1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。有理数体上定義されたそのような曲線は、ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、フェルマー曲線 xⁿ + yⁿ = zⁿ (n ≥ 3) などが挙げられる。
リーマン面とは複素一次元の連結な複素解析的多様体のことであり、これを連結な実二次元多様体と看做すことができる。リーマン面がコンパクトであるとは、それが位相空間としてコンパクトとなるときに言う。C 上の非特異既約射影代数曲線の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、コンパクトリーマン面の全体が（定数でない正則写像を射として）成す圏、C 上の一変数代数函数体の全体（が C を固定する体準同型を射として）成す圏の反対圏の三者の間には圏同値が存在する。これは、この三つの主題を研究するにあたって、そのうちの一つについて知ることはほかの二つにおいても同じであることを意味する。これにより、代数幾何学において複素解析的手法を用いたり、複素解析において代数幾何学的手法を用いたり、両方において体論的手法を用いたりすることができるようになる。これは代数幾何学におけるかなり広範なクラスの問題の持つ特徴である。
複素射影代数曲面が存在する n-次元複素射影空間 CPⁿ は、（複素次元は n だが）実多様体として位相次元 2n のコンパクト連結かつ向き付け可能な多様体である。複素代数曲線も同様に位相次元は 2、つまり曲面になる。 この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。要するに、次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、常特異点（相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点）しか持たないならば、その種数は (d − 1)(d − 2)/2 − k となる。ただし、k はそのような特異点の数とする。
曲線に対して、与えられた直線との交点を知ることはしばしば有効である。座標軸との交点や漸近線との交点は曲線を描くために利用できる。軸に平行な直線との交点を考えれば、曲線の各枝に少なくとも一点を求めることができる。効果的な求根アルゴリズムが利用できるならば、x-軸上の各画素を通り y-軸に平行な任意の直線との交点をプロットすることで曲線を描きだすことが可能になる。曲線の定義多項式が次数 d ならば、任意の直線は高々 d 個の点において曲線を横切る。 ベズーの定理は、代数閉体（例えば複素数体）上の射影平面の点について調べる限りにおいて、重複度を込めて数えれば、この数がちょうど d 個であることを主張する。以下に述べる計算法はこの単純な場合においてこの定理を再び証明するものである。多項式 p の定義する曲線と、直線 ax+by+c = 0 との交点を計算するために、直線の方程式を x に関して（a = 0 のときは y について）解く。それを p に代入すれば、一元方程式 q(y) = 0（直線を y について解いたときは q(x) = 0）を得て、その根は交点の座標の一つを与える。他の座標の値は直線の方程式から求められる。交点の重複度は、対応する根の重複度である。q の次数が p の次数より低いならば、無限遠点において交点が存在し、そのような無限遠点の重複度は次数の差 p − q で与えられる。
かつて当地域は上述のように、隣接する加賀地域とともに鹿浜村の中の小字であった。当初はそれぞれが「加々」と「皿沼」というように別々の小字であったが、後に「加々皿沼」と一つになり、さらに元禄時代頃までに再び「加々」と「皿沼」というように二つに分かれたという。江戸幕府が崩壊して明治時代となると、加々皿沼は武蔵知県事の管轄となり、後に小菅県の所管となった。1871年（明治4年）の廃藩置県の実施で東京府が設置されると、加々皿沼は「東京府南足立郡加々皿沼村」として公式に村と称した。1889年（明治22年）に周辺8か村を合併して江北村が誕生すると、加々皿沼は江北村の大字となり、約半世紀間の江北村時代を経る。1932年（昭和7年）の東京府構成5郡80か町村の東京市編入で南足立郡が足立区へと解体再編されると、大字加々皿沼は「東京都足立区加賀皿沼町」として発足した。しかし行政的な立場はめまぐるしく変遷しても、その町並みと人々の暮らしぶりは江戸時代以来変わることなく続き、その変化は1960年代に始まる土地区画整理事業の実施を待つこととなる。1975年（昭和50年）の住居表示実施により、加賀皿沼町と北鹿浜町の一部区域をもって皿沼一丁目が、加賀皿沼町と周辺諸町（北鹿浜町、谷在家町、上沼田町）の一部区域をもって皿沼二丁目が、加賀皿沼町と周辺諸町（北鹿浜町、上沼田町、西伊興町、古千谷一丁目、舎人町、入谷町）の一部区域をもって皿沼三丁目が設置された。住居表示実施以前の加賀皿沼町、北鹿浜町などの旧町域は多くの飛地を含み、町界は複雑に入り組んでいた。