Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 равна 
  
    
      
        p
        ∈
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle p\in (0,1)}
  
, и 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 — число испытаний, в которых 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
) к значению интеграла Лапласа.
 При рассмотрении количества 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 появлений события 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 в 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 заключено между некоторыми значениями 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
. Так как при достаточно больших 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 промежуток 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  
 содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения
 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        m
        )
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              m
              !
              (
              n
              −
              m
              )
              !
            
          
        
        
          p
          
            m
          
        
        
          q
          
            n
            −
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(n-m)!}}p^{m}q^{n-m}}
  

 требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.
 Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 фиксировано, а 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow +\infty }
  
. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.
 Если в схеме Бернулли 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 стремится к бесконечности, величина 
  
    
      
        p
        ∈
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle p\in (0,1)}
  
 постоянна, а величина 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              m
              −
              n
              p
            
            
              n
              p
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}={\frac {m-np}{\sqrt {npq}}}}
  
 ограничена равномерно по 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 и 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 (то есть 
  
    
      
        ∃
        a
        ,
        b
        :
        −
        ∞
        <
        a
        ⩽
        
          x
          
            m
          
        
        ⩽
        b
        <
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle \exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty }
  
), то
 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        m
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              n
              p
              q
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  x
                  
                    m
                  
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
        (
        1
        +
        
          α
          
            n
          
        
        (
        m
        )
        )
      
    
    {\displaystyle P_{n}(m)={\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)(1+\alpha _{n}(m))}
  

 где 
  
    
      
        
          |
          
            
              α
              
                n
              
            
            (
            m
            )
          
          |
        
        <
        
          
            c
            
              n
            
          
        
        ,
        c
        =
        
          const
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0}
  
.
 Приближённую формулу
 
  
    
      
        
          P
          
            n
          
        
        (
        m
        )
        ≈
        
          
            1
            
              2
              π
              n
              p
              q
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  x
                  
                    m
                  
                  
                    2
                  
                
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle P_{n}(m)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\right)}
  

 рекомендуется применять при 
  
    
      
        n
        >
        100
      
    
    {\displaystyle n>100}
  
 и при 
  
    
      
        m
        >
        20
      
    
    {\displaystyle m>20}
  
.
 Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:
 где 
  
    
      
        0
        <
        
          θ
          
            s
          
        
        <
        1
        
          /
        
        
          12
          s
        
      
    
    {\displaystyle 0<\theta _{s}<1/{12s}}
  
.
 При больших 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 величина 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде
 даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при 
  
    
      
        s
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle s\rightarrow +\infty }
  
.
 Нас будут интересовать значения 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 условие 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow +\infty }
  
 будет также означать, что
 Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем
 Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:
 Тогда выражение (4) приобретает вид:
 Предположим, что
 Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:
 Располагаем члены этого разложения по степеням 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}}
  
:
 Предположим, что при 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
        ,
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow +\infty ,}
  

 Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).
 Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен
 Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем
 Обозначив
 переписываем (12) в виде
 Где 
  
    
      
        φ
        (
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x_{m})}
  
 — нормальная функция.
 Поскольку в интервале 
  
    
      
        [
        m
        ,
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle [m,m+1)}
  
 имеется только одно целое число 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, то можно сказать, что 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        m
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(m)}
  
 есть вероятность попадания 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 в интервал 
  
    
      
        [
        m
        ,
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle [m,m+1)}
  
. Из (5) следует, что изменению 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 на 1 соответствует изменение 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}}
  
 на
 Поэтому вероятность попадания 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 в интервал 
  
    
      
        [
        m
        ,
        m
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle [m,m+1)}
  
 равна вероятности попадания 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}}
  
 в промежуток 
  
    
      
        [
        
          x
          
            m
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            m
            0
          
        
        +
        Δ
        x
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle [x_{m0},x_{m0}+\Delta x),}
  

 Если 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow +\infty }
  
, то 
  
    
      
        Δ
        x
        →
        +
        0
      
    
    {\displaystyle \Delta x\rightarrow +0}
  
 и равенство (16) показывает, что нормальная функция 
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)}
  
 является плотностью случайной переменной 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{m}}
  
.
 Таким образом, если 
  
    
      
        n
        →
        +
        ∞
        ,
        n
        
          x
          
            3
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0}
  
 то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой 
  
    
      
        φ
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \varphi (x)}
  
 — нормальная функция с 
  
    
      
        
          x
          
            m
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x_{m}=0}
  
 и 
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              q
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}}
  
.
 Таким образом, теорема доказана.