data/json/2024/math_28_geom.txt

28. 서로 다른 두 평면 $\alpha$, $\beta$의 교선 위에 $\overline{\mathrm{AB}} = 18$인 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $C_1$이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$를 장축으로 하고 두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{F'}$를 초점으로 하는 타원 $C_2$가 평면 $\beta$ 위에 있다. 원 $C_1$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때,
\[
\overline{\mathrm{HF'}} < \overline{\mathrm{HF}} \quad \text{이고} \quad \angle \mathrm{HFF'} = \frac{\pi}{6}
\]
이다. 직선 $\mathrm{HF}$와 타원 $C_2$가 만나는 점 중 점 $\mathrm{H}$와 가까운 점을 $\mathrm{Q}$라 하면, $\overline{\mathrm{FH}} < \overline{\mathrm{FQ}}$이다. 점 $\mathrm{H}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 4이고 직선 $\mathrm{AB}$에 접한다. 두 평면 $\alpha$, $\beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos \theta$의 값은?
(단, 점 $\mathrm{P}$는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]

\begin{itemize}
    \item[1] $\frac{2 \sqrt{66}}{33}$
    \item[2] $\frac{4 \sqrt{69}}{69}$
    \item[3] $\frac{\sqrt{2}}{3}$
    \item[4] $\frac{4 \sqrt{3}}{15}$
    \item[5] $\frac{2 \sqrt{78}}{39}$
\end{itemize}