{{위키데이터 속성 추적}}
'''필바인'''({{llang|de|Vielbein}}) 또는 '''테트라드'''({{llang|en|tetrad}})는, 1800년대 [[미분기하학]]에서 다뤄온 [[프레네 틀장]]이나 [[다르부 틀장]] 같이, 로런츠 다양체에서 정의된 일종의 틀장이며, [[카르탕 접속]]을 응용하여 [[중력]]을 다루는 수식체계라 할 수 있다. 국소적으로 평탄한 [[민코프스키 공간]]("틀")을 도입하여, 일반적인 장은 이 평탄한 공간 위에 정의한다. 필바인은 [[중력장]]을 나타내며, 국소적 평탄한 공간과 굽은 공간 사이를 변환하여 주는 역할을 한다. 국소적 민코프스키 공간을 도입하였으므로, [[스피너]] 등을 자연스럽게 도입할 수 있다. [[일반상대론]], [[아인슈타인-카르탕 이론]], [[초중력]] 등에서 쓰인다.

== 어원 및 명칭 ==
"필바인"은 독일어로 "여러 다리"라는 뜻이다.
필바인은 4차원에서는 '''[[피어바인]]'''({{llang|de|Vierbein}}), 5차원에서는 '''퓐프바인'''({{llang|de|Fünfbein}}), 11차원에서는 '''엘프바인'''({{llang|de|Elfbein}}) 등으로 부르는데, 이는 "네 다리", "다섯 다리", "열한 다리" 등을 뜻한다. 대신 그리스어식으로 "테트라드", "펜타드", "헨데카드" 등으로 부르기도 한다. 다른 차원의 경우, 다음 표와 같다.
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
! 차원 !! 독일어명 !! 그리스어명
|-
| 1 || {{lang|de|Einbein|아인바인}} || {{lang|en|monad|모나드}}
|-
| 2 || {{lang|de|Zweibein|츠바이바인}} || {{lang|en|dyad|다이아드}}
|-
| 3 || {{lang|de|Dreibein|드라이바인}} || {{lang|en|triad|트라이아드}}
|-
| 4 || {{lang|de|Vierbein|피어바인}} || {{lang|en|tetrad|테트라드}}
|-
| 5 || {{lang|de|Fünfbein|퓐프바인}} || {{lang|en|pentad|펜타드}}
|-
| 6 || {{lang|de|Sechsbein|젝스바인}} || {{lang|en|hexad|헥사드}}
|-
| 7 || {{lang|de|Siebenbein|지벤바인}} || {{lang|en|heptad|헵타드}}
|-
| 8 || {{lang|de|Achtbein|아흐트바인}} || {{lang|en|octad|옥타드}}
|-
| 9 || {{lang|de|Neunbein|노인바인}} || {{lang|en|ennead|에네아드}}
|-
| 10 || {{lang|de|Zehnbein|첸바인}} || {{lang|en|decad|데카드}}
|-
| 11 || {{lang|de|Elfbein|엘프바인}} || {{lang|en|hendecad|헨데카드}}
|-
| 12 || {{lang|de|Zwölfbein|츠뵐프바인}} || {{lang|en|dodecad|도데카드}}
|-
| ''n'' || {{lang|de|Vielbein|필바인}} || {{lang|en|polyad|폴리아드}}
|}

== 도입 목적 ==
필바인을 도임하면, 물질장을 굽은 공간([[접다발]])이 아닌, 국소적인 평평한 공간 ([[틀다발]])으로서 쓸 수 있게 돼, 그 대칭군을 형식적으로 (국소적 [[로런츠 변환]]을 포함해) 확장하여, 반정수 표현을 도입할 수 있다. 이는 [[양자장론]]의 스핀 ½의 [[페르미온]]을 도입하는 데 필수적이고, 또 [[초중력]]에서 필요한 스핀 1½의 [[그래비티노]]를 도입하는 데도 필수적이다.
다. 또한 필바인은 [[일반상대론]]을 [[게이지 이론]]으로서 나타낼 수 있게 하며, 또 [[아인슈타인-카르탕 이론]]으로 자연스럽게 확장이 가능하다.

== 수학적 전개 ==
=== 시공과 필바인 ===
<math>n</math>차원의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>을 생각하자. 여기에, SO(p,q)의 [[주다발]](principal bundle) <math>B</math>를 놓자 (p+q=n). <math>B</math>는 [[틀다발]](frame bundle)이라고 부른다. 또한, 여기에 <math>n</math>차원 [[벡터 다발]] <math>V</math>를 놓고, 이를 <math>B</math>의 [[기본 표현]]으로 한다.

<math>V</math>에 SO(p,q) 불변인 퇴화되지 않은 [[쌍선형 형식]] <math>\eta</math>를 가정하고, 또 <math>e\colon TM\to V</math>와 같은 가역 [[선형 변환]] <math>e</math>가 있다고 하자 (<math>TM</math>은 [[접다발]]). 물리적으로, <math>\eta</math>는 [[민코프스키 공간|민코프스키]] [[계량 텐서]]에 해당하고, <math>e</math>는 필바인으로서 [[중력장]]을 나타낸다.

지수를 넣어 쓰자면, 필바인 <math>e^a_\mu</math>은 민코프스키 (<math>V</math>) 지수 <math>a</math>와 접다발 지수 <math>\mu</math>를 지니고, <math>\eta_{ab}</math>는 민코프스키 지수 <math>a,b</math>를 지닌다. 이에 따라, 일반상대론의 [[리만 다양체]] 계량텐서 <math>g_{\mu\nu}</math>는 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>g_{\mu\nu}=e^a_\mu e^b_\nu\eta_{ab}</math>
필바인은 [[가역 사상]]이라고 가정하였으므로, 그 역사상 <math>E\colon V\to  TM</math>도 존재한다. 지수로 쓰면 <math>E_\mu^a</math>와 같다.

=== 스핀 접속 ===
{{본문|스핀 접속}}
''V'' 안에서 다음 조건을 만족하는 유일한 [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]없는 [[코쥘 접속]] <math>A</math>가 존재함을 증명할 수 있다.
* 임의의 <math>V</math>의 미분가능 [[단면]] <math>a,b</math>가 주어졌을 때, ''d''η(a,b) = η(''d''<sub>'''A'''</sub>''a'',''b'') + η(''a'',''d''<sub>'''A'''</sub>''b''). 이 조건을 이용하여 <math>A</math>를 주다발 <math>B</math>에 대한 [[주접속]]으로 연장시킬 수 있다.
이를 '''[[스핀 접속]]'''이라고 한다. ([[아인슈타인-카르탕 이론]]에서는 접속이 비틀림을 가질 수 있다.)

필바인을 이용하여 스핀 접속을 [[접다발]] <math>TM</math>으로 확장할 수 있다. 즉 임의의 접다발 미분가능 [[단면 (올다발)|단면]] <math>X</math>에 대해 다음과 같이 정의한다.
:''e''(∇'''X''') = ''d''<sub>'''A'''</sub>''e''('''X''') for all differentiable sections '''X''' of T''M''.
필바인은 [[평행이동]]의 게이지장이고, 스핀 접속은 [[로런츠 변환]]의 게이지장이다.

=== 곡률 ===
스핀 접속은 게이지장 (게이지 주다발의 단면)으로 볼 수 있으므로, 이에 따른 [[곡률]] ([[패러데이 텐서]]) ''R''를 정의할 수 있다. 즉
:<math>\mathbf{R}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math>
이는 [[리만 곡률]]과 같다. 지수로 쓰면 다음과 같다.
:<math>R_{\mu\nu}^{ab}=2\partial_{[\mu}\omega_{\nu]}^{ab}+\omega_\mu^{ac}{\omega_{\nu c}}^{b}-\omega_\nu^{ac}\omega_{\nu c}^b</math>
리만 곡률로부터, 일반상대론에서 쓰이는 [[리치 곡률]]과 [[리치 스칼라]]를 정의할 수 있다. 즉 리치 곡률은
:<math>{R_\mu}^a=E^\nu_b{R_{\mu\nu}}^{ab}</math>
리치 스칼라는
:<math>R=E^\mu_a{R_\mu}^a=E^\mu_aE_\nu^b{R_{\mu\nu}}^{ab}</math>
[[일반상대론]]의 [[힐베르트 작용]]은 단순히 리치 스칼라에 비례한다.
:<math>S=-\int d^4x\;e\frac1{2\kappa}R</math>
여기서 <math>\kappa=8\pi G</math>다. <math>e=\det e^a_\mu</math>는 필바인의 [[행렬식]]으로서, 스칼라를 [[텐서 밀도]]로 만드는, 일종의 [[야코비안]]이다. 힐베르트 작용에 [[변분법]]을 적용하여 [[아인슈타인 방정식]]을 유도할 수 있다.

== 역사 ==
처음에 일반 상대론은 4차원 시공간을 가정하였기 때문에 피어바인이 가장 먼저 도입되었다. 이후 수학자 [[테오도어 칼루차|테오드어 칼루차]]가 4차원 시공간에 (시간이 아닌) 위치를 나타내는 차원 하나를 더 추가하고 일반 상대론을 전개하면 자연스럽게 전자기 방정식을 얻음을 발표했다.  이 [[칼루차–클레인 이론|칼루차 이론]]은 5차원 시공간을 가정했으므로, 이를 연구하던 [[알베르트 아인슈타인]]이 1928년<ref>{{저널 인용|제목=Einstein’s vierbein field theory of curved space|이름=Jeffrey|성=Yepez|arxiv=1106.2037|bibcode=2011arXiv1106.2037Y|날짜=2008-01-20}}</ref>에, [[헤르만 바일]]이 1929년<ref>[[헤르만 바일]] "Elektron und Gravitation I", ''Zeitschrift Physik'', 56, p330–352, 1929.</ref>에 퓐프바인을 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:접속 (수학)]]