A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы 
  
    
      
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \pi /2}
  
 (отсутствие ребра между вершинами) или 
  
    
      
        2
        π
        
          /
        
        3
      
    
    {\displaystyle 2\pi /3}
  
 (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:
 Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят 
  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}}
  
 и 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}}
  
) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят 
  
    
      
        
          F
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{4}}
  
 и 
  
    
      
        
          G
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{2}}
  
).
 Список не является избыточным, если принять 
  
    
      
        n
        ⩾
        4
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 4}
  
 для 
  
    
      
        
          D
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{n}}
  
. Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы
 и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.
 Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики».
 Классы 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
, 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.
 В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:
 В терминах компактных алгебр Ли и соответствующих однониточных групп Ли:
 Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп 
  
    
      
        S
        U
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle SU(2)}
  
, бинарной полиэдральной группы. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина 
  
    
      
        
          
            
              
                A
                ~
              
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              
                D
                ~
              
            
          
          
            n
          
        
        ,
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {A}}_{n},{\tilde {D}}_{n},{\tilde {E}}_{k}}
  
, и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея (в честь Джона Маккея). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» . Соответствие использует построение графов Маккея.
 При этом 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений. Например, в 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют 
  
    
      
        
          E
          
            6
          
        
        ,
        
          E
          
            7
          
        
        ,
        
          E
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}
  
, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера 
  
    
      
        
          A
          
            3
          
        
        ,
        B
        
          C
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{3},BC_{3}}
  
 и 
  
    
      
        
          H
          
            3
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle H_{3}.}
  

 Орбиобразие 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}
  
, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
 в начале координат, которая называется дювалевской особенностью.
 Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови).
 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-графы и расширенные (аффинные) 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами, которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа  или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» .
 Аффинные 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:
 То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:
 Эквивалентно, положительные функции в ядре 
  
    
      
        Δ
        −
        I
      
    
    {\displaystyle \Delta -I}
  
. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.
 Обычные 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:
 В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:
 Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для 
  
    
      
        
          E
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{8}}
  
 эти числа лежат в пределах от 58 до 270.
 Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
-классификации.
 Диаграммы 
  
    
      
        A
        D
        E
      
    
    {\displaystyle ADE}
  
 являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля.
 Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем 
  
    
      
        
          E
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{6}}
  
, 
  
    
      
        
          E
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{7}}
  
 и 
  
    
      
        
          E
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{8}}
  
=.
Классы 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 и 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно.
 Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику[уточнить].
 Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы», а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами. Троицы Арнольда начинаются с 
  
    
      
        
          R
        
        ,
        
          C
        
        ,
        
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} }
  
 (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.
 Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина 
  
    
      
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            6
          
        
        ,
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            7
          
        
        ,
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{\tilde {E}}_{8}}
  
 (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии 
  
    
      
        
          S
          
            3
          
        
        ,
        
          S
          
            2
          
        
        ,
        
          S
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{3},S_{2},S_{1}}
  
, соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы 
  
    
      
        
          
            
              
                G
                ~
              
            
          
          
            2
          
        
        ,
        
          
            
              
                F
                ~
              
            
          
          
            4
          
        
        ,
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {G}}_{2},{\tilde {F}}_{4},{\tilde {E}}_{8}}
  
 (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами 
  
    
      
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}
  
 диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о 
  
    
      
        
          E
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{8}}
  
. Маккей далее соотносит вершины 
  
    
      
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}
  
 с классами смежности в 
  
    
      
        2.
        B
      
    
    {\displaystyle 2.B}
  
 (раширение порядка 2 группы Бэби-Монстр), а вершины 
  
    
      
        
          
            
              
                E
                ~
              
            
          
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}
  
 с классами смежности в 
  
    
      
        3.
        F
        
          i
          
            24
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle 3.Fi_{24}'}
  
 (расширение порядка 3 группы Фишера). Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.
 Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, 
  
    
      
        
          A
          
            4
          
        
        ,
        
          S
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{4},S_{4}}
  
 и 
  
    
      
        
          A
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{5}}
  
 имеют связь с проективными специальными группами 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,5)}
  
, 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        7
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,7)}
  
 и 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        11
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,11)}
  
 (порядка 60, 168 и 660). Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, таким, что 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        p
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,p)}
  
 действует нетривиально на 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: 
  
    
      
        
          A
          
            4
          
        
        ×
        
          Z
          
            5
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{4}\times Z_{5},}
  
 
  
    
      
        
          S
          
            4
          
        
        ×
        
          Z
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{4}\times Z_{7}}
  
 и 
  
    
      
        
          A
          
            5
          
        
        ×
        
          Z
          
            11
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A_{5}\times Z_{11}.}
  
 Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов). Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 точек, следующие: 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        5
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,5)}
  
 является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        7
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,7)}
  
 является группой симметрий квартики Клейна (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и 
  
    
      
        P
        S
        L
        (
        2
        ,
        11
        )
      
    
    {\displaystyle PSL(2,11)}
  
 является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3). Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.
 Маккей связывает также 
  
    
      
        
          E
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{6}}
  
, 
  
    
      
        
          E
          
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{7}}
  
 и 
  
    
      
        
          E
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{8}}
  
 соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности, 28 двойными касательными квартики и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4.