{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 2|[[매끄러운 다양체]]를 이루는 군인 리 군(Lie group)|[[이임학]]이 발견한 리 군(Ree group)|이임학 군}}
{{대수 구조}}

'''리 군'''(Lie群, {{llang|en|Lie group}})은 [[매끄러운 다양체]]인 [[위상군]]이다. 즉 [[군 (수학)|군]]의 연산이 [[매끄러움 구조]]에 따라 [[매끄러운 함수|매끄러운]] 경우다. [[소푸스 리]]의 이름을 땄다. 연속적인 대칭을 나타내기 위하여 쓰인다.

== 정의 ==
[[위상군]] <math>G</math>에 [[매끄러운 다양체]]의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원
:<math>\cdot\colon G\times G\to G</math>
:<math>^{-1}\colon G\to G</math>
역시 [[매끄러운 함수]]라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>를 '''리 군'''이라고 한다. (사실, '''힐베르트의 5번째 문제'''({{llang|en|Hilbert’s Fifth Problem}})의 해에 따라 [[다양체]] · [[매끄러운 다양체]] · [[해석다양체]]를 구분할 필요가 없다.) [[범주론]]적으로, 이를 [[매끄러운 다양체]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 [[군 대상]]으로 정의할 수도 있다. 리 군의 '''사상'''({{llang|en|morphism}})은 [[매끄러운 함수]]인 [[군 준동형]]이다.

짝수 차원 리 군 <math>G</math>에 [[복소다양체]]의 구조가 갖추어지고, 또한 군의 곱셈과 역원
:<math>\cdot\colon G\times G\to G</math>
:<math>^{-1}\colon G\to G</math>
이 [[정칙 함수]]라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>를 '''복소수 리 군'''({{llang|en|complex Lie group}})이라고 한다. 복소수 리 군의 '''사상'''({{llang|en|morphism}})은 [[정칙 함수]]인 [[군 준동형]]이다.

=== 표현 ===
리 군 ''G''의 유한 차원 실수 또는 복소수 [[벡터 공간]] ''V'' 위에서의 '''표현'''(表現, {{llang|en|representation}})은 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[군 준동형]] <math>G\to\operatorname{GL}(V)</math>이다. [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위의 표현일 경우, 대개 가역 [[유계 작용소]]의 군 <math>B(\mathcal H)</math>으로 가는 매끄러운 준동형 <math>G\to B(\mathcal H)</math>로 정의한다.

[[반단순 리 군]]의 유한 차원 표현은 [[기약 표현]]의 직합으로 나타내어진다.

== 성질 ==
리 군은 다음과 같은 방법들로 구성 할 수 있다. 즉, 주어진 리 군들에 대해 다음 목록에 나오는 연산을 한 결과도 리 군이다.
* 유한 개의 리 군의 [[곱공간]]은 리 군을 이룬다. (무한 개의 리 군의 [[곱공간]]은 무한 차원이므로, [[매끄러운 다양체]]의 정의에 속하지 않는다.)
* ('''카르탕 닫힌 부분군 정리''' {{llang|en|Cartan’s closed subgroup theorem}}) 리 군의 (위상적으로) [[닫힌집합|닫힌]] [[부분군]]의 [[부분 공간 위상]]은 [[매끄러운 다양체]]이며, 따라서 이에 국한하면 리 군을 이룬다.<ref name="Cartan1930">{{저널 인용|last=Cartan|first=Élie|authorlink=엘리 카르탕|title=La théorie des groupes finis et continus et l’''Analysis situs''|year=1930|periodical=Mémorial des sciences mathématiques |언어=fr|volume=42|pages=1–61|url=http://www.numdam.org/item?id=MSM_1952__42__1_0|jfm=56.0370.08 }}</ref>{{rp|§26}}
* 리 군의 닫힌 [[정규 부분군]]에 대한 [[몫군]]은 리 군이다.
* 리 군의 [[범피복 공간]]은 자연스러운 리 군의 구조를 갖춘다. (범피복 공간이 아닌 다른 피복 공간에서는 군 구조가 매끄럽지 않을 수 있다.)

=== 위상수학적 성질 ===
국소적으로 [[유클리드 공간]]과 [[위상동형]]인 [[위상군]]은 항상 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Tao">{{서적 인용|제목=Hilbert’s fifth problem and related topics|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2012/03/hilbert-book.pdf|출판사=American Mathematical Society|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=153|isbn=978-1-4704-1564-8|날짜=2014|언어=en}}</ref>{{rp|9, Exercise 1.1.6}} 따라서, [[파라콤팩트]] 조건만을 추가하면 자동적으로 [[다양체]]를 이룬다.

'''힐베르트의 5번째 문제'''({{llang|en|Hilbert’s Fifth Problem}})의 해에 따르면, 임의의 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 [[파라콤팩트]] 위상군에 대하여, 이와 위상동형이자 군으로서 동형인 리 군이 존재한다.<ref name="Tao"/>{{rp|9, Theorem 1.1.13}} 또한, 이러한 리 군은 유일하다.<ref name="Tao"/>{{rp|38, Corollary 1.2.23}} 즉, 리 군을 정의할 때, [[다양체]]와 [[매끄러운 다양체]]를 굳이 구분할 필요가 없다.

또한, 리 군의 경우, 항상 해석다양체(추이 사상이 항상 [[해석함수]]인 [[매끄러운 다양체]])로 만들 수 있으며, 그 군 연산 또한 [[해석함수]]가 되게 할 수 있다.<ref name="Tao"/>{{rp|45, Exercise 1.2.21}}

두 리 군 사이의 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]은 항상 [[매끄러운 함수]]이자 [[해석함수]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|45, Exercise 1.2.21}}

== 분류 ==
[[연결 공간]]이 아닌 리 군 <math>G</math>는 다음과 같이 이산군과 [[연결 공간|연결]] 리 군으로 분해할 수 있다. <math>G_0</math>을 단위원을 포함하는 최대 연결 부분군이라고 하자. 그렇다면 <math>G/G_0</math>은 이산군이다. 다시 말해, 모든 리 군은 연결 리 군의 이산군에 대한 [[군의 확대|확대]]이다. 모든 연결 리 군은 또한 ([[범피복군]]을 취하여) [[단일 연결]] 리 군 <math>\tilde G</math>의 [[몫군]] <math>G_0=\tilde G/N</math> (여기서 <math>N</math>은 이산 중심 [[정규 부분군]])으로 나타내어진다. 따라서 리 군의 분류는 단일 연결 리 군의 분류로 귀결된다.

(유한 차원) 단일 연결 리 군은 그 [[리 대수]]로 완전히 결정된다. 리 대수는 그 가해 부분 대수와 단순 부분 대수로 분해된다. [[단순 리 군]]은 분류가 완료되었으나, [[가해 리 군]]의 분류는 매우 어렵다.

== 예시 ==

* 2×2 [[실수]] [[가역행렬|가역 행렬]]은 {{개행 금지|[[general linear group|GL(2, '''R''')]]}} 또는 GL <sub>2</sub> ( '''R''' )로 표시되는 곱셈 군을 형성한다.

<math>\operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} :\, \det A = ad-bc \ne 0\right\}.</math>이것은 4차원 [[콤팩트 공간|비콤팩트]] 실수 리 군이다. 이는 <math>\mathbb R^4</math>의 열린 부분집합이다. 이 군은 [[연결 공간|연결]]공간이 아니다. [[행렬식]]의 양수 값과 음수 값에 해당하는 두 개의 연결 성분이 있다.

* [[회전 (기하학)|회전]] 행렬은 {{개행 금지|SO(2, '''R''')}} {{개행 금지|GL(2, '''R''')}}, R )의 [[부분군|부분 군을]] 형성한다. 이는 그 자체로 리 군이다. 구체적으로 말하면 원과 형태가 [[미분동형사상|다른]] 1 [[원 (기하학)|차원]] 콤팩트 연결 리 군이다. 회전 각도 사용 <math>\varphi</math> 매개변수로서 이 군은 다음과 같이 [[파라메트릭 방정식|매개변수화]] 될 수 있다.

<math>\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) = \left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} :\, \varphi \in \mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.</math>각도의 덧셈은 {{개행 금지|SO(2, '''R''')}} 원소의 곱셈에 해당하고, 반대 각도를 취하는 것은 반전에 해당한다. 따라서 곱셈과 역산은 모두 미분 가능한 사상이다.

* [[아핀 그룹|1차원의 아핀 군]]은 2차원 행렬 리 군으로 구성된다. <math>2 \times 2</math> 실수 상부 삼각 행렬. 첫 번째 대각선 항목은 양수이고 두 번째 대각선 항목은 1이다. 따라서 군은 다음 형식의 행렬로 구성된다.

<math> A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b \in \mathbb{R}.</math>

=== 예시가 아님 ===
이제 특정 위상에서 리 군이 아닌 [[비가산 집합|셀 수 없이]] 많은 원소를 가진 군의 예를 제시한다. ''고정된'' [[무리수]] <math>a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q</math>에 대해,

<math>H = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) :\, \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right) :\, \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},</math>
[[파일:Irrational_line_on_a_torus.png|오른쪽|섬네일|<math>\mathbb T^2</math> 내부에 있는 군<math>H</math>의 일부분. 원소 <math>h\in H</math>의 작은 이웃들은 <math>H</math>의 부분 집합 위상에서 연결이 아니다.]]
는 [[원환면]] <math>\mathbb T^2</math>의 부분 군이다. <math>H</math>에 [[부분공간 위상|부분 공간 위상]]이 주어지면 이는 리 군이 아니다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Rossmann|2001|loc=Chapter 2.}}</ref>예를 들어 <math>h\in H</math>의 어떤 작은 [[근방|이웃]] <math>U</math>을 취한다면, <math>U</math>에 안에 있는 부분은 연결 공간이 아니다. 군 <math>H</math>는 나선의 이전 점에 도달하지 못한 채 원환체 주위를 반복적으로 감아서 <math>\mathbb T^2</math>의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 군을 형성한다.

그러나 군 <math>H</math>에 대해 두 점 <math>h_1,h_2\in H</math> 사이의 거리가 <math>h_1</math>와 <math>h_2</math>를 연결하는 ''군'' <math>H</math> ''안의'' 최단 경로의 길이로 정의되는 다른 위상이 주어질 수 있다.  이 위상에서는 <math>H</math>는 각 원소를 <math>H</math>의 정의에서 실수 <math>\theta</math>로 식별하여 실수 직선과 위상동형이 된다. 이 위상을 사용하면 <math>H</math>는 단지 실수 덧셈 군이므로 리 군이다.

위의 군 <math>H</math>는 리 군의 닫힌 집합이 아닌" 리 부분 군"의 예이다.

=== 행렬 리 군 ===
<math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>는 <math>\mathbb{C}</math> 성분 <math>n\times n</math> 가역 행렬들의 군을 나타낸다. <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>의 임의의 [[닫힌 부분군 정리|닫힌 부분 군]]은 리 군이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Corollary 3.45</ref> 이러한 종류의 리 군을 '''행렬 리 군'''이라고 한다. 리 군의 흥미로운 사례 대부분은 행렬 리 군으로 표현될 수 있기 때문에 홀, {{Sfn|Hall|2015}} 로스만,<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Rossmann|2001}}</ref> 및 스틸웰의 교재들을 포함하여 일부 교과서에서는 관심을 행렬 리 군으로 제한한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Stillwell|2008}}</ref> 행렬 리 군에 주의를 제한하면 리 대수와 지수 사상의 정의가 단순화된다. 다음은 행렬 리 군의 표준 예이다.

* <math>\mathbb{R}</math>과 <math>\mathbb{C}</math> 위의 [[특수선형군|특수 선형 군]]은 각각  <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})</math>과 <math>\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})</math>이다. 이들은 행렬식이 1인 <math>\mathbb{R}</math> 또는 <math>\mathbb{C}</math> 성분 <math>n\times n</math> 행렬들이 이루는 군이다.
* [[유니터리 군]] <math>\text{U}(n)</math>은  <math>U^*=U^{-1}</math>이 성립하는 <math>n\times n</math> 복소 행렬들이 이루는 군이고 특수 유니터리 군 <math>\text{SU}(n)</math>은 <math>\text{U}(n)</math>의 원소들 중에 <math>\det(U)=1</math>이 성립하는 행렬들이 이루는 군이다.
* [[직교군]] <math>\text{O}(n)</math>은 <math>R^\mathrm{T}=R^{-1}</math>이 성립하는 <math>n\times n</math> 실수 행렬들이 이루는 군이고 특수 직교군 <math>\text{SO}(n)</math>은 <math>\text{O}(n)</math>의 원소들 중 <math>\det(R)=1</math>인 행렬들이 이루는 군이다.

앞의 모든 예는 [[고전군|고전 군]]이라고 부른다.

=== 1과 2차원 ===
1차원 연결 리 군은 실수 직선 덧셈군 <math>\mathbb{R}</math>과 [[원군]] <math>S^1</math> 절대값 1인 복소수 곱셈군 밖에 없다. <math>S^1</math>군은 종종 <math>1\times 1</math> 유니터리 행렬군 <math>U(1)</math>과 같이 표시된다.

2차원에서 단일 연결 군은 리 대수로 분류된다. 2차원의 리 대수는 두 개뿐이다. 관련 단일 연결 리 군은 덧셈 군 <math>\mathbb{R}^2</math>과 1차원 아핀 군이다. 이전 절의 "첫 번째 예"에서 설명했다.

* [[특수 유니터리 군|군 SU(2)]]은 행렬식이 <math>1</math>인 <math>2\times 2</math> 유니터리 행렬들의 군이다. 위상적으로, <math>\text{SU}(2)</math>은 <math>3</math>-구 <math>S^3</math>이다; 군으로서 단위 [[사원수]] 군으로 식별될 수 있다.
* [[하이젠베르크 군]]은 <math>3</math>차원 연결 [[멱영군|멱영]] 리 군이다.  [[양자역학|양자 역학]]에서 핵심적인 역할을 한다.
* [[로런츠 군]]은 [[민코프스키 공간]]의 선형 [[등거리변환|등거리 사상]]들이 이루는 6차원 리 군이다.
* [[푸앵카레 군]]은 민코프스키 공간의 [[아핀 변환|아핀]] 등거리사상들이 이루는 10차원 리 군이다.
* [[G₂|''G'' <sub>2</sub>]], [[F₄|''F'' <sub>4</sub>]], [[E₆|''E'' <sub>6</sub>]], [[E₇|''E'' <sub>7</sub>]], [[E₈|''E'' <sub>8</sub>]] 유형의 [[예외적인 거짓말 그룹|예외적인 리 군]]은 각각  14, 52, 78, 133, 248 차원이다. [[단순한 거짓말 그룹|단순 리 군]]의 ABCD 열과 함께 예외 군은 단순 리 군 목록을 완성한다.
* [[심플렉틱 군]] <math>\text{Sp}(2n,\mathbb{R})</math>은 <math>\mathbb{R}^{2n}</math> 위의 ''[[심플렉틱 벡터 공간|심플렉틱 형식]]을'' 보존하는 <math>2n \times 2n</math> 행렬들이 이루는 <math>2n^2 + n</math> 차원 연결 리 군이다.

== 리 군과 리 대수 ==
모든 리 군에 기본 선형 공간이 항등원에서 리 군의 접공간이고 리 군의 국소 구조를 완전히 포착하는 리 대수를 연관시킬 수 있다. 대략적으로 리 대수의 원소를 항등원에 "[[무한소|무한히 가까운]]" 군의 원소로 생각할 수 있으며, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 무한소 원소들의 [[교환자]]와 관련된다. 추상적 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시한다.

* 선형 공간 '''<math>\R^n</math>'''의 리 대수는 다음과 같이 주어진 리 괄호 <math display="block">[u,v]:=0  </math>가 주어진 '''<math>\R^n</math>'''이다  (일반적으로 연결 리 군의 리 괄호가 0임과 리 군이 아벨군임이 동치이다.)
* 복소 가역 행렬들이 이루는 [[일반선형군|일반 선형 군]]

<math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>의 리 대수는 리 괄호가 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간 <math>\text{M}(n, \mathbb{C})</math>이다.<math display="block">[A,B]:=AB-BA</math>

* ''<math>G</math>가'' <math display="inline">\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>의 닫힌 부분 군인 경우 ''<math>G</math>''의 리 대수는 대략적으로 ''<math>1+\varepsilon m\in G</math>''인 <math display="inline">\text{M}(n, \mathbb{C})</math>의 행렬 ''<math>m</math>''으로 볼 수 있다. 여기서 ''<math>\varepsilon</math>''은 ''<math display="inline">\varepsilon^2=0</math>''인 무한소 양수이다.(물론 그러한 실수 ''<math>\varepsilon</math>''은 존재하지 않는다). 예를 들어, 직교 군 <math display="inline">\operatorname{O}(n, \mathbb{C})</math>은 <math display="inline">AA^T=1</math>인 행렬들로 구성되므로 리 대수는 ''<math display="inline">(1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^T=1 </math>''인 행렬 ''<math>m</math>''으로 구성된다. ''<math display="inline">\varepsilon^2=0</math>''이므로, 이는 ''<math display="inline">m+m^T=0</math>''과 동일하다.
* 앞의 설명은 다음과 같이 더욱 엄밀해질 수 있다. <math>\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})</math>의 닫힌 부분군 ''<math>G</math>''의 리 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다.<math display="block">\operatorname{Lie}(G) = \{ X \in M(n;\mathbb{C}) | \operatorname{exp}(tX) \in G \text{ for all } t \text{ in } \mathbb{\mathbb{R}} \} </math><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Helgason|1978|loc=Ch. II, § 2, Proposition 2.7.}}</ref> {{Sfn|Hall|2015}}여기서 exp(''tX'')는 [[행렬 지수 함수]]를 사용하여 정의된다. 그러면 ''<math>G</math>''의 리 대수는 대괄호 연산 <math display="inline">[X,Y]=XY-YX  </math>하에서 닫혀 있는 실수 선형 공간이라는 것을 알 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}} Theorem 3.20</ref>

행렬 군에 대해 위에 제공된 구체적인 정의는 다루기 쉬우나 몇 가지 사소한 문제가 있다. 이를 사용하려면 먼저 리 군을 행렬 군으로 표현해야 하지만 모든 리 군이 이런 방식으로 표현될 수는 없다. 더욱이 리 대수는 표현에 독립적인지 조차 분명하지 않다.<ref>But see {{괄호 없는 하버드 인용|Hall|2015}}, Proposition 3.30 and Exercise 8 in Chapter 3</ref> 이러한 문제를 해결하기 위해 리 군의 리 대수에 대한 일반적인 정의를 제공한다.

# 임의의 매끄러운 다양체 ''<math>M</math>''의 벡터장은 다양체의 매끄러운 함수 환의 [[미분 리 대수|미분]] ''<math>X</math>''로 볼 수 있으므로, 리 괄호 ''<math display="inline">[X,Y]:=XY-YX</math>''에 대해 리 대수이다. 왜냐하면 두 미분의 [[벡터장 리 괄호|리 괄호]]도 미분이기 때문이다.
# ''<math>G</math>가'' 다양체 ''<math>M</math>''에서 매끄럽게 작용하는 군인 경우 이는 벡터장에 작용하고 군에 의해 고정된 벡터장들의 선형 공간은 리 괄호 연산에 대해 닫혀 있으므로 리 대수를 형성한다.
# 다양체 ''<math>M</math>이'' 리 군 ''<math>G</math>''의 기본 공간인 경우에, 왼쪽 곱 ''<math display="inline">L_g(h)=gh</math>''으로 ''<math>G</math>''가 ''<math display="inline">G=M</math>''에 작용하는 구성을 한다. 이때 왼쪽 곱은 매끄러운 사상이다. 이는 왼쪽 불변 벡터장(''<math display="inline">(L_g)_*(X_h)=X_{gh}\quad \forall h\in G </math>''를 만족하는 벡터장. 여기서 ''L<sub>g</sub>''<sub>*</sub>는 ''L<sub>g</sub>''에서 정의된 밂을 나타냄)의 공간은 리 군에서 벡터장의 리 괄호가 주어진 리 대수임을 보여준다.
# 리 군의 항등원에 접한 임의의 접벡터는 접벡터를 다양체의 다른 점으로 왼쪽으로 변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장될 수 있다. 구체적으로, 항등식에서 접공간의 원소 ''v''의 왼쪽 불변 확장은 ''v''^<sub>''g''</sub>&nbsp;=&nbsp;''L<sub>g</sub>''<sub>*</sub>''v'' 로 정의되는 벡터장이다. 이는 [[접공간|항등원의 접공간]] ''T<sub>e</sub>G를'' 왼쪽 불변 벡터 체의 공간으로 식별하고 따라서 항등식의 접공간을 일반적으로 [[프락투어|Fraktur]]로 표시되는 ''<math>G</math>''의 리 대수라고 불리는 리 대수 <math>\mathfrak{g}</math>로 만든다. 리 괄호는 [''v'' ,&nbsp;''w'']&nbsp;=&nbsp;[''v''^,&nbsp;''w''^]<sub>''e''</sub>.

이 리 대수 <math>\mathfrak{g}</math>는 유한 차원이며 다양체 ''<math>G</math>''와 동일한 차원을 갖는다. ''<math>G</math>''의 리 대수는 ''<math>G</math>를'' "국소 동형"을 기준으로 결정한다. 여기서 두 리 군은 항등원 근처에서 동일하게 보이는 경우 '''국소적 동형'''이라고 한다. 리 군에 대한 문제는 먼저 리 대수에 대한 해당 문제를 해결함으로써 해결되는 경우가 많으며, 군에 대한 결과는 일반적으로 쉽게 유도된다. 예를 들어 단순 리 군은 일반적으로 해당 리 대수를 먼저 분류하여 분류된다.

왼쪽 불변 벡터장 대신 오른쪽 불변 벡터장을 사용하여 ''T<sub>e</sub>'' 에 대한 리 대수 구조를 정의할 수도 있다. 이것은 동일한 리 대수로 이어진다. 왜냐하면 ''G''  역 사상은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장 동일시 하는 데 사용될 수 있고 접공간 ''T<sub>e</sub>'' 에서 &#x2212;1에 해당하기 때문이다.

''T<sub>e</sub>''의 리 대수 구조는 다음과 같이 설명 될 수 있다. ''G'' &#xD7; ''G에서 교환자 연산 (x, y) → xyx <sup>&#x2212; 1</sup> y <sup>&#x2212; 1</sup>''

은 (e ,&nbsp;e)를 e로 보낸다. 그래서 미분은 ''T<sub>e</sub>G'' 위에서 [[이중선형 연산자|쌍선형 연산]]을 생성한다. 이 쌍선형 연산은 실제로 영 사상이지만 접공간의 적절한 식별 하에서 2차 도함수는 [[리 대수|리 괄호]]의 공리를 충족하는 연산을 생성하며 이는 왼쪽 불변 벡터장을 통해 정의된 것의 두 배와 같다.

== 역사 ==
리 군의 이론은 [[노르웨이]]의 수학자 [[소푸스 리]]가 1873년 경에 [[미분 방정식]]의 대칭성을 연구하기 위하여 "변환군"({{llang|de|Transformationsgruppe|트란스포르마치온스그루페}})이라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Ueber Gruppen von Transformationen|jfm=06.0093.01|저널=Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen|권=1874|쪽=529–542|날짜=1874|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002516802|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Theorie der Transformations-Gruppen. Erste Abhandlung|저널=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab|권=3|쪽=19–58|날짜=1876|jfm=08.0212.01|url=http://biodiversitylibrary.org/page/30035903|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung II|저널=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab|권=3|쪽=152–202|날짜=1876|jfm=08.0212.01|url=http://biodiversitylibrary.org/page/30036036|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Theorie der Transformations-Gruppen, III. Bestimmung aller Gruppen einer zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit|저널=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab|권=3|쪽=93–165|날짜=1878|jfm=10.0258.01|url=http://biodiversitylibrary.org/page/30036949|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Theorie der Transformations-Gruppen. Abhandlung IV|저널=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab|권=3|쪽=375–460|날짜=1878|jfm=10.0260.01|url=http://biodiversitylibrary.org/page/30037243|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Sophus|성=Lie|저자링크=소푸스 리|제목=Theorie der Transformations-Gruppen V|저널=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab|권=4|쪽=232–261|날짜=1879|jfm=11.0258.02|url=http://biodiversitylibrary.org/page/29869034|언어=de}}</ref>
그러나 리의 논문들은 (처음 하나를 제외하고) 모두 독일 저널이 아닌 [[노르웨이]] 저널에 출판되었기 때문에, 수학계에서 별다른 관심을 받지 못하였다. 1884년에 젊은 독일 수학자 프리드리히 엥겔({{llang|de|Friedrich Engel}})이 리의 이론에 관심을 갖게 되었다. 리와 엥겔은 리 이론에 대한 총 3권의 책 《변환군론》({{llang|de|Theorie der Transformationsgruppen}})을 1888년~1893년에 독일어로 출판하였고,<ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자링크=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Erster Abschnitt | publisher = Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1888 | location = [[라이프치히]] | jfm = 20.0368.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation01liesrich | 언어 = de}}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus |저자링크=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1890 | location = [[라이프치히]] | jfm=23.0364.01 | url = https://archive.org/details/theotransformation02liesrich | 언어 = de }}</ref><ref>{{서적 인용 | last = Lie | first = Sophus | 저자링크=소푸스 리 | 이름2=Friedrich | 성2= Engel | title = Theorie der Transformationsgruppen. Dritter und Letzter Abschnitt | publisher =Druck und Verlag von B. G. Teubner | year = 1893 | location = [[라이프치히]] | jfm = 25.0623.01 | url =https://archive.org/details/theotransformation03liesrich |언어 = de }}</ref> 이후 리 이론은 수학에서 중요한 위치를 차지하게 되었다.

1888년~1890년 동안 [[빌헬름 킬링]]은 리 군과 리 대수의 개념을 독자적으로 재발견하였고, [[반단순 리 군]]의 구조론을 제창하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|저자링크=빌헬름 킬링|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Erster Theil|저널=Mathematische Annalen|권=31|호=2|날짜=1888|쪽=252–290|doi=10.1007/BF01211904|jfm=20.0368.03|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|저자링크=빌헬름 킬링|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Zweiter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=33|호=1|날짜=1889|쪽=1–48|doi=10.1007/BF01444109|jfm=20.0368.03|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|저자링크=빌헬름 킬링|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Dritter Theil|저널=Mathematische Annalen|권=34|호=1|날짜=1889|쪽=57–122|doi=10.1007/BF01446792|jfm=21.0376.01|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Wilhelm|성=Killing|저자링크=빌헬름 킬링|제목=Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen. Vierter Theil (Schluss)|저널=Mathematische Annalen|권=36|호=2|날짜=1890|쪽=161–189|doi=10.1007/BF01207837|jfm=22.0376.01|언어=de}}</ref> 1893년에 리의 제자 아르튀르 트레스({{llang|fr|Arthur Tresse}})는 "리 군"({{llang|fr|groupe de Lie}})이라는 용어를 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|title=Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations|이름=Arthur|성=Tresse|journal=Acta Mathematica|volume=18|year=1893|pages=1–88|doi=10.1007/bf02418270|issn=0001-5962|jfm=25.0641.01|url=http://poincare.unile.it/vitolo/tempo/Tresse.pdf|언어=fr|access-date=2015-09-08|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303170940/http://poincare.unile.it/vitolo/tempo/Tresse.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|3}} [[엘리 카르탕]]은 1894년 박사 학위 논문에서 킬링의 구조론을 개량·정리하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref> 카르탕은 1930년에 카르탕 닫힌 부분군 정리를 증명하였다.<ref name="Cartan1930"/>{{rp|§26}}

[[헤르만 바일]]은 [[반단순 리 군]]의 [[기약 표현]]들을 [[무게 (표현론)|무게]]로서 분류하였고, 이에 대한 [[바일 지표 공식]]을 증명하였으며, 이를 [[양자역학]]에 응용하였다. 그 뒤 [[클로드 슈발레]]와 [[하리시찬드라 메로트라|하리시찬드라]] 역시 리 군의 이론에 큰 공헌을 하였고, 이는 이후 [[로버트 랭글랜즈]]의 [[랭글랜즈 프로그램]]으로 이어졌다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주|3}}
* {{서적 인용|제목=Lie 군의 표현론|저자=양재현|출판사=민음사|날짜=1998-11-25|isbn=89-374-3627-2|url=http://minumsa.minumsa.com/book/1024/|언어=ko}}
* {{서적 인용|first=John Frank|last= Adams|title=Lectures on Lie groups|총서=Chicago Lectures in Mathematics|isbn= 0-226-00527-5|날짜=1969|출판사=University of Chicago Press|location=Chicago|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Daniel|성=Bump|제목=Lie groups|isbn=978-1-4614-8024-2 |총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=225|판=2판|날짜=2013|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-4614-8024-2|zbl=1279.22001|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Chevalley|first=Claude|저자링크=클로드 슈발레|title=Theory of Lie groups|isbn=0-691-04990-4|날짜=1999|publisher=Princeton University Press|location=Princeton|zbl=0946.22001|판=15판|기타=Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton Mathematical Series 8|url=http://press.princeton.edu/titles/284.html |언어=en}}
* {{서적 인용|성=Hall|이름=Brian C.|제목=Lie Groups, Lie algebras, and representations: an elementary introduction|출판사=Springer|날짜=2003|isbn=978-0-387-40122-5|arxiv=math-ph/0005032|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=222|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-0-387-21554-9 |언어=en}}
* {{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Rossmann|first= Wulf |title=Lie groups: an introduction through linear groups|series= Oxford Graduate Texts in Mathematics|publisher= Oxford University Press|isbn= 978-0-19-859683-7|날짜=2001 |zbl=0989.22001|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Serre|이름=Jean-Pierre|저자링크=장피에르 세르|제목=Lie algebras and Lie groups: 1964 lectures given at Harvard University|판=2판|출판사=Springer|날짜=1992|doi=10.1007/978-3-540-70634-2|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1500|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-55008-2 |언어=en}}
* {{서적 인용|성=Steeb|이름=Willi-Hans|제목=Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra|판=2판|출판사=World Scientific|날짜=2007-07|isbn=978-981-270-809-0|url=http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6515 |언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Introduction to Lie groups, isometric and adjoint actions and some generalizations|이름=Marcos M.|성=Alexandrino|공저자=Renato G. Bettiol|arxiv=0901.2374|bibcode=2009arXiv0901.2374A|날짜=2010-08 |언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02 |언어=en}}

=== 리 이론의 역사 ===
* {{서적 인용 | last=Borel | first=Armand | authorlink=아르망 보렐 | title=Essays in the history of Lie groups and algebraic groups | url=http://ams.org/bookstore-getitem/item=HMATH-21 | publisher=American Mathematical Society/London Mathematical Society | 총서=History of Mathematics | 권=21 | isbn=978-0-8218-0288-5 | mr=1847105 | zbl=1087.01011 | year=2001 | 언어=en | 확인날짜=2013-02-07 | 보존url=https://web.archive.org/web/20141106010410/http://www.ams.org//bookstore-getitem/item=HMATH-21 | 보존날짜=2014-11-06 | url-status=dead }}
* {{서적 인용 | last=Hawkins | first=Thomas | title=Emergence of the theory of Lie groups: An Essay in the History of Mathematics 1869–1926 | doi=10.1007/978-1-4612-1202-7 | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | 기타=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | isbn=978-0-387-98963-1 | mr=1771134 | zbl = 0965.01001 | year=2000 |언어=en}}

=== 응용 ===
* {{서적 인용|이름=Howard|성=Georgi|저자링크=하워드 조자이|제목=Lie algebras in particle physics from isospin to unified theories|날짜=1999-10|isbn=978-0738202334|출판사=Westview Press|위치=[[볼더 (콜로라도주)|Boulder, Colorado]]|url=http://www.westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334|총서=Frontiers in Physics|권=54|zbl=0505.00036|판=2판|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.westviewpress.com/book.php?isbn=9780738202334 }}
* {{서적 인용|제목=Group theory in physics: an introduction to symmetry principles, group representations, and special functions in classical and quantum physics|이름=Wu-Ki|성=Tung|출판사=World Scientific|위치=[[싱가포르|Singapore]]|isbn=978-9971-966-57-7|날짜=1985-08|zbl=0952.81500 |언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[아벨 군]]
* [[리 대수]]
* [[대수군]]
* [[위상군]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie group}}
* {{eom|title=Lie group, p-adic}}
* {{eom|title=Analytic group}}
* {{매스월드|id=LieGroup|title=Lie group}}
* {{매스월드|id=CompactLieGroup|title=Compact Lie group}}
* {{웹 인용|제목= 23. 리 군(Lie group), 리 대수(Lie algebra) |url=https://www.youtube.com/watch?v=K_yB_-FEXlk|출판사=[[한양대학교]]|날짜=2012-11-29|저자=신상진|형식=비디오|언어=ko}}
* {{수학노트|title=리군과 리대수}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/250292/given-a-group-g-how-many-topological-lie-group-structures-does-g-have|제목=Given a group ''G'', how many topological/Lie group structures does ''G'' have?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군| ]]