Ориента́ция, в классическом случае — выбор одного класса систем координат, связанных между собой «положительно» в некотором определённом смысле.
Каждая система задает ориентацию, определяя класс, к которому она принадлежит.
 В элементарной математике ориентация часто описывается через понятие «направления по и против часовой стрелки».
 Ориентация определяется только для некоторых специальных классов пространств (многообразий, векторных расслоений, комплексов Пуанкаре и т. д.).
Современный взгляд на ориентацию даётся в рамках обобщённых теорий когомологий.
 Пусть 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 — конечномерное векторное пространство над упорядоченным полем. Два базиса этого пространства называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Классы эквивалентности одинаково ориентированных базисов называются ориентациями пространства 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
. Нетрудно проверить, что у любого такого пространства есть ровно две ориентации.
 В пространстве без каких-то дополнительных структур обе ориентации являются равнозначными, однако часто бывает полезным предпочитать одну ориентацию другой. Для этого вводится понятие ориентированного пространства как упорядоченная пара 
  
    
      
        (
        V
        ,
        w
        )
      
    
    {\displaystyle (V,w)}
  
, где 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 — векторное пространство, а 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
 — одна из его ориентаций. Ориентация 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
 для такого пространства называется положительной, а противоположная ей — отрицательной. Таким образом, ориентированное пространство — это пространство, на котором выбрано, какую из ориентаций считать положительной, а какую отрицательной.
 При изображении ориентированной плоскости положительной ориентацией обычно считают направление против часовой стрелки. Поэтому понятия положительной ориентации плоскости и направления против часовой стрелки часто отождествляют, несмотря на то, что направления поворота по и против часовой стрелки зависят от конкретного рисунка и ничто не мешает изобразить эту же плоскость, зеркально отразив её. Внутренние характеристики плоскости не поменяются, однако направления по и против часовой стрелки для наблюдателя поменяются местами. Аналогично обстоит дело и с пространством. В трёхмерном пространстве положительной ориентацией обычно считают правые тройки векторов и часто отождествляют эти понятия.
 Для общего поля определение ориентации представляет трудности.
Например, в комплексном пространстве 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
 комплексный базис 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}
  
 определяет вещественный базис 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        ,
        i
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        i
        
          e
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        i
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}}
  
 в том же пространстве, рассматриваемом как 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
  
, и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
  
).
 На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 системы координат состоят из точки (начала 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
) и репера 
  
    
      
        {
        
          e
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{i}\}}
  
, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера.
Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).
 Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [0,1]}
  
 семейство координатных систем 
  
    
      
        O
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle O(t)}
  
, 
  
    
      
        {
        
          e
          
            i
          
        
        (
        t
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{i}(t)\}}
  
, связывающее данные системы 
  
    
      
        O
      
    
    {\displaystyle O}
  
, 
  
    
      
        {
        
          e
          
            i
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{i}\}}
  
 и 
  
    
      
        
          O
          ′
        
      
    
    {\displaystyle O'}
  
, 
  
    
      
        {
        
          e
          
            i
          
          ′
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e'_{i}\}}
  
.
 При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.
 Ориентация может быть задана порядком вершин 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном),
Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера.
Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку.
Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным.
Каждая 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  
-грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.
 В связном многообразии 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
.
Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны.
Это означает, что их степени равны 
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
  
, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках.
Если ориентирующий атлас существует, то многообразие 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 называется ориентируемым.
В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу.
Выбор такого класса называется ориентацией многообразия.
Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке.
В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке.
Если 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, первый вектор которого направлен из 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.
 Дезориентирующий контур — замкнутая кривая в многообразии, обладающая тем свойством, что при её обходе локальная ориентация меняет знак.
 Дезориентирующий контур имеется только в неориентируемом многообразии 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
, причём однозначно определён гомоморфизм фундаментальной группы 
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(M)}
  
 на 
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
  
 с ядром, состоящим из классов петель, не являющихся дезориентирующими.
 Вдоль любого пути 
  
    
      
        q
        :
        [
        0
        ,
        1
        ]
        →
        M
      
    
    {\displaystyle q:[0,1]\to M}
  
 можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно.
Тем самым ориентация в точке 
  
    
      
        q
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle q(0)}
  
 определяет ориентацию в точке 
  
    
      
        q
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle q(1)}
  
, и эта связь зависит от пути 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 лишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах.
Если 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 — петля, то есть 
  
    
      
        q
        (
        0
        )
        =
        q
        (
        1
        )
        =
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle q(0)=q(1)=x_{0}}
  
, то 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 называется дезориентирующим контуром, если эти ориентации противоположны.
Возникает гомоморфизм фундаментальной группы 
  
    
      
        
          π
          
            1
          
        
        (
        M
        ,
        
          x
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \pi _{1}(M,x_{0})}
  
 в группу порядка 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
: дезориентирующие петли переходят в 
  
    
      
        −
        1
      
    
    {\displaystyle -1}
  
, а остальные в 
  
    
      
        +
        1
      
    
    {\displaystyle +1}
  
.
По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия.
Оно называется ориентирующим (так как накрывающее пространство будет ориентируемым).
Этот же гомоморфизм определяет над 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 одномерное расслоение, тривиальное, тогда и только тогда, когда 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 ориентируемо.
Для дифференцируемого 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 оно может быть определено как расслоение 
  
    
      
        
          Ω
          
            n
          
        
        (
        M
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega ^{n}(M)}
  
 дифференциальных форм порядка 
  
    
      
        n
        =
        dim
        ⁡
        M
      
    
    {\displaystyle n=\operatorname {dim} M}
  
.
Ненулевое сечение в нём существует лишь в ориентируемом случае и задаёт форму объёма на 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 и одновременно ориентацию.
 Ориентация может быть определена на гомологическом языке: для связного ориентируемого многообразия без края группа гомологий 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        M
        ,
        
          Z
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{n}(M,\mathbb {Z} )}
  
 (с замкнутыми носителями)
изоморфна 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
, и выбор одной из двух образующих задаёт ориентацию — отбираются карты с положительными степенями отображений.
Для связного многообразия с краем то же верно и для 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        M
        ,
        ∂
        M
        ,
        
          Z
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{n}(M,\partial M,\mathbb {Z} )}
  
.
В первом случае ориентируемость есть гомотопический инвариант M, а во втором — пары 
  
    
      
        (
        M
        ,
        ∂
        M
        )
      
    
    {\displaystyle (M,\partial M)}
  
.
Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопический тип, но разный — относительно края.
 Локальная ориентация многообразия может быть также задана выбором образующей в группе 
  
    
      
        
          H
          
            n
          
        
        (
        M
        ,
        M
        ∖
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
      
    
    {\displaystyle H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb {Z} )}
  
, изоморфной 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  

Гомологическая интерпретация ориентации позволяет перенести это понятие на обобщённые гомологические многообразия.
 Триангулированное многообразие 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать
все 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерные симплексы так, что два симплекса с общей

  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  
-мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации.
Замкнутая цепочка 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую 
  
    
      
        (
        n
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (n-1)}
  
-грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.
 Пусть над пространством 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 задано расслоение 
  
    
      
        p
        :
        E
        →
        B
      
    
    {\displaystyle p:E\to B}
  
 со стандартным слоем 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
.
Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения.
Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.
 Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства.
При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы.
Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации.
В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.