{{위키데이터 속성 추적}}

'''흥미로운 숫자 역설'''은 [[자연수]]를 "흥미롭거나" "흥미롭지 않은" 것으로 분류하는 것에서 발생하는 농담식 [[역설]]이다. 모든 [[자연수]]는 흥미롭다는 것이 역설의 핵심이다.<ref name="Martin">{{저널 인용|제목=A collection of tantalizing fallacies of mathematics|저널=Scientific American|성=Gardner|이름=Martin|날짜=January 1958|권=198|호=1|쪽=92–97|doi=10.1038/scientificamerican0158-92|jstor=24942039}}</ref> 역설은 다음과 같이 [[증명 (수학)|증명]]된다.

<blockquote>"흥미롭지 않은" 자연수의 집합이 공집합이 아니라고 가정하자.
그러면 그 중에서 가장 작은 "흥미롭지 않은" 자연수가 있을 것이다.
하지만 가장 작은 "흥미롭지 않은" 자연수는 그 자체로 가장 작다는 특성이 있기 때문에 그 자연수는 "흥미롭다".
따라서 이 "흥미로운" 자연수는 "흥미롭지 않은" 자연수의 집합의 원소이므로 [[모순]]이다.</blockquote>

수에서 "흥미롭다"는 말은 일반적으로 형식적인 개념의 용어는 아니지만, "흥미롭다"는 표현은 [[정수론]] 학자들이 가끔씩 쓰는 것처럼 보인다. [[스리니바사 라마누잔]]의 일화가 유명하며, [[고드프리 해럴드 하디]]와 라마누잔이 나눈 흥미로운 숫자에 관한 이야기다. 1918년 하디가 라마누잔의 병문안을 갔을 때의 이야기이다.<ref>{{뉴스 인용|url=https://www.bbc.co.uk/news/magazine-24459279|제목=Why is the number 1,729 hidden in Futurama episodes?|저자=Simon Singh|날짜=15 October 2013|뉴스=BBC News Online|확인날짜=26 February 2024}}</ref>

<blockquote>
그는 이상한 방식으로 거의 모든 숫자들의 특이한 특정을 기억하더군. [[존 이든저 리틀우드|리틀우드]]는 모든 양의 정수는 라마누잔의 친구들이라고 하더라고. 라마누잔이 퍼트니에서 묵고 있던 중 그를 보러 갔을 때가 생각나는군. 나는 번호가 [[1729]]인 택시를 탔었어. 그리고 그게 별로 재미없고 따분한 숫자라고 말했지, 불길한 징조 같은 게 없었으면 하고 바랐으니까. "아뇨." 그가 대답했어. "그건 엄청 흥미로운 숫자입니다. 그건 [[스리니바사 라마누잔#하디-라마누잔 수|다른 두 방식으로 두 개의 세제곱 수의 합으로 표현할 수 있는 가장 작은 숫자]]이니까요."<ref>{{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2022/02/hardy_ramanujan_and_taxicab_no.html|제목=Hardy, Ramanujan and Taxi No. 1729|성=Baez|이름=John C. Baez|날짜=2022-02-28|웹사이트=The n-Category Café|언어=en|확인날짜=2022-10-14}}</ref>
</blockquote>

== 역설적인 본성 ==
흥미롭다는 것을 기준으로 모든 숫자를 분류하는 건 [[정의 (논리학)|정의]]의 [[역설]]이나 [[이율배반|모순]]을 일으킨다.<ref name="Chaitin">{{저널 인용|제목=Algorithmic information theory|저널=IBM Journal of Research and Development|성=Chaitin|이름=G. J.|날짜=July 1977|권=21|호=4|쪽=350–359|doi=10.1147/rd.214.0350}}</ref> [[자연수]]를 ''흥미롭고'' ''흥미롭지 않은'' [[집합의 분할|집합]]으로 나눌 수 있다는 가정자체에 문제가 있다. 흥미롭다의 정의는 일반적으로 주관적이고 직관적인 개념이기 때문에, 이 역설은 [[자기언급]]을 반농담으로 한 것이다.

"흥미롭다"를 더 객관적으로 정의하면 역설은 완화된다. 예를 들어 [[온라인 정수열 사전]](OEIS) 항목에 나타나지 않는 가장 작은 자연수를 흥미롭지 않는 숫자라고 정의하자. 이 정의에 맞는 숫자는 2009년 6월 12일에 11630이었다.<ref name="nathanieljohnston">{{웹 인용|url=http://www.nathanieljohnston.com/2009/06/11630-is-the-first-uninteresting-number/|제목=11630 is the First Uninteresting Number|성=Johnston, N.|날짜=June 12, 2009|확인날짜=November 12, 2011}}</ref> 2009년 11월부터 적어도 2011년 11월까지는 12407이 되었고, 2012년 4월부터 13794가 되어 2012년 11월 3일 [[OEIS]]: [[oeis:A218631|A218631]] 수열이 나타날 때까지 흥미롭지 않은 숫자가 되었다. 2013년 11월부터 적어도 2014년 4월 14일까지는 14,228이었다.<ref name="nathanieljohnston" /> 2021년 5월에는 그 숫자가 20067이었다. (흥미롭지 않다의 정의는 OEIS가 각 항목에 대해 한정된 수의 용어만 나열하기 때문에 가능하다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.scientificamerican.com/article/the-most-boring-number-in-the-world-is/|제목=The Most Boring Number in the World Is ...|성=Bischoff|이름=Manon|웹사이트=Scientific American|언어=en|확인날짜=2023-03-16}}</ref> 예를 들어 [[OEIS]]: [[oeis:A000027|A000027]]은 ''모든'' [[자연수]]의 수열이어서 무한히 계속되면 모든 양의 정수가 포함된다. 하지만 해당 항목은 수열이 77까지만 써져있다.)
흥미로운 숫자 목록에 사용된 출처에 따라 다양한 다른 숫자도 같은 방식으로 흥미롭지 않은 것으로 잡을 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.crg4.com/uninteresting.html|제목=Uninteresting Numbers|성=Greathouse IV|이름=Charles R.|보존url=https://web.archive.org/web/20180612143635/http://math.crg4.com/uninteresting.html|보존날짜=2018-06-12|url-status=dead|확인날짜=2011-08-28}}</ref> 수학자면서 철학자인 알렉스 벨로스(Alex Bellos)는 2014년에 가장 흥미롭지 않은 숫자의 후보는 [[224]] 가 될 것이라고 말했다. 그 이유로 그 숫자는 당시 "영문판 [[위키피디아]]에 문서가 없는 가장 낮은 숫자였기 때문입니다."라고 말했다.<ref>{{서적 인용|제목=The Grapes of Math: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life|성=Bellos|이름=Alex|날짜=June 2014|판=1st Simon & Schuster hardcover|출판사=Simon & Schuster|쪽기타=pp. 238 & 319 (quoting p. 319)|기타=illus. The Surreal McCoy|출판장소=N.Y.|isbn=978-1-4516-4009-0}}</ref> {{Refn|group="참고"|2023년 10월 기준으로 이 숫자는 [[w:266 (number)|266]]이다.}}

수학에서는 ([[괴델의 불완전성 정리]]과 같이)[[자기언급]]을 활용한 중요한 이야기가 많이 있기 때문에 이 역설은 자기언급의 영향력을 보여주며,{{Refn|group="참고"|이 문단의 내용처럼 [[위키링크]]로 [[자기언급]] 하는 것을 포함한 [[괴델, 에셔, 바흐#주제]]를 보자.}} 많은 분야의 연구에서 진지한 논의까지 이른다. 예를 들어, "흥미로운" 숫자를 그 숫자보다 적은 비트를 포함하는 프로그램으로 계산할 수 있는 숫자로 정의하면 역설은 괴델의 불완전성 정리와 직접적으로 관련될 수 있다.<ref>{{서적 인용|제목=Randomness and Complexity, from Leibniz to Chaitin|성=Bennett|이름=Charles H.|저자링크=Charles H. Bennett (physicist)|연도=2007|편집자-성=Calude|편집자-이름=Cristian S.|편집자-링크=Cristian S. Calude|출판사=World Scientific|쪽=3–12|장=On Random and Hard-to-Describe Numbers|doi=10.1142/9789812770837_0001|isbn=978-9-812-77082-0|oclc=173808093}} Originally circulated as a preprint in 1979.</ref>
마찬가지로 흥미 대신 숫자를 지정하는 데 필요한 문구의 길이로도 생각해 볼 수 있다. "아홉 어절 미만으로 정의할 수 없는 가장 작은 자연수"라는 문구는 고유한 숫자를 식별해야 하는 것처럼 들리지만, 문구 자체에는 8개의 단어만 포함되어 있으므로 해당 문구로 식별되는 숫자는 결국 9개보다 더 적은 숫자로 표현된다. 위 역설은 [[베리의 역설]]로 알려져 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/857467673|제목=The Outer Limits of Reason: What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us|성=Yanofsky|이름=Noson S.|날짜=2013|출판사=[[MIT Press]]|위치=Cambridge, Massachusetts|쪽=26–28|isbn=978-1-4619-3955-9|oclc=857467673}}</ref>

== 역사 ==
[[에드윈 베켄바흐]]는 1945년 ''The American Mathematical Monthly''에 다음과 같은 짧은 글을 투고했다.

<blockquote>각 양의 정수들은 각각이 흥미로운 사실이 있다고 추측할 수 있습니다. 여기에 그것에 대한 "귀납법에 의한 증명"이 있습니다. 먼저, 1은 모든 양의 정수의 [[인수]]입니다. 마찬가지로 2는 가장 작은 [[소수 (수론)|소수]]임을 부정할 수 없죠. 3은 가장 작은 홀수 소수이고, 4는 비버바흐 수(Bieberbach's number)인 것 등등. 흥미로운 사실이 없는 각각에 관한 양의 정수 집합 ''S''가 비어 있지 않다고 가정하고, ''k''를 ''S''의 가장 작은 원소로 둡시다. 그러나 이 역시 ''k''에 관한 가장 흥미로운 사실입니다! 따라서 ''S'' 에는 가장 작은 구성원이 없으므로 비어 있습니다. 이 증명이 맞을까요?<ref>{{저널 인용|제목=Interesting integers|저널=[[The American Mathematical Monthly]]|성=Beckenbach|이름=Edwin F.|날짜=April 1945|권=52|호=4|쪽=211|jstor=2305682}}</ref></blockquote>

콘스탄스 리드(Constance Reid)는 1955년 [[대중수학]] 서적 《영에서 무한까지》(중앙일보, 1977, 김용운 역)의 초판에 이 역설을 넣었으나 이후 판에서는 삭제했다.<ref>{{저널 인용|제목=Review of ''From Zero to Infinity'', 2nd ed.|저널=[[Mathematics Magazine]]|성=Hamilton|이름=J. M. C.|연도=1960|권=34|호=1|쪽=43–44|doi=10.2307/2687853|jstor=2687853?|mr=1571022}}</ref> [[마틴 가드너]]는 1958년 그의 ''[[사이언티픽 아메리칸|Scientific American]]'' 칼럼에서 이 역설을 "오류"로 제시했다. 여기에는 증명 역시 미묘하게 오류가 있었다고 알려진 6개의 다른 "놀라운 주장"이 포함되어 있다.<ref name="Martin"/> 1980년 ''The Mathematics Teacher''에 투고된 글에는 30년 전에 논의된 "모든 자연수는 흥미롭다"는 농담 섞인 증명이 언급됐다.<ref>{{저널 인용|제목=Which numbers are interesting?|저널=The Mathematics Teacher|성=Gould|이름=Henry W.|날짜=September 1980|권=73|호=6|쪽=408|jstor=27962064}}</ref> 1977년 [[그레고리 차이틴]]은 역설에 대한 Gardner's statement를 언급하면서 (모든 서수 집합에는 가장 작은 요소가 있고 "정의할 수 없는 가장 작은 서수"가 정의인 것처럼 보일 수 있음에도 불구하고)정의할 수 없는 가장 작은 [[순서수|서수]]의 존재에 대한 [[버트런드 러셀]]의 초기 역설과의 관계를 지적했다.<ref name="Chaitin"/><ref>{{저널 인용|제목=Mathematical logic as based on the theory of types|저널=American Journal of Mathematics|성=Russell|이름=Bertrand|날짜=July 1908|권=30|호=3|쪽=222–262|doi=10.2307/2369948|jstor=2369948}}</ref>

''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'' (1987)에서 David Wells는 [[39]]가 "첫 번째로 흥미롭지 않은 숫자가 나타났다"고 언급했는데, 이렇게 말한 사실이 39를 "특별히 흥미롭게" 만들었고, 39는 흥미로운 숫자임과 동시에 지루한 숫자가 됐다.<ref>{{서적 인용|제목=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|성=Wells|이름=David|연도=1987|출판사=Penguin Books|쪽=120|oclc=17634415}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[처치-튜링 논제]]
* [[역설 목록]]

== 참고 ==
{{각주|group="참고"}}

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:정수]]
[[분류:자기언급 역설]]
[[분류:수학의 역설]]