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[[파일:Sun920607.jpg|right|섬네일|300px|태양의 주연감광.]]

'''주연감광'''(周緣減光, limb darkening)이란 [[태양]]을 비롯한 [[항성]]을 보았을 때, 그 원반의 중심에서 가장자리로 갈수록 어두워지는 광학적 효과를 말한다. 이 효과를 이해하기 위해 노력하는 과정에서 [[복사전달|복사전달이론]]의 개발이 촉진되었다.

== 기본 개념 ==
[[파일:Limb darkening layers.svg|left|섬네일|256 px|이상적으로 표현한 주연감광. 각 경계면은 항성에서 방출되는 광자들이 더 이상 흡수되지 않는 경계면이다. <math>L</math>은 광학적 깊이가 1인 거리다. 보다 고온인 <math>A</math> 지점에서 방출된 광자들은 간신히 항성 내부를 탈출한다. 한편 보다 저온인 <math>B</math> 지점에서 방출된 광자들 역시 마찬가지다. 이 축척은 정확한 것이 아니며, [[태양]]의 경우 길이 <math>L</math>은 수백 킬로미터에 불과하다.]]

주연감광을 이해하는 데 있어 필수적인 것은 [[광학적 깊이]]라는 개념이다. 광학적 깊이 1에 해당하는 거리는 그 거리를 통과하는 동안 빛의 광자수가 원래 광자수에 [[자연상수]]를 나누어 준 것만 남게 되는 거리다. 이것은 항성이 "보이는" 경계를 정의해주며, 그것은 항성이 "불투명"해지는 광학적 깊이 지점에 해당한다. 광학적 깊이가 1이라는 가정하에, 우리에게 닿는 복사는 시선방향의 모든 방출의 합으로 근사될 수 있다. 특히 항성의 복사세기가 광학적 깊이에 선형적으로 변동한다면, 우리에게 도달하는 복사는 광학적 깊이가 1이 되는 지점에서의 세기와 같을 것이다. 그 깊이 너머는 불투명해서 보이지 않기 때문이다.

항성이 원반 모양 상으로 맺힐 때 그 원반의 가장자리를 보게 되면, 우리는 사실 원반 가운데를 보는 것과 같은 깊이를 "볼"수 없다. 왜냐하면 시선이 항성의 [[반지름]] 방향과 일치하지 않고 사선을 그리기 때문이다. 왼쪽 그림을 함께 보면 이해가 쉽다. 시선 방향으로 광학적 깊이가 1인 거리가 <math>L</math>이라면, 반지름 방향으로 광학적 깊이가 1인 거리는 원반 가운에데서는 시선 방향과 같아서 <math>L</math>이고, 가장자리로 갈수록 반지름과 <math>L</math>이 갖는 각의 [[코사인]]이 곱해져 작아진다. 즉, 원반 중앙에서 보이는 빛은 그보다 깊은 곳(<math>A</math>)에서 나온 것이고, 원반 가장자리에서 보이는 빛은 상대적으로 얕은 곳(<math>B</math>)에서 나온 것이다.

여기서 두 번째로 필요한 것이 [[항성대기]]의 [[유효온도]] 개념이다. 항성대기 내부에서 온도는 대개 항성의 중앙으로부터 멀어질수록 떨어지고, 기체들이 방출하는 복사는 온도에 강하게 속박된 함수다. 예컨대 [[흑체]]의 경우, 모든 분광을 적분한 세기는 온도의 네제곱에 비례한다([[슈테판-볼츠만 법칙]]). 앞에서 우리는 항성대기 내부 복사가 광학적 깊이가 1인 지점에서 나오는 것이라고 근사했고, 그 지점은 원반상의 중앙에서 더 깊다. 더 깊다는 것은 온도가 더 높다는 것이고, 그러므로 복사세기도 커진다. 가장자리에서는 반대로 그 지점이 얕고, 온도가 낮고, 복사세기가 비교적 작다. 그래서 항성은 가운데가 밝고, 가장자리로 갈수록 어둡다.

== 주연감광의 계산 ==
[[파일:Limb darkening geometry.svg|right|frame|주연감광의 기하학.]]

오른쪽 그림의 조건은 다음과 같다.
* 반경 <math>R</math>인 항성의 중심이 <math>O</math>이고 관찰자 위치는 <math>P</math>다. P는 항성대기 바깥에 있다.
* <math>P</math>와 <math>O</math> 사이의 거리 <math>\left| \overline{OP} \right| = r</math>
* 원반상에서 관찰자가 보는 두 개의 지점 중 가장자리는 반경 <math>R</math>과 수직을 이룬다. 그 선분이 <math>\overline{OP}</math>와 이루는 각도 <math>\Omega</math>
* 가장자리가 아닌 관찰지점 <math>S</math>에 대해 <math>\overline{OS}</math>와 <math>\overline{OP}</math>가 이루는 각도 <math>\theta</math>
* 관찰지점의 입사각 <math>\psi</math> (가장자리에서는 <math>\psi = 90^\circ</math>, 중앙에서는 <math>\psi = 0</math>)

<math>P</math>에서 임의의 각 <math>\theta</math> 방향으로 보는 복사세기는 입사각 <math>\psi</math>에 의해서면 변동되는 함수이며, 이것은 <math>\cos \psi</math>에 대한 다항식으로 근사될 수 있다.

:<math>
\frac{I(\psi)}{I(0)} = \sum_{k=0}^N a_k \cos^k \psi,
</math>

<math>I ( \psi )</math>는 위치 <math>P</math>에서의 시선이 항성반경과 이루는 입사각 <math>\psi</math>에서의 세기다. 중앙에서 이 비는 <math>I(0)/I(0) = 1</math>이 되어야 하므로 다음을 얻는다.

:<math>
\sum_{k=0}^N a_k = 1.
</math>

예컨대 주연감광이 없는 [[람베르트의 코사인 법칙|람베르트 복사체]]에서는 <math>a_0 = 1</math>이고 나머지 모든 <math>a_k = 0</math>이다. 또다른 예로서 태양을 550 나노미터 [[파장]] 대역에서 본다면 다음과 같다(Cox, 2000).

:<math>a_0 = 1 - a_1 - a_2 = 0.3,</math>
:<math>a_1 = 0.93,</math>
:<math>a_2 = -0.23</math>

주연감광 방정식은 다음과 같이 변형할 수 있는데,

:<math>
\frac{I(\psi)}{I(0)} = 1 + \sum_{k=1}^N A_k (1 - \cos \psi)^k,
</math>

이로써 합이 1이 되어야 한다는 조건이 있는 <math>N+1</math> 계수 대신 독립적인 <math>N</math> 계수를 갖게 된다.

상수 <math>a_k</math>들은 상수 <math>A_k</math>들과 다음과 같은 관계가 있다. <math>N=2</math>일 때,

:<math>A_1 = - (a_1 + 2 * a_2),</math>
:<math>A_2 = a_2.</math>

그래서 550 나노미터 파장의 태양은

:<math>A_1 = -0.47,</math>
:<math>A_2 = -0.23.</math>

이것은 태양원반에서 가장자리는 중앙에 비해 30%의 세기밖에 되지 못함을 보여준다.

이것을 <math>\theta</math>에 대한 함수로 바꿔 주려면

:<math>
\cos \psi =
\frac{\sqrt{\cos^2 \theta - \cos^2 \Omega}}{\sin \Omega} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin \theta}{\sin \Omega}\right)^2},
</math>

이 때 <math>\theta</math>가 매우 작다면 다음과 같이 근사된다.

:<math>\cos\psi \approx \sqrt{1 - \left(\frac{\theta}{\sin \Omega}\right)^2}.</math>

그러므로 가장자리에서 <math>\cos \psi</math>의 도함수는 무한으로 발산한다.

이 근사는 평균세기와 중앙세기의 비를 [[분석적 표현|분석적으로 표현]]할 때도 사용할 수 있다. 평균세기 <math>I_m</math>은 항성원반 전체의 세기를 적분한 것을 원반의 [[입체각]]으로 나눈 것이다.

:<math>I_m = \frac{\int I(\psi)\,d\omega}{\int d\omega},</math>

이 때 <math>\omega = \sin \theta\ d \theta\ d \psi</math>는 미소입체각성분이며, 적분구간이 <math>\phi = [0, 2 \pi ], \theta = [0, \Omega]</math>이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>I_m = \frac{\int_{\cos\Omega}^1 I(\psi) \,d\cos\theta}{\int_{\cos\Omega}^1 d\cos\theta} =
\frac{\int_{\cos\Omega}^1 I(\psi) \,d\cos\theta}{1 - \cos\Omega}.
</math>

이 방정식은 분석적으로 풀려면 풀 수 있으나 너무 어렵다. 그런데 항성과 관찰자 사이의 거리가 무한에 가깝게 크다면 <math>d\ \cos \theta</math>가 <math>\sin^2 \Omega \cos \psi\ d\ \cos \psi</math>로 대체되므로

:<math>I_m = \frac{\int_0^1 I(\psi) \cos\psi \,d\cos\psi}{\int_0^1 \cos\psi \,d\cos\psi} = 2\int_0^1 I(\psi) \cos\psi \,d\cos\psi,</math>

:<math>\frac{I_m}{I(0)} = 2 \sum_{k=0}^N \frac{a_k}{k + 2}.</math>

그래서 550 나노미터 대역에서 태양원반의 평균세기는 원반 중앙의 세기의 80.5%라고 말할 수 있다.

==  참고 자료 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용| author=Billings, Donald E. | title=A Guide to the Solar Corona | publisher=Academic Press, New York | date=1966 | id =  |이탤릭체=예}}
* {{서적 인용| author=Cox, Arthur N. (ed) | title=Allen's Astrophysical Quantities | edition=14th| publisher=Springer-Verlag, NY | date=2000 | isbn = 0-387-98746-0 |이탤릭체=예}}
* {{저널 인용| author=Milne, E.A. | title=Radiative Equilibrium in the Outer Layers of a Star: the Temperature Distribution and the Law of Darkening | journal=MNRAS | date=1921 | volume=81 | issue=5 | pages=361–375|bibcode = 1921MNRAS..81..361M |doi = 10.1093/mnras/81.5.361 |이탤릭체=예}}
* {{저널 인용| author=Minnaert, M. | title=On the Continuous Spectrum of the Corona and its Polarisation | journal=Zeitschrift für Astrophysik | date=1930 | volume=1 | pages=209| bibcode=1930ZA......1..209M |이탤릭체=예}}
* {{저널 인용|author1=Neckel, H.  |author2=Labs, D. | title=Solar Limb Darkening 1986-1990 | journal=Solar Physics | date=1994 | volume=153 | issue=1–2 | pages=91–114 | doi=10.1007/BF00712494 | bibcode=1994SoPh..153...91N|이탤릭체=예}}
* {{저널 인용|author1=van de Hulst |author2=H. C. | title=The Electron Density of the Solar Corona | journal=Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands | date=1950 | volume=11 | issue=410 | pages=135| bibcode=1950BAN....11..135V |이탤릭체=예}}
* {{서적 인용| author = Mariska, John | title = The Solar Transition Region | publisher = Cambridge University Press, Cambridge | date = 1993 | isbn = 0521382610|이탤릭체=예}}
* {{저널 인용|last=Steiner |first=O. |year=2007 |title=Photospheric processes and magnetic flux tubes |journal=AIP Conference Proceedings |chapter=<!-- --> |series=<!-- --> |volume=919 |issue= |pages=74 |arxiv=0709.0081 |bibcode= 2007AIPC..919...74S |doi=10.1063/1.2756784 |이탤릭체=예}}
{{참고 자료 끝}}

{{전거 통제}}

[[분류:항성천문학]]
[[분류:태양 현상]]