{{위키데이터 속성 추적}}
{{Gallery|File:Sine voltage.svg|[[사인파]]의 진폭이 다양한 방식으로 표현되어 있다. (1)은 일반적인 첨두치<sub>peak</sub> 진폭을, (2)는 최대치와 최저치 사이의 차이를, (3)은 [[제곱평균제곱근]]을, (4)는 주기를 나타낸다.|File:Phase shift.svg|{{mvar|θ}}만큼 위상차가 생긴 모습|width=150|height=150|lines=2|align=right}}'''푸리에 변환'''({{lang|en|Fourier transform}}, '''FT''')은 시간이나 공간에 대한 [[함수]]를 시간 또는 공간 [[주파수]] 성분으로 분해하는 변환을 말한다. 푸리에 변환은 이 변환으로 나타난 [[주파수 영역]]에서 함수를 표현한 결과물을 가리키는 용어로도 종종 사용된다. 이 변환은 [[조제프 푸리에]]가 [[전열|열전도]]에 대한 연구에서 [[열 방정식]]의 해를 구할 때 처음 사용되었다.

시간에 대한 함수를 푸리에 변환했을 때 얻어지는 [[복소함수]]에서 각 주파수에서의 진폭은 원래 함수를 구성하던 그 주파수 성분의 크기를, [[편각 (수학)|편각]]은 기본 사인 곡선과의 [[위상|위상차]]를 나타낸다. 푸리에 변환된 결과물로부터 피변환함수를 복원할 수도 있고, 이를 증명하는 정리를 [[푸리에 역변환 정리]]라고 한다.

원래 함수에 적용할 수 있는 선형 연산은 주파수 영역에도 그 대응되는 연산이 존재하는데, 때때로 이 대응되는 선형 연산이 더 간단할 수도 있다. 시간 영역에서 [[미분]]은 주파수 영역에서는 주파수와의 곱셈으로 나타나기 때문에 [[미분방정식]]을 푸리에 공간으로 옮겨와 푸는 경우도 종종 발생한다. 또 시간 영역에서의 [[합성곱]]은 주파수 영역으로 옮겨오면 평범한 곱셈과 같다. 이런 경우에는 원 함수를 푸리에 공간으로 옮겨와 여기서 선형연산을 적용한 뒤, 다시 역변환을 통해 원 함수를 복원하는 방식으로 연산을 더 쉽게 적용할 수 있다. 이처럼 더 단순한 함수와 연산은 [[조화해석학]] 분야에서 체계적으로 연구되고 있으며 현대 수학에 폭 넓게 응용되고 있다.

시간 영역에서는 좁은 지역에서 표현되는 함수를 주파수 영역으로 푸리에 변환하면 함수가 넓게 퍼지게 된다. 이를 [[불확정성 원리]]라 한다. 그러나 [[가우스 함수]]는 푸리에 변환을 해도 똑같이 가우스 함수로 나타난다. 이 가우스 함수는 [[확률 이론]]과 [[통계학]]에서 뿐만 아니라 [[정규 분포]]를 나타내는 물리 현상에 대한 연구에서 매우 중요하게 다뤄진다. [[조제프 푸리에]]가 푸리에 변환을 통해 구한 [[열 방정식]]의 해가 바로 가우스 함수의 꼴을 띄었다.

엄밀히 말하면 푸리에 변환은 일종의 [[적분 변환]]으로, [[리만 적분|리만]] [[이상적분]]이어서 더 복잡한 적분 이론을 요구하는 응용분야에서는 적합하지 않을 수 있다. 대표적으로 많은 경우 [[디랙 델타 함수]]를 일종의 함수로 푸리에 변환에 응용하지만, 수학적으로 엄밀한 관점을 취하면 더 심도있는 고찰이 필요하다.<ref group="주해">{{harvtxt|Vretblad|2000}}는 [[함수해석학]]이나 [[분포 (해석학)|분포 이론]] 등 깊은 수학적 개념들을 도입하지 않고 수학적으로 완전한 설명을 해냈다.</ref>

푸리에 변환은 유클리드 공간의 변수들로 구성된 함수로 일반화할 수도 있다. 즉, 3차원 공간의 함수를 3차원 공간의 운동량에 대한 함수로 바꿀 수도 있고, 혹은 공간과 시간의 함수를 [[사차원 운동량|4차원 운동량]]에 대한 함수로 변환할 수 있다. 이것은 [[파동]]에 대한 연구나 [[양자역학]]에서뿐 아니라 공간이나 운동량 또는 둘 모두를 함수로 표현할 때 파동 공식 표현이 중요한 분야에서 공간에서의 푸리에 변환이 매우 자연스럽게 사용되도록 하였다. 일반적으로 푸리에 공식이 적용가능한 함수는 복소수이며, 벡터 값을 가질 수 있다. 집합군을 이용한 함수에서는 더 많은 형태가 가능하다. {{math|'''ℝ'''}} 또는 {{math|'''ℝ'''<sup>''n''</sup>}} (덧셈에 닫혀있는 집합군으로 보여지는)의 원래의 푸리에 변환 외에, 알려져 있듯이 [[이산시간 푸리에 변환]](DTFT, 집합 [[정수|{{math|'''ℤ'''}}]])과 [[이산 푸리에 변환]](DFT, 집합 [[순환군|{{math|'''ℤ''' mod ''N''}}]]), [[푸리에 급수]], 원형 푸리에 변환(집합 [[원군|{{math|''S''<sup>1</sup>}}]], 단위원 = 끝점이 같은 유한 폐구간)을 포함한다. 마지막 것은 보통 [[주기함수]]에서 다루어진다. [[고속 푸리에 변환]]은 DFT를 계산하기 위한 하나의 알고리즘이다.

== 정의 ==
함수 <math>x(t)</math>가 [[복소수]] 범위에서 정의되어 있고 [[르베그 적분]]이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 <math>X(\xi)</math>는 다음과 같이 정의된다.

:<math>X(\xi) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-2\pi i \xi t}\,dt</math> (<math>\xi</math>는 모든 실수 범위)

여기서 일반적으로 독립변수 <math>t</math>는 시간을 나타내고, 변환변수 <math>\xi</math>는 주파수를 나타낸다.

<math>X(\xi)</math> 대신에 <math>\hat{x}(\xi)</math> 또는 <math>\mathcal{F}\{x\}(\xi)</math>와 같은 표기를 사용하기도 한다.

== 소개 ==
[[파일:Fourier_transform_time_and_frequency_domains_(small).gif|오른쪽|프레임|영상의 초반부에 {{mvar|f}} 가 [[푸리에 급수]]로 분해되어 파란색으로 표시된다. 이 사인파들을 주파수에 따라 나열하면 영상의 후반부에 나타나는 것처럼 [[디랙 델타 함수]]의 꼴로 표시된다. 이 때 주파수 영역에서의 함수를 {{math|''f̂''}} 로 표시한다.]]
[[푸리에 급수]]에서 출발하자. 푸리에 급수에서는 복잡한 모양의 [[주기함수]]를 사인과 코사인으로 분해한다. 푸리에 변환은 일반적인 함수의 주기를 [[무한|무한대]]로 간주하여 접근한다.<ref>{{harvnb|Taneja|2008|p=192}}.</ref>

[[오일러 공식]]을 통해 {{math|''e''<sup>2π''iθ''</sup> {{=}} cos(2π''θ'') + ''i'' sin(2π''θ'')}}로 나타낼 수 있어서 푸리에 급수의 기본 함수를 삼각함수가 아닌 {{math|''e''<sup>2π''iθ''</sup>}}로 사용한다. 이를 통해 공식을 더 간단하게 표시할 수 있다는 이점이 있다. [[삼각함수]]를 복소[[지수 함수|지수함수]]로 나타낼 경우 푸리에 계수들도 복소수의 값을 가져야 한다. 이 때 푸리에 계수의 진폭은 원래 함수를 구성하던 그 주파수 성분의 크기를, [[편각 (수학)|편각]]은 기본 사인 곡선과의 [[위상|위상차]]를 나타낸다. 이 정의를 사용하면 주파수가 음의 값을 가지는 경우도 발생한다. 따라서 푸리에 변환에서의 주파수는 "시간당 몇 회 진동하는지"에 대한 개념으로만 설명될 수는 없고 하나의 [[해석적 확장|확장]]된 개념이다.

== 푸리에 급수 ==
* [[DST (수학)|DST]] [[이산 사인 변환]]
* [[이산 코사인 변환|DCT]] 이산 코사인 변환
* [[FFT]] 고속 푸리에 변환
* [[DFT]] 이산 푸리에 변환

== 푸리에 적분(Fourier Integral) ==
:<math>f(x) = \int_{0}^\infty A(w)\cos wx dw + B(w)\sin wx dw</math> (<math> x</math>는 모든 음이 아닌 실수 범위)
여기서 A(w)와 B(w)는 다음과 같다.
:<math>A(w) = {1\over\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos wt dt</math>
:<math>B(w) = {1\over\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin wt dt</math>

== 푸리에 변환의 단점 ==
시간에 대한 연속성이 고려되지 않음으로써 많은 문제가 야기된다. 이러한 단점을 보완하기 위해 [[DTFT]], STFT, [[웨이블릿 변환]], [[가버변환]], [[MFCCs]] 등등이 연구되었다.

== 같이 보기 ==
* [[라플라스 변환]]
* [[푸리에 급수]]

== 주해 ==
{{각주|group=주해}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.inue.uni-stuttgart.de/lehre/studentische_arbeiten/2015/tB_BF_Saleh-ValenzuelaModel.html Saleh-ValenzuelaModel]

{{전거 통제}}

[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:적분 변환]]
[[분류:조제프 푸리에]]