{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''케일리의 정리'''(Cayley's theorem)는 모든 [[군 (수학)|군]]이 [[대칭군 (군론)|대칭군]]의 [[부분군]]과 동형이라는 정리이다.<ref>{{harvtxt|Jacobson|2009|p=38}}</ref> [[아서 케일리]]의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 [[순열군]]을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 '''정칙표현'''(正則表現)이라고 한다.

집합 <math>G</math> 위의 [[순열]]이란 <math>G</math>에서 <math>G</math>로 가는 [[전단사]]이다. <math>G</math> 위의 모든 순열은 [[함수의 합성]]을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 <math>G</math> 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이라 하며 <math>\operatorname{Sym}(G)</math>라 쓴다.<ref>{{harvtxt|Jacobson|2009|p=31}}</ref> 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 [[순열군]]과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “[[유한군]]이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”.<ref name="AlperinBell1995">{{서적 인용|author1=J. L. Alperin|author2=Rowen B. Bell|title=Groups and representations|url=https://archive.org/details/groupsrepresenta00alpe_213|url-access=limited|year=1995|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94525-5|page=[https://archive.org/details/groupsrepresenta00alpe_213/page/n39 29]}}</ref>

케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 <math>G</math>를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 <math>S_3</math>은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 <math>S_6</math>의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다.<ref>{{저널 인용| doi = 10.2307/2373739| jstor = 2373739| title = Minimal Permutation Representations of Finite Groups| journal = American Journal of Mathematics| volume = 93| issue = 4| pages = 857| year = 1971| last1 = Johnson | first1 = D. L.}}</ref><ref>{{저널 인용| doi = 10.1023/A:1023860730624| year = 2003| last1 = Grechkoseeva | first1 = M. A.| journal = Siberian Mathematical Journal|title=On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups| volume = 44| issue = 3| pages = 443–462}}</ref>

== 역사 ==
케일리는 현대와 같은 [[군 (수학)|군]]을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 [[순열군]]을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.

1911년에 [[윌리엄 번사이드]]는 케일리의 정리를 1870년에 [[카미유 조르당]]이 처음 발표했다고 했지만,<ref>{{인용| last = Burnside | first = William | author-link = 윌리엄 번사이드 | title = Theory of Groups of Finite Order | page = 22  | location = Cambridge | year = 1911 | edition = 2 | url = https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4062919;view=1up;seq=52;size=125 | isbn = 0-486-49575-2}}</ref><ref>{{인용| last = Jordan | first = Camille | author-link = 카미유 조르당 | title = Traite des substitutions et des equations algebriques | publisher = Gauther-Villars | location = Paris | year = 1870}}</ref>
에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다.<ref>{{인용| last = Nummela | first = Eric | title = Cayley's Theorem for Topological Groups | journal = American Mathematical Monthly | volume = 87 | issue = 3 | year = 1980 | pages = 202–203 | doi = 10.2307/2321608 | jstor = 2321608 | publisher = Mathematical Association of America}}</ref> 케일리는 자신의 1854년 논문에서<ref>{{인용| last = Cayley | first = Arthur | author-link = 아서 케일리 | title = On the theory of groups as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup>=1 | journal = Philosophical Magazine | volume = 7 | issue = 42 | pages = 40–47 | year = 1854 | url = https://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false }}</ref> 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.

이후 [[발터 뒤크]]가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고<ref>{{인용| last=von Dyck | year=1882 | first=Walther | title=Gruppentheoretische Studien |trans-title=Group-theoretical Studies | url=https://archive.org/stream/mathematischean54behngoog#page/n38/mode/1up | doi=10.1007/BF01443322 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=20 | issue=1 | page=30| hdl=2027/njp.32101075301422 | hdl-access=free }}. {{언어링크|de}}</ref> 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.<ref>{{인용| last = Burnside | first = William | author-link = 윌리엄 번사이드 | title = Theory of Groups of Finite Order | page = 22  | location = Cambridge | year = 1897 | edition = 1 | url = https://archive.org/stream/cu31924086163726#page/n43/mode/2up }}</ref>

== 증명 ==
군 <math>(G, *)</math>의 각 원소 <math>g</math>에 대해 함수 <math>f_g : G \to G</math>를 <math>f_g(x) = g * x</math>로 정의하자. 이 함수는 역함수 <math>f_{g^{-1}}</math>을 지니므로, <math>G</math> 위의 순열이고, <math>\operatorname{Sym}(G)</math>의 원소이다.

그러면 <math>K = \{f_g : g \in G\}</math>는 <math>\operatorname{Sym}(G)</math>의 부분군으로서 <math>G</math>와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수 <math>T : G \to \operatorname{Sym}(G)</math>를 <math>T(g) = f_g</math>로 정의하는 것이다. 그러면 모든 <math>x \in G</math>에 대해
: <math>(f_g \cdot f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h*x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{g*h}(x)</math>
이므로,
: <math> T(g) \cdot T(h) = f_g \cdot f_h = f_{g*h} = T(g*h)</math>
가 되어, <math>T</math>가 군 준동형사상임을 알 수 있다.

또 준동형사상 <math>T</math>는 단사인데, 왜냐하면 만약 <math>g * x = g' * x</math>라면 소거법칙에 의해 <math>g = g'</math>여야 하기 때문이다. 따라서 <math>G</math>는 <math>K</math>와 동형이다.

== 정칙표현 ==
위 증명에서 <math>T</math>를 <math>G</math>의 '''정칙표현'''이라고 부른다. 또 <math>f_g(x) = g * x</math>를 <math>g</math>의 '''왼쪽 정칙표현'''이라고 하는데, <math>h_g(x) = x * g</math>로 정의되는 '''오른쪽 정칙표현'''을 사용해도 상관없다.

<math>G</math>의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 [[교란순열]]에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 [[순환치환]]들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 [[잉여류]]를 이룬다.

예를 들어 대칭군 <math>S_3</math>의 정칙표현은 다음과 같다.

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! style="width: 1.5em; height: 1.5em;" | *
! style="width: 1.5em;" | ''e''
! style="width: 1.5em;" | ''a''
! style="width: 1.5em;" | ''b''
! style="width: 1.5em;" | ''c''
! style="width: 1.5em;" | ''d''
! style="width: 1.5em;" | ''f''
! 순열 표현
|-
! style="height: 1.5em;" | ''e''
| ''e'' || ''a'' || ''b'' || ''c'' || ''d'' || ''f'' || ''e''
|-
! style="height: 1.5em;" | ''a''
| ''a'' || ''e'' || ''d'' || ''f'' || ''b'' || ''c'' || (12)(35)(46)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''b''
| ''b'' || ''f'' || ''e'' || ''d'' || ''c'' || ''a'' || (13)(26)(45)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''c''
| ''c'' || ''d'' || ''f'' || ''e'' || ''a'' || ''b'' || (14)(25)(36)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''d''
| ''d'' || ''c'' || ''a'' || ''b'' || ''f'' || ''e'' || (156)(243)
|-
! style="height: 1.5em;" | ''f''
| ''f'' || ''b'' || ''c'' || ''a'' || ''e'' || ''d'' || (165)(234)
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Jacobson| first=Nathan| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}.

== 같이 보기 ==
* [[요네다 보조정리]]
* [[표현 정리]]

[[분류:순열]]
[[분류:군론 정리]]