Пусть дано метрическое пространство . Тогда мы можем определить метрическое пространство с расстоянием Хаусдорфа  на множестве , которое является семейством всех непустых компактных подмножеств . В этой статье будет показано, что если  — полное, то метрическое пространство  также является полным.  Метрика Хаусдорфа, названная в честь Феликса Хаусдорфа, измеряет расстояние между подмножествами метрического пространства. Проще говоря, метрика Хаусдорфа вычисляет наибольшее из всех возможных расстояний от каждой точки одного множества до ближайшей к ней точки второго множества. Для любого наперёд заданного метрического пространства найдём, что метрика Хаусдорфа определяет метрику на пространстве всех непустых компактных подмножеств этого метрического пространства. Найдём много интересных свойств такого метрического пространства, которое будет нашим основным средоточием внимания в этой статье. Первое свойство заключается в том, что пространство, индуцированное метрикой Хаусдорфа, полное, если исходное метрическое пространство является полным. Похожим образом, второе свойство, которое мы выясним, заключается в том, что если исходное метрическое пространство является компактом, то и пространство, индуцированное метрикой Хаусдорфа, тоже компакт. В следующем разделе будут приведены некоторые определения и теоремы необходимые для понимания статьи. Затем, в последующем разделе, будет определено расстояние Хаусдорфа и будут проверены его свойства с помощью нескольких примеров и коротких доказательств. Найдём, что метрика Хаусдорфа удовлетворяет аксиомам метрики на пространстве непустых компактных подмножеств метрического пространства. В конечном итоге, в последнем разделе, будет доказано, что если исходное метрическое пространство полное, тогда пространство, индуцированное метрикой Хаусдорфа, также полное. Далее, будет показано, что  — компакт, когда  — компакт Концепции, показанные в этой статье, должны быть знакомы каждому, кто проходил курс Действительного Анализа. Здесь и далее будут использоваться терминология и обозначения из книги Гордона Действительный Анализ: Первый Курс . Вследствие этого, предполагается, что читатель знаком со следующими идеями, касающимися метрических пространств и действительных чисел. Определение 2.1 Пусть  — непустое множество действительных чисел ограниченное снизу. Число  — инфимум , если  — нижняя граница
, любое число большее  не является нижней границей . Обозначение: . Определение супремума  строится аналогичным образом, и обозначается он, как . Аксиома полноты Каждое непустое множество действительных чисел, ограниченное снизу, имеет инфимум. Похожим образом, любое непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет супремум. Читателю могут быть более знакомы последующие определения при их применении к метрическому пространству , где . Однако, за исключением некоторых примеров, большая часть этой статьи нацелена на работу с некоторым метрическим пространством общего вида. Таким образом, определения, которые будут даны далее, относятся к любому метрическому пространству . Определение 2.2 Метрическое пространство  — это объект, который включает в себя множество  и функцию , которая удовлетворяет следующим четырём свойствам:
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
Функция , вычисляющая расстояние между двумя точками в , называется метрикой. Например, метрикой на множестве действительных чисел является функция . Легко проверить, что  удовлетворяет всем четырём условиям, указанным выше. Для следующих определений положим, что  — метрическое пространство. Определение 2.3 Пусть  и . Открытым шаром с центром в точке  и радиусом  называется множество . Определение 2.4 Множество  ограничено в , если существуют  и , такие что . Определение 2.5 Множество  вполне ограничено, если для каждого  найдётся конечное подмножество  множества , такое что . Для следующий определений положим, что  — последовательность в метрическом пространстве . Определение 2.6 Последовательность  сходится к точке , если для любого  существует натуральное , такое что  для всех . Мы говорим, что  сходится, если существует точка , такая что  сходится к . Определение 2.7 Последовательность  называется фундаментальной, если для любого  существует натуральное , такое что  для всех . Легко проверить, что каждая сходящаяся последовательность фундаментальна. Определение 2.8 Метрическое пространство  называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в  сходится к точке в . Примером не полного метрического пространства может послужить пространство  рациональных чисел со стандартной метрикой . Как бы то ни было, пространство  действительных чисел и пространство  комплексных чисел являются полными с той же метрикой. Определение 2.9 Множество  является секвенциальным компактом в , если каждая последовательность в  имеет подпоследовательность, сходящуюся к точке в . Заметим, что согласно Теореме 8.59 в , подмножество метрического пространства — компакт, если и только если оно является секвенциальным компактом. Поэтому в данной статье мы будем использовать концепции секвенциальной компактности и компактности как взаимозаменяемые понятия. Определение 2.10 Точка  называется предельной точкой множества , если для каждого , множество  содержит точку из  помимо . Теорема 8.49 из  в качестве альтернативного определения утверждает, что  является предельной точкой множества , если и только если существует последовательность точек в  сходящаяся к . Эта теорема предоставляет возможность выбрать последовательность сходящуюся к , что будет полезно при доказательстве замкнутости множества. Определение 2.11 Множество  — замкнуто в , если E содержит все свои предельные точки. Определение 2.12 Замыканием , обозначается , называется множество , где  — множество всех предельных точек E. Два следующих результата и лемма расположены в этом разделе, поскольку к ним позже будут обращаться в дальнейших доказательствах. В дополнение к этому, они будут служить как введение в доказательства, использующие определение сходящихся последовательностей и неравенство треугольника. Результат 1: Пусть  и  — последовательности в метрическом пространстве . Если  сходится к  и  сходится к , то  сходится к . Доказательство. Пусть . Поскольку  сходится к , то по определению сходимости существует натуральное , такое что  для всех . Аналогично, из того, что  сходится к  — существует натуральное , такое что  для всех . Выберем . Тогда для всех  получим, что   и   Совмещая эти неравенства получим, что  для всех . Следовательно  сходится к . Результат 2: Если  — последовательность в метрическом пространстве , которая удовлетворяет свойству  для всех , то эта последовательность фундаментальна.
Доказательство. Пусть . Выберем такое натуральное , что . Тогда для всех  найдём, что   Отсюда следует, что  — фундаментальная последовательность. Лемма 1: Пусть  — метрическое пространство,  — замкнутое подмножество . Если  сходится к , и  для всех , то .
Доказательство. Предположим, что  — последовательность, сходящаяся к  и  для всех . Рассмотрим два случая. Теперь мы определим метрику Хаусдорфа на множестве всех непустых и компактных подмножеств метрического пространства. Пусть  — полное метрическое пространство,  — семейство всех непустых компактных подмножеств . Заметим, что  замкнуто относительно конечных объединений и непустых пересечений. Для  и , определим   Подметим, что  неотрицательно и определено согласно аксиоме полноты, поскольку  по определению метрического пространства. И  и  неотрицательны и определены, так как таковым является . В дополнение определим Хаусдорфово расстояние между множествами  и  в  как   Перед тем, как доказать, что  образует метрику на множестве , мы рассмотрим несколько примеров, для того чтобы разобраться в том, как работают эти расстояния. В качестве следующего примера рассмотрим числовые отрезки в , где .
Пример Пусть .
Мы получим, что  окажется инфимумом множества расстояний от каждой точки  до ближайшей к ней точки в . В качестве примера одного из таких расстояний возьмём . Тогда . Также заметим, что для каждого  ближайшая точка в , дающая наименьшее расстояние, будет всегда равна числу . Следовательно, получим, что . Точка  в  увеличивает до максимума это расстояние. Значит, .
Похожим образом, найдём, что , вследствие того, что точка  даст наименьшее расстояние до любой точки в . Точка  в  максимизирует это расстояние. Таким образом, имеем .
Можно заметить, что  и  не всегда равны. Окончательно получим, что . Далее рассмотрим другой пример, в качестве которого возьмём дискретные множества в  с метрикой .
Пример Пусть  и . Найдём, что  равняется наименьшему расстоянию от любого простого числа  до числа кратного 5 в множестве , так как мы работаем с дискретными конечными подмножествами вещественной числовой прямой. Поэтому, для любого ,   Можно заметить, что минимальное расстояние между любым простым числом и ближайшим к нему числу кратному 5 равно 2 или 1. Например, если , то получим, что   Если , то   Следовательно, получим, что для любой точки . Другими словами,  равно максимуму среди минимальных расстояний от простого числа  в множестве  до чисел кратных 5 в множестве .
Аналогично, найдём, что  равно максимуму среди минимальных расстояний от каждого числа кратного 5 в множестве  до набора простых чисел в множестве . Таким образом,  равняется минимальному расстоянию от любого числа кратного 5 в множестве  до простого числа . Другого оптимального пути для таких вычислений, кроме полного перебора расстояний между каждой точкой в  и каждой точкой , не существует. Рассматривая же расстояния от каждого числа кратного 5 до простого числа, получим, что наибольшее из этих минимальных расстояний достигается между точками  и . Следовательно, . Теперь, в следующем примере мы рассмотрим  в полном метрическом пространстве , где  Пример Пусть  и  — подмножества , определённые как  [см. Рисунок 1].
По определению, . Таким образом  — это множество всех расстояний от каждой точки  до "ближайшей" точки  к . Заметим, что  будет упорядоченной парой, каковыми являются  и .
Если , то очевидно, что . Если , то  находится через отрезок из  в начало координат [см. Рисунок 2]. Получим, что точка, в которой достигается наибольшее расстояние, это правая верхняя вершина прямоугольника с координатой .
Следовательно,  есть расстояние из точки  на окружности до точки . 
РИСУНОК 1. График  и  в . 
РИСУНОК 2. Заштрихованная область содержит все точки, дающие инфимум расстояния . Дополнительно, находим, что  и . Таким образом,   Теперь мы должны найти . Получаем, что можно использовать любую из точек третьей четверти единичной окружности. Выберем точку . Тогда .
Следовательно, расстояние Хаусдорфа есть . В следующем примере также будет использовано метрическое пространство  с той же метрикой  из предыдущего примера. Однако, на этот раз мы рассмотрим два непересекающихся множества на плоскости. Пример Пусть  и  [см. Рисунок 3]. 
Рисунок 3. Множества  и  в . Если , то . Поскольку , получим, что .
Если , то , где , который варьируется в зависимости от выбора . Получим, что точка, максимизирующая , это , такая что .
Таким образом, расстояние Хаусдорфа получается равным .
Теперь, обладая знаниями о том, как работают  и  в нескольких особых случаях, докажем некоторые основные свойства  и . Теорема 1. Пусть  и .








Доказательство. Сначала докажем свойство (1). Предположим, что . Тогда инфимум расстояния равен , где . Теперь положим, что . Тогда для любого натурального  существует  такое, что .  сходится к  по определению. Поскольку  компактно, то оно замкнуто. По Лемме 1 отсюда следует, что .
Теперь докажем свойство (2). Пусть  и . Так как , то по свойству (1) имеем . Следовательно . Чтобы доказать в обратную сторону, положим, что . Пусть . Тогда , и, следовательно, по свойству (1), найдём, что . Отсюда следует, что .
Чтобы доказать свойство (3), по определению инфимума мы можем сконструировать последовательность  в  таким образом, чтобы выполнялось . Мы знаем, что  секвенциально компактно, поэтому существует подпоследовательность  в , которая сходится к элементу . Тогда получим, что   Поскольку , то .
Чтобы доказать свойство (4), по определению супремума мы можем сконструировать последовательность  в  таким образом, чтобы  было пределом . Согласно свойству (3) существует последовательность  в  такая, что . Поскольку  секвенциально компактно, то существует подпоследовательность  в , которая сходится к . Поскольку  секвенциально компактно, то существует подпоследовательность  в , которая сходится к . Поскольку  сходится к , и  сходится к , то по Результату 1 имеем, что  сходится к . Значит, отсюда следует, что   Следовательно, .
Теперь докажем свойство (5). Предположим, что  ДЛи . Пусть . Поскольку  является подмножеством , найдём, что . Это значит, что   Поскольку это истинно для всех , то получим, что .
Для доказательства свойства (6) положим, что . Тогда по свойству (5) для всех . Это значит, что , а значит .
Для доказательства свойства (7) вспомним, что по определению  и  имеем   Теперь обратимся к свойству (8). Свойство (3) гарантирует, что для каждого  существует  такой, что . Тогда имеем   Поскольку  был выбран произвольно, вычисляя супремум, получим, что   На этом доказательство завершается. Отметим, что по свойству (4) Теоремы 1 существуют точки  и  такие, что , и, аналогично, существуют точки  и  такие, что . Поскольку  есть просто максимум  и , то это значит, что существуют точки  и  такие, что . Следующая теорема показывает, что расстояние Хаусдорфа определяет метрику на . Теорема 2. Множество  вместе с расстоянием Хаусдорфа  формируют метрическое пространство .
Доказательство. Чтобы доказать, что  есть метрическое пространство, необходимо проверить выполнение следующих четырёх аксиом.




Чтобы проверить первую аксиому, вспомним, что  и  неотрицательные величины. Поэтому, очевидно,  для всех .
Проверяя вторую аксиому, предположим, что . Тогда  и . По свойству (2) Теоремы 1 получаем, что  и , а значит . Теперь положим, что . Отсюда следует, что . По свойству (2) Теоремы 1, мы видим, что  и . Это значит, что .
Третья аксиома может быть проверена, исходя из соображений о симметричности определения, поскольку   Выполнение последней аксиомы следует из определений  и  и свойства (8) Теоремы 1. Находим, что   Похожим образом,   Следовательно, .
Теперь мы знаем, что  определяет метрику на . В следующем разделе мы рассмотрим примеры того, как могут выглядеть такие метрические пространства и приступим к доказательству полноты  при условии полноты . Пусть дано полное метрическое пространство . Теперь имеем новое сконструированное метрическое пространство  из непустых, компактных подмножеств  с помощью метрики Хаусдорфа. Остаётся доказать, что  также полное. Для полноты в метрическом пространстве каждая фундаментальная последовательность должна сходиться к точке из этого же пространства. Соответственно, думая о , мы выбираем последовательности непустых, компактных множеств и показываем, что эта последовательность сходиться к некоторому непустому, компактному множеству. Чтобы лучше визуализировать абстрактную математику, которой мы тут занимаемся, рассмотрим следующие два примера, демонстрирующих метрические пространства из непустых, компактных множеств с метрикой Хаусдорфа. Пример Пусть  полное метрическое пространство, где  дискретная метрика,   Поскольку  множество всех непустых компактных подмножеств , получим, что  множество всех непустых конечных подмножеств . Бесконечные множества не лежат в , потому что они не вполне ограниченны, а значит не компактные.
Дальше, следует заметить, что   Следовательно,   Поэтому отсюда следует, что   Следовательно данное метрическое пространство состоит из множества  дискретных подмножеств  c Хаусдорфовой метрикой в качестве дискретной метрики. Очень просто проверить, что это пространство не вполне ограниченное. Как бы то ни было, мы знаем, что все дискретные метрические пространства полные, поэтому . А значит, пространство  конечных множеств с дискретной метрикой — пример нашего индуцированного метрикой Хаусдорфа пространства. Чтобы проиллюстрировать наши представления о полноте, вкратце рассмотрим последовательность непустых компактных множеств, сходящихся к единичной окружности в . Это пример сходящейся фундаментальной последовательности в индуцированном метрикой Хаусдорфа пространстве, которая сходится к множеству, также находящимся в этом пространстве. Пример Пусть  полное метрическое пространство, где .
Пусть  множество всех непустых компактных подмножеств , или иными словами, множество всех непустых замкнутых и ограниченных множеств из . Поскольку  полное, то и  полное, как мы далее докажем. Чтобы увидеть в этом пространстве пример фундаментальной последовательности, сходящейся к некоторому множеству, рассмотрим пример последовательности множеств, сходящейся к единичной окружности.
Для каждого натурального  обозначим . Пусть  — единичная окружность в . Легко заметить, что все  лежат в . Рассматривая расстояние Хаусдорфа между множествами, можно увидеть, что .
Заметим, что с увеличением , множества сходятся к единичной окружности [см. Рисунки 6-8]. Следовательно,  пример фундаментальной последовательности, которая сходится к .

Рисунок 4. Множество , определённое через .

Рисунок 5. Множество , определённое через . Как ранее отмечалось, для соблюдения полноты каждая фундаментальная последовательность в  должна сходиться к точке в . Значит, чтобы доказать полноту , необходимо выбрать произвольную фундаментальную последовательность  из  и показать, что она сходится к некоторому . Определим , как множество всех точек , таких, что существует некоторая последовательность , сходящаяся к  и при этом  для всех .

Рисунок 6. Множество , определённое через .
Сразу покажем, что множество  подходящий кандидат. Однако, необходимо начать с некоторых важных теорем, затрагивающих .
Пусть дано множество  и положительное число , тогда множеством  назовём конструкцию . Нам нужно показать, что это множество закрыто независимо от выбора  и . Чтобы это сделать, начнём с выбора произвольной предельной точки множества , затем покажем, что она лежит в множестве. Предложение 1:  закрыто для любых  и .
Доказательство. Пусть  и . Также, пусть  предельная точка . Тогда в  существует последовательность точек , сходящаяся к . Поскольку  для всех , то по определению  для всех . Свойство (3) Теоремы 1 гарантирует существование  для каждого . Значит,  для всех . Множество  секвенциально компактно, поэтому из определения следует, что каждая последовательность  имеет подпоследовательность {  }, которая сходится к точке . Поскольку  сходится к , то мы знаем, что любая подпоследовательность  сходится к . А согласно Результату 1 получается, что  сходится к . Отметим, что  и  являются подпоследовательностями  и  соответственно, а значит, что  для всех . Следовательно, находим, что . По определению  , поэтому  согласно нашему определению . Поскольку  был произвольной предельной точкой, то  замкнутое множество, так как содержит все свои предельные точки. В качестве примера, где множество  не компактно, рассмотрим множество  с дискретной метрикой. Пусть  любое непустое конечное множество и . Тогда множество  замкнуто, но не вполне ограниченно, а значит и не компактно.
Чтобы показать, что  полное, нам необходимо показать, что  и что  сходится к . Согласно нашему определению сходимости, мы должны показать, что существует натуральное  такое, что  для всех . Впрочем, следующая теорема даёт альтернативный способ доказательства сходимости. Теорема 3. Предположим, что  и . Тогда  если и только если  и .
Доказательство. Достаточно доказать, что  если и только если . Предположим, что . По определению множества  для каждого . Отсюда следует, что . Теперь положим, что . Тогда для каждого . А это значит, что  по определению . Лемма о расширении: Пусть  фундаментальная последовательность в , а  возрастающая последовательность натуральных чисел. Если  фундаментальная последовательность в , для которой  для всех , то существует фундаментальная последовательность  в  такая, что  для всех  и  для всех .
Доказательство. Предположим, что  фундаментальная последовательность в  такая, что  для всех . Определим . Для каждого , удовлетворяющего неравенству , используем Свойство 3, чтобы выбрать  такое, что . Тогда получим, используя определения  и , что   Заметим, что поскольку , то . Это значит, что  для всех .
Пусть . Поскольку  — фундаментальная последовательность в , существует натуральное , такое что  для всех . А так как  фундаментальная последовательность в , то по определению существует натуральное  такое, что  для всех . Предположим, что . Тогда существуют целые  такие, что  и . Тогда, находим, что    Следовательно, исходя из определения и более ранней подводки,  — фундаментальная последовательность в  такая, что  для всех  и  для всех . Что и требовалось доказать. Следующая лемма гарантирует, что при использовании Леммы о расширении  будет замкнуто и не пусто. Данный факт понадобится нам для доказательства того, что  лежит в , поскольку необходимо показать, что  является непустым замкнутым подмножеством . Остаётся лишь доказать, что  вполне ограниченно, так как замкнутые и вполне ограниченные множества — компактны.
Лемма 2: Пусть  последовательность в  и  множество вcех точек  таких, что существует последовательность , сходящаяся к  и  для всех . Если  фундаментальная последовательность, то множество  замкнуто и не пусто.
Доказательство. Начнём с доказательства того, что  не пусто. Поскольку  фундаментальная последовательность, то существует целое  такое, что  для всех . Аналогично, существует целое  такое, что  для всех . Продолжая этот процесс, получаем возрастающую последовательность  такую, что  для всех . Зафиксируем точку  в . По Свойству 2 Теоремы 2 можно выбрать  такие, что . Тогда по определению ,  и  найдём, что   Похожим образом можно выбрать  так, чтобы   Продолжая этот процесс мы можем соорудить последовательность , где  для всех ,   А согласно Результату 2  является фундаментальной последовательностью.
Следовательно, поскольку  фундаментальна и  для всех , согласно Лемме о расширении существует фундаментальная последовательность  в  такая, что  для всех  и  для всех . Поскольку  полное, фундаментальная последовательность  сходится к точке . А так как  для всех , то тогда по определению множества . Значит  не пусто.
Теперь докажем, что  замкнуто. Предположим, что  является предельной точкой . Тогда существует последовательность , которая сходится к . Поскольку каждая точка , существует последовательность  такая, что  сходится к  и  для каждого . Как следствие, существует целое  такое, что  и . Похожим образом, существует  и точка  такая, что . Продолжая этот процесс можно выбрать возрастающую последовательность  целых чисел таких, что  для всех . Тогда отсюда следует, что    Заметим, что при устремлении  к бесконечности, расстояние между  и  стремится к нулю, значит  сходится к . Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна, значит, что  фундаментальная последовательность, такая, что  для всех . Лемма о расширении гарантирует, что существует фундаментальная последовательность  в  такая, что  для всех  и . Следовательно, , таким образом  замкнуто.
Вместе с предыдущей леммой, чтобы доказать, что , остаётся показать, что  вполне ограниченно. Следующая лемма позволит нам это сделать.
Лемма 3. Пусть  последовательность вполне ограниченных множеств в  и  произвольное подмножество . Если для каждого  существует натуральное  такое, что , то  вполне ограниченно.
Доказательство. Пусть . Выберем натуральное  так, чтобы . Поскольку  вполне ограниченно, то по определению можно выбрать конечное множество , где , такое, что . Переупорядочивая точки , мы можем предположить, что  при  и  при . Тогда для каждого , пусть . Мы полагаем, что . Пусть . Тогда , а следовательно . Тогда по Свойству 3 Теоремы 1 существует  такое, что . Тогда найдём, что   Таким образом,  для некого . Поэтому, мы имеем  такое, что . Из этого следует, что    Следовательно, так как для каждого  мы нашли  при  такой, что , то . Тогда по определению  вполне ограниченно. Что и требовалось доказать.
Наконец, мы построили фундамент для доказательства заключительного результата. Пусть дано метрическое пространство , обозначим через  метрическое пространство из непустых компактных подмножеств  вместе с Хаусдорфовой метрикой. После рассмотрения важных теорем и результатов, мы близки к достижению главной цели.
Теорема 4. Если  полное, то  полное.
Доказательство. Пусть  фундаментальная последовательность в ,  множество всех точек  таких, что существует последовательность , которая сходится к  и при этом  для всех . Мы должны доказать, что  и  сходится к .
По Лемме 2, множество  замкнуто и не пусто. Пусть . Так как  фундаментальная последовательность, то тогда существует натуральное  такое, что  для всех . Тогда по Теореме 3  для всех . Пусть . Теперь мы хотим показать, что . Зафиксируем . По определению множества , существует последовательность  такая, что  для всех  и  сходится к . Благодаря Предложению 1 нам известно, что  замкнуто. Поскольку  для каждого , тогда из этого вытекает, что . Этим самым мы установили, что . Согласно Лемме 3 множество  вполне ограниченно. Также, мы знаем, что  полное, поскольку это замкнутое подмножество полного метрического пространства.  компактно, так как оно не пусто, замкнуто и вполне ограниченно, а значит .
Пусть . Чтобы показать, что  сходится к , необходимо показать, что существует натуральное  такое, что  для всех . Чтобы сделать это, по Теореме 3 надо показать два условия, что  и . Из первой части нашего доказательства известно, что существует  такое, что  для всех .
Для доказательства того, что , пусть . Поскольку  фундаментальная последовательность, можно выбрать натуральное  такое, что  для всех . В связи с тем, что  фундаментальная последовательность в , существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел  такая, что  и  для всех . Можно использовать Свойство 3 Теоремы 1 для того, чтобы получить следующее:   Продолжая этот процесс, получим, что последовательность  такова, что для всех натуральных  получается  и . По Результату 2 найдём, что  фундаментальная последовательность, поэтому по Лемме о расширении предел этой последовательности  лежит в . Также найдём, что   Поскольку  для всех , то из этого следует, что , а значит и . Таким образом, нам стало известно, что существует  такое, что , то есть  для всех , то есть  сходится к . Следовательно, если  полное, то  полное. Теперь мы докажем, что если  компактно, то  компактно. Заметим, что метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное. Теорема 5. Если  компактно, то  компактно.
Доказательство. Из предыдущего результата нам известно, что  полное. А так как мы знаем, что множество компактно тогда и только тогда, когда оно полное и вполне ограниченное, то нам надо доказать, что  вполне ограниченно. Пусть . Поскольку  вполне ограниченно, то существует конечное множество  такое, что  и  для каждого . Пусть  будет коллекцией всех возможных непустых объединений замыканий этих шаров. В связи с компактностью  замыкание каждого шара является компактным множеством. Следовательно, каждое  конечное объединение компактных множеств, а потому тоже компактное, поэтому . Покажем, что .
Пусть . Тогда покажем, что  для некоторого . Выберем . Затем выберем индекс  так, чтобы . По Свойству 2 Теоремы 1 мы знаем, что , так как . Пусть теперь  является элементом . Тогда существует некоторое  и  такое, что . Из этого следует, что . Поскольку  было выбрано произвольно, то получим, что . Следовательно, найдём, что  и, таким образом, . Поэтому,  вполне ограниченно. Следовательно, мы доказали, что если  компактно, то  компактно. Расстояние Хаусдорфа — метрика, которая определяет расстояние между множествами через некое неотрицательное действительное число. Мы исследовали её через множество примеров. Затем, мы выяснили, что расстояние Хаусдорфа определяет метрику на пространстве  всех непустых компактных подмножеств заданного метрического пространства . Также мы вывели некоторые приятные качества данной метрики. Самое главное, если  полное, то  полное. В дополнение, мы доказали, что если  компакт, то  компакт, что является поистине важным результатом. Пишу software и статьи