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[[호모토피 이론]]에서 '''호프 불변량'''(Hopf不變量, {{llang|en|Hopf invariant}})은 특정한 차원의 두 [[초구]] 사이의 [[연속 함수]]를 분류하는 [[정수]]이다.

== 정의 ==
[[연속 함수]]
:<math>f\colon\mathbb S^{2n-1}\to\mathbb S^n</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\mathbb S^{2n-1}=\partial\mathbb D^{2n}</math>이므로 이를 사용하여 [[CW 복합체]]
:<math>\mathbb D^{2n}\cup_f\mathbb S^n</math>
를 정의할 수 있다. 이는 1개의 0차원 세포 · 1개의 <math>n</math>차원 세포 · 1개의 <math>2n</math>차원 세포를 갖는다.

<math>n=1</math>일 경우, 이러한 함수는 [[브라우어르 차수]]에 의하여 완전히 분류된다. 만약 <math>n\ge2</math>라면, [[세포 코호몰로지]]를 사용하여 [[CW 복합체]]의 [[코호몰로지]]를 바로 계산할 수 있다.
:<math>\operatorname H^k(\mathbb D^{2n}\cup_f\mathbb S^n;\mathbb Z)=\begin{cases}
\mathbb Z=\langle1\rangle&k=0\\
\mathbb Z=\langle\alpha\rangle&k=n\\
\mathbb Z=\langle\beta\rangle&k=2n\\
0&n\ne 0,n,2n
\end{cases}</math>
코호몰로지는 [[등급환]]을 이룬다. 이 경우, 코호몰로지류의 [[합곱]]은 등급 때문에 다음과 같은 꼴이어야 한다.
:<math>\alpha\smile\beta=\beta\smile\beta=0</math>
:<math>\alpha\smile\alpha=h_f\beta\qquad(h_f\in\mathbb Z)</math>
이 정수 <math>h_f\in\mathbb Z</math>를 <math>f</math>의 '''호프 불변량'''이라고 한다.

이는 초구의 [[호모토피 군]]으로부터 [[무한 순환군]]으로 가는 [[군 준동형]]을 이룬다.
:<math>h\colon\pi_{2n-1}(\mathbb S^n)\to\mathbb Z</math>

== 성질 ==
[[상수 함수]]의 호프 불변량은 0이다.

[[유리수 호모토피 이론]] 등에 의하여, [[호모토피 군]] <math>\pi_{2n-1}(\mathbb S^n)</math>은 유한한 [[아벨 군|아벨]] [[꼬임 부분군]]과 [[무한 순환군]]의 [[직합]]이다. 꼬임 부분군은 물론 호프 불변량 준동형 아래 0으로 대응된다.

호프 불변량 준동형의 [[치역]]은 다음과 같다.
:<math>
h(\pi_{2n-1}(\mathbb S^n))=\begin{cases}
\mathbb Z&n=2,4,8\\
2\mathbb Z&n\ge2, n\ne 2,4,8
\end{cases}
</math>
즉, <math>n=2,4,8</math> ([[실수체]] 위의 [[노름 나눗셈 대수]]들의 차원)인 경우, [[호프 올뭉치]]가 존재하여 <math>h=1</math>이 가능하며, 그렇지 않은 경우 호프 불변량은 항상 짝수이다.

=== 호프 함수 ===
호프 불변량이 1인 함수를 '''호프 함수'''({{llang|en|Hopf map}})라고 한다. 이들은 구체적으로 다음과 같다. 우선 <math>K\in\{\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\}</math>가 실수체 위의 [[노름 나눗셈 대수]] ([[복소수체]], [[사원수 대수]], [[팔원수 대수]] 가운데 하나)라고 하자. 그렇다면, <math>K</math> 위의 [[사영 직선]]
:<math>\mathbb P^1_K=\frac{K^2}{(a,b)\sim (ca,cb)}=K\sqcup\{\widehat\infty\}\cong\mathbb S^{\dim_{\mathbb R}K}</math>
및 <math>K^2</math> 속의 단위 노름 초구
:<math>\mathbb S(K^2)=\{(a,b)\in K^2\colon |a|^2+|b|^2=1\}\cong\mathbb S^{2\dim_{\mathbb R}K-1}</math>
를 정의할 수 있다. 그렇다면,
:<math>\mathbb S(K^2)\to \mathbb P^1_K</math>
:<math>(a,b)\mapsto [a:b]\in\mathbb P^1_K</math>
는 호프 함수를 이룬다.

== 역사 ==
호프 불변량의 개념은 [[하인츠 호프]]가 [[호프 올뭉치]]를 연구하는 과정에 1935년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용
  | last=Hopf
  | first=Heinz
  | 저자링크=하인츠 호프
  | title=Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension
  | journal=Fundamenta Mathematicae
  | volume=25
  | pages=427–440
  | year=1935
  | 언어=de
  | url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-fmv25i1p35bwm
  | zbl=0012.31902
 }}</ref>

1960년에 [[존 프랭크 애덤스]]는 호프 불변량이 1인 경우는 2, 4, 8차원 [[호프 올뭉치]] 밖에 없다는 것을 보였다.<ref>{{저널 인용|성=Adams|이름=J. F.|제목=On the nonexistence of elements of Hopf invariant one|저널=Bulletin of the American Mathematical Society |권=64|쪽= 279-282|날짜= 1958|mr=0097059|issn=0273-0979|doi=10.1090/S0002-9904-1958-10225-6 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용
 |first        = J. F.
 |last         = Adams
 |저자링크 = 존 프랭크 애덤스
 |날짜       = 1960-07
 |title        = On the non-existence of elements of Hopf invariant one
 |journal      = Annals of Mathematics
 |volume       = 72
 |pages        = 20–104
 |doi          = 10.2307/1970147
 |issue        = 1
 |jstor        = 1970147
 |언어       = en
 |mr           = 0141119
 |url          = https://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Adams-HI1.pdf
 |access-date  = 2016-01-12
 |archive-date = 2016-01-25
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160125214028/http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Adams-HI1.pdf
}}</ref> 이후 1966년에 애덤스와 [[마이클 아티야]]는 이를 [[위상 K이론]]을 사용하여 재증명하였다.<ref>{{저널 인용
    | first = J. F.|last= Adams | 저자링크=존 프랭크 애덤스
    | first2 = M. F. |last2=Atiyah | 저자링크2=마이클 아티야
    | year = 1966
    | title = K-theory and the Hopf invariant
    | journal = The Quarterly Journal of Mathematics
    | volume = 17
    | issue = 1
    | pages = 31–38
    | doi = 10.1093/qmath/17.1.31 | 언어=en
}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HopfInvariantOneTheorem|title=Hopf invariant one theorem}}
* {{nlab|id=Hopf invariant}}
* {{nlab|id=Hopf invariant one}}
* {{nlab|id=Hopf construction}}
* {{eom|title=Hopf invariant}}

== 같이 보기 ==
* [[호프 올뭉치]]

[[분류:호모토피 이론]]