様々な形式のグラフ理論的手法は言語学において特に有用であることが証明されている。これは、自然言語がしばしば離散構造へとよく適しているためである。伝統的に、統語論と合成意味論は木構造に従い、それらの表現力は、階層的グラフによってモデル化される構成性の原理に密接に関係する。主辞駆動句構造文法といったより現代的な手法は型付き素性構造（これは有向非巡回グラフである）を用いて自然言語の構文をモデル化する。語彙意味論内、特に計算機へ応用としては、単語の意味のモデル化は、与えられた単語が関連する単語の観点から理解される時により容易である。したがって意味ネットワークは計算言語学において重要である。今で、哲学（例えば、格子グラフを用いる最適性理論）や形態論（例えば有限状態トランスデューサを用いる有限状態形態論）におけるその他の手法は、グラフとしての言語の解析において一般的である。実際、この数学の分野の言語学への有用性は、TextGraphs、WordNetやVerbNetといった様々な "Net" プロジェクトのような組織を生んできた。
計算機科学において、グラフはコミュニケーション、データ編成、計算装置、計算の流れ等のネットワークを表わすために使われる。例えば、ウェブサイトのリンク構造は有向グラフとして表わすことができる。ここでは、頂点がウェブページを表わし、有向辺があるページから別のページへのリンクを表わす。同様のアプローチを、ソーシャルメディア、旅行、生物学、コンピュータチップ設計、神経変性疾患の進行のマッピング、そしてその他多くの分野における課題について取ることができる。したがって、グラフを取り扱うためのアルゴリズムの開発が計算機科学における主要な興味である。グラフの変換はグラフ書換え系によってしばしば定式化され、表現される。グラフ変換系と相補的なグラフの規則に基づくメモリー内操作に注目したシステムが、グラフ構造を持つデータのトランザクションセーフで永続的な格納と問い合わせに対応したグラフデータベースである。
任意の 2 頂点間に枝があるグラフのことを完全グラフ（完備グラフ）という。 頂点の完全グラフは、 で表す。 は三角形と呼ばれる。また、完全グラフになる誘導部分グラフのことをクリークという。大きさ（サイズ）  のクリークを含むグラフは「n-クリークである」という。辺をもつグラフは必ず2頂点の完全グラフを含むので 2-クリークである。また n-クリークであって、直径が n 未満となるグラフを n-クランという。
隣接している頂点同士をたどった  の系列を長さ n (≥ 0) の歩道（鎖・ウォーク）という。辺の重複を許さない歩道を路（小径・トレイル）という。頂点の重複を許さない場合、つまり、両端の2頂点の次数が1、それ以外のすべての頂点の次数が2であるグラフを、道（パス）、開いた歩道をパスという場合は単純パスという。また、始点と終点が同じ路のことを閉路（回路・循環 ・サーキット、サイクル）、始点と終点が同じ道（つまりという路でが相異なるもの）のことを閉道（サイクル）という。
ミッドウェー海戦に敗れた日本海軍は戦力を再編し、卯月は6月24日に南洋方面の航空基地を強化する支援部隊に編入した。6月下旬、軽巡夕張、卯月、追風、夕月、第21駆潜隊、第23駆潜隊はガダルカナル島へ進出する輸送船団の護衛部隊に加わった。7月上旬にガダルカナル島攻略作戦に参加し、ラバウルに帰投後は第十八戦隊（軽巡天龍・龍田）の指揮下で東部ニューギニア攻略作戦に参加した。第30駆逐隊は7月10日、内地からトラック泊地への輸送路を警戒する第二海上護衛隊に編入した。22日、ニューギニア島のブナで米軍大型爆撃機の攻撃を受け輸送船綾戸山丸が座礁、救援のため接近した卯月も至近弾をうけ死傷者16名を出し、ラバウルへ避退した。8月6日に龍田、卯月、夕月、駆潜艇2隻は輸送船3隻（南海丸、幾内丸、乾陽丸）を護衛してラバウルを出撃、ブナへ向かった。7日、米軍がガダルカナル島に上陸した。9日にラバウルへ戻り、10日に米潜水艦に撃沈された加古の乗員救助に出動し、11日早朝にシンベリ島に到着、乗員650名を救出した。連合軍は8月中旬にガダルカナル島ヘンダーソン飛行場を完成させて運用を始め、同島周辺海域の制空権を完全に掌握した。第二水雷戦隊が護衛するガダルカナル島への上陸作戦が計画され、卯月はラバウルで物資を搭載、25日にガダルカナル島に到着したが、空襲で損傷した。同日、睦月が第二水雷戦隊に合流直後、第二次ソロモン海戦で沈没した。卯月は内地へ帰投し、佐世保海軍工廠で修理に入った。9月にラビの戦いで弥生も沈没。睦月型の艦艇類別表上の表記は10月1日に卯月型と変更され、12月1日に第30駆逐隊は解隊された。修理完成後の12月13日、九九式双発軽爆撃機をトラック泊地へ輸送する空母冲鷹の護衛として横須賀を出発、迎えの駆逐艦朝雲・時雨と合流し無事に到着した。その後はコロンバンガラ島・ムンダ飛行場への輸送作戦に参加。25日夕、米潜水艦の雷撃で損傷した南海丸を護衛中に同船と衝突し、左舷が大破穿孔して航行不能となった。ラバウルの駆逐艦4隻（長波、有明、谷風、浦風）が救援に出動し、卯月は有明に曳航され、谷風の護衛でラバウルへ向かった。しかし26日朝に有明がB-24爆撃機の空襲で中破したため曳航が浦風に変わり、長波が護衛してラバウルに帰投した。1943年（昭和18年）1月5日にラバウルで爆撃を受けさらに損傷、トラックまで後退し工作艦明石の支援で応急修理を行った。3月31日、望月、三日月と第30駆逐隊を再編し、4月1日に第三水雷戦隊に編入した。6月24日、神光丸が曳航する駆逐艦秋月を駆逐艦漣と共に護衛してサイパンを出発、7月5日に長崎に到着し、佐世保で本格的な修理に入った。三日月は7月29日に空襲で沈没した。