Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение
 имеет не более чем конечное число решений 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        m
        ,
        n
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle a,b,c,m,n,k}
  
 с различными тройками значений 
  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
        ,
        
          b
          
            n
          
        
        ,
        
          c
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{m},b^{n},c^{k}}
  
, где 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
 — натуральные взаимно простые числа, а 
  
    
      
        m
        ,
        n
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle m,n,k}
  
 — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению
 На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:
 Решение 
  
    
      
        
          1
          
            m
          
        
        +
        
          2
          
            3
          
        
        =
        
          3
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}
  
 — это единственное решение, в котором одно из 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
 равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году Михайлеску.
 Все решения были найдены для троек показателей 
  
    
      
        m
        ,
        n
        ,
        k
        ,
      
    
    {\displaystyle m,n,k,}
  
 равных 
  
    
      
        (
        2
        ,
        3
        ,
        7
        )
        ,
        (
        n
        ,
        n
        ,
        n
        )
        ,
        (
        2
        ,
        3
        ,
        8
        )
        ,
        (
        2
        ,
        3
        ,
        9
        )
        ,
        (
        3
        ,
        3
        ,
        4
        )
        ,
        (
        3
        ,
        3
        ,
        5
        )
        ,
        (
        2
        ,
        n
        ,
        n
        )
        ,
        (
        3
        ,
        n
        ,
        n
        )
        ,
        (
        2
        n
        ,
        2
        n
        ,
        5
        )
        ,
        (
        2
        ,
        4
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(3,3,4),(3,3,5),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)}
  
.
 По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных 
  
    
      
        m
        ,
        n
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle m,n,k}
  
, удовлетворяющих неравенству 
  
    
      
        
          
            1
            m
          
        
        +
        
          
            1
            n
          
        
        +
        
          
            1
            k
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}
  
, существует не более чем конечное число троек 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
, удовлетворяющих уравнению 
  
    
      
        
          a
          
            m
          
        
        +
        
          b
          
            n
          
        
        =
        
          c
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}
  
, но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек 
  
    
      
        m
        ,
        n
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle m,n,k}
  
.
 abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.
 Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2.