В классической механике ве́ктором Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца называется вектор, в основном используемый для описания формы и ориентации орбиты, по которой одно небесное тело обращается вокруг другого (например, орбиты, по которой планета вращается вокруг звезды). В случае с двумя телами, взаимодействие которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца представляет собой интеграл движения, то есть его направление и величина являются постоянными независимо от того, в какой точке орбиты они вычисляются; говорят, что вектор Лапласа — Рунге — Ленца сохраняется при гравитационном взаимодействии двух тел. Это утверждение можно обобщить для любой задачи с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такая задача называется Кеплеровой задачей.
 Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона, движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.
 Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода, ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.
 В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 всегда движется по кругу. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере 
  
    
      
        
          S
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{3}}
  
. По этой математической аналогии сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве.
 Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге — Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих учёных не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
.
 Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы, имеет по крайней мере четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 и три компоненты углового момента (вектора 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 (или, что эквивалентно, скоростью 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
) и координатами, то есть радиус-вектором 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
, что может быть выражено математически с помощью скалярного произведения 
  
    
      
        
          r
        
        ⋅
        
          L
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}
  
.
 Как определено ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 всегда находится в плоскости движения, то есть 
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          L
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}
  
 для любой центральной силы. Также 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 является постоянным только для силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Если центральная сила приблизительно зависит от обратного квадрата расстояния, вектор 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 может быть определён для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях.
 Вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия. Якоб Герман был первым, кто показал, что 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния, и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Германа была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 году. В свою очередь, Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия открыл сохранение 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники.
 В середине XIX века Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета, определённый ниже, использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (рис. 3). В начале XX столетия Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера, на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода.
 В 1926 году этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера. После публикации Паули вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге — Ленца.
 Для одиночной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния и описываемой уравнением 
  
    
      
        
          F
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              −
              k
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              r
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
  
, вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 определён математически по формуле
 где
 Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 сохраняется
 Из центральности силы следует, что вектор углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 перпендикулярен вектору углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение 
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          L
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}
  
 верно, потому что вектора 
  
    
      
        
          p
        
        ×
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }
  
 и 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 перпендикулярны 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
.
 Это определение вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 применимо для единственной точечной частицы с массой 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 на приведённую массу этих двух тел и 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 на вектор между этими телами.
 Сохранение вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и вектора углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 используется в доказательстве того, что вектор импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 движется по кругу под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
, приходим к уравнению для 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  

 Направляя вектор 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 вдоль оси 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
, а главную полуось — по оси 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, приходим к уравнению
 Другими словами, вектор импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 ограничен окружностью радиуса 
  
    
      
        m
        k
        
          /
        
        L
      
    
    {\displaystyle mk/L}
  
, центр которой расположен в точке с координатами 
  
    
      
        (
        0
        ,
        A
        
          /
        
        L
        )
      
    
    {\displaystyle (0,A/L)}
  
. Эксцентриситет 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 соответствует косинусу угла 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  
, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
        =
        
          
            2
            m
            
              |
            
            E
            
              |
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m|E|}}}
  
. Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.
 Семь скалярных величин: энергия 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 и компоненты векторов Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и момента импульса 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 — связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности 
  
    
      
        
          A
        
        ⋅
        
          L
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}
  
, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца, полученного выше 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        +
        2
        m
        E
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
  
. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 (и эксцентриситет 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 орбиты) можно определить из полного углового момента 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 и энергии 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, то утверждается, что только направление 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 сохраняется независимо. Кроме того, вектор 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 должен быть перпендикулярным 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.
 Механическая система с 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 степенями свободы может обладать максимум 
  
    
      
        2
        d
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2d-1}
  
 интегралами движения, поскольку имеется 
  
    
      
        2
        d
      
    
    {\displaystyle 2d}
  
 начальных условий, а начальное время не может быть определено из интегралов движения. Система с более чем 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 
  
    
      
        2
        d
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2d-1}
  
 интегралами называется максимально суперинтегрируемой. Поскольку решение уравнения Гамильтона — Якоби в одной системе координат может привести только к 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
 интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат. Проблема Кеплера максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (
  
    
      
        d
        =
        3
      
    
    {\displaystyle d=3}
  
) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах, как описано ниже.  Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже.
 Постоянство вектора Лапласа — Рунге — Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона — Якоби в параболических координатах 
  
    
      
        (
        ξ
        ,
        η
        )
      
    
    {\displaystyle (\xi ,\eta )}
  
, которые определяются следующим образом
 где 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
  
 — радиус в плоскости орбиты.
Обратное преобразование этих координат запишется в виде
 Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения
 где 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса 
  
    
      
        
          p
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{x}}
  
 и 
  
    
      
        
          p
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{y}}
  
 можно показать, что 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 эквивалентен вектору Лапласа — Рунге — Ленца
 Этот подход Гамильтона — Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 в присутствии электрического поля 
  
    
      
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} }
  

 где 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  
 — заряд обращающейся частицы.
 В отличие от импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 и углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
, у вектора Лапласа — Рунге — Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение даётся выше, но другое определение возникает после деления на постоянную 
  
    
      
        m
        k
      
    
    {\displaystyle mk}
  
, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета
 где 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
 — вектор скорости. Направление этого масштабированного вектора 
  
    
      
        
          e
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} }
  
 совпадает с направлением 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
, и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 на 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
:
 или на 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}}
  
:
 который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
). В редких случаях знак вектора Лапласа — Рунге — Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа — Рунге — Ленца включают 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  
, 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  
, 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
, 
  
    
      
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} }
  
 и 
  
    
      
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {V} }
  
. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа — Рунге — Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.
 Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 изучен Уильямом Гамильтоном
 который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
        =
        
          B
        
        ×
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \times \mathbf {L} }
  
 является векторным произведением 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 (рис. 3). Вектор 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
, так и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
. Подобно вектору Лапласа — Рунге — Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.
 Два сохраняющиеся вектора 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор
 где 
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
  
 обозначает тензорное произведение, а 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 и 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
 — произвольные множители. Записанное в компонентной записи, это уравнение читается так
 Векторы 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 ортогональны друг другу, и их можно представить как главные оси сохраняющегося тензора 
  
    
      
        
          W
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {W} }
  
, то есть как его собственные вектора. 
  
    
      
        
          W
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {W} }
  
 перпендикулярен 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
:
 поскольку 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
 перпендикулярны, то 
  
    
      
        
          L
        
        ⋅
        
          A
        
        =
        
          L
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} =0}
  
.
 Форму и ориентацию орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
, можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 и 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 (положения планеты):
 где 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 является углом между 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 и 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 (рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении 
  
    
      
        
          r
        
        ⋅
        (
        
          p
        
        ×
        
          L
        
        )
        =
        
          L
        
        ⋅
        (
        
          r
        
        ×
        
          p
        
        )
        =
        
          L
        
        ⋅
        
          L
        
        =
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )=\mathbf {L} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {p} )=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}
  
, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения:
 с эксцентриситетом 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
, заданным по формуле:
 Приходим к выражению квадрата модуля вектора 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 в виде
 которое можно переписать, используя эксцентриситет орбиты
 Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентриситет меньше, чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше, чем единица, и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равна нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях вектор 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат (перицентр).
 Сила 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
  
, действующая на частицу, предполагается центральной. Поэтому
 для некоторой функции 
  
    
      
        f
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle f(r)}
  
 радиуса 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
. Поскольку угловой момент 
  
    
      
        
          L
        
        =
        
          r
        
        ×
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
  
 сохраняется под действием центральных сил, то 
  
    
      
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          L
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0}
  
 и
 где импульс записан в виде 
  
    
      
        
          p
        
        =
        m
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
  
, и двойное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа
 Тождество
 приводит к уравнению
 Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорциональной квадрату расстояния 
  
    
      
        f
        (
        r
        )
        =
        
          
            
              −
              k
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}
  
, последнее выражение равно
 Тогда 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 сохраняется в этом случае
 Как показано ниже, вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
, который может быть определён для любой центральной силы. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бертрана), аналогичный вектор 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
 редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
 между 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 и 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
.
 Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал 
  
    
      
        h
        (
        r
        )
      
    
    {\displaystyle h(r)}
  
 зависит только от расстояния, то полная энергия 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 и вектор углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 сохраняются. Поэтому траектория движения всё ещё находится в перпендикулярной к 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 плоскости, и величина 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 сохраняется, согласно уравнению 
  
    
      
        
          A
          
            2
          
        
        =
        
          m
          
            2
          
        
        
          k
          
            2
          
        
        +
        2
        m
        E
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
  
. Следовательно, направление 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать, что 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 вращается со скоростью
 где 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 — период орбитального движения и равенство 
  
    
      
        L
        
        d
        t
        =
        m
        
          r
          
            2
          
        
        
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle L\,dt=mr^{2}\,d\theta }
  
 использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния:
 Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение
 чтобы выразить 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 в терминах 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
, скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде
 которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации. Это выражение используется для оценки прецессии, связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности.
 Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы
 вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на величину полной производной по времени
 что соответствует сохранению величины
 Эта компонента вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{s}}
  
 соответствует вариации координат
 где 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 равняется 1, 2 и 3, а 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
  
 и 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}_{i}}
  
 — 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
-е компоненты векторов положения 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 и скорости 
  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\dot {r}} }
  
, соответственно. Функция Лагранжа данной системы
 Получающееся изменение в первом порядке малости для функции Лагранжа запишется как
 Это приводит к сохранению компоненты 
  
    
      
        
          A
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{s}}
  

 Существует другой метод вывода сохранения вектора Лапласа — Рунге — Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей. Масштабирование координат 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
 и времени 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 с разной степенью параметра 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  
 (рис. 6)
 изменяет полный угловой момент 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 и энергию 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
:
 — но сохраняет произведение 
  
    
      
        E
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle EL^{2}}
  
. Отсюда следует, что эксцентриситет 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
 и величина 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении
 Направление 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 и период 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  
 формируют константу 
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
        
          /
        
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle T^{2}/a^{3}}
  
.
 Для трёх компонент 
  
    
      
        
          L
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{i}}
  
 вектора углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 можно определить скобки Пуассона
 где индекс 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
 пробегает значения 1, 2, 3 и 
  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ijs}}
  
 — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
, чтобы не путать с силовым параметром 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.
 Как показано выше, изменённый вектор Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 можно определить с той же размерностью, что и угловой момент, разделив 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 на 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}}
  
. Скобка Пуассона 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 с вектором углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 запишется в похожем виде
 Скобка Пуассона 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 с 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 зависит от знака 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
, то есть когда полная энергия 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
 отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид
 В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак
 Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений
 и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  

 
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
  
 равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
 нетривиален и зависит только от 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 и 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  
. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.
 Вариация координаты приводит к сохранению длины вектора Лапласа — Рунге — Ленца (см. теорема Нётер). Это сохранение можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила приводя к сохранению углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
. В физике обычно встречаются консервативные центральные силы, обладающие симметрией группы вращения SO(3). Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические функции с тем же самым квантовым числом 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 (вырожденные состояния), не изменяя энергию.
 Симметрия повышается для центральной силы, обратной квадрату расстояния. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
, так и вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 и 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами, орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами 
  
    
      
        l
      
    
    {\displaystyle l}
  
 и 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
, атомные орбитали типа 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 (
  
    
      
        l
        =
        0
      
    
    {\displaystyle l=0}
  
) и 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 (
  
    
      
        l
        =
        1
      
    
    {\displaystyle l=1}
  
). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.
 Связанная система с отрицательной полной энергией обладает симметрией SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов
 В 1935 году Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой четырёхмерное обобщение стереографической проекции сферических функций из 3-сферы в трёхмерное пространство. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющему энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 и скалированного вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 формируют алгебру Ли для 
  
    
      
        S
        O
        (
        4
        )
      
    
    {\displaystyle SO(4)}
  
. Проще говоря, эти шесть величин 
  
    
      
        
          D
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} }
  
 и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша Вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.
 Рассеянная система с положительной полной энергией обладает симметрией SO(3,1), которая сохраняет длину 4-вектора в пространстве с метрикой Минковского
 Фок и Баргман рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном. Недавнее исследование Ефимова С.П. показало, что результат В. Фока переносится из искривлённого импульсного пространства в 4-х мерное координатное . При этом переход от четырёхмерных сферических функций в физическое трёхмерное пространство возникает просто при замене четвёртой "лишней" координаты на мнимый радиус вектор 
  
    
      
        ı
        r
      
    
    {\displaystyle \imath r}
  
. Найденное координатное пространство оказывается в теории "ближе", чем искривлённое пространство В. Фока. 
 
 Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать. Пусть в четырёхмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены 
  
    
      
        (
        w
        ,
        
        x
        ,
        
        y
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (w,\;x,\;y,\;z)}
  
, где 
  
    
      
        (
        x
        ,
        
        y
        ,
        
        z
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\;y,\;z)}
  
 представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  
. Трёхмерный вектор импульса 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 связан с четырёхмерным вектором 
  
    
      
        
          η
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
  
 на четырёхмерной единичной сфере посредством
 где 
  
    
      
        
          
            
              w
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }
  
 — единичный вектор вдоль новой оси 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  
. Поскольку 
  
    
      
        
          η
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
  
 имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
. Например, для компоненты 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  

 и аналогично для 
  
    
      
        
          p
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{y}}
  
 и 
  
    
      
        
          p
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{z}}
  
. Другими словами, трёхмерный вектор 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 является стереографической проекцией четырёхмерного вектора 
  
    
      
        
          η
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
  
, умноженному на 
  
    
      
        
          p
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{0}}
  
 (рис. 8).
 Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 направлена вдоль вектора углового момента 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
. Так как движение происходит в плоскости, а 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 и 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 ортогональны, 
  
    
      
        
          p
          
            z
          
        
        =
        
          η
          
            z
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}
  
, и внимание можно сосредоточить на трёхмерном векторе 
  
    
      
        
          η
        
        =
        (
        
          η
          
            w
          
        
        ,
        
        
          η
          
            x
          
        
        ,
        
        
          η
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=(\eta _{w},\;\eta _{x},\;\eta _{y})}
  
. Семейство окружностей Аполлония годографов импульса (рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трёхмерной сфере 
  
    
      
        
          η
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
  
, все из которых пересекают ось 
  
    
      
        
          η
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{x}}
  
 в этих двух фокусах 
  
    
      
        
          η
          
            x
          
        
        =
        ±
        1
      
    
    {\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}
  
, соответствующих фокусам годографа импульса при 
  
    
      
        
          p
          
            x
          
        
        =
        ±
        
          p
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}
  
. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси 
  
    
      
        
          η
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{x}}
  
 (рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразует все орбиты с той же самой энергией друг в друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как оно преобразует четвёртое измерение 
  
    
      
        
          η
          
            w
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{w}}
  
. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца.
 Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырёхмерной координаты 
  
    
      
        
          η
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
  
 и используя эллиптические цилиндрические координаты 
  
    
      
        (
        α
        ,
        
        β
        ,
        
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )}
  

 где используются эллиптические функции Якоби: 
  
    
      
        
          s
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {sn} }
  
, 
  
    
      
        
          c
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {cn} }
  
 и 
  
    
      
        
          d
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {dn} }
  
.
 Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутатор двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженной на 
  
    
      
        i
        ℏ
      
    
    {\displaystyle i\hbar }
  
. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
  
 оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр. Это изящное решение было получено до получения уравнения Шрёдингера.
 Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа — Рунге — Ленца 
  
    
      
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} }
  
 заключается в том, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение 
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
 и 
  
    
      
        
          L
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} }
  
 должно быть определено тщательно. Как правило, операторы в декартовой системе координат 
  
    
      
        
          A
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{s}}
  
 определены с помощью симметризованного произведения
 из которого определяются соответствующие лестничные операторы
 Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом
 где 
  
    
      
        
          H
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{-1}}
  
 — оператор, обратный к оператору энергии (гамильтониан) и 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  
 — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям 
  
    
      
        
          |
        
        l
        m
        n
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |lmn\rangle }
  
 операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой 
  
    
      
        
          n
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n^{2}-1}
  
. Следовательно, уровни энергии даются выражением
 которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (рис 9).
 Вектор Лапласа — Рунге — Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде
 где 
  
    
      
        u
        =
        1
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle u=1/r}
  
 (см. теорема Бертрана) и 
  
    
      
        ξ
        =
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \xi =\cos \theta }
  
, с углом 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
, определённым как
 Здесь 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
 — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить сохраняющийся вектор бинормали 
  
    
      
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} }
  
, взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента
 Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
  

 Для примера вычислим вектор Лапласа — Рунге — Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. Рассмотрим центральную силу:
 вектор углового момента сохраняется, и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде:
 хотя нужно заметить, что 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  
 и 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 не перпендикулярны, как 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 и 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
. Соответствующий вектор Лапласа — Рунге — Ленца имеет более сложную запись
 где 
  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              k
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
  
 — частота осциллятора.