シンプレクティック幾何学の歴史は、ハミルトンに始まる。ニュートンから始まる力学は、オイラー、ラグランジュによって変分法をもとにした解析力学へと洗練されていった。すなわち、ニュートンの運動方程式からオイラー＝ラグランジュ方程式への移行である。オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式と見ることであった。この余接バンドルは位置座標と運動量を変数とする空間である。余接バンドルを物理学では、相空間と呼ぶこともある。速度は位置座標を微分して得られるものであるから、位置座標と速度を用いるラグランジュ方程式は二階の常微分方程式となっている。それに対して、ハミルトン形式では運動量自体を変数として用いるため、方程式は一階の常微分方程式となっている。ここで、速度と運動量は区別されなくてはならないことに注意する。なぜなら、一般化座標を取り替えたときに、一般化速度と一般化運動量の変換則はそれぞれ異なるからである。一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。さて、ハミルトンの変分原理によれば、運動は作用積分の停留点、すなわちを満たす相空間上の曲線として与えられ、それは上のハミルトンの正準方程式を満たすというものであった。しかし、シンプレクティック形式を用いれば変分原理を通ることなく、方程式を書き下すことが出来る。をシンプレクティック形式 （正準2形式） とするとハミルトンの正準方程式はと表される。ここで  はハミルトニアン  から定まるハミルトンベクトル場である。解析力学の相空間上のシンプレクティック形式  による定式化は、さらに一般のシンプレクティック多様体上へと拡張される。  をシンプレクティック多様体とし、 を  上の滑らかな関数とする。このとき、ハミルトンの正準方程式がやはり上と同じ形式で、と定義される。ただし、シンプレクティック多様体まで拡張してしまうと、ハミルトン形式に対応するラグランジュ形式は一般には見付けられない。
1883年9月11日（グレゴリオ暦で9月23日）、ロシア帝国領ウクライナのヘルソン県エリサヴェドグラート(現在のキロヴォフラード)で生まれる。父親は乳牛を飼育する農場主であった。ジノヴィエフは、少年時代から革命運動に参加し、長じてロシア社会民主労働党に入党。1902年、スイスのベルンに亡命、パリでも活動し出入国を繰り返す。この間ベルン大学化学部・法学部に学ぶ。1903年、ボリシェヴィキ創設時からのメンバーとなり、レーニンの最も親密な同志の一人として「レーニンの副官」と呼ばれた。1906年社会民主労働党サンクトペテルブルク委員会のメンバーとなり、新聞「前進」誌の編集部員や労組でのオルグ活動で活躍する。党中央委員に選出されるが、1908年に逮捕。しかし、病気を理由に釈放され、亡命。第一次世界大戦時にはスイスに亡命する。スイスでは、ジノヴィエフとレーニンは、家族ぐるみの親しい交際を持つ。1917年4月、レーニンと共に「封印列車」に乗ってロシアに帰国した。7月、ペトログラードでの武装蜂起には反対し、行動を止めようとしたが逆に陰謀教唆と組織の容疑で告発される。ジノヴィエフはレーニンと共に逮捕を逃れ地下に潜伏した。10月10日、16日の党中央委員会では、ジノヴィエフとレフ・カーメネフは即時武装蜂起を主張するレーニンに反対し、新聞で事前に蜂起計画を暴露した。こうした経緯から十月革命で果たした役割は比較的小さいが、一方で広範な社会主義的全政党を網羅した全社会主義政府樹立を主張し、一部の人民委員（閣僚）の賛同を得るなど政権内での影響力は侮りがたいものがあった。レーニンは、十月蜂起のジノヴィエフの行動には激怒し、『我々は彼らをもはや同志とは認めない』とまで言って党除名を要求したほどであった。しかし、ジノヴィエフはレーニンに忠誠を誓い、人民委員会議に入閣こそしなかったが、 ペトログラード・ソビエト議長に就任する。ジノヴィエフは、ブレスト＝リトフスク条約調印などの問題ではレーニンを支持した。1919年、コミンテルン執行委員会議長に選出され、コミンテルンの規約制定の中心となる。同年党政治局員となる。レーニンは遺書で、「ジノヴィエフとカーメネフについて言えば、彼の十月における振る舞いは偶然ではないが、それを政治的に誇張することはしてはならない」と記した。レーニンの晩年から政治局でスターリン、カーメネフと同盟を結び、三人組（トロイカ）を組んでトロツキーと対立し、結果としてトロツキーの失脚と国外追放に関与することになる。1924年にレーニンが死ぬと、ジノヴィエフは党の最高実力者の一人となるが、その一方でスターリンが書記長として権力を集中していることに危惧を覚え、1925年レニングラードの党組織を中核とした「新しい反対派」を組織する。第14回共産党大会では、スターリンの「一国社会主義論」に反対、党の非民主的な指導と官僚主義的統制を批判し、対立していたトロツキー及びトロツキー派と「合同反対派」を結成した。しかし、時既に遅く1926年政治局員とコミンテルン議長を解任され、党を除名された。翌1927年第15回党大会で自己批判し、1928年復党する。カザン大学学長、共産党機関誌「ボリシェヴィーク」編集部員を務めるが、1932年再度党を除名、カルーガに追放される。1933年復権しモスクワに帰還を許可され、ソ連消費組合中央連合幹部会員に選出される。1934年第17回党大会では演説でスターリンを指導者として讃えた。しかし、大粛清がはじまり、ジノヴィエフはその犠牲者となった。1934年12月にセルゲイ・キーロフが暗殺された事件をめぐり、ジノヴィエフは、事件に連座したとして党を除名の上、逮捕された。1935年に禁固10年の判決を受けウラルの政治犯収容所に入る。翌1936年にジノヴィエフはスターリンなど党指導部に対するテロが1932年に計画したという「合同本部」事件で告発され、十月革命の『裏切り』の件まで追及された（モスクワ裁判）。ジノヴィエフは拷問を受けた上、スターリンに生命の保証を約束され有罪を認めたが、結局8月24日にカーメネフら15人と共に死刑判決を受けた。その時、「スターリンは約束したんだ、スターリンは…」と口走り、カーメネフに連れられて退廷させられた。死を悟ったジノヴィエフは、処刑される直前、同じく囚われの身のカーメネフに「イタリアと同じことがおきた」と心情を打ち明けた。カーメネフは「よせ、威厳を持って死んでいこう」と返答したのに対し、ジノヴィエフはイタリアのベニート・ムッソリーニがローマ進軍で政権を奪取した例を出し「ここソビエトでもファシストがクーデターを起こした」と述べ、嘆いたとされる。助命嘆願を拒否されたジノヴィエフ（裁判官ヴァシリー・ウルリヒへはGPU副局長ヨシフ・ウンシュリフトから『いかなる助命嘆願も拒否せよ』と指令が出されていた）は、判決が下された翌25日未明の深夜2時に（銃殺刑のために）将校から独房から出るように命じられるが、彼はその場で激しく抵抗し同伴していた兵士のピストルで射殺された。52歳だった。