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[[환론]]에서 '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}}) 또는 '''이데알'''({{llang|de|Ideal}})은 특정한 조건을 만족시키는 [[환 (수학)|환]]의 [[부분집합]]이다. 이에 대하여 [[몫환]]을 취할 수 있으며, [[군론]]에서 [[정규 부분군]]에 대하여 [[몫군]]을 취하는 것과 유사한 개념이다.

아이디얼을 사용하여 [[수론]]적 개념을 보다 일반적인 [[환 (수학)|환]]들에 대하여 확장시킬 수 있다. 예를 들어, [[소수 (수론)|소수]]의 개념을 확장한 [[소 아이디얼]] 및 [[서로소 정수|서로소]]인 수의 개념을 확장한 서로소 아이디얼을 정의하면, 일반화된 [[중국인의 나머지 정리]]를 증명할 수 있다. [[수론]]에서 중요한 개념인 [[데데킨트 정역]]의 경우, 아이디얼에 대해 [[산술의 기본정리]]까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)

== 정의 ==
<math>(R,+,\cdot)</math>가 [[유사환]]이고, <math>\mathfrak a\subset R</math>가 <math>R</math>의 (덧셈 [[아벨 군]]으로서의) [[부분군]]이라고 하자.
* 만약 <math>R\mathfrak a\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''왼쪽 아이디얼'''(左ideal, {{llang|en|left ideal}})이라고 한다.
* 만약 <math>\mathfrak aR\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''오른쪽 아이디얼'''(右ideal, {{llang|en|right ideal}})이라고 한다.
* 만약 <math>\mathfrak a</math>가 <math>R</math>의 왼쪽 아이디얼 및 오른쪽 아이디얼일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 <math>R</math>의 '''양쪽 아이디얼'''(兩쪽ideal, {{llang|en|two-sided ideal}}) 또는 단순히 '''아이디얼'''이라고 한다.
즉, 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼의 원소는 각각 왼쪽·오른쪽·양쪽에 곱셈을 해도 여전히 그 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼을 벗어나지 않는다.

<math>R</math>의 왼쪽 아이디얼은 [[반대환]](opposite ring) <math>R^{\text{op}}</math>의 오른쪽 아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다.

정의에 따라, 아이디얼은 [[유사환]] <math>R</math>의 부분 [[유사환]]을 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[환 (수학)|환]](곱셈 항등원을 갖춘 유사환)이라도, 일반적으로 <math>R</math>의 아이디얼은 곱셈 항등원을 갖추지 않으므로 유사환만을 이룬다. 환 <math>R</math>의 곱셈 항등원을 포함하는, 즉 부분환을 이루는 아이디얼은 <math>R</math> 전체밖에 없다.

== 연산 ==
[[유사환]] <math>R</math>의 두 (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>, <math>\mathfrak b</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이들로부터 다음과 같은 아이디얼의 '''합'''과 '''곱'''과 '''교집합'''을 정의할 수 있으며, 이는 또다른 (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼을 이룬다.
:<math>\mathfrak a+\mathfrak b=\{r+s\colon r\in\mathfrak a,\;s\in\mathfrak b\}</math>
:<math>\mathfrak a\mathfrak b=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak a;\;b_1,\dots,b_n\in\mathfrak b;\;n=1,2,\dots\}</math>
:<math>\mathfrak a\cap\mathfrak b=\{r\colon r\in\mathfrak a,\;r\in\mathfrak b\}</math>
다만, 아이디얼의 합집합은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

일반적으로, (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>, <math>\mathfrak b</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b</math>
또한, 만약 <math>\mathfrak a</math>와 <math>\mathfrak b</math>가 양쪽 아이디얼이라면 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cap\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b</math>

(왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼의 덧셈과 곱셈은 각각 [[결합 법칙]]·[[교환 법칙]]·[[분배 법칙]]을 따르므로, (왼쪽·오른쪽·양쪽) 아이디얼들의 집합은 [[반환 (수학)|반환]](semiring)을 이룬다.

== 종류 ==
특정한 성질을 가진 아이디얼의 종류로는 다음을 들 수 있다.
* '''진 아이디얼'''(眞ideal, {{llang|en|proper ideal}})은 환 전체가 아닌 아이디얼이다.
* '''영 아이디얼'''(零ideal, {{llang|en|zero ideal}})은 덧셈 항등원만을 포함하는 부분집합 <math>\{0\}</math>이 이루는 아이디얼이다.
* '''주 아이디얼'''(主ideal, {{llang|en|principal ideal}})은 하나의 원소에 의해 생성되는 아이디얼이다. 구체적으로, 환 <math>R</math> 속의 원소 <math>r\in R</math>가 주어졌을 때, <math>r</math>로 생성되는 '''왼쪽 주 아이디얼'''은 <math>Rr</math>, '''오른쪽 주 아이디얼'''은 <math>rR</math>, '''(양쪽) 주 아이디얼'''은 <math>RrR</math>이다.
* '''[[멱영 아이디얼]]'''
* '''[[극대 아이디얼]]'''
* '''[[소 아이디얼]]'''
* '''[[으뜸 아이디얼]]'''
* '''[[소근기]]'''

== 성질 ==
* 아이디얼이 환 전체가 아닐 필요충분조건은 1을 포함하지 않는다는 것이다.
* 진 아이디얼들은 [[부분 집합]] 포함 관계에 따라 [[부분 순서]]가 주어지며, 여기에 [[초른 보조정리]]를 적용하면 모든 진 아이디얼이 극대 아이디얼에 포함되어 있음을 보일 수 있다.
* 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 [[공집합]]이 아니다.
* [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 아이디얼은 어떤 정수 <math>n</math>에 의해 생성되는 주 아이디얼 <math>(n)=\{k\in\mathbb Z\colon n\mid k\}</math> 뿐이다. 즉, 정수환은 [[주 아이디얼 정역]]이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 [[나눗셈 정리]]이다.
* [[환 (수학)|환]] R는 스스로 위의 [[왼쪽 가군]]으로 볼 수 있으며, 이때 R의 왼쪽 아이디얼들은 R의 [[부분 가군]]이다. 마찬가지로 R의 오른쪽 아이디얼들은 R를 [[오른쪽 가군]]으로 본 것의 부분가군이며, 양쪽 아이디얼들은 R를 [[쌍가군]]으로 본 것의 [[부분 가군]]이다. R가 [[가환환]]이라면 이 세 가지 경우가 일치한다.

== 같이 보기 ==
* [[중국인의 나머지 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ideal}}
* {{매스월드|id=Ideal|title=Ideal}}

{{전거 통제}}

[[분류:아이디얼| ]]
[[분류:대수적 수론]]