{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Slope Field.png|섬네일|300px|<math>y'=x^2-x-1</math>의 [[기울기장]]에 그려진 함수 <math>f(x)=x^2-x-1</math>의 세 가지 원함수 <math>\textstyle F(x)=\frac{x^3}3-\frac{x^2}2-x+C</math>. 적분 상수는 <math>C=-4,0,4</math>.]]
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''부정적분'''(不定積分, {{llang|en|indefinite integral}})은 어떤 [[함수]]를 [[도함수]]로 하는 모든 함수를 구하는 연산이다. 부정적분이 존재할 경우, 이는 항상 고정된 함수와 임의의 상수의 합의 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 상수만큼의 차를 무시하면 부정적분은 [[미분]] 또는 [[도함수]]를 구하는 연산의 역연산이다.

== 정의 ==
함수 <math>f(x)</math> (<math>x\in I</math>)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>F(x)</math> (<math>x\in I</math>)가 존재한다면, 이를 <math>f(x)</math>의 '''원함수'''(原函數, {{llang|en|antiderivative}}) 또는 '''역도함수'''(逆導函數)라고 한다.
:<math>F'(x)=f(x)\qquad\forall x\in I</math>
함수 <math>f(x)</math> (<math>x\in I</math>)의 한 원함수 <math>F(x)</math>가 존재할 경우, <math>f(x)</math>의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.
:<math>\int f(x)\mathrm dx=F(x)+C</math>
이를 <math>f(x)</math>의 '''부정적분'''이라고 한다. 여기서 <math>C</math>는 임의의 상수이며, 이를 '''[[적분상수]]'''라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 <math>C</math>에 대하여, <math>(C)'=0</math>이므로, <math>(F(x)+C)'=f(x)</math>이다. 즉, <math>F(x)+C</math>는 <math>f(x)</math>의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 <math>G(x)</math>에 대하여, <math>(G(x)-F(x))'=0</math>이므로, [[평균값 정리]]에 따라 <math>G(x)-F(x)</math>는 상수 함수이다. 따라서 <math>G(x)</math>는 <math>G(x)=F(x)+C</math> 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 부정적분 공식은 정의역을 이루는 각각의 구간에서만 유효하다. 예를 들어, <math>f(x)=1/x^2</math>에 대한 다음과 같은 부정적분 공식이 성립하려면 두 구간 <math>(0,\infty)</math> 및 <math>(-\infty,0)</math> 가운데 하나를 선택하여야 한다.<ref name="Stewart">{{서적 인용
|성=Stewart
|이름=James
|제목=Single Variable Calculus: Early Transcendentals
|언어=en
|판=7
|출판사=Cengage Learning
|위치=Belmont, CA
|날짜=2011
|isbn=978-0-538-49867-8
|lccn=2010936598
}}</ref>{{rp|398-399}}
:<math>\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=-\frac 1x+C</math>
전체 정의역 <math>(-\infty,0)\cup(0,\infty)</math>에서의 실제 부정적분은 다음과 같다.<ref name="Stewart" />{{rp|398-399}}
:<math>\int\frac 1{x^2}\mathrm dx=\begin{cases}
\displaystyle-\frac 1x+C&x>0\\
\displaystyle-\frac 1x+C'&x<0
\end{cases}</math>

== 성질 ==
=== 미분과의 관계 ===
만약 <math>f(x)</math>의 부정적분이 존재한다면 다음이 성립한다.
:<math>\left(\int f(x)\mathrm dx\right)'=f(x)</math>
만약 <math>F(x)</math>가 [[미분 가능 함수]]라면 다음이 성립한다.
:<math>\int F'(x)\mathrm dx=F(x)+C</math>
이에 따라 상수 차를 무시하면 부정적분은 미분의 역연산이다.

=== 미적분학의 기본 정리 ===
{{본문|미적분학의 기본 정리}}
[[연속 함수]] <math>f(x)</math>의 한 원함수는 적분상한을 변수로 취한 정적분으로 나타낼 수 있다.
:<math>F(x)=\int_a^xf(x)\mathrm dx</math>
반대로, [[연속 함수]]<math>f(x)</math>의 한 원함수 <math>F(x)</math>가 주어졌을 때, 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)</math>

=== 선형성 ===
함수 <math>f(x),g(x)</math>의 부정적분이 존재한다면, <math>f(x)\pm g(x)</math>의 부정적분 역시 존재하며, 다음이 성립한다.
:<math>\int f(x)\pm g(x)\mathrm dx=\int f(x)\mathrm dx\pm\int g(x)\mathrm dx</math>
함수 <math>f(x)</math>의 부정적분이 존재한다면, 상수 <math>c</math>에 대하여 <math>cf(x)</math>의 부정적분 역시 존재하며, <math>c\ne 0</math>일 경우 다음이 성립한다.
:<math>\int cf(x)\mathrm dx=c\int f(x)\mathrm dx</math>
이에 따라 부정적분은 [[선형성|선형]] 연산이다.

=== 치환 적분 ===
{{본문|치환 적분}}
만약 <math>f(x)</math>의 한 원함수 <math>F(x)</math>가 존재하며, <math>g(t)</math>가 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>{{rp|246, 정리6.2.1}}
:<math>\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=\int f(x)\mathrm dx=F(g(t))+C</math>

만약 <math>g(t)</math>가 미분 가능 함수이며, <math>g'(t)\ne 0</math>가 성립하며, <math>f(g(t))g'(t)</math>의 한 원함수 <math>H(t)</math>가 존재한다면, 다음이 성립한다.<ref name="wusj" />{{rp|252, 정리6.2.2}}
:<math>\int f(x)\mathrm dx=\int f(g(t))g'(t)\mathrm dt=H(g^{-1}(x))+C</math>

=== 부분 적분 ===
{{본문|부분 적분}}
만약 <math>f(x),g(x)</math>가 미분 가능 함수이며, <math>f'(x)g(x)</math>의 부정적분이 존재한다면, 다음이 성립한다.
:<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>

== 예 ==
=== 유리 함수 ===
모든 ([[실수]]) [[유리 함수]]는 다항식과 진분수식의 합으로 나타낼 수 있으며, 모든 진분수식은 [[부분 분수 분해]]를 통해 다음과 같은 꼴의 분수식들의 합으로 나타낼 수 있다.
* <math>\frac A{(x-a)^m}</math>
* <math>\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}</math>
여기서 <math>A,B,C,a,p,q\in\mathbb R</math>은 실수이며 <math>m,n\in\mathbb Z^+</math>은 양의 정수이다. 또한 <math>p^2-4q<0</math>을 만족시킨다. 이 두 가지 분수식의 부정적분은 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\int\frac A{x-a}\mathrm dx=A\ln(x-a)+C</math>
:<math>\int\frac A{(x-a)^m}\mathrm dx=-\frac A{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C\qquad(m>1)</math>
:<math>\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\mathrm dx=
\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C</math>
:<math>\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=
-\frac B{2(n-1)(x^2+px+q)^{n-1}}+(C-Bp/2)\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx\qquad(n>1)</math>
:<math>\int\frac 1{(x^2+px+q)^n}\mathrm dx=
\frac 1{2(n-1)(q-p^2/4)}\left(\frac{x+p/2}{(x^2+px+q)^{n-1}}+(2n-3)\int\frac 1{(x^2+px+q)^{n-1}}\mathrm dx\right)\qquad(n>1)</math>
부분 분수 분해의 각 항이 초등 함수이므로, 모든 유리 함수의 부정적분은 초등 함수이다.

=== 삼각 유리 함수 ===
삼각 유리 함수는 <math>R(\sin x,\cos x)</math> 꼴의 함수를 뜻한다. 여기서 <math>R(u,v)</math>는 2변수 유리 함수이다. 이에 대한 부정적분에 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:<math>\tan\frac x2=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt</math>
그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.
:<math>\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt</math>
만약 <math>R(-u,v)=-R(u,v)</math>라면, 이는 항상 <math>R(u,v)=uR_1(u^2,v)</math> 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 경우 다음과 같은 더 간편한 기법을 사용할 수 있다.
:<math>\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)\mathrm dx=-\int R_1(1-t^2,t)\mathrm dt\qquad(\cos x=t)</math>
마찬가지로, 만약 <math>R(u,-v)=-R(u,v)</math>라면, 이는 <math>R(u,v)=vR_1(u,v^2)</math> 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.
:<math>\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1(t,1-t^2)\mathrm dt\qquad(\sin x=t)</math>
만약 <math>R(-u,-v)=R(u,v)</math>라면, <math>R(u,v)=R_1(u/v,v^2)</math> 꼴이므로, 이 경우 보통 다음과 같은 기법이 더 간편하다.
:<math>\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)\mathrm dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}\mathrm dt\qquad(\tan x=t)</math>
사실 모든 유리 함수는 위와 같은 세 유리 함수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2</math>

=== 무리 함수 ===
무리 함수의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 부정적분은 초등함수이다.
:<math>R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)</math>
여기서 <math>R(u,v)</math>는 2변수 유리 함수이며, <math>m\in\mathbb Z^+</math>는 양의 정수이며, <math>a,b,c,d\in\mathbb R</math>는 실수이다. 또한 <math>ad-bc\ne 0</math>을 만족시킨다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:<math>\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t,\;x=\frac{dt^n-b}{a-ct^n},\;\mathrm dx=\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^n)^2}\mathrm dt</math>
그러면 원래의 부정적분은 유리 함수의 부정적분으로 변한다.
:<math>\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm dx=\int R\left(\frac{dt^n-b}{a-ct^n},t\right)\frac{n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^n)^2}\mathrm dt</math>

함수 <math>(a+bz)^pz^q</math>를 생각하자. 여기서 <math>a,b\in\mathbb R</math>는 실수이며, <math>p,q\in\mathbb Q</math>는 유리수이다. <math>p,q,p+q</math> 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수가 된다. <math>p=r/s</math>이며 <math>q=r'/s'</math>라고 하자. 여기서 <math>r,s,r',s'\in\mathbb Z</math>는 정수이다. 만약 <math>p\in\mathbb Z</math>일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 <math>\sqrt[s']z</math>뿐이므로, 치환 적분 <math>\sqrt[s']z=t</math>를 통해 구할 수 있다. 만약 <math>q\in\mathbb Z</math>일 경우, 함수에 나오는 제곱근식은 <math>\sqrt[s]{a+bz}</math>뿐이므로, 역시 치환 적분 <math>\sqrt[s]{a+bz}=t</math>를 통해 구할 수 있다. 만약 <math>p+q\in\mathbb Z</math>일 경우, 함수를 <math>((a+bz)/z)^pz^{p+q}</math>와 같이 변형하였을 때 제곱근식은 <math>\textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}</math>뿐이므로, 치환 적분 <math>\textstyle\sqrt[s]{(a+bz)/z}=t</math>를 통해 구할 수 있다.

보다 일반적으로, 함수 <math>x^m(a+bx^n)^p</math>를 생각하자. 여기서 <math>a,b\in\mathbb R</math>는 실수이며, <math>m,n,p\in\mathbb Q</math>는 유리수이다. 다음과 같은 치환 적분을 사용하자.
:<math>x^n=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm dx=\frac 1nz^{1/n-1}\mathrm dz</math>
그러면 위와 같은 꼴의 함수의 부정적분으로 변한다.
:<math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx=\frac 1n\int (a+bz)^pz^{(m+1)/n-1}\mathrm dz</math>
따라서 <math>p,q=(m+1)/n-1,p+q</math> 가운데 적어도 하나가 정수일 경우 이 부정적분은 초등 함수이다. 반대로 <math>p,q,p+q</math>가 정수가 아닐 경우 이 부정적분은 초등 함수로 나타낼 수 없음을 19세기 중엽에 [[파프누티 체비쇼프]]가 증명하였다.

=== 초등 함수로 나타낼 수 없는 부정적분 ===
[[초등 함수]]의 부정적분은 초등 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 다음과 같은 부정적분들은 초등 함수가 아니다.
* ([[오차 함수]]) <math>\int e^{-x^2}\mathrm dx</math>
* ([[프레넬 함수]]) <math>\int\sin x^2\mathrm dx</math>
* ([[삼각 적분 함수]]) <math>\int\frac{\sin x}x\mathrm dx</math>
* ([[로그 적분 함수]]) <math>\int\frac 1{\ln x}\mathrm dx</math>
* <math>\int x^x\mathrm dx</math>
* <math>\int\frac 1{\sqrt{1-x^4}}\mathrm dx</math>

== 같이 보기 ==
* [[적분|정적분]]
* [[적분표]]
* [[기호적분]]
* [[적분상수]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:적분학]]