{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''정수적 원소'''(整數的元素, {{llang|en|integral element}})는 어떤 부분환에 계수를 갖는 [[일계수 다항식]]의 근으로 나타낼 수 있는 [[가환환]] 원소이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>S</math>의 [[부분환]] <math>R\subseteq S</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건이 성립한다면 <math>s</math>를 <math>R</math>의 <math>S</math>에 대한 '''정수적 원소'''라고 한다.
* <math>p(s)=0</math>인 [[일계수 다항식]] <math>p\in R[x]</math>가 존재한다.
* <math>R</math>와 <math>\{s\}</math>로 생성되는 부분환 <math>R[s]</math>는 <math>R</math>의 [[유한 생성 가군]]이다.
* <math>R[s]\subseteq\tilde R</math>이며 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]을 이루는 [[부분환]] <math>\tilde R\subseteq S</math>가 존재한다.
* <math>sM\subseteq M</math>이며 <math>\operatorname{Ann}_S(M)\cap R[s]=\{0\}</math>인 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]] <math>M</math>이 존재한다.
여기서
* <math>R[s]=\operatorname{eval}_{x\mapsto s}(S[x])=\{p(s)\colon p\in S[x]\}\subseteq S</math>이다.
* <math>\operatorname{Ann}_S(M)=\{a\in S\colon aM=\{0_M\}\}</math>은 <math>M</math>의 [[소멸자]]이다.

[[가환환]] <math>S</math>의 [[부분환]] <math>R\subseteq S</math>에 대한 '''정수적 폐포'''(整數的閉包, {{llang|en|integral closure}})는 <math>R</math>에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 <math>S</math>의 [[부분환]]을 이룬다.

[[가환환]] <math>S</math>는 그 [[전분수환]] <math>\operatorname{Frac}S</math>의 [[부분환]]이다. 만약 <math>S</math>의 <math>\operatorname{Frac}S</math> 속에서의 정수적 폐포가 <math>S</math>라면, <math>S</math>를 '''정수적으로 닫힌 가환환'''(整數的으로 닫힌 可換環, {{llang|en|integrally closed commutative ring}})이라고 한다.

=== 도수 ===
[[가환환]] <math>S</math>의 부분환 <math>R\subseteq S</math>이 주어졌으며, <math>S</math>가 <math>R</math> 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, <math>R</math>-[[가군]] <math>S/R</math>의 [[소멸자]] <math>\operatorname{Ann}_R(S/R)\subseteq R</math>를 <math>R</math>의 <math>S</math> 속의 '''도수'''(導手, {{llang|en|conductor|콘덕터}}, {{llang|de|Führer|퓌러}}, {{llang|fr|conducteur|콩뒤크퇴르}}) <math>\mathfrak f(S/R)</math>라고 한다.<ref>{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|79}}
:<math>\mathfrak f(S/R)=\operatorname{Ann}_R(S/R)=\{r\in R\colon rS\subseteq R\}</math>
이는 소멸자이므로 <math>R</math>의 [[아이디얼]]을 이루며, <math>R</math>의 [[아이디얼]]이자 <math>S</math>의 [[아이디얼]]이 되는 가장 큰 집합이다.

<math>R</math>가 [[정역]]이며, <math>S</math>가 <math>R</math>의 <math>\operatorname{Frac}R</math> 속의 정수적 폐포라고 하고, <math>S/R</math>가 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]이라고 하자. 그렇다면 <math>R</math>의 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak p\subseteq\mathfrak f(S/R)</math>
* [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>는 <math>S</math> 속에서 정수적으로 닫힌 [[국소환]]이다.
* <math>(S/R)\otimes_RR_{\mathfrak p}=0</math>이다. 즉, <math>S\otimes_RR_{\mathfrak p}=R_{\mathfrak p}</math>이다.
<math>R</math>-[[가군]] <math>S/R</math>는 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[가군층]]으로 여길 수 있으며, 그 [[지지 집합]]은 다음과 같이 도수 <math>\mathfrak f(S/R)</math>로부터 정의되는 ([[자리스키 위상]]에서의) [[열린집합]] <math>V(\mathfrak f(S/R))</math>의 [[여집합]]이다.
:<math>\operatorname{supp}(S/R)=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon(S/R)\otimes_RR_{\mathfrak p}\ne0\}=\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\not\subseteq\mathfrak f(S/R)\}=(\operatorname{Spec}R)\setminus V(\mathfrak f(S/R))</math>

=== 나가타 환 ===
정역 <math>R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''N-1환'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 <math>\operatorname{Frac}R</math> 속의 정수적 폐포 <math>S</math>는 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]이다.
정역 <math>R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''N-2환'''이라고 한다.
* <math>\operatorname{Frac}R</math>의 모든 [[유한 확대]] <math>L/\operatorname{Frac}R</math>에 대하여, <math>R</math>의 <math>L</math> 속의 정수적 폐포는 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]이다.
[[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 '''나가타 환'''({{llang|en|Nagata ring}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative Ring Theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|264}}
* 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, [[몫환]] <math>R/\mathfrak p</math>는 N-2환이다.
* 임의의 [[정역]] <math>S</math> 및 [[환 준동형]] <math>R\to S</math>에 대하여, 만약 이를 통하여 <math>S</math>가 <math>R</math>-[[유한 생성 가군]]을 이룬다면, <math>S</math>는 N-2환이다.

=== 정환 ===
[[정역]] <math>R</math> 및 그 [[분수체]] <math>K=\operatorname{Frac}R</math>가 주어졌다고 하자. <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] <math>A</math>에 대하여, <math>A</math> 속의 <math>R</math>-'''정환'''(整環, {{llang|en|order}}, {{llang|de|Ordnung}}) <math>\mathcal o\subseteq A</math>는 다음 조건들을 만족시키는 <math>A</math>의 [[부분환]]이다.
* <math>\mathcal o</math>는 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]이다.
* <math>\mathcal o</math>는 <math>R</math>-[[자유 가군]]이다. (즉, <math>R</math>-격자를 이룬다.)
* <math>K\mathcal o=A</math>이다.
<math>A</math> 속의 <math>R</math>-정환들은 [[부분 집합]] 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이룬다.

<math>A</math>가 [[가환환]]일 때, <math>A</math> 속의 <math>R</math>-정환 <math>\mathcal o\subset A</math>의 모든 원소는 <math>R</math>-정수적 원소이다. 따라서, 최대 <math>R</math>-정환이 존재하며, 이는 <math>R</math>의 <math>A</math> 속의 정수적 폐포이다. (이는 <math>A</math>가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]]  ⊋ [[유클리드 정역]]  ⊋ [[체 (수학)|체]]

=== 정수적으로 닫힐 필요충분조건 ===
[[정역]] <math>S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 정수적으로 닫힌 가환환이다.
* 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}S</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S_{\mathfrak p}</math>는 정수적으로 닫힌 [[국소환]]이다.
* 임의의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m\subseteq S</math>에 대하여, <math>S_{\mathfrak m}</math>은 정수적으로 닫힌 [[국소환]]이다.

[[뇌터 환|뇌터]] [[정역]] <math>R</math>에 대하여 다음 두 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 정수적으로 닫힌 가환환이다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** <math>R</math>는 [[아이디얼의 높이|높이]]가 1인 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>들에 대한 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R</math>들의 ([[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math> 속에서의) [[교집합]]이다.
**:<math>R=\bigcap_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}^{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}R_{\mathfrak p}\subseteq\operatorname{Frac}R</math>
** 임의의 [[아이디얼의 높이|높이]]가 1인 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[이산 값매김환]]이다.

[[크룰 차원]]이 1인 [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환|국소]] [[정역]] <math>(R,\mathfrak m)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
* <math>\mathfrak m</math>은 [[주 아이디얼]]이다.
* <math>R</math>는 [[이산 값매김환]]이다.
* <math>R</math>는 [[데데킨트 정역]]이다.
* <math>R</math>는 [[정칙 국소환]]이다.

=== 코언-사이던버그 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>S</math>
* <math>S</math>의 [[부분환]] <math>R\subseteq S</math>. 또한, <math>S</math>의 모든 원소는 <math>R</math>-정수적 원소이다.
* <math>R</math>-[[소 아이디얼]]들의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>(\mathfrak p_i)_{1\le i\le k}</math> 및 <math>S</math>-[[소 아이디얼]]들의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>(\mathfrak q_i)_{m\le i\le n}</math> (<math>1\le m\le n\le k</math>). 또한, <math>m\le i\le n</math>에 대하여 <math>\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i</math>이다. 즉, <math>\mathfrak q_i\cap R=\mathfrak p_i</math>이다.
*:<math>
\begin{matrix}
&&&&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&&&&&\qquad\subseteq S\\
\mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R
\end{matrix}
</math>
또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.
* <math>S</math>는 정역이며, <math>R</math>는 (<math>\operatorname{Frac}R</math> 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
* <math>m=1</math>이다.
그렇다면, '''코언-사이던버그 정리'''({{llang|en|Cohen–Seidenberg theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i\forall 1\le i\le k</math>가 되게 소 아이디얼 사슬 <math>\{\mathfrak q_i\}</math>를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 <math>S</math>-소 아이디얼 <math>\{\mathfrak q_i\}_{i\in\{1,\dots,m-1,n+1,\dots,k}\}</math>가 존재한다.
*:<math>
\begin{matrix}
\exists\mathfrak q_1&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_{m-1}&\subseteq&\mathfrak q_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_n&\subseteq&\exists\mathfrak q_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\exists\mathfrak q_k&\qquad\subseteq S\\
\mathfrak p_1&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_{m-1}&\subseteq&\mathfrak p_m\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak p_n&\subseteq&\mathfrak p_{n+1}&\subseteq\cdots\subseteq&\mathfrak p_k&\qquad\subseteq R
\end{matrix}
</math>
여기서 <math>\mathfrak q_i\mid\mathfrak p_i</math>라는 것은 <math>(\mathfrak q_i)\cap R=\mathfrak p_i</math>임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며({{llang|en|going up}}), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다({{llang|en|going down}}).

=== 크룰-아키즈키 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>R</math>는 [[크룰 차원]]이 1인 [[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[축소환]]이다. <math>K=\operatorname{Frac}R</math>는 그 [[전분수환]]이다.
* <math>L</math>은 [[가환환]]이며, [[단사 함수]]인 [[환 준동형]]  <math>\iota\colon K\hookrightarrow L</math>이 주어져 있다. 또한, 덧셈 [[몫군]] <math>L/K</math>는 [[유한군]]이다.
* <math>S\subseteq L</math>은 <math>R</math>의 <math>L</math> 속의 정수적 폐포이다.
'''크룰-아키즈키 정리'''(Krull-[秋月]定理, {{llang|en|Krull–Akizuki theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>S</math> 역시 [[크룰 차원]]이 1인 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이다.
* <math>S</math>의 임의의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq S</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak a</math>가 [[영 아이디얼]]이 아니라면, 덧셈 [[몫군]] <math>(S/\mathfrak a)/(R/(R\cap\mathfrak a))</math>는 유한군이다. (그러나 덧셈 [[몫군]] <math>S/R</math>는 [[유한군]]이 아닐 수 있다. 즉, 이는 <math>\mathfrak a</math>가 [[영 아이디얼]]일 때 성립하지 못할 수 있다.)
* 만약 <math>R</math>가 추가로 [[데데킨트 정역]]이라면, <math>S</math> 역시 [[데데킨트 정역]]이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>R</math>는 [[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[축소환]]이다. <math>K=\operatorname{Frac}R</math>는 그 [[전분수환]]이다.
* <math>S</math>는 <math>R</math>의 <math>K</math> 속의 정수적 폐포이다.
* <math>R</math>는 <math>n</math>개의 [[극소 소 아이디얼]] ([[소 아이디얼]]들의 포함 관계에 대한 [[극소 원소]], 즉 [[아이디얼의 높이|높이]]가 0인 [[소 아이디얼]])들을 갖는다.
'''모리-나가타 정리'''([森]-[永田]定理, {{llang|en|Mori–Nagata theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* <math>S</math>는 <math>n</math>개의 [[크룰 정역]]들의 [[직접곱]]이다.
이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 [[가환환]]에 대한 부분적 일반화이다.

== 역사 ==
코언-사이던버그 정리는 [[어빈 솔 코언]]과 에이브러햄 사이던버그({{llang|en|Abraham Seidenberg}}, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 [[볼프강 크룰]]과 아키즈키 야스오({{llang|ja|秋月 康夫}}, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로({{llang|ja|森 誉四郎}})<ref>{{저널 인용 | last1=Mori | first1=Yoshiro | title=On the integral closure of an integral domain | year=1953 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=27 | pages=249–256|url=http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777561 | mr=0058583 | 언어=en}}</ref>와 [[나가타 마사요시]]<ref>{{저널 인용 | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=나가타 마사요시 | title=On the derived normal rings of Noetherian integral domains | url= http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777189 |mr=0097388 | year=1955 | journal=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics | volume=29 | pages=293–303 | 언어=en}}</ref> 가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[정규 스킴]]
* [[대수적 정수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Integral extension of a ring}}
* {{eom|title=Conductor of an integral closure}}
* {{eom|title=Order}}
* {{매스월드|id=IntegrallyClosed|title=Integrally closed}}
* {{매스월드|id=IntegralClosure|title=Integral closure}}
* {{매스월드|id=NumberFieldOrder|title=Number field order}}
* {{매스월드|id=MaximalOrder|title=Maximal order}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2009/07/02/dedekind-domains-krull-akizuki-and-the-picard-group/|제목=Dedekind domains, Krull-Akizuki and the Picard group|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2009-07-02|이름=Jim|성=Stankewicz|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]