Выпуклая комбинация — одно из ключевых понятий выпуклой геометрии; линейная комбинация точек (которые могут быть векторами, скалярами или точками аффинного пространства), где все коэффициенты неотрицательны, и их сумма равна 1.
 Более формально, если задано конечное число точек 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  
 в векторном пространстве над некоторым полем, содержащем поле вещественных чисел, выпуклая комбинация этих точек имеет вид
 где вещественные числа 
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}}
  
 удовлетворяют условиям 
  
    
      
        
          α
          
            i
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0}
  
 и 
  
    
      
        
          α
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          α
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1}
  
.
 В частности, любая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезке между этими точками.
 Все выпуклые комбинации точек лежат внутри выпуклой оболочки этих точек.
 Существуют подмножества векторного пространства, замкнутые относительно выпуклой комбинации, но не замкнутые относительно линейной. Например, интервал 
  
    
      
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle [0,1]}
  
 является выпуклым, но линейные комбинации точек этого интервала дают всю прямую. Другой пример — выпуклое множество распределений вероятностей.
 Выпуклые комбинации вещественных чисел подчиняются простым, но часто используемым неравенствам.
 Если задан набор вещественных чисел 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
  
, то для любой их выпуклой комбинации с коэффициентами 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ⩾
        0
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1}
  
 имеют место оценки:
 Различные классические неравенства можно вывести, рассматривая простые выпуклые функции 
  
    
      
        f
        (
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle f(\cdot )}
  
, например:
 где 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ⩾
        0
        ,
        
          a
          
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a_{i}\geqslant 0,a_{1}+\dots +a_{n}=1}
  
.
 Применение последнего неравенства к строго выпуклой функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        −
        l
        o
        g
         
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=-log~x}
  
 приводит к неравенству между арифметическим и геометрическим средними с весами:
 Когда все 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
 равны 1/n, приходим к неравенству между арифметическим и геометрическим средними: