Тот лучший путник, что следов не оставляетТот лучший лидер, что без речи вдохновляетПлан совершенен, если плана вовсе нетИ если мудрый двери закрывает,Вам никогда не разгадать секрет.                               Великая книга Дао - Стих 27 ( Перевод Ю. Полежаевой) Привет, Хабр! Хочу сегодня пригласить в увлекательное 3D-путешествие. Мне нравится 3D. И хотя я пробовал работать в разных программах, но меня не покидало чувство,  что мне чего-то не хватает. Даже если пользоваться встроенным скриптингом.  Поэтому я постепенно пришел к идее, что для реализации моих безумных творческих идей, наверное лучше подойдут CAD-системы. Вот там есть где разгуляться 3D-фантазии. Мощные алгоритмы создания поверхностей пересечений,  проекций, аппроксимаций. Это как раз то, что нужно. Вообще, мне кажется, что разработчики промышленных  геометрических CAD-ядер относятся к остальному 3D миру по принципу "Солдат ребенка не обидит".   Конечно, в своих поисках я не мог пройти мимо открытого CAD-ядра OpenCascade. Эта библиотека предоставляет уникальную возможность ближе познакомится с принципами внутреннего устройства современных CAD-систем. Вдвойне приятно, что это можно сделать на дружелюбном языке Python.  От одной мысли о всех этих чудесах, мое сердце начинает биться сильнее. Как поется в одной песне - я приятную дрожь ощущаю с головы до ног. Тех у кого в этот вечер похожее настроение - прошу под кат. Будем рисовать Инь и Янь в объеме.  Для того, чтобы испытать CAD-ядро, я решил нарисовать в объеме символ Дао. Какой практический смысл в рисовании древнего китайского символа?  Да практически никакого, кроме того, что в процессе рисования потребуются нетривиальные операции и мы сможем проверить, насколько ядро устойчиво ко всяким творческим 3D-махинациям.    Мне в этом смысле понравилась идея, которую я услышал по телевизору от одного астронома. Ведущий его спросил: "Какой практический смысл имеется в астрономии для экономики и народного хозяйства?" Любой ученый от подобных вопросов может легко впасть в депрессию. Но в данном случае  астроном не растерялся и ответил, что главный смысл астрономии для народного хозяйства в том, что она ставит перед инженерами по настоящему сильные задачи. Благодаря этому появились сверхчувствительные приемники, сверхточная обработка поверхностей, и много еще чего сверх.   Задача поставлена. И все на что мы можем надеяться - это на древние силы даосизма и на современные силы 3D-моделирования. Как гласит древняя китайская мудрость даже самый далекий и сложный путь начинается с первого шага. Приведу ссылку на разработанный мною документ по настройке OpenCascade в среде Анаконда.  Инструкция расcчитана на Win64. Но я думаю, что на Linux можно настроить, не намного сложнее, а может даже и проще.   Установка OpenCascade - Python 3.7 - Win64 Здесь же я оставлю еще несколько ссылок, которые помогут ближе познакомится с OpenCascade  Официальный сайт OpenCascade Документация Человек, который занимается OpenCascade for Python (очень крутой товарищ) При запуске команд, conda (пакетный менеджер Анаконды) будет пыхтеть и ворчать, считать и пересчитывать зависимости. Когда же он завершит свою нелегкую работу и все нормально запустится, будет ощущение что вам крупно повезло. Возможно так оно и есть. Чтобы не загромождать код ненужными деталями я написал небольшой набор функций. Ничего выдающегося в нем нет, но я приведу описание этих функций, чтобы было понятно что происходит в примерах.   К слову сказать, в библиотеке PythonOCC, кроме непосредственно интерфейса к функциям ядра OpenCascade (cгенерированного с помощью SWIG) понаписано еще много всякого Python-кода, сильно облегчающего жизнь, и за это хочется сказать спасибо  тем, кто это сделал. Библиотека OpenCascade неплохо структурирована - в ней все разнесено по уровням. Вначале это кажется излишним, но потом понимаешь, что это разделение вполне логично и полезно. Я бы выделил четыре основных уровня. Чтобы на экране что-то появилось нужно пройти все эти уровни. К счастью, переходы между уровнями  довольно легко организованы с помощью  различных конструкторов и деструкторов Математический уровень (линейная алгебра) - точки, вектора, направления, оси, преобразования. Названия пакетов  начинаются с gp (что это значит я так и не понял - может geometry primitives)  Геометрический уровень - здесь мы сталкиваемся с различными двухмерными и трехмерными кривыми и поверхностями, задаваемыми различными способами. Названия пакетов начинаются с Geom Топологический (структурный уровень) - на этом уровне из геометрических объектов, как лоскутное одеяло, сшиваются рабочие объекты. Основные понятия - вершина (vertex), ребро(edge) отрезок кривой или прямой, соединяющий две вершины, контур (wire) - замкнутый набор из ребер, грань (face) - поверхность ограниченная контуром, оболочка (shell) - замкнутый набор граней, ограничивающий некоторый объем, тело (solid) - непосредственно сам объем, ограниченный оболочкой. Согласитесь, что разделение понятий оболочки и тела - граничит с деструктивным педантизмом и во многих 3D-приложениях данное различие просто не принимается во внимание. Здесь же все разложено по полочкам. Топологический уровень - основное отличие  библиотек, основанных на граничном представлении объектов (boundary representation), поэтому пакеты данного уровня начинаются  с префикса BRep и Topo Уровень отображения - здесь мы конструируем объекты, которые непосредственно появляются на экране и взаимодействуют с пользователем. Геометрические формы обретают цвет, материал, положение в пространстве, могут быть выбраны мышкой и вообще ведут себя с пользователем очень дружелюбно, за что им был дан префикс AIS). Еще хотелось бы поделится некоторыми наблюдениями, которые могут вам помочь в работе.  Имя каждого объекта имеет префикс, совпадающий с именем пакета в котором он находится. Это железная необходимость, которая позволяет создателям библиотеки самим не запутаться во всем этом зоопарке. Поэтому при импорте в Python смело пишите в качестве пакета префикс объекта - вы никогда не ошибетесь. Кроме того, зная префикс, можно посмотреть, какие объекты еще есть в пакете. Возможно они подойдут для ваших целей больше, чем тот объект, который вы увидели в примере.  Создатели OpenCascade в плане придумывания имен и сокращений обладают буйной фантазией и имена объектов OpenCascade не пересекаются с именами никаких других библиотек. Поэтому если вы хотите получить справку по объекту -  смело вводите его имя в Google. Ссылка на документацию на этот объект окажется в первой строчке выдачи.  Имена и методы объектов не изменяются в зависимости от языка на котором происходит общение с OpenCascade, поэтому вы легко можете использовать примеры и на родном для библиотеки C++, и на ставшем уже экзотикой Tcl, также можно встретить примеры на Java. При должных навыках компьютерного полиглотства все эти примеры легко транслируются в Python.  При использовании объектов будьте внимательны, педантичны и действуйте аккуратно. Очень часто имена объектов и методов отличаются всего на одну букву, а результат их работы отличается кардинально. Я так обжигался несколько раз, и только удача спасала мое психическое здоровье.   Теперь можно приступать к рисованию. Начнем с классики.   Будем использовать принципы параметрического моделирования и единственный параметр который нам потребуется - это r -  базовый радиус даосского символа. Как известно символ состоит из большой дуги и двух малых дуг. Я разобью малую дугу головы символа на две дуги. Я это делаю, потому что хочу чтобы в топологии присутствовала точка - вершина символа. Она нам в  дальнейшем сильно поможет в построениях.   Первое, что мы сделаем - наметим базовые точки, на которых будет построен нужный нам контур. Базовые точки включают в себя вершины дуг, а также центральные точки для каждой дуги. Построение дуги по трем точкам - это самый удобный способ построения дуги как на плоскости, так и в пространстве. Поверьте мне на слово - если вы задумайте построить дугу каким-то другим способом вы надолго выпадите из культурной, рабочей и семейной жизни.  Вот что получилось (обращаю внимание здесь и далее - это не полный код, а важные для шага процедуры, ссылка на полный код в конце поста): Прикладываю ссылку на WebGL-презентацию:  Слайд 01 Контур классического Дао  Здесь вы можете посмотреть этот чертеж  в объеме. Если у вас есть 3D-телевизор или 3D-проектор то возможен просмотр в стерео-режиме. Просто нажмите иконку 3D - 1 раз - перекрестный взгляд - 2 раза - режим SideBySide. В завершение этого этапа хочу немного поразмышлять - это у меня такая беда - размышлять по самым пустяковым поводам. Если вы задумайте определять координаты точек и расстояния, с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических знаний,  полученных в 6-ом классе, то это конечно сработает, но настоящие CAD-индейцы так не поступают. Все что вам нужно в плане нахождения координат, углов, расстояний и направлений делается с помощью векторной алгебры без привлечения каких-либо других допотопных методов. Создатели 3D-библиотек очень расстроятся, если вы вдруг для поворотов в пространстве не будете использовать квартернионы, которые они так заботливо реализовали специально, чтобы облегчить вам жизнь.  Не вздумайте задавать углы в градусах и писать функции типа DegreeToRadian. Импортируйте константу pi и задавайте углы поворота только как pi, pi/4, -pi/8 и так далее. Если кто-то из ваших знакомых прознает, что вы все еще мыслите в градусах, о вас поползет дурная слава. В мире математики вы станете изгоем и даже выпускники 9-ых классов никогда не подадут вам руки. Чтобы как-то обосновать эту мысль, скажу, что вся тригонометрия вычисляется на компьютере при помощи рядов и значение  в радианах сразу можно подставить в ряд без каких-либо преобразований. В общем, давайте беречь ресурсы наших компьютеров.  На самом деле вопрос не столь очевиден. Так когда мне в 8 классе сказали, что теперь начинается другая жизнь и отныне мы будем измерять углы в естественных единицах - радианах, я очень удивился. Ничего естественного в том, чтобы задавать углы иррациональными числами я не увидел. Наиболее естественным мне представлялась измерять углы а оборотах - 1 - 1 оборот, 2 - 2 оборота. Конечно я тогда был наивен и не знал про ряды, пределы, гармонический анализ , и про то что вся математическая кухня намного упрощается если исходить из радианов.   Здесь уже можно перейти к следующему шагу и попробовать немного улучшить, то что придумали китайцы шесть тысяч лет назад.   Давайте сделаем так, чтобы между нашими Инь и Янь был некоторый отступ. Так мы подготовим базу для объемных построений.  Согласитесь, если объемные тела будут соприкасаться это будет не очень красиво.  Здесь мы проведем первое испытание библиотеки на математическую прочность. Используем функцию отступа. Она называется Offset. Для этого нам понадобится еще один параметр - размер отступа.  Ссылка на WebGL-презентацию:  Слайд 02 Контур Дао с отступом  Ура, получилось. Обратите внимание, как бережно библиотека обошлась с топологией. Количество точек было сохранено и они оказались  именно там где нужно. Я считаю это большое достижение для создателей библиотеки. Настало время для серьезных дел -  выходим в 3D.   Как задать форму объемного тела? Один из методов заключается в том, чтобы задать сечения объекта. Причем если нам удастся сделать это непрерывным образом - считайте дело в шляпе. С точки зрения математики наша задача решена. Кому-то этот шаг может показаться невзрачным, но именно он является САМЫМ ГЛАВНЫМ с точки зрения построения объекта.   Если мы внимательно посмотрим на наш объект, то с геометрической точки зрения мы отчетливо можем выделить две составляющие - голову круглой формы и хвост, форма которого вообще не имеет определенного названия. Сечения для головы и хвоста должны строится по-разному.   Голову мы будем рассекать параллельными прямыми. Понятно, что в результате получится полусфера, но чтобы сохранить общий подход мы все-таки построим ее с помощью сечений. Сечения же для хвоста будем проецировать из некоего фокуса. Где должен быть этот фокус? Фокус должен находится в точке, откуда все сечения будут максимально условно перпендикулярны к объекту. Путем подбора я определил, что наилучшие результаты получаются когда фокус находится на оси Y на расстоянии -r/4 от центра.    Сечение будем задавать с помощью параметра k. При к = 0 мы находимся в начале нашей фигуры. При k = 1 в конце. Во всех промежуточных значениях алгоритм должен строить сечение объекта.  Что касается самого сечения - предположим что это окружность (раз уж здесь везде окружности) Ссылка на WebGL-презентацию:  Слайд 03 Принцип построения сечений      Здесь понадобилась еще одна нетривиальная операция - пересечение кривой и поверхности. В качестве кривой выступает построенный нами  двухмерный дао-контур. В  качестве поверхности выступает вспомогательная плоскость, она проходит из фокуса под углом, определяемым нашим  k. Алгоритм пересечения работает надежно и устойчиво. При первых попытках мне показалось, что он выдает ошибку.  Но в результате оказалось что ошибался я, а алгоритм отрабатывает на пятерочку.   Хотелось бы еще немного порассуждать вот на какую тему? Почему мы ищем пересечение кривой и плоскости - не проще ли найти пересечение  прямой и кривой? Ответ в том, что не проще. Не забывайте, что мы в 3D а здесь пересечение двух кривых необычное и редкое событие. Данный алгоритм попросту не существует.  Можно конечно вернуться в 2D, но это сложный путь. Из 2D в 3D перейти просто, а обратно гораздо сложнее. Поэтому думаю, что выйдя однажды в 3D лучше оставаться там до конца  карьеры :) Хорошая новость заключается в том что практически для любой проблемы существуют изящные 3D решения.  Раз уж была затронута эта тема, хочу немного сказать о 3D-мышлении. Мне очень нравится все что касается объемного конструирования, это затрагивает какие-то базовые нейронные структуры, возможно где-то в глубине, на уровне мозжечка и я от всего этого испытываю реальный кайф. Откуда это у меня - я думаю все дело в близких мне людях. Хочется рассказать про отца. Это боевой конструктор старой закалки. И я до сих пор учусь у него использовать инженерный подход к различным проблемам, начиная от философских и заканчивая бытовыми. Еще хочется рассказать о моих институтских друзьях. Когда я учился в институте в нашем небольшом провинциальном городке, мне повезло и я, так сказать, попал в 3D-обойму. Это была группа  студентов, которых посылали от кафедры графики по всей России на различные соревнования по начертательной геометрии, черчению, конструированию, и прочим вещам. Замечу, что это были лихие  девяностые и перед руководителями кафедры часто стоял прямой выбор - выплатить зарплату,  купить принтер, или послать группу студентов на соревнования. К чести кафедры выбор почти всегда делался в пользу соревнований. Так вот в этой 3D-обойме были действительно уникальные личности (похоже, что я там был самый бестолковый).  Расскажу один эпизод (а таких эпизодов был вовсе не один).   Мой хороший друг Сергей (а он тоже был в обойме), в смутные времена, когда все сидели без денег устроился на некую сомнительную работу.  Работа заключалась в том, что где-то на окраине города в сыром и темном подвале стоял высокоточный современный американский металлообрабатывающий центр (я все это видел своими глазами). И Сергей вытачивал на нем на заказ детали весьма причудливой формы. Никакого специального ПО, кроме карандаша  и бумаги у него не было.  Все команды он вводил непосредственно с пульта станка. Однажды между делом он выточил некую деталь, основу которой составляла коническая многозаходная резьба весьма сложного профиля. Про это узнали. Среди научно-технической элиты города поползли нехорошие слухи, что где-то на задворках происходит какая-то технологическая чертовщина. Слухи достигли авиационного моторного завода и об этом узнал начальник одного из серьезных цехов. Этот начальник все выяснил и лично спустился в сырой и темный подвал, чтобы увидеть все эти чудеса. Потому что весь его отдел, вооруженный Юниграфиксами, очень часто не мог сделать то что нужно.  Надеюсь, я вас немного поразвлек и можно двигаться дальше по узкой китайской тропинке.  Итак, в результате работы алгоритма пересечения получаем две искомые точки,  через которые просто проводим симметрично расположенную окружность. Сечение готово. Чтобы проверить, как это работает построим сечения для k от 0 до 1 c постоянным шагом.  Ссылка на WebGL-презентацию:  Слайд 04 Форма Дао из сечений   Итак мы проникли в святая святых и выяснили форму бесформенного Дао. Что теперь делать с этим сакральным знанием? Как из всего этого получить нормальное тело? Предлагаю воспользоваться методом, который называется протягиванием. Он заключается в том, что специальному алгоритму предъявляются последовательные сечения тела и он пытается построить поверхность. Все это относится к широкой области моделирования с ограничениями. Еще можно встретить термины скининг (натягивание кожи), пайпинг (делание трубы).    Должен отметить что главное при протягивании - не протянуть ноги, подбирая различные параметры различных алгоритмов. Посмотрим как поведет себя наше ядро.  Первая мысль - задать как можно больше сечений и алгоритм разберется, что к чему. К сожалению так не получится. Процесс аппроксимации - сложная штука.  И в принципе нужно стремится к тому, чтобы ограничений накладываемых на алгоритм было как можно меньше. Если кто-нибудь рисовал сплайны, то он  знает, что наиболее красивые формы получаются, когда мы уменьшаем количество точек а не увеличиваем. Нужно выбрать минимальное количество сечений, которые сформируют максимально точную геометрию.  Чтобы процесс протягивания был конструктивным и приятным я сделал следующие вещи.  Создал в Python список, содержащий коэффициенты опорных сечений и вывел эти сечения их на экран.  Кроме того я вывел на экран сам контур Дао, который мы нарисовали на втором шаге. Как известно этот контур является Абсолютной Истиной.  По отношению к этой истине мы и будем оценивать наши результаты.   Не буду утомлять описанием подбора количества и расположения сечений. Скажу лишь, что это не заняло много времени, потому что была организована хорошая обратная связь - сразу было видно где форма отклоняется от идеала. Представляю конечный результат усилий.   Ссылка на WebGL-презентацию:  Слайд 05 Протягивание поверхности через сечения Хочу обратить внимание на то, как получились начальная и конечные точки геометрии. Алгоритм понял, что начало должно быть гладким, а кончик острым. Честно говоря, я на это не надеялся и предвидел большие проблемы. Но все как-то получилось само собой. Давайте придадим нашей форме законченность. Во первых для придания динамизма и необычности - слегка приплюснем ее по вертикали.    Хочется немного рассказать с какой неожиданной проблемой я столкнулся. Никак не ожидал забуксовать на таком ровном месте. За различные преобразования в OpenCascade отвечает объект gp_Trsf. До сих пор он вел себя прилично и удовлетворительно. Но когда я с помощью его попытался приплюснуть геометрию у меня ничего не получалось. Началось с того, что я не нашел метода изменения масштаба отдельно по осям. Затем я пытался вручную задавать коэффициенты трансформации. Ничего не получалось. Объект магическим способом сопротивлялся всем попыткам.  Истина оказалась проста. OpenCascade конструкторское ядро и оно не для дешевых эффектов Поэтому базовый объект трансформации не позволяет искажать геометрию. Он защищает объекты от нелогичных изменений. Для тех же кто хочет большего и понимает зачем он это делает существует другой объект gp_GTrsf. Вот с помощью его то у меня все и получилось.  Далее мы скопируем нашу форму с разворотом на 180 градусов... Ой, простите на pi  ... Да, да... конечно наpi :) И раскрасим все это в приятные цвета.  Ссылка на WebGL-презентацию:  Слайд 06 Окончательная форма Дао   Согласитесь, даже гениальные идеи не могут висеть в воздухе, поэтому сделаем небольшую подставку для нашего объемного Дао. А заодно и проверим наше геометрическое ядро на прочность в плане булевых операций с объектами.  Вычесть куб из сферы -  и так нелегкая задача. А когда в булевых операциях участвует геометрия, сформированная нетривиальным образом - результат не может предсказать никто. Вот и посмотрим на что действительно способен Open Source.  Код следующего шага несложный, чего не скажешь о стоящей за ним математике. Замечу, что для того, чтобы наши Инь и Янь удобно лежали на подставке я ввел параметр gap  - технологический зазор по всему контуру - где-то 1 мм. Ссылка на WebGL-презентацию: Слайд 07 Форма Дао с основанием   Должен сказать, что получилось не сразу, но все-таки получилось. Да, обидно, что ядро спотыкается  и мы вынуждены прибегать к шаманизму для получения результата. Но учитывая, какая сложная математика здесь присутствует можно сделать на это поправку. Вот и закончилось это увлекательное 3D-мистичекое-приключение. Боги к нам были благосклонны и практически все получилось. Оставляю несколько ссылок: GitHub - Точка сборки - ссылка на репозиторий с проектом, в рамках которого было проделано это исследование. makeDaoShape.py - ссылка на полный текст примера Инь, Янь, Подставка. -  ссылки на STL-файлы   (мало ли кому пригодятся). Только пожалуйста - не перепутайте Инь и Янь - понятно что отличия минимальны, но кто знает этот загадочный Китай :) Если подвести итог в целом, то мне понравилось знакомство с OpenCascade. Это просто чудо, что такие вещи лежат в открытом доступе и их можно изучать со всех сторон. Пусть порой было не все гладко. Да и код, который я написал совсем не совершенен. Но ведь идеального не бывает ничего. И это наверное самое интересное свойство нашего мира.   Нам надо знать, когда остановиться Сосуд нельзя сверх меры наполнять Большие ценности труднее охранять И слишком острый меч быстрее притупитсяДобром ли чином через чур гордитсяБеду на дом свой накликатьТвой труд закончен, так умей уйти Вот смысл силы, жизни и пути.                                 Великая книга Дао - Стих 9 ( Перевод Ю. Полежаевой)   Программист