{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''피에르츠-파울리 작용'''(Fierz-Pauli作用, {{llang|en|Fierz–Pauli action}}) 또는 '''선형화 중력'''(線型化重力, {{llang|en|linearized gravity}})은 스핀 2의 무질량 자유 입자를 나타내는 [[작용 (물리학)|작용]]이다.<ref name="Ortin">{{서적 인용|제목=Gravity and strings|이름=Tomás|성=Ortín|doi=10.1017/CBO9781139019750|출판사=Cambridge University Press|날짜=2015-03|총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics|판=2|isbn=978-052176813-9|언어=en}}</ref> 이는 [[일반 상대성이론]] 및 다른 중력 이론들의 선형화 극한에 해당한다.

== 정의 ==
<math>D</math>차원 [[민코프스키 공간]] 위에서, 대칭 (0,2)차 [[텐서장]] <math>h_{\mu\nu}</math>를 생각하자. 그렇다면, 이에 대한 '''피에르츠-파울리 작용'''은 다음과 같다.<ref name="Ortin"/>{{rp|63, (3.84)}}
:<math>S = \int\mathrm d^Dx\,\mathcal L_\text{FP} = \int \mathrm d^Dx\,\left(\frac14\partial^\mu h^{\nu\rho}\partial_\mu h_{\nu\rho}
-\frac12 \partial^\mu h^{\nu\rho}\partial_\nu h_{\mu\rho} + \frac12(\partial^\mu\operatorname{tr}h) \partial^\nu h_{\mu\nu} - \frac14 (\partial^\mu\operatorname{tr} h)(\partial_\mu\operatorname{tr}h)\right)</math>
여기서
* <math>\eta = \operatorname{diag}(-1,1,\dotsc,1)</math>는 [[민코프스키 공간]]의 계량이다.
* 첨자는 <math>\eta_{\mu\nu}</math>를 사용하여 올리거나 내린다. 즉, <Math>\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu</math>, <math>h^{\mu\nu}=\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}</math>이다.
* <math>\operatorname{tr}h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}</math>는 <math>h_{\mu\nu}</math>의 [[대각합]]이다.

== 성질 ==
피에르츠-파울리 작용의 [[운동 방정식]]은 다음과 같다.
:<math>0 = \partial^2h_{\mu\nu} + \partial_\mu\partial_\nu h - \partial^\rho(\partial_\mu h_{\nu\rho} + \partial_\nu h_{\mu\rho})</math>
텐서장 <math>h_{\mu\nu}</math>는 다음과 같은 게이지 변환을 갖는다.
:<math>\delta_X h_{\mu\nu} = \partial_\mu X_\nu + \partial_\nu X_\mu</math>
게이지 변환을 사용하여, <math>D(D+1)/2</math>개의 성분 가운데 <Math>2D</math>개를 없앨 수 있으며, 남은 <math>D(D-3)/2</math>개의 성분들은 [[스핀]]이 2인 자유 무질량 입자를 나타낸다. 이는 4차원에서 총 2개의 [[질량 껍질]] 위 자유도에 해당한다. (만약 게이지 대칭을 가하지 않으면, 이는 4차원에서 일반적으로 5개의 질량 껍질 위 자유도에 해당하며, 이는 1개의 스핀 2의 입자와 1개의 스핀 1의 입자와 1개의 스핀 0 입자에 해당한다.)

== 유도 ==
이 작용은 두 가지로 유도할 수 있다.

=== 일반 상대성 이론의 선형화 ===
<math>D</math>차원 [[일반 상대성이론]]에서, [[리만 계량]]을 다음과 같이 전개하자.
:<math>\hat g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - \kappa^{-1}h_{\mu\nu}</math>
:<math>\hat g_{\mu\nu}\hat g^{\nu\rho} = \delta_\mu^\rho</math>
:<math>g_{\mu\nu} = \sqrt{|\det\hat g|}\hat g_{\mu\nu}</math>
그렇다면, [[아인슈타인-힐베르트 작용]]을 다음과 같이 전개할 수 있다.
:<math>S_\text{EH} = \int\mathrm d^Dx\,\sqrt{|\det g|}R = \int\mathrm d^Dx\mathcal L_\text{PF} + \mathcal O(h^4)</math>
즉, 전개에서 최소차 항만을 남기면 피에르츠-파울리 이론을 얻는다.

=== 스핀 2 입자의 일반적 작용 ===
일반적으로, 대칭 2차 텐서장 <math>h</math>의 [[로런츠 대칭]] 불변 작용은 다음과 같은 네 개의 항을 가질 수 있다
:<math>\mathcal L \ni \partial_\mu h_{\nu\rho} \partial^\mu h^{\nu\rho},\;\partial_\mu h_{\nu\rho}\partial^\nu h^{\mu\rho},\; (\partial_\mu\operatorname{tr}h)\partial^nu h^{\mu\nu},\; (\partial_\mu\operatorname{tr}h)(\partial^\mu\operatorname{tr}h)</math>
물론, 그 계수들은 일반적으로 임의적이다. 그러나 여기서 운동 방정식
:<math>\frac{\delta\mathcal L}{\delta h^{\mu\nu}} = H^{\mu\nu}</math>
으로부터 [[비앙키 항등식]]
:<math>\partial_\mu H^{\mu\nu} = 0</math>
이 운동 방정식을 사용하지 않고 성립하려면, 이 계수 사이의 비들을 계산할 수 있다. (물론, 작용 전체에 상수를 곱해도 상관이 없다.) 이를 계산하면, 피에르츠-파울리 작용을 얻는다.

== 역사 ==
마르쿠스 에두아르트 피에르츠({{llang|de|Markus Eduard Fierz}}, {{IPA2|ˈmaʁkʊs ˈeːduaʁt ˈfiːɐ̯t͡s}})와 [[볼프강 파울리]]가 1939년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Markus|성=Fierz|이름2=Wolfgang|성2=Pauli|저자링크2=볼프강 파울리|제목=On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field|저널=Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences | 권=173 | 호=953 |  쪽= 211–232 | 언어=en | 날짜=1939-11-28 | jstor=97457 | issn=0080-4630 | bibcode=1939RSPSA.173..211F | doi=10.1098/rspa.1939.0140 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[대응원리]]
* [[중력 자성]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url= https://www.ugr.es/~bjanssen/text/fierz-pauli.pdf | 제목=From Fierz–Pauli to Einstein–Hilbert. Gravity as a special relativistic field theory | 이름= Bert | 성=Janssen | 날짜=2006-12-14 | 언어= en}}
 
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:양자장론]]