{{위키데이터 속성 추적}}
'''약한 골트바흐의 추측'''({{lang|en|Goldbach's weak conjecture}}), '''홀수 골트바흐 추측'''({{lang|en|odd Goldbach conjecture}}), 또는 '''3원 골트바흐 문제'''({{lang|en|ternary Goldbach problem}})는 [[홀수]]를 세 [[소수 (수론)|소수]]의 합으로 나타내는 것에 대한 추측이다. 다음과 같이 서술된다.
: 7 이상의 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

또는 다음과 같은 더 강한 명제로 서술되기도 한다. 이는 7을 세 소수의 합으로 나타내는 방법인 7 = 2+2+3 에 유일한 짝수 소수 2가 사용되기 때문이다.
: 7보다 큰 모든 홀수는 세 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
[[골트바흐의 추측]]이 참이라면, 자동적으로 약한 골트바흐의 추측이 참이 된다.

수많은 수학자들이 골트바흐의 추측과 함께 약한 골트바흐의 추측을 해결하기 위해 시도하였고, 점진적인 발전이 있었다. 2013년 페루의 [[수학자]] Harald A. Helfgott에 의해 최종적으로 참으로 해결된 추측이 되었다.

[[이반 비노그라도프]]가 충분히 큰 수에 대해 추측이 참이라는 것을 처음 증명하였으며, 2002년 2×10<sup>1346</sup>까지 하계가 낮추어졌다. Helfgott는 10<sup>27</sup>까지 하계를 낮추고, 그 이하의 홀수에 대해 [[컴퓨터를 이용한 증명|컴퓨터를 이용해 증명을 완료하였다]].

== 골트바흐의 추측과의 관계 ==
[[골트바흐의 추측]]은 "2 초과의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측이다. 골트바흐의 추측은 약한 골트바흐의 추측을 함의한다.
이는 골트바흐의 추측이 참일 경우 7 이상의 홀수 a를 3+(a-3)으로 나누고, (4 이상의 짝수) a-3에 대해 골트바흐의 추측을 적용하여 두 소수의 합으로 나타내는 방식을 이용해 결과적으로 a를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.

== 역사 ==
{{sfn| Helfgott | 2015 | loc=§1 Introduction}}

약한 골트바흐의 추측의 원형은 골트바흐의 추측과 마찬가지로 1742년 6월 7일 [[크리스티안 골트바흐]]가 [[오일러]]에게 보낸 편지에 언급되었다. 오일러는 편지의 추측을 정리하여 "모든 양의 정수는 최대 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측을 제시하였다. 아래에 약한 골트바흐의 추측의 증명까지의 몇몇 중요한 결과들을 나열하였다.

=== 사용하는 소수의 개수를 줄이는 방법 ===
* 1933년 L. Schnirelmann는 어떤 상수 K가 존재하여 1보다 큰 모든 정수를 최대 K개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성 = Schnirelmann
 |이름 = L.
 |제목 = Über additive Eigenschaften von Zahlen
 |저널 = Math. Ann.
 |권 = 107
 |호 = 1
 |쪽 = 649-690
 |날짜 = 1933
}}</ref>
* 1969년 K. I. Klimov는 K = 6×10<sup>9</sup>을 증명하였고, 이후 G. Z. Piltay, T. A. Sheptickaja와 함께 K = 115, 그리고 K = 55로 그 값을 개선하였다.
* 이후 R. C. Vaughan의 K = 27<ref>
{{저널 인용
 |성 = Vaughan
 |이름 = R. C.
 |제목 =  On the estimation of Schnirelman’s constant
 |저널 =  J. Reine Angew. Math.
 |권 = 290
 |쪽 = 93-108
 |날짜 = 1977
}}</ref>, J.-M. Deshouillers의 K = 26<ref>
{{저널 인용
 |성 = Deshouillers
 |이름 = J.-M.
 |제목 =  Sur la constante de Šnirel'man
 |저널 =  Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e année: (1975/76), Théorie des nombres: Fac. 2, Exp. No. G16,
 |쪽 = 6
 |날짜 = 1977
}}</ref>, H. Riesel와 R. C. Vaughan의 K = 19<ref>
{{저널 인용
 |성1 = Riesel.
 |이름1 = H
 |성2 = Vaughan
 |이름2 = R. C.
 |제목 =  On sums of primes
 |저널 =  Ark. Mat.
 |권 = 21
 |호 = 1
 |쪽 = 46-74
 |날짜 = 1983
}}</ref>로 필요한 소수의 개수가 점점 개선되어갔다.
* 1995년 O. Ramaré는 모든 짝수가 최대 6개의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성 = Ramaré
 |이름 = O.
 |제목 = On Šnirel'man' sconstant
 |저널 =  Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4)
 |권 = 22
 |호 = 4
 |쪽 = 645-706
 |날짜 = 1995
}}</ref>
* 2012년 [[테렌스 타오]]는 1보다 큰 모든 홀수가 최대 5개의 소수의 합으로 나타내어짐을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성 = Tao
 |이름 = T.
 |제목 =  Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes
 |저널 =  Math. Comp.
 |권 = 83
 |호 = 286
 |쪽 = 997-1038
 |날짜 = 2014
 |arxiv = 1201.6656
}}</ref>

=== 추측이 성립하는 홀수의 하계를 줄이는 방법 ===
* 1937년 [[이반 비노그라도프]]는 약한 골트바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였다.<ref name=Vin37>
{{저널 인용
 |언어 = ru
 |성 = Vinogradov
 |이름 = I. M.
 |제목 = A new method in analytic number theory
 |날짜 = 1937
 |저널 = Tr. Mat. Inst. Steklova
 |권 = 10
 |쪽 = 5-122
}}</ref> 이 증명으로는 그 하계 C를 계산할 수 없었지만, 이후 비노그라도프는 C를 계산할 수 있는 다른 증명을 발표하였다.<ref>
{{저널 인용
 |언어 = ru
 |성 = Vinogradov
 |이름 = I. M.
 |제목 =  The method of trigonometrical sums in the theory of numbers
 |날짜 = 1947
 |저널 = Tr. Mat. Inst. Steklova
 |권 = 23
 |쪽 = 3-109
}}</ref><ref>
{{서적 인용
 |언어 = en
 |성 = Vinogradov
 |이름 = I. M.
 |제목 =  The method of trigonometrical sums in the theory of numbers
 |날짜 = 1954
 |출판사 = Interscience Publishers, London and New York
 |번역자1-성 = Roth
 |번역자1-이름 = K. F.
 |번역자2-성 = Davenport
 |번역자2-이름 = Anne
}}</ref>
** 그 이전에도 K. K. Mardzhanishvili가<ref name=Vin37/> 이를 발전시켜 C를 계산할 수 있는 증명을 발표하였다.<ref>
{{저널 인용
 |언어 = ru
 |성 = Mardzhanishvili
 |이름 = K. K.
 |제목 = On the proof of the Goldbach-Vinogradov theorem
 |저널 = C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)
 |권 = 30
 |호 = 8
 |쪽 = 681-684
 |날짜 = 1941
}}</ref>
* 처음 C를 계산한 것은 비노그라도프의 지도 아래 K. G. Borodzkin가 작성한 미출판된 [[박사]] [[학위]] 논문(1936년)으로 알려져 있으며, 그 값은 exp(exp(exp(41.96)))이었다.<ref>
{{서적 인용
 |언어 = ru
 |성 = Chudakov
 |이름 = N. G.
 |제목 = Introduction to the theory of Dirichlet L-functions
 |출판사 = OGIZ, Moscow-Leningrad
 |쪽 = 201
 |날짜 = 1947
}}</ref>
* 이후 1956년 K. G. Borodzkin는 C = 3<sup>3<sup>15</sup></sup> ≈ 10<sup>7000000</sup>을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |언어 = ru
 |성 = Borodzkin
 |이름 = K. G.
 |제목 = On I. M. Vinogradov’s constant
 |저널 = Acta Arith.
 |권 = 1
 |날짜 = 1956
}}</ref><ref name=DEtRZ97/>
* 1989년 [[천징룬]]과 T. Z. Wang은 C = exp(exp(11.503)) < 4×10<sup>43000</sup>을 증명하였으며<ref>
{{저널 인용
 |성1 = Chen
 |이름1 = J. R.
 |성2 = Wang
 |이름2 = T. Z.
 |제목 = On the Goldbach problem
 |저널 = Acta Math. Sinica
 |권 = 32
 |호 = 5
 |쪽 = 702-718
 |날짜 = 1989
}}</ref>, 1996년에는 C = exp(exp(9.715)) < 6×10<sup>7193</sup>을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성1 = Chen
 |이름1 = J. R.
 |성2 = Wang
 |이름2 = T. Z.
 |제목 = The Goldbach problem for odd numbers
 |저널 = Acta Math. Sinica (Chin. Ser.)
 |권 = 39
 |호 = 2
 |쪽 = 169-174
 |날짜 = 1996
}}</ref>
* 2002년 M.-Ch. Liu와 T. Wang은 C = 2×10<sup>1346</sup>을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성1 = Liu
 |이름1 = M.-Ch.
 |성2 = Wang
 |이름2 = T.
 |제목 =  On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture
 |저널 = Acta Arith.
 |권 = 105
 |호 = 2
 |쪽 = 133-175
 |날짜 = 2002
}}</ref>
* 2013년 H. A. Helfgott는 C = 10<sup>27</sup>을 증명하였다.<ref>
{{arXiv 인용
 |성 = Helfgott
 |이름 = H. A.
 |제목 =  The Ternary Goldbach Conjecture is true
 |날짜 = 2013-12-30
 |arxiv = 1312.7748
}}</ref>

2013년 5월 H. A. Helfgott과 D. Platt가 컴퓨터를 이용한 계산으로 8.875×10<sup>30</sup> 이하의 홀수들에 대해 추측이 성립함을 검증하였으므로<ref>
{{저널 인용
 |성1 = Helfgott
 |이름1 = H. A.
 |성2 = Platt
 |이름2 = David J.
 |제목 =  Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 · 10<sup>30</sup>
 |저널 =  Exp. Math.
 |권 = 22
 |호 = 4
 |쪽 = 406-409
 |날짜 = 2013-05-14
 |arxiv = 1305.3062
}}</ref>, 이로써 약한 골트바흐의 추측이 증명되었다.

=== [[일반화 리만 가설]]을 가정하였을 때 ===
* 1922년 [[고드프리 해럴드 하디|하디]]와 [[존 이든저 리틀우드|리틀우드]]는 [[일반화 리만 가설]]이 참이라는 가정 하에, 충분히 큰 모든 홀수를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다.<ref>
{{저널 인용
 |성1=Hardy
 |이름1=G. H.
 |성2=Littlewood
 |이름2=J. E.
 |제목=Some problems of 'Partitio numerorum'; III: On the expression of a number as a sum of primes
 |날짜=1922
 |저널=Acta Math.
 |권=44
 |호=1
}}</ref>
* 하디와 리틀우드의 논문의 계산을 발전시켜, 1999년 G. Effinger는 충분히 큰 홀수의 하계를 1.24×10<sup>50</sup>으로 계산하였다.<ref name=Eff99>
{{저널 인용
 |성 = Effinger
 |이름 = G.
 |제목 =  Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem
 |날짜 = 1999
 |저널 = The Ramanujan Journal
 |doi = 10.1023/A:1009821519507
 |권 = 3
 |호 = 3
 |쪽 = 239-280
}}</ref> (논문 자체는 1997년 6월 제출되었다.) 정확히는, 위 두 논문들은 일반화 리반 가설보다 약한 가정을 사용하였다. 이는 [[디리클레 L-함수]]가 임의의 θ<3/4에 대해 실수부가 θ 이상인 근을 가지지 않는다는 것이었다.
**<ref name=Eff99/>에 따르면, 1926년 [[에드문트 란다우]]의 학생 B. Lucke가 미출판된 박사 학위 논문에서 동일한 가정 하에 10<sup>32</sup>라는 하계를 증명하였다.
* 1997년 D. Zinoviev는 하계를 10<sup>20</sup>으로 발전시켰다.<ref>
{{저널 인용
 |성 = Zinoviev
 |이름 = D.
 |제목 =  On Vinogradov’s constant in Goldbach’s ternary problem
 |날짜 = 1997
 |저널 = Journal of Number Theory
 |권 = 65
 |호 = 2
 |쪽 = 334-358
 |doi = 10.1006/jnth.1997.2141
}}</ref>
* 1997년 컴퓨터를 이용한 계산으로 추측이 10<sup>20</sup> 미만의 홀수에 대해 참이라는 것이 검증되었다.<ref name=DEtRZ97>
{{저널 인용
 |성1 = Deshouillers
 |이름1 = J.-M.
 |성2 = Effinger
 |이름2 = G.
 |성3 = te Riele
 |이름3 = H.
 |성4 = Zinoviev
 |이름4 = D.
 |제목 =  A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis
 |날짜 = 1997-09-17
 |저널 = Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society
 |권 = 3
 |쪽 = 99-104
 |url = https://www.ams.org/journals/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf
}}</ref><ref>
{{저널 인용
 |성1 = Saouter
 |이름1 = Y.
 |제목 =   Checking the odd Goldbach conjecture up to 10<sup>20</sup>
 |날짜 = 1998-04
 |저널 = Mathematics of Computation
 |권 = 67
 |호 = 222
 |쪽 = 863-866
 |doi = 10.1090/S0025-5718-98-00928-4
}}</ref>
따라서 일반화 리만 가설을 가정했을 때, 약한 골트바흐의 추측이 참이라는 것을 증명할 수 있었다.

== 같이 보기 ==
* [[수학의 미해결 문제]]
* [[천의 정리]]
* [[골트바흐의 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{arXiv 인용
 |ref=harv
 |성=Helfgott
 |이름=Harald Andres
 |전자문서=1501.05438
 |제목=The ternary Goldbach problem
 |분류=math.NT
 |날짜=2015-01-22
}}

== 외부 링크 ==
* {{뉴스 인용
 |url = http://dongascience.donga.com/news/view/825
 |제목 = 골트바흐의 추측, ‘약하게’ 증명됐다!
 |저자 = 강석기
 |날짜 = 2013-05-28
 |뉴스 = 동아사이언스
 |확인날짜 = 2018-05-06
}}

[[분류:수론]]
[[분류:소수에 관한 추측]]
[[분류:해석적 수론]]