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[[가환대수학]]에서 '''크룰 정역'''(Krull整域, {{llang|en|Krull domain}}) 또는 '''크룰 환'''(Krull環, {{llang|en|Krull ring}})은 [[아이디얼]]의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 [[정역]]이다. [[데데킨트 정역]]의 고차원 일반화이다.

== 정의 ==
임의의 [[정역]] <math>R</math>이 주어졌으며, <math>P</math>가 그 [[소 아이디얼의 높이|높이]] 1의 [[소 아이디얼]]들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
* 만약 <math>R</math>가 [[정규 스킴|정규환]]이라면, <math>\textstyle R\subseteq\bigcap_{\mathfrak p\in P}R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R</math>이며, 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이라면 <math>\textstyle R=\bigcap_{\mathfrak p\in P}R_{\mathfrak p}</math>이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이라면, 임의의 <math>r\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여 <math>\{\mathfrak p\in P\colon r\in\mathfrak p\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[정규 스킴|정규]] [[뇌터 환]]이라면, <math>\mathfrak p\in P</math>에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[이산 값매김환]]이다. (이는 1차원 [[뇌터 환|뇌터]] [[정수적으로 닫힌 정역]]이 [[이산 값매김환]] 조건과 [[동치]]이기 때문이다.)
그러나 위 세 성질은 임의의 [[정역]]에 대하여 성립하지 않는다.

'''크룰 정역'''은 위 세 성질들을 만족시키는 [[정역]]이다. 즉, [[정역]] <math>R</math>가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 '''크룰 정역'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 [[소 아이디얼의 높이|높이]] 1의 [[소 아이디얼]]들의 집합을 <math>P</math>라고 하자. 임의의 <math>\mathfrak p\in P</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[이산 값매김환]]이다.
* 국소화는 분수체의 부분환 <math>R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R</math>으로 생각할 수 있다. 그렇다면 <math>\textstyle\bigcap_{\mathfrak p\in P}R_{\mathfrak p}=R\subseteq\operatorname{Frac}R</math>이다.
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, 만약 <math>r\ne0</math>이라면 <math>\{\mathfrak p\in P\colon r\in\mathfrak p\}</math>는 [[유한 집합]]이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
{| style="text-align: center"
| [[가환환]] ⊃ [[정역]] ⊃ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊃ || 크룰 정역 || ⊃ || [[데데킨트 정역]]
|-
| || ∪ || || ∪
|-
| || [[유일 인수 분해 정역]] || ⊃ || [[주 아이디얼 정역]] || ⊃ [[유클리드 정역]] ⊃ [[체 (수학)|체]]
|}

크룰 정역 <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* [[소 아이디얼의 높이|높이]]가 1인 모든 [[소 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 크룰 환이다.
* <math>R</math>의 (유일한 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>에 대한) [[완비화 (환론)|완비화]]는 크룰 환이다.

[[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[데데킨트 정역]]이다.
* [[크룰 차원]]이 0 또는 1인 크룰 정역이다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 크룰 정역이다.
* [[정수적으로 닫힌 정역]]이다.

만약 <math>R</math>가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.
* [[다항식환]] <math>R[x]</math>
* [[형식적 멱급수환]] <math>R[[x]]</math>

'''모리-나가타 정리'''([森]-[永田]定理, {{llang|en|Mori–Nagata theorem}})에 따르면, <math>R</math>가 [[뇌터 환|뇌터]] [[정역]]이며, <math>L</math>이 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math> 위의 유한 [[대수적 확대]]라고 하자. 그렇다면, <math>R</math>의 <math>L</math> 속의 [[정수적 폐포]]는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로({{llang|ja|森 誉四郎}})<ref>{{저널 인용 | last=Mori | first=Yoshiro | title=On the integral closure of an integral domain | year=1953 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=27 | pages=249–256|url=http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777561|mr=58583 | 언어=en}}</ref>와 [[나가타 마사요시]]<ref>{{저널 인용 | last=Nagata | first=Masayoshi | 저자링크=나가타 마사요시 | title=On the derived normal rings of Noetherian integral domains | url= http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777189 |mr=0097388 | year=1955 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=29 | pages=293–303 | 언어=en}}</ref> 가 증명하였다.

=== 크룰 정역의 인자 이론 ===
크룰 정역(의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]) 위에서는 [[대수다양체]]와 마찬가지로 [[인자 (대수기하학)|인자]] 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역 <math>R</math> 위의 [[베유 인자]]는 높이가 1인 [[소 아이디얼]]들의 형식적 [[선형 결합]]이다. 이들이 이루는 [[자유 아벨 군]]을 <math>D(R)</math>라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 [[주 아이디얼]]인 [[소 아이디얼]] <math>(r)</math>은 '''주인자'''({{llang|en|principal divisor}})라고 하며, 이들은 아벨 군 <math>P(R)\subseteq D(R)</math>를 이룬다.  크룰 정역 <math>R</math> 위의 [[카르티에 인자]]는 국소 주 베유 인자({{llang|en|locally principal Weil divisor}})이다. 카르티에 인자들 역시 [[아벨 군]] <math>C(R)</math>를 이룬다. 이에 따라 [[아벨 군]]의 포함 관계
:<math>P(R)\subseteq C(R)\subseteq D(R)</math>
가 존재한다.

인자군의 주인자군에 대한 [[몫군]]
:<math>D(R)/P(R)</math>
를 <math>R</math>의 '''[[인자 유군]]'''이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 [[몫군]]
:<math>C(R)/P(R)\subseteq D(R)/P(R)</math>
를 <math>R</math>의 '''[[피카르 군]]'''이라고 한다. 이는 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[가역층]]들의 [[텐서곱]]에 대한 [[아벨 군]]과 동형이다.

== 예 ==
[[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math> 위의, [[가산 무한]] 개의 변수의 [[다항식환]] <math>R[x_1,x_2,\dots]</math>는 크룰 정역이지만, [[뇌터 환]]이 아니다.

== 역사 ==
[[볼프강 크룰]]이 1931년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Krull | first=Wolfgang | authorlink=볼프강 크룰 | title=Allgemeine Bewertungstheorie | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002172062 | year=1931 | journal=  Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume=167 | pages=160–196 | doi = 10.1515/crll.1932.167.160 | zbl=0004.09802 | jfm=58.0148.02 | 언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | last=Samuel | first=Pierre | 제목=Lectures on unique factorization domains | url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf | publisher=Tata Institute of Fundamental Research | 총서=Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics | 권=30 | mr=0214579 | 날짜=1964 | 언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Krull ring}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/74427/does-the-name-divisor-in-algebraic-geometry-relate-to-divisor-in-the-basic-arith|제목=Does the name divisor in algebraic geometry relate to divisor in the basic arithmetic or ring theory sense?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]