{{위키데이터 속성 추적}}
{{여러 문제|
{{번역 중|en:Differential Geometry}}
{{전문가 필요|수학}}
}}
{{기하학}}
{{학문 정보
|학문명 = 미분기하학
|그림 = Hyperbolic triangle.svg
|그림크기 =
|그림설명 =말안장처럼 생긴 곡면 (쌍곡포물면({{lang|en|hyperbolic parabloid}}))위의 삼각형과 발산하는 평행선
|다른 이름 =
|연구 분야 =
|학문 분야 =
|주요 개념 =
|파생 분야 =
|창시자 =
|창시 시기 =
|관련 직업 =
}}
'''미분기하학'''(微分幾何學, {{lang|en|differential geometry}})은 [[기하학]]의 문제를 다루기 위해 [[미적분]], [[해석학]], [[선형대수학]], 그리고 [[다중선형대수학]]을 이용한 수학의 한 분야이다. 3차원 [[유클리드 공간]]에서의 [[평면]], [[곡면]] 그리고 [[곡선]]에 대한 이론들이 18세기와 19세기 동안 미분  기하학의 발전의 기초가 되었다. 19세기 후반부터, 미분 기하학은 [[매끄러운 다양체]]의 기하적 구조를 조금 더 일반적으로 다루는 한 분야로 성장했다. 미분 기하학은 [[미분위상수학]]과 긴밀히 연결되어 있고 기하학의 관점으로 볼때 [[미분 방정식]]과도 관련이 있다. 리치 흐름({{lang|en|Ricci flow}})을 이용한 [[푸앵카레 추측]]에 대한 [[그리고리 페렐만]]의 증명은 [[위상 수학]] 문제의 접근에서 미분 기하학적 툴의 강력함을 보여주었으며 해석적 방법이 중요하다는 것을 다시 한 번 보여주었다. 특히, 곡면에 대한 미분 기하학은 미분 기하학의 특성에 대해 많은 이해와 기법의 단초를 제공한다.

== 하부 분야 ==

=== 리만 기하학 ===
{{본문|리만 기하학}}
[[리만 기하학]]은 [[계량 텐서]]가 주어진 [[리만 다양체]]와 [[매끄러운 다양체]]에 대해 연구한다. 리만 계량 텐서는 매끄러운 [[양의 정부호]] [[대칭]] [[이중선형]]꼴로 각 점에서의 접평면에서 정의되는 거리에 대한 개념이다. 리만 기하학은 각 점에서 "미소"하게, 즉, 1차 근사로, [[유클리드 공간]]으로 여길수 있지만 실제로 공간이 평평할 필요가 없는 공간에서 [[유클리드 기하]]를 일반화시켰다. [[곡선]]의 길이, [[면]]의 넓이, [[입체]]의 부피 같은 길이에 대한 다양한 개념들을 리만 기하학에서 모두 자연스럽게 유추할 수 있다. [[다변수 미적분학]]에서 함수의 [[방향 도함수]]의 개념이 리만 기하학에서는 [[텐서]]의 [[공변 미분]]으로 확장되었다. 해석학과 미분방정식의 많은 개념과 기법들이 [[리만 다양체]]를 정의하여 일반화되었다.

리만 다양체 사이에 거리를 보존하는 [[미분동형사상]]은 [[등거리변환]]이라 부른다. 이 개념 또한 ''국소적''(즉, 한 점의 좁은 근방)으로 정의될 수 있다. 어느 두 표준 곡선은 지역적으로 등거리 변환이다. 하지만 이미 [[가우스의 빼어난 정리]]는 표면에서 지역적 등거리변환의 존재성이 강한 양립가능성을 의미한다는 것을 보여주었다. 즉, 대응되는 점들의 [[가우스 곡률]]은 반드시 같아야 한다. 고차원에서 [[리만 곡률 텐서]]는 리만 다양체와 관련된 얼마나 평평한지를 측정해주는 각 점을 기준으로 한 좋은 불변량이다. 리만 다양체의 중요한 [[류]]({{lang|en|class}})는 [[리만 대칭 공간]]이다. 리만 대칭 공간의 곡률은 꼭 일정할 필요가 없다. 이들은 유클리드 기하와 [[비유클리드 기하]]에서의 "보통의" 평면과 공간에서 가장 근접한 유추이다.

=== 준 리만 기하학 ===
'''[[준 리만 다양체|준 리만 기하학]]'''({{llang|en|pseudo-Riemannian geometry}})은 [[계량 텐서]]가 양의 정부호일 필요가 없는 경우의 리만 기하학을 일반화시킨 것이다.
[[로런츠 다양체]]는 준 리만 기하학의 특수한 경우이다. 로렌츠 다양체는 [[일반 상대성 이론]]의 수학적 토대를 이룬다.

=== 심플렉틱 기하학 ===
{{본문|심플렉틱 다양체}}


===기하 해석학===
(비)선형 편미분 방정식을 이용하여 미분 위상수학과 미분 기하학의 결과들을 얻는 분야이다. 극소 곡면에 관한 이론, 호지 이론 등등이 기하 해석학의 결과들이다. 푸엥카레의 추측이 기하 해석학의 주요 문제 중 하나이다.
===스펙트랄 기하학===

===핀슬러 기하학===
{{본문|핀슬러 다양체}}

==관련된 수학==

=== 복소 기하학 ===
{{본문|복소다양체}}


===미분 위상 수학===
{{본문|미분위상수학}}

===리군===
{{본문|리 군}}
[[리 군]](Lie group)은 군(group)이면서 [[매끄러운 다양체]]다. 기하학적 대칭들로 이뤄진 군들은 리 군인 경우가 많다. 대표적으로, 평면 상에서 회전군 [[U(1)]], 3차원 유클리드공간 상에서 회전군 [[SO(3)]]가 있다. 또한 여러 가지 중요한 행렬군들인 [[일반선형군]]   GL(n), [[유니터리 군]] U(n), [[특수 유니터리 군]] SU(n), [[직교군]] O(n) 등도 리 군이다.

== 다발과 접속 ==
{{본문|올다발}}

== 내적 성질과 외적 성질 ==
18세기 초중반부터 미분기하는 외적 관점으로 연구되었다. [[곡선]]과 [[곡면]]은 고차원 [[유클리드 공간]] 내에 있는 것으로 생각했었다 (예를 들면 곡면은 곡면의 주변 공간인 [[3차원]] 내의 공간으로 볼 수 있다). [[베른하르트 리만]]의 연구로부터 내적 관점에서의 연구가 발전되기 시작했다. 내적 관점의 연구는 기하학적 대상 그 자체를 독립적으로 생각하기 때문에 기하학적 대상 밖으로 움직인다고 말할 수 없다. 내적 관점으로부터 만들어진 기초적인 결과중 하나는 [[가우스의 빼어난 정리]]이다. 가우스의 빼어난 정리는 [[가우스 곡률]]은 내적 불변량이라는 의미를 가진다. 내적 관점이 응용에 있어 더 유용할 때도 있다. 예를 들면 상대성이론에서 내적 관점은 유용하다. 시공간이 외적으로 생각하는 게 자연스러울 수가 없기 때문이다. (시공간 "밖"의 것은 무언가를 생각해보라.) 내적 관점에서는 [[곡률]]의 핵심적 개념과 [[아핀 접속]]과 같은 다른 개념들은 정의하기가 더 어렵다. 그러므로 각각의 관점마다 장점이 있다. 하지만, 이 기하학적 대상에 대한 두 가지 관점을 조화시킬 수 있다. 즉, 외적 관점의 기하학은 내적 관점의 기하학에 더한 어떤 구조로 생각할 수 있다.

== 응용 ==
미분기하학은 수학 밖에서 폭넓게 응용된다.

이론 물리학은 미분기하학을 광범위하게 사용한다. [[고전역학]]에서는 [[라그랑주 역학]]은 [[짜임새 공간]]의 [[접다발]] 위에서 정의되며, [[해밀턴 역학]]은 [[짜임새 공간]]의 [[여접다발]]([[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]) 또는 보다 일반적으로 임의의 [[심플렉틱 다양체]] 위에 정의된다. [[전자기학]]과 [[양-밀스 이론]], 나아가 [[표준 모형]]은 시공간 위에 정의되는 [[주다발]]의 [[주접속]]과 곡률을 다룬다. [[중력]]을 다루는 이론인 [[일반 상대성 이론]]은 유사 [[리만 다양체]]의 [[리치 곡률]]을 다룬다. 또한, [[끈 이론]]에서는 [[칼라비-야우 다양체]], [[켈러 다양체]]와 [[초켈러 다양체]] 등 수많은 미분기하학적 개념들이 필수적이다.

[[경제학]]에서는, 미분기하학은 [[계량경제학]]에 쓰인다.

[[딥러닝]], [[컴퓨터 비전]]에서는, 이미지를 처리할 때 미분기하학을 쓴다.

== 같이 보기 ==
* [[비가환 기하학]]
* [[수축량]]
* [[게이지 이론 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용|제목=미분기하학|저자=김강태|출판사=교우사|isbn=978-898172226-5|날짜=2000|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=미분기하학|판=개정|저자=윤갑진|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-045-6|날짜=2007|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6151|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6151 }}
* {{서적 인용|제목=미분기하학|판=3|저자=최대호|출판사=경문사|날짜=2007|isbn=89-7282-000-8|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6048|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6048 }}
* {{서적 인용|제목=Mathematica를 활용한 미분기하학 개론|저자=박진석|저자2=표용수|저자3=김향숙|출판사=경문사|판=8판|날짜=2011|isbn=978-89-6105-424-9|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7249|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7249 }}
* {{서적 인용|제목=Elementary differential geometry|성=Pressley|이름=Andrew N.|isbn=978-1-84882-890-2|doi=10.1007/978-1-84882-891-9|날짜=2012|판=2|총서=Springer Undergraduate Mathematics Series|issn=1615-2085|출판사=Springer|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Analysis and algebra on differentiable manifolds: a workbook for students and teachers|성=Gadea|이름=Pedro M.|이름2=Jaime|성2=Muñoz Masqué|이름3=Ihor V.|성3=Mykytyuk|판=2|날짜=2013|isbn= 978-94-007-5951-0|doi=10.1007/978-94-007-5952-7|총서=Problem Books in Mathematics|issn=0941-3502|출판사=Springer|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Fundamentals of differential geometry|이름=Serge|성=Lange|저자링크=서지 랭|doi=10.1007/978-1-4612-0541-8|isbn=978-0-387-98593-0|출판사=Springer-Verlag|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=191|issn=0072-5285|날짜=1999|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4612-0541-8|언어=en}}
* {{서적 인용
|이름1=Shiing-Shen|성1=Chern|저자링크=천싱선
|이름2=Wei-Huan|성2=Chen
|이름3=Kai-Shue |성3=Lam
|제목=Lectures on differential geometry
|doi=10.1142/3812
|총서=Series on University Mathematics|권=1
|출판사=World Scientific | isbn= 978-981-02-3494-2 | 날짜=1999-11
|언어=en
}}
* {{서적 인용|제목=Geometry from a differentiable viewpoint|판=2|이름=John|성=McCleary|doi=10.1017/CBO9781139022248|출판사=Cambridge University Press|날짜=2012-11|isbn=978-052113311-1|url=https://pages.vassar.edu/mccleary/books/geometry-from-a-differentiable-viewpoint/|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Introduction aux variétés différentielles|이름=Jacques|성=Lafontaine|날짜=2010|isbn=978-2-7598-0572-3|출판사=Édition Diffusion Presse Sciences|url=https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/ouvrage/introduction-aux-varietes-differentielles-isbn-9782759805723|언어=fr}}{{깨진 링크|url=https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/ouvrage/introduction-aux-varietes-differentielles-isbn-9782759805723 }}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/courses/dg/dg_2k4_guide.pdf|저자=김영욱|제목=미분기하 공부하기|확인날짜=2013-08-21|archive-date=2012-11-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20121101083522/http://elie.korea.ac.kr/~ywkim/courses/dg/dg_2k4_guide.pdf|url-status=dead}}

{{수학 분야}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학| ]]