議論領域 D は整数全体から成る集合に等しいとする。1 変数の命題関数 F(n) を次の等式で定義する。F(1) =  は正しくないので、F(n) =  は恒等式でない。よって、∀nF(n) =  である。また、F(2) =  は正しくないので、F(n) =  は恒等式でない。よって、∃nF(n) =  である。
F(x) を 1 変数の命題関数とするとき、命題 ∀xF(x) と ∃xF(x) とは以下の等式で定義される。∀x 、∃x をそれぞれ全称作用素、存在作用素といい、それらをまとめて限定作用素という。∀、∃ をそれぞれ全称記号、存在記号という。命題 ∀xF(x) は 「 全ての対象 x に対して F(x) が成り立つ 」 を意味し、命題 ∃xF(x) は 「 F(x) を満たす対象 x が ( 少なくとも 1 つ ) 存在する 」 を意味する。
議論領域 D は自然数全体から成る集合に等しいとする。また、集合 L₀ において、真理関数 ￢、∨ が定義されているとする。D から L₀ への写像 F を次の等式で定義すれば、F は 1 変数の命題関数となる。D×D から L₀ への写像 G を次の等式で定義すれば、G は 2 変数の命題関数となる。2 項関係 R(n，m) をしばしば nRm と書く。従って、上の G(n，m) を nGm と書いても良い。D×D の各元 (n，m) に対して L₀ の元 (￢G(n，m))∨G(n，m) を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。
命題関数 （ めいだいかんすう、英：propositional function ） とは、数理論理学において、終集合が真な命題と偽な命題とだけから成る集合に等しいような写像である。
単発の仕事として様々な仕事はするものの、その仕事を引き受ける都度契約を結ぶという形態をとる請負であり、小説家・芸能人など個人の能力によって成果が決まる職種に多いが、大工やプログラマなどの技術者、漁師のような古典的な職業も存在する。派遣会社と契約している派遣社員は、派遣会社に属する従業員と見なされるため、フリーランサーではない。フリーランスという言葉には、自営業・自由業・個人企業（合同会社、パパママ法人などと呼称される中小事業者）等の複数の法制度が混在しているため、福利厚生や税制度が一律に提供できず、また実態を把握しにくいという社会的な課題がある。収入は、本人の営業力と業務遂行能力によって決定され、同業の会社員よりも高収入を得る者がいる一方で全く仕事が無いという状況もあり、収入が不安定なためローンやクレジットカードの契約では不利になりがちである。このため公務員や会社員よりも不安定な働き方とされている。インターネットが浸透してきたことで、フリーランスの増加や社会の構造変化により、フリーランス化や社会回帰が取り上げられるようになった。2000年、アメリカの政策評議会において公式レポートが提出された。アメリカのフリーランスの実態を調査したそのレポートは「全米国内の就業人口4200万人のうち、1300万人・就業人口の4人に1人が、何らかの形態でフリーランサーとして就労している」という内容であった。日本国内におけるフリーランス人口の公的調査は、1990年代後半以降、明確なフリーランスへの職業分類としての再定義が行われておらず、正確な現状を把握することは難しい。当時の調査では「自由業者の数が 200万人から230万人・事業所の登録数600万ヶ所以上」との数字があるが、これは、当時の日本国内の就業人口の40分の1程度である。民営会社に依る調査として、独自の「フリーランス実態調査」が2010年代後半から実施されているが、「全国の20-69歳男女（3,096人）を対象」としており、統計調査としての母体数は少ない。内容は「広義のフリーランスの推計経済規模が初の20兆円を超え、日本の総給与支払額の10％を占める」という経済規模の提示に対して「広義のフリーランス個人の平均報酬は186万円となり、昨年比12%増加傾向」と続き、フリーランス人口ひとりへの所得配分率と総経済規模が矛盾しており、生活水準としての国内最低給与水準には達していない事実が社会課題、クラウドソーシング等のインターネット事業者を経由した単価下降の傾向、所得配分比率の手数料が阻害原因等として伺われる結果となっている。「日本における広義のフリーランス人口は前年に比べ横ばい、日本の労働力人口に対して17%を占めるという割合」となっているが、日本国内の現在労働力人口の「5人に1人以上」という設定値には、クラウドソーシングサイトへのアカウント開設者を主体対象とした調査母体である背景が予測されるため、「副業（本業・副業を区別していない労働者を含む）フリーランスの人口は744万人、経済規模は7兆8,280億円と8兆円近い規模になり、報酬は堅調に増加し、業務委託ベースのパラレルワーカー数が伸長している傾向にあります。」という最終記述への、公的な中立体による調査による精緻化を行うことで、副業解禁への政策、同一労働同一賃金制度の改定による労働人口の流動化について、正しく実態と社会福祉費用を把握していく必要がある。