{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''바이어슈트라스 M-판정법'''({{llang|en|Weierstrass M-test}})은 [[함수항 급수]]가 [[균등 수렴]]할 [[충분 조건]]을 제시하는 [[수렴 판정법]]이다. [[멱급수]]를 다룰 때 유용하다.<ref name="Tao">{{서적 인용
|성1=Tao
|이름1=Terence
|저자링크=테런스 타오
|제목=Analysis I
|언어=en
|판=3
|총서=Texts and Readings in Mathematics
|권=37
|출판사=Springer
|위치=Singapore
|날짜=2016
|isbn=978-981-10-1789-6
|issn=2366-8725
|doi=10.1007/978-981-10-1789-6
|lccn=2016940817
}}</ref>

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

=== 실숫값 또는 복소숫값 함수항 급수 ===
[[집합]] <math>S</math> 및 [[함수열]] <math>f_n\colon S\to\mathbb K</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 <math>(M_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)</math>이 존재한다고 하자.
* 임의의 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>|f_n(s)|\le M_n</math>
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty</math>
'''바이어슈트라스 M-판정법'''에 따르면, 함수항 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>는 [[균등 수렴]]한다.
{{증명}}
임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n</math>의 부분합이 [[코시 수열]]이므로, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
:임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^n M_k\right|<\epsilon</math>
[[삼각 부등식]]에 따라, 임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|\le\sum_{k=m+1}^n|f_k(s)|\le\sum_{k=m+1}^nM_n<\epsilon</math>
이다. [[균등 수렴]]에 대한 [[코시 수렴 판정법]]에 따라, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.
{{증명 끝}}

=== 바나흐 공간 값의 함수항 급수 ===
보다 일반적으로, [[집합]] <math>S</math> 및 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(X,\Vert\cdot\Vert)</math> 및 [[함수열]] <math>f_n\colon S\to X</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)이 주어졌다고 하자. 또한, 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수의 열 <math>(M_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq[0,\infty)</math>이 존재한다고 하자.
* 임의의 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\Vert f_n(s)\Vert\le M_n</math>
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty</math>
'''바이어슈트라스 M-판정법'''에 따르면, 함수항 급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>는 [[균등 수렴]]한다.
{{증명}}
[[유계 함수]] <math>S\to X</math>의 [[벡터 공간]] <math>\mathcal B(S,X)</math> 위에 다음과 같은 [[상한 노름]]을 줄 수 있다.
:<math>\Vert f\Vert_\infty=\sup_{s\in S}\Vert f(s)\Vert\qquad(f\in\mathcal B(S,X))</math>
이 경우 <math>\mathcal B(S,X)</math>는 위 노름에 대하여 [[바나흐 공간]]을 이룬다 (증명: [[완비 거리 공간#완비 공간 값의 유계 함수]]).

각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\Vert f_n\Vert_\infty\le M_n</math>이며, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty</math>이므로, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty\Vert f_n\Vert_\infty<\infty</math>이다. 즉, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 (상한 노름에 대하여) [[절대 수렴]]한다. 따라서 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 (상한 노름에 대하여) 수렴한다. 즉, [[균등 수렴]]한다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
다음과 같은 함수열 <math>f_n\colon[0,\infty)\to\mathbb R</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>)을 생각하자.
:<math>f_n\colon x\mapsto x^2\exp(-nx)</math>
그렇다면
:<math>f_n'(x)=x\exp(-nx)(2-nx)</math>
이므로 각 <math>f_n</math>은 <math>\textstyle x=\frac 2n</math>에서 최댓값 <math>\textstyle\left(\frac 2n\right)^2\exp(-2)</math>을 가진다. <math>\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^2}<\infty</math>이므로, <math>\textstyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.

== 역사 ==
[[카를 바이어슈트라스]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[균등 수렴]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}: 148.

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:함수해석학]]