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[[파일:Graph_of_x_squared_undefined_at_x_equals_2.svg|오른쪽|섬네일|200x200픽셀|''x''&nbsp;=&nbsp;2에서 '''없앨 수 있는 특이점'''을 갖는 [[포물선]]의 그래프]]
[[복소해석학]]에서, [[정칙함수]]의 '''없앨 수 있는 특이점'''이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 [[근방]]에서 [[해석 함수|정칙]]이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다.

예를 들어, (정규화되지 않은) [[싱크함수]]

: <math> \text{sinc}(z) = \frac{\sin z}{z} </math>

는 ''z'' = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은 <math>\text{sinc}</math>의 ''z''가 0으로 갈 때의 극한인, <math>\text{sinc}(0) := 1</math>으로 정의함으로써 제거될 수 있다. 결과로 얻은 함수는 정칙함수이다. 이 경우 문제는 <math>\text{sinc}</math>가 [[부정형]]으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서 <math>\frac{\sin(z)}{z}</math>에 대한 거듭제곱 전개를 취하면

: <math> \text{sinc}(z) = \frac{1}{z}\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k+1)!} = 1 - \frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} - \frac{z^6}{7!} + \cdots. </math>

형식적으로, 만일 <math>U \subset \mathbb C</math>가 [[복소평면]] <math>\mathbb C</math>의 [[열린 부분집합]]이고, <math>a \in U</math> 가 <math>U</math>의 점이며, <math>f: U\setminus \{a\} \rightarrow \mathbb C</math>가 [[정칙함수]]일 때, <math>U\setminus \{a\}</math>에서 <math>f</math>와 일치하는 정칙함수 <math>g: U \rightarrow \mathbb C</math>가 있으면, <math>a</math>를 '''없앨 수 있는 특이점'''이라 한다. 이때, 그러한 <math>g</math>가 존재하면, <math>f</math>는 <math>U</math> 위에 정칙적으로 확장 가능하다고 한다.

== 리만의 정리 ==
없앨 수 있는 특이점에 대한 [[베른하르트 리만|리만]]의 정리는 다음과 같다.

''' 정리.''' <math>D \subset \mathbb C</math>가 복소평면의 열린 부분집합이고, <math>a \in D</math>가 <math>D</math>의 점이며 <math>f</math>가 집합 <math>D \setminus \{a\}</math>에서 정의된 정칙함수라 하자. 그러면 다음은 동치이다:

# <math>f</math>가 <math>a</math>로 정칙적으로 확장 가능하다.
# <math>f</math>가 <math>a</math>로 연속적으로 확장 가능하다.
# <math>f</math>가 [[유계]]인 <math>a</math>의 [[근방]]이 존재한다.
# <math>\lim_{z\to a}(z - a) f(z) = 0</math>.

1 ⇒ 2  ⇒ 3  ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해, <math>a</math>에서의 정칙성이 <math>a</math>에서 해석적인 것과 동치임을 상기하자([[정칙함수의 해석성|증명]]), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자.

: <math>
  h(z) = \begin{cases}
    (z - a)^2 f(z) &  z \ne a ,\\
    0              &  z = a .
  \end{cases}
</math>

분명히, ''h''는 ''D''&nbsp;-{''a''}에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다.

: <math>h'(a)=\lim_{z\to a}\frac{(z - a)^2f(z)-0}{z-a}=\lim_{z\to a}(z - a) f(z)=0</math>

따라서 ''h''는 ''D''에서 정칙이고 ''a''에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다.

: <math>h(z) = c_0 + c_1(z-a) + c_2 (z - a)^2 + c_3 (z - a)^3 + \cdots \, .</math>

''c''<sub>0</sub> = ''h''(''a'') = 0이고 ''c''<sub>1</sub> = ''h{{'}}''(''a'') = 0이므로

: <math>h(z) = c_2 (z - a)^2 + c_3 (z - a)^3 + \cdots \, .</math>

따라서, ''z''&nbsp;≠&nbsp;''a''일 때, 다음을 얻는다.

: <math>f(z) = \frac{h(z)}{(z - a)^2} = c_2 + c_3 (z - a) + \cdots \, .</math>

그런데,

: <math>g(z) = c_2 + c_3 (z - a) + \cdots \, .</math>

는 ''D''에서 정칙이므로, ''f''의 확장이다.

== 다른 종류의 특이점 ==
실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다.

# 리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면, <math>\lim_{z \rightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0</math>인 자연수 <math>m</math>이 존재하는지 물을 수도 있을 것이다. 만일 그렇다면, <math>a</math>를 <math>f</math>의 '''[[극점 (복소해석학)|극점]]'''이라 하고, 가장 작은 <math>m</math>을 <math>a</math>의 '''위수'''라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 [[극점 (복소해석학)|극점]]이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다.
# 만일 <math>f</math>의 고립특이점 <math>a</math>가 없앨 수 있는 특이점도, 극점도 아니면, 이를 '''[[본질적 특이점]]'''이라 한다. [[피카르의 정리|피카르의 대정리]]는 그러한 <math>f</math>는 모든 구멍 뚫린 열린 근방 <math>U \setminus \{a\}</math>를 최대 한 점을 예외점으로 갖는 복소평면 전체로 사상함을 보여준다.

== 같이 보기 ==

* 해석적 용량
* [[불연속점의 분류|없앨 수 있는 불연속점]]

== 외부 링크 ==
* [http://www.encyclopediaofmath.org/ 수학 백과]의 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Removable_singular_point 없앨 수 있는 특이점]

[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:유리형 함수]]
[[분류:해석 함수]]