向き付け可能性を考える別な方法は、多様体の各々の点での「右手系」と「左手系」の選択として向き付けを考えることである。微分可能多様体が向き付け可能とは、「右手系」が各々の座標の貼り合わせとなる座標変換が存在する場合を言う。さらに詳しくは、多様体が正のヤコビ行列式を持つ遷移函数となる座標貼り合わせ(coordinate atlas)を持っている場合に、その多様体を向き付け可能と言う。そのような最大の座標貼り合わせは多様体の向き付けを定義するので、そのような貼り合わせを持った多様体を向き付け可能という。同じことであるが、n 次元微分可能多様体は、多様体上のすべての点で向き付け可能な接ベクトルの基底(basis of tangent vectors)の整合性を持つ選択が存在するとき、向き付け可能という。これは様々な方法で定式化することができ、その中の一つの方法は、M が体積形式を持たせることである。体積形式は多様体上のすべての点で非負である次数 n の微分形式であり、そのような n-形式が与えられると、座標の貼り合わせは、ω を向き付け可能な Rⁿ の上のユークリッドの体積形式の整数倍へ写像する局所微分同相から構成される。
手賀沼干拓（てがぬまかんたく）とは、千葉県（下総国）北西部にある手賀沼の干拓事業のことである。手賀沼はかつては香取海の一部（手下浦）を構成していたが、利根川東遷工事などの影響によって江戸時代前期には周囲34km・面積10平方キロメートルの閉じられた沼となり、わずかに布佐と大森の間にあった小さな水路を通じて利根川に通じているのみであった。寛永13年（1636年）に弁天堀と呼ばれる新たな水路が設置された。明暦元年（1655年）には、万屋治右衛門を中心とする江戸の町人から最初の干拓計画が江戸幕府に提出されて開始をされたが、本格的な工事は寛文11年（1671年）に海野屋作兵衛らによるもの以後である。海野屋らは手賀沼の水を印旛沼に流すために7間の幅の水路を2本（長さ2298間・1566間）設置、その結果翌年には新田230町歩を得て天和2年（1682年）には幕府による検地も実施され、畑地も含めて約300町歩が計上された。だが、度々の洪水によって新田は破壊された。享保12年（1727年）、幕府勘定方井沢為永（弥惣兵衛）・江戸町人高田友清（茂右衛門）らによって再工事が開始され、沼の中央部に千間堤を築いて沼を上下に区分し、東側の下沼の干拓に成功して享保15年（1730年）の検地で39か村分1500石を得たが、元文3年（1738年）の利根川の洪水で千間堤が崩壊したために新田は壊滅した。井沢は再度の干拓を試みて延享2年（1745年）に完成するが、再び洪水に襲われた。天明5年（1785年）に当時の老中である田沼意次によって印旛沼干拓と並行して行うことが決定され、翌年完成したが、同年の洪水で堤防などが流された。それでも、寛政6年（1794年）の検地では2600石を得ている。本格的な干拓工事が再開されたのは、昭和21年（1946年）のことであり、22年の歳月をかけて約500haの水田を開かれるとともに、面積は3.7平方キロメートルまで縮小して東半部分が消滅するなど形も大きく変わった。だが、その間に周辺の宅地化が進展し、生活排水の大量流入によって沼の水質は急激に悪化することになった。
9月6日、スカイラーとモントゴメリー両将軍がセントジョン砦から約1マイル (1.6 km) 上流の上陸点まで平底舟で部隊を動かした。スカイラーは船に留まり、モントゴメリーが部隊を率いて砦上流の湿地を進んだ。この部隊はそこでタイスとロリミエに率いられた約100名のインディアンに急襲された。その後の小競り合いの中で、大陸軍は8名が戦死し、9名が負傷した。インディアンの方は4名が戦死し、5名が負傷したが、タイスも負傷した。大陸軍の兵士は比較的経験の浅い民兵であり、船の所まで引き返し、防御のために胸壁を建設した。これを見た砦の守備隊は胸壁に向かって大砲を発砲し、大陸軍をさらに約1マイル上流に後退させた。大陸軍はそこで再度胸壁を築きその夜の宿営を張った。インディアンは、砦の部隊も住人も戦闘の支援のために出てこなかったことに不満を抱き、自分達の集落に帰った。スカイラーはその宿営地に地元のある男の訪問を受けた。歴史家達はこれがモーゼス・ヘイズンだったと信じている。マサチューセッツ生まれで砦の近くに住む退役士官のヘイズンは、大陸軍の状況の暗い見通しについて語った。ヘイズンは、砦が第26連隊全軍と100名のインディアンで守られており、包囲戦に対しても物資は十分にあると言った。また住民はアメリカ側に友好的ではあるが、勝利の見通しが立たなければ協力はしないだろうとも言った。スカイラーは9月7日に作戦会議を招集し、イル・オ・ノワまで後退することを決めた。しかし、9月8日、デイビッド・ウースター指揮下にコネチカットの民兵と砲兵を伴うニューヨークの民兵を含め800名の援軍が到着し合流した。この援軍に心を強くした大陸軍は退却の代わりに砦に向かって夜間の行軍を行うことに決めた。病気が重くなっていたスカイラーは（「ペンを持てないくらい」病気が進行していたとされている）、部隊の指揮権をモントゴメリーに渡した。セントジョンズ砦の外で起こった両軍のこの最初の接触に関する報告はかなり誇張されているものが多い。地元民の多くはある種の勝利だったと主張していた。例えば「ケベック・ガゼット」紙は、60名のインディアンが1,500名の大陸軍を追い払い、30名を殺し、40名を負傷させたと報告した。この報せに続いてカールトン将軍は近くの教区全てにその民兵の10％を差し出すよう命令を発した。民兵の士官達はモントリオールに出頭したが、多くの民兵は家に留まったままだった。9月7日までに約120名の民兵隊が立ち上げられ、セントジョンズ砦に送られた。