Неравенство Мюрхеда позволяет сравнивать значения некоторых симметрических многочленов на одном и том же наборе неотрицательных значений аргументов.
 Пусть 
  
    
      
        α
        =
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}
  
 — упорядоченный набор целых неотрицательных чисел 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        ⩽
        
          α
          
            2
          
        
        ⩽
        ⋯
        ⩽
        
          α
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}\leqslant \alpha _{2}\leqslant \dots \leqslant \alpha _{n}}
  
. Через 
  
    
      
        
          T
          
            α
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle T_{\alpha }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
  
 будем обозначать симметрический многочлен от n переменных, который есть по определению сумма одночленов вида 
  
    
      
        
          x
          
            π
            (
            1
            )
          
          
            
              α
              
                1
              
            
          
        
        
          x
          
            π
            (
            2
            )
          
          
            
              α
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          x
          
            π
            (
            n
            )
          
          
            
              α
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{\pi (1)}^{\alpha _{1}}x_{\pi (2)}^{\alpha _{2}}\cdots x_{\pi (n)}^{\alpha _{n}}}
  
 по всем перестановкам 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
 порядка n.
 Пусть 
  
    
      
        
          α
          =
          (
          
            
              α
              
                1
              
              

              
            
            ,
            .
            .
            .
            ,
            
              
                α
                
                  n
                
                

                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \alpha =(\displaystyle \alpha _{1}^{},...,\displaystyle \alpha _{n}^{})}
  
 и 
  
    
      
        
          β
          =
          (
          
            
              β
              
                1
              
              

              
            
            ,
            .
            .
            .
            ,
            
              
                β
                
                  n
                
                

                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \beta =(\displaystyle \beta _{1}^{},...,\displaystyle \beta _{n}^{})}
  
 — два набора показателей с равной суммой такие, что 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 мажорирует 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
, то при всех неотрицательных 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},...,x_{n}}
  
 выполняется неравенство: