Арифметическая комбинаторика — междисциплинарная область математики, изучающая зависимость между структурами, образуемыми в поле (реже — в кольце) операцией сложения и операцией умножения.
 Подход к понятию структуры здесь аналогичен аддитивной комбинаторике и базируется в основном на размере множества сумм (или произведений), аддитивной (или мультипликативной) энергии и различных их комбинациях. В качестве поля обычно рассматриваются вещественные или рациональные числа (
  
    
      
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} }}
  
, 
  
    
      
        
          
            Q
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {Q} }}
  
) и вычеты по простому модулю (
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}
  
).
 Аддитивная и арифметическая комбинаторика — молодые, активно развивающиеся науки. Их методы и способы постановки задач очень похожи, поэтому, как правило, аддитивную комбинаторику считают частью арифметической. В этой статье описаны только темы, содержащие в том или ином виде обе операции поля или обратные к ним, то есть которые не относятся к чисто аддитивной комбинаторике (хотя последняя составляет довольно значительную часть арифметической).
 Кроме того, здесь не затрагиваются вопросы об аддитивно-комбинаторных свойствах мультипликативных подгрупп 
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            p
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}^{*}}
  
 и связанных с ними множеств, поскольку, хотя их определение и связано с умножением, но их мультипликативная структура жёстко зафиксироана, а комбинаторная составляющая этой науки предполагает ту или иную общность относительно степени структурированности (хотя бы с параметром, выступающим в роли константы).
 Развитие арифметической комбинаторики было во многом мотивировано появлением теоремы сумм-произведений, которая говорит о непременном разрастании множеств от применения к нему либо комбинаторного суммирования, либо перемножения, то есть одной из двух операций:
 Из этого следует, что комбинирование этих операций также влечёт разрастание: если 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        }
        ⊂
        A
      
    
    {\displaystyle \{0,1\}\subset A}
  
, то
 а добавление в 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 конечного числа элементов влияет на рост лишь несущественно. Поскольку теорема сумм-произведений доказана лишь в слабой форме (далёкой от гипотезы), некоторые учёные стали интересоваться получением утверждений такого рода, которые следовали бы из более сильных форм гипотезы, чем доказанные, а впоследствии — в целом изучением соотношения между результатами разных комбинаций двух операций поля.
 Например, гипотеза Эрдёша — Семереди о суммах-произведениях гласит, что
 Из этой гипотезы следовало бы, что 
  
    
      
        
          |
        
        A
        A
        +
        A
        
          |
        
        ≥
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            2
            −
            o
            (
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)}}
  
, но для множеств 
  
    
      
        A
        ⊂
        
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle A\subset {\mathbb {N} }}
  
 такой результат легко получить и без неё простым комбинаторным рассуждением.
 В этом разделе для описания результатов используется общепринятые записи (пояснение приведено в O-нотации):
 Пусть рациональным выражением над множествами 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}
  
 называется любая комбинация арифметических операций (
  
    
      
        +
        ,
        −
        ,
        ×
        ,
        
          /
        
      
    
    {\displaystyle +,-,\times ,/}
  
) между ними. Под операцией здесь имеется в виду применение по принципу множества сумм:
 Например, следующие множества являются рациональными выражениями над 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
:
 По аналогии с аддитивной энергией, которая часто используется для оценки множества сумм, бывает удобно рассматривать число решений симметричного уравнения с рациональным выражением. Например,
 Существенную часть проблематики арифметической комбинаторики можно выразить следующей постановкой вопроса.
 
 Пусть 
  
    
      
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {F} }}
  
 — некоторое поле (либо бесконечное, либо достаточно большое из заданного семейства конечных), 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n}}
  
 — рациональные выражения, причём хотя бы в одном из них используется 
  
    
      
        +
      
    
    {\displaystyle +}
  
 или 
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
  
 и хотя бы в одном 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
  
 или 
  
    
      
        
          /
        
      
    
    {\displaystyle /}
  
.
 Пусть также для некоторых 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 и множеств 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            k
          
        
        ⊂
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {F} }}
  
 выполнены соотношения
 Вопрос
 Как при 
  
    
      
        N
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle N\to \infty }
  
 ограничено множество возможных значений 
  
    
      
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            k
          
        
        ,
        
          β
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          β
          
            k
          
        
        ,
        
          γ
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          γ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k},\beta _{1},\dots ,\beta _{k},\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})}
  
 в зависимости от 
  
    
      
        
          
            F
          
        
        ,
        
          R
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots ,R_{n}}
  
?
 Примечание
 Если поле конечное, то набор 
  
    
      
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          γ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\gamma _{n})}
  
 уместно дополнить параметром 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
, где 
  
    
      
        N
        =
        
          |
        
        
          
            F
          
        
        
          
            |
          
          
            ε
          
        
      
    
    {\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon }}
  
.
 Например, гипотеза о суммах-произведениях утверждает, что если 
  
    
      
        
          
            F
          
        
        =
        
          
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {R} }}
  
, 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
        (
        A
        )
        =
        A
        +
        A
      
    
    {\displaystyle R_{1}(A)=A+A}
  
, 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
        (
        A
        )
        =
        A
        ⋅
        A
      
    
    {\displaystyle R_{2}(A)=A\cdot A}
  
, то 
  
    
      
        max
        {
        
          γ
          
            1
          
        
        ,
        
          γ
          
            2
          
        
        }
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2}
  
 (здесь 
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
         
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle k=1,\ n=2}
  
).
 Как правило, получается вывести линейные соотношения между величинами 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          γ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\gamma _{n}}
  
, то есть неравенства между произведениями и степенями разных величин 
  
    
      
        
          |
        
        
          A
          
            j
          
        
        
          |
        
        ,
         
        
          |
        
        
          R
          
            i
          
        
        (
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            k
          
        
        )
        
          |
        
        ,
         
        
          E
          
            
              R
              
                i
              
            
            (
            
              A
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              A
              
                k
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})}}
  
.
 Об обобщении сумм и произведений:
 Об обобщении энергий:
 Идея оценки рациональных выражений, объединяющих разные операции, исходит из того, что применение ко множеству аддитивной операции лишает его мультипликативной структуры. Этот же принцип можно расширить на случай, когда множество изменяется не сложной комбинаторной операцией поэлементного сложения, а обычным аддитивным сдвигом — прибавлением ко всем элементам множества одного числа. Ожидается, что от этого мультипликативная структура множества должна в большинстве случаев меняться (например, что если 
  
    
      
        
          |
        
        A
        A
        
          |
        
        ≪
        
          |
        
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |AA|\ll |A|}
  
, то 
  
    
      
        
          |
        
        (
        A
        +
        d
        )
        (
        A
        +
        d
        )
        
          |
        
        ≫
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            1
            +
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c}}
  
 для некоторого 
  
    
      
        c
        >
        0
      
    
    {\displaystyle c>0}
  
 при всех или почти всех 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
).
 Вопрос
 Как при фиксированном (но произвольном) 
  
    
      
        A
        ⊂
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }}
  
 зависят друг от друга мультипликативные свойства (размер множества произведений и мультипликативная энергия) множеств 
  
    
      
        A
        +
        u
        ,
         
        u
        ∈
        
          
            F
          
        
      
    
    {\displaystyle A+u,\ u\in {\mathbb {F} }}
  
. А также каковы совместные мультипликативные свойства множеств 
  
    
      
        A
        +
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        A
        +
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A+u_{1},\dots ,A+u_{k}}
  
 при различных 
  
    
      
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{k}}
  
 (например, существуют ли нетрвииальные оценки на 
  
    
      
        
          |
        
        A
        (
        A
        +
        1
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A(A+1)|}
  
)?
 Идея комбинирования сложения и умножения естественным образом приводит к рассмотрению многочленов, то есть таких же рациональных выражений, но в которых одна переменная может появляться несколько раз (и тем самым оказывать более сложное влияние на структуру получающегося множества). Оказывается, в этом случае для обеспечения безусловного роста не обязательно использовать три копии множества (как в выражении 
  
    
      
        A
        +
        A
        A
      
    
    {\displaystyle A+AA}
  
), а достаточно подобрать нужный полином от двух переменных. Впервые такое свойство заметил Бургейн для многочлена 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        x
        y
      
    
    {\displaystyle x^{2}+xy}
  
.
 Также, по аналогии с теоремой сумм-произведений, изучаются оценки снизу на 
  
    
      
        max
        {
        
          |
        
        A
        +
        A
        
          |
        
        ,
        
          |
        
        f
        (
        A
        ,
        A
        )
        
          |
        
        }
      
    
    {\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}}
  
 для произвольных многочленов 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
.
 Первый результат Бургейна: если 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ⊂
        
          
            
              F
            
          
          
            p
          
        
        ,
         
        
          |
        
        A
        
          |
        
        ∼
        
          |
        
        B
        
          |
        
        ∼
        
          p
          
            α
          
        
        ,
         
        α
        ∈
        (
        0
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)}
  
. Тогда для некоторого 
  
    
      
        ε
        =
        ε
        (
        α
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\alpha )>0}
  
 верно, что
 При сравнении 
  
    
      
        
          |
        
        A
        +
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A+A|}
  
 и 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        A
        ,
        A
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(A,A)|}
  
 большое значение имеет вырожденность многочлена 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
. Если он вырожден, то есть представим в виде 
  
    
      
        f
        =
        g
        (
        l
        (
        x
        ,
        y
        )
        )
      
    
    {\displaystyle f=g(l(x,y))}
  
, где 
  
    
      
        l
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle l,g}
  
 — многочлены и 
  
    
      
        deg
        ⁡
        l
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \deg l=1}
  
, то обе суммы могут оказаться малыми если 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 — арифметическая прогрессия, ведь 
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        A
        ,
        A
        )
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        l
        (
        A
        ,
        A
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(A,A)|\leq |l(A,A)|}
  
. Поэтому результаты формулируются только для невырожденных многочленов:
 Существуют результаты о множествах произведений набора матриц из той или иной матричной подгруппы (например, 
  
    
      
        
          
            
              SL
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          
            R
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })}
  
 или группы Гейзенберга). Строго говоря, эти результаты касаются одной групповой операции (матричного умножения), так что их можно отнести к аддитивной комбинаторике. Но слияние внутри определения этой операции и сложения, и умножения элементов, а также возникающая из этого некоммутативность делают её свойства очень нетипичными по сравнению с обычными групповыми операциями, вроде сложения вещественных чисел.
 Например, множество матриц часто может возрастать от произведения на самого себя при очень простых условиях (большом размере, ограничении на отдельные элементы или отличии от подгрупп).
 Большинство результатов о матричных группах, когда они касаются произвольных наборов матриц, анализирует велличину 
  
    
      
        
          |
        
        A
        A
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |AAA|}
  
, а не 
  
    
      
        
          |
        
        A
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |AA|}
  
. Это не случайность, а техническая необходимость, связанная с некоммутативностью.
 Аналитические методы изучения роста в группе 
  
    
      
        
          
            
              SL
            
          
          
            2
          
        
        (
        
          
            
              F
            
          
          
            p
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})}
  
 и группах Шевале можно использовать для вывода специальной формы гипотезы Зарембы.