{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cut-point.svg|섬네일|숫자 8 모양의 도형의 목 부분은 차수 2의 절단점이다.]]
[[일반위상수학]]에서 '''절단점'''(切斷點, {{llang|en|cut-point}})은 [[연결 공간]]을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.<ref name="Daniel">{{저널 인용
|url=https://eudml.org/doc/54503
|확인날짜=2022-02-03
|이름1=D.
|성1=Daniel
|이름2=William S.
|성2=Mahavier
|제목=Concerning cut point spaces of order three
|언어=en
|저널=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences
|권=2007
|호=Article ID 10679
|날짜=2007
|issn=0161-1712
|doi=10.1155/2007/10679
|mr=2336135
|zbl=1145.54013
}}</ref><ref name="Honari">{{저널 인용
|이름1=B.
|성1=Honari
|이름2=Y.
|성2=Bahrampour
|제목=Cut-point spaces
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=127
|호=9
|쪽=2797–2803
|날짜=1999
|issn=0002-9939
|doi=10.1090/S0002-9939-99-04839-X
|mr=1600152
|zbl=0917.54037
}}</ref>

== 정의 ==
[[연결 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 '''절단점 차수'''(切斷點次數, {{llang|en|cut-point order}})는 <math>X\setminus\{x\}</math>의 [[연결 성분]]들의 수이다. [[연결 공간]] <math>X</math>의 점 <math>x\in X</math>의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, <math>X\setminus\{x\}</math>가 비연결 공간이라면), <math>x</math>를 <math>X</math>의 '''절단점'''이라고 한다. '''절단점 공간'''(切斷點空間, {{llang|en|cut-point space}})은 모든 점이 절단점인 [[연결 공간]]이다.

[[연결 공간]] <math>X</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''연결 순서 위상 공간'''(連結順序位相空間, {{llang|en|connected ordered topological space}}) 또는 '''COTS'''라고 한다.
* 임의의 세 원소 부분집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>S\setminus\{s\}</math>의 두 원소가 <math>X\setminus\{s\}</math>의 서로 다른 두 [[연결 성분]]에 속하게 되는 <math>s\in S</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 <math>x,y\in X</math>가 존재한다면, <math>X</math>를 '''끝점 공간'''(-連結空間, {{llang|en|topological space with endpoints}})이라고 한다.
* 임의의 <math>z\in X\setminus\{x,y\}</math>에 대하여, <math>x\in U\not\ni y</math>인 <math>X\setminus\{z\}</math>의 [[열린닫힌집합]] <math>U\subseteq X\setminus\{z\}</math>가 존재한다.

== 성질 ==
[[연결 공간]]의 모든 절단점은 [[한원소 집합]]으로서 [[열린집합]]이거나 [[닫힌집합]]이다. 즉, [[고립점]]이거나 ‘닫힌 점’이다.<ref name="Honari" />{{rp|2799, Theorem 3.2}}
{{증명}}
[[연결 공간]] <math>X</math>의 절단점 <math>x\in X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>X\setminus\{x\}</math>의 [[열린닫힌집합]] <math>\varnothing\subsetneq A\subsetneq X\setminus\{x\}</math>가 존재하며, 이에 대하여
:<math>A=U\setminus\{x\}=F\setminus\{x\}</math>
인 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U</math> 및 [[닫힌집합]] <math>F</math>가 존재한다. <math>X</math>가 [[연결 공간]]이므로 <math>U\ne F</math>일 수밖에 없다. 따라서 <math>\{x\}=U\setminus F</math>이거나 <math>\{x\}=F\setminus U</math>이다. 만약 <math>\{x\}=U\setminus F</math>가 참이라면 <math>\{x\}</math>는 [[열린집합]]이다. 만약 <math>\{x\}=F\setminus U</math>가 참이라면 <math>\{x\}</math>는 [[닫힌집합]]이다.
{{증명 끝}}
크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[무한 집합]]이다.<ref name="Honari" />{{rp|2800, Corollary 3.8}} 이는 아래 두 성질의 공통적인 특수한 경우이다.
* 무한한 수의 닫힌 점을 갖는다.<ref name="Honari" />{{rp|2800, Theorem 3.7}}
* [[콤팩트 공간]]이 아니다.<ref name="Honari" />{{rp|2800, Corollary 3.10}} 보다 일반적으로, 크기 2 이상의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간]]은 적어도 두 개의 비절단점을 갖는다.<ref name="Honari" />{{rp|2800, Theorem 3.9}}
{{증명|부제=무한한 수의 닫힌 점의 존재}}
크기 2 이상의 절단점 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 <math>x_1,x_2,x_3,\dotsc\in X</math>를 구성하면 족하다. [[수학적 귀납법]]을 사용하여, <math>n-1</math>개의 [[열린집합]] <math>U_1,\dotsc,U_{n-1}\subseteq X</math> 및 <math>n-1</math>개의 [[열린집합]] <math>V_1,\dotsc,V_{n-1}\subseteq X</math> 및 서로 다른 <math>n-1</math>개의 닫힌 점 <math>x_1,\dotsc,x_{n-1}\in X</math>가 주어졌으며, 또한
:<math>\forall i\in\{1,\dotsc,n-1\}\colon X\setminus\{x_i\}=U_i\cup V_i</math>
:<math>\forall i\in\{1,\dotsc,n-1\}\colon U_i\cap V_i=\varnothing\ne U_i,V_i</math>
:<math>\forall i\in\{2,\dotsc,n-1\}\colon x_i\in U_{i-1}</math>
:<math>U_1\supseteq U_2\supseteq\dotsb\supseteq U_{n-1}</math>
이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

<math>V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>은 [[연결 공간]]. [[귀류법]]을 사용하여, [[열린닫힌집합]] <math>\varnothing\subsetneq V\subsetneq V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>이 주어졌다고 하자. 편의상 <math>x_{n-1}\not\in V</math>라고 하자. (만약 <math>x_{n-1}\in V</math>라면 <math>V</math>를 그 [[여집합]] <math>(V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\})\setminus V</math>로 대체한다.) <math>V</math>가 <math>V_{n-1}</math>의 [[열린집합]]이며, <math>V_{n-1}</math>는 <math>X</math>의 [[열린집합]]이므로, <math>V</math>는 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다. 마찬가지로, <math>V</math>가 <math>V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>의 [[닫힌집합]]이며, <math>V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}=X\setminus U_{n-1}</math>가 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이므로, <math>V</math>는 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이다. 이는 <math>X</math>의 연결성과 모순이다.

닫힌 점 <math>x_n\in U_{n-1}</math>이 존재. [[귀류법]]을 사용하여, <math>U_{n-1}</math> 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 <math>x\in U_{n-1}</math>에 대하여, <math>\{x\}</math>가 [[닫힌집합]]이 아니며, <math>U_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>이 [[닫힌집합]]이며, <math>U_{n-1}</math>은 [[고립점]]들로 이루어지므로, <math>x_{n-1}\in\operatorname{cl}\{x\}</math>이다. 따라서 <math>\{x,x_{n-1}\}</math>은 [[연결 공간]]이다. <math>V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math> 역시 [[연결 공간]]이므로, <math>x'\in U_{n-1}</math>에 대하여,
:<math>X\setminus\{x'\}=V_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}\cup\bigcup_{x'\ne x\in U_{n-1}}\{x,x_{n-1}\}</math>
은 [[연결 공간]]이다. 즉, <math>x'</math>은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.

<math>X\setminus\{x_n\}=U_n\cup V_n</math>이며 <math>U_n\cap V_n=\varnothing\ne U_n,V_n</math>이며 <math>x_{n-1}\in V_n</math>인 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U_n,V_n</math>가 존재. 이는 <math>x_n</math>이 닫힌 절단점이며, <math>x_{n-1}\ne x_n</math>이기 때문이다. 만약 <math>x_{n-1}\in U_n</math>이라면 <math>U_n</math>과 <math>V_n</math>을 교환한다.

<math>U_n\subseteq U_{n-1}</math>. <math>U_n\cup\{x_n\}</math>이 [[연결 공간]]이며, <math>U_n\cup\{x_n\}\subseteq X\setminus\{x_{n-1}\}</math>이므로, <math>U_n\cup\{x_n\}\subseteq U_{n-1}</math>이거나 <math>U_n\cup\{x_n\}\subseteq V_{n-1}</math>인데, <math>x_n\in U_{n-1}</math>이다. 따라서 <math>U_n\cup\{x_n\}\subseteq U_{n-1}</math>이다.

<math>x_n\not\in\{x_1,\dotsc,x_{n-1}\}</math>. 임의의 <math>i\in\{1,\dotsc,n-1\}</math>에 대하여, <math>x_i\not\in U_i</math>이므로 <math>x_i\not\in U_{n-1}</math>이며, 또한 <math>x_n\in U_{n-1}</math>이다. 따라서 <math>x_n\ne x_i</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=비콤팩트성}}
1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 [[연결 공간]] <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이 아님을 보이면 족하다. <math>X</math>의 절단점의 집합은 <math>X</math> 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 [[여집합]]이므로, [[연결 공간]]이다. 따라서, 닫힌 절단점 <math>x_0\in X</math>가 존재한다. <math>A,B\subseteq X</math>가 [[열린집합]]이며, 또한 <math>X\setminus\{x_0\}=U\cup V</math>이며 <math>U\cap V=\varnothing</math>이며 <math>U,V\ne\varnothing</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>U</math>와 <math>V</math> 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 <math>U</math>의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,
:<math>\mathcal S=\{W\in\operatorname{Open}(X)\colon V\subseteq W\land|{\operatorname{cl}W\setminus W}|=1\land\operatorname{cl}W\ne X\}</math>
라고 하고, <math>\mathcal S</math> 위에 다음 [[부분 순서]]를 주자.
:<math>W\le W'\iff W=W'\lor\operatorname{cl}W\subseteq W'</math>
그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.

<math>\mathcal S</math>는 극대 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>\mathcal C\ne\varnothing</math>를 가짐. <math>X</math>가 [[연결 공간]]이므로 <math>V</math>는 [[닫힌집합]]이 아니며, <math>U</math>가 [[열린집합]]이므로 <math>V\cup\{x_0\}</math>은 [[닫힌집합]]이다. 따라서 <math>\operatorname{cl}V=V\cup\{x_0\}</math>이며, <math>V\in\mathcal S</math>이다. [[하우스도르프 극대 원리]]에 따라 극대 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>\varnothing\ne\mathcal C\subseteq\mathcal S</math>가 존재한다.

<math>\mathcal S</math>는 [[극대 원소]]를 갖지 않음. 임의의 <math>W\in\mathcal S</math>가 주어졌다고 하고, <math>\operatorname{cl}W\setminus W=\{y_W\}</math>라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 <math>z_W\in X\setminus\operatorname{cl}W</math>가 존재한다고 단언한다. <math>X\setminus\operatorname{cl}W</math>의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 <math>y\in X\setminus\operatorname{cl}W</math>에 대하여, <math>\{y\}</math>은 [[닫힌집합]]이 아니며 <math>(X\setminus\operatorname{cl}W)\cup\{y_W\}=X\setminus W</math>는 [[닫힌집합]]이며 <math>X\setminus\operatorname{cl}W</math>의 모든 점은 [[고립점]]이므로, <math>\operatorname{cl}\{y_W\}=\{y_W,y\}</math>이며, 따라서 <math>\{y_W,y\}</math>는 [[연결 공간]]이다. 임의의 <math>\varnothing\subsetneq A\subsetneq\operatorname{cl}W</math>에 대하여, <math>A</math>는 <math>X</math>의 [[열린닫힌집합]]이 아니며, <math>W</math>와 <math>\operatorname{cl}W</math>는 각각 <math>X</math>의 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]이므로, <math>A</math>와 <math>X\setminus A</math> 가운데 <math>W</math>에 속하는 한 집합은 <math>\operatorname{cl}W</math>의 [[열린닫힌집합]]이 아니다. 즉, <math>\operatorname{cl}W</math>는 [[연결 공간]]이다. 따라서, 임의의 <math>y'\in X\setminus\operatorname{cl}W</math>를 취했을 때,
:<math>X\setminus\{y'\}=\operatorname{cl}W\cup\bigcup_{y'\ne y\in X\setminus\operatorname{cl}W}\{y_W,y\}</math>
는 [[연결 공간]]이다. 즉, <math>y'</math>은 절단점이다. 이는 <math>y'\in U</math>인 것과 모순이다. 이제, <math>z_W</math>가 닫힌 절단점이므로, <math>W',W''</math>이 <math>X</math>의 [[열린집합]]이며, <math>X\setminus\{z_W\}=W'\cup W''</math>이며 <math>W'\cap W''=\varnothing\ne W',W''</math>이라고 하자. <math>\operatorname{cl}W\subseteq X\setminus\{z_W\}</math>가 [[연결 공간]]이므로, <math>\operatorname{cl}W\subseteq W'</math>이거나 <math>\operatorname{cl}W\subseteq W''</math>이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, <math>V\subseteq W'</math>이며 <math>\operatorname{cl}W'=W'\cup\{z_W\}</math>이므로, <math>W'\in\mathcal S</math>이다. 즉, <math>W<W'</math>이며, <math>W</math>는 [[극대 원소]]가 아니다.

<math>\bigcup\mathcal C</math>는 [[콤팩트 공간]]이 아님. [[열린 덮개]] <math>\mathcal C</math>가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. <math>\mathcal C</math>가 [[극대 원소]]를 갖지 않음을 보이면 족하다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>W\in\mathcal C</math>가 <math>\mathcal C</math>의 [[극대 원소]]라고 하자. 그렇다면, <math>W<W'</math>인 <math>W'\in\mathcal S</math>가 존재한다. 그렇다면 <math>\mathcal C\cup\{W'\}</math>은 새로운 [[사슬 (순서론)|사슬]]이며, <math>\mathcal C</math>는 그 [[진부분집합]]이다. 이는 <math>\mathcal C</math>의 극대성과 모순이다.

<math>\bigcup\mathcal C=X</math>. [[귀류법]]을 사용하여, <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>가 [[공집합]]이 아니라고 하자. <math>X\setminus\bigcup\mathcal C\subseteq U</math>이므로, <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>의 모든 점은 절단점이며, 따라서 [[고립점]]이거나 닫힌 점이다. <math>X\setminus\bigcup\mathcal C</math>는 [[닫힌집합]]이므로, [[열린집합]]일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 <math>x_1\in X\setminus\bigcup\mathcal C</math>가 존재한다. <math>G,H</math>가 <math>X</math>의 [[열린집합]]이며, <math>X\setminus\{x_1\}=G\cup H</math>이며, <math>G\cap H=\varnothing\ne G,H</math>라고 하자. 임의의 <math>W\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 [[극대 원소]]가 아니므로, <math>\operatorname{cl}W\subseteq W'</math>인 <math>W'\in\mathcal C</math>가 존재한다. 따라서,
:<math>\bigcup\mathcal C=\bigcup_{W\in\mathcal C}\operatorname{cl}W</math>
이다. 각 <math>\operatorname{cl}W</math>는 [[연결 공간]]이며, <math>V\subseteq\operatorname{cl}W</math>이므로, <math>\bigcup\mathcal C</math>는 [[연결 공간]]이다. 따라서, <math>\bigcup\mathcal C\subseteq G</math>이거나 <math>\bigcup\mathcal C\subseteq H</math>이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, <math>V\subseteq G</math>이며 <math>\operatorname{cl}G=G\cup\{x_1\}</math>이므로, <math>G\in\mathcal S</math>이다. <math>\mathcal C</math>가 [[극대 원소]]를 갖지 않으므로, <math>G\not\in\mathcal C</math>이다. 이는 <math>\mathcal C</math>의 극대성과 모순이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
[[유클리드 평면]] <math>\mathbb R^2</math> 속의 <math>n</math>개의 [[직선]]이 절단점 공간일 [[필요충분조건]]은, [[공점선]]이거나, <math>n-1</math>개의 직선이 [[평행]]하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.

=== 실수 ===
[[실수선]] <math>\mathbb R</math>는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.
* 모든 점의 절단점 차수가 2인 [[연결 공간|연결]] [[국소 연결]] [[분해 가능]] [[거리화 가능 공간]]은 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이다.
* 모든 점의 절단점 차수가 2이며, 모든 점의 [[여집합]]의 두 [[연결 성분]]들의 집합이 [[부분기저]]를 이루는 [[분해 가능]] [[하우스도르프 공간]]은 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이다.

2차원 이상의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> (<math>n\ge 2</math>)은 [[연결 공간]]이지만, 절단점을 갖지 않는다.

=== 기약 절단점 공간 ===
[[정수]] 집합 <math>\mathbb Z</math> 위에 다음과 같은 위상을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 '''칼림스키 직선'''(-直線, {{llang|en|Khalimsky line}})이라고 한다.
* 모든 [[홀수]]는 [[고립점]]이다.
* 모든 [[짝수]] <math>n</math>은 최소 [[열린 근방]] <math>\{n-1,n,n+1\}</math>을 갖는다.
즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]로 생성된다.
:<math>\mathcal B=\{\{2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}\cup\{\{2i-1,2i,2i+1\}\colon i\in\mathbb Z\}</math>
'''기약 절단점 공간'''(旣約切斷點空間, {{llang|en|irreducible cut-point space}})은 모든 [[진부분집합]]이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 [[위상동형]]이다.<ref name="Honari" />{{rp|2801, Theorem 4.5}} 즉, 칼림스키 직선은 [[위상동형]] 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.
{{증명|부제=칼림스키 직선은 기약 절단점 공간}}
칼림스키 직선 <math>\mathbb Z</math>는 [[연결 공간]]. [[짝수]] <math>n\in\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\{n-1,n,n+1\}</math>은 <math>n</math>의 최소 근방이므로, <math>\{n-1,n\}</math>과 <math>\{n,n+1\}</math>은 [[연결 공간]]이다. [[수학적 귀납법]]에 따라, <math>1\le n\in\mathbb Z</math>에 대하여,
:<math>\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc,n\}=\{-n,-n+1\}\cup\{-n+1,-n+2\}\cup\dotsb\cup\{n-1,n\}</math>
은 [[연결 공간]]이며, 따라서 칼림스키 직선
:<math>\mathbb Z=\bigcup_{1\le n\in\mathbb Z}\{-n,-n+1,-n+2,\dotsc,n\}</math>
은 [[연결 공간]]이다.

모든 <math>n\in\mathbb Z</math>는 절단점. 이는 <math>\{k\in\mathbb Z\colon k<n\}</math>과 <math>\{k\in\mathbb Z\colon k>n\}</math>이 모두 <math>\mathbb Z\setminus\{n\}</math>의 [[열린집합]]이기 때문이다.

모든 [[진부분집합]] <math>A\subsetneq\mathbb Z</math>는 [[연결 공간]]이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 <math>\mathbb Z</math>의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 (<math>m,n\in\mathbb Z</math>).
* <math>\{k\in\mathbb Z\colon k\le n\}</math>
* <math>\{k\in\mathbb Z\colon k\ge n\}</math>
* <math>\{k\in\mathbb Z\colon m\le k\le n\}</math>
<math>A</math>가 [[연결 공간]]이라고 하자. 즉, <math>A</math>는 어떤 <math>m,n\in\mathbb Z</math>에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, <math>A\setminus\{n\}</math> 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 [[연결 공간]]이다. 즉, <math>n</math>은 <math>A</math>의 비절단점이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=기약 절단점 공간은 칼림스키 직선}}
기약 절단점 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 <math>\mathbb Z</math>에서 <math>X</math>로 가는 [[매장 (수학)|매장]] <math>i\mapsto x_i</math>를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 <math>x\in X</math>의 절단점 차수는 2라고 단언한다. <math>\varnothing\subsetneq A\subsetneq X\setminus\{x\}</math>가 <math>X\setminus\{x\}</math>의 [[열린닫힌집합]]이라고 하자. <math>A</math>와 <math>X\setminus A</math>가 [[연결 공간]]임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>A</math>가 [[연결 공간]]이 아니라고 하자. 그렇다면, <math>x</math>는 <math>A\cup\{x\}</math>의 절단점이다. 임의의 <math>y\in A</math>에 대하여,
:<math>X\setminus\{y\}=((A\cup\{x\})\setminus\{y\})\cup((X\setminus A)\cup\{x\})</math>
는 [[연결 공간]]이 아니며, <math>x\in((A\cup\{x\})\setminus\{y\})\cap((X\setminus A)\cup\{x\})</math>이므로, <math>(A\cup\{x\})\setminus\{y\}</math>와 <math>(X\setminus A)\cup\{x\}</math> 가운데 하나 이상은 [[연결 공간]]이 아니다. 그런데 <math>(X\setminus A)\cup\{x\}</math>가 [[연결 공간]]임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 <math>(A\cup\{x\})\setminus\{y\}</math>는 [[연결 공간]]이 아니며, <math>y</math> 역시 <math>A\cup\{x\}</math>의 절단점이다. 즉, <math>A\cup\{x\}</math>는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.

이제, 닫힌 점 <math>x_0\in X</math>을 취하자. <math>A_0</math>와 <math>B_0</math>이 <math>X\setminus\{x_0\}</math>의 두 [[연결 성분]]이라고 하자. [[수학적 귀납법]]을 사용하여,
:<math>x_{-n+1},x_{-n+2},\dotsc,x_{n-1}\subseteq X</math>
가 주어졌으며, 또한 각 <math>-n+1<i\le n-1</math>에 대하여, <math>\{x_{i-1},x_i\}</math>가 [[연결 공간]]이라고 하자. 또한, 각 <math>X\setminus\{x_i\}</math>의 두 [[연결 성분]]이 <math>A_i</math>와 <math>B_i</math>라고 하고, <math>-n+1\le i<0</math>인 경우 <math>x_0\in B_i</math>이며, <math>0<i\le n-1</math>인 경우 <math>x_0\in A_i</math>라고 하자. 그렇다면, <math>\{x_{-n},x_{-n+1}\}</math>과 <math>\{x_{n-1},x_n\}</math>이 [[연결 공간]]인 <math>x_{-n}\in A_{-n+1}</math> 및 <math>x_n\in B_{n-1}</math>이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. <math>\{x_{n-1}\}</math>의 [[극한점]] <math>x_n\in B_{n-1}</math>을 찾으면 족하다. 만약 <math>x_{n-1}</math>이 닫힌 점이라면, <math>B_{n-1}</math>이 [[연결 공간]]이며, <math>X</math>가 기약 절단점 공간이므로, <math>B_{n-1}</math>은 비절단점 <math>x_n\in B_{n-1}</math>을 갖는다. 즉, <math>B_{n-1}\setminus\{x_n\}</math>은 [[연결 공간]]이다. <math>B_{n-1}</math>은 [[열린집합]]이므로, [[닫힌집합]]이 아니며, <math>B_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>은 [[닫힌집합]]이므로, <math>x_{n-1}</math>은 <math>B_{n-1}</math>의 [[극한점]]이다. 하지만 <math>X\setminus\{x_n\}=(B_{n-1}\setminus\{x_n\})\cup(A_{n-1}\cup\{x_{n-1}\})</math>이 [[연결 공간]]이 아니므로, <math>x_{n-1}</math>은 <math>B_{n-1}\setminus\{x_n\}</math>의 [[극한점]]일 수 없다. 따라서, <math>x_{n-1}</math>은 <math>\{x_n\}</math>의 [[극한점]]이다. 만약 <math>x_{n-1}</math>이 [[고립점]]이라면, <math>B_{n-1}</math>은 [[닫힌집합]]이므로, [[열린집합]]이 아니며, <math>B_{n-1}\cup\{x_{n-1}\}</math>은 [[열린집합]]이므로, <math>x_n\in B_{n-1}\setminus\operatorname{int}B_{n-1}</math>은 <math>\{x_{n-1}\}</math>의 [[극한점]]이다. [[수학적 귀납법]]의 마지막으로, <math>A_{-n}</math>과 <math>B_{-n}</math>이 <math>X\setminus\{x_{-n}\}</math>의 두 [[연결 성분]]이며, <math>A_n</math>과 <math>B_n</math>이 <math>X\setminus\{x_n\}</math>의 두 [[연결 성분]]이며, <math>x_0\in B_{-n}</math>이며 <math>x_0\in A_n</math>이라고 정의한다.

이제, [[수학적 귀납법]]에 따라 구성된 [[부분집합]]
:<math>\{\dotsc,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\dotsc\}\subseteq X</math>
및 각 <math>X\setminus\{x_n\}</math>의 두 [[연결 성분]] <math>A_n</math>과 <math>B_n</math>을 생각하자. 정의에 따라 <math>n<0</math>인 경우 <math>x_0\in B_n</math>이며, <math>n>0</math>인 경우 <math>x_0\in A_n</math>이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.

<math>x_i\in A_n\iff i<n</math>, <math>x_i\in B_n\iff i>n</math>. 편의상 <math>n>0</math>이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\{x_i\colon i<n\}=\bigcup_{k<n}(\{x_{k-1},x_k\}\cup\{x_k,x_{k+1}\}\cup\dotsb\cup\{x_{n-2},x_{n-1}\})</math>
:<math>\{x_i\colon i>n\}=\bigcup_{k>n}(\{x_{n+1},x_{n+2}\}\cup\{x_{n+2},x_{n+3}\}\cup\dotsb\cup\{x_k,x_{k+1}\})</math>
은 둘 다 [[연결 공간]]이며, <math>x_0\in A_n</math>이며 <math>x_{n+1}\in B_n</math>이므로, <math>\{x_i\colon i<n\}\subseteq A_n</math>이며 <math>\{x_i\colon i>n\}\subseteq B_n</math>이다.

각 <math>x_n</math>은 <math>n</math>이 [[짝수]]인 경우 닫힌 점, <math>n</math>이 [[홀수]]인 경우 [[고립점]]. 정의에 따라 <math>x_0</math>은 닫힌 점이다. 만약 <math>\{x_n\}</math>이 [[닫힌집합]]이라면, <math>\{x_{n-1},x_n\}</math>와 <math>\{x_n,x_{n+1}\}</math>이 [[연결 공간]]이므로, <math>\{x_{n-1}\}</math>과 <math>\{x_{n+1}\}</math>은 [[닫힌집합]]이 아니며, 따라서 [[열린집합]]이다. 마찬가지로, 만약 <math>\{x_n\}</math>이 [[열린집합]]이라면, <math>\{x_{n-1}\}</math>과 <math>\{x_{n+1}\}</math>은 [[닫힌집합]]이다.

[[부분집합]] <math>\{x_i\colon i\in\mathbb Z\}</math>은 [[기저 (위상수학)|기저]]
:<math>\mathcal B'=\{\{x_{2i+1}\}\colon i\in\mathbb Z\}\cup\{\{x_{2i-1},x_{2i},x_{2i+1}\}\colon i\in\mathbb Z\}</math>
를 가짐. [[홀수]] <math>n</math>에 대하여, <math>x_n</math>이 [[고립점]]임은 이미 증명하였다. [[짝수]] <math>n</math>에 대하여, <math>x_n</math>은 <math>\{x_{n-1}\}</math>과 <math>\{x_{n+1}\}</math>의 [[극한점]]임을 증명하였으므로, <math>x_n</math>의 모든 [[열린 근방]]은 <math>x_{n-1}</math>과 <math>x_{n+1}</math>을 원소로 포함한다. 반대로, <math>A_n</math>과 <math>B_n</math>이 [[열린집합]]이므로,
:<math>\{x_{n-1},x_n,x_{n+1}\}=\{x_i\colon i\in\mathbb Z\}\cap A_n\cap B_n</math>
은 [[열린집합]]이다. 따라서, <math>\{x_{n-1},x_n,x_{n+1}\}</math>은 <math>x_n</math>의 최소 [[열린 근방]]이다.
{{증명 끝}}

=== 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 ===
모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 [[분해 가능]] [[거리화 가능 공간]]일 수 없으며, 특히 [[유클리드 공간]]에 [[매장 (수학)|매장]]될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 <math>X</math>는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 <math>M\subseteq\mathbb R^2</math>을 만들자.
* 수평 개구간 <math>(0,1)\times\{0\}</math>에서 시작한다.
* 각 [[이진 유리수|이진 유리점]] <math>((2m-1)/2^n,0)\in(0,1)\times\{0\}</math> 위에 수직 개구간 <math>\{(2m-1)/2^n\}\times(0,1/2^n)</math>을 덧붙인다.
* 덧붙여진 수직 개구간의 이진 유리점 <math>((2m-1)/2^n,(2i-1)/2^j)</math>의 오른쪽에 수평 개구간 <math>((2m-1)/2^n,(2m-1)/2^n+1/2^j)\times\{(2i-1)/2^j\}</math>를 덧붙인다.
* 위와 같은 과정을 계속 반복한다. 새로운 구간은 마지막 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합과 위에서 설명한 처음 세 단계에서 추가한 구간들의 합집합이 닮음이도록 시계 방향으로 돌며 추가한다.
그렇다면, <math>M</math>의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 <math>\operatorname{ct}_3(M)</math>과 <math>\operatorname{ct}_2(M)=M\setminus\operatorname{ct}_3(M)</math>이라고 하자. 이제,
:<math>X=\operatorname{ct}_2(M)^*\times M=M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\operatorname{ct}_2(M)\times\operatorname{ct}_2(M)\times M\cup\dotsb</math>
라고 하자 (<math>(-)^*</math>는 [[클레이니 스타]]). 또한, <math>x=(x_1,\dotsc,x_n)\in X</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 집합을 정의하자.
:<math>R(x,\epsilon)=
 \begin{cases}
  \{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_3(M) \\
  \{x\}\cup\{(x_1,\dotsc,x_{n-1})\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(x_n,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M))\cup\{x\}\times(\operatorname{ball}_{\mathbb R^2}(0,\epsilon)\cap\operatorname{ct}_3(M)) & x_n\in\operatorname{ct}_2(M)
 \end{cases}
</math>
그렇다면,
:<math>\{R(x,\epsilon)\colon x\in X\land\epsilon>0\}</math>
은 <math>X</math> 위의 [[기저 (위상수학)|기저]]를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>은 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Daniel" />
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[연결 공간]]이다.
* 모든 점의 절단점 차수는 3이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:일반위상수학]]