{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|행진}}
{{다른 뜻 넘어옴|행렬론|이론물리학 용어|행렬 이론}}
[[파일:Matrix ko.svg|섬네일|행렬의 각 성분은 보통 그 행과 열의 번째수를 나타내는 첨자로 표기한다. 예를 들어, 행렬 <math>A</math>의 3번째 행의 2번째 열에 있는 성분은 <math>a_{32}</math>이다.]]
[[수학]]에서 '''행렬'''(行列, {{llang|en|matrix}})은 [[수 (수학)|수]] 또는 [[다항식]] 등을 [[직사각형]] 모양으로 [[배열]]한 것이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref><ref name="Kharab">{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref> 예를 들어, 실수 1, 9, −13, 20, 5, −16을 2×3 직사각형 위에 배열한 행렬은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
1  & 9 & -13 \\
20 & 5 & -16
\end{pmatrix}</math>

행렬에는 덧셈과 [[스칼라 곱셈|스칼라배]], 곱셈 연산이 존재한다. 크기가 같은 두 행렬은 같은 위치의 성분별로 더할 수 있으며, 첫째 행렬의 열과 둘째 행렬의 행의 수가 같은 두 행렬은 첫째 행렬의 각 행벡터와 둘째 행렬의 각 열벡터의 [[스칼라곱]]을 통해 곱할 수 있다. 곱셈의 [[교환 법칙]]이나 [[소거 법칙]] 등 [[복소수]]의 일부 성질들은 행렬 연산에서 더 이상 성립하지 않는다. [[가환환]] 위의 유한 차원 [[자유 가군]](특히, [[체 (수학)|체]] 위의 유한 차원 [[벡터 공간]])의 [[선형 변환]]을 행렬로 유일하게 표현할 수 있으며, 이는 행렬의 중요한 응용이다. 예를 들어, 3차원 [[유클리드 공간]]의 [[회전]]은 [[회전 행렬]] <math>R</math>을 각 열벡터 <math>v</math>에 곱하여 새 열벡터 <math>Rv</math>를 얻는 함수이다. 행렬의 덧셈과 스칼라배는 선형 변환의 점별 덧셈과 점별 스칼라배, 행렬의 곱셈은 선형 변환의 [[함수의 합성|합성]]에 대응한다. 행렬은 [[가우스 소거법]] 등 [[연립 일차 방정식]]의 풀이에도 응용된다.<ref name="Kharab" />{{rp|97}} [[정사각 행렬]]과 그 선형 변환의 일부 성질들은 그 [[행렬식]] 또는 [[고윳값]]과 [[고유 벡터]]에서 반영된다. 예를 들어, [[가환환]]의 원소를 성분으로 하는 행렬이 [[역행렬]]을 가질 [[필요 충분 조건]]은 행렬식이 [[가역원]]인 것이며, 특히 [[체 (수학)|체]]의 경우 필요 충분 조건은 행렬식이 0이 아닌 것이다.

행렬은 과학과 수학의 수많은 분야에서 다양한 응용이 있다. [[물리학]]의 [[전기 회로]] 이론, [[고전역학]], [[광학]], [[전자기학]], [[양자역학]], [[양자 전기역학]] 등 분야에서 응용되며, [[컴퓨터 그래픽스]]에서 3차원 이미지를 2차원 평면에 투영하거나 사실적인 움직임을 그려내기 위해 사용한다. [[확률론]]과 [[통계학]]의 [[마르코프 행렬]]과 [[다변수 미적분학]]의 [[헤세 행렬]] 등 역시 행렬의 응용이다. 행렬 계산은 [[수치해석학]]의 중요한 문제 중 하나이다. [[행렬 분해]]는 행렬 계산을 이론과 실제 응용에서 모두 단순화할 수 있다. [[희소행렬]], [[띠행렬]] 등 널리 사용되는 특수한 구조의 행렬들의 경우 특화된 고속 알고리즘들이 존재한다. [[천체물리학]]과 [[양자물리학]] 등 분야에서는 무한 행렬도 등장한다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> '''행렬'''은 각 행 <math>i\in\{1,\dotsc,m\}</math> 및 열 <math>j\in\{1,\dotsc,n\}</math>의 [[순서쌍]] <math>(i,j)</math>에 환의 원소 <math>A_{ij}\in R</math>를 대응시키는 [[함수]] <math>A=(A_{ij})_{i,j}</math>이다.<ref name="Kharab" />{{rp|98}}

행렬 <math>A</math>는 모든 성분을 직사각형으로 배열한 다음 [[소괄호]] 또는 [[대괄호]]를 추가하여
:<math>\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} &\cdots & A_{1n} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} &\cdots & A_{2n} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33} &\cdots & A_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{m1} & A_{m2} & A_{m3} &\cdots & A_{mn}
\end{pmatrix}</math>
또는
:<math>\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} &\cdots & A_{1n} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} &\cdots & A_{2n} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33} &\cdots & A_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{m1} & A_{m2} & A_{m3} &\cdots & A_{mn}
\end{bmatrix}</math>
와 같이 표기한다.

각 <math>A_{ij}</math>를 <math>A</math>의 <math>i</math>번째 행 <math>j</math>번째 열의 '''성분'''(成分, {{llang|en|entry}}) 또는 '''원소'''(元素, {{llang|en|element}}) 또는 '''계수'''(係數, {{llang|en|coefficient}})라고 한다. 행렬 <math>A</math>의 각 성분은 행과 열의 번째수를 첨수로 사용하여 <math>A_{ij}</math>, <math>A_{i,j}</math>, <math>a_{ij}</math>, <math>a_{i,j}</math>, <math>A(i,j)</math>, <math>A[i,j]</math> 등과 같이 나타낸다. 행과 열의 번째수가 같은 성분 <math>A_{ii}</math> (<math>i\in\{1,\dotsc,\min\{m,n\}\}</math>)을 <math>A</math>의 '''대각 성분'''(對角成分, {{llang|en|diagonal entry}}) 또는 '''대각 원소'''(對角元素, {{llang|en|diagonal element}}) 또는 '''대각 요소'''(對角要素) 또는 '''[[주대각선]]''' 성분이라고 한다.<ref name="Kharab" />{{rp|99}}

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬의 집합은 <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math> 또는 <math>\operatorname M_{m,n}(R)</math>로 표기한다.

=== 크기 ===
행렬 <math>A</math>의 '''크기'''({{llang|en|size}})는 행과 열의 수의 [[순서쌍]] <math>(m,n)</math> 또는 <math>m\times n</math>을 뜻한다. 일부 특수한 크기의 행렬들은 특별한 이름으로 불린다.
* 만약 행과 열의 수가 같다면 (<math>m=n</math>), <math>A</math>를 '''정사각 행렬'''(正四角行列, {{llang|en|square matrix}}) 또는 '''정방 행렬'''(正方行列)이라고 한다. [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬의 집합은 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math> 또는 <math>\operatorname M_n(R)</math>로 표기한다.
* 만약 <math>m=1</math>이라면, <math>A</math>를 <math>1\times n</math> '''행벡터'''(行-, {{llang|en|row vector}})라고 한다.
* 만약 <math>n=1</math>이라면, <math>A</math>를 <math>m\times 1</math> '''열벡터'''(列-, {{llang|en|column vector}})라고 한다.

특히, 행렬 <math>A</math>의 <math>i</math>번째 행벡터와 <math>j</math>번째 열벡터는 각각
:<math>A_{i,-}=\begin{pmatrix} A_{i1} & A_{i2} &\cdots A_{in} \end{pmatrix}</math>
와
:<math>A_{-,j}\begin{pmatrix} A_{1j} \\ A_{2j} \\ \vdots \\ A_{mj} \end{pmatrix}</math>
이며, 이를 통해 행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>A
=\begin{pmatrix} A_{1,-} \\ A_{2,-} \\ \vdots \\A_{m,-} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A_{-,1} & A_{-,2} &\cdots & A_{-,n} \end{pmatrix}
</math>

== 연산 ==
행렬들에 대하여 덧셈, 스칼라배, 곱셈, [[전치 행렬]] 등의 연산을 정의할 수 있으며, 정사각 행렬은 [[역행렬]], [[대각합]], [[행렬식]] 등 연산이 추가로 정의된다. 덧셈은 같은 크기의 두 행렬에 대해서만 정의되며, 곱셈은 오직 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같은 경우에만 정의된다.<ref name="Kharab" />{{rp|99}} [[역행렬]]은 [[가역 행렬|가역]] 정사각 행렬에 대하여 정의되며, [[행렬식]]은 [[가환환]] 위의 정사각 행렬에 대하여 정의된다.

=== 덧셈과 스칼라배 ===
{{본문|행렬 덧셈}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 두 <math>m\times n</math>의 행렬 <math>A,B\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의 합 <math>A+B\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>은 두 행렬을 성분별로 합한 <math>m\times n</math> 행렬이다. 즉, 각 행과 열 <math>i</math>, <math>j</math>에 대하여,
:<math>(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}</math>
이다.

실수 행렬의 예는 다음과 같다.
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    1 & 0 & 0
  \end{pmatrix}
+
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 7+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 12 \\
    8 & 5 & 0
  \end{pmatrix}
</math>

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math>의 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math> 및 환의 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, 왼쪽·오른쪽 스칼라배 <math>rA,Ar\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>는 각각 행렬의 각 성분의 왼쪽·오른쪽에 스칼라를 곱한 <math>m\times n</math> 행렬이다.
:<math>(rA)_{ij}=rA_{ij}</math>
:<math>(Ar)_{ij}=A_{ij}r</math>
만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우, 이 두 연산은 일치하며, 이를 스칼라배라고 부른다.

실수 행렬의 예는 다음과 같다.
:<math>2
  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
    2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{pmatrix}
</math>

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬의 집합 <math>\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>은 위 덧셈과 왼쪽·오른쪽 스칼라배에 따라 <math>(R,R)</math>-[[쌍가군]]을 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우, 이는 (덧셈과 스칼라배에 따른) <math>R</math>-[[가군]]이 되며, 특히 만약 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]일 경우 <math>R</math>-[[벡터 공간]]이다. 이 [[쌍가군]]의 덧셈 [[항등원]]은 '''[[영행렬]]'''(즉, 모든 성분이 0인 행렬)
:<math>0_{m\times n}=\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
이며, 각 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의 덧셈 [[역원]]은 성분별 덧셈 역원
:<math>-A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
:<math>(-A)_{ij}=-A_{ij}</math>
이다.

특히, 두 행렬 <math>A,B\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의 차를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>A-B=A+(-B)\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬의 <math>(R,R)</math>-[[쌍가군]] <math>A,B\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>는 왼쪽 가군으로서 <math>mn</math>차원 왼쪽 [[자유 가군]]을 이루며, 오른쪽 가군으로서 <math>mn</math>차원 오른쪽 [[자유 가군]]을 이룬다. <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우 <math>mn</math>차원 자유 <math>R</math>-가군이다. 그 한 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 다음과 같다.
:<math>E_{ij}\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>
:<math>(E_{ij})_{kl}=\delta_{ik}\delta_{jl}=
  \begin{cases}
    1 & i=k\land j=l \\
    0 & i\ne k\lor j\ne l
  \end{cases}
</math>
:<math>i\in\{1,\dotsc,m\}</math>
:<math>j\in\{1,\dotsc,n\}</math>

=== 곱셈 ===
{{본문|행렬 곱셈}}
[[파일:Matrix multiplication diagram.svg|섬네일|행렬 곱셈]]
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>와 <math>n\times p</math> 행렬 <math>B\in\operatorname{Mat}(n,p;R)</math>의 곱 <math>AB\in\operatorname{Mat}(m,p;R)</math>는 <math>m\times p</math> 행렬이며, 그 <math>i</math>번째 행 <math>j</math>번째 열 성분은 <math>A</math>의 <math>i</math>번째 행벡터와 <math>B</math>의 <math>j</math>번째 열벡터의 ‘[[스칼라곱]]’이다 (둘 모두 <math>n</math>차원 벡터이므로 ‘스칼라곱’이 정의된다).
:<math>(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots A_{in}B_{nj}</math>

다음은 실수 행렬의 예다.
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1 & 1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0 \\
    -1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1 & -1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2
  \end{pmatrix}
</math>

행벡터와 열벡터
:<math>A=\begin{pmatrix} A_{1,-} \\ A_{2,-} \\ \vdots \\A_{m,-} \end{pmatrix}</math>
:<math>B=\begin{pmatrix} B_{-,1} & B_{-,2} &\cdots & B_{-,n} \end{pmatrix}</math>
를 통해 행렬 곱셈을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>AB
=\begin{pmatrix} A_{1,-}B \\ A_{2,-}B \\ \vdots \\A_{m,-}B \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} AB_{-,1} & AB_{-,2} &\cdots & AB_{-,n} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
A_{1,-}B_{-,1} & A_{1,-}B_{-,2} & \cdots & A_{1,-}B_{-,p} \\
A_{2,-}B_{-,1} & A_{2,-}B_{-,2} & \cdots & A_{2,-}B_{-,p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{m,-}B_{-,1} & A_{m,-}B_{-,2} & \cdots & A_{m,-}B_{-,p}
\end{pmatrix}
</math>

행렬 곱셈은 [[결합 법칙]]을 만족시킨다. 즉, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 임의의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math> 및 <math>n\times p</math> 행렬 <math>B\in\operatorname{Mat}(n,p;R)</math> 및 <math>p\times q</math> 행렬 <math>C\in\operatorname{Mat}(p,q;R)</math>에 대하여,
:<math>(AB)C=A(BC)</math>
가 성립한다.

행렬 곱셈은 함수
:<math>\operatorname{Mat}(m,n;R)\oplus\operatorname{Mat}(n,p;R)\to\operatorname{Mat}(m,p;R)</math>
로서 <math>(R,R)</math>-쌍선형 함수를 이룬다.

특히, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 정사각 행렬들의 <math>(R,R)</math>-[[쌍가군]] <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 그 위의 행렬 곱셈에 따라 <math>R</math>-[[결합 대수]]를 이룬다. 특히 [[환 (수학)|환]]을 이루며, '''[[행렬환]]'''(行列環, {{llang|en|matrix ring}})이라고 한다. 행렬환의 곱셈 [[항등원]]은 '''[[단위 행렬]]'''(즉, 모든 대각 성분이 1, 그 밖의 성분이 0인 행렬)
:<math>1_{n\times n}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>
이다.

==== 교환 법칙과 소거 법칙의 실패 ====
행렬환은 일반적으로 [[가환환]]이 아니다. 즉, 행렬 곱셈의 [[교환 법칙]]은 ([[체 (수학)|체]]의 경우에도) 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 2×2 행렬의 경우
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    0 & 3
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    0 & 0
  \end{pmatrix}
</math>
이지만
:<math>
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 \\
    0 & 3
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 0
  \end{pmatrix}
</math>
이다.

물론 [[교환법칙|가환]]하는 두 행렬도 존재한다. 예를 들어, [[가환환]] 위의 [[스칼라 행렬]]은 (같은 크기의) 모든 행렬과 가환한다. 또한, [[가환환]] <math>R</math> 및 정사각 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여,
:<math>R[A]=\{p(A)\colon p\in R[x]\}\subseteq\operatorname{Mat}(n;R)</math>
는 [[가환환]]이다.

행렬환은 일반적으로 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 [[영인자]]를 갖는다. 즉, 0이 아닌 두 행렬의 곱은 0일 수 있으며, [[소거 법칙]]이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 행렬에서
:<math>
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 \\
    -2 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 \\
    2 & 6
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
  \end{pmatrix}
</math>
이다.

==== 역행렬 ====
행렬환 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 [[가역원]]은 '''[[가역 행렬]]'''이라고 하며, 그 곱셈 [[역원]]은 '''[[역행렬]]'''이라고 한다. 일반적으로 행렬환은 ([[체 (수학)|체]] 위에서도) 0이 아닌 비[[가역 행렬]]을 갖는다. 예를 들어, 실수 2×2 정사각 행렬
:<math>\begin{pmatrix}
0 & 5 \\
0 & 3
\end{pmatrix}</math>
은 [[가역 행렬]]이 아니다.

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우, 가역 행렬은 [[행렬식]]이 환의 가역원인 것과 [[동치]]이며, 특히 [[체 (수학)|체]]의 경우 [[행렬식]]이 0이 아닌 것과 [[동치]]이다. 또한, [[가역 행렬]] <math>A\in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;R))</math>의 [[역행렬]]은 [[행렬식]]과 [[수반 행렬]]을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>A^{-1}=\frac 1{\det A}\operatorname{adj}A</math>

=== 전치 행렬 ===
{{본문|전치 행렬}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의 '''[[전치 행렬]]''' <math>A^\top\in\operatorname{Mat}(n,m;R)</math>는 행과 열을 교환한 <math>n\times m</math> 행렬이다. 즉, 각 <math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math> 및 <math>j\in\{1,\dotsc,m\}</math>에 대하여,
:<math>(A^\top)_{ij}=A_{ji}</math>
이다.<ref name="Kharab" />{{rp|99}}

다음은 실수 행렬의 예다.
:<math>
  \begin{pmatrix}
    9 & 8 & 7 \\
    -1 & 3 & 4
  \end{pmatrix}^\top
=
  \begin{pmatrix}
    9 & -1 \\
     8 & 3 \\
    7 & 4
  \end{pmatrix}
</math>
이다.

전치 행렬은 함수
:<math>^\top\colon\operatorname{Mat}(m,n;R)\to\operatorname{Mat}(n,m;R)</math>
로서 <math>(R,R)</math>-[[쌍가군]] [[동형]]을 이루며, 그 [[역함수]] 또한 ([[정의역]]과 [[공역]]이 뒤바뀐) 전치 행렬이다.

또한, 임의의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math> 및 <math>n\times p</math> 행렬 <math>B\in\operatorname{Mat}(n,p;R)</math>에 대하여,
:<math>(AB)^\top=B^\top A^\top</math>
이다.

특히, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 정사각 행렬의 <math>R</math>-[[결합 대수]] <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math> 위에서, [[전치 행렬]]은 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>와 그 [[반대환]] <math>\operatorname{Mat}(n;R)^{\operatorname{op}}</math> 사이의 [[대합 (수학)|대합]] <math>R</math>-[[결합 대수]] [[동형]]이며, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우 <math>\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 전치 행렬에 따라 <math>R</math>-[[대합 대수]]를 이룬다.

=== 대각합 ===
{{본문|대각합}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 '''[[대각합]]'''은 모든 대각 성분들의 합이다.
:<math>\operatorname{tr}A=\sum_{i=1}^nA_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots+A_{nn}\in R</math>

대각합
:<math>\operatorname{tr}\colon\operatorname{Mat}(n;R)\to R</math>
는 <math>(R,R)</math>-[[선형 변환]]을 이룬다. 또한, 임의의 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 그 대각합은 그 [[전치 행렬]]의 대각합과 같다.
:<math>\operatorname{tr}(A^\top)=\operatorname{tr}A</math>

만약 <math>R</math>가 [[가환환]]일 경우, 임의의 두 행렬 <math>A,B\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 두 행렬의 곱의 대각합은 곱하는 순서와 무관하게 같다.
:<math>\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)</math>

=== 행렬식 ===
{{본문|행렬식}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>의 '''[[행렬식]]'''은 다음과 같다.
:<math>\det A=\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(n)}\sgn\sigma\prod_{i=1}^nA_{i,\sigma(i)}\in R</math>
여기서 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[대칭군]]이며, <math>\sgn\sigma</math>는 [[순열의 부호]]이다. 행렬 <math>A</math>의 행렬식은 <math>\det A</math>, <math>|A|</math>, <math>\operatorname D(A)</math> 등으로 표기한다. 특히, 2×2 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(2;R)</math>의 행렬식은 다음과 같다.
:<math>\det A=
  \begin{vmatrix}
    A_{11} & A_{12} \\
    A_{21} & A_{22}
  \end{vmatrix}
=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}</math>

행렬식은 <math>n</math>개의 행벡터(또는 열벡터)의 함수
:<math>\det\colon\operatorname{Mat}(n;R)=\underbrace{\operatorname{Mat}(1,n;R)\oplus\cdots\oplus\operatorname{Mat}(1,n;R)}_n\to R</math>
로서, [[단위 행렬]]의 [[상 (수학)|상]]이 1인 유일한 <math>R</math>-[[교대 다중 선형 형식]]이다. 또한, 행렬식은 두 환의 곱셈 [[모노이드]] 사이의 준동형이며, [[전치 행렬]]에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 <math>A,B\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여,
:<math>\det(AB)=\det A\det B</math>
:<math>\det A^\top=\det A</math>
이다.

행렬식은 [[크라메르 공식]]에서 사용된다.

=== 부분 행렬과 소행렬식 ===
{{본문|부분 행렬}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;R)</math>의, 행과 열의 집합
:<math>I=\{i_1,i_2,\dotsc,i_{|I|}\}\subseteq\{1,\dotsc,m\}\qquad(i_1<i_2<\cdots<i_{|I|})</math>
:<math>J=\{j_1,j_2,\dotsc,j_{|J|}\}\subseteq\{1,\dotsc,n\}\qquad(j_1<j_2<\cdots<j_{|J|})</math>
에 속하는 행과 열을 취한 '''[[부분 행렬]]'''은 다음과 같다.
:<math>A_{I,J}=
  \begin{pmatrix}
    A_{i_1,j_1} & A_{i_1,j_2} & \cdots & A_{i_1,j_{|J|}} \\
    A_{i_2,j_1} & A_{i_2,j_2} & \cdots & A_{i_2,j_{|J|}} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{i_{|I|},j_1} & A_{i_{|I|},j_2} & \cdots & A_{i_{|I|},j_{|J|}}
  \end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(|I|,|J|;R)
</math>
특히,
* <math>A</math>의 <math>I</math>에 대한 '''[[주부분 행렬]]'''은 부분 행렬 <math>A_{I,I}</math>를 뜻한다.<ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref>{{rp|24, §1.3.3}}
* <math>A</math>의 <math>k\times k</math> '''[[선행 주부분 행렬]]'''은 부분 행렬 <math>A_{\{1,\dotsc,k\},\{1,\dotsc,k\}}</math>를 뜻한다.<ref name="Golub" />{{rp|24, §1.3.3}}
* <math>A</math>의 <math>i</math>번째 '''[[행벡터]]'''는 <math>A_{i,\{1,\dotsc,n\}}</math>이다.
* <math>A</math>의 <math>j</math>번째 '''[[열벡터]]'''는 <math>A_{\{1,\dotsc,m\},j}</math>이다.
[[가환환]] 위의 행렬의 부분 [[정사각 행렬]]의 [[행렬식]]을 '''[[소행렬식]]'''이라고 한다.

== 예 ==
몇몇 특수한 행렬들은 다음이 있다.
* [[영행렬]]
* [[단위 행렬]]
* [[스칼라 행렬]]
* [[대각 행렬]]
* [[삼각 행렬]]
* [[대칭 행렬]]
* [[반대칭 행렬]]
* [[직교 행렬]]
* [[에르미트 행렬]]
* [[반에르미트 행렬]]
* [[유니터리 행렬]]
* [[정규 행렬]]
* [[정부호 행렬]]

== 역사와 어원 ==
1848년 수학에 처음으로 [[제임스 조지프 실베스터|실베스터]]가 사용한 '''행렬(matrix)'''이라는 단어의 [[어원]]은 해부학에서 [[자궁]](子宮,모체母體)을 뜻한다.  행렬식에 대해서 행렬의 의미를 표현한 것으로 전해진다.<ref>고등기하와 벡터, 성지출판 (<math>\mathbf{I}</math> 일차변환과 행렬) 수학이야기-행렬과 행렬식30p</ref>

== 같이 보기 ==
* [[텐서]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Matrix}}
* {{매스월드|id=Matrix|제목=Matrix}}
* {{nlab|id=matrix|제목=Matrix}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:행렬| ]]