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[[대수적 수론|대수론]]과 [[대수학]]에서 '''인수분해'''(因數分解, {{llang|en|factorization}})는 주어진 [[정수]] 또는 [[다항식]]을 '''인수들의 곱셈''' 형식으로 만드는 것이다. 즉, '두 개 이상의 부분으로 분리'(separate into a number of parts)하는 것으로, '''전개'''와 상반된 개념이다. 특히, 정수의 집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것을 [[소인수 분해]]라고 한다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 또한 인수 분해는 약수가 n개인 자연수의 [[소인수분해]]를 구하는데 사용된다. 그리고 약수가 특정 자연수 n개인 자연수의 소인수의 개수가 최대한 많으려면 소인수 분해를 먼저 구하면 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 [[인수]]의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, [[다항식의 전개|전개]]의 역이다. 이러한 관계를 표현한 것은 [[곱셈 공식]]이 되겠다.

예를 들어 <math>x^2+7x+12</math>의 경우 <math>(x+3)(x+4)</math>로 만드는 것을 말한다. 이와 반대로 <math>(x+3)(x+4)</math>을 <math>x^2+7x+12</math>로 만드는 것은 [[다항식의 전개|전개]](expansion)라고 한다.

인수분해의 목적은 보통 어떤 원소를 더 기초적이고 간단한 조각으로 분해하는 데 있다. 예를 들어, 수를 소수들의 곱으로, 다항식을 인수분해 되지 않는 다항식으로 분해하는 것이다. 그리고 다항식의 경우는, 변수 <math>x</math>에 대하여 <math>x</math>가 [[근삿값]]일 때, 근삿값을 참값에 가깝게 계산하기 위함과 [[방정식]] 등을 풀기 위해 사용한다. 정수 집합에서는 [[산술의 기본 정리]], 다항식의 집합에서는 [[대수학의 기본 정리]]와 관련이 있다. 그러나 모든 [[환 (수학)|환]]에서 인수분해가 더 이상 분해되지 않는 원소들의 곱으로 유일하게 표현되는 것은 아니다. 유일한 인수분해가 성립하는 [[가환환]]을 [[유일 인수 분해 정역]]이라고 한다.

큰 정수의 소인수 분해는 매우 어려운 작업이다. 현재까지 충분히 빠른 속도로 이러한 작업을 수행하는 알고리즘이 알려져 있지 않으며, [[RSA 암호]] 알고리즘은 이를 근거로 작동한다.

== 다항식의 인수 분해 ==
다항식의 [[계수]]의 집합을 어느 범위로 한정하느냐에 따라 인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어, 계수를 [[유리수]]로 한정할 경우 <math>x^2 - 2</math>과 <math>x^2 + 2</math>는 모두 인수분해 되지 않으므로 [[기약다항식]](Irreducible polynomial)이 된다. 그러나 [[실수]]로 확장하면 <math>x^2 - 2</math>는 <math>(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})</math>로 인수분해 되고, <math>x^2 + 2</math>는 여전히 기약다항식이 된다. 계수를 [[복소수]]로 더 확장하면 비로소 <math>x^2 + 2</math>는 <math>(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)</math>로 인수분해 된다. 계수에 복소수를 허용하면 [[대수학의 기본 정리]]에 의해 모든 복소계수 다항식이 일차식으로 항상 인수분해 가능하다.

=== 이차식 ===
이차식 <math>ax^2 + bx + c</math>가 주어져 있을 때, 이 이차식의 값을 0으로 만드는 두 원소 <math>\alpha, \beta</math>가 있다면 다음과 같이 인수분해 된다.
:<math>a(x - \alpha)(x - \beta)</math>
또한 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 다음과 같이 계수로 표현가능하다.
:<math> {ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right),}</math>

=== 고차식 ===
삼차, 사차식의 경우에는 근의 공식을 이용할 수도 있다. 그러나 계산과정이 길고 손으로 직접하기에는 어려움이 따른다.

특별한 고차식에 적용할 수 있는 다양한 [[곱셈 공식]]들이 있는데, 이러한 몇몇 공식들은 중고교 교과과정에서 자주 등장한다. 예를 들어,
:<math>a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)</math>
:<math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math>
:<math>a^4 + a^2 b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)</math>
:<math>a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)</math>
와 같은 공식들이 있다. 이와 같은 공식들이 적용되지 않는다면 적당히 추측하는 방법을 동원하여 조립제법을 쓰는 경우도 있다.

만일 <math>px^4 \pm qx^2 \pm a</math>의 꼴인 경우 <math>x^2=X</math>로 치환해 합차공식을 적용시킬 수도 있다.

위 공식을 사용하여 1보다 큰 모든 정수 ''n''에 대해 <math>n^4 + 4^n</math>이 다음과 같이 항상 소수가 아님을 알 수 있다.(헝가리 Kürschák 경시대회 1978년 문제)<ref name="PSS">{{서적 인용
  | 성 = Engel
  | 이름 = Arthur
  | 제목 = Problem-Solving Strategies
  | 출판사 = Springer
  | 연도 = 1999
  | doi = 
  |ISBN=978-0387982199
  | 쪽 = 121
}}</ref>
:(증명) <math>n</math>이 짝수일 경우 <math>n^4 + 4^n</math>은 짝수이다. <math>n</math>이 홀수일 경우, <math>n^4 + 4^n = n^4 + 4\cdot 4^{2k} = n^4 + 4\cdot (2^k)^4</math>이므로 역시 합성수가 된다.

== 잘 알려진 인수 분해 공식 ==
모든 공식에 [[복부호 동순]]이 적용된다.

'''2차식'''
* <math>ma\pm mb = m(a\pm b)</math>
* <math>a^2\pm 2ab+b^2 = (a\pm b)^2</math>
* <math>a^2-b^2 = (a+b)(a-b)</math>
* <math>x^2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)</math>
* <math>acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)</math>
* <math>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)^2</math>
'''3차식'''
* <math>a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3 = (a\pm b)^3</math>
* <math>a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)</math>
* <math>(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc = (a+b)(b+c)(c+a)</math>
* <math>a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
= \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] </math>
'''4차식'''
* <math>a^4+a^2b^2+b^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)</math>

== 같이 보기 ==
* [[곱셈 공식]]
* [[곱셈 공식의 변형]]
* [[유일 인수 분해 정역]]
* [[산술의 기본 정리]]
* [[대수학의 기본 정리]]

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* {{인용|first1=William Snow|last1=Burnside|authorlink1=윌리엄 번사이드|first2=Arthur William|last2=Panton|title=The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one)|year=1960|origyear=1912|publisher=Dover}}
* {{인용|first=Leonard Eugene|last=Dickson|authorlink=레너드 유진 딕슨|title=First Course in the Theory of Equations|year=1922|publisher=John Wiley & Sons|place=New York}}
* {{인용|first=William Benjamin|last=Fite|title=College Algebra (Revised)|year=1921|publisher=D. C. Heath & Co.|place=Boston}}
* {{인용|first=Felix|last=Klein|authorlink=펠릭스 클라인|title=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis|year=1925|publisher=Dover}}
* {{인용|first=Samuel M. |last=Selby|title=CRC Standard Mathematical Tables|edition=18th|publisher=The Chemical Rubber Co.}}

{{전거 통제}}

[[분류:인수분해| ]]
[[분류:산술]]
[[분류:초등대수학]]