{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''퀼런 완전 범주'''(Quillen完全範疇, {{llang|en|Quillen-exact category}})는 [[짧은 완전열]]의 개념이 부여된 [[가법 범주]]이며, [[아벨 범주]]의 개념의 일반화이다.<ref name="Buhler">{{저널 인용|제목=Exact categories|이름=Theo|성=Bühler|doi=10.1016/j.exmath.2009.04.004|저널=Expositiones Mathematicae|권=28|호=1|날짜=2010|쪽=1–69|arxiv=0811.1480|bibcode=2008arXiv0811.1480B|언어=en}}</ref><ref name="Quillen"/> [[아벨 범주]]의 [[짧은 완전열]]들이 만족시키는 성질들을 공리화하여 추상화한 개념이지만, [[아벨 범주]]의 개념과 달리 사상들이 [[핵 (수학)|핵]] 및 [[여핵]]을 가질 필요가 없다. 퀼런 완전 범주 위에는 [[대수적 K이론]]을 취할 수 있다.

== 정의 ==
퀼런 완전 범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 퀼런 완전 범주는 특별한 합성 가능 사상 순서쌍들의 모임이 주어진 [[가법 범주]]로 정의될 수 있다. 이 경우 이 사상 순서쌍들은 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.
* 퀼런 완전 범주는 어떤 [[아벨 범주]]의 특별한 부분 [[가법 범주]]로 정의될 수 있다.
이 두 정의들은 서로 [[동치]]이다.

=== 공리적 정의 ===
'''퀼런 완전 범주'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[가법 범주]] <math>\mathcal E</math>
* 하나의 공역이 다른 하나의 정의역이 되는 [[사상 (수학)|사상]] 순서쌍들의 모임 <Math>\mathfrak E\subseteq\{(f,g)\colon \operatorname{codom}f=\operatorname{dom}g\}</math>. 그 원소를 '''짧은 완전열'''이라고 한다. 또한, <math>\mathfrak C=\{f\colon(f,g)\in\mathfrak E\}</math>, <math>\mathfrak F=\{g\colon (f,g)\in\mathfrak E\}</math>를 정의하자.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 임의의 두 대상 <math>A,B\in\mathcal E</math>의 직합에 등장하는 사상 <math>A\to A\oplus B\to B</math>는 항상 <math>\mathfrak E</math>에 속한다.
* 만약 <math>(f,g)\in\mathfrak E</math>이라면, <math>g=\ker f</math>이며 <math>f=\operatorname{coker}g</math>이다.
* 임의의 <Math>(X\overset f\to Y\overset g\to Z)\in\mathfrak E</math> 및 임의의 사상 <math>W\overset h\to Z</math>에 대하여, [[당김 (범주론)|당김]] <Math>Y\times_ZW</math>가 존재하며, 사영 사상 <math>Y\times_ZW\to W</math> 역시 [[핵 (수학)|핵]]을 가지며, <math>(\ker Y\times_ZW\to W,Y\times_ZW\to W)\in\mathfrak E</math>이다. 마찬가지로 그 쌍대 공리 역시 성립한다.

(퀼런의 원래 정의는 이에 한 공리를 더 포함하였으나, 이후 이 공리는 나머지 공리들로부터 증명될 수 있음이 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용
| last = Keller
| first = Bernhard
| title = Chain complexes and stable categories
| year = 1990
| journal = Manuscripta Mathematica
| volume = 67
| pages = 379–417
| doi = 10.1007/BF02568439
| 언어=en
}}</ref>{{rp|Appendix A}}

이 경우 <math>\mathfrak E</math>에 속하는 사상 순서쌍들을 '''허용 확대'''(許容擴大, {{llang|en|admissible extension}})라고 하고, 허용 확대의 첫 성분을  '''허용 단사 사상'''(許容單射寫像, {{llang|en|admissible monomorphism}})이라 하며, 허용 확대의 둘째 성분을 '''허용 전사 사상'''(許容全射寫像, {{llang|en|admissible epimorphism}})이라고 한다.

=== 부분 범주를 통한 정의 ===
'''퀼런 완전 범주''' <math>\mathcal E</math>는 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 다음과 같은 [[충실충만한 함자|충실충만한]] 부분 [[가법 범주]]이다.
* 확대에 대하여 닫혀 있다. 즉, <math>\mathcal A</math> 속의 [[짧은 완전열]] <math>0\to X\to Y\to Z\to0</math>에서, 만약 <math>X,Z\in\mathcal E</math>라면 <math>Y\in\mathcal E</math>이다.

위와 같은 확대를 '''허용 확대'''(許容擴大, {{llang|en|admissible extension}})라고 하고, 허용 가능 확대의 [[단사 사상]] <math>X\to Y</math>을 '''허용 단사 사상'''(許容單射寫像, {{llang|en|admissible monomorphism}}), 허용 확대의 [[전사 사상]] <math>Y\to Z</math>를 '''허용 전사 사상'''(許容全射寫像, {{llang|en|admissible epimorphism}})이라고 한다. 허용 전사 사상을 <math>\twoheadrightarrow</math>, 허용 단사 사상을 <math>\hookrightarrow</math>로 표기하자.

=== 두 정의 사이의 관계 ===
(공리적 정의에 대한) 퀼런 완전 범주 <math>\mathcal E</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal E^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math> [[왼쪽 완전 함자]]의 범주 <math>\mathcal A</math>는 [[아벨 범주]]이다. <math>\hom</math> 함자는 [[왼쪽 완전 함자]]이므로, [[요네다 매장]]을 통해 <math>\mathcal E</math>는 <math>\mathcal A</math>의 부분 함자를 이룬다.
:<math>\mathcal E\hookrightarrow\mathcal A</math>
:<math>X\mapsto\hom_{\mathcal E}(-,X)</math>
이 경우 <math>\mathcal E</math>는 (<math>\mathcal A</math>의 부분 범주로서) 부분 범주를 통한 퀼런 완전 범주의 정의를 만족시킨다.

반대로, (부분 범주를 통한) 퀼런 완전 범주는 퀼런 범주의 공리적 정의를 만족시키는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

== 성질 ==
퀼런 완전 범주의 개념은 자기 쌍대이다. 즉, 임의의 퀼런 완전 범주 <math>(\mathcal E,\mathfrak E)</math>에 대하여, 그 [[반대 범주]] <math>\mathcal E^{\operatorname{op}}</math>에 <math>\mathfrak E^{\operatorname{op}}=\{(d,i)\colon(i,d)\in\mathfrak E\}</math>를 부여하면, 이 역시 퀼런 완전 범주를 이룬다.<ref name="DRSSK"/>{{rp|649, Proposition 1.1}}<ref name="Buhler"/>{{rp|Remark 2.2}} 이는 퀼런 완전 범주의 공리적 정의로부터 쉽게 확인할 수 있다.

== 예 ==
=== 아벨 범주 ===
임의의 [[아벨 범주]]에 (표준적인) [[짧은 완전열]]의 모임을 부여하면, 이는 퀼런 완전 범주를 이룬다. 부분 범주를 통한 정의에서, 이는 아벨 범주를 스스로의 부분 범주로 여기는 것에 해당한다.

이는 [[아벨 범주]] 위의 퀼런 완전 범주 구조 가운데, 짧은 완전열을 가장 많이 갖는 것이다.<ref name="DRSSK">{{저널 인용|제목=Exact categories and vector space categories|jstor=117820|이름=Peter|성=Dräxler|이름2=Idun|성2=Reiten|이름3=Sverre O.|성3=Smalø|이름4=Øyvind|성4=Solberg|이름5=B.|성5=Keller|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=351|호=2|날짜=1999-02|쪽=647–682|doi=10.1090/S0002-9947-99-02322-3 |mr= 1608305|언어=en}}</ref>{{rp|649, §1.1}}

=== 자명한 퀼런 완전 범주 구조 ===
임의의 [[가법 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에, 오직
:<math>X\to X\oplus Y\to Y</math>
의 꼴의 사상 순서쌍만을 짧은 완전열로 지정하자. (여기서 위의 두 사상은 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[쌍대곱]]에 등장하는 두 보편 사상이다.) 그렇다면, 이는 퀼런 완전 범주를 이루며, 또한 (공리에 따라) <math>\mathcal A</math> 위에 존재하는 퀼런 완전 범주 구조들 가운데 짧은 완전열을 가장 적게 갖는 것이다.<ref name="DRSSK"/>{{rp|649, §1.1}}<ref name="Buhler"/>{{rp|§1}}

=== 꼬임 없는 아벨 군 ===
[[꼬임 없는 아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ab_{tf}}</math>는 [[가법 범주]]이지만 [[아벨 범주]]가 아니며, [[아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 [[아벨 범주]] <math>\operatorname{Ab}</math>의 부분 범주이다. 이 부분 범주는 퀼런 완전 범주를 이룬다.

== 역사 ==
1958년에 알렉스 헬러({{llang|en|Alex Heller}})가 퀼런 완전 범주와 유사한 개념을 “아벨 범주”({{llang|en|abelian category}})라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Homological algebra in abelian categories|저널=Annals of Mathematics|권=68|날짜=1958|쪽=484–525|mr=0100622|언어=en}}</ref>{{rp|§3}}<ref name="Quillen"/>{{rp|92/16/100}} (이는 오늘날의 [[아벨 범주]]의 개념과 다르다.)

1960년에 [[요네다 노부오]]가 “준아벨 <math>\mathcal S</math>-범주”({{llang|en|quasi-abelian <math>\mathcal S</math>-category}})라는 이름으로 도입하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=Nobuo|성=Yoneda|저자링크=요네다 노부오|제목=On Ext and exact sequences|저널=Journal of the Faculty of Science of the University of Tokyo. Section 1A: Mathematics|권=8|날짜=1960|쪽=507–576|mr=0225854|언어=en}}</ref> 이 개념은 오늘날의 퀼런 완전 범주의 개념과 동치이다.<ref name="Buhler"/>{{rp|§1}}

이후 1973년에 [[대니얼 퀼런]]이 [[대수적 K이론]]을 정의하기 위하여 같은 개념을 재발견하였으며, “완전 범주”({{llang|en|exact category}})라는 이름을 도입하였다.<ref name="Quillen">{{서적 인용
| last = Quillen
| first = Daniel
| authorlink = 대니얼 퀼런
| 장 = Higher algebraic K-theory I
| 제목 = Algebraic K-theory I: higher K-theories. Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972
| editor1-first=Hyman | editor1-last=Bass | editor1-link = 하이먼 배스
| 날짜 = 1973
| series = Lecture Notes in Mathematics | issn=0075-8434
| publisher = Springer-Verlag
| volume = 341
| doi = 10.1007/BFb0067053
| pages = 85–147
| isbn = 978-3-540-06434-3
| 언어=en
}}</ref> 이후 다른 저자들이 “완전 범주”라는 같은 용어를 다른 뜻으로 사용했기 때문에, 혼란을 피하기 위하여 “퀼런 완전 범주”라고 불리게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Quillen exact category}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:K이론]]
[[분류:범주론]]