{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''요르단 대수'''(Jordan代數, {{llang|en|Jordan algebra}})는 [[교환 법칙]]을 따르지만 [[결합 법칙]]을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]의 일종이다.<ref name="McCrimmon">{{서적 인용 | last=McCrimmon | first=Kevin | title=A taste of Jordan algebras | publisher=Springer-Verlag | 총서=Universitext | isbn=978-0-387-95447-9 | doi=10.1007/b97489 | 날짜=2004 | mr=2014924|zbl=1044.17001|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용| last=Jacobson | first=Nathan | 저자링크=네이선 제이컵슨 | title=Structure and representations of Jordan algebras | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | series=American Mathematical Society Colloquium Publication 39 | mr=0251099  | year=1968|언어=en|zbl=0218.17010}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Nathan | 성=Jacobson | 저자링크=네이선 제이컵슨 | 제목=Lectures on quadratic Jordan algebras|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr45.pdf|날짜=1969|출판사=Tata Institute of Fundamental Research|위치=[[뭄바이]]|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Hanche-Olsen|first= H.|이름2=E.|성2=Størmer|title=Jordan Operator Algebras|기타=Monographs and Studies in Mathematics 21|publisher=Pitman|year= 1984|isbn=0273086197|url=http://www.math.ntnu.no/~hanche/joa/|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 쌍선형 형식을 통한 정의 ===
2가 [[가역원]]인 [[가환환]] <math>K</math> 위의 '''요르단 대수''' <math>A</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A</math>
* [[교환 법칙]]을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 <math>\bullet\colon\operatorname{Sym}^2_K(A)\to A</math>
* 이 [[이항 연산]]의 항등원 <math>1_A\in A</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (요르단 항등식 {{llang|en|Jordan identity}}) <math>(x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet(x\bullet x))\qquad\forall x,y\in A</math>

(일부 문헌에서는 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

=== 이차 형식을 통한 정의 ===
[[가환환]] <Math>K</math> 위의 '''요르단 대수''' <math>A</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A</math>
* 원소 <math>1_A\in A</math>
* 함수 <math> U\colon A \to \hom_K(A,A)</math>, <math>x \mapsto U_x</math>
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>U_{1_A} = 1_A</math>
* <math>U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x</math>
* <math>U_{U_xy} = U_x \circ U_y \circ U_x</math>
* <math>U_x \circ V_{y,x} = V_{x,y}\circ U_x</math> (<math>V_{x,y}z = (U_{x+z}-U_x-U_z)y</math>)
또한, 이 공리들은 <math>K</math>의 임의의 스칼라 확장 <math>K \to \tilde K</math>에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 [[동치]]이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
:{| class=wikitable
! 첫째 정의 !! 둘째 정의 !! <math>A</math>가 [[결합 대수]]일 경우
|-
| <math>2x\bullet(x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y</math> || <math>U_xy</math> || <math>xyx</math>
|-
| <math>
2\left(x\bullet(y\bullet z)
+(x\bullet y)\bullet z
-(x\bullet z)\bullet y\right)
</math> || <math>V_{x,y}z = (U_{x+z}-U_x-U_z)y</math> || <math>xyz+zyx</math>
|-
| <math>x\bullet y</math> || <math>\tfrac12V_{x,y}1</math> || <math>(xy+yx)/2</math>
|}
그러나 이 두 정의가 서로 [[동치]]임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

== 연산 ==
=== 직합 ===
같은 [[가환환]] <math>K</math> 위의 두 요르단 대수 <math>A</math>, <math>B</math>가 주어졌을 때, 그 '''[[직합]]''' <math>A\oplus B</math>을 정의할 수 있다. <math>K</math>-[[벡터 공간]]으로서 이는 [[벡터 공간]]의 [[직합]]이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:<math>(a,b)\bullet(a',b') = (a\bullet a',b\bullet b')\qquad\forall a,a'\in A,\;b,b'\in B</math>
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 '''기약 요르단 대수'''({{llang|en|irreducible Jordan algebra}})라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.<ref name="JvNW"/>{{rp|38, §5}}

=== 몫 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 요르단 대수 <math>A</math>의 '''요르단 아이디얼'''({{llang|en|Jordan ideal}})은 다음과 같은 <math>K</math>-[[부분 가군]] <math>\mathfrak I\subseteq A</math>이다.
* <math>A \bullet \mathfrak I \subseteq \mathfrak I</math>
<math>U</math>로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
* <math>U_{\mathfrak I}(A) + U_A(\mathfrak I) \subseteq \mathfrak I</math>
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 '''몫 요르단 대수'''({{llang|en|quotient Jordan algebra}})
:<math>A/\mathfrak I</math>
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 [[전사 함수|전사]] 요르단 대수 준동형 <math>\phi \colon A\to B</math>이 주어졌을 때, 그 핵 <math>\phi^{-1}(0_B)\subseteq A</math>은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (<math>\mathfrak I\ne A</math>라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼(<math>\{0\}, A</math>)을 갖는 요르단 대수를 '''단순 요르단 대수'''(單純Jordan代數, {{llang|en|simple Jordan algebra}})라고 한다.

=== 동위 연산 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 요르단 대수 <math>(A,\bullet)</math>의 임의의 원소 <math>u\in A</math>에 대하여, <math>U_u\colon A\to A</math>가 [[전단사 함수]]라고 하자 (즉, <Math>U_u\in\operatorname{GL}(A;K)</math>). 그렇다면, <math>A</math> 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.
:<math>U_x^{(u)} = U_x\circ U_u</math>
만약 <math>2\in\operatorname{Unit}(K)</math>라면, 새 이항 연산 <Math>\bullet^{(u)}</math>은 다음과 같다.
:<math>x\bullet^{(u)}y = \frac12V_{x,u}(z) = x\bullet(u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y - (x\bullet y)\bullet u</math>
이 요르단 대수 구조를 <math>A^{(u)}</math>라고 하며, 이를 <math>A</math>의 '''동위'''(同位, {{llang|en|isotope}})라고 한다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|233, Proposition Ⅱ.7.2.1(1–2)}} (<math>U_u</math>가 가역원이라는 조건은 <math>A^{(u)}</math>의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.
:<math>A^{(1)} = A</math>
:<math>A^{(u)(v)} = A^{U_u(v)}</math>
이에 따라, 동위성은 [[동치 관계]]를 이룬다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|233, Proposition Ⅱ.7.2.1(4)}}

=== 피어스 분해 ===
요르단 대수 <math>(A,\bullet)</math>에서, 만약 어떤 원소 <math>e\in A</math>가 <math>e^2=e</math>를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.
:<math>e\bullet((2e-1)\bullet((e-1)\bullet x))=2(e\bullet(e\bullet x))-3e\bullet(e\bullet x)+e\bullet x = 0\qquad\forall x\in A</math>
이에 따라서, 만약 <math>\operatorname{char}K\ne2</math>이며 <math>A</math>가 유한 차원이라면, <math>e</math>에 의한 왼쪽 곱셈 사상 <math>(e\bullet)\colon A\to A</math>의 [[고윳값]]은 0, 1, 또는 ½이며, <math>A</math>는 다음과 같이 [[고유 공간]]으로 분해된다.
:<math>A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)</math>
이를 '''피어스 분해'''({{llang|en|Peirce decomposition}})라고 한다.

=== 구조 리 대수 ===
<math>K</math>가 2의 가역원이 존재하는 [[가환환]]이며, <math>(A,\bullet)</math>가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서
:<math>[x\bullet, y\bullet] \in \mathfrak{der}(A,\bullet)</math>
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서
:<math>(x\bullet)\colon A\to A \in \mathfrak{gl}(A;K)</math>
이며, [[리 괄호]]는 <Math>\mathfrak{gl}(A;K)</math>의 것이며, <math>\mathfrak{der}(A,\bullet)</math>은 <math>A</math>의 [[미분 리 대수]]이다.

이에 따라서, <math>K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>\mathfrak{str}(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A</math>
위에 다음과 같은 [[리 괄호]]를 주어 <math>K</math>-[[리 대수]]로 만들 수 있다.
:<math>[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{str}(A)} = 
[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{der}(A)} \qquad \forall \delta,\epsilon\in\mathfrak{der}(V)</math>
:<math>[\delta, x] = \delta(x) \qquad\forall \delta\in\mathfrak{der}(V),\;x\in A</math>
:<math>[x,y] = [x\bullet,y\bullet]\qquad\forall x,y\in A</math>
이를 요르단 대수 <math>A</math>의 '''구조 리 대수'''(構造Lie代數, {{llang|en|structure Lie algebra}})라고 한다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|12, §Ⅰ.0.3}}

물론, <math>A</math>의 항등원 <math>1_A\in A</math>은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 <math>K</math>-[[리 대수]]
:<math>\mathfrak{str}'(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A / \operatorname{Span}_K\{1_A\}</math>
를 정의할 수 있다.

== 성질 ==
일반적으로, 요르단 대수는 [[결합 법칙]]을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 <math>(A,\bullet)</math>에서 다음이 성립한다.
* (멱결합성 {{llang|en|power-associativity}}) 임의의 원소 <math>x\in A</math>에 대하여, <math>x</math>로 생성되는 부분 요르단 대수는 [[결합 법칙]]을 따른다. 특히, <math>x^n</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)과 같은 표현이 잘 정의된다.
* <math>(x^m\bullet y)\bullet x^n=x^m\bullet (y\bullet x^n)\qquad\forall x,y\in A,\;m,n\in\mathbb N</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''두 명제의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
편의상, 결합자
:<math>[a,b,c] = (a\bullet b)\bullet c - a\bullet (b\bullet c)</math>
를 정의하자.

우선, [[교환 법칙]]에 의하여, 다음이 항상 성립한다.
:<math>[a,b,c]+[b,c,a]+[c,a,b] = 0</math>
:<math>[a,b,c] = - [c,b,a] </math>
요르단 항등식에 의하여,
:<math>((\alpha a+\beta b+\gamma c)^2d)(\alpha a+\beta b+\gamma c) - ((\alpha a+\beta b+\gamma c)d)(\alpha a+\beta b+\gamma c)^2 = 0</math>
를 전개하고, <math>\alpha\beta\gamma</math>에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.
:<math>[b\bullet c,d,a] + [a\bullet b,d,c] + [a\bullet c,d,b] = 0</math>

[[수학적 귀납법]]을 사용하여, <math>n \le N</math>에 대하여 <math>x^n</math>이 잘 정의된다고 하자. 이제,
:<math> m + n \le N \implies [x^m,y,x^n] = 0 </math>
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해
:<math>[x^m,y,x^n] = [x^{m-1}x,y,x^n] = [x^{m-1},y,x^{n+1}] + [x,y,x^{m+n-1}] \qquad (m+n\le N)</math>
이므로, 이를 통해
:<math>-[x^n,y,x^m] = [x^m,y,x^n] = m [x,y,x^{m+n-1}] \qquad(m+n\le N)</math>
이다. 그런데 <math>n=1</math>로 놓으면
:<math>- [x,y,x^m] =  m [x,y,x^m]</math>
이 되어, 즉 <math>[x^n,y,x^m] \propto [x,y,x^m] = 0</math>이 된다.
</div></div>

=== 맥도널드 원리 ===
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 <math>p(x,y,z)</math>이 주어졌다고 하자. 만약
* <math>p</math>가 <math>x</math>에 대하여 1차 이하이며,
* <math>p(x,y,z)=0</math>가 [[결합 대수]]를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,
<math>p(x,y,z)=0</math>는 모든 [[요르단 대수]]에 대하여 성립한다. 이를 '''맥도널드 원리'''({{llang|en|Macdonald principle}})라고 한다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|199, Theorem Ⅱ.5.1.1}} 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

=== 형식적 실수 요르단 대수 ===
'''형식적 실수 요르단 대수'''({{llang|en|formally real Jordan algebra}})는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 <math>A</math>다.
:임의의 <math>x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0</math>이다.

== 분류 ==
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.<ref name="JvNW"/> 이러한 요르단 대수들은 '''단순 요르단 대수'''({{llang|en|simple Jordan algebra}})의 [[직합]]으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
* <math>n\times n</math> 실수 [[정사각행렬]]들의 대수. 이 경우 곱셈은 <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>이다.
* <math>n\times n</math> 복소 [[에르미트 행렬]]들의 대수. 이 경우 곱셈은 <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>이다.
* <math>n\times n</math> [[사원수]] [[에르미트 행렬]]들의 대수. 이 경우 곱셈은 <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>이다.
* <math>\mathbb R^n</math>으로 생성되고 조건 <math>x^2=\lVert x\rVert^2</math>을 만족시키는, 단위원을 갖춘 자유 요르단 대수. 이는 <math>n+1</math>차원 요르단 대수이며, '''스핀 인자'''({{llang|en|spin factor}}) 또는 '''클리퍼드형 대수'''({{llang|en|Clifford-type algebra}})라고 한다. 이는 [[클리퍼드 대수]]와의 유사성 때문이다.
* <math>3\times 3</math> [[팔원수]] 에르미트 행렬들의 대수. 이 경우 곱셈은 <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>이다. 이를 '''예외 요르단 대수'''({{llang|en|exceptional Jordan algebra}}) 또는 '''앨버트 대수'''({{llang|en|Albert algebra}})라고 한다. 이는 미국의 수학자 [[에이브러햄 에이드리언 앨버트]]의 이름을 딴 것이다.

{| class="wikitable"
|-
! 기호!! 실수 차원 !! 이름 !! 정의
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb R)</math> || <math>n(n+1)/2</math> || <math>n\times n</math> 실수 대칭 행렬 대수 || <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb C)</math> ||<math>n^2</math> || <math>n\times n</math> 복소 [[에르미트 행렬]] 대수 || <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb H)</math> || <math>n(2n-1)</math> || <math>n\times n</math> [[사원수]] [[에르미트 행렬]] 대수 || <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>
|-
| <math>\operatorname{JSpin}(n)</math> || <math>n+1</math> || 스핀 인자 <math>\mathbb R\oplus\mathbb R^n</math> || <math>(r,\mathbf u)\bullet(s,\mathbf v)=(rs+\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle,r\mathbf v+s\mathbf u)</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb O)</math> 또는 <math>\mathbb{A}</math> || 27 || 앨버트 대수 (3×3 [[팔원수]] 에르미트 행렬 대수) ||  <math>M\bullet N=(MN+NM)/2</math>
|}

여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
:<math>\operatorname H(1;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(0) = \mathbb R\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})</math><ref name="JvNW"/>{{rp|50, §12}}
:<math>\operatorname H(2;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(1+\dim_{\mathbb R}\mathbb K)\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})</math><ref name="JvNW"/>{{rp|50, §13}}
구체적으로,
:<math>a_{-1} = \begin{pmatrix}
1& 0 \\ 0 & -1
\end{pmatrix}</math>
:<math>a_0 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}</math>
:<math>a_i = \begin{pmatrix} 0 & e_i \\ -e_i & 0 \end{pmatrix}\qquad(i \in \{1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\})</math>
로 잡으면,
:<math>a_i\bullet a_j = \delta_{ij}1_{2\times2}\qquad\forall i,j\in\{-1,0,1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\}</math>
임을 알 수 있다 (<math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]).

== 예 ==
=== 자명한 요르단 대수 ===
임의의 가환환 <math>K</math>에 대하여, 0차원 또는 1차원 <math>K</math>-[[자유 가군]] 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 [[결합 법칙]] 및 [[교환 법칙]]을 따른다.

=== 결합 대수에 대응되는 요르단 대수 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 임의의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌을 때,
:<math>x\bullet y = \frac12(xy+yx)</math>
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
요르단 항등식을 증명하면 족하다.
:<math>(x\bullet y)\bullet x^2 = (xy+yx)x^2+x^2(xy+yx)=yx^3 + xyx^2+x^2yx+x^3y</math>
:<math>x\bullet (y\bullet x^2) = x(yx^2+x^2y) + (yx^2+x^2y) x
=yx^3 + xyx^2+x^2yx+x^3y</math>
</div></div>
이는 <math>K</math>-[[결합 대수]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서 <math>K</math>-요르단 대수의 [[범주 (수학)|범주]]로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>(-)^+\colon\operatorname{Assoc}_K \to \operatorname{Jord}_K</math>
를 정의한다.

=== 자유 요르단 대수 ===
주어진 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>위의 요르단 대수의 개념은 [[대수 구조 다양체]]를 이루며, 따라서 '''[[자유 대상|자유]] 요르단 대수'''({{llang|en|free Jordan algebra}})의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자
:<math>\operatorname{Jord}_K \to \operatorname{Vect}_K</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이다.

하나의 원소 <math>x</math>로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 [[다항식환]] <math>K[x]</math>이다.

== 응용 ==
요르단 대수의 개념은 [[이론물리학]]에 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=Jordan algebras and extremal black holes|arxiv=hep-th/0703238|이름=Michael|성=Rios|언어=en|bibcode=2007hep.th....3238R|날짜=2007-03}}</ref>

== 역사 ==
[[파일:Pascual Jordan 1920s.jpg|섬네일|right|[[파스쿠알 요르단]] (1920년대 사진)]]
[[파스쿠알 요르단]]이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 [[양자역학]]의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다.<ref name="JvNW">{{저널 인용|last = Jordan | first = Pascual|저자링크=파스쿠알 요르단|저자링크2=존 폰 노이만|이름2=John|성2= von Neumann|저자링크3=유진 위그너|이름3=Eugene|성3= Wigner | 날짜 = 1934 | title = On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism | journal =Annals of Mathematics |  volume = 35 | issue = 1 | pages = 29–64 | mr=1503141| zbl=0008.42103 |jstor = 1968117 | doi=10.2307/1968117|언어=en | issn=0003-486X}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Pascual|성=Jordan|저자링크=파스쿠알 요르단|제목=Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik|저널=Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I|권=41|날짜=1933|쪽=209–217|zbl=0007.08502|jfm=59.0796.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Pascual|성=Jordan|저자링크=파스쿠알 요르단|제목=Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen|저널=Zeitschrift für Physik|권=80|날짜=1933-05|쪽=285–291|doi=10.1007/BF01333854|bibcode=1933ZPhy...80..285J|언어=de}}</ref> <math>X,Y</math>가 에르미트 관측 가능량이라면 <math>X\bullet Y=(XY+YX)/2</math> 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼({{llang|en|Kevin McCrimmon}})이 [[체의 표수|표수 2]]에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
요르단 대수의 이야기는 [[결합 법칙]]을 따르지 않는 곱 <math>x\bullet y</math>에 대한 이야기가 아니라, 가능한 한 [[결합 법칙]]을 최대한 따르는 이차 곱 <math>U_x(y)</math>에 대한 이야기이다.<br>
{{lang|en|The story of Jordan algebras is not the story of a nonassociative product <math>x\bullet y</math>, it is the story of a quadratic product <math>U_x(y)</math> which is about as associative as it can be.}}
|<ref name="McCrimmon"/>{{rp|8, §Ⅰ.0.2}}
}}

== 같이 보기 ==
* [[요르단 삼항 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jordan algebra}}
* {{매스월드|id=JordanAlgebra|title=Jordan algebra}}
* {{매스월드|id=SpecialJordanAlgebra|title=Special Jordan algebra}}
* {{매스월드|id=ExceptionalJordanAlgebra|title=Exceptional Jordan algebra}}
* {{nlab|id=Jordan algebra}}
* {{nlab|id=Albert algebra}}
* {{nlab|id=Jordan–Banach algebras}}
* {{저널 인용|제목=유계 대칭 영역(bounded symmetric domain)과 요르단 대수(Jordan algebra)|저자=박종도|쪽=20–23|저널=과학의 지평|권=40|날짜=2009-04|url=http://www.kias.re.kr/file/NewsletterNo40.pdf|확인날짜=2013-05-28|보존url=https://web.archive.org/web/20140420082006/http://www.kias.re.kr/file/NewsletterNo40.pdf|보존날짜=2014-04-20|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:비결합대수]]