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[[리만 기하학]]에서 '''측지선 완비 준 리만 다양체'''(測地線完備準Riemann多樣體, {{llang|en|geodesically complete pseudo-Riemannian manifold}})는 그 [[측지선]]들이 중간에 임의로 끊기지 않는 [[준 리만 다양체]]이다.

== 정의 ==
<math>(M,g)</math>가 [[준 리만 다양체]]라고 하자. 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>(M,g)</math>를 '''측지선 완비 준 리만 다양체'''라고 한다.
:임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>v\in T_xM</math>에 대하여, <math>\gamma(0)=x</math>이며 <math>\dot\gamma(0)=\dot x</math>이며 모든 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 <math>\sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}=1</math>인 측지선 <math>\gamma\colon\mathbb R\to M</math>이 존재한다.
즉, 측지선 완비 준 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 [[준 리만 다양체]]이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 측지선 완비 [[리만 다양체]]이지만, [[유클리드 공간]]의 (전체 공간이 아닌) [[열린집합]]은 측지선 완비 [[리만 다양체]]가 아니다.

[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 및 임의의 점 <Math>x\in X</math>가 주어졌을 때, 초기 속도에 [[측지선]]을 대응시키는 지수 사상
:<math>\exp_x\colon\operatorname{dom}\exp_x\to M</math>
:<math>\operatorname{dom}\exp_x\subseteq \operatorname T_xM</math>
을 정의할 수 있다. 물론, [[정의역]] <math>\operatorname{dom}\exp_x</math>는 <math>0</math>의 [[근방]]을 포함한다. 측지선 완비성은 위 지수 사상이 <math>\operatorname T_xM</math> 전체에 정의될 수 있음을 뜻한다.

[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 속의 점 <math>x\in X</math>의 '''단사성 반지름'''(單射性半-, {{llang|en|injectivity radius}})은 <math>\exp_x\restriction \{v\in\mathrm T_xM\colon g(v,v)<R^2</math>가 [[단사 함수]]가 되는 <math>R</math>들의 [[상한]]이다. (물론 이 개념은 [[리만 다양체]]가 아닌 [[준 리만 다양체]]에 대하여 무의미하다.)

=== 확장 불가능성 ===
[[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''확장 불가능 준 리만 다양체'''(擴張不可能準Riemann多樣體, {{llang|en|inextendable pseudo-Riemannian manifold}})라고 한다.
:임의의 연결 성분 <math>(M_i,g\restriction M_i)</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 [[연결 공간|연결]] [[준 리만 다양체]] <math>(\tilde M,\tilde g)</math> 및 [[등거리 변환|등거리]] [[매장 (수학)|매장]] <math>\iota\colon(M_i,g\restriction M_i)\hookrightarrow(\tilde M,\tilde g)</math>이 존재하지 않는다.
:*<math>\iota(M_i)</math>는 <math>\tilde M</math>의 [[열린집합]]이다.
:*<math>\tilde M\setminus\iota(M)\ne\varnothing</math>이다.

== 성질 ==
임의의 [[준 리만 다양체]]에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:측지선 완비 ⇒ 확장 불가능 ⇐ 모든 [[연결 성분]]이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] ⇐ 콤팩트

[[리만 다양체]]의 경우, '''호프-리노프 정리'''(Hopf-Rinow定理, {{llang|en|Hopf–Rinow theorem}})에 따르면 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 측지선 완비 준 리만 다양체이다.
* 모든 [[연결 성분]]이 [[완비 거리 공간]]이다.
* ([[하이네-보렐 정리]]) 각 [[연결 성분]] 속에서, 모든 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]이 [[콤팩트 집합]]이다.
여기서, 임의의 [[연결 공간|연결]] [[리만 다양체]] 위에는 표준적인 [[거리 함수]]를 줄 수 있는데, 위의 "[[완비 거리 공간]]" 및 "[[유계 집합]]"은 이 [[거리 함수]]에 대한 것이다.

그러나 호프-리노프 정리는 [[리만 다양체]]가 아닌 [[준 리만 다양체]]의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 클리프턴-폴 원환면은 그 반례이다.

다만, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[로런츠 다양체]]의 [[리만 곡률]]이 어디서나 0이라면, 이는 항상 측지선 완비 다양체이다.<ref>{{저널 인용|이름=Yves|성=Carrière|저널=Inventiones Mathematicae|권=95|호=3|쪽=615–628|날짜=1989|doi=10.1007/BF01393894|제목=Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines|url=https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1989-03_95_3/page/615|issn=0020-9910|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1063/1.529706|제목=A simple proof of geodesical completeness for compact space‐times of zero curvature|이름=Ulvi|성=Urtsever|저널=Journal of Mathematical Physics|권=33|호=4|쪽=1295–1300|언어=en}}</ref>

== 예 ==
호프-리노프 정리를 만족시키지 않는 [[로런츠 다양체]]의 대표적인 예는 '''클리프턴-폴 원환면'''(Clifton-Pohl圓環面, {{llang|en|Clifton–Pohl torus}})이다.<ref>{{서적 인용|title=Semi-Riemannian geometry with applications to relativity|volume=103|series=Pure and Applied Mathematics|first=Barrett|last=O’Neill|출판사=Academic Press|날짜=1983|isbn=978-008057057-0|url=https://www.elsevier.com/books/semi-riemannian-geometry-with-applications-to-relativity/oneill/978-0-12-526740-3|언어=en}}</ref>{{rp|193, Example 7.16}} 이는 [[콤팩트 공간]]이지만, 확장 불가능 다양체가 아니다.

원점을 제거한 [[평면]] <math>\tilde M=\mathbb R^2\setminus\{0\}=\{(x,y)\in\mathbb R^2\colon (x,y)\ne(0,0)</math> 위에 다음과 같은 로런츠 계량을 주자.
:<math>\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm dx\,\mathrm y}{x^2+y^2}</math>
이를 '''클리프턴-폴 평면'''(Clifton-Pohl平面, {{llang|en|Clifton–Pohl plane}})이라고 한다.
그렇다면, 다음과 같은 변환들은 <math>\tilde M</math> 위의 [[등거리 변환]]이다.
:<math>S_\lambda\colon (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y)\qquad\forall \lambda\in\mathbb R^+</math>
이제, <math>S_2</math>로 생성되는 이산 부분군을 생각하자. 이에 대한 몫공간
:<math>M=\frac{\tilde M}{(x,y)\sim(2x,2y)}</math>
은 [[원환면]] <math>\mathbb S^1\times\mathbb S^1</math>과 [[미분 동형]]이며, 특히 [[콤팩트 공간]]이다. <Math>(M,g)</math>을 '''클리프턴-폴 원환면'''이라고 한다.

<Math>(M,g)</math>은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[로런츠 다양체]]이지만, 이는 측지선 완비 다양체가 되지 못한다. 예를 들어, 측지선
:<math>\gamma(t)=\left((1-t)^{-1},0\right)</math>
은 <math>t=1</math>에서 정의되지 않는다. 마찬가지로, 측지선
:<math>\gamma(t)=(\tan t,1)</math>
역시 <math>t\pm\pi/2</math>에서 정의되지 않는다.

사실, 다음과 같은 좌표 변환을 가하자.
:<math>(u,v)=(\arctan x,\arctan y)</math>
그렇다면, 클리프턴-폴 평면의 계량은 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2=\frac{2\mathrm du\,\mathrm dv}{\sin^2u\cos^2v+\sin^2v\cos^2u}</math>
이는 자연스럽게
:<math>N=\mathbb R^2\setminus\left\{(\pi m/2,\pi n/2)\in
\colon (m,n)\in\mathbb Z^2,\;m\equiv n\pmod 2
\right\}</math>
위에 정의된다. 즉, 단사 [[등거리 변환]]
:<math>\iota\colon\tilde M\hookrightarrow N</math>
이 존재하며, 그 [[상 (수학)|상]]은
:<math>\iota(N)=\{(x,y)\colon |x|<\pi/2,\;|y|,\pi/2,\;(x,y)\ne(0,0)\}</math>
이다. <math>N</math>을 '''확장 클리프턴-폴 평면'''(擴張Clifton-Pohl平面, {{llang|en|extended Clifton–Pohl plane}})이라고 하며, 이는 <math>M</math>과 달리 측지선 완비 다양체이다.<ref>{{저널 인용|url=https://www.math.u-bordeaux.fr/~pmounoud/articles/bavard_mounoud.pdf|제목=Sur les surfaces lorentziennes compactes sans points conjugués|이름=Christophe|성=Bavard|이름2=Pierre|성2=Mounoud|doi= 10.2140/gt.2013.17.469|저널=Geometry and Topology|권=17|날짜=2013|쪽=469–492|언어=fr}}</ref>{{rp|§1.3}} 그러나 <math>N</math>의 경우 <math>M</math>을 정의하는 데 사용되었던 [[자기 동형 사상|자기]] [[등거리 변환]]이 존재하지 않는다.

== 역사 ==
호프-리노프 정리는 [[하인츠 호프]]와 빌리 루트비히 아우구스트 리노프({{llang|de|Willi Ludwig August Rinow}}, 1907~1979)가 1931년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Heinz|성=Hopf|저자링크=하인츠 호프|이름2=Willi|성2=Rinow|제목=Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche|저널=Commemtarii Mathematici Helvetici|issn=0010-2571|권=3|날짜=1931|쪽=209–225|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002051125|언어=de}}</ref>

클리프턴-폴 원환면은 1962년에 이턴 클리프턴({{llang|en|Yeaton H. Clifton}})과 윌리엄 폴({{llang|en|William Pohl}})이 발견하였으나, 출판하지 않았다.<ref>{{서적 인용
 | last = Wolf | first = Joseph A.
 | 판 = 6
 | isbn = 978-0-8218-5282-8
 | mr = 2742530
 | publisher = American Mathematical Society Chelsea Publishing | title = Spaces of constant curvature
 | 날짜 = 2011 | doi=10.1090/chel/372 | 언어=en}}</ref>{{rp|95}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complete Riemannian space}}
* {{eom|title=Hopf-Rinow theorem}}
* {{매스월드|id=CompleteRiemannianMetric|title=Complete Riemannian metric}}
* {{매스월드|id=Hopf-RinowTheorem|title=Hopf-Rinow theorem}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/1086742/completeness-implies-geodesic-completeness-a-more-conceptual-wayde|제목=Completeness implies geodesic completeness, a more conceptual way?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체]]
[[분류:리만 기하학]]