Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.
 Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения 
  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  
, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней 
  
    
      
        k
        >
        2
      
    
    {\displaystyle k>2}
  
 уравнение 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
        +
        
          b
          
            k
          
        
        =
        
          c
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{k}+b^{k}=c^{k}}
  
 не имеет решения в натуральных числах 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
.
 В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение
 не имеют решения в натуральных числах.
 В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для 
  
    
      
        k
        =
        5
      
    
    {\displaystyle k=5}
  
 контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера:
 Для 
  
    
      
        k
        =
        4
      
    
    {\displaystyle k=4}
  
 первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году. Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:
 Однако для 
  
    
      
        k
        =
        6
      
    
    {\displaystyle k=6}
  
 гипотеза Эйлера остаётся открытой.
 В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж предположили, что уравнение
 может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если 
  
    
      
        k
        ≤
        m
        +
        n
      
    
    {\displaystyle k\leq m+n}
  
.
 Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая 
  
    
      
        (
        k
        ,
        2
        ,
        1
        )
        ,
        k
        >
        3
      
    
    {\displaystyle (k,2,1),k>3}
  
 и отсутствие решений для 
  
    
      
        (
        3
        ,
        2
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle (3,2,1)}
  
.
 Поиск решений уравнений 
  
    
      
        (
        k
        ,
        m
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (k,m,n)}
  
 для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для 
  
    
      
        k
        =
        m
        +
        n
      
    
    {\displaystyle k=m+n}
  
, но и для 
  
    
      
        k
        <
        m
        +
        n
      
    
    {\displaystyle k<m+n}
  
. Поиском решений для различных 
  
    
      
        (
        k
        ,
        m
        ,
        n
        )
      
    
    {\displaystyle (k,m,n)}
  
 занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet и yoyo@home.
 По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n: