{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|끝 대상}}
[[범주론]]에서 '''끝'''({{llang|en|end|엔드}})과 '''쌍대끝'''(雙對-, {{llang|en|coend|코엔드}})은 어떤 데이터들을 범주론적으로 “이어붙이는” 연산이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C,\mathcal D</math>
* [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D</math>
그렇다면, <math>F</math>의 '''쐐기'''({{llang|en|wedge}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 대상 <math>W\in\mathcal D</math>
* 각 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, 사상 <math>w_x \colon W \to F(X^{\operatorname{op}},X)</math>
이는 임의의 <math>X,Y\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>f\in\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만들어야 한다.
:<math>\begin{matrix}
W & \overset{w_X}\to & C(X,X) \\
{\!\!\!\!\scriptstyle w_Y}\downarrow{\scriptstyle\color{White}w_Y\!\!\!\!} && {\!\!\!\!\color{White}\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)}\downarrow\scriptstyle F(\operatorname{id}_X,f)\!\!\!\! \\
C(Y,Y) & \underset{F(f^{\operatorname{op}},\operatorname{id}_Y)}\to & C(X,Y)
\end{matrix}</math>

마찬가지로, 함자 <math>G \colon C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D</math>의 '''쌍대쐐기'''({{llang|en|cowedge}}) <math>(W,(w_X \colon C(X,X)\to W)_{X\in\mathcal C})</math>는 <math>G^{\operatorname{op}} \colon C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}</math>의 쐐기이다.

함자 <math>F</math>의 끝 <math>(E,e)</math>은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 쐐기이다.
:임의의 쐐기 <math>(W,w)</math>에 대하여, <math>\forall X\in\mathcal C\colon w_X = e_X \circ i</math>인 사상 <math>i\colon W\to E</math>이 유일하게 존재한다.
이는 보편 성질에 의하여 정의되므로, 유일한 [[동형 사상]] 아래 유일하다. 이를
:<math>\int_{c\in\mathcal C}F(c,c)</math>
로 표기한다.

마찬가지로,  함자 <math>G \colon\mathcal  C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D</math>의 쌍대끝은 <math>G^{\operatorname{op}} \colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D^{\operatorname{op}}</math>의 끝이다. 이를
:<math>\int^{c\in\mathcal C}G(c,c)</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 범주 <math>\mathcal C,\mathcal D,\mathcal E</math>
* 함자 <math>F \colon (\mathcal C\times\mathcal D)^{\operatorname{op}} \times \mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal E</math>
'''끝에 대한 푸비니 정리'''({{llang|en|Fubini theorem for ends}})에 따르면, 만약
:<math>\int_{(X,Y)\in \mathcal C\times\mathcal D}F(X,Y,X,Y)</math>
와
:<math>\int_{X\in\mathcal C}\int_{Y\in\mathcal D}F(X,Y,X,Y)</math>
와
:<math>\int_{Y\in\mathcal D}\int_{X\in\mathcal C}F(X,Y,X,Y)</math>
가 존재한다면, 이 세 대상은 모두 표준적으로 동형이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=1501.02503 | bibcode=2015arXiv150102503L | 제목=This is the (co)end, my only (co)friend | 이름=Fosco | 성=Loregian | 날짜=2015 | 언어=en}}</ref>{{rp|Remark 1.10(2)}} (이 이름은 [[측도론]]의 [[푸비니 정리]]에 빗댄 것이다.)

== 예 ==
=== 자연 변환 ===
{{본문|자연 변환}}
다음이 주어졌다고 하자.
* [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>
* [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal D</math>
* [[함자 (수학)|함자]] <math>F,G\colon X\to\mathcal D</math>
그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
:<math>\hom_{\mathcal D}(F(-),G(-)) \colon \mathcal C^{\operatorname{op}} \times\mathcal C\to \operatorname{Set}</math>
이 함자의 끝
:<math>\int_{X\in\mathcal C}\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))=\operatorname{Nat}(F,G)</math>
은 두 함자 <math>F</math>와 <math>G</math> 사이의 [[자연 변환]]들의 집합과 같으며, 그 성분
:<math>\operatorname{Nat}(F,G)\to \hom(F(X),G(X))</math>
는 다음과 같다.
:<math>(\eta \colon F\Rightarrow G) \mapsto (\eta_X\colon F(X)\to G(X))</math>

즉, 자연 변환들의 집합을 그 성분들의 집합 <math>\hom_{\mathcal D}(F(X),G(X))</math>들을 이어붙인 것으로 여길 수 있다.

=== 기하학적 실현 ===
{{본문|단체 집합}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 속의 [[단체 대상]]
:<math>X\colon \triangle^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}</math>
과, [[단체 (수학)|단체]]의 위상 공간 모형 함자
:<math>G\colon\triangle\to\operatorname{Top}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 함자
:<math>F\colon\triangle\times\triangle^{\operatorname{op}}\to \operatorname{Top}</math>
:<math>F \colon n \mapsto G(n) \times X(n)</math>
을 정의할 수 있다. (여기서 우변은 위상 공간의 [[곱공간]]이다.)

그렇다면, 그 쌍대끝
:<math>|X| = \int^{n\in\triangle}G(n)\times X(n)</math>
을 <math>X</math>의 '''기하학적 실현'''이라고 한다. 특히, 만약 <math>X</math>의 각 성분이 [[이산 공간]]일 때 (즉, [[단체 집합]]일 때), 이는 단체 집합의 기하학적 실현을 이룬다.

[[입방체 집합]]의 기하학적 실현 역시 마찬가지로 정의된다.
:<math>X\colon \square^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>G\colon\square\to\operatorname{Top}</math>
:<math>|X| = \int^{n\in\square}G(n)\times X(n)</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=end|title=End}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/78471/intuition-for-coends | 제목=Intuition for coends | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/239326/why-do-we-denote-coends-with-integral-notation-beyond-fubinis-theorem | 제목=Why do we denote (co)ends with integral notation? | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=http://xwww.uni-math.gwdg.de/upmeier/notes/ends_and_coends.pdf | 성=Upmeier | 이름=Markus | 제목=Dinatural transformations | 언어=en | 확인날짜=2017-08-13 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170818045149/http://xwww.uni-math.gwdg.de/upmeier/notes/ends_and_coends.pdf | 보존날짜=2017-08-18 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/01/ends.html | 제목=Ends | 이름=Simon | 성=Willerton | 웹사이트=The ''n''-Category Café| 날짜=2014-01-05 | 언어=en}}
* {{웹 인용| url= https://bartoszmilewski.com/2017/03/29/ends-and-coends/ | 제목=Ends and coends | 웹사이트= Bartosz Milewski’s Programming Cafe | 이름=Bartosz | 성=Milewski | 날짜=2017-03-29 | 언어=en}}
* {{웹 인용| url= https://bartoszmilewski.com/2014/07/15/natural-transformations-and-ends/ | 제목=Natural transformations and ends | 웹사이트= Bartosz Milewski’s Programming Cafe | 이름=Bartosz | 성=Milewski | 날짜=2014-07-15 | 언어=en}}

[[분류:범주론]]