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[[수학]], 특히 [[리 대수|리 대수론]]에서 '''리의 정리'''는<ref name="Serre theorem">{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 3}}</ref> [[환의 표수|표수]] 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해  <math>\pi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)</math>가 [[가해 리 대수]]의 유한차원 [[리 대수의 표현|표현]]이면, <math>\operatorname{codim} V_i = i</math>인 <math>\pi(\mathfrak{g})</math>의 [[불변 부분 공간|불변 부분공간]]의 [[기 (수학)|기]] <math>V = V_0 \supset V_1 \supset \cdots \supset V_n = 0</math>가 존재, 즉 <math>X \in \mathfrak{g}</math>과 <math>i</math> 각각에 대해 <math>\pi(X)(V_i) \subseteq V_i</math>라는 정리이다.

달리 말하면, 이 정리는 <math>\pi(\mathfrak{g})</math>안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는 <math>V</math>의 기저가 있다는 정리이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Humphreys|1972|loc=Ch. II, § 4.1., Corollary A.}}</ref> 이는 가환 행렬쌍이 동시에 [[삼각행렬|상 삼각화 가능]]하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 [[리 대수|아벨 리 대수]]를 생성하기 때문이다.

리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 [[가해 리 대수|유도 대수]]를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 ''V'' 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는 <math>\pi(\mathfrak{g})</math>가 <math>\mathfrak{gl}(V)</math>의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.<ref name="Serre theorem">{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 3}}</ref>

== 반례 ==
대수적으로 닫힌 표수 <math>p>0</math>인 체의 경우 표현의 차원이 ''p'' 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 ''p''인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 ''p'' 차원 벡터 공간 <math>k [x]/(x^p)</math>에 작용하는 <math>1, x,d/dx</math>로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 ''p'' 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.

== 증명 ==
증명은 <math>\mathfrak{g}</math>의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며, <math>\mathfrak{g}</math>차원을 양수라고 가정한다.  또한 ''V는'' 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해 <math>X \cdot v = \pi(X)(v)</math>로 쓴다.

'''1단계''' : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 3{{''}}}}</ref>

* ''V''에는 <math>\pi(\mathfrak{g})</math>안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.

실제로, 정리는 특히 <math>V_{n-1}</math>를 생성하는 0이 아닌 벡터는 <math>\pi(\mathfrak{g})</math> 안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, ''v가'' 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을 <math>V_{n-1}</math>잡으면 <math>\pi(\mathfrak{g})</math>는 몫공간 <math>V/V_{n-1}</math>에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.

'''2단계''' :  여차원 1인 <math>\mathfrak{g}</math> 안의 이데알 <math>\mathfrak{h}</math>를 찾는다.


<math>D\mathfrak{g} = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]</math>를 그 [[가해 리 대수|유도 대수]]라 하자. <math>\mathfrak{g}</math>가 가해이고 양의 차원을 가지며, <math>D\mathfrak{g} \ne \mathfrak{g}</math>이라서 몫 <math>\mathfrak{g}/D\mathfrak{g}</math>은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해 <math>\mathfrak{g}</math> 안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.

'''3단계''' : <math>\mathfrak{h}^*</math> 안에

: <math>V_{\lambda} = \{ v \in V | X \cdot v = \lambda(X) v, X \in \mathfrak{h} \}</math>

0이 아닌 어떤 선형 범함수 <math>\lambda</math>가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.

'''4단계''' : <math>V_{\lambda}</math>는 <math>\mathfrak{g}</math>-불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)

<math>Y \in \mathfrak{g}</math>, <math>v \in V_{\lambda}</math>라 하자. 그러면 <math>Y \cdot v \in V_{\lambda}</math>를 증명해야 한다. <math>v = 0</math>인 경우는 자명하므로, <math>v \ne 0</math>를 가정한다. 그리고 재귀적으로 <math>v_0 = v, \, v_{i+1} = Y \cdot v_i</math>로 놓는다. <math>U = \operatorname{span} \{ v_i | i \ge 0 \}</math>와 <math>\ell \in \mathbb{N}_0</math>가  <math>v_0,\ldots,v_\ell</math>가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 ''U를'' 생성하고 <math>\alpha = (v_0,\ldots,v_\ell)</math>''가 U''의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고 <math>m \in \mathbb{N}_0</math>가 <math>v_m \notin \langle v_0,\ldots,v_\ell\rangle</math>인 최소값이라 하자. 그러면 분명히 <math>m \ge \ell + 1</math>이다. <math>v_0,\ldots,v_{\ell+1}</math>들은 선형 종속이며, <math>v_{\ell+1}</math>는 <math>v_0,\ldots,v_\ell</math>의 선형 결합이다. 사상 <math>Y^{m-\ell-1}</math>를 적용하면 <math>v_m</math>가 <math>v_{m-\ell-1},\ldots,v_{m-1}</math>의 선형 결합임을 알 수 있다. ''m''의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은 <math>v_0,\ldots,v_\ell</math>의 선형 결합이다. 따라서 <math>v_m</math>도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든 <math>n \in \mathbb{N}_0</math>, <math>X \in \mathfrak{h}</math>에 대해 <math>a_{n,n,X}=\lambda(X)</math>이고

: <math>X \cdot v_n = \sum_{i=0}^{n} a_{i,n,X}v_i.</math>

인 기본 체의 원소들 <math>a_{0,n,X},\ldots,a_{n,n,X}</math>이 존재한다는 것을 증명한다. <math>n=0</math>인 경우는 <math>X \cdot v_0 = \lambda(X) v_0</math>이므로 간단하다. 이제 어떤 <math>n \in \mathbb{N}_0</math>과 <math>\mathfrak{h}</math>의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자.  그리고 <math>X \in \mathfrak{h}</math>라 하자. <math>\mathfrak{h}</math>가 이데알이므로, <math>[X,Y] \in \mathfrak{h}</math>이다. 따라서

: <math>X \cdot v_{n+1} = Y \cdot (X \cdot v_n) + [X, Y] \cdot v_n = Y \cdot \sum_{i=0}^{n} a_{i,n,X}v_i + \sum_{i=0}^{n} a_{i,n,[X,Y]}v_i = a_{0,n,[X,Y]}v_0 + \sum_{i=1}^{n} (a_{i-1,n,X} + a_{i,n,[X,Y]})v_i + \lambda(X)v_{n+1},</math>

이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든 <math>X \in \mathfrak{h}</math>애 대해 부분공간 ''U''는 ''X''의 불변 부분공간이고 제한 사상 <math>\pi(X)|_U</math>의 행렬은 기저<math>\alpha</math>에 대해 대각선 성분이 <math>\lambda(X)</math>과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서 <math>\operatorname{tr}(\pi(X)|_U) = \dim(U) \lambda(X)</math>. 이것을 ''X'' 대신에 <math>[X,Y] \in \mathfrak{h}</math>와 적용하면   <math>\operatorname{tr}(\pi([X,Y])|_U) = \dim(U) \lambda([X,Y])</math>이다. 반면에 ''U는'' 분명히 ''Y''의 불변 부분공간이기도 하다.

: <math>\operatorname{tr}(\pi([X,Y])|_U) = \operatorname{tr}([\pi(X),\pi(Y)]|_U]) = \operatorname{tr}([\pi(X)|_U, \pi(Y)|_U]) = 0</math>

교환자에는 대각합이 0이므로 <math>\dim(U) \lambda([X,Y]) = 0</math>이다. <math>\dim(U) > 0</math> 눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로, <math>\lambda([X, Y]) = 0</math>이고

: <math>X \cdot (Y \cdot v) = Y \cdot (X \cdot v) + [X, Y] \cdot v = Y \cdot (\lambda(X) v) + \lambda([X, Y]) v = \lambda(X) (Y \cdot v),</math>

이며, 따라서 <math>Y \cdot v \in V_{\lambda}</math>.

'''5단계''' : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.

<math>\mathfrak{g} = \mathfrak{h} + L</math>라 하자. 여기서 ''L''은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로 <math>V_{\lambda}</math>안에서 ''L'' 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한 <math>\mathfrak{h}</math>의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다. <math>\square</math>

== 결과 ==
정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수 <math>\mathfrak{g}</math>의 [[딸림표현|딸림 표현]] <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>에 적용된다. 따라서 <math>\operatorname{ad}(\mathfrak{g})</math>이 상 삼각 행렬로 구성되도록 <math>\mathfrak{g}</math>의 기저를 선택할 수 있다. 각각의 <math>x, y \in \mathfrak{g}</math>에 대해, <math>\operatorname{ad}([x, y]) = [\operatorname{ad}(x), \operatorname{ad}(y)]</math>는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉, <math>\operatorname{ad}([x, y])</math>은 순상삼각 행렬이다. 이는 <math>[\mathfrak g, \mathfrak g]</math>가 [[멱영 리 대수]]임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Humphreys|1972|loc=Ch. II, § 4.1., Corollary C.}}</ref>

: ''표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 가해임과 유도 대수 <math>D \mathfrak g = [\mathfrak g, \mathfrak g]</math>가 다음과 멱영임은 동치이다.''

리의 정리는 또한 [[카탄의 가해성 기준|카르탕의 가해성 판별법]]에서 한 가지 방향을 설정한다.

: V''가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고'' ''<math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math>는 리 부분 대수이면 <math>\mathfrak{g}</math>''가 ''가해임과 모든 <math>X \in \mathfrak{g}</math>'', ''<math>Y \in [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]</math>''에 대해 ''<math>\operatorname{tr}(XY) = 0</math>''임이 동치이다''.''<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 4}}</ref>

실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는  <math>\Rightarrow</math>는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)

리의 정리(다양한 ''V'' 에 대한)는 다음 진술과 동일하다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Serre|2001|loc=Theorem 3'}}</ref>

: ''대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수 <math>\mathfrak g</math>에 대해 각각의 유한차원 단순 <math>\mathfrak{g}</math>-가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.''

실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원 <math>\mathfrak g</math>-가군 ''V''에 대해, <math>V_1</math>가 극대 <math>\mathfrak g</math>-부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해, <math>V/V_1</math>는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.

이 진술은 특히 [[리 대수|아벨 리 대수]]에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Jacobson|1979|loc=Ch. II, § 6, Lemma 5.}}</ref>

여기 또 다른 유용한 적용이 있다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Fulton|Harris|1991|loc=Proposition 9.17.}}</ref>

''<math>\mathfrak{g}</math>''가 ''표수 0인 [[리 대수 근기|대수적]]으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를 <math>\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>''라 하자''.'' ''그러면 각각의 유한차원 단순 표현 <math>\pi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)</math>는 <math>\mathfrak{g}/\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>의 단순 표현과  <math>\mathfrak{g}</math>의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).''

리의 정리에 의해 <math>\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>의 가중치 공간 <math>V_{\lambda}</math>가 존재하도록 <math>\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>의 선형 범함수 <math>\lambda</math>를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해, <math>V_{\lambda}</math>는 또한 <math>\mathfrak{g}</math> -가군이다; 그래서 <math>V = V_{\lambda}</math>. 특히, 각 <math>X \in \operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>에 대해, <math>\operatorname{tr}(\pi(X)) = \dim(V) \lambda(X)</math>. <math>\lambda</math>를 <math>[\mathfrak g, \mathfrak g]</math>에서 영인 <math>\mathfrak{g}</math> 위의 선형 범함수로 확장하면, <math>\lambda</math>는 <math>\mathfrak{g}</math>의 1차원 표현이다. 이제,<math>(\pi, V) \simeq (\pi, V) \otimes (-\lambda) \otimes \lambda</math>. <math>\pi</math>는 <math>\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math> 위의 <math>\lambda</math>와 일치하므로, <math>V \otimes (-\lambda)</math>는 <math>\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math> 위에서 자명하다. 따라서 <math>\mathfrak{g}/\operatorname{rad}(\mathfrak{g})</math>의 (단순한) 표현의 제한이다.<math>\square</math>

== 같이 보기 ==
* [[멱영 리 대수]]에 관한 [[엥겔의 정리]] .
* (연결된) 가해 선형 대수군에 관한 [[거짓말-콜친 정리|리-콜친 정리]].

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. <nowiki>ISBN 978-0-387-97495-8</nowiki>. MR 1153249. [[온라인 컴퓨터 도서관 센터|OCLC]] 246650103.
* {{인용|last1=Humphreys|first1=James E.|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90053-7|year=1972|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame}}.
* {{인용|last=Jacobson|first=Nathan|author-link=Nathan Jacobson|title=Lie algebras|edition=Republication of the 1962 original|publisher=Dover Publications, Inc.|location=New York|year=1979|mr=0559927|isbn=0-486-63832-4}}
* {{인용|first=Jean-Pierre|last=Serre|title=Complex Semisimple Lie Algebras|publisher=Springer|location=Berlin|year=2001|isbn=3-5406-7827-1|doi=10.1007/978-3-642-56884-8|mr=1808366}}

[[분류:리 대수]]