{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학}}
{{장방정식}}
[[양자장론]]에서 '''클라인-고든 방정식'''(Klein-Gordon方程式, {{llang|en|Klein–Gordon equation}}) 또는 '''클레인-고르돈 방정식'''은 ([[유사스칼라|유사]]) [[스칼라]] [[장 (물리)|장]]을 다루는 상대론적 [[파동 방정식]]이다. 상대론적인 [[질량-에너지 동등성]] <math>p^2=m^2</math>을 나타낸다.

클라인-고든 방정식을 따르는 장은 슈뢰딩거 방정식처럼 단입자의 [[확률 진폭]]으로 해석할 수 없는데, 이는 이 방정식이 시간에 대하여 2차 편미분 방정식이어서 음의 에너지가 존재하고, 또 [[확률 흐름]]을 보존하지 않기 때문이다. (다만, [[파인먼-스튀켈베르크 해석]](Feynman-Stückelberg interpretation)에 따라, 시간에 대해 앞뒤로 전파하는 입자에 대한 기술이라고 해석할 수 있다.) 최근에 발견된 것으로 추측되는 [[힉스 보손]]이나, 다른 스칼라 또는 유사스칼라 [[기본 입자]]([[초대칭]]에서의 여러 입자 등)나 스핀 0의 복합 입자(스칼라 [[중간자]] 따위)를 다룰 때 유용하다.

클라인-고든 방정식은 [[특수 상대성이론]]의 [[질량-에너지 등가성]]을 [[양자역학]]적으로 쓴 것이므로, 다른 모든 상대론적 [[파동 방정식]]의 기본을 이룬다. 예를 들어, [[스핀]] 1/2의 [[디랙 방정식]]이나 [[스핀]] 1의 [[프로카 방정식]]은 클라인-고든 방정식의 특수한 경우다. 즉, 모든 디랙 방정식의 해와 프로카 방정식의 해는 클라인-고든 방정식을 만족한다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.)

== 정의 ==
+−−− [[계량 부호수]]를 사용하고, <math>c=\hbar=1</math>로 놓자. 실수 (전하를 가지지 않는) 스칼라 마당의 클라인-고든 방정식은 다음과 같다.
::<math>(\partial^2+m^2)\psi=0.</math>
여기서 <math>m</math>은 장의 [[양자]]의 [[질량]]이다.

이 꼴은 방정식
::<math>\psi=e^{-ip\cdot x}</math>
의 [[평면파]] 해에 [[특수 상대성이론]]의 [[질량-에너지 동등성]], 즉
::<math> p^2=m^2</math>
을 가하여 얻어진다. [[슈뢰딩거 방정식]]과는 달리, 어떤 주어진 3차원 운동량 <math>\mathbf p</math>에 대해 가능한 에너지 <math>p_0</math>값이 양과 음 두가지다.

=== 라그랑지언 ===
클라인-고든 방정식은 다음 [[라그랑지언]]의 [[오일러-라그랑주 방정식]]이다.
:<math>\mathcal L=\frac12(\partial\psi)^2-\frac12m^2 \psi^2</math>

== 유도 ==
[[자유 입자]]의 비상대론적 에너지는 다음과 같다.
:<math>\frac{\mathbf{p}^2}{2 m} = E.</math>

이를 양자화하면, [[자유 입자]]의 [[슈뢰딩거 방정식]]이 된다.
:<math>
\frac{\mathbf{p}^2}{2m} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi
</math>
여기서 <math>\mathbf{p}</math>는 운동량 [[연산자]]이다.

이를 상대화하기 위하여, [[특수 상대성이론]]의 에너지 공식을 사용하자.
:<math>
\sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E.
</math>

마찬가지로 [[양자화 (물리학)|양자화]]하면 다음과 같다.
:<math> \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi. </math>
그러나 이 공식은 제곱근이 들어가 있기 때문에 다루기 힘들며, 또 [[국소성|비국소적]]이다. 대신, 에너지 공식의 양변을 제곱하자.
:<math>
\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2
</math>
이를 양자화하면 다음과 같다.
:<math> ((-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4) \psi = (i \hbar \frac{\partial}{\partial t} )^2 \psi </math>
고쳐 쓰면,
:<math> - \hbar^2 c^2 \mathbf{\nabla}^2 \psi + m^2 c^4 \psi = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi. </math>
항을 옮기면 다음을 얻는다.
:<math> \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2}{(\partial t)^2} \psi - \mathbf{\nabla}^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. </math>
모든 복소수 <math>i</math>가 사라졌으므로, 이 방정식은 복소 마당뿐만 아니라 실수값을 가지는 마당에도 적용할 수 있다.

상대론적 표기법으로 쓰면, 다음과 같이 된다.
:<math>(\Box + \mu^2) \psi = 0</math>
여기서 <math>\Box</math>는 [[달랑베르 연산자]]이다.

== 역사 ==
[[에르빈 슈뢰딩거]]는 [[전자]]의 [[물질파]]를 기술하는 방정식을 찾다가 1925년경에 오늘날 클라인-고든 방정식이라 불리는 방정식을 고안하였다. 이 방정식은 전자의 스핀을 무시하기 때문에, [[수소]] 원자의 [[전자 구조]]를 올바르게 예측하지 못한다. 그러나 슈뢰딩거는 이 방정식의 비상대적 [[극한]]이 유용하다는 것을 깨닫고, 이를 1926년 1월에 출판하였다. 이 방정식은 이후 '[[슈뢰딩거 방정식]]'이라고 알려진다. 같은 해 [[소련]]의 [[블라디미르 포크]]는 슈뢰딩거 방정식을 [[자기장]]이 있을 경우로 일반화하여, 클라인-고든 방정식을 유도하였으나, 이는 서방 학계에 잘 알려지지 않았다.

곧 [[오스카르 클레인]]<ref>{{저널 인용|이름=O.|성=Klein|제목=Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie|저널=Zeitschrift für Physik|issn=0044-3328|권=37|날짜=1926-12|쪽=895–906|doi=10.1007/BF01397481|언어=de}}</ref>과 [[발터 고르돈]]<ref>{{저널 인용|이름=W.|성=Gordon|저널=Zeitschrift für Physik|issn=0044-3328|제목=Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie|doi=10.1007/BF01390840|권=40|호=1–2|날짜=1927-01|쪽=117–133|언어=de}}</ref>이 상대론적 [[전자]]를 기술하기 위해 이 방정식을 제시하였고, 이를 따 "클라인-고든 방정식"으로 알려지게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Peskin|이름=Michael E.|공저자=Daniel V. Schroeder|연도=1995|월=10|제목=An introduction to quantum field theory|url=http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|출판사=Westview Press|isbn=0-201-50397-2|언어=en|확인날짜=2014-10-01|보존url=https://web.archive.org/web/20140902045539/http://physics.weber.edu/schroeder/qftbook.html|보존날짜=2014-09-02|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Klein-Gordon equation}}
* {{eom|title=Massless Klein-Gordon equation}}
* {{매스월드|id=Klein-GordonEquation|title=Klein-Gordon Equation}}

== 같이 보기 ==
* [[사인-고든 방정식]]
* [[디랙 방정식]]

{{전거 통제}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:파동]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:수리물리학]]