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리 이론에서, '''카츠-무디 대수'''(Кац-Moody代數, {{llang|en|Kač–Moody algebra}})는 복소수 [[리 대수]]의 일종이다. [[단순 리 대수]]와 [[아핀 리 대수]]의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
'''카츠-무디 대수''' <math>(A,\mathfrak h,\{(\alpha_i,\alpha^\vee_i)\}_{i\in\{1,2,\dots,n\}})</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)</math>는 정수 성분의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]이며, 그 [[계수 (선형대수학)|계수]]는 <math>r</math>이다. 이를 '''(일반화) 카르탕 행렬'''(一般化Cartan行列, {{llang|en|(generalized) Cartan matrix}})이라고 한다.
* <math>\mathfrak h</math>는 <math>2n-r</math>차원 복소수 [[벡터 공간]]이다. 이를 '''카르탕 부분 대수'''(Cartan部分代數, {{llang|en|Cartan subalgebra}})라고 한다.
* <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathfrak h^*</math>은 <math>n</math>개의 [[선형 독립]] 벡터이며, <math>\alpha^\vee_1,\dots,\alpha^\vee_n\in\mathfrak h</math>는 <math>n</math>개의 선형 독립 벡터이다. <math>\alpha_i</math>를 '''단순근'''(單純根, {{llang|en|simple root}}), <math>\alpha^\vee_i</math>를 '''단순쌍대근'''(單純雙對根, {{llang|en|simple coroot}})이라고 한다.
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>i,j\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>\alpha_i(\alpha^\vee_j)=A_{ij}</math>
* 모든 <math>i\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, <math>A_{ii}=2</math>
* 모든 <math>i,j\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>i\ne j</math>라면 <math>A_{ij}\le0</math>
* 모든 <math>i,j\in\{1,2,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>A_{ij}=0</math>이라면 <math>A_{ji}=0</math>
이 경우, '''카츠-무디 대수''' <math>\mathfrak g</math>는 <math>\mathfrak h</math> 및 생성원 <math>e_1,\dots,e_n</math>, <math>f_1,\dots,f_n</math>으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 [[리 대수]]이다.
:<math>[h,h']=0\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h</math>
:<math>[h,e_i]=\alpha_i(h)e_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\{1,\dots,n\}</math>
:<math>[h,f_i]=-\alpha_i(h)f_i\qquad\forall h\in\mathfrak h,\;i\in\{1,\dots,n\}</math>
:<math>[e_i,f_i]=\delta_{ij}\alpha_i^\vee\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
:<math>\overbrace{[e_i,[e_i,\cdots,[e_i,}^{1-A_{ij}}e_j]\cdots]]=\overbrace{[f_i,[f_i,\dots,[f_i,}^{1-A_{ij}}f_j]\cdots]]=0\qquad\forall i\ne j</math>
여기서 <math>(e_i,f_i)</math>를 '''슈발레 생성원'''({{llang|en|Chevalley generator}})라고 한다.

만약 카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>의 카르탕 행렬 <math>A</math>에 대하여, <math>A=DS</math>인 [[대각 행렬]] <math>D\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)</math>와 [[대칭 행렬]] <math>S\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>가 존재한다면, <math>\mathfrak g</math>를 '''대칭화 가능 카츠-무디 대수'''({{llang|en|symmetrizable Kač–Moody algebra}})라고 한다.

카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>의 '''계수'''({{llang|en|rank}}) <math>\operatorname{rank}\mathfrak g</math>는 그 카르탕 행렬의 [[계수 (선형대수학)|계수]] <math>r=\operatorname{rank}A</math>와 같다.

=== 근계 ===
카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>x\in\mathfrak g\setminus\{0\}</math> 및 <math>\lambda\in\mathfrak h^*\setminus\{0\}</math>에 대하여
:<math>[h,x]=\lambda(h)x\qquad\forall h\in\mathfrak h</math>
라면, <math>\lambda</math>를 <math>\mathfrak g</math>의 '''근'''(根, {{llang|en|root}})이라고 하고, <math>x</math>를 <math>\lambda</math>의 '''근 벡터'''(根vector, {{llang|en|root vector}})라고 한다. <math>\mathfrak g</math>의 모든 근들의 집합을 <math>\Delta\subset\mathfrak h^*</math>라고 하자.

<math>\mathfrak g</math>의 근 <math>\lambda\in\Delta</math>에 대응하는 '''근공간'''({{llang|en|root space}}) <math>\mathfrak g_\lambda</math>은 <math>\lambda</math>에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g_\lambda=\{x\in\mathfrak g\colon \forall h\in\mathfrak h\colon[h,x]=\lambda(h)x\}</math>
이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 [[직합]]으로 나타내어진다.
:<math>\mathfrak g=\mathfrak h\oplus_{\lambda\in\Delta}\mathfrak g_\lambda</math>
또한, 모든 근 <math>\lambda</math>는 단순근들의 정수 계수 [[선형 결합]]이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.
:<math>\lambda=\sum_{i=1}^nz_i\alpha_i\qquad(z_1,\dots,z_n\in\mathbb Z,\;\operatorname{sgn}z_1=\cdots=\operatorname{sgn}z_n\ne0)</math>
이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 '''양근'''(陽根, {{llang|en|positive root}}), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 '''음근'''(陰根, {{llang|en|negative root}})이라고 한다.

모든 단순근 <math>\alpha_i</math>는 양근이며, <math>-\alpha_i</math>는 음근이다. 또한, <math>e_i</math> 및 <math>f_i</math>는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.
:<math>e_i\in\mathfrak g_{\alpha_i}</math>
:<math>f_i\in\mathfrak g_{-\alpha_i}</math>

=== 딘킨 도표 ===
카츠-무디 대수는 '''딘킨 도표'''(Дынкин圖表, {{llang|en|Dynkin diagram}})로 나타낼 수 있다. 이는 [[그래프]]의 일종이다. 카르탕 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb Z)</math>에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.
* 딘킨 도표의 꼭짓점은 <math>n</math>개가 있으며, <math>1,\dots,n</math>에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
* <math>i\ne j</math>일 때, 두 꼭짓점 <math>i,j</math> 사이의 변의 수는 <math>A_{ij}A_{ji}</math>이다.
* 만약 <math>A_{ij}\le-2</math>라면, <math>i</math>와 <math>j</math> 사이의 변에 <math>i</math>로 향하는 화살표를 그린다.

=== 실근과 허근 ===
카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>의 근 <math>\alpha\in\Delta(\mathfrak g)</math>는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.
* 만약 <math>w(\alpha)</math>가 단순근인 [[바일 군]] 원소 <math>w\in W(\mathfrak g)</math>가 존재한다면, <math>\alpha</math>를 '''실근'''(實根, {{llang|en|real root}})이라고 한다.
* 실근이 아닌 근을 '''허근'''(虛根, {{llang|en|imaginary root}})이라고 한다.

== 분류 ==
대칭화 가능 카츠-무디 대수 <math>\mathfrak g</math>의 카르탕 행렬 <math>A</math>는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱 <math>A=DS</math>로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는 <math>S</math>의 [[부호수]]에 따라서 다음과 같이 분류된다.
* 만약 <math>S</math>가 [[양의 정부호]]일 경우, <math>\mathfrak g</math>는 (유한 차원) '''[[단순 리 대수]]'''이다. 이 경우, <math>r=n</math>이다.
* 만약 <math>S</math>가 [[양의 준정부호]]이지만 양의 정부호가 아닐 경우, <math>\mathfrak g</math>는 '''[[아핀 리 대수]]'''이다. 이 경우, <math>r=n-1</math>이다.
* 만약 <math>S</math>가 [[부정부호]]일 경우, <math>\mathfrak g</math>는 '''부정부호 카츠-무디 대수'''({{llang|en|indefinite Kač–Moody algebra}})이다.
* 대각선 성분들이 양수이므로, <math>S</math>는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.
이들 가운데, [[단순 리 대수]] 및 [[아핀 리 대수]]는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 '''쌍곡선형 카츠-무디 대수'''({{llang|en|hyperbolic Kač–Moody algebra}})라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1003.0564|제목=Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits|이름1=Lisa |성1=Carbone|이름2=Sjuvon |성2=Chung|이름3=Leigh |성3=COBBS|이름4=Robert|성4=McRae|이름5=Debajyoti|성5=Nandi|이름6=Yusra |성6=Naqvi|이름7=Diego|성7= Penta|언어=en}}</ref> 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

== 역사 ==
[[캐나다]]의 로버트 본 무디({{llang|en|Robert Vaughan Moody}})<ref>{{저널 인용|last=Moody |first=Robert V. |title=Lie algebras associated with generalized Cartan matrices |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=73 |issue= 2|year=1967 |pages=217–222 |doi=10.1090/S0002-9904-1967-11688-4|mr=0207783 |issn=0273-0979|언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Robert V.|성= Moody|제목=A new class of Lie algebras|저널=Journal of Algebra|issn=0021-8693|권=10|날짜=1968-10|호=2|쪽=211–230|doi=10.1016/0021-8693(68)90096-3|언어=en}}</ref> 가 [[토론토 대학교]] 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 [[소비에트 연방]]의 [[빅토르 카츠]]가 거의 동시에 이들을 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=В. Г.  |성=Кац|저자링크=빅토르 카츠|제목=Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста |저널=Известия Академии наук СССР. Серия математическая|권=32 |날짜=1968|쪽=1923–1967|url=http://mi.mathnet.ru/izv2519 |mr=259961|zbl=0222.17007|언어=ru}} 영역 {{저널 인용|이름=V.G. |성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|제목=Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth|저널=Mathematics of the USSR-Izvestiya|권= 2|호=6|날짜=1968|쪽=1271–1311|doi=10.1070/IM1968v002n06ABEH000729|issn=0025-5726|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[가공할 헛소리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Victor G.|성= Kac|저자링크=빅토르 카츠|title=Infinite dimensional Lie algebras |판=3|publisher=Cambridge University Press|날짜= 1990|isbn=978-0-521-37215-2|doi=10.1017/CBO9780511626234|zbl=0716.17022|mr=1104219 |언어=en}}
* {{저널 인용|제목= Kac-Moody and Virasoro algebras|이름=Antony|성= Wassermann|arxiv=1004.1287|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kac-Moody algebra}}
* {{nlab|id=Kac-Moody algebra}}
* {{수학노트|title=캐츠-무디 대수 (Kac-Moody algebra)}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]