Содержание  — само отношение А (отношение здесь синонимично с таблицей и предикатом) является выражением реляционной алгебры, более того, так как это алгебра, любое выражение реляционной алгебры возвращает отношение (свойство замыкания операторов)  — selection (выборка; ограничение), A — отношение (предикат, таблица),  – булева формула, по которой происходит отбор строк (кортежей, записей, etc) Selection является по сути горизонтальным фильтром строк, т.е., можно представить, что мы идем по каждой строке и оставляем только те, что удовлетворяют условию . Простой пример для наглядности:  — projection (проекция) на атрибуты A, B, …. Возвращает таблицу, в которой остаются только колонки (атрибуты) A, B, …. Простой пример ниже. По сути является фильтром по атрибутам т.е. это в некотором смысле вертикальный фильтр.  — переименовывает колонку a в b в отношении A (атрибут, аргумент предиката, etc); два чая тому господину, который покажет, что алгебра строго более выразима с оператором переименования (нужно привести пример запроса, который не выразим без этого оператора, но выразим с )  — Декартово произведение двух отношений, большое отношение из всевозможных сочетаний строк в A и B. Реляционная алгебра является расширением классического набора операторов над множествами (отношение — это множество упорядоченных кортежей; заметьте, что это совсем не равно упорядоченному множеству кортежей). Пусть у нас есть таблица StudentMark(Name, Mark, Subject, Date) – тогда кортеж (Вася, 5, Информатика, 05.10.2010) является упорядоченным – сначала строка Name на первой (ок, или нулевой) позиции, целое число на второй, строка на третьей и дата на четвертой. При этом сами упорядоченные кортежи (Name, Mark, Subject, Date) не упорядочены «внутри» отношения.  — объединение всех строк в A и B, ограничение — одинаковые аттрибуты  — пересечение строк, такое же ограничение  — B минус A, все строки, что присутствуют в B, но не присутствуют в A, такое же ограничение (B\A; A — слева, B — справа)  — join (соединение); join соединяет две записи таблиц A и B, при условии, что для этих двух записей выполнено условие φ. Мы будем работать со следующей схемой

(Схема взята из книги: Elmasri, Navathe – Fundamentals of Database systems; на всякий: крайне НЕ рекомендую книгу; см подборку в конце) Далее рассмотрим несколько простых задач на реляционную алгебру. Задача первая. Вывести имена всех работников 5го департамента, которые работают более 10 часов в неделю над проектом Х. (Промежуточные результаты можно «сохранять» в новых отношениях, но это не обязательно.) Задача вторая. Вывести имена всех работников, которыми напрямую руководит Франклин Вонг (и найти небольшую ошибку в решении ниже)
 Задача третья потребует использования нового оператора — «агрегация». Рассмотрим его на примере: Для каждого проекта вывести название и общее число часов в неделю, которое все работники тратят на этот проект. Заметим, что запрос имеет вид a F  b (A), где a, b — колонки, A — отношение, а  – агрегационная функция (например, SUM, MIN, MAX, COUNT, etc). Читается следующим образом: для каждого значения в колонке а, посчитай  b. То есть одному значению в колонке a может соотвестовать несколько строк, поместим значения колонки b из этого множества строк в функцию  и создадим новый атрибут fun_b с соотвествующим значением.

 Данный запрос не выразим в «классической» реляционной алгебре (без оператора агрегации F). То есть, нельзя написать единственный запрос, который бы для любой базы данных, удовлетворяющей схеме, выдавал бы правильный ответ. Откуда в точности следует данные результат мы разберем позднее, сейчас можно лишь отметить, что запросы с агрегацией принадлежат более высокому классу вычислительной сложности. Мы рассмотрим и проанализируем более интересные примеры задач далее в статье. Там же небольшая подборка задач на реляционную алгебру с решениями доступна здесь В данной части мы поговорим о SQL (Structured Query Language) и покажем, как SQL соответствует реляционной алгебре на простых примерах. Рассмотрим самую первую задачу еще раз: Задача первая. Вывести имена всех работников 5го департамента, которые работают более 10 часов в неделю над проектом Х. Классическое решение выглядит следующим образом:
 Альтернативно можно написать вот так:
 Или совсем альтернативно:
 На втором решении мы видим отчетливую аналогию c реляционной алгеброй: Теперь используем равенство для join и увидим аналогию между SQL и реляционной алгеброй в первом решении Как бы это не было иронично, но SELECT в SQL — это project (π; проекция) в реляционной алгебре. Теперь рассмотрим задачу с агрегацией и сравним её с решением на реляционной алгебре: Более интересные задачи мы рассмотрим далее в статье (также небольшая подборка здесь), а сейчас рассмотрим еще один формализм запросов. Для разбора и рассказа о реляционном исчислении нам потребуется логика первого порядка, освежить знания о которой можно тут. Пусть φ(Х) — формула первого порядка, а X — это свободные переменные, т.е., они не квантифицированы (∀ – квантор всеобщности, ∃ – квантор существования), тогда запрос в реляционном исчислении задает множество: { X | φ(Х) } Рассмотрим простые примеры, на которых и разберем формализм: Пусть R – отношение с тремя атрибутами a,b,c; тогда перепишем следующий запрос реляционной алгебры:  в реляционном исчислении как: { r.a, r.b, r.c | R® and r.a = r.c } Переводя на простой язык r — это кортеж в R (то есть строка с атрибутами, значения которых можно получить через точку по имени, i.e., r.a — атрибут а кортежа r (строки) в отношении R (таблице)). Как мы видим никаких кванторов здесь нет, так как r — на выходе запроса и должен быть свободным кортежем. Рассмотрим еще один простой пример: R(a,b,c) ∗ S(c,d,e), где * — это natural join, т.е. join по имени – в качестве условия объединения берут атрибуты с одинаковым именем. { r.A, r.B, r.C, s.D, s.E | R® and S(s) and r.C = s.C} Если бы s.D и S.e не было среди выходных параметров, запрос бы имел следующий вид: { r.A, r.B, r.C | R® and ∃s: S(s) and r.C = s.C} Мы были бы обязаны поставить квантор существования, так как S содержится только в «теле» запроса. Составляя подобные запросы всегда следует быть внимательным с квантором всеобщности, если мы запишем следующее выражение (исключительно в качестве иллюстрации): { r.A | R® and ∀s: S(s) and r.C = s.C and s.E = «банан»} То, данный запрос всегда будет возвращать пустое множество, так как для того, чтобы условия запроса было выполнено необходимо, чтобы каждый кортеж в мире длины три принадлежал S и имел в качестве значения последнего атрибута «банан». Обычно вместе с квантором всеобщности используют импликацию «=>», мы можем переписать запрос следующим образом: { r.A | R® and ∀s: (S(s) and r.C = s.C) => s.E = «банан»} Если s принадлежит S и значения C совпадает с C в R, тогда последний атрибут должен иметь значение «банан». Говоря простым языком, теорема Кодда звучит так: все три формализма SQL, реляционная алгебра и реляционное исчисление равны. Вот тут много теории для заинтересовавшихся То есть любой запрос выраженный на одном языке может быть переформулирован на другом. Данный результат прежде всего удобен тем, что позволяет использовать наиболее удобный формализм для анализа запроса, а во вторых он связывает декларативные языки SQL и реляционное исчисление с императивной реляционной алгеброй. То есть, транслируя запрос из SQL в реляционную алгебру, мы уже получаем способ выполнения запроса (и его оптимизации). Запросы, которые состоят из select(σ)-project(π)-join(⋈) сегмента реляционной алгебры называют conjunctive queries (ок, я опустил переименование, считаем его неявно присутствующим). Если вы дочитали до этой строки попробуйте решить следующую задачу используя только эти три оператора (ну и отношения конечно же): Задача. Выведите имена всех работников, которые работают над каждым проектом. Подумайте какому сегменту SQL и реляционного исчисления относится данный класс реляционной алгебры. Существует несколько различных способов измерить вычислительную сложность выполнения запроса, между ними часто путаются поэтому выпишем определения и их названия: Пусть Q — запрос, D — база данных, и нужно вычислить Q(D) Важные факты: сложность SQL по данным (и всех остальных) принадлежит классу AC0 – это очень хороший класс сложности, т.е., запросы можно вычислять очень эффективно. С теоретической точки зрения можно взглянуть на вот эту картинку:
 AC0 лежит внутри NL (точнее даже внутри одного из «слоёв» NC внутри NL).  Рассмотрим следующий интересный вопрос, связанный с вычислительной сложностью: пусть f – функция выполнимости формулы, то есть для каждого запроса она говорит, существует ли база данных такая, что Q(D) истинно. Из теоремы Кодда мы знаем, что реляционная алгебра и SQL эквиваленты реляционному исчислению. А значит, вычисление f – эквивалентно проблеме останова (SAT для логики первого порядка невычислим). Отсюда: не существуют алгоритма, который бы для произвольного SQL запроса мог определить его непротиворечивость. Для заинтересовавшихся также рекомендую: теорема Трахтенброта CQ являются одним из самых изученных классов запросов так как они составляют всю основную массу запросов к базам данных (я видел на одной презентации цифру в 90%, но не могу сейчас найти источник). Поэтому рассмотрим подробнее их сложность и докажем, что на самом деле их комбинированная сложность равна NP, т.е. задача является NP полной. (Про NP полному можно почитать вот тут и тут.)  Для этого запишем произвольный CQ запрос в реляционном исчислении в виде: {X | [∃X0:] p0(X0) and [∃X1:] p1(X1) and [∃X1:] p(X2) … } Где [.] – опциональность квантора. Почему такое представление всегда допустимо? Потому что project здесь всегда может быть выражен через X т.е. , join выражен через равенство переменных в , а select через условия на  в теле запроса. Чтобы показать, что задача принадлежит классу NP-полных, нужно сделать две вещи Первое условие выполняется тривиально: так как значения отношений конечны (т.е. множество всевозможных значений), то мы можем недетерминированно «угадать» функцию  такую, что делает истинными каждое отношение под кванторами существования. Покажем, что задача о раскраске графа сводится к задаче выполнимости CQ запроса. Пусть D состоит из одного отношения edge = {(red,green),(green,red), (blue, red), (green,blue) … } — всех возможных правильных раскрасок графа, таких что никакие две вершины не имеют одинакового цвета. Пусть исходный граф задан в виде множества ребер  Тогда, запишем следующий запрос { () | ∃X0… ∃XN: edge(V1,V2) and … edge(V_i, V_j)… } То есть каждой дуге в исходном графе в запросе будет соответствовать отношение edge с соответствующими аргументами. Если запрос вернул пустой кортеж, то значит, что существует такая функция , которая отображает , причем никакие две вершины не будут иметь одинаковую расцветку (следует из определения D). Ч.Т.Д. Теперь вернемся к задаче предложенной ранее: Выведите имена всех работников, которые работают над каждым проектом. Почему эта задача не имеет решения в классе CQ мы можем понять, определив ключевые свойства самого запроса и класса CQ. Определение, запрос Q называется монотонным, тогда и только тогда когда, для любых двух баз данных  верно, что . То есть увеличение базы данных может только увеличить количество кортежей на выходе или останется прежним. Наблюдение: CQ — класс монотонно возрастающих запросов. Представим произвольный CQ запрос Q — он состоит из select-project-join. Покажем, что каждый из них является монотонным оператором: Пусть мы добавили еще одну запись в D select — фильтрует записи по вертикали, если новая запись удовлетворяет запросу, то множество ответов увеличивается, если нет остается прежним. project — не влияет на дополнительный кортеж join — если соответствующая запись имеется и во втором множестве, то ответное множество расширится, иначе останется прежним. Суперпозиция монотонных операторов монотонна => CQ — класс монотонных запросов. Вопрос: является ли исходная задача монотонной? На самом деле нет. Пусть у нас только один работник Петя, который работает над двумя проектами А и Б, и всего у нас 2 проекта А и Б, значит Петя должен быть в выдаче запроса. Пусть мы добавили третий проект C => теперь Пети нет в ответе и ответное множество пусто, а значит запрос не монотонен. Отсюда логически следует следующий вопрос: что нужно добавить к select-project-join, чтобы задача решалась? Это что-то должно быть немонотонным! Как конечно же читатель догадался — разница множеств. Его несимметричность как бы подсказывала нам и выделяла его с самого начала. Однако прежде, чем писать решение сделаем еще одно наблюдение: если контр-примера к утверждению не существуют, то это утверждение всегда верно. Формально:  — не существует х, такой что p(x) неверен. В задаче мы видим в явном виде квантор «для всех» и мы можем его эмулировать используя двойное отрицание, то есть перефразируем запрос следующим образом: вывести имена всех сотрудников для которых не существуют проекта, над которым они бы не работали Этот же запрос выглядит невероятно просто, если бы у нас был  (а он есть в реляционном исчислении): { e.fname, e.lname | EMP(e) and  PRJ(p)  WORKS_ON(w) and w.Pno = p.Pnumber and e.Ssn = w.Essn} Также трансформация SQL в реляционную алгебру позволяет оптимизировать выполнение запроса. Рассмотрим простой пример: Задача
Вывести все номера проектов, в которых бы работал сотрудник с фамилией Шмидт в качестве менеджера департамента, управляющего этим проектом. Простое решение выглядит следующим образом:
 Которое можно переписать в реляционную алгебру следующим образом: Первая оптимизация — нужно использовать select как можно раньше, тогда Декартово произведение получит на вход отношения меньшего размера:
 Select c равенством константе сильное ограничение, поэтому его нужно вычислять и соединять как можно раньше:
 Сворачиваем Декартово произведение и select в join (который реализован эффективно с индексами и специализированными структурами данных)
 Опускаем project как можно ниже, чтобы только необходимая информация была передана наверх по дереву
 Stanford online course — Jennifer Widom – отличный курс, рекомендую Alice’s book — Serge Abiteboul — классика жанра Мартин Грабер — SQL — довольно простые и детальные объяснения работы алгоритмов и синтаксиса SQL  Хабра-статьи про P-NP — ознакомительный материал часть первая и вторая  Мои слайды по теме (исключительно полезно из-за примеров решений задач в разных формализмах — местами смесь голландского и английского)  Неплохие слайды по теории (нетривиальный теоретический материал)  Data Scientist, PhD in AI