{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''순환 호몰로지'''(循環homology, {{llang|en|cyclic homology}})와 '''순환 코호몰로지'''(循環cohomology, {{llang|en|cyclic cohomology}})는 비가환일 수 있는 [[결합 대수]]에 대하여 정의되는 [[호몰로지]] · [[코호몰로지]] 이론이다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용| url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr83.pdf | 제목=Lectures on cyclic homology | 이름=Dale Harper| 성=Husemöller | 출판사=Tata Institute of Fundamental Research | 위치=[[뭄바이]] | 날짜=1991 | editor1-first=R. | editor1-last=Sujatha | isbn=3-540-54667-7 |zbl=0776.55001 | 언어=en}}
</ref><ref name="Khalkhali"/><ref>{{서적 인용|제목=An introduction to ''K''-theory and cyclic cohomology|arxiv=funct-an/9606001|날짜=1996|이름=Jacek|성=Brodzki|bibcode=1996funct.an..6001B|zbl=0919.19001|총서=Advanced Topics in Mathematics|위치=[[바르샤바]]|출판사=Państwowe Wydawnictwo Naukowe|언어=en}}</ref> [[드람 코호몰로지]]의 일종의 비가환 일반화이며, [[호흐실트 호몰로지]] · [[호흐실트 코호몰로지]]와 깊은 관계를 갖는다.

== 정의 ==
순환 (코)호몰로지는 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* [[결합 대수]]의 순환 (코)호몰로지는 [[호흐실트 호몰로지|호흐실트 (코)호몰로지]]를 정의하는 [[공사슬 복합체|(공)사슬 복합체]]의 특별한 부분 [[공사슬 복합체|(공)사슬 복합체]]의 [[코호몰로지|(코)호몰로지]]로 정의될 수 있다.
* 보다 일반적으로, 임의의 [[범주 (수학)|범주]] 속에서, [[단체 대상]]과 유사한 개념인 '''[[순환 대상]]'''의 개념을 정의할 수 있다. 이 개념을 사용하여, 순환 호몰로지는 어떤 특별한 [[Tor 함자]]로서 정의될 수 있다. 마찬가지로, 순환 코호몰로지는 어떤 특별한 [[Ext 함자]]로서 정의될 수 있다.

=== 순환 코호몰로지의 기초적 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. <math>A</math>는 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]을 이루며, 그 <math>K</math>-[[쌍대 가군]] <math>A^\vee=\hom_{\operatorname{Vect}_K}(A,K)</math> 역시 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]을 이룬다.

그렇다면, <math>A</math>의 '''호흐실트 공사슬 복합체'''({{llang|en|Hochschild cochain complex}})는 다음과 같은 <math>K</math>-[[공사슬 복합체]]이다.
:<math>C^n(A,A^\vee) = \hom_K(A^{\otimes n}, A^\vee)</math>
:<math>\mathrm d\colon C^n(A,A^\vee)\to C^n(A,A^\vee)</math>
:<math>\mathrm d\phi(a_0,\dotsc,a_{n+1}) = (-)^{n+1}\phi(a_{n+1}x_0,\dotsc,a_n) + \sum_{i=0}^n(-)^i\phi(a_0,\dotsc,a_ia_{i+1},\dotsc,a_{n+1})
</math>
그 [[코호몰로지]]는 <math>A^\vee</math> 계수의 [[호흐실트 코호몰로지]] <math>\operatorname{HH}^\bullet(A;A^\vee)</math>이다.

이제, 이 [[공사슬 복합체]] 위의, [[정의역]]의 원소의 [[순서쌍]] 성분들에 순환 [[순열]]을 가하는 [[공사슬 복합체]] [[자기 동형 사상]]
:<math>T\colon  C^\bullet(A;A^\vee) \to C^\bullet(A;A^\vee)</math>
:<math>T\phi(a_0,\dotsc,a_n) = (-)^n \phi(a_n,a_0,\dotsc,a_{n-1})</math>
을 생각하자.<ref name="Khalkhali"/>{{rp|286, Definition 2.1}} 이 [[자기 동형]]의 [[고정점]]으로 구성된 부분 [[벡터 공간]]
:<math>C_{\mathrm{cyc}}^\bullet(A) = \{\phi \in C^\bullet(A,A^\vee)\colon T\phi=\phi\}</math>
들은 공경계 사상 <math>\mathrm d</math>에 대하여 닫혀 있어, 부분 [[공사슬 복합체]]를 이룬다.<ref name="Khalkhali"/>{{rp|286, Lemma 2.1}} 그 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname{HC}^\bullet(A)</math>
를 <math>A</math>의 '''순환 코호몰로지'''라고 한다.<ref name="Khalkhali"/>{{rp|286, Definition 2.2}}

=== 순환 호몰로지의 기초적 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[텐서곱]] <math>A^{\otimes_Kn}</math>을 정의할 수 있으며, 이는 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]을 이룬다.

또한, 다음과 같은 '''호흐실트 경계 연산자'''(Hochschild境界演算子, {{llang|en|Hochschild boundary operator}})를 정의할 수 있다.<ref name="Loday"/>{{rp|8–9, §1.1.1}}
:<math>\partial\colon A^{\otimes_Kn}\to A^{\otimes_K(n-1)}</math>
:<math>\begin{aligned}
\partial \colon a_0\otimes_K\dotsb \otimes_Ka_n
\mapsto a_0a_1\otimes_Ka_2\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n + \sum_{i=1}^{n-1}(-)^i a_0\otimes_K\dotsb a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_Ka_n \\
\qquad + (-)^n a_na_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}
\end{aligned}</math>
그렇다면,
:<math>\partial^2 = 0</math>
이므로<ref name="Loday"/>{{rp|9, Lemma 1.1.2}} <math>(A^{\otimes_K\bullet}, \partial)</math>은 <math>K</math>-[[사슬 복합체]]
:<math>\dotsb\xrightarrow\partial A^{\otimes_K3}\xrightarrow\partial A^{\otimes_K2}\xrightarrow\partial A</math>
를 이룬다. 이 사슬 복합체의 <math>n</math>차 대상은 <math>A^{\otimes_K(n+1)}</math>이다. 이를 '''호흐실트 사슬 복합체'''(Hochschild사슬複合體, {{llang|en|Hochschild chain complex}})라고 하며,<ref name="Loday"/>{{rp|9, §1.1.3}} 그 [[호몰로지]]는 <math>A</math>의 <math>A</math>계수 [[호흐실트 호몰로지]] <math>\operatorname{HH}_\bullet(A;A)</math>이다.

또한, 다음과 같은 '''콘 경계 연산자'''(Connes境界演算子, {{llang|en|Connes boundary operator}}) <math>B</math>를 정의할 수 있다.<ref name="Loday"/>{{rp|57, (2.1.7.3)}}
:<math>B\colon A^{\otimes_K(n+1)} \to A^{\otimes_K(n+2)}</math>
:<math>\begin{aligned}
B\colon a_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n \mapsto
\sum_{i=0}^n (-)^{ni}1\otimes_Ka_i\otimes_K\dotsc\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\\
\qquad-(-)^{ni}a_i\otimes_K1\otimes_Ka_{i+1}\otimes_K\otimes_Ka_n\otimes_Ka_0\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}
\end{aligned}
</math>

그렇다면,
:<math>B\partial=-\partial B</math>
이므로<ref name="Loday"/>{{rp|57, (2.1.7.2)}} 이는 [[호흐실트 호몰로지]]의 사상
:<math>B_* \colon \operatorname{HH}_\bullet(A;A) \to\operatorname{HH}_{\bullet+1}(A;A)</math>
을 정의한다.

호흐실트 경계 연산자 <math>\partial</math>와 콘 경계 연산자 <math>B</math>는 다음과 같은 이중 복합체를 정의한다.
:<math>\begin{matrix}
\vdots&&\vdots&&\vdots \\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\
A^{\otimes_K3}&\overset B\leftarrow&A^{\otimes_K2}&\overset B\leftarrow&A\\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}&&{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial}\\
A^{\otimes_K2} & \overset B\leftarrow& A\\
{\scriptstyle\partial}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\partial} \\
A
\end{matrix}</math>
이 이중 복합체를 <math>\mathcal B(A)</math>라고 하면, 각 차수에서의 성분은
:<math>\mathcal B(A)_{m,n} = 
\begin{cases} A^{\otimes_K(n-m+1)} & m \le n \\
0& m > n
\end{cases}</math>
이다. 이 이중 복합체의 전체 복합체
:<math>\operatorname{Tot}_p(\mathcal B(A)) = \bigoplus_{m+n=p}\mathcal B(A)_{m,n}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 그 호몰로지를 <math>A</math>의 '''순환 호몰로지'''라고 한다.<ref name="Loday"/>{{rp|58, Theorem 2.1.8}}
:<math>\operatorname H_\bullet(\operatorname{Tot}(\mathcal B(A))) = \operatorname{HC}_\bullet(A)</math>

=== 순환 호몰로지의 순환 이중 복합체를 통한 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자.  그렇다면, [[텐서곱]] <math>A^{\otimes_Kn}</math>을 정의할 수 있으며, 이는 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]을 이룬다.

이제, 다음과 같은 연산자들을 정의하자.
:<math>\partial^i \colon A^{\otimes_K(n+1)} \to A^{\otimes_K n}</math>
:<math>\partial^0 \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n
\mapsto a_0a_1\otimes_K a_2\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n</math>
:<math>\partial^i \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n
\mapsto  (a_0 \otimes_K \dotsb\otimes_K a_{i-1}\otimes_K a_ia_{i+1}\otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n\qquad(1\le i<n)</math>
:<math>\partial^n \colon a_0 \otimes_K\dotsb\otimes a_n
\mapsto a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K \dotsb\otimes_K a_{n-1}</math>
그렇다면 호흐실트 경계 연산자는
:<math>\partial = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial^i</math>
이다. 마찬가지로,
:<math>\partial' =  \sum_{i=0}^{n-1} (-)^i \partial^i </math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면, <Math>(A^{\otimes_K (\bullet+2)}, \partial')</math> 역시 [[사슬 복합체]]
:<math>\dotsb\xleftarrow{\partial'}A^{\otimes_K4}\xleftarrow{\partial'}A^{\otimes_K3}\xleftarrow{\partial'}A^{\otimes_K2}</math>
를 이룬다.

또한, <math>A^{\otimes_Kn}</math> 위에는 다음과 같은, [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n)=\langle t|t^n=1\rangle</math>의 <math>K</math>-선형 [[군의 표현|표현]]이 존재한다.
:<math>t\cdot \left(a_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}\right) = (-)^{n-1}a_{n-1}\otimes_Ka_0\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-2}</math>
또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.
:<math>N\colon A^{\otimes_Kn} \to A^{\otimes_Kn}</math>
:<math>N=1+t+\dotsb+t^{n-1}</math>
이들은 다음을 만족시킨다.<ref name="Loday"/>{{rp|53, Lemma 2.1.1}}
:<math>(1-t)\circ\partial' = \partial \circ (1-t)</math>
:<math>\partial'\circ N = N \circ \partial</math>

이에 따라, 다음과 같은 '''순환 이중 복합체'''({{llang|en|cyclic bicomplex}})를 정의할 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t}  & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} \\
A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N} & &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N}& &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N} & &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N}\\
A^{\otimes_K1} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{\partial}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset\partial\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} & &{\scriptstyle 1-t}\uparrow{\scriptstyle \color{White} 1-t} \\
A^{\otimes_K1} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K2} & \overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K3} &\overset{-\partial'}\leftarrow & A^{\otimes_K4} & \overset{-\partial'}\leftarrow&\dotsm\\
{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N} & &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N}& &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N}& &{\scriptstyle N}\uparrow{\scriptstyle \color{White} N} \\
\vdots && \vdots && \vdots && \vdots
\end{matrix}</math>
이를 <math>\operatorname{CC}_{\bullet,\bullet}(A)</math>라고 하자. 즉,
:<math>\operatorname{CC}_{m,n}(A) = A^{\otimes_K(n+1)}</math>
이다.

그렇다면, '''순환 호몰로지'''는 순환 이중 복합체의 전체 복합체의 [[호몰로지]]이다.
:<math>\operatorname{HC}_\bullet(A) = \operatorname H_\bullet(\operatorname{Tot}(\operatorname{CC}(A)))</math>

=== 위상수학적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>\operatorname{Mod}_K</math> 속의 [[순환 대상]] <math>M</math>
그렇다면, <math>\operatorname{Mod}_K</math>-[[순환 대상]]들의 범주
:<math>\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)</math>
역시 [[아벨 범주]]를 이루므로 [[Ext 함자]]를 정의할 수 있으며, 또한 순환 가군의 [[텐서곱]] 함자를 정의할 수 있으므로 그 [[유도 함자]]로서 [[Tor 함자]]를 정의할 수 있다.

<math>M</math>의 '''순환 호몰로지'''는 [[Tor 함자]]
:<math>\operatorname{HC}_n(M)=\operatorname{Tor}_n^{\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(K,M)</math>
이다.<ref name="Loday"/>{{rp|213, Theorem 6.2.8}} 마찬가지로 <math>M</math>의 '''순환 코호몰로지'''는 [[Ext 함자]]
:<math>\operatorname{HC}^n(M)=\operatorname{Ext}^n_{\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(M,K)</math>
이다.<ref name="Loday"/>{{rp|214, Theorem 6.2.9}} (만약 [[순환 범주]] <math>\triangle_{\operatorname{Cyc}}</math> 대신 [[단체 범주]] <math>\triangle</math>를 사용하면, 대신 [[호흐실트 호몰로지]]<ref name="Loday"/>{{rp|212, Theorem 6.2.2}}와 [[호흐실트 코호몰로지]]<ref name="Loday"/>{{rp|213, §6.2.6}}를 얻는다.

<math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>의 경우, 어떤 특별한 순환 가군 <math>C(A)\colon\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Mod}_K</math>를 대응시킬 수 있으며, [[결합 대수]]의 '''순환 (코)호몰로지'''는 <math>C(A)</math>의 순환 (코)호몰로지를 말한다.

그 구성은 다음과 같다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''<math>C(A)</math>의 구성''':
<div class="mw-collapsible-content">
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌을 때, 호흐실트 사슬 복합체
:<math>C_n(A) = A^{\otimes_K(n+1)}</math>
를 생각하자. 이 경우,
:<math>d^i_n \colon C_n \to C_{n-1}</math>
:<math>s^i_n \colon C_n \to C_{n+1}</math>
:<math>t_n \colon C_n \to C_n</math>
을 다음과 같이 정의하자.
:<math>d^i_n \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto
\begin{cases}
a_0\otimes_K\dotsb \otimes_K a_{i-1} \otimes_K a_ia_{i+1} \otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n & 0 \le i < n \\
a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1} & i = n
\end{cases}
</math><ref name="Loday"/>{{rp|45, (1.6.1.2)}}
:<math>s^i_n \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto a_0\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n </math><ref name="Loday"/>{{rp|45, (1.6.1.2)}}
:<math>
t_n\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto (-)^n a_n\otimes_K a_0 \otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1}</math><ref name="Loday"/>{{rp|53, §2.1.0}}
그렇다면, 이를 부여하면 <math>C_\bullet(A)</math>는 <math>K</math>-순환 가군을 이룬다.
</div></div>

== 성질 ==
순환 코호몰로지와 [[호흐실트 코호몰로지]] 사이를 잇는, 일종의 긴 완전열이 존재한다.

구체적으로, [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위와 같이 [[호흐실트 코호몰로지]]를 정의하는 [[공사슬 복합체]] <math>C^\bullet(A)</math> 및 순환 코호몰로지를 정의하는 부분 [[공사슬 복합체]]
:<math>\iota\colon C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)\to C^\bullet(A)</math>
가 존재한다. 즉, 이는 [[공사슬 복합체]]의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to  C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)\xrightarrow \iota C^\bullet(A)\to \frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)} \to 0</math>
을 정의하며, 이에 따라 [[긴 완전열]]
:<math>
\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname H^n\left(
\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}
\right)
\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to\dotsb
</math>
을 얻는다. 그런데
:<math>\operatorname H^n\left(
\frac{C^\bullet(A)}{ C^\bullet_{\mathrm{cyc}}(A)}
\right) \cong
\operatorname{HC}^{n-1}(A) </math>
임을 보일 수 있다. 즉, 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>
\dotsb\to\operatorname{HC}^n(A) \to\operatorname{HH}^n(A)\to\operatorname{HC}^{n-1}(A)
\to \operatorname{HC}^{n+1}(A)\to
\operatorname{HH}^{n+1}(A)
\to\operatorname{HC}^n(A)
\to\operatorname{HC}^{n+2}(A)\to
\dotsb
</math>
이를 '''콘 완전열'''(Connes完全列, {{llang|en|Connes exact sequence}})이라고 하며,<ref name="Khalkhali"/>{{rp|287, §2}} 특히 연결 사상 <math>\operatorname{HC}^{n-1}(A)\to\operatorname{HC}^{n+1}(A)</math>을 '''콘 주기 연산자'''(Connes週期演算子, {{llang|en|Connes periodicity operator}})라고 한다.<ref name="Khalkhali"/>{{rp|287, §2}}<ref name="Loday"/>{{rp|61, Theorem 2.2.1}}

콘 주기성을 사용하여, 순환 코호몰로지 군들의 [[귀납적 극한]]
:<math>\operatorname{HP}^i(A)=\varinjlim\operatorname{HC}^{i+2\bullet}(A)\qquad(i\in\{0,1\})</math>
을 정의할 수 있다. 이를 '''주기 순환 코호몰로지'''(週期循環cohomology, {{llang|en|periodic cyclic cohomology}})라고 하며,<ref name="Khalkhali"/>{{rp|287, §2}} [[복소수]] 계수 [[위상 K군]]과 마찬가지로 두 개가 존재한다.

== 예 ==
<math>\operatorname{Spec}A</math>가 [[체의 표수|표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[매끄러운 스킴|매끄러운]] [[아핀 스킴]]이라고 하자. 그렇다면, <math>A</math>의 순환 코호몰로지와 (그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]의) 대수적 드람 코호몰로지 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math> \operatorname{HC}^n(A)\cong\frac{ \Omega ^nA}{\mathrm d\Omega ^{n-1}A} \oplus \bigoplus_{i\ge 1}\operatorname H_{\mathrm{dR}}^{n-2i}(\operatorname{Spec}A)</math>
여기서
:<math>\operatorname H_{\mathrm{dR}}^n(-) = \operatorname H^n(\Omega^\bullet(-))</math>
는 [[알렉산더 그로텐디크]]의 대수적 드람 코호몰로지이다.

== 역사 ==
[[알랭 콘]]<ref name="Connes83">{{저널 인용 | url=http://www.alainconnes.org/docs/n83.pdf | 제목=Cohomologie cyclique et foncteurs Ext<sup>''n''</sup> | 이름=Alain | 성=Connes | 저자링크=알랭 콘 | 날짜=1983 | 저널=Comptes rendus de l’Académie des Sciences. Série Ⅰ. Mathématique | 권=296 | 호=23 | 쪽=953–958 | mr=777584 | zbl=0534.18009 | 언어=fr | access-date=2017-07-20 | archive-date=2016-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160304212700/http://www.alainconnes.org/docs/n83.pdf }}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Alain|성=Connes|저자링크=알랭 콘| 장= Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of a foliation|제목=Geometric methods in operator algebras. Proceedings of the US–Japan seminar, Kyoto, July 1983|쪽=52–144|총서=Pitman Research Notes in Mathematics Series|권=123|출판사=Wiley|날짜=1986|editor1-first=Huzihiro|editor1-last=Araki|editor2-first=Edward G.|editor2-last=Effros|zbl=0647.46054|언어=en}}</ref>과 보리스 치간({{llang|uk|Бори́с Л. Ци́ган}}, {{llang|ru|Бори́с Л. Цыга́н}}, {{llang|en|Boris L. Tsygan}})<ref>{{저널 인용|이름=Борис Л.|성=Цыган|제목=
Гомологии матричных алгебр Ли над кольцами и гомологии Хохшильда|저널=
Успехи математических наук|권=38|호=2|쪽=217–218|날짜= 1983|mr=695483|zbl=0518.17002|doi=10.1070/RM1983v038n02ABEH003481|url=
http://mi.mathnet.ru/umn7171 |bibcode=1983RuMaS..38..198T|issn=0042-1316|언어=ru}}</ref>이 1980년대에 독자적으로 도입하였다. 콘의 이론은 원래 [[코호몰로지]]를 기반으로 하였지만, 치간의 이론은 원래 [[호몰로지]]를 기반으로 하였다.

콘은 순환 코호몰로지의 이론을 1981년 독일에서 열린 학회에서 최초로 발표하였으며,<ref name="Khalkhali">{{서적 인용|장=A short survey of cyclic cohomology|이름=Masoud|성=Khalkhali|총서=Clay Mathematical Proceedings|권=11|날짜=2008|제목=Quanta of maths. Conference in honor of Alain Connes. Non commutative geometry. Institute Henri Poincaré, Institute des Hautes Études Scientifiques, Institute de Mathématiques de Jussieu, Paris, France. March 29–April 6, 2007|쪽=283–311|url=http://www.claymath.org/library/proceedings/cmip011c.pdf|출판사=American Mathematical Society, Clay Mathematics Institute|arxiv=1008.1212|bibcode=2010arXiv1008.1212K|editor1-first=Etienne|editor1-last=Blanchard|
editor2-first=David|editor2-last=Ellwood|
editor3-first=Masoud|editor3-last=Khalkhali|
editor4-first=Matilde|editor4-last=Marcolli|
editor5-first=Henri|editor5-last=Moscovici|
editor6-first=Sorin|editor6-last=Popa|zbl=1222.58007|언어=en}}</ref>{{rp|283, §1}} 1983년에 “순환 코호몰로지”({{llang|fr|cohomologie cyclique}})라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref name="Connes83"/>
콘의 원래 목적은 [[알렉산더 그로텐디크]]가 정의한 대수적 드람 코호몰로지를 비가환 [[결합 대수]]에 대하여 일반화하기 위한 것이었으며, 콘의 원래 정의는 [[호흐실트 호몰로지]]를 정의하는 [[사슬 복합체]]의 변형을 통한 것이었다. 1983년에 [[알랭 콘]]은 [[순환 대상]]의 개념을 도입하였으며, 이를 사용하여 순환 (코)호몰로지를 추상적으로 정의하였다.<ref name="Connes83"/>

== 같이 보기 ==
* [[비가환 기하학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cyclic cohomology}}
* {{nlab|id=cyclic homology|title=Cyclic homology}}
* {{nlab|id=topological cyclic homology|title=Topological cyclic homology}}
* {{nlab|id=cyclic loop space|title=Cyclic loop space}}
* {{nlab|id=dihedral homology|title=Dihedral homology}}
* {{웹 인용|url=https://www.impan.pl/swiat-matematyki/notatki-z-wyklado~/loday_cht_1.pdf | 제목=Cyclic homology theory | 이름=Jean-Louis | 성=Loday |저자링크=장루이 로데|editor1-first = Paweł | editor1-last=Witkowski | 날짜=2006-10 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.impan.pl/swiat-matematyki/notatki-z-wyklado~/loday_cht_2.pdf | 제목=Cyclic homology theory. Part Ⅱ| 이름=Jean-Louis | 성=Loday |저자링크=장루이 로데|editor1-first = Paweł | editor1-last=Witkowski | 날짜=2007-02 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | url=http://cybertesis.uni.edu.pe/handle/uni/566 | 제목=Homología de Hochschild y homología cíclica | 이름=Laura Betzabé | 성=La Rosa Obando | 날짜=2010-07 | 기타=석사 학위 논문 (지도 교수 {{lang|es|Christian Holger Valqui Haase}}) | 출판사=Universidad Nacional de Ingeniería | 위치=[[리마]] | 언어=es | 확인날짜=2017-07-20 | 보존url=https://web.archive.org/web/20180508080158/http://cybertesis.uni.edu.pe/handle/uni/566 | 보존날짜=2018-05-08 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/h_thie08/preprints/CyclicHomology.pdf|제목=An introduction to Hochschild and cyclic homology|이름=Hannes|성=Thiel|날짜=2006|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/h_thie08/preprints/CyclicHomology.pdf }}

[[분류:호몰로지 대수학]]