{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''점을 가진 공간'''({{llang|en|pointed space}})은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 그 속의 한 점으로 이루어진 [[순서쌍]]이다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>가 [[시작 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>을 갖는다고 하자.

<math>\mathcal C</math> 위의 '''점을 가진 범주'''({{llang|en|pointed category}}) <math>\mathcal C_\bullet</math>는 [[쌍대 조각 범주]] <math>1\backslash\mathcal C</math>이다. 즉,
* <math>\mathcal C_\bullet</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>\bullet_X\colon 1\to X</math>이다. 이는 <math>X</math>와 그 속의 "점" <math>\bullet_X</math>의 순서쌍 <math>(X,\bullet_X)</math>으로 생각할 수 있다. 이를 <math>X</math>의 '''밑점'''(-點, {{llang|en|basepoint}})이라고 한다.
* <math>\mathcal C_\bullet</math>의 대상 <math>(X,\bullet_X),(Y,\bullet_Y)\in\mathcal C_\bullet</math> 사이의 사상 <math>f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)</math>은 다음 그림을 가환하게 하는 <math>\mathcal C</math>에서의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>이다.
*:<math>\begin{matrix}
1&\xrightarrow{\bullet_X}& X\\
&{\scriptstyle\bullet_Y}\!\!\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\
&&Y
\end{matrix}</math>
즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

== 성질 ==
[[시작 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>을 가진 범주 <math>\mathcal C</math> 위의 점을 가진 범주 <math>\mathcal C_\bullet</math>는 항상 [[영 대상]] <math>1\in\mathcal C_\bullet</math>을 가진다.

[[영 대상]]을 가진 범주 <math>\mathcal C</math> 위의 점을 가진 범주는 <math>\mathcal C</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다. 즉, 범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[영 대상]]을 가진다.
* <math>\mathcal C\simeq\mathcal D_\bullet</math>인, 시작 대상을 가진 범주 <math>\mathcal D</math>가 존재한다.

=== 망각 함자 ===
[[시작 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>을 가진 범주 <math>\mathcal C</math> 위의 점을 가진 범주 <math>\mathcal C_\bullet</math>는 원래 범주 <math>\mathcal C</math>로 가는 자연스러운 망각 함자
:<math>F\colon\mathcal C_\bullet\to\mathcal C</math>
를 갖는다.

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[유한 쌍대 완비 범주]]라면, 망각 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>(-)_+\colon\mathcal C\to\mathcal C_\bullet</math>
:<math>(-)_+\colon (X\in\mathcal C)\mapsto X_+=(X\sqcup1,1\hookrightarrow X\sqcup1)</math>
:<math>(-)_+\dashv F</math>
를 갖는다. 이를 '''밑점 추가'''({{llang|en|adjoining disjoint basepoint}})라고 한다.

=== 분쇄곱 ===
<math>(\mathcal C,\otimes)</math>가 [[유한 완비 범주|유한 완비]] [[유한 쌍대 완비 범주|유한 쌍대 완비]] [[닫힌 모노이드 범주]]라고 하자. 그렇다면 <math>\mathcal C_\bullet</math> 역시 [[닫힌 모노이드 범주]]를 이룬다. <math>\mathcal C_\bullet</math>에서의 텐서곱은 '''[[분쇄곱]]'''({{llang|en|smash product}}) <math>\wedge</math>이라고 한다. 또한, 만약 <math>(\mathcal C,\otimes)</math>가 [[대칭 모노이드 범주]]라면 <math>(\mathcal C_\bullet,\wedge)</math> 역시 [[대칭 모노이드 범주]]이다.

구체적으로, <math>\mathcal C_\bullet</math> 속의 두 대상 <math>(X,\bullet_X)</math>, <math>(Y,\bullet_Y)</math>의 '''분쇄곱''' <math>(X,\bullet_X)\wedge(Y,\bullet_Y)</math>은 다음과 같은 [[밂 (범주론)|밂]]이다.
:<math>\begin{matrix}
(X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)&\to&1\\
\downarrow&&\downarrow\\
X\otimes Y&\to&X\wedge Y
\end{matrix}</math>
이 네모의 왼쪽 변은
:<math>\otimes\bullet_Y\colon X\otimes1\to X\otimes Y</math>
:<math>\bullet_X\otimes\colon 1\otimes Y\to X\otimes Y</math>
로부터 유도되는 사상
:<math>(\otimes\bullet_Y)\sqcup(\bullet_X\otimes)
\colon (X\otimes1)\sqcup(1\otimes Y)\to X\otimes Y</math>
이다.

<math>\mathcal C_\bullet</math>에서의 지수 대상 <math>[-,-]_\bullet</math>은 다음과 같은 [[당김 (범주론)|당김]]이다.
:<math>\begin{matrix}
[X,Y]_\bullet&\to&1\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle{\bullet_Y}\\
{}[X,Y]&\xrightarrow[\circ{\bullet_X}]{}&[1,Y]
\end{matrix}</math>
<math>[X,Y]_\bullet</math>의 점은 유일한 사상 <math>X\to 1\xrightarrow{\bullet_Y}Y</math>에 대응한다.

== 예 ==
=== 점을 가진 집합 ===
[[집합]]의 범주에서, [[시작 대상]]은 [[한원소 집합]]이다. 따라서, '''점을 가진 집합'''({{llang|en|pointed set}})의 범주 <math>\operatorname{Set}_\bullet</math>의 원소는 집합 <math>S</math>와 그 속의 원소 <math>\bullet_S\in S</math>의 순서쌍 <math>(S,\bullet_S)</math>이다.

점을 가진 집합의 범주는 [[대수 구조 다양체]]의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 [[대수 구조]]로 생각할 수 있다. (이 [[대수 구조 다양체]]에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

=== 점을 가진 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서 [[끝 대상]]은 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>이며, 한원소 공간에서 위상 공간 <math>X</math>로 가는 [[연속 함수]] <math>\{\bullet\}\to X</math>는 <math>X</math> 속의 한 점 <math>\bullet_X\in X</math>을 제시하는 것과 같다. 즉, '''점을 가진 공간'''({{llang|en|pointed space}}) <math>(X,x_0)</math>은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>와 그 속의 한 점 <math>x_0\in X</math>로 구성된 [[순서쌍]]이며, 점을 가진 공간의 범주 <math>\operatorname{Top_\bullet}</math>의 사상인 '''점을 보존하는 연속 함수'''({{llang|en|basepoint-preserving continuous map}}) <math>f\colon (X,\bullet_X)\to(Y,\bullet_Y)</math>는
:<math>f(\bullet_X)=\bullet_Y</math>
인 [[연속 함수]]이다.

=== 영 대상을 가진 범주 ===
[[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>나 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>, 나아가 임의의 [[아벨 범주]]는 모두 [[영 대상]]을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 [[군 (수학)|군]] 또는 [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, [[항등원]] <math>1_G\in G</math>는 그 "점"을 이룬다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PointedSpace|title=Pointed space}}
* {{매스월드|id=PointedMap|title=Pointed map}}
* {{nlab|id=pointed object|title=Pointed object}}
* {{nlab|id=pointed category|title=Pointed category}}
* {{nlab|id=pointed set|title=Pointed set}}
* {{nlab|id=pointed space|title=Pointed space}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]