{{위키데이터 속성 추적}}
{{두 다른 뜻|[[대수적 수론]]에서의 개념|[[복소기하학]]에서의 개념|분지점|[[대수기하학]]에서의 개념|비분기 사상}}
[[대수적 수론]]에서 '''분기화'''(分岐化, {{llang|en|ramification}})는 어떤 [[체의 확대]]에서, 원래 체의 [[대수적 정수환]]에서의 [[소 아이디얼]]이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.
* 분기화를 [[아이디얼]]의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 [[데데킨트 정역]]에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
* 분기화를 체 위의 [[절댓값 (대수학)|절댓값]]으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

== 데데킨트 정역의 분기화 ==
[[데데킨트 정역]] <math>D</math>의 [[분수체]] <math>K=\operatorname{Frac}D</math>의 [[유한 확대]] <math>\tilde K/K</math>가 주어졌으며, <math>D</math>의 <math>\tilde K</math> 속에서의 [[정수적 폐포]]가 <math>\tilde D</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\tilde D</math> 역시 [[데데킨트 정역]]이다.<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|45, Proposition I.8.1}}
:<math>\begin{matrix}
D&\hookrightarrow&\tilde D\\
{\scriptstyle\operatorname{Frac}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{Frac}\\
K&\hookrightarrow&\tilde K\\
\end{matrix}
</math>
<math>D</math> 속의 0이 아닌 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{(0)\}</math>에 대하여, 포함 준동형 <math>\iota\colon D\hookrightarrow\tilde D</math>에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.
:<math>\iota(\tilde p)=\prod_{i=1}^{g(\mathfrak p)}{\tilde\mathfrak p}_i^{e_{\tilde{\mathfrak p}_i}}\qquad(\tilde{\mathfrak p}_i\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\},\;e_i>0\forall i)</math>
그렇다면 <math>e_{\tilde{\mathfrak p}}</math>를 <math>\tilde{\mathfrak p}_i</math>의 '''분기 지표'''(分岐指標, {{llang|en|ramification index}})라고 한다.

또한, [[잉여류체]]에 대한 자연스러운 [[체의 확대]]가 존재한다.
:<math>D/\mathfrak p\subseteq\tilde D/\tilde\mathfrak p_i</math>
이 확대의 [[체의 확대의 차수|차수]] <math>f_{\tilde{\mathfrak p}}</math>를 <math>\tilde{\mathfrak p}</math>의 '''관성 차수'''(慣性次數, {{llang|en|inertia degree}})라고 한다.
:<math>f_{\tilde{\mathfrak p}}=[\tilde D/\tilde\mathfrak p_i:D/\mathfrak p]</math>
그렇다면 다음과 같은 '''기본 항등식'''({{llang|en|fundamental identity}})이 성립한다.
:<math>[L:K]=\sum_{\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}}^{\tilde{\mathfrak p}\mid\mathfrak p}e_{\tilde{\mathfrak p}}f_{\tilde{\mathfrak p}}\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}</math>

=== 힐베르트 이론 ===
만약 확대 <math>\tilde K/K</math>가 [[갈루아 확대]]라면, 이에 대한 '''힐베르트 이론'''(Hilbert理論, {{llang|en|Hilbert theory}})이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\tilde K/K)</math>는 <math>\{\mathfrak p_i\}_{i=1,\dots,g(\mathfrak p)}</math> 위에 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]하며, 따라서 모든 <math>i</math>에 대하여 <math>e_i</math> 및 <math>f_i</math>가 일치한다. 즉,
:<math>[L:K]=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)g(\mathfrak p)\qquad\forall\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}</math>
이다.

==== 분해군 ====
임의의 <math>\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}</math>의 '''분해군'''(分解群, {{llang|en|decomposition group}}) <math>G_{\tilde{\mathfrak p}}</math>는 <math>\operatorname{Gal}(\tilde K/K)</math>의 작용에 대한 <math>\tilde{\mathfrak p}</math>의 [[안정자군]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|54, Definition I.9.2}} <math>\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}</math>의 '''분해체'''(分解體, {{llang|en|decomposition field}}) <math>Z_{\tilde{\mathfrak p}}</math>는 분해군에 의해 고정되는 <math>\tilde K</math>의 원소들로 구성되는 [[체 (수학)|체]]이다.
:<math>Z_{\tilde{\mathfrak p}}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma\tilde a=\tilde a\forall\sigma\in G_{\tilde{\mathfrak p}}\}</math>

[[궤도-안정자군 정리]]에 따라서, 모든 <math>i=1,\dots,g(\mathfrak p)</math>에 대하여 안정자군의 크기는 같다.
:<math>|G_{\tilde{\mathfrak p}_i}|=|G|/g(\mathfrak p)=e(\mathfrak p)f(\mathfrak p)\forall i=1,\dots,g(\mathfrak p)</math>

==== 관성군 ====
<math>\tilde{\mathfrak p}\in\operatorname{Spec}\tilde D\setminus\{0\}</math>가 주어졌고, <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}</math>는 <math>\tilde{\mathfrak p}\mid \iota(\mathfrak p)</math>인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{Gal}(\tilde K/K)\twoheadrightarrow\operatorname{Gal}\left((\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\right)</math>
이 존재한다. 그 [[핵 (수학)|핵]]을 <math>\tilde{\mathfrak p}</math>의 '''관성군'''(慣性群, {{llang|en|inertia group}}) <math>I_{\tilde{\mathfrak p}}</math>이라고 하며, 이는 분해군의 [[부분군]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|57, Definition I.9.5}} 관성군의 크기는 항상 <math>e(\mathfrak p)</math>와 같으며, 갈루아 군 <math>\operatorname{Gal}(\tilde K/K)</math>의 작용에 불변이다.
:<math>I_{\tilde{\mathfrak p}}=I_{\sigma\cdot\tilde{\mathfrak p}}=e(\mathfrak p)\forall \sigma\in\operatorname{Gal}(\tilde K/K)</math>
마찬가지로, <math>\tilde{\mathfrak p}</math>의 '''관성체'''(慣性體, {{llang|en|inertia field}}) <math>T_{\tilde{\mathfrak p}}</math>는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.
:<math>T_{\tilde{\mathfrak p}}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma(\tilde a)=\tilde a\forall \sigma\in I_{\tilde{\mathfrak p}}\}</math>
즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.
:<math>K\subseteq Z_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq T_{\tilde{\mathfrak p}}\subseteq\tilde K</math>
또한, 다음과 같은 군의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to I_{\tilde{\mathfrak p}}\to G_{\tilde{\mathfrak p}}\to\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)\to1</math>
<math>T_{\tilde{\mathfrak p}}/Z_{\tilde{\mathfrak p}}</math>는 [[갈루아 확대]]이며, 그 [[갈루아 군]]은 <math>\operatorname{Gal}(\tilde D/\tilde\mathfrak p)/(D/\mathfrak p)</math>와 같다.

=== 수체의 분기화 ===
데데킨트 정역 <math>D</math>의 분수체 <math>K=\operatorname{Frac}D</math>가 [[대수적 수체]]일 경우를 생각하자. (<math>D=\mathcal O_K</math>인 경우가 대표적이지만, [[대수적 정수환]]이 아닐 수 있다.) 이 경우, '''상대 판별식'''({{llang|en|relative discriminant}}) <math>\Delta_{\tilde K/K}</math>는 <math>\tilde D</math>의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D\setminus\{0\}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak p</math>는 분기화된다.
* <math>\mathfrak p\mid\Delta_{\tilde K/K}</math>이다.
특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

== 헨젤 값매김환의 분기화 ==
분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 [[자리 (수론)|자리]]에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

[[헨젤 국소환|헨젤]] [[값매김환]] <math>(D,\nu,\mathfrak m)</math>의 [[분수체]] <math>K=\operatorname{Frac}D</math>의 [[유한 확대]] <math>\tilde K/K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>K</math>의 값매김 <math>\nu</math>는 <math>\tilde K</math> 위에 다음과 같이 값매김 <math>\tilde\nu</math>를 유도한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|149}}
:<math>\tilde\nu\colon\tilde a\mapsto\frac1{[\tilde K:K]}\nu(\operatorname N_{\tilde K/K}(\tilde a)</math>
여기서 <math>\operatorname N_{\tilde K/K}</math>는 [[체 노름]]이다. 이에 대한 값매김환을 <math>\tilde D=\{\tilde a\in\tilde K\colon\tilde\nu(\tilde a)\ge0\}</math>라고 하고, 그 극대 아이디얼을 <math>\tilde m</math>이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.
:<math>\nu(K^\times)\subseteq\tilde\nu(\tilde K^\times)</math>
그렇다면, <math>\tilde K/K</math>의 '''분기 지표''' <math>e(\tilde K/K)</math>는 두 값군 사이의 [[몫군]]의 크기이다.
:<math>e(\tilde K/K)=|\tilde\nu(\tilde K^\times)/\nu(K^\times)|</math>
마찬가지로, [[잉여류체]]들의 다음과 같은 [[체의 확대|확대]]가 존재한다.
:<math>D/\mathfrak m\subseteq\tilde D/\tilde{\mathfrak m}</math>
그렇다면, <math>\tilde K/K</math>의 '''관성 차수''' <math>f(\tilde K/K)</math>는 두 잉여류체 사이의 [[체의 확대의 차수|확대의 차수]]이다.
:<math>f(\tilde K/K)=[\tilde D/\tilde{\mathfrak m}:D/\mathfrak m]</math>

이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|150, Proposition II.6.8}}
:<math>[\tilde K:K]\ge e(\tilde K/K)f(\tilde K/K)</math>
또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 '''기본 항등식'''({{llang|en|fundamental identity}})이라고 한다.
* <math>\nu</math>는 [[이산 값매김환|이산 값매김]]이며, <math>\tilde K/K</math>는 [[분해 가능 확대]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|150, Proposition II.6.8}}
* <math>\nu</math>는 [[이산 값매김환|이산 값매김]]이며, <math>K</math>는 <math>\nu</math>에 대하여 [[완비 공간]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|151}}

== 값매김환의 분기화 ==
데데킨트 정역의 분기화 이론은 [[값매김환]]의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p</math> 대신, <math>\mathfrak p</math>로 정의되는 <math>\mathfrak p</math>진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

[[절댓값 (대수학)|절댓값]] <math>|-|_\nu</math>이 주어진 체 <math>K</math>의 [[체의 확대|확대]] <math>\tilde K/K</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우 <math>\nu</math>를 <math>\tilde K</math> 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 <math>\tilde K</math> 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. <math>\tilde\nu</math>가 <math>\nu</math>의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) <math>\tilde\nu\mid\nu</math>로 쓴다.

만약 <math>\nu</math>가 비아르키메데스 자리인 경우, '''분기 지표'''와 '''상대 차수'''를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 <math>K</math>와 <math>\tilde K</math>의 [[값매김환]]이 <math>(D,\mathfrak m)</math> 및 <math>(\tilde D,\mathfrak m)</math>라고 하자. 그렇다면, '''분기 지표'''는 다음과 같은 [[부분군의 지표]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|165}}
:<math>e_{\tilde\nu}=[\tilde\nu(\tilde K^\times):\nu(K^\times)]</math>
<math>\tilde\nu</math>의 '''상대 차수'''({{llang|en|relative degree}})는 다음과 같은, [[잉여류체]]의 [[체의 확대의 차수|확대의 차수]]이다.
:<math>f_{\tilde\nu}=[D_{\tilde\nu}/\mathfrak m_{\tilde\nu}:D/\mathfrak m]</math>
만약 <math>\nu</math>가 [[이산 값매김환|이산 값매김]]을 정의하며, <math>\tilde K/K</math>가 [[분해 가능 확대]]라면, 다음과 같은 '''기본 항등식'''({{llang|en|fundamental identity}})이 성립한다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|165, Proposition II.8.5}}
:<math>\sum_{\tilde\nu\mid\nu}e_{\tilde\nu}f_{\tilde\nu}=[L:K]</math>

=== 값매김 힐베르트 이론 ===
<math>\tilde K/K</math>가 [[갈루아 확대]]라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 <math>\nu</math>의 확장 <math>\tilde\nu</math>이 주어졌을 때, <math>\tilde\nu</math>의 '''분해군''' <math>G_{\tilde\nu}</math>은 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(\tilde K/K)</math>의 작용에 대한 [[안정자군]]이다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|167, Definition II.9.2}}
:<math>G_{\tilde\nu}=\{\sigma\in\operatorname{Gal}(\tilde K/K)\colon\tilde\nu\circ\sigma=\tilde\nu\}</math>
이는 <math>|-|_{\tilde\nu}</math>에 대하여 [[연속 함수]]가 되는 [[자기 동형]]들로 구성된다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|171}} 이에 대한 [[고정점]]들로 구성된 부분체를 '''분해체''' <math>Z_{\tilde\nu}</math>라고 한다.
:<math>Z_{\tilde\nu}=\{\tilde a\in\tilde K\colon\sigma(\tilde a)=\tilde a\forall \sigma\in G_{\tilde\nu}\}</math>

만약 <math>\tilde\nu</math>가 비아르키메데스 자리인 경우, '''관성군'''과 '''분기군'''을 추가로 정의할 수 있다. [[값매김환]] <math>(D,\mathfrak m)</math> 및 <math>(\tilde D,\tilde{\mathfrak m})</math>을 정의한다면, 체의 확대
:<math>D/\mathfrak m\subseteq\tilde D/\tilde{\mathfrak m}</math>
는 [[갈루아 확대]]임을 보일 수 있다.<ref name="Neukirch"/>{{rp|172, Proposition II.9.9}} 또한, 분해군은 이 확대의 [[갈루아 군]]으로 가는 자연스러운 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]을 가지며, 그 [[핵 (수학)|핵]]을 비아르키메데스 자리 <math>\tilde\nu</math>의 '''관성군''' <math>I_{\tilde\nu}</math>이라고 한다.
:<math>1\to I_{\tilde\nu}\to G_{\tilde\nu}\to\operatorname{Gal}\left(\frac{\tilde D/\tilde{\mathfrak m}}{D/\mathfrak m}\right)\to1</math>
이에 대한 [[고정점]]으로 구성되는 부분체를 '''관성체''' <math>T_{\tilde\nu}</math>라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[뉴턴 다각형]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ramification theory of valued fields}}
* {{eom|title=Ramified prime ideal}}
* {{eom|title=Unramified character}}
* {{nlab|id=ramification of ideals|title=Ramification of ideals}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/ramificationindex|제목=Ramification index|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.planetmath.org/ramificationofarchimedeanplaces|제목=Ramification of archimedean places|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/examplesoframificationofarchimedeanplaces|제목=Examples of ramification of archimedean places|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/splittingandramificationinnumberfieldsandgaloisextensions|제목=Splitting and ramification in number fields and Galois extensions|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:복소해석학]]