超関数の概念を実現する方法の中で、多くの目的に使われる決定版となったのは、ローラン・シュヴァルツによって発展させられた分布の理論である。位相線型空間に対する双対空間がこの理論の基本原理である。主なライバルとして、応用数学では（ジェイムズ・ライトヒルが述べたような）滑らかな関数の列による近似が用いられたが、これはより「アド・ホック」な理論であり、現在では軟化子の理論に含まれる。この理論は大いに成功し、今も広く用いられているが、線型な操作しか扱えないという弱点が悩みどころである。つまり、超関数は（非常に特別な場合を除けば）乗法を定義することができない。これは古典的な関数空間が環を成すのとは対照的である。例えば、ディラック・デルタの自乗は意味を成さない。1954年前後からのシュワルツの仕事はこの困難が本質的なものであることを示している。この乗法問題を解決する方法はいくつも提案された。そのひとつにエゴロフによる非常に単純で直観的な超関数の定義に基づくものがあり、超関数の上のあるいは超関数同士の任意の演算ができるようになる（デミドフのエゴロフの項も参照せよ）。乗法問題のほかの解法が量子力学の経路積分の定式化から要求された。量子力学においてシュレーディンガーの理論は経路積分の定式化と同値であることが必須であり、前者は座標変換で不変であるから、経路積分でもこの不変性を満たされなければならない。このことが超関数の全ての積を決定することをクライネルトとチェルビェコフが示した。この結果は次元正則化から導かれるところのものと同値である。
19世紀の数学には、例えばグリーン関数の定義やラプラス変換、あるいは（可積分関数のフーリエ級数には必要でない部分の）リーマンの三角級数論などが、超関数論の片鱗として垣間見える。これらは当時、解析学の一部とは扱われていなかったものである。ラプラス変換は工学において重用され、経験則に基づく記号的操作としての演算子法を生み出した。演算子法の正当化は発散級数を用いて与えられたため、純粋数学の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後に超関数法の典型的な応用先となった。1899年に出版されたヘヴィサイドの本 Electromagnetic Theory（『電磁気論』）は演算子法の定番の教科書となった。ルベーグ積分が導入されると、超関数は初めて数学の中心に躍り出ることとなった。ルベーグ積分論では、殆ど至る所一致する可積分関数はすべて同値であると看做される。これはルベーグ積分論において関数の個々の点における値というのは関数の重要な特徴ではないということを意味する。関数解析学において、可積分関数は他の関数の線型汎関数を定めるという本質的な特徴を抽出することで、明確な定式化が行われた。こうして、弱微分の概念が定義されるようになる。1920年代後半から1930年代に掛けて、その後の研究の基となる更なる展開がなされる。ディラックのデルタ関数はポール・ディラックが（彼の科学的形式主義の一部として）大胆に定義したもので、（電荷密度のような）密度として考えるべき測度をあたかも通常の関数であるかのように扱った。ソボレフは、偏微分方程式論の研究において偏微分方程式の弱解をきちんと扱うために、数学の観点からも十分正当な超関数論を初めて定義した。同じ頃、関連するほかの理論がボホナーやフリードリヒらによっても提案されている。ソボレフの業績は後にシュワルツによってさらに拡張され発展することとなる。
「超関数」という言葉自体は日本でつくられた数学用語である。これはシュワルツの著書を訳出するとき、原著では "distribution"（分布）とあった名称を、関数概念を拡張したものの名前であるという実体を取り入れて訳者が「超函数」と意訳したことに始まる。英語文献において、一般の超関数を指すときは generalized function（一般化された関数）というが、特にシュワルツや佐藤の超関数を指す場合には、シュワルツの超関数は "distribution" と呼ばれ、佐藤の超関数は "hyperfunction"（超関数）と呼ばれる。hyperfunction という呼称は原論文で用いられる用語であり、佐藤の超関数に対する呼称はこれに倣っている。
第1回は、当時アングラ劇場が流行し、ヒッピー・フーテン族がたむろする「新宿」をテーマに、新宿コマ劇場前に若者たちを集め、彼らと司会者のティーチ・インをもくろんだ。ところが、5000人を超える若者たちが集まり、コマ劇前は身動き出来ない大騒ぎと化し、司会者は発言を要求する若者たちに押され、近くの喫茶店へ逃げ込まざるを得なくなる。やがて開始20分後には、これを知った警視庁の第4機動隊が駆けつけ、警戒に当たった。もちろん、ライトを消して番組を中止すれば騒動は収まるわけだが、スタッフは、何が起ころうとあくまで写そうという姿勢を貫いた。そして翌日の新聞は、社会面でこの騒ぎを報道し、「ハプニング」という言葉は当時の流行語となった。後年、この回の映像の一部が『NHK×日テレ 60番勝負』にて放送された。
厚生労働省によると、HPVワクチン接種後、医療機関から報告された発熱やアナフィラキシーショックなどの副反応疑いが、2010年11月-2013年3月に計1196件あり、うち106件は障害が残るなど重篤なケースだった。重篤な障害が発生したケースでは、接種当日から局所反応・強い疼痛等のため入院となり、接種64日たって夜間就寝時に手足をばたつかせる痙攣のような動きが出現(脳波、SPECT等で睡眠時の行動ではなく覚醒時に生じていると診断)し、接種81日後には計算障害を起こしたとする例が報告された。日本で接種による副反応疑いの報告頻度は100万接種あたりサーバリックスで170人超、ガーダシルで同150人と、他のワクチンでも報告の多い麻疹の同50人を上回る。けいれん、意識障害めまい、内分泌異常、疲労、麻痺、筋力低下、などなど多彩な症状が複合的に長期にわたる症状が見られ、国外の報告と共通している。日本では、1年以上歩行困難となった事例、また日本の別の少女らでは、身体の痛み、脱力感、寝たきりになる例、一時的な記憶障害を繰り返すようになったといった報道がされた。医薬品承認以前の5700人超のランダム化比較試験において、2価ワクチンを接種した群は、アルミニウムの偽薬を摂取した群より死亡が多く、また各7000人の比較では4価ワクチンより、9価ワクチンの方が重篤な全身症状を示した数が多かったが、ワクチン関連であるとされておらず、市販後の重篤な症例にもこれらの重篤な有害事象と同様のものがみられるとの報告がある。2017年の取りまとめでは、日本国内の接種回数の0.03％にそのような症状があったが、約90％が回復または軽快して治療が不要となったとされ、症状が回復しなかったのは通算で186人（のべ接種回数の0.002％）であったとされた。つまり、10万回接種されて2人だけに回復しない症状の発現がみられる頻度であった。