Теорема Эрдёша — Каца — утверждение в теории чисел, которое связывает распределение числа разных простых делителей больших чисел с формулами предельных законов теории вероятностей. Этот результат теории чисел, полученный Палом Эрдёшом и Марком Кацем в 1940 году утверждает, что если 
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (n)}
  
 — число различных простых делителей числа 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, то предельное распределение величины
 является стандартным нормальным распределением. Это глубокое обобщение теоремы Харди — Рамануджана, которая утверждает, что «среднее» значение 
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (n)}
  
 равно 
  
    
      
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle \log \log n}
  
, а «среднее отклонение» не более 
  
    
      
        
          
            log
            ⁡
            log
            ⁡
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\log \log n}}}
  
.
 Более формально теорема утверждает, что для любых фиксированных 
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
 выполнено:
 где
 В оригинальном доказательстве утверждение о нормальности распределения в первой лемме теоремы основано на том, что функция 
  
    
      
        ω
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (n)}
  
 является аддитивной и может быть представлена как сумма индикаторов делимости на простые числа. Далее, не вводя понятие случайной величины, авторы утверждают, что слагаемые-индикаторы независимы. Затем не вдаваясь в подробности, авторы ссылаются на источник, где нормальность распределения доказывается для сумм слабозависимых случайных величин. В конце доказательства авторы извиняются за поверхностность «статистической» леммы.
 В 1958 году Альфред Реньи и Пал Туран дали более точное доказательство.
 В теореме идёт речь о распределении детерминированных величин, а не о распределении вероятностей случайной величины. Но если на достаточно большом отрезке натуральных чисел выбирать случайно число 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, то число различных простых делителей этого числа будет иметь приблизительно нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией равным среднему значению 
  
    
      
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle \log \log n}
  
 на отрезке. Поскольку эта функция, называемая повторным логарифмом, растёт медленно, то такое усреднение не будет приводить к большой ошибке даже на очень длинных отрезках. Вид распределения связывает теорему Эрдёша — Каца с центральной предельной теоремой.
 Повторный логарифм — это чрезвычайно медленно растущая функция. В частности, числа до миллиарда содержат в разложении на простые в среднем три простых числа.
 Например 1 000 000 003 = 23 × 307 × 141 623.
 Если заполнить шар размером с Землю песком, потребуется около 1033 песчинок. Для заполнения видимой части вселенной потребовалось бы 1093 песчинок.
Там же может поместиться 10185 квантовых струн.
 Числа такого размера — с 186 знаками — в среднем состоят лишь из 6 простых чисел в разложении.