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[[수학]]에서 '''보렐 합'''(Borel合, {{llang|en|Borel summation}})은 발산하는 [[급수 (수학)|급수]]의 합을 계산하는 한 방법이다.

== 정의 ==
다음과 같은 [[급수 (수학)|급수]]
:<math>a(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k</math>
가 있다고 하자. 이 급수의 '''약한 보렐 합'''({{llang|en|weak Borel sum}})은 다음과 같다.
:<math>\lim_{t\to\infty}\exp(-t)\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^na_kz^k</math>
약한 보렐 합이 존재하는 급수를 '''약하게 보렐 가합 급수'''({{llang|en|weakly Borel-summable series}})라고 한다.

보다 더 강력한 합을 정의하려면, 급수의 '''보렐 변환'''({{llang|en|Borel transform}})을 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathcal Ba(t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_nt^n}{n!}</math>
만약 보렐 변환 <math>\mathcal Ba</math>가 충분히 작은 <math>t</math>에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 [[해석적 연속]]할 수 있다면, <math>a(z)</math>의 '''보렐 합'''은 다음과 같다.
:<math>\int_0^\infty\exp(-t)\mathcal Ba(tz)\,dt</math>
보렐 합이 존재하는 급수를 '''보렐 가합 급수'''({{llang|en|Borel-summable series}})라고 한다.

== 유도 ==
보렐 합은 다음과 같이 "유도"할 수 있다. 우선, 모든 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\int_0^\infty\exp(-t)t^n\,dt=\Gamma(n+1)=n!</math>
따라서, 급수에 이 적분을 삽입한 뒤, 적분과 합의 순서를 바꾸자.
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,dt=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\int\exp(-t)t^n\, dt/n!</math>
::<math>=\int\exp(-t)\left(\sum_{n=0}^\infty(tz)^n/n!\right)\,dt=\int\exp(-t)\mathcal Ba(tz)\,dt</math>
급수가 수렴한다면 적분과 합의 순서를 바꿀 수 있고, 따라서 보렐 합이 급수의 합과 같게 된다.

== 성질 ==
보렐 합은 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* 수렴하는 [[급수 (수학)|급수]]의 경우 보렐 합과 약한 보렐 합이 존재하며, 이는 통상적인 합과 같다.
* 모든 약하게 보렐 가합 급수는 보렐 가합 급수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

== 예 ==
[[기하급수]] <math>a(z)=\sum_{k=0}^\infty z^k</math>는 <math>|z|<1</math>이면 수렴하나 그 밖에서는 발산한다. 이 급수의 보렐 변환은
:<math>\mathcal Ba(t)=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}=\exp t</math>
이다. 따라서 기하급수의 보렐 합은
:<math>\int_0^\infty\exp(t(z-1))\,dt=1/(1-z)</math>
이며, 이는 <math>\operatorname{Re}z<1</math>인 경우 수렴한다. 즉, 수열이 수렴하는 범위가 더 넓어진다.

== 역사 ==
[[에밀 보렐]]이 1899년 도입하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Borel |first=E.|저자링크=에밀 보렐|title=Mémoire sur les séries divergentes |journal=Annales scientifiques de l’École normale supérieure (3ème série) |권=16 |날짜=1899 |쪽=9–131|jfm=30.0230.03|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1899_3_16__9_0|언어=fr}}</ref> 여기에 대하여 다음과 같은 일화가 전해진다.
{{인용문2|당시에 무명의 젊은 수학자였던 [[에밀 보렐|보렐]]은 그가 발견한 합 방법이 여러 고전적으로 발산하는 [[급수 (수학)|급수]]들을 ‘옳게’ 계산할 수 있다는 사실을 발견하였다. 보렐은 당시 [[복소해석학]]의 최고봉이었던 [[예스타 미타그레플레르|미타그레플레르]]를 뵈러 [[스톡홀름]]을 순례하였다. 마타그레플레르는 보렐의 말을 정중히 듣고는, 자신의 지도 교수였던 [[카를 바이어슈트라스|바이어슈트라스]] 전집에 손을 얹고 다음과 같이 [[라틴어]]로 천명하였다. ‘교수님께서 이를 금지하셨다.’<br>Borel, then an unknown young man, discovered that his summation method gave the 'right' answer for many classical divergent series. He decided to make a pilgrimage to Stockholm to see Mittag-Leffler, who was the recognized lord of complex analysis. Mittag-Leffler listened politely to what Borel had to say and then, placing his hand upon the complete works by Weierstrass, his teacher, he said in Latin, 'The Master forbids it'.|Mark Kac, quoted by Reed & Simon (1978, p. 38)}}

== 같이 보기 ==
* [[아벨 극한 정리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
*{{인용|last=Hardy |first=Godfrey Harold |authorlink=고드프리 해럴드 하디 |title=Divergent Series |publisher=Chelsea |location=New York |isbn=978-0-8218-2649-2 | mr=0030620 |날짜=1992|언어=en}}
*{{서적 인용 |last=Reed |first=Michael |공저자=Barry Simon|title=Methods of modern mathematical physics. IV. Analysis of operators |publisher=Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] |location=New York |isbn=978-0-12-585004-9 |mr=0493421 |날짜=1978|언어=en}}
*{{서적 인용 |last=Weinberg | first=Steven |authorlink=스티븐 와인버그 |title=The quantum theory of fields. vol. II |출판사=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-55002-4 |mr=2148467 |날짜=2005|언어=en}}

== 외부 링크 ==
*{{eom|first=A. A. |last=Zakharov |title=Borel summation method}}

[[분류:급수]]
[[분류:총합법]]
[[분류:양자색역학]]