{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''쉴로브 정리'''({{llang|en|Sylow theorems}}) 또는 '''실로우 정리'''는 [[유한군]]의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]의 부분적 역이며, [[코시 정리 (군론)|코시 정리]]를 일반화한다. [[유한군]]의 이론에서 중요한 역할을 한다.

== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, [[p-군|''p''-군]]은 모든 원소의 [[순환군|위수]]가 <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다. '''쉴로브 ''p''-부분군'''({{llang|en|Sylow ''p''-subgroup}})은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 군 <math>G</math>의 ''p''-부분군 <math>H</math>가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 ''p''-부분군이라고 한다.
* 임의의 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>H\subseteq K</math>라면, <math>K=G</math> 또는 <math>K=H</math>이다.
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p;G)</math>로 표기하자.

[[유한군]] <math>G</math>와 소수 <math>p</math>가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>와 양의 정수 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
:<math>|G|=p^nm</math>
이며 <math>p</math>와 <math>m</math>이 [[서로소 (수론)|서로소]]라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>k\in\{0,\dots,n\}</math>에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.
* '''제1 쉴로브 정리'''({{llang|en|first Sylow theorem}}): 크기가 <math>p^k</math>인 <math>G</math>의 부분군이 존재한다.
* '''제2 쉴로브 정리'''({{llang|en|second Sylow theorem}}): 임의의 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math> 및 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 특히, <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군은 서로 [[켤레류|켤레]]이며, 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 크기는 <math>p^n</math>이다.
* '''제3 쉴로브 정리'''({{llang|en|third Sylow theorem}}): 크기가 <math>p^k</math>인 <math>G</math>의 부분군의 총수가 <math>n(p^k;G)</math>이며 (특히 <math>n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|</math>), <math>H</math>가 <math>G</math>의 임의의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
** <math>n(p^k;G)\equiv 1\pmod p</math>
** <math>n(p^n;G)\mid m</math>
** <math>n(p^n;G)=|G:\operatorname N_G(H)|</math>. (여기서 <math>\operatorname N_G(-)</math>는 [[정규화 부분군]]이다.)

== 증명 ==
다음은 <math>k=n</math>인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 <math>k</math>에 대한 경우에도 적용 가능하다.

=== 제1 정리 ===
==== 켤레 작용을 통한 증명 ====
크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 <math>|G|</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 사용하자. <math>\{g_1,\dots,g_k\}\subseteq G</math>가 [[한원소 집합]]이 아닌 <math>G</math>의 [[켤레류]]들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[켤레류 방정식]]이 성립한다.
:<math>|G|=|{\operatorname Z(G)}|+\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|{\operatorname C_G(g_i)}|}</math>
이 경우 각 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여 <math>\operatorname C_G(g_i)</math>는 <math>G</math>의 진부분군이다.

만약 <math>p^n</math>이 <math>|{\operatorname C_G(g_i)}|</math>의 약수가 되는 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 <math>\operatorname C_G(g_i)</math>는 <math>|H|=p^n</math>인 부분군 <math>H</math>를 가지며, 이는 자명하게 <math>G</math>의 부분군이다.

이제, 임의의 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여, <math>p^n</math>이 <math>|{\operatorname C_G(g_i)}|</math>의 약수가 아니라고 하자. <math>n=0</math>인 경우는 자명하다. 만약 <math>n>0</math>이라면, <math>p</math>는 <math>|{\operatorname Z(G)}|</math>의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 <math>\operatorname Z(G)</math>는 <math>|K|=p</math>인 부분군 <math>K</math>를 가지며, 이는 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, [[몫군]] <math>G/K</math>는 크기가 <math>p^{n-1}</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H/K</math>를 가지며, 이 경우 <math>H</math>는 크기가 <math>p^n</math>인 <math>G</math>의 부분군이다.

==== 빌란트의 증명 ====
[[헬무트 빌란트]]({{llang|de|Helmut Wielandt}})의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 <math>n>0</math>이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathcal S=\{S\subseteq G\colon|S|=p^n\}</math>
이 위에 <math>G</math>는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>G\times\mathcal S\to\mathcal S</math>
:<math>(g,S)\mapsto gS\qquad(g\in G,\;S\in\mathcal S)</math>
이 작용의 궤도들의 대표원을 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subset\mathcal S</math>라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.
:<math>|\mathcal S|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}</math>
또한
:<math>|\mathcal S|=\binom{p^nm}{p^n}=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}</math>
은 <math>p</math>와 서로소이므로 (이는 각 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여 <math>p^nm-k</math>와 <math>p^n-k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도와 같기 때문이다), [[군의 작용|궤도]]의 크기 <math>\frac{|G|}{|G_{S_i}|}</math>가 <math>p</math>와 서로소인 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>가 존재한다. <math>S_i</math>의 [[안정자군]]을 <math>H=G_{S_i}</math>라고 하자. 그렇다면, <math>H</math>는 <math>G</math>의 부분군이며, [[궤도-안정자군 정리]]에 의하여 <math>|H|</math>는 <math>p^n</math>을 약수로 갖는다. 또한 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>H\to S</math>
:<math>h\mapsto hs\qquad(h\in H)</math>
는 [[단사 함수]]이므로, <math>|H|=p^n</math>이다.

==== 정규화 부분군을 통한 증명 ====
임의의 쉴로브 ''p''-부분군(즉, 극대 ''p''-부분군) <math>H\subseteq G</math>에 대하여 <math>|H|=p^n</math>임을 보이는 것으로 족하다. <math>H</math>의 [[정규화 부분군]] <math>\operatorname N_G(H)</math>를 생각하자. 그렇다면 <math>H</math>는 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 정규 부분군이므로, 몫군 <math>\operatorname N_G(H)/H</math>를 취할 수 있다.

우선, <math>p</math>가 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 소인수가 아님을 증명하자. [[귀류법]]을 사용하여 <math>p</math>가 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 <math>|K/H|=p</math>인 부분군 <math>K/H\subseteq\operatorname N_G(H)/H</math>가 존재한다. 이 경우 부분군 <math>H\subseteq K\subseteq \operatorname N_G(H)</math>는 <math>G</math>의 부분군이며, <math>|K|=p|H|>|H|</math>를 만족시킨다. 이는 <math>H</math>가 쉴로브 ''p''-부분군인 데 모순이다.

이제, <math>p</math>가 <math>\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>의 소인수가 아님을 증명하자. [[왼쪽 잉여류]]의 집합 <math>G/\operatorname N_G(H)</math> 위에서 <math>H</math>가 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>H\times G/\operatorname N_G(H)\to G/\operatorname N_G(H)</math>
:<math>(h,g\operatorname N_G(H))\mapsto hg\operatorname N_G(H)\qquad(h\in H,\;g\in G)</math>
그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 [[합동 산술|합동식]]을 얻는다.
:<math>\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}
\equiv|\{g\operatorname N_G(H)\in G/\operatorname N_G(H)
\colon Hg\operatorname N_G(H)=g\operatorname N_G(H)\}|
\pmod p</math>
따라서, <math>\operatorname N_G(H)</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 <math>g\in G</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여
:<math>hg\operatorname N_G(H)=g\operatorname N_G(H)</math>
를 만족시킨다면, <math>g^{-1}hg\in\operatorname N_G(H)</math>이며, <math>H</math>는 ''p''-군이므로 <math>h</math>의 위수는 <math>p</math>의 거듭제곱이다. 따라서 <math>g^{-1}hgH</math>의 (<math>\operatorname N_G(H)/H</math>에서의) 위수 역시 <math>p</math>의 거듭제곱이며, 또한 이는 <math>\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}</math>의 약수이므로, <math>g^{-1}hgH</math>의 위수는 1이다. 즉, <math>g^{-1}hgH=H</math>이며, <math>g^{-1}hg\in H</math>이다. 즉, <math>g\in\operatorname N_G(H)</math>가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면 <math>|H|=p^n</math>을 얻는다. 이는
:<math>|G|=\frac{|{\operatorname N_G(H)}|}{|H|}\cdot\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}\cdot|H|</math>
때문이다.

=== 제2 정리 ===
==== 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명 ====
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자. 임의의 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 <math>G/H</math> 위에서 <math>K</math>가 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>K\times G/H\to G/H</math>
:<math>(k,gH)\mapsto kgH\qquad(k\in K,\;g\in G)</math>
또한, <math>G/H</math>의 크기는 <math>p</math>와 서로소이므로, 궤도의 크기가 <math>p</math>와 서로소인 원소 <math>gH\in G/H</math>를 가지며, 이에 대한 안정자군은 <math>K</math> 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_Hg^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}</math>

==== 이중 잉여류를 통한 증명 ====
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자. 임의의 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>의 존재를 보이면 된다. [[이중 잉여류]]들의 집합
:<math>K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}</math>
는 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이루므로, 다음이 성립한다.
:<math>|G|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}|KgH|=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K||H|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>
즉,
:<math>\frac{|G|}{|H|}=\sum_{KgH\in K\backslash G/H}\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>
이다. 또한 <math>\frac{|G|}{|H|}</math>는 <math>p</math>와 서로소이므로, <math>\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}</math>가 <math>p</math>와 서로소가 되는 <math>g\in G</math>가 존재한다. 즉, 이 <math>g</math>에 대하여
:<math>\frac{|K|}{|K\cap gHg^{-1}|}=1</math>
이다. 따라서,
:<math>K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}</math>
이 성립한다.

=== 제3 정리 ===
==== 켤레 작용을 통한 증명 ====
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p;G)</math>라고 하고, 이 위의 켤레 작용
:<math>G\times\operatorname{Syl}(p;G)\to\operatorname{Syl}(p;G)</math>
:<math>(g,H)\mapsto gHg^{-1}\qquad(g\in G,\;H\in\operatorname{Syl}(p;G))</math>
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 [[추이적 작용]]이며, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p;G)</math>에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 <math>\operatorname N_G(H)</math>이다. 따라서
:<math>n(p^n;G)=|{\operatorname{Syl}(p;G)}|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}</math>
이며, 이는
:<math>\frac{|G|}{|H|}=m</math>
의 약수이다.

이제, 임의의 <math>H\in\operatorname{Syl}(p;G)</math>에 제한된 켤레 작용
:<math>H\times\operatorname{Syl}(p;G)\to\operatorname{Syl}(p;G)</math>
:<math>(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\operatorname{Syl}(p;G))</math>
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식
:<math>n(p^n;G)\equiv|\{K\in\operatorname{Syl}(p;G)\colon\forall h\in H\colon hKh^{-1}=K\}|\pmod p</math>
가 성립한다. 이제 <math>H</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 <math>K\in\operatorname{Syl}(p;G)</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여 <math>hKh^{-1}=K</math>를 만족시킨다면, <math>H\subseteq\operatorname N_G(K)</math>이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 <math>g\in\operatorname N_G(K)</math>가 존재한다.
:<math>H=gKg^{-1}=K</math>
따라서, 합동식
:<math>n(p^n;G)\equiv 1\pmod p</math>
가 성립한다.

==== 빌란트의 증명 ====
집합
:<math>\mathcal T=\{S\in\mathcal S\colon|G_S|=p^n\}</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>\mathcal T</math>는 정확히 다음과 같은 집합이다.
:<math>\mathcal T=\bigsqcup_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}H\backslash G=\{Hg\colon H\in\operatorname{Syl}(p;G),\;g\in G\}</math>
여기서 <math>H\backslash G</math>는 <math>H</math>의 [[오른쪽 잉여류]]들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 ''p''-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,
:<math>|\mathcal T|=\sum_{H\in\operatorname{Syl}(p;G)}\frac{|G|}{|H|}=n(p^n;G)m</math>
이다.

임의의 <math>S\in\mathcal S</math>의 안정자군 <math>G_S</math>은 ''p''-부분군이다. 이는 임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>G_Ss\subseteq S</math>이므로, <math>S</math>가 <math>G_S</math>의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>의 원소들의 안정자군은 ''p''-부분군이다. 또한, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math>는 <math>G</math>의 작용에 대하여 닫혀있으므로, <math>\mathcal S\setminus\mathcal T</math> 속 궤도들의 대표원 <math>\{S_1,\dots,S_k\}\subseteq\mathcal S\setminus\mathcal T</math>를 취할 수 있으며, 이 경우
:<math>|\mathcal S\setminus\mathcal T|=\sum_{i=1}^k\frac{|G|}{|G_{S_i}|}\equiv 0\pmod{pm}</math>
가 성립한다.

또한,
:<math>|\mathcal S|
=\binom{p^nm}{p^n}
=m\binom{p^nm-1}{p^n-1}
=m\prod_{k=1}^{p^n-1}\frac{p^nm-k}{p^n-k}
\equiv m\pmod{pm}</math>
가 성립한다. 이는 임의의 <math>k\in\{1,\dots,p^n-1\}</math>에 대하여, <math>k</math>의 소인수 <math>p</math>의 중복도가 <math>e</math>라고 할 때,
:<math>p^{n-e}m-kp^{-e}\equiv p^{n-e}-kp^{-e}\not\equiv 0\pmod p</math>
이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면
:<math>n(p^n;G)m\equiv m\pmod{pm}</math>
을 얻으며, <math>m>0</math>이므로
:<math>n(p^n;G)\equiv 1\pmod p</math>
가 성립한다.

== 쉴로브 부분군의 성질 ==
유한군 <math>G</math>와 소수 <math>p</math>가 주어졌다고 하자.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이며, <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.
* <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
* <math>HN/N</math>은 <math>G/N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
{{증명}}
<math>K</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 따라서
:<math>K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}</math>
이며,
:<math>|H\cap N|\ge|K|</math>
이다. <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 ''p''-부분군이므로,
:<math>|H\cap N|=|K|</math>
이며, <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와
:<math>|HN/N|=\frac{|H|}{|H\cap N|}</math>
으로부터 유도된다.
{{증명 끝}}

=== 충분 조건 ===
만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 ''p''-부분군이며, <math>H=\operatorname N_G(H)</math>라면, <math>H</math>는 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
{{증명}}
<math>H</math>가 <math>H</math>의 켤레 부분군의 집합
:<math>\mathcal S=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}</math>
위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>H\times\mathcal S\to\mathcal S</math>
:<math>(h,K)\mapsto hKh^{-1}\qquad(h\in H,\;K\in\mathcal S)</math>
그렇다면, 각 궤도의 크기는 <math>|H|</math>의 약수이며, 특히 <math>p</math>의 거듭제곱이다.

이제, <math>H</math>가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 <math>K\in\mathcal S</math>가 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여 <math>hKh^{-1}=K</math>를 만족시킨다면, <math>K=gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>를 취하면
:<math>H\subseteq\operatorname N_G(K)=g\operatorname N_G(H)g^{-1}=gHg^{-1}=K</math>
이므로, <math>K=H</math>이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여
:<math>1\equiv|\mathcal S|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=\frac{|G|}{|H|}\pmod p</math>
이며, 특히 <math>H</math>는 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
{{증명 끝}}

=== 교집합 ===
만약 <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면, <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 [[특성 부분군]]이자 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>n(p^n;G)=1</math>이며, <math>H=\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 유일한 쉴로브 ''p''-부분군이다.
{{증명}}
우선, <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname O(p;G)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname{Core}_G(H)</math>
가 <math>H</math>의 [[정규핵]]이기 때문이다.

이제, <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 모든 정규 ''p''-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 ''p''-부분군 <math>N\subseteq G</math> 및 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>에 대하여, <math>N\subseteq H</math>임을 보이면 된다. <math>NH</math>이 <math>G</math>의 부분군이며,
:<math>|NH|=\frac{|N||H|}{|N\cap H|}</math>
이므로 이는 ''p''-부분군이다. 따라서 <math>NH=H</math>이며, 특히 <math>N\subseteq H</math>이다.

이에 따라 <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 극대 정규 ''p''-부분군은 [[자기 동형 사상]]에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 <math>\phi\in\operatorname{Aut}(G)</math>에 대하여, <math>\phi(\operatorname O(p;G))</math> 역시 <math>G</math>의 극대 정규 ''p''-부분군이며, 따라서 <math>\phi(\operatorname O(p;G))=\operatorname O(p;G)</math>이다. 즉, <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 특성 부분군이다.

만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>\operatorname N_G(H)=G</math>이므로,
:<math>n(p^n;G)=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=1</math>
이며, 따라서 <math>H=\operatorname O(p;G)</math>이다.
{{증명 끝}}

다음과 같은 조건을 생각하자.
* <math>\operatorname O(p;G)=H\cap K</math>인 두 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H,K\subseteq G</math>가 존재한다.
이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.<ref name="Mann">{{저널 인용
|성=Mann
|이름=Avionam
|제목=The Intersection of Sylow Subgroups
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=53
|호=2
|쪽=262-264
|날짜=1975-12
|issn=0002-9939
|jstor=2039991
}}</ref>
* <math>p</math>는 [[홀수]] 비(非)[[메르센 소수]]이다.
* <math>|G|</math>는 홀수이다.
* <math>p=2</math>이며, <math>|G|</math>는 [[페르마 소수]]나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

=== 프라티니 논증 ===
{{본문|프라티니 논증}}
만약 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군이며, <math>H</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>G=N\operatorname N_G(H)</math>이다. 이를 [[프라티니 논증]]이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군, <math>K</math>가 <math>G</math>의 부분군이며, <math>\operatorname N_G(H)\subseteq K</math>라면, <math>\operatorname N_G(K)=K</math>이다. 특히, <math>\operatorname N_G(\operatorname N_G(H))=\operatorname N_G(H)</math>가 성립한다.

== 응용 ==
실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. <math>p</math>와 <math>q</math>가 [[소수 (수학)|소수]]이며, <math>p<q</math>라고 하자.
* <math>p\nmid q-1</math>일 경우,  크기가 <math>pq</math>인 군은 [[순환군]]과 [[동형]]이다.
* <math>p\mid q-1</math>일 경우, 크기가 <math>pq</math>이며, [[아벨 군]]이 아닌 군들은 모두 서로 [[동형]]이다.
* 크기가 <math>p^mq^n</math> (<math>m,n\in\{1,2\}</math>)인 군은 [[단순군]]이 아니다. 이는 [[번사이드 정리]]의 특수한 경우다.

== 역사 ==
[[노르웨이]]의 수학자 [[페테르 루드비 메이델 쉴로브]]가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

== 같이 보기 ==
* [[쉴로브 기저]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sylow theorems}}
* {{매스월드|id=SylowTheorems|title=Sylow theorems}}

[[분류:군론 정리]]
[[분류:유한군]]