{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서, '''부분군'''(部分群, {{llang|en|subgroup}})은 스스로 [[군 (수학)|군]]을 이루는, 주어진 군의 [[부분 집합]]이다. 즉, 군의 부분 집합이 부분군이 되려면, [[항등원]]을 원소로 하며, 임의의 원소들의 곱을 원소로 하며, 임의의 원소의 [[역원]]을 원소로 하여야 한다. 부분군은 [[보편대수학]]에서의 [[부분 대수 구조]]의 특수한 경우이다. 모든 부분군은 부분 모노이드이지만, 군의 부분 모노이드는 부분군이 아닐 수 있다.

== 정의 ==
'''부분군'''은 [[군 (수학)|군]]의 [[대수 구조 다양체]]에서의 [[부분 대수 구조]]이다. 구체적으로, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''부분군'''은 다음 세 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>H\subseteq G</math>이다.
* <math>1\in H</math>. 즉, [[항등원]]은 <math>H</math>에 속한다.
* 임의의 <math>g,h\in H</math>에 대하여, <math>gh\in H</math>. 즉, <math>H</math>의 두 원소의 곱은 <math>H</math>에 속한다.
* 임의의 <math>g\in H</math>에 대하여, <math>g^{-1}\in H</math>. 즉, <math>H</math>의 원소의 [[역원]]은 <math>H</math>에 속한다.
[[항등원]]을 유일한 원소로 하는 부분 집합 <math>\{1\}\subseteq G</math>는 <math>G</math>의 부분군을 이룬다. 이를 <math>G</math>의 '''자명 부분군'''(自明~, {{llang|en|trivial ~}})이라고 한다. 군 전체 <math>G\subseteq G</math>는 <math>G</math>의 부분군이다. <math>G</math>가 아닌 <math>G</math>의 부분군을 <math>G</math>의 '''진부분군'''(眞~, {{llang|en|proper ~}})이라고 한다.

만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군이라면, 흔히
:<math>H\le G</math>
라고 쓴다. 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군이며, <math>H\ne G</math>라면, 흔히
:<math>H\lneq G</math>
라고 쓴다.

부분군 <math>H\le G</math>은 <math>G</math>의 연산을 물려받아 스스로 군을 이룬다. <math>G</math>의 이항 연산을 <math>\cdot\colon G\times G\to G</math>라고 하였을 때, 이를 <math>H</math> 위로 제한한 이항 연산
:<math>\cdot|_{H\times H}\colon H\times H\to H</math>
을 정의할 수 있다. (일반적인 부분 집합의 경우, [[공역]]을 <math>H</math>로 제한하지 못할 수 있다.) 또한, <math>H</math>와 이 이항 연산은 군의 공리를 만족시킨다. <math>H</math> 위의 [[결합 법칙]]은 <math>G</math> 위의 [[결합 법칙]]의 특수한 경우이다. <math>G</math>의 [[항등원]]은 <math>H</math>에 속하며, 이는 <math>H</math>의 항등원을 이룬다. 임의의 <math>a\in H</math>에 대하여, <math>a</math>의 <math>G</math>에서의 [[역원]]은 <math>H</math>에 속하며, 이는 <math>a</math>의 <math>H</math>에서의 역원이다.

== 성질 ==
=== 필요충분조건 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[부분 집합]] <math>H\subseteq G</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>H\le G</math>
* <math>H\ne\varnothing</math>이며, 임의의 <math>a,b\in H</math>에 대하여 <math>ab\in H</math>이며, 임의의 <math>a\in H</math>에 대하여 <math>a^{-1}\in H</math>이다.
* <math>H\ne\varnothing</math>이며, 임의의 <math>a,b\in H</math>에 대하여 <math>ab^{-1}\in H</math>이다.

[[유한군]]의 ([[공집합]]이 아닌) 부분 집합의 경우, 연산에 대하여 닫혀 있는 것으로 부분군이 되기에 충분하다. 구체적으로, [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>H\subseteq G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>H\le G</math>
* <math>H\ne\varnothing</math>이며, 임의의 <math>a,b\in H</math>에 대하여 <math>ab\in H</math>이다.
{{증명}}
첫째 조건은 자명하게 둘째 조건을 함의한다. 이제, 둘째 조건을 가정하고, <math>H</math>가 <math>G</math>의 부분군임을 보이자. 임의의 <math>a\in H</math>의 역원이 <math>H</math>에 속함을 보이면 충분하다. 만약 <math>a=1</math>이라면, <math>a^{-1}=1=a\in H</math>이다. 이제, <math>a\ne1</math>이라고 하자. 가정에 따라,
:<math>\{a,a^2,a^3,\dots\}</math>
는 <math>H</math>의 부분 집합이다. <math>H</math>가 [[유한 집합]]이므로, <math>\{a,a^2,a^3,\dots\}</math> 역시 유한 집합이다. 즉, <math>a^i=a^j</math>인 양의 정수 <math>i\ne j</math>가 존재한다. 편의상 <math>i<j</math>라고 하자. 양변에 <math>a^{-i}</math>를 곱하면 <math>a^{j-i}=1</math>을 얻는다. 즉, <math>a^{-1}=a^{j-i-1}</math>이다. <math>a\ne1</math>이므로, <math>j-i\ge2</math>이며, <math>j-i-1</math>은 양의 정수이다. 즉, <math>a^{-1}=a^{j-i-1}</math>은 <math>a</math>의 양의 정수 번 거듭제곱이다. 가정에 따라, <math>a^{-1}\in H</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 합집합과 교집합 ===
주어진 군의 임의의 수의 부분군들의 [[교집합]]은 부분군이다. 특히, [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>에 대하여, <math>S</math>를 포함하는 <math>G</math>의 모든 부분군들의 교집합은 <math>G</math>의 부분군을 이룬다. 이는 <math>S</math>를 포함하는 <math>G</math>의 최소의 부분군이다. 구체적으로, 이 부분군은 다음과 같다.
:<math>\langle S\rangle=\{g_1g_2\cdots g_n\colon n\in\mathbb N,\;g_1,\dots,g_n\in S\cup S^{-1}\}</math>
여기서
:<math>S^{-1}=\{s^{-1}\colon s\in S\}</math>
이다. <math>S</math>가 [[한원소 집합]]인 경우, <math>\langle S\rangle</math>는 [[순환군]]이다. <math>S</math>가 [[유한 집합]]인 경우, <math>\langle S\rangle</math>는 [[유한 생성 군]]이다. <math>S</math>가 부분군일 [[필요충분조건]]은 <math>S=\langle S\rangle</math>이다.

주어진 군의 부분군들의 [[합집합]]은 부분군이 아닐 수 있다. 예를 들어, 두 부분군 <math>H,K\le G</math>에 대하여, <math>H\cup K\le G</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>H\subseteq K</math>이거나 <math>K\subseteq H</math>인 것이다. <math>2\mathbb Z</math>와 <math>3\mathbb Z</math>는 <math>(\mathbb Z,+)</math>의 부분군이지만, <math>\langle2\mathbb Z\cup3\mathbb Z\rangle=\mathbb Z</math>이다. x측과 y축은 <math>(\mathbb R^2,+)</math>의 부분군이지만, 그 합집합을 포함하는 최소의 부분군은 <math>\mathbb R^2</math>이다. 그러나, 부분군들의 족이 포함 관계에 의하여 [[상향 집합]]을 이룬다면, 그 합집합은 부분군이다. 특히, [[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 [[부분군]]들의 열 <math>H_0,H_1,H_2,\dots\le G</math>에 대하여, 만약
:<math>H_0\le H_1\le H_2\le\cdots</math>
라면, <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}H_i</math>는 <math>G</math>의 부분군이다.

=== 부분군 격자 ===
임의의 주어진 군 <math>G</math>의 부분군들은 포함 관계 아래 [[대수적 격자|대수적]] [[완비 격자]] <math>\operatorname{Sub}(G)</math>를 이룬다. 부분군 격자에서, 부분군의 집합 <math>(H_i)_{i\in I}</math>의 [[하한]]은 [[교집합]] <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}H_i</math>이며, [[상한]]은 부분군들의 합집합을 포함하는 최소의 부분군
:<math>\biggl\langle\bigcup_{i\in I}H_i\biggr\rangle=\{h_1\cdots h_n\colon h_1\in n\in\mathbb N,\;H_{i_1},\cdots,h_n\in H_{i_n},\;i_1,\dots,i_n\in I\}</math>
이다. [[최소 원소]]는 자명 부분군 <math>\{1\}\le G</math>이며, [[최대 원소]]는 <math>G\le G</math>이다. 콤팩트 원소는 유한 생성 부분군들이다.

=== 잉여류와 라그랑주 정리 ===
{{본문|잉여류}}
{{본문|라그랑주 정리 (군론)}}
[[파일:Left_cosets_of_Z_2_in_Z_8.svg|섬네일|[[아벨 군]] <math>G=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}=\{0,\dots,7\}</math>와 부분군 <math>H=4\mathbb Z/8\mathbb Z=\{0,4\}</math>에 대한 4개의 잉여류. <math>H</math>는 <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>와 동형이다. 4개의 잉여류 <math>H</math>, <math>1+H</math>, <math>2+H</math>, <math>3+H</math>는 같은 크기의 겹치지 않는 집합으로 <math>G</math>를 분할한다. 몫군 <math>G/H</math>는 <math>\mathbb Z/4\mathbb Z</math>와 동형이다.]]
부분군 <math>H\le G</math>가 주어졌을 때, <math>G</math> 위에 다음과 같은 두 개의 [[동치 관계]]를 정의할 수 있다.
:<math>g\sim_{\operatorname{left}}k\iff k^{-1}g\in H</math>
:<math>g\sim_{\operatorname{right}}k\iff gk^{-1}\in H</math>
두 동치 관계에 대한 <math>g\in G</math>의 [[동치류]]는 각각 왼쪽·오른쪽 '''[[잉여류]]'''
:<math>gH=\{gh\colon h\in H\}</math>
:<math>Hg=\{hg\colon h\in H\}</math>
이다. (<math>h\in H</math>에 대하여 <math>hH=Hh=H</math>이므로, <math>H</math> 역시 왼쪽 잉여류이자 오른쪽 잉여류이다.) 따라서, 임의의 군은 서로 다른 왼쪽 잉여류들로 분할되며, 또한 서로 다른 오른쪽 잉여류들로 분할된다. 모든 왼쪽·오른쪽 잉여류의 크기는 일치하며, 이는 부분군의 크기 <math>|H|</math>와 같다. 왼쪽 잉여류들과 오른쪽 잉여류들 사이에는 다음과 같은 [[일대일 대응]]이 존재한다.
:<math>gH\mapsto Hg^{-1}</math>
따라서, 왼쪽·오른쪽 잉여류의 수는 일치하며, 이를 <math>H</math>의 <math>G</math>에서의 [[부분군의 지표|지표]]라고 한다. <math>G</math>를 왼쪽 또는 오른쪽 잉여류로 분할하여 세면 <math>G</math>의 크기가 <math>H</math>의 크기와 지표의 곱임을 알 수 있다. 특히, <math>G</math>가 [[유한군]]인 경우 <math>|H|</math>는 <math>|G|</math>의 [[약수]]이다.<ref name="DummitFooteWiley">{{서적 인용|성1=Dummit|이름1=David S.|성2=Foote|이름2=Richard M.|제목=Abstract algebra|언어=en|판=3|출판사=Wiley|위치=Chichester|날짜=2004|isbn=0-471-43334-9|mr=2286236|zbl=1037.00003}}</ref>{{rp|90}} 이를 '''[[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]'''라고 한다.

=== 정규 부분군과 몫군 ===
{{본문|정규 부분군}}
{{본문|몫군}}
만약 <math>G</math>가 [[아벨 군]]이라면, [[교환 법칙]]에 의하여 왼쪽·오른쪽 잉여류를 구분할 필요가 사라진다. 보다 일반적으로, <math>H</math>가 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]인 경우, 항상 <math>gH=Hg</math>이며, 모든 잉여류의 집합
:<math>G/H=\{gH\colon g\in G\}</math>
위에 이항 연산
:<math>(gH)(g'H)=gg'H</math>
을 정의할 수 있다. (일반적인 부분군의 경우, <math>gH=kH</math>, <math>g'H=k'H</math>이더라도 <math>gg'H\ne kk'H</math>일 수 있으므로 위 정의는 유효하지 않다.) 또한, 이 이항 연산은 군의 공리들을 만족시킨다. 이렇게 정의한 군 <math>G/H</math>를 <math>G</math>의 <math>H</math>에 대한 '''[[몫군]]'''이라고 한다.

유한군의 부분군의 지표가 군의 크기의 최소 소인수라면, 이 부분군은 정규 부분군이다. 특히, 지표 2의 부분군은 항상 정규 부분군이다.

== 예 ==
* 짝수 정수들은 정수의 덧셈군의 부분군이다: 두 개의 짝수를 더하면 짝수를 얻는다.
* 환 <math>R</math>의 [[이데알]]은 덧셈군 <math>R</math>의 부분군이다.
* [[벡터 공간|벡터공간]]의 [[선형 부분공간]]은 벡터의 덧셈군의 부분군이다.
* <math>A</math>를 [[아벨 군|아벨군]]이라 하자; 유한 [[위수 (수학)|주기]]를 갖는 <math>A</math>의 원소들은 <math>A</math>의 부분군을 형성하는데, 이를 <math>A</math>의 [[꼬임 부분군]]이라 한다.

=== 순환군 ===
[[순환군]]의 부분군은 항상 순환군이다. 유한 <math>n</math>차 [[순환군]]
:<math>\operatorname{Cyc}(n)=\langle g|g^n=1\rangle</math>
의 부분군은 <math>n</math>의 양의 약수와 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, <math>d\mid n</math>에 대하여,
:<math>\langle g^d\rangle\cong\operatorname{Cyc}(n/d)</math>
는 크기 <math>n/d</math>의 유일한 부분군이며, 이는 <math>n/d</math>차 순환군이다.

무한 [[순환군]]
:<math>\operatorname{Cyc}(\infty)=\langle g|\rangle</math>
의 부분군은 음이 아닌 정수와 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, <math>n\ge0</math>에 대하여,
:<math>\langle g^n\rangle\cong\operatorname{Cyc}(\infty)</math>
은 지표 <math>n</math>(<math>n=0</math>인 경우 <math>\aleph_0</math>)의 유일한 부분군이며, 무한 순환군이다. 특히, 무한군은 스스로와 [[동형]]인 진부분군을 가질 수 있다.

순환군은 [[아벨 군]]이므로, 모든 부분군이 [[정규 부분군]]이며, [[몫군]] 역시 순환군이다.

=== 정이면체군 ===
[[정이면체군]]의 부분군은 순환군이거나 정이면체군이다. <math>n</math>차 [[정이면체군]]
:<math>\operatorname{Dih}(n)=\langle r,s|r^n=s^2=(rs)^2=1\rangle</math>
의 부분군들은
:<math>\{d\colon d\mid n\}\cup\{(d,i)\colon d\mid n,\;0\le i\le d-1\}</math>
의 원소들과 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, <math>d\mid n</math>에 대하여,
:<math>\langle r^d\rangle\cong\operatorname{Cyc}(n/d)</math>
는 <math>n/d</math>차 순환 부분군이다. 마찬가지로, <math>d\mid n</math> 및 <math>0\le i\le d-1</math>에 대하여,
:<math>\langle r^d,sr^i\rangle\cong\operatorname{Dih}(n/d)</math>
는 부분군이며, <math>n/d</math>차 정이면체군과 [[동형]]이다. 또한, 이 목록은 겹치지 않는다.

<math>n</math>이 [[홀수]]인 경우, <math>\operatorname{Dih}_n</math>의 부분군들의 [[켤레류]]의 목록은 다음과 같다.
* <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d\rangle\}</math>
* <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d,r^is\rangle\colon0\le i\le d-1\}</math>

<math>n</math>이 [[짝수]]인 경우, 다음과 같다.
* <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d\rangle\}</math>
* 홀수 <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d,r^is\rangle\colon0\le i\le d-1\}</math>
* 짝수 <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d,r^is\rangle\colon0\le i\le d-1,\;i\equiv0\pmod2\}</math>
* 짝수 <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\{\langle r^d,r^is\rangle\colon0\le i\le d-1,\;i\equiv1\pmod2\}</math>

특히, <math>\operatorname{Dih}_n</math>의 [[정규 부분군]]의 목록은 다음과 같다. <math>n</math>이 홀수인 경우,
* <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\langle r^d\rangle</math>
* <math>\operatorname{Dih}_n</math>
<math>n</math>이 짝수인 경우,
* <math>d\mid n</math>에 대하여, <math>\langle r^d\rangle</math>
* <math>\langle r^2,s\rangle</math>
* <math>\langle r^2,rs\rangle</math>
* <math>\operatorname{Dih}_n</math>

또한, 정이면체군의 임의의 [[몫군]]은 정이면체군이다.

=== 대칭군 ===
4차 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(4)</math>의 부분군은 총 30개이며, 이는 11개의 [[켤레류]]를 갖는다. <math>\operatorname{Sym}(4)</math>의 부분군 격자를 나타내는 [[하세 도형]]은 다음과 같다.
:[[파일:Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg|400픽셀]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
* Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st ed.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
* Artin, Michael (2011), Algebra (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
* {{서적 인용|url=https://www.worldcat.org/oclc/248917264|제목=Abstract algebra|성=S.|이름=Dummit, David|날짜=2004|판=3.|출판사=Wiley|위치=Hoboken, NJ|기타=Foote, Richard M., 1950-|isbn=9780471452348|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Subgroup}}
* {{매스월드|id=Subgroup|제목=Subgroup}}
* {{nlab|id=subgroup|제목=Subgroup}}
* {{groupprops|제목=Subgroup}}
* {{플래닛매스|urlname=subgroup|제목=Subgroup}}
* {{proofwiki|id=Definition:Subgroup|제목=Definition: subgroup}}

== 같이 보기 ==
* [[카르탕 부분 대수|카르탕 부분군]]
* [[피팅 부분군]]
* [[안정자군]]
* [[고정점 부분군]]

[[분류:군론]]