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{{미적분학}}

[[적분]]은 [[미적분학]]의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 [[미분]]처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 '''적분표'''는 유용하게 사용된다.

아래의 식들에서 ''C''는 [[적분 상수]]이다.

== 일반적인 적분 규칙 ==
:<math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!</math>
:<math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math>
:<math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math>
:<math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math>
:<math>\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math>
:<math>\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math>

== 적분표 ==
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
* [[유리함수 적분표]]
* [[무리함수 적분표]]
* [[삼각함수 적분표]]
* [[역삼각함수 적분표]]
* [[쌍곡선함수 적분표]]
* [[역쌍곡선함수 적분표]]
* [[지수함수 적분표]]
* [[로그함수 적분표]]
* [[가우스함수 적분표]]

== 간단한 함수의 적분 ==
=== [[유리함수]] ===
*<math>\int a\,dx = ax + C</math>
*<math>\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1</math>
*<math>\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}</math>
*<math>\int {1 \over x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C</math>
*<math>\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| +C</math>
*<math>\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C</math>

=== 무리함수 ===
*<math>\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C</math>
*<math>\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C</math>
*<math>\int {1 \over |x|\sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C</math>

=== [[로그함수]] ===
*<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C</math>
*<math>\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C</math>

=== [[지수함수]] ===
*<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math>
*<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math>

=== [[삼각함수]] ===
*<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C</math>
*<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C</math>
*<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C</math>
*<math>\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C</math>
*<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C</math>
*<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C</math>

*<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C</math>
*<math>\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C</math>
*<math>\int \sin^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx - \sin mx \cos mx)} + C</math>
*<math>\int \cos^2 mx \, dx = {\frac{1}{2m} (mx + \sin mx \cos mx)} + C</math>

*<math> \int \sin^n x \, dx = {-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx} + C</math>
*<math> \int \cos^n x \, dx = {\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \, dx} + C </math>
*<math> \int \sec^n x \, dx = {\frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \sec^{n-2} x \, dx} + C </math>
*<math> \int \csc^n x \, dx = {\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{-(n-1)} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \, dx} + C </math>

=== [[쌍곡선함수]] ===
*<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + C</math>
*<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + C</math>
*<math>\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C</math>
*<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C</math>
*<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C</math>
*<math>\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C</math>

== 정적분 ==
어떤 함수의 적분은 [[원시 함수]]로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다. 다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.

*<math>\int_0^\infty{\sqrt {x}e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math>
*<math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math>

== 외부 링크 ==
* [http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Common_Derivatives_Integrals.pdf Paul's Online Math Notes]
* A. Dieckmann, Table of Integrals: [http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsIndefinite/IndefInt.html Indefinite Integrals] [http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsDefinite/DefInt.html Definite Integrals]
* [https://archive.today/20121030002907/http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-integrals/ Math Major: A Table of Integrals]
* {{웹 인용 | last1=O'Brien | first1=Francis J. Jr. | title=500개의 초등•특수함수 적분표 | url=https://www.scribd.com/document/520961656/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions | 확인날짜=2021-10-03 | archive-date=2021-08-23 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210823140617/https://www.scribd.com/document/520961656/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions | url-status= }}
* [https://rulebasedintegration.org Rule-based Integration]
* {{ArXiv 인용| first1= Richard J. | last1=Mathar | title=Yet another table of integrals | eprint=1207.5845 |year=2012}}
* [http://www.math.tulane.edu/~vhm/Table.html Victor Hugo Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik]
* [http://www.wolframalpha.com/examples/Integrals.html 울프럼 알파의 적분 예시]

{{전거 통제}}

[[분류:적분학| ]]
[[분류:적분]]