data/json/2024/math.json

{"id":1,"name":"1","problem":"1. \\( \\sqrt[3]{24} \\times 3^{\\frac{2}{3}} \\) 의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 6 \\item[2] 7 \\item[3] 8 \\item[4] 9 \\item[5] 10 \\end{itemize}","answer":1,"score":2,"review":null}
{"id":2,"name":"2","problem":"2. 함수 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$에 대하여\n\n\\[ \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} \\]\n\n의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":3,"name":"3","problem":"3. $(\\frac{3}{2}\\pi < \\theta < 2\\pi)$ 인 $\\theta$에 대하여 $\\sin(-\\theta) = \\frac{1}{3}$ 일 때,\n\n$\\tan\\theta$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\item[2] -\\frac{\\sqrt{2}}{4} \\item[3] -\\frac{1}{4} \\item[4] \\frac{1}{4} \\item[5] \\frac{\\sqrt{2}}{4} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":4,"name":"4","problem":"4. 함수\n\n\\[ f(x) = \\begin{cases} 3x - a & (x < 2) \\\\ x^2 + a & (x \\geq 2) \\end{cases} \\]\n\n가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":5,"name":"5","problem":"5. 다항함수 $f(x)$가\n\n\\[ f'(x) = 3x(x-2), \\quad f(1) = 6 \\]\n\n을 만족시킬 때, $f(2)$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 1 \\item[2] 2 \\item[3] 3 \\item[4] 4 \\item[5] 5 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":6,"name":"6","problem":"6. 등비수열 $\\{a_n\\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.\n\n\\[ S_4 - S_2 = 3a_4, \\quad a_5 = \\frac{3}{4} \\]\n\n일 때, $a_1 + a_2$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 27 \\item[2] 24 \\item[3] 21 \\item[4] 18 \\item[5] 15 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":7,"name":"7","problem":"7. 함수 $f(x) = \\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 12x + 4$가 $x = \\alpha$에서 극대이고\n\n$x = \\beta$에서 극소일 때, $\\beta - \\alpha$의 값은? (단, $\\alpha$와 $\\beta$는 상수이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] -4 \\item[2] -1 \\item[3] 2 \\item[4] 5 \\item[5] 8 \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":8,"name":"8","problem":"8. 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여\n\n\\[ x f(x) - f(x) = 3x^4 - 3x \\]\n\n를 만족시킬 때, $\\int_{-2}^{2} f(x) \\, dx$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 12 \\item[2] 16 \\item[3] 20 \\item[4] 24 \\item[5] 28 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":9,"name":"9","problem":"9. 수직선 위의 두 점 $\\mathrm{P}(\\log_{5} 3), \\ \\mathrm{Q}(\\log_{5} 12)$에 대하여 선분 $\\mathrm{PQ}$를 $m : (1 - m)$으로 내분하는 점의 좌표가 1일 때, $4^m$의 값은? (단, $m$은 $0 < m < 1$인 상수이다.) [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{7}{6} \\item[2] \\frac{4}{3} \\item[3] \\frac{3}{2} \\item[4] \\frac{5}{3} \\item[5] \\frac{11}{6} \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":null}
{"id":10,"name":"10","problem":"10. 시각 $( t = 0 )$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $( \\mathrm{P}, \\mathrm{Q} )$의 시각 $( t (t \\geq 0) )$에서의 속도가 각각\n\\[ v_1(t) = t^2 - 6t + 5, \\quad v_2(t) = 2t - 7 \\]\n이다. 시각 $t$에서의 두 점 $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}$ 사이의 거리를 $f(t)$라 할 때, 함수 $f(t)$는 구간 $[0, a]$에서 증가하고, 구간 $[a, b]$에서 감소하고, 구간 $[b, \\infty)$에서 증가한다. 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 점 $\\mathrm{Q}$가 움직인 거리는? (단, $0 < a < b$) [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{15}{2} \\item[2] \\frac{17}{2} \\item[3] \\frac{19}{2} \\item[4] \\frac{21}{2} \\item[5] \\frac{23}{2} \\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":11,"name":"11","problem":"11. 공차가 0이 아닌 등차수열 $\\{a_n\\}$에 대하여\n\\[ |a_6| = a_8, \\quad \\sum_{k=1}^{5} \\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \\frac{5}{96} \\]\n\n일 때, $\\sum_{k=1}^{15} a_k$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 60 \\item[2] 65 \\item[3] 70 \\item[4] 75 \\item[5] 80 \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":null}
{"id":12,"name":"12","problem":"12. 함수 $( f(x) = \\frac{1}{9} x (x - 6)(x - 9) )$와 실수 $( t \\ (0 < t < 6) )$에 대하여 함수 $( g(x) )$는\n\n\\[ g(x) = \\begin{cases} f(x) & (x < t) \\\\ -(x - t) + f(t) & (x \\geq t) \\end{cases} \\]\n\n이다. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{125}{4} \\item[2] \\frac{127}{4} \\item[3] \\frac{129}{4} \\item[4] \\frac{131}{4} \\item[5] \\frac{133}{4} \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
{"id":13,"name":"13","problem":"13. \n\n\\[ \\overline{\\mathrm{AB}} = 3, \\quad \\overline{\\mathrm{BC}} = \\sqrt{13}, \\quad \\overline{\\mathrm{AD}} \\times \\overline{\\mathrm{CD}} = 9, \\quad \\angle \\mathrm{BAC} = \\frac{\\pi}{3} \\]\n\n인 사각형 $\\mathrm{ABCD}$가 있다. 삼각형 $\\mathrm{ABC}$의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $\\mathrm{ACD}$의 넓이를 $S_2$라 하고, 삼각형 $\\mathrm{ACD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자.\n$S_2 = \\frac{5}{6} S_1$일 때, $\\frac{R}{\\sin(\\angle \\mathrm{ADC})}$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{54}{25} \\item[2] \\frac{117}{50} \\item[3] \\frac{63}{25} \\item[4] \\frac{27}{10} \\item[5] \\frac{72}{25} \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":14,"name":"14","problem":"14. 두 자연수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x)$는\n\\[ f(x) = \\begin{cases} 2x^3 - 6x + 1 & (x \\leq 2) \\\\ a(x-2)(x-b) + 9 & (x > 2) \\end{cases} \\]\n이다. 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자.\n\n\\[ g(k) + \\lim_{t \\to k^-} g(t) + \\lim_{t \\to k^+} g(t) = 9 \\]\n\n를 만족시키는 실수 $k$의 개수가 1이 되도록 하는 두 자연수 $a, b$의 순서쌍 $(a, b)$에 대하여 $a + b$의 최댓값은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 51 \\item[2] 52 \\item[3] 53 \\item[4] 54 \\item[5] 55 \\end{itemize}","answer":1,"score":4,"review":null}
{"id":15,"name":"15","problem":"15. 첫째항이 자연수인 수열 $\\{a_n\\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여\n\n\\[ a_{n+1} = \\begin{cases} 2^{a_n} & (a_n \\text{이 홀수인 경우}) \\\\ \\frac{1}{2} a_n & (a_n \\text{이 짝수인 경우}) \\end{cases} \\]\n\n를 만족시킬 때, $a_6 + a_7 = 3$이 되도록 하는 모든 $a_1$의 값의 합은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 139 \\item[2] 146 \\item[3] 153 \\item[4] 160 \\item[5] 167 \\end{itemize}","answer":3,"score":4,"review":null}
{"id":16,"name":"16","problem":"16. 방정식 $3^{x-8} = \\left(\\frac{1}{27}\\right)^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":17,"name":"17","problem":"17. 함수 $f(x) = (x+1)(x^2 + 3)$에 대하여 $f'(1)$의 값을 구하시오. [3점]","answer":8,"score":3,"review":null}
{"id":18,"name":"18","problem":"18. 두 수열 $\\{a_n\\}, \\{b_n\\}$에 대하여\n\n\\[ \\sum_{k=1}^{10} a_k = \\sum_{k=1}^{10} (2b_k - 1), \\quad \\sum_{k=1}^{10} (3a_k + b_k) = 33 \\]\n\n일 때, $\\sum_{k=1}^{10} b_k$의 값을 구하시오. [3점]","answer":9,"score":3,"review":null}
{"id":19,"name":"19","problem":"19. 함수 $f(x) = \\sin \\frac{\\pi}{4} x$라 할 때, $0 < x < 16$에서 부등식\n\n\\[ f(2+x) f(2-x) < \\frac{1}{4} \\]\n\n을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하시오. [3점]","answer":32,"score":3,"review":null}
{"id":20,"name":"20","problem":"20. $a > \\sqrt{2}$ 인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를\n\n\\[ f(x) = -x^3 + ax^2 + 2x \\]\n\n라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\\mathrm{O}(0, 0)$에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 $\\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\\mathrm{A}$라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\\mathrm{A}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\\mathrm{B}$라 하자. 점 $\\mathrm{A}$가 선분 $\\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\\overline{\\mathrm{OA}} \\times \\overline{\\mathrm{AB}}$의 값을 구하시오. [4점]","answer":25,"score":4,"review":null}
{"id":21,"name":"21","problem":"21. 양수 $a$에 대하여 $x \\geq -1$에서 정의된 함수 $f(x)$는\n\\[ f(x) = \\begin{cases} -x^2 + 6x, & (-1 \\leq x < 6) \\\\ a \\log_4 (x - 5) & (x \\geq 6) \\end{cases} \\]\n이다. $t \\geq 0$인 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $[t-1, t+1]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 구간 $[0, \\infty)$에서 함수 $g(t)$의 최솟값이 5가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]","answer":10,"score":4,"review":null}
{"id":22,"name":"22","problem":"22. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $( f(x) )$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\[ \\boxed{\\begin{array}{c}\\text{함수 } f(x) \\text{에 대하여} \\\\ f(k-1)f(k+1) < 0 \\\\\\text{을 만족시키는 정수 } k \\text{는 }\\underline{\\text{존재하지 않는다.}}\\end{array}} \\]\n\n\\[ f'\\left( -\\frac{1}{4} \\right) = -\\frac{1}{4}, \\quad f'\\left( \\frac{1}{4} \\right) < 0 \\text{일 때,} \\quad f(8) \\text{의 값을 구하시오. [4점]} \\]","answer":483,"score":4,"review":null}
{"id":23,"name":"23_prob","problem":"23. 5개의 문자 $(x, x, y, y, z)$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 10 \\item[2] 20 \\item[3] 30 \\item[4] 40 \\item[5] 50 \\end{itemize}","answer":3,"score":2,"review":null}
{"id":24,"name":"24_prob","problem":"24. 두 사건 $( A, B )$는 서로 독립이고\n\n\\[ \\mathrm{P}(A \\cap B) = \\frac{1}{4}, \\quad \\mathrm{P}(A^C) = 2\\mathrm{P}(A) \\]\n\n일 때, $( \\mathrm{P}(B) )$의 값은? (단, $A^C$은 $A$의 여사건이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3}{8} \\item[2] \\frac{1}{2} \\item[3] \\frac{5}{8} \\item[4] \\frac{3}{4} \\item[5] \\frac{7}{8} \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":25,"name":"25_prob","problem":"25. 숫자 $1, 2, 3, 4, 5, 6$이 하나씩 적혀 있는 6장의 카드가 있다. 이 6장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 10 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{8}{15} \\item[2] \\frac{19}{30} \\item[3] \\frac{11}{15} \\item[4] \\frac{5}{6} \\item[5] \\frac{14}{15} \\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":"Removed figure."}
{"id":26,"name":"26_prob","problem":"26. 4개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $Y$를\n\n\\[ Y = \\begin{cases} X & (X\\text{가} \\ 0 \\ \\text{또는} \\ 1\\text{의 값을 가지는 경우}) \\\\ 2 & (X\\text{가} \\ 2 \\ \\text{이상의 값을 가지는 경우}) \\end{cases} \\]\n\n라 하자. $\\mathrm{E}(Y)$의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{25}{16} \\item[2] \\frac{13}{8} \\item[3] \\frac{27}{16} \\item[4] \\frac{7}{4} \\item[5] \\frac{29}{16} \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":27,"name":"27_prob","problem":"27. 정규분포 $\\mathrm{N}(m, 5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 49인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\\bar{x}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 95\\%의 신뢰구간이 $a \\leq m \\leq \\frac{6}{5} a$이다. $\\bar{x}$의 값은?\n\n(단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\\mathrm{P}(|Z| \\leq 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 15.2 \\item[2] 15.4 \\item[3] 15.6 \\item[4] 15.8 \\item[5] 16.0 \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":28,"name":"28_prob","problem":"28. 하나의 주머니와 두 상자 $\\mathrm{A}$, $\\mathrm{B}$가 있다. 주머니에는 숫자 $1, 2, 3, 4$가 하나씩 적힌 $4$장의 카드가 들어 있고, 상자 $\\mathrm{A}$에는 흰 공과 검은 공이 각각 $8$개 이상 들어 있고, 상자 $\\mathrm{B}$는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 $\\mathrm{A}$, $\\mathrm{B}$를 사용하여 다음 시행을 한다.\n\n\\[\\begin{tabular}{|l|} \\hline 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다. \\\\ 확인한 수가 $1$이면 상자 $\\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $1$개를 상자 $\\mathrm{B}$에 넣고, \\\\ 확인한 수가 $2$ 또는 $3$이면 상자 $\\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\\mathrm{B}$에 넣고, \\\\ 확인한 수가 $4$이면 상자 $\\mathrm{A}$에 있는 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\\mathrm{B}$에 넣는다. \\\\ \\hline \\end{tabular}\\]\n\n이 시행을 $4$번 반복한 후 상자 $\\mathrm{B}$에 들어 있는 공의 개수가 $8$일 때, 상자 $\\mathrm{B}$에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$일 확률은? [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{3}{70} \\item[2] \\frac{2}{35} \\item[3] \\frac{1}{14} \\item[4] \\frac{3}{35} \\item[5] \\frac{1}{10} \\end{itemize}","answer":4,"score":4,"review":"Removed figure."}
{"id":29,"name":"29_prob","problem":"29. 다음 조건을 만족시키는 6 이하의 자연수 $a, b, c, d$의 모든 순서쌍 $(a, b, c, d)$의 개수를 구하시오. [4점]\n\n\\[ a \\leq c \\leq d \\quad \\text{이고} \\quad b \\leq c \\leq d \\text{이다.} \\]","answer":196,"score":4,"review":null}
{"id":30,"name":"30_prob","problem":"30. 양수 $t$에 대하여 확률변수 $X$가 정규분포 $\\mathrm{N}(1, t^2)$을 따른다.\n\\[ \\mathrm{P}(X \\leq 5t) \\geq \\frac{1}{2} \\]\n이 되도록 하는 모든 양수 $t$에 대하여\n\\[ \\mathrm{P}(t^2 - t + 1 \\leq X \\leq t^2 + t + 1) \\]\n의 최댓값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$라 하자. \\\\\n1000$\\times k$의 값을 구하시오. [4점]\n\n\\begin{table}[h!] \\centering \\begin{tabular}{|c|c|} \\hline $z$ & $\\mathrm{P}(0 \\leq Z \\leq z)$ \\\\ \\hline 0.6 & 0.226 \\\\ 0.8 & 0.288 \\\\ 1.0 & 0.341 \\\\ 1.2 & 0.385 \\\\ 1.4 & 0.419 \\\\ \\hline \\end{tabular} \\end{table}","answer":673,"score":4,"review":"'오른쪽' changed to '다음'."}
{"id":31,"name":"23_calc","problem":"23. $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\ln(1+3x)}{\\ln(1+5x)}$ 의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\frac{1}{5} \\item[2] \\frac{2}{5} \\item[3] \\frac{3}{5} \\item[4] \\frac{4}{5} \\item[5] 1 \\end{itemize}","answer":3,"score":2,"review":null}
{"id":32,"name":"24_calc","problem":"24. 매개변수 $ t(t > 0) $로 나타내어진 곡선\n\n\\[ x = \\ln(t^3 + 1), \\quad y = \\sin \\pi t \\]\n\n에서 $ t = 1 $일 때, $ \\frac{dy}{dx} $의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{1}{3}\\pi \\item[2] -\\frac{2}{3}\\pi \\item[3] -\\pi \\item[4] -\\frac{4}{3}\\pi \\item[5] -\\frac{5}{3}\\pi \\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":33,"name":"25_calc","problem":"25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $ f(x), g(x) $가 있다. $ g(x) $는 $ f(x) $의 역함수이고, $ g'(x) $는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $ a $에 대하여\n\\[ \\int_{1}^{a} \\frac{1}{g'(f(x)) f(x)} \\, dx = 2 \\ln a + \\ln (a+1) - \\ln 2 \\]\n이고 $ f(1) = 8 $일 때, $ f(2) $의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] 36 \\item[2] 40 \\item[3] 44 \\item[4] 48 \\item[5] 52 \\end{itemize}","answer":4,"score":3,"review":null}
{"id":34,"name":"26_calc","problem":"26. 곡선 $ y = \\sqrt{(1 - 2x) \\cos x} \\left( \\frac{3}{4} \\pi \\leq x \\leq \\frac{5}{4} \\pi \\right) $와\n\n$ x $축 및 두 직선 $ x = \\frac{3}{4} \\pi, \\ x = \\frac{5}{4} \\pi $로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $ x $축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] \\sqrt{2}\\pi - \\sqrt{2} \\item[2] \\sqrt{2}\\pi - 1 \\item[3] 2 \\sqrt{2}\\pi - \\sqrt{2} \\item[4] 2 \\sqrt{2}\\pi - 1 \\item[5] 2 \\sqrt{2}\\pi \\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":35,"name":"27_calc","problem":"27. 실수 $ t $에 대하여 원점을 지나고 곡선 $ y = \\frac{1}{e^x} + e^t $에 접하는 직선의 기울기를 $ f(t) $라 하자. $ f(a) = -e \\sqrt{e} $를 만족시키는 상수 $ a $에 대하여 $ f'(a) $의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] -\\frac{1}{3} e \\sqrt{e} \\item[2] -\\frac{1}{2} e \\sqrt{e} \\item[3] -\\frac{2}{3} e \\sqrt{e} \\item[4] -\\frac{5}{6} e \\sqrt{e} \\item[5] -e \\sqrt{e} \\end{itemize}","answer":1,"score":3,"review":null}
{"id":36,"name":"28_calc","problem":"28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \\geq 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^2}$이다.\n모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 2이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.\n두 함수 $g(t), h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 \n\\[ 2g(t) + h(t) = k \\quad (k \\text{는 상수}) \\]\n를 만족시킨다. $\\int_0^7 f(x) \\, dx = e^4 - 1$일 때, $\\frac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{3}{2} e^5$\n    \\item[2] $\\frac{4}{3} e^7$\n    \\item[3] $\\frac{5}{4} e^9$\n    \\item[4] $\\frac{6}{5} e^{11}$\n    \\item[5] $\\frac{7}{6} e^{13}$\n\\end{itemize}","answer":2,"score":4,"review":null}
{"id":37,"name":"29_calc","problem":"29. 첫째항과 공비가 각각 0이 아닌 두 등비수열 $\\{a_n\\}, \\{b_n\\}$에 대하여 두 급수 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$, $\\sum_{n=1}^{\\infty} b_n$이 각각 수렴하고\n\n\\[\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n b_n = \\left( \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n \\right) \\times \\left( \\sum_{n=1}^{\\infty} b_n \\right),\\]\n\n\\[3 \\times \\sum_{n=1}^{\\infty} |a_{2n}| = 7 \\times \\sum_{n=1}^{\\infty} |a_{3n}|\\]\n\n이 성립한다. $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]","answer":162,"score":4,"review":null}
{"id":38,"name":"30_calc","problem":"30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가\n\n\\[ f'(x) = |\\sin x| \\cos x \\]\n\n이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y = g(x)$라 하자. 함수\n\n\\[ h(x) = \\int_{0}^{x} \\{f(t) - g(t)\\} \\, dt \\]\n\n가 $x = a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자.\n\n\\[ \\frac{100}{\\pi} \\times (a_6 - a_2) \\]\n\n의 값을 구하시오. [4점]","answer":125,"score":4,"review":null}
{"id":39,"name":"23_geom","problem":"23. 좌표공간의 두 점 \\(\\mathrm{A}(a, -2, 6)\\), \\(\\mathrm{B}(9, 2, b)\\)에 대하여\n\n선분 \\(\\mathrm{AB}\\)의 중점의 좌표가 \\((4, 0, 7)\\)일 때, \\(a + b\\)의 값은? [2점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 1\n    \\item[2] 3\n    \\item[3] 5\n    \\item[4] 7\n    \\item[5] 9\n\\end{itemize}","answer":4,"score":2,"review":null}
{"id":40,"name":"24_geom","problem":"24. 타원 $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점 $\\left( \\sqrt{3}, -2 \\right)$ 에서의 접선의 기울기는? (단, $a$는 양수이다.) [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\sqrt{3}$\n    \\item[2] $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n    \\item[3] $\\frac{\\sqrt{3}}{3}$\n    \\item[4] $\\frac{\\sqrt{3}}{4}$\n    \\item[5] $\\frac{\\sqrt{3}}{5}$\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":41,"name":"25_geom","problem":"25. 두 벡터 $\\vec{a}$, $\\vec{b}$ 에 대하여\n\n\\[|\\vec{a}| = \\sqrt{11}, \\quad |\\vec{b}| = 3, \\quad |2\\vec{a} - \\vec{b}| = \\sqrt{17}\\]\n\n일 때, $|\\vec{a} - \\vec{b}|$ 의 값은? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$\n    \\item[2] $\\sqrt{2}$\n    \\item[3] $\\frac{3\\sqrt{2}}{2}$\n    \\item[4] $2\\sqrt{2}$\n    \\item[5] $\\frac{5\\sqrt{2}}{2}$\n\\end{itemize}","answer":2,"score":3,"review":null}
{"id":42,"name":"26_geom","problem":"26. 좌표공간에 평면 $\\alpha$가 있다. 평면 $\\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\\mathrm{A}$, $\\mathrm{B}$의 평면 $\\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\\mathrm{A'}$, $\\mathrm{B'}$이라 할 때,\n\n\\[\\overline{\\mathrm{AB}} = \\overline{\\mathrm{A'B'}} = 6\\]\n\n이다. 선분 $\\mathrm{AB}$의 중점 $\\mathrm{M}$의 평면 $\\alpha$ 위로의 정사영을 $\\mathrm{M'}$이라 할 때,\n\n\\[\\overline{\\mathrm{PM'}} \\perp \\overline{\\mathrm{A'B'}}, \\quad \\overline{\\mathrm{PM'}} = 6\\]\n\n이 되도록 평면 $\\alpha$ 위에 점 $\\mathrm{P}$를 잡는다.\n\n삼각형 $\\mathrm{A'B'P}$의 평면 $\\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영의 넓이가 $\\frac{9}{2}$일 때, 선분 $\\mathrm{PM}$의 길이는? [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] 12\n    \\item[2] 15\n    \\item[3] 18\n    \\item[4] 21\n    \\item[5] 24\n\\end{itemize}","answer":5,"score":3,"review":null}
{"id":43,"name":"27_geom","problem":"27. 초점이 \\( \\mathrm{F} \\)인 포물선 \\( y^2 = 8x \\) 위의 한 점 \\( \\mathrm{A} \\)에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 \\( \\mathrm{B} \\)라 하고, 직선 \\( \\mathrm{BF} \\)와 포물선이 만나는 두 점을 각각 \\( \\mathrm{C}, \\mathrm{D} \\)라 하자. \\( \\overline{\\mathrm{BC}} = \\overline{\\mathrm{CD}} \\)일 때, 삼각형 \\( \\mathrm{ABD} \\)의 넓이는? (단, \\( \\overline{\\mathrm{CF}} < \\overline{\\mathrm{DF}} \\)이고, 점 \\( \\mathrm{A} \\)는 원점이 아니다.) [3점]\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[1] \\( 100 \\sqrt{2} \\)\n    \\item[2] \\( 104 \\sqrt{2} \\)\n    \\item[3] \\( 108 \\sqrt{2} \\)\n    \\item[4] \\( 112 \\sqrt{2} \\)\n    \\item[5] \\( 116 \\sqrt{2} \\)\n\\end{itemize}","answer":3,"score":3,"review":null}
{"id":44,"name":"28_geom","problem":"28. 서로 다른 두 평면 $\\alpha$, $\\beta$의 교선 위에 $\\overline{\\mathrm{AB}} = 18$인 두 점 $\\mathrm{A}$, $\\mathrm{B}$가 있다. 선분 $\\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $C_1$이 평면 $\\alpha$ 위에 있고, 선분 $\\mathrm{AB}$를 장축으로 하고 두 점 $\\mathrm{F}$, $\\mathrm{F'}$를 초점으로 하는 타원 $C_2$가 평면 $\\beta$ 위에 있다. 원 $C_1$ 위의 한 점 $\\mathrm{P}$에서 평면 $\\beta$에 내린 수선의 발을 $\\mathrm{H}$라 할 때,\n\\[\n\\overline{\\mathrm{HF'}} < \\overline{\\mathrm{HF}} \\quad \\text{이고} \\quad \\angle \\mathrm{HFF'} = \\frac{\\pi}{6}\n\\]\n이다. 직선 $\\mathrm{HF}$와 타원 $C_2$가 만나는 점 중 점 $\\mathrm{H}$와 가까운 점을 $\\mathrm{Q}$라 하면, $\\overline{\\mathrm{FH}} < \\overline{\\mathrm{FQ}}$이다. 점 $\\mathrm{H}$를 중심으로 하고 점 $\\mathrm{Q}$를 지나는 평면 $\\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 4이고 직선 $\\mathrm{AB}$에 접한다. 두 평면 $\\alpha$, $\\beta$가 이루는 각의 크기를 $\\theta$라 할 때, $\\cos \\theta$의 값은?\n(단, 점 $\\mathrm{P}$는 평면 $\\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]\n\n\\begin{itemize} \\item[1] $\\frac{2 \\sqrt{66}}{33}$ \\item[2] $\\frac{4 \\sqrt{69}}{69}$ \\item[3] $\\frac{\\sqrt{2}}{3}$ \\item[4] $\\frac{4 \\sqrt{3}}{15}$ \\item[5] $\\frac{2 \\sqrt{78}}{39}$ \\end{itemize}","answer":5,"score":4,"review":"Removed figure and the statement referring to the figure."}
{"id":45,"name":"29_geom","problem":"29. 양수 $c$에 대하여 두 점 $\\mathrm{F}(c, 0), \\ \\mathrm{F'}(-c, 0)$을 초점으로 하고, 주축의 길이가 6인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $\\mathrm{P}, \\ \\mathrm{Q}$가 존재하도록 하는 모든 $c$의 값의 합을 구하시오. [4점]\n\n\\begin{enumerate}\n    \\item[(가)] 점 $\\mathrm{P}$는 제1사분면 위에 있고, 점 $\\mathrm{Q}$는 직선 $\\mathrm{PF'}$ 위에 있다.\n    \\item[(나)] 삼각형 $\\mathrm{PF'F}$는 이등변삼각형이다.\n    \\item[(다)] 삼각형 $\\mathrm{PQF}$의 둘레의 길이는 28이다.\n\\end{enumerate}","answer":11,"score":4,"review":null}
{"id":46,"name":"30_geom","problem":"30. 좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정삼각형 $\\mathrm{ABC}$가 있다. 선분 $\\mathrm{AB}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\\mathrm{D}$, 선분 $\\mathrm{BC}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\\mathrm{E}$, 선분 $\\mathrm{CA}$를 1:3으로 내분하는 점을 $\\mathrm{F}$라 하자. 네 점 $\\mathrm{P}, \\mathrm{Q}, \\mathrm{R}, \\mathrm{X}$가 다음 조건을 만족시킨다.\n\n\\begin{itemize}\n    \\item[(가)] $|\\overrightarrow{\\mathrm{DP}}| = |\\overrightarrow{\\mathrm{EQ}}| = |\\overrightarrow{\\mathrm{FR}}| = 1$\n    \\item[(나)] $\\overrightarrow{\\mathrm{AX}} = \\overrightarrow{\\mathrm{PB}} + \\overrightarrow{\\mathrm{QC}} + \\overrightarrow{\\mathrm{RA}}$\n\\end{itemize}\n\n$|\\overrightarrow{\\mathrm{AX}}|$의 값이 최대일 때, 삼각형 $\\mathrm{PQR}$의 넓이를 $S$라 하자. $16S^2$의 값을 구하시오. [4점]","answer":147,"score":4,"review":null}