{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''힐베르트 다항식'''(Hilbert多項式, {{llang|en|Hilbert polynomial}})은 [[대수다양체]]의 함수 대수의 모양을 담고 있는, [[생성함수]]의 일종이다.

== 정의 ==
=== 힐베르트 급수와 힐베르트 함수 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[등급 벡터 공간]] <math>S</math>가 주어졌다고 하고, 각 등급의 차원이 유한하다고 하자.
:<math>S=\bigoplus_{i\in\mathbb N}S_i</math>
:<math>\dim_KS_i<\aleph_0\forall i\in\mathbb N</math>
<math>S</math>의 '''힐베르트 급수'''(Hilbert級數, {{llang|en|Hilbert series}}) 또는 '''힐베르트-푸앵카레 급수'''(Hilbert-Poincaré級數, {{llang|en|Hilbert–Poincaré series}})는 다음과 같은 [[형식적 멱급수]]이다.
:<math>\operatorname{HS}_S(t)=\sum_{i\in\mathbb N}(\dim_KS_i)t^i\in\mathbb Z[[t]]</math>
<math>S</math>의 '''힐베르트 함수'''(Hilbert函數, {{llang|en|Hilbert function}})는 다음과 같은, 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 함수이다.<ref name="Eisenbud">{{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |zbl=0819.13001 | 언어=en}}</ref>{{rp|42}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|51}}
:<math>\operatorname{HF}_S\colon\mathbb N\to\mathbb N</math>
:<math>\operatorname{HF}_S\colon i\mapsto\dim_KS_i</math>

=== 힐베르트 다항식 ===
만약 다음 조건을 만족시키는 [[다항식]] <math>\operatorname{HP}_S(t)\in\mathbb Q[t]</math> 및 자연수 <math>r\in\mathbb N</math>가 존재한다면, 이를 <math>S</math>의 '''힐베르트 다항식'''이라고 한다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|42}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|52}}
:<math>\operatorname{HP}_S(i)=\operatorname{HF}_S(i)\forall i\ge r</math>
위 조건을 만족시키는 최소의 <math>r</math>를 <math>S</math>의 '''힐베르트 정칙성'''(Hilbert正則性, {{llang|en|Hilbert regularity}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 가법성 ===
힐베르트 다항식과 힐베르트 급수는 [[짧은 완전열]]에 대하여 가법적이다. 즉, 체 <math>K</math> 위의 세 개의 유한 생성 등급 [[가환 결합 대수]] <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>가 주어졌고, 이들이 등급 <math>K</math>-가군의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to A\to B\to C\to0</math>
을 이룬다면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{HS}_A(t)+\operatorname{HS}_C(t)=\operatorname{HS}_B(t)</math>
:<math>\operatorname{HP}_A(t)+\operatorname{HP}_C(t)=\operatorname{HP}_B(t)</math>
이는 짧은 완전열에서 (등급) 벡터 공간의 차원이 가법적이기 때문이다.

=== 힐베르트-세르 정리 ===
<math>S</math>가 단순히 등급 벡터 공간이 아니라, 유한 생성 [[등급환|등급]] 가환 [[단위 결합 대수]]라고 하자. '''힐베르트-세르 정리'''({{llang|en|Hilbert–Serre theorem}})에 따르면, <math>S</math>는 항상 힐베르트 다항식을 갖는다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|42, Theorem 1.11}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|51, Theorem I.7.5}}

구체적으로, 생성원들이 <math>s_1,\dots,s_h\in S_1</math>라고 하자. 그렇다면 힐베르트 급수는 다음과 같은 꼴을 취한다. 여기서 <math>P_S(t)</math>는 양의 정수 계수의 [[다항식]]이다.
:<math>\operatorname{HS}_S(t)=P_S(t)\prod_{k=1}^h(1-t^{\deg s_i})^{-1}</math>
:<math>P_S=\sum_{i=0}^{\deg P_S}P_it^i\in\mathbb Z[t]</math>
만약 모든 생성원의 등급이 1일 경우, 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{HS}_S(t)=\frac{P_S(t)}{(1-t)^h}=P_S(t)\sum_{i=0}^\infty\binom{i+h-1}{h-1}t^i</math>
따라서,
:<math>\operatorname{HF}_S(i)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j\binom{i-j+h-1}{h-1}</math>
이다. 이는 <math>i</math>에 대한 다항식이므로,
:<math>\operatorname{HP}_S(t)=\sum_{j=0}^{\deg P_S}P_j
\frac{(t-j+h-1)(t-j+h-2)\cdots(t-j)}{(h-1)!}\in\mathbb Q[t]</math>
로 놓으면
:<math>\operatorname{HF}_S(i)=\operatorname{HP}_S(i)\quad\forall i\ge\deg P_S+1-h</math>
이다. 즉, 등급이 1인 유한 개의 생성원들로 생성되는 등급 가환 [[단위 결합 대수]]의 경우 힐베르트 다항식이 항상 존재하며, 이 경우 힐베르트 정칙성은 <math>\deg P_S+1-h</math> 이하이다.

보다 일반적으로, 생성원들의 등급이 1이 아닐 경우에도 마찬가지 논리로 힐베르트 다항식이 존재한다.

== 응용 ==
[[대수기하학]]에서, 힐베르트 다항식은 다양하게 응용된다.

=== 사영 대수다양체 ===
대수적으로 닫힌 체 <math>K</math> 위의 <Math>n</math>차원 [[사영 공간]]
:<math>\mathbb P^n_k=\operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>
은 [[다항식환|다항식 등급환]] <math>K[x_0,\dots,x_n]</math>의 [[사영 스펙트럼]]이며, 그 속의 [[사영 대수다양체]] <math>\operatorname{Proj}(K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I)</math>는 동차 아이디얼 <math>I\subset K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>에 의하여 정의된다. 이 경우, 사영 대수다양체
:<math>X=\operatorname{Proj}(K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I)</math>
의 동차 좌표환 <math>K[x_0,x_1,\dots,x_n]/I</math>의 힐베르트 다항식 <math>\operatorname{HP}_X</math>는 사영 대수다양체의 기하학적 성질과 다음과 같이 대응한다.
* <math>\operatorname{HP}_X</math>의 (다항식으로서의) 차수는 <math>X</math>의 [[크룰 차원|차원]]과 같다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|51, Theorem I.7.5}}
* <math>\operatorname{HP}_X</math>의 최고차항의 계수는 <math>X</math>의 (대수다양체로서의) 차수와 <math>X</math>의 차원의 [[계승]]의 비이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|52–54}}
*:<math>\operatorname{HP}_X(d)=\frac{\deg X}{(\dim X)!}d^{\dim X}+\mathcal O(d^{\dim X-1})</math>

=== 리만-로흐 문제 ===
대수적으로 닫힌 체 <math>K</math> 위의 [[비특이 대수다양체]] <math>X</math> 위에 선다발 <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하자. 이 경우, [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]에 따라,
:<math>\chi(\mathcal L^{\otimes n})=\int_X\exp(c_1(\mathcal L^{\otimes n})\operatorname{Td}(X)
=\int_X\sum_{i=1}^{\dim X}\frac{n^i}{i!}c_1(\mathcal L)\operatorname{Td}(X)=P(n)\in\mathbb Q[n]</math>
이며, <math>P(n)</math>은 차수 <math>\dim X</math>의 유리수 계수 다항식이다. 만약 <math>\mathcal L</math>이 [[매우 풍부한 선다발]]이라면, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>H^i(X,\mathcal L^{\otimes n})=0\forall i>0</math>이며, 또한 [[사영 공간]]으로의 매장
:<math>\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^k</math>
:<math>\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L</math>
이 존재한다. <math>P(n)</math>은 이 매장에 대한 힐베르트 다항식을 이룬다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|170, Exercise II.7.6}}
:<math>\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n</math>
:<math>\dim\Gamma(X,\mathcal L^{\otimes n}=\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)\qquad\forall n\gg1</math>
이에 따라서, 힐베르트 다항식의 0에서의 값은 <math>X</math>의 [[오일러 지표]]가 된다.
:<math>\chi(X)=\operatorname{HP}_{\iota(X)}(0)</math>
보다 일반적으로, 만약 <math>\mathcal L</math>이 [[풍부한 선다발]]이라면, 여전히 <math>\chi(X,\mathcal L^{\otimes n})</math>은 다항식을 이루며, 이를 힐베르트 다항식으로 여길 수 있다.

=== 힐베르트-사뮈엘 함수 ===
[[뇌터 환|뇌터]] 가환 [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m)</math>의 [[유한 생성 가군]] <math>M</math> 및 <math>R</math>의 [[으뜸 아이디얼]] <math>\mathfrak q</math>가 주어졌을 때, 등급 <math>R</math>-가군
:<math>\bigoplus_{i=0}^\infty\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M</math>
을 정의하자. (여기서 <math>\mathfrak m^0=R</math>로 정의한다.) 이 경우, <math>R</math>-가군을 [[가군의 길이]]로 측정한다면, '''힐베르트-사뮈엘 함수'''({{llang|en|Hilbert–Samuel function}})
:<math>\operatorname{HF}_M^{\mathfrak q}(i)=\operatorname{length}\left(\mathfrak q^iM/\mathfrak q^{i+1}M\right)</math>
를 정의할 수 있다. 이에 대하여 항상 힐베르트 다항식이 존재함을 보일 수 있으며, 이 힐베르트 다항식을 '''힐베르트-사뮈엘 다항식'''({{llang|en|Hilbert–Samuel polynomial}})이라고 한다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|272, Proposition 12.2}}

힐베르트-사뮈엘 다항식 <math>\operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)</math>의 차수는 <math>M</math>의 [[크룰 차원]]보다 1만큼 작다.<ref name="Eisenbud"/>{{rp|274, Theorem 12.4}}
:<math>\deg \operatorname{HP}_M^{\mathfrak q}(t)=\dim M-1</math>

== 예 ==
=== 사영 공간 ===
[[사영 공간]]의 힐베르트 다항식은 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|52, Proposition I.7.6(c)}} [[다항식환]]
:<math>R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>
에서, 힐베르트 함수는 다음과 같다.
:<math>\dim_KR_d=\binom{n+d}n=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)</math>
따라서, 힐베르트 다항식은 이와 같다.
:<math>\operatorname{HP}_R(d)=\frac1{n!}(d+n)(d+n-1)\dotsm(d+1)=\frac1{n!}d^n+\cdots</math>
대수기하학적으로, 사영 공간을 스스로에 매장된 사영 대수다양체로 여긴다면, 이는 <math>n</math>차원의 1차 사영 대수다양체임을 알 수 있다.

=== 여차원 1의 초곡면 ===
[[다항식환]]
:<math>R=K[x_0,x_1,\dots,x_n]</math>
속에서, <math>k</math>차 [[동차다항식]] <math>f\in R_k</math>로 생성되는 동차 아이디얼 <math>(f)</math>에 대한 몫등급환 <math>R/(f)</math>의 힐베르트 함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|52, Proposition I.7.6(d)}} [[짧은 완전열]]
:<math>0\to R(-k)\xrightarrow{\cdot f}R\to R/(f)\to 0</math>
으로 인하여, 힐베르트 함수 및 힐베르트 다항식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{HP}(d)=\dim_K(R/(f))_d=\dim_KR_d-\dim_KR_{d-k}=\binom{n+d}n-\binom{n+d-k}n=
\frac k{(n-1)!}d^{n-1}+\mathcal O(d^{n-2})
</math>
이를 대수기하학적으로 해석하면 <math>k</math>차 동차다항식의 영점 집합은 <math>n</math>차원 사영 공간 속에서 <math>n-1</math>차원 <math>k</math>차 사영 대수다양체를 정의한다.

=== 대수 곡선 ===
종수 <math>g</math>의 비특이 [[대수 곡선]] <math>C</math> 위의 [[매우 풍부한 선다발]] <math>\mathcal L</math>을 통하여, <math>C</math>를 사영 공간에 매장하였다고 하자.
:<math>\iota\colon C\hookrightarrow\mathbb P^n</math>
:<math>\mathcal L=\iota^*\mathcal O(1)</math>
이 경우, 힐베르트 다항식은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{HF}_C(t)=(\deg\mathcal L)t+(g-1)</math>
여기서 <math>\deg\mathcal L</math>은 <math>\mathcal L</math>을 정의하는 [[인자 (대수기하학)|인자]]의 차수이다. 즉, 대수 곡선의 차수는 그 위의 인자의 차수와 일치한다.

=== 대수 곡면 ===
[[산술 종수]] <math>p_{\text{a}}=\chi(X;\mathcal O_X)-1</math>의 [[대수 곡면]] <math>X</math> 위에, [[매우 풍부한 선다발]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하고, 이에 대응하는 [[베유 인자]]가 <math>D</math>라고 하자. 그렇다면 이에 대한 단면으로서 [[사영 공간]]으로의 매장
:<math>\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P^{\dim\Gamma(X,\mathcal L)-1}</math>
:<math>\iota^*\mathcal O(1)=\mathcal L</math>
이 유도되며, 이에 대한 힐베르트 다항식은 곡면 [[리만-로흐 정리]]에 따라서 다음과 같다.
:<math>\operatorname{HP}_{\iota(X)}(n)=\chi(X;\mathcal L^{\otimes n})=\frac12n^2D.D-\frac12nD.K+p_{\text{a}}(X)+1</math>
여기서 <math>K_X</math>는 <math>X</math>의 [[표준 인자]]이다. 즉, 이 경우 매장의 차수는 [[자기 교차수]] <math>D.D</math>이며, 힐베르트 다항식의 1차 계수는 <math>\iota^*\mathcal O(1)</math>과 [[표준 인자]]의 [[교차수]]의 절반이다.

== 같이 보기 ==
* [[힐베르트 스킴]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Schenck | first=Hal | title=Computational Algebraic Geometry | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-53650-9 | mr=011360 | year=2003|언어=en}}
* {{서적 인용| last=Stanley | first=Richard | year=1978 | title=Hilbert functions of graded algebras | periodical=Advances in Mathematics | volume=28 | issue=1 | pages=57–83 |mr=0485835| doi=10.1016/0001-8708(78)90045-2 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hilbert polynomial|first=V.I.|last=Danilov}}
* {{매스월드|id=HilbertPolynomial|title=Hilbert polynomial}}
* {{매스월드|id=HilbertFunction|title=Hilbert function}}
* {{매스월드|id=HilbertSeries|title=Hilbert series}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/01/09/the-hilbert-polynomial/|제목=The Hilbert polynomial|웹사이트=Rigorous Trivialities|이름=Charles|성=Siegel|날짜=2008-01-09|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/10/09/the-hilbert-polynomial-explained/|제목=The Hilbert polynomial explained|웹사이트=Rigorous Trivialities|이름=Charles|성=Siegel|날짜=2008-10-09|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:다항식]]
[[분류:대수기하학]]