{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Riemann-Zeta-Func.png|섬네일|365x365픽셀|[[리만 제타 함수]]는 모든 L-함수의 원형으로 생각할 수 있다.<ref>Jorn Steuding, An Introduction to the Theory of L-functions, Preprint, 2005/06</ref>|대체글=리만 제타 함수는 모든 L-함수의 원형으로 생각할 수 있다.]]
'''L-함수'''(L-function)는 [[복소평면]]에서 정의된 [[유리형 함수]]로 몇 가지 [[수학적 대상|수학적 대상과]] 연결되어 있다. L-시리즈는 [[디리클레 급수]]로 복소 상반 평면에서 수렴하며 해석적 확장을 통해 L-함수를 만들 수 있다.

''L''-함수 이론은 본질적이지만, 여전히 주로 [[추측]]에 의존하는 현대 [[해석적 수론]]의 일부이다. 이것에는 [[리만 제타 함수]] 및 [[디리클레 지표]]에 대한 ''L''-시리즈의 일반화가 포함되어 있다. 그들의 일반적인 속성이 대부분 증명되지 않았고, 체계적으로 정리되지도 않았다.

== 구성 ==
우선 [[무한 집합|무한 급수 표현]](예를 들어, [[리만 제타 함수]]에 대한 [[디리클레 급수]])인 L-급수와 그 복소 평면에서의 해석 확장인 ''L''-함수를 구별한다. [[디리클레 급수]]에서 정의된 ''L''-급수로 시작한다. 다음에 소수들에 대한 [[오일러의 곱셈 공식|오일러 곱]]을 만든다. 이 오일러 곱이 복소 상반평면의 오른쪽 일부에서 수렴하는 것을 증명할 수 있는지 확인한다. 그리고 복소 평면의 나머지 영역에서도 해석적 확장을 통해 정의될 수 있는지 확인한다 (몇몇 [[극점 (복소해석학)|극점]]은 있을 수 있다. 예를 들어, 리만제타함수는 1에서 극점을 가진다).

이것이 '''''L''-함수라 불리는''' 복소 평면으로의 [[유리형 함수]] (meromorphic)확장이다. 고전적인 경우에, 그 값들과 급수 표현이 수렴하지 않는 점 근처에서의 ''L''-함수의 특성이 유용하다는 것이 알려져 있다. ''L''-함수는 여기에 많은 알려진 형태의 제타 함수를 포함한다. [[셀베르그 클래스]](Selberg class)는 ''L''-함수의 핵심 특성을 공리화하여, 개별 함수를 넘어서는 특성들을 얻기 위해 고안되었다.

== 추측 정보 ==
''L''-함수 이론을 통해 일반화하고자 하는 특성들
* 영점과 극점의 위치
* 수직선 Re(''s'')=상수 에 대한 함수 방정식
* 정수에서의 흥미로운 값들
많은 그럴 듯한 추측, 예를 들어 확인가능한 유형의 함수 방정식에 대한 연구가 이루어져 왔다. 리만 제타 함수는 양의 짝수 (및 음의 홀수)에서의 값과 [[베르누이 수]]를 연결시켜 주기 때문에, 이 현상의 적절한 일반화를 찾고 있다. 이 경우에는 [[p진수 L-함수|''p''진수 L-함수]]가 특정 [[갈루아 모듈]](Galois module)을 묘사한다고 알려져 있다.

[[리만 제타 함수#영점|영점]]의 [[리만가설#영점의 계산|분포]]는 흥미로운 주제로, 일반화된 리만 가설, 소수의 분포 뿐만 아니라 [[random matrix|난수 행렬 이론]]과 [[quantum chaos|양자 혼돈]]과도 연결되어 있다.  그 프랙털 구조는 정적인 [[재설정 범위]]에 관한 분석(rescaled range analysis)에서 이를 통해 연구되어 왔다.<ref name="Shanker">{{저널 인용|author=O. Shanker|year=2006|title=Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions|journal=J. Phys. A: Math. Gen.|volume=39|issue=45|pages=13983–13997|doi=10.1088/0305-4470/39/45/008|bibcode=2006JPhA...3913983S}}</ref> 또한 그 [[자기닮음|자기 유사성]]은 아주 놀라운 특징으로 [[프랙털 차원]]이 1.9이다. 이 큰 프랙털 차원은 [[위수 (수학)| 위수 (order)]] 크기 15 이내의 리만 제타 함수의 영점에서 발견되며, 그 이상의 위수(order) 또는 그와 다른 [[모듈러스 (수론)#인도자|인도자(conductor)]]를 갖는 L-함수와도 관계가 있다.
<!-- 이 큰 프랙털 차원은 [[리만 제타 함수]]의 적어도 [[위수 (수학)| 위수 (order)]]의 크기 15를 포함하는 영점에서 발견되며, 이와 다른 위수(order)와 [[아르틴 상호 법칙#아르틴 사상|인도자(conductor)]]를 갖는 L-함수와도 관계가 있다. -->

== 버치-스위너턴다이어 추측==
[[버치-스위너턴다이어 추측]]은 버치-스위너턴다이어(Bryan Birch , Peter Swinnerton-Dyer)가 1960년대 초에 추측했으며. [[타원곡선|타원 곡선]] ''E의 유리체'' (또는 다른 [[대역체]]) 위에서의 해의 개수 즉 그 군의 자유 생성자(Generator)의 개수에 대한 것이다. 훨씬 이전에 ''L''-함수를 이해하기 위한 통합 노력이 있었다.

== 일반 이론의 대두 ==
[[랭글랜즈 프로그램]]이 L-함수 이론 등장 몇 년 후 그 보강으로 나타났다. 랭글랜즈의 작업은  수십 년 전에 정의된 [[헤케 지표|헤케 L-함수]]처럼 [[아르틴 L-함수|알틴 L-함수]]와 일반화된 [[보형 형식|자기동형 형식]]과 결부된 ''L''-함수와 관련이 있다. 이후 [[하세-베유 제타 함수]]가 해석적 관점에서 정확한 L-함수를 제공하는 방법으로 구축된다는 것이 명확해졌다. 즉 자기동형 사상과 관련되는 방식이어야 한다는 것이다. 일반적으로는 다수의 다른 연구 프로그램을 개념 수준에서 통합한다.

== 같이 보기 ==
* [[일반화 리만 가설]]
* [[디리클레 L-함수]]
* [[자기동형 L-함수]]
* [[모듈러성 정리]]
* [[알틴 상수]]
* [[L-함수의 특별한 값]]
* [[시미즈 L-함수|시미즈(Shimizu) L-함수]]
* [[표준 L-함수]]
* [[작은 군의 목록]]
* [[제타 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용
| last        = Neukirch
| first       = Jürgen
| author-link = 위르겐 노이키르히
| title       = Algebraic Number Theory
| publisher   = Springer-Verlag
| location    = Berlin
| series      = {{lang|de|Grundlehren der mathematischen Wissenschaften}}
| isbn        = 978-3-540-65399-8
| mr          =  1697859
| zbl         = 0956.11021
| year        = 1999
| volume      = 322
}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.lmfdb.org LMFDB],의 데이터베이스 L-함수,모듈 형태와 관련된 체
* [http://www.physorg.com/news124636003.html 흘끗해본 새로운(수학)세계] L-함수의 돌파구 초월 L-함수 ''Physorg.com'' 3월 13,2008
* [http://www.sciencenews.org/view/generic/id/9542/title/Math_Trek__Creeping_Up_on_Riemann 리만에 접근해보다] {{웨이백|url=http://www.sciencenews.org/view/generic/id/9542/title/Math_Trek__Creeping_Up_on_Riemann |date=20120216201232 }},과학 뉴스,April2,2008
* [http://www.physorg.com/news137248087.html 사냥이 어려운 L-함수]
*{{SpringerEOM|title=L-function|id=L-function&oldid=19281|last=Lavrik|first=A.F.}}

{{전거 통제}}

[[분류:제타 함수와 L-함수| ]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:해석적 수론]]
[[분류:대수적 수론]]