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[[추상대수학]]에서 '''대수적으로 닫힌 체'''(代數的으로 닫힌 體, {{llang|en|algebraically closed field}})는 모든 다항식을 1차 다항식으로 [[인수 분해]]할 수 있는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 체를 '''대수적으로 닫힌 체'''라고 한다.
* [[다항식환]] <math>K[t]</math>의 임의의 원소 <math>p(t)\in K[t]</math>에 대하여, <math>p(t_0)=0</math>인 <math>t_0\in K</math>가 항상 적어도 하나가 존재한다.
* <math>K[x]</math>의 [[기약 다항식]]이 모두 일차식이다.
* <math>K</math>의 [[대수적 확대]]가 <math>K</math> 자신밖에 존재하지 않는다.
* 임의의 <math>K^n</math>에 대해, <math>K^n \to K^n</math>인 [[선형 변환]]은 항상 어떠한 [[고윳값]]을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 [[특성다항식]]이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 <math>K</math>의 '''대수적 폐포'''(代數的閉包, {{llang|en|algebraic closure}}) <math>\bar K</math>는 <math>K</math>를 포함하는, 대수적으로 닫힌 [[대수적 확대]] <math>\bar K/K</math>이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 <math>K</math>의 대수적 폐포들은 모두 서로 [[동형]]이지만, 이러한 동형은 표준적({{llang|en|canonical}})이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이루지 않는다.

== 분류 ==
두 대수적으로 닫힌 체 <math>K</math>와 <math>K'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 [[체 (수학)|체]]로서 서로 [[동형]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 같은 [[체의 표수|표수]]를 가지며, 또한 같은 절대 [[초월 차수]]([[대수 독립 집합]]의 최대 크기)를 갖는다.
따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 <math>p</math>와 초월 차수 <math>\kappa</math>로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은
:<math>\overline{\mathbb F_p(\{x_i\}_{i\in I})}</math>
또는
:<math>\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in I})}</math>
의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, [[복소수체]]는 초월 차수가 <math>2^{\aleph_0}</math>인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,
:<math>\mathbb C\cong\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in 2^{\aleph_0}})}</math>
이다.

== 성질 ==
절대 초월 차수가 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>인 대수적으로 닫힌 체 <math>K</math>의 [[집합의 크기]]는 다음과 같다.
:<math>|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}</math>
즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 [[무한 집합]]이다. 이는 <math>\kappa>\aleph_0</math>이면 절대 초월 차수와 같으므로, [[비가산 집합|비가산]] 대수적으로 닫힌 체들은 [[집합의 크기]]와 [[체의 표수]]에 따라 분류된다. (물론, 이는 [[가산 집합|가산]] 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

== 예 ==
=== 표수 0 ===
* [[복소수체]]는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 [[대수학의 기본 정리]]로 알려져 있다.
* [[실수체]]는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 <math>x</math>에 대한 다항방정식 <math>x^2+1 = 0</math>은 실수근을 갖지 않는다. [[실수체]]의 대수적 폐포는 [[복소수체]]다. ([[대수학의 기본 정리]])
* [[유리수체]]는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 [[대수적 수]]의 체이다.

=== 양의 표수 ===
모든 [[유한체]]는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 <math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math>인 경우, 다항식 <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1</math>은 해를 갖지 않는다. [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>의 크기를 가진 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math>의 대수적 폐포 <math>\bar{\mathbb F}_p</math>는 [[귀납적 극한]]
:<math>\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim \mathbb F_{p^n}</math>
이다. 즉, 만약 [[체의 확대]]
:<math>\mathbb F_{p^n}\hookrightarrow\mathbb F_{p^{kn}}</math>
을 [[집합론]]적 [[부분집합]]으로 간주하여
:<math>\mathbb F_{p^n}\subset\mathbb F_{p^{kn}}</math>
로 쓴다면,
:<math>\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^n}</math>
이다.

== 참고 문헌==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|출판사=Springer|날짜=2004|isbn=0-387-95385-X|언어=en}}
* {{서적 인용|저자링크=바르털 레인더르트 판데르바르던|이름=B. L.|성=van der Waerden|제목=Algebra I|출판사=Springer|날짜=1991|isbn=0-387-97424-5|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraically closed field}}
* {{eom|title=Algebraic closure}}
* {{매스월드|id=AlgebraicallyClosed|title=Algebraically closed}}
* {{매스월드|id=AlgebraicClosure|title=Algebraic closure}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/136233/to-what-extent-can-fields-be-classified|제목=To what extent can fields be classified?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/algebraically+closed+field|제목=Algebraically closed field|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[분해 가능 폐포]]

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]