{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Rubik's cube.svg|섬네일|[[루빅스 큐브]]를 돌리는 방법들을 모은 집합은 군을 이룬다.]]
[[파일:Group diagram d6.svg|섬네일|[[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(6)</math>의 군 다이어그램]]
{{대수 구조|expanded=군}}

[[추상대수학]]에서 '''군'''(群, {{llang|en|group}})은 [[결합 법칙]]과 [[항등원]]과 각 원소의 [[역원]]을 가지는 [[이항 연산]]을 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[모노이드]]의 특수한 경우이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 '''[[군론]]'''(群論, {{llang|en|group theory}})이라고 한다. 역사적으로 군론은 [[대수 방정식]] 이론, [[기하학]], [[수론]]에서 기원한다.<ref name="Rotman">{{서적 인용
|성=Rotman
|이름=Joseph J.
|제목=A First Course in Abstract Algebra with Applications
|판=3
|출판사=Prentice Hall
|위치=Upper Saddle River, New Jersey
|isbn=0-13-011584-3
}}</ref>

== 정의 ==
'''군'''은 모든 원소가 [[가역원]]인 [[모노이드]]이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이항 연산
:<math>\cdot\colon G\times G\to G</math>
:<math>\cdot\colon(g,h)\mapsto gh</math>
가 주어진 [[집합]] <math>(G,\cdot)</math>이다.
* <math>(G,\cdot)</math>은 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** (결합 법칙) 임의의 <math>g,h,k\in G</math>에 대하여, <math>(gh)k=g(hk)</math>
** (항등원의 존재) 모든 <math>g\in G</math>에 대하여 <math>1_Gg=g1_G=g</math>인 원소 <math>1_G\in G</math>가 존재한다.
* 모든 원소가 [[가역원]]이다. 즉, 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>g^{-1}g=gg^{-1}=1_G</math>인 원소 <math>g^{-1}\in G</math>가 존재한다.
군은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
* 군은 하나의 대상만을 갖는 [[준군]]이다. 즉, 하나의 대상만을 가지고, 모든 사상이 [[동형 사상]]인 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* 군은 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 [[군 대상]]이다.
* 군은 [[왼쪽 항등원]] 및 [[왼쪽 역원]]을 갖는 [[반군]]이다.
* 군은 [[오른쪽 항등원]] 및 [[오른쪽 역원]]을 갖는 [[반군]]이다.
* 군은 [[결합 법칙|결합]] [[유사군|고리]]이다.
* 군은 공집합이 아닌 [[결합 법칙|결합]] [[유사군]]이다.
{{증명}}
'''왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 반군 ⇒ 군:''' <math>1\in G</math>를 왼쪽 항등원이라고 하자. 또한 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 그 왼쪽 역원 <math>h</math>와 왼쪽 역원의 왼쪽 역원 <math>k</math>를 취하자. 그렇다면,
:<math>g1=ghg=1g=g</math>
:<math>gh=1gh=khgh=k1h=kh=1</math>
이다. 즉, <math>1</math>은 항등원이며, <math>h</math>는 <math>g</math>의 역원이다.

'''공집합이 아닌 결합 유사군 ⇒ 왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 반군:''' <math>g\in G</math>를 취하자. 그렇다면,
:<math>1g=g</math>
인 <math>1\in G</math>가 존재한다. 임의의 <math>h\in G</math>에 대하여,
:<math>1h=1gk=gk=h</math>
인 <math>k\in G</math>가 존재한다. 즉, <math>1</math>은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다.
{{증명 끝}}

=== 차수 ===
군의 원소 <math>g\in G</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|order}})는 다음과 같다. 즉, 거듭해서 1이 되는 최소의 지수이거나, 아니면 무한대이다.
:<math>\operatorname{ord}g=\inf\{n\in\mathbb Z^+\colon 1=g^n=\overbrace{gg\cdots\cdot gg}^n\}\in\mathbb Z^+\cup\{\infty\}</math>
간혹, 군 <math>G</math>의 [[집합의 크기]] <math>|G|</math>를 군의 차수라고 부르기도 한다. 군의 원소의 차수는 만약 유한하다면 항상 군의 크기의 약수이다.

=== 부분군 ===
군 <math>G</math>의 '''부분군''' (部分群, {{llang|en|subgroup}})은 <math>G</math>의 [[부분 집합]] <math>H</math> 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것이다.
* <math>1_G\in H</math>
* 임의의 <math>h,h'\in H</math>에 대하여, <math>hh'\in H</math>
* 임의의 <math>h\in H</math>에 대하여, <math>h^{-1}\in H</math>
즉, 역원에 대하여 닫혀 있는 부분 모노이드이다. <math>H\subseteq G</math>가 <math>G</math>의 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다.
:<math>H\le G</math>

'''[[정규 부분군]]'''은 부분군 가운데 켤레 작용에 대하여 불변인 것이다. 군 <math>G</math>의 부분군 <math>N</math>이 정규 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다.
:<math>N\vartriangleleft G</math>
정의에 따라, 정규 부분군의 [[잉여류|왼쪽 잉여류]]는 [[잉여류|오른쪽 잉여류]]와 일치한다.

=== 군 준동형 ===
두 군 <math>G</math>, <math>H</math> 사이의 '''군 준동형 사상'''(群準同型寫像, {{llang|en|group homomorphism}})은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>f\colon G\to H</math>이다.
* 모든 <math>g,h\in G</math>에 대하여, <math>f(gh)=f(g)f(h)</math>

준동형 <math>f</math>의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[상 (수학)|상]]은 각각
:<math>\ker f=\{g\in G\colon f(g)=1_H\}</math>
:<math>\operatorname{im}f=\{f(g)\colon g\in G\}</math>
이다. 여기에서 <math>f</math>의 핵은 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이며, 상은 <math>H</math>의 [[부분군]]임을 알 수 있다. <math>f</math>가 단사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 핵이 [[자명군]]인 것이며, 전사 준동형 사상일 필요 충분 조건은 상이 <math>H</math> 전체인 것이다.

== 연산 ==
주어진 군들로부터 새로운 군을 만드는 다양한 방법들이 존재한다.

=== 반대군 ===
군 <math>(G,\cdot)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 <math>G</math> 위에 다음과 같은 새로운 이항 연산을 정의하자.
:<math>\cdot'\colon G\times G\to G</math>
:<math>g\cdot' h=h\cdot g</math>
그렇다면, <math>(G,\cdot')</math> 역시 군을 이룬다. 이를 <math>G</math>의 '''반대군'''(反對群, {{llang|en|opposite group}}) <math>\operatorname G^{\operatorname{op}}</math>이라고 한다. 이는 모노이드의 [[반대 모노이드]]의 특수한 경우이며, 또 군을 하나의 대상을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]로 볼 경우 [[반대 범주]]의 특수한 경우이다. 반대군 연산은 [[함자 (수학)|함자]]적이다. 즉, 군의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> 위의 [[자기 함자]]
:<math>(-)^{\operatorname{op}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Grp}</math>
를 정의한다. [[아벨 군]]의 반대군은 스스로와 같다. 즉, 아벨 군 위의 [[항등 함수]]는 스스로와 그 반대군과의 군 [[동형]]을 이룬다.

모든 군은 스스로의 반대군과 다음과 같은 함수를 통해 표준적으로 동형이다.
:<math>{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}</math>
:<math>{}^{-1}\colon g\mapsto g^{-1}</math>
범주론적으로, 이는 군의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> 위의 항등 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Id}_{\operatorname{Grp}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Grp}</math>
와 반대군 함자
:<math>\operatorname{Id}_{\operatorname{Grp}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Grp}</math>
사이의 [[자연 동형]]을 정의한다.

=== 몫군 ===
어떤 군의 [[정규 부분군]]이 주어졌을 때, 그 [[잉여류]]들은 군을 정의하며, 이를 '''몫군'''(-群, {{llang|en|quotient group}})이라고 한다. 이는 [[몫공간]]이나 [[몫환]]과 같이, 군에 [[동치 관계]]를 줘 몫을 취하는 연산이다. 군 <math>G</math>의 정규 부분군, <math>N\vartriangleleft G</math>가 주어졌을 때, '''몫군''' <math>G/N</math>은 그 (왼쪽) [[잉여류]] <math>gN</math> (<math>g\in G</math>)들의 집합이다.
:<math>G/N=\{gN|g\in G\}</math>
이 집합에는 다음과 같은 군 연산을 줄 수 있다.
:<math>(aN)(bN)=(ab)N</math>
이 연산은 <math>N</math>이 [[정규 부분군]]일 경우 정의할 수 있고, 이에 따라 몫군 <math>G/N</math>이 군을 이루는 것을 보일 수 있다.

=== 직접곱 ===
{{본문|직접곱}}
군들의 집합 <math>\{G_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, '''[[직접곱]]'''
:<math>\prod_iG_i</math>
는 이들의 [[곱집합]]에 군의 구조를 준 것이다. 군의 범주에서의 [[곱 (범주론)|곱]]이다.

=== 반직접곱 ===
{{본문|반직접곱}}
두 군 <math>H</math>, <math>N</math> 및 [[군의 작용|작용]]
:<math>\phi\colon H\to\operatorname{Aut}(N)</math>
이 주어졌을 때, '''[[반직접곱]]'''
:<math>N\rtimes H</math>
을 정의할 수 있다. 이는 직접곱의 일반화이다.

=== 자유곱 ===
{{본문|자유곱}}
군 <math>G</math>, <math>H</math>가 주어졌을 때, '''[[자유곱]]''' <math>G*H</math>은 <math>G</math>와 <math>H</math>로부터 생성되는 가장 일반적인 군이다. 이는 (두 군 다 자명군이 아니라면) 항상 무한군이며 비아벨 군이다. 자유곱은 군의 범주에서의 [[쌍대곱]]이다. 군의 자유곱은 [[모노이드]]로서의 자유곱과 일치한다.

=== 융합된 자유곱 ===
{{본문|융합된 자유곱}}
군 <math>G</math>, <math>(G_i)_{i\in I}</math> 및 군 준동형 <math>(f_i\colon G\to G_i)_{i\in I}</math>가 주어졌을 때, '''[[융합된 자유곱]]''' <math>*_{i\in I}^GG_i</math>는 <math>G_i</math>들을 <math>G</math>의 [[상 (수학)|상]]을 따라 "이어 붙여" 만드는 가장 일반적인 군이다. 융합된 자유곱은 군의 범주에서의 [[밂 (범주론)|밂]]이다. 군의 융합된 자유곱은 [[모노이드]]로서의 융합된 자유곱과 일치한다. <math>G=1</math>가 [[자명군]]인 경우, 융합된 자유곱은 다름 아닌 자유곱이다. 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 [[단사 함수]]라면, 융합된 자유곱의 모든 원소를 다음과 같은 꼴의 [[문자열]]로 유일하게 나타낼 수 있게 만드는 부분 집합들 <math>(1_{G_i}\in H_i\subseteq G_i)_{i\in I}</math>이 존재한다.
:<math>gg_1\cdots g_n\qquad(g\in G,\;n\in\mathbb N,\;g_j\in H_{i_j}\setminus\{1_{G_{i_j}}\},\;i_j\in I,\;i_j\ne i_{j+1})</math>
구체적으로, <math>H_i</math>는 왼쪽 곱셈 작용 <math>(g,g_i)\mapsto f_i(g)g_i</math>의 궤도들의 대표 원소들의 집합으로 고를 수 있다. 이는 모노이드에서 더 이상 성립하지 않는다.

=== 기타 곱 ===
이 밖에도, [[화환곱]]({{llang|en|wreath product}}) <math>G\wr_\Omega H</math>이나 [[차파-세프 곱]]({{llang|en|Zappa–Szép product}}) 등이 존재한다.

== 성질 ==
=== 기초적 성질 ===
모든 군의 항등원은 유일하다. (이는 모노이드의 항등원이 유일하다는 정리의 특수한 경우이다.) 군 <math>G</math>의 원소 <math>g\in G</math>가 주어졌을 때, 임의의 원소 <math>h\in G</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>gh=1</math>이다.
* <math>hg=1</math>이다.
* <math>h=g^{-1}</math>이다.
즉, 군에서는 (일반적인 [[모노이드]]와 달리) 왼쪽 역원 · 오른쪽 역원이 서로 일치한다.

군 준동형은 항등원을 항등원으로, 역원을 역원으로 대응시킨다. 즉, 군 준동형 <math>f\colon G\to H</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>f(1_G)=1_H</math>
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>f(g^{-1})=f(g)^{-1}</math>

군에 대한 기초적인 정리로는 다음이 있다.
* [[코시 정리 (군론)|코시 정리]]
* [[쉴로브 정리]]
* [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]
* [[번사이드 정리]]
* [[번사이드 보조정리]]

=== 범주론적 성질 ===
군과 군 준동형의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>은 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로, [[완비 범주]]이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 [[극한 (범주론)|극한]]과 쌍대극한은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 범주론의 개념 !! 군론의 개념
|-
! [[영 대상]]
| [[자명군]] <math>1</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| 군의 [[직접곱]] <math>\prod_{i\in I}G_i</math>
|-
! [[쌍대곱]]
| 군의 [[자유곱]] <math>G*H</math>
|-
! [[동등자]]
| [[집합]]과 [[함수]]의 범주에서의 동등자
|-
! [[쌍대동등자]]
| <math>\phi,\chi\colon G\to H</math>의 쌍대동등자는 <math>\{\phi(g)\chi(g)^{-1}\colon g\in G\}</math>으로부터 생성되는 [[정규 부분군]]에 대한 [[몫군]]
|-
! [[단사 사상]]
| rowspan=3 | [[단사 함수]]인 군 준동형
|-
! [[정칙 단사 사상]]
|-
! [[유효 단사 사상]]
|-
! [[정규 단사 사상]]
| [[정규 부분군]]의 포함 준동형
|-
! [[분할 단사 사상]]
| [[직접곱]]의 한 성분의 포함 준동형
|-
! [[전사 사상]]
| rowspan=4 | [[전사 함수]]인 군 준동형
|-
! [[정규 전사 사상]]
|-
! [[정칙 전사 사상]]
|-
! [[유효 전사 사상]]
|-
! [[분할 전사 사상]]
| [[반직접곱]]의 ([[정규 부분군]]이 아닌 성분으로의) 몫 준동형
|-
! [[군 대상]]
| [[아벨 군]]
|-
! [[내적 범주]]
| [[교차 가군]]({{llang|en|crossed module}})<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|285–287}}
|}

군의 범주에서 [[모노이드]]의 범주로 가는 망각 함자가 존재하며, 이는 [[충실충만한 함자]]이다. 즉, 두 군 사이의 [[모노이드 준동형]]은 군 준동형과 같다.
:<math>F\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Mon}</math>
이 망각 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]와 [[오른쪽 수반 함자]]를 동시에 갖는다.
:<math>G\dashv F\dashv\operatorname{Unit}</math>
* 망각 함자의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>G\colon\operatorname{Mon}\to\operatorname{Grp}</math>는 모노이드에 모든 원소의 역원을 추가한다.
* 망각 함자의 [[오른쪽 수반 함자]] <math>\operatorname{Unit}\colon\operatorname{Mon}\to\operatorname{Grp}</math>는 모노이드를 그 [[가역원군]]에 대응시킨다.
마찬가지로, 군의 범주에서 [[집합]]의 범주로 가는 [[충실충만한 함자|충실충만한]] 망각 함자가 존재하며, 이 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 집합을 이로부터 생성되는 [[자유군]]에 대응시킨다.

군의 범주에서 [[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>로 가는 [[충실충만한 함자|충실충만한]] 포함 함자
:<math>\operatorname{Grp}\to\operatorname{Cat}</math>
가 존재한다. 이는 군 <math>G</math>를, 하나의 대상을 가지고 모든 [[자기 사상]]이 가역 사상인 [[작은 범주]]에 대응시킨다.

[[환 (수학)|환]]의 범주에서 군의 범주로 가는 함자
:<math>\operatorname{Unit}\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Grp}</math>
가 존재하며, 이는 [[환 (수학)|환]]을 그 [[가역원군]]에 대응시킨다. 이 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\mathbb Z[-]\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Ring}</math>
를 갖는데, 이는 군 <math>G</math>를 정수 계수의 [[군환]] <math>\mathbb Z[G]</math>에 대응시킨다.

=== 모형 이론적 성질 ===
군들의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이루며, 이 경우
* 하나의 [[이항 연산]] <math>\cdot</math> (군 연산)
* 하나의 1항 연산 <math>^{-1}</math> (역원)
* 하나의 0항 연산 <math>1</math> (항등원)
을 갖는다. 이 경우, 군의 연산들이 만족시키는 항등식은 다음 다섯 개이다.
:<math>(xy)z=x(yz)</math>
:<math>1x=x</math>
:<math>x1=x</math>
:<math>xx^{-1}=1</math>
:<math>x^{-1}x=1</math>
군의 대수 구조 다양체에서, 부분 대수는 [[부분군]], 준동형은 군 준동형이며, [[합동 관계]]는 [[정규 부분군]]과 [[일대일 대응]]한다. 군의 대수 구조 다양체에서, 보편 대수학적 중심은 [[군의 중심]]과 같다.

군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 예로는 다음이 있다.<ref name="Neumann">{{저널 인용|제목=Varieties of groups|이름=B. H.|성=Neumann|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|날짜=1967|권=73|호=5|쪽=603–613|doi=10.1090/S0002-9904-1967-11795-6 |zbl=0149.26704|mr=0212077 |언어=en}}</ref>
* [[자명군]]의 다양체 <math>x=y</math>
* [[아벨 군]]의 다양체 <math>xy=yx</math>
* 모든 원소의 차수가 <math>n</math>의 약수인 군의 다양체 <math>x^n=1</math>
* 유도 길이가 <math>k</math> 이하인 [[가해군]]의 다양체. 예를 들어, <math>k=1</math>인 경우는 [[아벨 군]]이며, <math>k=2</math>인 경우를 정의하는 항등식은 <math>1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}</math>이다.
* 중심 길이가 <math>k</math> 이하인 [[멱영군]]의 다양체 <math>\overbrace{[\cdots[G,G],G],G],\cdots]}^k=1</math>.

군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 집합은 [[완비 격자|완비]] [[모듈러 격자]]의 구조를 갖는다.<ref name="Neumann"/> 구체적으로, 군의 다양체들의 집합 <math>\{\mathcal V_i\}_{i\in I}</math>의 만남과 이음은 다음과 같다.
:<math>\bigwedge_i\mathcal V_i=\bigcap_i\mathcal V_i</math>
:<math>\bigvee_i\mathcal V_i=\bigcap\left\{\mathcal V\subseteq\operatorname{Grp}\colon \mathcal V\supseteq\bigcup_i\mathcal V_i\right\}</math>
또한, 군의 대수 구조 다양체들의 부분 다양체들의 집합은 [[모노이드]]의 구조를 갖는다.<ref name="Neumann"/> 두 다양체 <math>\mathcal U</math>, <math>\mathcal V</math>의 곱은 다음과 같다.
:<math>\mathcal U\mathcal V=\{G\in\operatorname{Grp}\colon\exists N\in\mathcal U\colon G/N\in\mathcal V\}</math>
즉, <math>\mathcal U</math>와 <math>\mathcal V</math>의 곱은 <math>\mathcal U</math>의 원소의 <math>\mathcal V</math>에 대한 [[군의 확대]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다. 두 다양체의 곱은 항상 다양체를 이루며, 이 곱에 대한 항등원은 자명군의 다양체 <math>\operatorname{TrivGrp}=\{1\}</math>이며, 또한 모든 군의 다양체 <math>\operatorname{Grp}</math>는 다음과 같이 곱에 대하여 0을 이룬다.
:<math>\operatorname{TrivGrp}\mathcal V=\mathcal V\operatorname{TrivGrp}=\mathcal V</math>
:<math>\operatorname{Grp}\mathcal V=\mathcal V\operatorname{Grp}=\operatorname{Grp}</math>
군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 모노이드는 이 두 관계를 제외하고는 자유 모노이드를 이룬다.<ref name="Neumann"/> 즉, <math>0x=x0=0</math>을 갖는 모노이드들의 대수 구조 다양체에서의 자유 원소이다.

군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 수는 <math>\aleph_0</math>에서 <math>2^{\aleph_0}</math> 사이이다.<ref name="Neumann"/>

=== 격자 이론적 성질 ===
군 <math>G</math>의 부분군들의 포함 관계에 대한 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(G)</math>은 [[완비 격자]]이며 [[대수적 격자]]이다.<ref name="Pálfy">{{서적 인용|제목=Groups and lattices (Groups St Andrews 2001 in Oxford. Volume II)|이름=Péter P.|성=Pálfy|url=http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Palfy-GroupsAndLattices-GStA-2001.pdf|zbl=1085.20508|편집자=C. M. Campbell, E. F. Robertson, G. C. Smith|쪽=428–454|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-052153740-7|날짜=2003-12|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=305|doi=10.1017/CBO9780511542787.014|언어=en|access-date=2015-04-24|archive-date=2017-03-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20170329112718/http://www.math.hawaii.edu/~williamdemeo/latticetheory/Palfy-GroupsAndLattices-GStA-2001.pdf|url-status=}}</ref> 군 <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Pálfy"/>
* [[유한군]]이다.
* 부분군 격자가 유한 격자이다.
군 <math>G</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 부분군 격자가 [[분배 격자]]이다.
* <math>G</math>의 모든 유한 생성 부분군이 [[순환군]]이다.
* <math>G</math>는 유리수체의 덧셈군 <math>\mathbb Q</math>의 부분군과 동형이거나, [[몫군]] <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>의 부분군과 동형이다.

모든 [[격자 (순서론)|격자]]는 어떤 군의 부분군 격자로 나타낼 수 있다.<ref name="Pálfy"/>{{rp|Theorem 2.1}} 즉, 임의의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>L</math>에 대하여, <math>L</math>과 동형인 부분 격자를 그 부분군 격자에 갖는 군 <math>G</math>가 존재한다. 또한, 모든 유한 격자는 어떤 [[유한군]]의 부분군 격자로 나타낼 수 있다.<ref name="Pálfy"/>{{rp|Theorem 2.2}}

== 종류 ==
대표적인 군의 종류로는 다음이 있으며, 이것들 가운데 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[순환군]] ⊊ 아벨 [[유한군]] ⊊ [[유한 생성 아벨 군]]  ⊊ [[아벨 군]]  ⊊ [[데데킨트 군]]  ⊊ [[멱영군]] ⊊ [[가해군]] ⊊ 군
이것들 말고도, 다음과 같은 특별한 종류의 군들이 있다.
* [[p-군]]
* [[단순군]]
* [[유한군]]
* [[완전군]]

추가 구조를 가지는 군은 다음이 있다.
* 군에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조를 부여하면, [[위상군]]을 얻는다.
* 군에 [[매끄러운 다양체]]의 구조를 부여하면, [[리 군]]을 얻는다.
* [[아벨 군]]에 [[분배 법칙]]을 만족시키는 곱셈 연산을 부여하면, [[환 (수학)|환]] 또는 [[유사환]]을 얻는다.

== 예 ==
{{참고|작은 군의 목록}}
아주 많은 예가 있다.
* [[유한군]]의 예로는 다음이 있다.
** [[자명군]] <math>\{1\}</math>은 [[한원소 집합]] 위에 존재하는 유일한 군 구조이다.
** [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>은 [[합동 산술]]에서 합동류들의 덧셈을 나타내는 [[아벨 군]]이다.
** [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 [[집합]] 위의 [[순열]]들로 구성된 군이며, [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(n)\subseteq\operatorname{Sym}(n)</math>은 그 [[부분군]]이다.
** [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(n)</math>은 [[순환군]]의 2겹 [[군의 확대|확대]]이며, [[정다각형]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이다.
* 무한군의 예로는 다음이 있다.
** [[자유군]]은 임의의 기호들 및 역원 기호 <math>^{-1}</math>로 생성되는 기호열들의 [[동치류]]로 구성된 군이며, 일반적으로 비가환군이다.
** 무한 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(\infty)</math>은 [[정수]]의 덧셈군이다.
** [[모듈러 군]]은 복소수 [[타원 곡선]] 위에 작용하는 군이다.
* [[리 군]]은 [[매끄러운 다양체]]를 이루는 군이며, 예로는 다음이 있다.
** [[로런츠 군]]과 [[푸앵카레 군]]은 [[물리학]]에서 [[민코프스키 공간]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]으로 쓰인다.
** [[특수선형군]]과 [[일반선형군]]은 가역 [[선형 변환]]들의 군이다.
** [[직교군]] · [[특수직교군]] · [[유니터리 군]] · [[특수 유니터리 군]] 등은 일반선형군의 다양한 부분군이다. [[스핀 군]]은 직교군의 덮개군이다.
* 모든 [[환 (수학)|환]]은 곱셈을 무시하면 [[아벨 군]]을 이룬다.
* 모든 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>는 곱셈을 무시하면 아벨 군을 이루며, 0이 아닌 원소들의 부분 집합 <math>K\setminus\{0\}</math> 역시 아벨 군을 이룬다. 예를 들어, 모든 실수의 집합은 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이루며, 0이 아닌 실수의 집합은 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. 추가로, 모든 양의 실수의 집합 역시 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

흔히 볼 수 있는 예로, [[지수 함수]]
:<math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R\setminus\{0\}</math>
는 두 [[아벨 군]] 사이의 군 준동형이다. 여기서 <math>\mathbb R</math>는 덧셈군이며, <math>\mathbb R\setminus\{0\}</math>은 곱셈군으로 간주한다. 마찬가지로, 복소수체에 대한 지수 함수
:<math>\exp\colon\mathbb C\to\mathbb C\setminus\{0\}</math>
역시 군 준동형이다.

== 역사 ==
역사적으로, 군론은 19세기에 방정식 이론 · [[수론]] · [[기하학]]의 세 갈래로부터 비롯되었다.

=== 방정식 이론 ===
방정식 이론의 주요 목표는 고차 방정식을 거듭제곱근만으로 푸는 것이었다. 4차 이하의 방정식은 이러한 대수적인 해가 존재하지만, 5차 이상의 경우 일반적으로 그렇지 않다. [[조제프루이 라그랑주]]와 [[파올로 루피니]], [[닐스 헨리크 아벨]] 등은 고차 방정식의 해를 이해하기 위하여 자연스럽게 [[순열]]들의 군에 대한 각종 정리들을 발견하였고, 루피니와 아벨은 결국 5차 이상의 방정식의 대수적 일반해의 부재를 증명하였다.

[[에바리스트 갈루아]]는 아벨의 이론을 추가로 발전시켜, "군"({{llang|fr|groupe|그루프}})이라는 용어를 정의하였고, 또 군론을 [[체론]]과 연관시킨 [[갈루아 이론]]을 제창하였다. 또한, 갈루아는 [[정규 부분군]]과 [[가해군]]의 개념을 도입하였다.

갈루아의 이론은 갈루아 생전에는 주목받지 못했으나, 갈루아의 사후 [[카미유 조르당]]의 《치환과 대수 방정식에 대하여》({{llang|fr|Traité des substitutions et des équations algébriques}}, 1870년)나 오이겐 네토({{llang|de|Eugen Netto}})의 《치환 이론과 그 대수학적 응용》({{llang|de|Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra}}, 1882년) 등이 갈루아의 이론을 널리 전파하였다.

=== 에를랑겐 프로그램과 리 군의 발견 ===
[[기하학]]에서, [[사영기하학]]과 [[비유클리드 기하학]]의 발견으로, 이러한 기하학들의 구조를 이해하는 체계가 필요하게 되었다. 1872년에 [[펠릭스 클라인]]은 이러한 기하들을 그 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]을 통해 일관적으로 이해하고자 하였고, 이를 [[에를랑겐 프로그램]]이라고 한다. 1884년에 [[소푸스 리]]는 오늘날 [[리 군]]이라고 불리는 군들을 도입하였고 체계적으로 연구하였다. 이후 [[빌헬름 킬링]]과 [[이사이 슈어]] 등이 리 군의 연구를 계속하였다.

=== 수론에서의 군 ===
[[레온하르트 오일러]]와 [[카를 프리드리히 가우스]]는 [[합동 산술]] 및 [[이차 수체]]의 덧셈 및 곱셈의 구조를 연구하면서, 다양한 군들의 예를 발견하였다. 이후 [[레오폴트 크로네커]]와 [[에른스트 쿠머]]는 가우스의 이론을 발전시켰다. 쿠머는 [[데데킨트 군]]에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 군인 [[아이디얼 유군]]을 도입하였다.

=== 군론의 독립 ===
19세기 말에 군론은 수학의 독립적인 분야로 발전하게 되었다. [[아서 케일리]], [[막스 덴]], [[페테르 루드비 메이델 쉴로브]] 등은 군론의 기초를 체계적으로 다졌다. 특히 쉴로브는 1872년에 [[쉴로브 정리]]를 증명하였다.

=== 20세기 초반 ===
20세기 초에는 [[대수적 위상수학]]의 발달로, [[기본군]]의 개념이 발견되면서 이산 무한군의 중요성이 대두되었다. 또한, 임의의 체에 대한 [[대수군]]의 이론이 [[리 군]] 이론을 바탕으로 하여 발달하였다. [[엘리 카르탕]]은 [[반단순 리 대수]]를 완전히 분류하였다.

[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]와 [[이사이 슈어]] 등은 유한군의 [[군 표현의 지표|지표론]] 및 [[군 표현론]]을 개발하였고, [[슈어 직교 관계]], [[슈어 보조정리]] 등을 발견하였다.

=== 20세기 후반 ~ 21세기 ===
1972년에 [[대니얼 고런스틴]]은  [[유한단순군의 목록|유한 단순군]]의 분류를 제창하였다. 이후 이 프로그램은 [[존 그리그스 톰프슨]] · 베른트 피셔({{llang|de|Bernd Fischer}}) · [[즈보니미르 얀코]] · [[엔리코 봄비에리]] · [[자크 티츠]] · [[마이클 애시배커]]({{llang|en|Michael Aschbacker}}) · [[로버트 그리스]]({{llang|en|Robert Griess}}) 등에 의하여 진행되었고, 1983년에 완결되었다. 이 과정에서 [[괴물군 (수학)|괴물군]]을 비롯한 수많은 [[산재군]]들이 발견되었다.

[[존 그리그스 톰프슨]]과 [[자크 티츠]]는 2008년에 군론에 대한 업적으로 [[아벨 상]]을 수상하였다.

== 응용 ==
군론은 수학의 여러 분야의 기초가 되었으며, [[양자역학]] 등의 [[물리학]] 분야에 많이 응용된다.

군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. [[정수]]나 [[실수]] 내에서의 [[덧셈]] 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 [[회전이동|회전]]하거나 [[대칭이동|대칭]]시키는 등의 동작 또한 군이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[군의 작용]]
* [[군의 표시]]
* [[군의 표현]]
* [[아벨 군]]
* [[순환군]]
* [[유클리드 군]]
* [[가해군]]
* [[멱영군]]
* [[자유군]]
* [[기본군]]
* [[그로텐디크 군]]
* [[군환]]
* [[군 대상]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=군론|저자=박원선 | 출판사=전남대학교 출판부 |날짜=1997|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=有限群의 表現論|저자=박승안 | 출판사=경문사 |날짜= 2004|isbn=9788972827054|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=군과 조화해석|저자=계승혁 | 출판사=민음사 |날짜= 1998|isbn=9788937436208|언어=ko}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en}}
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*{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}
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* {{서적 인용 | 제목=Groups and symmetry|성=Armstrong|이름=Mark A. |총서=Undergraduate Texts in Mathematics|날짜=1988|doi=10.1007/978-1-4757-4034-9|isbn=978-0-387-96675-5|issn=0172-6056|출판사=Springer|언어=en}}
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* {{서적 인용 | 제목=A course in group theory | 이름=John F.|성=Humphreys|url=https://global.oup.com/academic/product/a-course-in-group-theory-9780198534594|출판사=Oxford University Press|isbn=978-019853459-4|날짜=1996-07-11|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=Topics in group theory | 성= Smith | 이름=Geoff | 공저자= Olga Tabachnikova | 총서=
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* {{서적 인용 | 제목=Topological Methods in Group Theory|성=Geoghegan|이름=Ross|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=243|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-0-387-74614-2|isbn=978-0-387-74611-1|날짜=2008|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=The Theory of Finite Groups. An Introduction|성=Kurzweil|이름= Hans|공저자=Bernd Stellmacher|출판사=Springer|총서=Universitext|issn=0172-5939|날짜=2004|doi=10.1007/b97433|isbn=978-0-387-40510-0|언어=en}}
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* {{저널 인용 | doi=10.2307/2690312 | last=Kleiner | first=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey |mr=863090 | year=1986 | journal=Mathematics Magazine | issn=0025-570X | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312|url=https://www.math.lsu.edu/~adkins/m7200/GroupHistory.pdf|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목=The genesis of the abstract group concept: a contribution to the history of the origin of abstract group theory | 이름=Hans | 성= Wussing | 기타=Abe Shenitzer 역 | 출판사=MIT Press | 날짜=1984 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
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{{전거 통제}}

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[[분류:대수 구조]]
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