Основна́я теоре́ма о вы́четах — мощный инструмент для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.
 Формулировка: если функция 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 аналитична в некоторой замкнутой односвязной области 
  
    
      
        
          
            G
            ¯
          
        
        ⊂
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {G}}\subset \mathbb {C} }
  
, за исключением конечного числа особых точек 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
  
, из которых ни одна не принадлежит граничному контуру 
  
    
      
        ∂
        G
      
    
    {\displaystyle \partial G}
  
, то справедлива следующая формула:
 где 
  
    
      
        
          
            
              r
              e
              s
            
          
          
            z
            =
            
              a
              
                k
              
            
          
        
        ⁡
        f
      
    
    {\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f}
  
 — вычет функции 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 в точке 
  
    
      
        
          a
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{k}}
  
.
 Обход контура 
  
    
      
        ∂
        G
      
    
    {\displaystyle \partial G}
  
 производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно аналитически продолжить интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.
 Интеграл
 возникает в теории вероятностей при расчёте характеристической функции распределения Коши и не поддаётся вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
, указанному на рисунке (
  
    
      
        a
        >
        1
      
    
    {\displaystyle a>1}
  
). Интеграл равен
 Так как 
  
    
      
        
          e
          
            i
            t
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{itz}}
  
 — целая функция (нет сингулярностей
на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{2}+1=0}
  
. Так как 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        1
        =
        (
        z
        +
        i
        )
        (
        z
        −
        i
        )
      
    
    {\displaystyle z^{2}+1=(z+i)(z-i)}
  
,
это возможно лишь при 
  
    
      
        z
        =
        i
      
    
    {\displaystyle z=i}
  
 или 
  
    
      
        z
        =
        −
        i
      
    
    {\displaystyle z=-i}
  
.
В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.
 Вычет 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
  
 в 
  
    
      
        z
        =
        i
      
    
    {\displaystyle z=i}
  
 равен
 Тогда, по основной теореме о вычетах:
 Контур 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что
 Поэтому
 Можно показать, что при 
  
    
      
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle t>0}
  
:
 Поэтому, если 
  
    
      
        t
        >
        0
      
    
    {\displaystyle t>0}
  
, то
 Аналогичным образом, для дуги, охватывающей точку 
  
    
      
        −
        i
      
    
    {\displaystyle -i}
  
 вместо 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
, можно показать, что при 
  
    
      
        t
        <
        0
      
    
    {\displaystyle t<0}
  
:
 В итоге получаем:
 (При 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  
 интеграл вычисляется обычными методами анализа, он равен 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
)