Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.
 Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.
 Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 можно рассмотреть двойственную проективную плоскость 
  
    
      
        
          P
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{*}}
  
, в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
. В этом случае прямым плоскости 
  
    
      
        
          P
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{*}}
  
 будут соответствовать точки 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.
 Пусть дана гладкая кривая 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 на проективной плоскости 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 . Рассмотрим множество всех её касательных 
  
    
      
        
          C
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{*}}
  
. Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости 
  
    
      
        
          P
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{*}}
  
. Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в 
  
    
      
        
          P
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{*}}
  
, которая называется двойственной кривой к 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
.
 Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в 
  
    
      
        
          P
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle P^{*}}
  
 (то есть к однопараметрическому семейству прямых в 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
), будет кривая в 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
. Эта кривая называется огибающей семейства прямых.
 Рассмотрим эллипс, заданный уравнением 
  
    
      
        (
        x
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        
          /
        
        3
        
          )
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (x/2)^{2}+(y/3)^{2}=1}
  
 (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями 
  
    
      
        α
        x
        +
        β
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha x+\beta y=1}
  
, где 
  
    
      
        (
        2
        α
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        3
        β
        
          )
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1}
  
. Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением 
  
    
      
        (
        2
        α
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        3
        β
        
          )
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (2\alpha )^{2}+(3\beta )^{2}=1}
  
 в координатах 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
, 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
.
 Двойственные кривые обладают следующими свойствами:
 Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции.
 Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями:
 
 Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.
 Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости.
Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником.
 Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.
 Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью.
 Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  
. Касательной к окружности в точке 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
, где 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}
  
, является прямая 
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle ax+by=1}
  
. Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
. Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
, где 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}
  
, то есть опять окружность.
 В более общем случае, если в пространстве 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 задана норма, то в сопряжённом пространстве 
  
    
      
        
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}^{*}}
  
 можно рассмотреть сопряжённую норму. Каждой точке 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 пространства 
  
    
      
        
          
            
              
                R
              
              
                n
              
            
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}^{*}}
  
 соответствует гиперплоскость, заданная уравнением 
  
    
      
        p
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle px=1}
  
. Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
 (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы.
 Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы (
  
    
      
        
          L
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{\infty }}
  
). Норма, сопряжённая 
  
    
      
        
          L
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{\infty }}
  
, является 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{1}}
  
-нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в 
  
    
      
        
          L
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{1}}
  
, то есть октаэдр.
 Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.