В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
 где каждый многочлен 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 имеет степень 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  
.
 
Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах П. Л. Чебышёва по непрерывным дробям и позднее развито А. А. Марковым и Т. И. Стилтьесом и нашло различные применения во многих областях математики и физики.
 Пусть 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
 — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть
 заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
 функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция 
  
    
      
        w
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)}
  
 связана с пространством функций 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{2}}
  
, для которых сходится интеграл
 В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле
 Если скалярное произведение двух функций равно нулю 
  
    
      
        ⟨
        f
        ,
        g
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \langle f,g\rangle =0}
  
, то такие функции называются ортогональными с весом 
  
    
      
        w
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)}
  
. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.
 Систему многочленов
 называют ортогональной, если
 Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        
          p
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        =
        
          h
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ||p_{n}||=h_{n}=1}
  
. Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения 
  
    
      
        
          h
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle h_{n}}
  
 отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.
 Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:
 где 
 Эта формула остаётся справедливой и для 
  
    
      
        n
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n=0}
  
, если положить 
  
    
      
        
          p
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p_{-1}(x)=0}
  
.
 Докажем, что для любого n существуют такие коэффициенты a, b и c, что выполняется последнее рекуррентное соотношение.
 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  k
                
              
              (
              x
              )
              
                p
                
                  k
                
              
              (
              y
              )
            
            
              h
              
                k
              
            
          
        
        =
        
          
            
              k
              
                n
              
            
            
              
                k
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                h
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          
            
              
                p
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              (
              x
              )
              
                p
                
                  n
                
              
              (
              y
              )
              −
              
                p
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              (
              y
              )
              
                p
                
                  n
                
              
              (
              x
              )
            
            
              x
              −
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {p_{k}(x)p_{k}(y)}{h_{k}}}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}{\frac {p_{n+1}(x)p_{n}(y)-p_{n+1}(y)p_{n}(x)}{x-y}}}
  
,
 или при 
  
    
      
        y
        →
        x
      
    
    {\displaystyle y\to x}
  

 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          h
          
            k
          
          
            −
            1
          
        
        
          
            [
            
              
                p
                
                  k
                
              
              (
              x
              )
            
            ]
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              k
              
                n
              
            
            
              
                k
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                h
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          [
          
            
              p
              
                n
                +
                1
              
              ′
            
            (
            x
            )
            
              p
              
                n
              
            
            (
            x
            )
            −
            
              p
              
                n
                +
                1
              
            
            (
            x
            )
            
              p
              
                n
              
              ′
            
            (
            x
            )
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}h_{k}^{-1}\left[p_{k}(x)\right]^{2}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}h_{n}}}\left[p'_{n+1}(x)p_{n}(x)-p_{n+1}(x)p'_{n}(x)\right]}
  

 Все корни многочлена 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности 
  
    
      
        
          [
          
            a
            ;
            b
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[a;b\right]}
  
.
 Предположим, что  
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 внутри интервала ортогональности меняет знак лишь в 
  
    
      
        m
        <
        n
      
    
    {\displaystyle m<n}
  
 точках. Тогда существует многочлен 
  
    
      
        
          s
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle s_{m}(x)}
  
 степени 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, такой, что 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          s
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0}
  
. С другой стороны, многочлен 
  
    
      
        
          s
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle s_{m}(x)}
  
 можно представить в виде линейной комбинации многочленов 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          p
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
        ⋯
        ,
        
          p
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)}
  
, а значит 
  
    
      
        
          s
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle s_{m}(x)}
  
 ортогонален 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
, то есть 
  
    
      
        ⟨
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          s
          
            m
          
        
        (
        x
        )
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0}
  
. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
 Между двумя последовательными корнями многочлена 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 расположен в точности один корень многочлена 
  
    
      
        
          p
          
            n
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n+1}(x)}
  
 и, по крайней мере, один корень многочлена 
  
    
      
        
          p
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{m}(x)}
  
, при 
  
    
      
        m
        >
        n
      
    
    {\displaystyle m>n}
  
.
 Каждый многочлен 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}(x)}
  
 такой же степени и с таким же первым коэффициентом.
 Для данного n любой многочлен p(x) степени n с таким же первым коэффициентом может быть представлен как
 Используя ортогональность, квадратная норма p(x) удовлетворяет
 Так как нормы являются положительными, необходимо взять квадратные корни обеих сторон, и получится результат.
 Система ортогональных многочленов 
  
    
      
        
          p
          
            i
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{i}(x)}
  
 является полной. Это значит, что любой многочлен 
  
    
      
        S
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle S(x)}
  
 степени n может быть представлен в виде ряда
 где 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 коэффициенты разложения.
 Доказывается с помощью математической индукции. Выберем 
  
    
      
         
        
          
            α
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \ {\alpha }_{n}}
  
 так, чтобы 
  
    
      
         
        S
        (
        x
        )
        −
        
          
            α
          
          
            n
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \ S(x)-{\alpha }_{n}P_{n}(x)}
  

был многочленом степени меньше 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Далее по индукции.
 Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:
 
  
    
      
        
          Q
          (
          x
          )
        
        
        
          f
          ″
        
        +
        
          L
          (
          x
          )
        
        
        
          f
          ′
        
        +
        
          λ
        
        f
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle {Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,}
  

 где 
  
    
      
        Q
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle Q(x)}
  
 и 
  
    
      
        L
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L(x)}
  
 заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 и 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме
 
  
    
      
        (
        R
        (
        x
        )
        
          y
          ′
        
        
          )
          ′
        
        +
        W
        (
        x
        )
        
        λ
        
        y
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle (R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,}
  

 где 
  
    
      
        R
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            ∫
            
              
                
                  L
                  (
                  x
                  )
                
                
                  Q
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            
            d
            x
          
        
        ,
        
        W
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              R
              (
              x
              )
            
            
              Q
              (
              x
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}.}
  
 Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел 
  
    
      
        
          
            λ
          
          
            0
          
        
        ,
        
          
            λ
          
          
            1
          
        
        ,
        
          
            λ
          
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle {\lambda }_{0},{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\dots }
  
 и множеству собственных функций 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        ,
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2},\dots }
  
, обладающих следующими свойствами:
 Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами
 Обозначим 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{m}(x)}
  
 как m-ую производную полинома 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}(x)}
  
. Производная 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            m
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{m}(x)}
  
 является полиномом степени 
  
    
      
        n
        −
        m
      
    
    {\displaystyle n-m}
  
 и обладает следующими свойствами:
 Классические ортогональные полиномы, которые происходят из дифференциального уравнения, описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.
 Многочлены Якоби обозначаются 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            ,
            β
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}
  
, где параметры 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 и 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 вещественные числа больше −1.
Если 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 и 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
.
 Многочлены Гегенбауэра обозначаются 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
          
            (
            α
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}
  
, где параметр 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 и 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  

 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
          
            (
            α
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              2
              α
              
              +
              
              n
              )
              
              Γ
              (
              α
              
              +
              
              1
              
                /
              
              2
              )
            
            
              Γ
              (
              2
              α
              )
              
              Γ
              (
              α
              
              +
              
              n
              
              +
              
              1
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        
         
        
          P
          
            n
          
          
            (
            α
            −
            1
            
              /
            
            2
            ,
            α
            −
            1
            
              /
            
            2
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}.}
  

 Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 и соответствующей нормализацией.
 Многочлены Лежандра обозначаются 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}(x)}
  
 и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром 
  
    
      
        α
        =
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha =1/2}
  

 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          C
          
            n
          
          
            (
            1
            
              /
            
            2
            )
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).}
  

 Многочлен Чебышёва 
  
    
      
        
          T
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle T_{n}(x)}
  
 часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  

 
  
    
      
        
          T
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        n
        
        a
        r
        c
        c
        o
        s
        (
        x
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).}
  

 Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра 
  
    
      
        α
        →
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha \to 0}
  

 
  
    
      
        
          T
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            α
            →
            0
          
        
        n
        
        Γ
        (
        α
        )
        
        
          C
          
            n
          
          
            (
            α
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.}
  

 Многочлен Чебышёва второго рода 
  
    
      
        
          U
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle U_{n}(x)}
  
 характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        +
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,+1]}
  
 меньше всего отклоняется от нуля
 
  
    
      
        
          U
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              n
              +
              1
            
          
        
        
        
          T
          
            n
            +
            1
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'}
  

 Ассоциированные или обобщённые многочлены Лагерра обозначаются 
  
    
      
        
          L
          
            n
          
          
            (
            α
            )
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}
  
, где параметр 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 вещественное число больше -1. Для 
  
    
      
        α
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha =0}
  
 обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лагерра
 
  
    
      
        
          L
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          L
          
            n
          
          
            (
            0
            )
          
        
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).}
  

 Система ортогональных многочленов 
  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          f
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}}
  
 может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов 
  
    
      
        
          g
          
            k
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{k}(x)=x^{k}}
  
 следующим образом. Определим проектор как
 тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме
 Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.
 Весовая функция 
  
    
      
        w
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)}
  
, заданная на промежутке 
  
    
      
        
          [
          
            a
            ;
            b
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \left[a;b\right]}
  
, однозначно определяет систему ортогональных многочленов 
  
    
      
        {
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
          }
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}
  
 с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа
 моменты весовой функции, тогда многочлен 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 может быть представлен в виде:
 Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум 
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{3})}
  
 операций.
 Докажем, что заданный таким образом многочлен 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 ортогонален всем многочленам степени меньше n. Рассмотрим скалярное произведение 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 на 
  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{k}}
  
 для 
  
    
      
        k
        <
        n
      
    
    {\displaystyle k<n}
  
.
 Поскольку матрица имеет две совпадающие строки для 
  
    
      
        k
        <
        n
      
    
    {\displaystyle k<n}
  
.
 Если выбрать нормировку многочлена 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  
 таким образом, что коэффициент 
  
    
      
        
          k
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{n}}
  
 при главном члене равен единице, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:
 где
 Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул
 
  
    
      
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        f
        (
        x
        )
        w
        (
        x
        )
        d
        x
        ≈
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          w
          
            i
          
        
        f
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{\Omega }f(x)w(x)dx\approx \sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}
  

 где 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 и 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 до степени 
  
    
      
        2
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2n-1}
  
 включительно. При этом узлы 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 есть корни n-го полинома из последовательности полиномов 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        ,
        
          p
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle p_{0}(x),p_{1}(x),...}
  
, ортогональных с весовой функцией 
  
    
      
        w
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle w(x)}
  
. Веса 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
  
 вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.
 Так же многочлены Чебышёва первого 
  
    
      
        
          T
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle T_{n}(x)}
  
 и второго 
  
    
      
        
          U
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle U_{n}(x)}
  
 типа часто используется для аппроксимации функций.