引退後はアメリカに輸出された。日本国外で種牡馬となったサンデーサイレンス産駒は30頭以上いるが、ハットトリックはその中でも飛び抜けた競走実績を持つ馬であり、種牡馬成績も他馬とは隔絶したものとなった。なお、サンデーサイレンス産駒のG1馬のうち、種牡馬となったのは28頭いるが、ハットトリック以外の27頭は全て日本国内で供用されている（シャトル除く）。2008年からケンタッキー州レキシントン近郊のウォルマックファームで種牡馬入りし、初年度種付料は1万5000ドル（当時約170万円）。ここを拠点にシャトル種牡馬として、オーストラリアのインディペンデントスタリオンズでも繋養されている。種付料は1万6500豪ドル（約100万円）。2009年には初年度産駒が誕生した。又、同年の3月からはアルゼンチンのエルマリン牧場でも半年間のシャトル種牡馬として繋養生活を送っていたが、2010年の秋にウォルマックファームへ帰国した。北米における種付け数は、2008年が120頭だったが、受胎率が低く、2009年57頭、2010年32頭、2011年41頭と低迷している。初年度産駒が大活躍すると増加に転じ、2012年134頭、2013年124頭となった。しかしその後低下し、2016年は38頭となっている。2011年に初年度産駒がデビュー。その中からフランスの持ち込み馬として生まれたDabirsimが産駒初勝利を飾り、仏G3カブール賞を制して産駒重賞初勝利。さらには仏G1モルニ賞も制し、産駒によるG1初勝利を挙げるなど、この年G1競走を2勝し、同年のカルティエ賞最優秀2歳牡馬およびフランスの年度代表馬に選出された。これにより出走頭数わずか1頭で2011年度のフランス2歳リーディングサイアーおよびファーストクロップリーディングサイアーとなった。いずれも日本産馬としては初の快挙である。この活躍を受け、リファールなど数々の名種牡馬を繋養してきた有力牧場のゲインズウェイファームに売却され、2012年から供用される。前所有者のウォルマックファームは種付け権の最大保有者という形で関与していくことになった。その後も2012年には海外で種牡馬入りした日本調教馬としては初めて、アメリカのグレードレース、後にG1競走を制する産駒を出すなど、産駒はアメリカを中心に活躍している。日本にも毎年1、2頭の規模で産駒が輸入されていて、2017年2月12日京都競馬第5レース3歳未勝利でゴールドハットが1着となり、日本での産駒初勝利となった。2017年6月下旬からは、ブラジルのHaras Spring Field(スプリングフィールド牧場)と、Haras Santa Rita Da Serra(サンタ・リタ・ダ・セーラ牧場)にて、シャトル種牡馬として繋養されている。
1882年6月17日（当時ロシアで使用されていたユリウス暦では6月5日）、サンクトペテルブルク近郊のオラニエンバウム（現・ロモノソフ）に生まれ、首都のサンクトペテルブルクで育った。ストラヴィンスキー家は16世紀末にさかのぼるポーランド系小貴族で、伝統的にその領地はリトアニア大公国の中にあったが、徐々に没落していった。父のフョードルは三男だったために財産を受け継ぐことはなかったが、マリインスキー劇場づきの、当時のロシアを代表するバス歌手として有名だった。1901年、イーゴリは現在のサンクトペテルブルク大学法学部に入学したが、その一方で週に一度音楽理論を学んだ。法学部で知りあったリムスキー＝コルサコフの末子であるウラディーミルの勧めによって、1902年夏にリムスキー＝コルサコフと会い、個人授業が受けられることになった。同年11月に父が没した。リムスキー＝コルサコフの授業は最初は不定期だったようだが、1905年秋ごろから定期的なレッスンを受けるようになった。大学は1906年4月に学位を取得した（1905年に卒業したが、血の日曜日事件以降の大学の混乱で学位取得が1年遅れた）。初期の管弦楽作品としては『幻想的スケルツォ』(1908)と『花火』(1909)が優れているが、リムスキー＝コルサコフは1908年6月に没し、これらの曲の初演を聞くことはできなかった。自伝によればバレエ・リュスの主宰者セルゲイ・ディアギレフはこの2曲を聞いてからストラヴィンスキーと親密な関係を持つようになったというが、実際のところはよくわからない。ディアギレフから最初に頼まれた仕事はバレエ『レ・シルフィード』のためにショパンのピアノ曲を管弦楽用に編曲することだった。1910年にはバレエ・リュスのために作曲した『火の鳥』がパリのオペラ座で初演され、大成功を収める。翌1911年には、第2作『ペトルーシュカ』が初演され、これも成功を収める。さらに1913年、第3作『春の祭典』がパリで初演された。この上演は楽壇をセンセーショナルな賛否両論の渦に巻き込み、初演においては観客の怒号が演奏をかき消すほどであったと伝えられているが、その後すぐに評価は急上昇し、これも大成功を収めることとなった。これら3作によってストラヴィンスキーは若手の革命児として名を刻まれる事になった。ストラヴィンスキーはそれまでも夏をウスティルーフ（現ウクライナ）、冬をスイスで過ごしていたが、1914年、第一次世界大戦が勃発するとウスティルーフには帰れなくなり、スイスに居を定めた。1917年に起きたロシア十月革命により故国の土地は革命政府に没収され、ロシアからの収入も得られなくなり、またバレエ・リュスの公演も戦争に妨げられて思うにまかせず、ストラヴィンスキーの生活は苦境に陥った。このころ作曲された曲はロシアの民衆詩や寓話による土俗的な『きつね』、『結婚』、『兵士の物語』などがあり、ストラヴィンスキーの新しい局面を示すが、ほとんどの曲は戦時中には上演する機会がなかった。