拡張実数値（実数以外に ±∞ も値として許す）可測函数 f の積分は f を正成分　f⁺ と負成分 f⁻ の差  に分解する（ここに f⁺(x) = max{f(x), 0}, f⁻(x) = −min{0, f(x)} であり、これらおよび  が非負可測函数となることに注意する）ことでと定義される。左辺の積分が（±∞ の場合も許して）存在するためには、右辺の二つの積分のうちいずれか一つでも有限値でありさえすればよいことに留意すべきである。しかし、f がルベーグ可積分であるというときには、左辺が（存在するだけでなく）有限確定値であることを要求する。非負とは限らない（拡張）実数値可測函数 f がルベーグ可積分となるための必要十分条件は となることである。絶対値の積分が有限確定であるという意味で絶対可積分ともいう。
与えられた測度 μ に関する可測集合 S に対して、S の定義関数  の積分を  とする。測度 μ が有限測度でない限り、この積分値が +∞ となる場合があることに注意する。以下積分が +∞ となる場合も許して、「積分が存在する」と言うことにする。
ルベーグ積分の定式化の一つの方法として、単函数（有限個の指示函数の実係数線型結合）を用いるものがある。単函数は、可測函数の値域を帯状に分割することにより、可測函数を近似することができる。単函数の積分は各帯状領域の測度にその高さを掛けたものに等しい。非負値をとる一般の可測函数の積分はその函数の単函数による近似の上限として定義され、非負と限らない場合には函数を正成分と負成分の二つの非負値函数の差に分解してそれらの積分の差として可測函数の積分を定義する。
ルベーグ積分論は、可測集合とその上の測度に関する理論（測度論）と可測函数とその積分に関する理論（積分論）の二段構えになっている。
積分を厳密なものにしようという動きは、19世紀からである。ベルンハルト・リーマンが提案したリーマン積分はこの目的に向けて大きな前進であった。リーマンは関数の積分を「簡単に計算できる積分」で近似することによって定義した。この定義による積分は、それまで解答が知られていた問題に対してそのままの結果をもたらしたし、他の問題に対しては新しい結果を与えることになった。しかし、リーマン積分は関数列の極限と相性が悪く、積分と極限が同時に現れるような場面では解析が困難な場合がある。それに対して、ルベーグ積分は、積分記号の下での極限がより扱いやすくなっている。ルベーグ積分は、リーマン積分と異なる形の「簡単に計算できる積分」を考えており、このことがルベーグ積分がリーマン積分よりよく振舞う理由となっている。さらに、ルベーグ積分ではリーマン積分より広い種類の関数に対して積分を定義することが可能になっている。例えば、無理数で 0 を有理数で 1 をとる関数（ディリクレの関数）を閉区間 [0, 1] 上で考えると、リーマン積分では積分が定義されないが、ルベーグ積分では積分できる。
1985年、ソビエト連邦の新指導者としてゴルバチョフが現れ、1989年の東欧革命で各国の共産党政権は崩壊へと向かった。これを象徴するかのようにディナモ・ベルリンは優勝を逃し、ディナモ・ドレスデンがリーグ戦2連覇を果たした。東西ドイツの統一にともない、DDRオーバーリーガの最終年に2位だったディナモ・ドレスデンはブンデスリーガ1部へと編入された（1位と2位のみがブンデスリーガ1部へ編入された）。資本主義原理で動く旧西ドイツの各クラブは、旧東ドイツの優秀な選手を次々と引き抜いた。ドレスデンもマティアス・ザマー（VfBシュトゥットガルトへ移籍）、ウルフ・キルステン（バイエル・レバークーゼンへ移籍）などを失った。それでも、ディナモ・ドレスデンは4シーズンにわたって1部に留まり続けた。ベルリンの壁が崩壊した際の、東西ドイツの市民が抱き合う姿は、一瞬の熱狂でしかなかった。まもなく「オッシー」（東ドイツの人々への蔑称）、「ヴェッシー」（西ドイツの人々への蔑称）と互いを称するようになり、スタジアムでも頻繁に旧東独のクラブに差別的なヤジが飛ばされた。同じ旧東独のハンザ・ロストックは1シーズンで2部へ降格したため、ディナモ・ドレスデンはブンデスリーガ1部で旧東ドイツを代表して孤軍奮闘を続けた。
ノルウェーがスウェーデンと連合国家（同君連合）であった1871年に、スヴァールバル諸島のノルウェー領化を図り、スウェーデンが積極的に国際活動を行っていた。スウェーデン本国は北極海には面しておらず、そのためスウェーデンがスヴァールバル諸島の領有権を主張するのは無理があった。こうした理由からノルウェーを介しての領有を目指したのであるが、当時のノルウェー政府は積極的ではなかった。これはスヴァールバル諸島を実効支配した場合、その出費が嵩むことに因る資産の圧迫や、改めて領有宣言をする事に因って他国も領有権を主張し出して揉め事を起こしかねないと懸念したことが理由であった。こうした経緯のためか、スウェーデンは、1905年のノルウェー独立に際しては、スヴァールバル諸島のノルウェー領化に反対している。19世紀末までは無人島だった。20世紀になると石炭採掘のためアメリカ、イギリス、スウェーデン、ロシア、ノルウェーなどの会社が進出し、定住者が生まれた。それに伴って採掘権争いや労働争議などが起きるようになり、法的統治の必要性が出てきた。1920年のスヴァールバル条約によって国際的にノルウェーの主権が承認されると同時に、前述のスウェーデンや日本を含むスヴァールバル条約締結国の国民の自由な経済活動を認めることとされた。ロシア革命で誕生したソビエト連邦も1924年に条約に参加し、スピッツベルゲン島に進出した。