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[[푸아송 기하학]]에서 '''푸아송 코호몰로지'''({{llang|en|Poisson cohomology}})는 [[푸아송 다양체]] 위에 자연스럽게 정의되는 [[코호몰로지]] 이론이다.<ref>{{웹 인용|url=https://math.berkeley.edu/~alanw/Models.pdf | 제목=Geometric models for noncommutative algebras | 이름1=Ana | 성=Cannas da Silva | 이름2=Alan | 성2=Weinstein | 날짜=1998|isbn=978-0-8218-0952-5 | 총서=Berkeley Mathematics Lecture Notes|권=10|날짜=1999|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref> 이 경우, <math>k</math>차 공사슬은 <math>(k,0)</math>차 완전 반대칭 [[텐서장]]이며, 공경계 사상은 푸아송 구조와의 [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]이다.

== 정의 ==
[[푸아송 다양체]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]
:<math>[-,-]\colon \Gamma\left(\bigwedge^m\mathrm M\right)\otimes
\Gamma\left(\bigwedge^n\mathrm M\right)
\to \Gamma\left(\bigwedge^{m+n-1}\mathrm M\right)</math>
를 생각하자. 푸아송 구조 <math>\pi\in\Gamma(\textstyle\bigwedge^2\mathrm TM)</math>의 경우 <math>[\pi,\pi]=0</math>이므로, 미분 연산자
:<math>[\pi,-]\colon \Gamma\left(\bigwedge^m\mathrm M\right)
\to \Gamma\left(\bigwedge^{m+1}\mathrm M\right)</math>
는
:<math>[[\pi,-],-] = 0</math>
을 만족시킨다. 즉, 다음과 같은, [[텐서장]]으로 구성된 [[공사슬 복합체]]가 존재한다.
:<math> 0 \to \mathcal C^\infty(M;\mathbb R) \,\xrightarrow{[\pi,-]}\,  \Gamma\left(\mathrm TM\right) \,\xrightarrow{[\pi,-]}\, \Gamma\left(\bigwedge^2\mathrm TM\right) \to \dotsb\to  \Gamma\left(\bigwedge^{\dim M}\mathrm TM\right) \to 0</math>
이에 대한 코호몰로지 군을 '''푸아송 코호몰로지'''라고 한다. 즉, 텐서장 <math>\alpha\in\Gamma(\textstyle\bigwedge^n\mathrm TM)</math>에 대하여, 만약 <math>[\pi,\alpha] = 0</math>이라면 <math>\alpha</math>를 <math>n</math>차 '''푸아송 공순환'''({{llang|en|Poisson cocycle}})이라고 한다.

=== 푸아송 호몰로지 ===
[[푸아송 다양체]] <math>(M,\pi)</math> 위의 [[미분 형식]]의 공간 <math>\Omega^\bullet(M)</math>에는 푸아송 쌍벡터와의 [[내부곱]]
:<math>\pi\lrcorner \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-2}(M)</math>
이 존재한다. 이에 따라, 다음과 같은 &minus;1등급 연산이 존재한다.
:<math>\partial_\pi = [\pi\lrcorner,\mathrm d] \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-1}(M)</math>
이는 멱영 연산이다.
:<math>\partial_\pi^2 = 0</math>
따라서, 이는 다음과 같은 [[사슬 복합체]]를 정의한다.
:<math>0\leftarrow\Omega^0(M) \,\xleftarrow{\partial_\pi}\, \Omega^1(M) \,\xleftarrow{\partial_\pi}\, \Omega^1(M) \, \leftarrow \dotsb \leftarrow\Omega^{\dim M}(M) \leftarrow 0</math>
그 [[호몰로지]]를 '''푸아송 호몰로지'''({{llang|en|Poisson homology}})라고 한다.

== 성질 ==
[[푸아송 다양체]]의 정의에 따라 <math>[\pi,\pi]=0</math>이므로, 푸아송 구조 <math>\pi</math>는 2차 푸아송 공순환이며, 따라서 2차 푸아송 코호몰로지류를 정의한다. (이는 0일 수 있다.)

모든 [[심플렉틱 다양체]]는 [[푸아송 다양체]]를 이룬다. 이 경우, <math>k</math>차 푸아송 공사슬은 [[심플렉틱 형식]]을 통한 [[음악 동형]]으로 인하여 <math>k</math>차 [[미분 형식]]과 같으며, 푸아송 코호몰로지는 [[드람 코호몰로지]]와 일치한다.

만약 푸아송 구조가 0일 경우 (<math>\{-,-\}=0</math>), 푸아송 공경계 사상과 푸아송 경계 사상이 자명하므로, <math>k</math>차 푸아송 코호몰로지는 <math>k</math>차 푸아송 공사슬의 공간과 같으며, <math>k</math>차 푸아송 호몰로지는 <math>k</math>차 [[미분 형식]]의 공간과 같다.

=== 리 대수 코호몰로지와의 관계 ===
[[선형 푸아송 다양체]] <math>\mathfrak g</math>의 경우, 푸아송 코호몰로지는 그 [[쌍대 공간]]인 [[리 대수]]의 (자명한 계수의) [[리 대수 코호몰로지]]와 다음과 같은 관계를 갖는다.
:<math>\operatorname H^\bullet_\pi(\mathfrak g^*) \cong \operatorname H^\bullet_{\operatorname{Lie}}(\mathfrak g;\mathbb R) \otimes_{\mathbb R} \operatorname H^0_\pi(\mathfrak g^*) </math>
즉, 카시미르 함수의 공간과 텐서곱을 취한 것을 제외하면 [[리 대수 코호몰로지]]와 일치한다.

이 경우, 푸아송 구조 <math>\pi</math>로 정의되는 2차 코호몰로지류는 항상 자명하다.

=== 드람 코호몰로지와의 관계 ===
푸아송 다양체 <math>M</math>의 음악 사상
:<math>\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM</math>
에 의하여, <math>k</math>차 [[미분 형식]]을 <math>k</math>차 푸아송 공사슬로 대응시키는 사상
:<math>(-)^\sharp \colon \Omega^\bullet(M) \to C_\pi^\bullet(M)</math>
이 존재하며, 이는 [[공사슬 사상]]이다. 즉, 이는 미분 형식 [[외미분]]을 푸아송 쌍벡터와의 [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]로 대응시킨다.
:<math>(-)^\sharp \circ \mathrm d = [\pi,-]</math>
즉, 이는 드람 코호몰로지에서 푸아송 코호몰로지로 가는 사상
:<math>(-)^\sharp\colon \operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M) \to \operatorname H^\bullet_\pi(M)</math>
을 정의한다.

만약 <math>M</math>이 [[심플렉틱 다양체]]라면, 이는 동형 사상을 이룬다. 즉, 이 경우 푸아송 코호몰로지는 [[드람 코호몰로지]]와 일치한다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[심플렉틱 다양체]]의 경우, 마찬가지로 푸아송 호몰로지는 실수 계수 [[특이 호몰로지]]와 일치한다.

== 예 ==
0차와 1차 푸아송 코호몰로지는 함수 또는 벡터장으로의 구체적인 해석을 갖는다.

=== 0차 푸아송 코호몰로지 ===
[[푸아송 다양체]] <math>M</math>의 0차 푸아송 코호몰로지는 다음과 같은 [[실수 벡터 공간]]이다.
:<math>\operatorname H^0_\Pi(M) = \operatorname Z(\mathcal C^\infty(M;\mathbb R))
=\left\{f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)
\colon\forall g\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)\colon \{f,g\}=0\right\}
</math>
즉, 모든 함수와 [[푸아송 괄호]]가 0인 [[매끄러운 함수]]로 구성된다. 이러한 함수를 '''카시미르 함수'''(Casimir函數, {{llang|en|Casimir function}})라고 하며, 이는 0차 푸아송 공순환과 같다. 물론, &minus;1차 푸아송 공경계는 자명하므로, 이는 0차 푸아송 코호몰로지와 같다.

물리학적으로, 카시미르 함수는 임의의 [[해밀토니언]]에 대하여 [[운동 상수]]를 이루는 관측 가능량에 해당한다.

=== 1차 푸아송 코호몰로지 ===
푸아송 다양체 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 벡터장을 '''푸아송 벡터장'''(Poisson vector場, {{llang|en|Poisson vector field}})이라고 한다.
* <math>\nabla_X\{f,g\} = \{\nabla_Xf,g\} + \{f,\nabla_Xg\}\qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>
* <math>\mathcal L_X\pi = 0</math>
여기서 <math>\mathcal L_X</math>는 <math>X</math> 방향의 (2,0)차 [[텐서장]] <math>\pi</math>의 [[리 미분]]이다. 푸아송 벡터장의 개념은 1차 푸아송 공순환의 개념과 [[동치]]이다. 그 공간을 <math>\operatorname Z^1_\Pi(M)\subseteq\operatorname{Vect}(M)</math>이라고 하자.

푸아송 다양체 <math>(M,\{,\})</math> 위에서, 임의의 <math>f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>에 대하여 <math>\{f,-\}</math>는 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]을 이루며, 이러한 꼴의 [[벡터장]]을 '''해밀턴 벡터장'''(Hamilton vector場, {{llang|en|Hamiltonian vector field}})이라고 한다. 해밀턴 벡터장의 [[리 괄호]]는 대응하는 해밀토니언들의 푸아송 괄호와 일치한다. 이는 0차 푸아송 공사슬의 공경계의 개념과 [[동치]]이다. 특히, 모든 해밀턴 벡터장은 푸아송 벡터장이다.

즉, '''1차 푸아송 코호몰로지'''는 푸아송 벡터장의 공간의, 해밀턴 벡터장의 부분 공간에 대한 [[몫공간]]이다.
:<math>\operatorname H^1_\Pi(M) = \frac{\operatorname Z^1_\Pi(M)}{\{\mathcal C^\infty(M,\mathbb R),-\}}</math>
이는 [[군론]]에서 [[외부 자기 동형군]]과 유사한 개념이다. (즉, 여기서 푸아송 벡터장은 임의의 [[자기 동형]], 해밀턴 벡터장은 [[내부 자기 동형]]에 해당한다.)

물리학적으로, 푸아송 벡터장은 푸아송 다양체가 나타내는 역학계의 (무한소) 대칭을 나타내며, 해밀턴 벡터장은 대칭 가운데 어떤 [[해밀토니언]]에 대한 [[시간 변화]]로 표현될 수 있는 것에 해당한다. 즉, 1차 푸아송 코호몰로지는 동역학적으로 표현될 수 없는 계의 (무한소) 대칭의 공간이다.

=== 2차 푸아송 코호몰로지 ===
매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 (2,0)차 반대칭 텐서장들의 족
:<math>\pi \colon (-\epsilon,\epsilon) \to \Gamma\left(\bigwedge^2\mathrm TM\right)</math>
이 주어졌다고 하자. 이는 [[벡터 다발]]의 단면의 족이므로, [[형식적 멱급수]]
:<math>\pi(t) \sim \sum_{i=0}^\infty \frac1{i!}t^i \pi^{(i)}(0) = \pi(0) + \dot\pi(0) + \frac12\ddot\pi(0) + \dotsb</math>
로 전개할 수 있다.

만약 모든 <math>-\epsilon<t<\epsilon</math>에서 <math>\pi(t)</math>가 푸아송 구조를 이룬다면, 이 조건은 다음과 같이 [[형식적 멱급수]]로 전개된다.
:<math>0 = [\pi(t),\pi(t)] \sim [\pi(0),\pi(0)] + 2t[\pi(0),\dot\pi(0)] + t^2([\pi(0),\ddot\pi(0)] + [\dot\pi(0),\dot\pi(0)]) + \dotsb</math>
특히, <math>\dot\pi(0)</math>는
:<math>[\pi(0),\dot\pi(0)] = 0</math>
을 따른다. 다시 말해, 2차 푸아송 공사슬은 푸아송 구조의 무한소 변환을 나타낸다.

푸아송 다양체 <math>(M,\pi)</math> 위의 벡터장 <Math>X</math>가 주어졌다고 하자. 이는 무한소 <math>M\to M</math> [[미분 동형 사상]]으로 생각할 수 있다. 이에 대하여 푸아송 구조는 <math>[X,\pi] = \mathcal L_X\pi</math>와 같이 변환하게 된다. 즉, 2차 푸아송 공경계는 푸아송 구조의 무한소 변환 가운데, 단순히 좌표 변환만으로 유도되는 것이다.

이에 따라서, 푸아송 구조의 [[모듈라이 공간]]의 [[접공간]]은 2차 푸아송 코호몰로지의 부분 공간이다. 만약 3차 이상의 푸아송 코호몰로지가 모두 자명하다면, 2차 푸아송 코호몰로지는 푸아송 구조의 [[모듈라이 공간]]의 접공간과 일치한다.

=== 고차 푸아송 코호몰로지 ===
2차 푸아송 코호몰로지와 마찬가지로, <math>[\pi(t),\pi(t)]</math>[[형식적 멱급수]] 전개의 <Math>\mathcal O(t^2)</math> 항은 다음과 같다.
:<math>[\pi(t),\ddot\pi(0)] + [\dot\pi(0),\dot\pi(0)] = 0</math>
그런데 [[리 초대수]] [[야코비 항등식]] 및 <Math>[\pi(0),\dot\pi(0)] = 0</math>으로 인하여
:<math>[\pi(0),[\dot\pi(0),\dot\pi(0)] \propto [\dot\pi(0), [\pi(0),\dot\pi(0)]] = 0</math>
이다. 즉, <math>[\dot\pi(0),\dot\pi(0)]</math>은 항상 3차 푸아송 공사슬을 이룬다. 따라서, <math>\dot\pi(0)</math>이 실제로 푸아송 구조 [[모듈라이 공간]]의 접벡터를 이룰 [[필요 조건]]은 이 3차 푸아송 공사슬의 3차 푸아송 코호몰로지류가 0인 것이다.

마찬가지로, 고차 도함수 역시 고차 푸아송 코호몰로지의 원소를 정의한다. 만약 이 코호몰로지류들이 모두 0이라면, 2차 푸아송 코호몰로지류는 푸아송 구조의 [[모듈라이 공간]]의 접벡터를 정의한다.

=== 0차 푸아송 호몰로지 ===
푸아송 다양체 <math>(M,\pi)</math> 위의 1차 푸아송 사슬 (즉, [[1차 미분 형식]]) <math>f\,\mathrm dg</math>의 푸아송 경계는 [[푸아송 괄호]]
:<math>\{f,g\}</math>
이다. 따라서, 0차 푸아송 호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_0^\pi(M) = \frac{\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)}{\operatorname{Span}_{\mathbb R}(\{\mathcal C^\infty(M,\mathbb R),\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\})}</math>
이는 [[실수 리 대수]] <math>(\mathcal C^\infty(M,\mathbb R),\{-,-\})</math>의 1차 유도 리 대수({{llang|en|derived Lie algebra}})에 대한 몫이므로, <math>(\mathcal C^\infty(M,\mathbb R),\{-,-\})</math>의 극대 아벨 몫 리 대수이다.

만약 푸아송 다양체가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[유향 다양체]]라면, 최고차 미분 형식은 0차 미분 형식의 쌍대 공간의 (매끄러운) 부분 공간을 이룬다. 이 경우, 0차 푸아송 호몰로지의 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음과 같은 조건을 만족시키는 최고차 미분 형식 <math>\omega</math>로 구성된다.
:<math>\int \{f,g\} \omega = 0\qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>
[[해밀턴 역학]]에서, 0차 미분 형식은 관측 가능량을 나타내며, 최고차 미분 형식([[측도]])은 [[앙상블 (물리학)|앙상블]](또는 통계역학적 혼합 상태)를 나타내며, 0차 미분 형식과 최고차 미분 형식의 곱의 적분은 주어진 앙상블에서 관측 가능량의 평균값이다. 따라서, 앙상블에 대한 이 조건은 임의의 관측 가능량의 평균값이 임의의 해밀토니언 아래서 시간 변화를 겪지 않는다는 것이다. 이 조건을 '''KMS 조건'''({{llang|en|KMS condition}})이라고 한다. 다시 말해, 0차 푸아송 호몰로지는 KMS 앙상블들의 공간의 [[쌍대 공간]]이다.

=== 리우빌 벡터장 ===
[[푸아송 다양체]] <math>(M,\pi)</math>에서, <math>\pi</math>는 정의에 따라 2차 푸아송 코호몰로지류를 정의한다.
:<math>[\pi] \in \operatorname H^2_\pi(M)</math>
만약 <math>[\pi]=0</math>이라면, <Math>M</math>을 '''완전 푸아송 다양체'''({{llang|en|exact Poisson manifold}})라고 한다. 이 경우,
:<math>\mathcal L_X\pi = [X,\pi] = -\pi</math>
인 [[벡터장]] <math>X \in \operatorname{Vect}(M)</math>이 항상 존재하며, 이를 <math>(M,\pi)</math>의 '''리우빌 벡터장'''({{llang|en|Liouville vector field}})이라고 한다. 리우빌 벡터장이 존재할 경우, 충분히 작은 <math>\epsilon \in\mathbb R^+</math>에 대하여 이를 적분하여 그 흐름
:<math>\phi \colon (-\epsilon,\epsilon) \times M \to M</math>
을 정의할 수 있으며, 이 경우
:<math>\{\phi_t^*f,\phi_t^*g\} = \exp(t)\phi</math>
가 된다. 즉, 이는 푸아송 다양체의 확대 변환({{llang|en|dilatation}})에 해당한다.

[[심플렉틱 다양체]]의 경우, 리우벨 벡터장이 존재하는지 여부는 [[심플렉틱 형식]]이 [[완전 미분 형식]]인지 여부와 [[동치]]이다. 특히, 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 완전 [[심플렉틱 다양체]]는 0차원이다. 반면, 양의 차원의 콤팩트 완전 다양체는 존재한다.<ref name="Weinstein">{{저널 인용|first = Alan|last = Weinstein|title = Poisson geometry|journal = Differential Geometry and its Applications|volume = 9|날짜 = 1998-08|issue = 1–2|pages = 213–238|doi=10.1016/S0926-2245(98)00022-9|언어=en}}</ref>{{rp|229, §10}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Poisson cohomology}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/247517/poisson-cohomology | 제목=Poisson cohomology | 출판사=MathOverflow | 언어=en}}

[[분류:미분기하학]]