{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''폴란드 공간'''(Poland空間, {{llang|en|Polish space}})은 지나치게 크지 않으며, [[완비 거리 공간]]과 유사하여 [[측도론]] 및 [[기술적 집합론]]을 쉽게 전개할 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''폴란드 공간'''이라고 한다.
* [[제2 가산]] [[완비 거리화 가능 공간]]이다.<ref name="김승욱">{{서적 인용|저자=김승욱|제목=위상수학: 집합론을 중심으로|출판사=경문사|판=2판|날짜=2004|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|isbn=89-7282-587-5|언어=ko|access-date=2014-10-25|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129022435/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|url-status=}}</ref>{{rp|228}}
* [[분해 가능]] [[완비 거리화 가능 공간]]이다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|13, Definition 3.1}}
* <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]과 [[위상 동형]]이다.<ref>{{서적 인용 | last=Srivastava| first=Shashi Mohan | title=A course on Borel sets | 날짜=1991 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-3-642-85475-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-3-642-85473-6|권=180|zbl=0903.28001|mr=1619545 |언어=en}}</ref>{{rp|55}} ('''힐베르트 입방체'''({{llang|en|Hilbert cube}}) <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>는 [[실수]]의 [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math>의 가산 무한 [[곱공간]]이다.)
* <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>의 [[닫힌집합]]과 [[위상 동형]]이다.
마지막 조건에 따라, 힐베르트 입방체 또는 <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>는 일종의 "보편 폴란드 공간"으로 여길 수 있다.

'''폴란드 군'''(Poland群, {{llang|en|Polish group}})은 폴란드 공간인 [[위상군]]이다. 폴란드 군은 폴란드 공간의 성질을 그대로 이어받기 때문에 위상군으로서 다루기 편하다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
'''마주르키에비치 정리'''(-定理, {{llang|en|Mazurkiewicz theorem}})에 따르면, [[폴란드 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|230}}<ref name="Kechris"/>{{rp|17, Theorem 3.11}}
* <math>A</math> 역시 폴란드 공간이다.
* <math>A</math>는 <math>X</math>의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다.
특히, 모든 [[열린집합]]과 모든 [[닫힌집합]]은 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이므로, 폴란드 공간의 [[열린집합]] 또는 [[닫힌집합]]은 폴란드 공간이다.

폴란드 공간들의 모임은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
* [[가산 집합|가산]] 개의 폴란드 공간들의 [[곱공간]]은 폴란드 공간이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|229}}
* [[가산 집합|가산]] 개의 폴란드 공간들의 [[분리합집합]]은 폴란드 공간이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|229}}

[[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 속의 부분 집합들 <math>(A_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 각각 폴란드 공간을 이룬다면, 그 [[교집합]] <math>\bigcap_{i\in\mathbb N}A_i</math> 역시 폴란드 공간을 이룬다.

=== 위상수학적 성질 ===
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[국소 콤팩트]] 폴란드 공간이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|29, Theorem 5.3(iv)}}
* [[제2 가산]] [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|29, Theorem 5.3(ii)}}
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리화 가능 공간]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|29, Theorem 5.3(iii)}}
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리화 가능 공간]]의 [[열린집합]]과 [[위상 동형]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|29, Theorem 5.3(v)}}
그러나 폴란드 공간이 [[국소 콤팩트 공간]]일 필요는 없다.

폴란드 공간은 [[제2 가산 공간]]이므로, [[칸토어-벤딕손 정리]]가 성립한다.

[[베르 공간 (집합론)|베르 공간]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 [[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. [[칸토어 공간]] <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>은 크기 2의 [[이산 공간]] <math>\{0,1\}</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. 이 경우,
* 임의의 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X\ne\varnothing</math>이라면, [[연속 함수|연속]] [[전사 함수]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}\to X</math>가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|38, Theorem 7.9}}
* 임의의 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>의 어떤 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq \mathbb N^{\aleph_0}</math>로 가는 [[연속 함수|연속]] [[전단사 함수]] <math>F\to X</math>가 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|38, Theorem 7.9}} (그러나 이는 [[위상 동형 사상]]이 아닐 수 있다.)
* 임의의 폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 [[비가산 집합]]이라면, <math>X</math>는 <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>과 [[위상 동형]]인 부분 집합 <math>A\subseteq X</math>을 갖는다.

폴란드 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|40, Exercise 7.15}}
* [[고립점]]을 갖지 않으며 [[공집합]]이 아니다.
* [[연속 함수|연속]] [[전사 함수]] <math>f\colon\mathbb N^{\aleph_0}\to X</math>가 존재한다.

=== 집합론적 성질 ===
임의의 폴란드 공간의 [[집합의 크기|크기]]는 다음 가운데 하나이다.
:<math>|X|\in\{0,1,2,\dots,\aleph_0,2^{\aleph_0}\}</math>
다시 말해, 모든 폴란드 공간의 크기는 <math>2^{\aleph_0}</math> 이하이며, 또한 ([[연속체 가설]]과 독립적으로) <math>\aleph_0<|X|<2^{\aleph_0}</math>인 폴란드 공간 <math>X</math>는 존재하지 않는다.<ref name="Berberian"/>{{rp|§3.1}}

=== 측도론적 성질 ===
폴란드 공간에 [[보렐 시그마 대수]]를 부여하면, 이는 [[가측 공간]]을 이룬다. 이와 같이, 폴란드 공간과 ([[가측 공간]]으로서) 동형인 [[가측 공간]]을 '''표준 보렐 공간'''(標準Borel空間, {{llang|en|standard Borel space}})이라고 한다.

두 표준 보렐 공간 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 명제가 서로 [[동치]]이다.<ref name="Berberian">{{서적 인용|장url=https://www.ma.utexas.edu/mp_arc/c/02/02-156.pdf|장=Borel spaces|zbl=0806.54031|성=Berberian|이름=S. K.|날짜=1988|제목=Functional analysis and its applications|쪽=134–197|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1.2}}
* <math>X</math>와 <math>Y</math>는 서로 [[동형]]이다. 즉, <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이에 [[전단사 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 존재하며, 이는 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 [[보렐 시그마 대수]] 사이의 동형 <math>f^*\colon\mathcal B(X)\to\mathcal B(Y)</math>을 유도한다.
* <math>|X|=|Y|</math>이다. 즉, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 [[집합의 크기|크기]]가 같다.

모든 표준 보렐 공간은 다음 [[가측 공간]] 가운데 정확히 하나와 동형이다.<ref name="Berberian"/>{{rp|§3.1.2}} ([[가측 공간]]으로서의 동형은 [[위상 동형]]보다 더 약하다.)
* 보렐 시그마 대수를 갖춘 실수선 <math>(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>
* 이산 시그마 대수를 갖춘 자연수 집합 <math>(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))</math>
* 이산 시그마 대수를 갖춘, 크기가 <math>n</math>인 [[유한 집합]] <math>(\{1,\dots,n\},\mathcal P(\{1,\dots,n\}))</math> (<math>n=0,1,2,\dots</math>)

== 예 ==
[[이산 공간]]에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[가산 집합]]이다.
* [[제2 가산 공간]]이다.
* 폴란드 공간이다.
(이는 비가산 이산 공간은 [[제2 가산 공간]]이 아니므로 폴란드 공간이 아니기 때문이다.)

모든 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>은 폴란드 공간이다. 보다 일반적으로, 모든 [[분해 가능]] [[바나흐 공간]]은 폴란드 공간이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|14, §3.A}}

'''힐베르트 입방체'''({{llang|en|Hilbert cube}}) <math>[0,1]^{\aleph_0}</math>는 [[실수]]의 [[닫힌구간]] <math>[0,1]</math>의 가산 무한 [[곱공간]]이며, 이는 폴란드 공간이다.

'''[[베르 공간 (집합론)|베르 공간]]''' <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 [[가산 무한]] [[이산 공간]] <math>\mathbb N</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다. 이는 [[무리수]]의 위상 공간 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>과 [[위상 동형]]이다.

'''[[칸토어 공간]]''' <math>\{0,1\}^{\aleph_0}</math>은 크기 2의 [[이산 공간]] <math>\{0,1\}</math>의 [[가산 무한]] 개 [[곱공간]]이다.

== 역사 ==
[[바츠와프 시에르핀스키]] · [[카지미에시 쿠라토프스키]] · [[알프레트 타르스키]] 등이 도입하고 연구하였다. 이들이 모두 [[폴란드]]의 위상수학자·논리학자였기 때문에 ‘폴란드 공간’이라는 이름이 붙었다.<ref name="김승욱"/>{{rp|228}}

마주르키에비치 정리는 [[스테판 마주르키에비치]]가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Descriptive set theory}}
* {{매스월드|id=PolishSpace|title=Polish space}}
* {{nlab|id=Polish space}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Polish_Space|제목=Definition: Polish space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://homepages.math.uic.edu/~marker/math512/dst.pdf|제목=Descriptive set theory|이름=David|성=Marker|날짜=2002|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:집합론]]
[[분류:기술적 집합론]]