{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서, 어떤 [[모임 (집합론)|모임]] <math>X</math>에 대한 '''<math>X</math>-계승적 집합'''(繼承的集合, {{llang|en|sets hereditarily in <math>X</math>}})은 <math>X</math>에 속하며, 그 모든 원소도 <math>X</math>에 속하며, 그 원소의 원소 등등 역시 <math>X</math>에 속하는 집합이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.
* <math>\forall x\in X\colon (x\in S\iff x\subseteq S)</math>
* <math>\textstyle S=\left\{x\in X\colon x\cap\bigcup x\cup\bigcup\bigcup\cup\cdots\subseteq X\right\}</math>
* <math>X</math>의 [[추이적 집합|추이적]] [[부분 집합]]들의 ([[부분 집합]] 관계에 대한) [[부분 순서 집합]]의 [[최대 원소]]이다.
이 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>는 유일하며, 이를 <math>\operatorname{Hered}(X)\subseteq X</math>로 표기하자.
<math>\operatorname{Hered}(X)</math>의 원소는 '''<math>X</math>-계승적 집합'''({{llang|en|sets hereditarily in <math>X</math>}})이라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>X</math>에 대하여, 마찬가지로 <math>X</math>-계승적 집합들의 모임 <math>\operatorname{Hered}(X)\subseteq X</math>을 정의할 수 있다. 그러나 <math>X</math>가 [[고유 모임]]이더라도 <math>\operatorname{Hered}(X)</math>는 [[집합]]일 수 있다.

== 성질 ==
다음이 성립한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/2273380|제목=On hereditarily countable sets|jstor=2273380|저널=The Journal of Symbolic Logic|이름=Thomas|성=Jech|권=47|호=1|날짜=1982-03|쪽=43–47|issn=0022-4812|언어=en}}</ref>
:<math>H_{\aleph_1}\subseteq V_{\omega_2}</math>
즉, 계승적 가산 집합의 [[계수 (집합론)|계수]]는 <math>\omega_1</math> 미만이다.

== 예 ==
{| class=wikitable
! <math>X</math> !! <math>\operatorname{Hered}(X)</math> !! 집합? !! 설명
|-
| 모든 집합의 모임 <math>\operatorname{Set}</math> || <math>V=\operatorname{Set}</math> || [[고유 모임]] || [[폰 노이만 전체]] ([[정칙성 공리]]를 가정할 경우)
|-
| [[추이적 집합]] <math>T</math> || <math>\operatorname{Hered}(T)=T</math> || [[집합]]
|-
| [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 크기 <math>\kappa</math> 미만의 집합들의 모임 <math>\operatorname{Set}_{<\kappa}</math>
| <math>\operatorname{Hered}(\operatorname{Set}_{<\kappa})=H_\kappa</math> || [[집합]] || 계승적 <math>\kappa</math>-미만 집합들의 집합
|-
| [[유한 집합]]들의 모임 <math>\operatorname{Set}_{<\aleph_0}</math> || <math>\operatorname{Hered}(\operatorname{Set}_{<\aleph_0})=H_{\aleph_0}=V_\omega</math> || [[집합]] || '''계승적 유한 집합'''(繼承的有限集合, {{llang|en|hereditarily finite set}})들의 집합. [[폰 노이만 전체]]의 단계 <math>V_\omega</math>와 같다
|-
| [[가산 집합]]들의 모임 <math>\operatorname{Set}_{<\aleph_0}</math> || <math>\operatorname{Hered}(\operatorname{Set}_{<\aleph_1})=H_{\aleph_1}</math> || [[집합]] || '''계승적 가산 집합'''(繼承的可算集合, {{llang|en|hereditarily countable set}})들의 집합
|-
| [[추이적 집합]]들의 모임 <math>\operatorname{transSet}</math> || <math>\operatorname{Hered}(\operatorname{transSet})=\operatorname{Ord}</math> || [[고유 모임]] || (폰 노이만 정의에서의) [[순서수]]의 모임
|-
| <math>\{\varnothing\}</math> || <math>\operatorname{Hered}(\{\varnothing\})=\varnothing</math> || [[집합]]
|-
| <math>\varnothing</math> || <math>\operatorname{Hered}(\varnothing)=\varnothing</math> || [[집합]]
|-
|[[순서수 정의 가능 집합]] <math>\operatorname{OD}</math> || <math>\operatorname{Hered}(\operatorname{OD})=\operatorname{HOD}</math> || [[고유 모임]] || '''계승적 순서수 정의 가능 집합'''({{llang|en|hereditarily ordinal-definable set}})
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=hereditarily finite set|title=Hereditarily finite set}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Hereditary_Cardinality|제목=Hereditary cardinality|웹사이트=Cantor’s Attic|성=Hamkins|이름=Joel David|성2=Gitman|이름2=Victoria|언어=en|확인날짜=2016-08-22|보존url=https://web.archive.org/web/20161107032402/http://cantorsattic.info/Hereditary_Cardinality|보존날짜=2016-11-07|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]