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[[가환대수학]]에서 '''아이디얼 몫'''({{llang|en|ideal quotient}})은 같은 [[가환환]] 속의 두 [[아이디얼]]에 대하여 정의되는 [[이항 연산]]이다. 이는 [[아이디얼]]에 대한, [[나눗셈]]의 일반화이다. [[대수기하학]]에서, 이는 두 부분 [[대수다양체]]의 ‘[[차집합]]’에 해당한다. (대수기하학에서 아이디얼의 곱셈은 대략 부분 대수다양체의 ‘[[합집합]]’에 해당하며, 이는 그 역연산에 ‘가장 가까운’ 연산이다.)

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak i,\mathfrak j\subseteq R</math>가 주어졌다고 하자. 그 '''몫 아이디얼'''은 다음과 같은 [[부분 집합]]이다.
:<math>(\mathfrak i:\mathfrak j) = \{r \in R\colon r\mathfrak j \subseteq \mathfrak i\}</math>
이는 <math>R</math>의 [[아이디얼]]을 이룬다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 조건들을 모두 증명하면 족하다.
* <math>(\mathfrak i:\mathfrak j)</math>가 덧셈에 대하여 [[가환 모노이드]]를 이룸:
** 만약 <math>r,s\in (\mathfrak i:\mathfrak j)</math>라면, <math>(r+s)\mathfrak j \subseteq r\mathfrak j + s\mathfrak j \subseteq \mathfrak i + \mathfrak i = \mathfrak i</math>
* <math>(\mathfrak i:\mathfrak j)</math>가 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이룸:
** 만약 <math>r\in (\mathfrak i:\mathfrak j)</math>라면, <math>(-r)\mathfrak j = r(-\mathfrak j) = r\mathfrak j \subseteq \mathfrak i</math>
* <math>(\mathfrak i:\mathfrak j)</math>가 <math>R</math>의 [[가군]]을 이룸:
** 만약 <math>r\in (\mathfrak i:\mathfrak j)</math>이며 <math>s\in R</math>라면, <math>(sr)\mathfrak j = r(s\mathfrak j) \subseteq r \mathfrak j \subseteq \mathfrak i</math>
</div></div>

== 성질 ==
다음이 성립한다.
:<math>(\mathfrak i:R) = \mathfrak i</math>
:<math>(R:\mathfrak j) = R</math>
:<math>(0:\mathfrak j) = \operatorname{Ann}_R(\mathfrak j)</math> (아이디얼의 [[소멸자]])
:<math>(\mathfrak i:0) = R</math>
보다 일반적으로, 만약 <Math>\mathfrak j \subseteq \mathfrak i</math>라면, 다음이 성립한다.
:<math>(\mathfrak i:\mathfrak j) = R</math>
기하학적으로, 이는 만약 <math>J \supseteq I</math>일 때 <math>I \setminus J = \varnothing</math>임에 해당한다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘[[분배 법칙]]’을 따른다.
:<math>(\mathfrak i:(\mathfrak j+\mathfrak k)) = (\mathfrak i:\mathfrak j) \cap (\mathfrak i:\mathfrak k)</math>
대수기하학적으로, 아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 [[교집합]]에 해당하며, 아이디얼의 [[교집합]]은 대략 부분 [[대수다양체]]의 [[합집합]]에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식
:<math>I \setminus (J \cap K) = (I \setminus J) \cup (I\setminus K)</math>
에 해당한다.

== 예 ==
=== 대수다양체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 다항식환 <math>K[x_1,\dotsc,x_n]</math>의 두 아이디얼 <math>\mathfrak i,\mathfrak j \subseteq K[x_1,\dotsc,x_n]</math>이 주어졌다고 하자. 또한, <math>\mathfrak i=\sqrt{\mathfrak i}</math>라고 하자 (즉, <math>\mathfrak i</math>는 스스로의 [[소근기]]와 일치한다). 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>Z(\mathfrak i:\mathfrak j) = \operatorname{cl}(Z(\mathfrak i) \setminus Z(\mathfrak j))</math>
여기서
* <math>\operatorname{cl}(-)</math>은 [[자리스키 위상]]에서 [[부분 집합]]의 폐포이다.
* <math>Z(\mathfrak j)</math>는 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math> 가운데 <math>\mathfrak p/\mathfrak j \in \operatorname{Spec}(R/\mathfrak j)</math>인 것이다. 즉, 이는 <math>\mathfrak j</math>에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어, <math>\mathbb C[x,y,z]</math> (복소수 3차원 [[아핀 공간]]) 속의 아이디얼 <math>(xyz)</math> (<Math>x</math>평면· <math>y</math>평면 · <math>z</math>평면의 [[합집합]])와 <math>(xy)</math>(<math>x</math>평면과 <Math>y</math>평면의 [[합집합]])를 생각하자. 이 경우
:<math>((xyz):(xy)) = (z)</math>
이다.

=== 정수 ===
[[정수환]] <Math>\mathbb Z</math>은 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 모든 아이디얼은 [[주 아이디얼]]이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.
:<math>((m):(n)) = \left(\frac m{\gcd\{m,n\}}\right)</math>
여기서 <math>\gcd</math>는 [[최대공약수]]이다. 또한,
:<math>\gcd\{m,0\} = m</math>
:<math>\frac00 = 1</math>
로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면
:<math>((m):(n)) =
\begin{cases}
(m/\gcd\{m,n\}) & m \ne 0 \ne n \\
(1) & n = 0 \\
(0) & m = 0 \ne n
\end{cases}</math>
이다.

특히, 만약 <math>m</math>이 <math>n</math>의 배수일 경우
:<math>((m):(n)) = (m/n)</math>
이 된다. 반면, 만약 <math>m</math>과 <math>n</math>이 [[서로소 (수론)|서로소]]인 경우
:<math>((m):(n)) = (m)</math>
이다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IdealQuotient|title=Ideal quotient}}
* {{웹 인용|url= https://yutsumura.com/ideal-quotient-colon-ideal-is-an-ideal/ | 제목=Ideal quotient (colon ideal) is an ideal | 이름=Yu | 성=Tsumura | 날짜=2016-11-29 | 웹사이트=Problems in Mathematics | 언어=en}}

{{전거 통제}}
[[분류:가환대수학]]
[[분류:이항연산]]