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[[복소해석학]]에서 '''정칙 함수'''(正則函數, {{llang|en|holomorphic function}})는 [[복소 함수]]에 대한, [[미분 가능 함수]]와 [[해석 함수]]에 동시에 대응하는 개념이다. 실수 함수의 경우 미분 가능 함수의 개념은 해석 함수의 개념보다 훨씬 약하지만, 복소 함수의 경우 같은 개념에 대응한다.

== 정의 ==
[[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in U</math>에 대하여, 만약 [[극한]]
:<math>f'(z_0) = \lim_{z\to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{ z - z_0 } </math>
가 존재한다면 <math>f</math>가 '''<math>z_0</math>에서 복소 미분 가능 함수'''({{llang|en|function complex-differentiable at <math>z_0</math>}})라고 한다.

[[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in U</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''<math>z_0</math>에서 정칙 함수'''({{llang|en|function holomorphic at <math>z_0</math>}})라고 한다.
* 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>N\ni z_0</math>가 존재한다.
** 모든 <math>z\in N\cap U</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>z</math>에서 미분 가능 함수이다.
* 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>N\ni z_0</math> 및 복소수열 <math>c_0,c_1,\dots\in\mathbb C</math>가 존재한다.
** 모든 <math>z\in N\cap U</math>에 대하여, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n</math>는 수렴하며, <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n</math>이다.
[[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 정의역의 모든 점에서 정칙 함수라면 <math>f</math>를 '''정칙 함수'''라고 한다.

두 [[리만 곡면]] <math>\Sigma_1</math>, <math>\Sigma_2</math> 사이의 '''정칙 함수'''는 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon\Sigma_1\to\Sigma_2</math>이다.
* <math>\Sigma_1</math>의 정칙 국소 좌표계 <math>\{\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb C\}</math> 및 <math>\Sigma_2</math>의 정칙 국소 좌표계 <math>\{\chi_\beta\colon V_\beta\to\mathbb C\}</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>\chi_\beta\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}</math>는 (이 합성이 정의되는 곳에서) 정칙 함수이다.

== 성질 ==
[[리만 곡면]] <math>\Sigma_1</math>, <math>\Sigma_2</math>, <math>\Sigma_3</math> 사이의 정칙 함수
:<math>f\colon\Sigma_1\to\Sigma_2</math>
:<math>g\colon\Sigma_2\to\Sigma_3</math>
이 주어졌을 때, [[합성 함수]] <math>g\circ f</math> 역시 정칙 함수이다.

[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 정칙 함수
:<math>f,g\colon\Sigma\to\mathbb C</math>
가 주어졌을 때, <math>f+g</math>와 <math>fg</math> 역시 정칙 함수이다. 또한, 만약 모든 <math>z\in\Sigma</math>에 대하여 <math>f(z)\ne0</math>이라면, <math>1/f</math> 역시 정칙 함수이다.

== 예 ==
'''[[전해석 함수]]'''는 <math>\mathbb C\to\mathbb C</math> 정칙 함수이다. 리만 곡면 <math>\Sigma</math> 위의 '''[[유리형 함수]]'''는 <math>\Sigma\to\hat{\mathbb C}</math> 정칙 함수이다 (<math>\hat{\mathbb C}</math>는 [[리만 구]]). 복소 [[타원 곡선]] <math>E</math> 위의 '''[[타원 함수]]'''는 <math>E\to\hat{\mathbb C}</math> 정칙 함수이다.

[[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 따라, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 <math>\Sigma\to\mathbb C</math> 정칙 함수는 [[상수 함수]]밖에 없다.

함수 <math>z\mapsto|z|^2</math>는 (실수 평면 위의 함수로서) [[매끄러운 함수]]이지만, 그 어느 점에서도 정칙 함수가 아니다.

== 어원 ==
유럽 언어에서, 정칙 함수를 뜻하는 단어 {{llang|en|holomorphic|홀로모픽}}, {{llang|fr|holomorphe|올로모르프}}, {{llang|de|holomorph|홀로모르프}}는 [[오귀스탱 루이 코시]]의 제자 샤를오귀스트 브리오(Charles-Auguste Briot)와 장클로드 부케({{llang|fr|Jean-Claude Bouquet}})가 도입하였고, {{llang|grc|[[:wiktionary:ko:ὅλος|ὅλος]]|홀로스}}(전체) + {{llang|grc|[[:wiktionary:ko:μορφή|μορφή]]|모르페}}(형태)의 합성어이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Analytic function}}
* {{매스월드|id=HolomorphicFunction|title=Holomorphic function}}

== 같이 보기 ==
* [[전해석 함수]]
* [[유리형 함수]]
* [[코시-리만 방정식]]
{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학]]
[[분류:해석 함수]]