{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[이론물리학]]에서, '''4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론'''(四次元<math>\mathcal N=4</math>超對稱[楊]-Mills理論, {{llang|en|four-dimensional <math>\mathcal N=4</math> supersymmetric Yang–Mills theory}})은 중력을 포함하지 않는, 4차원에서 최대의 [[초대칭 대수]]를 갖는 [[초대칭 게이지 이론]]이다. 이 이론은 사실 [[초등각 장론]]을 이루며, [[초끈 이론]]과 깊은 관계를 갖는다.

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math>를 [[게이지 군]]으로 삼는 4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론의 [[라그랑지언]]은 다음과 같다.
<math display="block">L = \operatorname{tr} \left\{-\frac{1}{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta}{8\pi^2}F_{\mu\nu}\bar{F}^{\mu\nu}- i \overline{\lambda}^a\overline{\sigma}^\mu D_\mu \lambda_a -D_\mu X^i D^\mu X^i
+g C^{ab}_i \lambda_a[X^i,\lambda_b] + g \overline{C}_{iab}\overline{\lambda}^a[X^i,\overline{\lambda}^b]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j]^2 \right\}
</math>
여기서 <math>\mu,\nu=0,1,2,3</math>는 3+1차원 [[시공간]] 벡터 표현의 지표이며, <math>i,j=1,\dots,6</math>는 [[스핀 군|Spin(6)]]=SU(4) [[R대칭]] 벡터 표현의 지표이며, <math>f</math>는 [[게이지 군]] <math>G</math>의 [[딸림표현]]의 지표이다. <math>C_i^{ab}</math>는 SU(4)의 구조 상수이다. <math>F^k_{\mu\nu}</math>는 [[양-밀스 이론]]의 게이지 장세기
<math>
F^k_{\mu\nu} = \partial_\mu A^k_\nu-\partial_\nu A^k_\mu+f^{klm}A^l_\mu A^m_\nu
</math>
이다 (<math>A^k_\mu</math>는 게이지 퍼텐셜). <math>g</math>와 <math>\theta</math>는 게이지 [[결합 상수]]이며, 게이지 군의 종류와 더불어 이론의 유일한 매개 변수이다. 비재규격화 정리에 따라서, <math>g</math>와 <math>\theta</math>는 [[재규격화]]를 겪지 않으며, 이 이론은 4차원 <math>\mathcal N=4</math> [[초등각 대칭]]을 갖는다.

=== 구성 ===
4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론은 같은 게이지 군을 갖는 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소({{llang|en|dimensional reduction}})로 얻어진다. 이 경우, Spin(6) [[R대칭]]군은 축소된 6개의 차원에 대한 회전 대칭으로서 발생한다.

또한, 적어도 특정한 게이지 군에 대하여, 이 이론은 [[D3-막]] 위에 자연스럽게 존재하는 양자장론이다(이 사실은 <math>\operatorname{AdS}_5\times\mathbb S^5</math> [[AdS/CFT 대응성]]에 핵심적인 역할을 한다). 이 경우, 게이지 군의 종류는 겹쳐진 D3-막의 수와 [[오리엔티폴드]]의 유무에 따라 결정된다. 예를 들어, 오리엔티폴드가 없으며, <math>N</math>개의 D3-막이 존재한다면, 이 경우 <math>\operatorname{U}(N)</math> 게이지 군이 발생한다.

== 성질 ==
=== 몬토넨-올리브 이중성 ===
<math>\mathcal N=4</math> 초대칭 [[양-밀스 이론]]에서는 일종의 [[S-이중성]]이 성립하는데, 이를 '''몬토넨-올리브 이중성'''({{lang|en|Montonen–Olive duality}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric/magnetic duality and its stringy origins
|이름=Michael J.|성=Duff|저자링크=마이클 제임스 더프|doi=10.1142/S0217751X96001899|arxiv=hep-th/9509106|bibcode=1996IJMPA..11.4031D|저널=International Journal of Modern Physics A|권=11|호=22|날짜=1996-09-10}}</ref><ref>{{저널 인용|
|제목=Exact electromagnetic Duality|이름=David Ian|성=Olive|doi=10.1016/0920-5632(95)00618-4
|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=45|호=1|날짜=1996-01|쪽=88–102|arxiv=hep-th/9508089|bibcode=1996NuPhS..45...88O}}
재판 {{저널 인용|
|제목=Exact electromagnetic Duality|이름=David Ian|성=Olive
|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=46|호=1–3|날짜=1996-03|쪽=1–15|doi=10.1016/0920-5632(96)00002-3|bibcode=1996NuPhS..46....1O}}</ref> 구체적으로, 두 [[결합 상수]] <math>g</math>와 <math>\theta</math>를 다음과 같이 하나의 [[복소수]] [[결합 상수]]
:<math> \tau = \frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}</math>
로 표기하였을 때, 이 이론은
:<math> \tau \mapsto\tau+1</math>
에 의하여 불변이며 (즉, <math>\theta</math>는 <math>2\pi</math> 주기의 각도), 또한 게이지 군 <math>G</math>의, 결합 상수 <math>\tau</math>의 초대칭 양-밀스 이론은 게이지 군 <math>L_G</math>와 결합 상수
:<math>\tau'= \frac{-1}{n_G\tau}</math>
를 갖는 이론과 동형이다. 여기서 <math>L_G</math>는 <math>G</math>의 [[랭글랜즈 쌍대군]]이며, <math>n_G</math>는 랭글랜즈 쌍대성에 등장하는 정수이다. 특히, <math>n_G=1</math>인 경우 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math> [[모듈러 군]]을 이룬다.

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 [[초끈 이론]]으로 설명할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric–magnetic duality and its stringy origins|이름=Michael J.|성=Duff|저자링크=마이클 제임스 더프
|arxiv=hep-th/9509106|bibcode=1996IJMPA..11.4031D|저널=International Journal of Modern Physics A|권=11|호=22|쪽=4031–4050|날짜=1996-09-10|doi=10.1142/S0217751X96001899}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=String Theory, Volume 2: Superstring theory and beyond|ISBN=978-0521633048|doi=10.2277/0521633044|출판사=Cambridge University Press|연도=1998|bibcode=2005stth.book.....P}}</ref>{{rp|186–187}} <math>\mathcal N=4</math> <math>U(N)</math> 양-밀스 이론은 <math>N</math>개의 겹친 [[D-막|D3-막]]들 위에 존재하는 [[유효 이론]]이다. D3-막에는 [[끈 (물리학)|기본 끈]](F-끈)과 [[D-막|D1-막]](D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 [[자기 홀극]]을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

=== AdS/CFT 대응성 ===
{{본문|AdS/CFT 대응성}}
[[AdS/CFT 대응성]]에 따라, <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론은 5차원 [[초구]] <math>\mathbb S^5</math>와 4+1차원 [[반 더 시터르 공간]] <math>\operatorname{AdS}_5</math>의 [[곱공간]] <math>\operatorname{AdS}_5\times\mathbb S^5</math> 위에 존재하는 IIB종 [[초끈 이론]]과 사실상 같은 이론이라고 추측된다.

=== 적분 가능성 ===
<math>\operatorname{SU}(N)</math> <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론에서, <math>N\to\infty</math> 극한에서 <math>g</math>개의 고리(=[[끈 (물리학)|끈]] [[세계면]]의 종수)를 갖는 [[파인먼 도형]]의 [[확률 진폭]]은 <math>N^{2-2g}</math>에 비례하게 된다. 즉, 색깔의 수가 매우 클 경우, 오직 낮은 종수의 파인먼 도형만이 살아남게 된다.

이러한 극한에서, 양자장론의 국소적 연산자들은 일종의 스핀 사슬({{llang|en|spin chain}}) 모형으로 나타내어질 수 있다.<ref>{{저널 인용 |last=Beisert|first=Niklas|title=Review of AdS/CFT integrability: an overview  |journal=Letters In Mathematical Physics |volume=99|호=3|날짜=2012|doi=10.1007/s11005-011-0529-2|arxiv = 1012.3982 |bibcode = 2012LMaPh..99....3B|언어=en }}</ref>

== 역사 ==
<math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론은 1977년에 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소로 발견되었다.<ref>{{저널 인용|이름1=Lars|성1=Brink|이름2=John H.|성2=Schwartz|저자링크2=존 헨리 슈워츠|이름3=Joël|성3=Scherk|저자링크3=조엘 셰르크|저널=Nuclear Physics B|권=121|쪽=77–92|날짜=1977-03-28|제목=Supersymmetric Yang-Mills theories|doi=10.1016/0550-3213(77)90328-5|언어=en}}</ref>{{rp|86–88, §5}}<ref>{{저널 인용|이름=Fernando|성=Gliozzi|이름2=David I.|성2=Olive|이름3=Joël|성3=Scherk|저자링크3=조엘 셰르크|저널=Nuclear Physics B|권=122|날짜=1977-04-25|쪽=253–290|doi=10.1016/0550-3213(77)90206-1 |제목=Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model|언어=en}}</ref>{{rp|270, §3}}

같은 해에, [[양-밀스 이론]]의 S-이중성은 클라우스 몬토넨({{llang|fi|Claus Montonen}})과 데이비드 이언 올리브({{llang|en|David Ian Olive}})가 1977년에 제시하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Magnetic monopoles as gauge particles?|이름=Claus|성=Montonen|공저자=David Olive|저널=Physics Letters B|권=72|호=1|날짜=1977-12-05|쪽=117–120|doi=10.1016/0370-2693(77)90076-4|bibcode=1977PhLB...72..117M}}</ref> 몬토넨과 올리브의 원래 가설은 초대칭을 포함하지 않았는데, 이후 1979년에 휴 오즈번({{llang|en|Hugh Osborn}})이 이 가설이 성립하려면 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭이 필요함을 지적하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Hugh|성=Osborn|제목=Topological charges for ''N''=4 supersymmetric gauge theories and monopoles of spin 1|저널=Physics Letters B|권=83|호=3–4|쪽=321–326|날짜=1979-05-21|doi=10.1016/0370-2693(79)91118-3|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Duality in ''N''=2, 4 supersymmetric gauge theories|이름=Paolo|성=Di Vecchia|arxiv=hep-th/9803026|날짜=1998-02|bibcode=1998hep.th....3026D|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|제목=Notes on theories with 16 supercharges|arxiv=hep-th/9705117|doi= 	10.1016/S0920-5632(98)00128-5|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=67|호=1–3|날짜=1998-07|쪽=158-171|bibcode=1998NuPhS..67..158S|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Duality and supersymmetric monopoles|이름=Jerome P.|성=Gauntlett|arxiv=hep-th/9705025|권=61|호=1–2|doi=10.1016/S0920-5632(97)00526-4|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|날짜=1998-02|쪽=137–148|bibcode=1998NuPhS..61..137G|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[S-이중성]]
* [[자이베르그-위튼 이론]]
* [[초끈 이론]]
* [[AdS/CFT 대응성]]

{{전거 통제}}
[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:초대칭]]