簡約法則は実数や複素数の加法、減法、乗法、除法に対して（0 を掛けることと別の数によって 0 を割ることの例外だけを除いて）成り立つが、簡約法則が成り立たない代数的構造はたくさんある。2 つのベクトルのクロス積は簡約法則に従わない。a × b = a × c であるとき、a ≠ 0 であったとしても、b = c は従わない。行列の乗法もまた簡約法則に従うとは限らない。AB = AC かつ A ≠ 0 のとき、B = C と結論する前に、行列 A が可逆であること（すなわち det(A) ≠ 0）を示さなければならない。det(A) = 0 であれば、B は C と等しくないかもしれない、なぜならば行列の方程式 AX = B は非可逆行列 A に対して一意的な解を持たないからである。AB = CA かつ A ≠ 0 かつ行列 A が可逆（すなわち det(A) ≠ 0）であるとき、B = C が正しいとは限らないことにも注意しよう。簡約できるのは AB = AC および BA = CA に対してのみ（もちろん行列 A は可逆として）であって、AB = CA と BA = AC に対してはできない。
正（非負）の整数全体は加法のもとで簡約可能な半群をなす。非負の整数全体は加法のもとで簡約可能なモノイドをなす。実は任意の自由半群あるいはモノイドは簡約法則に従い、一般に群に埋め込まれる任意の半群やモノイドは（上の例が明らかにそうであるように）簡約法則に従う。別の例として、環の非零因子全体の乗法半群（問題の環が整数全体のように域であれば単にすべての非零元すべてからなる集合）（の任意の部分半群）は簡約性質をもつ。これは問題の環が非可換かつ／または非単位的であったとしても成り立つままであることに注意しよう。
1896年（明治29年）、農工業の改良のための長期融資を目的に「日本勧業銀行法」（勧銀法）が制定され、翌年に政府を中心に設立された。東京に本店を置き、支店は大阪のみに限られ、それ以外の地域には北海道を除く各府県には事実上の子会社である農工銀行（勧業銀行法と同時に制定された「農工銀行法」に基づく）が設置され、勧銀への取り次ぎまたは勧銀と同等の業務を行った。なお、基幹産業（特に重化学工業）向けには別途日本興業銀行（興銀）が設置され、勧銀との棲み分けが行われた。また、北海道には勧銀や興銀の代わりに北海道拓殖銀行（拓銀）が設置された。長期融資が基本であるため、預金が原資とは成り得ず、代わりに金融債の発行が認められ、かつ割増金付きの債券が唯一認められ、発行した（抽選を行い、当選番号の債券を持つ者に対しては割増金付きで償還された。農工銀行や興銀、拓銀も金融債を発行したが、割増金は認められていなかった）。だが、農業に関する融資は個々の農家に対してではなく、事業や組合、担保能力のある地主を対象としたために全く融資が進まず、1911年（明治44年）の法律改正で商業に対する融資も解禁された。大正末期より市街地の不動産金融に乗り出す一方、業務の重複と機能低下を理由に1921年（大正10年）の法律改正（「勧・農合併法」ともいう）以後、各府県の農工銀行を悉く合併し店舗網を拡大した（このことが、後述のように現在のみずほ銀行が全国の県庁所在地に必ず支店を設置することになる嚆矢となっている）。また1923年（大正12年）に当時日本領であった台湾には台北州・台北市に台北支店が開設され、その後も五州の州庁所在地高雄・台中・台南・新竹に支店を次々と開設した。割増金付き金融債の発行実績が認められ、太平洋戦争中の割増金付き戦時債券の幹事銀行となるが、やがてこの債券は射幸性が高くなり終戦直前には「勝札」と言う名の富籤となり、これが現在の「宝くじ」に繋がる。戦後は福徳定期預金（割増金付きの定期預金）の幹事銀行にもなる。戦後の1950年に勧銀法が廃止され、特殊銀行から民間の普通銀行に転換。さらに長短分離政策に伴い拓銀と共に普通銀行の道を選択することとなり、金融債の発行を打ち切って都市銀行の一角となる。以降はシンボルをバラの花、コーポレートカラーをローズレッドと定め、漫画家・岡部冬彦がデザインしたオリジナルキャラクター「のばらちゃん」やイメージキャラクターに抜擢された女優の山東昭子（現・自民党参議院議員）が店頭や広告媒体などに登場。「ばらの勧銀」のキャッチコピーを採用して大衆化に努めた。法人部門では、融資系列で財閥色の薄いフコク生命や日産火災（現:SOMPOホールディングス）、日立製作所を交えて勧銀十五社会を結成。また、戦時債券の名残で、戦後「宝くじ」の業務を受託していた。宝くじ業務の関係や、大正時代に全国各地にあった農工銀行からの事業譲渡や農工銀行の吸収合併に伴う受け皿支店の開設などの理由により、全国都道府県庁所在地に必ず一店舗は存在した。他の都市銀行とは異なり、かつてあった、都市銀行の出店規制があったが、都道府県庁所在地名の支店は廃止の対象にならなかった。むしろ、他の都市銀行の地方支店の廃止の際には受け皿となっているケースがある。勧銀末期における地方部での出店は上記経緯から店舗数が多かった反面、在京行としては首都圏での出店は手薄であり、全体の4割弱と当時の関西系上位行とほぼ同等の店舗数の留まっていたため旧五大銀行でありながら中位行に甘んじていた第一銀行との合併の一因となった。初代勧銀本店は1926年、京成電気軌道（現京成電鉄）に売却され、「谷津遊園楽天府」として阪東妻三郎プロダクションが使用した。その後千葉市に移管、千葉市役所庁舎を経て、現在は千葉トヨペット本社となり登録有形文化財でもある。また、内幸町の本店も、第一勧銀発足後の10年間を除き、引き継がれ2度の建て直しを経て、現在はみずほ銀行内幸町本部ビルとなっている。