Флаг — цепочка вложенных друг в друга подпространств векторного пространства 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 (или пространства другого типа, для которого определено понятие размерности), имеющая вид
 где 
 Наиболее часто встречается понятие полного (или максимального) флага, в котором 
  
    
      
        dim
        ⁡
        
          L
          
            i
          
        
        =
        i
      
    
    {\displaystyle \dim L_{i}=i}
  
, и следовательно, число 
  
    
      
        k
        =
        dim
        ⁡
        L
        .
      
    
    {\displaystyle k=\dim L.}
  
 Обычно в определении полного флага добавляется дополнительное условие направленности каждой пары соседних подпространств в цепочке (см. определение ниже). 
 Понятие флага используется главным образом в алгебре и геометрии (иногда называется также фильтрацией). 
 Полным флагом в векторном пространстве 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 конечной размерности 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 называется последовательность подпространств 
 где подпространство 
  
    
      
        
          L
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{0}}
  
 состоит лишь из нулевого вектора, подпространство 
  
    
      
        
          L
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{n}}
  
 совпадает со всем 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 
  
    
      
        (
        
          L
          
            n
          
        
        =
        L
        )
      
    
    {\displaystyle (L_{n}=L)}
  
, и каждая пара соседних подпространств 
  
    
      
        (
        
          L
          
            i
          
        
        ,
        
          L
          
            i
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}
  
 является направленной, т.е. из двух полупространств, на которые подпространство 
  
    
      
        
          L
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{i-1}}
  
 разбивает 
  
    
      
        
          L
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{i}}
  
, выбрано одно (иначе говоря, пара этих полупространств является упорядоченной).
 Каждый базис 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
  
 векторного пространства 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 определяет в нём некоторый полный флаг. А именно, положим 
  
    
      
        
          L
          
            i
          
        
        =
        ⟨
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        …
        ,
        
          e
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle }
  
 (здесь треугольные скобки означают линейную оболочку стоящих между ними векторов), а для задания направленности пары 
  
    
      
        (
        
          L
          
            i
          
        
        ,
        
          L
          
            i
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}
  
 выберем то полупространство, которое содержит вектор 
  
    
      
        
          e
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{i}}
  
. 
 Построенное таким образом соответствие между базисами и полными флагами не является взаимно однозначным: разные базисы пространства могут определять в нём один и тот же флаг (например, на рисунке справа базисы 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e_{2}}
  
 и 
  
    
      
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        
          e
          
            2
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle e_{1},e'_{2}}
  
 на плоскости определяют один и тот же полный флаг).
Однако если векторное пространство 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 является евклидовым, то, оперируя не с произвольными, а лишь с ортонормированными базисами этого пространства, мы получаем взаимно однозначное соответствие между ортонормированными базисами и полными флагами. 
 Следовательно, для любых двух полных флагов евклидова пространства 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 существует единственное ортогональное преобразование 
  
    
      
        A
        :
        L
        →
        L
      
    
    {\displaystyle A:L\to L}
  
, переводящее первый флаг во второй.
 Аналогичным образом определяются полные флаги в аффинном пространстве и пространстве Лобачевского размерности 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
: 
 где подпространство 
  
    
      
        
          L
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{0}}
  
 состоит лишь из одной точки (аффинного пространства или пространства Лобачевского),  называемой центром флага, подпространство 
  
    
      
        
          L
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{n}}
  
 совпадает со всем 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
  
 
  
    
      
        (
        
          L
          
            n
          
        
        =
        L
        )
      
    
    {\displaystyle (L_{n}=L)}
  
, и каждая пара 
  
    
      
        (
        
          L
          
            i
          
        
        ,
        
          L
          
            i
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (L_{i},L_{i-1})}
  
 является направленной.
 Для любых двух полных флагов евклидова аффинного пространства или пространства Лобачевского существует движение этого пространства, переводящее первый флаг во второй, и такое движение единственно. Софус Ли назвал это свойство свободной  подвижностью  пространства. Теорема Гельмгольца—Ли утверждает, что этим свойством обладают только три типа пространств (три «великих геометрии»): Евклида, Лобачевского и Римана.
 В бесконечномерном пространстве V идея флага обобщается до гнезда.
А именно, набор подпространств, вполне упорядоченных по включению замкнутых подпространств,  называется гнездом.