А́белев дифференциа́л — голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
.
 Пусть 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
 — род поверхности 
  
    
      
        S
        ;
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        …
        
          a
          
            g
          
        
        
          b
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle S;a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\ldots a_{g}b_{g}}
  
 — циклы канонического базиса гомологий 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
. В зависимости от характера особенностей различают Абелев дифференциал трёх родов: I, II и III, причём имеют место строгие включения: 
  
    
      
        
          
            I
          
        
        ⊂
        
          
            II
          
        
        ⊂
        
          
            III
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mbox{I}}\subset {\mbox{II}}\subset {\mbox{III}}}
  
.
 Абелев дифференциал I рода — это голоморфные всюду на 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
 дифференциалы 1-го порядка, которые в окрестности 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 каждой точки 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
        ∈
        S
      
    
    {\displaystyle P_{0}\in S}
  
 имеют вид 
  
    
      
        ω
        =
        p
        
        d
        z
        =
        p
        (
        z
        )
        
        d
        z
      
    
    {\displaystyle \omega =p\,dz=p(z)\,dz}
  
, где 
  
    
      
        z
        =
        x
        +
        i
        y
      
    
    {\displaystyle z=x+iy}
  
 — локальная униформизирующая переменная в 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
, 
  
    
      
        d
        z
        =
        d
        x
        +
        i
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle dz=dx+i\,dy}
  
, а 
  
    
      
        p
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle p(z)}
  
 — голоморфная, или регулярная, аналитическая функция от 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  
 в 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
. Сложение абелева дифференциала и умножение на голоморфную функцию определяется естественными правилами: если
 то
 Абелев дифференциал I рода образуют векторное пространство 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {A}}}
  
 размерности 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  
. После введения скалярного произведения
 где 
  
    
      
        ω
        ∗
        
          
            π
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega *{\overline {\pi }}}
  
 — внешнее произведение 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 на звёздно-сопряжённый дифференциал 
  
    
      
        
          
            π
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\pi }}}
  
, пространство 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {A}}}
  
 превращается в гильбертово пространство.
 Пусть 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          A
          
            2
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            2
          
          ′
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            g
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            g
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'}
  
 суть 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
- и 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
-периоды абелева дифференциала I рода 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
, то есть интегралы
 Тогда имеет место соотношение
 Если 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          A
          
            2
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            2
          
          ′
        
        ,
        …
        ,
        
          A
          
            g
          
          ′
        
        ,
        
          B
          
            g
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle A_{1}',B_{1}',A_{2}',B_{2}',\ldots ,A_{g}',B_{g}'}
  
 — периоды другого абелева дифференциала Iрода 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
, то
 Соотношения (1) и (2) называются билинейными соотношениями Римана для абелевых дифференциалов I рода. Канонический базис абелева дифференциала I рода, то есть канонический базис 
  
    
      
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ,
        …
        
          ϕ
          
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\ldots \phi _{g}}
  
 пространства 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathfrak {A}}}
  
, выбирается таким образом, что
 где 
  
    
      
        
          δ
          
            i
            i
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \delta _{ii}=1}
  
 и 
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}=0}
  
 при 
  
    
      
        j
        ≠
        i
      
    
    {\displaystyle j\neq i}
  
. При этом матрица 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
-периодов
 симметрическая, а матрица мнимых частей 
  
    
      
        (
        Im
        ⁡
        
          B
          
            i
            j
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\operatorname {Im} B_{ij})}
  
 положительно определённая. Абелев дифференциал первого рода, у которого все 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
-периоды или все 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды абелева дифференциала I рода 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  
 действенны, то 
  
    
      
        ω
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \omega =0}
  
.