У науки есть огромное, бесконечное число достоинств, и одно из них состоит в том, что именно она способна кратко, точно и ёмко ответить на самые неожиданные в своей простоте, детские вопросы. Например: «Почему барабан круглый?» Если у вас есть дети или вы сами в детстве задавались этим вопросом, то в этом переводе, которым мы решили поделиться к старту флагманского курса о Data Science, вы найдёте два ответа: первый — подробный, в формулах, второй — краткий, понятный ребёнку ответ. Я всегда был очарован тем, как свойства любой формы волны связаны с тем, как мы их воспринимаем. Особенно форма волн и формы, от которых волны исходят. Мы знаем, что звук — это механическая волна и для её распространения нужна среда. Источник вибрации перемещает молекулы воздуха колебаниями, вызывающими сжатие и разрежение (области высокого и низкого давления). Эти изменения давления взаимодействуют с нашей барабанной перепонкой, и мы воспринимаем звук. Итак, если все виды вибраций вызывают вибрацию только молекул воздуха, то в свойствах формы волны должно быть что-то особенное, что помогает нам различать два звука. Что заставляет гитару звучать иначе, чем пианино, или почему мой голос отличается от вашего. Я рассмотрю эту проблему с двух точек зрения. В первом подходе я сравниваю два реальных образца из разных инструментов и анализирую их свойства. Во втором — я работаю с нуля и показываю, как решения волновых уравнений в различных сценариях проявляются в этих свойствах, которые мы воспринимаем. Пианино — это струнный инструмент. Вибрации начинаются с удара молотка по его струнам. Такое же поведение наблюдается и на графике формы волны. Молоток создаёт высокую импульсную силу на струнах, и в результате происходит внезапное увеличение амплитуды. Со временем амплитуда и, следовательно, громкость сигнала затухают. На рисунке визуализированы звуки скрипичных нот [включая полутон в середине, который по историческим причинам не считается нотой с формальной точки зрения, поэтому в названии вы видите диапазон A4-B4, все звуки в нём не обозначены] с возрастающей частотой. Частотные характеристики не фиксируются на графике формы волны, но формы отличаются от пианино. В отличие от пианино амплитуда всех нот постепенно увеличивается, так как звук издаётся смычком, который мягко трётся о струну. И уменьшение амплитуды происходит тоже резко, поскольку скрипач приглушает одну струну, играя на другой. И поэтому мы не слышим никакого протяжного звука или какой-то филировки, как мы называем это в музыке. Чтобы найти больше различий в звуке, мы должны перейти в область частот. Лучший способ увидеть такие различия — спектрограмма, т. е. визуальное представление спектра частот по мере изменения сигнала во времени. Для создания спектрограммы аудиосигнал разбивается на более мелкие сегменты, и к каждому из этих сегментов может применяться быстрое преобразование Фурье. Давайте вначале рассмотрим простую синусоидальную волну с частотой 440 Гц. Синусоидальная волна с частотой 440 Гц Тон синусоидальной волны и тон пианино находятся точно в одной и той же высоте, на частоте 440 Гц. Однако синусоидальную волну слушать не так интересно. Звучит как просто непрерывный тон звука без какой-либо динамики или насыщенности. Хотя многие интересные звуки возможно получить путём интерференции и применения преобразований на синусоидах. Синтезатор — это устройство, позволяющее вам сделать это. Наблюдая спектрограмму синусоидальной волны, можно обнаружить, что единственная присутствующая частота составляет 440 Гц. Построив спектрограмму пианино, мы увидим, что наиболее доминирующая частота составляет 440 Гц, но в то же время присутствует множество других частот. Они известны как обертоны, и для одной вибрирующей струны можно показать, что эти обертоны на самом деле являются целыми кратными основной частоте, в данном случае 440 Гц. В случае скрипки на спектрограмме та же история. Есть основная частота, а затем — обертоны во всех трёх сыгранных нотах. Количество обертонов намного выше, чем на спектрограмме пианино. И это одна из причин того, почему пианино звучит иначе, чем скрипка, хотя оба они являются струнными инструментами. Основная частота увеличивается по мере перехода от первой ноты к третьей сыгранной ноте. Также здесь обертоны — целые числа, кратные основной частоте. Таким образом, можно сказать, что частота обертонов имеет какое-то отношение к тональному качеству звука. Играя одну ноту на струнном инструменте, мы видим, что в звуке присутствуют кратные основной частоте целые числа. Если эти обертоны не находятся в целых кратных числах или в определённых соотношениях частот (как, например, когда на множестве клавиш исполняются аккорды), человеческому уху трудно различить, имеет ли звук какое-либо тональное качество или нет. Вернёмся к первоначальному вопросу. Почему большинство барабанов круглой формы? От табла, конго, бонго до обычной ударной установки — всё круглое. Что такого особенного в круглой или прямоугольной форме? Чтобы разобраться в этом, нам придётся взглянуть на вибрации, исходящие от прямоугольной мембраны, и посмотреть, сможем ли мы что-то обобщить. Предположим, что мембрана установлена в плоскости xy, а u(x, y, t) — вертикальный прогиб мембраны относительно положения равновесия (x, y) во времени t. При постоянном t поверхность z = u(x, y, t) задаёт форму мембраны в момент t. Рассмотрим натянутую мембрану, закреплённую на прямоугольной раме длиной a и шириной b. Чтобы изучить её колебания, нужно решить задачу о начальном значении. Здесь уравнения (2) и (3) — граничные значения, а уравнения (4) и (5) — начальные значения. Чтобы найти простые решения, мы можем воспользоваться разделением переменных, удовлетворяющих гомогенным граничным условиям, а затем применить принцип суперпозиции для построения серии решений, удовлетворяющих также и начальным условиям. Мы можем искать решения вида u (x, y, t) = X (x)Y (y)T (t). Подставив формулу в уравнение (1), получаем: Поскольку обе стороны уравнения — функции независимых переменных, они должны быть равны константе. Компонент времени упорядочен, но компоненты пространства снова содержат функции несвязанных переменных с обеих сторон уравнения. Можно приравнять их к константе, вот так: Имея ввиду C = A-B,  эти уравнения можно переписать так: Теперь решения этих двух однородных дифференциалов могут быть либо суммой экспоненциальных функций, либо суммой синусоид, в зависимости от знака B и C. Поскольку волны периодичны по своей природе, а мембрана в определённом месте не может просто продолжать увеличиваться, чтобы решение было периодическим по своей природе, B и C должны быть положительными константами. λₘₙ в формуле известны как характерные частоты мембраны. Теперь точное решение волнового уравнения можно записать в виде произведения X (x), Y (y) и T (t), а коэффициенты возможно оценить при помощи свойств ряда Фурье. Нас больше интересует не поиск точного решения волнового уравнения, а выяснение звучания обертонов таких частотных характеристик. Если ради простоты предположить, что мембрана квадратная, то a = b, следовательно: Здесь мы ясно видим, что в отличие от вибрирующей струны высшие обертоны не являются целыми кратными основной частоты. Вот почему вибрирующая струна обладает тональным качеством, а исходящий от прямоугольной мембраны звук не является тональным. Когда происходит произвольный удар в прямоугольный барабан, в процессе одновременно представлено множество мод колебаний, но различные слышимые частоты не являются целыми кратными одной и той же частоты. Круглая мембрана — это немного другая история. При помощи аналогичных вычислений можно показать, что на самом деле обертоны — это целые кратные основной частоты. Более подробную информацию можно найти в этой замечательной книге по дифференциальным уравнениям. Перед тем как играть на индийских классических ударных инструментах, таких как табла, пахавадж и т. д., музыкант настраивает эти инструменты на мажорную гамму, в которой будет исполняться вокальное или инструментальное произведение. Он натягивает или ослабляет круглую мембрану, на которой будет играть. Всё это возможно ещё и потому, что конструкция мембраны позволяет ей обладать тональным качеством — а значит, её можно настраивать. Если бы мембрана имела прямоугольную форму, настроить её было бы невозможно. Такие инструменты имеют многовековую историю, их круглая форма — не случайность! Эта статья напоминает, что с помощью анализа данных, а также зная математические формулировки тех или иных процессов, можно смотреть на эти процессы с различных точек зрения и отвечать на неожиданные в своей простоте вопросы. Если вам интересно работать с данными, выявлять неочевидное, то вы можете обратить внимание на наш флагманский курс Data Science, где можно не только освоить профессию дата-сайентиста с нуля, но и прокачать ваши навыки в ней. Узнайте, как прокачаться и в других специальностях или освоить их с нуля:   Профессия Data Scientist   Профессия Data Analyst   Курс по Data Engineering ПРОФЕССИИ   Профессия Fullstack-разработчик на Python   Профессия Java-разработчик   Профессия QA-инженер на JAVA   Профессия Frontend-разработчик   Профессия Этичный хакер   Профессия C++ разработчик   Профессия Разработчик игр на Unity   Профессия Веб-разработчик   Профессия iOS-разработчик с нуля   Профессия Android-разработчик с нуля КУРСЫ   Курс по Machine Learning   Курс «Machine Learning и Deep Learning»   Курс «Математика для Data Science»   Курс «Математика и Machine Learning для Data Science»   Курс «Python для веб-разработки»   Курс «Алгоритмы и структуры данных»   Курс по аналитике данных   Курс по DevOps Редактор-переводчик