Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий, их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости) определяются аксиомами геометрии.
 Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках».
 Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов.
 Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.
 Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:
 где 
  
    
      
        A
        ,
        B
      
    
    {\displaystyle A,B}
  
 и 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 — произвольные постоянные, причём постоянные 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 и 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 не равны нулю одновременно.
 При 
  
    
      
        A
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A=0}
  
 прямая параллельна оси 
  
    
      
        O
        x
      
    
    {\displaystyle Ox}
  
, при 
  
    
      
        B
        =
        0
      
    
    {\displaystyle B=0}
  
 — параллельна оси 
  
    
      
        O
        y
      
    
    {\displaystyle Oy}
  
.
 Вектор с координатами 
  
    
      
        (
        A
        ,
        B
        )
      
    
    {\displaystyle (A,B)}
  
 называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.
 При 
  
    
      
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle C=0}
  
 прямая проходит через начало координат.
 Также уравнение можно переписать в виде
 Уравнение прямой линии, пересекающей ось 
  
    
      
        O
        y
      
    
    {\displaystyle Oy}
  
 в точке 
  
    
      
        (
        0
        ,
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\;b)}
  
 и образующей угол 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
 с положительным направлением оси 
  
    
      
        O
        x
      
    
    {\displaystyle Ox}
  
:
 Коэффициент 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 называется угловым коэффициентом прямой.
 В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси 
  
    
      
        O
        y
        .
      
    
    {\displaystyle Oy.}
  
 (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)
 Уравнение прямой линии, пересекающей ось 
  
    
      
        O
        x
      
    
    {\displaystyle Ox}
  
 в точке 
  
    
      
        (
        a
        ,
        
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\;0)}
  
 и ось 
  
    
      
        O
        y
      
    
    {\displaystyle Oy}
  
 в точке 
  
    
      
        (
        0
        ,
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\;b)}
  
:
 В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
 где 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси 
  
    
      
        O
        x
      
    
    {\displaystyle Ox}
  
 и направлением этого перпендикуляра. Если 
  
    
      
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p=0}
  
, то прямая проходит через начало координат, а угол 
  
    
      
        θ
        =
        φ
        +
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}
  
 задаёт угол наклона прямой.
 Пусть дана прямая 
  
    
      
        L
        .
      
    
    {\displaystyle L.}
  
 Тогда 
  
    
      
        O
        P
        ⊥
        L
      
    
    {\displaystyle OP\perp L}
  
 и 
  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              O
              P
            
            →
          
        
        
          |
        
        =
        p
        .
      
    
    {\displaystyle |{\overrightarrow {OP}}|=p.}
  
 Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт 
  
    
      
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        ,
        
          |
        
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        
          |
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}},|{\overrightarrow {e_{p}}}|=1.}
  
 Допустим, что угол между  
  
    
      
        
          |
        
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |{\overrightarrow {e_{p}}}|}
  
 и осью 
  
    
      
        O
        x
      
    
    {\displaystyle Ox}
  
 равен 
  
    
      
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle \theta .}
  
 Так как 
  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}
  
 то можно записать: 
  
    
      
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        =
        (
        cos
        ⁡
        θ
        ;
        sin
        ⁡
        θ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}=(\cos \theta ;\sin \theta ).}
  
  Теперь рассмотрим произвольную точку 
  
    
      
        M
        (
        x
        ,
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle M(x,y).}
  
 Проведём радиус-вектор 
  
    
      
        
          
            
              O
              M
            
            →
          
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=(x,y).}
  
 Теперь найдём проекцию 
  
    
      
        
          
            
              O
              M
            
            →
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}
  
 на вектор 
  
    
      
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\overrightarrow {e_{p}}}.}
  
 
  
    
      
        (
        
          
            
              e
              
                p
              
            
            →
          
        
        ,
        
          
            
              O
              M
            
            →
          
        
        )
        =
        x
        cos
        ⁡
        θ
        +
        y
        sin
        ⁡
        θ
        =
        p
        .
      
    
    {\displaystyle ({\overrightarrow {e_{p}}},{\overrightarrow {OM}})=x\cos \theta +y\sin \theta =p.}
  
 Следовательно,  
  
    
      
        x
        cos
        ⁡
        θ
        +
        y
        sin
        ⁡
        θ
        −
        p
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0.}
  
 Это и есть нормальное уравнение прямой.
■
 Если прямая задана общим уравнением 
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C=0,}
  
 то отрезки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        b
        ,
      
    
    {\displaystyle b,}
  
 отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент 
  
    
      
        k
        ,
      
    
    {\displaystyle k,}
  
 расстояние прямой от начала координат 
  
    
      
        p
        ,
      
    
    {\displaystyle p,}
  
 
  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \cos \theta }
  
 и 
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
 выражаются через коэффициенты 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 и 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 следующим образом:
 Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие 
  
    
      
        p
        >
        0.
      
    
    {\displaystyle p>0.}
  
 В этом случае 
  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \cos \theta }
  
 и 
  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \sin \theta }
  
 являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если 
  
    
      
        C
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle C=0,}
  
 то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.
 Если заданы две несовпадающие точки с координатами 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}
  
 и 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}
  
, то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением
 или
 или в общем виде
 Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором 
  
    
      
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}_{0},}
  
 конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой 
  
    
      
        
          
            
              u
              →
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {u}}.}
  
 Параметр 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 пробегает все действительные значения.
 Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
 где 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 — произвольный параметр, 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        ,
        
        
          a
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{x},\;a_{y}}
  
 — координаты 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 и 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 направляющего вектора прямой. При этом
 Смысл параметра 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
 Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
 где 
  
    
      
        
          a
          
            x
          
        
        ,
        
          a
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{x},a_{y}}
  
 — координаты 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 и 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 направляющего вектора прямой, 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 и 
  
    
      
        
          y
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{0}}
  
 координаты точки, принадлежащей прямой.
 Уравнение прямой в полярных координатах 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 и 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
:
 или
 Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:
 Числа 
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  
 и 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
 называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.
 Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
 где 
  
    
      
        
          
            
              
                r
                →
              
            
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}_{0}}
  
 — радиус-вектор некоторой фиксированной точки 
  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle M_{0},}
  
 лежащей на прямой, 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
 — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  
 — радиус-вектор произвольной точки прямой.
 Параметрические уравнения прямой в пространстве:
 где 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
        
          z
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}
  
 — координаты
некоторой фиксированной точки 
  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle M_{0},}
  
 лежащей на прямой; 
  
    
      
        (
        α
        ,
        
        β
        ,
        
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}
  
 — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
 Каноническое уравнение прямой в пространстве:
 где 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
        
          y
          
            0
          
        
        ,
        
        
          z
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}
  
 — координаты
некоторой фиксированной точки 
  
    
      
        
          M
          
            0
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle M_{0},}
  
 лежащей на прямой; 
  
    
      
        (
        α
        ,
        
        β
        ,
        
        γ
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}
  
 — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
 Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:
 то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
 Векторное уравнение прямой в пространстве:196-199:
 где фиксированный вектор 
  
    
      
        
          
            
              M
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {M}}}
  
, ортогональный вектору 
  
    
      
        
          
            
              a
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {a}}}
  
, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.
 Три точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}
  
, 
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}
  
 и 
  
    
      
        (
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        
        
          y
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{3},\;y_{3})}
  
 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие
 Отклонение точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}
  
 от прямой 
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C=0}
  
 может быть найдено по формуле
 где знак перед радикалом противоположен знаку 
  
    
      
        C
        .
      
    
    {\displaystyle C.}
  
 Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.
 В пространстве расстояние от точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
        
          z
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})}
  
 до прямой, заданной параметрическим уравнением
 можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 этой точки может быть найден по формуле
 Две прямые, заданные уравнениями
 или
 пересекаются в точке
 Угол 
  
    
      
        
          γ
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{12}}
  
 между пересекающимися прямыми определяется формулой
 При этом под 
  
    
      
        
          γ
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma _{12}}
  
 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          B
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
, 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}}
  
 и 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1}}
  
) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
 Эти прямые параллельны, если 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        −
        
          A
          
            2
          
        
        
          B
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}
  
 или 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}=k_{2}}
  
, и перпендикулярны, если 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        
          A
          
            2
          
        
        +
        
          B
          
            1
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}
  
 или 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              k
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}
  
.
 Любую прямую, параллельную прямой с уравнением 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        x
        +
        
          B
          
            1
          
        
        y
        +
        
          C
          
            1
          
        
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}
  
 можно выразить уравнением 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        x
        +
        
          B
          
            1
          
        
        y
        +
        C
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.}
  
 При этом расстояние между этими прямыми будет равно
 Если же уравнение прямой задано как 
  
    
      
        
          y
          
            1
          
        
        =
        k
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}
  
, а уравнение прямой параллельной ей 
  
    
      
        y
        =
        k
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle y=kx+b}
  
, то расстояние можно вычислить, как
 Если знак перед радикалом противоположен 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle C_{1},}
  
 то 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
 будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.
 Для того, чтобы три прямые
 пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
 Если 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        =
        −
        
          B
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{2}=-B_{1}}
  
 и 
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        =
        
          A
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2}=A_{1}}
  
, то прямые 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        x
        +
        
          B
          
            1
          
        
        y
        +
        
          C
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}
  
 и 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        x
        +
        
          B
          
            2
          
        
        y
        +
        
          C
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}
  
 перпендикулярны.