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'''점과 직선 사이의 거리'''는 [[점 (기하학)|점]]에서 [[직선]]에 이를 수 있는 가장 가까운 [[유클리드 거리|거리]]를 의미한다. 점에서 직선에 수선의 발을 내릴 때, 그 점과 수선의 발을 이은 [[선분]]의 길이와도 같다.

== 공식 ==

=== 직선의 방정식 ===
직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

{{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}

이 때 {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}는 모두 [[실수]] 상수이고 {{mvar|a}}와 {{mvar|b}}는 동시에 0이 될 수 없다. 이 직선에서 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}까지의 거리는 다음과 같다.<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 452}}</ref><ref>{{harvnb|Spain|2007}}</ref>{{rp|p.14}}

: <math>\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} </math>

이 때 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}과 가장 가까운 직선상의 좌표, 즉 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 다음과 같다.<ref>{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 522}}</ref>

: <math>x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2} \text{, } y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}</math>

'''수직선과 수평선의 경우'''

위에서 {{mvar|a}}와 {{mvar|b}}가 동시에 0이 될 수 없다고 했는데, 이 경우 직선이 정의되지 않기 때문이다. 하지만 {{mvar|a}}나 {{mvar|b}} 둘 중 하나만 0이 될 수는 있다. {{mvar|a}}가 0인 경우 직선의 방정식은 {{math|1=''y'' = −{{sfrac|''c''|''b''}}}}이 되어 수평선의 형태를 띈다. 이 때 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}로부터의 거리는 단순히 선분의 길이를 재면 되고, 그 결과 {{math|1={{!}}''y''<sub>0</sub> − (−{{sfrac|''c''|''b''}}){{!}} = {{sfrac|{{!}}''by''<sub>0</sub> + ''c''{{!}}|{{!}}''b''{{!}}}}}}로 나타난다. 이와 비슷하게 {{mvar|b}}만 0인 경우에는 직선이 수직선이 되어 점과 직선 사이의 거리는 {{math|{{sfrac|{{!}}''ax''<sub>0</sub> + ''c''{{!}}|{{!}}''a''{{!}}}}|}}가 된다.

=== 두 점을 지나는 직선에 대해 ===
방정식이 아니라 두 점 {{math|1=''P''<sub>1</sub> = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}과 {{math|1=''P''<sub>2</sub> = (''x<sub>2</sub>'', ''y<sub>2</sub>'')}}를 지난다고 정의된 직선의 경우를 한 번 살펴보자. 이 경우 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}과 직선 사이의 거리는 다음과 같다.<ref name="GEO">{{웹 인용|url=https://geomalgorithms.com/a02-_lines.html|title=Lines and Distance of a Point to a Line|last=Sunday|first=Dan|publisher=softSurfer|url-status=|accessdate=6 December 2013|archive-date=2021-02-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20210227043421/http://geomalgorithms.com/a02-_lines.html}}</ref>

: <math>\frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}} </math>

여기서 [[분모]]는 점 {{math|''P''<sub>1</sub>}}와 {{math|''P''<sub>2</sub>}} 사이의 거리를 나타낸다. 분자는 세 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}, {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}}가 이루는 삼각형의 넓이의 2배와도 같다. 밑변의 길이가 {{mvar|b}}, 높이가 {{mvar|h}}라고 할 때 삼각형의 넓이가 {{math|1=''A'' = {{sfrac|1|2}} ''bh''}}인 것을 생각해보자. 이 때 점과 직선 사이의 거리는 이 식에서 {{mvar|h}}를 남기고 나머지를 이항한  {{math|1=''h'' = {{sfrac|2''A''|''b''}}}}과 다름 없다.

== 증명 ==

=== 대수적 증명 ===
이 증명은 {{mvar|a}}와 {{mvar|b}}가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.

{{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}이 나타내는 직선의 기울기는 {{math|−''a''/''b''}}이므로, 그 직선에 수직한 직선의 기울기는 {{math|''b''/''a''}}이다. 이 때 점 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}을 지나고 기울기가 {{math|''b''/''a''}}인 직선이 {{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}와 만나는 교점을 {{math|(''m'', ''n'')}}이라 해보자. 그러면 기울기의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

: <math>\frac{y_0 - n}{x_0 - m}=\frac{b}{a}</math>

따라서 <math>a(y_0 -n) - b(x_0 - m) = 0</math>이고, 양변을 제곱하면 다음의 식을 얻을 수 있다.

: <math>a^2(y_0 - n)^2 + b^2(x_0 - m)^2 = 2ab(y_0 - n)(x_0 - m)</math>

이제 다음을 생각해보자.

: <math>
\begin{align}
(a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 & = a^2(x_0 - m)^2 + 2ab(y_0 -n)(x_0 - m) + b^2(y_0 - n)^2 \\
                            & = \left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right)
\end{align}
</math>

여기에 {{math|(''m'', ''n'')}}이 {{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}} 위의 점이기 때문에 다음의 식도 성립한다.

: <math> (a(x_0 - m) + b(y_0 - n))^2 = (ax_0 + by_0 - am - bn)^2 = (ax_0 + by_0 + c)^2</math>

즉 이 둘을 연립하면 아래의 식이 나온다.

: <math>\left(a^2 + b^2\right) \left((x_0 - m)^2 + (y_0 - n)^2\right) = (ax_0 + by_0 + c)^2 </math>

[[유클리드 거리]]의 정의에 의해 {{math|(''m'', ''n'')}}과 {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}의 거리는 다음과 같이 유도된다.

: <math>d=\sqrt{(x_0 - m)^2+(y_0 - n)^2} = \frac{|ax_0+ by_0 +c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><ref>Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples</ref>

=== 기하학적 증명 ===
[[파일:Point-to-line2.svg|섬네일|기하학적 증명의 참고그림]]
이 증명은 {{mvar|a}}와 {{mvar|b}}가 모두 0이 아닌 값을 가질 때만 사용 가능하다.<ref>{{harvnb|Ballantine|Jerbert|1952}} do not mention this restriction in their article</ref>

점 {{math|P(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}에서 직선 {{math|1=''Ax'' + ''By'' + ''C'' = 0}}에 내린 수선의 발을 {{수학|R}}이라 하자. 또 {{수학|P}}에서 y축에 평행한 직선을 내려 직선과 만나는 교점을 {{수학|S}}라 하자. 직선에서 임의의 점 {{수학|T}}를 잡아 우측 그림과 같이 직각삼각형 {{수학|∆TVU}}를 만들자. 이 때 직선의 기울기는 {{수학|-A/B}}로 쓸 수 있다.

{{수학|∆PRS}}와 {{수학|∆TVU}}는 {{수학|1=∠PSR = ∠TUV}}인고로 세 내각이 모두 같아 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다.<ref>If the two triangles are on opposite sides of the line, these angles are congruent because they are alternate interior angles.</ref> 이에 따라 다음의 공식이 성립한다.

: <math>\frac{|\overline{PR}|}{|\overline{PS}|} = \frac{|\overline{TV}|}{|\overline{TU}|}</math>

점 {{수학|S}}의 좌표를 {{수학|(''x''<sub>0</sub>, ''m'')}}라 할 때 선분 {{수학|PS, TV, TU}}의 길이를 고려하면 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math> |\overline{PR} | = \frac{|y_0 - m||B|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>

이 때 {{수학|S}}가 놓여있는 직선의 방정식을 알기 때문에 {{수학 변수|m}}은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>m = \frac{-Ax_0 - C}{B}</math>

따라서 최종적으로 다음의 식을 얻는다.<ref>{{harvnb|Ballantine|Jerbert|1952}}</ref>

: <math> |\overline{PR}| = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}</math>

=== 벡터의 사영을 사용한 증명 ===
[[파일:Vectorpoint-to-line.svg|섬네일|250x250픽셀|벡터의 사영을 이용한 증명의 참고 그림]]
점 {{math|P(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}와 직선 {{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}} 사이의 거리를 구하고 싶다고 해보자. 이 때 직선에서 임의의 점 {{math|Q(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}을 잡고 이를 출발점으로 직선에 수직한 벡터 {{수학|1='''n'''=(a, b)}}을 잡는다. 점 {{수학|P}}와 직선 사이의 거리는 <math>\overrightarrow{QP}</math>를 {{수학|1='''n'''=(a, b)}}에 정사영한 길이와 같다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

: <math>d = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n}|}{\| \mathbf{n}\|}</math>

<math> \overrightarrow{QP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)</math>이므로 <math> \overrightarrow{QP} \cdot \mathbf{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)</math>이다. <math> \| \mathbf{n} \| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>이므로 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

: <math> d = \frac{|a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>

이 때 {{math|Q(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}}가 놓인 직선의 방정식을 알기 때문에 식은 최종적으로 다음과 같다.<ref>{{harvnb|Anton|1994|loc=pp. 138-9}}</ref>

: <math> d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[꼬인 위치]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==

* {{인용|first=Howard|last=Anton|title=Elementary Linear Algebra|edition=7th|year=1994|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-58742-7}}
* {{인용|first1=J.P.|last1=Ballantine|first2=A.R.|last2=Jerbert|year=1952|volume=59|title=Distance from a line or plane to a point|journal=American Mathematical Monthly|pages=242–243|doi=10.2307/2306514}}
* {{인용|first1=Ron|last1=Larson|first2=Robert|last2=Hostetler|title=Precalculus: A Concise Course|year=2007|publisher=Houghton Mifflin Co.|isbn=0-618-62719-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/precalculusconci00lars}}
* {{인용|first=Barry|last=Spain|title=Analytical Conics|year=2007|origyear=1957|publisher=Dover Publications|isbn=0-486-45773-7}}

== 읽을 거리 ==

* {{인용|title=Encyclopedia of Distances|first1=Michel Marie|last1=Deza|author1-link=Michel Deza|first2=Elena|last2=Deza|edition=2nd|publisher=Springer|year=2013|isbn=9783642309588|page=86|url=https://books.google.com/books?id=QxX2CX5OVMsC&pg=PA86}}

{{전거 통제}}

[[분류:수학 용어]]
[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:거리]]