{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]과 [[끈 이론]]에서 '''모듈라이'''({{llang|en|modulus|모듈러스}} 단수형, {{llang|en|moduli|모듈라이}} 복수형)는 그 [[위치 에너지|퍼텐셜]]이 연속적인 최소점을 갖는 [[스칼라장]]이다. 모듈라이들의 집합을 '''모듈라이 공간'''({{lang|en|moduli space}}, {{lang|en|space of moduli}})이라고 한다.

== 정의 ==
3차원 이상의 양자장론에서, [[바닥 상태]]가 유일하지 않을 수 있다. 이런 현상은 ([[푸앵카레 대칭]]을 가정한다면) 어떤 [[스칼라장]]이 [[진공 기댓값]]을 가지게 되어 발생한다. (푸앵카레 대칭이 [[자발 대칭 깨짐]]을 겪지 않으려면, 스칼라장이 아닌 다른 스핀을 갖는 장들은 진공 기댓값을 가질 수 없다.) 이 경우, 가능한 바닥 상태들의 공간을 '''모듈라이 공간'''이라고 하며, 그 좌표에 대응되는 스칼라장을 '''모듈라이'''라고 한다.

기하학적으로, 스칼라장은 ([[시그마 모형]]으로 생각하여) 어떤 [[매끄러운 다양체]] 또는 [[오비폴드]] 위의 값을 가지며, 그 위에 퍼텐셜이 존재한다. 이 경우, 모듈라이 공간은 퍼텐셜이 최솟값을 가지게 되는 점들로 구성되는 부분 공간이다.

== 예 ==
=== 끈 이론의 모듈라이 ===
[[끈 이론]]은 다양한 고전해(배경, {{llang|en|background}})에 대하여 [[축소화]]할 수 있다. 이 때, 배경은 여러 매개변수(끈의 [[결합 상수]], 축소화 차원들의 크기와 모양 등)를 가지는데, 축소화한 [[유효 이론]]에서 이 매개변수들은 스칼라장의 진공 기댓값들로 나타내어진다. 따라서 끈 이론의 배경의 매개변수들은 그 유효 양자장론의 모듈라이들과 대응하게 된다. 이 때문에 끈 이론에서는 가능한 배경들의 집합을 "모듈라이 공간"이라고 일컫는다.

=== 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 ===
대부분의 양자장론들은 자명한 모듈라이 공간을 가지지만, [[초대칭]]을 가지는 이론들 ([[초중력]], [[초대칭 게이지 이론]] 등)은 매우 복잡한 모듈라이 공간을 가지는 경우가 많다.

예를 들어, 4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭]]을 가지는 이론의 모듈라이 공간은 [[켈러 다양체]]이어야 한다.<ref>{{저널 인용|
doi=10.1016/0370-2693(79)90964-X|저널=Physics Letters B|권=87|호=3|쪽=203–206|날짜=1976-11-05|제목=Supersymmetry and Kähler manifolds|이름=Bruno|성=Zumino|저자링크=브루노 추미노|bibcode=1979PhLB...87..203Z}}</ref><ref name="Polchinski2">Polchinski vol. 2</ref>{{rp|446, 463}} 만약 이 이론이 [[중력]]을 포함한다면 (즉, [[초중력]]이라면) 그 모듈라이 공간은 켈러 다양체일 뿐만 아니라 호지 다양체({{lang|en|Hodge manifold}}, 그 켈러 형식 <math>\omega</math>의 [[코호몰로지]] 모임이 정수 계수의 코호몰로지의 원소인 켈러 다양체)이어야 한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0370-2693(82)90644-X|bibcode=1982PhLB..115..202W|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|공저자=Jonathan Bagger|저널=Physics Letters B|권=115|제목= Quantization of Newton's constant in certain supergravity theories|호=3|쪽=202–206|날짜=1982-09-02}}</ref>

=== <math>\mathcal N>1</math> 초대칭 이론 ===
4차원 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 모듈라이 공간은 다음과 같은 가지({{lang|en|branch}})들로 이루어진다.
* '''쿨롱 가지'''({{lang|en|Coulomb branch}})는 벡터 [[초다중항]]({{lang|en|vector supermultiplet}}, 벡터장과 디랙 스피너, 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다. 이 가지의 모듈라이 공간은 (중력을 포함하지 않는 경우) '''강성 특수 켈러 다양체'''({{lang|en|rigid special Kähler manifold}})라는 구조를 가진다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|464, 511}}<ref>{{저널 인용|
|제목=Special Geometry
|이름=Andrew|성=Strominger|저자링크=앤드루 스트로민저
|doi=10.1007/BF02096559
|저널=Communications in Mathematical Physics
|날짜=1990-09|권=133|호=1|쪽=163–180
|mr=1071240|zbl=0716.53068
}}</ref> 중력을 포함하는 경우, 이 모듈라이 공간은 '''사영 특수 켈러 다양체'''({{lang|en|projective Kähler manifold}})이다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|464, 511}} 사영 특수 켈러 다양체는 '''국소 특수 켈러 다양체'''({{llang|en|local special Kähler manifold}}) 또는 단순히 '''특수 켈러 다양체'''로 불리기도 한다.
* '''힉스 가지'''({{lang|en|Higgs branch}})는 하이퍼 [[초다중항]]({{lang|en|hypermultiplet}}, 디랙 스피너와 두 개의 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다 ([[힉스 메커니즘]]). 이 가지의 모듈라이 공간은 (초중력을 포함하지 않는 경우) [[초켈러 다양체]]를 이룬다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|463,501}}<ref>{{저널 인용|
저널=Communications in Mathematical Physics
|날짜=1981|권=80|호=3|쪽=443–451
|제목=Geometrical structure and ultraviolet finiteness in the supersymmetric σ-model
|이름=Luis|성=Álvarez-Gaumé|공저자=Daniel Z. Freedman
|mr=0626710
|doi=10.1007/BF01208280
}}</ref> 만약 이 이론이 [[초중력]]을 포함하면, 모듈라이 공간은 보다 더 일반적인 [[사원수 켈러 다양체]]를 이룬다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|464, 509}}
* '''혼합 가지'''({{lang|en|mixed branch}})는 벡터 초다중항과 하이퍼 초다중항 둘 다 [[진공 기댓값]]을 가지는 경우다.<ref>{{저널 인용|url=http://www.physics.uc.edu/~argyres/661/fgilec.pdf|이름=Philip C.|성=Argyres|제목=Non-perturbative dynamics of four-dimensional supersymmetric field theories|형식=PDF|확인날짜=2013-02-15|보존url=https://web.archive.org/web/20141014035922/http://www.physics.uc.edu/~argyres/661/fgilec.pdf|보존날짜=2014-10-14|url-status=dead}}</ref>

<math>\mathcal N=4</math> 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간은 아예 [[리만 곡률]]을 가지지 않는다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|460}} 또한, 일반적으로 최대 초중력({{lang|en|maximal supergravity}}, 주어진 차원에서 최다의 초대칭을 가지는 중력 이론)들의 모듈라이 공간은 [[동차공간]] <math>G/H</math> (<math>G</math>, <math>H</math>는 [[리 군]])의 꼴이다.<ref name="Polchinski2"/>{{rp|455}} [[11차원 초중력]]은 아예 스칼라장을 포함하지 않으므로 모듈라이 공간이 없다. 최대 초중력에서는 낮은 차원일수록 더 모듈라이 공간이 커지는데, 이는 높은 차원의 이론을 [[축소화]]하여 낮은 차원의 이론을 얻을 수 있기 때문이다.

=== 특수기하학 ===
'''특수기하학'''({{llang|en|special geometry}})은 <math>\mathcal N=2</math> 초대칭 이론의 쿨롱 가지 모듈라이 공간을 나타내는 기하학이다. 또한, 복소3차원 [[칼라비-야우 다양체]]의 복소 구조 모듈라이의 [[모듈라이 공간]]도 사영특수기하학으로 나타내어진다.

'''강성 특수 켈러 다양체'''({{llang|en|rigid special Kähler manifold}}) <math>(M,E,\Omega)</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9712042|이름=Daniel S.|성=Freed|날짜=1999-05|doi=10.1007/s002200050604|저널=Communications in Mathematical Physics|권=203|호=1|쪽=31–52|bibcode=1999CMaPh.203...31F|제목=Special Kähler manifolds|issn=0010-3616|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|
제목=What is special Kähler geometry?
|이름=Ben|성=Craps|공저자=Frederik Roose, Walter Troost, Antoine Van Proeyen
|doi=10.1016/S0550-3213(97)00408-2
|arxiv=hep-th/9703082
|bibcode=1997NuPhB.503..565C
|날짜=1997-10-20
|저널=Nuclear Physics B|권=503|호=3|쪽=565–613|issn=0550-3213|언어=en
}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703136|날짜=1997-03|제목= Les Houches lectures on fields, strings and duality|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|bibcode=1997hep.th....3136D|언어=en}}</ref>{{rp|104}}
* 복소 ''g''차원 [[켈러 다양체]] ''M''
* [[군 표현]] <math>\phi\colon\pi_1(M)\to\operatorname{Sp}(2g,\mathbb Z)</math>. 이를 사용하여, 올이 격자 <math>(\mathbb Z^{2g},\eta)</math>인 [[올다발]] <math>\Gamma</math>를 정의할 수 있다. 여기서 <math>\eta</math>는 격자 위에 정의된 심플렉틱 형식이다.
* ''L''이 <math>M</math> 위에 정의된 평탄한 복소 [[선다발]]이라고 하면, 복소2''g''차원 [[해석적 벡터다발]] <math>E=\Gamma\otimes L</math>. 이에 따라 <math>E</math>의 올은 <math>\eta</math>에 따라 [[심플렉틱 벡터 공간]]을 이룬다.
* ''E''에 주어진 평탄한([[곡률]]이 0인) [[코쥘 접속]] <math>(\nabla,\bar\nabla)</math>. 여기서 <math>v</math>가 <math>E</math>의 해석적 단면이라면 <math>\bar\nabla v=0</math>이고, <math>\bar v</math>가 반해석적 단면이라면 <math>\nabla \bar v=0</math>이다.
* <math>E</math>의 해석적 단면 <math>\Omega\subset\Gamma(E)</math>
이들은 다음 조건을 만족하여야 한다.
* (접속의 평탄성) <math>\nabla^2=\bar\nabla^2=[\nabla,\bar\nabla]=0</math>
* (심플렉틱 구조의 공변상수성) <math>E</math>의 해석적 단면 <math>u,v</math>에 대하여, <math>d\eta(u,v)=\eta(\nabla u,v)+\eta(u,\nabla v)</math>
* (라그랑주 조건) <math>0=\eta(\nabla\Omega,\nabla\Omega)\in\Omega^{(2,0)}M\otimes L</math>
* (양부호성) <math>0<-i\eta(\nabla\Omega,\bar\nabla\bar\Omega)\in\Omega^{(1,1)}M\otimes L</math>
* (켈러 구조와의 호환성) ''M''의 [[켈러 다양체|켈러 형식]] <math>K</math>는 다음과 같다.
::<math>K=-(i/2)\partial\bar\partial\eta(\Omega,\bar\Omega)\in\Omega^{(1,1)}M</math>
:<math>\eta(\Omega,\bar\Omega)\in L</math>이므로, 일반적으로 켈러 형식의 [[코호몰로지]]는 자명하지 않다.

'''사영 특수 켈러 다양체'''({{llang|en|projective Kähler manifold}})의 정의는 강성 특수 켈러 다양체의 정의와 거의 같으나, 조건 가운데 두 개를 다음과 같이 바꾸고, 조건 하나를 추가한다.
* (라그랑주 조건) <math>0=\eta(\Omega,\nabla\Omega)</math>
* (켈러 구조와의 호환성) ''M''의 [[켈러 다양체|켈러 형식]] <math>K</math>는 다음과 같다.
::<math>K=-(i/2)\partial\bar\partial\ln\eta(\Omega,\bar\Omega)\in\Omega^{(1,1)}M</math>
* (호지 조건) <math>M</math>은 '''호지 다양체'''({{llang|en|Hodge manifold}})여야 한다. 즉, 켈러 형식 <math>K</math>의 [[돌보 코호몰로지]] [[동치류]] <math>[K]\in H^{1,1}(M;\mathbb C)</math>는 정수 계수 코호몰로지 원소이어야 한다: <math>K\in H^{(1,1)}(M;\mathbb Z)</math>.

=== 2차원 계 ===
2차원 양자장론에서는 일반적으로 [[머민-바그너 정리]]에 의하여 모듈라이가 존재하지 않는다. 만약 고전적으로 모듈라이가 존재하는 것처럼 보인다면, 양자역학적으로 실제 바닥 상태는 이 ‘모듈라이 공간’ 위의 어떤 파동 함수로 구성된다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]