A を半単純環とする。すると A の極小両側イデアル（A の両側イデアルの集合の包含関係による極小元）の集合は有限である。I₁, ..., Iₚ をその両側イデアルとする。各 Iₖ は誘導された積について単純アルティン的（ゆえ単位的）環である。Iₖ から A へのカノニカルな単射を拡張した、I₁ ×  ... × Iₚ から A への一意的な群準同型が存在し、これは環同型である。したがって環 A は単純アルティン環の有限個の直積に同型であり、この表示は因子の積の順序の違いを除いて一意的である。この因子は極小両側イデアルであり、A の単純成分（仏: composant simple）と呼ばれる。環が半単純であるためには、単純アルティン環の有限個の直積環と同型であることが必要十分である。半単純環の中心は各単純成分の中心の直積環と同型であり、可換体の有限個の直積環と同型である。実は、可換な半単純環は可換体の有限個の直積と同型な環に他ならない。
K を可換体とし A を K 上有限次元の半単純多元環とする。K が完全体（例えば標数0の体、代数的閉体、有限体）であれば、任意の部分体 L に対し、A の K から L への係数拡大によって得られる L-多元環   は半単純である。一方、一般の体 K に対してはこの限りではないが、そうであるときは、A は分離的であるという。それゆえ、K が完全体ならば A は分離的である。
環の半単純性の概念は著者によって大きく異なり、すべてが同値ではないが、環がアルティン的（かつ単位的）と仮定すれば一般的なものは同値になる。ある著者は半原始環のことを半単純環という。またある著者は単純環の部分直積のことを半単純環という。また、「単位元をもたない」環に対する半単純性の概念もある。
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、A を半単純環という。これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。この概念は数学の多くの分野において現れる。例えば、線型代数学、数論、有限群の表現論、リー群論、リー環論が挙げられる。これは例えば、フロベニウスの相互法則の証明に役立つ。半単純多元環の理論はシューアの補題とアルティン・ウェダーバーンの定理を基盤としている。
江戸時代末期の仙台に生まれた。仙台藩校養賢堂に学び、幕末には戊辰戦争に参加した。代言人（弁護士）、宮城県会議員、同議会議長を経て、1889年（明治22年）、初代・仙台市長に就任し、同職を2期務めた後、1903年（明治36年）に政友会・衆議院議員に転じた。さらに宮城県農工銀行の頭取を務めた後、1910年（明治43年）、仙台市長職に復し、1期務めて引退した。仙台市長在任中には、五大事業（市区整備、市営電気、市街電車、上下水道、公園緑地整備）を訴えたほか、1896年（明治29年）には仙台市徒弟実業学校（後の仙台市立仙台工業高等学校）や、仙台市簡易商業学校（後の仙台商業高等学校）を開校させた。また、宮城県内では、植林、養蚕、養豚を振興した。遠藤は仙台市内で枝垂桜の一種、八重紅枝垂を植え増やしたことから、この櫻は「遠藤櫻」とも呼ばれるようにもなった。
ルードで会同したロードス諸国は連合軍を組織し、マーモ本島への侵攻を開始するも、マーモ島での戦いは熾烈を極め、各国共に大きな損害を出すことになる。既にマーモ帝国は国家としての纏まりを喪っていたが、それぞれの勢力が頑強に抵抗したためである。ダークエルフを率いるルゼーブは、炎の上位精霊を召喚し自分自身を巻き込んで本拠地である闇の森を全焼させ、攻め込んだフレイム軍「砂漠の鷹」騎士団フォザル隊を全滅させた。このときリーフの母ジェシーが避難活動をしており、彼女がいなかったら他の軍の被害ももっと大きかっただろうと言われている。ファラリス教団の大司祭ショーデルは神殿に篭り、暗黒神を降臨させることで神殿に攻め寄せたヴァリスの聖騎士を全滅させた。この暗黒神降臨の場に接して生き残ったのはエト王ただ一人であった。マーモ島の守護竜である邪竜ナースも連合軍の脅威となったが、ハイランドの竜騎士と金鱗の竜王マイセンの活躍によって被害は抑えられた。古竜マイセンの出現によって戦意を喪失したナースは南方へ脱出し、リザードマン達が住む島に移住した。各勢力が独自に抵抗を続ける最中、帝国の最後を悟ったアシュラムは指揮下の暗黒騎士団と共に港町サルバドで連合軍の進撃を足止めし、マーモ帝国になおも忠誠を誓う人々を率いて、暗黒の民を受け入れる新天地を求めて大海に脱出した。帝国にもマーモ島にも未練の無い「黒の導師」バグナードは、邪神カーディスの奇跡によってノーライフキングへの転生を遂げ、ひとり歴史の闇へと消えていった。また、邪神の復活による光と闇の共倒れを謀るカーラにより、カーディスの最高司祭「亡者の女王」ナニールの魂を宿すニースに破壊神カーディスが降臨するが、ニースはその身に大地母神マーファを同時に降臨させることにより、カーディス復活による大いなる災厄からロードス島を守る奇跡を行った。その場に駆けつけたパーンやスレインらは、カーラに支配されたウッド・チャックを呪縛から解放し、カーラとの長年の因縁に決着をつけることに成功する。