Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
 Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе 
  
    
      
        
          m
          
            p
          
        
        
          /
        
        
          m
          
            s
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle m_{p}/m_{s}\rightarrow 0}
  
, где 
  
    
      
        
          m
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{p}}
  
, 
  
    
      
        
          m
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{s}}
  
 — массы планеты и звезды соответственно.
 Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
 Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением 
  
    
      
        e
        =
        
          
            c
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\frac {c}{a}}}
  
, где 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle {a}}
  
 — большая полуось. Величина 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 называется эксцентриситетом эллипса. При 
  
    
      
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c=0}
  
, и, следовательно, 
  
    
      
        e
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle e=0,}
  
 эллипс превращается в окружность.
 Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
 Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
 Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
 Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.
 где 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{1}}
  
 и 
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{2}}
  
 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}}
  
 и 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{2}}
  
 — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
 Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
 где 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 — масса Солнца, а 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
  
 и 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
  
 — массы планет.
 Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
 Рассмотрим движение в полярных координатах 
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta )}
  
, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
 Пусть 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 — радиус-вектор к планете, за 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        =
        
          r
        
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}
  
 обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  
 — единичный вектор, перпендикулярный 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
, направленный в сторону увеличения полярного угла 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
. Запишем производные по времени, обозначая их точками:
 Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:
 Или в координатной форме:
 Во втором уравнении распишем 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\theta }}}
  
 и 
  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}}
  
:
 Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:
 Интегрирование которого даст:
 Полагая 
  
    
      
        C
        =
        ln
        ⁡
        ℓ
      
    
    {\displaystyle C=\ln \ell }
  
 и упрощая логарифмы имеем окончательно
 Константа 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
  
 по смыслу является удельным угловым моментом (
  
    
      
        ℓ
        =
        
          r
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }
  
). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.
 Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:
 И переписать производные, попутно избавляясь от времени
 Уравнение движения в направлении 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
  
 тогда запишется:
 Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
 где 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 — универсальная гравитационная константа и 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 — масса звезды.
 В результате:
 Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:
 Избавляясь от которых получим:
 И окончательно:
 Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
 для констант интегрирования 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 и 
  
    
      
        
          θ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{0}}
  
, зависящих от начальных условий.
 Заменяя 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  
 на 1/
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 и вводя 
  
    
      
        p
        =
        
          
            
              ℓ
              
                2
              
            
            
              G
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}}
  
, имеем окончательно:
 Мы получили уравнение конического сечения с параметром 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 и эксцентриситетом 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
 По определению момент импульса 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 точечного тела с массой 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 и скоростью 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 записывается в виде:
 где 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 — радиус-вектор тела, а 
  
    
      
        
          p
        
        =
        m
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
  
 — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 за время 
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
  
 из геометрических соображений равна
 где 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  
 представляет собой угол между векторами 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 и 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
.
 При выводе первого закона было показано, что 
  
    
      
        ℓ
        =
        c
        o
        n
        s
        t
      
    
    {\displaystyle \ell =const}
  
. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
 Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
 Получили, что 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 не зависит от времени. Значит 
  
    
      
        
          |
        
        
          L
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {L} |}
  
 постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади 
  
    
      
        
          
            
              d
              S
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}}
  
 — константа.
 Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 (перигелий) и 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
 Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 и 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, запишем
 Теперь, когда нашли 
  
    
      
        
          V
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{B}}
  
, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
 Однако полная площадь эллипса равна 
  
    
      
        π
        a
        
          
            (
            1
            −
            
              ε
              
                2
              
            
            )
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle \pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}
  
 (что равно 
  
    
      
        π
        a
        b
      
    
    {\displaystyle \pi ab}
  
, поскольку 
  
    
      
        b
        =
        
          
            (
            1
            −
            
              ε
              
                2
              
            
            )
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}
  
). Время полного оборота, таким образом, равно
 Заметим, что если масса 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 не пренебрежимо мала по сравнению с 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы 
  
    
      
        M
        +
        m
      
    
    {\displaystyle M+m}
  
 (см. приведённая масса). При этом массу 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 в последней формуле нужно заменить на 
  
    
      
        M
        +
        m
      
    
    {\displaystyle M+m}
  
:
 Запишем закон сохранения момента импульса
 где M — масса Солнца.
 Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
 Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
 Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
 где 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 — длина большой полуоси, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 — длина малой полуоси орбиты.
 С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
 Следовательно,
 Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
 Подставим в формулу площади эллипса:
 Откуда окончательно получим:
 или в традиционном виде