{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''행렬식'''(行列式, {{llang|en|determinant|디터미넌트}})은 [[정사각 행렬]]에 스칼라를 대응시키는 [[함수]]의 하나이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref> [[실수]] 정사각 행렬의 행렬식의 [[절댓값]]은 그 행렬이 나타내는 [[선형 변환]]이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 [[방향 (다양체)|방향]] 보존 여부를 나타낸다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 '''행렬식''' <math>\det M\in K</math>는
:<math>\det M=\det
  \begin{pmatrix}
    M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\
    M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\
  \end{pmatrix}
</math>
또는
:<math>|M|=
  \begin{vmatrix}
    M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1n} \\
    M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2n} \\
    \vdots & \vdots & & \vdots \\
    M_{n1} & M_{n2} & \cdots & M_{nn} \\
  \end{vmatrix}
</math>
으로 표기하며, 다음 방법들을 통하여 정의할 수 있다.

=== 다중 선형 형식을 통한 정의 ===
행렬식은 행 또는 열에 대한 표준적인 [[교대 다중 선형 형식]]으로 정의할 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]의 <math>K</math>-[[가군]]을 [[행벡터]]를 통하여 다음과 같이 나타내자.
:<math>\operatorname{Mat}(n;K)\cong\underbrace{K^{\oplus n}\oplus\cdots\oplus K^{\oplus n}}_n</math>

즉, 행렬 <math>M</math>은 행벡터 <math>u_i=(M_{i1},\dotsc,M_{in})</math>의 [[튜플]] <math>(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)</math>으로 여기자.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]의 <math>K</math>-[[가군]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math> 위의 '''행렬식''' <math>\det\colon\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>는 [[단위 행렬]]에서의 값이 1인 유일한 [[교대 다중 선형 형식|교대]] <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수이다.
* ㈀ <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 임의의 <math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math> 및 행벡터 <math>\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{v}_n\in K^{\oplus n}</math> 및 스칼라 <math>a,b\in K</math>에 대하여, <dd><math>
\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,a\mathbf{u}_i+b\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)=a\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)+b\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{v}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)
</math></dd>
* ㈁ [[교대 다중 선형 형식|교대]] <math>K</math>-[[다중 선형 형식]]이다. 즉, 임의의 <math>i,j\in\{1,\dotsc,n\}</math> 및 행벡터 <math>\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}</math>에 대하여, 만약 <math>\mathbf{u}_{i}=\mathbf{u}_{j}</math>를 만족하는 <math>i \neq j</math>가 존재한다면, <math>
\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)=0</math>
* ㈂ [[단위 행렬]] <math>(\mathbf{e}_1,\dotsc,\mathbf{e}_n)\in(K^{\oplus n})^{\oplus n}</math>의 행렬식은 <math>\det(\mathbf{e}_1,\dotsc,\mathbf{e}_n)=1</math>이다.
조건 ㈀ 아래, 조건 ㈁은 다음 조건을 함의하며, 만약 <math>K</math>가 [[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]일 경우 조건 ㈁은 이 조건과 [[동치]]이다.
* ㈁’ 임의의 <math>i\in\{1,\dotsc,n-1\}</math> 및 행벡터 <math>\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n\in K^{\oplus n}</math>에 대하여, <math>\det(u_1,\dotsc,\mathbf{u}_{i+1},\mathbf{u}_i,\dotsc,\mathbf{u}_n)=-\det(\mathbf{u}_1,\dotsc,\mathbf{u}_n)</math>이다. 즉, 1회 열 교환을 한 행렬의 행렬식은 부호가 바뀐다.
조건 ㈁’은 <math>i,i+1</math> 대신 <math>i,j</math> (<math>i\ne j</math>)를 사용한 조건과 [[동치]]이다. 또한, 조건 ㈁ 아래, 조건 ㈀은 그 <math>i=1</math>인 경우와 [[동치]]이다.

마찬가지로, 행렬식은 열벡터를 사용하여 같은 조건으로 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 [[동치]]이다.

=== 다항식 정의 ===
행렬식은 행렬의 성분에 대한 특수한 [[다항식]]으로서 정의할 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 '''행렬식'''은 다음과 같다 ('''라이프니츠 공식''', {{llang|en|Leibniz formula}}).
:<math>\det M=\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(n)}\sgn\sigma\prod_{i=1}^nM_{i,\sigma(i)}</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 <math>\{1,\dotsc,n\}</math>의 [[순열]]의 집합이다.
* <math>\sgn\sigma</math>는 [[순열의 부호수]]이다. 즉, <math>\sigma</math>가 [[짝순열]]일 경우 1, [[홀순열]]일 경우 −1이다.
등식의 우변은 <math>n!</math>개 항을 갖는 <math>n</math>차 [[동차 다항식]]이며, <math>n\ge 2</math>일 경우 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.

=== 재귀적 정의 ===
행렬식은 행 또는 열에 대한 [[라플라스 전개]]를 통해 작은 크기의 행렬부터 시작하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, <math>M</math>의 <math>i</math>번째 행과 <math>j</math>번째 열을 제거한 [[부분 행렬]]을 <math>M_{n\setminus i,n\setminus j}</math>로 표기하자.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 '''행렬식'''은 다음과 같다.
:<math>\det\begin{pmatrix}\end{pmatrix}=1</math>
:<math>\begin{align}\det M
& =\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}M_{ij}\det(M_{n\setminus i,n\setminus j}) \\
& =(-1)^{i+1}M_{ij}\det(M_{n\setminus i,n\setminus 1})
   +(-1)^{i+2}M_{ij}\det(M_{n\setminus i,n\setminus 2})
   +\cdots
   +(-1)^{i+n}M_{ij}\det(M_{n\setminus i,n\setminus n})
\end{align}</math>

이는 모든 행 <math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여 같은 함수를 정의하며, 다른 정의들과 [[동치]]이다. 마찬가지로, 열 <math>j\in\{1,\dotsc,n\}</math>에 대한 [[라플라스 전개]]를 사용하여 정의할 수도 있다.

== 성질 ==
=== 항등식 ===
[[가우스 소거법]]은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 [[상삼각행렬]]로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.

[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M,N\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.
* <math>\det(1_{n\times n})=1</math>
* <math>\det(MN)=\det M\det N</math>
* 스칼라 <math>a\in K</math>에 대하여, <math>\det(aM)=a^n\det M</math>
* 만약 <math>M</math>이 [[가역 행렬]]일 경우, <math>\det M^{-1}=(\det M)^{-1}</math>
* <math>\det(M^\top)=\det M</math>
* 만약 <math>K=\mathbb C</math>가 [[복소수체]]일 경우, <math>\det(M^*)=\overline{\det M}</math>
특히, 행렬식 <math>\det\colon\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>는 [[환 준동형]]이며, 일반적으로 <math>K</math>-[[결합 대수]] 준동형이 아니다.

=== 점화식 ===
{{본문|라플라스 전개}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math> 및 행의 집합 <math>I\subseteq\{1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, 행렬식은 다음과 같은 [[점화식]]을 갖는다.
:<math>\det M=\sum_{{\scriptstyle J\subseteq\{1,\dotsc,n\}\atop\scriptstyle |I|=|J|}}(-1)^{\sum I+\sum J}\det(A_{I,J})\det(A_{n\setminus I,n\setminus J})</math>

마찬가지로, 열의 집합 <math>J\subseteq\{1,\dotsc,n\}</math>에 대한 점화식은 다음과 같다.
:<math>\det M=\sum_{{\scriptstyle I\subseteq\{1,\dotsc,n\}\atop\scriptstyle |I|=|J|}}(-1)^{\sum I+\sum J}\det(A_{I,J})\det(A_{n\setminus I,n\setminus J})</math>

=== 다중선형대수학 ===
[[가환환]] <math>K</math>에 대하여, [[교대 다중 선형 형식]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>의 집합은 1차원 <math>K</math>-[[자유 가군]]을 이루며, 행렬식은 이 <math>K</math>-[[자유 가군]]의 한 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 즉, 모든 [[교대 다중 선형 형식]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)\to K</math>는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
:<math>a\det</math>
:<math>a\in K</math>

=== 가역성과의 관계 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, [[가역 행렬]]은 행렬식이 <math>K</math>의 [[가역원]]인 것과 [[동치]]이다. 특히, 만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 경우, 가역 행렬은 행렬식이 0이 아닌 것과 동치이다.

=== 크라메르 공식 ===
{{본문|크라메르 공식}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, [[연립 일차 방정식]] <math>Mx=b</math>의 해 <math>x\in M^{-1}(b)\subseteq K^n</math>은
:<math>x_i\det M=\det
  \begin{pmatrix}
    M_{-,1} & \cdots & M_{-,i-1} & b & M_{-,i+1} & \cdots M_{-,n}
  \end{pmatrix}
</math>
을 만족시킨다. (여기서 <math>M_{-,j}</math>는 <math>M</math>의 <math>j</math>번째 열이다.) 특히, 만약 <math>M</math>이 [[가역 행렬]]일 경우, 그 유일한 해는
:<math>x_i=(\det M)^{-1}\det
  \begin{pmatrix}
    M_{-,1} & \cdots & M_{-,i-1} & b & M_{-,i+1} & \cdots M_{-,n}
  \end{pmatrix}
\qquad(i\in\{1,\dotsc,n\})
</math>
이다.

=== 고윳값과의 관계 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 행렬식은 (중복도를 감안한) 모든 고윳값의 곱이자 [[특성 다항식]]의 상수항이다.
:<math>\det M=\lambda_1\cdots\lambda_n</math>

=== 측도론적 성질 ===
실수 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>에 대하여, [[실수 선형 변환]]
:<math>\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>
:<math>x\mapsto Mx</math>
가 [[가측 집합]] <math>S\subseteq\mathbb R^n</math>의 초부피를 확대시키는 배수는 행렬식의 [[절댓값]] <math>|{\det M}|</math>이다.

보다 일반적으로, 실수 행렬 <math>M\in\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb R)</math>에 대하여, [[실수 선형 변환]]
:<math>\mathbb R^n\to\mathbb R^m</math>
:<math>x\mapsto Mx</math>
가 [[가측 집합]] <math>S\subseteq\mathbb R^n</math>의 <math>n</math>차원 초부피를 확대시키는 배수는
:<math>\sqrt{\det(A^\top A)}</math>
이다.

== 예 ==
=== 작은 크기의 행렬 ===
[[파일:Sarrus rule.svg|섬네일|오른쪽|사뤼스 도식. 세 실선은 더하는 항, 세 점선은 빼는 항에 대응한다.]]
0×0, 1×1, 2×2, 3×3, 4×4 행렬의 행렬식은 각각 1, 1, 2, 6, 24개의 항을 갖는 다항식으로 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.
:<math>\begin{vmatrix} \; \end{vmatrix}=1</math>
:<math>\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a</math>
:<math>
  \begin{vmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{vmatrix}
=ad-bc
</math>
:<math>
  \begin{vmatrix}
    a & b & c \\
    d & e & f \\
    g & h & i
  \end{vmatrix}
=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh
</math>
:<math>
\begin{array}{l}
  \begin{vmatrix}
    a & b & c & d \\
    e & f & g & h \\
    i & j & k & l \\
    m & n & o & p
  \end{vmatrix}
\\
\quad{}=afkp-aflo-agjp+agln+ahjo-ahkn \\
\quad\quad{}-bekp+belo+bgip-bglm-bhio+bhkm \\
\quad\quad\quad{}+cejp-celn-cfip+cflm+chin-chjm \\
\quad\quad\quad\quad{}-dejo+dekn+dfio-dfkm-dgin+dgjm
\end{array}
</math>
3×3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스 도식({{llang|en|Sarrus’ scheme}})을 통해 기억할 수 있다. 즉, 3×3 행렬의 행렬식은 첫 번째와 두 번째 열을 행렬의 오른쪽에 옮겨 적었을 때, 첫 행의 세 성분을 지나는 대각선의 위의 원소의 곱의 합과 마지막 행의 세 성분을 지나는 대각선 위의 원소의 곱의 합 사이의 차와 같다. 그러나 이는 4×4 이상의 행렬에서 더 이상 성립하지 않는다.

실수 3×3 행렬의 행렬식은 그 행벡터 또는 열벡터의 [[스칼라 삼중곱]]과 같다. 즉, 이는 행벡터 또는 열벡터로 구성된 [[평행 육면체]]의 부피를 [[절댓값]]으로 하며, 방향을 보존할 경우 양수, 반전시킬 경우 음수가 된다. 반대로, 실수 3차원 벡터의 [[스칼라 삼중곱]]은 [[정규 직교 기저]]에 대한 좌표 성분에 대한 3×3행렬식과 같다.

=== 삼각 행렬 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[삼각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 행렬식은 대각 성분들의 곱이다.
:<math>\det M=M_{11}\cdots M_{nn}</math>

특히, [[대각 행렬]]의 행렬식은 대각 성분들의 곱이다.

=== 방데르몽드 행렬 ===
{{본문|방데르몽드 행렬}}
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[방데르몽드 행렬]]
:<math>M=
  \begin{pmatrix}
    1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
    x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
    x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
    \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
    x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
  \end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(n;K)
</math>
의 행렬식은
:<math>\det M=\prod_{i<j}(x_j-x_i)</math>
이다.

== 역사 ==
역사적으로 행렬식은 [[행렬]]보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"({{llang|en|determinant}})는 "디터민"({{llang|en|determine}})(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. [[16세기]]에 [[지롤라모 카르다노]]가 <math>2\times2</math> 행렬식을, [[17세기]]에는 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠|고트프리트 라이프니츠]]가 일반적인 행렬식의 크기를 정의하였다.

== 같이 보기 ==
* [[퍼머넌트]]
* [[파피안]]
* [[판별식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==

* {{인용|last=Axler|first=Sheldon Jay|authorlink=Sheldon Axler|year=1997|title=Linear Algebra Done Right|publisher=Springer-Verlag|edition=2nd|isbn=0-387-98259-0}}
* {{인용|last1=de Boor|first1=Carl|author1-link=Carl R. de Boor|title=An empty exercise|url=http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf|doi=10.1145/122272.122273|year=1990|journal=ACM SIGNUM Newsletter|volume=25|issue=2|pages=3–7|s2cid=62780452}}.
* {{인용|last=Lay|first=David C.|date=August 22, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Addison Wesley|edition=3rd|isbn=978-0-321-28713-7}}
* {{인용|last=Meyer|first=Carl D.|date=February 15, 2001|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|isbn=978-0-89871-454-8|url=http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20091031193126/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|archivedate=2009-10-31}}
* {{인용|last=Muir|first=Thomas|authorlink=Thomas Muir (mathematician)|title=A treatise on the theory of determinants|others=Revised and enlarged by William H. Metzler|origyear=1933|year=1960|publisher=Dover|location=New York, NY}}
* {{인용|last=Poole|first=David|year=2006|title=Linear Algebra: A Modern Introduction|publisher=Brooks/Cole|edition=2nd|isbn=0-534-99845-3}}
* [[:en:G._Baley_Price|G. Baley Price]] (1947) "Some identities in the theory of determinants", [[:en:American_Mathematical_Monthly|American Mathematical Monthly]] 54:75–90 {{mr|id=0019078}}
* {{인용|last1=Horn|first1=R. A.|last2=Johnson|first2=C. R.|year=2013|title=Matrix Analysis|publisher=Cambridge University Press|edition=2nd|isbn=978-0-521-54823-6}}
* {{인용|last=Anton|first=Howard|year=2005|title=Elementary Linear Algebra (Applications Version)|publisher=Wiley International|edition=9th}}
* {{인용|last=Leon|first=Steven J.|year=2006|title=Linear Algebra With Applications|publisher=Pearson Prentice Hall|edition=7th}}

== 외부 링크 ==
{{위키책|Linear Algebra|Linear Algebra#Determinants|Determinants}}
{{위키공용분류}}
{{EB1911 poster|Determinant}}

* {{SpringerEOM|id=Determinant&oldid=12692|title=Determinant|last=Suprunenko|first=D.A.}}
* {{매스월드|title=Determinant|urlname=Determinant}}
* {{MacTutor|class=HistTopics|id=Matrices_and_determinants|title=Matrices and determinants|}}
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/MatrixDeterminant.html Determinant Interactive Program and Tutorial]
* [http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/en/ Linear algebra: determinants.] {{웨이백|url=http://www.umat.feec.vutbr.cz/~novakm/determinanty/en/ |date=20081204081902 }} Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
* [http://algebra.math.ust.hk/course/content.shtml Determinants explained in an easy fashion in the 4th chapter as a part of a Linear Algebra course.] {{웨이백|url=http://algebra.math.ust.hk/course/content.shtml |date=20090525025830 }}
* [https://web.archive.org/web/20100325133146/http://khanexercises.appspot.com/video?v=H9BWRYJNIv4 Instructional Video on taking the determinant of an nxn matrix (Khan Academy)]
* {{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=7|title=The determinant|work=Essence of linear algebra|via=[[YouTube]]}}

* {{eom|title=Determinant}}
* {{매스월드|id=Determinant|title=Determinant}}

{{선형대수학}}
{{전거 통제}}

[[분류:행렬식| ]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:다항식]]
[[분류:대수학]]