Моделирование паровых турбин — повседневная задача сотен людей в нашей стране. Вместо слова модель принято говорить расходная характеристика. Расходные характеристики паровых турбин используют при решении таких задач, как вычисление удельного расхода условного топлива на электроэнергию и тепло, производимые ТЭЦ; оптимизация работы ТЭЦ; планирование и ведение режимов ТЭЦ.
 Мною разработана новая расходная характеристика паровой турбины — линеаризованная расходная характеристика паровой турбины. Разработанная расходная характеристика удобна и эффективна в решении указанных задач. Однако на текущий момент она описана лишь в двух научных работах: 
 И сейчас в своем блоге мне бы хотелось:
 Исходными данными для построения линеаризованной расходной характеристики могут быть
 В тех случаях, когда фактические значения Q0, N, Qп, Qт недоступны, можно обработать номограммы qт брутто. Они, в свою очередь, были получены на основании измерений. Подробнее об испытаниях турбин читайте в Горнштейн В.М. и др. Методы оптимизации режимов энергосистем.
 Алгоритм построения состоит из трех шагов.
 При работе с номограммами qт брутто первый шаг осуществляется быстро. Такую работу называют оцифровкой (digitizing). Оцифровка 9 номограмм для текущего примера заняла у меня около 40 минут.
 Второй и третий шаг требуют применения математических пакетов. Я люблю и много лет использую MATLAB. Мой пример построения линеаризованной расходной характеристики выполнен именно в нем. Пример можно скачать по ссылке, запустить и самостоятельно разобраться в методе построения линеаризованной расходной характеристики.
 Расходная характеристика для рассматриваемой турбины строилась для следующих фиксированных значений параметров режима:
 Содержание архива Chuchueva-PT-80-linear-characteristic-curve.rar.
 1) Номограммы удельного расхода qт брутто на выработку электроэнергии (отмеченные красные точки оцифрованы — перенесены в таблицу):
 2) Результат оцифровки (каждому файлу csv соответствует файл png):
 3) Скрипт MATLAB с расчетами и построением графиков:
 4) Результат оцифровки номограмм и результат построения линеаризованной расходной характеристики в табличном виде:
 Исходными данными для нашего примера являются номограммы qт брутто.
 Для перевода в цифровой вид множества номограмм нужен специальный инструмент. Я многократно использовала web-приложение для этих целей. Приложение просто, удобно, однако не имеет достаточной гибкости для автоматизации процесса. Часть работы приходится делать вручную.
 На данном шаге важно оцифровать крайние точки номограмм, которые задают границы регулировочного диапазона работы паровой турбины.
 Работа состояла в том, чтобы в каждом файле png при помощи приложения отметить точки расходной характеристики, скачать полученный csv и собрать все данные в одной таблице. Результат оцифровки можно найти в файле PT-80-linear-characteristic-curve.xlsx, лист «PT-80», таблица «Исходные данные».
 Далее на листе «PT-80» рассчитываем значения Q0 по формуле
     Полученная таблица «Исходные данные (ед. мощности)» является результатом первого шага алгоритма.
 На данном шаге требуется установить и открыть MATLAB версии не ниже 7.3 (это старая версия, текущая 8.0). В MATLAB открыть файл PT_80_linear_characteristic_curve.m, запустить его и убедиться в работоспособности. Все работает корректно, если по итогам запуска скрипта в командной строке вы увидели следующее сообщение:
 Если у вас возникли ошибки, то разберитесь самостоятельно, как их исправить.
 Все вычисления реализованы в файле PT_80_linear_characteristic_curve.m. Рассмотрим его по частям.
 1) Укажем название исходного файла, лист, диапазон ячеек, содержащий полученную на предыдущем шаге таблицу «Исходные данные (ед. мощности)».
 2) Считаем исходные данные в MATLAB.
 Используем переменную Qm для расхода пара среднего давления Qп, индекс m от middle — средний; аналогично используем переменную Ql для расхода пара низкого давления Qn, индекс l от low — низкий.
 3) Определим коэффициенты αi.
 Вспомним общую формулу расходной характеристики     и укажем независимые (x_digit) и зависимые (y_digit) переменные.
 Если вам непонятно, зачем в матрице x_digit единичный вектор (последний столбец), то читайте материалы по линейной регрессии. На тему регрессионного анализа рекомендую книгу Draper N., Smith H. Applied regression analysis. New York: Wiley, In press, 1981. 693 p. (есть на русском языке).
 Уравнение линеаризованной расходной характеристики паровой турбины 
     является моделью множественной линейной регрессии. Коэффициенты αi определим при помощи «большого блага цивилизации» — метода наименьших квадратов. Отдельно отмечу, что метод наименьших квадратов разработан Гауссом в 1795 году.
 В MATLAB это делается одной строчкой.
 Переменная A содержит искомые коэффициенты (см. сообщение в командной строке MATLAB).
 Таким образом, полученная линеаризованная расходная характеристика паровой турбины ПТ-80 имеет вид
    4) Оценим ошибку линеаризации полученной расходной характеристики.
 Ошибка линеаризации равна 0,57% (см. сообщение в командной строке MATLAB).
 Для оценки удобства использования линеаризованной расходной характеристики паровой турбины решим задачу вычисления расхода пара высокого давления Q0 при известных значениях нагрузки N, Qп, Qт.
 Пусть N = 82.3 МВт, Qп = 55.5 МВт, Qт = 62.4 МВт, тогда
    Напомню, что средняя ошибка вычислений составляет 0,57%.
 Вернемся к вопросу, чем линеаризованная расходная характеристика паровой турбины принципиально удобнее номограмм удельного расхода qт брутто на выработку электроэнергии? Чтобы понять принципиальную разницу на практике, решите две задачи.
 Очевидно, что в первой задаче определение значений qт брутто на глаз чревато грубыми ошибками.
 Вторая задача громоздка для автоматизации. Поскольку значения qт брутто нелинейны, то для такой автоматизации число оцифрованных точек в десятки раз больше, чем в текущем примере. Одной оцифровки недостаточно, также необходимо реализовать алгоритм интерполяции (нахождения значений между точками) нелинейных значений брутто.
 Для вычисления регулировочного диапазона воспользуемся другим «благом цивилизации» — методом выпуклой оболочки, convex hull.
 В MATLAB это делается следующим образом.
 Метод convhull() определяет граничные точки регулировочного диапазона, заданного значениями переменных N, Qm, Ql. Переменная indexCH содержит вершины треугольников, построенных при помощи триангуляции Делоне. Переменная regRange содержит граничные точки регулировочного диапазона; переменная regRangeQ0 — значения расхода пара высокого давления для граничных точек регулировочного диапазона.
 Результат вычислений можно найти в файле PT_80_linear_characteristic_curve.xlsx, лист «PT-80-result», таблица «Границы регулировочного диапазона».
 Линеаризованная расходная характеристика построена. Она представляет собой формулу (4) и 37 точек, задающих границы (оболочку) регулировочного диапазона в соответствующей таблице.
 При автоматизации процессов расчета Q0 необходимо проверять, находится ли некоторая точка со значениями N, Qп, Qт внутри регулировочного диапазона или за его пределами (режим технически не реализуем). В MATLAB это можно делать следующим образом.
 Задаем значения N, Qп, Qт, которые мы хотим проверить.
 Проверяем.
 Проверка осуществляется в два шага:
 Если обе переменные равны 1 (true), то искомая точка находится внутри оболочки, задающей регулировочный диапазон работы паровой турбины.
 Наиболее «щедрые блага цивилизации» нам достались в части иллюстрации результатов расчетов.
 Предварительно нужно сказать, что пространство, в котором мы строим графики, т. е. пространство с осями x – N, y – Qт, z – Q0, w – Qп, называем режимным пространством (см. Оптимизация работы ТЭЦ в условиях оптового рынка электроэнергии и мощности России Если говорить о конденсационном режиме работы паровой турбины (Qп = 0, Qт = 0), то линеаризованная расходная характеристика представляет собой отрезок прямой. Если говорить о турбине Т-типа, то линеаризованная расходная характеристика представляет собой плоский многоугольник в трехмерном режимном пространстве с осями x – N, y – Qт, z – Q0, который легко визуализировать. Для турбины ПТ-типа визуализация наиболее сложная, поскольку линеаризованная расходная характеристика такой турбины представляет плоский многоугольник в четырехмерном пространстве (пояснения и примеры см. в Оптимизация работы ТЭЦ в условиях оптового рынка электроэнергии и мощности России, раздел Линеаризация расходной характеристики турбины).
 Построим значения таблицы «Исходные данные (ед. мощности)» в режимном пространстве.
 
 Рис. 3. Исходные точки расходной характеристики в режимном пространстве с осями x – N, y – Qт, z – Q0
 Поскольку построить зависимость в четырехмерном пространстве мы не можем, до такого блага цивилизации еще не дошли, оперируем значениями Qп следующим образом: исключаем их (рис. 3), зафиксируем (рис. 4) (см. код построения графиков в MATLAB).
 Зафиксируем значение Qп = 40 МВт и построим исходные точки и линеаризованную расходную характеристику.
 
 Рис. 4. Исходные точки расходной характеристики (синие точки), линеаризованная расходная характеристика (зеленый плоский многоугольник)
 Вернемся к полученной нами формуле линеаризованной расходной характеристики (4). Если зафиксировать Qп = 40 МВт МВт, то формула будет иметь вид
    Данная модель задает плоский многоугольник в трехмерном пространстве с осями x – N, y – Qт, z – Q0 по аналогии с турбиной Т-типа (его мы и видим на рис. 4).
 Много лет назад, когда разрабатывали номограммы qт брутто, на этапе анализа исходных данных совершили принципиальную ошибку. Вместо применения метода наименьших квадратов и построения линеаризованной расходной характеристики паровой турбины по неведомой причине сделали примитивный расчет:
    Вычли из расхода пара высокого давления Q0 расходы паров Qт, Qп и отнесли полученную разницу Q0(N) = Qэ на выработку электроэнергии. Полученную величину Q0(N) = Qэ поделили на N и перевели в ккал/кВт·ч, получив удельный расход qт брутто. Данный расчет не соответствует законам термодинамики.
 Дорогие читатели, может, именно вы знаете неведомую причину? Поделитесь ею!
 Посмотрим оболочку регулировочного диапазона в режимном пространстве. Исходные точки для его построения представлены на рис. 5. Это те же самые точки, которые мы видим на рис. 3, однако теперь исключен параметр Q0.
 
 Рис. 5. Исходные точки расходной характеристики в режимном пространстве с осями x – N, y – Qп, z – Qт
 Множество точек на рис. 5 является выпуклым. Применив функцию convexhull(), мы определили точки, которые задают внешнюю оболочку этого множества.
 Триангуляция Делоне (набор связанных треугольников) позволяет нам построить оболочку регулировочного диапазона. Вершины треугольников являются граничными значениями регулировочного диапазона рассматриваемой нами паровой турбины ПТ-80.
 
 Рис. 6. Оболочка регулировочного диапазона, представленная множеством треугольников
 Когда мы делали проверку некоторой точки на предмет попадания внутрь регулировочного диапазона, то мы проверяли, лежит ли эта точка внутри или снаружи полученной оболочки.
 Все представленные выше графики построены средствами MATLAB (см. PT_80_linear_characteristic_curve.m).
 Если вы делаете диплом или диссертацию, то могу предложить вам несколько задач, научную новизну которых вы легко сможете доказать всему миру. Кроме того, вы сделаете отличную и полезную работу.
 Покажите, как изменится плоский многоугольник при изменении давления пара низкого давления Qт.
 Покажите, как изменится плоский многоугольник при изменении давления в конденсаторе.
 Проверьте, можно ли представить коэффициенты линеаризованной расходной характеристики в виде функций дополнительных параметров режима, а именно:
     Здесь p0 — давление пара высокого давления, pп — давление пара среднего давления, pт — давление пара низкого давления, p2 — давление отработанного пара в конденсаторе, все единицы измерения кгс/см2.
 Обоснуйте результат.
 Чучуева И.А., Инкина Н.Е. Оптимизация работы ТЭЦ в условиях оптового рынка электроэнергии и мощности России // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015. № 8. С. 195-238.
 Чучуева И.А. Вычислительные методы определения удельных расходов условного топлива ТЭЦ на отпущенную электрическую и тепловую энергию в режиме комбинированной выработки // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2016. № 2. С. 135-165.
 Линеаризованная расходная характеристика паровой турбины.
 Математик