{{위키데이터 속성 추적}}
{{그래프 정보|name=페일리 그래프|image=Paley13.svg|image_caption=위수가 13인 페일리 그래프|namesake=레이몬드 페일리|vertices=4로 나눈 나머지가 1인 소수의 거듭제곱 ''q''|edges=''q''(''q'' - 1)/4|diameter=2|properties=강한 정규 그래프|notation=QR(''q'')}}

[[수학]]에서 '''페일리 그래프'''는 [[유한체]]에서 차가 [[제곱 잉여]]인 쌍을 변으로 연결하여 구성된 [[그래프 (수학)|그래프]]이다. 페일리 그래프를 통해 [[그래프 이론]]의 도구를 [[정수론]]의 이차잉여에 적용할 수 있다.

페일리 그래프는 [[레이몬드 팔레이|레이먼드 팔레이]]의 이름을 따서 명명되었고, 이차잉여로부터 [[아다마르 행렬]]을 구성하기 위한 페일리 구성과 밀접하게 관련되어 있다 {{하버드 인용|Paley|1933}}. 페일리 그래프는 {{하버드 인용 본문|Sachs|1962}} 와 {{하버드 인용 본문|Erdős|Rényi|1963}} 에 의해 독립적으로 소개되었다. [[호르스트 삭스|Sachs]]는 자기 보완성을, [[에르되시 팔|에르되시]]와 [[레니 알프레드|레니]]는 대칭성을 연구하였다.

'''페일리 유향 그래프'''({{Llang|en|Paley digraph}})는 페일리 그래프와 비슷하게 구성한 유향 그래프이다. 이는 {{harvtxt|Graham|Spencer|1971}}에 의해, 이전에는 무작위 토너먼트에 의해서만 성립하는 것으로 알려진 성질인, 꼭짓점 집합의 모든 작은 부분집합이 어떤 꼭짓점에 의해 지배된다는 성질을 갖는 토너먼트를 구성하는 방법으로써 Sachs, 에르되시, 레니와 독립적으로 도입되었다.

== 정의 ==
<math>q</math>는 <math>q \equiv 1 \bmod 4</math>를 만족하는 [[프라임 파워|소수의 거듭제곱]]이라고 하자. 즉, <math>q</math>는 피타고라스 소수 (4를 법으로 하여 1과 합동인 소수)의 임의의 거듭제곱이거나, 또는 홀수 비 피타고라스 소수의 짝수 거듭제곱이다. 이러한 <math>q</math>를 선택하였을 때 위수가 <math>q</math>인 [[유한체]] <math>\mathbf{F}_q</math>에서 −1은 제곱근을 갖는다.

<math>V = \mathbf{F}_q</math>, <math>E = \left\{\{a, b\}: a - b \in (\mathbf{F}_q^\times)^2 \right\}</math>라고 하자.

:

<math>\{a, b\}</math>가 <math>E</math>에 포함되어 있을 때, <math>a</math>와 <math>b</math>의 순서는 중요하지 않다. −1이 제곱근을 가지므로 −1은 <math>\mathbf{F}_q</math>에서 제곱수이고, <math>a - b</math>가 제곱수인 것과 <math>b - a</math>가 제곱수인 것은 동치이기 때문이다.

차수가 <math>q</math>인 페일리 그래프는 <math>G = (V, E)</math>이다.

== 예시 ==
<math>q = 13</math>의 경우, <math>\mathbf{F}_q</math>는 13을 법으로 하는 [[모듈러 산술]]을 갖는다. 13을 법으로 하여 제곱근을 갖는 수는 다음 여섯 개이다.

* ±1(+1은 ±1의 제곱, &#x2212;1은 ±5의 제곱)
* ±3(+3은 ±4의 제곱, &#x2212;3은 ±6의 제곱)
* ±4(+4는 ±2의 제곱, &#x2212;4는 ±3의 제곱).

페일리 그래프는 [0,12] 범위의 각 정수를 꼭짓점으로 가지고, 각 정수 <math>x</math>를 여섯 개의 이웃 <math>x \pm 1 \bmod 13</math>, <math>x \pm 3 \bmod 13</math>, <math>x \pm 4 \bmod 13</math>과 연결하는 변을 갖는다.

== 성질 ==
페일리 그래프의 여 그래프는 자기 자신과 동형이다. 한 가지 자기 동형은 법 ''q''에서 어떤 비이차잉여 ''k''를 고정하고 정점 ''x''를 ''xk''로 사상하여 얻을 수 있다. {{하버드 인용|Sachs|1962}}.

Paley 그래프는 매개변수 <math>(q, \tfrac{1}{2}(q - 1), \tfrac{1}{4}(q-5), \tfrac{1}{4}(q - 1))</math>를 갖는 강한 정규 그래프이다.

== 응용 ==

* 위수 9의 Paley 그래프는 [[국소적 선형 그래프]], [[룩 그래프]], [[3-3 듀오프리즘]]의 그래프이다.
* 위수 13의 Paley 그래프는 [[책 두께]]([[:en:Book embedding|Book embedding]])가 4이고 [[대기열 번호]]가 3입니다 {{하버드 인용|Wolz|2018}}   .
* 위수가 17인 Paley 그래프 ''G''는 ''G''와 여 그래프가 모두 4-완전 그래프를 포함하지 않는 그래프 중 가장 큰 그래프이고, 이 크기에서 이 성질을 갖는 그래프는 ''G''가 유일하다 (Evans et al. 1981). 따라서 [[램지 이론|램지 수]] ''R'' (4, 4)=18이다.
* 위수가 101인 페일리 그래프 ''G''는 ''G''와 여 그래프가 모두 6-완전 그래프를 포함하지 않는 가장 큰 그래프이다.
* Sasukara et al. (1993)에서 Horrocks-Mumford 다발의 구성을 일반화하기 위해 페일리 그래프를 사용한다.

== 페일리 유향 그래프 ==
<math>q</math>는 <math>q \equiv 1 \bmod 4</math>를 만족하는 [[프라임 파워|소수의 거듭제곱]]이라고 하자. 즉, 위수가 ''q''인 유한체 <math>\mathbf{F}_q</math>에서는 −1이 제곱근을 갖지 않는다. 따라서, <math>\mathbf{F}_q</math>의 서로 다른 원소로 이루어진 순서쌍 (''a, b'')에서 ''a-b'' 와 ''b-a'' 중 정확히 하나만이 제곱수이다. '''페일리 유향 그래프'''({{Llang|en|Paley digraph}})는 정점 집합 <math>V = \mathbf{F}_q</math>와 호 집합 <math>A = \left \{(a,b)\in \mathbf{F}_q\times\mathbf{F}_q \ : \ b-a\in (\mathbf{F}_q^{\times})^2 \right \}</math>을 갖는 유향 그래프이다.

== 종수 ==

== 참고 문헌 ==

* {{저널 인용|제목=Maximal cliques in the Paley graph of square order|저널=J. Statist. Plann. Inference|성=Baker|이름=R. D.|성2=Ebert|이름2=G. L.|연도=1996|권=56|쪽=33–38|doi=10.1016/S0378-3758(96)00006-7|성3=Hemmeter|이름3=J.|성4=Woldar|이름4=A. J.}}
* {{저널 인용|제목=The clique numbers and chromatic numbers of certain Paley graphs|저널=Quaestiones Mathematicae|성=Broere|이름=I.|성2=Döman|이름2=D.|연도=1988|권=11|쪽=91–93|doi=10.1080/16073606.1988.9631945|성3=Ridley|이름3=J. N.}}
* {{저널 인용|제목=Quasi-random graphs|저널=[[Combinatorica]]|성=Chung|이름=Fan R. K.|저자링크=Fan Chung|성2=Graham|이름2=Ronald L.|저자링크2=Ronald Graham|연도=1989|권=9|호=4|쪽=345–362|doi=10.1007/BF02125347|성3=Wilson|이름3=R. M.}}
* {{저널 인용|제목=Asymmetric graphs|저널=[[Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae]]|성=Erdős|이름=P.|저자링크=Paul Erdős|성2=Rényi|이름2=A.|저자링크2=Alfréd Rényi|연도=1963|권=14|호=3–4|쪽=295–315|doi=10.1007/BF01895716|mr=0156334}}
* {{저널 인용|제목=On the number of complete subgraphs contained in certain graphs|저널=[[Journal of Combinatorial Theory]]|성=Evans|이름=R. J.|성2=Pulham|이름2=J. R.|연도=1981|총서=Series B|권=30|호=3|쪽=364–371|doi=10.1016/0095-8956(81)90054-X|성3=Sheehan|이름3=J.}}
* {{저널 인용|제목=A constructive solution to a tournament problem|저널=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|성=Graham|이름=R. L.|저자링크=Ronald Graham|성2=Spencer|이름2=J. H.|저자링크2=Joel Spencer|연도=1971|권=14|쪽=45–48|doi=10.4153/CMB-1971-007-1|mr=0292715}}
* {{저널 인용|제목=Triangulations and the Hajós conjecture|저널=Electronic Journal of Combinatorics|성=Mohar|이름=Bojan|저자링크=Bojan Mohar|url=http://www.combinatorics.org/Volume_12/Abstracts/v12i1n15.html|연도=2005|권=12|쪽=N15|mr=2176532}}
* {{저널 인용|제목=On orthogonal matrices|저널=[[J. Math. Phys.]]|성=Paley|이름=R.E.A.C.|저자링크=Raymond Paley|연도=1933|권=12|호=1–4|쪽=311–320|doi=10.1002/sapm1933121311}}
* {{저널 인용|제목=Über selbstkomplementäre Graphen|저널=Publicationes Mathematicae Debrecen|성=Sachs|이름=Horst|저자링크=Horst Sachs|연도=1962|권=9|쪽=270–288|mr=0151953}}
* {{저널 인용|제목=Construction of rank two reflexive sheaves with similar properties to the Horrocks–Mumford bundle|저널=Proc. Japan Acad., Ser. A|성=Sasakura|이름=Nobuo|성2=Enta|이름2=Yoichi|연도=1993|권=69|호=5|쪽=144–148|doi=10.3792/pjaa.69.144|성3=Kagesawa|이름3=Masataka}}
*  {{콘퍼런스 인용|last=White|first=A. T.|title=Graphs of groups on surfaces|book-title=Interactions and models|publisher=North-Holland Mathematics Studies 188|location=Amsterdam|year=2001}}
* {{서적 인용|제목=Engineering Linear Layouts with SAT|성=Wolz|이름=Jessica|연도=2018|총서=Master's Thesis|출판사=University of Tübingen}}

== 외부 링크 ==

* {{웹 인용|url=http://www.win.tue.nl/~aeb/drg/graphs/Paley.html|제목=Paley graphs|성=Brouwer, Andries E.}}
* {{웹 인용|url=http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Problems/P0506_PaleyGenus.html|제목=Genus of Paley graphs|성=Mohar, Bojan|저자링크=Bojan Mohar|연도=2005}}

[[분류:수론]]
[[분류:정규 그래프]]
[[분류:강한 정규 그래프]]