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[[함수해석학]]에서 '''C* 대수'''(시스타 대수, {{llang|en|C*-algebra}})는 [[대합 대수]]와 [[복소수 바나흐 대수]]의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.

== 정의 ==
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, [[복소수 대합 대수]]와 [[복소수 바나흐 대수]]의 구조가 서로 호환되게 주어진 [[복소수 벡터 공간]]으로 여길 수 있다.
* 사실, [[복소수 바나흐 공간]] 구조는 [[복소수 대합 대수]] 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 [[대합 대수]]로 정의할 수 있다.
* 구체적으로, [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소]] 대수로 표현될 수 있는 [[복소수 바나흐 대수]]로 여길 수 있다. 이 정의에서, [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다.
이 정의들은 모두 서로 [[동치]]이다.

=== 추상적 정의 ===
[[복소수 벡터 공간]] <math>A</math> 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.
* <math>(A,^*)</math>는 (복소수 켤레를 부여한) [[복소수체]] 위의 (항등원을 갖는) [[대합 대수]]이다. (즉, 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>\lambda\in\mathbb C</math>에 대하여 <math>(\lambda a)^*=\bar\lambda a^*</math>이다.)
* <math>(A,\|\|)</math>는 [[복소수 바나흐 대수]]이다.
그렇다면, <math>(A,^*,\|\|)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 만약 <math>(A,^*,\|\|)</math>가 이를 만족시킨다면 '''C* 대수'''라고 한다.
* ('''C* 항등식''' {{llang|en|C* identity}}) <math>\Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert</math>
* ('''B* 항등식''' {{llang|en|B* identity}}) <math>\Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert</math>
(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)

일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.

=== 대수적 정의 ===
(복소수 켤레를 부여한) [[복소수체]] 위의 (항등원을 갖는) [[대합 대수]] <math>(A,^*)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''C* 대수'''라고 한다.
* <math>a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a)</math>는 <math>A</math> 위의 [[노름]]을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]] <math>\operatorname{sp}(a^*a)\subseteq\mathbb C</math>는 [[유계 집합]]이다.
** 임의의 <math>a\in A\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>1+\lambda a^*a</math>가 [[가역원]]이 아니게 만드는 복소수 <math>\lambda\in\mathbb C</math>가 존재한다.
** ([[삼각 부등식]]) 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>\sup\operatorname{sp}(a^*a+b^*b+a^*b+b^*a)\le \sup\operatorname{sp}(a^*a)+\sup\operatorname{sp}(b^*b)</math>이다.
* <math>a\mapsto\sup\operatorname{sp}(a^*a)</math>는 [[완비 거리 공간|완비 노름]]을 이룬다.

이 대수적 정의는 위의 정의와 [[동치]]이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 <math>\|a\|=\sup\operatorname{sp}(a^*a)=\operatorname{sp}(aa^*)</math>임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 [[복소수 바나흐 대수]]에서 <math>\operatorname{sp}(ab)\cup\{0\}=\operatorname{sp}(ba)\cup\{0\}</math>이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.

=== 구체적 정의 ===
[[복소수 대합 대수]] <math>A</math>의 '''*-표현'''({{llang|en|*-representation}})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>
* [[유계 작용소]]들의 [[복소수 바나흐 대수]] <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>로 가는 [[단사 함수|단사]] [[복소수 대합 대수]] 준동형 <math>\iota\colon A\hookrightarrow \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>. 즉, <math>\iota</math>는 [[단사 함수]]이며, [[복소수 선형 변환]]이며, (항등원을 보존하는) [[환 준동형]]이며, [[대합 (수학)|대합]]을 보존한다 (즉, <Math>\iota(a^*)=\iota(a)*\;\forall a\in A</math>. 여기서 우변의 <math>(-)^*</math>는 [[유계 작용소]]의 [[에르미트 수반]]이다.)
만약 [[복소수 대합 대수]]가 그 [[상 (수학)|상]]이 ([[작용소 노름]]으로 정의되는 [[거리 위상]]에 대하여) [[닫힌집합]]인 *-표현을 갖는다면, 이를 '''C* 대수'''라고 한다.
(마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 [[작용소 위상]] 또는 약한 [[작용소 위상]]에 대한 [[닫힌집합]]인 것으로 강화시키면, 대신 [[폰 노이만 대수]]의 개념을 얻는다.)

'''겔판트-나이마르크 정리'''(Гельфанд-Наймарк定理, {{llang|en|Gelfand–Naimark theorem}})에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 <math>A</math>의 경우, 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위의 작용
:<math>\iota\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>
가 존재하며, 또한 이는 [[단사 함수]]이자 [[복소수 선형 변환]]이자 [[등거리 변환]]이며, 또한 수반 연산 <math>^*</math>에 대한 [[준동형]]이며, 그 [[상 (수학)|상]]은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.

=== C* 대수의 원소 ===
<math>A</math>가 C* 대수라고 하고, <math>x\in A</math>라고 하자.
* 만약 <math>y\in A</math>가 존재하여 <math>y^*y=x</math>라면, <math>x</math>를 '''음이 아닌 원소'''(陰-元素, {{llang|en|nonnegative element}})라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 [[볼록집합|볼록]] 뿔(convex cone)을 이룬다.
* 만약 <math>x=x^*</math>라면, <math>x</math>를 '''[[자기 수반 원소]]'''라고 한다. 자기 수반 원소의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 모두 실수이다.
* <math>xx^*=x^*x=1</math>이라면, <math>x</math>를 '''[[유니터리 원소]]'''라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 [[절댓값]]은 항상 1이다.
* <math>x</math>의 '''[[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]''' <math>\sigma(x)\subset\mathbb C</math>는 <math>\lambda\cdot1-x</math>가 [[가역원]]이 아니게 되는 <math>\lambda\in\mathbb C</math>들의 집합이다. 일반적으로, <math>\sigma(x^*)=\bar\sigma(x)</math>이다.
* <math>x</math>의 스펙트럼의 [[절댓값]]들의 [[상한]] <math>\sup|\sigma(x)|=\nu(x)</math>를 <math>x</math>의 '''[[스펙트럼 반지름]]'''이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.
*:<math>\nu(x)=\lim_{n\to\infty}\Vert x^n\Vert^{1/n}</math>

== 연산 ==
=== 직합 ===
유한 또는 무한 개의 C* 대수 <math>(A_i)_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[복소수 벡터 공간]]
:<math>\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i
\subseteq\prod_{i\in I}A_i</math>
:<math>a\in \widehat\bigoplus_{i\in I}A_i
\iff \sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}<\infty</math>
위에 [[균등 노름]]
:<math>\|a\|_{\widehat\bigoplus_i A_i}=\sup_{i\in I}\|a_i\|_{A_i}</math>
및 성분별 곱셈
:<math>(ab)_i=a_ib_i\qquad(i\in I)</math>
을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은
<math>1_{\widehat\bigoplus_iA_i}=(1_{A_i})_{i\in I}</math>
이다.

물론, 만약 <math>I</math>가 유한 집합이라면, 이는 단순히 [[직합]] <math>\textstyle\bigoplus_{i\in I}A_i</math>과 같다.

=== 몫대수 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* C* 대수 <math>A</math>
* <math>A</math>의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq A</math>. 또한, <math>\mathfrak I</math>가 [[닫힌집합]]이라고 하자.
그렇다면, 그 몫환 <math>A/\mathfrak I</math> 역시 C* 대수를 이룬다.

=== 행렬 대수 ===
[[C* 대수]] <math>A</math> 및 [[자연수]] <Math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[행렬]] 대수 <math>\operatorname{Mat}(n;A)</math>는 <math>A</math> 성분의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math>에 대하여 <math>A\subseteq\operatorname B(V,V)</math>라면, <math>\operatorname{Mat}(n;A)\subseteq\operatorname B(V^{\oplus n},V^{\oplus n})</math>으로 여길 수 있다.

만약 <math>n=0</math>일 경우, 이는 [[자명환]]이다.

== 성질 ==
=== C* 대수 사이의 사상 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* (항등원을 갖는) 두 C* 대수 <math>A</math>, <math>B</math>
* (항등원을 보존하는) [[복소수 대합 대수]] 준동형 <math>f\colon A\to B</math>. 즉, <math>f</math>는 [[복소수 선형 변환]]이자 [[환 준동형]]이며, 대합 연산을 보존한다 (<math>f(a^*)=f(a)^*\;\forall a\in A</math>).
그렇다면, <math>f</math>는 [[작용소 노름]]이 1 이하인 [[유계 작용소]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, C* 항등식에 따라
:<math>\|a\|_A^2=\|a^*a\|_A</math>
이다. <math>a^*a</math>는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 [[스펙트럼 반지름]]과 같다.
:<math>\|a^*a|_A=\operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)</math>
<math>A</math>의 [[가역원]]의 [[상 (수학)|상]]은 <math>B</math>의 [[가역원]]이므로 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{sp}_A(a^*a)\supseteq \operatorname{sp}_B(f(a^*a))</math>
여기서 <math>\operatorname{sp}(-)</math>는 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이다. 특히
:<math>\operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)\ge\operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a))</math>
이다. 이에 따라
:<math>\|f(a)\|_B^2=\|f(a^*a)\|_B=\operatorname{sp\,rad}_B(f(a^*a))\le \operatorname{sp\,rad}_A(a^*a)=\|a^*a\|_A=\|a\|_A^2</math>
이며, 즉 <math>\|f\|\le1</math>이다.
</div></div>
또한, 만약 <math>f</math>가 추가로 [[단사 함수]]라면, 이는 [[등거리 변환]]이다. 즉, <math>\|a\|_A=\|f(a)\|_B\;\forall a\in A</math>이다.

이에 따라, C* 대수와 [[복소수 대합 대수]] 준동형들은 [[구체적 범주]] <math>\operatorname{C*Alg}</math>를 이룬다.

=== 스펙트럼 ===
{{본문|스펙트럼 (함수해석학)}}
C* 대수의 원소의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 항상 [[공집합]]이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여
:<math>\operatorname{sp}(a^*)=\{\bar\lambda\colon\lambda\in\operatorname{sp}(a)\}</math>
이다.

C* 대수의 [[자기 수반 원소]]의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 [[유니터리 원소]]의 스펙트럼은 <math>\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>의 부분 집합이다.

== 분류 ==
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 [[복소수 힐베르트 공간]] 속의 [[유계 작용소]] C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 [[폰 노이만 대수]]를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 [[폰 노이만 대수]]의 강한 [[연산자 위상]]에서의 [[조밀 집합]]을 이룬다. [[폰 노이만 대수]]의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.

== 예 ==
=== 자명한 C* 대수 ===
[[한원소 집합]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 유일한 환 구조인 [[자명환]]은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

=== 유한 차원 C* 대수 ===
임의의 유한 차원 C* 대수 <math>A</math>는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>A=\bigoplus_{i\in I}\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)</math>
여기서 <math>\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)</math>는 [[작용소 노름]]이 부여된, <math>n\times n</math> 복소수 [[정사각 행렬]]들의 C* 대수이다.

=== 가환 C* 대수 ===
(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 <math>A</math>의 '''스펙트럼'''({{llang|en|spectrum}})은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은  C* 대수의 원소의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]의 개념과 관계가 없다.)
:<math>\hat A=\hom(A,\mathbb C)\subseteq A^*</math>
즉, <math>A\to\mathbb C</math> *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 [[작용소 노름]]은 1 이하이므로,
:<math>\hat A\subseteq\operatorname{cl}\left(\operatorname{ball}_{A^*}(0,1)\right)</math>
이다. (여기서 우변은 [[연속 쌍대 공간]] <math>A^*</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] 단위 공이다.)
우변에 [[약한-* 위상]]을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, [[바나흐-앨러오글루 정리]]에 의하여 <math>\hat A</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]을 이룬다. 이 연산은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\hat{\color{White}{A}}\colon\operatorname{comC*Alg}\to\operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다. 여기서
* [[정의역]]은 (항등원을 갖는) [[가환환|가환]] C* 대수와, *-준동형들의 [[구체적 범주]]이다.
* [[공역]]은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]들의 [[구체적 범주]]의 [[반대 범주]]이다.
반대로, 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\mathcal C^0(X,-)\colon\operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{comC^*Alg}</math>
를 정의할 수 있다.
* 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여,  <math>\mathcal C^0(-,\mathbb C)</math>는 복소수 값 [[연속 함수]]들의 공간이다. 이 위에 ∞-[[르베그 공간|르베그 노름]] <math>\|f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f|</math> 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
* 임의의 두 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>의 <math>\mathcal C^0(-,\mathbb C)</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]은 다음과 같다.
*:<math>\mathcal C^0(f,\mathbb C)\colon\mathcal C^0(Y,\mathbb C)\to\mathcal C^0(X,\mathbb C)</math>
*:<math>\mathcal C^0(f,\mathbb C)\colon\phi\mapsto\phi\circ f</math>

'''겔판트 표현 정리'''(Гельфанд表現定理, {{llang|en|Gelfand representation theorem}})에 따르면, <math>\mathcal C^0(-,\mathbb C)</math>와 <math>\hat{\color{White}{A}}</math> 함자는 사실 두 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{comC*Alg}</math>와 <math>\operatorname{CompHausTop}^{\operatorname{op}}</math> 사이의 [[범주의 동치]]를 정의한다.

특히, 모든 (항등원을 갖는) [[가환환|가환]] C* 대수 <math>A</math>에 대하여
:<math>A\cong\mathcal C^0(\hat A,\mathbb C)</math>
이며, 모든 (항등원을 갖는) [[가환환|가환]] C* 대수 <math>A</math>는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.

=== 유계 작용소 대수 ===
임의의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 모든 [[유계 작용소]]들의 집합 <math>\operatorname B(V,V)</math>은 [[함수의 합성]]을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 [[인자 대수]]이다.) 특히, 만약 <math>V=\mathbb C^n</math>가 유한 차원이라면, 이는 <math>n\times n</math>  [[복소수 행렬]]들로 구성된다.

=== 콤팩트 작용소 대수 ===
임의의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 모든 [[콤팩트 작용소]]들의 집합 <math>\operatorname K(V,V)</math>은 <math>\operatorname B(V,V)</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] [[양쪽 아이디얼]]을 이루며, 이에 대한 [[몫환]]
:<math>\frac{\operatorname B(V,V)}{\operatorname K(V,V)}</math>
은 C* 대수를 이룬다. 이를 '''콜킨 대수'''({{llang|en|Calkin algebra}})라고 한다.

== 응용 ==
C* 대수의 이론은 [[양자장론]]을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.

겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 [[비가환 기하학]]이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[바나흐 대수]]
* [[작용소 K이론]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Arveson|이름=William|날짜=1976|제목=An invitation to C*-algebras|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=39|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6373-9|mr=0512360|zbl=0344.46123|doi=10.1007/978-1-4612-6371-5|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=C*-algebras and W*-algebras|이름=Shôichirô|성=Sakai|총서=Classics in Mathematics|issn=0071-1136|권=60|날짜=1971|doi=10.1007/978-3-642-61993-9|isbn=978-3-540-63633-5|mr=1490835|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume I: elementary theory|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=15|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0819-1|날짜=1997|이름=Richard V.|성=Kadison|이름2=John R.|성2=Ringrose|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-15|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume II: advanced theory|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=16|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-0820-7|날짜=1997|이름=Richard V.|성=Kadison|이름2=John R.|성2=Ringrose|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-16|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Set theory and C*-algebras|이름=Nik|성=Weaver|arxiv=math/0604198|날짜=2007-03|권=13|호=1|쪽=1–20|저널=Bulletin of Symbolic Logic|bibcode=2006math......4198W|jstor=4145599|issn=1079-8986|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=C*-algebra}}
* {{eom|title=Toeplitz C*-algebra}}
* {{eom|title=Nuclear-C*-algebra}}
* {{eom|title=Spectrum of a C*-algebra}}
* {{eom|title=Character of a C*-algebra}}
* {{eom|title=Trace on a C*-algebra }}
* {{eom|title=AF-algebra}}
* {{매스월드|id=C-Star-Algebra|title=C^*-algebra}}
* {{매스월드|id=C-Star-AlgebraRepresentation|title=C^*-algebra representation|이름=Mohammad Sal|성=Moslehian}}
* {{매스월드|id=Pre-C-Star-Algebra|title=Pre-C^*-algebra}}
* {{매스월드|id=LocalC-Star-Algebra|title=Local C^*-algebra}}
* {{nlab|id=C-star-algebra}}
* {{nlab|id=separable C*-algebra|title=Separable C*-algebra}}
* {{nlab|id=nuclear C*-algebra|title=Nuclear C*-algebra}}
* {{nlab|id=commutative C-star-algebra|title=Commutative C*-algebra}}
* {{nlab|id=crossed product C*-algebra|title=Crossed product C*-algebra}}
* {{웹 인용|url=https://randomperturbation.wordpress.com/2011/07/05/c-algebras/|제목=C*-algebras|날짜=2011-07-05|웹사이트=The Vortex|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://randomperturbation.wordpress.com/2011/07/09/tensor-products-of-c-algebras/|제목=Tensor products of C*-algebras|날짜=2011-07-09|웹사이트=The Vortex|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:대수]]