リヴァプールのNEMSレコード店の責任者だったブライアン・エプスタインは、1961年に地元のバンドであるビートルズの存在を知り、12月にマネージメント契約を締結した。当時のイギリスの音楽界はロンドンが中心であり、地方都市を拠点とするローカル・バンドがレコードをリリースしたり、全国ツアーを行うといった活動は、基本的に行われていなかったが、エプスタインはロンドンにあるレコード会社を廻ってビートルズを売り込み始めた。この売り込みに対して大手レコード会社のデッカ・レコードがオーディションに応じているが、これはエプスタインが大手レコード店NEMSの責任者である事が影響していた。1962年1月に受けたデッカのオーディションは不合格になるが、エプスタインは引き続きレコード会社を廻って売り込みを続け、その結果ジョージ・マーティンによるパーロフォンでのオーディションを受ける事になる。レコードデビュー後は、『エド・サリヴァン・ショー』の出演契約締結などでアメリカへの進出を実現させ、ビートルズの世界進出に営業面で貢献している。1966年8月のコンサート活動終了後も、1968年に公開されたアニメーション映画『イエロー・サブマリン』の制作契約を結んでいる。
静岡県伊豆で長男として生まれる。父は、明治維新の結果としての徳川将軍家（徳川宗家）の駿府移封に従って静岡県に移った旧幕臣・沼津兵学校第4期資業生・關近義（のちに小学校教員）。母よしは共立女子職業学校（現・共立女子大学）教員。1893年、高等商業学校（1902年に東京高等商業学校に改称、現・一橋大学）を卒業し、大蔵省入省。監督局銀行課に配属。東京高商在学中に矢野二郎校長の排斥運動首謀者として退学処分を受けたが、のちに復学した。大蔵省を1年で辞職し、1894年、1年後輩の福田徳三とともに神戸商業学校（現・兵庫県立神戸商業高等学校）教諭に転じる。1896年、23歳の若さで新潟市立商業学校（現・新潟県立新潟商業高等学校）の校長に就任し、1897年、母校である高等商業学校の教授となり、社会政策論及びその延長として都市計画論を講じた。1898年からベルギーに留学し、アントウェルペンの鉄道学校などで学ぶ。1900年からドイツに留学し、アドルフ・ワーグナーやグスタフ・フォン・シュモラーの講義を受講するなどしたのを機に、本格的に経済学者から社会政策学者に転向した。1900年1月から2月まで、ベルリンで留学中の福田徳三と再会し、親密に交流する。その後同じく東京高等商業学校から留学に送り出されてきた津村秀松、神田乃武、志田甲太郎らと交流し、ともに「商業大学の必要」を建議。東京高商の大学昇格運動を開始した。1901年11月に帰国。同僚の下野直太郎、星野太郎、佐野善作、村瀬春雄、坂本陶一、石川文吾、瀧本美夫、横井時冬らとともに明治大学商学部設立にも尽力し、1904年に明治大学商学部が設立されると同大学講師に就任し、鉄道・経済政策を講じた。1909年文部省による東京高商専攻部（旧制大学に該当する課程）廃止計画への抗議として学生たちが総退学した申酉事件に連なり、抗議の依願退官をし、嘱託講師になる。1910年法学博士。1911年、同じく抗議の依願退官をしていた嘱託講師の佐野善作とともに東京高商教授に復職する。しかし、その後東京帝国大学による東京高商吸収合併計画が発覚し、大学教授の世界に嫌気がさした關は、1914年から戸田海市（京都帝国大学教授）及び小山健三（東京高等商業学校校長）の紹介・斡旋で池上四郎市長の補佐として大阪市助役に招かれる。この關の助役就任に関しては、「栄誉ある東京高等商業学校教授を辞し、格下の大阪市助役に就任するのはどういうことか」と騒がれ、文部省や、東京高商創設者の渋沢栄一からも教授職にとどまるよう説得を受けたものの、關の意志は変わらなかった。1923年に第7代大阪市長となる。市長としての關は、社会政策学や都市計画学の知見を活かし、前任の池上市政時代より計画されていた、受益者負担金制度による御堂筋の拡幅の他、大阪都市協会設置、第二次市域拡張、市営公園や公営住宅の整備、大阪市営バス（現・大阪シティバス）事業の開始、大阪港の建設、地下鉄の建設（現・大阪市高速電気軌道御堂筋線）、大阪市高速度交通機関計画（大阪市営地下鉄網建設計画）策定、淀屋橋や大阪駅前の区画整理事業、大阪城公園の整備及び大阪城天守閣の再建、大阪市民病院の開設、日本初の市立大学大阪商科大学（現大阪市立大学）の開設、大阪市中央卸売市場の開設など、様々な都市政策を実行した。關の政策に対しては、住民からの反対も多かったが、これらの実現によって人口が東京市をも上回ったどころか、世界各国の都市でも6番目の人口を擁することとなった大大阪時代は關市政時代に全盛期を迎えることとなり、「これやこの 都市計画の権威者は 知るも知らぬも大阪の關」と詠まれたり、内務大臣後藤新平から「都市計画の範を大阪に求める」と評されるなどした。政治活動に並行し学問研究活動にも邁進し、「シティプランニング」という外来語に対して「都市計画」という訳をあて、最初にその用語を使ったとも言われる。また、いわゆる大阪アルカリ事件においては、科学的調査に基づいて、あえて行政側の責任を認めた。この事件は裁判となり、加害企業側が敗訴している。さらに、裁判に並行して積極的に被害者の救済策に乗り出すなど、環境政策の先駆者としての一面も持つ。1934年7月3日から貴族院議員。その後、室戸台風による災害復旧を陣頭指揮する最中、1935年大阪市天王寺区の自宅でチフスのため死去。享年61。天王寺公園運動場で大阪市初の市葬が営まれた。大阪市政への功績を称えて中之島に関の銅像が建立され、太平洋戦争（大東亜戦争）中の金属供出や戦災を逃れ、大阪市立東洋陶磁美術館の前に現存している（2012年現在）。なお、孫の關淳一も大阪市助役を経て、2003年12月19日から2007年12月18日まで第17代大阪市長を務めた。ただし關一の死後半年経ってから生まれたため、面識はなく、興味も持っていなかったという。東京高商教授時代の教え子には、朝日放送社長や関西経済連合会会長を務めた経済学者の飯島幡司、小樽高商教授在任中に早世した経済学者の大西猪之介などがいる。