{{위키데이터 속성 추적}}
'''공적분'''({{lang|en|Cointegration}})은 여러 [[시계열|시계열 변수]] 사이의 통계적 성질을 나타내는 용어이다. [[정상 과정|안정 상태]]의 시계열을 얻기 위해 필요한 차분 횟수를 [[적분 차수]]({{lang|en|Order of integration}})이라고 하는데, 시계열의 적분 차수가 모두 ''d''일때, 시계열의 선형 결합의 적분 차수가 ''d''보다 작을 때 시계열 사이에 공적분 관계가 존재한다고 한다.

== 역사 ==
1926년 [[우드니 율]]이 [[허구적 회귀]] 문제라는 개념을 처음으로 도입하여 분석하였다.<ref>{{저널 인용|성1=Yule|이름1=G. Udny |제목=Why do we Sometimes get Nonsense-Correlations between Time-Series?--A Study in Sampling and the Nature of Time-Series |저널=Journal of the Royal Statistical Society |날짜=1926 |권=89 |호=1 |쪽=1-63 |doi=10.2307/2341482}}</ref> 1980년대 이전에는 경제학자가 주로 불안정적인 시계열 자료를 이용하여 [[선형 회귀]] 모형을 추정하였으나 [[클라이브 그레인저]]와 [[폴 뉴볼드]]가 이 경우 허구적 회귀 문제를 야기할 수 있다는 것을 보였다.<ref name="granger 1974">{{저널 인용|성1=Granger|이름1=C.W.J.|성2=Newbold|이름2=P. |제목=Spurious regressions in econometrics |저널=Journal of Econometrics |날짜=1974 |권=2 |호=2 |쪽=111-120 |doi=10.1016/0304-4076(74)90034-7}}</ref> 그레인저와 로버트 엥글의 1987년 논문에서 공적분 벡터를 통한 접근으로 공적분이라는 개념을 공식화하였다.<ref name="engle-granger-1987">{{저널 인용|성1=Engle|이름1=Robert F.|성2=Granger|이름2=C. W. J. |제목=Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing |저널=Econometrica |날짜=1987 |권=55 |호=2 |쪽=251-276 |doi=10.2307/1913236}}</ref>

== 허구적 회귀 문제 ==
{{본문|허위 상관#시계열 자료의 허구적 회귀}}
[[파일:Spurious regression with non-stationary time series.svg|섬네일|아무런 관계가 없는 확률보행 과정 시계열과 산점도의 모양]]
[[시계열|시계열 자료]]가 [[정상 과정|불안정적]]인 경우 두 시계열 변수 사이에 아무런 관계가 없다고 하더라도 [[산점도]]에서 볼 때는 상관관계가 있는 것처럼 나타날 수 있다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 서로 아무런 관련성 없이 AR(1) [[확률보행]] 과정을 통해 생성되었으나 산점도를 보면 양의 상관관계가 있는 것처럼 보인다. 오른쪽 그림의 두 시계열은 다음과 같은 방법으로 생성되었다.
:<math>
\begin{matrix}
X_t &=& X_{t-1} + u_t. & u_t \sim N(0,10^2) \\
Y_t &=& Y_{t-1} + v_t. & v_t \sim N(0,10^2)
\end{matrix}</math>

두 시계열이 서로 아무런 관련성이 없는데도 회귀 모형을 추정하면 유의미한 관계가 있는 것처럼 나타나는 것을 '''허구적 회귀'''(spurious regression)이라 한다.<ref name="hill econometrics">{{서적 인용|성1=Hill|이름1=R. Carter|성2=Griffiths|이름2=William E.|성3=Lim|이름3=Guay C. |제목=Principles of Econometrics|번역제목=계량경제학 |날짜=2010 |출판사=시그마프레스 |isbn=978-89-5832-785-1 |판=3}}</ref>{{rp|447-448}} 확률보행 과정을 따르는 시계열 또는 적분된 시계열의 수준을 분석하는 경우에는 두 시계열이 아무런 관계가 없음에도 불구하고 통계적으로 유의하다는 결론을 낼 확률이 상당히 높게 나타나는 문제가 발생한다.<ref name="granger 1974" />

== 공적분 관계 ==
시계열을 <math>d</math>회 차분하여 [[정상 과정|안정 상태]]가 될 때 <math>d</math>를 적분 차수라고 하며, <math>\operatorname{I}(d)</math>라 표기한다. <math>y_t  \sim \operatorname{I}(1)</math>이고 <math>x_t  \sim \operatorname{I}(1)</math>이면 두 시계열의 선형 결합은 적분 차수가 1이 되는 게 일반적이지만, <math>y_t - \beta x_t  \sim \operatorname{I}(0)</math>이 되는 특별한 예외가 존재하는데 이 경우 두 시계열이 공적분되었다고 한다.<ref name="hill econometrics" />{{rp|454}}<ref>{{웹 인용 |제목=Time-series Econometrics: Cointegration and Autoregressive Conditional Heteroskedasticity |url=https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/advanced-economicsciences2003-1.pdf |웹사이트=Nobelprize.org |출판사=The Royal Swedish Academy of Sciences |날짜=2003 |확인날짜=2022-04-10}}</ref><ref>{{저널 인용|성1=Granger|이름1=Clive W.J. |제목=Some properties of time series data and their use in econometric model specification |저널=Journal of Econometrics |날짜=1981 |권=16 |호=1 |쪽=121-130 |doi=10.1016/0304-4076(81)90079-8}}</ref>

이를 일반화하여 시계열 변수를 모은 벡터를 <math>\mathbf{x}</math>라 할 때, <math>\mathbf{x}</math>의 성분이 되는 모든 시계열 변수가 <math>\operatorname{I}(d)</math>이고, <math>b>0</math>에 대해 시계열 변수의 선형 결합 <math>\mathbf{ax} \sim \operatorname{I}(d-b)</math>일 때,  <math>\mathbf{x}</math>의 성분이 되는 시계열은 공적분되었다고 하며, 시계열을 공적분되게 하는 벡터 <math>\mathbf{a}</math>를 공적분 벡터라고 한다.<ref name="engle-granger-1987" /> 예를 들어 <math>y_t  \sim \operatorname{I}(1)</math>, <math>x_t  \sim \operatorname{I}(1)</math>이고 <math>y_t - \beta x_t  \sim \operatorname{I}(0)</math>이 될 때 두 시계열의 공적분 벡터는 <math>\mathbf{a} = \begin {bmatrix} 1 & -\beta \end {bmatrix}</math>가 된다.<ref>{{서적 인용|성1=Greene|이름1=William H. |제목=Econometric Analysis |날짜=2012 |출판사=Pearson |쪽=999 |판=7}}</ref>

공적분 관계는 취객과 그의 개 사이의 목줄에 비유하여 설명하기도 한다.<ref>{{저널 인용|성1=Murray|이름1=Michael P. |제목=A Drunk and Her Dog: An Illustration of Cointegration and Error Correction |저널=The American Statistician |날짜=1994 |권=48 |호=1 |쪽=37-39 |doi=10.1080/00031305.1994.10476017}}</ref>

== 공적분 검정 ==
공적분 관계를 검정할 때 다음 3가지 방법이 주로 사용된다.
===Engle-Granger 2단계 방법===
<math>x_t</math>와 <math>y_t</math>가 불안정적이며 모두 <math>\operatorname{I}(1)</math>일 때 이 두 시계열의 선형 결합은 안정적이어야 한다.

: <math>y_t - \beta x_t = u_t \,
</math>

위 식에서 <math>u_t</math>은 안정적이다.

만약 <math>\beta</math>를 알고 있다면 [[디키-풀러 검정]], [[필립스-페론 검정]]을 시행하여 안정성을 검정할 수 있다. 만약 <math>\beta</math>를 모를 때는 회귀식을 먼저 추정한 후 추정된 [[잔차]] <math>\hat{u}_t</math>를 기반으로 안정성에 대한 검정을 시행한다.

두 번째 회귀식은 잔차의 차분 <math>\Delta \hat{u}_t</math>을 설명변수로 1기 전의 잔차 <math>\hat{u}_{t-1}</math>을 포함하여 추정하는 방법으로 검정을 시행한다.

===요한센 검정===
[[요한센 검정]]은 하나 이상의 공적분 관계가 존재하는 경우에 검정을 할 수 있는 방법이다. 그러나 이 검정은 점근적 성질을 가지고 있어 대표본에서 적합하다. 표본이 너무 적은 경우에는 검정 결과를 신뢰할 수 없으며 이 경우에는 ARDL 방법을 이용하여야 한다.
<ref>{{웹 인용|last1=Giles|first1=David|title=ARDL Models - Part II - Bounds Tests|url=http://davegiles.blogspot.com/2013/06/ardl-models-part-ii-bounds-tests.html|access-date=4 August 2014}}</ref><ref>{{저널 인용|last1=Pesaran|first1=M.H.|last2=Shin|first2=Y.|last3=Smith|first3=R.J.|title=Bounds testing approaches to the analysis of level relationships|journal=Journal of Applied Econometrics|date=2001|volume=16|issue=3|pages=289–326|doi=10.1002/jae.616|hdl=10983/25617|hdl-access=free}}</ref>

===Phillips–Ouliaris 공적분 검정===
Phillips와 Ouliaris (1990)는 잔차 기반 단위근 검정이 공적분되지 않는다는 [[귀무 가설|귀무가설]] 하에 통상적인 디키-풀러 분포를 따르지 않는다는 것을 보였다.<ref>{{저널 인용 |first1=P. C. B. |last1=Phillips |first2=S. |last2=Ouliaris |title=Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration |journal=Econometrica |volume=58 |issue=1 |year=1990 |pages=165–193 |jstor=2938339 |doi=10.2307/2938339 |url=http://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d08/d0847-r.pdf |access-date=2022-06-11 |archive-date=2021-09-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210918174602/https://cowles.yale.edu/sites/default/files/files/pub/d08/d0847-r.pdf |url-status= }}</ref> 귀무가설의 허구적 회귀 문제로 인해, 이 검정에서의 분포는 결정적 추세항과 공적분 관계를 검정한 변수의 수에 의존하는 점근적 분포를 따르게 된다. Phillips–Ouliaris 분포의 임계값이 따로 마련되어 있다.

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[정상 과정]]
* [[허위 상관]]
* [[오차수정모형]]

{{전거 통제}}

[[분류:시계열 분석]]
[[분류:계량경제학]]