{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''프로베니우스 다양체'''({{llang|en|Frobenius manifold}})는 [[접공간]]에 [[프로베니우스 대수]]의 구조가 정의된, 평탄한 [[리만 다양체]]이다. 이들은 2차원 [[위상 양자장론]]의 [[모듈라이 공간]]을 나타낸다.

== 역사 ==
보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9407018|제목=Geometry of 2d topological field theories|이름=Boris|성=Dubrovin|zbl=0841.58065|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
편의상 [[아인슈타인 표기법]]을 사용한다.

'''프로베니우스 다양체''' <math>(M,g,A)</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[리만 다양체]] <math>(M,g_{ij})</math>
* 3차 [[텐서장]] <math>A_{ijk}</math>. 이는 두 [[벡터장]]의 곱 <math>(X*Y)^k=A_{ij}{}^kX_iY_j</math>를 정의한다.
이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.
* (평탄성) <math>(M,g)</math>의 [[리만 곡률]]이 0이다. 즉, <math>R_{ij}{}^k{}_l=0</math>이며, 따라서 [[공변 미분]] <math>\nabla</math>이 일반 편미분 <math>\partial</math>과 일치한다.
* (적분가능성) 국소적으로, <math>A_{ijk}=\partial_i\partial_j\partial_k\Phi</math>인 함수 <math>\Phi</math>가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 '''프리퍼텐셜'''({{llang|en|prepotential}}) 또는 '''자유 에너지'''라고 부른다.<ref name="Dijkgraaf">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703136|날짜=1997-03|제목= Les Houches lectures on fields, strings and duality|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|bibcode=1997hep.th....3136D|언어=en}}</ref>{{rp|73}} 이에 따라 <math>A_{ijk}</math>는 완전 대칭이다. 즉, <math>A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}</math>이다.
* (결합성) <math>*</math>는 [[결합법칙]]을 따른다. 즉, <math>(X*Y)*Z=X*(Y*Z)</math>이다. 성분으로 쓰면, <math>A_{ij}{}^lA_{lk}{}^m=A_{il}{}^mA_{jk}{}^l</math>이다.
결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.
:<math>(\partial_i\partial_j\partial_l\Phi)g^{ll'}(\partial_{l'}\partial_k\partial_m\Phi)=(\partial_i\partial_l\partial_m\Phi)g^{ll'}(\partial_j\partial_k\partial_l\Phi)</math>
이를 '''위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식'''({{llang|en|Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation}}) 또는 '''WDVV 방정식'''이라고 하며, [[에드워드 위튼]], [[로베르튀스 데이크흐라프]], [[에릭 페를린더]](Erik Verlinde), [[헤르만 페를린더]](Herman Verlinde)가 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목= Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|doi=10.4310/SDG.1990.v1.n1.a5|저널=Surveys in Differential Geometry|권=1|날짜=1990|쪽=243–310|zbl=0757.53049|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Topological strings in <math>d<1</math>|doi=10.1016/0550-3213(91)90129-L|bibcode=1991NuPhB.352...59D|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|공저자=[[헤르만 페를린더|Herman Verlinde]], [[에릭 페를린더|Erik Verlinde]]|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces|이름=Yuri I.|성=Manin|저자링크=유리 마닌|출판사=American Mathematical Society|총서=Colloquium Publications|권=47|isbn=978-0-8218-1917-3|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=COLL-47|날짜=1999|zbl=0952.14032|언어=en}}
* {{저널 인용|제목= Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds|이름=Boris|성=Dubrovin|arxiv=math/9807034|zbl=0916.32018|bibcode=1998math......7034D|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study|이름=Yu. I.|성=Manin|저자링크=유리 마닌|bibcode=1998math......1006M|arxiv=math/9801006|날짜=1998|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of <math>\mathbb P^r</math>|이름=Yu. I.|성=Manin|저자링크=유리 마닌|공저자=S. A. Merkulov|bibcode=1997alg.geom..2014M|arxiv=alg-geom/9702014|url=http://www.tmna.ncu.pl/files/v09n1-06.pdf|저널=Topological Methods in Nonlinear Analysis|권=9|호=1|쪽=107–161|날짜=1997-03|zbl=0908.53011|언어=en|확인날짜=2013-10-22|보존url=https://web.archive.org/web/20131022045107/http://www.tmna.ncu.pl/files/v09n1-06.pdf|보존날짜=2013-10-22|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Manifolds with multiplication on the tangent sheaf|이름=Yu. I.|성=Manin|저자링크=유리 마닌|arxiv=math/0502578|bibcode=2005math......2578M|zbl=1268.14049|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Introduction to Frobenius manifolds. Notes for the MRI master class 2009|날짜=2009|이름=Eduard|성=Looijenga|url=http://www.staff.science.uu.nl/~looij101/frobenius.pdf|언어=en|확인날짜=2013-10-22|보존url=https://web.archive.org/web/20131022052648/http://www.staff.science.uu.nl/~looij101/frobenius.pdf|보존날짜=2013-10-22|url-status=dead}}

[[분류:리만 다양체]]
[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:적분가능계]]