Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий графы, одна из ветвей топологии. В самом общем смысле граф — это множество точек (вершин, узлов), которые соединяются множеством линий (рёбер, дуг). Теория графов (то есть систем линий, соединяющих заданные точки) включена в учебные программы для начинающих математиков, поскольку:
 На протяжении более сотни лет развитие теории графов определялось в основном проблемой четырёх красок. Решение этой задачи в 1976 году оказалось поворотным моментом истории теории графов, после которого произошло её развитие как основы современной прикладной математики. Универсальность графов незаменима при проектировании и анализе коммуникационных сетей.
 Теория графов, как математическое орудие, приложима как к наукам о поведении (теории информации, кибернетике, теории игр, теории систем, транспортным сетям), так и к чисто абстрактным дисциплинам (теории множеств, теории матриц, теории групп и так далее).
 Несмотря на разнообразные, усложнённые, малопонятные и специализированные термины многие модельные (схемные, структурные) и конфигурационные проблемы переформулируются на языке теории графов, что позволяет значительно проще выявить их концептуальные трудности. В разных областях знаний понятие «граф» может встречаться под следующими названиями:
 и так далее.
 Теория графов как раздел прикладной математики «открывалась» несколько раз. Ключ к пониманию теории графов и её комбинаторной сущности отражены в словах Джеймса Сильвестра: «Теория отростков (англ. ramification) — одна из теорий чистого обобщения, для неё не существенны ни размеры, ни положение объекта; в ней используются геометрические линии, но они относятся к делу не больше, чем такие же линии в генеалогических таблицах помогают объяснять законы воспроизведения».
 Диаграмма одной из разновидностей графа — дерева — использовалась издавна (конечно, без понимания, что это «граф»). Генеалогическое древо применялось для наглядного представления родственных связей. Но только античный комментатор работ Аристотеля финикийский философ и математик Порфирий использовал изображение дерева в науке как иллюстрацию дихотомического деления в своей работе «Введение» (греч. Εἰσαγωγή, лат. Isagoge) для классификации философского понятия материи.
 Швейцарский, прусский и российский математик Леонард Эйлер в статье (на латинском языке, изданной Петербургской академией наук) о решении знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах, датированной 1736 годом, первым применил идеи теории графов при доказательстве некоторых утверждений. При этом Эйлер не использовал ни сам термин «граф», ни какие-либо термины теории графов, ни изображения графов. Леонард Эйлер считается отцом теории графов (как и топологии), открывшим понятие графа, а 1736 год назначен годом рождения теории графов.
 В 1847 году немецкий физик Густав Кирхгоф фактически разработал теорию деревьев при решении системы уравнений для нахождения величины силы тока в каждом контуре электрической цепи. Кирхгоф фактически изучал вместо электрической цепи соответствующий ей граф и показал, что для решения системы уравнений нет необходимости анализировать каждый цикл графа, достаточно рассмотреть только независимые циклы, определяемые любым остовным деревом графа.
 Электрическая цепь 'N
 Граф G, соответствующий электрической цепи
 Остовое дерево T графа G
 В 1857 году английский математик Артур Кэли, занимаясь практическими задачами органической химии, открыл важный класс графов — деревья. Кэли пытался перечислить химические изомеры предельных (насыщенных) углеводородов CnH2n+2 с фиксированным числом n атомов углерода.
 Метан CH4
 Этан C2H6
 Пропан C3H8
 Бутан C4H10
 В 1859 году ирландский математик сэр Уильям Гамильтон придумал игру «Вокруг света». В этой игре использовался додекаэдр, каждая из 20 вершин которого соответствовала известному городу. От играющего требовалось обойти «вокруг света», то есть пройти по рёбрам додекаэдра так, чтобы пройти через каждую вершину ровно один раз.
 Обход вершин додекаэдра на многограннике
 Обход вершин на проекции додекаэдра на плоскость
 В 1869 году, независимо от Артура Кэли, французский математик Камиль Жордан (в частности, в статье « Sur les assemblages de lignes ») придумал и исследовал деревья в рамках чистой математики. При этом Жордан использовал термины теории графов «вершина» (фр. sommet) и «ребро» (фр. arête), но вместо термина «граф» было «соединение рёбер» (фр. assemblage d’arêtes) или просто «соединение» (фр. assemblage). Рисунки Жордан не использовал. При этом Жордан не подозревал о значении своего открытия для органической химии.
 
 
Soient x, y, z, u, … des points en nombre quelconque ; xy, xz, yu, … des arêtes droites ou courbes, mais non bifurquées, dont chacune joint ensemble deux de ces points. Nous appellerons un semblable système un assemblage d’arêtes, dont x, y, z, u, … sont les sommets.
 Первое появление слова «граф» в смысле теории графов состоялось в 1878 году в краткой заметке (на английском языке) английского математика Джеймса Сильвестра в журнале Nature и имеет графическое происхождение как обобщение понятий «диаграмма Кекуле» и «химикограф».
 
 
Every invariant and covariant thus becomes expressible by a graph precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph.
 В переводе:
 
 
Таким образом, каждый инвариант и ковариант выражается некоторым графом, точно идентичным диаграмме Кекуле или химикографу.
 Мы привычно рисуем точки, изображающие людей, населённые пункты, химические молекулы и т. д., и соединяем эти точки линиями, означающими отношения. Это социограммы (в психологии), симплексы (в топологии), электрические цепи (в физике), диаграммы организации (в экономике), сети коммуникаций, генеалогические деревья и т. д. В начале XX века венгерский математик Денеш Кёниг первый предложил называть эти схемы «графами» и изучать их общие свойства. В 1936 году вышла первая в мире книга по теории графов (на немецком языке) Денеша Кёнига «Теория конечных и бесконечных графов» с большей частью результатов за прошедшие 200 лет, начиная с 1736 года — даты выхода первой статьи Леонарда Эйлера по теории графов с решением задачи о кёнигсбергских мостах. В частности, в книге Кёнига имеется общий параграф для задачи о кёнигсбергских мостах и задаче о домино (построение замкнутой цепи из всех костей домино по правилам игры).
 Теория графов (другими словами, системы линий, соединяющих заданные точки) очень удобна для начинающих:
 «Как и теория чисел, теория графов концептуально проста, но порождает сложные нерешенные проблемы. Как и геометрия, она визуально приятна.
Эти два аспекта, наряду с их разнообразными приложениями, делают теорию графов идеальным предметом для включения в учебные программы по математике».
 Возникновение этого раздела математики в XVIII веке связано с математическими головоломками. Достаточно продолжительное время теория графов была «несерьёзна» и целиком связана с играми и развлечениями. Такая судьба теории графов повторяет судьбу теории вероятностей, также сначала находившей себе применение только в азартных играх.
 Отцом теории графов (как и топологии) считается швейцарский математик и механик Леонард Эйлер (1707—1783), написавший статью с решением задачи о кёнигсбергских мостах. Эйлер писал:
 
 
В дополнение к той ветви геометрии, которая занимается величинами и которой всегда уделялось самое большое внимание, существует другая ветвь, прежде почти неизвестная, о которой впервые упоминал Лейбниц, назвав ее геометрией положения [geometria situs]. Эта ветвь занимается только определением положения и его свойствами, она не включает ни измерений, ни вычислений, с ними связанных...
 Далее Эйлер пишет, что не ясно, какие задачи и методы их решения относятся к геометрии положения. Тем не менее, Эйлер считал кёнигсбергские мосты именно такой задачей, о чём говорит и заголовок статьи. В действительности, Готфрид Лейбниц не позже 1679 года написал в письме к Христиану Гюйгенсу:
 
 
Меня не удовлетворяет алгебра в том отношении, что не позволяет получить ни кратчайшие доказательства, ни самые красивые конструкции геометрии. Следовательно, в силу этого я считаю, что нам нужен другой способ анализа, геометрический или линейный, который прямо бы работал с положением точно так же, как алгебра работает с величиной...
 Лейбниц, введя термин analysis situs (анализ положения), не заложил основы новой математической дисциплины, но указал направление будущих исследований.
 Публикация статьи Леонарда Эйлера «Решение одной задачи, связанной с геометрией положения» о решении задачи о кёнигсбергских мостах имеет следующую историю:
 
 
Leonhardi Euleri. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis / Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 8 (1736). 1741. P. 128—140.
 В переводе:

 
Леонард Эйлер. Решение одной задачи, связанной с геометрией положения / Труды Петербургской академии наук. 8 (1736). 1741. С. 128—140.
 Поскольку выход статьи Эйлера из печати датируется 1736 годом (и обоих писем тоже), этот год назначен датой рождения теории графов.
 Эйлер в своей статье так сформулировал задачу о семи кёнигсбергских мостах:

 
В городе Кенигсберге, в Пруссии, есть остров, называемый Кнайпхоф; река, окружающая его, делится на два рукава, что можно увидеть на рисунке. Рукава этой реки пересекают семь мостов а, Ь, с, d, e, f и g. В связи с этими мостами был поставлен вопрос, можно ли совершить по ним прогулку так, чтобы пройти по каждому из этих мостов, причём ровно по одному разу.
 В конце статьи Эйлер записал выводы вполне современным языком:

 
20. Значит в каждом возможном случае следующее правило позволяет непосредственно и без труда выяснить, можно ли осуществить прогулку по всем мостам без повторений:
 Если имеется более двух областей, в которые ведёт нечётное число мостов, можно заявить с уверенностью, что такая прогулка невозможна.
 Если, однако, имеются только две области, в которые ведёт нечётное число мостов, то прогулка осуществима при условии, что она начинается в одной из этих двух областей.
 Если, наконец, нет ни одной области, в которую ведёт нечётное число мостов, прогулка с требуемыми условиями осуществима, причём начинаться она может в любой области.
 Следовательно, с помощью этого правила поставленная задача может быть полностью решена.
 Теорема о четырёх красках — наиболее известное утверждение в теории графов (а может, и во всей математике), долгое время не поддающееся доказательству (а может, так и не доказанное). Эту легендарную задачу в течение пяти минут может объяснить любой математик любому прохожему, после чего оба, понимая проблему, решить её не смогут. Следующая цитата из ставшей исторической статьи 1965 года американского математика Кеннет О. Мэй:

 
[Предполагается, что] любую карту на плоскости или поверхности шара можно раскрасить только четырьмя красками таким образом, чтобы никакие две смежные страны не были одного и того же цвета. Каждая страна должна состоять из одной связной области, а смежными называются страны, которые имеют общую границу в виде линии (а не просто одной общей точки). Эта гипотеза тесно связана с наиболее модными направлениями теории графов, а в разделе математики, называемом комбинаторной топологией, она действовала подобно катализатору. На протяжении более чем половины столетия многие математики (кое-кто говорит, что все) предпринимали попытки решить эту проблему, но смогли доказать справедливость гипотезы только для отдельных случаев... Единодушно признается, что гипотеза справедлива, но маловероятно, что она будет доказана в общем случае. Кажется, что ей на некоторое время предназначено сохранить отличительную черту быть одновременно и наиболее простой, и наиболее заманчивой нерешённой проблемой математики.
 Теорема о четырёх красках относится к теории графов, так как каждая карта порождает граф следующим образом:
 Этот граф рисуется на плоскости без пересечения рёбер. Теорема о четырёх красках доказана, если доказано, что вершины любого подобного графа можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы смежные вершины имели разные цвета.
 Теорема о четырёх красках имеет легендарную историю, интересную и иногда непонятную:
 
 
Cayley Arthur. On the Colouring of Maps // Proceedings of the Royal Geographical Society. 1879. Vol. 1, No. 4. P. 259–261
 принадлежит Артуру Кэли, английскому математику. Теперь проблема приобретает большую известность;
 
 
Kempe A. B. On the Geographical Problem of the Four Colours // American Journal of Mathematics. 1879. Vol. 2, No. 3. P. 193–200
 английского церковного юриста и любителя математики Альфреда Кемпе. Это было не только первое из многих ошибочных «доказательств», но и самое «правильное»: на основе идей этой статьи удалось сначала доказать, что пяти красок хватит, а затем провести полное компьютерное доказательство теоремы о четырёх красках;
 
 
Heawood P. J. Map colour theorems //Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. 24 (1890). P. 332—338
 также доказал, что теорема верна, если «четыре» заменить на «пять», и, кроме того, обобщил понятие «карты страны» с плоскости на замкнутые поверхности и сформулировал гипотезу Хивуда;
 Теория графов содержит топологические аспекты. Первым результатом в этом направлении является формула Эйлера в теории графов, полученная им в 1736 году. Следующий результат в виде теоремы Понтрягина — Куратовского был получен только через 191 год: в 1927 году советский математик Лев Семёнович Понтрягин доказал (но не опубликовал) этот результат, а в 1930 году польский математик Казимеж Куратовский опубликовал его (независимо от Понтрягина). Теорему Понтрягина — Куратовского также называют критерием Понтрягина — Куратовского:
 Планарный граф — это граф, который можно нарисовать на плоскости без пересечения рёбер. Граф, который нельзя так нарисовать, называется непланарным. Ниже показаны два важных непланарных графа, обозначаемых 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  
 и 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  
, их нельзя нарисовать на плоскости без пересечения рёбер. Эти два графа выделяются среди других тем, что только они используются в критерии Понтрягина — Куратовского.
 Полный граф с пятью вершинами 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 Полный двудольный граф (3, 3) 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 До появления критерия Понтрягина — Куратовского доказательство планарности или непланарности графов было очень сложной проблемой теории графов.

 
Теорема Понтрягина — Куратовского. Граф планарен тогда и только тогда, когда он ни в каком виде не содержит графов 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  
 и 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  
.
 Справа приведены два простых доказательства без слов того, что остов четырёхмерного гиперкуба (тессеракта) как граф непланарен. На верхнем рисунке показано, что в тессеракте содержится полный граф с пятью вершинами 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  
, на нижнем — полный двудольный граф (3, 3) 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  
.
 
Ранняя теория графов — теория графов до 1936 года, до выхода книги Кёнига.
 В 1936 году вышла первая в мире книга по теории графов венгерского математика Денеша Кёнига «Теория конечных и бесконечных графов» на немецком языке:

 
Kőnig, Dénes. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaf, 1936.
 Эта книга состояла из 248 страниц (без учёта предисловия, оглавления и библиографии) и большей части результатов теории графов за 200 лет — с даты выхода статьи Леонарда Эйлера с решением задачи о кёнигсбергских мостах.
 Современная теория графов — теории графов, начиная с 1936 года, с момента выхода книги Кёнига. С времени выхода книги Кёнига, но в основном с конца Второй мировой войны, теория графов начала ускоренно развиваться. Этот рост заключался не только в увеличении числа книг по теории графов, но и в том, что развились специальные аспекты теории графов:
 Один из отцов современной теории графов — Фрэнк Харари, который в 1977 году основал журнал «Теория графов».
 Книга Фрэнка Харари «Теория графов» стала классической де-факто.
 Книга Рейнгарда Дистеля «Теория графов» (выдержала 5 редакций) не имеет конкурентов в русскоязычной библиографии. Этот канон вводного курса в теорию графов инициировал отождествление некоторых областей обучения и исследования.
 Ранняя теория графов продолжалась ровно 200 лет, от первой статьи по теории графов Леонарда Эйлера 1736 года до первой книги по теории графов Денеша Кёнига 1936 года. В предисловии к книге написано, что изложение теории графов ограничивается областью абсолютных графов (абстрактных графов в современной терминологии), а относительная теория графов (топологическая теория графов в современной терминологии) и перечислительная теория графов не рассматриваются. Ниже приведено полное название книги Денеша Кёнига и её краткое оглавление, состоящее из названий глав.
 Обычно упоминаемый факт пестроты и неупорядоченности терминологии и обозначений в теории графов — частично следствие того, что этой наукой интересуются специалисты из весьма разнообразных областей знания. Кроме того, в терминологии самой теории графов имеется некоторый люфт, немного затрудняющий изучение и представление теории графов. С особой осторожностью приходится применять такие понятия, как «маршрут», «путь» и «цепь», которые, означая почти одно и то же, могут принимать разные конкретные значения у разных авторов.
 Вот что писал в начале своей классической книги Фрэнк Харари (переизданной в 2003 году).
 
 
Большинство специалистов по теории графов употребляют в книгах, статьях и лекциях свою собственную терминологию. На конференциях по теории графов каждый выступающий, чтобы избежать неправильного понимания, считает необходимым определить прежде всего язык, которым он будет пользоваться. Даже само слово «граф» не является священным. Некоторые авторы действительно определяют «граф» как граф, другие же имеют в виду такие понятия, как мультиграф, псевдограф, ориентированный граф или сеть. Нам кажется, что единообразие в терминологии теории графов никогда 
 
не будет достигнуто, но, может быть, оно и ни к чему. Наиболее радикален взгляд с позиций конструктивной математики.
 
 
…нам кажется не слишком важным, как назвать точки, соединённые линиями: «графом», «орграфом», «мультиграфом», «псевдографом». Графы, построенные на основе реальных структур, слишком разнообразны, чтобы их классифицировать по тем признакам, о которых говорили родоначальники этой науки. Нас гложет сомнение: нужно ли вообще различать такие понятия, как «ребро» — «дуга», «контур» — «цикл», «путь» — «маршрут», «центр» — «центроид» и т. д. Ведь на практике (а графы в основном имеют прикладное значение) все эти ряды терминов забываются и заменяются каки-либо одним словом: «граф», «ребро», «цикл», «путь», «центр». Информатику трудно понять, почему граф с петлёй уже не является полноценным графом, а только «псевдографом».
…Разве информатик или кто-либо другой из специалистов не в состоянии сам решить, каким словом ему пользоваться — «путь» или «маршрут», — и через какие буквы его маршрут-путь лучше обозначить? Граф — это наглядный образ, достоинство которого как раз и состоит в том, что он требует минимума слов и символов.
 Программисты тоже вносят свою лепту в разброс терминологии.
 
 
В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов «граф» или «сеть» более употребителен. Мы выбрали термин «сеть», так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях.
 Но в изданиях последних лет речь идёт уже о «в основном стандартной» терминологии.
 
 
Используемая в этой книге терминология в основном стандартна. Альтернативы, конечно, существуют и некоторые из них даются при первом определении понятия. 
 Например, в фундаментальном труде в области кибернетики «Алгоритмы: построение и анализ» используется стандартная терминология.
 
 
При описании времени работы алгоритма над данным графом 
  
    
      
        G
        =
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G=(V,E)}
  
 мы обычно определяем размер входного графа в терминах количества его вершин 
  
    
      
        
          |
        
        V
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |V|}
  
 и количества рёбер 
  
    
      
        
          |
        
        E
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |E|}
  
 графа, т. е. размер входных данных описываем двумя, а не одним параметром.
 Абстрактные графы можно изображать на плоскости по-разному. Вопрос о том, изоморфны ли данные изображения графов, то есть изоморфны ли данные изображения графов одному абстрактному графу, может быть нетривиальным. Иногда этот вопрос решается просто. Например, следующие два графа неизоморфны, поскольку они имеют разное число вершин.
 Три вершины
 Четыре вершины
 Следующие два графа также неизоморфны, поскольку они имеют разное число рёбер.
 Пять рёбер
 Шесть рёбер
 Но чтобы показать, что неизоморфны два следующих графа, требуется более тонкое рассуждение. Первый граф имеет замкнутый обход всех вершин по одному разу (гамильтонов цикл):
 а второй граф не имеет. То есть при любой нумерации вершин второго графа нельзя получить на нём гамильтонов цикл, соответствующий гамильтонову циклу первого графа.
 Есть гамильтонов цикл
 Нет гамильтонова цикла
 Если сразу не ясно, как доказать неизоморфность графов, то вопрос о наличии изоморфизма может оказаться труден. Два следующих изоморфных графа на первый взгляд неизоморфны.
 Циркулянтный граф 
  
    
      
        
          C
          
            7
          
        
        (
        1
        ,
        2
        )
      
    
    {\displaystyle C_{7}(1,2)}
  

 Циркулянтный граф 
  
    
      
        
          C
          
            7
          
        
        (
        1
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle C_{7}(1,3)}
  

 На какие источники лучше ориентироваться, представляя теорию графов? Вот отзывы о некоторых книгах.
 
 
Прошло 30 лет после выпуска монографии Ф. Харари «Теория графов», но её привлекательные качества нисколько не потускнели. Унификация терминологии, проведённой автором и широко распространенной благодаря этой книге, стала общепринятой. Преподавание теории графов с использованием книги Ф. Харари ведется во многих вузах нашей страны.
 
 
…сейчас хватает переводов на русский язык учебников по теории графов, в первую очередь замечательной книги Дистеля. И, увы, только книги Дистеля.
 …Именно работа над переводом 5-го издания книги Дистеля стимулировала продолжение работы над моей книгой в 2017 году после долгого перерыва. Я заметил, насколько велика «симметрическая разность» его
книги и моей.
 Классификацию теории графов приходится собирать по разным источникам.
 Теория графов, как и любая современная математическая модель, использует стенографические символы, экономящие мышление и делающие математическую модель гибкой и эффективной.
 Здесь деликатно и сжато приведены первые термины основной части теории графов. Большинство стандартных терминов настолько наглядны, что легко усваиваются. Необходимо достаточно строго определить ряд понятий, чтобы в дальнейшем иметь возможность их широко использовать.
 Краткая, но представительная сводка основных определений теории графов, примыкающих к понятию собственно графа. Эти понятия вводятся одно за другим достаточно систематически, хотя и несколько утомительно.
 Слева направо: граф порядка 1, граф порядка 2 с 1 ребром, граф порядка 4 с 4 рёбрами, граф порядка 8 с 12 рёбрами
 Первые пять полных графов
 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Кубический граф с 4 вершинами
 4-регулярный граф с 6 вершинами
 5-регулярный граф с 12 вершинами
 Продолжение краткой, но представительной сводки основных теоретико-графовых определений, примыкающих к понятию графа. Для полноты перечислим ряд разновидностей графов.
 Диаграмма 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 с пересечением вершин
 Диаграмма 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 без пересечения вершин
 Исходный граф
 Óстовный, но не порождённый подграф
 Порождённый, но не о́стовный подграф
 Мультиграф задачи о Кёнигсбергских мостах
 Псевдограф
 Гиперграф 
  
    
      
        V
        =
        {
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
          v
          
            3
          
        
        ,
        
          v
          
            4
          
        
        ,
        
          v
          
            5
          
        
        ,
        
          v
          
            6
          
        
        ,
        
          v
          
            7
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7}\}}
  
, 
  
    
      
        E
        =
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        
          e
          
            3
          
        
        ,
        
          e
          
            4
          
        
        }
        =
      
    
    {\displaystyle E=\{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}=}
  

  
    
      
        =
        {
        {
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
          v
          
            3
          
        
        }
        ,
        {
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        
          v
          
            3
          
        
        }
        ,
      
    
    {\displaystyle =\{\{v_{1},v_{2},v_{3}\},\{v_{2},v_{3}\},}
  

  
    
      
        {
        
          v
          
            3
          
        
        ,
        
          v
          
            5
          
        
        ,
        
          v
          
            6
          
        
        }
        ,
        {
        
          v
          
            4
          
        
        }
        }
      
    
    {\displaystyle \{v_{3},v_{5},v_{6}\},\{v_{4}\}\}}
  

 Орграф
 Свойство графа, считающееся одним из самых простых и в то же время основных, это свойство связности. Здесь представлен ближайший круг понятий этого свойства связности.
 Два пути 
  
    
      
        
          P
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{4}}
  
: жёлтый и синий
 Красный цикл 
  
    
      
        
          C
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{12}}
  
. Пунктирные рёбра — хорды цикла
 Связный граф на 5 вершинах
 Несвязный граф из 2 компонент на 5 вершинах
 e — мост. Вершина a и концы моста — разделяющие вершины
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
, никакой обход рёбер по одному разу невозможен
 Не эйлеров граф, имеющий открытый маршрут, проходящий по всем рёбрам ровно один раз
 Эйлеров граф. Эйлеров цикл — обход рёбер в алфавитном порядке
 Четыре семейства графов были представлены выше, это полные, двудольные, регулярные и эйлеровы графы. Ещё одно семейство графов в разных областях науки называется одинаково — деревья. Деревья находят приложения в различных областях знания и имеют особый статус в самой теории графов по причине предельной простоты их строения, и при решении задачи о графах её сначала могут исследовать на деревьях.
 Дерево с корнем 3 и максимальными цепями 3-1-2, 3-7-6-5, 3-7-10
 Жирные рёбра — нормальное остовное дерево с корнем A или D
 Жирные рёбра — остовное дерево, которое не может быть нормальным при любом выборе корня
 Современному состоянию теории графов отвечает стандартный учебник, сочетающий в себе классику и активнуюе математику и охватывающий основной материал предмета. Оглавление подобной книги даёт краткое представление о современном состоянии теории графов, из которого и состоит этот раздел.
 Как найти максимально возможное число независимых рёбер в графе? Можно ли все вершины графа разбить на пары? Ответы начинаются со следующих понятий.
 Паросочетание из двух рёбер
 Паросочетание из трёх рёбер
 Паросочетание покрывает 8 вершин графа из 9
 Паросочетание покрывает все 8 вершин графа
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 1-й остовный лес графа 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 2-й остовный лес графа 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 3-е остовное дерево графа 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 Более глубоко связность графа раскрывается путём использования понятий 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-связности, блока и независимости путей.
 Граф с 
  
    
      
        κ
        =
        2
        ,
        λ
        =
        3
        ,
        δ
        =
        4
      
    
    {\displaystyle \kappa =2,\lambda =3,\delta =4}
  

 Исходный граф
 Граф блоков и точек сочленения исходного графа
 Белые вершины разделены не менее чем двумя вершинами и белые вершины можно соединить не более чем двумя независимыми путями
 Желательно, чтобы граф, нарисованный на листе бумаги, воспринимался как можно легче. Один из способов уменьшить хаос множества линий — избегать их пересечения. Можно ли нарисовать граф таким образом, чтобы рёбра не пересекались, то есть пересекались бы только в общих концевых вершинах?
 Исходный плоский граф: 4 вершины, 5 рёбер и 3 грани, 
  
    
      
        4
        −
        5
        +
        3
        =
        2
      
    
    {\displaystyle 4-5+3=2}
  

 Три грани исходного графа: внешняя (красная) и две внутренние
 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
, нарисованный как неплоский
 Граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
, нарисованный как плоский
 Полный граф с пятью вершинами 
  
    
      
        
          K
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5}}
  

 Полный двудольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Стягивание ребра с концевыми вершинами u и v
 Получение из графа Петерсена графа 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Сколькими цветами можно раскрасить страны на карте так, чтобы смежные страны имели разный цвет? Сколько дней заседает парламентский комитет, если каждый комитет заседает один день, а некоторые члены парламента служат в нескольких комитетах? Какова минимальная длина школьного расписания, если известно, как часто каждый преподаватель преподаёт в каждом классе?
 Раскраска полного графа 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  

 Раскраска полного графа 
  
    
      
        
          K
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{6}}
  

 Раскраска графа Петерсена
 Граф-звезда с 5 вершинами раскрашен в 2 цвета
 Граф-звезда с 5 вершинами раскрашен в 3 цвета
 Граф-звезда с 5 вершинами раскрашен в 4 цвета
 Карта субъектов Российской Федерации, раскрашенная в четыре цвета
 3-раскраска бидиакис-куба, пример планарного графа без треугольников
 3-раскраска планарного графа без треугольников
 Рёберная раскраска полного графа 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  

 Рёберная раскраска полного графа 
  
    
      
        
          K
          
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{8}}
  

 Рёберная раскраска графа Петерсена
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 рёберно раскрашен в 3 цвета
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 рёберно раскрашен в 4 цвета
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 рёберно раскрашен в 5 цветов
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  
 имеет 
  
    
      
        
          χ
          ′
        
        =
        Δ
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \chi '=\Delta =3}
  

 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
 имеет 
  
    
      
        
          χ
          ′
        
        =
        Δ
        +
        1
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \chi '=\Delta +1=3}
  

 Граф можно рассматривать как сеть, когда рёбра несут некоторый поток, например поток воды, или электрического тока, или данных и так далее. Как моделируется подобная ситуация математически?
 Разбиение множества на 6 подмножеств
 Разбиение множества на 7 подмножеств
 5-рёберный разрез в 6-рёберном графе (не бонд)
 2-рёберный разрез в том же графе (бонд)
 Граф потока не имеет (для вершин u и v не выполнено правило Кирхгофа)
 Поток на графе
 Граф циркуляции не имеет (для вершин s, t и v не выполнено правило Кирхгофа)
 Циркуляция на графе
 В циркуляция поток через любой разрез равен 0
 Граф с источником s и стоком t. Указаны пропускные способности ориентированных рёбер
 Сеть с источником s и стоком t. Для каждого ориентированного ребра указаны поток (1-е число) и пропускная способность (2-е число). Поток через любой разрез максимален и равен 18 — минимальной пропускной способности разрезов
 Какая рёберная плотность необходима для существования заданного подграфа — типичная экстремальная задача на графах. Достаточно высокая средняя степень вершин или большое хроматическое число гарантируют, что нужная подструктура обязательно встретится в графе? Какое наибольшее возможное число рёбер может иметь 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-вершинный граф, чтобы не иметь другой, меньший, граф в качестве подграфа?
 Полный граф 3-го порядка 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  

 Экстремальный граф 4-го порядка для полного графа 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  

 Максимальный, но не экстремальный граф 4-го порядка для 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  

 Неполный двудольный граф
 Полный двудольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  

 Неполный 3-дольный граф
 Полный 3-дольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            2
            ,
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,2,2}}
  

 Неполный двудольный граф
 Полный двудольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            5
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{5,3}}
  
, но размер долей отличается на 2
 Полный двудольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  
: граф Турана 
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
        (
        6
        )
      
    
    {\displaystyle T_{2}(6)}
  

 Полный 4-дольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            4
            ,
            3
            ,
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4,3,3,3}}
  
: граф Турана 
  
    
      
        
          T
          
            4
          
        
        (
        13
        )
      
    
    {\displaystyle T_{4}(13)}
  

 Изучение бесконечных графов привлекательно, однако этим разделом теории графов часто пренебрегают. Терминология совпадает с терминологией конечных графов, за исключением принципиально новых понятий бесконечных графов. Наиболее типичные подобные понятия появляются уже при «минимуме бесконечности», когда у графа всего лишь счётное число вершин и только конечное число рёбер в вершинах.
 Бесконечный граф со счётным числом вершин, в каждой вершине сходится 2 ребра
 Гребень с белыми зубьями и лучом 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  

 Иллюстрация к лемме Кёнига о бесконечном пути
 2-сторонняя бесконечная лестница, концы отмечены точками
 Двоичное дерево с континуумом концов, по одному для каждой бесконечной последовательности 0—1
 Каждый ли достаточно большой граф содержит или полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{r}}
  
, или индуцированное дополнение 
  
    
      
        
          
            
              K
              
                r
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {K_{r}}}}
  
? Несмотря на сходство с экстремальными задачами с их поиском локальных следствий глобальных предположений, последний вопрос приводит к математике несколько иного рода. Действительно, теоремы и доказательства теории Рамсея имеют больше общего с подобными результатами из алгебры или геометрии. Язык графов естествен в рамсеевских задачах, и материал показывает разнообразие идей и методов, достаточное 
для того, чтобы передать обаяние этой теории в целом?
 Квадрат (слева) и его дополнение (справа)
 Полный граф 
  
    
      
        
          K
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{6}}
  

 Дополнение 
  
    
      
        
          
            
              K
              
                6
              
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {K_{6}}}}
  

 Самодополнительный граф — это граф, который изоморфен своему дополнению. Наименьшие нетривиальные самодополнительные графы содержат 4 и 5 вершин.
 Самодополнительный граф с 4 вершинами
 Самодополнительный граф с 5 вершинами
 Самодополнительный граф с 5 вершинами
 
 Граф с 6 вершинами, есть только красные треугольники
 Граф с 6 вершинами, есть только синие треугольники
 Граф с 5 вершинами, нет ни красных, ни синих треугольников
 Граф с 9 вершинами, есть красные 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
, нет синих 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  

 Граф с 9 вершинами, нет красных 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
, есть синие 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  

 Граф с 8 вершинами, нет ни красных  
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
, ни синих 
  
    
      
        
          K
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{4}}
  

 Задача о том, содержит ли граф замкнутый маршрут, проходящий через каждое ребро в точности один раз, легко решается с помощью простой теоремы Эйлера (1736). Намного труднее решается такой же вопрос относительно вершин: когда граф содержит замкнутый маршрут, проходящий через каждую вершину в точности один раз?
 Гамильтонов цикл на плоском додекаэдре
 Гамильтонов цикл на объёмном додекаэдре
 Граф «Дротик» негамильтонов
 Граф «Рыба» негамильтонов
 Простейший тета-граф — полный двудольный граф 
  
    
      
        
          K
          
            2
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{2,3}}
  

 Тета-граф с 7 вершинами
 Тета-граф с 9 вершинами
 Простейший гамильтонов граф
 Простейший гамильтонов граф с тета-подграфом
 3-связный планарный кубический граф без гамильтонова цикла
 4-связный планарный граф: октаэдр
 5-связный планарный граф: икосаэдр
 Вероятностный метод позволяет доказать существование объекта с заданным свойством следующим образом: 1) определяется вероятностное пространство на некотором большем классе объектов, заведомо непустом; 2) показывается, что искомое свойство выполняются для случайно выбранного элемента пространства с положительной вероятностью. Суть вероятностного метода в том, чтобы неконструктивно показать, что заданная раскраска существует или нет.
 
 Одна из самых глубоких математических теорем, которая затмевает любую другую теорему теории графов — это теорема о минорах графа: любое бесконечное множество графов содержит два графа таких, что один есть минор другого. Ниже объясняются некоторые основные понятия на подступах к этой теореме, доказательство которой занимает 500 страниц.
 Диаграмма Хассе отношения делимости натуральных чисел
 Исходный граф 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  

 Подразбиение 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 — подграф 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  

 Топологический минор 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  

 Минор получен удалением ef и стягиванием bc
 Отношение быть (топологическим) минором квадрата. Все миноры — подграфы, кроме треугольника. Треугольник получается из квадрата стягиванием вершины
 Петерсеново семейство, запрещённые миноры для незацепленного вложения графа
 В основе простых циклов и рёберных разрезов графов лежит алгебраическая структура, достижение понимания которой делает возможным применение мощных и красивых методов линейной алгебры, которые приводят, в свою очередь, к более глубокому пониманию теории графов и соответствующих алгоритмов на графах.
 Уже в XIX веке графы применялись при проектировании электрических цепей и молекулярных схем; математические развлечения и головоломки — тоже часть теории графов.
 К теории графов также относится целый ряд математических проблем, не решённых на сегодняшний день.