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'''단면 일차 모멘트'''는 축으로부터 도심점까지의 거리에 면적을 곱한것을 말한다. 단위는 길이의 세제곱이다. 평면 도형의 도심을 구하기 위하여 사용된다.

== 정의 ==
[[파일:Moment of area of an arbitrary shape.svg|오른쪽|200px]]
임의 형상의 단면에 대해서, 미소 면적 dA를 생각하고, 데카르트 좌표축으로부터 미소면적 도심까지 거리를 곱한 다음 전체 면적에 대해 적분을 하면 단면 1차 모멘트(G)다.
:<math>G_x=\int_A ydA=A\cdot \bar y</math>
:<math>G_y=\int_A xdA=A\cdot \bar x</math>
여기서 <math>\bar x, \bar y</math>를 각각의 축에서부터 단면의 도심까지 거리라고 한다.

== 특성 ==
단면 1차 모멘트는 축의 위치에 따라 양의 값을 가질수도, 음의 값을 가질수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0이다.

== 도심 ==
{{참고|무게 중심 (기하학)}}

'''도심'''(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 데카르트 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점을 말한다. 데카르트 좌표축에서 도심까지의 거리를 구하는 방법은 단면 1차 모멘트를 도형의 면적으로 나누면 된다.
:<math>\bar x=\frac{G_y}{A}</math>
:<math>\bar y=\frac{G_x}{A}</math>

=== 대표적인 도형의 도심 ===
{| class="wikitable"
|- 
! 도형 !! 그림 !! <math>\bar x</math> !! <math>\bar y</math> !! 면적
|-
|삼각형
| align="center" | [[파일:Centroid of a triangle.svg]]
| align="center"|<math>\frac{b}{3}</math>
| align="center"|<math>\frac{h}{3}</math>
| align="center"|<math>\frac{bh}{2}</math>
|-
|사각형
| align="center" | [[파일:Centroid of a rectangle.svg]]
| align="center"|<math>\frac{b}{2}</math>
| align="center"|<math>\frac{h}{2}</math>
| align="center"|<math>bh</math>
|-
|사분원<ref>{{웹 인용|title=Quarter Circle|url=http://www.efunda.com/math/areas/CircleQuarter.cfm|website=eFunda|accessdate=23 April 2016}}</ref>
| align="center"| [[파일:Centroid of a quarter circle.svg]]
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi r^2}{4}</math>
|-
|반원<ref>{{웹 인용|title=Circular Half|url=http://www.efunda.com/math/areas/CircleHalf.cfm|website=eFunda|accessdate=23 April 2016}}</ref>
| align="center" | [[파일:Centroid of a semicircle.svg]]
| align="center"|<math>\,\!0</math>
| align="center"|<math>\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})</math>
| align="center"|<math>\frac{\pi r^2}{2}</math>
|}

=== 포물선의 도심 ===
[[파일:Centroid of parabola.png|오른쪽|400픽셀]]

<math>y = h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right)</math> 포물선의 도심을 <math>\overline x, \ \overline y</math>라고 하자. 포물선의 미소한 면적 dA는

<math>dA = y dx = h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right) dx</math>

포물선의 면적 공식에 의해

<math>A = \frac 23 bh</math>

단면일차모멘트부터 계산한다.

<math>\begin{align} Q_x = \int \frac{y}{2} dA & = \int_0^b \frac{h^2}{2} \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right)^2 dx \\
                                        & = \frac{4}{15} bh^2 \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} Q_y = \int x dA & = \int_0^b hx \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right) dx \\
                              & = \frac 14 b^2 h \\ \end{align}</math>

도심 계산

<math>\begin{align} \overline x = \frac{G_y}{A} & = \frac{ \frac 14 b^2 h }{\frac 23 bh } \\
                                          & = \frac 38 b \\ \end{align}</math>

<math>\begin{align} \overline y = \frac{G_x}{A} & = \frac{ \frac{4}{15} bh^2 }{\frac 23 bh} \\
                                          & = \frac 25 h \\ \end{align}</math>

== 같이 보기 ==
* [[단면 이차 모멘트]]
* [[단면계수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자= 전찬기, 이종헌, 정환호, 김운학, 김경진|날짜= 2015|제목= 토목기사 과년도 시리즈 응용역학|출판사= 성안당|쪽= 77-78|isbn= 978-89-315-6807-3 }}
* {{서적 인용|제목=재료역학|날짜=|성=Gere, Goodno|이름=|출판사=Cengage Learning|쪽=|판=8|장=도심과 관성모멘트의 복습}}

== 외부 링크 ==
* {{위키배움터-줄|토목기사 요약/응용역학/단면의 성질|단면 일차 모멘트}}

[[분류:연속체역학]]
[[분류:구조역학]]
[[분류:재료과학]]
[[분류:모멘트 (물리학)]]