Тайлы - пожалуй один из самых удобных способов построения игровой логики. Все происходит максимально дискретно, никаких тебе физик с просчетом коллизий и прочими трудностями. Огромное множество игр на самом деле содержат тайлы - так просто проще представлять игровой мир. Такая упорядоченность помогает геймдизайнерам строить игровые механики, упрощает жизнь художников и делает код программистов понятнее. Самих видов тайлов тоже огромное количество - сегодня поговорим о прямоугольных и изометрических. Не стоит воспринимать все сказанное здесь как  научную истину, многие вещи выведены мной, так что не стесняйтесь исправлять, ругать и дополнять меня в комментариях. Все примеры сделаны на движке Godot Engine v. 3.2.3 с использованием его встроенного языка.  Думаю в целом язык понятен, но вот ссылки на некоторые функции из документации: VisualServer.canvas_item_add_line - рисование линии. VisualServer.canvas_item_add_rect - рисование залитого цветом прямоугольника. VisualServer.canvas_item_add_polyline - рисование множества линий между точками. VisualServer.canvas_item_add_polygon - рисование залитого цветом многоугольника. Данный метод рисования может быть вам не знаком, но я писал о нем ранее тут. Начнем с чего попроще - прямоугольных сеток. Такой тип представления игровой логики наверное максимально распространен в настольных играх, как пример - шахматы. В них фигуры ходят и бьют строго по клеткам на ограниченной размером 8x8 ячеек доске (ну мало ли кто то не знает). Не удивительно что из-за такой простоты и вариативности эта дисциплина быстро распространилась на компьютеры. Давайте же смотреть как это все устроено. Для понимания игрового мира необходима система координат. Обычно она состоит из двух осей (для двумерного мира) - X и Y. Внутри самой сетки направим оси как экранные - ось X вправо, ось Y вниз. Единичные отрезки представляют ячейки. Для связи сеточной системы отсчета с экранной необходимы базисные векторы, которые будут направлены вдоль осей сетки. Длины таких векторов будут равны размерам ячейки в пикселях, а начало системы отсчета, аналогично экранной, поместим в левый верхний угол: В коде задаем ширину и высоту ячейки, и уже через эти размеры определяем базисы: С преобразованием ячейки в пиксель проблем возникнуть не должно. Если клетка имеет координаты {x; y}, это значит, что на экране она находится на x горизонтальных и на y вертикальных базисов от начала координат: После такого преобразования получаем левый верхний угол ячейки. Для нахождения ее центра просто прибавляем по половинке базисных векторов: В расчетах это понадобится вряд ли, а вот для рисования в самый раз. Например, для соединения двух ячеек линией гораздо больше подойдет соединение центров, ведь так просто понятнее и эстетичнее: А как из пикселя получить ячейку? Если говорить простым языком, точка лежит в ячейке, пока она находится в пределах ее длины и высоты. Это означает, что для смещения к следующей ячейке необходимо переместится на ее размер на экране. Тогда точные координаты в сеточной системе отсчета можно найти через деление каждой координаты пикселя на соответствующий ей размер ячейки. В результате деления получится дробное число, вещественная часть которого показывает смещение пикселя внутри клетки относительно ее верхнего угла. Т.к. нас интересует только ячейка, округлим к ближайшему меньшему целому. Это важно, ведь при маленьких дробных отрицательных значениях (по модулю <1) приведение к int все равно покажет 0, хотя это уже отрицательная часть: Однако такие преобразования можно описать более точно, с помощью математики. Мы имеем базис из векторов srv{cell_width; 0} и sdv{0; cell_height}. Представив его в виде матрицы запишем преобразование координат ячейки в координаты пикселя как произведение матрицы и вектора: А для нахождения отсюда pixel нужно обратить матрицу: Раскрыв выражения получим то же самое, что и ранее. Я согласен с тем что этот подход тут неуместен, однако далее вы увидите всю его настоящую мощь. Как видим, все прекрасно работает: К сожалению, сетка и этот прекрасный желтый прямоугольник появляются не по щучьему велению, поэтому рисуем это тоже сами. Алгоритм рисования не отличается от разлиновывания чистого листа - просто рисуем вертикальные и горизонтальные линии с одинаковым интервалом. Для рисования сетки необходимо знать ее размеры: Тогда в качестве интервала между разделителями берем размеры ячейки, а в циклах идем от нуля до края карты. Т.к. нам нужна закрытая со всех сторон сетка, необходимо рисовать на одну линию больше, иначе какие-то две стороны останутся открытыми:  Получаем обычную прямоугольную сетку, то что нужно: Если необходима открытая сетка, то начинаем с единицы, чтобы не было верхней и левой границ, и при этом рисуем линии до крайних ячеек, не закрывая их справа и снизу: В играх необходимо показать пользователю ячейку, на которую указывает курсор. Для этого чаще всего ее просто выделяют, обводят цветом. В случае прямоугольных тайлов нам необходимо нарисовать четыре линии, то бишь каждую сторону ячейки. В Godot есть удобная функция для рисования отрезков между точками, надо только не забыть замкнуть цепочку - именно поэтому левый верхний угол встречается дважды: А для заливки ячейки рисуем залитый прямоугольник по координатам левого верхнего угла и с размерами ячейки: Выглядит это как то так: Если вы промотали часть про прямоугольные сетки досюда - я не удивлен. Во всяком случае они выглядят не так красиво, как изометрические. Вообще такой стиль в свое время опередил технологии - он создал объем тогда, когда это еще не было доступно в виду ограниченности технологических ресурсов. Типичным представителем являются в свое время очень популярные казаки:  А сейчас же изометрия используется в основном только инди студиями, да и спрайты выглядят гораздо проще - обычно это несложный пиксель-арт. Одним из ярчайших примеров является Into the Breach, обладатель нескольких наград и покоритель моего сердца своим шахмато-подобным геймплеем.  Часто в играх изометрию представляют как повернутую на 45° и сжатую по вертикали вдвое обычную сетку, поэтому система координат внутри сетки останется прежней, а базисные векторы все также направлены вдоль сеточных осей: Для задания размера ячейки использовать ее сторону не очень удобно, ведь при вертикальных искажениях ее размер меняется. Гораздо практичнее взять какую то постоянную величину, тогда через нее можно задавать любые другие. В качестве такой отлично подойдет горизонтальная диагональ ячейки, ведь при любых изменениях она сохраняет свой размер: Координаты базисных векторов можно найти как проекции на экранные оси. Тогда при проецировании проекции будут ровно попадать в диагонали, ведь они параллельны экранным осям. Для синего (X) базиса это будут половина горизонтальной диагонали по X и половина вертикальной по Y. Для красного (Y) все тоже самое, только его проекция на экранную ось X будет отрицательной. Зададим размер ячейки и два значения - cw как половина горизонтальной диагонали и ch как половина вертикальной. Как упоминалось ранее, сетка сжимается по вертикали вдвое, значит вертикальная диагональ, изначально равная горизонтальной, тоже уменьшилась вдвое: Через эти значения базисные векторы можно задать проще простого: С преобразованием ячейки в пиксель все точно так же, просто умножаем каждую координату на соответствующий ей базис: Для получения центра ячейки аналогично прямоугольной сетке прибавляем по половинке базисов: А вот с преобразованием пикселя в ячейку все немного посложнее, просто логикой не обойдешься. Запишем перевод из сеточной системы отсчета в экранную: Тогда для получения отсюда ячейки cell обращаем матрицу и раскрываем выражение: После этого опять же получаются дробные значения, вещественная часть которых показывает смещение пикселя в ячейке, которое нас, напомню, не интересует, поэтому округляем значение к меньшему целому, по той же причине, что и у прямоугольной сетки. Также заметим, что 2-1 можно вынести и разделить уже полученный результат, аккурат перед округлением: Кто ничего не понял, просто пользуется готовой формулой. Она работает, честно. А вот как это выглядит: Как найти угол между двумя ячейками понятно - находим соединяющий их вектор через разность, потом определяем его угол. Но могут возникнуть проблемы когда нам известен только угол. Например, корабль хочет выстрелить вправо, т.е. под 0° относительно себя. Такое направление указывает вдоль горизонтальной оси, но мы знаем, что изометрическая ось не особенно то и совпадает с экранной. Как перевести одно в другое мы уже выяснили, а если угол произвольный? Тут тоже пригодятся описанные выше преобразования. Представим угол через вектор с координатами {cos a; sin a} и прогоним его через ту же функцию, после чего найдем угол вектора с преобразованными координатами: Точно также преобразуется экранный угол в изометрический, только тут используются формулы напрямую, т.к. готовая функция округляет результат, а при работе с такими маленькими величинами целая часть всегда будет равна нулю. Также я опустил деление на 2, ведь от него направление все равно не меняется: Тут красный вектор показывает изометрический угол между двумя ячейками, зеленый - преобразованный экранный угол: Как мы видим, приближаясь к основанию ячейки (верхнему углу), зеленый вектор стремится к красному, значит все работает правильно. Соотношение сторон 1:2 было выбрано не случайно, так просто удобнее художникам рисовать спрайты и компьютерам линии, ведь при рисовании отрезков одному шагу наверх соответствуют два шага вправо, тут не надо никаких алгоритмов Брезенхема. Однако вычислительные мощи подросли, поэтому мы можем позволить себе любые капризы. На самом деле все делается не сложнее того, что делалось ранее: достаточно поменять пару значений. Пусть за это соотношение отвечает некоторая переменная: Тогда единственное, что нужно поменять, это значение переменной ch: И все. Все предыдущие функции будут работать как прежде. Вот, например, соотношение 1 к 1.43: Вряд ли вы хотите увидеть в своей игре что такое: Те блоки, которые ближе к нам, перекрываются дальними, поэтому создается впечатление что мы строим в высоту, хотя это не так. Если в простой прямоугольной сетке мы можем определять порядок отрисовки по Y координате, то здесь оба базиса смотрят вниз и определить по одному из них порядок рисования не выйдет. В изометрии мы можем сортировать объекты по диагоналям, потому как их ряды идут точно вниз. Каждая ячейка в ряду имеет одну и ту же сумму координат, поэтому именно эту сумму мы и будем использовать как z_index объекта (в godot эта переменная у двумерных объектов обозначает порядок их рендера. Чем этот индекс выше, тем позже рисуется объект): При изменении позиции приравниваем z_index к pos.x+pos.y (pos - позиция объекта на сетке): Теперь все рисуется как надо и создается необходимая иллюзия объема: Квадратные сетки конечно здорово, но с ними как то не особо разбежишься. Вдруг мне захочется сделать игру про кораблики, которые вытянуты вдоль? Тогда использовать квадратные тайлы нерентабельно, остается много пустого места. Для такой игры как раз подойдут прямоугольные сетки. Система координат внутри сетки все остается прежней, потому как, напоминаю, мы меняем только вид на нее. Базисы точно также будут направлены вдоль изометрических осей, а вот для задания их координат необходимо повозиться. Дело в том, что у таких ячеек нет размеров, независящих от вертикальных преобразований, все стороны и диагонали будут менять свои размеры. Но мы же знаем, что при вертикальных преобразованиях точки не перемещаются по X, а это значит что проекции всех величин на эту ось тоже сохраняются. В качестве размеров можно взять просто длину и высоту, как в случае с обычными прямоугольными сетками. Это будут размеры в натуральную величину, т.е. при отсутствии изометрических искажений, и именно при таком виде можно и найти проекции. Без искажений угол между экранной горизонтальной осью и обеими изометрическими будет 45°. Используя его, найдем проекции: Тогда синий вектор будет иметь координаты {pw; pw}, а красный {-ph; ph}. Для создания  изометрического искажения просто делим Y-компоненту каждого базиса на коэффициент этого искажения: С преобразованием ячейки в пиксель все точно также, просто умножаем координаты на базисы: И с получением центра ничего не поменялось (да ладно): Да и для преобразования пикселя в ячейку проворачиваем тот же трюк:  Выносим двойку и округляем: Ну и куда же без визуализации: С рисованием тоже особо ничего не поменялось, просто рисуем линии в цикле от начала до края карты: И рисование ячейки не тоже изменилось: Для заливки ячейки нарисуем полигон, ограниченный четырьмя вершинами тайла: Рисовать сетки конечно здорово, но на этом далеко не уедешь. В игре должны быть какие то механики, какое то движение и интерактивность, без этого это просто приложение, рисующее красивые (или не очень) картинки. В играх часто нужно направить объект на курсор. В случае top-down вида это делается поворотом самого спрайта объекта, а вот в псевдо 3d вращать спрайт не очень хорошая затея: Для создания объема необходимо несколько спрайтов, по одному на каждое направление. Для выбора нужного спрайта необходимо понять, какое из 8-ми направлений наиболее близко к направлению до курсора. Каждое из них можно задать как относительную ячейку, ({-1; 0} - влево, {-1, -1} - влево вверх и т.д.) и искать направление до клетки через направляющие. Звучит немного непонятно, поэтому поясню. Чтобы перейти из ячейки {1, 2} в ячейку {5, 2} нам необходимо передвинутся вправо 4 раза. Понять мы это можем вычитанием из конечной ячейки начальной (5-1 = 4). Сколько именно раз надо передвинутся нам не важно, нас интересует направление. В данном случае разница между координатами положительна, значит двигаемся вдоль оси X. Тоже самое и с вертикальными координатами. Однако если мы просто запишем знаки разностей в координаты направляющего вектора, получится неравномерное распределение, ведь достаточно разности в единицу, чтобы указывать на это направление. Тут лучше показать: Как мы видим, кораблик смотрит вдоль осей только тогда, когда мы указываем прямо на них, а в остальных случаях он смотрит в какой то из углов. Так дело не пойдет, надо как то расширять осевые направления. Тут нам поможет разность модулей разностей координат (WAT). Например, прямо на угловом направлении разность разностей равна нулю, ведь мы сдвинулись на однинаковое количество тайлов по вертикали и горизонтали. Получается, чем разность разностей больше, тем мы дальше отошли от углов. Для создания ограничения мы можем поставить условие, что если разность разностей больше какого либо числа, то это уже осевое наравление. Какое именно можно узнать, сравнив модули разностей координат. Если разность больше по X, значит это горизонтальное направление, иначе вертикальное. В качестве значения этой константы я выбрал 4, мне она показалась наиболее правдоподобной: Для удобной работы со спрайтами их можно разместить кругом: И брать спрайт по тем же координатам относительно центра, какие имеет направляющая ячейка. В центре находится тот спрайт, который мы хотим показывать когда игрок указывает прямо на ячейку кораблика. В результате все работает как надо: Пожалуй это все еще самый животрепещущий вопрос, хотя на эту тему написано огромное количество статей разнообразной сложности. Долго тут я распинаться не буду, потому что за меня уже все сказали. Для погружения в эту тему порекомендую данную статью на английском со всякими интерактивными демками или ее перевод на Хабре с простыми картинками. От себя я лишь оставлю реализацию A* на godot: Это версия алгоритма без различных модификаций для получения более красивых путей или для каких то определенных карт. Данный код не претендует на минимальный расход памяти и максимальную скорость, но он работает и работает надежно, я переношу его с платформы на платформу уже года 2 :) А вот доказательство:  Также важными задачами являются растеризации фигур для их отображения на экране. К счастью, многие из них уже решены. На сайте национального открытого университета ИНТУИТ есть целый раздел, посвящённый растровой графике. Там в том числе есть и алгоритмы растеризации различных штук. В целом, рекомендую глянуть, хоть все и рассказано достаточно сложным для понимания языком. Стоит сказать что я не очень то силен в данной теме, поэтому здесь возможны грубые ошибки. Если таковые найдете, попрошу указать на них в комментариях. Для растеризации отрезка еще в 1962 был предложен алгоритм Брезенхема. До сих пор он остается одним из самых быстрых и оброс огромным количеством модификаций, еще сильнее ускоряющих его работу. Пояснять смысл его работы я тоже не вижу смысла, это слишком обширная тема для данного поста. На Хабре есть хоть и небольшая, но информативная статья на эту тему. Я только оставлю реализацию на godot с примером работы: Тут реализована максимально простая версия алгоритма, опять же не претендующая на максимум производительности: И вот так это все работает:  Растеризация окружности осуществляется модифицированным алгоритмом брезенхема. К сожалению, хороших и простых статей на эту тему я не нашел, но она косвенно затрагивается в уже упомянутой выше статье. Стоит сказать, что моя реализация немного отличается. Кстати, вот она: Скорость у этой реализации я думаю далека от возможной, однако она меня еще не подводила. Вот пример работы:  Также оставлю здесь растеризацию эллипса. Если говорить честно, я уже не помню, что это за алгоритм и где я его взял, однако он очень похож на очередную модификация алгоритма Брезенхема. Его реализация: Выглядит это как то так:  Мне хочется верить в то, что данная тирада была вам интересна и полезна. Я постарался изложить как можно больше материала в форме картинок и анимаций, в надежде, что это поспособствует пониманию происходящего. Как возможный результат я сделал простенькую демку:  Назвать ее игрой язык не поворачивается, однако пару минут позабавиться можно. Скачать ее исходники, код реализации сеток всех трех видов и файл с алгоритмами можно здесь. В целом я считаю тайловые миры идеальным выбором для инди разработки, ведь это минимальный источник багов и простой способ обустроить локацию. А с шестиугольными сетками, о которых поговорим в следующий раз, можно добиться потрясающего результата. UPD: я уже выпустил статью про шестиугольные карты, там тоже много чего интересного. UPD2: в качестве дополнения оставлю тут свой пост про алгоритм тайлового освещения, он отлично подойдет для создания т.н. поля видимости (Field of view) на тайлмапах. Я благодарен вам за прочтение и желаю такой удачи, какой не желал еще никто!  Разработчик-любитель