Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
 с рациональными коэффициентами 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
 (или, что то же, вещественным корнем многочлена 2-й степени с рациональными коэффициентами 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
  
). В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.
 Иррациональность числа 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 означает, что оно не может быть представлено в виде рационального числа (дроби). Из этого следует, что многочлен 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
 неприводим в поле рациональных чисел 
  
    
      
        
          Q
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} ,}
  
 то есть не распадается в этом поле на множители первой степени.
 Решение квадратного уравнения 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
 даёт формула:
 где 
  
    
      
        D
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
      
    
    {\displaystyle D=b^{2}-4ac}
  
 (дискриминант уравнения). Вещественность корня означает, что 
  
    
      
        D
        ⩾
        0.
      
    
    {\displaystyle D\geqslant 0.}
  

Следовательно, всякая квадратичная иррациональность имеет вид:
 где 
  
    
      
        u
        ,
        v
        ,
        D
      
    
    {\displaystyle u,v,D}
  
 — рациональные числа, причём 
  
    
      
        v
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle v\neq 0}
  
, а подкоренное выражение 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 неотрицательно и не является полным квадратом рационального числа.
 Примеры: 
  
    
      
        11
        −
        
          
            2
          
        
        ;
        
        
          
            
              1
              +
              
                
                  5
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 11-{\sqrt {2}};\quad {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  
.
 Из определения следует, что квадратичные иррациональности являются алгебраическими числами второй степени. Отметим, что обратный элемент для 
  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}}}
  
 также является квадратичной иррациональностью:
 Число 
  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        u
        −
        v
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle x'=u-v{\sqrt {D}}}
  
 называется сопряжённым для 
  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
        
          
            D
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}}.}
  
 Имеют место формулы:
 Без ограничения общности можно упростить уравнение 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
 следующим образом.
 В итоге получим уравнение 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
 с целочисленными взаимно простыми коэффициентами, причём старший коэффициент положителен. Это уравнение однозначно связано с парой своих корней, и множество таких уравнений счётно. Поэтому множество квадратичных иррациональностей также счётно. 
 Часто удобно в выражении корня 
  
    
      
        x
        =
        u
        +
        v
        
          
            D
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x=u+v{\sqrt {D}},}
  
 выполнить ещё одну модификацию: если в каноническое разложение 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 входят какие-либо квадраты, вынесем их за знак радикала, так что оставшееся значение 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 будет свободно от квадратов.
 Сумма, разность и произведение квадратичных иррациональностей с одним и тем же дискриминантом 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 либо имеют тот же формат, либо являются рациональными числами, поэтому вместе они образуют поле, являющееся нормальным расширением второй степени поля рациональных чисел ℚ. Это поле обозначается 
  
    
      
        
          Q
        
        (
        
          
            D
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}
  
 и называется квадратичным полем. Всякое такое расширение 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
 может быть получено описанным способом. Группа Галуа расширения, кроме тождественного автоморфизма, содержит отображение иррационального числа в сопряжённое ему (в указанном выше смысле).
 Предположим, что, как описано выше, 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 — свободное от квадратов целое число. Тогда для разных значений 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 получаются разные квадратичные поля .
 Для квадратичного поля можно построить его кольцо целых, то есть множество корней приведённых многочленов с целыми коэффициентами, у которых старший коэффициент равен 1. Свободное от квадратов 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 не может делиться на 4, поэтому возможны два случая в зависимости от того, какой остаток даёт 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
  
 при делении на 4.
 Вещественные квадратичные иррациональности связаны с непрерывными дробями теоремой Лагранжа (иногда называемой теоремой Эйлера—Лагранжа):
 Вещественное число является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда оно разлагается в бесконечную периодическую непрерывную дробь.
 Пример:
 Непрерывная дробь, у которой период начинается с первого же звена, называется чисто периодической. Эварист Галуа в 1828 году доказал: непрерывная дробь для квадратической иррациональности 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 будет чисто периодической тогда и только тогда, когда 
  
    
      
        x
        >
        1
      
    
    {\displaystyle x>1}
  
, а сопряжённая иррациональность 
  
    
      
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x'}
  
 лежит в интервале 
  
    
      
        (
        −
        1
        ;
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (-1;0)}
  
. Он доказал также, что в случае чисто периодического разложения сопряжённая квадратическая иррациональность имеет те же звенья, но расположенные в обратном порядке.
 Квадратичная иррациональность является частным случаем «иррациональности 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-й степени», которая является  корнем неприводимого в поле 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
 многочлена 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
-й степени с целыми коэффициентами. Рациональные числа получаются при 
  
    
      
        n
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle n=1,}
  
 а квадратичные иррациональности соответствуют случаю 
  
    
      
        n
        =
        2.
      
    
    {\displaystyle n=2.}
  

 Некоторые источники включает в число квадратичных иррациональностей также и комплексные корни квадратных уравнений (например, гауссовы целые числа или числа Эйзенштейна).
 Г. Ф. Вороной в работе «О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения 3-й степени» (1894) распространил теорию (включая непрерывные дроби) на случай кубических иррациональностей.
 Феодор Киренский и его ученик Теэтет Афинский (IV в. до н. э.) первыми доказали, что если число 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
 не представляет собой полный квадрат, то 
  
    
      
        
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {N}}}
  
 не является рациональным числом, то есть не может быть точно выражен в виде дроби. Это доказательство опиралось на «лемму Евклида». Евклид посвятил этим вопросам десятую книгу своих «Начал»; он, как и современные источники, использовал основную теорему арифметики.