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[[수학]]에서 '''[[급수 (수학)|급수]]'''란 [[수열]]을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 [[무한급수]]를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.

==정의==
급수 <math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j=a_1+a_2 +a_3+\cdots\,</math>의 <math>n\,</math>번째 [[부분합]]을 
<math>S_n=\sum_{j=1}^{n}a_j\,</math>이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 <math>\{S_n\}\,</math>이 [[수렴]]하면 급수 <math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>를 '''수렴급수'''(convergent series)라고 한다.
즉, 부분합이 이루는 수열 <math>\{S_n\}\,</math>이 어떤 고정된 유한한 수 <math>S\,</math>에 수렴하여
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}S_n =S\,</math>
와 같이 쓸 수 있으면 <math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>를 수렴급수 또는 급수 <math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>이 <math>S\,</math>로 수렴한다고 한다. 이때 <math>S\,</math>를 급수 <math>\sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>의 '''합'''(sum)이라고 한다.
이 관계는
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left( \sum_{j=1}^{n}a_j \right)= 
 \sum_{j=1}^{\infty}a_j=S\,</math>
와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 '''발산급수'''(divergent series)라고 한다.

==수렴급수와 발산급수의 예==

*수렴급수
*:<math>\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j+1}\frac{1}{j}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2. </math>
*:<math>\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{j-1}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.</math>
*:<math>\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^2}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.</math>
*:<math>\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j^3}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots </math> [[아페리 상수|(수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)]]
*발산급수
*:<math> \sum_{j=1}^{\infty}(-1)^j=-1+1-1+\cdots. </math>
*:<math> \sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{j}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots. </math>
*:<math> \sum_{j=1}^{\infty}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots. </math>

==수렴정리==
두 수렴급수 <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>, <math> \sum_{j=1}^{\infty}b_j\,</math>의 합을 각각 <math>A,\, B\,</math>라고 하면 다음이 성립한다.
*<math>\sum_{j=1}^{\infty}\alpha a_j= \alpha \sum_{j=1}^{\infty}a_j=\alpha A\,</math>, (<math>\alpha:</math>상수)
*<math>\sum_{j=1}^{\infty}(a_j\pm b_j)= \sum_{j=1}^{\infty}a_j\pm\sum_{j=1}^{\infty}b_j =A\pm B\,</math>

==수렴(발산)판정법==
급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

'''[[발산판정법]]'''(divergence test):급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 수렴하면 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이다. 따라서 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>이 아닌 급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다.
*<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{4n+1}\,</math>은 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\neq0\,</math>이므로 발산급수이다.
*급수 <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>이 조건 <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\,</math>을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.

'''[[비교판정법]]'''(comparision test): 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>의 수렴여부를 판정하기 위해 항 <math> a_n \,</math>과 이미 수렴여부가 알려진 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>의 항 <math>b_n\,</math>를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 <math>n\,</math>에 대해
*<math>0 \le \ a_n \le \ b_n\,</math>이고, <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\,</math>이 수렴급수이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>도 수렴급수이다.
*<math>0 \le \ b_n \le \ a_n\,</math>이고, <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\,</math>이 발산급수이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>도 발산급수이다.

'''[[비판정법]]'''(ratio test): 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 <math> a_n, \,a_{n+1}</math>의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 <math>n\,</math>에 대해 <math>a_n>0\,</math>이고
<math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r</math>
일 때
*''r'' < 1 이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>은 수렴급수이다.
*''r'' > 1 이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>은 발산급수이다.
*''r'' = 1 이면 비판정법으로 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

'''[[근판정법]]'''(root test): 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>의 수렴여부를 판정하기 위해 항 <math> a_n </math>의 ''n''제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다.  모든 <math>n\,</math>에 대해 <math>a_n\ge 0\,</math>이고
<math>\lim_{n \to \infty} (a_n)^{\frac{1}{n}} = r</math>
일 때
*''r'' < 1 이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>은 수렴급수이다.
*''r'' > 1 이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>은 발산급수이다.
*''r'' = 1 이면 근판정법으로 급수 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

'''[[적분판정법]]'''(integral test): 주어진 급수를 [[이상적분]]과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다.
<math>f\,</math>를 구간 <math>[1, \infty)\,</math>에서 양의 값을 갖는 [[단조감소]]하는 [[연속함수]]라고 하자.
만약 모든 ''n''에 대해 <math>f(n) = a_n\,</math>이고
:<math>\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,</math>
이면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>는 수렴급수이다. 그러나 위 [[이상적분]]이 존재하지 않으면 <math>\sum_{n=1}^\infty a_n\,</math>는 발산급수이다.

이외에도 [[극한비교판정법]], [[교대급수]]에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다.

==절대수렴과 조건수렴==
급수 <math> \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면(<math> a_n\ge 0\,</math>), <math> \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,</math>을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다. 
*'''[[절대수렴]]''': 급수 <math> \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,</math>가 수렴하면 <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉 <math> \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,</math>가 수렴하면 <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>도 수렴한다.
*'''[[조건수렴]]''': <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>는 수렴하지만, <math> \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|\,</math>가 발산하면 <math> \sum_{j=1}^{\infty}a_j\,</math>를 조건수렴한다고 한다.
*급수 <math> \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots\,</math>은 수렴급수이지만, <math> \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\,</math>는 발산하므로 <math> \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,</math>은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 <math> \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\,</math>은  조건수렴하는 급수이다.

{{급수}}

{{전거 통제}}
[[분류:급수]]
[[분류:수렴]]