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{{출처 필요|날짜=2013-5-15}}

[[파일:Conjugate gradient illustration.svg|right|섬네일| 최적 단계를 갖는 [[경사 하강법]](초록색)과 주어진 선형 계에 관한 이차함수를 최소화하는 켤레기울기법(붉은색)의 비교. 정확한 계산이 이루어졌다고 가정하면, 켤레기울기법은 그 계의 행렬의 크기가 n에 대하여 최대로 n단계내에 수렴한다. (여기서, n=2) ]]
'''켤레기울기법''' 또는 '''공역기울기법'''({{llang|en|Conjugate Gradient Method}}, {{llang|ja|共役勾配法}})이란 [[수학]]에서 대칭인 양의 [[준정부호행렬]](陽-準定符號行列, 영어: positive-semidefinite matrix)을 갖는 선형계의 해를 구하는 수치 알고리즘이다. 이는 보통 [[반복알고리즘]]으로 풀리고, 따라서 [[숄레스키 분해]]와 같은 방법이나  직접 풀기에 너무 큰 계가 갖는 [[희소행렬]] 등에 사용하기 적합하다. 그러한 계는 [[편미분]] 방정식들이나 최적화 문제들을 수치적으로 풀 때 자주 등장한다.

켤레기울기법은 또한 에너지 최소화같은 제약조건이 없는 최적화문제를 풀 수 있다. 이것은 [[Magnus Hestenes]]와 [[Eduard Stiefel]]에 의해 개발되었다.

==방법의 설명==
우리는 다음과 같은 선형 계의 방정식을 풀기 원한다고 가정하자.
:'''Ax''' = '''b'''
'''A'''는 n x n 대칭행렬이고 (i.e. '''A'''<sup>T</sup> = '''A'''), 양의 정부호행렬 [[positive definite matrix|positive definite]] (i.e.  '''R'''<sup>''n''</sup>에서 모두 0이 아닌 벡터들 '''x'''에 관하여 '''x'''<sup>T</sup>'''Ax''' > 0 )이고, 실수이고, x, b는 n x 1 [[실수]] 인 열벡터이다.

여기서 우리는 이 계의 유일한 해를 <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math>라고 하자.

==직접적 방법으로서 공역 구배법==
다음과 같이
:<math> \mathbf{u}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{v} = 0. </math> 일 때,

두개의 영이 아닌 벡터들을  ''u'' 과 ''v''를 켤레라고 하자. (''A''에 대하여)
'''A'''는 대칭이고 양의 정부호를 갖는 행렬이기 때문에 왼쪽 변이 내적으로 정의 된다.

:<math> \langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle_\mathbf{A} := \langle \mathbf{A} \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{u},  \mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{v}\rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{A}\mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{v}. </math>

만일 두개의 벡터가 이 내적에 대하여 수직이면 그것들을 켤레라고 한다.

켤레가 되는것은 대칭관계이다: 만일 '''u'''가 '''v'''에 켤레이면
'''v'''가 '''u'''에 켤레이다.

 <math>P=\{\mathbf{p}_k: \forall i\neq k, i, k \in [1,n], \langle\mathbf{p}_i,\mathbf{p}_k\rangle_{A}=0  \}</math>
는 n개 상호적인 켤레 방향들의 집합이라고 가정하자.
그러면 <math>P</math>는 <math>\mathbb{R}^n</math>의 기저이고,
그래서  <math>P</math>내에서  우리는
그 해 <math>\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math>의 <math>\mathbf{x}_*</math>를 확장시킬 수 있다:
:<math> \mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i \mathbf{p}_i</math>

그리고 우리가 보면
:<math> \mathbf{b}=\mathbf{A}\mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i  \mathbf{A} \mathbf{p}_i.</math>

어떤 <math>\mathbf{p}_k \in P</math>에 관하여,
:<math> \mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b}=\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A}\mathbf{x}_* = \sum^{n}_{i=1} \alpha_i\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_i=\alpha_k\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k.</math>

(왜냐하면 <math>\forall i\neq k, p_i, p_k</math>는 상호적인 켤레이기 때문에)

:<math> \alpha_k = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b}}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k} = \frac{\langle \mathbf{p}_k, \mathbf{b}\rangle}{\,\,\,\langle \mathbf{p}_k,  \mathbf{p}_k\rangle_\mathbf{A}} = \frac{\langle \mathbf{p}_k, \mathbf{b}\rangle}{\,\,\,\|\mathbf{p}_k\|_\mathbf{A}^2}. </math>

이 결과는 위에 정의된 내적을 고려하면서 이 결과는 아마도 매우 명백하다.

이것은 '''Ax''' = '''b''' 방정식을 풀 때 다음의 방법을 쓴다. :
n개의 켤레 방향들의 수열을 찾고, 그런뒤 그 계수들 <math>\scriptstyle \alpha_k</math>을 계산한다.

==반복적 방법으로서 공역 구배법==
만일 우리가 켤레 벡터들을 '''p'''<sub>''k''</sub> 신중하게 선택하고, 우리는 그 해 <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math> 의 좋은 근사 값을 얻기 위해서 그들의 모두가 필요하지 않을 수 있다.
그래서 우리는 반복적인 방법으로서 공역 구배법을 보기를 원한다.
''n''이 매우 커서 직접적인 방법으로 풀기에 시간이 매우 많이 걸리는 계들의 경우 이 방법을 거의 정확하게 풀게 해준다.

<math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math>의 초기 추측값을 '''x'''<sub>0</sub>라고 하자.
우리는 일반성을 잃지 않고 '''x'''<sub>0</sub> = 0 (마찬가지로, 대신에 그 계를 '''Az''' = '''b''' − '''Ax'''<sub>0</sub> ) 라고 가정할 수 있다.
'''x'''<sub>0</sub>와 함께 시작하여 우리는 그 해를 찾고, 각각의 반복에서 우리는 그 해 <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math>(우리에게 잘알려지지 않은 해) 에 근접한게 무엇인지 알려주는 측도가 필요하다.
이 측도는 그 해 <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math>가 또한
다음의 [[이차함수]]의 유일하게 최소치라는 사실로부터 나왔다.
그래서 만일  f('''x''')가 반복에 있어서 작아진다면 그것은 우리가  <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math>에 가까이 간다는 것을 의미한다.

:<math> f(\mathbf{x}) = \frac12 \mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{b} , \quad \mathbf{x}\in\mathbf{R}^n. </math>

<!-- Note that the +c has been added to the equation above. Without the c the trivial solution of x=0 is the minimum and the solution of the original equation. If x0 is the minimum, then the quadratic can be described as (x^T-x0^T)*A*(x-x0)-c0=0 (c0 is f at the minimum while x0 is the solution at the minimum). Expanding this you get x^T*X*x-x^T*b+c where b=2*A*x0 and c=x0^T*A*x0-c0 ... wait a minute... for the purposes of minimization c0 does not matter... if this is the case then c0 could be selected such that c0=x0^T*A*x0 in which case the original form x^T*X*x-x^T*b is still valid... -->

'''x''' = '''x'''<sub>0</sub>에서 ''f''의 구배(영어:gradient)의 음의 값이 되도록  처음 기저 '''p'''<sub>0</sub>를 잡는다.

그 ''f''의 구배(영어:gradient)가 '''Ax'''&minus;'''b'''와 같고,  추측 해'''x'''<sub>0</sub>를 가지고 시작한다.
(우리는 만일 우리가 다른 어떤 것을 추측할 이유가 없다면  <math>\scriptstyle \mathbf{x}_*</math> 가 '''0''' 이고 그 집합을 '''x'''<sub>0</sub> '''0'''으로 항상 추측할 수 있다. )
이것을 '''p'''<sub>0</sub> = '''b'''&minus;'''Ax'''<sub>0</sub>라고 두자.
그 기저안에 다른 벡터들은 그 구배(영어:gradient)에 켤레가 될 것이다.
그래서 이 방법의 이름이 ''공역 구배법''(영어:''conjugate gradient method'')이다.

우선 ''k''번째 단계에서 '''r'''<sub>''k''</sub>를 ''유수''(영어:residue)라고 하자:
<math> \mathbf{r}_k = \mathbf{b} - \mathbf{Ax}_k.  \, </math>

'''r'''<sub>''k''</sub>는 '''x''' = '''x'''<sub>''k''</sub>에서 음의 ''f''의 구배(gradient)라는 점을 염두에 두고,
그래서 [[경사 하강법]]은 '''r'''<sub>''k''</sub> 방향에서 움직일 것이다.
여기, 우리는 그 방향들 '''p'''<sub>''k''</sub>이 각각 다른것과 켤레라고 주장한다.
이 시행은 충분히 합리적인데,
우리는 또한 다음 찾는 방향은  최근의 유수와 이전의 모든 검색방향들에 의해서 정하게 한다.

그 공역 제약조건은 직교-유형의 제약조건이고 그래서, 그 알고리즘은 ''그램 -슈미트''와 유사하다.

이것은 다음의 표현과 같다:
:<math> \mathbf{p}_{k} = \mathbf{r}_{k} - \sum_{i < k}\frac{\mathbf{p}_i^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{r}_{k}}{\mathbf{p}_i^\mathrm{T}\mathbf{A} \mathbf{p}_i} \mathbf{p}_i </math>

(수렴에 켤레성 제약조건의 영향에 관한 문서의 상단에 있는 그림을 참조)
이 방향에 따르면, 그 다음 최적의 위치는 다음에 의해 주어진다.
:<math> \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k </math>
:<math> \alpha_{k} = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{b}}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_k} = \frac{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} (\mathbf{r}_{k-1}+\mathbf{Ax}_{k-1})}{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_{k}} = \frac{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k-1}}{\mathbf{p}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A} \mathbf{p}_{k}},  </math>

를 포함함

('''p'''<sub>''k''</sub> 와'''x'''<sub>''k-1''</sub> 가 켤레이기 때문에 마지막 등식이 성립한다.)

===그 결과의 알고리즘===
그 위에 알고리즘은 공역 구배법의 가장 간단한 설명을 제공한다.
일견에, 그 알고리즘에 명시된대로 이전의 검색 방향들과 유수 벡터들의 저장이 필요할 뿐만 아니라
많은 행렬 벡터의 곱셉들이 필요로 하고, 따라서 계산하는데 비용이 많이 들 수 있다.
그러나 그 알고리즘의 근접한 분석은 다음 과 같이 볼 수 있다.

모든  ''i < k''에 관하여 '''r'''<sub>''k+1''</sub>는 '''p'''<sub>''i''</sub>과 켤레이다.
(예를 들어 귀납법에 의해 증명될 수 있다) 그러므로 오직 '''r'''<sub>''k''</sub>, '''p'''<sub>''k''</sub>,
그리고 '''x'''<sub>''k''</sub> 이  '''r'''<sub>''k+1''</sub>, '''p'''<sub>''k+1''</sub>, 그리고 '''x'''<sub>''k+1''</sub>를 세우는데 필요로 한다.
게다가 오직 하나의 행렬-벡터 곱셈이 각각의 반복적인 계산마다 필요하다.

실수이고, 대칭행렬이고 양의 정부호 행렬인 '''A'''에 관하여 '''Ax''' = '''b'''를 푸는 [[알고리즘]] 방법은 밑에 상세히 설명되어 있다.

그 입력 벡터  '''x'''<sub>0</sub>는 거의 정확한 초기 해나 '''0'''이 될 수 있다.
이것은 위에 명시된 정확한 절차의 다른 식이다.

<math>
\begin{align}
& \mathbf{r}_0 := \mathbf{b} - \mathbf{A x}_0 \\
& \mathbf{p}_0 := \mathbf{r}_0 \\
& k := 0 \\
& \hbox{repeat} \\
& \qquad \alpha_k := \frac{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k}  \\
& \qquad \mathbf{x}_{k+1} := \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k \\
& \qquad \mathbf{r}_{k+1} := \mathbf{r}_k - \alpha_k \mathbf{A p}_k \\
& \qquad \hbox{if } r_{k+1} \hbox{ is sufficiently small then exit loop} \\
& \qquad \beta_k := \frac{\mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k+1}}{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k} \\
& \qquad \mathbf{p}_{k+1} := \mathbf{r}_{k+1} + \beta_k \mathbf{p}_k \\
& \qquad k := k + 1 \\
& \hbox{end repeat} \\
& \hbox{The result is } \mathbf{x}_{k+1}
\end{align}
</math>

이것은 일반적으로 자주 사용되는 알고리즘이다. 이와 같은 식은<math>\beta_k</math>은 비선형 공역 구배법인 플레처 리브스에서 또한 사용된다.

====알파와 베타의 계산====
알고리즘에서, <math>\alpha_k</math> 는
<math>\mathbf{r}_{k+1}</math>가 <math>\mathbf{r}_k</math>에 직교가 되도록 선택된다. 그 분모는 다음과 같이 단순화된다.

<math> \alpha_k = \frac{\mathbf{r}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k}}{\mathbf{r}_{k}^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k} = \frac{\mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} \mathbf{A p}_k} </math>

<math>\mathbf{r}_k = \mathbf{p}_k-\mathbf{\beta}_{k-1}\mathbf{p}_{k-1}</math>때문에 그 <math>\beta_k</math>는 <math>\mathbf{p}_{k+1}</math> 가 <math>\mathbf{p}_k</math>에 켤레가 되도록 선택된다. 처음에, <math>\beta_k</math> 는

<math>\beta_k = - \frac{\mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k}{\mathbf{p}_k^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k}</math>

<math>\mathbf{r}_k = \mathbf{r}_{k-1} - \alpha_{k-1} A \mathbf{p}_{k-1}</math>를 이용하고, 마찬가지로 <math> A \mathbf{p}_{k-1} = \frac{1}{\alpha_{k-1}} (\mathbf{r}_{k-1} - \mathbf{r}_k)</math>, <math>\beta_k</math>의 분자는 다음과 같이 다시 쓰면,

<math> \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_{k+1}) = - \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_{k+1}^\mathrm{T} \mathbf{r}_{k+1} </math>

<math>\mathbf{r}_{k+1}</math> 과 <math>\mathbf{r}_k</math> 처음 구상에 의해 직교이기 때문에 그분모는 다음과 같이 다시 쓰면,

<math> \mathbf{p}_k^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = (\mathbf{r}_k + \beta_{k-1} \mathbf{p}_{k-1})^\mathrm{T} A \mathbf{p}_k = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_k^\mathrm{T} (\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_{k+1}) = \frac{1}{\alpha_k} \mathbf{r}_k^\mathrm{T} \mathbf{r}_k </math>

검색 방향들 <math>\mathbf{p}_k</math>은 켤레이고 다시 그 유수들과 직교라는 사실을 이용하여 이 알고리즘에서 <math>\alpha_k</math>를
제거한 후<math>\beta</math>를 얻는다.

====함수 (프로그래밍) 예제====
<syntaxhighlight lang="matlab">
function [x] = conjgrad(A,b,x)
    r=b-A*x;
    p=r;
    rsold=r'*r;

    for i=1:1e6
        Ap=A*p;
        alpha=rsold/(p'*Ap);
        x=x+alpha*p;
        r=r-alpha*Ap;
        rsnew=r'*r;
        if sqrt(rsnew)<1e-10
              break;
        end
        p=r+rsnew/rsold*p;
        rsold=rsnew;
    end
end
</syntaxhighlight>

=== 수치적 예제 ===
공역 구배법을 설명하기 위해서, 우리는 간단한 예를 들겠다.
다음과 같은 선형 계인 '''Ax''' = '''b'''을 고려하면

:: <math>\mathbf{A} \mathbf{x}= \begin{bmatrix}
4 & 1 \\
1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
2 \end{bmatrix}
,</math>

그 계의 거의 정확한 해를 찾기 위해서
우리는 초기 추측값을 설정하여 공역 구배법의 두 단계만에 수행할 것이다.

:: <math>\mathbf{x}_0 = 
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \end{bmatrix}
</math>

==== 해 ====
참고에 따르면 정확한 해는 :: <math>
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} \\\\ \frac{7}{11} \end{bmatrix}</math>

우리의 첫번째 단계는 '''x'''<sub>0</sub>과 연관된 유수 벡터 '''r'''<sub>0</sub>를 계산 하는 것이다.

이 유수는 식 '''r'''<sub>0</sub> = '''b''' - '''Ax'''<sub>0</sub>으로부터 계산되고, 그리고 우리에 경우에는 다음과 같다.

:: <math>
\mathbf{r}_0 =
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} - 
\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}-8 \\ -3 \end{bmatrix}.

</math>

이것은 첫번째 반복 계산이기 때문에, 우리는 우리의 초기 검색방향'''p'''<sub>0</sub> 으로써 유수 벡터 '''r'''<sub>0</sub>를 사용할 것이다.

앞으로의 반복 계산에서 '''p'''<sub>k</sub>를 선택하는 방법은 변할 것이다.

우리는 이제 위의 관계를 이용하여 이제 스칼라 α<sub>0</sub>를 계산한다.

::<math>
\alpha_0 = \frac{\mathbf{r}_0^\mathrm{T} \mathbf{r}_0}{\mathbf{p}_0^\mathrm{T} \mathbf{A p}_0} =
\frac{\begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix}}{  \begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix}  } =
\frac{73}{331}.
</math>

우리는 그 식을 이용하여 '''x'''<sub>1</sub>을 계산 할 수 있다.

::<math>
\mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_0 + \alpha_0\mathbf{p}_0 = 
\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{73}{331} \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2356 \\ 0.3384 \end{bmatrix}.
</math>

이 결과는 첫번째 반복 계산을 완료되고, 그 계에 "향상된" 거의 정확한 해'''x'''<sub>1</sub>가 된다.
우리는 이제 이동하여 이 식을 이용하여 새로운 유수 벡터 '''r'''<sub>1</sub>를 계산할 것이다.

::<math>
\mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_0 - \alpha_0 \mathbf{A} \mathbf{p}_0 = 
\begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix} - \frac{73}{331} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.2810 \\ 0.7492 \end{bmatrix}.
</math>

그 과정속에서 우리의 다음 단계는 다음 검색 방향 '''p'''<sub>1</sub>를 결정하는데 결과적으로 사용될 스칼라 β<sub>0</sub>를 계산하는 것이다.

::<math>
\beta_0 = \frac{\mathbf{r}_1^\mathrm{T} \mathbf{r}_1}{\mathbf{r}_0^\mathrm{T} \mathbf{r}_0} =
\frac{\begin{bmatrix} -0.2810 & 0.7492 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.2810 \\ 0.7492 \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} -8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix}} = 0.0088.
</math>

이제, 이 스칼라 β<sub>0</sub>를 이용하여, 우리는 그 관계를 이용하여 다음 검색 방향 '''p'''<sub>1</sub>을 계산 할 수 있다.

::<math>
\mathbf{p}_1 = \mathbf{r}_1 + \beta_0 \mathbf{p}_0 = 
\begin{bmatrix} -0.2810 \\ 0.7492 \end{bmatrix} + 0.0088 \begin{bmatrix} -8 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.3511 \\ 0.7229 \end{bmatrix}.
</math>

우리는 α<sub>0</sub>에서 사용했던 같은 방식으로
새로 얻은 '''p'''<sub>1</sub>를 이용하여 이제 스칼라 α<sub>1</sub>를 계산 할 수 있다.

::<math>
\alpha_1 = \frac{\mathbf{r}_1^\mathrm{T} \mathbf{r}_1}{\mathbf{p}_1^\mathrm{T} \mathbf{A p}_1} =
\frac{\begin{bmatrix} -0.2810 & 0.7492 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.2810 \\ 0.7492 \end{bmatrix}}{  \begin{bmatrix} -0.3511 & 0.7229 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -0.3511 \\ 0.7229 \end{bmatrix}  } = 
0.4122.
</math>

마지막으로, 우리는 '''x'''<sub>1</sub>을 찾았던 같은 방법으로 '''x'''<sub>2</sub>를 찾는다.

::<math>
\mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1 + \alpha_1 \mathbf{p}_1 = 
\begin{bmatrix} 0.2356 \\ 0.3384 \end{bmatrix} + 0.4122 \begin{bmatrix} -0.3511 \\ 0.7229 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0909 \\ 0.6364 \end{bmatrix}.
</math>

그 결과, '''x'''<sub>2</sub>는 그 계의 해에 '''x'''<sub>1</sub> 과 '''x'''<sub>0</sub>보다 "더나은" 근사치가 된다.

만일 제한된 정밀도 대신에 이 예에서 정확한 계산이 되었다면, 그 정확한 해는 이론적으로 ''n''=2 반복수행 후 도달 할 것이다.
(''n''은 그 계의 크기임).
== 같이 보기 ==
* [[신뢰전파]]
* [[반복법]]

{{전거 통제}}

[[분류:수치선형대수학]]
[[분류:최적화 알고리즘]]