{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Parallel transport.png|섬네일|구면 상의 [[평행 운송]]의 결과는 경로에 의존한다. 벡터를 A → N → B로 수송하면 그냥 A → B로 수송한 것과는 다른 벡터가 나오는 것이다. 접속의 홀로노미는 이와 같이 달라지는 정도를 측정한다.]]
[[미분기하학]]에서, [[매끄러운 다양체]] 상에 주어진 [[코쥘 접속]] 또는 [[에레스만 접속]]의 '''홀로노미'''(holonomy)는 [[곡률]]의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 [[평행 운송]]을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 [[모노드로미]]의 일종이며, 본질적으로 대역적인(global) 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>\pi\colon E\to M</math>
* <math>E</math> 속의 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>
* 점 <math>x\in M</math>
그렇다면, <math>x</math>를 통과하는 조각마다 매끄러운 [[폐곡선]] <math>\gamma\in\mathcal L_x</math>에 대하여, [[코쥘 접속]]은 [[평행 운송]] 사상
:<math>P_\gamma \colon E_x \to E_x</math>
을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(E_x)</math>의 원소이다. 점 <math>x\in M</math>에서의  '''(대역) 홀로노미'''({{llang|en|global holonomy}}) <math>\operatorname{Hol}_x(\nabla)</math>는 다음과 같은 [[부분군]]이다.
:<math>\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L_x\} \le \operatorname{GL}(E_x)</math>
(폐곡선들을 이으면 <math>P_{\gamma\gamma'} = P_\gamma P_{\gamma'}</math>이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면 <math>P_{\bar\gamma} = P_\gamma^{-1}</math>이 되므로, 이는 [[부분군]]을 이룬다.)

여기서 <math>\mathcal L_x</math> 대신 [[상수 함수]]와 [[호모토픽]]한 조각마다 매끄러운 고리의 집합 <math>\mathcal L^0_x\subset\mathcal L_x</math>를 쓰면 '''국소 홀로노미'''({{llang|en|local holonomy}})
:<math>\operatorname{Hol}_x^0(\nabla) = \{P_\gamma \in \mbox{GL}(E_x) \mid \gamma\in\mathcal L^0_x\} \le \operatorname{Hol}_x(\nabla)</math>
를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.

==엠브로즈-싱어 정리==
엠브로즈-싱어 정리는 워렌 엠브로즈(Warren Ambrose)와 이사도어 싱어(Isadore M. Singer)의 정리로, [[주다발]]안에서 [[접속]]의 홀로노미와 [[접속]]의 곡률 형식에 대한 정리다. 예를 들어 [[아핀 접속]]에서 곡률은 미소평행사변형을 따라서 생긴다.

일반적으로, [[리 군]] 구조 ''G''를 갖춘 ''P''위의 [[주다발]]''P'' → ''M''  안에서 접속의 홀로노미를 보자.  <math>\mathfrak g</math>를 ''G''의 [[리 대수]]라고 하자. 이 접속의 곡률 형식은 ''P''위의 <math>\mathfrak g</math>-값 2-형식 Ω이다. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다:<ref>{{harvnb|Sternberg|1964|loc=Theorem VII.1.2}}</ref>

: <math>\operatorname{Hol}_p(\omega)</math>의 리 대수는 형식 <math>\Omega_q(X,Y)</math>의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 ''q''는 ''p''와 수평곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(''q'' ~ ''p''), ''X'' 와 ''Y''는 ''q''에서 수평 접벡터들이다.

== 리만 다양체의 홀로노미 ==
[[리만 다양체]]는 그 [[접다발]]과 [[레비치비타 접속]]을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. <math>n</math>차원 리만 다양체의 홀로노미는 <math>O(n)</math>의 닫힌 [[리 군|리 부분군]]이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 <math>SO(n)</math>의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.

=== 가약 홀로노미와 드 람 분해 ===

=== 베르제 분류 ===
"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제({{llang|fr|Marcel Berger}})가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|이름=M.|성=Berger|제목=Sur les groupes d’holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes|저널=
Bull. Soc. Math. France|권=83|날짜=1955|쪽=225–238|zbl=0068.36002}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry|arxiv=math/0108088|이름=Dominic|성=Joyce}}</ref> 여기서 "일반적"이란 것은 [[단일 연결]]이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 [[대칭 공간]]이 아닌 다양체다.

{| class="wikitable" style="margin: auto;"
! 홀로노미 || 차원 || 종류
|-
| [[특수직교군|SO(''n'')]] || ''n'' || [[가향 다양체]]
|-
| [[유니터리 군|U(''n'')]] || 2''n'' || [[켈러 다양체]]
|-
| [[특수 유니터리 군|SU(''n'')]] || 2''n'' || [[칼라비-야우 다양체]]
|-
|[[심플렉틱 군|Sp(''n'')·Sp(1)]] || 4''n''&nbsp; || [[사원수-켈러 다양체]]
|-
| [[심플렉틱 군|Sp(''n'')]] || 4''n'' || [[초켈러 다양체]]
|-
| [[G₂|G<sub>2</sub>]] || 7 || (이름 없음)
|-
| [[스핀 군|Spin(7)]] || 8 || (이름 없음)
|}
Sp(''n'') ⊂ SU(2''n'') ⊂ U(2''n'') ⊂ SO(4''n'')이므로, 모든 초켈러 다양체는 [[칼라비-야우 다양체]]이고, 모든 [[칼라비-야우 다양체]]는 [[켈러 다양체]]이고, 모든 [[켈러 다양체]]는 가향다양체다.

[[준 리만 다양체]]의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다.
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
! 홀로노미 || 차원
|-
| SO(''p'',''q'') || (''p'',''q'')
|-
|SO(''n'',ℂ) || (''n'', ''n'')
|-
|U(''p'',''q'') || (2''p'', 2''q'')
|-
|SU(''p'',''q'') || (2''p'', 2''q'')
|-
|Sp(''p'',''q'')·Sp(1) || (4''p'', 4''q'')
|-
|Sp(''p'',''q'') || (4''p'', 4''q'')
|-
| 분할 G₂ || (4,3)
|-
| G₂(ℂ) || (7,7)
|-
| Spin(4,3) || (4,4)
|-
| Spin(7,ℂ) || (7,7)
|}

(국소) [[대칭 공간]]은 정의상 국소적으로 ''G''/''H''의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 ''G''는 [[리 군]], ''H''는 특정한 성질을 지닌  부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 ''H''이다.

=== 홀로노미와 스피너 ===
[[스핀 다양체|스핀 구조]]를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 [[스핀 접속]] ''ω''를 지니므로, [[스피너]]에 대하여 홀로노미 Hol(''ω'')를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2''n''차원 스핀 다양체를 생각하자.
* Hol(''ω'') ⊂ U(''n'')의 [[필요 충분 조건]]은 평행 (공변상수) 사영 [[순수 스피너]] 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
* Hol(''ω'') ⊂ SU(''n'')의 [[필요 충분 조건]]은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
* 7차원에서, Hol(''ω'') ⊂ G₂의 [[필요 충분 조건]]은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
* 8차원에서, Hol(''ω'') ⊂ Spin(7)의 [[필요 충분 조건]]은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.

==== 끈 이론에 응용 ====
이 사실은 [[끈 이론]]에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 [[축소화]]하면서 하나의 [[초대칭]]을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 [[SU(3)]]의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 [[칼라비-야우 다양체]]를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 [[M이론]]을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 [[G₂]]의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 [[F-이론]]은 [[Spin(7)]] 다양체에 축소화할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|저자=김홍종|제목=리만 다양체의 홀로노미군|저널=Communications of the Korean Mathematical Society|권=15|호=4|연도=2000|쪽=555–585|url=http://www.kms.or.kr/include/journal/downloadPdf.asp?articleuid=%7B4F152509%2DE92B%2D4A43%2DAA57%2DAF7F723B64CD%7D}}{{깨진 링크|url=http://www.kms.or.kr/include/journal/downloadPdf.asp?articleuid=%7B4F152509%2DE92B%2D4A43%2DAA57%2DAF7F723B64CD%7D }}
* {{저널 인용|arxiv=math/9902110|제목=Riemannian holonomy and algebraic geometry|이름=Arnaud|성=Beauville|연도=1999}}
* {{서적 인용|장=Special holonomy in string theory and M-theory|이름=Steven S.|성=Gubser|제목=Strings, Branes And Extra Dimensions: TASI 2001
|arxiv=hep-th/0201114|doi=10.1142/9789812702821_0003|쪽=197–234|연도=2004|월=3|isbn=978-981-238-788-2|출판사=World Scientific|위치=River Edge, New Jersey}}
* {{서적 인용|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1986.1/Main/icm1986.1.0505.0514.ocr.pdf|장=A survey of Riemannian metrics with special holonomy groups]|이름=Robert J.|성=Bryant|제목=Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986|날짜=1988-03|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0821801109|access-date=2013-02-21|archive-date=2017-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20170809005659/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1986.1/Main/icm1986.1.0505.0514.ocr.pdf}}
* {{저널 인용|url=http://www.math.uni-hamburg.de/home/leistner/sfb_tl_handbook.pdf|제목=Recent developments in pseudo-Riemannian holonomy theory|이름=Anton|성=Galaev|공저자=Thomas Leistner}}
* {{서적 인용|성=Salamon|이름=Simon M.|제목=Riemannian geometry and holonomy groups|url=http://calvino.polito.it/~salamon/G/rghg.pdf|기타=Pitman Research Notes in Mathematics 201|출판사=Longman Scientific & Technical|위치=Harlow|날짜=1989|mr=1004008|zbl=0685.53001|isbn=0-582-01767-X|access-date=2013-03-09|archive-date=2013-11-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20131103014928/http://calvino.polito.it/~salamon/G/rghg.pdf|url-status=}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:접속 (수학)]]
[[분류:곡률]]
[[분류:끈 이론]]