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[[리 군론]]에서 '''리 대수 코호몰로지'''(Lie代數cohomology, {{llang|en|Lie algebra cohomology}})는 [[리 대수]] 위에 정의되는 [[코호몰로지]] 이론이다. [[Ext 함자]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[리 대수 ]] <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]]가 <math>U\mathfrak g</math>라고 하고, <math>M</math>이 <math>\mathfrak g</math>의 [[리 대수의 표현|표현]](즉, <math>U</math> 위의 [[가군]])이라고 하자.

<math>R</math>를 <math>\mathfrak g</math>의 자명한 표현이라고 여기면, '''리 대수 코호몰로지'''는 다음과 같은 [[Ext 함자]]이다.
:<math>\operatorname H^n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Ext}^n_{U\mathfrak g}(R;M)</math>
즉, [[왼쪽 완전 함자]]인 불변 [[부분 가군]] 함자
:<math>M\mapsto M^{\mathfrak g}=\{m\in M\colon\mathfrak gm=0\}</math>
의 [[오른쪽 유도 함자]]이다.

마찬가지로, '''리 대수 호몰로지'''({{llang|en|Lie algebra homology}})는 다음과 같은 [[Tor 함자]]이다.
:<math>\operatorname H_n(\mathfrak g;M)=\operatorname{Tor}_n^{U\mathfrak g}(R;M)</math>
즉, [[오른쪽 완전 함자]]인 쌍대 불변 몫가군 함자
:<math>M\mapsto M_{\mathfrak g}=M/\mathfrak gM</math>
의 [[왼쪽 유도 함자]]이다.

== 성질 ==
[[연결 공간|연결]] [[콤팩트 리 군]] <math>G</math>에 대하여, 그 [[드람 코호몰로지]]는 그 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)</math>의 리 대수 코호몰로지와 (등급 가환 대수로서) 일치한다.
:<math>\operatorname H^\bullet(G;\mathbb R)\cong\operatorname H^\bullet(\operatorname{Lie}(G);\mathbb R)</math>
(같은 리 대수에 여러 개의 연결 [[리 군]]이 대응할 수 있는데, 이는 [[꼬임 부분군]]을 포함하지 않는 실수 계수인 [[드람 코호몰로지]]로 구별할 수 없다.)

=== 슈발레-에일렌베르크 복합체 ===
체 <math>K</math> 위의 리 대수 코호몰로지는 '''슈발레-에일렌베르크 복합체'''(Chevalley-Eilenberg複合體, {{llang|en|Chevalley–Eilenberg complex}})라는 [[공사슬 복합체]]로 계산할 수 있다.

구체적으로, '''<math>n</math>차 슈발레-에일렌베르크 공사슬'''({{llang|en|Chevalley–Eilenberg <math>n</math>-cochain}})은 <math>K</math>-선형 변환
:<math>\hom_K\left(\bigwedge^n\mathfrak g;M\right)</math>
이며, 그 공경계는 다음과 같다.
:<math>(\delta f)(x_1,\ldots,x_{n+1})=\sum_i (-1)^{i+1}x_i\, f(x_1,\ldots,\hat x_i,\ldots,x_{n+1})+\sum_{i<j} (-1)^{i+j}f([x_i,x_j],x_1,\ldots,\hat x_i,\ldots,\hat x_j,\ldots,x_{n+1})</math>
여기서 <math>\hat x_i</math>는 해당 항을 생략하라는 뜻이다.

만약 <math>\mathfrak g</math>가 콤팩트 [[단일 연결]] 리 군 <math>G</math>의 리 대수인 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체는 <math>G</math> 위의 <math>M</math> 계수 <math>G</math>-불변 [[미분 형식]]의 드람 복합체와 동형이다.

== 낮은 차원의 리 대수 코호몰로지 ==
=== 0차 코호몰로지 ===
정의에 따라, 0차 리 대수 코호몰로지는 리 대수의 작용에 대하여 불변인 가군 원소들로 구성된 부분 가군이다.
:<math>\operatorname H^0(\mathfrak g;M)=M^{\mathfrak g}=\{m\in M\mid \mathfrak gm=0\}</math>

=== 1차 코호몰로지 ===
리 대수의 '''미분'''({{llang|en|derivation}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>R</math>-[[가군 준동형]]이다.
:<math>\delta\colon\mathfrak g\to M</math>
:<math>\delta[x,y]=x\delta y-y\delta x\qquad\forall x,y\in\mathfrak g</math>
미분들은 <math>R</math>-가군을 이루며, 이를 <math>\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)</math>이라고 쓰자.

임의의 가군 원소 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>x\mapsto xm\;\forall x\in\mathfrak g</math>는 미분을 이룬다. 이렇게 나타낼 수 있는 미분을 '''내부 미분'''({{llang|en|inner derivation}})이라고 한다. 내부 미분들 역시 <math>R</math>-[[가군]]을 이루며, 이를 <math>\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)</math>이라고 쓰자.

그렇다면, 1차 리 대수 코호몰로지는 미분 가군의 내부 미분 가군에 대한 [[몫가군]]이다.
:<math>\operatorname H^1(\mathfrak g;M)\cong\operatorname{Der}(\mathfrak g;M)/\operatorname{IDer}(\mathfrak g;M)</math>

=== 2차 코호몰로지 ===
2차 리 대수 코호몰로지 군 <math>\operatorname H^2(\mathfrak g;M)</math>은 리 대수의 확대
:<math>0\to M\to\mathfrak h\to\mathfrak g\to0</math>
의 동치류들의 [[아벨 군]]과 동형이다. (여기서 <math>M</math>은 [[아벨 리 대수]]로 간주한다.)

== 예 ==
=== 아벨 리 대수 ===
체 <math>K</math> 위의 [[아벨 리 대수]] <math>V</math>와 그 자명한 [[리 대수의 표현|표현]] <math>W</math>를 생각하자. 이 경우, 슈발레-에일렌베르크 복합체의 공경계는 항상 0이다. (첫 항은 가군 작용이 들어가며, 둘째 항은 [[리 괄호]]가 들어간다.) 따라서, 리 대수 코호몰로지는 슈발레-에일렌베르크 공사슬 공간과 같다.
:<math>\operatorname H^\bullet(V;W)=\hom_{K\text{-Vect}}(\bigwedge^\bullet V;W)</math>
특히, <math>W=K</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\operatorname H^\bullet(V;K)=\bigwedge^\bullet V^*</math>
이며, <math>V</math>가 유한 차원일 경우
:<math>\dim_K\operatorname H^\bullet(V;K)=\binom{\dim V}\bullet</math>
이다.

기하학적으로, <math>K=\mathbb R</math>라고 하고, 아벨 리 군 <math>\operatorname U(1)^n</math>을 생각하자. 이는 위상수학적으로 <math>n</math>차원 [[원환면]]이며, 그 [[드람 코호몰로지]]는
:<math>\operatorname H^\bullet_{\text{dR}}(\mathbb T^n)\cong\mathbb R^{\binom n\bullet}</math>
이다. 즉, 리 대수 코호몰로지가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]의 드람 코호몰로지와 일치하는 것을 알 수 있다. [[호지 이론]]에 따라, 드람 코호몰로지는 (임의의 [[리만 계량]]을 주었을 때) [[조화 형식]]의 [[벡터 공간]]과 표준적으로 동형이다. 평탄한 [[리만 계량]]을 준 원환면 위의 조화 형식은 평행 이동에 대하여 불변인 것이며, 이는 슈발레-에일렌베르크 공사슬과 표준적으로 대응함을 쉽게 알 수 있다.

=== 코쥘 복합체 ===
{{본문|코쥘 복합체}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math> 및 [[가군 준동형]] <math>\phi\in\hom_{R\text{-Mod}}(M,R)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>을 <math>R</math> 위의 [[아벨 리 대수]]로 여길 수 있으며, 또한 <math>R</math> 위에
:<math>m\cdot r=\phi(m)r</math>
로 정의하여 <math>R</math>를 [[아벨 리 대수]] <math>M</math>의 [[리 대수의 표현|표현]]으로 생각하자. 이 경우, <math>R</math> 계수의 <math>M</math>의 슈발레-에일렌베르크 복합체는 <math>(R,M,\phi)</math>에 대한 [[코쥘 복합체|코쥘 공사슬 복합체]]와 같다. 즉, [[코쥘 복합체]]는 아벨 리 대수의 1차원 표현의 슈발레-에일렌베르크 복합체이다.

=== 2차원 비아벨 리 대수 ===
체 <math>K</math> 위의 유일한 2차원 비아벨 리 대수
:<math>\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y\}</math>
:<math>[x,y]=x</math>
가 주어졌다고 하자. 이는 [[가해 리 대수]]이다. 그렇다면, <math>K</math> 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.
:<math>\delta_1\colon C_1\to C_0</math>
:<math>\delta_1\colon x,y\mapsto0</math>
:<math>\delta_2\colon C_2\to C_1</math>
:<math>\delta_2\colon x\wedge y\mapsto-[x,y]=-x</math>
즉, <math>K</math> 계수의 리 대수 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_0=C_0\cong K</math>
:<math>\operatorname H_1=C_1/\operatorname{im}\delta_2=\operatorname{Span}\{y\}\cong K</math>
:<math>\operatorname H_2=\ker\delta_2=\{0\}</math>
즉, 호몰로지 베티 수는 각각 <math>\dim_K\operatorname H_0=1</math>, <math>\dim_K\operatorname H_1=1</math>, <math>\dim_K\operatorname H_2=0</math>이다. 마찬가지로, 슈발레-에일렌베르크 공사슬 복합체는 다음과 같다.
:<math>d_0\colon C^0\to C^1</math>
:<math>d_0\colon a\mapsto (x,y\mapsto0)</math>
:<math>d_1\colon C^1\to C^2</math>
:<math>d_1\colon (x\mapsto a,\,y\mapsto b)\mapsto(x\wedge y\mapsto -a)</math>
따라서, 코호몰로지의 차원도 <math>\dim_K\operatorname H^0=1</math>, <math>\dim_K\operatorname H^1=1</math>, <math>\dim_K\operatorname H^2=0</math>이다.

=== 3차원 직교 대수 ===
[[3차원 직교군]]의 [[리 대수]] <math>\mathfrak{so}(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)</math>의 리 대수 코호몰로지를 계산해 보자. <math>\mathfrak{so}(3)</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 다음과 같다.
<math>[x,y]=z</math>
:<math>[y,z]=x</math>
:<math>[z,x]=y</math>
따라서, <math>\mathbb R</math> 계수의 슈발레-에일렌베르크 사슬 복합체는 다음과 같다.
:<math>\partial_1\colon C_1\to C_0</math>
:<math>\partial_1\colon x,y,z\mapsto0</math>
:<math>\partial_2\colon C_2\to C_1</math>
:<math>\partial_2\colon x\wedge y\mapsto -[x,y]=-z</math>
:<math>\partial_2\colon y\wedge z\mapsto-[y,z]=-x</math>
:<math>\partial_2\colon z\wedge x\mapsto-[z,x]=-y</math>
:<math>\partial_3\colon C_3\to C_2</math>
:<math>\partial_3\colon x\wedge y\wedge z\mapsto0</math>
따라서, 이 경우
:<math>\dim_{\mathbb R}\operatorname H_0=1</math>
:<math>\dim_{\mathbb R}\operatorname H_1=0</math>
:<math>\dim_{\mathbb R}\operatorname H_2=0</math>
:<math>\dim_{\mathbb R}\operatorname H_3=1</math>
이다. [[리 군]] <math>\operatorname{SU}(2)=\operatorname{Spin}(3)</math>은 3차원 [[초구]] <math>\mathbb S^3</math>와 [[위상 동형]]이며, 위 값들은 3차원 초구의 [[베티 수]]와 일치한다.

== 역사 ==
[[클로드 슈발레]]와 [[사무엘 에일렌베르크]]가 1948년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Chevalley | first1=Claude | 저자링크=클로드 슈발레 | last2=Eilenberg | first2=Samuel | author2-link=사무엘 에일렌베르크 | title=Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras | jstor=1990637 | mr=0024908 | year=1948 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=63 | issue=1 | pages=85–124 | doi=10.2307/1990637 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Lie algebra cohomology}}
* {{nlab|id=nonabelian Lie algebra cohomology|title=Nonabelian Lie algebra cohomology}}
* {{nlab|id=Lie group cohomology}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:호몰로지 대수학]]