父親は郵政省の役人で、退官後は旅館業、飲食店などを手広く経営していた。高校卒業後進学せずぶらぶらしているのを見て、父親より新丸子にある、すし店の経営を任せられる。1957年、高校の同級生の辻しげるらと劇団を結成。後に、三木鶏郎、永六輔、いずみたくらがいる冗談工房に入団する。この時のマネージャーは、後の作家・野坂昭如だった。1957年にラジオの「トリロー・サンドイッチ」のメンバーになる。その後、テレビに出演。芸名の由来は、本名の肥田木をもじって「左」を、名付け親の三木鶏郎の行きつけの居酒屋から「とん平」を取った。初めは「三木」を提案されたが、嫌な顔をしたために「左」となった。1960年頃から新宿コマ劇場などに出演。1970年代に『時間ですよ』などが当たり、一躍人気者となる。主にコメディリリーフとしての起用が多かった。1973年に「ヘイ・ユー! ホワッチャー・ネーム?」（「Hey you! What's your name?」…トニー谷のギャグである「あなたのお名前何てぇの?」の英語版）というギャグが流行語となり、レコード化もされた。それと前後してTBSテレビの深夜番組『ぎんざナイトナイト』で「とん平のヘイ・ユー! インタビュー」というコーナーが設けられ、銀座を歩く若い女性に「ヘイ・ユー!」の挨拶の後いろいろな質問をしていた。森光子とは親交があり、「お母さん」「とんとんちゃん」と呼び合う仲だった。2017年6月、急性心筋梗塞で倒れ、長期入院をしていたが、翌2018年2月24日午後3時57分、心不全により東京都内の病院で死去。80歳だった。
阪神タイガースの熱烈なファンとして有名。藤村富美男の予告ホームランを見たことをきっかけに、ファンになったという。小学生時代は、クラスメイトが数人しかいなかったもかかわらず、藤村の出席番号「10」を希望したほどである。藤村の引退後は、村山実のファンであった。陸上競技に没頭していた高校時代は一時期、阪神ファンとしての関心はややなくなっていたが、陸上競技を怪我で断念した大学時代に、阪神ファンとしての情熱が甦ったという。同球団の本拠地・阪神甲子園球場内にある甲子園歴史館では、2010年3月の開館時から、ファン代表の立場で顧問を務めている。また、朝日放送のアナウンサー・解説者・番組出演者や著名人で結成した応援団「チーム 虎バン主義。」の顧問でもある。
本名は宮崎懋（みやざきつとむ）。のちに一章（墓誌名）、一彰と改名する。ペンネームは当初、日夏耿之介の名前から一字を取って「宮崎耿平」（みやざきこうへい）としていたが、人から正しく「こうへい」と呼んでもらえなかったことからその後「康平」に変更している。宮崎は1917年、長崎県島原市で宮崎組という土建業を営む家に生まれる。旧制早稲田大学文学部を卒業後の1940年に東宝映画（現在の東宝）へ脚本家として入社する。兄が死去したため、東宝を退社して実家へ戻り1946年2月、南旺土木（宮崎組の後身。名前は宮崎が愛していた南旺映画に由来）の取締役社長となる。同年11月には島原鉄道の常務取締役にも就任。しかし南旺土木の経営は行き詰まり1948年に倒産した。1949年、地方巡幸に伴い昭和天皇の島原来訪、島原鉄道は路盤を強化する必要に迫られ、昼夜を徹した突貫工事が行われる。このときの過労によって、1950年に眼底網膜炎で失明する。しかし、昭和天皇の案内役を務めるため、鉄道のカーブの数を数え、何度も練習し務め上げた。昭和天皇は最後側近に言われるまで、宮崎が盲目だということに気づかなかったという。同時に当時結婚していた妻が家出する。家出後に一人で子どもを育てた際に歌って聞かせた子守唄が後に「島原の子守唄」として知られるようになる（詳細は後述）。また同年、失明を理由に島原鉄道常務取締役を辞任した。このとき、会社は宮崎を慰留しているが、失明した者には仕事はできないと、これを固辞している。1952年に「島原鉄道観光の歌」を作ることとなり、島原鉄道は宮崎へ作詞を依頼、この歌の作曲をした古関裕而と知り合う。古関がNHKのラジオ・ドラマ「君の名は」の音楽を担当していたことから、宮崎はドラマの原作者・菊田一夫の知遇を得た。このことから宮崎は観光客の増加を狙うべく菊田に「君の名は」の結末の舞台を島原にするよう誘致する。この誘致は功を奏し、1953年から1954年に制作された映画でも島原はロケーションに使われ、島原観光がブームとなる。1956年2月、古川社長の死去に伴い島原鉄道の強い要請で再び常務取締役に就任する。1957年7月には島原大水害が発生、宮崎は鉄道復旧のため、1949年と同様に陣頭指揮に立つ。このとき、多数の土器が出土したことから宮崎は古代史の研究に強い興味を示すこととなる。1958年には先妻との離婚が成立し、同時に内縁状態にあった和子と火野葦平媒酌のもと、正式に再婚する。1960年には島原鉄道常務取締役を辞任、九州全域から朝鮮半島にまでいたる調査を経て、1965年から文学雑誌・九州文学へ調査結果を連載し始める。これをまとめ、一冊の本としたのが講談社から1967年に発売された『まぼろしの邪馬台国』である。この書籍はベストセラーとなり学者のレヴェルにとどまっていた邪馬台国論争を一般にまで広めたとされる。この功績により、同年創設された第1回吉川英治文化賞を受賞した。なおこの書籍が妻・和子の口述筆記によるものであったことから同賞は夫妻に対して贈られている。1980年には『まぼろしの邪馬台国』の改訂版『新版 まぼろしの邪馬台国』を著し、併せて今後の邪馬台国研究の予定を公にするものの急逝した。62歳没。戒名 天真院博道公平居士。島原市の本光寺に眠る。