Локально линейный граф — неориентированный граф в окрестности каждой вершины порождённым паросочетанием. То есть для любой вершины 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 любая окрестность 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 должна быть смежной в точности ещё одной вершине, соседней вершине 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
. Эквивалентно, любое ребро 
  
    
      
        u
        v
      
    
    {\displaystyle uv}
  
 такого графа принадлежит единственному треугольнику 
  
    
      
        u
        v
        w
      
    
    {\displaystyle uvw}
  
. Локально линейные графы называются также локально паросочетаемыми графами.
 Примеры локально линейных графов включают треугольные кактусы, рёберные графы 3-регулярных графов без треугольников и прямое произведение более мелких локально линейных графов. Определённые кнезеровские графы, и некоторые сильно регулярные графы также локально линейны.
 Некоторые локально линейные графы имеют почти квадратичное число рёбер. Вопрос, как плотны эти графы, может быть одной из формулировок Проблема Ружи – Семереди. Известны также наиболее плотные планарные графы, которые могут быть локально линейными.
 Известны некоторые построения для локально линейных графов.
 Графы дружеских отношений, образованные склеиванием  вместе набора треугольников в одной общей вершине, локально линейны. Это единственные конечные графы, имеющие более сильное свойство, что любая пара вершин (смежных или нет) имеют в точности одну общую соседнюю вершину. Более обще, любой треугольный кактус, граф, в котором все простые циклы треугольны и все пары простых циклов имеют максимум одну общую вершину, локально линейны.
 Пусть 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 будут любыми двумя локально линейными графами, выберем треугольник из каждого из графов и склеим два графа вместе путём отождествления пар в этих треугольниках (это вид операции суммы по клике на графах). Тогда результирующий граф остаётся локально линейным.
 Прямое произведение графов любых двух локально линейных графов остаётся линейно локальным, поскольку любые треугольники в произведении приходят из одного или другого множителя. Например, Граф Пэли с девятью вершинами (граф 3-3 дуопризмы) является прямым произведением двух треугольников.
Графы Хэмминга 
  
    
      
        H
        (
        d
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle H(d,3)}
  
 являются произведениями 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 треугольников, а потому снова локально линейны.
 Если граф 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 является 3-регулярным графом без треугольников, то рёберный граф 
  
    
      
        L
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle L(G)}
  
 является графом, образованным путём преобразования каждого ребра графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 в новую вершину и связыванием двух вершин ребром в  
  
    
      
        L
        (
        G
        )
      
    
    {\displaystyle L(G)}
  
, если соответствующие рёбра графа  
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 имеют общую конечную вершину. Эти графы являются 4-регулярными и локально линейными. Любой 4-регулярный локально линейный граф может быть построен таким образом. Например, граф кубооктаэдра может быть образован этим способом как рёберный граф куба, а граф Пэли с девятью вершинами является рёберным графом коммунального графа 
  
    
      
        
          K
          
            3
            ,
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3,3}}
  
.
Рёберный граф графа Петерсена, другой граф этого типа, имеет свойство, аналогичное свойству клеток, что это наименьший возможный граф, в котором наибольшая клика имеет три вершины, каждая вершина принадлежит двум непересекающимся кликам, а самый короткий цикл с рёбрами из различных клик имеет длину пять.
 Более сложный процесс размножения применяется к планарным графам.
Пусть 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 будет планарным графом, вложенным в плоскость таким образом, что каждая грань четырёхугольна, как у графа куба. Необходимо, если  
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 имеет 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 вершин, чтобы грань имел 
  
    
      
        n
        −
        2
      
    
    {\displaystyle n-2}
  
 графов. Если вклеить квадратную антипризму в грань графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, а затем удалить оригинальные рёбра графа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, получим новый локально линейный планарный граф с 
  
    
      
        5
        (
        n
        −
        2
        )
        +
        2
      
    
    {\displaystyle 5(n-2)+2}
  
 вершинами и 
  
    
      
        12
        (
        n
        −
        2
        )
      
    
    {\displaystyle 12(n-2)}
  
 рёбрами. Например, кубооктаэдр может быть получен таким образом из двух граней (внутренняя и внешняя) 4-цикла.
 Кнезеровский граф 
  
    
      
        K
        
          G
          
            a
            ,
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle KG_{a,b}}
  
 имеет 
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                a
                b
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {a}{b}}}
  
 вершин, представляющий 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
-элементные подмножества 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
-элементного множества. Две вершины смежны, если соответствующие подмножества не пересекаются. Когда 
  
    
      
        a
        =
        3
        b
      
    
    {\displaystyle a=3b}
  
, результирующий граф локально линеен, поскольку для каждых двух не пересекающихся 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
-элементных подмножеств имеется в точности одно 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
-элементное подмножество (дополнение их объединения), которое не пересекается с обоими множествами. Получающийся локально линейный граф имеет 
  
    
      
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  3
                  b
                
                b
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tbinom {3b}{b}}}
  
 вершин и 
  
    
      
        
          
            
              1
              2
            
          
        
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  3
                  b
                
                b
              
              
                )
              
            
          
        
        
          
            
              
                (
              
              
                
                  2
                  b
                
                b
              
              
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {3b}{b}}{\tbinom {2b}{b}}}
  
 рёбер. Например, для 
  
    
      
        b
        =
        2
      
    
    {\displaystyle b=2}
  
 кнезеровский граф 
  
    
      
        K
        
          G
          
            6
            ,
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle KG_{6,2}}
  
 локально линеен с 15 вершинами и 45 рёбрами.
 Локально линейные графы могут также быть построены из свободных от прогрессий множеств чисел.
Пусть 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 будет простым числом и пусть 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 будет подмножеством чисел по модулю 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, таких, что никакие три члена 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 не формируют арифметическую прогрессию по модулю 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. (То есть 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 является множеством Салема — Спенсера по модулю 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
.) Тогда существует трёхдольный граф, в котором каждая доля имеет 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 вершин, имеет 
  
    
      
        3
        
          |
        
        A
        
          |
        
        p
      
    
    {\displaystyle 3|A|p}
  
 рёбер и каждое ребро принадлежит единственному треугольнику. Тогда, согласно этому построению, 
  
    
      
        n
        =
        3
        p
      
    
    {\displaystyle n=3p}
  
 и число рёбер равно 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        
          /
        
        
          e
          
            O
            (
            
              
                log
                ⁡
                n
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}/e^{O({\sqrt {\log n}})}}
  
. Для построения этого графа, пронумеруем вершины на каждой стороне трёхдольного графа от 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 до 
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
 и строим треугольнике вида 
  
    
      
        (
        x
        ,
        x
        +
        a
        ,
        x
        +
        2
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (x,x+a,x+2a)}
  
 по модулю 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 для каждого 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 в интервале от 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 до 
  
    
      
        p
        −
        1
      
    
    {\displaystyle p-1}
  
 и каждого 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 из 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
. Граф, образованный объединением этих треугольников, имеет ожидаемое свойство, что любое ребро принадлежит единственному треугольнику. Если бы это было не так, существовал бы треугольник 
  
    
      
        (
        x
        ,
        x
        +
        a
        ,
        x
        +
        a
        +
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (x,x+a,x+a+b)}
  
, где 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 и 
  
    
      
        c
        =
        (
        a
        +
        b
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle c=(a+b)/2}
  
 принадлежали бы 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, что нарушает предположение об отсутствии арифметических прогрессий 
  
    
      
        (
        a
        ,
        c
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,c,b)}
  
 в 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
. Например, с 
  
    
      
        p
        =
        3
      
    
    {\displaystyle p=3}
  
 и 
  
    
      
        A
        =
        {
        ±
        1
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{\pm 1\}}
  
, результатом будет Граф Пэли с девятью вершинами.
 Любой локально линейный граф должен иметь чётную степень для каждой вершины, поскольку ребро в каждой вершине может быть разбито на пары на треугольники. Прямое произведение двух локально линейных регулярных графов снова локально линейно и регулярно со степенью, равной сумме степеней множителей. Таким образом, существует регулярные локально линейные графы любой чётной степени.

  
    
      
        2
        r
      
    
    {\displaystyle 2r}
  
-Регулярные локально линейные графы должны иметь по меньшей мере 
  
    
      
        6
        r
        −
        3
      
    
    {\displaystyle 6r-3}
  
 вершин, поскольку столько есть в треугольниках и соседях. (Никакие две вершины треугольника не могут иметь общих соседей без нарушения локальной линейности.) Регулярные графы с точно таким числом вершин возможны, только когда 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 равно 1, 2, 3 или 5 и единственным образом определены для каждого из этих четырёх случаев. Четыре регулярных графа, на которых достигается эта граница как функция от числа вершин, — это  2-регулярный треугольник 
  
    
      
        
          K
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{3}}
  
 (3 вершины), 4-регулярный граф Пэли (9 вершин), 6-регулярный кнезеровский граф 
  
    
      
        K
        
          G
          
            6
            ,
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle KG_{6,2}}
  
 (15 вершин) и 10-регулярное дополнение графа Шлефли (27 вершин). Последний в списке 10-регулярный граф с 27 вершинами также является графом пересечений 27 прямых на кубической поверхности.
 Сильно регулярный граф можно описать четвёркой параметров 
  
    
      
        (
        n
        ,
        k
        ,
        λ
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (n,k,\lambda ,\mu )}
  
, где 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 равно числу вершин, 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 равно числу инцидентных вершине рёбер, 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 равна числу общих соседей для любой смежной пары вершин и 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 равно числу общих соседей для любой несмежной пары вершин. Когда 
  
    
      
        λ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda =1}
  
, граф локально линеен. Локально линейные графы, как уже упомянуто выше,  сильно регулярны и их параметры равны
 Другие локально линейные строго регулярные графы
 Другие потенциально правильные комбинации с 
  
    
      
        λ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda =1}
  
 включают (99,14,1,2) и (115,18,1,3), но не известно, существуют ли сильно регулярные графы с такими параметрами. Вопрос о существовании сильно регулярного графа с параметрами (99,14,1,2) известен как проблема Конвея 99-графа и Джон Хортон Конвей предложил приз в 1000 долларов тому, кто её решит .
 Существует бесконечно много дистанционно-регулярных графов степени 4 или 6, которые локально линейно. Кроме сильно регулярных графов одинаковой степени, они включают рёберный граф графа Петерсена, граф Хэмминга 
  
    
      
        H
        (
        3
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle H(3,3)}
  
 и половинку графа Фостера.
 Одна из формулировок проблемы Ружи – Семереди задаёт вопрос о максимальном числе рёбер в локально линейном графе с 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 вершинами. Как доказали Имре З. Ружа и Эндре Семереди, это максимальное число равно 
  
    
      
        o
        (
        
          n
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle o(n^{2})}
  
, но также равно 
  
    
      
        Ω
        (
        
          n
          
            2
            −
            ε
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega (n^{2-\varepsilon })}
  
 для любого 
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
  
.
Построение локально линейных графов из свободных от прогрессий множеств ведёт к наиболее плотным известным локально линейным графам с 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        
          /
        
        exp
        ⁡
        O
        (
        
          
            log
            ⁡
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle n^{2}/\exp O({\sqrt {\log n}})}
  
 рёбрами.
 Среди планарных графов максимальное число рёбер в локально линейном графе с 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 вершинами равно 
  
    
      
        
          
            
              12
              5
            
          
        
        (
        n
        −
        2
        )
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {12}{5}}(n-2)}
  
. Граф кубооктаэдра является первым в бесконечной последовательности полиэдральных графов с 
  
    
      
        n
        =
        5
        k
        +
        2
      
    
    {\displaystyle n=5k+2}
  
 вершинами и  
  
    
      
        
          
            
              12
              5
            
          
        
        (
        n
        −
        2
        )
        =
        12
        k
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {12}{5}}(n-2)=12k}
  
 рёбрами для 
  
    
      
        k
        =
        2
        ,
        3
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle k=2,3,\dots }
  
, построенными путём расширения квадратных граней 
  
    
      
        
          K
          
            2
            ,
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{2,k}}
  
 в антипризмы. Эти примеры показывают, что эта верхняя граница точна.