Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается 
  
    
      
        ≼
      
    
    {\displaystyle \preccurlyeq }
  
, тогда аксиомы предпорядка на множестве 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
  
 принимают вид:
 Линейный предпорядок — предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:
 Категория 
  
    
      
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}}
  
 называется предпорядком, если для любых двух объектов 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        O
        b
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle a,b\in Ob{\mathcal {P}}}
  
 существует не более одного морфизма 
  
    
      
        f
        :
        a
        →
        b
      
    
    {\displaystyle f\colon a\to b}
  
. Если 
  
    
      
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}}
  
 — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:
 Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру. Также предпорядок — скелетная категория.
 Если малая категория 
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
 полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. Произведение набора (множества, класса) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань. Начальный объект 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 в предпорядке 
  
    
      
        
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}}
  
, если он существует, — это его наименьший объект, так что 
  
    
      
        ∀
        a
        ∈
        
          
            P
          
        
        :
        0
        ≼
        a
      
    
    {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a}
  
. Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.
 Объектами категории предпорядков (обозначаемой обычно 
  
    
      
        
          P
          r
          e
          o
          r
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Preord} }
  
) являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Подкатегория малых предпорядков 
  
    
      
        
          
            P
            r
            e
            o
            r
            d
          
          
            S
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Preord} _{S}}
  
 — конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором:
 сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в 
  
    
      
        
          P
          r
          e
          o
          r
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Preord} }
  
. Таким образом, аналогично 
  
    
      
        
          S
          e
          t
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Set} }
  
, начальным объектом в 
  
    
      
        
          P
          r
          e
          o
          r
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Preord} }
  
 является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.