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[[일반위상수학]]에서 '''하이네-보렐 정리'''({{llang|en|Heine–Borel theorem}})는 [[균등 공간]]이 [[콤팩트 공간]]일 [[필요충분조건]]을 제시하는 정리이다.

== 정의 ==
'''하이네-보렐 정리'''에 따르면, 임의의 [[균등 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=A totally bounded, complete uniform space is compact|이름=D. L.|성=Frank|doi=10.1090/S0002-9939-1965-0175088-5|mr=0175088|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=16|날짜=1965|쪽=514–514|issn=0002-9939|언어=en}}</ref>
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완비 균등 공간]]이며, [[완전 유계 공간]]이다.

{{증명}}
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math> 위의 [[코시 필터]]는 [[집적점]]을 가지며, 따라서 이 집적점으로 수렴한다. 즉, 모든 콤팩트 균등 공간은 [[완비 균등 공간]]이다. 이제, <math>X</math>가 [[완전 유계 공간]]임을 보이자. 임의의 측근 <math>E\in\mathcal E</math>에 대하여, <math>E</math>-작은 집합들로 구성된 <math>X</math>의 [[유한 덮개]]를 찾으면 족하다. 다음 조건들을 만족시키는 측근 <math>F\in\mathcal E</math>가 존재한다.
* <math>F\circ F\subseteq E</math>
* <math>F</math>는 [[대칭 관계]]이다.
* <math>F\subseteq X\times X</math>는 [[열린집합]]이다.
이제
:<math>F[x,-]=\{y\colon(x,y)\in F\}</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>\{F[x,-]\colon x\in X\}</math>는 유한 부분 덮개 <math>\{F[x_1,-],\dots,F[x_n,-]\}</math>를 갖는다. 또한, 모든 <math>F[x_i,-]</math>는 <math>E</math>-작은 집합이다.

반대로, [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E)</math>가 [[완비 균등 공간]]이자 [[완전 유계 공간]]이라면, [[콤팩트 공간]]임을 보이자. 임의의 <math>X</math> 위의 [[극대 필터]] <math>\mathcal F</math>가 수렴함을 보이면 족하다. <math>X</math>가 [[완비 균등 공간]]이므로, <math>\mathcal F</math>가 [[코시 필터]]임을 보이면 족하다. 임의의 측근 <math>E\in\mathcal E</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완전 유계성에 따라 <math>E</math>-작은 집합들로 구성된 <math>X</math>의 [[유한 덮개]] <math>\{A_1,\dots,A_n\}</math>이 존재한다. <math>\mathcal F</math>는 [[극대 필터]]이므로, <math>A_i\in\mathcal F</math>인 <math>i\in\{1,\dots,n\}</math>이 존재한다.
{{증명 끝}}

특히, <math>X</math>가 [[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]이라고 하자. 그렇다면, <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[완전 유계 공간]]이다.
* [[유계 집합]]이다.
마찬가지로, <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[완비 균등 공간]]이다.
* [[닫힌집합]]이다.
따라서, <math>X</math>의 경우 하이네-보렐 정리에 따라 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
* [[유계 집합]]이며 [[닫힌집합]]이다.

== 예 ==
<math>\mathbb R</math> 위의 [[이산 거리 공간]]을 생각하자. 그 속의 [[부분 집합]] <math>[0, 1]</math>은 [[유계 공간|유계]] [[닫힌집합]]이며 [[완비 거리 공간]]이지만 [[완전 유계 공간]]이 아니며, 따라서 [[콤팩트 집합]]이 아니다.

== 역사 ==
[[에두아르트 하이네]]와 [[에밀 보렐]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=An analysis of the first proofs of the Heine–Borel theorem|이름=Nicole R.|성=Andre|이름2=Susannah M.|성2=Engdahl|이름3=Adam E.|성3=Parker|저널=Convergence|doi=10.4169/loci003890|날짜=2013-08|url=http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem|언어=en|access-date=2016-06-15|archive-date=2016-06-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20160619214411/http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/an-analysis-of-the-first-proofs-of-the-heine-borel-theorem|url-status=}}
* {{저널 인용|이름=P.|성=Dugac|제목=Sur la correspondance de Borel et le théorème de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue|저널=Archives Internationales d’Histoire des Sciences|권=39|호=122|날짜=1989|쪽=69-110|issn=0003-9810|언어=fr}}
* {{저널 인용|제목=A pedagogical history of compactness|이름=Manya|성=Raman-Sundström|arxiv=1006.4131|날짜=2014|bibcode=2010arXiv1006.4131R|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:일반위상수학]]
[[분류:위상수학 정리]]