{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''유계 작용소'''(有界作用素, {{llang|en|bounded operator}})는 [[유계 집합]]을 항상 유계 집합에 대응시키는, 두 [[위상 벡터 공간]] 사이의 [[선형 변환]]이다. 두 [[노름 공간]] 사이의 경우, 유계 작용소의 개념은 [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]]의 개념과 일치한다.

== 정의 ==
[[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>T</math>를 '''유계 작용소'''라고 한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|24, §1.31}}
* 임의의 [[유계 집합]]의 [[상 (수학)|상]]은 유계 집합이다.
즉, 이는 [[유계형 집합]]의 사상을 이룬다.

여기서, 위상 벡터 공간 <math>V</math>의 부분 집합 <math>B\subseteq V</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 유계 집합이라고 한다.
* 임의의 0의 [[근방]] <math>U\ni 0</math>에 대하여, <math>B\subseteq\alpha U</math>인 <math>\alpha\in K</math>가 존재한다.

<math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 유계 작용소들의 집합은 <math>\operatorname B(V,W)</math>라고 한다. 이는 자연스럽게 <math>K</math>-[[벡터 공간]]을 이룬다.

=== 균등 공간 구조 ===
[[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math>이 주어졌을 때,
* <math>V</math> 위에는 모든 [[유계 집합]]들로 구성된 [[덮개 (위상수학)|덮개]] <math>\operatorname{Born}(V)</math>가 존재한다.
* <math>W</math> 위에는 (덧셈 [[위상군]]으로서의) [[균등 공간]] 구조가 존재한다.
이에 따라, 함수 집합 <math>W^V</math> 위에 [[균등 수렴 위상]] 및 균등 구조를 부여할 수 있으며, 그 부분 집합 <math>\operatorname B(V,W)\subseteq W^V</math>에도 자연스럽게 균등 공간 구조 및 위상을 부여할 수 있다. 이에 따라 <math>\operatorname B(V,W)</math>는 <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]]을 이룬다.

만약 <math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며 <math>V</math>와 <math>W</math>가 [[노름 공간]]일 경우, 이 위상은 [[작용소 노름]]으로 정의된 [[거리 위상]]과 같다.

=== 작용소 위상 ===
유계 작용소의 공간 위에 [[균등 위상]] (또는 균등 위상에 대한 [[약한 위상]]) 대신, 다음과 같은 더 [[엉성한 위상]]인 '''강한·약한 작용소 위상'''을 부여할 수도 있다.

함수 집합 <math>W^V</math>에 [[곱위상]]을 부여하면, <math>\operatorname B(V,W)\subseteq W^V</math>이므로 <Math>\operatorname B(V,W)</math>에 [[부분 공간 위상]]을 부여할 수 있다. 이를 '''강한 작용소 위상'''(強한作用素位相, {{llang|en|strong operator topology}})이라고 한다.

마찬가지로, <math>W</math>에 [[약한 위상]]을 부여한 것을 <math>W^{\text{weak}}</math>로 놓고, 함수 집합 <math>(W^{\text{weak}})^V</math>에 곱위상을 부여하면, [[부분 공간 위상]] <math>\operatorname B(V,W)\subseteq (W^{\text{weak}})^V</math>을 '''약한 작용소 위상'''(弱한作用素位相, {{llang|en|weak operator topology}})이라고 한다.

강한·약한 작용소 위상은 정의에 따라 <math>V</math>의 노름이나 위상에 의존하지 않는다.

== 성질 ==
=== 연속성과의 관계 ===
[[위상체]] <math>K</math> 위의 두 [[위상 벡터 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 모든 [[연속 함수|연속]] <math>K</math>-[[선형 변환]]은 유계 작용소이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|24, Theorem 1.32}}<ref>{{서적 인용|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=니콜라 부르바키|title=Espaces vectoriels topologiques (chapitres 1 à 5)|series=Éléments de mathématique|publisher=Masson|year=1981|언어=fr}}</ref>{{rp|III.4, Proposition III.1.4}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
연속 <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 집합 <math>B\subseteq V</math> 및 임의의 <math>0_W</math>의 근방 <math>0\in U\subseteq W</math>가 주어졌다고 하자.

그렇다면, <math>T^{-1}(U)</math>는 <math>0_V</math>의 [[근방]]이며, <math>B</math>가 [[유계 집합]]이므로 <math>\alpha T^{-1}(U)\supseteq B</math>가 되는 스칼라 <math>\alpha\in K</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면 <math>\alpha U\supseteq T(B)</math>이다.

따라서 <Math>T(B)</math>는 유계 집합이다.
</div></div>

만약 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]일 경우, 유계 작용소 · 연속 [[선형 변환]] · [[균등 연속 함수|균등 연속]] 선형 변환 · [[립시츠 연속 함수|립시츠 연속]] 선형 변환의 개념이 서로 동치이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|24, Theorem 1.32}} (그러나 이는 일반적인 [[위상 벡터 공간]]에 대하여 성립하지 않는다.<ref>{{서적 인용|제목=Topological vector spaces|이름=Lawrence|성=Narici|이름2=Edward|성2=Beckenstein|판=2|isbn=978-158488866-6|날짜=2010|출판사=CRC Press|총서=Pure and Applied Mathematics|url=https://www.crcpress.com/Topological-Vector-Spaces-Second-Edition/Narici-Beckenstein/p/book/9781584888666|언어=en}}</ref>{{rp|253, Example 8.8.8}})

=== 작용소 노름 ===
{{본문|작용소 노름}}
만약 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>V</math>와 <math>W</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]일 경우, <math>\operatorname B(V,W)</math>는 '''[[작용소 노름]]'''을 통해 노름 공간을 이룬다.<ref name="Rudin"/>{{rp|92–93, Theorem 4.1}} 만약 <math>W</math>가 [[바나흐 공간]]이라면, <math>\operatorname B(V,W)</math> 역시 바나흐 공간을 이룬다.<ref name="Rudin"/>{{rp|92–93, Theorem 4.1}}

=== 유계 작용소 공간 위의 위상의 관계 ===
자명하게 다음과 같은 관계가 성립한다.
:{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 [[약한 위상]] || || 약한 작용소 위상
|}
여기서 A ⊃ B는 A가 B보다 더 [[섬세한 위상]]이라는 뜻이다.

[[실수체]] 또는 [[복소수체]] 위의 두 노름 공간 사이의 유계 작용소 공간의 경우, 다음이 추가로 성립한다.
:{| style="text-align:center"
| 균등 수렴 위상 || ⊃ || 강한 작용소 위상
|-
| ∪ || || ∪
|-
| 균등 수렴 위상의 약한 위상 || ⊃ || 약한 작용소 위상
|}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
두 노름 공간 <math>V,W</math> 사이의 작용소열 <math>T_0,T_1,\dotsc\in\operatorname B(V,W)</math> 및 <math>T_\infty\in\operatorname B(V,W)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>T_i</math>가 <math>T_\infty</math>로 약한 바나흐 위상에서 수렴할 경우, 약한 작용소 위상에서 수렴함을 보이면 족하다.

약한 바나흐 위상에서의 수렴은 다음과 같다.
:<math>\forall \phi\in\operatorname B(V,W)'\colon \phi(T_i)\to \phi(T_\infty)</math>
약한 작용소 위상에서의 수렴은 다음과 같다.
:<math>\forall v\in V\forall \chi\in W'\colon \chi(T_iv) \to \chi(T_\infty v)</math>
즉, 임의의 <math>(v,\chi)\in V\oplus W'</math>에 대하여,
:<math>\phi_{v,\chi}\colon \operatorname B(V,W)\to K</math>
:<math>\phi_{v,\chi}\colon T\mapsto \chi(Tv)</math>
를 정의하면, <math>\phi_{v,\chi}\in\operatorname B(V,W)'</math>인 것을, 즉 (<math>\operatorname B(V,W)</math>의 [[작용소 노름]] 위상에 대하여) [[유계 작용소]]인 것을 증명하면 족하다. 그런데 이는
:<math>|\chi(Tv)| \le \|\chi\| \|Tv\| \le \|\chi\| \|T\| \|v\|\qquad\forall T\in\operatorname B(V,W)</math>
이므로
:<math>\|\phi_{v,\chi}\|\le\|\chi\| \|v\|<\infty</math>
이다.
</div></div>

== 예 ==
두 유한 차원 [[노름 공간]] 사이의 모든 [[선형 변환]]은 유계 작용소이다.

[[르베그 공간|르베그 실수열 공간]] <math>\ell^2(\mathbb R)</math> 위의 연산자
:<math>L\colon(x_0,x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_0,x_1,x_2,\dots)</math>
는 노름이 1인 유계 작용소이다.

[[라플라스 연산자]]
:<math>\Delta\colon\operatorname H^2(\mathbb R^n)\to L^2(\mathbb R^n)</math>
는 유계 작용소이다. 여기서 <math>\operatorname H^2</math>는 [[하디 공간]]이며, <math>L^2</math>는 [[Lp 공간|''L''<sup>p</sup> 공간]]의 하나이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |이름2=Barry |성2=Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}
* {{서적 인용|제목=Theory of Operator Algebras I|이름=M.|성=Takesaki|isbn=3-540-42248-X|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bounded operator}}
* {{eom|title=Operator topology}}
* {{매스월드|id=BoundedOperator|title=Bounded operator|이름=Todd|성=Rowland}}
* {{nlab|id=bounded operator|title=Bounded operator}}
* {{nlab|id=operator topology|title=Operator topology}}
* {{nlab|id=unbounded operator|title=Unbounded operator}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:연속 함수]]