Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле. 
 Пусть на метрическом пространстве 
  
    
      
        (
        
          M
        
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}
  
 определено отображение 
  
    
      
        A
        :
        
          M
        
        →
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }
  
. Оно называется сжимающим на 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {M} }
  
, если существует такое неотрицательное число 
  
    
      
        α
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \alpha <1}
  
, что для любых двух точек 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }
  
 выполняется неравенство
 Число 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 часто называют коэффициентом сжатия. 
 Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.
 Пусть 
  
    
      
        
          (
          
            
              M
            
            ,
            
            d
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}
  
 — полное метрическое пространство. Пусть 
  
    
      
        A
        :
        
          M
        
        →
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }
  
 — сжимающее отображение 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {M} }
  
 в себя. Тогда уравнение 
  
    
      
        x
        =
        A
        x
      
    
    {\displaystyle x=Ax}
  
 имеет единственное решение 
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
        ∈
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle x^{\ast }\in \mathbb {M} }
  
, причём
 для всякой последовательности 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
  
, удовлетворяющей рекуррентному соотношению 
  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        A
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}}
  
, при любом выборе начальной точки 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
 из 
  
    
      
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {M} }
  
. Более того, если 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 — коэффициент сжатия отображения 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, то справедлива следующая оценка погрешности вычисления 
  
    
      
        
          x
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{*}}
  
 с помощью элементов последовательности 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
  
: