{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Manhattan distance.svg|섬네일|200px|맨해튼 거리와 유클리드 거리의 비교: 맨해튼 거리인 빨간색, 파란색, 노란색 선의 길이는 모두 12이며 가장 짧은 맨해튼 거리이다. 유클리드 거리인 초록색 선의 길이는 <math>6 \sqrt{2} \approx 8.49</math>이므로 네 선 중에서 가장 길이가 짧다.]]
'''거리 함수'''(距離 函數, {{llang|en|metric, distance function}})는 [[집합]]의 각 원소 쌍 사이에 [[거리]]를 주는 [[함수]]이다. 거리가 있는 집합을 [[거리 공간]]이라고 부른다.<ref>{{서적 인용|성=Čech|이름=Eduard|제목=Point Sets|위치=New York|출판사=Academic Press|연도=1969년|쪽=42}}</ref> 거리는 집합의 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 유도하지만 모든 위상을 거리로부터 생성할 수는 없다. 거리로부터 위상을 생성할 수 있는 공간을 [[거리화 가능 공간]]이라고 부른다.

[[미분기하학]]에서 거리를 정의하는 한 가지 중요한 방법은 [[계량 텐서]]이다. 계량 텐서는 [[미분 가능 다양체]]의 두 [[접벡터]]를 받아 [[스칼라 (수학)|스칼라]]를 내놓는 [[쌍선형 형식]]이다. 계량 텐서는 적분을 통해 곡선의 길이를 결정할 수 있도록 해 주고, 따라서 거리를 결정한다.

== 정의 ==
집합 {{수학 변수|X}}의 거리는 다음과 같이 함수("거리 함수" 또는 단순히 "거리"라고 부름)로 표현한다.
:<math>d : X \times X \to [0,\infty)</math>
여기서 <math>[0,\infty)</math>는 음이 아닌 [[실수]]의 집합이며 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 다음 3가지 공리가 충족된다.

:{|
|-
|style="width:2"| 1.
|style="width:250px"|<math>d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y</math> || [[식별불가능자 동일성 원리]]
|-
| 2. || <math>d(x, y)  = d(y, x) </math> || [[대칭 함수|대칭성]]
|-
| 3. || <math>d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)</math> || [[삼각 부등식]]
|}

이 공리들은 거리가 음수가 아니라는 "분리 조건"을 함의한다. 즉, 모든 <math>x, y \in X</math>에 대해 <math>d(x,y) \ge 0</math>이다.

왜냐하면 1번, 3번, 2번 공리를 순서대로 적용하면 <math>0 = d(x, x) \le d(x, y) + d(y, x) = d(x, y) + d(x, y) = 2 d(x, y)</math>이고, 따라서 <math>0 \le d(x, y)</math>이기 때문이다.

함수값이 음이 아니라는 조건과 1번 공리는 "[[양의 정부호 함수]]"라고 불리는 것을 정의한다.

두 점 사이에 다른 점이 들어갈 수 없도록 다음과 같이 삼각 부등식보다 강한 조건을 만족하는 거리를 [[초거리 공간|초거리]]라고 한다.
: 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 <math>d(x, y) \leq \max(d(x, z), d(y, z))</math>.

{{수학 변수|X}}의 임의의 두 점 {{수학 변수|x}}와 {{수학 변수|y}}에 대해, 두 점을 이으면서 그 길이가 {{수학|1=''d''(''x'', ''y'')}}에 임의로 가까운 곡선이 존재하는 경우, {{수학 변수|d}}를 {{수학 변수|X}}의 [[길이 거리 공간|길이 거리]]라고 부른다.

군 ''G''의 거리 ''d''가 다음 조건을 만족하면 "왼쪽 불변"(반대 개념은 "오른쪽 불변")이라고 한다. (곱셈 표기법 사용)
:<math>d(zx, zy) = d(x, y)</math> [반대 개념은 <math>d(xz,yz)=d(x,y)</math>] (''G''의 모든 ''x'', ''y'', ''z''에 대해)

가환 덧셈군 <math>X</math>의 거리 <math>D</math>는 모든 <math>x, y, z \in X</math>에 대해 <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math>인 경우 또는 모든 <math>x, y \in X</math>에 대해 <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math>인 경우에 평행변환불변이라고 한다. 또한 모든 벡터 공간은 가환 덧셈군이며, 실벡터공간 또는 복소벡터공간에서 [[노름 공간|노름]]에 의해 유도되는 거리는 항상 평행변환불변이다.

실벡터공간 또는 복소벡터공간에서 거리 <math>D</math>는 평행변환불변이고 "절대동차"인 경우에만 노름으로 유도된다. 여기서 절대동차라는 것은 모든 [[스칼라 (수학)|스칼라]] ''s''와 모든 <math>x, y \in X</math>에 대해 <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math>임을 의미한다. 이 경우에 함수 <math>\| x \| := D(x, 0)</math>는 <math>X</math>에 대한 노름을 정의하고 <math>\| \cdot \|</math>에 의해 유도된 노름 거리는 <math>D</math>와 같다.

== 참고 ==
이러한 조건들은 [[거리]]에 대한 직관적인 이해를 반영한다. 예를 들어 구별되는 점 사이의 거리는 양수이고, ''x''에서 ''y''까지의 거리는 ''y''에서 ''x''까지의 거리와 같다. 삼각 부등식은 ''x''에서 ''y''를 거쳐 ''z''까지 가는 거리가 적어도 ''x''에서 ''z''까지 직접 가는 거리만큼 길다는 사실을 나타낸다. [[에우클레이데스]]는 《[[에우클레이데스의 원론|원론]]》에서 두 점 사이의 최단 거리는 직선이라고 했는데, 이는 [[유클리드 기하학]]에 대한 삼각 부등식이다.

== 예시 ==
* [[이산 공간|이산 거리]]: ''x'' = ''y''인 경우 ''d''(''x'',''y'') = 0이고 그렇지 않으면 ''d''(''x'',''y'') = 1이 된다.
* [[유클리드 거리]]는 평행변환과 회전변환에 대해 불변이다.
* [[맨해튼 거리]]는 평행변환에 대해 불변이다.
* 보다 일반적으로 [[노름 공간|노름]]에서 유도되는 모든 거리는 평행변환불변이다.
* <math>(p_n)_{n\in N}</math>이 ([[국소 볼록 공간]]인) [[위상 벡터 공간]] ''E''를 정의하는 [[반노름]]의 [[수열|열]]이라면
*: <math>d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}</math>
*: 는 동일한 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 정의하는 거리이다. (여기서 <math>\frac{1}{2^n}</math>는 합이 수렴하는 임의의 양항급수 <math>(a_n)</math>로 바꿔도 된다.)
* [[노름 공간]] <math>(\R, | \cdot |)</math>은 [[바나흐 공간]]이고, 이때 절댓값은 <math>\R</math>의 일반적인 유클리드 위상을 유도하는 실직선 <math>\R</math>의 노름 역할을 한다. <math>\R</math>위의 거리 <math>D : \R \times \R \to \R</math>를 모든 <math>x, y \in \R</math>에 대해 <math>D(x, y) = | \arctan(x) - \arctan(y)|</math>로 정의하자. {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>{{Hair space}}}}의 유도 거리와 마찬가지로, 거리 <math>D</math>도 {{수학|1=ℝ}}에서 일반적인 유클리드 위상을 유도한다. 그러나 <math>x_i := i</math>로 정의된 수열 <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>는 [[코시 열|{{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열]]이지만 {{수학|1=ℝ}}의 어떠한 점으로도 수렴하지 않기 때문에 <math>D</math>는 [[완비 거리 공간|완비 거리]]가 아니다. 이 {{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열은 수렴하지 않으므로 <math>(\R, | \cdot |)</math>에 대한 코시 열이 될 수 없다. 즉, 노름 {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>}}에 관한 코시 열이 아니다. 왜냐하면 <math>(\R, | \cdot |)</math>이 바나흐 공간이라는 사실 때문에, 이 수열이 {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>-코시 열}}이라면 수렴해야 하고, 이는 모순이기 때문이다.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}
* [[거리 (그래프 이론)|그래프 거리]]는 특정한 그래프 위의 거리이다.
* [[해밍 거리]]는 부호 이론에서 활용된다.
* [[리만 거리]]: [[매끄러운 다양체]]에 활용하기에 적합한 거리 함수이다. 이러한 [[다양체]]에 대하여, 각 점 p에서의 접공간 T<sub>p</sub>에서 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식 L: T<sub>p</sub> × T<sub>p</sub> → ℝ를 매끄러운 방식으로 선택할 수 있다. 이러한 형식은 다양체에서 접선 벡터 '''v'''의 길이를 <math display="inline">\|v\| = \sqrt{L(\mathbf{v}, \mathbf{v})}</math>로 결정한다. 그런 다음에 다양체의 모든 미분 가능한 경로에 대해, 그 길이를 각 점에서 경로에 대한 접선 벡터의 길이의 적분으로 정의하는데, 이때 적분은 경로 매개변수에 대해서 한다. 마지막으로 다양체의 두 점 x, y 사이의 거리를 x와 y를 잇는 모든 경로의 길이의 하한으로 정의한다. 리만 거리가 주어진 매끄러운 다양체를 [[리만 다양체]]라고 부른다.
* [[푸비니-슈투디 계량]]은 [[복소수]] [[사영 공간]]에 활용되는데 리만 거리의 한 예이다.
* [[레벤시테인 거리]]는 그 밖의 문자열 편집 거리와 마찬가지로 문자열에 대한 거리를 정의한다.
* 그래프 편집 거리: [[그래프 (수학)|그래프]] 간의 거리 함수를 정의한다.
* 바세르시테인 거리: 두 [[확률 분포]] 사이의 거리 함수이다.
* [[핀슬러 다양체|핀슬러 거리]]는 [[접다발]] 위에 정의된 음이 아닌 연속함수 F : TM → [0,+∞)이다.

== 거리의 동치 ==
주어진 집합 ''X''와 그 위의 거리 함수 ''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>에 대해, 거리 공간 사이의 항등 사상
:id: (''X'',''d''<sub>1</sub>) → (''X'',''d''<sub>2</sub>)
가 [[위상동형사상]]이면, ''d''<sub>1</sub>과 ''d''<sub>2</sub>가 '''위상적으로 동치'''라고 한다. 추가로, id가 [[균등동형사상]]이면 두 거리 함수가 '''균등 동치'''(uniformly equivalent)라고 한다. (어떤 함수가 균등동형사상이라는 것은 균등연속이면서 그 역함수도 균등연속이라는 뜻이다.)

예를 들어 <math>d</math>이 거리이면 <math>\min (d, 1)</math> 및 <math>{d \over 1+d}</math>는 <math>d</math>와 동치인 거리이다.

== 노름 유도 거리 ==
벡터 공간의 노름은 절대동차이고 평행변환불변인 거리와 동치이다. 즉 모든 노름은 거리 함수를 결정하고, 어떤 거리 함수는 노름을 결정한다.

[[노름 공간]] <math>(X, \|\cdot\|)</math>가 주어지면 <math>X</math>의 거리 <math>d</math>를 정의할 수 있다.
:<math>d(x,y) := \| x-y\|.</math>
이때 <math>d</math>를 노름 (<math>\| \cdot \|</math>)에 의해 유도된 거리 또는 노름 유도 거리라고 부른다.

반대로{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}} [[벡터 공간]] <math>X</math>의 거리 <math>d</math>가 다음 조건을 만족한다 하자.
* 평행변환불변: <math>d(x,y) = d(x+a,y+a)</math>;
* 절대동차성: <math>d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x,y)</math>.
그러면 <math>X</math>의 노름을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\|x\| := d(x,0)</math>
이러한 노름에 의해 유도되는 거리는 원래 주어진 거리 <math>d</math>이다.

마찬가지로 반노름은 유사거리를 유도하고, 절대동차이고 평행변환불변인 유사거리는 반노름을 유도한다.

== 중복집합에서의 거리 ==
두 원소 사이의 거리 개념을 일반화하여 공집합이 아닌 유한 중복집합의 거리 개념을 정의할 수 있다. [[중복집합]]은 원소가 2번 이상 발생할 수 있도록 [[집합]]의 개념을 일반화한 것이다. <math>Z</math>가 중복집합 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 요소로 구성된 중복집합일 때, <math>Z=XY</math>라고 정의한다. 예를 들어 <math>X</math>에 한 번, <math>Y</math>에 한 번 나타나는 원소는 <math>Z</math>에 두 번 나타난다. 공집합이 아닌 유한 중복집합들의 집합 위의 함수 ''d''가 다음 조건을 만족하면 ''d''를 거리 함수라 한다.<ref name="Vi11">{{저널 인용|성=Vitanyi|이름=Paul M. B.|제목=Information Distance in Multiples|doi=10.1109/TIT.2011.2110130|저널=IEEE Transactions on Information Theory|권=57|호=4|쪽=2451–2456|연도=2011년|arxiv=0905.3347|s2cid=6302496}}</ref>

# <math>X</math>의 모든 원소가 동일하면 <math>d(X)=0</math>, 그렇지 않으면 <math>d(X) > 0</math> ([[양의 정부호|양의 정부호성]])
# <math>d(X)</math>는 <math>X</math>의 모든 순열에 대해 불변이다. ([[대칭성]])
# <math>d(XY) \leq d(XZ)+d(ZY)</math> ([[삼각 부등식]])

조건 1, 2에서 중복집합 <math>X</math>가 두 원소 집합이고 조건 3에서 중복집합 <math>X, Y, Z</math>가 각각 한 원소 집합인 경우 보통의 거리 함수에 대한 조건이 된다. 예를 들어 <math>X</math>가 <math>x</math> 2개로 구성된 중복집합이면 조건 1에 따라 <math>d(X)=0</math>이 된다.

간단한 예시는 정수의 모든 공집합이 아닌 유한 중복집합 <math>X</math>에 대한 거리인 <math>d(X)=\max\{x: x \in X\}- \min\{x:x \in X\}</math>이다. 더 복잡한 예시는 중복집합의 정보 거리(information distance)<ref name="Vi11" />와 다중 집합의 정규화된 압축 거리(normalized compression distance)이다.<ref>{{저널 인용|성1=Cohen|이름1=Andrew R.|성2=Vitanyi|이름2=Paul M. B.|제목=Normalized Compression Distance of Multisets with Applications|연도=2012년|쪽=1602–1614|저널=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|권=37|호=8|arxiv=1212.5711|doi=10.1109/TPAMI.2014.2375175|pmid=26352998|pmc=4566858}}</ref>

== 일반화된 거리 ==
거리 함수의 공리를 여러 방식으로 약화시켜 거리 공간의 개념을 일반화할 수 있다. 이러한 일반화된 개념끼리 서로 결합될 수도 있다. 이런 개념들을 부르는 용어들은 아직 완전히 표준화되어 있지 않다. 특히 [[함수해석학]]에서 유사거리는 벡터 공간의 반노름에서 오는 경우가 많으므로 "반거리"라고 부르는 것이 자연스럽다고 느낄 수 있는데, 이는 위상수학의 용어와 충돌한다.

=== 확장 거리 ===
일부 저자들은 거리 함수 ''d''가 값 ∞를 갖도록 허용한다. 즉 거리는 음이 아닌 [[확장된 실수]]가 될 수 있다. 이러한 함수를 "확장 거리"(extended metric) 또는 "∞ 거리"라고 부른다. 모든 확장 거리는 똑같은 위상을 유도하는 유한 거리로 변환할 수 있는데, 0을 0으로 보내는 [[준가법성|준가법]] 유계 증거함수를 사용하면 된다. 예를 들어 ''d''′(''x'', ''y'') = ''d''(''x'', ''y'') / (1 + ''d''(''x'', ''y'')) 또는 ''d''′′(''x'', ''y'') = min(1, ''d''(''x'', ''y''))와 같이 변환할 수 있다.

거리가 <nowiki>[0,∞)</nowiki>에 속해야 한다는 조건을 완화하여 다른 [[유향집합]]으로 확장할 수도 있다. 이렇게 공리를 재구성하면 [[균등 공간]], 즉 서로 다른 점에서의 국소적 위상을 비교할 수 있는 추상적 구조를 가진 위상 공간의 개념이 얻어진다.

=== 유사거리 ===
''X''의 '''유사거리'''(pseudometric)는 두 번째 거리 공리(식별불가능자 동일성) 대신에 모든 ''x''에 대해 ''d''(''x'',''x'')=0라는 조건을 만족하고 거리에 대한 나머지 공리를 만족하는 함수이다. 즉 유사거리의 공리는 다음과 같다.

# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''x'') = 0 (그러나 어떤 x ≠ y의 경우 d(x, y) = 0일 수도 있다.)
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'').

어떤 맥락에서 유사거리는 반노름과의 관계 때문에 "반거리"(semimetric)라고도 불린다.

=== 준거리 ===
'''준거리'''(quasimetric)는 대칭성을 제외하고 거리에 대한 모든 공리를 만족하는 함수로 정의한다.<ref>E.g. Steen &amp; Seebach (1995).</ref><ref>{{콘퍼런스 인용|제목=Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces|성=Smyth|이름=M.|연도=1987년|쪽=236–253|콘퍼런스=3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics|편집자1=M.Main|편집자2=A.Melton|편집자3=M.Mislove|편집자4=D.Schmidt|출판사=Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298|doi=10.1007/3-540-19020-1_12}}</ref> 이 개념의 이름이 완전히 표준화된 것은 아니다.<ref>{{서적 인용|제목=Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems|성=Rolewicz|이름=Stefan|연도=1987년|isbn=90-277-2186-6|출판사=Springer|oclc=13064804}}</ref>

# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0 (음이 아님)
# ''d''(''x'', ''y'') = 0임은 ''x'' = ''y''와 동치 (양의 정부호성)
# <del>''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')</del> (대칭성, 삭제됨)
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'') (삼각 부등식)

준거리는 실제 생활에서 흔히 볼 수 있다. 예를 들어 산촌의 집합 ''X''가 주어지면 언덕을 내려가는 것보다 언덕을 올라가는 것이 더 오래 걸리기 때문에 ''X''의 원소들 사이의 걷는 시간은 준거리를 이룬다. 또 다른 예시는 일방통행 도로가 있는 [[맨해튼 거리]]로서 여기서 ''A'' 지점에서 ''B'' 지점까지의 최단 경로는 ''B''에서 ''A''까지의 최단 경로와 다를 수 있다.

다음은 실수 집합 위의 준거리가 된다.
:''d''(''x'', ''y'') = ''x'' − ''y'' (''x'' ≥ ''y''일 경우)
:''d''(''x'', ''y'') = 1 (그 밖의 경우). 1은 무한대 또는 <math>1+10^{(y-x)}</math>으로 바꿀 수 있다.
이러한 준거리 공간에 대응하는 위상공간은 [[소젠프리 선]]이다. 이 공간을 금속 막대기를 자르는 과정을 묘사한다. 금속 막대기의 크기를 줄이는 것은 쉽지만 그것을 늘리는 것은 어렵거나 불가능하다.

''d''가 ''X''의 준거리이면 ''X''의 거리 ''d<nowiki>'</nowiki>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:''d<nowiki>'</nowiki>''(''x'', ''y'') = {{분수|2}}(''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''x''))

=== 메타거리 ===
'''메타거리'''(metametric)는 동일한 점들 사이의 거리가 0이 아닐 수 있다는 점을 제외하면 모든 거리 공리를 만족한다. 즉 준거리에 대한 공리는 다음과 같다.

# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''y'') = 0이면 ''x'' = ''y''이다. (그러나 역은 성립하지 않을 수 있다.)
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'')

메타거리는 그로모프 쌍곡 거리 공간과 그 경계에 대한 연구에 나타난다. 그러한 공간에서 "시각적 메타거리"(visual metametric)는 경계에 있는 점 ''x''에 대해 ''d''(''x'', ''x'') = 0을 만족하지만 그렇지 않으면 ''d''(''x'', ''x'')는 대략 ''x''에서 경계까지의 거리이다. 메타거리는 유시 비시슬래(Jussi Visisllä)에 의해 처음 정의되었다.<ref>{{저널 인용|성=Väisälä|이름=Jussi|제목=Gromov hyperbolic spaces|url=http://www.helsinki.fi/~jvaisala/grobok.pdf|저널=Expositiones Mathematicae|권=23|호=3|쪽=187–231|연도=2005년|doi=10.1016/j.exmath.2005.01.010|mr=2164775}}</ref>

=== 반거리 ===
''X''의 '''반거리'''(semimetric)는 함수 ''d'' : ''X'' × ''X'' → '''R'''로서 첫 세 공리를 만족하지만 삼각 부등식을 만족할 필요는 없다.

# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''y'') = 0임은 ''x'' = ''y''와 동치
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')

일부 저자들은 다음과 같은 약한 형태의 삼각 부등식을 추가한다.
:''d''(''x'', ''z'') ≤ ρ (''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'')) &nbsp;&nbsp;&nbsp; (ρ-완화 삼각 부등식)
:''d''(''x'', ''z'') ≤ ρ max(''d''(''x'', ''y''), ''d''(''y'', ''z'')) &nbsp;&nbsp;&nbsp; (ρ-하위 거리 부등식)

ρ-하위 거리 부등식은 (첫번째 공리를 가정할 때) ρ-완화 삼각 부등식을 함의하며, ρ-완화 삼각 부등식은 2ρ-하위 거리 부등식을 함의한다. 서로 동치인 이러한 조건을 만족하는 반거리는 때때로 "유사거리"(quasimetric)<ref>{{저널 인용|제목=The Geodesic Problem in Quasimetric Spaces|저자=Xia, Q.|저널=Journal of Geometric Analysis|권=19|호=2|쪽=452–479|연도=2009년|doi=10.1007/s12220-008-9065-4|arxiv=0807.3377|s2cid=17475581}}</ref>, "근거리"(nearmetric)<ref>{{저널 인용|저자=Qinglan Xia|제목=The geodesic problem in nearmetric spaces|연도=2008년|쪽=452–479|권=19|호=2|저널=Journal of Geometric Analysis|arxiv=0807.3377|postscript=.|bibcode=2008arXiv0807.3377X}}</ref> 또는 "하위 거리"(inframetric)라고 불린다.<ref name=inframetrics>{{서적 인용|제목=2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications|연도=2008년|저널=IEEE INFOCOM 2008. The 27th Conference on Computer Communications|장=The Inframetric Model for the Internet|성1=Fraigniaud|이름1=P.|성2=Lebhar|이름2=E.|성3=Viennot|이름3=L.|쪽=1085–1093|citeseerx=10.1.1.113.6748|doi=10.1109/INFOCOM.2008.163|isbn=978-1-4244-2026-1|s2cid=5733968}}</ref>

ρ-하위 거리 부등식은 [[인터넷]]에서 왕복 지연 시간을 모델링하기 위해 도입되었다.<ref name=inframetrics /> 삼각 부등식은 2-하위 거리 부등식을 함의하며 초거리 부등식은 정확히 1-하위 거리 부등식과 같다.

=== 전거리 ===
'''전거리'''(premetric)은 다음 3가지 조건을 만족하는 함수이다.

# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''x'') = 0
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')

이것은 표준 용어가 아니다. 이 용어는 유사반거리<ref>{{서적 인용|제목=Metric characterization of random variables and random processes|url=https://books.google.com/books?id=ePDXvIhdEjoC&q=%22Metric+characterization+of+random+variables+and+random+processes%22&pg=PR9연도=2000년|성1=Buldygin|이름1=V.V.|성2=Kozachenko|이름2=I.U.V.|isbn=9780821897911}}</ref> 또는 유사거리<ref>{{서적 인용|제목=Lectures and exercises on functional analysis|연도=2006년|저자=Khelemskiĭ}}</ref>와 같은 다른 개념을 가리키는 용어로도 사용된다. 러시아어 서적의 번역본에서는 "prametric"이라는 표기도 등장한다.<ref>Arkhangel'skii &amp; Pontryagin (1990). {{서적 인용|제목=An introduction to geometrical physics|연도=1995년|성1=Aldrovandi|이름1=R.|성2=Pereira|이름2=J.G.}}</ref> 경우에 따라서는 거리(distance)라고 부르기도 한다.<ref>{{서적 인용|제목=Geometry of Cuts and Metrics|연도=1997년|성1=Deza|이름1=M.M.|성2=Laurent|이름2=M.}}</ref>

모든 전거리는 다음과 같은 위상을 생성한다. 양의 실수 ''r''에 대해 점 ''p''를 중심으로 한 ''r''-공은 다음과 같이 정의된다.
:''B<sub>r</sub>''(''p'') = { ''x'' | ''d''(''x'', ''p'') < r }

집합에 포함된 각 점 ''p''에 대해 ''p''를 중심으로 한 ''r''-공이 그 집합에 속하면 이 집합을 열린 집합이라고 한다. 모든 전거리는 이렇게 위상 공간을, 나라가 [[점렬 공간]]을 정의한다. 일반적으로 ''r''-공 자체는 이 위상에서 열린 집합일 필요가 없다. 거리 함수의 경우와 같이, 두 집합 ''A''와 ''B'' 사이의 전거리는 다음과 같이 정의된다.
:''d''(''A'', ''B'') = inf<sub>''x''∊''A'', ''y''∊''B''</sub> ''d''(''x'', ''y'')

이것은 전거리 공간의 [[멱집합]]에 대한 전거리를 정의한다. (유사반)거리 공간에서 출발하면 유사반거리, 즉 대칭적인 전거리가 얻어진다. 임의의 전거리는 다음과 같은 [[전폐포]](preclosure) 연산자 ''cl''을 낳는다.
:''cl''(''A'') = { ''x'' | ''d''(''x'', ''A'') = 0 }

=== 유사준거리 ===
'유사', '준', '반'과 같은 접두사들이 결합될 수 있다. 예를 들어 '''유사준거리'''(pseudoquasimetric 또는 hemimetric)는 무차별성 공리와 대칭성 공리를 모두 완화하여, 단순히 삼각 부등식을 만족시키는 준거리이다. 유사준거리 공간의 경우 열린 ''r''-공은 열린 집합의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 유사준거리 공간의 매우 간단한 예로는 ''d''(0,1) = 1과 ''d''(1,0) = 0으로 주어진 전거리가 있는 집합 {0,1}이 있다. 이에 대응하는 위상 공간은 [[시에르핀스키 공간]]이다.

확장된 유사준거리를 갖춘 집합은 윌리엄 로베어가 "일반화된 거리 공간"이라는 이름으로 연구한 바 있다.<ref>{{서적 인용|성=Lawvere|이름=F.W.|제목=Metric spaces, generalised logic, and closed categories|총서=Reprints in Theory and Applications of Categories|권=1|연도=2002년|초판연도=1973년|쪽=1–37|url=http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/1/tr1.pdf}}.</ref><ref>{{저널 인용|성=Vickers|이름=Steven|제목=Localic completion of generalized metric spaces I|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/15/14-15abs.html|저널=Theory and Applications of Categories|권=14|연도=2005년|쪽=328–356}}</ref> 범주론의 관점에서 보면, 비확장사상(nonexpansive map)이 주어진 확장된 유사거리 공간 및 확장된 유사준거리 공간들은 거리 공간 범주들 중 가장 좋은 성질을 가지는 것들이다. 이러한 범주 안에서는 임의 개수의 곱과 쌍대곱을 취하고 몫대상을 정의할 수 있다. '확장'이라는 조건을 빼면 유한 곱과 유한 쌍대곱만 취할 수 있다. '유사'라는 조건을 빼면 몫대상을 정의할 수 없다. [[접근 공간]](approach space)은 이런 좋은 범주론적 특성을 유지하는 거리 공간의 일반화이다.

=== 우카시크-카르모프스키 거리 ===
우카시크-카르모프스키 거리는 두 [[확률 변수]] 또는 두 무작위 벡터 사이의 거리를 정의하는 함수이다. 이 함수의 공리는 다음과 같다.
# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'').

이 거리 함수가 식별불가능자 동일성 원리를 만족할 필요충분조건은 두 인수 ''x''와 ''y'' 모두의 확률밀도함수가 [[디랙 델타 함수]]인 것이다.

=== 일반화된 거리의 중요한 예시 ===
[[미분기하학]]의 [[계량 텐서]] 개념은 "무한소" 크기의 거리 함수의 제곱으로 생각할 수 있다. 이는 적절한 미분가능성을 가진 [[다양체]]의 접공간 위에서 정의된 비퇴화 대칭 쌍선형 형식으로 정의된다. 계량 텐서는 이 문서에서 정의한 거리 함수의 예는 아니지만, 다양체 위의 경로를 따라 계량 텐서의 제곱근을 적분하면 유사반거리 함수가 나온다. 계량 텐서의 [[내적 공간|내적]]이 양의 정부호성을 만족하는 경우 이는 [[리만 다양체]]가 되며, 경로 적분은 거리 함수를 낳는다.

이와 비슷하게 [[일반 상대성 이론]]에서는 [[준 리만 다양체]]의 구조를 기술하는 [[계량 텐서 (일반 상대성 이론)|계량 텐서]]의 개념이 등장한다. 비록 "거리"라는 용어가 쓰이긴 하지만, 이러한 다양체의 접공간에는 영벡터가 아니면서 노름이 0인 벡터가 있고 노름의 제곱이 음수가 될 수도 있기 때문에 근본적인 개념이 다르다. 이처럼 식별불가능자 동일성 원리를 만족하지 않는 경우에도 "거리"(metric)라는 용어를 쓰는 관습이 수학 문헌에도 일부 확산되었다.<ref>S. Parrott (1987) ''Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry'', page 4, Springer-Verlag {{isbn|0-387-96435-5}} : "This bilinear form is variously called the ''Lorentz metric'', or ''Minkowski metric'' or ''metric tensor''."</ref><ref>Thomas E. Cecil (1992) ''Lie Sphere Geometry'', page 9, Springer-Verlag {{isbn|0-387-97747-3}} : "We call this scalar product the ''Lorentz metric''"</ref>

== 같이 보기 ==
* [[완비 거리 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory|성1=Arkhangel'skii|이름1=A. V.|성2=Pontryagin|이름2=L. S.|연도=1990년|isbn=3-540-18178-4|출판사=Springer|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences}}
* {{서적 인용|성1=Steen|이름1=Lynn Arthur|성2=Seebach|이름2=J. Arthur Jr.|제목=Counterexamples in Topology|원본 연도=1978년|출판사=Dover|isbn=978-0-486-68735-3|mr=507446|연도=1995년|oclc=32311847}}
* {{서적 인용|성=Narici|이름=Lawrence|성2=Beckenstein|이름2=Edward|제목=Topological Vector Spaces|판=2|출판사=CRC Press|위치=Boca Raton, FL|연도=2011|총서=Pure and applied mathematics|isbn=978-1584888666|oclc=144216834}}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|id=6274|제목=Quasimetric space}}
* {{플래닛매스|id=5904|제목=Semimetric}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:거리]]