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[[확률론]]에서 '''마르코프 확률 과정'''(Марков確率過程, {{llang|en|Markov stochastic process}})는 현재에 대한 [[조건부 확률|조건부]]로 과거와 미래가 서로 [[독립 (확률론)|독립]]인 [[확률 과정]]이다. 즉, 마르코프 확률 과정은 ‘기억하지 않는’ 확률 과정이다. 마르코프 확률 과정에서 미래를 유추하려 한다면, 오직 현재의 값만이 쓸모가 있으며, 과거의 값들은 아무 추가 정보를 제공하지 못한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[하계 (수학)|하계]] 및 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는 [[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>
* [[여과 확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F(t),\Pr)_{t\in T}</math>
* [[가측 공간]] <math>E</math>
[[순응 확률 과정]]
:<math>X \colon \Omega \times T \to E</math>
이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''마르코프 확률 과정'''이라고 한다.
* 임의의 <math>0\le s \le t</math>에 대하여, <math>X(s)</math>이 주어졌을 때, <math>X(t)</math>는 <math>\mathcal F(s)</math>와 조건부 [[독립 (확률론)|독립]]이다. 즉, 임의의 [[가측 집합]] <math>S\subseteq E</math>에 대하여, <math>\Pr(X(t)\in E|\mathcal F_s) = \Pr(X(t)\in E|X(s))</math>이다.

만약 [[여과 확률 공간]]이 구체적으로 주어지지 않았다면, 이는 <math>X</math> 스스로의 [[자연 여과 확률 공간]]을 일컫는다.

다시 말해, <math>s</math>를 ‘현재’, <math>t</math>를 ‘미래’, <math>\mathcal F(s)</math>를 ‘과거’로 해석할 경우, 현재에 대한 조건부로 미래와 과거는 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다.

특히, 만약 <math>E</math>가 [[가산 집합|가산]] [[이산 가측 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 마르코프 확률 과정의 정의는 다음과 같아진다.
* 임의의 시각의 가산 개의 시각 <math>t_0 > t_1 > t_2 \dotsc > 0</math> 및 <math>x_0,x_1,x_2,\dotsc\in E</math>에 대하여, <math>\Pr(X(t_0) = x_0 |X(t_1)=x_1,X(t_2)=x_2,\dotsc) = \Pr(X(t_0)=x_0|X(t_1)=x_1)</math>이다.

특히, <math>E</math>가 [[가산 집합|가산]] [[이산 가측 공간]]이며 <math>T = \mathbb N</math>([[자연수]]의 집합)인 경우를 '''[[마르코프 연쇄]]'''라고 한다.

=== 강한 마르코프 확률 과정 ===
[[여과 확률 공간]] <Math>(\Omega,\mathcal F(t))_{t\in[0,\infty]}</math> 위의 [[순응 확률 과정]]
:<math>X\colon \Omega\times[0,\infty) \to E</math>
이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''강한 마르코프 확률 과정'''({{llang|en|strongly Markov stochastic process}})이라고 한다.
* 임의의 <math>t\in[0,\infty)</math> 및 임의의 [[정지 시간]] <math>\tau\colon\Omega\to[0,\infty]</math>에 대하여, <math>\tau < \infty</math> 및 <math>X(\tau)</math>의 조건부로, <math>X(t+\tau)</math>는 <math>\{S\in\mathcal F_\infty\colon\forall t\in[0,\infty)\forall s\in(t,\infty)\colon \tau^{-1}(\{t\}) \cap S \in \mathcal F(s)\}</math>와 [[독립 (확률론)|독립]]이다.

강한 마르코프 확률 과정의 정의에서, [[정지 시간]]을 [[상수 함수]] <math>\tau = t_0</math>로 놓으면, 이는 마르코프 확률 과정의 정의가 된다. 즉, 모든 강한 마르코프 확률 과정은 마르코프 확률 과정이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 분류 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[완비 측도 공간|완비]] [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>E</math>. 그 위에 [[보렐 시그마 대수]] <math>\operatorname{Borel}(E)</math>를 부여하자.
* <math>T\subseteq[0,\infty)</math>는 덧셈 [[모노이드]]이다.
그렇다면, 그 위의 '''전이 [[모노이드]]'''(轉移monoid, {{llang|en|transition monoid}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 임의의 <math>s,t\in T</math>, <Math>s\le t</math>에 대하여, 함수 <math>\mu_{st}\colon E \times\operatorname{Borel}(E) \to [0,\infty]</math>
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (가측성) 임의의 <math>s\le t</math> 및 [[보렐 집합]] <Math>S\in\operatorname{Borel}(E)</math>에 대하여, <math>\mu_{st}(-,S)</math>는 [[가측 함수]]이다.
* (정규화) 임의의 <math>s\le t</math> 및 <math>x\in E</math>에 대하여, <math>\mu_{st}(x,-)</math>는 <math>E</math> 위의 [[확률 측도]]이다.
* (항등원) 임의의 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>\mu_{tt}(x,-) = \delta_x(-)</math> ([[디랙 델타]] 측도)
* (합성) 임의의 <Math>s\le t\le u</math>에 대하여, <math>\mu_{su} = \mu_{st} \mu_{tu}</math>

임의의 마르코프 확률 과정 <math>X \colon \Omega \times T \to E</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{Law}(X(t)) = \nu_t\qquad\forall t\in T</math>
:<math>\Pr(X(t)\in S | \mathcal F_t) = \mu_{st}\qquad\forall S\in\operatorname{Borel}(E)</math>
인 [[확률 측도]]의 족
:<math>(\nu_t)_{t\in T}</math>
및 전이 모노이드 <Math>(\mu_{st})_{s,t\in T}</math>가 존재한다. 반대로, 임의의 전이 모노이드 및 확률 측도의 족 <math>(\nu_t)_{t\in T}</math>이 주어졌으며,
:<math>\nu_s = \nu_t \mu_{ts}</math>
라면,
:<math>\operatorname{Law}(X(t)) = \nu_t</math>
이며
:<math>\operatorname{Law}(X(t_1),X(t_2),\dotsc,X(t_n)) = \nu_{t_1} \otimes \mu_{t_1t_2} \otimes \dotsb \otimes \mu_{t_{n-1}t_n}</math>
이 되는 마르코프 과정 <math>X</math>가 존재한다.

여기서 <math>\operatorname{Law}(-)</math>는 확률 변수의 법칙(확률 변수가 표본 공간에 유도하는 [[확률 측도]])을 뜻한다.

== 역사 ==
[[러시아]]의 수학자 [[안드레이 마르코프]]가 1906년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Андрей Андреевич|성=Марков|저자링크=안드레이 마르코프|제목=Распростпаненіе закона большихъ чиселъ на величиы, забисящія другъ отъ друга|저널=Известия физико-математического общества при Императорском Казанском университете|권=15|호=4|쪽=135–156|날짜=1906|jfm=37.0265.01|url=http://www.jehps.net/Novembre2006/Markov3pdf.pdf|언어=ru}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[이력 현상]]
* [[마르코프 연쇄]]
* [[마르코프 결정 과정]]
* [[마르코프 모형]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Kishor S. |성=Trivedi|제목=Probability and Statistics with Reliability, Queueing, and Computer Science Applications|출판사=John Wiley & Sons|날짜=2002|isbn=0-471-33341-7|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=E.|성= Nummelin|제목=General irreducible Markov chains and non-negative operators|출판사= Cambridge University Press|날짜= 1984|isbn=0-521-60494-X|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Markov property}}
* {{eom|title=Markov process}}
* {{매스월드|id=MarkovProcess|title=Markov process}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정]]
[[분류:마르코프 모형]]
[[분류:마르코프 과정]]