妙覚寺は1378年（永和4年）、日実によって創建された。日実はもと妙顕寺の僧であったが、教義や後継問題をめぐる寺内の意見対立のため同寺から離脱し、小野妙覚の外護により、四条大宮に妙覚寺を建立した。実質的な創立者は日実であるが、妙覚寺では日像を開山、日実を4世としている。寺は1466年（寛正7年）、近隣の本覚寺と合併し、寺域を広げる。1483年（文明15年）には足利義尚の命により、二条衣棚（現・京都市中京区）に移転した。1536年（天文5年）の天文法華の乱際に寺は焼失し、堺に避難した。その後、1542年（天文11年）、後奈良天皇は法華宗帰洛の綸旨を下し、妙覚寺は1548年（天文17年）、二条衣棚の旧地に再建された。1582年（天正10年）の本能寺の変の際、織田信長の嫡男織田信忠は妙覚寺を宿舎としていた。明智光秀の謀反を知った信忠は寺を出て、明智勢を討つべく二条御所へ向かうが、果たせず自害する。明智軍によって信長と信忠が討たれるに伴い、本能寺と二条御所の一部が放火され焼失したことが『兼見卿記』『日々記』などに書かれているが、妙覚寺がこの事件に遭難して焼失したということを伝える史料は現在の所一つも確認できない。このため、妙覚寺は本能寺の変では焼失どころか無傷であった可能性も指摘されている。寺は1583年（天正11年）、豊臣秀吉の命により、現在の地に移転している。1595年（文禄4年）、妙覚寺21世の日奥は、不受不施の立場から、秀吉が主催した方広寺大仏の千僧供養への出仕を拒み、秀吉に「法華宗諌状」を提出した。寺は1788年（天明8年）、天明の大火により焼失するが、その後再建されている。妙顕寺、妙覚寺、立本寺の三寺はいずれも山号を具足山と称し、「龍華の三具足（りゅうげのみつぐそく）」と呼ばれている。現住は85世及川日周貫首（新宿区常圓寺より晋山）。奠師法縁（奠統会）縁頭寺。
2004年より正式にFC東京のトップチームに昇格。一定して試合に出場するようになり、主にトップ下でプレー。公式戦初得点はナビスコカップ予選リーグ第2節鹿島戦。中盤から走り込みミドルシュートを突き刺した。リーグ戦初得点は同年8月の東京ダービーで、こちらもミドルシュートによる得点だった。2ndステージ第14節市原戦では、右足でシュートを空振りして相手をかわし、直後に左足で得点を決めるなど活躍を印象付け、この年のJリーグ優秀新人賞を受賞した。同年8月には、スペインで行われたデポルティーボ・ラ・コルーニャとの親善試合に出場し、決勝点となるミドルシュートを叩き込む。その試合を観戦した現地ジャーナリストのヘスス・スアレスはサッカー雑誌のコラムで梶山を「ミカエル・ラウドルップの様だ」と絶賛。「今すぐリーガ・エスパニョーラで通用する選手」と断言した。その後怪我に苦しみ左膝を手術。2005年のワールドユース・オランダ大会には、リハビリ明けながら 中盤の核として 3試合に出場した。同年7月にはフィジカルの強さなどを評価され、宮沢正史らを押しのけFC東京でのレギュラーに定着。以降守備的MFの位置で先発出場するようになるが、試合によって調子の波があるという短所があり改善に努めた。2007年は北京オリンピック予選への招集や、福西崇史の加入によって序盤は出場機会を減らすものの、運動量を増やし 第11節以降ポジションを奪い返した。J1第23節広島戦ではゴールまで28メートルの距離から無回転フリーキックを決めている。9月12日の北京オリンピックアジア最終予選第3戦U-22カタール戦ではヘディングで決勝点を挙げるも、試合中に左脛骨高原を骨折し、シーズン後半をリハビリに費やした。同年から田邊伸明と代理人契約を結び、将来の海外移籍を視野に入れた。2008年からはエースの象徴でもある“背番号10”を託されている。これはクラブの念願であった『ユース出身者による背番号10』の誕生でもあった。2008年北京オリンピック・サッカー日本代表（U-23）でも背番号10を背負い、香川真司が「一緒にやっていてもうまい。縦パス1本でもアイデアがある。攻撃の核」と話すなど、同代表のチームメートからも一目置かれ期待されたが、日本は3戦全敗で梶山も強い存在感を示す事が出来なかった。同年から城福浩がFC東京の監督に就任し、中盤の底のポジションでの守備面の安定感も増加。攻撃の基点としてパスを各所に配球しチームの心臓として機能。石川直宏が「FC東京は（梶山）陽平のチーム」とコメントするなど、チームの主軸として確固たる存在となった。この年、梶山と対談した名波浩は、梶山について「前線の選手を自分の手のひらの上で転がしているかのようなプレーを見せてくれる。それができる選手は（日本人Jリーガーだと梶山の他には）ヤット（遠藤保仁）と（中村）憲剛ぐらい（しかいない）」と評した。2009年12月、長らく痛みに苦しんでいた左足首と右膝を手術して症状の回復を図り、持ち味の強いキックも復活。2010年開幕戦にて途中出場で復帰を果たした。11月に負傷離脱していた米本拓司が復帰してからはトップ下としてもプレー。ゲームキャプテンの徳永悠平から「起点として安心してボールを預けられるので、押し上げる時間を作ることができる」「攻撃も守備も運動量も多くて助かった」と評価されるも、この年の慢性的な選手不足により前述の手術の経過が悪いままプレーを続けざるを得ず、自身初のJ2降格を経験することともなり不本意なシーズンとなった。2011年は主にボランチで高橋秀人とコンビを組んでプレー。米本と高橋のプレーエリアの違いや、攻撃の起点である梶山に集中するマーク を分散するために高橋と縦関係の位置を取ったことで、配球役にとどまらずより前線で得点に絡むプレーを増やした。2012年はシーズン前の1月にドイツブンデスリーガ・フォルトゥナ・デュッセルドルフの練習に参加。この年から監督に就いたランコ・ポポヴィッチからは「誰も持っていない能力を持っている選手」と評され クラブの主将に就任。同年より中盤にMF長谷川アーリアジャスールが加わったこともあって、トップ下で固定的に起用された。