{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Connected and disconnected spaces.svg|섬네일|250px|<math>A</math>는 유클리드 평면의 연결 부분 공간이며, <math>B</math>는 비연결 부분 공간이다.]]
[[일반위상수학]]에서 '''연결 공간'''(連結空間, {{llang|en|connected space}})은 [[공집합]]이 아닌 두 [[열린집합]]으로 쪼갤 수 없는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''연결 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 두 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>U\cup V=X</math>이며 <math>U\cap V=\varnothing</math>이라면, <math>U</math>와 <math>V</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다.
* <math>X</math>의 두 [[닫힌집합]] <math>E,F\subseteq X</math>에 대하여, <math>E\cup F=X</math>이며 <math>E\cap F=\varnothing</math>이라면, <math>E</math>와 <math>F</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다. (이는 [[열린집합]]의 [[여집합]]이 [[닫힌집합]]과 일치하기 때문이다.)
* 만약 <math>X=X_1\cup X_2</math>이며 <math>X_1\cap\operatorname{cl}(X_2)=\operatorname{cl}(X_1)\cap X_2=\varnothing</math>이라면, <math>X_1</math>과 <math>X_2</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다.
* <math>X</math>의 [[열린닫힌집합]](=[[경계 (위상수학)|경계]]가 공집합인 부분 집합)은 정확히 두 개가 있다. (이는 <math>X</math>와 <math>\varnothing</math>이다.)
* [[공집합]]이 아니며, 모든 [[연속 함수]] <math>X\to\{0,1\}</math>은 [[상수 함수]]이다. 여기서 <math>\{0,1\}</math>은 두 개의 점을 갖는 [[이산 공간]]이다.
연결 공간이 아닌 공간을 '''비연결 공간'''(非連結空間, {{llang|en|disconnected space}})이라고 한다.

=== 연결 성분 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 그 연결 부분 공간들의 집합은 포함 관계에 따라서 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 또한, 주어진 점 <math>x_0\in X</math>을 포함하는 모든 연결 부분 공간들의 부분 순서 집합은 [[최대 원소]]를 가지며, 이를 <math>x_0</math>의 '''연결 성분'''(連結成分, {{llang|en|connected component}})이라 한다. 각 연결 성분들은 [[서로소 집합|서로소]]이며, <math>X</math>는 그 연결 성분들의 [[서로소 합집합]]이다.

연결 성분은 항상 [[닫힌집합]]이지만, [[열린집합]]일 필요는 없다. 예를 들어 [[실수]]에 [[하극한 위상]]이 주어졌을때, 연결성분은 한원소 집합이다. 이는 닫힌집합일 뿐이다

=== 경로 연결 공간 ===
[[파일:Path-connected space.svg|섬네일|위 유클리드 평면의 부분 공간에 포함된 임의의 두 점을 경로로 연결할 수 있으므로 이는 경로 연결 공간이다.]]
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 임의의 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,1]\to X</math>가 존재할 경우, <math>X</math>를 '''경로 연결 공간'''(經路連結空間, {{llang|en|path-connected space}})이라 한다.
* <math>f(0)=x</math>이며 <math>f(1)=y</math>이다.
이러한 조건을 만족시키는 함수를 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 '''[[경로 (위상수학)|경로]]'''라고 한다.

두 점 사이를 잇는 경로가 존재하는지 여부는 <math>X</math> 위의 [[동치 관계]]를 정의한다. 이 동치 관계의 [[동치류]]는 부분 공간 위상 아래 경로 연결 공간을 이루며, 이를 '''경로 연결 성분'''(經路連結成分, {{llang|en|path-connected component}})이라고 한다. 경로 연결 성분은 일반적으로 연결 성분보다 더 작다.

=== 호 연결 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 임의의 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 [[연속 함수]] <math>f\colon[0,1]\to X</math>가 존재할 경우, <math>X</math>를 '''호 연결 공간'''(弧連結空間, {{llang|en|arc-connected space}})이라 한다.
* <math>f(0)=x</math>이며 <math>f(1)=y</math>이다.
* <math>f</math>는 [[매장 (수학)|매장]]이다. 즉, <math>f</math>는 <math>[0,1]</math>과 <math>f([0,1])\subset X</math> 사이의 [[위상 동형]]이다.
이러한 조건을 만족시키는 함수를 <math>x</math>와 <math>y</math> 사이의 '''호'''(弧, {{llang|en|arc}})라고 한다.

== 성질 ==
=== 연결성 · 경로 연결성 · 호 연결성이 동치일 조건 ===
모든 경로 연결 공간은 연결 공간이며, 모든 호 연결 공간은 경로 연결 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:호 연결 공간 ⊊ 경로 연결 공간 ⊊ 연결 공간 ⊊ [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]

[[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 경로 연결 공간이다.
* <math>X</math>는 호 연결 공간이다.
그러나 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이 존재한다.

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 <math>X</math>의 경우 다음이 서로 동치이다.
* <math>X</math>는 연결 공간이다.
* <math>X</math>는 경로 연결 공간이다.
(두 개 이상의 점을 갖는 유한 위상 공간은 절대로 호 연결 공간일 수 없다.)

[[국소 경로 연결 공간]] <math>X</math>의 경우, 다음이 서로 동치이다.
* <math>X</math>는 연결 공간이다.
* <math>X</math>는 경로 연결 공간이다.

[[국소 콤팩트]] [[국소 연결 공간|국소 연결]] [[거리화 가능 공간]] <math>X</math>의 경우, 다음이 서로 동치이다.<ref>{{서적 인용|성=Cullen|이름=Helen Frances|제목=Introduction to general topology|출판사=Heath and Company|날짜=1968|zbl=0164.23301|언어=en}}</ref>{{rp|327}}
* <math>X</math>는 연결 공간이다.
* <math>X</math>는 경로 연결 공간이다.
* <math>X</math>는 호 연결 공간이다.
특히, [[유클리드 공간]]의 [[열린집합]]은 [[국소 콤팩트]] [[국소 연결 공간|국소 연결]] [[거리화 가능 공간]]이므로, 이 경우 세 조건이 일치한다.

=== 연속 함수에 대한 상 ===
두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>X</math>가 연결 공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 연결 공간이다.
* 만약 <math>X</math>가 경로 연결 공간이라면 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math> 또한 경로 연결 공간이다.

=== 거리 공간 ===
연결 [[거리화 가능 공간]] <math>X</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 1 이하이거나 <math>2^{\aleph_0}</math> 이상이다.
:<math>|X|=0\lor|X|=1\lor|X|\ge2^{\aleph_0}</math>
{{증명}}
연결 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>가 서로 다른 두 점 <math>x,y\in X</math>를 갖는다고 하자. 함수 <math>f\colon z\mapsto d(x,z)</math>는 [[연속 함수]] <math>X\to[0,\infty)</math>이며, 따라서 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math>은 [[구간]]이다. <math>0,d(x,y)\in f(X)</math>이므로 <math>(0,d(x,y))\subseteq f(X)</math>이다. 따라서,
:<math>2^{\aleph_0}=|f(X)|\le|X|</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, 다음 세 조건을 생각하자.
* <math>Y</math>는 연결 공간이다.
* <math>X</math>의 두 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>Y\subseteq U\cup V</math>이며 <math>U\cap V\cap Y=\varnothing</math>이라면, <math>U\cap Y</math>와 <math>V\cap Y</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다.
* <math>X</math>의 두 [[열린집합]] <math>U,V\subseteq X</math>에 대하여, <math>Y\subseteq U\cup V</math>이며 <math>U\cap V=\varnothing</math>이라면, <math>U\cap Y</math>와 <math>V\cap Y</math> 가운데 정확히 하나가 [[공집합]]이다.
연결 공간과 [[부분공간 위상]]의 정의에 따라, 첫 번째 조건과 두 번째 조건은 서로 [[동치]]이다. 이 조건은 자명하게 세 번째 조건을 함의하지만, 세 번째 조건을 만족시키는 부분 집합이 연결 공간일 필요는 없다. <math>X</math>가 [[거리화 가능 공간]]인 경우, 위 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Brown">{{서적 인용
|이름1=Ronald
|성1=Brown
|제목=Topology and groupoids. A geometric account of general topology, homotopy types and the fundamental groupoid
|언어=en
|판=3차 개정 증보판
|날짜=2006
|isbn=1-4196-2722-8
|zbl=1093.55001
}}</ref>{{rp|72, Exercise 3.2.6}}
{{증명}}
임의의 연결 집합은 자명하게 세 번째 조건을 만족시킨다. 이제, [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 비연결 집합 <math>Y\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>Y\subseteq E\cup F</math>
:<math>E\cap F\cap Y=\varnothing</math>
:<math>E\cap Y\ne\varnothing</math>
:<math>F\cap Y\ne\varnothing</math>
인 두 [[닫힌집합]] <math>E,F\subseteq X</math>이 존재한다. 이제
:<math>U=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)<d(x,F\cap Y)\}</math>
:<math>V=\{x\in X\colon d(x,E\cap Y)>d(x,F\cap Y)\}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>U,V\subseteq X</math>는 [[열린집합]]이며, <math>U\cap V=\varnothing</math>이다. 만약 <math>x\in E\cap Y</math>, <math>y\in F\cap Y</math>라면,
:<math>d(x,E\cap Y)=0<d(x,F)\le d(x,F\cap Y)</math>
:<math>d(y,F\cap Y)=0<d(y,E)\le d(y,E\cap Y)</math>
이다. 즉, <math>x\in U</math>, <math>y\in V</math>이다. 따라서,
:<math>\varnothing\ne E\cap Y\subseteq U\cap Y</math>
:<math>\varnothing\ne F\cap Y\subseteq V\cap Y</math>
:<math>Y=(E\cap Y)\cup(F\cap Y)\subseteq U\cup V</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[공집합]]은 자명하게 연결 공간이며, 또한 경로 연결 공간이자 호 연결 공간이다.
* [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 역시 자명하게 (경로/호) 연결 공간이다.
* [[실직선]] <math>\mathbb R</math>은 연결 공간이다.
* 연결 [[위상체]]에 대한 모든 [[위상 벡터 공간]]은 연결 공간이다. 특히, 모든 [[유클리드 공간]]은 연결 공간이다.
* [[이산 값매김환]]의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 두 개의 점을 갖는 위상 공간 <math>\{0,1\}</math>이며, 그 [[기저 (위상수학)|기저]]는 <math>\{\{1\}, \{0,1\}\}</math>이다. 이는 연결 공간이다.

비연결 공간의 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>, [[무리수]]의 집합 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>, 및 ([[순서 위상]]을 부여한) [[초실수]]의 집합 <math>{}^*\mathbb R</math>는 연결 공간이 아니며, [[완전 분리 공간]]이다.
* [[집합의 크기|크기]]가 2 이상인 [[이산 공간]]은 연결 공간이 아니며, [[완전 분리 공간]]이다.
* [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>은 두 개의 연결 성분을 가진다. 이들은 각각 [[행렬식]]이 양수·음수인 [[가역 행렬]]들로 구성된다.

모든 크기의 [[비이산 공간]]은 경로 연결 공간이지만, 크기가 2 이상인 비이산 공간은 호 연결 공간이 아니다.

=== 경로 연결 공간이 아닌 연결 공간 ===
[[긴 직선]] L*나 [[위상수학자의 사인 곡선]]은 연결 공간이지만 경로 연결 공간이 아니다.

=== 호 연결 공간이 아닌 경로 연결 공간  ===
크기가
<math>2\le|X|<2^{\aleph_0}</math>
인 경로 연결 공간 <math>X</math>는 호 연결 공간일 수 없다. 적어도 두 개의 점을 가지려면, 두 점 사이의 호가 존재하여야 하는데, 호는 <math>2^{\aleph_0}</math>개의 점을 포함하기 때문이다. 예를 들어, [[가산 집합]]에 [[비이산 위상]]을 주면, 이는 경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아니다.

경로 연결 공간이지만 호 연결 공간이 아닌 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 예로, [[전순서 집합]] <math>[0,\infty)</math>에 원소 <math>0'</math>을 다음과 같이 추가하여 [[부분 순서 집합]]으로 만들자.
:<math>0'<a \quad \forall a\in(0,\infty)</math>
:<math>0'\not<0,\quad 0'\not>0</math>
여기에 [[순서 위상]]을 준 공간은 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이며 경로 연결 공간이지만, [[하우스도르프 공간]]이 아니며 호 연결 공간도 아니다. 이는 <math>0</math>과 <math>0'</math> 사이에 경로가 존재하지만, 호는 존재하지 않기 때문이다.

=== 환의 스펙트럼 ===
(단위원을 갖는) [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}(R)</math>는 연결 공간이다.
* <math>R</math>의 모든 유한 생성 [[사영 가군]]은 상수 계수({{llang|en|rank}})를 갖는다.
* 모든 <math>r\in R</math>에 대하여, 만약 <math>r^2=r</math>라면, <math>r=0</math>이거나 <math>r=1</math>이다.
* 만약 <math>R\cong R_1\times R_2</math>인 [[가환환]] <math>R_1</math>, <math>R_2</math>가 존재한다면, <math>R_1</math> 또는 <math>R_2</math>는 [[자명환]]이다.

=== 구간 ===
{{본문|구간}}
[[실직선]] <math>\mathbb R</math>의 부분 집합 <math>S\subset\mathbb R</math>의 경우 다음이 서로 동치이다.
* <math>S</math>는 연결 공간이다.
* <math>S</math>는 경로 연결 공간이다.
* <math>S</math>는 호 연결 공간이다.
* <math>S</math>는 [[구간]]이다. 즉, <math>a\le b</math>이며 <math>S\in\{[a,b],(a,b],[a,b),(a,b)\}</math>인 <math>a,b\in[-\infty,\infty]</math>가 존재한다. ([[공집합]]은 <math>a>b</math>인 구간으로 간주한다.)

== 관련 개념 ==
연결 공간은 대역적인 개념이다. 만약 연결 공간의 개념을 국소화한다면 (즉, 모든 점의 연결 공간인 [[근방]]들이 [[국소 기저]]를 이룬다면),  '''[[국소 연결 공간]]'''의 개념을 얻는다.

연결 공간은 또한 0차 [[베티 수]]가 1인 공간으로 볼 수 있다. 이 조건을 1차 베티 수에도 적용시키면 '''[[단일 연결 공간]]'''의 개념을 얻으며, 보다 일반적으로 모든 [[호모토피]] 불변량이 자명하다면 '''[[축약 가능 공간]]'''의 개념을 얻는다.

연결 공간의 조건에서, [[열린집합]]을 [[닫힌집합]]으로 바꾸고, 서로소인 조건을 없애면 '''[[기약 공간]]'''의 개념을 얻는다. 이는 매우 강한 조건으로서, [[하우스도르프 공간]]의 조건과 호환되지 않는다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Connected space}}
* {{eom|title=Path-connected space}}
* {{eom|title=Locally path-connected space}}
* {{매스월드|id=ConnectedSpace|title=Connected space}}
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* {{매스월드|id=Arcwise-Connected|title=Arcwise-connected}}
* {{nlab|id=connected space|title=Connected space}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:대수적 위상수학]]