1931年コロムビアへ移籍。古賀メロディーの「私此頃憂鬱よ」がヒット（同盤A面は藤山一郎の「酒は涙か溜息か」）。淡谷はコロムビアでは映画主題歌を中心に外国のポピュラーソングを吹込む。1935年の「ドンニャ・マリキータ」はシャンソンとしてヒットし、日本のシャンソン歌手の第1号となる。日中戦争が勃発した1937年に「別れのブルース」が大ヒット、スターダムへ登りつめる。ブルースの情感を出すために吹込み前の晩酒・タバコを呷り、ソプラノの音域をアルトに下げて歌う。その後も数々の曲を世に送り出し名をとどろかせる（なお、この頃のバックバンドのメンバーには日本のジャズの父と言われるティーブ・釜萢がいた）。その当時に淡谷のピアニストを務めていた和田肇と1938年に結婚するが、翌年離婚。その後は生涯独身であった。
世界恐慌が始まる1929年の春に卒業。母校の研究科に籍を置く。母校主宰の演奏会でクラシックの歌手として活動する。クラシックでは生計が立たず、家を支えるために流行歌を歌う。1930年1月、新譜でポリドールからデビュー盤「久慈浜音頭」が発売。キングレコードでも吹込みをはじめる。当時、佐藤千夜子の活躍以来、奥田良三、川崎豊、内田栄一、四家文子ら声楽家の流行歌への進出が目立っていた。1930年6月、浅草の電気館のステージに立つ。映画館の専属となりアトラクションなどで歌う。当時、東洋音楽学校からは青木晴子、羽衣歌子らが流行歌手として活躍していたが、東京音楽学校出身の声楽家が歌う流行歌よりも低い価値で見られていた。淡谷は流行歌手になり、低俗な歌を歌ったことが堕落とみなされ母校の卒業名簿から抹消された（後年復籍）。1963年に起きた内紛（東洋音楽大学事件：創業者一族の鈴木理事と経営側理事が対立し、双方が暴力団を「警備員」として大学に呼び込んだスキャンダル）に際しては、卒業生たちが東京声専音楽学校（現在の昭和音楽大学）に集まり、理事たちの異常な行為を糾弾した。
1907年、青森市の豪商「大五阿波屋」の長女として生まれる。1910年の青森市大火によって生家が没落。10代の頃に実家が破産し、1923年、青森県立青森高等女学校を中退し母と妹と共に上京。東洋音楽学校（現・東京音楽大学）ピアノ科に入学する。後に荻野綾子に声楽の資質を見出されて声楽科に編入。オペラ歌手を目指すためクラシックの基礎を学んだ。しかし家がだんだんと貧しくなったため、学校を1年間休学して絵画の裸婦のモデルを務めるなどして生活費を稼いだ。当時は「霧島のぶ子」を名乗っており、この時期、淡谷の裸婦像を描いた画家に前田寛治がいる。その後、復学しリリー・レーマンの弟子である柴田稲子の指導を受け首席で卒業。春に開催されたオール日本新人演奏会（読売新聞主宰）では母校を代表して「魔弾の射手」の「アガーテのアリア」を歌い十年に一人のソプラノと絶賛される。
より多くの a で判定を行えば、正確度が高くなる。任意の奇数の合成数 n について、a の少なくとも 3/4 が合成性の証拠となることがわかっている。ミラー-ラビン素数判定法において n についての「強い嘘つき」となる数の集合は、Solovay-Strassen素数判定法で嘘つきとなる数の集合の部分集合であり、多くの場合は真部分集合となる。つまり、ミラー-ラビン素数判定法は Solovay-Strassen素数判定法よりも強力である。n が合成数なのに素数の可能性があると判定してしまう確率は最大で  である。一方、Solovay-Strassen では最大  となる。合成数を素数に間違ってしまう平均確率は  よりずっと小さい。Damgård、Landrock、Pomeranceはこの値を正確に求めたことがある。しかし、そのような確率は素数を生成する際には利用できるが、素性の知れない数の素数判定には依存すべきでない。特に暗号では敵が素数を強擬素数にすり替える可能性を考慮しなくてはならない。従って、 という確率だけを信用すべきである。
福井県出身。松井政治の二男として生まれる。名古屋陸軍地方幼年学校、中央幼年学校を経て、1904年（明治37年）10月、陸軍士官学校（16期）を卒業。同年11月、工兵少尉に任官し近衛工兵大隊付となる。1909年（明治42年）11月、陸軍砲工学校高等科（15期）を優等で卒業した。1910年（明治43年）12月から1914年（大正3年）3月までフランスに駐在し、帰国後、砲工学校教官となる。1917年（大正6年）5月から1919年（大正8年）5月まで欧州出張。1919年4月、工兵少佐に昇進し陸軍航空学校研究部員に発令された。1924年（大正13年）2月、電信第1連隊付となり、同年3月、工兵中佐に進級。1925年（大正14年）5月、陸軍通信学校教官に就任し、1927年（昭和2年）9月、工兵大佐に昇進した。1928年（昭和3年）8月、電信第1連隊長となり、陸軍省兵器局器材課長、陸軍技術本部第2部長を歴任し、1932年（昭和7年）4月、陸軍少将に進級。1935年（昭和10年）8月、築城本部長に就任。1936年（昭和11年）3月、陸軍中将に進み工兵監となる。1937年（昭和12年）3月、第4師団長に親補され、西部防衛司令官を経て、1940年（昭和15年）3月、予備役に編入された。その後、1942年（昭和17年）5月から1945年（昭和20年）11月まで日野重工業社長を勤めた。