三次元球面 S³ に対して四次元ユークリッド空間の四つの直交座標成分は冗長である（球面上では条件として x 20  + x 21  + x 22  + x 23  = 1 が成り立っているから）。三次元多様体として S³ は三成分の座標系でパラメタ付けられなければならない（これはちょうど、通常の二次元球面が経度と緯度の二つの座標成分でパラメタ取られるというのと対応している）。S³ の非自明な位相のおかげで、球面全体をカバーする単一の座標系をとることが可能である。二次元球面の場合と同様、そのような座標系は少なくとも二つの座標チャートを用いなければならない。いくつか代表的な座標系のとり方を以下に挙げる。
二次元球面から一点を取り除いたものはユークリッド平面に同相であることを思い出そう。同様にして、三次元球面から一点を取り除いたものは三次元ユークリッド空間に同相である。このことを確かめる極めて有効な方法は立体射影によるものである。先に二次元球面の場合について確認しよう。通常の意味での立体射影は、単位二次元球面を三次元空間内の xy-平面の原点に南極 S が載るように置く。北極 N を除く二次元球面上の任意の点 P を、N と P を結ぶ直線 NP と xy-平面との交点へ写すものであった。三次元球面に関する立体射影も、同様の仕方で北極を除く三次元球面上の各点を xyz-空間上の点へ写す。（立体射影は等角射影であるから、球面は球面または平面に写されることに注意。）指数写像を用いて一点コンパクト化を考えることもできる。ふたたび、二次元球面をユークリッド平面に置いた例で考えれば、平面上の原点を始点とする測地線は球面上の南極を始点とする同じ長さの測地線に写される。このとき、半径 π の円上の点はすべて北極に写るが、開単位円板はユークリッド平面に同相であったから、これもやはり一点コンパクト化であったことがわかる。三次元球面に対する指数写像も同様に構成される。この議論は、三次元球面が単位四元数の成すリー群であるという事実を用いてもできる。
三次元球面の構成法はよく知られたものがいくつか存在する。ここではふたつの三次元球体の張り合わせによる方法と三次元ユークリッド空間の一点コンパクト化としての構成法に関して述べる。
三次元球面は自然に滑らかな多様体（実は R⁴への閉埋蔵多様体）になる。 R⁴ 上のユークリッド距離から三次元球面上の距離が導かれ、三次元球面はリーマン多様体となる。任意の二次元球面がそうであったように、任意の三次元球面も一定の正の断面曲率を持ち、その値は半径を r とすれば  に等しい。三次元球面の興味深い幾何学的性質には、それが（四元数の乗法によって与えられる）自然なリー群構造を持つという事実に由来するものがたくさんある（後述）。ほかの次元の球面で同様の構造を持つものは、零次元および一次元（円周群）に限られる。二次元球面の場合と異なり、三次元球面上では至る所消えないベクトル場（接束の切断）を持つ。さらには、至る所消えないベクトル場の線型独立な三つ組さえ存在する（そのようなものとして、三次元球面のリー環の基底となるような左不変ベクトル場の任意の組をとることができる）。このことから、三次元球面は平行化可能であることが分かる。したがって三次元球面の接束は自明である。一般次元の球面における線型独立なベクトル場の数に関する一般の議論は球面上のベクトル場の項を参照せよ。三次元球面への円周群 T の興味深い群作用が存在して、S³ にはホップ束と呼ばれる主円束の構造が入る。S³ を C² の部分集合と見る観点ならば、この作用は  で与えられる。この作用の軌道空間は二次元球面 S² に同相である。S³ は S² × S¹ に同相でないから、ホップ束は自明でない。
『日本書紀』によれば、継体天皇21年（527年）に起きた磐井の乱に際して、筑紫君磐井の征討を命じられた物部麁鹿火に、継体天皇が刀を授けたことが、節刀の初めとされる。その後も、大宝元年（701年）に民部尚書と遣唐執節使に任じられた粟田真人に文武天皇が授けた例や、延暦20年（801年）に蝦夷討伐を命じられた征夷大将軍の坂上田村麻呂に桓武天皇が授けた例などがよく知られる。将軍や大使に節刀を授ける習わしは、遣唐使が廃止され、辺境の反乱が減少した平安時代末期には廃れた。それから数百年が経過した江戸時代末期、政治的な意味を持つ儀式として、節刀下賜が注目されるようになる。文久3年（1863年）、上洛した徳川家茂に対して攘夷の実行を促すため、孝明天皇から節刀を授けることが図られた。結局、この計画は流れたが、徳川将軍の権威の低下と天皇・朝廷の権威の復活は明らかとなった。さらに、慶応4年/明治元年（1867年）には、東征大総督に任じられた有栖川宮熾仁親王が東征に際して明治天皇から錦の御旗と節刀を授けられた。明治時代には、天皇が国の元首として統帥権（大日本帝国憲法11条）を含む統治権を総攬し憲法に依拠してこれを行使する立憲君主制（帝国憲法4条）が整い、富国強兵の国策の下、天皇の軍事的権威も高められた。制度の近代化・西欧化が進められる中で、節刀の慣習は元帥への刀剣下賜という形で残される。1904年（明治37年）の日露戦争のときには、皇太子（後の大正天皇）が連合艦隊司令長官の東郷平八郎に名刀・一文字吉房を下賜して激励した。これも節刀の一種と考えられている。