Рассмотрим замкнутую САР, на которую может воздействовать возмущающее входное воздействие  . Предположим, что  , т.е. управляющее воздействие отсутствует. В этом случае САР обязана поддерживать на выходе  (с некоторой степенью точности) В этом случае , поэтому установившуюся ошибкуможно вычислить как: Используя передаточную функцию замкнутой САР по возмущающему воздействию , имеем: Пусть ступенчатое возмущение  Передаточная функция  равна: Анализ соотношения (7.4.3) показывает, что: - если САР – статическая (т.е. полином  имеет свободный член, равный 1), то: - если САР – астатическая (степень астатизьма ), то: Графическая иллюстрация переходного процесса: Кривые 1 на рисунках соответствуют случаям, когда полином  имеет свободный член, равный  (причем для данных рисунков  ), а кривые 2 соответствуют случаям, когда полином  не имеет свободного члена. Случай, когда полином не имеет свободного члена принято называть астатизмом по возмущающему воздействию. Пусть возмущающее воздействие перейдем в изображение  Подстановка в формулу (7.4.2) показывает, что если САР не имеет астатизм по возмущающему воздействию, то: Если САР  имеет астатизма по возмущающему воздействию , то . В завершении обсуждения рассмотренных подразделов сделаем некоторые заключающие выводы: Система автоматического регулирования называется астатической по управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся к установившемуся значению ошибка (рассогласование) стремится к нулю независимо от величины управляющего воздействия. Система автоматического регулирования называется астатической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка (рассогласование) стремится к некоторому установившемуся значению, зависящему от величины установившегося значения возмущающего воздействия. Хорошей практикой при проектировании САР является придание ей свойства астатизма как по управляющему воздействию , так и по возмущающему воздействию . Анализ подраздела (7.3) показывает, что астатизм по управляющему воздействию обеспечивается за счет астатических регуляторов (структура которого содержит интегрирующие звенья) – например ПИ-регуляторов. Наряду со статическими и астатическими САР различают статические и астатические регуляторы. Статический регулятор при ступенчатом управляющем воздействии на его входе обеспечивает на выходе (регулятора) асимптотически-устанавливающиеся значения. У астатических регуляторов при ступенчатом входном сигнале выходной сигнал (регулятора) линейно (или нелинейно) нарастает без ограничений по уровню. Определить установившиеся ошибки по управляющему и возмущающему воздействиям, если   и  для следующей САР: Найдем по управляющему воздействию, выполним преобразования к общей передаточной функции.  Передаточная функция разомкнутой САР   Легко видеть, что данная САР устойчива Т.к. система астатична по управляющему воздействию, то  Найдем . Преобразуем  к свободным членам, равным единице: Найдем - установившуюся ошибку по возмущающему воздействию. Используя замену цепи с местной обратной связью , получаем следующую структурную схему: Найдем передаточную функцию по возмущающему воздействию (для замкнутой САР): Замечаем, что САР астатична по возмущающему воздействию, т.к. числитель не имеет свободного члена. Используя первую предельную теорему: Сначала прокомментируем название данного раздела: 1. произвольное воздействие – форма воздействия не соответствует любому типовому воздействию: Причем закон изменения   - не известен. 2. Медленно изменяющееся – подразумевает, что скорость протекания собственной части переходного процесса намного больше (т.е. характерная постоянная времени существенно меньше), чем скорость (относительная) изменения входного воздействия. Например, если  , где  – период разгона, причем , где  – например, время переходного процесса при подаче на вход САР ступенчатого воздействия. Поскольку входное (управляющее) воздействие и непосредственно САР имеют значительно различающиеся постоянные времени, в первом приближении можно считать, что САР почти без инерции «отслеживает» управляющее воздействие, т.е. рассогласование  можно считать приблизительно «установившимся»: По аналогии с предыдущими подразделами:  Учитывая, что  , используем обратное преобразование Лапласа: где  - весовая функция замкнутой САР для ошибки; - свертка. Раскрывая свертку с помощью интеграла Дюамеля-Карсона (смотри раздел 2.9), получаем: Если , то аргумент функции - отрицателен, следовательно  Разложим в ряд Тейлора: Напомним сведения из математики: Если  - действительная функция, имеющая на интервале   n-ю производную, то значение функции можно расчитать по выражению: В нашем случае в качестве переменной   выступает ; в качестве  - время ; в качестве   - переменная  . Подставляя выражение (7.5.4) в соотношение (7.5.3), получаем: где: Коэффициенты  - называются коэффициентами ошибок. Если аналитическое выражение   - известно, то «нетрудно» рассчитать  и, соответственно, рассчитать значения коэффициентов ошибок  по выше приведенным интегралам. Если известна экспериментально-определенная весовая   (или переходная ), то расчет коэффициентов ошибок  тоже не представляет проблем. Второй способ определения установившейся ошибки при произвольном воздействии, отталкиваясь от формулы , разложим  в ряд Тейлора (а точнее в ряд Маклорена): Подставляя последнее соотношение в формулу для рассогласования , имеем: Замечая, что оригиналы равны: Окончательно: где:  Второй способ вывода явно более простой. Коэффициенты ошибок могут быть определены и путем деления полином числителя   на полином знаменателя и сравнением полученного ряда с выражением (*). Для систем с различным порядком астатизма первые три коэффициента ошибок принимают следующие значения: для статической САР  для астатической САР  1-го порядка ; для астатической САР  2-го порядка . Найти установившуюся ошибку для САР, замкнутой единичной обратной связью, если разомкнутая САР состоит из последовательно-соединенных идеального интегрирующего звена  и апериодического звена первого порядка а входное управляющее воздействие где  возмущающее воздействие , где . Численное решение данной задачи в видео: Аналитическое решение Сначала рассмотрим первую часть задачи, когда возмущающее воздействие отсутствует. Очевидно, что данная САР имеет астатизм 1-го порядка, следовательно   Тем не менее проведем эти вычисления: где новые переменные  Найдем коэффициенты ошибок:  Найдем коэффициент : Аналогичным путем можно найти , , и т.д. Вычислим значения и подставля занчения  Пренебрегая в первом приближении составляющими высокого порядка ( ), получаем:  Пусть , тогда  подставляем в  Если учесть член проведя вычисления Дифференцируя  Анализ показывает, что учитывать члены более высокого порядка нет смысла, т.к. они очень малы. Теперь рассмотрим 2-ю часть задачи: найдем установившиеся отклонения  при возмущающем воздействии где  и нулевым входным воздействием  Найдем передаточную функцию системы для ошибки по воздействию: где новые переменные  Найдем коэффициент ошибок: - это означает, что рассматриваемая САР имеет астатизм по возмущающему воздействию.  Найдем : Найдем : Найдем : Члены более высокого порядка не учитываем, т.к. они второго порядка малости. - подставляя значения  В заключение пример анализа САР по возмущающему воздействию. В предыдущих сериях: 1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.  3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.  4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования. 5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР). 6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.  Точность систем автоматического управления (ч.1)  Моделирование сложных технических систем