{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서, '''2차원 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론'''(二次元<math>\mathcal N=2</math>超等角場論, {{llang|en|two-dimensional <math>\mathcal N=2</math> superconformal theory}})은 두 개의 [[초대칭]]을 가지는 [[2차원 등각 장론]]이다. [[끈 이론]] 및 [[거울 대칭]]에서 중요한 역할을 한다.

== 𝒩=2 초등각 대수 ==
2차원 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.<ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|이름2=Erik|성2=Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|날짜=2009|출판사=Springer||bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105|zbl=1175.81001}}</ref>
{| class=wikitable
|-
! 기호 || 이름 || 무게 <math>h</math> || U(1) [[R대칭]] 전하 <math>q</math>
|-
| <math>T(z)</math> || [[에너지-운동량 텐서]] || 2 || 0
|-
| <math>G^\pm(z)</math> || 초전류 || 3/2 || ±½
|-
| <math>J(z)</math> || [[R대칭]] 보존류 || 1 || 0
|-
| <math>c</math> || 중심 원소 || 0 || 0
|}
통상적으로, <math>\hat c</math>를 다음과 같이 정의한다.
:<math>\hat c=c/3</math>
이는 [[칼라비-야우 다양체]] 위의 [[시그마 모형]]의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 [[연산자 곱 전개]]는 다음과 같다.<ref name="Warner">{{서적 인용|이름=Nicholas Philip|성=Warner|장=N=2 supersymmetric integrable models and topological field theories|arxiv=hep-th/9301088|bibcode=1993hepc.conf..143W|제목=High Energy Physics and Cosmology: Proceedings of the 1992 Summer School in High Energy Physics and Cosmology, ICTP, Trieste, Italy, 15 June – 31 July 1992|총서=ICTP Series in Theoretical Physics|권= 9|편집자= E. Gava, K. S. Narain, S. Randjbar-Daemi, E. Sezgin, Q. Shafi|출판사=World Scientific|날짜=1993-08|쪽=143|doi=10.1142/1974|언어=en}}</ref>{{rp|(2.1)}} 여기서 <math>\cdots</math>는 <math>z\to0</math>에서 비특이항을 뜻한다.
:<math>T(z)T(0)=\frac32\hat cz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots</math>
:<math>T(z)G^\pm(0)=\frac32z^{-2}G^\pm(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots</math>
:<math>T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots</math>
:<math>J(z)J(0)=\hat cz^{-2}+\cdots</math>
:<math>J(z)G^\pm(0)=\pm z^{-1}G^\pm(0)+\cdots</math>
:<math>G^\pm(z)G^\pm(0)=\cdots</math>
:<math>G^\pm(z)G^\mp(0)=\hat cz^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm\frac12\partial J(0)\right)+\cdots</math>

=== 모드 전개 ===
<math>\mathcal N=2</math> 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.<ref name="Warner"/>{{rp|(2.2)}}
:<math>T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n}</math>
:<math>G^\pm(z)=\sum_{r\in\mathbb Z\pm\eta}z^{r-3/2}G_{-r}^\pm</math>
:<math>J(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}</math>
여기서 NS 경계 조건의 경우 <math>\eta=0</math>이며 R 경계 조건의 경우 <math>\eta=1/2</math>이다.

이들은 다음과 같은 [[교환자 (환론)|교환자]]를 갖는다.<ref name="BP"/>{{rp|178, (5.14)}}<ref name="Warner"/>{{rp|(2.3)}}<ref name="Gato-Rivera"/>{{rp|(1.1)}}
:''c''는 모든 원소와 가환
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n} +\frac14\hat c(m^3-m) \delta_{m+n,0}</math>
:<math>[L_m,J_n]=-nJ_{m+n}</math>
:<math>[J_m,J_n]=\hat cm\delta_{m+n,0}</math>
:<math>\{G_r^+,G_s^-\}=L_{r+s} +\frac12(r-s)J_{r+s} +\frac12\hat c(r^2-{1\over 4}) \delta_{r+s,0}</math>
:<math>\{G_r^+,G_s^+\}=0=\{G_r^-,G_s^-\}</math>
:<math>[L_m,G_r^{\pm}]=(m/2-r) G^\pm_{r+m}</math>
:<math>[J_m,G_r^\pm]= \pm G_{m+r}^\pm</math>

=== 대역적 대수 ===
NS 대수에서, <math>L_0</math>, <math>L_{\pm1}</math>, <math>J_0</math>, <math>G^\pm_{1/2}</math>, <math>G^\pm_{-1/2}</math>는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 <math>\mathfrak{osp}(2|2)</math>이다. 이 [[리 초대수]]의 보손 성분 <math>\mathfrak{so}(2)\oplus\mathfrak{usp}(2)\cong\mathfrak u(1)\oplus\mathfrak{so}(3)</math>는 각각 [[R대칭]] 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, <math>L_0</math>, <math>J_0</math>, <math>G^\pm_0</math>, <math>c</math>는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.
:<math>\{G^+_0,G^-_0\}=L_0-c/24</math>
:<math>[J_0,G^\pm_0]=\pm G^\pm_0</math>
:<math>[L_0,G^\pm_0]=[L_0,L_0]=[L_0,J_0]=\{G^\pm_0,G^\pm_0\}=[J_0,J_0]=0</math>
이는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]]에서 <math>\Delta</math>, <math>d</math>, <math>d^\dagger</math>가 이루는 대수와 같다.

== 표현 ==
=== 베르마 가군 ===
[[비라소로 대수]]의 경우와 마찬가지로, <math>\mathcal N=2</math> 초등각 대수의 기약 표현은 '''초1차장'''(超一次場, {{llang|en|superprimary field}}) 위에 [[사다리 연산자]]들의 작용으로 구성된다. 초1차장 <math>|\phi\rangle</math>은 다음 조건을 만족시킨다.
:<math>L_n|\phi\rangle=G_r|\phi\rangle=0\qquad\forall n,r>0</math>
초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
:<math>L_{-n_1}L_{-n_2}\cdots L_{-n_k}G_{-r_1}^+G^+_{-r_2}\cdots G^+_{-r_p}G_{-s_1}^-G^-_{-s_2}\cdots G^-_{-s_q}|\phi\rangle\qquad(0<n_1\le n_2\le\cdots\le n_k,\;0<r_1<r_2<\cdots<r_p,\;0\le s_1<\cdots<s_q</math>
여기서 <math>r_i<r_{i+1}</math> 및 <math>s_i<s_{i+1}</math>인 것은
:<math>(G_r^+)^2+=(G_s^-)^2=0</math>
이기 때문이다. 또한, <math>0<r_1</math>인 것은 라몽 대역 초등각 대수 <math>(G_0^+,G_0^-,L_0,J_0,c)</math>의 작용을 대각화시켜, 초1차장 <math>|h,q\rangle</math>에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.
:<math>G_0^+|h,q\rangle=0</math>

=== 유니터리 초1차장의 범위 ===
[[파일:N=2 NS SCA unitary representations.svg|섬네일|오른쪽|<math>c=6</math> <math>\mathcal N=2</math> NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 <math>g_r^{\operatorname{NS}}=0</math>으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 <math>f_{1,2}^{\operatorname{NS}}=0</math>에 의하여 정의된다.]]
[[파일:N=2 R SCA unitary representations.svg|섬네일|오른쪽|<math>c=6</math> <math>\mathcal N=2</math> R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 <math>g_r^{\operatorname{R}}=0</math>으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 <math>f_{1,2}^{\operatorname{R}}=0</math>에 의하여 정의된다.]]

다음과 같은 함수들을 정의하자.
:<math>g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)</math>
:<math>g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)</math>
:<math>f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^2+\frac14(c/3+1)^2-\frac14(c/3-1)^2</math>
:<math>f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^2+\frac14(c/3+1)^2</math>
:<math>q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-\frac m{k+2}</math>
:<math>q_{k,l,m}^{\text{R}}=-\frac m{k+2}+\frac12</math>
:<math>h_{k,l,m}^{\text{NS}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}</math>
:<math>h_{k,l,m}^{\text{R}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac18</math>
<math>g_r=0</math>은 <math>(q,h)</math> 반평면에 직선을 정의하며, <math>f_{1,2}=0</math>은 <math>(q,h)</math> 반평면에 [[포물선]]을 정의한다.

그렇다면, <math>\mathcal N=2</math> 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.<ref name="BFK">{{저널 인용|first=Wayne|last=Boucher|first2=Daniel|last2=Friedan|authorlink2=대니얼 프리댄|first3=Adrian|last3=Kent|title=Determinant formulae and unitarity for the <math>N=2</math> superconformal algebras in two dimensions or exact results on string compactification|journal=Physics
Letters B|volume=172|날짜=1986-05-22|pages=316–322| doi = 10.1016/0370-2693(86)90260-1 |bibcode = 1986PhLB..172..316B |issn=0370-2693 | url=http://www.physics.rutgers.edu/~friedan/papers/Phys_Lett_B172_316_1986.pdf | zbl = 1174.81319 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|url=https://cds.cern.ch/record/188079/files/198806358.pdf|이름=Tohru|성=Eguchi|이름2=Anne|성2=Taormina|doi=10.1016/0370-2693(88)90360-7|제목=On the unitary representations of <math>N=2</math> and <math>N=4</math> superconformal algebras|bibcode=1988PhLB..210..125E|저널=Physics Letters B|권=210|호=1–2|쪽=125–132|날짜=1988-08-18|issn=0370-2693 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Kenji|성=Iohara|제목=Unitarizable highest weight modules of the <math>N = 2</math> super Virasoro algebras: untwisted sectors|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=2010-03|권=91|호=3|쪽=289–305|doi=10.1007/s11005-010-0375-7|zbl=1228.17022|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Kenji|성=Iohara|제목=Modules de plus haut poids unitarisables sur la super-algèbre de Virasoro <math>N= 2</math> tordue|저널=Annales de l’Institute Fourier|권=58|호=3|쪽=733–754|날짜=2008|doi=10.5802/aif.2367|mr=2427508|zbl=1174.17021|언어=fr}}</ref>
{| class=wikitable
! || <math>c</math> 범위 || NS 조건 || R 조건
|-
! 유질량 표현
| <math>c\ge3</math>
| <math>\forall r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g_r^{\text{NS}}>0</math> || <math>\forall r\in\mathbb Z\colon g_r^{\text{R}}>0</math>
|-
! 무질량 표현
| <math>c\ge3</math>
| <math>f_{1,2}^{\operatorname{NS}}\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z+\tfrac12\colon g_r^{\text{NS}}=0,\;g_{r+\operatorname{sgn}r}\le0</math>
| <math>f_{1,2}^{\operatorname{R}}\ge0,\;\exists r\in\mathbb Z\colon g_r^{\text{R}}=0,\;g_{r+\operatorname{sgn}r}\le0</math>
|-
! [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]의 표현
| <math>c=3k/(k+2)<3,\quad(k=1,2,\dots)</math> || <math>\exists l,m\colon(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{NS}},q_{k,l,m}^{\text{NS}})</math>, <math>0\le l\le k</math>, <math>|m|\le l</math>
| <math>\exists l,m\colon(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{R}},q_{k,l,m}^{\text{R}})</math>, <math>0\le l\le k</math>, <math>m\in[1-l,l-1]\cup\{l+1\}</math>
|}
<math>c\ge3</math>일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. <math>c<3</math>일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 <math>\mathcal N=2</math> [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]에 등장하는 것들이다.

특히, <math>G^+_r</math>에서 <math>r\in\mathbb Z+\epsilon</math>이라고 한다면,
:<math>0\le\langle h,q|G^\pm_{\epsilon}G^\mp_{-\epsilon}|h,q\rangle+\langle h,q|G^\mp_{-\epsilon}G^\pm_{+\epsilon}|h,q\rangle
=\langle h,q|\{G^\pm_{\epsilon},G^\mp_{-\epsilon}\}|h,q\rangle
=\langle h,q|(L_0\pm \epsilon J_0+c(\epsilon^2-1/4)/6)|h,q\rangle=h\pm \epsilon q+c\frac{4\epsilon^2-1}{24}</math>
이므로, 항상
:<math>h+c\frac{4\epsilon^2-1}{24}\ge|\epsilon q|</math>
가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는
:<math>h\ge 2|q|</math>
이며 (<math>g_{\pm1/2}^{\text{NS}}\ge0</math>), R 경계 조건에서는
:<math>h\ge c/24</math>
이다 (<math>g_0^{\text{R}}\ge0</math>). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

<math>g_r=g_{r+\operatorname{sgn}r}=0</math>이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.
:<math>\frac{q^2}{2(c/3-1)}=\begin{cases}h&\text{NS}\\h-1/8&\text{R}\end{cases}</math>
즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 <math>h\ge q^2/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}</math>에만 존재할 수 있다.

=== ''c''=3인 경우 ===
유니터리 표현의 분류는 <math>c=3</math>인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,
:<math>g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad(r\in\mathbb Z+1/2)</math>
:<math>g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad(r\in\mathbb Z)</math>
:<math>f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^2</math>
이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.
:<math>|q|\le1</math>
:<math>h=\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots&\text{NS}\\
1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots&\text{R}\end{cases}</math>

=== BPS 상태 ===
NS 초1차장 가운데 만약
:<math>q=\pm 2h</math>
인 상태 <math>|h,\pm2h\rangle</math>가 있다면,
:<math>G^{\pm}_{-1/2}|h,\pm2h\rangle=0</math>
이 된다. 이는 [[BPS 상태]]의 일종이며, + 부호일 경우 '''손지기장'''({{llang|en|chiral field}}), − 부호일 경우 '''반손지기장'''({{llang|en|antichiral field}})이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 <math>f_{1,2}^{\text{NS}}\ge0</math> 조건에 의하여
:<math>2h=|q|\le c/3</math>
이다.<ref name="Polchinski">{{서적 인용|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=String theory. Volume 2: Superstring theory and beyond|ISBN=978-0521633048|doi=10.2277/0521633044|출판사=Cambridge University Press|연도=1998|bibcode=1998stth.book.....P|zbl=1006.81522|언어=en}}</ref>{{rp|378}}

특별한 경우로, 진공 <math>h=q=0</math>일 경우에는
:<math>L_{-1}|0,0\rangle=G^\pm_{-1/2}|0,0\rangle=0</math>
이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 <math>h=c/24</math>일 경우,
:<math>G_0^\pm|c/24,q\rangle=0</math>
이 성립한다. 이는 <math>g_0^{\text{R}}=0</math>과 같은 조건이다. 이 역시 [[BPS 상태]]의 일종이며, 이러한 상태를 '''라몽 바닥 상태'''({{llang|en|Ramond ground state}})라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우 <math>f_{1,2}^{\text{R}}\ge0</math> 조건에 의하여
:<math>|q|\le c/6+1/2</math>
이다.

=== 초공간 ===
2차원 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초대칭은 [[초공간]] <math>\mathbb R^{2|4}</math>를 사용하여 나타낼 수 있다.<ref name="mirrorbook"/>{{rp|271–276}} 이 경우, 보손 좌표 <math>\mathbb R^2</math>는 [[복소평면]] <math>\mathbb C</math>로 여겨, 복소수 좌표 <math>(z,\bar z)</math>로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 [[반가환수|반가환]] 복소수 <math>(\theta^\pm,\bar\theta^\mp)</math>로 나타낼 수 있다. 이 때
:<math>(\theta^\pm)^*=\bar\theta^\mp</math>
이다. 이 경우, <math>\theta^\pm</math> 및 <math>\bar\theta^\pm</math>은 각각 스핀 <math>\pm1/2</math>를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 [[외대수]]
:<math>\mathcal C^\omega(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}\bigwedge(\mathbb C^2)</math>
의 [[층 (수학)|층]]을 갖는 [[환 달린 공간]]이다.

일반적 [[초장 (물리학)|초장]]은
:<math>\Phi(z,\bar z,\theta^\pm,\bar\theta^\mp)=\phi(z,\bar z)+\theta^+f_+(z,\bar z)+\theta^-f_-(z,\bar z)+\bar\theta^+g_+(z,\bar z)+\bar\theta^-g_-(z,\bar z)+\theta^+\theta^-h(z,\bar z)</math>
와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 <math>D^\pm</math>, <math>\bar D^\pm</math>을 정의하면 '''손지기 초장'''({{llang|en|chiral superfield}})
:<math>\bar D_\pm\Phi=0</math>
및 '''반손지기 초장'''({{llang|en|antichiral superfield}}
:<math>\bar D_\pm\Phi=0</math>
및 '''뒤틀린 손지기 초장'''({{llang|en|twisted chiral superfield}})
:<math>\bar D_+\Phi=D_-\Phi=0</math>
및 '''뒤틀린 반손지기 초장'''({{llang|en|twisted antichiral superfield}})
:<math>D_+\Phi=\bar D_-\Phi=0</math>
이 존재한다. 이들은 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

== 성질 ==
=== 위상 뒤틀림 ===
정칙 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math> 위에
:<math>Q^2=(G^\pm_{-1/2})^2=0</math>
이므로, 이를 사용하여 [[코호몰로지]]를 정의할 수 있다. 즉, <math>G^\pm_{-1/2}</math>를 [[BRST 양자화|BRST 연산자]]로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 [[위상 양자장론]]을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은
:<math>h=\pm q/2</math>
인 것들, 즉 (<math>Q=G^+_{-1/2}</math>인 경우) 손지기장 또는 (<math>Q=G^-_{-1/2}</math>인 경우) 반손지기장이다. 이들은 [[BPS 상태]]이며, 각각 손지기환({{llang|en|chiral ring}}) 및 반손지기환({{llang|en|antichiral ring}})이라는 [[등급환|등급 가환환]]을 이룬다.

비정칙 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.<ref name="mirrorbook">{{서적 인용|제목=Mirror Symmetry|이름=Kentaro|성=Hori|이름2=Sheldon|성2=Katz|이름3=Albrecht|성3=Klemm|이름4=Rahul|성4=Pandharipande|이름5=Richard|성5=Thomas|이름6=Cumrun|성6=Vafa|저자링크6=캄란 바파|이름7=Ravi|성7=Vakil|이름8=Eric|성8=Zaslow|출판사=[[미국 수학회|American Mathematical Society]]/[[클레이 수학연구소|Clay Mathematical Institute]]|series=Clay Mathematical Monographs|volume=1|날짜=2003|isbn=0-8218-2955-6|url=http://www.claymath.org/library/monographs/cmim01c.pdf|zbl=1044.14018|mr=2003030}}</ref>{{rp|403}}
:<math>Q_A=\bar G^+_{-1/2}+G^-_{-1/2}</math>
:<math>Q_B=\bar G^+_{-1/2}+G^+_{-1/2}</math>
이 경우, A-뒤틀림은
:<math>(h,\bar h)=(-q/2,\bar q/2)</math>
인 것들을 남기고 (ac환 {{llang|en|ac ring}}), B-뒤틀림은
:<math>(h,\bar h)=(q/2,\bar q/2)</math>
인 것들을 남긴다 (cc환 {{llang|en|cc ring}}). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기({{llang|en|(anti)chiral}})의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

=== 스펙트럼 흐름 ===
<math>\mathcal N=2</math> NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 [[동형]]이며, 이 동형을 '''스펙트럼 흐름'''({{llang|en|spectral flow}})이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 <math>\eta\in\mathbb R</math>에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, <math>\eta=1/2</math>라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, <math>\eta=1</math>이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 [[R대칭]] 전하는 다음과 같이 변환한다.<ref name="BP"/>{{rp|186, (5.35)}}
:<math>h\mapsto h-\eta q+c\eta^2/6</math>
:<math>q\mapsto q-c\eta/3</math>
스펙트럼 흐름 아래
:<math>h-\frac 3{2c}q^2</math>
는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 [[로런츠 변환]]과 유사하게 작용한다.
:<math>\binom{\sqrt{2ch/3}}q\mapsto\begin{pmatrix}
\cosh\theta&\sinh\theta\\
\sinh\theta&\cosh\theta
\end{pmatrix}\binom{\sqrt{2ch/3}}q</math>
여기서
:<math>\sqrt{2ch/3}\,d\theta=\frac c3\,d\eta</math>
이므로,
:<math>\eta=\sqrt{6h/c}(\sinh\theta)+\frac{3q}c(\cosh\theta-1)</math>
이다.

이에 따라, <math>\eta=1/2</math>일 때 손지기장 <math>h=q/2</math>은 <math>(h',q')=(c/24,q-c/6)</math>인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, <math>\eta=1</math>인 경우, 손지기장 <math>h=q/2</math>는 반손지기장 <math>(h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)</math>으로 대응된다.

{| class="wikitable"
|-
! <math>\eta=-1</math>!! <math>\eta=-1/2</math> !! <math>\eta=0</math> !! <math>\eta=1/2</math> !! <math>\eta=1</math>
|-
|| || || 손지기장 <math>(h,q)=(h,2h)</math> || 라몽 바닥 상태 <math>(h,q)=(c/24,2h-c/6)</math> || 반손지기장 <math>(h,q)=(c/6-h,2h-c/3)</math>
|-
|| || 손지기장 <math>(h,q)=(c/12+q/2,c/6+q)</math> || 라몽 바닥 상태 <math>(h,q)=(c/24,q)</math> || 반손지기장 <math>(h,q)=(c/12-q/2,q-c/6)</math>
|-
|| 손지기장 <math>(h,q)=(c/6-h,c/3-2h)</math> || 라몽 바닥 상태 <math>(h,q)=(c/24,-2h+c/6)</math> || 반손지기장 <math>(h,q)=(h,-2h)</math>
|}

=== 모듈러 불변성 ===
<math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 [[퓨가시티]]
:<math>y=\exp(2\pi iz)</math>
:<math>\bar y=\exp(-2\pi i\bar z)</math>
:<math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>
:<math>\bar q=\exp(-2\pi i\bar \tau)</math>
를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.
:<math>Z(q,\bar q,y,\bar y)=\operatorname{tr}_{\operatorname{NS}}\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\bar y^{\bar J_0}\right)=
\sum_{(h,\bar h,q,\bar q)}q^{h-c/24}\bar q^{\bar h-c/24}y^j\bar y^{\bar j}</math>
이는 [[모듈러 군]]의 S변환
:<math>S\colon(\tau,z)\mapsto(\tau',z')=(-1/\tau,z/\tau)</math>
아래 다음과 같이 변환한다.<ref>{{서적 인용|이름=Christoph A.|성=Keller|장=Modularity, Calabi–Yau geometry and 2d CFTs|arxiv=1312.7313|제목=String-Math 2013 Conference, June 17–21, 2013, Simons Center for Geometry and Physics, Stony Brook, NY|편집자=Ron Donagi, Michael R. Douglas, Ljudmila Kamenova, Martin Roček|총서=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 88|bibcode=2013arXiv1312.7313K|쪽=307–316|출판사=American Mathematical Society|날짜=2014|isbn=978-1-4704-1051-3|언어=en}}</ref>
:<math>Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)\exp(\pi ic\bar z^2/3\bar\tau)Z(\tau',z')</math>
즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 <math>(-1)^F=\exp(i\pi(J_0-\bar J_0))</math>를 삽입하여, 다음과 같은 '''타원 종수'''(楕圓種數, {{llang|en|elliptic genus}})를 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=On the Landau–Ginzburg description of
<math>N=2</math> minimal models|arxiv=hep-th/9304026|doi=10.1142/S0217751X9400193X|저널=International Journal of Modern Physics A|권=9|호=27|쪽=4783–4800|bibcode=1994IJMPA...9.4783W|날짜=1994-10-30|zbl=0985.81718|언어=en}}</ref><ref name="KYY">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9306096|제목=Elliptic genera and <math>N=2</math> superconformal field theory|이름=Toshiya|성=Kawai|이름2=Yasuhiko|성2=Yamada|이름3=Sung-Kil|성3=Yang|저자링크3=양성길|doi=10.1016/0550-3213(94)90428-6|저널=Nuclear Physics B|권=414|쪽=191-212|날짜=1994|bibcode=1994NuPhB.414..191K|zbl= 0980.58500|언어=en}}</ref>{{rp|(2.1)}}
:<math>Z(\tau,z)=\operatorname{tr}_{\operatorname{R}}\left((-1)^Fq^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-c/24}y^{J_0}\right)</math>
이는 [[위튼 지표]]의 일반화이며, <math>\tau</math> 및 <math>z</math>에 대하여 [[정칙 함수]]이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.<ref name="KYY"/>{{rp|(2.4), (2.5), (2.6)}}
:<math>Z(\tau,z)=Z(\tau,-z)=Z(\tau+1,z)</math>
:<math>Z(\tau,z)=\exp(-\pi icz^2/3\tau)Z(-1/\tau,z/\tau)</math>
따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 <math>\hat c/2</math>의 약한 [[야코비 형식]]을 이룬다.

== 예 ==
=== 자유 이론 ===
2차원 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 <math>c=3</math>을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 경계 조건 !! 장 !! 무게 <math>h</math> || [[R대칭]] 전하 <math>q</math> || 설명
|-
|| || 1 || 0 || 1 || 진공
|-
|| NS || <math>Q^+=\psi^+\partial\phi^*</math> || 3/2 || +1 || 초전류
|-
|| NS || <math>Q^-=\psi^-\partial\phi</math> || 3/2 || −1 || 반초전류
|-
|| NS || <math>J=\psi^+\psi^-</math> || 1 || 0 || [[R대칭]] 보존류
|-
|| NS ||  <math>\psi^+</math> || ½ || +1 || 페르미온
|-
|| NS ||  <math>\partial\phi=G_{-1/2}^-\partial\psi^+</math> || 1 || 0 || 보손
|-
|| NS ||  <math>\psi^-</math> || ½ || −1 || 반페르미온
|-
|| NS ||  <math>\partial\phi^*=G_{-1/2}^+\partial\psi^-</math> || 1 || 0 || 반보손
|-
| R || <math>U_{1/2}1=U_{-1/2}\psi^-</math> || ⅛ || −½ || 라몽 바닥 상태
|-
|| R || <math>U_{1/2}\psi^+=U_{-1/2}1</math> || ⅛ || ½ || 라몽 바닥 상태
|}
이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 <math>\psi^+</math>과 하나의 반손지기 초1차장 <math>\psi^-</math>를 갖는다. 즉, 손지기환은 <math>\mathbb Z/(2)</math>와 [[동형]]이다.

이들로부터 정의되는 <math>\mathcal N=2</math> 대수는 구체적으로 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|이름=Michael|성=Green|저자링크=마이클 그린 (물리학자)|이름2=John|성2=Schwarz|저자링크2=존 헨리 슈워츠|이름3=Edward|성3=Witten|저자링크3=에드워드 위튼|제목=Superstring theory. Volume 1: Introduction|출판사=Cambridge University Press|날짜=1987|isbn=0-521-35752-7|언어=en}}</ref>{{rp|240}} 복소수 보손 <math>\phi</math>의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 <math>a_n</math>, <math>b_n</math>이라고 하고, 복소수 페르미온 <math>\psi</math>의 모드 전개를 <math>e_r</math>라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.
:<math> \displaystyle{[a_m,a_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0},\,\,\,\, [b_m,b_n]={m\over 2}\delta_{m+n,0}},\,\,\,\, a_n^*=a_{-n},\,\,\,\, b_n^*=b_{-n}</math>
:<math> \displaystyle{\{e_r,e^*_s\}=\delta_{r,s},\,\,\,\, \{e_r,e_s\}=0.}</math>
그렇다면 다음과 같이 <math>\hat c=1</math> <math>\mathcal N=2</math> 초등각 대수를 구성할 수 있다.
:<math>L_n = \sum_m : a_{-m+n} a_m  : + \sum_m : b_{-m+n} b_m : + \sum_r (r+{n\over 2}): e^*_{r}e_{n+r} :</math>
:<math>J_n = \sum_r : e_r^*e_{n+r} : </math>
:<math> G^+_r=\sum (a_{-m} + i b_{-m}) \cdot e_{r+m}</math>
:<math>G_r^-=\sum (a_{r+m} - ib_{r+m}) \cdot e^*_{m}</math>

=== 최소 모형 ===
{{본문|최소 모형 (등각 장론)}}
<math>\hat c<1</math>인 일련의 <math>\mathcal N=2</math> 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 <math>\mathcal N=2</math> 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.<ref>{{저널 인용|이름1=Andrea|성1= Cappelli|이름2= Jean-Bernard|성2= Zuber|연도=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=4|쪽=10314|doi=10.4249/scholarpedia.10314|제목=A-D-E classification of conformal field theories|arxiv=0911.3242|bibcode=2009arXiv0911.3242C|issn=1941-6016|언어=en}}</ref>

=== 잉여류 모형 ===
[[단순 리 군]] <math>G</math> 및 닫힌 부분군 <math>H\le G</math>가 주어졌으며, <math>\operatorname{rank}G=\operatorname{rank}H</math>이며, <math>H</math>의 [[군의 중심|중심]]의 차원이 양수일 때, [[잉여류]] 공간 <math>G/H</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]]이며, 그 위에 '''가자마-스즈키 모형'''({{llang|en|Kazama–Suzuki model}})이라는 <math>\mathcal N=2</math> 등각 장론을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|last=Kazama|first= Yoichi|last2= Suzuki|first2= Hisao|title=New <math>N=2</math> superconformal field theories and superstring compactification|journal=Nuclear Physics B |volume=321 |날짜=1989|pages= 232–268|doi=10.1016/0550-3213(89)90250-2|bibcode = 1989NuPhB.321..232K|언어=en }}</ref> 이는 가자마 요이치({{llang|ja|風間 洋一}})와 스즈키 히사오({{llang|ja|鈴木 久男}})가 도입하였다.

=== 시그마 모형 ===
복소수 <math>d</math>차원 [[칼라비-야우 다양체]] 위에 정의된 2차원 [[시그마 모형]]은 <math>\hat c=c/3=d</math>인 <math>\mathcal N=(2,2)</math> 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.<ref>{{저널 인용|제목=Extension of N=2 Superconformal Algebra and Calabi-yau Compactification|이름=Satoru|성=Odake|날짜=1989-03-20|권=4|저널=Modern Physics Letters A|쪽=557|doi=10.1142/S021773238900068X|언어=en}}</ref><ref name="KO">{{저널 인용|이름=Christoph A.|성=Keller|이름2=Hirosi|성2=Ooguri|날짜=2013|제목=Modular Constraints on Calabi-Yau Compactifications|저널=Communications in Mathematical Physics|권=324|쪽=107-127|arxiv=1209.4649|언어=en}}</ref>
* 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
* ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
* ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 [[호지 수]]에 의하여 결정된다.
타원 종수는 [[야코비 형식]]을 이루는데, 낮은 차원 (<math>d\le3</math>)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.<ref name="KO"/>

== 응용 ==
<math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론은 [[초끈 이론]]에서 4차원 <math>\mathcal N=1</math> 진공해를 얻기 위하여 사용된다.<ref name="BP"/>{{rp|191–192}}

== 역사 ==
1976년에 [[초끈 이론]]에서 최초로 발견되었고,<ref>{{저널 인용 | last1=Ademollo | first1=Marco | last2=Brink | first2=Lars | last3=D’Adda | first3=Alessandro | last4=D’Auria | first4=Riccardo | last5=Napolitano | first5=Ernesto | last6=Sciuto | first6=Stefano | last7=Giudice | first7=Emilio Del | last8=Vecchia | first8=Paolo Di | last9=Ferrara | first9=Sergio | last10=Gliozzi | first10=Ferdinando | last11=Musto | first11=Renato | last12=Pettorino | first12=Roberto | title=Supersymmetric strings and colour confinement | doi=10.1016/0370-2693(76)90061-7 | 날짜=1976-05-10 | journal=Physics Letters B | volume=62 | issue=1 | pages=105–110|bibcode = 1976PhLB...62..105A | issn=0370-2693 | 언어=en }}</ref> 1977년에 [[빅토르 카츠]]가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.<ref name="Gato-Rivera">{{서적 인용|장=Recent results on <math>N=2</math> superconformal algebras|이름=Beatriz|성=Gato-Rivera|arxiv=hep-th/0002081|bibcode=2000hep.th....2081G|제목=Proceedings of the Sixth International Wigner Symposium, 16-20 Aug 1999, Istanbul, Turkey|url=http://www.bupress.org/tanim.asp?sid=UQ5PCIFYJ33WO36JO4YV|isbn=978-975518188-2|위치=[[이스탄불]]|출판사=Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi|편집자=Engin Arık|날짜=2002|언어=en|확인날짜=2015년 8월 31일|보존url=https://web.archive.org/web/20171008230926/http://www.bupress.org/tanim.asp?sid=UQ5PCIFYJ33WO36JO4YV|보존날짜=2017년 10월 8일|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=V.G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|제목=Lie superalgebras|저널=Advances in Mathematics|권=26|호=1|쪽=8–96||날짜=1977-10|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|issn=0001-8708|zbl= 0366.17012|언어=en}}</ref>
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다.<ref name="BFK"/> 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용|저널=Physics Letters B|권=184|호=2–3|날짜=1987-01-29|쪽=191–196|제목=Comments on the <math>N = 2,3,4</math> superconformal algebras in two dimensions|이름=Adam|성=Schwimmer|이름2=Nathan|성2=Seiberg|저자링크2=나탄 자이베르그|doi=10.1016/0370-2693(87)90566-1|bibcode=1987PhLB..184..191S| issn=0370-2693|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[2차원 등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=4 초등각 장론]]
* [[끈 이론]]
* [[초대칭]]
* [[최소 모형 (등각 장론)]]
* [[야코비 형식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=2d SCFT}}
* {{nlab|id=2d (2,0)-superconformal QFT }}
* {{nlab|id=Gepner model}}

{{전거 통제}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:초대칭]]
[[분류:끈 이론]]