Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса.  Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
 Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.
 Доказательство утверждения 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, которое заведомо неверно.
 Из определения импликации следует, что, если 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 ложно, то формула 
  
    
      
        ¬
        A
        ⇒
        B
      
    
    {\displaystyle \neg A\Rightarrow B}
  
 истинна тогда и только тогда, когда 
  
    
      
        ¬
        A
      
    
    {\displaystyle \neg A}
  
 ложно, следовательно утверждение 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 истинно. 
 Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение 
  
    
      
        ¬
        ¬
        A
      
    
    {\displaystyle \neg \neg A}
  
, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
.
 В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.
 Допустим противное: число 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби 
  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
  
, где 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 — целое число, а 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 — натуральное.
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
 Отсюда следует, что 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{2}}
  
 чётно, значит, чётно и 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
; следовательно, 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m^{2}}
  
 делится на 4, а значит, 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle n^{2}}
  
 и 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 тоже чётны.
Полученное утверждение противоречит несократимости дроби 
  
    
      
        
          
            m
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {m}{n}}}
  
.
Значит, исходное предположение было неверным, и 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 — иррациональное число.
 Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».