Если вы посмотрите на клавиатуру, то увидите, что в каждой октаве содержится 12 полутонов.
В случае фортепиано это всего лишь значит, что между, например, "до" первой октавы и "до" второй октавы расположено 11 клавиш. Вместе с одним из "до" (например, до второй октавы) мы получим 12 клавиш: до#, ре, ре#, ми, фа, фа#, соль, соль#, ля, ля#, си, до.  Но почему 12?  Может быть это просто случайность? Вот нравилось нашим предкам число 12, у них везде 12: 12 месяцев, 12 знаков зодиака, 12 колен Израилевых, 12 апостолов,… и здесь решили, пусть будет 12, и так и повелось. Или все же здесь есть объективный закон, и это число не случайно? В этой статье я попытаюсь продемонстрировать, что это не случайность. Достаточно общие требования, вполне естественные для современной (западной) музыки, с математической необходимостью приводят нас к числу 12. Интересно, что причиной почему у нас появляется это значение является свойство другого числа (см. в конце статьи). Можно даже сказать, что оно то и лежит в основе современного звучания. Сначала давайте попробуем формализовать задачу. У нас есть опорная частота . Будем называть ее тоникой. У нас также есть октава с частотой . Теперь мы должны понять, какие могут быть варианты промежуточных частот от  до , такие, чтобы мелодия, построенная на этих нотах, звучала бы для нашего слуха гармонично? Боюсь, что эта формулировка, хотя и отражает суть вопроса, все же, с математической точки зрения, является довольно туманной, и на такой вопрос не может быть однозначного ответа, хотя бы потому, что человеческий слух имеет довольно ограниченную разрешающую способность по частоте. И это подтверждается тем, что в разное время использовались разные строи, например, пифагоров, чистый, хорошо темперированный, равномерно темперированный строи. И все они звучали и звучат, как минимум для определенных произведений, вполне приемлемо. Мы должны наложить некоторые дополнительные условия. Но прежде мы должны ответить на один важный вопрос: что мы воспринимаем как гармоничное звучание?  Давайте рассмотрим два звука — с частотами  и . Возьмем отношение этих частот. Это отношение можно представить в виде произведения чисел , где  — простые числа, а  — целые числа, например, это отношение может равняться . И чем эти простые числа () меньше, тем гармоничнее для нашего уха будет звучать этот интервал (я нашел это утверждение тут (см. второй абзац)) Так, например, самым гармоничным звучанием в соответствии с этим утверждением будет являться октава (изменение частоты в 2 раза). А следующими по гармоничности интервалами будут квинта (изменение частоты в  раза) и кварта (изменение частоты в  раза).  Но не так все просто с этим утверждением. Так, например, не очень понятно, как влияет степень. Например, что гармоничнее умножение на  или на 7? Я не знаю, изучен этот вопрос или нет, и можно ли в принципе дать на него ответ. Также восприятие гармоничности — вещь довольно субъективная. Так, современная музыка полна звучаний, которые 100 — 200 лет были бы восприняты не иначе как жуткая какофония.  Эта неопределенность не является проблемой для нашего маленького исследования. Дело в том, что единственный вывод, который я хочу сделать из этого утверждения заключается в том, что в нашем строе в любом случае должны быть как минимум "самые гармоничные" интервалы, а именно, октава, кварта и квинта. То есть наряду с тоникой с частотой  и октавой с частотой  у нас также должны быть квинта и кварта, с частотами соответственно ,  или что-то очень близкое, что мы не смогли бы отличить от чистой квинты и кварты. Замечание: на самом деле достаточно только тоники, квинты и октавы. Наличие квинты сразу дает нам и кварту, как дополнение до октавы, и в силу второго условия (инвариантность), которое описано ниже, мы также должны иметь кварту и от тоники. То есть необходимость наличия кварты есть следствие наличия квинты и требования инвариантности. И это наше первое требование. Вторым нашим требованием будет инвариантность. И это важное требование современной музыки. Заключается это требование в том, что все гармонии в любых тональностях должны звучать одинаково. Если мы говорим про современный строй, который применяется при настройке фортепиано, то это значит, что квинта, состоящая из семи полутонов, должна звучать одинаково, независимо от того, от какого звука она построена. То есть соотношение частот между до и соль должно быть таким же как и для до# — соль#, ре — ля, ре# — ля#,… и равняться . И эта инвариантность должна относиться, конечно, не только к квинте, но и к любым интервалам. Важным преимуществом этого строя является возможность транспонирования пьесы на любой интервал. В этом и заключается суть равномерной темперации. Нужно сказать, что это требование инвариантности не является таким очевидным, и данный подход был применен относительно недавно, лишь в 18 веке. Строи, применявшиеся до этого, (например, пифагоров и чистый) не обладали таким свойством. Вот послушайте, например, Sonata for Microtonal Piano (Ben Johnston), написанную в чистом строе (prime limit = 5). Такое ощущение, что фортепиано не настроено. Все богатство современных гармоний основано именно на этой инвариантности. Например, "Хорошо темперированный клавир" Баха появился именно благодаря новому подходу в настройке клавишных. Именно вот эта инвариантность дала возможность Баху создавать гармонические последовательности, которые просто были невозможны раньше. Итак, теперь мы имеем все необходимые для расчета данные. Давайте построим звукоряд от тоники до октавы, который бы удовлетворял обоим требованиям.
Предположим, что в этом случае мы получим  звуков (включая октаву). Это  и является искомым числом. Мы хотим показать, что  при наших условиях должно равняться 12.  Следствием второго требования является то, что интервал между частотами соседних звуков должен быть одинаковым и должен быть равен .  Теперь первое требование говорит о том, что в нашем ряду должны быть два звука, соответствующие (с хорошим приближением) частотам  и . Это квинта и кварта. Предположим, что кварта это -ый звук в нашем ряду, а квинта — -ой. Обозначим . Нетрудно видеть, что изменение частоты между квартой и квинтой (отношение частот) равно . Но, в соответствии с нашим вторым условием, это также должно быть равно . Итак, мы получили формулу:  После несложных преобразований получим основную формулу:  Легко увидеть, что решением (конечно, приблизительным) является , где  — любое натурально число (достаточно малое, потому что все же 0,170 отличается от 1/6). Давайте рассмотрим случай . В этом случае , . То есть, это вариант современного строя, только без полутонов, только с тонами (до, ре, ми, фа#, соль#, ля#, до). Но, как вы видите, в этом случае кварта (фа) и квинта (соль) в этот звукоряд не попали. То есть единственным вариантом для нас может быть  , где  — любое натурально число ( достаточно малое). Случай  как раз и соответствует нашему современному строю, который называется равномерно темперированный строй.  Но почему не 24 или большее число? Причина проста — могу предположить, что такая градуированность уже является излишней для нашего восприятия. Поэтому остается только одно число: 12. Если вас не устраивают приведенный ход мысли, то здесь вы можете найти  Задача: Найти минимальное натуральное число N, при котором найдется натуральное число  такое, что  отличается от  не более, чем на  центов. Решение: Обозначим через . Тогда, при  (что справедливо для диапазона тех  и , которые мы будем рассматривать) наша задача сводится к нахождению минимального , при котором , где  — функция округление до ближайшего целого. Будем решать эту задачу численно.   Теперь самое время все же определиться с .  Какую величину (в центах) несоответствия чистой квинты и "нашей" квинты мы считаем приемлемой? Многие слышат, например, то что большая/малая терция в равномерно темперированном строе "фальшивит". А ведь это всего лишь около 15 центов по отношению к чистым интервалам. Поэтому наше требование должно быть лучше, чем 15 центов. Некоторые источники говорят, что на определенных частотах музыканты различают до 5 — 6 центов. Поэтому разумно взять . Тогда из таблицы однозначно видно, что наименьшее . Следующие "удовлетворительные" .  Замечание:
Следующей итерацией, для каждого  нужно так же проверять звучания и других интервалов. В случае , например, терции становятся совсем "фальшивыми": больше 30 центов (для большой терции). Таким образом наш ответ: . Что и требовалось доказать. И, кстати, видно, что наш ответ не изменится, если мы вместо  взять, например, 10 или даже 15. Удивительно, но получается, что числом, лежащим в основе современного музыкального строя и современной (европейской) музыки, является , а именно то, что с хорошей точностью (0,1%) выполняется следующее равенство:  Прежде всего спасибо за интересные комментарии!
Здесь мои ответы на наиболее важные (на мой взгляд) замечания и критику. Druu: Смотрите, 12 звуков в октаве было до равномерной темперации вообще, поэтому вы не можете обосновывать 12 звуков при помощи темперации, это будет просто неверно заведомо. lair: Это именно та кольцевая логика, про которую я и говорю: если выбрать музыку, построенную на определенном строе, очевидно, что в ее контексте другой строй невозможен.  На эти и похожие замечание я бы привел 2 контраргумента: 1) если бы с достаточной точностью не выполнялось бы равенство , то невозможно было бы "натянуть" равномерно темперированный строй на чистый строй, состоящий из 12 звуков. Чем сильнее  отличался бы от , тем фальшивее звучала бы наша квинта. Если это число было бы (сильно) другим, то не было бы равномерно темперированного приближения к чистым интервалам, и, как следствие, не было бы современной музыки или, скажем так, она была бы другой. Поэтому вполне логичен вывод о том, что свойства числа  лежат в основе современной музыки. 2) второй контраргумент невозможно строго логически обосновать, и является лишь предположением, но мне кажется, что все же это рассуждение достойно внимания. Давайте попробуем ответить на вопрос, а почему вообще возникла потребность в равномерно темперированном строе? В комментариях уже отчасти был дан ответ. Музыка в то время (время создания равномерно темперированного строя) уже использовала модуляции и полифонии, которые на самом деле, по большому счету, уже требовали равномерной темперации. Проблема "фальшивого" звучания решалась тем, что музыканты чуть "подстраивали" звучание во время исполнения. Это легко было сделать для струнных (во всяком случае безладовых), духовых и для вокала (поправьте, если я не прав — этот вывод я сделал из ваших комментариев). Например, для скрипки — это всего лишь легкое изменение положения пальцев. Но как только вы были лишены такой возможности (клавесин), то сразу все начинало звучать плохо. Итак, все выглядит так, что вот эти 12 нот появились не просто так, а как естественное развитие музыки в сторону вот этой возможности свободных модуляций и богатых полифоний, а это в свою очередь является следствием инвариантности. Это было естественное развитие музыки. То есть я хочу сказать, что если бы математически инвариантность была бы возможна не для 12 звуков, а, например, для 10, то мы бы (еще до равномерной темперации) в нашем звукоряде имели бы 10 звуков (в данном случае я говорю о пути развития европейкой музыки). А потом бы "натянули" 10 звуков равномерной темперации на наш чистый строй. Очень много было критики по поводу утверждения, что 12 — это единственное разумное число. Во-первых, понимая агрессивность этого утверждения и в принципе невозможности строгого обоснования, я по-возможности снизил степень категоричности некоторых утверждений в статье. И все же... В данном случае имеем 2 линии критики.  1) Почему я считаю, что 19, 24 или 29 (и т.д.) неприемлемы?  Нет, не считаю. Для разных инструментов существуют приемы использования звуков за пределами звукоряда, например, глиссандо и вибрато. Эти приемы придают красоту и естественность звучанию. Поэтому, даже с 12-ю нотами мы и сейчас используем вспомогательные звуки. Если мы говорим об антураже, о необычном звучании, об обогащении звучания..., то это вполне оправдано, но если мы говорим об основных тонах, то здесь у меня сомнения. Музыка создается не только для избранных, а для обычных людей, и вот для них такая градуированность (ИМХО) является излишней. Второй аргумент, и он был приведен в комментариях, заключается, действительно, в сложности создания инструментов и исполнения в случае длинного звукоряда, хотя, у нас есть прекрасный пример такого инструмента — ситар. Но попробуйте взять на пианино октаву (одной рукой), если у вас будет звукоряд из 24 звуков. 2) А как же пентатоника? Во всех восточных странах, в которых я был, я почему-то очень редко слышал национальную музыку, построенную на пентатонике. И все музыканты с востока, которых я слушал (а некоторых люблю), тоже исполняли вполне европейскую музыку. Вот интересная цитата: "Академические композиторы начиная с XIX века применяли пентатонику как особую краску для придания музыке аромата архаики ". Аромат архаики…
В моем восприятии все же эта музыка не является современной, но не хочу отстаивать эту позицию, поэтому в некоторых местах в статье использую термин "современная европейская музыка". Ясно, что эта музыка (построенная на пентатонике) развивалась по другим законам, и не дошла до требования богатой полифонии и частой и легкой модуляции, которые проявились в европейской музыки. Поэтому эта статья очевидно не про пентатонику. Что я называю современной музыкой? Хотя это и выглядит тавтологией, но под современной музыкой я подразумеваю музыку, которая требует инвариантности, что в случае инструментов с фиксированным строем (например, клавесин, пианино) приводит к необходимости равномерно темперированного строя (или чего-то близкого). В случае остальных инструментов, например, безладовых струнных, все выглядит несколько сложнее, потому что, в действительности, есть возможность использовать больший (чем 12) набор звуков. Но все же, когда мы говорим про требование инвариантности, то подразумеваем, что эти звуки должны быть очень близкими (по частоте) к нашим 12.  В это определение входит почти вся фортепианная музыка, европейская классическая, джазовая, рок музыка, попса и все производные от них. Уверен, что есть исключения, но ИМХО это именно исключения. Спорить об этом не вижу смысла, т.к. каждый может вкладывать в это понятие что-то свое. Ошибка в расчетах.  Думаю, этот вопрос снят. Впрочем, должен признать, что в процессе дискуссии мною было сделано несколько ошибочных утверждений о второстепенных вещах, которые не повлияли на основной вывод статьи. P.S. Не стоит относиться к этой статье (и предъявлять соответствующие требования), как к академическому труду. :) Это не статья по теории музыки. Тем более это не статья по истории музыки. В этих областях я ни в коей мере не считаю свое знание хоть сколько-нибудь значительным и допускаю, что могут быть неточности, хотя и старался их избегать. Здесь сформулирована простая математическая задача (школьного уровня сложности), решение которой, как мне показалось, имеет интересную интерпретацию. С чем я и поделился.