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[[수학]], 특히 [[순서론]]에서 '''극대 원소'''(極大元素, {{llang|en|maximal element}})와 '''극소 원소'''(極小元素, {{llang|en|minimal element}})는 [[부분 순서 집합]]에서 그와 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 이는 [[최대 원소]], [[최소 원소]]보다 약한 개념이다. 줄여서 '''극대원''', '''극소원'''이라고도 한다.

극대·극소 원소는 각각 존재하지 않을 수도, 유일하게 존재할 수도, 둘 이상 존재할 수도 있다. 극대 원소가 존재할 충분조건은 [[초른 보조정리]]에 의해 제시된다. 이 정리에 의하면, 부분 순서 집합의 모든 [[사슬 (순서론)|사슬]]이 상계를 가지면 그 부분 순서 집합은 극대 원소를 가진다. 이는 [[정렬 정리]], [[선택 공리]]와 동치인 명제이다.<ref>{{서적 인용|language=en|last=Jech|first=Thomas|title=The Axiom of Choice|year=2008|origyear=1973 초판|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-46624-8}}</ref>

== 정의 ==
[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>의 '''극대 원소''' <math>M\in P</math>는 다음의 서로 동치인 두가지 정의가 있다.

* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>M\le x</math>라면 <math>M=x</math>이다.
* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>\neg(M<x)</math>이다.

부분 순서 집합 <math>(P,\le)</math>의 '''극소 원소'''는 반대 순서 집합 <math>P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)</math>의 극대 원소이다. 즉, 다음의 서로 동치인 성질 중 하나를 만족하는 <math>m\in P</math>이다.

* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>m\ge x</math>라면 <math>m=x</math>이다.
* 모든 <math>x\in P</math>에 대하여, <math>\neg(m>x)</math>이다.

== 존재성과 유일성 ==
=== 존재성 ===
극대 원소와 극소 원소는 존재하지 않을 수 있다.

* [[실수]]의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>은 극대·극소 원소를 갖지 않는다.
* [[실수]]의 부분집합 <math>[1,+\infty)</math>은 극대 원소를 갖지 않는다.

=== 유일성 ===
극대 원소와 극소 원소는 유일하지 않을 수 있다.

* '[[울타리 (수학)|울타리]]'로 불리는 부분 순서 구조 <math>a_1<b_1>a_2<b_2>a_3<b_3>\cdots</math>에서, 모든 <math>a_i</math>는 극소원, 모든 <math>b_i</math>는 극대원이다.
* 적어도 두 원소를 포함한 집합 <math>A</math>에 대해 집합 <math>S=\{\{a\}:a\in A\}</math>와 그 위의 부분 순서 <math>\subseteq</math>를 정의하면, <math>S</math>의 임의의 서로 다른 원소는 비교가 불가능하므로, <math>S</math>의 모든 원소는 동시에 극대원이자 극소원이다.

== 다른 예 ==
* <math>D:=\{2,3,4,6,9,12,18\}</math>은 [[자연수]] 36의 자명하지 않은 (즉 1과 자신을 제외한) 자연수 [[약수]]들의 집합이다. 이들에게 약수 관계에 의한 부분 순서를 주면 2, 3을 극소 원소, 12, 18을 극대 원소로 한다.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[고유 아이디얼]](<math>R</math> 전체가 아닌 아이디얼)들의 극대 원소를 [[극대 아이디얼]]이라고 한다.

== 최대·최소 원소와의 관계 ==
모든 [[최대 원소]]는 극대 원소이며, 모든 [[최소 원소]]는 극소 원소이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[[전순서 집합]]에서는 극대 원소와 최대 원소, 극소 원소와 최소 원소의 개념이 동등하다.

최대 원소와 최소 원소가 각각 많아야 하나뿐인 반면, 부분 순서 집합의 극대 원소와 극소 원소는 여러 개일 수 있다.<ref>{{인용|language=en|title=A Discrete Transition to Advanced Mathematics|first1=Bettina|last1=Richmond|first2=Thomas|last2=Richmond|publisher=American Mathematical Society|year=2009|isbn=978-0-8218-4789-3|page=181|url=http://books.google.com/books?id=HucyKYx0_WwC&pg=PA181}}{{깨진 링크|url=http://books.google.com/books?id=HucyKYx0_WwC&pg=PA181 }}.</ref><ref>{{인용|language=en|title=Group Theory|first=William Raymond|last=Scott|edition=2nd|publisher=Dover|year=1987|isbn=978-0-486-65377-8|url=http://books.google.com/books?id=kt4o5ZTwH4wC&pg=PA22|page=22}}</ref> 다만, 어떤 [[부분 순서 집합]]이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.

극대 원소와 최대 원소가 동일시 되는 경우는 [[전순서]]뿐만이 아니다. 임의의 집합 <math>S</math>에 대해, 그의 멱집합과 포함 관계로 이루어진 부분 순서 집합 <math>(\mathcal{P}(S),\subseteq)</math>은 극대와 최대, 극소와 최소 원소가 각각 유일하며 같으나, 이는 일반적으로 전순서가 아니다(<math>S</math>의 원소가 없거나 하나 뿐일 때에만 전순서이다).

== 유향 집합 ==
{{빈 문단}}

== 응용 ==
* [[파레토 효율]]에서, [[파레토 최적]]은 [[파레토 개선]]에 의한 부분 순서의 극대 원소를 찾는 것이다. 이러한 극대 원소들의 집합을 [[파레토 경계]]라고 한다.
* [[결정이론]]에서, [[허용 가능 결정 규칙]]은 [[지배 결정 규칙]]에 의한 부분 순서의 극대 원소이다.
* [[현대 포트폴리오 이론]]에서, 위험과 회수의 [[곱순서]]에 대한 극대 원소들의 집합을 [[효율적 투자선]]이라고 한다.
* [[집합론]]에서, 한 집합이 유한할 필요충분조건은 공집합이 아닌 임의의 [[부분집합]][[집합족|족]]이 [[집합의 포함 관계|포함 관계]]에 의한 부분 순서에 대한 극소 원소가 존재한다는 것이다.
* [[추상대수학]]에서, [[극대공약수]]는 [[최대공약수]]를 원소들의 공약수들의 극대원이 유일하지 않을 수 있는 경우로 일반화한 개념이다.

== 같이 보기 ==
* [[최대 원소와 최소 원소]]<!-- 
* [[공종 (수학)]] -->

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MaximalElement|title=Maximal element}}

[[분류:순서론]]