Постулат Бертрана, теорема Бертрана — Чебышёва или теорема Чебышёва гласит, что для любого натурального 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
 найдётся простое число 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 в интервале 
  
    
      
        (
        n
        ;
        2
        n
        )
        .
      
    
    {\displaystyle (n;2n).}
  

 Постулат Бертрана был сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до 
  
    
      
        n
        =
        3
        ⋅
        
          10
          
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle n=3\cdot 10^{6}}
  
) и доказан в 1852 году Чебышёвым.
Рамануджан в 1919 году нашёл более простое доказательство и доказал, что количество простых чисел в интервале 
  
    
      
        (
        n
        ;
        2
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (n;2n)}
  
 можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в простых числах Рамануджана достигается равенство. Эрдёш в 1932 году ещё более упростил доказательство.
 Обобщением постулата Бертрана можно считать теорему о том, что для 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
        k
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2k}
  
 среди чисел 
  
    
      
        n
        −
        k
        +
        1
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle n-k+1,\dots ,n-1,n}
  
 всегда существует число с простым делителем больше 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
. Это утверждение было доказано Сильвестром в 1892 году. При 
  
    
      
        n
        =
        2
        k
      
    
    {\displaystyle n=2k}
  
 оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай.
 Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого 
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
  
 существует число 
  
    
      
        
          n
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{0}}
  
 такое, что для любых 
  
    
      
        n
        ⩾
        
          n
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle n\geqslant n_{0}}
  
 существует простое число 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, удовлетворяющее 
  
    
      
        n
        <
        p
        <
        (
        1
        +
        ε
        )
        n
      
    
    {\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}
  
. Более того, для фиксированного 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
 количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. В частности, например, при 
  
    
      
        n
        ⩾
        25
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 25}
  
 всегда найдётся простое число между 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 и 
  
    
      
        
          
            6
            5
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle {\frac {6}{5}}n}
  
.
 Гипотеза Лежандра гласит, что для любого 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
 найдётся простое число 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 в интервале 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        <
        p
        <
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}<p<(n+1)^{2}}
  
. Гипотеза Оппермана и гипотеза Андрицы задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число.
 Наиболее сильной является гипотеза Крамера, которая гласит, что
 Все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.
 Здесь мы приводим доказательство, предложенное Эрдёшем.
 В доказательстве мы используем следующие обозначения:
 Обозначим множество простых чисел через 
  
    
      
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {P} }
  
 и определим 
  
    
      
        θ
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \theta (n)}
  
 как сумму логарифмов простых чисел, не превышающих 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
:
 Например, 
  
    
      
        θ
        (
        10
        )
        =
        ln
        ⁡
        2
        +
        ln
        ⁡
        3
        +
        ln
        ⁡
        5
        +
        ln
        ⁡
        7
      
    
    {\displaystyle \theta (10)=\ln 2+\ln 3+\ln 5+\ln 7}
  
.
 Эта функция называется 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
-функция Чебышёва.
 Лемма
 (Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».)
 Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, биноминальный коэффициент 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              m
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2m+1 \choose m}}
  
 делится на все простые числа в интервале 
  
    
      
        [
        m
        +
        2
        ,
        
        2
        m
        +
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [m+2,\;2m+1]}
  
. В самом деле, 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              m
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
              2
              m
              +
              1
              )
              !
            
            
              m
              !
              (
              m
              +
              1
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2m+1 \choose m}={\frac {(2m+1)!}{m!(m+1)!}}}
  
, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель. Поскольку биноминальный коэффициент делится на все такие простые числа, он не может быть меньше их произведения
 Взяв логарифм от обеих частей неравенства, получаем
 С другой стороны, биноминальный коэффициент 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                m
                +
                1
              
              m
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2m+1 \choose m}}
  
 легко оценить сверху:
 Объединяя два последних неравенства, получаем
 Откуда
 Теперь легко доказать лемму по индукции:
 (поскольку любое чётное число, большее 2  составное, то 
  
    
      
        ln
        ⁡
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \ln(n)}
  
 не входит в сумму 
  
    
      
        
          ∑
          
            p
            ∈
            
              P
            
            ;
            
            p
            ⩽
            n
          
        
        ln
        ⁡
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} ;\,p\leqslant n}\ln(p)}
  
). Лемма доказана.
 Теперь переходим к доказательству самого постулата. Основная идея доказательства — разложить биноминальный коэффициент 
  
    
      
        
          (
        
        
          
            2
            n
          
          n
        
        
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2n \choose n}
  
 на простые множители. Если между 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 и 
  
    
      
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2n}
  
 нет простых чисел, то произведение всех этих простых множителей окажется слишком маленьким.
 Доказываем от противного. Допустим, что для некоторого целого 
  
    
      
        n
        ⩾
        2
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2}
  
 не существует простого числа 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 такого, что 
  
    
      
        n
        <
        p
        <
        2
        n
      
    
    {\displaystyle n<p<2n}
  
.
 Если 
  
    
      
        2
        ⩽
        n
        <
        2048
      
    
    {\displaystyle 2\leqslant n<2048}
  
, то одно из простых чисел 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259 и 2503 (каждое последующее меньше удвоенного предыдущего), назовём его 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, удовлетворяет неравенству 
  
    
      
        n
        <
        p
        <
        2
        n
      
    
    {\displaystyle n<p<2n}
  
. Следовательно, 
  
    
      
        n
        ⩾
        2048
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 2048}
  
.
 Оценим 
  
    
      
        
          (
        
        
          
            2
            n
          
          n
        
        
          )
        
      
    
    {\displaystyle 2n \choose n}
  
.
 Поскольку 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 — максимальный член суммы, мы имеем:
 Пускай 
  
    
      
        R
        (
        p
        ,
        
        n
        )
      
    
    {\displaystyle R(p,\;n)}
  
 — степень 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 в разложении 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 на простые множители.
 Поскольку 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  
 для каждого 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
 имеет ровно 
  
    
      
        
          ⌊
          
            
              n
              
                p
                
                  j
                
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor }
  
 сомножителей, делящихся на 
  
    
      
        
          p
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{j}}
  
, в разложении 
  
    
      
        n
        !
      
    
    {\displaystyle n!}
  
 на простые множители 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 входит в степени 
  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          ⌊
          
            
              n
              
                p
                
                  j
                
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor }
  
. Поэтому
 Чтобы узнать об этой сумме побольше, оценим, с одной стороны, насколько велики её слагаемые, а с другой — их количество.
 Величина: каждое слагаемое 
  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                2
                n
              
              
                p
                
                  j
                
              
            
          
          ⌋
        
        −
        2
        
          ⌊
          
            
              n
              
                p
                
                  j
                
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {2n}{p^{j}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor }
  
 может быть или 0, или 1 (в зависимости от дробной части 
  
    
      
        
          
            n
            
              p
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {n}{p^{j}}}}
  
 : если она меньше 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  
, слагаемое равно 0, а если 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  
 или больше, то 1).
 Количество: все слагаемые с 
  
    
      
        j
        >
        
          
            
              ln
              ⁡
              (
              2
              n
              )
            
            
              ln
              ⁡
              (
              p
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle j>{\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}}
  
 равны нулю, потому что для них 
  
    
      
        
          
            
              2
              n
            
            
              p
              
                j
              
            
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {2n}{p^{j}}}<1}
  
. Поэтому только 
  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                ln
                ⁡
                (
                2
                n
                )
              
              
                ln
                ⁡
                (
                p
                )
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor }
  
 первых слагаемых имеют шансы быть ненулевыми.
 Итак, 
  
    
      
        R
        (
        p
        ,
        
        n
        )
      
    
    {\displaystyle R(p,\;n)}
  
 — сумма 
  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                ln
                ⁡
                (
                2
                n
                )
              
              
                ln
                ⁡
                (
                p
                )
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor }
  
 слагаемых, каждое из которых равно 0 или 1. Следовательно,
 Оценим теперь 
  
    
      
        
          p
          
            R
            (
            p
            ,
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{R(p,n)}}
  
.
 Это была оценка для любых 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. Но гораздо лучшую оценку можно получить для 
  
    
      
        
          
            2
            n
          
        
        <
        p
        ⩽
        2
        n
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2n}}<p\leqslant 2n}
  
. Для таких 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, количество слагаемых 
  
    
      
        
          ⌊
          
            
              
                ln
                ⁡
                (
                2
                n
                )
              
              
                ln
                ⁡
                (
                p
                )
              
            
          
          ⌋
        
      
    
    {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\ln(2n)}{\ln(p)}}\right\rfloor }
  
 равно 1, то есть в нашей сумме всего одно слагаемое:
 Если это слагаемое равно 1, то 
  
    
      
        
          p
          
            R
            (
            p
            ,
            
            n
            )
          
        
        =
        p
      
    
    {\displaystyle p^{R(p,\;n)}=p}
  
 . А если оно равно 0, то 
  
    
      
        
          p
          
            R
            (
            p
            ,
            
            n
            )
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle p^{R(p,\;n)}=1}
  
.
 А теперь посмотрим, в каком интервале находятся простые делители. 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 не имеет простых делителей 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 таких, что:
 Получается, что у 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 нет простых делителей, больших чем 
  
    
      
        
          
            
              2
              n
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {2n}{3}}}
  
.
 Теперь оценим произведение 
  
    
      
        
          p
          
            R
            (
            p
            ,
            
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{R(p,\;n)}}
  
 по всем простым делителям 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 числа 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 . Для делителей, не больших 
  
    
      
        
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2n}}}
  
, произведение не превышает 
  
    
      
        
          
            (
            2
            n
            )
          
          
            
              2
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {(2n)}^{\sqrt {2n}}}
  
 . А для простых делителей, больших 
  
    
      
        
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2n}}}
  
, оно не превышает 
  
    
      
        
          ∏
          
            p
            ∈
            
              P
            
            ;
            
            p
            ⩽
            2
            n
            
              /
            
            3
          
        
        p
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            θ
            
              (
              
                
                  
                    2
                    n
                  
                  3
                
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} ;\,p\leqslant 2n/3}p=\exp \left(\theta \left({\frac {2n}{3}}\right)\right)}
  
.
 Поскольку 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                2
                n
              
              n
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {2n \choose n}}
  
 равен произведению 
  
    
      
        
          p
          
            R
            (
            p
            ,
            
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{R(p,\;n)}}
  
 по всем простым 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, мы получаем:
 Используя нашу лемму 
  
    
      
        θ
        (
        n
        )
        <
        n
        ⋅
        ln
        ⁡
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle \theta (n)<n\cdot \ln(4)}
  
:
 Поскольку 
  
    
      
        (
        2
        n
        +
        1
        )
        <
        (
        2
        n
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (2n+1)<(2n)^{2}}
  
:
 Кроме того, 
  
    
      
        2
        ⩽
        
          
            
              2
              n
            
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\leqslant {\frac {\sqrt {2n}}{3}}}
  
 (поскольку 
  
    
      
        n
        ⩾
        18
      
    
    {\displaystyle n\geqslant 18}
  
):
 Логарифмируя обе части, получаем
 Делая подстановку 
  
    
      
        
          2
          
            2
            t
          
        
        =
        2
        n
      
    
    {\displaystyle 2^{2t}=2n}
  
:
 Это даёт нам 
  
    
      
        t
        <
        6
      
    
    {\displaystyle t<6}
  
 и противоречие:
 Следовательно, наше допущение было неверно. Что и требовалось доказать