Тест Люка — Лемера — Ризеля  (LLR) — тест простоты для чисел вида 
  
    
      
        N
        =
        k
        ⋅
        
          2
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N=k\cdot 2^{n}-1}
  
 с 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
        >
        k
      
    
    {\displaystyle 2^{n}>k}
  

(подмножество 
  
    
      
        3
        ⋅
        
          2
          
            n
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}
  
 таких чисел называется числами Сабита).
Разработан Хансом Ризелем и базируется на тесте Люка — Лемера, является самым быстрым детерминированным алгоритмом для чисел такого вида.
 Алгоритм очень похож на тест Люка — Лемера, но начинается со значения, зависящего от 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
. Для алгоритма используется последовательность Люка 
  
    
      
        {
        
          u
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{u_{i}\}}
  
, задаваемая для 
  
    
      
        i
        >
        0
      
    
    {\displaystyle i>0}
  
 формулой:
 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 является простым в том и только в том случае, когда оно делит 
  
    
      
        
          u
          
            n
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{n-2}}
  
.
 Альтернативный метод поиска стартового значения 
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
 дан в 1994 году. Метод много проще использованного Ризелем для случая, когда 3 делит 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
. В альтернативном способе сначала находится значение 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, удовлетворяющее следующему равенству символов Якоби:
 На практике нужно проверить лишь несколько значений 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 (5, 8, 9 или 11 перекрывают 85 %).
 Чтобы получить начальное значение 
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
 из 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 можно использовать последовательность Люка 
  
    
      
        (
        P
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (P,1)}
  
. При 3 ∤k (k не делится на 3) можно использовать значение 
  
    
      
        P
        =
        4
      
    
    {\displaystyle P=4}
  
 и предварительный поиск не нужен. Начальное значение 
  
    
      
        
          u
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{0}}
  
 тогда равно  последовательности Люка 
  
    
      
        
          V
          
            k
          
        
        (
        P
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle V_{k}(P,1)}
  
 по модулю 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
. Этот процесс занимает очень малое время по сравнению с основным тестом.
 Тест Люка — Лемера — Ризеля является частным случаем проверки простоты порядка группы. В тесте показывается, что некоторое число — простое в связи с тем, что некоторая группа имеет порядок, который был бы равен этому простому числу, для чего выявляется элемент группы, имеющий в точности нужный порядок.
 В тестах, подобных тестам Люка, для числа 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 используется мультипликативная группа квадратичного расширения целых по модулю 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
. Если 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 — простое, порядок мультипликативной группы равен 
  
    
      
        
          N
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle N^{2}-1}
  
, и она имеет подгруппу порядка 
  
    
      
        N
        +
        1
      
    
    {\displaystyle N+1}
  
, для целей теста ищется порождающее множество этой подгруппы.
 Можно найти неитеративное выражение для 
  
    
      
        
          u
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{i}}
  
.
Следуя модели теста Люка — Лемера, положим 
  
    
      
        
          u
          
            i
          
        
        =
        
          a
          
            
              2
              
                i
              
            
          
        
        +
        
          a
          
            −
            
              2
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{i}=a^{2^{i}}+a^{-2^{i}}}
  
 и получим по индукции 
  
    
      
        
          u
          
            i
          
        
        =
        
          u
          
            i
            −
            1
          
          
            2
          
        
        −
        2
      
    
    {\displaystyle u_{i}=u_{i-1}^{2}-2}
  
.
 Рассмотрим 2i-ый элемент последовательности 
  
    
      
        v
        (
        i
        )
        =
        
          a
          
            i
          
        
        +
        
          a
          
            −
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v(i)=a^{i}+a^{-i}}
  
.
Если a удовлетворяет квадратному уравнению, это последовательность Люка, и она подчиняется выражению 
  
    
      
        v
        (
        i
        )
        =
        α
        v
        (
        i
        −
        1
        )
        +
        β
        v
        (
        i
        −
        2
        )
      
    
    {\displaystyle v(i)=\alpha v(i-1)+\beta v(i-2)}
  
.
В действительности мы ищем 
  
    
      
        k
        ×
        
          2
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle k\times 2^{i}}
  
-ый элемент другой последовательности, но поскольку при децимации (выборка каждого k-го элемента) последовательности Люка получаем также последовательность Люка, мы можем выбирать множитель k путём выбора стартовой точки.
 LLR — это программа, которая выполняет LLR-тест. Программа разработана Жаном Пене (Jean Penné). Винсент Пене (Vincent Penné) модифицировал программу, чтобы можно было проверять простоту числа через интернет. Программа может использоваться как для индивидуального поиска, но также включена в некоторые проекты распределенных вычислений, включая Riesel Sieve и PrimeGrid.