{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Aleph0.svg|섬네일|right|150px|&alefsym;<sub>0</sub>은 가장 작은 무한 기수이다.]]
[[수학]]에서 '''기수'''(基數, {{llang|en|cardinal number}})는 [[집합]]의 [[집합의 크기|크기]]를 나타내는 수이다. [[유한 집합]]의 크기는 [[자연수]]로 나타내어지는데, 이를 [[무한 집합]]에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 [[진부분집합]]은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 서로 다른 크기의 무한 집합들이 있다.

== 정의 ==
=== 동치류를 사용한 정의 ===
두 집합 <math>S</math>, <math>T</math>사이에 [[전단사 함수]]가 존재한다면 <math>S\approx T</math>라고 하자. 이는 (집합론적인 문제를 무시하면) [[동치 관계]]를 이룬다. 그렇다면 '''기수'''는 집합의 이 동치 관계에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있다. 그러나 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 이러한 동치류는 [[고유 모임]]이 되며, 이는 기술적으로 문제를 일으킨다. 예를 들어, 기수들의 집합을 정의할 수 없다. 반면, [[유형 이론]]이나 [[새 기초]]({{llang|en|New Foundations}}) 등의 체계에서는 이 정의를 그대로 사용할 수 있다. 예를 들어, [[유형 이론]]을 사용하는 《[[수학 원리]]》에서 이 정의가 사용된다.

=== 폰 노이만 정의 ===
[[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 집합의 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이는 [[존 폰 노이만]]이 도입한 정의다.

집합 <math>X</math>의 '''[[집합의 크기|크기]]''' <math>|X|</math>는 [[전단사 함수]] <math>X\to\alpha</math>가 존재하는 가장 작은 순서수 <math>\alpha</math>이다.
:<math>|X|=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha\cong X\}</math>
순서수의 [[고유 모임]]은 [[정렬 순서]]를 갖추었으므로 이 최소는 항상 존재한다.

특정한 [[집합의 크기]]가 되는 [[순서수]]를 '''기수'''라고 한다. 예를 들어, 모든 [[자연수]]는 기수이며, [[순서수]] <math>\omega</math>는 기수 <math>\aleph_0</math>이다. 반면, [[순서수]] <math>\omega+1</math>이나 <math>\omega2</math>, <math>\omega^\omega</math>, <math>\omega^{\omega^{\omega}}</math> 따위는 <math>\omega</math>와 같은 [[집합의 크기]]를 가지므로 기수가 아니다.

=== 스콧 정의 ===
[[선택 공리]]를 가정하지 않는다면, 위와 같은 폰 노이만 정의를 사용할 수 없다. 이를 피하기 위해 다음과 같은, [[데이나 스콧]]이 도입한 정의를 사용할 수 있다. 이 정의를 '''스콧 계교'''(Scott計巧, {{llang|en|Scott’s trick}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=The June meeting in Vancouver|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=61|호=5|날짜=1955-09|쪽=433–444|doi=10.1090/S0002-9904-1955-09941-5 |이름=V. L., Jr.|성=Klee|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|442, №. 626t}}

임의의 집합 <math>X</math>에 대하여, <math>X</math>와 같은 크기의 집합이 등장하는 최소의 [[계수 (집합론)|계수]]
:<math>\alpha=\min\left\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon \exists\tilde X\in V_\beta\colon|X|=|\tilde X|\right\}</math>
를 찾을 수 있다. (여기서 <math>V_\beta</math>는 [[폰 노이만 전체]]의 단계이다.) 이 경우, <math>X</math>의 '''크기''' <math>\operatorname{card}(X)</math>는 <math>V_\alpha</math> 속의, <math>X</math>와 같은 크기를 갖는 모든 집합들의 집합이다.
:<math>\operatorname{card}(X)=\left\{\tilde X\in V_\alpha\colon |X|=|\tilde X|\right\}</math>
'''기수'''는 어떤 집합의 크기가 되는 집합이다. 즉, 집합 <math>S</math>가 다음 세 조건을 만족시킨다면, '''기수'''라고 한다.
* <math>S</math>는 [[공집합]]이 아니다.
* <math>S</math>의 모든 원소들은 같은 [[계수 (집합론)|계수]]를 가지며, 같은 [[집합의 크기|크기]]이다.
* <math>S</math>의 원소의 계수를 <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>라고 하면, 임의의 [[순서수]] <math>\beta<\alpha</math> 및 <math>X\in V_\beta</math>에 대하여, <math>X</math>는 <math>S</math>의 원소와 같은 크기를 갖지 않는다.

== 연산 ==
[[순서수]]와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 [[자연수]]에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 [[순서수]]의 연산과 매우 다르며, 무한 기수 경우 이들 연산은 대부분 자명하다.

두 기수 <math>\kappa</math>와 <math>\lambda</math>가 각각 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>의 크기라고 하자. 아래의 정의들은 <math>A</math> 또는 <math>B</math>가 구체적으로 어떤 집합인지 관계없다.

=== 순서 ===
만약 [[단사 함수]]
:<math>A\hookrightarrow B</math>
가 존재한다면,
:<math>\kappa\le\lambda</math>
라고 정의한다. 마찬가지로, 만약 [[전사 함수]]
:<math>A\twoheadrightarrow B</math>
가 존재하거나 <math>B</math>가 공집합이라면,
:<math>\kappa\ge\lambda</math>
로 정의한다.

=== 바로 뒤 기수 ===
[[선택 공리]]를 가정하면, 모든 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 그 '''바로 뒤 기수'''({{llang|en|successor}}) <math>\kappa^+</math>가 존재한다. 이는 <math>\kappa<\lambda<\kappa^+</math>인 기수 <math>\lambda</math>가 존재하지 않는 기수 <math>\kappa^+</math>이다. 자연수의 경우 이는 단순히 <math>n^+=n+1</math>이며, [[알레프 수]]의 경우
:<math>\aleph_{\alpha}^+=\aleph_{\alpha+1}</math>
이다.

유한 기수의 따름 기수는 [[따름 순서수]]와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한 순서수와 그 따름 순서수의 크기가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, [[폰 노이만 기수 배정법]]과 [[선택 공리]]를 이용해 기수 κ의 따름 기수 κ<sup>+</sup>를 다음과 같이 정의한다:
:<math>\kappa^+ = |\inf \{ \lambda \in\operatorname{Ord} \ |\ \kappa < |\lambda| \}|.</math>
여기에서 <math>\operatorname{Ord}</math>는 순서수들의 [[고유 모임]]이다. [[하르톡스의 정리]]에 따르면 임의의 [[정렬 순서|정렬 가능]] 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬 가능 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아니며, 또한 순서수는 [[정렬 집합]]이므로 최소 원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ<sup>+</sup> 사이에 기수가 존재하지 않는다.

=== 덧셈 · 곱셈 · 거듭제곱 ===
두 기수의 덧셈과 곱셈 및 거듭제곱은 다음과 같다.
* (덧셈) <math>\kappa+\lambda=|A\sqcup B|</math>
** 즉, [[분리합집합]]의 크기다.
* (곱셈) <math>\kappa\lambda=|A\times B|</math>
** 즉, [[곱집합]]의 크기다.
* (거듭제곱) <math>\kappa^\lambda=|A^B|</math>
** 즉, 함수 <math>B\to A</math>의 집합의 크기다.

== 성질 ==
모든 기수의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[고유 모임]]이다 ([[칸토어 역설]]). [[선택 공리]]를 가정한다면, 기수의 [[고유 모임]]의 순서는 [[정렬 순서]]이다. [[알레프 수|알레프 함수]]
:<math>\aleph\colon\operatorname{Ord}\to\operatorname{Card}</math>
는 순서수의 [[고유 모임]]과 무한 기수의 [[고유 모임]]의 [[일대일 대응]]을 정의하며, 이는 [[정렬 순서]]를 갖춘 [[고유 모임]]의 동형사상이다.

모든 무한 기수는 [[극한 순서수]]이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>\omega\cdot2</math>는 극한 순서수이지만, 그 크기는 <math>\aleph_0=\omega</math>이므로 기수가 아니다. 대부분의 순서수는 극한 순서수가 아니므로, 기수들은 순서수들 중에 상당히 드물게 분포한다.

=== 산술 연산의 대수적 성질 ===
기수의 덧셈과 곱셈, 거듭제곱은 자연수에 국한시키면, <math>0^0</math>을 제외하고 기수의 연산은 자연수의 연산과 일치한다. (자연수의 경우 보통 <math>0^0</math>을 정의하지 않지만, 기수의 경우 <math>0^0=1</math>이다.)

<math>\kappa</math>, <math>\lambda</math>, <math>\mu</math>가 임의의 기수라고 하자.
기수의 덧셈과 곱셈은 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족시킨다.
:<math>\kappa+\lambda=\lambda+\kappa</math>
:<math>\kappa\lambda=\lambda\kappa</math>
:<math>(\kappa+\lambda)+\mu=\kappa+(\lambda+\mu)</math>
:<math>(\kappa\lambda)\mu=\kappa(\lambda\mu)</math>
덧셈은 0을 항등원으로 갖고, 곱셈은 1을 항등원으로 갖는다. 0과의 곱은 0이다.
:<math>\kappa+0=\kappa\cdot1=\kappa</math>
:<math>\kappa\cdot0=0</math>
거듭 제곱은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
:<math>0^\kappa=\begin{cases}0&\kappa\ne0\\1&\kappa=0\end{cases}</math>
:<math>1^\kappa=1</math>
:<math>2^\kappa>\kappa</math> ([[칸토어의 정리]])
:<math>\kappa^0=1</math>
:<math>\kappa^1=\kappa</math>
또한, 다음과 같은 [[분배 법칙]]이 성립한다.
:<math>\kappa(\lambda+\mu)=\kappa\lambda+\kappa\mu</math>
:<math>\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\kappa^\mu</math>
:<math>\kappa^{\lambda\mu}=(\kappa^\lambda)^\mu</math> (집합의 [[데카르트 닫힌 범주|데카르트 닫힘]])
:<math>(\kappa\lambda)^\mu=\kappa^\mu\lambda^\mu</math>

=== 산술 연산의 단조성 ===
기수의 덧셈과 곱셈은 증가 함수이다. 거듭제곱 역시 두 매개변수에 대해서 증가 함수이다.
:<math>\kappa\le\lambda\implies\kappa+\mu\le\lambda+\mu</math>
:<math>\kappa\le\lambda\implies\kappa\mu\le\lambda\mu</math>
:<math>\kappa\le\lambda\implies\kappa^\mu\le\lambda^\mu</math>
:<math>\kappa\le\lambda\implies\mu^\kappa\le\mu^\lambda</math> (<math>\mu>0</math>)
[[대우 (논리학)|대우]]를 취하면 다음을 얻는다.
:<math>\kappa+\mu<\lambda+\mu\implies \kappa<\lambda</math>
:<math>\kappa\mu<\lambda\mu\implies \kappa<\lambda</math>
:<math>\kappa^\mu<\lambda^\mu\implies\kappa<\lambda</math>
:<math>\mu^\kappa<\mu^\lambda\implies\kappa<\lambda</math> (<math>\mu>0</math>)

그러나 기수의 연산들은 순증가 함수가 아니다. 예를 들어,
:<math>2<3</math>
이지만
:<math>\aleph_0+2=\aleph_0+3</math>
:<math>\aleph_0\cdot2=\aleph_0\cdot3</math>
:<math>\aleph_0^2=\aleph_0^3</math>
:<math>2^{\aleph_0}=3^{\aleph_0}</math>
이다.

=== 무한 기수의 산술 연산 ===
[[선택 공리]]를 가정하면, 무한 기수의 덧셈과 곱셈은 자명하다. <math>\kappa</math>와 <math>\lambda</math> 가운데 적어도 하나가 무한 기수라면, 다음이 성립한다.
:<math>\kappa+\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}</math>
<math>\kappa</math>와 <math>\lambda</math> 가운데 적어도 하나가 무한 기수이고, 둘 다 0이 아니라면, 다음이 성립한다.
:<math>\kappa\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}</math>

기수의 거듭제곱에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\kappa^n=\kappa\qquad(\aleph_0\le\kappa)</math>
:<math>\lambda^\kappa=2^\kappa\qquad(2\le\lambda\le\kappa\ge\aleph_0)</math>
:<math>\kappa^n=\kappa\qquad(1\le n<\aleph_0\le\kappa)</math>

무한 기수의 거듭제곱은 집합론의 통상적인 공리계([[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]])로는 대부분 결정할 수 없다. 예를 들어, <math>2^{\aleph_0}</math>과 같은 간단한 거듭 제곱 또한 결정할 수 없다 ([[연속체 가설]]). 다만, 만약 [[일반화 연속체 가설]]을 추가로 가정한다면 무한 기수의 거듭제곱들이 완전히 결정되며, 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|이름=Seymour|성=Hayden|공저자=John F. Kennison|제목=Zermelo–Fraenkel Set Theory|날짜=1968|출판사=Charles E. Merrill Publishing Company|위치=Columbus, Ohio, U.S.|언어=en}}</ref>{{rp|147}} 여기서 <math>n</math>은 임의의 2 이상의 자연수이며, <math>\kappa</math>와 <math>\lambda</math>는 임의의 무한 기수이다.
:<math>n^\kappa=\kappa^+</math>
:<math>\kappa^n=\kappa</math>
:<math>\kappa^\lambda=\begin{cases}
\lambda^+&\kappa\le\lambda^+\\
\kappa&\kappa>\lambda^+,\;\operatorname{cf}(\kappa)>\lambda\\
\kappa^+&\kappa>\lambda^+,\;\operatorname{cf}(\kappa)\le\lambda
\end{cases}</math>
여기서 <math>\operatorname{cf}</math>는 기수의 [[공종도]]이다.

== 분류 ==
[[유한 집합]]의 크기인 기수를 '''유한 기수''', [[무한 집합]]의 크기인 기수는 '''무한 기수''' 또는 '''초한 기수'''라고 한다. 유한 기수는 [[자연수]](음이 아닌 정수)와 같으며, [[선택 공리]]를 가정한다면 무한 기수는 [[알레프 수]]와 같다. 즉, [[선택 공리]]를 가정하였을 때 기수의 열은
:<math>0, 1, 2, 3, \dots n, \dots; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \dots, \aleph_\omega, \aleph_{\omega+1}, \dots</math>
이다. 알레프 수의 경우, 임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>가 알레프 수 <math>\aleph_\alpha</math>의 첨수가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 [[고유 모임]]의 부분모임이다. [[선택 공리]]를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다.

기수는 [[순서수]]의 경우와 비슷하게, 세 가지의 분류로 나눌 수 있다. 모든 기수 <math>\kappa</math>는 다음 세 분류 가운데 정확히 하나에 속한다.
* 0
* '''따름 기수'''({{llang|en|successor cardinal}}). 이는 <math>\kappa=\lambda^+</math>인 기수 <math>\lambda</math>가 존재하는 경우이다.
* '''[[극한 기수]]'''({{llang|en|limit cardinal}})는 0이 아니며 따름 기수가 아닌 기수이다.

== 예 ==
수학에서 흔히 등장하는 기수는 다음과 같다.
* 모든 [[자연수]] <math>0,1,2,\dots</math>는 기수이다.
* <math>\aleph_0</math>은 [[가산 무한 집합]]의 크기다. 예를 들어, [[자연수]]의 집합의 크기, [[정수]]의 집합의 크기, [[유리수]]의 집합의 크기, [[대수적 수]]의 집합의 크기가 이 기수이다.
* <math>\aleph_1</math>은 모든 가산 [[순서수]]의 집합의 크기다.
* <math>2^{\aleph_0}</math>은 '''연속체'''(連續體, {{llang|en|continuum}})라고 하며, [[실수]]의 집합의 크기이자 [[자연수]]의 집합의 [[멱집합]]의 크기이며, 임의의 차원의 [[유클리드 공간]]의 점의 수이다. 만약 [[연속체 가설]]을 가정한다면 <math>\aleph_1</math>과 같다. 반대로, [[마틴 최대 공리]]({{llang|en|Martin’s Maximum}})를 가정한다면 이는 <math>\aleph_2</math>와 같다.
* 추가 공리들을 도입하면, '''[[큰 기수]]'''라는 일련의 매우 큰 기수들의 존재를 증명할 수 있다. 이들은 현대 [[집합론]]에서 핵심적인 위치를 차지한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=존|성=콘웨이|저자링크=존 호턴 콘웨이|공저자=리처드 가이|제목=수의 바이블|isbn=978-89-86865-78-3|기타=이진주, 황용석 역|출판사=한승|날짜=2003|url=http://www.hansbook.com/ourbooks/class_detail.html?no=125|언어=ko|확인날짜=2014-11-26|보존url=https://web.archive.org/web/20150928071621/http://www.hansbook.com/ourbooks/class_detail.html?no=125|보존날짜=2015-09-28|url-status=dead}}
** {{서적 인용|이름=John Horton|성=Conway|공저자=Richard K. Guy|제목=The book of numbers|출판사=Springer|날짜=1996| doi =  10.1007/978-1-4612-4072-3|isbn=978-1-4612-8488-8 | zbl = 0866.00001 | 언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Cardinal arithmetic for skeptics|이름=Saharon|성=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|arxiv=math/9201251|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=26|호=2|날짜=1992|쪽=197–210|bibcode=1992math......1251S|mr=1112424 |doi=10.1090/S0273-0979-1992-00261-6 |issn=0273-0979|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[큰 기수]]
* [[순서수]]
* [[칸토어 역설]]
* [[칸토어-베른슈타인 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cardinal number|first= B.A.|last=Efimov }}
* {{매스월드|id=CardinalNumber|title=Cardinal number}}
* {{매스월드|id=CardinalAddition|title=Cardinal addition}}
* {{매스월드|id=CardinalMultiplication|title=Cardinal multiplication}}
* {{매스월드|id=CardinalExponentiation|title=Cardinal exponentiation}}
* {{nlab|id=cardinal number|title=Cardinal number}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Cantor%27s_Attic|제목=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2015-01-04|보존url=https://web.archive.org/web/20141224124121/http://cantorsattic.info/Cantor%27s_Attic|보존날짜=2014-12-24|url-status=dead}}

{{집합론}}
{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:기수| ]]