{{위키데이터 속성 추적}}
[[통계역학]]에서 '''애니온'''({{llang|en|anyon}})은 2+1차원 계에서 나타나는, [[보손]]도 아니고 [[페르미온]]도 아닌 입자이다.

== 정의 ==
[[스핀-통계 정리]]는 4차원 이상 [[민코프스키 공간]]에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 <math>SO(2,1)</math>이 무한한 크기의 [[기본군]]을 갖기 때문이다. 즉, <math>d>3</math>인 경우
:<math>\pi_1(SO(d-1,1))=\mathbb Z/2</math>
이므로, 그 [[범피복 공간]]
:<math>SO(d-1,1)\to \operatorname{Spin}(d-1,1)\twoheadrightarrow\mathbb Z/2</math>
의 표현은 <math>\mathbb Z/2</math>에 따라 [[보손]]과 [[페르미온]]으로 나뉜다. 반면 <math>d=3</math>인 경우
:<math>\pi_1(SO(2,1))=\mathbb Z</math>
이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 ''n''개의 점입자들은 일반적으로 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]]
:<math>\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle</math>
의 표현을 따른다. 이 경우, [[보손]]은 <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, [[페르미온]]은 [[군 준동형]]
:<math>\sigma_i\mapsto 1\in\{0,1\}\cong\mathbb Z/2</math>
의 [[상 (수학)|상]]
:<math>\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z/2</math>
에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 <math>-1</math>이 곱해진다.)

=== 아벨 애니온 통계 ===
'''아벨 애니온'''({{llang|en|Abelian anyon}})은 상
:<math>\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z\cong\langle1\rangle</math>
:<math>\sigma_i\mapsto1</math>
에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 <math>\theta\ne0,\pi</math>에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때
:<math>|\psi_i\psi_j\rangle=\exp(i\theta)|\psi_j\psi_i\rangle</math>
를 따른다. 여기서 <math>\theta=0</math>이면 보손, <math>\theta=\pi</math>이면 페르미온이 된다.

아벨 애니온은 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]] <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 복소수 1차원 [[군의 표현|표현]]에 대응한다. 즉, [[군 준동형]]
:<math>B_n\to U(1)</math>
에 대응한다. [[원군]] <math>U(1)</math>은 [[아벨 군]]이므로, 이는 <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 아벨화를 거친다.
:<math>B_n\twoheadrightarrow \operatorname{Braid}(n)/[\operatorname{Braid}(n),\operatorname{Braid}(n)]\cong\mathbb Z\to U(1)</math>
꼬임군의 아벨화는 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이다. 구체적으로, 꼬임군의 [[군의 표시|표시]]
:<math>\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \forall |i-j|>1\right \rangle</math>
에 대하여,
:<math>\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\mathbb Z</math>
:<math>\sigma_i\mapsto 1\forall i=1,\dots,n-1</math>
이다. 준동형 <math>\mathbb Z\to U(1)</math>은 물론 임의의 복소수 <math>\exp(i\theta)\in U(1)</math>에 따라 분류된다.

=== 꼬임 통계 ===
'''비아벨 애니온'''({{llang|en|non-Abelian anyon}})은 꼬임군 <math>\operatorname{Braid}(n)</math>의 일반적인 고차원 [[군의 표현|표현]]을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 '''꼬임 통계'''({{llang|en|braid statistics}})라고 한다.

=== 파라 통계 ===
비아벨 애니온 가운데, 표현이 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>을 거치는 것을 '''파라 통계'''({{llang|en|parastatistics}})라고 한다.
:<math>\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{Sym}(n)\to \operatorname U(k)</math>
파라 통계는 어떤 정수 <math>p</math>에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 '''차수'''({{llang|en|order}})라고 한다. '''파라 보손'''({{llang|en|paraboson}})의 경우, 대칭군의 표현은 [[영 타블로]] 가운데 <math>p</math>개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, '''파라 페르미온'''({{llang|en|parafermion}})의 경우 대칭군의 표현은 [[영 타블로]] 가운데 <math>p</math>개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 <math>p\to\infty</math>를 취한다면, [[맥스웰-볼츠만 통계]]를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다.

파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 '''클라인 변환'''({{llang|en|Klein transformation}})을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=The conventionality of parastatistics|성1=Baker|이름1=David John|성2=Halvorson, Hans|성3=Swanson|이름3=Noel|날짜=2014|저널=The British Journal for the Philosophy of Science|url=http://philsci-archive.pitt.edu/id/eprint/10697|doi=10.1093/bjps/axu018|issn=0007-0882|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://philsci-archive.pitt.edu/id/eprint/10697 }}</ref>

구체적으로, 파라 보손 장 <math>\phi</math>는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.
:<math>\phi=\sum_{i=1}^p\phi_i</math>
:<math>[\phi_i(\mathbf x),\phi_i(\mathbf y)]=0</math>
:<math>\{\phi_i(\mathbf x),\phi_j(\mathbf y)\}=0\qquad(i\ne j)</math>
마찬가지로, 파라 페르미온 장 <math>\psi</math>는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.
:<math>\psi=\sum_{i=1}^p\psi_i</math>
:<math>\{\psi_i(\mathbf x),\psi_i(\mathbf y)\}=0</math>
:<math>[\psi_i(\mathbf x),\psi_j(\mathbf y)]=0\qquad(i\ne j)</math>

== 예 ==
=== 분수 양자 홀 효과 ===
아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 <math>\Phi</math>와 결합한, 전하 <math>q</math>를 갖는 입자이다.<ref name="Wilczek"/> 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상
:<math>\exp(iq\Phi/\hbar)</math>
이 발생한다. 이러한 현상은 [[분수 양자 홀 효과]]를 일으킨다.

=== 2차원 등각 장론 ===
2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.<ref>{{저널 인용|제목=Monodromy representations of the braid group|arxiv=hep-th/0012099|이름=I.T. |성=Todorov|이름2=L.K.|성2= Hadjiivanov|doi= 10.1134/1.1432899|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Fröhlich|이름=J.|성2=Gabbiani|이름2= F.|제목=Braid statistics in local quantum theory|저널=Rev. Math. Phys.|권=2|날짜=1990|쪽=251–353|bibcode=1990RvMaP...2..251F|doi=10.1142/S0129055X90000107|언어=en}}</ref>
[[2차원 등각 장론]]에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록({{llang|en|conformal block}})에 의하여 전개된다.
:<math>\langle\phi_k(z_k)\cdots\phi_2(z_2)\phi_1(z_1)\rangle=\sum_pC(h_1,\dots,h_k;h_p)F_{h_1,\dots,h_k}(h_p;z_1,\dots,z_k)\bar F_{\bar h_1,\dots,\bar h_k}(\bar h_p;\bar z_1,\dots,\bar z_k)</math>
가능한 등각 블록들은 복소수 [[벡터 공간]]을 이루며, 유리 등각 장론({{llang|en|rational conformal field theory}})의 경우 이는 유한 차원이다.

이 경우, 만약 <math>k</math>개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 [[모노드로미]]가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 '''꼬임 행렬'''({{llang|en|braiding matrix}}) <math>B</math>라고 하며, 이는 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]]의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.

== 역사 ==
1953년에 허버트 시드니 그린({{llang|en|Herbert Sidney Green}})이 파라 입자의 가능성을 지적하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Herbert Sidney|성= Green|제목= A generalized method of field quantization|저널=Physical Review |권=90|호=2|쪽=270–273|날짜=1953-04-15|doi=10.1103/PhysRev.90.270|언어=en}}</ref>

1977년에 욘 망네 레이노스({{llang|no|Jon Magne Leinaas}})와 얀 뮈르헤임({{llang|no|Jan Myrheim}})이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다.<ref>{{저널 인용
| title = On the theory of identical particles
| journal = Il Nuovo Cimento B
| volume = 37
| issue = 1
| pages = 1–23
| last = Leinaas
| first = J.M.
|공저자=Jan Myrheim
| date = 1977-01-11
| doi = 10.1007/BF02727953
|bibcode = 1977NCimB..37....1L |언어=en}}</ref> 1982년에 [[프랭크 윌첵]]이 이들이 [[분수 양자 홀 효과]]에 등장함을 보였고,<ref>{{저널 인용|이름=F.|성=Wilczek|저널=Physical Review Letters|권=48|호=17|쪽=1144–1146|날짜=1982|제목= Magnetic flux, angular momentum, and statistics|doi=10.1103/PhysRevLett.48.1144 |언어=en}}</ref> "애니온"이라는 이름을 붙였다.<ref name="Wilczek">{{저널 인용
| title = Quantum mechanics of fractional-spin particles
| journal = Physical Review Letters
| volume = 49
| issue = 14
| pages = 957–959
| last = Wilczek
| first = Frank
| date = 1982-10-04
| url = http://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f689_mecquant_i/prl49_957.pdf
| doi = 10.1103/PhysRevLett.49.957 | 언어=en}}</ref> 여기서 "애니온"({{llang|en|anyon|에니온}})은 {{llang|en|any|에니}}(어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + {{llang|en|-on|온}}(입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.
{{인용문2|이러한 두 입자를 교환시키면 임의의({{llang|en|any}}) 위상을 얻을 수 있으므로, 이러한 입자들을 "애니온"이라고 부르겠다.<br>{{lang|en|Since interchange of two of these particles can give any phase, I will call them generically anyons.}}|<ref name="Wilczek"/>}}

비아벨 애니온은 1988년에 [[위르크 프뢸리히]]({{llang|de|Jürg Martin Fröhlich}})와 피에르 알베르토 마르케티({{llang|it|Pier Alberto Marchetti}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=1988-11|권=16|호=4|쪽=347–358|제목=Quantum field theory of anyons|이름=J.|성=Fröhlich|이름2=P.-A.|성2=Marchetti|doi=10.1007/BF00402043|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=An anyon primer|이름=Sumathi|성=Rao|날짜=1992|arxiv=hep-th/9209066|bibcode=1992hep.th....9066R|언어=en}}
*{{저널 인용|doi = 10.1103/RevModPhys.80.1083| arxiv=0707.1889 |bibcode=2008RvMP...80.1083N|title = Non-Abelian anyons and topological quantum computation|날짜 = 2008|last = Nayak|first = Chetan|이름2=Steven|성2= Simon|이름3= Ady|성3= Stern|이름4=Michael |성4=Freedman|이름5=Sankar|성5= Das Sarma | journal = Reviews of Modern Physics|volume = 80|issue = 3|pages = 1083 | issn=0034-6861|언어=en}}
*{{저널 인용| doi = 10.1016/j.aop.2007.10.008|arxiv=0711.4697 | 제목 = Anyons and the quantum Hall effect—A pedagogical review | 날짜 = 2008 | last = Stern | first = Ady | journal = Annals of Physics | volume = 323 | pages = 204 |bibcode = 2008AnPhy.323..204S|언어=en }}
* {{서적 인용|arxiv=1203.3268|장=Pattern-of-zeros approach to Fractional quantum Hall states and a classification of symmetric polynomial of infinite variables|이름=Xiao-Gang |성=Wen|공저자= Zhenghan Wang|bibcode=2012arXiv1203.3268W|제목=Conformal Field Theories and Tensor Categories: Proceedings of a Workshop Held at Beijing International Center for Mathematical Research|doi=10.1007/978-3-642-39383-9_2|isbn=978-3-642-39382-2|출판사=Springer|언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/3000/slac-pub-3625.html|제목=Conformal invariance and parastatistics in two dimensions|doi=10.1016/0550-3213(86)90217-8|저널=Nuclear Physics B|권=278|호=2|날짜=1986-12-08|쪽=343–352|이름=Ignatios|성=Antoniadis|이름2=Constantin|성2=Bachas|언어=en|확인날짜=2015-05-09|보존url=https://web.archive.org/web/20150924102734/http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/3000/slac-pub-3625.html|보존날짜=2015-09-24|url-status=dead}}
* {{저널 인용|arxiv=1504.02476|제목=Topological phase with parafermions: theory and blueprints|이름=Jason|성=Alicea|이름2=Paul|성2=Fendley|bibcode=2015arXiv150402476A|저널=Annual Reviews of Condensed Matter Physics|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=braid group statistics|title=Braid group statistics}}
* {{nlab|id=parastatistics|title=Parastatistics}}

{{전거 통제}}

[[분류:통계역학]]
[[분류:양자장론]]