{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''비트 벡터 환'''(Witt vector環, {{llang|en|ring of Witt vectors}})은 주어진 가환환 속의 [[수열|열]]들의 집합 위에 줄 수 있는 특별한 [[가환환]] 구조이다. [[p진 정수환|''p''진 정수환]]의 일반화이다.

== 정의 ==
'''비트 다항식'''({{llang|en|Witt polynomial}})들은 다음과 같은 다항식열이다.
:<math>W_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{d\mid n}dx_d^{n/d}\in\mathbb Z[x_1,x_2,\dots,x_n]\qquad\forall n\in\mathbb Z^+</math>

[[가환환]] <math>R</math>가 주어졌을 때, <math>R</math> 속의 [[수열|열]]의 집합 <math>R^{\mathbb Z^+}</math> 위에 다음과 같은 [[자기 함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>W_{n,R}\colon R^{\mathbb Z^+}\to R^{\mathbb Z^+}</math>
:<math>W_R\colon(r_1,r_2,\dots)\mapsto\left(W_1(r_1),W_2(r_1,r_2),W_3(r_1,r_2,r_3),\dots\right)</math>
그렇다면, 다음 두 조건을 만족시키는 다항식들
:<math>p^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
:<math>s^{(i)}\in\mathbb Z[x_1,\dots,y_1,y_2,\dots]\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
이 유일하게 존재한다.
* <math>\vec w+\vec w'=(s^{(1)}(\vec w,\vec w'),s^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots)</math> 및 <math>(\vec w)(\vec w')=(p^{(1)}(\vec w,\vec w'),p^{(2)}(\vec w,\vec w'),\dots)</math>를 정의하였을 때, <math>R^{\mathbb Z^+}</math>은 [[환 (수학)|환]]을 이룬다. 이 환을 <math>\operatorname{WittVector}(R)</math>이라고 하자.
* <math>W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}</math>는 [[환 준동형]]을 이룬다. 여기서 [[정의역]]은 위에서 정의한 환 구조이며, [[공역]] <math>R^{\mathbb Z^+}</math>은 [[가환환]] <math>R</math>의 가산 무한 개 [[직접곱]]이다.
이 가환환을  '''<math>R</math> 계수의 비트 벡터 환'''({{llang|en|ring of Witt vectors with coefficients in <math>R</math>}})이라고 한다.

비트 벡터 환은 [[가환환|가환환]]의 [[범주 (수학)|범주]] 위의 [[자기 함자]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{WittVector}\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}</math>

=== ''p''-비트 벡터 ===
[[가환환]] <math>R</math>와 집합
:<math>1\in S\subseteq\mathbb Z^+</math>
이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
:<math>d\mid n,\;n\in S\implies d\in S</math>
(즉, <math>S</math>는 약수에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 그렇다면, 비트 벡터 환의 환 준동형
:<math>W\colon\operatorname{WittVector}(R)\to R^{\mathbb Z^+}</math>
에서, [[아이디얼]]
:<math>R^S\subseteq R^{\mathbb Z^+}</math>
의 [[원상 (수학)|원상]]
:<math>W^{-1}(R^S)=\operatorname{WittVector}_p(R)\subseteq\operatorname{WittVector}(R)</math>
을 생각하자. 이 역시 곱셈에 대하여 [[가환환]]을 이루며, 이를 '''<math>R</math> 계수의 <math>S</math>-비트 벡터 환'''({{llang|en|ring of <math>S</math>-Witt vectors with coefficients in <math>R</math>}})이라고 한다. (그러나 이는 <math>\operatorname{WittVector}(R)</math>의 항등원을 포함하지 않으므로, <math>\operatorname{WittVector}(R)</math>의 [[부분환]]이 아니다.) 그 위에는 마찬가지로 환 준동형
:<math>(W_i)_{i\in S}\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S\cong R^{\mathbb Z^+}</math>
이 존재한다. 이들 역시 다음과 같은 [[자기 함자]]를 정의한다.
:<math>\operatorname{WittVector}_S\colon\operatorname{CRing}\to\operatorname{CRing}</math>
특히, 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>S=\{1,p,p^2,p^3,\dots\}</math>일 경우를 '''<math>R</math> 계수의 <math>p</math>-비트 벡터 환'''({{llang|en|ring of <math>p</math>-Witt vectors with coefficients in <math>R</math>}})이라고 한다. 또한, 소수 <math>p</math> 및 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>S=\{1,p,p^2,\dots,p^n\}</math>일 경우를 '''<math>R</math> 계수의 길이 <math>n</math>의 <math>p</math>-비트 벡터 환'''({{llang|en|ring of <math>p</math>-Witt vectors of length <math>n</math> with coefficients in <math>R</math>}})이라고 한다.

구체적으로, ''p''-비트 벡터의 연산은 다음과 같다.
:<math>\vec r+\vec s=\left(r_0+s_0,r_1+s_1+(r_0^p+s_0^p-(r_0+s_0)^p)/p,\dots\right)</math>
:<math>\vec r\vec s=\left(r_0s_0,r_0^ps_1+s_1r_0^p+pr_1s_1,\dots\right)</math>

== 성질 ==
<math>S</math>-비트 벡터 환 위의 표준적 [[환 준동형]]
:<math>W_S\colon\operatorname{WittVector}_S(R)\to R^S</math>
및 유일한 [[환 준동형]]
:<math>\iota\colon\mathbb Z\to R</math>
을 생각하자.
* 만약 <math>\iota(S)\subseteq R^\times</math>이라면 (즉, <math>S</math>의 모든 원소들이 <math>R</math>에서 [[가역원]]이라면), <math>W_S</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* 만약 <math>\iota(S)\subseteq R</math>가 모두 [[영인자]]가 아니라면, <math>W_S</math>는 [[단사 함수]]이다.

[[가환환]] <math>R</math> 위의 비트 벡터 <math>\operatorname{WittVector}(R)=\operatorname{WittVector}_{\mathbb Z^+}(R)</math>는 표준적으로 [[람다 환]]의 구조를 갖는다.

== 예 ==
만약 <math>S=\{1\}</math>일 경우, <math>\operatorname{WittVector}_{\{1\}}(R)\cong R</math>이다.

=== p진 정수 ===
소수 <math>p</math>에 대하여, [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 <math>p</math>-비트 벡터 환은
[[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>과 동형이다.

구체적으로,
[[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] <math>\mathbb Z_p</math>의 '''타이히뮐러 대표원'''의 집합은 0 및 <math>\mathbb Z_p</math> 속의 [[1의 거듭제곱근|1의 <math>p</math>제곱근]] 가운데 1이 아닌 것들로 구성된다.
:<math>\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}</math>
(이들은 [[헨젤 보조정리]]에 의하여 항상 존재한다.) [[몫환]] 사영 사상
:<math>f\colon\mathbb Z_p\to\mathbb Z_p/(p)\cong\mathbb F_p</math>
아래
:<math>f|_{\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}}\colon\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\to\mathbb F_p</math>
는 [[전단사 함수]]를 이루며, 따라서 타이히뮐러 대표원들의 집합은 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math>로 여길 수 있다. 타이히뮐러 대표원들을 사용하여, 모든 [[p진 정수|<math>p</math>진 정수]]는 다음과 같은 [[형식적 멱급수]]로 나타낼 수 있다.
:<math>a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots\qquad(a_i\in\{0\}\cup\{x\in\mathbb Z_p\colon x^p=x\ne1\}\forall i\in\mathbb N)</math>
그렇다면, [[p진 정수|<math>p</math>진 정수]]의 합과 곱은 비트 벡터의 합과 곱으로 주어진다.

== 역사 ==
[[에른스트 비트]]가 1936년에 [[아르틴-슈라이어-비트 이론]](표수 <math>p>0</math>의 체 위의 <math>p^n</math>차 [[순환 확대]]의 이론)을 전개하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=504725 | last1=Witt | first1=Ernst | author1-link = 에른스트 비트 | title=Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad p<sup>n</sup>. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p<sup>n</sup> | 날짜=1936 | journal=Journal für Reine und Angewandte Mathematik | volume=176 | pages=126–140 | doi=10.1515/crll.1937.176.126|issn=0075-4102|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용|mr=2553661
|last=Hazewinkel|first= Michiel
|chapter=Witt vectors. Part 1|title= Handbook of algebra. Volume 6|pages=319–472|publisher= Elsevier|날짜= 2009|arxiv=0804.3888|isbn=978-0-444-53257-2|bibcode=2008arXiv0804.3888H|doi=10.1016/S1570-7954(08)00207-6|editor1-first=Michiel|editor1-last=Hazewinkel|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Witt vector}}
* {{nlab|id=ring of Witt vectors|title=Ring of Witt vectors}}
* {{nlab|id=Witt cohomology}}
* {{nlab|id=Hochschild-Witt complex}}
* {{nlab|id=de Rham-Witt complex|title=De Rham-Witt complex}}
* {{nlab|id=non-commutative Witt vectors|title=Non-commutative Witt vectors}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/58/is-there-a-universal-property-for-witt-vectors|제목=Is there a universal property for Witt vectors?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/04/witt-ring-1/|제목=Witt rings 1|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-04|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924150403/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/04/witt-ring-1/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/17/witt-vectors-2/|제목=Witt vectors 2|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-17|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924145946/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/17/witt-vectors-2/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/19/witt-vectors-form-a-ring/|제목=Witt vectors form a ring|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-19|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924152359/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/19/witt-vectors-form-a-ring/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/23/formal-witt-vectors/|제목=Formal Witt vectors|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-23|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924150307/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/23/formal-witt-vectors/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/25/other-forms-of-witt-vectors/|제목=Other forms of Witt vectors|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-25|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924150120/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/25/other-forms-of-witt-vectors/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/26/sheaf-of-witt-vectors/|제목=Sheaf of Witt vectors|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-26|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924151220/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/26/sheaf-of-witt-vectors/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/28/sheaf-of-witt-vectors-2/|제목=Sheaf of Witt vectors 2|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-04-28|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924145905/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/04/28/sheaf-of-witt-vectors-2/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/05/10/witt-cohomology-caution/|제목=Witt cohomology caution|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-05-10|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160924150256/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/05/10/witt-cohomology-caution/|보존날짜=2016-09-24|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]