{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[군론]]에서 '''위상군'''(位相群, {{llang|en|topological group}})은 [[위상 공간 (수학)|위상]]이 주어진 [[군 (수학)|군]]으로서 위상적 구조와 대수적 구조가 서로 어울리는 경우이다. 즉, 이는 군의 [[연산 (수학)|연산]]이 [[연속 함수]]임을 말한다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]인 동시에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라 하자. 이때 군의 연산
:<math>G\times G \to G</math>
:<math>(x,y)\mapsto xy</math>
와
:<math>G\to G</math>
:<math>x \mapsto x^{-1}</math>
이 [[연속 함수]]일 경우 <math>G</math>를 '''위상군'''이라 한다. (여기에서 <math>G\times G</math>에는 [[곱위상]]을 준다.)

[[범주론]]의 언어를 사용하면, 일반적인 군이 [[집합]]과 [[함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]의 [[군 대상]]인 것과 마찬가지로, 위상군을 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주의 군 대상으로 정의할 수도 있다.

위상군과 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]들의 [[범주 (수학)|범주]]는 <math>\operatorname{TopGrp}</math>라고 한다.

== 성질 ==
[[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 위상군의 경우, '''[[하르 측도]]'''라는 [[측도]]가 (규격화를 무시하면) 표준적으로 존재한다. [[국소 콤팩트]] 아벨 위상군의 경우, '''[[폰트랴긴 쌍대성]]'''이 존재한다.

=== 군론적 성질 ===
위상군 <math>G</math>에서, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>g\cdot\colon G\to G</math>
:<math>\cdot g\colon G\to G</math>
는 모두 [[위상동형사상]]이며,
:<math>^{-1}\colon G\to G</math>
도 [[위상동형사상]]이다.

위상군의 임의의 [[부분군]]은 ([[부분 공간 위상]]에 대하여) 위상군을 이룬다. 위상군 <math>G</math>의 임의의 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math>에 대한 [[몫군]] <math>G/N</math>은 ([[몫위상]]을 주면) 위상군을 이룬다. 닫힌 정규 부분군의 경우, 몫군은 [[하우스도르프 공간]]이다. 열린 정규 부분군의 경우, 몫군은 [[이산 공간]]이다.

위상군 <math>G</math>에서, 항등원을 포함하는 [[연결 성분]] <math>G_0</math>는 <math>G</math>의 닫힌 [[정규 부분군]]을 이루며, [[몫군]] <math>G/G_0</math>은 [[완전 분리 공간]]이다.

위상군 <math>G</math>의 부분군 <math>H\le G</math>에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* [[열린닫힌집합]]이다.
* [[내부 (위상수학)|내부]]가 공집합이다.
모든 열린 부분군은 닫힌 부분군이다. [[부분군의 지표|유한 지표 부분군]]의 경우, 열린 부분군과 닫힌 부분군인 것은 서로 [[동치]]이다. [[콤팩트 공간|콤팩트]] 위상군에서, 열린 부분군은 유한 지표 닫힌 부분군과 [[동치]]이다.
{{증명}}
만약 <math>U=\operatorname{int}H</math>이며 <math>u\in U</math>라면,
:<math>H=\bigcup_{h\in H}hu^{-1}U</math>
이며, <math>g\mapsto hu^{-1}g</math>가 [[위상동형사상]]이므로 <math>hu^{-1}U</math>는 [[열린집합]]이다. 따라서, <math>H</math>는 [[열린집합]]이다.

위상군 <math>G</math>의 임의의 부분군 <math>H\le G</math>에 대하여,
:<math>H=G\setminus\bigcup_{g\in G\setminus H}gH</math>
이다. 만약 <math>H</math>가 열린 부분군이라면, 모든 <math>gH</math>가 열린집합이므로, <math>H</math>는 [[닫힌집합]]이다. 만약 <math>H</math>가 유한 지표 닫힌 부분군이라면, 모든 <math>gH</math>가 [[닫힌집합]]이며, 서로 다른 <math>gH</math>들의 수는 유한하므로, <math>H</math>는 [[열린집합]]이다.

만약 <math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 위상군이며, <math>H</math>가 <math>H\le G</math>가 열린 부분군이라면,
:<math>G=\bigsqcup_{gH\in G/H}gH</math>
이므로, <math>G/H</math>는 유한 부분 덮개를 가지며, 이는 스스로일 수밖에 없다. 즉, 지표 <math>|G:H|=|G/H|</math>는 유한하다.
{{증명 끝}}

=== 위상수학적 성질 ===
모든 위상군은 [[완비 정칙 공간]]이다. 따라서, 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[콜모고로프 공간]]이다.
* [[T1 공간]]이다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[티호노프 공간]]이다.
* [[자명군|자명한 부분군]] <math>\{1\}</math>이 [[닫힌집합]]이다.

위상군의 [[기본군]]은 항상 [[아벨 군]]이다. 위상군의 0차 "[[호모토피 군]]" <math>\pi_0(G)</math>는 (일반적인 위상 공간의 경우와 달리) 실제로 군을 이루며, 이는 아벨 군이지 않을 수 있다.

'''버코프-가쿠타니 정리'''({{llang|en|Birkhoff–Kakutani theorem}})에 따르면, 위상군 <math>G</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다. 즉, <math>1_G</math>가 [[가산 집합|가산]] [[국소 기저]]를 갖는다.
* [[유사 거리화 가능 공간]]이다.
* (왼쪽 불변 유사 거리화 가능성) <math>G</math>의 위상은 어떤 [[유사 거리 함수]] <math>d\colon G\times G\to[0,\infty)</math>로부터 유도되며, 이는 <math>\forall g,h,k\in G\colon d(kg,kh)=d(g,h)</math>를 만족한다.
* (오른쪽 불변 유사 거리화 가능성) <math>G</math>의 위상은 어떤 [[유사 거리 함수]] <math>d\colon G\times G\to[0,\infty)</math>로부터 유도되며, 이는 <math>\forall g,h,k\in G\colon d(gk,hk)=d(g,h)</math>를 만족한다.

== 예 ==
모든 [[군 (수학)|군]]은 [[이산 위상]]을 주거나 [[비이산 위상]]을 주어 위상군으로 만들 수 있다. 모든 [[리 군]]은 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다. 모든 [[사유한군]] 역시 표준적인 위상에 따라 위상군을 이룬다.

[[수론]]에서, [[이델 군]] 및 [[갈루아 확대]]의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>은 자연스럽게 위상군을 이룬다. [[대수기하학]]에서, [[에탈 기본군]]은 [[사유한군]]이므로 자연스럽게 위상군을 이룬다.

모든 [[위상 벡터 공간]]은 덧셈에 대하여 아벨 위상군을 이룬다. 만약 위상 벡터 공간이 유한 차원 실수 벡터 공간이 아니라면, 이는 [[리 군]]이 아니다. 실수 또는 복소수 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위에 [[유니터리 작용소]]들의 군 <math>\operatorname U(\mathcal H)</math>는 [[작용소 노름]]을 부여하면 위상군을 이룬다.

[[유리수]]의 덧셈군 <math>\mathbb Q</math>는 위상군을 이루며, 이는 [[리 군]]이 아니다.

모든 [[위상환]]은 덧셈군으로서 위상군을 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용 | 성=Arhangel’skii | 이름=Alexander | 성2=Tkachenko | 이름2= Mikhail | title=Topological Groups and Related Structures | publisher=Atlantis Press | 날짜=2008 | isbn=90-78677-06-6|doi=10.2991/978-94-91216-35-0|언어=en}}
* {{서적 인용 | last = Husain | first = Taqdir | title = Introduction to Topological Groups | year = 1981 | publisher = R.E. Krieger Publishing Company | isbn = 0-89874-193-9|언어=en}}
* {{서적 인용 | last = Pontryagin | first = Lev S. | authorlink = 레프 폰트랴긴 | title = Topological Groups | year = 1986 | 판 = 3 | 번역자 =  Arlen Brown, P.S.V. Naidu | publisher = Gordon and Breach Science Publishers | isbn = 2-88124-133-6|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[리 군]]
* [[대수군]]
* [[위상환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topological group}}
* {{매스월드|id=TopologicalGroup|title=Topological group}}
* {{nlab|id=topological group|title=Topological group}}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/subgroupoftopologicalgroupiseitherclopenorhasemptyinterior|제목=Subgroup of topological group is either clopen or has empty interior|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2011/05/17/the-birkhoff-kakutani-theorem/|저자=Terence Tao|저자링크=테런스 타오|제목=The Birkhoff-Kakutani theorem|언어=en|웹사이트=What's new|날짜=2011-05-17}}
{{전거 통제}}

[[분류:위상군| ]]
[[분류:리 군]]
[[분류:푸리에 해석학]]