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[[대수기하학]]에서 '''리만-로흐 정리'''(Riemann-Roch 定理, {{llang|en|Riemann–Roch theorem}})는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]]에 주어진 꼴의 [[특이점 (해석학)|특이점]]을 갖는 [[일차 독립]] [[유리형 함수]]들의 개수에 대한 정리다.

== 정의 ==
<math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 곡면]]이라고 하자. <math>M</math> 위의 [[인자 (대수기하학)|인자]]는 <math>M</math>의 점들에 의하여 생성되는 자유 [[아벨 군]]의 원소다. 즉, 인자 <math>D</math>는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>D=\sum_in_ix_i</math> (<math>x_i\in M</math>, <math>n_i\in\mathbb Z</math>)
인자의 '''차수'''({{lang|en|degree}})는 다음과 같다.
:<math>\deg\sum_in_ix_i=\sum_in_i</math>.

<math>\alpha</math>가 <math>M</math> 위의 [[유리형 함수|유리형]] [[복소 미분 형식]]이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) <math>\alpha</math>는 [[극점 (복소해석학)|극점]]과 영점({{lang|en|zero}})들을 갖는다. 극들이 <math>p_i</math>이고, 그 차수가 각각 <math>-n(p_i)</math>라고 하자. 영점들이 <math>q_j</math>이고, 그 차수가 각각 <math>n(q_j)</math>라고 하자. 그렇다면 <math>\alpha</math>의 인자를 다음과 같이 정의한다.
:<math>\operatorname{div}(\alpha)=\sum_in(p_i)p_i+\sum_jn(q_j)q_j</math>.

[[유리형 함수]](즉, 0차 유리형 [[복소 미분 형식]])의 인자를 '''주인자'''({{lang|en|principal divisor}})라고 한다. 1차 유리형 [[복소 미분 형식]]의 인자를 '''[[표준 선다발|표준 인자]]'''({{lang|en|canonical divisor}})라고 한다.

인자 <math>D</math>에 대하여, <math>\operatorname{div}(f)+D</math>의 계수가 모두 음이 아닌 [[유리형 함수]] <math>f</math>들의 복소 [[벡터 공간]]의 (복소) 차원을 <math>I(D)</math>라고 하자.

<math>D</math>가 <math>M</math> 위의 [[인자]]이고, <math>K</math>가 [[표준 선다발|표준 인자]]라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi(M)/2</math>.
여기서 <math>\chi(M)</math>은 <math>M</math>의 [[오일러 지표]]이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) <math>g</math>로 쓰면
:<math>I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1</math>
이다.

=== 선다발의 경우 ===
[[인자 (대수기하학)|인자]](의 [[동치류]])는 정칙 [[선다발]]에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 <math>M</math> 위에 [[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]] <math>L</math>이 있다고 하자. 그렇다면 [[층 코호몰로지]] (<math>L</math> 계수 [[돌보 코호몰로지]]) <math>\operatorname H^0(M,\mathcal O(L))</math> 및 <math>\operatorname H^1(M,\mathcal O(L))</math>을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 <math>\dim\operatorname H^k=h^k</math>로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\chi(M,L)=\dim\operatorname H^0(M,\mathcal O(L))-\dim \operatorname H^1(M,\mathcal O(L))=\deg L-g+1</math>
(여기서 <math>\chi(M,L)</math>은 <math>L</math>의 [[오일러 지표]]다.) [[세르 쌍대성]]을 사용하여,
:<math>\operatorname H^1(M,\mathcal O(L))^*\cong\operatorname H^0(M,\mathcal O(L^{-1}\otimes K))</math>
따라서, <math>L</math>에 대응하는 인자류가 <math>[D]</math>라고 한다면
:<math>h^0(M,\mathcal O(L))=I(D)</math>
:<math>h^1(M,\mathcal O(L))=I(K-D)</math>
가 된다.

보다 일반적으로, [[리만 곡면]] <math>M</math> 위의 (임의의 계수의) [[정칙 벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대하여 다음과 같은 리만-로흐 정리가 성립한다.
:<math>\chi(M,E)=\dim \operatorname H^0(M,E)-\dim \operatorname H^1(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname{rk}E</math>
여기서
* <math>\operatorname{rk}E</math>는 <math>E</math>의 계수이다. (즉, 선다발의 경우 1이다.)
* [[정칙 벡터 다발]]의 차수는 <math>\deg E = \deg (E^{\wedge\operatorname{rk}E})</math>이다. 여기서 <math>E^{\wedge\operatorname{rk}E}</math>는 <math>E</math>의 올별 최고차 [[외대수]]로 구성된 정칙 [[선다발]]이다.

== 표 ==
<math>x</math>가 [[바이어슈트라스 점]]이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 <math>I(D)</math>는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 종수 || <math>D=0</math> || <math>D=x</math> || <math>D=2x</math> || <math>D=3x</math> || <math>D=4x</math> || <math>D=5x</math> || … || <math>I(nx)</math>의 생성원 (<math>n\ge g</math>)
|-
! 0 ([[리만 구]])
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || … || <math>1,z^{-1},\dots,z^{-n}</math>
|-
! 1 ([[타원 곡선]])
| 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || … || [[타원 함수]]  <math>\wp,\dots,\wp^{\lfloor n/2\rfloor},\wp\wp',\dots,\wp^{\lfloor n-3\rfloor}\wp'</math>
|-
! 2
| 1 || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || … ||
|-
! 3
| 1 || 1 || 1 || 1 || 2 || 3 || … ||
|}
<math>g\ge 2</math>이며 <math>\deg D\le g</math>인 경우, 특수한 점에서 <math>I(D)</math>가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 <math>I(K-D)>g-\deg D</math>이다. 이를 '''[[바이어슈트라스 점]]'''이라고 한다. 예를 들어, <math>g=2</math>인 경우 <math>I(2x)=2</math>인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

== 예 ==
리만-로흐 정리를 써서, [[곡면 종수]]가 <math>g</math>인 콤팩트 [[리만 곡면]]의 [[표준 인자]] <math>K</math>의 차수가 <math>\deg K=2g-2</math>임을 보일 수 있다.
# 콤팩트 리만 곡면 위에서의 [[정칙함수]]는 상수함수밖에 없다. 즉, <math>I(0)=1</math>이다. 물론 <math>\deg(0)=0</math>이다.
# <math>D=0</math>으로 놓자. 그렇다면 <math>1-I(K)=-g+1</math>이다. 즉, <math>I(K)=g</math>이다.
# <math>D=K</math>로 놓자. 그렇다면 <math>I(K)-1=\deg K-g1</math>이다. 즉, <math>\deg K=2g-2</math>이다.

예를 들어, <math>g=0</math>인 경우인 [[리만 구]] <math>\mathbb P^1</math>를 생각하자. 이 경우, 각 차수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 정확히 한 개의 선다발 [[동형류]] <math>\mathcal O(k)</math>가 존재하며, 그 단면의 차원은
:<math>\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(k)) = \max\{k+1,0\}</math>
:<math>\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(k)) = \dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(-2-k)) = \max\{-k-1,0\}</math>
이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.
* 0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우, <math>\dim\operatorname H^1(\mathbb P^1,\mathcal O(1)) = 1</math>이다. 이는 [[상수 함수]] <math>f(z) = 1</math>에 의하여 생성된다. (다시 말해, [[리만 구]] 저체 위의 [[정칙 함수]]는 [[상수 함수]] 밖에 없다.)
* 2차 선다발은 정칙 [[접다발]] <math>\mathcal O(2) \cong \mathrm T\mathbb P^1</math>이다. (예를 들어, 벡터장 <math>\partial/\partial z</math>는 <math>w=1/z</math>에서 <math>-w^2 \partial/\partial w</math>가 된다.) 이 경우, <math>\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(2)) = 3</math>이며, 그 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 <math>\{\partial/\partial z,z\partial/\partial z,z^2\partial/\partial z\}</math>이다.
* &minus;2차 선다발은 [[표준 선다발]] <math>\mathcal O(-2) \cong \mathrm T^*\mathbb P^1</math>이다.  (예를 들어, [[복소수 미분 형식]] <math>\mathrm dz</math>는 <math>w=1/z</math>에서 <math>-w^{-2} \mathrm dw</math>가 된다.) 이 경우, <math>\dim\operatorname H^0(\mathbb P^1,\mathcal O(-2)) = 0</math>이다. 즉, 그 대역적 단면은 0 밖에 없다. 반면 <math>\dim\operatorname H^1(\mathbb P^1,\mathcal O(-2)) = 1</math>이며, [[돌보 코호몰로지]]에서 그 대표원은 [[푸비니-슈투디 계량]] <math>(1+z\bar z)^{-2}\,\mathrm dz\wedge\mathrm d\bar z</math>로 주어진다.
* 1차 선다발은 [[스피너]] 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는 <math>\textstyle\{\sqrt{\partial/\partial z},z\sqrt{\partial/\partial z}\}</math>이다.

== 곡면 리만-로흐 정리 ==
[[대수 곡면]]에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|362–363}} [[대수적으로 닫힌 체]] <math>k</math>에 대한 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[대수 곡면]] (2차원 비특이 완비({{llang|en|complete}}) 대수다양체) <math>X</math> 위에 [[베유 인자]] <math>D</math>가 존재한다고 하고, 그 (정칙) [[오일러 지표]]를 <math>\chi(D)</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\chi(D)=1+p_{\text{a}}(X)+\frac12 D.(D-K(X))</math>
여기서 <math>K(X)</math>는 <math>X</math>의 [[표준 선다발|표준 인자]]이고, <math>D.D'</math>는 두 인자 사이의 [[교차수]]({{llang|en|intersection number}})이며, <math>p_\text{a}</math>는 <math>X</math>의 [[산술종수]]이다.

== 일반화 ==
곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]로 일반화되며, 이 또한 [[아티야-싱어 지표 정리]]나 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]로 일반화된다.

== 역사 ==
[[파일:Roch.jpeg|섬네일|오른쪽|구스타프 로흐]]
곡선에 대한 리만-로흐 정리는 [[베른하르트 리만]]이 1857년 표준 인자 항 <math>I(K-D)</math>를 무시한, [[부등식]]의 형태로 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=Bernhard|last=Riemann|저자링크=베른하르트 리만|날짜=1857|title=Theorie der Abel'schen Functionen|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1857|호=54|쪽=115–155|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00215000X|doi=10.1515/crll.1857.54.115|issn=1435-5345|언어=de}}</ref> 리만의 제자였던 [[구스타프 로흐]]가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.<ref>{{저널 인용|last=Roch|first=Gustav|저자링크=구스타프 로흐|year=1865|title=Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen|journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1865|호=64|쪽=372–376|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002152622|doi=10.1515/crll.1865.64.372|issn=1435-5345|언어=de}}</ref> 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 [[결핵]]에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 [[막스 뇌터]]가 1886년에, [[페데리고 엔리퀘스]]가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 [[귀도 카스텔누오보]]가 1896년에 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]
* [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemann-Roch theorem}}
* {{매스월드|id=Riemann-RochTheorem|title=Riemann-Roch theorem}}

[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:베른하르트 리만]]