Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года.
 Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.
 Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.
 Пусть 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 называется функция
 Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        (
        cos
        ⁡
        α
        ,
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
  
 и проходящей на расстоянии 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 (измеренного вдоль вектора 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
, с соответствующим знаком) от начала координат.
 Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  

 Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору 
  
    
      
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        =
        (
        
          k
          
            x
          
        
        ,
        
          k
          
            y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {k}}=(k_{x},k_{y})}
  
, и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим 
  
    
      
        
          
            
              k
              →
            
          
        
        =
        (
        
          k
          
            x
          
        
        ,
        
          k
          
            y
          
        
        )
        =
        ω
        (
        cos
        ⁡
        α
        ,
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {k}}=(k_{x},k_{y})=\omega (\cos \alpha ,\sin \alpha )}
  
, мы выберем новые переменные 
  
    
      
        s
        =
        x
        cos
        ⁡
        α
        +
        y
        sin
        ⁡
        α
        ,
      
    
    {\displaystyle s=x\cos \alpha +y\sin \alpha ,}
  
 
  
    
      
        z
        =
        −
        x
        sin
        ⁡
        α
        +
        y
        cos
        ⁡
        α
      
    
    {\displaystyle z=-x\sin \alpha +y\cos \alpha }
  
. Сделав замену переменных в интеграле, получаем
 то есть
 Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 есть не что иное как  двумерное преобразование Фурье от функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
.
 Поскольку преобразование Фурье функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции 
  
    
      
        F
        (
        ω
        cos
        ⁡
        α
        ,
        ω
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle F(\omega \cos \alpha ,\omega \sin \alpha )}
  
. Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.
 Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом
 Удобно переписать эту формулу в полярных координатах:
 что, учитывая (3), даёт формулу обратного преобразования Радона:
 где 
  
    
      
        
          
            
              R
              ~
            
          
        
        (
        ω
        ,
        α
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        R
        (
        s
        ,
        α
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            s
          
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds}
  
.
 Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 из её проекций 
  
    
      
        R
        (
        s
        ,
        
          α
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R(s,\alpha _{i})}
  
, называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке 
  
    
      
        
          
            
              R
              ~
            
          
        
        (
        ω
        ,
        
          α
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha _{i})}
  
 двумерный спектр 
  
    
      
        
          
            
              R
              ~
            
          
        
        (
        ω
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )}
  
 (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от 
  
    
      
        
          
            
              R
              ~
            
          
        
        (
        ω
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {\tilde {R}}(\omega ,\alpha )}
  
. Существуют и другие методы реконструкции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 из 
  
    
      
        R
        (
        s
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle R(s,\alpha )}
  

 Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
:

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        R
        (
        s
        ,
        α
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            s
          
        
        d
        s
        =
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=}
  


  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                ∞
              
            
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                ∞
              
            
            f
            (
            x
            ,
            y
            )
            δ
            (
            s
            −
            x
            cos
            ⁡
            α
            −
            y
            sin
            ⁡
            α
            )
            d
            x
            d
            y
          
          )
        
        
          e
          
            −
            i
            ω
            s
          
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )dxdy\right)e^{-i\omega s}ds}
  

 Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении:

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        R
        (
        s
        ,
        α
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            s
          
        
        d
        s
        =
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }R(s,\alpha )e^{-i\omega s}ds=}
  


  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              ∫
              
                −
                ∞
              
              
                ∞
              
            
            
              e
              
                −
                i
                ω
                s
              
            
            δ
            (
            s
            −
            x
            cos
            ⁡
            α
            −
            y
            sin
            ⁡
            α
            )
            d
            s
          
          )
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            (
            x
            cos
            ⁡
            α
            +
            y
            sin
            ⁡
            α
            )
          
        
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega s}\delta (s-x\cos \alpha -y\sin \alpha )ds\right)f(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-i\omega (x\cos \alpha +y\sin \alpha )}dxdy}
  

 Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции 
  
    
      
        R
        (
        s
        ,
        α
        )
      
    
    {\displaystyle R(s,\alpha )}
  
 представляет собой спектр функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
 вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом 
  
    
      
        α
        +
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \alpha +\pi /2}
  
. Таким образом, Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)}
  
. В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.
 В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          {
          
            −
            
              ∫
              
                A
                
                  A
                  ′
                
              
            
            ρ
            (
            x
            ,
            y
            )
            d
            z
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left\{-\int \limits _{AA'}\rho (x,y)dz\right\}}
  
, где 
  
    
      
        ρ
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (x,y)}
  
 показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой 
  
    
      
        A
        
          A
          ′
        
      
    
    {\displaystyle AA'}
  
, проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показанной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.
 Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.
 Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:
 Здесь 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}=(x,y)}
  
 — радиус-вектор из начала координат, 
  
    
      
        d
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        =
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle d{\vec {r}}=dxdy}
  
 — двумерный элемент объёма, 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
 — единичный вектор, который можно параметризовать как 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        (
        cos
        ⁡
        α
        ,
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
  
. С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.
 Формула (2) обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  
, 
  
    
      
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dV}
  
 и 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
 понимать соответственно 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
-мерном пространстве и 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
-мерный единичный вектор. В принципе, вектор 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
 можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        (
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        α
        ,
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        α
        ,
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}=(\sin \theta \cos \alpha ,\sin \theta \sin \alpha ,\cos \theta )}
  
.
 Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
 и проходящей на расстоянии 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
 от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором 
  
    
      
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {n}}}
  
).
 В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Рассмотрим преобразование Фурье от 
  
    
      
        R
        (
        s
        ,
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle R(s,{\vec {n}})}
  
 по переменной 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
  
, то есть
 Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим:
 Заметим теперь, что 
  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ω
          
            N
            −
            1
          
        
        d
        ω
        ∫
        d
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\omega ^{N-1}d\omega \int d{\vec {n}}}
  
 есть интеграл по всему 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  
-мерному пространству (здесь под интегралом 
  
    
      
        ∫
        d
        
          
            
              n
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int d{\vec {n}}}
  
 подразумевается интеграл по 
  
    
      
        (
        N
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (N-1)}
  
-мерной сфере, в частности, для 
  
    
      
        N
        =
        2
      
    
    {\displaystyle N=2}
  
 
  
    
      
        ∫
        d
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        ∫
        d
        α
      
    
    {\displaystyle \int d{\vec {n}}=\int \limits d\alpha }
  
, для 
  
    
      
        N
        =
        3
      
    
    {\displaystyle N=3}
  
 
  
    
      
        ∫
        d
        
          
            
              n
              →
            
          
        
        =
        ∫
        d
        ϕ
        cos
        ⁡
        θ
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle \int d{\vec {n}}=\int \limits d\phi \cos \theta d\theta }
  
). Из этого следует, что
 Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения: