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[[리 군론]]에서 '''리 지수 사상'''(指數寫像, {{llang|en|Lie exponential map}})은 어떤 리 군을 [[공역]]으로 하고, 그 [[리 대수]]를 [[정의역]]으로 하는 특별한 함수이다. 행렬군의 경우 이는 행렬의 지수 함수와 같다.

== 정의 ==
(유한 차원) [[리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathrm T_1G = \mathfrak g</math>를 생각하자. 그렇다면, 임의의 <math>x\in \mathfrak g</math>에 대하여,
:<math>\gamma_x\colon \mathbb R\to G</math>
:<math>\gamma_x(0) = 1</math>
:<math>\dot\gamma_x(0) = x \in \mathrm T_1G = \mathfrak g</math>
가 되는 [[매끄러운 함수]]인 [[군 준동형]]이 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 이에 따라, <math>G</math>의 '''리 지수 사상'''은 다음과 같은 함수이다.
:<math>\exp_G \colon \mathfrak g \to G</math>
:<math>\exp_G \colon x \mapsto \gamma_x(1)</math>

=== 구체적 정의 ===
[[리 군]] <math>G</math>가 다음과 같이 행렬군의 부분군이라고 하자.
:<math>G \hookrightarrow \operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>
즉, <math>G</math>가 충실한 <math>n</math>차원 실수 표현을 갖는다고 하자.

그렇다면, <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)=\mathfrak g</math> 역시 실수 표현
:<math>\mathfrak g \hookrightarrow\mathfrak{gl}(n;\mathbb R)</math>
을 갖는다.

이 경우, <math>G</math>의 리 지수 사상은 [[행렬 지수 함수]]와 같다.
:<math>\exp_G\colon\mathfrak g\to G</math>
:<math>\exp_G\colon x \mapsto \sum_{k=0}^\infty \frac1{k!}x^n=1+x+\frac12x^2+\dotsb</math>

== 성질 ==
리 지수 사상은 [[매끄러운 함수]]이며, 그 [[치역]]은 리 군 <math>G</math>의 항등원을 포함하는 [[연결 성분]] <math>G_1</math>의 부분 집합이다.
:<math>\exp_G \colon \mathfrak g\to G_1</math>

=== 항등식 ===
리 지수 사상은 다음을 만족시킨다.
:<math>\exp((s+t)x) = \exp(sx) \exp(tx)\qquad(s,t\in\mathbb R,\;x\in\mathfrak g)</math>
:<math>\exp(-x) = \exp(x)^{-1} \qquad(x\in\mathfrak g)</math>
:<math>\exp(x+y) = \exp(x)\exp(y)\qquad(x,y\in\mathfrak g,\;[x,y]=0)</math>
또한, 리 군의 스스로의 [[리 대수]] 위의 [[딸림표현]]
:<math>\operatorname{Ad}\colon G\times\mathfrak g\to\mathfrak g</math>
:<math>\operatorname{Ad}\colon (g,x)\mapsto \operatorname{Ad}_g(x)</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Ad}_{\exp x}(y) = \sum_{k=0}^\infty
\frac1{k!}\operatorname{ad}_x^k(y)
=y + [x,y] + \frac12[x,[x,y]] + \frac16[x,[x,[x,y]]] + \dotsb</math>

=== 함자성 ===
리 지수 함수는 유한 차원 실수 리 대수의 범주 <math>\operatorname{fdLie}_{\mathbb R}</math>에서,

두 리 군 사이의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 준동형]]
:<math>f\colon G\to H</math>
가 주어졌다고 하자. 이는 [[리 대수]] 사이의 준동형
:<math>f_*\colon \operatorname{Lie}(G)\to\operatorname{Lie}(H)</math>
를 유도한다. 그렇다면, 지수 함수는 다음 그림을 가환 그림으로 만든다. 즉, 리 지수 함수는 [[함자 (수학)|함자성]]을 갖는다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{Lie}(G) & \overset{f_*}\to & \operatorname{Lie}(H) \\
{\scriptstyle\exp}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exp} & & {\color{White}\scriptstyle\exp}\downarrow {\scriptstyle\exp}\\
G &\underset f\to & H
\end{matrix}</math>

=== 전사성 ===
[[리 군]] <math>G</math>가 만약 다음 세 조건 가운데 적어도 하나 이상을 만족시킨다면, 그 리 지수 사상은 [[전사 함수]]이다.
* <math>G</math>는 [[연결 공간]]이며 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>G</math>는 [[연결 공간]]이며 [[멱영군]]이다.
* <math>G</math>는 <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb C)</math>의, 이산군에 대한 몫군이다.

== 예 ==
=== 아벨 리 군 ===
<math>G=\mathbb R^n</math>이 [[아벨 군|아벨]] [[리 군]]이라고 하자. 그렇다면, 그 리 지수 사상은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g=\mathbb R^n</math>
:<math>\exp_G\colon\mathfrak g\to G</math>
:<math>\exp_G\colon (x_1,\dotsc,x_n) \mapsto (\exp x_1,\dotsc,\exp x_n)</math>

마찬가지로, <math>G=\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}</math>가 아벨 리 군이라고 하자. 그렇다면, 리 지수 사상은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g = \mathrm i\mathbb R</math>
:<math>\exp_G \colon \mathfrak g\to G</math>
:<math>\exp_G \colon \mathrm i\theta \mapsto \exp(\mathrm i\theta)</math>

=== SU(2) ===
{{본문|SU(2)}}
SU(2)는 [[절댓값]]이 1인 [[사원수]]의 [[리 군]]과 동형이다.
:<math>\operatorname{SU}(2) = \{q\in\mathbb H\colon|q|=1\}</math>
이 경우, 그 [[리 대수]]는 순수 허수 성분만을 갖는 [[사원수]]의 [[실수 벡터 공간]]이다.
:<math>\mathfrak{su}(2) = \mathrm i\mathbb R + \mathrm j\mathbb R + \mathrm k\mathbb R = \{a\mathrm i+b\mathrm j+c\mathrm k\colon a,b,c\in\mathbb R\} = \{q\in\mathbb H\colon \bar q=-q\}</math>
이 경우, 리 지수 함수는 사원수의 지수 함수와 같다.
:<math>\exp(q) = \begin{cases}\cos|q| + \frac{q\sin|q|}{|q|}&q\ne 0\\1 & q=0\end{cases}</math>

=== SL(2;ℝ) ===
{{본문|2차원 실수 특수선형군}}
리 군 <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>의 리 지수 사상은 [[전사 함수]]가 아니다. 그 [[치역]]은 다음 조건들 가운데 적어도 하나를 만족시키는 2×2 실수 행렬들로 구성된다.<ref>{{서적 인용|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|판=2|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222 |publisher=Springer-Verlag|year=2015|isbn=978-3319134666|언어=en}}</ref>{{rp|Exercise 3.22}}
* [[복소수체]]에서 대각화가 가능하며, 그 [[고윳값]]은 모두 실수이다.
* [[복소수체]]에서 대각화가 가능하며, 그 [[고윳값]]은 모두 [[절댓값]]이 1인 복소수이다.
* [[고윳값]] 1이 중복해서 등장한다.
* <math>\operatorname{diag}(-1,-1)</math>이다.

특히, 예를 들어 <math>\operatorname{diag}(-1,-2)\in \operatorname{SL}(2;\mathbb R)</math>는 리 지수 사상의 치역에 포함되지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[행렬 지수 함수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ExponentialMap|title=Exponential map}}
* {{nlab|id=exponential map|title=Exponential map}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]