{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''도널드슨 불변량'''(Donaldson不變量, {{llang|en|Donaldson invariant}})은 4차원 [[매끄러운 다양체]]의 [[불변량]]의 하나로, [[게이지 이론]]의 [[순간자]] [[모듈라이 공간]]의 성질을 나타낸다.<ref>{{서적 인용 |first=Simon K. |last=Donaldson |저자링크=사이먼 도널드슨|이름2=P. B. |성2=Kronheimer|저자링크2=피터 크론하이머|제목=The geometry of four-manifolds |series=Oxford Mathematical Monographs |location=Oxford |publisher=Clarendon Press |date=1997-08-28 |isbn=978-0-19-850269-2 |언어=en|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198502692.do}}</ref><ref>{{서적 인용 |first=Daniel S. |last=Freed |이름2=Karen K.|성2=Uhlenbeck|title=Instantons and four-manifolds |publisher=Springer-Verlag |날짜=1991 | 판=2 |isbn=978-1-4613-9705-2|series=Mathematical Sciences Research Institute Publications|volume=1|issn=0940-4740|언어=en|zbl=0559.57001|doi=10.1007/978-1-4613-9703-8}}</ref><ref>{{서적 인용 |first=Alexandru |last=Scorpan |title=The wild world of 4-manifolds |location=Providence |publisher=American Mathematical Society |날짜=2005 |isbn=978-0-8218-3749-8|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=FOURMAN |zbl = 1075.57001 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lectures on four-manifolds and topological gauge theories|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=45|호=2–3|날짜=1996-02|쪽=29–45|doi=10.1016/0920-5632(95)00627-3|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|zbl=0957.57504|issn=0920-5632|언어=en}}</ref><ref name="Iga">{{저널 인용|title=What do topologists want from Seiberg–Witten theory?|date=2002-12-10|journal=International Journal of Modern Physics A|volume=17|issue=30|pages=4463–4514|last=Iga|first=Kevin|doi=10.1142/S0217751X0201217X|bibcode=2002IJMPA..17.4463I|arxiv=hep-th/0207271|zbl=1038.81057|mr=1941517|issn=0217-751X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|title=Gauge theory is dead!—long live gauge theory!|first=D.|last=Kotschick|date=1995-03|volume=42|issue=3|journal=Notices of the American Mathematical Society|pages=335–338|zbl=0816.53047|issn=0002-9920|url=http://www.ams.org/notices/199503/kotschick.pdf|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | 제목=Lectures on four-manifolds and topological gauge theories | 이름=Robbert |성 = Dijkgraaf |저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.477|doi=10.1016/0920-5632(95)00627-3|저널=Nuclear Physics B - Proceedings Supplements|권=45|호= 2–3|날짜= 1996-02|쪽= 29–45|언어=en}}</ref> 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 [[자이베르그-위튼 불변량]]과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 '''도널드슨 이론'''(Donaldson理論, {{llang|en|Donaldson theory}})이라고 한다.

== 정의 ==
'''도널드슨 불변량'''은 4차원 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 불변량이며, [[대수적 위상수학]] 또는 [[초대칭]] [[위상 양자장론]]을 통해 정의할 수 있다.

=== 수학적 정의 ===
[[푸앵카레 쌍대성]]과 [[합곱]]을 사용해 2차 코호몰로지 <math>\operatorname H^2(M;\mathbb Q)</math> 위에 다음과 같은 '''[[교차 형식]]'''({{llang|en|intersection form}})을 정의할 수 있다.
:<math>I\colon\operatorname H^2(M;\mathbb Q)\times\operatorname  H^2(M;\mathbb Q)\to\mathbb Q</math>
:<math>I(\alpha,\beta)=[M]\frown(\alpha\smile\beta)</math>
여기서 <math>[M]</math>은 <math>M</math>의 [[기본류]]다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 <math>b_2^+(M)</math>, 음의 고윳값의 수를 <math>b_2^-(M)</math>이라고 하자. 물론
:<math>b_2^+(M)+b_2^-(M)=b_2f(M)</math>
은 <math>M</math>의 2차 [[베티 수]]이다. 앞으로, <math>b_2^+>1</math>이라고 가정하자.

<math>M</math>에 임의의 [[리만 계량]] <math>g</math>와 [[SU(2)]] [[벡터다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>을 부여하자. 이 경우, <math>E</math>의 SU(2) [[양-밀스 순간자]]들의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M_{E,g}</math>를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 [[오비폴드]]를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.<ref name="Iga"/>{{rp|(2), (3)}}
:<math>\dim\mathcal M_E=\begin{cases}
-8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^-(M))&c_2(E)<0\\
8c_2(E)-3(1-b_1(M)+b_2^+(M))&c_2(E)>0
\end{cases}
</math>
으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 <math>\mathcal M_{E,g}</math>는 [[공집합]]이다.) 여기서 <math>c_2(E)</math>는 <math>E</math>의 2차 [[천 특성류|천 수]]이고, <math>b_i(M)</math>은 <math>M</math>의 <math>i</math>차 [[베티 수]]이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

<math>\mathcal C_E</math>가 <math>E</math> 위에 존재하는 모든 [[주접속]]들(의 게이지 변환에 대한 [[동치류]]들)의 [[모듈라이 공간]]이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.
:<math>\mathcal M_{E,g}\hookrightarrow\mathcal C_E</math>
<math>\mathcal M_{E,g}</math>는 물론 [[리만 계량]] <math>g</math>에 의존하지만, <math>b_2^+(M)>1</math>이라면 [[호몰로지류]] <math>[\mathcal M_{E,g}]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E)</math>는 <math>g</math>에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서
:<math>[\mathcal M_E]\in\operatorname H_\bullet(\mathcal C_E)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, <math>M</math>의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 [[위상동형]]([[위상다양체]]로서 [[동형]])이지만 [[미분동형]]([[매끄러운 다양체]]로서 [[동형]])이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

[[스펙트럼 열]]을 사용하여, 다음과 같은 [[군 준동형]]을 정의할 수 있다.
:<math>\mu\colon\operatorname H_k(M;\mathbb Q)\to H^{4-k}(\mathcal C_E;\mathbb Q)</math>
<math>M</math>은 4차원 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[매끄러운 다양체]]라고 가정하였으므로, <math>M</math>의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_0(M;\mathbb Q)=\mathbb Q</math>
:<math>\operatorname H_1(M;\mathbb Q)=0</math>
:<math>\operatorname H_2(M;\mathbb Q)=\mathbb Q^{b_2}=\operatorname{span}\{\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}\}</math>
:<math>\operatorname H_3(M;\mathbb Q)=0</math>
:<math>\operatorname H_4(M;\mathbb Q)=\mathbb Q</math>
여기서 <math>\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}</math>는 임의로 잡은 <math>H_2(M;\mathbb Q)</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.
* <math>\mu(\operatorname H_4(M;\mathbb Q))=0</math>
* <math>\mathcal C_E</math>의 [[코호몰로지]] 환 <math>H^\bullet(\mathcal C_E;\mathbb Q)</math>는 <math>\mu</math>에 의하여 [[다항식환]] <math>\mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]</math>와 표준적(canonical)으로 [[동형]]이다. 여기서 <math>x</math>는 <math>H_0(M;\mathbb Q)</math>에 대응하는 생성원이다.

이제, '''도널드슨 다항식'''(Donaldson多項式, {{llang|en|Donaldson polynomial}}) <math>D_E\colon\mathbb Q[x,\gamma_1,\dots,\gamma_{b_2}]\to\mathbb Q</math>은 다음과 같은 사상이다.
:<math>Q_E(p)=[\mathcal M_E]\frown p\left(\mu(x),\mu(\gamma_1),\dots,\mu(\gamma_{b_2})\right)</math>

=== 물리학적 정의 ===
4차원 다양체 <math>M</math>의 도널드슨 다항식 불변량은 <math>M</math> 위에 존재하는 <math>\mathcal N=2</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]로 정의할 수 있다.

<math>M</math> 위에 임의의 [[리만 계량]]을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[반단순 리 군]] <math>G</math>인 <math>\mathcal N=2</math> 초대칭 [[양-밀스 이론]]을 생각하자. 이 이론은 [[로런츠 대칭]]과 [[R대칭]]을 갖는데, 로런츠 군
:<math>\operatorname{SU}(2)_\text{left}\times\operatorname{SU}(2)_\text{right}\cong\operatorname{Spin}(4)</math>
는 4차원 [[스핀 군]]이고, <math>\mathcal N=2</math> [[R대칭]]군은 SU(2)<sub>R</sub>이다. 이제 새 로런츠 부분군 <math>\operatorname{SU}(2)_\text{right}'</math>을 <math>\operatorname{SU}(2)_\text{right}</math>와 <math>\operatorname{SU}(2)_\text{R}</math>의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림({{llang|en|topological twist}})을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기호 !! 설명 !! 뒤틀기 전 군 표현 SU(2)<sub>left</sub>×SU(2)<sub>right</sub>×SU(2)<sub>R</sub>×U(1)<sub>R</sub> !! 뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)<sub>left</sub>×SU(2)<sub>right</sub>×U(1)<sub>R</sub> !! 뒤튼 뒤 설명
|-
| <math>Q_\alpha</math> || 왼쪽 초전하 || (½, 0, ½)<sup>−1</sup> || (½, ½)<sup>−1</sup> || <math>Q_\mu</math>
|-
| rowspan=2 | <math>\bar Q_{\dot\alpha}</math>
| rowspan=2 | 오른쪽 초전하
| rowspan=2 | (0, ½, ½)<sup>+1</sup> || (0,0)<sup>+1</sup> || [[BRST 양자화|BRST 연산자]] <math>Q</math>
|-
| (0, 1)<sup>+1</sup> || <math>Q_{\mu\nu}</math>
|-
| <math>A_\mu</math> || [[게이지 보손]] || (½, ½, 0)<sup>0</sup> || (½,½)<sup>0</sup> || <math>A_\mu</math> 게이지 보손
|-
| <math>\psi</math> || 왼손 [[게이지노]] || (½, 0, ½)<sup>+1</sup> || (½,½)<sup>+1</sup> || <math>\psi_\mu</math> 유령
|-
| rowspan =2 | <math>\bar\psi</math>
| rowspan=2 | 오른손 [[게이지노]]
| rowspan=2 | (0, ½, ½)<sup>−1</sup> || (0,1)<sup>−1</sup> || <math>\chi_{\mu\nu}</math> 반유령 (<math>F^+=0</math> 제약에 대응)
|-
| (0,0)<sup>−1</sup> || <math>\eta</math> 반유령
|-
| <math>\phi</math> || 스게이지노({{llang|en|sgaugino}}) || (0, 0, 0)<sup>+2</sup> || (0,0)<sup>+2</sup> || <math>\phi</math> (게이지 변환 매개변수)
|-
| <math>\phi^*</math> || 반스게이지노({{llang|en|antisgaugino}}) || (0, 0, 0)<sup>−2</sup> || (0,0)<sup>−2</sup> || <math>\lambda</math> 유령
|}
따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, <math>(A_\mu,\psi_\mu)</math>, <math>(\lambda,\eta)</math>는 <math>Q</math>에 대한 초다중항을 이룬다. <math>\chi</math>는 <math>F^+=0</math> 제약에 대응하며, <math>\phi</math>는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 <math>Q</math>를 [[BRST 양자화|BRST 대칭]]으로 생각하여, 모든 관측가능량을 <math>Q</math>에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 [[위상 양자장론]]을 이룬다.

이제, 다음과 같은 게이지 불변, <math>Q</math>-닫힌 연산자를 생각하자.
:<math>\mathcal O_0=\frac1{8\pi^2}\operatorname{tr}\phi^2</math>
이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.
:<math>d\mathcal O_0=i\{Q,\mathcal O_1\}</math>
:<math>d\mathcal O_1=i\{Q,\mathcal O_2\}</math>
:<math>d\mathcal O_2=i\{Q,\mathcal O_3\}</math>
:<math>d\mathcal O_3=i\{Q,\mathcal O_4\}</math>
:<math>d\mathcal O_4=0</math>
<math>\mathcal O_k</math>는 <math>k</math>차 [[코호몰로지류]]이다. 따라서, 임의의 <math>k_i</math>차 [[호몰로지류]] <math>\Sigma_i</math>들에 대하여, 다음과 같은 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]를 정의할 수 있다.
:<math>\left\langle\int_{\Sigma_1}\mathcal O_{k_1}\cdots\int_{\Sigma_i}\mathcal O_{k_i}\cdots\right\rangle</math>
이 경우, <math>\mathcal O_4\propto F\wedge F\propto c_2(E)</math>는 CP 위반항이므로,
:<math>\int_M\mathcal O_4\sim\int_MF\wedge F=[M]\frown c_2(E)</math>
는 단순히 [[순간자]]수(게이지 [[주다발]]의 2차 [[천 특성류]])이다. 따라서 <math>\mathcal O_4</math>의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 <math>\Sigma_i\in H_2(M)</math> 및 0차 호몰로지 류 <math>x_i\in H_0(M)</math>를 사용하여, 상관 함수
:<math>\left\langle\int\mathcal O_0(x_1)\cdots\int_{\Sigma_1}\mathcal O_2\cdots\right\rangle</math>
를 정의할 수 있다. 이를 '''도널드슨 다항식'''이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

=== 크론하이머-므로카 기본류 ===
게이지 군 <math>G</math>가 [[SU(2)]]일 경우를 생각하자. 4차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 '''단순형 다양체'''({{llang|en|manifold of simple type}})라고 하자.
:<math>Q_{8+\deg p}(x^2p(x,\vec\gamma))=4Q_{\deg p}(p(x,\vec\gamma))</math>
여기서 <math>p\in\mathbb Q[x,\vec\gamma]</math>이며, <math>\deg p</math>는 <math>x</math>를 차수 4, <math>\vec\gamma</math>를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 [[생성함수 (수학)|생성 함수]]로 완전히 결정된다.
:<math>D(\vec\gamma)=\sum_n\left(\frac{Q_{2n}(\gamma^d)}{d!}+\frac{Q_{2n+4}(x\gamma^d)}{2d!}\right)</math>
:<math>\mathbb D(\vec\gamma)=D(0,\vec\gamma)+\frac12\frac{\partial}{\partial x}D(0,\vec\gamma)</math>
이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.
:<math>\mathbb D(\gamma)=\exp(\gamma.\gamma/2)\sum_{x\in H^2(M;\mathbb Z)}\exp(x\cdot\gamma)n_x</math>
여기서 <math>n_x\ne0</math>인 2차 코호몰로지 원소들을 '''크론하이머-므로카 기본류'''({{llang|en|Kronheimer–Mrowka basic class}})라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 <math>n_x</math>들은 [[자이베르그-위튼 불변량]]과 같다고 추측된다.

== 역사 ==
[[사이먼 도널드슨]]이 1983년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Donaldson |first=Simon K.|title=An application of gauge theory to four dimensional topology|저자링크=사이먼 도널드슨 |journal=Journal of Differential Geometry |volume=18 |issue=2 |date=1983 |pages=279–315 |doi= |mr=710056|zbl=0507.57010|issn=0022-040X|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214437665|언어=en}}</ref> 이후 [[에드워드 위튼]]이 1994년에 이를 [[초대칭 게이지 이론]]의 [[위상 양자장론]]으로 정의할 수 있음을 보였다.<ref>{{저널 인용|제목=Supersymmetric Yang–Mills theory on a four-manifold|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|doi=10.1063/1.530745|저널=Journal of Mathematical Physics|권=35|호=10|쪽=5101–5135|날짜=1994-10|bibcode=1994JMP....35.5101W|arxiv=hep-th/9403195|issn= 0022-2488|언어=en}}</ref>

[[피터 크론하이머]]와 토머스 므로카({{llang|en|Thomasz S. Mrowka}})가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Kronheimer | first1=P. B. | 저자링크=피터 크론하이머 | last2=Mrowka | first2=Tomasz S. | title=Recurrence relations and asymptotics for four-manifold invariants |  doi=10.1090/S0273-0979-1994-00492-6 |mr=1246469 | 날짜=1994-04 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0273-0979 | volume=30 | issue=2 | pages=215–221 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Kronheimer | first1=P. B. | 저자링크=피터 크론하이머 | last2=Mrowka | first2=Tomasz S. | title=Embedded surfaces and the structure of Donaldson’s polynomial invariants | url=http://www.math.harvard.edu/~kronheim/structhm.pdf |mr=1338483 | zbl=0842.57022| 날짜=1995 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=41 | issue=3 | pages=573–734 | 언어=en}}</ref> 같은 해에 [[에드워드 위튼]]은 [[자이베르그-위튼 이론]]을 기반으로 [[자이베르그-위튼 불변량]]을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9411102|제목= Monopoles and Four-Manifolds|이름=Edward |성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|저널=Mathematical Research Letters|권=1|호=6|쪽=769-796|날짜=1994|doi=10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13|issn=1073-2780|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9709193|제목=Integration over the ''u''-plane in Donaldson theory|이름=Gregory|성= Moore|이름2= Edward |성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|issn=1095-0761|권=1|호=2|쪽=298-387|날짜=1998|bibcode=1997hep.th....9193M|zbl=0899.57021|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[순간자]]
* [[플뢰어 호몰로지]]
* [[양-밀스 방정식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Yang-Mills functional, geometry of the}}
* {{nlab|id=Donaldson theory}}
* {{nlab|id=topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory|title=Topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory}}
* {{저널 인용|url=http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2007_35/KN_2007_35_09.pdf|제목=저차원 다양체 연구, 게이지 이론으로 풀다!|저자=김진홍|저널=과학의 지평|권=35|쪽=9–16|날짜=2007|언어=ko|access-date=2015-07-13|archive-date=2015-07-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20150713085343/http://www.kias.re.kr/etc_img/bbs_file/KN_2007_35/KN_2007_35_09.pdf|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:4-다양체]]