Минимально критичное остовное дерево (англ. minimum bottleneck spanning tree, MBST) во взвешенном неориентированном графе — это остовное дерево, в котором наиболее тяжёлое ребро весит как можно меньше. Критичное ребро — это самое тяжёлое ребро в остовном дереве. Остовное дерево является минимальным критичным остовным деревом, если граф не содержит остовного дерева с критичным ребром меньшего веса. Для ориентированного графа аналогичная задача известна как минимально критичное ориентированное остовное дерево (англ. Minimum Bottleneck Spanning Arborescence, MBSA).
 В неориентированном графе 
  
    
      
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G(V,E)}
  
 и функция 
  
    
      
        w
        :
        E
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle w:E\to \mathbb {R} }
  
, пусть S будет множеством всех остовных деревьев 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
. Пусть 
  
    
      
        B
        (
        
          T
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(T_{i})}
  
 будет максимальным по весу ребром для любого остовного дерева 
  
    
      
        
          T
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{i}}
  
. Мы определяем подмножество минимально критичных остовных деревьев S′ так, что для любого 
  
    
      
        
          T
          
            j
          
        
        ∈
        
          S
          ′
        
      
    
    {\displaystyle T_{j}\in S'}
  
 и 
  
    
      
        
          T
          
            k
          
        
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle T_{k}\in S}
  
 мы имеем 
  
    
      
        B
        (
        
          T
          
            j
          
        
        )
        ⩽
        B
        (
        
          T
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle B(T_{j})\leqslant B(T_{k})}
  
 для всех i и k.
 Граф на рисунке справа является примером MBST, красные рёбра графа образуют MBST графа 
  
    
      
        G
        (
        V
        ,
        E
        )
      
    
    {\displaystyle G(V,E)}
  
.
 Ориентированное остовное дерево орграфа 
  
    
      
        G
        (
        V
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle G(V,A)}
  
 — это ориентированное (корневое) дерево, которое содержит ориентированный путь из указанной вершины L в каждую вершину графа. Вершина L называется корнем ориентированного остовного дерева. Критичная дуга — это самая тяжёлая дуга в ориентированном остовном дереве. Ориентированное остовное дерево называется минимально критичным (англ. Minimum Bottleneck Spanning Arborescence, MBSA), если орграф не содержит ориентированного остовного дерева с критичной дугой меньшего веса.
 Граф справа является примером MBSA, красные рёбра в графе образуют MBSA графа 
  
    
      
        G
        (
        V
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle G(V,A)}
  
.
 Любое минимальное остовное дерево (MST, англ. minimum spanning tree) неизбежно является минимально критичным, но не любое минимально критичное обязательно будет минимальным.
 Камерини в 1978 году предложил алгоритм, использующийся для получения минимально критичного остовного дерева (MBST) для данного неориентированного связного взвешенного графа. Алгоритм разбивает все рёбра графа на такие два множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 и 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, что веса рёбер из множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 не превосходят весов из множества 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
. Если подграф 
  
    
      
        
          G
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{B}}
  
, состоящий из рёбер множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, связен, алгоритм рекурсивно ищет MBST в 
  
    
      
        
          G
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{B}}
  
, и оно будет являться MBST для исходного графа. Если же 
  
    
      
        
          G
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{B}}
  
 не связен, алгоритм комбинирует каждую его компоненту связности в новую супервершину, затем рекурсивно вычисляет MBST в графе, образованном этими супервершинами и рёбрами из множества 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
. Произвольный лес из рёбер множества 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, компоненты связности которого совпадают с компонентами связности 
  
    
      
        
          G
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{B}}
  
, добавляется в MBST исходного графа. Процесс продолжается, пока в графе не останется единственное ребро, связывающее две (супер-) вершины (оно добавляется в MBST). MBST состоит из всех рёбер, найденных на предыдущих шагах.
 Функция имеет два входных параметра: граф G и массив w весов всех рёбер графа G. Возвращается множество рёбер, составляющих MBST графа G.
 Выше 
  
    
      
        (
        
          G
          
            A
          
        
        
          )
          
            η
          
        
      
    
    {\displaystyle (G_{A})_{\eta }}
  
 является подграфом, составленным из супервершин (трактуя вершины в несвязной компоненте как одну вершину) и рёбер из A.
 Алгоритм работает за время O(E), где E является числом рёбер. Эта граница достигается за счёт того, что
 На следующем примере зелёные рёбра используются для образования MBST, а красные штриховые области показывают супервершины, полученные при работе алгоритма.
 Есть два алгоритма для ориентированных графов — алгоритм Камерини для поиска MBSA и алгоритм Габова и Тарьяна.
 Для ориентированного графа алгоритм Камерини фокусируется на нахождении множества рёбер, которые имеют максимальную критичную цену MBSA. Делается это путём разбиения множества рёбер E на два множества A и B и поддержки множества T, которое является множеством, для которого известно, что GT не имеет ориентированного остовного дерева. Множество T расширяется множеством B, если максимальное ориентированное остовное дерево графа 
  
    
      
        G
        (
        B
        ∪
        T
        )
      
    
    {\displaystyle G(B\cup T)}
  
 не является ориентированным остовным деревом графа G, в противном случае мы уменьшаем множество E, удаляя A. Общая сложность алгоритма по времени выполнения равна 
  
    
      
        O
        (
        E
        log
        ⁡
        E
        )
      
    
    {\displaystyle O(E\log E)}
  
.
 Габов и Тарьян предложили образующую MBSA модификацию алгоритма Дейкстры кратчайшего пути с одним источником. Их алгоритм работает за время 
  
    
      
        O
        (
        E
        +
        V
        log
        ⁡
        V
        )
      
    
    {\displaystyle O(E+V\log V)}
  
, если используется фибоначчиева куча.
 Следующий пример показывает работу алгоритма.
 Другой подход предложили Тарьян и Габов с границей 
  
    
      
        O
        (
        E
        
          log
          
            ∗
          
        
        ⁡
        V
        )
      
    
    {\displaystyle O(E\log ^{*}V)}
  
 для разреженных графов, который очень похож на алгоритм Камерини для MBSA, но вместо разбиения множества рёбер на два множества на каждой итерации, вводятся 
  
    
      
        K
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle K(i)}
  
, в которых i является числом осуществлённых разбиений, или, другими словами, номер итерации, а 
  
    
      
        K
        (
        i
        )
      
    
    {\displaystyle K(i)}
  
 является возрастающей функцией, которая отражает число множеств, которые получаем в результате разбиений на каждой итерации. 
  
    
      
        K
        (
        i
        )
        =
        
          2
          
            k
            (
            i
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle K(i)=2^{k(i-1)}}
  
 с 
  
    
      
        k
        (
        1
        )
        =
        2
      
    
    {\displaystyle k(1)=2}
  
. Алгоритм находит 
  
    
      
        
          λ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{*}}
  
, которое является значением веса критичного ребра в любом MBSA. После того, как найдено 
  
    
      
        
          λ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ^{*}}
  
, любое ориентированное остовное дерево в 
  
    
      
        G
        (
        
          λ
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(\lambda ^{*})}
  
 является MBSA, в котором 
  
    
      
        G
        (
        
          λ
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle G(\lambda ^{*})}
  
 является графом, в котором все цены рёбер 
  
    
      
        ⩽
        
          λ
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \leqslant \lambda ^{*}}
  
.