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'''3차원 직교군'''(三次元直交群, {{llang|en|three-dimensional orthogonal group}})은 3차원 [[유클리드 공간]]의 회전 및 반사로 구성되는 [[리 군]]이다.

== 정의 ==
'''3차원 직교군''' <math>\operatorname{O}(3;\mathbb R)</math>는 3×3 실수 [[직교 행렬]]들로 구성된 [[리 군]]이다.

다음과 같은 리 군들이 서로 [[동형]]이다.
* '''3차원 특수직교군''' <math>\operatorname{SO}(3;\mathbb R)</math>. 3×3 실수 직교 행렬의 [[행렬식]]은 ±1이며, 이 가운데 행렬식이 +1인 것들은 <math>\operatorname O(3;\mathbb R)</math>의 부분군을 이룬다. 이 부분군을 <math>\operatorname{SO}(3;\mathbb R)</math>라고 한다.
* '''2차원 사영 [[특수 유니터리 군]]''' <math>\operatorname{PSU}(2)</math>.
* '''3차원 사영 특수직교군''' <math>\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)</math>. 차원이 홀수이므로 사영 직교군은 특수직교군과 같다.

다음과 같은 리 군들이 서로 [[동형]]이다.
* '''2차원 [[특수 유니터리 군]]''' <math>\operatorname{SU}(2)</math>는 2×2 복소수 [[유니터리 행렬]] 가운데, 행렬식이 1인 것들로 구성된 [[리 군]]이다.
* '''3차원 [[스핀 군]]''' <math>\operatorname{Spin}(3)</math>
* '''1차원 [[심플렉틱 군]]''' <math>\operatorname{Sp}(1)=\operatorname{USp}(2)\cong\{x\in\mathbb H\colon\|x\|=1\}</math>. 이는 노름이 1인 [[사원수]]들의 곱셈군이다.

=== 복소수 표현 ===
다음과 같은 두 겹 [[피복 공간|피복]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{SU}(2)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3)</math>
즉, <math>\operatorname{SU}(2)</math>는 3차원 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(3)</math>과 동형이다. 이 피복 사상은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}
\mapsto\begin{pmatrix}\frac12(\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 - \bar\beta^2) & \frac i2(-\alpha^2 - \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta\\ \frac i2(\alpha^2 - \beta^2 - \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & \frac12(\alpha^2 + \beta^2 + \bar\alpha^2 + \bar\beta^2) & -i(+\alpha\beta-\bar\alpha\bar\beta)\\ \alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta & i(-\alpha\bar\beta + \bar\alpha\beta) & \alpha\bar\alpha - \beta\bar\beta \end{pmatrix}</math>
이는 다음과 같이 해석할 수 있다. 우선, <math>\operatorname{SO}(3)</math>는 [[구 (기하학)|2차원 구]] <math>\mathbb S^2</math> 위에 [[등거리 사상]]으로 구성된 표준적인 [[충실한 표현]]을 가진다. 또한, <math>\mathbb S^2</math>는 [[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math>로 해석할 수 있으며, 이 경우 구의 등거리 자기 동형은 리만 구 위의 [[뫼비우스 변환]]으로 나타내어진다. 즉, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
:<math>\iota\colon\operatorname{SO}(3)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>
이 경우, <math>\iota</math>의 상은 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들이다.
:<math>z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}</math>
마찬가지로, 다음과 같은 군의 매장이 존재한다.
:<math>\iota'\colon\operatorname{PSU}(2)\hookrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\iota'\colon\pm\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\bar\beta&\bar\alpha\end{pmatrix}\mapsto\left(z\mapsto\frac{\alpha z+\beta}{-\bar\beta z+\bar\alpha}\right)</math>
따라서, 이는 동형 <math>\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)</math>를 정의한다.

=== 사원수 표현 ===
동형 <math>\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Sp}(1)</math>은 다음과 같이 이해할 수 있다. <math>\operatorname{Sp}(1)</math>은 정의에 따라 노름이 1인 [[사원수]]들로 구성된다. 주어진 사원수에 대응하는 2×2 특수 [[유니타리 행렬 |유니터리 행렬]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sp}(1)\mapsto\operatorname{SU}(2)</math>
:<math>a+ib+jc+kd\mapsto\begin{pmatrix}
a+ib&-c+id\\
c+id&a-ib
\end{pmatrix}</math>

마찬가지로, 두 겹 [[피복군]] <math>\operatorname{Sp}(1)\twoheadrightarrow\operatorname{SO}(3)</math>는 다음과 같이 이해할 수 있다.
:<math>\operatorname{Sp}(1)\mapsto\operatorname{SO}(3)</math>
:<math>a+ib+jc+kd\mapsto\begin{pmatrix}1 - 2 c^2 - 2 d^2 & 2 b c - 2 d a & 2 b d + 2 c a \\ 2 b c + 2 d a & 1 - 2 b^2 - 2 d^2 & 2 c d - 2 b a \\ 2 b d - 2 c a & 2 c d + 2 b a & 1 - 2 b^2 - 2 c^2\end{pmatrix}</math>
이는 <math>(b,c,d)</math>를 축으로 하여, 각도 <math>2\theta</math>만큼 회전하는 행렬이며, 여기서 각도 <math>\theta</math>는 다음과 같다.
:<math>\cos(\theta)=a</math>
:<math>|\sin(\theta)|=\|a+ib+jc+kd\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>
즉, 단위 사원수 집합을 4차원 [[극좌표계]] <math>(r,\theta,\phi,\chi)</math>로 나타내었을 때, <math>\theta</math>는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수 <math>a+ib+jc+kd</math>와 <math>-a-ib-jc-kd</math>가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.

이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 <math>(t,x,y,z)</math>를 사원수 <math>v=t+ix+iy+iz</math>로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 <math>\operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math>의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 원소를 단위 사원수 <math>q_1</math>, <math>q_2</math>로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.
:<math>v\mapsto q_1vq_2</math>
여기서 <math>\mathbb Z/2</math>에 대한 몫군을 취하는 것은 <math>(q_1,q_2)</math>와 <math>(-q_1,-q_2)</math>가 같은 작용을 갖기 때문이다.

3차원 공간의 회전은 이 [[군의 작용|작용]]에서, <math>t</math>축의 [[안정자군]]이다. <math>t</math>축이 고정될 조건은 <math>q_1q_2=1</math>인 것이며, 따라서 <math>q_1=q_2^{-1}=\bar q_2</math>이다. 즉, <math>\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{Sp}(1)/(\mathbb Z/2)</math>의 작용은 다음과 같다.
:<math>v\mapsto qv\bar q\qquad(q\in\mathbb H,\;\|q\|=1)</math>
여기서 <math>\mathbb Z/2</math>에 대한 몫군을 취하는 것은 <math>\pm q</math>가 같은 작용을 갖기 때문이다.

=== 리 대수 ===
<math>\operatorname{SU}(2)</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 기저는 [[파울리 행렬]] <math>\tfrac12\sigma^i</math>로 주어진다.
:<math>[\tfrac12\sigma^i,\tfrac12\sigma^j]=\epsilon_{ijk}\tfrac12\sigma^k</math>
<math>\operatorname{SO}(3)</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{so}(3)</math>의 기저는 무한소 3차원 회전 <math>L_i</math>로 다음과 같이 주어진다.
:<math>L_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}</math>
:<math>L_2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}</math>
:<math>L_3=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
<math>L_i</math>는 <math>i</math>번째 축에 대한 무한소 회전이며, 다음과 같은 구조 상수를 갖는다.
:<math>[L_i,L_j]=\epsilon_{ijk}L^k</math>
이 경우, 리 대수의 동형 <math>\operatorname{su}(2)\cong\operatorname{so}(3)</math>는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:<math>\tfrac12\sigma^1\mapsto L_i</math>

== 성질 ==
=== 대수학적 성질 ===
<math>\operatorname{SU}(2)</math>의 [[군의 중심|중심]]은 <math>\{\pm1_{2\times2}\}</math>이며, 이에 대하여 [[몫군]]을 취하면 <math>\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)</math>를 얻는다.

SO(3) 또는 SU(2)의 유한 부분군은 ADE 분류를 갖는다.

=== 위상수학적 성질 ===
<math>\operatorname{SU}(2)</math>와 <math>\operatorname{SO}(3)</math>는 둘 다 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] 3차원 [[매끄러운 다양체]]이다.

<math>\operatorname{SU}(2)</math>는 위상수학적으로 3차원 [[초구]] <math>\mathbb S^3</math>이다. ([[초구]]에 [[리 군]]의 구조를 줄 수 있는 경우는 0·1·3차원밖에 없다.) 이는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단일 연결 공간]]이다.

<math>\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{PSU}(2)</math>는 위상수학적으로 3차원 [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^3\cong\mathbb S^3/(\mathbb Z/2)</math>이다. 여기서 <math>\mathbb Z/2</math>에 대한 [[몫공간]]을 취하는 것은 [[대척점]]을 이어붙이는 것과 같다.

<math>\operatorname O(3)</math>는 두 개의 [[연결 성분]]을 가진다. 이는 행렬식이 ±인 직교 행렬들로 구성된다.

=== 표현론 ===
<math>\operatorname{SU}(2)</math>의 유한 차원 표현은 차원에 따라 완전히 분류된다. 즉, 주어진 차원 <math>n=0,1,2,\dots</math>에 대하여, (동형 아래) 유일한 <math>n</math>차원 복소수 표현이 존재하며, 이는 유니터리 표현이다. 만약 <math>n</math>이 짝수인 경우, 이는 <math>n</math>차원 실수 표현으로 나타낼 수 있다. [[양자역학]]에서, <math>n</math>차원 표현은 '''[[스핀]]''' <math>(n-1)/2</math> 표현으로 일컬어진다.

<math>\operatorname{SO}(3)</math>의 유한 차원 표현들은 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의  <math>n</math>차원 표현들 가운데, <math>n</math>이 홀수인 것들이다. 예를 들어, <math>n=3</math>인 경우는 <math>\operatorname{SO}(3)</math>를 정의하는, 3차원 유클리드 공간 위의 특수 직교 행렬로서의 표현이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RotationMatrix|title=Rotation matrix}}
* {{매스월드|id=ImproperRotation|title=Improper rotation}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/toddtrimble/published/Notes+on+SU%282%29+reps|제목=Notes on SU(2) reps|이름=Todd|성=Trimble|언어=en}}
* {{수학노트|title=3차원 공간의 회전과 SO(3)}}
* {{수학노트|title=Spin(3)}}
* {{수학노트|title=3차원 유한회전군의 분류}}

== 같이 보기 ==
* [[클렙슈-고르단 계수]]
* [[구면 조화 함수]]
* [[오일러 각]]
* [[스핀]]
* [[2차원 실수 특수선형군]]
* [[원군]]
* [[로런츠 군]]

[[분류:리 군]]
[[분류:3차원 회전]]