{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''고리 공간'''(-空間, {{llang|en|loop space}})은 어떤 공간 위에 존재하는, 밑점을 보존하는 [[고리 (위상수학)|고리]]들의 공간이다.<ref>{{서적 인용 | last=Adams | first=John Frank | title=Infinite loop spaces | publisher=Princeton University Press | series=Annals of Mathematics Studies | isbn=978-0-691-08206-6 | mr=505692 | 날짜=1978 | volume=90 | url=http://press.princeton.edu/titles/6.html | 언어=en}}
</ref><ref>{{서적 인용 | last=May | first=J. Peter | title=The geometry of iterated loop spaces | url=http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKSMaster.html | publisher=Springer | isbn=978-3-540-05904-2 | doi=10.1007/BFb0067491 | mr=0420610 | 날짜=1972 | 총서=Lecture Notes in Mathematics | 권=271 | issn=0075-8434 | 언어=en | 확인날짜=2015-06-14 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150707062109/http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKSMaster.html | 보존날짜=2015-07-07 | url-status=dead }}</ref><ref>{{서적 인용|mr=0900587|last1=Pressley|first1=Andrew|last2=Segal|first2=Graeme|authorlink2=그레임 시걸|title=Loop groups|series=Oxford Mathematical Monographs|publisher=Oxford University Press|location=New York|year=1986|isbn=0-19-853535-X|언어=en}}
</ref> [[축소 현수]]의 오른쪽 [[수반 함자]]이다.

== 정의 ==
[[점을 가진 공간]] <math>X</math> 위의 '''고리 공간'''은 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 가한, 밑점을 보존하는 [[연속 함수]]들의 공간 <math>\hom_{\operatorname{Top}_\bullet}(\mathbb S^1,X)</math>이며, <math>\Omega X</math>로 쓴다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 '''자유 고리 공간'''({{llang|en|free loop space}})은 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 가한 [[연속 함수]]들의 공간 <math>\hom_{\operatorname{Top}}(\mathbb S^1,X)</math>이며, <math>\mathcal L X</math>로 쓴다.

=== 고리군 ===
{{본문|고리군}}
[[위상군]] <math>G</math>는 항등원 <math>1\in G</math>을 통해 자연스럽게 [[점을 가진 공간]]을 이루며, 그 위의 고리 공간 <math>\Omega G</math> 및 자유 고리 공간 <math>\mathcal LG</math>는 다음과 같이 자연스럽게 [[위상군]]을 이룬다.
:<math>\alpha\beta\colon \theta\mapsto\alpha(\theta)\beta(\theta)</math>
이를 각각 '''고리군'''({{llang|en|loop group}}) 및 '''자유 고리군'''({{llang|en|free loop group}})이라고 한다. 자유 고리군에서 원래 군으로 가는 자연스러운 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{ev}_0\colon\mathcal LG\to G</math>
:<math>\operatorname{ev}_0\colon \alpha\mapsto\alpha(0)</math>
이 존재하며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은 고리군이다.
:<math>\Omega G=\ker\operatorname{ev}_0</math>

=== 유한 에너지 고리의 힐베르트 다양체 ===
<math>M</math>이 (유한 차원) [[리만 다양체]]라고 하자. 그렇다면, 그 위의 고리 공간 위에 일종의 다양체 구조를 주는 것을 생각할 수 있다.

구체적으로, <math>M</math> 위의 고리
:<math>\gamma\colon [0,1]\to M</math>
:<math>\gamma(0) = \gamma(1)</math>
가운데, 일종의 [[소볼레프 공간]] <math>\operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,M)</math>에 속하는 것들을 생각하자. 즉,
:<math>\int_{[0,1]}g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,\mathrm dt < \infty</math>
인 것들을 생각하자. 다시 말해, 이는 유한 에너지 고리들의 공간이다.

그렇다면, 이는 [[힐베르트 다양체]](국소적으로 [[실수 힐베르트 공간]]과 동형인 위상 공간) <math>\mathcal LM</math>을 이룬다.<ref>{{서적 인용|이름=W.|성=Klingensberg|제목=Closed geodesics on Riemannian manifolds|url=https://bookstore.ams.org/cbms-53|총서=CBMS Regional Conference Series in Mathematics|권=53|날짜=1983|언어=en|확인날짜=2018-08-29|보존url=https://web.archive.org/web/20180829212231/https://bookstore.ams.org/cbms-53|보존날짜=2018-08-29|url-status=dead}}</ref> 국소적으로 이는 [[실수 힐베르트 공간]]
:<math>\operatorname L^{1,2}(\mathbb S^1,\mathbb R^{\dim M})</math>
과 동형이다.

또한, 표준적으로
:<math>\mathrm T\mathcal LM \cong \mathcal L\mathrm TM </math>
가 된다.

소볼레프 매장 정리({{llang|en|Sobolev embedding theorem}})에 의하여, 모든 <math>\operatorname L^{1,2}</math> 함수 동치류는 연속 대표원을 갖는다. 즉, 이 공간은 연속 고리들로 구성된 것으로 간주할 수 있으며, 또한 모든 연속 고리들의 공간과 [[호모토피 동치]]이다.

=== 매끄러운 고리들의 프레셰 다양체 ===
<math>M</math>이 (유한 차원) [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면, 그 위의 [[매끄러운 함수]]
:<math>\gamma\colon\mathbb S^1 \to M</math>
들의 공간 <math>\mathcal C^\infty(\mathbb S^1,M)</math>에는 [[프레셰 다양체]] 구조를 줄 수 있다. 이는 국소적으로 [[프레셰 공간]]
:<math>\mathcal C^\infty(\mathbb S,\mathbb R^{\dim M})</math>
과 동형이다.

== 성질 ==
=== 위상수학 ===
고리 공간의 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.
:<math>\pi_{k+1}(X)=\pi_k(\Omega X)</math>
특히, 고리 공간의 [[기본군]]은 항상 [[아벨 군]]이며, [[단일 연결 공간]]의 고리 공간은 항상 [[경로 연결 공간]]이다.

[[에크만-힐튼 쌍대성]]에 의해, 임의의 [[점을 가진 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군의 동형이 존재한다.
:<math>[\Sigma X,Y] \cong [X, \Omega Y] </math>
여기서 <math>\Sigma X</math>는 <math>X</math>의 [[축소 현수]]이며, <math>[-,-]</math>는 연속 함수들의 [[호모토피류]]들의 집합이다.

또한 다음과 같은 자연스러운 [[전단사 함수]]가 존재하지만 이는 [[동형 사상]]은 아니다.
:<math>[X\times\mathbb S^1,Y] \leftrightarrow [X, \mathcal LY] </math>

고리 공간의 임의의 두 원소가 주어지면, 고리를 이어붙이는 [[이항 연산]]
:<math>\Omega X\times\Omega X\to\Omega X</math>
이 존재한다. 이는 일반적으로 [[결합 법칙]]을 따르지 않지만, "호모토피 아래" 결합 법칙을 따른다. 이 연산으로써 고리 공간은 [[A∞-오퍼라드|A<sub>∞</sub>-공간]]을 이룬다.

=== 미분기하학 ===
유한 차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 자유 고리 공간 <math>\mathcal LM</math>을 생각하자. 이 위에는 [[원군]] U(1)이 자연스럽게 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>(\exp(2\pi\mathrm it)\cdot \gamma)(s) = \gamma(s+t)</math>
이는 [[벡터장]]
:<math>X \in \Gamma(\mathrm T\mathcal LM)</math>
을 정의하며, 따라서 미분 형식 위에는 표준적으로 [[내부곱]]
:<math>X\lrcorner \colon \Omega^\bullet(\mathcal LM) \to \Omega^{\bullet-1}(\mathcal LM)</math>
이 존재한다.

고리 공간 위에는 '''천 미분 형식'''({{llang|en|Chen differential form}}) 또는 '''반복 적분'''({{llang|en|iterated integral}})이라는 특별한 [[미분 형식]]들이 존재한다.<ref name="GJP">{{저널 인용|제목=Differential forms on loop spaces and the cyclic bar complex|이름1=Ezra|성1=Getzler|이름2=John D. S.|성2=Jones|이름3=Scott|성3=Petrack|doi=10.1016/0040-9383(91)90019-Z|저널=Topology|날짜=1991-11-03|권=30|호=3|쪽=339–371|언어=en}}</ref> 구체적으로, 유한 차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[미분 형식]]
:<math>\alpha_1,\dotsc,\alpha_k \in \Omega(M)</math>
:<math>\deg \alpha_i = n_i+1</math>
일 때, '''천 미분 형식'''
:<math>\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) \in \Omega^{n_1+\dotsb+n_k+1}(\mathcal LM)</math>
을 정의할 수 있다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k) = \int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}\mathrm dt_1\dotsm\mathrm dt_k 
(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_1}^*\alpha_1)
\wedge
\dotsb\wedge(X\lrcorner\operatorname{ev}_{t_k}^*\alpha_k)
</math>
여기서
* <math>t\in[0,1]</math>에 대하여, 값매김 사상 <math>\operatorname{ev}_t \colon \mathcal LM \to M</math>은 <math>\gamma\mapsto \gamma(t)</math>이다. <math>\operatorname{ev}_t^*</math>은 이에 대한, 미분 형식의 [[당김 (미분기하학)|당김]]이다.
* <math>\textstyle\int\dotsi\int_{0\le t_1\le \dotsb\le t_k\le1}</math>은 <math>k</math>차원 [[단체 (수학)|단체]] <math>\triangle_k</math> 위의 적분이다.
특히, 만약 한 [[1차 미분 형식]] <math>A</math>만이 주어졌을 때, 이는 [[함수]]
:<math>\mathcal LM \to \mathbb R</math>
:<math>\gamma \mapsto \int_\gamma A</math>
에 해당한다.

천 미분 형식은 [[쐐기곱]]과 [[외미분]]에 대하여 닫혀 있다. 구체적으로, 천 미분 형식의 쐐기곱은 다음과 같다.
:<math>\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)\wedge\int(\alpha_{k+1},\dotsc,\alpha_{k+l}) = \sum_{\sigma\in\operatorname{Sh}(k,l)} (-)^\sigma\int(\alpha_{\sigma(1)},\dotsc,\alpha_{\sigma(k+l)})</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sh}(k,l)</math>은 [[셔플 순열]]의 집합이다. 즉, <math>\{1,\dotsc,k+l\}</math>의 순열 가운데 <math>\sigma(1)\le \dotsb\le\sigma(k)</math>이며 <math>\sigma(k+1)\le\dotsb\le\sigma(k+l)</math>인 것이다.
* <math>(-)^\sigma\in\{\pm1\}</math>는 [[순열의 홀짝성]]이다.

천 미분 형식의 [[외미분]]은 다음과 같다.<ref name="GJP"/>{{rp|Proposition 1.6}}
:<math>\mathrm d\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k)
= 
-\sum_{i=1}^k
(-)^{n_1+\dotsb+n_{i-1}}
\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{i-1},\mathrm d\alpha_i,\alpha_{i+1},\dotsc,\alpha_k)
-
\operatorname{ev}_0^*\alpha_1\wedge\int(\alpha_k,\dotsc,\alpha_k)
-(-)^{n_1}\int(\alpha_1\wedge\alpha_2,\alpha_3,\dotsc,\alpha_k)
-(-)^{n_1+n_2}\int(\alpha_1,\alpha_2\wedge\alpha_3,\alpha_4,\dotsc,\alpha_k)
-\dotsb
-(-)^{n_1+\dotsb+n_{k-1}}\left(\int(\alpha_1,\dotsc,\alpha_{k_1})\right)\wedge\operatorname{ev}_1^*\alpha_k
</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Loop space}}
* {{eom|title=Path space}}
* {{매스월드|id=LoopSpace|title=Loop space}}
* {{매스월드|id=PathSpace|title=Path space}}
* {{매스월드|id=May-ThomasonUniquenessTheorem|title=May-Thomason Uniqueness Theorem}}
* {{nlab|id=loop space|title=Loop space}}
* {{nlab|id=free loop space|title=Free loop space}}
* {{nlab|id=path space|title=Path space}}
* {{nlab|id=smooth loop space|title=Smooth loop space}}
* {{nlab|id=loop space object|title=Loop space object}}
* {{nlab|id=free loop space object|title=Free loop space object}}
* {{nlab|id=path space object|title=Path space object}}
* {{nlab|id=derived loop space|title=Derived loop space}}
* {{nlab|id=formal loop space|title=Formal loop space}}
* {{nlab|id=delooping|title=Delooping}}

== 같이 보기 ==
* [[기본군]]
* [[아핀 리 대수]]
* [[현수 (위상수학)]]

[[분류:위상 공간]]
[[분류:호모토피 이론]]