{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]], [[논리학]]과 [[대수기하학]]에서 '''토포스'''({{llang|en|topos}}, 복수형 {{llang|en|topoi|토포이}})는 어떤 공간 위의 [[층 (수학)|층]]들의 [[범주 (수학)|범주]]와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 [[논리학]]에서는 토포스는 [[집합]]의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 '''내부 언어'''({{llang|en|internal language}})를 사용할 수 있다.

== 정의 ==
'''토포스'''({{llang|en|(elementary) topos}})는 다음 조건들을 만족시키는 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* [[유한 완비 범주]]이다. 즉, 모든 유한 [[극한 (범주론)|극한]]이 존재한다.
* [[데카르트 닫힌 범주]]이다.
* [[부분 대상 분류자]] <math>(\Omega,\top)</math>를 갖는다.
부분 분류 대상 분류자 대신, 멱대상({{llang|en|power object}})의 개념을 도입하여 둘째 및 셋째 조건을 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 대체할 수 있다.

=== 그로텐디크 토포스 ===
'''그로텐디크 토포스'''({{llang|en|Grothendieck topos}})는 [[위치 (수학)|위치]] 위의 (집합 값을 갖는) [[층 (수학)|층]]들의 범주와 [[범주의 동치|동치]]인 범주이다. 이는 '''지로 정리'''({{llang|en|Giraud’s theorem}})를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.

구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 범주 <math>\mathcal C</math>는 그로텐디크 토포스이다.
* 범주 <math>\mathcal C</math>는 다음 조건들을 만족시킨다.
** <math>\mathcal C</math>는 [[유한 쌍대 완비 범주]]이다.
** [[생성 집합]]을 갖는다.
** 쌍대 극한은 [[올곱]]과 가환한다.
** (쌍대곱의 서로소성) 쌍대곱 <math>X\sqcup Y</math>에 대한 [[당김 (범주론)|당김]] <math>X\times_{X\sqcup Y}Y</math>은 [[시작 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>과 같다.
** 모든 [[동치 관계]]는 유효 동치 관계이다.

여기서 임의의 범주에서의 '''[[동치 관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 사상 <math>r\colon R\to X\times X</math>이다.
* 임의의 대상 <math>Y</math>에 대하여, <math>r</math>로부터 유도되는 사상 모임 사이의 사상 <math>r^*\colon\hom(Y,R)\to\hom(Y,X)\times\hom(Y,X)</math>은 ([[모임 (집합론)|모임]] 위의) [[동치 관계]]를 이룬다.
동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 [[쌍대동등자]] <math>X\twoheadrightarrow X/R</math>를 정의할 수 있다. 표준적 사상 <math>R\to X_{X/R}X</math>이 [[동형 사상]]이라면, <math>r</math>를 '''유효 동치 관계'''라고 한다.

=== 준토포스 ===
범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면, '''준토포스'''(準topos, {{llang|en|quasitopos}})라고 한다.
* [[유한 완비 범주]]이며 [[유한 쌍대 완비 범주]]이다.
* [[국소 데카르트 닫힌 범주]]이다.
* [[강한 부분 대상 분류자]] <math>(\Omega,\top\colon 1\to\Omega)</math>가 존재한다.

모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 [[부분 대상 분류자]]의 존재를 [[강한 부분 대상 분류자]]의 존재로 약화시킨 것이다.

[[위치 (수학)|위치]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[층 (수학)|층]] 범주 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal C)</math>가 토포스를 이루는 것처럼,
[[위치 (수학)|위치]] <math>\mathcal C</math> 위의 [[분리 준층]] 범주 <math>\operatorname{SepPSh}(\mathcal C)</math>는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 위에 두 개의 [[그로텐디크 위상]] <math>j</math> 및 <math>k</math>가 주어졌으며, <math>j</math>가 <math>k</math>보다 더 엉성할 때 (<math>j\subseteq k</math>), <math>j</math>-층인 <math>k</math>-[[분리 준층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal C,j)\cap\operatorname{sepPSh}(\mathcal C,k)</math>는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 '''그로텐디크 준토포스'''({{llang|en|Grothendieck quasitopos}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Grothendieck quasitoposes|arxiv=1106.5331|이름=Richard|성=Garner|이름2=Stephen|성2=Lack|저널=Journal of Algebra|권=355|호=1|날짜=2012-04-01|쪽=111–127|doi=10.1016/j.jalgebra.2011.12.016|bibcode=2011arXiv1106.5331G|언어=en}}</ref> 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다.

== 공간으로서의 토포스 ==
토포스를 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 일반화로 생각하여, 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

=== 기하학적 사상 ===
두 토포스 <math>\mathcal X</math>, <math>\mathcal Y</math> 사이의 '''기하학적 사상'''({{llang|en|geometric morphism}}) <math>f\colon\mathcal X\to\mathcal Y</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[수반 함자]]쌍
:<math>f^*\dashv f_*</math>
:<math>f_*\colon\mathcal X\to\mathcal Y</math>
:<math>f^*\colon\mathcal Y\to\mathcal X</math>
이다.
* <math>f^*</math>는 모든 유한 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존한다.

기하학적 사상 <math>(f^*,f_*)</math>에서, 만약 <math>f^*</math>가 추가로 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>f_!\dashv f^*\dashv f_*</math>
를 갖는다면, 이를 '''본질적 기하학적 사상'''({{llang|en|essential geometric morphism}})이라고 한다.

만약 <math>\operatorname{Sh}(X)</math>와 <math>\operatorname{Sh}(Y)</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위의 그로텐디크 토포스이며, [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다면, [[층 (수학)|층]]의 직상 <math>f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)</math> 및 역상 <math>f^*\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)</math>은 기하학적 사상을 이룬다.

=== 점 ===
[[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>는 [[한원소 공간]] 위의 그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\{\bullet\})</math>이다. 즉, 이는 한원소 토포스로 생각할 수 있다. 토포스와 기하학적 사상의 범주에서, 이는 [[끝 대상]]을 이룬다. 그로텐디크 토포스 <math>\mathcal X</math>에서 한원소 토포스 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 유일한 기하학적 사상 <math>(f_!,f^*,f_*)</math>은 다음과 같이 해석할 수 있다.
* '''[[상수층]] 함자'''({{llang|en|constant sheaf functor}}) <math>f^*\colon\operatorname{Set}\to\mathcal X</math>는 (만약 <math>\mathcal X=\operatorname{Sh}(\mathcal C)</math>라면) 집합 <math>S</math>를 [[상수층]] <math>\underline S</math>으로 대응시킨다.
* '''대역 단면 함자'''({{llang|en|global section functor}}) <math>f_*\colon\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>는 대상 <math>\mathcal F</math>를 ([[층 (수학)|층]]으로 생각하였을 때) 대역 단면 집합 <math>\hom_{\mathcal C}(1_{\mathcal C},\mathcal F)</math>으로 대응시킨다. 여기서 <math>1_{\mathcal C}</math>는 <math>\mathcal C</math>의 [[끝 대상]](="전체 집합")이다.

토포스 <math>\mathcal X</math>의 '''점'''(點, {{llang|en|point}})은 집합의 범주에서 <math>\mathcal X</math>로 가는 기하학적 사상 <math>f\colon\operatorname{Set}\to\mathcal X</math>이다.

공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.<ref>{{서적 인용|제목=Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 1: Théorie des topos|url=http://iecl.univ-lorraine.fr/~Pierre-Yves.Gaillard/SGA/grothendieck_sga_4.1.pdf|총서=Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie|권=4|장=Exposé Ⅳ. Topos|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|이름2=Jean-Louis|성2=Verdier|author2-link=장루이 베르디에|doi=10.1007/BFb0081555|언어=fr|확인날짜=2016-01-10|보존url=https://web.archive.org/web/20150612031830/http://iecl.univ-lorraine.fr/~Pierre-Yves.Gaillard/SGA/grothendieck_sga_4.1.pdf#|보존날짜=2015-06-12|url-status=dead}}</ref>{{rp|412, §7.4}}<ref>{{저널 인용|제목=Toposes without points|이름=Michael|성=Barr|doi=10.1016/0022-4049(74)90037-1|저널=Journal of Pure and Applied Algebra|권=5|호=3|날짜=1974-12|쪽=265–280|issn=0022-4049|언어=en}}</ref>

=== 국소 연결 토포스 ===
[[국소적으로 작은 범주|국소적으로 작은]] 토포스 <math>\mathcal X</math> 속의 '''연결 대상'''({{llang|en|connected object}})은 사상 집합 함자
:<math>\hom_{\mathcal X}(X,-)\colon\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>
가 모든 유한 [[쌍대극한]]을 보존시키는 대상 <math>X\in\mathcal X</math>이다.

그로텐디크 토포스 <math>\mathcal X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 '''국소 연결 토포스'''({{llang|en|locally connected topos}})라고 한다.
* 임의의 대상 <math>A\in\mathcal X</math>은 연결 대상들의 집합의 [[쌍대곱]] <math>\textstyle\coprod_{i\in I}A_i</math>으로 나타낼 수 있다.
* 유일한 기하학적 사상 <math>\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>은 본질적 기하학적 사상이다.

국소 연결 토포스 <math>\mathcal X</math>에서 한원소 토포스 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상 <math>(f_!,f^*,f_*)</math>에서 <math>f_!</math>은 다음과 같이 해석할 수 있다.
* '''[[연결 성분]] 함자'''({{llang|en|connected component functor}}) <math>f_!\colon\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>는 대상 <math>\textstyle\coprod_{i\in I}A_i</math>을 그 연결 성분의 집합 <math>I</math>로 대응시킨다.
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[국소 연결 공간]]이다.
* <math>\operatorname{Sh}(X)</math>는 국소 연결 토포스이다.

=== 연결 토포스 ===
'''연결 토포스'''({{llang|en|connected topos}}) <math>\mathcal X</math>는 그 상수층 함자 <math>\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>가 [[충실충만한 함자]]인 토포스이다. 국소 연결 토포스 <math>\mathcal X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 연결 토포스이다.
* 연결 성분 함자 <math>\mathcal X\to\operatorname{Set}</math>는 [[끝 대상]]을 보존한다. 즉, "공간 전체" <math>1_{\mathcal X}</math>는 하나의 연결 성분을 갖는다.
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[연결 공간]]이다.
* <math>\operatorname{Sh}(X)</math>는 연결 토포스이다.

=== 기본군 ===
그로텐디크 토포스에 대하여, '''기본군'''의 개념을 정의할 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Revêtements étales et groupe fondamental|장=Exposé V. Le groupe fondamental: généralités|총서=Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie|권=1|arxiv=math/0206203|이름=Alexander|성=Grothendieck|저자링크=알렉산더 그로텐디크|doi=10.1007/BFb0058661|날짜=1971|언어=fr}}</ref>{{rp|§4, 123}} 이는 위상 공간의 [[기본군]]의 [[사유한 완비]]나, [[스킴 (수학)|스킴]]의 [[에탈 기본군]]을 일반화한다.

그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>가 주어졌을 때, 그 속에 [[국소 상수층]]들의 부분 범주 <math>\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\hookrightarrow\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>를 정의할 수 있다.
그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>의 '''밑점'''({{llang|en|base point}})은 특정한 조건들을 만족시키는, [[유한 집합]]의 범주로 가는 함자 <math>B\colon\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\to\operatorname{Set_{fin}}</math>이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"({{llang|en|pro-representable functor}})이어야 한다.)

그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>의 밑점 <math>B</math>가 대상 <math>P\in\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>으로 [[표현 가능 함자|표현]]된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal X)</math>의, 밑점 <math>B</math>에서의 '''[[기본군]]''' <math>\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)</math>는 <math>P</math>의 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}_{\operatorname{Sh}(\mathcal X)}(P)</math>이다. 이는 항상 [[사유한군]]이며, 또한 [[범주의 동치]]
:<math>\operatorname{Sh_{locConst}}(\mathcal X)\simeq\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)\text{-Set}_{\operatorname{fin}}</math>
가 존재한다. (우변은 [[사유한군]] <math>\pi_1(\operatorname{Sh}(\mathcal X),B)</math>의 [[군의 작용|작용]]을 갖는 [[유한군]]들로 구성된 범주이다.)

== 논리학으로서의 토포스 ==
=== 논리적 사상 ===
두 토포스 <math>\mathcal X</math>, <math>\mathcal Y</math> 사이의 '''논리적 사상'''({{llang|en|logical morphism}}) <math>f\colon\mathcal X\to\mathcal Y</math>는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

=== 미첼-베나부 언어 ===
임의의 고차 논리 ([[유형 이론]]) 명제를 토포스 <math>\mathcal X</math> 속에서 해석할 수 있다. 이를 <math>\mathcal X</math>의 '''미첼-베나부 언어'''({{llang|en|Mitchell–Bénabou language}})라고 하며,<ref name="MML">{{서적 인용|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|이름2=Ieke|성2=Moerdijk|날짜=1992|제목=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory|출판사=Springer|mr=1300636 |zbl=0822.18001|doi=10.1007/978-1-4612-0927-0|isbn=978-0-387-97710-2|총서=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}</ref>{{rp|§VI.5}} 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을 <math>\mathcal X</math>의 '''내적 논리'''({{llang|en|internal logic}})이라고 한다. 이 경우, [[직관 논리]]의 모든 공리들이 성립하지만, 고전적 논리는 성립하지 않는다. 또한, [[선택 공리]](=모든 [[전사 사상]]은 [[분할 전사 사상]]) 역시 성립하지 않을 수 있다.

고전적 집합론은 [[집합]]의 토포스 <math>\operatorname{Set}</math>의 논리학이다. 일반적으로, 그로텐디크 토포스 <math>\operatorname{Sh}(\mathcal C)</math>의 내적 논리에서 정의한 어떤 구조 <math>S</math>는 (외적 논리에서) "<math>S</math>값의 [[층 (수학)|층]]"에 대응한다. 예를 들어, <math>\operatorname{Sh}(\mathcal C)</math> 속에서 정의한 [[국소환]]은 사실 [[국소환 달린 공간]]을 정의한다. 만약 <math>S</math>가 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다면 이렇게 내적 논리를 사용하지 않아도 된다 (즉, <math>S</math>의 범주 <math>\mathcal S</math>가 주어졌을 때, <math>S</math>값의 층은 층 조건을 만족시키는 [[준층]] <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\mathcal S</math>와 같다). 그러나 <math>S</math>의 정의가 대수적이지 않을 때, "<math>S</math>값의 층"은 "층 조건을 만족시키는 준층 <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\mathcal S</math>"과 다르며, 전자가 옳은 정의이다 (즉, 수학적으로 더 유용하다). 예를 들어, [[국소환]]의 경우, [[극대 아이디얼]]이 유일하다는 조건은 존재 기호 또는 전칭 기호를 필요로 하므로, 국소환의 개념은 [[대수 구조 다양체]]를 이루지 않는다.

==== 유형 이론 ====
{{본문|유형 이론}}
토포스 <math>\mathcal X</math>에서, 각 대상 <math>X\in\mathcal X</math>은 '''[[유형 이론|형]]'''({{llang|en|type}})을 정의한다. 명제의 형은 [[부분 대상 분류자]] <math>\Omega</math>이다. 토포스 속의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>는 형 <math>X</math>를 형 <math>Y</math>로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 <math>X</math>의 매개변수를 갖는 형 <math>Y</math>의 대상이다. 특히, 형 <math>X</math>의 매개변수 <math>x</math>를 갖는 명제 <math>\phi(x)</math>는 사상 <math>X\to\Omega</math>에 대응한다. [[부분 대상 분류자]]의 성질에 의하여, 이는 <math>X</math>의 [[부분 대상]] <math>\phi\in\operatorname{Sub}(X)</math>에 대응한다.

{| class=wikitable
! 논리 || 토포스
|-
| 형 || 대상
|-
| 형 사이의 변환 || 사상
|-
| 명제의 형 || [[부분 대상 분류자]] <math>\Omega</math>
|-
| (자유 변수가 없는) 명제 || [[부분 대상 분류자]]의 [[부분 대상]]
|-
| 형 <math>X</math>의 자유 변수 <math>x</math>를 갖는 명제 <math>\phi(x)</math> || 사상 <math>X\to\Omega</math> = <math>X</math>의 [[부분 대상]]
|-
| 형 <math>X</math>의 자유 변수 <math>x</math>를 갖는 명제 <math>\phi(x)</math>의 형 || [[지수 대상]] <math>\Omega^X</math>
|}

명제의 형 <math>\Omega</math> (또는 <math>\Omega^X</math>)가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 [[고차 논리]]를 이룬다.

==== 명제 논리 ====
토포스 <math>\mathcal X</math>에서, 임의의 대상 <math>X\in\mathcal X</math>의 [[부분 대상]] [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>는 [[헤이팅 대수]]를 이룬다. (주어진 [[부분 순서 집합]] 위의 [[헤이팅 대수]]는 만약 존재한다면 유일하다. [[부분 대상 분류자]] <math>\Omega</math>의 존재에 의하여, 부분 대상 <math>A\in\operatorname{Sub}(X)</math>는 사상 <math>A\to\Omega</math>와 동치이다.)

{| class=wikitable
|-
! 논리 || 헤이팅 대수
|-
| 명제 || <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 원소
|-
| 참 <math>\top</math> || <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 [[최대 원소]] <math>\top\in\operatorname{Sub}(X)</math>
|-
| 거짓 <math>\bot</math> || <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 [[최소 원소]] <math>\bot\in\operatorname{Sub}(X)</math>
|-
| [[논리합]] <math>\lor</math> || <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 두 원소의 이음 ([[상한]]) <math>x\lor y</math>
|-
| [[논리곱]] <math>\land</math> || <math>\operatorname{Sub}(X)</math>의 두 원소의 만남 ([[하한]]) <math>x\land y</math>
|-
| [[함의]] <math>x\implies y</math> || [[헤이팅 대수]]의 함의 관계 <math>x\implies y</math>
|-
| 부정 <math>\lnot x</math> || 거짓의 함의 <math>x\implies\bot</math>
|}

==== 1차 논리 ====
토포스에서, 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 이로부터 유도되는 [[증가 함수]]
:<math>f^*\colon\operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)</math>
를 생각하자. [[부분 순서 집합]]을 [[작은 범주]]로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 [[왼쪽 수반 함자]] 및 [[오른쪽 수반 함자]]를 갖는다.
:<math>\exists_f \dashv f^* \dashv \forall_f</math>

이 경우, <math>\exists_f</math>는 존재 기호, <math>\forall_f</math>는 전칭 기호에 해당한다.

<math>A\subset X \to \{f(x)\colon\forall x\in X\colon f(x)\in A_Y\}</math>

{| class=wikitable
|-
! 논리 || 집합 || 토포스
|-
| 자유 변수 <math>y\colon Y</math>를 갖는 명제 <math>\phi(y)</math> 및 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때, 자유 변수 <math>x\colon X</math>를 갖는 명제 <math>\phi(f(x))</math>
| 부분 집합 <math>\phi\subseteq Y</math> 및 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\{x\in X\colon \phi_Y(f(x))\}</math>
| 부분 대상 <math>\phi\in\operatorname{Sub}(Y)</math>에 대하여, <math>f^*\phi\in\operatorname{Sub}(X)</math>
|-
| 자유 변수 <math>x\colon X</math>, <math>y\colon Y</math>인 명제 <math>\phi(x,y)</math>에 대하여, <math>\forall x\in X\colon\phi(x,y)</math>
| <math>\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon\phi(x,y)\}</math>
| 사영 <math>\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y</math>에 대하여, <math>\forall_{\operatorname{proj}_Y}\phi</math>
|-
| 자유 변수 <math>x\colon X</math>, <math>y\colon Y</math>인 명제 <math>\phi(x,y)</math>에 대하여, <math>\exists x\in X\colon\phi(x,y)</math>
| <math>\{y\in Y\colon \exists x\in X\colon \phi(x,y)\}</math>
| 사영 <math>\operatorname{proj}_Y\colon X\times Y\to Y</math>에 대하여, <math>\exists_{\operatorname{proj}_Y}\phi</math>
|}

대상 <math>X</math> 속의 [[부분 대상]] <math>a,b\in\operatorname{Sub}(X)</math>
:<math>a\colon A\hookrightarrow X</math>
:<math>b\colon B\hookrightarrow X</math>
이 주어졌으며, 그 만남
:<math>a\land b\colon A\land_XB\hookrightarrow X</math>
이 주어졌을 때, [[헤이팅 대수]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>에서의 헤이팅 함의 관계 <math>a\implies b</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>(a\implies b)=\forall_{a\land b}\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(X)</math>
여기서 <math>\forall_{a\land b}\colon A\land_XB\to X</math>는 [[부분 대상]] <math>a\land b\in\operatorname{Sub}(X)</math>에 대응하는 [[단사 사상]]이며, <math>\top_{\operatorname{Sub}(A\land_XB)}\in\operatorname{Sub}(A\land_XB)</math>는 <math>\operatorname{Sub}(A\land_XB)</math>의 [[최대 원소]]이다.

=== 크립키-주아얄 의미론 ===
토포스 위의 미첼-베나부 언어에 대하여, '''크립키-주아얄 의미론'''({{llang|en|Kripke–Joyal semantics}})이라는 의미론이 존재한다.<ref name="MML"/>{{rp|§VI.6}} 이는 [[솔 크립키]]와 [[앙드레 주아얄]]이 도입하였다.

== 성질 ==
토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.
* [[유한 완비 범주]]이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math> 및 [[끝 대상]] <math>1</math>이 존재한다.
* [[유한 쌍대 완비 범주]]이다. 즉, 모든 유한 쌍대 극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 [[쌍대곱]] <math>A_1\sqcup A_2\sqcup\cdots\sqcup A_n</math> 및 [[시작 대상]] <math>0</math>이 존재한다.
* 서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다 (즉, [[영 대상]]이 존재하지 않는다).
* [[부분 대상 분류자]] <math>2</math>가 존재한다.
* 임의의 두 대상 <math>A,B</math>에 대하여, [[지수 대상]] <math>A^B</math> (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 <math>2^B</math>이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이룬다.

그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.
* 그로텐디크 토포스는 항상 [[자연수 대상]]({{llang|en|natural numbers object}})을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 [[상수층]] <math>\underline{\mathbb N}</math>이다.

== 예 ==
토포스의 예는 다음을 들 수 있다.
* [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>
** 이는 한 점으로 구성되는 공간 위의 (집합 값을 갖는) [[층 (수학)|층]]의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다.
* [[유한 집합]]의 범주 <math>\operatorname{FinSet}</math>
** 이는 그로텐디크 토포스가 아니다.
* [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]을 갖춘 [[집합]] 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 <math>G\text{-Set}</math>
* [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여, [[함자 (수학)|함자]] 범주 <math>\operatorname{Set}^\mathcal C</math>
* 작은 [[위치 (수학)|위치]] 위의 (집합 값을 갖는) [[층 (수학)|층]]의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다.
* 토포스 <math>\mathcal T</math>의 대상 <math>X\in\mathcal T</math>에 대한 [[조각 범주]] <math>\mathcal T/X</math> 또한 토포스이다.

== 역사 ==
토포스의 개념은 [[알렉산더 그로텐디크]]가 [[대수기하학]]과 [[층 (수학)|층]] 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The uses and abuses of the history of topos theory|이름=Colin|성=McLarty|저널=The British Journal for the Philosophy of Science|issn=0007-0882|권=41|호=3|날짜=1990-09|쪽=351–375|url=http://www.cwru.edu/artsci/phil/UsesandAbuses%20HistoryToposTheory.pdf|doi=10.1093/bjps/41.3.351|jstor=687825|zbl=0709.18002|언어=en|확인날짜=2014-10-09|보존url=https://web.archive.org/web/20150326211413/http://www.cwru.edu/artsci/phil/UsesandAbuses%20HistoryToposTheory.pdf|보존날짜=2015-03-26|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용| last=Illusie |first=Luc|title=What is a ... topos?|url=http://www.ams.org/notices/200409/what-is-illusie.pdf| journal=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2004-09|zbl=1071.18003|언어=en}}</ref> 그로텐디크가 창안한 단어 {{llang|fr|topos|토포스}} (복수 {{llang|fr|topoï|토포이}})는 {{llang|grc|[[:wiktionary:ko:τόπος|τόπος]]|토포스}}(장소, 복수 {{llang|grc|τόποι|토포이}})에서 유래하였다.

[[프랜시스 윌리엄 로비어]]와 마일스 티어니({{llang|en|Myles Tierney}})는 [[수리논리학]]에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다.<ref>{{서적 인용|이름=John Lane|성=Bell|날짜=2005|장=The development of categorical logic|제목=Handbook of Philosophical Logic, vol. 12|쪽=279|출판사=Springer|장url=http://publish.uwo.ca/~jbell/catlogprime.pdf|isbn=978-1-4020-3091-8|언어=en}}</ref> 지로 정리는 장 지로({{llang|fr|Jean Giraud}})가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용 | 제목=An informal introduction to topos theory|이름=Tom|성=Leinster|arxiv=1012.5647|bibcode=2010arXiv1012.5647L|url=http://ncatlab.org/publications/published/Leinster2011|날짜=2010|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Colin|성=McLarty|날짜=1992|제목=Elementary categories, elementary toposes|총서=Oxford Logic Guides|권=21|출판사=Oxford University Press|mr=1182992|zbl=0762.18001|url=https://global.oup.com/academic/product/elementary-categories-elementary-toposes-9780198514732|isbn=978-0-19851473-2|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Michael|성=Barr |이름2=Charles|성2= Wells|날짜=2005|제목=Toposes, triples and theories|총서=Reprints in Theory and Applications of Categories|권=12|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html|zbl=1081.18006|mr=2178101|판=2판|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|제목=Topos theory|날짜=1977|출판사=Academic Press|총서=London Mathematical Society Monographs|권=10|zbl=0368.18001|mr=0470019|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|날짜=2002|제목=Sketches of an elephant: a topos theory compendium I|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/academic/maths/logic/9780198534259.do|총서=Oxford Logic Guides|권=43|isbn=0-19-853425-6|출판사=Oxford Science Publications|mr=1953060|zbl=1071.18001|언어=en|확인날짜=2014-10-10|보존url=https://web.archive.org/web/20141018011146/http://ukcatalogue.oup.com/product/academic/maths/logic/9780198534259.do#|보존날짜=2014-10-18|url-status=dead}}
* {{서적 인용|이름=Peter T.|성=Johnstone|날짜=2002|제목=Sketches of an elephant: a topos theory compendium II|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/academic/maths/logic/9780198515982.do|총서=Oxford Logic Guides|권=44|isbn=0-19-851598-7|출판사=Oxford Science Publications|mr=2063092|zbl=1071.18002|언어=en|확인날짜=2014-10-10|보존url=https://web.archive.org/web/20141018011405/http://ukcatalogue.oup.com/product/academic/maths/logic/9780198515982.do#|보존날짜=2014-10-18|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topos}}
* {{매스월드|id=Topos|title=Topos}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html|제목= Topos theory in a nutshell |이름=John|성=Baez|날짜=2006-04-12|언어=en}}
* {{nlab|id=sheaf and topos theory|title=Sheaf and topos theory}}
** {{nlab|id=topos|title=Topos}}
** {{nlab|id=Grothendieck topos}}
** {{nlab|id=Giraud's theorem|title=Giraud's theorem}}
** {{nlab|id=Topos|title=Category of toposes}}
** {{nlab|id=base topos|title=Base topos}}
** {{nlab|id=indexed topos|title=Indexed topos}}
** {{nlab|id=well-pointed topos|title=Well-pointed topos}}
** {{nlab|id=locally connected topos|title=Locally connected topos}}
** {{nlab|id=connected topos|title=Connected topos}}
* {{nlab|id=geometric morphism|title=Geometric morphism}}
** {{nlab|id=essential geometric morphism|title=Essential geometric morphism}}
** {{nlab|id=etale geometric morphism |title=Etale geometric morphism}}
** {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/toddtrimble/published/Three+topos+theorems+in+one|제목=Three topos theorems in one|이름=Todd|성=Trimble|날짜=2000|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{nlab|id=Mitchell-Bénabou language}}
* {{nlab|id=quasitopos|title=Quasitopos}}
* {{nlab|id=pretopos|title=Pretopos}}
* {{웹 인용|url=http://maths.mq.edu.au/~street/ToposSurvey.pdf|제목=A survey of topos theory|이름=Ross|성=Street|날짜=1978-04|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:층론]]