{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, [[자연수]]의 '''계승'''(階乘, {{문화어|차례곱}}) 또는 '''팩토리얼'''({{llang|en|factorial}})은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 n에 상대하여 이르는 말이다. 기호는 [[느낌표]]('''!''')를 쓰며 '''팩토리얼'''이라고 읽는다.

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ 팩토리얼 [[수열]] {{OEIS|id=A000142}}. 과학적 기수법으로 지정된 값들은 표현 정확도에 맞추어 어림수로 표시함
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{gaps|5|040}}
|-
| 8 || {{gaps|40|320}}
|-
| 9 || {{gaps|362|880}}
|-
| 10 || {{gaps|3|628|800}}
|-
| 11 || {{gaps|39|916|800}}
|-
| 12 || {{gaps|479|001|600}}
|-
| 13 || {{gaps|6|227|020|800}}
|-
| 14 || {{gaps|87|178|291|200}}
|-
| 15 || {{gaps|1|307|674|368|000}}
|-
| 16 || {{gaps|20|922|789|888|000}}
|-
| 17 || {{gaps|355|687|428|096|000}}
|-
| 18 || {{gaps|6|402|373|705|728|000}}
|-
| 19 || {{gaps|121|645|100|408|832|000}}
|-
| 20 || {{gaps|2|432|902|008|176|640|000}}
|-
| 25
| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50
| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70
| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100
| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450
| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000}}
|-
| {{gaps|1|000}}
| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567}}
|-
| {{gaps|3|249}}
| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000}}
|-
| {{gaps|10|000}}
| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659}}
|-
| {{gaps|25|206}}
| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000}}
|-
| {{gaps|100|000}}
| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573}}
|-
| {{gaps|205|023}}
| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004}}
|-
| {{gaps|1|000|000}}
| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708}}
|-
| [[googol|{{val|e=100}}]] ||<math>10^{10^{101.9981097754820}}</math>
|}

== 정의 ==
음이 아닌 정수 n의 계승 n!은 다음과 같이 정의된다.
:<math>n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1</math>
특히, 0의 계승은 1이다.
:<math>0!=1</math>
처음 몇 계승은 다음과 같다.
:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, ... {{OEIS|A000142}}
:쉽게 정리하면 5! = 1×2×3×4×5이다.

=== 복소수의 계승 ===
{{본문|감마 함수}}
[[감마 함수]]를 통해 계승의 정의역을 음의 정수를 제외한 [[복소수]]까지 [[해석적 연속|확장]]할 수 있다. 감마 함수 <math>\Gamma</math>의 정의역은 <math>\mathbb C\setminus\{0,-1,-2,\dots\}</math>이며, 양의 실수부에서의 값은 다음과 같다.
:<math>\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\mathrm dt\qquad(\operatorname{Re}z>0)</math>
감마 함수와 계승의 관계는 다음과 같다.
:<math>n!=\Gamma(n+1)\qquad(n\in\mathbb N)</math>
이에 따라, 음의 정수가 아닌 복소수 <math>z</math>의 계승을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>z!=\Gamma(z+1)\qquad(z\in\mathbb C\setminus\{-1,-2,\dots\})</math>
특히, [[반정수]]의 계승은 다음과 같다.
:<math>(n-1/2)!=\sqrt\pi(2n-1)!!/2^n=\sqrt\pi\prod_{k=1}^n(k-1/2)\qquad(n\in\mathbb N)</math>

=== 기수의 계승 ===
계승이 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 크기와 같다는 사실을 통해 계승을 임의의 [[기수 (수학)|기수]]까지 확장할 수 있다. 즉, 기수 <math>\kappa</math>의 계승 <math>\kappa!</math>는 다음과 같다.<ref name="daimm">{{서적 인용
|저자1=戴牧民
|저자2=陈海燕
|저자3=郑顶伟
|제목=公理集合论导引
|언어=zh
|출판사=科学出版社
|위치=北京
|날짜=2011
|isbn=978-7-03-031276-1
}}</ref>{{rp|64, 习题8}}
:<math>\kappa!=|\operatorname{Sym}(\kappa)|=
\begin{cases}
\kappa(\kappa-1)(\kappa-2)\cdots3\cdot2\cdot1&\kappa<\aleph_0\\
2^\kappa&\kappa\ge\aleph_0
\end{cases}
</math>

=== 다중 계승 ===
계승의 정의에서 연속된 자연수들을 곱하는 대신 법에 대하여 합동인 자연수들만 곱하면, '''다중 계승'''(多重階乘, {{llang|en|multifactorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 양의 정수 <math>k</math>과 정수 <math>n>-k</math>가 주어졌을 때, <math>n</math>의 <math>k</math>중 계승은 다음과 같다. (이는 <math>k</math>번의 계승과 다른 개념이다.)
:<math>n!_k=\prod_{m=0}^{\lfloor(n-1)/k\rfloor}(n-mk)=n(n-k)(n-2k)\cdots</math>
특히, <math>-k<n\le0</math>일 경우 다음과 같다.
:<math>1=0!_k=(-1)!_k=(-2)!_k=\cdots=(-(k-1))!_k</math>
예를 들어, 일중 계승은 계승이다. 또한, '''이중 계승'''(二重階乘, {{llang|en|double factorial}})은 다음과 같다. 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>(2n)!!=2^nn!=\prod_{k=1}^n2k=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots6\cdot4\cdot2</math>
:<math>(2n-1)!!=(2n)!/(2^nn!)=\prod_{k=1}^n(2k-1)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdots5\cdot3\cdot1</math>
특히, <math>1=0!!=(-1)!!</math>이다.

처음 몇 이중·삼중·사중 계승은 각각 다음과 같다.
:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, ... {{OEIS|A006882}}
:1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280, 880, ... {{OEIS|A007661}}
:1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231, ... {{OEIS|A007662}}

=== 지수 계승 ===
계승의 정의에서 곱셈 대신 덧셈을 사용하면, '''[[삼각수]]'''의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 삼각수 <math>T_n</math>은 다음과 같다.
:<math>T_n=n(n+1)/2=\sum_{k=1}^nk=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1</math>
계승의 정의에서 곱셈 대신 [[거듭제곱]]을 사용하면, '''지수 계승'''(指數階乘, {{llang|en|exponential factorial}})의 정의를 얻는다. 즉, 음이 아닌 정수 <math>n</math>의 지수 계승 <math>a_n</math>은 다음과 같다.
:<math>a_n=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdots^{2^1}}}}</math>
처음 몇 지수 계승은 다음과 같다.
: 1, 1, 2, 9, 262144, ... {{OEIS|A049384}}

== 성질 ==
=== 항등식 ===
계승·<math>k</math>중 계승·지수 계승의 [[점화식]]은 각각 다음과 같다.
:<math>n!=n(n-1)!</math>
:<math>n!_k=n(n-k)!_k</math>
:<math>a_n=n^{a_{n-1}}</math>

=== 점근 공식 ===
{{본문|스털링 근사}}
또한, 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.
:<math>\sqrt{2\pi n}(n/e)^n<n!<\sqrt{2\pi n}(n/e)^ne^{1/(12n)}</math>
특히, 큰 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 계승에 대한 [[스털링 근사]]는 다음과 같다.
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}(n/e)^n</math>

=== 수론적 성질 ===
==== 윌슨 정리 ====
{{본문|윌슨의 정리}}
2 이상의 정수 <math>p</math>에 대해 다음이 성립한다
* <math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]이면 <math>(p-1)!</math>을 <math>p</math>로 나눈 나머지가 <math>p-1</math>이다.
* <math>(p-1)!</math>를 <math>p</math>로 나눈 나머지가 <math>p-1</math>이면 <math>p</math>가 소수이다.

==== 르장드르 공식 ====
임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>p\mid n!</math>은 <math>p\le n</math>과 [[동치]]이다. 또한, '''르장드르 공식'''(Legendre公式, {{llang|en|Legendre's formula}})에 따르면, <math>n!</math>의 [[소인수 분해]]에서 <math>p</math>의 지수 <math>v_p(n!)</math>는 다음과 같다. (충분히 뒤에 있는 항들이 모두 0이므로 이는 유한 급수이다.)
:<math>v_p(n!)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor=\frac{n-\alpha_p(n)}{p-1}</math>
여기서
* <math>\lfloor-\rfloor</math>는 [[바닥 함수]]이다.
* <math>\alpha_p(n)</math>은 <math>n</math>의 ''p''진법 전개의 자릿수의 합이다.

== 응용 ==
=== 계승 소수 ===
{{본문|계승 소수}}

== 관련 개념 ==
=== 소수 계승 ===
{{본문|소수 계승}}
음이 아닌 정수 <math>n</math>의 소수 계승은 <math>n</math> 이하의 모든 [[소수 (수론)|소수]]의 곱이다.

=== 상승 계승과 하강 계승 ===
{{본문|포흐하머 기호}}

== 역사 ==
계승의 기본적인 개념은 ''n''개의 원소의 [[순열]]의 개수로서 이미 12세기 인도 수학에 알려져 있었다.<ref>{{저널 인용|이름=N. L.|성=Biggs|제목=The roots of combinatorics|저널=Historia Math.|권=6|날짜=1979|쪽=109−136|언어=en}}</ref>

{{llang|fr|factorielle|팍토리엘}}이라는 이름은 프랑스의 [[:en:Louis François Antoine Arbogast|루이 프랑수아 앙투안 아르보가]]({{llang|fr|Louis François Antoine Arbogast}})가 사용하였다. [[느낌표]] 표기법은 [[1808년]] [[수학자]] [[:en:Christian Kramp|크리스티앙 크랑]]({{llang|fr|Christian Kramp}})이 저서 《보편 산술 원론》({{llang|fr|Éléments d’arithmétique universelle}})<ref>{{서적 인용|이름=Christian|성=Kramp|제목=Éléments d’arithmétique universelle|출판사=De l’imprimerie de Th. F. Thiriart, et se vend chez Hansen|위치=[[쾰른]]|날짜=1808|언어=fr}}</ref>에서 처음으로 사용하였다. 크랑은 원래 계승을 {{llang|fr|faculté|파퀼테}})라고 불렀으나, 이후 아르보가를 따라 "팩토리얼"을 대신 사용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[큐-팩토리얼]]
* [[리우빌 상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |first=M. J. |last=Hadamard|저자링크=자크 아다마르
|장=Sur l’expression du produit 1·2·3· · · · ·(n−1) par une fonction entière
|제목=Œuvres de Jacques Hadamard|출판사=Centre National de la Recherche Scientifiques|위치=Paris|날짜=1968
|장url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf |언어=프랑스어}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=팩토리얼(factorial)}}
* {{eom|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=Factorial|title=Factorial}}
* {{매스월드|id=DoubleFactorial|title=Double factorial}}
* {{매스월드|id=Multifactorial|title=Multifactorial}}
* {{매스월드|id=ExponentialFactorial|title=Exponential factorial}}
* {{플래닛매스|urlname=Factorial|title=Factorial}}
* {{proofwiki|제목=Definition:Factorial}}
* {{proofwiki|제목=Category:Factorials}}

{{전거 통제}}

[[분류:조합론]]
[[분류:수론]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:단항 연산]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]