Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости (или двумерном многообразии) знакопостоянна  и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.
 Теорема Бендиксона является частным случаем критерия Дюлака.
 Рассмотрим векторное поле 
  
    
      
        v
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle v(x)}
  
, заданное в некоторой односвязной области 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 
  
    
      
        (
        x
        ∈
        U
        ⊂
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x\in U\subset \mathbb {R} ^{2})}
  
. Допустим, что во всей области 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 дивергенция поля 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 не меняет знак и отлична от нуля. Тогда фазовые кривые автономного дифференциального уравнения 
  
    
      
        
          
            
              x
              ˙
            
          
        
        =
        v
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}=v(x)}
  
 не имеют замкнутых траекторий, целиком лежащих в 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
.
 Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что дивергенция имеет положительный знак. Если поле 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 записывается в координатах как 
  
    
      
        v
        (
        x
        )
        =
        
          
            (
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle v(x)={\big (}v_{1}(x_{1},x_{2}),v_{2}(x_{1},x_{2}){\big )}}
  
, то условие теоремы записывается в виде
 для всех 
  
    
      
        x
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x\in U}
  
.
 Будем рассуждать от противного. Предположим, что существует замкнутая траектория 
  
    
      
        γ
        ⊂
        U
      
    
    {\displaystyle \gamma \subset U}
  
. Рассмотрим поток поля 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 через контур 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
:
 Поскольку поле касается контура, этот поток равен нулю. С другой стороны, согласно формуле Грина, этот поток равен интегралу от дивергенции поля по области 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
, ограниченной 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 и лежащей в 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 в силу односвязности последней:
 Последнее неравенство справедливо в виду знакопостоянства подынтегрального выражения. Противоречие доказывает теорему.