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'''란다우 문제'''(Landau's problems)는 1912년 [[세계 수학자 대회|국제 수학자 대회]]에서 [[에드문트 란다우]]가 제시한 [[소수 (수론)|소수]]에 관한 네 가지 문제들이다.

== 문제 ==
네 가지 문제는 다음과 같다.

# [[골드바흐의 추측]]: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
# [[쌍둥이 소수 추측]]: <math>p+2</math>가 소수인 소수 <math>p</math>가 무한히 존재하는가?
# [[레전드 레의 추측|르장드르의 추측]]: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
# <math>p-1</math>이 [[정사각수|제곱수]]인 소수 <math>p</math>가 무한히 존재하는가? 다시 말해, <math>n^2+{1}</math>꼴의 소수가 무한히 존재하는가?

2024년 11월 6일 기준, 네 문제 모두 미해결 상태이다.

== 진행 상황 ==

=== [[골드바흐의 추측]] ===
1937년에 [[이반 비노그라도프]]가 [[약한 골드바흐의 추측]]이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.

1937년, [[천징룬]]은 충분히 큰 <math>n</math>에 대해서, 소수 <math>p</math>와 소수 또는 [[반소수]]인 <math>q</math>에 대해 <math>2n=p+q</math>가 성립한다는 [[천의 정리]]를 증명하였다.<ref>A semiprime is a natural number that is the product of two prime factors.</ref> 몽고메리(Montgomery)와 본(Vaughan)은 예외적인 수(두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수)의 [[점근 밀도|점근밀도]]가 0임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=The exceptional set in Goldbach's problem|저널=Acta Arithmetica|성=Montgomery|이름=H. L.|성2=Vaughan|이름2=R. C.|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa27/aa27126.pdf|연도=1975|권=27|호=|쪽=353–370|doi=}}</ref> 핀츠(Pintz)는 충분히 큰 <math>x</math>에 대해 예외적인 수들이 <math>E(x) < x^{0.72}</math>를 만족함을 증명하였다.<ref>Janos Pintz, [[arxiv:1804.09084v2|A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem]], 2018 preprint</ref>

2015년, 토모히로 야마다는 <math>e^{e^{36}} \approx 1.7\cdot10^{1872344071119348}</math> 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.

=== [[쌍둥이 소수 추측]] ===
[[장이탕]]<ref>Yitang Zhang, [http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07 Bounded gaps between primes], ''Annals of Mathematics'' '''179''' (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3</ref>은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes|저널=Research in the Mathematical Sciences|성=D.H.J. Polymath|연도=2014|권=1|쪽=12|arxiv=1407.4897|doi=10.1186/s40687-014-0012-7|mr=3373710}}</ref> 일반화된 [[엘리엇-할 버스 탐 추측|Elliott–Halberstam 추측]]에 의해 간격은 6까지 개선되었다.<ref>J. Maynard (2015), [[arxiv:1311.4600|Small gaps between primes]]. ''Annals of Mathematics'' '''181'''(1): 383-413.</ref><ref>{{저널 인용|제목=Small Gaps between Primes Exist|저널=Proceedings of the Japan Academy, Series A|성=Alan Goldston|이름=Daniel|성2=Motohashi|이름2=Yoichi|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1146576181|연도=2006|권=82|호=4|쪽=61–65|arxiv=math/0505300|doi=10.3792/pjaa.82.61|성3=Pintz|이름3=János|성4=Yalçın Yıldırım|이름4=Cem}}</ref>

[[천징룬]]은 <math>p+2</math>가 소수 또는 반소수인 소수 ''<math>p</math>''(Chen prime이라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.

=== [[르장드르의 추측]] ===
르장드르 추측은 소수 ''<math>p</math>''에 대해 다음 소수와의 간격이 <math>2 \sqrt p</math>보다 작음을 증명하면 해결된다. <math>4\times10^{18}</math> 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,<ref>Jens Kruse Andersen, [http://primerecords.dk/primegaps/maximal.htm Maximal Prime Gaps].</ref> <math>10^{18}</math> 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 <math>x^{1/6}</math>개의 예외적인 소수(간격이 <math>\sqrt{2p}</math>보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

: <math>\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n>x^{1/2}}{x\le p_n\le 2x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{2/3}.</math><ref>{{저널 인용|제목=Large differences between consecutive primes|저널=Quarterly Journal of Mathematics|성=Kaisa Matomäki|연도=2007|권=58|쪽=489–518|doi=10.1093/qmath/ham021}}.</ref>

Ingham은 충분히 큰 <math>n</math>에 대해 <math>n^3</math>과 <math>(n+1)^3</math> 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=On the difference between consecutive primes|저널=Quarterly Journal of Mathematics Oxford|성=Ingham|이름=A. E.|연도=1937|권=8|호=1|쪽=255–266|bibcode=1937QJMat...8..255I|doi=10.1093/qmath/os-8.1.255}}</ref>

=== <math>n^2+1</math>꼴 소수 ===
란다우의 네 번째 문제는 [[부냐콥스키 추측]] 또는 [[배트맨 – 혼 추측|Bateman-Horn 추측]]이 참일 경우 저절로 증명되며, {{As of|2020}} 미해결 상태이다.

<math>n^2+1</math>꼴 소수의 예로는 [[페르마 수|페르마 소수]]가 있으며, Henryk Iwaniec는 최대 두 개의 소인수를 가지는 <math>n^2+1</math>꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Almost-primes represented by quadratic polynomials|저널=[[Inventiones Mathematicae]]|성=Iwaniec|이름=H.|연도=1978|권=47|호=2|쪽=178–188|bibcode=1978InMat..47..171I|doi=10.1007/BF01578070}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Almost-primes represented by quadratic polynomials|저널=Acta Arithmetica|성=Robert J. Lemke Oliver|url=http://www.stanford.edu/~rjlo/papers/04-Quadratic.pdf|연도=2012|권=151|호=3|쪽=241–261|doi=10.4064/aa151-3-2}}{{깨진 링크|url=http://www.stanford.edu/~rjlo/papers/04-Quadratic.pdf }}.</ref> Nesmith Ankeny는 Hecke 특성을 가지는 [[L-함수]]에 대한 [[일반화 리만 가설|확장된 리만 가설]]을 가정할 때 <math>y=O(\log x)</math>를 만족하는 <math>x^2+y^2</math>꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다.<ref>[[Nesmith Ankeny|N. C. Ankeny]], Representations of primes by quadratic forms, Amer. J. Math. 74:4 (1952), pp. 913–919.</ref> 란다우의 네 번째 문제는 <math>y=1</math>인 경우이다.

Merikoski<ref>Jori Merikoski, [http://arxiv.org/abs/1908.08816v2 Largest prime factor of n^2+1], 2019 preprint</ref>는 가장 큰 소인수가 <math>n^{1.279}</math> 이상인 <math>n^2+1</math>꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.<ref>R. de la Bretèche and S. Drappeau. Niveau de répartition des polynômes quadratiques et crible majorant pour les entiers friables. Journal of the European Mathematical Society, 2019.</ref><ref>Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, [https://eudml.org/doc/74560 On the greatest prime factor of <math>n^2+1</math>], ''Annales de l'Institut Fourier'' '''32''':4 (1982), pp. 1–11.</ref><ref>C. Hooley, On the greatest prime factor of a quadratic polynomial, Acta Math., 117 ( 196 7), 281–299.</ref><ref>{{인용|author=J. Todd|title=A problem on arc tangent relations|journal=American Mathematical Monthly|volume=56|issue=8|year=1949|pages=517–528|doi=10.2307/2305526|jstor=2305526}}</ref><ref>J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.</ref> 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[수학의 미해결 문제 목록|수학에서 해결되지 않은 문제 목록]]
* [[밀레니엄 문제]]
* [[힐베르트 문제]]
* [[소수 (수론)|소수]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:수론의 미해결 문제]]
[[분류:소수에 관한 추측]]