頂点  に接続する枝の数を次数といい、 で表す。有向グラフにおいては、 に入ってくる辺数のことを入次数、 から出て行く辺数のことを出次数という。すべての頂点が同数の隣接点、つまり次数をもつグラフを正則グラフと呼ぶ。任意の頂点  について、 が成り立つとき、k -正則という。k -正則なグラフのことをk -正則グラフという。グラフ  が持つ頂点の次数の最小値を 、最大値を  で表す。また、次数 0 の頂点のことを孤立点という。
2つのグラフと について、の頂点集合と辺集合が共にの頂点集合と辺集合の部分集合になっているとき、はの部分グラフである、またはは の拡大グラフであるといい、と表す。特に、との頂点集合が等しいとき、はの全域部分グラフであるという。また、 の頂点集合  の部分集合  を取り出して、両端点が  に属する全ての辺を辺集合とする G の部分グラフ  を、誘導部分グラフという。グラフ  からある辺  を取り除き、その辺の両端点を一つの頂点にまとめることを（辺の）縮約といい、縮約の結果得られるグラフを  と表す。なお、誘導部分グラフの「誘導」はinducedの訳語である。induceの訳としてはこの「誘導する」の他に「生成する」がある。このため、誘導部分グラフのことを生成部分グラフということもある。一方、生成部分グラフは全域部分グラフのことを指すこともある。このため、生成部分グラフという語を使う際は、混乱がないか気を付ける必要がある。
ある辺の両端点が等しいとき、ループ（自己ループ）という。また、2頂点間に複数の辺があるとき、多重辺という。ループも多重辺も含まないグラフのことを単純グラフといい、ループや多重辺を含むグラフのことを多重グラフという。
2頂点間（隣接している必要はない）を経由する辺数を長さと呼び、特に最短経路における辺数を距離と呼ぶ。グラフ G の最大頂点間距離を直径と呼び、diam(G) と表す。
辺の両端の点を端点といい、端点は辺に接合（または接続）しているという。また、辺と辺がある頂点を共有しているとき、その辺どうしは隣接しているという。
グラフの辺に重み（コスト）が付いているグラフを、重み付きグラフ>と呼ぶ。乗換案内図の場合、駅間の所要時間が「重み」にあたる。重み付きグラフはネットワークとも呼ばれる（フローネットワーク, ベイジアンネットワーク, ニューラルネットワークなど）。
ジョー・デントンはマフィアの依頼を受けてフィル・コークリー判事を襲撃した件で逮捕された。そんな彼を人々は「人斬り警官」と呼んだ。それから6年後、デントンは刑期を終えて出所することになった。ジョーは子供たちに会おうとしたが、別れた妻が子供たちを連れて町を出て行ってしまったことを知った。ジョーはやむなく老親の元に身を寄せることにした。ほどなくして、ジョーがインターネットで別れた妻についての情報を検索したところ、彼女の電話番号を入手することができた。ジョーはすぐさまその番号に電話をかけ、娘の一人と話をすることができたが、ジョーの接触を知った元妻は激怒し「次に電話をかけてきたら、警察に通報する」と言った。帰宅する途中、ジョーは酒場に立ち寄った。アルコール依存症を克服したにも拘わらず、ジョーは鬱憤を晴らすために酒を注文した。そこに旧友のスコッティが現れ「俺の力が必要なときはいつでも言ってくれ」と言われた。帰宅しようとした矢先、ジョーは見知らぬ若い女性（カーラ）に声をかけられた。驚くべきことに、その女性はコークリー判事の娘であった。カーラは6年前の事件の復讐を企図しており、2人の男にジョーを襲撃させたが、ジョーは彼らを返り討ちにした。やって来た警察官は直ちにジョーを逮捕しようとしたが、コークリー検事は「自分は襲われた」というジョーの主張に信憑性があると判断し、2人の逮捕状を請求することもできるとジョーに言った。面倒ごとに巻き込まれたくないジョーはその申し出を断った。しばらくして、かつての同僚だったプレゼントがジョーに接触してきた。プレゼントは「マフィアのボス、マニー・ヴァッシーは死の床にあり、全てを洗いざらいぶちまけるつもりだ。そうなれば、俺も無傷では済まない。だから、奴を殺して欲しい。もし協力してくれるなら、奥さんとの復縁を仲介してやる。」とジョーに頼み込んできた。ジョーがマニーを問いただすと、彼はそんなことはしないと言った。マニーが眠りに落ちたのを見て、ジョーは彼を窒息死させようとしたが、すんでのところで看護師（シャーロット）に見つかった。我に返ったジョーはシャーロットに感謝してホスピスを後にした。その道中、ジョーはマニーの息子（ジュニア）と出くわし、「今度会ったらお前を殺す」と脅迫された。ジュニアは「実の息子が面会できないのに、何故部外者であるジョーが面会を許可されたのか」と憤っていたのである。帰宅後、ジョーは両親から不審な行動を咎められ「何故俺が更生したことを信じようとしないのか」と激高した。家を飛び出したジョーはレストランへ行き、そこでシャーロットと再会した。意気投合した2人は交際を始めることにした。その後、プレゼントから「早くマニーを殺せ」と催促されたため、ジョーはボイドの力を借りてマニーの元へ行こうとしたが、この試みは失敗した。それを知ったプレゼントは「コークリー判事を殺せば、マニーは全てを打ち明けようとはしないはず」と考え、ジョーに判事殺害を命じた。ジョーは判事の自宅に押し入ったが、どうしても殺す意欲が湧かなかった。やむなく、ジョーは判事のお気に入りの売春婦（トニ）を買収し、判事が使うホテルの部屋に隠しカメラを仕掛けることにした。ジョーはホテルの別の部屋で判事の到着を待っていたが、予想外の事態が発生してしまった。