{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|내적|유클리드 공간 위 내적|스칼라곱}}
[[파일:Inner-product-angle.png|섬네일|내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석]]
[[선형대수학]]과 [[함수해석학]]에서 '''내적 공간'''(內積空間, {{llang|en|inner product space}})은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 [[벡터 공간]]이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 [[길이]]나 [[각도]] 등의 개념을 다룰 수 있다. [[스칼라곱]]을 갖춘 [[유클리드 공간]]의 일반화이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

<math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''내적'''(內積, {{llang|en|inner product}})은 [[양의 정부호]] [[에르미트 반쌍선형 형식]]이다. ([[실수]]의 경우 이는 [[양의 정부호]] [[대칭 쌍선형 형식]]과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]]
:<math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V\to\mathbb K</math>
:<math>\langle\cdot,\cdot\rangle\colon(u,v)\mapsto\langle u,v\rangle</math>
이다.
* ([[양의 정부호성]]) 임의의 <math>0\ne v\in V</math>에 대하여, <math>\langle v,v\rangle>0</math>
* ([[에르미트성]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}</math>
* (왼쪽 [[선형 변환|선형성]]) 임의의 <math>a,b\in\mathbb K</math> 및 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>\langle au+bv,w\rangle=a\langle u,w\rangle+b\langle v,w\rangle</math>
이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.
* (오른쪽 [[반쌍선형성]]) 임의의 <math>a,b\in \mathbb{K}</math> 및 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>\langle w,au+bv\rangle=\bar a\langle w,u\rangle+\bar b\langle w,v\rangle</math>
내적이 주어진 <math>\mathbb K</math>-벡터 공간 <math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>을 '''<math>\mathbb K</math>-내적 공간'''이라고 한다. 특히 <math>\mathbb K = \mathbb C</math>인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 '''유니터리 공간'''({{llang|en|unitary space}})이라고 부르기도 한다.

== 성질 ==
=== 노름 구조 ===
<math>\mathbb K</math>-내적 공간 <math>V</math> 위에 자연스러운 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.
:<math>\Vert v\Vert=\sqrt{\langle v,v\rangle}</math>
{{증명}}
노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 [[삼각 부등식]]은 [[코시-슈바르츠 부등식]]의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 <math>u,v\in V</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}\Vert u+v\Vert^2
&=\Vert u\Vert^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\Vert v\Vert^2\\
&\le\Vert u\Vert^2+2\Vert u\Vert\Vert v\Vert+\Vert v\Vert^2\\
&=(\Vert u\Vert+\Vert v\Vert)^2
\end{align}</math>
이므로,
:<math>\Vert u+v\Vert\le\Vert u\Vert+\Vert v\Vert</math>
{{증명 끝}}
반대로, <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이 <math>\mathbb K</math>-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 [[평행 사변형 법칙]]
:<math>2\Vert u\Vert^2+2\Vert v\Vert^2=\Vert u+v\Vert^2+\Vert u-v\Vert^2\qquad\forall u,v\in V</math>
이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 '''극화 항등식'''(極化恒等式, {{llang|en|polarization identity}})이라고 한다.
:<math>\langle u,v\rangle=\begin{cases}
\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2&\mathbb K=\mathbb R\\
\frac14\Vert u+v\Vert^2-\frac14\Vert u-v\Vert^2+\frac i4\Vert u+iv\Vert^2-\frac i4\Vert u-iv\Vert^2&\mathbb K=\mathbb C
\end{cases}</math>
{{증명}}
실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.
:<math>\langle v,v\rangle>0\qquad\forall0\ne v\in V</math>
:<math>\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle\qquad\forall u,v\in V</math>
:<math>\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\qquad\forall u,v,w\in V</math>
:<math>\langle au,v\rangle=a\langle u,v\rangle\qquad\forall a\in\mathbb R,\;u,v\in V</math>
첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다.
:<math>\begin{align}\langle u+v,w\rangle
&=\frac14(\Vert u+v+w\Vert^2-\Vert u+v-w\Vert^2)\\
&=\frac14\left(\Vert u+w\Vert^2+\Vert v+w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v+w\Vert^2-\frac12\Vert v-u+w\Vert^2\right)\\
&\qquad-\frac14\left(\Vert u-w\Vert^2+\Vert v-w\Vert^2+\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2-\frac12\Vert u-v-w\Vert^2-\frac12\Vert v-u-w\Vert^2\right)\\
&=\frac14(\Vert u+w\Vert^2-\Vert u-v\Vert^2)-\frac14(\Vert v+w\Vert^2-\Vert v-w\Vert^2)\\
&=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle
\end{align}</math>
넷째 조건의 <math>a\in\mathbb N</math>의 경우는 다음과 같이 증명된다.
:<math>\langle au,v\rangle=\langle\underbrace{u+\cdots+u}_a,v\rangle=\underbrace{\langle u,v\rangle+\cdots+\langle u,v\rangle}_a=a\langle u,v\rangle</math>
또한, <math>a\in\mathbb Z</math>일 경우의 증명은 다음과 같다.
:<math>0=\langle 0,v\rangle=\langle au-au,v\rangle=\langle au,v\rangle+\langle-au,v\rangle=\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle</math>
만약 <math>a\in\mathbb Q</math>일 경우, <math>a=p/q</math> (<math>p,q\in\mathbb Z,\;q\ne0</math>)이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다.
:<math>q\langle au,v\rangle=\langle qau,v\rangle=\langle pu,v\rangle=p\langle u,v\rangle</math>
마지막으로, <math>a\in\mathbb R</math>일 경우는 <math>u,v\in V</math>를 고정하였을 때 <math>a\mapsto\langle au,v\rangle-a\langle u,v\rangle</math>가 연속 함수임에 따라 성립한다.
{{증명 끝}}

=== 코시-슈바르츠 부등식 ===
{{본문|코시-슈바르츠 부등식}}
내적 공간 <math>V</math>의 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 '''[[코시-슈바르츠 부등식]]'''이라고 한다.
:<math>|\langle u,v\rangle|\le\Vert u\Vert\Vert v\Vert</math>
:<math>|\langle u,v\rangle|=\Vert u\Vert\Vert v\Vert\iff\operatorname{rank}\{u,v\}<2</math>
이에 따라, 두 벡터 <math>u,v\in V</math> 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\arccos\frac{\operatorname{Re}\langle u,v\rangle}{\Vert u\Vert\Vert v\Vert}</math>
또한, 내적이 유도하는 노름의 [[삼각 부등식]]은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

=== 정규 직교 기저 ===
{{다른 뜻|정규 직교 기저||힐베르트 공간의 개념}}
내적 공간 <math>V</math>의 '''정규 직교 기저'''(正規直交基底, {{llang|en|orthonormal basis}})는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 <math>B\subseteq V</math>이다.
* (직교성) 만약 <math>e,e'\in B</math>이며 <math>e\ne e'</math>라면, <math>\langle e,e'\rangle=0</math>
* (정규성) 임의의 <math>e\in B</math>에 대하여, <math>\Vert e\Vert=1</math>
유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 [[그람-슈미트 과정]]을 통해 구성할 수 있다.

내적 공간 <math>V</math>의 벡터 <math>v\in V</math>의 정규 직교 기저 <math>B</math>에 대한 좌표는 다음과 같다.
:<math>v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e</math>
또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\langle u,v\rangle=\sum_{e\in B}\langle u,e\rangle\overline{\langle v,e\rangle}</math>
내적 공간 <math>V</math> 속의 유한 정규 직교 집합 <math>S\subseteq V\setminus\{0\}</math> 및 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, [[베셀 부등식]]과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2</math>
:<math>\sum_{e\in S}|\langle v,e\rangle|^2=\Vert v\Vert^2\iff v=\sum_{e\in S}\langle v,e\rangle e</math>

=== 선형 범함수 ===
유한 차원 내적 공간 <math>V</math>의 모든 [[선형 범함수]]는 어떤 유일한 고정된 벡터 <math>v\in V</math>와의 내적
:<math>V\to\mathbb K</math>
:<math>u\mapsto\langle u,v\rangle</math>
이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 <math>B\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 선형 범함수 <math>f\colon V\to F</math>를 나타내는 벡터는 다음과 같다.
:<math>v=\sum_{e\in B}\overline{f(e)}e</math>
이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 <math>T\colon V\to V</math>의 [[수반 선형 변환]] <math>T^*\colon V\to V</math>은 다음과 같이 항상 존재한다.
:<math>\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle\qquad\forall u,v\in V</math>
그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, [[다항식환]] <math>\mathbb C[x]</math>에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle p,q\rangle=\int_a^b p(x)\overline{q(x)}dx=\sum_{k=0}^{\deg p}\sum_{k'=0}^{\deg q}\frac{p_k\overline{q_{k'}}}{k+k'+1}</math>
이 경우, 임의의 <math>c\in\mathbb C</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.
:<math>\mathbb C[x]\to\mathbb C</math>
:<math>p\mapsto p(c)</math>
또한 미분 선형 변환
:<math>D\colon\mathbb C[x]\to\mathbb C[x]</math>
:<math>D\colon x^n\mapsto nx^{n-1}\qquad n=0,1,2,\dots</math>
의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

== 예 ==
=== 유한 차원 벡터 공간 위의 내적 ===
<math>n</math>차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>\mathbb K^n</math> 위의 표준적인 내적은 다음과 같다.
:<math>\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^nx_k\overline{y_k}</math>
<math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 때, <math>\mathbb R^n</math>은 [[유클리드 공간]]이며, 이 내적은 [[스칼라곱]]이라고 부른다. 이 경우 실수의 [[켤레 복소수]]는 스스로와 일치한다 (<math>\overline{y_k}=y_k</math>). 이 내적이 유도하는 노름은 [[l2 노름|L<sup>2</sup> 노름]]이다. 그러나 <math>p\ne2</math>의 경우, [[lp 노름|L<sup>p</sup> 노름]]은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.

특히, <math>n=1</math>인 경우 <math>\mathbb K</math>는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히
:<math>\langle x,y\rangle=x\overline{y}</math>
이다.

마찬가지로, 실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 <math>\operatorname{Mat}(m,n;\mathbb K)</math>은 <math>mn</math>차원 [[벡터 공간]]을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^\dagger\bar Y)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nX_{ij}\overline{Y_{ij}}</math>
이를 [[프로베니우스 내적]]이라고 한다.

보다 일반적으로, [[양의 정부호 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb K)</math>에 대하여, <math>\mathbb K^n</math> 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle x,y\rangle=x^\operatorname TM\bar y=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nM_{ij}x_i\overline{y_j}</math>

=== 함수 공간 ===
[[연속 함수]]의 공간 <math>\mathcal C([a,b];\mathbb K)</math>에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}dx</math>
여기서 우변의 적분은 [[리만 적분]]이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.
:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^bx^2f(x)\overline{g(x)}dx</math>

[[가측 함수]] <math>(\Omega,\Sigma,\mu)\to\mathbb K</math>들의 ([[거의 어디서나]] 같음에 대한) [[동치류]]들로 구성된 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>\operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)</math> 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.
:<math>\langle f,g\rangle=\int_a^b f\overline{g}d\mu</math>
여기서 우변은 [[르베그 적분]]이다. 이를 [[르베그 공간|L<sup>2</sup> 공간]]이라고 한다. 특히, <math>(\Omega,\Sigma,\mu)</math>가 [[확률 공간]]일 때, <math>\operatorname L^2(\Omega;\mathbb K)</math>은 [[확률 변수]]들의 [[동치류]]들로 이루어지며, 적분은 [[기댓값]]이다. 따라서, 두 확률 변수 <math>X,Y\colon\Omega\to\mathbb K</math>의 내적은 다음과 같다.
:<math>\langle X,Y\rangle=\operatorname E(X\overline{Y})</math>
가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, <math>\langle X,X\rangle=0</math>일 [[필요충분조건]]은 [[거의 확실하게]] <math>X=0</math>인 것이다 (<math>\mu(X=0)=1</math>). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.

== 같이 보기 ==
* [[벡터곱]]
* [[외대수]]
* [[쌍선형 형식]]
* [[쌍대공간]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|url=https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze
|성=Hoffman
|이름=Kenneth
|제목=Linear Algebra
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice-Hall
|위치=Upper Saddle River, New Jersey
|날짜=1971
|isbn=0-13-536797-2
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Inner product}}
* {{매스월드|id=InnerProductSpace|title=Inner product space}}
* {{매스월드|id=InnerProduct|title=Inner product}}
* {{플래닛매스|urlname=InnerProductSpace|title=Inner product space}}
* {{플래닛매스|urlname=innerproduct|title=Inner product}}
* {{nlab|id=inner product space|title=Inner product space}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/21792/norms-induced-by-inner-products-and-the-parallelogram-law|제목=Norms Induced by Inner Products and the Parallelogram Law|웹사이트=Stack Exchange|언어=en|확인날짜=2018-02-02|보존url=https://web.archive.org/web/20180203123147/https://math.stackexchange.com/questions/21792/norms-induced-by-inner-products-and-the-parallelogram-law|보존날짜=2018-02-03|url-status=dead}}

{{선형대수학}}

[[분류:노름 공간]]