Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах.
Впервые введена Грассманом в 1844 году.
 Внешняя алгебра над пространством 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 обычно обозначается 
  
    
      
        ⋀
        V
      
    
    {\displaystyle \bigwedge V}
  
.
Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.
 Внешней алгеброй 
  
    
      
        ⋀
        V
      
    
    {\displaystyle \bigwedge V}
  
 векторного пространства 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 над полем 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры 
  
    
      
        T
        (
        V
        )
      
    
    {\displaystyle T(V)}
  
 по двустороннему идеалу 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
, порождённому элементами вида 
  
    
      
        x
        ⊗
        x
        ,
        x
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle x\otimes x,x\in V}
  
:
 Если характеристика поля 
  
    
      
        char
        ⁡
        (
        K
        )
        ≠
        2
      
    
    {\displaystyle \operatorname {char} (K)\neq 2}
  
, то идеал 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида 
  
    
      
        x
        ⊗
        y
        +
        y
        ⊗
        x
      
    
    {\displaystyle x\otimes y+y\otimes x}
  
. 
 Умножение ∧ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:
 k-й внешней степенью пространства 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 называют векторное пространство 
  
    
      
        
          ⋀
          
            k
          
        
        V
      
    
    {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
  
, порождённое элементами вида 
 причём 
  
    
      
        dim
        ⁡
        
          
            
              ⋀
            
          
          
            k
          
        
        V
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \dim {\textstyle \bigwedge }^{k}V={\binom {n}{k}}\,}
  
 и 
  
    
      
        
          ⋀
          
            k
          
        
        V
      
    
    {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
  
 = { 0 } при  k > n. 
 Если 
  
    
      
        dim
        ⁡
        V
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \dim V=n}
  
 и  { e1, …, en }  — базис 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
, то базисом 
  
    
      
        
          ⋀
          
            k
          
        
        V
      
    
    {\displaystyle \bigwedge \nolimits ^{k}V}
  
 является множество
 Тогда 
 причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если 
  
    
      
        α
        ∈
        
          ⋀
          
            k
          
        
        
          (
          V
          )
        
      
    
    {\displaystyle \alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)}
  
 и 
  
    
      
        β
        ∈
        
          ⋀
          
            p
          
        
        
          (
          V
          )
        
      
    
    {\displaystyle \beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)}
  
, то