Интерполяционная формула Брахмагупты — интерполяционная формула второго полиномиального порядка, найденная индийским математиком и астрономом Брахмагуптой (598—668) в начале VII века нашей эры. Поэтическое описание этой формулы на санскрите находится в дополнительной части «Кхандакхадьяки» — труда, завершённого Брахмагуптой в 665 году. Такой же куплет имеется в более ранней его работе «Дхьяна-граха-адхикара», точная дата создания которой не установлена. Однако внутренняя взаимосвязь работ позволяет предположить, что она была создана ранее завершённого в 628 году основного труда учёного — «Брахма-спхута-сиддханта», поэтому создание интерполяционной формулы второго порядка может быть отнесено к первой четверти VII века. Брахмагупта был первым, кто нашёл и использовал формулу в конечных разностях второго порядка в истории математики.
 Формула Брахмагупты совпадает с интерполяционной формулой второго порядка Ньютона, которая была найдена (переоткрыта) спустя более тысячи лет.
 Будучи астрономом, Брахмагуптта был заинтересован в получении точных значений синуса на основе небольшого количества известных табулированных значений этой функции. Таким образом, перед ним стояла задача найти величину 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
, 
  
    
      
        
          x
          
            r
          
        
        <
        x
        <
        
          x
          
            r
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{r}<x<x_{r+1}}
  
 по имеющимся в таблице значениям функции:
 При условии, что значения функции вычислены в точках с постоянным шагом 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
, (
  
    
      
        
          x
          
            r
            +
            1
          
        
        −
        
          x
          
            r
          
        
        =
        h
      
    
    {\displaystyle x_{r+1}-x_{r}=h}
  
 для всех 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
), Ариабхата предложил использовать для расчётов (табличные) первые конечные разности:
 Математики до Брахмагупты использовали очевидную формулу линейной интерполяции
 где 
  
    
      
        t
        =
        (
        x
        −
        
          x
          
            r
          
        
        )
        
          /
        
        h
      
    
    {\displaystyle t=(x-x_{r})/h}
  
.
 Брахмагупта заменил в этой формуле 
  
    
      
        
          D
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{r}}
  
 дугой функцией конечных разностей, которая позволяет получать более точные по порядку значения интерполируемой функции.
 В терминологии Брахмагупты разность 
  
    
      
        
          D
          
            r
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{r-1}}
  
 называется прошлый отрезок (गत काण्ड), 
  
    
      
        
          D
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{r}}
  
 называется полезный отрезок (भोग्य काण्ड). Длина отрезка 
  
    
      
        x
        −
        
          x
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle x-x_{r}}
  
 до точки интерполирования в минутах называется обрубком (विकल). Новое выражение, которое должно заменить 
  
    
      
        
          D
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{r}}
  
 называется правильным полезным отрезком (स्फुट भोग्य काण्ड). Вычисление правильного полезного отрезка описано в куплете:
 Согласно комментарию Бхуттопалы (X век) стихи переводятся так: Умножь обрубок на полуразность полезного и прошлого отрезков и раздели результат на 900. Добавь результат к полусумме полезного и прошлого отрезков, если эта полусумма меньше полезного отрезка. Если больше, то вычти. Получишь правильную полезную разность.
 900 минут (15 градусов) — это интервал 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
 между аргументами табличных значений синуса, которыми пользовался Брахмагупта.
 В современных обозначениях алгоритм вычислений Брахмагупты выражается формулами:
 Это интерполяционная формула Ньютона второго порядка.
 Неизвестно как Брахмагупта получил эту формулу. В наше время такие формулы доказывают с помощью разложения функций 
  
    
      
        f
        (
        x
        +
        k
        h
        )
        ,
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle f(x+kh),k=1,2,...}
  
 в правой расти равенства в ряд Тейлора в точке 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
. Однако доказать формулу можно и элементарными методами: после замены 
  
    
      
        t
        =
        (
        x
        −
        
          x
          
            r
          
        
        )
        
          /
        
        h
      
    
    {\displaystyle t=(x-x_{r})/h}
  
 формула Брахмагупты задаёт параболу проходящую через три точки 
  
    
      
        (
        
          x
          
            r
            −
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            r
            −
            1
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            r
          
        
        ,
        
          f
          
            r
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            r
            +
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            r
            +
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{r-1},f_{r-1}),(x_{r},f_{r}),(x_{r+1},f_{r+1})}
  
. Для вывода этой формулы достаточно найти коэффициенты этой параболы с помощью решения системы трёх линейных уравнений, определяемых этими точками.
 Компьютерный расчёт показывает, что имея таблицу из 7 значений синуса в узлах с шагом 15 градусов, Брахмагупта мог вычислять эту функцию с максимальной ошибкой не более 0,0012 и средней ошибкой не более 0,00042.