ヒューストン大学を卒業し、1985年にプロ入り。1990年に「Kマート・グレーター・グリーンズボロ・オープン」でPGAツアー初優勝。1991年にザ・プレーヤーズ選手権で優勝し、初めてのビッグタイトルを獲得する。1992年は地元開催大会の全豪オープンゴルフで優勝した。1995年、エルキントンは前年度のPGAツアー大会優勝者しか出場資格を得られない年間開幕戦の「メルセデス選手権」で優勝した。同年のメジャー大会最終戦・全米プロゴルフ選手権は、カリフォルニア州にある「リビエラ・カントリークラブ」（パー71）で開かれ、エルキントンは4日間通算 17 アンダーパー（-17, 267ストローク）で回り、メジャー大会初優勝を飾った。1997年にはザ・プレーヤーズ選手権で6年ぶり2度目の優勝を果たした。しかし、1999年3月の「ドラルライダー・オープン」を最後にツアーの優勝から遠ざかっている。1994年からアメリカ代表チームと国際選抜チーム（代表選手は各チーム12名ずつ）による「プレジデンツカップ」が創設され、エルキントンは国際選抜チームの代表選手として1994年・1996年・1998年・2000年の4度出場した。エルキントンは1998年、『スティーブ・エルキントンのゴルフ5つの基本』（Steve Elkington's Five Fundamentals of Golf）という著書を出版している。
2012年9月29日、ワシントンD.C.のコンベンション・センターでマイク・アーノルドとミドル級4回戦でデビュー（試合は初回1分30秒TKO勝ち）。2017年2月25日、アラバマ州バーミングハムのレガシー・アリーナでデオンテイ・ワイルダーVSジェラルド・ワシントンの前座でジャーモール・チャーロの王座返上に伴いIBF世界スーパーウェルター級2位のトニー・ハリソンとIBF世界スーパーウェルター級王座決定戦を行い、9回2分24秒TKO勝ちを収め王座を獲得した。2017年10月14日、バークレイズ・センターにてエリスランディ・ララVSテレル・ガウシャの前座で元WBA世界スーパーウェルター級王者でIBF世界スーパーウェルター級11位のオースティン・トラウトと対戦し、10回終了時トラウトが棄権した為初防衛に成功した。2018年4月7日、ザ・ジョイントでWBA世界スーパーウェルター級スーパー王者エリスランディ・ララと王座統一戦を行い、12回2-1（114-113×2、113-114）の判定勝ちを収めWBAスーパー王座とIBO王座の獲得に成功、IBF王座の2度目の防衛に成功した。2018年4月25日、WBAはジャレット・ハードとエリスランディ・ララに即時の再戦を行うよう命じた。2018年12月1日、ロサンゼルスのステープルズセンターにてデオンテイ・ワイルダーVSタイソン・フューリーの前座でジェイソン・ウェルボーンと対戦し、4回KO勝ちを収め王座の防衛に成功した。この試合でハードは100万ドル（約1億円）、ウェルボーンは3万ドル（約320万円）のファイトマネーを稼いだ。2019年5月11日、バージニア州で行われたIBF &WBA世界スーパー・ウェルター級タイトルマッチでジュリアン・ウィリアムズ と対戦し、12回判定負けを喫し王座陥落した。
5月28日、タニーは9回目の哨戒でバーニー作戦に参加して日本海に向かった。このバーニー作戦は、この時点の日本に残されたほぼ唯一の重要航路に打撃を与えるものであり、対馬海峡の機雷原突破と日本海を悠然と航行する日本船は、目標の減少に嘆いていた潜水艦部隊にとっては絶好のスリルであり獲物であった。この作戦には9隻の潜水艦が投入され "Hellcats" （ヘルキャッツ） と命名された。各潜水艦は三群に分けられ、シードッグ (USS Sea Dog, SS-401) のアール・T・ハイデマン少佐（アナポリス1932年組）が総司令となった。タニーはボーンフィッシュ (USS Bonefish, SS-223) およびスケート (USS Skate, SS-305) と共にウルフパック Pierce's Polecats （ピアースズ・ポールキャッツ） を組み、第一陣 Hydeman's Hep Cats （ハイデマンズ・ヘップキャッツ）が5月27日に出撃してから24時間後に出航し、対馬海峡に進出した。6月2日に南西諸島を通過し、6月5日に対馬西水道の機雷原をも易々と乗り越えた。リレー式に対馬海峡を突破したシードッグ以下の潜水艦は三群それぞれの担当海域に向かい、6月9日日の出時の攻撃開始を待った。「ピアースズ・ポールキャッツ」は能登半島以西の沿岸部に進出した。作戦初日の9日夜、タニーは北緯36度22分 東経134度19分の若狭湾近海で2,000トン級輸送船に向けて魚雷を3本発射したが、1本が命中したものの不発に終わった。タニーは沿岸部の港をしらみつぶしに偵察し、6月12日の真夜中には恵曇港まで7.3キロの地点に接近して魚雷を発射しようとしたが、発射しても防波堤に命中するだけだと判断され偵察のみにとどめた。また、十六島湾湾口から5キロの地点に接近したが、日本側のサーチライトがタニーのいるあたりを照らしたため、タニーはあっさりとその場を離脱した。6月16日、タニーは北緯38度40分 東経135度24分の丹後半島沖合いでボーンフィッシュと会合。ボーンフィッシュから戦果報告を受けた。また、日本人の生存者が乗っている多数のいかだを発見した。2日後に北緯38度15分 東経136度24分の地点で再びボーンフィッシュと会合し、ボーンフィッシュに富山湾潜入の許可を与え、ボーンフィッシュはタニーと別れた。これが、アメリカ側がボーンフィッシュを見た最後であった。この前後に対潜攻撃を受けたがうまく避けた。6月19日には北緯36度15分 東経136度03分の地点で4,000トン級輸送船を発見して魚雷を4本発射したが、浅瀬でうまく攻撃できず結局取り逃がした。結局、バーニー作戦参加潜水艦中、雑魚すら得られなかったのはタニーだけであった。6月23日、利尻島沖で集結した潜水艦の中にボーンフィッシュがいないことに気づき、タニーは先任艦の務めとして幾度と無くボーンフィッシュとの交信を試みたが徒労に終わった。ボーンフィッシュは6月19日に富山湾で撃沈されていた。7月6日、タニーは49日間の行動を終えて真珠湾に帰投した。終戦を真珠湾で迎えたタニーは西海岸へ向かい、1945年12月13日に退役した。タニーは第19艦隊メア・アイランド・グループで保管される。