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[[파일:Quadrilateral venn diagram.svg|섬네일|사각형]]
[[기하학]]에서 '''사각형'''(四角形, {{llang|en|quadrilateral}})은 [[평면]] 위 4개의 [[선분]]으로 둘러싸인 [[도형]]이다. 이 선분들을 사각형의 변이라고 하고, 두 선분의 공통 끝점을 사각형의 꼭짓점이라고 한다. 사각형은 [[다각형]]에서 변과 꼭짓점이 각각 4개인 경우이며, 다른 다각형과 같이, 네 선분으로 구성된 닫힌 꺾은선으로 정의되거나, 이들을 경계로 하는 닫힌 영역으로 정의된다. (여기서 닫힌 꺾은선은 꺾은선의 양 끝점을 이어 끝점의 구분이 없어졌다는 뜻이며, 닫힌 영역은 이 집합이 경계를 포함한다는 뜻이다.) 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형을 '''단순 사각형'''이라고 부른다. 단순 사각형은 모든 [[내각과 외각|내각]]이 180도보다 작은 경우와 180도보다 큰 내각을 갖는 경우로 분류된다. 전자를 '''볼록 사각형'''이라고 하고, 후자를 '''오목 사각형'''이라고 한다. 볼록 사각형의 경계 위 두 점 사이의 선분은 항상 사각형 내부에 포함되며, 오목 사각형은 이러한 성질을 만족시키지 않는다. 사각형이라는 용어는 흔히 볼록 사각형만을 가리킨다. 사각형의 네 꼭짓점이 한 평면 위의 점이 아닐 수 있도록 허용하면 꼬인사변형의 개념을 얻는다. 꼬인사변형은 일반적으로 사각형에 포함시키지 않는다.

{{다각형 정보|image=Square definition.svg|dual=[[평행사변형]]|type=다각형|edges=4}}

[[단순 다각형|단순 사각형]]의 4개의 내각의 합은 항상 360도이다. 이는 단순 <math>n</math>각형의 내각의 합이 항상 <math>180(n-2)</math>도라는 사실의 특수한 경우이다. [[사다리꼴]]과 [[평행 사변형]], [[직사각형]], [[마름모]], [[정사각형]]은 볼록 사각형의 일부 기초적인 종류이다. 예를 들어, 평행 사변형은 마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하는 사각형이며, 직사각형은 모든 내각이 직각인 사각형이다. 앞에 나온 종류는 뒤에 나온 종류에 포함된다. 예를 들어, 모든 직사각형은 평행 사변형이다. 이는 모든 내각이 직각인 사각형의 각 쌍의 대변은 평행한다는 말과 같다. 단순 사각형의 [[넓이]]는 일상적인 의미와 일치한다. 예를 들어, 직사각형의 넓이는 가로변과 세로변의 길이의 곱이며, 보다 일반적으로 평행 사변형의 넓이는 밑변의 길이와 [[높이 (기하학)|높이]]의 길이의 곱이다. 그 밖에도 사각형의 많은 성질들이 발견되었다. [[바리뇽 정리 (기하학)|바리뇽 정리]]에 따르면, 사각형의 네 변의 중점을 연결하면 [[평행 사변형]]을 얻는다. 이는 [[삼각형]]에 대한 [[중점 연결 정리]]를 통해 증명할 수 있으며, 볼록 사각형이나 단순 사각형에 국한되지 않고 심지어 [[꼬인사변형|꼬인 사각형]]에서도 성립한다.

'''사변형'''(四邊形)이라는 용어는 사각형을 대신할 수 있으나, [[사영 기하학]]에서는 사각형과 관련된 다른 의미로 쓰인다.

== 정의 ==
'''사각형'''은 변이 4개인 (따라서 꼭짓점도 4개인) [[다각형]]으로 정의된다. 구체적으로, [[평면]] 위 네 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>가 [[공선점]]인 세 점을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면 사각형 <math>ABCD</math>는 선분 <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, <math>DA</math>으로 둘러싸인 도형으로 정의된다.

이 네 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>를 사각형 <math>ABCD</math>의 '''[[다각형#정의|꼭짓점]]'''이라고 하고, 이 네 선분 <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, <math>DA</math>를 사각형 <math>ABCD</math>의 '''[[다각형#정의|변]]'''이라고 한다. 사각형의 두 변이 같은 꼭짓점을 공유하면 두 변을 서로 '''이웃변'''이라고 하고, 반대로 공통 꼭짓점을 갖지 않을 경우 '''대변'''이라고 한다. 즉, 사각형 <math>ABCD</math>의 네 쌍의 이웃변은 <math>AB</math>와 <math>BC</math>, <math>BC</math>와 <math>CD</math>, <math>CD</math>와 <math>DA</math>, <math>DA</math>와 <math>AD</math>이고, 두 쌍의 대변은 <math>AB</math>와 <math>CD</math>, <math>AD</math>와 <math>BC</math>이다. 사각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분 가운데 변이 아닌 것들을 사각형의 '''[[대각선]]'''이라고 한다. 즉, 사각형 <math>ABCD</math>의 두 대각선은 선분 <math>AC</math>와 <math>BD</math>이다. 이것은 또한 사각형의 종류와 성질을 이용하여 특정 조건을 만족하면 ○, 그렇지 않으면 ×로 나타낼 수 있다. 이에 따라 나타내어보면 각각 다음과 같다.

또한 그 외에도 사각형의 다른 조건을 만족하는지 아닌지에 대한 경우는 아래의 표와 같다.
{{글 숨김|사각형의 분류에 따른 성질 표}}
{| class="wikitable"
|-
! 조건을 항상 만족하는 경우만 '예'에 해당함 || [[정사각형]] || [[직사각형]] || [[마름모]] || [[평행사변형]] || [[등변사다리꼴]] || [[사다리꼴]] || [[연꼴]]
|-
! [[변 (수학)|변]]의 [[길이]]가 모두 같은가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! [[각 (수학)|각]]의 크기가 모두 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 한 쌍의 대변이 [[평행]]한가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}}
|-
! 두 쌍의 대변이 평행한가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 한 쌍의 대변의 길이가 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 한 쌍의 대각의 크기가 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 밑변의 두 밑각의 크기가 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 꼭지각의 두 변의 길이가 같은가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 두 [[대각선]]이 [[중점 (기하학)|중점]]에서 교차하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 두 [[대각선]]이 서로 [[수직]]인가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 두 [[대각선]]의 [[길이]]가 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 두 [[대각선]]이 서로를 [[이등분]]하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 두 [[대각선]] 중 다른 대각선을 [[이등분]]하는 것이 존재하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 한 [[대각선]]이 도형을 [[이등분]]하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 두 [[대각선]]이 도형을 사등분하는가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선이 도형을 [[이등분]]하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! [[합동 (기하학)|합동]]인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 두 [[대각선]] 중 적어도 하나에 대해 대칭인가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}}
|-
! 한 쌍의 대변의 중점을 연결한 두 직선 중 적어도 하나에 대하여 대칭인가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 이웃한 두 내각의 합이 180°인가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 이웃한 두 변의 [[길이]]의 합이 각각 같은가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! [[외접원]]이 존재하는가?
| {{Yes}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}}
|-
! [[내접원]]이 존재하는가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! [[자기쌍대]]인가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|-
! 항상 서로 닮음 관계인가?
| {{Yes}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}} || {{No}}
|}
{{글 숨김 끝}}
[[정사각형]]만이 유일하게 위의 모든 조건을 만족하며, 2차원 이상의 도형 중에서는 유일하게 [[초입방체]]이면서 [[정축체]]이다. 반면 [[사다리꼴]]은 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의를 제외하고는 어떤 조건도 항상 만족하지는 않는다.

== 분류 ==
사각형은 다음과 같이 분류된다.
* '''단순 사각형''': 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형
** '''볼록 사각형''': 둘레 위의 두 점 사이의 선분이 항상 사각형 내부에 포함되는 사각형
** '''오목 사각형''': 볼록 사각형이 아닌 사각형
* '''교차 사각형''': 단순 사각형이 아닌 사각형
즉, 임의의 사각형은 볼록 사각형과 오목 사각형, 교차 사각형 가운데 정확히 하나에 속한다.

{{사각형}}
단순 사각형의 일부 종류는 다음과 같다.
* '''[[사다리꼴]]''': 한 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형
* '''[[연꼴]]''': 각 변이 이웃한 두 변 중 적어도 하나와 길이가 같은 단순 사각형
* '''[[평행 사변형]]''': 두 쌍의 대변이 평행한 단순 사각형
* '''[[등변 사다리꼴]]''': 평행한 한 쌍의 변 중 하나의 양 밑각의 크기가 같은 사다리꼴
* '''[[직사각형]]''': 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형
* '''[[마름모]]''': 네 변의 길이가 모두 같은 단순 사각형
* '''[[정사각형]]''': 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각이 모두 직각인 단순 사각형
명칭이 따로 붙어있는 사각형 중에선 연꼴이 오목 사각형일 수 있는 점을 제외하면 모두 볼록 사각형이다. 이들 종류 사이의 함의 관계는 다음과 같다.
[[파일:Quadrilateral_venn_diagram.svg]]

== 성질 ==
=== 대각선 ===
볼록 사각형의 두 대각선은 사각형 내부에 포함된다.<ref name="Coxeter" />{{rp|52, §3.1}} 오목 사각형의 두 대각선 가운데 하나는 사각형 내부에 포함되고 하나는 사각형 외부에 포함된다.<ref name="Coxeter" />{{rp|52, §3.1}} 교차 사각형의 두 대각선은 사각형 외부에 포함된다.<ref name="Coxeter" />{{rp|52, §3.1}}

=== 넓이 ===
사각형의 두 대각선의 길이를 <math>e</math>, <math>f</math>라고 하고 두 대각선 사이의 각의 크기를 <math>\theta</math>라고 할 경우, 넓이는
:<math>S=\frac 12ef\sin\theta</math>
이다.

사각형의 두 대각선의 중점과 한 쌍의 대변의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/4이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/4이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|55, §3.1, Theorem 3.14}}

사각형 <math>ABCD</math>의 네 변 <math>AB</math>, <math>BC</math>, <math>CD</math>, <math>DA</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]을 각각 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>라고 하자. [[바리뇽 정리 (기하학)|바리뇽 정리]]에 따르면, 사각형 <math>PQRS</math>는 [[평행 사변형]]이다. 또한, 이 평행 사변형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/2이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/2이다.<ref name="Coxeter" />{{rp|53, §3.1, Theorem 3.11}}

==== 평행사변형의 넓이 ====
평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.<ref>{{웹 인용 |url=http://study.zum.com/book/17923 |제목=보관된 사본 |확인날짜=2021-01-06 |archive-date=2021-01-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210108203250/http://study.zum.com/book/17923 }}</ref>

평행사변형의 이웃한 두 변의 길이를 <math>a</math>, <math>b</math>라 하고, 그 끼인각을 <math>\theta</math>라 하면, 넓이는

:<math>S=ab\sin\theta</math>

이다. 이는 밑변을 <math>b</math>라고 하면, 높이는 <math>a\sin\theta</math>이기 때문이다.

=== 무게 중심 ===
{{참고|무게 중심 (기하학)#사각형}}
사각형의 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 직선과 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 [[공점선]]이며, 서로가 서로를 [[이등분]]한다.<ref name="Coxeter" />{{rp|54, §3.1, Theorem 3.12}} 이들의 교점은 사각형의 네 꼭짓점의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]이다. 볼록 사각형일 경우 이 점을 이 사각형의 무게 중심으로 정의하나, 이는 일반적으로 사각형의 내부의 무게 중심과 일치하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[방형 (지리학)]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Quadrilateral|title=Quadrilateral}}

{{다각형}}
{{전거 통제}}

[[분류:사각형| ]]
[[분류:4]]