Русский математик Андрей Андреевич Марков без сомнения известен всем любителям математики, как создатель т.н. "цепей Маркова" - последовательности случайных событий, где вероятность наступления каждого события зависит только от состояния, достигнутого в предыдущем событии.   Однако сегодня мы поговорим о его менее известном открытии, связанном с исследованием решений в целых числах следующего диофантова уравнения:   Решений уравнения Маркова - бесконечное количество, и все они получаются по очень простой формуле (впрочем, вывод её достаточно объемный - смотреть здесь на с. 31). В её основе лежит первое приходящее на ум тривиальное решение:   Тогда остальные решения выводятся по формуле: В результате чего перестановкой получаются следующие тройки чисел:  Каноничной из них считается та, в которой числа упорядочены по возрастанию, т.е. последняя, которая и называется марковской тройкой. Теперь фиксируем первое значение и вычисляем следующую тройку: Дальше есть два пути (забегая вперед, в остальных марковских тройках нет повторяющихся значений). В первом случае мы меняем местами q и r, во втором -  p и r. Схематично вычисление выглядит так: Все возможные марковские тройки, как Вы могли догадаться, целиком и полностью состоят из марковских чисел. Первые из них (всего их бесконечное количество): Если продолжать процесс ветвления для каждой марковской тройки, получим дерево: Обратите внимание на выделенные красным цветом числа - это нечетные члены последовательности Фибоначчи! Выделенные зеленым цветом - т.н. числа Пелля, получаемые при решении одноименного уравнения. Наивно думать, что Марков в теории чисел изучал всего лишь одно конкретное уравнение. Наоборот, его числа родились во время исследования целой математической области -  т.н. квадратичных форм, где Марков выделил специальные формы (второй столбец): Если попытаться вычислить значение последней дроби, оно будет равным примерно 2.9999. Марков показал, что эта величина стремится к 3. Прелюдия закончена. Начинается математическая магия. Удивительно, но числа Маркова проявляются в теории приближения иррациональных чисел рациональными дробями: Это утверждение означает, что всякое иррациональное число α можно приблизить рациональной дробью p/q с требуемой точностью, которая зависит только от знаменателя q. Например: Т.е., выбирая q=10 мы получили приближение с погрешностью меньше 5 %, а наилучшее приближение числа π в данном случае - это дробь 31/10. А что будет если взять другие значения q? Оказывается, прямой зависимости в уменьшении погрешности нет:       Т.е. наметившееся уменьшение погрешности в дребезги разбивается, например, при q=125, где наилучшее приближение хуже, чем при меньших значениях знаменателя. Напрашивается вывод, что не все q подходят для того, что наилучшим образом приближать иррациональные числа, да и вообще в правой части может быть не такое простое выражение.   Немецкий математик Адольф Гурвиц показал, что некоторые иррациональные числа можно приближать точнее и точнее, если использовать в качестве дроби справа следующие выражения:   В 1921 году математик Оскар Перрон нашел ключ, который наконец связал числа Маркова с коэффициентами наилучшего приближения иррациональных чисел:  Как видите, числа Маркова являются собой замечательную, скрытую от невооруженного глаза, связь непрерывного (квадратичных форм) и дискретного (рациональных приближений). Этим и прекрасна математика!  Подборка материалов по числам Маркова: Теорема Маркова и гипотеза единственности (объемная книга, целиком посвященная проблематике) / англ. Оригинал работы Маркова по теории квадратичных форм / англ. Отдельная статья про гипотезу единственности (утверждает, что каждое число Маркова является наибольшим в тройке только один раз) / англ. О геодезических (кратчайших) линиях и их связи с числами Маркова / англ. Связь целочисленной геометрии и чисел Маркова / англ. Спектры Маркова и Лагранжа (по сути некоторые наборы для квадратичных форм с определенным дискриминантом) / англ. О распределении чисел Маркова / англ. О сопоставлении дерева Маркова с двоичными словами специального вида / англ. Объяснение, почему уравнение Маркова с правой частью вида n*pqr при n>3 не имеет решения / англ. Введение в теорию диофантовых приближений / рус. Комбинаторика марковских чисел / англ. Всё это и много другое, заботливо упакованное в один архив, - "Математика не для всех" Эта статья поддерживается командой ITGLOBAL.COM Мы — первый облачный провайдер в России, а также интегратор, поставщик ИТ-услуг, продуктов, сервисов и разработчик собственного ПО.   •  Наш сайт•  Наш блог про виртуализацию и Enterprise IT•  Наш YouTube канал  •  Истории успеха наших клиентов  Ищите в поиске: «Математика не для всех»