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[[선형대수학]]에서 '''다중선형사상'''(multilinear map) 또는 '''텐서'''(tensor)는 [[선형 변환|선형 관계]]를 나타내는 [[다중선형대수학]]의 대상이다. 19세기에 [[카를 프리드리히 가우스]]가 [[곡면]]에 대한 [[미분 기하학]]을 만들면서 도입하였다. 기본적인 예는 [[내적]]과 [[선형 변환]]이 있으며 [[미분 기하학]]에서 자주 등장한다. 텐서는 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 선택하여 [[배열|다차원 배열]]로 나타낼 수 있으며, 기저를 바꾸는 [[공변 변환|변환 법칙]]이 존재한다. [[텐서 미적분학]]에서는 [[리치 표기법]], [[펜로즈 표기법]], [[지표 표기법]], 비교적 단순한 문맥에서 사용하는 [[아인슈타인 표기법]] 등의 다양한 표기법을 사용하여 텐서를 구체적으로 나타낸다.

== 정의 ==
<!-- 이 부분은 [[:en:Tensor (intrinsic definition)]]의 정의 부분을 번역한 것입니다. -->

[[벡터 공간]] <math>V</math>와 그 [[쌍대 공간]] <math>V^*</math>에 대하여 음이 아닌 정수 ''m'', ''n''마다 ''(m, n)''형의 텐서는 벡터 공간
:<math>T^m_n(V) = \underbrace{V\otimes \dots \otimes V}_{m} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n}</math>
의 원소로 정의된다. 여기에서 [[텐서곱]] <math>\otimes</math>은 [[외적]]의 일반화로 생각하여 대략
:<math>
  \begin{bmatrix}
    a_{1,1} & a_{1,2} \\
    a_{2,1} & a_{2,2} \\
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix}
    b_{1,1} & b_{1,2} \\
    b_{2,1} & b_{2,2} \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    a_{1,1}  \begin{bmatrix}
              b_{1,1} & b_{1,2} \\
              b_{2,1} & b_{2,2} \\
            \end{bmatrix} & a_{1,2}  \begin{bmatrix}
                                      b_{1,1} & b_{1,2} \\
                                      b_{2,1} & b_{2,2} \\
                                    \end{bmatrix} \\
     & \\
    a_{2,1}  \begin{bmatrix}
              b_{1,1} & b_{1,2} \\
              b_{2,1} & b_{2,2} \\
            \end{bmatrix} & a_{2,2}  \begin{bmatrix}
                                      b_{1,1} & b_{1,2} \\
                                      b_{2,1} & b_{2,2} \\
                                    \end{bmatrix} \\
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    a_{1,1} b_{1,1} & a_{1,1} b_{1,2} & a_{1,2} b_{1,1} & a_{1,2} b_{1,2} \\
    a_{1,1} b_{2,1} & a_{1,1} b_{2,2} & a_{1,2} b_{2,1} & a_{1,2} b_{2,2} \\
    a_{2,1} b_{1,1} & a_{2,1} b_{1,2} & a_{2,2} b_{1,1} & a_{2,2} b_{1,2} \\
    a_{2,1} b_{2,1} & a_{2,1} b_{2,2} & a_{2,2} b_{2,1} & a_{2,2} b_{2,2} \\
  \end{bmatrix}
</math>

:<math> A_{ij} \otimes B_{kl} = T_{ijkl} </math>

와 같은 연산이다.

=== 주의 ===
하나의 벡터 공간이 주어지면 그 쌍대 벡터 공간과 텐서곱 연산이 유일하게 정의된다. ''(0, 0)''형의 텐서인 스칼라를 포함하여, 텐서곱을 반복하여 얻을 수 있는 벡터 공간들의 벡터를 단순히 텐서라고 한다. 따라서 모든 텐서는 어떤 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터이다.

== 텐서곱의 유일성 ==
[[파일:Another universal tensor prod.svg|오른쪽|섬네일|200px|보편 성질을 [[가환 그림]]으로 나타낸 모습.]]

[[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 벡터 공간 <math>V,\ W,\ V \otimes W</math>에 대하여 [[쌍선형 변환]] <math>\varphi:V \times W \to V \otimes W</math>는 아래의 [[보편 성질]]을 갖는다:
:임의의 벡터 공간 <math>Z</math>에 대하여 임의의 [[쌍선형 변환]] <math>h: V \times W \to Z</math>은 선형 변환 <math>\bar{h}: V \otimes W \to Z</math>이 ''유일하게'' 존재하여 <math>h = \bar{h} \circ \varphi</math>이다.
이 조건으로 텐서곱 <math>\otimes</math>이 유일하게 정의되며, 따라서 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여 텐서의 벡터 공간은 [[다중선형대수학|다중선형 공간]]과 [[자연 동형]]이다:
:<math>T^m_n(V) \cong L^{m+n}\left(\underbrace{V^*\times \dots \times V^*}_{m} \times \underbrace{ V\times \dots \times V}_{n} \to F \right)</math>
여기에서 <math>V \cong V^{**}</math>이다.

== 변환 법칙 ==
[[파일:Epsilontensor.svg|섬네일|300px|[[유사텐서]]인 [[3차원]] [[레비치비타 기호]]를 다차원 배열로 나타낸 모습. 이는 ''(0, 3)''형의 [[호지 쌍대|치환 텐서]]로 대체할 수 있고, 이를 통해 [[벡터곱]]도 ''(1, 2)''형의 텐서처럼 다룰 수 있다.]]

[[아인슈타인 표기법]]을 사용하면 ''(m, n)''형의 텐서는 기저 {{math|'''f''' {{=}} ('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''k''</sub>)}}를 선택하여 ''m+n''차원 배열
:<math>T^{i_1\dots i_m}_{j_{1}\dots j_{n}}[\mathbf{f}]</math>
와 같이 나타낼 수 있다. 다른 기저 <math>\mathbf{f}\cdot R = \left( \mathbf{e}_i R^i_1, \dots, \mathbf{e}_i R^i_k \right)</math>를 선택하면 기저 {{math|'''f'''}}에 의존하지 않는 변환 법칙
:<math>
  T^{i'_1\dots i'_m}_{j'_1\dots j'_n}[\mathbf{f} \cdot R] = \left(R^{-1}\right)^{i'_1}_{i_1} \cdots \left(R^{-1}\right)^{i'_m}_{i_m}
</math> <math>
  T^{i_1, \ldots, i_m}_{j_1, \ldots, j_n}[\mathbf{f}]
</math> <math>
  R^{j_1}_{j'_1}\cdots R^{j_n}_{j'_n} .
</math>
을 적용할 수 있다. 여기에서 ''m''을 이 텐서의 반변 계수(contravariant rank), ''n''을 공변 계수(covariant rank)라 하며 ''m+n''을 총 계수(total rank)라 한다.

=== 주의 ===
기저의 선택에 의존하는 [[행렬]], [[위치벡터]], [[유사텐서]] 등은 텐서의 표현 방식이며, 기저의 선택이 없으면 텐서가 아니다. 마찬가지로 위치벡터 또한 기저의 선택이 없으면 벡터가 아니기 때문에, 모든 벡터 공간의 스칼라 혹은 벡터가 어떤 텐서라는 사실은 변하지 않는다.

== 예 ==
하나의 벡터 공간에서 얻을 수 있는 벡터 공간들의 원소를 아래와 같이 분류할 수 있다. [[물리학]]과 [[공학]] 등에서는 각 점마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 공간, 즉 텐서장을 텐서라고 부르기도 한다.
:{| class = "wikitable"
|-
! colspan=2 rowspan=2 width="75px" |
! colspan=7 | ''n''
|-
! scope="col" width="175px" | 0
! scope="col" width="175px" | 1
! scope="col" width="175px" | 2
! scope="col" width="175px" | 3
! scope="col" width="75px" | ⋯
! scope="col" width="175px" | ''p''
! scope="col" width="75px" | ⋯
|-
! rowspan=6 | ''m''
! scope="row" | 0
| [[스칼라 (수학)|스칼라]] (예 : [[스칼라 곡률]])
| [[기울기 (벡터)|기울기]]
| [[쌍선형 형식]] (예 : [[내적|스칼라곱]], [[계량 텐서]]), [[리치 곡률]], [[심플렉틱 형식]]
|
|
| [[미분 형식|''p''-형식]] (예 : [[부피 형식]]), [[다중극 전개|''2<sup>p</sup>''중극자 모멘트]]
|
|-
! scope="row" | 1
| 벡터 (예 : [[기하적 대수학|''1''-벡터]])
| [[선형 변환]] (예 : [[크로네커 델타]])
|
| [[리만 곡률 텐서]]
|
|
|
|-
! scope="row" | 2
| [[푸아송 다양체|푸아송 구조]]
|
| [[훅 법칙|탄성 텐서]]
|
|
|
|
|-
! scope="row" | ⋮
|
|
|
|
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|
|-
! scope="row" | ''q''
|[[외대수|''q''-벡터]]
|
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|
|-
! scope="row" | ⋮
|
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|
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

{{전거 통제}}

[[분류:텐서| ]]
[[분류:물리학 개념]]