Разложение простых идеалов в расширениях Галуа — разложение простых идеалов 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 кольца целых 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{K}}
  
 поля алгебраических чисел 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 в кольце целых 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
 расширении Галуа 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 с группой Галуа 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
. Изучение этого разложения является одной из самых богатых частей алгебраической теории чисел. Эта теория иногда приписывается Гильберту, в связи с чем фигурирует под названием теория Гильберта.
 Пусть 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 — конечное расширение числового поля, а 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{K}}
  
 и 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
 — кольца целых чисел 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 и 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 соответственно.
 Наконец, пусть 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 является ненулевым простым идеалом в 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{K}}
  
 или, что эквивалентно, максимальным идеалом, так что факторкольцо 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
        
          /
        
        P
      
    
    {\displaystyle O_{K}/P}
  
 — поле.
 Из основ теории одномерного кольца следует существование единственного разложения идеала 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
:
 где 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
 — различные максимальные идеалы, а 
  
    
      
        
          e
          
            j
          
        
        ⩾
        1
      
    
    {\displaystyle e_{j}\geqslant 1}
  
 — их кратность.
 Поле 
  
    
      
        F
        =
        
          O
          
            K
          
        
        
          /
        
        P
      
    
    {\displaystyle F=O_{K}/P}
  
 естественно вкладывается в 
  
    
      
        
          F
          
            j
          
        
        =
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}}
  
 для каждого 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
, степень 
  
    
      
        
          f
          
            j
          
        
        =
        [
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        
          P
          
            j
          
        
        :
        
          O
          
            K
          
        
        
          /
        
        P
        ]
      
    
    {\displaystyle f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]}
  
 этого расширения поля вычетов называется степенью инерции 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
 над 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
.
 Показатель 
  
    
      
        
          e
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{j}}
  
 называется индексом ветвления 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
 над 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
. Если 
  
    
      
        
          e
          
            j
          
        
        >
        1
      
    
    {\displaystyle e_{j}>1}
  
 для некоторого 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
, то расширение 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 называется разветвленным в 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 (или мы говорим, что 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 разветвляется в 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
). В противном случае 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 называется неразветвленным в 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
. Если это так, то по китайской теореме об остатках фактор 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        P
      
    
    {\displaystyle O_{L}/P}
  
 является произведением полей 
  
    
      
        
          F
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{j}}
  
. 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 разветвлён тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант, значит неразветвлено лишь конечное число простых идеалов.
 Из мультипликативности нормы идеала вытекает
 Если 
  
    
      
        
          f
          
            j
          
        
        =
        
          e
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{j}=e_{j}}
  
 для всех 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
 (и, следовательно, 
  
    
      
        g
        =
        [
        L
        :
        K
        ]
      
    
    {\displaystyle g=[L:K]}
  
), то говорим, что 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 полностью разлагается в 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
. Если 
  
    
      
        g
        =
        1
      
    
    {\displaystyle g=1}
  
 и 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle f_{1}=1}
  
 (и поэтому 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        [
        L
        :
        K
        ]
      
    
    {\displaystyle e_{1}=[L:K]}
  
), мы говорим, что 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 полностью разветвляется в 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
. Наконец, если 
  
    
      
        g
        =
        1
      
    
    {\displaystyle g=1}
  
 и 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e_{1}=1}
  
 (и поэтому 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        =
        [
        L
        :
        K
        ]
      
    
    {\displaystyle f_{1}=[L:K]}
  
), мы говорим, что 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 инертен в 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 является расширением Галуа. Тогда группа Галуа 
  
    
      
        G
        =
        Gal
        ⁡
        (
        L
        
          /
        
        K
        )
      
    
    {\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}
  
 действует транзитивно на 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
. То есть простые идеальные множители в разложении 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 в 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 образуют единую орбиту при действии автоморфизма 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 над 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
. Из этого и теореме о единственности факторизации следует, что 
  
    
      
        f
        =
        
          f
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle f=f_{j}}
  
 и 
  
    
      
        e
        =
        
          e
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle e=e_{j}}
  
 не зависят от 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
. Тогда полученные соотношения принимают вид
 и
 Отсюда следует, что 
  
    
      
        [
        L
        :
        K
        ]
        
          /
        
        e
        f
        =
        g
      
    
    {\displaystyle [L:K]/ef=g}
  
 — числу простых коэффициентов 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 в 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
. По формуле числа элементов в орбите 
  
    
      
        g
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
        
          /
        
        
          |
        
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle g=|G|/|D_{P_{j}}|}
  
 для всех 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
, где 
  
    
      
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        =
        {
        σ
        ∈
        G
        :
        σ
        (
        
          P
          
            j
          
        
        )
        =
        
          P
          
            j
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}}
  
 — стабилизатор 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
, называемый группой разложения идеала 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
. Так как 
  
    
      
        [
        L
        :
        K
        ]
        =
        
          |
        
        G
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle [L:K]=|G|}
  
 по базовой теории Галуа, то порядок группы разложения 
  
    
      
        
          |
        
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          |
        
        =
        e
        f
      
    
    {\displaystyle |D_{P_{j}}|=ef}
  
 для всех 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
.
 Группа разложения содержит нормальную подгруппу 
  
    
      
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{P_{j}}}
  
, называемую группой инерции 
  
    
      
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{j}}
  
, состоящую из автоморфизмов 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
, которые индуцируют тождественный автоморфизм на 
  
    
      
        
          F
          
            j
          
        
        =
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        
          P
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j}}
  
. Другими словами, 
  
    
      
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{P_{j}}}
  
 является ядром редукционного отображения 
  
    
      
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        →
        Gal
        ⁡
        (
        
          F
          
            j
          
        
        
          /
        
        F
        )
      
    
    {\displaystyle D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)}
  
. Можно показать, что это отображение является сюръективным, и из этого следует, что 
  
    
      
        Gal
        ⁡
        (
        
          F
          
            j
          
        
        
          /
        
        F
        )
        ≅
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          /
        
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}}
  
 и 
  
    
      
        
          |
        
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          |
        
        =
        e
      
    
    {\displaystyle |I_{P_{j}}|=e}
  
.
 Теория элемента Фробениуса идет дальше, чтобы идентифицировать элемент 
  
    
      
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          /
        
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{P_{j}}/I_{P_{j}}}
  
 для данного 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  
, что соответствует автоморфизму Фробениуса в группе Галуа конечного расширения поля 
  
    
      
        
          F
          
            j
          
        
        
          /
        
        F
      
    
    {\displaystyle F_{j}/F}
  
. В неразветвленном случае порядок 
  
    
      
        
          |
        
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
        
          |
        
        =
        f
      
    
    {\displaystyle |D_{P_{j}}|=f}
  
 и 
  
    
      
        
          I
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{P_{j}}}
  
 тривиально. Кроме того, элемент Фробениуса в этом случае является элементом 
  
    
      
        
          D
          
            
              P
              
                j
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{P_{j}}}
  
 (и, следовательно, также элемент из 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
).
 Разложение простых идеалов в полях, которые не являются расширениями Галуа, можно изучать с помощью поля разложения, то есть с помощью расширения Галуа, которое содержит исходное поле, но несколько больше, чем оно. Например, кубическое поле обычно вкладывается в расширение Галуа степени 6.
 В этом разделе описывается расщепление простых идеалов в расширении поля 
  
    
      
        
          Q
        
        (
        i
        )
        
          /
        
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }
  
. То есть мы берем 
  
    
      
        K
        =
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle K=\mathbb {Q} }
  
 и 
  
    
      
        L
        =
        
          Q
        
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle L=\mathbb {Q} (i)}
  
, поэтому 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
        =
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle O_{K}=\mathbb {Z} }
  
 и 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
        =
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle O_{L}=\mathbb {Z} [i]}
  
 — кольцо гауссовых целых чисел. Хотя этот случай далек от репрезентативного, поскольку 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
 — Факториальное кольцо и конечное небольшое число квадратичных полей с единственным разложением на множители — он показывает многие из особенностей теории.
 Обозначим 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 — группа Галуа 
  
    
      
        
          Q
        
        (
        i
        )
        
          /
        
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }
  
, 
  
    
      
        G
        =
        {
        1
        ,
        σ
        }
      
    
    {\displaystyle G=\{1,\sigma \}}
  
, где 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 — комплексно-сопряженный автоморфизм. Рассмотрим три случая.
 Простое 2 в 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
 разветвляется 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
:
 Индекс ветвления 
  
    
      
        e
        =
        2
      
    
    {\displaystyle e=2}
  
. Поле вычетов здесь равно
 — конечное поле из 2-х элементов. Группа разложения 
  
    
      
        
          D
          
            (
            1
            +
            i
            )
          
        
        =
        G
      
    
    {\displaystyle D_{(1+i)}=G}
  
, так как существует только одно из чисел 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
 выше 2. Группа инерции 
  
    
      
        
          I
          
            1
            +
            i
          
        
        =
        G
      
    
    {\displaystyle I_{1+i}=G}
  
, так как
 для всех целых 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  

 На самом деле, 2 — это единственное простое, которое разветвляется в 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
, так как каждое разветвляющееся простое должно делить дискриминант 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
, который равен 
  
    
      
        −
        4
      
    
    {\displaystyle -4}
  
.
 Любое простое 
  
    
      
        p
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          4
          )
        
      
    
    {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}
  
 разлагается в произведение двух различных простых идеалов в 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
; это фактически теорема Ферма о сумме двух квадратов. Например:
 Обе группы разложения в этом случае тривиальны: 
  
    
      
        
          G
          
            2
            ±
            3
            i
          
        
        {
        1
        }
      
    
    {\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\}}
  
, поскольку автоморфизм 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 переставляет 
  
    
      
        (
        2
        +
        3
        i
        )
      
    
    {\displaystyle (2+3i)}
  
 и 
  
    
      
        (
        2
        −
        3
        i
        )
      
    
    {\displaystyle (2-3i)}
  
, поэтому 
  
    
      
        σ
        ∉
        
          G
          
            2
            ±
            3
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma \not \in G_{2\pm 3i}}
  
. Группа инерции, также является тривиальной группой как подгруппа группы разложения. Существует два поля вычетов: по одному для каждого простого:
 которые изоморфны 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            13
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} _{13}}
  
. Элемент Фробениуса будет тривиальным автоморфизмом, это означает, что
 для всех 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }
  

 Любое простое 
  
    
      
        p
        :
        p
        ≡
        3
        
          
          (
          mod
          
          4
          )
        
      
    
    {\displaystyle p:p\equiv 3{\pmod {4}}}
  
, например 
  
    
      
        7
      
    
    {\displaystyle 7}
  
, остается простым, инертным, в 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
, то есть не разлагается. В этой ситуации группа разложения 
  
    
      
        
          G
          
            7
          
        
        =
        G
      
    
    {\displaystyle G_{7}=G}
  
, потому что 
  
    
      
        σ
        (
        7
        )
        =
        7
      
    
    {\displaystyle \sigma (7)=7}
  
. Однако эта ситуация отличается от случая 
  
    
      
        p
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p=2}
  
, потому что теперь 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 не действует тривиально на поле вычетов 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        (
        7
        )
        
          O
          
            L
          
        
        ≅
        
          
            F
          
          
            
              7
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2}}}
  
. Например, 
  
    
      
        1
        +
        i
        ≢
        1
        −
        i
        
          
          (
          mod
          
          7
          )
        
      
    
    {\displaystyle 1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}}
  
. Следовательно, группа инерции тривиальна: 
  
    
      
        
          I
          
            7
          
        
        =
        {
        1
        }
      
    
    {\displaystyle I_{7}=\{1\}}
  
. Группа Галуа 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
        
          /
        
        (
        7
        )
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}/(7)O_{L}}
  
 над подполем 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        7
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }
  
 имеет порядок 2 и порождается образом элемента Фробениуса. Фробениус — это не что иное, как 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  
 это значит, что
 для всех 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }
  

 Предположим, что мы хотим разложить простой идеал 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 кольца 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{K}}
  
 в простые идеалы кольца 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
. Следующая процедура (Neukirch, стр. 47) решает эту проблему во многих случаях. Стратегия состоит в том, чтобы выбрать целое число 
  
    
      
        θ
        ∈
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta \in O_{L}}
  
, такое что 
  
    
      
        L
        =
        K
        (
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle L=K(\theta )}
  
 (такое 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 существует по теореме о примитивном элементе), а затем изучить минимальный многочлен 
  
    
      
        H
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H(X)}
  
 элемента 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 над 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
. Редуцируя коэффициенты 
  
    
      
        H
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle H(X)}
  
 по модулю 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, получим многочлен 
  
    
      
        h
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle h(X)}
  
 с коэффициентами из конечного поля 
  
    
      
        F
        =
        
          O
          
            K
          
        
        
          /
        
        P
      
    
    {\displaystyle F=O_{K}/P}
  
. Предположим, что 
  
    
      
        h
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle h(X)}
  
 факторизуется в полиномиальном кольце 
  
    
      
        F
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle F[X]}
  
 как
 где 
  
    
      
        
          h
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{j}}
  
 — различные неприводимые многочлены в 
  
    
      
        F
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle F[X]}
  
. Тогда, если 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 не является одним из конечного числа исключительных простых чисел (точное условие описано ниже), разложение 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 имеет следующий вид:
 где 
  
    
      
        
          Q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{j}}
  
 — различные простые идеалы 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
. Кроме того, степень инерции каждого 
  
    
      
        
          Q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{j}}
  
 равна степени соответствующего многочлена 
  
    
      
        
          h
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{j}}
  
, и существует явная формула для 
  
    
      
        
          Q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle Q_{j}}
  
:
 где 
  
    
      
        
          h
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{j}}
  
 обозначает здесь подъём многочлена 
  
    
      
        
          h
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{j}}
  
 в 
  
    
      
        K
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle K[X]}
  
.
 В случае расширения Галуа степени инерции равны, а индексы ветвления 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        =
        .
        .
        .
        =
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1}=...=e_{n}}
  
.
 Исключительные простые числа, для которых приведенный выше результат не всегда имеет место, являются теми, которые не являются взаимно простыми по отношению к кондуктору кольца 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
        [
        θ
        ]
      
    
    {\displaystyle O_{K}[\theta ]}
  
. Кондуктор определяется как идеал
 он измеряет, насколько порядок 
  
    
      
        
          O
          
            K
          
        
        [
        θ
        ]
      
    
    {\displaystyle O_{K}[\theta ]}
  
 является полным кольцом целых чисел (максимальный порядок) 
  
    
      
        
          O
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle O_{L}}
  
.
 Существенным препятствием является то, что существуют такие 
  
    
      
        L
        
          /
        
        K
      
    
    {\displaystyle L/K}
  
 и 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, для которых нет 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
, удовлетворяющего вышеприведенным гипотезам (см., например,). Поэтому приведенный выше алгоритм нельзя использовать для определения такого 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, и необходимо использовать более сложные подходы, такие как описанные в.
 Рассмотрим снова случай гауссовых целых чисел. Мы возьмем 
  
    
      
        θ
        =
        i
      
    
    {\displaystyle \theta =i}
  
 — мнимую единицу 
  
    
      
        H
        (
        X
        )
        =
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle H(X)=X^{2}+1}
  
. Так как 
  
    
      
        
          Z
        
        [
        i
        ]
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
  
 — кольцо целых чисел 
  
    
      
        
          Q
        
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} (i)}
  
, кондуктор является единичным идеалом, поэтому нет исключительных простых чисел.
 Для 
  
    
      
        P
        =
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle P=(2)}
  
 нам нужно работать в поле 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        2
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
  
, что сводится к разложению многочлена 
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle X^{2}+1}
  
 по модулю 2:
 Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 1 и индексом ветвления 2, и он задается формулой
 Следующий случай для 
  
    
      
        P
        =
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle P=(p)}
  
 для простого 
  
    
      
        p
        ≡
        3
        
          
          (
          mod
          
          4
          )
        
      
    
    {\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}
  
. Например, возьмем 
  
    
      
        P
        =
        (
        7
        )
      
    
    {\displaystyle P=(7)}
  
. Многочлен 
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
      
    
    {\displaystyle X^{2}+1}
  
 неприводим по модулю 7. Поэтому существует только один простой множитель с степенью инерции 2 и индексом ветвления 1 и он задается формулой
 Последний случай — 
  
    
      
        P
        =
        (
        p
        )
      
    
    {\displaystyle P=(p)}
  
 для простого 
  
    
      
        p
        ≡
        1
        
          
          (
          mod
          
          4
          )
        
      
    
    {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}
  
; мы снова возьмем 
  
    
      
        P
        =
        (
        13
        )
      
    
    {\displaystyle P=(13)}
  
. На этот раз мы имеем разложение
 Поэтому существуют два основных множителя, как с степенью инерции, так и с индексом ветвления равным 1. Они даются выражением
 and