実函数（実変数実数値の函数）としての定数函数は、一般に実数 c を用いて f(x) = c あるいは簡単に y = c がその一般形となる。定数函数 y = c のグラフは、xy-平面 上の水平線で点 (0, c) を通る。一変数 x の多項式函数の文脈では非零定数函数と恒等的に零な函数は区別を受ける。つまり、「次数 0 の多項式」は一般形が f(x) = c (c ≠ 0) となる函数を定め、この函数は x-軸との交点（函数の根）を持たない。他方、零多項式 f(x) = 0 は（自明な）定数函数（零函数）を定め、この場合は任意の x が根となり、グラフは xy-平面の x-軸に一致する。定数函数は偶函数である。つまり定数函数のグラフは y-軸に関して対称である。奇函数となる定数函数は零函数に限られるから、その意味でも値が零か非零かでは違いがある。函数の微分はそれが定義されている文脈において、函数の値の変化率を測るものである。したがって定義により定数函数は変化をしないのだからその微分は 0 である。それをしばしば (c)′ = 0 のように書く。逆もまた正しい。すなわち、y′(x) = 0 (∀x) ならば y(x) は定数函数である。
数学の分野における定数関数（ていすうかんすう、英: constant function; 定値写像）とは、それがとりうる値が変数の変動によって変わらない定数値の関数（写像）のことを言う。例えば、関数 f(x) = 4 はすべての値を 4 へと写すため、定数関数である。
いちばん好きな映画に『ホーム・アローン』を挙げており、「最後には笑いすぎて息ができないくらい」「主人公は8歳とは思えないほど頭がいい」「大笑いな展開なのに最後には泣かせる」「クリスマスのは1と2を両方見る」と発言。豆腐プロレス出演をきっかけにプロレスを趣味としており、2019年のランキングボックスの取材では好きなプロレスラーBEST3を挙げている。
東京府東京市麹町区（現在の東京都千代田区）に、藤原北家の支流・閑院流の末裔で江戸時代以来の公卿の家系である武者小路家の武者小路実世（さねよ）子爵と勘解由小路家（かでのこうじけ）出身の秋子（なるこ）夫妻の第8子として生まれた。上の5人は夭折しており、姉の伊嘉子、兄の公共 と育った。2歳の時に父が結核で死去。1891年（明治24年）、学習院初等科に入学。得意科目は朗読と数学で、体操と作文が苦手だった。同中等学科6年の時、留年していた2歳年上の志賀直哉と親しくなる。同高等学科時代は、トルストイに傾倒、聖書や仏典なども読んでいた。1906年（明治39年）に東京帝国大学哲学科社会学専修に入学。1907年（明治40年）、学習院の時代から同級生だった志賀直哉や木下利玄らとつくった「十四日会」で創作活動をする。同年、東大を中退。翌年には処女作品集『荒野』を自費出版した。1910年（明治43年）には志賀直哉、有島武郎、有島生馬らと文学雑誌『白樺』を創刊。彼らはこれに因んで白樺派と呼ばれ、実篤は白樺派の思想的な支柱となる。1913年（大正2年）、竹尾房子と結婚。1916年（大正5年）には、柳宗悦や志賀直哉が移り住んでいた現在の千葉県我孫子市に移住した。理想的な調和社会、階級闘争の無い世界という理想郷の実現を目指して、1918年（大正7年）に宮崎県児湯郡木城村に、村落共同体「新しき村」を建設した。実篤は農作業をしながら文筆活動を続け、大阪毎日新聞に『友情』を連載。しかし同村はダム建設により大半が水没することになったため、1939年（昭和14年）には埼玉県入間郡毛呂山町に新たに、村落共同体「新しき村」を建設した。但し実篤は1924年（大正13年）に離村し、村に居住せずに会費のみを納める村外会員となったため、実際に村民だったのはわずか6年である。この両村は今日でも現存する。同村のウェブサイトでは、実篤が村外会員になって文筆活動に専念した事を好意的に受け止めている。実際に実篤が村民だった頃の活動は離村後の彼の執筆に多大な影響を及ぼしたといわれており、また同村にとっても実篤が事実上その象徴的役割を果たしたことは否めず、両者は今日に至るまで言わば持ちつ持たれつの関係にあると見ることもできる。1922年（大正11年）、房子と離婚し、飯河（いごう）安子と再婚。翌年の関東大震災で生家が焼失。『白樺』も終刊となった。この頃からスケッチや淡彩画を描くようになる。また油絵も描き、1929年（昭和4年）には東京・日本橋の丸善で個展も開いた。執筆依頼がほとんどない「失業時代」で、トルストイ、二宮尊徳、井原西鶴、大石良雄、一休、釈迦などの伝記小説を多く執筆した。1936年（昭和11年）、4月27日からヨーロッパ旅行に出発。12月12日帰国。旅行中に体験した黄色人種としての屈辱によって、実篤は戦争支持者となってゆく。1937年（昭和12年）、帝国芸術院に新設された文芸部門の会員に選出される。1941年（昭和16年）の太平洋戦争開戦後、実篤はトルストイの思想に対する共感から発する個人主義や反戦思想をかなぐり捨て、日露戦争の時期とは態度を180度変えて戦争賛成の立場に転向し、戦争協力を行った。1946年（昭和21年）には貴族院議員に勅選されるが（同年8月7日に辞職）、同年9月には太平洋戦争中の戦争協力が原因で公職追放された。1948年（昭和23年）には主幹として『心』を創刊、『真理先生』を連載。1951年（昭和26年）、追放解除となり。同年に文化勲章を受章した。晩年には盛んに野菜の絵に「仲良きことは美しき哉」「君は君  我は我なり  されど仲良き」などの文を添えた色紙を揮毫したことでも有名だった。1955年（昭和30年）、70歳で調布市仙川に移住、亡くなるまでこの地で過ごした。1976年（昭和51年）4月9日、東京都狛江市にある東京慈恵会医科大学付属第三病院で尿毒症により死去。満90歳だった。