{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Inverse Function.png|섬네일|함수 <math>f</math>와 그 역함수 <math>f^{-1}</math>]]
[[수학]]에서 '''역함수'''(逆函數, {{문화어|거꿀함수}}<ref>{{서적 인용|저자=김홍종|제목=미적분학1|출판사=서울대학교 출판부|쪽=81|인용문=역함수를 '''거꿀함수'''라고 부르는 이가 북쪽에 있다.}}</ref>, {{llang|en|inverse function}})는 [[정의역]]과 [[치역]](함숫값)을 서로 뒤바꾸어 얻는 [[함수]]이다. 즉, 역함수의 대응 규칙에서, 원래의 출력값은 원래의 입력값에 대응한다.

== 정의 ==
[[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때, 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>f</math>의 '''왼쪽 역함수'''(-逆函數, {{llang|en|left inverse function}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>g(f(x))=x</math>
마찬가지로, 함수 <math>h\colon Y\to X</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>f</math>의 '''오른쪽 역함수'''(-逆函數, {{llang|en|right inverse function}})라고 한다.
* 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f(h(y))=y</math>
[[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>의 '''역함수''' <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>는 <math>f</math>의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>y=f(x)</math>와 <math>x=f^{-1}(y)</math>는 서로 필요 충분 조건이다.
역함수를 갖는 함수를 '''가역 함수'''(可逆函數, {{llang|en|invertible function}}) 또는 '''일대일 대응''' 또는 '''[[전단사 함수]]'''라고 한다. 전단사 함수가 아닌 함수의 경우에도, 그 함수의 [[정의역]]이나 [[공역]]을 줄여 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의할 수 있다. [[역삼각 함수]]는 바로 이러한 방법으로 정의된다.

== 표기 ==
함수 <math>f</math>의 역함수는 위 첨자된 "-1"을 사용하여 <math>f^{-1}</math>와 같이 표기하며, '''역함수 에프''' 또는 '''에프 인버스'''라고 읽는다. 이는 곱셈 [[이항 연산]]의 역원의 표기와 같다. 이러한 표기는 [[거듭제곱]]의 표기와 혼동할 수 있는데, 이 때문에 [[역사인 함수]]는 보통 <math>\sin^{-1}x</math> 대신 새로운 표기인 <math>\arcsin x</math>를 사용하여 표기한다.

== 성질 ==
* 모든 함수가 역함수를 가질 필요는 없다. 역함수를 가질 [[필요충분조건]]은 [[전단사 함수]]이다.
* 전단사 함수의 역함수는 항상 유일하다. 이는 표기 <math>f^{-1}</math>를 사용할 수 있는 이유이다.
* 전단사 함수의 역함수의 [[정의역]]은 원래 함수의 [[공역]] 및 [[치역]]과 같으며, 역함수의 공역 및 치역은 원래 함수의 정의역과 같다. 즉, 전단사 함수 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*: <math>\operatorname{dom}f^{-1}=\operatorname{codom}f=\operatorname{ran}f</math>
*: <math>\operatorname{codom}f^{-1}=\operatorname{ran}f^{-1}=\operatorname{dom}f</math>
* 전단사 함수의 역함수 역시 전단사 함수이며, 역함수의 역함수는 원래 함수 자기 자신이다. 즉, 전단사 함수 <math>f</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*: <math>(f^{-1})^{-1}=f</math>
* 전단사 함수 <math>f</math>의 역함수 <math>f^{-1}</math>의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.
*: <math>f^{-1}(f(x))=x\qquad(\forall x\in X)</math>
*: <math>f(f^{-1}(y))=y\qquad(\forall y\in Y)</math>
* 전단사 함수 <math>f</math>의 역함수 <math>f^{-1}</math>의 정의의 다른 한 가지 서술은 다음과 같다. (여기서 <math>\circ</math>는 [[함수의 합성]]의 기호이다.)
*: <math>f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\operatorname{dom}f}</math>
*: <math>f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\operatorname{codom}f}</math>
* 함수의 합성의 역함수에 대하여, 다음과 같은 성질이 성립한다. 전단사 함수 <math>f,g</math>에 대하여,
*: <math>(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}</math>
:이는 역함수의 정의에 따라 쉽게 보일 수 있다. 또한, 이를 양말을 신은 뒤 신발을 신은 일을 취소하려면 신발을 벗은 뒤 양말을 벗어야 한다는 사실에 비유할 수 있다.
* ([[역함수 정리]]) 역함수의 미분은 <math>(f^{-1})'=\frac{1}{f'\circ f^{-1}}</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[위상 동형]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Inverse function}}
* {{매스월드|id=InverseFunction|title=Inverse function}}
* {{nlab|id=inverse+function|title=Inverse function}}
* {{플래닛매스|urlname=inversefunction|title=Inverse function}}
* {{플래닛매스|urlname=InverseOfCompositionOfFunctions|title=Inverse of composition of functions}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:역함수| ]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:단항 연산]]