{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''모노이드 범주'''(monoid範疇, {{llang|en|monoidal category}})는 [[동형 사상]] 아래 [[결합 법칙]]이 성립하고  [[동형 사상]] 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 [[이항 연산]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Tensor categories|이름=Pavel|성=Etingof|이름2=Shlomo|성2=Gelaki|이름3=Dmitri|성3=Nikshych|이름4=Victor|성4= Ostrik|url=http://www-math.mit.edu/~etingof/egnobookfinal.pdf|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=205|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-1-4704-2024-6|날짜=2015|issn=0076-5376|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Marcelo |성=Aguiar|이름2=Swapneel |성2=Mahajan|제목=Monoidal functors, species and Hopf algebras|url=http://www.math.cornell.edu/~maguiar/a.pdf|isbn=978-0-8218-4776-3|총서=Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series|권=29|날짜=2010|출판사=American Mathematical Society|issn=1065-8599|언어=en}}</ref> 모노이드 범주 속에는 [[모노이드 대상]]의 개념을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
'''모노이드 범주''' <math>(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>
* [[함자 (수학)|함자]] <math>\otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C</math>
* 대상 <math>I\in\mathcal C</math>. 이를 '''항등원'''(恒等元, {{llang|en|identity element}})이라고 한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>(-\otimes-)\otimes-\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C</math>, <math>-\otimes(-\otimes-)\colon\mathcal C\times\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\alpha\colon(-\otimes-)\otimes-\Rightarrow-\otimes(-\otimes-)</math>. 그 성분을 <math>\alpha_{XYZ}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes(Y\otimes Z)</math>로 쓰자. 이를 '''결합자'''(結合子, {{llang|en|associator}})라고 한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>I\otimes\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>, <math>\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\lambda\colon I\otimes\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>. 그 성분을 <math>\lambda_X\colon I\otimes X\to X</math>로 쓰자. 이를 '''왼쪽 항등자'''(왼쪽恒等子, {{llang|en|left unitor}})라고 한다.
* [[함자 (수학)|함자]] <math>\otimes I\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>, <math>\operatorname{Id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\rho\colon \otimes I\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>. 그 성분을 <math>\rho_X\colon X\otimes I\to X</math>로 쓰자. 이를 '''오른쪽 항등자'''(오른쪽恒等子, {{llang|en|right unitor}})라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* (결합자의 일관성) 임의의 대상 <math>X,Y,Z,W\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\alpha_{X,Y,Z\otimes W}\circ\alpha_{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname{id}_X\otimes\alpha_{Y,Z,W}\circ\alpha_{X,Y\otimes Z,W}\circ\alpha_{X,Y,Z}\otimes\operatorname{id}_W</math>. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W
&\xrightarrow\alpha
&(X\otimes(Y\otimes Z))\otimes W
&\xrightarrow\alpha
&X\otimes((Y\otimes Z)\otimes W)\\
&{\scriptstyle\alpha}\searrow&&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\
&&(X\otimes Y)\otimes(Z\otimes W)
&\xrightarrow[\alpha]{}
&X\otimes(Y\otimes(Z\otimes W))
\end{matrix}</math>
* (항등원의 일관성) 임의의 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\alpha_{X,I,Y}\circ\operatorname{id}_X\otimes\lambda_Y=\rho_X\otimes\operatorname{id}_Y</math>. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
(X\otimes I)\otimes Y&\xrightarrow \alpha&X\otimes(I\otimes Y)\\
&{\scriptstyle\rho}\searrow&\downarrow\scriptstyle\lambda\\
&&X\otimes Y
\end{matrix}</math>

=== 모노이드 함자 ===
두 모노이드 범주 <math>(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)</math>와 <math>(\mathcal C',\otimes',I',\alpha',\lambda',\rho')</math>가 주어졌다고 하자. '''모노이드 함자'''(monoid函子, {{llang|en|monoidal functor}}) <math>(F,\xi,\xi_0)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[함자]] <math>F:\mathcal C\to\mathcal C'</math>
* [[자연 동형]] <math>\xi_{XY}:F(X)\otimes'F(Y)\to F(X\otimes Y)</math>
* [[동형 사상]] <math>\xi_0:I' \to F(I)</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (결합성) 임의의 <math>X,Y,Z\in\mathcal C</math>에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
(F(X)\otimes' F(Y))\otimes' F(Z)
&\xrightarrow{\xi\otimes\operatorname{id}}
&F(X\otimes Y)\otimes' F(Z)
&\xrightarrow{\xi}
&F((X\otimes Y)\otimes Z)\\
\downarrow\scriptstyle\alpha'&&&&\downarrow\scriptstyle F(\alpha)\\
F(X)\otimes'(F(Y)\otimes' F(Z))
&\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\xi]{}
&F(X)\otimes'F(Y\otimes Z)
&\xrightarrow[\xi]{}
&F(X\otimes(Y\otimes Z))
\end{matrix}</math>
* (항등성) 임의의 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 그림이 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
I'\otimes' F(X)
&\xrightarrow{\xi_0\otimes \operatorname{id}}
&F(I)\otimes' F(X)\\
\downarrow\scriptstyle\lambda'&&\downarrow\scriptstyle \xi\\
F(X)&\xleftarrow{F(\lambda)}&F(I\otimes X)
\end{matrix}
\qquad
\begin{matrix}
F(X)\otimes' I'
&\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\xi_0}
&F(X)\otimes' F(I)\\
\downarrow\scriptstyle\rho'&&\downarrow\scriptstyle \xi\\
F(X)&\xleftarrow{F(\rho)}&F(X\otimes I)
\end{matrix}</math>
모든 <math>\xi_{XY}</math>와 <math>\xi_0</math>가 [[동형 사상]]이면, <math>F</math>를 '''엄격한 모노이드 함자'''({{llang|en|strict monoidal functor}})라고 한다.

=== 대칭 모노이드 범주 ===
{{본문|대칭 모노이드 범주}}
모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 [[교환 법칙]]을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 <math>X,Y</math>에 대하여, <math>X\otimes Y\cong Y\otimes X</math>일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, '''[[대칭 모노이드 범주]]'''의 개념을 얻는다.

=== 닫힌 모노이드 범주 ===
{{본문|닫힌 모노이드 범주}}
모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 [[지수 대상]]의 존재에 대한 조건을 추가하면, '''[[닫힌 모노이드 범주]]'''의 개념을 얻는다.

== 예 ==
([[끝 대상]]을 포함한) 유한 [[곱 (범주론)|곱]]이 존재하는 범주는 곱을 통해 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 '''데카르트 모노이드 범주'''({{llang|en|Cartesian monoidal category}})라고 한다. 마찬가지로, ([[시작 대상]]을 포함한) 유한 [[쌍대곱]]이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 [[대칭 모노이드 범주]]를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 '''쌍대 데카르트 모노이드 범주'''({{llang|en|co-Cartesian monoidal category}})라고 한다.

{| class=wikitable
! 범주 !! 연산 <math>\otimes</math> !! 항등원 <math>I</math> !! [[대칭 모노이드 범주]]?
|-
| [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> || [[곱집합]] <math>\times</math> || [[한원소 집합]] || 예
|-
| [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> || [[분리합집합]] <math>\sqcup</math> || [[공집합]] || 예
|-
| [[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> || 곱범주 || 하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 <math>\mathbb1</math> || 예
|-
| [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]]의 범주 <math>R\text{-Mod}</math> || 가군의 [[텐서곱]] <math>\otimes_R</math> || 1차 [[자유 가군]] <math>R</math> || 예
|-
| [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]]의 범주 <math>R\text{-Mod}</math> || 가군의 [[직합]] <math>\oplus</math> || 자명 가군 <math>0</math> || 예
|-
| [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}\simeq \mathbb Z\text{-Mod}</math> || [[아벨 군]]의 [[텐서곱]] <math>\otimes_{\mathbb Z}</math> || [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math> || 예
|-
| [[모노이드]] <math>M</math>의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 [[작은 범주]] || 모노이드 [[이항 연산]] || 모노이드 항등원 || 아닐 수 있음
|}

== 역사 ==
[[손더스 매클레인]]이 1963년에 모노이드 범주 및 [[대칭 모노이드 범주]]의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 '''매클레인 일관성 정리'''(Mac Lane一貫性定理, {{llang|en|Mac Lane coherence theorem}})를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Natural associativity and commutativity|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|저널=Rice University Studies|권=49|호=4|쪽=28–46|날짜=1963|zbl=0244.18008|issn=0035-4996|url=http://hdl.handle.net/1911/62865|언어=en}}</ref> 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) [[범주의 동치|동치]]이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리({{llang|en|Gregory Maxwell Kelly}}, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.<ref name="Kelly">{{저널 인용|제목=On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.|이름=Gregory Maxwell|성=Kelly|doi=10.1016/0021-8693(64)90018-3|저널=Journal of Algebra|권=1|호=4|쪽=397–402|날짜=1964-12|issn=0021-8693|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3′}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Closed monoidal category}}
* {{nlab|id=monoidal category|title=Monoidal category}}
* {{nlab|id=monoidal functor|title=Monoidal functor}}
* {{nlab|id=oplax monoidal functor|title=Oplax monoidal functor}}
* {{nlab|id=bilax monoidal functor|title=Bilax monoidal functor}}
* {{nlab|id=Frobenius monoidal functor}}
* {{nlab|id=strict monoidal category|title=Strict monoidal category}}
* {{nlab|id=coherence theorem for monoidal categories|title=Coherence theorem for monoidal categories}}
* {{nlab|id=Mac Lane's proof of the coherence theorem for monoidal categories}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]