{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''코시 수렴 판정법'''({{llang|en|Cauchy’s convergence test}})은 [[급수 (수학)|급수]]의 [[수렴 판정법]]의 하나이다. 이 판정법에 의하면, [[급수 (수학)|급수]]가 [[수렴]]한다는 것은 [[부분합]] 수열이 [[코시 수열]]인 것과 [[동치]]이다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

=== 실수항 또는 복소수항 급수 ===
<math>\mathbb K</math> 위의 수열 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb K</math>이 주어졌다고 하자. '''코시 수렴 판정법'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>은 [[수렴]]한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|{\sum_{k=m+1}^nx_k}\right|<\epsilon</math>
여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[절댓값]]이다.
{{증명}}
첫 번째 조건은 부분합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^nx_k</math>의 [[수렴]]을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 [[코시 점렬]]임을 뜻한다. <math>\mathbb K</math>는 [[완비 거리 공간]]을 이루므로, 부분합이 [[수렴]]하는 것은 부분합이 [[코시 점렬]]인 것과 [[동치]]이다.
{{증명 끝}}

=== 바나흐 공간 위의 급수 ===
<math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(X,\Vert\cdot\Vert)</math> 위의 점렬 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X</math>이 주어졌다고 하자. '''코시 수렴 판정법'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Kadets">{{서적 인용
|성1=Kadets
|이름1=Mikhail I.
|성2=Kadets
|이름2=Vladimir M.
|제목=Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence
|언어=en
|총서=Operator Theory Advances and Applications
|권=94
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1997
|isbn=978-3-0348-9942-0
|doi=10.1007/978-3-0348-9196-7
|zbl=0876.46009
}}</ref>{{rp|8, §1.2, Theorem 1.2.1}}
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty x_n</math>은 [[수렴]]한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math>에 대하여, <math>\textstyle\Vert{\sum_{k=m+1}^nx_k}\Vert<\epsilon</math>
{{증명}}
첫 번째 조건은 부분합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^nx_k</math>의 [[수렴]]을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 [[코시 점렬]]임을 뜻한다. <math>X</math>는 [[완비 거리 공간]]을 이루므로, 부분합이 [[수렴]]하는 것은 부분합이 [[코시 점렬]]인 것과 [[동치]]이다.
{{증명 끝}}

=== 함수항 급수 ===
집합 <math>S</math> 및 <math>\mathbb K</math>값 함수열 <math>f_n\colon S\to\mathbb K</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)이 주어졌다고 하자. [[균등 수렴]]에 대한 '''코시 수렴 판정법'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|<\epsilon</math>
{{증명}}
<math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon</math>가 존재한다.
:임의의 <math>n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|<\frac\epsilon 2</math>
따라서, 임의의 <math>n>m>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>\left|\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right|=\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|\le\left|\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right|+\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|<\epsilon</math>
이다.

반대로, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다고 가정하자.
:임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right|<\epsilon</math>
그렇다면, 각 <math>s\in S</math>에서의 부분합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)</math>는 <math>\mathbb K</math> 위의 [[코시 수열]]이며, 따라서 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)</math>은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 <math>n\to\infty</math>을 취하면 다음을 얻는다.
:임의의 <math>m>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right|<\epsilon</math>
이에 따라, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.
{{증명 끝}}

보다 일반적으로, 집합 <math>S</math> 및 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(X,\Vert\cdot\Vert)</math> 및 <math>X</math>값 함수열 <math>f_n\colon S\to X</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)이 주어졌다고 하자. [[균등 수렴]]에 대한 '''코시 수렴 판정법'''에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert<\epsilon</math>
{{증명}}
<math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon</math>가 존재한다.
:임의의 <math>n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert<\frac\epsilon 2</math>
따라서, 임의의 <math>n>m>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여,
:<math>\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_n(s)\right\Vert=\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert\le\left\Vert\sum_{k=0}^nf_k(s)-\sum_{k=0}^\infty f_k(s)\right\Vert+\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert<\epsilon</math>
이다.

반대로, 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 <math>N_\epsilon\in\mathbb N</math>가 존재한다고 가정하자.
:임의의 <math>m,n>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left\Vert\sum_{k=m+1}^nf_k(s)\right\Vert<\epsilon</math>
그렇다면, 각 <math>s\in S</math>에서의 부분합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^nf_k(s)</math>는 <math>\mathbb K</math> 위의 [[코시 수열]]이며, 따라서 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n(s)</math>은 수렴한다. 이제, 위 조건에서 <math>n\to\infty</math>을 취하면 다음을 얻는다.
:임의의 <math>m>N_\epsilon</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>\textstyle\left\Vert\sum_{k=0}^\infty f_k(s)-\sum_{k=0}^mf_k(s)\right\Vert<\epsilon</math>
이에 따라, <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>은 [[균등 수렴]]한다.
{{증명 끝}}

임의의 집합 <math>S</math> 및 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>(X,\Vert\cdot\Vert)</math>에 대하여, [[유계 함수]] <math>S\to X</math>의 집합 <math>\mathcal B(S,X)</math>은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 [[벡터 공간]]을 이루며, 또한 다음과 같은 [[상한 노름]]에 대하여 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.
:<math>\Vert f\Vert_\infty=\sup_{s\in S}\Vert f(s)\Vert\qquad(f\in\mathcal B(S,X))</math>
만약 각 <math>f_n</math>이 [[유계 함수]]라면, 첫 번째 조건은 <math>\textstyle\sum_{n=0}^\infty f_n</math>이 [[상한 노름]]에 대하여 수렴하는 것과 [[동치]]이며, 두 번째 조건은 부분합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^nf_k</math>이 [[상한 노름]]에 대하여 <math>\mathcal B(S,X)</math> 위의 [[코시 점렬]]을 이루는 것과 [[동치]]이다.

== 따름정리 ==
[[일반항 판정법]]은 코시 수렴 판정법에서 <math>n=m+1</math>을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 [[절대 수렴]] 급수는 [[수렴]]한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

[[바이어슈트라스 M-판정법]]은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

== 관련 정리 ==
=== 함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법 ===
임의의 [[열린구간]] <math>I\subseteq\mathbb R</math> 및 <math>a\in I</math> 및 함수 <math>f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[함수의 극한]] <math>\lim_{x\to a}f(x)</math>이 존재한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수 <math>\delta_\epsilon>0</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>0<|x-a|,|y-a|<\delta_\epsilon</math>에 대하여, <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>

=== 이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법 ===
[[이상 적분]]
:<math>\int_a^\infty f(x)\mathrm dx</math>
:<math>f\colon[a,\infty)\to\mathbb K</math>
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\textstyle\int_a^\infty f(x)\mathrm dx</math>는 [[수렴]]한다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 실수 <math>M>a</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>x,y>M</math>에 대하여, <math>\textstyle\left|{\int_x^yf(t)\mathrm dt}\right|<\epsilon</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Cauchy test}}
* {{매스월드|id=CauchyCriterion|제목=Cauchy criterion}}

[[분류:수렴판정법]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]