信濃国伊那郡小野村（現・長野県辰野町小野区）に生まれ、幼名を鎌之助のち義隨、通称を甚五兵衛と称し、維新後に清也と改名する。幼ないとき村の手習師匠小沢和徳に読書を学んだが、嘉永2年（1849年）伊那部（現・伊那市）の須田慶順について経書を修める。嘉永4年（1851年）平田篤胤の武学論に啓発され、木曽福島の遠藤五平太の門に入り、一刀流を修める。安政元年（1854年）角田忠行と共に江戸に入り、藤田東湖に謁見する。文久3年（1863年）角田忠行が足利三代木像梟首事件を起こし、逃れて倉澤家に以後4年間潜伏する。その間の元治元年（1864年）水戸天狗党一行の伊那谷通過の際には、角田忠行や北原稲雄らとともに、飯田城下を兵火から守るために、間道を抜けさせることに尽力。慶応元年（1885年）2月に上洛し、神祇伯白川家に謁を乞い、父義徳が所願の臣礼を修めるとともに、東山に潜伏中の松尾多勢子を訪ね、長州藩士品川弥二郎に会す。更に、島崎正樹・ 北原稲雄・原信好・桜井房光・奥村邦秀ら同門の志と往来し，敬神愛国の大義を唱えた。また文久慶応のころ角田忠行・ 長谷川鉄之進・権田直助・落合直亮ら天下の志士をその家にとどめて国事を談じ、岩崎長世・近藤至邦とも親交があった。明治元年（1868年）再び上洛し、父に代わって白川家の用人兼会計役となり、神葬祭の請願を太政官総裁局の弁事御役所に提出し允許を得る。これは民籍での神葬祭のはじめであった。明治4年（1871年）6月伊那県第33区（小野村）戸長となり、明治7年（1874年）筑摩県第17大区3小区（同村）戸長となる。明治14年（1981年）12月松本開産社社長となり、明治21年（1988年）同社が解散となるまで勤めた。なおこれより先、明治5年（1872年）郷社矢彦神社の祠官となり、明治33年（1900年）には県社への昇格を果たし、大正10年（1921年）に没するまでのほぼ半世紀の間、同社の神官を勤めた。
1959年にロサンゼルス・ドジャースと契約。メジャー昇格に10年近くを要し、選手としては1968年、1969年の2シーズン、ニューヨーク・ヤンキースでプレイし、220試合に出場したのみに終わった。引退後はヤンキース傘下のマイナーチームでコーチを務め、1976年に3Aシラキュース（当時）監督に就任。ロン・ギドリー、テリー・ウィットフィールドらを擁してガバナーズ・カップ（3A最高チームにあたる）を受賞。1978年にアトランタ・ブレーブス（当時はナ・リーグ西地区所属）の監督に就任。当時チームはどん底の状態で、最初の2シーズンは地区最下位に終わり、結局4シーズン務めて勝ち越しは1980年のみで解任。1982年にトロント・ブルージェイズの監督に就任。初年度は6位（7球団中）であったが、2年目・3年目にいずれも89勝をあげ、4年目の1985年には99勝62敗をあげ、チームを球団創設以来初の地区優勝に導く。この年より7回戦制となったア・リーグチャンピオンシップシリーズ(ALCS)ではカンザスシティ・ロイヤルズを3勝1敗と追い込むが、それから3連敗を喫してワールドシリーズ進出を逃すと、解任された。この年ア・リーグ最優秀監督賞を受賞。1986年に、ブレーブスにゼネラル・マネージャー(GM)として復帰。チームはこの頃再び低迷していたが、ロン・ガントやトム・グラビンらの若手選手の成長や、若手ジョン・スモルツ、ベテランチャーリー・リーブラント、ロニー・スミスらをトレードで獲得。1990年途中に、GM兼任の監督に就任。この年は最下位に終わったが、後に看板選手になるチッパー・ジョーンズをドラフト全体1位で指名するなど将来の基盤を固めた。不振が続くベテランデール・マーフィーを放出し、デビッド・ジャスティスをライトで起用して新人王受賞の活躍を引き出すなど、徐々にチームを強化した。1991年には監督専任になり、前年最下位のチームを一気に地区優勝に導く。前年最下位のチームの地区優勝はメジャー史上初であった。NLCSでも東地区優勝のピッツバーグ・パイレーツを破りワールドシリーズに進出。ミネソタ・ツインズを最後まで苦しめるが、3勝4敗で惜しくもワールドチャンピオンを逃したが、自身は最優秀監督賞を受賞した。1992年にも地区優勝し、NLCSでも再びパイレーツを破るが、ワールドシリーズでは、かつて監督を務めたブルージェイズに敗れた。1993年は地区優勝するが、NLCSでフィラデルフィア・フィリーズに敗れる。1994年、地区再編（東西2地区制→東中西3地区制）に伴い、東地区に編入されるが、この年は50日間に及ぶストライキでシーズンが途中終了し、2位に終わった。1995年は90勝54敗の成績で地区優勝。この年より、2005年まで11年連続で地区優勝。プレイオフ（ディビジョンシリーズ、NLCS、ワールドシリーズ）を通じて11勝2敗の成績で、チームをミルウォーキー時代の1957年以来38年ぶり、アトランタ移転後初のワールドチャンピオンに導く。1996年もワールドシリーズに進出。ヤンキースと対戦し、1・2戦を連勝するがそこから4連敗して2年連続ワールドチャンピオンを逃す。その後は、前述のように2005年まで毎年地区優勝するが、ワールドシリーズ進出は1999年（ヤンキースに4連敗）のみで、他はNLCS又はNLDSで敗退。なお、2004年、2005年には最優秀監督賞を受賞している。2006年は1990年以来の勝率5割未満（79勝83敗）で地区3位に終わる。2007年5月12日に、監督通算2,195勝をあげ、レッズとタイガースの名将スパーキー・アンダーソンを抜き、メジャー歴代4位となった。8月14日のサンフランシスコ・ジャイアンツ戦では通算132回目の退場処分となり、20世紀初頭にこの日の対戦相手・ジャイアンツを率いたジョン・マグローの通算記録を抜き、メジャー史上最多となった。2010年に退任するまで通算158回に記録を更新し、ギネス世界記録に認定されている。9月5日には史上6人目の監督通算4,000戦を達成。この試合は勝利で飾った。2010年シーズン初頭に、同年をもって監督を勇退することを表明し、同年を最後に監督を勇退。ブレーブスにおいて25年にわたる監督としての勝利数は2149勝を数え、ブルージェイズ在籍時の勝利数を加えた通算勝利・敗戦数は前述の通り歴代4位の2504勝2001敗で、コニー・マック（3731勝3948敗）、ジョン・マグロー（2763勝1947敗）、トニー・ラルーサ(2728勝2365敗)に次ぐという堂々たる記録である。勇退の翌2011年、アトランタ・ブレーブスはコックス在籍時の背番号『6』を永久欠番に指定することを発表し、同8月12日に欠番表彰式が行われた。ブレーブスにおいて監督として欠番に指定されるのはコックスが初である。2014年、ベテランズ委員会の選考によりアメリカ野球殿堂入りを果たした。