{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Fano_plane.svg|섬네일| 파노 평면 에서 파생된 파노 [[매트로이드|메트로이드]] . 매트로이드는 대수적 조합론에서 연구되는 많은 종류의 객체 중 하나이다.]]
'''대수적 조합론'''({{llang|en|Algebraic combinatorics}})은 다양한 조합적 맥락에서 [[조합론|추상]] [[추상대수학|대수학]], 특히 [[군론]] 및 [[표현론 (수학)|표현론]]의 방법을 사용하거나, 반대로 [[추상대수학|대수]] 문제에 조합적 방법을 적용하는 [[수학]] 분야이다.

== 역사 ==
"대수적 조합론"이라는 용어는 1970년대 후반에 도입되었다.{{Sfn|Bannai|2012}} 1990년대 초반이나 중반을 통해 대수적 조합론에서 관심을 갖는 전형적인 조합 객체는 많은 대칭 ([[결합 도식|결합 체계]], [[강한 정규 그래프]], [[군의 작용|군 작용]]이 있는 부분 순서 집합)을 인정하거나 풍부한 대수 구조를 가지고 있으며, 종종 표현 이론의 기원([[대칭 함수]], [[영 타블로]])을 갖는다. 이 기간은 1991년에 도입된 [[미국 수학회|AMS]] 수학 분류의 05E, ''대수적 조합''에 반영된다.

== 범위 ==
대수적 조합론은 조합 및 대수적 방법의 상호 작용이 특히 강력하고 중요한 수학 영역으로 보다 광범위하게 보여지게 되었다. 따라서 조합 주제는 본질적으로 열거 적이거나 [[매트로이드]], [[다포체]], [[부분 순서 집합|부분적으로 정렬된 집합]] 또는 유한 기하학을 포함할 수 있다. 대수학적인 측면에서는 군론과 표현론 외에 [[격자 (순서론)|격자론]]과 [[가환대수학]]이 통용된다.

== 중요한 주제 ==
=== 대칭 함수 ===
[[대칭 함수의 고리|대칭 함수 환]]은 ''n이'' 무한대로 갈 때 ''n'' 불확정에서 [[대칭 다항식]]의 환의 특정 극한이다. 이 환은 대칭 다항식 사이의 관계가 불확정수의 ''n'' 과 독립적인 방식으로 표현될 수 있는 보편적인 구조 역할을 한다(그러나 그 요소는 다항식도 함수도 아니다). 무엇보다도 이 환은 대칭 군의 표현 이론에서 중요한 역할을 한다.

=== 결합 도식 ===
[[결합 도식]]은 특정 호환성 조건을 만족하는 [[이항관계|이항 관계]]의 모음이다. 결합 도식은 예를 들어 조합 설계 및 [[부호 이론|부호론]]과 같은 많은 주제에 대한 통합적 접근 방식을 제공한다. {{Sfn|Bannai|Ito|1984}} {{Sfn|Godsil|1993}} 대수학에서 결합 도식은 [[군 (수학)|군]]을 일반화하고 연합 체계 이론은 군의 [[군의 표현|선형 표현]]에 대한 [[군 표현의 지표|지표 이론]]을 일반화한다. {{Sfn|Bailey|2004}} {{Sfn|Zieschang|2005b}} {{Sfn|Zieschang|2005a}}

=== 강한 정규 그래프 ===
[[강한 정규 그래프|강한 정규 그래프는]] 다음과 같이 정의된다. ''G'' = ( ''V'', ''E'' )를 정점 ''v'' 와 차수가 ''k'' 인 [[정규 그래프]] 라고 한다. 다음과 같은 [[정수]] λ 및 μ도 있는 경우 ''G는'' '''강한 정규 그래프'''라고 한다.

* 인접한 두 정점 마다 λ 공통 이웃이 있다.
* 인접하지 않은 두 정점마다 공통 이웃이 있다.

이러한 종류의 그래프는 때때로 srg( ''v'', ''k'', λ, μ)라고 한다.

일부 저자는 정의를 자명하게 충족하는 그래프, 즉 하나 이상의 동일한 크기의 [[완전 그래프|완전한 그래프]] {{Sfn|Brouwer|Haemers|n.d.}} {{Sfn|Godsil|Royle|2001}} 및 그 [[여 그래프]]인 튜란 그래프의 분리된 합집합인 그래프를 제외한다.

=== 영 타블로 ===
[[영 타블로]](pl.: ''tableaux'' )는 [[표현론 (수학)|표현론]]과 슈베르트 미적분학에서 유용한 조합적 대상이다. [[대칭군 (군론)|대칭]] 및 [[일반선형군|일반 선형]] 군의 [[군의 표현|군 표현]]을 설명하고 성질을 연구하는 편리한 방법을 제공한다. 영 타블로는 1900년 [[케임브리지 대학교|캠브리지 대학]]의 [[수학자]] Alfred Young 에 의해 소개되었다. 그런 다음 그들은 1903년 [[페르디난트 게오르크 프로베니우스|게오르그 프로베니우스]]의 대칭군 연구에 적용되었다. 그들의 이론은 [[퍼시 알렉산더 맥메이헌|Percy MacMahon]], [[윌리엄 밸런스 더글러스 호지|WVD Hodge]], G. de B. Robinson, [[잔카를로 로타|Gian-Carlo Rota]], Alain Lascoux, Marcel-Paul Schützenberger 및 Richard P. Stanley를 포함한 많은 수학자에 의해 더욱 발전되었다.

=== 매트로이드 ===
[[매트로이드]]는 [[벡터 공간|선형 공간]]에서 [[일차 독립 집합|선형 독립]]의 개념을  일반화하는 구조이다. 매트로이드를 정의하는 동등한 방법이 많이 있으며, 가장 중요한 개념들은 독립 집합, 기저, 회로, 닫힌 집합 또는 평면, 폐포 연산자 및 랭크 함수 등이다.

매트로이드 이론은 [[선형대수학|선형 대수학]] 및 [[그래프 이론]]의 용어에서 광범위하게 차용하는데, 주로 이 분야에서 중심적으로 중요한 다양한 개념의 추상화이기 때문이다. 메트로이드들은 기하학, [[위상수학]], [[조합 최적화]], [[네트워크 이론]] 및 [[부호 이론|부호론]]에서 응용을 찾았다. {{Sfn|Neel|Neudauer|2009}} {{Sfn|Kashyap|Soljanin|Vontobel|2009}}

=== 유한 기하학 ===
유한 기하학은 [[유한 집합|유한한]] 수의 [[점 (기하학)|점]] 다루는 [[기하학]]이다. 익숙한 [[유클리드 기하학]]은 유한하지 않다. 왜냐하면 유클리드 직선은 무한히 많은 점을 포함하기 때문이다. [[화소]]가 점으로 간주되는 컴퓨터 화면에 표시되는 그래픽을 기반으로 하는 기하학은 유한 기하학이다. 유한 기하학이라고 부를 수 있는 많은 시스템이 있지만 규칙성과 단순성 때문에 유한 [[사영 공간]]과 [[아핀 공간]]에 주로 주의를 기울인다. 유한 기하학의 다른 중요한 유형은 유한 뫼비우스 또는 반전 평면 과 라게르 평면이며, 이는 벤츠 평면이라고 하는 일반적인 유형의 예이며, 더 높은 유한 [[반전기하학]]과 같은 고차원 아날로그이다.

유한 기하학은 [[선형대수학|선형 대수학]]을 통해 구성될 수 있으며, [[유한체]] [[벡터 공간|선형 공간]]에서 시작한다. 이렇게 구성된 아핀 평면과 [[사영 평면]]을 갈루아 기하학 이라고 한다. 유한 기하학은 순전히 공리적으로 정의될 수도 있다. 가장 일반적인 유한 기하학은 갈루아 기하학이다. 3차원 이상의 유한 [[사영 공간]]은 유한 체 사영 공간과 [[동형 사상|동형]] 이기 때문이다(즉, 유한 체 선형 공간의 사영). 그러나 2차원에서는 갈루아 기하학과 동형이 아닌 아핀 및 사영 평면, 즉 비데자르게 평면이 있다. 유사한 결과가 다른 종류의 유한 형상에도 적용된다.

== 같이 보기 ==
* [[대수적 그래프 이론|대수 그래프 이론]]
* 조합 가환 대수
* ''대수적 조합론 저널''
* 다면체 조합론

== 각주 ==
{{각주|20em}}

== 인용 문헌 ==
{{참고 자료 시작|35em}}
* {{서적 인용|url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~rab/Asbook|title=Association Schemes: Designed Experiments, Algebra and Combinatorics|last=Bailey|first=Rosemary A.|author-link=Rosemary A. Bailey|year=2004|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-82446-0|mr=2047311}}. (Chapters from preliminary draft are [http://www.maths.qmw.ac.uk/~rab available on-line].)
* {{웹 인용|url=http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2012/data/bannai.pdf|title=Algebraic Combinatorics|last=Bannai|first=Eiichi|year=2012|publisher=School of Mathematical Sciences Shanghai Jiao Tong University|access-date=30 January 2022}}
* {{서적 인용|title=Algebraic combinatorics I: Association schemes|last1=Bannai|first1=Eiichi|last2=Ito|first2=Tatsuro|year=1984|publisher=The Benjamin/Cummings Publishing Co.|location=Menlo Park, CA|isbn=0-8053-0490-8|mr=0882540}}
* {{서적 인용|url=http://homepages.cwi.nl/~aeb/math/ipm.pdf|title=Spectra of Graphs|last1=Brouwer|first1=Andries E.|last2=Haemers|first2=Willem H.|date=n.d.|page=101|archive-url=https://web.archive.org/web/20120316102909/http://homepages.cwi.nl/~aeb/math/ipm.pdf|archive-date=16 March 2012|url-status=dead}}
* {{서적 인용|title=Algebraic Graph Theory|last1=Godsil|first1=Chris|last2=Royle|first2=Gordon|year=2001|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|location=New York|page=218|isbn=978-0-387-95241-3}}
* {{서적 인용|title=Algebraic Combinatorics|last=Godsil|first=Chris D.|author-link=Chris Godsil|year=1993|publisher=Chapman and Hall|location=New York|mr=1220704|ISBN=0-412-04131-6}}
* {{웹 인용|url=https://www.birs.ca/workshops/2009/09w5103/report09w5103.pdf|title=Applications of Matroid Theory and Combinatorial Optimization to Information and Coding Theory|last1=Kashyap|first1=Navin|last2=Soljanin|first2=Emina|date=2–7 August 2009|publisher=[[Banff International Research Station|BIRS]]|access-date=4 October 2014|last3=Vontobel|first3=Pascal}}
* {{저널 인용|title=Matroids you have known|journal=Mathematics Magazine|last1=Neel|first1=David L.|last2=Neudauer|first2=Nancy Ann|author2-link=Nancy Neudauer|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/shortcourse/2011/matroidsknown.pdf|year=2009|volume=82|issue=1|pages=26–41|doi=10.4169/193009809x469020|access-date=2023-04-14|archive-date=2022-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20220213204955/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/shortcourse/2011/matroidsknown.pdf|url-status=}}
* {{저널 인용|title=''Association Schemes: Designed Experiments, Algebra and Combinatorics'' by Rosemary A. Bailey, Review|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|last=Zieschang|first=Paul-Hermann|url=https://www.ams.org/bull/2006-43-02/S0273-0979-05-01077-3/S0273-0979-05-01077-3.pdf|year=2005a|volume=43|issue=2|pages=249–253|doi=10.1090/S0273-0979-05-01077-3|doi-access=free}}
* {{서적 인용|title=Theory of association schemes|last=Zieschang|first=Paul-Hermann|year=2005b|publisher=Springer|isbn=3-540-26136-2}}
{{참고 자료 끝}}

== 더 읽어보기 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용|url=http://library.msri.org/books/Book38/index.html|title=New Perspectives in Algebraic Combinatorics|year=1999|editor1-last=Billera|editor1-first=Louis J.|editor1-link=Louis Billera|editor2-last=Björner|editor2-first=Anders|editor2-link=Anders Björner|series=MSRI Publications|volume=38|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=052177087-4|editor3-last=Greene|editor3-first=Curtis|editor3-link=Curtis Greene|editor4-last=Simion|editor4-first=Rodica|editor4-link=Rodica Simion|editor5-last=Stanley|editor5-first=Richard P.|editor5-link=Richard P. Stanley|access-date=2023-04-14|archive-date=2020-01-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20200108030915/http://library.msri.org/books/Book38/index.html|url-status=}}
* {{서적 인용|title=Algebraic combinatorics on convex polytopes|last=Hibi|first=Takayuki|year=1992|publisher=Carslaw Publications|location=Glebe, Australia|isbn=1875399046|oclc=29023080}}
* {{콘퍼런스 인용|author-link=Melvin Hochster|first=Melvin|last=Hochster|title=Cohen–Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes|book-title=Ring Theory II: Proceedings of the Second Oklahoma Conference|publisher=Dekker|series=Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics|volume=26|date=1977|isbn=0-8247-6575-3|pages=171–223|oclc=610144046|url=https://archive.org/details/ringtheoryiiproc0026ring|zbl=0351.13009}}
* {{서적 인용|url={{GBurl|OYBCAAAAQBAJ|pg=PR11}}|title=Combinatorial commutative algebra|last1=Miller|first1=Ezra|last2=Sturmfels|first2=Bernd|author2-link=Bernd Sturmfels|year=2005|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=227|publisher=Springer|isbn=0-387-22356-8|zbl=1066.13001}}
* {{서적 인용|url={{GBurl|tZVCAAAAQBAJ|pg=PR5}}|title=Combinatorics and commutative algebra|last=Stanley|first=Richard P.|author-link=Richard P. Stanley|year=1996|edition=2nd|series=Progress in Mathematics|volume=41|publisher=Birkhäuser|isbn=0-8176-3836-9|zbl=0838.13008}}
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/grobnerbasesconv0000stur|title=Gröbner bases and convex polytopes|last=Sturmfels|first=Bernd|author-link=Bernd Sturmfels|year=1996|series=University Lecture Series|volume=8|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=0-8218-0487-1|oclc=907364245|zbl=0856.13020|url-access=registration|via=[[Internet Archive]]}}
* {{서적 인용|title=[[The Princeton Companion to Mathematics]]|last=Zeilberger|first=Doron|author-link=Doron Zeilberger|year=2008|publisher=Princeton University Press|chapter=Enumerative and Algebraic Combinatorics|chapter-url=http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/enuPCM.pdf}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

[[분류:대수적 조합론]]