Пропорция золотого сечения известна людям уже несколько тысяч лет и всё это время не теряет популярности как в чисто математической среде, так и среди художников, скульпторов, философов, биологов. Золотое сечение можно найти в: Классической живописи Скульптуре Архитектуре Принципах перспективы и композиции фотографий Пропорциях человеческого тела Ракушках Растениях Развитии эмбрионов Ветвях галактик И во множестве других, подчас весьма необычных, сфер. Сегодня мы будем говорить о растениях. Идея золотого сечения очень проста. Возьмем отрезок, и разделим его на две части Существует единственный способ разделить отрезок на две части с длинами , так что отношение длины всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. В самом деле, пусть длина отрезка  ; по условию  Определив  и немного преобразовав систему, получим квадратное уравнение:  У этого уравнения единственный положительный корень  Число  называется числом Фидия или, попросту, пропорцией золотого сечения. На заглавной картинке изображен цветок подсолнечника маслянистого - растения, масло из семян которого вы почти наверняка регулярно употребляете в пищу. С точки зрения  ботаники, большой красивый цветок подсолнуха называется "соцветием-корзинкой". Желтые лепестки соцветия - видоизмененные листья; они окаймляют корзинку из крошечных желтых цветков, каждому из которых после опыления суждено превратиться в семечко. Рассматривая корзинку подсолнуха, мы можем обнаружить удивительный факт: Человеческий глаз легко различает, как семена группируются по спиралям - левым и правым. Их число различно. Приложив усилия, можно сосчитать, что в цветке подсолнуха на фотографии 21 спираль идет по часовой стрелке и 34 спирали - против часовой. Количества подобных спиралей называются в ботанике парастическими числами (parastichy numbers). Интересно то, что  что близко к . Это не случайно. Оказывается, у множества видов растений у здорового, неповрежденного цветка или розетки имеется тенденция к выбору в качестве парастических чисел двух соседних чисел следующего ряда:  Эта последовательность широко известна как последовательность Фибоначчи. Она начинается с двух единиц; каждое следующее число последовательности - сумма двух предшествующих. У ряда Фибоначчи много замечательных свойств, главным из которых для нас является то, что отношение двух соседних членов стремится к . Этот замечательный факт напрямую вытекает из явной формулы для чисел ряда Фибоначчи, так называемой формулы Бине: Как можно видеть, отношение двух соседних членов ряда Фибоначчи быстро стремится в . На самом деле, это характерно для любого рекуррентного ряда, строящегося по формуле "каждый следующий член равен сумме двух предыдущих".  Откуда же члены последовательности Фибоначчи взялись в цветке? Процесс формирования корзинки называется филлотаксисом. Внутри центральной части корзинки подсолнуха  - меристемы - происходит деление зародышевых клеток, образующих сначала цветок, а потом и семечко. Сразу после рождения цветок начинает выталкиваться младшими братьями и сестрами в радиальном направлении от центра. Закон движения единичного цветка в корзинке проще всего описать в радиальной системе координат - по радиусу и углу. Для цветка номер  из  рожденных меристемой, его радиальные координаты описываются примерно так: Помимо  и  мы видим здесь два параметра -  и .    - некая постоянная величина, связанная с размерами цветка в соцветии. Закон радиального выталкивания легко обосновать физически, приняв за внимание, что цветки соцветия приблизительно одинакового размера и должны покрывать собой всю свободную площадь корзинки. Интереснее закон направления . Он зависит от константы , которая для подсолнуха с высокой точностью равна  Иными словами, порождая цветок, меристема задает ему направление движения, каждый раз меняя его это направление относительно предшествующего поворотом на . Это число, , неявным образом закодировано в геноме растения. Для того, что бы понять, что это и откуда оно берется, разделим его на , то есть вычислим, какую долю полного оборота оно составляет: Вот где прячется золотое сечение! Но зачем оно нужно растению? Для ответа на этот вопрос, обратимся к уникальному свойству числа- его разложению в цепную дробь. Любое действительное число можно представить следующим способом: Где целое число; прочие натуральные числа. Такое представление называется цепной дробью. Если число - рациональное, его представление в виде цепной дроби насчитывает конечное число членов, и вычисляется посредством алгоритма Евклида. В противном случае, представление числа в виде цепной дроби выражается бесконечной последовательностью знаменателей. Например, знаменитое число  расписывается в виде цепной дроби вот так: Наиболее важным свойством цепных дробей для математики является то, что они кодируют наилучшие рациональные приближения данного числа. В самом деле, попробуем "обрезать" дробь по одной из контурных линий. Мы получим рациональное число, приблизительно равное . Утверждается, что для каждого из них не существует рационального числа с меньшим знаменателем, более близкого к : Сравните приближение и  И в том и в другом случае мы получили 6 значимых цифр после запятой, но в одном случае знаменатель - 113, а в другом - 10000000. Разница, как говорится, налицо. Теперь, наконец, разложим в цепную дробь. Получится следующее:   Рациональные приближения, полученные посредством обрезания этого представления, выглядят так:   Легко видеть, что это ни что иное, как отношения соседних членов ряда Фибоначчи. И вот теперь, сравнивая цепочку рациональных приближений числа с аналогичной цепочкой числа мы можем видеть главное математическое свойство пропорции золотого сечения.  Для любого достаточно большого , у больше рациональных приближений со знаменателем меньше чем , чем у любого другого иррационального числа. В самом деле. Приближая , мы видим, что уже у седьмого приближения знаменатель вырос до 99532. Узнаменатель седьмой дроби - 34. Алгоритм вычисления рационального приближения из частичного представления цепной дроби прост, и мы не будем его здесь приводить. Выведя его, легко видеть, что чем меньше числа в ряду, тем меньше будут представления, а натуральных чисел меньше, чем ряд из последовательных единиц, нельзя и представить. Одновременно с этим, является наиболее плохо приближенным числом из всех, в том смысле, что с ростом знаменателя число угаданных знаков приближения растет максимально медленно, насколько это возможно. Этот факт является прямым следствием из теоремы Гурвинца и его доказательство довольно занудно, так что мы не будем включать его в данную статью. Суха теория, друзья, но древо жизни пышно зеленеет. Настало время сложить всё вышесказанное, и понять, как связаны: филлотаксис подсолнуха, угол , последовательность Фибоначчи, цепные дроби и рациональные приближения. И вместо того, что бы рассказать, лучше показать: Интерактивное онлайн-демо, иллюстрирующее процесс филлотаксиса Перейдя по ссылке, вы увидите небольшую онлайн-демонстрацию процесса формирования корзинки подсолнуха. Вы можете регулировать угол порождения меристемой цветков и их количество, или изучать спирали, полученные путем выделения каждого ного зерна, начиная с первого, где n (ранг) - знаменатель одно из рациональных приближений для выставленного вами угла. Вы увидите, что при углах  и некоторых других зерна в корзинке распределены почти равномерно, а число рациональных приближений с небольшим основанием максимально; для других углов число рациональных приближений невелико, а зерна подсолнуха четко группируются в спирали, причем их число соответствует знаменателю дроби того или иного рационального приближения выставленного угла. И глядя на это, даже не оперируя сложной математикой вы можете дать правильный ответ на поставленный в заголовке вопрос: Золотое сечение в подсолнухе обеспечивает наиболее равномерное распределение семян в корзинке за счет наихудшего его приближения рациональными числами и максимизации числа спиралей небольшого ранга, вдоль которых упорядочены семена. Настоящая статья написана по мотивам кружковых занятий Малого Мехмата МГУ для старших классов. В статье использованы следующие источники: А. Цезинг "Эстетические исследования" В. Арнольд "Цепные дроби" А. Щетников "Загадки филлотаксиса" (видео)  "Математическая составляющая / Филлотаксис" - энциклопедия по популярной математике "Special Topics - Lessons from Biology for Engineering Tiny Devices / Lessons 12: Spirals and phyllotaxis" - цикл популярных лекций Принстонского университета, посвященных спиралям. Takuya Okabe, Atsushi Ishida and Jin Yoshimura - The unified rule of phyllotaxis explaining both spiral and non-spiral arrangements - более строгое математическое описание процесса развития цветка. Математика листьев: как один необычный куст изменил уравнение модели роста растений - статья на habr.com с прелестными анимироваными иллюстрациями. Wikipedia: Golden ratio, Continued fraction, Fibonacci number, Hurwitz's theorem. Интерактивное онлайн-демо, иллюстрирующее процесс филлотаксиса  Web-программист, математик.