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[[수학]]에서 '''모듈러 군'''({{llang|en|modular group}}) 또는 '''보형군'''(保型群)은 정수 계수의 [[뫼비우스 변환]]의 [[군 (수학)|군]]이다. 무한 [[이산 군]]이며, 두 개의 생성원 <math>S</math>, <math>T</math>로 주어진다. 기호는 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)</math> 또는 <math>\Gamma</math>.

== 정의 ==
'''모듈러 군''' <math>\Gamma</math>는 다음과 같은 [[군의 표시|표시]]를 갖는 군이다.
:<math>\Gamma=\langle \mathsf S,\mathsf T|\mathsf S^2=(\mathsf S\mathsf T)^3=1\rangle</math>
즉, 이는 2차 [[순환군]]과 3차 [[순환군]]의 [[자유곱]]이다.
:<math>\Gamma=\operatorname{Cyc}(2) \star \operatorname{Cyc}(3)</math>

== 성질 ==
모듈러 군은 [[가산 무한]] 개의 원소를 가지는 군이며, [[아벨 군]]이 아니다. 그 [[군의 중심|중심]]은 [[자명군]]이다.

=== 상반평면 위의 작용 ===
모듈러 군은 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\tau>0\}</math>에 [[유리 함수]]로 [[군의 작용|작용]]한다. 이 경우 생성원 <math>\mathsf S</math>, <math>\mathsf T</math>의 작용은 다음과 같다.
:<math>\mathsf S\colon z\mapsto-1/z</math>
:<math>\mathsf T\colon z\mapsto z+1</math>
따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}</math>. (<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>)
이 경우 행렬 <math>+M,-M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 작용이 같으므로, 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)/(-I)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)=\Gamma</math>의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역({{llang|en|fundamental domain}})은 다음과 같다.
:<math>\{z\in\mathbb H\colon|\operatorname{Re}(z)|\le1/2,\;|z|\ge1\}</math>
[[파일:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|가운데]]

보다 일반적으로, 이 작용은 [[리만 구]]의 반구
:<math>\{\tau\in\mathbb C\colon \operatorname{Im}\tau \ge 0 \} \sqcup \{\infty\} = \mathbb H \sqcup \mathbb P^1_{\mathbb R}</math>
위로 확장될 수 있다. 이 경우, 이는 실수 [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_{\mathbb R}=\mathbb R \sqcup\{\infty\}</math> 위에 다음과 같이 따로 작용한다. 사실, 이 작용은 [[대수적 수]]의 집합(+∞) 또는 [[유리수체]](+∞)로 제한될 수 있다. 즉, 모듈러 군은 다음과 같은 부분 집합 위에 각각 작용한다.
* <math>\mathbb H</math> (허수 성분이 양수인 복소수)
* <math>\mathbb R\setminus \bar{\mathbb Q}</math> ([[초월수]])
* <math>\bar\mathbb Q \cap \mathbb R \setminus \mathbb Q</math> ([[대수적 수|대수적]] [[무리수]])
* <math>\mathbb Q \sqcup \{\infty\}</math> (유리수 및 무한대)

=== 유리수체 위의 작용 ===
모듈러 군은 [[유리수]] [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1_{\mathbb Q} = \mathbb Q \sqcup \{\infty\}</math> 위에 [[군의 작용|작용]]한다. 구체적으로, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>X = \{(p,q)\in\mathbb Z^2\colon \gcd\{p,q\}=1,\; pq \ne 0\}</math>
그렇다면, 그 위에 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \frac pq = \frac{ap+bq}{cp+dq}\qquad\left(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\right)</math>
이 경우, 위 행렬이 [[특수 선형군]]에 속하므로 그 [[행렬식]]이 1이다. 즉, <math>ad-bc=1</math>다. 따라서, <math>\gcd\{p,q\}=1</math>일 때
:<math>\gcd\{ap+bq,cp+dq\}=1</math>
이게 된다. 이 작용은 [[추이적 작용]]이다. 즉, 임의의 <math>(p,q),(p',q')\in X</math>에 대하여, 항상 <math>M\cdot (p,q) = (p',q')</math>인 <math>M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>이 존재한다.

이제, 다음과 같은 [[전사 함수]]를 생각하자.
:<math>X \to \mathbb P^1_{\mathbb Q} = \mathbb Q \sqcup\{\infty\}</math>
:<math>(p,q) \mapsto \frac pq\qquad(q\ne0)</math>
:<math>(\pm1,0) \mapsto \infty</math>
즉, <math>(p,q)</math>를 약분 불가능 분수 <math>p/q</math>로 간주하자. 물론 <math>p/q=(-p)/(-q)</math>이므로, 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 [[몫군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>의, [[유리수]] [[사영 직선]] 위의 작용을 정의한다. 이 작용 역시 따라서 [[추이적 작용]]이다.

이 작용 아래 <math>\mathsf S</math>와 <math>\mathsf T</math>의 작용은 다음과 같다.
:<math>\mathsf S \cdot \frac pq = -\frac qp</math>
:<math>\mathsf T \cdot \frac pq = \frac{p+q}q = \frac pq+1</math>
이 작용은 모듈러 군의, 복소수 상반평면 위의 작용을 유리수로 제한한 것이다.

=== 꼬임군과의 관계 ===
모듈러 군의 [[보편 중심 확대]]는 3차 [[꼬임군 (위상수학)|꼬임군]] <math>\operatorname{Braid}(3)</math>이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Cyc}(\infty)& \hookrightarrow & \operatorname{Braid}(3) & \twoheadrightarrow & \operatorname{PSL}(2;\mathbb Z) \\
\| && \downarrow && \downarrow \\
\operatorname{Cyc}(\infty) & \hookrightarrow & \overline{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)} & \twoheadrightarrow & \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\overline{\operatorname{SL}(2;\mathbb R)}</math>는 [[2차원 실수 특수선형군]]의 [[범피복군]]이며, <math>\operatorname{Cyc}(\infty)</math>는 [[무한 순환군]](정수의 덧셈군)이다.

=== 합동 부분군 ===
모듈러 군은 '''합동 부분군'''({{llang|en|congruence subgroup}})이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, '''합동 부분군'''은 (아래에 정의된) <math>\Gamma(N)</math>을 부분군으로 가지는 <math>\Gamma</math>의 부분군 <math>\Gamma(N)\subset G\subset\Gamma(1)</math>이다. 이 경우, 이러한 최소 <math>N</math>을 합동 부분군 <math>G</math>의 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}}, {{llang|de|Stufe|슈튜페}})라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 <math>\Gamma(N)</math>, <math>\Gamma_0(N)</math>, <math>\Gamma_1(N)</math>이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.
:<math>\Gamma(N)\subset\Gamma_1(N)\subset\Gamma_0(N)</math>

==== 모듈러 군 Γ(''N'') ====
모듈러 군 <math>\Gamma</math>는 '''주합동 부분군'''(主合同部分群, {{llang|en|principal congruence subgroup}})이라는 중요한 부분군들을 가진다. <math>N\ge2</math>가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 <math>N</math>에 대한 [[동치류]]들로 치환하는 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\Gamma=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)</math>
이 [[군 준동형]]의 [[핵 (수학)|핵]]을 '''레벨 ''N''의 주합동 부분군''' <math>\Gamma(N)</math>이라고 한다. 즉, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 있다.
:<math>1\to\Gamma(N)\hookrightarrow\Gamma\twoheadrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)\to1</math>
구체적으로, <math>\Gamma(N)</math>은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
에 대하여,
:<math>a\equiv d\equiv\pm1\pmod N</math>
:<math>b\equiv c\equiv 0\pmod N</math>

특히, <math>\Gamma(2)=\Lambda</math>는 '''Λ 모듈러 군'''({{llang|en|modular group ''Λ''}})라고 불린다. 이 경우 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z/2)\cong\operatorname{Sym}(3)</math>은 3차 [[순환군 (군론)|순환군]]이므로 크기가 6이다. 즉, <math>\Lambda</math>는 [[부분군의 지표|지표]]가 6인 부분군이다.

==== 모듈러 군 Γ<sub>1</sub>(''N'') ====
'''모듈러 군 Γ<sub>1</sub>(''N'')'''은 <math>\Gamma</math>의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
에 대하여,
:<math>a\equiv d\cong1</math>
:<math>c\equiv0\pmod N</math>

=== 모듈러 군 Γ<sub>0</sub>(''N'') ===
'''모듈러 군 Γ<sub>0</sub>(''N'')'''은 <math>\Gamma</math>의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
에 대하여,
:<math>c\equiv0\pmod N</math>
즉, 위와 같이 <math>\Gamma\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)</math>와 같은 [[군 준동형]]에서, [[상 (수학)|상]]이 [[상삼각행렬]]인 원소들이다. <math>\Gamma(N)</math>은 <math>\Gamma_0(N)</math>의 부분군이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Tom M.|성=Apostol|제목=Modular functions and Dirichlet series in number theory|날짜=1990|출판사=Springer|isbn=978-0-387-97127-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=41|doi=10.1007/978-1-4612-0999-7|판=2판|zbl=0697.10023|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Modular group|first= A. A.|last=Panchishkin}}
* {{매스월드|id=ModularGroupGamma|title=Modular Group Gamma}}
* {{매스월드|id=ModularGroupLambda|title=Modular Group Lambda}}
* {{매스월드|id=ModularGroupGamma0|title=Modular Group Gamma_0}}
* {{수학노트|title=모듈라 군(modular group)}}

== 같이 보기 ==
* [[푹스 군]]
* [[모듈러 형식]]
* [[2차원 실수 특수선형군]]
* [[뫼비우스 변환]]

[[분류:군론]]
[[분류:수론]]
[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:해석적 수론]]