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[[파일:Rgamma_plot_real.svg|섬네일|250x250픽셀| 실수 범위에서 그린 {{수직분수|1|Γ(''x'')}}의 그래프]]
[[파일:Reciprocal-gamma-domain-coloring.png|오른쪽|섬네일|250x250픽셀| 복소평면 위에 그린 {{math|{{sfrac|1|Γ(''z'')}}}}의 그래프.]]
[[수학]]에서 '''감마 함수의 역수'''는 감마 함수 {{math|Γ(''z'')}}에 역수를 취한 함수이다.

: <math>f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},</math>

감마 함수는 [[복소평면|복소 평면]] 전체에서 [[유리형 함수]]이고 영점이 없으므로 그 역수는 [[전해석 함수]]이다.

이 함수는 감마 함수를 [[수치해석학|수치 근사]]하는 데에 사용되며 일부 소프트웨어 라이브러리에서는 이를 일반 감마 함수와 별도로 제공한다.

[[카를 바이어슈트라스]]는 이 함수를 "factorielle"이라고 부르고 이를 [[바이어슈트라스의 곱 정리]]에 사용했다.

== 무한곱 전개 ==
감마 함수의 무한곱꼴 정의에서 다음과 같이 유도된다. 모든 복소수 {{math|''z''}}에서 성립하며, {{math|''γ''}}는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.

: <math>\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(z)} &= z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z} \\
\frac{1}{\Gamma(z)} &= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}
\end{align}</math>

== 테일러 급수 ==
{{math|1=''z''=0}}에서의 [[테일러 급수]] 전개는 다음과 같다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html|제목=Gamma function|성=Weisstein|이름=Eric W.|웹사이트=mathworld.wolfram.com|언어=en|확인날짜=2021-06-15}}</ref>

: <math> \frac{1}{\ \Gamma(z)\ } = z + \gamma\ z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)\ z^3 + \left(\frac{\gamma^3}{6} - \frac{\gamma\pi^2}{12} + \frac{\zeta(3)}{3}\ \right)z^4 + \cdots\ </math>

여기서 {{수학|''γ''}} 는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다. {{수학|''n'' > 2}}일 때 {{수학|''z''<sup>''n''</sup>}} 항의 계수 {{수학|''a''<sub>''n''</sub>}}은 다음 점화식이나 적분으로 계산할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Concerning two series for the gamma function|저널=Mathematics of Computation|성=Wrench|이름=J.W.|연도=1968|권=22|호=103|쪽=617–626|doi=10.1090/S0025-5718-1968-0237078-4}} and <br /><br />{{저널 인용|제목=Erratum: Concerning two series for the gamma function|저널=Mathematics of Computation|성=Wrench|이름=J.W.|연도=1973|권=27|호=123|쪽=681–682|doi=10.1090/S0025-5718-1973-0319344-9}}</ref><ref name="Fekih-Ahmed2014">{{웹 인용|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01029331v1|제목=On the power series expansion of the reciprocal gamma function|성=Fekih-Ahmed|이름=L.|연도=2014|웹사이트=HAL archives}}</ref> {{math|''ζ''}} 는 [[리만 제타 함수]]이다. 적분꼴은 2014년에 Fekih-Ahmed이 발견했다.<ref name="Fekih-Ahmed2014" />

: <math> a_n = \frac{\ {a_2\ a_{n-1} + \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^{j+1}\ \zeta(j)\ a_{n-j}}\ }{n-1} = \frac{\ \gamma\ a_{n-1} - \zeta(2)\ a_{n-2} + \zeta(3)\ a_{n-3}-\cdots\ }{n-1}</math>

: <math> a_n = \frac{(-1)^n}{\pi n!}\int_0^\infty e^{-t}\ \operatorname{Im}\Bigl[\ \bigl( \log(t)-i\pi \bigr)^n\ \Bigr]\ \mathrm{d} t ~.</math>

처음 30개의 항의 값은 다음과 같다.
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!{{수학|''n''}}
!{{수학|''a''<sub>''n''</sub>}}
|-
|1
| +1.0000000000000000000000000000000000000000
|-
|2
| +0.5772156649015328606065120900824024310422
|-
|3
|−0.6558780715202538810770195151453904812798
|-
|4
|−0.0420026350340952355290039348754298187114
|-
|5
| +0.1665386113822914895017007951021052357178
|-
|6
|−0.0421977345555443367482083012891873913017
|-
|7
|−0.0096219715278769735621149216723481989754
|-
|8
| +0.0072189432466630995423950103404465727099
|-
|9
|−0.0011651675918590651121139710840183886668
|-
|10
|−0.0002152416741149509728157299630536478065
|-
|11
| +0.0001280502823881161861531986263281643234
|-
|12
|−0.0000201348547807882386556893914210218184
|-
|13
|−0.0000012504934821426706573453594738330922
|-
|14
| +0.0000011330272319816958823741296203307449
|-
|15
|−0.0000002056338416977607103450154130020573
|-
|16
| +0.0000000061160951044814158178624986828553
|-
|17
| +0.0000000050020076444692229300556650480600
|-
|18
|−0.0000000011812745704870201445881265654365
|-
|19
| +0.0000000001043426711691100510491540332312
|-
|20
| +0.0000000000077822634399050712540499373114
|-
|21
|−0.0000000000036968056186422057081878158781
|-
|22
| +0.0000000000005100370287454475979015481323
|-
|23
|−0.0000000000000205832605356650678322242954
|-
|24
|−0.0000000000000053481225394230179823700173
|-
|25
| +0.0000000000000012267786282382607901588938
|-
|26
|−0.0000000000000001181259301697458769513765
|-
|27
| +0.0000000000000000011866922547516003325798
|-
|28
| +0.0000000000000000014123806553180317815558
|-
|29
|−0.0000000000000000002298745684435370206592
|-
|30
| +0.0000000000000000000171440632192733743338
|}
<math>a_n</math>의 근사공식은 다음과 같다.<ref name="Fekih-Ahmed2014" />

: <math> a_n \approx \frac{(-1)^n}{\ (n-1)!\ } \ \sqrt{ \frac{2}{\ \pi n \ }\ }\ 
\operatorname{Im} \left( \frac{\ z_0^{\left( 1/2 - n \right)}\ e^{-n z_0}\ }{\sqrt{ 1 + z_0\ }} \right)\ ,</math>

여기서 <math> z_0 = -\frac{1}{n} \exp\!\Bigl( W_{-1}(-n) \Bigr)\ ,</math> <math>W_{-1}</math> 는 [[람베르트 W 함수]]의 -1번째 분지이다.

== 이상적분 ==
양의 실수축 위에서의 이상적분 값은 다음과 같으며, 이를 [[프랑세즈-로빈슨 상수]]라고 한다.

: <math>\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024</math>

또한 다음과 같은 공식이 알려져 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2|제목=Number Theory Volume II: Analytic and Modern Tools|성=Henri Cohen|날짜=2007|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=240|언어=en|doi=10.1007/978-0-387-49894-2|isbn=978-0-387-49893-5|issn=0072-5285}}</ref>

: <math>\int_0^\infty \dfrac{a^x}{\Gamma(x)}\,dx=ae^a+a\int_0^\infty\dfrac{e^{-ax}}{\log^2(x)+\pi^2}\,dx</math>

== 같이 보기 ==
* [[베셀-클리포드 함수]]
* [[역감마 분포]]

== 참고자 ==
{{각주|25em}}

[[분류:해석 함수]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]