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[[양자장론]]에서 '''c-정리'''(c-定理, {{llang|en|''c''-theorem}})는 2차원 [[양자장론]]들의 공간 위에서, 양자장론의 [[자유도]]의 수를 나타내고, [[재규격화군]] 흐름에 따라서 단조적으로 감소하는 함수 ''c''가 존재한다는 정리다. 이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. [[재규격화군]]의 고정점에서, ''c''는 [[등각 장론]]의 [[비라소로 대수]]의 중심 전하가 된다.

== 정의 ==
2차원 공간 위에서, 복소 좌표 <math>z=x+iy</math>를 사용하자. 2차원에서 [[에너지-운동량 텐서]]는 대칭성에 의해 세 개의 독립된 성분을 가지는데, 이를 각각
:<math>T_{zz}(z,\bar z)=T(z,\bar z)</math>
:<math>\bar T_{zz}(z,\bar z)=\bar T(z,\bar z)</math>
:<math>T_{z\bar z}(z,\bar z)=\Theta(z,\bar z)</math>
로 적자. [[등각 장론]]의 경우 후자는 0이 된다.

양자장론은 일련의 [[결합 상수]] <math>g^i\in\mathcal G</math> 및 [[재규격화]] 에너지 눈금 <math>\Lambda\in\mathbb R^+</math>에 의존하는 국소 [[라그랑지언]] 밀도 <math>\mathcal L(g,\Lambda,z,\bar z)</math>에 의해 정의된다. 양자장론이 [[재규격화]] 가능하다는 것은 다음 세 조건들을 의미한다.
* '''유동 결합 상수''' <math>\hat g\colon\mathbb R^+\to\mathcal G</math>가 존재하여, 모든 <math>\alpha\in\mathbb R^+</math>에 대하여
::<math>\mathcal L(\hat g(\mu),\Lambda)=\mathcal L(\hat g(\alpha\mu),\alpha\Lambda)</math>
:가 성립한다.
* 유동 결합 상수는 자율적 1차 [[상미분 방정식]]을 따른다. 즉, '''베타 함수''' <math>\beta^i\in\Gamma(T\mathcal G)</math>가 존재하여,
::<math>\frac{d\hat g(\mu)}{d\ln\mu}=\beta^i(\hat g(\mu))</math>
:이어야 한다.
* [[에너지-운동량 텐서]]의 대각합 <math>\Theta(z,\bar z)</math>는 다음과 같다.
::<math>\Theta(g;z,\bar z)=
\frac d{d\ln\mu}\mathcal L(\hat g(g_0,\mu),\Lambda;z,\bar z)
=\beta^i\frac{\partial\mathcal L(g,\Lambda;z,\bar z)}{\partial g^i}</math>

'''''c''-정리'''에 따르면, 모든 재규격화 가능한 2차원 양자장론에 대하여 다음과 같은 함수 <math>c\colon\mathcal G\to[0,\infty)</math>가 존재한다.
* (단조성) <math>c(\hat g(\mu))</math>는 <math>\mu</math>에 대한 증가함수이다.
* (고정점에서의 등각 대칭) [[재규격화군]]의 [[고정점]] (<math>\beta^i</math>의 영점) <math>g_0\in\mathcal G</math>에서, 이론은 2차원 [[비라소로 대수]]를 대칭으로 가진다. (즉, 단순한 축척 대칭 말고도, 모든 2차원 [[등각 대칭]]에 대하여 불변이다.)
* (등각 중심 전하와의 일치) 재규격화군의 고정점 <math>g_0</math>에서, <math>c(g_0)</math>는 이에 대응하는 2차원 [[등각 장론]]의 [[비라소로 대수]]의 중심 전하 ''c''와 일치한다.

== ''c''의 정의 ==
다음과 같은 값들을 정의하자.
:<math>C(g)=2z^4\langle T(z_0,\bar z_0)T(0)\rangle</math>
:<math>H(g)=z^3\bar z\left\langle T(z_0,\bar z_0)\Theta(0,0)\right\rangle</math>
:<math>G(g)=z^2\bar z^2\left\langle\Theta(z_0,\bar z_0)\Theta(0,0)\right\rangle</math>
이들은 모두 어떤 임의의 주어진 에너지 눈금 <math>\Lambda_0=\sqrt{z_0\bar z_0}</math>에서 정의된다. 정의에 따라 이들은 모두 차원이 0인 로런츠 스칼라이다. 또한,
:<math>G(g)=\beta^i(g)\beta^j(g)G_{ij}(g)</math>
라고 놓으면, <math>G_{ij}</math>는 [[양의 정부호]]인 대칭 행렬이다. 이 구조에 따라서 <math>(\mathcal G,G_{ij})</math>는 [[리만 다양체]]를 이루며, 또한 항상 <math>G(g)=\beta(g)^2\ge 0</math>이 된다.

그렇다면 <math>c\colon\mathcal G\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
:<math>c(g;\Lambda_0)=C(g;\Lambda_0)+4H(g;\Lambda_0)-6G(g;\Lambda_0)</math>
이 경우, [[캘런-쥐만치크 방정식]]에 따라서
:<math>\frac d{d\ln\mu}c(\hat g(\mu))=12G(g)>0</math>
이 된다.

== 역사 ==
[[존 카디]]는 중심 원소 ''c''가 계의 [[자유도]]의 수를 나타내는 것을 보였다. 이후, [[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 1986년 〈2차원 장론의 [[재규격화군]]의 "비가역성"〉이라는 제목의 논문<ref>{{저널 인용|성=Замолодчиков|이름=А.Б.|저자링크=알렉산드르 자몰롯치코프|날짜=1986-06-25|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/132/article_2272.shtml|제목=О ”необратимости” потока ренормализационной группы в двумерной теории поля|저널=Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики|권=43|호=12|쪽=565–567|bibcode=1986ZhPmR..43..565Z|언어=ru|access-date=2014-07-09|archive-date=2020-01-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20200107151147/http://www.jetpletters.ac.ru/ps/132/article_2272.shtml|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Alexander|성=Zamolodchikov|저자링크=알렉산드르 자몰롯치코프|날짜=1986|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1413/article_21504.pdf|제목=“Irreversibility” of the Flux of the Renormalization Group in a 2-D Field Theory|저널=Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters|권=43|쪽=730–732|bibcode=1986JETPL..43..730Z|언어=en|access-date=2014-07-09|archive-date=2015-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20150326222532/http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1413/article_21504.pdf|url-status=dead}}</ref>에서 c-정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1302.0884|제목=A lecture note on scale invariance vs conformal invariance|이름=Yu|성=Nakayama|bibcode=2013arXiv1302.0884N|언어=en}}</ref>{{rp|37–39}}<ref>{{저널 인용|arxiv=0908.0333|이름=David|성=Tong|제목=Lectures on string theory|bibcode=2009arXiv0908.0333T|언어=en|날짜=2009|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html}}</ref>{{rp|91}}

== 고차원에서의 c-정리 ==
''c''-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. [[홀수와 짝수|짝수]] 차원의 시공간에서, [[존 카디]]는 ''c''에 해당하는 값을 정의하였고,<ref>{{저널 인용|제목=Is there a c-theorem in four dimensions?|doi=10.1016/0370-2693(88)90054-8|bibcode=1988PhLB..215..749C|저널=Physics Letters B|권=215|호=4|쪽=749-752|날짜=1988-12-29|이름=John L.|성=Cardy|저자링크=존 카디|issn=0370-2693}}</ref>, 이는 ''a''라고 불리게 되었다.<ref>[http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/JohnCardy/seminars/oxford2012.pdf Renormalisation group flows in four dimensions and the ‘''a''-theorem’]</ref> 카디는 ''a''가 [[재규격화군]] 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 '''''a''-정리'''({{llang|en|''a''-theorem}})라고 한다. 4차원의 경우, ''a''-정리는 1989년에 증명되었다.<ref>{{저널 인용|이름=H.|성=Osborn|연도=1989|제목=Derivation of a four dimensional c-theorem for renormaliseable quantum field theories|저널=Physics Letters B|권=1989|호=222|쪽=97| https://doi.org/10.1016/0370-2693(89)90729-6|bibcode=1989PhLB..222...97O|언어=en}}</ref> 비섭동적인 위상적 증명은 2011년에 이루어졌다.<ref>{{저널 인용|이름=Z.|성=Komargodski|저자2=A. Schwimmer|연도=2011|제목=On renormalization group flows in four dimensions|저널=Journal of High Energy Physics|권=2011|호=12|쪽=99|doi=10.1007/JHEP12(2011)099|arxiv=1107.3987|bibcode=2011JHEP...12..099K|issn=1029-8479|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1112.4538|이름=Zohar|성=Komargodski|제목=The constraints of conformal symmetry on RG flows|doi=10.1007/JHEP07(2012)069|bibcode=2012JHEP...07..069K|언어=en|날짜=2012-07|저널=Journal of High Energy Physics|issn=1029-8479|권=2012|호=7|쪽=69}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Reich|이름=Eugenie Samuel|날짜=2011년 11월 14일|제목=Proof found for unifying quantum principle|저널=[[네이처|Nature]]|doi=10.1038/nature.2011.9352|언어=en}}</ref> 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1205.3994|제목=On renormalization group flows and the ''a''-theorem in 6d|이름=Henriette|성=Elvang|저자2=Daniel Z. Freedman|저자3=Ling-Yan Hung|저자4=Michael Kiermaier|저자5=Robert C. Myers|저자6=Stefan Theisen|bibcode=2012JHEP...10..011E|저널=Journal of High Energy Physics|issn=1029-8479|날짜=2012-10|권=2012|호=10|쪽=11|언어=en}}</ref>

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 ''F''라는 값이 정의되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1012.3210|제목=The Exact Superconformal R-Symmetry Extremizes ''Z''|이름=Daniel L.|성=Jafferis|doi=10.1007/JHEP05(2012)159|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1103.1181|제목=
Towards the F-Theorem: N=2 Field Theories on the Three-Sphere|이름=Daniel L.|성=Jafferis|저자2=Igor R. Klebanov|저자3=Silviu S. Pufu|저자4=Benjamin R. Safdi|doi=10.1007/JHEP06(2011)102|언어=en}}</ref> 이는 3차원에서 ''c'' 또는 ''a''에 대응하는 값으로 추측된다.

2010년에는 [[홀로그래피 원리]]를 사용하여, 임의의 차원에서의 ''c''-정리들이 제안되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1011.5819|제목=Holographic ''c''-theorems in arbitrary dimensions|이름=Robert C.|성=Myers|저자2=Aninda Sinha|언어=en}}</ref> 이는 3차원에서 이미 정의된 ''F''와 일치한다는 사실이 증명되었다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1102.0440|제목=Towards a derivation of holographic entanglement entropy|date=2011-02-27|url=https://archive.org/details/arxiv-1102.0440|이름=Horacio|성=Casini|저자2=Marina Huerta, Robert C. Myers}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[등각 장론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/c-theorem|title=The Zamolodchikov ''c''-theorem|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:수리물리학 정리]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:재규격화군]]