{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 넘어옴 2|완비화|꽃받침, 꽃잎, 암술과 수술을 모두 갖춘 꽃|갖춘꽃|환론에서의 연산|완비화 (환론)}}

[[기하학]]에서 '''완비 거리 공간'''(完備距離空間, {{llang|en|complete metric space}})은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 [[거리 공간]]이다. 완비 거리 공간의 정의는 '''코시 열'''(Cauchy列, {{llang|en|Cauchy sequence}})이라는 개념을 사용한다. 코시 열은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 [[수열]]이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 [[거리 공간|거리]]가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 [[거리 공간]]이다. [[완비 균등 공간]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
=== 코시 열 ===
{{본문|코시 열}}
[[파일:Cauchy sequence illustration.svg|섬네일|right|코시 열의 예. 코시 열에서는 점 사이의 거리가 0으로 수렴한다.]]
[[파일:Cauchy_sequence_illustration2.svg|섬네일|right|코시 열이 아닌 수열]]
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 [[수열]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[자연수]] <math>N(\epsilon)\in\mathbb N</math>가 존재한다고 하자.
:<math>d(x_i,x_j)<\epsilon\qquad\forall i,j\ge N(\epsilon)</math>
그렇다면 수열 <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>를 '''코시 열'''이라고 한다. 임의의 [[거리 공간]] 속에서, 모든 수렴하는 수열은 코시 열을 이루며, 모든 코시 열은 [[유계 집합]]을 이룬다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[상수 함수|상수 점렬]] ⊆ 수렴 점렬  ⊆ 코시 점렬  ⊆ [[유계 집합|유계 점렬]]

=== 확대 상수 ===
거리 공간 <math>(X,d)</math> 및 실수 <math>\mu\in[0,\infty)</math>에 대하여, 다음 조건이 성립하는지 여부를 물을 수 있다.
* 임의의 점들의 집합 <math>(x_i)_{i\in I}</math> 및 반지름들의 집합 <math>(r_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 만약 <math>\forall i,j\in I\colon\bar B(x_i,r_i)\cap\bar B(x_j,r_j)\ne\varnothing</math>이라면, <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}\bar B(x_i,\mu r_i)\ne\varnothing</math>이다.
거리 공간 <math>(X,d)</math>의 '''확대 상수'''(擴大常數, {{llang|en|expansion constant}})
:<math>E(X)\in[0,\infty]</math>
는 위 조건을 만족시키는 모든 실수 <math>\mu</math>들의 [[하한]]이다.

임의의 거리 공간에 대하여, <math>E(X)\in\{\infty\}\cup[0,2]</math>이다.<ref name="Grunbaum"/>{{rp|194, 198}}

=== 카리스티 사상과 칸난 사상 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 '''카리스티 사상'''({{llang|en|Caristi map}})은 다음 조건을 만족시키는 [[하반연속 함수]] <math>\phi\colon X\to[0,\infty)</math>가 존재하는 함수 <math>f\colon X\to X</math>이다.
:<math>d(x,f(x))\le\phi(x)-\phi(f(x))\qquad\forall x\in X</math>

[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 '''칸난 사상'''({{llang|en|Kannan map}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>C\in[0,1/2)</math>가 존재하는 함수 함수 <math>f\colon X\to X</math>이다.
:<math>d(f(x),f(y))\le C(d(x,f(x))+d(y,f(y)))\qquad\forall x,y\in X</math>

모든 칸난 사상은 카리스티 사상이다.

=== 완비 거리 공간 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 '''완비 거리 공간'''이라고 한다.
* 모든 코시 점렬이 수렴한다.
* 확대 상수가 유한하다.<ref name="Grunbaum"/>{{rp|194, 198}}
* 확대 상수가 2 이하이다.<ref name="Grunbaum">{{저널 인용|이름=B.|성=Grünbaum|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038634 |제목=Some applications of expansion constants|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=10|호= 1|날짜=1960|쪽=193–201|mr=0114162|zbl=0094.09002|언어=en}}</ref>{{rp|194, 198}}
* 임의의 [[닫힌 공]]들의 감소열 <math>X\supseteq\bar B(x_0,r_0)\supseteq\bar B(x_1,r_1)\supseteq\cdots</math>이 주어졌고, 그 반지름들이 0으로 수렴하며 (<math>\textstyle\lim_{i\to\infty}r_i=0</math>), 모두 [[공집합]]이 아니라고 하자 (<math>r_i>0\;\forall i\in\mathbb N</math>). 그렇다면 이들의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아니다 (<math>\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty\bar B(x_i,r_i)\ne\varnothing</math>).
* 임의의 [[닫힌집합]]들의 감소열 <math>X\supseteq C_0\supseteq C_1\supseteq C_2\cdots</math>이 주어졌고, 그 [[지름]]들이 0으로 수렴하며 (<math>\textstyle\lim_{i\to\infty}\operatorname{diam}C_i=0</math>), 모두 [[공집합]]이 아니라고 하자 (<math>C_i\ne\varnothing\;\forall i\in\mathbb N</math>). 그렇다면 이들의 [[교집합]]은 [[공집합]]이 아니다 (<math>\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty C_i\ne\varnothing</math>).
* ('''카리스티 고정점 정리''', {{llang|en|Caristi fixed-point theorem}}) 모든 카리스티 사상은 [[고정점]]을 갖는다.
* ('''칸난 고정점 정리''', {{llang|en|Kannan fixed-point theorem}}) 모든 칸난 사상은 [[고정점]]을 갖는다.

== 성질 ==
완비 거리 공간 속의 [[닫힌집합]]은 완비 거리 공간을 이룬다. 반대로, [[거리 공간]]의 [[부분 집합]]이 완비 거리 공간을 이룬다면, 이는 [[닫힌집합]]이다.

=== 완비화 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>의 '''완비화'''(完備化, {{llang|en|completion}})는 다음과 같다. <math>X</math>의 모든 코시 점렬의 집합 <math>\operatorname{Cauchy}(X)</math>에 다음과 같은 [[유사 거리 함수]]를 주자.
:<math>d((x_i)_{i\in\mathbb N},(y_i)_{i\in\mathbb N})=\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)</math>
코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면, <math>\operatorname{Cauchy}(X)</math>는 [[유사 거리 공간]]을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 [[동치 관계]]를 정의하자.
:<math>(x_i)_{i\in\mathbb N}\sim(y_i)_{i\in\mathbb N}\iff\lim_{i\to\infty}d(x_i,y_i)=0</math>
즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 [[동치류]]에 넣는다. 이렇게 하면, [[몫집합]] <math>\operatorname{Cauchy}(X)/{\sim}</math> 위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 [[거리 공간]]을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를 <math>X</math>의 '''완비화''' <math>\bar X</math>라고 한다.

[[거리 공간]] <math>X</math>에서 그 완비화 <math>\bar X</math>로 가는 표준적인 함수
:<math>X\hookrightarrow\bar X</math>
:<math>x\mapsto[(x,x,x,\ldots)]_\sim</math>
가 존재한다. 이 함수는 <math>X</math>의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) [[상수 함수|상수 점렬]]의 [[동치류]]로 대응시킨다. 이는 [[단사 함수|단사]] [[등거리변환]]이며, 만약 <math>X</math>가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다. <math>X</math>는 <math>\bar X</math>의 부분 집합으로서, [[조밀 집합]]이다.
{{증명|부제=<math>X</math>의 조밀성}}
임의의 <math>[(x_i)_{i\in\mathbb N}]_\sim\in\bar X</math>에 대하여, 점렬
:<math>([(x_i,x_i,x_i,\ldots)]_\sim)_{i\in\mathbb N}</math>
은 <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>으로 수렴한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=<math>\bar X</math>의 완비성}}
임의의 코시 점렬 <math>([(x_{i,j})_{j\in\mathbb N}]_\sim)_{i\in\mathbb N}\subseteq\bar X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>d([(x_{i,j})_{j\in\mathbb N}]_\sim,[(y_i,y_i,y_i,\ldots)]_\sim)<1/i</math>
인 <math>y_i\in X</math>가 존재한다. 이 경우, <math>(y_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq X</math>는 코시 점렬이며, 점렬
:<math>([(y_i,y_i,y_i,\ldots)]_\sim)_{i\in\mathbb N}</math>
은 <math>[(y_i)_{i\in\mathbb N}]_\sim\in\bar X</math>으로 수렴한다. 즉, <math>([(x_{i,j})_{j\in\mathbb N}]_\sim)_{i\in\mathbb N}</math>은 <math>[(y_i)_{i\in\mathbb N}]_\sim</math>으로 수렴한다.
{{증명 끝}}

=== 하이네-보렐 정리 ===
{{본문|하이네-보렐 정리}}
모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]]은 완비 거리 공간이다. 사실, [[하이네-보렐 정리]]에 따르면, [[거리 공간]]에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완비 [[완전 유계 공간]]인 것과 동치이다.

=== 베르 범주 정리 ===
{{본문|베르 범주 정리}}
[[베르 범주 정리]]에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 [[베르 공간]]이다.

=== 바나흐 고정점 정리 ===
{{본문|바나흐 고정점 정리}}
[[바나흐 고정점 정리]]에 따르면, 완비 거리 공간 <math>X</math> 위의 [[축약 사상]] <math>f\colon X\to X</math>은 유일한 [[고정점]]을 갖는다. 모든 [[축약 사상]]은 카리스티 사상이므로, 이는 카리스티 고정점 정리의 특수한 경우이다. 하지만 바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 없다.

== 예 ==
=== 실직선 속의 코시 수열 ===
[[유리수]] 전체의 집합 <math>\mathbb Q</math>와 [[실수]] 전체의 집합 <math>\mathbb R</math>에 [[절댓값]]으로 정의되는 일반적인 [[거리 함수]] <math>d</math>로 정의된 거리 공간 <math>(\mathbb Q,d)</math>, <math>(\mathbb R,d)</math>가 있을 때, 수열 <math>\{1/n\}_{n \in \mathbf{N}}</math>은 코시 수열이다. <math>\mathbb R</math>, <math>\mathbb Q</math> 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.

[[유리수]]의 거리 공간 <math>(\mathbb Q,|\cdot|)</math>는 완비 거리 공간이 아닌데, 이는 그 안에서 [[무리수]]인 <math>\sqrt{2}</math>로 가까워지는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다. 구체적으로, <math>x_n =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor/n</math> 로 정의된 수열 <math>\{x_n\}_{n \in \mathbb N}</math>은 코시 수열이다. <math>\mathbb R</math>에서는 <math>\sqrt 2</math>로 수렴하지만, <math>\sqrt 2</math>는 유리수가 아니므로 <math>\mathbb Q</math>에서는 수렴하지 않는다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 거리 공간 <math>(\mathbb R,|\cdot|)</math>이다.

=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]] <math>X</math> 위에 이산 거리 함수
:<math>d(x,y)=\begin{cases}1&x\ne y\\0&x=y\end{cases}</math>
를 준다면, 그 속의 점렬 <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 결국 상수 점렬이다. 즉, <math>x_N=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots</math>가 되는 자연수 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* 수렴 점렬이다.
* 코시 점렬이다.
따라서 이산 공간은 완비 거리 공간을 이룬다.

=== 완비 공간 값의 유계 함수 ===
임의의 [[집합]] <math>S</math> 및 완비 거리 공간 <Math>(X,d)</math>에 대하여, <math>\mathcal B(S,X)</math>가 [[유계 함수]] <math>S\to X</math>들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 [[상한]] [[거리 함수]]를 주자.
:<math>d(f,g)=\sup_{s\in S}d\left(f(s),g(s)\right)\qquad(f,g\in\mathcal B(S,X))</math>
그렇다면 <math>\mathcal B(S,X)</math>는 완비 거리 공간을 이룬다.
{{증명}}
임의의 코시 점렬 <math>(f_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathcal B(S,X)</math>이 수렴함을 보이는 것으로 충분하다. 각 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>(f_i(s))_{i=0}^\infty</math>는 <math>X</math> 위의 코시 점렬이므로 어떤 <math>f(s)\in X</math>로 수렴하며, 이 경우 <math>f\colon S\to X</math>는 [[유계 함수]]이다. <math>(f_i)_{i=0}^\infty</math>가 <math>f</math>로 수렴함은 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>(f_i)_{i=0}^\infty</math>가 코시 점렬이므로 다음 조건을 만족시키는 [[자연수]] <math>N(\epsilon)\in\mathbb N</math>가 존재한다.
:<math>d(f_i(s),f_j(s))<\epsilon\qquad\forall s\in S,\;i,j\ge N(\epsilon)</math>
위 조건에서 <math>j\to\infty</math>를 취하면
:<math>d(f_i(s),f(s))\le\epsilon\qquad\forall s\in S,\;i\ge N(\epsilon)</math>
을 얻는다. 즉,
:<math>d(f_i,f)\le\epsilon\qquad\forall i\ge N(\epsilon)</math>
이다.
{{증명 끝}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>S</math> 및 완비 거리 공간 <Math>(X,d)</math>에 대하여, <math>\mathcal{CB}(S,X)\subset\mathcal B(S,X)</math>가 [[연속 함수|연속]] [[유계 함수]] <math>S\to X</math>들의 집합이라고 하자. 이는 상한 거리 함수에 대하여 [[닫힌집합]]을 이루며, 따라서 <math>\mathcal{CB}(S,X)</math> 역시 완비 거리 공간을 이룬다.

=== 바나흐 공간 ===
{{본문|바나흐 공간}}
[[노름 공간]] 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 '''[[바나흐 공간]]'''이라고 한다. 마찬가지로, [[내적 공간]] 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 '''[[힐베르트 공간]]'''이라고 한다.

== 역사 ==
역사적으로, 코시 점렬의 개념은 [[수열]]의 [[극한]]과 [[급수 (수학)|급수]]의 개념을 엄밀하게 정의하려는 시도에서 비롯되었다. 1817년에 [[베르나르트 볼차노]]는 [[중간값 정리]]에 대한 논문<ref>{{저널 인용|성=Bolzano|이름=Bernard|저자링크=베르나르트 볼차노|날짜=1817|제목=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege|출판사= Wilhelm Engelmann|언어=de}}</ref>에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나,<ref name="Lutzen">{{서적 인용|제목=A history of analysis|장=The foundation of analysis in the 19th century|이름=Jesper|성=Lützen|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=HMATH-24|쪽=155–212|편집자=Hans Niels Jahnke|isbn=978-0-8218-2623-2|총서=History of Mathematics|권=24|출판사=American Mathematical Society, London Mathematical Society|날짜=2003|언어=en}}</ref>{{rp|§6.4.2, 174–176}} 서유럽에서 멀리 떨어진 [[프라하]]에서 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다. 이후 [[오귀스탱 루이 코시]]가 1921년에 유명한 저서 《[[에콜 폴리테크니크]] 해석학 교재》({{llang|fr|Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique}})<ref>{{서적 인용| author-first=Augustin-Louis | author-last=Cauchy | author-link=오귀스탱 루이 코시 | title=Cours d’Analyse de l’Ecole royale polytechnique. 1. Analyse Algébrique | date=1821 | publisher=L’Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi | 언어=fr}}</ref>에서 [[급수 (수학)|급수]]의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.<ref name="Lutzen"/>{{rp|§6.3.4, 167}}

카리스티 고정점 정리는 제임스 카리스티({{llang|en|James V. Caristi}})가 1976년 논문에서 제시하였다.<ref name="Caristi">{{저널 인용
|성1=Caristi
|이름1=James
|제목=Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=215
|쪽=241–251
|날짜=1976
|issn=0002-9947
|doi=10.1090/S0002-9947-1976-0394329-4
|mr=0394329
}}</ref> 카리스티는 증명에서 [[초한 귀납법]]을 사용하였으며, 이는 [[선택 공리]]에 의존한다. 이후 더 약한 조건인 [[의존적 선택 공리]]에 의존하는 방법들로 재증명되었다. 로만 만카({{llang|pl|Roman Manka}})가 1988년 논문에서 어떠한 꼴의 선택 공리도 필요 없는 증명을 제시하였다.<ref name="Mańka">{{저널 인용
|성1=Mańka
|이름1=Roman
|제목=Some forms of the axiom of choice
|언어=en
|저널=Jahrbuch der Kurt-Gödel-Gesellschaft
|권=1
|쪽=24–34
|날짜=1988
}}</ref> 카리스티 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있다는 사실은 카리스티의 지도 교수였던 윌리엄 아서 커크({{llang|en|William Arthur Kirk}})가 1976년 논문에서 증명하였다.<ref name="Kirk">{{저널 인용
|성1=Kirk
|이름1=William Arthur
|제목=Caristi’s fixed point theorem and metric convexity
|언어=en
|저널=Colloquium Mathematicum
|권=36
|쪽=81–86
|날짜=1976
|issn=0010-1354
|doi=10.1186/s13663-015-0464-5
}}</ref>

칸난 고정점 정리는 라빈드란 칸난({{llang|ta|ரவிந்திரன் கண்ணன்}}, {{llang|en|Ravindran Kannan}})이 1968년 논문에서 증명하였다.<ref name="Kannan">{{저널 인용
|성=Kannan
|이름=Ravindran
|제목=Some results on fixed points
|언어=en
|저널=Bulletin of the Calcutta Mathematical Society
|권=60
|쪽=71–76
|날짜=1968
|issn=0008-0659
|mr=257837
}}</ref> 수브라마냠({{llang|en|P. V. Subrahmanyam}})<ref name="Subrahmanyam">{{저널 인용
|성1=Subrahmanyam
|이름1=P. V.
|제목=Completeness and fixed-points
|언어=en
|저널=Monatshefte für Mathematik
|권=80
|쪽=325–330
|날짜=1975
|issn=0026-9255
|doi=10.1007/BF01472580
}}</ref>과 시오지 나오키({{llang|en|Naoki Shioji}}), 스즈키 도모나리({{llang|en|Tomonari Suzuki}}), 다카하시 와타루({{llang|en|Wataru Takahashi}})<ref name="Shioji">{{저널 인용
|성1=Shioji
|이름1=Naoki
|성2=Suzuki
|이름2=Tomonari
|성3=Takahashi
|이름3=Wataru
|제목=Contractive mappings, Kannan mappings and metric completeness
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=126
|쪽=3117–3124
|날짜=1998
|issn=0002-9939
|doi=10.1090/S0002-9939-98-04605-X
|mr=1469434
}}</ref>가 칸난 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있음을 독자적으로 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complete metric space}}
* {{eom|title=Cauchy sequence}}
* {{eom|title=Cauchy criteria}}
* {{매스월드|id=CompleteMetricSpace|title=Complete metric space}}
* {{매스월드|id=CauchySequence|title=Cauchy sequence}}
* {{nlab|id=complete space|title=Complete space}}
* {{nlab|id=complete topological space|title=Complete topological space}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Cauchy_Sequence|제목=Definition: Cauchy sequence|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-12-10|보존url=https://web.archive.org/web/20151210221206/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Cauchy_Sequence|보존날짜=2015-12-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Metric_Space|제목=Definition: complete metric space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-12-10|보존url=https://web.archive.org/web/20151210220627/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Complete_Metric_Space|보존날짜=2015-12-10|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[완비화 (환론)]]
* [[완비 리만 다양체]]
* [[완비 거리화 가능 공간]]

[[분류:계량기하학]]