{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Birthday_Paradox.svg|섬네일|오른쪽|450px|모인 사람 수에 따라 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 얼마나 되는지를 보이는 그래프. 가로축이 사람 수,그리고 세로축이 확률을 나타낸다. 23명이 모였을 때 확률이 0.5를 넘어감을 보여 준다.]]
'''생일 문제'''({{llang|en|Birthday problem}})는 사람이 임의로 모였을 때 그 중에 생일이 같은 두 명이 존재할 [[확률]]을 구하는 문제이다.
생일의 가능한 가짓수는 (2월 29일을 포함하여) 366개이므로 367명 이상의 사람이 모인다면 [[비둘기집 원리]]에 따라 생일이 같은 두 명이 반드시 존재하며, 23명 이상이 모인다면 그 중 두 명이 생일이 같은 확률은 1/2를 넘는다.

생일 문제는 일반적인 인간의 직관과 다른 결과를 가지는 것으로 알려져 있다. 얼핏 생각하기에는 생일이 366가지이므로 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률은 1/366이고, 따라서 366명쯤은 모여야 생일이 같은 경우가 있을 것이라고 생각하기 쉽다. 그러나 실제로는 23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘고, 57명이 모이면 99%를 넘어간다. 반대로 생각하면, 이 문제는 무작위로 만난 366명의 생일이 서로 겹치지 않고 고르게 분포할 확률이 사실상 없다는 점을 나타낸다.

생일이 같은 두 사람을 찾는 것과 비슷하게, [[암호학적 해시 함수|암호학적 해시 결과]]가 같은([[해시 충돌]]) 두 입력값을 찾는 것 역시 모든 입력값을 계산하지 않아도 충분히 높은 확률로 해시 충돌을 찾을 수 있다. 이러한 암호 공격을 [[생일 공격]](birthday attack)이라고 부른다.

반대로 1년 중에서 하루도 빠짐없이 모든 날짜에 생일자가 있을 경우는 확률이 0%가 아니다. 사람 수가 무한대라도 그 확률은 무한소가 될 뿐 생일이 같은 사람이 없을 확률은 정확히 0%에 수렴하므로 그보다 높다. 반대로 367명 이상의 생일자가 있는 그룹이 무한대라도 생일이 같은 사람이 없을 확률은 무한소가 아니라 날짜 상 완전한 0%이기 때문에 절대적이다.

== 확률 계산 ==

만약 366명 이상의 사람이 있다면 [[비둘기집 원리]]에 따라 생일이 같은 두 사람이 존재해야 한다.<ref>반대로 1년 중에서 하나도 빠짐없이 생일에 해당하는 경우는 확률이 완전히 0%는 아니다. [[도박사의 오류]] 문서 참고.</ref> 365명 이하의 사람이 있을 경우를 계산한다. <math>n</math>명의 사람이 있을 때 그 중 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률을 <math>p(n)</math>이라고 한다면, 반대로 모든 사람의 생일이 다를 확률 <math>\bar p(n)</math>은 <math>1-p(n)</math>이 된다. 먼저 <math>\bar p(n)</math>을 구해보면, 두 번째 사람의 생일은 첫 번째 사람과 다르고, 세 번째 사람의 생일은 첫 번째와 두 번째 모두와 달라야 하므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
:<math>\begin{align} \bar p(n) &= 1 \times \left(1-\frac{1}{365}\right) \times \left(1-\frac{2}{365}\right) \times \cdots \times \left(1-\frac{n-1}{365}\right) \\ &= { 365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times (365-n+1) \over 365^n } \\ &= { 365! \over 365^n (365-n)!} \end{align}</math>
가 되고, 최종적으로 구하고자하는 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률 <math>p(n)</math>은
:<math>\begin{align} p(n) &= 1 - { 365! \over 365^n (365-n)!} \end{align}</math>
가 된다. 여기서, n≤365 인 자연수이고, !는 [[계승 (수학)]]을 의미한다.

이 <math>p(n)</math>값을 특정 n 값에 대해 계산하면 다음과 같다.

{| class="wikitable"
!''n''!!''p''(''n'')
|-
|1  || 0.0%
|-
|5  || 2.7%
|-
|10 || 11.7%
|-
|20 || 41.1%
|-
|23 || 50.7%
|-
|30 || 70.6%
|-
|40 || 89.1%
|-
|50 || 97.0%
|-
|60 ||99.4%
|-
|70 || 99.9%
|-
|100 || 99.99997%
|-
|200 || 99.9999999999999999999999999998%
|-
|300 || (100 − (6×10<sup>−80</sup>))%
|-
|350 || (100 − (3×10<sup>−129</sup>))%
|-
|365 || (100 − (1.45×10<sup>−155</sup>))%
|-
|366 || 100%
|-
|367 || 100%
|}

즉, 50명만 모이면 그 가운데 2명 이상의 생일이 같을 확률이 97%이고, 100명이 모이면 거의 1에 가까워진다는 것을 알 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|first=M. |last=Abramson |first2=W. O. J. |last2=Moser |year=1970 |title=More Birthday Surprises |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=77 |issue= |pages=856–858 |doi= 10.2307/2317022}}
* {{저널 인용|first=D. |last=Bloom |year=1973 |title=A Birthday Problem |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=80 |issue= |pages=1141–1142 |doi=10.2307/2318556 | jstor=2318556 }}
* {{서적 인용|first=John G. |last=Kemeny |first2=J. Laurie |last2=Snell |first3=Gerald |last3=Thompson |title=Introduction to Finite Mathematics |location= |publisher= |edition=First |year=1957 }}
* {{저널 인용|first=M. |last=Klamkin |first2=D. |last2=Newman |year=1967 |title=Extensions of the Birthday Surprise |journal=Journal of Combinatorial Theory |volume=3 |issue= |pages=279–282 |doi= 10.1016/s0021-9800(67)80075-9}}
* {{저널 인용|first=E. H. |last=McKinney |year=1966 |title=Generalized Birthday Problem |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=73 |issue= |pages=385–387 |doi= 10.2307/2315408}}
* {{서적 인용|author1link=Leila Schneps |first=Leila |last=Schneps |author2link=Coralie Colmez |first2=Coralie |last2=Colmez |title=Math on Trial. How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom |location= |publisher=Basic Books |year=2013 |isbn=978-0-465-03292-1 |chapter=Math error number 5. The case of Diana Sylvester: cold hit analysis }}
* {{서적 인용|author=Sy M. Blinder|title=Guide to Essential Math: A Review for Physics, Chemistry and Engineering Students|url=https://books.google.com/books?id=M7TCNAEACAAJ|year=2013|publisher=Elsevier|isbn=978-0-12-407163-6|pages=5–6}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.efgh.com/math/birthday.htm The Birthday Paradox accounting for leap year birthdays]
* {{매스월드| urlname=BirthdayProblem | title=Birthday Problem}}
* [http://www.damninteresting.com/?p=402 A humorous article explaining the paradox]
* [http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/SOCR_EduMaterials_Activities_BirthdayExperiment SOCR EduMaterials activities birthday experiment]
* [http://betterexplained.com/articles/understanding-the-birthday-paradox/ Understanding the Birthday Problem (Better Explained)]
* [http://www.matifutbol.com/en/eurobirthdays.html Eurobirthdays 2012. A birthday problem.] A practical football example of the birthday paradox.
* {{웹 인용|last=Grime|first=James|title=23: Birthday Probability|url=http://www.numberphile.com/videos/23birthday.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|확인날짜=2017-02-25|보존url=https://web.archive.org/web/20170225140726/http://www.numberphile.com/videos/23birthday.html#|보존날짜=2017-02-25|url-status=dead}}
* [https://www.wolframalpha.com/input/?i=birthday+paradox%2C+4+people%2C+100+possible+birthdays Computing the probabilities of the Birthday Problem at WolframAlpha]

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:생일]]
[[분류:확률론의 역설]]
[[분류:응용확률론]]
[[분류:우연]]