Обобщённый интеграл энергии — интеграл уравнений Лагранжа голономной механической системы в случае не зависящей от времени функции Лагранжа. Также называется интегралом Якоби. Всегда существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени не зависит.
 Уравнения Лагранжа голономной механической системы c независящей от времени функцией Лагранжа
 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  m
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}
  

 имеют обобщённый интеграл энергии:
 
  
    
      
        h
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        −
        L
      
    
    {\displaystyle h=\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L}
  

 Рассмотрим голономную систему, имеющую 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 степеней свободы, с функцией Лагранжа  
 
  
    
      
        L
        =
        L
        (
        
          q
          
            m
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle L=L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)}
  
, 
 зависящей от обобщённых координат 
  
    
      
        
          q
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{m}}
  
, обобщённых скоростей 
  
    
      
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {q}}_{m}}
  
 и времени 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
,
здесь и ниже всюду 
  
    
      
        m
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        s
      
    
    {\displaystyle m=1,2,...,s}
  
.
 Дифференцируя по времени функцию 
  
    
      
        L
        (
        
          q
          
            m
          
        
        ,
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle L(q_{m},{\dot {q}}_{m},t)}
  
, получаем
 
  
    
      
        
          
            
              d
              L
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                m
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ¨
                  
                
              
              
                m
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}}
  
.
 Из уравнений Лагранжа 
 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  m
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}=0}
  

 следует, что 
 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  m
                
              
            
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)}
  
.
 Тогда получаем:
 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                q
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            m
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  
                    
                      
                        q
                        ˙
                      
                    
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ¨
              
            
          
          
            m
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                m
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right){\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}\right)}
  
.
 Пользуясь этим, имеем:
 
  
    
      
        
          
            
              d
              L
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    q
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                m
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ¨
                  
                
              
              
                m
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}}
  

 Или:
 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                m
                =
                1
              
              
                s
              
            
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                m
              
            
            −
            L
          
          )
        
        +
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}=0}
  
.
 Если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то  
  
    
      
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}
  
 и 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                m
                =
                1
              
              
                s
              
            
            
              
                
                  ∂
                  L
                
                
                  ∂
                  
                    
                      
                        
                          q
                          ˙
                        
                      
                    
                    
                      m
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    q
                    ˙
                  
                
              
              
                m
              
            
            −
            L
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L\right)=0}
  

 Из этого следует:
 
  
    
      
        
          ∑
          
            m
            =
            1
          
          
            s
          
        
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                
                  
                    
                      q
                      ˙
                    
                  
                
                
                  m
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                q
                ˙
              
            
          
          
            m
          
        
        −
        L
        =
        h
      
    
    {\displaystyle \sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m}-L=h}
  

 Это выражение называется обобщённым интегралом энергии, или интегралом Якоби.