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[[수학]]에서 '''힐베르트 모듈러 곡면'''({{llang|en|Hilbert modular surface}}) 또는 '''힐베르트-블루멘탈 곡면'''({{llang|en|Hilbert–Blumenthal surface}})은 힐베르트 모듈러 군에 의해 [[상반평면|상반 평면]]의 두 복사본의 곱의 몫을 취하여 얻은 [[대수 곡면]]이다. 보다 일반적으로, '''힐베르트 모듈러 다형체'''(Hilbert modular variety)는 힐베르트 모듈러 군에 의해 상반 평면의 여러 복사본의 곱의 몫을 취하여 얻은 [[대수다양체|대수 다형체]]이다.

힐베르트 모듈러 곡면은 Blumenthal이 처음 정의 하였다. 약 10년 전에 [[다비트 힐베르트|힐베르트]]가 쓴 일부 미출판 원고를 사용했다.

== 정의 ==
''R이'' 실수 [[이차 수체]]의 [[대수적 정수환|정수환]]인 경우 힐베르트 모듈러 군 SL <sub>2</sub> ( ''R'' )은 상반 평면 ''H''의 두 복사본 ''H'' &#xD7; ''H'' 의 곱에 [[군의 작용|작용한다]]. 이 작용과 관련된 여러 개의 쌍유리적 동형 곡면이 있으며, 그 중 하나를 힐베르트 모듈러 곡면 이라고 부를 수 있다.

* 곡면 ''X는'' SL <sub>2</sub> ( ''R'' )에 의한 ''H'' &#xD7; ''H'' 의 몫이다. 이는 콤팩트하지 않으며 일반적으로 중요하지 않은 등방성 군이 있는 점에서 나오는 몫 특이점을 갖다.
* 곡면 ''X'' <sup>*는</sup> 동작의 교두 에 해당하는 유한 개수의 점을 추가하여 ''X'' 에서 얻다. 이는 컴팩트하며 ''X'' 의 몫 특이점뿐만 아니라 끝 부분에도 특이점을 갖다.
* 곡면 ''Y는'' 최소한의 방법으로 특이점을 해결하여 ''X'' <sup>*</sup> 에서 얻다. 이는 작고 매끄러운 [[대수 곡면]] 이지만 일반적으로 최소 수준은 아니다.
* 곡면 ''Y'' <sup>0 은</sup> 특정 예외적인 &#x2212; 1-곡선을 불어서 ''Y'' 로부터 얻다. 부드럽고 컴팩트하며 종종 (항상 그런 것은 아니지만) 최소화된다.

이 구성에는 여러 가지 변형이 있다.

* 힐베르트 모듈러 군은 합동 부분 군과 같은 유한 지수의 일부 부분 군으로 대체될 수 있다.
* 차수 2의 군으로 힐베르트 모듈러 군을 확장하고, 갈루아 작용을 통해 힐베르트 모듈러 군에 작용하고, 상반 평면의 두 복사본을 교환할 수 있다.

== 특이점 ==
히르체부르흐는 1953년에 어떻게 몫 특이점을 해결하였고 1971년에 첨점 특이점을 해결하였다.

== 곡면 분류 ==
{{하버드 인용 본문|Hirzebruch|1971}}, {{하버드 인용 본문|Hirzebruch|Van de Ven|1974}} 및 {{하버드 인용 본문|Hirzebruch|Zagier|1977}} 논문은 [[엔리퀘스-고다이라 분류|대수 곡면 분류]] 에서 해당 유형을 식별했다. 대부분은 일반적인 유형의 곡면 이지만 일부는 합리적인 곡면 이거나 부풀린 [[K3 곡면]] 또는 [[타원 곡면|타원형 곡면]]이다.

== 예 ==
{{하버드 인용 본문|van der Geer|1988}}는 긴 예제 목록을 제공하였다.

10개의 Eckardt 점에서 부풀린 [[클레브쉬 표면|클렙쉬 곡면]]은 힐베르트 모듈러 곡면이다.

=== 이차 수체 확대와 연관됨 ===
<math>p = 4k + 1</math>에 대해 [[이차 수체|이차 수체 확대]] <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{p})</math>가 주어지면  특정 몫 다형체 <math>X(p)</math>을 콤팩트화하고 특이점을 해결하여 얻은 <math>K = \mathbb{Q}(\sqrt{p})</math>와 연관된 힐베르트 모듈러 다형체 <math>Y(p)</math>가 있다.  <math>\mathfrak{H}</math>가 상반 평면을 나타내고 <math>SL(2,\mathcal{O}_K)/\{\pm \text{Id}_2\}</math>가 <math>\mathfrak{H}\times \mathfrak{H}</math> 에<blockquote><math>\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} (z_1,z_2) = \left( \frac{
  az_1 + bz_2
}{
  cz_1 + dz_2
}, \frac{
  a'z_1 + b'z_2
}{
  c'z_1 + d'z_2
}\right)
</math></blockquote>로 작용한다고 하자. 여기서 <math>a',b',c',d'</math>는 갈루아 켤레들이다.<ref>{{서적 인용|제목=Compact Complex Surfaces|성=Barth|이름=Wolf P.|성2=Hulek|이름2=Klaus|날짜=2004|출판사=Springer Berlin Heidelberg|위치=Berlin, Heidelberg|쪽=231|doi=10.1007/978-3-642-57739-0|isbn=978-3-540-00832-3|성3=Peters|이름3=Chris A. M.|성4=Ven|이름4=Antonius}}</ref> 연관된 몫 다형체는 <blockquote><math>X(p) = G\backslash \mathfrak{H}\times\mathfrak{H}</math></blockquote>로 표시된다..이는 다형체 <math>\overline{X}(p)</math>로 콤팩트화 될 수 있으며, '''cusps'''라고 하며, <math>\text{Cl}(\mathcal{O}_K)</math>의 [[아이디얼 유군|이데알 유군]]과 전단사된다. 특이점을 해결하면 '''체 확대의 힐베르트 모듈러 다형체'''라고 하는 다형체 <math>Y(p)</math>가 제공된다. Bailey-Borel 콤팩트화 정리에 따르면 이 곡면이 사영 공간에 포함된다.<ref>{{저널 인용|제목=Compactification of Arithmetic Quotients of Bounded Symmetric Domains|저널=The Annals of Mathematics|성=Baily|이름=W. L.|성2=Borel|이름2=A.|날짜=November 1966|권=84|호=3|쪽=442|doi=10.2307/1970457|jstor=1970457}}</ref>

== 같이 보기 ==
* 힐베르트 모듈러 형식
* 피카르 모듈형 곡면
* [[지겔 모듈러 다형체]]

== 각주 ==
{{각주}}

* {{인용|last1=Barth|first1=Wolf P.|last2=Hulek|first2=Klaus|last3=Peters|first3=Chris A.M.|last4=Van de Ven|first4=Antonius|title=Compact Complex Surfaces|publisher=Springer-Verlag, Berlin|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.|isbn=978-3-540-00832-3|mr=2030225|year=2004|volume=4|doi=10.1007/978-3-642-57739-0}}
* {{인용|author1-link=Otto Blumenthal|last1=Blumenthal|first1=Otto|title=Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen|doi=10.1007/BF01444306|year=1903|journal=Mathematische Annalen|volume=56|issue=4|pages=509–548|s2cid=122293576|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002258986&L=1|access-date=2023-09-08|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304213701/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002258986&L=1|url-status=}}
* {{인용|last1=Blumenthal|first1=Otto|title=Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen|doi=10.1007/BF01449486|year=1904|journal=Mathematische Annalen|volume=58|issue=4|pages=497–527|s2cid=179178108|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0058&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|access-date=2023-09-08|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304190705/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0058&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|url-status=}}
* {{인용|last1=Hirzebruch|first1=Friedrich|author1-link=Friedrich Hirzebruch|title=Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen|doi=10.1007/BF01343146|mr=0062842|year=1953|journal=[[Mathematische Annalen]]|issn=0025-5831|volume=126|issue=1|pages=1–22|hdl=21.11116/0000-0004-3A47-C|s2cid=122862268|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0126&DMDID=DMDLOG_0004&L=1|access-date=2023-09-08|archive-date=2016-03-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20160305074107/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0126&DMDID=DMDLOG_0004&L=1|url-status=}}
* {{인용|last1=Hirzebruch|first1=Friedrich|author1-link=Friedrich Hirzebruch|title=Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Lecture Notes in Math|isbn=978-3-540-05720-8|doi=10.1007/BFb0058707|mr=0417187|year=1971|volume=244|chapter=The Hilbert modular group, resolution of the singularities at the cusps and related problems|pages=275–288|url=http://www.numdam.org/item/SB_1970-1971__13__275_0/}}
* {{인용|last1=Hirzebruch|first1=Friedrich E. P.|title=Hilbert modular surfaces|doi=10.5169/seals-46292|mr=0393045|year=1973|journal=L'Enseignement Mathématique|series=IIe Série|issn=0013-8584|volume=19|pages=183–281}}
* {{인용|last1=Hirzebruch|first1=Friedrich|author1-link=Friedrich Hirzebruch|last2=Van de Ven|first2=Antonius|title=Hilbert modular surfaces and the classification of algebraic surfaces|doi=10.1007/BF01405200|mr=0364262|year=1974|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|issn=0020-9910|volume=23|issue=1|pages=1–29|hdl=21.11116/0000-0004-39A4-3|s2cid=73577779|url=http://edoc.mpg.de/608462|type=Submitted manuscript}}
* {{인용|last1=Hirzebruch|first1=Friedrich|author1-link=Friedrich Hirzebruch|last2=Zagier|first2=Don|editor1-last=Baily|editor1-first=W. L.|editor2-last=Shioda.|editor2-first=T.|title=Complex analysis and algebraic geometry|publisher=Iwanami Shoten|location=Tokyo|isbn=978-0-521-09334-7|mr=0480356|year=1977|chapter=Classification of Hilbert modular surfaces|pages=43–77}}
* {{인용|last1=van der Geer|first1=Gerard|title=Hilbert modular surfaces|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]|isbn=978-3-540-17601-5|mr=930101|year=1988|volume=16|doi=10.1007/978-3-642-61553-5}}

== 외부 링크 ==
* {{인용|url=http://www.math.wisc.edu/~thyang/math941/hilbert_hz.pdf|first=S.|last=Ehlen|title=A short introduction to Hilbert modular surfaces and Hirzebruch-Zagier cycles}}

[[분류:복소곡면]]
[[분류:대수곡면]]