{{위키데이터 속성 추적}}
[[물리학]]에서 '''리 군 위의 입자'''({{llang|en|particle on a Lie group}})는 [[리 군]]의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.<ref name="Gawedzki">{{저널 인용|제목=Conformal field theory: a case study|이름=Krzysztof|성=Gawędzki|날짜=1999-04-21|arxiv=hep-th/9904145|언어=en}}</ref>{{rp|§2}} 고전적으로 그 해([[리 군]]의 [[측지선]])는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{lie}(G)</math> 위의 [[양의 정부호]] 2차 대칭 [[불변 다항식]]
:<math>g(t,t') = g_{ab}t^a {t'}^b \qquad(t,t'\in\mathfrak{lie}(G))</math>
은 <math>G</math> 위의 [[리만 계량]]을 정의하며, 이는 <math>G</math>의 왼쪽 · 오른쪽 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형
:<math>G \times G \to \operatorname{Isom}(G,g)</math>
이 존재한다 (<math>\operatorname{Isom}(-)</math>은 [[전단사 함수|전단사]] [[등거리 변환]]의 군).

이 경우, [[라그랑지언]]
:<math>L(g,\dot g) = -\frac 12 \operatorname{tr} \left(g^{-1} \dot g\right)^2</math>
을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 [[질량]]을 [[리만 계량]] 속에 흡수하였다.) 그 변분은
:<math>\delta \operatorname{tr}\left(g^{-1}\dot g\right)^2 = -2\operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1} \dot g)\right)
</math>
이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''유도''':
<div class="mw-collapsible-content">
우선,
:<math>0 = \delta 1= \delta(g^{-1}g) = \delta(g^{-1}) g + g^{-1}\delta g</math>
이므로,
:<math>\delta (g^{-1}) = - g^{-1} \delta g g^{-1}</math>
이며,
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}g^{-1} = -g^{-1} \dot g g^{-1}</math>
이다. 따라서, [[대각합]]의 순환성 및 [[부분 적분]]을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>
\begin{aligned}
\delta \operatorname{tr} (g^{-1} \dot g)^2 
&= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1} \dot g)\right) \\
&= 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g \delta (g^{-1}) \dot g
+ g^{-1} \dot g g^{-1} \delta\dot g
\right) \\
&= - 2\operatorname{tr} \left( g^{-1} \dot g g^{-1}\delta g g^{-1} \dot g\right)
- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right) 
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g)
\\
&= 2\operatorname{tr}  \left(\delta g g^{-1} \dot g \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} g^{-1} \right)
- 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot gg^{-1}) \right) 
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\
&= - 2 \operatorname{tr}\left(\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)g^{-1}) \right) 
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) \\
&= - 2 \operatorname{tr}\left(g^{-1}\delta g\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(g^{-1}\dot g)) \right) 
+ 2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\operatorname{tr} (g^{-1} \dot g g^{-1} \delta g) 
\end{aligned}
</math>
이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 구할 때 무시할 수 있다. 
</div></div>
[[오일러-라그랑주 방정식]]([[측지선 방정식]])은
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(g^{-1} \dot g\right) = 0</math>
이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:<math>g(t) = g_{\mathrm L} \exp(t\lambda) g_{\mathrm R}^{-1}</math>
여기서
* <math>g_{\mathrm L},g_{\mathrm R} \in G</math>는 상수이다. 특히, <math>g(0) = g_{\mathrm L}g_{\mathrm R}^{-1}</math>는 [[초기 조건]]이다.
* <math>\mathfrak h\subseteq \mathfrak{lie}(G)</math>는 <math>G</math>의 [[리 대수]]의 [[카르탕 부분 대수]]이다.
* <math>\lambda \in \mathfrak h</math>는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.
이에 따라, <math>(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda)</math>를 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 <math>2\dim G</math>차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), <math>2\dim G+\operatorname{rank}G</math>개의 성분을 갖는 <math>(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda)</math> 좌표계는 <Math>\operatorname{rank}G</math>차원의 [[게이지 변환]]을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 <math>G</math>의 [[극대 원환면]] <math>\exp(\mathfrak h)\le G</math>이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.
:<math>g_{\mathrm L} \mapsto g_{\mathrm L}h</math>
:<math>g_{\mathrm R} \mapsto \exp(t\alpha)h</math>
:<math>\lambda \mapsto \lambda</math>
:<math>h \in \exp(\mathfrak h) \le G</math>
게이지 변환을 도입하면, 계의 <math>G\times G</math> 대칭이
:<math>(h_{\mathrm L},h_{\mathrm R}) \cdot (g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R},\lambda) = (h_{\mathrm L}g_{\mathrm L}, g_{\mathrm R}h_{\mathrm R}^{-1},\lambda)</math>
와 같이 분해된다.

=== 해밀턴 역학 ===
[[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 [[리 군]]의 [[공변접다발]] <Math>\mathrm T^*G</math>이며, 그 위에는 표준적인 [[심플렉틱 형식]]이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 <math>(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R},\lambda)</math> 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.
:<math>\omega(\lambda,g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) = \omega_{\mathrm L}(\lambda,g_{\mathrm L})
+ \omega_{\mathrm R}(\lambda,g_{\mathrm R})</math>

=== 양자화 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>G</math> 위의 입자의 [[힐베르트 공간]]은 <math>G</math> 위의 복소수 2차 [[르베그 공간]]
:<math>\operatorname L^2(G;\mathbb C)</math>
이다. 이 경우 사용한 [[측도]]는 [[하르 측도]]이다. (콤팩트 리 군의 경우 [[왼쪽 하르 측도]]와 [[오른쪽 하르 측도]]가 일치한다.) 이 위에는 <math>G\times G</math>의 [[왼쪽 군 작용]]이 다음과 같이 존재한다.
:<math>G \times G \times \operatorname L^2(G;\mathbb C) \to \operatorname L^2(G;\mathbb C)</math>
:<math>((g_{\mathrm L},g_{\mathrm R}) \cdot \phi)(x) = 
\phi(g_{\mathrm L}^{-1}xg_{\mathrm R})</math>
이에 따라서, <math>\operatorname L^2(G;\mathbb C)</math>는 <math>G\times G</math>의 [[군의 표현|표현]]들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname L^2(G;\mathbb C) = \widehat\bigoplus_{R\in\operatorname{IrRep}(G)} V_R \otimes V_{\bar R}</math>
:<math>(g_{\mathrm L},g_{\mathrm R})\cdot(v \otimes \bar v) = (g_{\mathrm L} \cdot v) \otimes (g_{\mathrm R}\cdot v)\qquad(v\in V_R,\;\bar v\in V_{\bar R})</math>
여기서
* <math>\operatorname{IrRep}(R)</math>는 <math>G</math>의 모든 [[복소수]] [[기약 표현]]들의 [[동형류]]들의 [[가산 집합]]이다.
* <math>\textstyle\widehat{\bigoplus}</math>는 가산 무한 개의 유한 차원 [[내적 공간]]들의 [[직합]]으로 구성되는 [[분해 가능 공간|분해 가능]] [[힐베르트 공간]]이다.
* <math>V_R</math>는 [[기약 표현]] <math>R\colon G \to \operatorname U(V_R)</math>의 표현 공간인 유한 차원 [[복소수 벡터 공간]]이다.
* <math>\bar R</math>는 [[기약 표현]] <math>R</math>의 켤레 표현이다.

=== 해밀토니언 ===
<math>G\times G</math>의 무한소 작용을 나타내는 연산자
:<math>\langle g|J_{\mathrm L}(t^a)|\phi\rangle = 
\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0}
\phi(\exp(-\epsilon t^a)g)\rangle</math>
:<math>\langle g|J_{\mathrm R}(t^a)|\phi\rangle = 
\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0}
\phi(g\exp(\epsilon t^a))\rangle
</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>\frac12 H = \Delta_g = g_{ab} J(t^a)(J^b) = g_{ab}\tilde J^a \tilde J^b</math>
는 <math>G</math> 위의 (양의 고윳값) [[라플라스-벨트라미 연산자]]이다.

이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, <math>V_R\otimes V_{\bar R}</math> 위에서, 해밀토니언의 [[고윳값]] <math>E_R</math>은
:<math>g_{ab}R(t^a) R(t^b) = 2E_R 1_{V_R} g_{ab}t^a t^b</math>
로 주어진다.

=== 양자 모형과 고전 모형 사이의 관계 ===
양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 [[파인먼-카츠 공식]]으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 <math>H</math>의 핵(즉, <math>G</math> 위의 [[열핵]])은 다음과 같이 주어진다.
:<math>
\frac1{\operatorname{vol}G}\sum_{R\in\operatorname{IrRep}(G)}(\dim V_R)\exp(-\beta E_R) \operatorname{tr}_{V_R}(g_0g_1^{-1}) = K(g_0,g_1;\beta) = \int_{g \in \operatorname W(g_0,g_1)} \exp(-S[g]) \;\mathrm Dg</math>
여기서
* <math>\operatorname W(g_0,g_1)</math>은 <math>g(0) = g_0</math>, <math>g_\beta = g_\beta</math>인 [[연속 함수]] <math>g\colon [0,\beta]\to G</math>로 구성된 [[위너 공간]]이다.
* <math>\mathrm Dg</math>는 이 [[위너 공간]] 위의 [[확률 측도]]이다.
* <math>\textstyle S[g]= \frac12\int_0^\beta \langle g^{-1}\dot g,g^{-1}\dot g\rangle\,\mathrm dt</math>는 고전 모형의 [[작용 (물리학)|작용]]이다.
* <math>\operatorname{tr}_R(-)</math>는 표현 <math>R</math>의 [[군 표현의 지표|지표]]이다.
특히, <Math>\beta \to0</math> 극한에서 이는 [[디랙 델타]]가 된다.

== 예 ==
=== 원군 ===
<math>G = \operatorname U(1)</math>인 경우([[원군]])를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 [[측지선]]이다. 양자 모형에서, [[힐베르트 공간]]은
:<math>\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname U(1);\mathbb C)</math>
이다. <math>\operatorname U(1) = \mathbb R / (2\pi \mathbb Z)</math>로 좌표 <math>\theta</math>를 주었을 때, 이는 [[정규 직교 기저]]
:<math>|n\rangle = \exp(\mathrm in\theta)\qquad(n\in\mathbb Z)</math>
를 갖는다.

[[원군]]의 [[기약 표현]]은 ([[아벨 군]]이므로) 모두 1차원이며,
:<math>R_n \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \mathbb C^\times </math>
:<math>R_n \colon \theta \mapsto \exp(\mathrm i\theta)</math>
이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.
:<math>\operatorname{IrRep}(\operatorname U(1)) \cong \mathbb Z</math>
힐베르트 공간의 분해
:<math>H = \widehat\bigoplus_{n\in\mathbb Z} \mathbb C \otimes \mathbb C 
= \sum_{n\in\mathbb Z}\mathbb C|n\rangle
</math>
는 <math>H</math>의 [[정규 직교 기저]] <math>|n\rangle</math>에 대한 분해이다.

해밀토니언
:<math>H = -\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\theta^2} </math>
에 대하여, 각 정규 직교 기저의 [[고윳값]]은
:<math>H|n\rangle = n^2|n\rangle</math>
이다. 그 위의 [[열핵]]은
:<math>K(\theta_0,\theta_1;\beta) = \frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z} \exp(-\beta n^2)\exp(\mathrm in(\theta_1-\theta_0)) =\int_{
{\scriptstyle\theta\colon[0,\beta]\to \operatorname U(1)}
\atop
{\scriptstyle \theta(0) = \theta_0,\;\theta(\beta) = \theta_1}
}\exp\left(-\frac12\int_0^\beta \dot g^2\right)\,\mathrm Dg</math>
이며, 사실
:<math>\frac1{2\pi}\sum_{n\in\mathbb Z}\exp(-n^2\beta)\exp(\mathrm in\theta)
=\frac1{\sqrt{4\pi\beta}}\sum_{n\in\mathbb Z}\exp\frac{(\theta-2n\pi)^2}{4\beta}</math>
이다.

=== 3차원 초구 ===
<math>G = \operatorname{SU}(2) \cong\mathbb S^3</math>인 경우(3차원 [[초구]])를 생각하자. 이 경우, [[측지선]]은 [[대원]]이다. 양자 모형에서, [[힐베르트 공간]]은
:<math>\mathcal H = \operatorname L^2(\operatorname{SU}(2);\mathbb C)</math>
이다. <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 기약 표현은 스핀 <math>j \in \{0,1/2,1,3/2,2,,\dotsb\} = \operatorname{IrRep}(\operatorname{SU}(2))</math>에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는
:<math>\mathcal H = \widehat\bigoplus_j \mathbb C^{2j+1} \otimes \mathbb C^{2j+1}</math>
이다. <math>2j+1</math>차원 기약 표현에서, [[해밀토니언 연산자]]의 [[고윳값]]은 (적절한 비례 상수에 대하여)
:<math>E_j = j(j+1)</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://services.math.duke.edu/~bryant/GroupGeodesicsNotes.pdf | 제목=Notes on geodesics on Lie groups | 이름=Robert L. | 성=Briant | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=https://faculty.math.illinois.edu/~hquan4/Talk_Notes__Quantum_Mechanics_of_a_Particle_on_a_Group.pdf | 제목=Talk notes: quantum mechanics of a particle on a group | 이름=Hadrian | 성=Quan | 언어=en }}{{깨진 링크|url=https://faculty.math.illinois.edu/~hquan4/Talk_Notes__Quantum_Mechanics_of_a_Particle_on_a_Group.pdf }}

[[분류:양자역학]]
[[분류:리 군]]
[[분류:표현론]]