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[[수리논리학]]에서 '''무한 논리'''(無限論理, {{llang|en|infinitary logic}})는 무한한 [[논리합]]·[[논리곱]]·전칭 기호·존재 기호를 나타낼 수 있는 논리 체계이며, 유한 [[1차 논리]]를 일반화한다.

== 정의 ==
<math>\kappa</math>가 무한 [[정칙 기수]]이며, <math>\lambda\le\kappa</math> 역시 무한 기수라고 하자. '''무한 논리''' <math>L_{\kappa\lambda}</math>의 '''항'''({{llang|en|term}})들은 다음과 같다.
* 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\le\lambda</math>에 대하여, 변수 <math>x_\alpha</math>는 항이다.
* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 만약 <math>n</math>항 연산 <math>f</math> 및 항 <math>t_1,t_2,\dots,t_n</math>이 존재한다면, <math>f(t_1,\dots,t_n)</math>은 항이다.
<math>L_{\kappa\lambda}</math>의 '''공식'''({{llang|en|formula}})들은 다음과 같다.
* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 만약 <math>n</math>항 관계 <math>R</math> 및 항 <math>t_1,t_2,\dots,t_n</math>이 존재한다면, <math>R(t_1,t_2,\dots,t_n)</math>은 공식이다.
* (등식) 임의의 항 <math>s</math>, <math>t</math>에 대하여, <math>s=t</math>는 공식이다.
* (부정) 임의의 공식 <math>\phi</math>에 대하여, <math>\lnot\phi</math>는 공식이다.
* (무한 논리합) 크기가 <math>\kappa</math> 미만인, 공식들의 집합 <math>\Phi</math>에 대하여, <math>\bigvee\Phi</math>
* (무한 전칭 기호) 크기가 <math>\lambda</math> 미만인 변수들의 집합 <math>X</math> 및 공식 <math>\phi</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>의 어느 원소도 <math>\phi</math>에서 속박 변수가 아니라면, <math>\forall X\colon\phi</math>는 공식이다.

크기가 <math>\kappa</math> 미만인 공식들의 집합 <math>\Phi</math>에 대하여,
:<math>\bigwedge\Phi</math>
는
:<math>\lnot\bigvee\{\lnot\phi\colon\phi\in\Phi\}</math>
의 약자이다. 마찬가지로, 크기가 <math>\lambda</math> 미만인 변수들의 집합 <math>X</math> 및 <math>X</math>가 속박 변수로 등장하지 않는 공식 <math>\phi</math>에 대하여,
:<math>\exists X\colon\phi</math>
는
:<math>\lnot\forall X\colon\lnot\phi</math>
의 약자이다. 마찬가지로,
:<math>\phi\implies\chi</math>
는
:<math>\lnot\phi\lor\chi</math>
의 약자이며,
:<math>\phi\iff\chi</math>
는
:<math>\bigwedge\{\phi\implies\chi,\chi\implies\phi\}</math>
의 약자이다. '''문장'''({{llang|en|sentence}})은 자유 변수가 없는 공식이다. '''이론'''({{llang|en|theory}})은 문장들의 [[집합]]이다.

무한 논리는 (유한) 1차 논리와 마찬가지로 [[증명 이론]]과 [[모형 이론]]을 정의할 수 있다. 논리 <math>L_{\kappa,\lambda}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''완전 논리'''({{llang|en|complete logic}})라고 한다.
* 어떤 문장 <math>\phi\in L_{\kappa,\lambda}</math>이 모든 모형 <math>M</math>에서 성립한다면, <math>\phi</math>의 증명이 존재한다.
논리 <math>L_{\kappa,\lambda}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''강완전 논리'''({{llang|en|strongly complete logic}})라고 한다.
* 임의의 이론 <math>\mathcal T</math> 및 문장 <math>\phi</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal T\models\phi</math>라면 <math>\mathcal T\vdash\phi</math>이다. 여기서 <math>\mathcal T\models\phi</math>는 임의의 모형 <math>M</math>에 대하여, 만약 <math>M\models\mathcal T</math>라면 <math>M\models\phi</math>라는 뜻이다.
강완전성은 완전성보다 더 강한 조건이다. 즉, 모든 강완전 논리는 완전 논리이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 성질 ==
만약 <math>L_{\kappa\kappa}</math>가 강완전 논리라면, <math>\kappa</math>는 [[강콤팩트 기수]]이다.

== 예 ==
대표적인 무한 논리로는 다음을 들 수 있다.
* <math>L_{\omega\omega}</math>. 이는 (유한) 1차 논리이며, 또한 강완전 논리이다 ([[괴델의 완전성 정리]]).
* <math>L_{\omega_1\omega}</math>. 이는 완전 논리이지만 강완전 논리가 아니다.

== 역사 ==
[[데이나 스콧]]과 [[알프레트 타르스키]]가 1958년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Scott|이름=D.|저자링크=데이나 스콧|이름2=A.|성2=Tarski|저자링크2=알프레트 타르스키|날짜=1958|제목=The sentential calculus with infinitely long expressions|저널=Colloquium Mathematicum|권=6|쪽=165–170|issn=0010-1354|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm6/cm6121.pdf|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=A.|성=Tarski|저자링크=알프레트 타르스키|날짜=1958|제목=Remarks on predicate logic with infinitely long expressions|저널=Colloquium Mathematicum|권=6|쪽=171–176|issn=0010-1354|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/cm/cm6/cm6122.pdf|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
무한 논리는 [[집합론]]에서 [[약콤팩트 기수]]·[[강콤팩트 기수]] 등의 [[큰 기수]]들을 정의할 때 쓰인다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/logic-infinitary/|제목=Infinitary logic|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|출판사=[[스탠퍼드 대학교]]|성=Bell|이름=John L.|날짜=2012-02-22|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://homepages.math.uic.edu/~marker/inf.pdf|제목=Infinitary logic|이름=David|성=Marker|날짜=2007|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[약콤팩트 기수]]
* [[강콤팩트 기수]]

{{전거 통제}}

[[분류:수리논리학]]