{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''점렬 공간'''(點列空間, {{llang|en|sequential space}})은 [[위상 공간 (수학)|위상수학적 구조]]를 [[그물 (수학)|그물]] 대신 [[점렬]]만으로 다룰 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 점렬성은 [[제1 가산 공간]]의 조건을 매우 약화시킨 것이다. 점렬 공간의 [[범주 (수학)|범주]]는 [[범주론]]적으로 여러 좋은 성질들을 갖는다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>U\subseteq X</math>이 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 열린집합'''(點列-集合, {{llang|en|sequentially open set}})이라고 한다.
* 임의의 [[점렬]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to u</math>인 <math>u\in U</math>가 존재한다면, 충분히 큰 <math>i</math>에 대하여 <math>x_i\in U</math>이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>C\subseteq X</math>이 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 닫힌집합'''(點列-集合, {{llang|en|sequentially closed set}})이라고 한다.
* 임의의 [[점렬]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq C</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>인 <math>x\in X</math>가 존재한다면, <math>x\in C</math>이다.
위 정의에서, "점렬"을 [[그물 (수학)|그물]] 또는 [[필터 (수학)|필터]]로 대체하면 표준적인 [[열린집합]]·[[닫힌집합]]의 정의와 동치인 개념을 얻는다. 즉, 모든 [[열린집합]]은 점렬 열린집합이며 모든 [[닫힌집합]]은 점렬 닫힌집합이지만, 그 역은 성립하지 않을 수 있다.

임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''점렬 공간'''이라고 한다.
* 모든 점렬 열린집합은 열린집합이다.
* 모든 점렬 닫힌집합은 닫힌집합이다.
* [[제1 가산 공간]]의 [[몫공간]]이다.
* [[거리화 가능 공간]]의 [[몫공간]]이다.
* 임의의 위상 공간 <math>Y</math> 및 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 [[점렬 연속 함수]]라면 <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
즉, 점렬 공간에서는 [[열린집합]] · [[닫힌집합]] · [[연속 함수]]의 개념을 [[그물 (수학)|그물]] 또는 [[필터 (수학)|필터]] 대신 [[점렬]]만으로 다룰 수 있다.

=== 점렬 폐포 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>의 '''점렬 폐포'''(點列閉包, {{llang|en|sequential closure}}) <math>\operatorname{cl_{seq}}A</math>는 <math>A</math> 속의 [[점렬]]들의 극한들로 구성된 <math>X</math>의 [[부분 집합]]이다.
:<math>\operatorname{cl_{seq}}A=\left\{x\in X\colon\exists(a_i)_{i=0}^\infty\subseteq A\colon a_i\to x\right\}</math>

점렬 폐포는 [[멱등]] 연산이 아니다. 즉, 일반적으로
:<math>\operatorname{cl_{seq}}\operatorname{cl_{seq}}A\ne \operatorname{cl_{seq}}A</math>
이다. 위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>A</math>에 대하여, '''초한 점렬 폐포열'''(超限點列閉包列, {{llang|en|transfinite sequential closure sequence}}) <math>A_\alpha</math>는 다음과 같이 정의된다.
* <math>A_0=A</math>
* [[따름 순서수]] <math>\alpha+1</math>에 대하여, <math>A_{\alpha+1}=\operatorname{cl_{seq}}A_\alpha</math>이다.
* [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여,
*:<math>A_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha}A_\beta</math>
임의의 위상 공간 <math>X</math>의 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>A_\alpha=A_{\alpha+1}</math>이 되는 최소의 [[순서수]] <math>\alpha</math>가 존재하며, 또한 항상 <math>\alpha\le\omega_1</math>이다. (<math>\omega_1</math>은 최소의 [[비가산]] [[순서수]]이다.) 이 경우 <math>A_\alpha</math>를 <math>A</math>의 '''초한 점렬 폐포'''(超限點列閉包, {{llang|en|transfinite sequential closure}})라고 한다.

점렬 공간 속에서, 초한 점렬 폐포는 항상 (일반적) [[폐포 (위상수학)|폐포]]와 일치한다. 점렬 공간 <math>X</math>의 '''점렬 순서수'''(點列順序數, {{llang|en|sequential order}})는 모든 <math>A\subseteq X</math>에 대하여 <math>A_\alpha=\operatorname{cl}A</math>가 되는 최소의 [[순서수]] <math>\alpha</math>이다.<ref>{{저널 인용| last=Arhangel’skiĭ | first = A. V. | last2=Franklin | first2=S. P. | title=Ordinal invariants for topological spaces| journal = Michigan Mathematics Journal | year=1968 | volume=15 | issue=3 | pages=313-320 | doi=10.1307/mmj/1029000034|언어=en}}</ref>

위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''프레셰-우리손 공간'''(Fréchet-Урысон空間, {{llang|en|Fréchet–Urysohn space}})이라고 한다..
* <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]은 점렬 공간이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합의 폐포는 점렬 폐포와 같다. 즉, <math>X</math>의 점렬 순서수는 1이다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[제2 가산 공간]] ∪ [[거리화 가능 공간]] ⊊ [[제1 가산 공간]] ⊊ 프레셰-우리손 공간 ⊊ 점렬 공간 ⊊ [[콤팩트 생성 공간]] ∩ [[가산 생성 공간]]

=== 점렬성을 보존하는 연산 ===
점렬 공간에 다음과 같은 연산을 가하여도 점렬 공간을 얻는다.
* 점렬 공간의 [[몫공간]]은 점렬 공간이다.
* 점렬 공간 <math>X</math> 및 위상 공간 <math>Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌고, <math>f</math>가 [[닫힌 사상]]이거나 [[열린 사상]]이라고 하자. 그렇다면 <math>f(X)</math>는 점렬 공간이다. (그러나 <math>f</math>가 [[닫힌 사상]]도, [[열린 사상]]도 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.
* 임의의 수의 점렬 공간들의 [[분리합집합]]은 점렬 공간이다.
* 점렬 공간의 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]은 점렬 공간이다. (그러나 일반적인 [[부분 공간]]에 대하여 이는 성립하지 않을 수 있다.)
점렬 공간의 [[곱공간]]은 일반적으로 점렬 공간이 아니다.

=== 범주론적 성질 ===
점렬 공간과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]]는 [[데카르트 닫힌 범주]]를 이루며, 따라서 모든 위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 [[쌍대 반사 부분 범주]]를 이룬다. (점렬 공간의 범주에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]은 (위상 공간의 범주에서의) [[곱공간]]과 일치하지 않는다.) 즉, 점렬 공간은 [[노먼 스틴로드]]가 정의한 (위상수학에서) "편리한 범주"({{llang|en|convenient category}})를 이룬다.<ref>{{저널 인용|이름=Norman E.|성=Steenrod|저자링크=노먼 스틴로드|제목=A convenient category of topological spaces|저널=The Michigan Mathematical Journal|권=14|날짜=1967|쪽=133–152|doi=10.1307/mmj/1028999711|mr=0210075|zbl=0145.43002|언어=en}}</ref>

[[데카르트 닫힌 범주]]를 넘어서, 점렬 공간을 [[충만한 부분 범주]]로 갖는 [[토포스]]를 정의할 수 있으며, 이를 '''존스톤 토포스'''({{llang|en|Johnstone’s topos}})라고 한다.<ref>{{저널 인용|이름=Peter|성=Johnstone|제목=On a topological topos |저널=Proceedings of the London Mathematical Society |권=38|날짜=1979|쪽=237–271|doi=10.1112/plms/s3-38.2.237|issn=0024-6115|언어=en}}</ref>

== 예 ==
수학에서 다루는 거의 모든 위상 공간은 점렬 공간이다. 모든 [[CW 복합체]]와 모든 [[다양체]]는 점렬 공간이다.

=== 제1 가산 공간이 아닌 프레셰-우리손 공간 ===
가산 무한 개의 원들의 [[쐐기합]] <math>\mathbb R/\mathbb N=\{\{r\}\colon r\in\mathbb R\setminus\mathbb N\}\cup\{\mathbb N\}</math> (즉, 실수 집합에서, 모든 자연수들을 하나의 점으로 이어붙인 [[몫공간]])은 프레셰-우리손 공간이지만 제1 가산 공간이 아니다. 중심 <math>\mathbb N\in\mathbb R/\mathbb N</math>은 가산 [[국소 기저]]를 갖지 않기 때문이다.

=== 프레셰-우리손 공간이 아닌 점렬 공간 ===
'''아렌스 공간'''({{llang|en|Arens space}})
:<math>S_2=\frac{\mathbb N\times(\{0\}\cup\{1/i\colon i\in\mathbb Z^+\})}{\forall i\in\mathbb Z^+\colon(0,1/i)\sim(i,0)}</math>
은 ([[제1 가산 공간]]의 [[몫공간]]이므로) 점렬 공간이며, [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]]이지만, 프레셰-우리손 공간이 아니다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/S0166-8641(97)00031-X|제목=A note on the Arens’ space and sequential fan|성=Lin|이름=Shou|저널=Topology and its Applications|권=81|호=3|날짜=1997-12-16|쪽=185–196|언어=en}}</ref><ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|54–55, Example 1.6.19}} 구체적으로, 점 <math>(0,0)</math>은 집합 <math>S_2\setminus\{(0,1/i)\colon i\in\mathbb Z^+\}</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 속하지만, <math>(0,0)</math>으로 수렴하는 점렬은 상수 점렬과 <math>((0,1),(0,1/2),\dots)</math>의 부분 점렬밖에 없다.

=== 점렬 공간이 아닌 위상 공간 ===
[[비가산 집합]]에서, [[닫힌집합]]을 [[가산 집합|가산]] [[부분 집합]]으로 정의하자. 이 위상 공간에서, 수렴하는 점렬은 충분히 큰 첨자에 대하여 상수 점렬인 것 밖에 없다. 따라서, 모든 부분 집합은 점렬 열린집합이며, 이 위상 공간은 점렬 공간이 아니다.

아렌스 공간의 부분 공간 <math>S_2\setminus\{(0,1/i)\colon i\in\mathbb Z^+\}</math>은 점렬 공간이 아니다.<ref name="Engelking" />{{rp|55, Example 1.6.20}}

== 역사 ==
오랫동안 [[제1 가산 공간]]에서는 일반적으로 [[그물 (수학)|그물]]을 사용하여 정의되는 각종 위상수학적 성질들이 [[점렬]]을 사용하여 정의되는 것들과 [[동치]]인 것이 알려져 있었다. 1956년에 스탠리 프랭클린({{llang|en|Stanley P. Franklin}})은 [[제1 가산 공간]]에서 이 성질이 성립하는 조건을 추상화하여 점렬 공간의 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Franklin|이름=Stanley P.|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm57/fm5717.pdf|제목=Spaces in which sequences suffice|저널=Fundamenta Mathematicae|권=57|날짜=1965|쪽=107-115|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Franklin|이름=Stanley P.|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm61/fm6115.pdf|제목=Spaces in which sequences suffice II|저널=Fundamenta Mathematicae|권=61|날짜=1967|쪽=51-56|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Sequential space}}
* {{nlab|id=sequential topological space|title=Sequential topological space}}
* {{nlab|id=subsequential space|title=Subsequential space}}
* {{nlab|id=Johnstone's topological topos }}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/06/21/sequential-spaces-i/|제목=Sequential spaces, I|날짜=2010-06-21|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/06/23/sequential-spaces-ii/|제목=Sequential spaces, II|날짜=2010-06-23|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/07/01/sequential-spaces-iii/|제목=Sequential spaces, III|날짜=2010-07-01|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/07/17/sequential-spaces-iv/|제목=Sequential spaces, IV|날짜=2010-07-17|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/07/21/sequential-spaces-v/|제목=Sequential spaces, V|날짜=2010-07-21|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/08/22/an-observation-about-sequential-spaces/|제목=An observation about sequential spaces|날짜=2010-08-22|웹사이트=Dan Ma's Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2010/08/18/a-note-about-the-arens-space/|제목=A note about the Arens’ space|날짜=2010-08-18|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|이름=Dan|성=Ma|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/04/on_a_topological_topos.html|제목=
On a Topological Topos|이름=Sean|성=Moss|날짜=2014-04-07|웹사이트=The ''n''-Category Café|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[점렬 콤팩트 공간]]
* [[점렬 연속 함수]]
* [[제1 가산 공간]]
* [[콤팩트 생성 공간]]

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]