Для решения задач расчета и моделирования систем автоматического регулирования зачастую приходится рассматривать достаточно сложные системы, состоящие из множества звеньев (передаточных функций). Так, например, поворот закрылок у самолета обеспечивается следующим набором механизмов: Два электродвигателя посто­янного тока, каждый из которых имеет по четыре обмотки возбуждения (две последовательные и две параллельные).  Электромагнитные муфты сцепления-торможения.  Планетарный редуктор с суммирующей дифференциальной передачей.  И это только для обеспечения механизма поворота! Так же нужно учитывать, что до электродвигателей существует непосредственно система автоматического регулирования, которая вырабатывает необходимые сигналы управления.  На рисунке 1. приведена структурная схема системы управления двигателем с постоянными магнитами. При этом в качестве входа в эту систему используется значение заданного положения, которое, в свою очередь, тоже должно быть определено исходя из решения уравнений динамики летательного аппарата. При прямом физическом моделировании подобных систем приходится выполнять множество математических вычислений, и скорость вычислений снижается до неприемлемого уровня. Если мы хотим исследовать движение летательного аппарата в целом, необходимо представить модель сложной системы в упрощенном виде, желательно, не теряя качества и сохраняя необходимую точность. В предыдущей лекции при выводе уравнений динамики ядерного реактора мы показывали, каким образом, пренебрегая малыми величинами, мы получаем компактное выражение, и сохраняем точность в заданном диапазоне изменений.  В этой лекции мы покажем каким образом сократить количество вычислений, используя преобразования передаточных функций в сложной системе.  Большинство реальных систем автоматического регулирования являются сложными. При анализе часто приходится рассматривать как “фрагменты”, так полные системы САР, и выполнять над ними некоторые операции, упрощающие их структуру. Определение. Действия, упрощающие математическое или графическое изображение САР (структуры) или упрощающие последующий анализ динамических свойств САР, называются структурными преобразованиями.         Различают несколько типовых упрощающих действий: замена цепи из последовательно соединенных звеньев эквивалентным звеном; замена цепи из параллельно соединенных звеньев эквивалентным звеном;  замена цепи с местной обратной связью эквивалентным звеном; замена цепи с местной обратной связью на единичною обратную связь; перенос точек включения обратной связи “вперед”- “назад”; перенос точек суммирования или ветвления “вперед”- “назад”. Цепь преобразований: Получить эквивалентную передаточную функцию: Запишем ряд очевидных равенств: Перемножим, соответсвенно правые и левые части этих равентсв: Эквивалентная передаточная функция: Найдем эквивалентную АФЧХ. (Подробнее см. лекцию Частотные характеристики систем автоматического управления (АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ)).   Учитвая, что Эквивалентная логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ: Если каждое из звеньев имеет передаточную функцию в виде , где у  свободный член равен 1, а у свободный член = 0, то Заменить последовательные звенья структуры на рисунке 4.1.2 эквивалентным звеном и построить его логарифмическую амплитудную характеристику. Для начала вполним расчет эквивалентной передаточной функции по формуле 4.1: Если подставить вместо символьных коэффициентов их значение (см. рисунок 4.1.3) эквивалентаня передаточная функция примет вид: Выполним аналогичное преобразование с помощью блока "Построение передаточных функций". На рисунке 4.1.3 представлена схема модели в которой выполняется расчет эквивалентной передаточной функции для трех последовательных звеньев. Численные значения коффициентов задаются в скрипте программы в секции констант, а затем используются  в столбце формула, для свойств блоков - звеньев на схеме (красные прямоугольники на рис. 4.1.3). Блок "Построение передаточных функций" выполняет расчет коэффициентов, и результаты рассчета совппадают с аналитическим решением (зеленые прямоугольники на рис. 4.1.3). Можно так же построить ЛАХ данной системы из трех звеньев, если сообразить, что на схема 4.1.2 испольуются блоки "Апереодическое звено первого порядка" и "Инерционно-дифференцирующее звено", которые мы рассматривали в  соотвествующих лекциях ранее. Для каждого блока мы можем построить ЛАХ, используя формулы для точек перегиба функций, как это было показано ранее, а затем графически сложить для получения эквивалентной согласно формуле 4.4. Решение представлено на рисунке 4.1.4 Проверим графическое аналитическое решение построекнием ЛАХ с помощью блока "Построение частотных характеристие". На рисунке 4.1.5 Представлена расчетная схема из трех последовательных звеньев и еквивалентное звено. Для каждого блока построена ЛАХ, и мы видим что точки перегиба и углы наклона функции совпадают. Выходное значение является сумммой выходов из всех звеньев (см. рис. 4.2.1): Запишем ряд очевидных равенства для передаточных функций: Складывая, получаем: Найдем эквивиалентную АФЧХ, подставляя вместо значение : Модуль АФЧХ эквивалентной передаточной функции: Фазовый сдвиг для эквивалентной передаточной функции: где занчения m, зависит от положения вектора АФЧХ на векторной плоскости:  если вектор находится в 2 и 3 квадрантах комплексной плоскости,   если вектор находится в 1 и 4 квадрантах комплексной плоскости. Логарифмическая амплитудная характеристика: Наиболее простые соотношения имеют место для переходной и весовой эквивалентных функций:  Последовательное и параллельное соединение звеньев в значительной степени похожи на аналогичные соединения в электротехнике, гидравлики, и т.д.                                                         Заменить паралельные звенья структуры на рисунке 4.2.2 эквивалентным звеном . Согласно формуле 4.6 получим выражения для эквивалентной функции: где значения многочлена числителя получаются путем приведения к общему знаменателю: При подстановке численных значений коэффициентов с рисунка 4.2.2 получаем следующее значение эквивалентной передаточной функции: Точно такое же значение получится при исползовании блока "Построение передаточных функций", для автоматически построения функций. Для сравнения построим переходный процесс для параллельных звеньев и эквивалентного звена: Определение  Связь выходного сигнала системы с входным, при которой отклонение выходного сигнала системы (т.е. объекта) вызывает соответствующее изменение ее входного сигнала, называется обратная связь. Цепь с обратной связью имеет следующий структурный вид: Определение: если  обратная связь охватывает только часть  цепи или одно звено, то такая связь называется местная обратная связь. Если занчение сигнала обратной связи вычитается из входного сигнала, то такая связь называется отрицательной и может обозначатся на схема как "сравнивающее устройство" или просто знаком минус (см. рис. 4.3.2): Если заначение сигнала обратной связи складывается с входным сигналом, то такая связь называется положительной, и обозначается знаком + (см. рис. 4.3.3). Рассмотрим преобразование на примере отрицательной обратной связи см. рис. 4.3.4, которую нужно преобразовать в одно звено с эквивалентной передаточной функцией: На выходе из блока "Сравнивающее устройство" получается рассогласование: Выполним преобразования в изображениях обходя структуру по контору:   Эквивалентная передаточная функция  для отрицательной обратной связи: Для положительной обратной связи преобразование аналогичные, за исключением знака обратной связи для величины  "рассогласование" тогда выражение эквивалентной функции для положительной обратаной связи по аналогии: Можно так же записать общее выражение для системы с обратной связью: где: знак " " - для отрицательной обратной свзязи, а знак " " - для положителеной  Как правило в регуляторах используется отрицательная обратная свзязь. Опредление: обратная связь у которой значение сигнала выхода передается непосредственно на вход без передаточного зена, назвается единичная обратная связь. В случае когда обратная  связь единичная выражение для эквивалентной функции принимает вид: Для единичной отрицательной обратной связи изображенной на рисунке 4.3.5  эквивалентная функция:   Заменить звено с обратной связью структуры на рисунке 4.3.6 эквивалентным звеном. Согласно формуле 4.13 Подставляя значения коэффициентов с рисунка 4.3.6 получаем следующие выражение  передаточной функции: Существуют два способа замены местной обратной связи на единичную: Способ 1. Добавление последовательного звена после обратной связи, таким образом, что бы общая передаточная функция не изменилась (см. рис. 4.3.8): Исходная передаточная функция согласно формулы 4.13: Общая передаточная функция новой системы получается по формуле 4.1 для последовательных звенье, где первая часть это формула звена с единичной обратной связью, а вторая часть - новая неизвестная передаточная функция  Z(s) см. рис. 4.3.8: Приравнивая получаем выражение для добавленного звена: Cпособ 2. Добавление звена в контур до обратной связи так, что бы обратная единичная связь охватывала все звенья (см. рис. 4.3.9): Исходная передаточная функция согласно формулы 4.13: Эквивалентаня  функция для преобразованной схемы по формуле для последовательных звеньев 4.1 и для единичной обратной связи 4.15: Приравнивая получаем выражение для добавленного звена: Перенос обратной связи вперед. Исходная и эквивалентная САР представлены на рисунке 4.3.10 Эквивалентная функция для исходной системы получим используя формулы для звена с обратной связью 4.13 и последовательного соединения 4.1: Эквиваланетная функция для преобразованной системы: Приравнивая получаем: Перенос обратной свзяи назад. Исходная и эквивалентная схемы представлены на рисунке  4.3.11  Аналогично запишем уравнения для обоих систем и определим значение добавленной передаточной функции: Такие преобразования достаточно просто илюстирируются графически. На рисунке 4.4.1 перенос точки суммирования вперед: На рисунке 4.4.2 перенос точки суммирования назад: На рисунках 4.5.1 и 4.5.2 представлены схемы переноса точек ветвления вперед и назад соответвенно: Данные рисунки очевидны и не требуют дополнительных комментариев. Иногда этот прием называется “перенос внешнего воздействия”. Как всегда, примеры разобранные в лекции можно взять по ссылке здесь. Предыдущие лекции:  1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ.3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.  Моделирование сложных технических систем