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[[미분기하학|기하학]]에서 '''코니폴드'''({{llang|en|conifold}})는 [[다양체]]의 한 일반화로, 다양체와는 다르게 뿔 꼴의 특이점을 가진다. 즉, 어떤 점의 열린 이웃이 뿔처럼 생길 수 있다. [[끈 이론]]에서 코니폴드가 중요한 역할을 한다. 특이점을 가지고 있음에도 불구하고, 이러한 공간 위에서 [[끈 이론]]을 정의할 수 있다. 끈 이론에서는 이러한 특이점에 [[D-막]]이 감겨 있는 것으로 해석하고, 코니폴드 특이점을 통해 위상 수학적으로 서로 다른 두 공간 사이를 매끄럽게 전이할 수 있다.

== 정의 ==
'''코니폴드'''는 국소적으로 뿔 모양의 특이점을 가질 수 있는 [[칼라비-야우 다양체|칼라비-야우]] [[대수다양체]]이다. 이 대수 다양체의 특이점은 두 가지의 방법으로 해소할 수 있다. 하나는 이 대수다양체의 복소 모듈러스를 바꾸는 것으로, 이를 '''변형'''({{lang|en|deformation}})이라고 한다. 다른 하나는 대수 다양체의 특이점을 [[부풀리기|부풀리는]] 것이다. 이를 '''분해'''({{lang|en|resolution}})라고 한다. 6차원 코니폴드의 경우, 코니폴드를 변형시키면 대개 꼭짓점이 3차원 부분공간으로 부풀려지고, 코니폴드를 분해시키면 꼭짓점이 2차원 부분공간으로 부풀려진다.

코니폴드의 변형과 분해는 끈 이론으로 해석할 수 있다. 끈 이론은 특이점에도 불구하고 6차원의 코니폴드에 [[축소화]]할 수 있다. 끈 이론에서, 특이점 주위에 [[D-막]]이 감겨 있음을 알 수 있다. IIA종 끈 이론의 관점에서는 분해된 코니폴드의 2차원 꼭짓점에 D2-막이 감긴 것으로 해석하고, IIB종 끈 이론의 관점에서는 변형된 코니폴드의 3차원 꼭짓점에 D3-막이 감긴 것으로 해석한다.

이와 같이, 변형된 코니폴드에서 꼭짓점의 크기를 0으로 보내고, 이를 분해하여 위상수학적으로 다른 칼라비-야우 다양체를 얻을 수 있다. 이로써 알려진 대부분의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 연관지을 수 있다.<ref>{{저널 인용|bibcode=1988CMaPh.119..431G|doi=10.1007/BF01218081|성=Green|이름=Paul S.|공저자=Tristan Hübsch|저널=Communications In Mathematical Physics|권=119|호=3|쪽=431–441|issn=0010-3616|제목=Connecting moduli spaces of Calabi–Yau threefolds|언어=en}}</ref>

'''코니폴드'''는 다음과 같은 3차원 복소수 [[아핀 대수다양체]]이다.<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|이름2=Melanie|성2=Becker|저자링크3=존 헨리 슈워츠|이름3=John Henry|성3=Schwarz|doi=10.2277/0511254865|제목=String theory and M-theory: a modern introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2013-04-13|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|488–491}}
:<math>X = \operatorname{Spec} \frac{\mathbb C[z_1,z_2,z_3,z_4]}{(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)}</math>
이는 [[칼라비-야우 다양체]]이며, <math>z_1=z_2=z_3=z_4=0</math>에서 2차 특이점({{llang|en|double point}})을 가진다.

대신
:<math>M = \begin{pmatrix}
z_1+\mathrm iz_2 & \mathrm iz_3+z_4 \\
\mathrm iz_3-z_4 & z_1 - \mathrm iz_2
\end{pmatrix}</math>
를 정의하면, 코니폴드를 정의하는 식은
:<math>\det M = z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = 0</math>
인 것이 된다.

== 성질 ==
=== 뿔 구조 ===
이 특이점 근처에서 다음과 같은 국소 좌표계를 도입하자.
:<math>z_i=x_i+iy_i</math>
:<math>\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4</math>
:<math>\mathbf y=(y_1,y_2,y_3,y_4)\in\mathbb R^4</math>
이 좌표로 쓰면 대수다양체를 정의하는 식 <math>\sum_iz_i^2=0</math>은 다음과 같다.
:<math>\Vert\mathbf x\Vert^2-\Vert\mathbf y\Vert^2=\operatorname{Re}\psi</math>
:<math>\mathbf x\cdot\mathbf y=\operatorname{Im}\psi</math>
따라서, <math>\psi=0</math>일 경우, <math>2r=\sqrt{\Vert\mathbf x\Vert^2+\Vert\mathbf y\Vert^2}</math>에 대하여
:<math>\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2</math>
:<math>\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2</math>
:<math>\mathbf x\perp\mathbf y</math>
주어진 <math>r</math>에 대하여, <math>\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2</math>는 반지름이 <math>r</math>인 [[3차원 초구]] S<sup>3</sup>를 정의하고, 주어진 <math>\rho</math>와 <math>\mathbf x</math>에 대하여 <math>\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2</math>은 (<math>\mathbf y</math>는 <math>\mathbf x</math>에 수직이므로) 2차원 구 S<sup>2</sup>를 정의한다. S<sup>3</sup>와 S<sup>2</sup>의 반지름은 둘 다 <math>r</math>이므로, 이는 (위상수학적으로) 밑({{lang|en|base}})이 S<sup>3</sup>×S<sup>2</sup>인 뿔을 정의한다. (정확히 말하면, 이는 S<sup>3</sup> 위의 [[접다발]] TS<sup>3</sup>의 사영화({{lang|en|projectivization}})이지만, S<sup>3</sup>의 접다발은 자명하므로 이는 S<sup>3</sup>×S<sup>2</sup>로 간주할 수 있다.)

=== 대칭 ===
이 (실수6차원) 코니폴드는 실수5차원 [[사사키-아인슈타인 다양체]]에 대한 뿔이다. 이 사사키-아인슈타인 다양체는
:<math>T^{1,1} = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname U(1)}</math>
이며, 여기서 U(1)은 두 SU(2)의 카르탕 부분군 <math>\operatorname U(1)\times\operatorname U(1)</math>의 대각 부분군이다. 이는 위상수학적으로 <math>S^3\times S^2</math>이다. 그 [[등거리변환군]]은 [[SU(2)]]×[[SU(2)]]×[[U(1)]]이다.<ref name="BBS"/>{{rp|489,671}}

구체적으로, 코니폴드를 정의하는 다항식
:<math>\det M = 0</math>
의 일반해는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>M = \begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}</math>
이러한 좌표에서, <math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname U(1)</math>의 작용은
:<math>(g_{\text{L}},g_{\text{R}},\exp(\mathrm i\theta)) \colon \left(\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}\right)
\mapsto \left(
\exp(\mathrm i\theta)g_{\text{L}}\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix},
\exp(\mathrm i\theta)g_{\text{L}}\begin{pmatrix}B_1\\B_2\end{pmatrix}\right)</math>
이다. 

=== 특이점의 해소 ===
이 코니폴드의 특이점은 변형을 통해 <math>S^3</math>로, 또는 분해를 통해 <math>S^2</math>로 해소된다.
:[[파일:3FoldConifoldTransition.pdf|600px]]

==== 코니폴드의 변형 ====
코니폴드의 특이점을 해소하기 위해, 대수다양체를 다음과 같이 변형시키자.
:<math>z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=\psi</math>
여기서 <math>\psi</math>는 복소수인 모듈러스다. 이제, <math>\psi\ne0</math>인 경우를 생각하자. <math>z_i</math>를 재정의하여 <math>\psi</math>가 양의 실수이게 놓을 수 있다. 이제 <math>\psi=2r_0^2</math>라고 놓으면
:<math>\Vert\mathbf x\Vert^2=r^2+r_0^2</math>
:<math>\Vert\mathbf y\Vert^2=r^2-r_0^2</math>
:<math>\mathbf x\perp\mathbf y</math>
이다. 따라서 <math>r\ge r_0</math>임을 알 수 있다. <math>r=r_0</math>에서는 <math>\mathbf y=0</math>이고, <math>\lVert\mathbf x\rVert=\sqrt 2r_0</math>이므로, 특이점이 S<sup>3</sup>로 부풀려진 것을 알 수 있다. 이를 코니폴드의 '''변형'''(變形, {{llang|en|deformation}})이라고 한다.

==== 코니폴드의 분해 ====
특이점을 다른 방법으로 없앨 수도 있다. 대수다양체의 정의식을 다음과 같이 쓰자.
:<math>\det\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}=0</math>
여기에 하나의 좌표 <math>(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2</math>를 추가하자. 여기서 <math>(w_1,w_2)</math>는 <math>\mathbb CP^2</math>의 [[동차좌표]]이다.
:<math>
\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}=0</math>
특이점 <math>z_i=0</math> 밖에서는 행렬
:<math>\begin{pmatrix}
z_1+z_2&i(z_3+z_4)\\
i(z_3-z_4)&z_1-z_2
\end{pmatrix}</math>
가 하나의 교윳값 0의 [[고유벡터]]를 가지므로 <math>(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2</math>는 완전히 결정되고, 이 대수다양체는 원래 코니폴드와 같다. 하지만 원래 특이점 <math>z_i=0</math>에서는 <math>(w_1,w_2)\in\mathbb CP^2</math>는 임의의 값을 가질 수 있다. 따라서 특이점이 매끄러운 <math>\mathbb CP^2</math>로 대체되고, 특이점이 해소된 것을 알 수 있다. 이러한 과정을 코니폴드의 '''분해'''(分解, {{llang|en|resolution}})라고 한다.

== 응용 ==
코니폴드 위에 ⅡB [[초끈 이론]]을 [[축소화]]한 뒤, 코니폴드의 꼭짓점에 <math>N</math>개의 [[D3-막]]을 추가하자. 그렇다면, [[D3-막]]의 세계부피 위에는 3+1차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭 게이지 이론]]이 존재한다. [[AdS/CFT 대응성]]에 의하여, 적절한 극한을 취하면, 이 초끈 이론과 동치인 <math>\mathcal N=1</math> [[초등각 장론]]을 찾을 수 있다. 이를 '''클레바노프-위튼 모형'''({{llang|en|Клебанов–Witten model}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9807080|이름=Igor R.|성=Klebanov|이름2=Edward|성2=Witten|저자링크2=에드워드 위튼|제목=Superconformal field theory on threebranes at a Calabi–Yau singularity|날짜=1998|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0703289|제목=Conifolds and geometric transitions|이름=Rhiannon|성=Gwyn|이름2=Anke|성2=Knauf|날짜=2007|언어=en}}</ref>

구체적으로, 이에 대응하는 4차원 <math>\mathcal N=1</math> 장론은 다음과 같은 [[초장 (물리학)|초장]]을 갖는다.
:{| class="wikitable"
! 종류 !! 기호 !! 맛깔 SU(2)<sub>L</sub> 표현 !! 맛깔 SU(2)<sub>R</sub> 표현 !! 게이지 U(''N'')×U(''N'') 표현
|-
| U(''N'')×U(''N'') 게이지 초장 || <math>V</math> || '''1''' || '''1''' || [[딸림표현]]
|-
| 손지기 초장 || <math>A</math> || '''2''' || '''1''' || ('''''N''''', {{overline|'''''N'''''}})
|-
| 손지기 초장 || <math>B</math> || '''1''' || '''2''' || ({{overline|'''''N'''''}}, '''''N''''')
|}
이 경우, [[초퍼텐셜]]은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>W = \frac12\lambda \epsilon^{ij}\epsilon^{kl} \operatorname{tr} (A_i B_k A_j B_l )</math>
여기서
* <math>\lambda</math>는 고전적으로 [질량]<sup>&minus;1</sup>의 단위를 갖는 [[결합 상수]]이다. 
* <math>\operatorname{tr}</math>은 ''N''×''N'' [[정사각 행렬]]의 [[대각합]]이다.
* <math>\epsilon^{ij}</math>는 2차원 [[레비치비타 기호]]이며, [[SU(2)]]의 표현 <math>\mathbf{2}\otimes\mathbf{2}=\mathbf{3}\oplus\mathbf{1}</math>에서 자명한 표현을 고른다.
이는 음의 단위의 [[결합 상수]]를 가지므로 고전적으로 [[재규격화]]될 수 없지만, 양자역학적으로 이 항은 비정상 차원으로 인하여 사실 경계 연산자({{llang|en|marginal operaor}})를 이룬다. 즉, 이 항을 켜는 것은 등각 장론의 모듈라이 공간 속을 이동하는 것에 해당한다.

특히, 만약 <math>N=1</math>인 경우를 생각하자. 그렇다면, [[페예-일리오풀로스 항]]을 켤 수 있으며, 그 ''D'' [[보조장]]은 다음과 같다.
:<math>|A_1|^2+|A_2|^2-|B_1|^2-|B_2|^2 - \zeta</math>
여기서 <math>\zeta</math>는 페예-일리오풀로스 항의 [[결합 상수]]이다. 페예-일리오풀로스 항을 켜지 않으면, 그 [[모듈라이 (물리학)|모듈라이 공간]]은 코니폴드가 됨을 알 수 있다. 페예-일리오풀로스 항을 켜는 것은 코니폴드의 변형에 해당한다.

{| class=wikitable
|-
! 코니폴드 위의 ⅡB [[초끈 이론]] !! 4차원 <math>\mathcal N=1</math> 초등각 장론
|-
| 꼭짓점 위의 [[D3-막]]의 수 ''N'' || 게이지 군 U(''N'')×U(''N'')의 계수 ''N''
|-
| 코니폴드 (하나의 D3-막의 위치) || <math>N=1</math> 모듈라이 공간
|-
| 코니폴드의 SU(2)×SU(2) 대칭 || <math>A_i</math> 및 <math>B_i</math>의 SU(2)×SU(2) [[맛깔]] 대칭
|-
| 코니폴드의 U(1) 대칭 || [[R대칭]]
|}

== 역사 ==
위상수학적으로 서로 다른 복소수 3차원 [[칼라비-야우 다양체]]들의 모듈러스 공간이 사실 연결되어 있을 수 있다는 가실은 마일스 리드({{llang|en|Miles Reid}})가 1987년에 제안하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1007/BF01458074|issn=0025-5831|이름=Miles|성=Reid|날짜=1987|제목=The moduli space of 3-folds with ''K''=0 may nevertheless be irreducible|언어=en}}</ref> 이후 1988년에 필립 칸델라스({{llang|en|Philip Candelas}}) 등이 코니폴드에 의한 위상 변환의 가능성을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|bibcode=1988NuPhB.298..493C|doi=10.1016/0550-3213(88)90352-5|저널=Nuclear Physics B|제목=Complete intersection Calabi–Yau manifolds|이름=Philip|성=Candelas|이름2=A.M.|성2=Dale|이름3=C.A.|성3=Lütken|이름4=R.|성4=Schimmrigk||날짜=1988|issn=0550-3213|언어=en}}</ref> 곧 당시 알려진 거의 모든 복소3차원 [[칼라비-야우 다양체]]들의 모듈러스 공간들이 코니폴드 변환을 통해 연결되어 있다는 사실이 발견되었다.<ref>{{저널 인용|bibcode=1988CMaPh.119..431G|doi=10.1007/BF01218081|제목=Connecting moduli spaces of Calabi–Yau threefolds|저널=Communications in Mathematical Physics|날짜=1988|이름=Paul S.|성=Green|이름2=Tristan|성2=Hübsch|언어=en}}</ref>

‘코니폴드’({{llang|en|conifold}})라는 이름은 {{llang|en|cone|콘}}(뿔)과 {{llang|en|manifold|매니폴드}}(다양체)를 합성한 단어이며, 1990년에 최초로 사용되었다.<ref>{{저널 인용|저널=Nuclear Physics B|제목=Rolling among Calabi–Yau vacua|저널=Nuclear Physics B|권=330|호=1|날짜=1990-01-22|쪽=49–102|doi=10.1016/0550-3213(90)90302-T|bibcode=1990NuPhB.330...49C|이름=Philip|성=Candelas|이름2=Paul S.|성2= Green|이름3= Tristan|성3= Hübsch|언어=en|issn=0550-3213}}</ref> [[앤드루 스트로민저]] 등이 1995년에 이를 [[D-막]]을 통해 해석하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9504090|doi=10.1016/0550-3213(95)00287-3|bibcode=1995NuPhB.451...96S|제목=Massless black holes and conifolds in string theory|이름=Andrew|성=Strominger|저자링크=앤드루 스트로민저|저널=Nuclear Physics B|권=451|호=1–2|쪽=96–108|날짜=1995-09-25|issn=0550-3213|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9504145|doi=10.1016/0550-3213(95)00371-X|bibcode=1995NuPhB.451..109G|언어=en|issn=0550-3213|이름=Brian R.|성=Greene|저자링크=브라이언 그린|저널=Nuclear Physics B|제목=Black hole condensation and the unification of string vacua|공저자=David R. Morrison, [[앤드루 스트로민저|Andrew Strominger]]|권=451|호=1–2|날짜=1995-09-25|쪽=109–120|issn=0550-3213}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=conifold transition|title=Conifold transition}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:특이점 이론]]