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[[수학]]에서 '''보형 형식'''(保型 形式) 또는 '''자기동형 형식'''(自己同型 形式, {{llang|en|automorphic form}})은 고전적인 [[모듈러 형식]]을 임의의 [[리 군]] 및 그 [[이산 군|이산]] [[부분군]]으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 [[해석 함수]]이다. 보형 형식의 이론은 [[랭글랜즈 프로그램]]을 통해 현대 [[수론]]의 핵심적인 부분을 차지한다.

== 정의 ==
임의의 [[리 군]] <math>G</math>은 [[이와사와 분해]]({{llang|en|Iwasawa decomposition}})를 통해 [[멱영군]] <math>N</math>, [[아벨 군]] <math>A</math>, 콤팩트 반단순 군 <math>K</math>로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 <math>g\in G</math>는 이와사와 분해에 따라
:<math>g=n(g)a(g)k(g)</math>
:<math>n(g)\in N,\;a(g)\in A,\;k(g)\in K</math>
와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 <math>G</math>가 [[이산 군|이산]] [[부분군]] <math>\Gamma\subset G</math>를 갖는다고 하자. <math>G</math> 위의, <math>\Gamma</math>에 대한 '''보형 형식''' <math>f\colon G\to\mathbb C</math>는 다음 네 조건들을 만족시키는 [[매끄러운 함수]]이다.
* 모든 <math>\gamma\in\Gamma</math>, <math>g\in G</math>에 대하여, <math>f(\gamma g)=f(g)</math>
* (<math>K</math>-유한성) <math>f</math>를 <math>K</math>의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 [[벡터 공간]]이 유한 차원이다.
* (<math>\mathcal Z</math>-유한성) <math>\mathcal Z</math>가 <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]] <math>U(\mathfrak g)</math>의 중심이라고 하자. 그렇다면, <math>f</math>를 상쇄시키는,<math>\mathcal Z</math>의  유한 [[여차원]] [[아이디얼]] <math>J\subset\mathcal Z</math>이 존재한다.
* (첨점에서의 완만한 성장 {{llang|en|moderate growth at cusp}}) 첨점 근처에서, <math>|f(g)|=O(\Vert a(g)\Vert^\lambda)</math>인 <math>\lambda\in\mathbb R</math>가 존재한다.
이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

=== 고전적 정의와의 관계 ===
고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 [[유리형 함수]]로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 '''보형 인자'''({{llang|en|factor of automorphy}}) <math>j</math>라는 인자가 포함되었다. 즉,
:<math>f(\gamma\cdot z)=j(\gamma,z)^{-m}f(x)</math>
의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 [[모듈러 형식]]은 [[상반평면]] <math>\mathbb H</math> 위에, [[모듈러 군]] <math>\Gamma=\operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)</math>에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 <math>G=\operatorname{SL}(2,\mathbb R)</math>의 부분군 <math>K=\operatorname{SO}(2,\mathbb R)</math>에 대한 [[잉여류]] 공간
:<math>\operatorname{SL}(2,\mathbb R)/\operatorname{SO}(2,\mathbb R)\cong\mathbb H</math>
위의 함수로 재해석된다.

== 역사 ==
보형 형식은 고전적인 개념인 [[모듈러 형식]]의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 [[힐베르트 모듈러 형식]]·[[지겔 모듈러 형식]] 등으로 일반화되었다. 일반적인 [[리 군]]에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 [[일리야 퍄테츠키샤피로]] 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 [[로버트 랭글랜즈]]가 [[랭글랜즈 프로그램]]을 통해 이를 [[대수적 수론]]의 [[갈루아 군]]과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.

== 같이 보기 ==
* [[자기동형사상]]
* [[j-불변량|<math>j</math>-불변량]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Automorphic Forms and Representations|이름=Daniel|성=Bump|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9780511609572|isbn=9780521550987|날짜=1997|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=55|url=http://math.stanford.edu/~bump/book.html|언어=en}}
*{{서적 인용 |last=Jacquet | first=Hervé | 공저자=[[로버트 랭글랜즈|Robert P. Langlands]] | title=Automorphic forms on GL(2) | url=http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/jl-ps.pdf | publisher=Springer | 총서=Lecture Notes in Mathematics | doi=10.1007/BFb0058988 | mr=0401654 | 날짜=1970 | volume=114 | isbn=978-3-540-04903-6 | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Topics in Classical Automorphic Forms|이름=Henryk|성=Iwaniec|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-17|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=17|날짜=1997|isbn= 978-0-8218-0777-4|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Automorphic form}}
* {{eom|title=Automorphic function}}
* {{웹 인용|title=18.785 lecture notes|이름=Ben|성=Brubaker|출판사=Massachusetts Institute of Technology|url=http://math.mit.edu/~brubaker/785notes.pdf|날짜=2010|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www2.math.ou.edu/~kmartin/afrefs.html|제목=Automorphic forms online references|이름=Kimball|성=Martin|날짜=2014-03-04|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:보형 형식| ]]
[[분류:수론]]