多元環の概念の研究の歴史はもともと線型代数学と群論の関係のそれと関係が深い。ジェームス・シルベスター (James Sylvester) と アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) は1850年に行列の概念を発展させた。この概念は多くの結果をもたらし、そのうちの1つは概念の起源である。これは群、特に、ガロワ群と、新しい方向である行列群の研究を具体化することができる。はじめは有限の場合だけが研究されていたが、明らかに新しい構造が現れ、それは今では群同型によって生成された自己準同型の多元環と考えられている。カミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) は、ケイリーとともに時代の大専門家であったが、それを集中的に利用した。1869年、ジョルダン・ヘルダーの定理の名前で知られる有限群の分解列の存在が証明された。そのような列の一意性は20年後オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によって証明される。この定理を教える可能性がある講義は 2 つある。有限群の講義と加群の講義である。後者は本質的な構造の性質に対応する。それは数学の一分野可換環論になった興味の起源の 1 つである。ガロワ群の解析は線型代数学においても観点を提供する。それはジョルダンにこの代数を通して有限次元において自己準同型を研究することをもたらし、その構造の深く最終的な理解ができた。この結果は総合の本において1870年に出版された。それはジョルダン標準形の名前で知られており、有限素体、すなわち素数を法とした整数の体上適用する。ジョルダンの仕事は大きな影響を与え、その総合本は群、ガロワ、そしれ線型代数の理論の参考書になった。それは1 つには線型群を通した群の解析は豊かにする段階であるということを、また 1 つには代数の構造は同時に加群と線型代数の言葉において教育において豊かであることを、証明する。
A = A₁ × ... × Aₚ を半単純環の単純アルティン環の直積への分解（これは因子の順序の違いを除いて一意）とする。このとき、単純 A-加群の同型類が p 個存在する。M が単純 A-加群であれば、唯一の 1 ≤ k ≤ p が存在して AₖM ≠ {0} が成り立ち、このとき Aₖ-加群として M は単純である。Dᵢ を体、Eᵢ を Dᵢ 上0でない有限次元ベクトル空間とし、A = EndD₁(E₁) × ... × EndDₚ(Eₚ) とする（これは同型の違いを除いて一般性を失わない）。このとき各 Eᵢ は ((f₁, ..., fₚ), xᵢ) ↦ fᵢ(xᵢ) によって A-加群であり、Eᵢ は同型の違いを除いて唯一の単純 A-加群である。
この節において、K は可換体を表す。A を有限次元の半単純 K-多元環とする。このとき A の各単純成分 A₁, ..., Aₚ （上記参照）は有限次元単純 K-多元環であり、A は K-多元環として A₁ × ... ×  Aₚ と同型である。したがって、半単純 K-多元環とは、同型の違いを除いて、有限次元単純 K-多元環の有限個の直積に他ならない。A が Mₙ₁(D₁) × ... × Mₙₚ(Dₚ) の形であるかまたは A =  EndD₁(E₁) × ... × EndDₚ(Eₚ) の形であれば、K は Dᵢ の中心の部分体であり、Dᵢ の  K 上の次元は有限である。逆に、すべての有限次元半単純 K-多元環はこの形である。K が代数的閉体であれば、A は、同型の違いを除いて、Mₙ₁(K) × ... × Mₙₚ(K) の形である。さらに、A の中心は Kᵖ と同型である。
基本的に野球のルールと同じ。投手は変化球や緩急を使い分けることができ、牽制球を投げることもできる。選手個々人の設定が存在しないため、スタメンを選んだり選手交代を行うことはできず、打者や投手の利き腕はプレイごとにランダムに設定される。投手はいくら投げてもスタミナが衰えることはない。走者はいつでも進塁を試みることができる。打者が打った際、守備側は捕球動作を操作することができず、捕球は自動的に行われる。ただし捕球後はプレイヤーが指定した塁に向かって送球させることができる。守備はお粗末なもので、簡単なゴロを野手が避けて外野に抜けるようなこともしばしばあり（特にアーケード版で守備力を弱く設定されている場合に顕著）、プレイヤーにストレスを感じさせることもあった。またランナーが無死または一死一・三塁の局面で一塁走者が盗塁を仕掛けた場合、二塁に送球すると必ず本盗（重盗）が成功するため、二塁への盗塁を阻止できないという問題もあった。9回まで行って決着がつかなかった場合、延長戦などは行わず引き分けとして試合終了となる。また、一定以上の点差が開くとコールドゲームが成立するが、二死からスリーバント失敗してチェンジとなった場合、その裏の回にピッチャーが初球を投げた瞬間コールドゲームとなるバグが存在した。本体付属のコントローラーと拡張端子につないだコントローラーの十字キーを上下逆に入力しながら投球する（アーケード版では、片面にある2本のレバーを上下逆に入力しながら投球する）と、球速が0km/h～1km/hと表示されるほどの極めて遅い球を投げることができる。接続する機器にハイパーショットを使うとボタンを押すだけでこの球を投げられる。これを十字キーで変化させると、三塁方向のファウルラインから一塁方向のファウルラインをまたいで最終的にベースを通過する異様な変化球にする事もできる。『どうぶつの森シリーズ』（2001年 - ）に収録されているものは、1つのコントローラーのスティックと十字キーを使い、より簡単にこの球を投げることができる。このゲームは投球中でもポーズがかかるため2人用での対戦時にはコントローラーII側のバッティングのタイミングをずらす為にポーズボタンを悪用するケースがあった。