Окру́жность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки, лежащей в той же плоскости, что и кривая: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.
 Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.
 Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.
 Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
 Далее всюду буква 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 обозначает радиус окружности.
 Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: 
  
    
      
        D
        =
        2
        R
        ,
      
    
    {\displaystyle D=2R,}
  
 он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды.
 Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки).
 Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
 Для заданной окружности имеют место следующие свойства.
 Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют одну общую точку, которая называется точкой касания. Такая прямая называется касательной к окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведённому в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности.
 Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
 Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая пересекает окружность в двух точках и называется секущей.
 Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то окружность и прямая не имеют точек пересечения.
 Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают эту окружность. Говорят, что центральный или вписанный углы опираются на дугу, высекаемую на окружности их лучами, или же на хорду, стягивающую эту дугу.
 Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.
 Из определения радиана следует, что длина 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 любой дуги окружности связана с центральным углом 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
, опирающимся на эту дугу, простым соотношением: 
  
    
      
        L
        =
        R
        θ
        ,
      
    
    {\displaystyle L=R\theta ,}
  
 при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна 
  
    
      
        2
        R
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        <
        L
        .
      
    
    {\displaystyle 2R\sin {\theta  \over 2}<L.}
  
 Поскольку длина окружности равна 
  
    
      
        2
        π
        R
      
    
    {\displaystyle 2\pi R}
  
, с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до 
  
    
      
        2
        π
        .
      
    
    {\displaystyle 2\pi .}
  

 Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.
 Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.
 Свойства вписанных углов:
 Другие свойства:
 Длина окружности:
 Радиус окружности:
 Диаметр окружности:
 Площадь круга радиуса R:
 Площадь сектора, ограниченного центральным углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:
 Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности, центральным углом α, хордой:
 Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой кривой практически во всех областях человеческой деятельности. История её исследования и применения уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Античные учёные рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» кривых, поэтому в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида.
 Также в древности было открыто, что отношение длины окружности к её диаметру (число π) одно и то же для всех окружностей. Исторически важной темой многовековых исследований было уточнение этого отношения, а также попытки решить проблему «квадратуры круга». В дальнейшем развитие теории окружностей привело к созданию тригонометрии, теории колебаний и многих других практически важных разделов науки и техники.
 С точки зрения аналитической геометрии, окружность является простой плоской алгебраической кривой второго порядка. Окружность является частным случаем эллипса, у которого полуоси равны, и поэтому окружность относится к коническим сечениям.
 Общее уравнение окружности записывается как:
 или
 где
 Точка 
  
    
      
        
          (
          
            
              x
              
                0
              
            
            ,
            
              y
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}
  
 — центр окружности, 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 — её радиус.
 Уравнение окружности радиуса 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 с центром в начале координат:
 Уравнение окружности, проходящей через точки 
  
    
      
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              y
              
                1
              
            
          
          )
        
        ,
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            ,
            
              y
              
                2
              
            
          
          )
        
        ,
        
          (
          
            
              x
              
                3
              
            
            ,
            
              y
              
                3
              
            
          
          )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right),}
  
 не лежащие на одной прямой (с помощью определителя):
 Тогда в явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:
 Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:
 В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:
 Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:
 Окружность радиуса 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 с центром в точке 
  
    
      
        
          (
          
            
              ρ
              
                0
              
            
            ,
            
              ϕ
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\rho _{0},\phi _{0}\right)}
  
:
 Если полярные координаты центра окружности 
  
    
      
        
          ρ
          
            0
          
        
        =
        R
        ,
        
        
          ϕ
          
            0
          
        
        =
        α
        ,
      
    
    {\displaystyle \rho _{0}=R,\;\phi _{0}=\alpha ,}
  
 то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:
 Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид
 На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:
 или в параметрическом виде
 В пространстве окружность радиуса 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
 с центром в точке 
  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
          z
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}
  
 можно определить как контур диаметрального сечения сферы
 плоскостью
 где 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
 — параметры, не равные одновременно нулю; то есть все точки, лежащие на данной окружности, есть решения системы
 Например, при 
  
    
      
        a
        =
        c
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a=c\neq 0}
  
 решения этой системы можно задать параметрически следующим образом:
 Уравнение касательной к окружности в точке 
  
    
      
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            ,
            
              y
              
                1
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}
  
 определяется уравнением
 Уравнение нормали в той же точке можно записать как
 Окружности с общим центром, но разными радиусами, называются концентрическими. Две окружности, заданные уравнениями:
 являются концентрическими в том и только в том случае, когда 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        =
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}=A_{2}}
  
 и 
  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
        =
        
          B
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle B_{1}=B_{2}.}
  

 Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Две окружности, заданные уравнениями:
 являются ортогональными тогда и только тогда, когда выполняется условие:
 Другими словами, две пересекающиеся в точках A и B окружности с центрами O и O'  называются ортогональными, если являются прямыми углы OAO'  или OBO' . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведённому в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
 Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой 
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
, и касается дуги в точке 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  
, а хорды — в точке 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}}
  
, то прямая 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}}
  
 является биссектрисой угла 
  
    
      
        B
        
          A
          
            1
          
        
        C
      
    
    {\displaystyle BA_{1}C}
  
.
Лемма Архимеда играет важную роль при построении изоциркулярного преобразования.
 Доказательство
 Пусть 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 — гомотетия, переводящая малую окружность в большую. Тогда ясно, что 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  
 является центром этой гомотетии. Тогда прямая 
  
    
      
        B
        C
      
    
    {\displaystyle BC}
  
 перейдёт в какую-то прямую 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, касающуюся большой окружности, а 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}}
  
 перейдёт в точку на этой прямой и принадлежащей большой окружности. Вспомнив, что гомотетия переводит прямые в параллельные им прямые, понимаем, что 
  
    
      
        a
        ∥
        B
        C
      
    
    {\displaystyle a\parallel BC}
  
. Пусть 
  
    
      
        G
        (
        
          A
          
            2
          
        
        )
        =
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle G(A_{2})=A_{3}}
  
 и 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 — точка на прямой 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, такая, что 
  
    
      
        ∠
        C
        
          A
          
            3
          
        
        D
      
    
    {\displaystyle \angle CA_{3}D}
  
 — острый, а 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 — такая точка на прямой 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, что 
  
    
      
        ∠
        B
        
          A
          
            3
          
        
        E
      
    
    {\displaystyle \angle BA_{3}E}
  
 — острый. Тогда, так как 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 — касательная к большой окружности 
  
    
      
        ∠
        C
        
          A
          
            3
          
        
        D
      
    
    {\displaystyle \angle CA_{3}D}
  

  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  

  
    
      
        ∠
        C
        B
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle CBA_{3}}
  

  
    
      
        =
        ∠
        B
        
          A
          
            3
          
        
        E
        =
        ∠
        B
        C
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle =\angle BA_{3}E=\angle BCA_{3}}
  
. Следовательно 
  
    
      
        △
        B
        C
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \bigtriangleup BCA_{3}}
  
 — равнобедренный, а значит 
  
    
      
        ∠
        B
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            3
          
        
        =
        ∠
        C
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle BA_{1}A_{3}=\angle CA_{1}A_{3}}
  
, то есть 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}}
  
 — биссектриса угла 
  
    
      
        ∠
        B
        
          A
          
            1
          
        
        C
      
    
    {\displaystyle \angle BA_{1}C}
  
.
 Теорема Декарта утверждает, что радиусы любых четырёх взаимно касающихся окружностей удовлетворяют некоторому квадратному уравнению.
Их иногда называют окружностями Содди.
 Обобщённую окружность можно определить для любой математической структуры, где задано понятие расстояния. В частности, обобщением для многомерного евклидова пространства является гиперсфера; в трёхмерном пространстве это обычная сфера. В сферической геометрии важную роль играют окружности на сфере, центр которых совпадает с центром сферы («большие круги»).
 Окружность, наряду с близкими понятиями круга, кольца и сферы, с глубокой древности считалась божественным символом высшего совершенства, символом красоты и равенства. Античные астрономы были убеждены, что небесные светила размещены на вращающихся сферах и, таким образом, движутся по окружностям. Рыцари короля Артура сидели за круглым столом, что подчёркивало их равноправие.
 В египетской мифологии бог-творец Хнум вылепил людей на гончарном круге. В Книге Притчей Соломоновых говорится, что при сотворении мира Бог «проводил круговую черту по лицу бездны» (Прит. 8:27). Для защиты от «нечистой силы» полагалось очертить вокруг себя окружность (магический круг). На изображениях христианских святых их лица окружены круглым нимбом. Преисподняя во многих религиях состоит из концентрических кругов, что символизирует безысходность. В Стоунхендже и других кромлехах камни расставлены по окружности.
 В различных мистических доктринах окружность часто символизирует бесконечность и цикличность существования (уроборос, Сансара), равновесие (инь/ян), стабильность и др.. Похожий смысл усматривается в идиомах и поговорках многих народов, например: «круглый год», «круг общения», «порочный круг», «круговая порука» и т. п. Вероятно, широко распространённый обычай обмениваться кольцами между женихом и невестой символизирует вечность чувств, устойчивость семьи.
 Окружность используется в графике многих символов, например, в знаке пацифизма, символе охраны авторского права (©) и т. д.