Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.
 Пусть 
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
  
 — функция класса 
  
    
      
        
          C
          
            r
            +
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{r+2}}
  
, где 
  
    
      
        r
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle r\geq 1}
  
, имеющая точку 
  
    
      
        0
        ∈
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}
  
 своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
  
 обращается в нуль, а гессиан 
  
    
      
        
          
            |
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}
  
 отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 точки 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 существует такая система 
  
    
      
        
          C
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{r}}
  
-гладких локальных координат (карта) 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
  
 с началом в точке 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
, что для всех 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
 имеет место равенство
 При этом число 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 в точке 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
, называется индексом критической точки 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.
 В окрестности критической точки 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 конечной кратности 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  
 существует система координат, в которой гладкая функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 имеет вид многочлена 
  
    
      
        
          P
          
            μ
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{\mu +1}(x)}
  
 степени 
  
    
      
        μ
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \mu +1}
  
 (в качестве 
  
    
      
        
          P
          
            μ
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{\mu +1}(x)}
  
 можно взять многочлен Тейлора функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в точке 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность 
  
    
      
        μ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu =1}
  
, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса.
 Пусть 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          y
          
            m
          
        
        )
        :
        
          
            R
          
          
            n
            +
            m
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }
  
 — гладкая функция, имеющая начало координат 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 своей критической точкой, невырожденной по переменным 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
  
. Тогда в окрестности точки 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 существуют гладкие координаты, в которых
 где 
  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}}
  
 — некоторая гладкая функция.
Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от 
  
    
      
        n
        +
        m
      
    
    {\displaystyle n+m}
  
 переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции).
 Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара  или другим способом.
 Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма.
Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера.