Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.
 Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.
 Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.
В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
 Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.
 1. Многочленом Тейлора функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 вещественной переменной 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, дифференцируемой 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 раз в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, называется конечная сумма
 используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:
 При записи суммы использованы обозначение 
  
    
      
        
          f
          
            (
            0
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}
  
 и соглашение о произведении по пустому множеству: 
  
    
      
        0
        !
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0!=1}
  
, 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{0}=1}
  
.
 2. Рядом Тейлора в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 вещественной переменной 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, называется формальный степенной ряд
 Другими словами, рядом Тейлора функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена 
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        )
      
    
    {\displaystyle (x-a)}
  
:
 Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в окрестности точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 3. Рядом Тейлора в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 функции 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 комплексной переменной 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
,
удовлетворяющей в некоторой окрестности 
  
    
      
        U
        ⊆
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }
  
 точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 условиям Коши — Римана,
называется степенной ряд
 В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса 
  
    
      
        R
        >
        0
      
    
    {\displaystyle R>0}
  
, что в 
  
    
      
        
          D
          
            R
          
        
        =
        {
        z
        ∈
        
          C
        
        :
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        R
        }
        ⊆
        U
      
    
    {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U}
  
 ряд сходится к функции 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
.
 4. В случае 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 ряд
 называется рядом Маклорена.
 1. Функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 вещественной переменной 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 называется аналитической в точке 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
, если существуют такой радиус 
  
    
      
        R
        >
        0
      
    
    {\displaystyle R>0}
  
 и такие коэффициенты 
  
    
      
        
          c
          
            k
          
        
        =
        
          c
          
            k
          
        
        (
        a
        )
        =
        
          c
          
            k
          
        
        (
        a
        ;
        f
        )
        
      
    
    {\displaystyle c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,}
  
, 
  
    
      
        k
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        …
        
      
    
    {\displaystyle k=0,1,2,\dots \,}
  
, что 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 может быть представлена в виде сходящегося на интервале 
  
    
      
        (
        a
        −
        R
        ;
        a
        +
        R
        )
      
    
    {\displaystyle (a-R;a+R)}
  
 степенного ряда:

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              c
              
                k
              
            
          
          
            
              
                (
                x
                −
                a
                )
              
              
                k
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,}
  
,
то есть 
  
    
      
        ∀
        x
        ∈
        (
        a
        −
        R
        ;
        a
        +
        R
        )
      
    
    {\displaystyle \forall x\in (a-R;a+R)}
  
 
  
    
      
        ⇒
      
    
    {\displaystyle \Rightarrow }
  
 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            +
            ∞
          
        
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              c
              
                k
              
            
          
          
            
              
                (
                x
                −
                a
                )
              
              
                k
              
            
          
        
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)}
  
.
 Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).
 2. Степенной ряд 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              c
              
                k
              
            
          
          
            
              
                (
                z
                −
                a
                )
              
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}
  
 на любом компактном подмножестве 
  
    
      
        K
      
    
    {\displaystyle K}
  
 области сходимости 
  
    
      
        
          D
          
            R
          
        
        =
        {
        z
        ∈
        
          C
        
        :
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        R
        }
      
    
    {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}
  
 допускает почленное дифференцирование любое количество раз.
 Если в 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
-ю производную функции 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              c
              
                k
              
            
          
          
            
              
                (
                z
                −
                a
                )
              
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}}
  
 подставить 
  
    
      
        z
        =
        a
      
    
    {\displaystyle z=a}
  
, то получится 
  
    
      
        
          
            c
            
              k
            
          
        
        ⋅
        k
        !
      
    
    {\displaystyle {c_{k}}\cdot k!}
  
.
 Таким образом, для аналитической в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 функции 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 для некоторого 
  
    
      
        R
        >
        0
      
    
    {\displaystyle R>0}
  
 всюду в 
  
    
      
        
          D
          
            R
          
        
        =
        {
        z
        ∈
        
          C
        
        :
        
          |
        
        z
        −
        
          z
          
            0
          
        
        
          |
        
        <
        R
        }
      
    
    {\displaystyle D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}}
  
 является верным представление 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  k
                  )
                
              
              (
              a
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        (
        z
        −
        a
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}}
  
.
 Следствие. Функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 вещественной переменной 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 является аналитической в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 на некотором открытом интервале, содержащем точку 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 вещественного переменного 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 её ряд Тейлора 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              
                f
                
                  (
                  k
                  )
                
              
              (
              a
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
  
 сходиться к 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 всюду на каком-нибудь интервале 
  
    
      
        (
        a
        −
        R
        ;
        a
        +
        R
        )
      
    
    {\displaystyle (a-R;a+R)}
  
, то есть представима ли 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 этим рядом?
 Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 Примеры. Функции вещественной переменной 
  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        
                          
                            1
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  x
                  ≠
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
            
          
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
  
,

  
    
      
        
          f
          
            +
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        
                          
                            1
                            x
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  x
                  >
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  ≤
                  0
                
              
            
          
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,}
  
,

  
    
      
        
          f
          
            
              v
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        
                          
                            1
                            
                              
                                |
                              
                              x
                              
                                |
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  x
                  ≠
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
            
          
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
  

являются бесконечно дифференцируемыми в точке 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
, причём все эти производные равны нулю.
 Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 тождественно равны нулю.
Однако, для любого 
  
    
      
        R
        >
        0
      
    
    {\displaystyle R>0}
  
 в окрестности 
  
    
      
        (
        −
        R
        ;
        +
        R
        )
      
    
    {\displaystyle (-R;+R)}
  
 точки 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 найдутся точки,
в которых функции отличны от 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
.
Таким образом, эти функции не являются в точке 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 аналитическими.
 Доказательство проведём для функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  
                    
                      e
                      
                        −
                        
                          
                            1
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ,
                
                
                  x
                  ≠
                  0
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  =
                  0
                
              
            
          
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,}
  
, предложенной Огюстеном Луи Коши.
 Функция 
  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}
  
, является аналитической функцией комплексной переменной
для всех 
  
    
      
        z
        ∈
        
          
            
              C
            
            ¯
          
        
        ∖
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}}
  
.
 Для 
  
    
      
        z
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle z\neq 0}
  
 очевидно, что

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              z
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        ⋅
        
          (
          
            
              2
              
                z
                
                  3
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)}
  
.
 Функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 для 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
  
 — это «исправленная» функция

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}
  
, 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
        ∖
        {
        0
        }
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
  
,
дополненная пределами слева 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            ,
            x
            <
            0
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}
  

и справа 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            ,
            x
            >
            0
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0}
  
 в точке 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
.
 Найдём производную функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в точке 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
.
По определению:

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        0
        )
        =
        
          lim
          
            Δ
            x
            →
            0
            ,
            Δ
            x
            ∈
            
              R
            
            ∖
            {
            0
            }
          
        
        
          
            
              f
              (
              0
              +
              Δ
              x
              )
              −
              f
              (
              0
              )
            
            
              Δ
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
            ,
            h
            ∈
            
              R
            
            ∖
            {
            0
            }
          
        
        
          
            
              f
              (
              h
              )
              −
              0
            
            h
          
        
        =
        
          
            0
            0
          
        
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
            ,
            h
            ∈
            
              R
            
            ∖
            {
            0
            }
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              h
              )
            
            
              h
              ′
            
          
        
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
            ,
            h
            ∈
            
              R
            
            ∖
            {
            0
            }
          
        
        
          
            
              2
              f
              (
              h
              )
            
            
              
                h
              
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}}
  
.
 Поскольку для 
  
    
      
        x
        ∈
        (
        0
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x\in (0;1)}
  
 выполняется

  
    
      
        0
        <
        
          e
          
            −
            
              
                1
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        <
        
          e
          
            −
            
              
                1
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}}
  
,
то
докажем, что для произвольного 
  
    
      
        α
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha >0}
  
 верно 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            ,
            x
            >
            0
          
        
        
          
            
              e
              
                −
                
                  
                    1
                    x
                  
                
              
            
            
              x
              
                α
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0}
  
.
 Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
 Выполним замену переменной: 
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
        =
        t
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}=t}
  
:
 
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            ,
            x
            >
            0
          
        
        
          
            
              e
              
                −
                
                  
                    1
                    x
                  
                
              
            
            
              x
              
                α
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            t
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                α
              
            
            
              e
              
                t
              
            
          
        
        =
        
          
            
              +
              ∞
            
            
              +
              ∞
            
          
        
        =
        
          lim
          
            t
            →
            +
            ∞
          
        
        
          
            
              α
              
                t
                
                  α
                  −
                  1
                
              
            
            
              e
              
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        k
        =
        ⌈
        α
        ⌉
      
    
    {\displaystyle k=\lceil \alpha \rceil }
  
.
Применяя правило Лопиталя 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 раз, в числителе получим либо (при 
  
    
      
        α
        =
        k
      
    
    {\displaystyle \alpha =k}
  
) константу 
  
    
      
        k
        !
      
    
    {\displaystyle k!}
  
, либо (при 
  
    
      
        α
        <
        k
      
    
    {\displaystyle \alpha <k}
  
) бесконечно малую 
  
    
      
        α
        (
        α
        −
        1
        )
        …
        (
        α
        −
        k
        +
        1
        )
        
          t
          
            α
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}
  
:
 Таким образом,
 Найдём (для 
  
    
      
        x
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle x\neq 0}
  
) несколько начальных
производных функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
:
 И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  

на сумму целых отрицательных степеней

  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
.
Конечная сумма
бесконечно малых является бесконечно малой.
Таким образом,

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            ,
            x
            ∈
            
              R
            
            ∖
            {
            0
            }
          
        
        
          f
          
            (
            k
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0}
  
.
 Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в точке 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
,
обнаруживаем, что все производные в
точке 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  
 равны нулю.
 Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.
 Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
) для случая комплексной переменной
и интервал (с центром в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
) — для случая вещественной переменной.
 1. Например, функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}
  
 может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: 
  
    
      
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}
  
 (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция 
  
    
      
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
  
 определена для всех действительных чисел, кроме точки 
  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
, то ряд 
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}
  
 сходится только при условии 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |x|<1}
  
.
 2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:
 3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  
. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен 
  
    
      
        R
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        
          |
          
            
              
                
                  e
                  
                    a
                  
                
                
                  e
                  
                    a
                  
                
              
            
            (
            k
            +
            1
            )
          
          |
        
        =
        
          lim
          
            k
            →
            ∞
          
        
        (
        k
        +
        1
        )
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty }
  
. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 для любого параметра 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 
4. От параметра — точки разложения 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ряда Тейлора — зависит область его сходимости.
 Например, разложим в общем случае (для произвольного 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
) в ряд Тейлора функцию 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}
  
: 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              a
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      x
                      −
                      a
                    
                    
                      1
                      −
                      a
                    
                  
                
                )
              
            
            
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}}
  
.
 Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, при любых значениях 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 (кроме 
  
    
      
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a=1}
  
) имеет один и тот же вид.
 Действительно,
 Область сходимости ряда может быть задана неравенством 
  
    
      
        
          |
          
            
              
                x
                −
                a
              
              
                1
                −
                a
              
            
          
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1}
  
. И теперь эта область зависит от 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
. Например, для 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 ряд сходится при 
  
    
      
        x
        ∈
        (
        −
        1
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x\in (-1;1)}
  
. Для 
  
    
      
        a
        =
        0
        
          ,
        
        5
      
    
    {\displaystyle a=0{,}5}
  
 ряд сходится при 
  
    
      
        x
        ∈
        (
        0
        ;
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x\in (0;1)}
  
.
 Предположим, что функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 имеет все производные до 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
. Найдем многочлен 
  
    
      
        
          
            P
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {P_{n}}(x)}
  
 степени не выше 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, значение которого в точке 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
 равняется значению функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в этой точке, а значения его производных до 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-го порядка включительно в точке 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
 равняются значениям соответствующих производных от функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 в этой точке.
 Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид 
  
    
      
        
          
            P
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                
                  
                    f
                    
                      (
                      k
                      )
                    
                  
                
                (
                a
                )
              
              
                k
                !
              
            
          
          
            
              
                (
                x
                −
                a
                )
              
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}}
  
, то есть это 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-я частичная сумма ряда Тейлора функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
. Разница между функцией 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 и многочленом 
  
    
      
        
          
            P
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {P_{n}}(x)}
  
 называется остаточным членом и обозначается 
  
    
      
        
          
            R
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        −
        
          
            P
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)}
  
. Формула 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            P
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
        +
        
          
            R
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)}
  
 называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
 раз в рассматриваемой окрестности точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
 Теорема:
 Если функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 имеет 
  
    
      
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle n+1}
  
 производную на отрезке с концами 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, то для произвольного положительного числа 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 найдётся точка 
  
    
      
        ξ
      
    
    {\displaystyle \xi }
  
, лежащая между 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, такая, что
 Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
 В форме Лагранжа:
 В форме Коши:
 В интегральной форме:
 Ослабим предположения:
 Предположим, что некоторую функцию 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
, и её ряд Тейлора с параметром 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.
 Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка 
  
    
      
        x
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x=a}
  
, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.
 Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
. Пусть ряд Тейлора с параметром 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 из окрестности 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 по формуле Тейлора можно записать 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        (
        f
        (
        x
        )
        −
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        −
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}
  
, где 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          P
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}(x)}
  
 — ряд Тейлора.
 Очевидно, что функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 является аналитической в точке 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 существует непрерывная область 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 такая, что для всех 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  
 остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
: 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0}
  
.
 В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
  
. Её ряд Тейлора сходится на всей оси 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 для любых параметров 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид 
  
    
      
        
          
            R
            
              n
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              
                (
                x
                −
                a
                )
              
              
                n
                +
                1
              
            
            
              (
              n
              +
              1
              )
              !
            
          
        
        
          
            e
            
              
                ξ
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}}
  
, где 
  
    
      
        
          ξ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \xi _{n}}
  
 — некоторое число, заключенное между 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 и 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,
 Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  

 Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 и 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
.
 Пусть функция 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 имеет непрерывные производные до 
  
    
      
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n+1)}
  
-го порядка включительно в некоторой окрестности точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
  
.
Введём дифференциальный оператор
 Тогда разложение (формула Тейлора) функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 по степеням 
  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            p
          
        
        (
        y
        −
        
          y
          
            0
          
        
        
          )
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}}
  
 для 
  
    
      
        p
        +
        q
        ≤
        n
      
    
    {\displaystyle p+q\leq n}
  
 в окрестности точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}
  
 будет иметь вид
 где 
  
    
      
        
          R
          
            n
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle R_{n}(x,y)}
  
 — остаточный член в форме Лагранжа:
 Следует иметь в виду, что операторы 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                ∂
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial x}}}
  
 и 
  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                ∂
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial y}}}
  

в 
  
    
      
        
          
            T
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {T} ^{k}}
  
 действуют только на функцию 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
, но не на 
  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x-x_{0})}
  
 и/или 
  
    
      
        (
        y
        −
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (y-y_{0})}
  
.
 Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе 
  
    
      
        
          T
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {T} }
  
.
 В случае функции одной переменной 
  
    
      
        
          T
        
        =
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        
          
            
              d
              
                d
                x
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,}
  
.
 Для получения формулы Тейлора функции 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 переменных 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})}
  
, которая в некоторой окрестности точки 
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
  
 имеет непрерывные производные до 
  
    
      
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (m+1)}
  
-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор
 Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням 
  
    
      
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          a
          
            i
          
        
        
          )
          
            
              k
              
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{i}-a_{i})^{k_{i}}}
  
 в окрестности точки 
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
  
 имеет вид
 где 
  
    
      
        
          R
          
            m
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})}
  
 — остаточный член порядка 
  
    
      
        (
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (m+1)}
  
.
 Для функции 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки 
  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})}
  
, ряд Тейлора имеет вид:
 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        
          ∑
          
            
              i
              
                1
              
            
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          ∑
          
            
              i
              
                2
              
            
            =
            1
          
          
            n
          
        
        .
        .
        .
        
          ∑
          
            
              i
              
                k
              
            
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  k
                
              
              f
              (
              
                a
                
                  1
                
              
              ,
              
                a
                
                  2
                
              
              ,
              .
              .
              .
              ,
              
                a
                
                  n
                
              
              )
            
            
              ∂
              
                x
                
                  
                    i
                    
                      1
                    
                  
                
              
              ∂
              
                x
                
                  
                    i
                    
                      2
                    
                  
                
              
              .
              .
              .
              ∂
              
                x
                
                  
                    i
                    
                      k
                    
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            
              i
              
                1
              
            
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            
              i
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        )
        .
        .
        .
        (
        
          x
          
            
              i
              
                n
              
            
          
        
        −
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})}
  
.
 В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:
 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          x
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    
                      k
                      
                        1
                      
                    
                    =
                    0
                  
                
                
                  ∑
                  
                    
                      k
                      
                        2
                      
                    
                    =
                    0
                  
                
                .
                .
                .
                
                  ∑
                  
                    
                      k
                      
                        n
                      
                    
                    =
                    0
                  
                
              
              ⏞
            
          
          
            
              k
              
                1
              
            
            +
            
              k
              
                2
              
            
            +
            .
            .
            .
            +
            
              k
              
                n
              
            
            =
            k
          
        
        
          
            
              1
              
                
                  k
                  
                    1
                  
                
                !
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                !
                .
                .
                .
                
                  k
                  
                    n
                  
                
                !
              
            
          
        
        
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    k
                  
                
                f
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                ,
                .
                .
                .
                ,
                
                  a
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                ∂
                
                  x
                  
                    1
                  
                  
                    
                      k
                      
                        1
                      
                    
                  
                
                ∂
                
                  x
                  
                    2
                  
                  
                    
                      k
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                .
                .
                .
                ∂
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    
                      k
                      
                        n
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        
          )
          
            
              k
              
                1
              
            
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          a
          
            2
          
        
        
          )
          
            
              k
              
                2
              
            
          
        
        .
        .
        .
        (
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          a
          
            n
          
        
        
          )
          
            
              k
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}}
  
.
 Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 и 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 в окрестности точки 
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0,0)}
  
 до второго порядка малости. Оператор 
  
    
      
        
          T
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {T} }
  
 будет иметь вид
 Разложение в ряд Тейлора запишется в виде
 Учитывая, что
 получим
 Например, при 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        
          e
          
            x
            +
            y
            +
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x,y,z)=e^{x+y+z}}
  
,