{{위키데이터 속성 추적}}
[[순서론]]에서 '''순서 위상'''(順序位相, {{llang|en|order topology}})은 [[전순서 집합]] 위의, [[열린구간]]으로부터 생성되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 [[동치 관계]]를
:<math>x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x</math>
로 표기하고, 이에 대한 [[동치류]]를
:<math>[x]_\sim=\{y\in X\colon x\sim y\}</math>
로 표기하자. <math>X</math> 위의 '''열린 반직선'''({{llang|en|open ray}})을 다음과 같이 표기하자.
:<math>\mathop\uparrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not\lesssim a\}</math>
:<math>\mathop\downarrow a\setminus[a]_\sim=\mathop\downarrow a\setminus\mathop\uparrow a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not\lesssim b\}</math>
여기서 <math>\mathop\uparrow</math>는 [[상폐포]]이며, <math>\mathop\downarrow</math>는 [[하폐포]]이다.

=== 순서 위상 ===
<math>X</math> 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 '''순서 위상'''이라고 한다.
:<math>\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}</math>
즉, <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(\mathop\uparrow a_1\setminus\mathop\downarrow a_1)\cap\cdots\cap(\mathop\uparrow a_m\setminus\mathop\downarrow a_m)
\cap(\mathop\downarrow b_1\setminus\mathop\uparrow b_1)\cap\cdots\cap(\mathop\downarrow b_n\setminus\mathop\uparrow b_n)
\qquad(m,n\in\mathbb N,\;a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in X)</math>
(여기서, 0개의 [[부분 집합]]들의 [[교집합]]은 <math>X</math> 전체이다.)

만약 <math>X</math>가 [[격자 (순서론)|격자]]라면, <math>X</math>의 순서 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\}_{a,b\in X}
\cup\{\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b\}_{b\in X}\cup\{X\}</math>
다음과 같이 [[구간]] 표기법
:<math>(a,\infty)=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a</math>
:<math>(-\infty,b)=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b</math>
:<math>(a,b)=(a,\infty)\cap(-\infty,b)</math>
:<math>(-\infty,\infty)=X</math>
:<math>(\infty,b)=(a,-\infty)=(\infty,-\infty)=\varnothing</math>
을 적용하면, 이는 다음과 같다.
:<math>\{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup\{\pm\infty\}}</math>
만약 <math>X</math>가 [[유계 격자]]라면, <math>X</math>의 순서 위상의 한 [[기저 (위상수학)|기저]]는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\{(a,b)\}_{a,b\in X}</math>

=== 하위상과 상위상 ===
<math>(X,\lesssim)</math> 위의 '''하위상'''({{llang|en|lower topology}}) 또는 '''좌위상'''({{llang|en|left topology}})은 다음과 같은 [[부분 기저]]로 정의되는 위상이다.
:<math>\{X\setminus\mathop\uparrow b\}_{a\in X}</math>
만약 <math>X</math>가 [[전순서 집합]]이라면, 이 [[부분 기저]]의 원소는 열린 반직선
:<math>X\setminus\mathop\uparrow b=\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b=(-\infty,b)</math>
들이다.

마찬가지로, <math>(X,\lesssim)</math> 위의 '''상위상'''({{llang|en|upper topology}}) 또는 '''우위상'''({{llang|en|right topology}})은 다음과 같은 [[부분 기저]]로 정의되는 위상이다.
:<math>\{X\setminus\mathop\downarrow a\}_{a\in X}</math>
만약 <math>X</math>가 [[전순서 집합]]이라면,
:<math>X\setminus\mathop\downarrow a=\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a=(a,\infty)</math>
이다.

=== 하극한 위상과 상극한 위상 ===
<math>(X,\lesssim)</math> 위의 '''하극한 위상'''({{llang|en|lower limit topology}}) 또는 '''하 조르겐프라이 위상'''({{llang|en|lower Sorgenfrey topology}})은 다음 [[부분 기저]]로 생성된다.
:<math>\{\mathop\uparrow a\cap(\mathop\downarrow b\setminus\mathop\uparrow b)\}_{a,b\in X}\cup\{\mathop\uparrow a\}_{a\in X}</math>
이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup\{\infty\}}</math>
만약 <math>X</math>가 [[격자 (순서론)|격자]]이거나, <math>X</math>의 반대 순서 집합이 [[나무 (집합론)|나무]]라면, 위 [[부분 기저]]는 <math>X</math>의 하극한 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 만약 <math>X</math>가 [[격자 (순서론)|격자]]이며, [[최대 원소]]를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 <math>X</math>의 하극한 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다.
:<math>\{[a,b)\}_{a,b\in X}</math>

마찬가지로, <math>(X,\lesssim)</math> 위의 '''상극한 위상'''({{llang|en|upper limit topology}}) 또는 '''상 조르겐프라이 위상'''({{llang|en|upper Sorgenfrey topology}})은 다음 [[부분 기저]]를 갖는다.
:<math>\{(\mathop\uparrow a\setminus\mathop\downarrow a)\cap\mathop\downarrow b\}_{a,b\in X}\cup\{\mathop\downarrow b\}_{b\in X}</math>
즉,
:<math>\{(a,b]\}_{a\in X\sqcup\{-\infty\},b\in X}</math>
만약 <math>X</math>가 [[격자 (순서론)|격자]]이거나 [[나무 (집합론)|나무]]라면, 이는 상극한 위상의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이룬다. 만약 <math>X</math>가 [[최소 원소]]를 갖지 않는 [[격자 (순서론)|격자]]라면, 상극한 위상은 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
:<math>\{(a,b]\}_{a,b\in X}</math>

== 성질 ==
순서 위상을 준 [[전순서 집합]]은 항상 [[완비 정규 공간|완비 정규]] [[하우스도르프 공간]]이며,<ref name="Steen" />{{rp|67, 39.6}} [[유전적 성질|완비]] [[가산 파라콤팩트 공간]]이며, [[유전적 성질|완비]] [[직교 콤팩트 공간]]이다.<ref name="Künzi">{{저널 인용
|성1=Künzi
|이름1=Hans-Peter A.
|제목=Kelley’s conjecture and preorthocompactness
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=26
|호=1
|쪽=13–23
|날짜=1987
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/0166-8641(87)90022-8
|mr=0893800
|zbl=0623.54012
}}</ref>{{rp|17}}

유한 [[전순서 집합]] 위의 순서 위상은 [[이산 위상]]이다.

[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Steen" />{{rp|68, 39.8}}
* [[선형 연속체]]이다.
* 순서 위상을 가했을 때, [[연결 공간]]이다.

[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Steen">{{서적 인용
|이름1=Lynn Arthur
|성1=Steen
|이름2=J. Arthur Jr.
|성2=Seebach
|제목=Counterexamples in Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York, NY
|날짜=1978
|원본연도=1970
|isbn=978-0-387-90312-5
|doi=10.1007/978-1-4612-6290-9
|mr=507446
|zbl=0386.54001
}}</ref>{{rp|67, 39.7}}
* [[완비 격자]]이다.
* 순서 위상을 가했을 때, [[콤팩트 공간]]이다.

[[전순서 집합]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gulden">{{저널 인용
|성1=Gulden
|이름1=S. L.
|성2=Fleischman
|이름2=W. M.
|제목=Linearly ordered topological spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=24
|쪽=197–203
|날짜=1970
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2036727
|mr=0250272
|zbl=0203.55104
}}</ref>{{rp|199, Theorem 1}}
* 순서 위상을 가했을 때, [[파라콤팩트 공간]]이다.
* 순서 위상을 가했을 때, [[메타콤팩트 공간]]이다.

== 예 ==
=== 유한 집합 ===
<math>\{a,b\}</math>의 [[멱집합]] 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, [[열린집합]]은 다음과 같이 7개이다.
:<math>\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\{a\},\{b\},\varnothing\right\}</math>
:<math>\left\{\{a\},\{b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\{\varnothing\}</math>
:<math>\varnothing</math>

<math>\{a,b\}</math>의 [[멱집합]] 위의 상순서 위상의 [[열린집합]]은 다음과 같이 4개이다.
:<math>\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\varnothing</math>

<math>\{a,b\}</math>의 [[멱집합]] 위의 하순서 위상의 [[열린집합]]은 다음과 같이 4개이다.
:<math>\left\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\varnothing,\{a\},\{b\}\right\}</math>
:<math>\left\{\varnothing\right\}</math>
:<math>\varnothing</math>

=== 자명한 순서 ===
집합 <math>X</math> 위의 [[동치 관계]]는 (자명한) [[원순서]]를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 [[비이산 위상]]이다.

=== 순서체 ===
실수체 <math>\mathbb R</math>, 유리수체 <math>\mathbb Q</math>, 정수환 <math>\mathbb Z</math> 자연수 집합 <math>\mathbb N</math> 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. (<math>\mathbb Z</math>와 <math>\mathbb N</math>의 경우 이는 [[이산 위상]]이다.)

[[초실수]]체 <math>{}^*\mathbb R</math>에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 <math>{}^*\mathbb R</math>는 [[완전 분리 공간]]이 된다.

실수체 <math>\mathbb R</math> 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 '''조르겐프라이 직선'''({{llang|en|Sorgenfrey line}})이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]]이며, [[린델뢰프 공간]]이다. (따라서, [[파라콤팩트 공간]]이다.)
* [[분해 가능 공간]]이며, [[제1 가산 공간]]이지만, [[제2 가산 공간]]이 아니다. (따라서, [[거리화 가능 공간]]이 아니다.)
*이다.
* [[완전 분리 공간]]이다.

두 조르겐프라이 직선의 [[곱공간]]은 '''조르겐프라이 평면'''({{llang|en|Sorgenfrey plane}})이라고 한다. 이는 [[정규 공간]]이 아니다. 따라서 이는 [[파라콤팩트 공간]]이 아니며, [[린델뢰프 공간]]이 아니다.

=== 순서수의 위상 ===
[[순서수]] <math>\alpha</math>는 [[정렬 집합]]이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, <math>\alpha</math>의 [[극한점]]은 <math>\alpha</math>보다 작은 [[극한 순서수]]이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 [[완전 분리 공간]]이다. 최초의 비가산 순서수 <math>\omega_1</math>은 [[제1 가산 공간]]이지만 [[제2 가산 공간]]이 아니며, [[콤팩트 공간]]이 아니며, [[완전 정규 공간]]이 아니다. <math>\omega_1+1</math>은 [[제1 가산 공간]]·[[제2 가산 공간]]이 아니며, [[콤팩트 공간]]이며, [[완전 정규 공간]]이 아니다. <math>\omega_1+1</math>은 <math>\omega</math>의 [[스톤-체흐 콤팩트화]]이자 [[알렉산드로프 콤팩트화]]이다.

=== 전순서 집합의 부분 집합 ===
[[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math> 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.
* <math>(X,\le)</math> 위에 순서 위상을 주었을 때, <math>Y</math> 위의 [[부분 공간 위상]]
* <math>(Y,\le\restriction Y)</math> 위의 순서 위상
전자는 후자보다 더 [[섬세한 위상]]이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, [[실수]]의 [[순서체]] <math>\mathbb R</math>의 부분 집합
:<math>(0,1)\cup[2,3)</math>
에서,
:<math>[2,3)</math>
는 전자의 위상에 대하여 [[열린집합]]이지만, 후자의 위상에 대한 [[열린집합]]이 아니다.

만약 <math>Y</math>가 [[순서 볼록 집합]]이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.

== 같이 보기 ==
* [[긴 직선]]
* [[선형 연속체]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Order topology}}
* {{eom|title=Sorgenfrey topology}}
* {{매스월드|id=OrderTopology|title=Order topology}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Order_topology|제목=Order topology|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-27|보존url=https://web.archive.org/web/20160528180026/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Order_topology|보존날짜=2016-05-28|url-status=live}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Linearly_orderable_space|제목=Linearly orderable space|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-27|보존url=https://web.archive.org/web/20160810234631/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Linearly_orderable_space|보존날짜=2016-08-10|url-status=live}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Sorgenfrey_line|제목=Sorgenfrey line|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Sorgenfrey_plane|제목=Sorgenfrey plane|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Order_Topology|제목=Definition: order topology|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-27|보존url=https://web.archive.org/web/20130406045547/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Order_Topology|보존날짜=2013-04-06|url-status=live}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Order_Topology_is_Hausdorff|제목=Order topology is Hausdorff|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Order_Topology_is_Hausdorff }}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Order_Topology_is_Normal|제목=Order topology is normal|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://proofwiki.org/wiki/Order_Topology_is_Normal }}

[[분류:순서론]]
[[분류:일반위상수학]]