Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования (движения) плоскости. 
 Названа в честь Мишеля Шаля.
Также теоремой Шаля называют некоторые  другие утверждения в физике.
 Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию, а также тождественное отображение), либо параллельный перенос. 
 Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.
 Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является скользящим поворотом. 
 Всякое меняющее ориентацию движение пространства является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.
 Основные идеи доказательства:
 Любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
 и их образов 
  
    
      
        
          A
          ′
        
        ,
        
          B
          ′
        
        ,
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A',B',C'}
  
 существует единственное движение 
  
    
      
        f
        :
        A
        ↦
        
          A
          ′
        
        ,
        B
        ↦
        
          B
          ′
        
        ,
        C
        ↦
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'}
  

 Возьмем любую точку
  
    
      
        D
        ≠
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle D\neq A,B,C}
  
 и ее образ 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  
. 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 — движение, а значит 
  
    
      
        A
        D
        =
        
          A
          ′
        
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle AD=A'D'}
  
; из чего следует, что 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  
 лежит на окружности с центром в 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
 и радиусом 
  
    
      
        A
        D
      
    
    {\displaystyle AD}
  
.
 Аналогичное рассуждение для точек 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 и 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 показывает, что 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  
 также лежит на окружности с центром в 
  
    
      
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'}
  
 и радиусом 
  
    
      
        B
        D
      
    
    {\displaystyle BD}
  
 и на окружности с центром в 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
 и радиусом 
  
    
      
        C
        D
      
    
    {\displaystyle CD}
  
.
 Так как три окружности,центры которых не лежат на одной прямой, могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ 
  
    
      
        
          D
          ′
        
      
    
    {\displaystyle D'}
  
 для любой точки 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
. Это утверждение равносильно единственности движения.
 Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий. Другими словами, любое движение 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 представимо или как 
  
    
      
        
          S
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l}}
  
 или как 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}}
  
 или как 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}}
  
.
 Возьмем произвольное движение 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 и точки 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
 с их образами 
  
    
      
        
          A
          ′
        
        ,
        
          B
          ′
        
        ,
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A',B',C'}
  
. Если мы докажем, что для 
  
    
      
        A
        ,
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle A,B,C}
  
 существует композиция симметрий 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 эквивалентная 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
, то по лемме о трёх гвоздях 
  
    
      
        f
        =
        g
      
    
    {\displaystyle f=g}
  
 в общем случае.
 Заметим что
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                i
              
            
          
        
        ∘
        ⋯
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        f
        =
        I
        d
        ⇔
        f
        =
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        ⋯
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i}}}
  
, так как 
  
    
      
        
          S
          
            l
          
          
            −
            1
          
        
        
          
            =
            
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
        
          S
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l}}
  
 и 
  
    
      
        (
        f
        ∘
        g
        
          )
          
            −
            1
          
        
        
          
            =
            
              
              
                d
                e
                f
              
            
          
        
        
          g
          
            −
            1
          
        
        ∘
        
          f
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}}
  

 Найдем представление 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 в виде композиции осевых симметрий:
 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
, 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{1}}}
  
 — движения, а значит 
  
    
      
        A
        B
        
          
            =
            
              
              
                f
              
            
          
        
        
          A
          ′
        
        
          B
          ′
        
         
        
          и
        
         
        A
        B
        
          
            =
            
              
              
                
                  S
                  
                    
                      l
                      
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          A
          ′
        
        
          B
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{и}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}}
  
. Следовательно, 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
 лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
  
    
      
        
          B
          ′
        
        
          B
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'B'_{1}}
  
 (по свойству серединного перпендикуляра), то есть на прямой 
  
    
      
        
          l
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{2}}
  
.   Отсюда следует, что при преобразовании 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{2}}}
  
—
  
    
      
        
          A
          ′
        
        ↦
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'\mapsto A'}
  
.  Если 
  
    
      
        
          C
          ′
        
        ↦
        C
      
    
    {\displaystyle C'\mapsto C}
  
, то аналогично 
  
    
      
        C
        B
        
          =
          
            f
          
        
        
          C
          ′
        
        
          B
          ′
        
        
          =
          
            
              S
              
                
                  l
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
        C
        
          B
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}}
  
, то есть при 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{2}}}
  

  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 перейдет в 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
. Иначе 
  
    
      
        C
        ↦
        
          C
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C\mapsto C'_{1}}
  
, значит 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'_{1}}
  
 снова перейдет или в некоторую 
  
    
      
        
          C
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'_{2}}
  
 или в 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
.   Итого, если или 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
          ′
        
        ↦
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'_{1}\mapsto C'}
  
 при 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{2}}}
  
; или 
  
    
      
        C
        ↦
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C\mapsto C'}
  
 при 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{1}}}
  
, то 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        f
        =
        I
        d
      
    
    {\displaystyle S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id}
  
. Это значит, что 
  
    
      
        f
        =
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}}
  
.
 Очевидно, что 
  
    
      
        
          l
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{3}}
  
 — серединный перпендикуляр к отрезку 
  
    
      
        
          C
          ′
        
        
          C
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'C'_{2}}
  
.

  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
, 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{1}}}
  
, 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{2}}}
  
 — движения, а значит 
  
    
      
        A
        C
        
          
            =
            
              
              
                f
              
            
          
        
        
          A
          ′
        
        
          C
          ′
        
        
          
            =
            
              
              
                
                  S
                  
                    
                      l
                      
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          A
          ′
        
        
          C
          
            1
          
          ′
        
        
          
            =
            
              
              
                
                  S
                  
                    
                      l
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          A
          ′
        
        
          C
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}}
  
. Следовательно, 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
 принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку 
  
    
      
        
          C
          ′
        
        
          C
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'C'_{2}}
  
, то есть 
  
    
      
        
          l
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{3}}
  
. Это значит, что 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{3}}}
  
 переводит 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
 в 
  
    
      
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A'}
  
.
Если 
  
    
      
        B
        ↦
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B\mapsto B'}
  
, то аналогично 
  
    
      
        
          B
          ′
        
        ∈
        
          l
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle B'\in l_{3}}
  
. Иначе, 
  
    
      
        B
        ↦
        
          B
          
            1
          
          ′
        
        ↦
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B\mapsto B'_{1}\mapsto B'}
  
, следовательно 
  
    
      
        B
        C
        
          
            =
            
              
              
                f
              
            
          
        
        
          B
          ′
        
        
          C
          ′
        
        
          
            =
            
              
              
                
                  S
                  
                    
                      l
                      
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          B
          
            1
          
          ′
        
        
          C
          
            1
          
          ′
        
        
          
            =
            
              
              
                
                  S
                  
                    
                      l
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        
          B
          ′
        
        
          C
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}}{=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}}
  
 и 
  
    
      
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'}
  
 тоже лежит на 
  
    
      
        
          l
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle l_{3}}
  
.Это значит, что 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{l_{3}}}
  
 переводит 
  
    
      
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'}
  
 в 
  
    
      
        
          B
          ′
        
      
    
    {\displaystyle B'}
  
.    Следовательно, 
  
    
      
        
          S
          
            
              l
              
                3
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        f
        =
        I
        d
      
    
    {\displaystyle S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id}
  
, а значит, 
  
    
      
        f
        =
        
          S
          
            
              l
              
                1
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                2
              
            
          
        
        ∘
        
          S
          
            
              l
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}}
  
.
 Теперь каждое данное движение 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 представим в виде композиции не более трёх симметрий по лемме о трёх симметриях.
 Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение: