Структурная теорема для конечнопорождённых модулей над областями главных идеалов является обобщением теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп. Эта теорема предоставляет общий способ понимания некоторых результатов о канонических формах матриц.
 Если векторное пространство над полем k имеет конечное порождающее множество, из него всегда можно выбрать базис, так что векторное пространство будет изоморфно kn. Для конечнопорождённых модулей это уже неверно (контрпример — 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
  
, который порождается одним элементом как Z-модуль), однако такой модуль можно представить как фактормодуль вида Rn/A (чтобы увидеть это, достаточно отобразить базис Rn в порождающее множество и воспользоваться теоремой о гомоморфизме). Изменяя выбор базиса в Rn и порождающего множества в модуле, можно привести этот фактор к простому виду, и это даёт структурную теорему.
 Формулировка структурной теоремы обычно приводится в двух различных видах.
 Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида
 где 
  
    
      
        (
        
          d
          
            i
          
        
        )
        ≠
        R
      
    
    {\displaystyle (d_{i})\neq R}
  
 и 
  
    
      
        
          d
          
            i
          
        
        |
        
          d
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{i}\vert d_{i+1}}
  
 (то есть 
  
    
      
        
          d
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{i+1}}
  
 делится на 
  
    
      
        
          d
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{i}}
  
). Порядок ненулевых 
  
    
      
        (
        
          d
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (d_{i})}
  
 определён однозначно, как и число 
  
    
      
        (
        
          d
          
            i
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (d_{i})=0}
  
.
 Таким образом, для указания конечнопорождённого модуля M достаточно указать ненулевые 
  
    
      
        (
        
          d
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (d_{i})}
  
 (удовлетворяющие двум условиям) и число равных нулю 
  
    
      
        (
        
          d
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (d_{i})}
  
. Элементы 
  
    
      
        
          d
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{i}}
  
 определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца и называются инвариантными факторами.
 Каждый конечнопорождённый модуль M над областью главных идеалов R изоморфен единственному модулю вида
 где 
  
    
      
        (
        
          q
          
            i
          
        
        )
        ≠
        R
      
    
    {\displaystyle (q_{i})\neq R}
  
 и все 
  
    
      
        (
        
          q
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q_{i})}
  
 — примарные идеалы. При этом сами 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
  
 определены однозначно (с точностью до умножения на обратимые элементы).
 В случае, когда кольцо R является евклидовым, все примарные идеалы — это степени простых, то есть 
  
    
      
        (
        
          q
          
            i
          
        
        )
        =
        (
        
          p
          
            i
          
          
            
              r
              
                i
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})}
  
.
 Многие области главных идеалов являются также евклидовыми кольцами. К тому же, доказательство для евклидовых колец несколько проще; здесь приводятся его основные шаги.
 Лемма. Пусть A — евклидово кольцо, M — свободный A-модуль, а N — его подмодуль. Тогда N также свободен, его ранг не превосходит ранга M, причём существует такой базис {e1, e2, … em} модуля M и такие ненулевые элементы {u1, … uk} кольца A, что {u1e1, … ukek} — базис N и ui+1 делится на ui.
 Окончание доказательства. Рассмотрим конечнопорождённый модуль T с системой порождающих {e1, … em}. Существует гомоморфизм из свободного модуля 
  
    
      
        
          A
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{m}}
  
 в этот модуль, отображающий базис 
  
    
      
        
          A
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{m}}
  
 в систему порождающих. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получим, что T изоморфен фактору 
  
    
      
        
          A
          
            m
          
        
        
          /
        
        
          ker
        
        f
      
    
    {\displaystyle A^{m}/{\text{ker}}f}
  
. Приведём базисы 
  
    
      
        
          A
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{m}}
  
 и 
  
    
      
        
          ker
        
        f
      
    
    {\displaystyle {\text{ker}}f}
  
 к виду базисов в лемме. Легко видеть, что
 Каждое конечное слагаемое здесь можно разложить в произведение примарных, так как кольцо A факториально (см. статью Китайская теорема об остатках). Чтобы доказать единственность этого разложения, нужно рассмотреть подмодуль кручения (тогда размерность свободной части описывается в инвариантных терминах как размерность фактора по кручению), а также подмодуль p-кручения для каждого простого элемента p кольца A. Число слагаемых вида 
  
    
      
        A
        
          /
        
        (
        
          p
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle A/(p^{n})}
  
 (для всех n) инвариантно описывается как размерность подмодуля элементов, аннулируемых умножением на p, как векторного пространства над полем 
  
    
      
        A
        
          /
        
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle A/(p)}
  
.
 Случай 
  
    
      
        R
        =
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle R=\mathbb {Z} }
  
 даёт классификацию конечнопорождённых абелевых групп.
 Пусть T — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем K. V можно рассматривать как модуль над 
  
    
      
        K
        [
        T
        ]
      
    
    {\displaystyle K[T]}
  
 (действительно, его элементы можно умножать на скаляры и на T), из конечномерности следует конечнопорождённость и отсутствие свободной части. Последний инвариантный фактор — минимальный многочлен, а произведение всех инвариантных факторов — характеристический многочлен. Выбрав стандартную форму матрицы оператора T, действующего на пространстве 
  
    
      
        K
        [
        T
        ]
        
          /
        
        p
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle K[T]/p(T)}
  
, получаем следующие формы матрицы T на пространстве V: