ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов, соответственно..
 Пусть 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой 
  
    
      
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
  
 (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
, в которой выполняются соотношения
 для любых 
  
    
      
        f
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle f,g}
  
 в 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).
 Если, наоборот, 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 снабжено невырожденной вещественной симметричной билинейной формой 
  
    
      
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
  
 унитальная *-алгебра, порожденная элементами 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
, в которой выполняются соотношения
 для всех 
  
    
      
        f
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle f,g}
  
 в 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).
 Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой 
  
    
      
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
  
. В теории операторных алгебр алгебра ККС над 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами 
  
    
      
        {
        W
        (
        f
        )
        :
        f
        ∈
        H
        }
      
    
    {\displaystyle \{W(f):f\in H\}}
  
 обладающими свойствами
 Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент 
  
    
      
        W
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle W(f)}
  
 является унитарным и 
  
    
      
        W
        (
        0
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle W(0)=1}
  
. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.
 Когда 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 является гильбертовым пространством, а 
  
    
      
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
  
 задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, при помощи соотношения:
 для любых 
  
    
      
        f
        ,
        g
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle f,g\in H}
  
. Операторы поля 
  
    
      
        B
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle B(f)}
  
 определяются для каждого 
  
    
      
        f
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle f\in H}
  
 как генераторы однопараметрической унитарной группы 

  
    
      
        (
        W
        (
        t
        f
        )
        
          )
          
            t
            ∈
            
              R
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}
  
 на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению
 Поскольку отношение 
  
    
      
        f
        ↦
        B
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle f\mapsto B(f)}
  
 является вещественнолинейным, поэтому операторы 
  
    
      
        B
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle B(f)}
  
 определяют ККС-алгебру над 
  
    
      
        (
        H
        ,
        2
        
          I
          m
        
        ⟨
        ⋅
        ,
        ⋅
        ⟩
        )
      
    
    {\displaystyle (H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}
  
 в смысле раздел 1.
 Пусть 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное  C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами 
  
    
      
        {
        b
        (
        f
        )
        ,
        
          b
          
            ∗
          
        
        (
        f
        )
        :
        f
        ∈
        H
        }
      
    
    {\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\in H\}}
  
 с учетом отношений
 для всех 
  
    
      
        f
        ,
        g
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle f,g\in H}
  
, 
  
    
      
        λ
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
  
. Когда 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 отделима, КАС-алгебра представляет собой приближенно конечномерную C*-алгебру и, в частном случае бесконечномерного 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, ее часто записывают как 
  
    
      
        
          
            M
            
              
                2
                
                  ∞
                
              
            
          
          (
          
            C
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )}}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        
          F
          
            a
          
        
        (
        H
        )
      
    
    {\displaystyle F_{a}(H)}
  
 будет антисимметричным пространством Фока над 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 и пусть 
  
    
      
        
          P
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{a}}
  
 будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:
 КАС-алгебра точно представляется в 
  
    
      
        
          F
          
            a
          
        
        (
        H
        )
      
    
    {\displaystyle F_{a}(H)}
  
, при помощи соотношения
 для всех 
  
    
      
        f
        ,
        
          g
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          g
          
            n
          
        
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}
  
 и 
  
    
      
        n
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle n\in \mathbb {N} }
  
. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля 
  
    
      
        B
        (
        f
        )
        :=
        
          b
          
            ∗
          
        
        (
        f
        )
        +
        b
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}
  
 удовлетворяют соотношению
 дающему связь с глава 1.