THL1は第12戦イタリアグランプリでデビューし、ジョーンズは予選を25位で通過した。これはポールシッターのアイルトン・セナ（ロータス・97T）から9.859秒遅れのタイムであった。決勝は6周目にエンジンのオーバーヒートでリタイアとなる。続くベルギーグランプリは当初開催予定の6月2日から9月に変更されたため、オリジナルのエントリーリストにチームはエントリーしていなかったことから欠場となった。第15戦の南アフリカグランプリでジョーンズは予選18位となった。このグランプリではルノーとリジェが政治的理由から出場をボイコットし、RAMとザクスピードは欠場となったが、ジョーンズは体調不良のため決勝には出走しなかった。（チーム・ハースは政治的圧力に屈してグランプリを撤退したという噂があったが、ジョーンズは実際にインフルエンザに罹っていたとしてこの噂に反駁した。）ジョーンズは最終戦のオーストラリアグランプリでTHL1の可能性を示した。（1985年オーストラリアグランプリは50回目のオーストラリアグランプリであったが、F1世界選手権となったのは1985年が初めてであった。）ジョーンズはホームグランプリを予選19位で通過したが、決勝ではスタートでエンジンストールする。最下位から押しがけでスタートした時点で4分の1周遅れとなっていたが、ジョーンズは徐々に順位を挽回し6位まで上昇、ポイント圏内に入る。しかしながら、20周目に電気系トラブルでリタイアとなった。
阪神への入団2年目以降は、「自分が現在どのレベルにあるのか?」ということを常に意識しながら、対戦した相手投手の成績を細かくチェック。ヤクルト時代に「バントの名手」として知られたチームメイトの城友博に教えを請いながら、高校時代まで全く練習していなかった小技（バントや流し打ちなど）を鍛えるとともに、複数のポジションをこなせるように内野の守備を練習していた。関本自身は、入団4年目の一軍初打席で同郷（奈良県）の先輩・三浦大輔から三振を喫した際に、一線級投手との力の差を痛感したという。2002年・2003年に関本を指導した田淵幸一チーフ打撃コーチは、関本の打撃フォームを、自身の苗字（タブチ）・中村紀洋（ノリ）・関本と同期入団の濱中治（ハマ）を組み合わせた「ブチノリハマ打法」と命名。しかし、2003年の日本シリーズでは、極度の不振にあえいだ。このため、野球人生で初めてバットを短く持って打席に立ったところ、スタメンに起用された第7戦で本塁打を記録。「短く持っても打球は飛ぶ」という理由で、翌2004年から現役を引退するまで、バットを短く持つ打撃フォームを貫き通した。
引退試合直前の2015年10月1日に、スポーツビズとの間でマネジメント契約を締結した。2016年からは、引退時までの登録名である関本 賢太郎の名義で、地元の関西を拠点に、スポーツニッポンで野球評論家、朝日放送・サンテレビで野球解説者として活動。2016年1月4日からは、朝日放送の解説者として、『おはよう朝日です』（ABCテレビ平日朝の情報番組）の月曜日でスポーツキャスターを務める。
幼少期に生まれ故郷である大阪府寝屋川市から奈良県橿原市へ転居、以降橿原市で育つ。小学生時代は少年野球チームの金橋バッファローズに在籍。中学校では後にプロでチームメイトとなる中村泰広と同級生で、当時所属していたボーイズリーグの橿原コンドルには同じくチームメイトとなる庄田隆弘が1年後輩にいた。天理高等学校では3年時に1番二塁手として第78回全国高等学校野球選手権大会に出場し、2回戦で中濱裕之、新沼慎二らを擁する仙台育英高校に敗れた。大会に出場した際、記念に有名な高校球児と写真を撮ろうと開会式で3人の選手に頼みこんで記念撮影をしたが、そのうち2人はこれも後にプロでチームメイトとなる前川勝彦と三東洋だった。高校通算20本塁打。1996年のドラフト会議で阪神から2位指名を受け入団。入団当時の背番号は「64」で、指名後のインタビューでは、「当たれば本塁打のような選手になりたい」と語っていた。
米国の中で最も天然資源に恵まれ、とりわけ「原油」の埋蔵量が豊富である。プルドーベイ油田（プルドー湾油田）は米国最大の規模を誇り、それら産出事業のおかげで州民に対する補助金が潤沢で平均所得も国内トップクラスにある。21世紀初頭からの原油価格高騰により、他の油田候補地の開発も州政府は検討しているが、一方でこれらの多くが北極圏国立自然保護区（ANWR）に位置し、州議会ではアラスカの自然・生態系愛護を訴えるアメリカ民主党との間で長らく論争が続いており、開発推進派のサラ・ペイリン州知事が2008年共和党大会で副大統領候補に指名されて以降（ただし正大統領候補マケインのほうが従来は開発反対を唱えていた）俄然注目を集めた。その後選挙には敗れたものの、国家のエネルギー問題解決の鍵を握る構想として部分的に解禁される道も残されている。アラスカ・ノーススロープとクック湾で石油と天然ガスの埋蔵が確認されている。エネルギー情報管理局に拠れば、原油生産では国内第2位の州になっている。ノーススロープのプルードー湾油田はアメリカ合衆国および北アメリカでも最大の産出量を誇り、日量40万バーレル (64,000 m³/日)となっている。これは国内石油生産量の8%に相当している。トランス・アラスカ・パイプラインは1日210万バーレル (330,000 m³) までの原油を輸送することができ、国内最大のパイプラインとなっている。さらに瀝青炭、準瀝青炭および褐炭のかなりの埋蔵量が発見されている。アメリカ合衆国地質調査局はノーススロープの天然ガス水和物から取り出すことのできる85.4兆立方フィート (2,420 km³) の未確認埋蔵量があると推計している。また川が多いので国内でも最大級の水力発電を生み出す可能性を持っている。さらに海岸線では風力発電や地熱発電の可能性も高い。アラスカの経済は暖房、輸送、電力、照明に高価な軽油を使う比重が高まっている。風力や水力は豊富にありながら未開発であり、州全体のエネルギー供給計画では、2001年時点での燃料コスト (0.50ドル/ガロン 以下)、送電距離、少ない人口を考慮して経済的に成り立たないと判断された。州都市部でのガス燃料代は国内平均よりも通常1ガロン当たり30セントないし60セント高い。田園部ではかなり高くなるが、輸送費、季節変動のある最大使用量、石油開発施設との距離など様々な要素により変動がある。