{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|제1 범주 집합||[[일반위상수학]]에서의 범주}}
{{대수 구조}}
[[범주론]]에서 '''범주'''(範疇, {{llang|en|category}})는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 '''범주론'''(範疇論, {{llang|en|category theory}})이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 [[컴퓨터 과학]]과 [[수리물리학]]에서도 쓰인다.

==정의==
'''범주''' <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* '''대상'''(對象, {{llang|en|object}})들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>. 이 모임의 원소를 <math>\mathcal C</math>의 ‘대상’이라고 한다.
* 임의의 두 대상 <math>a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>a</math>를 [[정의역]]으로, <math>b</math>를 [[공역]]으로 하는 '''[[사상 (수학)|사상]]'''(寫像, {{llang|en|morphism}})들의 모임 <math>\hom(a,b)</math>. <math>f\in\hom(a,b)</math>에 대하여 <math>f\colon a\to b</math>로 쓰고, <math>f</math>를 ‘<math>a</math>에서 <math>b</math>로 가는 사상’이라고 한다. <math>\mathcal C</math>의 사상의 모임을 <math>\hom(\mathcal C)</math>로 나타낸다.
* 임의의 세 대상 <math>a,b,c\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[이항 연산]] <math>\hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c)</math>. 이를 사상의 '''합성'''(合成, {{llang|en|composition}})이라고 한다. <math>f\colon a\to b</math>와 <math>g\colon b\to c</math>의 합성은 <math>g\circ f</math> 또는 <math>gf</math> 등으로 나타낸다.
* 임의의 대상 <math>a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, 특별한 사상 <math>\operatorname{id}_a\in\hom(a,a)</math>. 이를 <math>a</math>의 '''항등 사상'''(恒等寫像, {{llang|en|identity morphism}})이라고 한다.
이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.
* ([[결합 법칙]]) 임의의 대상 <math>a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd</math>에 대하여, <math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f</math>
* (항등원) 임의의 대상 <math>a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon a\to b</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f</math>

=== 작은 범주 ===
{{본문|작은 범주}}
범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음을 정의한다.
* 만약 <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 <math>\hom(\mathcal C)</math>가 둘 다 [[집합]]인 경우(즉, [[고유 모임]]이 아닌 경우),  <math>\mathcal C</math>를 '''[[작은 범주]]'''라고 한다.
* 만약 임의의 <math>X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)</math>가 [[집합]]인 경우(즉, [[고유 모임]]이 아닌 경우),  <math>\mathcal C</math>를 '''[[국소적으로 작은 범주]]'''({{llang|en|locally small category}})라고 하며, 사상 모임을 '''사상 집합'''(寫像集合, {{llang|en|hom-set}})이라고 한다.
작은 범주가 아닌 범주를 '''큰 범주'''({{llang|en|large category}})라고 한다. [[집합]]과 [[함수]]의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 [[그로텐디크 전체]]를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 <math>\mathcal U</math>에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
* 만약 <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)\in\mathcal U</math>이며 <math>\hom(\mathcal C)\in\mathcal U</math>인 경우,  <math>\mathcal C</math>를 '''<math>\mathcal U</math>-[[작은 범주]]'''라고 한다.
* 만약 임의의 <math>X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)\in\mathcal U</math>인 경우,  <math>\mathcal C</math>를 '''<math>\mathcal U</math>-[[국소적으로 작은 범주]]'''라고 한다.

=== 반대 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''반대 범주'''(反對範疇, {{llang|en|opposite category}}) <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 대상과 같다.
* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서, 대상 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 사상은 <math>\mathcal C</math>에서, <math>Y</math>에서 <math>X</math>로 가는 사상이다. 즉, <math>\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)</math>이다.
반대 범주에서는 [[전사 사상]]이 [[단사 사상]]으로, [[곱 (범주론)|곱]]이 [[쌍대곱]]으로, [[극한 (범주론)|극한]]이 [[쌍대극한]]으로 바뀐다. 만약 [[모노이드]]나 [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]]을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 [[반대 모노이드]] · [[반대군]] · [[반대환]]의 개념의 일반화이다.

== 예 ==
각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 대상 !! 사상 !! 사상 합성 !! 항등 사상
|-
|<math>\text{Set}</math>||[[집합]] || [[함수]] || [[함수의 합성]] || [[항등 함수]]
|-
|<math>\text{Ord}</math>||[[원순서 집합]] || [[단조함수]]|| [[함수의 합성]] || [[항등 함수]]
|-
|<math>\text{Mag}</math>||[[마그마 (수학)|마그마]] ||[[마그마 (수학)|마그마 준동형]]||[[함수의 합성]]  || 항등 준동형
|-
|<math>\text{Grp}</math>||[[군 (수학)|군]] ||[[군 준동형 사상]]||[[함수의 합성]] || 항등 준동형
|-
|<math>\text{Ab}</math>||[[아벨 군]] ||[[군 준동형 사상]]||[[함수의 합성]] || 항등 준동형
|-
|<math>\text{Ring}</math>||[[환 (수학)|환]] ||[[환 준동형 사상]]||[[함수의 합성]] || 항등 준동형
|-
|<math>\text{CRing}</math>||[[가환환]] ||[[환 준동형 사상]]||[[함수의 합성]] || 항등 준동형
|-
|<math>\text{Rng}</math>||[[유사환]] ||[[유사환|유사환 준동형 사상]]||[[함수의 합성]] || 항등 준동형
|-
|<math>R\text{-Mod}</math> (<math>R</math>은 환)
|<math>R</math> 위의 (왼쪽) [[가군]]
|(왼쪽) [[가군 준동형사상|가군 준동형 사상]]
|[[함수의 합성]]
|항등 준동형
|-
|<math>\text{Vect}_K</math> (<math>K</math>는 [[체 (수학)|체]]) ||<math>K</math> 위의 [[벡터 공간]]||[[선형 변환]]||[[함수의 합성]]|| 항등 선형 변환
|-
|<math>\text{Top}</math>||[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]||[[연속 함수]]||[[함수의 합성]]|| 항등 함수
|-
|<math>\text{Man}^\infty</math>
|[[매끄러운 다양체]]
|[[매끄러운 함수]]
|[[함수의 합성]]
|항등 함수
|-
|<math>\text{Cat}</math>|| 작은 범주 ||[[함자 (수학)|함자]]|| 함자의 합성 || 항등 함자
|-
|<math>\text{Rel}</math>||[[집합]]||[[관계 (수학)|관계]]||<math>a\operatorname{({\sim}_2\circ{\sim}_1)}b\iff\exists c\colon a\sim_1 c\sim_2 b</math>|| 등호 <math>=</math>
|-
|[[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math>||<math>P</math>의 원소 ||<math>x\le y</math>이면 <math>\hom(x,y)=\{(x,y)\}</math>, 아니면 <math>\hom(x,y)=\varnothing</math>||<math>(y,z)\circ(x,y)=(x,z)</math>||<math>\operatorname{Id}_x=(x,x)</math>
|-
|[[모노이드]] <math>(M,\cdot,1_M)</math>||<math>\operatorname{ob}(M)=\{\bullet\}</math> (임의의 유일한 대상) ||<math>M</math>의 원소 || 모노이드 이항 연산 <math>m\circ n=m\cdot n</math>|| 모노이드 항등원 <math>1_M</math>
|-
| <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math> (<math>\mathcal C</math>는 임의의 범주) ||<math>\mathcal C</math>의 대상 ||<math>\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)</math>||<math>f\circ_{\mathcal C^{\operatorname{op}}} g=g\circ_{\mathcal C} f</math>||<math>\mathcal C</math>의 항등 사상
|-
|<math>\mathcal D^{\mathcal C}</math> (<math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D
</math>는 임의의 범주)
|<math>\mathcal C</math>에서 <math>\mathcal D</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
|함자들 사이의 [[자연 변환]]
|[[자연 변환]]의 합성
|항등 [[자연 변환]]
|-
| <math>\mathbb 0</math>|| 없음 (공집합) || 없음 (공집합) || ||
|-
|<math>\mathbb 1</math>||<math>\bullet</math> (하나의 대상) ||<math>\operatorname{id}_\bullet</math> (하나의 사상) || ­||<math>\operatorname{id}_\bullet</math>
|-
|<math>\mathbb 2</math>||<math>\{0,1\}</math> (두 개의 대상) ||<math>a\colon 0\to1</math>, <math>\operatorname{id}_0</math>, <math>\operatorname{id}_1</math> (세 개의 사상) || ||<math>\operatorname{id}_0</math>, <math>\operatorname{id}_1</math>
|}

== 역사 ==
범주의 개념은 [[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 1942~1945년 사이에 [[대수적 위상수학]]에서 영감을 얻어 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1990284|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자링크=사무엘 에일렌베르크|공저자=[[손더스 매클레인|Saunders Mac Lane]]|제목=General theory of natural equivalences|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=58|호=2|날짜=1945-09|쪽=231–294}}</ref> 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|범주를 정의한 이유는 [[함자 (수학)|함자]]를 정의하기 위해서이고,  [[함자 (수학)|함자]]를 정의한 이유는 [[자연 변환]]을 정의하기 위해서이다. <br>{{lang|en|[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.}}|<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|18}}}}

== 같이 보기 ==
* [[함자 (수학)]]
* [[자연 변환]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용
 |first=Steve |last=Awodey
 |title=Category Theory
 |url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199587360.do
 |날짜=2010 | 판=2판 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-958736-0 |series=Oxford Logic Guides |volume=49 | zbl=1194.18001|mr=2668552  | 언어=en}}
*{{서적 인용
 |성          = Barr
 |이름       = Michael
 |공저자    = Charles Wells
 |edition      = 3판
 |series       = Reprints in Theory and Applications of Categories
 |title        = Category Theory for Computing Science
 |url          = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |volume       = 22
 |날짜       = 2012
 |zbl          = 1253.18001
 |mr           = 2981171
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2014-09-22
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20150115164028/http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |보존날짜 = 2015-01-15
 |url-status = dead
}}
*{{서적 인용 | 제목 = Introduction to the theory of categories and functors | 출판사 = Wiley | 날짜 = 1968  | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=19 | zbl=0197.29205 | mr=0236236  | 성 = Bucur | 이름=Ion | 공저자=Aristide Deleanu | 언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17abs.html|제목=Abstract and concrete categories: the joy of cats |이름=Jiří |성= Adámek|이름2=Horst|성2=Herrlich|이름3=George|성3=Strecker|저널=Reprints in Theory and Applications of Categories|권=17|날짜=2006|쪽=1–507|zbl=1113.18001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Category}}
* {{매스월드|id=Category|title=Category}}
* {{매스월드|id=CategoryTheory|title=Category theory}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/category|제목=Category|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/|제목=Category theory|웹사이트=Stanford Encyclopedia of Philosophy|출판사=Stanford University|성=Marquis|이름=Jean-Pierre|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1403.7760|제목=Categories and all that — a tutorial|이름=Ernst-Erich|성=Doberkat|bibcode=2014arXiv1403.7760D|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]