{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|보형 형식|[[2차원 실수 특수선형군|SL(2,ℝ)]]에 대한 모듈러 형식({{lang|en|modular form}})|일반적인 [[리 군]]에 대한 보형 형식({{lang|en|automorphic form}})}}
'''모듈러 형식'''(modular形式, {{llang|en|modular form}})은 [[수학]]에서 특정한 종류의 [[함수 방정식]]과 증가 조건을 만족하는, [[상반 평면]] 위에서 정의되는 (복소) [[해석함수]]이다. 따라서 모듈러 형식의 이론은 [[복소해석학]]에 속하지만 역사적으로는 [[정수론]]과 긴밀한 관계에 있어왔다. 모듈러 형식은 [[대수적 위상수학]]이나 [[끈이론]] 등의 다른 분야에도 나타난다.

'''모듈러 함수'''는 무게 0인 모듈러 형식이다. 이는 [[모듈러 군]]의 작용에 대하여 ''불변''인 것을 의미하며 따라서 ([[선다발]]의 단면으로서가 아닌) 모듈러 영역 위의 함수로써 이해할 수 있다.

모듈러 형식론은 더 일반적인 [[보형 형식]]의 특수한 경우이며, 그러므로 오늘날 [[이산 군]]의 풍부한 이론에서의 가장 구체적인 부분으로 보인다.

== 정의 ==
'''모듈러 형식''' <math>f\colon\mathbb H\to\mathbb C</math>는 [[열린 상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math> 위에 정의된, 다음 공리들을 만족시키는 함수다.
* (S변환) 어떤 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>f(-1/z)=z^kf(z)</math>이다. 이 <math>k</math>를 <math>f</math>의 '''무게'''({{lang|en|weight}})라고 한다.
* (T변환) <math>f(1+z)=f(z)</math>이다.
* (정칙성) <math>f(z)</math>는 <math>\mathbb H</math>에서 [[정칙함수]]며, 또한 <math>z\to i\infty</math>에서 [[정칙함수]]다. 즉, <math>f(z)</math>는 다음과 같은 [[푸리에 급수]]로 쓸 수 있다. {{mindent|<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n\exp(2\pi inz)</math>}} 여기서 <math>c_0=f(i\infty)</math>에 해당한다. <math>z=i\infty</math>를 '''첨점''' 또는 '''뾰족점'''({{llang|en|cusp}})이라고 하며, <math>c_0=0</math>인 모듈러 형식을 '''[[첨점 형식]]'''({{llang|en|cusp form}})이라고 한다.

보다 일반적으로, 정칙성 공리를 약화시켜 <math>f</math>가 반평면 위에서 [[유리형 함수]]이어야 한다는 조건을 가할 수도 있다.

'''모듈러 함수'''는 S변환 및 T변환 공리를 만족시키고, 반평면 위에서 [[유리형 함수]]이고, 무게가 0인 함수다. (반평면 위에서 [[정칙 함수]]인 모듈러 함수는 [[상수함수]]밖에 없다.)

=== &Gamma;의 부분군에 대한 모듈러 형식 ===
&Gamma;의 유한 [[부분군의 지표|지표]]의 부분군 <math>G\subset\Gamma</math>에 대해서도 모듈러 형식을 정의할 수 있다. 이 경우, <math>G</math>에 대한 무게 <math>k\in\mathbb Z</math>의 '''모듈러 형식'''은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f</math>이다.
* (모듈러 변환) 모든 <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in G</math>에 대하여, <math>f((az+b)/(cz+d))=(cz+d)^kf(z)</math>이다.
* (정칙성) <math>f(z)</math>는 <math>\mathbb H</math>에서 [[정칙함수]]며, 또한 '''첨점''' <math>z\to i\infty</math>에서 [[정칙함수]]다. 즉, <math>f(z)</math>는 다음과 같은 [[푸리에 급수]]로 쓸 수 있다 (<math>q=\exp(2\pi iz)</math>). {{mindent|<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nq^n</math>}}

특히, <math>G</math>가 [[모듈러 군#모듈러 군 Γ0(N)|&Gamma;<sub>0</sub>(''N'')]]인 경우에는, 이 군에 대한 모듈러 형식을 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}}) ''N''의 모듈러 형식이라고 한다.

=== 모듈러 곡선 ===
{{본문|모듈러 곡선}}
<math>\Gamma</math>에 대한 모듈러 형식이 <math>\Gamma\backslash\mathbb H</math> 위의 [[선다발]]의 단면인 것처럼, <math>G\subset\Gamma</math>에 대한 모듈러 형식은 <math>G\backslash\mathbb H</math> 위의 선다발의 단면으로 볼 수 있다. <math>G\setminus\mathbb H</math>는 ([[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은) [[리만 곡면]]이며, 여기에 첨점들을 더해 콤팩트 리만 곡면 <math>(G\setminus\mathbb H)^*</math>을 만들 수 있다. 이를 <math>G</math>에 대응하는 '''[[모듈러 곡선]]'''({{llang|en|modular curve}}) <math>X(G)</math>라고 한다.

== 모듈러 형식의 공간 ==
다양한 종류들의 모듈러 형식들의 공간 <math>A\supset M\supset S</math>를 정의할 수 있다. 이들의 구조는 다음과 같다.

<math>A_k</math>는 무게 <math>k</math>의 (극점들을 가질 수 있는) 모듈러 형식들의 복소수 벡터 공간이다. <math>A=\bigoplus_kA_k</math>는 곱셈에 대하여 등급 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 또한, <math>A_0</math> 자체도 체를 이루며, 모든 <math>A_k</math> (<math>k\ne1</math>)는 <math>A_0</math>에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 구체적으로
:<math>A_k=\operatorname{Span}_{A_0}\{(g_3/g_2)^{k/2}\}</math>
이다. 또한, <math>A_0</math>은 [[j-불변량]]에 대한 복소 [[유리 함수체]]이다.
:<math>A_0=\mathbb C(j)</math>
따라서
:<math>A=\mathbb C(g_2,g_3)=\operatorname{Quot}(M)</math>
이고, 이는 환 <math>M</math>의 [[분수체]]이다.

<math>M_k\subset A_k</math>는 무게 <math>k</math>의 (<math>\widehat\infty</math> 이외의 극점을 갖지 않는) 모듈러 형식들의 복소수 벡터 공간이다. <math>M=\bigoplus_kM_k</math>는 [[등급환]]을 이룬다. 환으로서, <math>M\cong\mathbb C[g_2,g_3]</math>이다. 여기서 <math>g_2,g_3</math>는 [[모듈러 불변량]](modular invariant)이며, [[아이젠슈타인 열]]의 처음 두 원소이다. 따라서
:<math>\dim_{\mathbb C}M_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor&k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor+1&k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}</math>
이다.

<math>S_k\subset M_k</math>는 무게 <math>k</math>의 첨점 형식들의 복소수 벡터 공간이다. 그렇다면 <math>S=\bigoplus_kS_k</math>는 <math>M</math>의 [[주 아이디얼]]을 이룬다. 구체적으로, <math>\Delta=g_2^3-27g_3^2=(2\pi)^{12}\eta^{24}</math>가 [[모듈러 판별식]](modular discriminant)이라면 (<math>\eta</math>는 [[데데킨트 에타 함수]]), <math>S=\Delta M</math>이다. 따라서
:<math>\dim_{\mathbb C} S_k=\begin{cases}\lfloor k/12\rfloor-1&k\ne2,\;k\equiv2\pmod{12}\\\lfloor k/12\rfloor&k=2\text{ or }k\not\equiv2\pmod{12}\end{cases}</math>
이다.

== 일반화 ==
고전적인 모듈러 형식은 여러 가지로 일반화할 수 있다.
* [[마스 파동 형식]]은 모듈러 변환을 따르는 [[해석함수|해석적]] [[조화함수]]이다.
* [[가짜 모듈러 형식]]({{llang|en|mock modular form}})은 마스 파동 형식의 정칙 부분이며, [[스리니바사 라마누잔]]이 발견하였다.
* [[힐베르트 모듈러 형식]]({{llang|en|Hilbert modular form}})은 상반평면의 곱 <math>\mathbb H\times\mathbb H\times\cdots</math> 위에 정의된 복소 다변수 함수이다.
* [[지겔 모듈러 형식]]은 더 큰 [[심플렉틱 군]]에 관련된 함수들이다. 고전적인 모듈러 형식은 [[타원곡선]](1차 [[아벨 다양체]])의 [[모듈라이 공간]] 위의 선다발의 단면인데, 지겔 모듈러 형식은 고차원 [[아벨 다양체]]의 모듈러스 공간 위의 선다발의 단면이다. 이 모듈러스 공간은 고차 [[심플렉틱 군]]에 대한 [[몫공간]]이다.
* [[야코비 형식]]은 모듈러 형식과 [[타원 함수]]의 개념을 혼합한 것이다.
* [[보형 형식]]은 모듈러 형식의 개념을 일반적인 [[리 군]]에 대하여 일반화한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[소수 모듈러 형식]]
* [[보형 형식]]
* [[대수적 수론]]
* [[바이어슈트라스 타원함수|바이어스트라스 타원 함수]]
* [[타원곡선|타원 곡선]]
* [[아이젠슈타인 급수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Jean-Pierre|성=Serre|저자링크=장피에르 세르|제목=A course in arithmetic|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=7|출판사=Springer|날짜=1973|doi=10.1007/978-1-4684-9884-4|zbl=0432.10001|isbn=978-0-387-90041-4|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Tom M.|성=Apostol|제목=Modular functions and Dirichlet series in number theory|날짜=1990|출판사=Springer|isbn=978-0-387-97127-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=41|doi=10.1007/978-1-4612-0999-7|판=2판|zbl=0697.10023|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Goro|성=Shimura|저자링크=시무라 고로|제목=Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions|출판사=Princeton University Press|날짜=1971|zbl=0221.10029}}
* {{서적 인용 | first=Serge | last=Lang | authorlink=서지 랭 | title=Introduction to Modular Forms | 권=222 | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | publisher=Springer | 날짜=1976 | isbn=978-3-540-07833-3 |doi=10.1007/978-3-642-51447-0|언어=en }}
* {{서적 인용|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=97|날짜=1993|제목=Introduction to elliptic curves and modular forms|이름=Neal|성=Koblitz|doi=10.1007/978-1-4612-0909-6|isbn=978-1-4612-6942-7|issn=0072-5285|판=2판|zbl=0804.11039|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Modular function|first=E.D.|last=Solomentsev}}
* {{매스월드|id=ModularForm|title=Modular form}}
* {{매스월드|id=ModularFunction|title=Modular function}}

{{전거 통제}}

[[분류:모듈러 형식| ]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:해석적 수론]]