Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:
 где 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 — эксцентрическая аномалия, 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 — эксцентриситет орбиты, а 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 — средняя аномалия.
 Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.
 Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при 
  
    
      
        0
        ≤
        e
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq e<1}
  
. Движение по гиперболическим орбитам 
  
    
      
        (
        e
        >
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e>1)}
  
 подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии 
  
    
      
        (
        e
        =
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e=-1)}
  
 описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите 
  
    
      
        (
        e
        =
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (e=1)}
  
 используют уравнение Баркера. При 
  
    
      
        e
        <
        0
      
    
    {\displaystyle e<0}
  
 орбит не существует.
 Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что
 Здесь 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 — расстояние от тела до гравитирующего центра, 
  
    
      
        ϑ
      
    
    {\displaystyle \vartheta }
  
 — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, 
  
    
      
        μ
        =
        G
        
          M
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =GM_{0}}
  
 — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:
 Здесь 
  
    
      
        
          t
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{0}}
  
 — время прохождения через перицентр.
 Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.
 Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид
 Тогда уравнение для времени приобретает вид
 Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:
 Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:
 Величина 
  
    
      
        
          
            
              μ
              
                a
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}}
  
 является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.
 Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:
 Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: 
  
    
      
        x
        =
        −
        a
        
        
          c
          h
        
        
        H
      
    
    {\displaystyle x=-a\,\mathrm {ch} \,H}
  
, 
  
    
      
        y
        =
        a
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            −
            1
          
        
        
        
          s
          h
        
        
        H
      
    
    {\displaystyle y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H}
  
. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид
 а связь между 
  
    
      
        ϑ
      
    
    {\displaystyle \vartheta }
  
 и 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  

 Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:
 Величина 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 называется гиперболической эксцентрической аномалией.
Поскольку 
  
    
      
        
          s
          h
        
        
        H
        =
        −
        i
        sin
        ⁡
        
          i
          H
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {sh} \,H=-i\sin {iH}}
  
, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:
 Отсюда видно, что 
  
    
      
        E
        =
        i
        H
      
    
    {\displaystyle E=iH}
  
.
 Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид
 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              2
              
              
                r
                
                  π
                
              
            
            
              1
              +
              cos
              ⁡
              ϑ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}}
  

 где 
  
    
      
        
          r
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{\pi }}
  
 — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории
 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
        =
        
          
            2
            
            μ
            
            
              r
              
                π
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}}
  

 Откуда получаем интеграл, определяющий время движения
 
  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        2
        
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϑ
          
        
        
          
            
              d
              ϑ
            
            
              (
              1
              +
              cos
              ⁡
              ϑ
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2}}}}
  

 Вводим универсальную тригонометрическую замену
 
  
    
      
        z
        =
        
          
            t
            g
          
        
        
        
          
            ϑ
            2
          
        
        ,
        
        ϑ
        =
        2
        
        
          
            a
            r
            c
            t
            g
          
        
        
        z
        ,
        
        d
        ϑ
        =
        
          
            
              2
              
              d
              z
            
            
              1
              +
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        ,
        
        cos
        ⁡
        ϑ
        =
        
          
            
              1
              −
              
                z
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2}},\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}}
  

 и преобразуем интеграл
 
  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        4
        
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  
                
                
                  
                    d
                    z
                  
                
              
              
                
                  
                
                
                  
                    1
                    +
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                (
                
                  1
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                            −
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            1
                            +
                            
                              z
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
        (
        1
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        
        d
        z
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          
            
            
              (
              
                z
                +
                
                  
                    
                      z
                      
                        3
                      
                    
                    3
                  
                
              
              )
            
            |
          
          
            0
          
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}}
  

 получаем окончательно
 
  
    
      
        t
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          r
          
            π
          
        
        
        
          
            
              
                2
                
                
                  r
                  
                    π
                  
                
              
              μ
            
          
        
        
          (
          
            
              
                t
                g
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
            +
            
              
                1
                3
              
            
            
              
                t
                
                  g
                  
                    3
                  
                
                
              
            
            
              
                ϑ
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)}
  

 Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.
 Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую
через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль
траектории и трансверсальная составляющая отсутствует, значит
 
  
    
      
        v
        =
        
          
            
              d
              r
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\frac {dr}{dt}}}
  

 Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических
соображений
 
  
    
      
        
          
            
              m
              
              
                v
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            
              m
              
              μ
            
            r
          
        
        =
        
          
            c
            o
            n
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}}
  

 
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              μ
            
            r
          
        
        +
        h
      
    
    {\displaystyle v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h}
  

 — интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение
 
  
    
      
        
          
            
              d
              r
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        ±
        
          
            
              
                
                  2
                  μ
                
                r
              
            
            +
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu }{r}}+h}}}
  

 Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∫
          
            
              r
              
                0
              
            
          
          
            
              r
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              d
              r
            
            
              
                
                  
                    
                      
                    
                    
                      
                        2
                        μ
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                    
                    
                      
                        r
                      
                    
                  
                
              
              +
              h
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{\cfrac {2\mu }{r}}+h}}}}
  

 способ вычисления которого определяется знаком константы 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
. Выделяют три
случая
 
 Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и
удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно
начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической
орбите. Для вычисления интеграла введем замену
 
  
    
      
        
          
            
              2
              
              μ
            
            r
          
        
        =
        
          
            
              −
              h
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              u
            
          
        
        ,
        
        
          u
          
            0
          
        
        =
        
          
            a
            r
            c
            s
            i
            n
          
        
        
          
            
              
                −
                h
                
                
                  r
                  
                    0
                  
                
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
        ,
        
        
          u
          
            1
          
        
        =
        
          
            a
            r
            c
            s
            i
            n
          
        
        
          
            
              
                −
                h
                
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
        ,
        
        d
        r
        =
        
          
            
              4
              
              μ
            
            
              −
              h
            
          
        
        sin
        ⁡
        u
        cos
        ⁡
        u
        
        d
        u
      
    
    {\displaystyle {\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du}
  

 вычисляем интеграл
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              4
              
              μ
            
            
              −
              h
              
                
                  −
                  h
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        u
        
        d
        u
        =
        
          
            
              2
              
              μ
            
            
              −
              h
              
                
                  −
                  h
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
        
          (
          
            1
            −
            cos
            ⁡
            
              2
              u
            
          
          )
        
        
        d
        u
        =
        
          
            μ
            
              −
              h
              
                
                  −
                  h
                
              
            
          
        
        
          
            
            
              (
              
                2
                
                u
                −
                sin
                ⁡
                2
                u
              
              )
            
            |
          
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}}
  

 Полагая 
  
    
      
        E
        =
        2
        
        u
      
    
    {\displaystyle E=2\,u}
  
, запишем результат
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            μ
            
              −
              h
              
                
                  −
                  h
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              E
              
                1
              
            
            −
            
              E
              
                0
              
            
            −
            sin
            ⁡
            
              E
              
                1
              
            
            +
            sin
            ⁡
            
              E
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E_{1}-E_{0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)}
  

 приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра

  
    
      
        
          r
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r_{0}=0}
  
, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим
так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от
притягивающего центра со временем движения
 
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          
            μ
            
              −
              h
              
                
                  −
                  h
                
              
            
          
        
        
          (
          
            E
            −
            sin
            ⁡
            E
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E-\sin E\right)}
  

 где 
  
    
      
        E
        =
        2
        arcsin
        ⁡
        
          
            
              
                −
                h
                
                r
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu }}}}
  
.
 
 Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          ∫
          
            
              r
              
                0
              
            
          
          
            
              r
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              d
              r
            
            
              
                
                  
                    
                  
                  
                    
                      2
                      μ
                    
                  
                
                
                  
                    
                  
                  
                    
                      r
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            3
          
        
        
          
            
              2
              μ
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                1
              
            
            
              
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
            
            −
            
              r
              
                0
              
            
            
              
                
                  r
                  
                    0
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\cfrac {2\mu }{r}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_{1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)}
  

 Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения
 
  
    
      
        r
        (
        t
        )
        =
        
          
            [
            
              3
              
                
                  
                    μ
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  
                    t
                    
                      1
                    
                  
                  −
                  
                    t
                    
                      0
                    
                  
                
                )
              
            
            ]
          
          
            
              2
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac {2}{3}}}
  

 
 Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, 
  
    
      
        
          v
          
            ∞
          
        
        =
        
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {h}}}
  
. Вводим замену
 
  
    
      
        
          
            
              2
              
              μ
            
            r
          
        
        =
        
          
            h
            
              
                
                  
                    s
                    h
                  
                
                
                  2
                
              
              u
            
          
        
        ,
        
        
          u
          
            0
          
        
        =
        
          
            a
            r
            c
            s
            h
          
        
        
          
            
              
                h
                
                
                  r
                  
                    0
                  
                
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
        ,
        
        
          u
          
            1
          
        
        =
        
          
            a
            r
            c
            s
            h
          
        
        
          
            
              
                h
                
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
        ,
        
        d
        r
        =
        
          
            
              4
              
              μ
            
            h
          
        
        
        
          
            s
            h
          
        
        u
        
        
          
            c
            h
          
        
        u
        
        d
        u
      
    
    {\displaystyle {\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {h}{{\rm {sh}}^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\rm {ch}}u\,du}
  

 и вычисляем интеграл
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              4
              
              μ
            
            
              h
              
                
                  h
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
        
          
            
              s
              h
            
          
          
            2
          
        
        u
        
        d
        u
        =
        
          
            
              2
              
              μ
            
            
              h
              
                
                  h
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                c
                h
              
            
            
              2
              u
            
            −
            1
          
          )
        
        
        d
        u
        =
        
          
            μ
            
              h
              
                
                  h
                
              
            
          
        
        
          
            
            
              (
              
                
                  
                    s
                    h
                  
                
                2
                u
                −
                2
                
                u
              
              )
            
            |
          
          
            
              u
              
                0
              
            
          
          
            
              u
              
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}}
  

 Полагая 
  
    
      
        H
        =
        2
        
        u
      
    
    {\displaystyle H=2\,u}
  
, получаем
 
  
    
      
        ∓
        
          (
          
            
              t
              
                1
              
            
            −
            
              t
              
                0
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            μ
            
              h
              
                
                  h
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                s
                h
              
            
            
            
              H
              
                1
              
            
            −
            
              
                s
                h
              
            
            
            
              H
              
                0
              
            
            −
            
              H
              
                1
              
            
            +
            
              H
              
                0
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}\,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)}
  

 Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое
радиальное уравнение Кеплера
 
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        −
        
          t
          
            0
          
        
        =
        
          
            μ
            
              h
              
                
                  h
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                s
                h
              
            
            H
            −
            H
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}H-H\right)}
  

 где 
  
    
      
        H
        =
        2
        
        
          
            a
            r
            c
            s
            h
          
        
        
          
            
              
                h
                
                r
              
              
                2
                
                μ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu }}}}
  

 Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:
 где
 — функция Бесселя.
 Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.
 Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид:
 В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом):