Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений
 — дифференцируемая функция 
  
    
      
        f
        :
        U
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }
  
, 
  
    
      
        U
        ⊆
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
  
, такая, что
её производная по направлению векторного поля 
  
    
      
        A
        (
        x
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}
  

 для всех 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 из области 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
.
Другими словами, функция 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
 постоянна на любом решении системы, содержащемся в области 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
.
 Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.
 Пусть 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
 — область в 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
, 
  
    
      
        A
        (
        x
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle A(x)=(a_{1}(x),\ldots ,a_{n}(x))}
  
 — дифференцируемое векторное поле в 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  
, 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle x_{0}\in U}
  
, 
  
    
      
        A
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle A(x_{0})\neq 0}
  
. Тогда существует такая окрестность точки 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  
, что система дифференциальных уравнений
 имеет в этой окрестности ровно 
  
    
      
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n-1}
  
 функционально независимых первых интегралов.
 Для уравнения 
  
    
      
        
          x
          ″
        
        +
        V
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x''+V(x)=0}
  
 относительно функции 
  
    
      
        x
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle x(t)}
  
  первым интегралом является функция 
  
    
      
        E
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          x
          
            ′
            
              2
            
          
        
        +
        
          ∫
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            x
          
        
        V
        (
        z
        )
        d
        z
      
    
    {\displaystyle E={\frac {1}{2}}x'^{2}+\int \limits _{x_{0}}^{x}V(z)dz}
  
 (полная энергия в физических приложениях).