{{위키데이터 속성 추적}}
'''원 안에 원 채우기'''는 단위 원으로 가능한 한 작은 큰 [[원 (기하학)|원]]을 채우는 것이 목적인 이차원 [[채우기 문제]]이다.

최소 해(여러 최소 해가 존재하는 경우, 한가지 변형만을 표에 나타냄)는 다음과 같다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www2.stetson.edu/~efriedma/cirincir/ |제목=Erich Friedman, ''Circles in Circles'' on Erich's Packing Center |확인날짜=2017-09-12 |보존url=https://web.archive.org/web/20200318183745/https://www2.stetson.edu/~efriedma/cirincir/ |보존날짜=2020-03-18 |url-status=dead }}</ref>
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
! 단위 원의 개수
! 최소 원의 반경
! 밀도
! 최적성
! 그림
|- align="center"
| 1
| 1
| 1.0000
| 최적임이 자명함.
|[[파일:Disk_pack1.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 2
| 2
| 0.5000
| 최적임이 자명함.
|[[파일:Disk_pack2.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 3
| <math>1+\frac{2}{3} \sqrt{3}</math> ≈ 2.154...
| 0.6466...
| 최적임이 자명함.
|[[파일:Disk_pack3.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 4
| <math>1+\sqrt{2}</math> ≈ 2.414...
| 0.6864...
| 최적임이 자명함.
|[[파일:Disk_pack4.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 5
| <math>1+\sqrt{2(1+\frac{1}{\sqrt{5}})}</math> ≈ 2.701...
| 0.6854...
| 최적임이 자명함. 1968년에 Graham에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Graham68" />
| [[파일:Disk_pack5.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 6
| 3
| 0.6667...
| 최적임이 자명함. 1968년에 Graham에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Graham68"/>
| [[파일:Disk_pack6.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 7
| 3
| 0.7778...
| 최적임이 자명함.
| [[파일:Disk_pack7.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 8
| <math>1+\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{7})}</math> ≈ 3.304...
| 0.7328...
| 1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Pirl" />
| [[파일:Disk_pack8.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 9
| <math>1+\sqrt{2(2+\sqrt{2})}</math> ≈ 3.613...
| 0.6895...
| 1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Pirl" />
| [[파일:Disk_pack9.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 10
| 3.813...
| 0.6878...
| 1969년에 Pirl에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Pirl" />
| [[파일:Disk_pack10.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 11
| <math>1+\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{9})}</math> ≈ 3.923...
| 0.7148...
| 1994년에 Melissen에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Melissen" />
| [[파일:Disk_pack11.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 12
| 4.029...
| 0.7392...
| 2000년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Fodor1" />
| [[파일:Disk_pack12.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 13
| <math>2 + \sqrt{5}</math> ≈4.236...
| 0.7245...
| 2003년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Fodor2" />
| [[파일:Disk_pack13.svg|120x120픽셀]] [[파일:Disk_pack13b.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 14
| 4.328...
| 0.7474...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98" />
| [[파일:Disk_pack14.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 15
| <math>1 + \sqrt{6 + \frac{2}{\sqrt{5}} + 4 \sqrt{1 +\frac{2}{\sqrt{5}}}}</math> ≈ 4.521...
| 0.7339...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98"/>
| [[파일:Disk_pack15.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 16
| 4.615...
| 0.7512...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98"/>
| [[파일:Disk_pack16.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 17
| 4.792...
| 0.7403...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98"/>
| [[파일:Disk_pack17.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 18
| <math>1+\sqrt{2}+\sqrt{6}</math> ≈ 4.863...
| 0.7611...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98"/>
| [[파일:Disk_pack18.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 19
| <math>1+\sqrt{2}+\sqrt{6}</math> ≈ 4.863...
| 0.8034...
| 1999년에 Fodor에 의해 최적임이 증명됨.<ref name="Fodor3"/>
| [[파일:Disk_pack19.svg|120x120픽셀]]
|- align="center"
| 20
| 5.122...
| 0.7623...
| 최적이라고 추측.<ref name="Graham98"/>
| [[파일:Disk_pack20.svg|120x120픽셀]]
|}

== 같이 보기 ==
* [[원판 덮기 문제]]

== 각주 ==
{{각주|refs=
<ref name="Fodor1">F. Fodor, ''The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle'',  Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000) ?, 401–409.</ref>
<ref name="Fodor2">F. Fodor, ''The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle'',  Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.</ref>
<ref name="Fodor3">F. Fodor, ''The Densest Packing of 19 Congruent Circles in a Circle'',  Geom.</ref>
<ref name="Graham68">R.L. Graham, ''Sets of points with given minimum separation (Solution to Problem El921)'', Amer.</ref>
<ref name="Graham98">Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ,Ostergard PRJ.</ref>
<ref name="Melissen">H. Melissen, ''Densest packing of eleven congruent circles in a circle'', ''Geometriae Dedicata'' 50 (1994) 15-25.</ref>
<ref name="Pirl">U. Pirl, ''Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten'', ''[[Mathematische Nachrichten]]'' 40 (1969) 111-124.</ref>
}}

== 외부 링크 ==
* [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci "The best known packings of equal circles in a circle (complete up to N = 2600)"]
* [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html#Applications "Online calculator for "How many circles can you get in order to minimize the waste?"]
* [http://www.packomania.com Packomania] for up to 2600 circles.

[[분류:원 채우기]]