(i) とボレル・カンテリの補題より、確率1で十分大きな  に対して  となる。よって  が概収束することと  が概収束することは同値である。条件 (ii),(iii) とコルモゴロフの二級数定理より、 の収束性が言える。
確率論におけるコルモゴロフの三級数定理（コルモゴロフのさんきゅうすうていり、英: Kolmogorov's Three-Series Theorem）は、確率変数の無限級数が概収束するかどうかの判定条件を確率分布に関連した3つの級数の収束性に基づいて述べるものである。名称はアンドレイ・コルモゴロフにちなむ。コルモゴロフの三級数定理をクロネッカーの補題と組み合わせると、大数の強法則の比較的易しい証明が得られる。
2017年5月、違法賭博による無期限出場停止処分が解け、約1年ぶりの復帰戦となった日本ランキングサーキット大会に出場。決勝で上田拓馬を破り優勝した。桃田は試合直後、表彰式でも涙を見せ、「辛いときに支えてくれ、バドミントンの環境をつくってくれた方への思いのすべてが込み上げてきた」「今はどの大会が目標とかはない。それよりも相手への感謝などコートの中の振る舞いを見てもらい、応援したいなと思ってもらえる選手になりたい」と語った。7月には自費で国際大会に復帰。復帰初戦のカナダオープンで準優勝すると、その後の国際大会で5大会連続優勝を果たした。9月の全日本社会人選手権でも3連覇中だった坂井一将を破り優勝。12月の全日本総合選手権は準々決勝で優勝した武下利一に敗れたが、国内外の大会で好成績を残していること、武下に対してもシーズン2勝をあげていることが評価され、バドミントン日本A代表への復帰が決定した。
2014年5月、桃田は日本代表の一員としてトマス杯に初出場し、出場したシングルス5試合すべてに勝利して日本の初優勝に貢献した。12月の全日本総合選手権では初めて決勝に進出したが、佐々木翔に敗れて準優勝に終わる。同月、BWFスーパーシリーズファイナルに初出場し、リーグ戦3試合で2勝をあげたが得失点差で4人中3位となり、準決勝進出はならなかった。
2013年、高校卒業し、田児が所属するNTT東日本に入社。同年の全日本社会人バドミントン選手権大会に初出場して初優勝を達成した。国際大会では、11月の中国オープンにおいてBWFスーパーシリーズプレミアの大会で自身初のベスト4入り。12月の全日本総合選手権では初めて準決勝に進出した。
福島県立富岡高等学校進学後は2年生時の2011年に台湾の桃園県で開催された世界ジュニア選手権男子シングルスで準決勝まで進出。マレーシアのズルファドリ・ズルキフリに0-2（18-21, 18-21）で敗れて銅メダルとなった。同年の全日本総合選手権では実業団選手を破り、初めて準々決勝まで進出し、第一人者の田児賢一と初対戦して敗れた。2012年、アジアユース選手権男子シングルス決勝でスン・ジュ・ベン（マレーシア）を2-0（21-13, 22-20）で破り金メダルを獲得し、団体戦との2冠を達成。8月にインターハイ男子シングルスで初優勝。千葉ポートアリーナで10月に開幕した世界ジュニア選手権では団体戦で銀メダル。個人戦男子シングルスでは決勝で薛松（中国）を2-1（21-17 19-21 21-19）で破り、日本勢で初めてジュニア世界一に輝いた。その後、高校卒業までにオーストリアで開催された国際大会などで優勝し、世界ランキングは50位まで浮上した。
名前の由来はアメリカのコミック『スーパーマン』の主人公クラーク・ケントで、世界で一番強い人になるようにと名付けられた。三豊市立吉津小学校1年生の時、姉が所属していた三豊ジュニアのコーチに誘われたのをきっかけにバドミントンを始める。6年生の時に全国小学生選手権シングルスで優勝。第5回日本バドミントンジュニアグランプリで香川県チームの一員として団体優勝。福島県富岡町立富岡第一中学校3年生時の2009年、全国中学校バドミントン大会で優勝。全日本ジュニアバドミントン選手権大会でベスト4に入り、男子選手としては史上初めて中学生で全日本総合選手権の予選に出場した。
PS版では、アーケード2機体の他にコナミのゲーム名を基にした6機体がゲーム開始時から使用可能。ある条件をクリアすると、それ以外にもビックバイパーやトライサイクル（スナッチャー）、あいつ（パロディウスシリーズ）などがプレイヤー機体として使用出来る。何れも、最初から使用出来る機体よりも性能が高い。また、エンディングが一部追加されている。
TBSにとって魔の水曜日とされていた低視聴率の放送枠であり、2008年秋に大改編として水曜日のプライムタイム4番組を一新したその1番組であり、また司会の加藤浩次にとって、ゴールデンタイムのメインMCを務めるレギュラー番組はこれが初めてであった。2009年1月7日放送分は、2時間SP『悪魔の連帯保証人』として放送されたが、放送内容は当初予定されていた企画とは異なり、芸能人があまり公表していない特技や私生活の逸話などを紹介する内容となった。番組は2009年2月18日放送分をもって打ち切り。事前に最終回が告知されず、テレビ情報誌も最終回の表記がなかったため、当日の新聞でようやくその旨が記載される状態であった。この最終回では加藤による終了の挨拶で番組を締めくくったが、この挨拶の中で加藤は放送回数がわずか9回だったことに対し自虐的に触れており、共演者だった宮川大輔も「9回やって来ましたが、番組に何の思い出も無いです」と、端的に本番組への評価をコメントとして残している。また、最終回の視聴率は5.1%となり、番組ワースト記録を更新することとなった。