{{위키데이터 속성 추적}}
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[[순서론]]에서 '''완비 격자'''(完備格子, {{llang|en|complete lattice}})는 임의의 크기의 이음 및 만남이 존재하는 [[격자 (순서론)|격자]]이다.

== 정의 ==
=== 순서론적 정의 ===
모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>이 [[상한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang|en|upper-complete presemilattice}})라고 한다. 마찬가지로, 모든 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>이 [[하한]]을 갖는 [[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>을 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang|en|lower-complete presemilattice}})라고 한다. 두 상/하완비 원반격자 사이의 '''상/하완비 원반격자 사상'''({{llang|en|upper/lower-complete presemilattice morphism}})은 이러한 상한/하한들을 보존하는 함수이다.

[[원순서 집합]] <math>(L,\lesssim)</math>에 대하여 다음 다섯 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 원순서 집합 <math>L</math>을 '''완비 원격자'''(完備原格子, {{llang|en|complete prelattice}})라고 한다.
* 모든 부분 집합의 [[상한]]과 [[하한]]이 존재한다.
* 모든 부분 집합의 [[상한]]이 존재한다.<ref name="Gierz" />{{rp|9, Proposition O-2.2, (i)}}
* 모든 부분 집합의 [[하한]]이 존재한다.<ref name="Gierz" />{{rp|9, Proposition O-2.2, (i)}}
* 모든 [[유한 집합]]의 [[상한]]이 존재하며, 모든 [[상향 집합]]의 [[상한]]이 존재한다.<ref name="Gierz" />{{rp|9, Proposition O-2.2, (ii)}}
* 모든 [[유한 집합]]의 [[하한]]이 존재하며, 모든 [[하향 집합]]의 [[하한]]이 존재한다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|9, Proposition O-2.2, (iii)}}
'''완비 원격자 사상'''({{llang|en|complete prelattice morphism}})은 모든 이음과 만남을 보존하는 함수이다. 즉, 완비 원격자 및 상·하 완비 원반격자의 개념은 일치하지만, 그 사이에 주어진 사상은 다르다.
{{증명}}
<math>L</math>의 모든 부분 집합이 [[상한]]을 갖는다고 가정하고, <math>S\subseteq L</math>이 임의의 부분 집합이라고 하자. <math>S</math>의 [[하계 (수학)|하계]]들의 집합
:<math>B=\bigcap_{s\in S}\mathop\downarrow s</math>
을 생각하자. 그렇다면 그 [[상한]] <math>\textstyle\bigvee B</math>는 <math>S</math>의 [[하한]]이다.

이제, <math>L</math>의 모든 [[유한 집합]]과 모든 [[상향 집합]]이 [[상한]]을 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 부분 집합 <math>S</math>에 대하여, 그 유한 부분 집합들의 [[상한]]들의 집합
:<math>\left\{\bigvee F\colon F\subseteq S,\;|F|<\aleph_0\right\}</math>
은 <math>L</math>의 [[상향 집합]]이며, 그 [[상한]]은 <math>S</math>의 [[상한]]이다.
{{증명 끝}}

[[부분 순서 집합]]인 완비 원격자를 '''완비 격자'''라고 한다. 이 경우 상한과 하한이 유일하게 존재한다. 격자 이론에서는 부분 집합 <math>S</math>의 [[상한]]을 통상적으로 '''이음'''({{llang|en|join}}) <math>\textstyle\bigvee S</math>이라고 부르며, 부분 집합 <math>S</math>의 [[하한]]을 '''만남'''({{llang|en|meet}}) <math>\textstyle\bigwedge S</math>이라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

=== 범주론적 정의 ===
[[원순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 간주할 수 있으며, 이 경우 [[상한]]은 [[쌍대 극한]], [[하한]]은 [[극한 (범주론)|극한]]에 대응된다. 따라서, 위의 순서론적 정의들을 [[범주론]]적 언어로 재서술할 수 있다.

모든 [[작은 범주|작은]] [[쌍대 완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''상완비 원반격자'''(上完備原半格子, {{llang|en|upper-complete presemilattice}})라고 한다. 상완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 [[쌍대극한]]을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

마찬가지로, 모든 [[작은 범주|작은]] [[완비 범주]]는 항상 원순서 집합([[얇은 범주]])이며, 이러한 조건을 만족시키는 작은 범주를 '''하완비 원반격자'''(下完備原半格子, {{llang|en|lower-complete presemilattice}})라고 한다. 하완비 원반격자 사이의 사상은 모든 작은 [[극한 (범주론)|극한]]을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

[[작은 범주]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 '''완비 원격자'''(完備原格子, {{llang|en|complete prelattice}})라고 한다.
* [[쌍대 완비 범주]]이다.
* [[완비 범주]]이다.
이는 [[수반 함자 정리]]에 의하여 함의된다. 특히, 모든 완비 원격자는 원순서 집합([[얇은 범주]])이다. 완비 원격자 사이의 사상은 모든 작은 [[극한 (범주론)|극한]] 및 모든 작은 [[쌍대극한]]을 보존하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.

완비 원격자에서, 만약 서로 [[동형]]인 두 대상이 항상 같다면, 이를 '''완비 격자'''({{llang|en|complete lattice}})라고 한다. 완비 격자의 사상은 두 완비 격자 사이의 완비 원격자 사상이다.

== 성질 ==
이름과 같이, 완비 격자는 [[격자 (순서론)|격자]]를 이루며, 또한 항상 [[유계 격자]]를 이룬다. (공집합의 이음과 만남이 각각 최대·최소 원소이다.) 반대로, 모든 유한 격자는 완비 격자이다.

[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[순서 위상]] 아래 [[콤팩트 공간]]이다.
* 완비 격자이다.

[[타르스키 고정점 정리]]에 의하면 완비 격자에서 자신으로 가는 [[순서 보존 함수]]가 있을 때, 그 함수의 [[고정점]]의 집합은 다시 완비 격자를 이룬다.

== 예 ==
=== 집합론 ===
집합 <math>S</math> 위의 [[멱집합]] 격자 <math>(\mathcal P(S),\subseteq)</math>는 완비 격자이다.

집합 <math>S</math> 위의 [[동치 관계]]들의 집합 <math>\operatorname{Eq}(S)</math>에, 만약
:<math>a\sim_1b\implies a\sim_2b</math>
라면
:<math>{\sim}_1\le{\sim}_2</math>
라고 정의하자. 그렇다면 <math>\operatorname{Eq}(S)</math>는 완비 격자이다.

=== 위상수학 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, [[열린집합]]들의 부분 순서 집합은 완비 격자이자 [[헤이팅 대수]]이다.

닫힌구간 <math>[a,b]\subset\mathbb R</math>은 콤팩트 전순서 집합이므로 완비 격자이다.

=== 대수학 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>에 대하여, <math>G</math>의 [[부분군]]들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, <math>R</math>의 [[아이디얼]]들의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합은 완비 격자이다.

양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>에서, 인수 관계 <math>\mid</math>를 가하면, <math>(\mathbb Z^+,\mid)</math>은 완비 격자를 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Davey | first=B.A. | 이름2=H. A.|성2=Priestley |title=Introduction to lattices and order | 판=2 | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-78451-1 | 날짜=2002|doi=10.1017/CBO9780511809088|zbl=1002.06001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complete lattice}}
* {{매스월드|id=CompleteLattice|title=Complete lattice}}
* {{nlab|id=complete lattice|title=Complete lattice}}
* {{nlab|id=CompLat}}
* {{nlab|id=suplattice|title=Suplattice}}
* {{nlab|id=inflattice|title=Inflattice}}
* {{nlab|id=complete small category|title=Complete small category}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Lattice|제목=Definition: complete lattice|확인날짜=2016-07-02|archive-date=2020-09-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20200922103413/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Lattice|url-status=dead}}

[[분류:격자 이론]]
[[분류:폐포 연산자]]