Великая теорема Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Сформулирована французским математиком Пьером Ферма в 1637 году. Несмотря на простоту формулировки, буквально, на «школьном» арифметическом уровне, доказательство теоремы искали многие математики на протяжении более трёхсот лет. И только в 1994 году теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами; публикация доказательства состоялась в 1995 году.
 Теорема утверждает, что для любого натурального числа 
  
    
      
        n
        >
        2
      
    
    {\displaystyle n>2}
  
 уравнение
 не имеет решений в целых ненулевых числах 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
.
 Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
 — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 чётно, то 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        ,
        
          |
        
        b
        
          |
        
        ,
        
          |
        
        c
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |a|,|b|,|c|}
  
 тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения 
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
        
        =
        
          c
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}}
  
 и при этом 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 отрицательно, а прочие положительны, то 
  
    
      
        
          b
          
            3
          
        
        =
        
          c
          
            3
          
        
        +
        
          |
        
        a
        
          
            |
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}}
  
, и получаем натуральные решения 
  
    
      
        c
        ,
        
          |
        
        a
        
          |
        
        ,
        b
        .
      
    
    {\displaystyle c,|a|,b.}
  
 Поэтому обе формулировки эквивалентны.
 Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.
 Для случая 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
 эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.
 В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

 
Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.
 Ферма приводит только доказательство как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы, 
  
    
      
        n
        =
        4
      
    
    {\displaystyle n=4}
  
, в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта и в письме к Каркави (август 1659 года). Кроме этого, Ферма включил случай 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
 в список задач, решаемых методом бесконечного спуска.
 Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для 
  
    
      
        n
        =
        5
      
    
    {\displaystyle n=5}
  
, Ламе — для 
  
    
      
        n
        =
        7
      
    
    {\displaystyle n=7}
  
. Куммер показал, что теорема верна для всех простых 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.
 Принято называть утверждение, что уравнение 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
  
 не может быть удовлетворено не делящимися на 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 числами, первым случаем теоремы Ферма, а утверждение, что уравнение 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
  
 не может быть удовлетворено числами, одно из которых делится на 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, — вторым случаем теоремы Ферма. Первый случай теоремы Ферма для показателей в виде чисел Софи Жермен был доказан теоремой Софи Жермен.
 Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается[кем?], что теорема стои́т на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел.
В 1908 году немецкий любитель математики Пауль Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.
 В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}
  
 при 
  
    
      
        n
        >
        3
      
    
    {\displaystyle n>3}
  
 может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.
 В 1984 году немецкий математик Герхард Фрай доказал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение и предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом, который показал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника среди модулярных форм.
 Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство гипотезы Таниямы — Симуры было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics».
 Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен[кем?] серьёзный[какой?] пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию.
 Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов».
 Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет чёткого консенсуса в отношении его работ.
 Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение 
  
    
      
        
          a
          
            4
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
        
        +
        
          c
          
            4
          
        
        =
        
          d
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}}
  
 не имеет натуральных решений 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        d
        .
      
    
    {\displaystyle a,b,c,d.}
  
 Только в XX веке, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение:
 Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:
 Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 миллион долларов США.
 Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.
 Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».
 Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сотен бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.
 Отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях, как правило, с последующими опровержениями. Среди других примеров:
 Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.
 В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол» профессор Саймон Флэгг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят короткометражный игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, киностудия «Центрнаучфильм», творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).
 Александр Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.
 В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.
 В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 
  
    
      
        
          1782
          
            12
          
        
        +
        
          1841
          
            12
          
        
        =
        
          1922
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}}
  
. Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство:
 Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.
 В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдёт решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
 В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём» главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
 Мюзикл «Последнее танго Ферма» создан в 2000 году Джошуа Розенблюмом и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать. Мюзикл был представлен в театре York Theatre в Нью-Йорке, затем записан и издан институтом Клэя.
 За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.
 
Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.