Классический критерий Манна-Уитни позволяет проверить нулевую гипотезу о равенстве распределений в двух выборках. Простота общей идеи (взять две выборки, смешать их в одну и работать с рангами значений, относящихся к первой и второй выборке) позволяет задуматься над тем, как обобщить ее на случай, если выборок больше двух. Собственно, именно про это и рассказывается в статье Fisher, D., Oja, H. Mann-Whitney Type Tests for Microarray Experiments: The R Package gMWT / Journal of Statistical Software. 2015. Volume 65, Issue 9. Возьмем несколько выборок, и проверим гипотезу о равенстве их распределений. Для классического случая  двух выборок получим, что значение статкритерия равно математическому ожиданию величины Соответственно, проверка нулевой гипотезы – это проверка гипотезы о равенстве матожидания ½ (если одно из распределений будет смещено существенно правее, то матожидание устремится к 0 или 1) Куда интереснее все для случая, например, трех выборок.  Там уже необходимо искать матожидание выражения  Тогда нулевая гипотеза о равенстве всех этих распределение эквивалентна проверке гипотезы о равенстве статкритерия 1/6. С альтернативными же гипотезами несколько сложнее. Авторы выделили следующие виды альтернативных гипотез: - первый тип альтернативных гипотез – распределение какой-то пары переменные неодинаково; - второй тип альтернативных гипотез – в одной из какой-то пары переменных распределение одной из них смещено вправо; - третий тип альтернативных гипотез: распределение двух переменных смещено вправо относительно третьей; - четвертый тип гипотезы: распределения всех трех переменных последовательно смещены вправо относительно друг друга Теперь попробуем что-то посчитать. Для этого в пакете есть две основные функции – estPI и gmw Функция estPI вычисляет непосредственно математическое ожидание приведенных выше функций (фактически, величину статкритерия), gmw – непосредственно проводит статистический тест. Возьмем датафрейм CASchools, и проверим гипотезу о равенстве распределений величины количества студентов, которых оценивают по разным системам оценок: Р-значение: 0.5823868, что больше традиционного критического значения в 0.05, значит, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве распределений. График плотности распределений, в принципе, говорит нам нечто похожее: Посмотрим на то, как это работает в случае трех выборок. Возьмем датафрейм PSID1776 и проверим гипотезу о равенстве распределений количества часов работы для работников с разным количеством молодых детей (от 0 до 2, тех, у кого 3 ребенка, из выборки убираем) Для данной альтернативной гипотезы р-значение равно 1, нулевую гипотезу отвергать нельзя. График распределения показывает что-то похожее Ну а для быстрой проверки других альтернативных гипотез можно использовать функцию estPI В данном случае обозначения групп связаны с количеством детей: группа 1 – работники, у которых нет детей; группа 2 – работники, у которых 1 ребенок, группа 3 – работники, у которых 2 ребенка. По графику функций распределения – чем больше детей, тем левее смещено распределение. Об этом свидетельствует значения критериев – все они меньше 0.5, что говорит о невыполнимости условия x<y – чаще встречается x>y Дополнительно функционал данного пакета может применяться для проверки гипотез о соответствии распределения некоторому закону. Возьмем пакет LNPar, где рассматривается распределение, состоящее из смеси логнормального и распределения Парето; однако в пакете не рассматривается функционал проверки гипотез. Берем данные датафрейма CASchools и построим график распределения величины дохода школьников По результатам теста – нельзя отвергнуть гипотезу о равенстве распределений. Посмотрим на график: Графики плотности распределений исходных и симулированных данных похожи – значит, можно сказать, что распределение значений доходов школьников подчиняется смеси логнормального и Парето-распределений.