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[[군론]]에서, '''초특별군'''(超特別群, {{llang|en|extraspecial group}})은 크기가 [[소수 (수론)|소수]]의 거듭제곱이며, [[군의 중심|중심]]이 그 소수 크기의 [[순환군]]이며, 중심에 대한 [[몫군]]이 그 소수 크기의 순환군들의 [[직접곱]]인 [[유한군]]이다.

== 정의 ==
[[유한군]] <math>G</math>가 어떤 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 다음 세 조건을 만족시킨다면, '''초특별군'''이라고 한다.
* <math>|G| \in \{1,p,p^2,\dotsc\}</math>이다.
* <math>\operatorname Z(G) \cong\operatorname{Cyc}(p)</math>. 즉, 그 [[군의 중심|중심]]이 [[집합의 크기|크기]] <math>p</math>의 [[순환군]]이다.
* <math>G/\operatorname Z(G) \cong \operatorname{Cyc}(p)^n</math>인 양의 정수 <math>n</math>이 존재한다. (특히, <math>n>0</math>이므로, <Math>G</math>는 [[아벨 군]]이 될 수 없다.)

== 성질 ==
모든 <math>p</math>-초특별군의 크기는
:<math>p^{1+2n}\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
의 꼴이다. 반대로, 임의의 <math>p^{1+2n}</math>의 꼴의 수에 대하여, 이 크기의 초특별군은 (군의 동형 아래) 정확히 2개가 있다.

초특별군의 [[교환자 부분군]]은 중심과 같으며, 그 [[프라티니 부분군]] 역시 중심과 같다.

== 연산 ==
두 군 <math>G</math>와 <math>H</math> 및 군의 [[동형 사상]]
:<math>\theta\colon\operatorname Z(G)\to\operatorname Z(H)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>G</math>와 <math>H</math>의 <math>\theta</math>에 대한 '''중심곱'''(中心곱, {{llang|en|central product}})은 다음과 같다.
:<math>G\star H=\frac{G\times H}{\{(g,h)\in \operatorname Z(G)\times\operatorname Z(H)\colon \theta(g)h=1\}}</math>
이는 일반적으로 <math>\theta</math>에 의존하지만, 만약 <math>G</math>와 <math>H</math>가 둘 다 초특별군일 경우 이는 (군의 동형 아래) 유일하다. 또한, 두 초특별군의 중심곱은 초특별군이다.

또한, 초특별군의 중심곱은 군의 동형 아래 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 따른다. 즉, 임의의 초특별군 <Math>G,H,K</math>에 대하여
:<math>G\star H\cong H\star G</math>
:<math>(G\star H)\star K \cong G\star (H\star K)</math>
이다. (그러나 이 동형이 표준적일 필요는 없다.)

== 분류 ==
임의의 소수 <math>p</math>에 대하여, 모든 <math>p</math>-초특별군은 크기 <math>p^3</math>의 초중심곱들의 중십곱으로 표현된다. 즉, <math>p</math>-초특별군의 분류는 크기 <math>p^3</math>의 초특별군들의 분류로 귀결된다.

=== 짝수 ''p'' ===
<math>p=2</math>일 때, 크기 8의 두 2-초특급군은 다음 두 개이다.
:<math>\operatorname{Dih}(4)</math> (크기 8의 [[정이면체군]])
:<math>Q_8=\{\pm\mathrm i,\pm\mathrm j,\pm\mathrm k,\pm1\}</math> ([[사원수군]])

이들은 다음을 만족시킨다.
:<math>Q_8 \star Q_8 \cong \operatorname{Dih}(4) \star \operatorname{Dih}(4)</math>

즉, 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 크기 <math>2^{1+2n}</math>의 2-초특급군은 다음 두 개이다.
* 짝수 개의 <math>Q_8</math>을 포함하는 것
* 홀수 개의 <math>Q_8</math>을 포함하는 것

=== 홀수 ''p'' ===
<math>p\ge3</math>일 때, 크기 <math>p^3</math>의 두 <math>p</math>-초특급군은 다음 두 개이다.
:<math>G_1=\left\{
\begin{pmatrix}
1&a&b\\
0&1&c\\
0&0&1
\end{pmatrix}
\colon a,b,c\in \mathbb F_p
\right\} \le \operatorname{GL}(3;\mathbb F_p)</math>
:<math>G_2 = \operatorname{Cyc}(p^2)\rtimes\operatorname{Cyc}(p)</math>
<math>G_2</math>에서, [[반직접곱]]에 사용되는, <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>의, <math>\operatorname{Cyc}(p^2)</math> 위의 작용은 자명하지 않은 임의의 작용이다.

이들은 다음을 만족시킨다.
:<math>G_1 \star G_1 \cong G_2\star G_2</math>

이에 따라, 임의의 주어진 크기에 대하여, <math>p</math>-초특급군은 <math>G_2</math>를 짝수 개 포함하는 것과 홀수 개 포함하는 것의 두 가지가 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용| last1=Blackburn | first1=Simon R. | title=Groups of prime power order with derived subgroup of prime order | doi=10.1006/jabr.1998.7909 | mr=1706841 | year=1999 | journal=Journal of Algebra | issn=0021-8693 | volume=219 | issue=2 | pages=625–657}}
* {{인용| last1=Gorenstein | first1=D. | author1-link=다니엘 고렌스타인 | title=Finite Groups | publisher=Chelsea | location=New York | isbn=978-0-8284-0301-6 | mr=569209 | year=1980 }}
* {{인용| last1=Newman | first1=M. F. | title=On a class of nilpotent groups | doi=10.1112/plms/s3-10.1.365 | mr=0120278 | year=1960 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society |series=Third Series | issn=0024-6115 | volume=10 | pages=365–375}}
* {{인용| last1=Shelah | first1=Saharon | author1-link=사하론 셸라흐 | last2=Steprāns | first2=Juris | title=Extraspecial p-groups | doi=10.1016/0168-0072(87)90041-8 | mr=887554 | year=1987 | journal=Annals of Pure and Applied Logic | issn=0168-0072 | volume=34 | issue=1 | pages=87–97}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Extraspecial_group | 제목=Extraspecial group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

{{전거 통제}}
[[분류:유한군]]