Тест Ва́льда — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оценённых на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом множителей Лагранжа. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объём выборки.
 Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
. Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        :
         
        g
        (
        b
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle H_{0}:~g(b)=0}
  
, где 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста заключается в том, что если нулевая гипотеза верна, то и выборочный вектор 
  
    
      
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g({\hat {b}})}
  
 должен быть в некотором смысле близок к нулю. Предполагается, что оценки параметров хотя бы состоятельны и асимптотически нормальны (таковы, например, оценки метода максимального правдоподобия), то есть
 
  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        −
        b
        )
        
          
            →
            
              n
              →
              ∞
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        V
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {b}}-b){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,V)}
  

 Отсюда, исходя из предельных теорем имеем:
 
  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        )
        −
        g
        (
        b
        )
        )
        
          
            →
            
              n
              →
              ∞
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        G
        (
        b
        )
        V
        G
        (
        b
        
          )
          
            T
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,G(b)VG(b)^{T})}
  

 где 
  
    
      
        G
        (
        b
        )
        =
        
          
            
              ∂
              g
              (
              b
              )
            
            
              ∂
              b
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b}}}
  
 — якобиан (матрица первых производных) вектора 
  
    
      
        g
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle g(b)}
  
 в точке 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
.
 Тогда
 
  
    
      
        (
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        )
        −
        g
        (
        b
        )
        
          )
          
            T
          
        
        (
        G
        (
        b
        )
        
          V
          
            
              
                b
                ^
              
            
          
        
        
          G
          
            T
          
        
        (
        b
        )
        
          )
          
            −
            1
          
        
        (
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        )
        −
        g
        (
        b
        )
        )
        
          
            →
            
              n
              →
              ∞
            
          
        
        
          χ
          
            2
          
        
        (
        q
        )
         
        ,
         
         
        
          V
          
            
              
                b
                ^
              
            
          
        
        =
        V
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle (g({\hat {b}})-g(b))^{T}(G(b)V_{\hat {b}}G^{T}(b))^{-1}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{\hat {b}}=V/n}
  

 Если выполнена нулевая гипотеза (
  
    
      
        g
        (
        b
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle g(b)=0}
  
), то имеем
 
  
    
      
        W
        =
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        
          )
          
            T
          
        
        (
        G
        (
        b
        )
        
          V
          
            
              
                b
                ^
              
            
          
        
        
          G
          
            T
          
        
        (
        b
        )
        
          )
          
            −
            1
          
        
        g
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        )
        
          
            →
            
              
                
                  H
                  
                    0
                  
                
              
            
            
              n
              →
              ∞
            
          
        
        
          χ
          
            2
          
        
        (
        q
        )
         
        ,
         
         
        
          V
          
            
              
                b
                ^
              
            
          
        
        =
        V
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle W=g({\hat {b}})^{T}(G(b)V_{\hat {b}}G^{T}(b))^{-1}g({\hat {b}}){\xrightarrow[{H_{0}}]{n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{\hat {b}}=V/n}
  

 Это и есть статистика Вальда. Поскольку ковариационная матрица 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
, вообще говоря, на практике неизвестна, то вместо неё используется некоторая её оценка. Также вместо неизвестных истинных значений коэффициентов 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 используют их оценки 
  
    
      
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {b}}}
  
. Следовательно на практике мы получаем приблизительное значение 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  
, поэтому тест Вальда асимптотический, то есть для правильных выводов нужна большая выборка.
 Если эта статистика больше критического значения 
  
    
      
        
          χ
          
            α
          
          
            2
          
        
        (
        q
        )
      
    
    {\displaystyle \chi _{\alpha }^{2}(q)}
  
 при данном уровне значимости 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
, то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу модели без ограничений («длинная модель»). В противном случае ограничения могут иметь место, и лучше построить модель с ограничениями, называемую «короткой моделью».
 Необходимо отметить, что тест Вальда чувствителен к способу формулировки нелинейных ограничений. Например, простое ограничение равенства двух коэффициентов можно сформулировать как равенство их отношения единице. Тогда результаты теста теоретически могут быть разными, несмотря на то, что гипотеза одна и та же.
 Если функции 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 линейны, то есть проверяется гипотеза следующего вида 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        :
         
        A
        b
        =
        a
      
    
    {\displaystyle H_{0}:~Ab=a}
  
, где 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 — некоторая матрица ограничений, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 — некоторый вектор, то матрица 
  
    
      
        G
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle G(b)}
  
 в данном случае - это фиксированная матрица 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
. Если речь идёт о классической линейной модели регрессии, то ковариационная матрица оценок коэффициентов равна 
  
    
      
        
          V
          
            
              
                b
                ^
              
            
          
        
        =
        
          σ
          
            2
          
        
        (
        
          X
          
            T
          
        
        X
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{\hat {b}}=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{-1}}
  
. Поскольку дисперсия ошибок 
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}}
  
 неизвестна, то используют либо её состоятельную оценку 
  
    
      
        
          
            
              
                σ
                ^
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        E
        S
        S
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=ESS/n}
  
, либо несмещённую оценку 
  
    
      
        
          s
          
            2
          
        
        =
        E
        S
        S
        
          /
        
        (
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle s^{2}=ESS/(n-k)}
  
. Следовательно, статистика Вальда тогда имеет вид:
 
  
    
      
        W
        =
        (
        A
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        −
        a
        
          )
          
            T
          
        
        (
        A
        (
        
          X
          
            T
          
        
        X
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          A
          
            T
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        (
        A
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        −
        a
        )
        
          /
        
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle W=(A{\hat {b}}-a)^{T}(A(X^{T}X)^{-1}A^{T})^{-1}(A{\hat {b}}-a)/s^{2}}
  

 В частном случае, когда матрица ограничений единичная (то есть проверяются равенства коэффициентов некоторым значениям), то формула упрощается:
 
  
    
      
        W
        =
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        −
        a
        
          )
          
            T
          
        
        (
        
          X
          
            T
          
        
        X
        )
        (
        
          
            
              b
              ^
            
          
        
        −
        a
        )
        
          /
        
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle W=({\hat {b}}-a)^{T}(X^{T}X)({\hat {b}}-a)/s^{2}}
  

 Если рассматривается только одно линейное ограничение 
  
    
      
        
          c
          
            T
          
        
        b
        =
        a
      
    
    {\displaystyle c^{T}b=a}
  
, то статистика Вальда будет равна
 
  
    
      
        W
        =
        (
        
          c
          
            T
          
        
        b
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        
          /
        
        (
        
          s
          
            2
          
        
        
          c
          
            T
          
        
        (
        
          X
          
            T
          
        
        X
        
          )
          
            −
            1
          
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle W=(c^{T}b-a)^{2}/(s^{2}c^{T}(X^{T}X)^{-1}c)}
  

 В данном случае статистика Вальда оказывается равной квадрату 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
-статистики.
 Можно показать, что статистика Вальда для классической линейной модели выражается через суммы квадратов остатков длинной и короткой моделей следующим образом
 
  
    
      
        W
        =
        
          
            
              E
              S
              
                S
                
                  S
                
              
              −
              E
              S
              
                S
                
                  L
                
              
            
            
              E
              S
              
                S
                
                  L
                
              
              
                /
              
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{L}/n}}}
  
,
 где индекс 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 относится к длинной модели (long), а 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 — к короткой (short). Если используется несмещённая оценка дисперсии ошибок, то в формуле вместо 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 необходимо использовать 
  
    
      
        (
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (n-k)}
  
.
 В частности, для проверки значимости регрессии в целом 
  
    
      
        E
        S
        
          S
          
            S
          
        
        =
        T
        S
        S
      
    
    {\displaystyle ESS_{S}=TSS}
  
, поэтому получаем следующую формулу для статистики Вальда
 
  
    
      
        W
        =
        
          
            
              T
              S
              S
              −
              E
              S
              S
            
            
              E
              S
              S
              
                /
              
              n
            
          
        
        =
        n
        
          
            
              1
              −
              E
              S
              S
              
                /
              
              T
              S
              S
            
            
              E
              S
              S
              
                /
              
              T
              S
              S
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              
                R
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                R
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W={\frac {TSS-ESS}{ESS/n}}=n{\frac {1-ESS/TSS}{ESS/TSS}}={\frac {nR^{2}}{1-R^{2}}}}
  

 где 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R^{2}}
  
 — коэффициент детерминации.
 Доказано, что тест Вальда (W), тест отношения правдоподобия (LR) и тест множителей Лагранжа (LM) — асимптотически эквивалентные тесты (
  
    
      
        L
        M
        =
        L
        R
        =
        W
      
    
    {\displaystyle LM=LR=W}
  
). Тем не менее для конечных выборок значения статистик не совпадают. Для линейных ограничений доказано неравенство 
  
    
      
        L
        M
        ⩽
        L
        R
        ⩽
        W
      
    
    {\displaystyle LM\leqslant LR\leqslant W}
  
. Тем самым тест Вальда будет чаще других тестов отвергать нулевую гипотезу об ограничениях. В случае нелинейных ограничений первая часть неравенства выполняется, а вторая — вообще говоря, нет.
 Вместо теста Вальда можно использовать F-тест, статистика которого рассчитывается по формуле:
 
  
    
      
        F
        =
        
          
            
              n
              −
              k
            
            q
          
        
        W
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle F={\frac {n-k}{q}}W/n}
  

 или ещё проще 
  
    
      
        F
        =
        W
        
          /
        
        q
      
    
    {\displaystyle F=W/q}
  
, если при расчёте статистики Вальда использовалась несмещённая оценка дисперсии. Эта статистика имеет в общем случае асимптотическое распределение Фишера 
  
    
      
        F
        (
        q
        ,
        n
        −
        k
        )
      
    
    {\displaystyle F(q,n-k)}
  
. В случае нормального распределения данных — то и на конечных выборках.