さらに、ひとつの基点を選んでホモトピー同値なループを考えるのではなく、空間の中の「すべて」の道のホモトピー類を考えることもできる（始点と終点は固定する）。これは群ではなく、亜群であり、空間の基本亜群となる。さらに一般的に、幾何学的な状況に沿った選択をした基点の集合 A の上の基本亜群を考えることができて、例えば円周の場合は、共通部分が2つの連結成分を持つような、2つの連結開集合の合併として表現できるので、各成分の中から1つずつ基点を選択することができる。この理論が現れたのは、Topology and groupoidsとして現在は出版されている1968年と1988年の版で与えられ、被覆空間や軌道空間と関連する考え方も記載されている。
基本群は、空間の 1-次元の穴の構造を測る。「高次元の穴」の研究のためには、ホモトピー群が使われる。X の n-ホモトピー群の元は、Sⁿ から X への（基点を保つ）写像のホモトピー類である。特別な基点を持つループの集合は、ホモトピックなループを同値と考えずに研究される。この大きな対象は、ループ空間である。位相群では、つなぎ合わせではなく各点における積によって、ループの集合に別の群の積を割り当てることもできる。この群がループ群である。
X が弧状連結な位相空間であり、局所弧状連結で局所単連結であれば、X は単連結な普遍被覆空間を持ち、その上で基本群 π(X,x₀) は商空間 X に、被覆変換により自由に作用する。この空間は、ペア (x, γ) をとることで、基本群と同様に構成することができる。ここに x は X の点であり、γ は x₀ から x への道のホモトピー類で、π(X, x₀) の作用は経路を足すことによる。この空間は一意な被覆空間として決まる。
位相空間 X の基本群は、ループは特異 1-サイクルでもあるので、1次の特異ホモロジー群と関連している。基点を x₀ とする各々のループのホモトピー類をループのホモロジー類へ写像することは、基本群 π₁(X, x₀) からホモロジー群 H₁(X) への準同型を与える。X が弧状連結であれば、この準同型は全射で、その核は、π₁(X, x₀) の交換子部分群であり、従って H₁(X) は π₁(X, x₀) のアーベル化に同型である。これは代数トポロジーのフレヴィッツの定理の特別な場合である。
空間（例えば、曲面）とその中の点があり、この点を始点と終点とするすべてのループ — この点を始点とし周囲を巡り最終的に始点に戻ってくる道 — を考える。2つのループは明らかな方法でつなげることができる、すなわち第一のループに沿って移動してから、第二のループに沿って移動する。2つのループは、ループを壊すことなく一方から他方へ変形できるときに同値であると考える。すべてのそのようなループの集合にこの方法で合成と同値関係を入れたものがその空間の基本群である。
地球では、宇宙から侵略を仕掛けた生命体「XADA」と人類との戦争が行われていた。人類はバトルスーツ「ウォーメック」を開発しXADAに対抗したものの劣勢となり、地球上には二つの国家「アドリリア」と「サンデウス」を残すのみとなった。人類は地球からの脱出を決意し、アドリリアは12光年離れた惑星「ガイア」へ、サンデウスはそれより環境が厳しい月へ移住した。一方、ウォーメックの開発を行う組織「IVONIX（アイヴォニクス）」は、XADAの動向を監視する発信機を地球に配置した後、人工衛星「ナイトスター」に拠点を移した。地球滅亡から20年後、地球に残した発信機からXADAの攻撃活動を示すシグナルが発せられた。IVONIXのメンバーであるジェイクとダイアナは、発信源の調査のため地球へ向かった。
PKストッパーとして知られる。2007-08シーズンから2010-11シーズン途中までの3年間に19本のPKを受けているが、そのうち10本をセーブし、さらに2本はキッカーが枠外に外しているため、この間のPKセーブ率は63%にも上る。クリスティアーノ・ロナウドがリーガ・エスパニョーラでPKを唯一外した際のキーパーはジエゴであるし、2011-12シーズンのコパ・デル・レイ準決勝FCバルセロナ戦ファーストレグではリオネル・メッシのキックを止めて引き分けに持ち込んだ。自身のアイドルはブラジル代表の英雄クラウディオ・タファレルとスペイン代表の守護神イケル・カシージャスである。2014年10月5日のアトレティコ・マドリード戦で、リーガ・エスパニョーラの試合での通算PKセーブ数が13となり、アンドレス・パロップを抜き、歴代1位となった。
江戸時代末期に天保改革を担当した家老・調所広郷が肥後国の石工・岩永三五郎を招いて造った石橋群（鹿児島市教育委員会設置の西田橋説明プレートより）。以来現役の橋として利用され、また貴重な文化遺産として親しまれてきた。しかし、1993年（平成5年）8月6日の鹿児島大水害（8･6水害）によって新上橋と武之橋が流失してしまう。その後、賛否両論あったが、結局残りの3橋を移設することに決定。現在、2000年（平成12年）に開園した石橋記念公園に、玉江橋、西田橋、高麗橋が移設保存されている。他の2橋（新上橋及び武之橋）は復元の予定はない。上記2橋は崩壊流失しているため、石材が必要量残っていなかった。そのため、回収された石材は記念公園の周辺整備に使用された。