В данной статье рассказывается про количество способов составления перестановок, которые являются попарными беспорядками, и беспорядком для последовательности {1,2,…,n} что является общим случаем для Субфакториала, для которого создаётся лишь одна такая перестановка.
 !kn — количество вариантов составить k перестановок из n чисел, так, что они являются попарными беспорядками, а также беспорядком для фиксированной перестановки n чисел.
 Формула выводится рекуррентно, через формулу, которая находит количество способов составить перестановку для фиксированных k перестановок. В дальнейшем обозначим это число за fixkn. Находя количество способов составить первую, вторую, …, k-тую перестановку мы найдём количество способов составить их все.
 
  
    
      
        
          ∏
          
            l
            =
            1
          
          
            k
          
        
        f
        i
        
          x
          
            l
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle \prod _{l=1}^{k}fix_{l}n}
  

 
  
    
      
        f
        i
        
          x
          
            k
          
        
        n
        =
        n
        !
        −
        k
        ∗
        n
        !
        +
        
          ∑
          
            i
            =
            2
          
          
            n
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            i
          
        
        ∗
        (
        
          C
          
            n
          
          
            i
          
        
        ∗
        
          k
          
            i
          
        
        +
        
          ∑
          
            j
            =
            2
          
          
            i
          
        
        (
        (
        −
        1
        
          )
          
            j
            +
            1
          
        
        ∗
        n
        ∗
        
          C
          
            k
          
          
            j
          
        
        ∗
        
          C
          
            n
            −
            j
          
          
            i
            −
            j
          
        
        ∗
        
          k
          
            i
            −
            j
          
        
        ∗
        (
        
          C
          
            j
          
          
            j
            −
            1
          
        
        −
        1
        )
        −
        
          ∑
          
            b
            =
            2
          
          
            j
          
        
        (
        n
        u
        m
        (
        
          t
          
            b
          
        
        )
        )
        )
        ∗
        (
        n
        −
        i
        )
        !
        )
      
    
    {\displaystyle fix_{k}n=n!-k*n!+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i}*(C_{n}^{i}*k^{i}+\sum _{j=2}^{i}((-1)^{j+1}*n*C_{k}^{j}*C_{n-j}^{i-j}*k^{i-j}*(C_{j}^{j-1}-1)-\sum _{b=2}^{j}(num(t_{b})))*(n-i)!)}
  

 Формула строится на Формуле включений-исключений. Нам нужно сначала найти все порядки для одного числа, потом порядки для 2 чисел, …, порядки для n чисел. Сложность заключается в том, что когда мы ищем порядки для нескольких чисел, мы можем закрепить 2 числа на одной позиции, что невозможно поэтому нам нужно найти число таких случаев.
Введём понятие: i-пересечение (для множества чисел В) — i чисел из данного множества, которые находятся на одной позиции в разных перестановках. Тогда мы отнимем варианты выбора позиций, где есть 2-пересечения и посмотрим, какие варианты мы отняли несколько раз. Мы могли отнять несколько раз либо за случаи, где несколько 2-пересечений находятся в одном столбце, либо за случаи, где они находятся в разных. В случае с разными столбцами, это будет число num(ti), в случае с одним мы снова прибавим варианты за все 3-пересечения, отнимем за 4-пересечения и так далее, что можно заметить снова образует Формулу включений-исключений.