Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.
 Ричард Фейнман заметил, что:
 причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает оценить интегралы, такие как:
 Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно оценить с помощью подстановки.
 В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  
:
 Эта формула действительна для любых комплексных чисел A1,. , ., An, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.
 Даже в более общем плане, при условии, что 
  
    
      
        
          Re
        
        (
        
          α
          
            j
          
        
        )
        >
        0
      
    
    {\displaystyle {\text{Re}}(\alpha _{j})>0}
  
 для всех 
  
    
      
        1
        ≤
        j
        ≤
        n
      
    
    {\displaystyle 1\leq j\leq n}
  
 :
 где 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 — гамма-функция.
 Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,
 и мы получаем искомый результат:
 В более общих случаях вывод может быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана 
  
    
      
        
          
            1
            
              
                A
                
                  1
                
              
              .
              .
              .
              
                A
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n}}}}
  
 Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:
 и записываем
 Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,
 чтобы получить,
 где 
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        d
        
          α
          
            1
          
        
        ⋯
        d
        
          α
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}
  
 обозначает интеграцию по площади 
  
    
      
        0
        ≤
        
          α
          
            i
          
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle 0\leq \alpha _{i}\leq 1}
  
 с 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}
  
 ,
 Следующим шагом является выполнение интегрирования по 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
.
 где мы определили 
  
    
      
        x
        =
        
          α
          
            1
          
        
        
          A
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          α
          
            n
            −
            1
          
        
        
          A
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        
          (
          
            1
            −
            
              α
              
                1
              
            
            −
            ⋯
            −
            
              α
              
                n
                −
                1
              
            
          
          )
        
        
          A
          
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}.}
  

 Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,
 и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:
 Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, : 
  
    
      
        
          
            1
            
              
                A
                
                  1
                
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
              
              .
              .
              .
              
                A
                
                  n
                
                
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}...A_{n}^{\alpha _{n}}}}}
  
 можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:
 и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.
 Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,
 Эта форма может быть получена с помощью замены переменных 
  
    
      
        λ
        =
        u
        
          /
        
        (
        1
        −
        u
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda =u/(1-u)}
  
, Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что 
  
    
      
        d
        λ
        =
        d
        u
        
          /
        
        (
        1
        −
        u
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle d\lambda =du/(1-u)^{2}}
  
, затем
 В более общем случае мы имеем
 где 
  
    
      
        Γ
      
    
    {\displaystyle \Gamma }
  
 — гамма-функция .
 Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 с квадратичным знаменателем 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).
 Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале 
  
    
      
        [
        −
        1
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [-1,1]}
  
, что приводит к: