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[[물리학]]에서 '''양자 맥놀이'''(quantum beats) 현상은 준고전이론으로는 설명되지 않지만 양자적 계산, 특히 [[양자전기역학|QED]]에 의해서 설명되는 간단한 예이다. 준고전이론에 따르면 V형과 <math>\Lambda</math>형 [[원자]]에서 모두 [[간섭]] 혹은 맥놀이가 나타난다. 그러나 [[양자전기역학|QED]] 계산에서는 V형 [[원자]]에는 맥놀이가 있지만 <math>\Lambda</math>형 [[원자]]에는 없다. 이것은 [[양자전기역학|QED]]의 좋은 증거이기도 하다.

== V형 원자와 <math>\Lambda</math>형 원자 ==
''Quantum Optics''에 있는 그림[http://books.google.com/books?id=20ISsQCKKmQC&pg=PA430&sig=d5TzC9UTl7CGU3PIJiCV0c0M6HU#PPA18,M1]이 정확하게 두가지 [[원자]]에 대해서 설명한다.

간단히 말하면, V형 [[원자]]는 <math>|a\rangle</math>, <math>|b\rangle</math> 그리고 <math>|c\rangle</math>의 세가지 상태를 갖는다. <math>|a\rangle</math>와 <math>|b\rangle</math>의 [[에너지]]가 <math>|c\rangle</math>의 [[에너지]]보다 크다. [[전자]]들은 <math>|a\rangle</math>와 <math>|b\rangle</math>에 있다가 <math>|c\rangle</math>로 붕괴하며, 두가지 방출이 일어난다.

<math>\Lambda</math>형 [[원자]]에도 <math>|a\rangle</math>, <math>|b\rangle</math> 그리고 <math>|c\rangle</math>의 세가지 상태가 있다. 하지만 이 경우에는 <math>|a\rangle</math>의 [[에너지]]가 가장 크며, 여기에 있던 두 [[전자]]가 각각 <math>|b\rangle</math>와 <math>|c\rangle</math>로 붕괴한다. 그 때에는 역시 두가지 방출이 일어난다.


아래의 모든 유도 과정은 ''Quantum Optics''[http://books.google.com/books?id=20ISsQCKKmQC&pg=PA430&sig=d5TzC9UTl7CGU3PIJiCV0c0M6HU#PPA16,M1]의 내용을 따랐다.

== 준고전이론의 계산 ==
준고전적인 관점에서, [[전자]]의 상태 벡터는 아래와 같다.
:<math>|\psi(t)\rangle=c_aexp(-i\omega_at)|a\rangle+c_bexp(-i\omega_bt)|b\rangle+c_cexp(-i\omega_ct)|c\rangle</math>
만약 사라지지 않는 쌍극자 행렬의 원소가 다음과 같이 나타나진다면,
:<math>\mathcal{P}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle, \mathcal{P}_{bc}=e\langle b|r|c\rangle</math> (V형 [[원자]])
:<math>\mathcal{P}_{ab}=e\langle a|r|b\rangle, \mathcal{P}_{ac}=e\langle a|r|c\rangle</math> (<math>\Lambda</math>형 [[원자]])
각 [[원자]]들은 두개의 미시적인 진동 쌍극자를 갖는다.
:<math>P(t)=\mathcal{P}_{ac}(c_a^*c_c)exp(i\nu_1t)+\mathcal{P}_{bc}(c_b^*c_c)exp(i\nu_wt)+c.c.</math> for V-type, when <math>\nu_1=\omega_a-\omega_c, \nu_2=\omega_b-\omega_c</math>,
:<math>P(t)=\mathcal{P}_{ab}(c_a^*c_b)exp(i\nu_1t)+\mathcal{P}_{ac}(c_a^*c_c)exp(i\nu_wt)+c.c.</math> for <math>\Lambda</math>-type, when <math>\nu_1=\omega_a-\omega_b, \nu_2=\omega_a-\omega_c</math>.
준고전적인 관점에서, 방출되는 [[전기마당]]은 두 항의 합이 되므로,
:<math>E^{(+)}=\mathcal{E}_1exp(-i\nu_1t)+\mathcal{E}_2exp(-i\nu_2t)</math>,
[[간섭]] 혹은 맥놀이에 해당하는 항이 존재하는 것을 알 수 있다.
:<math>|E^{(+)}|^2=|\mathcal{E}_1|^2+|\mathcal{E}_2|^2+\lbrace\mathcal{E}_1^*\mathcal{E}_2exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack+c.c.\rbrace</math>.

== QED의 계산 ==
[[양자전기역학|QED]] 계산을 위해서 우리는 [[양자 역학]] 2차 양자화의 생성 [[연산자]]와 소멸 [[연산자]]를 도입해야만 한다.

:<math>E_n^{(+)}=a_nexp(-i\nu_nt)</math>를 생성 [[연산자]]로,
:<math>E_n^{(-)}=a_n^\dagger exp(i\nu_nt)</math>을 소멸 [[연산자]]로 생각하자.
이 때 맥놀이 부분은 아래와 같다.
:<math>\langle\psi_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_V(t)\rangle</math> (V형)
:<math>\langle\psi_\Lambda(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_\Lambda(t)\rangle</math> (<math>\Lambda</math>형)
또한 각각의 상태 벡터는 아래와 같다.
:<math>|\psi_V(t)\rangle=\sum_{i=a,b, c}c_i|i,0\rangle+c_1|c,1_{\nu_1}\rangle+c_2|c,1_{\nu_2}\rangle</math>
:<math>|\psi_\Lambda(t)\rangle=\sum_{i=a,b, c}c_i'|i,0\rangle+c_1'|b,1_{\nu_1}\rangle+c_2'|c,1_{\nu_2}\rangle</math>

그렇다면 결국 맥놀이에 관한 항은 아래와 같이 정리된다.
:<math>\langle\psi_V(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_V(t)\rangle=\kappa\langle 1_{\nu_1}0_{\nu_2}|a_1^\dagger a_2|0_{\nu_1}1_{\nu_2}\rangle exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle c|c\rangle=\kappa exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle c|c\rangle</math> (V형)
:<math>\langle\psi_\Lambda(t)|E_1^{(-)}(t)E_2^{(+)}(t)|\psi_\Lambda(t)\rangle=\kappa'\langle 1_{\nu_1}0_{\nu_2}|a_1^\dagger a_2|0_{\nu_1}1_{\nu_2}\rangle exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle b|c\rangle=\kappa' exp\lbrack i(\nu_1-\nu_2)t\rbrack\langle b|c\rangle</math> (<math>\Lambda</math>형)
그러나 고유함수의 직교성에 따라 <math>\langle c|c\rangle=1</math>와 <math>\langle b|c\rangle=o</math>이 된다.

따라서 V형 [[원자]]에는 맥놀이 항이 있지만, <math>\Lambda</math>형 [[원자]]에는 없다.

== 결론 ==
결론적으로, V형 [[원자]]에는 양자 맥놀이가 있지만 <math>\Lambda</math>형 [[원자]]에는 없다. 이러한 차이는 [[양자 역학]]적인 불확정성에 기인한다. V형 [[원자]]는 두가지 떨기수를 통해 붕괴하는데, 그 두가지 전이가 같은 상태를 향해 이루어짐으로써 우리는 어떤 것이 어떤 길을 따라 왔는지 정할 수 없다. 그러나 <math>\Lambda</math>형 [[원자]]는 역시 두가지 떨기수를 통해 붕괴하지만 서로 다른 상태로 붕괴하기 때문에 어떤 길을 따라 왔는지 알 수 있다.

자연에서는 [[양자 역학]]의 가장 기본적인 원리인 [[불확정성의 원리]]를 포함한 [[양자전기역학|QED]]의 계산이 맞는다. 양자 맥놀이 현상은 준고전적인 이론이 설명하지 못하면서 [[양자전기역학|QED]]로는 설명되는 좋은 예이다.
== 같이 보기 ==
* [[양자 전기역학]]
* [[이중슬릿 실험]]

[[분류:양자역학]]
[[분류:양자 전기역학]]