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[[파일:Erosion.png|섬네일|right|진한 파란색 정사각형을 원판으로 침식시킨 것으로, 밝은 파란색 정사각형을 만든다.]]
'''침식''' (보통 '''⊖'''으로 나타낸다)은 다른 모든 형태학 연산을 기반으로 하는 [[형태학적 영상 처리]]에서 두 기본 연산 중 하나이다 (다른 하나는 [[팽창 (형태학)|팽창]]이다). 이것은 원래 [[이진 이미지]]를 위해서 정의되었는데, 나중에는 [[회색조]] 이미지로 확장되고, 결과적으로는 [[완비 격자]]까지도 확장되었다.

== 이진 침식 ==

이진 형태학에서, 이미지는 어떤 ''d''차원의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^d</math>이나 [[정수]] [[격자 그래프|격자]] <math>\mathbb{Z}^d</math>의 [[부분집합]]이다.

이진 형태학의 기본 아이디어는 단순하고 미리 정의된 형태의 이미지를 탐색해서, 이 형태가 이미지의 형태와 얼마나 맞거나 벗어나는지를 결론짓는 것이다. 이 간단한 "탐색"은 [[구조적 요소]]라고 불리고, 자체도 이진 이미지이다(즉, 공간이나 격자의 부분집합).

''E''를 유클리드 공간이나 정수 격자라고 하고, ''A''를 ''E''에 있는 이진 이미지라고 하자.
구조적 요소 ''B''에 대한 이진 이미지 ''A''의 '''침식'''은 다음과 같이 정의된다:

::<math>A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\}</math>,

이 때, ''B''<sub>''z''</sub>는 ''B''를 벡터 z에 대해서 평행이동한 것이다. 즉, <math>B_z = \{b+z|b\in B\}</math>, <math>\forall z\in E</math>이다.

구조적 요소 ''B''가 중심을 가지고(예: 원판이나 정사각형), 중심이 ''E''의 원점에 위치하면, ''B''에 대한 ''A''의 침식은 by ''B''가 ''A''의 내부에서 움직일 때의 ''B''의 중심의 자취로 생각할 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 10인 정사각형을 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판으로 하는 침식은 원점을 중심으로 하고 한 변이 6인 정사각형이다.

''B''에 대한 ''A''의 침식은 다음과 같은 표현으로도 쓸 수 있다: <math>A  \ominus B = \bigcap_{b\in B} A_{-b}</math>, 여기서 ''A<sub>-b</sub>''는 ''A''를 ''-b''에 대해서 평행이동 시킨 것이다.

=== 예시 ===

A가 13 x 13 행렬이고 B가 3 x 3 행렬이라고 가정하자:

     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               1 1 1
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     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

B의 중심이 원점에 있다고 가정하면, A에 있는 모든 픽셀에 대해서 B의 원점을 '''삽입(superimpose)'''하고, B가 완전히 A에 포함되면 그 픽셀을 남기고 아니면 지운다.

따라서 B에 대한 A의 '''침식'''은 아래의 13 x 13 행렬로 주어진다.

     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
     0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
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     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
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     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
이것은  B가 A의 내부에 '''완전히 포함될''' 때만 그 픽셀의 값이 유지되고, 아니면 그 픽셀은 지워지거나 침식된다.

===특성===

* 침식은 [[병진 불변]]이다.
* 이것은 [[단조증가]]이다. 즉, <math>A\subseteq C</math>이면, <math>A\ominus B \subseteq C\ominus B</math>이다.
* ''E''의 원점이 구조적 요소 ''B''에 있으면, 침식은 ''반-확장적''이다. 즉, <math>A\ominus B\subseteq A</math>이다.
* 침식은 <math>(A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)</math>을 만족시킨다. 여기서 <math>\oplus</math>는 [[팽창 (형태학)|형태학적 팽창]]을 의미한다.
* 침식은 [[교집합]]에서 [[분배법칙]]이 성립한다

==회색조 침식==
[[파일:Grayscale Morphological Erosion.gif|섬네일|회색조 이미지를 5x5 크기의 단순한 구조적 요소를 사용한 침식의 예시이다.  위에 있는 그림은 원래의 이미지에 있는 각각의 픽셀에 구조적 함수를 적용하는 창을 나타낸다. 아래의 그림은 결과로 나타나는 침식된 이미지를 나타낸다.]]
[[회색조]] 형태학에서, 이미지는 [[유클리드 공간]]이나 [[격자 그래프|격자]] ''E''에서 <math>\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}</math>로 맵핑되는 [[함수]]이다. 여기서 <math>\mathbb{R}</math>은 [[실수]]의 집합이고, <math>\infty</math>은 어떤 실수 보다 큰 수이고, <math>-\infty</math>은 어떤 실수 보다 작은 수이다.

이미지를 ''f''(''x'')로 나타내고 구조적 함수를 ''b''(''x'')하고 나타내고 B는 b(x)가 정의된 공간이라면, ''b''에 대한 ''f''의 회색조 침식은 다음과 같이 주어진다:

::<math>(f\ominus b)(x)=\inf_{y\in B}[f(x+y)-b(y)]</math>,

여기서 "inf"는 [[하한]]을 의미한다.

다르게 말하면 한 점의 침식은 그 근방에 있는 점의 최소이고, 그 근방은 구조적 요소로 정의되어 있다. 이렇게 보면 이것은 [[중간값 필터]]나 [[가우스 필터]]와 같이 많은 다른 이미지 필터와 유사하다.
==완비 격자에서 침식==

[[완비격자]]는 모든 부분집합이 [[상한]]과 [[하한]]을 가지는 [[부분 순서 집합]]이다. 특히, 이것은 [[최소 원소]]와 [[최대 원소]]를 포함한다 ("universe"라고도 불린다).

<math>(L,\leq)</math>를 상한과 하한이 각각 <math>\vee</math>와 <math>\wedge</math>으로 기호화된 완비 격자라고 하자. 이것의 전체 집합과 최소 원소는 각각 ''U''와 <math>\varnothing</math>로 기호화되어 있다. 더 나아가서, let <math>\{ X_{i} \}</math>를 ''L''에 있는 원소의 모임으로 두자.


침식은 하한에 분포하는 어떤 연산자 <math>\varepsilon: L\rightarrow L</math>이고, 전체 집합을 보존한다:
* <math>\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)</math>,
* <math>\varepsilon(U)=U</math>.

== 같이 보기 ==
* [[수학적 형태학]]
* [[팽창 (형태학)|팽창]]
* [[열기 (형태학)|열기]]
* [[닫기 (형태학)|닫기]]

== 참고 문헌 ==

* ''Image Analysis and Mathematical Morphology'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637240-3}} (1982)
* ''Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637241-1}} (1988)
* ''An Introduction to Morphological Image Processing'' by Edward R. Dougherty, {{ISBN|0-8194-0845-X}} (1992)
* ''Morphological Image Analysis; Principles and Applications'' by Pierre Soille, {{ISBN|3-540-65671-5}} (1999)
* R. C. Gonzalez and R. E. Woods, ''Digital image processing'', 2nd ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 2002.


[[분류:영상 처리]]
[[분류:디지털 기하학]]
[[분류:수학적 형태학]]