{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, 어떤 [[사상 (수학)|사상]]의 '''핵'''(核, {{lang|en|kernel|커널}})은 0의 [[원상 (수학)|원상]]의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한 [[단사 사상]]이다. [[범주론]]을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는 [[구체적 범주]]에서는 특정 원소의 [[원상 (수학)|원상]]의 포함 함수가 된다.

== 정의 ==
[[영 사상을 갖는 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>의 '''핵''' <math>\ker f\colon K\to X</math>은 다음과 같은 영 사상과의 [[동등자]]이다.
:<math>\ker f=\operatorname{eq}\{f,0_{XY}\}</math>

영 대상을 갖는 범주 속의 사상 <math>f</math>에 대하여, <math>f=\ker g</math>인 <math>g</math>가 존재한다면 <math>f</math>를 '''정규 단사 사상'''(正規單射寫像, {{llang|en|normal monomorphism}})이라고 한다. "정규"라는 용어는 [[군론]]의 [[정규 부분군]]에서 유래하였다.  임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 ([[동등자]]이므로) [[단사 사상]]이다.

모든 [[단사 사상]]이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를 '''정규 범주'''(正規範疇, {{llang|en|normal category}})라고 한다.

== 성질 ==
[[준가법 범주]] ([[아벨 군]]의 [[모노이드 범주]] <math>\operatorname{Ab}</math> 위의 [[풍성한 범주]])에서, 두 사상의 [[동등자]]는 그 차의 핵과 같다.
:<math>\operatorname{eq}\{f,g\}=\ker(f-g)</math>

[[아벨 범주]]에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든 [[단사 사상]]은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그 [[여핵]]의 핵과 같으며, 모든 [[전사 사상]]은 그 핵의 여핵과 같다.

== 예 ==
=== 벡터 공간과 가군 ===
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]의 범주 <math>R\text{-Mod}</math>는 [[영 사상을 갖는 범주]]이며, 이 범주에서 모든 사상([[가군 준동형]])은 핵을 갖는다.
구체적으로, <math>f\colon M\to N</math>의 핵 <math>\ker f\colon K\hookrightarrow M</math>는 다음과 같은 포함 함수이다.
:<math>K=\{m\in M\colon f(m)=0_N\}</math>
<math>R\text{-Mod}</math>에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 ([[군 (수학)|군]]이나 [[유사환]]의 경우와 달리) 임의의 [[부분 가군]]에 대한 [[몫가군]]을 정의할 수 있기 때문이다.

특히, [[선형대수학]]에서 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]일 경우, 체 위의 가군들은 [[벡터 공간]]이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히, [[행렬]]은 유한 차원 벡터 공간 사이의 [[선형 변환]]을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은 '''영공간'''(零空間, {{llang|en|null space}})이라고 불리기도 한다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는 [[상수 함수]]이다. <math>\operatorname{Grp}</math>에서 모든 사상([[군 준동형]])은 핵을 갖는다.
구체적으로, <math>f\colon G\to H</math>의 핵 <math>\ker f\colon K\hookrightarrow G</math>는 다음과 같은 포함 함수이다.
:<math>K=\{g\in G\colon f(g)=0_H\}</math>
이 경우, <math>K</math>는 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의 [[군 준동형]] <math>f\colon G\to H</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 정규 단사 사상이다.
* <math>f</math>는 [[단사 함수]]이며, 그 상 <math>f(G)\le H</math>는 <math>H</math>의 [[정규 부분군]]이다.

[[아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>에서, 영 사상과 핵은 <math>\operatorname{Grp}</math>에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는 [[상수 함수]]이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다. <math>\operatorname{Ab}</math>에서 [[단사 함수]]인 모든 [[군 준동형]]은 정규 단사 사상이다. 이는 [[아벨 군]]의 모든 [[부분군]]이 [[정규 부분군]]이기 때문이다.

=== 유사환 ===
[[유사환]]과 유사환 준동형의 범주 <math>\operatorname{Rng}</math>에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는 [[상수 함수]]이다. <math>\operatorname{Rng}</math>에서 모든 사상은 핵을 갖는다.
구체적으로, <math>f\colon R\to S</math>의 핵 <math>\ker f\colon\mathfrak k\to R</math>는 다음과 같은 포함 함수이다.
:<math>\mathfrak k=\{g\in G\colon f(g)=0_H\}</math>
이 경우, <math>\mathfrak k</math>는 <math>R</math>의 [[아이디얼]]을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형 <math>f\colon R\to S</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 정규 단사 사상이다.
* <math>f</math>는 [[단사 함수]]이며, 그 상 <math>f(R)\subseteq S</math>는 <math>S</math>의 [[아이디얼]]이다.

(곱셈 단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]]과 [[환 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어 [[부분환]]을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

=== 점을 가진 공간 ===
[[점을 가진 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}_\bullet</math>에서, 영 사상은 <math>\bullet</math>으로 가는 [[상수 함수]]이다. 이 범주에서 모든 사상 <math>f\colon(X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)</math>은 핵 <math>\ker f\colon(K,\bullet_X)\hookrightarrow(X,\bullet_X)</math>을 가지며, 이는 <math>\bullet</math>의 [[원상 (수학)|원상]]에 대한 포함 함수이다.
:<math>K=\{x\in X\colon f(x)=\bullet_Y\}</math>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Kernel|title=Kernel}}
* {{매스월드|id=NullSpace|title=Null space}}
* {{매스월드|id=LinearTransformationKernel|title=Linear transformation kernel}}
* {{매스월드|id=GroupKernel|title=Group kernel}}
* {{매스월드|id=ModuleKernel|title=Module kernel}}
* {{매스월드|id=RingKernel|title=Ring kernel}}
* {{nlab|id=kernel|title=Kernel}}
* {{nlab|id=zero morphism|title=Zero morphism}}
* {{nlab|id=normal monomorphism|title=Normal monomorphism}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2007/06/13/zero-objects-kernels-and-cokernels/|제목=Zero objects, Kernels, and Cokernels|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2007-06-13|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[여핵]]
* [[영 대상]]
* [[아벨 범주]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:범주론]]