Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от иррациональных функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.
 Везде ниже: 
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              x
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}
  
.
 Везде ниже: 
  
    
      
        s
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}
  
.
 Принято 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        >
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}>a^{2}}
  
, для 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        <
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}<a^{2}}
  
 смотрите следующий раздел. 
 Заметим, что 
  
    
      
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                x
                +
                s
              
              a
            
          
          |
        
        =
        
          s
          g
          n
        
        (
        x
        )
        arch
        ⁡
        
          |
          
            
              x
              a
            
          
          |
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ln
        ⁡
        
          (
          
            
              
                x
                +
                s
              
              
                x
                −
                s
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{x-s}}\right)}
  
, где 
  
    
      
        arch
        ⁡
        
          |
          
            
              x
              a
            
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|}
  
 принимает только положительные значения.
 Везде ниже: 
  
    
      
        t
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          
            (
          
        
        
          |
        
        x
        
          |
        
        ⩽
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leqslant |a|{\mbox{)}}}
  

 Здесь обозначено: 
  
    
      
        R
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle R=ax^{2}+bx+c}