ここでは具体的に、半減期を8日とする1 gのヨウ素131の比放射能を求めてみよう。まず1グラムあたりの原子数を求めればつまり1グラムのヨウ素131は4.597×10²¹個の原子（核）でできているわけである。次に崩壊定数を秒で求めればである。1秒後の残留放射能の割合は初期値のつまり崩壊したのはこれを初期値A (0)にかけるとつまり1グラムのヨウ素131あたりの放射能は4.597×10¹⁵ Bq/gということである。1kgあたりの比放射能を求めたければ1000を掛ければよく4.597×10¹⁸ Bq/kgである。逆に1ベクレルあたりの原子数を求めたければ4.597×10¹⁵で4.597×10²¹を割ればよく、10⁶の原子数があることになる。
比放射能の計算方法を述べよう。まず、放射性同位体の質量数の意味は陽子数+中性子数であり、物質量の規則より、アボガドロ定数/質量数=1グラムあたりの原子数という公式である放射性物質が1グラムあったとき（半減期が短すぎるなどで一瞬で崩壊するなどは考えない）、その中にある原子数がこの公式で与えられるわけである。1キログラムあったときの原子数が知りたければ、これに1000を掛ければ良い。他の質量であっても同様に換算できる。ここで半減期の微分方程式を思い起こそう。ここで崩壊定数の時間の単位を秒で求めておく。まず崩壊定数を求めて代入すると、1秒後には N(1)になっているから、N(0) − N(1) = 1秒間に減少した割合、つまりこの式は1秒後の残留割合を表している。初期値の原子数をA (0)と表せば、この割合にA (0)を掛ければ1秒間に壊変した原子数がわかるので、それが1秒間に壊変する原子数、つまりベクレルであることがわかる。ところでA (0)原子数は1グラムあたりで計算してあるので、求めるべき量はである。ここでは半減期が十分長く、初期の原子数が多過ぎない場合の計算について扱ったが、微分を用いる計算方法も存在する。その場合t =0における微分係数を1次近似としてt =1の時の残留割合として計算するわけである。崩壊定数も参照せよ。いずれにせよ半減期が十分に長く、原子数が多すぎなければどちらの手法で計算しても1秒間での放射能の減衰は無視できるため誤差は少ない。
原子数がNである放射性核種の放射能は、崩壊定数λを用いて次式で表される。比放射能Aは、単位質量あたりの放射能であり、放射能λNを核種の質量で除すことで求まる。ここで、m[g mol⁻¹]は質量数、 NA[個数 mol⁻¹]はアボガドロ定数である。比放射能Aを半減期T1/2[s]を用いて表すと、半減期の単位が年の場合は、各物理パラメータは各核種ごとに固有の値が与えられ、各核種ごとに比放射能を求めることができる。たとえば、カリウム40の比放射能を求めるとすると、カリウム40の半減期は12.48億年なので、と算出される。
幕政改革は、鎖国体制から開国への移行に伴う尊王攘夷運動の激化、将軍継嗣問題を巡る一橋派と南紀派の対立などの政治的混乱の中で、薩摩藩主・島津斉彬や越前藩主松平慶永（春嶽）ら、開明的な大名らの間ではつとに必要性を叫ばれていた。しかし、島津斉彬の急死および大老・井伊直弼による安政の大獄における改革派の弾圧などにより頓挫していた。兄・斉彬の死後、藩主となった実子の島津茂久（忠義）を補佐する国父（副城公）の立場となった島津久光は、兄の遺志を継ぎ、兄の果たせなかった率兵上京を敢行し、朝廷から勅使を出させることで幕政の改革を推し進めようと図った。文久2年（1862年）3月16日鹿児島を発した久光の軍勢は4月13日に京都へ入る（以後、すべて日付は旧暦による）。久光は藩主の父ではあるが大名になったこともなく、しかも無位無官であり、公式な立場は「島津三郎」であった。このような人物が兵を率いて京都へ入り、幕府に無断で公家と接触するなどという事態は、幕府健在のころであれば許されざる暴挙であったが、桜田門外の変以来権威の失墜しつつあった幕府体制にそれを阻止する力はなかった。一方、京都で勢力を高めつつあった尊王攘夷派の志士ら過激な下級武士・浪士は、久光の率兵上京を朝廷主導による武力での尊王攘夷実現・幕府打倒の先兵であると誤解していた。久光の真意は、あくまで幕政の改革・公武一和であったため、これら志士たちとの間に摩擦を生じ、自藩の急進派有馬新七らの粛清を命じた（寺田屋事件、4月23日）。久光は権大納言・近衛忠房や議奏・中山忠能、正親町三条実愛らの公家に工作を働きかけ、建白書を提出した。その内容は、安政の大獄の処分者の赦免および復権、前越前藩主・松平慶永の大老就任、一橋慶喜を将軍後見とする、過激派尊攘浪士を厳しく取り締まる、などからなっていた。久光の建白は孝明天皇に受け入れられ、5月9日、勅使として大原重徳を江戸へ派遣することが決定された。勅書は久光の意見が大幅に取り入れられたものとなった。6月7日、久光ら薩摩兵1000人が随行して大原重徳は江戸へ入り、幕府との交渉を開始する。それまで国政を全面委任されていた幕府に対し、朝廷から改革の指示が下るという前代未聞の事態に幕府内は混乱するが、結局その大部分を受け入れざるを得なかった。