{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''사영 집합'''(射影集合, {{llang|en|projective set}})은 [[보렐 집합]]으로부터 사영과 [[여집합]]을 여러 번 취하여 얻을 수 있는, [[폴란드 공간]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[폴란드 공간]] <math>X</math> 및 양의 [[정수]] <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>X</math>의 '''<math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math> 집합'''과 '''<math>\boldsymbol\Pi^1_n</math> 집합''' 및 '''<math>\boldsymbol\Delta^1_n</math> 집합'''은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
* '''<math>\boldsymbol\Sigma^1_1</math> 집합'''은 <math>X</math>의 [[해석적 집합]]이다.
* '''<math>\boldsymbol\Pi^1_n</math> 집합'''은 <math>X</math>의 <math>\boldsymbol\Sigma^1_1</math> 집합의 [[여집합]]이다.
* <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, '''<math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math> 집합'''은 이를 만족시키는 집합이다.
** <math>A=\pi_X(C)</math>가 되는 [[폴란드 공간]] <math>Y</math> 및 <math>\boldsymbol\Pi^1_{n-1}</math> 집합 <math>C\subset X\times Y</math>가 존재한다. 여기서 <math>\pi_X\colon X\times Y\to X</math>는 사영 함수이다.
** 모든 비가산 폴란드 공간 <math>Y</math>에 대하여, <math>A=\pi_X(C_Y)</math>가 되는 <math>\boldsymbol\Pi^1_{n-1}</math> 집합 <math>C_Y\subset X\times Y</math>가 존재한다.
* '''<math>\boldsymbol\Delta^1_n</math> 집합'''은 <math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math> 집합이며 <math>\boldsymbol\Pi^1_n</math> 집합인 집합이다.
[[폴란드 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, '''사영 집합'''은 적어도 하나의 정수 <math>n</math>에 대하여 <math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math> 집합인 부분 집합이다.

'''수슬린 정리'''(Суслин定理, {{llang|en|Souslin’s theorem}})에 따르면, [[폴란드 공간]] 속에서 <math>\boldsymbol\Delta^1_1</math> 집합의 개념은 [[보렐 집합]]의 개념과 일치한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|88, Theorem 14.11}}

=== 표준 보렐 가측 공간의 경우 ===
임의의 두 [[폴란드 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의, [[보렐 가측 공간]] 구조의 동형 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math> 아래 <math>\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>와 <math>\boldsymbol\Sigma^1_1(Y)</math>가 일치하며, 사영 위계의 나머지 단계들의 정의는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 구조에 직접적으로 의존하지 않으므로 마찬가지로 일치한다. 즉, 사영 위계는 오직 [[표준 보렐 가측 공간]] 구조에만 의존한다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 [[폴란드 공간]]에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|314, Proposition 37.1}}
{| class=wikitable style="text-align: center"
! 집합족 !! 가산 [[교집합]]에 대해 닫힘 || 가산 [[합집합]]에 대해 닫힘 || [[여집합]]에 대해 닫힘 || [[연속 함수|연속]] [[상 (수학)|상]]에 대해 닫힘 || [[연속 함수|연속]] [[원상 (수학)|원상]]에 대해 닫힘
|-
! <math>\boldsymbol\Delta^1_n</math>
| ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌ || ⭕
|-
! <math>\boldsymbol\Sigma^1_n</math>
| ⭕ || ⭕ || ❌ || ⭕ || ⭕
|-
! <math>\boldsymbol\Pi^1_n</math>
| ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌ || ⭕
|}
위 표에서, "연속 (원)상에 대해 닫힘"은 [[정의역]]과 [[공역]]을 [[폴란드 공간]]으로 하는 [[연속 함수]]에 대한 [[상 (수학)|상]] 및 [[원상 (수학)|원상]]을 뜻한다.

=== 포함 관계 ===
[[보렐 집합|보렐 위계]]와 유사하게, 다음과 같은 포함 관계가 성립하며, 이를 '''사영 위계'''({{llang|en|projective hierarchy}})라고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|314, §37.A}}
:<math>\begin{matrix}&&\boldsymbol\Sigma^0_1&&&&\boldsymbol\Sigma^0_2&&&\cdots&&&&\boldsymbol\Sigma^1_1&&&&\boldsymbol\Sigma^1_2&&&\cdots\\
&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&&&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\
\boldsymbol\Delta^0_1&&&&\boldsymbol\Delta^0_2&&&&\boldsymbol\Delta^0_3&\cdots&\to&\boldsymbol\Delta^1_1&&&&\boldsymbol\Delta^1_2&&&&\boldsymbol\Delta^1_3&\cdots\\
&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&&&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\\
&&\boldsymbol\Pi^0_1&&&&\boldsymbol\Pi^0_2&&&\cdots&&&&\boldsymbol\Pi^1_1&&&&\boldsymbol\Pi^1_2&&&\cdots
\end{matrix}</math>
여기서 <math>A\to B</math>는 모든 <math>A</math> 집합이 <math>B</math> 집합임을 뜻한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[열린집합]] → [[보렐 집합]] → 사영 집합

실수의 모든 사영 집합은 [[구성 가능 전체|실수 구성 가능 전체]] <math>L(\mathbb R)</math>에 속한다.

만약 [[사영 결정 공리]]가 성립한다면, 실수의 모든 사영 집합들은 다음 조건을 만족시킨다.
* [[르베그 가측 집합]]이다.
* [[준열린집합]]이다.
* [[완전 집합 성질]]을 가진다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Projective set}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]