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[[수학]]에서 [[모듈러 형식]]은 [[복소해석학]] 및 [[정수론]]에서 중요한 [[상반평면]]에 있는 특정 복소 [[해석 함수]]이다. 소수 <math>p</math>를 법으로 환산하면 복소 모듈러 형식의 고전 이론과 모듈러 형식의 ''<math>p</math>''-진 이론에 대한 비슷한 이론이 있다.

== 법 2로 모듈러 형식 축소 ==
=== 법 2로 줄이기 위한 조건 ===
[[모듈러 형식]]은 해석 함수이므로 [[푸리에 급수]] 표현을 갖는다. 모듈러 형식도 [[모듈러 군]]의 [[군의 작용|군 작용]]에 대한 [[함수 방정식]]을 만족하므로 이 푸리에 급수는 항 <math>q=e^{2 \pi i z}</math>으로 표현될 수 있다. 그래서 만약 <math>f</math>가 모듈러 형식이면 <math>f(z) = \sum_{n \in \mathbb{N}} c(n)q^n</math>이 성립하는 계수들 <math>\{c(n)\}</math>이 있다. 모듈러 형식들 가운데 <math>q</math>-급수의 계수가 모두 정수인 경우만 모은 모듈러 형식 공간의 부분 공간을 고려하자. 그러면 모든 계수를 법 2로 줄이는 것이 가능하며, 이는 법 2로 축소한 모듈러 형식을 제공한다.

=== 법 2 모듈러 형식의 기저 ===
모듈러 형식은 <math>G_2</math>, <math>G_3</math>로 생성된다.<ref>{{서적 인용|url=https://wstein.org/books/modform/modform/index.html|제목=Modular Forms, a Computational Approach|성=Stein|이름=William|날짜=2007|출판사=Graduate Studies in Mathematics|쪽기타=Theorem 2.17|isbn=978-0-8218-3960-7}}</ref> 그러면 <math>G_2</math>, <math>G_3</math>를 <math>q</math> -급수의 계수가 모두 정수인 <math>E_2</math>, <math>E_3</math>로 정규화 할 수 있다.  이것은 법 2로 축소될 수 있는 모듈러 형식들의 생성원이다. 밀러 기저에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있다.<ref>{{서적 인용|url=https://wstein.org/books/modform/modform/index.html|제목=Modular Forms, a Computational Approach|성=Stein|이름=William|날짜=2007|출판사=Graduate Studies in Mathematics|쪽기타=Lemma 2.20|isbn=978-0-8218-3960-7}}</ref> 일단 법 2를 줄이면, <math>E_2</math>와 <math>E_3</math>는 그냥 <math>1</math>이다. 즉, 자명한 축소이다. 자명하지 않은 축소를 얻기 위해 수학자들은 모듈러 판별식 <math>\Delta</math>을 사용한다. <math>\Delta</math>는 <math>E_2</math>와 <math>E_3</math> 이전에 "선험적인" 생성원으로 도입되었다. 따라서 모듈러 형식은 <math>E_2</math>, <math>E_3</math>, <math>\Delta</math>의 다항식으로 여겨진다. (일반적으로 <math>\mathbb{C}</math> 위에서이지만, 축소를 위해 정수 <math>\mathbb{Z}</math>를 통해 볼 수 있다.) 일단 법 2로 축소하면  <math>\mathbb{F}_2</math>위에서 <math>\Delta</math>의 다항식이 된다.

=== 법 2 모듈러 판별식 ===
모듈러 판별식은 무한 곱

: <math>
\Delta(q) = q \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^\infty \tau(n)q^n.
</math>

으로 정의된다. 이 무한곱의 <math>q</math>-급수 형태에서 계수는 일반적으로 [[라마누잔 타우 함수]] <math>\tau</math>에 해당한다. 콜베르그<ref>{{저널 인용|제목=Congruences for Ramanujan's function <math>\tau (n)</math>|저널=Årbok for Universitetet i Bergen Matematisk-naturvitenskapelig Serie|성=Kolberg|이름=O.|날짜=1962|호=11|mr=0158873}}</ref>와 장-피에르 세르<ref>{{서적 인용|제목=A course in arithmetic|성=Serre|이름=Jean-Pierre|날짜=1973|출판사=Springer-Verlag, New York-Heidelberg|쪽=96|isbn=978-1-4684-9884-4}}</ref>의 결과는 <math> \Delta(q) \equiv \sum_{m=0}^{\infty} q^{(2m+1)^2} \bmod 2</math> 임을 보여준다. 즉, 2를 법으로 <math>\Delta</math>의 <math>q</math> -급수는 <math>q</math> 홀수 제곱의 거듭제곱에.

== 법 2 헤케 연산자 ==
헤케 연산자는 일반적으로 모듈러 형식에서 작동하는 가장 중요한 연산자로 여겨진다. 따라서 이를 법 2로 줄이려는 시도는 정당하다.

모듈러 형식 <math>f</math>의 헤케 연산자들은 다음과 같이 정의된다:<ref name="auto"/> <math>n \in \N</math>에 대해<math>T_nf(z) = n^{2k-1}\sum_{a \geq 1,\, ad=n,\, 0 \leq b < d} d^{-2k}f \left( \frac{az+b}{d} \right)</math> .

헤케 연산자는 다음과 같이 <math>q</math>-급수 위에서 정의할 수 있다:<ref name="auto">{{서적 인용|제목=A course in arithmetic|성=Serre|이름=Jean-Pierre|날짜=1973|출판사=Springer-Verlag, New York-Heidelberg|쪽=100|isbn=978-1-4684-9884-4}}</ref> <math>f(z) = \sum_{n \in \Z} c(n)q^n</math>이면, <math>T_nf(z) = \sum_{m \in \Z} \gamma(m)q^m</math>, 여기서

<math>\gamma(z) = \sum_{a | (n,m),\, a \geq 1} a^{2k-1} c\left( \frac{mn}{a^2} \right).</math>

모듈러 형식이 <math>q</math>-급수을 사용하여 축소되었기 때문에, <math>q</math>-급수 정의를 채택하는 것은 의미가 있다.  이 합은 소수 헤케 연산자(즉, <math>m</math>이 소수일 때)이 많이 단순화 하기 때문에(더하는 항이 2개뿐이다.), 이는 법 2로 축소에 하기 아주 좋다. 더하는 항이 3개 이상인 경우 법 2로 많은 상쇄가 발생하며 과정의 유의미성이 의심될 수 있다. 따라서 법 2 헤케 연산자는 일반적으로 소수에 대해서만 정의한다.

<math>q</math> -표현 <math>f(q) = \sum_{n \in \N} c(n)q^n</math>을 가진 법 2 모듈러 형식 <math>f</math>에 대해, <math>f</math> 위의 헤케 연산자 <math>T_p</math>는 <math>\overline{T_p}|f(q) = \sum_{n \in \N} \gamma(n)q^n</math>로 정의된다. 여기서

: <math>
\gamma(n) = \begin{cases}
 c(np)    & \text{ if } p \nmid n \\
 c(np)+c(n/p) & \text{ if } p \mid n
\end{cases} \quad \text{ and } p \text{ an odd prime}.
</math>

법 2 헤케 연산자는 영인자를 가지고 있다는 흥미로운 성질에 유의하는 것이 중요하다. 영인자의 위수를 찾는 것은 장-피에르 세르와 장-루이 니콜라가 2012년에 발표한 논문에서 해결한 문제이다.<ref>{{저널 인용|제목=Formes modulaires modulo 2: l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke|저널=Comptes Rendus Mathématique|성=Nicolas|이름=Jean-Louis|성2=Serre|이름2=Jean-Pierre|날짜=2012|권=350|호=7–8|쪽=343–348|arxiv=1204.1036|bibcode=2012arXiv1204.1036N|doi=10.1016/j.crma.2012.03.013|issn=1631-073X}}</ref>

== 법 2 헤케 대수 ==
헤케 대수는 법 2로 축소될 수도 있다. 그것은 <math>\mathbb{F}_2</math> 위에서 법 2 헤케 연산자에 의해 생성된 대수로 정의된다.

<ref name="auto1"/>에서 세르와 니콜라의 표기법에 따라 <math>\mathcal{F} = \left\langle \Delta^k \mid k \text{ odd} \right\rangle</math>, 즉 <math>\mathcal{F} = \left\langle \Delta, \Delta^3, \Delta^5, \Delta^7, \Delta^9, \dots \right\rangle</math>.  <math>\dim(\mathcal{F}(n)) = n</math> 이도록<math>\mathcal{F}(n) = \left\langle \Delta, \Delta^3, \Delta^5, \dots, \Delta^{2n-1} \right\rangle</math>로 쓰면서, 주어진 <math>\mathbb{F}_2</math> 그리고 <math>T_p</math>애 대해 <math>A(n)</math>를 <math>\text{End}\left(\mathcal{F}(n)\right)</math>의 <math>\mathbb{F}_2</math>-부분 대수로 정의한다.

즉, 만약 <math>\mathfrak{m}(n) = \{T_{p_1} \cdot T_{p_2} \cdots T_{p_k} \mid p_1, p_2, \dots, p_k \in \mathbb{P}, k\geq 1\}</math> 이 <math>\mathcal{F}</math>의 부분 선형 공간이면, <math>A(n) = \mathbb{F}_2 \oplus \mathfrak{m}(n)</math>.

마지막으로 헤케 대수 <math>A</math>를 다음과 같이 정의한다: <math>\mathcal{F}(n) \subset \mathcal{F}(n+1)</math>이므로, <math>A(n)</math>의 원소를 얻기 위해 <math>A(n+1)</math>의 원소를 <math>\mathcal{F}</math>로 제한할 수 있다. 사상 <math>\phi_n: A(n+1) \to A(n)</math>을  <math>\mathcal{F}(n)</math>에 대한 제한으로 생각할 때, <math>\phi_n</math>는 준동형사상이다. <math>A(1)</math>이 항등원 또는 0이므로 <math>A(1) \cong \mathbb{F}_2</math>이다. 따라서 사슬<math>\dots \to A(n+1) \to A(n) \to A(n-1) \to \dots \to A(2) \to A(1) \cong \mathbb{F}_2</math> 을 얻는다. 그런 다음 헤케 대수 <math>A</math>를 <math>n \to \infty</math>일 때 <math>A(n)</math>위의 사영 극한으로 정의하자. 명시적으로 이것은<math>A = \varprojlim_{n \in \N} A(n) = \left\lbrace T_{p_1} \cdot T_{p_2} \cdots T_{p_k} | p_1, p_2, \dots, p_k \in \mathbb{P}, k\geq 0 \right\rbrace</math>을 의미한다.

헤케 대수 <math>A</math>의 주요 성질은 이 대수가 <math>T_3</math>와 <math>T_5</math>의 급수로 생성된다는 것이다.<ref name="auto1">{{저널 인용|제목=Formes modulaires modulo 2: structure de l'algèbre de Hecke|저널=Comptes Rendus Mathématique|성=Nicolas|이름=Jean-Louis|성2=Serre|이름2=Jean-Pierre|날짜=2012|권=350|호=9–10|쪽=449–454|arxiv=1204.1039|bibcode=2012arXiv1204.1039N|doi=10.1016/j.crma.2012.03.019|issn=1631-073X}}</ref> 즉, <math>
A = \mathbb{F}_2\left[ T_p \mid p \in \mathbb{P} \right]
 = \mathbb{F}_2 \left[\left[ T_3, T_5 \right]\right]
</math>.

따라서 임의의 소수 <math>p \in \mathbb{P}</math>에 대해, <math>T_p = \sum_{i+j \geq 1} a_{ij}(p) T_3^iT_5^j</math>이 성립하는 계수 <math>a_{ij}(p) \in \mathbb{F}_2</math>를 찾을 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:모듈러 형식]]