{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]과 [[통계학]]에서, 임의의 [[확률변수]] ''X''의 기댓값이 존재한다면 ''X''의 '''적률생성함수'''(moment generating function, '''mgf''')는 다음과 같이 정의한다.
:<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)</math>, <math>\quad t \in \mathbb{R}</math>
''t''&nbsp;=&nbsp;0 근처에서 적률생성함수가 존재한다고 가정할 때 적률생성함수를 이용하면 [[확률분포]]의 [[모멘트 (수학)|적률]]는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.
::<math>E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).</math>

== 계산 ==

''X''의 [[확률밀도함수]]가 <math>f(x)\ </math>이면 적률생성함수는 다음과 같이 구한다.

:<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x</math>
:::<math> = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x</math>
:::<math> = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,</math>

이때 <math>m_i\ </math>는 ''i''번째 [[모멘트 (수학)|적률]]이며 <math>M_X(-t)\ </math>는 <math>f(x)\ </math>의 [[양측라플라스변환]]이다.

[[확률분포]]가 연속이든 아니든 ''F''가 [[누적분포함수]]이면 적률생성함수는 다음과 같은 [[리만-스틸체스 적분]]으로 구할 수 있다.

::<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)</math>

n개의 확률변수 <math>X_1, X_2, ... X_n\ </math>가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 <math>a_i\ </math>에 대해서 <math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i</math>의 확률분포는 <math>X_i\ </math> 각자의 확률밀도함수를 [[합성곱]]한 것이며, 적률생성함수는 다음과 같다.

::<math>
M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\ldots M_{X_n}(a_nt).
</math>

== 예제 ==
다음은 자주 사용되는 확률분포의 적률생성함수와 [[특성함수 (확률론)|특성함수]]의 목록이다.

{| class="wikitable"
|-
! 분포
! 모멘트생성함수
! 특성함수
|-
| [[이항 분포]] B(''n, p'')
| &nbsp; <math>\, (1-p+pe^t)^n</math>
| &nbsp; <math>\, (1-p+pe^{it})^n</math>
|-
| [[푸아송 분포]] Pois(''λ'')
| &nbsp; <math>\, e^{\lambda(e^t-1)}</math> 
| &nbsp; <math>\, e^{\lambda(e^{it}-1)}</math> 
|- 
| [[연속균등분포]] U(''a, b'')
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}</math>
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
|-
| [[정규분포]] ''N''(''μ, σ<sup>2</sup>'')
| &nbsp; <math>\, e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
| &nbsp; <math>\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
| [[카이제곱 분포]] χ<sup>2</sup><sub style="position:relative;left:-5pt;top:2pt">k</sub>
| &nbsp; <math>\, (1 - 2t)^{-k/2}</math>
| &nbsp; <math>\, (1 - 2it)^{-k/2}</math>
|-
| [[감마 분포]] Γ(''k, θ'')
| &nbsp; <math>\, (1 - t\theta)^{-k}</math>
| &nbsp; <math>\, (1 - it\theta)^{-k}</math>
|-
| [[지수분포]] Exp(''λ'')
| &nbsp; <math>\, (1 - t\lambda^{-1})^{-1}</math>
| &nbsp; <math>\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
|-
| [[다변량 정규분포]] ''N''(''μ'', ''Σ'')
| &nbsp; <math>\, e^{t^\mathrm{T} \mu + \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}</math>
| &nbsp; <math>\, e^{i t^\mathrm{T} \mu - \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}</math>
|-
| [[퇴화분포]] ''δ<sub>a</sub>''
| &nbsp; <math>\, e^{ta}</math>
| &nbsp; <math>\, e^{ita}</math>
|-
| [[라플라스 분포]] L(''μ, b'')
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}</math>
| &nbsp; <math>\, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
| [[코시 분포]] Cauchy(''μ, θ'')
| 정의되지 않음
| &nbsp; <math>\, e^{it\mu -\theta|t|}</math>
|-
| [[음이항 분포]] NB(''r, p'')
| &nbsp; <math>\, \frac{(pe^t)^r}{(1-(1-p)e^t)^r}</math>
| &nbsp; <math>\, \frac{p^r}{(1-(1-p)e^{it})^r}</math>
|-
|}

== 같이 보기 ==
* 확률이론에서 적률생성함수와 같이 [[적분변환|변환]]과 연관된 함수에는 [[특성함수 (확률론)|특성함수]]와 [[확률생성함수]] 등이 있다.

* 누율생성함수(cumulant-generating function)은 적률생성함수에 로그를 취한 함수이다.

{{전거 통제}}

[[분류:확률론]]
[[분류:모멘트 (수학)]]