Каждое натуральное число раскладывается в произведение простых множителей, и притом однозначно с точностью до их перестановки. Это известное со школы и, казалось бы, очевидное утверждение гордо называется основной теоремой арифметики. В стандартной школьной программе она не доказывается - даётся только алгоритм разложения на простые (ищем наименьший простой делитель числа, делим на него, с частным проделываем ту же процедуру). Пример: Таким образом можно разложить любое натуральное число. Однако встаёт вопрос о единственности. Что, если раскладывать на множители по-другому? Например, После перестановки множителей получается то же разложение, что и выше, но будет ли так всегда? Многие не понимают, почему это не очевидно и надо доказывать. Лучший способ понять, что этот факт не очевиден, - показать примеры, когда он... неверен! Как это? Оказывается, существуют числовые (и не только) системы, в которых нет единственности разложения. По-видимому, исторически первые примеры связаны с попытками доказать Великую проблему Ферма: уравнение неразрешимо в натуральных числах ни для какого натурального . Так, при  Эйлер вышел в комплексную плоскость  и обращался с числами , где , впоследствии названных эйлеровыми. Он молчаливо предполагал, что для них тоже верна основная теорема арифметики. Позже обнаружили, что это не так: Можно показать, что это действительно два разных разложения на простые эйлеровы числа. Приведём более простые примеры, не требующие знания комплексных чисел. Прежде всего заметим, что говорить о делимости осмысленно в любых системах, где есть умножение. Ограничимся пока натуральными числами. Подмножество  назовём мультипликативной системой, если и  для всех . Вот несколько примеров, помимо двух тривиальных - и : Пусть  - мультипликативная система в  и . Скажем, чтоделит() в , если . Число  назовём простым в , если  имеет ровно два делителя в ,  и  (в частности, ). Простое число в  - это число со свойством: еслине делятся на, то  не делится на . Пример. В системе  8 не делится на 4, а потому  и  - простые числа. Отсюда получаем пример неоднозначного разложения на простые: Задача 1. Докажите, что в системе  разложение на простые тоже не однозначно. Задача 2. Опишите простые числа в системе  чётных чисел с единицей. Исследуйте, однозначно ли разложение на простые в этой системе. Итак, существуют мультипликативные системы, состоящие из натуральных чисел, в которых основная теорема арифметики неверна, точнее, нет единственности разложения на простые. Почему в натуральном ряду единственность всё же имеет место? Это вытекает из следующего важного свойства простых чисел. Лемма.  Если простоене делит числа , тоне делит и их произведение. Выведем единственность из леммы. Предположим, что некоторое число имеет два разложения на простые: Мы можем считать, что  - наименьшее число, имеющее два разложения. Так как  делит , то по лемме  делит  или . Продолжая, получим, что  делит одно из , что возможно, только если . Сократив на этот множитель, мы получим два разных разложения числа , что противоречит минимальности . Отметим, что лемма очевидно вытекает из основной теоремы арифметики: если  не делит  и , то  не входит в разложения этих чисел на простые, а значит, не входит и в разложение их произведения. Таким образом, в мультипликативной системе  верна основная теорема арифметики в точности тогда, когда в ней верна лемма. Чтобы лучше это понять, решите следующую задачу. Задача 3. Покажите на примерах, что в системах  существуют простые числа, для которых лемма нарушается. Доказательство леммы в  основано на алгоритме Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) путём последовательного деления с остатком. С помощью обратного хода алгоритма Евклида найденный НОД выражается линейной комбинацией исходных чисел с целыми коэффициентами. Начнём с примера. Пример. Применим алгоритм Евклида к числам  и .           Алгоритм Евклида:                                    Обратный ход алгоритма Евклида:                                           Следуя этому алгоритму, можно доказать следующий выжный факт. Теорема. Для любых  найдутся такие , что Равенство (1) называется соотношением Безу . Из этой теоремы уже легко следует наша лемма. Доказательство леммы. Так как  не делит , то . По теореме  для некоторых . Умножим на : . Так как  не делится на ,  делится на , то  не делится на . Тем более,  не делится на . В заключение отметим, что исследование разложения на простые множители (далеко не только в числовых системах) привело к важнейшему в алгебре понятию идеала и в целом развитию теории колец. Заинтересованный читатель может почитать об этом в "Курсе алгебры" Э. Б. Винберга, "Избранных главах алгебры" И. Р. Шафаревича, "Введении в коммутативную алгебру" М. Атьи и М. Макдональда (список далеко не полон). В разложении числа 1 нуль сомножителей, а в разложении каждого простого числа - один множитель. Доказанную Э.Уайлсом в 1994 году. В честь Этьена Безу. Впервые этот факт был опубликован для взаимно простых целых чисел французским математиком Мезириаком в 1624 году. Автор: Андрей Канунников, к. ф.-м. н., мехмат МГУ, преподаватель ШАД Хелпер