定理X を弱局所連結空間とする。すると X は局所連結である。証明開集合の成分が開であることを示せば十分である。U を X で開とし C を U の成分とする。x を C の元とする。すると x は U の元なので X の連結部分空間 A が存在して U に含まれ x のある近傍 V を含む。A は連結で x を含むから、A は C の部分集合でなければならない（x を含む成分）。したがって x の近傍 V は C の部分集合である。x は任意であったから、各 x ∈ C は C に含まれる近傍 V を持つことが示せた。これは C は U において開であることを示している。したがって X は局所連結である。decreasing broom spaces のある無限和はある特定の点において弱局所連結であるがその点において局所連結でない空間の例である。
X を位相空間とする。X 上の第三の関係を定義する： X の開集合 A と B への分離であって x が A の元であって y が B の元であるようなものは存在しないとき、。これは X 上の同値関係であり x を含む同値類  は x の quasicomponent と呼ばれる。 は x を含む X のすべての開かつ閉部分集合の共通部分としても特徴づけることができる。したがって  は閉である； 一般に開であるとは限らない。明らかにすべての x ∈ X に対して  である。全体で x における道成分、成分、quasicomponent の間に次の包含がある：X が局所連結であれば、上のように、 は x を含む開かつ閉集合なので、 でありしたがって  である。局所弧状連結性は局所連結性を意味するから、局所弧状連結空間のすべての点 x において が成り立つことが従う。例1. quasicomponent が成分に等しくないような空間の例は離散位相を持った可算集合 X に次のような 2 点 a, b を足したものである。a の任意の近傍は b を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含み、b の任意の近傍は a を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含む。点 a は b の同じ quasicomponent にあるが b と同じ成分にはない。2. Arens-Fort 空間は局所連結ではないがそれにもかかわらず成分と quasicomponent は一致する： 実際すべての点 x に対して  である。
1. 局所連結性は定義によって位相空間の局所的性質である、すなわち位相的性質 P であって空間 X が性質 P を有することと X の各点 x が性質 P を持つ集合の近傍基を持つことは同値である。それに応じて、局所的性質によって持たれるすべての「メタ性質」(metaproperties) は局所連結性に対して成り立つ。特に：2. 空間が局所連結であることと連結部分集合の基底を持つことは同値である。3. 空間の族  の非交和  が局所連結であることと各  が局所連結であることは同値である。特に、一点は必ず局所連結であるから、任意の離散空間は局所連結であることが従う。一方離散空間は完全不連結なので、連結であるのは高々一点からなるときに限る。4. 逆に、完全不連結空間が局所連結であることと離散であることは同値である。これは有理数全体が局所連結でないという前に述べた事実を説明するために使うことができる。
位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 X が局所連結（きょくしょれんけつ、英: locally connected）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。
ニコラ＝クロード・ファブリ・ド・ペーレスク(Nicolas-Claude Fabri de Peiresc 、1580年12月1日 – 1637年6月24日)は16世紀のフランスの天文学者、役人である。1611年にオリオン大星雲を発見した。北アフリカを含む、地中海周辺の各地で月食の観測者を組織して、その観測結果から各地の緯度の差を計算し地中海の正確な大きさを求めた。ベルジャンチエ（Belgentier）の裕福な役人の家系に育った。エクス＝アン＝プロヴァンス、アヴィニョンやトゥルノンのイエズス会の神学校で学んだ。1599年からフランス国内、イタリア、スイスを旅した。最終的に1604年にモンペリエで法律を学んだ。学位をとってエクスに戻り、叔父の仕事を継いでプロヴァンス議会で働き、議会の議長、ギヨーム・デュ・ヴェール(Guillaume du Vair)に仕えた。デュ・ヴェールとともに、1605年から1606年の間パリに旅した。1610年にデュ・ヴェールが望遠鏡を購入しペーレスクとジョゼフ・ゴーチエ(Joseph Gaultier)が木星の衛星などの天文観測を行った。 1610年にはオリオン大星雲 (M42)を発見したが、この発見は忘れられ、1916年にギヨーム・ビゴルダンによってデュ・ヴェールが発見者であることが見出された。後にプロヴァンスのエクス高等法院の参事官を務める一方、科学者や芸術家のパトロンになり、化石の研究などを行った。1634年から1637年の間天文学者のピエール・ガッサンディを自宅に同居させた。エクスで没した。1879年から1897年には、フィリップ・タミゼー・ド・ラロックによって全21集の往復書簡集が出版された。そのうち、セザール・ド・ノートルダムとの往復書簡（第2集）などは、ガリカで公開されている。