{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''쉴로브 기저'''(Sylow基底, {{llang|en|Sylow basis}})는 어떤 군 속의, 서로 (집합으로서) 가환하는, 각 [[소수 (수론)|소수]]에 대한 [[쉴로브 부분군]]들의 족이다. 쉴로브 기저의 존재는 [[유한군]]이 [[가해군]]인 것과 [[동치]]이며, 만약 존재한다면 쉴로브 기저는 켤레 아래 유일하다.

== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]]의 집합을
:<math>\mathbb P = \{2,3,5,7,11,\dotsc\}</math>
로 표기하자.

군 <math>G</math>의 '''쉴로브 기저'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 모든 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, [[쉴로브 부분군|쉴로브 <math>p</math>-부분군]] <math>S_p\in\operatorname{Syl}_p(G)</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>S_pS_q = S_qS_p\qquad\forall p,q \in \mathbb P</math>

[[유한군]] <math>G</math>의 '''홀 부분군'''({{llang|en|Hall subgroup}})은 다음 성질을 만족시키는 부분군 <math>H\le G</math>이다.
* <math>|H|</math>와 <math>|G/H|</math>가 [[서로소 (수론)|서로소]]이다.

[[소수 (수론)|소수]]의 집합 <math>\pi\subseteq\mathbb P</math>가 주어졌을 때,
[[유한군]] <math>G</math>의 '''홀 <math>\pi</math>-부분군'''({{llang|en|Hall <math>\pi</math>-subgroup}})은 다음 성질을 만족시키는 부분군 <math>H\le G</math>이다.
* <math>|H|</math>의 모든 소인수는 <math>\pi</math>에 속하며, <math>|G/H|</math>의 모든 소인수는 <math>\mathbb P\setminus\pi</math>에 속한다.

만약 [[유한군]]의 쉴로브 기저 <math>(S_p)_{p\in\mathbb P}</math> 및 [[소수 (수론)|소수]]의 [[집합]] <math>\pi\subseteq\mathbb P</math>이 주어졌을 때,
:<math>\left\langle \bigcup_{p\in \pi}S_p\right\rangle \le G</math>
는 <math>G</math>의 홀 <math>\pi</math>-부분군이다.

== 성질 ==
=== 존재 ===
유한군 <math>G</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 [[가해군]]이다.
* 임의의 <math>\pi\subseteq\mathbb P</math>에 대하여, 홀 <math>\pi</math>-부분군이 존재한다.
* 임의의 <math>p\in\mathbb P</math>에 대하여, 홀 <math>(\mathbb P\setminus\{p\})</math>-부분군이 존재한다.
* 쉴로브 기저가 존재한다.

=== 유일성 ===
[[유한군|유한]] [[가해군]] <math>G</math>의 임의의 두 쉴로브 계는 서로 켤레 동치이다. 즉, 임의의 두 쉴로브 기저 <math>(S_p)_{p\in\mathbb P}</math>, <math>(S'_p)_{p\in\mathbb P}</math>에 대하여,
:<math>gS_pg^{-1} = S_p\qquad\forall p\in \mathbb P</math>
인 <math>g\in G</math>가 존재한다.

=== 슈어-차센하우스 정리 ===
임의의 유한군 <math>G</math>의 [[정규 부분군|정규]] 홀 부분군 <math>N\vartriangleright G</math>에 대하여, '''슈어-차센하우스 정리'''(Schur-Zassenhaus定理, {{llang|en|Schur–Zassenhaus theorem}})에 따르면,
:<math>NH = HN = G</math>
:<math>N\cap H = \{1\}</math>
인 [[부분군]] <math>H\le G</math>이 존재한다.

== 역사 ==
[[필립 홀]]이 1928년에 가해군에 대한 쉴로브 기저의 존재 및 켤레 아래 유일성을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last=Hall|first= Philip|authorlink=필립 홀|
|title=A note on soluble groups|jfm= 54.0145.01
|journal=Journal of the London Mathematical Society |volume=3|issue= 2
|pages= 98–105 |year=1928|doi=10.1112/jlms/s1-3.2.98|mr=1574393|언어=en}}</ref>

슈어-차센하우스 정리는 [[이사이 슈어]]가 증명하였으며, [[한스 차센하우스]]의 1937년 군론 교재에 최초로 등장하였다.<ref>{{서적 인용|성=Zassenhaus|이름=Hans|저자링크=이사이 슈어|날짜=1937|제목=Lehrbuch der Gruppentheorie|총서=Hamburger Mathematische Einzelschriften|권=21|출판사=Teubner|언어=de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hall subgroup}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Sylow_basis | 제목=Sylow basis | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Hall_subgroup | 제목=Hall subgroup | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Hall's_theorem | 제목=Hall’s theorem | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}
* {{웹 인용 |url=http://www-groups.mcs.st-and.ac.uk/~colva/topics/ch6.pdf |제목=Soluble groups |이름=Colva M. |성=Roney-Dougal |언어=en |확인날짜=2018-02-02 |archive-date=2018-07-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180713134633/http://www-groups.mcs.st-and.ac.uk/~colva/topics/ch6.pdf |url-status= }}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]