Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.
 Эта конструкция позволяет построить новый объект 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
  
 и набору отображений 
  
    
      
        
          f
          
            i
            j
          
        
        :
        
          X
          
            i
          
        
        →
        
          X
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}
  
, 
  
    
      
        i
        ⩽
        j
      
    
    {\displaystyle i\leqslant j}
  
.
Для индуктивного предела обычно используется обозначение
 Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.
 В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.
 Пусть 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 — направленное множество с отношением предпорядка 
  
    
      
        ⩽
      
    
    {\displaystyle \leqslant }
  
 и пусть каждому элементу 
  
    
      
        i
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle i\in I}
  
 сопоставлен алгебраический объект 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
  
, а каждой паре 
  
    
      
        (
        i
        ,
        
        j
        )
      
    
    {\displaystyle (i,\;j)}
  
, 
  
    
      
        i
        ,
        
        j
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle i,\;j\in I}
  
, в которой 
  
    
      
        i
        ⩽
        j
      
    
    {\displaystyle i\leqslant j}
  
, сопоставлен гомоморфизм 
  
    
      
        
          f
          
            i
            j
          
        
        :
        
          X
          
            i
          
        
        →
        
          X
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{ij}:X_{i}\to X_{j}}
  
, причём 
  
    
      
        
          f
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{ii}}
  
 — тождественные отображения для любого 
  
    
      
        i
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle i\in I}
  
 и 
  
    
      
        
          f
          
            i
            k
          
        
        =
        
          f
          
            j
            k
          
        
        ∘
        
          f
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}
  
 для любых 
  
    
      
        i
        ⩽
        j
        ⩽
        k
      
    
    {\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}
  
 из 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.
 Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы 
  
    
      
        (
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
          f
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X_{i},f_{ij})}
  
 — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей 
  
    
      
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{i}}
  
 по отношению эквивалентности:
 Здесь 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ∈
        
          X
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}\in X_{i}}
  
 и 
  
    
      
        
          x
          
            j
          
        
        ∈
        
          X
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j}\in X_{j}}
  
 эквивалентны, если существует такое 
  
    
      
        k
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle k\in I}
  
, что 
  
    
      
        
          f
          
            i
            k
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        
          f
          
            j
            k
          
        
        (
        
          x
          
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}
  
.
Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        ∼
        
        
          f
          
            i
            k
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}
  
.
 Из этого определения легко получить канонические морфизмы 
  
    
      
        
          ϕ
          
            i
          
        
        :
        
          X
          
            i
          
        
        →
        X
      
    
    {\displaystyle \phi _{i}:X_{i}\rightarrow X}
  
, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.
 В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы 
  
    
      
        (
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
          f
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X_{i},f_{ij})}
  
 — это объект 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 категории, такой что выполняются следующие условия:
 Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.