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'''라플라스 변환'''({{lang|en|Laplace transform}})은 어떠한 함수 <math>f(t)</math>에서 다른 함수로의 변환으로, [[선형 동역학계]]와 같은 [[미분 방정식]]을 풀 때 유용하게 사용된다. [[피에르시몽 라플라스]]의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식을 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

== 정의 ==
함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환은 모든 [[실수]] t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 <math>F(s)</math>로 정의된다<ref>{{서적 인용| title = Advanced Engineering Mathematics  | edition = 9th  | author = Kreyszig, E. | publisher = John Wiley & Sons  | year = 2006  | isbn = 978-0-471-72897-9}}</ref>.

: <math>F(s)
  = \mathcal{L}\left\{ f\right\}(s)
  =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.</math>
여기서 <math>0^-</math>는 <math>\lim_{\epsilon \rightarrow 0+} -\epsilon</math>를 간단히 나타낸 것이고 복소수 <math>s = \sigma + i \omega \, </math>, σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math>로 표기하기도 한다.

<!--
라플라스 변환 <math>F(s)</math>는 보통 모든 실수 <math>s > a</math> 한다. 여기서, <math>a</math>는 <math>f(t)</math>의 증가양태에 따르는 상수이다.
-->

== 성질 ==

=== [[선형성]] ===
: <math>\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}</math>

=== [[미분]] ===
: <math>\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)</math>
: <math>\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)</math>

: <math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)</math>
: <math>\mathcal{L}\{ t^{n} f(t) \}
  =(-1)^{n} F^{(n)} (s) </math>
: <math>\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma</math>

=== [[적분]] ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\}  = \mathcal{L}\left\{ u(t) * f(t)\right\} = {1 \over s} F(s) </math>

=== ''t'' shifting ===
: <math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)</math>
: <math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)</math>
참고: <math>u(t)</math>는 [[단위 계단 함수|층계 함수]]이다.

=== [[합성곱]] ===
: <math>\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}</math>

=== 주기가 p인 [[주기함수]]의 라플라스 변환 ===
: <math>\mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>
<!--
=== 전자공학적인 관점에서 라플라스 변환 ===
라플라스 변환은 전자공학에서 다양하게 사용된다.
라플라스 변환은 시간(t)의 영역(domain)에서 <math> e^{-st}</math>의 영역(domain)으로
공간의 basis를 바꿔주는 것으로 생각할 수 있는데, <math> e^{-st}</math>는
복소수형태로 표현할 수 있기 때문에 위상(phase)를 나타낼 수 있다.
따라서 라플라스 변환은 시간에 의해 표현된 어떤 신호를
특정한 <math> e^{-st}</math> 형태의 주파수로 표현할 수 있다.
-->

== 역변환 ==
함수 <math>f(t)</math>의 라플라스 변환을 <math>F(s)</math>라 하면 다음 식을 통해 <math>F(s)</math>로부터 <math>f(t)</math>를 구할 수 있다.
:<math>
f(t) = \frac1{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty}F(s)e^{st}\,ds,\quad i = \sqrt{-1}.
</math>
하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어
:<math>
F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2},
</math>
로 <math>F(s)</math>가 주어져 있는 경우 [[부분분수 분해]]를 통해
:<math>
F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2} = \frac1{s + 1} - \frac1{s + 2},
</math>
를 얻게되고 라플라스 변환의 [[선형성]]으로부터 <math>f(t)</math>는 다음과 같다.
:<math>
\begin{align}
f(t)
&= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 2}\right\} \\
&= e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \ge 0.
\end{align}
</math>

== 미분방정식의 풀이 ==
=== 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식 ===
다음과 같은 <math>n</math>차 연립 [[상미분 방정식]]을 고려하자
:<math>
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t).
</math>
양변에 라플라스 변환을 취하면
:<math>
s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이고 이를 <math>\mathbf{X}(s)</math>에 관해 정리하면
:<math>
\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s),
</math>
이다. 따라서, <math>\mathbf{x}(t)</math>는 다음과 같다<ref>{{서적 인용| title = Linear System Theory and Design | edition = 3rd | author = Chen, C.-T. | publisher = Oxford University Press | year = 2009 | isbn = 978-0-19-539207-4 | url=http://books.google.co.kr/books/about/Linear_System_Theory_and_Design_Third_Ed.html?id=D9nXSAAACAAJ&redir_esc=y}}</ref>.
:<math>
\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau.
</math>

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
<references/>

== 같이 보기 ==
* [[푸리에 변환]]
* [[Z변환]]
{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:전자공학]]
[[분류:디지털 신호 처리]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:적분 변환]]
[[분류:푸리에 해석학]]