Двойно́е ве́кторное произведе́ние (другое название: тройное векторное произведение) 
  
    
      
        
          [
          
            
              
                
                  a
                  →
                
              
            
            ,
            
              
                
                  b
                  →
                
              
            
            ,
            
              
                
                  c
                  →
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right]}
  
 векторов 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        ,
        
          
            
              c
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}
  
 — векторное произведение вектора 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
 на векторное произведение векторов 
  
    
      
        
          
            
              b
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {b}}}
  
 и 
  
    
      
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle {\vec {c}}:}
  
 
 В литературе этот тип произведения трёх векторов называется как тройным (по числу векторов), так и двойным (по числу операций умножения).
 Для двойного векторного произведения справедлива формула Лагранжа:
 которую можно запомнить по мнемоническому правилу «бац минус цаб».
 Выберем правый ортонормированный базис 
  
    
      
        
          
            
              
                e
                
                  1
                
              
              →
            
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                e
                
                  2
                
              
              →
            
          
        
        ,
         
        
          
            
              
                e
                
                  3
                
              
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {e_{1}}},~{\vec {e_{2}}},~{\vec {e_{3}}}}
  
 так, чтобы
 Тогда
 и
 Таким образом,
 Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты 
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
  
:
 
  
    
      
        [
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ,
        
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        
          ]
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
  

 (здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. 
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}
  
 см. соглашение Эйнштейна о суммировании). 
 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    →
                  
                
              
              ,
              
                [
                
                  
                    
                      
                        b
                        →
                      
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      
                        c
                        →
                      
                    
                  
                
                ]
              
            
            ]
          
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        (
        
          ε
          
            k
            l
            m
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        )
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          ε
          
            k
            l
            m
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        =
        (
        
          δ
          
            i
            l
          
        
        
          δ
          
            j
            m
          
        
        −
        
          δ
          
            i
            m
          
        
        
          δ
          
            j
            l
          
        
        )
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m})=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})a_{j}b_{l}c_{m}.}
  

 Использовано соотношение 
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          ε
          
            k
            l
            m
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            l
          
        
        
          δ
          
            j
            m
          
        
        −
        
          δ
          
            i
            m
          
        
        
          δ
          
            j
            l
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl},}
  
 где 
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}}
  
 — символ Кронекера. Далее,
 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    →
                  
                
              
              ,
              
                [
                
                  
                    
                      
                        b
                        →
                      
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      
                        c
                        →
                      
                    
                  
                
                ]
              
            
            ]
          
          
            i
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            l
          
        
        
          δ
          
            j
            m
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        −
        
          δ
          
            i
            m
          
        
        
          δ
          
            j
            l
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            l
          
        
        
          a
          
            m
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        −
        
          δ
          
            i
            m
          
        
        
          a
          
            l
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        =
        
          a
          
            m
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          c
          
            m
          
        
        −
        
          a
          
            l
          
        
        
          b
          
            l
          
        
        
          c
          
            i
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        −
        
          c
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\delta _{il}\delta _{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=\delta _{il}a_{m}b_{l}c_{m}-\delta _{im}a_{l}b_{l}c_{m}=a_{m}b_{i}c_{m}-a_{l}b_{l}c_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}).}
  

 Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: 
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        =
        
          a
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}a_{j}=a_{i}.}
  
 Таким образом,
 
  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    a
                    →
                  
                
              
              ,
              
                [
                
                  
                    
                      
                        b
                        →
                      
                    
                  
                  ,
                  
                    
                      
                        c
                        →
                      
                    
                  
                
                ]
              
            
            ]
          
          
            i
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              c
              →
            
          
        
        )
        −
        
          c
          
            i
          
        
        (
        
          
            
              a
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              b
              →
            
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}),}
  

 и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.
 Для двойного векторного произведения выполняется тождество Якоби:
 которое доказывается раскрытием скобок по формуле Лагранжа: