Принцип общей ковариантности — принцип, утверждающий, что уравнения, описывающие физические явления в различных системах координат, должны иметь в них одинаковую форму. Такие уравнения называют общековариантными. Примером в ньютоновской механике являются уравнения движения в неинерциальных системах отсчёта, включающие в себя силы инерции.
 Принцип общей ковариантности имел большое эвристическое значение для вывода уравнений общей теории относительности, где формулировался так: физическое уравнение выполняется в произвольном гравитационном поле, если
 Если в результате преобразования координат зависимые от них переменные (функции координат) изменились по некоторому закону, то принцип общей ковариантности требует, чтобы новые функции от новых координат удовлетворяли уравнениям того же вида, что и старые функции от старых координат.
 Предположим, что мы рассматриваем какое-нибудь уравнение, удовлетворяющее принципу общей ковариантности, в произвольном гравитационном поле. Уравнение общековариантно, то есть оно справедливо во всех системах координат, если оно справедливо в какой-либо системе координат. Но в любой данной точке имеется локально-инерциальная система координат, в которой гравитация отсутствует. Условие соответствия законам специальной теории относительности в отсутствие гравитации означает, что уравнение справедливо в локально-инерциальной системе координат и, в силу общей ковариантности, справедливо во всех других системах координат. Таким образом, принцип общей ковариантности вытекает из принципа эквивалентности.
 Только в малых областях можно находить системы координат, в которых, в силу принципа эквивалентности, отсутствуют эффекты гравитации. Поэтому принцип общей ковариантности применим только в масштабах, малых по сравнению с масштабами гравитационного поля.
 Принцип общей ковариантности и требование соответствия закону тяготения Ньютона для слабых полей тяготения и медленных движений тяготеющих масс оказываются достаточными условиями для определения релятивистского закона тяготения общей теории относительности.
 Общековариантными преобразованиями называются преобразования координат вида 
  
    
      
        
          x
          
            μ
          
        
        →
        
          x
          
            
              μ
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu '}}
  
 и операторов частных производных 
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        →
        
          ∂
          
            
              μ
              ′
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            ν
          
        
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  ν
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  
                    μ
                    ′
                  
                
              
            
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }\to \partial _{\mu '}=\sum _{\nu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\mu '}}}\partial _{\nu }}
  
. Эти преобразования задают группу симметрий общей теории относительности. Преобразования Лоренца являются частным случаем этих преобразований. Лагранжианы в общей теории относительности могут быть получены из лагранжианов специальной теории относительности заменой в них метрики Минковского на псевдориманову метрику 
  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }}
  
, производных 
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }}
  
 на ковариантные производные 
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }}
  
 (
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
        
          τ
          
            μ
          
        
        =
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          τ
          
            μ
          
        
        +
        
          Γ
          
            α
            ν
          
          
            μ
          
        
        
          τ
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }\tau ^{\mu }=\partial _{\nu }\tau ^{\mu }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }\tau ^{\alpha }}
  
) и элемента объёма 
  
    
      
        
          d
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle d^{4}x}
  
 на 
  
    
      
        
          
            −
            g
          
        
        
        
          d
          
            4
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
  
.