{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''클라인 부분군'''(Klein部分群, {{llang|en|Kleinian subgroup}})은 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>의 이산 부분군이다.<ref>{{인용| editor1-last=Bers | editor1-first=Lipman | editor1-link=Lipman Bers | editor2-last=Kra | editor2-first=Irwin | editor2-link=Irwin Kra | title=A crash course on Kleinian groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics | doi=10.1007/BFb0065671 | year=1974 | volume=400 | mr=0346152}}</ref>

== 정의 ==
[[복소수]] 계수 2차원 [[사영 선형군]] <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.
* 3차원 [[쌍곡 공간]] <math>\mathbb H^3</math>의 ([[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는) [[등거리 변환]]의 군이다.
* 3차원 열린 공 <math>\mathbb B^3\subseteq\mathbb R^3</math>의 (방향을 보존하는) [[등각 변환]]의 군이다.

<math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>의 [[부분군]] <math>\Gamma\le\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''클라인 부분군'''이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in \mathbb B^3</math>의 [[안정자군]] <math>\{\gamma\in\Gamma\colon \gamma\cdot x=x\}</math>은 [[유한군]]이다.
* 임의의 <math>x\in \mathbb B^3</math>의 궤도 <math>\Gamma \cdot \{x\}\subseteq \mathbb B^3</math>는 (<math>\mathbb B^3</math>의 [[부분 공간]]으로서) [[이산 공간]]이다.

=== 무한구 ===
열린 공 <math>\mathbb B^3</math>의 (<math>\mathbb R^3</math> 속에서의) [[폐포 (위상수학)|폐포]] <math>\operatorname{cl}(\mathbb B^3)</math>를 생각하자. <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math> 및 모든 클라인 부분군은 <math>\operatorname{cl}(\mathbb B^3)</math> 위에 자연스럽게 작용한다.

경계
<math>\mathbb S^2_\infty = \partial(\mathbb B^3)=\operatorname{cl}(\mathbb B^3)\setminus \mathbb B^3</math>
를 '''무한구'''({{llang|en|sphere at infinity}})라고 한다. (이 구는 3차원 [[쌍곡 공간]]의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 <math>\Gamma</math>는 그 위에 작용한다. 임의의 점 <math>p\in \mathbb S^2_\infty</math>의 궤도
:<math>\Gamma\cdot \{p\} \subseteq\mathbb S^2_\infty</math>
의 [[응집점]]의 집합을 <math>\Gamma</math>의 '''극한 집합'''({{llang|en|limit set}})이라고 한다.

== 성질 ==
클라인 부분군 <math>\Gamma</math>이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 <math>\Lambda(\Gamma)\subseteq \mathbb S_\infty^2</math>을 생각하자. 만약 <math>\Gamma</math>가 <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb  C)</math>의 유한 생성 부분군이라면,
:<math>\frac{\mathbb S_\infty^2\setminus\Lambda(\Gamma)}\Gamma</math>
는 [[리만 곡면]]의 유한형 [[오비폴드]]이다.

== 역사 ==
[[펠릭스 클라인]]<ref>{{저널 인용 | last1=Klein | first1=Felix |저자링크=펠릭스 클라인| title=Neue Beiträge zur Riemann’schen Functionentheorie | year=1883 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=21 | pages=141–218 | jfm=15.0351.01 | doi=10.1007/BF01442920 | issue=2 | 언어=de}}</ref>과 [[앙리 푸앵카레]]가 1883년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Poincaré | first1=Henri | author1-link=앙리 푸앵카레 | title=Mémoire  sur Les groupes kleinéens | doi=10.1007/BF02422441 | year=1883 | journal=Acta Mathematica | issn=0001-5962 | volume=3 | pages=49–92 | jfm=15.0348.02 | 언어=fr}}</ref> “클라인 부분군”({{llang|fr|groupe kleinéen}})이라는 이름은 [[앙리 푸앵카레]]가 같은 논문에서 사용하였다.

== 예 ==
[[자명군]]은 자명하게 클라인 부분군이다.

=== 비안키 군 ===
양의 [[제곱 인수가 없는 정수]] <math>d</math>에 대하여, 허수 [[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{-d})</math>의 [[대수적 정수환]] <math>\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}</math>이 주어졌을 때,
:<math>\operatorname{PSL}(2;\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})})</math>
는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 '''비안키 군'''({{llang|en|Bianchi group}})이라고 한다.

=== 쌍곡 다양체의 기본군 ===
임의의 [[가향 다양체|가향]] 쌍곡 3차원 다양체의 [[기본군]]은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 <math>M</math>의 [[기본군]] <math>\pi_1(M)</math>이 클라인 부분군 <math>\Gamma\le\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>과 (군으로서) 동형일 때, <math>M</math>은 <math>\mathbb H^3/\Gamma</math>와 [[미분 동형]]이다. 이 경우, <math>\mathbb H^3/\Gamma</math>를 <math>M</math>의 '''클라인 모형'''({{llang|en|Kleinian model}})이라고 한다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kleinian group}}
* {{매스월드|id=KleinianGroup|title=Kleinian group}}

[[분류:군론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:보형 형식]]
[[분류:이산 군]]
[[분류:3-다양체]]