Линейная функция — функция вида
 Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.
 Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.
 Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями 
  
    
      
        y
        =
        
          k
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},}
  
 и 
  
    
      
        y
        =
        
          k
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},}
  
 определяется равенством: 
  
    
      
        
          t
          g
        
        
        α
        =
        
          |
          
            
              
                
                  k
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
              
                1
                +
                
                  k
                  
                    1
                  
                
                
                  k
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          |
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,}
  
 где 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        ≠
        −
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,}
  
 то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при 
  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        ,
         
        α
        =
        0
      
    
    {\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0}
  
 и прямые параллельны.
 Линейная функция монотонна и невыпукла на всей области определения 
  
    
      
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {R} )}
  
, производная 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)}
  
 и первообразная 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
  
 функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        k
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle f(x)=kx+b}
  
 запишутся:
 Обратная функция к 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 : 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            k
          
        
        
        x
        −
        
          
            b
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}}
  

 Линейная функция 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 переменных 
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
  
 — функция вида
 где 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
  
 — некоторые фиксированные числа.
Областью определения линейной функции является всё 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерное пространство переменных 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  
 вещественных или комплексных.
При 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a_{0}=0}
  
 линейная функция называется однородной, или линейной формой.
 Если все переменные 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  
 и коэффициенты 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
  
 — вещественные числа, то графиком линейной функции в 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)}
  
-мерном пространстве переменных 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y}
  
 является 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерная гиперплоскость
 в частности при 
  
    
      
        n
        =
        1
      
    
    {\displaystyle n=1}
  
 — прямая линия на плоскости.
 Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 над некоторым полем 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 в это поле, то есть для такого отображения 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        K
      
    
    {\displaystyle f:X\to K}
  
, что для любых элементов 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x,y\in X}
  
 и любых 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ∈
        K
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \in K}
  
 справедливо равенство
 причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.
 Булева функция 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
  
 называется линейной, если существуют такие 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
  
, где 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ∈
        {
        0
        ,
        1
        }
        ,
        ∀
        i
        =
        
          
            
              1
              ,
              n
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}}
  
, что для любых 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  
 имеет место равенство:
 Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции.
То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения.
Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.
 Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция 
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=x^{2}}
  
.
 В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям 
  
    
      
        f
        =
        k
        x
        +
        b
      
    
    {\displaystyle f=kx+b}
  
, где 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ≠
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})}
  
 и 
  
    
      
        f
        (
        c
        x
        )
        ≠
        c
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}
  
.
Например, нелинейной зависимостью считают 
  
    
      
        σ
        (
        τ
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (\tau )}
  
 для материала с упрочнением (см. теория пластичности).