シベリアのエニセイ川流域にあるアフォントヴァ山遺跡から発見された2万年前の石斧は、使用の痕跡から横斧と見なせる。ヨーロッパ北部においては、1万年 - 8千年前の中石器時代 前半に当たるマグレモーゼ文化の遺跡から燧石を打ち欠いて作られた打製石器が多数発見されている。その内訳は、岩塊を打ち欠いて残った塊を仕上げた「礫核石斧」の横斧が最も多く、岩の欠片を仕上げた「剥片石斧」や縦斧の数を圧倒している。同時代の北ヨーロッパでは骨斧（骨製の斧）も横斧が優勢である。しかし、8千 - 7千年前のエアテベレ文化期に至って縦斧が優勢となり、その形状も大型化する。これは気候の変化で植生がマツ、カバ類から広葉樹に置き換わったため、強靭で粘り強いオークなどの木を伐採するため工夫した結果と思われる。新石器時代の縦斧や横斧は、角閃岩や玄武岩、ヒスイなどを磨ぎ上げて成形した磨製石器で、後のケルトに至るリニア土器文明やロッセン文明の出土物にその痕跡を見ることができる。ヨーロッパからシベリアに至るユーラシア北部の斧は「横斧」としてスタートしたが、中石器時代後期に縦斧優勢に変化し、それは青銅器時代から現代に至るまで変わらない。
考古学、民族学の観点からは、一般的な伐採斧や薪割り斧のように刃と柄が平行な斧を「縦斧」（たておの）、ちょうなのように柄と刃が直角に位置する斧を「横斧」（よこおの）と呼ぶ。旧石器時代前期に石を打ち欠いて形を整えた打製石器の石斧「握り斧」は、文字通り手で握って使う、柄のない斧だった。これに柄を取り付けることで、刃と柄の位置から「縦斧」と「横斧」の区別が生まれる。
鍬に似た形状をした斧の一種で、斧としては横斧に分類される。鉋が普及する以前は木材の荒削り用として世界各国で使われていた。石器時代から存在する、歴史のある工具である。使用の際は、使用者が材の上に立ち、足元にちょうなを振り下ろしながら後ずさりすることで、材木を荒削りする。また、大木を刳り抜いて臼、捏ね鉢、丸木舟などを作る際にも用いられる。臼や丸木舟作りに用いられるちょうなは「臼彫り」「モッタ」などと呼ばれ、材木削り用のものより柄が短く、片手でも使える。日本式のちょうなの柄は主としてエンジュ材を湾曲させたものであり、その先端に槍のように刃を差し込む。一方、西洋式のちょうなは、鍬やマトック（つるはしの一種）と同じく、直線的な柄に直角に刃をはめ込む。欧米におけるちょうなは木材加工以外に老朽家屋の解体にも用いられ、単独の道具ながらあらゆる用途に用いられる。
非退化形式の最も重要な例は内積とシンプレクティック形式である。対称非退化形式は次のような点で内積の重要な一般化である。要求されるすべてはしばしば写像 V → V* が同型であることであり正値性ではない。例えば、接空間に内積構造をもった多様体はリーマン多様体であるが、これを対称非退化形式に弱めると擬リーマン多様体が生まれる。
V が有限次元であれば、V のある基底に関連して、双線型形式が退化であることと伴う行列の行列式が 0 であることは同値である、つまり行列が特異であることと同値である、そしてそれゆえ、退化形式は特異形式 (singular form) とも呼ばれる。同様に、非退化形式は伴う行列が非特異である形式であり、それゆえ非退化形式は非特異形式 (non-singular form) とも呼ばれる。これらのステートメントは基底の選び方によらない。
1762年までの8年間、イギリスとフランスは、ヨーロッパと北アメリカで戦いを続けて来ていた。オーストリア継承戦争の後、オハイオの防御を強化したことで、ニューイングランド植民地からの反発を招き、これがフレンチ・インディアン戦争の原因となった。北アメリカでの英仏対決はその後激しさを増し、1759年には、ヌーベルフランス植民地の中心都市であるケベックが、イギリス軍により陥落した。しかし、ここに来て、両軍とも和平協定を検討するようになっていた。イギリス軍が長期にわたり、フランス植民地沿岸で海上封鎖を行っていたのが、フランス本国の経済には打撃となっていた。また、各地のフランス植民地への、海軍の支援も不可能となり、多くのフランス艦が相手に拿捕されていた。海軍を建て直すためにも、戦闘をいったん打ち切って、和平交渉を実現させたうえで、ニューファンドランド奪回の遠征をするべきであるという考えがフランスにあった。ニューファンドランドは、英仏両国、そして、南欧にとっても経済活動の要であり、三角貿易の拠点であった。特に、ニューイングランドとイギリス本国には不可欠な存在であった。そんな折、シャルル＝アンリ＝ルイ・ダルザック・ド・テルネ指揮下の小艦隊がブレストを抜け出し、封鎖を潜り抜けて大西洋へと向かった。1762年6月27日、伯爵ドーソンヴィユの指揮下にあるフランス軍が、イギリス軍にセントジョンズの開城を迫った。その後数週間、ドーソンヴィユはテルネのもとで、ニューファンドランドでのフランスの地位を固めて行った。シグナルヒル周辺の大砲装備と、前哨とによる防御手段は、周辺地域を支配するうえで不可欠だった。9月13日、セントジョンズから数キロ北にあるトーベイにイギリス軍が上陸した。テルネとドーソンヴィユはイギリスの前進を阻むことができず、防御のため、分遣隊をシグナルヒルの無防備な頂上に送り込んだ。9月15日の明け方、フランスが占領していたシグナルヒルをイギリス軍が登って行った。これはフランスには予想外であり、交戦は短いながらも致命的なものだった。フランス分遣隊の指揮官であるギョーム・ド・ベルコンブは重傷を負った。イギリスの方は、アマーストの士官である、マクドネルの脚を銃弾が砕いた。フランスは、シグナルヒルから軍を撤退させた。戦闘が終わり、シグナルヒルはイギリスの手に落ちた。この冒険的な戦いが功を奏して、3日後、イギリスは、セントジョンズをフランス軍から取り返した。