{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Atwoods machine.png|섬네일|270px]]
'''애트우드 기계'''({{lang|en|Atwood machine}})는 1784년에 [[조지 애트우드]]가 등가속도 운동에서 [[뉴턴의 운동 법칙]]을 증명하기 위해 고안한 실험 장치이다. [[고전역학]]의 기본적 원리를 설명하는 수업 자료로 종종 사용된다.

이상적인 애트우드 기계는 질량 <math>m_1</math>, <math>m_2</math>인 물체 두 개를 질량과 신축성을 무시할 수 있는 줄로 연결하여 질량을 무시할 수 있는 [[도르래]]에 걸어놓은 형태이다.<ref><!-- This is a fairly old edition, but it is the one I have. A cite to a newer edition would be better-->
{{서적 인용 | 성 = Tipler | 이름 = Paul A.
 | 제목= Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version | 출판사= Worth Publishers | 연도 = 1991 | 출판위치= New York
 | isbn = 0-87901-432-6}} Chapter 6, example 6-13, page 160.
</ref>

<math>m_1</math>＝<math>m_2</math>라면, 질량의 위치에 관계없이 기계는 [[정적 평형 상태|역학적 평형]]을 이룬다.

<math>m_1</math>≠<math>m_2</math>라면, 두 질량은 일정한 가속도로 운동하게 된다.

== 등가속도 방정식 ==
[[파일:Atwood.svg|섬네일|left|220px|애트우드 기계를 간략하게 표현한 [[자유물체도]]. [[가속도]] 벡터상에서 <math>m_1</math>이 아래로 운동하고 <math>m_2</math>가 위로 운동하므로, <math>m_1</math>＞<math>m_2</math>라는 사실을 알 수 있다.]]

힘을 분석하여 가속도의 방정식을 유도할 수 있다.

줄의 질량과 신축성, 도르래의 질량을 무시할 수 있다고 할 때, 이 계에서 고려해야 하는 힘은 [[장력]](<math>T</math>), 두 물체의 무게(<math>W_1</math>과 <math>W_2</math>) 뿐이다. 가속도를 알아내기 위해 두 물체에 각각 작용하는 힘을 밝힐 필요가 있다.

[[뉴턴 제2법칙]]을 사용하여(<math>m_1</math>＞<math>m_2</math>라고 [[기호 약속]]한다) 가속도(<math>a</math>)를 구하기 위한 [[연립 방정식]]을 세울 수 있다.

가속도 <math>a</math>는 <math>m_1</math>에서는 아래 방향이 양의 방향, <math>m_2</math>에서는 위 방향이 양의 방향이라고 약속하자. <math>m_1</math>과 <math>m_2</math>의 무게는 각각 <math>W_1 = m_1 g</math>와 <math>W_2 = m_2 g</math>로 나타난다.

m<sub>1</sub>에 작용하는 힘은

: <math>\; m_1g-T=m_1a</math>

m<sub>2</sub>에 작용하는 힘은

: <math>\; T-m_2g=m_2a</math>

위의 두 방정식을 통째로 더하면 다음 식을 얻는다.

: <math>\; m_1g-m_2g=m_1a+m_2a</math>,

그러므로 가속도 식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

<math>a = {m_1-m_2 \over m_1+m_2} g</math>

역으로, 물체들의 운동 시간을 측정하여 등가속도 운동식 <math> d = {1 \over 2} at^2 </math>에 대입 계산함으로써 중력가속도 <math>g</math>를 구할 수도 있다.

[[라그랑주 역학]]에서 운동방정식을 유도할 때도 애트우드 기계가 사용되는 경우도 있다.<ref><!-- Again a cite to the most recent edition would be preferable -->
{{서적 인용| 성 = Goldstein | 이름 = Herbert | 저자링크= 허버트 골드스타인
 | 제목 = Classical Mechanics, second Edition
 | 출판사= Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition | year = 1980
 | 출판위치= New Delhi | isbn = 81-85015-53-8}}
Section 1-6, example 2, pages 26-27.</ref>

== 장력 방정식 ==
장력을 알아볼 때는, 앞에서 구한 가속도를 두 물체의 힘 방정식 중 어느 한 쪽에 대입하면 된다.

<math>a = {m_1-m_2 \over m_1 + m_2} g</math>

예컨대 이것을 <math>m_1 a = m_1 g-T</math>에 대입하면,

<math>T={2 g m_1 m_2 \over m_1 + m_2}</math>를 얻는다.

이와 같은 방법으로 장력을 얻을 수 있다.

== 관성과 마찰을 반영한 방정식 ==
<math>m_1</math>과 <math>m_2</math>의 질량 차 이가 매우 작다면, 반경 <math>r</math>인 도르래의 [[회전관성]] <math>I</math>를 무시할 수 없다. 줄이 미끄러지지 않는 상황에서 도르래의 각가속도 <math>\alpha</math>는 다음과 같이 주어진다.

: <math> \alpha = {a\over r}</math>

이때 알짜 [[회전력]] <math>\tau_{net}</math>는 다음과 같다.

: <math>\tau_{net}=\left(T_1 - T_2 \right)r - \tau_{friction} = I \alpha </math>

매달린 물체들에 뉴턴 제2법칙을 적용한 것과 조합하면 다음과 같은 <math>a</math>, <math>T_1</math>, <math>T_2</math>를 얻는다.

가속도 <math>a</math>는

:<math> a = {{ (m_1 - m_2) - {\tau_{friction} \over rg}} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}g</math>

줄의 <math>m_1</math>에 가장 가까운 부분의 장력 <math>T_1</math>은

:<math> T_1 = {{m_1 g (2 m_2 + {{I} \over {r^2}} + {{\tau_{friction}} \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

줄의 <math>m_2</math>에 가장 가까운 부분의 장력 <math>T_2</math>는

:<math> T_2 = {{m_2 g (2 m_1 + {{I} \over {r^2}} + {{\tau_{friction}} \over {r g}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

줄의 마찰을 무시한다면(하지만 도르래의 관성과 도르래에 걸친 줄의 변형력은 무시할 수 없다), 다음과 같이 방정식을 간략화할 수 있다.

가속도 <math>a</math>는

:<math> a = {{ (m_1 - m_2)} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}g</math>

줄의 <math>m_1</math>에 가장 가까운 부분의 장력 <math>T_1</math>은

:<math> T_1 = {{m_1 g (2 m_2 + {{I} \over {r^2}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

줄의 <math>m_2</math>에 가장 가까운 부분의 장력 <math>T_2</math>는

:<math> T_2 = {{m_2 g (2 m_1 + {{I} \over {r^2}})} \over {m_1 + m_2 + {{I} \over {r^2}}}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[캐터의 진자]]
* [[흔들리는 애트우드 기계]]

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* [http://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Mechanics/Atwoods_Machine/Atwoods_Machine.html Professor Greenslade's account on the Atwood Machine] {{웨이백|url=http://physics.kenyon.edu/EarlyApparatus/Mechanics/Atwoods_Machine/Atwoods_Machine.html |date=20150119050400 }}
* "[http://demonstrations.wolfram.com/AtwoodsMachine/ Atwood's Machine]" by Enrique Zeleny, [[The Wolfram Demonstrations Project]].

[[분류:고전역학]]
[[분류:물리학 실험]]