{{위키데이터 속성 추적}}
{{DISPLAYTITLE:''p''진수}}
{{다른 뜻|위치 기수법|[[수론]]|[[십진법]] 등의 수를 표기하는 방법}}

[[수론]]에서 '''<i>p</i>진수'''(p進數, ''p''-adic number)는 [[유리수]]의 체를 마치 어떤 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 [[로랑 급수]]처럼 해석하여 [[완비 거리 공간|완비]]시켜 얻는 [[체 (수학)|체]]이다.
보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 ''p''진체는 유리수체의 [[완비 거리 공간|완비화]]이다. 또한 ''p''진수에는 ''p''진 [[값매김]]이 주어져 있기에 [[거리 공간]]이 되며 따라서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이기도 하다. 이 거리 공간은 [[완비 거리 공간]](즉, 모든 [[코시 수열]]이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 [[대수학|대수적]] 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.

== 개론 ==
[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>는 표준 [[노름]] <math>|a/b|</math>에 대하여 [[완비 거리 공간]]을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 [[코시 수열]]들의 [[동치류]]들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 아주 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. ''p''진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.

수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 <math>p^n(a/b)</math> (<math>a</math>와 <math>b</math>는 <math>p</math>로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, <math>p=7</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>28/5=7\times(4/5)</math>
:<math>-15/98=7^{-2}\times(-15/2)</math>
이는 "변수" <math>p=7</math>에 대한 단항식 <math>(4/5)p</math> 또는 <math>-(15/2)p^{-2}</math>와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, <math>p</math>를 일종의 [[무한소]]로 취급하면, <math>p</math>의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "작고", <math>p^{-1}</math>의 인수를 더 많이 포함할수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.

이와 같이 유리수체 <math>\mathbb Q</math> 위에 <math>p</math>의 인수를 더 많이 포함할수록 더 노름이 작아지는 [[노름]]을 정의할 수 있다. ''p''진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.

== 정의 ==
''p''진수체 및 ''p''진 정수환은 해석적인 기법 및 [[가환대수학]]적 기법으로 정의할 수 있다.

=== 해석적 정의 ===
<math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]라고 하자. [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>에 다음과 같은 [[노름]] <math>|\cdot|_p</math>를 정의할 수 있다.
:<math>|p^na/b|_p=p^{-n}</math> (<math>p\nmid a,b</math>)
:<math>|0|_p=0</math>
(모든 0이 아닌 유리수는 <math>p^na/b</math>와 같은 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.) 이 노름을 '''<i>p</i>진 노름'''({{llang|en|''p''-adic norm}})이라고 한다.

[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>를 이 노름에 대하여 [[완비 거리 공간|완비화]]시켜 얻는 체를 '''<i>p</i>진체''' <math>\mathbb Q_p</math>라고 하며, 그 원소를 '''<i>p</i>진수'''라고 한다.

=== 대수적 정의 ===
''p''진 정수환 <math>\mathbb Z_p</math>는 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>를 소 아이디얼 <math>(p)</math>에서 [[완비화 (환론)|완비화]]한 것이다. 즉, 다음과 같은 [[몫환]]들 사이에 자연스러운 [[환 준동형]]이 존재하며,
:<math>\cdots\to\mathbb Z/p^3\to\mathbb Z/p^2\to\mathbb Z/p\to0</math>
''p''진 정수환은 이들의 [[역극한]]이다.
:<math>\mathbb Z_p=\varprojlim_n\mathbb Z/(p^n)</math>
''p''진 정수환은 [[정역]]을 이루며, '''''p''진수체''' <math>\mathbb Q_p</math>는 ''p''진 정수환의 [[분수체]]이다.
:<math>\mathbb Q_p=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p)</math>

보다 추상적으로, ''p''진 정수환 <math>\mathbb Z_p</math>는 크기 <math>p</math>의 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 <math>p</math>진 [[비트 벡터 환]]으로 정의할 수도 있다.

=== ''p''진 복소수 ===
'''<i>p</i>진 복소수체''' <math>\mathbb C_p</math>는 다음과 같이 정의한다.
# p진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[완비 거리 공간]]이지만 [[대수적으로 닫힌 체]]가 아니다. 그 [[대수적 폐포]]를 취하여, 대수적으로 닫힌 체 <math>\bar{\mathbb Q}_p</math>를 얻을 수 있다.
# 대수적 폐포 <math>\bar{\mathbb Q}_p</math>는 [[대수적으로 닫힌 체]]이지만 [[완비 거리 공간]]이 아니다. 그 완비화를 취하여, <math>\mathbb C_p</math>라는 체를 얻는다. 이는 [[대수적으로 닫힌 체]]이자 [[완비 거리 공간]]이다. 이를 '''<i>p</i>진 복소수체'''로 정의한다.

== 성질 ==
=== ''p''진 노름 ===
''p''진 노름은 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. 아래에서, <math>r,s\in\mathbb Q</math>는 임의의 유리수다.
* <math>|r+s|_p\le\max\{|r|_p,|s|_p\}</math>
::이는 모든 [[노름]]들이 만족시키는 [[삼각 부등식]] <math>|r+s|\le|r|+|s|</math>보다 더 강한 조건이다.
* <math>\mathbb Q</math>의 표준 노름을 <math>|\cdot|_\infty</math>라고 쓰자. 그렇다면,
::<math>|r|_\infty\prod_p|r|_p=1</math>
:이다.

=== ''p''진 정수환 ===
''p''진 정수환 <math>\mathbb Z_p</math>의 [[집합의 크기]]는 <math>2^{\aleph_0}</math>이다. 즉, [[실수체]]의 크기와 같다.

[[가환대수학]]적으로, ''p''진 정수환은 [[이산 값매김환]]이다 (따라서, [[주 아이디얼 정역]]이자 [[유클리드 정역]]이며, [[크룰 차원]]이 1차원인 [[국소환]]이다). 값군은 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>이며, [[값매김]]은 ''p''진 노름 <math>|\cdot|_p\colon\mathbb Q_p\to\mathbb Z</math>이다.

''p''진 정수환의 [[가역원군]] <math>\mathbb Z^\times_p</math>은 다음과 같다.
:<math>\mathbb Z_p^\times=\mathbb Z_p\setminus(p)=\{a\in\mathbb Z_p\colon|a|_p=0\}</math>
''p''진 정수환의 모든 0이 아닌 원소는 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다.
:<math>a=p^nu\qquad(n\in\mathbb N,u\in\mathbb Z^\times_p)</math>
따라서, ''p''진 정수환의 모든 아이디얼은 다음과 같은 두 꼴 가운데 하나이다.
* <math>(p^n),\;n\in\mathbb N</math>
* <math>(0)</math>
''p''진 정수환의 유일한 [[극대 아이디얼]]은 <math>(p)</math>이다. ''p''진 정수환의 [[소 아이디얼]]은 영 아이디얼과 <math>(p)</math>이다.

''p''진 정수환의 [[몫환]]은 다음과 같다.
:<math>\mathbb Z_p/(p^n)\cong\mathbb Z/(p^n)</math>
:<math>\mathbb Z_p/(0)\cong\mathbb Z_p</math>

''p''진 정수환은 [[국소환]]이므로, 자연스러운 <math>(p)</math>진 위상을 갖추어 [[위상환]]을 이룬다. p진 정수의 덧셈 [[위상군]]의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 ([[이산 위상]]을 갖춘) [[프뤼퍼 군]] <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>이다.

=== ''p''진체 ===
''p''진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* <math>\mathbb Q_p</math>의 [[집합의 크기]]는 <math>|\mathbb Q_p|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c=|\mathbb R|</math>이다. 즉, [[실수체]]의 크기와 같다.
* <math>\mathbb Q_p</math>는 [[유리수체]]를 부분체로 가지는 [[체 (수학)|체]]이다. 그 [[체의 표수]]는 0이다.
* <math>\mathbb Q_p</math>는 순서 구조를 가하여 [[순서체]]로 만들 수 없다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서, ''p''진체 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이지만, [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않다.

=== ''p''진 복소수체 ===
''p''진 복소수체 <math>\mathbb C_p</math>는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
* <math>\mathbb C_p</math>는 대수학적으로 표준 복소수체 <math>\mathbb C</math>와 동형이다. 즉, <math>\mathbb C_p</math>는 <math>\mathbb C</math>에 비표준 [[노름]]을 준 것으로 생각할 수 있다.
** 따라서, <math>|\mathbb C_p|=|\mathbb C|=\mathfrak c</math>이며, [[대수적으로 닫힌 체]]임을 일 수 있다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서, <math>\mathbb C_p</math>는 [[하우스도르프 공간]]이지만 [[국소 콤팩트]]하지 않다.

== 예 ==
''p''진수의 덧셈·뺄셈·곱셈은 ''p''진법 실수의 덧셈·뺄셈·곱셈과 유사하며, 유일한 차이는 소숫점 왼쪽으로 무한한 수의 자릿수가 존재한다는 것 뿐이다. ''p''진법 나눗셈은 조금 다른데, 이 경우 뺄셈을 할 때, 1의 자릿수가 0이 되게 하는 수를 찾아서 뺀다.

예를 들어, 3의 역수 ⅓을 5진수체로 표현하면 [[순환소수|순환]] 5진 정수 <math>1/3=\overline{13}2_5</math>이다. (여기서 자릿수 위의 윗줄은 반복되는 자릿수를 나타낸다.) 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\frac{5^2-1}{3}=\frac{44_5}3 = 13_5; \, \frac{5^4-1}3=\frac{4444_5}3 = 1313_5;\,
\frac{5^6-1}3=\frac{444444_5}3 = 131313_5;\cdots
</math>
::<math>\implies-\frac13=\overline{13}_5=\cdots1313_5</math>
::<math>\implies-\frac23=\overline{13}_5 \times 2 = \overline{31}_5=\cdots3131_5</math>
::<math>\implies\frac13 = -\frac23+1 = \overline{13}2_5=\cdots132_5</math>

이는 직접 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\begin{array}{crl}
&\underline{\cdots3132_5}\\
3)&{\color{White}{\cdots000}}1_5\\
-&\underline{{\color{White}{\cdots00}}11_5}&(=3_5\times2)\\
&\cdots4440_5\\
-&\underline{{\color{White}{\cdots0}}14_5}{\color{White}{0}}&(=3_5\times3)\\
&\cdots430_5{\color{White}{0}}\\
-&\underline{{\color{White}{\cdots0}}3_5}{\color{White}{00}}&(=3_5\times1)\\
&\cdots40_5{\color{White}{00}}\\
-&\underline{\cdots4_5}{\color{White}{000}}&(=3_5\times3)\\
&\cdots0_5{\color{White}{000}}
\end{array}</math>
이는
:<math>
\begin{array}{cr}
\cdots&\overset21\overset13\overset21\overset13\overset21\overset132_5\\
\times&3_5\\
\hline\\
\cdots&000001_5\\
\end{array}</math>
로 검산할 수 있다. (여기서 윗첨자는 올림({{llang|en|carry}})이다.) 소숫점 오른쪽의 자릿수가 모두 0이므로, 이는 5진 정수이다.

== 역사 ==
[[쿠르트 헨젤]]이 [[1897년]]에 [[대수적 수론]]에서 사용하기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last = Hensel | first = Kurt | author-link=쿠르트 헨젤 | title = Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen | journal = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | volume = 6 | year = 1897 | issue = 3 | pages = 83–88 | url = http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN00211612X&L=2 | issn= 0012-0456 | jfm=30.0096.03 | 언어=de}}</ref>

== 응용 ==
원래 [[수론]]에서 도입되었지만, 오늘날 ''p''진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 [[p진 해석학]]은 [[미적분학]]의 ''p''진법 버전이라 할 수 있다.

[[이론물리학]]에서도 ''p''진수가 종종 사용된다.<ref>{{저널 인용|제목=''p''-adic mathematical physics|이름=B.|성=Dragovich|저자2=A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, I. V. Volovich|arxiv=0904.4205|bibcode=2009arXiv0904.4205D|doi=10.1134/S2070046609010014|날짜=2009-03|issn=2070-0466|저널=''p''-Adic Numbers, Ultrametric Analysis, and Applications|권=1|호=1|쪽=1–17}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=math-ph/0306023|제목= Non-Archimedean Geometry and Physics on Adelic Spaces|date=2003-06-09|url=https://archive.org/details/arxiv-math-ph0306023|이름=Branko|성=Dragovich}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0312046|제목=''p''-adic and adelic quantum mechanics|이름=Branko|성=Dragovich}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1011.0912|제목=Nonlocal dynamics of ''p''-adic strings|이름=Branko|성=Dragovich|doi=10.1007/s11232-010-0093-4|bibcode=2010TMP...164.1151D}}</ref>

[[컴퓨터 과학]]에서는 [[유리수]]를 나타내는 한 방법으로 사용된다.<ref>{{저널 인용|성=Hehner|이름=E.C.R.|저자2=R. N. S. Horspool|날짜=1979-05|제목=A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic|저널=Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Computing|권=8|호=2|쪽=124–134|issn=0097-5397|doi=10.1137/0208011}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[P진 해석학]]
* [[2의 보수]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 | 이름= Fernando Q.| 성= Gouvêa| 연도= 1997| 제목= ''p''-adic Numbers : An Introduction| 판= 2 | 출판사= Springer| isbn= 3-540-62911-4|총서=Universitext|issn=0172-5939|doi=10.1007/978-3-642-59058-0 | mr = 1488696 }}
*{{서적 인용 | 이름= Alain M.| 성= Robert| 연도= 2000| 제목= A Course in ''p''-adic Analysis| 출판사= Springer| isbn=  978-1-4419-3150-4| doi = 10.1007/978-1-4757-3254-2 | 총서=Graduate Texts in Mathematics|권=198|issn=0072-5285|mr=1760253}}
* {{서적 인용 |last=Koblitz |first=Neal |year=1996 |title=''p''-adic Numbers, ''p''-adic Analysis, and Zeta-Functions |edition=2 |publisher=Springer |isbn= 978-1-4612-7014-0|series=Graduate Texts in Mathematics|권=58|issn=0072-5285|날짜=1984|doi=10.1007/978-1-4612-1112-9|mr=0754003}}
*{{서적 인용 | 이름= Lynn Arthur| 성= Steen| 연도= 1978| 제목= Counterexamples in Topology| 출판사= Dover| isbn=0-486-68735-X}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=P-adic number}}
* {{매스월드|id=p-adicNumber|title=p-adic number}}
* {{매스월드|id=p-adicInteger|title=p-adic integer}}
* {{매스월드|id=p-adicNorm|title=p-adic norm}}
* {{nlab|id=p-adic number}}
* {{nlab|id=p-adic integer}}
* {{nlab|id=p-adic complex number}}
* {{nlab|id=p-adic geometry}}
* {{nlab|id=p-adic physics}}
* {{웹 인용|url=http://goodmath.scientopia.org/2012/12/12/p-adic-arithmetic/|제목=P-adic arithmetic|이름=Mark|성=Chu-Carroll|웹사이트=Good Math, Bad Math|날짜=2012-12-12|언어=en|확인날짜=2016-04-03|archive-date=2016-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20160326101447/http://goodmath.scientopia.org/2012/12/12/p-adic-arithmetic/}}

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]