ベクトル空間としての V は基底 {e₁, …, eₙ} を上で述べた通りに持つ。V の任意の n 個のベクトル {v₁, …, vₙ} を取るとき、線型代数学の知識を用いて写像 T(eᵢ) = vᵢ は V の線型変換に一意に拡張されることが示せる。そのような T の各々は V から V への群準同型としての自己準同型と見ることもできるし、線型変換としての自己準同型と見ることもできる。V の自己同型に限って考えれば、Aut(V) := {T: V → V | ker T = 0} = GLₙ(Fₚ) は Fₚ 上の n-次正則行列全体の成す一般線型群である。自己同型群 GL(V) = GLₙ(Fₚ) はベクトル空間の一般論により V ∖ {0} に推移的に作用する。実はこれが任意の有限群の中で基本アーベル群を特徴付ける性質である。すなわち、G が有限群でその単位元を e とし、Aut(G) が G ∖ {e} に推移的に作用するならば G は基本アーベル群である。（証明: Aut(G) が G ∖ {e} に推移的に作用するならば、G の単位元でない任意の元は同じ位数を持ち、それは素数である必要があるから、G は p-群である。p-群は非自明な中心を持つが、いまそれは任意の自己同型で不変であるから G 全体に一致する。）
V ≅ (Z/pZ)ⁿ を基本アーベル群とする。Z/pZ ≅ Fₚ は p-元体ゆえ、V = ≅ (Fₚ)ⁿ は n-次元 Fₚ-ベクトル空間と見なせる。基本アーベル群が一般には標準基底を持たないことに注意すべきである—同型 V ≅ (Z/pZ)ⁿ は基底のとり方に依存する。注意深く議論を進めるならば、ベクトル空間 (Fₚ)ⁿ が群 V よりも多くの構造をもともと備えていることは留意すべきである。特に群演算（加法）—それはベクトルの和と解釈できる—に加えて、スカラー倍が定まっている。しかし、アーベル群としての V は一意な Z-加群構造—Z の作用は各元の反復和に対応する—を持ち、この Z-加群構造は Fₚ によるスカラー乗法と両立する。すなわち、c ∈ Fₚ に対し（c を 0 ≤ c < p なる整数に持ち上げて）c⋅g := g + g + ⋯ + g（右辺は c 個の和）とすれば V に自然な Fₚ-加群構造が入る。
太田家が入るまで激しく藩主家の交代が続いたため、藩政に見るべきところは太田家に至るまではほとんどないが、主要な点だけを述べておく。松平定勝には、嫡男に松平定吉がいた。定吉は智勇兼備で特に弓術に優れ、性格においても温厚篤実なことから家臣団の信頼も厚かった。しかしある日、徳川家康が定勝の屋敷を訪れたときのことである。定吉は家康に自分の力量を見てもらおうと、空に飛翔していた一羽の鷲に向けて矢を放ち、これを見事に命中させた。家臣団はさすがに武芸達者と賞賛したが、家康はこれを褒めるどころか、家臣など多くの人がいる前でこのような軽率なことをすべきではない、成功すればいいが、失敗すれば物笑いの種になると叱りつけた。定吉は家康に嫌われていたらしいが、19歳であった定吉の精神に大きなショックを与え、このまま父の跡を継いでも嫌われている自分ではしようがないとまで思い、自殺した。このとき、定吉の後を追って多くの家臣が殉死している。定勝は期待していた我が子の死を悲しみ、その菩提を弔うために遠江塚を築いたと言われている。この遠江塚は、江戸時代を通じて主に若者の信仰を集めていたと言われている。小笠原長煕は、幕命により大井川下流域の治水工事、新田開発などで功績を挙げている。その後、長庸を経て小笠原長恭が棚倉へ懲罰的な移封を命じられた理由であるが、これが一盗賊の横行が理由だった。長恭の時代、遠州では浜嶋庄兵衛こと日本の左衛門という盗賊がいて、東海地方を中心とした急ぎばたらきを働いていた。延享3年（1746年）には掛川城下の大池村惣右衛門宅に押し入って1000両を強奪したほどである。ところがこれに対し、長恭は何の対策も取らなかった。このため、領民は藩主では駄目だと考えて幕府に助けを求めた。延享4年（1747年）に急ぎばたらきの盗賊の頭・浜嶋は京都で捕らえられる（浜嶋は自首したとも言われている）が、それまでに何件の盗めを働き、どれだけの被害が出たことかわからないほどであった。これらは全て、藩主の長恭が的確な処置を取らなかったためということになり、幕府は懲罰的な移封を命じた。そして、太田家が入って藩主家が安定する。太田家はそれまで何度も藩主家が替わって藩政が不安定なことを考慮し、まずは藩政の安定化を第一とした。警察力の強化と厳罰主義などがそれである。これは前代の小笠原家の時代に盗賊が横行したことも考慮したのであろうが、あまりに厳罰がすぎたため、領民からは評判が悪かった。第2代藩主・太田資愛は掛川城内に藩校・北門書院（のち徳造書院）を築いた。また、斎田茂先や山本忠英らを登用して『掛川志稿』という首巻1巻・本文14巻からなる掛川の地理や古墳についてまとめ上げた地誌を編纂し、掛川藩の文化発展に尽くした。一方、太田家は民政においては「地方御用達」を設置する。これは領民の中から有能な人物を登用し、それらの人物によって藩や村方三役との調整、百姓一揆との交渉を取り持つなどの役目を果たすなど、藩政に大きく参与した役職である。また、掛川藩は灌漑用水を溜池に依存することから、旱魃が続いてたびたび凶作・飢饉が相次いだ。第5代藩主・太田資始はこのような事態を打開するため、松の木の皮を食用にする方法を採用した「松皮製造法」を制定する。これによって飢饉における食糧不足を防ごうとしたのである。第6代藩主・太田資功は二宮尊徳の弟子に当たる安居院庄七を登用し、藩政改革を行なった。遠州最初となる下石田報徳者を創設し、その後も牛岡組報徳者などを創設した。この報徳社は今でいう村おこしを進める運動会社で、その知識を学ばせる学校といえる。この農村復興計画は大いに成功し、幕末に向けてますます発展していったと言われている。なお、藩財政においては、掛川藩は米作を中心として茶・木材・椎茸などが作られていたが、いずれも生産量が乏しく、藩財政も農村も常に苦しかった。