{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''하이젠베르크 군'''(Heisenberg群, {{llang|en|Heisenberg group}})은 [[멱영 리 군]]의 하나이다. [[양자역학]]에서 쓰인다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega \colon V \times V \to K)</math>
그렇다면, <math>K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>V \oplus K</math>
위에 다음과 같은 군 연산을 주자.
:<math>(\mathbf u,s)\cdot(\mathbf v,t)=(\mathbf u+\mathbf v,s+t+\omega(\mathbf u,\mathbf v)/2)</math>
이는 [[군 (수학)|군]]의 공리들을 만족시킴을 보일 수 있으며, 그 항등원은
:<math>(\mathbf0,0)</math>
이며, 그 역원은
:<math>-(\mathbf u,s) = (-\mathbf u,-s)</math>
이다. 이 군을 ''V''에 대한 '''하이젠베르크 군''' <math>\operatorname{Heis}(V,\omega;K)</math>라고 한다.

보통 <math>V</math>가 명시되어 있지 않은 경우, <math>n=1</math>인 경우에 해당한다. 즉, <math>\operatorname{Heis}(1;\mathbb R)\subset\operatorname{GL}(3;\mathbb R)</math>를 의미한다.

=== 리 대수 ===
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 [[심플렉틱 벡터 공간]] <math>(V,\omega)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[벡터 공간]] <math>V\oplus K</math> 위에 다음과 같은 [[리 대수]] 구조를 줄 수 있다.
:<math>[(\mathbf u,s),(\mathbf v,t)] = (\mathbf 0,\omega(\mathbf u,\mathbf v))\qquad\forall \mathbf u,\mathbf v\in V,\;s,t\in K</math>
이를 '''하이젠베르크 리 대수'''({{llang|en|Heisenberg Lie algebra}}) <math>\mathfrak{heis}(V,\omega;K)</math>라고 한다.

<math>V</math>가 유한 <math>2n</math> 차원일 때, 심플렉틱 기저 <math>(\mathsf p_i,\mathsf q^i)_{i\in\{1,\dotsc,n\}} \subseteq V</math>를 잡을 수 있다. <math>V\oplus K\mathsf c</math> 위에서, 하이젠베르크 리 대수의 리 괄호는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf q^j]=\delta_i^j\mathsf c</math>
:<math>[\mathsf p_i,\mathsf c]=[\mathsf q_i,\mathsf c]=0</math>
여기서 <math>\delta_i^j</math>는 [[크로네커 델타]]이다.

== 성질 ==
하이젠베르크 군 <math>\operatorname{Heis}(V,\omega;K)</math>는 [[아벨 군]] <math>(V,+)</math>의 [[중심 확대]]이다. 즉, 다음과 같은 [[군 (수학)|군]]들의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to K\xrightarrow{t\mapsto(\mathbf0,t)}H(V)\xrightarrow{(\mathbf v,t)\mapsto\mathbf v}V\to1</math>
마찬가지로, 다음과 같은 [[리 대수]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0 \to K \to \mathfrak{heis}(V,\omega;K) \to V \to 0</math>
여기서 <math>K</math>와 <math>V</math>는 [[아벨 리 대수]]이다.

표수 0의 체 위에서, 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[멱영군]]이며, 하이젠베르크 리 대수는 [[멱영 리 대수]]이다.

=== 위상수학적 성질 ===
만약 <math>K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 경우, 그 위의 유한 차원 하이젠베르크 군은 [[리 군]]을 이룬다. 이는 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[멱영 리 군]]이며, (정의에 따라) [[유클리드 공간]]과 [[미분 동형]]이다.

=== 행렬 표현 ===
표수 0의 체 <math>K</math> 위의 [[내적 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>V^* \oplus V</math>
위에 다음과 같은, 표준적인 [[심플렉틱 벡터 공간]] 구조가 존재한다.
:<math>\omega(\phi,u) = -\omega(u,\phi) = \langle \phi|u\rangle\qquad\forall u\in V,\;\phi\in V^*</math>
:<math>\omega(u,v) = \omega(\phi,\chi) = 0 \qquad\forall u,v\in V,\;\phi,\chi\in V^*</math>
그렇다면, 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Heis}(V^*\oplus V) \to \operatorname{GL}(K\oplus V\oplus K)</math>
:<math>(\phi,u,t) \mapsto \begin{pmatrix}
1&\phi &t+\langle\phi|u\rangle/2\\
0&1_V&u\\
0&0&1
\end{pmatrix}</math>

=== 지수 사상 ===
하이젠베르크 군 <math>\operatorname{Heis}(2n+1;K)</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{heis}(2n+1;K)</math>는 다음과 같은 꼴의 행렬들로 구성된다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}\in\mathfrak{heis}(2n+1;K)</math>
이 경우, [[리 지수 사상]]은 다음과 같다.
:<math>\exp\begin{pmatrix}
0&\mathbf a&c\\
0&0_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&\mathbf a&c+(\mathbf a\cdot\mathbf b)/2\\
0&I_{n\times n}&\mathbf b\\
0&0&1
\end{pmatrix}</math>

=== 표현론 ===
하이젠베르크 군의 [[군 표현론]]은 [[스톤-폰 노이만 정리]]에 따라 주어진다. 이 정리에 따라, 하이젠베르크 군 <math>\operatorname{Heis}(2n+1;\mathbb R)</math>의 비자명 유니터리 [[기약 표현]]은 (몇 가지의 기술적인 조건을 충족시킨다면) [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^2(\mathbb R^n)</math> 위의 다음과 같은 표현 <math>\rho_{\hbar}</math>와 동형이다.
:<math>\rho_\hbar\begin{pmatrix}
1&p&t+pq/2\\
0&I_{n\times n}&q\\
0&0&1
\end{pmatrix}\colon\psi(x)\mapsto\exp(i(qx+\hbar(t+pq)/2))\psi(x+\hbar p)</math>
이를 리 대수 <math>\mathfrak h_{2n+1}</math>에 대하여 표기하면 다음과 같다.
:<math>P^i\psi(x)=\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(x)</math>
:<math>Q_i\psi(x)=\mathrm ix_i\psi(x)</math>
:<math>C\psi(x)=\mathrm i\hbar\psi(x)</math>

== 같이 보기 ==
* [[사영 표현]]
* [[기하화 추측]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Ernst|성=Binz|이름2=Sonja|성2=Pods|날짜=2008|제목=The geometry of Heisenberg groups with applications in signal theory, optics, quantization, and field quantization|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-4495-3|zbl=1155.22001|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=surv-151|총서=
Mathematical Surveys and Monographs|권=151|언어=en}}
* {{서적 인용|총서=Progress in Mathematics|권=159|날짜=1998|제목=Harmonic analysis on the Heisenberg group|isbn=978-1-4612-7275-5|first=Sundaram|last=Thangavelu|doi=10.1007/978-1-4612-1772-5|zbl=0892.43001|출판사=Birkhäuser|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Roger Evans|성=Howe|날짜=1980|제목=On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=3|호=2|쪽=821|mr=578375|zbl=0442.43002|doi=10.1090/S0273-0979-1980-14825-9|issn= 0273-0979|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=An introduction to Heisenberg groups in analysis and geometry|이름=Stephen|성=Semmes|url=http://www.ams.org/notices/200306/fea-semmes.pdf|날짜=2003-06|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=50|호=6|쪽=640–646|zbl=1050.22012|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HeisenbergGroup|title=Heisenberg group}}
* {{eom|title=Weyl calculus|first= B.R.F. |last=Jefferies}}
* {{nlab|id=Heisenberg group}}
* {{수학노트|title= 하이젠베르크 군과 대수}}
* {{웹 인용|url=http://djalil.chafai.net/blog/2011/10/08/aspects-of-the-heisenberg-group/|제목=Aspects of the Heisenberg group|이름=Djalil|성=Chafaï|work=Libres pensées d’un mathématicien ordinaire|날짜=2011-10-08|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:베르너 하이젠베르크]]
[[분류:수리물리학]]