{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''덮개'''({{llang|en|cover}})는 주어진 대상의, 특정 조건을 만족시키는 "가장 가까운" 근사이며, 이는 [[동형 사상]] 아래 유일하다. 특히, 주어진 대상을 [[사영 대상]]으로 근사하는 '''사영 덮개'''({{llang|en|projective cover}})의 개념이 자주 사용된다. 그 쌍대 개념은 '''껍질'''({{llang|en|envelope, hull}})이며, 특히 주어진 대상을 [[단사 대상]]으로 근사하는 '''단사 껍질'''({{llang|en|injective envelope, injective hull}})의 개념이 자주 사용된다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 <math>\mathfrak X</math>-'''덮개'''는 다음 세 조건들을 만족시키는 [[사상 (수학)|사상]] <math>f\colon\tilde X\to X</math>이다.
* <math>\tilde X\in\mathfrak X</math>
* 임의의 대상 <math>Y\in\mathfrak X</math> 및 사상 <math>g\colon Y\to X</math>에 대하여, 항상 <math>f\circ\tilde g=g</math>가 되는 사상 <math>\tilde g\colon Y\to\tilde X</math>가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다.) 즉, <math>\mathfrak X</math>의 모든 원소는 <math>\{f\}</math>-[[사영 대상]]이다.
*:<math>\begin{matrix}
&Y\\
\scriptstyle\exists\!\!\!\!\!\!&\downarrow&\searrow\\
&\tilde X&\to&X
\end{matrix}
</math>
* 임의의 [[자기 사상]] <math>g\colon\tilde X\to\tilde X</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ g=f</math>라면 <math>g</math>는 [[자기 동형 사상]]이다.
만약 마지만 조건을 생략할 경우, '''준덮개'''(準-, {{llang|en|precover}})의 개념을 얻는다.

그 쌍대 개념은 <math>\mathfrak X</math>-'''껍질'''({{llang|en|<math>\mathfrak X</math>-envelope, <math>\mathfrak X</math>-hull}})이라고 한다.

특히, 다음과 같은 경우가 흔히 쓰인다.
* 만약 <math>\mathfrak X</math>가 [[사영 대상]]들의 모임일 경우, <math>\mathfrak X</math>-덮개를 '''사영 덮개'''({{llang|en|projective cover}})라고 한다.
* 만약 <math>\mathfrak X</math>가 [[단사 대상]]들의 모임일 경우, <math>\mathfrak X</math>-껍질을 '''단사 껍질'''({{llang|en|injective envelope}})이라고 한다.
* 만약 <math>\mathcal C</math>가 어떤 [[가군]] 범주이며, <math>\mathfrak X</math>가 [[평탄 가군]]들의 모임일 경우, <math>\mathfrak X</math>-덮개를 '''평탄 덮개'''({{llang|en|flat cover}})라고 한다.
* 만약 <math>\mathcal C</math>가 어떤 [[가군]] 범주이며, <math>\mathfrak X</math>가 [[꼬임 없는 가군]]들의 모임일 경우, <math>\mathfrak X</math>-덮개를 '''꼬임 없는 덮개'''({{llang|en|torsion-free cover}})라고 한다.

== 성질 ==
<math>\mathfrak X</math>-덮개는 항상 [[동형 사상]] 아래 유일하다. (그러나 이 [[동형 사상]]은 유일하지 않을 수 있다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:
<div class="mw-collapsible-content">
대상 <math>A</math>의 두 <math>\mathfrak X</math>-준덮개 <math>f\colon\tilde A\to A</math>, <math>f'\colon\tilde A'\to A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak X</math>-준덮개의 성질에 의하여 <math>f\circ i=f'</math>이자 <math>f'\circ i'=f</math>가 되는 <math>i\colon\tilde A'\to\tilde A</math> 및 <math>i'\colon\tilde A\to\tilde A</math>가 존재한다.

만약 <math>f</math>, <math>f'</math>이 추가로 <math>\mathfrak X</math>-덮개라면, <math>f\circ f'</math> 및 <math>f'\circ f</math>는 [[자기 동형 사상]]이며, 따라서 <math>f</math>와 <math>f'</math> 역시 [[동형 사상]]이다.
</div>
</div>

[[사영 대상을 충분히 가지는 범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[사영 대상]] <math>P\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>f\colon P\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Xu">{{서적 인용|제목=Flat covers of modules|doi=10.1007/BFb0094173|이름=Jinzhong|성=Xu|출판사=Springer-Verlag|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1634|issn=0075-8434|날짜=1996|mr= 1438789|언어=en}}</ref>{{rp|15, Theorem 1.2.12}}
* <math>f</math>는 [[사영 대상]]에 대한 덮개이다.
* <math>f</math>는 [[잉여적 전사 사상]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
'''덮개 → 잉여적 전사:''' 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
* (a): <math>f</math>는 [[전사 사상]]이다.
* (b): 임의의 사상 <math>g\colon B\to P</math>에 대하여, <math>f\circ g\colon B\to A</math>가 [[전사 사상]]이라면 <math>g</math> 역시 [[전사 사상]]이다.
(a): [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이므로, [[사영 대상]] <math>P'</math> 및 [[전사 사상]] <math>f'\colon P'\to A</math>를 찾을 수 있다. 그렇다면, 준덮개의 정의에 의하여 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 사상 <math>g\colon P'\to P</math>를 찾을 수 있다.
:<math>
\begin{matrix}
P'&\overset{f'}\to&A\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\|\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}</math>
<math>f'=f\circ g</math>가 [[전사 사상]]이므로, [[전사 사상]]의 성질에 의하여 <math>f</math> 역시 [[전사 사상]]이다.
<br>
(b): <math>f\circ g</math>가 [[전사 사상]]이라고 하자. [[사영 대상]]의 정의에 의하여, 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 <math>h\colon P\to B</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
B&\overset h\leftarrow&P\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}
</math>
덮개의 정의에 의하여, <math>g\circ h\colon P\to P</math>는 [[자기 동형 사상]]이며, 따라서 <math>g</math>는 [[전사 사상]]이다.

'''잉여적 전사 → 덮개:''' [[사영 대상]] <math>P</math> 및 [[잉여적 전사 사상]] <math>f\colon P\to A</math>가 주어졌다고 하자. 다음 두 조건을 증명하면 족하다.
* (a) 준덮개이다.
* (b) 덮개이다.
(a): <math>f</math>는 [[전사 사상]]이므로, [[사영 대상]]의 정의에 의하여 자명하게 참이다.
<br>
(b): 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 [[자기 사상]] <math>g\colon P\to P</math>가 주어졌다고 하자.
:<math>
\begin{matrix}
P&\overset f\to&A\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\|\\
P&\underset f\to&A
\end{matrix}</math>
그렇다면, <math>f\circ g=f</math>가 [[전사 사상]]이므로 [[잉여적 전사 사상]]의 정의에 의하여 <math>g</math> 역시 [[전사 사상]]이다. [[공역]]이 [[사영 대상]]인 [[전사 사상]]은 항상 [[분할 전사 사상]]이므로, <math>g</math>는 오른쪽 역사상 <math>h\colon P\to P</math>, <math>g\circ h=\operatorname{id}_P</math>를 가지며, <math>h</math>는 [[단사 사상]]이다.
:<math>
\begin{matrix}
P&\overset h\to&P\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle g\\
P&\underset{\operatorname{id}}\to&P
\end{matrix}</math>
그렇다면, <math>f\circ h=f\circ g\circ h=f</math>이므로, [[잉여적 전사 사상]]의 정의에 의하여 <math>h</math> 역시 [[전사 사상]]이다. <math>h</math>는 [[단사 사상]]이자 [[분할 전사 사상]]이므로 [[동형 사상]]이며, 따라서 <math>g</math> 역시 [[동형 사상]]이다.
</div></div>
마찬가지로, [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]] <math>\mathcal C</math>의 단사 대상 <math>Q\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>f\colon A\to Q</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Xu"/>{{rp|14, Theorem 1.2.11}}
* <math>f</math>는 [[단사 대상]]에 대한 덮개이다.
* <math>f</math>는 [[본질적 단사 사상]]이다.
특히, [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> 또는 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>는 둘 다 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이자 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이므로, 위 두 정리가 성립한다.

=== 존재 ===
[[단사 대상을 충분히 가지는]] [[쌍대 완비 범주|쌍대 완비]] [[AB5 아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>의 모든 대상은 항상 단사 껍질을 갖는다. 마찬가지로, [[사영 대상을 충분히 가지는]] [[완비 범주|완비]] [[AB5 아벨 범주|AB5* 아벨 범주]] <math>\mathcal A^{\operatorname{op}}</math>의 모든 대상은 항상 사영 덮개를 갖는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math>의 임의의 대상 <math>_RM\in {}_R\operatorname{Mod}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>M</math>은 항상 단사 껍질을 갖는다.
* <math>M</math>은 항상 평탄 덮개를 갖는다.<ref name="BEBE"/>
* 만약 <math>R</math>가 [[왼쪽 완전환]]이라면, <math>M</math>은 항상 사영 껍질을 갖는다. (그러나 임의의 환 위의 가군에 대하여, 사영 껍질은 일반적으로 존재하지 않을 수 있다.)
* <math>M</math>은 항상 [[꼬임 없는 가군|꼬임 없는]] 덮개를 갖는다.<ref>{{서적 인용|이름=Paul C.|성=Eklof|이름2=Alan H.|성2=Mekler|제목=Almost free modules: set-theoretic methods|총서=North-Holland Mathematical Library|권=65|출판사=North-Holland|isbn=978-0-444-50492-0|날짜=2002-04-29|판=2|issn=0924-6509|doi=10.1016/S0924-6509(02)80001-0|언어=en}}</ref>{{rp|511, Example XVI.2.11}}<ref name="Xu"/>{{rp|17, Theorem 1.3.2}}<ref name="Enochs63"/> 여기서 [[꼬임 없는 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>은 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}_1^R(R/rR,M)=0</math>을 만족시키는 [[왼쪽 가군]]이다.

=== 부자연성 ===
범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이며, 모든 대상이 사영 덮개를 가진다.
* [[생성 대상]]을 갖는다.
* [[사영 대상]]이 아닌 대상이 존재한다.
그렇다면, 다음과 같은 조건들을 만족시키는 [[자기 함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> 및 [[자연 변환]] <math>\eta\colon F\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal C}</math>가 존재할 수 없다.<ref>{{저널 인용|제목=Injective hulls are not natural|이름=Jiří|성=Adámek|이름2=Horst|성2=Herrlich|이름3=Jiří|성3=Rosický|이름4=Walter|성4=Tholen|저널=Algebra Universalis|날짜=2002-12|권=48|호=4|url=http://www.math.yorku.ca/~tholen/article.ps|issn=0002-5240|doi=10.1007/s000120200006|언어=en}}</ref>
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>F(X)</math>는 [[사영 대상]]이다.
* <math>\eta</math>의 모든 성분 <math>\eta_X\colon F(X)\to X</math>는 사영 덮개를 이룬다.

특히, 임의의 환 <math>R</math>에 대하여, [[왼쪽 가군]] [[범주 (수학)|범주]] <math>_R\operatorname{Mod}</math>는 항상 [[쌍대 생성 대상]]을 가지므로 위 정리가 적용된다. 즉, 모든 [[왼쪽 가군]]이 [[단사 가군]]이거나, 아니면 단사 껍질은 [[자연 변환]]의 성분이 될 수 없다. 마찬가지로, [[왼쪽 가군]] [[범주 (수학)|범주]] <math>_R\operatorname{Mod}</math>에서 <math>_RR</math>는 [[생성 대상]]을 이룬다. 만약 추가로 <math>R</math>가 [[왼쪽 완전환]]이라고 하면, 항상 사영 덮개가 존재하지만, 만약 [[사영 왼쪽 가군]]이 아닌 [[왼쪽 가군]]이 존재한다면, 위 정리에 따라서 사영 덮개는 [[자연 변환]]의 성분이 될 수 없다.

== 예 ==
자명한 경우로, 만약 범주 <math>\mathcal C</math>에서 대상 모임 <math>\mathfrak X</math>가 주어졌을 때, 대상 <math>X\in\mathfrak X</math>의 <math>\mathfrak X</math>-덮개의 개념은 <math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 [[동형 사상]]의 개념과 같으며, <math>\mathfrak X</math>-껍질의 개념은 <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하는 [[동형 사상]]의 개념과 같다.

== 역사 ==
단사 껍질의 개념은 1953년에 베노 에크만({{llang|de|Beno Eckmann}})과 안드레아스 쇼프({{llang|de|Andreas Schopf}})가 도입하였고, 같은 논문에서 이들은 모든 가군이 유일한 단사 껍질을 가짐을 증명하였다.<ref name="ES">{{저널 인용|날짜=1953|제목=Über injective Moduln | doi=10.1007/BF01899665 |mr=0055978 | journal=Archiv der Mathematik | issn=0003-9268 | volume=4 | pages=75–78 | issue=2 | 이름=Beno |성=Eckman|이름2=Andreas|성2=Schopf|언어=de}}</ref> "단사 껍질"({{llang|en|injective hull}})이라는 용어는 1958년에 최초로 사용되었다.<ref>{{저널 인용| last=Matlis | first=Eben | title=Injective modules over Noetherian rings |mr=0099360 | 날짜=1958-05 | journal=Pacific Journal of Mathematics | issn=0030-8730 | volume=8 | 호=3 | pages=511–528 | doi=10.2140/pjm.1958.8.511 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Finiteness of the injective hull|날짜=1959|이름=Alex|성=Rosenberg|이름2=Daniel|성2=Zelinsky|저널=Mathematische Zeitschrift|권=70|호=1|쪽=372–380|doi=10.1007/BF01558598|issn=0025-5874|언어=en}}</ref>
그 쌍대 개념인 사영 덮개의 개념은 1960년에 [[하이먼 배스]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|last=Bass|first=Hyman|저자링크=하이먼 배스|title=Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings|doi=10.1090/S0002-9947-1960-0157984-8|jstor=1993568|mr=0157984|year=1960|journal=Transactions of the American Mathematical Society|issn=0002-9947|volume=95|issue=3|pages=466–488|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Bass’s work in ring theory and projective modules|이름=T. Y.|성=Lam|저자링크=람짓윈|arxiv=math/0002217|bibcode=2000math......2217L|제목=Algebra, ''K''-theory, groups, and education on the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday|editor1-first=L. Y.|editor1-last=Lam|editor1-link=람짓윈|editor2-first=A. R.|editor2-last=Magid|총서=Contemporary Mathematics|권=243|쪽=83–124|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-1087-3|doi=10.1090/conm/243/03688|mr=1732042|날짜=1999|언어=en}}</ref>{{rp|§5}}
꼬임 없는 덮개의 개념은 1963년에 에드거 얼 이넉스({{llang|en|Edgar Earle Enochs}})가 도입하였다.<ref name="Enochs63">{{저널 인용|날짜=1963-12|제목=Torsion free covering modules|이름=Edgar Earle|성=Enochs|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=14|호=6|issn=0002-9939|mr=0168617|쪽=884–889|언어=en}}</ref>

일반적인 범주에서의 덮개의 개념은 이넉스가 1981년 논문에서 도입하였다.<ref name="Enochs">{{저널 인용|이름=Edgar Earle|성=Enochs|제목=Injective and flat covers, envelopes and resolvents|저널=Israel Journal of Mathematics|권=39|호=3|날짜=1981|쪽=189–209|doi=10.1007/BF02760849|issn=0021-2172|mr=636889|언어=en}}</ref> 이 논문에서 이넉스는 모든 가군이 평탄 덮개를 가진다고 추측하였고,<ref name="Enochs"/>{{rp|191}} 이 추측은 2001년에 증명되었다.<ref name="BEBE">{{저널 인용
   |last1=Bican |first1=Ladislav
   |last2=El Bashir |first2=Robert
   |last3=Enochs |first3=Edgar Earle
   |title=All modules have flat covers
   |journal=Bulletin of the London Mathematical Society
   |volume=33
   |year=2001
   |number=4
   |pages=385–390
   |issn=0024-6093
   |mr=1832549
   |doi=10.1017/S0024609301008104 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Flat cover}}
* {{nlab|id=projective cover|title=Projective cover}}
* {{nlab|id=injective hull|title=Injective hull}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:범주론]]
[[분류:가군론]]