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[[심플렉틱 위상수학]]에서 '''렙셰츠 다양체'''(Лефшец多樣體, {{llang|en|Lefschetz manifold}})는 [[심플렉틱 형식]]의 고차 [[거듭제곱]]에 대한 [[합곱]]이 서로 다른 차수의 실수 계수 코호몰로지의 동형을 유도하는 [[심플렉틱 다양체]]이다. [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]]의 일반화이다.

== 정의 ==
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''강한 렙셰츠 다양체'''(強한Лефшец多樣體, {{llang|en|strong Lefschetz manifold}})라고 한다.
* 모든 <math>0\le i\le n</math>에 대하여, <math>[\omega]^i\smile\colon H^{n-i}(M;\mathbb R)\to H^{n+i}(M;\mathbb R)</math>는 실수 벡터 공간의 [[동형]]이다.
만약 위 조건이 <math>i=0,1</math>에 대하여 성립하는 경우, '''렙셰츠 다양체'''(Лефшец多樣體, {{llang|en|Lefschetz manifold}})라고 한다.

== 성질 ==
=== 베티 수 ===
강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 [[푸앵카레 쌍대성]] <math>\operatorname{PD}</math>를 사용하여
:<math>H^{n-k}(M;\mathbb R)\times H^{n-k}(M;\mathbb R)\to\mathbb R</math>
:<math>(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\smile\operatorname{PD}([\omega]^k\smile\beta)</math>
를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화]] [[반대칭 쌍선형 형식]]을 정의하기 때문이다.<ref>{{저널 인용|제목=On certain geometric and homotopy properties of closed symplectic manifolds|arxiv=math/0002071}}</ref>{{rp|6, Proof of Theorem 3.1}}

또한, 강한 렙셰츠 다양체의 경우 <math>[\omega]^i</math>가 벡터 공간의 동형이므로, <math>0\le k\le i</math>에 대하여,
:<math>[\omega]^k\smile\colon H^{n-i}\to H^{n+i-2k}</math>
는 [[단사 함수]]이어야 한다. 따라서, <math>2n</math>차원 렙셰츠 다양체의 짝수 차수 베티 수
:<math>b_0,b_2,\dots,b_{2k}\qquad(2k<n)</math>
및 홀수 차수 베티 수
:<math>b_1,b_3,\dots,b_{2k+1}\qquad(2k+1<n)</math>
는 각각 증가수열을 이룬다.<ref>{{서적 인용|arxiv=1412.8499|장=An introduction to Hodge structures|이름=Sara Angela|성=Filippini|이름2=Helge|성2=Ruddat|이름3=Alan|성3=Thompson|제목= Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics|총서=Fields Institute Communications|issn=1069-5265|출판사=Springer|언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 3}}

=== 켈러 다양체와의 관계 ===
'''어려운 렙셰츠 정리'''({{llang|fr|théorème de Lefschetz vache}}, {{llang|en|hard Lefschetz theorem}})에 따르면, 모든 콤팩트 [[켈러 다양체]]는 강한 렙셰츠 다양체이다.

일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[켈러 다양체]] ⊊ 강한 렙셰츠 다양체 ⊊ 렙셰츠 다양체 ⊊ [[심플렉틱 다양체]]
[[원환면]]과 [[미분동형]]이 아닌 콤팩트 [[영다양체]]는 렙셰츠 다양체를 이룰 수 없다.<ref>{{저널 인용|이름=C.|성=Benson|이름2=C. |성2=Gordon|제목=Kähler and symplectic structures on nilmanifolds|저널=Topology|권=27|날짜=1988|쪽= 513-518|언어=en}}</ref>

== 예 ==
강한 렙셰츠 다양체이지만 켈러 다양체가 아닌 [[해다양체]] 및 렙셰츠 다양체이지만 강한 렙셰츠 다양체가 아닌 [[해다양체]]가 존재한다.<ref>{{저널 인용|이름=Takumi|성=Yamada|제목=Examples of Compact Lefschetz Solvmanifolds|저널=Tokyo Journal of Mathematics|권=25|호=2|날짜=2002|쪽=261-283|언어=en}}</ref>

[[형식적 공간]]이 아닌 렙셰츠 다양체가 존재한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0403067|제목=
The Lefschetz property, formality and blowing up in symplectic geometry|이름=Gil R.|성=Cavalcanti|bibcode=2004math......3067C|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=359|날짜=2007|쪽=333–348|jstor=20161579|doi=10.1090/S0002-9947-06-04058-X |mr=2247894|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[솔로몬 렙셰츠]]는 모든 복소수 [[사영 대수다양체]]가 강한 렙셰츠 다양체임을 보였고, "렙셰츠 다양체"라는 이름은 여기서 유래하였다.

[[알렉산더 그로텐디크]]는 렙셰츠의 이 정리를 {{llang|fr|théorème de Lefschetz vache|테오렘 드 렙셰츠 바슈}}라고 불렀다. {{llang|fr|[[:wiktionary:ko:vache|vache]]|바슈}}는 사전적으로는 "암소"를 뜻하지만, 속어로 매우 비속한 뜻을 가진다. 영어에서, 이 정리의 이름은 순화된 단어인 {{llang|en|hard|하드}}(어려운)로 번역되었다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lefschetz theorem}}
* {{nlab|id=hard Lefschetz theorem|title=Hard Lefschetz theorem}}

== 같이 보기 ==
* [[렙셰츠 초평면 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]