1940年に19歳でジロ・デ・イタリア総合優勝という華々しいデビューを飾る。1942年には、アワー・レコードに挑戦し、45.798 km/hで、14年ぶりに世界記録を更新した。この記録は1956年にジャック・アンクティルにより更新されるまで14年間保持された。しかしこれ以後、第二次世界大戦の激化により自転車選手としての活動は中断を余儀なくされた。1946年から活動を再開し、クラシックのミラノ～サンレモ、ジロ・ディ・ロンバルディアを制覇。ジロ・デ・イタリアでもステージ3勝をあげた。翌1947年にはジロ・ディ・ロンバルディア連覇と二度目のジロ・デ・イタリア総合優勝。1948年はミラノ～サンレモとジロ・ディ・ロンバルディアで勝利。ジロ・デ・イタリアでは2勝をあげ、山岳賞を獲得した。1949年はツール・ド・フランスとジロ・デ・イタリアで総合優勝。史上初の「ダブルツール」を達成したほか、ミラノ～サンレモを連覇。さらにジロ・ディ・ロンバルディアでは四連覇を果たし、栄光の絶頂を極めた。1950年はパリ〜ルーベとフレッシュ・ワロンヌを制し、1951年もジロ・デ・イタリアでステージ2勝を果たしている。1952年には2度目のダブルツールを達成。ツール・ド・フランスでは2位以下に28分もの大差をつけて圧勝した（この記録は1947年以降の同大会における最大タイム差記録であり、2016年現在も破られていない）。続く1953年にはジロ・デ・イタリア5回目の総合優勝と世界選手権制覇を果たし、最強の名をほしいままにした。1954年にもジロ・デ・イタリアで山岳賞を獲得。ジロ・ディ・ロンバルディアでも5回目の優勝を飾った。しかし、以後は徐々に調子を落としていき、1955年のジロ・デ・イタリア1勝を最後に勝利から遠ざかる。そして1959年末、コッピはサイクリングとハンティングを楽しむためにアフリカのオートボルタに滞在中マラリアに感染し、帰国後に発症。診療ミスによりトルトーナの病院で死去した。
1913年（大正2年）11月15日、東京府東京市本所区緑町（現在の墨田区緑）に、大工の父・周市と母・もとの6人兄弟の次男として生まれる。幼時に本所区内の林町に移住する。中和尋常小学校を経て東京市立第二中学校に入学するが、家庭の経済的事情から同校の夜学である上野夜間中学に転じ、同時に校長の紹介で福徳生命（現在のマニュライフ生命保険）東京支店に給仕として入社する。1931年（昭和6年）の卒業後も同社に勤務していたが、芝居好きの会社の同僚の誘いで歌舞伎や新劇を観るようになり、本人曰く「同じ貧乏をするなら、自分の好きな道で」とのことで役者を志す。1933年（昭和8年）9月、友田恭助・田村秋子夫妻らが設立した築地座の研究生募集に応じて入団し、同年『アルトハイデルベルヒ』の通行人の学生役で初舞台を踏む。1935年（昭和10年）、久保田万太郎作『釣堀にて』に先輩の中村伸郎の代役として、一言だが初めて台詞のある役で出演する。築地座解散後は、1937年（昭和12年）の文学座結成に杉村春子らと共に参加、1944年（昭和19年）に森本薫作『怒涛』での演技で注目される。同年、黒澤明監督の『續姿三四郎』に同じ文学座の森雅之とともに出演して映画デビューする。1945年（昭和20年）5月、石川県小松市に劇団疎開、移動演劇隊に加わって北陸地方を巡演し、旅先で終戦を迎える。戦後も文学座の主力として舞台に立ち、1949年（昭和24年）には『女の一生』『あきくさばなし』『雲の涯』の演技で第1回毎日演劇賞を受賞する。主に下町ものの作品で頑固だが人情深い職人役などを得意とした。1965年（昭和40年）2月8日に文学座を退団すると、同年5月に東宝演劇部と1年ごとの契約で入り、『霊界様と人間さま』『放浪記』などの東宝現代劇に出演し、堅実な脇役として活躍する。戦後の映画出演は、1946年（昭和21年）の『浦島太郎の後裔』に出たあとしばらく出演がなかった。1948年に立川富美子と結婚。1951年（昭和26年）に木下惠介監督の『善魔』に出演したのを皮切りに、小津安二郎の『麦秋』、黒澤明監督の『生きる』『七人の侍』、木下監督の『楢山節考』、稲垣浩監督の『無法松の一生』、野村芳太郎監督の『張込み』、中村登監督の『古都』、篠田正浩監督の『乾いた花』、山田洋次監督の『男はつらいよ 柴又慕情』など、日本映画を代表する監督の作品に次々と起用される。なかでも、『七人の侍』では痩身で寡黙だが凄腕の剣客・久蔵、『張込み』では執念深い老刑事を演じて好演技を見せた。1970年（昭和45年）から個人の季刊雑誌『俳優館』を主宰。アマチュア野球の審判としても知られ、後楽園球場や大阪スタヂアムで球審を務めたこともある。1985年（昭和60年）4月12日23時30分、肺癌のため国立東京第二病院で死去。71歳没。1984年（昭和59年）の帝国劇場『桜の園』が最後の舞台となった。なお、テレンス・マリック監督作品『シン・レッド・ライン』で、渡会伸とともに日本語アドバイザーを務めた宮口トモオ（Tomo Miyaguchi）は実子。