このセクションにおいて V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。（K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。）ピン群 PinV(K) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV(K) は PinV(K) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γ⁰ の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム 1 ∈ K*/K*² の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください： V がともに 2 以上の p, q に対して Rp,q であればスピン群は単連結ではない。この場合代数群 Spinp,q は代数群として単連結である。その実数値点の群 Spinp,q(R) は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。
最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものである。代数 Cℓp,q(R) と Cℓₙ(C) の各々は A あるいは A ⊕ A に同型である、ただし A は成分が R, C あるいは H から来る全行列環、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はクリフォード代数の分類を見よ。
クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、Q = 0 であればクリフォード代数 Cℓ(V, Q) はちょうど外積代数 ⋀(V) である。0 でない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法である（標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない）。特定された部分空間とともにクリフォード乗法は外積代数よりも真により豊かである、なぜならばそれは Q によって提供される追加の情報を使うからである。より正確には、クリフォード代数は、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、外積代数の量子化（cf. 量子群）と考えることができる。ワイル代数とクリフォード代数は *-環というさらなる構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、超代数の偶項と奇項として統一できる。
昭襄王は年少で即位したため、母である宣太后が摂政し、宣太后の弟であった魏冄が実権を握るようになった。紀元前305年、先の後継者争いに敗れた庶長の公子荘は反対勢力を結集し、昭襄王と魏冄に対して反乱を起こすが、鎮圧される事件が起こった（庶長荘の反乱、季君の乱とも言う）。この乱はすぐに鎮圧され、昭襄王の兄弟で従わない者は全て滅ぼされ、先王・武王の母である恵文后も処刑され、武王の正室・武王后は故国の魏に追放された。この乱をきっかけに魏冄の権力はますます強まっていった。また、紀元前304年、冠礼（成人の礼）を行った。同年、秦の影響を恐れた楚の懐王は秦に盟約を求めてきた。昭襄王は黄棘の地で盟約し、その際に楚に上庸の地を与えた。紀元前303年、昭襄王は魏を討ち、魏の蒲阪・晋陽・封陵の地を取った。しかし翌紀元前302年に魏の襄王が秦に来朝したため、蒲阪の地を還した。紀元前301年、蜀侯であった公子惲（恵文王の子）が背いた。公子惲が秦に進献したものに、公子惲の夫人が毒を入れたため、秦と険悪になったためだった。昭襄王は将軍司馬錯に命じて蜀を平定させた。翌紀元前300年に公子惲の子の公孫綰を蜀に封じて蜀侯とし、蜀の地を安定させた。その後、紀元前298年に公子惲の無実が証明された。昭襄王は大きく後悔し、使者を派遣して改めて埋葬した。紀元前301年、楚との仲が険悪になり、庶長の奐（姓は不明）に命じて楚を討った。翌紀元前300年にも再び楚を討ち楚の新城の地を取り、その後、紀元前299年には華陽君羋戎（宣太后・魏冄の弟）に命じて楚を討ち、新市の地を取った。また、紀元前297年、楚の懐王が秦に入朝したが、昭襄王は懐王を信じず、秦に拘留した。翌紀元前296年に懐王は趙に逃げたが、趙が受け入れなかったため再び捕らえられ最後は秦で死んだ。このように超大国であった楚の力は凋落し、力の差は決定的となった。