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'''H-공간'''({{lang|en|H-space}})과 '''쌍대 H-공간'''({{lang|en|co-H-space}})은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

== 정의 ==

위상 공간 <math>X</math>가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 연속 함수 <math>\mu \colon X \times X \to X</math>
* [[항등원]] <math>e \in X</math>: 모든 <math>x \in X</math>에 대해 <math>x \mapsto \mu(x, e)</math>와 <math>x \mapsto \mu(e, x)</math>가 모두 항등 함수 <math>\operatorname{id}_x</math>와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 [[항등원]]이 있는 [[마그마 (수학)|마그마]]이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 [[결합 법칙]]이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 '''H-군'''({{lang|en|H-group}})이라 부른다.

=== 쌍대 H-공간 ===

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 연속 함수 <math>\mu \colon X \to X \vee X</math>
* [[항등원]] <math>e \in X</math>

== 예와 성질 ==

=== 위상군 ===

[[위상군]] <math>G</math>와 그 연산 <math>G \times G \to G</math>는 그 자체로 H-군을 이룬다.

=== 초구 ===

[[초구]]의 경우 H-공간이 되는 것은 <math>\mathbb S^0</math>, <math>\mathbb S^1</math>, <math>\mathbb S^3</math>, <math>\mathbb S^7</math>밖에 없다. <math>\mathbb S^7</math>을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 [[리 군]]을 이룬다.

<math>n \ge 1</math>일 경우 초구 <math>\mathbb S^n</math>에 다음과 같은 [[CW 복합체]] 구조를 줄 수 있다:
* 0차원 세포 1개 <math>\bullet</math>. 이는 <math>\mathbb S^n</math>의 적도 위의 한 점이다.
* <math>n-1</math>차원 세포 1개. 즉, <math>n-1</math>차원 뼈대는 [[초구]] <math>\mathbb S^{n-1}</math>이다. 이는 <math>\mathbb S^n</math>의 [[적도]]에 해당한다.
* <math>n</math>차원 세포 2개. 이들은 각각 <math>\mathbb S^n</math>의 북반구와 남반구에 대응한다.
적도에 있는 <math>n-1</math>차원 세포 <math>\mathbb S^{n-1}\hookrightarrow\mathbb S^n</math>에 대한 [[몫공간]] <math>\mathbb S^n/\mathbb S^{n-1}</math>을 취하면 두 초구의 [[쐐기합]]을 얻는다.
:<math>w_n\colon \mathbb S^n\twoheadrightarrow\mathbb S^n/\mathbb S^{n-1}\cong\mathbb S^n\vee\mathbb S^n</math>
이 [[몫공간]] 함수 <math>w_n</math>을 연산자로 삼아서 <math>\mathbb S^n</math> 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

=== 현수 공간과 고리 공간 ===

일반적으로 임의의 [[점을 가진 공간]] <math>X</math>에 대하여 그 [[축소 현수]] <math>\Sigma X</math>는 쌍대 H-공간을 이룬다. <math>\Sigma X = X\wedge\mathbb S^1 = (X\times\mathbb S^1)/(X\vee\mathbb S^1)</math> 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

:<math>(\operatorname{id}_X\wedge w_1)\colon X\wedge\mathbb S^1\to X\wedge(\mathbb S^1\vee\mathbb S^1)\cong(X\wedge\mathbb S^1)\vee(X\wedge\mathbb S^1)</math>

여기서 <math>\wedge</math>는 [[분쇄곱]], <math>\vee</math>는 [[쐐기합]]이고, <math>w_1</math>은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 <math>\Sigma \mathbb S^{n-1}\simeq\mathbb S^n</math>이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 [[고리 공간]] <math>\Omega X</math>는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, <math>\Omega X</math> 위의 곱셈은 다음과 같다.
:<math>m\colon (\gamma,\gamma')\mapsto (\gamma\vee\gamma')\circ w_1</math>
여기서
:<math>\gamma,\gamma'\colon\mathbb S^1\to X</math>
:<math>\gamma\vee\gamma'\colon\mathbb S^1\vee\mathbb S^1\to X</math>
:<math>w_1\colon\mathbb S^1\to\mathbb S^1\vee\mathbb S^1</math>
이다.

=== 에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간 ===

[[아벨 군]] <math>G</math> 및 자연수 <math>n</math>에 대하여, [[에일렌베르크-매클레인 공간]] <math>K(G,n)</math>는 다른 공간의 고리 공간이다.
:<math>K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)</math>
그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 <math>K(G,n)</math>은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 [[유한 생성 아벨 군]] <math>G</math> 및 <math>n\ge3</math>의 경우 [[피터슨 공간]] <Math>P(G,n)</math>는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.
:<math>P(G,n)\simeq\Sigma P(G,n-1)</math>
그러므로 피터슨 공간 <math>P(G,n)</math>은 쌍대 H-공간을 이룬다.

=== 호모토피류의 연산 ===

[[호모토피 군]]은 초구에서 공간 <math>X</math>으로 가는 호모토피류 <math>[\mathbb S^n,X]_\bullet</math>로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 <math>h \colon \mathbb S^n \vee \mathbb S^n \to \mathbb S^n</math>에 의해 정의된다:
: <math>[f] \cdot [g] \colon x \mapsto (f \vee g)(h(x))</math>

일반적으로, 쌍대 H-공간 <math>(X, \mu)</math>에서 공간 <math>Y</math>로 가는 호모토피류 <math>[X,Y]_\bullet</math> 위의 [[이항 연산]]을 다음과 같이 정의할 수 있다.
: <math>[f] \cdot [g] \colon x \mapsto (f \vee g)(\mu(x))</math>
거꾸로 공간 <math>X</math>에서 H-공간 <math>(Y, \mu)</math>로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>[f]\cdot[g] \colon x \mapsto \mu(f(x),g(x))</math>

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 <math>[X,Y]_\bullet</math>은 [[군 (수학)|군]]의 구조를 가진다.

[[에크만-힐튼 쌍대성]]에 의해 [[축소 현수]] <math>\Sigma</math>와 [[고리 공간]] <math>\Omega</math>는 서로 [[수반 함자]]를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:
: <math>[X,\Omega Y]_\bullet \cong [\Sigma X,Y]_\bullet</math>

특히, <math>\Sigma \mathbb S^{n-1} \cong \mathbb S^n</math>이므로 호모토피 군에 대해 <math>\pi_{n-1}(\Omega X) \cong \pi_n(X)</math>가 성립한다.

== 역사 ==

[[장피에르 세르]]가 [[하인츠 호프]]의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.<ref>J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[위상군]]
* [[체흐 코호몰로지]]
* [[호프 대수]]
== 참고 문헌 ==

<references/>

[[분류:호모토피 이론]]