{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''대수 구조'''(代數構造, {{llang|en|algebraic structure}})는 일련의 [[연산]]들이 주어진 집합이다.<ref name="BS">{{서적 인용|성=Burris|이름=Stanley N.|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|날짜=1981|제목=A course in universal algebra|출판사=Springer|zbl=0478.08001|mr=0648287 |isbn=978-1-4613-8132-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=78|언어=en}}</ref> 추상대수학은 다루는 대수 구조에 따라서 구분되며, 일반적인 대수 구조를 추상적으로 연구하는 분야를 [[보편 대수학]]이라고 한다. 자주 쓰이는 일부 대수 구조들은 특별한 이름을 붙이는데, [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]], [[모노이드]], [[반군]], [[가군]] 등이 있다.

== 정의 ==
대수 구조의 '''부호수'''({{llang|en|signature}}) <math>(\tau,\operatorname{arity})</math>는 [[집합]] <math>\tau</math> 및 [[공역]]이 음이 아닌 정수의 집합인 함수 <math>\operatorname{arity}\colon\tau\to\mathbb N</math>의 순서쌍이다. <math>\operatorname{arity}(\alpha)=n</math>인 원소 <math>\alpha\in\tau</math>를 형 <math>\tau</math>의 '''<math>n</math>항 연산'''이라고 한다.

형 <math>\tau</math>의 '''대수 구조''' <math>(S,F)</math>는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* <math>S</math>는 [[집합]]이다.
* <math>F\colon\tau\to\bigsqcup_{n\in\mathbb N}S^{S^{\times n}}</math>는 중복집합 <math>\tau</math>의 각 원소 <math>\alpha\in\tau</math>를 함수 <math>F_\alpha\colon S^{\times\operatorname{arity}(\alpha)}\to S</math>에 대응시키는 함수이다. 여기서 <math>S^{\times n}=\overbrace{S\times S\times\cdots\times S}^n</math>은 <math>S</math>의 <math>n</math>번 [[곱집합]]이며, <math>S^{\times0}</math>은 임의의 [[한원소 집합]]이다.
대수 구조는 이러한 연산들이 만족시켜야 하는 항등식에 대한 데이터를 담고 있지 않다. 이러한 데이터를 포함하는 대상을 [[대수 구조 다양체]]라고 한다.

[[구조 (논리학)|구조]]는 대수 구조의 개념에 <math>n</math>항 관계의 개념을 추가시켜 일반화한 개념이다. 반대로, 대수 구조는 관계를 포함하지 않는 구조이다.

== 부분 대수 ==
형 <math>\tau</math>의 대수 구조 <math>(S,F)</math>의 '''부분 대수'''({{llang|en|subalgebra}}) <math>(T,G)</math>는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 형 <math>\tau</math>의 대수 구조이다.
* <math>T\subset S</math>이다.
* <math>T</math>의 연산은 <math>S</math>의 연산과 일치한다. 즉, 모든 <math>n</math>항 연산 <math>\alpha\in\tau</math> 및 <math>\vec t\in T^{\times n}</math>에 대하여, <math>F_\alpha(\vec t)=G_\alpha(\vec t)</math>이다.

대수적 구조 <math>(S,F)</math>의 부분 대수들은 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(S)</math>를 이룬다. 이 부분 순서 집합은 [[대수적 격자]]({{llang|en|algebraic lattice}})이며, 반대로 모든 대수적 격자는 대수 구조의 부분 대수 격자로 나타낼 수 있다.<ref name="BS"/>{{rp|33–34}}

== 몫 대수 ==
형 <math>\tau</math>의 대수 구조 <math>(S,F)</math> 위에 [[합동 관계]] <math>\sim</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>S</math>의 <math>\sim</math>에 대한 '''몫 대수'''({{llang|en|quotient algebra}}) <math>(S/{\sim},F/{\sim})</math>는 다음과 같은 대수 구조이다.
* <math>S/{\sim}</math>은 <math>S</math>의 <math>\sim</math>에 대한 [[동치류]]들의 집합이다.
* 각 <math>\alpha\in\tau</math> 및 <math>\vec s\in S^{\times\operatorname{arity}(\alpha)}</math>에 대하여, [[합동 관계]]는 연산과 호환되므로, <math>(F/{\sim})_\alpha([\vec t]_\sim)=[F_\alpha(\vec t)]_\sim</math>로 정의할 수 있다. 여기서 <math>[\cdots]_\sim</math>는 <math>\sim</math>에 대한 [[동치류]]이다.

주어진 대수 구조 <math>S</math>의 몫 대수들의 [[부분 순서 집합]]은 <math>S</math> 위의 합동 관계들의 부분 순서 집합 <math>\operatorname{Cong}(S)</math>와 동형이다. <math>\operatorname{Cong}(S)</math>는 [[대수적 격자]]를 이루며, 반대로 모든 대수적 격자는 어떤 대수 구조의 합동 관계 격자와 동형이다.<ref name="BS"/>{{rp|41–43}}

<math>\operatorname{Cong}(S)</math>가 2개 원소를 가진 격자인 경우, <math>S</math>를 '''단순 대수'''({{llang|en|simple algebra}})라고 한다. 합동 관계 <math>\sim</math>에 대하여 <math>S/{\sim}</math>이 단순 대수인 경우, <math>\sim</math>을 '''극대 합동 관계'''({{llang|en|maximal congruence relation}})라고 한다. 단순 대수는 [[단순군]]·[[단순환]]의 개념을, 극대 합동 관계는 [[극대 아이디얼]]의 개념을 일반화한 것이다.

== 예 ==
[[집합]]은 아무런 연산이 정의되어 있지 않는 대수 구조이다.

[[모노이드]] <math>(M,\cdot,1)</math>은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.
* (곱셈) [[이항 연산]] <math>\cdot\colon M\times M\to M</math>
* (항등원) 영항 연산 <math>1\in M</math>

[[군 (수학)|군]] <math>(G,\cdot,{}^{-1},1)</math>은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.
* (곱셈) [[이항 연산]] <math>\cdot\colon G\times G\to G</math>
* (역원) 일항 연산 <math>^{-1}\colon G\to G</math>
* (항등원) 영항 연산 <math>1\in G</math>

[[유사환]] <math>(R,\cdot,+,-,0)</math>은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.
* (곱셈) [[이항 연산]] <math>\cdot\colon R\times R\to R</math>
* (덧셈) [[이항 연산]] <math>+\colon R\times R\to R</math>
* (덧셈 역원) 일항 연산 <math>-\colon R\to R</math>
* (덧셈 항등원) 영항 연산 <math>0\in R</math>

[[환 (수학)|환]] <math>(R,\cdot,+,-,0,1)</math>은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.
* (곱셈) [[이항 연산]] <math>\cdot\colon R\times R\to R</math>
* (덧셈) [[이항 연산]] <math>+\colon R\times R\to R</math>
* (덧셈 역원) 일항 연산 <math>-\colon R\to R</math>
* (덧셈 항등원) 영항 연산 <math>0\in R</math>
* (곱셈 항등원) 영항 연산 <math>1\in R</math>

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[가군]] <math>(M,+,-,0,r\cdot_{r\in R})</math>은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.
* (덧셈) [[이항 연산]] <math>+\colon M\times M\to M</math>
* (덧셈 역원) 일항 연산 <math>-\colon M\to M</math>
* (덧셈 항등원) 영항 연산 <math>0\in M</math>
* (스칼라 곱셈) <math>R</math>의 각 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, 일항 연산 <math>r\cdot\colon M\to M</math>
만약 <math>R</math>가 무한 집합이라면, 이 경우 <math>R</math>-가군의 연산의 집합 역시 무한 집합이다.

[[체 (수학)|체]]의 경우, 위 정의에 따르면 대수 구조로 보기 힘든데, 이는 곱셈에 대한 역원 <math>^{-1}</math>이 모든 원소에 대하여 정의되지 않기 때문이다. 체의 경우, 곱셈 역원의 연산을 잊고 환으로 볼 수 있으나, 이 경우 체들의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이루지 못한다. 실제로, 체의 경우 (자명하지 않은) 몫이나 [[합동 관계]] 따위가 존재하지 않으므로, 체의 이론은 군이나 환의 이론과 상당히 다르다.

== 같이 보기 ==
* [[추상대수학]]
* [[범주론]]
* [[대수 구조 다양체]]
* [[준동형]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders MacLane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 2nd ed. Chelsea.
* Michel, Anthony N., and Herget, Charles J., 1993 (1981). ''Applied Algebra and Functional Analysis''. Dover.
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]'' Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}}.
* [[Saunders Mac Lane|Mac Lane]], Saunders (1998) ''[[Categories for the Working Mathematician]]''. 2nd ed. (Graduate Texts in Mathematics 5). Springer-Verlag.
* Taylor, Paul, 1999. ''Practical Foundations of Mathematics''. Cambridge University Press.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraic system}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수 구조| ]]
[[분류:추상대수학]]