Теоре́ма Э́йлера в теории чисел гласит:
 Если 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 взаимно просты, то 
  
    
      
        
          a
          
            φ
            (
            m
            )
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}}
  
, где 
  
    
      
        φ
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (m)}
  
 — функция Эйлера.
 Важным следствием теоремы Эйлера для случая простого модуля является малая теорема Ферма:
 Если 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 не делится на простое число 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, то 
  
    
      
        
          a
          
            p
            −
            1
          
        
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          p
          )
        
      
    
    {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}
  
.
 В свою очередь, теорема Эйлера является следствием общеалгебраической теоремы Лагранжа, применённой к приведённой системе вычетов по модулю 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            φ
            (
            m
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\varphi (m)}}
  
 — все различные натуральные числа, меньшие 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 и взаимно простые с ним.
 Рассмотрим все возможные произведения 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle x_{i}a}
  
 для всех 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 от 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 до 
  
    
      
        φ
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (m)}
  
.
 Поскольку 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 взаимно просто с 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, и 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 взаимно просто с 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, то и 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle x_{i}a}
  
 также взаимно просто с 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, то есть 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        a
        ≡
        
          x
          
            j
          
        
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}a\equiv x_{j}{\pmod {m}}}
  
 для некоторого 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
.
 Отметим, что все остатки 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle x_{i}a}
  
 при делении на 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 различны. Действительно, пусть это не так, тогда существуют такие 
  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        ≠
        
          i
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle i_{1}\neq i_{2}}
  
, что
 или
 Так как 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 взаимно просто с 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, то последнее равенство равносильно тому, что
 Это противоречит тому, что числа 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            φ
            (
            m
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{\varphi (m)}}
  
 попарно различны по модулю 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
.
 Перемножим все сравнения вида 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        a
        ≡
        
          x
          
            j
          
        
        
          
          (
          mod
          
          m
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}a\equiv x_{j}{\pmod {m}}}
  
. Получим:
 или
 Так как число 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ⋯
        
          x
          
            φ
            (
            m
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}\cdots x_{\varphi (m)}}
  
 взаимно просто с 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, то последнее сравнение равносильно тому, что
 или 
 Рассмотрим мультипликативную группу 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}
  
 обратимых элементов кольца вычетов 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
  
. Её порядок равен 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
 согласно определению функции Эйлера. Поскольку число 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 взаимно просто с 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, соответствующий ему элемент 
  
    
      
        
          
            a
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a}}}
  
 в 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
  
 является обратимым и принадлежит 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            n
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{*}}
  
. Элемент 
  
    
      
        
          
            a
            ¯
          
        
        ∈
        
          
            Z
          
          
            n
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a}}\in \mathbb {Z} _{n}^{*}}
  
 порождает циклическую подгруппу, порядок которой, согласно теореме Лагранжа, делит 
  
    
      
        φ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (n)}
  
, отсюда 
  
    
      
        
          
            
              a
              ¯
            
          
          
            φ
            (
            n
            )
          
        
        =
        
          
            1
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {a}}^{\varphi (n)}={\overline {1}}}
  
. ■