{{위키데이터 속성 추적}}
{{알찬 글}}
[[파일:Polar graph paper.svg|섬네일|right|250px|여러 각이 표시된 극좌표]]
{{포털|수학}}
{{미적분학}}

'''극좌표계'''(極座標系, {{llang|en|polar coordinate system}})는 [[평면]] 위의 위치를 [[각도]]와 [[거리]]를 써서 나타내는 [[2차원]] [[좌표계]]이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. [[데카르트 좌표계]]에서는 [[삼각함수]]로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름 성분과 각 성분의 두 성분으로 결정되며 주로 <math>r</math>로 나타내는 [[반지름]] 성분은 극(데카르트 좌표에서 원점)에서의 거리를 나타낸다. 주로 <math>\theta</math>로 나타내는 각 성분은 0°(데카르트 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)에서 반시계 방향으로 잰 각의 크기를 나타낸다.<ref name="김홍종">{{서적 인용
| 저자 = 김홍종
| 제목 = 미적분학 1

| 출판사 = 서울대학교 출판부
| isbn = 89-521-0157-X}}</ref>

== 역사 ==
[[파일:Head of Hipparchus (cropped).jpg|섬네일|왼쪽|upright=0.8|[[히파르코스]]]]
각과 반지름의 개념은 이미 기원전에 사용되었다. [[고대 그리스]]의 천문학자 [[히파르코스]]([[기원전 190년|기원전 190]]~[[기원전 120년|120년]])가 여러 각마다 [[현 (기하학)|현]]의 길이를 나타내는 표를 만들었는데, 그가 항성의 위치를 나타내기 위해 극좌표를 사용하였다는 주장도 있다.<ref name="milestones">{{웹 인용
 |성          = Friendly
 |이름       = Michael
 |제목       = Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization
 |url          = http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |확인날짜 = 2006-09-10
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20060925115456/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/sec4.html
 |보존날짜 = 2006-09-25
 |url-status = dead
}}</ref> [[아르키메데스]]가 묘사한 [[아르키메데스 나선]]은 반지름 성분이 각에 따라 변하는 함수로 주어진다. 하지만 이들의 작업은 완성된 좌표계로 발전하지는 못하였다.

극좌표를 정식 좌표계로 도입한 예는 여러 번 있었다. 이에 대한 역사는 [[하버드 대학교]] 교수인 [[줄리언 쿨리지]]의 《극좌표의 근원》에 서술되어 있다.<ref name="coolidge">{{저널 인용
| 성 = Coolidge
| 이름 = Julian
| 제목 = The Origin of Polar Coordinates
| 저널 = American Mathematical Monthly
| volume = 59
| 쪽 = 78–85
| 연도 = 1952
| url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html
| doi = 10.2307/2307104  | issn = 0002-9890 }}</ref> 17세기 중반에 [[그레구아르 생뱅상]]과 [[보나벤투라 카발리에리]]는 독립적으로 극좌표의 개념을 발표하였다. 생뱅상은 1625년에 작성해 1647년에 출판하였으며, 카발리에리는 1635년에 출판하였으며, 개정판은 1653년에 나왔다. 카발리에리는 [[아르키메데스 나선]]의 넓이를 구하는 문제를 풀기 위해 극좌표를 처음으로 사용하였다. 이에 따라 [[블레즈 파스칼]]은 [[포물선]]의 길이를 계산하기 위해 극좌표를 사용하였다.

[[아이작 뉴턴]]은 《유율법》(Method of Fluxions, 1671년 작성, 1736년 출판)에서 “일곱 번째 방법: 나선에 대하여”로 표현한 극좌표와 다른 아홉 가지 좌표계 사이의 변환을 분석하였다.<ref>{{저널 인용
| 성 = Boyer
| 이름 = C. B.
| 제목 = Newton as an Originator of Polar Coordinates
| 저널 = American Mathematical Monthly
| volume = 56
| 쪽 = 73–78
| 연도 = 1949
| url =
| doi = 10.2307/2306162 }}</ref> [[야코프 베르누이]]는 학술지 《''Acta Eruditorum''》(1691년)에서 점과 선을 이용한 좌표계를 사용하고 각각을 극과 극축이라 불렀다. 좌표는 극에서의 거리와 극축에서의 각으로 정의하였다. 베르누이의 연구는 곡선의 [[곡률반지름]]을 찾는 데까지 확장되었다.

“극좌표”라는 용어는 이탈리아의 [[그레고리오 폰타나]]가 처음 정하였으며, 18세기의 이탈리아 학자들이 사용하였다. 영어로는 [[조지 피콕]]이 1816년 [[실베스트르 프랑수아 라크루아|라크루아]]의 《미적분학》(Differencial and Intergral Calculus)을 번역하면서 처음 등장하였다.<ref>{{웹 인용
 |성          = Miller
 |이름       = Jeff
 |제목       = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
 |url          = http://members.aol.com/jeff570/p.html
 |확인날짜 = 2006-09-10
 |보존url    = https://web.archive.org/web/19991003184733/http://members.aol.com/jeff570/p.html
 |보존날짜 = 1999-10-03
 |url-status = live
}}</ref><ref>{{서적 인용
| 성 = Smith
| 이름 = David Eugene
| 제목 = History of Mathematics, Vol II
| 출판사 = Ginn and Co.
| 연도 = 1925
| 출판위키location = 보스턴
| 쪽 = 324 }}</ref> [[알렉시 클로드 클레로]]는 극좌표를 처음으로 3차원으로 확장하였으며, [[레온하르트 오일러|오일러]]가 이를 더욱 발전시켰다.<ref name="coolidge" />

== 극좌표를 이용한 점의 표시 ==
[[파일:CircularCoordinates.svg|섬네일|230px|극좌표로 표시된 (3, 60°)와 (4, 210°)]]
극좌표계의 점은 반지름(''r'')과 각(''θ'')로 표현된다. ''r''은 극에서의 거리를 의미하고, ''θ''는 0°(데카르트 좌표계의 x축 양의 방향에 해당)에서의 각도를 의미한다. 만약 ''r''이 음의 값을 갖는다면, ''θ''가 가리키는 방향과 반대방향으로 거리 |''r''|만큼 떨어진 점을 뜻한다.<ref name="김홍종" />

예를 들어, 극좌표 (3, 60°)는 극에서 60° 방향으로 3단위만큼 떨어진 곳을 나타낸다. 극좌표 (3, -300°)도 같은 위치에 그려진다.

데카르트 좌표와는 달리 극좌표에서는 하나의 점을 나타내는 방법이 무한히 많다. 여러 바퀴를 돌아 제자리에 돌아와도 위치는 변하지 않기 때문이다. 일반적으로 (''r, θ'')는
:(''r, θ'' ± ''n''×360°) 또는 (−''r, θ'' ± (2''n''+1)×180°)
로 표현될 수 있다(n은 임의의 정수).<ref>{{웹 인용
 |url          = http://www.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006%5Cteacher_20060413_0948.pdf
 |제목       = 극좌표와 그래프 그리기
 |확인날짜 = 2006-09-22
 |출판일자 = 2006-04-13
 |format       = PDF
 |보존url    = https://www.webcitation.org/65Tl0XlQe?url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2006/teacher_20060413_0948.pdf
 |보존날짜 = 2012-02-15
 |url-status = dead
}}</ref>

(0, ''θ'')는 일반적으로 극을 뜻하며, 반지름이 0이기 때문에 어떠한 각이든 상관이 없다.<ref>{{서적 인용
| 제목=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry
| 성=Lee
| 이름=Theodore
| 공저자=David Cohen, David Sklar
| 연도=2005
| 출판사=Thomson Brooks/Cole
| edition=Fourth Edition
| iD=0534402305 }}</ref> 점을 나타내는 방법을 하나로 제한할 때에는 ''r''은 양수로, ''θ''는 구간 [0, 360°) 또는 (−180°, 180°](라디안으로는 [0, 2π) 또는 (−π, π])의 수로 하는 것이 보통이다.<ref>{{서적 인용|제목=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|이름=Ian|성=Stewart|공저자=David Tall|연도=1983|출판사=케임브리지 대학교 출판부|id=0521287634 }}</ref>

극좌표의 각은 [[라디안]]을 이용한 [[호도법]]으로도 표현할 수 있으며(2π rad = 360°), 이는 상황에 따라 다르다. [[항행]]에서는 [[60분법]]으로 각을 나타내며, [[물리]] 분야(특히 회전 역학)와 거의 모든 [[미적분]]에서는 [[호도법]]이 쓰인다.<ref>{{서적 인용
| 성 = Serway
| 이름 = Raymond A.
| 공저자 = Jewett, Jr., John W.
| 제목 = Principles of Physics
| 출판사 = Brooks/Cole—Thomson Learning
| 연도 = 2005
| id = 0-534-49143-X }}</ref>

=== 극좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환 ===
[[파일:Polar to cartesian.svg|right|섬네일|230px|극좌표와 데카르트 좌표 사이의 관계를 묘사하는 그림.]]
''r''와 ''θ''는 삼각함수를 이용해 [[데카르트 좌표]]의 ''x''와 ''y''로 변환할 수 있다.
:<math>x = r \cos \theta</math>
:<math>y = r \sin \theta</math>

데카르트 좌표의 ''x''와 ''y''는 극좌표의 ''r''로 변환할 수 있다.
:<math>r^2 = x^2 + y^2</math> ([[피타고라스 정리]] 사용)

''θ''를 정의할 때는 다음과 같은 사항을 고려해야 한다.
* ''r'' = 0 일 때는 ''θ''는 임의의 실수가 될 수 있다.
* ''r'' ≠ 0 일 때는 표현의 유일성을 위하여 크기가 2π보다 작은 구간으로 한정한다. 보통은 [0, 2π) 나 (−π, π]가 사용된다.

[0, 2π)에 한정할 때는 다음과 같은 함수가 사용된다. (<math>\arctan</math>는 <math>\tan</math>의 역함수이다.)
:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan \frac{y}{x}        & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan \frac{y}{x} + 2\pi & \mbox{if } x > 0 \mbox{ and } y < 0\\
\arctan \frac{y}{x} + \pi  & \mbox{if } x < 0\\
\frac{\pi}{2}              & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
\frac{3\pi}{2}             & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>

(−π, π]에 한정할 때는 다음과 같은 함수가 사용된다.<ref>{{서적 인용|이름=Bruce Follett|성=Torrence|공저자=Eve Torrence|제목=The Student's Introduction to Mathematica®|연도=1999|출판사=케임브리지 대학교 출판부|id=0521594618 }}</ref>
:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan \frac{y}{x} & \mbox{if } x > 0\\
\arctan \frac{y}{x} + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan \frac{y}{x} - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0
\end{cases}</math>

== 극좌표 방정식 ==
극좌표를 이용하여 곡선을 나타내는 방정식을 '''극좌표 방정식''' 또는 '''극방정식'''이라고 한다. 보통은 ''r ''를 ''θ ''에 관한 함수로 정의한다. 곡선 위의 점은 <math>(r(\theta),\theta)</math>로 정의되며 함수 ''r ''의 그래프로 생각할 수 있다.

극좌표 방정식 ''r''(''θ'')의 형태로부터 대칭성을 추론할 수 있다. 만약 ''r''(−''θ'') = ''r''(''θ'') 이라면 곡선은 수평 반경(0° / 180°)에 대하여 대칭이 되며, ''r''(π−''θ'') = ''r''(''θ'')이라면 수직 반경(90° / 270°)에 대하여 대칭이 되며, ''r''(''α''−''θ'') = ''r''(''θ'')일 때는 ''α/2''만큼 반시계 방향으로 돌린 곳에서 대칭이 된다.

극좌표계의 성질 덕에 많은 곡선이 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있으며, 이에 반해 데카르트 좌표로 표현되려면 난해한 곡선이 많이 있다. 극좌표 방정식으로 표현될 수 있는 곡선은 극좌 장미 곡선, 아르키메데스 나선, 달팽이꼴 곡선, 심장형 등이 있다.

아래에 서술된 내용에는 정의역과 치역의 범위의 제한은 없다.

=== 원의 극좌표 방정식 ===
[[파일:circle r=1.svg|섬네일|right|230px|''r''(''θ'') = 1 로 정의되는 원]]
원의 중심이 (''r ''<sub>0</sub>, ''φ'')이며 반지름이 ''a''인 원의 일반적인 방정식은 다음과 같다.
:<math>r^2 - 2 \cdot r \cdot r_0 \cdot \cos(\theta - \varphi) + {r_0}^2 = a^2</math>

위의 방정식은 상황에 따라 여러 방법으로 단순화될 수 있다.
: ''r''(''θ'')=''a'' (원의 중심이 극에 있고 반지름이 a인 경우)<ref name="ping">{{웹 인용
 |이름       = Johan
 |성          = Claeys
 |url          = http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |제목       = Polar coordinates
 |확인날짜 = 2006-05-25
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20060427230725/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm
 |보존날짜 = 2006-04-27
 |url-status = dead
}}</ref>

=== 직선의 극좌표 방정식 ===
극을 통과하는 선은 다음과 같은 방정식으로 표현된다.
: ''θ'' = ''φ''

위의 방정식에서 ''φ''는 극을 통과하는 선의 기울기를 각도로 표현한 것이며(''φ'' = arctan ''m''), ''m''은 데카르트 좌표에서의 기울기이다. 직선 ''θ'' = ''φ''에 수직이면서 점 (''r ''<sub>0</sub>,''φ'')를 지나는 직선은 <math>r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi)</math>로 나타낼 수 있다.

=== 극좌표 장미 곡선 ===
[[파일:Rose 2sin(4theta).svg|섬네일|right|230px|''r''(''θ'') = 2 sin 4''θ''로 정의되는 극좌표 장미곡선]]
수학에서 [[장미 곡선]]은 꽃잎을 지닌 꽃처럼 보이는 유명한 곡선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다.

: <math>r(\theta) = a \cos (k\theta + \phi_0)</math> (<math>\phi_0</math>는 임의의 상수)

''k''가 [[홀수]]일 때는 ''k''개의 꽃잎을 지니며, ''k''가 [[짝수]]일 때는 2''k''개의 꽃잎을 지닌다. ''k''가 정수가 아닐 때에는 꽃과 비슷한 모양이지만 이때는 꽃잎이 겹쳐 보이게 된다. 즉, 4''n'' + 2개의 꽃잎을 지닌 장미 곡선을 그릴 수는 없다. [[변수 (수학)|변수]] ''a''는 꽃잎의 길이를 의미한다.
{{-}}

=== 아르키메데스 나선 ===
[[파일:Spiral of Archimedes.svg|섬네일|right|230px0 < ''θ'' < 6π 구간으로 제한된 아르키메데스 나선 ''r''(''θ'') = ''θ'']]
[[아르키메데스 나선]]은 [[아르키메데스]]가 발견한 나선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다.

:''r''(''θ'') = ''a'' + ''bθ''

[[매개변수]] ''a''는 나선의 위치를 돌려 놓으며, ''b''는 나선 사이의 폭을 조정한다. ''r''(''θ'') = ''bθ''일 경우, 각이 ''θ'' > 0일 때와 ''θ'' < 0일 때, 각각의 아르키메데스 소용돌이는 두 가지의 곡선을 그리며 이들은 극에서 매끄럽게 만난다. 90°/270°선(데카르트 좌표계의 y축과 같음)을 기준으로 좌우대칭상을 그리면 다른 쪽 곡선이 나온다. 이 곡선은 수학 관련 저술에서 [[원뿔 곡선]] 다음으로 등장하는 곡선이며 극좌표로 가장 잘 표현되는 예로 거론된다.
{{-}}

=== 원뿔 곡선 ===
[[파일:Elps-slr.svg|섬네일|right|230px|타원]]
초점 중 하나가 극에 있으며 다른 하나는 0°의 어딘가에 있는(원뿔 곡선의 주축이 극축에 있도록) [[원뿔 곡선]]은 다음과 같이 정의된다.

:<math>r  = { \ell\over {1 - e \cos \theta } } </math>

''e''는 [[이심률]]이며 <math>\ell</math>은 극이 아닌 초점에서 주축(major axis)에 수직이 되게 곡선까지 잰 거리(semi-latus rectum)이다. ''e'' > 1일 때 이 방정식은 [[쌍곡선]]이 되며, ''e'' = 1일 때는 [[포물선]]이 되고, ''e'' < 1일 때는 [[타원]]이 된다. ''e'' = 0일 때는 반지름 <math>\ell</math>인 원이 그려진다.

== 복소수 체계 ==
[[파일:Imaginarynumber2.svg|섬네일|right|230px|복소수 ''z''를 복소평면에 그린 것]]
[[파일:Euler's formula.svg|섬네일|right|230px|[[오일러 공식]]을 이용해 복소수를 복소평면에 그린 것]]
모든 [[복소수]]는 [[복소평면]] 위의 점으로 표현될 수 있으며, [[데카르트 좌표계]]와 극좌표계의 방식으로 모두 표현 가능하다. 복소수 ''z''는 다음과 같이 데카르트 좌표계의 형태로 표현될 수 있다.
: <math>z = x + iy\,</math>
<math>i</math>는 [[허수 단위]]이다. 이 식은 아래와 같이 극좌표계로 나타낼 수 있다. 이를 '''복소수의 극형식'''이라 한다.

:<math>z = r (\cos\theta+i\sin\theta)</math>

[[자연로그]]의 [[밑]] e를 이용하면 다음처럼 나타낼 수 있다.
: <math>z = re^{i\theta} \,</math>
이는 [[오일러의 공식]]으로 표현된 것과 같다<ref>{{서적 인용
| 성 = Smith
| 이름 = Julius O.
| 제목 = Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)
| 확인날짜 = 2006-09-22
| 연도 = 2003
| 출판사 = W3K Publishing
| id = 0-9745607-0-7
| chapter = Euler's Identity
| chapterurl = http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
| archive-date = 2006-09-15
| archive-url = https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html
}}</ref>(이러한 공식은 각 ''θ''의 단위가 [[라디안]]일 때에만 성립된다). 복소수의 직교 형식과 극형식 사이의 변환은 위에서 서술한 [[극좌표계#극좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환|변환 공식]]을 사용하면 된다.

복소수의 [[곱셈]], [[나눗셈]], [[거듭제곱]] 연산을 할 때에는 데카르트 좌표계보다는 극좌표계로 표현하는 것이 계산이 더 간편하다. 지수 법칙에 따라 다음과 같은 성질이 성립한다.

* 곱셈:
:: <math>r_0 e^{i\theta_0} \cdot r_1 e^{i\theta_1}=r_0 r_1 e^{i(\theta_0 + \theta_1)}</math>

* 나눗셈:
:: <math>\frac{r_0 e^{i\theta_0}}{r_1 e^{i\theta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\theta_0 - \theta_1)}</math>

* 거듭제곱:
:: <math>(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}</math>

== 미적분 ==
극좌표 공식은 [[미적분]]에도 적용할 수 있다.<ref>{{웹 인용
| url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html
| 제목=Areas Bounded by Polar Curves
| 저자=Husch, Lawrence S.
| 확인날짜=2006-11-25
| archive-date=2000-03-01
| archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html
| url-status=
}}</ref><ref>{{웹 인용
| url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html
| 제목=Tangent Lines to Polar Graphs
| 저자=Lawrence S. Husch
| 확인날짜=2006-11-25
| archive-date=2019-11-21
| archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html
| url-status=
}}</ref>

각 ''θ''의 측정 단위로는 [[라디안]]을 사용한다.

=== 미분 ===
극좌표계와 데카르트 좌표계 사이에는 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.

:<math>r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y}</math>
:<math>\tfrac{\partial}{\partial \theta} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y}</math>

극좌표 곡선인 ''r''(''θ'')의 데카르트 좌표계에서의 기울기를 찾기 위해서는 먼저 곡선을 매개변수 연립방정식으로 나타내어야 한다.

:<math>x=r(\theta)\cos\theta \,</math>

:<math>y=r(\theta)\sin\theta \,</math>

두개의 등식을 ''θ''에 대하여 [[미분]]하면

:<math>\frac{dx}{d\theta}=r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta \,</math>

:<math>\frac{dy}{d\theta}=r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta. \,</math>

두 번째 등식을 첫 번째 등식으로 나누면 (''r'', ''θ'')에 접하는 접선의 기울기가 된다.

:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}.</math>

=== 적분 ===
[[파일:Polar coordinates integration region.svg|섬네일|230px|''R''는 곡선 ''r''(''θ''), ''θ'' = ''a'', ''θ'' = ''b''로 둘러싸인 부분이다.]]
곡선 ''r''(''θ''), ''θ'' = ''a'', ''θ'' = ''b''에 의해 둘러싸인 부분을 ''R'' 라 하자.(0 < ''b'' − ''a'' < 2π) 이때 ''R''의 넓이는 다음과 같다.

:<math>\frac12\int_a^b r(\theta)^2\, d\theta.</math>

[[파일:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|섬네일|230px|지역 ''R''의 크기는 ''n''개의 구간을 이용해 근사값을 계산할 수 있다.(''n'' = 5).]]
다음과 같은 과정을 통해 이를 유도할 수 있다. 먼저 구간 [''a'', ''b'']를 ''n'' 개의 구간으로 나눈다(''n''은 자연수). 각 구간 ''i'' = 1, 2, …, ''n''에서 ''θ''<sub>''i''</sub>이 각 구간의 중점이라 하고 극에 중심을 두는 [[부채꼴]]을 만든다(''r''(θ<sub>''i''</sub>), 중심각 : ''Δθ'', 호의 길이 : ''r''(''θ''<sub>''i''</sub>)''Δθ''). 이때 만들어진 각 부분의 넓이는 <math>\tfrac12r(\theta_i)^2\Delta\theta</math>이다. 따라서 총 넓이는 다음과 같은 [[리만 합]]으로 나타낼 수 있다.

:<math>\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\theta_i)^2\,\Delta\theta</math>

구간의 개수 ''n''이 증가함에 따라 그 극한값은 ''R ''의 넓이에 가까워진다.

=== 일반화 ===
데카르트 좌표를 이용해서 무한소 넓이는 <math>dA = dx dy</math>와 같이 계산된다. [[치환 적분법]]으로 좌표계를 바꾸어 [[중적분]]할 때에는 [[야코비 행렬식]]을 이용해야 한다.
: <math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}
=\begin{vmatrix}
  \frac{\partial x}{\partial r}  & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
  \frac{\partial y}{\partial r}  & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
  \cos\theta & -r\sin\theta \\
  \sin\theta &  r\cos\theta
\end{vmatrix}
=r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r</math>

따라서 극좌표계의 좌표에 따른 넓이는 다음과 같이 주어진다.
:<math>dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta</math>

이제 극좌표계로 주어진 함수는 다음과 같이 적분할 수 있다.
:<math>\iint_R f(r,\theta) \, dA = \int_a^b \int_0^{r(\theta)}  f(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta.</math>
여기서 ''R ''는 곡선 ''r''(''θ''), ''θ''= ''a'', ''θ'' = ''b''에 둘러싸인 영역이다. ''R ''의 넓이는 함수 ''f ''를 1과 같다고 하면 된다.

[[야코비 행렬식]]을 이용한 놀라운 결과 가운데 하나는 다음과 같은 [[가우스 적분]]이다.
:<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi</math>

=== 벡터 미적분 ===
[[벡터 미적분]]은 극좌표에도 적용할 수 있다. <math>\mathbf{r}</math>를 위치 벡터 <math>(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,</math>, (''r''과 ''θ''는 시간 ''t''에 의해 좌우된다.)

<math>\mathbf{r}</math>의 방향을 나타내는 단위 벡터 <math>\hat{\mathbf{r}} </math>를 다음과 같이 두고,
:<math>\hat{\mathbf{r}}=(\cos(\theta),\sin(\theta))</math>

<math>\mathbf{r}</math>에 수직인 단위 벡터를 다음과 같이 두자.
:<math>\hat{\boldsymbol\theta}=(-\sin(\theta),\cos(\theta))</math>

이때 ''r''의 1계 미분, 2계 미분은 다음과 같다.
:<math>\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},</math>

:<math>\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} +
 \frac{1}{r} \ \dot {\overbrace{r^2\dot\theta }}\quad \hat{\boldsymbol\theta}</math>

== 3차원 ==
극좌표계는 원통좌표계와 구면좌표계로 확장할 수 있으며, 이 두 가지는 2차원의 극좌표계를 포함한다. 원통좌표계는 거리 좌표를 더해 극좌표계를 확장시키며, 구면좌표계는 각 좌표를 더해 확장한다.

=== 원통 좌표계 ===
[[파일:Cylindrical coordinates2.svg|섬네일|right|230px|원통좌표계로 그려진 점]]
{{본문|원통 좌표계}}
[[원통 좌표계]]는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 ''xy'' 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 ''z''축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다. 평면 극좌표계의 ''r, θ,'' 그리고 ''z''로 이루어지는 이 좌표계를 '''원통 좌표계'''라고 한다. '''원통 좌표계'''란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중 ''r''이 고정되고, ''θ, z''가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 [[원통]]이기 때문이다. 원통 좌표계의 [[특이점]]은 ''z''축 위의 점들이다.

세 가지 원통 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식을 써서 [[데카르트 좌표]]로 변환할 수 있다.
:<math> \begin{align}
x &= r \, \cos\theta \\
y &= r \, \sin\theta \\
z &= h.
\end{align} </math>

=== 구면좌표계 ===
[[파일:Spherical coordinate.gif|섬네일|202x202픽셀|구면좌표계로 그려진 점]]
{{본문|구면좌표계}}
[[구면좌표계]]는 원점에서의 거리 ''r'', ''z''축 양의 방향과 이루는 각 ''''θ'''', ''xy'' 평면으로의 사영이 ''x''축 양의 방향과 이루는 각 ''φ,'' 이 세 가지 변수 ''r,θ,φ''로 이루어지는 좌표계이다. 특이점은 ''r''=''0'' 이거나, ''θ''=''nπ''(단, ''n''은 자연수)를 만족하는 모든 (''r,θ,φ'')이며, [[데카르트 좌표계]]에선 각각 (''x,y,z'')=(0,0,0), ''z''축에 해당한다. 구면 좌표계는 ''r''을 고정시켰을 때의 자취가 원점을 중심으로 하는 구이기 때문에 붙여진 이름이다.

구면좌표계의 ''r''은 원점과의 거리인 반면 [[원통 좌표계]]의 ''r''은 ''z''축과의 거리이다. 따라서 이를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 ''r''대신 ''ρ''를 써서 표기하기도 한다. 원통 좌표계의 ''θ''는 구면좌표계의 ''θ''가 아닌, ''φ''와 일치한다. 또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 [[위도]], [[경도]]와 비슷하다. 위도 ''δ''는 ''''''θ''''''의 여각이며(''δ'' = 90° − ''''''θ''''''), 경도 <math>\ell</math>은 <math>\ell</math> = ''''φ'''' − 180°와 같이 정의된다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|제목=구면 좌표계|이름=Frank|성=Wattenberg|연도=1997|확인날짜=2006-09-16|보존url=https://web.archive.org/web/20081222101905/http://www.math.montana.edu/frankw/ccp/multiworld/multipleIVP/spherical/body.htm|보존날짜=2008-12-22|url-status=dead}}</ref>

세 가지 구면좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 [[데카르트 좌표]]로 변환될 수 있다.
:<math> \begin{align}
x &= \rho \, \sin\theta \, \cos\varphi \\
y &= \rho \, \sin\theta \, \sin\varphi \\
z &= \rho \, \cos\theta.
\end{align} </math>

== 일상에서의 적용 ==
극좌표계는 2차원이기 때문에 점이 2차원 면에 있을 때에만 사용할 수 있다. 극좌표계가 가장 널리 쓰이는 곳은 어떤 현상이 중앙에서의 거리와 방향에 밀접한 관계가 있는 경우이다. 위의 예시는 기본적인 극좌표를 사용한 식이 곡선을 정의하기에 충분하다는 것을 보여준다(아르키메데스 소용돌이처럼 데카르트 좌표계로는 표현했을 때 복잡한 식이 한 예이다). 또한, 물체가 중심에서 돌거나 중심을 두고 발생하는 현상이 자주 관찰되는 물리 체계에서는 극좌표계를 적용하는 것이 보다 간단하고 직관적으로도 이해하기 쉽다. 극좌표계를 도입하고자 한 계기는 [[등속 원운동]]이나 [[궤도 운동]]을 연구하기 위한 것이었다.

=== 위치와 항행 ===
극좌표계는 [[항행]]에 자주 쓰이며, 각과 거리로 목적지나 여행 방향을 정해준다. 예를 들어 [[항공기]]는 항행을 위해 약간 변형된 극좌표를 사용한다. 0°는 주로 360°로 주로 일컬어지며, 각도는 반시계 방향이 아닌 시계 방향으로 돈다. 360°는 [[자북극]]을 가리키며, 90°, 180°, 270°는 각각 동쪽, 남쪽, 서쪽을 일컫는다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|제목=항공기 항행 시스템|확인날짜=2006-11-26|이름=Sumrit|성=Santhi }}</ref> 따라서 동향으로 5[[해리 (단위)|해리]]를 이동하는 항공기는 90°로 5단위를 이동하는 것이 된다([[항공 교통 관제]]에서는 [[NATO 음성 문자|90(niner-zero)]]라고 읽는다).<ref>{{웹 인용|url=http://www.faa.gov/library/manuals/aircraft/airplane_handbook/media/faa-h-8083-3a-7of7.pdf|제목=Emergency Procedures|type=pdf|확인날짜=2007-01-15 }}</ref>

=== 모형화 ===
[[파일:Bosch 36W column loudspeaker polar pattern.png|섬네일|230px|공업 [[확성기]]에서의 6가지의 주파수의 출력 경향을 구면좌표계에 그린 것]]

중앙점이 대칭의 기준이 되는 시스템이면 자연스럽게 극좌표계를 사용할 수 있다. 가장 대표적인 예는 [[지하수 공식]]이며, 방사적으로 대칭되는 우물에 곧잘 쓰인다. 또한 [[중심력]]이 있는 시스템도 극좌표가 사용될 수 있다. 이러한 시스템은 [[중력장]]([[역제곱법칙]]을 따른다), [[안테나]]와 같이 [[점광원]]이 쓰이는 체계 등이다.

방사적으로 비대칭되는 시스템에도 극좌표계가 쓰일 수 있다. 예를 들어 [[마이크로폰]]의 지향특성은 음원의 방향에 따라 비례적인 반응을 보이며, 이러한 패턴은 극좌표 곡선으로 표현될 수 있다. 가장 흔하게 사용되는 마이크인 카디오이드 마이크의 곡선은 다음과 같은 공식으로 표현된다.
:<math>1 =r = 0.5 + 0.5 \sin \Theta</math><ref>{{서적 인용 |성=Eargle |이름=John |제목=Handbook of Recording Engineering |연도=2005 |edition=Fourth Edition |출판사=Springer |id = 0387284702 }}</ref>

패턴은 낮은 주파수에 전방향성으로 바뀐다.

[[확성기]]의 출력을 3차원으로 모형화한 것은 확성기의 성능을 측정하기 위해 사용할 수 있다. 패턴이 주파수에 따라 많이 변하기 때문에 여러 주파수에서 그린 그래프가 필요하다. 극좌표계 그래프는 많은 확성기가 낮은 주파수에서 전방향성으로 향하는지를 알려준다.

{{-}}

== 같이 보기 ==
* [[구면좌표계]]
* [[초구면 좌표계]]
* [[구면 조화 함수]]

== 각주 ==
{{각주|2}}

== 참고 자료 ==
* {{서적 인용|성=Anton|이름=Howard|공저자=Irl Bivens, Stephen Davis|제목=Calculus|edition=Seventh Edition|연도=2002|출판사=Anton Textbooks, Inc.|id=0-471-38157-8}}
* {{서적 인용|성=Finney|이름=Ross|공저자=George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits|제목=Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic|edition=Single Variable Version|연도=1994|출판월=6월|출판사=Addison-Wesley Publishing Co.|id=0-201-55478-X}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter - converts between polar, Cartesian and spherical coordinates]
* [http://scratch.mit.edu/projects/nevit/691690 Polar Coordinate System Dynamic Demo]

{{전거 통제}}

[[분류:좌표계]]