{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Volume_under_surface.png|대체글=직육면체의 윗면을 쌍곡 포물면으로 대신한 도형|섬네일|이중 적분은 그래프 곡면 아래의 부피를 구하는 방법이다. 밑면(직사각형)은 함수의 [[정의역]]을 나타내며, 윗면([[쌍곡 포물면]] ''z'' = 10 - (''x''<sup>2</sup> - ''y''<sup>2</sup>) / 8)은 [[함수의 그래프]]를 나타낸다.]]
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''중적분'''(重積分, {{llang|en|multiple integral}})은 [[정적분]]을 [[다변수 함수]]로 확장한 개념이다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.dbpia.co.kr/Journal/ArticleDetail/NODE01972469|저자=정용욱|날짜=2002-11|제목=일단의 중적분을 단적분으로 변환시키는 것에 대한 새로운 증명|저널=한국고등직업교육학회논문집|권=3|호=4|쪽=741-744}}</ref> 변수의 수에 따라 '''이중 적분'''(二重積分, {{llang|en|double integral}})과 '''삼중 적분'''(三重積分, {{llang|en|triple integral}}) 따위로 일컫는다. 양의 실수 값 함수의 경우, 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 <math>xy</math> 평면 사이의 “부피”를 나타내며, 삼중 적분은 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 “초부피”를 나타낸다.

중적분은 정적분을 여러 번 반복하여 계산할 수 있다 ([[푸비니 정리]]). 복잡한 중적분의 계산에는 [[변수 변환]]을 통해 적분 영역이나 피적분 함수를 단순화하는 기법이 필요하다 ([[치환 적분]]). 정적분과 달리, 중적분의 치환 적분의 증명은 매우 까다롭다. 2차원에서는 [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표]]와 [[극좌표계|극좌표]] 사이의 변환에 의한 [[치환 적분]]을 사용할 수 있다. 3차원에는 [[구면 좌표계|구면 좌표 변환]]이나 [[원통 좌표계|원통 좌표 변환]]이 있다.

중적분은 [[다변수 함수]]의 [[리만 적분]]을 일컫는다. [[르베그 적분]]도 일변수·다변수 적분이 존재하며, 두 정의는 거의 평행한다. 일반적인 [[측도]]로부터 이에 대응하는 [[적분]]을 유도할 수 있으며, 이 경우 적분 영역이 [[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]일 필요가 없다. 측도론적 적분을 “다변수” 적분으로 일반화하려면 [[곱측도]]의 개념을 사용한다. 보다 일반적으로, 일련의 [[추이 측도]]들의 “곱측도”를 구성할 수 있다. [[리만-스틸티어스 적분]]이나 [[르베그-스틸티어스 적분]]도 다변수 일반화가 존재하지만, 일변수 적분의 정의로부터 곧바로 얻어지지 않는다.

== 정의 ==
==== 조르당 측도 ====
[[파일:Jordan illustration.png|대체글=평면 도형을 포함하거나 이에 포함되는, 직사각형들의 합집합|섬네일|평면 도형이 조르당 가측 집합일 필요 충분 조건은, 각각 안과 밖에 놓인, 직사각형의 유한 합집합을 통해 얻은 근사 넓이가 서로 같다는 것이다.]]
'''중적분'''의 정의는 '''조르당 측도'''({{llang|en|Jordan measure/content}})에 기반한다.

[[유계 집합]] <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>의 '''조르당 내측도'''({{llang|en|inner Jordan measure}}) <math>\operatorname m_*(E)</math>는 이에 포함되는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname m_*(E)=\sup\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\subseteq E,\;a_{ij},b_{ij}\in\mathbb R,\;m\in\mathbb N\right\}</math>
비슷하게, <math>E</math>의 '''조르당 외측도'''({{llang|en|outer Jordan measure}}) <math>\operatorname m^*(E)</math>는 이를 덮는 유한 개의 초직육면체를 통한 근사적 초부피이며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname m^*(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^m\prod_{j=1}^n(b_{ij}-a_{ij})\colon\bigsqcup_{i=1}^m\prod_{j=1}^n[a_{ij},b_{ij})\supseteq E,\;a_{ij},b_{ij}\in\mathbb R,\;m\in\mathbb N\right\}</math>
[[유계 집합]] <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>E</math>를 '''조르당 가측 집합'''({{llang|en|Jordan measurable set}})이라고 한다.
* <math>\operatorname m_*(E)=\operatorname m^*(E)\ \overset{\underset\mathrm{def}{}}=\,\operatorname m(E)</math>. 이 경우, <math>\operatorname m(E)</math>를 <math>E</math>의 '''조르당 측도'''라고 한다.
* <math>m^*(\partial E)=0</math>
조르당 측도는 [[유한 가법 측도]]이지만, 이름과 달리 [[측도]]가 아니다. 중적분은 조르당 가측 집합 위에서만 정의된다.

(유계) 조르당 가측 집합 <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>의 '''분할'''({{llang|en|partition}})은 다음 세 조건을 만족시키는 [[유한 집합|유한]] 집합족 <math>\{E_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathcal P(E)</math>이다.
* 모든 <math>1\le i\le m</math>에 대하여, <math>E_i</math>는 조르당 가측 집합이다.
* 모든 <math>1\le i<j\le m</math>에 대하여, <math>\operatorname m(E_i\cap E_j)=0</math>
* <math>E_1\cup\cdots\cup E_m=E</math>
또한, 분할 <math>\{E_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathcal P(E)</math>의 '''메시'''({{llang|en|mesh}}) <math>\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)</math>는 다음과 같다.
:<math>\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)=\max_{1\le i\le m}\operatorname{diam}E_i</math>

==== 중적분 ====
함수 <math>f\colon E\to\mathbb R</math> (<math>E\subseteq\mathbb R^n</math>은 조르당 가측 집합)의, 분할 <math>\{E_i\}_{i=1}^m\subseteq\mathcal P(E)</math>에 대한 '''리만 합'''({{llang|en|Riemann sum}})은 다음과 같다.
:<math>\sum_{i=1}^mf(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\operatorname m(E_i)\qquad(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\in E_i</math>
또한, '''다르부 상합'''({{llang|en|upper Darboux sum}})은 다음과 같다.
:<math>\sum_{i=1}^m\sup_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)</math>
또한, '''다르부 하합'''({{llang|en|lower Darboux sum}})은 다음과 같다.
:<math>\sum_{i=1}^m\inf_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)</math>
함수 <math>f\colon E\to\mathbb R</math> (<math>E\subseteq\mathbb R^n</math>은 조르당 가측 집합)에 대하여, 만약 다음과 같은 극한이 존재하며, 분할 <math>\{E_i\}_{i=1}^m</math> 및 각 집합의 점 <math>(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)</math>의 열의 선택과 무관하다면, <math>f</math>를 <math>E</math> 위의 '''리만 적분 가능 함수'''({{llang|en|Riemann integrable function}})라고 하며, 이 극한을 <math>f</math>의 '''리만 <math>n</math>중적분'''({{llang|en|n-ple Riemann integral}})이라고 한다.
:<math>\int_Ef(x)dx=\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi^{(i)}_1,\dotsc,\xi^{(i)}_n)\operatorname m(E_i)</math>
또한, '''다르부 상적분'''({{llang|en|upper Darboux integral}})은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.
:<math>\begin{align}
\overline{\int_E}f(x)dx=\overline{\iint\cdots\int_E}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n
&=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^m\sup_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)\\
&=\inf_{\mathcal P(E)\supseteq\{E_i\}_{i=1}^m\in\operatorname{dom}\lambda}\sum_{i=1}^m\sup_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)
\end{align}</math>
마찬가지로, '''다르부 하적분'''({{llang|en|lower Darboux integral}})은 다음과 같으며, 이는 항상 존재한다.
:<math>\begin{align}
\underline{\int_E}f(x)dx=\underline{\iint\cdots\int_E}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n
&=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^m\inf_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)\\
&=\sup_{\mathcal P(E)\supseteq\{E_i\}_{i=1}^m\in\operatorname{dom}\lambda}\sum_{i=1}^m\inf_{(x_1,\dotsc,x_n)\in E_i}f(x_1,\dotsc,x_n)\operatorname m(E_i)
\end{align}</math>
특히, 리만 이중 적분을
:<math>\iint_Ef(x,y)dxdy=\iint_Ef(x,y)dA=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi_i,\eta_i)\operatorname m(E_i)</math>
와 같이 표기하며, 리만 삼중 적분을
:<math>\iiint_Ef(x,y,z)dxdydz=\iiint_Ef(x,y,z)dV=\lim_{\lambda(\{E_i\}_{i=1}^m)\to0}\sum_{i=1}^mf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\operatorname m(E_i)</math>
와 같이 표기한다.

==== 이상 중적분 ====
{{본문|이상 적분}}
유계 집합과 (정의역이 조르당 영집합이 아니라면) 유계 함수에 한정된 중적분을 무계 집합과 무계 함수를 허용하는 '''이상 중적분'''({{llang|en|improper multiple integral}})으로 확장할 수 있다. 일변수 함수에서와 달리, 이상 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴한다는 것이다.

함수 <math>f\colon E\to\mathbb R</math> 및 그 정의역 <math>E\subseteq\mathbb R^n</math>이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>E</math>는 [[무계 집합]]이다.
* <math>f</math>는 [[유계 함수]]이다.
* 임의의 <math>r>0</math>에 대하여, <math>E\cap\bar B_R(0)</math>는 조르당 가측 [[닫힌집합]]이다.
** 여기서 <math>\bar B_R(0)=\{(x_1,\dotsc,x_n)\colon x_1^2+\cdots x_n^2\le R^2\}</math>은 [[닫힌 공]]이다.
** 특히, <math>E</math>가 무계 닫힌집합일 경우, <math>E\cap\bar B_R(0)</math>가 닫힌집합이라는 조건은 생략할 수 있다.
* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 <math>F\subseteq E</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>F</math>에서 리만 적분 가능 함수이다.
이러한 <math>f</math> 및 <math>E</math>에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 <math>F\subseteq E</math>의 열의 선택과 무관하다면, 이를 <math>f</math>의 <math>E</math> 위의 '''이상 중적분'''이라고 한다.
:<math>\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=
\lim_{\sup\{r>0\colon F\supseteq E\cap\bar B_R(0)\}\to\infty}\iint\cdots\int_Ff(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n</math>
비슷하게, <math>E\subseteq\mathbb R^n</math> 및 <math>(a_1,\dotsc,a_n)\in E</math> 및 <math>f\colon E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>E</math>는 [[유계 집합]]이다.
* <math>f</math>는 [[무계 함수]]이다.
* 임의의 <math>r>0</math>에 대하여, <math>E\setminus B_R(a)</math>는 조르당 가측 닫힌집합이다.
** 여기서 <math>B_R(a)=\{(x_1,\dotsc,x_n)\colon(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2\le r^2\}</math>는 [[열린 공]]이다.
** 특히, <math>E</math>가 조르당 가측 닫힌집합일 경우, 이 조건은 생략할 수 있다.
* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 <math>F\subseteq E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>F</math>에서 리만 적분 가능 함수이다.
이러한 <math>f</math> 및 <math>E</math>에 대하여, 다음과 같은 극한이 존재하며, 조르당 가측 닫힌집합 <math>F\subseteq E\setminus\{(a_1,\dotsc,a_n)\}</math>의 열의 선택과 무관하다면, 이를 <math>f</math>의 <math>E</math> 위의 '''이상 중적분'''이라고 한다.
:<math>\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=
\lim_{\inf\{r>0\colon F\supseteq E\setminus B_R(a)\}\to0^+}\iint\cdots\int_Ff(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n</math>

== 성질 ==
리만 적분 가능 함수는 [[유계 함수]]일 필요가 없다. 예를 들어, 정의역이 조르당 영집합인 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 그러나, 양의 조르당 측도의 집합들로 임의로 세밀하게 분할될 수 있는 정의역 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다. 특히, 조르당 가측 [[열린집합]] 또는 그 폐포 위의 리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.<ref name="eom">{{eom|title=Multiple integral}}</ref>

중적분은 일변수 함수의 리만 적분과 같은 성질들을 갖췄다. 예를 들어, 중적분은 선형성 · 적분 집합에 대한 가법성 · 비엄격 부등식의 보존 · 곱의 적분 가능성 보존 등을 만족시킨다.<ref name="eom" />

=== 누차 적분과의 관계 ===
{{본문|푸비니 정리}}
함수를 먼저 일부 변수에 대하여 적분한 뒤, 다시 남은 변수에 대하여 적분하는 것을 '''누차 적분'''(累次積分, {{llang|en|repeated integral}}) 또는 '''반복 적분'''(反復積分)이라고 한다. 중적분은 일정 조건 아래 누차 적분을 통해 구할 수 있다.

함수 <math>f\colon E\to\mathbb R</math> (<math>E\subseteq\mathbb R^n</math>는 조르당 가측 집합)가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 <math>E</math>에서 리만 적분 가능 함수이다.
* 임의의 <math>(x_1,\dotsc,x_n)\in E</math>에 대하여, 리만 적분 <math>\overbrace{\iint\cdots\int}^{n-m}_{\{(x_{m+1},\dotsc,x_n)\colon(x_1,\dotsc,x_n)\in E\}}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_{m+1}\cdots dx_n</math>이 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="eom" />
:<math>\overbrace{\iint\cdots\int}^n_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\overbrace{\iint\cdots\int}^m_{\{(x_1,\dotsc,x_m)\colon(x_1,\dotsc,x_n)\in E\}}dx_1\cdots dx_m\overbrace{\iint\cdots\int}^{n-m}_{\{(x_{m+1},\dotsc,x_n)\colon(x_1,\dotsc,x_n)\in E\}}f(x_1,\dotsc,x_n)dx_{m+1}\cdots dx_n</math>
[[파일:IntegralOnNormalDomain.gif|섬네일|적분 구역 ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b'', ''α''(''x'') ≤ ''y'' ≤ ''β''(''x'') 위의 적분은 ''x''를 고정한 채 ''y''에 대하여 적분한 뒤, 이를 다시 ''x''에 대하여 적분한 것과 같다.]]
일부 특수한 정의역의 경우는 다음과 같다. (여기서 <math>\phi\le\psi</math>, <math>\sigma\le\tau</math>)
* <math>\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)dxdy=
\int_a^bdx\int_c^df(x,y)dy</math>
* <math>\iint_{\{(x,y)\colon a\le x\le b,\phi(x)\le y\le \psi(x)\}}f(x,y)dxdy=
\int_a^bdx\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy</math>
* <math>\iint_{\{(x,y)\colon a\le y\le b,\phi(y)\le x\le \psi(y)\}}f(x,y)dxdy=
\int_a^bdy\int_{\phi(y)}^{\psi(y)}f(x,y)dx</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon(x,y)\in\Omega,\phi(x,y)\le z\le\psi(x,y)\}}f(x,y,z)dxdydz=
\iint_\Omega dxdy\int_{\phi(x,y)}^{\psi(x,y)}f(x,y,z)dz</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon(x,z)\in\Omega,\phi(x,z)\le y\le\psi(x,z)\}}f(x,y,z)dxdydz=
\iint_\Omega dxdz\int_{\phi(x,z)}^{\psi(x,z)}f(x,y,z)dy</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon(y,z)\in\Omega,\phi(y,z)\le x\le\psi(y,z)\}}f(x,y,z)dxdydz=
\iint_\Omega dydz\int_{\phi(y,z)}^{\psi(y,z)}f(x,y,z)dx</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon a\le x\le b,(y,z)\in\Omega_x\}}f(x,y,z)dxdydz=
\int_a^bdx\iint_{\Omega_x}f(x,y,z)dydz</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon a\le y\le b,(x,z)\in\Omega_y\}}f(x,y,z)dxdydz=
\int_a^bdy\iint_{\Omega_y}f(x,y,z)dxdz</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon a\le z\le b,(x,y)\in\Omega_z\}}f(x,y,z)dxdydz=
\int_a^bdz\iint_{\Omega_z}f(x,y,z)dxdy</math>
* <math>\iiint_{\{(x,y,z)\colon a\le x\le b,\phi(x)\le y\le\psi(x),\sigma(x,y)\le z\le\tau(x,y)\}}f(x,y,z)dxdydz=
\int_a^bdx\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}dy\int_{\sigma(x,y)}^{\tau(x,y)}f(x,y,z)dz</math>
그러나, 둘째 전제가 없다면 결론이 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>f(x,y)=\begin{cases}x&(x,y)\in\{1,1/2,1/3,\dots\}\times\mathbb Q\\0&(x,y)\not\in\{1,1/2,1/3,\dots\}\times\mathbb Q\end{cases}</math>
그렇다면,
:<math>\iint_{[0,1]\times[0,1]}f(x,y)dxdy=0</math>
:<math>\int_0^1dy\int_0^1f(x,y)dx=0</math>
이지만, <math>f(1/n,y)=1_\mathbb Q(y)/n</math> (<math>n=1,2,\dots</math>)가 리만 적분 가능 함수가 아니므로
:<math>\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy</math>
는 존재하지 않는다.

=== 치환 적분 ===
[[파일:Coord Circular.svg|섬네일|극좌표계]]
[[파일:Cylindrical Coordinates.svg|섬네일|원통 좌표계]]
[[파일:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|섬네일|구면 좌표계]]
{{본문|치환 적분}}
{{참고|변수 변환}}
함수 <math>g\colon E\to\mathbb R^n</math> (<math>E\subseteq\mathbb R^n</math>는 조르당 가측 [[닫힌집합]]) 및 <math>f\colon g(E)\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>g</math>는 [[단사 함수|단사]] <math>\mathcal C^1</math> 함수이다.
* 임의의 <math>t\in D</math>에 대하여, <math>\det J_g(t)\ne0</math>
* <math>f</math>는 <math>g(E)</math>에서 리만 적분 가능 함수이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\int_{g(E)}f(x)dx=\int_Ef(g(t))\left|\det J_g(t)\right|dt</math>
여기서 <math>\det J_g</math>는 <math>g</math>의 [[야코비 행렬식]]인데, 어떤 점에서의 야코비 행렬식의 값은 대략 변환이 그 점 주위의 초부피를 확대시키는 배수를 나타낸다.

예를 들어, [[극좌표 변환]]
:<math>x=r\cos\theta</math>
:<math>y=r\sin\theta</math>
:<math>\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta \end{vmatrix}=r</math>
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
:<math>\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta</math>
또한, [[원통 좌표 변환]]
:<math>x=r\cos\theta</math>
:<math>y=r\sin\theta</math>
:<math>z=z</math>
:<math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}=r</math>
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
:<math>\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\iiint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta</math>
또한, [[구면 좌표 변환]]
:<math>x=r\cos\theta\sin\varphi</math>
:<math>y=r\sin\theta\sin\varphi</math>
:<math>z=r\cos\varphi</math>
:<math>\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=-r^2\sin\varphi</math>
에 의한 치환 적분 공식은 다음과 같다.
:<math>\iiint_Df(x,y,z)dxdydz=\iiint_{g^{-1}(D)}f(r\cos\theta\sin\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\theta d\varphi</math>

=== 기하학적 성질 ===
음이 아닌 값의 함수 <math>f\colon E\to\mathbb R</math> (<math>E\subseteq\mathbb R^n</math>는 조르당 가측 집합)의 중적분은 밑면이 정의역, 윗면이 함수의 그래프인 도형의 조르당 측도와 같다.
:<math>\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n=\operatorname m(\{(x_1,\dotsc,x_{n+1})\colon(x_1,\dotsc,x_n)\in E,\;0\le x_{n+1}\le f(x_1,\dotsc,x_n)\})</math>
특히, [[상수 함수]] 1의 중적분은 정의역의 조르당 측도와 같다.
:<math>\iint\cdots\int_Edx_1\cdots dx_n=\operatorname m(E)</math>

=== 이상 중적분의 성질 ===
이상 중적분 역시 중적분과 비슷한 성질들을 만족시킨다.

예를 들어, 함수 <math>f\colon[a,\infty)\times[b,\infty)\to\mathbb R</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 조르당 가측 닫힌집합 <math>F\subseteq[a,\infty)\times[b,\infty)</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>F</math>에서 리만 적분 가능 함수이다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第三册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-08
|isbn=978-7-301-17675-7
}}</ref>{{rp|175, 定理15.5.4}}
* 만약 <math>\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy<\infty</math>라면, <math>\iint_{[a,\infty)\times[b,\infty)}f(x,y)dxdy=\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy</math>
* 만약 <math>\int_a^\infty dx\int_b^\infty|f(x,y)|dy=\infty</math>라면, <math>\iint_{[a,\infty)\times[b,\infty)}f(x,y)dxdy</math>는 발산한다.
또한, 무계 닫힌집합 <math>E\subseteq\mathbb R^n</math> 및 단사 <math>\mathcal C^1</math> 함수 <math>g\colon E\to\mathbb R^n</math> 및 함수 <math>f\colon g(E)\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 두 이상 적분
:<math>\iint\cdots\int_{g(E)}f(x)dx=\iint\cdots\int_Ef(g(t))\left|\det J_g(t)\right|dt</math>
가운데 하나가 존재한다면, 남은 하나도 존재하며, 이 둘은 서로 같다.<ref name="wusj" />{{rp|175, 정리 15.5.5}}

이상 중적분
:<math>\iint\cdots\int_Ef(x_1,\dotsc,x_n)dx_1\cdots dx_n</math>
이 수렴할 필요충분조건은
:<math>\iint\cdots\int_E|f(x_1,\dotsc,x_n)|dx_1\cdots dx_n<\infty</math>
이다. 즉, 일변수 함수의 경우와 달리, 이상 중적분이 수렴할 필요충분조건은 절대 수렴이다.

== 예 ==
=== 직육면체의 부피 ===
[[직육면체]] <math>[0,1]\times[0,2]\times[0,3]</math>의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\iiint_{[0,1]\times[0,2]\times[0,3]}dxdydz
&=\int_0^1dx\int_0^2dy\int_0^3dz\\
&=\int_0^1dx\int_0^23dy\\
&=\int_0^16dx\\
&=6\end{align}</math>

=== 삼각뿔의 부피 ===
[[삼각뿔]] <math>\{(x,y,z)\colon0\le x,y,z\le x+y+z\le1\}</math>의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\iiint_{\{(x,y,z)\colon0\le x,y,z\le x+y+z\le1\}}dxdydz
&=\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\int_0^{1-x-y}dz\\
&=\int_0^1dx\int_0^{1-x}(1-x-y)dy\\
&=\int_0^1\frac{(1-x)^2}2dx\\
&=\frac16\end{align}</math>

=== 이차 곡면으로 둘러싸인 도형의 부피 ===
[[파일:Triple Integral Example.svg|섬네일|[[타원 포물면]] ''z'' = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>와 [[원기둥]] ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup>에 의해 둘러싸인 도형]]
[[파일:Triple Integral Example 2.svg|섬네일|[[구 (기하학)|구]] ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup>와 [[원뿔]] ''z''<sup>2</sup> = (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)tan''a''에 의해 둘러싸인 도형]]
[[타원 포물면]]과 [[원기둥]]으로 둘러싸인 도형 <math>\{(x,y,z)\colon 0\le z\le x^2+y^2\le a^2\}</math>의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\iiint_{\{(x,y,z)\colon 0\le z\le x^2+y^2\le a^2\}}dxdydz
&=\int_0^ardr\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^rdz\\
&=\int_0^ar^2dr\int_0^{2\pi}d\theta\\
&=\int_0^a2\pi r^2dr\\
&=\frac23\pi a^3\end{align}</math>
[[구 (기하학)|구]]와 [[원뿔]]로 둘러싸인 도형 <math>\textstyle\left\{(x,y,z)\colon\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha\le z\le\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right\}</math>의 부피를 중적분을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\iiint_{\left\{(x,y,z)\colon\sqrt{x^2+y^2}\cot\alpha\le z\le\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right\}}dxdydz
&=\int_0^\alpha\sin\varphi d\varphi\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ar^2dr\\
&=\frac13a^3\int_0^\alpha\sin\varphi d\varphi\int_0^{2\pi}d\theta\\
&=\frac23\pi a^3\int_0^\alpha\sin\varphi d\varphi\\
&=\frac23\pi a^3(1-\cos\alpha)\end{align}</math>

=== 치환 적분의 예 ===
극좌표 변환 · 원통 좌표 변환 · 구면 좌표 변환 외의 변환을 사용하여 구할 수 있는 중적분의 한 가지 예는 다음과 같다.
:<math>\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy</math>
여기에서 다음과 같은 변환을 사용하자.
:<math>x=r\cos^2\theta</math>
:<math>y=r\sin^2\theta</math>
이 변환의 [[야코비 행렬식]]은 다음과 같다.
:<math>\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}
\cos^2\theta&-r\sin2\theta\\
\sin^2\theta&r\sin2\theta
\end{vmatrix}=r\sin2\theta</math>
따라서 상술 이중 적분을 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\iint_{\{(x,y)\colon0\le x,y\le x+y\le1\}}\sqrt\frac{xy}{x+y}dxdy=
\frac12\int_0^1\sqrt{r^3}dr\int_0^{\frac\pi2}\sin^22\theta d\theta
=\frac{\pi}{20}</math>

=== 이상 중적분의 예 ===
[[가우스 함수]]의 적분
:<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx</math>
은 이상 중적분
:<math>\iint_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}dxdy</math>
을 통해 구할 수 있는데, 이는
:<math>\begin{align}\iint_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}dxdy
&=\lim_{a\to\infty}\iint_{[-a,a]\times[-a,a]}e^{-x^2-y^2}dxdy\\
&=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{-x^2}dx\int_{-a}^ae^{-y^2}dy\\
&=4\left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2\end{align}</math>
이기 때문이다. 이 이상 중적분의 값은
:<math>\begin{align}\iint_{\mathbb R^2}e^{-x^2-y^2}dxdy
&=\lim_{a\to\infty}\iint_{\{(x,y)\colon x^2+y^2\le a^2\}}e^{-x^2-y^2}dxdy\\
&=\lim_{a\to\infty}\iint_{\{(r,\theta)\colon0\le r\le a,\;0\le\theta\le2\pi\}}e^{-r^2}rdrd\theta\\
&=\lim_{a\to\infty}\int_0^ae^{-r^2}rdr\int_0^{2\pi}d\theta\\
&=\pi\end{align}</math>
이므로, 가우스 함수의 적분 값은
:<math>\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac\sqrt\pi2</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Multiple integral}}
* {{eom|title=Repeated integral}}
* {{eom|title=Fubini theorem}}
* {{매스월드|id=MultipleIntegral|title=Multiple integral}}
* {{매스월드|id=DoubleIntegral|title=Double integral}}
* {{매스월드|id=TripleIntegral|title=Triple integral}}
* {{매스월드|id=RepeatedIntegral|title=Repeated integral}}
* {{매스월드|id=FubiniTheorem|title=Fubini theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=riemannmultipleintegral|title=Riemann multiple integral}}
* {{플래닛매스|urlname=fubinistheorem|title=Fubini’s theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=fubinistheoremforthelebesgueintegral|title=Fubini's theorem for the Lebesgue integral}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfFubinisTheoremForTheLebesgueIntegral|title=Proof of Fubini's theorem for the Lebesgue integral}}

{{전거 통제}}

[[분류:적분학]]
[[분류:다변수 미적분학]]