В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным.
Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.
 Например, число 36 является и квадратным (
  
    
      
        6
        ×
        6
      
    
    {\displaystyle 6\times 6}
  
), и треугольным 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                9
                ×
                8
              
              2
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {9\times 8}{2}}\right)}
  
:
 Квадратные треугольные числа образуют последовательность:
 Будем записывать Nk для k-го квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда
 Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).
 В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу:12—13
 Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:
 Соответствующие явные формулы для sk и tk:13:
 и
 Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом:
 любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что
 Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим
 подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение
 которое является уравнением Пелля.
Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk
 и потому все решения задаются формулами
 Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.
 Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем:(12)
 А также:13
 Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2.
 А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:
 Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:
 И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: 
  
    
      
        
          2
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{2}}
  
 (очевидно), 
  
    
      
        (
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle (n(n+1))/2}
  
 (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и 
  
    
      
        (
        2
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (2n+1)^{2}}
  
 (очевидно).
 Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:
 С увеличением k, отношение tk / sk стремится к 
  
    
      
        
          
            2
          
        
        ≈
        1.41421
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421}
  
, а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к 
  
    
      
        17
        +
        12
        
          
            2
          
        
        ≈
        33.97056
      
    
    {\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056}
  
.