{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Covariance_trends.svg|섬네일|두 개의 확률 변수 {{수학 변수|X}} 와 {{Mvar|Y}} 의 상관성과 공분산의 부호.|300x300픽셀]]
'''공분산'''(共分散, {{llang|en|covariance}})은 2개의 [[확률변수]]의 선형 관계를 나타내는 값이다.<ref>{{웹 인용|url=https://terms.naver.com/entry.nhn?cid=47324&docId=3404964&categoryId=47324|제목=공분산|웹사이트=수학백과|출판사=[[대한수학회]]|언어=ko|확인날짜=2021-02-27}}</ref> 만약 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값도 상승하는 선형 상관성이 있다면 양수의 공분산을 가진다.<ref>{{매스월드|title=Covariance|urlname=Covariance}}</ref> 반대로 2개의 변수중 하나의 값이 상승하는 경향을 보일 때 다른 값이 하강하는 선형 상관성을 보인다면 공분산의 값은 음수가 된다. 이렇게 공분산은 상관관계의 상승 혹은 하강하는 경향을 이해할 수 있으나 2개 변수의 측정 단위의 크기에 따라 값이 달라지므로 [[상관분석]]을 통해 정도를 파악하기에는 부적절하다. [[상관분석]]에서는 상관관계의 정도를 나타내는 단위로 [[상관분석|모상관계수]]로는 [[그리스 문자]] {{수학 변수|ρ}}를, 표본상관계수로는 알파벳 {{Mvar|s}}를 사용한다.
== 정의와 공식 ==
공분산의 정의는 다음과 같다.{{수학 정리|정의|<math>\operatorname{Cov}(X,Y)\equiv \operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])\,(Y-\operatorname{E}[Y])]</math>}}여기서 [[실수]]값을 지니는 2개의 [[확률변수]] {{수학 변수|X}}와 {{수학 변수|Y}}에 대해서 공분산의 [[기댓값]]
:<math>E(X)=\mu, \quad E(Y)=\nu</math>
을 사용하고, [[기댓값]] 연산자 E를 정리하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}(X \cdot Y) - \mu \nu \,</math>

만약 {{수학 변수|X}}와 {{수학 변수|Y}}가 [[독립]]이라면 공분산은 0이 될 것이고 이 경우 아래와 같이 나타낼 수 있다.

: <math>E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)=\mu\nu</math>

2번째 식을 3번째식에 대입하면 아래과 같은 결과를 얻을 수 있다.

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \mu \nu - \mu \nu = 0</math>

일반적으로 역은 성립하지 않는다. 즉 {{수학 변수|X}}와 {{수학 변수|Y}}가 독립이 아니라하더라도 공분산의 값은 0이 될 수 있다.

Cov({{수학 변수|X}}, {{수학 변수|Y}})의 [[단위]]는 {{수학 변수|X}}와 {{수학 변수|Y}}의 곱이다. [[상관관계]]는 공분산값을 필요로하며, [[선형독립]]의 [[무차원수]]로 볼 수 있다.

공분산이 0인 확률변수를 [[비상관 확률변수]]라고 한다.

== 성질 ==

만약 {{수학 변수|X}}, {{수학 변수|Y}}가 실수값인 확률변수이고 ''a'', ''b''상수라면, 공분산에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

: <math>\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,</math>
: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,</math>
: <math>\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,</math>

확률변수인 {{수학 변수|X}}<sub>1</sub>, ..., {{수학 변수|X}}<sub>''n''</sub> 과 {{수학 변수|Y}}<sub>1</sub>, ..., {{수학 변수|Y}}<sub>''m''</sub>에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

: <math>\operatorname{Cov}\left(\sum_{i=1}^n {X_i}, \sum_{j=1}^m{Y_j}\right) =    \sum_{i=1}^n{\sum_{j=1}^m{\operatorname{Cov}\left(X_i, Y_j\right)}} </math>

확률변수인 {{수학 변수|X}}<sub>1</sub>, ..., {{수학 변수|X}}<sub>''n''</sub>에 대해서 아래와 같은 법칙이 성립한다.

:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) </math>

=== [[공분산]]의 성질 ===

공분산의 많은 성질은 [[내적]]이 가지는 성질과 유사하다.:<br />

:(1) [[이중선형|이중선형연산]]: 상수 ''a''와 ''b'' 그리고 확률변수 {{수학 변수|X}}, {{수학 변수|Y}}, ''U'', Cov(''aX'' + ''bY'', ''U'') = ''a'' Cov({{수학 변수|X}}, ''U'') + ''b''Cov({{수학 변수|Y}}, ''U'')
:(2) 대칭성: Cov({{수학 변수|X}}, {{수학 변수|Y}}) = Cov({{수학 변수|Y}}, {{수학 변수|X}})
:(3) [[definite bilinear form|양수값]]: Var({{수학 변수|X}}) = Cov({{수학 변수|X}}, {{수학 변수|X}}) ≥ 0이고 Cov({{수학 변수|X}}, {{수학 변수|X}}) = 0 이란 것은 {{수학 변수|X}}가 상수확률변수(''K'')라는 뜻이다.<br />

공분산은 확률변수들의 [[벡터 공간]] 상에서의 내적을 의미한다. 벡터에서 적용되는 벡터합 {{수학 변수|X}} + {{수학 변수|Y}} 및 ''aX''와 같은 [[스칼라]]곱의 성질도 지닌다.

== 공분산행렬 ==

열벡터값을 가지는 확률변수{{수학 변수|X}} 와 {{수학 변수|Y}} 가 각각 μ 와 ν라는 기댓값을 가질 때 공분산''m''×''n'' [[행렬]]은 아래와 같다.

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}((X-\mu)(Y-\nu)^\top) </math>

벡터확률변수를 가지는 Cov({{수학 변수|X}}, {{수학 변수|Y}}) 와 Cov({{수학 변수|Y}}, {{수학 변수|X}})는 각각의 [[전치행렬]]이다.

공분산은 때때로 2개의 확률변수간의 [[선형의존]]성을 나타내는 척도로도 사용된다. 이것은 [[선형대수]]에서 의미하는 [[선형의존]]성을 말하는 것은 아니다. 공분산을 정규화시키면 [[상관관계]]를 보여주는 [[상관행렬]](Correlation_matrix)을 얻을 수 있다. 이로부터 Pearson Coefficient값을 얻을 수 있고 두개의 확률변수의 관계를 최적으로 설명가능한 선형함수를 표현가능하게 해준다. 이러한 점에서 공분산은 독립성의 선형척도로 볼 수 있다.

==표본 공분산==
[[피어슨 상관 계수|피어슨 상관계수]]에 사용되는 [[표본 분산|표본 공분산]](sample covariance)은 다음과 같다.
:<math> Cov(X,Y)= { {\sum_{i}^{n} \left( X_i - \overline{X} \right)\left( Y_i - \overline{Y} \right)} \over{n-1} }</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[공분산 함수]]
* [[궤도겹침행렬]]
* [[상관 분석]]
* Eddy covariance
* Law of total covariance
* Autocovariance
* [[분산 분석#공분산분석(ANCOVA)|공분산분석 (ANCOVA)]]
* [[표본 평균]]
* Algorithms for calculating variance
* [[분산]]
{{전거 통제}}

[[분류:통계학]]
[[분류:상관분석]]