Центр группы в теории групп — множество всех таких элементов данной группы, которые коммутируют со всеми её элементами:
 Группа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 является абелевой в том и только в том случае, когда она совпадает со своим центром: 
  
    
      
        G
        =
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G=Z(G)}
  
; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости» (коммутативности).
 Говорят, что группа не имеет центра, если центр группы тривиален, то есть состоит только из нейтрального элемента. Элементы центра иногда называют центральными элементами группы.
 Центр группы является её подгруппой, причем нормальной. Кроме того, эта подгруппа является характеристической, однако не обязательно вполне характеристической.
 Если факторгруппа 
  
    
      
        G
        
          /
        
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G/Z(G)}
  
 является циклической, то 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 является абелевой. В этом случае выполняется равенство 
  
    
      
        G
        =
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G=Z(G)}
  
, поэтому факторгруппа 
  
    
      
        G
        
          /
        
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G/Z(G)}
  
 тривиальна.
 По определению, центр группы — это множество элементов, для которых классом сопряжённости каждого элемента является сам элемент.
 Центр является также пересечением всех централизаторов всех элементов группы G.
 Функция 
  
    
      
        f
        :
        G
        →
        Aut
        ⁡
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle f:G\to \operatorname {Aut} (G)}
  
, сопоставляющая элементу 
  
    
      
        g
        ∈
        G
      
    
    {\displaystyle g\in G}
  
 внутренний автоморфизм 
  
    
      
        
          ϕ
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{g}}
  
, заданный формулой
 является гомоморфизмом. Его ядро совпадает с центром группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, а образ — с группой 
  
    
      
        
          
            I
            n
            n
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle {\rm {Inn}}(G)}
  
 внутренних автоморфизмов. Таким образом, согласно первой теореме об изоморфизме, факторгруппа группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов:
 Коядро гомоморфизма 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 совпадает с группой 
  
    
      
        Out
        ⁡
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Out} (G)}
  
 внешних автоморфизмов группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
. Таким образом, имеет место точная последовательность:
 Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется верхним центральным рядом:
 Ядро отображения 
  
    
      
        G
        →
        
          G
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle G\to G_{i}}
  
 — это i-й центр группы G (второй центр, третий центр, и так далее), и они обозначаются 
  
    
      
        
          Z
          
            i
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z^{i}(G)}
  
. Конкретно, 
  
    
      
        (
        i
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (i+1)}
  
-й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами i-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на трансфинитные числа с помощью трансфинитной индукции. Объединение всех центров ряда называется гиперцентром.
 Возрастающая последовательность подгрупп:
 стабилизируется на 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 (что означает, 
  
    
      
        
          Z
          
            i
          
        
        (
        G
        )
        =
        
          Z
          
            i
            +
            1
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z^{i}(G)=Z^{i+1}(G)}
  
) тогда и только тогда, когда 
  
    
      
        
          G
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{i}}
  
 не имеет центра.
 Например, для группы без центра все члены центрального ряда тривиальны. Или, что то же самое, 
  
    
      
        
          Z
          
            0
          
        
        (
        G
        )
        =
        
          Z
          
            1
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z^{0}(G)=Z^{1}(G)}
  

 Если центры группы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и факторгруппы 
  
    
      
        G
        
          /
        
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G/Z(G)}
  
 нетривиальны, то существует нетривиальный гомоморфизм 
  
    
      
        G
        →
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G\to Z(G)}
  
.
 В частности, если группа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 является каиновой, то центр группы 
  
    
      
        G
        
          /
        
        Z
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle G/Z(G)}
  
 тривиален. Или, что то же самое, 
  
    
      
        
          Z
          
            1
          
        
        (
        G
        )
        =
        
          Z
          
            2
          
        
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle Z^{1}(G)=Z^{2}(G)}
  
.