{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''호흐실트 호몰로지'''({{llang|en|Hochschild homology}})와 '''호흐실트 코호몰로지'''({{llang|en|Hochschild cohomology}})는 [[가환환]] 위의 [[결합 대수]]에 대하여 정의되는 [[호몰로지]] · [[코호몰로지]] 이론이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>
* <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>_AM_A</math>. 즉, <math>M</math>은 <math>(A,A)</math>-[[쌍가군]]이며, 또한 <math>M</math> 위의 왼쪽 <math>K</math>-작용이 오른쪽 <math>K</math>-작용과 일치한다고 하자.

호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 [[동치]]이다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 [[Ext 함자]] (또는 [[Tor 함자]])의 특수한 경우로 추상적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 '''호흐실트 (공)사슬 복합체'''({{llang|en|Hochschild (co)chain complex}})라는 (공)[[사슬 복합체]]의 (코)[[호몰로지]]로 구체적으로 정의될 수 있다.
* 호흐실트 (코)호몰로지는 [[단체 대상]]의 이론을 통해 정의될 수 있다.
흔히, <math>_AM_A={}_AA_A</math>인 특수한 경우가 자주 사용된다.

=== 추상적 정의 ===
<math>A</math>의 '''포락 대수'''(包絡代數, {{llang|en|enveloping algebra}})
:<math>A^{\operatorname{e}}=A\otimes_KA^{\operatorname{op}}</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>K</math>-[[결합 대수]]이며, <math>M</math>은 <math>A^{\operatorname{e}}</math>-[[왼쪽 가군]]을 이룬다. 마찬가지로, <math>A</math>도 <math>A^{\operatorname{e}}</math>의 [[왼쪽 가군]]을 이룬다. 구체적으로,
:<math>(a\otimes_K b^{\operatorname{op}})\cdot m=a\cdot m\cdot b\qquad\forall a,b\in A,m\in M</math>
:<math>(a\otimes_K b^{\operatorname{op}})\cdot c=a\cdot c\cdot b\qquad\forall a,b,c\in A</math>
이다.

<math>A</math>의 <math>M</math>계수의 '''호흐실트 호몰로지 군''' <math>\operatorname{HH}_n(A;M)</math> 및  '''호흐실트 코호몰로지 군''' <math>\operatorname{HH}^n(A;M)</math>은 다음과 같이 [[Ext 함자]] 및 [[Tor 함자]]로 정의된다.
:<math>\operatorname{HH}_n(A;M)=\operatorname{Tor}_n^{A^{\operatorname{e}}}(A,M)</math>
:<math>\operatorname{HH}^n(A;M)=\operatorname{Ext}^n_{A^{\operatorname{e}}}(A,M)</math>

=== 구체적 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>K</math>-[[가군]] 범주의 [[단체 대상]] <math>(X_\bullet,\partial_{\bullet,i},s_{\bullet,i})</math>
그렇다면,
:<math>\partial_n=\sum_{i=0}^n(-)^i\partial_{n,i}</math>
를 정의하면,
:<math>\partial_n\circ\partial_{n+1} = 0</math>
이 되어, [[사슬 복합체]]
:<math>\dotsb\xleftarrow\partial X_2\xleftarrow\partial X_1\xleftarrow\partial X_0\to0</math>
를 정의할 수 있다. 이 사슬 복합체의 [[호몰로지]]를 단체 가군 <math>X_\bullet</math>의 '''호흐실트 호몰로지'''라고 한다. 마찬가지로, 이 사슬 복합체의 [[쌍대 가군]]들로 구성된 [[공사슬 복합체]]
:<math>X^n = \hom_K(X_n,K)</math>
:<math>0\to X^1\to X^2\to\dotsb</math>
의 [[코호몰로지]]를 단체 가군 <math>X_\bullet</math>의 '''호흐실트 코호몰로지'''라고 한다. (호흐실트 (코)호몰로지의 정의에는 퇴화 사상 <math>s_{\bullet,i}</math>이 쓰이지 않는다.)

특히, 만약 위와 같이 <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>와 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>이 주어졌다면, 다음과 같은 '''호흐실트 단체 가군'''({{llang|en|Hochschild simplicial module}}) <math>C_\bullet(A;M)</math>을 정의할 수 있다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref>{{rp|45, (1.6.1.2)}}
:<math>C_n(A;M) = M\otimes_K A^{\otimes_Kn}</math>
:<math>\partial_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n+1}(A;M)</math>
:<math>\partial_{n,i}\colon m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n\mapsto
\begin{cases}
(ma_1)\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_n&i=0\\
m\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{i-1}\otimes_Ka_ia_{i+1}\otimes_Ka_{i+2}\otimes_K\cdots\otimes_Ka_n&0<i<n\\
a_nm\otimes_Ka_1\otimes_K\dotsb\otimes_Ka_{n-1}&i=n
\end{cases}</math>
:<math>s_{n,i} \colon C_n (A;M)\to C_{n-1}(A;M)</math>
:<math>s_{n,i}\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n\mapsto
m\otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n
</math>
[[결합 대수]] <math>A</math>의 <math>M</math>계수 '''호흐실트 호몰로지'''란 그 호흐실트 단체 가군의 호흐실트 호몰로지를 말한다.

<math>C_\bullet(A;M)</math>은 [[사슬 복합체]]로서
:<math>M\otimes_{A^{\operatorname{e}}}\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A)</math>
의 꼴이다. 여기서 <math>\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A)</math>는 <math>A</math>의 [[막대 복합체]]이다. 이제, 이를 쌍대화하여 [[공사슬 복합체]]
:<math>C^\bullet(A;M) = \hom_{A^{\operatorname{e}}}(\operatorname{Bar}_\bullet(A,A,A), M)</math>
를 정의할 수 있으며, <math>A</math>의 <math>M^\vee</math>계수 '''호흐실트 코호몰로지'''란 이 공사슬 복합체의 코호몰로지이다.

=== 위상수학적 정의 ===
<math>A</math> 계수의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같이 임의의 [[가군]] 범주 속의 [[단체 대상]]에 대하여 일반화될 수 있다.

다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* <math>\operatorname{Mod}_K</math> 속의 [[단체 대상]] <math>X \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Mod}_K</math>. 여기서 <math>\triangle</math>은 [[단체 범주]]이다.
그렇다면, 단체 가군의 범주 <math>\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)</math>은 [[아벨 범주]]이므로 그 속에서 [[Ext 함자]]를 정의할 수 있다. 또한, 단체 가군의 [[텐서곱]]을 정의할 수 있으며, 그 [[유도 함자]]로서 [[Tor 함자]]를 정의할 수 있다.

이 경우, <math>X</math>의 '''호흐실트 호몰로지'''와 '''호흐실트 코호몰로지'''는 각각 다음과 같다.<ref name="Loday"/>{{rp|§6.2}}
:<math>\operatorname{HH}_n(X)=\operatorname{Tor}_n^{\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(K_\bullet,X)</math>
:<math>\operatorname{HH}^n(X)=\operatorname{Ext}^n_{\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)}(X,K_\bullet)</math>
여기서 <math>K_\bullet</math>는 모든 성분이 1차원 [[자유 가군]] <math>K</math>이며, <math>s_n^i</math> 및 <math>d_n^i</math> 모두가 [[항등 함수]]인 자명한 [[단체 대상]]이다.

(사실, 만약 <math>A=M</math>이라면, 호흐실트 단체 가군 <math>C_n(A;A)</math>는 추가로 [[순환 대상]]을 이룬다. 이 경우, 단체 가군의 범주 대신 순환 가군의 범주 <math>\hom(\triangle_{\operatorname{Cyc}}^{\operatorname{op}},\operatorname{Mod}_K)</math>에서 [[Tor 함자]]와 [[Ext 함자]]를 취할 수 있으며, 이 경우 [[순환 호몰로지|순환 (코)호몰로지]]를 얻는다.<ref name="Loday"/>{{rp|213, Theorem 6.2.8}}<ref name="Loday"/>{{rp|214, Theorem 6.2.9}})

== 성질 ==
가환환 <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math> 및 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>에 대하여, 호흐실트 호몰로지 <math>\operatorname{HH}^n(A;M)</math> 및 호흐실트 코호몰로지 <math>\operatorname{HH}^n(A;M)</math>는 <math>K</math>-[[가군]]이며, 사실 <math>\operatorname Z(A)</math>-[[가군]]을 이룬다.<ref name="Loday"/>{{rp|10, §1.1.5}}

=== 함자성 ===
임의의 가환환 <math>K</math> 위의 (항등원을 갖는) [[결합 대수]]의 범주 <math>\operatorname{Alg}_K</math>와, <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌을 때 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]]의 범주 <math>_A\operatorname{Mod}_A</math>를 생각하자.

그렇다면, 호흐실트 (코)호몰로지는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의한다.<ref name="Loday"/>{{rp|10, §1.1.4}}
:<math>\operatorname{HH}_n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)}</math>
:<math>\operatorname{HH}^n \colon {}_A\operatorname{Mod}_A \to \operatorname{Mod}_{\operatorname Z(A)}</math>

또한, 임의의 <math>K</math>-[[결합 대수]] 준동형
:<math>\phi\colon B\to A</math>
및 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>에 대하여, <math>\phi^*M</math>은 <math>(B,K,B)</math>-[[쌍가군]]을 이루며,
이는 호흐실트 호몰로지의 사상<ref name="Loday"/>{{rp|10, §1.1.4}}
:<math>\phi_*\colon \operatorname{HH}^\bullet(B;\phi^*M) \to \operatorname{HH}_n(A;M)</math>
및 호흐실트 코호몰로지의 사상<ref name="Loday"/>{{rp|38, §1.5.1}}
:<math>\phi^*\colon \operatorname{HH}^\bullet(A;M) \to \operatorname{HH}^n(B;\phi^*M)</math>
을 유도한다.

특히, 만약 <math>M=A</math>일 때, 이는 <math>K</math>-[[결합 대수]]의 범주(의 [[반대 범주]])에서 <math>K</math>-가군의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{HH}_n(-)\colon \operatorname{Alg}_K \to\operatorname{Mod}_K</math>
:<math>\operatorname{HH}^n(-)\colon \operatorname{Alg}_K^{\operatorname{op}} \to\operatorname{Mod}_K</math>
를 정의한다.

== 예 ==
=== 0차 호흐실트 (코)호몰로지 ===
가환환 <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <Math>A</math> 및 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 호흐실트 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:<math>C_0(A;M) = M </math>
:<math>C_1(A;M) = M\otimes_K A</math>
:<math>\partial_1 = \partial_{1,0} - \partial_{1,1}</math>
:<math>\partial_{1,0} \colon m \otimes_K a \mapsto ma </math>
:<math>\partial_{1,1} \colon m \otimes_K a \mapsto am </math>
이에 따라,
:<math>\operatorname{HH}_0(A;M) = \frac M{[M,A]} </math>
이다.<ref name="Loday"/>{{rp|10, §1.1.6}}

마찬가지로, 호흐실트 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
:<math>C^0(A;M) = M</math>
:<math>C^1(A;M) = M \otimes A^\vee</math>
:<math>\mathrm d^0 \colon C^0(A;M) \to C^1(A;M)</math>
:<math>\mathrm d^0(m)(a) = ma - am </math>
이에 따라,
:<math>\operatorname{HH}^0(A;M) = \{m\in M\colon am=ma\qquad\forall a\in A\}</math>
는 [[환의 중심]]의 개념의 일반화이다.<ref name="Loday"/>{{rp|38, §1.5.2}}

=== 1차 호흐실트 코호몰로지 ===
가환환 <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <Math>A</math> 및 <math>(A,K,A)</math>-[[쌍가군]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자.

1차 호흐실트 코호몰로지는 다음과 같다.<ref name="Loday"/>{{rp|38, §1.5.2}} 1차 호흐실트 공순환은 <math>K</math>-[[가군 준동형]]
:<math>\delta \colon A\to M</math>
가운데
:<math>\delta(ab) = a \delta(b) + \delta(a) b</math>
와 같은 [[곱 규칙]]을 만족시키는 것이다. 이러한 것들을 '''미분'''({{llang|en|derivation}})이라고 하자. 반면, 1차 호흐실트 공경계는
:<math>[m,-]\colon A\to M \qquad(m\in M)</math>
와 같은 꼴의 <math>K</math>-[[가군 준동형]]이다. 즉, 이러한 것들을 '''내부 미분'''({{Llang|en|inner derivation}})이라고 하자. 그렇다면, 1차 호흐실트 코호몰로지는 미분의 공간의, 내부 미분에 대한 몫, 즉 '''외부 미분'''({{llang|en|outer derivation}})의 공간으로 여겨질 수 있다.

=== 가환 대수 ===
가환환 <math>K</math> 위의 [[가환환|가환]] [[결합 대수]] <math>A</math> 및 <math>A</math>-[[가군]] <math>M</math>에 대하여, 처음 두 개의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.<ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|307, Proposition 9.2.2}}<ref name="Loday"/>{{rp|11, Proposition 1.1.10}}
:<math>\operatorname{HH}_0(A;M)\cong M</math>
:<math>\operatorname{HH}_1(A;M)\cong M\otimes_A\Omega_{A/K}</math>
여기서 <math>\Omega_{A/K}</math>는 [[켈러 미분]]의 가군이다.

즉, 1차 호흐실트 호몰로지는 [[1차 미분 형식]]에 대응한다. [[비가환 기하학]]에서는 이를 사용하여 비가환 공간 위의 미분 형식을 정의한다.

=== 다항식환 ===
복소수 계수 다항식환 <math>\mathbb C[\vec x]</math> (<math>\vec x\in\mathbb C^k</math>)의 호흐실트 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{HH}_n(\mathbb C[\vec x];\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x]\otimes_{\mathbb C}\Lambda^n(\mathbb C^k)</math>
여기서 <math>\Lambda^n(-)</math>는 [[외대수]]이다. 구체적으로, <math>n</math>차 호흐실트 사슬은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>C_n(\mathbb C[\vec x])=\mathbb C[\vec x_0,\vec x_1,\dotsc,\vec x_n]</math>
호흐실트 사슬에 대응하는 호몰로지 동치류는 다음과 같다.
:<math>p(\vec x_0,\dotsc,\vec x_n)\mapsto\sum_{i_1=1}^k\sum_{i_2=1}^k\dotsi\sum_{i_n=1}^k\left.\frac\partial{\partial(x_1)^{i_1}}\frac\partial{\partial(x_2)^{i_2}}\dotsm\frac\partial{\partial(x_n)^{i_n}}p\right|_{\vec x_0=\vec x_1=\vec x_2=\dotsb=\vec x_n=\vec x}\mathrm d(x_1)^{i_1}\wedge\mathrm d(x_2)^{i_2}\wedge\dotsb\wedge\mathrm d(x_n)^{i_n}</math>

== 역사 ==
[[게르하르트 호흐실트]]가 1945년에 [[체 (수학)|체]] 위의 [[결합 대수]]에 대하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hochschild | first=Gerhard | 저자링크=게르하르트 호흐실트 | title=On the cohomology groups of an associative algebra | jstor=1969145 | mr=0011076 | year=1945 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=46 | pages=58–67}}</ref> 이후 [[앙리 카르탕]]과 [[사무엘 에일렌베르크]]가 일반적인 [[가환환]] 위의 [[결합 대수]]에 대하여 정의하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Henri|성=Cartan|저자링크=앙리 카르탕|이름2=Samuel|성2=Eilenberg|저자링크2=사무엘 에일렌베르크|날짜=1956|제목=Homological algebra|출판사=Princeton University Press|oclc=529171|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[순환 호몰로지]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cohomology of algebras}}
* {{매스월드|id=Hochschild-KamowitzComplex|title=Hochschild-Kamowitz complex}}
* {{nlab|id=Hochschild cohomology}}
* {{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2007/07/22/hochschild-homology/|제목=Hochschild homology|날짜=2007-07-22|웹사이트=Secret Blogging Seminar|이름=Ben|성=Webster|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www-math.mit.edu/~rbm/iml90.pdf|제목=Introduction to microlocal analysis|날짜=2013-01-27|이름=Richard|성=Melrose|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/h_thie08/preprints/CyclicHomology.pdf|제목=An introduction to Hochschild and cyclic homology|이름=Hannes|성=Thiel|날짜=2006|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/h_thie08/preprints/CyclicHomology.pdf }}
* {{서적 인용 | url=http://cybertesis.uni.edu.pe/handle/uni/566 | 제목=Homología de Hochschild y homología cíclica | 이름=Laura Betzabé | 성=La Rosa Obando | 날짜=2010-07 | 기타=석사 학위 논문 (지도 교수 {{lang|es|Christian Holger Valqui Haase}}) | 출판사=Universidad Nacional de Ingeniería | 위치=[[리마]] | 언어=es | 확인날짜=2017-07-24 | 보존url=https://web.archive.org/web/20180508080158/http://cybertesis.uni.edu.pe/handle/uni/566 | 보존날짜=2018-05-08 | url-status=dead }}

[[분류:대수]]
[[분류:호몰로지 대수학]]