Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.
 В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения
 При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:
 решения которого называются функциями Вебера и обозначаются 
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }(z).}
  
 
 Функции 
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        ,
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        −
        z
        )
        ,
        
          D
          
            −
            ν
            −
            1
          
        
        (
        i
        z
        )
        ,
        
          D
          
            −
            ν
            −
            1
          
        
        (
        −
        i
        z
        )
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)}
  
 являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 функции 
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        ,
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        −
        z
        )
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)}
  
 линейно независимы. Для всех 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 функции 
  
    
      
        
          D
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        ,
        
          D
          
            −
            ν
            −
            1
          
        
        (
        ±
        i
        z
        )
      
    
    {\displaystyle D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)}
  
 также линейно независимы.
 На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
  
 заменой 
  
    
      
        f
        (
        α
        z
        +
        β
        )
        =
        
          e
          
            −
            
              z
              
                2
              
            
          
        
        y
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)}
  

 Функции Эрмита обозначаются 
  
    
      
        
          H
          
            ν
          
        
        (
        z
        )
        .
      
    
    {\displaystyle H_{\nu }(z).}
  
 Общее решение уравнения 
  
    
      
        (
        2
        )
        :
      
    
    {\displaystyle (2):}
  

 где 
  
    
      
        Φ
        
          (
          
            α
            ;
            β
            ;
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)}
  
 — вырожденная гипергеометрическая функция.
 При целом неотрицательном 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном 
  
    
      
        ν
      
    
    {\displaystyle \nu }
  
 функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.