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[[파일:גרףx^2.svg|섬네일|이차 함수 그래프의 예시]]
[[수학]]에서 '''이차 함수'''(二次函數, {{llang|en|quadratic function}})는 최고 차수가 2인 [[다항 함수]]이다.

== 정의 ==
'''이차 함수'''는 다음과 같은 꼴의 [[함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math> (또는 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>)이다.
:<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
단, <math>a\ne0</math>이어야 한다.

보다 일반적으로, '''이변수 이차 함수'''는 다음과 같은 꼴의 함수 <math>f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R</math> (또는 <math>f\colon\mathbb C^2\to\mathbb C</math>)이다.
:<math>f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f</math>
단, <math>0=a=b=c</math>가 성립하지 않아야 한다.

보다 일반적으로, '''<math>d</math>변수 이차 함수'''는 다음과 같은 꼴의 함수 <math>f\colon\mathbb R^d\to\mathbb R</math> (또는 <math>f\colon\mathbb C^d\to\mathbb C</math>)이다.
:<math>\begin{align}f(x_1,x_2\dots,x_d)
&=\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^da_{ij}x_ix_j+\sum_{k=1}^db_kx_k+c\\
&=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1d}x_1x_d\\
&\qquad+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{2d}x_2x_d\\
&\qquad\qquad+\cdots\\
&\qquad\qquad\qquad+a_{d1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{dd}x_d^2\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+b_1x_1+b_2x_2+\cdots+b_dx_d+c\\
\end{align}</math>
단, <math>0=a_{11}=\cdots=a_{dd}</math>가 성립하지 않아야 한다.

== 성질 ==
[[파일:Polynomialdeg2.svg|섬네일|<math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math> 의 그래프]]
이차 함수의 [[함수의 그래프|그래프]]는 대칭축이 수직선인 [[포물선]]이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다. 

반대로, [[대칭축]]이 [[수직선]]인 모든 [[포물선]]은 어떤 이차 함수의 [[그래프]]이다.

=== 방정식 ===
이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음과 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.
* '''일반형'''은 다음과 같으며, 이 꼴은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에 얻을 정보가 없다. '''따라서 이런 형태가 주어졌을 때 표준형, 인수분해형 중 하나로 바꿔서 풀 필요가 있다.'''
*:<math>y=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)</math>
* '''표준형'''은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 x축으로 p만큼 이동하고, y축으로 q만큼 이동한 것을 알 수 있으며, a의 부호로 볼록한 쪽이 어느 쪽인지 알 수 있다. (이는 <math>a</math>가 같은 두 이차 함수의 그래프는 서로 합동이며, 서로를 평행 이동하여 서로를 얻을 수 있음을 의미한다.)
*:<math>y=a(x-p)^2+q\qquad(a\ne0)</math>
* '''인수 분해형'''은 다음과 같다. 이 꼴을 통해 두 근인 알파, 베타를 알 수 있다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)
*:<math>y=a(x-\alpha)(x-\beta)\qquad(a\ne0)</math>
일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.
:<math>\begin{align}y
&=ax^2+bx+c\\
&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\
&=a\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)
\end{align}</math>

=== 볼록성 ===
이차 함수 <math>f</math>의 개형은 이차항 계수 <math>a</math>에 따라 다음과 같이 나뉜다.
* <math>a>0</math>라면, <math>f</math>는 [[엄격 볼록 함수]]이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
* <math>a<0</math>라면, <math>f</math>는 [[엄격 오목 함수]]이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.

또한, <math>|a|</math>가 클수록 <math>f</math>의 그래프의 모양은 뾰족해진다. 즉, 그래프의 폭이 좁아진다.

=== y절편 ===
이차 함수 <math>f</math>의 <math>y</math>절편은 <math>f(0)=c</math>이다. 즉 <math>f</math>의 그래프는 <math>y</math>축과 점 <math>(0,c)</math>에서 만난다.

=== 대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값 ===
[[파일:Cartesiancoord-axis-apex001.svg|섬네일]]
이차 함수 <math>f</math>의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.
:<math>x=-\frac b{2a}</math>
이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.
:<math>\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math>
꼭짓점은 이차 함수의 [[단조 함수|단조성]]이 변화하는 점이며, 함수가 [[최댓값]] 또는 [[최솟값]]을 갖는 점이다. <math>a</math>의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.
* <math>a>0</math>이라면, <math>f</math>는 <math>\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]</math>에서 엄격 감소하며, <math>\left[-\frac b{2a},\infty\right)</math>에서 엄격 증가한다. 따라서, <math>f</math>의 최솟값은 <math>f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}</math>이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
* <math>a<0</math>이라면, <math>f</math>는 <math>\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]</math>에서 엄격 증가하며, <math>\left[-\frac b{2a},\infty\right)</math>에서 엄격 감소한다. 따라서, <math>f</math>의 최댓값은 <math>f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}</math>이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

=== 영점 · 판별식 · 비에트 정리 ===
이차 함수 <math>f</math>의 [[영점]], 즉 그래프와 <math>x</math>축의 교점의 <math>x</math>좌표는 다음과 같으며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.
:<math>\alpha,\beta=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
구체적으로, 이차 함수 <math>f</math>의 [[판별식]] <math>b^2-4ac</math>의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.
* <math>b^2-4ac>0</math>이라면, <math>f</math>는 서로 다른 두 실근 <math>\alpha\ne\beta</math>를 가진다. 이때 그래프는 <math>x</math>축과 두 개의 교점을 가지며, <math>x</math>축은 그래프의 [[할선]]이다.
* <math>b^2-4ac=0</math>이라면, <math>f</math>는 서로 겹치는 두 실근 <math>\alpha=\beta=-\frac{b}{2a}</math>를 가진다. 이를 <math>f</math>의 '''이중근'''이라고 한다. 이때 그래프는 <math>x</math>축과 유일한 교점을 가지며, <math>x</math>축은 그래프의 [[접선]]이다.
* <math>b^2-4ac<0</math>이라면, <math>f</math>는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 [[허수|허근]] <math>\alpha\ne\beta</math>를 가진다. 이때 그래프는 <math>x</math>축과 만나지 않는다.
이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 [[비에트 정리]]라고 한다.
:<math>\alpha+\beta=-\frac ba</math>
:<math>\alpha\beta=\frac ca</math>

=== 기타 성질 ===
이차함수 <math>y=a(x-p)^2+q</math>에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이 <math>S={-q}\sqrt {- \frac q a}</math> 가 성립한다.

이차함수 <math>y=ax^2+bx+c</math>에서 축을 기준으로 왼쪽과 오른쪽으로 나눌 때, <math>y</math>축에 접하는 쪽의 그래프를 보았을 때 <math>y</math>축을 중심으로 그래프가 내려가면 <math>b<0</math>이고 그래프가 올라가면 <math>b>0</math>이 성립한다. 만약 축과 <math>y</math>축이 일치한다면 <math>b > 0</math>이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[일차 함수]]
* [[삼차 함수]]
* [[이차 방정식]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{proofwiki|id=Definition:Quadratic Function|제목=Definition:Quadratic function}}

{{전거 통제}}

[[분류:다항식]]
[[분류:초등대수학]]
[[분류:함수 방정식]]