{{위키데이터 속성 추적}}
'''임펄스벡터'''(impulse vector, 일명 '''강벡터''' Kang vector)는 잔류진동(residual [[:en:Vibration|vibration]])을 제거하는 [[:en:Input_shaping|입력성형기(input shaper)]]를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템([[:en:Damping|undamped]] system)과 부족감쇠시스템([[:en:Damping|underdamped]] system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive [[:en:Dirac_delta_function|impulse]])와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다.<ref name="impulseVector2">{{저널 인용|title=Impulse vectors for input shaping control: A mathematical tool to design and analyze input shapers|journal=IEEE Control Systems Magazine|last1=Kang|first1=Chul-Goo|url=http://home.konkuk.ac.kr/~cgkang/ImpulseVectorsForInputShapingControl.pdf|date=August 2019|volume=39|issue=4|page=40–55|doi=10.1109/MCS.2019.2913610|s2cid=198145461}}{{깨진 링크|url=http://home.konkuk.ac.kr/~cgkang/ImpulseVectorsForInputShapingControl.pdf }}</ref> 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다.

입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose<ref>{{저널 인용|title=Residual vibration reduction using vector diagrams to generate shaped inputs|journal=Journal of Mechanical Design|last1=Singhose|first1=W.|last2=Seering|first2=W.|date=1994|volume=116|issue=2|page=654–659|doi=10.1115/1.2919428|last3=Singer|first3=N.}}</ref>가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)<ref name="impulseVector2" />는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다.

== 임펄스벡터의 정의 ==
[[파일:CGKang fig1.jpg|섬네일|444x444px|임펄스함수와 이에 상응하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터). (a) 양의 임펄스(<math>A_i > 0</math>)에 대한 임펄스벡터는 시점을 원점에 두고, (b) 음의 임펄스(<math>A_i < 0</math>)에 대한 임펄스벡터는 종점을 원점에 둠.]]
비감쇠 고유진동수(undamped [[:en:Natural_frequency|natural frequency]])가 <math>\omega_n</math>, 감쇠비([[:en:Damping|damping ratio]])가 <math>\zeta</math>인 이차시스템에 대해, [[:en:Dirac_delta_function|임펄스함수]] <math>A_i \delta (t-t_i), i=1,2,\cdots,n</math>에 해당하는 '''임펄스벡터''' (혹은 '''강벡터''') <math>{\bold I}_i</math>의 크기 <math>I_i</math>와 각도 <math>\theta_i</math>는 2차원 [[:en:Polar_coordinate_system|극좌표계]]에서 다음과 같이 정의된다.

<math>\qquad I_i=A_i e^{\zeta \omega_n t_i}</math>

<math>\qquad  \theta_i = \omega_d t_i</math>

여기서 <math>A_i</math>는 임펄스함수의 크기를, <math>t_i</math>는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고, <math>\omega_d</math>는 감쇠고유진동수(damped natural frequency) <math>\omega_n \sqrt {1-\zeta^2}</math>을 의미한다. <math>A_i > 0</math>인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에 <math>A_i < 0</math>인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다.<ref name="impulseVector2" /> □

<math> \qquad </math>

이 정의에서 임펄스벡터의 크기 <math>I_i</math>는 <math>A_i</math>에 시간 <math>t_i</math>동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전 <math>A_i</math>의 크기를 나타낸다. 각도 <math>\theta_i</math>는 임펄스시간 <math>t_i</math>에 감쇠고유진동수 <math>\omega_d</math>를 곱한 값이다. <math>\delta (t-t_i)</math>는 시간 <math>t_i</math>에 작용하는 디락델타함수([[:en:Dirac_delta_function|Dirac delta function]])를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인 <math>\omega_n</math>과 <math>\zeta</math>를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 '''임펄스벡터선도'''(impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다.
[[파일:CGKang fig2.jpg|섬네일|444x444px|<math>\omega_n = 2\pi</math>이고 <math>\zeta=0.2</math>인 이차시스템에 대해 <math>A_1 = 1</math>, <math>t_1 = 0.2</math>s 일 때 두 임펄스벡터와 상응하는 두 임펄스응답. (a) 크기가 같고 각도가 <math>\pi</math>만큼 차이나는 두 임펄스벡터 <math>{\bold I}_1</math>과 <math>{\bold I}_2</math>. 원점으로부터 바깥을 향하는 <math>{\bold I}_1</math>과 원점을 향하는 <math>{\bold I}_2</math>는 덧셈과 뺄셈에서 같은 벡터로 간주됨. (b) <math>{\bold I}_1</math>과  <math>{\bold I}_2</math>에 상응하는 두 임펄스응답 <math>y_1</math>과 <math>y_2</math>는 마지막 임펄스시간 <math>t_2</math>이후에 정확히 일치함.]]

오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터 <math>{\bold I}_1</math>과 <math>{\bold I}_2</math>를 고려해보자. 임펄스벡터 <math>{\bold I}_1</math>은 양의 임펄스 <math>A_1 > 0</math>에 해당하는 크기 <math>I_1 (>0)</math>과 각도 <math>\theta_1</math>을 가지고 있고, 임펄스벡터 <math>{\bold I}_2</math>는 음의 임펄스 <math>A_2 < 0</math>에 해당하는 크기 <math>I_2 = -I_1</math>과 각도 <math>\theta_2 = \theta_1 + \pi</math>를 가지고 있을 때, <math>{\bold I}_1</math>과 <math>{\bold I}_2</math>에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간 <math>t_2</math>이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터 <math>{\bold I}_1</math>과 <math>{\bold I}_2</math>는 동일한 [[:en:Vector_(mathematics_and_physics)|벡터]]로 간주된다. 임펄스벡터는 [[교환법칙]], [[결합법칙]], 스칼라곱에 대한 [[분배법칙]]을 만족한다.

임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도 <math>2\pi</math>는 상응하는 임펄스응답의 1[[:en:Periodic_function|주기]](감쇠주기)에 해당한다.

비감쇠시스템(<math>\zeta=0</math>)이면 임펄스벡터의 크기와 각도는 <math>I_i = A_i</math>와 <math>\theta_i = \omega_n t_i</math>로 표현된다.

== 임펄스벡터의 성질 ==
[[파일:CGKang fig3.jpg|섬네일|469x469px|(a) 두 임펄스벡터의 합벡터에 대한 두가지 표현 <math>{\bold I}_{R1}</math>과 <math>{\bold I}_{R2}</math>, (b) 각각에 상응하는 임펄스응답 <math>y_{R1}</math>과 <math>y_{R2}</math>.]]

=== 성질 1. 두 임펄스벡터의 합벡터 ===
두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답([[:en:Impulse_response|impulse response]])은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □

=== 성질 2. 임펄스벡터의 합이 0인 경우 ===
임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □

<math> \qquad </math>

[[파일:CGKang fig4.jpg|섬네일|468x468px|(a) 임펄스벡터 <math>{\bold I}_3</math>을 추가하여 합벡터를 0으로 만듬. (b) 이에 상응하는 임펄스열 <math>A_1 \delta (t) + A_2 \delta (t-t_2) +A_3 \delta (t-t_3)</math>에 대한 이차시스템(<math>\omega_n = 2 \pi , \zeta = 0.1</math>)의 시간응답은 마지막 임펄스시간 <math>t_3</math> 이후에 잔류진동을 제거함.]]

전달함수([[:en:Transfer_function|transfer function]])가 <math>4 \pi^2 / (s^2 + 0.4s + 4 \pi^2)</math>인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는 <math>\omega_n = 2\pi</math> rad/s이고 감쇠비는 <math>\zeta = 0.1</math>이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터 <math>{\bold I}_1</math>과 <math>{\bold I}_2</math>에 대해 합벡터는 <math>{\bold I}_{R1}</math>과 <math>{\bold I}_{R2}</math>의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터 <math>{\bold I}_{R1}</math>은 크기가 <math>A_{R1}=I_{R1}/e^{\zeta \omega_n t_{R1}}</math>이고 시간이 <math>t_{R1}=\theta_{R1}/\omega_d</math>인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고, <math>{\bold I}_{R2}</math>는 크기가 <math>A_{R2}=I_{R2}/e^{\zeta \omega_n t_{R2}}</math>이고 시간이 <math>t_{R2}=\theta_{R2}/\omega_d</math>인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다.

합벡터 <math>{\bold I}_{R1}</math>과 <math>{\bold I}_{R2}</math>는 다음과 구해질 수 있다.

<math>\qquad R_x = I_1 + I_2 cos \theta_2 , \qquad R_y = I_2 sin \theta_2 </math>

<math>\qquad I_{R1} = - \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \qquad  \theta_{R1} = \pi + \tan^{-1} (R_y / R_x) </math>

<math>\qquad I_{R2} =  \sqrt{R_x^2 + R_y^2},\qquad \ \ \theta_{R2} =  \tan^{-1} (R_y / R_x) </math>

참고로 <math>- \pi /2 < \tan^{-1} (a) < \pi /2</math>이다. <math>{\bold I}_{R1}</math>과 <math>{\bold I}_{R2}</math>에 상응하는 임펄스응답  <math>y_{R1}</math>과 <math>y_{R2}</math>는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에 <math>y_1 + y_2</math>와 정확히 일치한다.


이제 합벡터를 0으로 만들기 위해 <math>\mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2</math>에 세번째 임펄스벡터 <math>{\bold I}_3</math>을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터 <math>{\bold I}_3</math>은 다음과 같이 구해질 수 있다.

<math>\qquad I_3 = \sqrt{R_x^2 + R_y^2},\qquad  \theta_3 = \pi + \tan^{-1}(R_y /R_x )</math>

임펄스벡터 <math>{\bold I}_1, {\bold I}_2, {\bold I}_3</math>에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간 <math>t_3</math> 이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터 <math> \mathbf{I}^'_3</math>도 존재할 수 있다. <math> \mathbf{I}^'_3</math>은 <math>{\bold I}_3</math>과 크기는 같으나 각도가 <math>\pi</math> 만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다.

== 적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계 ==

=== ZVD<sup>''n''</sup> 성형기 ===
임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVD''<sup>n</sup>'' 성형기 등<ref>{{저널 인용|title=Command shaping for flexible systems: A review of the first 50 years|journal=International Journal of Precision Engineering and Manufacturing|last1=Singhose|first1=W.|date=2009|volume=10|issue=4|page=153–168|doi=10.1007/s12541-009-0084-2|s2cid=111341954}}</ref>을 쉽게 재설계할 수 있다.<ref name="impulseVector2" />
[[파일:CGKang fig5.jpg|섬네일|408x408px|임펄스벡터선도. (a) ZV 성형기, (b) ZVD 성형기, (c) ZVD<sup>2</sup> 성형기, (d) ZVD<sup>3</sup> 성형기.]]
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터 <math>{\bold I}_1 + {\bold I}_2 = \bold 0</math>이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.

<math>\qquad \theta_1 = 0, \ \ \theta_2 = \pi \qquad \therefore t_1 = 0, \ \ t_2 = \pi/\omega_d </math>

<math>\qquad I_1 = I_2 = I </math>

그리고  정규화조건 <math>A_1 + A_2 = 1 </math>이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\qquad I_1 + I_2/e^{\zeta \omega_n t_2} = I+I/K=1 \qquad \therefore I=\frac{K}{K+1}, \ \ K=e^{\zeta \pi/\sqrt {1-\zeta^2}} </math>

따라서 ZV 성형기 <math>A_1 \delta (t) + A_2 \delta (t-t_2) </math>는 다음과 같이 주어진다.

<math>\qquad \begin{bmatrix} t_i \\ A_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & \pi/\omega_d \\ K/(K+1) & 1/(K+1) \end{bmatrix}
  </math>


ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이 <math>{\bold I}_1 + {\bold I}_2 + {\bold I}_3= \bold 0</math>이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는 <math>\pi</math> rad에, 세번째 임펄스벡터는 <math>2\pi</math> rad에 두되, 크기비를 <math>I_1 : I_2 :I_3 = 1:2:1</math>로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\qquad \theta_1 = 0, \ \ \theta_2 = \pi, \ \ \theta_3 = 2\pi \qquad \therefore t_1 = 0, \ \ t_2 = \pi/\omega_d, \ \ t_3 = 2\pi/\omega_d </math>

<math>\qquad I_1 = I_3 = I, \ \ I_2 = 2I </math>

그리고 <math>A_1 + A_2 + A_3= 1 </math>이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\qquad I_1 + \frac{I_2}{e^{\zeta \omega_n t_2}} + \frac{I_3}{e^{\zeta \omega_n t_3}} = I+\frac{2I}{K}+\frac{I}{K^2}=1 \qquad \therefore I=\frac{K^2}{(K+1)^2}, \ \ K=e^{\zeta \pi/\sqrt {1-\zeta^2}} </math>

따라서 ZVD 성형기 <math>A_1 \delta (t) + A_2 \delta (t-t_2)+ A_3 \delta (t-t_3) </math>는 다음과 같이 주어진다.

<math>\qquad \begin{bmatrix} t_i \\ A_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0, & \pi/\omega_d, & 2\pi/\omega_d \\ K^2/(K+1)^2, & 2K/(K+1)^2, & 1/(K+1)^2 \end{bmatrix}
  </math>


ZVD<sup>2</sup> 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이 <math>{\bold I}_1 + {\bold I}_2 + {\bold I}_3 + {\bold I}_4 = \bold 0</math>이 되도록, <math>{\bold I}_1 </math>은 0 rad에, <math>{\bold I}_2 </math>는 <math>\pi </math> rad에, <math>{\bold I}_3 </math>은 <math>2\pi</math> rad에, <math>{\bold I}_4 </math>는 <math>3\pi</math> rad에 두되, 크기비를 <math>I_1 : I_2 :I_3 : I_4 = 1:3:3:1</math>로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\qquad \theta_1 = 0, \ \ \theta_2 = \pi, \ \ \theta_3 = 2\pi , \ \ \theta_4 = 3\pi \qquad \therefore t_1 = 0, \ \ t_2 = \pi/\omega_d, \ \ t_3 = 2\pi/\omega_d, \ \ t_4 = 3\pi/\omega_d </math>

<math>\qquad I_1 = I_4 = I, \ \ I_2 = I_3 = 3I </math>

그리고 <math>A_1 + A_2 + A_3+ A_4= 1 </math>이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math>\qquad I_1 + \frac{I_2}{e^{\zeta \omega_n t_2}} + \frac{I_3}{e^{\zeta \omega_n t_3}} + \frac{I_4}{e^{\zeta \omega_n t_4}} = I+\frac{3I}{K}+\frac{3I}{K^2} +\frac{I}{K^3} =1 \qquad \therefore I=\frac{K^3}{(K+1)^3}, \ \ K=e^{\zeta \pi/\sqrt {1-\zeta^2}} </math>

따라서 ZVD<sup>2</sup> 성형기 <math>A_1 \delta (t) + A_2 \delta (t-t_2)+ A_3 \delta (t-t_3)+ A_4 \delta (t-t_4) </math>는 다음과 같이 주어진다.

<math>\qquad \begin{bmatrix} t_i \\ A_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0, & \pi/\omega_d, & 2\pi/\omega_d, & 3\pi/\omega_d \\ K^3/(K+1)^3, & 3K^2/(K+1)^3, & 3K/(K+1)^3, & 1/(K+1)^3 \end{bmatrix}
  </math>



같은 방법으로, ZVD<sup>3</sup> 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0, <math>\pi
  </math>, <math>2\pi
  </math>, <math>3\pi</math>, <math>4\pi</math> rad에 배치하고, 크기비를 <math>I_1 : I_2 :I_3 : I_4 : I_5 = 1:4:6:4:1</math>로 둠으로써 구할 수 있다.

일반적으로, ZVD''<sup>n</sup>'' 성형기는 <math>(n+2)</math>개의 임펄스벡터로 구성되는데,  <math>i</math>번째 임펄스벡터를 <math>(i-1)\pi</math> rad에 배치하고, 크기비를 <math>I_1 : I_2 : I_3 : \cdots : I_{n+2} = {}_{n+1} \!C_0 : {}_{n+1} \!C_1 : {}_{n+1} \!C_2 : \cdots : {}_{n+1} \!C_{n+1}</math>로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서 ''<math> {}_m \!C_k </math>''는 수학의 조합을 의미한다.

=== ETM 성형기 ===
이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는 <math>2\pi</math> rad을 등간격으로 나눈 '''ETM 성형기'''(Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)<ref name="impulseVector2" />를 생각해보자. ETM''n'' 성형기는 다음 조건을 만족한다.
[[파일:CGKang fig6.jpg|섬네일|458x458px|임펄스벡터선도. (a) ETM4 성형기, (b) ETM5 성형기, (c) ETM6 성형기.]]<math>\qquad \theta_1 = 0, \ \ \theta_2 = \frac{2\pi}{n-1}, \ \ \cdots , \ \ \theta_{n-1} = \frac{(n-2)2\pi}{n-1}, \ \ \theta_n = 2\pi </math>

<math>\qquad I_2 = I_3 = \cdots = I_{n-1} = I_1 + I_n , \ \ I_n = mI_1 \ \ (m>0) </math>

<math> \qquad  \sum_{i=1}^{n} A_i = 1</math>

그러면 <math>n \geq 2</math>에 대해 ETM''n'' 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETM''n'' 성형기의 한 장점은, ZVD''<sup>n</sup>'' 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)<ref>{{저널 인용|title=Extra-insensitive input shapers for controlling flexible spacecraft|journal=Journal of Guidance, Control and Dynamics|last1=Singhose|first1=W.|last2=Derezinski|first2=S.|date=1996|volume=19|issue=2|page=385–391|bibcode=1996JGCD...19..385S|doi=10.2514/3.21630|last3=Singer|first3=N.}}</ref>와 달리,  <math>n</math>이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다.



4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다.

<math>\qquad \begin{bmatrix} t_i \\ A_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0, & (2\pi /3)/\omega_d, & (4\pi /3)/\omega_d, & 2\pi/\omega_d \\ I/(1+m), & I/K^{2/3}, & I/K^{4/3}, & mI/{\{(1+m)K^2 \}} \end{bmatrix}
  </math>

<math>\qquad \qquad  I= \frac{(1+m)K^2}{K^2 + (1+m)(K^{4/3} + K^{2/3}) +m}, \ \ K=e^{\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta^2}}
  </math>


5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다.

<math>\qquad \begin{bmatrix} t_i \\ A_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0, & 0.5\pi/\omega_d, & \pi/\omega_d, & 1.5\pi /\omega_d, & 2\pi /\omega_d \\ I/(1+m), & I/K^{1/2}, & I/K, & I/K^{3/2} , & mI/{\{(1+m)K^2 \}} \end{bmatrix}
  </math>

<math>\qquad \qquad  I= \frac{(1+m)K^2}{K^2 + (1+m)(K^{3/2} + K+ K^{1/2}) +m}, \ \ K=e^{\zeta \pi / \sqrt{1-\zeta^2}}
  </math>


같은 방법으로, <math>n\geq 6
  </math>에 대한 ETM''n'' 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVD''<sup>n</sup>'' 성형기보다 더 큰 견실성([[:en:Robust_control|robustness]])을 갖는 이점이 있다.

참고로, ZVD 성형기는 <math>m=1
  </math>인 ETM3 성형기이다.

=== NMe 성형기 ===
[[파일:CGKang fig7.jpg|섬네일|163x163픽셀|음의 임펄스를 가진 NMe 성형기의 임펄스벡터선도.]]
임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가 <math>I_1 = I \ (>0), \ I_2 = -I,\  I_3 = I</math>이고 각도가 <math>\theta_1 = 0, \  \theta_2 = \pi /3,\  \theta_3 = 2 \pi /3</math>인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)<ref name="impulseVector2" />를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은 <math>t_2 = (\pi /3)/ \omega_d, \  t_3 = (2 \pi /3)/ \omega_d</math>로 주어지고, 임펄스크기 <math>A_i</math>는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다.

<math> \qquad A_1 = I, A_2 = -I/e^{\zeta \omega_n t_2}, \ \  A_3 = I/e^{\zeta \omega_n t_3}</math>

<math>\qquad A_1 + A_2 + A_3 = 1</math>

얻어진 NMe 성형기 <math>A_1 \delta (t) + A_2 \delta (t-t_2) + A_3 \delta (t-t_3)</math>은 다음과 같다.

<math>
\qquad \begin{bmatrix}
t_i \\
A_i
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0, & ( \pi /3) / \omega_d, & (2 \pi /3)/ \omega_d \\
I, & -I/K^{1/3}, & I/K^{2/3}
\end{bmatrix}
</math>

<math>\qquad \qquad I = K/(K-K^{2/3} + K^{1/3}), \ \ \ K=e^{\zeta \pi / \sqrt{1- \zeta^2}}</math>

NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템(<math>\zeta = 0</math>)이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)<ref>{{저널 인용|title=Time-optimal negative input shapers|journal=Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control|last1=Singhose|first1=W. E.|last2=Seering|first2=W. P.|date=1997|volume=119|issue=2|page=198–205|doi=10.1115/1.2801233|last3=Singer|first3=N. C.}}</ref>가 된다.


아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러 가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다.
[[파일:CGKang fig8.jpg|섬네일|509x509px|(a) 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도, (b) 모델링오차가 없을 때, 입력성형기를 가진 이차시스템 <math>4 \pi^2 / (s^2 + 0.4\pi s+ 4 \pi^2 )</math>의 계단응답.]]


입력성형기에서 <math>\omega_n</math>과 <math>\zeta</math>의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러 가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고 문헌<ref name="impulseVector2" />을 참고하기 바란다.

== 참고 문헌 ==
[[분류:동역학]]
[[분류:제어이론]]
[[분류:역학적 진동]]