{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''고정점'''(固定點, {{llang|en|fixed point}}) 또는 '''부동점'''(不動點, {{llang|en|invariant point}})은 [[함수]]나 변환 따위에서 옮겨지지 않는 점이다. [[실수]] 위의 함수의 고정점은 [[함수의 그래프|그래프]]와 직선 <math>y=x</math>의 교점에 대응한다. 예를 들어, 함수 <math>f(x)=x^2-3x+4</math>의 한 고정점은 2이며, 이는 <math>f(2)=2</math>이기 때문이다. 반면 함수 <math>g(x)=x+1</math>는 고정점을 가지지 않는데, 이는 그 그래프가 직선 <math>y=x</math>의 [[평행선]]이기 때문이다. [[사영기하학]]에서, [[사영 변환]]의 고정점을 '''이중점'''(二重點, {{lang|en|double point}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용|authorlink=H. S. M. Coxeter |first=H. S. M. |last=Coxeter |year=1942 |title=Non-Euclidean Geometry |page=36 |language=en |publisher=[[University of Toronto Press]] }}</ref> [[갈루아 이론]]에서, 체 자기 동형 집합의 고정점이 이루는 [[체 (수학)|체]]를 그 체 자기 동형 집합의 '''고정체'''(固定體, {{llang|en|fixed field}})라고 한다.

== 정의 ==
함수 <math>f\colon X\to X</math>의 '''고정점'''은 <math>f(x)=x</math>를 만족시키는 <math>x\in X</math>이다.

고정점은 [[주기점]]의 특수한 경우이다. 또한, 고정점은 [[끌개]]의 특수한 경우이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''고정점 성질'''(固定點性質, {{llang|en|fixed-point property}}, 약자 FPP)라고 한다.
* 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to X</math>는 고정점을 갖는다.
함수 <math>f\colon X\to X</math>의 '''유인 고정점'''(誘引不動點, {{lang|en|attractive fixed point}})은 다음 조건을 만족시키는 근방 <math>X\supseteq U\ni x</math>를 갖는 고정점 <math>x\in X</math>이다.
* 임의의 <math>y\in U</math>에 대하여, 점렬 <math>(y,f(y),f(f(y)),\dots)</math>는 <math>x</math>로 [[수렴]]한다.
유인 고정점의 근삿값은 그 주위의 점을 초기값으로 한 함수 반복 점렬에 의한 점근을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 방정시 <math>f(x)=x</math>의 근사해를 구하는 방법을 '''고정점 반복법'''(固定點反復法, {{llang|en|fixed-point iteration}})이라고 한다.

[[랴푸노프 안정성]]을 만족시키는 고정점을 '''안정 고정점'''(安定不動點, {{lang|en|stable fixed point}})이라고 한다. 랴푸노프 안정성을 만족시키는 비(非) 유인 고정점을 '''중립 안정 고정점'''(中立安定不動點, {{lang|en|neutrally stable fixed point}})이라고 한다.

=== 전고정점과 후고정점 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(X,\le)</math> 위의 함수 <math>f\colon X\to X</math>가 만약<ref name="DaveyPriestley2002">{{서적 인용|author1=B. A. Davey|author2=H. A. Priestley|title=Introduction to Lattices and Order |url={{Google books |plainurl=yes |id=vVVTxeuiyvQC |page=182 }}|year=2002|language=en|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-78451-1|page=182}}</ref>
* <math>f(x)\ge x</math>를 만족시키면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''전고정점'''({{llang|en|prefixpoint}})이라고 한다.
* <math>f(x)\le x</math>를 만족시키면, <math>x</math>를 <math>f</math>의 '''후고정점'''({{llang|en|postfixpoint}})이라고 한다.

== 성질 ==
고정점 성질은 [[위상 불변 성질]]이다. 즉, 임의의 [[위상동형사상]]에 의하여 보존된다. 또한, 고정점 성질은 임의의 [[변형 수축]]에 대하여 보존된다.

고정점이 존재할 [[충분 조건]]을 제시하는 정리를 '''고정점 정리'''(固定點定理, {{llang|en|fixed-point theorem}})라고 한다. 중요한 고정점 정리는 다음과 같다.
* [[바나흐 고정점 정리]]
* [[브라우어르 고정점 정리]]
* [[렙셰츠 고정점 정리]]

만약 <math>f\colon I\to I</math>가 구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math> 위의 [[연속 미분 가능 함수]]이며, 그 고정점 <math>x\in I</math>가 <math>|f'(x)|<1</math>을 만족시킨다면, <math>x</math>는 <math>f</math>의 유인 고정점이다. 실제 유인 고정점에 대한 반복법에서, <math>|x_{n+1} - x_n|</math>이 원하는 오차보다 작아질 때 고정점 반복을 몇 번째 계산에서 멈추는지 결정할 수 있다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8|쪽=54-56}}</ref>

고정점은 유인 고정점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>, <math>x\mapsto2x</math>는 유일한 고정점 0을 가지지만, 임의의 <math>x\ne0</math>에 대하여, 수열 <math>x,2x,4x,8x,\dots</math>는 [[발산]]한다.

[[크나스터-타르스키 정리]]에 의하면, [[완비 격자]] 위의 [[단조 함수]]는 [[최소 원소|최소]] 고정점을 가지며, 이는 최소 전고정점과 일치한다. (마찬가지로 [[최대 원소|최대]] 고정점을 가지며, 최대 후고정점과 일치한다.

== 예 ==
[[파일:Cosine fixed point.svg|섬네일|[[코사인]]에 대한 고정점반복 (시작점 ''x''<sub>0</sub> = −1). 사실 임의의 실수 ''x''를 계산기에 입력한 뒤 cos 키를 누르기를 반복하면, 결과값은 약 0.739085133으로 수렴하는데, 이 값이 바로 cos 함수의 유인 고정점이다.]]
[[삼각 함수]] <math>\cos\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 [[바나흐 고정점 정리]]에 따라 유일한 고정점을 가지며, 이는 유인 고정점이다. 또한, 임의의 실수 <math>x_0</math>에 대하여, 함수 반복 점렬
:<math>x_{n+1}=\cos x_n</math>
은 고정점으로 수렴한다.

2계 제차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 예다.

== 응용 ==
많은 분야에서 평형, 또는 [[안정성 이론|안정성]]은 고정점으로 설명할 수 있는 핵심 개념이다. 예를 들어 [[경제학]]에서 [[내시 균형]]은 [[게임 이론|게임]]의 [[최적 반응]] 함수의 고정점이다. [[물리학]]의 [[상전이|상전이 이론]]에서, 불안정 고정점 부근에서의 선형화는 [[케네스 G. 윌슨|윌슨]]의 [[노벨 물리학상]] '수상작'인 [[재규격화군]]으로 이어졌다.

[[컴파일러]]에서, 고정점 계산은 프로그램 분석에 사용된다. 그 예로 [[데이터 흐름 분석]]이 있다.

웹페이지의 [[페이지랭크]] 벡터는 [[월드 와이드 웹]]의 링크 구조에서 얻어지는 [[선형변환]]의 고정점이다.

논리학자 [[솔 크립키]]는 그의 영향력 있는 진리 이론에 고정점을 활용하였다.

고정점의 개념을 [[함수의 극한|함수의 수렴성]]의 정의에 사용할 수 있다.

전고정점과 후고정점은 [[이론 전산학]]에서 응용된다.<ref>Yde Venema (2008) [http://staff.science.uva.nl/~yde/teaching/ml/mu/mu2008.pdf Lectures on the Modal μ-calculus] {{웨이백|url=http://staff.science.uva.nl/~yde/teaching/ml/mu/mu2008.pdf |date=20120321162526 }} {{언어링크|en}}</ref>

== 역사 ==
1932년, [[카롤 보르수크]]는 [[콤팩트성]]과 [[축약 가능성]]이 고정점 성질의 [[필요충분조건]]이냐는 질문을 내놓았다. 이는 20년 후 [[신이치 키노시타]]가 고정점 성질을 만족시키지 않는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[축약 가능 공간]]을 발견해 거짓임이 증명되었다.<ref>{{저널 인용|last=Kinoshita |first=S. |title=On Some Contractible Continua without Fixed Point Property |journal=[[Fundamenta Mathematicae|Fund. Math.]] |volume=40 |year=1953 |language=en|issue=1 |pages=96–98 |issn=0016-2736 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[고유 벡터]]
* [[평형점]]
* [[임계점 (수학)]]
* [[뫼비우스 변환]]
* [[불변량]]
* [[멱등 법칙]]
* [[닐슨 이론]]
* [[시에르핀스키 삼각형]]
* [[코에닉스 함수]]
* [[점화식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20070311205703/http://math.fullerton.edu/mathews/a2001/Animations/RootFinding/FixedPoint/FixedPoint.html Animations for Fixed Point Iteration] {{언어링크|en}}
* [http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010/fixedpoint.pdf An Elegant Solution for Drawing a Fixed Point] {{언어링크|en}}

{{전거 통제}}

[[분류:고정점]]
[[분류:수치해석학]]
[[분류:게임 이론]]