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'''앞섬-뒤짐 보상기'''(Lead-lag compensator)는 [[PID 제어기]]와 더불어 실제 응용 분야에서 많이 사용되는 대표적인 제어기다. 이상적인 동작을 위해 [[PID 제어기]]는 [[적분기]]로 인한 무한대의 [[직류 이득]]과 [[미분기]]로 인한 무한대의 고주파 이득을 요구하지만, 앞섬-뒤짐 보상기는 보다 실제 적용에 있어 덜 이상적인 응답을 요구하는 제어기이다. 앞섬-뒤짐 보상기의 원리를 이해하기 위해서는 [[위키백과:bode plot|보드 선도]]를 통한 [[주파수 영역]]에서의 해석을 이용하는 것이 직관적으로 편리하다.

== 라플라스 변환 표현 ==
앞섬 보상기와 뒤짐 보상기의 [[라플라스 변환]] 표현은 다음과 같다.

:<math>D(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = K\frac{s/z + 1}{s/p + 1}.</math>

여기서 <math>X</math>는 보상기의 입력 신호의 [[라플라스 변환]]이고 <math>Y</math>는 보상기의 출력 신호의 [[라플라스 변환]], <math>s</math>는 [[라플라스 변환]] 변수, <math>-z</math>는 보상기의 [[위키백과:Zero (complex analysis)|영점]], <math>-p</math>는 보상기의 [[위키백과:Pole (complex analysis)|극점]]이다. 만약 <math>0 < |z| < |p|</math>이면 보상기는 앞섬 보상기가 되고, <math>0 < |p| < |z|</math>이면 뒤짐 보상기가 된다. 보통의 경우 <math>p</math>와 <math>z</math>, <math>K</math>는 양수이다.

== 주파수 응답 특성 ==
[[파일:FrequencyRespOfLeadLagComp.png|섬네일|400픽셀|앞섬 보상기: <math>z = 10</math>, <math>p = 100</math>, <math>K = 1</math>, 뒤짐 보상기: <math>z = 100</math>, <math>p = 10</math>, <math>K = z/p</math>.]]
보상기의 [[주파수 응답]] 특성을 관찰하기 위해 <math>s = j\omega</math>로 치환하자. 여기서 <math>j</math>는 [[허수 단위]]이고, <math>\omega</math>는 [[각진동수|각주파수]]이다. 그러면 보상기의 [[주파수 응답|크기 응답]]과 [[주파수 응답|위상 응답]]은 다음과 같다.

:<math>
\begin{align}
|D(j\omega)| &= K\sqrt{\frac{1 + (\omega/z)^{2}}{1 + (\omega/p)^{2}}},\\
\angle D(j\omega) &= \arctan \frac{\omega}{z} - \arctan \frac{\omega}{p}.
\end{align}
</math>

만약 <math>0 < z < p</math>이면 [[주파수 응답|위상 응답]]이 0보다 크고 (<math>\omega = \sqrt{pz}</math>에서 최대), 따라서 앞섬 보상기가 된다. 반대로 <math>0 < p < z</math>이면 [[주파수 응답|위상 응답]]이 0보다 작고 (<math>\omega = \sqrt{pz}</math>에서 최소), 뒤짐 보상기가 된다. <math>\omega = \omega_{m} = \sqrt{pz}</math>에서의 위상 변화를 <math>\phi_{m}</math>이라 두면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:<math>
\sin \phi_{m} = \frac{\gamma - 1}{\gamma + 1},\quad \gamma = p/z.
</math>

== 시스템 응답 개선 ==
=== 주파수 응답을 통한 앞섬 보상기 설계 ===
[[파일:UnityFeedbackSystems.png|섬네일|400픽셀|단일 되먹임 시스템의 블록도]]
앞섬 보상기의 [[주파수 응답|위상 응답]] 특성은 [[:en:LTI system theory|선형 시불변 시스템]]의 [[:en:phase margin|위상 여유]]를 증가시켜 불안정한 시스템을 안정화 시키거나 응답 특성을 개선하는데 이용될 수 있다. 주어진 플랜트(plant)를 <math>G(s)</math>, 플랜트에 가해질 제어 입력을 생성할 보상기 또는 제어기를 <math>D(s)</math>라 두고 단일 되먹임 시스템(unity feedback system)을 고려하자. 즉, 기준 입력(reference input) <math>r</math>로부터 출력 <math>y</math>까지의 전달함수는 다음과 같다.

:<math>
\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{D(s)G(s)}{1 + D(s)G(s)}.
</math>

시스템의 응답 특성에서 [[:en:Overshoot (signal)|오버슈트(overshoot)]]를 줄이거나 불안정한 시스템의 안정화를 위해서는 보통 개방 루프의 [[주파수 응답]]의 [[:en:crossover frequency|이득 교차 주파수]] <math>\omega_{c}</math>에서 [[:en:phase margin|위상 여유]]를 증가시켜야 한다. [[직류 이득]]에 영향을 주지 않기 위해 보통 <math>K = 1</math>로 둔다. 앞섬 보상기를 이용해 증가시킬 위상의 최댓값을 <math>\phi_{m}</math>이라 두면 <math>\phi_{m}</math>만큼의 위상 증가를 얻기 위해 필요한 [[:en:Pole (complex analysis)|극점]]과 [[:en:Zero (complex analysis)|영점]]의 비율 <math>\gamma</math>는 다음의 관계식을 통해 결정된다.

:<math>
\gamma = \frac{1 + \sin\phi_{m}}{1 - \sin\phi_{m}}.
</math>

<math>\gamma</math>가 결정되면 <math>\omega_{m} = \sqrt{pz}</math>와 <math>\gamma = p/z</math>의 관계로부터 <math>p</math>와 <math>z</math>의 값을 다음과 같이 얻게된다.

:<math>
z = \frac{\omega_{m}}{\sqrt{\gamma}},\quad p = \omega_{m}\sqrt{\gamma}.
</math>

여기서 만약 <math>\omega_{m} = \omega_{c}</math>로 두고 개방 루프에 보상기를 추가해 주면 원하는 만큼의 응답 특성 개선이 이루어지지 않는다. 그 이유는 보상기를 추가함으로 인해 개방 루프의 [[주파수 응답|크기 응답]]이 바뀌게 되어 [[:en:crossover frequency|이득 교차 주파수]]가 보상기의 추가 이전과 달라지기 때문이다. 따라서 <math>\omega_{m}</math> 값을 <math>\omega_{c}</math>근처에서 조금씩 변화를 시키면서 튜닝을 해야한다.

=== 정상 상태 오차 개선을 위한 뒤짐 보상기 설계 ===
단일 되먹임 시스템의 [[:en:Step response|계단 응답]]에서 [[정상 상태]] 오차(steady-state error)를 줄이기 위해서는 개방 루프의 [[직류 이득]]을 증가시켜야 한다. 하지만 개방 루프의 [[직류 이득]]을 증가시키기 위해 비례 이득(proportional gain)만을 증가시키면 시스템의 동특성이 크게 변화하여 부작용을 피할 수 없다. 따라서, 시스템의 동특성에 변화를 가능하면 적게 주고 [[직류 이득]]을 증가시킬 필요가 있고, 이를 위해 뒤짐 보상기를 사용하게 된다. 보상기의 [[직류 이득]]은 다음과 같이 계산된다.

:<math>
\lim_{\omega \to 0}D(j\omega) = K.
</math>

따라서 원하는 만큼 [[정상 상태]] 오차가 줄어들도록 <math>K</math>를 먼저 선택한다. 한편, [[직류 이득]]을 증가시키면서 뒤짐 보상기가 개방 루프의 동특성을 크게 변화시키지 않아야 하므로 <math>\omega</math>가 증가함에 따라 <math>D(j\omega)</math>는 <math>1</math>에 가까워 져야 한다. <math>\lim_{\omega \to \infty}D(j\omega) = Kp/z</math>이므로 <math>\gamma = 1/K</math>로 둔다. 동특성 변화를 줄이기 위해서는 [[:en:Pole (complex analysis)|극점]]과 [[:en:Zero (complex analysis)|영점]]을 가깝게 두어 서로의 영향이 상쇄되도록 해야 한다. 따라서, <math>\gamma = 1/K</math>의 조건을 만족하면서 [[:en:Pole (complex analysis)|극점]]과 [[:en:Zero (complex analysis)|영점]]을 가깝게 두기 위해서는 <math>z</math>와 <math>p</math>를 작은 값으로 택해야 한다.

=== 근궤적 상에서 앞섬 보상기의 영향 ===

== 같이 보기 ==
* [[PID 제어기]]
* [[제어 이론]]

== 참고 문헌 ==
# Franklin, G. F.; Powell, J. D.; Emami-Naeini, A. (2006), ''Feedback Control Of Dynamic Systems'' (5th ed.); Prentice Hall; {{ISBN|0131499300}}, 9780131499300.

[[분류:공학]]
[[분류:제어공학]]
[[분류:제어이론]]
[[분류:계산수학]]