{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''망원급수'''({{llang|en|telescoping series}})란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 [[수열]]을 일컫는다.<ref>Tom M. Apostol, ''Calculus, Volume 1,'' Blaisdell Publishing Company, 1962, pages&nbsp;422&ndash;3</ref><ref>Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, ''Elementary Real Analysis, Second Edition'', CreateSpace, 2008, page 85</ref> 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합”이라고도 불린다.

예를 들어,

:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}</math>

와 같은 급수는

:<math>\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack  \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {  1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack = 1.
\end{align}</math>

으로 단순화된다.

== 일반적인 경우 ==
먼저 <math>a_n</math> 을 수열로 정의하자. 이때,

:<math>\sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) =  a_N - a_{0},</math>

이고, <math>a_n \rightarrow 0</math> 이라면

:<math>\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) =  - a_{0}.</math>

== 함정 ==
비록 상쇄 합은 유용한 테크닉이나, 잘못 사용할 경우 쉽게 함정에 빠질 수도 있다. [[그란디 급수]]라고도 불리는 다음의 경우를 살펴보면,

:<math>0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,</math>

는 잘못된 결론인데, 이런 오류는 각 항이 0으로 [[수렴]]하지 않는 급수를 다루었기 때문에 발생한다. 이런 오류를 미연에 방지하기 위해서는 N번째 항에 대한 합을 구한 다음에 N이 무한으로 발산할 경우를 따져 보면 된다.

:<math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1}\right) \\
& {} =  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \\
& {} = 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty.
\end{align}
</math>

== 다른 예시 ==
* 많은 [[삼각함수]]는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다.

::<math>
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).
\end{align}
</math>

*  다음과 같은 형태의 합

::<math>\sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)},</math>

:”f”와 “g”가 [[다항식]]이고 각 항이 [[부분 분수]]로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어,

::<math>
\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} & {} =\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \\
& {} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \\
& {} \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \\
& {} =\infty.
\end{align}
</math>

: 문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다.

* ‘’k’’를 양의 정수라 하자. 이때

::<math>\sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k)}} = \frac{H_k}{k} </math>

:''H''<sub>''k''</sub>는 ‘’k’’번째 [[조화수]]이다. 1/(''k''&nbsp;&minus;&nbsp;1) 이후의 모든 항은 소거된다.

== 같이 보기 ==
* [[렙셰츠 고정점정리]]
* [[소수의 역수의 합의 발산성]]
* [[호몰로지]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{급수}}

[[분류:급수]]