Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида
 где все 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
  
 — комплексные числа. Циркулянт можно также кратко описать как 
  
    
      
        
          C
          
            i
            j
          
        
        =
        
          a
          
            j
            −
            i
            +
            1
            
              
              (
              mod
              
              n
              )
            
          
        
        ,
         
        i
        ,
        j
        =
        1
        ,
        …
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n}}},\ i,j=1,\ldots ,n}
  
. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.
 Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы.
 Пусть 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 и 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства.
 Обозначим 
  
    
      
        ζ
      
    
    {\displaystyle \zeta }
  
 первообразный корень из единицы степени 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
:
 Обозначим 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          a
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        …
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}}
  
 и 
  
    
      
        
          ζ
          
            k
          
        
        =
        
          ζ
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k}}
  
. Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида 
  
    
      
        
          |
        
        
          ζ
          
            j
          
          
            i
            −
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            n
            ×
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}}
  
:
 
  
    
      
        =
        f
        (
        
          ζ
          
            1
          
        
        )
        f
        (
        
          ζ
          
            2
          
        
        )
        …
        f
        (
        
          ζ
          
            n
          
        
        )
        ⋅
        
          
            |
            
              
                
                  1
                
                
                  1
                
                
                  ⋯
                
                
                  1
                
              
              
                
                  
                    ζ
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    ζ
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    ζ
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    ζ
                    
                      1
                    
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    ζ
                    
                      2
                    
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    ζ
                    
                      n
                    
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle =f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}.}
  

 Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■
 Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора 
  
    
      
        
          (
          
            
              a
              
                1
              
            
            ,
            …
            ,
            
              a
              
                n
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}
  
.
 Для 
  
    
      
        n
        =
        2
      
    
    {\displaystyle n=2}
  
 определитель циркулянта равен:
 Для 
  
    
      
        n
        =
        3
        ,
        
          ζ
          
            3
          
        
        =
        1
        ,
        ζ
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle n=3,\zeta ^{3}=1,\zeta \neq 1}
  
:
 Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:
 Матрица вида
 называется 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
-косоциркулянтом порядка 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 при 
  
    
      
        φ
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \varphi \neq 0}
  
.
 Очевидно, что циркулянт является 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
  
-косоциркулянтом, а антициркулянт — 
  
    
      
        (
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (-1)}
  
-косоциркулянтом.