{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|절댓값 (대수학)|실수와 복소수의 표준적인 절댓값|[[대수적 수론]]의 절댓값}}
[[파일:Absolute value.svg|섬네일|실수 절댓값 함수의 [[함수의 그래프|그래프]]]]
[[수학]]에서 '''절댓값'''(絕對값, {{llang|en|absolute value 또는 modulus}})은 [[실수]]나 [[복소수]]가 원점으로부터 떨어진 거리를 나타내는 음이 아닌 실수이다. 실수의 절댓값은 단순히 부호를 무시한 음의 아닌 값이다. 절댓값의 개념의 다양한 일반화가 존재한다. 예를 들어, 실수와 복소수의 절댓값은 1차원 [[노름 공간]] 위의 [[노름]]을 이루며, [[실수체]]와 [[복소수체]]의 [[절댓값 (대수학)|대수적 절댓값]]을 이룬다.

== 정의 ==
=== 실수의 경우 ===
[[파일:AbsoluteValueDiagram.svg|섬네일|실수선 위에서, 실수 -3과 실수 0 사이의 거리는 3이다.]]
[[실수]] <math>x\in\mathbb R</math>의 '''절댓값''' <math>|x|\in[0,\infty)</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>|x|=\sqrt{x^2}=\begin{cases}x&x>0\\0&x=0\\-x&x<0\end{cases}</math>
여기서
* <math>x^2</math>는 <math>x</math>의 [[제곱]]이다.
* <math>\sqrt{x^2}</math>는 <math>x^2</math>의 [[주 제곱근]]이다.
* <math>-x</math>는 <math>x</math>의 [[반수 (수학)|반수]]이다.
즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. [[실수선]] 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다.

=== 복소수의 경우 ===
[[파일:Complex_conjugate_picture.svg|섬네일|복소평면 위에서, 복소수 ''z''의 절댓값은 원점과의 거리 ''r''와 같다. 모든 복소수 ''z''의 절댓값과 그 켤레 복소수 {{overset|—|''z''}}의 절댓값은 서로 같다.]]
[[복소수]] <math>z\in\mathbb C</math>의 '''절댓값''' <math>|z|\in[0,\infty)</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}</math>
여기서
* <math>\bar z</math>는 <math>z</math>의 [[켤레 복소수]]이다.
* <math>\operatorname{Re}z</math>는 <math>z</math>의 [[실수부]]이다.
* <math>\operatorname{Im}z</math>는 <math>z</math>의 [[허수부]]이다.
즉, [[복소평면]]에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 [[피타고라스 정리]]를 사용하여 구한 것과 같다.

이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,
:<math>\bar x=x</math>
이다. 따라서,
:<math>\sqrt{x\bar x}=\sqrt{xx}=\sqrt{x^2}</math>
이다. 즉, <math>x</math>의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다.

== 성질 ==
실수를 <math>x,y,a</math>, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 <math>z,w</math>로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

=== 부등식 ===
복소수의 절댓값은 0 이상이다.
:<math>|z|\ge0</math>
복소수의 절댓값은 [[양의 정부호성]]을 만족시킨다.
:<math>|z|=0\iff z=0</math>
복소수의 절댓값은 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다.
:<math>||z|-|w||\le|z+w|\le|z|+|w|</math>
:<math>|z+w|=|z|+|w|\iff z\bar w\ge0</math>
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다.
:<math>|x|\le a\iff-a\le x\le a</math>
:<math>|x|<a\iff-a<x<a</math>
:<math>|x|=a\iff\begin{cases}x=\pm a&a\ge0\\x\in\varnothing&a<0\end{cases}</math>
:<math>|x|>a\iff x>a\lor x<-a</math>
:<math>|x|\ge a\iff x\ge a\lor x\le-a</math>

=== 항등식 ===
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈을 보존한다.
:<math>|zw|=|z||w|</math>
:<math>|z/w|=|z|/|w|\qquad(w\ne0)</math>
복소수 절댓값 함수는 [[멱등 함수]]이며, [[회전 대칭]]과 [[반사 대칭]]을 만족시킨다. 특히, 실수 절댓값 함수는 [[짝함수]]이다.
:<math>||z||=|z|</math>
:<math>|-z|=|z|</math>
:<math>|\bar z|=|z|</math>

=== 미분 ===
실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 [[해석 함수]]이다. 그 [[도함수]]는 다음과 같다.
:<math>\frac d{dx}|x|=\sgn x\qquad(x\ne0)</math>
복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 [[연속 함수]]이지만, 모든 복소수점에서 비(非) [[복소 미분 가능 함수]]이다. 이는
:<math>\frac{|z|-|z_0|}{z-z_0}=\frac1{|z|+|z_0|}\left(z\frac\overline{z-z_0}{z-z_0}+\bar z_0\right)\qquad(z_0\in\mathbb C)</math>
가 <math>z\to z_0</math>에서 항상 발산하기 때문이다.

== 응용 ==
=== 복소수의 극형식 ===
{{본문|극형식}}
0이 아닌 복소수에 대하여, 절댓값은 복소수가 원점으로부터 떨어진 거리, 편각은 복소수가 가로축으로부터 회전한 각도를 뜻하므로, 0이 아닌 복소수는 절댓값과 편각으로부터 유일하게 결정된다. 구체적으로, 복소수 <math>z\ne0</math>는 절댓값 <math>|z|</math>과 [[편각 (수학)|편각]] <math>\operatorname{arg}z</math>을 사용하여 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 이를 복소수의 극형식이라고 한다.
:<math>z=|z|(\cos\operatorname{arg}z+i\sin\operatorname{arg}z)=|z|e^{i\operatorname{arg}z}</math>

=== 거리 공간 구조 ===
실수의 절댓값이 0과의 거리를 뜻하듯이, 실수선 위의 두 실수 <math>x,y</math> 사이의 거리 <math>d(x,y)</math>는 절댓값을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>d(x,y)=|x-y|=\begin{cases}x-y&x>y\\0&x=y\\y-x&x<y\end{cases}</math>
보다 일반적으로, 복소수의 절댓값이 원점과의 거리를 뜻하듯이, 복소평면 위의 두 복소수 <math>z,w</math> 사이의 거리 <math>d(z,w)</math>는 절댓값을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>d(z,w)=|z-w|=\sqrt{(\operatorname{Re}z-\operatorname{Re}w)^2+(\operatorname{Im}z-\operatorname{Im}w)^2}</math>
이는 복소평면 위의 두 점의 연결선을 빗변으로 하고, 두 빗변이 각각 두 좌표축과 평행하는 직각 삼각형에 [[피타고라스 정리]]를 적용한 결과와 같다. [[추상대수학]]의 관점에서, 실수와 복소수의 절댓값은 모두 [[거리 공간]] 구조를 부여한다. 사실, 절댓값은 [[노름 공간]] 구조를 부여하며, 모든 노름 공간은 표준적인 거리 공간 구조를 갖춘다.

== 관련 개념 ==
=== 노름 ===
{{본문|노름}}
[[노름]]은 [[벡터 공간]]에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, [[양의 정부호성]]을 만족시키며, [[양의 동차성]]을 만족시키며, [[삼각 부등식]]을 만족시키는 [[함수]]이다. 실수체와 복소수체는 벡터 공간의 특수한 경우이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 노름의 특수한 경우이다. 모든 노름 <math>x\mapsto\Vert x\Vert</math>는 표준적인 [[거리 함수]] <math>(x,y)\mapsto\Vert x-y\Vert</math>를 유도한다.

=== 정역 위의 절댓값 ===
{{본문|절댓값 (대수학)}}
[[정역]] 위의 절댓값은, [[정역]]에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, [[양의 정부호성]]을 만족시키며, 곱셈을 보존하며, [[삼각 부등식]]을 만족시키는 함수이다. 모든 [[체 (수학)|체]]는 [[정역]]이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값 <math>x\mapsto|x|</math>는 표준적인 [[거리 함수]] <math>(x,y)\mapsto|x-y|</math>를 유도한다.

== 참고 문헌 ==
* Nahin, Paul J.; [https://www.amazon.com/gp/reader/0691027951 ''An Imaginary Tale'']; Princeton University Press; (hardcover, 1998). {{ISBN|0-691-02795-1}}
* {{MacTutor|id=Argand|title=Jean Robert Argand}}
* Schechter, Eric; ''Handbook of Analysis and Its Foundations'', pp 259–263, [https://www.amazon.com/gp/reader/0126227608/?keywords=absolute%20value&v=search-inside "Absolute Values"],  Academic Press (1997) {{ISBN|0-12-622760-8}}



[[분류:노름]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:실수]]
[[분류:복소수]]