複素射影平面の点 (a, b, c) は、za, zb, zc がすべて実数となるような複素数 z が存在するとき、R-有理点（通常は、実という）である。そうでなければ、複素数の点という。この記述は高次元の複素射影空間へ一般化される。
点 P = (√2, 3) は、方程式 3x²−2y = 0 により定義される代数多様体（この場合は放物線）上の点である。座標 √2 は有理的でないので、P は有理点ではないにもかかわらず、F を a と b を任意の有理数として a + b√2 という形の数がなす体とすると、P は F-有理点となる。これは座標 √2 = 0 + 1√2 と 3 = 3 + 0√2 であり、数 0, 1, 3 は有理数だからである。
点 (3, −67/4) は、方程式 y + 67/4 = 2 (x − 3) で与えられる直線上の有理点の無限集合のひとつの元である。この有理点の集合は、群演算 (a, b) "+" (r, s) = (a + r, b + s + 91/4) と単位元 (0, −91/4) を持つ可換群を形成する。この直線上に整数点は存在しないことを示すことができる。この直線は単純なタイプの代数曲線であり、代数多様体である。有限個の有理点しかもたない、もしくはまったく有理点をもたない代数曲線（たとえば、円錐曲線 x² + y² + 1 = 0）も存在する。
V を体 K 上の代数多様体とする。V がアフィンのとき、つまり、V が方程式の組 fⱼ(x₁, ..., xₙ) = 0, j = 1, ..., m の零点集合で、係数は K に属しているとすると、V の K-有理点 P は、体 K に属する数の順序付きの n-個の組 (x₁, ..., xₙ) であり、同時にすべての方程式の解となっている組である。一般の場合は、V の K-有理点は、V のあるアフィン開部分集合の K-有理点である。V がある射影空間  の中の斉次多項式  （係数は K に属する）で定義される射影的な代数多様体の場合は、V の K-有理点は射影空間内の  の点のうち、すべての座標が K に属し、すべての方程式  の共通解となっているものである。混乱がない場合、あるいは体 K が有理数体の場合には、K-有理点という代わりに、有理点ということもある。K-有理点と同様に、楕円曲線のような代数多様体の有理点は、現在の研究の主要な分野となっている。アーベル多様体 A に対し、K-有理点は群を形成する。K が数体のとき、モーデル・ヴェイユの定理は K 上のアーベル多様体の有理点のなす群は有限生成であることを言っている。ヴェイユ予想は、有限体上の多様体上の有理点の分布に関連していて、多様体が定義される最も小さな部分体が存在し、それへ属する点から有理点が構成されることを意味している。
2004年12月3日、東京地方検察庁は、東京地方裁判所に、威力業務妨害罪で元教師Aを、在宅のまま起訴する。事件番号は、威力業務妨害 平成16年刑(わ)第5086号 である。起訴を受けて、2004年12月18日、『都立板橋高校 A先生の無罪を求める署名』のホームページが立ち上げられる。12月19日には、『A先生不当起訴抗議集会』が開かれ、集会アピールが採択される。2005年4月21日、初公判が開かれる。検察側の起訴状朗読の後、弁護団は「起訴状の公訴事実が不明確」として、求釈明の申立を行う。弁護団は、公訴棄却申立を行う。第2回公判は、同年5月12日に開かれる。第3回公判は、同年5月30日に開かれる。第4回公判は、同年6月21日に開かれる。公判は、回を重ねられ、12月1日には、第9回公判となっている。被告人および弁護側は、元教師Aが人の意思を制圧するような力の行使を行っておらず「威力」に該当せず、元教師Aが卒業式開始15分前には退去させられていたということで業務妨害の結果は生ぜず、卒業式の妨害を意図した行為ではないので、威力業務妨害罪には当たらないと主張する。検察側証人には、卒業式出席の保護者はいなかった。当時の東京都教育委員会の指導主事が卒業式開始前からICレコーダーに収録していた録音が、検察側の証拠として提出された。この録音では、元教師Aの保護者への呼びかけが大きく収録され、「何で追い出すんだ」との元教師Fの抗議の声も入っていた。2006年3月23日、検察側は、懲役8ヶ月の求刑を論告する。2006年5月30日、東京地方裁判所で、裁判長の村瀬均は、罰金20万円の判決を言い渡す。判決理由として、業務の妨害のおそれという理由での威力業務妨害罪の成立は認めるが、被告人の行為は卒業式妨害を目的としておらず、妨害を受けたのは短時間であり、卒業式は支障なく実施されたということであった。被告側は即日控訴する。