{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Polynomialdeg5.svg|섬네일|네 개의 [[임계점 (수학)|임계점]]을 가지는 오차함수의 그래프]]

'''오차 방정식'''(Quintic equation)이란, 최고차항의 차수가 5인 [[다항 방정식]]을 뜻한다. 일반적인 형태는

:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 , \;a\ne 0</math>
와 같다. 여기에서 <math>a, b, c, d, e</math>는 각각 <math>x^5 , x^4 , x^3 , x^2, x </math>의 [[계수]]라고 한다. 또한 <math>f</math>는 상수항이라고 부른다.

그리고 차수가 홀수인 경우를 기수차라고 하고 짝수인 경우를 우수차라고 하기 때문에, 오차방정식은 기수차 방정식이다. 또한 차수가 소수인 방정식을 기약 방정식이라고 한다.

== 오차방정식의 근 ==
[[갈루아]]와 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]은 기하적인 면을 배제하고 계수만 가지고 표현할 수 없다는 것을 증명했다. 반면에 [[일차 방정식|일차]], [[이차 방정식|이차]], [[삼차 방정식|삼차]], [[사차 방정식]]은 그러한 과정이 가능하다. 이 결과는 아벨-루피니 정리([[:en:Abel–Ruffini theorem|Abel–Ruffini theorem]])로 알려져 있으며 1924년에 최초로 출판되었다.<ref name="영문위키">출처는 영문 위키피디아</ref> 종종 일반인들은 이 결과가 '5차 방정식을 항상 풀 수 없다' 또는 '5차 방정식은 해가 없다'로 오해하여 받아들이는데, 이는 잘못된 것이다. [[대수학의 기본 정리]](fundamental theorem of algebra)에 의해 복소수 범위에서 5차방정식의 해는 항상 존재한다. 다만, 그 해를 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 표현을 할 수 없다는 것이다. 이는 마치 자연수를 유한번 이용하여 [[원주율]]을 표현할 수 없는 것과 유사하다.

실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 [[뉴턴의 방법]], [[:en:Laguerre's method|Laguerre의 방법]], [[:en:Jenkins-Traub algorithm|Jenkins-Traub 알고리즘]] 등 다양한 기법이 알려져 있다.

== 근과 계수와의 관계 ==
{{참고|근과 계수의 관계}}
오차방정식 <math>\textstyle ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex+ f=0 </math>의 다섯 근을 <math>\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon</math>라고 하면,
다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.
:<math>(x-\alpha) (x- \beta) (x- \gamma) (x- \delta) (x-\epsilon)=0 </math>
:<math>x^5 -(\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon)x^4+(\alpha\beta+  \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\beta\gamma+  \beta\delta+   \beta\epsilon+ \gamma\delta+   \gamma\epsilon+  \delta\epsilon  )x^3 </math>
<math>- (\alpha\beta\gamma+   \alpha\beta\delta+  \alpha\beta\epsilon +\alpha\gamma\delta  +\alpha\gamma\epsilon +\alpha\delta\epsilon +\beta\gamma\delta +\beta\gamma\epsilon+ \beta\delta\epsilon+ \gamma\delta\epsilon )x^2 </math>
:<math>+(\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\epsilon + \beta\gamma\delta\epsilon)x - \alpha\beta\gamma\delta\epsilon =0 </math>
또한,
:<math>\alpha+ \beta+ \gamma+ \delta+ \epsilon = -{ b \over a} </math>
:<math>\alpha\beta+  \alpha\gamma+ \alpha\delta+ \alpha\epsilon+\beta\gamma+  \beta\delta+   \beta\epsilon+ \gamma\delta+   \gamma\epsilon+  \delta\epsilon = { c \over a} </math>
:<math>\alpha\beta\gamma+   \alpha\beta\delta+  \alpha\beta\epsilon +\alpha\gamma\delta  +\alpha\gamma\epsilon +\alpha\delta\epsilon + \beta\delta\epsilon +\beta\delta\gamma +\beta\gamma\epsilon+ \gamma\delta\epsilon = -{ d \over a} </math>

:<math>\alpha\beta\gamma\delta+ \alpha\beta\gamma\epsilon+ \alpha\beta\delta\epsilon+\alpha\gamma\delta\epsilon + \beta\gamma\delta\epsilon= { e \over a} </math>
:<math>\alpha\beta\gamma\delta\epsilon= -{ f \over a} </math> 의 관계가 있다.

특히 각 항(<math>x^5,x^4,x^3,x^2,x,f</math>)에 따른  계수의 출현에 대한 조합개수는 [[조합]]의 [[경우의 수]]로 따져 볼 수 있다.

5차방정식에 존재하는 5개의 가상의 근을 <math>\textstyle \alpha, \beta, \gamma, \delta,\epsilon</math>라고 하면, 1개씩의 조합의  경우의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{1! \cdot (5-1)!}= {{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {1! \cdot (4\cdot3 \cdot 2 \cdot 1)}} ={5 \over 1}=5  </math>
2개씩의 조합의  경우의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{2! \cdot (5-2)!}= {{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {2! \cdot ( 3 \cdot 2 \cdot 1)}} ={{5\cdot4} \over {2\cdot1}}={20 \over 2}=10  </math>
3개씩의 조합의  경우의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{3! \cdot (5-3)!}= {{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {3! \cdot (2\cdot1)}} ={{5\cdot4} \over {2\cdot1}}={20 \over 2}=10  </math>
4개씩의 조합의  경우의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{4! \cdot (5-4)!}= {{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {4! \cdot (1)}} ={{5} \over {1}}=5  </math>이다.
5개씩의 조합의  경우의 수는 ,
:<math>\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}=\frac{5!}{5! \cdot (5-5)!}= {{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {5! \cdot 0!}} ={{5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \over {5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}={120 \over 120}=1 </math>이다.

== 차고차항 압축 정리([[취른하우스 변형]])   ==
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math>
다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의  최고차항(<math>n</math>차항)의 <math>x</math>의 계수, <math>a</math>로 나눈 다음 <math>\textstyle x=y- {b \over \mathbf{n} a}</math>의 형태로 치환하면 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬 수 있다. 이러한 절차로 정리하는 것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라 칭한다.

이 과정을 5차방정식에 적용시키면 다음과 같이 된다.
먼저, 최고차항의 계수로 양변을 나눈다.

<math>x^5+{b \over a}x^4+{c \over a}x^3+{d \over a}x^2+{e \over a}x+{f \over a}=0</math>

그리고 y로 치환한다.

<math>x=y-{b \over \mathbf{5} a}</math>

그러면, 방정식은

<math>y^5+py^3+qy^2+ry+s=0</math>

의 꼴로 정리된다. 여기서 <math>p, q, r, s</math>는 다음과 같다.

<math>p= {{-2b^2 +5ac} \over {5a^2}}</math>
<math>q= {{4b^3-15abc+25a^2d} \over {25a^3}}</math>
<math>r= {{-3b^4+15ab^2 c-50a^2 bd+125a^3 e} \over {125a^4}}</math>
<math>s= {{625a^3 be+4b^5 -25ab^3 c+125a^2 b^2 d+3125a^5 f} \over {3125a^5}}</math>

== 일반적인 해법이 있는 특수 5차 방정식들 ==
'''[[상반방정식]]'''
5차 방정식은 차수가 홀수(기수)이므로 우선, [[조립제법]]이나 [[다항식 장제법]]으로 <math>(x\pm a)</math>의 꼴과 4차 방정식으로 찻수를 낮추어 푼다.

예) :<math>ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0   </math>
이 식은 먼저 하나의 해는 무조건 <math>-1</math>임을 알아야 한다. <math>-1</math>이 나올 수 있는 인수는 <math>(x+1)</math>이므로 조립제법을 통해 남는 인수를 알아낸다. 조립제법을 이용하면 방정식은
:<math>ax^4 + (-a+b)x^3 + (a-b+c)x^2 + (-a+b)x + a = 0   </math>
가 되고 이 방정식은 짝수차 상반방정식이므로 짝수차의 해법을 이용하여 푼다.

'''[[이항방정식]]'''
:<math>x^5 \pm a = 0</math>의 꼴은 이항방정식으로 <math>a</math>와 근의 계수 <math>\omega</math>를 찾아 5개의 근을 구할 수 있다.

==   오차방정식의 판별식 ==
오차 방정식의 [[판별식]]은 59개항으로 이루어져 있다.

[[실베스터 행렬]]의 [[종결식]]을 사용한  [[소행렬식]]의 [[라플라스 전개]]로  5차방정식의 판별식 유도가 가능하다.
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 </math>을
:<math>a_5 x^5+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1x^1+a_0=0  </math>으로 계수를 예약했을때, [[실베스터 행렬]] <math>M=(2n-1)\cdot(2n-1)</math>
<!--:<math>a_5 x^5+a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1x^1+a_0x^0=0</math>으로 계수를 가정했을때,  [[실베스터 행렬]] <math>M=(2n-1)\cdot(2n-1)</math> -->

:<math>
M=\begin{bmatrix}
a_5   &  a_4   &  a_3   &  a_2    &  a_1   &  a_0   &  0    &   0     &  0   \\
0     &a_5   &  a_4   &  a_3    &  a_2   &  a_1   &  a_0  &   0     &  0    \\
0     &   0    &a_5   &  a_4    &  a_3   &  a_2   &  a_1  &  a_0      &  0  \\
0      &  0    &   0    &a_5   &  a_4    &  a_3   &  a_2   &  a_1  &  a_0   \\
5a_5   &4a_4  &  3a_3  &  2a_2   &  1a_1  &  0a_0  &  0    &   0     &  0    \\
0     &5a_5   &  4a_4  &  3a_3   &  2a_2  &  1a_1  &  0a_0 &   0      &  0   \\
0     &    0   &5a_5   &  4a_4   &  3a_3  &  2a_2  &  1a_1 &  0a_0     &  0  \\
0a_0  & 0      &    0    &5a_5   &  4a_4  &  3a_3  &  2a_2 &  1a_1     &  0  \\
0   &  0a_0  & 0      &    0    &5a_5   &  4a_4  &  3a_3  &  2a_2 &  1a_1   \\
\end{bmatrix}</math>
:<math> D= (-1)^{n(n-1)\over 2} a_n^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{5(5-1)\over 2} a_5^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{20\over 2} a_5^{-1} M </math>
:<math> D= (-1)^{10} a_5^{-1} M </math>

== 브링-제라드 형태 ==
오차 방정식이 오차 항, 선형 항 및 절대 항만 포함하는 경우 이 방정식은 브링-제라드 (Bring-Jerrard) 형식을<ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/|제목=Bring-Jerrard Quintic Form|성=Weisstein|이름=Eric W.|언어=en|확인날짜=2022-01-24}}</ref> 갖는다. 십구 세기 후반에 John Stuart Glashan, George Paxton Young, Carl Runge는 [[초등함수]]를 사용하여 항상 풀 수 있는 매개변수화를 발견했다:

: <math>x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x = \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}</math>

그리고 이것은 이 방정식의 일반적인 해다:

: <math>x = \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} + 2\nu - 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2\mu\sqrt{20\nu + 15}}{5\sqrt[4]{\nu^2 + 1}}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{125\sqrt[4]{\nu^2 + 1}(2\sqrt{\nu^2 + 1} - 2\nu + 1)}{(20\nu + 15)^{3/2}}\biggr]\biggr\}</math>

이것은 μ = 1 과 ν = 0에 대한 계산 예다:

: <math>x^5 + 15x = 12</math>
: <math>x = \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\cosh[\tfrac{1}{5}\text{arcosh}(\tfrac{5}{9}\sqrt{15})] - \tfrac{2}{5}\sqrt{15}\sinh[\tfrac{1}{5}\text{arsinh}(\tfrac{5}{3}\sqrt{15})]</math>

매개변수를 변경하여 다음과 같은 방정식 및 해결책 쌍을 설정할 수 있다:

: <math>x^5 + x = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2}}{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}}</math>
: <math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>

이 해결책 공식은 모든 [[실수]] 값 0 < y < 2에 대해 유효하다.

== 모듈러 타원 함수를 통한 해결책 ==
다음에서 이 방정식을<ref>{{저널 인용|last=Brioschi|first=F.|date=1858-12-01|title=Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite — Sur la résolution de l'Équation du cinquiéme degré Comptes rendus —. N. 11. Mars. 1858|url=https://zenodo.org/record/2401804|doi=10.1007/bf03197334}}</ref> 일반화한다:

: <math>x^5 + x = w</math>
: <math>x = \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\cosh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arcosh}\biggl[\frac{5\sqrt{5 + 5y^2}}{(1 + 2y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\} -</math>
: <math>- \frac{2}{5}y^{-1/4}\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}\sinh\biggl\{\frac{1}{5}\text{arsinh}\biggl[\frac{5y\sqrt{5 + 5y^2}}{(2 - y)\sqrt{4 + 6y - 4y^2}}\biggr]\biggr\}</math>
: <math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2}</math>

이 공식은 아래에 설명되어 있다.

위의 방정식에서 다음 방정식이 생성된다:

: <math>w = \frac{2}{5}y^{-5/4}\frac{(1 + y - y^2)\sqrt{2 + 2y^2}}{\sqrt[4]{10 + 15y - 10y^2}}</math>

방정식은 다음과 같이 재정렬될 수 있다:

: <math>\bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sqrt{\frac{3125}{256}w^4 + 1} - \frac{25}{16}\sqrt{5}\,w^2</math>
: <math>\bigl(\frac{2y^5 - y^6}{1 + 2y}\bigr)^{1/2} = \sin\bigl\{2\arcsin\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\}</math>
: <math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]^5\bigr\}^2}{2\vartheta_{00}\bigl\{q\bigl[\bigl(50\sqrt{5}\,w^2 + 32 + 2\sqrt{3125w^4 + 256}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{3125w^4 + 256} + 16} + 5\sqrt[4]{5}\,w\bigr)\bigr]\bigr\}^2} - \frac{1}{2}</math><math>y = \frac{5\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^2}{2\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} - \frac{1}{2}</math>

그리스 기호는 테타 야코비 [[세타 함수|테타 함수]]를 나타낸다:

: <math>\vartheta_{00}(z) = 1 + 2\sum_{k = 1}^{\infty} z^{k^2} </math>
: <math>\vartheta_{00}(z) = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - z^{2k})(1 + z^{2k - 1})^2</math>

[[놈 (수학)|놈 함수]]는 문자 q로 표시된다:

: <math>q(\varepsilon) = \exp[-\pi K(\sqrt{1 - \varepsilon^2}) K(\varepsilon)^{-1}] </math>

문자 K는 제1종 완전 [[타원 적분]]을 나타낸다:

: <math>K(r) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin(\varphi)^2}} \mathrm{d}\varphi  </math>

약어 ctlh 및 aclh로 [[렘니스케이트]](lemniscate) 함수가<ref>{{저널 인용|last=Deng|first=Ji-En|last2=Chen|first2=Chao-Ping|date=2014-01-24|title=Sharp Shafer-Fink type inequalities for Gauss lemniscate functions|url=https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-35|journal=Journal of Inequalities and Applications|volume=2014|issue=1|pages=35|doi=10.1186/1029-242X-2014-35|issn=1029-242X}}</ref> 표시된다:

: <math>\mathrm{sl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\sin\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \cos(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>
: <math>\mathrm{cl}(\varphi) = \tan\biggl\langle 2\arctan\biggl\{\frac{4}{G}\cos\bigl(\frac{\varphi}{G}\bigr)\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\cosh[(2k-1)\pi]}{\cosh[(2k-1)\pi]^2 - \sin(\varphi/G)^2}\biggr\}\biggr\rangle</math>
: <math>[\text{sl}(\varphi)^2 + 1][\text{cl}(\varphi)^2 + 1] = 2 </math>
: <math>\text{ctlh}(\varrho) = \operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)\biggl[\frac{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+1}{\operatorname{sl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2+\operatorname{cl}(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\varrho)^2}\biggr]^{1/2} </math>
: <math>\text{aclh}(s) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\,\pi\,G - \int_{0}^{1} \frac{s}{\sqrt{s^4 t^4 + 1}} \,\mathrm{d}t </math>
: <math>G = \tfrac{1}{2}\sqrt{2\pi}\,\Gamma(\tfrac{3}{4})^{-2} </math>
: <math>
\text{ctlh}\bigl[\tfrac{1}{2}\mathrm{aclh}(s)\bigr]^2 = (2s^2 + 2 + 2\sqrt{s^4 + 1})^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{s^4 + 1} + 1} + s)
</math>
: <math>
\text{sl}\bigl[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\mathrm{aclh}(s)\bigr] = \sqrt{\sqrt{s^4 + 1} - s^2}
</math>

문자 G는 [[가우스 상수]]를 나타낸다.

== 로저스 라마누잔 연속 분수 ==
로저스 라마누잔 (Rogers Ramanujan) 연속 분수는<ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/|제목=Rogers-Ramanujan Continued Fraction|성=Weisstein|이름=Eric W.|언어=en|확인날짜=2022-01-24}}</ref> 다음과 같이 정의된다:

: <math>R(z) = z^{1/5} \frac{(z;z^5)_{\infty}(z^4;z^5)_{\infty}}{(z^2;z^5)_{\infty}(z^3;z^5)_{\infty}}</math>
두 개의 항목으로 구성된 대괄호 표현식은 [[포흐하머 기호]]를 나타낸다.
: <math>R(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z^{1/2})^2}{2\vartheta_{00}(z^{5/2})^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>
: <math>R(z^2) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5} \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5}</math>
: <math>S(z) = \tan\biggl\{\frac{1}{2}\arctan\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{1/5} \cot\biggl\{\frac{1}{2}\arccot\biggl[\frac{\vartheta_{00}(z)^2}{2\vartheta_{00}(z^5)^2} - \frac{1}{2}\biggr]\biggr\}^{2/5}</math>
: <math>S(z) = \frac{R(z^4)}{R(z^2)R(z)}</math>

이 공식을 기반으로 다음 공식 쌍을 만들 수 있다:

: <math>x^5 + x = w</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{5}{4}\sqrt[4]{5}\,w)]^2\}\bigr\rangle^3}</math>

첫 번째 계산 예:

: <math>x^5 + x = 3</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math><math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{15}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.452374059450344348576600264284387826377845763909</math>
: <math>x \approx 1.132997565885065266721141634288532379816526027727</math>

두 번째 계산 예:

: <math>x^5 + x = 7</math>
: <math>x = \frac{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle}{S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{1 - R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle\,S\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle}{R\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^2\bigr\rangle^2} \times</math>
: <math>\times \frac{\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^{1/5}\bigr\rangle^2 - 5\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}^5\bigr\rangle^3}{2\sqrt[4]{20}\,\text{sl}[\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]\,\vartheta_{00}\bigl\langle q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\}\bigr\rangle^3}</math><math>q\{\text{ctlh}[\tfrac{1}{2}\text{aclh}(\tfrac{35}{4}\sqrt[4]{5})]^2\} \approx 0.53609630892200161460073096549143569900990236</math>
: <math>x \approx 1.4108138510595771319852918753499397839215989</math>

== 같이 보기 ==
* [[일차 방정식]]
* [[이차 방정식]]
* [[삼차 방정식]]
* [[사차 방정식]]
* [[육차 방정식]]
* [[칠차 방정식]]
* [[상반방정식]]

== 각주 ==
<references/>


[[분류:방정식]]