{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}

[[통계역학]]에서 '''이징 모형'''(Ising模型, {{llang|en|Ising model}})은 [[자석]]의 간단한 [[격자 모형]]이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 [[자기 쌍극자]]의 격자로 나타낸다.<ref>{{서적 인용|제목=상전이와 임계현상|저자=김두철|url=http://minumsa.minumsa.com/book/902/|출판사=민음사|날짜=1983-12-25|isbn=89-374-3503-9|언어=ko}}</ref><ref name="Baxter">{{서적 인용|제목=Exactly solved models in statistical mechanics|이름=Rodney J.|성=Baxter|출판사=Academic Press|날짜=1982|url=http://physics.anu.edu.au/theophys/baxter_book.php|언어=en|access-date=2013-07-08|archive-date=2013-07-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20130704151644/http://physics.anu.edu.au/theophys/baxter_book.php|url-status=dead}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Ross|성= Kindermann|이름2= J. Laurie|성2= Snell|제목=Random Markov fields and their applications|연도=1980|출판사=American Mathematical Society|isbn=0-8218-3381-2|doi=10.1090/conm/001|mr=620955|총서=Contemporary Mathematics|권=1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Ising model: exact results|이름=Barry|성=McCoy|연도=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=7|쪽=10313|doi=10.4249/scholarpedia.10313|연도=2010}}</ref> 각 쌍극자는 +1 또는 &minus;1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[유한 그래프]] <math>\Gamma</math>. 그 [[꼭짓점]] 집합을 <math>\mathsf V(\Gamma)</math>, 변 집합을 <math>\mathsf E(\Gamma)</math>라고 표기하자.
* [[함수]] <math>h\colon\mathsf V(\Gamma) \to \mathbb R</math>, <math>i \mapsto h_i</math>
* [[함수]] <math>\beta \colon \mathsf E(\Gamma) \to \mathbb R</math>, <math>ij \mapsto \beta_{ij}</math>
그렇다면, [[그래프]] <math>\Gamma</math> 위의, 자기장 <math>h</math>에 대한 '''이징 모형'''은 다음과 같은 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]로 정의된다.
:<math>Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma \in \{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}}  \exp\left(\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\beta_{ij}\sigma_i\sigma_j + \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}h_i\sigma_i\right)</math>
여기서 합은 모든 함수
:<math>\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}</math>
:<math>\sigma\colon i \mapsto \sigma_i</math>
에 대한 것이다.

보통, <math>\beta</math> 및 <math>h</math>는 [[상수 함수]]로 놓는다.

== 성질 ==
이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.
:<math>Z_\Gamma(\beta;h_i,h_{j\ne i}) = Z_\Gamma(\beta;-h_i,h_{j\ne i})</math> (자기장의 한 성분을 뒤집음)
:<math>Z_{\Gamma\sqcup\Gamma'}(\beta;h) = Z_{\Gamma}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma);h \restriction \mathsf E(\Gamma)) Z_{\Gamma'}(\beta \restriction \mathsf E(\Gamma');h \restriction \mathsf V(\Gamma'))</math>
:<math>Z_{\varnothing}(\beta;h) = 1</math>
여기서 <math>\sqcup</math>은 [[그래프]]의 [[분리합집합]]이다.

=== 평면 그래프 쌍대성 ===
[[평면 그래프]] <math>\Gamma</math> 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 <math>\Gamma'</math> 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, <math>\Gamma</math>의 고온 이징 모형은 <math>\Gamma'</math>의 저온 이징 모형에 대응한다.

특히, 평면 정사각형 격자 그래프 <math>\mathsf P_\infty \,\square\,\mathsf P_\infty</math>는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 [[상전이]] 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.

== 특별한 경우 ==
특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.

=== 무변 그래프 (고온 극한) ===
만약 <math>\Gamma = \bar{\mathsf K}_N</math>가 <math>N</math>개의 [[꼭짓점]]을 갖는 [[무변 그래프]]라고 하자. 그렇다면,
:<math>Z_\Gamma(\beta;h) = \sum_{\sigma\in\{\pm1\}^N} \exp(\sigma_ih_i) = \prod_{i=1}^N(2\cosh h_i)
</math>
이다. 이 경우 [[헬름홀츠 자유 에너지]]는
:<math>F_\Gamma = - \frac1\beta\ln Z_\Gamma = -\frac1\beta \left(N \ln 2 + \sum_{i=1}^N \ln \cosh h_i \right)</math>
이다.

즉,
:<math>\langle \sigma_i \rangle = - \frac\partial{\partial h_i} \ln Z = 
\tanh h_i</math>
이다.

임의의 [[그래프]] 위의 이징 모형에서, <math>\beta \to 0</math>일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.

=== 완전 그래프 (평균장 근사) ===
만약 <math>\Gamma = \mathsf K_N</math>가 <math>N</math>개의 [[꼭짓점]]을 갖는 [[완전 그래프]]라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 '''평균장 근사''' 平均場近似, {{llang|en|mean-field approximation}}라고 한다.)

편의상, <math>\beta</math>와 <Math>h</math>가 [[상수 함수]]라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를
:<math>n = \sum_i\frac{\sigma_i+1}2</math>
으로 적으면,
:<math>\sum_i\sigma_i = 2n-N</math>
:<math>\exp(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j) = \exp\left(\beta(2n-N)^2/2
- N\beta/2\right)</math>
:<math>\exp\left(\beta\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i\right) = 
\exp(\beta(2n-N)^2/2 - \beta N/2 + h(2n-N))</math>
가 된다. 즉,
:<math>Z_{\mathsf K_N}(\beta,h) = \exp\left(-\frac12\beta N \right)
\sum_{n=0}^N \binom nN
\exp\left(\frac12\beta(2n-N)^2
+h(2n-N)\right)
</math>
이다.

열역학적 극한은
:<math>N\to\infty</math>
:<math>\beta \propto 1/N</math>
이다. 이 경우, 변수
:<math>x = 2n/N - 1</math>

:<math>b = N\beta</math>
를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.
:<math>Z_{\mathsf K_N} \approx \frac12N\exp(-\beta N/2) \int_1^1 \mathrm dx \exp(NS(x;\beta,h))</math>
:<math>S(x;\beta,h) = - \frac12(1+x) \ln (1+x) - \frac12 (1-x) \ln (1-x) + ln 2 + \frac12 bx^2 + hx</math>

만약 <math>S</math>가 하나의 [[최댓값]]을 가지는 경우, 이는 [[라플라스 방법]]으로 근사할 수 있다. <math>S</math>의 최댓값의 위치는
:<math>0 = \left|\frac{\partial S}{\partial x}\right|_{x=x_0} = - \operatorname{artanh}(x_0) + bx_0 + h</math>
이므로
:<math>h = \operatorname{artanh}(x_0) - bx_0</math>
이다. <math>S</math>의 [[최댓값]] 근처의 폭은
:<math>-S''(X_0;\beta,h) = \frac12\left(\frac1{1+x_0} + \frac1{1-x_0}\right) - b
</math>
에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는
:<math>\ln Z_{\mathsf K_N}(b/N, h) = 
\frac12\ln (2\pi N) - \frac12b
- \frac12 \ln (-S''(x_0(b,h);b,h))
+ NS(x_0(b,h);b,h) + o(1)</math>
가 된다.

이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.
:<math>\langle\sigma\rangle = \frac1N \frac{\partial \ln N}{\partial h}= x_0(b,h) - \frac1{2N} \frac\partial{\partial h}\ln (-S''(x_0(b,h);b,h)) + o(1/N)</math>
첫째 항만을 남기고, <math>h</math>에 대하여 풀면 상태 방정식
:<math>b\langle\sigma\rangle+\operatorname{artanh}\langle\sigma\rangle = h</math>
을 얻는다.

이 근사가 잘 성립하려면 (즉, <math>S</math>가 한 점에서 [[최댓값]]을 갖는다면), [[함수]]
:<math>(-1,+1)\to \mathbb R</math>
:<math>x \mapsto \operatorname{artanh} x - bx</math>
가 치역의 값 <math>h</math> 근처에서 [[단사 함수]]이어야 한다. 이것이 항상 성립할 [[필요 충분 조건]]은
:<math>b \le 1</math>
이다. 만약 <math>b>1</math>일 경우, <math>|h|</math>가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 [[원상 (수학)|원상]]을 갖는다. 이 경우, <math>S</math>의 세 개의 [[임계점]] 가운데 <math>S</math>의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 <math>b = 1</math>에서 일어나는 2차 [[상전이]]를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 [[퀴리 온도]] <math>T = \epsilon /k_{\mathrm B} </math>에 해당한다.<ref name="Baxter"/>{{rp|44, (3.2.3)}}

=== 순환 그래프 (1차원 이징 모형) ===
만약 <math>\Gamma = \mathsf C_N</math>가 <math>N</math>개의 [[꼭짓점]]을 갖는 [[순환 그래프]]라고 하자. 이 경우
:<math>\exp(\sum_{i=1}^\infty\beta_i\sigma_i\sigma_{i+1}+\sum_ih_i\sigma_i)
=\prod_{i=1}^N V(\sigma_i,\sigma_{i+1};\beta_i,h_i,h_{i+1})
</math>
:<math>V(\sigma,\sigma';\beta,h,h') = \exp\left(
\beta\sigma\sigma'
+\frac12h\sigma+\frac12h'\sigma'
\right)
</math>
이다. 이는 2×2 대칭 행렬
:<math>V(\beta,h,h') = \begin{pmatrix}
\exp(h/2+h'/2+\beta) & \exp(h/2+h'/2 - \beta) \\
\exp(-h/2+h'/2 - \beta) & \exp(-h/2-h'/2 + \beta)
\end{pmatrix}</math>
로 표현될 수 있다. 그렇다면
:<math>Z = \operatorname{tr}\prod_{i=1}^{N-1} V(\beta_i;h_i,h_{i+1})</math>
이다.

만약 <math>\beta</math>와 <math>h</math>가 [[상수 함수]]라면, 모든 <math>V(\beta_i;h_i,h_{i+1})</math>들이 같아지며, 이 경우
:<math>Z = \lambda_1(V)^N + \lambda_2(V)^N</math>
이 된다. 여기서 <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math>는 <Math>V</math>의 두 (실수) [[고윳값]]이다.

=== 나무 그래프 ===
유한 [[나무 그래프]] <math>T</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 <math>i_0 \in \mathsf V(T)</math>을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 <math>i</math>에 대하여, <math>i_0</math>까지의 최단 [[경로 (그래프 이론)|경로]]의 길이 <Math>\ell(i,i_0)</math>를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 <math>i\in\mathsf V(T)</math>에 대하여, 만약 <math>i \ne i_0</math>라면,
:<math>\ell(\operatorname{prec}(i),i_0) +1 = \ell(i,i_0) </math>
:<math>\operatorname{prec}(i)i \in \mathsf E(T)</math>
인 <Math>\operatorname{prec}(i)\in \mathsf V(T)</math>가 유일하게 존재한다.

그렇다면, 스핀 <math>\sigma_i</math> 대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다.
:<math>\tilde\tau_{i_0} = \sigma_{i_0}</math>
:<math>\tilde\tau_i = \sigma_v\sigma_{\operatorname{prec}(i)}</math>
또한, 임의의
:<math>\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R</math>
:<math>h\colon \mathsf V(T) \to \mathbb R</math>
에 대하여,
:<math>\tilde\beta \colon \mathsf E(T) \to \mathbb R</math>
:<math>\tilde h \colon \mathsf V(T) \to \mathbb R</math>
:<math>\tilde \beta_{\operatorname{prec}(i)i} = h_i</math>
:<math>\tilde h_i = \begin{cases}
\beta_{\operatorname{prec}(i)i} & i \ne i_0  \\
h_{i_0} & i=i_0
\end{cases}
</math>
그렇다면,
:<math>\sigma \leftrightarrow \tilde\sigma</math>
변환 아래 다음이 성립한다.
:<math>Z_T(\beta,h) = Z_T(\tilde\beta,\tilde h)</math>
특히, 만약
:<math>h_i=\begin{cases}
0 & i \ne i_0 \\
h_i & i = i_0
\end{cases}</math>
인 경우 <math>\tilde\beta = 0</math>이므로 다음과 같다.
:<math>Z_T(\beta,h) = Z_T(0,\tilde h) = (2\cosh \exp h_{i_0}) \prod_{ij\in\mathsf E(T)} (2\cosh \beta_{ij})</math>

=== 베테 그래프 ===
[[나무 그래프]] <math>T</math>에서 원점 <math>i_0\in\mathsf V(T)</math>을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
* 원점 <math>i_0\in\mathsf V(T)</math>의 차수는 <math>d_N</math>이다.
* 원점 <math>i_0\in \mathsf V(T)</math>에서 거리가 <Math>N-n</math>인 모든 꼭짓점의 차수는 <math>d_n + 1</math>이다. (즉, <Math>d_n</math>개의 가지들을 가진다.)
* <math>d_0 = 0</math>이다. (즉, 모든 꼭짓점은 원점에서 거리 <math>N</math> 이하이다.)
원점에서 거리 <math>N-n</math>의 꼭짓점 <math>i</math>의 '''높이'''가
:<math>\operatorname{ht}(i) = \ell(i,i_0) = n</math>
이라고 하자.

예를 들어, [[베테 그래프]]의 경우 <math>N \to \infty</math>이며 <math>d_N -1  = d_{N-1} = d_{N-2} = \dotsb = d_1</math>의 꼴이다.

이제, 같은 높이에서 균등한 함수
:<math>\beta_{i\operatorname{prec}(i)} = \beta_{\operatorname{ht}(i)}</math>
:<math>h_i = h_{\operatorname{ht}(i)}</math>
를 생각하자. 즉,
:<math>h_0,\beta_0,h_1,\beta_1,h_2,\dotsc,\beta_{N-1},h_N</math>
이 존재한다.

이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수
:<math>Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\beta_{n-2},\dotsc,\beta_0,h_0)</math>
를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.
:<math>Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\beta_{n-2},\dotsc,\beta_0,h_0)
= \exp(h_N) Z_{N-1}(h_{N-1}+\beta_{N-1},\beta_{N-2},h_{N-2},\dotsc,\beta_0,h_0)^{d_n}
+\exp(-h_N) Z_{N-1}(h_{N-1}-\beta_{N-1},\beta_{N-2},h_{N-2},\dotsc,\beta_0,h_0)^{d_n}
</math>
:<math>Z_0(h_0) = 2 \cosh h_0</math>
편의상 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>C_N(\beta_N,h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = 
\frac12\left(
Z_N(\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc)
+
Z_N(-\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc)
\right)</math>
:<math>S_N(\beta_N,h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = 
\frac12\left(
Z_N(\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc)
-
Z_N(-\beta_N+h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc)
\right)</math>
그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다.
:<math>C_N = 2\cosh\beta_N \left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N}\exp h_N + (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N}\exp h_N\right)</math>
:<math>S_N = 2\sinh\beta_N \left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N}\exp h_N - (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N}\exp h_N\right)</math>
:<math>Z_N(h_N,\beta_{N-1},h_{N-1},\dotsc) = \exp(h_N) (C_{N-1}+S_{N-1})^{d_N} +\exp(-h_N) (C_{N-1}-S_{N-1})^{d_N}</math>

만약 <math>d_i</math>, <math>h_i</math>, <math>\beta_i</math>가 [[상수 함수]]라면, 이는 <math>(C_N,S_N) \in \mathbb R^2</math>에 대한 이산 시간 [[동역학계]]
:<math>\binom cs
\mapsto \binom{
(2\cosh\beta)((c+s)^d+(c-s)^d)
}{
(2\sinh\beta)((c+s)^d-(c-s)^d)
}
</math>
로 여길 수 있다. <math>N\to \infty</math> 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 [[고정점]]에 해당한다.

특히, 만약 <math>d = 1</math>일 때 ([[경로 그래프]]), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 <Math>N</math>의 경우에도 풀 수 있다.

=== 연산자 표현 ===
[[유한 그래프]] <math>\Gamma</math>가 주어졌으며, [[그래프 데카르트 곱]]
:<math>\Gamma \,\square\, \mathsf C_L</math>
위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 <math>\mathsf C_L</math>은 크기 <math>L</math>의 [[순환 그래프]]이다.) 이 경우, [[실수 힐베르트 공간]]
:<math>V = \mathbb R^{\{\pm1\}^{\mathsf V(\Gamma)}}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>2^{|\mathsf V(\Gamma)|}</math>차원 실수 [[힐베르트 공간]]이다. 임의의 함수
:<math>\sigma\colon \mathsf V(\Gamma) \to \{\pm1\}</math>
에 대하여, 기저 벡터
:<math>|\sigma\rangle \in V</math>
를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 <math>V</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다.

각 두 꼭짓점 <math>i,j\in\mathsf V(\Gamma)</math>에 대하여, 연산자
:<math>S_i(\beta,h) \colon V \to V</math>
:<math>T_{ij}(\beta) \colon V \to V</math>
:<math>\langle\sigma|S_i(\beta,h)|\sigma'\rangle = \exp(h(\sigma_i+\sigma'_i)/2+\beta\sigma_i\sigma'_i) \prod_{k\ne i}\delta(\sigma_k,\sigma'_k) </math>
:<math>\langle\sigma|T_{ij}(\beta)|\sigma'\rangle = \exp(\beta\sigma_i\sigma_j) \prod_{k\in\mathsf V(\Gamma)}\delta(\sigma_k,\sigma'_k)</math>
를 정의할 수 있다. 즉, <math>S_i</math>는 <math>\mathsf C_L</math> 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, <Math>T_{ij}</math>는 <math>\Gamma</math> 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 [[에르미트 연산자]]를 이룬다.

그렇다면, 그래프 <math>\Gamma</math> 위에서, <math>\beta</math>와 <math>h</math>가 [[상수 함수]]인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.
:<math>
Z_\Gamma(\beta;h=0)=
 \sum_{\sigma^1,\sigma^2,\dotsc,\sigma^L}
\langle \sigma^1 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^1\rangle
\langle \sigma^1 | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^2 \rangle
\langle\sigma^2 | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^2\rangle
\dotsm
\langle \sigma^L | \prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta) |\sigma^L\rangle
\langle \sigma^L | \prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)} S_i(\beta,h) |\sigma^1\rangle
</math>
여기서
:<math>\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta)
=\sum_{\sigma^a}|\sigma^a\rangle\langle\sigma^a|\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta)
=\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta)
</math>
이다. 즉,
:<math>Z_\Gamma(\beta;h=0) = \operatorname{tr}\left(\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)\right)^L</math>
이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자
:<math>\prod_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} T_{ij}(\beta)\prod_{i\in\mathsf V(\Gamma)}S_i(\beta,h)</math>
의 [[고윳값]]을 구하는 것으로 귀결된다.

=== 2차원 격자 그래프 ===
[[파일:Ising beta 1.gif|섬네일|right|2차원 이징 모형에서의 자기화]]
1차원에서는 양의 온도에서 [[상전이]] 현상이 일어나지 않는다. (다만, [[절대 영도]] <math>\beta = \infty</math>에서 [[상전이]]가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 [[상전이]]가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다.<ref>{{서적 인용|이름=Barry M. |성=McCoy|이름2= Tai Tsun|성2= Wu|제목=The two-dimensional Ising model|연도=1973|출판사=Harvard University Press|ISBN=0-674-91440-6 |언어=}}</ref> 그 열역학적 극한은 [[2차원 등각 장론]]으로 주어진다.

구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.
:{| style="font-size: smaller; "
| || || || ⋮ || || || || ⋮ || || || || ⋮
|-
| || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱
|-
| || || || ● || || || || ● || || || || ●
|-
| || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ ||
|-
| ⋯ || ○ || || || || ○ || || || || ○ ||  || || || ○ || ⋯
|-
| || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱
|-
| ⋯ || || || ● || || || || ● || || || || ● || || || ⋯
|-
| || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ ||
|-
| || ○ || || || || ○ || || || || ○ ||  || || || ○ || 
|-
| || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱ || || ╲ || || ╱
|-
| || || || ⋮ || || || || ⋮ || || || || ⋮
|}
편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 <math>2L</math>개의 행이 있다고 하자. (즉, <math>L</math>개의 ○행과 <math>L</math>개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 <math>N</math>이라고 하고, ○행의 꼭짓점을
:<math>\{0,1,\dotsc,N-1\}\pmod N</math>
이라고 하고, ●행의 꼭짓점을
:<math>\{\tfrac12,\tfrac12+1,\dotsc,N-\tfrac12\} \pmod N</math>
라고 하자.

두 종류의 행에 대응하는 [[실수 힐베르트 공간]]을 각각
:<math>\mathcal H_\bullet \cong \mathbb R^{\{\pm1\}^N}</math>
:<math>\mathcal H_\circ \cong \mathbb R^{\{\pm1\}^N}</math>
라고 하자.

이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.
:<math>V_{\bullet\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\bullet</math>
:<math>V_{\circ\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\circ</math>
:<math>\langle\sigma^\bullet|V_{\bullet\circ}|\sigma^\circ\rangle =
\exp\sum_{i=1}^N (\beta_\nearrow\sigma^\bullet_{i+1/2}\sigma^\circ_i + \beta_\nwarrow\sigma^\bullet_{i-1/2}\sigma^\circ_i)</math>
:<math>\langle\sigma^\circ|V_{\circ\bullet}|\sigma^\bullet\rangle =
\exp \sum_{i=1}^N(\beta_\nearrow\sigma^\circ_i\sigma^\bullet_{i-1/2}+\beta_\nwarrow\sigma^\circ_i\sigma_{i+1/2}^\bullet)</math>
이들을 '''전이 행렬'''(轉移行列, {{llang|en|transition matrix}})이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]를 다음과 같이 적을 수 있다.
:<math>Z_{N,L}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = \operatorname{tr}_{\mathcal H_\circ} (V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ})^L = \sum_{i=1}^{2^N}
\lambda_i^L
</math>
여기서 <math>\lambda_i</math>는 <math>V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}\colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ</math>의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 [[대칭 행렬]]이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 <math>VW</math>의 [[고윳값]]들을 계산하는 것으로 귀결된다.

두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.
:<math>P_{\bullet\circ}^\pm  \colon \mathcal H_\circ\to\mathcal H_\bullet</math>
:<math>\langle\sigma^\bullet|P_{\bullet\circ}^\pm |\sigma^\circ\rangle = \prod_{i=1}^N \delta(\sigma^\bullet_{i\pm1/2},\sigma^\circ_i)</math>
:<math>P_{\circ\bullet}^\pm = (P_{\bullet\circ}^\mp)^{-1}</math>
물론
:<math>(P_{\circ\bullet}^\pm P_{\bullet\circ}^\pm)^N = 1</math>
:<math>(P_{\bullet\circ}^\pm P_{\circ\bullet}^\pm)^N = 1</math>
이다.

또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.
:<math>R_{\bullet\bullet} \colon \mathcal H_\bullet \to \mathcal H_\bullet</math>
:<math>R_{\circ\circ} \colon \mathcal H_\circ \to \mathcal H_\circ</math>
:<math>\langle{\sigma'}^\circ|R_{\circ\circ}|\sigma^\circ\rangle
=\prod_{i=1}^N \delta({\sigma'}^\circ_i,-{\sigma'}^\circ_i)</math>
:<math>R_{\bullet\bullet} = P_{\bullet\circ}^\pm R_{\circ\circ} P_{\circ\bullet}^\mp</math>
즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론
:<math>R_{\bullet\bullet}^2 = 1</math>
:<math>R_{\circ\circ}^2 = 1</math>
이다.

이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.
:<math>V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V_{\bullet\circ}(\beta_\nwarrow,\beta_\nearrow)^\top</math><ref name="Baxter"/>{{rp|95, (7.4.1)}}
만약
:<math>\sinh (2\beta_\nearrow)\sinh(2\beta_\nwarrow) = 
\sinh (2\beta'_\nearrow)\sinh(2\beta'_\nwarrow)</math>
라면,
:<math>V(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow) = V(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow) W(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)</math>
이다. 또한, 다음이 성립한다.
:<math>[V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\bullet\circ}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0</math>
:<math>[V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow), V_{\circ\bullet}(\beta'_\nearrow,\beta'_\nwarrow)] = 0</math>
:<math>V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\circ\circ} = R_{\bullet\bullet}V_{\bullet\circ}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow)</math><ref name="Baxter"/>{{rp|95, (7.4.3)}}
:<math>V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)R_{\bullet\bullet} = R_{\circ\circ}V_{\circ\bullet}(-\beta_\nearrow,-\beta_\nwarrow)</math>
:<math>V_{\circ\bullet}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)P_{\bullet\circ}^\pm = P_{\circ\bullet}^\pm V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)</math>
:<math>V_{\bullet\circ}(\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow)
V_{\circ\bullet}(\beta_\nwarrow+\mathrm i\pi/2,-\beta_\nearrow)
= (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nwarrow))^N
+ (2\mathrm i\sinh (2\beta_\nearrow))^N R_{\bullet\bullet}</math>
이다.

<math>N</math>이 짝수일 때, 행렬 <math>V_{\circ\bullet}V_{\bullet\circ}</math>의 <math>2^N</math>개의 [[고윳값]]들은 다음과 같다. ([[대칭 행렬]]이 아니므로, 일부 [[고윳값]]들은 [[복소수]]이다.)
:<math>\lambda(r,\gamma;\beta_\nearrow,\beta_\nwarrow,N) =
(-4\alpha^{2s-1})^{N/2}\left(
\sinh^N 2\beta_\nwarrow - (-)^{2s} \sinh^N 2\beta_\nearrow
\right) \prod_{i\in\mathbb Z/(N)+s}\mu_i^{\gamma_i}</math><ref name="Baxter"/>{{rp|109, (7.9.7)}}
:<math>\mu_i = \frac{\cosh(2\beta_\nearrow) \cosh (2\beta_\nwarrow) + \sqrt{1+\sinh^2\beta_\nearrow\sinh^2\beta_\nwarrow - 
(\alpha^{2i} + \alpha^{-2i})\sinh\beta_\nearrow\sinh\beta_\nwarrow}
}{
\alpha^i \sinh(2\beta_\nearrow) + \alpha^{-i} \sinh (2\beta_\nwarrow)
} \qquad (i\in \mathbb Z/(N)+s)</math><ref name="Baxter"/>{{rp|109, (7.9.8)}}
여기서
:<math>s \in\{1/2,0\}</math>
:<math>\gamma \in \{\pm1\}^{\mathbb Z/(N)+s},\qquad\sum_{i\in \mathbb Z/(N) + s}^N\gamma_i \equiv N \pmod 4</math>
:<math>\alpha(N) = \exp \frac{\mathrm i\pi}N</math>
이다. <math>(-1)^{2s+1}\in\{\pm1\}</math>는 <math>R_{\circ\circ}</math>의 [[고윳값]]에 해당한다.

== 해석 ==
이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다.
* 이징 모형은 자석(강자성체)의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 [[퀴리 온도]]에서의 상전이에 해당한다.
* 이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로 여길 수 있다.
* 이징 모형은 기체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 기체와 액체 사이의 상전이에 해당한다.

=== 강자성체 ===
<math>N</math>개의 자기 쌍극자 <math>\mu</math>를 포함하는 강자성체에 ([[상수 함수]]가 아닐 수 있는) 외부 [[자기장]] <math>H</math>가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 <math>+\mu</math> 또는 반평행한 방향 <math>-\mu</math> 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 [[위치 에너지]] <math>-\epsilon</math>을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 [[위치 에너지]] <math>\epsilon</math>을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 [[해밀토니언]]은 다음과 같다.
:<math>E=-\epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j-\mu\sum_iH_i\sigma_i</math>
여기서 <math>\sigma_i=\pm1</math>은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, <math>\langle ij\rangle</math>은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 <math>i</math>와 <math>j</math>를 나타낸다.

이 경우 [[볼츠만 분포]]는
:<math>\exp(-E/\mathrm k_{\mathrm B}T) = \exp\left(
\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j
+\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}H_i\sigma_i
\right)</math>
이다.

따라서, 이는
:<math>\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}</math>
:<math>h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i</math>
인 이징 모형에 해당한다.

=== 반강자성체 ===
<math>N</math>개의 자기 쌍극자 <math>\mu</math>를 포함하는 [[반강자성체]]가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 <Math>+\epsilon</math>이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 <math>-\epsilon</math>이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 <math>H</math>라고 하자. 이 경우, 에너지는
:<math>E = \epsilon\sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j - \mu\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} H_i \sigma_i</math>
가 된다. 즉, 볼츠만 분포는
:<math>
\exp\left(-\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}\sum_{ij\in\mathrm E(\Gamma)}\sigma_i\sigma_j
+\frac\mu{k_{\mathrm B}T}\sum_{i\in\mathrm V(\Gamma)}H_i\sigma_i
\right)</math>
가 된다.

이는
:<math>\beta = -\frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}</math>
:<math>h_i = \frac\mu{k_{\mathrm B}T}H_i </math>
가 되는 이징 모형에 해당한다.

=== 기체 ===
[[파일:Schematic of the Lennard-Jones 6-12 Potential.png|섬네일|right|기체 분자 사이의 퍼텐셜의 대략적인 모양 ([[레너드-존스 퍼텐셜]])]]
기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜 <math>V(r)</math>은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.
* 두 입자가 매우 가까울 때, 매우 강한 척력이 작용한다. 즉, <math>r\to0</math>일 때 <math>V(r) \to +\infty</math>이다.
* 두 입자가 매우 가깝지 않을 경우, 인력이 작용한다. 즉, 어떤 거리 <math>r \sim r_0</math> 근처에서 퍼텐셜 우물이 존재한다. 이 근처에서 퍼텐셜은 음수이다.
* 두 입자가 매우 멀 경우, 서로 힘을 가하지 않는다. 즉, <math>r \to \infty</math>일 때 <math>V</math>는 0으로 수렴한다.
물론, <Math>V = 0</math>일 경우는 [[이상 기체]]에 해당한다. <math>V</math>의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 [[상전이]]를 가능하게 한다.

이제, 그래프 <math>\Gamma</math> 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,
* <math>\sigma_i = +1</math>인 것은 꼭짓점 <math>i \in \mathsf V(\Gamma)</math>에 기체 분자가 하나 존재함을 나타낸다.
* <math>\sigma_i = -1</math>인 것은 꼭짓점 <math>i \in \mathsf V(\Gamma)</math>에 기체 분자가 없음을 나타낸다.
* <math>\sigma_i = \{\pm1\}</math>인 것은 같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없음을 나타낸다. 즉, <math>\textstyle\lim_{r\to0}V(r) \gg1</math>이다.
* 변 <math>ij\in\mathsf E(\Gamma)</math>에 대응하는 해밀토니언의 항 <math>\sigma_i\sigma_j</math>은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다.
* 해밀토니언에서 서로 변으로 연결되어 있지 않은 꼭짓점은 서로 상호 작용하지 않는다. 이는 원거리의 입자가 상호 작용하지 않음을 나타낸다.

즉, 총 분자 수는
:<math>N = \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)}\frac{\sigma_i + 1}2</math>
이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 <math>-\epsilon_0</math>이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는
:<math>E = -\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)}
\frac{(\sigma_i + 1)(\sigma_j + 1)}4
=-\frac14\epsilon \sum_{ij\in\mathsf E(\Gamma)} \sigma_i \sigma_j
- \frac14\epsilon  | \mathsf E(\Gamma)| 
- \frac14 \epsilon \sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} \sigma_i\deg_\Gamma(i)
</math>
이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은
:<math>\exp\left(-\frac E{k_{\mathrm B}T}+ \frac\mu{k_{\mathrm B}T} \beta\sum_{i\in\mathsf V(\Gamma)} \frac{(\sigma_i+1)}2\right)</math>
이다. 이는
:<math>\beta = \frac\epsilon{k_{\mathrm B}T}</math>
:<math>h_i = \frac\mu{2k_{\mathrm B}T} + \frac\epsilon{4k_{\mathrm B}T} \deg_\Gamma(i)</math>
가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 <math>\mu</math>는 [[화학 퍼텐셜]]이며, <math>\deg_\Gamma(i)</math>는 꼭짓점 <math>i</math>에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 <math>\Gamma</math>가 [[정규 그래프]]일 경우, <math>h</math> 역시 [[상수 함수]]가 된다.

크기 <math>|\mathsf V(\Gamma)|</math>를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수
:<math>Z_\Gamma(\beta,h)</math>
가 그래프의 크기 <math>|\mathsf V(\Gamma)|</math>에 대한 [[매끄러운 함수]]로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 <math>v_0</math>라고 할 때, 기체의 압력은
:<math>P = \frac{k_{\mathrm B}T}{v_0} \left(\frac{\partial\ln Z}{\partial|\mathsf V(\Gamma)|}\right)_T</math>
에 해당한다. (여기서 <math>v_0\sim r_0^d</math>는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 <math>r_0</math>의, 그래프 차원 <math>d</math>에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 <math>|\mathsf V(\Gamma)| \to \infty</math>이 잘 정의된다면, 자유 에너지 <math>-T\ln Z</math>가
:<math>\ln Z \propto |\mathsf V(\Gamma)|\qquad(|\mathsf V(\Gamma)|\gg1)</math>
이어야 한다. 즉, 이 경우
:<math>P =  \frac{k_{\mathrm B}T\ln Z}{v_0|\mathsf V(\Gamma)|}</math>
가 된다.

=== 이합체 모형 ===
{{본문|이합체 모형}}
2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 [[정규 그래프]] 위의 [[이징 모형]]은 [[이합체 모형]]으로 해석될 수 있다.

== 역사 ==
빌헬름 렌츠({{llang|de|Wilhelm Lenz}}, 1888-1957)가 제자 에른스트 이징({{llang|de|Ernst Ising}}, 1900-1998)에게 연습 문제로 제안하였다.<ref>{{저널 인용|성=Brush|이름=Stephen G.|제목=History of the Lenz–Ising Model|저널=Reviews of Modern Physics|권=39|호=4|쪽=883–893|연도=1967|doi=10.1103/RevModPhys.39.883}}</ref> 이징은 1925년 박사 학위 논문<ref>{{저널 인용|저널=Zeitschrift für Physik|권=31|호=1|연도=1925|쪽=253-258|doi=10.1007/BF02980577|제목=Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus|성=Ising|이름=Ernst|bibcode=1925ZPhy...31..253I|언어=de}}</ref>에서 1차원 이징 모형에는 [[상전이]]가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 [[라르스 온사게르]]가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Onsager|이름=Lars|저자링크=라르스 온사게르|저널=Physical Review|권=65|호=3–4|쪽=117–149|연도=1944|제목=Crystal statistics I: a two-dimensional model with an order-disorder transition|doi=10.1103/PhysRev.65.117|bibcode=1944PhRv...65..117O}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Somendra M.|성=Bhattacharjee|이름2=Avinash|성2=Khare|제목=Fifty years of the Exact Solution of the two-dimensional Ising model by Onsager|url=http://cs-test.ias.ac.in/cs/Downloads/article_id_069_10_0816_0821_0.pdf|저널=Current Science|권=69|호=10|연도=1995|월=11|쪽=816–820|arxiv=cond-mat/9511003|access-date=2012-09-21|archive-date=2018-07-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20180705150602/http://cs-test.ias.ac.in/cs/Downloads/article_id_069_10_0816_0821_0.pdf|url-status=dead}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[볼츠만 머신]]
* [[포츠 모형]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Ising model}}
* {{nlab|id=Ising model}}
* {{수학노트|title=1차원 이징 모형(Ising model)}}
* {{수학노트|title=이징 모형의 범함수 적분 형태}}
* {{수학노트|title=2차원 이징 모형 (사각 격자)}}
* {{수학노트|title=2차원 이징 모형의 크라머르스-바니어 쌍대성}}

{{전거 통제}}

[[분류:격자 모형]]