательно 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          S
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                1
              
            
            
              1
              −
              q
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.}
  

 где 
  
    
      
        
          σ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{n}}
  
 — сумма обратных величин, то есть 
  
    
      
        
          σ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              1
              
                b
                
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            
              1
              
                b
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              1
              
                b
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{n}={\dfrac {1}{b_{1}}}+{\dfrac {1}{b_{2}}}+\cdots +{\dfrac {1}{b_{n-1}}}+{\dfrac {1}{b_{n}}}}
  
.