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[[환론]]에서 '''클리퍼드 대수'''(Clifford代數, {{llang|en|Clifford algebra}})는 [[이차 형식]]에 의하여 정의되는 [[결합 대수]]의 한 종류이다.<ref name="Lounesto"/><ref>{{서적 인용| 제목= Clifford algebras: an introduction | 출판사= Cambridge University Press | 위치=Cambridge|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=78|날짜=2011-07|isbn=978-1-1070-9638-7|이름=D. J. H.|성=Garling|doi=10.1017/CBO9780511972997|언어=en}}
</ref> [[복소수체]]와 [[사원수환]]의 일반화이며, [[외대수]]의 [[양자화 (물리학)|양자화]]로 여길 수 있다.

== 정의 ==
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
* 추상적으로 어떤 [[보편 성질]]을 통해 정의될 수 있다.
* 구체적으로 [[텐서 대수]]의 몫대수로 정의될 수 있다.

=== 보편 성질을 통한 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q\colon V\to K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 '''클리퍼드 대수''' <math>\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>는 다음 공리를 만족시키는, <math>V</math>를 포함하는 가장 일반적인 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]다.
:<math>v^2=Q(v)\qquad\forall v\in V</math>
즉, [[범주론]]적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다.
<math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]들의 범주 <math>\operatorname{uAssocAlg}_K</math>에서, <math>j(v)^2=Q(v)1_A\forall v\in V</math>를 만족시키는 임의의 대수 <math>(A,j\colon V\to A)</math>가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 [[준동형]] <math>f\colon\operatorname{Cliff}(V,Q)\to A</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
V&\overset i\to&\operatorname{Cliff}(V,Q)\\
&{\scriptstyle j}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!f\\
&&A
\end{matrix}</math>
여기서 <math>i\colon V\to\operatorname{Cliff}(V,Q)</math>는 보통 생략한다.

이는 이차 공간([[이차 형식]]을 갖춘 [[가군]])의 범주 <Math>\operatorname{QMod}_K</math>에서 [[단위 결합 대수]]의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 정의한다.
:<math>\operatorname{Cliff}\colon\operatorname{QMod}_K\to\operatorname{uAssocAlg}_K</math>
(<math>\operatorname{QMod}_K</math>의 사상은 [[가군 준동형]] <math>\phi\colon M\to N</math> 가운데 <math>Q_M=\phi\circ Q_N</math>인 것이다.)

=== 텐서 대수를 통한 구성 ===
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname T(V;K)/\mathfrak i(Q)</math>
여기서 <math>\operatorname T(V;K)</math>는 <math>V</math>에 대한 <math>K</math>-[[텐서 대수]]
:<math>\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty V^{\otimes n}=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus V\otimes_KV\otimes_KV+\cdots</math>
이며,
:<math>\mathfrak i(Q)=(v\otimes v-Q(v))_{v\in V}=\left\{w\left(\sum_{i=1}^nv_i\otimes v_i-Q(v_i)\right)w'\colon w,w'\in\operatorname T_K(V),\;n\in\mathbb N,\;v_1,\dots,v_n\in V\right\}</math>
는 <math>\{v\otimes v-Q(v)\colon v\in V\}</math>에 의하여 생성되는 [[양쪽 아이디얼]]이다.

이 경우
:<math>uv+vu=(u+v)^2-u^2-v^2=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)</math>
이므로, 두 벡터 원소의 [[반교환자]]는 <math>Q</math>의 연관 [[쌍선형 형식]]과 같다.

=== 등급과 여과 ===
[[텐서 대수]]  <math>\operatorname T(V;K)</math>는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.
:<math>\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^n(V;K)</math>
클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 [[아이디얼]](로 정의되는 [[동치 관계]])은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 <math>\mathbb Z/2</math> 등급을 보존한다. 즉,
:<math>\operatorname T^+(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n}(V;K)</math>
:<math>\operatorname T^-(V;K)=\bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname T^{2n+1}(V;K)</math>
을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 <Math>\mathbb Z/2</math> 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 <math>K</math> 위의 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급 대수]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Cliff}^+(V;K)=\frac{\operatorname T^+(V;K)}{\mathfrak i(Q)}</math>
:<math>\operatorname{Cliff}^-(V;K)=\frac{\operatorname T^-(V;K)}{\mathfrak i(Q)}</math>

특히, 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>에서, 짝수 등급 부분 대수 <math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)</math> 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약
:<math>V=\operatorname{Span}_K\{a\}\oplus U</math>
:<math>Q(ta+u)=t^2Q(a)+Q|_U(u)\qquad\forall t\in K,\;u\in U</math>
:<math>Q(a)\ne0</math>
라면,
:<math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong\operatorname{Cliff}(U,-Q(a)Q|_U;K)</math>
이다.

비록 [[텐서 대수]]의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의  [[여과 (수학)|자연수 오름 여과]]를 정의한다. 구체적으로, [[텐서 대수]] <math>\operatorname T(V;K)</math>의 [[등급 대수|등급]]으로 정의되는 오름 여과
:<math>F^n\operatorname T(V;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)=K\oplus V\oplus V\otimes_KV\oplus\cdots V^{\otimes_Kn}</math>
를 생각하자. 그렇다면,
:<math>K=F^0\operatorname T(V;K)\subseteq F^1\operatorname T(V;K)\subseteq F^2\operatorname T(V;K)\subseteq\cdots</math>
이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i(Q)</math>은 이 여과와 호환된다. 구체적으로,  <math>(F^n\operatorname T(V;K)\cap\mathfrak i(Q))/\operatorname F^{n+1}\operatorname T(V;K)</math>는 <math>F^n\operatorname T(V;K)/F^{n+1}\operatorname T(V;K)</math>의 [[아이디얼]]을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math> 위에도 여과
:<math>F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\bigoplus_{m\le n}\operatorname T^m(V;K)/\mathfrak i(Q)</math>
가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.

이 여과로부터 정의되는 자연수 [[등급 대수]]는 [[외대수]]와 표준적으로 동형이다.
:<math>\bigoplus_{n=0}^\infty\frac{F^n\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}{F^{n-1}\operatorname{Cliff}(V,Q;K)}\cong\Lambda(V;K)</math>

=== 대합 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math> 위에, 다음과 같은 [[자기 동형]]이 존재한다.
:<math>\alpha\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto(-)^kv_1v_2\cdots v_k\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)</math>
(만약 [[가환환]] <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 2라면 이는 [[항등 함수]]이다.) <math>\alpha^2</math>는 [[항등 함수]]이므로 이는 [[대합 (수학)|대합]]을 이룬다.

마찬가지로, <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math> 위에 다음과 같은 반자기 동형({{llang|en|anti-automorphism}})이 존재한다.
:<math>(-)^\top\colon\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\mapsto \operatorname{Cliff}(V,Q;K)^{\operatorname{op}}</math>
:<math>(-)^\top\colon v_1v_2\cdots v_k\mapsto v_k\cdots v_2v_1\qquad(\forall v_1,v_2,\dots,v_k\in V)</math>
(여기서 <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>는 [[반대환]]을 뜻한다.) <math>\alpha</math>와 <math>(-)^\top</math>는 서로 가환하며, 이 둘을 [[함수의 합성|합성]]하면 다음과 같은 '''클리퍼드 수반'''({{llang|en|Clifford conjugation}})을 얻는다.
:<math>\bar x=\alpha(x^\top)=(\alpha(x))^\top</math>
<math>x\mapsto x^\top</math>와 <math>x\mapsto \bar x</math> 역시 [[대합 (수학)|대합]]을 이룬다.

이 연산들은 <math>\mathbb N</math> 등급이 <math>k</math>인 원소 <math>x</math>에 대하여 다음과 같다.
:<math>\alpha(x)=(-)^kx</math>
:<math>x^\top=(-)^{k(k-1)/2}x</math>
:<math>\bar x=(-)^{k(k+1)/2}x</math>
즉, 이는 <math>k\bmod4</math>에 대하여 다음과 같이 의존한다.
{| class=wikitable
! 연산 || <math>k\equiv0\pmod4</math> || <math>k\equiv1\pmod4</math> || <math>k\equiv2\pmod4</math> || <math>k\equiv3\pmod4</math>
|-
| <math>\alpha(x)</math> || <math>+x</math> || <math>-x</math> || <math>+x</math> || <math>-x</math>
|-
| <math>x^\top</math> || <math>+x</math> || <math>+x</math> || <math>-x</math> || <math>-x</math>
|-
| <math>\bar x</math> || <math>+x</math> || <math>-x</math> || <math>-x</math> || <math>+x</math>
|}

=== 노름과 내적 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math> 위에 다음과 같은 [[쌍선형 형식]] 및 [[이차 형식]]을 정의할 수 있다.
:<math>\langle x,y\rangle=\langle x^\top y\rangle</math>
:<math>\tilde Q(x)=\langle x^\top x\rangle</math>
여기서 <math>\langle-\rangle</math>은 <math>\mathbb N</math> 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.

이는 다음 성질을 만족시킨다.
:<math>\langle x,ay\rangle=\langle a^\top x,y\rangle</math>

== 성질 ==
만약 <math>Q</math>가
:<math>V=U\oplus W</math>
:<math>Q(u+w)=Q(u)\qquad\forall u\in U,w\in W</math>
라면 (즉, <math>Q|_W=0</math>라면),
:<math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong\Lambda(W;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(U,Q;K)</math>
가 된다. 따라서, 만약 <math>V</math>가 [[반단순 가군]]이라면 <math>V\cong(\operatorname{rad}Q)\oplus V/(\operatorname{rad}Q)</math>이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, <math>V</math>가 [[반단순 가군]]일 때 클리퍼드 대수의 분해는 <math>Q</math>가 [[비특이 이차 형식]]인 경우로 귀결된다. 특히, <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]](또는 유한 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]])라면, 모든 가군은 [[반단순 가군]]이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.

<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]이며, <math>V</math>가 그 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]이고, 그 차원이 <math>n</math>이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 <math>2^n</math>차원 [[벡터 공간]]이다. <math>\{e_i\}_{i=1,\dots,n}</math>이 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]라고 하자. 그렇다면 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 다음과 같이 주어진다.
:<math>\{e_{i_1}e_{i_2}\dotsb e_{i_k}|1\le i_1<i_2<\dotsb<i_k\le n\}</math>

=== 외대수와의 관계 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 <math>K</math>-가군으로서 [[외대수]] <math>\Lambda_K(V)</math>와 동형이다. 만약 <math>Q=0</math>일 경우 <math>\operatorname{Cliff}(V,0;K)</math>는 [[외대수]] <math>\Lambda(V;K)</math>와 대수로서 동형이지만, <math>Q\ne0</math>일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 [[외대수]]의 일종의 [[양자화 (물리학)|양자화]]로 생각할 수 있다.

=== 환론적 성질 ===
가환환 <math>K</math> 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]] <math>M</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q</math>의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(M,Q;K)</math>는 [[등급 아즈마야 대수]]({{llang|en|graded Azumaya algebra}})이다.<ref name="HM">{{서적 인용|제목=Quadratic mappings and Clifford algebras|이름=Jacques|성=Helmstetter|이름2=Artibano|성2=Micali|doi=10.1007/978-3-7643-8606-1|isbn=978-3-7643-8605-4|날짜=2008|출판사=Birkhäuser|zbl=1144.15025|언어=en}}</ref>{{rp|152, Corollary 3.7.4}} 또한, 만약 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}K</math>에 대하여 <math>M\otimes_KK_{\mathfrak p}</math>가 짝수 계수 <math>K_{\mathfrak p}</math>-[[자유 가군]]이라면, <math>\operatorname{Cliff}(M,Q;K)</math>는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}K</math>에 대하여 <math>M\otimes_KK_{\mathfrak p}</math>가 홀수 계수 <math>K_{\mathfrak p}</math>-[[자유 가군]]이라면, <math>\operatorname{Cliff}(M,Q;K)</math>는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 <math>K_{\mathfrak p}</math>는 [[국소화 (환론)|국소화]]이다.)

특히, 만약 <math>K</math>가 표수가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]라면, <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 [[등급 중심 단순 대수]]({{llang|en|graded central simple algebra}})이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | 날짜=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929  | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-67 | 언어=en}}</ref>{{rp|109, Theorem 2.1}}
* 만약 <math>V</math>가 짝수 차원이라면 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, <math>\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))=K</math>이며, <math>\mathbb Z/2</math>-등급 구조를 잊으면 [[중심 단순 대수]]를 이룬다.
* 만약 <math>V</math>가 짝수 차원이라면 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, <math>\mathbb Z/2</math>-등급 구조를 잊으면 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 [[중심 단순 대수]]가 아니지만, <math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)</math>는 [[중심 단순 대수]]를 이룬다.

==== 반단순성 ====
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\}</math> 위의 모든 [[이차 형식]]은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:<math>Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)</math>
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 (유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이므로) 항상 [[아르틴 환]]이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="FD">{{서적 인용|제목=Noncommutative algebra|이름=Benson|성=Farb|이름2=R. Keith|성2=Dennis|출판사=Springer-Verlag|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=144|날짜=1993|doi=10.1007/978-1-4612-0889-1|isbn=978-1-4612-6936-6|언어=en}}</ref>{{rp|210, Supplementary Exercise 35(a)}}
* <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 [[반단순환]]이다. 즉, [[아르틴-웨더번 정리]]에 따라 유한 개의 [[나눗셈환]] 위의 행렬환들의 [[직접곱]]이다.
* 모든 <math>i=1,2,\dots,n</math>에 대하여 <math>c_i\ne0</math>이다.
또한, <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 2개 이하의 [[단순환]]의 [[직접곱]]이다.<ref name="FD"/>{{rp|211, Supplementary Exercise 35(b)}}

==== 중심 ====
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V=\operatorname{Span}_K\{e_1,e_2,\dots,e_n\}</math> 위의 모든 [[이차 형식]]은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
:<math>Q(a_1e_1+a_2e_2+\cdots+a_ne_n)=c_1a_1^2+c_2a_2^2+\cdots+c_na_n^2\qquad(a_1,\dots,a_n,c_1,\dots,c_n\in K)</math>

이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>의 [[환의 중심|중심]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Z\left(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\right)=\begin{cases}
K&2\mid n\\
K+Ke_1e_2\cdots e_n&2\nmid n
\end{cases}</math>

==== 스칼라 확대 ====
[[가환환]] <math>K</math>, <math>\tilde K</math>과 [[환 준동형]] <math>\phi\colon K\to\tilde K</math> 및 <math>K</math>-[[가군]] <math>M</math> 및 그 위의 [[이차 형식]] <math>Q</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>(M,Q)</math>의 스칼라 확대 <math>(M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)</math>의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급 대수|등급]] <math>\tilde K</math>-대수이다.<ref name="Knus">{{서적 인용|제목=Quadratic and hermitian forms over rings|이름=Max-Albert|성=Knus|doi=10.1007/978-3-642-75401-2|isbn=978-3-642-75403-6|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=294|issn=0072-7830|날짜=1991|출판사=Springer|zbl=0756.11008|mr=1096299|언어=en}}</ref>{{rp|195, Proposition IV.1.2.3}}
:<math>\operatorname{Cliff}(M\otimes_K\tilde K,Q\otimes_K1)\cong\operatorname{Cliff}(M,Q)\otimes_K\tilde K</math>

=== 클리퍼드 군 ===
{{본문|클리퍼드 군}}
클리퍼드 대수의 특정 [[가역원]]들은 '''[[클리퍼드 군]]'''이라는 군을 이룬다. [[핀 군]]과 [[스핀 군]]은 [[클리퍼드 군]]의 부분군을 이룬다.

== 분류 ==
=== 직합에 대한 분해 ===
[[가환환]] <math>K</math> 및 임의의 두 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급 대수|등급]] <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] <math>A</math>, <math>A'</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>B=A\otimes_A'</math>
위에 다음과 같은 <math>\mathbb Z/2</math>[[등급 대수|등급]] <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]의 구조를 부여할 수 있다.
:<math>B_0=A_0\otimes_KA'_0\oplus A_1\otimes_KA'_1</math>
:<math>B_1=A_0\otimes_KA'_1\oplus A_1\otimes_KA'_0</math>
:<math>(a\otimes_Ka')(b\otimes_Kb')=(-)^{\deg a'\deg b'}(ab)\otimes_K(a'b')\qquad(a,b\in A,\;a',b'\in A')</math>
여기서 <math>A_0</math> 및 <math>A_1</math>은 등급이 0 및 1인 성분들의 [[부분 집합]]이다. 이 <math>\mathbb Z/2</math>[[등급 대수|등급]] <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]를 <math>A\hat\otimes_KA'</math>으로 표기하자.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 두 [[이차 공간]] <math>(V,Q)</math>, <math>(V',Q')</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[직합]] <math>(V\oplus V',Q\oplus Q')</math> 위의 클리퍼드 대수는 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급 대수|등급]] <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]로서 다음과 동형이다.<ref name="Knus"/>{{rp|195, Theorem IV.1.3.1}}
:<math>\operatorname{Cliff}(V\oplus V',Q\oplus Q';K)\cong\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\hat\otimes_K\operatorname{Cliff}(V',Q';K)</math>

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

=== 체 위의 클리퍼드 대수의 분류 ===
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q</math>로 정의되는 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 [[등급 중심 단순 대수]]({{llang|en|graded central simple algebra}})이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.<ref name="Lam"/>{{rp|111, §V.2}}
* <math>n</math>이 짝수일 때: <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 <math>K</math> 위의 [[중심 단순 대수]]이다.
** <math>\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)</math> (<math>a\in K^\times/(K^\times)^2)</math>)의 꼴이라면, <math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)</math>는 <math>K(\sqrt a)</math> 위의 [[중심 단순 대수]]이다.
** <math>\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K\times K</math>의 꼴이라면, <math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong A^2</math>는 <math>K</math> 위의 어떤 [[중심 단순 대수]] <math>A</math>의 제곱과 동형이다.
* <math>n</math>이 홀수일 때: <math>\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)</math>는 <math>K</math> 위의 [[중심 단순 대수]]이다.
** <math>\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)</math> (<math>a\in K^\times/(K^\times)^2)</math>)의 꼴이라면, <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 [[확대체]] <math>K(\sqrt a)</math> 위의 [[중심 단순 대수]]이다.
** <math>\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K</math>의 꼴이라면, <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2</math>은 <math>K</math> 위의 어떤 [[중심 단순 대수]] <math>A</math>의 제곱과 동형이다.
[[아르틴-웨더번 정리]]에 의하여, 체 <math>K</math> 위의 <math>2^n</math>차원 [[중심 단순 대수]]는 어떤 <math>K</math>-[[중심 단순 대수]]인 <math>2^k</math>차원 [[나눗셈환]] <math>D</math> 위의 행렬환 <math>\operatorname{Mat}(2^{n-k};D)</math>과 동형이다.

=== 복소수 클리퍼드 대수 ===
<math>K=\mathbb C</math>가 [[복소수체]]이며, <math>(V,Q)</math>가 [[비퇴화 이차 형식]]이 주어진 유한 차원 복소수 [[벡터 공간]]이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 <math>n=\dim_{\mathbb C}V</math>만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 <math>\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)</math>로 쓰면, 이는 <math>\mathbb C</math>-[[단위 결합 대수]]로서 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)\cong\begin{cases}
\operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb C)&2\mid n\\
\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)\oplus \operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb C)&2\nmid n
\end{cases}</math>
즉, 다음과 같은 주기 2의 [[보트 주기성]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Cliff}(n+2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\operatorname{Cliff}(n;\mathbb C)</math>
특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cliff}(0;\mathbb C)\cong\mathbb C</math>
:<math>\operatorname{Cliff}(1;\mathbb C)\cong\mathbb C\oplus\mathbb C</math> ([[테사린]], tessarine)
:<math>\operatorname{Cliff}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)</math> (2×2 복소 [[행렬]])

=== 실수 클리퍼드 대수 ===
<math>K=\mathbb R</math>가 [[실수체]]이며, <math>V</math>가 유한 차원 실수 [[벡터 공간]]이고, <math>Q</math>가 [[계량 부호수|부호수]]가 <math>(p,q)</math>인 [[비퇴화 이차 형식]]이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 <math>\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)</math>로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Cliff}(0,0;\mathbb R)\cong\mathbb R</math> ([[실수]])
:<math>\operatorname{Cliff}(0,1;\mathbb R)\cong\mathbb C</math> ([[복소수]])
:<math>\operatorname{Cliff}(1,0;\mathbb R)\cong\mathbb R\oplus\mathbb R</math> ([[분할복소수]])
:<math>\operatorname{Cliff}(0,2;\mathbb R)\cong\mathbb H</math> ([[사원수]])
:<math>\operatorname{Cliff}(2,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Cliff}(1,1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math> (2×2 실수 [[행렬]])
또한, 다음과 같은 주기 8의 [[보트 주기성]]이 성립한다.
:<math>\operatorname{Cliff}(p+2,q;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cliff}(p+1,q+1;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Cliff}(p,q+2;\mathbb R)\cong\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(q,p;\mathbb R)</math>
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.

즉, 실수 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)</math>들은 다음과 같은 '''클리퍼드 시계'''(Clifford時計, {{llang|en|Clifford clock}})로 나타낼 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
_{\displaystyle\mathsf8}&&^{\displaystyle\mathsf1}&&_{\displaystyle\mathsf2}\\
&_{\displaystyle\mathbb R}&^{\displaystyle\mathbb R^{\oplus2}}&_{\displaystyle\mathbb R}\\
\mathsf7\quad&\mathbb C\quad&&\quad\mathbb C&\quad\mathsf3\\
&^{\displaystyle\mathbb H}&_{\displaystyle\mathbb H^{\oplus2}}&^{\displaystyle\mathbb H}\\
^{\displaystyle\mathsf6}&&_{\displaystyle\mathsf5}&&^{\displaystyle\mathsf4}
\end{matrix}</math>
즉, <math>\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)</math>는 <math>p-q\bmod8</math>이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 <math>\dim_{\mathbb R}\operatorname{Cliff}(p,q;\mathbb R)=2^{p+q}</math>으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, <math>n\equiv3\pmod8</math>일 때
:<math>\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^n/(2\dim_{\mathbb R}\mathbb H))=\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})\oplus\operatorname{Mat}(\mathbb H;2^{n-3})</math>
이다.

=== 홀수 표수의 유한체 ===
홀수 [[체의 표수|표수]]의 유한체 <math>K=\mathbb F_q</math> 위의 <math>n</math>차원 벡터 공간 위의 대각화된 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)</math>
이 주어졌다고 하자. 이 경우
:<math>\delta=[(-1)^{n(n-1)/2}a_1a_2\cdots a_n]\in\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2\cong\mathbb Z/2</math>
을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

{| class=wikitable
! <math>\delta</math> || <math>n</math> ||  <math>\operatorname{Cliff}(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q)</math> ||  <math>\operatorname{Cliff}^+(\mathbb F_q^n,Q;\mathbb F_q)</math> || <math>\operatorname O(V,Q;\mathbb F_q)</math>
|-
| 제곱수 (<math>Q</math>가 플러스형) || 짝수 || <math>\operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q)</math> || <math>\operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_q)^2</math> || <math>\operatorname O^+(n;\mathbb F_q)</math>
|-
| 제곱수 || 홀수 || <math>\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q)^2</math> || <math>\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q)</math> || <math>\operatorname O(n;\mathbb F_q)</math>
|-
| 제곱수가 아님  (<math>Q</math>가 마이너스형) || 짝수 || <math>\operatorname{Mat}(2^{n/2};\mathbb F_q)</math>|| <math>\operatorname{Mat}(2^{n/2-1};\mathbb F_{q^2})</math> || <math>\operatorname O^-(n;\mathbb F_q)</math>
|-
| 제곱수가 아님 || 홀수 || <math>\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_{q^2})</math> || <math>\operatorname{Mat}(2^{(n-1)/2};\mathbb F_q)</math> || <math>\operatorname O(n;\mathbb F_q)</math>
|}

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

=== 표수 2의 유한체 ===
표수 2에서는 등급 텐서곱 <math>\hat\otimes</math>이 일반 텐서곱 <math>\otimes</math>과 같다. 표수 2의 유한체 <math>K=\mathbb F_{2^e}</math> 위의 <math>2n</math>차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
:<math>Q_1=\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto k_1k_2\right)</math>
:<math>Q_2\left(K^2,(k_1,k_2)\mapsto(k_1^2+k_1k_2+ak_2^2)\right),\qquad a\in K\setminus\{b^2+b\colon b\in K\}</math>
이 경우 <math>\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^2,Q_1)</math> 및 <math>\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^n}^2,Q_2)</math> 둘 다 <math>K</math> 위의 [[중심 단순 대수]]를 이룬다. 따라서, <math>2n</math>차원 벡터 공간 위의 임의의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q</math>의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.
:<math>\operatorname{Cliff}(\mathbb F_{2^e}^{2n},Q;\mathbb F_{2^e})\cong\operatorname{Mat}(2^n;\mathbb F_{2^e})</math>

<math>\mathbb F_{2^e}</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 [[이차 형식]] <math>Q</math>는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 <math>Q_{\text{nondeg}}</math>과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.
:<math>Q=Q_{\text{nondeg}}\oplus\begin{cases}
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1)\\
\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0)
\end{cases}</math>
<math>\operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0);\mathbb F_{2^e})</math> 및 <math>\operatorname{Cliff}(\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1);\mathbb F_{2^e}</math> 둘 다 [[외대수]]와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수
:<math>\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{diag}(1);K\right)=K[x]/(x^2+1)</math>
에서 <math>y=x+1</math>로 놓으면 <math>y^2=0</math>이므로 이는 [[단위 결합 대수]]로서 [[외대수]] <math>\Lambda(K)=K[y]/(y^2)</math>와 동형이다.

== 예 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(V,Q;K)</math>는 특수한 경우 다음과 같다.
* 만약 <math>Q=0</math>이라면 <math>\operatorname{Cliff}(V,0;K)=\Lambda(V;K)</math>는 [[외대수]]이다.
* 만약 <math>V=0</math>이 자명 가군이며, <math>Q=0</math>이 그 위의 유일한 [[이차 형식]]이라면, <math>\operatorname{Cliff}(0,0;K)\cong K</math>이다.

=== 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 ===
만약 <math>V=K</math>가 1차원 [[자유 가군]]이며, <math>Q\colon k\mapsto ak^2</math>라면, <math>\operatorname{Cliff}(K,Q;K)\cong K[x]/(x^2-a)</math>이다. 따라서, 이 경우는 <math>a=Q(1)</math>의 동치류 <math>[a]\in K/K^2</math>에 의하여 분류된다.

만약 추가로 <math>K</math>가 표수가 2가 아닌 [[대수적으로 닫힌 체]]라면,
:<math>K[x]/(x^2-a)\cong\begin{cases}K\oplus K&a\ne0\\\Lambda(K)&a=0\end{cases}</math>
이다. 구체적으로, <math>a\ne0</math>일 경우
:<math>y_\pm=\frac12(1\pm x/\sqrt a)</math>
를 정의한다면,
:<math>y_\pm^2=y_\pm</math>
이므로 <math>K[x]/(x^2-a)\cong Ky_+\oplus Ky_-</math>가 된다.

=== 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 2차원 [[벡터 공간]] 위의 [[비퇴화 이차 형식]]에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 '''사원수형 대수'''({{llang|en|quaternion algebra}}, {{llang|fr|algèbre de quaternions}})라고 한다.

체 위의 사원수형 대수는 [[환 (수학)|환]]으로서 항상 [[나눗셈환]]을 이루거나 또는 2×2 <math>K</math> 위의 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(2;K)</math>과 동형이다. 후자의 경우, '''분할 사원수형 대수'''({{llang|en|split quaternion algebra}}, {{llang|fr|algèbre de quaternions déployée}})라고 한다.

<math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.
:<math>\left(\frac{a,b}K\right)=\operatorname{Cliff}\left(\operatorname{Span}_K\{i,j\},\operatorname{diag}(a,b);K\right)
=\frac{K\langle i,j\rangle}{(i^2-a,j^2-b,ij+ji)}\qquad(\deg i=\deg j=1)
</math>
보통 ([[사원수]]와 마찬가지로) <math>ij=-ji=k</math>로 표기한다.

<math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(\tfrac{a,b}K)</math>가 분할 사원수형 대수이다.
* [[힐베르트 기호]] <math>(a,b)_K=1</math>이다. 즉, <math>z^2=ax^2+by^2</math>의 해가 <math>K</math>에서 존재한다.

[[사원수]]의 환 <math>\mathbb H</math>는 실수체 위의 사원수형 대수 <math>(\tfrac{-1,-1}K)</math>이다.

== 클리퍼드 해석학 ==
[[복소해석학]]의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Clifford analysis: history and perspective|이름=Richard|성=Delanghe|저널=Computational Methods and Function Theory|권=1|호=1|쪽=107–153|doi=10.1007/BF03320981|issn=1617-9447|날짜=2001|zbl=1011.30045|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Clifford analysis|이름=F.|성=Brackx|이름2=R.|성2=Delanghe|이름3=F.|성3=Sommen|출판사=Pitman|날짜=1982|mr=0697564|zbl=0529.30001|총서=Research Notes in Mathematics|권=76|isbn=0-2730-8535-2|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=J.|성=Gilbert|이름2=M.|성2=Murray|제목=Clifford algebras and Dirac operators in harmonic analysis|출판사=Cambridge University Press|날짜=1991|mr=1130821|zbl=0733.43001|언어=en}}</ref>

=== 디랙 연산자 ===
{{본문|디랙 연산자}}
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 속의 [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 위의 <math>\mathcal C^1</math> 함수
:<math>f\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 [[디랙 연산자]]
:<math>D=\sum_{i=1}^ne_i\frac\partial{\partial x_i}</math>
를 생각할 수 있다 (<math>e_i</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 [[정규 직교 기저]]). 만약 <math>f</math>가
:<math>0=\overset\rightarrow Df=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(e_if(x))</math>
를 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''왼쪽 정칙 함수'''({{llang|en|left holomorphic/monogenic/regular function}})라고 하며, 만약 <math>f</math>가
:<math>0=f\overset\leftarrow D=\sum_{i=1}^n\frac\partial{\partial x_i}(f(x)e_i)</math>
를 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''오른쪽 정칙 함수'''({{llang|en|right holomorphic/monogenic/regular function}})라고 한다.

[[디랙 연산자]]의 제곱은
:<math>D^2=\sum_{i,j=1}^ne_ie_j\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}
=-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=-\nabla^2</math>
이므로, <math>iD</math>는 [[라플라스 연산자]] <math>\nabla^2</math>의 일종의 제곱근이다.

=== 코시 적분 공식 ===
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 [[코시의 적분 정리]]가 성립한다. 즉,
* 두 [[열린집합]] <math>V\subseteq \operatorname{cl}(V)\subseteq U\subseteq\mathbb R^n</math>가 주어졌으며 (<math>\operatorname{cl}(V)</math>는 [[폐포 (위상수학)|위상수학적 폐포]])
* <math>V</math>는 [[유계 집합]]이자 [[단일 연결 공간]]이며,
* [[경계 (위상수학)|경계]] <math>\partial V</math>가 조각별 <math>\mathcal C^1</math> [[미분 가능 다양체]]를 이루며,
* <math>f,g\colon U\to\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)</math>는 <math>\mathcal C^1</math> 함수이며,
* <math>f</math>는 왼쪽 정칙 함수이며 <math>g</math>는 오른쪽 정칙 함수라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>0=\oint_{\partial V}g(x)\hat n_{\partial V}(x)f(x)\;\mathrm d\!x^{n-1}</math>
여기서
* <math>\hat n_{\partial V}\colon\partial V\to\mathbb R^n\subset\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)</math>는 <math>\partial V</math> 위의 바깥 방향 수직 [[단위 벡터]]이며,
* <math>\mathrm d\!x^{n-1}</math>는 <math>\partial V</math> 위의 [[르베그 측도]]이다.

또한, 다음이 성립한다.
:<math>f(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{(x-x_0)\hat n_{\partial V}(x)f(x)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}</math>
:<math>g(x_0)=\frac1{\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})}\oint_{\partial V}\frac{g(x)\hat n_{\partial V}(x)(x-x_0)}{\|x-x_0\|^n}\;\mathrm d\!x^{n-1}</math>
여기서
:<math>\operatorname{vol}(\mathbb S^{n-1})=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}</math>
는 <math>n-1</math>차원 단위 [[초구]]의 넓이이다.

=== 등각 변환 ===
[[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math> 위의 [[등각 변환]]은 복소수 계수의 [[뫼비우스 변환]]
:<math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\qquad(a,b,c,d\in\mathbb C,\;ad-bc\ne0)</math>
로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, <math>\mathbb S^n=\widehat{\mathbb R^n}</math> 위의 [[등각 변환]]은 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)</math> 계수의 [[뫼비우스 변환]]
:<math>x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}\qquad\left(a,b,c,d\in\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R)\right)</math>
으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}</math>
를 [[등각 변환]]의 '''알포르스-팔렌 행렬'''({{llang|en|Ahlfors–Vahlen matrix}})이라고 한다. 2×2 행렬
:<math>M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(2;\operatorname{Cliff}(0,n;\mathbb R))</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Ahlfors84"/>{{rp|§7.5, 104}}
* <math>M</math>은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, <math>\widehat{\mathbb R^n}</math> 위의 [[등각 변환]]을 정의한다.
* <math>ac^\top,bd^\top\in\mathbb R^n</math>이며, <math>ad^\top-bc^\top\in\mathbb R\setminus\{0\}</math>이다.
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.<ref name="Ahlfors84"/>{{rp|§7.4, 103}}
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}d^\top&-b^\top\\-c^\top&a^\top\end{pmatrix}</math>

== 응용 ==
=== K이론 ===
[[위상 K이론]]은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 [[보트 주기성]]은 [[실수]] 클리퍼드 대수의 주기 8의 [[보트 주기성]]과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 [[보트 주기성]]은 [[복소수]] 클리퍼드 대수의 주기 2의 [[보트 주기성]]과 관련된다.<ref name="ABS"/>

=== 물리학 ===
[[양자장론]]에서, 4차원 [[디랙 스피너]]를 다룰 때 등장하는 [[디랙 행렬]] <math>\gamma^\mu</math> (<math>\mu=0,1,2,3</math>)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)</math>를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 [[스피너]]를 다룰 때 등장하는 [[파울리 행렬]] <math>\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3</math>들은 <math>\{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}\sigma^i</math>를 만족시키며, 클리퍼드 대수 <math>\operatorname{Cliff}(3,0;\mathbb R)\cong\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)</math>를 이룬다. [[스피너]]의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 [[가군]]을 이룬다.

== 역사 ==
영국의 기하학자 [[윌리엄 킹던 클리퍼드]]가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회({{llang|en|London Mathematical Society}})에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉({{llang|en|On the classification of geometric algebras}})라는 제목의 강의를 하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=W.|성=Spottiswoode|제목=March 10th, 1876|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|권=7|쪽=135–136|날짜=1876|doi=10.1112/plms/s1-7.1.119|issn=0024-6115|언어=en}}</ref> 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.<ref>{{저널 인용|성=Clifford|이름=W. K.|저자링크=윌리엄 킹던 클리퍼드|제목=Applications of Grassmann’s extensive algebra|doi=10.2307/2369379|issn=0002-9327|저널=American Journal of Mathematics|jstor=2369379|권=1|호=4|날짜=1878|쪽=350–358|jfm=10.0297.02|언어=en}}</ref>

[[루돌프 립시츠]]는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Rudolf|성=Lipschitz|저자링크=루돌프 립시츠|제목=Principes d’un calcul algébrique qui contient comme espèces particulieres le calcul des quantités imaginaires et des quaternions (extrait d’un lettre adressée à M. Hermite)|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=91|날짜=1880|쪽=619–621, 660–664|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30485/f621|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Rudolf|성=Lipschitz|저자링크=루돌프 립시츠|제목=Untersuchungen über die Summen von Quadraten|출판사=Max Cohen und Sohn|위치=[[본 (독일)|본]]|날짜=1886|jfm=18.0152.02|언어=de}}</ref><ref name="Lounesto">{{서적 인용 | last=Lounesto | first=Pertti | title=Clifford algebras and spinors | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-00551-7 | 날짜=2001-05|총서= London Mathematical Society Lecture Note Series|권=286|판=2판|doi=10.1017/CBO9780511526022|언어=en}}</ref>{{rp|220, §17.2}}

알포르스-팔렌 행렬은 [[오스트리아]]의 카를 테오도어 팔렌({{llang|de|Karl Theodor Vahlen}})<ref>{{저널 인용|이름=Karl Theodor|성=Vahlen|제목=Ueber Bewegungen und complexe Zahlen|doi=10.1007/BF01450354|저널=Mathematische Annalen|날짜=1902|issn=0025-5831|권=55|호=4|쪽=585–593|언어=de}}</ref>이 1902년에 도입하였고, 이후 [[핀란드]]의 [[라르스 알포르스]]<ref name="Ahlfors84">{{저널 인용|제목=Old and new in Möbius groups|이름=Lars V.|성=Ahlfors|저자링크=라르스 알포르스|저널=Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Serie A.I. Mathematica|권=9|날짜=1984|쪽=93–105|url=http://www.acadsci.fi/mathematica/Vol09/vol09pp093-105.pdf|doi=10.5186/aasfm.1984.0900|issn=1239-629X|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=L. V.|성=Ahlfors|저자링크=라르스 알포르스|제목=Möbius transformations in ℝ<sup>''n''</sup> expressed through 2×2 matrices of Clifford numbers|저널=Complex Variables, Theory and Application: An International Journal|권=5|날짜=1986|쪽=215–224|doi=10.1080/17476938608814142|issn=0278-1077|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Clifford numbers and Möbius transformations in ℝ<sup>''n''</sup>|이름=Lars V.|성=Ahlfors|저자링크=라르스 알포르스|날짜=1986|doi=10.1007/978-94-009-4728-3_15|제목=Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics|isbn=978-94-010-8602-8|총서=North Atlantic Treaty Organization Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences|권=183|issn=1389-2185|출판사=Springer|언어=en}}</ref>가 재발견하였다.

1964년에 [[마이클 아티야]] · [[라울 보트]] · 아놀드 새뮤얼 샤피로({{llang|en|Arnold Samuel Shapiro}})는 클리퍼드 대수가 [[위상 K이론]]과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.<ref name="ABS">{{저널 인용|first1=Michael|last1=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|first2=Raoul|last2=Bott|저자링크2=라울 보트|first3=Arnold|last3=Shapiro|title=Clifford modules|journal=Topology|volume= 3|issue=Supplement 1|날짜=1964|pages=3–38|doi=10.1016/0040-9383(64)90003-5|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Porteous | first=Ian R.  | title=Clifford algebras and the classical groups | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-55177-9 | 날짜=1995-10|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=50|doi=10.1017/CBO9780511470912|mr=1369094|zbl=0855.15019|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Lawson | first=H. Blaine | 이름2=Marie-Louise |성2=Michelsohn  | title=Spin geometry | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08542-5 | 날짜=1989|url=http://press.princeton.edu/titles/4573.html|총서=Princeton Mathematical Series|권=38|언어=en}}
* {{서적 인용 | first=Ramaswamy | last=Jagannathan | arxiv=1005.4300 | 장=On generalized Clifford algebras and their physical applications|날짜=2010|doi=10.1007/978-1-4419-6263-8_28|제목=The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the mathematical sciences|출판사=Springer|isbn=978-1-4419-6262-1|쪽=465–489|bibcode=2010arXiv1005.4300J|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Geometric (Clifford) algebra and its applications|이름=Douglas|성=Lundholm|기타=석사 학위 논문|arxiv=math/0605280|bibcode=2006math......5280L|출판사=[[왕립 공과대학교]]|날짜=2006-01|issn=1401-2278|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Clifford algebra, geometric algebra, and applications|이름=Douglas|성=Lundholm|공저자=Lars Svensson|arxiv=0907.5356|bibcode=2009arXiv0907.5356L|날짜=2009-07|언어=en}}
* {{서적 인용|날짜=2003|제목=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications|editor1-last= Ablamowicz|editor1-first= Rafal|editor2-last= Sobczyk|editor2-first= Garret|doi=10.1007/978-0-8176-8190-6|isbn=978-0-8176-3257-1|출판사=Birkhäuser|언어=en}}
** {{서적 인용|장=Introductory Clifford analysis|이름=John|성=Ryan|arxiv=math/0303339|날짜=2003|제목=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications|editor1-last= Ablamowicz|editor1-first= Rafal|editor2-last= Sobczyk|editor2-first= Garret|doi=10.1007/978-0-8176-8190-6_3|isbn=978-0-8176-3257-1|쪽=53–89|출판사=Birkhäuser|bibcode=2003math......3339R|언어=en}}
** {{서적 인용|장=Applications of Clifford algebras in physics|이름=William E.|성=Baylis|날짜=2003|제목=Lectures on Clifford (geometric) algebras and applications|editor1-last=Ablamowicz|editor1-first=Rafal|editor2-last=Sobczyk|editor2-first=Garret|doi=10.1007/978-0-8176-8190-6_4|isbn=978-0-8176-3257-1|쪽=91–133|출판사=Birkhäuser|장url=http://web4.uwindsor.ca/users/b/baylis/main.nsf/9d019077a3c4f6768525698a00593654/e639e0cdf0d162c985256bb2004c8fde/$FILE/cainphys.pdf|언어=en|access-date=2016-03-15|archive-date=2016-03-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20160328100907/http://web4.uwindsor.ca/users/b/baylis/main.nsf/9d019077a3c4f6768525698a00593654/e639e0cdf0d162c985256bb2004c8fde/$FILE/cainphys.pdf|url-status=}}
* {{저널 인용|제목=An introduction to the spinorial chessboard|이름=Paolo|성=Budinich|이름2=Andrzej|성2=Trautman|저널=Journal of Geometry and Physics|doi=10.1016/0393-0440(87)90019-2|권=4|호=3|날짜=1987|쪽=361–390|issn=0393-0440|bibcode=1987JGP.....4..361B|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Spin and Clifford algebras, an introduction|이름=Marc|성=Lachièze-Rey|doi=10.1007/s00006-009-0187-y|저널=Advances in Applied Clifford Algebras|권=19|호=3-4|쪽=687-720|arxiv=1007.2481|bibcode=2010arXiv1007.2481L|날짜=2009-12|issn=0188-7009|언어=en}}
* {{서적 인용|장url=http://www.fuw.edu.pl/~amt/amt2.pdf|장=Clifford algebras and their representations|제목=Encyclopedia of Mathematical Physics|날짜=2006|출판사=Elsevier|이름=Andrzej|성=Trautman|쪽=518–530|doi=10.1016/B0-12-512666-2/00016-X|isbn=978-0-12-512666-3|editor1-first=Jean-Pierre|editor1-last=Françoise|editor2-first=Gregory L.|editor2-last=Naber|editor3-first=Tsou Sheung|editor3-last=Tsun |언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Clifford algebras and spinors|이름=Ivan|성=Todorov|arxiv=1106.3197|날짜=2011|저널=Bulgarian Journal of Physics|권=38|호=1|쪽=3-28|bibcode=2011arXiv1106.3197T|issn=1310-0157|url=http://www.bjp-bg.com/paper1.php?id=568|언어=en}}
* {{서적 인용|url=https://people.math.ethz.ch/~knus/papers/campinas.pdf|제목=Quadratic forms, Clifford algebras and spinors|이름=Max-Albert|성=Knus|출판사= Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Universidade Estadual de Campinas|날짜=1988|zbl=0742.11018|위치=[[캄피나스]]|총서=Seminars in Mathematics|권=1|언어=en}}

== 같이 보기 ==
{{Div col}}
* [[기하적 대수학]]
* [[디랙 연산자]]
* [[디랙 행렬]]
* [[사원수]]
* [[스피너]]
* [[스핀 군]]
* [[스핀 다양체]]
* [[외대수]]
* [[케일리-딕슨 구성]]
* [[팔원수]]
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== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Clifford algebra}}
* {{eom|title=Clifford analysis}}
* {{매스월드|id=CliffordAlgebra|title=Clifford algebra}}
* {{nlab|id=Clifford algebra}}
* {{nlab|id=Geometric Algebra}}
* {{nlab|id=Clifford module}}
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* {{nlab|id=Atiyah-Bott-Shapiro isomorphism}}
* {{nlab|id=Karoubi K-theory}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week82.html|제목=Week 82|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|날짜=1996-05-17|이름=John|성=Baez|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week211.html|제목=Week 211|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|날짜=2005-03-06|이름=John|성=Baez|언어=en}}
* {{수학노트|title=클리포드 대수와 스피너}}

{{전거 통제}}

[[분류:클리퍼드 대수| ]]
[[분류:대수]]
[[분류:이차 형식]]