（コンパクトな台を持つ R'ⁿ 上の滑らかな函数のような）テスト函数の空間の強双対を構成することで、超函数の空間を得ることができる。そのような空間の別の構成方法として、L² のようなヒルベルト空間の内部のテスト函数の弱双対を取る方法がある。これは帆装ヒルベルト空間を考えることになる。
定義より、弱 * 位相は X* 上の弱位相よりも弱い。弱 * 位相に関する重要な事実として、次のバナッハ＝アラオグルの定理がある：X がノルム空間であるなら、X* 内の閉単位球は弱 * コンパクトである（より一般に、X 内の 0 の近傍の X* の極は、弱 *-コンパクトである）。さらに、ノルム空間 X の中の閉単位球が弱位相においてコンパクトであるための必要十分条件は、X が回帰的であることである。より一般に、F を局所コンパクト賦値体（例えば局所体、特に実数、複素数や任意の p-進数の体系）とする。X を F 上のノルム位相ベクトル空間とし、F の絶対値と矛盾しないものとする。このとき、X 上の F-値連続線型汎函数の位相双対空間である X* において、すべてのノルム閉球は弱 * 位相においてコンパクトである。ノルム空間 X が可分なら、弱 * 位相は X* のノルム有界部分集合上で距離化可能である。X がバナッハ空間なら、X が有限次元でない限り、弱 * 位相はすべての X* 上で距離化可能ではない。
X が弱位相を備えるなら、加法およびスカラー乗算は依然として連続な演算であり、X は局所凸位相ベクトル空間となる。X がノルム空間なら、双対空間 X* もノルム || φ || = |φ(x)| によってそれ自身ノルム空間である。このノルムは位相を導き、それは X* 上の強位相と呼ばれる。これは一様収束の位相である。一様強位相は一般に、他の線型写像の空間とは異なる；後述を参照。
ジョズエ・カルドゥッチの詩『Della Canzone di Legnano』（1879年）にも登場する。1900年にはレニャーノに「レニャーノの戦士像」 (it:Monumento al Guerriero di Legnano) が建立された。作者はエンリコ・ブッティ (it:Enrico Butti) 。しばしばアルベルト・ディ・ジュッサーノ像と見なされる。イタリア王国海軍のコンドッティエーレ級軽巡洋艦「アルベルト・ディ・ジュッサーノ」にその名前が使用されている。また、イタリア陸軍にあった機甲旅団「レニャーノ」 (it:Brigata meccanizzata "Legnano") は、エンブレムに「レニャーノの戦士像」のイメージを用いた。イタリア北部の地域政党である北部同盟も、そのシンボルとしてレニャーノの「レニャーノの戦士像」のイメージを用いている。このほか、「レニャーノの戦士像」のイメージはさまざまな組織で使われている。イタリアの自転車メーカー・レニャーノ社 (it:Legnano (azienda)) のエンブレム、レニャーノのプロサッカークラブ・ACレニャーノのエンブレムなどである。
「竹」は本格的な修理を受けるため、12月15日にマニラを出港。この時猛烈な台風（コブラ台風）に遭遇、付近ではウィリアム・ハルゼー提督率いる第3艦隊 (アメリカ軍)が嵐に翻弄され、駆逐艦3隻が転覆するなど大損害を受けている。12月18日に高雄に寄港し、次いで12月21日に基隆に寄港。同日夜、「竹」は同地からの「辰春丸」（辰馬汽船、6,344トン）他2隻の輸送船団（タモ船団）を護衛して基隆を出港。中国大陸沿岸部や朝鮮半島南岸部の島々の間を縫って北上し、1945年（昭和20年）1月1日に門司港外に到着した。翌1月2日、「竹」は呉海軍工廠に回航。当初の予定では1月末から2月初頭、次いで2月16日に修理完了となって10日程度で出撃準備が整う事になっていたが、予定は延びて3月15日まで修理を行った。4月16日から26日にかけての工事では、三式探信儀などが装備された。その間、2月28日から3月18日まで臨時に第三十一戦隊の旗艦を務めた。3月19日の呉軍港空襲では10名余の負傷者を出した。1944年（昭和19年）末より第43駆逐隊は所属艦2隻（桃、梅）を喪失、松型11番艦「榧」を編入。また駆逐隊司令も菅間大佐から吉田正義大佐、続いて吉田から作間英邇大佐に交代していた。4月25日、第43駆逐隊に駆逐艦「蔦」を編入4月29日から「楓」とともに回天との訓練に参加した後、「竹」は後甲板に回天の発射台を設置する工事を行った。5月20日、第43駆逐隊に松型「椎」を編入。しかし、戦況悪化によって温存策が取られる事となり、「竹」は第43駆逐隊各艦（榧、槇）等とともに屋代島日見海岸に偽装係留し、最後の出撃の時まで待機することとなった。屋代島柳井側には僚艦（花月、桐、蔦）も艤装繋留されていた。樹木と網で偽装した3隻（竹、槇、榧）はついに攻撃される事なく、8月15日の終戦時には航行可能な状態で残存した。「竹」は僚艦とともに呉に回航されてアメリカ海軍に接収された後、10月25日に除籍。本艦竣工時より竹水雷長だった志賀博（旧姓保坂）大尉は、敷設艇「巨済」艦長に転じた。