p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p.
 p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.
 Поле p-адических чисел обычно обозначается 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
  
 или 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}
  
.
 Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность 
  
    
      
        x
        =
        {
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}
  
 вычетов 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
  
 по модулю 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
, удовлетворяющих условию:
 Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых p-адических чисел обычно обозначается 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
  
.
 В терминах проективных пределов кольцо целых 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-адических чисел определяется как предел
 колец 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              n
            
          
        
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }
  
 вычетов по модулю 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{n}}
  
 относительно естественных проекций 
  
    
      
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              n
              +
              1
            
          
        
        
          Z
        
        →
        
          Z
        
        
          /
        
        
          
            p
            
              n
            
          
        
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }
  
.
 Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, но и любого составного числа 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 — получится т. н. кольцо 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
-адических чисел, но это кольцо в отличие от 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
  
 обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.
 Обычные целые числа вкладываются в 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
  
 очевидным образом: 
  
    
      
        x
        =
        {
        x
        ,
        x
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{x,x,\ldots \}}
  
 и являются подкольцом.
 Беря в качестве элемента класса вычетов число 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          x
          
            n
          
        
        
        
          mod
          
            
          
        
        
          
            p
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=x_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}}
  
 (таким образом, 
  
    
      
        0
        ≤
        
          a
          
            n
          
        
        <
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\leq a_{n}<p^{n}}
  
), мы можем записать каждое целое p-адическое число в виде 
  
    
      
        x
        =
        {
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{a_{1},a_{2},\ldots \}}
  
 однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
  
 в p-ичной системе счисления 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          b
          
            n
          
        
        …
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}=b_{n}\ldots b_{2}b_{1}}
  
 и, учитывая, что 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        ≡
        
          a
          
            n
            +
            1
          
        
        
          
          (
          mod
          
          
            p
            
              n
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}\equiv a_{n+1}{\pmod {p^{n}}}}
  
, возможно всякое p-адическое число в каноническом виде представить в виде 
  
    
      
        x
        =
        {
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            3
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{b_{1},b_{2}b_{1},b_{3}b_{2}b_{1},\ldots \}}
  
 или записать в виде бесконечной последовательности цифр в p-ичной системе счисления 
  
    
      
        x
        =
        {
        …
        
          b
          
            n
          
        
        …
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{\ldots b_{n}\ldots b_{2}b_{1}\}}
  
. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в p-ичной системе счисления.
 В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют p-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют p-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).
 p-адическим числом называется элемент поля частных 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
  
 кольца 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
  
 целых p-адических чисел.
Это поле называется полем p-адических чисел.
 Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
 Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число, не кратное p, обратимо в кольце 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
  
, а кратное p однозначно записывается в виде 
  
    
      
        x
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle xp^{n}}
  
, где x не кратно p и поэтому обратимо, а 
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  
. Поэтому любой ненулевой элемент поля 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
  
 может быть записан в виде 
  
    
      
        x
        
          p
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle xp^{n}}
  
, где x не кратно p, а n любое; если n отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности 
  
    
      
        x
        =
        {
        …
        
          b
          
            k
          
        
        …
        
          b
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            0
          
        
        
          b
          
            −
            1
          
        
        …
        
          b
          
            n
            +
            1
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle x=\{\ldots b_{k}\ldots b_{2}b_{1},b_{0}b_{-1}\ldots b_{n+1}\}}
  
, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.
 Любое рациональное число 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 можно представить как 
  
    
      
        r
        =
        
          p
          
            n
          
        
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle r=p^{n}{\frac {a}{b}}}
  
 где 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 целые числа, не делящиеся на 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, а 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — целое.
Тогда 
  
    
      
        
          |
        
        r
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle |r|_{p}}
  
 — 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-адическая норма 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 — определяется как 
  
    
      
        
          p
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{-n}}
  
.
Если 
  
    
      
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r=0}
  
, то 
  
    
      
        
          |
        
        r
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle |r|_{p}=0}
  
.
 Поле 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой 
  
    
      
        
          d
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{p}}
  
, определённой 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
-адической нормой: 
  
    
      
        
          d
          
            p
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}
  
.
Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.
 Норма 
  
    
      
        
          |
        
        r
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle |r|_{p}}
  
 продолжается по непрерывности до нормы на 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
  
.