{{위키데이터 속성 추적}}

[[파일:Monotone-subseq-17-5.svg|섬네일| 17개 점 집합에서 위쪽으로 기울어진 모서리 4개의 경로. 에르되시-세케레시 정리에 따르면 모든 점 17개의 집합에는 위 또는 아래로 기울어지는 이 길이의 경로가 존재한다. 중심점이 제거된 점 16개의 부분 집합에는 이러한 경로가 없다.]]
[[수학]]에서 '''에르되시-세케레시 정리'''는 주어진 <math>r</math>, <math>s</math>에 대해 길이가 <math>(r-1)(s-1)+1</math> 이상인 서로 다른 실수들의 수열은 길이 ''<math>r</math>''의 단조 증가하는 부분수열 또는 길이 ''<math>s</math>''의 단조 감소하는 부분수열을 포함한다는 정리이다. 증명은 해피 엔딩 문제를 언급한 동일한 1935년 논문에 나타났다.<ref>{{인용|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1935__2__463_0}}</ref>

에르되시-세케레시 정리는 정확히 [[램지의 정리]]의 따름정리가 되는 유한한 결과 중 하나이다. 램지의 정리를 사용하면 모든 서로 다른 실수로 이루어진 무한 수열이 단조 증가하는 무한 [[부분 수열]] 또는 단조 감소하는 무한 부분 수열을 포함한다는 것을 쉽게 증명할 수 있지만 [[에르되시 팔]]과 [[세케레시 죄르지]]가 증명한 결과는 더 나아간다.

== 예시 ==
<math>r=3</math>과 <math>s=2</math>의 경우에 공식에 의해 세 수의 모든 순열이 길이 3의 증가하는 부분 수열 또는 길이 2의 감소하는 부분 수열을 갖는다. 숫자 1,2,3의 6가지 순열 중:

* 1,2,3은 세 수 모두로 구성된 증가하는 부분 수열을 갖는다.
* 1,3,2는 감소하는 부분 수열 3,2를 갖는다.
* 2,1,3은 감소하는 부분 수열 2,1을 갖는다.
* 2,3,1은 두 개의 감소하는 부분 수열, 2,1과 3,1을 갖는다.
* 3,1,2는 두 개의 감소하는 부분 수열 3,1과 3,2를 갖는다.
* 3,2,1은 세 개의 감소하는 부분 수열 3,2, 3,1, 2,1을 갖는다.

== 다른 해석 ==

=== 기하학적 해석 ===
수열에 있는 수의 위치를 [[평면|유클리드 평면]]에 있는 점의 ''x'' 좌표로 해석하고 수 자체를 ''y'' 좌표로 해석할 수 있다. 반대로 평면에 있는 모든 점에 대해 두 점이 동일한 ''x'' 좌표를 갖지 않는 한 ''x'' 좌표로 정렬된 점의 ''y'' 좌표는 수열을 형성한다. 수열과 점 집합 사이의 이러한 변환으로 에르되시-세케레시 정리는 다음과 같이 해석될 수 있다: 적어도 점 <math>rs-r-s+2</math>개를 갖는 모든 집합에서 양의 기울기 모서리 <math>r-1</math>개 또는 음의 기울기 모서리 <math>s-1</math>개로 이루어진 다각형 경로를 찾을 수 있다. 특히 <math>r=s</math>인 경우 최소한 <math>n</math>개의 점 집합에서 동일한 부호 기울기를 가진 최소한 <math>\left\lfloor \sqrt{n - 1} \right\rfloor</math>개의 모서리를 갖는 다각형 경로를 찾을 수 있다. 예를 들어 <math>r=s=5</math> 을 취하면 17개 이상의 점으로 구성된 모든 집합은 모든 기울기가 동일한 부호를 갖는 모서리 4개의 경로를 갖는다.

<math>(r-1) \times (s-1)</math> 격자를 약간 회전시켜 이러한 경로가 포함하지 않는 점 <math>rs - r - s + 1</math>개의 집합을 구성할 수 있고, 이는 이 경계가 정확하다는 것을 보여준다.

== 증명 ==
에르되시-세케레시 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. {{하버드 인용 본문|Steele|1995}}은 다음 두 가지를 포함하여 에르되시-세케레스 정리의 여섯 가지 다른 증명을 조사하였다.<ref name="steele">{{인용|editor-link=Persi Diaconis|출판사=Springer-Verlag|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/PDF/VOTMSTOEAS.pdf}}.</ref> Steele이 조사한 다른 증명에는 에르되시와 세케레시의 원본 증명과, {{하버드 인용 본문|Blackwell|1971}},  {{하버드 인용 본문|Hammersley|1972}},<ref>{{인용|postscript=John Hammersley|출판사=University of California Press}}. As cited by {{하버드 인용 본문|Steele|1995}}.</ref> 및 {{하버드 인용 본문|Lovász|1979}}의 증명이 포함된다.<ref>{{인용|postscript=László Lovász|출판사=North-Holland}}. As cited by {{하버드 인용 본문|Steele|1995}}.</ref>

=== 비둘기집 원리 ===
길이 <math>(r-1)(s-1)+1</math>의 주어진 수열에 대해, 수열의 각 수 <math>n_i</math>에 <math>(a_i, b_i)</math> 쌍을 붙인다. 이때 <math>a_i</math>는 <math>n_i</math>로 끝나는 가장 긴 단조 증가 부분 수열의 길이이고 <math>b_i</math>는 <math>n_i</math>로 끝나는 가장 긴 단조 감소 부분 수열 끝의 길이이다. 수열의 서로 다른 두 수는 다른 값의 쌍이 붙는다. <math>i<j</math>이고 <math>n_i \le n_j</math>이면 <math>a_i < a_j</math>이고, <math>n_i \ge n_j</math>이면 <math>b_i < b_j</math>이다. <math>a_i</math>가 <math>r</math>보다 작고 <math>b_i</math>가 <math>s</math>보다 작은 쌍은 많아야 <math>(r-1)(s-1)</math>개 존재한다. 따라서 [[비둘기집 원리]]에 의해 <math>a_i</math> 또는 <math>b_i</math>가 범위 바깥에 있는 <math>i</math>값이 존재한다. <math>a_i</math>가 범위를 벗어나면 <math>n_i</math>는 길이 <math>r</math> 이상인 증가 부분 수열의 일부이고, <math>b_i</math>가 범위를 벗어나면 <math>n_i</math>는 길이 ''<math>s</math>'' 이상인 감소 부분 수열의 일부이다.

스틸은 {{harvtxt|Seidenberg|1959}}의 한 쪽 짜리 논문을 그가 조사한 증명 중 "가장 매끄럽고 체계적인" 증명으로 인정했다.<ref name="steele2">{{인용|last=Steele|editor4-last=Steele|year=1995|volume=72|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/PDF/VOTMSTOEAS.pdf|title=Discrete Probability and Algorithms|series=IMA Volumes in Mathematics and its Applications|publisher=Springer-Verlag|pages=111–131|editor4-link=J. Michael Steele|editor4-first=J. Michael|editor3-link=Joel Spencer|first=J. Michael|editor3-first=Joel|editor3-last=Spencer|editor2-link=Persi Diaconis|editor2-first=Persi|editor2-last=Diaconis|editor1-link=David Aldous|editor1-first=David|editor1-last=Aldous|contribution=Variations on the monotone subsequence theme of Erdős and Szekeres|authorlink=J. Michael Steele|isbn=0-387-94532-6}}.</ref><ref>{{인용|last=Seidenberg|first=A.|authorlink=Abraham Seidenberg|journal=[[Journal of the London Mathematical Society]]|page=352|title=A simple proof of a theorem of Erdős and Szekeres|url=http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-34/3/352.pdf|volume=34|year=1959|issue=3|doi=10.1112/jlms/s1-34.3.352}}{{깨진 링크|date=May 2021|bot=medic}}.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[최장 증가 부분 수열|최장 증가 부분 수열 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==

* {{매스월드|title=Erdős-Szekeres Theorem|urlname=Erdos-SzekeresTheorem}}

[[분류:이산수학 정리]]
[[분류:에르되시 팔]]
[[분류:이산기하학 정리]]
[[분류:램지 이론]]