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[[파일:Parallel_postulate_en.svg|섬네일|오른쪽|400픽셀|만약 α + β < 180°라면, 두 직선은 이 두각과 같은 쪽에서 만난다.]]

[[기하학]]에서 '''평행선 공준'''(平行線公準, {{llang|en|parallel postulate}})은 [[원론]]에 등장하는 다섯 개의 [[공준]] 중 마지막으로, 내용은 다음과 같다.
<blockquote>두 [[직선]]이 다른 한 직선과 만나 이루는 두 [[동측내각]]의 합이 두 [[직각]]보다 작다면, 이 두 직선을 무한히 연장할 때, 그 두 동측내각과 같은 쪽에서 만난다.</blockquote>

[[유클리드 기하학]]은 평행선의 공준을 비롯한 다섯 공준으로 구성되는 기하학이다. 평행선 공준은 남은 네 공준과 독립적이다. 즉, 남은 네 공준으로부터 유도할 수 없으며, 평행선 공준에 부정을 취하면 새로운 [[무모순적 이론|무모순적]] 기하학을 얻는다. 이는 좁은 의미의 [[비유클리드 기하학]]이며, 넓은 의미의 [[비유클리드 기하학]]은 평행선 공준을 만족하지 않는 기하학을 뜻한다. [[절대기하학]]은 다섯 공준에서 평행선 공준을 제외한 네 공준만을 취한 것이다.

== 동치 명제 ==
다음 명제들은 평행선 공준과 [[동치]]이다. 정확히 말해, 절대기하학 아래, 서로가 서로를 함의하며, 절대기하학에 이들 명제 가운데 하나를 추가하여 얻는 기하학은 유클리드 기하학과 동치이다. (소괄호 속은 원래 명제의 이름, 대괄호 속은 동치성 명제의 이름이다.)
# ([[플레이페어 공리]]) 주어진 직선 밖 한 점을 지나는, 그 직선의 [[평행선]]은 많아야 하나 존재한다.
# ([[삼각형 공준]]) 모든 [[삼각형]]의 내각합은 180°이다.
# &#91;[[사케리-르장드르 제2정리]]&#93; 어떤 삼각형의 내각합은 180°이다.
# 모든 삼각형의 내각합은 같다.
# [[직사각형]]이 존재한다.
# (등거리 공준 1) 평행한 두 직선의 거리는 어디에서나 일정하다.
# (등거리 공준 2) 어떤 같은 평면 위에서, 어떤 주어진 직선과 거리가 같은 세 [[공선점]]이 존재한다.
# ([[프로클로스]] 공준 1) 같은 평면 위에서, 평행선 중 하나와 만나는 직선은 다른 하나와도 만난다.
# ([[프로클로스]] 공준 2) 같은 평면 위에서, 같은 직선과 평행하는 두 직선은 서로 평행한다.
# &#91;[[사케리-르장드르 제4정리]]&#93; 주어진 각의 내부의 점을 지나며, 각의 두 변과 만나는 직선은 항상 존재한다.
# ([[아드리앵마리 르장드르|르장드르]] 공준) 동측내각이 하나는 직각 하나는 [[예각]]이라면, 두 직선은 만난다.
# ([[보여이 퍼르커시|보여이]] 공준) 모든 삼각형은 [[외접원]]을 갖는다. 즉, 공선점이 아닌 세 점에 대하여, 그들을 지나는 원이 항상 존재한다.
# ([[존 월리스|월리스]] 공준 1) [[도형의 합동|합동]]이 아닌 [[닮음삼각형]]이 존재한다.
# ([[존 월리스|월리스]] 공준 2) 모든 [[원 (기하학)|원]]의 둘레와 지름의 비율은 같다. 즉, [[원주율]]을 정의할 수 있다.
# ([[존 월리스|월리스]] 공준 3) 삼각형의 [[넓이]]는 [[상계와 하계|상계]]를 갖지 않는다. 즉, 삼각형의 넓이는 주어진 임의의 도형의 넓이보다 클 수 있다.
# 윗변과 아랫변이 같은 [[사케리 사변형]]이 존재한다.
# 대변의 절반 길이인 중위선을 갖는 삼각형이 존재한다.
# ([[피타고라스의 정리]]) 직각삼각형의 빗변의 길이의 제곱은 직각을 이루는 두 변의 길이의 제곱합과 같다.

== 동치 증명 ==
위 명제들은 자명하게 유클리드 기하학의 [[정리]]이므로, 이들로부터 평행선 공준을 유도하거나, 동치성 증명이 끝난 명제를 유도하는 것으로 족하다. 명제 1, 2, 3, 4, 10에 대한 증명은 [[플레이페어의 공리]], [[삼각형의 내각합]], [[사케리-르장드르 정리]] 참고.

[[파일:Parallel postulate equiv rectangle condition.svg|섬네일|250px|직사각형 조건 ⇒ 삼각형 공준]]
[[파일:Parallel postulate equiv equidistance postulate.svg|섬네일|250px|등거리 공준 ⇒ 직사각형 조건]]
[[파일:Parallel postulate equiv Proclus' axiom.svg|섬네일|250px|프로클로스 공준 ⇒ 평행선 공준]]
[[파일:Parallel postulate equiv Legendre condition.svg|섬네일|250px|르장드르 공준 ⇒ 평행선 공준]]
[[파일:Parallel postulate equiv circummsbribed circle condition.svg|섬네일|250px|월리스 공준 2 ⇒ 르장드르 공준]]
[[파일:Parallel postulate equiv similar triangle condition.svg|섬네일|250px|월리스 공준 1 ⇒ 사각형 공준]]
[[파일:Parallel postulate equiv saccheri quadrilateral condition.svg|섬네일|250px|사케리 사변형 조건 ⇒ 직사각형 조건]]
[[파일:Parallel postulate equiv median line condition.svg|섬네일|250px|중위선 조건 ⇒ 사케리 사변형 조건]]
[[파일:Parallel postulae equiv Pythagorean theorem.svg|섬네일|250px|피타고라스의 정리 ⇒ 중위선 조건]]

=== 직사각형 조건 ===
(직사각형 조건 ⇒ 삼각형 공준)

직사각형(즉 네 내각이 모두 직각인 사각형)에 대각선을 그어 두 작은 삼각형을 만들자. 그렇다면, [[사케리-르장드르 제1정리]]에 따라, 두 삼각형의 내각합은 각자 ≤ 180°이다. 또한, 두 내각합을 합하면 직사각형의 내각합 360°가 된다. 따라서, 두 삼각형의 내각합은 모두 180°이므로, 내각합이 180°인 삼각형이 존재한다.

비슷하게, "내각합이 180(''n'' - 2)°인 ''n''각형이 존재한다"는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다. 이를 "''n''각형 공준"이라고 하자.

=== 등거리 공준 ===
(등거리 공준 ⇒ 직사각형 조건)

평행선 사이의 거리가 어디에서나 일정하다면, 당연히 주어진 직선과 거리가 같은 세 공선점이 존재하며, 점과 선은 어떤 같은 평면 위에 있다.

세 공선점 ''A'', ''B'', ''C''가 직선 ''l''과 거리가 같다고 하자. 즉, ''l''의 [[수선 (수학)|수선]] ''AA&apos;'', ''BB&apos;'', ''CC&apos;''가 ''l''과 각자 ''A&apos;'', ''B&apos;'', ''C&apos;''에서 만난다고 하면, ''AA&apos;'' = ''BB&apos;'' = ''CC&apos;''이다. 따라서, ''AA&apos;B&apos;B'', ''BB&apos;C&apos;C''는 [[사케리 사변형]]이다. 이들 각자의 윗변과 밑변의 중점 ''M'', ''M&apos;'', ''N'', ''N&apos;'' 을 연결하자. 그렇다면, 좌우 대칭이므로, 직선 ''MM&apos;'' 와 ''NN&apos;''는 각자 직선 ''l''과 ''ABC''의 수선이다. 따라서, 직사각형 ''MM&apos;N&apos;N''이 존재한다.

=== 프로클로스 공준 ===
(프로클로스 공준 ⇒ 평행선 공준)

두 명제는 서로 [[명제의 대우|대우]]이므로, 자명하게 동치이다.

어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 < 180°이라고 하자. 그렇다면, ∠''BAP&apos;'' + ∠''ABQ'' = 180°이게 직선 ''AP&apos;''를 그을 수 있다. 이때 ''AP&apos;'' 와 ''BQ''는 서로 평행한다. 또한, ''AP''와 ''AP&apos;'' 가  만나므로, ''AP'' 와 ''BQ''도 만난다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다.

=== 르장드르 공준 ===
(르장드르 공준 ⇒ 평행선 공준)

어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각이 < 180°이라고 하자.

만약 동측내각이 하나는 직각 하나는 예각이라면, 명제에 따라 ''AP''와 ''BQ''는 만난다.

만약 둘 다 예각이라면, 선분 ''AB''에 아무렇게나 점 ''M''을 찍고, ''BQ''의 수선 ''MN''을 긋고, ''MN''이 ''BQ''와 ''N''에서, ''AP''와 ''C''에서 만난다고 하자. 그렇다면, 삼각형의 내각은 그와 이웃하지 않는 외각보다 작으므로, ∠''MCP'' < ∠''MAP'', 즉 ∠''MCP''는 예각이다. 따라서 첫번째 경우로 귀결된다.

만약 하나는 [[둔각]] 하나는 예각이라면, 두번째 경우와 같이 점 ''M'', ''N'', ''C''를 만들되, ''M''을 ''AB''의 중점으로 취하자. 그렇다면, ∠''MCP''는 직각일 수 없다. 안 그러면, [[각각변 합동]]에 따라, 삼각형 ''MCA''와 ''MNB''는 합동이 되므로, 동측내각의 합이 180°이 되어 모순이다. 따라서, 이 역시 첫번째 경우로 귀결된다.

세 경우는 모든 경우를 포함하며, 따라서 두 직선 ''AP'', ''BQ''는 어떤 점 ''O''에서 만난다. 또한 반드시 < 180°인 동측내각과 같은 쪽에서 만난다. 안 그러면, 삼각형 ''OAB''의 내각합이 180°보다 크게 되므로 모순이다. 따라서, 평행선 공준이 성립한다.

=== 보여이 공준 ===
(보여이 공준 ⇒ 르장드르 공준)

어떤 직선 ''l''과 각자 ''A'', ''B''에서 만나는 두 직선 ''AP'', ''BQ''의 동측내각 ∠''QBA''와 ∠''PAB''가 각자 직각과 예각이라고 하자. 그렇다면, 선분 ''AB''에 점 ''M''을 찍고, ''AP''의 수선 ''MC''를 그어 ''AP''와 ''C''에서 만나게 하고, ''MC''를 연장하여 ''C&apos;C'' = ''MC''이게 하고, ''MB''를 연장하여 ''BB&apos;'' = ''MB''이게 할 때, 자명하게 ''M'', ''C&apos;'', ''B&apos;''은 삼각형을 이룬다. 따라서, 그 외접원이 존재하며, ''AP''와 ''BQ''가 각자 변 ''MC&apos;''와 ''MB&apos;''의 수직이등분선이므로, 외접원 원심 ''O''가 바로 ''AP''와 ''BQ''의 교점이다. 따라서, 르장드르 공준이 성립한다.

=== 월리스 공준 1 ===
(월리스 공준 1 ⇒ 사각형 공준)

삼각형 ''ABC''와 ''A&apos;B&apos;C&apos;'' 가 서로 닮음이나, 서로 합동이 아니라고 하자. 그렇다면, ''AB'' > ''A&apos;B&apos;''라고 가정할 수 있다. 변 ''AB''에 ''AB&apos;&apos;'' = ''A&apos;B&apos;'' 인 점 ''B&apos;&apos;'' 을 찍고, ∠''AB&apos;&apos;C&apos;&apos;'' = ∠''ABC''인 직선 ''B&apos;&apos;C&apos;&apos;'' 을 긋자. 그렇다면, 직선 ''B&apos;&apos;C&apos;&apos;'' 은 변 ''AC''와 어떤 점 ''C&apos;&apos;''에서 만난다. 또한, [[각변각 합동]]에 따라, 삼각형 ''AB&apos;&apos;C&apos;&apos;'' 와 ''AB&apos;C&apos;''는 합동이다. 따라서, ∠''AC&apos;&apos;B&apos;&apos;'' = ∠''AC&apos;B&apos;'' = ∠''ACB''이다. 이때, 사각형 ''BB&apos;&apos;C&apos;&apos;C''의 내각합은 360°가 되므로, 내각합이 360°인 사각형이 존재한다.

비슷하게, "합동이 아닌 닮음다각형이 존재한다"는 명제가 평행선 공준과 동치라는 것을 보일 수 있다.

=== 월리스 공준 2 ===
{{빈 문단}}

=== 월리스 공준 3 ===
{{빈 문단}}

=== 사케리 사변형 조건 ===
(사케리 사변형 조건 ⇒ 직사각형 조건)

두 [[사케리 사변형]] ''ABCD'', 밑변 ''AB''와 윗변 ''DC''가 같다고 하자. 밑변과 윗변의 중점 ''M'', ''N''을 연결하자. 그렇다면, 좌우 대칭에 따라 ''MN''은 ''AB''와 ''DC''의 수선이다. 또한, ''MB'' = ''NC''이므로, ''MNCB''는 밑변이 ''MN''인 사케리 사변형이다. 사케리 사변형의 윗변의 두 이웃각은 서로 같으므로, ∠''NCB'' = ∠''CBM'' = 90°이다. 따라서, 직사각형 ''MNCB''가 존재한다.

=== 중위선 조건 ===
(중위선 조건 ⇒ 사케리 사변형 조건)

삼각형 ''ABC''의 중위선 ''MN''이 대변 ''BC''의 절반 길이라고 하자. ''MN''의 수선 ''AA&apos;'', ''BB&apos;''를 그어 ''MN''과 ''A&apos;'', ''B&apos;''에서 만나게 하자. 그렇다면, [[변각변 합동]]에 따라, 삼각형 ''MAA&apos;'', ''MBB&apos;''는 서로 합동이며, 삼각형 ''NAA&apos;'', ''NCC&apos;''는 서로 합동이다. 따라서, ''BB&apos;'' = ''AA&apos;'' = ''CC&apos;'' 이므로, ''BB&apos;C&apos;C''는 사케리 사변형이다. 또한,
:''MN'' = ''MA'' + ''NA'' = 1/2''BC''
:''B&apos;M'' = ''MA&apos;''
:''C&apos;N'' = ''NA&apos;''
이므로, ''B&apos;C&apos;'' = ''BC''이다. 따라서, 밑변과 윗변이 같은 사케리 사변형이 존재한다.

=== 피타고라스의 정리 ===
(피타고라스의 정리 ⇒ 중위선 조건)

피타고라스의 정리가 성립한다면, 직각 삼각형 ''ABC''의 빗변 ''AB''에 대한 중위선 ''MN''을 긋자. 그렇다면,
:''AB''<sup>2</sup> = ''AC''<sup>2</sup> + ''BC''<sup>2</sup>
:''MN''<sup>2</sup> = ''AM''<sup>2</sup> + ''BN''<sup>2</sup>
:''AM'' = 1/2''AC''
:''BN'' = 1/2''BC''
이므로, ''MN'' = 1/2''AB''이다. 즉, 중위선이 그 대변의 절반 길이인 삼각형이 존재한다.

== 역사 ==
평행선 공준은 원론의 공준 중 다른 네 공준보다 직관적이지 못하다. 따라서 몇몇 수학자들은 이 공준이 다른 명제들로부터 증명될 수 있을지도 모른다고 생각했다. 또한 다른 몇몇 수학자들은 이 공준의 부정을 가정하여 모순을 이끌어내려고 하였다.

결국 19세기에 이 공준은 증명될 수 없다고 결론지어졌으며, 이것의 반대 상황을 가정해도 모순이 없다는 것이 밝혀졌다. 이러한 결과를 [[1829년]] [[니콜라이 이바노비치 로바쳅스키]]가 한 러시아 저널에 발표하였다. ([[1840년]]에 독일어로 다시 출판되었다.) 또한 [[1831년]] [[보여이 야노시]]가 로바쳅스키와는 독자적으로 그의 아버지의 논문에 이러한 발견을 실었다. [[카를 프리드리히 가우스]]가 이러한 문제를 연구했다는 설도 있지만, 그는 이러한 내용을 출간하지 않았다.

이 새로운 기하학은 후에 [[니콜라이 이바노비치 로바쳅스키]], [[베른하르트 리만]]과 [[앙리 푸앵카레]]에 의해 [[쌍곡기하학]]과 [[구면기하학]]으로 발전되었다.

== 같이 보기 ==
* [[비유클리드 기하학]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|저자=王宗儒
|제목=三角形内角和等于180°吗
|언어=zh
|출판사=湖南人民出版社
|날짜=1981-07
}}

{{전거 통제}}

[[분류:초등 기하학]]
[[분류:기하학기초론]]
[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:비유클리드 기하학]]
[[분류:공리]]