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[[대수학]]에서 '''아이젠슈타인 판정법'''(-判定法, {{llang|en|Eisenstein’s criterion}})은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 [[충분조건]]을 제시하는 정리이다. [[고트홀트 아이젠슈타인]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
[[유일 인수 분해 정역]] <math>R</math>에서 계수를 취하는 <math>n\ge 1</math>차 다항식
:<math>f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]</math>
가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 [[기약원]] <math>p\in R</math>가 존재한다고 하자.
:<math>p\nmid r_n</math>
:<math>p\mid r_0,\dots,r_{n-1}</math>
:<math>p^2\nmid r_0</math>
'''아이젠슈타인 판정법'''에 따르면, <math>f(x)</math>는 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}R</math>의 [[다항식환]] <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math> 속에서 [[기약 다항식]]이다. 즉, <math>f(x)</math>는 더 낮은 차수의 두 <math>R</math> 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 <math>f(x)</math>가 [[원시 다항식]]이라면, <math>f(x)</math>는 <math>R[x]</math>에서 [[기약 다항식]]이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|183, §IV.3, Theorem 3.1}}<ref name="Grillet">{{서적 인용
|성=Grillet
|이름=Pierre Antoine
|제목=Abstract Algebra
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=242
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2007
|isbn=978-0-387-71567-4
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-0-387-71568-1
|lccn=2007928732
}}</ref>{{rp|144, §III.10, Proposition 10.9}}

보다 일반적으로, [[정역]] <math>R</math>에서 계수를 취하는 <math>n\ge 1</math>차 다항식
:<math>f(x)=r_nx^n+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots+r_0\in R[x]</math>
가 주어졌고, 다음을 만족시키는 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\subsetneq R</math>가 존재한다고 하자.
:<math>r_n\not\in\mathfrak p</math>
:<math>r_0,\dots,r_{n-1}\in\mathfrak p</math>
:<math>r_0\not\in\{rs\colon r,s\in\mathfrak p\}</math>
그렇다면, <math>f(x)</math>는 더 낮은 차수의 두 <math>R</math> 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 <math>f(x)</math>의 계수의 [[공약수]]가 [[가역원]]밖에 없다면, <math>f(x)</math>는 <math>R[x]</math>에서 [[기약 다항식]]이다.<ref name="Grillet" />{{rp|145, §III.10, Exercise 14}}

== 증명 ==
[[귀류법]]을 사용하여, <math>f(x)</math>가 <math>(\operatorname{Frac}R)[x]</math>의 [[기약 다항식]]이 아니라고 가정하자. 그렇다면, <math>f(x)=g(x)h(x)</math>인 <math>d,e\ge 1</math>차 다항식
:<math>g(x)=s_dx^d+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots+s_0\in R[x]</math>
:<math>h(x)=t_ex^e+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots+t_0\in R[x]</math>
가 존재한다.
:<math>p\mid r_0=s_0t_0</math>
이며, <math>p</math>는 [[소원 (환론)|소원]]이므로, <math>p\mid s_0</math>이거나 <math>p\mid t_0</math>이다. 편의상 <math>p\mid s_0</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>p^2\nmid r_0</math>이므로 <math>p\nmid t_0</math>이다. 이제,
:<math>p\nmid r_n=s_dt_e</math>
이므로 <math>p\nmid s_d</math>이며,
:<math>p\mid s_0,\dots,s_{k-1}</math>
:<math>p\nmid s_k</math>
인 <math>1\le k\le d</math>를 고를 수 있다. 따라서
:<math>p\nmid s_0t_k+s_1t_{k-1}+\cdots+s_{k-1}t_1+s_kt_0=r_k</math>
이며, <math>k\le d<d+e=n</math>이므로 이는 모순이다.

== 예 ==
아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 <math>x^4+2\in\mathbb Z[x]</math>는 [[기약 다항식]]이다. 보다 일반적으로, 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 2 이상의 [[제곱 인수가 없는 정수]] <math>a\ge 2</math>에 대하여, <math>x^n\pm a\in\mathbb Z[x]</math>는 [[기약 다항식]]이다. 이에 따라, [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>의 [[다항식환]] <math>\mathbb Q[x]</math>는 [[실수체]]나 [[복소수체]]와 달리 임의 차수의 [[기약 다항식]]을 가진다. 또한, 2 이상의 [[제곱 인수가 없는 정수]] <math>a\ge 2</math>의 [[거듭제곱근]] <math>\sqrt[n]a</math> (<math>n\ge 2</math>)는 항상 [[무리수]]이다.

=== 소수 번째 원분 다항식 ===
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여,
:<math>f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1=\frac{x^p-1}{x-1}\in\mathbb Q[x]</math>
의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 <math>f(x)</math>의 기약성은
:<math>f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x=\sum_{i=1}^p\binom pix^{i-1}\in\mathbb Q[x]</math>
의 기약성과 동치이며,
:<math>p\mid\frac{p(p-1)\cdots(p-i+1)}{i!}=\binom pi\qquad\forall i\in\{1,\dots,p-1\}</math>
이므로 (이는 분모는 <math>p</math>의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 <math>f(x+1)\in\mathbb Q[x]</math>는 [[기약 다항식]]이다. 따라서 <math>f(x)\in\mathbb Q[x]</math> 역시 [[기약 다항식]]이다. 이는 <math>p</math>번째 [[원분 다항식]]과 같다.

=== 유리 함수체 위의 다항식 ===
아이젠슈타인 판정법에 따라, [[초월 확대|초월]] [[단순 확대]] <math>K(t)/K</math> 속 [[다항식]]
:<math>x^n-t\in K(t)[x]</math>
는 [[기약 다항식]]이다. 이는 <math>K[t]</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이며, <math>t\in K[t]</math>가 그 [[기약원]]이기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[콘의 기약성 기준]]
* [[힐베르트의 기약성 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* John B. Fraleigh, Victor Katz, ''A First Course In Abstract Algebra'', Addison-Wesley, 2003.

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=아이젠슈타인 기약다항식 판정법}}
* {{매스월드|id=EisensteinsIrreducibilityCriterion|제목=Eisenstein's Irreducibility Criterion}}

[[분류:대수학 정리]]
[[분류:다항식]]