{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''국소 연결 공간'''(局所連結空間, {{llang|en|locally connected space}})은 모든 점이 [[연결 공간|연결]] [[근방]]들로 구성된 [[국소 기저]]를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''국소 연결 공간'''이라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|161}}
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을
'''국소 경로 연결 공간'''(局所經路連結空間, {{llang|en|locally path connected space}})이라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[경로 연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재한다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[경로 연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:[[CW 복합체]] ⊊ [[국소 축약 가능 공간]] ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간

국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.
* [[연결 성분]]과 [[경로 연결 성분]]의 개념이 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
* [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 [[경로 연결]] [[열린집합]]의 개념이 [[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|162}}

국소 연결 공간의 [[몫공간]]은 국소 연결 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|163}}

(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 함의 관계를 가진다.
{| class=wikitable
! || 경로 연결 || 연결이지만 경로 연결이 아님 || 연결이 아님
|-
! 국소 경로 연결
| 가능 || 불가능 || 가능
|-
! 국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님
| 가능 || 가능 || 가능
|-
! 국소 연결이 아님
| 가능 || 가능 || 가능
|}

== 예 ==
[[파일:Topologist's_sine_curve.svg|섬네일|right|[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간]]이지만, [[경로 연결 공간]]이 아니며, 국소 연결 공간도 아니다.]]
[[파일:Comb.svg|섬네일|right|빗 공간은 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다.]]
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! || 경로 연결 || 연결이지만<br>경로 연결이 아님
|-
! 국소 경로 연결
| [[유클리드 공간]] || (불가능)
|-
! 국소 연결이지만<br>국소 경로 연결이 아님
| [[비가산 집합]]의 [[여가산 위상]]({{llang|en|cocountable topology}})의 [[뿔 (위상수학)|뿔]] || <math>[0,1]^2</math> 위의 [[사전식 순서]] [[순서 위상|위상]]
|-
! 국소 연결이 아님
| 빗 공간 || [[위상수학자의 사인 곡선]]
|}
(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 [[분리합집합]]을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 [[위상수학자의 사인 곡선]]의 [[분리합집합]]은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.)

[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 [[연결 성분]]은 [[열린집합]]이 아니기 때문이다.

'''빗 공간'''({{llang|en|comb space}})은 <math>\mathbb R^2</math>의 다음과 같은 [[부분 공간]]이다.
:<math>\{0\}\times[0,1]\cup[0,1]\times\{0\}\cup\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\times[0,1]</math>
이는 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다.

[[유리수]]의 [[부분 공간 위상]]은 국소 연결 공간도, [[연결 공간]]도 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Locally connected space}}
* {{eom|title=Locally path-connected space}}
* {{매스월드|id=LocallyConnected|title=Locally connected}}
* {{매스월드|id=LocallyPathwise-Connected|title=Locally pathwise-connected}}
* {{매스월드|id=ConnectedimKleinen|title=Connected im Kleinen}}
* {{nlab|id=locally path-connected space|title=Locally path-connected space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_connected_space|제목=Locally connected space|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-01-25|보존url=https://web.archive.org/web/20160131070546/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_connected_space|보존날짜=2016-01-31|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_path-connected_space|제목=Locally path-connected space|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-01-25|보존url=https://web.archive.org/web/20160107044756/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_path-connected_space|보존날짜=2016-01-07|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Connected_not_implies_locally_connected|제목=Connected not implies locally connected|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-01-25|보존url=https://web.archive.org/web/20160131070444/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Connected_not_implies_locally_connected|보존날짜=2016-01-31|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://simomaths.wordpress.com/2013/03/10/topology-locally-connected-and-locally-path-connected-spaces/|제목=Locally connected and locally path-connected spaces|날짜=2013-03-10|웹사이트=Mathematics and Such|확인날짜=2016-01-26|보존url=https://web.archive.org/web/20160304212828/https://simomaths.wordpress.com/2013/03/10/topology-locally-connected-and-locally-path-connected-spaces/|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/843173/path-connected-and-locally-connected-space-that-is-not-locally-path-connected|제목=Path-connected and locally connected space that is not locally path-connected|출판사=StackExchange|언어=en|확인날짜=2016-01-26|보존url=https://web.archive.org/web/20160201081205/http://math.stackexchange.com/questions/843173/path-connected-and-locally-connected-space-that-is-not-locally-path-connected|보존날짜=2016-02-01|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[국소 단일 연결 공간]]

[[분류:위상 공간의 성질]]