В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняюющие моноидальную структуру, то есть умножение и тождественный элемент.
 Пусть 
  
    
      
        (
        
          
            C
          
        
        ,
        ⊗
        ,
        
          I
          
            
              C
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}
  
 и 
  
    
      
        (
        
          
            D
          
        
        ,
        ∙
        ,
        
          I
          
            
              D
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}
  
 — моноидальные категории. Моноидальный функтор из 
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
 в 
  
    
      
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}}
  
 состоит из функтора 
  
    
      
        F
        :
        
          
            C
          
        
        →
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
  
, естественного преобразования
 и морфизма
 называемых структурными морфизмами, таких что для любых 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
, 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
, 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
 в 
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
 диаграммы
 
 коммутативны в категории 
  
    
      
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}}
  
. Здесь используются стандартные обозначения 
  
    
      
        α
        ,
        ρ
        ,
        λ
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }
  
 для моноидальной структуры категорий 
  
    
      
        
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {C}}}
  
 и 
  
    
      
        
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {D}}}
  
.
 Сильно моноидальный функтор — это моноидальный функтор, такой что структурные морфизмы 
  
    
      
        
          ϕ
          
            A
            ,
            B
          
        
        ,
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi _{A,B},\phi }
  
 обратимы.
 Строго моноидальный функтор — это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны.
 Забывающий функтор 
  
    
      
        U
        :
        (
        
          A
          b
        
        ,
        
          ⊗
          
            
              Z
            
          
        
        ,
        
          Z
        
        )
        →
        (
        
          S
          e
          t
        
        ,
        ×
        ,
        {
        ∗
        }
        )
      
    
    {\displaystyle U:(\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{*\})}
  
 из категории абелевых групп в категорию множеств. Здесь структурный морфизм 
  
    
      
        
          ϕ
          
            A
            ,
            B
          
        
        :
        U
        (
        A
        )
        ×
        U
        (
        B
        )
        →
        U
        (
        A
        ⊗
        B
        )
      
    
    {\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}
  
 — это сюръекция, индуцированная стандартным отображением 
  
    
      
        A
        ×
        B
        →
        A
        ⊗
        B
        →
      
    
    {\displaystyle A\times B\to A\otimes B\to }
  
; отображение 
  
    
      
        ϕ
        :
        {
        ∗
        }
        →
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }
  
 переводит синглетон * в 1.