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[[복소해석학]]에서 '''코시-리만 방정식'''(-方程式, {{llang|en|Cauchy–Riemann equations}})은 [[열린 집합]]에서 정의된 복소함수가 [[정칙함수]]일 필요충분조건인 연립 [[편미분 방정식]]이다.

== 정의 ==
평면에서 정의된 두 실함수 <math>u</math>, <math>v</math> 에 대한 코시-리만 방정식은 다음과 같다.
:<math>{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}</math>
:<math>{\partial u \over \partial y} = -{\partial v \over \partial x}</math>

== 정칙성과의 관계 ==
복소 평면 위의 [[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위의 함수 <math>u,v\colon U\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
* <math>\partial u/\partial x</math>, <math>\partial u/\partial y</math>, <math>\partial v/\partial x</math>, <math>\partial v/\partial y</math>가 모두 존재한다.
* <math>u+iv\colon U\to\mathbb C</math>는 [[연속 함수]]이다.
'''루만-멘코프 정리(Looman-Menchoff theorem)'''에 따르면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|이름1=Raghavan|성1=Narasimhan|이름2=Yves|성2=Nievergelt|제목=Complex Analysis in One Variable|출판사=Birkhäuser|날짜=2001|판=2nd ed.|언어=en|isbn=9780817641641}}</ref>{{rp|p. 7}}
* <math>u</math>와 <math>v</math>는 <math>U</math> 위에서 코시-리만 방정식을 만족시킨다.
* <math>u+iv\colon U\to\mathbb C</math>는 <math>U</math> 위에서 [[정칙함수]]이다.

반면, 예를 들어 함수
:<math>z\mapsto\begin{cases}\exp(-z^{-4})&z\ne0\\0&z=0\end{cases}</math>
는 복소 평면 전체에서 코시-리만 방정식을 만족시키지만, <math>z=0</math>에서 연속 함수가 아니므로 <math>z=0</math>에서 정칙 함수가 아니다.

== 역사와 어원 ==
[[오귀스탱 루이 코시]]와 [[베른하르트 리만]]의 이름을 땄다. 역사적으로, [[장 르 롱 달랑베르]]가 1752년 [[유체역학]]을 연구하면서 처음 발견하였다.<ref>{{서적 인용|first=J.|last=d'Alembert|저자링크=장 르 롱 달랑베르|제목=Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer|위치=[[파리 (프랑스)|Paris]]|출판사=Chez David l’aîné|날짜=1752|언어=fr}}{{깨진 링크|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer }}</ref> 이후 [[레온하르트 오일러]]가 이 방정식과 해석함수와의 관계를 연구하였다.<ref>{{저널 인용|first=L.|last=Euler|저자링크=레온하르트 오일러|journal=Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|volume=10|year=1797|pages=3–19|제목=Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E694.html|언어=la}}</ref><ref>{{웹 인용|성=Sandifer|이름=Ed|제목=How Euler did it 43: Introduction to Complex Variables|날짜=2007-05|url=http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2043%20Complex%20variables.pdf|출판사=Mathematical Association of America|언어=en|보존url=https://web.archive.org/web/20080107001903/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2043%20Complex%20variables.pdf#|보존날짜=2008-01-07|확인날짜=2013-03-28|url-status=dead}}</ref>
코시는 그의 함수론을 체계화하면서 이 방정식을 사용하였고,<ref>{{서적 인용|first=A.L.|last=Cauchy|authorlink=오귀스탱 루이 코시|제목=
Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires|volume=1|위치=Paris|출판사=Chez de Bure frères|날짜=1814|url=https://archive.org/details/mmoiresurlesin00cauc|언어=fr}}</ref>{{rp|319–506}} 리만은 박사 학위 논문에서 코시-리만 방정식을 다뤘다.<ref>{{서적 인용|이름=Bernhard|성=Riemann|저자링크=베른하르트 리만|날짜=1851|url=http://www.emis.de/classics/Riemann/Grund.pdf|제목=Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse|기타=박사 학위 논문|출판사=[[괴팅겐 대학교]]|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[모레라 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=When is a function that satisfies the Cauchy–Riemann equations analytic?|first1=J. D.|last1=Gray|first2=S. A.|last2=Morris|저널=The American Mathematical Monthly|권=85|호=4|날짜=1978-04|pages=246–256|mr=0470179|zbl=0416.30002|url=http://jstor.org/stable/2321164|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cauchy-Riemann equations}}
* {{매스월드|id=Cauchy-RiemannEquations|title=Cauchy-Riemann equations}}

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 정리]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]
[[분류:조화 함수]]