{{위키데이터 속성 추적}}
[[체론]]에서 '''체의 확대'''(體의 擴大, {{llang|en|field extension}})는 주어진 [[체 (수학)|체]]에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

== 정의 ==
두 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>와 <math>L</math>이 주어졌을 때, <math>K</math>에서 <math>L</math>로 가는 '''확대'''는 <math>K</math>에서 <math>L</math>로 가는 [[환 준동형]]이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, [[유사환]]의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 [[단사 함수]]이며, 따라서 <math>K</math>를 <math>L</math>의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 <math>K</math>를 <math>L</math>의 '''부분체'''(部分體, {{llang|en|subfield}}), 반대로 <math>L</math>을 <math>K</math>의 '''확대체'''(擴大體, {{llang|en|extension field}})라고 한다. <math>L</math>이 <math>K</math>의 확대체라는 것은 기호로 <math>L/K</math>로 쓴다.

일련의 체 <math>K_0,K_1,\dots,K_n</math>들이 서로 체의 확대
:<math>K_0\subseteq K_1\subseteq\cdots\subseteq K_n</math>
를 이룰 때, <math>\{K_i\}_{i=0,1,\dots,n}</math>를 '''체의 탑'''(體의 塔, {{llang|en|tower of fields}})이라고 한다.

=== 차수 ===
체의 확대 <math>L/K</math>가 주어졌을 때, <math>L</math>은 <math>K</math> 위의 가환 [[단위 결합 대수]]를 이루며, 특히 [[벡터 공간]]을 이룬다. 체의 확대 <math>L/K</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|degree}})는 <math>L</math>의 <math>K</math>-벡터 공간으로서의 차원이며, <math>[L:K]</math>로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 '''유한 확대'''(無限擴大, {{llang|en|finite extension}})라고 한다. 차수가 1인 확대는 [[전단사 함수]]이며, 이는 체의 [[자기 동형]]에 해당한다. 차수가 2인 확대는 '''이차 확대'''(二次擴大, {{llang|en|quadratic extension}}), 차수가 3인 확대는 '''삼차 확대'''(三次擴大, {{llang|en|cubic extension}})라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

=== 초월 차수 ===
체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>L</math>의 부분 집합 <math>S\subset L</math>이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 <math>p\in K[|S|]</math>에 대하여, <math>p(S)=0</math>인 다항식은 <math>p=0</math>밖에 없다면, <math>S</math>를 '''대수적 독립 집합'''({{llang|en|algebraically independent set}})이라고 한다. <math>L/K</math>의 '''초월 차수'''({{llang|en|transcendence degree}})는 <math>L</math>에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 [[집합의 크기|크기]]이며, <math>\operatorname{trdeg}_KL</math>와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 '''대수적 확대'''(代數的擴大, {{llang|en|algebraic extension}})라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 '''초월 확대'''(超越擴大, {{llang|en|transcendental extension}})라고 한다.

<math>L/K</math>의 '''초월 기저'''(超越基底, {{llang|en|transcendence basis}}) <math>S</math>는 <math>L/K(S)</math>가 대수적인 대수적 독립 집합 <math>S\subset L</math>이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 <math>L=K(S)</math>라면, <math>L/K</math>를 '''순수 초월 확대'''(純粹超越擴大, {{llang|en|purely transcendental extension}})라고 한다.

체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>L</math>의 원소 <math>a\in L</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>\{a\}</math>가 대수적 독립 집합이라면, <math>a</math>를 <math>L/K</math>의 '''초월 원소'''(超越元素, {{llang|en|transcendental element}})라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 '''대수적 원소'''(代數的元素, {{llang|en|algebraic element}})라고 한다.

=== 생성원으로 정의되는 확대 ===
체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subset L</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''<math>L</math>속에서 <math>S</math>로 생성되는 <math>K</math>의 확대''' <math>K(S)</math>는 <math>S\cup K</math>를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 <math>L</math>의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. <math>K[S]\subseteq L</math>가, <math>S</math>의 원소들에 대한 <math>K</math> 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 <math>K(S)</math>는 <math>K[S]</math>의 [[분수체]]와 동형이다.
:<math>K(S)=\operatorname{Frac}K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\ne0\}\subseteq L</math>
또한, 만약 <math>S</math>가 유한 집합이며, <math>L</math>이 대수적 확대라면 <math>K(S)/K</math>는 유한 확대이다.

체의 확대 <math>M/K</math> 속에서 두 부분체
:<math>K\subseteq L_1\subseteq M</math>
:<math>K\subseteq L_2\subseteq M</math>
가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 '''합성체'''(合成體, {{llang|en|compositum}})는 <math>K(L_1\cup L_2)\subseteq M</math>이다.

=== 체 노름과 체 대각합 ===
[[유한 확대]] <math>L/K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>L</math>은 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이며, 임의의 원소 <math>a\in L</math>에 대하여 <math>a\cdot\colon L\to L</math>은 <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 [[선형 변환]]이다. 따라서 그 [[행렬식]]과 [[대각합]]을 취할 수 있으며, 이를 각각 '''체 노름'''(體norm, {{llang|en|field norm}}) <math>\operatorname N_{L/K}</math>과  '''체 대각합'''(體對角合, {{llang|en|field trace}}) <math>\operatorname T_{L/K}</math>이라고 한다.
:<math>\operatorname N_{L/K}\colon L\to K</math>
:<math>\operatorname N_{L/K}\colon a\mapsto\det(a\cdot)</math>
:<math>\operatorname T_{L/K}\colon L\to K</math>
:<math>\operatorname T_{L/K}\colon a\mapsto\operatorname{tr}(\cdot a)</math>
보다 일반적으로, <math>a\cdot</math>의 [[고유 다항식]]을 취할 수 있으며, 이는 <math>K</math> 계수의 [[일계수 다항식]]이다.
:<math>\chi_{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot)\in K[x]</math>
이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
:<math>\chi_{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname T_{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots+(-1)^{[L:K]}\operatorname N_{L/K}(a)</math>

체 노름과 체 대각합은 [[최소 다항식]]으로도 정의할 수 있다. 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여, 그 [[최소 다항식]]이 <math>p_a\in K[x]</math>라고 하고, 그 근들의 [[중복집합]]이 <math>\{\sigma_1(a),\dots,\sigma_n(a)\}\in\bar K</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname N_{L/K}(a)=\left(\prod_{i=1}^n\sigma_i(a)\right)^{[L:K(a)]}</math>
:<math>\operatorname T_{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum_{i=1}^n\sigma_i(a)</math>
만약 <math>L/K</math>가 [[분해 가능 확대]]라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 <math>L/K</math>가 [[갈루아 확대]]라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.
:<math>\operatorname N_{L/K}(a)=\prod_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)</math>
:<math>\operatorname T_{L/K}(a)=\sum_{g\in\operatorname{Gal}(L/K)}g(a)</math>
여기서 <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>는 [[갈루아 군]]이다.

== 성질 ==
체의 확대는 항상 [[단사 함수]]이다. ([[전단사 함수]]인 체의 확대는 체의 '''자기 동형'''({{llang|en|automorphism}})이라고 한다.) 체의 확대 <math>L/K</math>가 존재한다면, <math>K</math>와 <math>L</math>의 [[체의 표수|표수]]는 서로 일치한다.
:<math>\exists L/K\implies \operatorname{char}K=\operatorname{char}L</math>

=== 차수와 초월 차수 ===
확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>M/L</math>이 주어졌을 때, 합성 확대 <math>M/K</math>의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
:<math>[M:K]=[L:K][M:L]</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_KM=\operatorname{trdeg}_KL+\operatorname{trdeg}_LM</math>
여기서 좌변은 일반적으로 [[기수 (수학)|기수]]의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 [[기수 (수학)|기수]]이며, 확대체의 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>\operatorname{trdeg}_KL\ge1\implies[L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\}\ge\aleph_0</math>
이다.
{{증명}}
자명하게
:<math>\max\{\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\}\le[L:K]\le|L|=\max\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL,\aleph_0\}</math>
이므로, <math>[L:K]\ge|K|</math>임을 보이면 충분하다. 초월 원소 <math>x\in L</math>를 고르자. 그렇다면,
:<math>\left\{\frac1{1+ax}\colon a\in K\right\}\subseteq L</math>
는 <math>K</math>-[[선형 독립 집합]]임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 <math>c_0,\dots,c_{n-1}\in K</math> 및 서로 다른 <math>a_0,\dotsc,a_{n-1}\in K</math>에 대하여,
:<math>\frac{c_0}{1+a_0x}+\cdots\frac{c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}=0</math>
라고 가정하였을 때
:<math>c_0=\dotsb=c_{n-1}=0</math>
임을 보여야 한다.
:<math>r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_0,\dotsc,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc,a_{n-1})\qquad(i,j=0,\dotsc,n-1)</math>
라고 하자 (<math>e_{n-1,j}</math>는 <math>(n-1)</math>변수 <math>j</math>차 [[기본 대칭 다항식]]). 그렇다면 가정은
:<math>\begin{align}
0 & = \sum_{i=0}^{n-1}c_i(1+a_0x)\dotsm(1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm(1+a_{n-1}x) \\
& =\sum_{i=0}^{n-1}c_i\sum_{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^j \\
& =\sum_{j=0}^{n-1}x^j\sum_{i=0}^{n-1}c_ir_{n-1,i,j}
\end{align}
</math>
와 [[동치]]이다 . <math>x</math>가 초월 원소이므로, 이는
:<math>\sum_{i=0}^{n-1}c_ir_{n-1,i,j}=0\qquad(j=0,\dotsc,n-1)</math>
와 [[동치]]이다. 이는 <math>c_0,\dots,c_{n-1}</math>에 대한 [[연립 일차 방정식]]이다. 따라서, 계수들의 [[행렬식]]이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,
:<math>\begin{vmatrix}
r_{n-1,0,0} & \cdots & r_{n-1,0,n-1} \\
\vdots & & \vdots \\
r_{n-1,n-1,0} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}
\end{vmatrix}
=\prod_{0\le i<j\le n-1}(a_i-a_j)\ne0
</math>
이며, 이는 <math>n</math>에 대한 [[수학적 귀납법]]을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. <math>n=1</math>의 경우는 자명하다. 이제 <math>n-1</math>에 대하여 참임을 가정하고, <math>n</math>의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}

\begin{vmatrix}
r_{n-1,0,0} & \cdots & r_{n-1,0,n-1} \\
\vdots & & \vdots \\
r_{n-1,n-1,0} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}
\end{vmatrix}

& =\begin{vmatrix}
0 & r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1} \\
1 & r_{n-1,n-1,1} & \cdots & r_{n-1,n-1,n-1}
\end{vmatrix} \\

& =(-1)^n\begin{vmatrix}
(a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,0} & \cdots & (a_{n-1}-a_0)r_{n-2,0,n-2} \\
\vdots & & \vdots \\
(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0} & \cdots & (a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}
\end{vmatrix} \\

& =(-1)^n(a_{n-1}-a_0)\dotsm(a_{n-1}-a_{n-2})\begin{vmatrix}
r_{n-2,0,0} & \cdots & r_{n-2,0,n-2} \\
\vdots & & \vdots \\
r_{n-2,n-2,0} & \cdots & r_{n-2,n-2,n-2}
\end{vmatrix} \\

& =(a_0-a_{n-1})\dotsm(a_{n-2}-a_{n-1})\prod_{0\le i<j\le n-2}(a_i-a_j) \\
& =\prod_{0\le i<j\le n-1}(a_i-a_j)
\end{align}
</math>
즉, <math>n</math>에 대해서도 참이다.
{{증명 끝}}

대수적 확대 <math>M/K</math>의 두 중간체 <math>K\subseteq L_1,L_2\subseteq M</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.<ref name="DummitFooteWiley">{{서적 인용|성1=Dummit|이름1=David S.|성2=Foote|이름2=Richard M.|제목=Abstract algebra|언어=en|판=3|출판사=Wiley|위치=Chichester|날짜=2004|isbn=978-0-471-43334-7|mr=2286236|zbl=1037.00003}}</ref>{{rp|529, Proposition 21}}
:<math>[K(L_1\cup L_2):K]\le[L_1:K][L_2:K]</math>
{{증명}}
우선, <math>L_1/K</math>와 <math>L_2/K</math>가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. <math>L_1</math>과 <math>L_2</math>의 <math>K</math>-[[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(a_i)_{i\in I}</math> 및 <math>(b_i)_{i\in I}</math>에 대하여, <math>(a_ib_j)_{i\in I,\;j\in J}</math>가 <math>K(L_1\cup L_2)</math>를 <math>K</math>-[[선형 생성]]함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게
:<math>K(L_1\cup L_2)=K(\{a_i\}_{i\in I}\cup\{b_j\}_{j\in J})</math>
이다. 또한, 이는 자명하게
:<math>K(a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n})</math>
꼴의 체들의 합집합이다. 모든 <math>a_{i_r}</math>와 <math>b_{j_s}</math>가 대수적 원소이므로,
:<math>\begin{align}
K(a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n})
& =K(a_{i_1})\cdots(a_{i_m})(b_{j_1})\cdots(b_{j_n}) \\
& =K[a_{i_1}]\cdots[a_{i_m}][b_{j_1}]\cdots(b_{j_n}) \\
& =K[a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}]
\end{align}
</math>
이다. 마지막으로, 유한 개의 <math>a_{i_r}</math>들의 곱은 <math>L_1</math>의 원소이므로 (유한 개의) <math>a_i</math>들의 <math>K</math>-선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 <math>b_{j_s}</math>들의 곱은 (유한 개의) <math>b_j</math>들의 <math>K</math>-선형 결합이다. 따라서, <math>K[a_{i_1},\dotsc,a_{i_m},b_{j_1},\dotsc,b_{j_n}]</math>의 원소들은 (유한 개의) <math>a_ib_j</math>들의 <math>K</math>-선형 결합이다. 즉, <math>(a_ib_j)_{i\in I,\;j\in J}</math>는 <math>K(L_1\cup L_2)</math>의 <math>K</math>-[[선형 생성 집합]]이다.

이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, <math>K(L_1\cup L_2)/K</math>가 초월 확대이며 <math>L_1</math>와 <math>L_2</math> 중 하나 이상이 [[무한 집합]]이므로
:<math>[K(L_1\cup L_2):K]=|K(L_1\cup L_2)|=\max\{|K|,|L_1\cup L_2|,\aleph_0\}=\max\{|L_1|,|L_2|\}</math>
이다. 만약 <math>L_1/K</math>와 <math>L_2/K</math>가 둘 다 초월 확대라면,
:<math>[L_1:K][L_2:K]=|L_1||L_2|=\max\{|L_1|,|L_2|\}</math>
이다. 만약 <math>L_1/K</math>가 대수적 확대이며 <math>L_2/K</math>가 초월 확대라면,
:<math>[L_1:K]\le|L_1|=\max\{|K|,\aleph_0\}\le\max\{|K|,\operatorname{trdeg}_KL_2,\aleph_0\}=|L_2|</math>
이므로
:<math>[L_1:K][L_2:K]=[L_1:K]|L_2|=\max\{[L_1:K],|L_2|\}=|L_2|=\max\{|L_1|,|L_2|\}</math>
이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.
{{증명 끝}}

=== 체 노름과 체 대각합 ===
노름은 체의 [[가역원군]]의 [[군 준동형]]을 이룬다. 즉, 임의의 <math>a,b\in L</math>에 대하여
:<math>\operatorname N_{L/K}(ab)=\operatorname N_{L/K}(a)\operatorname N_{L/K}(b)</math>
이며, 만약 <math>a\ne 0</math>이라면
:<math>\operatorname N_{L/K}(a^{-1})=\operatorname N_{L/K}(a)^{-1}</math>
이다. 또한, 만약 체의 확대 <math>L/K</math> 및 <math>M/L</math>이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.
:<math>\operatorname{N}_{M/K}=\operatorname{N}_{L/K}\circ\operatorname{N}_{M/L}</math>

대수적 수체 <math>K/\mathbb Q</math>에서, 모든 [[대수적 정수]] <math>a\in\mathcal O_K</math>의 체 노름은 (유리수) 정수이다.
:<math>\forall a\in\mathcal O_K\colon \operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)\in\mathbb Z</math>
또한, 다음이 성립한다.
:<math>\forall a\in\mathcal O_K\colon|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(a)|=|\mathcal O_K/(a)|</math>
여기서 좌변은 체 노름의 [[절댓값]]이고, 우변은 [[주 아이디얼]]에 대한 [[몫환]]의 [[집합의 크기|크기]]이다. 이를 일반화하여, <math>\mathcal O_K</math>의 임의의 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>에 대하여
:<math>\operatorname N_{K/\mathbb Q}(\mathfrak a)=|\mathcal O_K/\mathfrak a|</math>
로 정의한다.

== 분류 ==
체의 확대 <math>L/K</math>가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 <math>S\subset L\setminus K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>K(S)/K</math>는 순수 초월 확대이며, <math>L/K(S)</math>는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 <math>K</math>의 순수 초월 확대는 모두 [[유리 함수체]] <math>K(S)</math>와 동형이며, 이는 <math>S</math>의 [[집합의 크기]] <math>|S|</math>에 따라 완전히 분류된다.

체 <math>K(S)</math>의 대수적 확대의 분류는 <math>K</math> 위의 <math>|S|</math>차원의 (무한 차원일 수 있는) [[대수다양체]]의 [[쌍유리 동치]]에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 [[대수기하학]]적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]이며 <math>|S|=1</math>인 경우, 이는 <math>K</math> 위의 [[대수 곡선]]들의 쌍유리 분류에 해당한다.

== 종류 ==
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
* [[갈루아 확대]]
* [[분해 가능 확대]]
* [[정규 확대]]
* [[아벨 확대]]
* [[단순 확대]]

== 예 ==
=== 대수적 폐포 ===
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math> 및 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>를 정의할 수 있으며, 또한 <math>K</math>의 표수에 따라서 <math>K_0</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>K_0=\begin{cases}
\mathbb F_p&p=\operatorname{char}K>0\\
\mathbb Q&\operatorname{char}K=0
\end{cases}</math>
여기서 <math>\mathbb F_p</math>는 크기 <math>p</math>의 [[유한체]]이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
:<math>K_0\subseteq K\subseteq K^{\operatorname{sep}}\subseteq\bar K</math>
<math>\bar K/K</math>는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

=== 유리 함수 · 형식적 로랑 급수 ===
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, [[유리 함수체]] <math>K(x)=\operatorname{Frac}K[x]</math> 및 [[형식적 로랑 급수체]] <math>K((x))=\operatorname{Frac}K[[x]]</math>를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
:<math>K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))</math>
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
:<math>[K(x):K]=\aleph_0</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_KK(x)=1</math>
:<math>[K((x)):K]=2^{\aleph_0}</math>

=== 유리수 · 실수 · 복소수 ===
[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>, [[실수체]] <math>\mathbb R</math>, [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
:<math>\mathbb Q\subsetneq\mathbb R\subsetneq\mathbb C</math>
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
:<math>[\mathbb R:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb R=2^{\aleph_0}</math>
:<math>[\mathbb C:\mathbb R]=2</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_{\mathbb R}\mathbb C=0</math>

체의 확대 <math>\mathbb C/\mathbb R</math>에서의 체 노름은 다음과 같다.
:<math>\operatorname N_{\mathbb C/\mathbb R}\colon x+iy\mapsto x^2+y^2=|x+iy|^2</math>
이다.

=== 유리수체의 확대 ===
[[유리수체]]의 유한 확대는 '''[[수체]]'''라고 하며, <math>\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q</math>나 <math>\mathbb Q(\sqrt{-1})/\mathbb Q</math> 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

[[원주율]] <math>\pi</math> 및 [[자연로그의 밑]] <math>e</math>는 [[초월수]]이므로, <math>\mathbb Q[\pi]/\mathbb Q</math>와 <math>\mathbb Q(e)/\mathbb Q</math>는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 <math>\{\pi,e\}</math>가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, <math>\mathbb Q(\pi,e)/\mathbb Q</math>는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.
:<math>[\mathbb Q(\pi):\mathbb Q)]=[\mathbb Q(e):\mathbb Q]=[\mathbb Q(\pi,e):\mathbb Q]=\aleph_0</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi)=\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(e)=1</math>
:<math>\operatorname{trdeg}_{\mathbb Q}\mathbb Q(\pi,e)\in\{1,2\}</math>

[[이차 수체]] <math>\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q</math>에서의 체 노름은 다음과 같다.
:<math>\operatorname N_{\mathbb Q[\sqrt n]/\mathbb Q}\colon a+\sqrt nb\mapsto(a+\sqrt nb)(a-\sqrt nb)=a^2-nb^2</math>
이다.

=== ''p''진수체 ===
{{본문|p진수}}
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 [[p진수체]] <math>\mathbb Q_p</math>를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.
:<math>\mathbb Q\subsetneq\mathbb Q_p\subsetneq\bar{\mathbb Q}_p\subsetneq\mathbb C_p</math>
여기서 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[p진수체]]이며, <math>\bar{\mathbb Q}_p</math>는 그 [[대수적 폐포]]이며, <math>\mathbb C_p</math>는 그 [[완비 거리 공간|완비화]]이다. <math>\mathbb C_p</math>는 [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>와 [[체 (수학)|체]]로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
:<math>[\mathbb Q_p:\mathbb Q]=2^{\aleph_0}</math>

=== 유한체 ===
{{본문|유한체}}
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, 표수 <math>p</math>의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
:<math>\mathbb F_p\subsetneq\mathbb F_{p^2}\subsetneq\cdots\subsetneq\mathbb F_{p^n}\subsetneq\cdots\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim^{n\to\infty}\mathbb F_{p^n}</math>
여기서 <math>\bar{\mathbb F}_p</math>는 유한체의 [[대수적 폐포]]이며, 이는 유한체들의 [[귀납적 극한]]을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
:<math>[\mathbb F_{p^{n+1}}:\mathbb F^p]=p</math>
:<math>[\bar{\mathbb F}_p:\mathbb F_{p^n}]=\aleph_0</math>

=== 대수다양체의 유리 함수체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 대수다양체 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math> 위의 [[유리 함수층|유리 함수체]]
:<math>L=\Gamma(X,\mathcal K_X)</math>
는 <math>K</math>의 확대이다. 이 경우, <math>X</math>의 [[쌍유리 동치|쌍유리 동치류]]는 확대 <math>L/K</math>로부터 완전히 결정된다. 특히, <math>X</math>의 [[크룰 차원]]은 <math>L/K</math>의 초월 차수와 같다.
:<math>\dim X=\operatorname{trdeg}_KL</math>
이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

<math>n</math>차원 [[유리 다양체]]의 유리 함수체는 순수 초월 확대 <math>K(x_1,\dots,x_n)</math>이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, [[사영 평면]] 속의 [[초타원 곡선]]을 생각하자.
:<math>y^2=p(x)</math>
여기서 <math>p(x)\in K[x]</math>는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 <math>x</math> 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 [[분기 피복]]을 이루며, <math>x</math> 위의 [[올다발|올]]은 <math>\pm\sqrt{p(x)}</math>이다. <math>2\lceil(\deg p)/2\rceil</math>개의 분기점들은 <math>p</math>의 근 및 (만약 <math>2\nmid\deg p</math>인 경우) 무한대 <math>\widehat\infty</math>에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대
:<math>K(x,\sqrt{p(x)})/K</math>
로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 <math>K(x,\sqrt{p(x)})/K(x)</math>에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, [[타원 곡선]]의 경우 이 함수체 ([[타원 함수]]체)는 [[바이어슈트라스 타원 함수]]로 다음과 같이 주어진다.
:<math>\mathbb C(\rho,\sqrt{4\wp^3+g_2\wp+g_3}\rho')</math>
이는 바이어슈트라스 타원 함수가 <math>\wp'^2=4\wp^3+g_2\wp+g_3</math>를 만족시키기 때문이다.

== 응용 ==
=== 작도 가능성 ===
{{본문|작도 가능한 수}}
고전 기하학의 [[작도]]는 오직 직선과 [[원]]만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들
:<math>\mathbb Q=K_0\subset K_1\subset K_2\subset\cdots\subset K_n</math>
:<math>[K_{i+1}/K_i]=2</math>
가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 [[작도 가능한 수]]라고 한다.

이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, [[입방 배적 문제]]는 <math>\sqrt[3]2</math>가 작도 가능한지 여부인데,
:<math>\mathbb Q(\sqrt[3]2)=\mathbb Q\oplus\sqrt[3]2\mathbb Q\oplus\sqrt[3]4\mathbb Q</math>
이므로
:<math>[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3</math>
이며, 따라서 <math>\sqrt[3]2</math>는 작도할 수 없다.

마찬가지로, [[원적 문제]]는 <math>\sqrt\pi</math>가 작도 가능한지 여부를 묻는다. [[원주율]]은 [[초월수]]이므로, <math>\sqrt\pi</math> 역시 초월수이다. (이는 두 [[대수적 수]]의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 [[원적 문제]]는 풀 수 없다.

[[각의 3등분]] 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는 <math>\cos20^\circ</math>가 [[작도 가능한 수]]가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, [[삼각 함수]]의 [[세배각 공식]]
:<math>\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta</math>
을 생각하자. 여기에 <math>\theta=60^\circ</math>를 대입하면
:<math>1/2=4\cos^320^\circ-3\cos20^\circ</math>
을 얻는다. 즉, <math>\cos20^\circ</math>는 3차 방정식 <math>4x^3-3x-1/2=0</math>의 해이다. 이는 기약 3차 방정식이다. 실제로, <math>x=(y+1)/2</math>와 같이 치환하면 이는 <math>y^3+3y^2-3=0</math>이 되는데, [[아이젠슈타인 판정법]]에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉,
:<math>[\mathbb Q(\cos20^\circ):\mathbb Q]=3</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[갈루아 이론]]
* [[유체론]]
* [[분해체]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Field theory|이름=Steven M.|성=Roman|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=158|doi=10.1007/0-387-27678-5|판=2|날짜=2006|isbn=978-0-387-27677-9|zbl=1172.12001|언어=en}}
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Extension of a field}}
* {{eom|title=Tower of fields}}
* {{eom|title=Compositum}}
* {{eom|title=Transcendental extension}}
* {{매스월드|id=ExtensionField|title=Extension field}}
* {{매스월드|id=ExtensionFieldDegree|title=Extension field degree}}
* {{매스월드|id=FiniteExtension|title=Finite extension}}
* {{매스월드|id=AlgebraicExtension|title=Algebraic extension}}
* {{매스월드|id=TranscendentalExtension|title=Transcendental extension}}
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* {{매스월드|id=TranscendenceDegree|title=Transcendence degree}}
* {{nlab|id=field extension|title=Field extension}}
* {{nlab|id=algebraic extension|title=Algebraic extension}}
* {{nlab|id=transcendence degree|title=Transcendence degree}}

[[분류:체론]]