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'''초월함수'''(超越函數, transcendental function)는 [[대수함수]]와 대조적으로, [[다항식]]의 근으로 정의할 수 없는 함수이다.<ref>E. J. Townsend, ''Functions of a Complex Variable'', 1915, [https://books.google.com/books?id=JDUNAAAAYAAJ&pg=PA300 p. 300]</ref><ref>Michiel Hazewinkel, ''Encyclopedia of Mathematics'', 1993, [https://books.google.com/books?id=1ttmCRCerVUC&pg=PA236 '''9''':236]</ref> 다시 말하면, 초월함수는 유한한 대수 연산(덧셈, 곱셈, 거듭제곱)으로 표현할 수 없기 때문에 대수학을 "초월"하는 함수이다. 

== 정의 ==
형식적으로, 실수 또는 복소수인 변수 <math>z</math>의 [[해석함수]] <math>f(z)</math>는 이 함수가 그 변수와 [[Algebraic independence|대수적으로 독립적]]일 때 초월함수라고 한다.<ref>M. Waldschmidt, ''Diophantine approximation on linear algebraic groups'', Springer (2000).</ref> 이러한 초월함수의 정의는 [[다변수 함수]]로도 확장될 수 있다.

== 역사 ==
초월함수인 [[삼각함수|사인]]과 [[삼각함수|코사인]]은 고대에 그리스(히파르코스)와 인도(jya and koti-jya)에서 물리적 측정을 통해 표로 만들어졌었다. 이런 [[삼각함수]]에 대한 혁신적인 이해는 17세기에 일어났으며, 1748년에 [[레온하르트 오일러]](Leonard Euler)의 무한의 분석(''[[:en:Introductio_in_analysin_infinitorum|Introductio in analysin infinitorum]]'')에 소개되었다. 이 고대 초월 함수는 [[아르키메데스]]가 [[포물선의 구적법]](Quadrature of the Parabola)을 만든 지 2천년 후인 1647년에 Gregoire de Saint Vincent에 의해 [[쌍곡선]] xy=1의 [[구적법]]을 통해 연속 함수로 알려지게 되었다.

쌍곡선 아래의 영역은 일정한 경계의 비율에 대해 일정 면적을 갖는 성질을 가진다. 이렇게 알게 된 [[자연 로그]] 함수는 [[레온하르트 오일러]]가 [[거듭제곱|밑]]이 [[자연로그의 밑|e]]인 [[지수 함수]]와 같은 변수가 지수로 올라가는 함수와 연관성이 있다는 것을 알아낸 1748년까지는 제한되었었다. 이러한 초월함수가 알려지고, [[역함수]]의 존재를 암시하는 [[전단사 함수|전단사]] 속성이 주목받아서 대수 함수가 아니더라도 자연 로그의 대수적 조작을 위해 일부 시설이 제공되었다.

지수 함수는 <math> \exp (x) = e^x </math>이고, 오일러는 이것을 [[급수 (수학)|급수]] <math>\sum_{k=0} ^{\infty} x^k / k ! </math>로 정의했다. 여기서 k!은 k의 [[계승 (수학)]]을 의미한다.

이 급수의 짝수항과 홀수항은 cosh ''x''와 sinh ''x''를 나타내기 때문에 <math>e^x = \cosh x + \sinh x </math>이다. 이런 초월 [[쌍곡선함수]]는 급수에 (−1)<sup>k</sup>을 사용한 [[교대급수]]에서 삼각 함수 사인과 코사인으로 변환할 수 있다. 오일러 이후의 수학자들은 사인과 코사인을 이 방법으로 로그와 지수 함수에 연관 지으며, 종종 [[복소수|복소]] 연산에서 [[오일러의 공식]]을 사용한다.

== 예 ==
다음의 함수들은 초월함수이다:
:<math>f_1(x) = x^\pi \ </math>
:<math>f_2(x) = c^x </math>
:<math>f_3(x) = x^{x}</math>
:<math>f_4(x) = x^{\frac{1}{x}} \ </math>
:<math>f_5(x) = \log_c x </math>
:<math>f_6(x) = \sin{x}</math>
특히, ƒ<sub>2</sub>에서 c를 자연로그의 밑인 ''e''로 둘 경우에는 ''e<sup>x</sup>''가 초월함수라는 것을 얻을 수 있다. 마찬가지로 ƒ<sub>5</sub>에서 ''c''를 ''e''로 두면 <math>f_5(x) = \log_e x = \ln x</math> (즉, [[자연로그]])는 초월함수라는 것을 얻을 수 있다.

== [[대수함수]]와 초월함수 ==
가장 기본적인 초월함수는 [[로그|로그함수]], [[지수함수]](특정하지 않은 밑을 포함해서), [[삼각함수]], 그리고 [[쌍곡선함수]]와 그 [[역함수]]들이다. 또한, 조금 더 복잡한 초월함수의 예시로는 [[감마 함수]], [[타원함수]] 그리고 [[리만 제타 함수]]와 같은 것들이 있다. 즉, [[해석학 (수학)|해석학]]에 등장하는 [[특수 함수]]들은 거의 대부분 초월함수이다. [[일반화된 초기하 함수]]와 [[베셀 함수]]는 일반적으로는 초월함수이지만, 특별한 매개 변수 값에서는 [[대수함수]]가 된다.

어떤 함수가 초월함수가 아니라면, 그 함수는 [[대수함수]]이다. [[대수함수]]의 간단한 예로 [[유리 함수]]와 [[제곱근]] 함수가 있지만, 일반적으로 [[대수함수]]들은 기초 함수들의 유한한 식으로 정의될 수 없다.<ref>''cf.'' [[Abel–Ruffini 정리]]</ref>

많은 [[대수함수]]의 [[부정적분]]은 초월함수이다. 예를 들어, <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>이라는 [[대수함수]]의 [[부정적분]]은 초월함수인 [[로그|<math>\color{blue}{\ln(x)}</math>]] <math>+\;C</math>이다.

[[미분 대수]]는 적분이 삼각 함수를 변수로 가지는 다항식을 취할 때와 같이 어떤 클래스에서 대수적으로 독립적인 함수를 만드는 방법을 검사한다.

== 초월적인 초월함수 ==
[[수학]]과 [[물리학]]의 [[특수 함수]]들을 포함하여 가장 접하기 쉬운 초월함수는 [[대수 미분 방정식]]의 [[근 (수학)|해]]이다. 또한, [[감마 함수]]와 [[리만 제타 함수]]와 같은 초월함수들은 ''초월적인 초월함수''또는 ''[[하이퍼 초월함수]]''라고 불린다.

== 예외 집합 ==
ƒ(''z'')가 대수함수이고, α가 [[대수적 수]]라면 ƒ(α)는 대수적 수이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 즉 모든 대수적 수인 α에 대해서 ƒ (α)가 대수적 수인 [[전해석 함수|초월 전해석 함수]] ƒ (z)가 존재한다.<ref>[http://journals.cambridge.org/download.php?file=%2FJAZ%2FJAZ8_02%2FS144678870000522Xa.pdf&code=c1078490e410e75b00828a47df480146 A. J. van der Poorten.]</ref> 하지만 많은 경우에 ƒ(α)가 대수적 수가 되도록 하는 대수적 수 α의 집합의 크기는 상당히 작다. 예를 들어 ƒ(''z'')가 지수함수 ''e<sup>z</sup>''일 때, ƒ(α)가 대수적 수가 되도록 하는 유일한 대수적 수는 α=0 일 때, ƒ(α)=1인 경우 뿐이다. 주어진 초월함수에서 대수적 수를 결과로 갖는 대수적 수의 집합을 그 함수의 예외 집합이라고 하며,<ref>D. Marques, F. M. S. Lima, ''Some transcendental functions that yield transcendental values for every algebraic entry'', (2010) {{arxiv|1004.1668v1}}.</ref><ref>N. Archinard, ''Exceptional sets of hypergeometric series'', Journal of Number Theory '''101''' Issue 2 (2003), pp.244&#x2013;269.</ref> 다음의 정의를 가진다.
:<math>\mathcal{E}(f)=\{\alpha\in\overline{\mathbf{Q}}\,:\,f(\alpha)\in\overline{\mathbf{Q}}\}.</math>
이 집합이 계산 가능한 경우에는 [[Transcendental number theory|초월수론]]으로 갈 수 있다. 예를 들어, 1882년에 [[페르디난트 폰 린데만]]이 지수함수의 예외집합은 {0}밖에 없다는 것을 증명했다. 특히 exp(1)= ''e'' 는 초월수이다. 또한 exp(''i''π)=-1은 대수적이지만 ''i''π는 대수적이라고 할 수 없다. ''i''가 대수적이기 때문에 암시적으로 ''π''가 [[초월수]]라는 것을 의미한다.

일반적으로 함수의 예외 집합을 찾는 것은 어려운 문제이지만, 다음의 함수들은 계산되었다:
* <math>\mathcal{E}(\exp)=\{0\}</math>,
* <math>\mathcal{E}(j)=\{\alpha\in\mathbf{H}\,:\,[\mathbf{Q}(\alpha): \mathbf{Q}]=2\}</math>,
** 여기서 ''j''는 클라인의 [[J-불변량]]이고, '''H'''는 [[상반평면]]이며, ['''Q'''(α): '''Q''']는 [[대수적 수체]]의 [[장 확장 측도|측도]] '''Q'''(α). 이결과는 [[테오도어 슈나이더]]에 의한 것이다.<ref>T. Schneider, ''Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale'', Math. Annalen '''113''' (1937), pp.1–13.</ref>
* <math>\mathcal{E}(2^{x})=\mathbf{Q}</math>,
** 이 결과는 [[겔폰트-슈나이더 정리]]의 결과이다, 겔폰트-슈나이더 정리는 α가 대수적이고 0이나 1이 아니고, β가 대수적 무리수이면 α<sup>β</sup> 초월수이라는 것이다. 그렇기 때문에 함수 2<sup>''x''</sup>는 0과 1이 아닌 모든 대수적 수 ''c''에 대해서 ''c<sup>x</sup>''로 대체할 수 있다. 그래서 우리는 다음의 결과를 얻을 수 있다:
* <math>\mathcal{E}(x^x)=\mathcal{E}(x^{\frac{1}{x}})=\mathbf{Q}\setminus\{0\}.</math>
* 초월 수 이론에서 [[섀뉴얼의 추측]]의 결과는 다음과 같다. <math>\mathcal{E}(e^{e^x})=\emptyset.</math>
* [[스티븐 섀뉴얼|섀뉴얼]]의 추측을 가정 할 필요가 없는 빈 예외 집합을 갖는 함수는 ƒ(''x'') = exp(1 + π''x'')이다.
주어진 함수에 대한 예외 집합을 계산하는 것이 쉽지는 않지만, 대수적 수로 이루어진 임의의 부분 집합 ''A''가 주어지면 예외 집합이 ''A'' 인 초월함수 ƒ가 있다는 것은 알려져있다.<ref>M. Waldschmidt, Auxiliary functions in transcendental number theory, The Ramanujan Journal 20 no3, (2009), pp.341–373.</ref> 부분 집합이 적절할 필요는 없으며, 이것은 ''A''가 대수적 수 집합이 될 수 있다는 의미이다. 이것은 오직 초월수를 받았을 때만 초월수를 반환하는 초월함수가 있음을 직접적으로 의미한다. [[Alex Wilkie]]는 전형적인 해석함수를 제공함으로써 초월에 대한 [[1차 논리]] 증명이 존재하지 않는 초월 함수가 있음을 증명했다.<ref>A. Wilkie, ''An algebraically conservative, transcendental function'', Paris VII preprints, number 66, 1998.</ref>

== 차원 분석 ==
[[차원 분석]]에서, 초월함수는 인자가 차원이 없을 때(아마 대수 감소 후에)만 의미가 있기 때문에 주목할 만 하다. 그렇기 때문에 초월 함수는 차원오류를 찾아내기 쉬울 수 있다. 예를 들어 log(5미터&nbsp;/&#x20;3미터)나 log(3)미터와 달리 log(5미터)는 불가능 하다. [[로그|로그함수]]의 특징을 이용하여 log(5)+log(미터)를 얻으려 할 수는 있지만, 다른 문제가 있다: 일차원에 비 대수 연산을 적용하면 무의미한 결과가 나타날 뿐이다.

== 같이 보기 ==
* [[복소함수]]
* [[함수]]
* 일반화된 함수([[:en:Generalized function]])
* 특수 함수와 eponyms의 목록([[:en:List of special functions and eponyms]])
* 함수의 종류([[:en:List of types of functions]])
* [[유리 함수]]
* [[특수 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}


{{전거 통제}}

[[분류:해석 함수]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:유리형 함수]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:함수의 종류]]