{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''Ext 함자'''(Ext函子, {{llang|en|Ext functor}})는 [[아벨 범주]]의 두 대상 사이를 잇는 [[완전열]]들을 분류하는 [[함자 (수학)|함자]]이다. 사상군 함자의 [[유도 함자]]와 같다.

== 정의 ==
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.
* Ext 함자는 특정 [[완전열]]들의 [[동치류]] 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 [[집합론]]적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 [[고유 모임]]일 수 있다). 이 정의는 [[요네다 노부오]]가 도입하였다.<ref name="Yoneda"/>
* [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]] 또는 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]에서, Ext 함자는 [[오른쪽 유도 함자]] 또는 [[왼쪽 유도 함자]]를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 [[단사 대상]] 또는 [[사영 대상]]이 부족한 [[아벨 범주]]에서는 사용할 수 없다.
* [[유도 범주]]의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 [[유도 함자]]의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.
[[대수학]]에서 가장 중요한 경우인 [[환 (수학)|환]] 위의 [[가군]] 범주의 경우 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이자 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이므로, [[유도 함자]] 정의를 사용할 수 있다.

=== 완전열을 통한 정의 ===
==== 0차 Ext ====
임의의 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에 대하여, '''0차 Ext 함자'''는 다음과 같은 사상군 함자이다.
:<math>\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}(-,-)=\hom_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>

==== 1차 Ext ====
임의 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 '''확대'''({{llang|en|extension of <math>A</math> by <math>B</math>}})는 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이다.
:<math>0\to B\to X\to A\to0</math>
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 <math>X\to X'</math>이 존재한다면, 두 확대가 서로 '''동치'''라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
0\to&B&\to&X&\to&A&\to0\\
&\|&&\downarrow\scriptstyle\wr&&\|\\
0\to&B&\to&X'&\to&A&\to0
\end{matrix}</math>
(이 사상 <math>X\to X'</math>은 [[짧은 5항 보조정리]]에 따라서 항상 [[동형 사상]]이다.) 이는 확대에 대한 [[동치 관계]]를 이룬다.

확대의 동치류들은 '''베어 합'''({{llang|en|Baer sum}})이라는 연산 아래 [[아벨 군]]을 이룬다.<ref name="Weibel"/>{{rp|78, Definition 3.4.4}}
두 확대 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0</math>, <math>0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0</math>가 주어졌을 때, <math>Y</math>를 <math>X</math>와 <math>X'</math>의 <math>A</math>에 대한 [[당김 (범주론)|당김]]이라고 하자. [[미첼 매장 정리]]를 사용하면, 이는 다음과 같다.
:<math>X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x')\in X\oplus X'\colon \pi(x)=\pi'(x)\}\supseteq\iota(B)\oplus\iota'(B)</math>
즉, <math>Y</math>는 <math>B</math>를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 <math>\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B</math>사용하여, <math>Y</math>의 몫대상
:<math>X''=\frac Y{\left((\iota,-\iota')\circ\operatorname{diag}_B\right)(B)}</math>
을 정의할 수 있다. 이는 <math>Y</math> 속에 존재하는 두 개의 <math>B</math>를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면
:<math>0\to B\to X''\to A\to0</math>
는 [[짧은 완전열]]을 이룬다. <math>0\to X\to X''\to A\to0</math>의 [[동치류]]를 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0</math>, <math>0\to B\xrightarrow{\iota'} X'\xrightarrow{\pi'} A\to0</math>의 [[동치류]]의 '''베어 합'''({{llang|en|Baer sum}})이라고 한다. 확대의 [[동치류]]들은 베어 합 아래 [[아벨 군]]을 이룬다. 베어 합의 항등원은 [[분할 완전열]] <math>0\to B\to A\oplus B\to A\to0</math>이며, 확대 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow\pi A\to0</math>의 베어 합에 대한 역원은 <math>0\to B\xrightarrow{-\iota}X\xrightarrow\pi A\to0</math> 또는 <math>0\to B\xrightarrow\iota X\xrightarrow{-\pi} A\to0</math>이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

<math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대하여, '''1차 Ext 함자''' <math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,B)</math>는 <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 [[아벨 군]]을 이루며, 함자
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
를 정의한다. 또한, 각 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
는 둘 다 [[가법 함자]]를 이룬다.

위 정의에서, [[집합론]]적 문제를 무시하였다. 사실, ([[국소적으로 작은 범주|국소적으로 작은]]) [[아벨 범주]]의 경우 1차 Ext 함자의 값이 [[고유 모임]]일 수 있다.<ref>{{서적 인용|이름=Peter John|성=Freyd|출판사=Harper and Row|날짜=1964|제목=Abelian categories: An introduction to the theory of functors|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html|총서=Harper’s Series in Modern Mathematics|zbl=0121.02103|언어=en}}</ref>{{rp|131, Exercise 6.A}} 물론, [[작은 범주|작은]] [[아벨 범주]]에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]나 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]에서는 [[유도 함자]]를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

==== 고차 Ext ====
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 [[아벨 범주]]에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref name="Yoneda">{{저널 인용|이름=Nobuo|성=Yoneda|저자링크=요네다 노부오|제목=On the homology theory of modules|저널=Journal of the Faculty of Sciences of the  University of Tokyo. Section I|권=7|날짜=1954|쪽=193–227|mr=0068832|언어=en}}</ref><ref name="Buchsbaum">{{저널 인용|제목=A note on homology in categories|이름=David Alvin|성=Buchsbaum|저자링크=데이비드 북스바움|저널=Annals of Mathematics|권=69|호=1|날짜=1959-09|url=http://people.brandeis.edu/~buchsbau/miscpapers/026.pdf|jstor=1970093|doi=10.2307/1970093|언어=en}}</ref><ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|79–80, Vista 3.4.6}}<ref name="MacLane">{{서적 인용|이름=Saunders|성=MacLane|저자링크=손더스 매클레인|제목=Homology|총서=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=114|doi=10.1007/978-3-642-62029-4|날짜=1963|출판사=Springer|zbl=0133.26502|언어=en}}</ref>{{rp|82–87, §III.5}}

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A</math>, <math>B</math>에 대하여, <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 <math>n</math>차 '''확대'''({{llang|en|<math>n</math>-fold extension of <math>A</math> by <math>B</math>}})는 다음과 같은 [[완전열]]이다.
:<math>0\to B\to X_n\to X_{n-1}\to\cdots\to X_1\to A\to0</math>
두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math> 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, <math>(B,X_\bullet,A)</math>가 <math>(B',X_\bullet',A')</math>의 '''닮은 확대'''({{llang|en|similar extension}})라고 한다.
:<math>\begin{matrix}
0\to &B&\to&X_n&\to&\cdots&\to&X_1&\to&A&\to0\\
&\|&&\downarrow&&\cdots&&\downarrow&&\|\\
0\to &B'&\to&X_n'&\to&\cdots&\to&X_1'&\to&A'&\to0
\end{matrix}</math>
닮음 관계를 <math>(B,X_\bullet,A)\prec(B',X_\bullet',A')</math>로 표기하자.
닮음 관계는 [[추이적 관계]]이지만 [[대칭 관계]]가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 [[동치 관계]]를 생각하자. 즉, 두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math> 사이에 다음과 같은 <math>n</math>차 확대들의 [[수열|열]]
:<math>(B,X_\bullet,A)=(B^{(0)},X_\bullet^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_\bullet^{(1)},A^{(1)}),\dots,(B^{(k)},X_\bullet^{(k)},A^{(k)})=(B',X_\bullet',A')</math>
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>(B,X_\bullet,A)</math>와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 서로 '''동치'''라고 하자.
:모든 <math>i=1,2,\dots,k</math>에 대하여, <math>(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})</math>이거나 또는 <math>(B^{(i)},X_\bullet^{(i)},A^{(i)})\prec(B^{(i-1)},X_\bullet^{(i-1)},A^{(i-1)})</math>이다.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Ext à la Yoneda without the Schanuel lemma|이름=Rudolf|성=Fritsch|mr=0480701|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=57|호=1|쪽=39–42|doi=10.1090/S0002-9939-1976-0480701-6 |jstor=2040857|언어=en}}</ref>
* <math>(B,X_\bullet,A)</math>와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 서로 동치이다.
* <math>(B,X_\bullet,A)\prec(B'',X_\bullet'',A'')\succ(B',X_\bullet',A')</math>인 <math>n</math>차 확대 <math>(B'',X_\bullet'',A'')</math>가 존재한다.
* <math>(B,X_\bullet,A)\succ(B'',X_\bullet'',A'')\prec(B',X_\bullet',A')</math>인 <math>n</math>차 확대 <math>(B'',X_\bullet'',A'')</math>가 존재한다.

그렇다면, <math>n</math>차 '''Ext 함자''' <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>는 <math>A</math>의 <math>B</math>에 대한 <math>n</math>차 확대들의 [[동치류]] 집합이다.

두 <math>n</math>차 확대 <math>(B,X_\bullet,A)</math>, <math>(B',X_\bullet',A')</math>가 주어졌을 때, <math>Y_i</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>i=1</math>일 때, <math>Y_1</math>은 <math>X_1</math>과 <math>X_1'</math>의 <math>A</math>에 대한 [[당김 (범주론)|당김]]이다.
* <math>1<i<n</math>일 때, <math>Y_i=X_1\oplus X_1'</math>이다.
* <math>i=n</math>일 때, <math>X_n\xrightarrow f\tilde Y\xleftarrow{f'}X_n'</math>를 <math>B\xrightarrow\iota X_n</math>과 <math>B\xrightarrow{\iota'}X_n</math>의 <math>B</math>에 대한 [[밂 (범주론)|밂]]이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 <math>\operatorname{diag}_B\colon B\to B\oplus B</math>를 사용하여, <math>(f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B\colon B\to\tilde Y</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>Y_n=\tilde Y/((f\circ\iota,-f'\circ\iota')\circ\operatorname{diag}_B)(B)</math>이다.
그렇다면 <math>(B,Y_\bullet',A)</math>는 <math>n</math>차 확대를 이룬다.
<math>(B,X_\bullet,A)</math>의 [[동치류]]와 <math>(B',X_\bullet',A')</math>의 [[동치류]]의 합을 <math>(B,Y_\bullet',A)</math>의 [[동치류]]로 정의하자.
:<math>[(B,X_\bullet,A)]+[(B',X_\bullet',A')]=[(B,Y_\bullet',A)]</math>
그렇다면, 이 합에 대하여 <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. 또한, 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,-)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\times\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
를 이루며, 각 <math>A\in\mathcal C</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
둘 다 [[가법 함자]]를 이룬다.

==== 요네다 합성 ====
Ext는 [[가법 함자]]를 이루므로, [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>A,B,C\in\mathcal A</math>에 대하여 다음과 같은 두 [[군 준동형]]이 존재한다. (여기서 <math>\otimes</math>는 [[아벨 군]]의 [[텐서곱]]이다.)
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)\otimes\hom_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)</math>
:<math>\hom_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,C)</math>
이는 <math>\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}</math>와 <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}</math>를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math>에 대하여 다음과 같은, '''요네다 합성'''({{llang|en|Yoneda composition}})이라는 [[군 준동형]]들이 존재한다.<ref name="MacLane"/>{{rp|82–87, §III.5}}
:<math>\operatorname{Ext}^m_{\mathcal A}(A,B)\otimes\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(B,C)\to\operatorname{Ext}^{m+n}_{\mathcal A}(A,C)</math>
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 [[완전열]]
:<math>0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow\pi B\to 0\qquad(m\ge1)</math>
:<math>0\to B\xrightarrow\iota Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0\qquad(m\ge1)</math>
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 [[완전열]]을 정의할 수 있다.
:<math>0\to A\to X_1\to\cdots\to X_m\xrightarrow{\iota\circ\pi}Y_1\to\cdots\to Y_n\to C\to0</math>
그렇다면 <math>(A,X_\bullet,B)</math>의 동치류와 <math>(B,Y_\bullet,C)</math>의 동치류의 '''요네다 합성'''은 <math>(A,X_\bullet,Y_\bullet,C)</math>의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{GrAb}_{\mathbb N}</math> 위의 [[풍성한 범주]] <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>의 대상은 <math>\mathcal A</math>의 대상과 같다.
* <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.
*:<math>\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,B)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)</math>
* <math>\operatorname{Ext}(\mathcal A</math>에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
*  <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서 항등 사상은 <math>\mathcal A</math>에서의 항등 사상과 같다.
<math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, <math>\operatorname{Ext}^0_{\mathcal A}=\hom_{\mathcal A}</math>만 남으므로 원래 범주 <math>\mathcal A</math>를 얻는다.

특히, 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ext}\mathcal A</math>에서의 [[자기 사상]] 등급 아벨 군
:<math>\hom_{\operatorname{Ext}\mathcal A}(A,A)=\bigoplus_n\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,A)</math>
은 [[자연수]] [[등급환]]을 이룬다.

=== 유도 함자를 통한 정의 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여,
:<math>\hom_{\mathcal A}(A,-)\colon\mathcal A\to\operatorname{Ab}</math>
는 [[왼쪽 완전 함자]]이며,
:<math>\hom_{\mathcal A}(-,A)\colon\mathcal A^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}</math>
는 [[오른쪽 완전 함자]]이다. 따라서, 만약 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]라면 <math>\hom_{\mathcal A}(A,-)</math>의 [[오른쪽 유도 함자]]를 '''Ext 함자'''라고 한다.
:<math>\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(A,-)=\operatorname R^n\hom_{\mathcal C}(A,-)</math>
만약 <math>\mathcal A</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]라면 <math>\hom_{\mathcal A}(-,A)</math>의 [[왼쪽 유도 함자]]를 '''Ext 함자'''라고 한다.
:<math>\operatorname{Ext}_{\mathcal C}^n(-,A)=\operatorname L^n\hom_{\mathcal C}(-,A)</math>
이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 [[아벨 범주]]는 [[단사 대상]]이나 [[사영 대상]]을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, [[환 (수학)|환]] <Math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>R\text{-Mod}</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이자 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이다. 이 경우 Ext 함자를 <math>\operatorname{Ext}_R^n(-,-)</math>로 표기한다.

=== 유도 범주를 통한 정의 ===
Ext 함자는 [[유도 범주]]의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal A</math>의 대상을 하나의 성분만이 [[영 대상]]이 아닌 [[사슬 복합체]]로 간주한다면, <math>\mathcal A</math>는 [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}(\mathcal A)</math>의 [[충만한 부분 범주]]를 이룬다.

<math>\mathcal A</math> 속의 [[사슬 복합체]] <math>A</math>에 대하여,
:<math>A[i]^\bullet=X^{\bullet+i}</math>
:<math>d_{A[i]}=(-1)^nd|_A</math>
로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 <math>\deg d=+1</math>이다.) 또한, <math>\mathcal A</math>의 [[유도 범주]]가 [[국소적으로 작은 범주]]라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 두 대상 <math>A,B\in\mathcal A</math>에 대한 <math>n</math>차 '''Ext 함자'''는 [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal A)</math>의 다음과 같은 사상군이다.
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal A}(A,B)=\hom_{\operatorname D(\mathcal A)}(A,B[i])</math>

(이 경우, [[집합론]]적 문제는 원래 [[아벨 범주]]가 [[국소적으로 작은 범주]]라고 해도, 그 [[유도 범주]]는 일반적으로 [[국소적으로 작은 범주]]가 아닐 수 있는 것이다.)

== 성질 ==
만약 <math>M</math>이 [[사영 가군]]이거나 <math>N</math>이 [[단사 가군]]이라면,
:<math>\operatorname{Ext}^n_R(M,N)=0\qquad\forall n>0</math>
이다. 또한, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Ext}^n_R\left(\bigoplus_{i\in I}M_i,\prod_{j\in J}N_j\right)\cong\prod_{i\in I}\prod_{j\in J}\operatorname{Ext}^n_R(M_i,N_j)</math>

== 예 ==
=== 벡터 공간 ===
체 <math>K</math> 위의 [[가군]]의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 [[벡터 공간]]이며, 모든 벡터 공간은 [[사영 가군]]이자 [[단사 가군]]이다. 즉, 벡터 공간 <math>V</math>의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.
:<math>0\to V\to I^0=V\to0</math>
:<math>0\to P^0=V\to V\to0</math>
따라서, <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Ext}^0_K(V,W)=\hom(V,W)</math>
:<math>\operatorname{Ext}^n_K(V,W)=0\qquad\forall n>0</math>

=== 아벨 군 ===
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 [[아벨 군]]이며, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이며, [[단사 가군]]은 [[나눗셈군]]이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>P^0</math>의 [[몫군]] <math>P^0/P^1</math>으로 나타낼 수 있으며, [[자유 아벨 군]]의 모든 [[부분군]]은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
:<math>0\to G\to P^0\to P^1\to0</math>
마찬가지로, 임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[나눗셈군]] <math>I^0</math>의 [[부분군]]으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 [[몫군]]은 나눗셈군이므로  다음은 단사 분해를 이룬다.
:<math>0\to G\to I^0\to I^1\to0</math>
[[아벨 군]] <math>G</math>, <math>H</math>가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. <math>G</math>의 사영 분해가 <math>G\cong P^0/P^1</math>이라면, Ext 함자는 다음 [[사슬 복합체]]의 [[호몰로지 군]]이다.
:<math>0\to\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H) \xrightarrow{\operatorname{res}} \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)\to0</math>
여기서 <math>\operatorname{res}\colon\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H)\to \hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)</math>은 포함 사상 <math>P^1\hookrightarrow P^0</math>으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,
:<math>\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)</math>
이며,
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)\cong\hom_{\operatorname{Ab}}(P^1,H)/\operatorname{res}(\hom_{\operatorname{Ab}}(P^0,H))</math>
는 [[군의 확대]]
:<math>0\to H\to E\to G\to0</math>
들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.
:<math>\operatorname{Ext}^n_{\mathbb Z}(G,H)=0\qquad\forall n\ge2</math>

또한, 임의의 [[나눗셈군]] <math>H</math>에 대하여
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)=0</math>
이다. 특히, [[유리수]]의 군 <math>\mathbb Q</math>나 그 몫군 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>은 나눗셈군이므로
:<math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q)=\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,\mathbb Q/\mathbb Z)=0</math>
이다.

{| class=wikitable style="table-layout:fixed; width: 40em; text-align: center"
|+ <math>\operatorname{Ext}^0_{\mathbb Z}(G,H)=\hom_{\operatorname{Ab}}(G,H)</math>
! <math>G\backslash H</math> || <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z</math>
| <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z/(m)</math>
| 0 || <math>\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})</math> || 0
|-
! <math>\mathbb Q</math>
| 0 || 0 || <math>\mathbb Q</math>
|}
{| class=wikitable style="table-layout:fixed; width: 40em; text-align: center"
|+ <math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)</math>
! <math>G\backslash H</math> || <math>\mathbb Z</math> || <math>\mathbb Z/(n)</math> || <math>\mathbb Q</math>
|-
! <math>\mathbb Z</math>
| 0 || 0 || 0
|-
! <math>\mathbb Z/(m)</math>
| <math>\mathbb Z/(m)</math> || <math>\mathbb Z/(\gcd\{m,n\})</math> || 0
|-
! <math>\mathbb Q</math>
| <math>\mathbb Q^{\oplus 2^{\aleph_0}}</math> || 0 || 0
|}

=== 리 대수 코호몰로지 ===
{{본문|리 대수 코호몰로지}}
[[리 대수 코호몰로지]]는 리 대수의 [[보편 포락 대수]]의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 [[리 군]]의 [[드람 코호몰로지]]를 계산할 수 있다.

=== 층 코호몰로지 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 아벨 군층 <math>\mathcal F</math>의 [[층 코호몰로지]]는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.
:<math>\operatorname H^\bullet(X,\mathcal F) = \operatorname{Ext}^\bullet(\underline{\mathbb Z},\mathcal F)</math>
여기서
* Ext 함자는 <math>X</math> 위의 아벨 군층의 [[아벨 범주]]에서 취한 것이다.
* <math>\underline{\mathbb Z}</math>는 [[정수환]] 값의 [[상수층]]이다.

스킴 <math>X</math> 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Ext}^1(\mathcal O_X,\mathcal O_X) = \operatorname H^1(X,\mathcal O_X)</math>

== 어원 ==
‘Ext’는 {{llang|en|extension}}(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 [[군의 확대]]와 관련있기 때문이다. 아벨 군 <math>G</math>를 다른 아벨 군 <math>H</math>로 확대한다면, 가능한 확대들은 <math>\operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(G,H)</math>와 [[일대일 대응]]한다.

== 같이 보기 ==
* [[Tor 함자]]
* [[그로텐디크 군]]
* [[호몰로지 차원]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Gelfand | first=Sergei I. | 공저자 = Yuri Ivanovich Manin | title=Homological algebra | isbn=978-3-540-65378-3 | year=1999 | publisher=Springer | location=Berlin|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=現代數學과 Homology 代數|저자=李起安|저널=Bulletin of the Korean Mathematical Society|권=9|호=2|날짜=1972|쪽=83–99|url=http://pdf.medrang.co.kr/kms01/BKMS/9/BKMS-9-2-83-99.pdf|언어=ko|issn=1015-8634}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Extension of a module}}
* {{eom|title=Baer multiplication}}
* {{nlab|id=Ext}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/50971/how-to-make-ext-and-tor-constructive|제목=How to make Ext and Tor constructive|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:이항연산]]