Отчего "гнётся и рвётся" пропеллер на фото и видео вы, наверняка, знаете. А какую именно форму принимают лопасти винта? Как зависит их видимая форма от скорости вращения? И причём здесь гиперболы? Мой сын очень уважает самолёты. Особенно, турбовинтовые: здорово же, когда видно как работает двигатель и как вертится пропеллер! А какую интересную форму принимают винты при съёмке на телефон или цифровую камеру! Класс! Красота!! Я полностью разделяю энтузиазм сына, И сегодня хочу подробнее рассмотреть математическую составляющую причудливого поведения пропеллеров, которое можно наблюдать на фото и видео. Уверен, что для большинства читателей, в принципе, ничего особенно сложного в объяснении этого визуального эффекта нет. Развёртка светочувствительной матрицы цифровой камеры работает подобно щелевому затвору и круговое движение винтов "рисуется" на матрице с постоянным дрейфом, как показано на анимациях. По мере увеличения скорости вращения винта, видимое искривление увеличивается, появляются разрывы и дополнительные линии. Об этом эффекте есть и многочисленные заметки в сети и ролики в Youtube, в общем, на качественном уровне всё понятно. Меня же заинтересовало не то, что лопасти "изгибаются" и даже "рвутся", а то, что в искривлённых формах легко угадываются кое-какие образы, хорошо знакомые тем, кто занимался дифференциальными уравнениями и теорией динамических систем. Приглашаю заглянуть в эту задачу поглубже. Для начала, выведем уравнение для видимых точек двухлопастного пропеллера, математической моделью которого может быть вращающаяся прямая, описываемая параметрическим уравнением: Роль щелевого затвора может играть вертикальная прямая, двигающаяся горизонтально со скоростью  и представляемая уравнением . Точки пересечения этих двух прямых образуют кривую, с параметрическим уравнением: На этом этапе пора навести в уравнениях порядок. Введём масштаб времени  и длины  и приведём уравнения к безразмерному виду: Перейдя от параметрического представления кривой к явному виду, получим чрезвычайно простое уравнение для кривой, в которую превращаются лопасти на фотографиях: Если лопастей  штук, то кривые для них будут отличаться фазой под тангенсом: Вот, например, как будет выглядеть пропеллер с пятью лопастями и переменной фазой (это чтобы "лопасти" закрутились): Здорово! Работает! Но это ещё не всё. Обратите внимание, при обезразмеривании задачи исчезли оба параметра: частота вращения ω и скорость затвора v. Это говорит о том, что решение задачи автомодельно, то есть, изменению любой из этих скоростей соответствует изменение масштаба длины, но форма кривых останется точно такой же. Глядя на то, как меняется видимая форма лопастей можно обратить внимание на то, что кроме неподвижной точки в центре пропеллера, есть ещё одна особая точка с координатами . Присмотритесь, проходя через неё, кривые терпят разрыв и становятся похожими на гиперболы. Человек, искушённый в дифференциальных уравнениях, узнает в ней  гиперболическую особую точку или седло. Откуда она тут и о чём говорит её существование? Давайте перейдём от кривых, в которые превращаются лопасти, к полю скоростей, по которому двигаются траектории видимых точек лопасти. Для этого продифференцируем параметрические уравнения траектории: А теперь выразим  и через  и :  и подставим в систему дифференциальных уравнений, превратив её в автономную систему (не зависящую от времени явно): Наконец, можно привести её к более удобному для анализа виду, правда, изменив динамику, то есть, скорости точек вдоль траекторий, но оставив без изменений сами траектории: Стандартный анализ особых точек этой системы, в которых обе производные обращаются в ноль, даёт нам два стационарных решения: вырожденный отталкивающий узел (звезду) , и гиперболическую (седловую) точку  Вот как выглядит поле направления скоростей для этой системы со стационарными точками: Из-за того, что система имеет седловую стационарную точку, и появляются гиперболические формы и характерные разрывы у "кривых" лопастей на снимках! Поглядите сами на то, как видимые точки пропеллера следуют полю скоростей. В тот момент, когда пропеллер проходит через седловую точку, линия и винта совпадают, и единственная точка пересечения превращается в полный отрезок прямой. В этом случае мы получим снимок всей лопасти пропеллера без искажений. Сын-восьмиклассник, конечно, не всё понял из того, что я ему рассказал, но картинки ему понравились, и в Desmos он смог построить кривые и анимировав параметр , сам увидел во что превращаются лопасти. А осознав существование седловой точки, развидеть он её уже не может и отыскивает на фотографиях и видео.  Руководитель, научный сотрудник, преподаватель