{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''CW 복합체'''(CW復合體, {{llang|en|CW-complex}})는 일련의 '''세포'''(細胞, {{llang|en|cell}})들을 이어붙여 구성할 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|first=Albert T.|last=Lundell|이름2=Stephen|성2=Weingram|title=The topology of CW complexes|series=Van Nostrand University Series in Higher Mathematics|date=1970|isbn=0-442-04910-2|언어=en|publisher=Van Nostrand Reinhold Company}}</ref><ref name="Hatcher">{{서적 인용| last=Hatcher |first= Allen |title=Algebraic topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |날짜= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |zbl=1044.55001|mr=1867354|isbn=978-0-521-79540-1|언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 0, Appendix A}} [[단체 복합체]]의 개념보다 더 자유롭고, [[단체 집합]]의 개념보다 더 구체적이지만, 그 [[범주 (수학)|범주]] 속에서 [[호모토피 이론]]을 용이하게 전개할 수 있으며, [[단체 호몰로지]]와 마찬가지로 CW 복합체 구조로부터 직접 그 [[호몰로지]]와 [[코호몰로지]]를 계산할 수 있다. 이 계산법을 '''세포 호몰로지'''(細胞homology, {{llang|en|cellular homology}}) 및 '''세포 코호몰로지'''(細胞cohomology, {{llang|en|cellular cohomology}})라고 한다.

== 정의 ==
=== 직접적 정의 ===
[[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 '''CW 복합체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|521, Proposition A.2}}
* 각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[연속 함수]] <math>\mathbb D^n\to X</math>들의 집합 <math>\Phi_n</math>. <math>\Phi_n</math>의 원소를 <math>n</math>차원 '''세포'''({{llang|en|cell}})라고 한다.
이들은 다음 네 조건들을 만족시켜야 한다.
* 각 <math>n</math>차원 세포 <math>\phi\in\Phi_n</math>에 대하여, <math>\phi|_{\operatorname{int}\mathbb D^n}</math>은 그 [[치역]]과의 [[위상 동형]]이다.
* 각 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x\in \phi(\operatorname{int}\mathbb D^n)</math>인 유일한 <math>(n\in\mathbb N,\phi\in\Phi_n)</math>이 존재한다.
* (C) 각 <math>n</math>차원 세포 <math>\phi\in\Phi_n</math>에 대하여, 그 경계 <math>\partial(\Phi_n)</math>은 <math>n</math> 미만 차원의 유한 개의 세포들의 내부와 교차한다.
* (W) <math>X</math>의 부분 집합 <math>C\subseteq X</math>이 [[닫힌집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 모든 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>\phi\in\Phi_n</math>에 대하여 <math>\phi^{-1}(C)\subseteq\mathbb D^n</math>가 [[닫힌집합]]인 것이다.

위 정의에서 <math>\operatorname{int}\mathbb D^n=\mathbb D^n\setminus\partial\mathbb D^n</math>은 <math>n</math>차원 닫힌 공의 [[내부 (위상수학)|내부]], 즉 <math>n</math>차원 열린 공이다.

CW 복합체 <math>(X,(\Phi_n)_{n\in\mathbb N})</math>의 '''부분 CW 복합체'''({{llang|en|CW subcomplex}})는 다음 조건을 만족시키는 [[부분 공간]] <math>A\subseteq X</math>이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|520}}
* <math>A</math>는 <math>X</math>에 속하는 세포들로 구성된다.
* <math>A</math>에 속하는 세포의 폐포는 항상 다시 <math>A</math>에 속한다.

CW 복합체의 임의의 열린 세포는 항상 어떤 유한 차원 부분 복합체에 포함된다. 그리고 CW 복합체의 콤팩트 부분공간은 항상 어떤 유한 개의 열린 세포에 포함되므로, CW 복합체의 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분 공간은 항상 어떤 유한 차원 부분 복합체에 포함된다.

=== 귀납적 정의 ===
CW 복합체의 개념은 다음과 같이 귀납적으로 정의될 수도 있다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|519}}

<math>n</math>차원 '''뼈대'''({{llang|en|skeleton}})는 다음과 같이 정의될 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
# −1차원 뼈대는 [[공집합]]이다.
# <math>n-1</math>차원 뼈대가 주어졌을 때, <math>n</math>차원 뼈대를 구성하기 위하여, 임의의 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa_n</math> 및 [[연속 함수]] <math>\phi_n \colon (\mathbb S^{n-1})^{\sqcup \kappa_n} \to X</math>에 대하여, [[붙임 공간]] <math>X_n = X_{n-1} \cup_{\phi_n}(\mathbb D^n){\sqcup \kappa_n}</math>을 취한다.

위 정의에서, <math>\mathbb S^n</math>은 <math>n</math>차원 [[초구]]이며 <math>\mathbb D^n \supsetneq \mathbb S^{n-1}</math>은 <math>n</math>차원 [[닫힌 공]]이다. 특히 <math>\mathbb S^{-1} = \varnothing</math>이며 <math>\mathbb D^0 = \{\bullet\}</math>이다 ([[한원소 공간]]).

<math>n</math>차원 뼈대 <math>X_n</math>이 주어졌다면, 낮은 차원의 뼈대에 대한 포함 사상
:<math>X_0\hookrightarrow X_1\hookrightarrow X_2\hookrightarrow\cdots</math>
이 존재한다. '''CW 복합체'''는 유한 차원 뼈대들의 [[귀납적 극한]]이다. 즉, 뼈대들의 포함 관계
:<math>X_0\hookrightarrow X_1\hookrightarrow\cdots</math>
의 [[귀납적 극한]]
:<math>X_\infty=\varinjlim_{n\to\infty}X_n</math>
이다.

이 귀납적 정의에서, 직접적 정의의 C 조건은 자동적으로 성립한다. 이는 세포의 폐포가 [[콤팩트 공간]]이기 때문에, 무한 개의 세포들을 포함할 수 없기 때문이다. W 조건은 [[귀납적 극한]]의 정의에 포함돼 있다.

=== 추상적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[쌍대 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 사상들의 [[집합]] <math>\mathfrak M\subseteq \operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X_0</math>
그렇다면, <math>\mathcal C</math> 속의, <math>X_0</math> 위의 '''세포 복합체'''(細胞複合體, {{llang|en|cell complex}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[순서수]] <math>\eta \in\operatorname{Ord}</math>
* 각 순서수 <math>\alpha < \eta</math>에 대하여, 사상 <math>\iota_\alpha\colon S_\alpha\to D_\alpha</math>. 또한, <math>\iota_\alpha\in\mathfrak M</math>이다. 이를 '''<math>\alpha</math>번째 세포'''(-細胞, {{llang|en|<math>\alpha</math>th cell}})라고 하자.
* 각 순서수 <math>\alpha < \eta</math>에 대하여, 사상 <math>\phi_\alpha \colon S_\alpha \to X_\alpha</math>. 이를 '''접착 사상'''(接着寫像, {{llang|en|gluing morphism}})이라고 하자.
위 정의에서, <math>X_\alpha</math>는 모든 <math>\alpha\le\eta</math>에 대하여 [[초한 귀납법]]에 따라 다음과 같이 정의된다.
* 만약 <math>\alpha=\beta+1</math>가 [[극한 순서수]]가 아닐 때, <math>X_{\beta+1}</math>는 [[극한 순서수]]가 아닌 <math>\alpha</math>에 대하여 정의되며, 다음과 같은 [[밂 (범주론)|밂]]에 등장하는 사상이다.
*: <math>\begin{matrix}
S_\beta & \overset{\iota_\beta}\to & D_\beta \\
{\scriptstyle\phi_\beta} \downarrow {\color{White}\scriptstyle\phi_\beta} && \downarrow \\
X_\beta & \underset{f_{\beta+1}}\to & X_{\beta+1}
\end{matrix}
</math>
* 만약 <math>\alpha</math>가 [[극한 순서수]]라면, <math>X_\alpha</math>는 다음과 같은 (<math>(f_\beta)_{\beta<\alpha}</math>들에 대한) [[귀납적 극한]](즉, [[쌍대극한]])이다.
*: <math>X_\alpha = \varinjlim_{\beta<\alpha} X_\beta </math>
특히, 0은 [[극한 순서수]]이며, <math>X_0</math>는 빈 그림의 [[쌍대극한]]이므로 <math>\mathcal C</math>의 [[시작 대상]]이다.

이와 같은 열의 끝에서, 대상 <math>X_\eta</math>를 얻는다. 이는 [[시작 대상]] <math>X_0</math> 위에 <math>D_\alpha</math>들을 “경계” <math>S_\alpha</math>를 통해 <math>\eta</math>번 “붙여서” 얻는 것으로 여길 수 있다.

이제, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>에서,
:<math>\eta = \omega</math>
:<math>\iota_n \colon (\mathbb S^{n-1})^{\sqcup \kappa_n} \to (\mathbb D^n)^{\sqcup \kappa_n} </math>
가 되는 상대 세포 복합체를 '''CW 복합체'''라고 한다. 여기서
* <math>(\kappa_n)_{n<\omega}</math>는 임의의 (0 또는 유한 또는 무한) [[기수 (수학)|기수]]들의 [[수열]]이다.
* <math>\phi_n \colon (\mathbb D^n)^{\sqcup\kappa_n} \to X_n</math>은 임의의 [[연속 함수]]이다.
* <math>\mathbb S^{-1}=\varnothing</math>이며 <math>\mathbb D^0 = \{\bullet\}</math>([[한원소 공간]])이다.

(이 정의는 위의 정의들과 차수가 1만큼 다르다. 즉, 이 정의에서 <math>X_0=\varnothing</math>이며, <math>X_1</math>은 [[이산 공간]]이며, <math>X_n</math>은 <math>n-1</math>차원까지의 세포들로 구성된다.)

== 연산 ==
CW 복합체들의 모임은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.
* 두 CW 복합체의 [[콤팩트 생성 공간]]으로서의 곱은 CW 복합체이다. 집합으로서 이는 항상 [[곱집합]]이지만 그 위의 위상은 [[곱위상]]보다 더 섬세할 수 있다. 구체적으로, 곱공간이 비가산 개의 세포를 포함하고 또 원래의 두 CW 복합체가 모두 [[국소 콤팩트 공간]]이 아닐 경우 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상을 갖는다.
* CW 복합체의 [[피복 공간]]은 CW 복합체이다.
* 만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 CW 복합체이며, <math>X</math>가 유한 개의 세포로 구성되었다면, [[콤팩트-열린집합 위상]]을 부여한 함수 공간 <math>\hom(X,Y)</math>는 CW 복합체와 [[호모토피 동치]]이다.<ref>{{저널 인용|성=Milnor|이름=John|저자링크=존 밀너|jstor=1993204|제목=On spaces having the homotopy type of a CW-complex|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=90|호=2|날짜=1959-02|쪽=272–280|doi=10.1090/S0002-9947-1959-0100267-4 |issn=0002-9947|mr=0100267 |언어=en}}</ref>

== 성질 ==
=== 일반위상수학적 성질 ===
모든 CW 복합체는 다음 성질을 만족시킨다.
* [[하우스도르프 공간]]이며 [[정규 공간]]이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|522, Proposition A.3}}
* [[국소 축약 가능 공간]]이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|522, Proposition A.4}}
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* [[콤팩트 생성 공간]]이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|523}}
유한 개의 세포들로 구성된 CW 복합체는 [[콤팩트 공간]]이다.

CW 복합체에서, 모든 세포의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 오직 유한 개의 세포들과 [[공집합]]이 아닌 [[교집합]]을 갖는다. 즉, <math>X</math>의 세포로의 [[집합의 분할|분할]]이 <math>\{e_\alpha\}_{\alpha\in I}</math>라면,
:<math>\forall \alpha \colon |\{\beta\in I\colon e_\beta \cap \operatorname{cl}(e_\alpha) \ne \varnothing \}| < \aleph_0 </math>
이다.

=== 호모토피 이론적 성질 ===
==== 세포 호몰로지 ====
[[단체 복합체]]에 대하여 [[단체 호몰로지]]를 정의할 수 있는 것처럼, CW 복합체에 대하여 그 CW 구조를 사용하여 '''세포 호몰로지'''(細胞homology, {{llang|en|cellular homology}})라는 호몰로지 이론을 정의할 수 있다. CW 복합체에 대하여 이는 [[특이 호몰로지]]와 일치한다.

[[CW 복합체]] <math>X</math>의 <math>n</math>차원 뼈대가 <math>X_n</math>이라고 하자.
:<math>\varnothing=X_{-1}\subseteq X_0\subseteq X_1\subseteq X_2\subseteq\cdots\subseteq X_\infty=X</math>
임의의 <math>n</math>에 대하여, [[상대 호몰로지]]
:<math>\operatorname H_n(X_n,X_{n-1})</math>
는 [[자유 아벨 군]]이며, 그 생성원들은 <math>X</math>의 <math>n</math>차원 세포 <math>\{e_\alpha^n\}_{\alpha\in I_n}</math>들과 표준적으로 대응한다.

그렇다면, 다음과 같은 [[사슬 복합체]]를 생각하자.
:<math>C_n=\operatorname H_n(X_n,X_{n-1})</math>
:<math>\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}</math>
:<math>\partial_n\colon e_\alpha^n\mapsto\sum_\beta(\deg \chi_n^{\alpha\beta})e^{n-1}_\beta</math>
여기서 <math>\deg</math>는 [[브라우어르 차수]]이며, <math>\chi_n^{\alpha\beta}</math>는 다음과 같다.
:<math>\chi_{n}^{\alpha \beta}\colon\partial e_\alpha^n \hookrightarrow X_{n - 1}  \twoheadrightarrow X_{n - 1} /( X_{n - 1} \setminus e^{n - 1}_\beta)</math>
이 경우 <math>\partial e_\alpha^n\cong\mathbb S^{n-1}\cong X_{n - 1} /( X_{n - 1} \setminus e^{n - 1}_\beta)</math>이므로, [[브라우어르 차수]]가 잘 정의된다.

이 CW 복합체에 대하여 취한 [[호몰로지]]를 <math>X</math>의 '''세포 호몰로지'''(細胞homology, {{llang|en|cellular homology}})라고 한다. 세포 복합체를 쌍대화하여, '''세포 코호몰로지'''(細胞cohomology, {{llang|en|cellular cohomology}}) 역시 정의할 수 있다.

CW 복합체의 세포 호몰로지는 그 [[특이 호몰로지]]와 일치한다. CW 복합체 <math>X</math>에서, <math>n</math>차원 세포의 수가 [[기수 (수학)|기수]] <math>c_n\in\operatorname{Card}</math>라면, 세포 호몰로지의 정의에 따라 <math>c_n</math>은 <math>X</math>의 <math>n</math>차 [[베티 수]]의 [[상계 (수학)|상계]]이다.
:<math>\dim_{\mathbb Q}\operatorname H(X;\mathbb Q) \le c_n</math>

세포의 수가 유한한 CW 복합체 <math>X</math>에서, <math>n</math>차원 세포의 수가 <math>c_n</math>이라고 하자. 그렇다면, 세포 호몰로지의 정의에 따라
그 [[오일러 지표]]는 다음과 같다.
:<math>\chi(X)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nc_n</math>

==== 화이트헤드 정리 ====
'''화이트헤드 정리'''(Whitehead定理, {{llang|en|Whitehead’s theorem}})<ref name="Hatcher"/>{{rp|346, Theorem 4.5}}<ref name="Whitehead1"/><ref name="Whitehead2"/> 에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 [[연속 함수]]가 [[호모토피 동치]]가 될 필요충분조건은 이 함수가 [[약한 호모토피 동치]](모든 [[호모토피 군]]의 [[동형]]을 유도하는 [[연속 함수]])를 이루는 것이다. 따라서, CW 복합체의 경우 [[호모토피 동치]]와 [[약한 호모토피 동치]]를 구별할 필요가 없다.

==== 세포 근사 정리 ====
두 CW 복합체 사이의 '''세포 함수'''(細胞函數, {{llang|en|cellular map}})는 다음 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
* <math>f</math>는 <math>n</math>차원 뼈대를 <math>n</math>차원 뼈대로 대응시킨다. 즉, 다음이 성립한다.
*: <math>f(X_n)\subseteq Y_n\qquad\forall n\in\mathbb N</math>

'''세포 근사 정리'''(細胞近似定理, {{llang|en|cellular approximation theorem}})에 따르면, 두 CW 복합체 사이의 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>는 세포 함수와 [[호모토픽]]하다. 또한, 만약 부분 CW 복합체 <math>A\subseteq X</math>에 대하여 <math>f|_A\colon A\to Y</math>가 세포 함수라면, 이 호모토피는 <math>A</math>에 대하여 고정되게 잡을 수 있다. 따라서, 호모토피 이론에서는 CW 복합체 사이의 모든 [[연속 함수]]를 세포 함수로 가정할 수 있다.

=== 모형 범주 이론적 성질 ===
추상적으로, 모든 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주에 올뭉치가 [[세르 올뭉치]]이며, 약한 동치가 [[약한 호모토피 동치]]인 [[모형 범주]] 구조를 줄 수 있다. 이 [[모형 범주]]에서, 모든 CW 복합체는 [[쌍대올대상]]이다. CW 복합체의 화이트헤드 정리는 일반적인 [[모형 범주]]에서의 화이트헤드 정리의 특수한 경우이다.

== 예 ==
일반적으로 위상 공간의 CW 복합체 구조는 [[단체 복합체]] 구조보다 더 간단하다.

=== 낮은 차원의 CW 복합체 ===
{{본문|이산 공간}}
{{본문|다중 그래프}}
다음 세 개념이 서로 [[동치]]이다.
* (유한 또는 무한) [[이산 공간]]
* 0차원 CW 복합체 <math>X=X_0</math>
* 0차원 [[단체 복합체]]

다음 두 개념이 서로 [[동치]]이다.
* (유한 또는 무한) [[다중 그래프]] <math>\Gamma</math> (특히, 양끝점이 같은 꼭짓점인 변이 존재할 수 있다)
* 1차원 CW 복합체 <math>X=X_1</math>
이 경우, [[그래프 이론]]과 [[위상수학]]의 개념이 다음과 같이 대응된다.
:{| class=wikitable
! 다중 그래프 <math>\Gamma</math> !! CW 복합체 <math>X</math>
|-
| 꼭짓점 집합 <math>\operatorname V(\Gamma)</math> || 0차원 뼈대 <math>X_0</math>
|-
| 변 <math>e\in \operatorname E(\Gamma)</math> || <math>X_0</math>에 연결된 1차원 세포 <math>e_a\cong[0,1]</math>
|-
| 변 <math>e</math>의 양끝점 <math>u,v\in \operatorname V(\Gamma)</math> (<math>u=v</math>일 수 있음) || <math>e_a</math>의 접착 사상 <math>\phi_a \colon \{0,1\} \to X_0</math>의 [[치역]]
|-
| [[연결 그래프|연결 다중 그래프]] || [[연결 공간]]
|}

1차원 CW 복합체는 양끝점이 같은 변 및 같은 양끝점을 공유하는 변을 허용하므로, 1차원 [[단체 복합체]]보다 더 일반적인 개념이다. 사실, 1차원 [[단체 복합체]]는 [[그래프]]와 [[동치]]인 개념이다.

=== 유클리드 공간 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 위에는 다음과 같은 CW 구조를 줄 수 있다.
* 0-뼈대는 격자 <math>\mathbb Z^n\subset\mathbb R^n</math>이다.
* 1-뼈대는 <math>\mathbb R^n</math> 속의, 격자점들에 대한 선분들이다.
* 2-뼈대는 <math>\mathbb R^n</math> 속의, 격자점들에 대한 정사각형들이다.
* ⋮
* <math>n</math>-뼈대는 격자점들에 대한 <math>n</math>차원 [[초입방체]]들이다.

=== 초구 ===
<math>n\ge1</math>차원 [[초구]] <math>\mathbb S^n</math> 위에는 다음과 같은, 두 개의 세포만을 갖는 CW 구조를 줄 수 있다.
* 하나의 0차원 세포 <math>\bullet</math>이다.
* 하나의 <math>n</math>차원 세포. 이 세포의 경계 전체는 <math>\bullet</math>으로 이어붙여진다.

이에 따라, <math>n\ge1</math>일 경우 세포 사슬 복합체의 경계 사상은 자명하며, 초구의 세포 호몰로지는
:<math>\operatorname H_k(\mathbb S^n)=\begin{cases}C_0\cong\mathbb Z&k=0\\
C_n\cong\mathbb Z&k=n\\
0&k\ne0
\end{cases}</math>
이다.

초구 사이의 연속 함수 <math>\mathbb S^m\to\mathbb S^n</math>에서, <Math>m<n</math>이라고 하자. 그렇다면 세포 근사 정리에 따라서 이 함수는 세포 함수와 [[호모토픽]]하다. 밑점을 보존하는 세포 함수 <math>\mathbb S^m\to\mathbb S^n</math>은 (<math>m<n</math>이므로) 밑점으로 가는 [[상수 함수]] 밖에 없다. 따라서 <math>m<n</math>에 대하여 <math>\pi_m(\mathbb S^n)=0</math>임을 알 수 있다.

=== 복소수 사영 공간 ===
{{본문|복소수 사영 공간}}
<math>2n</math>차원 [[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math> 위에는 각 짝수 차원에 하나씩, 총 <math>n+1</math>개의 세포로 구성된 CW 구조가 존재한다. 이 세포들은 다음과 같다.
:<math>\mathbb{CP}^n=\mathbb C^n\sqcup\mathbb C^{n-1}\times\{\widehat\infty\}
\sqcup\mathbb C^{n-2}\times\{(\widehat\infty,\widehat\infty)\}\sqcup\cdots\sqcup\mathbb C^0\times\{(\widehat\infty,\dots,\widehat\infty)\}</math>
따라서, 그 세포 호몰로지는
:<math>C_k(\mathbb{CP}^n)=\begin{cases}\mathbb Z&2\mid k\\0&2\nmid k\end{cases}</math>
이다. 모든 경계 사상들은 자명하며, 그 (세포) 호몰로지는
:<math>\operatorname H_k(\mathbb{CP}^n;\mathbb Z)=C_k\cong\mathbb Z</math>
이다.

=== 실수 사영 공간 ===
{{본문|실수 사영 공간}}
<math>n</math>차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^n</math> 위에는 <math>n+1</math>개의 세포로 구성된 CW 구조가 존재한다. 이 경우, 각 차원 <math>0,1,2,\dots,n</math>에 세포가 하나씩 존재한다.

=== 그라스만 다양체 ===
{{본문|그라스만 다양체}}
[[그라스만 다양체]]는 '''슈베르트 세포'''({{llang|en|Schubert cell}})라는 표준적인 CW 구조를 갖는다.

=== 다양체 ===
[[다양체]]는 모두 CW 복합체의 [[호모토피 유형]]을 갖는다.

4차원 이하의 콤팩트 다양체는 모두 [[단체 복합체]]와 [[위상 동형]]이며 따라서 CW 복합체와 위상 동형이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|529}}

4차원에서는 [[단체 복합체]]의 구조를 갖지 않는 콤팩트 다양체가 존재한다. CW 복합체의 구조를 갖지 않는 4차원 콤팩트 다양체가 존재하는지는 아직 알려지지 않았다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|529}}

5차원 이상에서 모든 콤팩트 다양체는 CW 복합체의 구조를 갖는다. 그러나 [[단체 복합체]]의 구조가 항상 존재하는지는 알려지지 않았다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|529}}

==== 모스 이론 ====
{{본문|모스 이론}}
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 및 그 위의 [[모스 함수]] <Math>f\colon M\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>f</math>의 기울기 흐름을 사용하여 <math>M</math>과 [[호모토피 동치]]인 CW 복합체를 정의할 수 있다. 이 CW 복합체에서 <math>n</math>차원 세포는 [[모스 지표]]가 <math>n</math>인 임계점과 [[일대일 대응]]한다.

=== C · W 조건이 성립하지 않는 복합체 ===
일부 저자들은 C 조건 및 W 조건이 성립하지 않을 수 있는 복합체를 “화이트헤드 복합체”나 “세포 복합체”라고 부른다.

2차원 원판 <math>\mathbb D^2</math> 위에 다음과 같은 화이트헤드 복합체 구조를 정의하자.<ref name="Hatcher"/>{{rp|521}}
* 2차원 세포 <math>\mathbb D^2\to\mathbb D^2</math> ([[항등 함수]])
* 각 <math>x\in\partial\mathbb D^2</math>에 대하여, 0차원 세포 <math>\mathbb D^0\to \mathbb D^2</math>
이는 CW 복합체의 정의에서 W 조건을 따르지만 C 조건만을 따르지 않아 CW 복합체가 아니다.

임의의 위상 공간 <math>X</math> 위에, 다음과 같이 자명한 화이트헤드 복합체 구조를 줄 수 있다.
* 각 점 <math>x\in X</math>에 대하여 0차원 세포 <math>\mathbb D^0\hookrightarrow X</math>
이는 CW 복합체의 정의에서 C 조건을 (자명하게) 따르지만 (<math>X</math>가 [[이산 공간]]이 아니라면) W 조건을 따르지 않아 CW 복합체를 이루지 않는다.

=== CW 복합체와 위상 동형이 아닌 공간 ===
모든 CW 복합체는 [[하우스도르프 공간]]이며, 따라서 [[하우스도르프 공간]]이 아닌 위상 공간은 CW 복합체와 [[위상 동형]]일 수 없다.

무한 차원 [[힐베르트 공간]]은 [[하우스도르프 공간]]이지만 CW 복합체와 [[위상 동형]]이지 않다. 무한 차원 힐베르트 공간은 [[베르 공간]]이므로, 유한 차원의 뼈대들의 [[귀납적 극한]]으로 나타낼 수 없다. 그러나 이는 [[축약 가능 공간]]이므로, CW 복합체와 [[호모토피 동치]]이다.

다음과 같은 공간은 [[국소 축약 가능 공간]]이 아니므로, CW 복합체와 [[위상동형]]이지 않다.
:<math>\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C</math>
그러나 이는 [[축약 가능 공간]]이므로, CW 복합체와 [[호모토피 동치]]이다.

=== CW 복합체의 호모토피 유형을 갖지 않는 공간 ===
{{본문|하와이 귀고리}}
유클리드 평면 속의 다음과 같은 [[부분 공간]]을 생각하자.
:<math>\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon \exists n\in\mathbb Z^+\colon \sqrt{(x-1/n)^2+y^2}=1/n\right\}</math>
이를 '''하와이 귀고리'''({{llang|en|Hawaiian earring}})이라고 한다. 이는 [[완비 거리 공간]]이자 [[콤팩트 공간]]이며 [[경로 연결 공간]]이지만, CW 복합체의 [[호모토피 유형]]을 갖지 않는다.

=== 다른 범주에서의 세포 복합체 ===
임의의 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 만약 사용되는 세포 <math>\iota_\alpha\colon S_\alpha \to D_\alpha</math>에서 정의역들이 모두 [[시작 대상]] <math>S_\alpha = \varnothing</math>이라면, 얻는 세포 복합체 <math>X_\eta</math>는 단순히 [[쌍대곱]]
:<math>X_\eta = \bigsqcup_{\alpha<\eta} D_\alpha</math>
이다.

==== 설리번 대수 ====
{{본문|설리번 대수}}
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하고, <math>K</math>-[[가환 미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{CDGA}_K</math>를 생각하자.

만약 세포들을
:<math>S_n = K[x],\;\deg x = n,\;\mathrm dx=0\qquad (n\ge0)</math>
:<math>D_n = K[y,\mathrm dy],\;\deg y=n-1 \qquad (n > 0) </math>
:<math>\iota_n\colon S_n \to D_n </math>
:<math>\iota_n\colon x \mapsto \mathrm dy \qquad (n > 0) </math>
의 꼴의 <math>K</math>-[[가환 미분 등급 대수]] [[준동형]]들 및
:<math>\iota_0 \colon K \to S_0</math>
:<math>\kappa \colon S_0 \to K,\; x\mapsto 0</math>
들로 잡을 경우, 이로부터 얻는 세포 복합체를 '''[[설리번 대수]]'''라고 한다.<ref name="Hess">{{저널 인용|이름=Kathryn|성=Hess|제목=Rational homotopy theory: a brief introduction|url=https://archive.org/details/arxiv-math0604626|arxiv=math/0604626|날짜=2006|bibcode=2006math......4626H|언어=en}}</ref>{{rp|§1.2}} 이러한 [[준동형]]들을 세포로 잡는 이유는 이 [[준동형]]들이 <math>\operatorname{CDGA}_K</math>의 표준적 [[모형 범주]] 구조를 생성하는 [[쌍대올뭉치]]들이기 때문이다.

== 역사 ==
[[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]가 1949년에 화이트헤드 정리를 증명하기 위하여 정의하였다.<ref name="Whitehead1">{{저널 인용|first=John Henry Constantine|last=Whitehead|저자링크=존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|title=Combinatorial homotopy Ⅰ|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=55|issue=3|date=1949|pages=213–245|언어=en|issn= 0273-0979|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09175-9|mr=0030759}}</ref><ref name="Whitehead2">{{저널 인용|first=John Henry Constantine|last=Whitehead|저자링크=존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|title=Combinatorial homotopy Ⅱ|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=55|issue=5|date=1949|pages=453–496|언어=en|issn= 0273-0979|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09213-3|mr=0030760}}</ref> "CW 복합체"라는 이름에서, C는 "[[폐포 (위상수학)|폐포]] 유한"({{llang|en|closure-finite}})을 뜻하고, W는 [[약한 위상]]({{llang|en|weak topology}})을 뜻한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|520}}
* “폐포 유한성”이란 <math>n</math>차원 세포 <math>c_n</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 오직 유한 개의 다른 세포들과 교차한다는 것이다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|520}}
* “약한 위상”이란 CW 복합체가 그 뼈대들의 [[귀납적 극한]] <math>\textstyle X=\varinjlim_{n\to\infty}X_n</math>임을 뜻한다.<ref name="Hatcher"/>{{rp|520}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cell complex}}
* {{eom|title=CW-complex}}
* {{eom|title=Cellular mapping}}
* {{매스월드|id=CW-Complex|title=CW-complex}}
* {{매스월드|id=CellularMap|title=Cellular map}}
* {{매스월드|id=CellularApproximationTheorem|title=Cellular approximation theorem}}
* {{nlab|id=cell complex|title=Cell complex}}
* {{nlab|id=CW complex}}
* {{nlab|id=finite CW complex|title=Finite CW complex}}
* {{nlab|id=m-cofibrant space}}
* {{nlab|id=cellular approximation theorem|title=Cellular approximation theorem}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/CW-complex|제목=CW-complex|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/CW-space|제목=CW-space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Homotopy-CW-space|제목=Homotopy-CW-space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Cell_complex|제목=Cell complex|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2010/10/11/the-cellular-approximation-theorem-sketch/|제목=The cellular approximation theorem (sketch) |웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|날짜=2010-10-11|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/42005/precise-official-definition-of-a-cell-complex-and-cw-complex | 제목=Precise official definition of a cell complex and CW-complex | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:위상 공간]]
[[분류:대수적 위상수학]]