Метод «чакравала» (санскр. चक्रवाल विधि) — это итерационный алгоритм решения неопределённых квадратных уравнений, включая Уравнение Пелля. Обычно метод приписывают  Бхаскаре II, (1114 – 1185), хотя некоторые указывают автором Джаядеву (950 ~ 1000 н.э.). Джаядева указал на то, что подход Брахмагупты для решения уравнений такого типа можно обобщить и описал этот метод обобщения. Метод позднее доработал Бхаскара II в своём трактате Bijaganita (Алгебра). Он назвал этот метод «чакравала» — чакра на санскрите означает «колесо», что указывает на циклическую натуру алгоритма. Селениус придерживается мнения, что никто из европейцев не достигал во времена Бхаскара и в более поздние времена столь изумительной высоты математической сложности.
 Метод известен также как циклический метод и содержит следы математической индукции.
 Чакра на санскрите означает цикл. В буддийской космографии вселенная состоит из бесчисленных сфер (чакравал), каждая из которых имеет свою землю, своё солнце, свою луну, небеса и ады и делится на три области, или авачара
 Брахмагупта в 628 н.э. изучал неопределённые квадратные уравнения, включая уравнение Пелля
 для минимальных целых x и y. Брахмагупта смог решить уравнение для некоторых N, но не для всех.
 Джаядева (9-й век) и Бхаскара (12-й век) предложили полное решение уравнения, используя метод чакравала, чтобы найти для 
  
    
      
        
        
          x
          
            2
          
        
        =
        61
        
          y
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \,x^{2}=61y^{2}+1}
  
 решение
 Случай был печально известен своей сложностью и в Европе впервые был решён Браункером в 1657–58 в ответ на вызов Ферма. Браункер использовал для решения непрерывные дроби. Метод для полного решения задачи был впервые описан строго Лагранжем в 1766. Метод Лагранжа, однако, требует вычисление 21 неполных частных непрерывной дроби квадратного корня из 61, в то время как метод метод чакравала много проще. Селениус в своём обозрении метода чакравала утверждает
 Герман Ганкель назвал метод чакравала
 Из тождества Брахмагупты мы видим, что для заданного N,
 Для уравнения 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        N
        
          y
          
            2
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}
  
 это позволяет «скомбинировать» две тройки решения 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}
  
 и 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}
  
 в новую тройку
 Главная идея метода состоит в том, что любая тройка 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,k)}
  
 (удовлетворяющая уравнению 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        −
        N
        
          b
          
            2
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}
  
) может быть скомбинирована с тривиальной тройкой 
  
    
      
        (
        m
        ,
        1
        ,
        
          m
          
            2
          
        
        −
        N
        )
      
    
    {\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}
  
 (для любого m), что даст новую тройку 
  
    
      
        (
        a
        m
        +
        N
        b
        ,
        a
        +
        b
        m
        ,
        k
        (
        
          m
          
            2
          
        
        −
        N
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}
  
. Если принять, что мы начинаем с тройки, для которой НОД(a, b)=1, последнюю тройку можно понизить на k (это лемма Бхаскара):
 Поскольку знаки внутри скобок значения не имеют, возможны следующие подстановки:
 Когда положительное число m выбрано так, что (a + bm)/k является целым, то целыми будут и другие два числа в тройке. Среди возможных значений m метод выбирает то, которое минимизирует абсолютное значение m2 − N, а потому значение (m2 − N)/k. Затем осуществляем подстановку с выбранным значением m, что приводит к тройке (a, b, k). Процесс повторяется, пока тройка с 
  
    
      
        k
        =
        1
      
    
    {\displaystyle k=1}
  
 не будет найдена. Этот метод всегда заканчивается решением (доказано Лагранжем в 1768). Мы можем завершить процесс, когда k равно ±1, ±2 или ±4, где даёт решение подход Брахмагупты.
 Случай n = 61 (поиск решения уравнения 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        −
        61
        
          b
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a^{2}-61b^{2}=1}
  
), которое было вызовом Ферма много веков позже, Бхаскара дал как пример.
 Мы начинаем с решения 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        −
        61
        
          b
          
            2
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle a^{2}-61b^{2}=k}
  
 для любого k, найденного произвольным способом. Мы можем взять b равным 1 и, поскольку 
  
    
      
        
          8
          
            2
          
        
        −
        61
        ⋅
        
          1
          
            2
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle 8^{2}-61\cdot 1^{2}=3}
  
, мы получим тройку 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        k
        )
        =
        (
        8
        ,
        1
        ,
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,k)=(8,1,3)}
  
. Скомбинируем её с тройкой 
  
    
      
        (
        m
        ,
        1
        ,
        
          m
          
            2
          
        
        −
        61
        )
      
    
    {\displaystyle (m,1,m^{2}-61)}
  
, что даст 
  
    
      
        (
        8
        m
        +
        61
        ,
        8
        +
        m
        ,
        3
        (
        
          m
          
            2
          
        
        −
        61
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (8m+61,8+m,3(m^{2}-61))}
  
, а после понижения (по лемме Бхаскара)
 Чтобы 3 делило 
  
    
      
        8
        +
        m
      
    
    {\displaystyle 8+m}
  
, а 
  
    
      
        
          |
        
        
          m
          
            2
          
        
        −
        61
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |m^{2}-61|}
  
 было минимальным, выбираем 
  
    
      
        m
        =
        7
      
    
    {\displaystyle m=7}
  
, так что получим тройку 
  
    
      
        (
        39
        ,
        5
        ,
        −
        4
        )
      
    
    {\displaystyle (39,5,-4)}
  
. Теперь имеем k = −4 и  мы можем воспользоваться идеей Брахмагупты — тройка может быть сведена к рациональному решению 
  
    
      
        (
        39
        
          /
        
        2
        ,
        5
        
          /
        
        2
        ,
        −
        1
        )
        
      
    
    {\displaystyle (39/2,5/2,-1)\,}
  
, которое затем комбинируется с собой три раза с 
  
    
      
        m
        =
        
          7
          ,
          11
          ,
          9
        
      
    
    {\displaystyle m={7,11,9}}
  
 соответственно, пока k не станет квадратом и мы не сможем произвести понижение. Это даёт 
  
    
      
        (
        1523
        
          /
        
        2
        ,
        195
        
          /
        
        2
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1523/2,195/2,1)}
  
. Такая процедура может быть повторена, пока не получим решение (требуется 9 дополнительных комбинаций и 4 дополнительных квадратичных понижений) 
  
    
      
        (
        1766319049
        ,
        
        226153980
        ,
        
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1766319049,\,226153980,\,1)}
  
. Это минимальное целое решение.
 Пусть нужно решить уравнение 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        67
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}-67y^{2}=1}
  
 
 Начинаем с решения уравнения 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        −
        67
        
          b
          
            2
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle a^{2}-67b^{2}=k}
  
 для k, найденного любым способом. Мы можем взять b равным 1, что даёт 
  
    
      
        
          8
          
            2
          
        
        −
        67
        ⋅
        
          1
          
            2
          
        
        =
        −
        3
      
    
    {\displaystyle 8^{2}-67\cdot 1^{2}=-3}
  
. На каждой итерации мы находим m > 0, такое, что k делит a + bm и  |m2 − 67| минимально. Затем мы обновляем a, b и k на 
  
    
      
        
          
            
              a
              m
              +
              N
              b
            
            
              
                |
              
              k
              
                |
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              a
              +
              b
              m
            
            
              
                |
              
              k
              
                |
              
            
          
        
        ,
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              −
              N
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}},{\frac {m^{2}-N}{k}}}
  
.
 Мы имеем 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        k
        )
        =
        (
        8
        ,
        1
        ,
        −
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,k)=(8,1,-3)}
  
. Нам нужно положительное целое m, такое что k делит a + bm, то есть 3 делит 8 + m. Нам нужно также, чтобы при этом значение |m2 − 67| было минимальным. Из первого условия следует, что m имеет вид 3t + 1 (то есть m = 1, 4, 7, 10,… и т.д.), а среди таких значений m, минимальное значение получается при m = 7. Заменяя (a, b, k) на 
  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  a
                  m
                  +
                  N
                  b
                
                
                  
                    |
                  
                  k
                  
                    |
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  a
                  +
                  b
                  m
                
                
                  
                    |
                  
                  k
                  
                    |
                  
                
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    m
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  N
                
                k
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right)}
  
, получим новые значения 
  
    
      
        a
        =
        (
        8
        ⋅
        7
        +
        67
        ⋅
        1
        )
        
          /
        
        3
        =
        41
        ,
        b
        =
        (
        8
        +
        1
        ⋅
        7
        )
        
          /
        
        3
        =
        5
        ,
        k
        =
        (
        
          7
          
            2
          
        
        −
        67
        )
        
          /
        
        (
        −
        3
        )
        =
        6
      
    
    {\displaystyle a=(8\cdot 7+67\cdot 1)/3=41,b=(8+1\cdot 7)/3=5,k=(7^{2}-67)/(-3)=6}
  
. То есть, мы имеем новое решение
 Повторяем процесс. Мы имеем 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        k
        )
        =
        (
        41
        ,
        5
        ,
        6
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,k)=(41,5,6)}
  
. Нам нужно m > 0, такое, что k делит a + bm, то есть 6 делит 41 + 5m. Нам при этом нужно, чтобы |m2 − 67| было минимальным. Из первого условия следует, что m имеет вид 6t + 5 (то есть m = 5, 11, 17,… и т.д.), а среди таких чисел m минимум |m2 − 67| достигается на m = 5. Это приводит нас к новому решению a = (41⋅5 + 67⋅5)/6, и т.д.:
 Для того, чтобы 7 делило 90 + 11m, m должно иметь вид m = 2 + 7t (то есть, 2, 9, 16,… и т.д.). Среди таких m выбираем m = 9.
 Мы можем продолжать итерации (и закончим после семи итераций), но поскольку правая часть находится среди чисел ±1, ±2, ±4, мы можем использовать напрямую наблюдение Брахмагупты. Скомбинируем тройку (221, 27, −2) с собой, мы получим
 То есть мы имеем целое решение:
 Это решение является приближением 
  
    
      
        
          
            67
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {67}}}
  
 в виде 
  
    
      
        
          
            48842
            5967
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {48842}{5967}}}
  
, в котором ошибка находится в пределах 
  
    
      
        
          10
          
            −
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{-9}}
  
.
 «Рассуждения, называемые «математической индукцией», имели несколько независимых источников. Они прослеживаются в глубину к швейцарцу Якобу Бернулли, французам Б. Паскалю и П. Ферма, итальянцу Ф. Мавролику. [...] Если читать немножко между строк, можно найти следы математической индукции много раньше, в работах индусов и греков, как, например, в «циклическом методе» Бхаскара и доказательстве Евклида, что число простых чисел бесконечно.»