{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''열린 함수'''(-函數, {{llang|en|open map}})는 [[열린집합]]의 [[상 (수학)|상]]이 [[열린집합]]인 [[함수]]다. 마찬가지로, '''닫힌 함수'''(-函數, {{llang|en|closed map}})는 [[닫힌집합]]의 [[상 (수학)|상]]이 [[닫힌집합]]인 [[함수]]다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''열린 함수'''라고 한다.
* 모든 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여 <math>f(U)\subseteq Y</math>가 [[열린집합]]이다.
* 모든 <math>B\in\mathcal B</math>에 대하여 <math>f(B)\subseteq Y</math>가 열린집합인 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 그 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>f(U)\supseteq V</math>인 <math>f(x)</math>의 [[열린 근방]] <math>V\ni f(x)</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(\operatorname{int}S)\subseteq\operatorname{int}f(S)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''닫힌 함수'''라고 한다.
* 모든 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(C)\subseteq Y</math>가 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(\operatorname{cl}S)\supseteq\operatorname{cl}f(S)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.

== 성질 ==
함수 <math>X\to Y</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[위상 동형]]이다.
* [[전단사]] [[연속 함수|연속]] 열린 함수이다.
* [[전단사]] [[연속 함수|연속]] 닫힌 함수이다.

만약 <math>Y</math>가 [[이산 공간]]이라면, 모든 함수 <math>X\to Y</math>는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[곱공간]] <math>\prod_{i\in I}X_i</math>이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 <math>\pi_i\prod_{i\in I}X_i\to X_i</math>은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 <math>Y</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면, 사영 <math>X\times Y\to X</math>는 닫힌 사상이다 ([[튜브 보조정리]]).

=== 스킴 사상 ===
두 [[스킴 (수학)|스킴]] 사이의 '''열린 사상''' 또는 '''닫힌 사상'''은 ([[연속 함수]]로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 [[스킴 사상]]이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. '''보편 열린 사상'''({{llang|en|universally open morphism}})/'''보편 닫힌 사상'''({{llang|en|universally closed morphism}})은 다음 조건을 만족시키는 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>이다.
:임의의 [[스킴 사상]] <math>Y'\to Y</math>에 대하여, 밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math>은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:닫힌 사상 ∩ [[준콤팩트 함수]] ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ [[고유 사상]] ⊋ [[닫힌 몰입]] ⊋ 스킴 동형
:열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ [[국소 유한 표시 사상|국소 유한 표시]] [[평탄 사상]] ⊋ [[열린 몰입]] ⊋ 스킴 동형

<math>\mathfrak P</math>가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* (합성에 대한 닫힘) <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 <math>\mathfrak P</math>-사상이라면 <math>g\circ f</math> 역시 <math>\mathfrak P</math>-사상이다.
* ([[fpqc 위상]]에서의 [[내림 이론|내림]]) <math>X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'</math>에 대하여, 만약 밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math>가 <math>\mathfrak P</math>-사상이며, <math>g</math>가 [[fpqc 사상]]이라면 <math>f</math> 역시 <math>\mathfrak P</math>-사상이다.
여기서 [[fpqc 사상]]은 [[평탄 사상]]이며, [[전사 함수]]이며, 공역 속의 임의의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]에 대하여 이를 [[상 (수학)|상]]으로 하는 [[정의역]]의 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[열린집합]]이 존재하는 [[스킴 사상]]이다.

== 예 ==
=== 열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수 ===
함수
:<math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto x^2</math>
는 [[연속 함수]]이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, [[열린집합]] <math>(-1,1)</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>[0,1)</math>이므로 열린집합이 아니다.

=== 연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수 ===
함수
:<math>\mathbb R\to\mathbb Z</math>
:<math>x\mapsto\lfloor x\rfloor</math>
는 (<math>\mathbb Z</math>가 [[이산 공간]]이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 [[연속 함수]]가 아니다.

함수
:<math>\mathbb S^1\to[0,2\pi)</math>
:<math>x\mapsto\arg x</math>
는 [[전단사 함수]]이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

=== 닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수 ===
사영 함수
:<math>\mathbb R^2\to\mathbb R</math>
:<math>(x,y)\mapsto x</math>
는 [[전사 함수]]이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 <math>\{(x,1/x)\colon0\ne x\in\mathbb R\}\subseteq\mathbb R^2</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>(-\infty,0)\cup(0,\infty)</math>이므로 닫힌집합이 아니다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Open mapping}}
* {{eom|title=Closed mapping}}
* {{eom|title=Fully-closed mapping}}
* {{nlab|id=open morphism|title=Open morphism}}
* {{nlab|id=open geometric morphism|title=Open geometric morphism}}
* {{nlab|id=closed morphism|title=Closed morphism}}
* {{nlab|id=universally closed morphism|title=Universally closed morphism}}

== 같이 보기 ==
* [[고유 함수]]
* [[열린 사상 정리 (함수해석학)]]

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:연속 함수]]
[[분류:보조정리]]