Кинематика сплошной среды (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.
 Модель оперирует понятием элементарного объема 
  
    
      
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dV}
  
, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера 
  
    
      
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dV}
  
. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.
 Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные 
  
    
      
        (
        
          ξ
          
            1
          
        
        ,
        
          ξ
          
            2
          
        
        ,
        
          ξ
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})}
  
. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.
 Координаты точек среды 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
  
 в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
  
 материальной частицы 
  
    
      
        (
        
          ξ
          
            1
          
        
        ,
        
          ξ
          
            2
          
        
        ,
        
          ξ
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})}
  
 в любой момент времени, то есть нахождении функций 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        f
        (
        t
        ,
        
          ξ
          
            j
          
        
        
          
            |
          
          
            j
            =
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        )
        
          
            
              |
            
          
          
            i
            =
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3}}
  
 или же функций 
  
    
      
        
          ξ
          
            i
          
        
        =
        g
        (
        t
        ,
        
          x
          
            j
          
        
        
          
            |
          
          
            j
            =
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
        )
        
          
            
              |
            
          
          
            i
            =
            1
            ,
            2
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3}}
  
, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.
 Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат 
  
    
      
        ρ
        (
        t
        ,
        
          ξ
          
            1
          
        
        ,
        
          ξ
          
            2
          
        
        ,
        
          ξ
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})}
  
 (лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат 
  
    
      
        ρ
        (
        t
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            Δ
            V
            →
            0
          
        
        
          
            
              Δ
              M
              (
              ⋅
              )
            
            
              Δ
              V
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}}
  
 (эйлеров подход).
 Для любой функции в эйлеровых переменных 
  
    
      
        f
        (
        t
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(t,x_{1},x_{2},x_{3})}
  
 выполняется 
 Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения
 Линией тока в момент времени 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
  
 называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        (
        t
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})}
  
 в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений 
 Формула Коши-Гельмгольца связывает скорость частиц среды в точке 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, находящейся в малой окрестности некоторой точки 
  
    
      
        O
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(x_{1},x_{2},x_{3})}
  
, если известна скорость частиц в точке 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
. 
 где 
  
    
      
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        =
        (
        
          e
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {E}}=(e_{ij})}
  
 — тензор скоростей деформаций, а 
  
    
      
        
          
            
              ε
              ^
            
          
        
        =
        (
        
          e
          
            i
            j
          
        
        
        d
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)}
  
 — тензор малых деформаций, 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              ω
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}}
  
 — вектор вихря.
 Точка 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 представима как 
 В линейном приближении
 Перемещение точки 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 относительно 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
 имеет вид 
  
    
      
        d
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        (
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            A
          
        
        −
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            O
          
        
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt}
  
, из показанного выше 
  
    
      
        d
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        (
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ∇
        )
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt}
  
 или покоординатно 
 Можно переписать 
 где 
 После преобразования 
 Получается формула Коши-Гельмгольца:
 Таким образом, 
  
    
      
        d
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            A
          
        
        =
        d
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            O
          
        
        +
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        
        d
        t
        +
        
          (
          
            
              
                1
                2
              
            
            (
            ∇
            ×
            
              
                
                  v
                  →
                
              
            
            )
            ×
            
              
                
                  r
                  →
                
              
            
          
          )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right)dt}
  
, или для скоростей: 
  
    
      
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            A
          
        
        =
        
          
            
              
                v
                →
              
            
          
          
            O
          
        
        +
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        ×
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}}
  
.
 Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения 
  
    
      
        (
        ∇
        ×
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (\nabla \times {\vec {v}}=0)}
  
. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:
 По формуле Коши-Гельмгольца 
  
    
      
        d
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        
          ε
          
            1
          
        
        
          r
          
            1
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          ε
          
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            2
          
        
        +
        
          ε
          
            3
          
        
        
          r
          
            3
          
        
        
          
            
              
                e
                →
              
            
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e}}_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}}
  
.
 В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 на сфере радиуса 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 
  
    
      
        
          (
          
            
              ξ
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              ξ
              
                2
              
              
                2
              
            
            +
            
              ξ
              
                3
              
              
                2
              
            
            =
            
              a
              
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)}
  
 перейдут за 
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
  
 в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.
 Длины главных осей эллипсоида описываются 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}
  
 — корнями 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            
              1
              −
              2
              
                e
                
                  1
                
              
              
              d
              t
            
          
        
        ,
        
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            
              1
              −
              2
              
                e
                
                  2
                
              
              
              d
              t
            
          
        
        ,
        
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              R
              
                2
              
            
            
              1
              −
              2
              
                e
                
                  3
                
              
              
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt}},\;b^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{2}\,dt}},\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}}
  
.
 В том случае, когда 
  
    
      
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              ω
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {E}},\;{\vec {\omega }}}
  
, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.
 При однородной деформации:
 В силу определения 
  
    
      
        
          e
          
            i
            j
          
        
        =
        
          e
          
            j
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{ij}=e_{ji}}
  
, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости 
  
    
      
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
          v
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})}
  
. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:
 Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.