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[[추상대수학]]과 [[범주론]]에서 '''유사군'''(類似群, {{llang|en|quasigroup}})은 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈을 정의할 수 있는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[군 (수학)|군]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
=== 이항 연산의 성질을 통한 정의 ===
다음과 같은 데이터로 구성되는 튜플 <math>(Q,\cdot)</math>를 생각하자.
* 집합 <math>Q</math>
* 이항 연산 <math>\cdot\colon Q\times Q\to Q</math>. 이를 '''곱셈'''이라고 한다.
<math>(Q,\cdot)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>(Q,\cdot)</math>를 '''왼쪽 유사군'''({{llang|en|left quasigroup}})이라고 한다.
* (왼쪽 나눗셈) 임의의 <math>p,q\in Q</math>에 대하여, <math>p\cdot x=q</math>인 유일한 <math>x\in Q</math>가 존재한다.
* ([[왼쪽 작용]]은 순열) 임의의 <math>p\in Q</math>에 대하여, <math>p\cdot\in\operatorname{Sym}(Q)</math>
마찬가지로, <math>(Q,\cdot)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>(Q,\cdot)</math>를 '''오른쪽 유사군'''({{llang|en|right quasigroup}})이라고 한다.
* (오른쪽 나눗셈) 임의의 <math>p,q\in Q</math>에 대하여, <math>y\cdot p=q</math>인 유일한 <math>y\in Q</math>가 존재한다.
* ([[오른쪽 작용]]은 순열) 임의의 <math>p\in Q</math>에 대하여, <math>\cdot p\in\operatorname{Sym}(Q)</math>
왼쪽 유사군이자 오른쪽 유사군인 <math>(Q,\cdot)</math>를 '''유사군'''이라고 한다.

=== 나눗셈을 통한 정의 ===
'''왼쪽 유사군'''  <math>(Q,\cdot,\backslash)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 집합 <math>Q</math>
* 이항 연산 <math>\cdot\colon Q\times Q\to Q</math>. 이를 '''곱셈'''이라고 한다.
* 이항 연산 <math>\backslash\colon Q\times Q\to Q</math>. 이를 '''왼쪽 나눗셈'''이라고 한다.
이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>p,q\in Q</math>에 대하여, <math>p\cdot(p\backslash q)=p\backslash(p\cdot q)=q</math>
'''오른쪽 유사군''' <math>(Q,\cdot,/)</math>는 왼쪽 유사군의 반대 구조이다. 즉, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 집합 <math>Q</math>
* 이항 연산 <math>\cdot\colon Q\times Q\to Q</math>. 이를 '''곱셈'''이라고 한다.
* 이항 연산 <math>/\colon Q\times Q\to Q</math>. 이를 '''오른쪽 나눗셈'''이라고 한다.
이들은 다음과 같은 항등식들을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>p,q\in Q</math>에 대하여, <math>(p/q)\cdot q=(p\cdot q)/q=p</math>
왼쪽 유사군과 오른쪽 유사군의 구조를 동시에 갖춘 <math>(Q,\cdot,\backslash,/)</math>를 '''유사군'''이라고 한다.

=== 고리 ===
'''고리'''({{llang|en|loop}})는 곱셈 [[항등원]]을 갖춘 유사군이다.

== 예 ==
=== 유한 유사군 ===
{{본문|라틴 방진}}
유한 유사군은 [[라틴 방진]]과 동치이다.

== 같이 보기 ==
* [[나눗셈환]]
* [[반군]]
* [[모노이드]]
* [[삼진환]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quasi-group}}
* {{eom|title=Distributive quasi-group}}
* {{eom|title=Loop}}
* {{매스월드|id=Quasigroup|title=Quasigroup}}
* {{매스월드|id=AlgebraicLoop|title=Algebraic loop}}
* {{nlab|id=quasigroup|title=Quasigroup}}
* {{groupprops|제목=Quasigroup}}
* {{groupprops|제목=Loop}}
* {{proofwiki|제목=Definition:Quasigroup}}
* {{proofwiki|id=Definition:Latin Square Property|제목=Definition:Latin square property}}
* {{proofwiki|id=Definition:Algebra Loop|제목=Definition:Algebra loop}}
* {{proofwiki|id=Group is Quasigroup|제목=Group is quasigroup}}
* {{proofwiki|id=Group has Latin Square Property|제목=Group has Latin square property}}
* {{proofwiki|id=Left Quasigroup if (2-3) Parastrophe of Magma is Magma|제목=Left quasigroup if (2-3) parastrophe of magma is magma}}
* {{proofwiki|id=Right Quasigroup if (1-3) Parastrophe of_Magma is Magma|제목=Right quasigroup if (1-3) parastrophe of mgma is magma}}
* {{proofwiki|id=Idempotent Non-Trivial Quasigroup is Not a Loop|제목=Idempotent non-trivial quasigroup is not a loop}}
* {{proofwiki|id=B-Algebra is Quasigroup|제목=B-algebra is quasigroup}}
* {{proofwiki|id=Quasigroup is not necessarily B-Algebra|제목=Quasigroup is not necessarily B-algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]