{{위키데이터 속성 추적}}
[[복소해석학]]에서, '''고립 특이점'''(孤立特異點, {{llang|en|isolated singular point}})은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 [[정칙 함수]]가 되는 [[특이점 (해석학)|특이점]]이다.

== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in D</math> 및 함수 <math>f\colon D\setminus\{z_0\}\to\mathbb C</math>에 대하여, <math>f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}</math>가 [[정칙 함수]]가 되는 [[근방]] <math>N\ni z_0</math>이 존재한다면, <math>z_0</math>을 <math>f</math>의 '''고립 특이점'''이라고 한다.

만약 0이 <math>z\mapsto f(1/z)</math>의 고립 특이점이라면, 무한대 <math>\widehat\infty</math>를 <math>f</math>의 '''고립 특이점'''이라고 한다.

== 분류 ==
고립 특이점은 [[제거 가능 특이점]], [[극점 (복소해석학)|극점]], [[본질적 특이점]]으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in D</math> 및 함수 <math>f\colon D\setminus\{z_0\}\to\mathbb C</math>가 주어졌고, <math>z_0</math>이 <math>f</math>의 고립 특이점이라고 하자.

=== 제거 가능 특이점 ===
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>z_0</math>을 <math>f</math>의 '''[[제거 가능 특이점]]'''이라고 한다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|130, §4.2, 정리1}}
* <math>f</math>는 <math>z_0</math>에서 [[해석적 연속]]을 갖는다. 즉, <math>g|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}=f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}</math>인 근방 <math>N\ni z_0</math> 및 정칙 함수 <math>g\colon N\cap D\to\mathbb C</math>가 존재한다.
* <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math>는 <math>\mathbb C</math>에서 존재한다.
* <math>f</math>는 <math>z_0</math>에서 국소 유계 함수이다. 즉, <math>f|_{N\cap D\setminus\{z_0\}}</math>가 [[유계 함수]]가 되는 근방 <math>N\ni z_0</math>이 존재한다.
* <math>\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=0</math>
* <math>f</math>의 <math>z_0</math>에서의 [[로랑 급수]] 전개의 주요 부분은 0이다.

=== 극점 ===
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>z_0</math>을 <math>f</math>의 '''[[극점 (복소해석학)|극점]]'''이라고 한다.<ref name="tanxj" />{{rp|130-131, §4.2, 정리2}}
* <math>f</math>는 <math>z_0</math>에서 해석적 연속을 갖지 않으며, <math>1/f</math>는 <math>z_0</math>에서 해석적 연속을 갖는다.
* <math>\lim_{z\to z_0}f(z)=\widehat\infty</math>
* <math>f</math>의 <math>z_0</math>에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

=== 본질적 특이점 ===
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>z_0</math>을 <math>f</math>의 '''[[본질적 특이점]]'''이라고 한다.<ref name="tanxj" />{{rp|132, §4.2, 정리3}}
* <math>f</math>와 <math>1/f</math>는 <math>z_0</math>에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
* <math>\lim_{z\to z_0}f(z)</math>는 <math>\overline\mathbb C</math>에서 존재하지 않는다.
* <math>f</math>의 <math>z_0</math>에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

=== 무한대의 경우 ===
무한대 <math>\widehat\infty</math>의 <math>f</math>의 고립 특이점으로서의 분류는 0의 <math>z\mapsto f(1/z)</math>의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

== 예 ==
함수
:<math>f_1\colon\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C</math>
:<math>f_1(z)=\frac{\sin z}z\qquad\forall z\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>
는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수
:<math>f_2\colon\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C</math>
:<math>f_2(z)=\frac 1z\qquad\forall z\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>
는 0을 극점으로 갖는다.

함수
:<math>f_3\colon\mathbb C\setminus\{0\}\to\mathbb C</math>
:<math>f_3(z)=e^{1/z}\qquad\forall z\in\mathbb C\setminus\{0\}</math>
는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수
:<math>f_4\colon\mathbb C\setminus\{0,1/\pi,1/2\pi,\dots\}\to\mathbb C</math>
:<math>f_4(z)=\csc\frac 1z\qquad\forall z\in\mathbb C\setminus\{0,1/\pi,1/2\pi,\dots\}</math>
의 고립 특이점이 아니다.

=== 전해석 함수 ===
모든 [[전해석 함수]] <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>는 <math>\widehat\infty</math>를 고립 특이점으로 갖는다. 이는 <math>f</math>가 [[상수 함수]]라면 제거 가능 특이점이며, <math>f</math>가 1차 이상의 [[다항 함수]]라면 극점이며, [[초월 전해석 함수]]라면 본질적 특이점이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Isolated singular point}}
* {{매스월드|id=IsolatedSingularity|title=Isolated singularity}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]