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[[선형대수학]]에서 '''시프트 행렬'''({{llang|en|shift matrix}})은 [[초대각선]] 또는 [[준대각선]]의 모든 원소가 1이며 이를 제외한 모든 원소가 0인 [[정사각 행렬]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> '''상시프트 행렬'''({{llang|en|upper shift matrix}}) <math>U_n\in\operatorname{Mat}(n;K)</math> 및 '''하시프트 행렬''' <math>L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>(U_n)_{ij}=\delta_{i+1,j}=
\begin{cases}
1&j=i+1\\
0&j\ne i+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
:<math>(L_n)_{ij}=\delta_{i,j+1}=
\begin{cases}
1&i=j+1\\
0&i\ne j+1
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. 예를 들어, <math>5\times 5</math> 상시프트 행렬 <math>U_5</math> 및 하시프트 행렬 <math>L_5</math>는 다음과 같다.
:<math>U_5=
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix},\;L_5=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
</math>

== 성질 ==
체 <math>K</math> 위의 <math>m\times m</math> 상·하시프트 행렬 <math>U_m,L_m\in\operatorname{Mat}(m;K)</math>의 왼쪽 곱셈은 다음과 같다.
:<math>U_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
:<math>U_m\cdot\colon
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\0_{1\times n}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K)</math>
:<math>L_m\cdot\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
:<math>L_m\cdot\colon
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}0_{1\times n}\\x_1\\\vdots\\x_{n-2}\\x_{n-1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(1,n;K)</math>
체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 상·하시프트 행렬 <math>U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 오른쪽 곱셈은 다음과 같다.
:<math>\cdot U_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
:<math>\cdot U_n\colon
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}0_{m\times 1}&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K)</math>
:<math>\cdot L_n\colon\operatorname{Mat}(m,n;K)\to\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>
:<math>\cdot L_n\colon
\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n-1}&x_n\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}x_2&x_3&\cdots&x_n&0_{m\times 1}\end{pmatrix}
\qquad\forall x_1,\dots,x_n\in\operatorname{Mat}(m,1;K)</math>

체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 상시프트 행렬 및 하시프트 행렬 <math>U_n,L_n\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 <math>n</math>을 멱영 지수로 하는 [[멱영 행렬]]이다.
:<math>U_n^n=0_{n\times n}</math>
:<math>L_n^n=0_{n\times n}</math>
:<math>U_n^{n-1}=E_{1n}=(\delta_{i,1}\delta_{j,n})_{i,j=1}^n</math>
:<math>L_n^{n-1}=E_{n1}=(\delta_{i,n}\delta_{j,1})_{i,j=1}^n</math>

== 예 ==
행렬
:<math>M=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
</math>
이 주어졌다면,
:<math>U_5M=\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>L_5M=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>MU_5=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1&1&1&1\\
0&1&2&2&2\\
0&1&2&3&2\\
0&1&2&2&2\\
0&1&1&1&1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>ML_5=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&1\\
1&2&2&2&1\\
1&2&3&2&1\\
1&2&2&2&1\\
1&1&1&1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&1&1&1&0\\
2&2&2&1&0\\
2&3&2&1&0\\
2&2&2&1&0\\
1&1&1&1&0
\end{pmatrix}
</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[밴드 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:성긴 행렬]]