Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
 Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах».
 Пусть исходная система выглядит следующим образом:
 Её можно записать в матричном виде:
 где
 Матрица 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 называется основной матрицей системы, 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 — столбцом свободных членов.
 Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
 где 
  
    
      
        
          α
          
            1
            
              j
              
                1
              
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          α
          
            r
            
              j
              
                r
              
            
          
        
        ≠
        0.
      
    
    {\displaystyle \alpha _{1j_{1}},\ldots ,\alpha _{rj_{r}}\neq 0.}
  

 При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных 
  
    
      
        
          x
          
            
              j
              
                1
              
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            
              j
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{r}}}
  
.
 Тогда переменные 
  
    
      
        
          x
          
            
              j
              
                1
              
            
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            
              j
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{r}}}
  
 называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
 Если хотя бы одно число 
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle \beta _{i}\neq 0}
  
, где 
  
    
      
        i
        >
        r
      
    
    {\displaystyle i>r}
  
, то рассматриваемая система несовместна, т. е. у неё нет ни одного решения.
 Пусть 
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \beta _{i}=0}
  
 для любых 
  
    
      
        i
        >
        r
      
    
    {\displaystyle i>r}
  
.
 Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 (
  
    
      
        
          α
          
            i
            
              j
              
                i
              
            
          
        
        ,
        
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        r
      
    
    {\displaystyle \alpha _{ij_{i}},\,i=1,\ldots ,r}
  
, где 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 — номер строки):
 где 
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        …
        ,
        r
        ,
        
        k
        =
        i
        +
        1
        ,
        …
        ,
        n
        .
      
    
    {\displaystyle i=1,\ldots ,r,\quad k=i+1,\ldots ,n.}
  

 Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.
 Упомянутое выше условие 
  
    
      
        
          β
          
            i
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \beta _{i}=0}
  
 для всех 
  
    
      
        i
        >
        r
      
    
    {\displaystyle i>r}
  
 может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:
 Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
 Следствия: 
 Блок-схема представлена на рисунке. Данный рисунок — адаптированный для написания программы на языке C/C++, где a — расширенная матрица, последний столбец в которой — столбец свободных членов. Количество строк — n.  Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.
 Метод Гаусса требует 
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{3})}
  
 арифметических операций.
 Этот метод опирается на:
 В простейшем случае алгоритм выглядит так: 
 Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
 Обнулим коэффициенты при 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на 
  
    
      
        
          
            
              3
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\frac {3}{2}}}
  
 и 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
, соответственно:
 Теперь обнулим коэффициент при 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
  
:
 В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
 На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: 
 Таким образом, исходная система решена.
 В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.
 Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:
 Метод Гаусса для плохо обусловленных матриц коэффициентов является вычислительно неустойчивым. Например, для  матриц Гильберта метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко.
 В 1969 году Штрассен доказал, что большие матрицы можно перемножить за время 
  
    
      
        O
        (
        
          n
          
            
              log
              
                2
              
            
            ⁡
            
              7
            
          
        
        )
        =
        O
        (
        
          n
          
            2
            
              ,
            
            81
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle O(n^{\log _{2}{7}})=O(n^{2{,}81})}
  
. Отсюда вытекает, что обращение матриц и решение СЛАУ можно осуществлять алгоритмами асимптотически более быстрыми по порядку, чем метод Гаусса. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости.