Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.
 Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример
. Им была построена подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работе 1997 года.
 
 
14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.
 <...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...> 
 Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},...,X_{m}}
  
 от переменных 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
  
:
 Всякая целая рациональная связь между 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}
  
, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
  
. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}
  
, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
  
. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}
  
. <...>
Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}
  
, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>
 Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры 
  
    
      
        K
        ⋂
        k
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}
  
, где 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 — порождённое 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}
  
 поле. Поскольку всякое промежуточное поле 
  
    
      
        k
        ⊂
        K
        ⊂
        k
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})}
  
 является  конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

 
Пусть 
  
    
      
        K
        ⊂
        k
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}
  
 — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра 
  
    
      
        K
        ⋂
        k
        [
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}
  
 конечно порождена?