{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:GroupDiagramMiniD4.svg|thumb|right|[[팔원수]]에 대응되는 삼중성 리 대수 <math>\mathfrak d_4 = \mathfrak o(8) = \mathfrak{tri}(\mathbb O)</math>의 [[딘킨 도표]]는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.]]
[[추상대수학]]에서 '''삼중성 리 대수'''(三重性Lie代數, {{llang|en|triality Lie algebra}})는 [[합성 대수]]로부터 정의되는, 3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 [[군의 작용|작용]]을 갖는 특별한 [[리 대수]]이다. 가장 대표적인 예는 [[팔원수]]로부터 정의되는 [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak o(8)</math>이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 [[마요라나-바일 스피너]]들이 서로 삼중성 아래 [[순열]]로 변환한다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 2와 3이 가역원인 [[체 (수학)|체]]라고 하자. <math>K</math> 위의 [[합성 대수]] <math>A</math> 에 대하여, 다음을 정의하자.
:<math>\mathfrak{tri}(A)=\{(A,B,C) \in \mathfrak o(A,Q)^{\oplus3} \colon A(x\star y) = x\star By + Cx \star y\qquad\forall x,y\in A\}</math>
여기서 <math>\mathfrak o(A,Q)</math>는 <math>A</math>의 [[이차 형식]] <math>Q\colon A\to K</math>(에 대응하는 [[대칭 쌍선형 형식]])에 대한 [[직교 리 대수]]이다.

이는 <math>\mathfrak o(A,Q)^{\oplus3}</math>의 [[부분 리 대수]]를 이룬다. 이를 <math>A</math>의 '''삼중성 리 대수'''라고 하며, <math>\mathfrak{tri}(A)</math>로 표기한다.<ref name="BS">{{저널 인용 | last1 = Barton | first1 = C.  H. | last2 = Sudbery | first2 = A. | doi = 10.1016/S0001-8708(03)00015-X | title = Magic squares and matrix models of Lie algebras | journal = Advances in Mathematics | volume = 180 | issue = 2 | pages = 596–647 | year = 2003 | arxiv = math/0203010 | 언어=en}}</ref>{{rp|§4.1}}<ref>{{서적 인용|이름=Pierre|성= Ramond|저자링크=피에르 라몽 | 날짜=1976|url=http://inspirehep.net/record/111550 |제목=Introduction to exceptional Lie groups and algebras | 기타=CALT-68-577 | 출판사= [[캘리포니아 공과대학교]] | 언어=en}}</ref>{{rp|18–24}}

이는 다음과 같은 <math>K</math>-[[벡터 공간]] 동형 사상을 갖는다.
:<math>\mathfrak{tri}(A) \cong \mathfrak{der}(A) \oplus \operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}(A)</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
각 <math>a\in A</math>에 대하여, 교환자
:<math>[x,y,z] = (x\star y)z - x(y\star z)</math>
를 정의하면, 교대 법칙에 의하여
:<math>[a,x,y] + [x,a,y] = 0</math>
이며, 이는
:<math>(\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) \in \mathfrak{tri}(A)\qquad\forall a\in A</math>
로 번역된다. 마찬가지로
:<math>[x,y,b] + [x,b,y] = 0</math>
은
:<math>(\mathsf R_b, \mathsf L_b + \mathsf R_b, -\mathsf R_b) \in \mathfrak{tri}(A)</math>
로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환
:<math>K \hookrightarrow \mathfrak{tri}(A)</math>
를 정의한다.

이에 따라, <math>K</math>-[[선형 변환]]
:<math>\mathfrak{der}(A) \oplus K \oplus K \to \mathfrak{tri}(A)</math>
:<math>(\delta,a,b) \mapsto (\delta,0,0) + (\mathsf L_a,-\mathsf L_a, \mathsf L_a +\mathsf R_a) + (\mathsf R_b, \mathsf L_b \mathsf R_b, -\mathsf R_b)</math>
이 존재한다. 또한, 이는 [[왼쪽 역사상]]
:<math>(A,B,C) \mapsto (A - \mathsf L_a + \mathsf R_b, a,b)</math>
:<math>a = \frac13B(1) + \frac23C(1)</math>
:<math>b = \frac23B(1) + \frac13C(1)</math>
를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 [[왼쪽 역사상]]은 [[단사 함수]]인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.
:<math>B(y) = A(1\star y) - C(1)\star y</math>
:<math>C(x) = A(x\star1) - x\star B(1)</math>
</div></div>

== 성질 ==
=== 3차 대칭군의 작용 ===
<math>\mathfrak{tri}(A)</math> 위에는 다음과 같은 [[자기 동형]]이 존재한다.
:<math>\theta, \zeta\colon\mathfrak{tri}(A) \to \mathfrak{tri}(A)</math>
:<math>\theta\colon (A,B,C) \mapsto (B^*,C,A^*)</math>
:<math>\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (A^*,C^*, B^*)</math>
여기서
:<math>A^*(x) = (A(x^*))^*</math>
를 뜻한다. 그렇다면,
:<math>\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C^*,A^*,B)</math>
:<math>\theta^3 = \zeta^2 = \operatorname{id}</math>
:<math>\zeta\circ\theta = \theta^2\circ\zeta \colon (A,B,C) \mapsto (B,A,C^*)</math>
:<math>\theta\circ\zeta =\zeta\circ\theta^2 \colon (A,B,C) \mapsto (C,B^*,A)</math>
가 된다. 즉, 이는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{Sym}(3) \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{tri}(A))</math>
를 정의한다 (<math>\operatorname{Sym}(3)</math>은 3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]]). 이를 '''삼중성'''({{llang|en|triality}})이라고 한다.

또한, <math>\mathfrak{der}(A)</math>와 <math>\mathfrak{tri}(A)</math> 사이에, <math>\operatorname{Im}(A)^{\oplus2}</math>의 대각 성분으로 구성되는, [[벡터 공간]]으로서 <math>\mathfrak{der}(A)\oplus\operatorname{Im}(A)</math>인 [[리 대수]] <math>\mathfrak{tri}'(A)</math>가 존재한다. 이 위에는 <math>\operatorname{Sym}(3)</math> 삼중성이 <math>\operatorname{Sym}(2)</math> 이중성으로 깨지게 된다.

=== 프로이덴탈 마방진과의 관계 ===
두 [[실수 합성 대수]] <math>A</math>, <math>B</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 [[실수 벡터 공간]] [[동형 사상]]이 존재한다.<ref name="BS"/>{{rp|Theorem 4.4, §4.3}}
:<math>\mathfrak {freud}(3; A, B) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus \mathfrak{tri}(B) \oplus (A\otimes_{\mathbb R}B)^{\oplus3}</math>
여기서 <math>\mathfrak{freud}(3;A,B)</math>는 <math>A</math>와 <math>B</math>로 정의되는 3×3 [[프로이덴탈 마방진]] [[실수 리 대수]]이다. 특히, 우변에서 <math>\mathfrak{tri}(A)\oplus\mathfrak{tri}(B)</math>는 <math>\mathfrak{freud}(3;A,B)</math>의 [[부분 리 대수]]를 이룬다.

또한, 임의의 [[실수 합성 대수]] <math>A</math>에 대하여, 그 위의 3×3 [[에르미트 행렬]]로 구성된 [[실수 요르단 대수]] <math>\operatorname H(3;A)</math>의 [[미분 리 대수]]는 다음과 같은 표준적인 [[실수 벡터 공간]] [[동형 사상]]을 갖는다.<ref name="BS"/>{{rp|Theorem 4.1, §4.1}}
:<math>\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A)) \cong \mathfrak{tri}(A) \oplus A^{\oplus3}</math>
특히, 우변에서 <math>\mathfrak{tri}(A)</math>는 <math>\mathfrak{der}(\operatorname H(3;A))</math>의 [[부분 리 대수]]이다.

== 예 ==
[[실수 합성 대수]]에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
! [[실수 합성 대수]] <math>A</math> || <math>\mathfrak{der}(A)</math> || <math>\mathfrak{tri}'(A)</math> || <math>\mathfrak{tri}(A)</math>
|-
| <math>\mathbb R</math> || 0 || 0 || 0
|-
| <math>\mathbb C</math> || 0 || <math>\mathfrak o(2)</math> || <math>\mathfrak o(2)^{\oplus2}</math>
|-
| <math>\tilde{\mathbb C}</math> || 0 || <math>\mathfrak o(1,1)</math> || <math>\mathfrak o(1,1)^{\oplus2}</math>
|-
| <math>\mathbb H</math> || <math>\mathfrak o(3)</math> || <math>\mathfrak o(4)</math> || <math>\mathfrak o(3)^{\oplus3}</math>
|-
| <math>\tilde{\mathbb H}</math> || <math>\mathfrak o(1,2)</math> || <math>\mathfrak o(2,2)</math> || <math>\mathfrak o(1,2)^{\oplus3}</math>
|-
| <math>\mathbb O</math> || <math>\mathfrak g_2</math> || <math>\mathfrak o(7)</math> || <math>\mathfrak o(8)</math>
|-
| <math>\tilde{\mathbb O}</math> || <math>\mathfrak g_{2(2)}</math> || <math>\mathfrak o(3,4)</math> || <math>\mathfrak o(4,4)</math>
|}

여기서 <math>\tilde{\mathbb C}=\mathbb R\oplus\mathbb R</math>, <math>\tilde{\mathbb H}=\operatorname{Mat}(2,\mathbb R)</math>, <math>\tilde{\mathbb O}=\operatorname{Zorn}(\mathbb R)</math>는 각각 [[분할복소수]] · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 [[실수 합성 대수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[삼중곱]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/~distler/blog/archives/002492.html | 제목=G₂ and Spin(8) triality | 이름=Jacques | 성=Distler | 날짜=2012-01-27|웹사이트=Musings|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:스피너]]