1977年5月、パルモリヴやヴィヴがクラッシュのジョー・ストラマーやミック・ジョーンズと親しかったためもあり、スリッツはメンバーが固まってからわずか3回のリハーサルを経たばかりでクラッシュの「White Riot Tour」に前座として起用される。同年9月と1978年4月にはBBC Radio 1の「ジョン・ピール・セッションズ」に出演（デビュー・アルバム以前のオリジナル・メンバー4人による貴重な音源が残されており、1988年にCD化されている)。1978年末にはパルモリヴがレインコーツへ参加するためにスリッツを脱退。新しいドラマーとしてバッジー（本名ピーター・クラーク）が加入。このころまでのスリッツは荒々しい典型的パンク・サウンドの演奏をしていたが、次第にレゲエの影響を受け、特にダブの手法を積極的に取り入れるようになった。1979年9月、イギリスにおけるダブ・ミュージックの巨匠デニス・ボーヴェルをプロデューサーに迎えたデビュー・アルバム『カット』（Cut）をリリース（同アルバムからは「Typical Girls / I Heard It Through the Grapevine」をシングルカット。B面はマーヴィン・ゲイのヒット曲「悲しいうわさ」のカヴァー）。パンクとダブを融合させた特異なスタイル（ただし、スリッツ以降のポスト・パンク、ニュー・ウェイヴにおいてはオーソドックスとなる）ばかりでなく、アリ、ヴィヴ、テッサの3人が褌一丁で泥まみれになっているジャケット写真は衝撃を与えた。スリッツのメンバーたちだけでなく、たいていの女性パンク・ロッカーは声高にフェミニズムを語ることはしていない（それは語るためのものではなく生き方であるから）。しかしこのジャケットが典型的であるが、スリッツのヴィジュアル・イメージや雑誌などにおける発言、ステージでのパフォーマンスなどのすべてが、それまでのマチズモ的なパンクとは一線を画す姿勢を表している。『カット』リリース後にバッジーはスリッツを脱退してスージー・アンド・ザ・バンシーズに参加。以後、スリッツは正式なドラマーをメンバーに置かず、そのつどゲストとしての参加を要請するようになる。このとき呼びかけに答えたのは当時ブリストルのポストパンク・バンド、ザ・ポップ・グループに在籍していたブルース・スミスである。またこのころアイランド・レコードを離れてザ・ポップ・グループと同じラフ・トレード傘下のレーベル「Y」へ移籍し、同レーベルからシングル「In The Beginning There Was Rhythm」（ザ・ポップ・グループ「Where There's A Will」とのスプリット・シングル）、「Man Next Door」をリリース。後者をプロデュースしているのは「On-Uサウンド」レーベルの主宰者で一流ダブ・エンジニアのエイドリアン・シャーウッドである。シャーウッドとの交流は、アリとヴィヴがスリッツと並行して参加したプロジェクト「ニュー・エイジ・ステッパーズ」で生まれたものであるが、ここでスティーヴ・ベレスフォード（Steve Beresford）やネナ・チェリーといった先鋭的なシャーウッドの人脈と触れることによって、スリッツはレゲエやダブ、ジャズなどの要素を貪欲に取り入れてさらに実験的・前衛的なスタイルを深化させてゆく。そして1981年10月、CBSとメジャー契約を交わしたスリッツはセカンド・アルバム『大地の音』（Return of the Giant Slits）をリリースするが、これを最後にスリッツは解散してしまう。
「カンコンキン」という名称が「関根勤」をすべて音読みしたものであることからもうかがえるように、関根自らが構成・演出を行っており、男性出演者は関根の古くからの友人や所属事務所である浅井企画の後輩芸人、女性出演者は座長の娘である関根麻里を除き、オーディションの合格者、または関根らがスカウトした者で構成されている。当初は各回ごとにタイトルがつけられていたが、第6回公演からはタイトルが『クドい!』に、第33回公演からは同じく『クドい!®』に統一され、各回ごとのサブタイトルがつけられている。劇団の形式は採っているが、正確には「夏の公演の為に毎年春の企画会議〜千秋楽までの間に集まる軽演劇集団」であり、基本的には各団員個人の活動は劇団内の範疇では規制されていない。そのため、2001年のルー大柴のように別の舞台公演とのダブルブッキングも容認されている。内容は、関根が2009年3月まで27年半出演したラジオ番組『コサキンDEワァオ!』にも通じる、「意味ねぇ、くだらねぇ」の極致をいったナンセンスでマニアックなコントの連続である。本公演では、それに輪をかけたくだらなさ、お下劣さを醸し出しており、劇団パンフレット「軍人魂」において「客に突っ込まれるスキのある、日本唯一の劇団」と自虐している。テレビ・雑誌等では見られない「ウラ関根」ワールドが全開になった公演であり、内容にメッセージ性といったものは全くなく、ただひたすら笑いに特化している。かなり観る人を選ぶ公演であるため、当初はチケットも余ることがあったが、2000年頃よりネット発売後30分足らずで完売するほどの人気を博し、ネットオークションでの法外な高額取引やそれを見越した転売目的での買い占めなどが起こっていた。また、明石家さんまやタモリ、藤井隆、草彅剛等、多忙な中でも時間を割いて観劇する有名人もいる。 特にさんまは毎年観劇しており、団員に内容をダメ出ししているという。タモリは『カンコンキンシアター』を「世界一好きな舞台」と高く評価している。上演時間の長さでも知られ、特に会場がシアターアプルだった時代（第4回から第22回まで）は4時間を超えるのが当たり前になっていた。千秋楽では出演者の意気込みによるアドリブなどの連発などからさらに延長され、5時間近くになることもあった。マチネ（昼公演）となる日曜日の公演以外では開演は19時からなので終演は23時を過ぎ、ついには出演者である山中伊知郎が「終電が無くなるから」という理由で、途中で堂々と帰宅するようになる。この時の観客には大いに受けたが、観客にとっても終電は『カンコンキン』観劇時の切実な問題であった。原因は、通し稽古の時には少し巻き気味にしているからであり、関根も「どんなに短くしても4時間以上になる、これ以上は切れない（切るところがない）」と語っていた。スーパー・エキセントリック・シアター座長でもある三宅裕司からは、「時間を守らず（終了予定時刻の22:45を超え）毎年延長料金を払っている舞台は舞台じゃない」と批判されていた。会場が東京グローブ座に移った第23回公演（2009年）以降は、同会場の閉館時間が22時と徹底されているため、後述する団員リストラと演目の削減が行われ、夜公演での上演時間は以前より抑えられている。2014年に製作のアトリエ・ダンカンが倒産し、興行運営権は全栄に渡った。2018年上演の第32回公演『クドい! THE LAST MESSAGE』をもって、第6回公演から続けられてきた『クドい!』シリーズが終了した。『クドい!』終了の理由として、関根は「平成元年（1989年）に旗揚げして、その平成も来年（平成31年=2019年）で終わる。我々もいい歳なので、いつかは『カンコンキン』が終わることもある」と観客に備えてもらいたいことを挙げた。2019年上演の第33回公演からは『クドい!®』（クドい!アール）と題した新シリーズが開始される。®には、令和、R指定、リボーン、リトライなどの意味があるという。