{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]의 [[그래프 이론]] 분야에서, '''그래프 번호매김'''({{llang|en|graph labeling}})은 전통적을 [[정수]]로 표현되는 라벨을 [[그래프]]의 [[모서리 (그래프 이론)|모서리]]나 [[꼭짓점 (그래프 이론)|꼭짓점]], 또는 둘 다에다 붙이는 것이다.<ref name=mathw>{{매스월드|LabeledGraph|Labeled graph}}</ref>

공식으로 표현하면 그래프 {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'')}}가 주어졌을 때, '''꼭짓점 번호매김'''({{llang|en|vertex labeling}})은 ''V''에서 ''라벨''의 집합으로 가는 함수이다. 이런 함수가 정의된 그래프는 '''꼭짓점-라벨 그래프'''({{llang|en|vertex-labeled graph}})라고 부른다. 유사하게, '''모서리 번호매김'''({{llang|en|edge labeling}})은 ''E''에서 라벨의 집합으로 가는 함수이다. 이 경우에, 그래프는 '''모서리-라벨 그래프'''({{llang|en|edge-labeled graph}})라고 부른다.

모서리 라벨이 순서 집합(예, [[실수]])의 원소라면, 이 그래프는 '''가중 그래프'''({{llang|en|weighted graph}})라고 부른다.

이것을 특정하지 않고 쓸 경우에는, '''라벨 그래프'''({{llang|en|labeled graph}})는 일반적으로 모든 라벨이 다른 꼭짓점 라벨 그래프를 가리킨다. 그런 그래프는 동일하게 연속하는 정수 {{nowrap|{1, …, {{abs|''V''}}}}}로 번호매김 할 수 있으며, 이 때 {{abs|''V''}}는 그래프의 꼭짓점의 개수이다.<ref name=mathw/> 많은 적용에서, 모서리나 꼭짓점은 정의역과 관련이 있는 의미있는 라벨을 붙인다. 예를 들어, 모서리에 인접한 꼭짓점 사이를 이동할 때 드는 "비용"을 나타내는 [[가중 그래프|가중치]]를 부여할 수 있다.<ref>"Different Aspects of Coding Theory", by Robert Calderbank (1995) {{ISBN|0-8218-0379-4}}, [https://books.google.com/books?id=TcOzdq3nDp4C&pg=PA57&dq=%22labeled+graph%22&lr=#PPA53,M1 p. 53]"</ref>

위의 정의에서 그래프는 유한 무향 단순 그래프로 이해된다. 하지만, 번호매김의 표기는 모든 그래프의 확장과 일반화에서 적용될 수 있다. 예를 들어, [[오토마타 이론]]과 [[형식 언어]] 이론에서 이것은 라벨 [[다중 그래프]]로 보는 것이 편리하다. 즉, 꼭짓점 쌍은 일부 라벨이 붙은 모서리로 연결될 수 있다.<ref>"[[Developments in Language Theory]]", Proc. 9th. Internat.Conf., 2005, {{ISBN|3-540-26546-5}}, [https://books.google.com/books?id=QPgojKbuuUEC&pg=PA314&dq=%22labeled+graph%22#PPA313,M1 p. 313]</ref>

==역사==
대부분의 그래프 번호매김은 1967년에 발표된 알렉스 로사(Alex Rosa)의 논문의 번호매김에 기원을 두고 있다.<ref name="Gallian">{{저널 인용|author=Gallian, J.|title=A Dynamic Survey of Graph Labelings, 1996-2005|publisher=The Electronic Journal of Combinatorics}}</ref> 로사는 세 종류의 번호매김을 규정했고, 각각 α-, β-, and ρ-번호매김이라고 이름 붙였다.<ref name="Rosa">{{저널 인용|author=Rosa, A.|title=On certain valuations of vertices in a graph}}</ref> β-번호매김은 나중에 [[솔로몬 W. 골롬]]에 의해 ''graceful''이라는 이름이 다시 붙여졌고 이 이름이 현재는 더 유명해졌다.

==특별한 경우==
===Graceful 번호매김===
{{본문|Graceful 번호매김}}
[[파일:Graceful labeling.svg|300px|섬네일|graceful 번호매김. 꼭짓점 번호는 검은색으로, 모서리 번호는 빨간색으로 표시했다.]]

그래프의 꼭짓점을 0에서 그래프의 크기 {{abs|''E''}}까지 번호 매겼고, 이 매긴 번호가 모서리에 1에서 {{abs|''E''}}까지 번호매김을 유도하면 "graceful"이라고 한다. 모든 모서리 ''e''에 대해서, ''e''의 번호가 ''e''에 연결된 두 꼭짓점의 번호의 차이다. 다른 말로, ''e''가 ''i''와 ''j''의 번호가 붙은 꼭짓점을 연결하면, ''e''는 {{abs|''i'' − ''j''}}의 번호가 매겨질 것이다. 따라서, 그래프 {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'')}}가 ''E''에서 {{abs|''E''}}까지 자연수로 가는 전단사 함수를 내포하는 단사함수가 존재하는 것은 그래프가 graceful이라는 것과 같다.

그의 원 논문에서, 로사는 크기가 1또는 2 ([[합동 산술|mod]] 4)인 모든 [[오일러 그래프]]는 graceful이 아니라는 것을 증명했다. 특정한 그래프족이 graceful인지 아닌지는 광범위한 연구의 그래프 이론의 영역이다. 당연히 그래프 번호매김의 가장 중요한 미증명 추측은 Ringel–Kotzig 추측으로 모든 트리가 graceful이라는 가설이다. 이 가설은 [[경로 그래프]], [[애벌레 트리]], 그리고 다른 많은 무한한 트리 그래프족에 대해서 증명되었다. Kotzig 본인은 그 추측을 증명하려는 노력은 "질병"이라고 불렀다.<ref>{{저널 인용| zbl=1163.05007 | last=Vietri | first=Andrea | title=Sailing towards, and then against, the graceful tree conjecture: some promiscuous results | journal=Bull. Inst. Comb. Appl. | volume=53 | pages=31–46 | year=2008 | issn=1183-1278 }}</ref>
<!--
===모서리-graceful 번호매김===
{{본문|모서리-graceful 번호매김}}
꼭짓점이 ''p''개이고 모서리가 ''q''개인 단순 그래프 (순환이나 다중 모서리가 없는)의 ''모서리-graceful 번호매김''(edge-graceful labeling)은 {{nowrap|{1, …, ''q''}}}에 있는 정수를 모서리에 중복없이 번호를 매겨서 꼭짓점에 각각 연결된 모서리의 번호를 더해서 ''p''로 나눈 값으로 번호를 매겨서 is a labelling of the edges by distinct integers in  such that the labeling on the vertices induced by labeling a vertex with the sum of the incident edges taken modulo ''p'' assigns all values from 0 to {{nowrap|''p'' − 1}} to the vertices. A graph ''G'' is said to be ''edge-graceful'' if it admits an edge-graceful labeling.

Edge-graceful labelings were first introduced by S. Lo in 1985.<ref>{{저널 인용| zbl=0597.05054 | last=Lo | first=Sheng-Ping | title=On edge-graceful labelings of graphs | conference=Proc. Conf., Sundance/Utah 1985 | journal=Congressus Numerantium | volume=50 | year=1985 | pages=231–241}}</ref>

A necessary condition for a graph to be edge-graceful is ''Lo's condition'':
: <math>q(q + 1) = p/(p - 1)2 \mod p.</math>

===Harmonious labeling===
A ''harmonious labeling'' on a graph ''G'' is an injection from the vertices of ''G'' to the [[Group (mathematics)|group]] of integers [[Modular arithmetic|modulo]] ''k'', where ''k'' is the number of edges of ''G'', that induces a bijection between the edges of ''G'' and the numbers modulo ''k'' by taking the edge label for an edge (''x'', ''y'') to be the sum of the labels of the two vertices ''x'', ''y'' (mod ''k''). A ''harmonious graph'' is one that has a harmonious labeling. Odd cycles are harmonious, as is the [[Petersen graph]]. It is conjectured that trees are all harmonious if one vertex label is allowed to be reused.<ref>Guy (2004) pp.190–191</ref>
The seven-page [[Book (graph theory)|book graph]] {{math|''K''<sub>1,7</sub> &times; ''K''<sub>2</sub>}} provides an example of a graph that is not harmonious.<ref>{{인용
 | last = Gallian | first = Joseph A. | author-link = Joseph Gallian
 | journal = [[Electronic Journal of Combinatorics]]
 | mr = 1668059
 | page = Dynamic Survey 6
 | title = A dynamic survey of graph labeling
 | url = http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS6
 | volume = 5
 | year = 1998}}.</ref>
-->

== 각주 ==
{{각주}}
* {{콘퍼런스 인용| zbl=0193.53204 | last=Rosa | first=A. | title=On certain valuations of the vertices of a graph | conference=Theory of Graphs, Int. Symp. Rome July 1966 | pages=349–355 | year=1967 | publisher=Gordon and Breach }}
* {{서적 인용 | last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=0-387-20860-7 | at=C13 | zbl=1058.11001 }}

[[분류:그래프의 확장과 일반화]]