Условия Гюгонио — условия, которые должны выполняться на линиях разрыва решений уравнений газовой динамики, как следствия интегральных законов сохранения.
 Пусть 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
        −
      
    
    {\displaystyle x=x(t)-}
  
 уравнение одной из линий разрыва гидродинамических величин, которую будем предполагать на рассматриваемом отрезке 
  
    
      
        
          t
          
            1
          
        
        ⩽
        t
        ⩽
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}}
  
 обладающей непрерывной касательной
 Пусть 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,t)}
  
 терпит разрыв на линии 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=x(t)}
  
. 
Обозначим:

  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        f
        (
        x
        (
        t
        )
        −
        0
        ,
        t
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle f_{1}(t)=f(x(t)-0,t);}
  
 

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        f
        (
        x
        (
        t
        )
        +
        0
        ,
        t
        )
        ;
      
    
    {\displaystyle f_{2}(t)=f(x(t)+0,t);}
  
 

  
    
      
        [
        f
        ]
        =
        
          f
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        −
        
          f
          
            1
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle [f]=f_{2}(t)-f_{1}(t)}
  

 Интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах имеют вид

  
    
      
        (
        1
        )
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∮
                    
                      C
                    
                  
                  ρ
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  x
                  −
                  ρ
                  u
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  t
                  =
                  0
                  ,
                
              
              
                
                  
                    ∮
                    
                      C
                    
                  
                  ρ
                  u
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  x
                  −
                  (
                  p
                  +
                  ρ
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  t
                  =
                  −
                  
                    ∮
                    
                      G
                    
                  
                  
                    ∮
                    
                      C
                    
                  
                  ν
                  p
                  
                    x
                    
                      ν
                      −
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  x
                  d
                  t
                  ,
                
              
              
                
                  
                    ∮
                    
                      C
                    
                  
                  ρ
                  (
                  ε
                  +
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  x
                  −
                  ρ
                  u
                  (
                  ε
                  +
                  
                    
                      p
                      ρ
                    
                  
                  +
                  
                    
                      
                        u
                        
                          2
                        
                      
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    x
                    
                      ν
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  t
                  =
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (1){\begin{cases}\oint \limits _{C}\rho x^{\nu }\cdot dx-\rho ux^{\nu }\cdot dt=0,\\\oint \limits _{C}\rho ux^{\nu }\cdot dx-(p+\rho u^{2})x^{\nu }\cdot dt=-\oint \limits _{G}\oint \limits _{C}\nu px^{\nu -1}\cdot dxdt,\\\oint \limits _{C}\rho (\varepsilon +{\frac {u^{2}}{2}})x^{\nu }\cdot dx-\rho u(\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}})x^{\nu }\cdot dt=0.\end{cases}}}
  

 Запишем законы сохранения (2) для контура  АА' ВВ', считая, что линии А'В и B'А контура С, а также двойной интеграл 
  
    
      
        
          ∮
          
            G
          
        
        
          ∮
          
            C
          
        
        ν
        p
        
          x
          
            ν
            −
            1
          
        
        ⋅
        d
        x
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \oint \limits _{G}\oint \limits _{C}\nu px^{\nu -1}\cdot dxdt}
  
. Вдоль линии 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=x(t)}
  
 имеем 
  
    
      
        d
        x
        =
        D
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dx=Ddt}
  
, где 
  
    
      
        D
        =
        D
        (
        t
        )
        =
        
          x
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle D=D(t)=x^{\prime }(t)}
  
.
Поэтому, например, из первого уравнения (1), получаем

  
    
      
        
          ∫
          
            
              t
              
                1
              
            
          
          
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        
          x
          
            ν
          
        
        
          {
          
            (
            
              ρ
              
                2
              
            
            (
            t
            )
            −
            
              ρ
              
                1
              
            
            (
            t
            )
            )
            D
            (
            t
            )
            −
            (
            
              ρ
              
                2
              
            
            (
            t
            )
            
              u
              
                2
              
            
            (
            t
            )
            −
            
              ρ
              
                1
              
            
            (
            t
            )
            
              u
              
                1
              
            
            (
            t
            )
            )
          
          }
        
        ⋅
        d
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}x^{\nu }\left\{(\rho _{2}(t)-\rho _{1}(t))D(t)-(\rho _{2}(t)u_{2}(t)-\rho _{1}(t)u_{1}(t))\right\}\cdot dx=0}
  
  
  
    
      
        ,
        (
        2
        )
      
    
    {\displaystyle ,(2)}
  

Ввиду произвольности пределов интегрирования в (2), должно равняться нулю подынтегральное выражение т.е.

  
    
      
        
          x
          
            ν
          
        
        (
        t
        )
        
          {
          
            D
            (
            t
            )
            [
            ρ
            ]
            −
            [
            ρ
            u
            ]
          
          }
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{\nu }(t)\left\{D(t)[\rho ]-[\rho u]\right\}=0}
  
.
 Сокращая равенство на 
  
    
      
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{\nu }}
  
, мы видим, что условия на линии разрыва одинаковы для трех случаев симметрии 
  
    
      
        ν
        =
        0
        ,
        1
        ,
        2
      
    
    {\displaystyle \nu =0,1,2}
  
.
Поступая аналогичным образом со всеми законами сохранения (1), получим условия на линии разрыва 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=x(t)}
  

 
  
    
      
        D
        [
        ρ
        ]
        =
        [
        ρ
        u
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle D[\rho ]=[\rho u],}
  

 
  
    
      
        D
        [
        ρ
        u
        ]
        =
        [
        p
        +
        ρ
        
          u
          
            2
          
        
        ]
        ,
      
    
    {\displaystyle D[\rho u]=[p+\rho u^{2}],}
  

 
  
    
      
        D
        [
        ρ
        (
        ε
        +
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            2
          
        
        )
        ]
        =
        [
        ρ
        u
        (
        ε
        +
        
          
            p
            ρ
          
        
        +
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            2
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle D[\rho (\varepsilon +{\frac {u^{2}}{2}})]=[\rho u(\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}+{\frac {u^{2}}{2}})]}
  

 которые связывают скачки гидродинамических величин на линии разрыва 
  
    
      
        x
        =
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x=x(t)}
  
 и скорость 
  
    
      
        D
        =
        
          x
          
            ′
          
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle D=x^{\prime }(t)}
  
 линии разрыва.
Последние соотношения называются условиями гидродинамической совместимости разрыва либо условиями Гюгонио.