Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.
 Пусть 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы, 
  
    
      
        
          {
          
            Φ
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\Phi _{n}\right\}}
  
 есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы, 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 - статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:
 
  
    
      
        Q
        ⩾
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            β
            (
            
              Φ
              
                n
              
            
            ,
            H
            
              Φ
              
                n
              
            
            )
          
        
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle Q\geqslant \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}(1)}
  

 Равенство имеет место в том случае, когда 
  
    
      
        
          {
          
            Φ
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\Phi _{n}\right\}}
  
 есть полная система собственных функций оператора 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        
          {
          
            Φ
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\Phi _{n}\right\}}
  
 есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
  
 удовлетворяет тождеству 
 
  
    
      
        Q
        ≡
        
          ∑
          
            n
          
        
        (
        
          Φ
          
            n
          
        
        ,
        
          e
          
            −
            β
            (
            
              Φ
              
                n
              
            
            ,
            H
            
              Φ
              
                n
              
            
            )
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Q\equiv \sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})})}
  
.
 Перепишем доказываемое равенство 
  
    
      
        (
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (1)}
  
 в виде:
 
  
    
      
        Q
        ⩾
        q
      
    
    {\displaystyle Q\geqslant q}
  
,
 где
 
  
    
      
        q
        ≡
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            β
            (
            
              Φ
              
                n
              
            
            ,
            H
            
              Φ
              
                n
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle q\equiv \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}}
  
 
 Пусть 
  
    
      
        
          Ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi _{n}}
  
 есть полная система ортонормированных собственных функций оператора 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
:
 
  
    
      
        H
        
          Ψ
          
            n
          
        
        =
        
          E
          
            n
          
        
        
          Ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}}
  
.
 Поскольку оператор 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  
 эрмитов, собственные значения 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
  
 действительны. Существует унитарное преобразование 
  
    
      
        
          S
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{nm}}
  
, переводящее 
  
    
      
        
          {
          
            Ψ
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\Psi _{n}\right\}}
  
 в 
  
    
      
        
          {
          
            Φ
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{\Phi _{n}\right\}}
  
:
 
  
    
      
        
          Φ
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            m
          
        
        
          S
          
            n
            m
          
        
        
          Ψ
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi _{n}=\sum _{m}S_{nm}\Psi _{m}}
  
,
 где 
  
    
      
        
          {
          
            S
            
              n
              m
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{S_{nm}\right\}}
  
 - совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:
 
  
    
      
        
          ∑
          
            l
          
        
        
          S
          
            l
            n
          
          
            ∗
          
        
        
          S
          
            l
            m
          
        
        =
        
          ∑
          
            l
          
        
        
          S
          
            n
            l
          
          
            ∗
          
        
        
          S
          
            m
            l
          
        
        =
        
          δ
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{l}S_{ln}^{*}S_{lm}=\sum _{l}S_{nl}^{*}S_{ml}=\delta _{nm}}
  
.
 Поэтому
 
  
    
      
        Q
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        (
        
          Φ
          
            n
          
        
        ,
        
          e
          
            −
            β
            H
          
        
        
          Φ
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        (
        
          Ψ
          
            n
          
        
        ,
        
          e
          
            −
            β
            H
          
        
        
          Ψ
          
            n
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            β
            
              E
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q=\sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta H}\Phi _{n})=\sum _{n}(\Psi _{n},e^{-\beta H}\Psi _{n})=\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}}
  
.
 Справедливо уравнение:
 
  
    
      
        Q
        −
        q
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                l
              
            
            
              |
            
            
              S
              
                n
                l
              
            
            
              
                |
              
              
                2
              
            
            
              e
              
                −
                β
                
                  E
                  
                    l
                  
                
              
            
            −
            
              e
              
                −
                β
                
                  ∑
                  
                    l
                  
                
                
                  |
                
                
                  S
                  
                    n
                    l
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  E
                  
                    l
                  
                
              
            
          
          )
        
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle Q-q=\sum _{n}\left(\sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}-e^{-\beta \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}}\right)(2)}
  
.
 Для любого 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:
 
  
    
      
        
          
            E
            ¯
          
        
        ≡
        
          ∑
          
            l
          
        
        
          |
        
        
          S
          
            n
            l
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          E
          
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {E}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}}
  
,
 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              E
              )
            
            ¯
          
        
        ≡
        
          ∑
          
            l
          
        
        
          |
        
        
          S
          
            n
            l
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            β
            
              E
              
                l
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(E)}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}}
  
.
 В уравнении 
  
    
      
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle (2)}
  
 каждый член суммы имеет вид 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              E
              )
            
            ¯
          
        
        −
        f
        (
        
          
            E
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(E)}}-f({\overline {E}})}
  
 и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма 
  
    
      
        Q
        −
        q
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle Q-q\geqslant 0}
  
, что завершает доказательство теоремы.
 Пусть 
  
    
      
        
          {
          
            x
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}
  
 есть совокупность действительных чисел, 
  
    
      
        
          {
          
            c
            
              n
            
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}
  
 есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям 
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle c_{n}\geqslant 0}
  
 и 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}c_{n}=1}
  
, 
  
    
      
        ‵
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle \backprime f''(x)\geqslant 0}
  
. Обозначим по определению 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            ¯
          
        
        ≡
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(x)}}\equiv \sum _{n}c_{n}f(x_{n})}
  
 для любой функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
. Тогда выполняется неравенство:
 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            ¯
          
        
        ⩾
        f
        (
        
          
            x
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(x)}}\geqslant f({\overline {x}})}
  
. 
 По теореме о среднем значении:
 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        
          
            x
            ¯
          
        
        )
        +
        (
        x
        −
        
          
            x
            ¯
          
        
        )
        
          f
          ′
        
        (
        
          
            x
            ¯
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        x
        −
        
          
            x
            ¯
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=f({\overline {x}})+(x-{\overline {x}})f'({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}(x-{\overline {x}})^{2}f''(x_{1})}
  
, где 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
 - фиксированное действительное число. 
 Используя условие 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n}c_{n}=1}
  
 получаем:
 
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            ¯
          
        
        =
        f
        (
        
          
            x
            ¯
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              (
              x
              −
              
                
                  x
                  ¯
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            ¯
          
        
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\overline {f(x)}}=f({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}{\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}f''(x_{1})}
  
.
 Второй член здесь не отрицателен, потому что 
  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle c_{n}\geqslant 0}
  
 и 
  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        ⩾
        0
      
    
    {\displaystyle f''(x)\geqslant 0}
  
.
 Лемма доказана.