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[[초등대수학]]에서 '''이항 정리'''(二項定理, {{문화어|두마디공식}}, {{llang|en|binomial theorem}})는 [[이항식]]의 [[거듭제곱]]을 [[이항 계수]]를 계수로 하는 일련의 [[단항식]]들의 합으로 전개하는 정리이다. 이항 정리를 사용하면 더욱 편리하게 계산할 수 있다.

== 정의 ==
[[파일:Pascal's triangle 5.svg|대체글=이항 정리에 나오는 계수들을 삼각형에 보기 좋게 나열한 파스칼의 삼각형의 처음 5줄|섬네일|[[파스칼의 삼각형]]의 처음 5줄]]
'''이항 정리'''에 따르면, [[이변수 다항식|이변수]] [[복소수 다항식]] <math>(x+y)^n</math>을 다음과 같이 전개할 수 있다.
:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k=x^n+nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}2x^{n-2}y^2+\cdots+y^n</math>
여기서
:<math>\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}</math>
는 [[이항 계수]]이며, <math>n</math>개에서 <math>k</math>개를 고르는 [[조합]]의 가짓수이다. 이항 계수는 [[파스칼의 삼각형]]의 원소들인데, 이 삼각형에 배열되었을 때, 이항 계수는 좌우 대칭을 띠며, 각 원소는 바로 위의 두 이웃 원소의 합이다.

== 증명 ==
=== 조합론적 증명 ===
<math>(x+y)^n</math>의 전개는 다음과 같은 <math>2^n</math>개의 항으로 이루어진다.
:<math>e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}</math>
여기서
:<math>e_{ij}\in\{x,y\}</math>
:<math>i=1,2,\dots,2^n</math>
또한, <math>x^{n-k}y^k</math> 꼴의 항의 개수는 <math>n</math>개에서 <math>k</math>개를 고르는 [[조합]]의 가짓수와 같으며, 즉 이항 계수 <math>\textstyle\binom nk</math>와 같다. 이는 각 항이 <math>\{1,2,\dots,n\}</math>의 부분 집합과
:<math>e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}\mapsto\{j\in\{1,2,\dots,n\}\colon e_{ij}=y\}</math>
와 같이 일대일 대응하며, 이 경우 <math>x^{n-k}y^k</math> 꼴의 항들은 <math>\{1,2,\dots,n\}</math>의 <math>k</math>원소 부분 집합들과 일대일 대응하기 때문이다. 따라서, 이항 정리가 성립한다.

=== 수학적 귀납법을 통한 증명 ===
이항 계수의 항등식

:<math>\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k</math>
및 지수 <math>n</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 통해 이항 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선, <math>n=0</math>의 경우 자명하게 성립한다. 즉,
:<math>(x+y)^0=1</math>
이제, <math>n</math>에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면,
:<math>\begin{align}(x+y)^{n+1}
&=(x+y)(x+y)^n\\
&=(x+y)\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k\\
&=x\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k+y\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k}y^k\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nkx^{n+1-k}y^k+\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}x^{n+1-k}y^{k}\\
&=x^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left(\binom nk+\binom n{k-1}\right)x^{n+1-k}y^k+y^{n+1}\\
&=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kx^{n+1-k}y^k
\end{align}</math>
즉, <math>n+1</math>에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 이항 정리는 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 성립한다.

== 예 ==
몇 가지 작은 지수의 경우의 이항 정리는 다음과 같다.
:<math>(x+y)^0=1</math>
:<math>(x+y)^1=x+y</math>
:<math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math>
:<math>(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math>
:<math>(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4</math>
임의의 [[복소수]]를 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대입해도 성립한다. 다만 지수 0의 경우 0<sup>0</sup> = 1이라고 가정해야 한다.

== 관련 정리 ==
=== 일반화된 이항 정리 ===
{{본문|이항 급수}}
이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 [[복소수]] <math>\alpha\in\mathbb C</math>까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 [[무한 급수]]가 되며, 다음과 같다.
:<math>(x+y)^\alpha=\sum_{k=0}^\infty\binom\alpha kx^{\alpha-k}y^k=x^\alpha+\alpha x^{\alpha-1}y+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^{\alpha-2}y^2+\cdots</math>
여기서
:<math>\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}</math>
는 일반화된 이항 계수이다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서 <math>\alpha\in\mathbb N</math>인 특수한 경우이다. <math>\alpha\not\in\mathbb N</math>일 경우, 이 등식은 <math>|x|>|y|</math>일 때 성립하며, <math>|x|<|y|</math>일 때 성립하지 않으며, <math>|x|=|y|</math>일 때의 성립 여부는 <math>x,y,\alpha</math>의 값에 따라 다르다.

=== 다항 정리 ===
{{본문|다항 정리}}
이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
:<math>(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{k_1,k_2,\dots,k_m\in\mathbb N}^{k_1+k_2+\cdots k_m=n}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}</math>
이를 [[다중지표]]를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>(x_1+x_2+\cdots+x_m)^n=\sum_{K\in\mathbb N^m}^{|K|=n}\binom nKx^K</math>
이항 정리는 다항 정리에서 <math>m=2</math>인 특수한 경우이다.

=== 다중 이항 정리 ===
하나의 이항식의 거듭제곱 대신 여러 (중복이 가능한) 이항식들의 곱을 사용하면 다중 이항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
:<math>(x_1+y_1)^{n_1}(x_2+y_2)^{n_2}\cdots(x_d+y_d)^{n_d}=
\sum_{k_1=0}^{n_1}\sum_{k_2=0}^{n_2}\cdots\sum_{k_d=0}^{n_d}
\binom{n_1}{k_1}x_1^{n_1-k_1}y_1^{k_1}\binom{n_2}{k_2}x_2^{n_2-k_2}y_2^{k_2}\cdots\binom{n_d}{k_d}x_d^{n_d-k_d}y_d^{k_d}</math>
이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>(x+y)^N=\sum_{K\in\mathbb N^d\colon K\le N}\binom NKx^{N-K}y^K</math>
이항 정리는 다중 이항 정리에서 <math>d=1</math>인 특수한 경우이다.

=== 가환환의 경우 ===
이항 정리는 임의의 [[가환환]]의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 [[복소수 다항식]]에 대한 특수한 경우이다.

== 역사 ==
이항계수가 삼각형의 형태로 배열되는 이 식은 종종 [[17세기]] [[블레즈 파스칼]]의 공적으로 알려져 있으나 실제로는 [[이슬람]], [[남아시아]], [[동아시아]] 문화권 모두에서 독립적으로 미리 발견되어 있었다. 시기와 발견자는 각각 [[10세기]] [[인도]] 수학자 [[할라유다]], [[페르시아]] 수학자 [[알카라지]]<ref>O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html "Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji"], MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.</ref>와 [[13세기]] 중국의 수학자 [[양휘]]였다.<ref>Landau, James A (1999-05-08). [http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html "Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle"] {{웨이백|url=http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html |date=20210224081637 }} (mailing list email). Archives of Historia Matematica. Retrieved 2007-04-13.</ref>

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[이항 분포]]
* [[스털링 근사]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BinomialTheorem|title=Binomial Theorem}}
* {{nlab|id=binomial theorem|title=Binomial theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=binomialtheorem|title=Binomial theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=binomialtheoremproofof|title=Binomial theorem, proof of}}
* {{proofwiki|id=Binomial Theorem|제목=Binomial theorem}}
{{전거 통제}}

[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:다항식에 대한 정리]]