{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''합성 대수'''(合成代數, {{llang|en|composition algebra}})는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” [[대수 구조]]이다. 구체적으로, 이는 ([[결합 법칙]]이나 [[교환 법칙]]을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 [[이항 연산]]이 주어져 있으며, 이와 호환되는 ([[양의 정부호]]가 아닐 수 있는) [[비퇴화 쌍선형 형식]] 또는 [[비퇴화 이차 형식]]이 주어진 [[벡터 공간]]으로 구성된다.<ref name="McCrimmon">{{서적 인용|이름=Kevin|성= McCrimmon | 날짜=2004|제목=A Taste of Jordan Algebras|총서=Universitext|출판사=Springer-Verlag|isbn=0-387-95447-3|mr=2014924|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 '''합성 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[가군]] <math>A</math>
* <math>K</math>-[[선형 변환]] <math>A\otimes_KA \to A</math>, <math> a\otimes_K b \mapsto a\star b</math>. (이는 [[결합 법칙]]이나 [[교환 법칙]]을 따를 필요가 없다.)
* <math>\star</math>에 대한 양쪽 항등원 <math>1_A \in A</math>
* <math>A</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q\colon A\to K</math>. (즉, <math>\operatorname{rad}Q = \{a\in A\colon Q(a,A) = 0\} = \{0\}</math>이다.) 또한, 이는 <math>Q(1_A) = 1_K</math> 및 <math>Q(a\star b) = Q(a)Q(b)\qquad\forall a,b\in A</math>를 만족시킨다. (그러나 이 [[이차 형식]]이 [[양의 정부호]]일 필요는 없다.)

(일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)

== 연산 ==
합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다.

=== 내적 ===
합성 대수 <math>A</math> 위에 다음과 같은 [[대칭 쌍선형 형식]]을 정의할 수 있다.
:<math>\langle -,-\rangle \colon A\otimes A \to K</math>
:<math>\langle a,b\rangle = Q(a+b)-Q(a)-Q(b)</math>

만약 [[가환환]] <math>K</math>에서 2가 [[가역원]]이라면, [[비퇴화 이차 형식]]의 개념은 [[비퇴화 쌍선형 형식|비퇴화]] [[대칭 쌍선형 형식]]의 개념과 [[동치]]이며, 이 경우 <Math>Q</math>를 쌍선형 형식으로부터 다음과 같이 재구성할 수 있다.
:<math>Q(a) = \frac12 \langle a,a\rangle</math>
즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.

=== 대각합과 켤레 ===
<math>K</math>-합성 대수 <math>A</math> 위에는 다음과 같은 '''대각합'''이 존재한다.
:<math>\operatorname{tr}a = Q(a+1) - Q(a) - 1 \qquad\forall a\in A</math>
이는 <math>K</math>-선형 변환
:<math>\operatorname{tr}\colon A \to K</math>
을 정의하며, 또한 정의에 따라
:<math>\operatorname{tr}1_A = 2</math>
이다.

대각합으로부터, 다음과 같은 [[대합 (수학)|대합]]을 정의할 수 있다.
:<math>a^* = \operatorname{tr}(a)1_A - a</math>
이는 물론 <math>K</math>-선형 변환
:<math>(-)^* \colon A \to A</math>
를 정의한다.

=== 리 대수 ===
{{본문|미분 리 대수}}
{{본문|삼중성 리 대수}}
{{본문|프로이덴탈 마방진}}
합성 대수 <math>A</math>로부터, '''[[미분 리 대수]]''' <math>\mathfrak{der}(A)</math> 및 이를 포함하는 '''[[삼중성 리 대수]]''' <math>\mathfrak{tri}(A)</math>를 구성할 수 있다. 또한, 합성 대수와 [[요르단 대수]]로부터 '''[[프로이덴탈 마방진]]'''이라는 구성을 통해 예외적 [[단순 리 대수]]를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.

== 성질 ==
<math>K</math>-합성 대수 <math>A</math>는 다음과 같은 항등식들을 따른다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|156–157, §Ⅱ.2.4}}
:<math>\operatorname{tr}(a^*) = \operatorname{tr}a</math>
:<math>1_A^* = 1_A</math>
:<math>Q(a^*) = Q(a)</math>
:<math>a^{**} = a</math>
:<math>a^*\star(a\star b) = a\star(a^*\star b) =(b\star a)\star a^* = (b\star a^*)\star a = Q(a) b</math>
:<math>a\star a - \operatorname{tr}(a)a + Q(a) = 0</math>
:<math>\langle ab,c\rangle = \langle b,a^*c\rangle
=\langle a,cb^*\rangle</math>

== 분류 ==
일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체 <math>K</math> 위에서, 합성 대수의 차원은 1, 2, 4, 또는 8 가운데 하나이며, 이들은 모두 <math>K</math> 위에 [[케일리-딕슨 구성]]을 가하여 얻어진다.

=== 실수체 위의 합성 대수 ===
실수체 <math>\mathbb R</math> 위의 합성 대수는 정확히 7개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
* 실수체 <Math>\mathbb R</math>
* [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>
* [[사원수 대수]] <math>\mathbb H</math>
* [[팔원수]] 대수 <math>\mathbb O</math>
* [[분할복소수]] 대수 <math>\tilde{\mathbb C} = \mathbb R[x]/(x^2 - 1) \cong \mathbb R\oplus\mathbb R</math>
* '''분할 사원수'''({{llang|en|split-quaternion}}) 대수 <math>\tilde{\mathbb H}</math>. 이는 <math>\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math>와 동형이며, 그 제곱 노름은 2×2 행렬의 [[행렬식]]과 같다.
* '''분할 팔원수'''({{llang|en|split-octonion}}) 대수 <math>\tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)</math>

=== 이차 폐체 위의 합성 대수 ===
체 <math>K</math> 위의 [[케일리-딕슨 구성]]은 [[제곱 유군]]에 의하여 분류된다. 따라서, 만약 <math>K</math>가 [[이차 폐체]]일 경우, 각 단계에서 [[케일리-딕슨 구성]]은 유일하다.

따라서, 만약 <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[이차 폐체]]일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다.
* <math>K</math>
* <math>K\oplus K</math>. 만약 <math>K=\mathbb C</math>일 경우, 이는 <math>\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>로 여겨질 수 있다.
* <math>\operatorname{Mat}(K;2)</math> 만약 <math>K=\mathbb C</math>일 경우, 이는 <math>\mathbb H\otimes_{\mathbb R} \mathbb C</math>로 여겨질 수 있다.
* <math>\operatorname{Zorn}(K)</math>. 만약 <math>K=\mathbb C</math>일 경우, 이는 <math>\mathbb O\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>로 여겨질 수 있다.

== 예 ==
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, <math>(K, a\mapsto a^2)</math>는 스스로 위의 1차원 합성 대수를 이룬다. 이는 [[교환 법칙]]과 [[결합 법칙]]을 따른다.

=== 2차원 벡터 공간 ===
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, [[가환환|가환]] <math>K</math>-[[결합 대수]] <math>K\oplus K</math>를 생각하자. 즉, 그 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
:<math>(a,b)+(a',b') = (a+a',b+b')</math>
:<Math>(a,b)(a',b') = (aa',bb')</math>
이 위에 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q(a,b) = ab</math>
을 정의하면, 이는 2차원 <math>K</math>-합성 대수를 이룬다. 이 경우 대각합은
:<math>\operatorname{tr}(a,b) = a+b</math>
이며, [[대칭 쌍선형 형식]]은
:<math>\langle (a,b), (a',b')\rangle = ab' + a'b</math>
이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다.
:<math>(a,b)^* = (b,a)</math>

=== 2×2 행렬 대수 ===
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, 2×2 행렬 대수 <math>\operatorname{Mat}(2;K)</math>를 생각하자. 여기서 <math>Q = \det</math> ([[행렬식]])을 잡으면, <math>(\operatorname{Mat}(2;K),\det)</math>은 [[결합 법칙]]을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 [[교환 법칙]]을 따르지 않는다.

이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 [[대각합]]과 같다. [[쌍선형 형식]]은 다음과 같다.
:<math>
\left\langle \begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
a'&b'\\c'&d'
\end{pmatrix}\right\rangle
= ad' + a'd - bc' - b'c
</math>
[[대합 (수학)|대합]]은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}
d&-b\\-c&a
\end{pmatrix}</math>

<math>\operatorname{Mat}(2;K)</math>는 <math>K</math>-합성 대수 <math>K\oplus K</math>를 [[대각 행렬]]로서 포함한다.

=== 초른 대수 ===
임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌을 때, 8차원 [[벡터 공간]] <math>\operatorname{Zorn}(K) = K^8</math>의 원소를 다음과 같은 형식적 2×2 행렬로 적자.
:<math>\operatorname{Zorn}(K) = \left\{
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix} \colon a,b\in K,\;\mathbf u,\mathbf v\in K^3
\right\}</math>
이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 [[행렬]]의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 [[벡터곱]]에 해당하는 추가 항들이 등장한다.
:<math>
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\star
\begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\
\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb'
\end{bmatrix}</math>
그 위의 [[이차 형식]]은 다음과 같은 “행렬식”이다.
:<math>Q\left(\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}\right)
=\det\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix} =  ab - \mathbf u\cdot\mathbf v</math>
그렇다면, 이는 <math>K</math> 위의 합성 대수를 이루지만, 일반적으로 [[결합 법칙]]이나 [[교환 법칙]]을 따르지 않는다. 이를 <math>K</math>의 '''초른 대수'''({{llang|en|Zorn algebra}})라고 한다.<ref name="McCrimmon"/>{{rp|158–160, Example Ⅱ.2.4.2}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''합성 대수를 이룸의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
:<math>
\begin{aligned}
\det\left(\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\star
\begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}\right)
&=\det\begin{bmatrix}
aa' + \mathbf u\cdot\mathbf v' & a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v' \\
\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u' & \mathbf v\cdot\mathbf u' + bb'
\end{bmatrix} \\
& = 
(aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb')
- (a\mathbf u' + \mathbf ub' + \mathbf v\times\mathbf v') \cdot (\mathbf va' + b\mathbf v' - \mathbf u \times \mathbf u') \\
&= 
(aa'+\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u' + bb')
- (a\mathbf u' + \mathbf ub')\cdot(\mathbf va' + b\mathbf v')
+ (\mathbf u\times\mathbf u') \cdot (\mathbf v\times\mathbf v') \\
&= aa'bb'- ab\mathbf u'\cdot \mathbf v'- a'b' \mathbf u\cdot\mathbf v
+ (\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v') \\
&= (ab - \mathbf u\cdot\mathbf v)(a'b' - \mathbf u'\cdot\mathbf v') \\
&= \left(\det \begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b
\end{bmatrix}\right)
\left(\det \begin{bmatrix}
a'&\mathbf u'\\
\mathbf v'&b'
\end{bmatrix}\right)
\end{aligned}
</math>
여기서 항등식
:<math>(\mathbf u\times\mathbf u')\cdot(\mathbf v\times\mathbf v')
=(\mathbf u\cdot\mathbf v)(\mathbf u'\cdot\mathbf v')
-(\mathbf u\cdot\mathbf v')(\mathbf v\cdot\mathbf u')
</math>
을 사용하였다.
</div></div>
그 항등원은 다음과 같은 “[[단위 행렬]]”이다.
:<math>1_{\operatorname{Zorn}(K)} = \begin{bmatrix}
1_K& \mathbf 0\\
\mathbf 0 & 1_K
\end{bmatrix}</math>
또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “[[대각합]]”이다.
:<math>\operatorname{tr}
\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}
=a+b</math>
그 위의 [[대합 (수학)|대합]]은 다음과 같다.
:<math>\begin{bmatrix}
a&\mathbf u\\
\mathbf v&b\end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix}
b&-\mathbf u\\
-\mathbf v&a
\end{bmatrix}</math>
<math>\operatorname{Zorn}(K)</math>는 <math>K</math>-합성 대수 <math>K\oplus K</math>를 “[[대각 행렬]]”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면 <math>K</math>-합성 대수 <math>\operatorname{Mat}(2;K)</math>를 포함한다.

== 역사 ==
“합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, [[복소수]] <math>z=a+b\mathrm i</math>의 경우, 노름이 곱셈과 호환된다는 조건은 항등식
:<math>(aa'-bb')^2 + (ab'+a'b)^2 = (a^2+b^2)(a'^2+b'^2)</math>
을 정의하며, 마찬가지로 [[분할복소수]] <math>z=a+b\mathrm j</math> (<math>\mathrm j^2=1</math>)의 경우는 항등식
:<math>(aa'+bb')^2 - (ab'+a'b)^2 = (a^2-b^2)(a'^2-b'^2)</math>
을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다.

복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 [[디오판토스]]에게 알려져 있었다.<ref>{{서적 인용|제목=Ἀριθμητικά|저자=Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς|저자링크=디오판토스|날짜=기원후 3세기|언어=grc}}</ref>{{rp|Ⅲ §19}}

[[브라마굽타]]는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 [[분할복소수]]에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다.<ref>{{서적 인용|제목=ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त|저자=ब्रह्मगुप्त|저자링크=브라마굽타|날짜=628|언어=sa}}</ref>

1748년에 [[레온하르트 오일러]]는 [[사원수]]의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐({{llang|da|Ferdinand Degen}})은 [[팔원수]]의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다.

1843년에 [[윌리엄 로언 해밀턴]]은 오일러의 항등식을 사용하여 [[사원수]]의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스({{llang|en|John Thomas Graves}}, 1806~1870)는 [[팔원수]]의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 [[아서 케일리]]는 [[팔원수]]의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수 <math>\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>에 해당하는 대수를 제임스 코클({{llang|en|James Cockle}}, 1819~1895)이 “테사린”({{llang|en|tessarine}})이라는 이름으로 발견하였다.

1919년에 [[레너드 유진 딕슨]]이 [[케일리-딕슨 구성]]을 도입하였으며, 이를 사용하여 [[양의 정부호]] 노름을 갖는, [[실수체]] 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 [[아돌프 후르비츠]]가 [[양의 정부호]] 노름을 갖는, [[실수체]] 위의 합성 대수는 총 네 개(<math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb C</math>, <math>\mathbb H</math>, <math>\mathbb O</math>)가 있다는 사실을 증명하였다.

1931년에 [[막스 초른]]은 [[케일리-딕슨 구성]]을 일반화하여, 분할 팔원수 <Math>\tilde{\mathbb O}</math>의 합성 대수를 구성하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Max|성= Zorn |저자링크=막스 초른|날짜=1931|제목=Alternativkörper und quadratische Systeme|저널=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|권=9|호=3–4|쪽=395–402|doi=10.1007/BF02940661|zbl=0007.05403|jfm=59.0154.01|언어=de}}</ref> 이후 1958년에 [[네이선 제이컵슨]]이 합성 대수의 [[자기 동형군]]을 묘사하였다.<ref>{{저널 인용| first=Nathan | last=Jacobson | authorlink=네이선 제이컵슨 | year=1958 | title=Composition algebras and their automorphisms | journal=Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo | volume=7 | pages=55–80 | zbl=0083.02702 | doi=10.1007/bf02854388|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[프로이덴탈 마방진]]
* [[삼중성 리 대수]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=RealNormedAlgebra|title=Real normed algebra}}
* {{nlab|id=composition algebra|title=Composition algebra}}
* {{nlab|id=normed division algebra|title=Normed division algebra}}

[[분류:합성 대수| ]]
[[분류:비결합대수]]
[[분류:이차 형식]]