自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。レーヴェンハイム–スコーレムの定理は、それらの公理化が一階ではあり得ないことを示している。例えば、線型順序の完備性は実数が完備な順序体であることを特徴付けるのに使われるが、その線型順序の完備性は一階の性質ではない。理論が範疇的 categorical であるとは、同型の違いを除いて唯一のモデルを持つことを意味する。この用語は1904年、オズワルド・ヴェブレンが考案したもので、その後しばらくの間、数学者らは集合論を範疇的な一階の理論で記述することで、数学の堅固な基盤を築けると考えていた。レーヴェンハイム-スコーレムの定理はこの希望への最初の打撃となった。なぜなら、その定理によれば無限のモデルを持つ一階の理論は範疇的にはなり得ないからである。さらに1931年、ゲーデルの不完全性定理によって希望は完全に打ち砕かれた。レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。さらに悩ましかったのは、集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 (countability) は絶対的 (absolute) ではないことを示している。
織田信長は光忠の刀を二十五腰集めていたという逸話があり、燭台切光忠もかつてその中にあったとする説が原田道寛『大日本刀剣史』で紹介されているが、出典は不明である。「1596年（慶長元年）豊臣秀吉の伏見城築城の折に伊達政宗が御座船を献上し喜んだ秀吉から光忠を下賜され、翌日政宗が拝領した刀を差していると秀吉が小姓に命じて追いかけさせたが結局下賜した」と伊達成実の『伊達日記』にあり、『伊達治家記録』にも記載された。この逸話は『明良洪範』に収録され、さらに『刀剣録』でも引用され燭台切の逸話と同じ段落で続けて記載されている。高瀬真卿は、これが後の燭台切光忠であるとして原田道寛や福永酔剣もこの説をとったが、政宗は光忠の刀を複数所有しており同一と断定できる史料ははっきりしない。伊達家の刀剣帳である『剣槍秘録』では巻一の二にこの秀吉より下賜された光忠の刀を記載しており、1718年（享保3年）伊達宗村のお七夜の祝儀に伊達吉村が泉田木工の使者に進上したのはもしかしたらこの太刀かもしれない（蓋此御太刀なるへし）、としている。高瀬真卿は『水戸史談』で水戸の藩医だった庄司（荘司）健斎から聞いた話として、政宗が秀吉から下賜された光忠が燭台切であり、頼房が欲しがって三代将軍・徳川家光に相談したところ「それはいとやすい事、政宗に左様申てやろう」と言われ、政宗は登城後なんと言われたのか早速光忠の刀を持ってきて頼房に進上した、という逸話を記載している。この段落は他にも頼房を称揚する意図が目立つ文脈である。後に高瀬が記した刀剣書では庄司から聞いた話が脚色されており、東京日日新聞の連載をまとめて出版した『刀剣談』では燭台切光忠が水戸徳川家に渡った一説として家光が「政宗の光忠は珍しいものであるので所望せよ」と徳川頼房を焚きつけ、頼房が「光忠を吾等に嫁入らせ候へ」と戯れに言うと政宗は大笑いして「秘蔵の子なれど、上様の媒人ではいやとも言れまじ」とそのまま進上した、という話になった。また高瀬が羽皐隠史の筆名でやはり新聞連載をまとめて出版した『英雄と佩刀』では、伊達政宗が豊臣秀吉に御座船を献上し大いに喜んだ秀吉から引き出物を賜った後、雑談の末に光忠を見せられたのをそのまま持ち逃げした。その後徳川頼房が燭台切のことを聞いて政宗に一目見せてもらったが「太閤より拝領の品で御座るから、誰人の御所望にても差上げる事は相成らぬ秘蔵第一の品で御座る」と釘をさされたので第3代将軍・徳川家光に相談すると「余が媒介をいたしその光忠を聟（むこ）に貰ひ候へ」と言われた。そんな中、蒲生秀行 (侍従)と頼房のいさかいが起こりそれをきっかけに頼房と政宗が懇ろになった。そこで頼房が光忠を所望すると上様のお声がかりということで断れずとうとう進上した、という話になっている。これは『水戸史談』で語られた頼房と蒲生忠郷の諍いの話も加味されたと思われる。福永酔剣『日本刀よもやま話』では、伊達政宗が豊臣秀吉に御座船を献上した翌日に見せられた光忠に魅せられ持ち逃げし、これで唐金の燭台を家臣もろとも真っ二つにし、後日徳川頼房にこの話をして刀を見せたところ今度は頼房がぞっこん惚れこみ、ねだって断られたが強引に持ち帰った、と紹介されている。こちらは出典を『武庫刀纂』としているがかなり脚色されている。『日本刀大百科事典』では御座船の褒美に秀吉から光忠の刀を下賜され、後に政宗が頼房に燭台切の由来を聴かせると所望され、断ったが頼房は強引に持ち去った、としている。