もとの群は半直積群に埋め込まれる。 つまり、ふたつの単射準同型写像 N → N ⋊ H と H → N ⋊ H がある。 さらに N の単射準同型像は N ⋊ H の正規部分群で、その剰余群は H と同型である。
位数 8 の四元数群 Q₈ = 〈 i, j, k | i² = j² = k² = ijk 〉 は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。
群論において、群の半直積（はんちょくせき、英: semidirect product）とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。
大津 浩（おおつ ひろし、1957年 - ）は、日本の憲法学者、弁護士。明治大学法学部教授。環日本海学会理事。元憲法理論研究会事務局長。
表題曲「儚くも永久のカナシ」は、MBS・TBS系アニメ『機動戦士ガンダム00(セカンドシーズン)』前期（第2話から第13話まで）オープニングテーマ（第1話ではエンディングテーマとして使用）に起用され、10月より同番組でのオンエアが開始された。テレビCMでは既に放送されており、前作「恋いしくて」よりも先に公開された。「激動」以来のアニメタイアップとなる。今回は通常盤、初回生産限定盤の他に期間限定でガンダム00盤が発売される。今まで通常盤と初回生産限定版の2形態での発売であり、3形態での発売はUVERworldにとっては今回が初である。本作でシングル・アルバム通じて自身初のオリコンチャート1位を獲得、初動売上はシングルでは自身初の10万枚超を記録した。シングルでは自身最大のヒット作（収録されたアルバムやベストよりも売上は上）であるとともに『機動戦士ガンダム00』シリーズのテーマソングでは最大のヒット作となっている。2008年の年間オリコンシングルチャートでは40位にランクインし、デビューシングル「D-tecnoLife」以来となる年間シングルチャート100位以内を10thシングル「激動/Just break the limit!」（72位）と共に達成し、同時にUVERworldの年間シングル順位では最高だったデビュー・シングル「D-tecnoLife」の99位を大きく更新した。キャッチコピーは、『その愛が、憎しみに変わる前に…』。
宇部商業高校では、エースとして1972年春季中国大会県予選準決勝に進むが岩国商に敗退。同年夏の甲子園県予選は準々決勝で徳山工に敗れる。1972年ドラフト会議で阪神タイガースから3位指名を受け入団。1974年9月17日の中日ドラゴンズとの対戦で偵察要員として先発に名を連ねるも、一軍出場はこの1試合のみ。投手としての一軍登板はないまま1976年限りで引退した。
1986年に、ニュージャージー州のトムズリヴァーで、ジョン・ボン・ジョヴィの幼馴染で、ボン・ジョヴィの前身となるバンド、ワイルド・ワンズのメンバーだったギタリストのデイブ・スネイク・セイボと、ベーシストのレイチェル・ボランを中心に結成された。後にギタリストのスコッティ・ヒルと、ドラマーのロブ・アフューソが加わり、ボーカリストは元アンスラックスのマット・ファロンからセバスチャン・バックに代わって、1987年に初期のラインナップが揃う。バンドはアメリカ東部やクラブでのショー等を通して活動し、ジョン・ボン・ジョヴィが運営するレーベル「New Jersey Underground」の協力を得て、メジャーレーベル「アトランティック・レコード」と契約。有名プロデューサーであったマイケル・ワグナー（オジー・オズボーン、ホワイトライオンやエクストリームのサポートでも知られる）のサポートを受け、1989年にセルフタイトルのアルバム『スキッド・ロウ』でメジャーデビューした。シングルカットした「"18 And Life"、"Youth Gone Wild"」「"I Remember You"」がヒット。アルバムも500万枚以上を売り上げ、全米チャート6位を記録した。彼らは支援してくれたジョン・ボン・ジョヴィやリッチー・サンボラ、アンダーグラウンド・ミュージック社に、売上の一部をお返しとして提供したりしている（後にリッチー・サンボラはスキッド・ロウに彼の受けた資金を返している）。同年に初来日公演を行い、翌年に大晦日のイベント『FINAL COUNTDOWN』に出演した。1991年、同じくワグナープロデュースの2ndアルバム『 スレイヴ・トゥ・ザ・グラインド（Slave To The Grind）』をリリース。本作で全米チャート1位を獲得し、2度目の来日公演を行った。1995年、3rdアルバム『サブヒューマン・レース（Subhuman Race）』をリリースし、3度目の来日公演を行った。1998年にセバスチャンと他のメンバーが、キッスのサポートに関して対立し脱退、そしてバンドも事実上解散。2000年には、新たなシンガー ジョニー・ソーリンガーを迎え再始動した。ドラマーは何度か交代し2010年にロブ・ハマースミスが加入。2003年、4thアルバム『シックスキン（Thickskin）』、2006年に5thアルバム『レヴォリューション・パー・ミニット　（Revolutions Per Minute）』をリリース。2013年に3部作EP第1弾「United World Rebellion Chapter One」をリリース。2014年4月14日に19年ぶり・4度目の来日公演を東京TsutayaO-Eastで行った。8月に3部作EP第2弾「Rise of the Damnation Army -United World Rebellion Chapter Two」をリリース。2015年4月6日、ジョニー・ソーリンガーがソロ活動に専念するため脱退。後任に元TNT（当時）のトニー・ハーネルが加入するも、同年12月末に脱退。発表時点で後任のボーカリストは発表されておらず、2016年2月に行われたライブ以降、代役としてタンク及び元ドラゴンフォースのボーカルであるZPサートが務めていた。2017年1月14日、カナダ・ハリファクスで行った公演でZPサートが正式に加入することを発表した。