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수학에서 라그랑지안 계는 일반적으로 게이지 대칭성을 가지지만, 그 대칭이 자명한 경우도 있다. [[이론물리학|이론 물리학]]에서 매개변수 함수에 따른 [[게이지 이론|게이지 대칭]]의 개념은 현대 [[장 (물리학)|장론]]의 초석을 이루고 있다.

라그랑지안 <math>L</math>의 게이지 대칭은 어떤 [[올다발|선형 다발]] <math>E</math>에서 정의되는 미분 연산자에 해당한다. 그리고 <math>L</math>의 대칭들이 이루는 선형 공간에서 값을 가진다. 따라서 <math>L</math>의 게이지 대칭은 <math>E</math>의 단면의 편미분들이고 단면에 따라 다르다.<ref>Giachetta (2008)</ref> 예를 들어, [[장 방정식|고전장론]]의 게이지 대칭의 경우를 보면,<ref>Giachetta (2009)</ref> [[양-밀스 이론|양–밀스 게이지 이론]]과 [[게이지 중력 이론]]은 게이지 대칭을 가진 고전장론의 예이다.<ref>Daniel (1980), Eguchi (1980), Marathe (1992), Giachetta (2009)</ref>

게이지 대칭에는 다음과 같은 두 가지 특징이 있다.

# 라그랑지안의 게이지 대칭은 라그랑지안의 대칭이므로 [[뇌터 정리|뇌터의 첫 번째 정리]]를 만족하지만, 해당 보존류 <math>J^\mu</math>는 특별한 초포텐셜 형태<math>J^\mu=W^\mu + d_\nu U^{\nu\mu}</math>를 취한다. 여기서 첫 번째 항 <math> W^\mu</math>은 오일러-라그랑주 방정식의 해에서 사라지고 두 번째는 경계 항이다. 여기서 <math> U^{\nu\mu}</math>를 초포텐셜이라고 한다.<ref>Gotay (1992), Fatibene (1994)</ref>
# 뇌터의 두 번째 정리에 따라 라그랑지안의 게이지 대칭과 오일러-라그랑주 연산자가 만족하는 뇌터 항등식 사이에는 일대일 대응이 있다. 결과적으로 게이지 대칭은 라그랑지안 계의 축퇴를 특징으로 한다.<ref>Gomis (1995), Giachetta (2009)</ref>

[[양자장론]]에서 생성 함수는 게이지 변환에 대해서 불변이 아님에 주목하라. 이 때 게이지 대칭은 유령에 따라 변하면서 장과 유령 모두에 작용하는 [[파데예프-포포프 유령|BRST 대칭]]으로 대체된다.<ref>Gomis (1995)</ref>

== 같이 보기 ==
* [[게이지 이론 (수학)]]
* 라그랑주 계
* 뇌터 항등식
* [[게이지 이론]]
* [[양-밀스 이론]]
* [[게이지 변환군]]
* 게이지 중력 이론

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mils type, Rev. Mod. Phys. '''52''' (1980) 175.
* Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. '''66''' (1980) 213.
* Gotay, M., Marsden, J.,  Stress-energy-momentum tensors and the Belinfante–Rosenfeld formula,  Contemp. Math. '''132''' (1992) 367.
* Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992)  {{ISBN|0-444-89708-9}}.
* Fatibene, L., Ferraris, M., Francaviglia, M., Noether formalism for conserved quantities in classical gauge field theories, J. Math. Phys. '''35''' (1994) 1644.
* Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. '''295''' (1995) 1; [http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9412228 arXiv: hep-th/9412228].
* Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., [[:en:Gennadi_Sardanashvily|Sardanashvily, G.]], On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory,  J. Math. Phys. '''50''' (2009) 012903; [http://www.arxiv.org/abs/0807.3003 arXiv: 0807.3003].
* Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., [[:en:Gennadi_Sardanashvily|Sardanashvily, G.]], Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) {{ISBN|978-981-2838-95-7}}.
* {{저널 인용|title=Reformulation of the symmetries of first-order general relativity|journal=Classical and Quantum Gravity|last1=Montesinos|first1=Merced|last2=Gonzalez|first2=Diego|year=2017|volume=34|issue=20|pages=205002|arxiv=1704.04248|bibcode=2017CQGra..34t5002M|doi=10.1088/1361-6382/aa89f3|last3=Celada|first3=Mariano|last4=Diaz|first4=Bogar|s2cid=119268222}}
* {{저널 인용|title=The gauge symmetries of first-order general relativity with matter fields|journal=Classical and Quantum Gravity|last1=Montesinos|first1=Merced|last2=Gonzalez|first2=Diego|year=2018|volume=35|issue=20|pages=205005|arxiv=1809.10729|bibcode=2018CQGra..35t5005M|doi=10.1088/1361-6382/aae10d|last3=Celada|first3=Mariano|s2cid=53531742}}

[[분류:대칭]]
[[분류:게이지 이론]]