{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''수슬린 수'''({{llang|en|Suslin number}})는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들의 [[집합족]]의 [[집합의 크기|크기]]의 [[상한]]이다. 이 글에서는 수슬린 수를 비롯한 위상수학의 다양한 [[기수 (수학)|기수]] 값 불변량을 다룬다.

== 정의 ==
=== 무게 ===
{{본문|제2 가산 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) <math>w(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]의 최소 크기이다. '''[[제2 가산 공간]]'''은 <math>w(X)\le\aleph_0</math>인 위상 공간이다.

무게의 개념의 몇 가지 변형은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 집합족의 조건 !! 최소 크기 !! 기호
|-
| [[기저 (위상수학)|기저]] || 무게 || <math>w</math>
|-
| 유사 기저 || 유사 무게 || <math>\psi w</math>
|-
| π-기저 || π-무게 || <math>\pi</math>
|-
| 망 || 망 무게 || <math>nw</math>
|}

==== 유사 무게 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''유사 기저'''({{llang|en|pseudo-base}}) 또는 '''ψ-기저'''({{llang|en|ψ-base}})는 다음 조건을 만족시키는 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{x\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B</math>
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 유사 기저를 가질 [[필요충분조건]]은 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]인 것이다.

[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>의 '''유사 무게'''({{llang|en|pseudo-weight}}) 또는 '''ψ-무게'''({{llang|en|ψ-weight}}) <math>\psi w(X)</math>는 그 유사 기저의 최소 크기이다.

==== π-무게 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''π-기저'''({{llang|en|π-base}})는 다음 조건을 만족시키는 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>이다.
* <math>\operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}</math>의 [[공시작 집합]]이다. 즉, <math>\varnothing\not\in\mathcal B</math>이며, 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>U\ne\varnothing</math>라면, <math>B\subseteq U</math>인 <math>B\in\mathcal B</math>가 존재한다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''π-무게'''({{llang|en|π-weight}}) <math>\pi(X)</math>는 그 π-기저의 최소 크기이다.

==== 망 무게 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''망'''({{llang|en|network}})은 다음 조건을 만족시키는 [[집합족]] <math>\mathcal N\subseteq\mathcal P(X)</math>이다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>U=\bigcup\mathcal S</math>인 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal N</math>이 존재한다.
따라서, [[기저 (위상수학)|기저]]는 [[열린집합]]들로 이루어진 망이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''망 무게'''({{llang|en|network weight, net weight}}) <math>nw(X)</math>는 그 망의 최소 크기이다.

=== 밀도 ===
{{본문|분해 가능 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''밀도'''({{llang|en|density}}) <math>d(X)</math>는 <math>X</math>의 [[조밀 집합]]의 최소 크기이다. '''[[분해 가능 공간]]'''은 <math>d(X)\le\aleph_0</math>인 위상 공간이다.

==== 유전적 밀도 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''유전적 밀도'''({{llang|en|hereditary density}}) <math>d^*(X)</math> 또는 '''너비'''({{llang|en|width}}) <math>z(X)</math>의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.
* <math>d^*(X)</math>는 <math>X</math>의 [[부분 집합]]의 밀도의 [[상한]]이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 <math>\aleph_0</math>을 취한다).
*:<math>d^*(X)=\max\left\{\aleph_0,\sup_{Y\subset X}d(Y)\right\}</math>
* <math>z(X)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>의 [[집합의 크기|크기]]의 [[상한]]이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 <math>\aleph_0</math>을 취한다).
** 모든 [[상집합]]이 [[열린집합]]이 되는 <math>Y</math> 위의 [[정렬 전순서]]가 존재한다.
즉,
:<math>d^*(X)=z(X)</math>
이다. 유한한 값을 허용할 경우 두 정의는 더 이상 동치가 아니다.
{{증명}}
<math>d^*(X)\ge z(X)</math>의 증명. <math>Y\subseteq X</math>가 [[부분 집합]]이며, <math>\le</math>가 <math>Y</math> 위의 [[정렬 전순서]]이며, <math>Y</math>의 모든 [[상집합]]이 <math>Y</math>의 [[열린집합]]이라고 하자. <math>|Y|\le d^*(X)</math>를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa<|Y|</math>에 대하여, <math>\kappa^+\le d^*(X)</math>임을 보이면 충분하다. <math>\alpha</math>가 <math>(Y,\le)</math>의 순서형이라고 하자. <math>\kappa^+\le|Y|\le\alpha</math>이므로, 순서형이 <math>\kappa^+</math>인 부분 집합
:<math>Z\subseteq Y</math>
가 존재한다. 임의의 [[상집합]] <math>S\subseteq Z</math>는 <math>S</math>의 <math>Y</math>에서의 [[상폐포]]와 <math>Y</math>의 [[교집합]]이므로, <math>Z</math>의 [[열린집합]]이다. <math>\kappa^+=|Z|</math>는 [[무한 기수]]의 [[따름 기수]]이므로, [[정칙 기수]]이다. 따라서, 만약 <math>D\subseteq S</math>가 [[조밀 집합]]이라면, <math>D</math>는 <math>S</math>의 [[공종 집합]]이며, <math>|D|\ge\kappa^+</math>이다. 즉,
:<math>\kappa^+=d(Z)\le d^*(X)</math>
이다.

<math>d^*(X)\le z(X)</math>의 증명. 임의의 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>d(Y)\le z(X)</math>임을 보이면 충분하다. [[초한 귀납법]]에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 <math>(y_\alpha)_{\alpha<d(Y)}\subseteq Y</math>을 만들 수 있다.
:<math>y_\alpha\in Y\setminus\operatorname{cl}\{y_\beta\colon\beta<\alpha\}\qquad(\forall\alpha<d(Y))</math>
이제,
:<math>Z=\{y_\alpha\colon\alpha<d(Y)\}</math>
라고 하자. <math>Z</math> 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 <math>d(Y)</math>인 [[정렬 전순서 집합]]을 이룬다. 또한, 임의의 [[상집합]] <math>S\subseteq Z</math>에 대하여, 그 [[최소 원소]]가 <math>\min S=y_\alpha</math>라고 하면,
:<math>S=\{y_\beta\colon\alpha\le\beta<d(Y)\}=Z\cap(Y\setminus\operatorname{cl}\{y_\beta\colon\beta<\alpha\})</math>
이므로, <math>S\subseteq Z</math>는 [[열린집합]]이다. 따라서,
:<math>d(Y)=|S|\le z(X)</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 수슬린 수 ===
{{본문|강하향 반사슬}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>이 주어졌을 때, [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}</math>의 [[강하향 반사슬]]들은 정확히 <math>X</math>의 [[공집합]]이 아닌 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들로 이루어진 [[집합족]]들이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''수슬린 수'''({{llang|en|Suslin number}}) 또는 '''세포도'''({{llang|en|cellularity}}) <math>c(X)</math>는 <math>\operatorname{Open}(X)\setminus\{\varnothing\}</math>의 [[강하향 반사슬]]의 [[집합의 크기|크기]]의 [[상한]]이다.

==== 유전적 수슬린 수 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''유전적 수슬린 수'''({{llang|en|hereditary Suslin number, hereditary cellularity}}) <math>c^*(X)</math> 또는 '''퍼짐'''({{llang|en|spread}}) <math>s(X)</math>의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이는 서로 [[동치]]이다.
* <math>c^*(X)</math>는 <math>X</math>의 [[부분 집합]]의 수슬린 수의 [[상한]]이다.
*:<math>c^*(X)=\sup_{Y\subseteq X}c(Y)</math>
* <math>s(X)</math>는 <math>X</math>의 [[이산 공간|이산 집합]]의 [[집합의 크기|크기]]의 [[상한]]이다.
즉,
:<math>c^*(X)=s(X)</math>
이다.
{{증명}}
<math>c^*(X)\le s(X)</math>의 증명. <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math> 및 <math>Y</math>의 [[공집합]]이 아닌 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(Y)</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여
:<math>x_U\in U</math>
를 고르면,
:<math>D=\{x_U\colon U\in\mathcal U\}\subseteq Y\subseteq X</math>
는 <math>X</math>의 [[부분 집합]]이며, 또한 [[이산 공간]]이다.

<math>c^*(X)\ge s(X)</math>의 증명. <math>X</math>의 [[이산 공간|이산 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathcal U=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq\operatorname{Open}(D)</math>
는 <math>D</math>의 [[공집합]]이 아닌 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들의 [[집합족]]이다.
{{증명 끝}}

=== 린델뢰프 수 ===
{{본문|린델뢰프 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 임의의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>에 대하여, <math>L(\mathcal U)</math>가 그 부분 덮개의 최소 크기라고 하자.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''린델뢰프 수'''({{llang|en|Lindelöf number}}) <math>L(X)</math>는 다음과 같다.
:<math>L(X)=\sup_{\mathcal U}L(\mathcal U)</math>
'''[[린델뢰프 공간]]'''은 <math>L(X)\le\aleph_0</math>인 위상 공간이다.

==== 유전적 린델뢰프 수 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''유전적 린델뢰프 수'''({{llang|en|hereditary Lindelöf number}}) <math>L^*(X)</math> 또는 '''높이'''({{llang|en|height}}) <math>h(X)</math>의 정의는 다음 두 가지가 있으며, 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.
* <math>L^*(X)</math>는 <math>X</math>의 [[부분 집합]]의 린델뢰프 수의 [[상한]]이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 <math>\aleph_0</math>을 취한다).
*:<math>L^*(X)=\max\left\{\aleph_0,\sup_{Y\subseteq X}L(Y)\right\}</math>
* <math>h(X)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>의 [[집합의 크기|크기]]의 [[상한]]이다 (이 상한이 유한한 경우 대신 <math>\aleph_0</math>을 취한다).
** 모든 [[하집합]]이 [[열린집합]]이 되는 <math>Y</math> 위의 [[정렬 전순서]]가 존재한다.
즉,
:<math>L^*(X)=h(X)</math>
이다. 유한한 상한을 허용할 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다. (반례로 [[시에르핀스키 공간]]이 있다.)
{{증명}}
<math>L^*(X)\ge h(X)</math>의 증명. <math>Y\subseteq X</math>가 [[부분 집합]]이며, <math>\le</math>가 <math>Y</math> 위의 [[정렬 전순서]]이며, <math>Y</math>의 모든 [[하집합]]이 <math>Y</math>의 [[열린집합]]이라고 하자. <math>|Y|\le L^*(X)</math>를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa<|Y|</math>에 대하여 <math>\kappa^+\le L^*(X)</math>임을 보이면 충분하다. <math>\alpha</math>가 <math>(Y,\le)</math>의 순서형이라고 하자. <math>\kappa^+\le|Y|\le\alpha</math>이므로, 순서형이 <math>\kappa^+</math>인 부분 집합
:<math>Z\subseteq Y</math>
가 존재한다. <math>Z</math>의 모든 [[하집합]] 역시 <math>Z</math>의 [[열린집합]]임을 쉽게 알 수 있다. <math>\kappa^+=|Z|</math>는 [[무한 기수]]의 [[따름 기수]]이므로, [[정칙 기수]]이다. 따라서, <math>Z</math>의 [[열린 덮개]]
:<math>\mathcal U=\{\mathop\downarrow z\setminus\mathop\uparrow z\colon z\in Z\}</math>
의 모든 부분 덮개의 크기는 <math>\kappa^+</math>이다. 즉,
:<math>\kappa^+=L(\mathcal U)\le L(Z)\le L^*(X)</math>
이다.

<math>L^*(X)\le h(X)</math>의 증명. 임의의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math> 및 [[무한 기수]] <math>\kappa<L(Y)</math>에 대하여, <math>\kappa^+\le h(X)</math>임을 보이면 충분하다. <math>L(\mathcal U)>\kappa</math>인 <math>Y</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U</math>를 고르자. [[초한 귀납법]]에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 <math>(y_\alpha)_{\alpha<\kappa^+}\subseteq Y</math> 및 <math>(U_\alpha)_{\alpha<\kappa^+}\subseteq\mathcal U</math>을 만들 수 있다.
:<math>y_\alpha\in Y\setminus\bigcup_{\beta<\alpha}U_\beta\qquad(\forall\alpha<\kappa^+)</math>
이제,
:<math>Z=\{y_\alpha\colon\alpha<\kappa^+\}\subseteq Y</math>
라고 하자. <math>Z</math>는 자연스럽게 순서형이 <math>\kappa^+</math>인 [[정렬 전순서 집합]]을 이룬다. 또한, <math>Z</math>의 임의의 [[하집합]]
:<math>S=\bigcup_{y_\alpha\in S}\{y_\beta\colon\beta\le\alpha\}=\bigcup_{y_\alpha\in S}\left(Z\cap\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta\right)=Z\cap\bigcup_{y_\alpha\in S}\bigcup_{\beta\le\alpha}U_\beta</math>
은 <math>Z</math>의 [[열린집합]]이다. 따라서,
:<math>\kappa^+=|Z|\le h(X)</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 지표 ===
{{본문|제1 가산 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''국소 지표'''({{llang|en|local character}}) <math>\chi(S,X)</math>는 <math>S</math>의 [[국소 기저]]의 최소 크기이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''지표'''({{llang|en|character}}) <math>\chi(X)</math>는 모든 점의 국소 지표의 [[상한]]이다.
:<math>\chi(X)=\sup_{x\in X}\chi(x,X)</math>
'''[[제1 가산 공간]]'''은 <math>\chi(X)\le\aleph_0</math>인 위상 공간이다.

마찬가지로, 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.
{| class="wikitable"
! 집합족의 조건 !! 개념 !! 기호
|-
| [[국소 기저]] || (국소) 지표 || <math>\chi</math>
|-
| 국소 유사 기저 || (국소) 유사 지표 || <math>\psi</math>
|-
| 국소 π-기저 || (국소) π-지표 || <math>\pi\chi</math>
|}

==== 유사 지표 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''국소 유사 기저'''({{llang|en|local pseudo-base}}) 또는 '''국소 ψ-기저'''({{llang|en|local ψ-base}})는 다음 조건을 만족시키는 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>이다.
:<math>S=\bigcap\mathcal B</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''국소 유사 지표'''({{llang|en|local pseudo-character}}) 또는 '''국소 ψ-지표'''({{llang|en|local ψ-character}}) <math>\psi(S,X)</math>는 <math>S</math>의 국소 유사 기저의 최소 크기이다.

[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>의 '''유사 지표'''({{llang|en|pseudo-character}}) 또는 '''ψ-지표'''({{llang|en|ψ-character}}) <math>\psi(X)</math>는 모든 점의 국소 유사 지표의 [[상한]]이다.
:<math>\psi(X)=\sup_{x\in X}\psi(x,X)</math>

==== π-지표 ====
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''국소 π-기저'''({{llang|en|local π-base}})는 다음 조건을 만족시키는 [[열린집합]]들의 [[집합족]] <math>\mathcal B\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>이다.
* <math>\varnothing\not\in\mathcal B</math>이며, <math>x</math>의 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>B\subseteq U</math>인 <math>B\in\mathcal B</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''국소 π-지표'''({{llang|en|local π-character}}) <math>\pi\chi(x,X)</math>는 <math>x</math>의 국소 π-기저의 최소 크기이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''π-지표'''({{llang|en|π-character}})는 <math>\pi\chi(X)</math>는 모든 점의 국소 π-지표의 [[상한]]이다.
:<math>\pi\chi(X)=\sup_{x\in X}\pi\chi(x,X)</math>

=== 밀착도 ===
{{본문|가산 생성 공간}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math> 및 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 점 <math>x\in\operatorname{cl}S</math>에 대하여, <math>t(x,S,X)</math>가 <math>x\in\operatorname{cl}T</math>인 <math>T\subseteq S</math>의 최소 크기라고 하자.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''국소 밀착도'''({{llang|en|local tightness}})는 다음과 같다.
:<math>t(x,X)=\sup_{x\in\operatorname{cl}S\subseteq X}t(x,S,X)</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''밀착도'''({{llang|en|tightness}})는 <math>t(X)</math>는 모든 점의 국소 밀착도의 [[상한]]이다.
:<math>t(X)=\sup_{x\in X}t(x,X)</math>

'''[[가산 생성 공간]]'''은 <math>t(X)\le\aleph_0</math>인 위상 공간이다.

== 성질 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>이 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) <math>c(X)\le d(X)\le\pi(X)\le w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le\min\{2^{|X|},2^{nw(X)}\}</math>
* (ㄴ) <math>\max\{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le\min\{|X|,w(X)\}</math>
* (ㄷ) <math>\max\{t(x,X),\pi\chi(x,X)\}\le\chi(x,X)\qquad(x\in X)</math>
* (ㄹ) <math>\max\{t(X),\pi\chi(X)\}\le\chi(X)\le w(X)\le|X|\chi(X)</math>
* (ㅁ) <math>\pi\chi(X)\le\pi(X)\le d(X)\pi\chi(X)</math>
* (ㅂ) <math>t(X)\le|X|</math>
* (ㅅ) <math>\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\min\{\pi(X)^{c(X)},2^{d(X)}\}</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
<math>c(X)\le d(X)</math>의 증명. <math>\mathcal U\subseteq\operatorname{Open}(X)</math>가 [[공집합]]이 아닌 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]들의 [[집합족]]이라고 하자. <math>D\subseteq X</math>가 [[조밀 집합]]이라고 하자. <math>|\mathcal U|\le|D|</math>임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 <math>U\in\mathcal U</math>에 대하여
:<math>x_U\in U\cap D</math>
를 고를 수 있다. <math>\mathcal U</math>가 서로소이므로, <math>U\mapsto x_U</math>는 <math>\mathcal U\to D</math> [[단사 함수]]이다. 따라서 <math>|\mathcal U|\le|D|</math>이다.

<math>d(X)\le\pi(X)</math>의 증명. <math>\mathcal B</math>가 <math>X</math>의 π-기저라고 하자. <math>|D|\le|\mathcal B|</math>인 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>를 찾으면 족하다. 임의의 <math>B\in\mathcal B</math>에 대하여 <math>x_B\in B</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>D=\{x_B\colon B\in\mathcal B\}\subseteq X</math>
는 [[조밀 집합]]이며, <math>|D|\le|B|</math>이다.

<math>\pi(X)\le w(X)</math>의 증명. 모든 [[기저 (위상수학)|기저]]는 π-기저이므로 자명하다.

<math>w(X)\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|</math>의 증명. <math>\operatorname{Open}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이루므로 자명하다.

<math>\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{|X|}</math>의 증명. <math>\operatorname{Open}(X)\le\mathcal P(X)</math>이므로 자명하다.

<math>\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{nw(X)}</math>의 증명. <math>\mathcal N</math>이 <math>X</math>의 망이라고 하자. <math>\left|\operatorname{Open}(X)\right|\le 2^{|\mathcal N|}</math>임을 보이면 족하다. 이는
:<math>\mathcal P(\mathcal N)\to\operatorname{Open}(X)</math>
:<math>\mathcal S\mapsto\bigcup\mathcal S</math>
가 [[전사 함수]]이므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄴ}}
<math>\max\{d(X),L(X)\}\le nw(X)\le\min\{|X|,w(X)\}</math>
<math>d(X)\le nw(X)</math>의 증명. <math>\mathcal N</math>이 <math>X</math>의 망이라고 하자. <math>|D|\le|\mathcal N|</math>인 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>를 찾으면 족하다. 임의의 <math>N\in\mathcal N</math>에 대하여 <math>x_N\in\mathcal N</math>을 고르자. 그렇다면,
:<math>D=\{x_N\colon N\in\mathcal N\}\subseteq X</math>
는 [[조밀 집합]]이며, <math>|D|\le|\mathcal N|</math>이다.

<math>L(X)\le nw(X)</math>의 증명. <math>\mathcal N</math>이 <math>X</math>의 망이라고 하자. <math>\mathcal U</math>가 <math>X</math>의 [[열린 덮개]]라고 하자. <math>|\mathcal V|\le|\mathcal N|</math>인 부분 덮개 <math>\mathcal V\subseteq\mathcal U</math>를 찾으면 족하다.
:<math>\mathcal S=\{N\in\mathcal N\colon\exist U\in\mathcal U\colon N\subseteq U\}</math>
라고 하자. 임의의 <math>N\in\mathcal S</math>에 대하여
:<math>N\subseteq U_N</math>
인 <math>U_N\in\mathcal U</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>\mathcal V=\{U_N\colon N\in\mathcal N\}</math>
은 <math>\mathcal U</math>의 부분 덮개이며, <math>|\mathcal V|\le|\mathcal N|</math>이다.

<math>nw(X)\le|X|</math>의 증명. <math>\{\{x\}\colon x\in X\}</math>가 <math>X</math>의 망이므로 자명하다.

<math>nw(X)\le w(X)</math>의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄷ}}
<math>t(x,X)\le\chi(x,X)</math>의 증명. <math>\mathcal B</math>가 <math>x</math>의 [[국소 기저]]라고 하자. <math>S\subseteq X</math>이며 <math>x\in\operatorname{cl}S</math>라고 하자.
:<math>x\in\operatorname{cl}T</math>
:<math>|T|\le|\mathcal B|</math>
인 <math>T\subseteq S</math>를 찾으면 족하다. 임의의 <math>B\in\mathcal B</math>에 대하여, <math>x_B\in B\cap S</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>T=\{x_B\colon B\in\mathcal B\}\subseteq S</math>
는 위 조건들을 만족시킨다.

<math>\pi\chi(x,X)\le\chi(x,X)</math>의 증명. <math>x</math>의 임의의 [[국소 기저]] <math>\mathcal B</math>에 대하여,
:<math>\{\operatorname{int}B\colon B\in\mathcal B\}</math>
는 [[열린 근방]]들로 이루어진 [[국소 기저]]이며, 특히 <math>x</math>의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄹ}}
<math>\max\{t(X),\pi\chi(X)\}\le\chi(X)</math>의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

<math>\chi(X)\le w(X)</math>의 증명. <math>X</math>의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math> 및 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}</math>
는 <math>x</math>의 [[국소 기저]]이므로 자명하다.

<math>w(X)\le|X|\chi(X)</math>의 증명. 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 [[국소 기저]] <math>\mathcal B_x</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathcal B=\left\{\operatorname{int}B\colon B\in\bigcup_{x\in X}\mathcal B_x\right\}</math>
는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㅁ}}
<math>\pi\chi(X)\le\pi(X)</math>의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

<math>\pi(X)\le d(X)\pi\chi(X)</math>의 증명. 모든 점 <math>x\in X</math>에 대하여 국소 π-기저 <math>\mathcal B_x</math>가 주어졌고, 임의의 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌을 때,
:<math>\mathcal B=\bigcup_{x\in D}\mathcal B_x</math>
는 <math>X</math>의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㅂ}}
임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여 <math>|S|\le|X|</math>이므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㅅ}}
<math>\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le\pi(X)^{c(X)}</math>의 증명. <math>X</math>의 임의의 π-기저 <math>\mathcal B\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal B</math>의 크기 <math>c(X)</math> 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 [[단사 함수]]
:<math>\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P_{\le c(X)}(\mathcal B)</math>
를 찾으면 족하다. 임의의 [[정칙 닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\mathcal U_F\subseteq\mathcal B</math>
가 <math>U\subseteq\operatorname{int}F</math>인 <math>\mathcal B</math> 속의 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]] <math>U\in\mathcal B</math>들로 구성된 [[집합족]] 가운데 [[극대 원소]]인 하나라고 하자. (이는 [[초른 보조정리]]에 따라 존재하며, [[선택 공리]]에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수
:<math>F\mapsto\mathcal U_F</math>
를 생각하자. 자명하게 <math>|\mathcal U_F|\le c(X)</math>이다. 만약 <math>\mathcal U_E=\mathcal U_F</math>라면,
:<math>E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_E=\operatorname{cl}\bigcup\mathcal U_F=F</math>
이다. 따라서, 이 함수는 [[단사 함수]]이다.

<math>\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|\le 2^{d(X)}</math>의 증명. 임의의 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. [[단사 함수]]
:<math>\operatorname{RegClsd}(X)\to\mathcal P(D)</math>
를 찾으면 족하다. 함수
:<math>F\mapsto F\cap D</math>
를 생각하자. 만약 <math>E\cap D=F\cap D</math>라면,
:<math>E=\operatorname{cl}U</math>
:<math>F=\operatorname{cl}V</math>
인 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>를 골랐을 때,
:<math>E=\operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}U\cap D)=\operatorname{cl}(E\cap D)=\operatorname{cl}(F\cap D)=\operatorname{cl}(\operatorname{cl}V\cap D)=\operatorname{cl}V=F</math>
이다. 따라서 이 함수는 [[단사 함수]]이다.
{{증명 끝}}

[[콜모고로프 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) <math>|X|\le 2^{w(X)}</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
<math>X</math>의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. [[단사 함수]]
:<math>X\to\mathcal P(\mathcal B)</math>
를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수
:<math>x\mapsto\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}</math>
는 [[단사 함수]]이다.
{{증명 끝}}

[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) <math>\psi w(X)\le\min\{|X|,w(X)\}\le|X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|</math>
* (ㄴ) <math>\psi(x,X)\le\chi(x,X)\qquad(x\in X)</math>
* (ㄷ) <math>\psi(X)\le\min\{\chi(X),\psi w(X)\}</math>
* (ㄹ) <math>|X|\le\min\{2^{\psi w(X)},nw(X)^{\psi(X)}\}</math>
* (ㅁ) <math>nw(X)\le\psi w(X)^{L(X)}</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
<math>\psi w(X)\le|X|</math>의 증명. T<sub>1</sub> 조건에 따라 <math>\{X\setminus\{x\}\colon x\in X\}</math>가 <math>X</math>의 유사 기저이므로 자명하다.

<math>\psi w(X)\le w(X)</math>의 증명. T<sub>1</sub> 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

<math>|X|\le\left|\operatorname{Open}(X)\right|</math>의 증명. T<sub>1</sub> 조건에 따라 모든 <math>X\setminus\{x\}</math>은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄴ}}
T<sub>1</sub> 조건에 따라 <math>x</math>의 모든 [[국소 기저]]는 국소 유사 기저이므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄷ}}
<math>\psi(X)\le\chi(X)</math>의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

<math>\psi(X)\le\psi w(X)</math>의 증명. <math>X</math>의 임의의 유사 기저 <math>\mathcal B</math> 및 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}</math>
는 <math>x</math>의 국소 유사 기저이므로 자명하다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄹ}}
<math>|X|\le 2^{\psi w(X)}</math>의 증명. <math>X</math>의 임의의 유사 기저 <math>\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. [[단사 함수]]
:<math>X\to\mathcal P(\mathcal B)</math>
를 찾으면 족하다. 함수
:<math>x\mapsto\mathcal\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}</math>
를 생각하자. 만약 <math>\{B\in\mathcal B\colon x\in B\}=\{B\in\mathcal B\colon y\in B\}</math>라면,
:<math>\{x\}=\bigcap_{x\in B\in\mathcal B}B=\bigcap_{y\in B\in\mathcal B}B=\{y\}</math>
이다. 따라서, 이 함수는 [[단사 함수]]이다.

<math>|X|\le nw(X)^{\psi(X)}</math>의 증명. <math>X</math>의 임의의 망 <math>\mathcal N</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathcal N</math>의 크기 <math>\psi(X)</math> 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 [[단사 함수]]
:<math>X\mapsto\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N)</math>
를 찾으면 족하다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|\mathcal B_x|\le\psi(X)</math>인 <math>x</math>의 국소 유사 기저 <math>\mathcal B_x</math>를 고르자. 임의의 <math>x\in X</math> 및 <math>B\in\mathcal B_p</math>에 대하여, <math>x\in N_{x,B}\subseteq B</math>인 <math>N_{x,B}\in\mathcal N</math>을 고르자. 이제, 함수
:<math>x\mapsto\mathcal S_x=\{N_{x,B}\colon B\in\mathcal B\}\subseteq\mathcal N</math>
생각하자. (<math>|\mathcal S_x|\le|\mathcal B_x|\le\psi(X)</math>이므로 <math>\mathcal S_x\in\mathcal P_{\le\psi(X)}(\mathcal N)</math>이다.) 만약 <math>\mathcal S_x=\mathcal S_y</math>라면,
:<math>\{x\}=\bigcap\mathcal B_x=\bigcap\mathcal S_x=\bigcap\mathcal S_y=\bigcap\mathcal B_y=\{y\}</math>
이다. 따라서 이 함수는 [[단사 함수]]이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㅁ}}
<math>X</math>의 임의의 유사 기저 <math>\mathcal B</math>에 대하여,
:<math>\mathcal N=\left\{X\setminus\bigcup\mathcal S\colon\mathcal S\subseteq\mathcal B,\;|\mathcal S|\le L(X)\right\}</math>
는 <math>X</math>의 망을 이루며,
:<math>|\mathcal N|\le|\mathcal B|^{L(X)}</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) <math>|X|\le\min\{2^{2^{d(X)}},d(X)^{\chi(X)}\}</math>
* (ㄴ) <math>\psi w(X)\le\min\{\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|,nw(X)\}</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
<math>|X|\le 2^{2^{d(X)}}</math>의 증명. 임의의 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. [[단사 함수]]
:<math>X\to\mathcal P(\mathcal P(D))</math>
를 찾으면 족하다. 함수
:<math>x\mapsto\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\}</math>
를 생각하자. 만약
:<math>\{U\cap D\colon x\in U\in\operatorname{Open}(X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in\operatorname{Open}(X)\}</math>
라면, 하우스도르프 조건에 따라
:<math>\{x\}=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{y\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}(U\cap D)=\bigcap_{x\in U\in\operatorname{Open}(X)}\operatorname{cl}U=\{y\}</math>
이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 <math>\operatorname{cl}U=\operatorname{cl}(U\cap D)</math>이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 [[단사 함수]]이다.

<math>|X|\le d(X)^{\chi(X)}</math>의 증명. 만약 <math>\chi(X)<\aleph_0</math>이라면, <math>X</math>는 [[이산 공간]]이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, <math>\chi(X)\ge\aleph_0</math>이라고 하자. 임의의 [[조밀 집합]] <math>D\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. [[단사 함수]]
:<math>X\to\mathcal P_{\le\chi(X)}(\mathcal P_{\le\chi(X)}(D))</math>
를 찾으면 족하다. 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|\mathcal B_x|\le\chi(X)</math>인 [[국소 기저]] <math>\mathcal B_x</math>를 고르자. 임의의 <math>B\in\mathcal B_x</math>에 대하여
:<math>s_{x,B}\in B\cap D</math>
를 고르고,
:<math>S_x=\{s_{x,B}\colon B\in\mathcal B_x\}\subseteq D</math>
:<math>\mathcal A_x=\{B\cap S_x\colon B\in\mathcal B_x\}\subseteq\mathcal P(S_x)\subseteq\mathcal P(D)</math>
라고 하자. 이제, 함수
:<math>x\mapsto\mathcal A_x</math>
를 생각하자. 자명하게
:<math>|S_x|\le\chi (X)</math>
:<math>|\mathcal A_x|\le\chi(X)</math>
이다. 하우스도르프 조건에 따라
:<math>\{x\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}B\supseteq\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)\supseteq\{x\}</math>
이다. 따라서, 만약
:<math>\mathcal A_x=\mathcal A_y</math>
라면,
:<math>\{x\}=\bigcap_{B\in\mathcal B_x}\operatorname{cl}(B\cap S_x)=\bigcap_{B\in\mathcal B_y}\operatorname{cl}(B\cap S_y)=\{y\}</math>
이다. 즉, 이 함수는 [[단사 함수]]이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=ㄴ}}
<math>\psi w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|</math>의 증명. [[하우스도르프 공간]]에서, [[정칙 닫힌집합]]들은 유사 기저를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

<math>\psi w(X)\le nw(X)</math>의 증명. 만약 <math>nw(X)<\aleph_0</math>라면, <math>X</math>는 [[유한 집합|유한]] [[이산 공간]]이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, <math>nw(X)\ge\aleph_0</math>이라고 하자. <math>X</math>의 임의의 망 <math>\mathcal N</math>이 주어졌다고 하자. <math>|\mathcal B|\le|\mathcal N|</math>인 유사 기저 <math>\mathcal B</math>를 찾으면 족하다.
:<math>\mathcal S=\{(M,N)\in\mathcal N\times\mathcal N\colon \exists U,V\in\operatorname{Open}(X)\colon M\subseteq U,\;N\subseteq V,\;U\cap V=\varnothing\}</math>
라고 하자. 임의의 <math>(M,N)\in\mathcal S</math>에 대하여,
:<math>M\subseteq U_{(M,N)}</math>
:<math>N\subseteq V_{(M,N)}</math>
:<math>U_{(M,N)}\cap V_{(M,N)}=\varnothing</math>
인 [[열린집합]] <math>U_{(M,N)},V_{(M,N)}\subseteq X</math>를 고르자. 그렇다면, 하우스도르프 조건에 따라,
:<math>\mathcal B=\{U_{(M,N)}\colon(M,N)\in\mathcal S\}</math>
는 유사 기저임을 알 수 있다. 또한, 자명하게
:<math>|\mathcal B|\le|\mathcal N|^2=|\mathcal N|</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* <math>w(X)\le\left|\operatorname{RegOpen}(X)\right|</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
[[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]에서, [[정칙 열린집합]]들은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.
{{증명 끝}}

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* (ㄱ) <math>nw(X)\le\psi w(X)</math>
{{증명|부제=ㄱ}}
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]에 대한 명제 (ㅁ)의 증명과 유사하다.
{{증명 끝}}

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에서, 다음이 성립한다.
* <math>\psi(X)=\chi(X)</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
* <math>w(Y)\le w(X)</math>
* <math>nw(Y)\le nw(X)</math>
* <math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]일 때, <math>\psi w(Y)\le \psi w(X)</math>
* <math>\chi(Y)\le\chi(X)</math>
* <math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]일 때, <math>\psi(Y)\le\psi(X)</math>
* <math>t(Y)\le t(X)</math>

만약 <math>f\colon X\to Y</math>가 [[닫힌 함수|닫힌]] [[연속 함수|연속]] [[전사 함수]]라면, 다음이 성립한다.
* <math>t(Y)\le t(X)</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Juhász
|이름1=István
|제목=Cardinal functions in topology—ten years later
|언어=en
|판=2
|총서=Mathematical Centre Tracts
|권=123
|출판사=Mathematisch Centrum
|위치=Amsterdam
|날짜=1980
|isbn=90-6196-196-3
|mr=0576927
|zbl=0479.54001
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Suslin condition}}
* {{eom|제목=Cardinal characteristic}}

[[분류:일반위상수학]]