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[[리 군]]의 [[표현론 (수학)|표현론]] 연구에서 [[특수 유니터리 군]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 표현에 대한 연구는 [[반단순 리 대수|반단순 리 군]]의 표현 연구에 기본이다. 콤팩트 군이자 비가환 군인 리 군의 첫 번째 사례이다. 첫 번째 조건은 표현론이 이산적이라는 것을 의미한다. 표현은 기본적 [[기약표현|기약 표현]] 모음의 직합이다([[페터-바일 정리]]에 의해 지배됨). 두 번째는 1보다 큰 차원에서 기약 표현이 있음을 의미한다.

<math>\mathrm{SU}(2)</math>는 [[3차원 직교군|<math>\mathrm{SO}(3)</math>]]의 보편 덮개 군이므로 그 표현론은 [[3차원 직교군|전사 준동형사상]]에 따라 후자의 표현론을 포함한다. 이는 [[이론물리학]]에서 비상대론적 [[스핀 (물리학)|스핀]]을 설명하기 위한 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 중요성에 기초한다. 다른 물리적, 역사적 맥락은 아래 참조.

아래에 표시된 것처럼 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 <math>m + 1</math>차원 기약 표현은 음이 아닌 정수 <math>m</math>으로 아래첨자를 붙인다. 물리학 문헌에서 표현은 <math>l = m/2</math>으로 아래첨자를 붙인다. 여기서 <math>l</math>는 정수이거나 반정수이고 <math>2l + 1</math> 차원이다.

== 리 대수 표현 ==
군의 표현은 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 리 대수 <math>\mathfrak{su}(2)</math>의 표현을 고려하여 찾는다. 군 <math>\mathrm{SU}(2)</math>는 단일 연결되어 있으므로 해당 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 통합될 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Theorem 5.6</ref> 우리는 아래 군 수준에서 표현의 명시적인 구성을 제공할 것이다.<ref>{{하버드 인용|Hall|2015}}, Section 4.6</ref>

=== 실수 리 대수와 복소화된 리 대수 ===
실수 리 대수 <math>\mathfrak{su}(2)</math>에서 다음과 같은 기저가 있다.

<math>u_1 = \begin{bmatrix}
    0 & i\\
    i & 0
  \end{bmatrix} ,\qquad
  u_2 = \begin{bmatrix}
    0 & -1\\
    1 &  ~~0
  \end{bmatrix} ,\qquad
  u_3 = \begin{bmatrix}
    i &  ~~0\\
    0 & -i
  \end{bmatrix}~,
</math>

(이 기저 행렬들은 <math>u_1 = +i\ \sigma_1 \;, \, u_2 = -i\ \sigma_2 \;,</math>  <math>u_3 = +i\ \sigma_3</math>과 같이 [[파울리 행렬]]과 관련된다. )

이 행렬들은 [[사원수]]를 표현한다.

: <math> u_1\,u_1 = -I\,, ~~\quad u_2\,u_2 = -I \,, ~~\quad u_3\,u_3 = -I\, ,</math>
: <math> u_1\,u_2 = +u_3\,, \quad u_2\,u_3 = +u_1\,, \quad u_3\,u_1 = +u_2\, ,</math>
: <math> u_2\,u_1 = -u_3\,, \quad u_3\,u_2 = -u_1\,, \quad u_1\,u_3 = -u_2 ~.</math>
:

여기서 {{수학 변수|I}}는 일반적인 2×2 단위 행렬이다. <math>~~I = \begin{bmatrix}
 1 & 0\\
 0 & 1
\end{bmatrix} ~.</math>

결과적으로, 행렬의 [[교환자]]는 다음을 충족한다.

: <math>[u_1, u_2] = 2 u_3\, ,\quad [u_2, u_3] = 2 u_1\, ,\quad [u_3, u_1] = 2 u_2 ~.</math>
:

그런 다음 복소화된 리 대수로 전달하는 것이 편리하다.

: <math>\mathrm{su}(2) + i\,\mathrm{su}(2) = \mathrm{sl}(2;\mathbb C) ~.</math>

(대각합 0인 반 자기 수반 행렬과 대각합 0인 자기 수반 행렬은 모든 행렬에 대각합 0을 제공한다.) <math>\mathbb C</math> 위에서 표현을 다루는 한, 실수에서 복소화된 리 대수 <math>\mathfrak{su}(2)</math>로 가는 것은 적절하다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}}, Section&nbsp;3.6</ref> 복소화로 넘어가는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다.

복소화 된 리 대수는 다음과 같은 세 가지 원소 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>H</math>로 구성된다.

: <math>
 H = \frac{1}{i}u_3, \qquad
 X = \frac{1}{2i}\left(u_1 - iu_2\right), \qquad
 Y = \frac{1}{2i}(u_1 + iu_2) ~;
</math>

또는 명시적으로,

: <math>
 H = \begin{bmatrix}
  1 & ~~0\\
  0 & -1
 \end{bmatrix}, \qquad
 X = \begin{bmatrix}
  0 & 1\\
  0 & 0
 \end{bmatrix}, \qquad
 Y = \begin{bmatrix}
  0 & 0\\
  1 & 0
 \end{bmatrix}
~.</math>

군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다.

: <math> H \, X ~=~~~~X ,\qquad H \, Y ~=  -Y ,\qquad X \, Y ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I + H \right),</math>
: <math> X \, H ~=  -X ,\qquad Y \, H ~=~~~~Y ,\qquad Y \, X ~=~ \tfrac{1}{2}\left(I - H \right),</math>
: <math> H \, H ~=~~~I~ ,\qquad X \, X ~=~~~~O ,\qquad Y \, Y ~=~ ~O ~~;</math>

여기서 {{수학 변수|O}}는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다.

: <math>[H, X] = 2\,X \,, \qquad [H, Y] = -2\,Y \,, \qquad [X, Y] = H ~.</math>

원소 <math>H</math>, <math>X</math>, <math>Y</math>는 인수 2와 함께 각각 각운동량 연산자 <math>J_z</math>, <math>J_+</math>, <math>J_-</math>로 식별될 수 있다. 인수 2는 수학과 물리학에서 관례가 서로 달라서 들어갔다. 앞으로 결과에서는 두 가지 관례 모두에 대하여 적을 것이다.

=== 가중치와 표현의 구조 ===
이 설정에서 <math>H</math>의 고유값은 표현의 '''가중치'''라고 한다. 다음 기본 결과<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Lemma 4.33</ref>가 분석의 핵심 단계이다. <math>v</math>가 <math>H</math>의 고유값 <math>\alpha</math>에 대한 [[고윳값과 고유 벡터|고유벡터]]라고 하자. 즉, <math>\; H \, v = \alpha\, v ~.</math> 그러면

: <math>\begin{align}
 H \, (X \, v) ~=~ (\, X \, H + [H,X] \,)\, v ~&=~ (\alpha + 2)\, X \, v \; ,\\[3pt]
 H \, (Y \, v) ~=~ (\, Y \, H +\, [H,Y] \,)\, v ~&=~ (\alpha - 2)\, Y \, v ~.
\end{align}</math>

다시 말해서, <math>\, X\, v \,</math>는 영벡터이거나 <math>\, H \,</math>의 고유값 <math>\, \alpha + 2 \,</math>에 대한 고유벡터이다. 그리고 <math>\, Y \, v \,</math>는 0이거나 <math>\, H \,</math>의 고유값 <math>\alpha - 2</math>에 대한 고유벡터이다. 따라서 연산자 <math>\, X \,</math>는 '''상승 연산자''' 역할을 하며 가중치를 2만큼 증가시킨다. <math>\, Y \,</math>는 '''하강 연산자''' 역할을 한다.

이제 <math>\, V \,</math>를 [[복소화]]된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 하자. 그러면 <math>\, H \,</math>의 고유값 집합은 유한 집합이다. 따라서, <math>\, \lambda + 2 \,</math>는 더 이상 고유값이 아닌 마지막 고유값 <math>\; \lambda \in \mathbb{C} \;</math>이 있어야 한다. <math>\, v_0 \,</math>가 <math>\, H \,</math>의 그 고유값 <math>\lambda</math>에 대한 고유벡터라 하자.

: <math>H \, v_0 = \lambda \, v_0 \; ,</math>

그러면

: <math>X \, v_0 = 0 \; ,</math>

이 성립하거나, 그렇지 않으면 위의 항등식이 <math>\, X \, v_0 \,</math>가 고유값 <math>\lambda + 2</math>을 갖는 고유벡터임을 말한다.

이제 벡터들 <math>v_0, v_1, \ldots</math>의 "사슬"을

: <math>v_k = Y^k \, v_0</math>

로 정의하자.

간단한 [[수학적 귀납법|귀납법]]<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}}, Equation (4.15)</ref>에 의해 모든 <math>k = 1, 2, \ldots ~.</math>에 대해

: <math>X \, v_k = k\,(\lambda - (k - 1))\,v_{k-1}</math>

임을 보일 수 있다. 이제 <math>\, v_k \,</math>가 영벡터가 아니면, <math>H</math>의 고유값 <math>\lambda - 2k</math>에 대한 고유벡터이다. 다시 말하지만, <math>\, H \,</math>는 고유벡터를 유한개 가지므로 <math>\, v_\ell \,</math>는 어떤 <math>\, \ell \,</math>에 대해 0이어야 한다.(그러면 모든 <math>\, k > \ell \,</math>에 대해<math>v_k = 0</math> ).

<math>v_m</math>가 사슬의  0이 아닌 마지막 벡터라 하자. 즉,<math>\; v_m \neq 0 \;</math>이고 <math>\; v_{m+1} = 0 ~.</math> 그럼 당연히 <math>\; X \, v_{m+1} = 0 \;</math>이고, 위의 항등식에 의해 <math>k = m + 1 \;,</math>

: <math>\; 0 = X \, v_{m+1} = (m + 1)\,(\lambda - m)\,v_m ~.</math>

<math>\, m + 1 \,</math>은 적어도 1이고 <math>\, v_m \neq 0</math>이므로, <math>\, \lambda \,</math> ''음이 아닌 정수'' <math>\, m </math>''와 같아야 한다.''

따라서 <math>\, Y \,</math>가

: <math> Y \, v_m = 0, \quad Y \, v_k = v_{k+1} \quad (k < m) </math>

로 작용하는 <math>\, m + 1 \,</math>개 벡터들, <math>v_0, v_1, \ldots, v_m </math>의 사슬을 얻는다.

그리고 <math>\, X \,</math>는

: <math> X \, v_0 = 0, \quad X \, v_k = k \, (m - (k - 1)) \, v_{k-1} \quad (k \ge 1)</math>
:

로 작용한다.

그리고 <math>\, H \,</math>는

: <math>H \, v_k = (m - 2k) \, v_k ~.</math> .

로 작용한다.(<math>\lambda</math>를 위의 공식에서 현재 알려진 값 <math>\, m \,</math>으로 바꿈)

벡터 <math>\, v_k \,</math>는 각각 <math>H</math>의 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터이므로, 선형 독립이어야 한다. 게다가, <math>\; v_0, \ldots, v_m \;</math>로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용 하에서는 분명히 불변이다. <math>V</math>가 기약이라고 가정했으므로, 이 생성된 집합은 <math>V</math>와 같아야 한다.  그리하여 기약 표현이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 완전한 설명을 얻게 된다. 즉, 공간의 기저이자 리 대수의 생성자들이 어떻게 작용하는지에 대한 완전한 설명이다. 반대로 임의의 <math>\; m \geq 0 \;</math>인 경우에는  위의 공식을 사용하고 교환 관계가 유지되는지 확인함으로써 표현을 구성할 수 있다. 그러면 이 표현은 기약으로 나타낼 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}}, proof of Proposition&nbsp;4.11</ref>

'''결론''': 음이 아닌 정수 <math>m </math> 각각에 대해 최대 가중치 <math>m</math>을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치<math>\, m \,</math>인 표현은 <math>\, m + 1 \,</math>차원이고 중복도 1인 가중치들 <math>m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m</math>을 갖는다.

=== 카시미르 원소 ===
이제 (2차) [[카시미르 원소]] <math>C</math>를 소개한다.

: <math>C = -\left(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2\right)</math>

<math>C</math>를 [[보편 포락 대수]]의 원소 또는 각 기약 표현의 연산자로 볼 수 있다. <math>\, C \,</math>를 가장 높은 가중치 <math>\, m \,</math>를 갖는 표현에 대한 연산자로서 보면, <math>\, C \,</math>는 각 <math>u_i</math>와 교환한다는 것을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 [[슈어 보조정리|슈어 보조 정리]]에 따르면, <math>\, C \,</math>는 각 <math>m</math>에 대한 항등식의 스칼라 배 <math>c_m</math>로 작용한다. <math>C</math>를 기저 <math>\,\{ H, X, Y \} \,</math>를 통해 쓸 수 있다:

: <math>C = (X + Y)^2 - (-X + Y)^2 + H^2 \; ,</math>

이는 다음과 같이 줄일 수 있다.

: <math>C = 4YX + H^2 + 2H ~.</math>

가장 높은 가중치 <math>\, m \,</math>을 가진 표현에서 <math>\, C \,</math>의 고유값은  <math>\, C \,</math>를 가장 높은 가중치 벡터에 적용하여 계산할 수 있다. 이는 <math>X</math>에 의해 소멸된다.  따라서

: <math>c_m = m^2 + 2m = m(m + 2) ~.</math>

물리학 문헌에서 카시미르 원소는 <math display="inline">\; C' = \frac{1}{4}</math>과 같이 정규화된다. <math display="inline">\; \ell = \frac{1}{2}\,m</math>로 첨자를 붙이면 <math>\, C' \,</math>의 고유값 <math>\, d_\ell \,</math>는 다음과 같이 계산된다.

: <math> d_\ell = \frac{1}{4}\,(2\ell)\,(2\ell + 2) = \ell \,(\ell + 1) ~.</math>

== 군 표현 ==

=== 다항식에 대한 조치 ===
<math>\mathrm{SU}(2)</math>는 [[단일 연결]]이기 때문에 일반적인 결과는 <math>\mathrm{SU}(2)</math> 자체의 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이 <math>\mathrm{SU}(2)</math> 자체의 표현을 발생시킨다는 것을 보여준다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Section 4.2</ref> 음이 아닌 각 정수 <math>m</math>에 대해, <math>V_m</math>를 복소 이변수 <math>m</math>차 동차 다항식 <math>p</math>의 공간이라 하자. 그러면 <math>V_m</math>의 차원은 <math>m + 1</math>이다. 다음과 같이 각각 <math>V_m</math>에 대한 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 자연스러운 작용이 있다:

: <math>[U \cdot p](z) = p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in\mathbb C^2,\, U\in\mathrm{SU}(2)</math> .

관련된 리 대수 표현은 단순히 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 [[반단순 거짓말 대수의 표현 이론|여기]] 참조.)

=== 특성 ===
표현 <math>\Pi: G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math>의 특성은 함수 <math>\Chi: G \rightarrow \mathbb{C}</math>

: <math>\Chi(g) = \operatorname{trace}(\Pi(g))</math>

이다.

특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 볼 수 있다.

<math>\mathrm{SU}(2)</math>의 경우 특성이 클래스 함수라는 사실은 문자가 [[극대 원환면]] <math>T</math>의 값에 의해 결정됨을 의미한다.  원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 대각 행렬로 구성된다.<ref>Travis Willse (https://math.stackexchange.com/users/155629/travis-willse), Conjugacy classes in $SU_2$, URL (version: 2021-01-10): https://math.stackexchange.com/q/967927</ref> 가장 높은 가중치 <math>m</math>를 갖는 기약 표현은 가중치 <math>m, m - 2, \ldots, -(m - 2), -m</math>를 갖기 때문에, 연관된 특성이

: <math>\Chi\left(\begin{pmatrix}
 e^{i\theta} & 0\\
 0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right) = e^{im\theta} + e^{i(m-2)\theta} + \cdots + e^{-i(m-2)\theta} + e^{-im\theta}.</math>

을  만족함을 쉽게 알 수 있다. 이 표현식은 다음과 같이 단순화할 수 있는 유한 기하 급수이다.

: <math>\Chi\left(\begin{pmatrix}
 e^{i\theta} & 0\\
 0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix}\right) = \frac{\sin((m + 1)\theta)}{\sin(\theta)}.</math>

이 마지막 표현은 <math>\mathrm{SU}(2)</math>에 대한 [[바일 지표 공식]]의 설명일 뿐이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Example 12.23</ref>

실제로, 콤팩트 군의 표현론에 대한 바일의 원래 분석에 따라 리 대수 표현을 전혀 사용하지 않고도 군 관점에서 표현을 완전히 분류할 수 있다. 이 접근 방식에서 바일 지표 공식은 [[페터-바일 정리]]와 함께 분류에서 필수적인 역할을 한다. 이 이야기의 <math>\mathrm{SU}(2)</math> 사례는 [[컴팩트 그룹|여기에]] 설명되어 있다.

=== SO(3) 표현과의 관계 ===
표현의 모든 가중치가 짝수(만약 <math>m</math> 짝수) 또는 모든 가중치가 홀수(<math>m</math>이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 [[3차원 직교군|회전 군 SO(3)]]의 일반적인 표현에 해당한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Section 4.7</ref> 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 [[사영 표현]]이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다.

물리학의 관례에서는 <math>m</math>이 짝수임은 <math>l</math>이 정수임을 뜻하고 <math>m</math>이 홀수임은  <math>l</math> 반정수임에 해당한다. 이 두 가지 경우는 각각 [[보손|정수 스핀]]과 [[페르미온|반정수 스핀]]으로 설명된다. 홀수 양의 값 <math>m</math>을 갖는 표현은 <math>\mathrm{SU}(2)</math>를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌 <math>m</math> <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 표현은 충실하지 않다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=1jw8DQAAQBAJ|제목=Group Theory for Physicists|성=Ma|이름=Zhong-Qi|날짜=2007-11-28|출판사=World Scientific Publishing Company|쪽=120|언어=en|isbn=9789813101487}}</ref>

== 또 다른 접근법 ==
[[보렐-베유-보트 정리|Borel–Weil–Bott 정리]]의 예를 참조.

== 가장 중요한 기약 표현과 그 응용 ==
<math>\mathrm{SU}(2)</math>의 표현은 [[유클리드 공간|유클리드 3공간]]의 [[회전]] 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 [[스핀 (물리학)|스핀]]을 설명한다. [[특수 상대성이론|상대론적]] 스핀은 회전 군의 상대론적 버전인 [[로런츠 군|SO <sup>+</sup> (1;3)]]을 유사한 방식으로 다루는 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 초군인 SL<sub>2</sub>('''C''')의 표현론으로 설명된다. <math>\mathrm{SU}(2)</math> 대칭은 또한 [[아이소스핀]] 과 [[약한 아이소스핀]] (총칭하여 ''아이소스핀 )''의 개념을 지원한다.

<math>m = 1</math> (즉, 물리학 관례에서 <math>l = 1/2</math>) 표현은 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 [[기본 표현]]인 '''2''' 표현이다. <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 원소가 [[복소수]] {{수학|2 × 2}} [[행렬]]로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터 의 [[행렬 곱셈|곱셈]]이다. 물리학에서는 스핀-½로 알려져 있으며, 역사적으로는 [[사원수]]의 곱셈(보다 정확하게는 [[단위벡터|단위]] 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 [[사영 표현]]으로 볼 수도 있다.

<math>m = 2</math> (즉, <math>l = 1</math> )표현은 '''3''' 표현, [[딸림표현]]이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 [[회전 (기하학)|회전]]을 설명하므로 [[실수]] 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 [[불변 질량|거대한]] 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 [[3차원|3-공간]]의 [[기하학]]에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다. 이 표현은 [[윌리엄 로언 해밀턴]]이 <math>\mathrm{SU}(2)</math>의 원소에 대한 그의 용어인 [[베르서|versors]]를 도입했을 때 '''2'''와 동시에 나타났다. 해밀턴의 작업이 리 군의 등장보다 앞서기 때문에 표준 [[군론]] 용어를 사용하지 않는다.

<math>m = 3</math> (즉 <math>l = 3/2</math> ) 표현은 델타 중입자 [[델타 중입자|Δ]]와 같은 특정 [[중입자]]에 대한 [[입자물리학|입자 물리학]]에서 사용된다.

== 같이 보기 ==
* [[회전 (기하학)|회전 연산자(벡터 공간)]]
* 회전 연산자(양자역학)
* SO(3)의 표현론
* [[3차원 직교군|SO(3)와 SU(2)의 연결]]
* SL(2, R)의 표현론
* [[전기-약 작용|약-전기 상호작용]]
* [[3차원 직교군|회전 군 SO(3) § 리 대수에 대한 참고 사항]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666}}
* Gerard 't Hooft (2007), [http://www.staff.science.uu.nl/~hooft101/lectures/lieg.html ''Lie groups in Physics''], Chapter 5 "Ladder operators"
* {{인용|last=Iachello|first=Francesco|title=Lie Algebras and Applications|series=Lecture Notes in Physics|volume=708|publisher=Springer|year=2006|isbn=3540362363}}

[[분류:3차원 회전]]