Гипотеза Хедетниеми — математическая гипотеза, в общем случае опровергнутая, предположение о связи между раскраской графов и тензорным произведением графов:
 где 
  
    
      
        χ
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \chi (G)}
  
 — хроматическое число неориентированного конечного графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
.
 Сформулирована Стефеном Хедетниеми в 1966 году.
 В 2019 году российский математик Ярослав Шитов опровергнул гипотезу, предложив контрпример к ней.
 Неравенство 
  
    
      
        χ
        (
        G
        ×
        H
        )
        ⩽
        min
        {
        χ
        (
        G
        )
        ,
        χ
        (
        H
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \chi (G\times H)\leqslant \min\{\chi (G),\chi (H)\}}
  
 подтвердить просто — если граф 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 раскрашен в 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 цветов, 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 можно раскрасить в 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 цветов путём использования той же раскраски для каждой копии 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 в произведении, из симметричного рассуждения следует ограничение по 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
. Таким образом, гипотеза Хедетниеми утверждает, что тензорные произведения не могут быть раскрашены с неожиданно малым числом цветов.
 Любой граф с непустым множеством рёбер требует по меньшей мере два цвета. Если 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 не 1-раскрашиваем, то есть оба содержат по ребру, то их произведение также содержит ребро, а потому также не 1-раскрашиваем. В частности, гипотеза верна, когда 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 или 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 являются двудольным графом, поскольку тогда их хроматическое число равно либо 1, либо 2.
 Аналогично, если два графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 не раскрашиваются в 2 два цвета, то есть не двудольный, тогда оба содержат цикл нечётной длины. Поскольку произведение двух нечётных циклов содержит нечётный цикл, произведение 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 также не может быть раскрашено в 2 цвета. Другими словами, если 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 можно раскрасить в 2 цвета, то по меньшей мере один из графов 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 или 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 должен позволять раскраску в 2 цвета.
 Следующий случай доказали много позже формулировки гипотезы Эль-Захар и Зауэр — если произведение 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 можно раскрасить в 3 цвета, то один из графов 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 или 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 должен также позволять раскраску в 3 цвета. В частности, гипотеза верна, когда 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 или 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 позволяет раскраску в 4 цвета (поскольку тогда неравенство 
  
    
      
        χ
        (
        G
        ×
        H
        )
        ⩽
        min
        {
        χ
        (
        G
        )
        ,
        χ
        (
        H
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \chi (G\times H)\leqslant \min\{\chi (G),\chi (H)\}}
  
 может быть строгим, только когда 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 позволяет раскраску в 3 цвета).
В остальных случаях оба графа в тензорном произведении должны иметь по меньшей мере 5-цветную раскраску и дальнейший прогресс есть только в очень ограниченных ситуациях.
 Следующая функция (известная как функция Поляка — Рёдля) измеряет, насколько мало́ может быть хроматическое число произведения 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-хроматических графов.
 Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна высказыванию, что 
  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        n
      
    
    {\displaystyle f(n)=n}
  
.
Слабая гипотеза Хедетниеми вместо этого просто утверждает, что функция 
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
 не ограничена.
Другими словами, если тензорное произведение двух графов можно раскрасить в несколько цветов, из этого должно следовать ограничение на хроматическое число одного из множителей.
 Главный результат Поляка и Рёдля, независимо улучшенный Поляком, Шмерлем и Зу, утверждает, что если функция 
  
    
      
        f
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle f(n)}
  
 ограничена, то она ограничена максимум значением 9.
Тогда из доказательства гипотезы Хедетниеми для 10-хроматических графов будет следовать слабая гипотеза Хедетниеми для всех графов.
 Гипотеза изучается в более общем контексте гомоморфизмов графов, особенно ввиду её связи с категорией графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок). Для любого фиксированного графа 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 рассматриваются графы 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, которые допускают гомоморфизм в 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
, что записывается как 
  
    
      
        G
        →
        K
      
    
    {\displaystyle G\to K}
  
. Такие графы называются также 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-раскрашиваемыми. Это обобщает обычное понятие раскраски графов, поскольку из определения следует, что 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-раскраска является тем же самым, что и 
  
    
      
        
          K
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{k}}
  
-раскраска (гомоморфизм в полный граф с 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 вершинами).
 Граф 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 называется мультипликативным, если для любых графов 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 из выполнения 
  
    
      
        G
        ×
        H
        →
        K
      
    
    {\displaystyle G\times H\to K}
  
 следует выполнение 
  
    
      
        G
        →
        K
      
    
    {\displaystyle G\to K}
  
 или 
  
    
      
        H
        →
        K
      
    
    {\displaystyle H\to K}
  
.
Как и в случае классической раскраски, обратное всегда выполняется — если 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 (или, симметрично 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
) 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-раскрашиваем, то 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 легко 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-раскрашиваем путём использования тех же значений цветов для всех копий 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
.
Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна утверждению, что любой полный граф является мультипликативным.
 Упомянутые выше известные случаи эквивалентны утверждениям, что графы 
  
    
      
        
          K
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          K
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{2}}
  
 и 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
 мультипликативны.
Случай 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 широко открыт.
С другой стороны, доказательство Эль-Захара и Зауэра обобщили Хе́ггквист, Хелл, Миллер и Нойманн-Лара, доказав, что все графы-циклы мультипликативны.
Позднее Тардиф доказал более общий результат, что все цикловые клики 
  
    
      
        
          K
          
            
              
                n
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{\tfrac {n}{k}}}
  
 с 
  
    
      
        
          
            
              n
              k
            
          
        
        <
        4
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {n}{k}}<4}
  
 являются мультипликативными.
В терминах циклового хроматического числа 
  
    
      
        
          χ
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{c}}
  
 это означает, что если 
  
    
      
        
          χ
          
            c
          
        
        (
        G
        ×
        H
        )
        <
        4
      
    
    {\displaystyle \chi _{c}(G\times H)<4}
  
, то 
  
    
      
        
          χ
          
            c
          
        
        (
        G
        ×
        H
        )
        =
        min
        {
        
          χ
          
            c
          
        
        (
        G
        )
        ,
        
          χ
          
            c
          
        
        (
        G
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \chi _{c}(G\times H)=\min\{\chi _{c}(G),\chi _{c}(G)\}}
  
.
 Примеры немультипликативных графов можно построить из двух графов 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, которые несравнимы в порядке гомоморфизмов (то есть ни 
  
    
      
        G
        →
        H
      
    
    {\displaystyle G\to H}
  
, ни 
  
    
      
        H
        →
        G
      
    
    {\displaystyle H\to G}
  
 не выполняется). В этом случае, образуя 
  
    
      
        K
        =
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle K=G\times H}
  
, мы тривиально получим 
  
    
      
        G
        ×
        H
        →
        K
      
    
    {\displaystyle G\times H\to K}
  
, но ни 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, ни 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 не имеют гомоморфизма в 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
, поскольку, формируя проекцию 
  
    
      
        K
        →
        H
      
    
    {\displaystyle K\to H}
  
 или 
  
    
      
        K
        →
        G
      
    
    {\displaystyle K\to G}
  
, получается противоречие.
 Поскольку тензорное произведение графов является категорийно-теоретическим произведением в категории графов (с графами как объекты и гомоморфизмами в качестве стрелок), гипотезу можно переформулировать в терминах следующего построения на графах 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 и 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
.
Экспоненциальный граф 
  
    
      
        
          K
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle K^{G}}
  
 — это граф со всеми функциями 
  
    
      
        V
        (
        G
        )
        →
        V
        (
        K
        )
      
    
    {\displaystyle V(G)\to V(K)}
  
 в качестве вершин (не только гомоморфизмы) и две функции 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 и 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 смежны, если вершина 
  
    
      
        f
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle f(v)}
  
 смежна вершине 
  
    
      
        g
        (
        
          v
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle g(v')}
  
 в 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 для всех смежных вершин 
  
    
      
        v
        ,
        
          v
          ′
        
      
    
    {\displaystyle v,v'}
  
 графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
.
В частности, имеется петля у функции 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 (она смежна себе самой) тогда и только тогда, когда имеется гомоморфизм из 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 в 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
.
Рассматривая под другим углом, можно сказать, что между 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 и 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 имеется ребро, когда две функции определяют гомоморфизм из 
  
    
      
        G
        ×
        
          K
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G\times K_{2}}
  
 (Двойное покрытие двудольным графом графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
) в 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
.
 Экспоненциальный граф является экспоненциалом в категории графов. Это означает, что гомоморфизмы из 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 в граф 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 соответствуют гомоморфизмам из 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 в 
  
    
      
        
          K
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle K^{G}}
  
.
Более того, имеется гомоморфизм 
  
    
      
        
          e
          v
          a
          l
        
        :
        G
        ×
        
          K
          
            G
          
        
        →
        K
      
    
    {\displaystyle \mathrm {eval} :G\times K^{G}\to K}
  
, задаваемый выражением 
  
    
      
        
          e
          v
          a
          l
        
        (
        v
        ,
        f
        )
        =
        f
        (
        v
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {eval} (v,f)=f(v)}
  
.
Эти свойства позволяют заключить, что мультипликативность графа 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 эквивалентна утверждению: для любых графов 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 либо 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, либо 
  
    
      
        
          K
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle K^{G}}
  
 является 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
-раскрашиваемым.
 Другими словами, гипотезу Хедетниеми можно рассматривать как утверждение об экспоненциальных графах — для любого целого 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 граф 
  
    
      
        
          K
          
            k
          
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{k}^{G}}
  
 либо 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-раскрашиваем, либо содержит петлю (это означает, что 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 является 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-раскрашиваемым).
Можно также видеть гомоморфизмы 
  
    
      
        
          e
          v
          a
          l
        
        :
        G
        ×
        
          K
          
            k
          
          
            G
          
        
        →
        
          K
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {eval} :G\times K_{k}^{G}\to K_{k}}
  
 как самые трудные случаи гипотезы Хедетниеми — если произведение 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 было бы контрпримером, то и 
  
    
      
        G
        ×
        
          K
          
            k
          
          
            G
          
        
      
    
    {\displaystyle G\times K_{k}^{G}}
  
 было бы контрпримером.
 Обобщение на ориентированные графы имеет простой контрпример, как показали Поляк и Рёдль. Хроматическое число ориентированного графа является просто хроматическим числом соответствующего неориентированного графа, но тензорное произведение имеет в точности половину числа рёбер (для дуг 
  
    
      
        g
        →
        
          g
          ′
        
      
    
    {\displaystyle g\to g'}
  
 в 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        h
        →
        
          h
          ′
        
      
    
    {\displaystyle h\to h'}
  
 в 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 тензорное произведение 
  
    
      
        G
        ×
        H
      
    
    {\displaystyle G\times H}
  
 имеет только одно ребро из 
  
    
      
        (
        g
        ,
        h
        )
      
    
    {\displaystyle (g,h)}
  
 в 
  
    
      
        (
        
          g
          ′
        
        ,
        
          h
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g',h')}
  
, в то время как произведение неориентированных графов имеет также ребро между 
  
    
      
        (
        g
        ,
        
          h
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (g,h')}
  
 и 
  
    
      
        (
        
          g
          ′
        
        ,
        h
        )
      
    
    {\displaystyle (g',h)}
  
).
Однако оказывается, что слабая гипотеза Хедетниеми эквивалентна для неориентированных и ориентированных графов.
 Проблему нельзя обобщить на бесконечные графы — Хайнл привёл пример двух бесконечных графов, каждый из которых требует для раскраски бесконечное число красок, но их произведение можно раскрасить конечным набором цветов. Ринот доказал, что в конструктивном универсуме для любого бесконечного кардинала 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  
 существует пара графов с хроматическим числом, большим 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  
, таких, что из произведение может быть раскрашено лишь конечным числом цветов.
 Похожее равенство для прямого произведения графов доказал Сабидусси и оно было переоткрыто после этого несколько раз.
Точная формула известна для лексикографического произведения графов.
Дуффус, Сэндс и Вудроу предложили две более строгие гипотезы с единственностью раскраски.