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[[집합론]]에서 '''가능 공종도'''(可能共終度, {{llang|en|possible cofinalities}}, 약자 pcf)는 어떤 [[정칙 기수]]의 집합의 모든 가능한 [[초곱]]들의 [[공종도]]들의 집합이다.

== 정의 ==
[[정칙 기수]]의 집합 <math>A</math>이 주어졌다고 하자. 각 기수는 [[순서수]]로, 즉 [[정렬 집합]]으로 여길 수 있다. [[정렬 순서]]의 이론은 [[1차 논리]]로 서술할 수 없지만 [[전순서]]의 이론 <math>\langle\le\rangle</math>은 1차 논리로 서술된다. 그렇다면, <math>A</math>를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, <math>A</math>의 임의의 [[극대 필터]] <math>\mathcal U\subset\mathcal P(A)</math>를 잡아 [[초곱]] <math>\prod A/\mathcal U</math>을 정의할 수 있다. 이는 [[초곱|워시 정리]]에 따라서 마찬가지로 [[전순서 집합]]을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. [[순서수]]와 마찬가지로 전순서 집합의 [[공종도]]를 정의할 수 있다.

[[정칙 기수]]의 집합 <math>A</math>의 '''가능 공종도''' <math>\operatorname{pcf}A</math>는 <math>A</math>의 모든 [[초곱]]들의 [[공종도]]의 집합이다.
:<math>\operatorname{pcf}A=\left\{\operatorname{cf}\left(\prod A/\mathcal U\right)\colon\mathcal U\in\operatorname{Ultrafilter}(A)\right\}</math>
여기서 <math>\operatorname{Ultrafilter}(A)</math>는 <math>A</math> 위의 [[극대 필터]]의 집합이다.

== 성질 ==
임의의 [[정칙 기수]]의 집합 <math>A</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>\operatorname{pcf}(A)</math>는 [[정칙 기수]]의 집합이다.
* <math>A\subset\operatorname{pcf}(A)</math>이다.
** 이는 [[주 필터]]인 [[극대 필터]]를 고려하여 알 수 있다.
만약 <math>|A|<\min A</math>라면, 다음이 성립한다.
* <math>|\operatorname{pcf}A|\le2^{|A|}</math><ref name="Shelah92">{{저널 인용|제목=Cardinal arithmetic for skeptics|이름=Saharon|성=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|arxiv=math/9201251|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=26|호=2|날짜=1992|쪽=197–210|bibcode=1992math......1251S|mr=1112424 |doi=10.1090/S0273-0979-1992-00261-6 |issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|4.3 Main Theorem}}
* <math>\max\operatorname{pcf}A</math>가 존재한다.<ref name="Shelah92"/>{{rp|4.3 Main Theorem}}
* <math>\operatorname{pcf}\operatorname{pcf}A=\operatorname{pcf}A</math><ref>{{저널 인용|제목=Shelah’s pcf theory and its applications|doi=10.1016/0168-0072(90)90057-9|이름=Maxim R.|성= Burke|이름2=Menachem|성2=Magidor|저자링크2=메나헴 마기도르|저널=Annals of Pure and Applied Logic|권=50|호=3|날짜=1990-12-14|쪽=207–254|zbl=0713.03024|issn=0168-0072|언어=en}}</ref>{{rp|1.9 Lemma}}

정칙 기수의 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>에 대하여,
:<math>|A|<\min A</math>
:<math>|B|<\min B</math>
:<math>B\subset\operatorname{pcf}A</math>
라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Shelah92"/>{{rp|4.4 Localization Theorem}}
* <math>\operatorname{pcf}B\subset\operatorname{pcf}A</math>
* 임의의 <math>\kappa\in\operatorname{pcf}B</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 <math>C_\kappa\subset B</math>가 존재한다.
** <math>|C|\le|A|</math>
** <math>\kappa\in\operatorname{pcf}C</math>

== 역사 ==
[[사하론 셸라흐]]가 1978년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Shelah | first=Saharon | authorlink=사하론 셸라흐 | title=Jonsson algebras in successor cardinals | doi= 10.1007/BF02760829 | mr=0505434 | 날짜=1978-03 | journal=Israel Journal of Mathematics   | volume=30 | issue=1–2 | pages=57–64 | issn= 0021-2172 | 언어=en}}</ref>

== 응용 ==
가능 공종도 이론을 사용하여, [[기수 (수학)|기수]]의 [[기멜 함수]]의 다양한 [[상한]]을 증명할 수 있다. 기수의 거듭제곱은 [[기멜 함수]] <math>\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\operatorname{cf}\kappa}</math>와 연속체 함수 <math>\kappa\mapsto2^\kappa</math>로 결정되는데, 후자는 [[이스턴 정리]]({{llang|en|Easton’s theorem}})에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지의 성질을 증명할 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=You can enter Cantor’s paradise!|이름=Saharon|성=Shelah|저자링크=사하론 셸라흐|arxiv=math/0102056|bibcode=2001math......2056S|날짜=2000-11-04|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=PCF theory|이름=Menachem|성=Kojman|arxiv=math/0501308|bibcode=2005math......1308K|저널=Topology Atlas Invited Contributions|권=6|호=4|날짜=2001|쪽=74–77|url=http://at.yorku.ca/t/a/i/c/44.htm|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20041204191411/http://at.yorku.ca/t/a/i/c/44.htm|보존날짜=2004-12-04|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=The A,B,C of pcf: a companion to pcf theory, Part I|날짜=1995|이름=Menachem|성=Kojman|bibcode=1995math.....12201K|arxiv=math/9512201|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.maths-informatique-jeux.com/blog/frederic/?post/2012/03/15/Shelah%E2%80%99s-PCF-theory|제목=Shelah’s PCF theory|이름=Frédéric|성=Wang|웹사이트=Blog de Frédéric|날짜=2012-03-15|언어=en|확인날짜=2020-02-06|보존url=https://web.archive.org/web/20150322153120/http://www.maths-informatique-jeux.com/blog/frederic/?post%2F2012%2F03%2F15%2FShelah%E2%80%99s-PCF-theory|보존날짜=2015-03-22|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Lectures on the foundations of pcf-theory|이름=K.|성=Steffens|날짜=2007|url=http://www.iazd.uni-hannover.de/~steffens/Steffens_pcf.pdf|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20070613220851/http://www.iazd.uni-hannover.de/~steffens/Steffens_pcf.pdf#|보존날짜=2007-06-13|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=580 - Cardinal arithmetic (12)|이름=Andrés E.|성=Caceido|url=https://andrescaicedo.wordpress.com/2009/03/13/580-cardinal-arithmetic-12/|웹사이트=A Kind of Library|날짜=2009-03-13|언어=en|확인날짜=2015-01-05|보존url=https://web.archive.org/web/20150106012615/https://andrescaicedo.wordpress.com/2009/03/13/580-cardinal-arithmetic-12/|보존날짜=2015-01-06|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[기멜 함수]]
* [[특이 기수 가설]]

{{집합론}}

[[분류:기수]]