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[[일반 상대성이론]]에서 '''해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식'''(Hamilton–Jacobi–Einstein equation, '''HJEE''') 또는 '''아인슈타인-해밀턴-야코비 방정식'''(Einstein–Hamilton–Jacobi equation, '''EHJE''')은 1960년대 경 "기하동역학 시대"에 애셔 페레스가 작성한 [[해밀턴 역학|해밀토니안 형식화]]의 [[초공간]] [[기하동역학]]의 방정식이다. 1962년 및 기타.<ref>{{저널 인용|제목=On Cauchy's problem in general relativity - II|저널=Nuovo Cimento|성=A. Peres|연도=1962|권=26|호=1|출판사=Springer|쪽=53–62|bibcode=1962NCim...26...53P|doi=10.1007/BF02754342}}</ref> 이는 [[양자역학]]과 [[고전역학|고전 역학]] 사이의 대응과 마찬가지로 [[반고전론|반고전적]] 근사 내에서 양자 이론과 유사한 방식으로 일반 상대성이론을 재구성하려는 시도이다.

[[알베르트 아인슈타인]], [[카를 구스타프 야코프 야코비]] 및 [[윌리엄 로언 해밀턴]]의 이름을 따서 명명되었다. 아인슈타인-해밀턴-야코비 방정식에는 10개의 [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]] 만큼 많은 정보가 포함되어 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Derivation of the Ten Einstein Field Equations from the Semiclassical Approximation to Quantum Geometrodynamics|저널=Physical Review|성=U.H. Gerlach|연도=1968|권=177|호=5|쪽=1929–1941|bibcode=1969PhRv..177.1929G|doi=10.1103/PhysRev.177.1929}}</ref> 이는 [[고전역학]]의 [[해밀턴-야코비 방정식]]을 수정한 것이며 [[ADM 형식]]의 [[최소 작용 원리]]를 사용하여 [[아인슈타인-힐베르트 작용]]에서 파생될 수 있다.

== 배경과 동기 ==
=== 고전물리학과 양자물리학의 대응 ===
고전 해석 역학에서 계의 동역학은 [[작용 (물리학)|작용]] <math>S</math>로 요약된다. 이론에 대한 해석과 수학적 형식이 다양한 양자 이론, 즉 비상대론적 [[양자역학]], [[상대론적 양자역학]], [[양자장론]]에서는 이러한 계의 행동이 [[복소수]] 값 [[확률 진폭]] <math>\Psi</math> (더 공식적으로는 [[양자 상태]] [[브라-켓 표기법|켓]] <math>|\Psi\rangle</math> – [[힐베르트 공간]]의 원소)에 완전히 포함된다. 파동 함수의 극형식을 사용하여 마델룽 변환을 수행하면

: <math>\Psi = \sqrt{\rho}e^{iS/\hbar}</math>

<math>\Psi</math>의 [[위상|페이즈]]는 작용으로 해석되고 크기 <math>\rho=\sqrt{\Psi^*\Psi}=|\Psi|</math>는 보른 해석에 따라 [[확률 밀도 함수]]로 해석된다. [[플랑크 상수|축약된 플랑크 상수]] <math>\hbar</math>는 각운동량의 양자이다. 이를 양자 일반 [[슈뢰딩거 방정식]]으로 대체하면 다음과 같다.

: <math>i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H}\Psi\,,</math>

극한 <math>\hbar\rightarrow 0</math>을 취하면 고전적인 [[해밀턴-야코비 방정식]]이 생성된다.

: <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H\,,</math>

이것이 [[대응원리]]의 한 측면이다.

=== 4차원 시공간의 단점 ===
반면, 양자 이론과 일반 상대성이론 사이의 전환은 어렵다. 한 가지 이유는 이러한 이론에서 공간과 시간을 다루는 것이다. 비상대론적 양자역학에서는 공간과 시간이 동등하지 않다. 시간은 매개변수이고 위치는 연산자이다. [[상대론적 양자역학]] 및 양자장론에서 위치는 시간 좌표와 함께 일반적인 장소 좌표로 반환되지만 이러한 이론은 [[구부러진 공간]]이나 일반 상대성 이론이 아닌 4차원 ''평면'' [[민코프스키 공간]]의 특수 상대성 이론하고만 일치한다. [[휘어진 시공간의 양자장론|구부러진 시공간에서 양자장론]]을 공식화하는 것이 가능하지만 양자장론에서는 중력을 [[재규격화]] 할 수 없기 때문에 일반 상대성 이론을 통합할 수 없다. 또한 일반 상대성이론 입자는 매 순간 결정론적으로 알려진 위치와 운동량을 사용하여 곡선형 시공간을 통해 이동하는 반면, 양자 이론에서는 입자의 위치와 운동량을 동시에 정확하게 알 수 없다. 공간 <math>x</math>와 운동량 <math>p</math>, 에너지 <math>E</math> 와 시간 <math>t</math>는 쌍으로 [[불확정성 원리]]를 따른다.

: <math>\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}, \quad \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}\,,</math>

이는 공간과 시간의 작은 간격이 에너지와 운동량의 큰 변동이 가능하다는 것을 의미한다. 일반 상대성이론에서는 [[질량-에너지 등가|질량 에너지]]와 운동량 에너지가 [[일반 상대성이론|시공간 곡률]]의 근원이기 때문에 에너지와 운동량의 큰 변동은 시공간 "직물"이 잠재적으로 너무 왜곡되어 충분히 작은 규모로 부서질 수 있음을 의미한다.<ref name="Lerner Trigg p 1285">{{서적 인용|url=https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern/page/1285|제목=Encyclopaedia of Physics|성=R.G. Lerner|저자링크=Rita G. Lerner|성2=G.L. Trigg|연도=1991|판=2nd|출판사=VHC Publishers|쪽=[https://archive.org/details/encyclopediaofph00lern/page/1285 1285]|isbn=978-0-89573-752-6}}</ref> 양자장론에는 원자 내 전자의 움직임이 변동하기 때문에 진공에 에너지가 있다는 이론적, 실험적 증거가 있으며 이는 [[램 이동]]과 관련이 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Gravitation|성=[[John Archibald Wheeler|J.A. Wheeler]], [[Charles Misner|C. Misner]], [[Kip Thorne|K.S. Thorne]]|연도=1973|출판사=W.H. Freeman & Co|쪽=1190|isbn=978-0-7167-0344-0}}</ref> 이러한 이유와 기타 이유로 점점 더 작은 규모에서 공간과 시간은 [[플랑크 단위계|플랑크 길이]]와 [[플랑크 단위계|플랑크 시간]] 규모까지 역동적인 것으로 생각된다.<ref name="Lerner Trigg p 1285" />

어쨌든 4차원 [[구부러진 공간|구부러진 시공간]] 연속체는 일반 상대성 이론의 잘 정의된 핵심 특징이지만 양자역학에서는 그렇지 않다.

== 방정식 ==
양자역학과 일반 상대성 이론에 가능한 한 가까운 방식으로 계의 동역학을 지배하는 방정식을 찾으려는 한 가지 시도는 ''[[3차원]] 구부러진 공간''에서 "동적"(시간에 따라 변하는)으로 이해되는 해밀턴-야코비 방정식을 아인슈타인 장 방정식처럼 [[4차원]] 시공간 동역학은 아니도록 재구성하는 것이다. 이 공간에는 계량이 있다(자세한 내용은 ''[[거리 공간]]'' 참조).

일반 상대성 이론의 [[계량 텐서]]는 [[고유 시간]], [[곡선의 길이|호 길이]], [[구부러진 공간|구부러진 시공간]]에서의 [[운동 방정식|측지선 운동]] 등이 모두 계량에 의존하기 때문에 필수적인 개념이다. 위의 해밀턴-야코비 방정식은 좌표 시간 <math>t</math> 없이 3차원 공간 좌표 <math>\bold r</math> (예: [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표]] 의 {{수학|'''r''' {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}} )의 함수일 뿐이지만 계량을 포함하도록 수정되었다.

: <math>g_{ij} = g_{ij}(\mathbf{r})\,.</math>

이러한 맥락에서 {{수학|''g<sub>ij</sub>''}}를 "계량 장" 또는 간단히 "장"이라고 한다.

=== 일반 방정식(자유 휘어진 공간) ===
구부러진 "[[진공|빈 공간]]" 또는 "자유 공간"에 있는 자유 입자의 경우, 즉 입자 자체 이외의 [[물질]]이 없는 경우 방정식은<ref>{{서적 인용|제목=Gravitation|성=[[John Archibald Wheeler|J.A. Wheeler]], [[Charles Misner|C. Misner]], [[Kip Thorne|K.S. Thorne]]|연도=1973|출판사=W.H. Freeman & Co|쪽=1188|isbn=978-0-7167-0344-0}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=kv-evuvt5c4C&q=Hamilton%E2%80%93Jacobi%E2%80%93Einstein+equation+in+superspace&pg=PA429|제목=Physical Origins of Time Asymmetry|성=J.J. Halliwell|성2=J. Pérez-Mercader|연도=1996|출판사=[[Cambridge University Press]]|쪽=429|isbn=978-0-521-56837-1|성3=W.H. Zurek}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=lSoRzxFye-4C&q=hamilton-jacobi-einstein+equation&pg=PA224|제목=The Physicist's Conception of Nature|성=J. Mehra|연도=1973|출판사=Springer|쪽=224|isbn=978-90-277-0345-3}}</ref> 다음과 같이 쓸 수 있다.

{{Equation box 1
|title=
|indent =:
|equation = 
<math>\frac{1}{\sqrt{g}}\left(\frac{1}{2}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right)\frac{\delta S}{\delta g_{pq}}\frac{\delta S}{\delta g_{rs}} + \sqrt{g}R=0</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4
}}

여기서 <math>g</math>는 계량 텐서의 [[행렬식]]이고 <math>R</math>은 3차원 기하학의 [[스칼라 곡률|리치 스칼라 곡률]] (시간 제외)이며, " <math>\delta</math>" 대신 "<math>d</math>"는 [[미분|일반 도함수]]가 아닌 변분 도함수를 나타낸다. 이러한 도함수는 "계량 장에 결합"된 장 운동량에 해당한다.

: <math>\pi^{ij}(\mathbf{r})=\pi^{ij}=\frac{\delta S}{\delta g_{ij}}</math>

이는 장 좌표 <math>g_{ij}(\bold r)</math>에 대한 작용의 변화율이다. 여기서 <math>g</math>와 <math>\pi</math>는 각각 고전 [[해밀턴 역학]]에서 {{수학|''q''}}와 {{수학|''p'' {{=}} ∂''S''/∂''q''}} 와 유사하다. 자세한 배경 정보는 [[정준좌표|정준 좌표]] 참조.

이 방정식은 자유 입자의 [[물질파|물질 파동]] 역학이 곡선 공간에서 전개됨에 따라 지속적인 작용의 [[파면 (물리학)|파면]]이 초공간에서 전파되는 방식을 설명한다. 다른 입자의 존재 또는 물질의 분포(공간 곡률에 기여), [[전하]] 또는 [[스핀 (물리학)|스핀]]이 있는 입자에 영향을 미치는 전자기장의 소스를 포함하여 입자에 대한 추가 영향의 존재를 설명하려면 추가 소스 항이 필요하다. 아인슈타인 장 방정식과 마찬가지로 이는 계량 성분의 곱으로 인해 계량에서 [[비선형계|비선형]]이며, 해밀턴-야코비 방정식와 마찬가지로 작용의 변분 도함수 곱으로 인해 작용이 비선형이다.

작용이 파동함수의 위상이라는 양자역학적 개념은 이 방정식으로부터 다음과 같이 해석될 수 있다. 단계는 최소 작용의 원칙을 충족해야 한다. 시스템 구성의 작은 변화, 즉 계량 구성 요소의 약간의 변화에 해당하는 입자 위치의 약간의 변화에 대해 고정 되어 있어야 한다.

: <math>g_{ij} \rightarrow g_{ij} + \delta g_{ij} \,,</math>

위상의 약간의 변화는 0이다.

: <math>\delta S = \int \frac{\delta S }{\delta g_{ij}(\mathbf{r})}\delta g_{ij}(\mathbf{r}) d^3 \mathbf{r} = 0</math>

(여기서 <math>d^3\bold r</math>는 부피 적분의 부피 요소이다). 따라서 물질파의 보강간섭은 최대이다. 이는 [[중첩 원리]]로 표현될 수 있다. 국소화된 파동함수를 형성하기 위해 구부러진 공간 전체에 퍼져 있는 많은 비국소적 파동함수에 적용된다.

: <math>\Psi = \sum_n c_n\psi_n \,,</math>

어떤 계수 {{수학|''c<sub>n</sub>''}}에 대해, 그리고 추가로 각 {{수학|ψ<sub>''n''</sub>}}에 대한 작용(페이즈) {{수학|''S<sub>n</sub>''}}는  모든 ''n에'' 대해 다음을 충족해야 한다.

: <math>\delta S = S_{n+1} - S_n = 0 \,,</math>

또는 동등하게,

: <math>S_1 = S_2 = \cdots = S_n = \cdots \,.</math>

<math>\Psi</math>가 최대 또는 최소인 영역은 입자를 발견할 확률이 있고 작용(페이즈) 변화가 0인 점에서 발생한다. 따라서 위의 아인슈타인-해밀턴-야코비 방정식에서 지속적인 작용의 각 파면은 입자가 발견 ''될 수 있는'' 곳이다.

이 방정식은 여전히 양자역학과 일반 상대성 이론을 "통합"하지 않다. 왜냐하면 양자 이론과 일반 상대성이론의 맥락에서 반고전적 에이코날 근사법이 적용되어 이들 이론 사이의 전환을 제공하기 때문이다.

== 응용 ==
방정식은 다음과 같이 다양하고 복잡한 형태를 취한다.

* [[양자 중력|양자중력]]
* [[양자 우주론]]

== 같이 보기 ==
* [[엽층]]
* 양자 기하학
* 양자 시공간
* [[변분법]]
*  [[휠러-디윗 방정식|휠러-디윗]] 방정식
* 페레스 계량

== 참고 자료 ==
=== 각주 ===
{{각주}}

=== 참고 문헌 ===
==== 서적 ====
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=LW2-riA7d6oC&q=Einstein-Hamilton-Jacobi+equation+observer+wavefunction+wheeler&pg=PA1|제목=Quantum mechanics, a half century later: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics|성=J.L. Lopes|연도=1977|출판사=Springer, Kluwer Academic Publishers|위치=Strasbourg, France|isbn=978-90-277-0784-0}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=HrAzTmXdssQC&q=peres+%281962%29+geometrodynamics&pg=PA446|제목=Quantum Gravity|성=C. Rovelli|연도=2004|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-83733-0}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=ftiyh9e3Ac4C&q=Peres+%281962%29+Einstein-Hamilton-Jacobi+equation&pg=PA155|제목=Quantum Gravity|성=C. Kiefer|연도=2012|판=3rd|출판사=[[Oxford University Press]]|isbn=978-0-19-958520-5}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=wegUE6L7RH4C&q=hamilton-jacobi-einstein+equation&pg=PA177|제목=Towards Quantum Gravity: Proceedings of the XXXV International Winter School on Theoretical Physics|성=J.K. Glikman|연도=1999|출판사=Springer|위치=Polanica, Poland|쪽=224|isbn=978-3-540-66910-4}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=wegUE6L7RH4C&q=hamilton-jacobi-einstein+equation&pg=PA177|제목=Quantum cosmology|성=L.Z. Fang|성2=R. Ruffini|연도=1987|총서=Advanced Series in Astrophysics and Cosmology|권=3|출판사=[[World Scientific]]|isbn=978-9971-5-0312-3}}

==== 선정된 논문 ====
* {{뉴스 인용|url=http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/3250/slac-pub-3376.pdf|제목=TCP, Quantum Gravity, The Cosmological Constant and all that&nbsp;...|성=T. Banks|연도=1984|위치=Stanford, USA}} (''Equation A.3 in the appendix'').
* {{저널 인용|제목=Solving the Hamilton-Jacobi equation for gravitationally interacting electromagnetic and scalar fields|저널=Classical and Quantum Gravity|성=B. K. Darian|연도=1997|권=15|호=1|위치=Canada, USA|쪽=143–152|arxiv=gr-qc/9707046v2|bibcode=1998CQGra..15..143D|doi=10.1088/0264-9381/15/1/010}}
* {{뉴스 인용|url=http://prd.aps.org/abstract/PRD/v42/i12/p3936_1|제목=Nonlinear evolution of long-wavelength metric fluctuations in inflationary models|성=J. R. Bond|성2=D. S. Salopek|연도=1990|뉴스=Phys. Rev. D|위치=Canada (USA), Illinois (USA)}}
* {{저널 인용|제목=Classical spacetime from quantum gravity|저널=Classical and Quantum Gravity|성=Sang Pyo Kim|url=http://iopscience.iop.org/0264-9381/13/6/011|연도=1996|권=13|호=6|출판사=[[Institute of Physics|IoP]]|위치=Kunsan, Korea|쪽=1377–1382|arxiv=gr-qc/9601049|bibcode=1996CQGra..13.1377K|doi=10.1088/0264-9381/13/6/011}}
* {{뉴스 인용|제목=The Einstein-Hamilton-Jacobi equation: Searching the classical solution for barotropic FRW|성=S.R. Berbena|성2=A.V. Berrocal|연도=2006|위치=Guanajuato and Autónoma Metropolitana (Mexico)|arxiv=gr-qc/0607123|bibcode=2007RMxFS..53b.115B|성3=J. Socorro|성4=L.O. Pimentel}}

[[분류:양자중력]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:일반 상대성이론]]