{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자장론}}

[[특수 상대성이론|상대론적]] [[양자역학]]과 [[양자장론]]에서 '''바르그만-위그너 방정식'''({{llang|en|Bargmann–Wigner equations}})은 0이 아닌 질량과 [[보손]]인 경우 정수( j = 1, 2, 3 ... ) 또는 [[페르미온]]인 경우 반정수({{수학|''j'' {{=}} {{frac|1|2}}, {{frac|3|2}}, {{frac|5|2}} ...}} )인 임의 [[스핀 (물리학)|스핀]] {{수학|''j''}}를 갖는 자유 입자를 설명한다. 이 방정식의 해들은 파동함수들이며, 수학적으로 다성분 스피너장의 형태를 가진다.

그들은 발렌타인 바르그만과 [[유진 위그너]]의 이름을 따서 명명되었다.

== 역사 ==
폴 디랙은 1928년에 처음으로 [[디랙 방정식]]을 발표했고 이후(1936) Fierz와 파울리가 1939년에 동일한 방정식을 발견하기 전과 바르그만 및 위그너보다 약 10년 전에 이를 반정수 스핀 입자로 확장했다.<ref name="Jeffery"/> [[유진 위그너]]는 1937년에 비동질 [[로런츠 군]]([[푸앵카레 군]])의 [[유니터리 표현]]에 관한 논문을 썼다.<ref>{{저널 인용|제목=On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group|저널=Annals of Mathematics|성=E. Wigner|url=http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf|연도=1937|권=40|쪽=149–204|bibcode=1939AnMat..40..149W|doi=10.2307/1968551|jstor=1968551|보존url=https://web.archive.org/web/20151004025027/http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf|보존날짜=2015-10-04|url-status=dead|확인날짜=2013-02-20}}</ref> 위그너는 [[에토레 마요라나]]와 디랙이 함수에 적용된 무한소 연산자를 사용했다고 지적한다. 위그너는 표현을 기약, 계승, 유니터리로 분류한다.

1948년에 발렌타인 바르그만과 위그너는 상대론적 파동 방정식에 대한 군론적 토론에 대한 논문에서 이제 그들의 이름을 딴 방정식을 발표했다.<ref>{{저널 인용|제목=Group theoretical discussion of relativistic wave equations|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|성=Bargmann, V.|성2=Wigner, E. P.|연도=1948|권=34|호=5|쪽=211–23|bibcode=1948PNAS...34..211B|doi=10.1073/pnas.34.5.211|pmc=1079095|pmid=16578292}}</ref>

== 방정식의 설명 ==
[[전하]] 없는 스핀 {{수학|''j''}} 자유 입자에 대해 바르그만-위그너 방정식은 각각 [[디랙 방정식]]과 비슷한 수학적 형식을 갖는 {{수학|2''j''}}개의 결합된 선형 [[편미분 방정식]]들의 집합이다. 전체 방정식 집합은 다음과 같다. {{참고태그|This article uses the [[Einstein summation convention]] for [[tensor]]/[[spinor]] indices, and uses [[circumflex|hats]] for [[Operator (physics)#Operators in quantum mechanics|quantum operators]]}}<ref name="Jeffery"/><ref name="Loide, Saar"/><ref>{{저널 인용|제목=Wavefunctions for Particles with Arbitrary Spin|저널=Communications in Theoretical Physics|성=H. Shi-Zhong|성2=R. Tu-Nan|url=http://ctp.itp.ac.cn/EN/abstract/abstract9668.shtml|연도=2002|권=37|호=1|쪽=63|bibcode=2002CoTPh..37...63H|doi=10.1088/0253-6102/37/1/63|보존url=https://archive.today/20121127185226/http://ctp.itp.ac.cn/EN/abstract/abstract9668.shtml|보존날짜=2012-11-27|url-status=dead|확인날짜=2012-09-17|성3=W. Ning|성4=Z. Zhi-Peng}}</ref>

: <math>\begin{align}
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& \qquad \vdots \\
& \left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \\
\end{align}</math>

이들은 다음 패턴을 따른다: {{수학|''r'' {{=}} 1, 2, ... 2''j''}}에 대해{{Equation box 1|cellpadding|border|title=|indent=|equation=<math>\left (-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc \right )_{\alpha_r \alpha'_r}\psi_{\alpha_1 \cdots \alpha'_r \cdots \alpha_{2j}} = 0 </math>|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}(일부 저자, 예를 들어 Loide 및 Saar<ref name="Loide, Saar">{{저널 인용|제목=Generalizations of the Dirac equation in covariant and Hamiltonian form|저널=Journal of Physics A|성=R.K. Loide|성2=I.Ots|연도=2001|권=34|호=10|쪽=2031–2039|bibcode=2001JPhA...34.2031L|doi=10.1088/0305-4470/34/10/307|성3=R. Saar}}</ref> {{수학|''n'' {{=}} 2''j''}}를 사용하여 2를 제거한다. 또한 [[스핀 양자수]]는 일반적으로 양자 역학에서 {{수학|''s''}}로 표시되지만 이 맥락에서는 {{수학|''j''}}가 문헌에서 더 일반적이다.) 전체 파동함수 {{수학|''ψ'' {{=}} ''ψ''('''r''', ''t'')}}는 성분

: <math> \psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} (\mathbf{r},t) </math>

을 가지고 랭크-2 ''j'' 4성분 스피너장이다. 각 첨자는 1, 2, 3 또는 4의 값을 취하므로 전체 스피너장 {{수학|''ψ''}}은 {{수학|4<sup>2''j''</sup>}}개의 성분이 있다. 하지만 완전히 대칭적인 파동함수에서는  {{수학|2(2''j'' + 1)}}로 줄어든다. 또한, {{수학|γ<sup>μ</sup> {{=}} (γ<sup>0</sup>, '''γ''')}}들은 [[디랙 행렬|감마 행렬]]이고,

: <math>\hat{P}_\mu = i\hbar \partial_\mu</math>

은 4-운동량 연산자이다.

각 방정식 {{수학|(−γ<sup>μ</sup>''P''<sub>μ</sub> + ''mc'') {{=}} (−''iħ''γ<sup>μ</sup>∂<sub>μ</sub> + ''mc'')}}을 구성하는 연산자는  {{수학|γ<sup>μ</sup>}} 행렬로 인해 {{개행 금지|4 × 4}} 행렬이며, {{수학|''mc''}} 항은  {{개행 금지|4 × 4}} [[단위행렬|단위 행렬]]에 [[스칼라 곱셈|스칼라곱]]이다.(일반적으로 단순화를 위해 작성되지 않음) 명시적으로 [[디랙 행렬|감마 행렬의 디랙 표현]]에서는 다음과 같다.<ref name="Jeffery">{{저널 인용|제목=Component Minimization of the Bargman–Wigner wavefunction|저널=Australian Journal of Physics|성=E.A. Jeffery|연도=1978|권=31|호=2|쪽=137|bibcode=1978AuJPh..31..137J|doi=10.1071/ph780137}}</ref>

: <math>\begin{align}
-\gamma^\mu \hat{P}_\mu + mc & = -\gamma^0 \frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\gamma}\cdot(-\hat{\mathbf{p}}) + mc \\ [6pt]
& = -\begin{pmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & -I_2 \\
\end{pmatrix}\frac{\hat{E}}{c}
+
\begin{pmatrix}
0 & \boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} \\
-\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}} & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
I_2 & 0 \\
0 & I_2 \\
\end{pmatrix}mc \\ [8pt]
& =
\begin{pmatrix}
-\frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 & \hat{p}_z & \hat{p}_x - i\hat{p}_y \\
0 & -\frac{\hat{E}}{c}+mc & \hat{p}_x + i\hat{p}_y & -\hat{p}_z \\
-\hat{p}_z & -(\hat{p}_x - i\hat{p}_y) & \frac{\hat{E}}{c}+mc & 0 \\
-(\hat{p}_x + i\hat{p}_y) & \hat{p}_z & 0 & \frac{\hat{E}}{c}+mc \\
\end{pmatrix} \\
\end{align}</math>

여기서 {{수학|'''σ''' {{=}} (σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, σ<sub>3</sub>) {{=}} (σ<sub>''x''</sub>, σ<sub>''y''</sub>, σ<sub>''z''</sub>)}}는 [[파울리 행렬]]의 벡터이고, ''E''는 에너지 연산자이고, {{수학|'''p''' {{=}} (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>) {{=}} (''p''<sub>''x''</sub>, ''p''<sub>''y''</sub>, ''p''<sub>''z''</sub>)}}는 3-운동량 연산자 이고, {{수학|''I''<sub>2</sub>}}는 {{개행 금지|2 × 2}} [[단위행렬|단위 행렬]]을 나타내며, 두 번째 줄의 0은 실제로 {{개행 금지|2 × 2}} [[영행렬|영 행렬]] [[블록 행렬|블록]]이다.

위의 행렬 연산자는 한 번에 하나의 비스피너 첨자 {{수학|''ψ''}}로 축소되므로 ( [[행렬 곱셈]] 참조) 디랙 방정식의 일부 속성은 바르그만-위그너 방정식에도 적용된다.

* 방정식은 로런츠 공변한다.
* 해 {{수학|''ψ''}}의 모든 성분도 [[클라인-고든 방정식]]을 만족하므로 상대론적 에너지-운동량 관계를 충족한다.

:: <math>E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2</math>

* [[정준 양자화|두 번째 양자화]]는 여전히 가능하다.

최소 결합을 통해 전자기장을 통합할 수 있는 디랙 방정식과 달리 바르그만-위그너 형식은 전자기장 상호작용이 통합될 때 본질적인 모순과 어려움을 포함한다. 즉, {{수학|''P''<sub>μ</sub> → ''P''<sub>μ</sub> − ''eA''<sub>μ</sub>}}로 변경하는 것은 불가능하다. 여기서 {{수학|''e''}}는 입자의 [[전하]]이고 {{수학|''A''<sub>μ</sub> {{=}} (''A''<sub>0</sub>, '''A''')}}는 [[전자기 퍼텐셜|전자기 4-포텐셜]]이다.<ref name="Jaroszewicz, Kurzepa"/><ref>{{저널 인용|제목=The Bargmann–Wigner method in Galilean relativity|저널=Communications in Mathematical Physics|성=C.R. Hagen|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103842503|연도=1970|권=18|호=2|쪽=97–108|bibcode=1970CMaPh..18...97H|doi=10.1007/BF01646089}}</ref> 입자의 전자기 영향을 조사하기 위한 간접적인 접근 방식은 파동 방정식 자체에 상호 작용을 포함하는 대신 입자에 대한 전자기 [[사차원 전류|4전류]]와 [[다중극 전개|다중극 모멘트]]를 유도하는 것이다.<ref>{{저널 인용|제목=Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 − Natural Moments and Transverse Charge Densities|저널=Physical Review D|성=Cédric Lorcé|연도=2009|권=79|호=11|쪽=113011|arxiv=0901.4200|bibcode=2009PhRvD..79k3011L|doi=10.1103/PhysRevD.79.113011}}</ref>

== 로런츠 군 구조 ==
바르그만-위그너 방정식에 대한 [[로렌츠 그룹의 대표|로런츠 군의 표현]]은 다음과 같다.<ref name="Jaroszewicz, Kurzepa">{{저널 인용|제목=Geometry of spacetime propagation of spinning particles|저널=Annals of Physics|성=T. Jaroszewicz|성2=P.S. Kurzepa|연도=1992|권=216|호=2|쪽=226–267|bibcode=1992AnPhy.216..226J|doi=10.1016/0003-4916(92)90176-M}}</ref>

: <math>D^\mathrm{BW} = \bigotimes_{r=1}^{2j} \left[ D_r^{(1/2,0)}\oplus D_r^{(0,1/2)}\right]\,.</math>

여기서 각 {{수학|''D<sub>r</sub>''}}는 기약 표현이다. 이 표현은 {{수학|''j''}}= 1/2, 0이 아닌 한 명확한 스핀을 가지지 않는다. 기약 {{수학|(''A'', ''B'')}} 항과 이에 따른 스핀 함량을 찾기 위해 [[클렙슈-고르단 계수|클렙슈-고르단 분해]]를 수행할 수 있다. 이러한 중복성은 {{수학|''D''<sup>BW</sup>}} 표현 하에서 변환되는 명확한 스핀 {{수학|''j''}}의 입자가 장 방정식을 충족할 것을 필요로 한다.

표현 {{수학|''D''<sup>(''j'', 0)</sup>}} 및 {{수학|''D''<sup>(0, ''j'')</sup>}}는 각각 개별적으로 스핀 {{수학|''j''}} 입자를 나타낼 수 있다. 그러한 표현의 상태 또는 양자 장은 클라인-고든 방정식을 제외하고는 어떤 장 방정식도 만족하지 않는다.

== 구부러진 시공간에서의 공식화 ==
M. Kenmoku,  에 이어 국소 민코프스키 공간에서 감마 행렬은 반교환 관계를 충족한다.

: <math>[\gamma^i,\gamma^j]_{+} = 2\eta^{ij}I_4</math>

여기서 {{수학|η<sup>''ij''</sup> {{=}} diag(−1, 1, 1, 1)}}는 [[민코프스키 공간|민코프스키 계량]]이다. 여기 라틴 첨자의 경우 {{수학|''i, j'' {{=}} 0, 1, 2, 3}}이다. 곡선형 시공간에서는 다음과 같이 비슷하다.

: <math>[\gamma^\mu,\gamma^\nu]_{+} = 2g^{\mu\nu}</math>

여기서 공간 감마 행렬은 [[피어바인]] {{수학|''b''<sub>''i''</sub><sup>μ</sup>}} 수축되어 {{수학|γ<sup>μ</sup> {{=}} ''b''<sub>''i''</sub><sup>μ</sup> γ<sup>''i''</sup>}} 얻고 {{수학|''g''<sup>μν</sup> {{=}} ''b''<sup>''i''μ</sup>''b''<sub>''i''</sub><sup>ν</sup>}} 는 미터법 텐서이다. 그리스 지수의 경우; {{수학|μ, ν {{=}} 0, 1, 2, 3}} .

스피너에 대한 공변도함수는 다음과 같이 주어진다.

: <math>\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu+\Omega_\mu</math>

[[스핀 접속]] {{수학|ω}}에 대해 주어진 [[코쥘 접속|접속]] {{수학|Ω}}은 다음과 같다.

: <math>\Omega_\mu =\frac{1}{4}\partial_\mu\omega^{ij} (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)</math>

공변 도함수는 {{수학|ψ}}와 같이 변환된다.

: <math>\mathcal{D}_\mu\psi \rightarrow D(\Lambda) \mathcal{D}_\mu \psi </math>

이 설정을 사용하면 바르그만-위그너 방정식은 다음과 같다.

: <math>\begin{align}
& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_1 \alpha_1'}\psi_{\alpha'_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_2 \alpha_2'}\psi_{\alpha_1 \alpha'_2 \alpha_3 \cdots \alpha_{2j}} = 0 \\
& \qquad \vdots \\
& (-i\hbar\gamma^\mu \mathcal{D}_\mu + mc)_{\alpha_{2j} \alpha'_{2j}}\psi_{\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \cdots \alpha'_{2j}} = 0 \,.\\
\end{align}</math>

== 같이 보기 ==

* 이체 디랙 방정식
* 파울리 행렬의 일반화
* 위그너 D-행렬
* 바일–브라우어 행렬
* 고차원 감마 행렬
* 주스-와인버그 방정식, 모든 스핀의 자유 입자를 설명하는 대체 방정식
* 고차 스핀 이론

== 참고주 ==
<references group="주" />

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 읽기 ==
=== 서적 ===
{{참고 자료 시작}}
*{{인용|last=Weinberg|first=S|title=The Quantum Theory of Fields, vol II}}
*{{인용|last=Weinberg|first=S|title=The Quantum Theory of Fields, vol III}}
*{{서적 인용|title=The Road to Reality|author=R. Penrose|year=2007|publisher=Vintage books|isbn=978-0-679-77631-4|title-link=The Road to Reality}}
{{참고 자료 끝}}

=== 선정 논문 ===
{{참고 자료 시작}}
*{{저널 인용|title=A Generalization of the Dirac Equations|journal=PNAS|author=E. N. Lorenz|year=1941|volume=27|issue=6|pages=317–322|bibcode=1941PNAS...27..317L|doi=10.1073/pnas.27.6.317|pmc=1078329|pmid=16588466|doi-access=free}}
*{{저널 인용|title=The modified Bargmann-Wigner formalism for higher spin fields and relativistic quantum mechanics|journal=International Journal of Modern Physics: Conference Series|author=V. V. Dvoeglazov|year=2011|volume=03|pages=121–132|bibcode=2011IJMPS...3..121D|doi=10.1142/S2010194511001218}}
*{{콘퍼런스 인용|author=D. N. Williams|year=1965|title=The Dirac Algebra for Any Spin|url=http://www-personal.umich.edu/~williams/papers/diracalg.pdf|book-title=Lectures in Theoretical Physics|publisher=University Press of Colorado|volume=7A|pages=139–172}}
*{{저널 인용|title=Projection Operator and Feynman Propagator for a Free Massive Particle of Arbitrary Spin|journal=Communications in Theoretical Physics|author1=H. Shi-Zhong|author2=Z. Peng-Fei|url=http://ctp.itp.ac.cn/EN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=8425|year=2004|volume=41|issue=3|pages=405–418|bibcode=2004CoTPh..41..405H|doi=10.1088/0253-6102/41/3/405|archive-url=https://web.archive.org/web/20140819084105/http://ctp.itp.ac.cn/EN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=8425|archive-date=2014-08-19|url-status=dead|access-date=2014-08-17|author3=R. Tu-Nan|author4=Z. Yu-Can|author5=Z. Zhi-Peng|s2cid=123407062}}
*{{저널 인용|title=On the theory of interacting fields in Foldy-Wouthuysen representation|journal=Phys. Part. Nucl.|author=V. P. Neznamov|year=2006|volume=37|issue=2006|pages=86–103|arxiv=hep-th/0411050|bibcode=2004hep.th...11050N|doi=10.1134/S1063779606010023|s2cid=16681061}}
*{{뉴스 인용|url=http://aflb.ensmp.fr/AFLB-295/aflb295m307.pdf|title=Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations, a Modern Formulation of de Broglie's Fusion Theory|author=H. Stumpf|year=2004|issue=Supplement|volume=29|page=785|journal=Annales de la Fondation Louis de Broglie}}
*{{ArXiv 인용|author1=D. G. C. McKeon|author2=T. N. Sherry|year=2004|title=The Bargmann–Wigner Equations in Spherical Space|eprint=hep-th/0411090}}
*{{뉴스 인용|url=http://www.apmaths.uwo.ca/people/QFTNotesAll.pdf|title=Quantum Field Theory|author1=R. Clarkson|author2=D. G. C. McKeon|year=2003|pages=61–69|archive-url=https://web.archive.org/web/20090530181029/http://www.apmaths.uwo.ca/people/QFTNotesAll.pdf|archive-date=2009-05-30|url-status=dead|access-date=2016-10-27}}
*{{뉴스 인용|url=http://www.znaturforsch.com/aa/v57a/s57a0723.pdf|title=Eigenstates of Generalized de Broglie–Bargmann–Wigner Equations for Photons with Partonic Substructure|author=H. Stumpf|year=2002|volume=57|pages=726–736|journal=Z. Naturforsch.}}
*{{저널 인용|title=Wigner Representation Theory of the Poincaré Group, Localization, Statistics and the S-Matrix|journal=Nuclear Physics B|author=B. Schroer|year=1997|volume=499|issue=3|pages=519–546|arxiv=hep-th/9608092|bibcode=1997NuPhB.499..519S|doi=10.1016/S0550-3213(97)00358-1|s2cid=18003852}}
*{{저널 인용|title=From Galilean-invariant to relativistic wave equations|journal=Physical Review D|author1=E. Elizalde|author2=J.A. Lobo|url=http://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/12327/1/4773.pdf|year=1980|volume=22|issue=4|pages=884|bibcode=1980PhRvD..22..884E|doi=10.1103/physrevd.22.884|hdl=2445/12327}}
*{{저널 인용|title=Book Review: The Quantum Theory of Fields Vol. I and II by S. Weinberg|journal=Found. Phys.|author=D. V. Ahluwalia|year=1997|volume=10|issue=3|pages=301–304|arxiv=physics/9704002|bibcode=1997FoPhL..10..301A|doi=10.1007/bf02764211|s2cid=189940978}}
*{{저널 인용|title=Parity and the Spin-Statistics Connection|journal=Pramana|author=J. A. Morgan|year=2005|volume=65|issue=3|pages=513–516|arxiv=physics/0410037|bibcode=2005Prama..65..513M|doi=10.1007/BF02704208|s2cid=119416196}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
상대론적 파동 방정식 :

* [http://demonstrations.wolfram.com/DiracMatricesInHigherDimensions/ ''고차원의 디랙 행렬'', Wolfram Demonstrations Project]
* [http://bio.phys.unm.edu/pubs/EJP27_29.pdf ''스핀-1 장에 대해 알아보기'', P. Cahill, K. Cahill, University of New Mexico]{{깨진 링크|url=http://bio.phys.unm.edu/pubs/EJP27_29.pdf }} </link></ [[분류:Articles with permanently dead external links]] link>
* [http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v78/i10/p1023_s1?isAuthorized=no ''디랙-Weinberg 형식론의 질량 없는 보존에 대한 장 방정식'', RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics]
* [http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~mojzis/qft.pdf ''양자장론 I'', Martin Mojžiš] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20160303211749/http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~mojzis/qft.pdf|date=2016-03-03}}  </link>
* [http://physics.ipm.ac.ir/conferences/icsw07/notes/qassemi.pdf ''바르그만-위그너 방정식: 임의 스핀에 대한 장 방정식'', FarzadQassemi, IPM 우주론 학교 및 워크샵, IPM, 이란 테헤란]

상대론적 양자 물리학의 [[로런츠 군]] :

* [https://web.archive.org/web/20181123185704/http://www.physics.indiana.edu/~dermisek/QFT_08/qft-I-14-4p.pdf ''로런츠 Group의 대표'', indiana.edu]
* [http://www.physics.mcgill.ca/~guymoore/appendixC.pdf ''부록 C: 로런츠 군과 디랙 대수학'', mcgill.ca]{{깨진 링크|url=http://www.physics.mcgill.ca/~guymoore/appendixC.pdf }} </link></link>
* [https://web.archive.org/web/20120427193321/http://physics.uoregon.edu/~soper/QFT/wigner.pdf ''로''][https://web.archive.org/web/20120427193321/http://physics.uoregon.edu/~soper/QFT/wigner.pdf ''런츠 군, 상대론적 입자 및 양자 역학'', DE Soper, 오레곤 대학교, 2011]
* [http://einrichtungen.ph.tum.de/T30f/lec/QFT/groups.pdf ''로런츠 및 푸앵카레 군 대표'', J. Maciejko, 스탠포드 대학교]
* [http://pages.cs.wisc.edu/~guild/symmetrycompsproject.pdf ''시공간 대칭 군의 대표'', K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009]

[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:양자역학]]