{{위키데이터 속성 추적}}
'''팔원수'''(八元數, {{llang|en|octonion|옥토니언}}) 또는 '''케일리 수'''({{llang|en|Cayley number}})는 유일한 8차원 비가환 비결합 [[노름]] [[나눗셈 대수]]이다.<ref name="Baez">{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|zbl=1026.17001|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X|언어=en}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
팔원수 대수는 실수체 위의 8차원의 유일한 노름 나눗셈 [[대수 (환론)|대수]]이다. 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 <math>1,e_1,e_2,\dots,e_7</math>이라고 잡으면, 팔원수의 곱셈표는 다음과 같다.<ref name="Baez"/>{{rp|Table 1}}
{| class=wikitable style="text-align: center"
|+ 팔원수 곱셈표 <br>''ab'' =
|-
! '' a''╲''b'' || e<sub>1</sub> || e<sub>2</sub> || e<sub>3</sub> || e<sub>4</sub> || e<sub>5</sub> || e<sub>6</sub> || e<sub>7</sub>
|-
! e<sub>1</sub>
| −1 || +e<sub>4</sub> || +e<sub>7</sub> || −e<sub>2</sub> || +e<sub>6</sub> || −e<sub>5</sub> || −e<sub>3</sub>
|-
! e<sub>2</sub>
| −e<sub>4</sub> || −1 || +e<sub>5</sub> || +e<sub>1</sub> || −e<sub>3</sub> || +e<sub>7</sub> || −e<sub>6</sub>
|-
!  e<sub>3</sub>
| −e<sub>7</sub> || −e<sub>5</sub> || −1 || +e<sub>6</sub> || +e<sub>2</sub> || −e<sub>4</sub> || +e<sub>1</sub>
|-
! e<sub>4</sub>
| +e<sub>2</sub> || −e<sub>1</sub> || −e<sub>6</sub> || −1 || +e<sub>7</sub> || +e<sub>3</sub> || −e<sub>5</sub>
|-
! e<sub>5</sub>
| −e<sub>6</sub> || +e<sub>3</sub> || −e<sub>2</sub> || −e<sub>7</sub> || −1 || +e<sub>1</sub> || +e<sub>4</sub>
|-
! e<sub>6</sub>
| +e<sub>5</sub> || −e<sub>7</sub> || +e<sub>4</sub> || −e<sub>3</sub> || −e<sub>1</sub> || −1 || +e<sub>2</sub>
|-
! e<sub>7</sub>
| +e<sub>3</sub> || +e<sub>6</sub> || −e<sub>1</sub> || +e<sub>5</sub> || −e<sub>4</sub> || −e<sub>2</sub> || −1
|}

팔원수는 [[사원수]] 대수에 [[케일리-딕슨 구성]]을 가하여 얻어진다.

팔원수 곱셈은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.<ref name="Baez"/>{{rp|§2}} 여기서 <math>e_i</math>의 첨자 <math>i</math>는 [[유한체]] <math>\mathbb F_7</math>의 원소로 해석한다.
* (반대칭성) <math>e_ie_j=\begin{cases}-1&i=j\\-e_je_i&i\ne j\end{cases}</math>
* ([[사원수]] 부분 대수) 만약 <math>e_ie_j=e_k</math>라면, <math>\{\pm1,\pm e_i,\pm e_j,\pm e_k\}</math>는 [[사원수군]]을 이룬다. 즉, <math>e_je_k=e_i</math>이며 <math>e_ke_i=e_j</math>이다.
* (첨자의 순환성) 만약 <math>e_ie_j=\pm e_k</math>라면, <math>e_{i+1}e_{j+1}=\pm e_{k+1}</math>
* (첨자 2배 항등식) 만약 <math>e_ie_j=\pm e_k</math>라면, <math>e_{2i}e_{2j}=\pm e_{2k}</math>
<math>\mathbb F_7</math>에서 <math>2^3=8\equiv1\pmod7</math>이므로, 첨자 2배 항등식은 팔원수 대수의 <math>\mathbb Z/3</math> 대칭을 정의한다.

=== 파노 평면 표현 ===
팔원수의 곱셈은 다음과 같이 [[파노 평면]] <math>\mathbb P_{\mathbb F_2}^2</math>(2차 [[유한체]] <math>\mathbb F_2</math> 위의 [[사영 평면]])으로 나타낼 수 있다.<ref name="Baez"/>{{rp|§2}}
:[[파일:Fanoqc7.svg|400px]]
여기서, 같은 직선 위에 놓인 세 점 <math>(e_i,e_j,e_k)</math>은 [[사원수군]]을 생성한다. 즉, <math>e_ie_j=e_k</math>이다. 파노 평면의 시계 방향 120° 회전 대칭은 팔원수의 첨자 2배 항등식에 의한 자기 동형 <math>e_i\mapsto e_{2i}</math>을 나타낸다.

=== 7차원 벡터곱 ===
벡터의 [[스칼라곱]]은 임의의 차원에서 정의되지만, [[벡터곱]]은 3차원과 7차원에서만 정의될 수 있다. (1차원의 "벡터곱"은 값이 항상 0인 [[상수 함수]]이다.) 3차원 벡터의 [[벡터곱]]은 잘 알려져 있으며, [[사원수]]의 존재를 가능케 한다. 마찬가지로, 7차원 벡터의 벡터곱의 존재는 팔원수의 존재와 관련있다.

팔원수를 실수 (스칼라) 성분 <math>a</math>와 7차원 허수 (벡터) 성분 <math>\mathbf v</math>의 합으로 나타내자. 그렇다면, 팔원수의 곱은 다음과 같다.
:<math>(a+\mathbf u)(b+\mathbf v)=(ab-\mathbf u\cdot\mathbf v)+(a\mathbf v+b\mathbf u+\mathbf u\times\mathbf v)</math>
이는 [[사원수]]의 곱과 같은 꼴이지만, 3차원 벡터의 [[스칼라곱]] · [[벡터곱]] 대신 7차원 벡터의 [[스칼라곱]] · [[벡터곱]]을 사용한다.

7차원 벡터의 벡터곱은 3차원 벡터곱과 마찬가지로 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
:<math>\mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf v=0</math>
:<math>\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\|\mathbf u\|^2\|\mathbf v\|^2-(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\angle(\mathbf u,\mathbf v)</math>
:<math>\mathbf u\times\mathbf v=-\mathbf v\times\mathbf u</math>
:<math>\mathbf u\cdot(\mathbf v\times\mathbf w)=\mathbf v\cdot(\mathbf w\times\mathbf u)=\mathbf w\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)</math>

그러나 3차원 벡터곱과 달리, 7차원 벡터의 3중 스칼라곱 <math>-\cdot(-\times-)</math>은 3×3 [[행렬식]]으로 나타낼 수 없다. 또한, 벡터 3중곱에 대한 다음 항등식들이 3차원에서는 성립하지만, 7차원에서는 성립하지 않는다.
* (벡터 3중곱 항등식) <math>\mathbf u\times(\mathbf v\times\mathbf w)=(\mathbf u\cdot\mathbf w)\mathbf v-(\mathbf u\cdot\mathbf v)\mathbf w</math>
* ([[야코비 항등식]]) <math>\mathbf u\times(\mathbf v\times\mathbf w)+\mathbf v\times(\mathbf w\times\mathbf u)+\mathbf w\times(\mathbf u\times\mathbf v)=0</math>
야코비 항등식의 실패에 따라, 7차원 벡터곱은 [[리 대수]]의 [[리 괄호]]를 정의하지 않는다. (그러나 이는 리 대수보다 약한 개념인 [[말체프 대수]]({{llang|en|Mal’cev algebra}})를 이룬다.)

== 성질 ==
팔원수 대수의 곱셈은 [[교환 법칙]]과 [[결합 법칙]]을 따르지 않는다. 그러나 팔원수 대수는 실수체 위의 [[교대 대수]]이다. 즉, 다음 항등식이 성립한다.
:<math>x(xy)=x^2y</math>
:<math>(yx)x=yx^2</math>
팔원수 대수는 [[나눗셈 대수]]이다. 즉, 모든 원소는 역원을 갖는다. 따라서, 0이 아닌 팔원수들은 곱셈에 대하여 [[무팡 고리]]를 이룬다.

=== 노름과 켤레 ===
팔원수의 '''노름'''({{llang|en|norm}})은 다음과 같다.
:<math>|\cdot|\colon\mathbb O\to\mathbb R_{\ge0}</math>
:<math>|a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7|=\sqrt{a_0^2+a_1^2+\cdots+a_7^2}</math>
이에 따라, 팔원수 대수는 실수체 위의 [[노름 나눗셈 대수]]를 이룬다.

주어진 팔원수의 '''켤레'''({{llang|en|conjugate}})는 허수 성분의 부호를 바꾸는 <math>\mathbb R</math>-[[선형 변환]]이다.
:<math>\bar{}\colon\mathbb O\to\mathbb O</math>
:<math>\overline{a_0+a_1e_1+\cdots+a_7e_7}=a_0-a_1e_1-\cdots-a_7e_7</math>
그렇다면, 임의의 팔원수 <math>a,b\in\mathbb O</math>에 대하여 다음 항등식이 성립한다.
:<math>a\bar a=\bar aa=|a|^2</math>
:<math>|ab|=|a||b|</math>
두 번째 항등식은 [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]과 같다.

=== 자기 동형 ===
팔원수의 집합 <math>\mathbb O</math>를 곱셈 연산 <math>\mathbb O\times\mathbb O\to\mathbb O</math>가 갖추어진 8차원 실수 [[벡터 공간]]으로 간주하여, 곱셈을 보존하는 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{Aut}(\mathbb O)</math>을 생각할 수 있다. 이는 [[단순 리 군]] [[G₂|G<sub>2</sub>]]의 콤팩트 형식과 같다.

== 역사 ==
1818년 10월 7일에 덴마크의 수학자 카를 페르디난 데겐({{llang|da|Carl Ferdinand Degen}}, 1766~1825)은 [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Degen|이름=C. F.|날짜=1818|제목=Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici maxime universalis|저널=Mémoires de l’Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (cinquième série)|권=8|쪽=207–219|url=http://biodiversitylibrary.org/page/11940569|언어=la}}</ref> 이는 팔원수의 노름이 팔원수 곱셈과 호환된다는 것과 같다.

1843년 10월 6일에 [[윌리엄 로언 해밀턴]]은 [[사원수]]를 발견하였고, 다음날에 이 발견에 대하여 친구인 [[아일랜드]]의 수학자 존 토머스 그레이브스({{llang|en|John Thomas Graves}}, 1806~1870)에게 편지로 적어 보냈다. 같은 해 크리스마스 경에 그레이브스는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다. 그레이브스는 팔원수를 "옥타브"({{llang|en|octave}})라고 명명하였다. 그레이브스는 이 발견을 [[윌리엄 로언 해밀턴]]에게 서편으로 거론하였으나, 대외적으로 발표하지 않았다.

해밀턴은 사원수의 발견을 1844년에 대외적으로 발표하였고, 곧 [[아서 케일리]]가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목=XXVIII. On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions. To the editors of the Philosophical Magazine and Journal|doi=10.1080/14786444508645107|이름=Arthur|성=Cayley|저자링크=아서 케일리|쪽=208–211|저널=Philosophical Magazine (Series 3)|권=26|호=172|날짜=1845|url=http://books.google.com/books?id=AL4Re4iioHkC&pg=PA208}} 재판 {{서적 인용|장=21. On Jacobi's Elliptic Functions, in reply to the Rev. B. Bronwin: and on Quaternions|쪽=127–127|제목=The Collected Mathematical Papers,
Volume 1|이름=Arthur|성=Cayley|저자링크=아서 케일리|doi=10.1017/CBO9780511703676.022|isbn=9781108004930|출판사=Cambridge University Press|위치=[[케임브리지|Cambridge]]|날짜=2009}}</ref> 이 논문은 [[타원 함수]]에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다.<ref name="Baez"/>{{rp|§1}} 이를 보고 그레이브스는 같은 저널 다음 호에 부랴부랴 자신의 팔원수에 대한 논문을 수록시켰지만,<ref>{{저널 인용|
제목=XLVI. On a connection between the general theory of normal couples and the theory of complete quadratic functions of two variables|이름=John T.|성=Graves|쪽=315–320|url=http://books.google.com/books?id=AL4Re4iioHkC&pg=PA315|doi=10.1080/14786444508645136|날짜= 1845|저널=Philosophical Magazine (Series 3)|권=26|호=173}}</ref> 팔원수는 "케일리 수"라는 이름으로 알려지게 되었다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|성=Okubo|이름=Susumu|제목=Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics|출판사=Cambridge University Press|날짜=1995-08|isbn= 978-052147215-9|언어=en|doi=10.1017/CBO9780511524479|총서=Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics|권=2|mr=1356224|zbl=0841.17001}}
* {{서적 인용|이름=John H.|성=Conway|저자링크=존 호턴 콘웨이|이름2=Derek A.|성2=Smith|제목=On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry|출판사=A.K. Peters|날짜=2003-01-23|isbn=978-156881134-5|url=https://www.crcpress.com/On-Quaternions-and-Octonions/Conway-Smith/9781568811345|zbl=1098.17001|mr=1957212|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cayley numbers}}
* {{eom|title=Cayley-Dickson algebra}}
* {{매스월드|id=Octonion|title=Octonion}}
* {{매스월드|id=CayleyAlgebra|title=Cayley algebra}}
* {{매스월드|id=DegensEight-SquareIdentity|title=Degen's eight-square identity}}
* {{nlab|id=octonion|title=Octonion}}
* {{수학노트|title=팔원수(octonions)}}

== 같이 보기 ==
{{포털|수학}}
* [[사원수]]
* [[케일리-딕슨 구성]]
* [[G₂]]
* [[파노 평면]]
* [[요르단 대수]]

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]
[[분류:합성 대수]]
[[분류:다원수]]