ホモロジー論を公理的に（アイレンバーグ–スティーンロッドの公理を通じて）定義して、公理の1つ（次元公理）を緩めれば、extraordinary homology theory と呼ばれる一般化された理論を得る。これらはもともと extraordinary cohomology theories の形で、すなわち K-理論とコボルディズム理論において生じた。この文脈において、特異ホモロジーは ordinary homology と呼ばれる。
ホモロジー論の数が多くなってきたので（en:Category:Homology theory参照）、特異理論に対してベッチホモロジー (Betti homology) とベッチコホモロジー (Betti cohomology) という用語が（特に代数幾何について書く著者によって）ときどき使用される。単体的複体や閉多様体といった最もよく知られた空間のベッチ数を生じるからである。
数学の一分野である代数トポロジーにおいて、特異ホモロジー (singular homology) とは位相空間 X の代数的不変量のある種の集合、いわゆるホモロジー群 (homology group)   の研究のことである。直感的に言えば、特異ホモロジーは、各次元 n に対して、空間の n 次元の穴を数える。特異ホモロジーはホモロジー論の例である。これは今では理論のかなり大きな集まりに成長している。様々な理論の中で、特異ホモロジーはかなり具体的な構成に基づいているのでおそらく理解するのが容易なものの1つである。手短に言えば、特異ホモロジーは標準 n-単体から位相空間への写像をとり、それらから特異チェイン (singular chain) と呼ばれる形式和を作ることによって構成される。単体上の境界作用素は特異チェイン複体を誘導する。すると特異ホモロジーはそのチェイン複体のホモロジーである。得られるホモロジー群はすべてのホモトピー同値な空間に対して同じであり、これがそれらの研究の理由である。これらの構成はすべての位相空間に対して適用することができるので、特異ホモロジーは圏論の言葉で表現できる。そこではホモロジー群は位相空間の圏から次数付きアーベル群の圏への関手になる。これらのアイデアは以下でもっと詳細に説明される。
忠昌は家督相続後、結城秀康から忠直に受け継がれた麹町屋敷（東京都麹町）は相続していない。これは当時、忠直の息子の仙千代（のちの光長）やその他妻妾らが住んでいたため、それらを気遣ってのことともされるが、そもそも当時既に越後高田25万石という立派な大名であった忠昌は、江戸城大手門至近の龍ノ口（現在の東京都大手町）に立派な屋敷を構えていて、移転の必要がなかったためでもある。この上屋敷は現在その遺構建築物は残っていないが、壮麗な建物は模型復元され、江戸東京博物館に常設展示されている。また、江戸を代表する大名屋敷として、出光美術館蔵の「江戸名所図屏風」に松平伊予守上屋敷が、国立歴史民俗博物館蔵の「江戸図屏風」には他の大藩の壮麗な屋敷と共に松平伊予守上屋敷と推測同定される屋敷が描かれている。寛永11年（1634年）龍ノ口上屋敷とは別に、中屋敷として江戸霊岸島（中央区新川2丁目）に浜屋敷地を賜った。三方を堀に囲まれたこの浜屋敷の跡地は「越前堀」と呼ばれ、現在跡地にある越前堀児童公園に、発掘された石垣が保存されている。忠昌の終焉の地は、この中屋敷である。下屋敷は本所中之郷（墨田区吾妻橋一丁目　現在は墨田区役所）にあった。
明治に入り、約300年ぶりに籠手田姓に復す。松田道之の後を受け第2代滋賀県令に就任。大津で再会した高山峰三郎を滋賀県警察官に採用した。1881年（明治14年）1月、無刀流山岡鉄舟に入門し、高弟となる。1882年（明治15年）7月16日、京都体育場で撃剣大会が開かれ、大蔵卿松方正義、京都府知事北垣国道、岡山県令高崎五六らが臨場。籠手田も参加し、渡辺篤と対戦した。渡辺は当時素性を隠していたが、元京都見廻組組員で、晩年に坂本龍馬暗殺を証言した人物である。1883年（明治16年）11月、東京での地方官会議に出席する際、高山峰三郎ら関西の剣客約10名を引き連れ警視庁に試合を挑む。高山は警視庁選り抜きの撃剣世話掛36名を連破した。この出来事は明治剣道史の一大事件として知られる。1885年（明治18年）6月14日、宮内省済寧館剣槍術大会に臨席する。1887年（明治20年）、山岡鉄舟の武士道講話を筆録したとされる。この記録をもとに安部正人が編纂した書籍が、1902年（明治35年）、『武士道』として公刊されている。1891年（明治24年）、自身の撃剣の門人を無試験で看守に採用したことが問題視され、同年11月25日の新潟通常県会で、「看守はあえて武者修行なる者にあらず。囚徒を監督するものなるを、おのれが撃剣好きなるゆえ採用せしなどとは、地方税を濫費せしいものというべし」と議員から糾弾された。また、同月20日付の新潟新聞においても、「自ら法を作て自ら之を破る者は我新潟県知事なり」と批判された。このころ、京都の剣術家小関教政父子を新潟へ招き庇護し、教政に心形刀流と無刀流の免許皆伝を与えた。教政を引き連れ旧新発田藩剣術師範今井常固の道場を破る。強い剣客を配下に従えたびたび道場破りを行ったことは籠手田の悪癖であったといわれる。1897年（明治30年）、三女崇子と教政が結婚した（籠手田の死後、離婚している）。1899年（明治32年）、死去。1902年（明治35年）、滋賀県政の功績を讃え、天台寺門宗総本山園城寺境内に「籠手田安定頌徳碑」が建立された。