Матрица достижимости простого ориентированного графа 
  
    
      
        G
        =
        (
        V
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle G=(V,A)}
  
 — бинарная матрица замыкания по транзитивности отношения 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 (оно задаётся матрицей смежности графа). Таким образом, в матрице достижимости хранится информация о существовании путей между вершинами орграфа.
 Пусть дан простой граф 
  
    
      
        G
        =
        (
        V
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle G=(V,A)}
  
, матрица смежности которого есть 
  
    
      
        
          A
        
        =
        (
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            n
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =(a_{ij})_{n\times n}}
  
, где 
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
        =
        1
        ⇔
        (
        i
        ,
        j
        )
        ∈
        A
      
    
    {\displaystyle a_{ij}=1\Leftrightarrow (i,j)\in A}
  
. Матрица смежности даёт информацию о всех путях длины 1 (то есть дугах) в орграфе. Для поиска путей длины 2 можно найти композицию отношения 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 с самим собой:
 
  
    
      
        A
        ∘
        A
        =
        
          
            {
          
        
        (
        a
        ,
        c
        )
        :
        ∃
        b
        ∈
        V
        :
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
         
        (
        b
        ,
        c
        )
        ∈
        A
        
          
            }
          
        
      
    
    {\displaystyle A\circ A={\bigl \{}(a,c):\exists b\in V:(a,b),\ (b,c)\in A{\bigr \}}}
  
.
 По определению, матрица композиции отношений 
  
    
      
        A
        ∘
        A
      
    
    {\displaystyle A\circ A}
  
 есть 
  
    
      
        
          
            A
            
              2
            
          
        
        =
        (
        
          
            
              a
              
                2
              
            
          
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            n
            ×
            n
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          ∑
          
            k
          
        
        
          a
          
            i
            k
          
        
        
          a
          
            k
            j
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        (
        
          a
          
            i
            1
          
        
        ∧
        
          a
          
            1
            j
          
        
        )
        ∨
        (
        
          a
          
            i
            2
          
        
        ∧
        
          a
          
            2
            j
          
        
        )
        ∨
        …
        ∨
        (
        
          a
          
            i
            n
          
        
        ∧
        
          a
          
            n
            j
          
        
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A^{2}} =({a^{2}}_{ij})_{n\times n}={\Bigl (}\sum _{k}a_{ik}a_{kj}{\Bigr )}={\Bigl (}(a_{i1}\land a_{1j})\lor (a_{i2}\land a_{2j})\lor \ldots \lor (a_{in}\land a_{nj}){\Bigr )}}
  
, где 
  
    
      
        ∧
      
    
    {\displaystyle \land }
  
 — конъюнкция, а 
  
    
      
        ∨
      
    
    {\displaystyle \lor }
  
 — дизъюнкция.
 После нахождения матриц 
  
    
      
        
          
            A
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}
  
 композиций 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                ∘
                …
                ∘
                A
              
              ⏟
            
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \underbrace {A\circ \ldots \circ A} _{k}}
  
 для всех 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, 
  
    
      
        1
        ≤
        k
        ≤
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 1\leq k\leq n-1}
  
 будет получена информация о всех путях длины от 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 до 
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
. Таким образом, матрица 
  
    
      
        
          R
          (
          G
          )
        
        =
        
          E
        
        ∨
        
          A
        
        ∨
        
          
            A
            
              2
            
          
        
        ∨
        …
        ∨
        
          
            A
            
              n
              −
              1
            
          
        
        =
        (
        
          
            
              a
              
                ∗
              
            
          
          
            i
            j
          
        
        
          )
          
            n
            ×
            n
          
        
        =
        (
        
          
            a
          
          
            i
            j
          
        
        ∨
        
          
            
              a
              
                2
              
            
          
          
            i
            j
          
        
        ∨
        …
        ∨
        
          
            
              a
              
                n
                −
                1
              
            
          
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R(G)} =\mathbf {E} \lor \mathbf {A} \lor \mathbf {A^{2}} \lor \ldots \lor \mathbf {A^{n-1}} =({a^{*}}_{ij})_{n\times n}=({a}_{ij}\lor {a^{2}}_{ij}\lor \ldots \lor {a^{n-1}}_{ij})}
  
 есть искомая матрица достижимости, где 
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  
 — единичная матрица.
 
  
    
      
        
          E
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
  

 Если булевы операции 
  
    
      
        ∨
        ,
        ∧
      
    
    {\displaystyle \lor ,\land }
  
 дизъюнкции и конъюнкции заменить обычными алгебраическими операциями 
  
    
      
        +
        ,
        ×
      
    
    {\displaystyle +,\times }
  
 сложения и умножения соответственно, нахождение матрицы достижимости 
  
    
      
        
          R
          (
          G
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R(G)} }
  
 сведётся к обычному пошаговому перемножению матриц с последующим сложением результатов каждого шага. Тогда получившаяся матрица 
  
    
      
        
          R
          (
          G
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R(G)} }
  
 будет состоять не только из 0 и 1 и будет характеризовать не только наличие путей между вершинами, но уже и количество таких путей. В таком случае можно разрешить наличие кратных рёбер в графе.
 Рассмотрим простой связный ориентированный граф 
  
    
      
        G
        =
        (
        V
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        }
        ,
        A
        =
        {
        (
        1
        ,
        2
        )
        ,
        (
        1
        ,
        3
        )
        ,
        (
        3
        ,
        2
        )
        ,
        (
        3
        ,
        4
        )
        ,
        (
        4
        ,
        3
        )
        }
        )
      
    
    {\displaystyle G=(V=\{1,2,3,4\},A=\{(1,2),(1,3),(3,2),(3,4),(4,3)\})}
  
.
Он имеет матрицу смежности 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 вида:
 
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}
  

 Найдём булевы степени этой матрицы  
  
    
      
        
          
            A
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A^{2}} }
  
, 
  
    
      
        
          
            A
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A^{3}} }
  
:
 
  
    
      
        
          
            A
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A^{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0&1\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}}
  
,

  
    
      
        
          
            A
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A^{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}}
  
,
 Получим матрицу достижимости
 
  
    
      
        
          R
          (
          G
          )
        
        =
        
          E
          ∨
          A
          ∨
          
            A
            
              2
            
          
          ∨
          
            A
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R(G)} =\mathbf {E\lor A\lor A^{2}\lor A^{3}} ={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{pmatrix}}}
  

 Таким образом, из вершины 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 можно добраться в любую другую.
 При использовании же алгебраических операций получится матрица
 
  
    
      
        
          R
          (
          G
          )
        
        =
        
          E
          +
          A
          +
          
            A
            
              2
            
          
          +
          
            A
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  2
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  2
                
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R(G)} =\mathbf {E+A+A^{2}+A^{3}} ={\begin{pmatrix}1&2&2&1\\0&1&0&0\\0&2&2&2\\0&1&2&2\end{pmatrix}}}
  

 Она показывает количество путей длины от 0 до 3 между вершинами орграфа.
 Существует другой алгоритм, позволяющий найти матрицу достижимости в точности за 
  
    
      
        2
        
          n
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2n^{3}}
  
 шагов — алгоритм Уоршелла.
 Матрица сильной связности простого орграфа — бинарная матрица, содержащая информацию обо всех сильно связанных вершинах в орграфе. Матрица сильной связности симметрична. У сильно связного графа такая матрица заполнена единицами.
 Матрица сильной связности может быть построена из матрицы достижимости. Пусть 
  
    
      
        
          
            E
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}
  
 — матрица достижимости орграфа 
  
    
      
        G
        =
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=(V,E)}
  
. Тогда матрица сильной связности 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} }
  
 состоит из элементов 
  
    
      
        (
        
          c
          
            i
            j
          
        
        )
        =
        
          (
          
            (
            
              e
              
                i
                j
              
            
            )
            ∧
            (
            
              e
              
                j
                i
              
            
            )
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (c_{ij})=\left((e_{ij})\land (e_{ji})\right)}
  
.
 Рассмотрим тот же граф, что и ранее.
 Его матрица достижимости:
 
  
    
      
        
          
            E
            
              ∗
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E^{*}} ={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{pmatrix}}}
  

 Из неё получаем матрицу сильной связности:
 
  
    
      
        
          C
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}}}
  

 Вершины 3 и 4 сильно связаны друг с другом и сами с собой.
 Для обычного (не ориентированного) связного графа существует понятие матрицы связности, сходное с матрицей достижимости.
 Матрица контрдостижимости Q графа G может быть найдена из матрицы достижимости путем ее транспонирования.