{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[끈 이론]]에서 '''오리엔티폴드'''({{lang|en|orientifold}})란 끈의 [[세계면]]의 [[방향 (다양체)|방향]] 반전 연산자를 [[게이지 이론|게이지]]하여 없앤 경우를 일컫는다.<ref name="Dabholkar">{{저널 인용 |이름=Atish|성=Dabholkar |title=Lectures on orientifolds and duality |arxiv=hep-th/9804208|bibcode=1998hepc.conf..128D|날짜=1998|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1016/S0370-1573(02)00273-9 |이름=C.|성=Angelantonj|이름2=A.|성2=Sagnotti |title=Open strings |journal=Physics Reports |volume=371 |pages=1 |year=2002 |arxiv=hep-th/0204089|bibcode = 2002PhR...371....1A|issn= 0370-1573 }} 오류 정정: {{저널 인용 |이름=C.|성=Angelantonj|공저자=A. Sagnotti |title=Erratum to ‘Open strings’: [Phys. Rep. 371 (2002) 1–150] |journal=Physics Reports |volume=376 |issue=6 |pages=407 |year=2003 |doi=10.1016/S0370-1573(03)00006-1 |bibcode = 2003PhR...376..407A |issn= 	0370-1573}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1088/1126-6708/2004/07/023|제목=Notes on orientifolds of rational conformal field theories|이름=Ilka|성=Brunner|공저자=Kentaro Hori|저널=Journal of High Energy Physics|권=2004|호=7|쪽=23|날짜=2004-08-17|arxiv=hep-th/0208141|issn=1029-8479}}</ref>

== 정의 ==
ⅡB종 [[초끈 이론]]의 기본 끈의 [[세계면]]의 <math>\mathcal N=(1,1)</math> [[2차원 등각 장론]]에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.
* <math>\Omega</math>: 끈의 [[방향 (다양체)|방향]]을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
* <math>(-)^{F_L}</math>: 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 [[라몽-라몽 장]]에 대하여 &minus;1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 &minus;1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
* <math>(-)^{F_R}</math>: 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 [[라몽-라몽 장]]에 대하여 &minus;1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 &minus;1로 작용한다.
이들은
:<math>\Omega^2 = ((-)^{F_L})^2 = ((-)^{F_R})^2 = 1</math>
:<math>\Omega (-)^{F_L} = (-)^{F_R} \Omega</math>
를 따르며, 크기 8의 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(4)</math>을 이룬다.<ref name="Dabholkar"/>{{rp|§2.2}}

{| class=wikitable style="text-align: center"
! 장 !! <math>\Omega</math> !! <math>(-)^{F_{\text{L}}}</math> 또는 <math>(-)^{F_{\text{R}}}</math>
|-
| <math>g_{\mu\nu}</math> || + || +
|-
| <math>B_{\mu\nu}</math> || &minus; || +
|-
| <math>\Phi</math> || + || +
|-
| <math>C_0</math> || &minus; || &minus;
|-
| <math>C_2</math> || + || &minus;
|-
| <math>C_4</math> || &minus; || &minus;
|-
| <math>C_6</math> || + || &minus;
|-
| <math>C_8</math> || &minus; || &minus;
|}

보다 일반적으로, 시공간 <math>M</math>의 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는 [[대합 (수학)|대합]] <math>I\colon M\to M</math>에 대하여, <math>I\Omega</math> 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

ⅡA의 경우, <math>\Omega</math>는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 <math>I \colon M\to M</math>와 합성하였을 때 <math>I\Omega</math> 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

끈이 움직이는 [[시공간]] <math>M</math>이 어떤 (유한) 대칭군 <math>G</math>를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군
:<math>G \times \operatorname{Dih}(4)</math>
의 임의의 [[부분군]]
:<math>H \le G \times \operatorname{Dih}(4)</math>
을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약 <math>H \le G \times \{1\}</math>이라면 (즉, 끈 세계면 [[2차원 등각 장론]]의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 [[오비폴드]] <math>M/H</math> 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 <math>H \not\le G \times \{1\}</math>이라면, 이를 '''오리엔티폴드'''라고 한다.

=== 오리엔티폴드 평면 ===
흔히 사용되는 경우는 <math>H = \{(1,1), (g,\Omega)\}</math>이며 <math>g^2 = 1</math>인 경우이다. 이 경우, <math>g</math>의 [[고정점]]의 집합을 '''오리엔티폴드 평면'''이라고 한다. 차원에 따라, <math>p+1</math>차원의 오리엔티폴드 평면을 O<math>p</math> 평면으로 부른다.

O-평면은 [[D-막]]과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 [[장력]]을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어, <math>G</math>가 자명한 (<math>G=1</math>) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.

보다 일반적으로,
:<math>\operatorname{Dih}(4) = \{1, (-)^{F_L+F_R}, \Omega, \Omega (-)^{F_L+F_R}, (-)^{F_L}, (-)^{F_R}, \Omega(-)^{F_L}, \Omega(-)^{F_R}\}</math>
에서, 총 페르미온 수 <math>(-)^{F_L+F_R}</math>를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.<ref name="BLT">{{서적 인용|이름=Ralph|성=Blumenhagen|성2=Lüst|이름2=Dieter|성3=Theisen|이름3= Stefan|제목=Basic concepts of string theory|doi=10.1007/978-3-642-29497-6|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-642-29496-9|언어=en}}</ref>{{rp|319, §10.6}}

이를 무시하면 (즉, [[몫군]] <math>\operatorname{Dih}(4) \twoheadrightarrow \operatorname{Cyc}(2)^3</math>을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. [[에드워드 위튼]]은 이를 다음과 같이 명명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Edward |성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=''D''-branes and K-theory|arxiv=hep-th/9810188|언어=en}}</ref>
* '''(ⅰ)종 오리엔티폴드'''({{llang|en|type (ⅰ) orientifold}}): <math>\Omega</math>
* '''(ⅱ)종 오리엔티폴드'''({{llang|en|type (ⅱ) orientifold}}): <math>(-)^{F_L}</math> (또는 <math>(-)^{F_R}</math>)
* '''(ⅲ)종 오리엔티폴드'''({{llang|en|type (ⅲ) orientifold}}): <math>\Omega(-)^{F_L}</math> (또는 <math>\Omega(-)^{F_R}</math>)
이 경우, 사용되는 원소 <math>X</math>는 페르미온에 대하여 <math>X^2=+1</math>이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, O''p''-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.<ref name="BGS">{{저널 인용|이름=Oren|성=Bergman|이름2=Eric|성2=Gimon|성3=Sugimoto|이름3=Shigeki|arxiv=hep-th/0103183|제목=Orientifolds, RR Torsion, and K-theory|날짜=2001|doi=10.1088/1126-6708/2001/05/047|저널=Journal of High Energy Physics|권=0105|쪽=047|날짜=2001|언어=en}}</ref>{{rp|(2.1), §2.1}}<ref name="BLT"/>{{rp|317, Table 10.3}}
:<math>I_{9-p}\Omega \cdot \begin{cases}
1 & p \equiv 0,1\pmod4\\
(-)^{F_L} & p \equiv 2,3\pmod4
\end{cases}</math>
물론, ⅡA에서 ''p''는 짝수이며, ⅡB에서 ''p''는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. [[정이면체군]] Dih(4)의 [[군의 중심|중심]]의 원소 <math>(-)^F</math>를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면({{llang|en|anti-orientifold plane}})에 해당한다.<ref>{{저널 인용|이름=Shamit|성=Kachru|이름2=Jason|성2=Kumar|이름3=Eva|성3=Silverstein|arxiv=hep-th/9907038|날짜=2000|저널=Classical and Quantum Gravity|제목=Orientifolds, RG flows, and closed string tachyons|doi=10.1088/0264-9381/17/5/323|권=17|호=5|쪽=1139-1150|언어=en}}</ref>{{rp|§2}} 위 표에서 물론 <math>(-)^{F_L}</math>을 사용하는지, <math>(-)^{F_R}</math>를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 [[D-막]]으로, 어느 것을 반(反) [[D-막]]으로 간주하는지에 대응한다.

=== 기타 오리엔티폴드 평면 ===
보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다.<ref name="BGS"/><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0003025|제목=On orientifolds, discrete torsion, branes and M theory|이름=Amihay|성=Hanany|이름2=Barak|성2=Kol|doi=10.1088/1126-6708/2000/06/013|권=0006 |날짜=2000|쪽=013|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Jacques|성=Distler|이름2=Daniel S.|성2=Freed|이름3=Gregory W.|성3=Moore|저자링크3=그레고리 윈스럽 무어|제목=Orientifold Précis|arxiv=0906.0795|연도=2010}}</ref> 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 [[꼬임 부분군]]에 해당하는 [[캘브-라몽 장]] 또는 (<math>p
\le6</math>일 때) [[라몽-라몽 장]] 장세기를 추가할 수 있다.

{| class=wikitable
! 이름 !! [[캘브-라몽 장]]세기 !! [[라몽-라몽 장]]세기 || 장력 || 라몽-라몽 전하 || <math>N</math>개 반(半)D-막의 게이지 군
|-
| O''p''<sup>&minus;</sup> || 0 || 0 || <math>-2^{p-4}</math> || <math>-2^{p-4}</math> || <math>\operatorname{SO}(N)</math>
|-
| O''p''<sup>+</sup> || ≠0 || 0 || <math>2^{p-4}</math> || <math>2^{p-4}</math> || <math>\operatorname{USp}(N)</math>
|-
| Õ''p''<sup>&minus;</sup> || 0 || ≠0 || <math>1-2^{p-4}</math> || <math>1-2^{p-4}</math> || <math>\operatorname{SO}(N+1)</math>
|-
| Õ''p''<sup>+</sup> || ≠0 || ≠0 || <math>2^{p-4}</math> || <math>2^{p-4}</math> || <math>\operatorname{USp}(N)</math>
|}

물론, 위 경우 모두에 대하여 <math>(-)^F</math>를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다.

위 표에서, Õ''p''<sup>&minus;</sup>-평면은 O''p''<sup>&minus;</sup>평면과 ½개의 [[D-막|D''p''-막]]이 결합한 상태로 여길 수 있다.

== 성질 ==
오리엔티폴드 평면은 [[D-막]]과 마찬가지로 [[라몽-라몽 장]]에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 [[D-막]] 전하는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Orientifolds: the unique personality of each spacetime dimension|이름= Sunil|성=Mukhi|arxiv=hep-th/9710004|날짜=1997|언어=en}}</ref>

{| class=wikitable
! O-평면 !! O''p'' 전하 / D''p'' 전하
|-
| O9 || &minus;32
|-
| O8 || &minus;16
|-
| O7 || &minus;8
|-
| O6 || &minus;4
|-
| O5 || &minus;2
|-
| O4 || &minus;1
|-
| O3 || &minus;½
|-
| O2 || &minus;¼
|-
| O1 || &minus;⅛
|}
이는 [[T-이중성]]으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 &minus;32개의 [[D9-막]]과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 <math>\mathbb T^n</math>에 [[축소화]]하여 T-이중성을 가하면, <math>2^n</math>개의 O<math>(9-n)</math>-평면이 32개의 D<math>(9-n)</math>-막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. (<math>2^n</math>은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 [[T-이중성]]을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 [[D8-막]]이 존재한다.

위 표에서, “<math>k</math>개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉, <math>k</math>는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(''k'')를 발생시킨다.)

== 예 ==
[[Ⅰ종 끈 이론]]을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서
:<math>H = \{(1,\Omega)\}</math>
에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, [[항등 함수]]의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 [[파인먼 도형]]을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 [[Ⅰ종 끈 이론]]의 게이지 군에 해당한다.

== 역사 ==
1989년에 잔프란코 프라디시({{llang|it|Gianfranco Pradisi}})와 아우구스토 사뇨티({{llang|it|Augusto Sagnotti}}),<ref>{{저널 인용|제목=Open string orbifolds|저널=Physics Letters B|권=216|호=1–2|날짜=1989-01-05|쪽=59–67|이름=Gianfranco|성=Pradisi|이름2=Augusto|성2=Sagnotti|제목=Open string orbifolds|doi=10.1016/0370-2693(89)91369-5}}</ref> 다이진({{zh|c=戴瑾|p=Dài Jǐn}}), 로버트 리({{llang|en|Robert G. Leigh}}), [[조지프 폴친스키]]가<ref>{{저널 인용|이름=Jin|성=Dai|이름2=Robert G.|성2=Leigh|저자링크3=조지프 폴친스키|이름3=Joseph|성3=Polchinski|제목=New connections between string theories|저널=Modern Physics Letters A|권=4|호=21|쪽=2073–2083|날짜=1989-10-20|doi=10.1142/S0217732389002331|언어=en}}</ref> 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 [[D-막]]의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’({{llang|en|orientifold}})란 {{llang|en|orientation|오리엔테이션}}([[방향 (다양체)|방향]])과 ‘[[오비폴드]]’의 합성어이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=orientifold|title=Orientifold}}
* {{nlab|id=orientifold plane|title=Orientifold plane}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]