{{위키데이터 속성 추적}}

[[수학]]에서 [[곡면]]에 대한 '''리만-로흐 정리'''({{llang|en|Riemann–Roch theorem for surfaces}})는 [[대수 곡면]] 위의 선형 계의 차원을 설명한다. 그것의 고전적인 형태는 [[막스 뇌터]](1886)와 [[페데리고 엔리퀘스]](1894)에 의해 초기 형태가 발견된 후, 카스텔누오보(1896, 897)에 의해 처음 주어졌다. [[층 (수학)|층]]-이론적 버전은 히르체브루흐가 발표했다.

== 서술 ==
리만-로흐 정리의 한 형태는 <math>D</math>가 비특이 사영 곡면의 약수인 경우

: <math>\chi(D) = \chi(0) +\tfrac{1}{2} D . (D - K) \,</math>

여기서 <math>\chi</math>는 [[층 (수학)|정칙 오일러 특성]]이다. 점 .은 [[교차수]]이고 <math>K</math>는 정준 약수이다. 상수 <math>\chi(0)</math>는 자명한 다발의 정칙 오일러 특성이며, <math>1+p_a</math>, 여기서 <math>p_a</math>는 곡면의 [[산술종수|산술 종수]]이다. 비교를 위해 곡선에 대한 리만–로흐 정리는 <math>\chi(D)=\chi(0)+\text{deg}(D)</math>

== 뇌터 공식 ==
[[막스 뇌터|뇌터]] 공식은

: <math>\chi = \frac{c_1^2+c_2}{12} = \frac{(K.K)+e}{12}</math>

여기서 <math>\chi=\chi(0)</math>은 정칙 오일러 특성이고, <math>c_1^2=(K.K)</math>는 [[천 특성류|천 수]]와 표준 특성류 <math>K</math>의 자기 교차수이고 <math>e=c_2</math>는 위상수학적 오일러 특성이다. 리만-로흐 정리에서 <math>\chi(0)</math>이라는 용어를 위상 용어로 대체하는 데 사용할 수 있다. 이것은 곡면에 대한 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]를 제공한다.

== 히르체브루흐-리만-로흐 정리와의 관계 ==
곡면의 경우 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]는 본질적으로 뇌터 공식과 결합된 곡면에 대한 리만-로흐 정리이다. 이를 확인하려면 곡면의 각 약수 <math>D</math>에 대해 <math>D</math>의 선형 시스템이 ''<math>L</math>''의 단면 공간과 거의 같은 [[가역층|가역 다발]] ''[[가역층|<math>L=O(D)</math>]]''가 있다는 것을 기억하라. 곡면의 경우 토드 특성류는 다음과 같다. <math>1 + c_1(X) / 2 + (c_1(X)^2 + c_2(X)) / 12</math>, 층 ''<math>L</math>''의 천 특성류는 <math>1 + c_1(L) + c_1(L)^2 / 2</math>이다, 그래서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는 다음과 같이 말한다.

: <math>
\begin{align}
\chi(D) &= h^0(L) - h^1(L) + h^2(L)\\
&= \frac{1}{2} c_1(L)^2 + \frac{1}{2} c_1(L) \, c_1(X) + \frac{1}{12} \left(c_1(X)^2 + c_2(X)\right)
\end{align}
</math>

다행히도 이것은 다음과 같이 보다 명확한 형식으로 작성할 수 있다. 먼저 <math>D=0</math>로 놓으면

: <math> \chi(0) = \frac{1}{12}\left(c_1(X)^2 + c_2(X)\right)</math> (뇌터 공식)

임을 보일 수 있다. 가역 층(선다발)의 경우 두 번째 천 특성류가 사라진다. 두 번째 코호몰로지 동치류의 곱은 [[피카르 군]]의 교차수로 식별할 수 있으며 곡면에 대한 리만-로흐 정리의 보다 고전적인 모습을 얻는다.

: <math> \chi(D) = \chi(0) + \frac{1}{2}(D.D - D.K) </math>

원한다면 [[세르 쌍대성]]을 사용하여 <math>h^2(O(D))</math>를 <math>h^0(O(K-D))</math> 표현 할 수 있다. 그러나 곡선의 경우와 달리 일반적으로 층 코호몰로지를 포함하지 않는 형식으로 <math>h^1(O(D))</math>항을 작성하는 쉬운 방법이 없다(실제로는 종종 사라지지만).

== 초기 형태 ==
곡면에 대한 리만-로흐 정리의 초기 형태는 첫 번째 코호몰로지 군에 대한 직접적인 기하학적 설명이 없었기 때문에 종종 등식보다는 부등식으로 언급되었습니다. 전형적인 예는 {{하버드 인용 본문|자리스키|1995|loc=p.&nbsp;78}} , 이는

: <math>r\ge n-\pi+p_a+1-i</math>

여기서

* <math>r</math>은 전체 선형 시스템의 차원 | ''디'' | 제수 ''<math>D</math>''의 (그래서 <math>r=h^0(O(D)-1)</math>)
* <math>n</math>은 자기 교차수 <math>(D.D)</math>로 주어진 ''<math>D</math>''의 '''가상 차수'''이다.
* <math>\pi</math>는 <math>D</math>의 '''가상 종수'''이다. <math>1 + (DD + KD)/2</math>와 같다.
* <math>p_a</math>는 곡면의 '''산술 종수''' <math>\chi(O_F)-1</math>이다.
* <math>i</math>는 <math>\text{dim}\,H^0(O(K-D)) </math> (세르 쌍대성에 의해 <math>\text{dim}\,H^2(O(D)) </math>와 동일).

이 부등식의 두 변 사이의 차이를 제수 ''<math>D</math>''의 '''과잉''' ''<math>s</math>'' 라고 불렀다. 이 부등식을 리만-로흐 정리의 층 이론 버전과 비교하면 ''<math>D</math>''의 과잉이 ''<math>s</math>''로 주어진다는 것을 알 수 있다. <math>s=H^1(O(D)) </math> 제수 ''<math>D</math>''는 ''<math>i=s=0</math>''과 같은 경우 '''정규'''라고 하고,(즉, ''<math>O(D)</math>''의 모든 상위 코호몰로지 군이 사라지는 경우) ''<math>s>0</math>''인 경우 '''과잉'''이라고 한다.

== 참고 문헌 ==
* ''Topological Methods in Algebraic Geometry'' by Friedrich 히르체브루흐 {{isbn|3-540-58663-6}}
* {{인용|last1=Zariski|first1=Oscar|author1-link=Oscar Zariski|title=Algebraic surfaces|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Classics in Mathematics|isbn=978-3-540-58658-6|mr=1336146|year=1995}}

[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:대수곡면]]