Быстрорастущая иерархия (также называемая расширенной иерархией Гржегорчика) — это семейство быстрорастущих функций, индексированных ординалами. Наиболее известным частным случаем быстрорастущей иерархии является иерархия Лёба-Вайнера.
 Быстрорастущая иерархия определяется следующими правилами:
 Фундаментальные последовательности для предельных ординалов свыше 
  
    
      
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{0}}
  
 приведены в статьях о функциях Веблена и функциях Бухгольца.
 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          f
          
            0
          
          
            n
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              
                
                  f
                  
                    0
                  
                
                (
                
                  f
                  
                    0
                  
                
                (
                ⋯
                (
                
                  f
                  
                    0
                  
                
                (
                
                  f
                  
                    0
                  
                
                (
              
              ⏟
            
          
          
            n
            
            
              f
              
                0
              
            
          
        
        n
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        =
        2
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)=\underbrace {f_{0}(f_{0}(\cdots (f_{0}(f_{0}(} _{n\quad f_{0}}n))\cdots ))=2\times n}
  
, 
 
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          f
          
            1
          
          
            n
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
                ⋯
                (
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
                
                  f
                  
                    1
                  
                
                (
              
              ⏟
            
          
          
            n
            
            
              f
              
                1
              
            
          
        
        n
        )
        )
        ⋯
        )
        )
        =
        
          2
          
            n
          
        
        ×
        n
      
    
    {\displaystyle f_{2}(n)=f_{1}^{n}(n)=\underbrace {f_{1}(f_{1}(\cdots (f_{1}(f_{1}(} _{n\quad f_{1}}n))\cdots ))=2^{n}\times n}
  
.
 Для функций, индексированных конечными ординалами  
  
    
      
        α
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha >1}
  
 верно
 
  
    
      
        
          f
          
            m
          
        
        (
        n
        )
        >
        2
        
          ↑
          
            m
            −
            1
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle f_{m}(n)>2\uparrow ^{m-1}n}
  
.
 В частности, при n=10:
 
  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        (
        10
        )
        =
        
          f
          
            2
          
          
            10
          
        
        (
        10
        )
        ≈
        
          
            
              
                10
                
                  
                    10
                    
                      
                        10
                        
                          ⋯
                          
                            
                              
                              
                                
                                  10
                                  
                                    
                                      10
                                      
                                        3.489
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              ⏟
            
          
          
            10
            
            
              десяток
            
          
        
        ≈
        10
        ↑↑
        11
      
    
    {\displaystyle f_{3}(10)=f_{2}^{10}(10)\approx \underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3.489}}}}}}}} _{10\quad {\text{десяток}}}\approx 10\uparrow \uparrow 11}
  
,
 
  
    
      
        
          f
          
            4
          
        
        (
        10
        )
        =
        
          f
          
            3
          
          
            10
          
        
        (
        10
        )
        ≈
        
          
          
            
              
                
                
                
                  
                    
                      
                        10
                        
                          
                            10
                            
                              
                                10
                                
                                  ⋯
                                  
                                    
                                      
                                      
                                        
                                          10
                                          
                                            
                                              10
                                              
                                                3.489
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      ⏟
                    
                  
                
              
              
                
                
                
                  
                    
                      
                        10
                        
                          
                            10
                            
                              
                                10
                                
                                  ⋯
                                  
                                    
                                      
                                      
                                        
                                          10
                                          
                                            
                                              10
                                              
                                                3.489
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      ⏟
                    
                  
                
              
              
                
                
                
                  
                    
                      
                        
                        
                        
                        ⋮
                        
                        
                        
                      
                      ⏟
                    
                  
                
              
              
                
                
                
                  
                    
                      
                        10
                        
                          
                            10
                            
                              
                                10
                                
                                  ⋯
                                  
                                    
                                      
                                      
                                        
                                          10
                                          
                                            
                                              10
                                              
                                                3.489
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      ⏟
                    
                  
                
              
              
                
                
                
                  10
                  
                  
                    десяток
                  
                
              
            
          
          }
        
        
          10 нижних фигурных скобок
        
        ≈
        10
        ↑↑↑
        11
      
    
    {\displaystyle f_{4}(10)=f_{3}^{10}(10)\approx \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3.489}}}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3.489}}}}}}}} \\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots {^{10^{10^{3.489}}}}}}}} \\&&10\quad {\text{десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{10 нижних фигурных скобок}}\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}
  
,
 
  
    
      
        
          f
          
            m
          
        
        (
        10
        )
        ≈
        10
        
          ↑
          
            m
            −
            1
          
        
        11
      
    
    {\displaystyle f_{m}(10)\approx 10\uparrow ^{m-1}11}
  
.
 Таким образом, уже первый трансфинитный ординал 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 соответствует пределу стрелочной нотации Кнута.
 Знаменитое число Грэма меньше, чем 
  
    
      
        
          f
          
            ω
            +
            1
          
        
        (
        64
        )
      
    
    {\displaystyle f_{\omega +1}(64)}
  
.
 Благодаря простоте  и ясности определения быстрорастущая иерархия применяется для анализа различных нотаций для записи больших чисел.
 Данная выше дефиниция определяет быстрорастущую иерархию до 
  
    
      
        
          ε
          
            0
          
        
        =
        ω
        ↑↑
        n
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega \uparrow \uparrow n}
  
. Для дальнейшего роста можно использовать функцию Веблена и другие, еще более мощные нотации для ординалов.