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[[대수적 위상수학]]에서 '''후레비치 준동형'''(Hurewicz準同型, {{llang|en|Hurewicz homomorphism}})은 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피 군]]에서 [[호몰로지 군]]으로 가는 [[군 준동형]]이다. 특수한 경우, 이 [[군 준동형]]은 '''후레비치 정리'''({{llang|en|Hurewicz theorem}})에 따라 군의 동형을 이룬다.

== 정의 ==
[[점을 가진 공간]] <math>(X,\bullet)</math> 및 밑점을 보존하는 [[연속 함수]]
:<math>f\colon(\mathbb S^n,\bullet_{\mathbb S^n})\to(X,\bullet_X)</math>
가 주어졌을 때, <math>\mathbb S^n</math>의 [[기본류]] <math>[\mathbb S^n]\in\operatorname H_n(\mathbb S^n;\mathbb Z)</math>를 [[특이 호몰로지]]에 따라 [[밂 (호몰로지)|밀어서]] 다음 호몰로지류를 얻는다.
:<math>f^*[\mathbb S^n]\in\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>
이 때 이 호몰로지류와 <math>f</math>의 [[호모토피류]] <math>[f]\in\pi_n(X,\bullet_X)</math>를 대응하는 함수 <math>h_n</math>를 정의할 수 있다.
:<math>h_n\colon\pi_n(X)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>
:<math>h_n\colon[f]\mapsto f^*[\mathbb S^n]</math>
이 함수를 후레비치 준동형이라고 한다.

== 성질 ==
=== 준동형성 ===
<math>n\ge1</math>일 경우, 후레비치 준동형 <math>h_n\colon\pi_n(X)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>은 [[군 준동형]]을 이룬다.

<math>n=0</math>일 경우 <math>\pi_0(X)</math>는 일반적으로 군의 구조를 갖지 않으며, 만약 <math>X</math>가 [[위상군]]이라도 이는 일반적으로 [[군 준동형]]을 이루지 않는다. (예를 들어, <math>X=G</math>가 이산 유한군일 때, <math>h_0</math>는 [[군환]]으로 가는 [[단사 함수]] <math>G\hookrightarrow\mathbb Z[G]</math>에 대응하며, 이는 [[군 준동형]]이 아니다.)

=== 함자성 ===
<math>n\ge 2</math>일 경우, 후레비치 준동형은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\pi_n(-)\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname H_n(-;\mathbb Z)\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Ab}</math>
사이의 [[자연 변환]] <math>h_n\colon\pi_n\Rightarrow\operatorname H_n(-;\mathbb Z)</math>을 이룬다.

따라서 [[축소 현수]] 함자 <math>\Sigma</math>에 대하여 다음 사각형이 가환한다.
::<math>\begin{matrix}\pi_n(X)&\xrightarrow h&\operatorname H_n(X; \mathbb Z)\\
{\scriptstyle \Sigma}\downarrow& &\downarrow\scriptstyle \Sigma\\
\pi_{n+1}(\Sigma X)&\xrightarrow[h]{}&\operatorname H_{n+1}(\Sigma X; \mathbb Z)
\end{matrix}</math>

<math>n=1</math> 또는 <math>n=0</math>인 경우에는 호모토피 군이 [[아벨 군]]이 아니므로 함자의 [[공역]]을 <math>\operatorname{Ab}</math> 대신 각각 <math>\operatorname{Grp}</math> 또는 <math>\operatorname{Set}</math>로 놓아야 한다.

=== 낮은 차수의 후레비치 준동형 ===
<math>n=0</math>일 경우, <math>\pi_0(X)</math>는 <math>X</math>의 [[경로 연결 성분]]의 [[집합]]이며, <math>\operatorname H_0(X;\mathbb Z)</math>는 <math>X</math>의 [[경로 연결 성분]]들의 집합으로부터 생성되는 [[자유 아벨 군]]이다. 따라서, 0차 후레비치 사상은 집합에서 그 집합으로 생성되는 [[자유 아벨 군]]으로 가는 표준적인 포함 함수이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 [[단사 함수]]이다.

<math>n=1</math>이고 <math>X</math>가 경로 연결 공간인 경우, 후레비치 준동형은 [[아벨화]]이다. 즉, <math>\operatorname H_1(X;\mathbb Z)</math>는 [[기본군]] <math>\pi_1(X)</math>의 [[아벨화]]이다. 따라서 이 경우 후레비치 준동형은 [[전사 함수]]이다.

<math>n>1</math>일 경우, 후레비치 준동형은 일반적으로 [[전사 함수]]도, [[단사 함수]]도 아니다.

=== [[n-연결 공간|''n''-연결 공간]] 위의 후레비치 준동형 ===
'''후레비치 정리'''에 따르면, 임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 후레베치 준동형
:<math>h_n\colon\pi_n(X)\to\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>X</math>가 [[경로 연결 공간]](즉, 0-연결 공간)이며 <math>n=1</math>이라면, <math>h_n</math>은 [[아벨화]] 준동형이다.
* 만약 <math>X</math>가 <math>(n-1)</math>-연결 공간이며 <math>n\ge2</math>이라면, <math>h_n</math>은 [[아벨 군]]끼리의 [[동형 사상]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 <math>(n-2)</math>-연결 공간이며 <math>n\ge3</math>라면, <math>h_n</math>은 [[아벨 군]]끼리의 [[전사 함수|단사]] [[군 준동형]]이다. 그러므로, <math>\operatorname H_n(X;\mathbb Z)</math>는 <math>\operatorname\pi_n(X)</math>의 [[몫군]]이다.

== 예 ==
<math>n</math>개의 원들의 [[쐐기합]] <math>(\mathbb S^1)^{\vee n}</math>을 생각하자.
* <math>(\mathbb S^1)^{\vee n}</math>의 [[기본군]]은 [[자유군]] <math>\langle a_1,a_2,\dotsc,a_n\rangle</math>이며, 그 생성원 <math>a_i</math>는 모두 <math>n</math>개이며 각 원에 대응한다.
* <math>(\mathbb S^1)^{\vee n}</math>의 1차 [[호몰로지 군]]은 [[자유 아벨 군]] <math>\mathbb Z^{\oplus n}</math>이며, 그 <math>n</math>개의 생성원 역시 각 원에 대응한다.

이 경우, 후레비치 준동형 <math>h_1 \colon \pi_1 \to \operatorname H_1</math>은 [[아벨화]] 사상이며, 각 원에 대응하는 [[자유군]]의 생성원을 같은 원에 대응하는 [[자유 아벨 군]] 생성원에 대등시킨다.

== 역사 ==
1935년 [[비톨트 후레비치]]가 후레비치 준동형을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|저자링크=비톨트 후레비치|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅰ. Höherdimensionale Homotopiegruppen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam  |권=38|날짜=1935|쪽=112–119|zbl=0010.37801|jfm=61.0618.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|저자링크=비톨트 후레비치|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅱ. Homotopie- und Homologiegruppen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam |권=38|날짜=1935|쪽=521–528|zbl=0011.37101|jfm=61.0619.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|저자링크=비톨트 후레비치|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅲ. Klassen und Homologietypen von Abbildungen|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam |권=39|날짜=1936|쪽=117–126|zbl=0013.22903|jfm=62.0678.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Witold|성=Hurewicz|저자링크=비톨트 후레비치|제목=Beiträge zur Topologie der Deformationen Ⅳ. Asphärische Räume|저널=Proceedings of the Section of Sciences, Koninklĳke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam|권=39|날짜=1936|쪽=215–224|zbl=0013.28303|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Hurewicz theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]