2012年オフの11月13日にジョシュ・ジョンソン、ホセ・レイエス、マーク・バーリーら総勢11人が動く大型トレードでマイアミ・マーリンズへ移籍したが、このトレードで一緒に移籍してきた同じキューバからの亡命組である弟分のアデイニー・エチェバリアとレギュラー争いをしたくないとして、トレードを希望。その後、12月4日にデレク・ディートリックとのトレードで、タンパベイ・レイズへ移籍した。2013年、移籍1年目のシーズンは自己最高の153試合に出場。打率.256・9本塁打・56打点・4盗塁という成績は、いずれも2012年とほぼ同等だったが、自己ベストの27二塁打を放った。11月2日にレイズが2014年シーズンの球団オプションを行使した。2014年4月5日にレイズと総額1300万ドルの2年契約（2017年・700万ドルの球団オプション付き）に合意した。最終的に打率.258を記録、2012年から2年連続で打率が上昇したが、安打・本塁打・打点・出塁率・OPS等の主要打撃部門で軒並み数字を落とした。守備面でも、失策が7から16に増加し、全体的にやや低調なシーズンを送った。
2010年7月14日にアレックス・ゴンザレスら3人とのトレードで、ジョジョ・レイエスと共にトロント・ブルージェイズへ移籍した。ブレーブス時代に素行不良が伝えられていたエスコバーに対し、ブルージェイズは同じラテンアメリカ出身のホセ・バティスタを指南役に充てた。移籍後は打率.275とやや持ち直したが、トータルでは打率.256・4本塁打・OPS.696と自己最低の成績に終わった。シーズン終了後、年俸調停の権利を得たエスコバーは2011年1月18日に1年290万ドルで契約を延長した。2011年は本来の打撃を取り戻し、アメリカンリーグの遊撃手では最高の出塁率をマークした。球団はエスコバーの働きを高く評価し、6月19日に2013年まで2年1000万ドル（2015年までのオプションを含めると4年2000万ドル）で契約を延長した。2012年は四球を選ぶ割合が低下し、シーズン途中で1番打者から外された。9月15日のボストン・レッドソックス戦で、スペイン語による同性愛者を中傷する『TUERE MARICON』（訳は「あなたはホモです」もしくは「あなたは女の子みたいだね」）という言葉が入ったアイブラックを着用して試合に出場していたため、ブルージェイズ球団から3試合（同年9月19日のダブルヘッダー及び20日のニューヨーク・ヤンキース3連戦）の出場停止処分を科された。エスコバーは「単なる冗談のつもりだったが、同じ過ちを二度と起こさない」と謝罪を表明、停止3試合分の給与はLGBT団体のユーキャンプレイとGLAADへ寄贈された。
2005年6月8日のMLBドラフト2巡目（全体75位）でアトランタ・ブレーブスから指名を受け、契約金47万5000ドルで入団した。2006年はシーズン通してマイナーリーグのAA級ミシシッピ・ブレーブスでプレーし、7月にオールスター・フューチャーズゲームの世界選抜に選ばれた。同年秋のアリゾナ・フォールリーグでは打率.407を記録し、首位打者のタイトルを獲得した。2007年はAA級ミシシッピを経て、6月2日のシカゴ・カブス戦でメジャーデビュー。本職の遊撃手以外にも二塁手や三塁手としてもプレー。7月下旬以降は打率3割台をキープし、シーズントータルで94試合に出場し、打率.326・5本塁打・28打点をマークし、新人王の投票で6位に入った。2007年10月28日にブレーブスの正遊撃手だったエドガー・レンテリアがトレードで放出され、エスコバーは2008年から後釜の正遊撃手となった。2009年は前のシーズンより成績を上げ、打率.299・14本塁打・76打点・OPS.812を記録した。2010年は深刻な打撃不振に陥った。
2000-2001シーズンからキューバ国内リーグであるセリエ・ナシオナル・デ・ベイスボルのレオネス・デ・インダストリアレスに所属。2004年10月にジュニアナショナルチームの仲間5人を含むキューバからの35人の脱出グループの一員としていかだでフロリダ半島に上陸し、アメリカ合衆国へ亡命した。
安政4年（1857年）、尾張国海部郡津島村（現・愛知県津島市）に生まれた。父親は喜右衛門、母親は美津。幼名は邦之助であり、成人後に父親の名を継いで加藤喜右衛門と呼ばれるようになった。幼少時から国語や漢学に優れ、東京に出て法学・経済・財政などを学んだ。1879年（明治12年）には津島村会議員に立候補して初当選した。1882年（明治15年）に愛知県知事から津島村衛生委員を任された後、1883年（明治16年）に海東西郡連合会（後の海東郡会）議員となり、1884年（明治17年）に愛知県会議員となった。1891年（明治24年）に濃尾地震が起こった際には県会議員として復興に尽力している。1892年（明治25年）の第2回衆議院議員総選挙には愛知県第6区から立候補して補欠当選した。同年9月1日に愛知県第6区の当選者である加藤政一（独立倶楽部）が辞職したことで、加藤喜右衛門が同年9月25日に衆議院議員となった。1894年（明治27年）3月の第3回衆議院議員総選挙では自由党から出馬し、今度は選挙区で当選した。帝国議会議員時代には治水事業の推進、菓子税の廃止などを手掛けている。加藤は政界だけでなく実業界や教育界にも明るかった。1895年（明治28年）には名古屋蚕糸綿布取引所の理事長や尾西鉄道株式会社の常務取締役に就任したほか、1901年（明治34年）7月には愛知県知事によって海東郡立図書館（現・津島市立図書館）の初代館長に就任している。その他には愛知県農会副会長として各種品評会や博覧会などで審査委員を務めている。1902年（明治35年）には多数の政治家が関与した収賄事件に巻き込まれた。1923年（大正12年）1月20日に病気のために死去。享年67。