{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''폐포'''(閉包, {{llang|en|closure}})는 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]]을 포함하는 가장 작은 [[닫힌집합]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref> 이는 그 부분 집합의 원소와 [[극한점]]으로 구성된다.<ref name="Munkres" /> <math>A</math>의 폐포는 <math>\operatorname{cl}A</math> 또는 <math>\bar A</math>와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 <math>\operatorname{cl}_{(X,\mathcal T)}A</math> 또는 <math>\operatorname{cl}_XA</math> 또는 <math>\operatorname{cl}_{\mathcal T}A</math>와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 [[거리 함수]] <math>d</math>로 유도되었을 경우 <math>\operatorname{cl}_{(X,d)}A</math> 또는 <math>\operatorname{cl}_dA</math>와 같이 써도 좋다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>이 주어졌다고 하자. 점 <math>x\in X</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>A</math>의 '''폐포점'''(閉包點, {{llang|en|point of closure}})이라고 한다.
* <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>U\cap A\ne\varnothing</math>이다.

만약 <math>x</math>의 [[국소 기저]] <math>\mathcal B</math>가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 폐포점이다.
* 모든 <math>B\in\mathcal B</math>에 대하여, <math>B\cap A\ne\varnothing</math>이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘[[근방]]’을 ‘[[열린 근방]]’으로 대체할 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 '''폐포''' <math>\operatorname{cl}A</math>는 <math>A</math>의 모든 폐포점들의 집합이다.

== 성질 ==
=== 극한점과의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 폐포점이다.
* <math>x\in A</math>이거나, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[극한점]]이다.

즉, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>와 그 [[유도 집합]]의 합집합이다.
:<math>\operatorname{cl}A=A\cup A'</math>

=== 닫힌집합과의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[닫힌집합]]이다.
* <math>\operatorname{cl}A=A</math>
* <math>\operatorname{cl}A\subseteq A</math>
* <math>A'\subseteq A</math>

반대로, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>를 포함하는 모든 [[닫힌집합]]들의 교집합이다. 즉, 이는 <math>A</math>를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

=== 내부·경계와의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 폐포점이다.
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[내부점]]이거나 [[경계점]]이다.
* <math>x</math>는 <math>A</math>의 여집합 <math>X\setminus A</math>의 [[내부점]]이 아니다.

즉, <math>A</math>의 폐포는 <math>A</math>의 여집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 여집합이며, 또한 <math>A</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]와 [[경계 (위상수학)|경계]]의 [[분리 합집합]]이다.
:<math>\operatorname{cl}A=X\setminus\operatorname{int}(X\setminus A)</math>
:<math>\operatorname{cl}A=\operatorname{int}A\sqcup\partial A</math>

반대로, <math>A</math>의 [[경계 (위상수학)|경계]]는 <math>A</math>와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.
:<math>\partial A=\operatorname{cl}A\cap\operatorname{cl}(X\setminus A)</math>

=== 항등식 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>A,B\subseteq X</math> 및 집합족 <math>\mathcal A</math>에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.
:<math>\operatorname{cl}\varnothing=\varnothing</math>
:<math>\operatorname{cl}X=X</math>
:<math>\operatorname{cl}(A\cup B)=\operatorname{cl}A\cup\operatorname{cl}B</math>
:<math>\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)\supseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A</math>
:<math>\operatorname{cl}\left(\bigcap\mathcal A\right)\subseteq\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A</math>
또한, 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[국소 유한 집합족]]이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{cl}\left(\bigcup\mathcal A\right)=\bigcup_{A\in\mathcal A}\operatorname{cl}A</math>
즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하며, 보다 일반적으로 국소 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 유한·무한 교집합은 일반적으로 보존하지 않는다.
{{증명|제목=반례}}
표준적인 위상을 갖춘 [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.
:<math>A_n=(1/n,1)\qquad(n\in\mathbb Z^+)</math>
:<math>A=(0,1)</math>
:<math>B=(1,2)</math>
그렇다면, <math>A_n</math>의 합집합 <math>(0,1)</math>의 폐포 <math>[0,1]</math>는 <math>A_n</math>의 폐포 <math>[1/n,1]</math>의 합집합 <math>(0,1]</math>을 진부분 집합으로 포함한다. 또한, <math>A</math>와 <math>B</math>의 교집합의 폐포는 [[공집합]]이며, 이는 <math>A</math>의 폐포 <math>[0,1]</math>와 <math>B</math>의 폐포 <math>[1,2]</math>의 교집합 <math>\{1\}</math>의 진부분 집합이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]]의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

=== 비이산 공간 ===
[[비이산 공간]]의 [[공집합]]이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

=== 열린 공 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}</math>에 대하여, ([[노름 위상]]을 갖춘) <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] 위의 [[열린 공]]
:<math>\operatorname{ball_{open}}(0,1)=\{v\in V\colon\Vert v\Vert<1\}</math>
의 폐포는 [[닫힌 공]]
:<math>\operatorname{cl}(\operatorname{ball_{open}}(0,1))=\operatorname{ball_{closed}}(0,1)=\{v\in V\colon\Vert v\Vert\le 1\}</math>
이다. 일반적인 [[거리 공간]]의 경우, 열린 공은 항상 [[열린집합]]이며, 닫힌 공은 항상 [[닫힌집합]]이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, [[이산 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위에서, <math>x</math>를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ball_{open}}(x,1)=\{x\}</math>
:<math>\operatorname{ball_{closed}}(x,1)=X</math>
하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약 <math>|X|\ge 2</math>인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

=== 갈루아 군 ===
[[갈루아 확대]] <math>L/K</math>의 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>은 [[사유한군]]이며, 이 위에 사유한 위상을 줄 수 있다. 이 경우, 임의의 [[부분군]] <math>H\le\operatorname{Gal}(L/K)</math>의 폐포는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{cl}H=\operatorname{Gal}(L/L^H)</math>
여기서
:<math>L^H=\{a\in L\colon h(a)=a\forall h\in H\}</math>
는 <math>H</math>가 고정하는 체의 원소들로 구성된 부분 확대이다.

=== 균등 공간 ===
([[균등 위상]]을 갖춘) [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>의 폐포는 <math>A</math>의 [[대칭 관계|대칭]] 측근들에 대한 [[상 (수학)|상]]들의 교집합과 같다.<ref name="James">{{서적 인용
|성=James
|이름=I. M.
|제목=Topological and Uniform Spaces
|언어=en
|총서=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York, NY
|날짜=1987
|isbn=978-1-4612-9128-2
|issn=0172-6056
|doi=10.1007/978-1-4612-4716-6
|zbl=0625.54001
}}</ref>{{rp|104, Corollary 8.10}}
:<math>\operatorname{cl}A=\bigcap_{E=E^{-1}\in\mathcal E}\{y\colon\exist x\in A\colon(x,y)\in E\}</math>
{{증명}}
임의의 측근 <math>E\in\mathcal E</math>에 대하여, <math>F=E\cap E^{-1}\subseteq E</math>는 측근이며, <math>F=F^{-1}</math>이다. 따라서, 임의의 <math>y\in X</math>에 대하여,
:<math>\{\{x\colon(y,x)\in E\}\colon E=E^{-1}\in\mathcal E\}</math>
은 <math>x</math>의 [[국소 기저]]를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}\operatorname{cl}A
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies\{x\colon(y,x)\in E\}\cap A\ne\varnothing\} \\
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies(\exist x\in A\colon(y,x)\in E)\} \\
& =\{y\in X\colon\forall E\in\mathcal E\colon E=E^{-1}\implies(\exist x\in A\colon(x,y)\in E)\} \\
& =\bigcap_{E=E^{-1}\in\mathcal E}\{y\colon\exist x\in A\colon(x,y)\in E\}
\end{align}</math>
{{증명 끝}}

=== 스콧 위상 ===
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math> 위에 [[스콧 위상]]을 주었을 때, [[한원소 집합]]의 폐포는 그 [[하폐포]]이다.<ref name="Gierz">{{서적 인용
|이름1=Gerhard
|성1=Gierz
|이름2=Karl
|성2=Hofmann
|이름3=Klaus
|성3=Keimel
|이름4=Jimmie
|성4=Lawson
|이름5=Michael
|성5=Mislove
|이름6=Dana S.
|성6=Scott
|저자링크6=데이나 스콧
|제목=Continuous lattices and domains
|언어=en
|총서=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
|권=93
|출판사=Cambridge University Press
|위치=Cambridge
|날짜=2003
|isbn=978-0-521-80338-0
|doi=10.1017/CBO9780511542725
|mr=1975381
|zbl=1088.06001
}}</ref>{{rp|Remark II-1.4}}
:<math>\operatorname{cl}\{a\}=\mathop\downarrow a</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Closure of a set}}
* {{매스월드|id=TopologicalClosure|제목=Topological closure}}
* {{플래닛매스|urlname=Closure|title=Closure}}

[[분류:폐포 연산자]]
[[분류:일반위상수학]]