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[[수론]]에서 '''베르누이 수'''(Bernoulli數, {{llang|en|Bernoulli numbers}})는 [[거듭제곱수]](Exponentiation)의 합, [[삼각함수]](trigonometric functions 또는 circular functions)의 [[멱급수]](power series)의 다양한 공식에 등장하는 [[유리수]] [[수열]]이다.

[[정수론]]과 깊은 관계가 있는 실수열로, [[야코프 베르누이]]에 의해 발견되고 그의 이름에서 명명됐다. 이와는 별개로 동시대에 [[세키 다카카즈]]도 발견했다.

== 정의 ==
'''베르누이 수열''' <math>B_n</math>은 다음과 같은 [[생성함수]]로 정의할 수 있다.
:<math>\frac t{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_nt^n}{n!}</math>
보다 일반적으로, 다음이 성립한다.
:<math>\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_n\frac{t^n}{n!}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}B_{n-k}x^k</math>
따라서, 베르누이 수열 <math>B_0,B_1,B_2,\dots</math>은 다음과 같다.
:1, −1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, 0, −1/30, …
여기서 분자는 {{OEIS|A027641}}이며, 분모는 {{OEIS|A027642}}이다.

일부 저자들은 첫 베르누이 수를 <math>-1/2</math> 대신 <math>+1/2</math>로 사용하기도 한다. 여기서는 이를 <math>\tilde B</math>로 표기하자.
:<math>\tilde B_i=(-1)^iB_i=\begin{cases}+1/2&i=1\\B_n&i\ne1\end{cases}</math>
:<math>\frac t{1-\exp(-t)}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\tilde B_nt^n}{n!}</math>

=== 베르누이 다항식 ===
[[파일:Bernoulli_polynomials_no_title.svg|섬네일|오른쪽|베르누이 다항식. 점차 사인 또는 코사인에 수렴하는 것을 알 수 있다.]]
베르누이 수 <math>B_n</math>가 주어졌을 때, 이로부터 다음과 같은 '''베르누이 다항식'''({{llang|en|Bernoulli polynomial}}) <math>B_n(x)\in\mathbb Q[x]</math>을 정의할 수 있다.
:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkB_{n-k}x^k</math>
이는 [[아펠 다항식열]]을 이룬다.

그렇다면, 베르누이 수는 베르누이 다항식으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.
:<math>B_n=B_n(0)</math>
:<math>\tilde B_n=B_n(1)</math>

== 성질 ==
<math>B_1=-1/2</math>을 제외하고, 홀수차 베르누이 수는 모두 0이다. 4의 배수차 베르누이 수는 음수이며, 4의 배수가 아닌 짝수차 베르누이 수는 양수이다.
:<math>\operatorname{sgn}B_n=\begin{cases}
-1&n=1\\
0&1\ne n\equiv1,3\pmod4\\
-1&n\equiv0\pmod4\\
+1&n\equiv2\pmod4\end{cases}</math>

=== 생성 함수 ===
베르누이 다항식의 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp(xt)}{\exp(t)-1}</math>
따라서, 베르누이 수의 생성 함수는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}=\frac t{\exp t-1}</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty \tilde B_n\frac{t^n}{n!}=\frac{t\exp t}{\exp t-1}</math>

=== 대칭 ===
베르누이 다항식은 다음 항등식들을 만족시킨다.
:<math>B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)\qquad n\ge0</math>
:<math>(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}</math>

=== 삼각 함수의 멱급수 ===
베르누이 수는 [[탄젠트]] 및 [[코탄젠트]]의 [[매클로린 급수]]에 등장한다.
:<math>\tan x=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\qquad(|x| <\pi/2)</math>
:<math>\cot x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
마찬가지로, 쌍곡 탄젠트의 매클로린 급수는 다음과 같다.
:<math>\tanh x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1}\qquad(|x| < \pi/2)</math>

=== 푸리에 급수 ===
베르누이 다항식의 [[푸리에 급수]]는 다음과 같다.
:<math>B_n(x) = -\frac{n!}{(2\pi i)^n}\sum_{k\not=0 }\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}= -2 n! \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(2 k \pi x- \frac{n \pi} 2 \right)}{(2 k \pi)^n}</math>
따라서, 베르누이 다항식은 다음과 같이 사인 또는 코사인으로 수렴하는 것을 알 수 있다.
:<math>\frac{(2\pi)^n}{n!}B_n(x)= -2 \cos\left(2\pi x- \frac{n \pi} 2 \right) + O(2^{-n})</math>

=== 제타 함수와의 관계 ===
[[파일:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png|섬네일|오른쪽|<math>-x\zeta(1-x)</math>의 그래프]]
베르누이 수는 [[리만 제타 함수]]의 특수한 값이다.
:<math>\tilde B_n=(-)^nB_n=-n\zeta(1-n)=-\frac 2{(2\pi)^n}\sin\left(\pi(1-n)/2\right)n!\zeta(n)</math>
따라서, [[리만 제타 함수]]는 베르누이 수의 복소수 <math>n</math>에 대한 [[해석적 연속]]으로 볼 수 있다.

<math>n=0</math>일 경우 리만 제타 함수는 [[극 (복소해석학)|극]]을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 [[극한]]을 취할 수 있다.
:<math>\tilde B_0=B_0=1=\lim_{n\to0}-n\zeta(1-n)</math>
:<math>\tilde B_1=-B_1=-2\lim_{n\to1}\frac{\sin(\pi(1-n)/2)}{(2\pi)^n}n!\zeta(n)=1/2</math>
따라서, [[스털링 공식]]에 따라 짝수차 베르누이 수의 [[절댓값]]에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다.
:<math>|B_{2 n}| =\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)\sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n}\qquad(n\gg1)</math>

보다 일반적으로, 베르누이 다항식은 [[후르비츠 제타 함수]] <math>\zeta(s,q)</math>의 특수한 값이다.
:<math>B_n(x) = -n \zeta(1-n,x)</math>
:<math>\tilde B_n=B_n(1)=-n\zeta(1-n,1)=-n\zeta(1-n)</math>
따라서, [[후르비츠 제타 함수]]는 베르누이 다항식의 복소수 <math>n</math>에 대한 [[해석적 연속]]으로 볼 수 있다.

=== 스털링 수와의 관계 ===
베르누이 다항식과 베르누이 수는 [[제2종 스털링 수]]와 [[하강 포흐하머 기호]]로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\{{n\atop k}\right\}x^{\underline{k+1}} </math>
:<math>B_n=\sum_{k=0}^k(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\{{n\atop k}\right\}</math>
이 경우 <math>B_1=-1/2</math>이 된다.

반대로, [[하강 포흐하머 기호]]를 베르누이 다항식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>x^{\underline{n+1}} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ {n\atop k}\right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right) </math>
여기서 <math>\textstyle [{n\atop k}]</math>는 [[제1종 스털링 수]]이다.

=== 거듭제곱수의 합 ===
임의의 자연수 <math>m</math>과 <math>n</math>에 대하여, 처음 <math>n</math>개의 <math>m</math>제곱수들의 합은 다음과 같다.
:<math>\sum_{k=1}^n k^m =\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m+1}kB_k n^{m+1-k} =\frac1{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(0)\right)</math>
이를 '''베르누이 공식'''(Bernoulli公式, {{llang|en|Bernoulli’s formula}}) 또는 '''파울하버 공식'''({{llang|en|Faulhaber’s formula}})이라고 한다.

예를 들어, <math>m=1</math>일 경우, 1부터 <math>n</math>까지의 자연수의 합인 [[삼각수|삼각수(삼각형 수)]] 공식을 얻을 수 있다.
:<math> 1 + 2 +3+ \cdots + n = \frac12(B_0 n^2-2B_1 n^1) = \frac12(n^2+n)</math>
<math>m=2</math>일 경우, 제곱수의 합 공식을 얻을 수 있다.
: <math> 1^2 + 2^2+3^2 + \cdots + n^2 = \frac13(B_0 n^3-3B_1 n^2+3B_2 n^1 ) = \frac13\left(n^3+\frac32n^2+\frac12n\right)</math>
:<math>  m=3,</math>
: <math> 1^3 + 2^3+3^3 + \cdots + n^3 = {1 \over 4} \left({4 \choose 0}B_0 n^4 -{4 \choose 1}B_1 n^3 +{4 \choose 2}B_2 n^2 -{4 \choose 3}B_3 n^1 \right) </math>
:<math>\quad ={1 \over 4} \left({{4!} \over {0!(4-0)!}}B_0 n^4 -{{4!} \over {1!(4-1)!}}B_1 n^3 +{{4!} \over {2!(4-2)!}}B_2 n^2 -{{4!} \over {3!(4-3)!}}B_3 n^1 \right) </math>
:<math>\quad ={1 \over 4} \left({1}B_0 n^4 -{4}B_1 n^3 +{{4 \cdot 3} \over {2 \cdot 1}}B_2 n^2 -{4}B_3 n^1 \right) </math>
:<math>\quad ={1 \over 4} \left(B_0 n^4 -{4}B_1 n^3 +{6}B_2 n^2 -{4}B_3 n^1 \right) </math>
:<math>\quad ={1 \over 4} \left((1) n^4 -{4}\left(-{1 \over 2}\right) n^3 +{6} \left({1 \over 6} \right) n^2 -{4}(0) n^1 \right) </math>
:<math>\quad ={1 \over 4} \left(n^4 +2 n^3 + n^2  \right) </math>
:<math>\therefore \;\; {1 \over 4} \left(n^4 +2 n^3 + n^2  \right) = {{(n^4 +2 n^3 + n^2 )} \over 4}={{(n^2 + n)^2} \over 4} </math>
:<math>\quad =\left( {{n^2 + n} \over 2} \right) \left( {{n^2 + n} \over 2} \right) </math>
:<math>\quad =\left( {{n^2 +n} \over 2} \right)^2 </math>
:<math>\quad =\left( {{n(n +1)} \over 2} \right)^2 </math>

<!-- 
:<math>B_k(n+0)= (n+0+B)^k  \;\;\;(Bernoulli Numbers \text{의  성 질  } \; ) ,</math>
:<math>  m=3,</math>
: <math> 1^3 + 2^3+3^3 + \cdots + n^3 = {1 \over 4}(B_4(n+1) -B_4(0) ) ={1 \over 4}((n+1+B)^4 -(0+B)^4 ) = </math>
-->

베르누이 공식은 [[음계산법]]을 통하여 간단하게 적을 수 있다. 우선, 음변수 <math>\mathsf b</math>에 대하여 다음과 같은 선형 범함수를 정의하자.
:<math>L\colon\mathsf b^n\mapsto B_n</math>
그렇다면
:<math>L\colon(a+\mathsf b)^n\mapsto B_n(a)</math>
가 된다. 따라서,
:<math>\sum_{k=1}^n k^m =\frac1{m+1}L\left((n+1+\mathsf b)^{m+1}-\mathsf b^{m+1}\right)=L\int_{\mathsf b}^{\mathsf b+n+1}x^m\,dx</math>
이다.

=== 알고리즘 ===
베르누이 수를 계산하는 효율적인 [[알고리즘]]들이 알려져 있으며,<ref>{{저널 인용 |first=Greg |last=Fee |공저자=Simon Plouffe |year=2007 |title=An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers |arxiv=math/0702300|bibcode = 2007math......2300F|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |first=Donald E. |last=Knuth |저자링크=도널드 커누스 |공저자=T. J. Buckholtz |title=Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli Numbers |journal=Mathematics of Computation |issn=0025-5718|volume=21 | year=1967 | pages=663–688 | doi=10.2307/2005010 |jstor=2005010 |issue=100 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |first=M. |last=Kaneko |title=The Akiyama–Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers |journal=Journal of Integer Sequences |volume=12 |pages=29 |year=2000 |url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol3.html |bibcode=2000JIntS...3...29K | 언어=en}}</ref><ref name="Harvey">{{저널 인용|arxiv=0807.1347|제목=A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers|url=http://web.maths.unsw.edu.au/~davidharvey/papers/bernmm/|doi=10.1090/S0025-5718-2010-02367-1|저널=Mathematics of Computation|권=79|호=272|쪽=2361–2370|mr=2684369|이름=David|성=Harvey|날짜=2008|언어=en|확인날짜=2015-10-23|보존url=https://web.archive.org/web/20160304004018/http://web.maths.unsw.edu.au/~davidharvey/papers/bernmm/|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}</ref> <math>B_n</math>를 계산하는 가장 빠른 알려진 알고리즘의 시간 복잡도는
:<math>O(n^2\log^{2+\epsilon}n)</math>
이다.<ref name="Harvey"/>

=== 수론적 성질 ===
'''폰 슈타우트-클라우젠 정리'''({{llang|en|von Staudt–Clausen theorem}})에 따르면, 모든 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 만약 <math>B_n\ne0</math>이라면 다음이 성립한다.
:<math>B_n + \sum_{(p-1)\mid n} \frac1p\in\mathbb Z</math>
여기서 <math>\textstyle\sum_{(p-1)\mid n}</math>은 <math>p-1</math>이 <math>n</math>의 약수가 되는 모든 소수 <math>p</math>에 대한 합이다. 즉, <math>B_n\ne0</math>의 분모는 <math>\textstyle\prod_{(p-1)\mid n}p</math>이다.

[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 소수를 '''정규 소수'''({{llang|en|regular prime}})이라고 한다.
* <math>p\nmid B_{2n}\qquad\forall 2k\in\{2,4,6,\dots,p-3\}</math>
* <math>p\nmid h_{\mathbb Q(\zeta_p))}</math>. 여기서 <math>h_K</math>는 <math>K</math>의 [[유수 (수론)|유수]]이며, <math>\mathbb Q(\zeta_p)</math>는 [[원분체]]이다.
이를 정규 소수의 '''쿠머 조건'''({{llang|en|Kummer’s criterion}})이라고 한다.

== 계산 ==
:약한 <math>Bernoulli \; Numbers \;</math>생성함수
:<math>\sum_{k=1}^n {n \choose k}B_{n-k}</math>
:<math>{1 \choose 1}B_0 = {1! \over 1!(1-1)!}B_0= {1! \over 1!}B_0,  B_0 ={1! \over 1!}, B_0= 1</math>
:<math>{2 \choose 1}B_1+{2 \choose 2}B_0 = {2! \over 1!(2-1)!}B_1+{2! \over 2!(2-2)!}B_0= {2! \over 1!}B_1+{\cancel{2!} \over \cancel{2!}}B_0= {2 \over 1}B_1+{1 \over 1}B_0 \;,\; {2 \over 1}B_1= -{1 \over 1} B_0 \;,\; {2 \over 1}B_1= \left (-{1 \over 1}1 \right)\;,\; B_1= -{1 \over 1}\cdot{1 \over 2} \;,\; B_1= -{1 \over 2}</math>
:<math>{3 \choose 1}B_2+{3 \choose 2}B_1+{3 \choose 3}B_0 = {3! \over 1!(3-1)!}B_2+{3! \over 2!(3-2)!}B_1+{3! \over 3!(3-3)!}B_0={3\cdot2\cdot1 \over 2 \cdot 1}B_2+ {3! \over 2!}B_1+{\cancel{3!} \over \cancel{3!}}B_0 </math>
:<math>\qquad\;\; = {3 \over 1}B_2+ {3 \over 1}B_1+{1 \over 1}B_0\;,\; {3 \over 1}B_2+ {3 \over 1}B_1= -{1 \over 1}B_0 \;,\;{3 \over 1}B_2 = -{3 \over 1}B_1 -{1 \over 1}B_0 \;,\;{3 \over 1}B_2 = \left( -{3 \over 1}\cdot-{1 \over 2} \right) - \left( {1 \over 1}\cdot1 \right)</math>
:<math> \qquad\;,\;{3 \over 1}B_2 = \left({3 \over 2} \right) - \left(  {1 \over 1} \right) </math>
:<math> \qquad\;,\;{3 \over 1}B_2 ={1 \over 2}</math>
:<math> \qquad\;,\;B_2 ={1 \over 2}\cdot {1 \over 3}</math>
:<math> \qquad\;,\;B_2 ={1 \over 6}</math>
:<math>{4 \choose 1}B_3+{4 \choose 2}B_2+{4 \choose 3}B_1+{4 \choose 4}B_0 = {4! \over 1!(4-1)!}B_3+{4! \over 2!(4-2)!}B_2+{4! \over 3!(4-3)!}B_1+{4! \over 4!(4-4)!}B_0={{4\cdot3\cdot2\cdot1} \over {3\cdot 2 \cdot 1} }B_3+{{4\cdot3} \over {2 \cdot 1} }B_2+ {4 \over 1}B_1+{\cancel{4!} \over \cancel{4!}}B_0 </math>
:<math>\qquad =  {4 \over 1}B_3+{12 \over 2}B_2+ {4 \over 1}B_1+{1 \over 1}B_0 </math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3+{6 \over 1}B_2+ {4 \over 1}B_1= -{1 \over 1}B_0 \;,\;{4 \over 1}B_3+{6 \over 1}B_2 = -{4 \over 1}B_1 -{1 \over 1}B_0 \;,\;{4 \over 1}B_3=-{6 \over 1}B_2  -{4 \over 1}B_1 -{1 \over 1}B_0 </math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3= \left(-{6 \over 1}\cdot{1 \over 6} \right)- \left( {4 \over 1}\cdot-{1 \over 2} \right) - \left( {1 \over 1}\cdot1 \right)</math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3= \left(-{1 \over 1} \right)- \left( -{4 \over 2} \right) - \left( {1 \over 1} \right)</math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3= \left(-{1 \over 1} \right)- \left( -{2 \over 1} \right) - \left( {1 \over 1} \right)</math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3= \left( \left(-{1 \over 1} \right)- \left( {1 \over 1} \right) \right) - \left( -{2 \over 1} \right) </math>
:<math>\qquad , {4 \over 1}B_3= \left(-{2 \over 1} \right)  + \left( {2 \over 1} \right) </math>
:<math>\qquad , B_3= (-{2}+ {2} ) \cdot {1 \over 4}</math>
:<math>\qquad , B_3= (0 ) \cdot {1 \over 4}</math>
:<math>\qquad , B_3= 0  </math>
:<math>{5 \choose 1}B_4+{5 \choose 2}B_3+{5 \choose 3}B_2+{5 \choose 4}B_1+{5 \choose 5}B_0 = {5! \over 1!(5-1)!}B_4+ {5! \over 2!(5-2)!}B_3+{5! \over 3!(5-3)!}B_2+{5! \over 4!(5-4)!}B_1+{5! \over 5!(5-5)!}B_0  </math>
:<math> B_4 = -{1 \over 30} </math>
:<math>{6 \choose 1}B_5+{6 \choose 2}B_4+{6 \choose 3}B_3+{6 \choose 4}B_2+{6 \choose 5}B_1+{6 \choose 6}B_0 = {6! \over 1!(6-1)!}B_5+{6! \over 2!(6-2)!}B_4+ {6! \over 3!(6-3)!}B_3+{6! \over 4!(6-4)!}B_2+{6! \over 5!(6-5)!}B_1+{6! \over 6!(6-6)!}B_0  </math>
:<math> B_5 = {0} </math>

<!-- cofer
:<math>{ x \over {\exp(x)-1}}=\sum_{n=0}^\infty B_n {x^n \over n!}</math>
:<math>{x \over e^x -1} = B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots </math>
:<math>{x} =( e^x -1) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{x} =\left( \left({x^0 \over 0!} +{x^1 \over 1!} +{x^2 \over 2!} +{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!} +{x^5 \over 5!} +\cdots \right)-1 \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{x} =\left( \left({1} +{x^1 \over 1!} +{x^2 \over 2!} +{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!} +{x^5 \over 5!} +\cdots \right)-1 \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{x} =\left( {x^1 \over 1!} +{x^2 \over 2!} +{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!} +{x^5 \over 5!} +\cdots \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{x \over x} =\left( {1 \over x} \right) \left( {x^1 \over 1!} +{x^2 \over 2!} +{x^3 \over 3!}+{x^4 \over 4!} +{x^5 \over 5!} +\cdots \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{1} =\left( {1 \over 1!} +{x^1 \over 2!} +{x^2 \over 3!}+{x^3 \over 4!} +{x^4 \over 5!} +\cdots \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
:<math>{1} =\left( {1} +{x^1 \over 2!} +{x^2 \over 3!}+{x^3 \over 4!} +{x^4 \over 5!} +\cdots \right) \left(B_0 {x^0 \over 0!} +B_1 {x^1 \over 1!} +B_2 {x^2 \over 2!} +B_3{x^3 \over 3!}+B_4 {x^4 \over 4!} +B_5 {x^5  \over 5!}+\cdots \right) </math>
-->

== 표 ==
낮은 차수의 베르누이 수는 다음과 같다. {{OEIS|A367}}, {{OEIS|A2445}}
{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''B''<sub>''n''</sub>
|-
| 0
| 1
|-
| 1
| −1/2
|-
| 2
| 1/6
|-
| 4
| −1/30
|-
| 6
| 1/42
|-
| 8
| −1/30
|-
| 10
| 5/66
|-
| 12
| −691/2730
|-
| 14
| 7/6
|-
| 16
| −3617/510
|-
| 18
| 43867/798
|}

낮은 차수의 베르누이 다항식은 다음과 같다.
: <math>B_0(x)  =1 </math>
:<math>B_1(x)=x-\frac12</math>
:<math>B_2(x)=x^2-x+\frac16</math>
:<math>B_3(x)=x^3-\frac32x^2+\frac12x</math>
:<math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac1{30}</math>
:<math>B_5(x)=x^5-\frac52x^4+\frac53x^3-\frac16x</math>
:<math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac52x^4-\frac12x^2+\frac1{42}</math>

== 역사 ==
[[파일:Seki Kowa Katsuyo Sampo Bernoulli numbers.png|섬네일|오른쪽|세키의 《괄요산법》]]
[[파일:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|섬네일|오른쪽|베르누이의 《추측술》 97쪽 (현대적으로 재조판)]]
[[파일:Diagram for the computation of Bernoulli numbers.jpg|섬네일|오른쪽|러브레이스의 베르누이 수 계산 프로그램. 이는 세계 최초의 컴퓨터 프로그램이다.]]
1631년에 요한 파울하버({{llang|de|Johann Faulhaber}}, 1580~1635)는 거듭제곱수의 합을 계산하는 알고리즘을 출판하였다.<ref>{{서적 인용|제목=''Academia Algebræ'', Darinnen die miraculoſiſche Inventiones / zu den höchſten Coſſen weiters ''continuirt'' vnd ''profitiert'' werden. Dergleichen zwar bor 15. Jahren den Gelehrten auff allen ''Vniverſiteten'' in gantzem ''Europa proponiert'', darauff ''continuiert'', auch allen ''Mathematicis'' inn der gantzen weiten Welt ''dediciert'', aber bißhero / noch nie ſo hoch / biß auff die regulierte / ''Zenſicubiccubic'' Coß / durch offnen Truck ''publiciert'' worden. Welcher vorgeſetzet ein kurtz Bedencken / Was einer für Authores nach ordnung gebrauchen ſolle / welcher die Coß fruchtbarlich / bald / auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will|이름=Johann|성=Faulhaber|날짜=1631|위치=[[아우크스부르크]]|출판사=bey Johann Ulrich Schönigf. / In verlag Johann Remelins / Runst- vnd Buch-händlers|url=https://books.google.com/books?id=0pw_AAAAcAAJ|언어=de}}</ref> 파울하버의 알고리즘은 효율적이지만, 파울하버는 이를 베르누이 수를 통하여 나타내지 않았다. 이에 대하여 [[도널드 커누스]]는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
파울하버는 베르누이 수를 발견하지 않았다. 즉, 그는 하나의 상수열 <math>B_0,B_1,B_2,\dots</math>에 대하여 임의의 거듭제곱수의 합에 대한 똑같은 공식
:<math>\sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1}1B_1n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right)</math>
이 성립한다는 것을 알지 못했다. 예를 들어, 그는 <math>\textstyle\sum n^m</math>을 <math>N</math>에 대한 다항식에서 <math>n</math>에 대한 다항식으로 변환하면 계수들의 거의 절반이 0이 된다는 사실을 언급하지 않았다.<br>
{{lang|en|Faulhaber never discovered the Bernoulli numbers; i.e., he never realized that a single sequence of constants <math>B_0, B_1, B_2,\dots</math> would provide a uniform
:<math>\sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1}1B_1n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right)</math>
for all sums of powers. He never mentioned, for example, the fact that almost half of the coefficients turned out to be zero after he had converted his formulas for <math>\textstyle \sum n^m</math> from polynomials in <math>N</math> to polynomials in <math>n</math>.}}|<ref>{{저널 인용|이름=Donald E.|성=Knuth|저자링크=도널드 커누스 |title=Johann Faulhaber and sums of powers |journal=Mathematics of Computation |날짜=1993 |volume=61 |pages=277–294 |arxiv=math/9207222|doi=10.1090/S0025-5718-1993-1197512-7 |issue=203|jstor=2152953|bibcode=1993MaCom..61..277K|언어=en}}</ref>}}

[[세키 다카카즈]](1642~1708)는 1712년 사후에 출판된 《괄요산법》({{llang|ja|括要算法}}{{lang|ja||가쓰요산포}})<ref>{{서적 인용|저자=関 孝和|저자링크=세키 다카카즈|제목=括要算法|날짜=1712|oclc=868144029|위치=[[에도]]|기타=荒木 村英 편집, 大高 由昌 교정|출판사=升屋 五郎右衛門|언어=ja}}</ref>에 거듭제곱수의 합에 대한 일반 공식 및 베르누이 수를 제시하였다. 《괄요산법》에는 [[산가지]]로 표기된 [[파스칼 삼각형]] 밑에 다음과 같이 처음 12개의 베르누이 수가 수록돼 있다.
:{| lang="ja" class=wikitable style="writing-mode: vertical-rl"
|-
| 一級 || 全
|-
| 二級 || 取㆓二分之一㆒爲㆑加
|-
| 三級 || 取㆓六分之一㆒爲㆑加
|-
| 四級 || 空
|-
| 五級 || 取㆓三十分之一㆒爲㆑減
|-
| 六級 || 空
|-
| 七級 || 取㆓四十二分之一㆒爲㆑加
|-
| 八級 || 空
|-
| 九級 || 取㆓三十分之一㆒爲㆑減
|-
| 十級 || 空
|-
| 十一級 || 取㆓六十六分之五㆒爲㆑加
|-
| 十二級 || 空
|}
즉, 분수 <math>k/n</math>은 ''n''{{lang|ja|分之}}''k''로 표시돼 있고, 부호는 양수일 경우 {{lang|ja|爲加}}, 음수일 경우 {{lang|ja|爲減}}로 표시돼 있다. (㆑, ㆒, ㆓와 같은 부호는 [[간분 (일본 한문)|간분]]의 가에리텐({{llang|ja|返り点}})이다.)

세키와 거의 동시에, [[야코프 베르누이]]는 1713년 사후에 출판된 저서 《추측술》({{llang|la|Ars Conjectandi|아르스 코녝탄디}})<ref name="Bernoulli">{{서적 인용|제목=Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit tractatus de seriebus infinitis, et epistola Gallicè ſcripta de ludo pilæ reticularis|이름=Jacobus|성=Bernoulli|저자링크=야코프 베르누이|출판사=Impensis Thurnisiorum, fratrum|위치=[[바젤]]|날짜=1713|url=https://archive.org/details/bub_gb_kz9nvk99EWoC|언어=la}}</ref> 2부 3장 97쪽에 거듭제곱수의 합의 일반 공식을 제시하였지만, 증명하지 않았다. 이 책에서 베르누이는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
이 표를 사용하여 처음 1000개의 10제곱수들의 합이
:91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500
임을 계산하는 데 ⅛시간조차 걸리지 않았다. 이로부터 이즈마엘 불리오({{llang|fr|Ismaël Boulliau}})의 저서 《무한 산술에 대하여》({{llang|la|Opus novum ad arithmeticam infinitorum}})가 얼마나 쓸모없는지를 알 수 있다. 이 두꺼운 책에서 그는 엄청난 노동을 통해 처음 6개의 항의 합을 계산하였는데, 이는 이 책에서 1쪽도 안 되는 계산의 일부분에 불과하다.
<br>
{{lang|la|Huius laterculi beneficio intra ſemi-quadrantem horæ reperi, quòd poteſtates decimæ ſive quadrato-ſurſolida mille primorum numerorum ab unitate in ſummam collecta efficiunt
:91̦409̦924̦241̦424̦243̦424̦241̦924̦242500.
E quibus apparet, quàm inutilis cenſenda ſit opera Iſmaëlis Bulialdi, quam conſcribendo tam ſpiſſo volumini Arithmeticæ ſuae Infinitorum impendit, ubi nihil præſtitit aliud, quàm ut primarum tantum ſex potestatum ſummas (partem ejus quot unicâ nos conſecuti ſumus paginâ) immenso labore demonstratas exhiberet.}}
|<ref name="Bernoulli"/>{{rp|98}}
}}

1830년대에 [[레온하르트 오일러]]와 [[콜린 매클로린]]은 [[오일러-매클로린 공식]]을 발견하면서 베르누이 수를 재발견하였다. [[아브라암 드무아브르]]와 [[레온하르트 오일러]]는 "베르누이 수"라는 표현을 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren zusammenhang mit den secanten-coefficienten und ihre wichtigeren anwendungen|이름=Louis|성=Saalschütz|url=https://archive.org/details/vorlesungenberd00saalgoog|위치=[[베를린]]|출판사=Verlag von Julius Springer|날짜=1898|doi=10.1007/978-3-662-41193-3|isbn=978-3-662-40711-0|언어=de}}</ref> 1834년에 [[카를 구스타프 야코프 야코비]]는 베르누이 공식을 엄밀하게 증명하였다.<ref>{{저널 인용 |first=C. G. J. |last=Jacobi | 저자링크=카를 구스타프 야코프 야코비 |title=De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |날짜=1834 | 호=12 |권=1834 |pages=263–272|issn=0075-4102 | url = http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00214008X | doi=10.1515/crll.1834.12.263 | 언어=la}}</ref>

[[에이다 러브레이스]]는 1843년에 [[찰스 배비지]]의 [[해석기관]]에 대한 책<ref>{{서적 인용|제목=Sketch of the Analytical Engine invented by Charles Babbage, Esq.|이름=Luigi Federico|성=Menabrea|기타=[[에이다 러브레이스|Augusta Ada King, Countess of Lovelace]] 역 및 주석 추가|url=https://www.fourmilab.ch/babbage/sketch.html|위치=[[런던]]|출판사=Richard and John E. Taylor|날짜=1843|언어=en}}</ref>의 주석 G({{llang|en|Note G}})에 베르누이 수를 계산하는 [[알고리즘]]을 기술하였다. 이 주석 G는 세계 최초의 [[컴퓨터 프로그램]]으로 여겨진다.

폰 슈타우트-클라우젠 정리는 카를 게오르크 크리스티안 폰 슈타우트({{llang|de|Karl Georg Christian von Staudt}})<ref>{{저널 인용|first=Karl Georg Christian |last=von Staudt |title=Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1840 |호=21 |year=1840 |pages=372–374|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1840.21.372 | 언어=de}}</ref>와 토마스 클라우젠({{llang|de|Thomas Clausen}})<ref>{{저널 인용|first=Thomas |last=Clausen |title=Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen |journal=Astronomische Nachrichten |volume=17 |year=1840 |issue=22 |pages=351–352 |doi=10.1002/asna.18400172205|언어=de}}</ref> 이 1840년에 독자적으로 발견하였다.
[[정규 소수]]의 쿠머 조건은 [[에른스트 쿠머]]가 1850년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 |first=E. E. |last=Kummer |authorlink=에른스트 쿠머 | title=Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung <math>x^\lambda+y^\lambda=z^\lambda</math> durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten <math>\lambda</math>, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten <math>\tfrac12(\lambda-3)</math> Bernoullischen Zahlen als Factoren nicht vorkommen |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |권=1850|호=40 |year=1850 |pages=131–138 |언어=de | issn=0075-4102 | doi = 10.1515/crll.1850.40.130 | url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002146738}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[벨 수]]
* [[오일러 수]]
* [[베르누이 다항식]]
* [[거듭제곱 급수]](멱급수)
* [[테일러 급수]]
* [[급수 (수학)|급수]]
* [[계승]](팩토리얼)

== 각주 ==
{{각주|3}}
* {{저널 인용|url=http://scholar.ndsl.kr/schArticleDetail.do?cn=JAKO200706414153385|제목=수학사적 관점에서 오일러 및 베르누이 수와 리만 제타함수에 관한 탐구|저널=한국수학사학회지|권=20|호=4|날짜=2007|쪽=71–84|issn= 1226-931X|언어=ko|저자=김태균|공저자=장이채}}
* {{저널 인용 |first=Dominique |last=Arlettaz |title=Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie |journal=
Mathematische Semesterberichte|volume=45|호=1|year=1998 |pages=61–75 |doi=10.1007/s005910050037|언어=de|issn=0720-728X}}
* {{저널 인용 |first1=Takashi |last1=Agoh |first2=Karl|last2=Dilcher|title=Reciprocity relations for Bernoulli numbers|journal=The American Mathematical Monthly|volume=115|날짜=2008-03|pages=237–244|jstor=27642447 |언어=en}}
* {{저널 인용 |first=V. I. |last=Arnold |저자링크=블라디미르 아르놀트 | title=Bernoulli-Euler updown numbers associated with function singularities, their combinatorics and arithmetics |journal=Duke Mathematical Journal |volume=63 |year=1991 |pages=537–555 |doi=10.1215/s0012-7094-91-06323-4|언어=en}}
* {{저널 인용 |first=A. |last=Ayoub |title=Euler and the zeta function |journal=American Mathematical Monthly |volume=74 |year=1981 |issue=2 |pages=1067–1086 | jstor=2319041 | doi = 10.2307/2319041 | 언어=en}}
* {{저널 인용 |last=Carlitz |first=L. |title=Bernoulli numbers |journal=The Fibonacci Quarterly |volume=6 | 호=3 | pages=71–85 | 날짜=1968-06 | url = http://www.fq.math.ca/Scanned/6-3/carlitz.pdf | 언어=en}}
* {{저널 인용 |last=Entringer |first=R. C. |title=A combinatorial interpretation of the Euler and Bernoulli numbers |journal=Nieuw. Arch. V. Wiskunde |volume=14 |year=1966 |pages=241–6 | 언어=en}}
* {{저널 인용 | last1 = Cvijović | first1 = Djurdje | last2 = Klinowski | first2 = Jacek | year = 1995 | title = New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments | url = | journal = Proceedings of the American Mathematical Society | volume = 123 | issue = | pages = 1527–1535 | doi=10.2307/2161144 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bernoulli numbers}}
* {{매스월드|id=BernoulliNumber|title=Bernoulli number}}
* {{매스월드|id=BernoulliNumberoftheSecondKind|title=Bernoulli number of the second kind}}
* {{매스월드|id=ModifiedBernoulliNumber|title=Modified Bernoulli number}}
* {{매스월드|id=BernoulliPolynomial|title=Bernoulli polynomial}}
* {{매스월드|id=BernoulliPolynomialoftheSecondKind|title=Bernoulli polynomial of the second kind}}
* {{매스월드|id=vonStaudt-ClausenTheorem|title=von Staudt-Clausen Theorem}}
* {{웹 인용|url=http://dlmf.nist.gov/24|웹사이트=Digital Library of Mathematical Functions|제목=Chapter 24. Bernoulli and Euler Polynomials|이름=K.|성=Dilcher|날짜=2013-05-06|출판사=[[미국 국립표준기술연구소]]}}
* {{수학노트|title=베르누이 수}}
* {{수학노트|title=베르누이 수에 대한 쿰머 합동식}}
* {{수학노트|title=베르누이 다항식}}
* {{nlab|id=Bernoulli number}}
* {{웹 인용|url=http://www.mscs.dal.ca/~dilcher/bernoulli.html|제목=A bibliography of Bernoulli numbers|이름=Karl|성=Dilcher|이름2=Ilja Sh.|성2=Slavutskii|날짜=2007-03-03|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:수열]]
[[분류:정수열]]