Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса.
Предложены Данделеном в 1822 году.
 Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса.
Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 и 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
 и касающиеся секущей плоскости в точках 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 и 
  
    
      
        
          F
          ′
        
      
    
    {\displaystyle F'}
  
.
Такие сферы называют шарами Данделена.
В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.
 Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её).
Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.
 Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса.
Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.
 Если взять произвольную точку 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 на линии пересечения конуса и плоскости 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 и 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
 в точках 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 и 
  
    
      
        
          Q
          ′
        
      
    
    {\displaystyle Q'}
  
, то при перемещении точки 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, точки 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 и 
  
    
      
        
          Q
          ′
        
      
    
    {\displaystyle Q'}
  
 будут перемещаться по окружностям 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 и 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
 с сохранением расстояния 
  
    
      
        Q
        
          Q
          ′
        
      
    
    {\displaystyle QQ'}
  
.
 Так как 
  
    
      
        P
        Q
      
    
    {\displaystyle PQ}
  
 и 
  
    
      
        P
        F
      
    
    {\displaystyle PF}
  
 — отрезки двух касательных к сфере из одной точки 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
, то 
  
    
      
        P
        Q
        =
        P
        F
      
    
    {\displaystyle PQ=PF}
  
 и, аналогично, 
  
    
      
        P
        
          Q
          ′
        
        =
        P
        
          F
          ′
        
      
    
    {\displaystyle PQ'=PF'}
  
.
 Таким образом точки на линии пересечения
 Плоскость 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 пересекает плоскости, в которых лежат окружности 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 и 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
 по прямым, являющимся директрисами конического сечения:46,47. Свойство директрисы таково, что для всех точек, лежащих на линии пересечения конуса и плоскости 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 отношение расстояний от точки до директрисы и до соответствующего ей фокуса одинаково. Действительно, пусть 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 лежит на линии пересечения, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 - плоскость окружности 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
. Пусть плоскости 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 и 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 пересекаются по прямой 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
, 
  
    
      
        P
        H
      
    
    {\displaystyle PH}
  
 - перпендикуляр из 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 на 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
, 
  
    
      
        P
        K
      
    
    {\displaystyle PK}
  
 - перпендикуляр из 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
 на 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
. Нетрудно заметить, что 
  
    
      
        
          
            
              P
              H
            
            
              P
              K
            
          
        
        =
        sin
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle {\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha }
  
, где 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
  — угол между плоскостями 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
 и 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
. 
  
    
      
        
          
            
              P
              K
            
            
              P
              F
            
          
        
        =
        
          
            
              P
              K
            
            
              P
              Q
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}}
  
, где 
  
    
      
        φ
      
    
    {\displaystyle \varphi }
  
  — угол между осью конуса и его образующей.
Перемножив два отношения, получим, что 
  
    
      
        
          
            
              P
              H
            
            
              P
              F
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
            
            
              cos
              ⁡
              φ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}}
  
, то есть величина, не зависящая от выбора точки 
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
.
Величина 
  
    
      
        
          
            
              P
              F
            
            
              P
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {PF}{PH}}}
  
 , обратная ей, называется эксцентриситетом коники. (Другому фокусу соответствует другая директриса, образуемая пересечением секущей плоскости и плоскости окружности 
  
    
      
        
          C
          ′
        
      
    
    {\displaystyle C'}
  
.)
В случае, когда секущая плоскость параллельна некоторой образующей, 
  
    
      
        α
        =
        
          90
          
            ∘
          
        
        −
        φ
      
    
    {\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\varphi }
  
, откуда 
  
    
      
        
          
            
              P
              F
            
            
              P
              H
            
          
        
        =
        
          
            
              cos
              ⁡
              φ
            
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1}
  
, то есть 
  
    
      
        P
        F
        =
        P
        H
      
    
    {\displaystyle PF=PH}
  
.
Это соответствует стандартному определению параболы как геометрического места точек, равноудалённых от заданных точки (фокуса) и прямой (директрисы).