Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
 Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
 Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
 Всякий элемент 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 конечномерного пространства 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 представим единственным образом в виде
 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ∈
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P} }
  
 где 
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
 — поле (часто 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
 или 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  
), над которым рассматривается пространство 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
, 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X}
  
 — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
 Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.
 Более общий случай — пространства 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов (
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<\infty }
  
):
 Если ввести норму 
  
    
      
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \|x\|_{2}}
  
 и скалярное произведение 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            ∑
            
              i
              =
              1
            
            
              n
            
          
          
            
              x
              
                i
              
            
            
              y
              
                i
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle (x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}},}
  
 то пространство будет евклидовым.