{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:PI constant.svg|섬네일|370x370픽셀|[[원주율]]({{pi}})은 잘 알려진 초월수이다.]]
'''초월수'''(超越數, {{llang|en|Transcendental number}})는 [[수학]]에서 [[대수학]]적이지 않은 수, 즉 [[유리수]] [[계수]]를 가지는 0이 아닌 유한 차수 다항 [[방정식]]의 [[근 (수학)|해]]가 될 수 없는 수를 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 {{pi}}([[원주율]])과 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]])이다.<ref>{{웹 인용|url=http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/trans.html|제목=The 15 Most Famous Transcendental Numbers - Cliff Pickover|웹사이트=sprott.physics.wisc.edu|확인날짜=2020년 1월 23일}}</ref><ref>{{서적 인용|성1=Shidlovskii|이름1=Andrei B.|제목=Transcendental numbers|날짜=2011년 6월|출판사=Walter de Gruyter|isbn=9783110889055|쪽=1}}</ref>

현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 [[가산 집합]]을 구성하는 반면 [[실수]]의 [[집합]], [[복소수]]의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 [[유리수]]가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 [[무리수]]이다.<ref name="numbers">{{서적 인용|성1=Bunday|이름1=B. D.|성2=Mulholland|이름2=H.|제목=Pure Mathematics for Advanced Level|날짜=2014년 5월 20일|출판사=Butterworth-Heinemann|isbn=978-1-4831-0613-7|url=https://books.google.com/books?id=02_iBQAAQBAJ|확인날짜=2021년 3월 21일|언어=영어}}</ref><ref>{{저널 인용|성1=Baker|이름1=A.|제목=On Mahler's classification of transcendental numbers|저널=Acta Mathematica|연도=1964년|권=111|쪽=97–120|doi=10.1007/bf02391010|s2cid=122023355|url=https://projecteuclid.org/journals/acta-mathematica/volume-111/issue-none/On-Mahlers-classification-of-transcendental-numbers/10.1007/BF02391010.full|확인날짜=2021년 3월 21일|doi-access=free}}</ref><ref>{{ArXiv 인용|성1=Heuer|이름1=Nicolaus|성2=Loeh|이름2=Clara|제목=Transcendental simplicial volumes|날짜=2019년 11월 1일|분류=math.GT|eprint=1911.06386}}</ref><ref>{{웹 인용|제목=Real number {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/real-number|확인날짜=2020년 8월 11일|웹사이트=Encyclopedia Britannica|언어=영어}}</ref> 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다.<ref name="numbers" /> 예를 들어 [[제곱근 2]]는 무리수이지만 다항식 {{수학|1=''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}}의 근인 만큼 초월수는 아니다. [[황금비]](<math>\varphi</math> 또는 <math>\phi</math>로 표시됨)은 다항식 {{수학|1=''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0}}의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.

== 역사 ==
"초월적"이라는 이름은 [[라틴어]]로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다.<ref>''Oxford English Dictionary'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 {{수학|1=sin ''x''}}가 {{수학 변수|x}}의 [[대수함수]]가 아니라는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Leibniz|Gerhardt|Pertz|1858|pp=97–98}}</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Bourbaki|1994|p=74}}</ref> [[레온하르트 오일러]]는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Erdős|Dudley|1983}}</ref>

[[요한 람베르트]]는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]])와 {{pi}}([[원주율]]) 둘 다 초월수라고 추측했고 [[무리수]]인 {{pi}}의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lambert|1768}}</ref> 

[[조제프 리우빌]]은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고<ref name="Kempner">{{괄호 없는 하버드 인용|Kempner|1916}}</ref> 1851년에 [[리우빌 수]]와 같은 초월수의 사례를 제시했다.
:<math>
\begin{align}
L_b &= \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} \\ &= 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-6} + 10^{-24} + 10^{-120} + 10^{-720} + 10^{-5040} + 10^{-40320} + \ldots \\
&= 0.\textbf{1}\textbf{1}000\textbf{1}00000000000000000\textbf{1}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\
\end{align}</math>

{{수학 변수|n}}이 {{수학|1=''k''!}} ({{수학 변수|k}} [[계승 (수학)|계승]])인 경우에는 소수점 뒤의 {{수학 변수|n}}번째 자리가 {{수학|1=1}}이고 그렇지 않은 경우에는 {{수학|1=0}}이다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld]</ref> 즉 {{수학 변수|n}}이 숫자 {{수학|1=1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24}}등일 경우에만 이 숫자의 {{수학 변수|n}}번째 자릿수가 {{수학|1=1}}이다. [[조제프 리우빌]]은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 [[리우빌 수]]라고 불린다. 리우빌은 모든 [[리우빌 수]]가 초월수라는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Liouville|1851}}</ref> 

위의 예인 리우빌 수는 초월수의 존재를 증명하기 위한 목적으로 특별히 구성되었는데, 그렇게 구성되지 않고 자연스럽게 등장하는 수학 상수 중 가장 먼저 초월성이 증명된 것은 1873년의 [[샤를 에르미트]]가 증명한 {{수학 변수|e}}이다.

1874년에는 [[게오르크 칸토어]]가 대수적 수들은 [[가산 집합|셀 수 있고]] 실수는 [[비가산|셀 수 없다]]는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1874}}</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Gray|1994}}</ref> 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월수들이 있다는 것을 증명하는 구성을 발표했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1878|p=254}}. 칸토어의 구조는 초월수 집합과 실수 집합 사이의 일대일 대응 관계를 구축한다. 이 글에서 칸토어는 무리수 집합에만 그의 구조를 적용한다.</ref> 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.

1882년에는 [[페르디난트 폰 린데만]]이 {{수학 변수|π}}의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다. 그는 먼저 {{수학 변수|a}}가 0이 아닌 대수적 수일 경우 {{수학|1=''e''<sup>''a''</sup>}}가 초월수라는 것을 증명했다. 그렇다면 {{수학|1=''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}}은 대수적이므로([[오일러의 항등식]] 참조), {{수학|1=''i''{{pi}}}}는 초월수이어야 한다. 그러나 {{수학|1=''i''}}가 대수적 수이기 때문에 {{수학 변수|π}}는 초월수이어야 한다. 이러한 접근 방식은 [[카를 바이어슈트라스]]에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. {{수학 변수|π}}의 초월은 [[원적 문제]]와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 [[컴퍼스와 자 작도]]를 포함한 여러 고대 [[기하학]] 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.

1900년에는 [[다비트 힐베르트]]가 [[힐베르트 문제]] 중 7번 문제를 통해 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다. 

"{{수학 변수|a}}가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 {{수학 변수|b}}가 무리수인 대수적 수라면 반드시 {{수학|1=''a''<sup>''b''</sup>}}은 초월수인가?" 

이에 대한 해답은 1934년에 [[겔폰트-슈나이더 정리]]를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 [[앨런 베이커]]가 진행한 (대수적 수를 밑으로 하는) 로그에서 선형 형식의 하한에 대한 연구를 통해 다변수의 형태로 확장되었다.<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>

== 특성 ==
초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 [[대각선 논법]]을 통해 실수가 (그리고 복소수 또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다. 그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다.

어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실초월수와 대수적 수의 [[부분집합]]을 포함한다. 

상수가 아닌 일변수 [[대수함수|대수적 함수]]에 초월수를 대입하면 초월수를 얻는다. 예를 들어 {{pi}}가 초월적이라는 것부터 {{수학|1=5''π'', {{수직분수|''π''-3|{{제곱근|2}}}}, ({{수학|1={{제곱근|''π''}}-{{제곱근|3}}){{위 첨자|8}}}}}}, {{수학|1={{제곱근|''π''{{위 첨자|5}}+7|4}}}}과 같은 숫자들이 초월수임을 알 수 있다. 

그러나 다변수 [[대수함수|대수적 함수]]는 초월수를 대입했을 때 대수적 수를 값으로 가질 수도 있다. 예를 들어 {{pi}}와 {{수학|1=(1 − ''π'')}}는 둘 다 초월적이지만 {{수학|1=''π'' + (1 − ''π'') {{=}} 1}}은 그렇지 않다. 예를 들어 {{수학|1=''e'' + ''π''}}가 초월적인지는 알 수 없지만, {{수학|1=''e'' + ''π''}}와 {{수학 변수|eπ}} 가운데 적어도 하나는 초월수인 것이 알려져 있다. 더 일반적으로 어떤 두 초월수 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}에 대해, 적어도 {{수학|1=''a'' + ''b''}}와 {{수학 변수|ab}} 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 {{수학|1=(''x'' − ''a'')(''x'' − ''b'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}을 고려해보면 알 수 있다. 만약 {{수학|1=(''a'' + ''b'')}}와 {{수학 변수|ab}}가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 [[대수적으로 닫힌 체]]를 형성하기 때문에 다항식의 근인 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}가 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 가정과 모순이다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월수라는 것을 알 수 있다.

[[계산 가능한 수|계산 불가능한 수]]는 초월수의 진부분집합이다. 모든 [[리우빌 수]]는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 무한 [[연분수]] 전개에서 부분적인 몫의 상계가 없어야 한다. [[대각선 논법]]을 사용하면 무한 연분수 전개시 부분적인 몫의 상계가 있는 (따라서 리우빌 수도 아니다.) 초월수가 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 

{{수학 변수|e}}의 명시적인 무한 연분수 전개를 사용하여 {{수학 변수|e}}가 리우빌 수가 아니라는 것을 보일 수 있다. (비록 연분수 전개의 부분적인 몫은 상계가 없지만). [[쿠르트 말러]]는 1953년에 {{pi}} 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다. 상계를 갖는 "간단"한 구조의 모든 비주기 무한 연분수는 초월적이라고 추측된다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Adamczewski|Bugeaud|2005}}</ref>(주기적인 연분수와 2차 무리수는 동치이다.)

== 초월수로 입증된 수 ==
초월수로 입증된 수:

* {{수학|1=''[[자연로그의 밑|e]]<sup>a</sup>''}}에서 {{수학 변수|a}}가 [[대수적 수]]이고 0이 아닌 경우 (린데만-바이어슈트라스 정리).
* {{pi}} ([[원주율]], 린데만-바이어슈트라스 정리).
* {{수학|1=''e''<sup>''π''</sup>}}, [[겔폰트 상수]], 또는 {{수학|1=''e''<sup>−''π''/2</sup> {{=}} ''i<sup>i</sup>''}} ([[겔폰트-슈나이더 정리]]에 따름).
* {{수학|1=''a<sup>b</sup>''}}, 여기서 {{수학 변수|a}}는 대수적이지만 0이나 1은 아니며 {{수학|b}}는 대수적 무리수이다. ([[겔폰트-슈나이더 정리]]에 따름). 특히 {{수학|1=2{{위 첨자|{{제곱근|2}}}}}}: [[겔폰트-슈나이더 상수]] (또는 힐베르트 수)

* {{수학|1=sin ''a''}}, {{수학|1=cos ''a''}}, {{수학|1=tan ''a''}}, {{수학|1=csc ''a''}}, {{수학|1=sec ''a''}}, {{수학|1=cot ''a''}} 및 이들의 [[쌍곡선 함수|쌍곡선 상대]]는 0이 아닌 대수적 수 {{수학 변수|a}}에 의해 [[라디안]](린데만-바이어슈트라스 정리)에 따름)으로 표현한다.
* 코사인 함수의 [[고정점]]. {{수학|1=cos ''x'' {{=}} ''x''}} 방정식에 대한 실근. 여기서 {{수학 변수|x}}는 라디안이다.<ref name="wolfram_dottie">{{웹 인용|성1=Weisstein|이름1=Eric W.|제목=Dottie Number|url=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|웹사이트=Wolfram MathWorld|출판사=Wolfram Research, Inc.|확인날짜=2016년 7월 23일}}</ref>
* {{수학|[[자연로그|ln]] ''a''}}에서 로그 함수의 경우에 대해 {{수학 변수|a}}가 대수적 수이고 0 또는 1이 아닌 경우 (린데만-바이어슈트라스 정리에 따름).
* {{수학|[[로그 (수학)|log]]<sub>''b''</sub> ''a''}}에서 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}가 동일한 정수가 아닌 경우 (겔폰트-슈나이더 정리에 따름).
* {{수학|1=''[[람베르트 W 함수|W]]''(''a'')}}의 모든 경우에 대해 {{수학 변수|a}}가 대수적 수이고 0이 아닌 경우 (린데만-바이어슈트라스 정리에 따름), 특히 오메가 정수의 {{수학|1=Ω}}.
* {{수학|1={{제곱근|''x''}}{{아래 첨자|''s''}}}}, 자연수의 제곱 초근은 정수이거나 초월이다 (겔폰트-슈나이더 정리에 따름)
* {{수학|1=[[감마 함수|Γ]](1/3)}},<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Le Lionnais|1979|p=46}} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> {{수학|1=Γ(1/4)}},<ref name="Chudnovsky">{{괄호 없는 하버드 인용|Chudnovsky|1984}} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref>, {{수학|1=Γ(1/6)}}.<ref name="Chudnovsky" />
* 0.64341054629..., [[카앵 상수]].<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Davison|Shallit|1991}}</ref>
* 모든 양의 정수의 표현을 연결하여 형성된 무리수인 [[챔퍼나운 수]].<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mahler|1937}}</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mahler|1976|p=12}}</ref>
* {{수학|1=Ω}}, [[차이틴 상수]] (계산 불가능한 숫자임).<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Calude|2002|page=239}}</ref>
* 이른바 프레드홀름 상수,<ref name="Kempner" /><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Allouche|Shallit|2003|pp=385,403}}. 켐프너는 이 수가 초월적이라는 것을 처음 증명했고 403쪽에 기록된 내용에 따르면 프레드홀름은 이 수를 연구하지 않았다고 한다.</ref><ref name="Sha1999">{{괄호 없는 하버드 인용|Shallit|1999}}</ref>
*:<math>\sum_{n=0}^\infty 10^{-2^n} = 0.\textbf{1}\textbf{1}0\textbf{1}000\textbf{1}0000000\textbf{1}\ldots</math>
:또한 10을 대수적 수 {{수학|1=''b'' > 1}}로 대체해도 유지된다.<ref name="Lox1988">{{괄호 없는 하버드 인용|Loxton|1988}}</ref>
* [[가우스 상수]].
* 2개의 렘니스케이트 상수인 {{수학|1=''L''{{아래 첨자|1}}}} (때로는 {{수학|1=''ϖ''}}라고 표시하기도 함)과 {{수학|1=''L''{{아래 첨자|2}}}}.
* 앞에서 언급한 {{수학|1=''b'' ∈ (0, 1)}}에 대한 리우빌 상수.
* 프루에-튀에-모르스 상수.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mahler|1929}}</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Allouche|Shallit|2003|p=387}}</ref>
* 코모르니크-로레티 상수.
* 고정 베이스와 관련된 수가 스튀름 단어를 형성하는 임의의 수.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Pytheas Fogg|2002}}</ref>
* {{수학|1=''β'' > 1}}의 경우
::<math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor};</math> 
:여기서 <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math>는 [[바닥 함수와 천장 함수|바닥 함수]]이다.
* 3.300330000000000330033...과 그 역수인 0.30300000303...는 모저-더 브라윈 수열에 의해 0이 아닌 위치가 주어지는 2개의 소수 자릿수만 가지는 2개의 숫자이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Blanchard|Mendès France|1982}}</ref>
* 수 {{수학|1={{수직분수|''π''|2}}{{수직분수|''Y''{{아래 첨자|0}}(2)|''J''{{아래 첨자|0}}(2)}}-''γ''}},에서 {{수학|1=''Y''{{아래 첨자|''α''}}(''x'')}}와 {{수학|1=''J''{{아래 첨자|''α''}}(''x'')}}는 베셀 함수이고 {{수학 변수|γ}}는 [[오일러-마스케로니 상수]]이다.<ref>{{저널 인용|성1=Mahler|이름1=Kurt|성2=Mordell|이름2=Louis Joel|날짜=1968년 6월 4일|제목=Applications of a theorem by A. B. Shidlovski|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1968.0111|저널=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|권=305|호=1481|쪽=149–173|doi=10.1098/rspa.1968.0111|bibcode=1968RSPSA.305..149M|s2cid=123486171}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Lagarias|이름=Jeffrey C.|날짜=2013년 7월 19일|제목=Euler's constant: Euler's work and modern developments|arxiv=1303.1856|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=50|호=4|쪽=527–628|doi=10.1090/S0273-0979-2013-01423-X|issn=0273-0979|doi-access=free}}</ref>

== 초월수일 가능성이 있는 수 ==
초월수 또는 대수적 수로 아직 입증되지 않은 수:
* {{수학 변수|eπ}}, {{수학|1=''e'' + ''π''}}, {{수학|1=''π'' − ''e''}}, {{수학|1=''π''/''e''}}, {{수학|1=''π''<sup>''π''</sup>}}, {{수학|1=''e''<sup>''e''</sup>}}, {{수학|1=''π''<sup>''e''</sup>}}, {{수학|1=''π''{{위 첨자|{{제곱근|2}}}}}}, {{수학|1=''e''<sup>''π''<sup>2</sup></sup>}} 등과 같은 {{pi}}([[원주율]])과 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]]) 사이의 사칙연산, 거듭제곱은 유리수인지 무리수인지, 대수적 수인지 초월수인지 알려져 있지 않다.  주목할 만한 예외는 초월성이 입증된 {{수학|1=''e''{{위 첨자|''π''{{제곱근|''n''}}}}}}(모든 양의 정수 {{수학 변수|n}}에 대해이다.<ref>{{매스월드|IrrationalNumber|Irrational Number}}</ref>
* [[오일러-마스케로니 상수]] {{수학 변수|γ}}'':'' M. 램 머티와 N. 사라다는 2010년에 {{수학|1={{수직분수|''γ''|4}}}}를 포함하는 무한한 수의 목록을 고려했고 이 가운데 하나를 제외하고 모두 초월적이어야 한다는 것을 증명했다.<ref>{{저널 인용|성1=Murty|이름1=M. Ram|성2=Saradha|이름2=N.|날짜=2010년 12월 1일|제목=Euler–Lehmer constants and a conjecture of Erdös|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X10001836|저널=Journal of Number Theory|언어=영어|권=130|호=12|쪽=2671–2682|doi=10.1016/j.jnt.2010.07.004|issn=0022-314X}}</ref><ref>{{저널 인용|성1=Murty|이름1=M. Ram|성2=Zaytseva|이름2=Anastasia|날짜=2013년 1월 1일|제목=Transcendence of Generalized Euler Constants|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.120.01.048|저널=The American Mathematical Monthly|권=120|호=1|쪽=48–54|doi=10.4169/amer.math.monthly.120.01.048|s2cid=20495981|issn=0002-9890}}</ref> 2012년에는 {{수학 변수|γ}}와 오일러-곰페르츠 상수 {{수학 변수|δ}} 가운데 적어도 하나가 초월성이라는 것이 입증되었다.<ref>{{저널 인용|성=Rivoal|이름=Tanguy|날짜=2012년|제목=On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant|url=https://projecteuclid.org/euclid.mmj/1339011525|저널=Michigan Mathematical Journal|언어=영어|권=61|호=2|쪽=239–254|doi=10.1307/mmj/1339011525|issn=0026-2285|doi-access=free}}</ref>
* [[카탈랑 상수]] 무리수로 입증되지도 않았다.
* [[킨친 상수]] 또한 무리수로 입증되지도 않았다.
* [[아페리 상수]] {{수학|''ζ''(3)}} (로제 아페리는 무리수임을 증명했다.)
* [[리만 제타 함수]]의 다른 [[홀수와 짝수|홀수]] 정수인 {{수학|''ζ''(5)}}, {{수학|''ζ''(7)}}등 (무리수인지도 입증되지 않았다.)
* [[파이겐바움 상수]] {{수학 변수|δ}}와 {{수학 변수|α}}도 무리수로 입증되지 않았다.
* [[밀스 상수]] 또한 무리수로 입증되지도 않았다.
* [[코플랜드 에르되시 상수]]는 소수점 표기를 연결하여 형성된다.

== 같이 보기 ==
* [[겔폰트-슈나이더 정리]]
* [[초월수론]]
* [[디오판토스 근사]]
* [[대수적 수]]

== 각주 ==
{{각주|30em}}

== 참고 문헌  == 
* {{저널 인용
 | 성1 = Adamczewski
 | 이름1 = Boris
 | 성2 = Bugeaud
 | 이름2 = Yann
 | 제목 = On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions
 | 저널 = Acta Mathematica
 | 권 = 195
 | 호 = 1
 | 연도 = 2005
 | 쪽 = 1–20
 | doi = 10.1007/BF02588048
 | arxiv = math/0511677
 | bibcode = 2005math.....11677A
 | s2cid = 15521751
 }}
* {{서적 인용
 | 성1 = Allouche
 | 이름1 = Jean-Paul
 | 성2 = Shallit
 | 이름2 = Jeffrey
 | isbn = 978-0-521-82332-6
 | 출판사 = Cambridge University Press
 | 제목 = Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations
 | 연도 = 2003
 | zbl = 1086.11015
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Baker
 | 이름 = Alan
 | 제목 = Transcendental Number Theory
 | 출판사 = Cambridge University Press
 | 연도 = 1990
 | isbn = 978-0-521-20461-3
 | zbl = 0297.10013
 | 판 = paperback
 }}
* {{저널 인용
 | 성1 = Blanchard
 | 이름1 = André
 | 성2 = Mendès France
 | 이름2 = Michel
 | 제목 = Symétrie et transcendance
 | 저널 = Bulletin des Sciences Mathématiques
 | 권 = 106
 | 호 = 3
 | 쪽 = 325–335
 | 연도 = 1982
 | mr = 680277
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Bourbaki
 | 이름 = Nicolas
 | 제목 = Elements of the History of Mathematics
 | url = https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour
 | url-access = registration
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 1994
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Bugeaud
 | 이름 = Yann
 | 제목 = Distribution modulo one and Diophantine approximation
 | 총서 = Cambridge Tracts in Mathematics
 | 권 = 193
 | 출판사 = Cambridge University Press]
 | 연도 = 2012
 | isbn = 978-0-521-11169-0
 | zbl = 1260.11001
}}
* {{서적 인용
 | 성1 = Burger
 | 이름1 = Edward B.
 | 성2 = Tubbs
 | 이름2 = Robert
 | 제목 = Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 2004
 | isbn = 978-0-387-21444-3
 | zbl = 1092.11031
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Calude
 | 이름 = Cristian S.
 | 제목 = Information and Randomness: An Algorithmic Perspective
 | 총서 = Texts in Theoretical Computer Science
 | 판 = 2nd rev. and ext.
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 2002
 | isbn = 978-3-540-43466-5
 | zbl = 1055.68058
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Cantor
 | 이름 = Georg
 | 제목 = Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen
 | 저널 = J. Reine Angew. Math.
 | 권 = 77
 | 연도 = 1874
 | 쪽 = 258–262
 | url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Cantor
 | 이름 = Georg
 | 제목 = Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre
 | 저널 = J. Reine Angew. Math.
 | 권 = 84
 | 연도 = 1878
 | 쪽 = 242–258
 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Chudnovsky
 | 이름 = G. V.
 | 제목 = Contributions to the Theory of Transcendental Numbers
 | isbn = 978-0-8218-1500-7
 | 출판사 = American Mathematical Society
 | 연도 = 1984
}}
* {{저널 인용
 | 성1 = Davison
 | 이름1 = J. Les
 | 성2 = Shallit
 | 이름2 = Jeffrey O.
 | 제목 = Continued fractions for some alternating series
 | 저널 = Monatshefte für Mathematik
 | 연도 = 1991
 | 권 = 111
 | 호 = 2
 | 쪽 = 119–126
 | doi = 10.1007/BF01332350
 | s2cid = 120003890
 }}
* {{저널 인용
 | 성1 = Erdős
 | 이름1 = Paul
 | 성2 = Dudley
 | 이름2 = Underwood
 | 제목 = Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler
 | 저널 = Mathematics Magazine
 | 권 = 56
 | 호 = 5
 | 연도 = 1983
 | 쪽 = 292–298
 | jstor = 2690369
 | url = https://users.renyi.hu/~p_erdos/1983-27.pdf
 | doi = 10.2307/2690369
 | citeseerx = 10.1.1.210.6272
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Gelfond
 | 이름 = Alexander
 | 제목 = Transcendental and Algebraic Numbers
 | 출판사 = Dover
 | 연도 = 1960
 | 원본 연도 = 1956
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Gray
 | 이름 = Robert
 | 제목 = Georg Cantor and transcendental numbers
 | 저널 = Amer. Math. Monthly
 | 권 = 101
 | 호 = 9
 | 연도 = 1994
 | 쪽 = 819–832
 | url = http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers
 | doi = 10.2307/2975129
 | zbl = 0827.01004
 | jstor = 2975129
 | access-date = 2021-04-22
 | archive-date = 2017-04-07
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170407064803/http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers
 | url-status = 
 }}
* {{서적 인용
 | 성 = Higgins
 | 이름 = Peter M.
 | 제목 = Number Story
 | 출판사 = Copernicus Books
 | 연도 = 2008
 | isbn = 978-1-84800-001-8
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Hilbert
 | 이름 = David
 | 제목 = Über die Transcendenz der Zahlen ''e'' und ''π''
 | 저널 = Mathematische Annalen
 | 권 = 43
 | 쪽 = 216–219
 | 연도 = 1893
 | 호 = 2–3
 | doi = 10.1007/BF01443645
 | s2cid = 179177945
 | url = https://zenodo.org/record/1428216
 }}
* {{저널 인용
 | 성 = Kempner
 | 이름 = Aubrey J.
 | 제목 = On Transcendental Numbers
 | 저널 = Transactions of the American Mathematical Society
 | 권 = 17
 | 호 = 4
 | 연도 = 1916
 | 쪽 = 476–482
 | doi = 10.2307/1988833
 | doi-access = free
 | jstor = 1988833
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Lambert
 | 이름 = Johann Heinrich
 | 제목 = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques
 | 저널 = Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin
 | 쪽 = 265–322
 | 연도 = 1768
}}
* {{서적 인용
 | 성1 = Leibniz
 | 이름1 = Gottfried Wilhelm
 | 성2 = Gerhardt
 | 이름2 = Karl Immanuel
 | 성3 = Pertz
 | 이름3 = Georg Heinrich
 | 제목 = Leibnizens mathematische Schriften
 | 출판사 = A. Asher & Co.
 | 연도 = 1858
 | 권 = 5
 | 쪽 = 97–98
 | url = https://archive.org/details/leibnizensmathe07leibgoog/page/n42
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Le Lionnais
 | 이름 = François
 | 제목 = Les nombres remarquables
 | 출판사 = Hermann
 | 연도 = 1979
 | isbn = 2-7056-1407-9
}}
* {{서적 인용
 | 성 = LeVeque
 | 이름 = William J.
 | 제목 = Topics in Number Theory, Volumes I and II
 | 출판사 = Dover
 | 연도 = 2002
 | 원본 연도 = 1956
 | isbn = 978-0-486-42539-9
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Liouville
 | 이름 = Joseph
 | 제목 = Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques
 | 저널 = J. Math. Pures Appl.
 | 권 = 16
 | 연도 = 1851
 | 쪽 = 133–142
 | url = http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Loxton
 | 이름 = J. H.
 | 장 = 13. Automata and transcendence
 | 제목 = New Advances in Transcendence Theory
 | 편집자-이름 = Baker
 | 편집자-성 = A.
 | 출판사 = Cambridge University Press
 | 연도 = 1988
 | isbn = 978-0-521-33545-4
 | zbl = 0656.10032
 | 쪽 = 215–228
}}
* {{저널 인용
 | 성 = Mahler
 | 이름 = Kurt
 | 제목 = Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen
 | 저널 = Math. Annalen
 | 권 = 101
 | 연도 = 1929
 | 쪽 = 342–366
 | jfm = 55.0115.01
 | doi = 10.1007/bf01454845
 | s2cid = 120549929
 }}
* {{저널 인용
 | 성 = Mahler
 | 이름 = Kurt
 | 제목 = Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen
 | 저널 = Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A.
 | 호 = 40
 | 연도 = 1937
 | 쪽 = 421–428
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Mahler
 | 이름 = Kurt
 | 제목 = Lectures on Transcendental Numbers
 | 총서 = Lecture Notes in Mathematics
 | 권 = 546
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 1976
 | isbn = 978-3-540-07986-6
 | zbl = 0332.10019
}}
* {{서적 인용
 | 성1 = Natarajan
 | 이름1 = Saradha
 | 성2 = Thangadurai
 | 이름2 = Ravindranathan
 | 출판사 = Springer Verlag
 | 제목 = Pillars of Transcendental Number Theory
 | 연도 = 2020
 | isbn = 978-981-15-4154-4
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Pytheas Fogg
 | 이름 = N.
 | 편집자1-성 = Valérie
 | 편집자1-이름 = Berthé
 | 편집자2-이름 = Ferenczi
 | 편집자2-성 = Sébastien
 | 편집자3-이름 = Mauduit
 | 편집자3-성 = Christian
 | 편집자4-이름 = Siegel
 | 편집자4-성 = A.
 | 제목 = Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics
 | 총서 = Lecture Notes in Mathematics
 | 권 = 1794
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 2002
 | isbn = 978-3-540-44141-0
 | zbl = 1014.11015
}}
* {{서적 인용
 | 성 = Shallit
 | 이름 = Jeffrey
 | 장 = Number theory and formal languages
 | 제목 = Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15-26, 1996
 | 편집자1-성 = Dennis A.
 | 편집자1-이름 = Hejhal
 | 편집자2-이름 = Friedman
 | 편집자2-성 = Joel
 | 편집자3-이름 = Gutzwiller
 | 편집자3-성 = Martin C.
 | 편집자4-이름 = Odlyzko
 | 편집자4-성 = Andrew M.
 | 총서 = The IMA volumes in mathematics and its applications
 | 권 = 109
 | 출판사 = Springer
 | 연도 = 1999
 | isbn = 978-0-387-98824-5
 | 쪽 = 547–570
}}

== 외부 링크 ==
* {{브리태니커|602440|Transcendental number (mathematics)}}
* {{매스월드|title=Transcendental Number|id=TranscendentalNumber}}
* {{매스월드|title=Liouville Number |id=LiouvilleNumber}}
* {{매스월드|title=Liouville's Constant |id=LiouvillesConstant}}
* {{언어링크|en}} [http://planetmath.org/EIsTranscendental Proof that ''e'' is transcendental]
* {{언어링크|en}} [http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html Proof that the Liouville Constant is transcendental] {{웨이백|url=http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html |date=20220819174344 }}
* {{언어링크|de}} [https://web.archive.org/web/20110716060646/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf <math>e</math>가 초월수임을 증명한 것 (PDF)]
* {{언어링크|de}} [https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf <math>\pi</math>가 초월수임을 증명한 것 (PDF)]
* {{저널 인용|url=http://www.ddanzi.com/?module=file&act=procFileDownload&file_srl=1062243&sid=4efc3df510d04c3caedac43a15996cf7|제목=초월수의 역사와 미해결 문제|저자1=박춘성|저자2=안수엽|저널=한국수학사학회지|권=23|호=3|쪽=57–78|날짜=2010년 8월}}

{{무리수}}
{{수 체계}}
{{정수론}}
{{전거 통제}}

[[분류:초월수| ]]