{{위키데이터 속성 추적}}
{{소문자}}
[[파일:KleinInvariantJ.jpg|right|섬네일|200px|j-불변량 <math>j(\tau)</math>의 그래프]]
[[수학]]에서 '''<math>j</math>-불변량'''(j-不變量, {{llang|en|''j''-invariant}})은 [[모듈러 함수]]의 하나다. <math>j</math>-불변량의 모든 [[유리 함수]] 또한 [[모듈러 함수]]이며, 모든 모듈러 함수는 <math>j</math>-불변량의 유리 함수로 나타낼 수 있다.

== 정의 ==
[[상반평면]] <math>\tau\in\mathbb H</math>에 대하여, 다음과 같은 함수들을 정의하자.
:<math>g_2(\tau)=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-4}</math>
:<math>g_3(\tau)=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m+n\tau)^{-6}</math>
그렇다면 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.
:<math>j(\tau)=1728\frac{g_2(\tau)^3}{g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2}</math>
이를 '''<math>j</math>-불변량'''이라고 한다. 일부 문헌에서는 <math>j(\tau)</math> 대신 <math>J(\tau)=j(\tau)/1728</math>을 사용하기도 한다.

== 특별한 값 ==
특별한 점에서 <math>j</math>-불변량의 값은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! ''&tau;''
| ''i'' || exp(2''&pi;i''/3) || exp(2''&pi;i''/6) || ''i''∞ || <math>(1+i\sqrt{7})/2</math> || <math>(1+i\sqrt{11})/2</math> || <math>(1+i\sqrt{19})/2</math> || <math>(1+i\sqrt{43})/2</math> || <math>(1+i\sqrt{67})/2</math> || <math>(1+i\sqrt{163})/2</math>
|-
! ''j''(''&tau;'')
| 1728 || 0 || 0 || ∞ || &minus;15<sup>3</sup> || &minus;32<sup>3</sup> || &minus;96<sup>3</sup> || &minus;960<sup>3</sup> || &minus;5280<sup>3</sup> || &minus;640320<sup>3</sup>
|}
이 가운데, 7, 11, 19, 43, 67은 [[헤그너 수]]이다.

=== 헤그너 수와 라마누잔 상수 ===
{{본문|헤그너 수}}
<math>d</math>가 [[헤그너 수]]라면 <math>j((1+i\sqrt d)/2)</math>는 [[정수]]이다. 따라서, 그 [[푸리에 급수]]에 따라서
:<math>j((1+i\sqrt d)/2)=\frac1q + 744 + 196884 q +\cdots</math>
이다. 여기서 <math>d</math>가 크다면
:<math>q=-\exp(-\pi\sqrt d)</math>
의 절댓값은 매우 작다. 따라서 푸리에 급수의 고차항을 버리고, 다음과 같은 근사식을 쓸 수 있다.
:<math>\exp(\pi\sqrt d)+744\approx j((1+i\sqrt d)/2)\in\mathbb Z</math>
즉, <math>\exp(\pi\sqrt d)</math>는 정수에 매우 가까운 [[초월수]]이다. 가장 큰 헤그너 수 <math>d=163</math>을 사용하면
: <math>e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\cdots</math>
이다. 이는 [[스리니바사 라마누잔]]이 발견하였고, [[라마누잔 상수|라마누잔 수]]({{llang|en|Ramanujan number}})라고 한다.

== 푸리에 급수와 가공할 헛소리 ==
j-불변량의 [[푸리에 급수]]는 <math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>를 사용하여 적으면 다음과 같다 {{OEIS|A000521}}
:<math>j(\tau) = \frac1q + 744 + 196884 q + 21493760 q^2 + 864299970 q^3 + 20245856256 q^4 + 333202640600q^5+\cdots</math>
이 계수들은 가장 큰 예외적 유한 [[단순군]]인 [[괴물군 (수학)|괴물군]]의 [[기약 표현]]들의 차원과 관계있다.
:<math>
\begin{align}
1 & = 1 \\
196884 & = 196883 + 1 \\
21493760 & = 21296876 + 196883 + 1 \\
864299970 & = 842609326 + 21296876 + 2\cdot 196883 + 2\cdot 1 \\
20245856256&=18538750076+2\cdot842609326+21296876+3\cdot196883+3\cdot1\\
&=19360062527+842609326+2\cdot21296876+3\cdot196883+2\cdot1\\
333202640600 & =293553734298+2\cdot 18538750076+3\cdot 842609326+2\cdot 21296876+5\cdot 196883+5\cdot 1\\
& =293553734298+19360062527+ 18538750076+2\cdot 842609326+3\cdot 21296876+5\cdot 196883+4\cdot 1\\
4252023300096 & =3879214937598+293553734298+4\cdot 18538750076+6\cdot842609326+2\cdot21296876+7\cdot196883+7\cdot1 \\
& {}\,\,\, \vdots
\end{align}
</math>
이 관계를 [[가공할 헛소리]]({{llang|en|monstrous moonshine|몬스트러스 문샤인}})라고 한다. 여기서 {{llang|en|monstrous}}(가공할, 말도 안 되는)는 괴물 군({{llang|en|monster group}})에 대한 말장난이다. 이 놀라운 관계는 원래 존 매케이({{llang|en|John McKay}}, 1939–)가 1970년대에 최초로 발견하였고, [[존 호턴 콘웨이]]가 이러한 이름을 붙였다. 이 사실은 [[리처드 보처즈]]가 [[리치 격자]](Leech lattice)에 [[축소화]]한 [[보손 끈 이론]]을 사용해 설명하였고, 이 공로로 [[필즈상]]을 수상하였다.

== 같이 보기 ==
* [[바이어슈트라스 제타 함수]]
* [[보형 형식|자기동형 형식]]
* [[클래스 넘버 문제]]

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용|first=Tom M.|last=Apostol|title=Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory|edition=2판 |date=1990 |isbn=0-387-97127-0|mr=1027834|doi=10.1007/978-1-4612-0999-7|publisher=Springer|series=Graduate Texts in Mathematics |issn=0072-5285|volume=41}}
*{{저널 인용|doi=10.4153/CMB-1999-050-1|first=Bruce C.|last=Berndt|저자2=Heng Huat Chan|title=Ramanujan and the modular ''j''-invariant|journal=Canadian Mathematical Bulletin|volume=42|issue=4|date=1999년 12월|pages=427–440|mr=1727340|issn=0008-4395}}
*{{서적 인용|first=David A.|last=Cox|title=Primes of the Form ''x''<sup>2</sup>+''ny''<sup>2</sup>: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication|mr=1028322|date=1989|publisher= Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons|location=New York}}
*{{저널 인용|first=John Horton|last=Conway|authorlink=존 호턴 콘웨이|저자2=Simon P. Norton|title=Monstrous moonshine|journal=Bulletin of the London Mathematical Society|volume=11|issue=3|date=1979|pages=308–339|mr=0554399|doi=10.1112/blms/11.3.308|issn= 0024-6093}}
*{{서적 인용|first=Robert A.|last=Rankin|title=Modular forms and functions|date=1977|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-0-52121212-0|mr=0498390|doi=10.1017/CBO9780511566035}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=j-Function|저자=Piezas, Tito III, Weisstein, Eric W.|title=j-Function}}
* {{매스월드|id=KleinsAbsoluteInvariant|title=Klein's Absolute Invariant}}
* {{수학노트|title=타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)}}

[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:타원함수]]