ペロン＝フロベニウスの定理は、特に代数的グラフ理論においてよく用いられる。ある非負の n-正方行列の基礎グラフ（underlying graph）とは、1, ..., n で番号付けられた頂点と、Aᵢⱼ ≠ 0 であるような場合にのみ存在する弧 ij からなるグラフのことを言う。そのような行列の基礎グラフが強連結であるなら、その行列は既約であり、したがってペロン＝フロベニウスの定理を適用することが出来る。特に、強連結グラフの隣接行列は、既約である。
行（あるいは、列）確率行列とは、各行（あるいは、列）の成分が非負の実数で、その行（あるいは、列）毎の和が 1 となるようなもののことを言う。このような行列は必ずしも既約ではないため、ペロン＝フロベニウスの定理を直接的に適用することは出来ない。A を行確率行列とすると、各成分が 1 であるような列ベクトルは、その行列の固有値 1 に対応する固有ベクトルであることが分かる。ここで固有値 1 は、上述の議論により ρ(A) である。しかし、それは単位円上の唯一つの固有値では無いこともあり、対応する固有空間が多次元となることもあり得る。A が既約な行確率行列であるなら、ペロン射影も同様に行確率的で、そのすべての行は等しい。
非負行列を主題とした著書は数多く存在し、それらにおいてペロン＝フロベニウスの理論は常に中心的な題材となっている。以下に述べる例は、その理論の広大な応用範囲の中から、部分的にピックアップしてきたものに過ぎない。
全ての成分が正の実数であるような行列をここでは正行列と呼び、それらが非負の実数であるような行列をここでは非負行列と呼ぶ。A  をある実正方行列としたとき、その固有値は複素数で、その行列のスペクトルを形成する。行列ベキ Aᵏ の k → ∞ としたときの指数関数的成長率は、絶対値が最大であるような A の固有値によって決定される。ペロン＝フロベニウスの定理は、A を非負の実正方行列としたときのそのような支配的な固有値と、それに対応する固有ベクトルの性質について述べたものである。初期の結果は Oskar Perron (1907) によるもので、正行列を対象としていた。のちに、その結果のある非負行列のクラスへの拡張を、Georg Frobenius (1912) が発見した。既約非負行列に対するペロン＝フロベニウスの定理はAlexandroff-Hopf(1935)とHerstein(1953)によって示された（証明にはブラウワーの不動点定理が使われた）。
数学の線型代数学の分野におけるペロン＝フロベニウスの定理（ペロン＝フロベニウスのていり、英: Perron-Frobenius theorem）とは、オスカー・ペロンとゲオルク・フロベニウスによって証明された定理で、成分が正である実正方行列には唯一つの最大実固有値が存在し、それに対応する固有ベクトルの各成分は厳密に正である、という主張が述べられている。また、あるクラスの非負行列に対しても、同様の主張が述べられている。この定理は様々な方面へと応用され、確率論（エルゴード性やマルコフ連鎖）や、力学系の理論（有限タイプのサブシフト）、数値解析 (特に数値線形代数)、経済学（置塩の定理、レオンチェフの産業連関表）、人口学（レスリーの人口年齢分布モデル）や、インターネット検索エンジンからフットボールチームのランキングに至るまで、その応用範囲は幅広い。
赤間清松厩舎の厩務員を経て同厩舎から騎手デビュー。2002年6月14日大井競馬第3競走3歳条件戦3番人気ニーハオで初騎乗（10頭立て7着）。同年7月20日大井競馬第7競走C1七組条件戦を9番人気マルカミシルで勝利し、29戦目で初勝利。赤間清松調教師引退にともない、2008年1月1日付けで遠藤茂厩舎へ移籍。2004年6月11日大幅に逸走し後退しながらも直線もう一度伸びて差しきり勝利したスピードマンテンに騎乗したことで知られている。2010年1月12日付けで遠藤茂厩舎から杉山康史厩舎へ所属が変更された。地方通算成績は1228戦44勝・2着47回・3着75回・勝率3.6%・連対率7.4%（2011年12月31日現在）。
2015年6月4日より開催の国際短編映画祭「ショートショート フィルムフェスティバル&アジア」のコンペティション部門に、千原ジュニア、バカリズム、劇団ひとり、森ハヤシの4人が作品を応募。コンペ部門のジャパン部門で、応募総数363作品のうちノミネートが決定した22作品の中にこの4作品全てが入った。地球環境をテーマとした作品を紹介する「地球を救え!部門」に応募した4作品も上映が行われる。
現存する日本最古の駅舎である初代長浜駅舎をそのまま保存している。東西24.5m、南北9.7m、木骨構造の石灰コンクリート造り2階建て。外壁はコンクリート素面仕上げで、壁の厚さは50cmあり、四隅の角は花崗岩の切石を積み、窓枠と出入口はレンガを使っている。1階は駅事務所と待合室、2階は敦賀線の管理を扱った鉄道事務部門があった。1階2階ともに暖炉が設けられ、回り階段、彫刻入りの欄干など鹿鳴館調の建築様式で、当時の地元民を驚かせた。当時鉄道局の長であった井上勝の直接指揮のもと、設計はホルサムらイギリス人鉄道技師が行ない、施工は神戸の稲葉弥助が担当した。ホルサム（Edmund Gregory Holtham）は1873年に明治政府のお雇い外国人として来日し、駅舎開業の前年まで8年間滞日し、帰国後著書『Eight Years In Japan』を上梓した。明治36年に2代目駅舎が完成してからは倉庫として使われ、昭和33年に第1回の鉄道記念物に指定された。