{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]과 [[대수기하학]]에서 '''크룰 차원'''(Krull次元, {{llang|en|Krull dimension}})은 [[가환환]]에 대한 [[차원]]의 일종이다. [[소 아이디얼]]로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 [[상한]]이다.

== 정의 ==
=== 위상 공간의 차원 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''기약 집합'''({{llang|en|irreducible set}})은 [[기약 공간]]이며 [[공집합]]이 아닌 [[닫힌집합]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|3}} (이는 [[아핀 스킴]]의 경우 [[소 아이디얼]]에 대응한다.) <math>X</math>의 '''크룰 차원'''은 <math>X</math>의 기약 집합들의 사슬
:<math>I_0\subsetneq I_1\subsetneq\cdots I_{n-1}\subsetneq I_n</math>
의 길이들의 [[상한]] <math>n\in\mathbb N\cup\{+\infty,-\infty\}</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|5}} 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 [[공집합]]인 경우), 크룰 차원은 <math>-\infty</math>이다.

보통, [[스킴 (수학)|스킴]]의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 [[자명환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]의 크룰 차원은 <math>-\infty</math>이다.

위상 공간 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.
:<math>\dim X=\sup_{i\in I}\dim U_i</math>

=== 가군의 차원 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>의 '''크룰 차원'''은 다음과 같다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|226}}
:<math>\dim_RM=\dim\operatorname{Spec}(R/\operatorname{Ann}_R(M))</math>
여기서 <math>\operatorname{Ann}_R(M)</math>은 <math>M</math>의 [[소멸자]]이며, <math>\operatorname{Spec}</math>은 [[환의 스펙트럼]]이다. [[대수기하학]]적으로, 이는 <math>M</math>을 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[가군층]]으로 여겼을 때, 그 [[지지 집합]]의 차원에 해당한다.

=== 아이디얼의 높이 ===
[[가환환]] <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>의 '''높이'''({{llang|en|height}}) <math>\operatorname{ht}_R\mathfrak p</math>는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 <math>n</math>이다.
:<math>\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n\subseteq\mathfrak p</math>
이는 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>의 크룰 차원과 같다.
:<math>\dim R_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}_R\mathfrak p</math>
가환환 <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>의 '''높이'''({{llang|en|height}}) <math>\operatorname{ht}_R\mathfrak a</math>는 <math>\mathfrak a</math>를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 [[하한]]이다.
:<math>\operatorname{ht}_R\mathfrak a=\inf_{\mathfrak a\subseteq\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\operatorname{ht}_R\mathfrak p</math>
([[초른 보조정리]]에 따라, <math>\mathfrak a</math>를 포함하는 [[극대 아이디얼]]이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 <math>\operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\subseteq\operatorname{Spec}R</math>의 [[여차원]]과 같다.
:<math>\operatorname{codim}_R(R/\mathfrak a)=\operatorname{ht}_R\mathfrak a</math>

== 성질 ==
=== 가환환의 차원 ===
<math>R</math>가 (1을 갖춘) [[가환환]]이라고 하자. 만약 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]]들 <math>\mathfrak p_i</math>가 다음과 같은 [[진부분집합]]의 사슬
:<math>\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak  p_1\subsetneq\mathfrak  p_2\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_n</math>
을 이룰 때, 음이 아닌 정수 <math>n</math>을 집합 <math>H(R)\subset\mathbb N</math>의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 <math>R</math>의 '''크룰 차원'''은 <math>H(R)</math>의 [[상한]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|6}} 즉,
:<math>\dim R=\sup H(R)\in\mathbb N\sqcup\{\infty\}</math> [[자명환]]의 경우, 크룰 차원은 <math>-\infty</math>이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.
*  <math>R</math>의 환으로서의 크룰 차원
* [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>의 크룰 차원
* <math>R</math>를 스스로 위의 [[가군]]으로 여겼을 때, <math>R</math>의 가군 크룰 차원

[[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[체 (수학)|체]]이다.
* 크룰 차원이 0인 [[정역]]이다.

가환환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|227, Corollary 9.1}}<ref name="AtiyahMacDonald"/>{{rp|90, Theorem 8.5}}
* [[아르틴 환]]이다.
* 크룰 차원이 0인 [[뇌터 환]]이다.

일반적인 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\dim R+1\le\dim R[x]\le2\dim R+1</math>
만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이라면, 다음이 성립한다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 10.13}}
:<math>\dim R[x]=1+\dim R</math>

=== 대수다양체의 차원 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[대수다양체]]의 크룰 차원은 유한하며, [[쌍유리 변환]] 아래 불변량이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 [[아핀 대수다양체]] <math>V=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p</math> (<math>\mathfrak p</math>는 [[소 아이디얼]])에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="AtiyahMacDonald"/>{{rp|124–125}}
* <math>V</math>의 크룰 차원이 <math>d</math>이다.
* <math>V</math>의 임의의 [[특이점 (대수기하학)|비특이점]]에서의 [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]]의 크룰 차원이 <math>d</math>이다.
* <math>V</math>의 [[유리 함수층|유리 함수체]] <math>\Gamma(V,\mathcal K_V)=\operatorname{Frac}(K[x_1,\dots,x_n/\mathfrak p)</math>의 <math>K</math>에 대한 [[초월 차수]]가 <math>d</math>이다.
* <math>K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p</math>의 [[힐베르트 다항식]]이 <math>d</math>차 다항식이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 [[사영 대수다양체]] <math>V=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]/\mathfrak p</math> (<math>\mathfrak p</math>는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>V</math>의 크룰 차원이 <math>d</math>이다.
* <math>V</math>의 임의의 [[특이점 (대수기하학)|비특이점]]에서의 [[국소환]]의 크룰 차원이 <math>d</math>이다.
* <math>K[x_0,\dots,x_n]/\mathfrak p</math>의 <math>K</math>에 대한 [[초월 차수]]가 <math>d+1</math>이다.

=== 뇌터 국소환의 차원 ===
[[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.<ref name="AtiyahMacDonald">{{서적 인용|이름=Michael|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|공저자=Ian G. MacDonald|제목=Introduction to commutative algebra|출판사=Addison-Wesley|날짜=1969|언어=en}}</ref>{{rp|119}} 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.
* <math>R</math>의 크룰 차원 <math>\dim R</math>
* <math>R</math>에서, <math>R/(r_1,r_2,\dots,r_\delta)</math>가 [[자명환]]이 아닌 [[아르틴 환]]이 되는 아이디얼 <math>(r_1,\dots,r_\delta)</math>의 생성원들의 최소 크기 <math>\delta</math>
* <math>\mathfrak q</math>가 임의의 <math>\mathfrak m</math>-[[으뜸 아이디얼]]이라고 하자. 그렇다면 [[형식적 멱급수]]{{mindent|<math>P(t)=\sum_{n=0}^\infty \ell(\mathfrak q^n/\mathfrak q^{n+1}))t^n\in\mathbb Z[[t]]</math>}}를 정의할 수 있다 (<math>\mathfrak q^0=R</math>, <math>\ell</math>은 [[가군의 길이]]). 이는 항상 [[유리 함수]]이며, <math>P(t)\in\mathbb Z(t)</math>의 <math>t=1</math>에서의 [[극점 (복소해석학)|극점]]의 차수를 <math>d</math>라고 하자. 이 값은 <math>\mathfrak q</math>의 선택에 관계없다.
이렇게 정의하면, 항상
:<math>\dim R=\delta=d<\infty</math>
이다.

=== 정칙 국소환의 차원 ===
[[정칙 국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.<ref name="AtiyahMacDonald"/>{{rp|123, Theorem 11.22}}
* 뇌터 국소환으로서의 차원 <math>\dim R</math> (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
* <math>\dim_{R/\mathfrak m}(\mathfrak m/\mathfrak m^2)</math>. 여기서 <math>\dim_{R/\mathfrak m}</math>은 [[체 (수학)|체]] <math>R/\mathfrak m</math> 위의 [[벡터 공간]]의 차원이다.
* <math>\mathfrak m</math>의 최소 생성 집합의 크기
* <math>\textstyle\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n+1}\cong(R/\mathfrak m)[x_1,x_2,\dots,x_d]</math>일 때, <math>d</math>. 여기서 <math>\mathfrak m^0=R</math>이다.

== 예 ==
=== 가환환의 차원 ===
크룰 차원이 <math>-\infty</math>인 유일한 가환환은 [[자명환]]이다.

[[체 (수학)|체]]의 [[소 아이디얼]]은 (0)뿐이다. 따라서 모든 [[체 (수학)|체]]는 크룰 차원이 0이다. [[주 아이디얼 정역]]의 경우, 모든 0이 아닌 [[소 아이디얼]]은 [[극대 아이디얼]]이다. 따라서 체가 아닌 [[주 아이디얼 정역]]의 크룰 차원은 1이다.

<math>k</math>가 체라고 하자. 그렇다면 <math>k[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로 <math>\dim k[x]=1</math>이다. 보다 일반적으로, <math>\dim k[x_1,x_2,\dots,x_n]=n</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|6}}

[[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[가환환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>의 크룰 차원은 다음과 같다.
:<math>\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}</math>

=== 위상 공간의 차원 ===
위상 공간의 크룰 차원은 [[자리스키 위상]]과는 잘 호환되지만, [[하우스도르프 공간|하우스도르프 위상]]과는 호환되지 않는다. [[하우스도르프 공간]]의 경우, 기약 집합은 [[한원소 집합]]이며, 따라서 [[공집합]]이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

[[시에르핀스키 공간]] <math>X=\{0,1\}</math>, <math>\mathcal T=\{\varnothing,\{1\},X\}</math>의 기약 집합은 <math>\{0\}</math> 및 <math>\{0,1\}</math>이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

=== 벡터 공간의 크룰 차원 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math>의 [[가군]]으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 <math>\operatorname{Ann}_K(V)=(0)</math>이며, <math>\operatorname{Spec}(K/(0))=\operatorname{Spec}K</math>는 항상 [[한원소 공간]]으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

=== 무한 차원의 뇌터 가환환 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 무한 개의 변수의 [[다항식환]]
:<math>R=K[x_1,x_2,x_3,\dots]</math>
를 생각하자. 임의의 증가 정수열
:<math>0=n_1<n_2<n_3<n_4<\cdots</math>
가 주어졌을 때, [[소 아이디얼]]들의 열
:<math>\mathfrak p_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots,x_n)\qquad(i=1,2,3,\dots)</math>
을 생각하자. 그렇다면 <math>R</math>를
:<math>S=K[x_1,x_2,x_3,\dots]\setminus\bigcup_{i=1}^\infty\mathfrak p_i</math>
에 [[국소화 (환론)|국소화]]하면, <math>S^{-1}R</math>는 [[뇌터 환]]이며, 그 크룰 차원은
:<math>\dim S^{-1}R=\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}</math>
이다. 만약 <math>\sup\{n_i-n_{i-1}\colon i\in\mathbb Z^+\}=\infty</math>라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 [[나가타 마사요시]]가 제시하였다.<ref>{{서적 인용|성=Nagata|이름=Masayoshi|저자링크=나가타 마사요시|제목=Local rings|날짜=1962|출판사=Wiley Interscience|총서=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics|권= 13|언어=en}}</ref>{{rp|Appendix, Example E1}}<ref name="Eisenbud"/>{{rp|229, Exercise 9.6}}

== 역사 ==
[[볼프강 크룰]]이 1928년 [[크룰 높이 정리]]를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|저널={{lang|de|Mathematische Zeitschrift}}|날짜=1928-12-01|권=28|호=1|쪽=481–503
|제목={{lang|de|Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen}}
|이름=Wolfgang|성=Krull|저자링크=볼프강 크룰
|언어=de
|doi=10.1007/BF01181179}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[호몰로지 차원]]
* [[기약 공간]]
* [[크룰 높이 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Dimension}}
* {{매스월드|id=KrullDimension|title=Krull dimension}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:차원]]