{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Semi-regular-floor-3464.JPG|섬네일|고른 타일링의 예시인 [[세비야|스페인의 세비야]]의 교회 바닥 타일이다]]
이 표는 유클리드 평면에서의 볼록한 고른 타일링(정타일링과 반정타일링)과 그 쌍대 타일링 11가지를 보여준다.

평면에서 정타일링은 세 개가 있고 반정타일링은 여덟 개가 있다. 반정타일링은 그 쌍대로 새로운 타일링을 만들고, 각각은 정다각형이 아닌 한 종류의 면에서 만들어졌다.

[[존 호턴 콘웨이|존 콘웨이]]는 [[아르키메데스의 다면체]]의 연장으로 고른 쌍대를 ''아르키메데스 타일링''이라고 불렀다'''.'''

고른 타일링은 꼭짓점에 존재하는 면의 수열인 [[꼭짓점 배치]]를 따라 나열되었다. 예를 들어 ''4.8.8''은 한 꼭짓점에 정사각형 하나와 정팔각형 두 개를 의미한다.

이 고른 타일링 11가지는 32가지의 다른 [[균일 색칠|''균일 색칠'']]을 가진다. 균일 색칠은 점추이성이나 꼭짓점 간 변환 합동을 유지하면서 꼭짓점에 있는 동일한 다각형을 다른 색으로 칠할 수 있다(참고: 아레의 일부 타일링 그림은 색-균일하지 않을 수 있다)

볼록 고른 타일링 11가지에다가 또한 [[별 다각형]]을 사용하고 [[꼭짓점 배치]]가 원점 반전된 [[고른 타일링|볼록하지 않은 타일링]] 14가지가 있다.

== 라브스 타일링 ==
1987년에 ''Tilings and Patterns''에서 [[브랑코 그린바움]](Branko Grünbaum)은 점추이 타일링을 [[아르키메데스의 다면체]]의 연장으로 아르키메데스 타일링이라고 불렀다. 그 [[쌍대 그래프|쌍대 타일링]]은 결정학자 [[프리츠 라브스]](Fritz Laves)의 이름을 따 '''''라브스 타일링'''''이라고 불린다.<ref>{{서적 인용|author=[[Branko Grünbaum|Grünbaum, Branko]]; [[G.C. Shephard|Shephard, G. C.]]|title=Tilings and Patterns|url=https://archive.org/details/tilingspatterns00grue|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1987|isbn=0-7167-1193-1|pages=[https://archive.org/details/tilingspatterns00grue/page/n69 59], 96}}</ref><ref>The Symmetries of things, Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Euclidean Plane Tessellations, p. 288</ref> 이것은 또한 [[슈브니코프, 알렉세이 바실레비치]](Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich)의 이름을 따와 '''슈브니코프–라브스 타일링'''이라고도 부른다.<ref>[https://books.google.com/books?id=5rPnCAAAQBAJ&lpg=PA169&ots=kdjtDmwjqQ&dq=Shubnikov%E2%80%93Laves%20tilings&pg=PA169#v=onepage&q=Shubnikov%E2%80%93Laves%20tilings&f=false Encyclopaedia of Mathematics: Orbit - Rayleigh Equation] edited by Michiel Hazewinkel, 1991</ref> [[존 호턴 콘웨이|존 콘웨이]]는 고른 쌍대를 [[카탈랑의 다면체]]의 연장선상으로 '''''[[카탈랑 타일링]]'''''이라고 불렀다. [[콘웨이 타일링]]은 [[존슨의 다면체]]의 확장 개념인데, 각 면이 [[정다각형]]이며, 점추이가 아니며 평면의 면이 있으면서 볼록한 테셀레이션을 뜻한다(물론 면의 수가 유한한 것도 해당된다).

라브스 타일링의 꼭짓점은 정다각형의 중심에 가지고 있고, 변은 변을 공유하는 정다각형의 중심을 연결한다. 라브스 타일링의 [[프로토타일|타일]]은 '''planigons'''이라고 부른다. 이것은 정타일링 3개(정삼각형, 정사각형, 정육각형)와 정타일링이 아닌 8개를 포함한다.<ref>{{SpringerEOM|id=Planigon&oldid=31578|title=Planigon|first=A. B.|last=Ivanov}}</ref> 각 꼭짓점은 주변에 균일하게 거리를 둔 변이 있다. ''planigons''의 삼차원 해석은 스테레오헤드론이라고 부른다.

이 쌍대 타일링은 면 배치를 따라서 나열되어 있고, 면배치는 면의 꼭짓점에 모인 면의 개수를 의미한다. 예를 들어 ''V4.8.8''은 한 쪽 꼭짓점에 삼각형이 네 개고, 두 꼭짓점에는 삼각형이 여덟 개가 있다는 것을 의미한다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 11px;"
|+열한가지 planigons
! colspan="4" |삼각형
! colspan="3" |사각형
! colspan="3" |오각형
!육각형
|- align="center" valign="bottom"
|[[파일:Regular triangle.svg|40x40픽셀]]<br>
V6.6.6<br>
|[[파일:Tiling_face_4-8-8.svg|40x40픽셀]]<br>
V4.8.8<br>
|[[파일:Tiling_face_4-6-12.svg|60x60픽셀]]<br>
V4.6.12<br>
|[[파일:Tiling_face_3-12-12.svg|60x60픽셀]]<br>
V3.12.12<br>
|[[파일:Regular_quadrilateral.svg|40x40픽셀]]<br>
V4.4.4.4<br>
|[[파일:Tiling_face_3-6-3-6.svg|60x60픽셀]]<br>
V3.6.3.6<br>
|[[파일:Tiling_face_3-4-6-4.svg|46x46픽셀]]<br>
V3.4.6.4<br>
|[[파일:Tiling_face_3-3-4-3-4.svg|50x50픽셀]]<br>
V3.3.4.3.4<br>
|[[파일:Tiling_face_3-3-3-3-6.svg|50x50픽셀]]<br>
V3.3.3.3.6<br>
|[[파일:Tiling_face_3-3-3-4-4.svg|43x43픽셀]]<br>
V3.3.3.4.4<br>
|[[파일:Hexagon.svg|40x40픽셀]]<br>
V3.3.3.3.3.3<br>
|}

== 유클리드 평면에서 볼록한 고른 타일링 ==
All reflectional forms can be made by Wythoff constructions, represented by Wythoff symbols, or [[콕서터 다이어그램|Coxeter-Dynkin diagrams]], each operating upon one of three Schwarz triangle (4,4,2), (6,3,2), or (3,3,3), with symmetry represented by [[콕서터 군|Coxeter groups]]: [4,4], [6,3], or [3<sup>[3]</sup>]. 부풀림 같이 교대된 형태는 또한 각 시스템의 특별한 마크업으로 나타날 수 있다. O오직 고른 타일링 하나만이 위토프 과정을 통해서 구성될 수 없지만, 삼각형 타일링을 [[존슨의 다면체|늘림]]으로써 얻을 수 있다. 직각 거울구조 [∞,2,∞]또한 두 쌍의 평행한 거울이 직사각형의 기본 영역을 만드는 것처럼 존재한다. I영역이 정사각형이라면 이 대칭은 대각선 거울을 추가하여 [4,4]그룹이 될 수 있다.

족:
* (4,4,2), <math>{\tilde{BC}}_2</math>, [4,4] - [[정사각형 타일링]]의 대칭
** <math>{\tilde{I}}_1^2</math>, [∞,2,∞]
* (6,3,2), <math>{\tilde{G}}_2</math>, [6,3] - [[정육각형 타일링]]과 [[정삼각형 타일링|정삼각형 정타일링]]의 대칭
** (3,3,3), <math>{\tilde{A}}_2</math>, [3<sup>[3]</sup>]

=== [4,4] 그룹 ===
{| class="wikitable"
!고른 타일링<br>(플라톤과 아르키메데스)
![[꼭짓점 도형]]과 쌍대 면<br>[[위토프 기호]]<br>[[대칭군 (기하학)|대칭군]]<br>[[콕서터 다이어그램]]
![[쌍대다면체|쌍대]]-고른 타일링<br>(라브스 또는 카탈랑 타일링)
|-
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Us}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uts}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uns}}
|}

=== . [6,3] 그룹 ===
{| class="wikitable"
!플라톤과 아르키메데스 타일링
![[꼭짓점 도형]]과 쌍대 면<br>[[위토프 기호]]<br>[[대칭군 (기하학)|대칭군]]<br>[[콕서터 다이어그램]]
![[쌍대다면체|쌍대]] 라브스 타일링
|-
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uh}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uht}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uth}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Ut}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Urth}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Ugrth}}
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Unh}}
|}

=== 위토프가 아닌 고른 타일링 ===
{| class="wikitable"
!플라톤과 아르키메데스 타일링
![[꼭짓점 도형]]과 쌍대 면<br>[[위토프 기호]]<br>[[대칭군 (기하학)|대칭군]]<br>[[콕서터 다이어그램]]
![[쌍대다면체|쌍대]] 라브스 타일링
|-
{{고른 타일링 정보|고른 타일링 목록 표|Uet}}
|}

=== 균일 색칠 ===
고른 타일링 11가지에 대한 균일 색칠은 32가지가 있다:
# [[정삼각형 타일링]] - 9 균일 색칠, 4 위토프, 5 비-위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-t2.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_333-t1.svg|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_333-snub.svg|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_63-h12.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_triangular_tiling_111222.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_triangular_tiling_112122.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_triangular_tiling_111112.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_triangular_tiling_111212.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_triangular_tiling_111213.png|80x80픽셀]]
# [[사각형 타일링|정사각형 타일링]] - 9 색칠: 7 위토프, 2 비-위토프
#* [[파일:Square_tiling_uniform_coloring_1.png|80x80픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_2.png|80x80픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_7.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_8.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_3.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_6.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_4.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_5.png|81x81픽셀]][[파일:Square_tiling_uniform_coloring_9.png|81x81픽셀]]
# [[정육각형 타일링]] - 3 색칠, 모두 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-t0.svg|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_63-t12.svg|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_333-t012.png|80x80픽셀]]
# [[삼육각형 타일링]] - 2 색칠, 둘 다 위토프
#* [[파일:Uniform_polyhedron-63-t1.svg|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_333-t01.png|80x80픽셀]]
# [[부풀린 정사각형 타일링]] - 2 색칠, 둘 다 교대된 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_44-h01.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_44-snub.png|80x80픽셀]]
# [[깎은 정사각형 타일링]] - 2 색칠, 둘 다 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_44-t12.png|80x80픽셀]][[파일:Uniform_tiling_44-t012.png|80x80픽셀]]
# [[깎은 정육각형 타일링]]- 1 색칠, 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-t01.png|80x80픽셀]]
# [[마름모삼육각형 타일링]] - 1 색칠, 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-t02.png|80x80픽셀]]
# [[깎은 삼육각형 타일링]]- 1 색칠, 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-t012.png|80x80픽셀]]
# [[부풀린 정육각형 타일링]]- 1 색칠, 교대된 위토프
#* [[파일:Uniform_tiling_63-snub.png|80x80픽셀]]
# [[비틀어 늘린 사각형 타일링]]- 3 색칠, 비-위토프
#* [[파일:Elongated_triangular_tiling_1.png|80x80픽셀]]

== 같이 보기 ==
* [[고른 타일링]]
* [[볼록한 고른 벌집]]- 28가지 고른 3차원 테셀레이션, 볼록 유클리드 평면 타일링과 평행선상의 구성.
* [[쌍곡면에서의 고른 타일링]]
* [[여과 역치]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205] (Chapter 19, Archimedean tilings, table 19.1, Chapter 21, Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p288 table).
* [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|H.S.M. Coxeter]], M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, ''Uniform polyhedra'', '''Phil. Trans.''' 1954, 246 A, 401–50.
* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} (Section 2–3 Circle packings, plane tessellations, and networks, pp 34–40).
* Asaro, et. al. "[http://faculty.washington.edu/cemann/uniform-edge-coloring.pdf Uniform edge-''c''-colorings of the Archimedean Tilings]", [http://faculty.washington.edu/cemann/].
* Grünbaum, Branko & Shepard, Geoffrey (Nov. 1977). "[http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf Tilings by Regular polygons] {{웨이백|url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf |date=20160303235526 }}", Vol. 50, No. 5.
* Dale Seymour and Jill Britton, ''Introduction to Tessellations'', 1989, {{ISBN|978-0866514613}}, pp.&nbsp;50–57, 71-74

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|urlname=UniformTessellation|title=Uniform tessellation}}
* [http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 Uniform Tessellations on the Euclid plane]
* [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Tessellations of the Plane]
* [https://web.archive.org/web/20080602030052/http://www.tess-elation.co.uk/index.htm David Bailey's World of Tessellations]
* [https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm ''k''-uniform tilings]
* [http://probabilitysports.com/tilings.html ''n''-uniform tilings]

[[분류:수학에 관한 목록]]
[[분류:고른 테셀레이션]]
[[분류:유클리드 평면 테셀레이션]]