小平とスペンサー(Spencer)は、ある制限の下に、ホッジ群 Hp,q に対するレフシェッツ定理を証明することができることを発見した。特に、Y が滑らかでラインバンドル  が豊富であると仮定すると、制限写像 Hp,q(X) → Hp,q(Y) は p + q < n − 1 に対し同型となり、 p + q = n − 1 に対し全射となる。 ホッジ理論により、これらのコホモロジー群は、層コホモロジー群  と  に等しくなる。従って、定理は、秋月・中野の消滅定理(Akizuki–Nakano vanishing theorem)を  へ適用し、長完全系列を使うことで得られる。この証明と普遍係数定理を結合して、標数 0 の任意の体に係数を持つコホモロジーについての通常のレフシェッツの定理をほぼ得ることができる。しかしながら、Y に付け足した仮定にために、少し弱くなっている。
レフシェッツの証明モアンドレオッティとフランケルの証明も、ホモトピー群のレフシェッツ超平面定理を直接証明したものではない。1957年になりトムによりへっけんされたアプローチは、1959年にボットにより単純化され出版された。 トムとボットは、Y をラインバンドルの X の中での切断の軌跡と解釈する。モース理論のこのことへの応用は、X は n 次元以上の胞体(cell)を結合することで Y から構成することができる。このことから、X 内の Y の相対ホモロジー群とホモトピー群が次数 n とそれより大きな次数へ集中し、これが定理を証明することを意味する。
アンドレオッティ(Andreotti)とフランケル(Frankel) は、レフシェッツの定理がモース理論を使い再記述できることを認めた。 そこでは、パラメータ t がモース函数の役割を果たす。このアプローチでの基本的なツールは、アンドレオッティ・フランケルの定理(Andreotti–Frankel theorem)で、この定理は複素次元 n の（従って実次元 2n）の複素アフィン多様体は、（実）次元 n のCW複体(CW-complex)のホモトピー型を持つ。このことは、X の中の Y の相対ホモロジー(relative homology)群が、次数 n 以下で自明となることを意味する。従って、相対ホモロジーの長完全系列がこの定理を与える。
レフシェッツ(Lefschetz) は、定理を証明するため、彼のアイデアであるレフシェッツペンシル(Lefschetz pencil)を使った。超平面切断 Y を単独で考えるというよりむしろ、超平面切断の族 Yₜ の中での超平面切断は Y = Y₀ として考えに入れた。元の超平面切断は滑らかであるので、有限個を除きすべての Yₜ は滑らかな多様体である。これらの点を t-平面から取り除き、有限個のスリットを加えることで、結果として現れる超平面切断 X は、位相的に自明となる。すなわち、元の Yₜ と t-平面の開集合の積となっている。従って、X はどれくらい超平面切断が特異点でスリットと同一視できるかを表していると理解することができる。特異点から離れると、同一視することができることが帰納的に示すことができる。特異点では、モースの補題(Morse lemma)は、特別単純な形の X の座標系を選択することができることを意味している。この座標系は直接定理を証明することに使うことができる。
日本で盛り上がりを見せる、TOEFLの中身をよく知らないまま「TOEFLの活用を!」と叫ぶ「TOEFL万能論」や、誤った「TOEFL信仰」などに基づく、「TOEFL等外部試験の活用」の動きについても懸念している。同様の危機感を共有する、鳥飼玖美子など複数の英語教育の専門家とともに、『英語教育、迫り来る破綻』と題するブックレットを、言語学系の出版社として知られるひつじ書房から緊急出版（2013年）した。なお、TOEFL対策講座「POKKA PRESENTS PRACTICE FOR THE TOEFL TEST」（テレビ朝日系列）で講師を担当し、TOEFLの中身にも精通している。
「早くから英語を学ばせれば、それだけ英語が身につく」といった主張に対し、認知科学・言語発達、学習科学の専門家として、「根拠もない言説」であると指摘する。さらに、こうした科学的根拠を持たない「主張」に影響され、安易なかたちで小学校の教育現場に、「外国語としての英語」が導入されることに対しても、日本の現状を踏まえ、むしろ「悪影響」の大きさを懸念し、批判的な立場をとっている。こうした小学校における「安易な英語教科化」への懸念を、波多野誼余夫をはじめとする認知発達・言語発達の日本を代表する研究者、および英語教育研究者たちと共有し、2005年7月「小学校での英語教科化に反対する要望書」を文部科学省(大臣)宛てに提出した。
ジェホロサウルスの最初の2体の標本は2000年に中国遼寧省、北票市近郊の陸家屯で発見され、徐星、汪筱林および尤海魯により命名、記載された。タイプ種であり現在のところ唯一の種は Jeholosaurus shangyuanensis である。属名は「熱河(Jehol)省のトカゲ」の意味で、熱河省は現在の遼寧省西部から河北省北部にかけて存在した歴史的な省である。種小名は化石の発見地を含む地域名である上圓(Shangyuan )鎮にちなむものである。 。ジェホロサウルスの属の基準となるホロタイプ標本はIVPP V 12529であり、この標本は義県層の白亜紀前期アプチアンの1億2500万年前の地層から発見された。この地層は凝灰岩の点在する河成性の砂岩であり、半径80－100 kmを全て埋めてしまうような巨大な火山噴火があったと推定される。ホロタイプは潰れた頭骨と部分的な体骨格で構成される。この種のものとされる第2の標本にIVPP V 12530がある。この標本は保存状態が良く、おそらくホロタイプの個体より小型で、頭骨と複数の頸椎で構成される両標本とも幼体もしくは少なくとも亜成体の個体のものである。