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[[이론물리학]]과 [[표현론]]에서 '''마요라나 스피너'''({{llang|en|Majorana spinor}})는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, [[스핀 군]]의 실수 표현이다.<ref>{{서적 인용|제목=Supergravity|이름=Daniel Z.|성=Freedman|이름2=Antoine|성2=Van Proeyen|언어=en}}</ref>{{rp|Chapter 3}}<ref name="VP">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9910030|제목=Tools for supersymmetry|날짜=1999|성=Van Proeyen|이름=Antoine|언어=en}}</ref> [[마요라나 페르미온]]의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.
== 정의 ==
<math>(s,t)</math>차원의 부호수의 내적을 갖는 [[실수 벡터 공간]] <math>\mathbb R^{s,t}</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cl}(s,t)</math>를 생각하자. 즉,
:<math>\{\gamma^i,\gamma^j\}=2\eta^{ij}</math>
에서, <math>\eta</math>는 <math>s</math>개의 +부호와 <math>t</math>개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 <math>\gamma</math>만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 <math>\operatorname{Cl}^+(s,t)\subseteq\operatorname{Cl}(s,t)</math>가 존재한다.

그렇다면, 실수 [[클리퍼드 대수]] <math>\operatorname{Cl}(s,t)</math>는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.

:{| class=wikitable
|-
! <math>(s-t)\bmod8</math> || <math>\operatorname{Cl}(s,t)</math> || <math>\operatorname{Cl}^+(s;t)</math> || 스피너의 성질 || 감마 행렬의 성질
|-
| ±4 || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H)</math> || 바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너) || 복소수 <math>N\times N</math>
|-
| +3 || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)</math> || 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) || 복소수 <math>N\times N</math>
|-
| +2 || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)</math> || 마요라나 스피너, 바일 스피너 || 실수 <math>N\times N</math>
|-
| +1 || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)</math> || 마요라나 스피너 || 실수 <math>N\times N</math>
|-
| ±0 || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R)</math> || 마요라나-바일 스피너 || 실수 <math>N\times N</math>
|-
| −1 || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)</math> || 마요라나 스피너 || 허수 <math>N\times N</math>
|-
| −2 || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)</math> || 마요라나 스피너, 바일 스피너 || 허수 <math>N\times N</math>
|-
| −3 || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)</math> || 디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너) || 복소수 <math>N\times N</math>
|}

여기서
:<math>N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor}</math>
는 [[디랙 스피너]]의 복소수 차원이며, <math>\mathbb R</math>, <Math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>는 각각 [[실수체]], [[복소수체]], [[사원수 대수]]를 뜻한다.

위 표에서,
* <math>\operatorname{Cl}(s,t)</math>의 계수 <math>\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}</math>는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
** 계수가 <math>\mathbb R</math>인 경우 (즉, <math>s-t\in\{0,6,7\}</math>, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 <Math>\operatorname{Pin}(s,t)</math>의 실수 표현이 존재한다. 이를 '''마요라나 피너'''({{llang|en|Majorana pinor}})라고 한다.
** 만약 계수가 <Math>\mathbb R</math>가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 <math>\mathbb R</math>라면 (즉, <math>\operatorname{Cl}(t,s)</math>가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 '''유사 마요라나 피너'''({{llang|en|pseudo-Majorana pinor}})라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
** 계수가 <math>\mathbb H</math>일 경우, 만약 <math>2k</math> 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 <math>2k</math> 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 <math>k</math>차원 [[사원수 벡터 공간]] 위의 표현을 이룬다. 이를 '''심플렉틱-마요라나 피너'''({{llang|en|symplectic-Majorana pinor}})라고 한다.
* <math>\operatorname{Cl}^+(s,t)</math>의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

== 성질 ==
=== 디랙 스피너의 실수 조건 ===
<math>n</math>차원 시공간의 '''디랙 피너'''({{llang|en|Dirac pinor}})는 복소수 클리퍼드 대수
:<math>\operatorname{Cl}(n;\mathbb C) = \begin{cases}
\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)&2\nmid n\\
\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)&2\mid n
\end{cases}</math>
:<math>N=2^{\lfloor n/2\rfloor}</math>
의 <math>N</math>차원 정의 표현이다. 만약 <math>n</math>이 짝수인 경우, 이는 두 개의 <math>N/2</math>차원 '''바일 피너'''({{llang|en|Weyl pinor}})로 분해된다.

복소수 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cl}(n;\mathbb C)</math>는 [[에르미트 형식]]
:<math>\langle -|-\rangle </math>
을 가지며, 이는
;<math>\langle \gamma^\mu\psi|\chi\rangle = \pm\langle\psi|\gamma^\mu\chi\rangle</math>
를 만족시킨다. (여기서 <math>\pm</math>는 <math>n</math>의 값에만 의존한다.)

이제, 어떤 부호 <math>\tau\in\{\pm1\}</math>를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 [[쌍선형 형식]] <Math>\mathsf C</math>가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.
:<math>\mathsf C(\gamma^\mu \psi,\chi) = \pm \mathsf C(\psi,\gamma^\mu\chi)</math>
:<math>\mathsf C(\psi,\chi) = \pm\mathsf C(\chi,\psi)</math> ([[복부호 동순]]이 아님)
이 경우, 만약 <math>\mathsf C</math>가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 <math>\mathsf C</math>가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.

만약 디랙 피너 공간 <math>V</math>가 실수 구조를 갖는다면,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*</math>
를 만족시키는 디랙 피너를 '''마요라나 스피너'''라고 한다.

만약 디랙 피너 공간 <math>V</math>가 사원수 구조를 갖는다면,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*</math>
를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(W,\Omega)</math>에 대하여, <math>V\otimes W</math> 위에서,
:<math>\mathsf C(\psi,-) = \langle \Omega\psi,-\rangle</math>
를 만족시키는 디랙 피너를 '''심플렉틱-마요라나 스피너'''라고 한다.

=== 감마 행렬의 실수성 ===
마요라나 스피너장의 경우, [[감마 행렬]]이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, [[감마 행렬]]이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

=== 물리학적 성질 ===
마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.

만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 [[바일 스피너]]로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.

== 예 ==
=== 1차원 ===
1차원에서는
:<math>\operatorname{Cl}(1,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb C) = \mathbb C</math>
:<math>\operatorname{Cl}(0,1) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(1;\mathbb R)</math>
이다. 즉, 부호수가 <math>(s,t)=(1,0)</math>일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}</math>
이다.

=== 2차원 ===
2차원에서는
:<math>\operatorname{SO}(2;\mathbb R) \cong\operatorname U(1)</math>
:<math>\operatorname{SO}(1,1;\mathbb R) \cong\operatorname R</math>
이며, 이 경우 [[클리퍼드 대수]]는
:<math>\operatorname{Cl}(1,1) = \operatorname{Cl}(0,2) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(2,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb H)</math>
이다. 즉, 부호수 <math>(t,s) = (1,1)</math>일 때,
:<Math>\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}</math>
:<Math>\gamma^1 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>
로 놓으면,
:<math>\{\gamma^0,\gamma^0\} = -1</math>
:<math>\{\gamma^1,\gamma^1\} = 1</math>
:<math>\{\gamma^0,\gamma^1\} = 0</math>
이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

마찬가지로, 부호수 <math>(s,t) = (0,2)</math>일 때,
:<math>\gamma^1 = \sigma^1</math>
:<math>\gamma^2 = \sigma^3</math>
로 놓으면,
:<math>\{\gamma^1,\gamma^1\} = \{\gamma^2,\gamma^2\} = 1</math>
:<math>\{\gamma^1,\gamma^2\} = 0</math>
이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

=== 3차원 ===
3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(0,3) = \mathbb H\oplus\mathbb H</math>
:<math>\operatorname{Cl}(1,2) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(2,1) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(3,0) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb C)</math>

부호수 <math>(s,t)=(2,1)</math>일 때,
:<math>\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 = \begin{pmatrix}
0&1\\-1&0
\end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^1 = \sigma^1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^2 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>
는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 [[동형 사상]]
:<math>\operatorname{Spin}(2,1) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>
에서 비롯한다.

마찬가지로, <math>(s,t)=(1,2)</math>일 때, 위 행렬들에 모두 <math>\mathrm i</math>를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.

<math>(t,s)=(0,3)</math> 또는 <math>(3,0)</math>일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, [[파울리 행렬]]
:<math>\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3</math>
은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.

다만, 부호수 <math>(s,t)=(0,3)</math>에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 [[리 군]]의 동형 사상
:<math>\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{USp}(1;\mathbb R) = \operatorname U(1;\mathbb H)</math>
에서 유래한다. 즉, 부호수 <math>(s,t)=(0,3)</math>의 경우, [[사원수]] 감마 행렬
:<math>\gamma^{-2} = \begin{pmatrix}\mathrm i\end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^{-1} = \begin{pmatrix}\mathrm j\end{pmatrix}</math>
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathrm k\end{pmatrix}</math>
를 정의하면,
:<math>\{\gamma^{-2},\gamma^{-2}\} = \{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^0,\gamma^0\} = -2</math>
:<math>\{\gamma^{-2},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^{-1},\gamma^0\} = \{\gamma^0,\gamma^{-2}\} = 0</math>
이다.

=== 4차원 ===
4차원에서의 [[클리퍼드 대수]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(4,0) \cong \operatorname{Cl}(0,4) \cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb H)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(1,3) \cong \operatorname{Cl}(2,2) \cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(3,1) \cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb H)</math>
즉,
* 부호수 (0,4)일 때([[유클리드 공간]])는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
* 부호수 (1,3)일 때([[민코프스키 공간]])는 마요라나 스피너가 존재한다.
* 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.

예를 들어, <math>(s,t)=(3,1)</math>차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 [[민코프스키 공간]]),
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix}
0&1_{2\times2}\\
-1_{2\times2}&0\end{pmatrix}=\mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2}</math>
:<math>\gamma^1 = \begin{pmatrix}
1_{2\times2}&0\\
0&-1_{2\times2}\end{pmatrix} = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2}</math>
:<math>\gamma^2 = \begin{pmatrix}
0&\sigma^1\\
\sigma^1&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes \sigma^1 </math>
:<math>\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0&\sigma^3\\
\sigma^3&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes\sigma^3</math>
는 순수 실수 [[감마 행렬]]을 이룬다. 이 표현의 존재는 [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak o(3,1) \cong \operatorname{sl}(2;\mathbb C)</math>
에서 유래한다. 여기서 <Math>\otimes</math>는 두 2×2 행렬의 [[크로네커 곱]]이다.

부호수가 <math>(s,t)=(2,2)</math>일 때, [[실수 리 대수]] 동형
:<math>\mathfrak o(2,2) \cong\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)</math>
이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,
:<math>\gamma^{-1} = \sigma^1 \otimes \mathrm i\sigma^2</math>
:<math>\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2}</math>
:<math>\gamma^1 = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2}</math>
:<math>\gamma^2 = \sigma^1 \otimes \sigma^1</math>
를 적으면,
:<math>\{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^0,\gamma^0\} = -2</math>
:<math>\{\gamma^1,\gamma^1\} = \{\gamma^2,\gamma^2\} = 2</math>
:<math>\{\gamma^i,\gamma^j\} = 0 \qquad(i\ne j)</math>
이다.

부호수 <math>(s,t)=(4,0)</math>일 때,
:<math>\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname U(1;\mathbb H)\times\operatorname U(1;\mathbb H)</math>
에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.

=== 5차원 ===
5차원에서 [[클리퍼드 대수]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(3,2) \cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(0,5)\cong\operatorname{Cl}(2,3) \cong\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)</math>

즉, 부호수가 <math>(s,t)=(3,2)</math>일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 [[5차원 회전군]]의 특수한 동형
:<math>\operatorname{Spin}(3,2) \cong \operatorname{Sp}(4;\mathbb R)</math>
에서 기인한다.

다른 부호수의 경우,
:<math>\operatorname{Spin}(4,1)\cong\operatorname{USp}(2,2)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)</math>
으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.

=== 6차원 ===
6차원에서 실수 [[클리퍼드 대수]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cl}(0,6) = \operatorname{Cl}(3,3) = \operatorname{Cl}(4,2) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(1,5) = \operatorname{Cl}(2,4) = \operatorname{Cl}(6,0) = \operatorname{Mat}(4;\mathbb H)</math>
:<math>\operatorname{Cl}(5,1) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb C)</math>
즉, 부호수 <math>(s,t) = (0,6),(3,3),(4,2)</math>일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak o(6;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(4;\mathbb C)</math>
:<math>\mathfrak o(3,3;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)</math>
:<math>\mathfrak o(2,4) \cong \operatorname{su}(2,2)</math>
에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 <math>\operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>의 정의 표현이다.

부호수 (1,5)의 경우, [[실수 리 대수]]의 동형
:<math>\mathfrak{sl}(1,5) \cong\mathfrak{su}^*(4) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb H)</math>
로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

== 역사 ==
[[에토레 마요라나]]의 이름을 땄다.

== 응용 ==
물리학의 [[표준 모형]]에서, [[중성미자]]를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, [[중성미자]]는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Majorana spinor}}
* {{웹 인용 |url=http://www.rhysdavies.info/physics_page/resources/notes/spinors.pdf |제목=Construction of spinors in various dimensions |이름=Rhys |성=Davies |언어=en |확인날짜=2018-01-08 |archive-date=2021-05-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210507091718/http://www.rhysdavies.info/physics_page/resources/notes/spinors.pdf |url-status=dead }}
* {{웹 인용 | url=http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/Majorana.pdf | 제목=Majorana spinors | 이름=Figueroa M. | 성=O’Farrill | 언어=en | 확인날짜=2018-01-08 | 보존url=https://web.archive.org/web/20171105104053/http://www.maths.ed.ac.uk/~jmf/Teaching/Lectures/Majorana.pdf | 보존날짜=2017-11-05 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=http://theory.uchicago.edu/~sethi/Teaching/P487-S2003/antSUGRA.pdf|제목=Supergravities in various dimensions|이름=Eduard|성=Antonyan|날짜=2003-06-10|언어=en|확인날짜=2018-01-08|보존url=https://web.archive.org/web/20170822071124/http://theory.uchicago.edu/~sethi/Teaching/P487-S2003/antSUGRA.pdf|보존날짜=2017-08-22|url-status=dead}}

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:이론물리학]]
[[분류:페르미온]]
[[분류:표현론]]
[[분류:아원자 입자]]