Индуци́рованная тополόгия — естественный способ задания топологии на подмножестве топологического пространства.
 Пусть дано топологическое пространство 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        
          
            T
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}
  
, где 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 — произвольное множество, а 
  
    
      
        
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}}
  
 — определённая на 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 топология. Пусть также 
  
    
      
        Y
        ⊂
        X
      
    
    {\displaystyle Y\subset X}
  
. Определим 
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}
  
 — семейство подмножеств 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
 следующим образом:
 Несложно проверить, что 
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}
  
 является топологией на 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
. Эта топология называется индуцированной топологией 
  
    
      
        
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}}
  
. Топологическое пространство 
  
    
      
        (
        Y
        ,
        
        
          
            
              T
            
          
          
            Y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}
  
 называется подпростра́нством 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
        
          
            T
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}
  
.
 Эту конструкцию можно обобщить. Пусть 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 – произвольное множество, 
  
    
      
        (
        Y
        ,
        
        
          
            
              T
            
          
          
            Y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}
  
 – топологическое пространство и 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
  
 – произвольное отображение 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 в 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
. Тогда в качестве 
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}
  
 возьмем всевозможные множества вида 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}}
  
(
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
), где 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 – открытые множества в 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
. Топология 
  
    
      
        
          
            
              T
            
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}
  
 называется индуцированной отображением 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 топологией. Она хороша тем, что отображение 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 в этой топологии автоматически становится непрерывным. Это самая слабая (она содержит меньше всего множеств) из всех возможных топологий пространства 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
, для которых отображение 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 будет непрерывным.
 Пусть дана вещественная прямая 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 со стандартной топологией. 
Тогда топология, индуцированная последней на множестве всех натуральных чисел 
  
    
      
        
          N
        
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }
  
, является дискретной.