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[[수학]]에서 '''산술 기하 평균'''(算術幾何平均, {{llang|en|arithmetic–geometric mean}})은 [[산술 평균]]과 [[기하 평균]] 연산에 의한 [[점화 수열]]에 [[수열의 극한|극한]]을 취하여 얻어진 [[평균값]]이다. 구체적으로, 두 [[실수]] {{수학|''x'', ''y''}}의 산술 기하 평균 {{수학|''M''(''x'', ''y'')}}는 다음과 같이 정의된다.

우선 두 수 {{수학|''x'', ''y''}}의 [[산술 평균]]을 {{수학|''a''<sub>1</sub>}}, [[기하 평균]]을 {{수학|''g''<sub>1</sub>}}라고 하자.

:<math>a_{1} = \frac{x + y}{2}</math>
:<math>g_{1} = \sqrt{x y}</math>

이후 {{수학|''a''<sub>1</sub>}}과 {{수학|''g''<sub>1</sub>}}을 {{mvar|x}}와 {{mvar|y}} 자리에 넣어 이 연산을 반복하면 두 [[수열]] {{수학|(''a<sub>n</sub>''), (''g<sub>n</sub>'')}}을 얻게 된다.

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}</math>
:<math>g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}</math>

이 두 수열은 같은 값으로 [[수렴]]하며, 이 수렴값을 {{mvar|x}}와 {{mvar|y}}의 '''산술 기하 평균'''이라 한다. {{수학|''M''(''x'', ''y'')}} 또는 {{수학|agm(''x'', ''y'')}}로 표기한다.

일반화적인 산술평균 및 기하평균은 다음과 같다.

== 예 ==
24와 6의 산술 기하 평균을 구하기 위해, 먼저 그들의 산술 평균과 기하 평균을 계산한다.

:<math>a_1=\frac{24+6}{2}=15</math>
:<math>g_1=\sqrt{24\times 6}=12</math>

이 과정을 다음과 같이 [[반복 (수학)|반복]]한다.

:<math>\begin{align}
a_2 & =\frac{15 + 12}{2}=13.5\\
g_2 & =\sqrt{15\times 12}=13.41640786499\dots\\
\dots
\end{align}</math>

다섯번을 반복하면 다음의 값들을 얻는다.

:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}}
! {{수학|''a''<sub>''n''</sub>}}
! {{수학|''g''<sub>''n''</sub>}}
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| <u>1</u>5
| <u>1</u>2
|-
| 2
| <u>13</u>.5
| <u>13</u>.416407864998738178455042…
|-
| 3
| <u>13.458</u>203932499369089227521…
| <u>13.458</u>139030990984877207090…
|-
| 4
| <u>13.4581714817</u>45176983217305…
| <u>13.4581714817</u>06053858316334…
|-
| 5
| <u>13.4581714817256154207668</u>20…
| <u>13.4581714817256154207668</u>06…
|}

반복을 매 번 행할 때마다 일치하는 숫자(밑줄)의 개수가 대략 두 배로 되는 것을 알 수 있다. 두 수열이 공동으로 가지는 극한이 곧 산술 기하 평균이다, 그 값은 약 13.4581714817256154207668131569743992430538388544이다.<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6) - WolframAlpha]</ref>

==  역사  ==
두 수열에 기반한 최초의 알고리즘은 [[조제프루이 라그랑주|라그랑주]]의 저작에 기술되었다. 그의 성질은 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]에 의해 분석되었다.<ref name="BerggrenBorwein2004">{{서적 인용|language=en|editor=J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein|title=Pi: A Source Book|url=http://books.google.com/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA481|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-387-20571-7|page=481|chapter=The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss|author=David A. Cox}} 여기에 처음 출간됨: ''L'Enseignement Mathématique'' t. 30 (1984), 275-330쪽</ref>

== 성질 ==
기하 평균은 항상 산술 평균보다 작거나 같다([[산술-기하 평균 부등식]]), 또 기하 평균과 산술 평균 모두 두 수의 최솟값보다 크고 최댓값보다 작다. 이러한 이유로 인해
:<math>\min\{x,y\}\le g_1\le g_2\le\cdots\le M(x,y)\le\cdots\le a_2\le a_1\le \max\{x,y\}</math>
이 성립한다. {{수학|''x'' {{=}} ''y''}}인 경우를 제외하면 모든 등호가 성립하지 않는다.

위에서 알 수 있듯이, {{수학|''M''(''x'', ''y'')}}는 {{mvar|x}}와 {{mvar|y}} 사이에서, 더 정확히는 기하 평균과 산술 평균의 사이에서 값을 취한다.

{{수학|''r'' ≥ 0}}에 대해, {{수학|''M''(''rx'', ''ry'') {{=}} ''r'' · ''M''(''x'', ''y'')}}의 등식이 성립한다.

다음은 {{수학|''M''(''x'', ''y'')}}의 적분 형식이다.
:<math>\begin{align}
M(x,y)&=\frac{\pi}{2}\bigg/\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}}\\
      &=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{x+y}{K\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}
\end{align}</math>

여기서 {{수학|''K''(''k'')}}는 [[타원 적분|제1종 완전 타원 적분]]이다.
:<math>K(k)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2(\theta)}}</math>

산술 기하 평균의 빠른 수렴 속도는 위 공식을 이용해 타원 적분을 효율적으로 계산 가능하게 한다. 공학에서 [[타원 필터]]의 설계 등에 사용되기도 한다.<ref name="Dimopoulos2011">{{서적 인용|language=en|author=Hercules G. Dimopoulos|title=Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis|url=http://books.google.com/books?id=6W1eX4QwtyYC&pg=PA147|year=2011|publisher=Springer|isbn=978-94-007-2189-0|pages=147–155}}</ref>

== 관련 개념 ==
1과 [[루트 2]]의 산술 기하 평균의 역수는 [[가우스 상수]]라고 불린다.

:<math>G=\frac{1}{M(1,\sqrt{2})}=0.8346268\ldots</math>

[[기하 조화 평균]]은 이와 비슷하게 기하 평균과 [[조화 평균]]을 사용해 정의한 수열의 극한값이다. 산술 조화 평균 또한 비슷한 방법으로 얻어지나, 이는 곧 [[기하 평균]]과 같다.

산술 기하 평균은 [[로그]]와 [[타원 적분|제1종 완전 타원 적분]]을 계산하는 데에 사용된다. 산술 기하 평균의 변형을 이용하여 [[타원 적분|제2종 완전 타원 적분]]을 효율적으로 계산할 수 있다.<ref>{{인용|language=en |last=Adlaj |first=Semjon |title=An eloquent formula for the perimeter of an ellipse |url=http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf |journal=Notices of the AMS |volume=59 |issue=8 |pages=1094–1099 |date=September 2012 |doi=10.1090/noti879 |accessdate=2013-12-14}}</ref>

== {{mvar|M}}의 존재성 증명 ==
두 수열 {{수학|(''a<sub>n</sub>''), (''g<sub>n</sub>'')}}은 항상 같은 값으로 수렴한다. 다음은 이를 증명한 것이다.

[[산술-기하 평균 부등식]]에 의해 모든 {{mvar|n}}에 대해 다음이 성립한다.

:<math>g_n\le a_n</math>

{{수학|''x'' ≤ ''y''}}는 증명에 영향을 주지 않는 가정이다. 이 때 다음이 성립한다.

:<math>\begin{align}
x   &\le g_1 \\
a_1 &\le y
\end{align}</math>

또한 다음과 같이 {{수학|(''a<sub>n</sub>''), (''g<sub>n</sub>'')}} 모두가 [[단조수열]]임을 보일 수 있다.

:<math>g_{n+1}=\sqrt{g_n a_n}\ge\sqrt{g_n g_n}=g_n</math>
:<math>a_{n+1}=\frac{g_n+a_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>

모든 부등식을 연립하면 다음을 얻는다.

:<math>x\le g_1\le g_2\le\cdots\le a_2\le a_1\le y</math>

따라서 {{수학|(''a<sub>n</sub>''), (''g<sub>n</sub>'')}} 모두 단조, 유계이며, 고로 수렴한다. 또한

:<math>a_n=\frac{g_{n+1}^2}{g_n}</math>

의 양변에 극한을 취하면 두 수열의 극한값이 같다는 것을 알 수 있다.<!-- 

== 적분 형식의 증명 ==
{{빈 문단}} -->

== 같이 보기 ==
* [[멱평균]]
* [[산술-기하 평균 부등식]]
* [[가우스-르장드르 알고리즘]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|language=en|last = Adlaj|first = Semjon|title = An eloquent formula for the perimeter of an ellipse|journal = Notices of the AMS|volume = 59|issue = 8|pages = 1094–1099|date = September 2012|url = http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf|doi=10.1090/noti879}}
* Jonathan Borwein, Peter Borwein, ''Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity.'' Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp.&nbsp;{{ISBN|0-471-31515-X}}<!-- {{MR|1641658}} -->
* Zoltán Daróczy, Zsolt Páles, ''Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem.'' Publ. Math. Debrecen 61/1-2 (2002), 157–218.
* {{SpringerEOM|last=Hazewinkel|first=M.|id=Arithmetic-geometric_mean_process|title=Arithmetic-geometric mean process|}}
* {{매스월드|id=Arithmetic-GeometricMean|title=Arithmetic-Geometric Mean}}

[[분류:평균]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:타원함수]]