{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|타일링|타일을 붙이는 장식|타일}}
{{번역 중|날짜=2022-07-11|원본=en:Tesselation}}

[[파일:Benoitnewton1.jpg|섬네일|300px|오른쪽|[[경복궁]] 벽돌에 나타난 테셀레이션]]
'''테셀레이션'''({{llang|en|tessellation}})은 타일(tile)이라는 [[도형]]으로 겹치지 않으면서 빈틈없게 [[공간 (수학)|공간]]을 채우는 것이다. '''쪽매맞춤''', '''쪽매붙임''' 또는 '''타일링'''({{llang|en|tiling}})이라고도 한다. 테셀레이션에서는 보통 도형을 밀거나([[평행 이동]]) 돌리고([[회전 이동]]) 뒤집을([[대칭 이동]]) 수 있다.<ref>{{서적 인용 |제목=이토록 재미있는 수학이라니 |출판사=미디어숲 |isbn=979-11-5874-079-5 |쪽=94}}</ref> 테셀레이션은 주로 [[평면]]을 채우지만 경우에 따라 모든 [[차원]]이나 [[공간 (수학)|공간]]으로도 일반화할 수 있으며, 둘 이상의 도형을 사용할 수도 있다.

'''주기적 타일링'''은 반복되는 기본 단위가 있다. 그 중 한 가지 [[정다각형]]으로 채운 [[정규 타일링]], 두 개 이상의 정다각형으로 채웠지만 각 꼭짓점에 모인 배치가 같은 [[준정규 타일링]]이 특수한 경우이다. 주기적인 테셀레이션으로 만들어진 패턴은 17개의 [[벽지군]]으로 분류할 수 있다. 반복되는 기본 단위가 없으면 [[비주기적 타일링|'''비주기적 타일링''']]이라고 하는데, 기본 단위를 반복할 수 없는 타일들을 쓴다. [[벌집 (기하학)|'''공간 테셀레이션''']]은 3차 이상의 더 높은 차원에서 테셀레이션을 정의한 것이며, 공간 채움 도형이나 벌집이라고도 한다.

[[세라믹]] 타일처럼 실생활에서도 테셀레이션을 찾아볼 수 있다. [[무늬]]가 있는 장식으로 쓰이기도 하며, 벽, 천장 또는 길을 내구성이 좋고 방수가 되도록 타일로 덮기도 한다. 역사적으로 테셀레이션은 [[고대 로마]]와 [[이슬람 예술]]에 쓰였으며, {{임시링크|모로코 건축|en|Moroccan architecture}}과 [[알람브라]] 궁전도 유명하다. 20세기에 화가 [[마우리츠 코르넬리스 에셔|에셔]]가 [[유클리드 기하학|유클리드 평면]]과 [[쌍곡 기하학|쌍곡 평면]]에서 테셀레이션을 자주 사용한 것으로 잘 알려져 있다. 테셀레이션은 장식적인 효과를 내려고 [[누비질|퀼트]]에서 쓰이기도 하고, [[벌집]]의 [[정육각형 타일링]]처럼 {{임시링크|자연의 무늬|en|Patterns in nature}}에서도 볼 수 있다.

== 역사 ==
[[파일:Stone-Cone Temple mosaics, Pergamon Museum.JPG|섬네일|left|[[우루크]] 4세의 고대 수메르 도시에 있는 신전 모자이크(3400-3100 BC)는 색칠된 타일로 테셀레이션 무늬를 나타냈다.]]

테셀레이션은 [[메소포타미아 건축|수메르인]]이 기원전 약 4000년에 점토 타일의 패턴으로 건물 벽을 장식할 때 사용했다.<ref name="Pickover2009">{{서적 인용|last=Pickover |first=Clifford A. |title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |year=2009 |publisher=[[Sterling Publishing|Sterling]] |isbn=978-1-4027-5796-9 |page=372}}</ref>

[[테세라]](tessera)라는 작은 사각형 [[모자이크]] 장식 테셀레이션은 [[고전 고대]]에서 널리 쓰였는데,<ref>{{서적 인용|last1=Dunbabin | first1=Katherine M. D. | title=Mosaics of the Greek and Roman world | date=2006 | publisher=Cambridge University Press | page=280}}</ref> 기하학적 무늬가 있기도 했다.<ref>{{웹 인용| title=The Brantingham Geometric Mosaics | url=http://www.hullcc.gov.uk/museumcollections/collections/storydetail.php?irn=410 | publisher=Hull City Council | access-date=26 May 2015 | date=2008}}</ref><ref name="Field1988">{{서적 인용| title=Geometric Patterns from Roman Mosaics | publisher=Tarquin | author=Field, Robert | year=1988 | isbn=978-0-906-21263-9}}</ref>

1619년 수학자이자 천문학자인 [[요하네스 케플러]]는 테셀레이션을 연구한 문헌을 남겼다. 책 《[[세계의 조화]]》에서 정규와 준정규 타일링에 대해 글을 남겼으며, 최초로 벌집과 [[눈송이]]에 있는 육각형 구조를 연구하고 설명했다.<ref>{{서적 인용| author-link=Johannes Kepler | author=Kepler, Johannes | date=1619 | title-link=Harmonices Mundi | title=Harmonices Mundi |trans-title=Harmony of the Worlds }}</ref>{{sfn|Gullberg|1997|p=395}}{{sfn|Stewart|2001|p=13}}

[[파일:Roman geometric mosaic.jpg|섬네일|upright=1.25<!--width for very low aspect image-->|[[고대 로마|로마]]의 기하학적 모자이크<!--[[네커 큐브]]와 닮음-->]]

약 200년 후 1891년, 러시아의 결정학자 {{임시링크|에브그라프 페도로프|en|Evgraf Fedorov}}는 평면의 모든 주기적 테셀레이션을 17가지의 대칭군인 [[평면의 결정군]]으로 분류할 수 있다는 것을 증명했다.<ref>{{웹 인용| url=http://public.lanl.gov/djidjev/papers/coverage_chapter.pdf | title=Dynamic Coverage Problems in Sensor Networks | publisher=[[Los Alamos National Laboratory]] | year=2012 | access-date=6 April 2013 |author1=Djidjev, Hristo |author2=Potkonjak, Miodrag |page=2}}</ref><ref>{{저널 인용| author=Fyodorov, Y. | author-link=Yevgraf Fyodorov | date=1891 | title=Simmetrija na ploskosti [Symmetry in the plane] | journal=Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society] |series=2 | volume=28 | pages=245–291| language=ru}}</ref> 페도로프의 업적은 테셀레이션의 수학적 연구의 시작을 열었다. [[알렉세이 바실리에비치 슈브니코프]]와 [[니콜라이 바실리에비치 벨로프]] (1964),<ref name="ShubnikovBelov1964">{{서적 인용| last1=Shubnikov | first1=Alekseĭ Vasilʹevich | last2=Belov | first2=Nikolaĭ Vasilʹevich | title=Colored Symmetry | url=https://books.google.com/books?id=QKk9AAAAIAAJ | year=1964 | publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]}}</ref> [[하인리히 헤시]]와 오토 키엔즐레 (1963)<ref>{{서적 인용| last1=Heesch | first1=H. | last2=Kienzle | first2=O. | title=Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile | date=1963 | publisher=[[Springer Publishing|Springer]] | language=de}}</ref>도 테셀레이션에 크게 기여했다.

=== 어원 ===
라틴어에서 'tessela'는 모자이크를 만들 때 쓰이는 작은 [[점토]], [[돌]], [[유리]] 조각을 말한다.<ref>{{cite dictionary | url=http://m-w.com/dictionary/tessellate | title=Tessellate | dictionary=Merriam-Webster Online | access-date=26 May 2015}}</ref> 'tessella'라는 단어는 작은 사각형을 말한다. 사각형이라는 뜻의 'tessera'에서 유래했으며, 이는 그리스어로 넷을 뜻하는 τέσσερα에서 파생되었다. 이것은 일상 용어 '타일링'과도 대응되는데, [[유약]]으로 구운 점토로 테셀레이션을 적용한 것이다.

== 개요 ==
[[파일:Semi-regular-floor-3464.JPG|섬네일|upright|left|[[마름모 삼육각형 타일링|마름모 삼육각형 테셀레이션]]: 삼각형, 육각형, 사각형 프로토타일을 사용한 스페인의 [[세비야 고고학 박물관]] 테셀레이션]]

평면 테셀레이션이라고도 하는 2차원 테셀레이션은 기하학에서 타일을 빈틈없이 규칙에 맞게 평면을 채울 수 있는 배치 방법을 연구하는 주제이다. 규칙은 다양한데, 일반적으로 타일 사이에 빈틈이 없으며 한 타일의 꼭짓점이 다른 타일의 모서리와 닿아있지 않아야 한다.<ref>{{서적 인용|author1=Conway, R. |author2=Burgiel, H. |author3=Goodman-Strauss, G. | title=The Symmetries of Things | publisher=Peters | date=2008}}</ref> ([[벽돌]]로 담을 쌓는 식의 테셀레이션은 이 규칙을 만족하지 않는다.) 이 규칙을 만족하는 것 중에서도, [[정규 테셀레이션|정규 타일링]]은 같은{{efn|타일이 같다는 표현은 합동을 의미한다.}} 모양의 [[정규 타일링|정다각형]], 모서리, 꼭짓점이 모든 타일에서 맞닿은 변을 사이에 두고 같은 각도를 이루고 있다.{{sfn|Coxeter|1973}} 이런 정규 테셀레이션을 만들 수 있는 다각형은 [[정삼각형]], [[정사각형]], [[정육각형]]밖에 없다. 세 가지 모양을 이어 붙이면 [[평면]]을 빈틈없이 무한히 채울 수 있다.{{sfn|Gullberg|1997|p=395}}

다른 조건에서도 여러 종류의 테셀레이션이 가능하다. 예를 들어 8종류의 [[준정규 테셀레이션|준정규 타일링]]은 2가지 이상의 정다각형으로 만들어져 있지만 각 꼭짓점에 있는 다각형의 배치가 같다.<ref>{{서적 인용| author=Cundy and Rollett | title=Mathematical Models|title-link=Mathematical Models (Cundy and Rollett) | edition=2nd | publisher=Oxford | date=1961 | pages=61–62}}</ref> 정규가 아닌 테셀레이션은 [[오각형]], [[폴리오미노]] 등 매우 다양한 모양으로도 가능하다. 화가 [[마우리츠 코르넬리스 에셔]]는 동물이나 자연물 같은 여러 모양의 타일로 정규가 아닌 테셀레이션을 많이 만든 것으로 유명하다.{{sfn|Escher|1974|pp=11–12, 15–16}} 타일의 모양에 따라 대비되는 색상을 사용하면 아름다운 무늬가 만들어지는데, 성당 바닥 등 표면을 장식할 때 쓰일 수 있다.<ref>{{웹 인용| url=http://www.basilicasanmarco.it/basilica/architettura/il-pavimento-tessulare/?lang=en | title=Basilica di San Marco | publisher=Basilica di San Marco | work=Section: Tessellated floor | access-date=26 April 2013}}</ref>

[[파일:Tassellatura alhambra.jpg|섬네일|[[젤리지]]로 장식한 스페인 [[알람브라]]의 화려한 테셀레이션은 [[에셔]]의 눈에 띄었다.]]

더 일반적으로 테셀레이션은 [[유한]]한 닫힌 집합인 [[프로토타일]]에 규칙을 적용하여 유클리드 평면을 [[덮개 (위상수학)|덮는]] 것이라고 정의할 수 있다. 이때 타일은 [[경계 (위상수학)|경계]]에서만 서로 만나야 하고, 다각형이든 어떤 모양이든 될 수 있다.{{efn|타일은 대부분의 경우 [[원판]]과 [[위상동형사상|위상동형]]이어야 한다. 즉 구멍이 있거나, 직선이나 평면처럼 무한히 연장되는 부분이 있지 않아야 한다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}}}} 이때 테셀레이션 속 임의의 타일은 주어진 [[프로토타일]] 집합에 있는 모양 중 하나와 항상 [[합동 (기하학)|합동]]이어야 한다. 어떤 도형이 테셀레이션에서 프로토타일에 포함될 때, 이 모양이 '테셀레이션한다' 또는 '평면을 타일링한다(채운다)'고 한다. [[콘웨이 판정법]]은 도형이 주어졌을 때, 반사 대칭을 사용하지 않고 주기적 타일링을 만들 수 있는지 판정하기 위한 충분조건이 아닌 필요조건이다. 즉 이 판정법에 맞지 않는 타일이 평면을 채울 수도 있다.<ref>{{잡지 인용| title=Will It Tile? Try the Conway Criterion! | author=Schattschneider, Doris |author-link=Doris Schattschneider |magazine=[[Mathematics Magazine]] | volume=53 | issue=4 | date=September 1980 |pages=224–233 | doi=10.2307/2689617| jstor=2689617 }}</ref> 어떤 모양이 주어졌을 때, 평면을 타일링할 수 있는지 판정하는 일반적인 규칙은 아직 발견되지 않았다. 이를 포함하여 테셀레이션에 관한 미해결 문제들이 많이 있다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}}

수학에서 테셀레이션을 유클리드 평면 이외의 공간으로도 확장할 수 있다.{{sfn|Gullberg|1997|p=395}} 다각형이나 다면체와 고차원에서 동등한 개념을 [[스위스]]의 [[지리학자]] [[루트비히 슐레플리]]가 이를 처음 '폴리스킴'이라는 용어로 불렀지만, 이제 수학에서 [[다포체]]라고 한다. 슐레플리는 다포체를 쉽게 나타내기 위해 [[슐레플리 기호]] 표기법을 만들었다. 예를 들어 정삼각형과 정사각형의 슐레플리 기호는 {3}, {4}이다.<ref>{{서적 인용| url=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&lpg=PP1 | title=Regular Polytopes | publisher=[[Methuen Publishing|Methuen]] | author=Coxeter, H. S. M. |author-link=H. S. M. Coxeter | year=1948 |pages=14, 69, 149| isbn=978-0-486-61480-9 }}</ref> 슐레플리 기호로 테셀레이션을 간단히 나타낼 수 있는데, 예를 들어 [[정육각형 타일링|정육각형 테셀레이션]]은 한 꼭짓점에 3개의 정육각형이 있어서 {6,3}이라고 쓴다.<ref name="MathWorldTessellation">{{매스월드|title=Tessellation|id=Tessellation}}</ref>

다각형 테셀레이션을 나타내는 다른 방법도 있다. 테셀레이션이 정다각형으로 이루어진 경우 가장 일반적으로 [[꼭짓점 배치]] 표기법을 사용하는데, 이는 한 꼭짓점 주위의 정다각형의 변 개수를 단순히 나열한 것이다. [[정사각형 타일링|정사각형 테셀레이션]]은 4.4.4.4 또는 4<sup>4</sup>의 꼭짓점 배치가 있다. 정육각형 테셀레이션은 6.6.6 또는 6<sup>3</sup>으로 표기한다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}}

== 수학 ==
=== 테셀레이션 소개 ===
{{참고|정다각형 타일링|고른 타일링|볼록한 고른 타일링의 목록}}
테셀레이션에서는 다양한 수학적 용어를 사용한다. [[모서리]]는 맞닿은 두 타일이 만나는 선인데, 보통 곧은 선분이다. [[꼭짓점]]은 3개 이상의 맞닿은 타일이 만나는 점을 말한다. [[점추이]] 테셀레이션은 각 꼭짓점이 같은 테셀레이션을 말한다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}} 다시 말해서 각 꼭짓점에서 다각형의 배치가 같은 것이다. [[기본역]]은 직사각형처럼 반복되어 테셀레이션을 만드는 모양을 말한다.<ref name="EmmerSchattschneider2007">{{서적 인용|last1=Emmer |first1=Michele |last2=Schattschneider |first2=Doris |title=M.C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration |url=https://books.google.com/books?id=5DDyBwAAQBAJ&pg=PA325 |date=8 May 2007 |publisher=Springer |location=Berlin Heidelberg |isbn=978-3-540-28849-7 |page=325}}</ref> 예를 들어 정사각형으로 평면을 채운 [[정사각형 타일링]]은 각 꼭짓점에 4개의 정사각형이 모인다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}}

다각형의 변이 타일의 모서리와 항상 일치하지 않아도 된다. '''모서리 대 모서리 타일링'''(edge-to-edge tiling)은 맞닿은 타일이 한 변을 완전히 공유하는 다각형 테셀레이션이다. 그래서 변의 일부분만 공유하거나 2개 이상의 변을 공유하는 타일이 없다. 이 테셀레이션에서 다각형의 변과 타일의 모서리는 같다. 벽돌로 쌓은 유명한 테셀레이션은 각 직육각형 벽돌의 긴 변을 마주하는 두 벽돌과 공유하기 때문에 모서리 대 모서리 테셀레이션이 아니다.{{sfn|Grünbaum|Shephard|1987|p=59}}

'''일반적인 테셀레이션'''은 타일에 구멍이 뚫려 있지 않아 각 타일이 [[원판]]과 [[위상수학|위상동형]]이다. 임의의 두 타일이 만나는 교집합은 [[연결 공간]]이거나 [[공집합]]이며, 모든 타일이 [[균등 유계 함수족|균등 유계 함수]]이다. 즉 테셀레이션 전체의 타일에 대해 내접원과 외접원 반지름 각각이 적용되며, 비정상적으로 길거나 얇은 타일은 조건에 맞지 않다.<ref name=Horne2000>{{서적 인용|last=Horne | first=Clare E. | title=Geometric Symmetry in Patterns and Tilings | year=2000 |publisher=Woodhead Publishing |isbn=978-1-85573-492-0 |pages=172, 175}}</ref>

[[파일:P5-type15-chiral_coloring.png|섬네일|left|upright|'''모서리 대 모서리 테셀레이션'''의 예시인 15번째 오목 일면 [[오각형 타일링|오각형 테셀레이션]]은 2015년에 발견되었다.]]

'''일면'''(一面, monoheral) '''타일링'''은 모든 타일이 [[합동 (기하학)|합동]]이고 [[프로토타일]]이 한 개뿐이다. 최초의 나선형 일면 타이링은 하인츠 포더베르크가 1936년에 발견했는데, [[포더베르크 타일링]]의 기본 단위 타일은 볼록하지 않은 [[구각형]]이다.<ref name="Pickover2009" /> 한편 정오각형은  한 [[내각]]의 크기가 108°로 360°의 약수가 아니어서 유클리드 평면을 채울 수 없는데, 다마이클 D. 허쉬호른과 D. C. 헌트가 1985년 발표한 허쉬호른 타일링을 비롯하여 정오각형이 아닌 [[오각형 타일링|오각형을 이용한 일면 테셀레이션]]도 연구되었다.<ref>{{웹 인용 | url=http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/radspir1.htm | title=Some Special Radial and Spiral Tilings | publisher=University of Wisconsin | date=29 July 1999 | access-date=6 April 2013 | author=Dutch, Steven | archive-date=2013-04-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20130404192902/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/radspir1.htm | url-status= }}</ref><ref name=Hirschhorn1985>{{저널 인용| last=Hirschhorn | first=M. D. |author2=Hunt, D. C. | title=Equilateral convex pentagons which tile the plane | journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A |year=1985 | volume=39 | issue=1 | pages=1–18 | doi=10.1016/0097-3165(85)90078-0 | doi-access=free }}</ref><ref>{{매스월드|title=Pentagon Tiling|urlname=PentagonTiling}}</ref>

면추이 테셀레이션은 일면 테셀레이션의 변형 중 하나로, 모든 타일이 같은 추이성 [[모임 (수학)|모임]]에 속하는 테셀레이션이다. 즉 모든 타일이 같은 프로토타일이 [[대칭군]]에서 변형되어 만들어진다.<ref name=Horne2000/> 프로토타일로 평면을 테셀레이션할 수 있지만 어느 테셀레이션도 면추이가 아닐 때, 그 프로토타일을 비추이적이라고 하며 [[비추이 타일링|비추이 테셀레이션]]을 만든다.

[[파일:2005-06-25 Tiles together.jpg|섬네일|upright|[[피타고라스 타일링|피타고라스 테셀레이션]]은<br/>'''모서리 대 모서리 테셀레이션'''이 아니다.]][[정다각형 타일링|'''정다각형 타일링''']]은 정말 대칭적인데, 같은 모양의 [[정다각형]]들이 모서리 대 모서리 테셀레이션을 이룬다. [[정삼각형 타일링|정삼각형]], [[정사각형 타일링|정사각형]], [[정육각형 타일링|정육각형]]으로 만든 3가지의 [[정규 타일링|정규 테셀레이션]]이 있다. 세 개 모두 [[점추이]]이자 일면이다.<ref name="threeregular">{{매스월드|title=Regular Tessellations|id=RegularTessellations}}</ref> [[준정규 타일링]]은 둘 이상의 종류의 정다각형을 점추이 배치로 이용한 것이다. 8가지의 준정규 테셀레이션이 있다. (테셀레이션의 거울상을 포함하면 9개이다){{sfn|Stewart|2001|p=75}} 이것들을 [[꼭짓점 배치]]로 설명할 수 있는데, 예시로 정사각형과 정팔각형을  쓰는 준정규 테셀레이션은 꼭짓점 배치가 4.8<sup>2</sup>(각 꼭짓점에 정사각형 1개와 정팔각형 2개)이다.<ref>{{웹 인용| url=http://nrich.maths.org/1556 | title=Schläfli Tessellations | publisher=University of Cambridge | date=1997–2012 | access-date=26 April 2013 | author=NRICH (Millennium Maths Project)}}</ref> 유클리드 평면에서 모서리 대 모서리가 아닌 다양한 테셀레이션이 있는데, 두 가지 크기의 정사각형이 쓰이고 각 정사각형은 크기가 다른 정사각형과 만나는 [[피타고라스 타일링|피타고라스 테셀레이션]] 집합이 있다.<ref>{{서적 인용| last=Wells | first=David | author-link=David G. Wells | year=1991 | title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well | url-access=registration | publisher=Penguin Books | location=New York | isbn=978-0-14-011813-1 | pages=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/260 260–261] | contribution=two squares tessellation}}</ref> [[모서리 테셀레이션]]은 각 타일이 [[반사 이동]]되어서 이웃하는 타일의 위치를 차지할 수 있다.<ref>{{저널 인용|author=Kirby, Matthew |author2=Umble, Ronald |title=Edge Tessellations and Stamp Folding Puzzles |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=84 |issue=4 |date=2011 |pages=283–89 |doi=10.4169/math.mag.84.4.283|s2cid=123579388 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[테세라]]
* [[정다각형 타일 덮기|정다각형 타일링]]
* [[벌집 (기하학)]]
* [[마우리츠 코르넬리스 에셔]]
* [[프로토타일]]

== 각주 ==
=== 내용주 ===
{{Notelist}}
=== 참조주 ===
{{각주}}

{{테셀레이션}}
{{전거 통제}}

[[분류:모자이크]]
[[분류:기하학]]
[[분류:테셀레이션| ]]