Тайловость в играх – очень распространенное явление, особенно в играх инди сегмента. Чаще всего используют квадратные тайлы – в них проще всего задать необходимые данные, будь то карта уровня или инвентарь. Однако на квадратных и прямоугольных формах возможности подобной системы не ограничиваются.  В топовых играх конца девяностых - начала нулевых часто можно увидеть шестиугольную сетку заместо квадратной – в то время это смотрелось очень интересно, в особенности в сочетании с изометрией. Именно о работе с такими сетками и пойдет речь. Если вы не читали мою предыдущую статью про прямоугольные сетки, то рекомендую ознакомится, потому как я иногда буду опускать некоторые вещи, ссылаясь именно на нее. Дабы не изобретать велосипед, некоторые алгоритмы я взял с этой статьи на английском. Кто не хочет или не может в английский, есть ее перевод на хабре.  Все демки и примеры сделаны на движке Godot Engine v 3.2.3 с использованием его встроенного языка. Его синтаксис прост, а про некоторые специфичные функции можете почитать тут: VisualServer.canvas_item_add_line - рисование линии. VisualServer.canvas_item_add_rect - рисование залитого цветом прямоугольника. VisualServer.canvas_item_add_polyline - рисование множества линий между точками. VisualServer.canvas_item_add_polygon - рисование залитого цветом многоугольника. На протяжении всей статьи мы будем работать только с правильными шестиугольниками (не считая искажений и поворотов) Если не брать всякие повороты и искажения, существует два вида шестиугольных сеток, вертикально и горизонтально ориентированных. Непосредственно в движке одну из другой можно получить просто поворотом холста на 90°, но в математике я предпочту их разделить на разные, т.к. поворот зависит от места его применения в матричных выражениях и проще рассмотреть по отдельности. Итак, о чем это я: Такие я буду называть вертикальными (у ячейки есть явный вертикальный сосед): А такие горизонтальными (у ячейки есть явный горизонтальный сосед): Уже на этапе введения координат могут возникнуть проблемы. Дело в том, что в экранные оси никак не получится интерпретировать в свете шестиугольников - всегда будет ось, вдоль которой у ячейки не будет явного соседа. На самом деле существует огромное количество систем координат для таких сеток. Более подробно о них рассказано в упомянутой вначале статье. Я рассказывать про каждую не буду, все таки пост больше про использование сеток, а не их исследование. Упомяну только основные. Пожалуй первое, что приходит в голову, это таки впихнуть экранные оси в сетку, однако для этого по одному из направлений координаты придется смещать: Такая система называется координатами смещения. Она родились из смещения рядов обычной, прямоугольной сетки на половину длины. Например, все нечетные столбцы сдвигаются на половинку вниз (картинка слева) или все нечетные строки на половинку вправо (картинка справа). Тогда получается так, что каждый прямоугольник имеет шесть соседей, и в таком случае в эту сетку можно вписать шестиугольники, что уже сделано на картинках выше (на самом деле там просто шестиугольная сетка).  Главная проблема этих координат состоит в выборе базисов. Если вы помните из статьи про прямоугольные тайлы, там мы обращали матрицу из базисных векторов и умножали на нее радиус-вектор пикселя, получая координаты ячейки.  Здесь так не выйдет, потому что в таком представлении вектор перехода к соседней ячейке по какой-то из осей будет для разных ячеек разным, поэтому никак не получиться ввести один базис для всех ячеек, и, как следствие, применение векторной математики невозможно, а колоссальная часть функционала усложняется. Так что давайте введем такой базис, при котором можно использовать вектора. Вообще у сетки шестиугольников есть три ярко выраженных оси: Что-то напоминает, не находите? Тут три оси, прям как в пространстве. На самом деле гений тот человек - кто не просто увидел, что если взглянуть на куб под определенным углом, то получится шестиугольник, а еще и додумался использовать трехмерные координаты в двумерной сетке шестиугольников.  Правда вот попробовав посчитать координаты на двумерной сетке, могут вскипеть мозги, ведь третья ось тут кажется лишней и ее использование будто только мешает. Для разрешения данной ситуации просто посмотрим откуда взялись кубы: Для получения сетки шестиугольников надо взглянуть в изометрии на пирамидку, на каждом уменьшении высоты которой увеличивается количество кубиков в ряду на один. Включив фантазию, можно увидеть в каждом кубе шестиугольник. Включив внимательность, можно увидеть в левом нижнем углу координаты. Включив логику, можно увидеть, что сумма этих самых координат всегда равна некоторому числу, которое, кстати говоря, может быть любым, ведь мы сами решаем, откуда начнется система координат. В моем случае это 15, просто потому, что система отсчета в этом редакторе начинается с нижнего дальнего угла (в случае изометрического вида). Нам незачем таскать за собой лишнюю константу, поэтому возьмем ее за ноль.  Таким образом, сумма трех координат всегда и везде равна нулю, поэтому третья нам попросту не нужна, ведь мы можем получить ее из двух других. Теперь и получается, что "мешающая" третья ось уходит. Наконец то мы можем спокойно направить базисы и у каждой ячейки всегда будет точный сосед, находящийся вдоль оси. Я выбрал такие оси: Думаю здесь очевидно, почему начало координат удобно поместить в центр шестиугольника. Пожалуй это то, на чем запарываются многие при попытке сделать нечто шестиугольное. Я слышал множество способов, порой они были очень забавные. Например, мне больше всего запомнился способ, где предлагалось сделать невидимую маску с такой же сеткой, где каждая ячейка окрашена в свой цвет, а каждому цвету соответствуют координаты. При смещении курсора смотрим в маску и по цвету определяем координаты. Сложно, с костылями, но работать может. А если мы захотим другой размер? Перерисовывать? Вы тут явно не за этим. Вообще работать с шестиугольниками не очень удобно, ведь их надо как-то обрабатывать на прямоугольном экране. Хорошо было бы их привести к более прямоугольному представлению. Для этого найдем диагонали шестиугольника (а - сторона): Оранжевые (маленькие) диагонали делятся пополам зелеными (большими), а зеленые оранжевыми, если последние провести из середины стороны. Уже получается, что мы можем разделить шестиугольник на 4 прямоугольника. Однако некоторые вершины в таком случае будут лежать где то между углами сетки, а ведь нам хотелось бы, чтобы все они попадали ровно в углы.  На самом деле "где то", это ровно по серединке, ведь бОльшие диагонали состоят из четырех половинок сторон (двух сторон). Поэтому проведем еще по оранжевой диагонали из углов, тогда все вершины прямоугольника отлично впишутся в прямоугольную сетку: Желтую сетку в дальнейшем я буду называть вспомогательной. Для задания ее базисов будем использовать такие значения: Теперь мы можем выразить базисы шестиугольной сетки, используя базисы вспомогательной сетки: Запишем все базисы в коде: Я пользуюсь именно встроенными средствами Godot для упрощения работы в целом. Все подобные места будут поясняться в общем виде, как бы это делалось без встроенных возможностей.  Вот за что я люблю математику, так это за то, что если она работает, то работает везде. Так что для получения центра шестиугольника в пикселях из его координат на сетке надо просто умножить базисы на координаты: Для получения каждой вершины просто прибавляем по нужным базисам: Тогда для получения вершины в коде прибавляем нужный вектор (см. картинку выше) к центру шестиугольника. Я написал только функцию получения массива вершин, ибо по отдельности они почти никогда не нужны. Для вертикальных шестиугольников: Для горизонтальных шестиугольников: Наверно самая интригующая часть поста. На самом деле ничего нового почти не будет, ведь для получения вещественных координат ячейки все также обращаем матрицу и умножаем на нее радиус-вектор пикселя: В коде это записывается так:  В коде это записывается так:  Однако я буду пользоваться функцией affine_inverse у Transform2D, для того, что бы при изменении базисных векторов постоянно не менять функции преобразований, позже увидите зачем это надо.  Вы скорее всего работаете в другой среде (и зря), поэтому вам придется писать обращение матрицы самостоятельно. Кто не знает как это делается, или забыл, может почитать тут, или переписать следующие функции в свой язык:  Средствами Godot это можно записать всего в одну строчку: Тут .xform(Vector2) - это метод для умножения матрицы на переданный в него вектор, аналог vec_mul_basis из моего кода. Такой код работает для обеих ориентаций. Если вы хотя бы бегло прочитали вышеприведенный код, то наверняка заметили функцию round_hex вместо типичных приведений к int. Дело в том, что полных координат у шестиугольника 3, и они обладают условием x + y + z = 0, а после округления каждой из них равенство может нарушиться. Поэтому необходимо задать координату с наибольшей ошибкой округления через две другие, тогда условие выполнится.  Да, данный метод полностью слизан отсюда, однако зачем придумывать велосипед, если можно взять готовый? Так же тут используется именно round, а не приведение к int, ведь основание каждой ячейки находится в ее центре, а не в левом верхнем углу, как в случае с прямоугольными сетками: Работает все замечательно:   Однако я надеюсь вы не думаете, что сетки, это вручную нарисованные текстуры. Я не самоубийца.  Все примеры и объяснения я буду приводить на горизонтальной сетке, ведь для вертикальной они аналогичны. Для рисования последних я просто оставлю готовую функцию.  Для рисования сетки необходимо знать ее размеры. Размеры шестиугольной сетки будем задавать в координатах смещения, так просто понятнее. Тогда по горизонтали будет в два раза больше ячеек вспомогательной сетки, чем шестиугольников, ведь по горизонтали у шестиугольника 2 ячейки. Для нахождения вертикальных размеров заметим, что для перехода к нижнему шестиугольнику мы вниз проходим три вертикальных базиса, однако для крайнего шестиугольника соседа снизу нет, поэтому самая нижняя чать остается неучтенной, так что нужно прибавить единицу: Для вертикальных шестиугольников все аналогично, только формулы для вычисления ширины и высоты меняются местами: Сетку из шестиугольников можно разбить на две части, на вертикальные линии и на паттерн вершин: Будем рисовать каждую составляющую по отдельности. Начнем с вертикальных линий. Можно заметить, что в каждом ряду линии рисуются с интервалом в 2 ячейки, а каждый четный по счету ряд начинается со второй, а не с первой ячейки. Также увидим то, что первый ряд начинается со со смещением в одну ячейку относительно верхей границы, а ряды разделяет одна ячейка. С учетом того, что длина штриха в две ячейки, между верхними концами отрезков находятся три ячейки.  Тогда в цикле начинаем с единицы и идем до нижнего края карты с шагом 3. Во втором цикле начинаем со столбца, индекс которого обратен четности ряда, проще говоря 1-i%2, и идем до правого края карты (на единицу больше, чтобы нарисовать крайние линии) с шагом в две ячейки. В каждой итерации второго цикла просто рисуем отрезок высотой две ячейки: Этот код будет рисовать только вертикальные линии. Теперь нужно нарисовать паттерн вершин. Есть всего два вида наклонных линий, от нижнего левого угла к верхнему правому (их я буду называть нижними диагоналями), и от верхнего левого к нижнему правому (их я буду называть верхними диагоналями). Можно запомнить по положению левого конца отрезка: у нижних он снизу, у верхних - сверху. Легко увидеть, что в одной строке они чередуются, а в следующей строке паттерн начинается с другой диагонали. Четным я буду называть паттерн, начинающийся с нижней диагонали, нечетным - с верхней. Получается, что от строки к строке паттерн меняет четность. Для рисования паттернов пробегаем каждую третью строку, начиная с нулевой, а в каждой строке пробегаемся по столбцам. Тут я считаю нужным показать, как задается каждый угол ячейки с координатами {j, i} , где  j - столбец (как бы x), i - строка (как бы y): Каждые две строки паттерна разделяют две ячейки, поэтому чтобы перейти от одной к следующей, необходимо сдвинуться на 3 строки вниз.  Как я уже говорил, четность паттерна меняется от строки к строке, значит на выбор нижней или верхней диагонали влияет индекс строки. А внутри одной строки нижние и верхние диагонали чередуются, значит и индекс столбца влияет на выбор диагонали. Заметим, что в нулевой строке и нулевом столбце (левый верхний угол) должна находиться нижняя диагональ, а там остаток от деления на два индексов столбца и строки, очевидно равен нулю. В следующем столбце остаток от деления его индекса на два уже равен единице, а у индекса строки он по прежнему ноль. Там мы рисуем верхнюю диагональ (т.к. чередование) Проведя аналогичные рассуждения для следующей строки можно вывести, что если четности индексов строки и столбца одинаковы, то рисуем нижнюю диагональ, иначе верхнюю. Посмотрите на картинку из начала раздела и со всеми этими чередованиями вы быстро разберетесь.  В коде этот алгоритм выглядит так: Теперь, наконец, получаем полноценную сетку. Однако просто нарисовав ее на холсте, получатся непонятки с координатами: Дело все в том, что начало координат находится в центре шестиугольника, а начинаем рисовать мы с левого верхнего угла вспомогательной сетки, также как мы это делали с обычными сетками. Для рисования сетки правильно, т.е. из начала координат, необходимо сдвинуть рисование на одну вспомогательную ячейку влево и на две вверх, ведь именно под таким смещением находится начало координат. Однако и на этом не все. Если просто объединить весь код выше в одну функцию, то при четных высотах она будет рисовать ненужные хвосты: Эти хвосты всегда рисуются прямо в углах вспомогательной сетки, так что чтобы не мудрить просто напишем условие нерисования в этих самых углах. Соединив все вместе, получим такую функцию: При рисовании вспомогательной сетки кстати тоже используем смещение. На всякий случай оставлю тут и ее рисование: И, как и обещал, функция для рисования вертикально-ориентированной сетки: Результат вполне неплох, нигде линии не рисуются дважды (сетка рисовалась немного прозрачной на черном фоне, а яркость линий везде одинакова):   Однако рендерить такие сетки в реальном времени довольно затратно, тут рисуется множество отдельных отрезков, что сильно замедляет работу. Просто для примера: пустое черно окно у меня имеет fps около 950, а при рисовании слегка прозрачным белым цветом Color8(255, 255, 255, 200) шестиугольной сетки размера 10x10 и размером шестиугольника 32 пикселя, fps примерно 260.  Так что  рисовать сетки процедурно резонно только на начальном этапе разработки, потом лучше отрендерить ее заранее и использовать как текстуру. (В годо механизм рисования на нодах немного сложнее, чем просто рисовать каждый кадр, но при тесте я делал это именно так, намеренно) Сетки шестиугольников конечно здорово, но иногда хочется чего то большего. Например больше шестиугольников, поэтому сделаем большой шестиугольник из маленьких. Такая сетка может пригодиться, если мы, например, делаем шестиугольные шахматы. Рисование этой сетки лишь немного сложнее рисования обычной, но алгоритмического удовольствия она доставит не меньше :) Результат будет примерно таков: Для начала нам конечно же нужны размеры сеток. Т.к. мы рисуем сетку в виде правильного шестиугольника, ее размер можно задать одним значением. В коде я использую тип Vector2 только для совмещения этой переменной с прямоугольной сеткой, при рисовании будет использоваться только X координата.  Тогда для задания размеров вспомогательной сетки нужно найти диагональ большого шестиугольника. Для этого вспомним, что бОльшая диагональ шестиугольника в два раза больше его стороны. В нашем случае шестиугольник состоит из маленьких таких же. В таком случае центр будет учитываться два раза, поэтому вычтем единицу: Размеры вспомогательной сетки задаются аналогично тому, что мы делали ранее. Для горизонтальной ориентации ширина будет в два раза больше диагонали, а высота в три раза и еще на единицу больше: Для вертикальных значения меняются местами: Шестиугольную сетку можно точно также разбить на две части, на паттерн вершин и вертикальные линии: Начнем с рисования вершин. Рисовать каждый слой по-отдельности не имеет смысла, ведь фигура симметрична. Мы можем разделить всю вспомогательную сетку на четыре части и, нарисовав одну четверть, отобразить ее зеркально на все остальные.  Сетка кстати всегда будет делиться ровно, и вот почему: по горизонтали понятно, ведь в формуле ширины мы удваиваем диагональ шестиугольной карты. А эта самая диагональ будет всегда нечетна, потому что мы от четного числа отнимаем единицу (hex_map_size.x*2-1). В формуле высоты вспомогательной сетки мы умножаем эту диагональ на 3, и результат получится тоже нечетным, а после прибавления единицы все выражение становится четным. Таким образом, ширина и высота вспомогательной сетки всегда четны, и как следствие, ее можно всегда разделить на четыре одинаковые части: Тогда мы можем пробегать в циклах только до половин размеров вспомогательной сетки, а для рисования в других частях будем просто отражать точки рисования.  При такой форме сетки рисование вершин начинается не с самой левой колонки и паттерн всегда четный. При увеличении размера сетки на единицу, первый шестиугольник в самом верхнем ряду сдвигается на одну ячейку вспомогательной сетки, т.к. мы увеличиваем в том числе и размер левой грани, в которой под каждым шестиугольником следующий находится не только ниже, но и левее на половину шестиугольника, т.е. на одну ячейку.  Тогда каждый следующий паттерн начинает рисоваться на ячейку ближе к левому краю, а самый первый ряд имеет смещение на единицу меньшее, чем размер шестиугольной карты, т.к. первый шестиугольник в нем тоже является частью левой грани, так что под ним шестиугольников меньше на эту самую единицу, чем размер карты. Также вспомним, что каждый следующий паттерн рисуется со смещением в три ячейки от предыдущего, поэтому в цикле идем от нуля до половины высоты вспомогательной сетки с шагом в три, попутно вычисляя смещение для каждого ряда: Проходить по ширине будем также до середины вспомогательной сетки, начиная с высчитанного ранее смещения: Каждый паттерн при рисовании шестиугольной карты четный, а вот смещение чередует свою четность. Четность начального смещения напрямую зависит от четности размера карты - они противоположны (следует из того, что ниже первого шестиугольника таковых на один меньше размера карты).  Двигаясь вниз по рядам паттерна, индекс ряда меняет четность, как и смещение для этого ряда. Если помните, для выбора диагонали при рисовании прямоугольной сетки мы сравнивали четность ряда и колонки. Тут же меняются обе четности, и при разных размерах карты они будут то совпадать при начальных значениях, то нет.  Приведу пример. Мы рисуем нижнюю диагональ, если индексы ряда и колонки совпадают, иначе верхнюю. Поставим размер карты 5. Тогда начальное смещение будет четным, как и индекс первого ряда (i=0). Исходя из условия, рисуем нижнюю диагональ, как и должно быть. Однако поставив четный размер, скажем, 4, начальное смещение будет нечетным, а вот индекс первого ряда по прежнему четным. Тогда, взглянув на условие, компьютер выберет верхнюю диагональ, а ведь нам все еще для начала нужна нижняя. Вот как это будет выглядеть: Тут на самом деле всего лишь надо поменять четность паттерна, тогда все встанет на свои места. Получается, выбор условия рисования нижней диагонали зависит от четности самого размера карты.  Тут можно заметить, что разница четностей столбца и ряда в каждой первой диагонали ряда паттерна обратна четности размера карты. А при рисовании паттерна диагонали просто чередуются, как и чередуется четность столбца, и как следствие чередуется равенство разностей четностей ряда и столбца и четности размера карты. Поэтому для выбора диагонали используем равенство abs(i%2 - j%2) != parity, где parity - это остаток от деления размера карты на два. Если это условие верно, рисуем нижнюю диагональ, иначе верхнюю. Получим то что нужно, осталось отразить по красным линиям:  Для отражения точек рисования отнимаем от края вспомогательной сетки индекс точки, ничего сложного. А вот в коде это выглядит громоздко. Взгляните сами: Но ничего страшного, главное, что работает, и работает безошибочно. Теперь получаем правильный паттерн для сеток с четными и нечетным размерами: Если вы что-то поняли во всей этой мешанине четностей, то либо вы гений, либо у меня получилось что-то объяснить. Однако дальше не легче, но радует то, что мы почти нарисовали сетку. Осталось дополнить паттерн линиями. Тут я не стал ничего придумывать с отражениями, ведь отрезки рисуются в две ячейки и при отражении некоторые места будут рисоваться два раза, а обрабатывать кучу исключений отдельно не очень хочется. Самым простым решение мне показалось рисовать вертикальные линии также, как мы это делали с прямоугольной сеткой, только отбрасывать ненужные. Напомню код рисования линий в простой прямоугольной сетке: Однако просто скопипастив его в нашу функцию, получим кривое рисование при четных размерах карты, ведь при них первый ряд должен иметь смещение в единицу, а при нечетных этого смещения быть не должно. Это вытекает из смещения первого шестиугольника в первом ряду, при четных значения оно нечетно поэтому и рисуем со смещением, и наоборот.  Для выбора смещения сравним четности размера карты и ряда, если они отличаются, то рисуем без смещения, иначе со смещением. Пихать сюда условие не имеет смысла, ведь мы можем выбрать смещение через отличие четности карты и четности столбца конструкцией abs(parity-i%2). Просто напомню - parity это остаток от деления размера карты на два. Проверьте сами, при четных столбцах и нечетных размерах карты получается единица - то самое смещение. Запишем это выражение в смещение в цикле: Цель почти достигнута, осталось избавиться от лишних линий по углам: Для этого при рисовании линий добавим некоторое условие, что мы хотим нарисовать линию в пределах каких-то границ. Для обозначения границ заметим, что с каждым рядом мы начинаем рисовать на ячейку ближе к левой границе, поэтому границу можно задать как смещение первого ряда минус индекс ряда: Однако в нижней половине шестиугольника смещение начинает идти обратно, а индекс ряда только возрастает. Поэтому будем смотреть, в какой половине мы находимся, и выбирать нужную формулу для расчета левой границы. Для нижней части карты используем положение ряда относительно центра карты, просто отняв от его индекса половину ее размера: Это мы задали левые границы. Для правых просто отразим левые в силу четности размеров вспомогательной сетки: Вот и все - сетка готова. Осталось только добавить смещение для расположения сетки в начало координат, offset = grid_basis.x+grid_basis.y*2. Однако тут опять играет роль четность размера карты, так что когда она четна прибавляем к смещению горизонтальный базис ячейки.  После всего этого мы наконец может расслабиться и посмотреть на точнейшим образом нарисованные сетки: Пример:  Пример:  Тут на самом деле все просто, можете расслабиться. После этой жести с четностями ничего хуже уже не будет. Для рисования шестиугольников вспомним функции для получения вершин, которые я приводил выше и просто соединим массив вершин шестиугольника линиями:  И рисуем множество линий между точками, не забыв замкнуть цепь: Замечу, что здесь важен порядок следования вершин в возвращаемом функцией списке. В моем случае они идут по часовой стрелке, начиная с правой и с правой верхней для вертикальных и горизонтальных шестиугольников соответственно.  Для заливки шестиугольника, по аналогии с прямоугольником, рисуем полигон: Выглядит все это как то так: Что может быть лучше сетки шестиугольников? Правильно, сетка шестиугольников в изометрии. Вы могли заметить, что ни в одной функции я не использовал числа - везде я работал с векторами. А это значит, что поменяв базис, автоматически поменяются функции - так и должно работать программирование. Помните, в части про преобразование координат я все вычисления автоматизировал? Так вот, наконец то нам это пригодится. Как вы уже наверняка поняли, шестиугольная сетка это лишь обертка над обычной прямоугольной, ведь все функции рано или поздно сходятся к работе с базисами вспомогательной сетки. Поэтому для создания изометрии не будем придумывать велосипед, просто зададим ее переменной, отвечающей за искажение отношений горизонтальных размеров к вертикальным: Тогда для изменения вида делим y-координату каждого базиса вспомогательной сетки на это искажение: И все, даже не нужно менять базисы шестиугольной сетки, ведь мы их задавали через базисы вспомогательной. Вот пример: На самом деле, благодаря векторным преобразованиям мы можем делать с базисами вспомогательной сетки все что угодно, и все функции все равно будут работать. Поэтому давайте сделаем сетку не просто в изометрии, а еще и повернем ее на 45°, также, как мы это делали в статье про прямоугольные сетки: Напомню, что базисы шестиугольной сетки мы не трогаем, ведь они все так же заданы через базисы вспомогательной. Выглядит вся эта магия как то так: Красиво, конечно, но игру на этом не сделать. Нужно также уметь что-то на этих сетках делать. С преобразованиями тоже мудрить ничего не стоит, ведь, напомню, шестиугольная сетка - это только обертка над обычной, поэтому все функции будут работать в штатном режиме. Единственное, что наверно стоит рассмотреть, это получение ячейки вспомогательной сетки, левый верхний угол которой находится в центре шестиугольника. Для этого вспомним, как мы направляли базисы для различных ориентаций шестиугольников. Вот картинка из почти самого начала моего рассказа: Посмотрев на нее, все сразу становится ясно. В случае горизонтальной ориентации при каждом перемещении по x на шестиугольной сетке мы двигаемся на две ячейки вспомогательной, а при движении по y мы движемся на одну ячейку вправо и на три вниз. Для вертикальных применима эта же логика. По этим формулам написать функции можно проще простого: В изометрии ближние объекты должны рисоваться раньше дальних, и, если помните, в прямоугольных изометрических сетках мы использовали сумму координат. Здесь делаем тоже самое, только находим сумму координат центральной ячейки в шестиугольнике, получаемую по алгоритму выше. Часто бывает нужно найти расстояние между двумя шестиугольниками. Для этого заметим, что при перемещении в любой из соседних шестиугольников меняются сразу две координаты из трех, причем на единицу. Тогда сумма модулей всех трех координат либо меняется на два, либо не изменятся вовсе. В таком случае сеточное расстояние от начала координат можно найти как половину суммы модулей трех координат шестиугольника, а для нахождения расстояния между двумя шестиугольниками можно просто найти смещение одного относительно другого через разность. Это, опять таки, взято из англоязычной статьи.  Получается вот такая небольшая функция: Для поворота объекта в сторону ячейки на прямоугольных картах мы, если помните, находили направляющую ячейку. Здесь будем делать то же самое. Это один из немногих алгоритмов, где нам понадобится третья координата. Для нахождения направляющей разделим сетку по трем осям и заметим, что в каждой части получившейся сетки одна из трех координат максимальна по модулю: Теперь все, что нам нужно, это выбрать нужную часть и, сравнив модули не наибольших координат, выдать одно из осевых направлений, представленное в виде направляющей ячейки. Прямо на осях одна из координат всегда равна нулю, поэтому просто перехватим их как особые случаи, хотя это и не обязательно. Для указания вдоль оси будем использовать знак разности конечного и начального шестиугольников.  Также заметим, что на диагональных ячейках модули не наибольших координат равны, поэтому мы можем смещаться в любую из двух осей. Я выбрал смещение в сторону оси по часовой стрелке, в коде это выражается строгостью знака сравнения. Для смещения против часовой стоит допустить равенство. Так выглядит этот алгоритм в коде: Принцип работы этого алгоритма тот же, что и в статье про прямоугольные сетки. Мы смотрим на разницы координат и по ним определяем направляющую. Как мы видим, все работает: На всякий случай скажу, что этот алгоритм не зависит от ориентации шестиугольников, ведь работа идет с их координатами, а координаты внутри сетки никак не зависят от ее ориентации в пространстве (поверните голову на 90° и вертикальные шестиугольники станут горизонтальными) Основной алгоритм поиска пути тот же, что и у обычной прямоугольной сетки, отличаются только соседи и проверки на нахождение точки внутри карты. Главный алгоритм - A*, его не трогаем совсем.  Соседи у шестиугольника выглядят как то так: Можно заметить, что они также не зависят от ориентации шестиугольников, поэтому в будущем будем пользоваться одной функцией для обоих случаев. Также у разных видов карты отличаются проверки на принадлежность шестиугольниа им. Алгоритмы для разных ориентаций шестиугольников немного отличаются, но в целом они похожи, поэтому пояснять я буду только на примере горизонтальных, а для вертикальных оставлю уже готовые функции. Начнем с прямоугольной карты. Для наглядности напомню как она выглядит: Синим обозначены границы карты. Оси в такой сетке идут не параллельно сторонам прямоугольника, поэтому просто ограничить их нулем и границей карты не выйдет. Так сработает только для Y оси сетки, а горизонтальные границы зависят от смещения по Y. Перемещаясь вдоль оси Y, расстояние до левой границы в ячейках вспомогательной сетки увеличивается на единицу, значит на половину шестиугольника. Аналогично с правой границей, только до нее расстояние уменьшается. При округлении левой границы используем floor, т.к. когда граница проходит ровно между шестиугольниками, мы выбираем тот, что внутри. По аналогии используем ceil для правой границы: Для вертикальной ориентации логика точно такая же. Вот функция для нее: Теперь про шестиугольную карту. Ее вид: Для простоты вычислений будем считать границы от центра карты. Просто потыкав и посмотрев на координаты я пришел к следующим формулам центров: Так как карта симметрична во все стороны, нам достаточно просто расстояния от центра для того, чтобы сказать, внутри точка или нет. Подобно кругу в привычной математике: если расстояние от центра круга меньше радиуса, значит точка внутри. Так что функция получается длиной буквально в три строки: Для проверки поставим условие, что для рисования шестиугольника под курсором он должен быть внутри сетки: Отлично, теперь можно спокойно реализовывать алгоритм поиска пути: Данный код я взял напрямую из своей реализации, так что некоторые моменты не освещены, за ненадобностью. Поглазеть на полный код сможете кликнув по ссылке в конце статьи. Так это выглядит:  Вот с растеризацией у шестиугольной сетки большие проблемы. Можно, конечно, придумать что нибудь с алгоритмом Брезенхема для растеризации отрезков, однако я не думаю что вам нужно растеризовывать по 1000 отрезков за кадр, поэтому на оптимизацию позволим себе немного подзабить и воспользуемся линейной интерполяцией, которую, кстати, и предлагает автор популярной англоязычной статьи. В данном случае она легко реализуема, т.к. расстояние между шестиугольниками - целое число. Здесь я оставлю только реализацию: Вот так это выглядит:  Вот и подошел столь запутанный рассказ к концу. Я постарался объяснить все максимально подробно и вставлял как можно больше картинок, надеюсь не зря. Никакую маленькую игру я делать не стал, ибо тут и так хаватает над чем подумать, поэтому просто оставлю код получившегося класса на  >500 строк. Я подразумеваю его использование через автозагрузку, как собственно я и делал во время работы над ним, однако его лучше не использовать в реальном проекте, ибо там все запихано в кучу, да и еще все время висит как синглтон, хотя сетка нужна далеко не всегда. Я надеюсь эта статья позволит вам полностью реализовать давние мечты по созданию "убийцы героев" или что она позволила просто интересно провести вечер. До скорого!  Разработчик-любитель