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[[사영기하학]]에서 '''삼진환'''(三進環, {{llang|en|ternary ring}})은 [[사영 평면]]의 점의 일종의 [[좌표계]]를 구성할 수 있는 [[대수 구조]]이며, 하나의 3항 연산을 갖는다.

== 정의 ==
삼진환 <math>(R,\top,0,1)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>\top\colon R\times R\times R\to R</math>는 3항 연산이다.
* <math>0\in R</math> 및 <math>1\in R</math>는 상수(0항 연산)이다.

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
* <math>0\ne1</math>
* 임의의 <math>x,y\in R</math>에 대하여, <math>\top(x,0,y)=\top(0,x,y)=\top(1,y,0)=\top(y,1,0)=y</math>
* 임의의 <math>x,y,x',y'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne x'</math>라면, <math>\top(z,x,y)=\top(z,x',y')</math>인 <math>z\in X</math>가 유일하게 존재한다.
* 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대하여, <math>\top(x,y,w)=z</math>인 <math>w\in X</math>가 유일하게 존재한다.
* 임의의 <math>x,y,x',y'</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne x'</math>라면, 다음 연립 방정식은 유일한 해 <math>z,w\in X</math>를 갖는다.
*:<math>\top(x, z, w) = y</math>
*:<math>\top(x', z, w) = y'</math>

== 성질 ==
=== 특별한 이항 연산 ===
삼진환 <math>(R,\top)</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 두 연산을 정의하자.
:<math>x\oplus y=\top(x,1,y)</math>
:<math>x\otimes y=\top(x,y,0)</math>
그렇다면, <math>(R,\oplus,0)</math> 및 <math>(R,\otimes,1)</math>은 각각 항등원을 갖는 [[유사군]]을 이룬다.

=== 삼진환에 대응하는 사영 평면 ===
삼진환 <math>(R,\top)</math>이 주어졌을 때, 이에 대응하는 다음과 같은 [[사영 평면]] <math>(X,L,\vartriangleleft)</math>을 구성할 수 있다. 우선, 점과 직선의 집합은 각각 다음과 같다.
:<math>X=L=R^2\sqcup R\sqcup R^0=\{()\}</math>
이 사이의 인접 관계
:<math>\vartriangleleft \subseteq X\times L</math>
는 다음과 같다.
:<math>(a,b)\vartriangleleft (c,d) \iff \top(a,c,d)=b</math>
:<math>(a,b)\vartriangleleft (c) \iff (a) \vartriangleleft (c,d) \iff a = c</math>
:<math>(a,b)\not\vartriangleleft () </math>
:<math>() \not\vartriangleleft (c, d) </math>
:<math>(a) \not\vartriangleleft (c) </math>
:<math>(a) \vartriangleleft ()</math>
:<math>() \vartriangleleft (c) </math>
:<math>() \vartriangleleft () </math>
또한,
:<math>(0,0), (1,1), (), (0) \in X </math>
은 그 속의 사각형을 이룬다.

사각형이 주어진 모든 사영 평면은 항상 위와 같은 꼴로 구성될 수 있다.

서로 다른 두 삼진환이 동형의 사영 평면을 정의할 대수적 [[필요 충분 조건]]이 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|성=Grari|이름=A.|날짜=2004-09|제목=A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes|저널=Archiv der Mathematik|권=83|호=2|쪽=183–192|doi=10.1007/s00013-003-4580-9|zbl= 1067.51002|언어=en}}</ref>

== 예 ==
<math>(K,+,0,\cdot,1)</math>가 [[나눗셈환]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\top(x,y,z)=xy+z</math>
를 정의한다면, 이는 삼중환을 이룬다.

== 역사 ==
1941년에 마셜 홀({{llang|en|Marshall Hall}})이 [[사영 평면]]을 연구하기 위하여 삼진환의 개념 및 “삼진환”({{llang|en|ternary ring}})이라는 용어를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Marshall|성=Hall|제목=Projective planes|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=54|날짜=1943|쪽=229–277|doi=10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4|mr=8892|issn=0002-9947|jstor=1990331|zbl=0060.32209|언어=en}}</ref> 이름과 달리, 삼진환은 [[환 (수학)|환]]이 아니다.

일부 문헌에서 이 개념은 “삼진체”(三進體, {{llang|en|ternary field}}) 또는 “평면 삼진환”(平面三進環, {{llang|en|planar ternary ring}}) 등으로 불린다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ternary field}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m6221/fall01/ptr.htm|제목=Planar ternary rings|이름=Arthur|성=Busch|날짜=2001-12-05|언어=en|확인날짜=2017-06-18|보존url=https://web.archive.org/web/20190701081650/http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m6221/fall01/ptr.htm|보존날짜=2019-07-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/106888/when-does-a-planar-ternary-ring-uniquely-coordinitise-a-projective-plane|제목=When does a planar ternary ring uniquely coordinitise a projective plane?|웹사이트=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2017-06-18|보존url=https://web.archive.org/web/20160409120131/http://mathoverflow.net/questions/106888/when-does-a-planar-ternary-ring-uniquely-coordinitise-a-projective-plane|보존날짜=2016-04-09|url-status=dead}}

[[분류:사영기하학]]