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[[해밀턴 역학]]에서 '''디랙 괄호'''({{llang|en|Dirac bracket}})는 해밀토니언과 가환하지 않는 구속이 가해진 고전적 [[계 (물리학)|계]]에서 시간 변화를 나타내는 괄호다. [[폴 디랙]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=P. A. M.|성=Dirac|저자링크=폴 디랙|제목=Generalized Hamiltonian dynamics|저널=Canadian Journal of Mathematics|권=2|날짜=1950-02|쪽=129–148|doi=10.4153/CJM-1950-012-1|mr=0043724|zbl=0036.14104|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Dirac|이름=P. A. M.|저자링크=폴 디랙|제목=Lectures on quantum mechanics|출판사=Belfer Graduate School of Science, New York |총서=Belfer Graduate School of Science Monographs|날짜=1964|권=2|mr=2220894|isbn=9780486417134|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 구속된 해밀턴 계 ===
해밀턴 계 <math>(M,\omega,H)</math>가 주어졌다고 하자. 여기서 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>는 계의 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]이고, <math>H</math>는 계의 [[해밀토니언]]이다. <math>M</math> 위의 [[매끄러운 함수]]들의 대수를 <math>\mathcal C^\infty(M)</math>이라고 하자. [[심플렉틱 구조]]에 의하여, [[푸아송 괄호]]
:<math>\{f,g\}=(\omega^{-1})^{\mu\nu}\partial_\mu f\partial_\nu g</math>
가 존재한다.

이 계 위에 주어진 '''구속'''({{llang|en|constraint}}) <math>\Phi\subset\mathcal C^\infty</math>는 다음 조건을 만족시키는, [[매끄러운 함수]]들의 집합이다.
* <math>\Phi</math>는 <math>\mathcal C^\infty(M)</math>의 [[아이디얼]]이자, <math>\mathcal C^\infty(M)</math>에 대한 [[자유 가군]]이다. 즉,
** 임의의 함수 <math>f\in\mathcal C^\infty(M)</math> 및 제약 <math>\phi\in\Phi</math>에 대하여, <math>f\phi^i\in\Phi</math>이다.
** 임의의 <math>\phi,\phi'\in\Phi</math>에 대하여, <math>\phi+\phi'\in\Phi</math>이다.
** <math>\Phi</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{\phi^i\}_{i\in I}\subset\Phi</math>가 존재한다. 즉, 임의의 <math>\phi\in\Phi</math>를 <math>\phi=u_i\phi^i</math> (<math>u_i\in\mathcal C^\infty(M)</math>)의 꼴로 나타낼 수 있다.
* (일관성) 쌍대가군 <math>\Phi^*=\hom(\Phi,\mathcal C^\infty(M))</math>의 원소 <math>u\in\Phi^*</math>가 존재하여, 다음을 만족시킨다.<math>(\{\phi,H\}+u_i\{\phi,\phi^i\})|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi</math>
여기서, <math>\tilde M</math>은 '''구속된 상태 공간''' <math>\tilde M\subset M</math>으로, 다음과 같다.
:<math>\tilde M=\{x\in M|\phi^i(x)=0\forall \phi\in\Phi\}</math>
즉, 모든 구속들을 만족시키는 상태들의 집합이다.

=== 1종 및 2종 구속 ===
'''1종 구속'''({{llang|en|first-class constraint}})의 집합 <math>\Phi_1\subset\Phi</math>은 다음과 같다.
:<math>\Phi_1=\{\phi_1\in\Phi\colon\{\phi_1,\Phi\}|_{\tilde M}=0\}</math>
모든 1종 구속은 일관성 조건에 따라서 [[해밀토니언]]과 가환한다.
:<math>\{\Phi_1,H\}=0</math>
또한, 1종 구속들의 집합 <math>\Phi_1</math> 역시 <math>\mathcal C^\infty(M)</math>의 [[아이디얼]]이자, <math>\mathcal C^\infty(M)</math>-가군을 이룬다. 즉, 임의의 함수 <math>f\in\mathcal C^\infty(M)</math>와 1종 제약 <math>\phi_1\in\Phi_1</math>에 대하여, <math>f\phi_1\in\Phi_1</math>이다.
이에 따라서, 구속들의 가군을 다음과 같이 분해할 수 있다.
[[짧은 완전열]]
:<math>0\to\Phi_1\hookrightarrow\Phi\twoheadrightarrow\Phi_2\to0</math>
은 [[분할 완전열]]이며, 따라서 <math>\Phi</math>를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\Phi\cong\Phi_1\oplus\Phi_2</math>
물론 이러한 갈림은 표준적으로(canonical) 정의되지 않지만, 임의로 정의할 수 있다. <math>\Phi_2\cong\Phi/\Phi_1</math>을 '''2종 구속'''({{llang|en|second-class constraint}})들의 집합이라고 한다. 1종 제약은 [[자유 가군]]의 부분가군이므로 [[사영 가군]]([[벡터다발]])이다.

=== 디랙 괄호 ===
2차 구속 <math>\Phi_2</math>의 기저를 <math>\{\phi^i_2\}_{i\in I}</math>로 잡자. 그렇다면 행렬 <math>C_{ij}</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\{\phi^i_2,\phi^j_2\}C_{jk}=\delta_i^k</math>
이 경우, '''디랙 괄호''' <math>\{,\}_{\text{D}}</math>는 다음과 같다.
:<math>\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}-\{f,\phi_2^i\}C_{ij}\{\phi_2^j,g\}</math>
제약된 해밀턴 계 <math>(M,\omega,H,\Phi)</math>에서의 시간 변화는 다음과 같이 정의한다. 임의의 함수 <math>f\in\mathcal C^\infty(M)</math>의 시간 변화 <math>\dot f</math>는 다음과 같다.
:<math>\dot f=\{f,H\}_{\text{D}}</math>
이 정의에 따라서, 구속을 만족시키는 초기 조건의 시간 변화는 계속해서 제약을 만족시킨다. 
:<math>\{\phi,H\}_{\text{D}}|_{\tilde M}=0\forall\phi\in\Phi</math>

즉, 임의의 2종 구속 <math>\phi^i_2</math>의 경우
:<math>\{\phi^i_2,H\}_{\text{D}}=0</math>
이고, 임의의 1종 구속 <math>\phi^i_1</math>의 경우
:<math>\{\phi^i_1,H\}_{\text{D}}=\{\phi^1_1,H\}=0</math>
이다. 디랙 괄호는 일반적으로 기저 변환에 따라 바뀌지만, <math>\tilde M</math>에 국한하면 유일하다.

== 예 ==
=== 강한 자기장에서의 비가환 기하학 ===
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위에, 전하 <math>q</math>의 입자가 자기장 <math>B_{\mu\nu}=B\omega_{\mu\nu}</math>와 [[위치 에너지]] <math>V\colon M\to\mathbb R</math>에 영향을 받는다고 하자.<ref>{{저널 인용|doi=10.1103/PhysRevD.43.1332|제목=Self-dual Chern–Simons solitons and two-dimensional nonlinear equations|저널=Physical Review D|권=43|호=4|쪽=1332–1345|날짜=1991|이름=Gerald V.|성=Dunne|공저자=R. Jackiw, So-Young Pi, Carlo A. Trugenberger|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9908056|이름=Daniela|성=Bigatti|공저자=[[레너드 서스킨드|Leonard Susskind]]|제목=Magnetic fields, branes and noncommutative geometry|doi=10.1103/PhysRevD.62.066004|bibcode=2000PhRvD..62f6004B|저널=Physical Review D|권=62|호=6|쪽=066004|날짜=2000-09-15|언어=en}}</ref> 또한, 자기장이 매우 강해 그 운동 에너지가 자기장에 의한 위치 에너지보다 매우 작다고 하자. 그렇다면 운동 에너지 항을 생략한 [[라그랑지언]]은 다음과 같다.
:<math>L(x,\dot x)=qA_\mu\dot x^\mu-V(x)</math>
여기서 <math>A_\mu</math>는 [[자기 퍼텐셜]]로,
:<math>(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=B\omega_{\mu\nu}</math>
를 만족시킨다. 편의상
:<math>A_\nu=\frac12Bx^\mu\omega_{\mu\nu}</math>
으로 놓을 수 있다. 즉,
:<math>L(x,\dot x)=\frac12qBx^\mu\dot x^\nu\omega_{\mu\nu}-V(x)</math>
이다.

이 경우, [[정준 운동량]]은 다음과 같다.
:<math>p_\nu=\frac{\partial L}{\partial\dot x^\nu}=\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}</math>
즉, 해밀토니언은 다음과 같다.
:<math>H=p_\mu\dot x^\mu-L=V(x)</math>
또한, 정준 운동량들은 시간 도함수 <math>\dot x</math>, <math>\dot y</math>를 포함하지 않으므로, 다음과 같은 제약들이 존재한다.
:<math>\phi_\nu=p_\nu-\frac12qBx^\mu\omega_{\mu\nu}=0</math>
이 경우, 두 구속들의 푸아송 괄호는 다음과 같다.
:<math>\{\phi_\mu,\phi_\nu\}=qB\omega_{\mu\nu}</math>
이는 [[가역행렬]]이므로 이들은 둘 다 2종 구속들이며, 일관적이다. 따라서 디랙 괄호는 다음과 같다.
:<math>\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+\frac1{qB}\{f,\phi_\mu\}\omega^{\mu\nu}\{\phi_\nu,g\}</math>
특히,
:<math>\{x^\mu,x^\mu\}_{\text{D}}=-\omega^{\mu\nu}/(qB)</math>
이므로, 이를 양자화하면
:<math>[x^\mu,x^\nu]=-i\hbar \omega^{\mu\nu}/(qB)</math>
이다. 즉, [[비가환 기하학]]을 얻는다.

이 경우에는 제약에 따라 물리적 공간 <math>M</math> 자체가 사실상 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]이 된다. 이 경우에는 퍼텐셜 <math>A_\mu</math>가 대역적으로(global) 존재하므로, [[심플렉틱 구조]] <math>\omega_{\mu\nu}</math>의 [[코호몰로지류]] <math>[\omega]\in H^2(M;\mathbb R)</math>가 0이다. 따라서, [[기하학적 양자화]]를 따르는 경우에는 유일한 준양자 구조가 존재한다. 만약 물리적 공간의 [[리만 계량]] <math>g_{\mu\nu}</math>가 심플렉틱 구조 <math>\omega_{\mu\nu}</math>와 호환된다면, 이 구조는 (거의) [[켈러 구조]]를 이뤄 [[기하학적 양자화]]가 가능하다. 물론, 퍼텐셜 <math>V(x)</math>의 경우 순서가 모호하게 된다.

=== 부분다양체에 구속된 입자 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에 존재하는, 질량 <math>m</math>의 입자가 [[위치 에너지]] <math>V(\mathbf x)</math>의 영향을 받고, 또한 어떤 함수 <math>C\colon M\to\mathbb R</math>의 영집합 <math>C^{-1}(0)\subset M</math>에 구속되었다고 하자.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0370-2693(79)90465-9|언어=en}}</ref> 이 경우, 임의의 <math>x\in M</math>에 대하여 다음과 같은 [[해밀토니언]]을 적을 수 있다.
:<math>H=\frac1{2m}g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu+V(x)</math>
물론 이 경우 다음과 같은 구속을 가해야 한다.
:<math>\phi^1=C(x)=0</math>
:<math>\phi^2=g^{\mu\nu}p_\mu\partial_\nu C(x)=0</math>
이 경우,
:<math>\{\phi^1,\phi^2\}=g^{\mu\nu}\partial_\mu C\partial_\nu C=(\partial C)^2</math>
이다. 따라서, 만약 <math>C^{-1}(0)</math>에서 <math>\partial C\ne0</math>이라면, <math>\phi^1</math>과 <math>\phi^2</math> 둘 다 2종 구속이다. (이 조건이 충족되면, [[음함수 정리]]에 의하여 <math>C^{-1}(0)</math>이 매끄러운 부분다양체를 이루게 된다.)

이 경우, 디랙 괄호는 다음과 같다.
:<math>\{f,g\}_{\text{D}}=\{f,g\}+(\partial C)^{-2}\{f,\phi^i\}\epsilon_{ij}\{\phi^j,g\}</math>
예를 들어,
:<math>\{x^\mu,x^\nu\}_{\text{D}}=0</math>
:<math>\{x^\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=\delta^\mu_\nu-(\partial C)^{-2}\partial^\mu C\partial_\nu C</math>
:<math>\{p_\mu,p_\nu\}_{\text{D}}=(\partial C)^{-2}p^\rho\left((\nabla_\rho\partial_\mu C)(\partial_\nu C)-(\partial_\mu C)(\nabla_\rho\partial_\nu C)\right)</math>
가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[해밀턴 역학]]
* [[푸아송 괄호]]
* [[라그랑지언]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=Structure of the Dirac bracket in classical mechanics|이름=N.|성=Mukunda|공저자=E. C. G. Sudarshan|저널=Journal of Mathematical Physics|날짜=1968-03|권=9|호=3|쪽=411–417|bibcode=1968JMP.....9..411M|doi=10.1063/1.1664594|url=http://wildcard.ph.utexas.edu/~sudarshan/pub/1967_009.pdf|언어=en|확인날짜=2013-10-10|보존url=https://web.archive.org/web/20120826014002/http://wildcard.ph.utexas.edu/~sudarshan/pub/1967_009.pdf|보존날짜=2012-08-26|url-status=dead}}
* {{서적 인용|장=Hamilton’s formalism for systems with constraints|이름=Andreas W.|성=Wipf|bibcode=1994LNP...434...22W|doi=10.1007/3-540-58339-4_14|arxiv=hep-th/9312078|제목=Canonical Gravity: From Classical to Quantum. Proceedings of the 117th WE Heraeus Seminar Held at Bad Honnef, Germany, 13–17 September 1993|총서=Lecture Notes in Physics|권=434|날짜=1994|쪽=22–58|언어=en|isbn=978-3-540-58339-4}}
* {{저널 인용|제목=Peter Bergmann and the invention of constrained Hamiltonian dynamics|이름=D. C.|성=Salisbury|bibcode=2006physics...8067S|arxiv=physics/0608067|언어=en}}

== 각주 ==
<references/>

[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]