В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от 
  
    
      
         
        d
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \ d>1}
  
 переменных. Например:
 Замечание: кратный интеграл — это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число.
 Пусть 
  
    
      
        B
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{n}}
  
 — измеримое множество n-мерного вещественного пространства, 
  
    
      
        f
        :
        B
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:B\to \mathbb {R} }
  
 — функция на 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
.
 Разбиение 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 — это набор попарно непересекающихся подмножеств 
  
    
      
        σ
        =
        
          {
          
            
              
                
                  U
                
                
                  i
                
              
            
            ⊂
            B
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}}
  
, которые в объединение дают всё 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
.
 Мелкость разбиения 
  
    
      
        
          |
          σ
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|\sigma \right|}
  
 — это наибольший диаметр множеств 
  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
        ∈
        σ
      
    
    {\displaystyle U_{i}\in \sigma }
  
. 
 Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.
 Кратным (n-кратным) интегралом функции 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 на множестве 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 называется число 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 (если оно существует), такое что, какой бы малой 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  
-окрестностью числа 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:
 Здесь 
  
    
      
        μ
        (
        
          U
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (U_{i})}
  
 — мера множества 
  
    
      
        
          U
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{i}}
  
.
 Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения 
  
    
      
        σ
        =
        {
        
          U
          
            i
          
        
        
          }
          
            i
            =
            1
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma =\{U_{i}\}_{i=1}^{m}}
  
 и множества точек 
  
    
      
        ξ
        =
        {
        
          ξ
          
            i
          
        
        ∈
        
          U
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \xi =\{\xi _{i}\in U_{i}\}}
  
 рассмотрим интегральную сумму
 Кратным интегралом функции 
  
    
      
        f
        :
        B
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:B\to \mathbb {R} }
  
 называют предел
 если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.
 Интеграл обозначается следующим образом:
 В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.
 Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.
 В случае 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.
 Пусть существуют верхний 
  
    
      
        
          I
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle I^{*}}
  
 и нижний 
  
    
      
        
          I
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{*}}
  
 интегралы Дарбу функции на 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
. Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, причем:
 Пусть 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 - измеримое по Жордану множество.
Функция интегрируема на 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
, если:
 Пусть 
  
    
      
        D
        ⊂
        
          
            
              
                R
              
            
            
              d
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}}
  
 — измеримое множество,

  
    
      
        G
        =
        
          {
          
            
              (
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      d
                    
                  
                
              
              )
            
            :
            
              (
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      d
                      −
                      1
                    
                  
                
              
              )
            
            ∈
            D
            ;
            φ
            
              (
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      d
                      −
                      1
                    
                  
                
              
              )
            
            ≤
            
              
                
                  x
                
                
                  d
                
              
            
            ≤
            ψ
            
              (
              
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      1
                    
                  
                
                ,
                …
                ,
                
                  
                    
                      x
                    
                    
                      d
                      −
                      1
                    
                  
                
              
              )
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}}
  
 — также измеримое множество, 
  
    
      
        f
        
          (
          X
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(X\right)}
  
 определена и интегрируема на 
  
    
      
         
        G
      
    
    {\displaystyle \ G}
  
. Тогда
 Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.
 Пусть задано биективное отображение 
  
    
      
        
          
            
              
                R
              
            
            
              d
            
          
        
        ↔
        
          
            
              
                R
              
            
            
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{d}}\leftrightarrow {{\mathbb {R} }^{d}}}
  
, переводящее область 
  
    
      
         
        
          
            
              D
            
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {{D}'}}
  
 в 
  
    
      
         
        D
      
    
    {\displaystyle \ D}
  
:
 где 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 — «старые» координаты, а 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 — «новые» координаты.
Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области 
  
    
      
         
        
          
            
              D
            
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {{D}'}}
  
 непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан
 Тогда при условии существования интеграла
 справедлива формула замены переменных:
 Если область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере для одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечётна по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинкам области интегрирования имеют одно и то же абсолютное значение, но противоположные знаки.  Если подынтегральная функция чётна по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной из половинок области интегрирования, поскольку интегралы по каждой из половинок равны.
 Пример 1. Пусть функция  
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        2
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        −
        3
        
          y
          
            3
          
        
        +
        5
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5}
  
 интегрируется по области
 кругу радиуса 1 с центром в начале координат.
 Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:
 
2sin(x) и 3y3 являются нечётными функциями и, кроме того, очевидно, что диск T симметричен как относительно оси x, так и по оси y. Таким образом, вклад в конечный результат   даёт только константа 5. Пример 2. Пусть функция  f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) интегрируется по  сфере радиуса 2 с центром в начале координат,
 
"Шар" симметричен по всем трём осям, но достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку по этой переменной функция нечётна. Двойным интегралом называют кратный интеграл с 
  
    
      
         
        d
        =
        2
      
    
    {\displaystyle \ d=2}
  
.
 В прямоугольных координатах: 
  
    
      
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          f
          
            (
            
              x
              ,
              y
            
            )
          
          d
          x
          d
          y
        
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}}
  
, где 
  
    
      
         
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \ dxdy}
  
 — элемент площади в прямоугольных координатах.
 Пусть функция 
  
    
      
        f
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle f\left(x,y\right)}
  
 принимает в области 
  
    
      
         
        D
      
    
    {\displaystyle \ D}
  
 только положительные значения. Тогда двойной интеграл 
  
    
      
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          f
          
            (
            
              x
              ,
              y
            
            )
          
          d
          σ
        
        ::
      
    
    {\displaystyle \iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::}
  
 численно равен объему 
  
    
      
         
        V
      
    
    {\displaystyle \ V}
  
 вертикального цилиндрического тела, построенного на основании 
  
    
      
         
        D
      
    
    {\displaystyle \ D}
  
 и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности 
  
    
      
        z
        =
        f
        
          (
          
            x
            ,
            y
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle z=f\left(x,y\right)}
  
.
 В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
 Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
 Модуль якобиана отображения равен 
  
    
      
         
        r
      
    
    {\displaystyle \ r}
  
. Таким образом получаем, что
 Здесь 
  
    
      
         
        r
        d
        r
        d
        φ
      
    
    {\displaystyle \ rdrd\varphi }
  
 является элементом площади в полярных координатах.
 Посчитаем площадь области 
  
    
      
        D
        =
        
          {
          
            
              (
              
                x
                ,
                y
              
              )
            
            :
            
              
                
                  x
                
                
                  2
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    y
                  
                  
                    2
                  
                
                4
              
            
            ≤
            1
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle D=\left\{\left(x,y\right):{{x}^{2}}+{\frac {{y}^{2}}{4}}\leq 1\right\}}
  
.
 Переход в полярную систему координат не сделает область проще:
 Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:
 Это преобразование переведет исходную область в следующую:
 Якобиан отображения:
 Модуль якобиана также равен 
  
    
      
        2
        r
      
    
    {\displaystyle 2r}
  
.
 Отсюда
 Результат верный, так как область 
  
    
      
         
        D
      
    
    {\displaystyle \ D}
  
 ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле 
  
    
      
        S
        =
        π
        a
        b
      
    
    {\displaystyle S=\pi ab}
  
. Путём подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.
 
 плотностью 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  

 стоящего на плоскости 
  
    
      
        X
        O
        Y
      
    
    {\displaystyle XOY}
  

 относительно оси 
  
    
      
        O
        
          
            
              Z
            
            
              3
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O{{Z}^{3)}}}
  

 относительно оси 
  
    
      
        O
        
          
            
              X
            
            
              3
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O{{X}^{3)}}}
  

 однородной пластинки
  
    
      
        
          
          
            3
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ^{3)}}
  

 
  
    
      
        
          
            
              y
            
            
              c
            
          
        
        =
        
          
            1
            S
          
        
        
          
            ∬
            
              G
            
          
          
            y
            d
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle {{y}_{c}}={\frac {1}{S}}{\iint \limits _{G}{yd\sigma }}}
  

 1) Область 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 — проекция на плоскость 
  
    
      
        X
        O
        Y
      
    
    {\displaystyle XOY}
  
; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности;
 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 — угол между касательной плоскостью и плоскостью 
  
    
      
        X
        O
        Y
      
    
    {\displaystyle XOY}
  
.
 2) Совмещенной с плоскостью 
  
    
      
        X
        O
        Y
      
    
    {\displaystyle XOY}
  
.
 3) Или, что то же, относительно центра О.
 Тройным интегралом называют кратный интеграл с 
  
    
      
         
        d
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \ d=3}
  
:
 где 
  
    
      
         
        d
        V
      
    
    {\displaystyle \ dV}
  
 — элемент объема в рассматриваемых координатах.
 В прямоугольных координатах тройной интеграл имеет следующий вид:
 где 
  
    
      
         
        d
        x
        d
        y
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \ dxdydz}
  
 — элемент объема в прямоугольных координатах.
 Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
 Модуль якобиана отображения равен 
  
    
      
         
        r
      
    
    {\displaystyle \ r}
  
. Таким образом получаем, что
 где 
  
    
      
        r
        d
        r
        d
        φ
        d
        h
      
    
    {\displaystyle rdrd\varphi dh}
  
 — элемент объема в цилиндрических координатах.
 Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
 Модуль якобиана отображения равен 
  
    
      
         
        
          
            
              r
            
            
              2
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \ {{r}^{2}}\sin \theta }
  
. Таким образом получаем, что
 где 
  
    
      
        
          
            
              r
            
            
              2
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        d
        r
        d
        φ
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle {{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }
  
 — элемент объема в сферических координатах.
 тела относительно оси 
  
    
      
        O
        Z
      
    
    {\displaystyle OZ}
  

 однородного тела