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[[범주론]]에서 '''국소화'''(局所化, {{llang|en|localization}})는 [[범주 (수학)|범주]]의 일부 [[사상 (수학)|사상]]들을 [[동형 사상]]으로 만드는 과정이다.

== 정의 ==
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 및 그 속의 사상들의 집합 <math>\mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>\mathfrak W</math>가 모든 [[동형 사상]]을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자.

그렇다면, <math>\mathcal C</math>의 <math>\mathfrak W</math>에서의 '''국소화''' <math>L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>는 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 범주이다.
* 임의의 [[작은 범주]] <math>\mathcal D</math> 및 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>에 대하여, 만약 <math>F</math>가 <math>\mathfrak W</math>에 속하는 모든 사상을 <math>\mathcal D</math>의 [[동형 사상]]으로 대응시킨다면, <math>D\simeq U\circ L</math>인 함자 <math>U\colon\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\to\mathcal D</math> 및 [[자연 동형]] <math>F\Rightarrow U\circ L</math>이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal C&\xrightarrow L&\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]\\
&{\scriptstyle F}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists U\\
&&\mathcal D
\end{matrix}</math>
[[작은 범주]]의 국소화는 항상 존재하며, [[보편 성질]]의 성질에 따라서 [[범주의 동치]] 아래 유일하다.

(만약 <math>\mathfrak W</math>가 모든 [[동형 사상]]을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약 <math>\bar{\mathfrak W}</math>를 위 성질에 대한 폐포라고 한다면, <math>\mathcal C[\bar{\mathfrak W}^{-1}]</math>는 <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>와 같은 [[보편 성질]]을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 <math>\mathfrak W</math>가 위 성질들을 만족시킨다고 가정할 수 있다.)

=== 집합론적 문제 ===
[[작은 범주]]의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, [[국소적으로 작은 범주]]의 국소화는 (만약 존재한다면) [[국소적으로 작은 범주]]가 아닐 수 있다.

만약 [[그로텐디크 전체]]를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 [[그로텐디크 전체]]에 의존할 수 있다.

만약 범주가 [[모형 범주]]의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 [[약한 동치]]에서의 국소화를 구성할 수 있다.

== 구성 ==
[[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>와, [[동형 사상]]을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합 <math>\mathfrak W\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 알파벳 집합
:<math>\Sigma=\operatorname{Mor}(\mathcal C)\sqcup\{\bar w\colon w\in\mathfrak W\}</math>
의 원소가 사상 <math>f\in\operatorname{Mor}\mathcal C</math> 또는 각 <math>w\in\mathfrak W</math>에 대하여 형식적 기호 <math>\bar w</math>로 구성되었다고 하자. <math>a\in\Sigma</math>에 대하여 다음을 정의하자.
* 만약 <math>a\in\operatorname{Mor}\mathcal C</math>라면, <math>\operatorname{dom}a</math>는 <math>a</math>의 [[정의역]]이며 <math>\operatorname{codom}a</math>는 <math>a</math>의 [[공역]]이다.
* 만약 <math>w\in\mathfrak W</math>라면, <math>\operatorname{dom}\bar w=\operatorname{codom}w</math>이며 <math>\operatorname{codom}\bar w=\operatorname{dom}w</math>이다.

<math>\Sigma</math> 위의 [[문자열]]
:<math>a_0a_1a_2\cdots a_k\in\Sigma^*</math>
가 다음 두 성질을 만족시킨다면, '''지그재그'''({{llang|en|zigzag}})라고 한다. (<math>\Sigma^*</math>는 [[클레이니 스타]]이다.)
* 길이가 1 이상이다.
* 모든 <math>i\in\{1,\dots,k\}</math>에 대하여, <math>\operatorname{dom}a_{i-1}=\operatorname{codom}a_i</math>이다.
지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.
:<math>\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\cdots\to\bullet</math>
(여기서 <math>\overset\sim\to</math>는 <math>\mathfrak W</math>에 속한 사상을 뜻한다.) 즉, 순방향으로는 임의의 사상을 사용할 수 있지만, 역방향으로는 항상 <math>\mathfrak W</math>의 원소만을 사용한다.

이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 [[동치 관계]]를 부여하자.
* 임의의 문자열 <math>s_1,s_2\in\Sigma^*</math>에 대하여, (만약 <math>s_1</math> 및 <math>s_2</math> 가운데 하나가 양의 길이를 갖는다면) <math>s_1\operatorname{id}_Xs_2\sim s_1s_2\sim s_1\overline{\operatorname{id}_X}s_2</math>
* 임의의 문자열 <math>s_1,s_2\in\Sigma^*</math> 및 <math>f,g\in\operatorname{Mor}\mathcal C</math>에 대하여, <math>s_1fgs_2\sim s_1(f\circ g)s_2</math>
* 임의의 문자열 <math>s_1,s_2\in\Sigma^*</math> 및 <math>w,w'\in\mathfrak W</math>에 대하여, <math>s_1\bar w'\bar ws_2\sim s_1\overline{w\circ w'}s_2</math>
*임의의 문자열 <math>s_1,s_2\in\Sigma^*</math> 및 <Math>w\in\mathfrak W</math>에 대하여,
*:<math>s_1w\bar ws_2\sim s_1\operatorname{id}_{\operatorname{dom}\bar w}s_2</math>
*:<math>s_1\bar wws_2\sim s_1\operatorname{id}_{\operatorname{dom}w}s_2</math>
* 임의의 문자열 <math>s_1,s_2\in\Sigma^*</math> 및 사상 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>f'\colon X'\to Y'</math> 및 <math>w_X\colon X\to X'</math>, <math>w_Y\colon Y\to Y'</math>이 주어졌고, <math>w_Xf'=fw_Y</math>이며 <math>w_X,w_Y\in\mathfrak W</math>일 때, <math>s_1 f'\bar w_Ys_2\sim s_1\bar w_Xf s_2</math>
*:<math>\begin{matrix}
\bullet&\overset\sim\to&\bullet\\
{\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle f'}\\
\bullet&\underset\sim\to&\bullet
\end{matrix}</math>

그렇다면, '''국소화''' <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>는 다음과 같은 범주이다.
* <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 대상과 같다.
* <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>의 사상은 <math>(\mathcal C,\mathfrak W)</math>의 지그재그의 동치류이다.
* 지그재그 <math>a_0a_1\cdots a_n</math>의 정의역은 <math>a_n</math>의 정의역이며, 공역은 <math>a_0</math>의 공역이다.
* <math>X\in\mathcal C</math>의 항등 사상은 지그재그 <math>\operatorname{id}_X</math>의 동치류이다.

=== 오레 조건 ===
[[환 (수학)|환]]의 [[국소화 (환론)|국소화]]를 [[오레 조건]]을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 '''오레 조건'''을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다.

[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 및 그 속의 사상 모임 <math>\mathfrak W</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면, '''오른쪽 오레 조건'''이 성립한다고 한다. (여기서, <math>\mathfrak W</math>의 원소를 <math>\overset\sim\to</math>로 표기하였다.)
* <math>\mathfrak W</math>는 모든 [[동형 사상]]을 포함한다.
* <math>\mathfrak W</math>는 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다.
* 임의의 그림 <math>X\to Y\overset\sim\leftarrow Y'</math>에 대하여, 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 <math>X\overset\sim\leftarrow X'\to Y'</math>이 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
X&\underset{\exists}{\overset\sim\leftarrow}&X'\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\exists\\
Y&\underset\sim\leftarrow&Y'
\end{matrix}</math>
* 임의의 <math>X\underset g{\overset f{\rightrightarrows}}Y\underset w{\overset\sim\to}Y'</math>에 대하여, 만약 <math>w\circ f=w\circ g</math>라면, <math>f\circ v=g\circ v</math>가 되는 <math>X'\underset v{\overset\sim\to}X</math>가 존재한다.

'''오른쪽 지붕'''({{Llang|en|right roof}})은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
:<math>\bullet\overset\sim\leftarrow\bullet\to\bullet</math>
같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕
:<math>
\begin{matrix}
&&\bullet\\
&{^\sim}\!\swarrow&&\searrow\\
\bullet&&&&\bullet\\
&{_\sim}\!\nwarrow&&\nearrow\\
&&\bullet
\end{matrix}
</math>
에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.
:<math>\begin{matrix}
&&\bullet\\
&{^\sim}\!\swarrow&\uparrow&\searrow\\
\bullet&\overset\sim\leftarrow&\bullet&&\bullet\\
&{_\sim}\!\nwarrow&\downarrow&\nearrow\\
&&\bullet
\end{matrix}</math>

만약 <math>(\mathcal C,\mathfrak W)</math>가 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다면, 지그재그의 동치류는 오른쪽 지붕의 동치류와 일대일 대응하며, 따라서 사상을 오른쪽 지붕으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 '''왼쪽 오레 조건'''({{llang|en|left Ore condition}})을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 '''왼쪽 지붕'''({{llang|en|left roof}})으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.

=== 모형 범주 ===
{{본문|모형 범주}}
[[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>가 주어졌다고 하자. 그 '''호모토피 범주''' <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>는 다음과 같다.
* <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것이다.
* <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>의 사상은 <math>\mathcal C</math>의 [[호모토피류]]이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)

그렇다면, 국소화 <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>는 호모토피 범주  <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.

특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은 <math>\mathcal C</math>가 [[작은 범주]]가 아니더라도 [[국소적으로 작은 범주]]라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.

== 성질 ==
일반적으로, 국소화 함자 <math>L\colon\mathcal C\to\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>는 [[충실한 함자]]도, [[충만한 함자]]도 아니다. 예를 들어, 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math> 및 <math>w\colon Y\to Y'</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ w=g\circ w</math>이지만 <math>f\ne g</math>라면, 국소화 함자 <math>L</math> 아래 <math>Lf=Lg</math>가 된다.
:<math>\bullet\underset g{\overset f\rightrightarrows}\bullet\overset\sim\to\bullet</math>
이는 <math>\mathcal C</math>에서 <math>w</math>가 [[단사 사상]]이 아니더라도, <math>\mathcal C[\mathfrak W^{-1}]</math>에서는 항상 [[동형 사상]]이므로 특히 [[단사 사상]]이 되기 때문이다.

== 예 ==
[[아벨 범주]]의 [[유도 범주]]는 [[유사동형]]의 모임에 대한 국소화이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피 범주]]는 위상 공간의 범주를 [[호모토피 동치]] 또는 [[약한 호모토피 동치]]에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 [[작은 범주]]가 아니지만, 호모토피 범주는 [[모형 범주]] 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.

임의의 [[아벨 다양체]] ''A''에서 ''B''로 가는 [[등원 사상]](isogeny)은 유한 [[핵 (수학)|핵]]을 갖는 [[전사 함수]]이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, ''등원한 차이를 제외한 아벨 다양체''(abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 ''A''의 아벨 부분 다양체 ''A<sub>1</sub>''에 대하여 
:''A<sub>1</sub>'' &times; ''A<sub>2</sub>''
가 ''A''와 ''등원한(isogenous)'' 부분 다양체 ''A<sub>2</sub>''가 존재한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Localization in categories}}
* {{nlab|id=localization|title=Localization}}
* {{nlab|id=calculus of fractions |title=Calculus of fractions }}
* {{nlab|id=two-out-of-three|title=Two-out-of-three}}
* {{nlab|id=two-out-of-six property|title=Two-out-of-six property}}

== 같이 보기 ==
* [[국소화 (환론)]]
* [[바우스필드 국소화]]

[[분류:범주론]]
[[분류:호모토피 이론]]