{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''으뜸 아이디얼'''({{llang|en|primary ideal}})은 [[소 아이디얼]]의 개념의 일반화이다. 이를 통해 '''으뜸 분해'''({{llang|en|primary decomposition}})라는, [[소인수 분해]]의 일반화를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
=== 으뜸 부분 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 다음 성질을 만족시킨다면, <math>_RM</math>을 '''여으뜸 왼쪽 가군'''(餘-加群, {{llang|en|coprimary left module}})이라고 한다.<ref name="Riley">{{저널 인용|제목=Axiomatic primary and tertiary decomposition theory|이름=John A.|성=Riley|날짜=1962-11|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=105|호=2|쪽=177–201|mr=0141683|issn=0002-9947|doi=10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4|언어=en}}</ref>{{rp|185, §3}}
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여, 만약 <math>rRm=\{0\}</math>이라면, <math>r\in\sqrt{\operatorname{Ann}(_RM)}</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{Ann}</math>은 [[소멸자]]이며, <math>\sqrt{}</math>은 [[소근기]](즉, 이를 포함하는 모든 [[소 아이디얼]]들의 [[교집합]])이다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 이는 다음 조건과 [[동치]]이다.
:모든 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, 만약 <math>rm=0</math>이라면, <math>m=0</math>이거나 아니면 충분히 큰 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>r^nM=\{0\}</math>이다.

<math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''으뜸 부분 가군'''({{llang|en|primary submodule}}) <math>N\subseteq M</math>은 <math>M/N</math>이 공으뜸 왼쪽 가군인 [[부분 가군]]이다. [[오른쪽 가군]]에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

<math>_RR</math>의 으뜸 부분 가군을 '''으뜸 왼쪽 아이디얼'''({{llang|en|primary left ideal}})이라고 한다.

=== 삼종 아이디얼 ===
환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌을 때, <math>\operatorname{ter}_RM\subseteq R</math>을 다음과 같이 정의하자.<ref name="Riley"/>{{rp|185, §3}}<ref name="Croisot"/>{{rp|22-02, Définition 1.1}}
:<math>\operatorname{ter}_RM=\{r\in R\colon\forall m\in M\setminus\{0\}\exists s\in R\colon rRsm=\{0\},\;sm\ne0\}</math>
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''여삼종 가군'''(餘三種加群, {{llang|en|cotertiary module}})이라고 한다.<ref name="Riley"/>{{rp|185, §3}}<ref name="Croisot"/>{{rp|22-02, Définition 2.1}}
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M\setminus\{0\}</math>에 대하여, 만약 <math>rRm=\{0\}</math>이라면, <math>r\in\operatorname{ter}_RM</math>이다.
[[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>이 주어졌을 때, <math>\operatorname{Ass}(_RM)=\{\mathfrak p\}</math>인 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>을 '''<math>\mathfrak p</math>-여삼종 가군'''({{llang|en|<math>\mathfrak p</math>-cotertiary module}})이라고 한다.

[[왼쪽 뇌터 환]] <math>R</math>위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Riley"/>{{rp|186}}<ref name="Lesieur"/>{{rp|Théorème 2}}<ref name="Stenstrom">{{서적 인용|제목=Rings of quotients: an introduction to methods of ring theory|이름=Bo|성=Stenström|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=217|doi=10.1007/978-3-642-66066-5|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-07117-4|issn=0072-7830|날짜=1975|언어=en}}</ref>{{rp|161, §VII.1}}
* 여삼종 가군이다.
* 정확히 1개의 [[연관 소 아이디얼]]을 갖는다.

환 <math>M</math>의 가군 <math>M</math>의 부분 가군 <math>N</math>에 대하여, 만약 몫가군 <math>M/N</math>이 여삼종 가군이라면, <math>N</math>을 '''삼종 부분 가군'''({{llang|en|tertiary submodule}})이라고 한다.

환 <math>R</math> 위의 왼쪽 가군 <math>_RM</math>에 대하여 항상
:<math>\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}\subseteq\operatorname{ter}_RM</math>
이며, 따라서 모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면
:<math>\sqrt{\operatorname{Ann}_RM}=\operatorname{ter}_RM</math>
이며, 따라서 가환환의 경우 으뜸 부분 가군의 개념은 삼종 부분 가군의 개념과 동치이다.

=== 가환환의 경우 ===
[[가환환]] <math>R</math>의 아이디얼 <math>\mathfrak q</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 <math>R</math>의 '''으뜸 아이디얼'''이라고 한다.
* <math>R</math>의 으뜸 부분 가군이다.
* <math>R</math>의 삼종 부분 가군이다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s^n\in\mathfrak q</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여, 만약 <math>rs\in\mathfrak q</math>라면 <math>r\in\mathfrak q</math>이거나, <math>s\in\mathfrak q</math>이거나, 아니면 <math>r,s\in\sqrt{\mathfrak q}</math>이다. 여기서 <math>\sqrt{}</math>는 [[소근기]]이다.
* <math>R/\mathfrak q</math>의 모든 [[영인자]]는 [[멱영원]]이다.

== 성질 ==
[[가환환]]의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[아이디얼]] ⊇ [[반소 아이디얼]]  ∪  으뜸 아이디얼 ⊇ [[반소 아이디얼]] ∩ 으뜸 아이디얼 = [[소 아이디얼]] ⊇ [[극대 아이디얼]]
특히, [[소 아이디얼]]은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 <math>R</math>의 전체 아이디얼 <math>(1)=R</math> 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 [[소근기]]는 항상 [[소 아이디얼]]이다. 으뜸 아이디얼 <math>\mathfrak q</math>의 [[소근기]]가 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>이면, <math>\mathfrak q</math>를 '''<math>\mathfrak p</math>-으뜸 아이디얼'''({{llang|en|<math>\mathfrak p</math>-primary ideal}})이라고 한다. 반대로, [[소근기]]가 [[극대 아이디얼]]인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 [[소근기]]가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

=== 공으뜸 가군 ===
[[뇌터 가환환]] 위의, 영가군이 아닌 [[유한 생성 가군]] <math>M</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 공으뜸 가군이다.
* 정확히 1개의 [[연관 소 아이디얼]]을 갖는다.

=== 으뜸 분해 ===
[[왼쪽 뇌터 환]] 위의 [[유한 생성 왼쪽 가군]]은 유일한 삼종 분해를 갖는다. 즉, [[왼쪽 뇌터 환]] <math>R</math> 위의 [[유한 생성 왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 부분 가군 <math>_RN</math>에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 유한 개의 서로 다른 삼종 부분 가군 <math>N_1,\dots,N_k\subseteq M</math> 및 [[소 아이디얼]] <math>\{\mathfrak p_i\}=\operatorname{Ass}(_RM/N_i)</math>들이 존재한다.<ref name="Riley"/>{{rp|186}}<ref name="Stenstrom"/>{{rp|162, Proposition VII.1.13}}
* <math>N=N_1\cap N_2\cap\cdots\cap N_k</math>
* 임의의 <math>i=1,\dots,k</math>에 대하여, <math>N\ne N_1\cap N_2\cap N_{i-1}\cap N_{i+1}\cap\cdots\cap N_k</math>
* <math>\operatorname{Ass}(_RN)</math>은 [[유한 집합]]이며, 그 크기는 <math>k</math>이며, 또한 <math>\operatorname{Ass}_k(N_i)=\{\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k\}</math>이다.
* 임의의 <math>1\le i,j\le k</math>에 대하여, <math>i\ne j</math>라면 <math>\mathfrak p_i\ne\mathfrak p_j</math>이며 <math>N_i\ne N_j</math>이다.
이를 <math>N</math>의 '''삼종 분해'''({{llang|en|tertiary decomposition}})라고 한다. 또한, 삼종 분해는 다음과 같은 의미에서 유일하다.<ref name="Riley"/>{{rp|186}}<ref name="Stenstrom"/>{{rp|162, Proposition VII.1.13}}
* <math>N</math>의 두 삼종 분해 <math>\{(N_i,\mathfrak p_i)\}_{1\le i\le k}</math>, <math>\{(N_j',\mathfrak p_j')\}_{1\le j\le k'}</math>가 주어졌을 때, <math>k=k'</math>이며, <math>\mathfrak p_i=\mathfrak p'_{\sigma(i)}</math>가 되는 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}\{1,\dots,k\}</math>이 존재한다. (그러나 <math>N_i=N'_{\sigma(i)}</math>일 필요는 없다.)

만약 <math>R</math>가 [[뇌터 가환환]]일 경우, 삼중 부분 가군의 개념은 으뜸 부분 가군의 개념과 일치하며, 이 경우를 '''으뜸 분해'''라고 한다. 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군이 으뜸 분해를 갖는다는 사실은  '''라스커-뇌터 정리'''({{llang|en|Lasker–Noether theorem}})라고 한다.

구체적으로, [[뇌터 가환환]] <math>R</math>의 아이디얼 <math>\mathfrak a</math>의 으뜸 분해는 다음과 같은 [[알고리즘]]으로 찾을 수 있다.
# 만약 <math>\mathfrak a</math>가 으뜸 아이디얼이라면, <math>\{\mathfrak a\}</math>는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, <math>rs\in\mathfrak a</math>인 <math>r,s \in R\setminus\sqrt{\mathfrak a}</math>를 찾을 수 있다.
# <math>\mathfrak a:r^\infty=\mathfrak a:r^n</math>이 되는 충분히 큰 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>을 찾는다.
# 그렇다면, <math>\mathfrak a=(\mathfrak a+r^nR)\cap(\mathfrak a:r^n)</math>이므로, <math>\mathfrak a+r^nR</math> 및 <math>\mathfrak a:r^n</math>의 으뜸 분해를 찾으면 <math>\mathfrak a</math>의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (<math>\mathfrak a+r^nR</math>와 <math>\mathfrak a:r^n</math>는 <math>\mathfrak a</math>보다 더 큰 아이디얼이므로, [[뇌터 환]] 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)
여기서
:<math>\mathfrak a:r^\infty=\bigcup_{n=0}^\infty(\mathfrak a:r^n)</math>
:<math>\mathfrak a:r^n=\{s\in R\colon sr^n\in\mathfrak a\}</math>
이다.

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>은 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 모든 아이디얼이 [[주 아이디얼]]이다. 정수환에서 소 아이디얼은 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]] <math>(p)</math>이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 [[거듭제곱]] <math>p^n</math> (<math>n\in\mathbb Z^+</math>)으로 생성되는 [[주 아이디얼]] <math>(p^n)</math>이다.

=== 소근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K[x,y,z]/(xy-z^2)</math>를 생각하자. 이 경우,
:<math>\mathfrak p=(x,z)</math>
라고 하자. 이는 [[소 아이디얼]]이다. 즉, <math>\mathfrak p^2=(x^2,z^2,xz)</math>의 [[소근기]] <math>\sqrt{\mathfrak p^2}=\mathfrak p</math>는 소 아이디얼이다. 그러나 <math>\mathfrak p^2</math>는 으뜸 아이디얼이 아니다.
:<math>xy=z^2\in\mathfrak p^2</math>
이지만,
:<math>x\not\in\mathfrak p^2</math>
:<math>y^n\not\in\mathfrak p^2\forall n\in\mathbb Z^+</math>
이기 때문이다. <math>\mathfrak p^2</math>의 으뜸 분해는
:<math>\mathfrak p^2=(x)\cap(x^2,xz,y)</math>
이다.

== 역사 ==
[[소인수 분해]]를 [[정수환]]에서 보다 일반적인 [[환 (수학)|환]]으로 일반화하는 것은 [[환론]]의 오래된 문제이다. 일부 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]이 [[유일 인수 분해 정역]]이 아니지만 (즉, 환의 원소가 [[기약원]]으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), [[데데킨트 정역]]이라는 것(즉, [[아이디얼]]이 [[소 아이디얼]]로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 [[아이디얼]]의 분해가 대두되었다. 그러나 [[데데킨트 정역]]이 아닌 환들의 경우, [[소 아이디얼]]로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, [[에마누엘 라스커]]가 라스커-뇌터 정리를 [[다항식환]]에 대하여 증명하였고,<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Lasker|저자링크=에마누엘 라스커|제목=Zur Theorie der Moduln und Ideale|저널=Mathematische Annalen|권=60|날짜=1905|쪽=19–116|doi=10.1007/BF01447495|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002260093|issn=0025-5831|언어=de}}</ref> 그 뒤 [[에미 뇌터]]가 라스커-뇌터 정리를 일반적 [[뇌터 가환환]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|제목=Idealtheorie in Ringbereiche|저널=Mathematische Annalen|권=83|날짜=1921|쪽=24–66|issn=0025-5831|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|doi=10.1007/BF01464225|언어=de|확인날짜=2016-05-14|보존url=https://web.archive.org/web/20150712144807/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|보존날짜=2015-07-12|url-status=dead}}</ref>{{rp|44, §5, Satz IX}} 이에 따라 임의의 [[뇌터 가환환]]에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르({{llang|fr|Léonce Lesieur}})와 로베르 크루아조({{llang|fr|Robert Croisot}})가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, [[왼쪽 뇌터 환]]의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.<ref name="Croisot">{{저널 인용|이름=Robert|성=Croisot|제목=Exposé № 22. Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demi-groupes non nécessairement commutatifs (exposé d’une partie d’un mémoire de L. Lesieur et R. Croisot, à paraître au Math. Zeitschrift)|저널=Séminaire P. Dubreil et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=10|zbl=0116.02405|url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1956-1957__10__A20_0|날짜=1957-05-20|언어=fr}}</ref><ref name="Lesieur">{{저널 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|제목=Exposé № 14. Théorie noethérienne des anneaux non commutatifs: une propriété caractéristique des idéaux tertiaires|저널=Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot. Algèbre et théorie des nombres|권=11|호=2|zbl=0116.26405 |url=http://www.numdam.org/item?id=SD_1957-1958__11_2_A1_0|날짜=1958-02-17|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=Robert|성2=Croisot|제목=Extension au cas non commutatif d’un théorème de Krull et d’un lemme d’Artin-Rees. À M. Wolfgang Krull, à l’occasion de son 60<sup>e</sup> anniversaire|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00217880X|권=204|날짜=1960|쪽=216–220|mr=0131436|doi=10.1515/crll.1960.204.216|issn=0075-4102|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Léonce|성=Lesieur|이름2=Robert|성2=Croisot|제목=Algèbre nœthérienne non commutative|출판사=Gauthier-Villars & C<sup>ie</sup>|날짜=1963|총서=Mémorial des sciences mathématiques|권=154|mr=155861|zbl=0115.02903|url=http://www.numdam.org/item?id=MSM_1963__154__1_0|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Decomposition theories for modules|이름=Joe W.|성=Fisher|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=145|날짜=1969|쪽=241–269|mr=0252436|doi=10.1090/S0002-9947-1969-0252436-7 |issn=0002-9947|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Primary ideal}}
* {{eom|title=Lasker ring}}
* {{eom|title=Primary decomposition}}
* {{eom|title=Additive theory of ideals}}
* {{eom|title=Tertiary ideal}}
* {{매스월드|id=PrimaryIdeal|title=Primary ideal}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Primary_ideal|제목=Primary ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Primary_ring|제목=Primary ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Primary_decomposition_theorem_for_ideals|제목=Primary decomposition theorem for ideals|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Primary_decomposition_of_an_ideal|제목=Primary decomposition of an ideal|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://people.reed.edu/~iswanson/primdec.pdf|제목=Primary decompositions|이름=Irena|성=Swanson|언어=en|확인날짜=2016-05-14|archive-date=2020-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20200923052018/http://people.reed.edu/~iswanson/primdec.pdf}}

[[분류:아이디얼]]
[[분류:가환대수학]]