{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''K이론'''(K理論, {{llang|en|K-theory}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 또는 [[스킴 (수학)|스킴]] 위에 존재하는 [[벡터 다발]] 또는 [[연접층]]을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. [[기하학]]과 [[위상수학]], [[대수학]], [[수론]]과 관련 있다.

K이론은 위상 공간 또는 스킴에서 관련 환으로 사상하는 ''K''[[함자 (수학)|함자]] 계열의 구성을 포함한다. 이 환은 원래 공간이나 스킴의 구조의 일부 측면을 반영한다. 대수적 위상수학에서 [[군 (수학)|군]]에 대한 함자와 마찬가지로 이 함자 사상의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 사상된 환에서 일부 위상 성질을 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-이론 접근법에서 얻은 결과의 예로는 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]], 보트 주기성, [[아티야-싱어 지표 정리]] 및 애덤스 연산이 있다.

수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 [http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html?t=19-XX 19].

== 그로텐디크 완비화 ==
[[모노이드|아벨 모노이드]]의 그로텐디크 완비화는 K이론을 정의하는 데 필수적인 과정이다. K이론의 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적인 구성을 통해 이를 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 아벨 모노이드 <math>(A,+')</math>에 대해 <math>a_1 +' b_2 +' c = a_2 +' b_1 +' c</math>인 <math>c\in A</math>가 존재하는 경우, <math>\sim</math> 를 <math>A^2 = A \times A</math>에서 정의된 관계

: <math>(a_1,a_2) \sim (b_1,b_2)</math>

라 하자. 그렇게 그런 다음 집합 <math>G(A) = A^2/\sim</math>는 [[군 (수학)|군]] 구조 <math>(G(A),+)</math>를 가지고 있다. 여기서,

: <math> [(a_1,a_2)] + [(b_1,b_2)] = [(a_1+' b_1,a_2+' b_2)].</math>

이 군의 동치류는 아벨 모노이드 원소의 형식적 차(差)로 생각해야 한다. 이 군 <math>(G(A),+)</math>은 또한 <math>a \mapsto [(a, 0)]</math>로 주어진 모노이드 준동형사상 <math>i : A \to G(A)</math>과 관련이 있다. 이는 [[그로텐디크 군|보편 성질]]을 가지고 있다.

이 군을 더 잘 이해하려면 아벨 모노이드 <math>(A,+)</math>의 몇 가지 [[동치류]]를 고려하면 된다.  여기서 <math>A</math>의 항등원을 <math>0</math>으로 적어서<math>[(0,0)]</math>가  <math>(G(A),+)</math>의 항등원이도록 한다. 첫 번째로, <math>c = 0</math>으로 설정할 수 있고 동치 관계에서 방정식을 적용하여 <math>n = n</math>를 얻을 수 있기 때문에  <math>\forall n\in A</math>, <math>(0,0) \sim (n,n)</math>이다. 이것은

: <math>[(a,b)] + [(b,a)] = [(a+b,a+b)] = [(0,0)]</math>

를 의미한다. 따라서 <math>G(A)</math>의 각 원소에 대한 [[덧셈]] 역원을 가지고 있다. 이것은 동치류 <math>[(a,b)]</math>를 형식적 차 <math>a-b</math>로 생각해야 한다는 힌트를 제공 한다.  또 다른 유용한 관찰은 스케일링에서 동치류의 불변성이다.

: <math>(a,b) \sim (a+k,b+k)</math> <math>\forall k \in A.</math>

그로텐디크 완비화는 [[함자 (수학)|함자]] <math>G:\mathbf{AbMon}\to\mathbf{AbGrp}</math>로 볼 수 있다.  해당 [[건망증 펑터|망각 함자]] <math>U:\mathbf{AbGrp}\to\mathbf{AbMon}</math>에 인접하게 남겨지는 성질이 있다. 즉, 아벨 모노이드 <math>A</math>에서 아벨 군 <math>B</math>의 기저 아벨 모노이드로 가는 사상 <math>\phi:A \to U(B)</math>가 주어졌을 때, 유일한 아벨 군 사상 <math>G(A) \to B</math>이 존재한다.

=== 자연수 구조의 예시 ===
살펴볼 예가 되는 예는 <math>\N</math>의 그로텐디크 완비화이다.  <math>G((\N,+)) = (\Z,+)</math>을 볼 수 있다. 모든 쌍 <math>(a,b)</math>에 대해 스케일링에서 불변성을 사용하여 극소 대표원 <math>(a',b')</math>을 찾을 수 있다. 예를 들어 스케일링 불변성에서 다음을 확인할 수 있다.

: <math>(4,6) \sim (3,5) \sim (2,4) \sim (1,3) \sim (0,2)</math>

일반적으로 <math>k := \min\{a,b\}</math>이다. 그러면,

: <math>(a,b) \sim (a-k,b-k)</math> 형식인 것 <math>(c,0)</math> 또는 <math>(0,d).</math>

이것은 <math>(a,0)</math>를 양의 정수로 <math>(0,b)</math>를 음의 정수로 생각해야 함을 보여준다.

== 정의 ==
K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 ([[그로텐디크 군]]을 취하면) 자연스럽게 [[아벨 군]]을 이룬다. 이 군들을 '''K군'''(K群, {{llang|en|K-group}})이라고 하고, <math>K_n(M)</math>과 같이 쓴다. 여기서 <math>M</math>은 다루는 기하학적 대상이고, <math>n</math>은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. <math>K_n</math>은 [[아벨 군]]의 [[범주 (수학)|범주]]로의 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.

K이론에는 [[위상 K이론]], [[대수적 K이론]], [[작용소 K이론]] 등이 있다. [[위상 K이론]]은 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위에 존재하는 [[벡터 다발]]들을 다룬다. [[대수적 K이론]]은 [[환 (수학)|환]] 위에 존재하는 특정한 [[호모토피]] 이론적 구조들을 다룬다. (이는 [[스킴 (수학)|스킴]] 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 [[연접층]]으로 생각할 수 있다.) [[작용소 K이론]]은 [[C* 대수]] 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 [[비가환 기하학]]을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 [[에일렌베르크-스틴로드 공리]]에 따라, 특수(extraordinary) [[코호몰로지]] 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 [[코호몰로지]]의 성질들을 만족시킨다.

=== 콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 그로텐디크 군 ===
주어진 콤팩트 [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대해 <math>X</math> 위의 유한 차원 선형 다발의 동치류 집합 <math>\text{Vect}(X)</math>을 고려하자. 선형 다발 <math>\pi:E \to X</math>의 동형사상 동치류 <math>[E]</math>를 보자. 선형 다발의 동치류에 대해 직합이 잘 정의되므로 동치류에 다음과 같이 연산을 작성할 수 있다.

: <math>[E]\oplus[E'] =[E\oplus E'] </math>

<math>(\text{Vect}(X),\oplus)</math>는 자명한 선형 다발 <math>\R^0\times X \to X</math>에 의해 단위가 주어지는 아벨 모노이드이다. 그런 다음 그로텐디크 완비화을 적용하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 군 을 얻을 수 있다. 이를 <math>X</math>의 K-이론이라하고 <math>K^0(X)</math>로 적는다.

[[세르-스완 정리]]와 어떤 대수를 사용하여 연속 복소 함수 환 <math>C^0(X;\Complex)</math>에 대한 선형 다발의 [[사영 가군]] 설명을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 행렬환 <math>M_{n\times n}(C^0(X;\Complex))</math>에서 [[멱등법칙|멱등]] 행렬로 식별될 수 있다.   멱등 행렬의 동치류를 정의하고 아벨 모노이드 <math>\textbf{Idem}(X)</math>를 형성할 수 있다. 이의 그로텐디크 완비화도 <math>K^0(X)</math>라고 한다. 위상 공간에 대한 그로텐디크 군을 계산하는 주요 기술 중 하나는 아티야–히르체부르흐 스펙트럼 열에서 가져오므로 아주 쉽게 접근할 수 있다. 이 스펙트럼 열를 이해하는 데 필요한 유일한 계산은 구 <math>S^n</math>에 대해 군 <math>K^0</math>을 계산하는 것이다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/227161674|제목=Complex topological K-theory|성=Park, Efton.|날짜=2008|출판사=Cambridge University Press|위치=Cambridge|isbn=978-0-511-38869-9|oclc=227161674}}</ref> <sup>페이지 51-110</sup>

=== 대수 기하학에서 선형 다발의 그로텐디크 군 ===
[[대수기하학|대수 기하학]]에서 선형 다발을 고려하여 유사한 구성이 있다. [[뇌터 스킴]] <math>X</math>에 대해, <math>X</math> 위의 [[연접층|대수적 선형 다발]]의 모든 동치류 집합 <math>\text{Vect}(X)</math>가 있다. 그런 다음 이전과 같이 직합 <math>\oplus</math>이 선형 다발의 동형사상 동치류는 잘 정의되어 있으며, 아벨 모노이드 <math>(\text{Vect}(X),\oplus)</math>를 제공한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 구성을 적용하여 그로텐디크 군 <math>K^0(X)</math>이 정의된다.

=== 대수기하학에서 연접층의 그로텐디크 군 ===
대수기하학에서는 동일한 구성을 매끄러운 스킴를 통해 대수 선형 다발에 적용할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 <math>X</math>에 대한 대안적 구성이 있다. [[연접층]] <math>\operatorname{Coh}(X)</math>의 동치류를 보면, [[완전열|짧은 완전열]]

: <math>0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}'' \to 0.</math>

이 있는 경우 관계 <math>[\mathcal{E}] = [\mathcal{E}'] + [\mathcal{E}'']</math>에 의해 수정할 수 있다. 이것은 그로텐디크 군 <math>K_0(X)</math>을 제공한다.  만약에 <math>X</math>가 매끄러우면 이는 <math>K^0(X)</math>과 동형이다. 군 <math>K_0(X)</math>에는 환 구조도 있기 때문에 특별하다. 그것을 다음과 같이 정의한다.

: <math>[\mathcal{E}]\cdot[\mathcal{E}'] = \sum(-1)^k \left [\operatorname{Tor}_k^{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{E}') \right ].</math>

[[그로텐디크-리만-로흐 정리]]를 사용하면

: <math>\operatorname{ch} : K_0(X)\otimes \Q \to A(X)\otimes \Q</math>

는 환 동형사상이다. 따라서 교차 이론에 대해 <math>K_0(X)</math>를 사용할 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://library.msri.org/books/sga/sga/6/6t_519.html|제목=SGA 6 - Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres|성=Grothendieck|확인날짜=2023-06-29|archive-date=2023-06-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20230629053130/http://library.msri.org/books/sga/sga/6/6t_519.html|url-status=}}</ref>

== 역사 ==
K이론은 [[알렉산더 그로텐디크]]가 1957년에 [[리만-로흐 정리]]와 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]를 확장한 [[그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리]]를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 {{llang|de|Klasse|클라세}}의 약자로, [[특성류]]를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 [[대수적 K이론]]에서의 <math>K_0</math>에 해당한다.

그로텐디크는 [[대수다양체|대수적 다형체]] <math>X</math>에서 [[연접층]]으로 작업해야 했다. 층으로 직접 작업하는 대신, 그는 층의 동치류를 군의 생성원으로 사용하여 군을 정의했으며, 두 층의 확장을 그들의 합으로 식별하는 관계에 따라 달라졌다. 결과로 나온 군은 [[연접층|국소 자유 층]]만 사용되는 경우 <math>K(X)</math>로, 모두 연접층인 경우 <math>G(X)</math>로 불린다. 이 두 구성 중 하나를 [[그로텐디크 군]]이라고 한다. <math>K(X)</math>는 [[코호몰로지]]적 행동을 하고 <math>G(X)</math>는 [[호몰로지]]적 행동을 한다.

''<math>X</math>''가 [[매끄러운 스킴|매끄러운 다형체]]인 경우 두 군은 동일하다. ''<math>X</math>''가 매끄러운 아핀 다형체이라면, 국소적으로 자유 층의 모든 확장이 분할되므로 군은 대체적 정의를 갖는다.

[[위상수학]]에서는 [[벡터 다발|선형 다발]]에 동일한 구성을 적용하여 1959년에 [[마이클 아티야]] 와 [[프리드리히 히르체브루흐]]가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대해 <math>K(X)</math>를 정의하고 보트 주기성 정리를 사용하여 이를 [[코호몰로지|놀라운 코호몰로지 이론]]의 기초로 삼았다. 그것은 [[아티야-싱어 지표 정리]] (1962년경)의 두 번째 증명에서 중요한 역할을 했다. 게다가 이 접근법은 [[C* 대수|C*-대수]]에 대한 비가환 K-이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 [[장피에르 세르]]는 [[사영 가군]]이 있는 [[벡터 다발|선형 다발]]의 유추를 사용하여 [[다항식환|다항식 환]] 위에 유한하게 생성된 모든 사영 가군이 [[자유 가군]]이라는 [[퀼렌–수슬린 정리|세르 추측]]을 공식화했다. 이 주장은 맞지만 20년이 지나도록 해결되지 않았다. ([[세르-스완 정리|스완 정리]]는 이 비유의 또 다른 측면이다.)

대수적 K이론의 다른 역사적 기원은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드|화이트헤드]]와 다른 사람들의 작업이다.

[[대수적 K이론|고차 K이론 함자]]에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 기간이 뒤따랐다. 마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 사용하여 [[대니얼 퀼런]]이 두 가지 유용하고 동등한 정의를 제공했다. pseudo-isotopies 연구와 관련된 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 변형을 제공했다. 더 높은 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수 기하학 및 [[모티브 코호몰로지|동기 코호몰로지]] 연구와 관련이 있다. 1973년에 [[대니얼 퀼런]]이 고차 대수적 K군(<math>K_3</math>, <math>K_4</math>, …)을 정의하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972|last=Quillen|first=Daniel|저자링크=대니얼 퀼런|year=1973|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=341|publisher=Springer|location=Berlin, New York|pages=85–147|언어=en|장=Higher algebraic K-theory: I|doi=10.1007/BFb0067053|isbn=978-3-540-06434-3|issn=0075-8434|mr=0338129}}</ref>

보조 [[이차 형식]]을 포함하는 해당 구성은 L-이론으로 불린다. 그것은 [[수술 (수학)|수술 이론]]의 주요 도구이다.<ref>by Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), and [[Greg Moore (physicist)|Gregory Moore]] in [[arxiv:hep-th/9710230|K-theory and Ramond–Ramond Charge]].</ref>

[[끈 이론]]에서 [[라몽-라몽 장|라몬드-라몬드 장]] 강도와 안정적인 [[D-막]]의 전하의 K-이론 분류는 1997년에 처음 제안되었다. [[끈 이론]]의 [[D-막]]들이 [[시공간]]의 [[위상 K이론]]으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.<ref>{{저널 인용|제목=Constructing D-branes from ''K''-theory|이름=Kasper|성=Olsen|공저자=Richard J. Szabo|arxiv=hep-th/9907140|bibcode=1999hep.th....7140O|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|권=3|쪽=889–1025|날짜=1999|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Overview of ''K''-theory applied to strings|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|bibcode=2001IJMPA..16..693W|doi=10.1142/S0217751X01003822|arxiv=hep-th/0007175|issn= 0217-751X |저널=International Journal of Modern Physics A|권=16|호=5|쪽=693–706 |날짜=2001|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0610328|bibcode=2006hep.th...10328E|언어=en|성=Evslin|이름=Jarah|제목=What does(n’t) ''K''-theory classify?|날짜=2006}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0809.3029|bibcode=2008arXiv0809.3029S|언어=en|제목=D-branes and bivariant ''K''-theory|성=Szabo|이름=Richard J.|날짜=2008}}</ref>

== 예 및 성질 ==
=== 체의 K<sub>0</sub> ===
그로텐디크 군의 가장 쉬운 예는 체 <math>\mathbb{F}</math>에 대한 점 <math>\text{Spec}(\mathbb{F})</math>의 그로텐디크 군이다. 이 공간 위의 선형 다발은 유한 차원 선형 공간이며, 이는 연접층 범주의 자유 대상이므로 사영이므로 동치류의 모노이드는 <math>\N</math>과 같고  선형 공간의 차원에 해당한다. 이 그로텐디크 군이 <math>\Z</math>이라는 것을 보이는 것은 쉬운 연습이다.

=== 체에 대한 아틴 대수의 K<sub>0</sub> ===
[[뇌터 스킴]] <math>X</math>의 그로텐디크 군의 중요한 성질 중 하나는 그것은 축소 하에서 불변이라는 것이다. 즉, <math>K(X) = K(X_{\text{red}})</math>.<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/77089/grothendieck-group-for-projective-space-over-the-dual-numbers|제목=Grothendieck group for projective space over the dual numbers|웹사이트=mathoverflow.net|확인날짜=2017-04-16}}</ref> 따라서 [[아르틴 환|아틴]] <math>\mathbb{F}</math>-대수의 그로텐디크 군은 <math>\Z</math>들의 직합이다. 이때 <math>\Z</math>는 스펙트럼의 연결성분 당 하나씩이다. 예를 들어,<math display="block">K_0 \left(\text{Spec}\left(\frac{\mathbb{F}[x]}{(x^9)}\times\mathbb{F}\right)\right) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}</math>

=== 사영 공간의 K<sub>0</sub> ===
그로텐디크 군의 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 체 위의 사영 공간 <math>K(\mathbb{P}^n)</math>에 대한 계산이다. 이것은 사영 공간 <math>X</math>의 교차수를 매장 <math>i:X \hookrightarrow \mathbb{P}^n </math>과 밂 당김 공식 <math>i^*([i_*\mathcal{E}]\cdot [i_*\mathcal{F}])</math>을 사용하여 계산할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 <math>K(X)</math>의 원소를 사용하여 구체적인 계산을 수행할 수 있다. 왜냐하면<math display="block">K(\mathbb{P}^n) = \frac{\mathbb{Z}[T]}{(T^{n+1})}</math>이므로 구조를 명시적으로 알 필요 없기 때문이다<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/77089/grothendieck-group-for-projective-space-over-the-dual-numbers|제목=kt.k theory and homology - Grothendieck group for projective space over the dual numbers|웹사이트=MathOverflow|확인날짜=2020-10-20}}</ref>. <math>\mathbb{P}^n</math>의 그로텐디크 군을 결정하는 한 가지 기법은  다음과 같은 계층화에서 비롯된다.<math display="block">\mathbb{P}^n = \mathbb{A}^n \coprod \mathbb{A}^{n-1} \coprod \cdots \coprod \mathbb{A}^0</math>아핀 공간에 대한 연접층의 그로텐디크 군은 <math>\mathbb{Z}</math>와 동형이기 때문에  <math>\mathbb{A}^{n-k_1},\mathbb{A}^{n-k_2}</math>의 교집합은  일반적으로 <math>k_1 + k_2 \leq n</math>에 대해<math display="block">\mathbb{A}^{n-k_1} \cap \mathbb{A}^{n-k_2} = \mathbb{A}^{n-k_1-k_2} </math>

=== 사영 다발의 K<sub>0</sub> ===
그로텐디크 군에 대한 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식이다.<ref>{{저널 인용|제목=Lectures on the K-functor in algebraic geometry|저널=Russian Mathematical Surveys|성=Manin|이름=Yuri I|저자링크=Yuri Manin|날짜=1969-01-01|권=24|호=5|쪽=1–89|언어=en|bibcode=1969RuMaS..24....1M|doi=10.1070/rm1969v024n05abeh001357|issn=0036-0279}}</ref> 주어진 랭크 <math>r</math> 선형 다발 <math>\mathcal{E}</math> 뇌터 스킴 <math>X</math>을 통해, 사영 다발의 그로텐디크 군 <math>\mathbb{P}(\mathcal{E})=\operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}^\bullet(\mathcal{E}^\vee))</math>는 기저가<math>1,\xi,\dots,\xi^{n-1}</math>인 랭크 ''<math>r</math>'' 자유 <math>K(X)</math>-가군이다. 이 공식을 사용하면 <math>\mathbb{P}^n_\mathbb{F}</math>의 그로텐디크 군을 계산할 수 있다. 이렇게 하면 <math>K_0</math> 또는 히르체부르흐 곡면을 계산할 수 있다. 또한 이것이 체 <math>\mathbb{F}</math> 위의 사영 다발임을 관찰함으로써 그로텐디크 군 <math>K(\mathbb{P}^n)</math>을 계산하는 데 사용할 수 있다.

=== 특이 공간의 K<sub>0</sub>와 분리된 몫 특이점이 있는 공간 ===
<math>K^0(X)</math>와  <math>K_0(X)</math>의 차이를 계산하는데서 오는 사소한 특이점을 가진 공간의 그로텐디크 군을 계산하는 최근 기법 중 하나는, 이는 모든 선형 다발이 연접층으로 동등하게 설명될 수 있다는 사실에서 비롯된다. 이것은 유도된 비가환 대수 기하학 에서 [[Singularity category|Singularity 범주]] <math>D_{sg}(X)</math>의 그로텐디크 군을 사용하여 수행된다.<ref>{{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/133383/is-the-algebraic-grothendieck-group-of-a-weighted-projective-space-finitely-gene|제목=ag.algebraic geometry - Is the algebraic Grothendieck group of a weighted projective space finitely generated ?|웹사이트=MathOverflow|확인날짜=2020-10-20}}</ref><ref name=":0">{{저널 인용|제목=K-theory and the singularity category of quotient singularities|저널=Annals of K-Theory|성=Pavic|이름=Nebojsa|성2=Shinder|이름2=Evgeny|연도=2021|권=6|호=3|쪽=381–424|arxiv=1809.10919|doi=10.2140/akt.2021.6.381}}</ref>. 다음으로 시작하는 긴 완전열을 제공한다.<math display="block">\cdots \to K^0(X) \to K_0(X) \to K_{sg}(X) \to 0 </math>여기서 고차 항은 [[대수적 K이론|고차 K-이론]]에서 나온다. 매끄러운 영점 <math>X_{sm} \hookrightarrow X</math>들 위의 선형 다발 <math>E \to X_{sm}</math>로 제공된 특이한 <math>X</math>의 선형 다발에 유의하자. 이것은 일반적으로 분리된 몫 특이점을 가지기 때문에 가중 사영 공간에서 그로텐디크 군을 계산하는 것을 가능하게 한다. 특히 이러한 특이점에 등방 군 <math>G_i</math>들이 있는 경우, 사상<math display="block">K^0(X) \to K_0(X) </math>는 단사이고 여핵은 <math>n = \dim X</math>인 <math>\text{lcm}(|G_1|,\ldots, |G_k|)^{n-1}</math>에 의해 소멸된다.<ref name=":0" /> <sup>3페이지</sup>

=== 매끄러운 사영 곡선의 K <sub>0</sub> ===
매끄러운 사영 곡선 <math>C</math>에 대해, <math>C</math>의 [[피카르 군]]의 그로텐디크 군은<math display="block">K_0(C) = \mathbb{Z}\oplus\text{Pic}(C) </math>이는 [[대수적 K이론|대수적 K-이론]]의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 열<ref name=":1">{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/624583210|제목=Algebraic K-theory|성=Srinivas, V.|날짜=1991|출판사=Birkhäuser|위치=Boston|isbn=978-1-4899-6735-0|oclc=624583210}}</ref> <sup>72쪽</sup>에서 유래한다. 체에 대한 유한 유형의 정규 스킴의 경우, 여차원 <math>p</math>인 부분 스킴 <math>x: Y \to X</math>들의 집합을 의미하는 여차원 <math>p</math>인 점들의 집합 <math>X^{(p)}</math>에 대해 수렴 스펙트럼 열이 있다.<math display="block">E_1^{p,q} = \coprod_{x \in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x)) \Rightarrow K_{-p-q}(X)</math>여기서 <math>k(x)</math>는 부분 스킴의 대수적 함수체이다. 이 스펙트럼 열은 성질<ref name=":1" /> <sup>pg 80</sup><math display="block">E_2^{p,-p} \cong \text{CH}^p(X)</math>을 가진다. <math>X</math>의 저우 환의 경우, 본질적으로 <math>K_0(C)</math>의 계산을 제공한다. 왜냐하면 <math>C</math>가 여차원 <math>2</math>인 점을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 열의 유일한 중요하지 않은 부분은 <math>E_1^{0,q},E_1^{1,q}</math>이다. 따라서<math display="block">\begin{align}
E_\infty^{1,-1}\cong E_2^{1,-1} &\cong \text{CH}^1(C) \\
E_\infty^{0,0} \cong E_2^{0,0} &\cong \text{CH}^0(C)
\end{align} </math>그런 다음 [[Coniveau filtration|coniveau 여과]]를 사용하여 <math>K_0(C)</math>을 완전열<math display="block">0 \to F^1(K_0(X)) \to K_0(X) \to K_0(X)/F^1(K_0(X)) \to 0 </math>을 제공하므로 원하는 명시적 직합으로 결정할 수 있다. 여기서 왼쪽 항은 <math> \text{CH}^1 (C) \cong \text{Pic}(C)</math>과 동형이다. 오른쪽 항은 <math>CH^0(C) \cong \mathbb{Z}</math>과 동형이다.  <math>\text{Ext}^1_{\text{Ab}}(\mathbb{Z},G) = 0</math>이므로, 동형사상을 제공하는 분리 위의 아벨 군의 열를 가진다. 만약 <math>C</math>가 <math>\mathbb{C}</math> 위의 종수 <math>g</math>의 매끄러운 사영 곡선이면,<math display="block">K_0(C) \cong \mathbb{Z}\oplus(\mathbb{C}^g/\mathbb{Z}^{2g}). </math>또한, 고립된 특이점에 대해 유도된 특이점 범주를 사용하는 위의 기술은 고립된 [[코언-매콜리 환|코언-매콜리]] 특이점으로 확장되어 모든 특이 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기술을 제공한다. 축소는 일반적으로 매끄러운 곡선을 제공하고 모든 특이점은 코언-매콜리이기 때문이다.

== 응용 ==
=== 가상 다발 ===
그로텐디크 군의 유용한 응용 중 하나는 가상 선형 다발을 정의하는 것이다. 예를 들어 매끄러운 공간을 삽입한 경우 <math>Y \hookrightarrow X</math> 짧은 완전열이 있다.

: <math> 0 \to \Omega_Y \to \Omega_X|_Y \to C_{Y/X} \to 0</math>

여기서 <math>C_{Y/X}</math>는 <math>X</math>에서 <math>Y</math>의 여법 다발이다. 특이 공간 <math>Y</math>이 있다면  매끄러운 공간 <math>X</math>에 묻힌 가상 여법 다발을 다음과 같이 정의한다.

: <math>[\Omega_X|_Y] - [\Omega_Y]</math>

가상 다발의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접다발의 정의이다. <math>Y_1,Y_2\subset X</math>를 매끄러운 사영 다형체의 사영 부분 다형체이라 하자. 그런 다음 교집합 <math>Z = Y_1\cap Y_2</math>의 가상 접다발을 정의할 수 있다.

: <math> [T_Z]^{vir} = [T_{Y_1}]|_Z + [T_{Y_2}]|_Z - [T_{X}]|_Z.</math>

콘세비치는 그의 논문 중 하나에서 이 구성을 사용한다.<ref>{{인용|url=Maxim Kontsevich|출판사=Birkhäuser Boston}}</ref>

=== 천 특성 ===
[[천 특성류]]는 공간의 [[위상 K이론|위상 K-이론]]에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환의 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 선다발 <math>L</math>의 경우 천 특성 ch는 다음과 같이 정의된다.

: <math>\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}.</math>

더 일반적으로, 만약 <math>V = L_1 \oplus \dots \oplus L_n</math> 첫 번째 천 특성류 <math>x_i = c_1(L_i)</math>가 있는 선다발의 직합이다.  천 특성은 가법적으로 정의된다.

: <math> \operatorname{ch}(V) = e^{x_1} + \dots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \dots + x_n^m). </math>

천 특성은 [[텐서]] 곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 천 특성는 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리|히르체부르흐-리만-로흐 정리]]에서 사용된다.

== 등변 K-이론 ==
등변 대수적 K-이론은 범주와 관련된 [[대수적 K이론|대수적 K-이론]]이다. <math>\operatorname{Coh}^G(X)</math> 대수적 스킴에서 등변 연접층 <math>X</math> 선형 대수 군 <math>G</math>의 작용으로, 퀼런의 Q-구성을 통해; 따라서 정의에 따라

: <math>K_i^G(X) = \pi_i(B^+ \operatorname{Coh}^G(X)).</math>

특히, <math>K_0^G(C)</math>는 <math>\operatorname{Coh}^G(X)</math>의 [[그로텐디크 군]]이다. 이 이론은 1980년대에 토마슨에 의해 개발되었다.<ref>Charles A. Weibel, [https://www.ams.org/notices/199608/comm-thomason.pdf Robert W. Thomason (1952–1995)].</ref> 구체적으로 그는 국소화 정리와 같은 기본 정리의 등변적으로 유사한 명제를 증명했다.

== 같이 보기 ==
* [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]
* 보트 주기성
* KK 이론
* [[KR이론|KR-이론]]
* 코호몰로지 이론 목록
* [[대수적 K이론|대수적 K-이론]]
* [[위상 K이론|위상 K-이론]]
* [[작용소 K이론|연산자 K 이론]]
* [[물리학에서 K이론]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=''K''-theory past and present|이름=Michael|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|arxiv=math/0012213|bibcode=2000math.....12213A|언어=en|zbl=1061.19500|mr=2091892|제목=Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. Jahrgänge 1997–2000|출판사=Berliner Mathematische Gesellschaft|위치=Berlin|날짜= 2001|쪽=411–417}}
* {{저널 인용|제목=18 lectures on ''K''-Theory|이름=Ioannis P.|성=Zois|arxiv=1008.1346|bibcode=2010arXiv1008.1346Z|날짜=2010-08|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Algebraic v. topological ''K''-theory: a friendly match|이름=Guillermo|성=Cortiñas
|제목=Topics in algebraic and topological ''K''-theory|총서=Springer Lecture Notes in Mathematics|권=2008|쪽=103–165|doi=10.1007/978-3-642-15708-0_3|arxiv=0903.3983|bibcode=2009arXiv0903.3983C|isbn=978-3-642-15707-3|출판사=Springer|위치=Berlin|날짜=2011|언어=en|zbl=1216.19002|mr=2762555}}
* {{서적 인용|제목=The K-book: an introduction to algebraic K-theory|이름=Charles A.|성=Weibel|isbn=978-0-8218-9132-2|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, Rhode Island|날짜=2013-05-18|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=145|url=https://math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html|언어=en|zbl=pre06123945 }}
*{{서적 인용 | 성=Karoubi | 이름=Max | 제목=''K''-theory: an introduction. Reprint of the 1978 edition with a new postface by the author and a list of errata|출판사=Springer | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-79889-7 | mr=2458205 | year=2008 | zbl = 1153.55005|총서=Classics in Mathematics|언어=en}}
* {{서적 인용|장=''K''-theory. An elementary introduction|이름=Max|성=Karoubi|arxiv=math/0602082|bibcode=2006math......2082K|날짜=2010|언어=en|mr=2655179|zbl=1196.19001|isbn=978-1-57146-144-5|제목= Cohomology of groups and algebraic ''K''-theory. Selected papers of the international summer school on cohomology of groups and algebraic ''K''-theory, Hangzhou, China, July 1–3, 2007|출판사=International Press|총서=Advanced Lectures in Mathematics|권=12|쪽=197–215}}
* {{저널 인용|제목=An introduction to ''K''-theory and cyclic cohomology|arxiv=funct-an/9606001|bibcode=1996funct.an..6001B|이름=Jacek|성=Brodzki|날짜=1996|언어=en}}
* {{저널 인용|zbl=1180.19003|성=Karoubi|이름=Max|제목=Twisted ''K''-theory — old and new|arxiv=math/0701789|bibcode=2007math......1789K|mr=2513335|언어=en|날짜=2008}}
* {{저널 인용|제목=''K''-theory for group C*-algebras|arxiv=0908.1066|이름=Paul F.|성=Baum|공저자=Rubén J. Sánchez-García|날짜=2009|언어=en|bibcode=2009arXiv0908.1066B}}
* {{저널 인용|제목=''K''-theory in quantum field theory|arxiv=math-ph/0206031|이름=Daniel S.|성=Freed|날짜=2002|bibcode=2002math.ph...6031F|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=K-theory|title=K-theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:K이론| ]]