Теорема о разностях — теорема, связывающая понятия производной и прямой конечной разности высших порядков для степенной функции натурального показателя степени.
 Теорема о разностях утверждает, что для любой степенной функции с натуральным показателем степени справедливо равенство производной и конечной разности порядка, равного показателю степени и равняется показателю степени под знаком факториала.
 Рассмотрим степенную функцию вида 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        
          x
          
            i
          
          
            n
          
        
        ,
         
        
          x
          
            i
          
        
        =
        i
        ⋅
        Δ
        x
        ,
         
        Δ
        x
        =
        
          x
          
            i
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x_{i})=x_{i}^{n},\ x_{i}=i\cdot \Delta x,\ \Delta x=x_{i+1}-x_{i}}
  
, где 
  
    
      
        i
        ,
         
        n
      
    
    {\displaystyle i,\ n}
  
 — натуральные числа. Прямая конечная разность порядка 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 для такой функции равняется:
 
  
    
      
        
          
            
              
                Δ
                
                  n
                
              
              (
              
                x
                
                  i
                
                
                  n
                
              
              )
            
            
              (
              Δ
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
          
        
        ⋅
        
          
            (
          
        
        i
        +
        n
        −
        k
        
          
            
              )
            
          
          
            n
          
        
        =
        n
        !
      
    
    {\displaystyle {\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}\cdot {\big (}i+n-k{\big )}^{n}=n!}
  

 По определению производной, для функции вида 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{n}}
  
 имеем производную порядка

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
: 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        x
        )
        =
        n
        !
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}(x)=n!}
  
.
Таким образом, соблюдается равенство

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  n
                
              
              (
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
            
              d
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                Δ
                
                  n
                
              
              (
              
                x
                
                  i
                
                
                  n
                
              
              )
            
            
              (
              Δ
              x
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        n
        !
      
    
    {\displaystyle {\frac {d^{n}(x^{n})}{dx^{n}}}={\frac {\Delta ^{n}(x_{i}^{n})}{(\Delta x)^{n}}}=n!}