{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''모형 범주'''(模型範疇, {{llang|en|model category}})는 [[호모토피 이론]]을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 [[범주 (수학)|범주]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Model categories|이름=Mark|성=Hovey|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem?item=SURV-63-S|출판사=American Mathematical Society|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=63|날짜=1999|isbn=978-0-8218-4361-1|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Model categories and their localizations|이름=Philip S.|성=Hirschhorn|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem?item=SURV-99-S|출판사=American Mathematical Society|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=99|날짜=2003|isbn=978-0-8218-4917-0|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|arxiv=math/0609537|장=Model categories and simplicial methods|이름=Paul G.|성=Goerss|이름2=Kristen|성2=Schemmerhorn|bibcode=2006math......9537G|doi=10.1090/conm/436/08403 |제목= Interactions between Homotopy Theory and Algebra. Papers from the Summer School held at the University of Chicago, Chicago, IL, July 26–August 6, 2004|총서=Contemporary Mathematics|권=436|mr=2355769|isbn=978-0-8218-3814-3|출판사=American Mathematical Society|날짜=2007|쪽=3–49|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Categorical homotopy theory|이름=Emily|성=Riehl|url=http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf|출판사=Cambridge University Press|총서=New Mathematical Monographs|권=24|날짜=2014-05|isbn=978-110704845-4|doi=10.1017/CBO9781107261457|언어=en|확인날짜=2016-02-11|보존url=https://web.archive.org/web/20150501104231/http://www.math.harvard.edu/~eriehl/cathtpy.pdf#|보존날짜=2015-05-01|url-status=dead}}</ref> [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주와 [[단체 집합]]의 범주, [[아벨 군]]의 [[사슬 복합체]]의 범주 따위의 일반화이다.

== 정의 ==
'''모형 범주''' <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이다.
* <math>\mathfrak W</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. <math>\mathfrak W</math>의 원소를 '''약한 동치'''({{llang|en|weak equivalence}})라고 한다.
* <math>\mathfrak F</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. <math>\mathfrak F</math>의 원소를 '''올뭉치'''({{llang|en|fibration}})라고 하고, <math>\mathfrak F\cap\mathfrak W</math>의 원소는 '''자명한 올뭉치'''({{llang|en|trivial fibration}})라고 한다.
* <math>\mathfrak C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. <math>\mathfrak C</math>의 원소를 '''쌍대올뭉치'''({{llang|en|cofibration}})라고 하고, <math>\mathfrak C\cap\mathfrak W</math>의 원소는 '''자명한 쌍대올뭉치'''({{llang|en|trivial cofibration}})라고 한다.
이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.
* '''3개 가운데 2개 조건'''({{llang|en|two out of three}}): 임의의 사상 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>, <math>g</math>, <math>g\circ f</math> 가운데 적어도 두 개가 약한 동치라면, 나머지 하나도 약한 동치이다.
* '''[[약분해계]]''': <math>(\mathfrak C\cap\mathfrak W,\mathfrak F)</math> 및 <math>(\mathfrak C,\mathfrak F\cap\mathfrak W)</math>는 각각 [[약분해계]]를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** '''올림 조건'''({{llang|en|lifting}}): 임의의 대상 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 만약 <math>A\xrightarrow fX\xrightarrow pY</math> 및 <math>A\xrightarrow iB\xrightarrow gY</math>가 주어졌고, <math>p\circ f=g\circ i</math>이며, <math>p</math>가 올뭉치이며, <math>i</math>가 쌍대올뭉치이며, <math>p</math> 또는 <math>i</math> 가운데 하나가 자명하다면, <math>h\circ i=f</math>이며 <math>p\circ h=g</math>인 사상 <math>h\colon B\to X</math>가 존재한다. 즉, 다음과 같다.
**:<math>\begin{matrix}A&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow\scriptstyle h&\downarrow\scriptstyle p\\
B&\xrightarrow[g]{}&Y
\end{matrix}</math>
** '''분해 조건'''({{llang|en|factorization}}):
*** <math>\mathcal C</math>의 임의의 사상 <math>f</math>는 <math>f=p\circ\tilde\imath</math>와 같이 쓸 수 있다. 여기서 <math>p</math>는 올뭉치이며, <math>\tilde\imath</math>는 자명한 쌍대올뭉치이다.
*** <math>\mathcal C</math>의 임의의 사상 <math>f</math>는 <math>f=\tilde p\circ i</math>와 같이 쓸 수 있다. 여기서 <math>\tilde p</math>는 자명한 올뭉치이며, <math>i</math>는 쌍대올뭉치이다.
**:<math>\begin{matrix}
&&X&\stackrel i\hookrightarrow&\tilde Y&\stackrel{\simeq}{\twoheadrightarrow}&Y\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\swarrow&&\searrow\scriptstyle f&&\swarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
X&\underset\simeq\hookrightarrow&\tilde X&\underset p\twoheadrightarrow&Y
\end{matrix}</math>

=== 쌍대올 생성 모형 범주 ===
[[쌍대완비 범주]] <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak I</math>에 대한 '''상대적 세포 복합체'''({{llang|en|relative cell complex}}) <math>\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.
* <math>\mathfrak I\subseteq\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>
* (항등 사상에 대한 닫힘) 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_X\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>
* (쌍대곱에 대한 닫힘) 임의의 대상들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[쌍대곱]] <math>\iota_i\colon X_i\to\coprod_iX_i</math>에 대하여, <math>\{\iota_i\}_{i\in I}\subseteq\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>
* (밂에 대한 닫힘) 임의의 <math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>에 대하여, 만약 <math>f,g\in\mathfrak I</math>라면, [[밂 (범주론)|밂]]
*:<math>\begin{matrix}
Z&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\iota_X\\
Y&\xrightarrow[\iota_Y]{}&X\sqcup_ZY\end{matrix}</math>
:에 대하여 <math>\iota_X,\iota_Y\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>
* (초한 합성에 대한 닫힘) 임의의 [[순서수]] <math>\alpha</math> 및 대상들의 초한열 <math>(X_i)_{0\le i<\alpha}</math> 및 사상 <math>\{f_i\colon X_i\to X_{i+1}\}_{1\le i+1<\alpha}</math>에 대하여, 만약 <math>\{f_i\}_i\subseteq\mathfrak I</math>라면 [[쌍대극한]] <math>\bigcirc_if_i\colon X_0\to\varinjlim X_i</math> 역시 <math>\bigcirc_if_i\in\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>
<math>\operatorname{Cof}(\mathfrak I)</math>는 <math>\operatorname{Cell}(\mathfrak I)</math>의 원소들의 ([[화살표 범주]] <math>\mathcal C^\to</math>에서의) [[수축 (범주론)|수축]]들의 모임이라고 하자.

모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>\mathcal C</math>를 '''쌍대올 생성 모형 범주'''({{llang|en|cofibrantly generated model category}})라고 한다.
* <math>\mathfrak C=\operatorname{Cof}(\mathfrak I)</math>인 사상 모임 <math>\mathfrak I</math>가 존재한다. <math>\mathfrak I</math>의 원소를 '''쌍대올뭉치 생성원'''({{llang|en|generating cofibration}})라고 한다.
* <math>\mathfrak C\cap\mathfrak W=\operatorname{Cof}(\mathfrak J)</math>인 사상 모임 <math>\mathfrak J</math>가 존재한다. <math>\mathfrak J</math>의 원소를 '''자명 쌍대올뭉치 생성원'''({{llang|en|generating trivial cofibration}})라고 한다.

== 연산 ==
=== 반대 범주 ===
임의의 모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에 대하여, 그 반대 범주 <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에 모형 구조 <math>(\mathcal C^{\operatorname{op}},\mathfrak W,\mathfrak C,\mathfrak F)</math>를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.

=== 조각 범주 ===
임의의 모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math> 및 대상 <math>X\in\mathcal C</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/X</math> 및 [[쌍대 조각 범주]] <math>X\backslash\mathcal C</math>를 정의할 수 있으며, 망각 함자
:<math>\mathcal C/X\to\mathcal C</math>
:<math>X\backslash\mathcal C\to\mathcal C</math>
가 존재한다.

이제, <math>\mathcal C/X</math> 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
* <math>\mathcal C/X</math>의 약한 동치는 (망각 함자 아래) <math>\mathcal C</math>에서의 약한 동치이다.
* <math>\mathcal C/X</math>의 올뭉치는 (망각 함자 아래) <math>\mathcal C</math>에서의 올뭉치이다.
* <math>\mathcal C/X</math>의 쌍대올뭉치는 (망각 함자 아래) <math>\mathcal C</math>에서의 쌍대올뭉치이다.
그렇다면, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/X</math>는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, [[쌍대 조각 범주]] <math>X\backslash\mathcal C=(\mathcal C^{\operatorname{op}}/X)^{\operatorname{op}}</math> 역시 모형 범주를 이룬다.

=== 호모토피 범주 ===
{{본문|호모토피}}
{{본문|호모토피 범주}}
모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 '''왼쪽 호모토피'''({{llang|en|left homotopy}}) 및 '''오른쪽 호모토피'''({{llang|en|right homotopy}})를 정의할 수 있다. 정의역이 [[쌍대올대상]]이며 공역이 [[올대상]]일 경우 왼쪽 [[호모토픽]] 관계와 오른쪽 [[호모토픽]] 관계는 서로 일치하며, [[동치 관계]]를 이루어 그 [[호모토피류]]를 정의할 수 있다.

모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에 대응하는 '''[[호모토피 범주]]'''를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 [[호모토피류]]이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 [[동형 사상]]이 된다.

== 성질 ==
=== 데이터의 중복 ===
[[약분해계]]의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.
* 약한 동치와 올뭉치<ref name="Joyal"/>{{rp|428}}<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Proposition 3}}
* 약한 동치와 쌍대올뭉치<ref name="Joyal"/>{{rp|428}}<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Proposition 3}} (위 경우의 반대 경우)
* 올뭉치와 쌍대올뭉치<ref name="Joyal"/>{{rp|428}}<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Proposition 3}}
* 쌍대올뭉치와 [[올대상]]<ref name="Joyal">{{서적 인용|제목=The theory of quasi-categories and its applications|이름=André|성=Joyal|url=http://mat.uab.cat/~kock/crm/hocat/advanced-course/Quadern45-2.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition E.1.10}}<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 3}}
* 올뭉치와 [[쌍대올대상]] (위 경우의 반대 경우)<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 3}}
* [[쌍대올대상]]과 자명한 올뭉치<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 3}}
* [[올대상]]과 자명한 쌍대올뭉치 (위 경우의 반대 경우)<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 3}}
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상의 모임과 올뭉치<ref name="JoyalLab">{{웹 인용|url=https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Model+categories|제목=Model categories|웹사이트=Joyal’s CatLab|이름=André|성=Joyal|언어=en}}</ref>{{rp|Corollary 4}}
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상의 모임과 쌍대올뭉치<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 4}}  (위 경우의 반대 경우)
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상의 모임과 자명한 올뭉치<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 4}}
* [[올대상]]이자 [[쌍대올대상]]인 대상의 모임과 자명한 쌍대올뭉치<ref name="JoyalLab"/>{{rp|Corollary 4}}  (위 경우의 반대 경우)

구체적으로,  임의의 범주 <math>\mathcal C</math>의 사상 모임 <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>M</math>에 대하여 [[오른쪽 올림 성질]]을 만족시키는 사상 모임을 <math>M^\pitchfork</math>으로, <math>M</math>에 대하여 [[왼쪽 올림 성질]]을 만족시키는 사상 모임을 <math>{}^\pitchfork M</math>으로 표기하자.

그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임 <math>\mathfrak W</math> · 쌍대올뭉치의 모임 <math>\mathfrak C</math> · 올뭉치의 모임 <math>\mathfrak F</math> 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
:<math>\mathfrak F=(\mathfrak W\cap\mathfrak C)^\pitchfork</math>
:<math>\mathfrak C={}^\pitchfork(\mathfrak W\cap\mathfrak F)</math>
:<math>\mathfrak F\cap\mathfrak W=\mathfrak C^\pitchfork</math>
:<math>\mathfrak C\cap\mathfrak W={}^\pitchfork\mathfrak F</math>
:<math>\mathfrak W=(\mathfrak W\cap\mathfrak F)\circ(\mathfrak W\cap\mathfrak C)=
\mathfrak C^\pitchfork\circ{}^\pitchfork\mathfrak F</math>
따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.

=== 수축에 대한 닫힘 ===
모든 모형 범주 <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>에서, <math>\mathfrak W</math> · <math>\mathfrak F</math> · <math>\mathfrak C</math>는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* 임의의 사상 <math>f\colon A\to A'</math>, <math>g\colon B\to B'</math>에 대하여, 만약 [[화살표 범주]] <math>\mathcal C^\to</math>에서 [[분할 단사 사상]] <math>(i,j)\colon f\to g</math>이 존재한다고 하자. 만약 <math>\mathcal A</math>가 <math>\mathfrak W</math>, <math>\mathfrak F</math>, 또는 <math>\mathfrak C</math> 가운데 하나라고 할 때, 만약 <math>g\in\mathcal A</math>라면 <math>f\in\mathcal A</math>이다. 화살표 범주에서의 분할 단사 사상은 구체적으로 <math>j\circ f=g\circ i</math>이며 <math>s\circ g=f\circ r</math>이며 <math>r\circ i=\operatorname{id}_A</math>이며 <math>s\circ j=\operatorname{id}_{A'}</math>인 사상 <math>i</math>, <math>j</math>, <math>r</math>, <math>s</math>가 존재하는 것이다.
*:<math>(\mathcal C^\to)\qquad\begin{matrix}
f&\xrightarrow{(i,j)}&g\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
f&\xleftarrow[(r,s)]{}&g
\end{matrix}\qquad\qquad\begin{matrix}
&&A\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\nearrow&&\searrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
A&\xrightarrow i&B&\xrightarrow r&A\\
{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow\scriptstyle g&&\downarrow\scriptstyle f\\
A'&\xrightarrow[j]{}&B&\xrightarrow[s]{}&A'\\
&{\scriptstyle\operatorname{id}}\searrow&&\nearrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
&&A'
\end{matrix}\qquad(\mathcal C)</math>
일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.<ref name="Riehl">{{저널 인용|제목=A concise definition of a model category|이름=Emily|성=Riehl|url=http://www.math.jhu.edu/~eriehl/modelcat.pdf|날짜=2009-09-03|언어=en}}</ref><ref name="Joyal"/>{{rp|Proposition E.1.3}}

== 예 ==
=== 자명한 모형 구조 ===
임의의 [[완비 범주|완비]] [[쌍대 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.

{| class=wikitable
! 약한 동치 !! 올뭉치 !! 쌍대올뭉치 !! [[올대상]] !! [[쌍대올대상]] !! 호모토피 범주
|-
| [[동형 사상]] || 모든 사상 || 모든 사상 || 모든 대상 || 모든 대상 || 원래 범주 <math>\mathcal C</math>
|-
| 모든 사상 || [[동형 사상]] || 모든 사상 || [[끝 대상]] || 모든 대상 || <math>\mathcal C</math>로부터 생성되는 [[준군]]
|-
| 모든 사상 || 모든 사상 || [[동형 사상]] || 모든 대상 || [[시작 대상]] || <math>\mathcal C</math>로부터 생성되는 [[준군]]
|}

보다 일반적으로, <math>\mathcal C</math> 위에 [[약분해계]] <math>(\mathfrak E,\mathfrak M)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고, <math>\mathfrak E</math>의 원소를 올뭉치로, <math>\mathfrak M</math>의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는 <math>\mathcal C</math>로부터 생성되는 [[준군]]이다.

=== 위상 공간의 범주 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> 위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.<ref name="MP">{{서적 인용|이름1=Peter|성1=May|이름2=Kathleen|성2=Ponto|제목=More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories|url=http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|총서=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-022651178-8|날짜=2012-02|출판사=University of Chicago Press|언어=en|access-date=2015-06-12|archive-date=2017-07-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170706083202/http://www.math.uchicago.edu/~may/TEAK/KateBookFinal.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|§17}}
{| class=wikitable
|-
! 모형 범주 구조 !! 약한 동치 !! 올뭉치 !! 쌍대올뭉치 !! [[올대상]] !! [[쌍대올대상]] !! 인용
|-
! 퀼런(Quillen)
| [[약한 호모토피 동치]] || [[세르 올뭉치]] || 상대적 [[세포 복합체]]의 수축(retract) || 모든 위상 공간 || [[세포 복합체]] ||<ref name="Quillen"/>
|-
! 후레비치(Hurewicz)<br>또는 스트룀(Strøm)
| [[호모토피 동치]] || [[후레비치 올뭉치]] || [[상 (수학)|상]]이 [[닫힌집합]]인 후레비치 쌍대올뭉치 || 모든 위상 공간 || 모든 위상 공간 ||<ref>{{저널 인용|이름=Arne|성=Strøm|제목=The homotopy category is a homotopy category|저널=Archiv der Mathematik|권=23|호=1|쪽=435–441|날짜=1972-12-01|doi=10.1007/BF01304912|issn=0003-889X|url=https://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Strom.pdf|언어=en|확인날짜=2016-02-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160125221937/http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Strom.pdf|보존날짜=2016-01-25|url-status=dead}}</ref>
|-
! 혼합(mixed)
| [[약한 호모토피 동치]] || [[후레비치 올뭉치]] || 쌍대올이 상대적 [[세포 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 후레비치 쌍대올뭉치<ref name="Cole"/>{{rp|Example 3.8}} || 모든 위상 공간 || [[세포 복합체]]와 [[호모토피 동치]]인 위상 공간 ||<ref name="Cole">{{저널 인용|이름=Michael|성=Cole|제목=Mixing model structures|저널=Topology and its Applications|권=153|호=7|날짜=2006-01-01|쪽=1016–1032|doi=10.1016/j.topol.2005.02.004|언어=en}}</ref>
|}

이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상({{llang|en|q-fibrant object}}) · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.

=== 단체 집합 ===
{{본문|단체 집합}}
[[단체 집합]]의 범주 <math>\operatorname{sSet}</math>에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 [[퀼런 동치]]이며, 따라서 [[범주의 동치|동치]]인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 [[쌍대올대상]]이며, [[올대상]]은 [[칸 복합체]]이다.

=== 사슬 복합체의 범주 ===
{{본문|사슬 복합체}}
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에서, [[자연수]] (음이 아닌 정수) 등급의 [[사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\mathcal A)</math>와 [[자연수]] 등급의 [[공사슬 복합체]]의 범주 <math>\operatorname{Ch}^{\bullet\ge0}(\mathcal A)</math>를 생각하자.

만약 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 공사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}^{\bullet\ge0}(\mathcal A)</math> 위에는 약한 동치가 [[공사슬 복합체]]의 [[유사동형]]이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 [[단사 사상]]인 [[공사슬 사상]]으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 [[공사슬 복합체]]가 [[쌍대올대상]]이며, [[올대상]]은 [[단사 대상]]으로 구성된 [[공사슬 복합체]]이며, 올대상 분해는 [[공사슬 복합체]]의 [[단사 분해]]이다.

반대로, 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 사슬 복합체 범주 <math>\operatorname{Ch}_{\bullet\ge0}(\mathcal A)</math> 위에는 약한 동치가 [[사슬 복합체]]의 [[유사동형]]이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 [[전사 사상]]인 [[사슬 사상]]으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 [[사슬 복합체]]가 [[올대상]]이며, [[쌍대올대상]]은 [[사영 대상]]으로 구성된 [[사슬 복합체]]이며, 쌍대올대상 분해는 [[사슬 복합체]]의 [[사영 분해]]이다.

=== 집합의 범주 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.math.ubc.ca/~oantolin/notes/modelcatsets.html|제목=The nine model category structures on the category of sets|이름=Omar Antolín|성=Camarena|언어=en|확인날짜=2016-02-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160215134007/http://www.math.ubc.ca/~oantolin/notes/modelcatsets.html|보존날짜=2016-02-15|url-status=dead}}</ref>
{| class=wikitable
! 쌍대올뭉치 !! 올뭉치 !! 약한 동치 !! [[쌍대올대상]] !! [[올대상]]
|-
| [[전단사 함수]] || [[함수]] || [[함수]] || [[공집합]] || [[집합]]
|-
| [[전사 함수]] || [[단사 함수]] || [[함수]] || [[공집합]] || [[공집합]] 또는 [[한원소 집합]]
|-
| 정의역이 공집합이 아닌 [[단사 함수]] 또는 [[공집합]] 위의 [[항등 함수]] || [[전사 함수]] 또는 정의역이 공집합인 함수 || [[함수]] || [[공집합]] || [[집합]]
|-
| 정의역이 공집합이 아닌 [[함수]] 또는 [[공집합]] 위의 [[항등 함수]] || [[전단사 함수]] 또는 정의역이 공집합인 함수 || [[함수]] || [[공집합]] || [[공집합]] 또는 [[한원소 집합]]
|-
| [[단사 함수]] || [[전사 함수]] || [[함수]] || [[집합]] || 공집합이 아닌 [[집합]]
|-
| [[함수]] || [[전단사 함수]] || [[함수]] || [[집합]] || [[한원소 집합]]
|-
| [[단사 함수]] || [[전사 함수]] 또는 정의역이 [[공집합]]인 함수 || 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 [[공집합]] 위의 [[항등 함수]] || [[집합]] || [[집합]]
|-
| [[함수]] || [[전단사 함수]] 또는 정의역이 [[공집합]]인 함수 || 정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 [[공집합]] 위의 [[항등 함수]] || [[집합]] || [[공집합]] 또는 [[한원소 집합]]
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| [[함수]] || [[함수]] || [[전단사 함수]] || [[집합]] || [[집합]]
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이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.
* 만약 약한 동치가 임의의 함수라면, 호모토피 범주는 하나의 대상 및 하나의 사상만을 갖는 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.
* 만약 약한 동치가  정의역이 공집합이 아닌 함수 또는 [[공집합]] 위의 [[항등 함수]]라면, 호모토피 범주는 두 개의 대상 (공집합 · 공집합이 아닌 집합) 및 이들의 항등 사상만을 갖는 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.
* 만약 약한 동치가 [[전단사 함수]]라면, 호모토피 범주는 집합과 함수의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

=== 미분 등급 대수 ===
{{본문|미분 등급 대수}}
[[체의 표수|표수]] 0인 체 <math>K</math> 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
* [[자연수]] 등급의 [[가환 미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{CDGA}^{\ge0}_K</math>
* [[자연수]] 등급의 [[미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{DGA}^{\ge0}_K</math>
* [[정수]] 등급의 [[가환 미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{CDGA}^{\mathbb Z}_K</math>
* [[정수]] 등급의 [[미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{DGA}^{\mathbb Z}_K</math>

이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 [[유사동형]](코호몰로지의 동형)이다.

=== 작은 범주의 범주 ===
[[작은 범주]]와 [[함자 (수학)|함자]]의 범주 <Math>\operatorname{Cat}</math> 위에서, 호모토피 동치가 [[범주의 동치]]가 되는 모형 범주 구조는 유일하다.<ref>{{웹 인용|url=https://sbseminar.wordpress.com/2012/11/16/the-canonical-model-structure-on-cat/|이름=Chris|성=Schommer-Pries|날짜=2012-11-16|웹사이트=Secret Blogging Seminar|제목=The canonical model structure on Cat|언어=en}}</ref> 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.
* 약한 동치인 함자는 [[범주의 동치]]이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>이다.
** [[충실충만한 함자]]이다.
** 임의의 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>i\colon F(C)\to D</math>인 대상 <Math>C\in\mathcal C</math> 및 [[동형 사상]] <math>i</math>가 존재한다.
* 쌍대올뭉치인 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>는 대상에 대하여 [[단사 함수]]인 [[함자 (수학)|함자]]이다. 즉, 임의의 <Math>C,C'\in\mathcal C</math>에 대하여 <math>C\ne C'</math>라면 <math>F(C)\ne F(C')</math>이다.
* 올뭉치인 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
** 임의의 <math>C\in\mathcal C</math>, <math>D\in\mathcal D</math> 및 <math>\mathcal D</math>-[[동형 사상]] <math>i\colon F(C)\to D</math>에 대하여, <math>F(C')=D</math>이자 <math>F(j)=i</math>가 되는 <math>\mathcal C</math>-[[동형 사상]] <math>j\colon C\to C'</math>가 존재한다.

=== 동치 관계 ===
[[동치 관계]]의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=The homotopy theory of equivalence relations|arxiv=math/0611344|이름=Finnur|성=Larusson|bibcode=2006math.....11344L|날짜=2006|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[대니얼 퀼런]]이 1967년에 도입하였다.<ref name="Quillen">{{서적 인용 | last=Quillen | first=Daniel G. | 저자링크=대니얼 퀼런 | title=Homotopical algebra | publisher=Springer | series=Lecture Notes in Mathematics | 권= 43 | doi=10.1007/BFb0097438 | 날짜=1967 | mr=0223432 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=model category|title=Model category}}
** {{nlab|id=opposite model structure|title=Opposite model structure}}
** {{nlab|id=transferred model structure|title=Transferred model structure}}
* {{nlab|id=model structure on topological spaces|title=Model structure on topological spaces}}
** {{nlab|id=Strøm model structure}}
** {{nlab|id=mixed model structure|title=Mixed model structure}}
** {{nlab|id=model structure on simplicial sets|title=Model structure on simplicial sets}}
** {{nlab|id=model structure on cellular sets|title=Model structure on cellular sets}}
** {{nlab|id=model structure for quasi-categories |title=Model structure for quasi-categories}}
* {{nlab|id= model structure on chain complexes |title= Model structure on chain complexes }}
** {{nlab|id=model structure on dg-algebras|title=Model structure on dg-algebras}}
** {{nlab|id=model structure on dg-coalgebras|title=Model structure on dg-coalgebras}}
** {{nlab|id=model structure on dg-modules|title=Model structure on dg-modules}}
** {{nlab|id=model structure on algebras over an operad|title=Model structure on algebras over an operad}}
** {{nlab|id=model structure on dg-categories|title=Model structure on dg-categories}}
** {{nlab|id=model structure on cosimplicial rings|title=Model structure on cosimplicial rings}}
* {{nlab|id=model structure on an over category|title=Model structure on an over category}}
** {{nlab|id=model structure on simplicial presheaves|title=Model structure on simplicial presheaves}}
* {{nlab|id=canonical model structure|title=Canonical model structure}}
** {{nlab|id=trivial model structure|title=Trivial model structure}}
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** {{nlab|id=canonical model structure on Cat |title=Canonical model structure on Cat }}
** {{nlab|id=model structure on sSet-categories |title=Model structure on sSet-categories}}
** {{nlab|id=model structure on strict omega-groupoids|title=Model structure on strict omega-groupoids}}
** {{nlab|id=model structure on enriched categories|title=Model structure on enriched categories}}
* {{nlab|id=combinatorial model category|title=Combinatorial model category}}
** {{nlab|id=combinatorial simplicial model category|title=Combinatorial simplicial model category}}
** {{nlab|id=cellular model category|title=Cellular model category}}
** {{nlab|id=tractable model category|title=Tractable model category}}
** {{nlab|id=cofibrantly generated model category|title=Cofibrantly generated model category}}
* {{nlab|id=fibration|title=Fibration}}
** {{nlab|id=cofibration|title=Cofibration}}
** {{nlab|id=resolution|title=Resolution}}
* {{웹 인용|url=http://homepages.math.uic.edu/~bshipley/man.slides.pdf|제목=Model category theory|이름=Brooke|성=Shipley|날짜=2006-01|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/2185/how-to-think-about-model-categories|제목=How to think about model categories?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=
http://mathoverflow.net/questions/18336/what-are-surprising-examples-of-model-categories|제목=What are surprising examples of model categories?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/23269/non-examples-of-model-structures-that-fail-for-subtle-surprising-reasons/23885|제목=Non-examples of model structures that fail for subtle surprising reasons|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://pages.iu.edu/~mmandell/YTM/|제목=Algebraic models for homotopy types|날짜=2013-07|이름=Michael A.|성=Mandell|언어=en|확인날짜=2015-06-11|archive-date=2015-06-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20150612101641/http://pages.iu.edu/~mmandell/YTM/|url-status=dead}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]