Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, то верно и следующее утверждение с номером 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
 — шаг индукции, или индукционный переход.
 Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.
 Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          P
          
            n
          
        
        ,
        
          P
          
            n
            +
            1
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n},P_{n+1},\ldots }
  
.
 Допустим, что
 Тогда все утверждения нашей последовательности верны.
 Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.
 Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
 Пусть имеется последовательность утверждений 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{2}}
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{3}}
  
, 
  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots }
  
. Если для любого натурального 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 из того, что истинны все 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{2}}
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{3}}
  
, 
  
    
      
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots }
  
, 
  
    
      
        
          P
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n-1}}
  
, следует также истинность 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  
, то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть 
  
    
      
        (
        ∀
        n
        ∈
        
          
            N
          
        
        )
        
          
            (
          
        
        (
        ∀
        i
        ∈
        {
        1
        ;
        …
        ;
        n
        −
        1
        }
        )
        
          P
          
            i
          
        
        ⇒
        
          P
          
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        ⇒
        (
        ∀
        n
        ∈
        
          
            N
          
        
        )
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (\forall n\in {\mathbb {N} }){\Big (}(\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n}{\Big )}\Rightarrow (\forall n\in {\mathbb {N} })P_{n}}
  
.
 В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 условие 
  
    
      
        (
        ∀
        i
        ∈
        {
        1
        ;
        …
        ;
        n
        −
        1
        }
        )
        
          P
          
            i
          
        
        ⇒
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (\forall i\in \{1;\dots ;n-1\})P_{i}\Rightarrow P_{n}}
  
 в точности эквивалентно 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
 (его истинности не из чего следовать). Однако зачастую доказывать индукционный переход для 
  
    
      
        
          P
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{1}}
  
 всё равно приходится отдельно, так что разумно бывает выделить эту его часть в качестве базы.
 Принцип полной математической индукции эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.
 Также он является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.
 Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.
 Сумма геометрической прогрессии. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 и вещественное 
  
    
      
        q
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle q\neq 1}
  
, выполняется равенство
 Доказательство. Индукцией по 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 для произвольного 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
.
 Докажем базу индукции для 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
:
 Докажем переход: предположим, что для 
  
    
      
        n
        =
        k
      
    
    {\displaystyle n=k}
  
 выполнено
 тогда для 
  
    
      
        n
        =
        k
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n=k+1}
  
, согласно предположению:
 Значит по принципу математической индукции выполнено равенство для всякого 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Что и требовалось доказать.
 Комментарий: истинность утверждения 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}}
  
 в этом доказательстве — то же, что истинность равенства
 Важные примеры: неравенство Бернулли, бином Ньютона.