{{위키데이터 속성 추적}}
{{기계 번역|날짜=2020-04-20}}
[[통계학|통계]] 및 [[계량경제학]], 특히 [[시계열|시계열분석]]에서 '''자동회귀누적이동평균(ARIMA : Autoregressive integrated moving average)''' [[수학적 모델|모델]]은 자동회귀이동평균(ARMA : Autoregressive moving average) 모델의 일반화이다. 이 두 모델은 [[시계열]] 데이터를 더 잘 이해하거나 미래 지점을 예상(예측)하기에 적합하다. 자기 회귀 누적 이동 평균 모델은 데이터가 [[정상 과정|비정상성]]이 [[정상 과정|아닌]] 증거를 나타내는 경우에 적용되며, 초기 차분 단계(모델의 "통합된" 부분에 해당)를 한 번 이상 적용하여 비정상성을 제거할 수 있다.<ref>For further information on Stationarity and Differencing see https://www.otexts.org/fpp/8/1</ref>

ARIMA의 AR 부분은 진화하는 관심 변수가 시차(즉, 이전) 값으로 [[선형 회귀|회귀]]됨을 나타낸다. MA 부분은 회귀 오류가 실제로 과거 여러 시간에 동시에 발생한 오류 항의 [[선형 결합|선형 조합]]임을 나타낸다. "I"( "누적"의 경우)는 데이터 값이 해당 값과 이전 값의 차이로 바뀌 었음을 나타낸다. (이 차분 프로세스는 두 번 이상 수행되었을 수 있음.) 이러한 각 기능의 목적은 모델이 가능한 한 데이터에 적합하도록 만드는 것이다.

비계절성 ARIMA 모델은 일반적으로 {{수학|ARIMA ( ''p'', ''d'', ''q'' )}}로 표시되며, 여기서 [[매개변수]] ''p'', ''d'' 및 ''q''는 음이 아닌 정수이고, ''p''는 자기회귀 모델의 차수([[시간지연|시간 지연]] 수)이다. ''d''는 차분 차수(데이터가 과거 값을 뺀 횟수)이며 ''q''는 이동 평균 모델의 순서다. 계절성 ARIMA 모델은 일반적으로 {{수학|ARIMA ( ''p'', ''d'', ''q'' ) ( ''P'', ''D'', ''Q'' ) <sub>''m''</sub>}}으로 표시되며, 여기서 ''m'' 은 각 계절의 기간을 나타내며 대문자 ''P'', ''D'', ''Q''는 자기회귀, 차분, ARIMA 모델의 계절성에 대한 이동평균 항을 뜻한다.<ref>{{웹 인용|url=https://support.sas.com/documentation/cdl/en/etsug/63939/HTML/default/viewer.htm#etsug_tffordet_sect016.htm|제목=Notation for ARIMA Models|웹사이트=Time Series Forecasting System|출판사=SAS Institute|확인날짜=19 May 2015}}</ref><ref>{{서적 인용|url=https://www.otexts.org/fpp/8/9|제목=8.9 Seasonal ARIMA models|성=Hyndman|이름=Rob J|성2=Athanasopoulos|이름2=George|출판사=oTexts|확인날짜=19 May 2015}}</ref>

3개의 항 중 2개가 0인 경우 모델을 나타내는 약어에서 "AR", "I"또는 "MA"를 삭제하여 0이 아닌 매개 변수를 기준으로 모델을 나타낼 수 있다. 예를 들어 <math>\text{ARIMA} (1,0,0)</math>은 <math>\text{AR} (1)</math>, <math>\text{ARIMA} (0,1,0)</math>은 <math>\text{I} (1)</math>, <math>\text{ARIMA} (0,0,1)</math>은 <math>\text{MA} (1)</math>이다.

ARIMA 모델은 박스-젠킨스 접근 방식에 따라 추정할 수 있다.

== 정의 ==
시계열 데이터 ''X<small>t</small>''（''t''는 정수 인덱스, ''X<sub>t</sub>''는 [[실수]])가 주어졌을 때, <math>\text{ARMA}(p',q)</math> 모델은 다음과 같다.

: <math>X_t-\alpha_1X_{t-1}- \dots -\alpha_{p'}X_{t-p'} = \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots +\theta_q \varepsilon_{t-q},</math>

또는 동등하게

: <math>
\left(
 1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i
\right) X_t
=
\left(
 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i
\right) \varepsilon_t \,
</math>

여기에서 <math>L</math>은 럭셔리 [[연산자]], <math>\alpha_i</math>는 모델의 자기 회귀 부분의 파라미터, <math>\theta_i</math>는 이동 평균 부분의 파라미터, <math>\varepsilon_t</math>는 오차항이다. 오차항<math>\varepsilon_t</math>는 일반적으로 평균 제로정규 분포에서 샘플링된 독립이 분포변수인 것으로 간주된다.

여기서 다항식 <math>\textstyle \left( 1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i \right)</math> 

: <math>
\left(
 1 - \sum_{i=1}^{p'} \alpha_i L^i
\right)
=
\left(
 1 - \sum_{i=1}^{p'-d} \varphi_i L^i
\right)
\left(
 1 - L
\right)^d.
</math>

<math>\mathrm{ARIMA}(p, d, q)</math> 프로세스에서는''p''=''p'-d''  그래서 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

: <math>
\left( 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i \right)
(1-L)^d X_t
= \left( 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \right) \varepsilon_t \,
</math>

그러므로 ''d'' 개개의 단위 뿌리를 가진 자기 회귀 다항식을 갖는다. <math>\mathrm{ARMA}(p + d, q)</math> 프로세스의 특수한 케이스라고 생각할 수 있다. 이 때문에 ''d > 0''의 ARIMA 모델에서 정확히 기술되는 프로세스는 광의의 정상이 아니다. 상기는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

: <math>
\left( 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right)
(1-L)^d X_t = \delta + \left( 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i \right) \varepsilon_t . \,
</math>

이는 '''드리프트 <math> \frac{\delta}{1 - \sum \varphi_i} </math>'''를 따른 ''<math>\mathrm{ARIMA}(p, d, q)</math>'' 프로세스를 정의한다.

== 차분 ==
통계학에서 '''차분'''은 정상화를 위해 시계열 데이터에 적용되는 변환이다. 정상 시계열 속성은 시계열이 관측되는 시간에 의존하지 않는다.

데이터를 차분하기 위해 연속 관측치의 차가 계산된다. 수학적으로 다음과 같이 표시된다

: <math>
y_t'= y_t - y_{t-1} \,
</math>

차분은 시계열 수준의 변화를 제거하여 추세와 계절성을 제거하고 결과적으로 시계열의 평균을 안정화시킨다.

때때로 정상화된 시계열을 얻기 위해 데이터를 두 번째로 차분해야할 수도 있다. 이를 '''2차 차분'''이라고 한다.

: <math>
y_t'= y_t - y_{t-m} \quad \text{where } m=\text{duration of season}.
</math>

데이터를 차분하는 또 다른 방법은 '''계절성 차분'''으로, 이전 계절의 관측치와 해당 관측치 간의 차이(예 : 1년)를 계산한다. 다음과 같이 표시된다.

차분 된 데이터는 ARMA 모델의 추정에 사용된다.

== 각주 ==
<references />

[[분류:통계 모형]]