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'''퍼펙토이드'''(perfectoid)란 독일인 수학자 [[페터 숄체]](Peter Scholze)가 도입한 개념이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 표수 <math>p</math>의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자.
<math>K^{\circ}:=\{x\in K|\nu(x)\le 1\}</math>
그렇다면 <math>K</math>가 '''퍼펙토이드 체'''란 것은 <math>K^{\circ}</math>가 이산 국소환이 아니고 [[프로베니우스 사상]]이 <math>K^{\circ}/p</math>에서 전사인 것을 뜻한다.

<math>K</math>가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 <math>K</math>-대수 <math>R</math>가 퍼펙토이드 <math>K</math>-대수란 것은 <math>R</math>의 원소들

<math> R^{\circ}:=\{x\in R|\{x^n|n\in \mathbb{N}\} \text{ is bounded set }\}</math>

들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 <math>\pi\in R</math>가 있어서<math>\Phi:R/\pi\longrightarrow R/\pi</math>가 전사인 것이다.

이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다.
perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 <math>\mathbb{Q}_p(\zeta^{\frac{1}{p^{\infty}}})</math>의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 [[켈러 미분]]들이 거의 수학으로 <math>0</math>이 된다. (Tate)

== 젖히기(tilting) ==
다음을 생각하자.

<math>K^{\flat}:=\left(\lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}/\pi\right)[(\pi^{\flat})^{-1}]</math>
여기에서 <math>\pi^{\flat}\in \lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}/\pi</math>는 <math>|\pi^{\flat}|=|\pi|</math>를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 <math>|\pi_1|^p=|\pi|</math>를 만족하도록 <math>\pi_1</math>를 잡고

<math> \pi^{\flat}:=(0,\pi_1,\cdots )\in \lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}K^{\circ}</math>

로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.

<math>K^{\flat}\longrightarrow \lim_{\overset{\longleftarrow}{x\mapsto x^p}}K</math>

이는 <math>(x_1,x_2,\cdots)\in K^{\flat}</math>를 <math>x^{\sharp}:=x_n^{p^n}</math>로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저

<math>K^{\flat}\longrightarrow K^{\circ}</math>

를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.

<math>K^{\flat}</math>의 의미는 <math>K</math>의 표수를 <math>0</math>에서 <math>p</math>로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다.
<math>K,K^{\flat}</math> 둘은 <math> K/\pi</math>에선 완전히 같다.

다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.

'''Theorem.''' 두 perfectoid <math>K</math>-algebra <math>R\to R'</math>가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 <math>\mathbb{L}_{R'/R}\otimes^{L}_{\mathbb{Z}}\mathbb{F}_p=0</math>이 된다.

이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect <math>\mathbb{F}_p</math>-algebra의 cotangent complex는 <math>0</math>란 사실을 이용히게 된다.

이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.

<math>\mathrm{Perf}(K^{\circ})^a\cong \mathrm{Perf}(K^{\circ}/\pi)^a</math>

여기에서 <math>\!^a</math>표시는 almost sense를 말하는 것이고 <math>\mathrm{Perf}</math>는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.

'''Definition.''' perfectoid <math>K^{\circ a}</math>-algera란 <math>\pi</math>-adically complete flat <math>K^{\circ a}</math>-algebra <math>A</math>에다가 Frobenius가 <math>A/\pi^{\frac{1}{p}}\cong A/\pi</math>를 만드는 것이다.

'''Definition''' perfectoid <math>K^{\circ a}/\pi</math>-algebra란 flat <math>K^{\circ a}/\pi</math>-algebra <math>\overline{A}</math>에 Frobenius가 <math>\overline{A}/\pi^{\frac{1}{p}}\cong \overline{A}</math>를 만드는 것을 말한다.

그렇다면 <math>K^{\circ a}/\pi\cong K^{\flat \circ a}/\pi^{\flat}</math>를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.

'''Theorem.''' perfectoid <math>K</math>-algebra들과 perfectoid <math>K^{\flat}</math>-algebra들의 category는 서로 동치가 된다.

여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 <math>R</math>를 하나 잡으면

<math>R^{\flat}=\left(\lim_{\overset{\longleftarrow}{\Phi}}(R^a/\pi)^{\flat}\right)_*[(\pi^{\flat})^{-1}]</math>

으로 구성할 수 있다. 이는

<math>\mathrm{Perf}(K)\cong \mathrm{Perf}(K)^a\cong \mathrm{Perf}(K/\pi)^a\cong \mathrm{Perf}((K/\pi)^{\flat})^a\cong \mathrm{Perf}(K^{\flat})^a \cong \mathrm{Perf}(K^{\flat})</math>

를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

<math>R^{\flat}=\lim_{\overset{\longleftarrow}{x\mapsto x^p}}R</math>

이렇게, <math>R^{\flat}</math>를 <math>R</math>의 tilt라고 한다.

== 폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger) ==
다음이 성립한다.

<math>\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}})/\mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}))\cong \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_p((t))}/\mathbb{F}_p((t)))</math>

이는 좀 더 분석해보자면 <math>\mathbb{Q}_p(\zeta_p^{\frac{1}{p^{\infty}}}</math>의 completion을 <math>K</math>라고 한다고 할 때 <math>K^{\flat}</math>는 <math>\mathbb{F}_p((t))</math>의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.

<math> K_{\mathrm{fet}}\cong K^{\flat}_{\text{fet}}</math>

그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. <math>R</math>을 perfectoid <math>K</math>-algebra라고 할 때

<math> R_{\text{fet}}\cong (R^a)_{\text{fet}}\cong (R^a/\pi)_{\text{fet}}\cong ((R^a)^{\flat}/\pi)_{\text{fet}}\cong ((R^a)^{\flat})_{\text{fet}}\cong
R^{\flat}_{\text{fet}}</math>

를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.

가장 왼쪽에서 <math>R</math>가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.

'''Proposition.''' perfectoid field <math>K^{\flat}</math>이 algebraically closed라면 <math>K</math>는 algebralically closed다.

'''Proof''' monic irreducible polynomial <math>P(X)=X^d+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots+a_0</math>을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 <math>P</math>의 Newton polygon은 line이고 이제 <math> K^{\circ}/\pi</math>에서 보자. <math>Q(X)</math>를 <math>K^{\circ}/\pi</math>에서 봤을 때 <math>P</math>하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 <math>y_1</math>라고 하자. 그러면 다항식 <math>P(X+y^{\sharp})</math>를 생각하고 이것의 상수항이 <math>\pi</math>에 의해서 나누어지므로, 그러니까 <math>y_1^{\sharp}</math>가 대충 <math>P</math>의 근사해가 되므로 <math>|c_1|^d=|P(y_1^{\sharp})|\le |\pi|</math>인 <math>c_1</math>에 대해서 <math>P_1(X)=c_1^{-d}P(c_1X+y_1^{\sharp})</math> 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면

<math>y=y_1^{\sharp}+c_1y_2^{\sharp}+c_1c_2y_3^{\sharp}+\cdots</math>

라고 정의하면 <math>P(y)=0</math>가 된다.

이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 <math>K^{\sharp}</math>라고 쓰자. 그러면 <math>K^{\sharp}</math>의 대수적 폐포의 completion을 <math>M</math>라고 한다면 <math>M^{\sharp}</math>는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid <math>K</math>-algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid <math>K^{\sharp}</math>-algebra <math>L</math>에 대해서 <math>L^{\sharp}</math>는 <math>M^{\sharp}</math>의 subfield가 되고, <math> \bigcup L^{\sharp}</math>는 <math> M^{\sharp}</math>에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 <math>N</math>라고 하면 <math>N</math>도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension <math>F</math>에 대해서 <math>F</math>는 적당한 <math>K^{\flat}</math>의 finite field extension <math>L</math>가 있어서 <math>L^{\sharp}</math>는 <math>F</math>를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.

== 퍼펙토이드 공간(perfectoid space) == 
먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. <math>k</math>가 체일 때 <math>R</math>가 테이트 <math>k</math>-대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 <math>R_0\subseteq R</math>가 있어서 <math>aR_0</math>가 <math>a\in k^{\times}</math>들에 대해서 <math>0</math>의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 <math>(R,R^+)</math>가 아피노이드 <math>k</math>-대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 <math>R^+\subseteq R</math>의 쌍이다.

<math>K</math>가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 <math>K</math>-대수 <math>(R,R^+)</math>가 퍼펙토이드 아피노이드 <math>K</math>-대수란 것은 <math> R</math>이 퍼펙토이드 <math>K</math>-대수인 것을 뜻한다.

퍼펙토이드 아피노이드 <math>K</math>-대수 <math>(R,R^+)</math>가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.

<math>X=\mathrm{Spa}(R,R^+):=\{|\cdot|:R\to \Gamma \cup \{0\} \text{ continuous valuation }|\text{ There exists }f\in R^+\text{ s.t. }|f|\le 1\}</math>

그리고 여기에 위상을 하나 주는데, <math>f_1,f_2,\cdots,f_n,g\in R</math>를 주고, <math>f_1,\cdots,f_n</math>가 <math>R</math>를 생성한다고 할 때

<math>U\left(\frac{f_1,\cdots,f_n}{g}\right):=\{x\in X|\text{There exists }i \text{ s.t. }|f_i(x)\le |g(x)\}</math>

를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 <math>D(f)</math>라는 열린 집합들을 따라한 것이다.

<math>(R,R^+)</math>가 아피노이드 <math>k</math>-대수라고 하자. 그리고 여기에 <math>\mathrm{Spa}(R,R^+)</math>의 열린 집합 <math>U=U\left(\frac{f_1,\cdots,f_n}{g}\right)</math>를 주자. 그러면

<math>aR_0\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right]</math>

꼴들을 <math>0</math>의 기저로 가지는 다음 아피노이드 <math>k</math>-대수를 생각하자.

<math>U=\mathrm{Spa}\left(R\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right],B\right)</math>

여기에서 <math>B</math>는 <math>R\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right]</math> 안에서 <math>R^+\left[\frac{f_1}{g},\cdots,\frac{f_n}{g}\right]</math>의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 <math>(\mathcal{O}_X(U),\mathcal{O}^+_X(U))</math>라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 <math>W\subseteq X</math>에 대해서

<math> \mathcal{O}_X(W)=\lim_{\overset{\longleftarrow}{U\subseteq W \text{ rational }}}\mathcal{O}_X(U)</math>

라고 정의하자. 그렇다면 <math>X</math> 위의 준시프 <math>\mathcal{O}_X,\mathcal{O}^+_X</math>를 정의할 수 있다.

다시 퍼펙토이드 아피노이드 <math>K</math>-대수 <math>(R,R^+)</math>로 돌아오면 <math>\mathcal{O}_X</math>가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)

== 팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' '''almost purity theorem)''' ==
유한 에탈 덮개 <math> S/R</math>에 대해서 <math>R</math>가 퍼펙토이드 <math>K</math>-대수라면 <math>S^{\circ a}</math>는 <math>R^{\circ a}</math>위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 <math>S^{\circ a}</math>는 <math>R^{\circ a}</math> 위의 균등 거의 유한표현 <math>R^{\circ a}</math>-모듈이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[완전체]]
== 참고 문헌 ==
* {{웹 인용|last=Scholze|first=Peter|url=https://arxiv.org/abs/1111.4914|title=Perfectoid space|date=2011}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]