Конъю́нкция (от лат. conjunctio — «союз, связь») — логическая операция, по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние, иногда просто «И».
 Конъюнкция может быть бинарной операцией (т. e. иметь два операнда), тернарной операцией (т. e. иметь три операнда), или n-арной операцией (т. e. иметь n операндов).
 Инверсией конъюнкции является штрих Шеффера.
 Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции конъюнкции:
 
  
    
      
        a
        ∧
        b
        ,
        
        a
        &
        &
        b
        ,
        
        a
        &
        b
        ,
        
        a
        ⋅
        b
        ,
        
        a
        
        
        
          A
          N
          D
        
        
        
        b
        ,
        
        min
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a\land b,\quad a\And \And b,\quad a\And b,\quad a\cdot b,\quad a\,\,\mathrm {AND} \,\,b,\quad \min(a,b)}
  

 (в случае использования точки, как знака логического умножения, этот знак, как и при обычном умножении в алгебре, может быть опущен: 
  
    
      
        a
        b
      
    
    {\displaystyle ab}
  
).
 При этом обозначение 
  
    
      
        a
        ∧
        b
      
    
    {\displaystyle a\land b}
  
, рекомендованное стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логике, где оно, впрочем, конкурирует со знаком амперсанда &; последний, появившись ещё в I веке до н. э. как графическое сокращение (лигатура) латинского союза et ‘и’, уже Якобом и Иоганном Бернулли в 1685 году использовался в качестве логической связки (у них он, однако, связывал не высказывания, а понятия). Джордж Буль (а за ним — и другие пионеры систематического применения символического метода к логике: У. С. Джевонс, Э. Шрёдер, П. С. Порецкий) обозначал конъюнкцию знаком 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
  
 — как обычное умножение. Символ ⋀ (перевёрнутый знак дизъюнкции) в качестве обозначения конъюнкции был предложен Арендом Гейтингом (1930).
 Обозначение ⋀ для конъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для конъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .AND. и & (с возможностью замены последнего на ключевое слово AND); в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово and; в языках C и C++ применяются обозначения & для побитовой конъюнкции и && для логической конъюнкции).
 Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что 
  
    
      
        0
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<1}
  
), оказывается, что 
  
    
      
        (
        a
        ∧
        b
        )
        
        =
        
        min
        (
        a
        ,
        b
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (a\land b)\,=\,\min(a,b).}
  
 Таким образом, конъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления минимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию конъюнкции в системах многозначной логики (хотя иногда рассматривают и другие способы обобщения конъюнкции — например, такой: 
  
    
      
        (
        a
        ∧
        b
        )
        
        =
        
        a
        b
        
        (
        mod
        ⁡
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (a\land b)\,=\,ab\;(\operatorname {mod} k)}
  
 в случае k-значной логики, в которой множество значений истинности представлено начальным отрезком 
  
    
      
        {
        0
        ,
        …
        ,
        k
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,\dots ,k-1\}}
  
 полугруппы 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
 натуральных чисел).
 Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).
 Правило: результат равен наименьшему операнду.
 Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1\}}
  
. Результат также принадлежит множеству 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1\}}
  
. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 
  
    
      
        0
        ,
        1
      
    
    {\displaystyle 0,1}
  
 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например 
  
    
      
        f
        a
        l
        s
        e
        ,
        t
        r
        u
        e
      
    
    {\displaystyle false,true}
  
 или 
  
    
      
        F
        ,
        T
      
    
    {\displaystyle F,T}
  
 или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, 
  
    
      
        t
        r
        u
        e
        >
        f
        a
        l
        s
        e
      
    
    {\displaystyle true>false}
  
, при цифровом обозначении старшинство естественно 
  
    
      
        1
        >
        0
      
    
    {\displaystyle 1>0}
  
. 
Правило: результат равен 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
, если все операнды равны 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
; во всех остальных случаях результат равен 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
.
 Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции
 для тернарной конъюнкции
 
Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции.
 Операции, называемой в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках обычно сопоставляется операция минимум: 
  
    
      
        m
        i
        n
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle min(a,b)}
  
, где 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        {
        0
        ,
        …
        ,
        k
        −
        1
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle a,b\in \{0,\dots ,k-1\},}
  
 а 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 — значность логики; впрочем, возможны и другие варианты обобщения обычной конъюнкции на многозначный случай. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 и 
  
    
      
        k
        −
        1
      
    
    {\displaystyle k-1}
  
.
 Название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое «И», логическое умноже́ние и просто «И» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.
 В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:

  
    
      
        a
        ∧
        b
        →
        a
      
    
    {\displaystyle a\land b\to a}
  


  
    
      
        a
        ∧
        b
        →
        b
      
    
    {\displaystyle a\land b\to b}
  


  
    
      
        a
        →
        (
        b
        →
        (
        a
        ∧
        b
        )
        )
      
    
    {\displaystyle a\to (b\to (a\land b))}
  

 С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.
 Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет: 
 С точки зрения теории множеств, конъюнкция аналогична операции пересечения.
 В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое (поразрядное) «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а побитовое — символом «&». В терминологии, используемой в C#, операцию «&» принято называть логическим «И», а операцию «&&» — условным «И», поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «and», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.
 Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата 
  
    
      
        f
        a
        l
        s
        e
      
    
    {\displaystyle false}
  
 или 
  
    
      
        t
        r
        u
        e
      
    
    {\displaystyle true}
  
. Например:
 Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов.
Принцип работы условного «И» в аналогичной ситуации:
 Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, так как дальнейшее сравнение не имеет смысла.
 Результат будет равен 
  
    
      
        t
        r
        u
        e
      
    
    {\displaystyle true}
  
, если оба операнда равны 
  
    
      
        t
        r
        u
        e
      
    
    {\displaystyle true}
  
 (для числовых типов не равны 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
). В любом другом случае результат будет равен 
  
    
      
        f
        a
        l
        s
        e
      
    
    {\displaystyle false}
  
.
 
При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно 
  
    
      
        f
        a
        l
        s
        e
      
    
    {\displaystyle false}
  
, то значение правого операнда не вычисляется (вместо 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую   или выключающую   подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:
 В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт деления на ноль.
 Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,
 Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
, а «ложь» как 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
. При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребёнка» — не то же самое, что «Мэри родила ребёнка и вышла замуж».