{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴|정수열|대한민국 방송인|정수열 (1950년)}}[[파일:Cauchy sequence illustration2.svg|섬네일|오른쪽|300px|실수의 무한수열]]

[[수학]]에서 '''수열'''(數列) 또는 '''열'''(列, {{lang|en|sequence}})은 [[수 (수학)|수]] 또는 다른 대상의 순서 있는 나열이다.<ref>{{매스월드|id=Sequence|title=Sequence}}</ref> 나열 순서를 생각해야 하고 중복이 허용된다는 점에서 [[집합|집]]합과 구분된다. 양의 [[홀수|짝수]]의 크기 순 나열 2, 4, 6, 8, ...은 수열의 예이다. 수열은 [[자연수]]의 집합에 정의된 [[함수]]라고 할 수 있다.

== 정의 ==
=== 수열의 항 ===
수열을 이루는 구성원을 수열 '''항'''({{lang|en|term}}) 또는 '''원소'''({{lang|en|element}})라고 한다. 수열은 항의 유형에 따라 [[자연수]]열, [[실수]]열, 점렬, [[함수]]열, [[집합]]열 등으로 나뉜다. 처음으로 오는 항을 '''첫째항'''({{lang|en|first term}}) 또는 '''첫항''', '''초항'''이라고 부르며, 둘째, 셋째, 넷째, ...로 오는 항을 '''둘째항''', '''셋째항''', '''넷째항''', ..., 다르게는 '''제2항''', '''제3항''', '''제4항''', ...이라고 부른다.

수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 '''길이'''({{lang|en|length}})라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, [[무한]]할 수도 있으며, 길이가 유한하면 '''유한수열'''({{lang|en|finite sequence}}), 무한하면 '''무한수열'''({{lang|en|infinite sequence}})이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 '''끝항'''({{lang|en|final term}}) 또는 '''마지막항''', '''말항'''이라고 부른다.

특정되지 않은 일반적인 '''제''n''항'''({{lang|en|nth term}})을 수열의 '''일반항'''이라고 한다. 많은 경우에 ''n''과 제''n''항 사이의 관계 규칙은 [[수식]]으로 표현 가능하다. 예를 들어 1, 3, 5, ...처럼 홀수를 오름차순으로 나열한 수열의 일반항은 <math>2n - 1</math>이다. 여기의 ''n''에 임의의 자연수를 대입하면, 수열의 아무 번째 항의 값을 알아낼 수 있다.

자연수는 일부 문헌에서는 1부터, 일부 문헌에서는 0부터 시작한다. 만약 0부터 시작한다고 정할 경우 수열에서 처음 오는 항은 '제0항'이 된다

=== 수열의 표현 ===
수열의 원소를 순서대로 나열하는 것은 수열의 한 가지 표현법이다. 홀수열은 1, 3, 5, ...와 같이 표현할 수 있다. <math>\{1,\ 3,\ 5,\ \dots\}</math> 또는 <math>(1,\ 3,\ 5,\ \dots)</math>처럼 괄호를 씌워도 된다.

구체적으로 지정되지 않은 수열은 그 항들을 첨자가 달린 변수로 나타내어 (무한수열의 예를 들면) <math>a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots</math> , 또는 <math>\{a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots\}</math> , <math>(a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots)</math>와 같이 표현된다. 이때 수열의 일반항은 <math>a_n</math>이며, 이를 이용해 수열을 (집합의 [[조건제시법]]과 유사하게) <math>\{a_n\}</math> 또는 <math>(a_n)</math>으로 표현할 수 있다. 첨자의 범위를 명시하기 위해 <math>\{a_n\}_{n \in \N}</math> 또는 <math>\{a_n\}_{n=1}^{\infty}</math> 등으로 표현하기도 한다.

일반항을 구체적인 수식으로 표현할 수 있는 수열, 이를테면 홀수열은, 일반항을 괄호 안에 집어넣어 <math>\{2n - 1\}</math>과 같이도 표현한다. 일반항에 관한 공식 <math>a_n = 2n - 1</math>이 수열을 확정짓기 충분하기에, 공식 자체를 수열의 표기로 삼기도 한다.

=== 함수로서의 정의 ===
수열은 더 엄밀히는 자연수 전체 또는 앞의 ''n''개의 집합을 [[정의역]]으로 하는 [[함수]] <math>n \mapsto a_n</math>으로 정의된다. 즉, 각 자연수 <math>n</math>의 함수값을 수열의 제''n''항 <math>a_n</math>으로 정의한 함수이다. 실수열의 예를 들면, 수열 1, 1/2, 1/3, ..., 1/''n'', ...은 곧 함수 <math>a : \N \to \R,\ n \mapsto 1/n</math>와 같다.

=== 귀납적으로 정의된 수열 ===
{{참고|점화식|귀납적 정의}}

구체적인 수열을 정의하는 방법 중 하나는 귀납적 정의법이다. 먼저 처음 몇 항의 값을 정하고, 그 뒤로는 각 항을 앞의 항에 의존한 관계식을 통해 정의한다. 일반항 공식에 의한 수열의 정의가 임의의 ''a<sub>n</sub>''과 ''n'' 사이의 관계를 사용한다면, 귀납적 정의는 각 ''a<sub>n</sub>''을 ''a''<sub>1</sub>부터 ''a''<sub>''n'' - 1</sub>까지의 항들로 나타낸 식을 사용한다. 일부 수열의 경우, 일반항은 귀납적 관계보다 간명하지 않거나, 더 발견되기 어렵다.

[[피보나치 수열]] (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)은 귀납적 정의할 수 있는 수열의 전형적인 예이다. 처음 두 항은 둘 다 1이고, 셋째 항 뒤부터는 두 인접 항을 더한 합을 그 바로 다음항으로 정의한다. 즉,

:<math>a_1 = a_2 = 1,</math>
:<math>a_{n+2} = a_{n+1} + a_n.</math>

피보나치 수열의 일반항 공식

:<math>a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\,\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right)</math>

은 귀납적 정의보다 훨씬 더 복잡하고 알아내기 어렵다.

수열의 귀납적 정의의 유효성은 [[자연수 위의 귀납 정리]]가 보장한다.

== 예 ==
다음 두 (유한) 수열은 한국어의 자음 일곱 개가 정확히 한 번씩 나오지만, 순서가 달라 다른 수열이다.

: ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ
: ㄴ, ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ

다음 두 (무한) 수열은 양의 홀수 전체를 나열하지만, 3의 중복 여부가 달라 다른 수열이다.

: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
: 1, 3, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

다음은 몇 가지 [[정수열]]의 예이다.

:{|
|-
|2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
|양의 짝수열. 각 항 간의 [[뺄셈|차]]가 일정하다. ([[등차수열]])
|-
|3, 9, 27, 81, 243, ...
|3의 거듭제곱들의 수열. 각 항 간의 [[비 (수학)|비]]가 일정하다. ([[등비수열]])
|-
|2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
|[[소수 (수론)|소수]]열.
|-
|7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ...
|"''a<sub>n</sub>'' = (7<sup>''n''</sup>의 일의 자리의 숫자)"로 정의되는 수열.
|-
|3, 7, 5, 4, -1, ...
|규칙이 뚜렷하지 않은 수열.
|-<!-- 
|1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
|[[삼각수]]열, 즉 ''a<sub>n</sub>'' = ''n''(''n'' + 1)/2
|- -->
|1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ...
|[[사각수]]열, 즉 ''a<sub>n</sub>'' = ''n''<sup>2</sup>
|-
|0, 0, 0, 24, 120, 360, 840, ...
|''a<sub>n</sub>'' = ''n''(''n'' - 1)(''n'' - 2)(''n'' - 3)로 정의되는 수열.
|}

== 수열의 성질 ==
다음은 주로 실수열의 예를 들어 설명한, 수열의 여러 속성들이다.

=== 단조성 ===
{{본문|단조수열}}

실수열 <math>\{a_n\}</math>이 모든 <math>m > n</math>인 두 자연수 <math>m,n</math>에 대해 <math>a_m \ge a_n</math>을 만족시킬 때, <math>\{a_n\}</math>을 단조증가수열이라고 한다. 반대로 모든 <math>m > n</math>인 두 자연수 <math>m,n</math>에 대해 <math>a_m \le a_n</math>을 만족시킬 때 단조감소수열이라고 한다. 이 둘과 동등한 조건은 각각 <math>a_{n+1} \ge a_n</math> 또는 <math>a_{n+1} \le a_n</math>이 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 성립한다는 것이다.

홀수열 <math>a_n = 2n - 1</math>은 단조증가수열의 예이다: <math>1 < 3 < 5 < 7 < \dots</math>

순증가 또는 순감소수열은, 단조증가 또는 감소하면서 같은 값에 두 번 이상 머무르지 않는 수열이다.

수열의 단조성은, 실수 이외에도 [[부분순서|순서구조]]가 정립된 곳에서 값을 취하는 수열에 대해 정의 가능하다.

=== 유계성 ===
{{본문|유계집합}}

실수 또는 다른 순서가 정의된 대상의 열 <math>\{a_n\}</math>의 모든 항이 어떤 일정한 값(상계라 부른다)보다 작을 때, 즉 <math>\exists M</math>이어서 <math>\forall n\in\N</math>에 대해 <math>a_n \le M</math>일 때, <math>\{a_n\}</math>이 위로 유계라고 한다. 모든 항이 하계라 불리는 어떤 값 <math>M</math>보다 클 때 아래로 유계라고 한다. 위로도 아래로도 유계인 수열, 또는 이와 동등한 조건인 <math>|a_n| \le M,\ n\in\N</math>을 만족하는 수열을 유계수열이라고 한다.

수열 <math>a_n = \frac{1}{n}</math>은 유계수열의 예이다. <math>0 < a_n \le 1</math>이 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 성립하기에 그렇다.

=== 수렴성 ===
{{본문|수열의 극한}}
실수열 <math>\{a_n\}</math>이 단조수열이면서 유계일 때, [[단조 수렴 정리 (수열)|단조 수렴 정리]]({{lang|en|monotone convergence theorem}})에 의해 항상 [[수렴]]한다. 실수열 <math>\{a_n\}</math>에 대해 <math>n</math>이 한없이 커질 때, 그리고 그 일반항 <math>a_n</math>이 어떤 상수 <math>L</math>에 한없이 가까워지면, '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 극한 <math>L</math>로 수렴한다'''라고 한다. 기호로는
:<math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math>
과 같이 나타낸다. 반대로, 수열 <math>\{a_n\}</math>이 수렴하지 않을 때 '''수열 <math>\{a_n\}</math>이 발산한다'''고 한다. 이는 다음과 같은 경우로 나뉜다.

* 양의 무한대로 발산, 즉 <math>n</math>이 커짐에 따라 <math>a_n</math>이 한없이 커짐. <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \infty</math>로 표기.
* 음의 무한대로 발산, 즉 <math>n</math>이 커짐에 따라 <math>a_n</math>이 한없이 작아짐. <math>\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty</math>로 표기.
* 진동 발산, 즉 상수로도, 양과 음의 무한대로도 한없이 가까워지지 않음.

수열 <math>a_n = \frac{1}{n}</math>은 수렴수열의 예이다.

:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0</math>

== 수열로부터 새 수열 만들기 ==
=== 부분수열 ===
{{본문|부분수열}}

수열 <math>\{a_n\}</math>의 부분수열은, 나열 순서가 변하지 않은 채로 일부 항을 제거해 얻는 새로운 수열이다. 더 정확히는 <math>\{a_{n_k}\}</math> (<math>n_k</math>는 순증가 자연수열) 꼴로 표현되는 수열을 뜻한다. 예를 들어 [[소수 (수론)|소수]]열 (2, 3, 5, 7, ...)은 자연수열 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)의 부분수열이다.

=== 계차수열 ===
{{본문|계차수열}}

수열 <math>\{a_n\}</math>의 계차수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>은 제''n''항을 바로 다음 항에서부터 뺀 [[뺄셈|차]] <math>a_{n+1} - a_n</math>를 일반항으로 하는 수열이다. 계차수열의 계차수열 <math>\{\Delta^2 a_n\}</math>을 2계차수열이라고 하고, 비슷하게 3, 4, ...계차수열이 정의된다.

수열 <math>a_n = n^2</math>의 계차수열은 <math>\Delta a_n = 2n + 1</math>, 2, 3계차수열은 <math>\Delta^2 a_n = 2</math>, <math>\Delta^3 a_n = 0</math>이다.

=== 수열의 합, 급수 ===
{{본문|총합|급수}}

수열 <math>\{a_n\}</math>의 제1항부터 제''n''항까지의 합

:<math>\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n</math>

은, ''n'' = 1, 2, 3, ...를 취할 때 새로운 수열 <math>\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}</math>을 이룬다. 이를 때로는 '''부분합 수열'''이라고 한다.

계차수열이 쉽게 구해지는 것과 다르게, 수열의 합 공식은 일반적으로 쉽게 찾을 수 없으며, 여러 가지 기교와 정형화된 방법이 요구된다. 수열의 합 공식의 예로는 1부터 ''n''까지의 자연수의 합 공식이 있다.

:<math>\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}</math>

부분합 수열 <math>\left\{\sum_{k=1}^n a_k\right\}</math>이 수열로서 상수 <math>L</math>로 수렴할 때, 무한급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math>이 <math>L</math>로 수렴한다고 하고 이를 <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n = L</math>과 같이 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[등차수열]]
* [[등비수열]]
* [[계차수열]]
* [[점화식]]
* [[급수 (수학)|급수]]
* [[차분]]
* [[그물 (수학)]]
* [[필터 (수학)]]
* [[순열]]
* [[온라인 정수열 사전]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [[wikiversity:Algebra in plain view|수열 슬라이드 자료]] (위키버시티)

{{급수}}
{{전거 통제}}

[[분류:수열| ]]
[[분류:초등 수학]]