{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''4차원 회전군'''(四次元回轉群, {{llang|en|four-dimensional rotation group}})은 4차원 [[유클리드 공간]]의, 원점을 보존하는 [[등거리 변환]]의 군 O(4) 또는 이와 관련된 군들을 말한다.

== 정의 ==
4차원 [[특수 직교군]] <math>\operatorname{SO}(4;\mathbb R)</math> 및 이를 2겹 [[몫군]]으로 갖는 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(4)</math>이 있다. 이 밖에도, 부정 [[계량 부호수]]를 준
:<math>\operatorname{SO}(1,3)</math> (4차원 [[로런츠 군]])
:<math>\operatorname{SO}(2,2)</math>
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

이 군에 대응하는 [[딘킨 도표]]는
:<math>\bullet\qquad\bullet</math>
이다. 딘킨 도표가 [[연결 그래프]]가 아닌 것은 이 군이 [[반단순 리 군]]이지만 [[단순 리 군]]이 아니기 때문이다.

이들은 다음과 같이 대응된다.
:{| class=wikitable
! [[킬링 형식]]의 부호수 !! 실수 기반 기호 !! 복소수 · 사원수 기반 기호 !! [[군의 중심]] !! [[기본군]] !! 비고
|-
| rowspan=3 | (0,4)
| Spin(4) || <math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)=\operatorname{USp}(2)\times\operatorname{USp}(2)=\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\times\operatorname{SL}(1;\mathbb H)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math> || 0 || [[단일 연결]] 콤팩트 형태
|-
| SO(4) || <math>(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/\{(\pm1,\pm1)\}</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> ||
|-
| PSO(4) || <math>\operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2)</math> || 0 || 0 || 무중심 콤팩트 형태
|-
| rowspan=3 | (4,2)
| Spin(2,2) || <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math> || 0 || [[단일 연결]] 분할 형태
|-
| SO⁺(2,2) || <math>(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R))/\{(+1,+1),(-1,-1)\}</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> ||
|-
| PSO⁺(2,2) || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math> || 0 || <math>\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math> 무중심 분할 형태 ||
|-
| rowspan=2 | (3,3)
| Spin(1,3) || <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || 0 || [[단일 연결]] [[로런츠 군]]
|-
| SO⁺(1,3) || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math> || 0 || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math> || 무중심 [[로런츠 군]]
|-
| (2,4)
| SO*(4) || — || <math>\mathbb Z/2</math> || <math>\mathbb Z</math> ||
|}

== 성질 ==
=== 콤팩트 형태 ===
Spin(4)의 최소 [[스피너]]는 복소수 2차원 왼쪽·오른쪽 [[바일 스피너]]이다. 이는 <Math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)</math>의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:<math>\mathbf2\otimes\mathbf1</math>
:<math>\mathbf1\otimes\mathbf2</math>
에 해당한다.

마찬가지로, <math>\operatorname{SO}(4)</math>의 4차원 실수 정의(定義) 표현은 <math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)</math>의 쌍벡터 표현
:<math>\mathbf2\otimes\mathbf2</math>
에 해당한다.

부호수 (4,0)에서, [[2차 미분 형식]]의 [[호지 쌍대]]는 [[대합 (수학)|대합]]을 이루며, 따라서 2차원 반대칭 텐서([[2차 미분 형식]])에 대하여 [[호지 쌍대]]에 대한 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 있다. 이들은 <math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)</math>의 왼쪽·오른쪽 [[딸림표현]]에 대응한다.

{| class=wikitable
! 차원 !! SO(4) 묘사 !! SU(2)² 묘사 (스핀)
|-
| 2 (복소수) || 오른쪽 스피너 || (0,½)
|-
| 2 (복소수) || 왼쪽 스피너 || (½,0)
|-
| 4 (실수) || 벡터 || (½,½)
|-
| 3 (실수) || 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 || (0,1)
|-
| 3 (실수) || 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 || (1,0)
|-
| 6 (복소수) || 오른쪽 [[라리타-슈윙거 장]] || (½,1)
|-
| 6 (복소수) || 왼쪽 라리타-슈윙거 장 || (1,½)
|-
| 9 (실수) || 무대각합 대칭 2-텐서 || (1,1)
|}

4차원 [[유클리드 공간]]을 [[사원수]]의 공간
:<math>\mathbb H</math>
으로 생각하자. 그 위에는 [[양의 정부호]] [[쌍선형 형식]]
:<math>\langle x,y\rangle = \frac12\operatorname{tr}(xy^*)</math>
가 주어져 있다. 여기서 우변의 <math>y^*</math>는 [[사원수]]의 켤레이다.

사원수 공간 위에는 사원수 대수가 양쪽에서 다음과 같이 작용한다.
:<math>v \mapsto avb^*\qquad(a,b\in \mathbb H)</math>
즉, 이는 <math>\mathbb H</math> 위의, 가역 사원수의 [[리 군]] <math>\operatorname{Unit}(\mathbb H) = \mathbb H\setminus\{0\}</math>의 2차 [[직접곱]]
:<math>\operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H)</math>
의 [[군의 표현|표현]]을 정의한다. 이는 일반적으로 [[쌍선형 형식]] <math>\langle-,-\rangle</math>을 보존하지 않지만, 노름 1의 순허수 [[사원수]]로 구성된 부분군
:<math>\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\times\operatorname{SL}(1;\mathbb H)\le \operatorname{Unit}(\mathbb H)\times\operatorname{Unit}(\mathbb H)</math>
은 이 쌍선형 형식을 보존한다. 즉, 이는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\times\operatorname{SU}(2;\mathbb C)\to \operatorname{SO}(4;\mathbb R)</math>
를 정의하며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은 다음과 같은 2차 [[순환군]]이다.
:<math>\{(+1,+1),(-1,-1)\} \subsetneq\mathbb H\times\mathbb H</math>

=== 분할 형태 ===
Spin(2,2)은 (1,1)차원 [[민코프스키 공간]]의 (대역적) [[등각군]]이다. (국소적 등각군은 [[비트 대수]]로 주어진다.) <math>\operatorname{Spin}(2,2)</math>의 최소 [[스피너]]는 실수 2차원의 왼쪽·오른쪽 [[마요라나-바일 스피너]]이다. 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 왼쪽·오른쪽 정의(定義) 표현
:<math>\mathbf2\otimes\mathbf1</math>
:<math>\mathbf1\otimes\mathbf2</math>
에 해당한다.

부호수 (2,2)에서도, [[2차 미분 형식]]의 [[호지 쌍대]]가 [[대합 (수학)|대합]]을 이루어, 자기 (반)쌍대 조건을 정의할 수 있다. 이들은 마찬가지로 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2</math>의 왼쪽·오른쪽 [[딸림표현]]에 대응한다.
{| class=wikitable
! 차원 !! SO(2,2) 묘사 !! SL(2)² 묘사 (스핀)
|-
| 2 (실수) || 오른쪽 마요라나-바일 스피너 || (0,½)
|-
| 2 (실수) || 왼쪽 마요라나-바일 스피너 || (½,0)
|-
| 4 (실수) || 벡터 || (½,½)
|-
| 3 (실수) || 자기 쌍대 반대칭 2-텐서 || (0,1)
|-
| 3 (실수) || 자기 반쌍대 반대칭 2-텐서 || (1,0)
|-
| 6 (실수) || 오른쪽 [[라리타-슈윙거 장]] || (½,1)
|-
| 6 (실수) || 왼쪽 라리타-슈윙거 장 || (1,½)
|-
| 9 (실수) || 무대각합 대칭 2-텐서 || (1,1)
|}

이 군의 [[군의 중심|중심]]은 크기 4의 [[아벨 군]]
:<math>\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R))\times\operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb R)) \cong \operatorname{Cyc}(2)\times\operatorname{Cyc}(2)</math>
이다. 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)^2</math>에서
:<math>\{(\sigma 1_{2\times2},\sigma'1_{2\times 2})\colon \sigma,\sigma'\in \{\pm1\}\}</math>
에 해당하며, <math>\operatorname{SO}(2,2)</math>에서 이 중심 부분군은 [[몫군]]
:<math>\operatorname Z(\operatorname{SO}(2,2))=\{\pm1_{4\times4}\}</math>
에 해당한다. 중심에 대한 몫군은
:<math>\operatorname{PSO}(2,2) \cong \operatorname{PSL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>
이다.

구체적으로, 실수 2×2 행렬의 공간 <math>\operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R)</math> 위에, [[행렬식]]
:<math>\det\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}=ad-bc</math>
은 실수 [[이차 형식]]을 이루며, 이에 대응하는 실수 [[쌍선형 형식]]
:<Math>\left\langle
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
a'&b'\\c'&d'
\end{pmatrix}
\right\rangle = \frac12
\left(ad'-bc'+da'-cb'\right)
</math>
을 계산할 수 있다. 이는 부호수 (2,2)를 가지며, 그 [[정규 직교 기저]]는 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 기저 벡터
| <math>1_{2\times2}=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}</math>
| <math>\sigma_1=\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}</math>
| <math>\mathrm i\sigma_2 = \begin{pmatrix}
0&1\\-1&0
\end{pmatrix}</math>
| <math>\sigma_3 = \begin{pmatrix}
1&0\\0&-1
\end{pmatrix}</math>
|-
! [[노름]]
| +1 || −1 || +1 || −1
|}

<math>\operatorname{Mat}(2,2;\mathbb R)</math> 위에는 <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{GL}(2;\mathbb R)</math>가 다음과 같이 작용한다.
:<math>(g,h)\cdot v = gvh^{-1}</math>
이는 일반적으로 [[쌍선형 형식]] <math>\langle,\rangle</math>을 보존하지 않으나, 그 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math> 부분군은 이를 보존한다. 즉, 이는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\times\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\to\operatorname{SO}(2,2)</math>
을 정의한다. 이는 [[전사 함수]]이며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은 2차 [[순환군]]
:<math>\left\{
\left(+1_{2\times2},+1_{2\times2}\right),
\left(-1_{2\times2},-1_{2\times2}\right)
\right\}</math>
이다.

=== 로런츠 형태 ===
{{본문|로런츠 군}}
<math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>은 2차원 [[유클리드 공간]]의 (대역적) [[등각군]]이다. 즉, 이는 사실 [[리만 구]]의 [[자기 동형군]]([[뫼비우스 변환]]들의 군)
:<math>\operatorname{Spin}(1,3) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb C) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{CP}^1)</math>
이다.

<math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>의 최소 스피너는 복소수 2차원의 왼쪽·오른쪽 [[바일 스피너]]이다. 이는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math>의 정의 표현 <math>\mathbb2</math> 및 그 복소수 켤레 <math>\bar{\mathbf2}</math>에 대응한다. <math>\operatorname{SO}(1,3)</math>의 4차원 실수 정의 표현 <math>\mathbf4</math>는 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math>의 표현
:<math>\mathbf2\otimes\bar{\mathbf2}</math>
에 대응한다.

이 부호수에서, [[호지 쌍대]]는 [[2차 미분 형식]]의 [[대합 (수학)|대합]]이 되지 못한다. 즉, 2차 미분 형식 <math>F</math>에 대하여
:<math>**F = -F</math>
이다. 이에 따라 [[2차 미분 형식]]의 자기 (반)쌍대 조건을 가할 수 없다. 이는 <math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>이 두 군의 [[직접곱]]으로 분해되지 못하여, 그 [[딸림표현]]이 [[기약 표현]]이기 때문이다.

구체적으로, 다음과 같은 꼴의 2×2 행렬들의 4차원 [[실수 벡터 공간]]을 생각하자.
:<math>
V=\left\{
\begin{pmatrix}
z&\mathrm ix\\
\mathrm iy&\bar z
\end{pmatrix}
\colon z\in\mathbb C,\;x,y\in\mathbb R
\right\}</math>
<math>V</math> 위에는 다음과 같은 실수 [[쌍선형 형식]]이 존재한다.
:<math>\langle u,v\rangle = \frac12\operatorname{Re}(\operatorname{tr}(u\bar v))</math>
이 [[쌍선형 형식]]의 부호수는 (3,1)이며, 이에 대한 [[정규 직교 기저]]는 다음과 같다.
:{| class=wikitable
! 기저 벡터
| <math>1_{2\times2}=\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}</math>
| <math>\mathrm i\sigma_3 = \begin{pmatrix}
\mathrm i&0\\0&-\mathrm i
\end{pmatrix}</math>
| <math>\mathrm i\sigma_1 = \begin{pmatrix}
0&\mathrm i\\\mathrm i&0
\end{pmatrix}</math>
| <math>\sigma_2 = \begin{pmatrix}
0&-\mathrm i\\\mathrm i&0
\end{pmatrix}</math>
|-
! [[노름]]
| +1 || +1 || +1 || −1
|}
즉, <math>V</math>를 [[민코프스키 공간]] <math>\mathbb R^{1,3}</math>으로 여길 수 있다.

이 위에는 다음과 같은 꼴의 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)</math>의 [[군의 작용|작용]]이 존재한다.
:<math>v \mapsto Gv\bar G^{-1}\qquad(G\in \operatorname{SL}(2;\mathbb C),\;v\in V)</math>
이 작용은 위의 쌍선형 형식을 보존하며, 따라서 군 준동형
:<math>\operatorname{SL}(2;\mathbb C)\to\operatorname{SO}(1,3)</math>
을 정의한다. 그 [[핵 (수학)|핵]]은 물론
:<math>\left\{
\pm1_{2\times2}
\right\} = \operatorname Z(\operatorname{SL}(2;\mathbb C))</math>
이다.

=== SO*(4) ===
SO(4)는 SO*(4)라는 또다른 실수 형식을 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 군 준동형들을 생각하자.
:<math>\operatorname{SO}(4;\mathbb C)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb C)\,\overset\phi\twoheadrightarrow\,\operatorname{SO}(6;\mathbb C)</math>
여기서 첫째 화살표는 자명한 [[부분군]] 관계이며, 둘째 화살표 <math>\phi</math>는 2겹 [[몫군]] 관계이다. 여기에 다음과 같은 실수 조건을 가할 수 있다.
:<math>\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(6;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{SO}(2,2)\hookrightarrow\operatorname{SU}(2,2)\cong\operatorname{Spin}(4,2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(4,2)</math>
:<math>\operatorname{SO}(3,1)\hookrightarrow\operatorname{SU}(3,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}^*(6)</math>
:<math>\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\hookrightarrow\operatorname{SL}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(3,3)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3,3)</math>
:<math>\operatorname{SO}^*(4)\hookrightarrow\operatorname{SU}^*(4)\cong\operatorname{Spin}(5,1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(5,1)</math>
즉, SO*(4)는 이에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>\operatorname{SO}^*(4) = \operatorname{SU}^*(4)\cap\operatorname{SL}(4;\mathbb R) = \phi^{-1}(\operatorname{SO}(5,1)) \cap \operatorname{SL}(4;\mathbb R)</math>
다시 말해, 이는 (5,1)차원 [[민코프스키 공간]]의 4차원 (왼쪽 또는 오른쪽) 바일 스피너의 [[실수 선형 변환]] 가운데, (5,1)차원 [[로런츠 변환]]에 속하는 것들이다.

== 같이 보기 ==
* [[라플라스-룽게-렌츠 벡터]]
* [[로런츠 군]]
* [[직교군]]
* [[직교행렬]]
* [[푸앵카레 군]]
* [[사원수와 회전]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Linear Representations of the Lorentz Group|이름=M. A. | 성=Naimark|이름2=H. K.|성2=Farahat|isbn= 978-0-08-010155-2|총서=International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics|doi=10.1016/B978-0-08-010155-2.50001-1|날짜=1964|권=63|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www-users.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf | 제목=Sporadic isogenies to orthogonal groups | 이름=Paul | 성=Garrett | 날짜=2015-05-07 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:4차원 기하학]]
[[분류:사원수]]