{{위키데이터 속성 추적}}
'''튜플'''({{lang|en|tuple}})은 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다. {{mvar|n}} 개의 요소를 가진 튜플을 '''{{mvar|n}}-튜플'''({{lang|en|{{mvar|n}}-tuple}}) 또는 '''{{mvar|n}}중쌍''', '''{{mvar|n}}짝'''이라고 한다. 비어 있는 [[수열|열]]은 유일한 0-튜플이다. 임의의 {{mvar|n}}-튜플은 [[순서쌍]]의 개념을 이용하여 [[귀납법|재귀적으로 정의]]된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 [[유클리드 벡터|벡터]])을 나타내는 데에 자주 사용된다.

튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 {{수학|(2, 7, 4, 1, 7)}}와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '&lt; &gt;'와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 [[집합]]을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다.

[[컴퓨터 과학]]에서 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다([[로우 (데이터베이스)|레코드]]와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다.

튜플의 개념은 [[언어학]]<ref>{{웹 인용|language=en|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276|title=N‐tuple - Oxford Reference|work=oxfordreference.com|accessdate=1 May 2015}}</ref>과 [[철학]]<ref>{{웹 인용|language=en|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199541430.001.0001/acref-9780199541430-e-2262|title=Ordered n-tuple - Oxford Reference|work=oxfordreference.com|accessdate=1 May 2015}}</ref>에서도 사용된다.

== 길이에 따른 튜플의 이름 ==
{| class="wikitable"
|-
! 튜플의 길이, <math>n</math> !! 이름 !! 다른 이름
|-
| align="right" | 0 || empty tuple || null tuple / empty sequence / unit / 0튜플
|-
| align="right" | 1 || monuple || single / [[한원소 집합|singleton]] / monad / 1튜플
|-
| align="right" | 2 || couple || double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome / 2튜플
|-
| align="right" | 3 || triple || treble / triplet / triad / ordered triple / threesome 
|-
| align="right" | 4 || quadruple || quad / tetrad / quartet / quadruplet
|-
| align="right" | 5 || quintuple || pentuple / quint / pentad
|-
| align="right" | 6 || sextuple || hextuple / hexad
|-
| align="right" | 7 || septuple || heptuple / heptad
|-
| align="right" | 8 || octuple || octa / octet / octad / octuplet
|-
| align="right" | 9 || nonuple || nonad / ennead
|-
| align="right" | 10 || decuple || decad / decade (antiquated) 
|-
| align="right" | 11 || undecuple || hendecuple / hendecad
|-
| align="right" | 12 || duodecuple || dozen / duodecad
|-
| align="right" | 13 || tredecuple || [[:en:Dozen#Baker's_dozen|baker's dozen]]
|-
| align="right" | 14 || quattuordecuple || double septuple
|-
| align="right" | 15 || quindecuple ||triple quintuple
|-
| align="right" | 16 || sexdecuple ||quadruple quadruple
|-
| align="right" | 17 || septendecuple ||
|-
| align="right" | 18 || octodecuple ||
|-
| align="right" | 19 || novemdecuple ||
|-
| align="right" | 20 || vigintuple ||
|-
| align="right" | 21 || unvigintuple ||
|-
| align="right" | 22 || duovigintuple ||
|-
| align="right" | 23 || trevigintuple ||
|-
| align="right" | 24 || quattuorvigintuple ||
|-
| align="right" | 25 || quinvigintuple ||
|-
| align="right" | 26 || sexvigintuple ||
|-
| align="right" | 27 || septenvigintuple ||
|-
| align="right" | 28 || octovigintuple ||
|-
| align="right" | 29 || novemvigintuple ||
|-
| align="right" | 30 || trigintuple ||
|-
| align="right" | 31 || untrigintuple ||
|-
| align="right" | 32 || duotrigintuple ||
|-
| align="right" | 40 || quadragintuple ||
|-
| align="right" | 41 || unquadragintuple ||
|-
| align="right" | 50 || quinquagintuple ||
|-
| align="right" | 60 || sexagintuple ||
|-
| align="right" | 70 || septuagintuple ||
|-
| align="right" | 80 || octogintuple ||
|-
| align="right" | 90 || nongentuple ||
|-
| align="right" | 100 || centuple ||
|-
| align="right" | 1,000 || milluple || chiliad
|-
|}

== 성질 ==
튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 {{mvar|n}}-튜플

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)</math>
:<math>(b_1,b_2,\ldots,b_n)</math>

이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다.

:<math>a_1=b_1,a_2=b_2,\ldots,a_n=b_n</math>

때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다.

# 중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: {{수학|(1, 2, 3) ≠ (1, 2, 2, 3)}}, 하지만 집합 {{수학|1={1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}}
# 정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: {{수학|(1, 2, 3) ≠ (3, 2, 1)}}, 하지만 집합 {{수학|1={1, 2, 3} = {3, 2, 1<nowiki>}</nowiki>}}
# 튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 [[집합]], [[중복집합]]은 원소 개수가 무한할 수도 있다.

== 정의법 ==
튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.

=== 함수 ===
{{mvar|n}}-튜플을 튜플의 성분들의 [[첨수]]들의 집합을 [[정의역]], 튜플의 성분들이 이루는 집합을 [[공역]]으로 하는 [[함수]]로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_n)\equiv(X,Y,F)</math>

여기서

:<math>X=\{1,2,\ldots,n\}</math>
:<math>Y=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}</math>
:<math>F=\{(1,a_1),(2,a_2),\ldots,(n,a_n)\}</math>

덜 형식적인 표현은 다음과 같다.

:<math>(a_1,a_2,\ldots,a_n):=(F(1),F(2),\ldots,F(n))</math>

=== 내포된 순서쌍 ===
[[집합론]]에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) [[순서쌍]]으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다.

# 0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 [[공집합]] {{수학|∅}}로 정의한다.
# 양의 정수 {{mvar|n}}에 대해, {{mvar|n}}-튜플은 {{mvar|n}}-튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 {{수학|(''n''-1)}}-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
#: <math>(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)=(a_1,(a_2,a_3,\ldots,a_n))</math>

이 정의를 조금 큰 {{mvar|n}}에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

:<math>(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)=(a_1,(a_2,(a_3,(\ldots,(a_{n-2},(a_{n-1},(a_n,\emptyset)))\ldots))))</math>

예를 들면

:<math>(1,2,3,4) = (1,(2,3,4)) = (1,(2,(3,4))) = (1,(2,(3,(4,\emptyset))))</math>

위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

# 0-튜플은 공집합이다.
# {{수학|''n'' > 0}}에 대해, {{mvar|n}}-튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.
#: <math>(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)=((a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}),a_n)</math>

=== 내포된 집합 ===
두번째 정의법에서 [[순서쌍#쿠라토프스키의 정의|순서쌍의 쿠라토프스키 정의]]를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다.

# 0-튜플은 공집합 {{수학|∅}}이다.
# {{mvar|x}}를 {{mvar|n}}-튜플 {{수학|(''a<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>'',... , ''a<sub>n</sub>'')}}이라 하자. 끝에 {{mvar|b}}를 추가한 튜플 {{수학|1=''x''→''b'' = (''a<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>'',... , ''a<sub>n</sub>'', ''b'')}}는 다음과 같은 집합이다.
#: <math>x \rightarrow b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\}</math>

예를 들면

: <math>
   \begin{array}{lclcl}
     ()      & &                     &=& \emptyset                                    \\
             & &                     & &                                              \\
     (1)     &=& ()    \rightarrow 1 &=& \{\{()\},\{(),1\}\}                          \\
             & &                     &=& \{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}            \\
             & &                     & &                                              \\
     (1,2)   &=& (1)   \rightarrow 2 &=& \{\{(1)\},\{(1),2\}\}                        \\
             & &                     &=& \{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},     \\
             & &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}    \\
             & &                     & &                                              \\
     (1,2,3) &=& (1,2) \rightarrow 3 &=& \{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}                    \\
             & &                     &=& \{\{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\}, \\
             & &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\}\}, \\
             & &                     & & \{\{\{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\}\},   \\
             & &                     & & \{\{\{\emptyset\},\{\emptyset,1\}\},2\}\},3\}\}                                       \\
    \end{array}
  </math>

== {{mvar|m}} 원소 집합의 {{mvar|n}}-튜플 ==
[[이산수학]], 특히 [[조합론]]과 (유한) [[확률론]]에서, {{mvar|n}}-튜플은 세기 문제<!-- ? --> 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 {{mvar|n}}의 순서있는 목록으로서 처리된다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|D'Angelo|West|2000|p=9}}</ref> {{mvar|m}} 개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 {{mvar|n}}-튜플을 [[중복순열]]이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 {{수학|''m<sup>n</sup>''}}이다([[곱 규칙 (조합론)|곱 규칙]]에 의해).<ref>{{harvnb|D'Angelo|West|2000|p=101}}</ref> 다른 관점에서, 집합 {{mvar|S}}의 [[집합의 크기|크기]]가 {{mvar|m}}이라면, [[곱집합]] {{수학|''S'' × ''S'' × ... × ''S''}}의 크기는 {{수학|''m<sup>n</sup>''}}이다.

== 형 이론 ==
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* [[순서쌍]]
* [[수열|열]]
* [[형식 언어]]
* [[관계 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{인용|first1=John P.|last1=D'Angelo|first2=Douglas B.|last2=West|title=Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs|year=2000|edition=2nd|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-014412-6}}
* {{서적 인용|성=Devlin|이름=Keith|제목=The Joy of Sets|출판사=Springer Verlag|판=2|연도=1993|isbn=0-387-94094-4|쪽=7–8}}
* {{서적 인용|저자1=Abraham Adolf Fraenkel|저자링크1=아브라함 프렝켈|저자2=Yehoshua Bar-Hillel|저자3=Azriel Lévy|제목=Foundations of set theory|총서=Elsevier Studies in Logic|권=67|판=2차 개정|연도=1973|isbn=0-7204-2270-1|쪽=33|url=http://books.google.com/books?q=Foundations+of+set+theory&btnG=Search+Books}}
* {{서적 인용|성1=Takeuti|이름1=Gaisi|저자링크1=다케우치 가이시|성2=Zaring|이름2=Wilson M.|제목=現代集合論入門|번역제목=현대집합론입문|언어=ja|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=1|출판사=Springer-Verlag|위치=New York-Berlin|연도=1971|isbn=0-387-90683-5|쪽=14}}
* {{서적 인용|성=Tourlakis|이름=George J.|제목=Lecture Notes in Logic and Set Theory|권=2: Set theory|url=http://books.google.com/books?as_isbn=9780521753746|출판사=Cambridge University Press|연도=2003|isbn=978-0-521-75374-6|쪽=182–193}}

*{{인용|mr= 0349390 |last=Takeuti|first= Gaisi|last2= Zaring|first2= Wilson M.|title= Introduction to axiomatic set theory|series= Graduate Texts in Mathematics|volume= 1|publisher= Springer-Verlag|place= New York-Berlin|year= 1971|isbn=0-387-90683-5}}

{{전거 통제}}

[[분류:데이터 관리]]
[[분류:수학 표기법]]
[[분류:수열]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:유형 이론]]