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'''벡터자기회귀'''('''VAR''')모형은 시간이 지남에 따라 변하는 여러 수량 간의 관계를 캡처하는 데 사용되는 통계 모형이다. VAR은 [[확률 과정|확률적 프로세스]] 모델의 한 유형이다. VAR 모형은 다변수 [[시계열]]을 허용하여 단일 변수(일변수) [[자기회귀모형|자기회귀 모형]]을 일반화한다. VAR 모형은 종종 [[경제학|경제학과]] [[자연과학]]에서 사용된다.

자기회귀 모델과 마찬가지로 각 변수에는 시간 경과에 따른 진화를 모델링하는 방정식이 있다. 이 방정식에는 변수의 지연된 (과거) 값, 모델에 있는 다른 변수의 지연된 값 및 오류 항이 포함된다. VAR 모델은 연립 방정식 이 있는 [[구조방정식 모델링|구조 모델]] 만큼 변수에 영향을 미치는 힘에 대한 지식이 많이 필요하지 않다. 필요한 유일한 사전 지식은 시간이 지남에 따라 서로 영향을 미친다고 가정할 수 있는 변수 목록이다.

== 자세한 사항 ==

=== 정의 ===
VAR 모델은 시간이 지남에 따라 내생 변수라고 하는 ''k'' 변수 집합의 발전을 설명한다. 각 기간에는 ''t'' = 1, . . ., T . 변수는 길이가 ''k'' 인 [[벡터 공간|벡터]] ''y <sub>t</sub>''에 수집된다. (동등하게, 이 벡터는 ( ''k''&nbsp;×&nbsp;1)- [[행렬]]로 묘사된다.) 벡터는 이전 값의 선형 함수로 모델링된다. 벡터의 구성요소는 ''y'' <sub>''i'', ''t''</sub> 라고 하며 이는 ''i'' 번째 변수의 시간 ''t'' 에서의 관측치를 의미한다. 예를 들어, 모델의 첫 번째 변수가 시간 경과에 따른 밀 가격을 측정하는 경우 ''y'' <sub>1,1998</sub> 은 1998년의 밀 가격을 나타낸다.

VAR 모델은 모델이 사용할 이전 기간의 수를 나타내는 ''순서'' 로 특징지어진다. 위의 예를 계속하면 5차 VAR은 매년 밀 가격을 지난 5년간의 밀 가격의 선형 조합으로 모델링한다. ''시차''는 이전 기간의 변수 값이다. 따라서 일반적으로 ''p'' 차 VAR은 마지막 ''p'' 기간에 대한 시차를 포함하는 VAR 모델을 나타낸다. ''p'' 차 VAR은 "VAR( ''p'' )"로 표시되며 때때로 " ''p'' lag가 있는 VAR"이라고도 한다. ''p'' 차 VAR 모델은 다음과 같이 작성된다.

: <math>y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t, \, </math>

''y'' <sub>''t'' −i</sub> 형식의 변수는 해당 변수의 값 ''이 i'' 시간보다 빠르다는 것을 나타내며 ''y'' <sub>t</sub> 의 "i ''번째'' 지연"이라고 한다. 변수 ''c''는 모델의 절편 역할을 하는 상수의 ''k'' 벡터이다. ''A <sub>i</sub>''는 시불변 ( ''k''&nbsp;×&nbsp;''k'' )-행렬 및 ''e'' <sub>''t''</sub>는 오류 항의 ''k-'' 벡터이다. 오차 항은 다음 세 가지 조건을 충족해야 한다.

# <math>\mathrm{E}(e_t) = 0\,</math> . 모든 오차항의 [[기댓값|평균]]은 0이다.
# <math>\mathrm{E}(e_t e_t') = \Omega\,</math> . 오류 항의 동시 공분산 행렬 은 ''k''&nbsp;×&nbsp;''k'' [[정부호 행렬|양의 준정부호 행렬은]] Ω으로 표시된다.
# <math>\mathrm{E}(e_t e_{t-k}') = 0\,</math> 0이 아닌 모든 ''k''에 대해. 시간에 따른 [[상관 분석|상관관계]]는 없다. 특히, 개별 오차항에는 직렬 상관관계 가 없다.<ref>For multivariate tests for autocorrelation in the VAR models, see {{저널 인용|제목=Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models|저널=Economic Modelling|성=Hatemi-J|이름=A.|url=https://ideas.repec.org/a/eee/ecmode/v21y2004i4p661-683.html|연도=2004|권=21|호=4|쪽=661–683|doi=10.1016/j.econmod.2003.09.005}}</ref>

VAR 모델에서 최대 시차 ''p''를 선택하는 프로세스는 [[추론]]이 선택한 시차 순서의 정확성에 의존하기 때문에 특별한 주의가 필요하다.<ref>{{저널 인용|제목=Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH|저널=[[Journal of Applied Statistics]]|성=Hacker|이름=R. S.|성2=Hatemi-J|이름2=A.|url=https://ideas.repec.org/a/taf/japsta/v35y2008i6p601-615.html|연도=2008|권=35|호=6|쪽=601–615|doi=10.1080/02664760801920473}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?|저널=[[Applied Economics (journal)|Applied Economics]]|성=Hatemi-J|이름=A.|성2=Hacker|이름2=R. S.|url=https://ideas.repec.org/a/taf/applec/v41y2009i9p1121-1125.html|연도=2009|권=41|호=9|쪽=1489–1500}}</ref>

== 구조적 형태와 축약된 형태 ==

=== 구조적 VAR ===
'''''p lag가 있는 구조적 VAR''''' (때로는 '''SVAR''' 로 축약됨)은 다음과 같다.

: <math>B_0 y_t = c_0 + B_1 y_{t-1} + B_2 y_{t-2} + \cdots + B_p y_{t-p} + \epsilon_t,</math>

여기서 ''c'' <sub>0</sub> 은 ''k''&nbsp;×&nbsp;상수로 구성된 벡터 1개, ''B <sub>i</sub>''는 ''k''&nbsp;×&nbsp;''k'' 행렬(모든 ''i'' = 0, ..., ''p''에 대해) 및 ''ε'' <sub>''t''</sub>는 ''k''&nbsp;×&nbsp;오차 항으로 구성된 1개의 벡터이다. ''B0'' <sub>행렬</sub> 의 [[주대각선|주대]] 각항( ''i'' <sup>번째</sup> 방정식에서 ''i'' <sup>번째</sup> 변수의 계수)은 1로 스케일링된다.

오차항 ε ''<sub>t</sub>'' ( '''''구조적 충격''''' )은 위의 정의에서 조건 (1) - (3)을 충족하며 구조적 충격은 상관관계가 없다.

=== 축약형 VAR ===
구조적 VAR에 ''B'' <sub>0</sub> 의 역수를 미리 곱하여

: <math>y_t = B_0^{-1}c_0 + B_0^{-1} B_1 y_{t-1} + B_0^{-1} B_2 y_{t-2} + \cdots + B_0^{-1} B_p y_{t-p} + B_0^{-1}\epsilon_t,</math>

그리고

: <math> B_{0}^{-1} c_0 = c,\quad B_{0}^{-1}B_i = A_{i}\text{ for }i = 1, \dots, p\text{ and }B_{0}^{-1}\epsilon_t = e_t</math>

'''''p'' 차 축약형 VAR''' 을 얻을 수 있다.

: <math>y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t</math>

== 추정모형의 해석 ==
VAR 모델의 속성은 일반적으로 Granger 인과관계, 임펄스 응답 및 예측 오차 분산 분해를 사용하는 구조 분석을 사용하여 요약된다.

== 추정 VAR 모델을 사용한 예측 ==
추정된 VAR 모델은 예측 에 사용될 수 있으며, 예측의 품질은 일변량 자기회귀 모델링에 사용되는 방법과 완전히 유사한 방식으로 판단될 수 있다.

== 적용 ==
[[크리스토퍼 심스]]는 VAR 모델을 옹호하여 [[거시경제학|거시]] [[계량경제학|경제학]]에서 초기 모델링의 주장과 성과를 비판했다.<ref name="Sims" /> 그는 이전에 시계열 [[통계학|통계]] 및 [[제어이론|제어 이론]]의 통계 전문인 시스템 식별 에 등장한 VAR 모델을 추천했다. Sims는 VAR 모델이 경제적 관계를 추정하기 위한 이론 없는 방법을 제공함으로써 구조 모델의 "믿을 수 없는 식별 제한"에 대한 대안이 될 수 있다고 옹호했다.<ref name="Sims">{{저널 인용|제목=Macroeconomics and Reality|저널=[[Econometrica]]|성=Sims|이름=Christopher|저자링크=Christopher A. Sims|연도=1980|권=48|호=1|쪽=1–48|doi=10.2307/1912017|jstor=1912017}}</ref> VAR 모델은 일기 데이터<ref name="Kr2016">{{저널 인용|제목=Temporal Dynamics of Health and Well-Being: A Crowdsourcing Approach to Momentary Assessments and Automated Generation of Personalized Feedback (2016)|저널=Psychosomatic Medicine|성=van der Krieke|연도=2016|쪽=1|doi=10.1097/PSY.0000000000000378|pmid=27551988|저자표시=etal}}</ref> 또는 센서 데이터의 자동 분석을 위한 건강 연구에서도 점점 더 많이 사용되고 있다.

== 메모 ==
{{각주}}

[[분류:경제 모형]]