「モッピー」の名前は全国から一般公募され、10103件の応募の中から選定された。「モッピー」は、大阪府の鳥であるモズの「モ」と、ハッピーやピースの「ピー」を組み合わせたもの。　その後、2014年4月に大阪府の統一キャラクターとすることとなったが、この時にユニバーサル・スタジオ・ジャパンにおけるセサミストリートのオリジナルキャラクターと名前が競合しており、かつ既にそれが商標登録されていることが判明したため、改名することとなった。2014年7月に名称を一般公募し、1905件の中から「もずやん」を選定した。　2014年9月17日に改名を公表するとともに、翌9月18日に「広報担当副知事」に任命された。なおこの改名の際キャラクターデザインも従来のものから可愛らしいものへと一新し着ぐるみも小型のものを新調しているが、旧デザインの着ぐるみも「もずやん」の名前で一定期間併用していたため、実際にイベント会場に登場するまでは、どちらのタイプのもずやんが出てくるのか分からない状態となっていた。
もともとは 1997年（平成9年）のなみはや国体の公式マスコット、「モッピー」として誕生した。その後大阪府では生涯スポーツ振興のマスコットキャラクターとして、各種イベントに活用していた。デビュー以降は多数いる大阪府のキャラクターのうちの一体扱いであり、それほど目立つ存在ではなかった。しかし2014年に大阪府は、府知事の松井一郎の意向を受け、着ぐるみが存在しないキャラクターも含めて計92体いた庁内のキャラクターから、最古参の「モッピー」を公式キャラクターとして一本化する方針を明らかにした。府は92キャラのうち府が直接管理する31体を9体まで減らし、残ったキャラクターも着ぐるみの更新は認めず、もずやんとの同伴でなければイベント出演ができないと規定を定めた。
ハチミツ二郎が21歳の頃、パチンコ店で店員をしていた曽根卍（そねまんじ）と知り合い、初代「東京ダイナマイト」を結成。新宿ラ・ママのオーディションで初舞台を踏む。1997年10月、浅草キッド主催のライブ、浅草お兄さん会で優勝。その後も浅草お兄さん会と大川興業主催のライブ「すっとこどっこい」にレギュラー出演。しかし、ハチミツが社長を務めていたインディーズのお笑い事務所「トンパチ・プロ」の低迷期に初代は解散した。新しい相方を探していたハチミツが、元「温泉こんにゃくアクロバットショー」の松田と知り合い、松田が以前より「（ハチミツと）コンビを組みたい」と考えていたことから意気投合。「トンパチプロ」の解散宣言と同時にコンビ結成を発表し、2001年、新生「東京ダイナマイト」がスタートした。それに伴いマネージメントがオフィス北野預かりとなり、これと前後して浅草キッドと師弟関係を結んだ。結成3年目の2004年、M-1グランプリで決勝に進出（後述）し、全国区の知名度を獲得した。以後ゴールデンタイムのお笑い番組などにも出演して活躍を続け、当時の事務所の大先輩であり大師匠（師匠の師匠）に当たるビートたけしからは「ようやくウチから商品になる奴が出てきた」と高い評価を受けていた。2004年12月から不定期で『東京ダイナマイト先生』というトークライブを新宿ロフトプラスワンで行っており、毎回スペシャルゲストが来ている。2007年11月20日の「東京ダイナマイト先生vol.15 ハチミツ二郎お誕生日おめでとう記念大会〜」で15回目を迎えた。2008年1月30日に16回目を、同年3月27日に17回目をそれぞれ開催。一時、ハチミツがブログで「飽きたから辞めた」と書いていたが、17回目から1年後の2009年3月26日には「復活」と称し、18回目「東京ダイナマイト先生vol.18 〜もっと東京ダイナマイト先生〜」を開催している。2008年6月20日をもってハチミツがオフィス北野を退社した（退社の理由はビートたけしがオレたちひょうきん族で遅刻した際に言った『お化けが出た』と同じ言い訳をした事と、その後会社で話し合いが持たれ、『今後M-1グランプリで吉本勢に勝つには劇場で場数を踏む事が必要』と熱弁したら『だったら吉本でもどこでも好きな所行ってください』と言われた事などが重なったためという）。松田は広告契約の関係からすぐには退社できないが、2009年3月に退社することとなった。なお、退社から約10年後に行われたノンフィクション作家・田崎健太とのインタビュー内でハチミツが語った所によると、昔からオフィス北野内では現場（芸人）とフロントの仲が悪く、その状況を察した事務所の先輩であるつまみ枝豆から「（オフィス北野は）いつか駄目になる。お前たちはネタが出来る。俺とタカ坊（ガダルカナル・タカ）で殿と話をつけるから、抜けろ」と気を遣って辞めさせてくれた事が退社の真相であると明かしている。2008年9月5日にオスカープロモーションとマネジメント契約をした事を発表したが、2009年3月15日付でそのオスカーからも退社。松田も3月をもってオフィス北野を退社した。オスカー退社の理由は「M-1グランプリで4年連続準決勝敗退に終わったことが相当悔しかった」ため「武者修行の旅に出たい」とのことで、オスカー側も「温かく見守ってあげたいと思います」と円満退社である旨コメントしている。2009年4月からは、そろってフリーとなる。また、同年よりよしもと浅草花月を中心に、よしもとクリエイティブ・エージェンシーの直営館への出演が増えており、なんばグランド花月にもゲスト出演を続けていた。同年8月24日の公式ブログにて、よしもとクリエイティブ・エージェンシーへ所属する事を正式に発表した。結成8年目となる2009年のM-1グランプリで5年ぶりの決勝進出を果たす。M-1グランプリに初出場後、事務所を移籍した芸人が出場した初のコンビであった。2011年、THE MANZAI 2011認定漫才師に選ばれる。予選22位でワイルドカード決定戦に進出。2012年のTHE MANZAIは2回戦で敗退するが、翌2013年には認定漫才師に返り咲き、予選3位の成績で決勝進出。しかし、翌2014年は再び2回戦敗退に終わっている。