{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Bouncing ball strobe edit.jpg|섬네일|right|350px|[[스트로보스코프]]를 사용하여 초당 25장씩 촬영한 튀어오르는 공. [[공기 저항]]을 무시하면, 한번 튀어오른 높이와 그 다음 튀어오른 높이 사이 비율의 제곱근은 공/면 충돌의 반발 계수이다.]]

'''반발 계수'''(反撥係數, {{llang|en|coefficient of restitution, '''COR'''}})는 물체의 충돌 전후 속도의 비율을 나타내는 [[분수 (수학)|분수]]이다. 반발 계수가 1인 물체는 [[탄성 충돌]]을 하며, 반발 계수가 1보다 작은 물체는 [[비탄성 충돌]]을 한다. 반발 계수가 0이면 [[완전 비탄성 충돌]]을 하며, 충돌한 물체와 붙어서 튀지 않는다.

== 방정식 ==
반발 계수는 두 충돌하는 물체에 대하여 다음과 같이 정의된다:

:<math>e = \frac{V_{2f} - V_{1f}}{V_{1} - V_{2}}</math>

위의 식에서,

:<math>V_{1f}</math> 은 첫 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다
:<math>V_{2f}</math> 은 두 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다
:<math>V_{1}</math> 은 첫 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다
:<math>V_{2}</math> 은 두 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다

속도는 [[벡터 (물리)|벡터]]이므로 한 방향은 [[양수 (수학)|양수]]로, 다른 방향은 [[음수]]로 정의된다. 방정식에는 [[질량]]이 들어가지 않지만, 최종 속도가 질량에 연관되기 때문에 여전히 [[운동량]]과 관계가 있다.

바닥과 같은 고정된 물체에 대하여 튀어오르는 한 물체에 대하여:

:<math>e = \frac{V_{f}}{V_{i}}</math>

위의 식에서,

:<math>V_{f}</math> 은 물체가 충돌한 후의 [[스칼라]] 속도이다
:<math>V_{i}</math> 은 물체가 충돌하기 전의 [[스칼라]] 속도이다

반발 계수는 다음의 방법으로도 구할 수 있다:

:<math>e = \sqrt{\frac{h}{H}}</math>

위의 식에서,

:<math>h</math> 은 물체가 튀어오른 높이이다
:<math>H</math> 은 물체를 떨어뜨린 높이이다

위에서의 속도는 충돌 방향과 나란한 내적이다 (혹은 접촉점의 접선 벡터에 수직이다). 구체에 대해서는, 이 방향은 <math>pos_{x}</math>이 x번째 구체의 위치일 때 <math>pos_{2} - pos_{1}</math>의 정규화 벡터이다. 스칼라 값은 이 벡터와 속도 벡터의 [[스칼라 곱]]을 통해 구할 수 있다.

== 자세한 사항 ==
반발 계수는 보통 [0,1] 범위의 수이다. 어떤 충돌에서 반발 계수가 1이면 그 충돌은 탄성 충돌이며, 0이면 완전 비탄성 충돌이다. 반발 계수가 1보다 큰 충돌은 이론적으로 [[역학적 에너지]]를 생성하는 충돌로 표현할 수 있다. 그 예로는 같이 던져져 폭발하는 지뢰를 들 수 있다. 몇몇 최근 연구는 비스듬하게 일어나는 특수한 충돌의 경우에는 반발 계수가 1보다 클 수 있다는 것을 명백히 했다.<ref>[http://prola.aps.org/abstract/PRE/v65/i2/e021303 Phys. Rev. E 65 (2002): Michel Y. Louge and Michael E. Adams - Anomalous behavior of normal<!-- 봇이 붙인 제목 -->]</ref><ref>[http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PRLTAO000093000015154301000001&idtype=cvips&gifs=yes Phys. Rev. Lett. 93, 154301 (2004): Anomalous Behavior of the Coefficient of Normal Restitution in Oblique Impact<!-- 봇이 따온 제목 -->]</ref><ref>[http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=JAMCAV000066000001000146000001&idtype=cvips&gifs=yes]{{깨진 링크|url=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=JAMCAV000066000001000146000001&idtype=cvips&gifs=yes]}}</ref>. 0보다 작은 반발 계수도 이론적으로는 서로 튕겨내지 않고 당기는 충돌로 표현이 가능하다.

중요한 점은 반발 계수가 반드시 물체의 속성은 아니라는 것이다. 예를 들어, 서로 다른 5종류의 물체가 충돌할 때, 두 개의 물체끼리 각각 충돌하는 경우의 수인 <math>{5 \choose 2} = 10</math> 개만큼의 반발 계수가 있다 (물체가 충돌하는 방법의 경우의 수는 제외).

== 사용 ==
입자 간의 탄성 충돌에 대한 방정식은 반발 계수를 사용하도록 변형하여 비탄성 충돌을 포함한 모든 경우에 적용시킬 수 있다.

:<math>V_{1f}=\frac{(e + 1)M_{2}V_2+V_{1}(M_1-e M_2)}{M_1+M_2}</math>
:그리고
:<math>V_{2f}=\frac{(e + 1)M_{1}V_1+V_{2}(M_2-e M_1)}{M_1+ M_2}</math>

위의 식에서,

:<math>V_{1f}</math>는 첫 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.
:<math>V_{2f}</math>는 두 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.
:<math>V_{1}</math>는 첫 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.
:<math>V_{2}</math>는 두 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.
:<math>M_{1}</math>는 첫 번째 물체의 질량이다.
:<math>M_{2}</math>는 두 번째 물체의 질량이다.
:<math>e</math>는 반발계수이다

=== 유도 ===
위의 방정식은 반발 계수의 정의와 [[운동량#운동량 보존 법칙|운동량 보존 법칙]]에 따라 생성된 [[연립 방정식]]을 풀어서 유도할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[충돌]]
* [[탄성 충돌]]
* [[비탄성 충돌]]
* [[완전 비탄성 충돌]]
* [[공식 경기구]]

== 참고 ==
<references/>
*{{저널 인용|성=Cross |이름=Rod  |authorlink= |연도=2006  |제목=The bounce of a ball |journal= |volume= |issue= |pages= |id=Physics Department, University of Sydney, Australia |url=http://www.physics.usyd.edu.au/~cross/PUBLICATIONS/BallBounce.pdf |확인날짜= 2008-01-16 |quote=In this paper, the dynamics of a bouncing ball is described for several common ball types having different bounce characteristics. Results are presented for a tennis ball, a baseball, a golf ball, a superball, a steel ball bearing, a plasticene ball, and a silly putty ball. }}

== 외부 링크 ==
* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/CoefficientofRestitution.html Wolfram Article on COR]
*{{웹 인용||url=http://hypertextbook.com/facts/2006/restitution.shtml|제목=Coefficients of Restitution|연도=2006|저자= Bennett &amp; Meepagala|웹사이트=The Physics Factbook |언어= 영어}}
* [http://chrishecker.com/images/e/e7/Gdmphys3.pdf Chris Hecker's physics introduction]
* [http://focus.aps.org/story/v14/st14 ``Getting an extra bounce" by Chelsea Wald]

{{전거 통제}}

[[분류:역학]]
[[분류:고전역학]]