{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''칸토어 교점 정리'''(Cantor交點定理, {{llang|en|Cantor’s intersection theorem}})는 점점 작아지는 ([[공집합]]이 아닌) [[콤팩트 집합]]들의 [[수열|열]]의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아니라는 정리이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[닫힌집합]]들로 구성된 [[하향 원순서 집합|하향 집합]] <math>\mathcal K</math>가 주어졌다고 하자. '''칸토어 교점 정리'''에 따르면, <math>\textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing</math>인 것은 <math>\mathcal K\ni\varnothing</math>인 것과 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings|날짜=2014|이름=Jan|성=de Vries|총서=De Gruyter Studies in Mathematics|권=59|isbn=978-3-11-034240-6|url=http://www.degruyter.com/view/product/247435|언어=en|access-date=2016-06-14|archive-date=2016-08-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20160811223143/http://www.degruyter.com/view/product/247435|url-status=dead}}</ref>{{rp|428, Lemma A.2.2}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal K\ni\varnothing</math>이라면 자명하게 <math>\textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing</math>이다. 반대로 <math>\textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing</math>이라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>K_0\in\mathcal K</math>에 대하여, [[하향 원순서 집합|하향 집합]]의 정의에 따라
:<math>\bigcap_{L\in\mathcal K}^{L\subseteq K_0}K=
\bigcap_{K,L\in\mathcal K}^{K\supseteq L\subseteq K_0}
K=\bigcap_{K\in\mathcal K}K=\varnothing</math>
이다. 따라서
:<math>\{K_0\setminus L\colon L\in\mathcal K,\;L\subseteq K_0\}</math>
는 <math>K_0</math>의 [[열린 덮개]]이다. 그런데 <math>K_0</math>는 [[콤팩트 공간]]이므로, 유한 부분 덮개
:<math>\{K_0\setminus L_1,\dots,K_0\setminus L_n\}</math>
를 찾을 수 있다. 그렇다면 [[하향 원순서 집합|하향 집합]]의 정의에 의하여 <math>\{L_1,\dots,L_n\}</math>의 [[하계 (수학)|하계]]
:<math>L\in\mathcal K</math>
:<math>L\subseteq L_1\cap\cdots\cap L_n</math>
를 찾을 수 있다. 그런데 [[덮개 (위상수학)|덮개]]의 정의에 의하여
:<math>L_1\cap\cdots\cap L_n=\varnothing</math>
이므로 <math>L=\varnothing</math>이다.
</div></div>
특히, <math>X</math> 속의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[닫힌집합]]들의 하강 [[수열|열]]
:<math>K_0\supseteq K_1\supseteq K_2\supseteq\cdots</math>
은 [[하향 원순서 집합|하향 집합]]을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 <math>X</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면 모든 [[콤팩트 집합]]이 [[닫힌집합]]이므로, [[닫힌집합]] 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, [[집합]] <math>X</math> 속의 [[부분 집합]]들의 족 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교차성({{llang|en|finite intersection property}})을 만족시킨다고 한다.
* 임의의 유한 부분 집합 <math>S_1,S_2,\dots,S_n\in\mathcal S</math>에 대하여, <math>S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n\ne\varnothing</math>
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>X</math> 속의 임의의 [[닫힌집합]]들의 족 <math>\mathcal S</math>가 유한 교차성을 만족시킨다면, <math>\textstyle\bigcap\mathcal S\ne\varnothing</math>이다.
이로부터 [[하향 원순서 집합|하향 집합]]에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

=== 차분한 공간 ===
[[호프만-미슬러브 정리]]로부터, 칸토어 교점 정리의 [[차분한 공간]] 형태를 유도할 수 있다. [[차분한 공간]] <math>X</math> 속에서, [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]들로 구성된 [[하향 집합]] <math>\mathcal K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Keimel">{{저널 인용
|이름1=Klaus
|성1=Keimel
|이름2=Jan
|성2=Paseka
|제목=A direct proof of the Hofmann-Mislove theorem
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=120
|호=1
|쪽=301–303
|날짜=1994
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2160199
|mr=1195723
|zbl=0789.54030
|arxiv=
|jstor=2160199
}}</ref>{{rp|302, Corollary 2}}<ref name="Martin">{{저널 인용
|이름1=Keye
|성1=Martin
|제목=Nonclassical techniques for models of computation
|언어=en
|저널=Topology Proceedings
|권=24
|호=Summer
|쪽=375–405
|날짜=1999
|issn=0146-4124
|mr=1876383
|zbl=1029.06501
|url=http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v24/tp24219.pdf
|형식=PDF
|보존url=https://web.archive.org/web/20210510085554/http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v24/tp24219.pdf
|보존날짜=2021-05-10
|access-date=2022-05-18
|url-status=live
}}</ref>{{rp|381, Theorem 2.28}}
* <math>\textstyle\bigcap\mathcal K</math> 역시 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]이다.
* 만약 <math>U\subseteq X</math>가 [[열린집합]]이며, <math>\textstyle\bigcap\mathcal K\subseteq U</math>라면, <math>K\subseteq U</math>인 <math>K\in\mathcal K</math>가 존재한다.
* 만약 <math>\textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing</math>라면, <math>\mathcal K\ni\varnothing</math>이다.
{{증명}}
임의의 <math>K\in\mathcal K</math>의 [[열린 근방]] [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal U(K)</math>는 [[열린집합]] [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Open}(X)</math>의 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]]이다. <math>\mathcal K</math>가 [[하향 집합]]이므로,
:<math>\mathcal F=\bigcup_{K\in\mathcal K}\mathcal U(K)</math>
역시 [[스콧 열린집합|스콧 열린]] [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다. [[호프만-미슬러브 정리]]에 의하여, 그 [[교집합]]
:<math>\bigcap\mathcal F=\bigcap_{K\in\mathcal K}\bigcap\mathcal U(K)=\bigcap\mathcal K</math>
는 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]이다. 또한, [[호프만-미슬러브 정리]]에 의하여, <math>\mathcal F</math>는 이 교집합의 [[열린 근방]] [[필터 (수학)|필터]]이다.
:<math>\mathcal F=\mathcal U\left(\bigcap\mathcal K\right)</math>
만약 <math>U</math>가 [[열린집합]]이며, <math>\textstyle\bigcap\mathcal K\subseteq U</math>라면, <math>U\in\mathcal F</math>이므로, <math>U</math>는 어떤 <math>K\in\mathcal K</math>의 [[열린 근방]]이다. 만약 <math>\textstyle\bigcap\mathcal K=\varnothing</math>이라면, <math>U=\varnothing</math>는 어떤 <math>K\in\mathcal K</math>의 [[열린 근방]]이며, 이 경우 <math>K=\varnothing</math>이다.
{{증명 끝}}
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 모든 부분 집합은 [[포화 집합]]이다. 따라서, [[차분한 공간|차분한]] [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 경우 [[포화 집합]] 조건을 생략하여도 좋다.

== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]가 증명하였다. [[칸토어 집합]]은 이 정리를 사용하여 [[공집합]]이 아님을 보일 수 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cantor theorem}}
* {{매스월드|id=CantorsIntersectionTheorem|title=Cantor's intersection theorem}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/|제목=The finite intersection property in compact spaces and countably compact spaces|날짜=2009-11-30|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학 정리]]
[[분류:일반위상수학]]
[[분류:미적분학 정리]]