{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Snowflake8.png|섬네일|이 [[눈 (날씨)|눈]] 결정의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]은 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_6</math>이다.]]
[[파일:Dihedral8.png|550px|섬네일|right|<math>\operatorname{Dih}_8</math>은 정팔각형의 대칭군이다.]]
[[군론]]에서 '''정이면체군'''(正二面體群, {{llang|en|dihedral group}})은 [[정다각형]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]인 [[유한군]]이다.

== 정의 ==
<math>H</math>가 [[아벨 군]]이라고 하자. '''일반화 정이면체군'''({{llang|en|generalized dihedral group}}) <math>\operatorname{Dih}(H)</math>는 다음과 같은 [[반직접곱]]이다.
:<math>\operatorname{Dih}(H)\cong H\rtimes_\phi(\mathbb Z/2)</math>
여기서 <math>\mathbb Z/2=\{0,1\}</math>는 크기가 2인 유일한 [[군 (수학)|군]]이며, [[군의 작용]] <math>\phi\colon\mathbb Z/2\times H\to H</math>는 다음과 같다.
:<math>\phi_0\colon h\mapsto h</math>
:<math>\phi_1\colon h\mapsto -h</math>
'''정이면체군'''
:<math>\operatorname{Dih}_n=\operatorname{Dih}(\mathbb Z/n)</math>
은 [[순환군]] <math>\mathbb Z/n</math>에 대한 일반화 정이면체군이다. '''무한 정이면체군'''({{llang|en|infinite dihedral group}})
:<math>\operatorname{Dih}_\infty=\operatorname{Dih}(\mathbb Z)</math>
은 [[무한 순환군]] <math>\mathbb Z</math>에 대한 일반화 정이면체군이다.

=== 표시 ===
정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_n</math>은 다음과 같은 [[군의 표시|표시]]를 갖는다.
:<math>\operatorname{Dih}_n\cong\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle</math>
정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_n</math>은 간혹 <math>D_n</math>이나 <math>D_{2n}</math>으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_\infty</math>은 다음과 같은 표시를 갖는다.
:<math>\operatorname{Dih}_{\infty}\cong\langle r,s|s^2=(rs)^2=1\rangle</math>

== 성질 ==
=== 일반화 정이면체군 ===
일반적으로, 일반화 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}(H)</math>의 크기는 <math>H</math>의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}(H)=H\rtimes(\mathbb Z/2)</math>의 원소들은 모두 <math>(h,0)</math> 또는 <math>(h,1)</math>의 꼴이다 (<math>h\in H</math>). 이 경우, <math>(h,0)</math> 꼴의 원소들의 집합은 <math>H</math>와 동형인 <math>\operatorname{Dih}(H)</math>의 [[부분군의 지표|지표]]가 2인 [[정규 부분군]]을 이루며, <math>(h,1)</math> 꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉, <math>(h,1)\cdot(h,1)=(0,0)</math>이다.

<math>\operatorname{Dih}(H)</math>의 [[켤레류]]들은 다음과 같은 꼴이다. 모든 <math>h\in H</math>에 대하여,
* <math>\{(h,0),(-h,0)\}</math>
* <math>\{(h+2k,0)|k\in H\}</math>

=== 유한 정이면체군 ===
평면에서, [[정다각형|정<math>n</math>각형]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]은 <math>\operatorname{Dih}_n</math>이다. 여기서, [[군의 표시]]에서 <math>r</math>는 (반시계방향으로) <math>2\pi/n</math> [[라디안]] [[회전 대칭]]에, <math>s</math>는 고정된 축에 대한 [[반사 대칭]]에 대응된다.

정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_n</math>은 총 <math>2n</math>개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.
:<math>1,r,r^2,\dots,r^{n-1},s,sr,sr^2,\dots,sr^{n-1}</math>

작은 정이면체군들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 군 !! 다른 이름
|-
| <math>\operatorname{Dih}_0</math> || [[자명군]] 0
|-
| <math>\operatorname{Dih}_1</math> || 2차 [[순환군]] <math>\mathbb Z/2</math>
|-
| <math>\operatorname{Dih}_2</math> || [[클라인 4원군]] <math>\mathbb Z/2\oplus\mathbb Z/2</math>
|-
| <math>\operatorname{Dih}_3</math> || [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}_3</math>
|-
| <math>\operatorname{Dih}_6</math> || <math>\operatorname{Dih}_3\times(\mathbb Z/2)</math>
|}
<math>n\ge3</math>인 경우, <math>\operatorname{Dih}_n</math>은 [[아벨 군]]이 아니다.

만약 <math>n\equiv2\pmod4</math>라면,
:<math>\operatorname{Dih}_n\cong\operatorname{Dih}_{n/2}\times(\mathbb Z/2)</math>
이다.

<math>\operatorname{Dih}_n</math>의 [[자기 동형군]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Aut}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
1 & n=0,1 \\
\operatorname{Sym}_3 & n=2 \\
\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times & n\ge3
\end{cases}
</math>
여기서 <math>(-)^\times</math>는 [[가역원군]]이며, 우변의 [[반직접곱]]의 군의 작용은 <math>(\mathbb Z/n)^\times</math>와 <math>\operatorname{Aut}(\mathbb Z/n)</math> 사이의 표준적인 동형이다. 특히, <math>n\ge3</math>인 경우 <math>\operatorname{Dih}_n</math>의 [[자기 동형 사상]]의 수는 <math>n\phi(n)</math>이다. 여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다. 구체적으로, <math>(a,b)\in\mathbb Z/n\rtimes(\mathbb Z/n)^\times</math>는 <math>s</math>를 <math>sr^a</math>로, <math>r</math>를 <math>r^b</math>로 보내는 자기 동형 사상에 대응한다.

<math>\operatorname{Dih}_n</math>의 [[중심 (대수학)|중심]]·[[내부 자기 동형군]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
1 & n=0\lor(n\ne1\land n\equiv1\pmod2) \\
\mathbb Z/2 & n=1\lor(n\ne0\land n\equiv0\pmod2)
\end{cases}
</math>
:<math>\operatorname{Inn}(\operatorname{Dih}_n)\cong\begin{cases}
\operatorname{Dih}_n & n=0\lor(n\ne1\land n\equiv1\pmod2) \\
\operatorname{Dih}_{n/2} & n=1\lor(n\ne0\land n\equiv0\pmod2)
\end{cases}
</math>
구체적으로, 만약 <math>n</math>이 짝수라면, <math>\pi</math> 라디안 회전 대칭 <math>r^{n/2}</math>은 <math>\operatorname{Dih}_n</math>의 원소이며, 모든 원소와 가환한다.

=== 무한 정이면체군 ===
무한 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_\infty</math>는 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이다.

무한 정이면체군 <math>\operatorname{Dih}_\infty</math>는 다음과 같은 [[자유곱]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname{Dih}_\infty=(\mathbb Z/2)*(\mathbb Z/2)</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Dihedron group}}
* {{매스월드|id=DihedralGroup|title=Dihedral group}}
** {{매스월드|id=DihedralGroupD2|title=Dihedral group D_2}}
** {{매스월드|id=DihedralGroupD3|title=Dihedral group D_3}}
** {{매스월드|id=DihedralGroupD4|title=Dihedral group D_4}}
** {{매스월드|id=DihedralGroupD5|title=Dihedral group D_5}}
** {{매스월드|id=DihedralGroupD6|title=Dihedral group D_6}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group|제목=Dihedral group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D8|제목=Dihedral group:D8|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D10|제목=Dihedral group:D10|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D12|제목=Dihedral group:D12|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D14|제목=Dihedral group:D14|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D16|제목=Dihedral group:D16|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D18|제목=Dihedral group:D18|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D20|제목=Dihedral group:D20|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D24|제목=Dihedral group:D24|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Dihedral_group:D32|제목=Dihedral group:D32|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[군 (수학)|군]]
* [[군론]]
* [[대칭군 (군론)]]

[[분류:유한군]]