{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''누적 위계'''(累積位階, {{llang|en|cumulative hierarchy}})는 주어진 연산을 [[초한 점화식]]을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 [[모임 (집합론)|모임]]이다.

== 정의 ==
<math>Q</math>가 [[집합]]을 [[집합]]에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, [[추이적 집합]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[초한 귀납법]]을 사용하여, 임의의 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.
:<math>Q^\alpha(X)=\begin{cases}
X\cup\bigcup_{\beta<\alpha}X_\beta&\nexists\beta\colon\alpha=\beta+1\\
Q\left(Q^\beta(X)\right)&\alpha=\beta+1
\end{cases}\qquad(\alpha\in\operatorname{Ord})
</math>
또한, 다음과 같은 [[모임 (집합론)|모임]]을 정의할 수 있다.
:<math>Q^{\operatorname{Ord}}(X)=\bigcup_{\alpha\in\operatorname{Ord}}(X)</math>
여기서 <math>\operatorname{Ord}</math>는 모든 [[순서수]]의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. 이러한 구성을 '''누적 위계'''라고 하며, 임의의 대상 <math>x\in Q^{\operatorname{Ord}}(X)</math>에 대하여,
:<math>\min\{\alpha\colon x\in Q^\alpha\}</math>
를 <math>x</math>의 <math>Q^{\operatorname{Ord}}(X)</math>에서의 '''계수'''({{llang|en|rank}})라고 한다. (만약 <math>Q</math>가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

== 성질 ==
<math>Q</math>가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여 <math>Q^\alpha(X)</math>는 항상 [[집합]]이다.

그러나 <math>Q^{\operatorname{Ord}}(X)</math>는 집합이 아니라 [[고유 모임]]일 수 있다. 이는 '''[[칸토어 역설]]'''의 일종이다.

== 예 ==
=== 자명한 경우 ===
어떤 집합 <math>A</math>에 대하여, <math>Q</math>가 [[상수 함수]] <math>X\mapsto A</math>일 때, <math>Q</math>에 대한 위계는
:<math>Q^{\operatorname{Ord}}=A</math>가 된다.

<math>Q</math>가 [[항등 함수]] <math>X\mapsto X</math>일 때, <math>Q</math>에 대한, <math>X</math>로부터 시작하는 위계는
:<math>Q^{\operatorname{Ord}}(X)=X</math>
이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 <math>\alpha_0</math>가 다음 성질을 갖는다고 하자.
* 임의의 <math>\alpha\ge\alpha_0</math>에 대하여 <math>Q</math>는 <math>X_\alpha</math>에 대하여 [[항등 함수]]이다.
그렇다면
:<math>Q^{\operatorname{Ord}}(X)=Q^\alpha(X)</math>
이다.

=== 폰 노이만 전체 ===
<math>Q=\mathcal P</math> ([[멱집합]] 연산)일 때, <math>Q^\alpha(\varnothing)</math>는 <math>V_\alpha</math>로 표기하며, <math>V=Q^{\operatorname{Ord}}(\varnothing)</math>를 '''폰 노이만 전체'''(von Neumann全體, {{llang|en|von Neumann universe}})라고 한다.

[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[정칙성 공리]]로 인하여 <math>V</math>는 모든 [[집합]]의 모임과 같으며, 집합 <math>S</math>의 '''계수''' <math>\operatorname{rank}S</math>는 다음과 같은 [[순서수]]이다.
:<math>\operatorname{rank}S=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon S\subset V_\alpha\}</math>
즉, <math>S</math>가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

<math>V</math>는 (모든 집합을 포함하므로) [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 표준 [[구조 (논리학)|모형]]이다. 최소 무한 [[순서수]]를 <math>\omega</math>로 쓰면, <math>V_\omega</math>는 [[계승적 유한 집합]]들의 집합이 되며, 이는 [[무한 공리]]를 가정하지 않는 집합론의 [[구조 (논리학)|모형]]을 이룬다. <math>\kappa</math>가 [[도달 불가능한 기수]]일 경우 <math>V_\kappa</math>는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 모형이며, <math>V_{\kappa+1}</math>은 [[모스-켈리 집합론]]의 모형이다. 이러한 꼴의 <math>V_\kappa</math>를 '''[[그로텐디크 전체]]'''라고 한다.

=== 구성 가능 전체 ===
{{본문|구성 가능 전체}}
<math>Q=\operatorname{Def}_{A_1,\dots,A_n}</math> ([[정의 가능 멱집합]] 연산)일 때, <math>Q^\alpha(X)</math>는 <math>L_\alpha[A_1,\dots,A_n](X)</math>로 표기하며, <math>L(X)=Q^{\operatorname{Ord}}(X)</math>를 '''<math>X</math>-구성 가능 집합'''({{llang|en|<math>X</math>-constructible universe}})이라고 한다. 흔히 <math>X=\varnothing</math>일 경우 <math>L[A_1,A_2,\dots,A_n](\varnothing)=L</math>로 표기하며, <math>n=0</math>일 경우 흔히 <math>L(X)</math>로 표기한다.

=== 이름 ===
{{본문|이름 (강제법)}}
임의의 집합 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산
:<math>Q\colon S\mapsto\mathcal P(S\times X)</math>
에 대한 누적 위계를 <math>X</math>-'''[[이름 (강제법)|이름 위계]]'''({{llang|en|hierarchy of <math>X</math>-names}})라고 하며,<ref name="Kunen">{{서적 인용|title=Set theory: an introduction to independence proofs|성=Kunen|이름=Kenneth|저자링크=케네스 쿠넌|publisher=North-Holland|year=1980|isbn=0-444-85401-0|언어=en}}</ref>{{rp|188, Definition VII.2.5}} <math>\operatorname{Name}_{X,\alpha}</math>로 표기한다. 이 개념은 [[강제법]]에 핵심적으로 사용된다.

== 역사 ==
1889년에 [[주세페 페아노]]는 참 또는 모든 대상들의 [[모임 (집합론)|모임]]을 {{llang|la|vērum|베룸}}(참)의 머리글자 V로 나타내었다.<ref>{{서적 인용|ref=harv| first1=Ioseph | last1=Peano |author1-link=주세페 페아노|year=1889 | url=https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog |제목=Arithmetices principia: nova methodo exposita|위치=[[토리노]]|출판사=Ediderunt fratres Bocca, regis bibliopolae|언어=la}}</ref>{{rp|VIII, XI}} (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 [[모임 (집합론)|모임]]을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 [[존 폰 노이만]]이 [[초한 귀납법]]을 도입하였으나,<ref>{{저널 인용|last1=von Neumann|first1=J.|author1-link=존 폰 노이만|날짜=1928 | title = Die Axiomatisierung der Mengenlehre | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002369982 | journal = Mathematische Zeitschrift | volume = 27 | pages = 669–752 | doi=10.1007/bf01171122|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|last1=von Neumann|first1=J.|author1-link=존 폰 노이만|date=1928|title=Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume = 99 | 호=1 |pages=373–391 | doi=10.1007/bf01459102|언어=de}}</ref> 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.<ref name="Moore"/>{{rp|279, §4.10}} 곧 [[에른스트 체르멜로]]가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 <math>V</math>를 최초로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last1=Zermelo|first1=Ernst|author1-link=에른스트 체르멜로|title=Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=16|year=1930|pages=29–47|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm1615.pdf|언어=de}}</ref>{{rp|36–40}}<ref name="Moore">{{서적 인용|last1=Moore|first1=Gregory H.|title=Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence|날짜=1982|isbn=978-0-486-48841-7|출판사=Springer-Verlag|총서=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|권=8|issn=0172-570X|doi=10.1007/978-1-4613-9478-5|언어=en}}</ref>{{rp|270, §4.9}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|doi=10.2307/2025204|jstor=2025204|제목=The iterative conception of set|저널=The Journal of Philosophy|이름=George|성=Boolos|저자링크=조지 불로스|권=68|호=8|쪽=215–231|issn=0022-362X|날짜=1971-04-22|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1017/S1755020308080064|제목=The iterative conception of set|이름=Thomas|성=Forster|저널=The Review of Symbolic Logic|권=1|호=1|날짜=2008-06|쪽=97–110|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=cumulative hierarchy|title=Cumulative hierarchy}}
* {{nlab|id=von Neumann hierarchy|title=Von Neumann hierarchy}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Von_Neumann_Hierarchy|제목=Definition: Von Neumann hierarchy|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Well-Founded_Set|제목=Definition: Well-founded set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Rank_(Set_Theory)|제목=Definition: rank (set theory)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Set_has_Rank|제목=Set has rank|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Every_Set_in_Von_Neumann_Universe|제목=Every set in von Neumann universe|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-07-26|archive-date=2015-06-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20150619165759/https://proofwiki.org/wiki/Every_Set_in_Von_Neumann_Universe|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]