Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).
 Пусть 
  
    
      
        a
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        .
        .
        .
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}
  
 — многочлен над факториальным кольцом R (
  
    
      
        n
        >
        0
      
    
    {\displaystyle n>0}
  
), и для некоторого простого 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 выполняются следующие условия:
 Тогда многочлен 
  
    
      
        a
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle a(x)}
  
 неприводим над F — полем частных кольца R.
 Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
, а F — поле рациональных чисел 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
.
 Предположим обратное: 
  
    
      
        a
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle a(x)=f(x)g(x)}
  
, где 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          b
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            1
          
        
        x
        +
        .
        .
        .
        +
        
          b
          
            k
          
        
        
          x
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}}
  
 и 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          c
          
            0
          
        
        +
        
          c
          
            1
          
        
        x
        +
        .
        .
        .
        +
        
          c
          
            m
          
        
        
          x
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}}
  
 многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:
 
  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        
          b
          
            0
          
        
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{0}=b_{0}c_{0}}
  

 По условию 
  
    
      
        p
        ∣
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid a_{0}}
  
 и R факториально, поэтому либо 
  
    
      
        p
        ∣
        
          b
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid b_{0}}
  
 либо 
  
    
      
        p
        ∣
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid c_{0}}
  
, но не то и другое вместе ввиду того, что 
  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        ∤
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}
  
. Пусть

  
    
      
        p
        ∣
        
          b
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid b_{0}}
  
 и 
  
    
      
        p
        ∤
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\nmid c_{0}}
  
. Все коэффициенты 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
 не могут делиться на 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
, так как иначе бы это было бы верно для 
  
    
      
        a
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle a(x)}
  
. Пусть 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 — минимальный индекс, для которого 
  
    
      
        
          b
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{i}}
  
 не делится на 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
. Отсюда следует:
 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        =
        
          b
          
            i
          
        
        
          c
          
            0
          
        
        +
        
          b
          
            i
            −
            1
          
        
        
          c
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i-1}c_{1}+...}
  

 Так как 
  
    
      
        p
        ∣
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid a_{i}}
  
 и 
  
    
      
        p
        ∣
        
          b
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid b_{j}}
  
 для всех 
  
    
      
        j
        <
        i
      
    
    {\displaystyle j<i}
  
 то 
  
    
      
        p
        ∣
        
          b
          
            i
          
        
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\mid b_{i}c_{0}}
  
, но это невозможно, так как по условию 
  
    
      
        p
        ∤
        
          c
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p\nmid c_{0}}
  
 и 
  
    
      
        p
        ∤
        
          b
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle p\nmid b_{i}}
  
. Теорема доказана.