Степень отображения — гомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.
 В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность 
  
    
      
        φ
        :
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        →
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}
  

степень отображения можно определить как число оборотов точки 
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)}
  
 когда 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 пробегает окружность.
 Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. 
Тогда степень непрерывного отображения 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to Y}
  

определяется как целое число 
  
    
      
        deg
        ⁡
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle \deg(f)}
  
 такое, что
 где 
  
    
      
        
          f
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{*}}
  
 обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и 
  
    
      
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle [X]}
  
 обозначает фундаментальный класс многообразия  
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
.
 Рассмотрим гладкое отображение 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерных компактных связных ориентированных гладких многообразий 
  
    
      
        φ
        :
        
          M
          
            1
          
          
            n
          
        
        →
        
          M
          
            2
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \varphi :M_{1}^{n}\to M_{2}^{n}}
  
. 
 Точка из 
  
    
      
        
          M
          
            2
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}^{n}}
  
 называется регулярной, если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 не вырождено (то есть невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). 
Согласно лемме Сарда, почти все точки 
  
    
      
        
          M
          
            2
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}^{n}}
  
 являются регулярными значениями 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
.
 Припишем каждому прообразу регулярной точки число 
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
  
, если отображение 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 в этой точке сохраняет ориентацию и 
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  
 в противном случае. 
Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения.
 Применив лемму Сарда можно доказать, что степень отображения не зависит от выбора регулярной точки. 
Следовательно, данное определение корректно.