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[[호몰로지 대수학]]에서 '''그로텐디크 아벨 범주'''(Grothendieck Abel範疇, {{llang|en|Grothendieck Abelian category}})는 특별히 좋은 성질을 가져, [[호몰로지 대수학]]을 전개하기 간편한 [[아벨 범주]]이다.

== 정의 ==
'''AB5 아벨 범주'''(AB5 Abel範疇, {{llang|en|AB5 Abelian category}})는 다음 조건들을 만족시키는 [[아벨 범주]]이다.
* [[쌍대 완비 범주]]이다.
* [[완전열]]의 [[여과 쌍대 극한]]({{llang|en|filtered colimit}})이 존재하며, [[완전열]]을 이룬다. 즉, [[상향 원순서 집합]] <math>I</math>의 첨자를 가진 [[짧은 완전열]]들 <math>\{0\to A_i\to B_i\to C_i\to0\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 그 [[쌍대 극한]] <math>\textstyle 0\to\varinjlim_{i\in I}A_i\to \varinjlim_{i\in I}B_i\to \varinjlim_{i\in I}C_i\to0</math>이 존재하며 역시 [[짧은 완전열]]을 이룬다. (만약 쌍대 극한들이 존재한다면 이는 일반적으로 오른쪽에서만 [[완전열]]을 이룬다. 즉, 이 조건은 위 [[완전열]]이 왼쪽에서도 완전하다는 것을 뜻한다.)

[[쌍대 완비 범주|쌍대 완비]] [[아벨 범주]]에서 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[생성 대상]]을 갖는다.
* [[생성 집합]]을 갖는다.
이는 [[생성 집합]] <math>\mathfrak G</math>를 갖는 [[쌍대 완비 범주|쌍대 완비]] [[아벨 범주]]의 경우, <math>\mathfrak G</math>의 [[쌍대곱]]
:<math>G=\coprod\mathfrak G</math>
가 [[생성 대상]]을 이루기 때문이다.

'''그로텐디크 아벨 범주''' <math>\mathcal A</math>는 [[생성 대상]]을 갖는 AB5 아벨 범주이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 대상 <math>G\in\mathcal C</math>가 존재한다.
* <math>\hom_{\mathcal C}(G,-)\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>는 [[충실한 함자]]이다.

== 성질 ==
모든 그로텐디크 아벨 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[완비 범주]]이며, [[쌍대 완비 범주]]이다.
* [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이며,<ref name="Grothendieck"/>{{rp|135, Théorème 1.10.1}} 모든 대상이 [[단사 껍질]]을 갖는다. (그러나 일반적으로 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]가 아니며, [[사영 덮개]]가 존재하지 않을 수 있다.)
* [[단사 대상]]인 [[쌍대 생성 대상]]을 갖는다.
* 대상 <math>X</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>은 [[완비 격자]]이다. 즉, 모든 [[부분 집합]]은 [[상한]]과 [[하한]]을 갖는다.
* (가브리엘-포페스쿠 정리 {{llang|en|Gabriel–Popescu theorem}}<ref name="GP">{{저널 인용 | last1=Gabriel | first1=Pierre | last2=Popesco | first2=Nicolae | title=Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes | mr=0166241  | 날짜=1964-04-27 | journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences | volume=258 | pages=4188–4190|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4011c/f1826|언어=fr}}</ref>) <math>\mathcal A</math>의 임의의 [[생성 대상]] <math>G</math>에 대하여, [[표현 가능 함자|표현 가능]] [[가법 함자]] <math>\mathcal A\to\operatorname{Mod}_{\operatorname{End}_{\mathcal A}(G)},\;X\mapsto\hom_{\mathcal A}(G,X)</math>는 [[충실충만한 함자]]이며, [[왼쪽 수반 함자]]를 가지며, 이 [[왼쪽 수반 함자]]는 [[완전 함자]]이다. 즉, 그로텐디크 아벨 범주는 [[가군]] 범주의 [[반사 부분 범주]]로 여길 수 있다.

== 예 ==
1을 가진 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]들과 [[가군 준동형]]들의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> (또는 [[오른쪽 가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R\cong{}_{R^{\operatorname{op}}}\operatorname{Mod}</math>)은 그로텐디크 아벨 범주이다.

임의의 [[위치 (수학)|위치]] <math>\mathcal X</math> 위의, [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]]의 범주 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal X;\operatorname{Ab})</math>는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

임의의 [[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[가군층]]들의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math>는 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다. 만약 <math>X</math>가 추가로 [[스킴 (수학)|스킴]]을 이룬다면, [[준연접층]]의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(X)</math> 역시 그로텐디크 아벨 범주를 이룬다.

== 역사 ==
1957년에 [[알렉산더 그로텐디크]]<ref name="Grothendieck">{{저널 인용 | last=Grothendieck | first=Alexandre | authorlink=알렉산더 그로텐디크 | title=Sur quelques points d’algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=東北数学雑誌 | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221 | doi = 10.2748/tmj/1178244839 | zbl = 0118.26104 | 언어=fr}}</ref>는 [[범주 (수학)|범주]]가 만족시킬 수 있는 일련의 조건들 AB1~AB6들을 정의하였다. 이 가운데, AB1 및 AB2를 만족시키는 [[범주 (수학)|범주]]는 오늘날 "[[아벨 범주]]"로 불리며, AB1~AB3를 만족시키는 범주는 [[쌍대 완비 범주|쌍대 완비]] [[아벨 범주]]와 같은 개념이다. AB5는 AB4, AB3을 함의하며, 이 때문에 AB5 공리를 만족시키는 [[아벨 범주]]를 "AB5 아벨 범주"라고 한다. 같은 논문에서 그로텐디크는 [[생성 대상]]을 갖는 AB5 아벨 범주는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]임을 증명하였으며,<ref name="Grothendieck"/>{{rp|135, Théorème 1.10.1}} 이 때문에 이러한 범주가 "그로텐디크 범주"로 불리게 되었다.

가브리엘-포페스쿠 정리는 1964년에 피에르 가브리엘({{llang|fr|Pierre Gabriel}}, 1933~2005)과 니콜라에 포페스쿠({{llang|ro|Nicolae Popescu}}, 1937~2010)가 증명하였다.<ref name="GP"/> (이 논문은 포페스쿠의 이름에 "Popesco"로 오타를 포함한 채 인쇄되었다.)

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|날짜=1999|제목=Grothendieck categories|arxiv=math/9909030|이름=Grigory|성=Garkusha|bibcode=1999math......9030G|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Grothendieck category}}
* {{nlab|id=Grothendieck category}}
* {{nlab|id=additive and abelian categories|title=Additive and abelian categories}}
* {{nlab|id=Gabriel-Popescu theorem}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2013/01/12/the-gabriel-popescu-theorem-and-a-variant-of-kuhn/|제목=The Gabriel-Popescu theorem and a variant of Kuhn|날짜=2013-01-12|이름=Akhil|성=Mathew|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:가법적 범주]]