Магический шестиугольник или магический гексагон порядка 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе 
  
    
      
        M
        .
      
    
    {\displaystyle M.}
  

 Обычный магический шестиугольник может быть только порядка 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
 и может содержать числа от единицы до 
  
    
      
        3
        
          n
          
            2
          
        
        −
        3
        n
        +
        1.
      
    
    {\displaystyle 3n^{2}-3n+1.}
  
 Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка 
  
    
      
        n
        =
        3.
      
    
    {\displaystyle n=3.}
  

 Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. [источник не указан 3393 дня]
 Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 и 
  
    
      
        n
        =
        3.
      
    
    {\displaystyle n=3.}
  

 Вычислим магическую константу 
  
    
      
        M
        .
      
    
    {\displaystyle M.}
  
 С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до 
  
    
      
        3
        
          n
          
            2
          
        
        −
        3
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle 3n^{2}-3n+1}
  
 (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне
 С другой стороны, есть 
  
    
      
        2
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2n-1}
  
 рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна 
  
    
      
        M
        ,
      
    
    {\displaystyle M,}
  
 то во всём шестиугольнике будет 
  
    
      
        S
        =
        M
        (
        2
        n
        −
        1
        )
        .
      
    
    {\displaystyle S=M(2n-1).}
  

 Приравняв суммы, получим, что
 Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.
 Значит, 
  
    
      
        
          
            
              
                
              
              
                
                  5
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\cfrac {5}{2n-1}}}
  
 — это целое число, что возможно только при 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 и 
  
    
      
        n
        =
        3.
      
    
    {\displaystyle n=3.}
  

 QED.
 Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от 
  
    
      
        n
        =
        3
      
    
    {\displaystyle n=3}
  
 не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.
 Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.
 
 Магический гексагон порядка 
  
    
      
        n
        =
        6
      
    
    {\displaystyle n=6}
  
, начинающийся с 
  
    
      
        21
      
    
    {\displaystyle 21}
  
 и кончающийся 
  
    
      
        111
      
    
    {\displaystyle 111}
  
 (
  
    
      
        M
        =
        546
      
    
    {\displaystyle M=546}
  
) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.
 Гексагон порядка 
  
    
      
        n
        =
        7
      
    
    {\displaystyle n=7}
  
, начинающийся с 2 и кончающийся 128 (
  
    
      
        M
        =
        635
      
    
    {\displaystyle M=635}
  
) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.
 Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка 
  
    
      
        n
        =
        8
      
    
    {\displaystyle n=8}
  
, начинающийся с −84 и кончающийся 84 (
  
    
      
        M
        =
        0
      
    
    {\displaystyle M=0}
  
) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.