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[[수학]]에서, 특히 [[범주론]]에서 [[사상 (수학)|hom 집합]] (즉, [[범주 (수학)|대상]] 사이의 [[사상 (수학)|사상]]들의 집합)은 집합 범주에 대한 중요한 [[함자 (수학)|함자]]를 생성한다. 이러한 함자는 '''''<math>\textbf{hom}</math>''''' '''함자'''라고 하며 범주론 및 여러 수학 분야에 수많은 응용이 있다.

== 공식적인 정의 ==
'''''<math>C</math>'''''를 [[범주 (수학)|국소적으로 작은 범주]](즉, hom-classes가 [[모임 (집합론)|고유 모임]]이 아니고 [[집합]]인 범주)라고 가정한다.

'''''<math>C</math>'''''의 모든 대상 '''''<math>A</math>'''''와 '''''<math>B</math>'''''에 대해 다음과 같이 집합 범주에 두 개의 함자를 정의한다.

{| class=wikitable
|-
! Hom(''A'', &ndash;) : ''C'' &rarr; '''Set'''
! Hom(&ndash;, ''B'') : ''C'' &rarr; '''Set'''<ref>Also commonly denoted ''C''<sup>op</sup> &#x2192; '''Set''', where ''C''<sup>op</sup> denotes the [[opposite category]], and this encodes the arrow-reversing behaviour of Hom(&#x2013;, ''B'').</ref>
|-
| 이는 다음과 같이 주어지는 [[covariant functor|공변 함자]]이다:
* <math>\text{Hom}(A, -) </math>는 '''''<math>X\in C</math>'''''를 사상들의 집합 <math>\text{Hom}(A, X) </math>로 보낸다.
* <math>\text{Hom}(A, -) </math>는 각 사상 '''''<math>f:X\rightarrow Y</math>'''''를 각 <math>g\in\text{Hom}(A, X) </math>에 대해<math>g \mapsto f \circ g</math>로 주어지는 함수<math>\text{Hom}(A, f):\text{Hom}(A,X)\rightarrow \text{Hom}(A, Y) </math>로 보낸다.
| 이는 다음과 같이 주어지는 [[covariant functor|반변 함자]]이다:
* <math>\text{Hom}(-,B) </math>는 각 대상 '''''<math>X\in C</math>'''''를 사상들의 집합<math>\text{Hom}(X,B) </math>로 보낸다.
* <math>\text{Hom}(-,B) </math>는 각 사상 '''''<math>h:X\rightarrow Y</math>'''''를 각 <math>g\in\text{Hom}(Y,B) </math>에 대해 <math>\text{Hom}(h, B):\text{Hom}(Y,B)\rightarrow \text{Hom}(X, B) </math>로 보낸다.
*:
|}

함자 <math>\text{Hom}(-, B) </math>은 대상 '''<math>B</math>'''의 점 함자라고도 한다.

'''''<math>\text{Hom}</math>'''''의 첫 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 공변 함수가 발생하고 두 번째 인수를 고정하면 자연스럽게 반공변 함수가 생성된다.

한 쌍의 함자 <math>\text{Hom}(A, -),\text{Hom}(-, B)</math>는 [[자연 변환|자연스러운 방식으로]] 관련된다. 임의의 한 쌍의 사상 '''''<math>f:B'\rightarrow B</math>'''''와 '''''<math>h:A'\rightarrow A</math>'''''에 대해 도식
[[파일:Hom_functor.svg|가운데|320x320픽셀]]
은 가환이다. 두 경로 모두 '''''<math>g:A\rightarrow B</math>'''''를 '''''<math>f\circ g\circ h:A'\rightarrow B'</math>'''''로 보낸다.

위 도식의 가환성은  <math>\text{Hom}(-, -)</math>이 첫째 항에 대해 반변하고 둘째 항에 대해 공변하는 '''''<math>C\times C</math>'''''에서 '''<math>\textbf{Set}</math>'''로 가는 쌍함자임을 함의 한다. 동등하게, <math>\text{Hom}(-, -)</math>를

: <math>\text{Hom}(-, -):C^{\text{op}}\rightarrow \textbf{Set}</math>

인 쌍함자라고 말할 수 있다. 여기서 '''''<math>C^{\text{op}}</math>'''''는 '''''<math>C</math>'''''의 반대 범주이다. 정의역을 형성하는 범주를 강조하기 위해 <math>\text{Hom}(-, -)</math>에  <math>\text{Hom}_C(-, -)</math> 표기법이 사용되는 경우가 있다.

== 요네다 보조정리 ==
위의 가환 도식을 참조하면, 모든 사상

: '''''<math>h:A'\rightarrow A</math>'''''

은 [[자연 변환]]

: <math>\text{Hom}(h, -):\text{Hom}(A, -)\rightarrow \text{Hom}(A', -)</math>

을 가져온다. 그리고 모든 사상

: '''''<math>f:B'\rightarrow B</math>'''''

은 자연 변환

: <math>\text{Hom}(-, f):\text{Hom}(-, B)\rightarrow \text{Hom}(-, B')</math>

을 가져온다. [[요네다 보조정리]]는 '''''<math>\text{Hom}</math>''''' 함자 사이의 ''모든'' 자연스러운 변환이 이 형식임을 의미한다. 즉, '''''<math>\text{Hom}</math>''''' 함자는 함자 범주 <math>\textbf{Set}^{C^{\text{op}}}</math>(사용되는 '''''<math>\text{Hom}</math>''''' 함자에 따라 공변 또는 반변)에 범주 '''''<math>C</math>'''''를 [[충실한 함자와 충만한 함자|완전하고 충실하게]] 매장하도록 한다.

== 내부 Hom 함자 ==
일부 범주에는 '''''<math>\text{Hom}</math>''''' 함자처럼 동작하는 함자가 있을 수 있지만 '''<math>\textbf{Set}</math>'''이 아니라 범주 '''''<math>C</math>''''' 자체의 값을 사용한다. 이러한 함자는 '''내부 ''<math>\text{Hom}</math>'' 함자'''라고 하며 종종 다음과 같이 작성된다.

: <math>\left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C</math>

곱과 같은 특성을 강조하거나

: <math>\mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C</math>

그것의 함자적 특성을 강조하기 위해, 또는 때로는 단순히 소문자로:

: <math>\operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C .</math> 예를 보려면 [[관계 범주]]를 참조.

내부 Hom 함자가 있는 범주를 [[닫힌 카테고리|닫힌 범주]]라고 한다. 하나는 그것을 가지고

: <math>\operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -)</math>

여기서 '''''<math>I</math>'''''는 닫힌 범주의 [[모노이드 범주|단위 대상]]이다. 닫힌 모노이드 범주의 경우 이는 [[커링]] 개념으로 확장된다.

: <math>\operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z)</math>

여기서 <math>\otimes</math>는 [[모노이드 범주]]를 정의 하는 '''내부 곱 함자'''인 [[함자 (수학)|쌍함자]]이다. 그 동형 사상은 ''<math>X</math>''와 ''<math>Z</math>''모두에서 [[자연 변환|자연스럽다]]. 즉, 닫힌 모노이드 범주에서 내부 '''''<math>\text{Hom}</math>''''' 함자는 내부 곱 [[수반 함자|함자]]에 대한 인접 함자이다. 대상 <math>Y \Rightarrow Z</math>은 '''내부 ''<math>\textbf{Hom}</math>'''''이라고 한다.  <math>\otimes</math>가 [[데카르트 닫힌 범주|데카르트 곱]] <math>\times</math>일 때, 대상 <math>Y \Rightarrow Z</math>는 지수 대상라고 하며 종종 기호로 <math>Z^Y</math>과 같이 나타낸다.

내부 '''''<math>\text{Hom}</math>'''''는 함께 연결될 때 범주의 내부 언어라고 하는 언어를 형성한다. 이들 중 가장 유명한 것은 [[데카르트 닫힌 범주|데카르트 폐쇄 범주]]의 내부 언어인 단순 유형 람다 미적분과 폐쇄 대칭 단일 범주의 내부 언어인 선형 계이다.

== 성질 ==
함자

: <math>\text{Hom}(-, A):C^{\text{op}}\rightarrow \textbf{Set}</math>

가 준층임을 유의하라; 마찬가지로 <math>\text{Hom}(A, -)</math>은 여준층이다.

함자 <math>F:C\rightarrow \textbf{Set}</math>에서 일부 '''''<math>A</math>'''''에 대해 [[자연 변환|자연스럽게]] <math>\text{Hom}(A, -)</math>과 동형인 '''집합'''을 표현 가능한 [[표현 가능 함자|함자]](또는 표현 가능한 여준층)라고 한다. 마찬가지로 <math>\text{Hom}(-, A)</math>에 해당하는 반공변 함수자는 여표현가능이라고 할 수 있다.

<math>\text{Hom}(-, -):C^{\text{op}}\times C\rightarrow \textbf{Set}</math>은 pro함자이며, 구체적으로는 항등 pro함자 <math>\operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C</math>이다.

내부 '''''<math>\text{hom}</math>''''' 함자는 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존한다. <math>\operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C</math>는 극한을 극한으로 보내는 반면 <math>\operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C</math>는 <math>C^\text{op}</math>안의 극한, 즉, <math>C</math> 안의 [[극한 (범주론)|여극한]]을 극한으로 보낸다. 어떤 의미에서 이것은 극한 또는 여극한의 정의로 볼 수 있다.

== 기타 성질 ==
'''''<math>\textbf A</math>'''''가 [[아벨 범주]]이고 '''''<math>A</math>'''''가 '''''<math>\textbf A</math>'''''의 대상인 경우 '''''<math>\text{Hom}_{\textbf A}(A,-)</math>'''''는 '''''<math>\textbf A</math>'''''에서 [[아벨 군]]의 범주 '''''<math>\textbf {Ab}</math>'''''까지의 공변 [[완전 함자|왼쪽 완전]] 함수이다. '''''<math>A</math>'''''가 [[사영 가군|사영]]인 경우에만 완전하다.<ref>Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.</ref>

'''''<math>R</math>'''''을 [[환 (수학)|환]]이라고 하고 '''''<math>M</math>'''''을 왼쪽 '''''<math>R</math>'''''-[[가군]]이라고 하자. 함자 <math>\text{Hom}_{\textbf{R}}(M, -):\textbf{Mod}\text{-}R\rightarrow \textbf{Ab}</math>는 텐서 곱 [[수반 함자|함자]] <math>\otimes_R M: \textbf{Ab}\rightarrow \textbf{Mod}\text{-}R</math>에 인접한다.

== 같이 보기 ==
* [[Ext 함자]]
* 함자 범주
* [[표현 가능 함자]]

== 메모 ==
<references />

== 참조 ==

* {{서적 인용|제목=Categories for the Working Mathematician|성=Mac Lane|이름=Saunders|저자링크=Saunders Mac Lane|날짜=September 1998|판=Second|출판사=Springer|isbn=0-387-98403-8}}
* {{서적 인용|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3|제목=Topoi, the Categorial Analysis of Logic|성=Goldblatt|이름=Robert|연도=2006|판=Revised|출판사=[[Dover Publications]]|원본연도=1984|isbn=978-0-486-45026-1|보존url=https://web.archive.org/web/20200321030307/http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3|보존날짜=2020-03-21|url-status=dead|확인날짜=2009-11-25}}
* {{서적 인용|제목=Basic algebra|성=Jacobson|이름=Nathan|저자링크=Nathan Jacobson|날짜=2009|판=2nd|권=2|출판사=Dover|isbn=978-0-486-47187-7}}

== 외부 링크 ==
* {{Nlab|id=hom-functor|제목=Hom functor}}
* {{Nlab|id=internal-hom|제목=Internal Hom}}

[[분류:함자]]