Гипотеза Эрдёша — Хайналя утверждает, что семейства графов, определяемые запрещёнными порождёнными подграфами, имеют либо большие клики, либо большие независимые множества.
Точнее, для произвольного неориентированного графа 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 пусть 
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{H}}
  
 является семейством графов, не содержащих 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 в качестве порождённого подграфа. Тогда, согласно гипотезе, существует константа 
  
    
      
        
          δ
          
            H
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta _{H}>0}
  
 такая, что графы с 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 вершинами в 
  
    
      
        
          
            
              F
            
          
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}_{H}}
  
 имеют либо клику, либо независимое множество размером 
  
    
      
        Ω
        (
        
          n
          
            
              δ
              
                H
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega (n^{\delta _{H}})}
  
.
 Эквивалентное утверждение исходной гипотезы: для любого графа 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 не содержащие 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 графы содержат произвольно большие совершенные порождённые подграфы.
 Для сравнения, у случайных графов в модели Эрдёша — Реньи с вероятностью рёбер 1/2 как наибольшая клика, так и наибольшее независимое множество много меньше — их размер пропорционален логарифму от 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
, а не растёт полиномиально. Теорема Рамсея доказывает, что никакой граф не имеет одновременно размер наибольшей клики и размера наибольшего независимого множества меньше логарифмического. Из теоремы Рамсея также следует специальный случай гипотезы Эрдёша — Хайналя, когда сам граф 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 является кликой или независимым множеством.
 Гипотеза принадлежит Палу Эрдёшу и Андрашу Хайналю, которые доказали её для случая, когда 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 является кографом. Они также показали для произвольного графа 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, что размер наибольшей клики или независимого множества растёт суперлогарифмично. Более точно, для любого графа 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 существует константа 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 такая, что не содержащие 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 графы с 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 вершинами имеют клики или независимые множества, содержащие по меньшей мере 
  
    
      
        exp
        ⁡
        c
        
          
            log
            ⁡
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp c{\sqrt {\log n}}}
  
 вершин. Графы 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
, для которых гипотеза верна, включают также путь с четырьмя вершинами, голову быка с пятью вершинами и любой граф, который можно получить из этих графов и кографов с помощью модульного разложения.
На 2021 год, однако, полностью гипотеза не доказана и остаётся открытой проблемой.
 Более ранняя формулировка гипотезы, также принадлежащая Эрдёшу и Хайналю, касается частного случая, когда граф 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 является граф-циклом с 5 вершинами. Согласно препринту 2021 года, в этом случае гипотеза верна. Не содержащие 
  
    
      
        
          C
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{5}}
  
 графы включают совершенные графы, которые обязательно имеют либо клику, либо независимое множество с размером, пропорциональном квадратному корню от числа их вершин. Обратно, любая клика или независимое множество само по себе является совершенным графом. По этой причине удобной и симметричной формулировкой гипотезы Эрдёша — Хайналя служит утверждение, что для любого графа 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 не содержащие 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 графы обязательно содержат порождённый совершенный подграф полиномиального размера.