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[[범주론]]에서 '''쉼표 범주'''(-標範疇, {{llang|en|comma category}})는 같은 [[공역]]을 갖는 두 [[함자 (수학)|함자]]로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal B</math>, <math>\mathcal C</math> 및 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\mathcal A\to\mathcal C</math>
:<math>G\colon\mathcal B\to\mathcal C</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 '''쉼표 범주''' <math>F\downarrow G</math>는 다음과 같은 범주이다.
* <math>F\downarrow G</math>의 대상은 다음과 같은 [[튜플]] <math>(A,B,\phi)</math>이다.
** <math>A\in\mathcal A</math>, <math>B\in\mathcal B</math>는 각각 <math>\mathcal A</math> 또는 <math>\mathcal B</math>의 대상이다.
** <math>\phi\in\hom_{\mathcal C}(F(A),G(B))</math>는 <math>\mathcal C</math> 속의 [[사상 (수학)|사상]]이다.
* <math>F\downarrow G</math>의 사상 <math>(f,g)\in\hom_{F\downarrow G}((A,B,\phi),(A',B',\phi'))</math>은 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.
** <math>f\in\hom_{\mathcal A}(A,A')</math>이며 <math>g\in\hom_{\mathcal B}(B,B')</math>이며, 또한 <math>\phi'\circ F(f)=G(g)\circ\phi\in\hom_{\mathcal C}(F(A),G(B'))</math>이다.
* <math>F\downarrow G</math>의 사상의 합성은 <math>(f,g)\circ(f',g')=(f\circ f',g\circ g')</math>이다.
* <math>F\downarrow G</math>의 항등 사상은 <math>\operatorname{id}_{(A,B,\phi)}=(\operatorname{id}_A,\operatorname{id}_B)</math>이다.

=== 화살표 범주 ===
'''화살표 범주'''({{llang|en|arrow category}})는 <math>\mathcal A=\mathcal B=\mathcal C</math>이며 <math>F=G=\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>인 경우이다. 이 경우는 <math>\mathcal C^\to</math>라고 쓰며,  <math>\mathcal C^\to</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 사상이며,  <math>\mathcal C^\to</math>의 사상은 <math>\mathcal C</math>의 가환 사각형들이다.

=== 조각 범주 ===
<math>1</math>이 [[자명군]]에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, <math>X^*\colon1\to\mathcal C</math>가 <math>1</math>의 유일한 대상을 <math>X\in\mathcal C</math>로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주
:<math>\mathcal C/X=\operatorname{Id}_{\mathcal C}\downarrow X^*</math>
를 <math>X</math>에 대한 '''조각 범주'''({{llang|en|slice category}})라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주
:<math>X\backslash\mathcal C=X^*\downarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>
를 <math>X</math>에 대한 '''쌍대 조각 범주'''({{llang|en|coslice category}})라고 한다.

== 예 ==
* <math>\{\bullet\}</math>이 [[한원소 집합]]이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 <math>\{\bullet\}\backslash\operatorname{Set}</math>는 [[점을 가진 집합]]의 범주이다. 마찬가지로, <math>\{\bullet\}\backslash\operatorname{Top}</math>은 [[점을 가진 공간]]의 범주이다. 이들은 [[대수적 위상수학]]에서 쓰인다.
*  [[대수기하학]]에서 <math>\operatorname{Sch}/K</math>는 체의 아핀 공간 <math>\operatorname{Spec}K</math>에 대한 [[스킴 (수학)|스킴]]들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 <math>S\in\operatorname{Sch}</math>에 대하여, <math>\operatorname{Sch}/S</math>는 <math>S</math>-스킴들의 범주이다.
* 함자 <math>D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}</math>가 <math>D(S)=S\times S</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\operatorname{Id}_{\operatorname{Set}}\downarrow D</math>는 (스스로로 가는 변을 허용하는) [[유향 그래프]]의 범주이다. 이 경우, 대상은 <math>(E,V,\operatorname{end})</math>의 꼴인데 <math>E</math>는 변의 집합, <math>V</math>는 꼭짓점의 집합, 함수 <math>\operatorname{end}\colon E\to V\times V</math>는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
** [[무향 그래프]]의 범주를 얻으려면, <math>D</math>를 <math>D(S)=(S\times S)/((s,t)\sim(t,s)\forall s,t\in S)</math>로 치환하면 된다.
** 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, <math>D</math>를 <math>D(S)=(S\times S)\setminus\{(s,s)|s\in S\}</math>로 치환하면 된다.
* <math>\operatorname{CRing}</math>이 [[가환환]]의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 <math>R\backslash\operatorname{CRing}</math>은 <math>R</math>에 대한 가환 [[대수 (환론)|대수]]의 범주 <math>R\text{-CAlg}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.
* <math>\operatorname{forget}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}</math>가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, <math>S^*\colon 1\to\operatorname{Set}</math>가 <math>1</math>의 유일한 대상을 집합 <math>S</math>로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 <math>S^*\downarrow\operatorname{forget}</math>의 대상은 <math>S</math>에서 군 <math>G</math>로 가는 함수 <math>S\to G</math>이며, <math>S^*\downarrow\operatorname{forget}</math>의 사상은 [[군 준동형]]과 일대일 대응된다. 이 경우, <math>S^*\downarrow\operatorname{forget}</math>의 [[시작 대상]]은 <math>S</math>로 생성되는 [[자유군]]이다.<ref>{{서적 인용|zbl=1243.18001|제목=Shape theory: categorical methods of approximation|성=Cordier|이름=Jean-Marc|공저자=Tim Porter|출판사=Dover|날짜=2008|isbn=978-0-486-46623-1|url=http://store.doverpublications.com/048646623x.html|언어=en|확인날짜=2014-10-26|보존url=https://web.archive.org/web/20141026033345/http://store.doverpublications.com/048646623x.html|보존날짜=2014-10-26|url-status=dead}}</ref>{{rp|9}}

== 역사와 어원 ==
[[프랜시스 윌리엄 로비어]]가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Lawvere|이름=W.|저자링크=프랜시스 윌리엄 로비어|제목=Functorial semantics of algebraic theories and some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html|저널=Reprints in Theory and Applications of Categories|날짜=2004|권=5|쪽=1–121|zbl=1062.18004|언어=en}}</ref> 원래 쉼표 범주의 표기법이 [[쉼표 (문장 부호)|쉼표]]를 사용하여 <math>(F,G)</math>였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=comma category|title=Comma category}}
* {{nlab|id=overcategory|title=Overcategory}}
* {{nlab|id=under category|title=Under category}}
* {{nlab|id=arrow category|title=Arrow category}}
* {{nlab|id=twisted arrow category|title=Twisted arrow category}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/comma+category|제목=Comma category|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/overcategory|제목=Overcategory|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/under+category|제목=Under category|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=f4jpvwwnq_s|제목=Slice and comma categories 1|저자=The Catsters|형식=비디오|날짜=2008-11-04|출판사=[[유튜브]]|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://www.youtube.com/watch?v=W6sG5uraex0|제목=Slice and comma categories 2|저자=The Catsters|형식=비디오|날짜=2008-12-09|출판사=[[유튜브]]|언어=en}}

[[분류:범주론]]