数式の自然な定義域 (natural domain) とは、その式の値が（典型的には実数として、あるいは整数として、複素数としてなど）定義されるような引数（変数）として取りうる限りの値全体の成す集合をいう。例えば、平方根函数の自然な定義域は（それを実函数として考える限りにおいては）非負実数全体の成す集合である。また特に定義域に言及することなく写像の値域を扱う場合、それは自然な定義域を考えたときの、写像のとりうる値全体の成す集合のことであるのが普通である。
任意の写像は、定義域をその任意の部分集合に限ることができる。写像 g: A → B の S ⊆ A なる集合への制限 (restriction) は g|S: S → B と書く。逆に、写像 f: S → B が f = g|S を満たすとき、g は f の A への拡張あるいは延長 (extension) であるという。
対応 f: A → B（あるいは二項関係 Rf ⊂ A × B）が与えられたとき、A を f の始集合あるいは始域、域 (domain) と呼び、対して B を終集合、終域、余域 (codomain) などと呼ぶ。対応、特に部分写像（あるいは右一意的二項関係）f: A → B に対し、(a, b) ∈ Rf なる b ∈ B が存在するような a ∈ A 全体から成る始域の部分集合 X ⊂ A を f の定義域 (domain of definition) という。これは f の制限（後述）として得られる対応 f: X → B が写像となることといっても同じである。対して、(a, b) ∈ Rf なる a ∈ A が存在するような b ∈ B 全体からなる終域の部分集合 Y ⊂ B を f の値域という。従って特に、写像 f: A → B において、その定義域は始集合 A それ自身であるから、しばしば始域と定義域の概念は特に区別されない。写像 f: A → B の定義域 A の各元 x に対応する終域 B の元を f(x) なる式で表すとき、x を f の引数と呼び、f(x) は f の x における値または x の f による像と呼ぶ。f の値域または像は、定義域 A の各元の f による像となることのできる B の元全体の成す集合 f(A) = {f(x) ∈ B | x ∈ A} に一致する。
山城という区分は、上記の通り日本の独自用語である。しかし山岳部に建設された施設という概念で当て嵌まる海外の城は、存在する。近世以前に建設された海外の山城としては、例えば古代ギリシアのアクロポリスが有名である。また防衛施設かは、不明であるが南米のマチュピチュも広く知られている。さらに古代ローマ帝国のユダヤ反乱において使用されたマサダ要塞は、周囲を絶壁に囲まれ、難攻不落とされた。他にもクラック・デ・シュヴァリエなどが挙げられる。やや、この概念から外れるもののノイシュヴァンシュタイン城は、近世以降の有名な海外の山城の一つと言える。古代ローマは、パラティヌスの丘と他に幾つかの丘を防衛施設として建設された。ローマ市民は、外敵の攻撃から逃れるため、この丘を利用した。つまりローマ市そのものが山城であると見做すことも出来る。特にパラティヌスの丘は、建国の祖ロムルスと結びついていた。またローマ市民が元老院と対立して聖山事件を起こした。この時、アウェンティヌスの丘に市民たちは、立て籠もったとされる。さらに同じローマ市内にあるヴァティカヌスの丘に後世、聖天使城とサン・ピエトロ寺院が建設され、中世から近世に至るまでローマが攻撃を受けた時に要塞として使用された。これは、現在、バチカン市国として知られる。
気比神の祭祀は、古代には角鹿氏（つぬがうじ、角鹿直・角鹿海直）が担ったといわれる。この角鹿氏は敦賀における海上交通・漁業の統率者（海人族）であり、一説には角鹿国造の氏族ともいわれる。敦賀市には首長墓として5世紀末の向出山1号墳（直径約60メートルの円墳、位置）が残るが、その副葬品には被葬者と東アジアのつながりが指摘される。この角鹿氏は、7世紀後半頃には朝廷の支配下に入ったと見られている。記録上では、宝亀7年（776年）に朝廷から初めて宮司職が置かれ、宮司は従八位に準じたとある。以後、文献では宮司として大中臣氏・中臣氏の各人物が見える。延暦23年（804年）からは、宮司の就任には神祇官の認可が必要となり、朝廷とのつながりを強めている。また承和2年（835年）の記事では禰宜・祝の各職が見える。『延喜式』によれば、松原客館（渤海使の客館）の検校も宮司が担っていた。なお『朝野群載』には、承暦4年（1080年）に神事を穢した祟りがあったため、神官に中祓を科した記録が見える。古くは神職として大宮司・大祝・権祝・副祝・正禰宜・副禰宜職があり、48の社家は大中臣姓・角鹿姓を称したという（室町時代からは菅原姓も加わった）。人物としては特に、南北朝の争乱で恒良親王・尊良親王を奉じた大宮司の気比氏治・斉晴親子が知られる。また検校・行司・別当・執当等36坊を数える社僧職もあったという。信長の越前侵攻後は、大中臣姓の東河端・西河端・北河端・石倉・石塚・平松の6家と、角鹿姓の島家、菅原姓の宮内家の計8家を残すのみとなった。この社家制度は、明治4年（1871年）の太政官布告を以て廃止されている。