{{위키데이터 속성 추적}}
{{각주 부족|날짜=2024-05-17}}
[[수학]]과 [[결정학]]에서 '''결정학적 점군'''(結晶學的點群, {{lang|en|crystallographical point group}}) 또는 '''결정급'''(結晶級, {{lang|en|crystal class}})이란 그 회전 변환이 60도, 90도, 120도, 또는 180도로 제한된 [[점군]]이다. 즉, 오직 특정 각의 회전 변환만을 포함하고, 원점을 보존하는 [[유클리드 공간]]의 [[등거리변환]]군의 유한 [[부분군]]이다. [[결정학]]에서는 ([[준결정]]을 제외한) [[결정 구조]]의 국소적인 대칭을 나타낸다. (국소적이지 않은 대칭은 [[공간군]]에 따라 분류한다.) [[무기화학]]에서는 [[분자]]의 대칭을 나타낸다.

== 정의 ==
일반적인 [[점군]]은 그 개수가 무한하다. 그러나 [[준결정]]이 아닌 [[결정 구조]]에서는 '''결정학적 제한 정리'''({{lang|en|crystallographical restriction theorem}})에 따라 점군이 포함할 수 있는 [[회전]] 변환이 제한된다. <math>2\pi/n</math> [[라디안]] 회전의 경우, 오직 <math>n=1,2,3,4,6</math>만이 가능하다. 이 조건을 만족하는 [[점군]]의 개수는 유한하며, 이들을 '''결정학적 점군'''이라고 한다. (다만, [[준결정]]에서는 <math>n=5</math>  회전 대칭이 가능하다.)

== 점군 표기법 ==
흔히 쓰이는 점군의 표기법에는 크게 두 가지가 있다. 하나는 '''쇤플리스 표기법'''({{lang|en|Schoenflies notation}})이고, 다른 하나는 '''헤르만-모갱 표기법'''({{lang|en|Hermann–Mauguin notation}})이다. 이 밖에도 '''콕세터 표기법'''({{lang|en|Coxeter notation}})이나 '''[[오비폴드]] 표기법'''({{lang|en|orbifold notation}}) 등이 있다.

=== 쇤플리스 표기법 ===
'''쇤플리스 표기법'''({{lang|en|Schoenflies notation}})은 독일의 아르투어 모리츠 쇤플리스({{lang|de|Arthur Moritz Schoenflies}})가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|
url=http://www.iucr.org/__data/assets/pdf_file/0012/750/schoenfl.pdf|이름=P. P.|성=Ewald|제목=Fifty Years of  X-Ray Diffraction|쪽=351–353|연도=1962}}</ref> 보통 [[화학]]에서 쓰인다. 쇤플리스 표기법은 아래에 문자나 숫자가 기입된 하나의 문자로 표현한다. 각 기호의 의미는 다음과 같다.

* O는 [[정육면체]] 또는 [[정팔면체]]의 대칭군이다. ({{llang|de|Oktaeder}} 정팔면체) [[반사 대칭]]을 포함할 경우에는 O<sub>h</sub>로, 포함하지 않는 경우에는 O로 쓴다.
* T는 [[정사면체]]의 대칭군이다. ({{llang|de|Tetraeder}} 정사면체) 모든 반사 대칭을 포함할 경우에는 T<sub>d</sub>로, 모든 반사 대칭을 포함하지는 않지만 반전({{lang|en|inversion}}) 대칭을 포함하는 경우는 T<sub>h</sub>로, 그 어떤 반사 및 반전 대칭도 포함하지 않는 경우에는 T로 쓴다.
* C<sub>''n''</sub> (<math>n=1,2,3,4,6</math>)은 [[순환군]]이다. ({{llang|en|cyclic}} 순환군) 첨자 <math>n</math>은 <math>2\pi/n</math> [[라디안]] 회전 변환을 포함함을 뜻한다. 여기에 회전축에 수직인 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C<sub>''n''h</sub>로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우에는 C<sub>''n''v</sub>로, 어떤 반사 대칭도 포함하지 않는 경우에는 C<sub>''n''</sub>으로 쓴다.
** C<sub>1</sub>은 아무 대칭을 포함하지 않는 [[자명군]]이다.
** C<sub>1h</sub>와 C<sub>1v</sub>는 같은 군이며, 하나의 반사 대칭만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이 군은 간혹 C<sub>s</sub>로 쓰기도 한다.
* S<sub>''n''</sub> (<math>n=2,4,6</math>)은 <math>2\pi/n</math> 라디안 회전반사 대칭에 의하여 생성되는 [[순환군]]이다. ({{llang|de|Spiegel}} 거울) 즉, <math>2\pi/n</math> 라디안 회전과 회전축에 대하여 수직인 반사면에 대한 반사 대칭의 합성에 의하여 생성된다.
** S<sub>2</sub>는 반전 대칭(= 180도 회전반사 대칭)만을 포함하는, 크기가 2인 군이다. 이는 간혹 C<sub>i</sub>로 쓰기도 한다.
** S<sub>6</sub>은 60도 회전반사 대칭만을 포함하는, 크기가 6인 군이다. 이는 간혹 C<sub>3i</sub>로 쓰기도 한다.
* D<sub>''n''</sub> (<math>n=2,3,4,6</math>)은 <math>2\pi/n</math> 라디안 회전 대칭을 포함하는 [[정이면체군]]이다. ({{llang|de|Dieder}} 정이면체군) 여기에 회전축에 수직한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D<sub>''n''h</sub>로, 회전축에 평행한 반사 대칭을 포함하는 경우는 D<sub>''n''v</sub>로, 반사 대칭을 포함하지 않는 경우는 D<sub>''n''</sub>로 쓴다. 다만, D<sub>4d</sub>와 D<sub>6d</sub>는 불가능하다.
** D<sub>2</sub>는 [[클라인 4원군]]이며, 간혹 V로 쓰기도 한다. ({{llang|de|Viergruppe}} 4원군)

=== 헤르만-모갱 표기법 ===
'''헤르만-모갱 표기법'''({{lang|en|Hermann–Mauguin notation}})은 [[공간군]]의 표기법이지만, 점군의 표기에도 사용할 수 있다. 헤르만-모갱 표기법은 독일의 카를 헤르만({{lang|de|Carl H. Hermann}})과 프랑스의 샤를빅토르 모갱({{lang|fr|Charles-Victor Mauguin}})이 도입하였다. 헤르만-모갱 표기법은 보통 [[결정학]]에서 쓰인다.

이 표기법에 따른 각 점군의 표현은 각각
* 1, <u style="text-decoration:overline">1</u>
* 2, m, <sup>2</sup>⁄<sub>m</sub>
* 222, mm2, mmm
* 4,<u style="text-decoration:overline">4</u>, <sup>4</sup>⁄<sub>m</sub>, 422, 4mm, <u style="text-decoration:overline">4</u>2m, <sup>4</sup>⁄<sub>m</sub>mm
* 3, <u style="text-decoration:overline">3</u>, 32, 3m, <u style="text-decoration:overline">3</u>m
* 6, <u style="text-decoration:overline">6</u>, <sup>6</sup>⁄<sub>m</sub>, 622, 6mm, <u style="text-decoration:overline">6</u>2m, <sup>6</sup>⁄<sub>m</sub>mm
* 23, m<u style="text-decoration:overline">3</u>, 432, <u style="text-decoration:overline">4</u>3m, m<u style="text-decoration:overline">3</u>m
이다.

== 3차원 결정군 목록 ==
3차원에서는 총 32개의 결정학적 점군이 존재한다. 이들은 다음과 같다.
{| cellpadding="4" align="center"
|----- bgcolor=#e0e0e0
! [[결정계]]
! [[점군]] / 결정족
! 쇤플리스
! 헤르만-모갱
! 오비폴드
! 유형
|-----
| rowspan=2 | [[삼사정계]]
| triclinic-pedial
| C<sub>1</sub>
| 1
| 11
| enantiomorphic polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| triclinic-pinacoidal
| C<sub>i</sub>
| <math>\bar{1}</math>
| 1x
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=3 bgcolor=#f0f0f0| [[단사정계]]
| monoclinic-sphenoidal
| C<sub>2</sub>
| 2
| 22
| enantiomorphic polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| monoclinic-domatic
| C<sub>s</sub>
| m|<math>\color{Blue}m</math>
| 1*
| polar
|-----
| monoclinic-prismatic
| C<sub>2h</sub>
| <math>\frac 2 m</math>
| 2*
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=3 | [[사방정계]]
| bgcolor=#f0f0f0| orthorhombic-sphenoidal
| bgcolor=#f0f0f0| D<sub>2</sub>
| bgcolor=#f0f0f0| 222
| bgcolor=#f0f0f0| 222
| bgcolor=#f0f0f0| enantiomorphic
|-----
| orthorhombic-[[pyramid]]al
| C<sub>2v</sub>
| <math>mm2</math>
| *22
| polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| orthorhombic-[[bipyramid]]al
| D<sub>2h</sub>
| <math>mmm</math>
| *222
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=7 bgcolor=f0f0f0| [[정방정계]]
| tetragonal-pyramidal
| C<sub>4</sub>
| 4
| 44
| enantiomorphic polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| tetragonal-disphenoidial
| S<sub>4</sub>
| <math>\bar{4}</math>
| 2x
| 
|-----
| tetragonal-dipyramidal
| C<sub>4h</sub>
| <math>\frac 4 m</math>
| 4*
| centrosymmetric
|-----bgcolor=#f0f0f0
| tetragonal-trapezoidal
| D<sub>4</sub>
| 422
| 422
| enantiomorphic
|-----
| ditetragonal-pyramidal
| C<sub>4v</sub>
| <math>4mm</math>
| *44
| polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| tetragonal-scalenoidal
| D<sub>2d</sub>
| <math>\bar{4}2m</math> or <math>\bar{4}m2</math>
| 2*2
| 
|-----
| ditetragonal-dipyramidal
| D<sub>4h</sub>
| <math>\frac 4 {m}mm</math>
| *422
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=5 | [[삼방정계]]
| bgcolor=#f0f0f0| trigonal-pyramidal
| bgcolor=#f0f0f0| C<sub>3</sub>
| bgcolor=#f0f0f0| 3
| bgcolor=#f0f0f0| 33
| bgcolor=#f0f0f0| enantiomorphic polar
|-----
| rhombohedral
| S<sub>6</sub> (C<sub>3i</sub>)
| <math>\bar{3}</math>
| 3x
| centrosymmetric
|-----bgcolor=#f0f0f0
| trigonal-trapezoidal
| D<sub>3</sub>
| 32 or 321 or 312
| 322
| enantiomorphic
|-----
| ditrigonal-pyramidal
| C<sub>3v</sub>
| <math>3m</math> or <math> 3m1</math> or <math>31m</math>
| *33
| polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| ditrigonal-scalahedral
| D<sub>3d</sub>
| <math>\bar{3} m</math> or <math>\bar{3} m 1</math> or <math>\bar{3} 1 m </math>
| 2*3
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=7 bgcolor=f0f0f0| [[육방정계]]
| hexagonal-pyramidal
| C<sub>6</sub>
| 6
| 66
| enantiomorphic polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| trigonal-dipyramidal
| C<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}</math>
| 3*
| 
|-----
| hexagonal-dipyramidal
| C<sub>6h</sub>
| <math>\frac 6 m</math>
| 6*
| centrosymmetric
|-----bgcolor=#f0f0f0
| hexagonal-trapezoidal
| D<sub>6</sub>
| 622
| 622
| enantiomorphic
|-----
| dihexagonal-pyramidal
| C<sub>6v</sub>
| <math>6mm</math>
| *66
| polar
|-----bgcolor=#f0f0f0
| ditrigonal-dipyramidal
| D<sub>3h</sub>
| <math>\bar{6}m2</math> or <math>\bar{6}2m</math>
| *322
| 
|-----
| dihexagonal-dipyramidal
| D<sub>6h</sub>
| <math>\frac6{m}mm</math>
| *622
| centrosymmetric
|-----
| rowspan=5 | [[입방정계]]
| bgcolor=#f0f0f0| tetartoidal
| bgcolor=#f0f0f0| T
| bgcolor=#f0f0f0| 23
| bgcolor=#f0f0f0| 332
| bgcolor=#f0f0f0| enantiomorphic
|-----
| diploidal
| T<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}</math>
| 3*2
| centrosymmetric
|-----bgcolor=#f0f0f0
| gyroidal
| O
| 432
| 432
| enantiomorphic
|-----
| tetrahedral
| T<sub>d</sub>
| <math>\bar{4}3m</math>
| *332
| 
|-----bgcolor=#f0f0f0
| hexoctahedral
| O<sub>h</sub>
| <math>m\bar{3}m</math>
| *432
| centrosymmetric
|}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Hans|성=Wondratschek|제목=International Tables for Crystallography A|연도=2006|장=8.1 Basic concepts|쪽=720–725|doi=10.1107/97809553602060000514|isbn=978-0-7923-6590-7|url=http://it.iucr.org/Ab/ch8o1v0001/}}

== 같이 보기 ==
* [[결정계]]
* [[공간군]]
* [[점군]]

[[분류:결정학]]
[[분류:이산 군]]