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[[역학 (물리학)|역학]]에서 '''비리얼 정리'''({{llang|en|virial theorem}})는 일반적 역학계에서 평균 [[운동 에너지]]와 평균 [[위치 에너지]]가 서로 비례한다는 정리이다. 이를 사용하여, 해석적으로 풀 수 없는 계의 경우에도 평균 총 운동 에너지를 쉽게 계산할 수 있다.

만약 계가 열적 평형에 있다면, [[통계역학]]적으로 평균 운동 에너지를 계의 [[온도]]와 관련지을 수 있다. 그러나 비리얼 정리는 [[온도]]의 정의에 구애받지 않으며, [[열역학적 평형]] 상태에 있지 않은 계에 대해서도 적용할 수 있다.

== 정의 ==
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math> 위에 국소 좌표 <math>(q^i,p_i)</math>를 잡자.
:<math>\omega=\sum_idq^i\wedge dp_i</math>
그렇다면 '''비리얼''' <math>G</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>G=\sum_iq^ip_i</math>
이 경우, [[해밀턴 방정식]]에 따라서
:<math>\dot G=\sum_i(\dot q^ip_i+q^i\dot p_i)=\sum_iv^ip_i+\sum_iF_iq^i</math>
가 된다. 여기서 <math>H</math>는 계의 [[해밀토니언]]이며,
:<math>v^i=\frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>F_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}</math>
는 각각 [[일반화 속도]]와 [[일반화 힘]]이다. 따라서, 만약 어떤 선형 평균 연산 <math>\langle\cdots\rangle</math>에 대하여
:<math>\langle\dot G\rangle=0</math>
이라면,
:<math>0=\langle\dot G\rangle=\langle\sum_iv^ip_i\rangle+\langle\sum_iF_iq^i\rangle</math>
이다. 이를 '''비리얼 정리'''라고 한다.

평균 연산 <math>\langle\cdots\rangle</math>은 하나의 계의 시간 변화에 따른 평균일 수도 있고, 아니면 어떤 [[앙상블 (물리학)|앙상블]]에 대한 평균일 수도 있다.

=== 비상대론적 입자 ===
<math>N</math>개의 점입자들이 각각 위치 <math>\mathbf r_i</math>에, 질량 <math>m_i</math>를 가지고, 이 계의 [[해밀토니언]]이
:<math>H=\sum_i\frac{\mathbf p_i^2}{2m_i}+V_{\text{tot}}(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_N)</math>
이라고 하자. 이 경우, '''비리얼''' <math>G</math>은 다음과 같다.
:<math>G = \sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot \mathbf r_i</math>
이 경우,
:<math>\mathbf F_i=\dot{\mathbf p}_i=-\frac{\partial V_{\text{tot}}}{\partial\mathbf r^i}</math>
:<math>\mathbf v=\dot{\mathbf r}_i</math>
:<math>\sum_i\mathbf v_i\cdot\mathbf p_i=2T</math>
이므로, '''비리얼 정리'''는 다음과 같다.
:<math>0=2\left\langle T \right\rangle+\sum_{i=1}^N \left\langle \mathbf F_i\cdot \mathbf r_i\right\rangle</math>

여기서 Fi
는 <math>i</math>번째 입자에 작용하는 [[힘 (물리)|힘]]이다.

만약 위치 에너지가
:<math>V_{\text{tot}}(\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_N)=\sum_{1\le i<j\le N}\alpha\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|^n</math>
의 꼴이라면,
:<math>\sum_i\mathbf F_i\cdot\mathbf r_i=-\sum_{i\ne j}nV(\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|)\frac{(\mathbf r_i-\mathbf r_j)\cdot\mathbf r_i}{\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|^2}=
-\sum_{i\ne j}nV(\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|)\frac{\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|^2
+(\mathbf r_i-\mathbf r_j)(\mathbf r_i+\mathbf r_j)}{2\|\mathbf r_i-\mathbf r_j\|^2}=-nV_{\text{tot}}</math>
이다. 따라서, 이 경우 비리얼 정리는 다음과 같다.
:<math>2 \langle T \rangle = n \langle V_{\text{tot}} \rangle</math>
다시 말해, 계의 평균 [[운동 에너지]] <math>\langle T\rangle</math>는 [[위치 에너지]] <math>V_{\text{tot}}</math>와 비례한다.

특히, [[만유인력]]과 [[쿨롱 법칙]]의 경우 <math>n=-1</math>이며,
:<math>2 \langle T \rangle =-\langle V_{\text{tot}} \rangle</math>
이다.

=== 상대론적 입자 ===
상대론적 입자의 경우
:<math>T=\sum_i\gamma_im_ic^2=\sum_im_ic^2\sqrt{\mathbf p_i^2/m_i^2+1}</math>
이다. 따라서,
:<math>0=\langle\sum_i\mathbf v^i\cdot\mathbf p_i\rangle+\langle\sum_i\mathbf F_i\cdot\mathbf r^i\rangle</math>
이다. 이 경우
:<math>\frac{\mathbf v_i\cdot\mathbf p_i}{(\gamma_i-1)m_iv_i^2}=1+1/\gamma_i\in[1,2]</math>
이므로,
:<math>\frac{\langle\sum_i\mathbf F_i\cdot\mathbf r^i\rangle}{\langle T\rangle-\sum_im_ic^2}\in[1,2]</math>
이다. 만약 <math>|v_i|\ll c</math>일 경우 이는 2에 더 가까워지고, <math>v_i\lesssim c</math>일 경우 이는 1에 더 가까워진다.

=== 비리얼이 상수일 조건 ===
비리얼 정리는 <math>\langle\dot G\rangle=0</math>인 경우에 성립한다. 다양한 물리계에서 이 조건이 실제로 성립하는데, 그 이유는 다음과 같다.

<math>\langle\cdots\rangle_\tau</math>가 긴 시간 <math>0\le t\le \tau</math> 동안의 평균이라고 하자. 안정적인 계의 경우, 계의 상태가 어떤 콤팩트 집합 <math>K\subset M</math> 속에서 존재하게 된다. 그렇다면 비리얼 <math>G</math>는 <math>K</math> 위의 연속함수이므로, 상한과 하한을 갖는다.
:<math>\min_KG=G_{\min}\le G(t)\le G_{\max}=\max_KG</math>
따라서, 이를 매우 오랜 시간 <math>\tau</math>동안 평균을 취한다면, <math>\langle\dot G\rangle_\tau</math>는 0으로 수렴한다.
:<math>|\langle\dot G\rangle_\tau|=\frac1\tau\left|\int_0^\tau\dot G\right|=\frac{|G(\tau)-G(0)|}\tau\le\frac{G_\max-G_\min}\tau</math>
:<math>\lim_{\tau\to\infty}\langle\dot G\rangle_\tau=0</math>

시간에 대한 평균 대신, <math>\langle\cdots\rangle</math>이 어떤 [[앙상블 (물리학)|앙상블]]에 대한 평균이라고 할 수도 있다. 이 경우, <math>\langle\dot G\rangle=0</math>이라는 조건은 앙상블이 [[열역학적 평형]]에 있을 때 총족된다.

=== 양자역학에서의 비리얼 정리 ===
비리얼 정리는 비록 고전역학에서 유도되었지만 양자역학에서도 성립한다. 이 경우 평균 연산은 에너지 고유상태에서의 [[기댓값]]이며, 에너지 고유상태에서는 <math>\langle\dot G\rangle=0</math>이다.

=== 전자기장의 비리얼 정리 ===
전자기장이 포함된 계에서도 비리얼 정리를 적용할 수 있으며, 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|first=George |last=Schmidt |제목 =Physics of High Temperature Plasmas |edition=Second edition |publisher=Academic Press |year=1979 |pages=p. 72}}</ref>
입자들과 전자기장으로 구성된 계의 경우, [[비리얼]]은
:<math>G=\sum_{i=1}^N\mathbf p_i\cdot\mathbf r_i+\iiint_V\mathbf r\cdot\mathbf P_{\text{em}}\,d^3\mathbf r</math>
이다. 여기서 <math>\mathbf P</math>는 [[포인팅 벡터]](전자기장의 운동량 밀도)이다. 그렇다면 비리얼 정리는 다음과 같다.
:<math>\dot G= 2T-\iint_{\partial V}\mathbf r\cdot p\,d\hat{\mathbf n}</math>
여기서 ''T''는 계의 총 운동 에너지이며, 다음을 포함한다.
* 계에 속한 입자들의 운동 에너지
* 계의 열 에너지 (미시적 운동 에너지)
* 계의 전자기장의 에너지
p<sub>ik</sub>는 계의 총 압력 텐서로, 입자에 의한 압력과 전자기장으로 인한 압력을 통칭하며 다음과 같다.
:<math>p_{ik}=\sum n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma
- V_iV_k\sum m^\sigma n^\sigma+ \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right)
- \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right)</math>
여기서 처음 두 항은 유체의 압력, 나머지 두 항은 전자기장의 압력을 나타낸다.

== 응용 ==
비리얼 정리는 [[천문학]]에서 자주 응용되며, 특히 중력계의 운동 에너지나 열 에너지와 관련된 중력 위치 에너지에서 자주 이용된다.

=== 항성과 행성계 ===
[[질량]]이 <math>m</math>인 입자들로 구성된 구형 [[항성]]을 생각하자. 이 경우, 항성의 질량 <math>M</math> · 반지름 <math>R</math> · 입자 평균 속도 <math>v</math> 사이에는 비리얼 정리로부터 유도되는 다음과 같은 상관관계가 존재한다.
: <math>\frac35\frac{GM}{R} = \frac32 \frac{k_B T}{m_p} = \frac12v^2</math>
: <math>M = \frac56\frac{v^2R}G</math>
여기서 <math>G</math>는 [[중력 상수]], <math>k_B</math>는 [[볼츠만 상수]], <math>m_p</math>는 [[양성자]] 질량이다. 상수 인자 (3/5 나 1/2 등)들은 계에 따라서 다를 수 있다.

계의 질량이 계의 중심에 집중되어 있다면, 반지름에 대한 질량 함수 <math>M(R)</math>는 상수 함수가 된다. 예를 들어, [[태양계]]의 경우 대부분의 질량이 태양에 집중되어 있다. 이 경우,
:<math>R^{-1}\propto v^2</math>
가 되는데, 이것은 [[케플러의 행성운동법칙|케플러 제3 법칙]]이다.

=== 백색왜성 ===
비리얼 정리를 사용하여, [[백색 왜성]]의 [[찬드라세카르 한계]]를 유도할 수 있다.

=== 은하와 은하단 ===
[[파일:M33 rotation curve HI.gif|섬네일|오른쪽|[[삼각형자리 은하]]의 회전곡선. 관측된 회전곡선은 관측할 수 있는 질량의 분포와 어긋나며, 이를 통해 [[암흑 물질]]의 존재를 유추할 수 있다.]]
비리얼 정리는 은하와 [[은하단]]에 응용할 수 있다. 은하를 구성하는 항성의 속도는 [[도플러 효과]]를 통해 직접적으로 관측할 수 있다. 은하단의 중심에서 <math>r</math>만큼 떨어져 있는 항성의 평균 속력이 <math>v(r)</math>라고 하자. 이 함수를 [[은하의 회전곡선]]이라고 하며, 이는 반지름 <math>r</math>의 구면 속에 포함된 총 질량<math>M(r)</math>와 비리얼 관계를 갖는다. 즉, 은하의 회전곡선을 관찰하여 은하의 질량 분포를 유추할 수 있다.

실제 은하의 관측 결과에 따르면, <math>v(R)</math>는 [[전자기파]]로 관측할 수 있는 질량 분포에 비하여 더 천천히 감소한다. 이는 전자기파로 관찰할 수 없는 막대한 질량이 은하의 바깥쪽까지 존재하고 있다는 것을 의미한다. 이러한 질량을 구성하는 미지의 물질을 [[암흑 물질]]이라고 한다.

[[은하단]]의 경우에도, 마찬가지로 은하단을 구성하는 [[은하]]의 속력을 측정하여, 은하단의 질량 분포를 계산할 수 있다.

=== 플라스모이드의 수명 ===
[[플라스모이드]]는 자기장과 [[플라스마]]의 유한한 배열이다. 전자기장을 포함하는 계의 비리얼 공식에서, 좌변의 면적분은 아무런 바깥 힘이 없는 경우 0이다. 우변의 항들은 모두 양수이므로, 계의 비리얼은 항상 증가하게 된다. 즉, 바깥 힘이 작용하지 않는 플라스모이드는 항상 팽창하여 희석된다.

플라스모이드의 평균 수명 <math>\tau</math>는 다음과 같이 근사할 수 있다. 플라스모이드의 총 질량이 <math>M</math>이며, 크기가 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 관성 모멘트는 대략
:<math>I\sim MR^2</math>
이며, 비리얼 공식의 좌변은 <math>\sim MR^2/\tau^2</math>이 된다. 우변의 항들의 합은 대략 <math>\sim pR^3</math>이다 (<math>p</math>는 자기·플라스마 압력). 따라서
:<math>MR^2/\tau^2\sim pR^3</math>
이므로,
:<math>\tau\sim\sqrt{M/pR}\sim R/c_s</math>
여기서
:<math>c_s\sim\sqrt{p/\rho}\sim\sqrt{pR^3/M}</math>
은 이온 [[음파]](또는 만약 자기 압력이 플라스마 압력보다 높을 때는 [[알프벤 파]])의 속력이다. 따라서 플라스모이드의 평균 수명은 음파가 플라스모이드 전체를 오가는 시간과 대략 일치한다.

== 역사와 어원 ==
비리얼 정리는 실수(real number)에 대한 [[라그랑주 항등식]]
<math>
\begin{align}
\biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2 \\
& \biggl(= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1,j\neq i}^n (a_i b_j - a_j b_i)^2\biggr)
\end{align}
</math>

으로부터 즉각 유도된다.

비리얼 정리의 초기 형태는 [[조제프루이 라그랑주]]가 1772년 출판한 "Essay on the Problem of Three Bodies"에 등장한다. 이를 [[카를 야코비]]가 일반화시켜 고전적 비리얼 정리와 거의 같게 만들었다. 나중에 [[제임스 클러크 맥스웰]], [[레일리 경]], [[앙리 푸앵카레]], [[수브라마니안 찬드라세카르]], [[엔리코 페르미]], [[폴 레도]], [[유진 파커]]등에 의해 일반화되고 널리 알려졌다.

비리얼 정리를 이용해 [[찬드라세카르 한계]]를 유도할 수 있다.

[[프리츠 츠비키]]가 [[은하]]에 비리얼 정리를 적용하였고, 이를 통해 최초로 [[암흑 물질]]의 존재를 제안하였다.

1870년에 [[루돌프 클라우지우스]]가 강의를 하면서 "비리얼"이라는 용어 및 비리얼 정리를 도입하였다.<ref>{{저널 인용| last = Clausius | first = R. J. E. | 저자링크=루돌프 클라우지우스 | 날짜 = 1870 | 제목 = On a mechanical theorem applicable to heat | doi=10.1080/14786447008640370| journal = Philosophical Magazine (series 4) | volume = 40 | 호=265 |pages = 122–127 | issn=0031-8086|언어=en}}</ref> {{llang|en|virial|비리얼}}은 {{llang|la|[[:wiktionary:ko:vis|vīs]]|비스}}(힘, 에너지)에서 유래한다.

== 같이 보기 ==
* [[에너지 등분배법칙]]
* [[에렌페스트 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |이름=Herbert|성=Goldstein|공저자=Charles Poole, John Safko|제목= Classical mechanics|url=http://www.pearsonhighered.com/educator/product/Classical-Mechanics/9780201657029.page |날짜=2002|출판사=Addison Wesley|판=3판|zbl=1132.70001|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=The Virial Theorem and its applications in the teaching of Modern Physics|url=http://www.lajpe.org/may10/01_Celso_Ladera.pdf|저널=Revista Latinoamericana de Física Educativa|이름=Celso L.|성=Ladera|공저자=Eduardo Alomá y Pilar León|issn=1870-9095|날짜=2010-05|언어=en|확인날짜=2014-10-30|보존url=https://web.archive.org/web/20141030045221/http://www.lajpe.org/may10/01_Celso_Ladera.pdf|보존날짜=2014-10-30|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Virial theorem}}
* {{웹 인용|url=http://astro.kasi.re.kr/Main/ContentViewForm.aspx?MenuID=1391|제목=비리얼 정리 — 은하 에너지론|웹사이트=천문우주지식정보|날짜=2010-06-08|언어=ko|확인날짜=2014-10-29|보존url=https://web.archive.org/web/20141105182506/http://astro.kasi.re.kr/Main/ContentViewForm.aspx?MenuID=1391#|보존날짜=2014-11-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/virial.html|제목=The virial theorem made easy|이름=John|성=Baez|날짜=2000|언어=en}}

[[분류:역학]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:물리학 개념]]