{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형'''(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, {{llang|en|AKSZ sigma model}}, 약자 '''AKSZ 시그마 모형''')은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 [[위상 양자장론]]이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[매끄러운 다양체]] <math>N</math>
* <math>N</math> 위의 L∞-준대수 <math>\mathfrak g</math>. 즉, 이는 <math>\mathfrak g_0 = \mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>가 되는 [[L∞-대수]]이다.
* <math>\mathfrak g</math> 위의 2차 [[불변 다항식]]. 즉, 원소 <math>\omega\in\in\operatorname{Weil}_{2+\dim M}(\mathfrak g)</math> 가운데, <math>\mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)}\omega = 0</math>이며, <math>\omega_{ij}\delta t^i\delta t^j</math>의 꼴이어야 한다. 또한, <math>\omega_{ij}</math>는 <math>\mathfrak g</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]이어야 한다. (여기서 <math>\operatorname{Weil}(-)</math>는 [[L∞-대수]]의 [[베유 대수]]이다.)
* <math>\mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)} c = \omega</math>가 되는 원소 <math>c\in\operatorname{Weil}(\mathfrak g)</math>. 이를 '''천-사이먼스 원소'''({{llang|en|Chern–Simons element}})라고 한다.
[[베유 대수]]에서 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]로 가는 표준적인 사영 사상
:<math>\operatorname{Weil}(\mathfrak g) \to \operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>
아래의 <math>c</math>의 상을 <math>\mu\in\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>라고 하자.

L<sub>∞</sub>-준대수 사상
:<math>\phi \colon \mathrm TM \to \mathfrak g</math>
는 <math>M</math> 위의 일련의 [[미분 형식]] 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.
:<math>S = k\int \phi^*c = k\int \omega(\phi,\mathrm d\phi) + \mu</math>
여기서 <math>k\in\mathbb R</math>는 임의의 상수이다. 이를 '''AKSZ 시그마 모형'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 1차원 ===
[[심플렉틱 다양체]] <math>N</math>의 [[심플렉틱 형식]] <Math>\omega</math>가 [[완전 미분 형식]]이라고 하자.
:<math>\omega = \mathrm dc</math>
:<math>c \in \Omega^1(N)</math>
즉, 여기서 <math>c</math>는 <math>\omega</math>의 천-사이먼스 형식이다.

<math>N</math>은 (0차원 [[벡터 다발]]에 해당하는) 자명한 [[리 준대수]]로 여겨질 수 있으며, 그 [[슈발레-에일렌베르크 대수]]는
:<math>\operatorname{CE}(N) = \mathcal C^\infty(N;\mathbb R)</math>
이다.

[[리 준대수]] 사상
:<math>\mathrm TM \to N</math>
은 단순히 [[매끄러운 함수]] <math>\phi \colon M \to N</math>이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 [[작용 (물리학)|작용]]은
:<math>S = \int_{\mathbb R}\phi^*c</math>
이다. 이에 대한 운동 방정식은
:<math>\dot\phi = 0</math>
이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다.

구체적으로, <math>N = \mathrm T^*X</math>가 [[공변접다발]]이라고 하자. 그렇다면
:<math>c = p_i\mathrm dx^i</math>
가 되며, 이 경우 작용은
:<math>S = \int_{\mathbb R}p_i\dot x^i\,\mathrm dt</math>
가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용
:<math>S = \int_{\mathbb R}(p_i\dot x^i - g^{ij}p_ip_j/2m) \, \mathrm dt</math>
에서 무한대 질량 극한
:<math>m\to\infty</math>
을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다.

=== 2차원 (푸아송 시그마 모형) ===
[[푸아송 다양체]] <math>(N,\pi)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathrm T^*N\twoheadrightarrow N</math>은 표준적으로 [[리 준대수]]를 이룬다. 그렇다면, [[리 준대수]] 사상
:<math>\mathrm T^*M\to E</math>
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 함수]] <math>\phi\colon M \to N</math>. 그 미분은 <math>\mathrm d\phi \in \Omega^1(M;\phi^*(\mathrm TN))</math>이다. 이는 [[접다발]] <math>\mathrm TN\twoheadrightarrow N</math>의 [[당김 올다발]] <math>\phi^*(\mathrm TN) \twoheadrightarrow M</math>에 [[벡터 값 미분 형식|값을 갖는]] [[1차 미분 형식]]이다.
* [[공변접다발]] <math>E^*\twoheadrightarrow N</math>의 [[당김 올다발]] <math>\phi^*E^* \twoheadrightarrow M</math>에 [[벡터 값 미분 형식|값을 갖는]] [[1차 미분 형식]] <math>\eta \in \Omega^1(M;\phi^*E^*)</math>
<math>M</math>의 지표를 <math>\mu,\nu,\dotsc</math>로, <math>N</math>의 지표를 <math>i,j,\dotsc</math>로 적을 때, 장들은
:<math>\eta_\mu^i</math>
:<math>\partial_\mu\phi^i</math>
이며, 이에 대한 작용은
:<math>S = \int_M \left(\eta_i \wedge \mathrm d\phi^i + \frac12 \pi^{ij}(\phi)\eta_i\wedge\eta_j\right)</math>
이다. 여기서 <math>\pi</math>는 [[푸아송 다양체]]의 푸아송 텐서이다.

=== 천-사이먼스 이론 ===
{{본문|천-사이먼스 이론}}
다음이 주어졌다고 하자.
* 유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>. 이는 [[한원소 공간]] <math>N = \{\bullet\}</math> 위의 [[리 준대수]]이다.
* <math>\mathfrak g</math> 위의 [[불변 다항식]] <math>\omega \in \operatorname{Weil}^4(\mathfrak g)</math>
(예를 들어, 만약 <math>\mathfrak g</math>가 [[단순 리 대수]]라면, <math>\omega</math>는 [[킬링 형식]]의 실수배이다.)

그렇다면, <math>\omega</math>에 대응하는 천-사이먼스 원소
:<math>\mathrm d_{\operatorname{Weil}(\mathfrak g)}\alpha = \omega</math>
:<math>\alpha \in \operatorname{Weil}^3(\mathfrak g)</math>
를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 [[천-사이먼스 형식]]이다.

[[리 준대수]] 사상
:<math>\mathrm TM \to \mathfrak g</math>
의 개념은 [[리 대수 값 미분 형식|리 대수 값]] [[1차 미분 형식]]
:<math>A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>
의 개념과 [[동치]]이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 <math>\mathfrak g</math>에 대한 [[천-사이먼스 이론]]이다.

보다 일반적으로, [[이차 리 대수]] 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 [[쿠런트 준대수]]를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 '''쿠런트 시그마 모형'''({{llang|en|Courant sigma model}})이라고 한다.

== 역사 ==
알렉산드로프 · [[막심 콘체비치]] · [[알베르트 시바르츠]] · 자보론스키가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=M.|성= Alexandrov|이름2= Maxim|성2= Kontsevich|저자링크2=막심 콘체비치|이름3= Albert|성3= Schwarz|저자링크3=알베르트 시바르츠|이름4=Oleg |성4=Zaboronsky|제목=The geometry of the master equation and topological quantum field theory|저널=International Journal of Modern Physics A |권=12|호=7|쪽=1405–1429 | 날짜= 1997 |arxiv=hep-th/9502010|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Noriaki |성=Ikeda|날짜=2012|제목= Lectures on AKSZ topological field theories for physicists |arxiv=1204.3714 | 언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Dmitry|성= Roytenberg|제목= AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories |저널=Lett.Math.Phys.|권=79|쪽=143–159|날짜=2007|arxiv=hep-th/0608150|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Domenico |성=Fiorenza|이름2=Chris|성2= Rogers|이름3=Urs |성3=Schreiber|제목= AKSZ Sigma-Models in Higher Chern-Weil Theory|저널=International Journal of Geometic Methods in Modern Physics |권=10|날짜=2013|쪽=1250078|arxiv=1108.4378|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=AKSZ sigma-model}}
* {{웹 인용|url=https://ncatlab.org/schreiber/show/infinity-Chern-Simons+theory+--+examples | 제목= ∞-Chern-Simons theory — examples | 이름=Urs | 성=Schreiber | 언어=en}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:양자장론]]