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[[추상대수학]]에서 '''요르단 삼항 대수'''(Jordan三項代數, {{llang|en|Jordan triple algebra}})는 어떤 특별한 항등식을 만족시키는 3쌍 선형 연산을 갖춘 [[대수 구조]]이다. 모든 [[요르단 대수]]와, 특정한 [[대합 (수학)|대합]]을 갖는 [[등급 리 대수]]는 표준적으로 요르단 삼항 대수의 구조를 갖는다. 또한, 요르단 3항 대수에 대하여, 그 위의 “[[등각 변환]]”으로 구성되는 더 큰 [[리 대수]]가 존재한다. 이 구성을 '''칸토르-쾨허-티츠 구성'''(Кантор-Koecher-Tits構成, {{llang|en|Kantor–Koecher–Tits construction}})이라고 하며, 이를 통해 일부 예외 단순 리 대수([[E₇]], [[E₆]], [[F₄]])를 구성할 수 있다.

== 정의 ==
=== 요르단 삼항 대수 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''요르단 삼항 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref>{{저널 인용|제목=A generalization of the Kantor-Koecher-Tits construction | 이름=Jakob | 성=Palmkvist | url = https://www.omicsonline.org/open-access/a-generalization-of-the-kantorkoechertits-construction-1736-4337-2-141.pdf | 저널=Journal of generalized Lie theory and applications | 날짜=2008 | 권=2 | 호=3|쪽=226–230|언어=en}}</ref>
* <math>K</math>-[[벡터 공간]] <math>A</math>
* <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>\langle-\rangle\colon A\otimes_KA\otimes_KA \to A</math>, <math>x\otimes y\otimes z \mapsto \langle xyz\rangle</math>
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (대칭성) <math>\langle x,y,z\rangle = \langle z,y,x\rangle</math>
* <math>\langle u,v,\langle x,y,z\rangle\rangle - \langle x,y,\langle u, v, z\rangle\rangle = \langle\langle u,v,x\rangle,y,z\rangle - \langle x,\langle y, u, v\rangle, z\rangle</math>

== 성질 ==
=== 요르단 대수 → 요르단 3항 대수 ===
[[요르단 대수]] <math>(A,\star)</math>가 주어졌을 때
:<math>\langle x,y,z\rangle = (x\star y)\star z + x\star(y\star z) - y\star(x\star z)</math>
를 정의하면, 이는 요르단 3항 대수를 이룸을 쉽게 확인할 수 있다.

=== 리 대수 → 요르단 3항 대수 ===
<math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 가 <math>\{-1,0,+1\}</math> 값의 등급을 갖는다고 하자.
:<math>\mathfrak g=\mathfrak g_{-1}\oplus\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1</math>
:<math>[\mathfrak g_0,\mathfrak g_i] \subseteq\mathfrak g_i</math>
:<math>[\mathfrak g_1,\mathfrak g_1] = [\mathfrak g_{-1},\mathfrak g_{-1}] = 0</math>
:<math>[\mathfrak g_1,\mathfrak g_{-1}] \subseteq\mathfrak g_0</math>
또한, <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>\tau\colon\mathfrak g\mapsto\mathfrak g</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>\tau</math>는 [[리 대수]]의 [[자기 동형]]을 이룬다.
* ([[대합 (수학)|대합]]) <math>\tau(\tau(x)) = x\qquad\forall x\in\mathfrak g</math>
* (등급과의 호환) <math>\tau(x) \in\mathfrak g_{-i}\forall i\in\{0,\pm1\},\;x\in\mathfrak g_i</math>
그렇다면,
:<math>\langle x,y,z\rangle = [[x,\tau(y)],z]</math>
를 정의하면 <math>\mathfrak g</math>는 요르단 3항 대수를 이룬다.

=== 요르단 3항 대수 → 리 대수 ===
이제, 요르단 3항 대수 <math>(A,\langle-,-,-\rangle)</math>가 주어졌을 때, 다항 함수 <math>A\to A</math>의 [[결합 대수]]
:<math>A\otimes K[A]</math>
를 생각하자. 이는 [[함수의 합성]]에 의하여 자연수 등급의 [[등급 대수]]를 이루며, 대수의 연산을 [[리 괄호]] <math>[a,b] = ab-ba</math>만 남기고 잊으면 이는 [[등급 리 대수]]를 이룬다.

이제, 다음과 같은 세 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을 정의하자.
:<math>\mathfrak g_{-1} = 
\{
x \mapsto a\colon a\in A
\} = (A\otimes_KK[A])_0 </math>
:<math>\mathfrak g_0 = 
\operatorname{Span}_K\{
x \mapsto \langle a,b,x\rangle\colon a,b\in A
\} \subseteq (A\otimes_KK[A])_1 </math>
:<math>\mathfrak g_1 = 
\left\{
x \mapsto -\frac12\langle x,u,x\rangle\colon u\in A
\right\} \subseteq (A\otimes_KK[A])_2 </math>
이는 <math>A</math> 위의 [[상수 함수]] · [[선형 함수]] · 2차 함수로 구성된다.

이는 일반적으로 <math>A\otimes_KK[A]</math>의 [[함수의 합성]]에 대하여 닫혀 있지 않지만, 대신 [[리 괄호]]에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다.
즉, 이는 <math>K</math>-[[리 대수]]를 이루며, 또한 <math>\{-1,0,+1\}</math> 값의 등급을 갖는다. 또한, 이 구조에는
:<math>\tau \colon \mathfrak g_i \mapsto \mathfrak g_{-i}</math>
:<math>\tau \colon ((x \mapsto u) \in\mathfrak g_{-1}) \mapsto ((x \mapsto -\tfrac12\langle x,u,x\rangle) \in\mathfrak g_1</math>
:<math>\tau \colon ((x\mapsto \langle u,v,x\rangle) \in\mathfrak g_0) \mapsto ((x\mapsto \langle \tau(u),\tau(v),x\rangle) \in\mathfrak g_0) </math>
와 같은 [[대합 (수학)|대합]]이 주어진다.

이를 <math>A</math>에 대응되는 '''칸토르-쾨허-티츠 구성'''이라고 하며, <math>\mathfrak{con}(A)</math>로 표기한다. 또한, 그 등급 0의 부분 [[리 대수]]를 <math>\mathfrak{con}_0(A)</math>로 표기한다.

만약 <math>A</math>가 항등원을 갖는 [[요르단 대수]]를 이룬다면, [[리 대수 준동형]]
:<math>K \to \mathfrak{con}_0(A)</math>
:<math>\alpha \mapsto (x\mapsto \alpha x)</math>
이 존재한다. (여기서 [[정의역]]은 [[아벨 리 대수]]이다.) 또한, 그 [[치역]]은 리 대수의 중심의 부분이므로 [[리 대수 아이디얼]]을 이루어, 이에 대한 몫을 취할 수 있다. 이 대수를
:<math>\mathfrak{con}_0'(\mathfrak A) = \frac{\mathfrak{con}_0}{K}</math>
로 표기하자. 사실, <math>\mathfrak{con}_0(A)</math>의 모든 원소는
:<math> T = \frac1{\dim_KA}\operatorname{tr}(T) + \left(T - \frac1{\dim_KA}\operatorname{tr}(T)\right)</math>
와 같이 [[대각합]]과 무대각합 성분으로 표준적으로 분해되므로, 이는 표준적으로 직합
:<math>\mathfrak{con}_0(A) = K \oplus\mathfrak{con}'_0(A)</math>
을 이룬다.

또한, <Math>A</math>가 [[요르단 대수]]일 때, 그 [[이항 연산]] <math>\star</math>을 보존하는 [[미분 리 대수]] <math>\mathfrak{der}(A)</math>가 존재하며, 이는 <math>\mathfrak{con}_0'(A)</math>의 부분 대수를 이룬다.
:<math>\mathfrak{der}(A) \subseteq\mathfrak{con}_0'(A) </math>

== 예 ==
[[요르단 대수]]에 대응되는 [[리 대수]]의 예는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Division algebras, (pseudo)orthogonal groups and spinors | 이름=A.|성=Sudbery | 저널=Journal of physics A | 권=17 | 호=5 | 쪽=939–955 |  날짜=1984-04 | bibcode= 1984JPhA...17..939S | doi=10.1088/0305-4470/17/5/018 | 언어=en}}</ref>{{rp|§§4–5}}

{| class=wikitable
|-
! [[요르단 대수]] <math>A</math>
! <math>\mathfrak{con}(A)</math>
! <math>\mathfrak{con}_0'(A)</math>
! <math>\mathfrak{der}(A)</math>
|-
| <math>\operatorname H(1;\mathbb K) = \mathbb R</math>
| <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)=\mathfrak o(1,2)</math>
| 0
| 0
|-
| <math>\operatorname H(2;\mathbb K)</math>
| <math>\mathfrak o(2,2+\dim_{\mathbb R}\mathbb K)</math>
| <math>\mathfrak o(1,1+\dim_{\mathbb R}\mathbb K)</math>
| <math>\mathfrak o(1+\dim_{\mathbb R}\mathbb K;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb O)</math> ([[앨버트 대수]])
| <math>\mathfrak e_{7(-25)}</math> ([[E₇]] [[리 대수]])
| <math>\mathfrak e_{6(-26)}</math> ([[E₆]] [[리 대수]])
| <math>\mathfrak f_4</math> (콤팩트 [[F₄]] [[리 대수]])
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb H)</math>
| <math>\mathfrak o^*(12)</math>
| <math>\mathfrak{su}^*(6)=\mathfrak{sl}(3;\mathbb H)</math>
| <math>\mathfrak{usp}(6)=\mathfrak{su}(3;\mathbb H)</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb C)</math>
| <math>\mathfrak{su}(3,3)</math>
| <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)</math>
| <math>\mathfrak{su}(3)</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb R)</math>
| <math>\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)</math>
| <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)</math>
| <math>\mathfrak o(3)</math>
|}
여기서
* <math>\operatorname H(n,\mathbb K)</math>는 <math>K</math> 계수의 <math>n\times n</math> 에르미트 행렬로 구성된 [[요르단 대수]]이다.
* <math>\mathbb K</math>는 [[실수체]] (<math>\mathbb R</math>), [[복소수체]] (<math>\mathbb C</math>), [[사원수 대수]] (<math>\mathbb H</math>), [[팔원수 대수]] (<math>\mathbb O</math>) 가운데 하나이다.
* <math>\mathfrak{con}(\operatorname H(2;\mathbb K))</math>의 <Math>\{0,\pm1\}</math> 등급 및 [[대합 (수학)|대합]]은 [[등각 대칭]]군으로서 주어진다. 즉, 우변을 <math>2+\dim_{\mathbb R}\mathbb K \in\{3,4,6,10\}</math>차원 [[민코프스키 공간]] 위의 [[등각 변환]]들의 군으로 여긴다.

== 역사 ==
칸토어-쾨허-티츠 구성은 [[자크 티츠]]<ref>{{저널 인용 | last1=Tits | first1=Jacques | title=Une classe d’algèbres de Lie en relation avec les algèbres de Jordan | mr=0146231 | year=1962 | journal=Indagationes Mathematicae | volume=24 | pages=530–535 | 언어=fr}}</ref> · 이사이 리보비치 칸토르<ref>{{저널 인용 | last1=Кантор | first1=Исай Львович | title=Классификация неприводимых транзитивно-дифференциальных групп | mr=0175941 | year=1964 | journal=Доклады академии наук Союза Советских Социалистических Республик | issn=0002-3264 | volume=158 | 호=6 | pages=1271–1274 | url=http://mi.mathnet.ru/dan30260 | zbl=0286.17011 | 언어=ru}}</ref>({{llang|ru|Исай Львович Кантор}}, 1936~2006) · 막스 쾨허<ref>{{저널 인용 | last1=Koecher | first1=Max | title=Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras  Ⅰ | jstor=2373242 | mr=0214631 | year=1967 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=89 | pages=787–816 | doi=10.2307/2373242 | 언어=en}}</ref>({{llang|de|Max Koecher}}, 1924~1990)가 1960년대에 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:비결합대수]]