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[[범주론]]에서 '''분해계'''(分解系, {{llang|en|factorization system}})는 어떤 [[범주 (수학)|범주]]의 모든 사상을 특별한 [[모임 (집합론)|모임]]에 속하는 두 사상의 합성으로 ([[동형 사상]] 아래) 표준적으로 분해하는 구조이다.

== 정의 ==
=== 직교 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에서, 두 사상 <math>e</math>, <math>m</math>이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* [[화살표 범주]] 속의 임의의 사상 (가환 사각형) <math>(f,g)\colon e\to m</math>에 대하여, <math>h\circ e=f</math>이며 <math>m\circ h=g</math>인 유일한 사상 <math>h</math>가 존재한다.
*:<math>
\begin{matrix}
\bullet&\to&\bullet\\
{\scriptstyle e}\downarrow&{\scriptstyle\exists!}\nearrow&\downarrow\scriptstyle m\\
\bullet&\to&\bullet
\end{matrix}</math>
그렇다면, 이를 다음과 같이 쓴다.
* <math>e</math>와 <math>m</math>이 서로  '''직교 사상'''(直交寫像, {{llang|en|orthogonal morphisms}})이다.
* <math>e</math>가 <math>m</math>에 대하여 '''왼쪽 유일 올림 성질'''(-唯一-性質, {{llang|en|left unique lifting property}})을 만족시킨다.
* <math>m</math>이 <math>e</math>에 대하여 '''오른쪽 유일 올림 성질'''(-唯一-性質, {{llang|en|right unique lifting property}})을 만족시킨다.
이는 기호로 <math>e\downarrow m</math>으로 쓴다. 직교 관계는 [[대칭 관계]]가 아니다. 유일 올림 성질에 의하여 유일하게 존재하는 사상을 '''[[올림]]'''이라고 한다.

사상의 모임 <math>\mathfrak X</math>에 대하여, 사상 모임 <math>\mathfrak X^\downarrow</math> 및 <math>^\downarrow\mathfrak X</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathfrak X^\downarrow=\{g\colon \forall f\in\mathfrak X\colon f\downarrow g\}</math>
:<math>^\downarrow\mathfrak X=\{g\colon \forall f\in\mathfrak X\colon g\downarrow f\}</math>
(간혹 <math>^\downarrow\mathfrak X</math>를 <math>X^\uparrow</math>로 표기하기도 한다.)

범주 <math>\mathcal C</math>에서, 두 사상 <math>e</math>, <math>m</math>이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* [[화살표 범주]] 속의 임의의 사상 (가환 사각형) <math>(f,g)\colon e\to m</math>에 대하여, <math>h\circ e=f</math>이며 <math>m\circ h=g</math>인 사상 <math>h</math>가 존재한다. (그러나 이 사상은 유일할 필요가 없다.)
*:<math>
\begin{matrix}
\bullet&\to&\bullet\\
{\scriptstyle e}\downarrow&{\scriptstyle\exists}\nearrow&\downarrow\scriptstyle m\\
\bullet&\to&\bullet
\end{matrix}</math>
그렇다면, 이를 다음과 같이 쓴다.
* <math>e</math>가 <math>m</math>에 대하여 '''왼쪽 올림 성질'''(-性質, {{llang|en|left lifting property}})을 만족시킨다.
* <math>m</math>이 <math>e</math>에 대하여 '''오른쪽 올림 성질'''(-性質, {{llang|en|right lifting property}})을 만족시킨다.
이는 기호로 <math>e\pitchfork m</math>으로 쓴다. 이 역시 [[대칭 관계]]가 아니다. 올림 성질에 의하여 존재하는 (유일하지 않을 수 있는) 사상을 '''[[올림]]'''이라고 한다. 즉, 올림 성질은 유일 올림 성질에서 올림의 유일함을 생략한 것이다.

사상의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak X</math>에 대하여, 사상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak X^\pitchfork</math> 및 <math>^\pitchfork\mathfrak X</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\mathfrak X^\pitchfork=\{g\colon \forall f\in\mathfrak X\colon f\pitchfork g\}</math>
:<math>^\pitchfork\mathfrak X=\{g\colon \forall f\in\mathfrak X\colon g\pitchfork f\}</math>
(간혹 <math>X^\pitchfork</math>를 <math>\operatorname{RLP}(\mathfrak X)</math> 또는 <math>\operatorname{rlp}(\mathfrak X)</math>로, <math>^\pitchfork\mathfrak X</math>를 <math>\operatorname{LLP}(\mathfrak X)</math> 또는 <math>\operatorname{llp}(\mathfrak X)</math>로 표기하기도 한다.)

=== 분해계 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 위에 다음과 같은 데이터 <math>(\mathfrak E,\mathfrak M)</math>이 주어졌다고 하자.
* 모든 [[동형 사상]]을 포함하는 사상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak E\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>
* 모든 [[동형 사상]]을 포함하며, <math>\mathfrak M\circ\mathfrak E=\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>를 만족시키는 사상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak M\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>
이 데이터에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 데이터를 '''분해계'''라고 한다.
* <math>\mathfrak E={}^\downarrow\mathfrak M</math>이며 <math>\mathfrak M=\mathfrak E^\downarrow</math>이다.
* <math>\mathfrak E\subseteq{}^\downarrow\mathfrak M</math>이며 <math>\mathfrak M\subseteq\mathfrak E^\downarrow</math>이다.
* (함자성) 임의의 <math>e,e'\in\mathfrak E</math> 및 <math>m,m'\in\mathfrak M</math>에 대하여, [[화살표 범주]] <math>\mathcal C^\to</math>에서의 사상 <math>(f',f)\colon (m\circ e)\to(m'\circ e')</math>이 존재한다면, <math>(g,f)\circ(f',g)=(f,f')</math>인 <math>(g,f)\colon m\to m'</math> 및 <math>(f',g)\colon e\to e'</math>이 존재한다. 즉, 임의의 사상 <math>f,f'</math> 및 <math>m,m'\in\mathfrak M</math> 및 <math>e,e\in\mathfrak E</math>에 대하여 <math>v\circ m\circ e=m'\circ e'\circ f'</math>라면, <math>m'\circ g=f\circ m</math>이자 <math>g\circ e=e'\circ f'</math>인 사상 <math>g</math>가 유일하게 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.
*:<math>\begin{matrix}
\bullet&\twoheadrightarrow&\bullet&\hookrightarrow&\bullet\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\exists!&&\downarrow\\
\bullet&\twoheadrightarrow&\bullet&\hookrightarrow&\bullet
\end{matrix}</math>
위 그림에서 <math>\mathfrak E</math>의 원소는 <math>\twoheadrightarrow</math>로, <math>\mathfrak M</math>의 원소는 <math>\hookrightarrow</math>로 표기하였다.

분해계가 주어졌을 때, 임의의 사상의 분해는 [[동형 사상]]을 무시하면 유일하다는 것을 보일 수 있다.

=== 약분해계 ===
범주 <math>\mathcal C</math> 위에 다음과 같은 데이터 <math>(\mathfrak E,\mathfrak M)</math>이 주어졌다고 하자.
* 모든 [[동형 사상]]을 포함하는 사상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak E\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>
* 모든 [[동형 사상]]을 포함하며, <math>\mathfrak M\circ\mathfrak E=\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>를 만족시키는 사상 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak M\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>
이 데이터가 다음 조건을 만족시킨다면, '''약분해계'''(弱分解系, {{llang|en|weak factorization system}})라고 한다.
* <math>\mathfrak E={}^\pitchfork\mathfrak M</math>이며 <math>\mathfrak M=\mathfrak E^\pitchfork</math>이다.
이에 따라, 모든 분해계는 약분해계지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 약분해계에서 주어진 사상의 분해는 유일하지 않다.

== 성질 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[쌍대 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak M</math>
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* 임의의 사상 <math>f\in\mathfrak M</math>, <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f</math>의 [[정의역]] <math>X</math>가 <math>\kappa</math>-[[콤팩트 대상]]({{llang|en|compact object}})이 되는 [[정칙 기수]] <math>\kappa\in\operatorname{Card}</math>가 존재한다.
그렇다면, <math>(^\pitchfork(\mathfrak M^\pitchfork),\mathfrak M^\pitchfork)</math>는 분해계를 이룬다. 이를 '''작은 대상 논법'''({{llang|en|small object argument}})이라고 한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
정의에 따라, <math>\mathfrak M^\pitchfork\circ {}^\pitchfork(\mathfrak M^\pitchfork) = \operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>임을 보이면 족하다. 임의의 사상 <math>f\colon A\to B</math>에 대하여, 다음과 같은, <math>f\in \mathfrak M</math>이 되는 가환 네모들의 집합 <math>\mathcal S</math>를 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
A &\overset g\to & B \\
\downarrow & & \downarrow \\
X & \underset f\to & Y 
\end{matrix}</math>
그렇다면, 다음과 같은 직합을 취할 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
\coprod_{i\in\mathcal S}A_i & \overset{\coprod_{i\in\mathcal S}g_i}\to & \coprod_{i\in\mathcal S} B_i \\
\downarrow & & \downarrow \\
X &\underset f\to & Y
\end{matrix}</math>
이제, [[밂 (범주론)|밂]]
:<math>kX = X \sqcup_{\coprod_iA_i} \textstyle\coprod_iB_i</math>
을 정의하여,
:<math>\begin{matrix}
\coprod_{i\in\mathcal S}A_i & \overset{\coprod_{i\in\mathcal S}g_i}\to & \coprod_{i\in\mathcal S} B_i \\
\downarrow & & \downarrow \\
X &\underset{kf}\to & kX \\
\| & & \downarrow \\
X & \underset f\to & Y
\end{matrix}</math>
를 구성할 수 있다.

이 과정을 반복하여 그림
:<math>\begin{matrix}
X & \overset{kf}\to & kX & \overset{k^2f}\to & k^2X & \to & \cdots \\
{\scriptstyle f}\downarrow{\color{White}\scriptstyle g} && \downarrow && \downarrow \\
Y & = & Y & = & Y & = & \cdots
\end{matrix}</math>
을 정의할 수 있다. 이제, [[초한 귀납법]]을 사용하며, [[극한 순서수]]에 도달하였을 때 초한 합성을 취하자. 그렇다면, 이 과정은 일반적으로 수렴하지 않지만, 충분히 큰 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여
* <math>k^\alpha X \to Y</math>가 <math>\mathfrak M^\pitchfork</math>에 속하며,
* <math>X \to k^\alpha X</math>가 <math>^\pitchfork(\mathfrak M^\pitchfork)</math>에 속하는
것을 보일 수 있다.

대략, 각 <math>k^if</math>는 <math>X</math>에 (<Math>\mathfrak M</math>의 원소를 통한) “세포”를 붙여 [[세포 복합체]]를 구성하는 것으로 여길 수 있다.
</div></div>

== 예 ==
=== 자명한 분해계 ===
임의의 범주에서, 모든 사상의 모임을 왼쪽 모임으로, [[동형 사상]]의 모임을 오른쪽 모임으로 잡는다면 이는 분해계를 이룬다. 임의의 범주에서, [[동형 사상]]의 모임을 왼쪽 모임으로, 모든 사상의 모임을 오른쪽 모임으로 잡는다면 이 역시 분해계를 이룬다.

=== (전사, 단사) 분해계 ===
모든 [[토포스]]에서, [[전사 사상]]의 모임을 왼쪽 모임으로, [[단사 사상]]의 모임을 오른쪽 모임으로 잡는다면 이는 분해계를 이룬다. 예를 들어, [[집합]]의 토포스 <math>\operatorname{Set}</math>에서 모든 [[함수]]는 그 [[치역]]으로의 [[전사 함수]](=[[전사 사상]])와 [[치역]]에서 [[공역]]으로 가는 [[단사 함수]](=[[단사 사상]])의 [[함수의 합성|합성]]으로 나타낼 수 있다.

=== 작은 범주의 범주 ===
[[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>에서, 왼쪽 모임은 대상에 대하여 [[전단사 함수|전단사]]인 [[함자 (수학)|함자]]의 모임, 오른쪽 모임은 [[충실충만한 함자]]의 모임으로 구성된 분해계가 존재한다.

=== 모형 범주 ===
{{본문|모형 범주}}
모든 [[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math> 위에는 다음과 같은 두 약분해계가 존재한다.
* 왼쪽: <math>\mathfrak C\cap\mathfrak W</math>, 오른쪽: <math>\mathfrak F</math>
* 왼쪽: <math>\mathfrak C</math>, 오른쪽: <math>\mathfrak F\cap\mathfrak W</math>

=== 집합의 범주 위의 약분해계 ===
집합의 범주 위에서는 ([[선택 공리]]를 가정한다면) 정확히 총 6개의 약분해계가 존재한다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.math.ubc.ca/~oantolin/notes/modelcatsets.html|제목=The nine model category structures on the category of sets|이름=Omar Antolín|성=Camarena|언어=en|확인날짜=2016-02-12|보존url=https://web.archive.org/web/20160215134007/http://www.math.ubc.ca/~oantolin/notes/modelcatsets.html|보존날짜=2016-02-15|url-status=dead}}</ref> 그 가운데 4개는 분해계이지만, 2개는 분해계가 아니다.
{| class=wikitable
! 왼쪽 모임 || 오른쪽 모임 || 분해계?
|-
| [[전단사 함수]] || 모든 [[함수]] || 예
|-
| [[단사 함수]] || [[전사 함수]] || 아니오
|-
| [[공집합]] 위의 [[항등 함수]]이거나, [[정의역]]이 [[공집합]]이 아닌 [[단사 함수]] || [[정의역]]이 [[공집합]]인 [[함수]]이거나, [[전사 함수]] || 아니오
|-
| [[공집합]] 위의 [[항등 함수]]이거나, [[정의역]]이 [[공집합]]이 아닌 [[함수]] || [[정의역]]이 [[공집합]]인 [[함수]]이거나, [[전단사 함수]] || 예
|-
| [[전사 함수]] || [[단사 함수]] || 예
|-
| 모든 [[함수]] || [[전단사 함수]] || 예
|}
예를 들어, (단사, 전사) 약분해계에서 함수 <math>f\colon X\to Y</math>의 분해는 다음과 같다.
:<math>X\hookrightarrow X\sqcup Y\overset{f\sqcup\operatorname{id}}\twoheadrightarrow Y</math>

=== 올뭉치 ===
{{본문|올뭉치}}
위상 공간의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서, 모든 [[CW 복합체]] <math>X</math>에 대한 포함 사상
:<math>X\xrightarrow{\times0}X\times[0,1]</math>
들의 모임을 <math>\mathfrak I_{\operatorname{CW}}</math>라고 하자. 그렇다면, [[세르 올뭉치]]는 <math>\mathfrak I_{\operatorname{CW}}</math>에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 [[연속 함수]]이다.
:<math>\mathfrak F_{\text{Serre}}=\mathfrak I_{\operatorname{CW}}^\pitchfork</math>

마찬가지로, 모든 위상 공간 <math>X</math>에 대한 포함 사상
:<math>X\xrightarrow{\times0}X\times[0,1]</math>
들의 모임을 <math>\mathfrak I_{\operatorname{Top}}</math>라고 하자. 그렇다면, [[후레비치 올뭉치]]는 <math>\mathfrak I_{\operatorname{Top}}</math>에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 [[연속 함수]]이다.
:<math>\mathfrak F_{\text{Hur}}=\mathfrak I_{\operatorname{Top}}^\pitchfork</math>

이 경우, 가환 그림은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
X&\hookrightarrow&X\times[0,1]\\
\downarrow&{\scriptstyle\exists}\swarrow&\downarrow\\
E&\twoheadrightarrow&B
\end{matrix}</math>
여기서 <math>E\twoheadrightarrow B</math>는 (세르/후레비치) 올뭉치이다. 올림 성질에 의하여 존재하는 대각 사상 <math>X\times[0,1]\to E</math>는 <math>X</math>에서 <math>E</math>로 가는 두 [[연속 함수]] 사이의 [[호모토피]]를 이룬다. 대각 사상은 일반적으로 유일하지 않지만 (즉, 직교 관계가 성립하지 않지만), 만약 올뭉치가 [[피복 공간]]일 경우 (즉, 올이 [[이산 공간]]일 경우) 올림은 유일하다 (즉, 직교 관계가 성립한다).

=== 스킴 사상 ===
[[대수기하학]]에서, 스킴의 [[매끄러운 사상]]은 [[멱영 아이디얼]] <math>\mathfrak n</math>에 대한 몫 <math>\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to\operatorname{Spec}R</math>에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 [[국소 유한 표시 사상]]이다. 오른쪽 올림 성질을 오른쪽 유일 올림 성질로 강화하면 [[에탈 사상]]의 개념을 얻는다.

마찬가지로, [[공역]]이 [[국소 뇌터 스킴]]인 [[유한형 사상]]에 대하여, 모든 [[값매김환]] <math>R</math>에 대하여 [[분수체]]에 대한 사상 <math>\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R</math>에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 것은 [[분리 사상]]임과 동치이며, 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 것은 [[고유 사상]]임과 동치이다. 이러한 조건을 '''값매김 조건'''({{llang|en|valuative criterion}})이라고 한다.

== 역사 ==
분해계 개념의 시초는 [[손더스 매클레인]]의 1950년 논문<ref>{{저널 인용|제목=Duality for groups|이름=Saunders|성=MacLane|저자링크=손더스 매클레인|mr=0049192|zbl=0045.29905|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=56|호=6|날짜=1950|쪽=485–516|doi=10.1090/S0002-9904-1950-09427-0 |언어=en}}</ref>이다. 이 논문에서 매클레인이 정의한 ‘{{lang|en|bicategory|바이캐터고리}}’라는 개념은 분해계를 갖춘 [[범주 (수학)|범주]]의 개념과 흡사하다. 이후 존 롤프 이스벨({{llang|en|John Rolfe Isbell}})이 이 개념을 1950년대에 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John Rolfe|성=Isbell|제목=Some remarks concerning categories and subspaces|저널=Canadian Journal of Mathematics|권=9|날짜=1957|쪽=563–577|mr=0094405|doi=10.4153/CJM-1957-064-6|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=E-M-factorization-system-in-a-category}}
* {{nlab|id=factorization system|title=Factorization system}}
* {{nlab|id=orthogonality|title=Orthogonality}}
* {{nlab|id=orthogonal factorization system|title=Orthogonal factorization system}}
* {{nlab|id=weak factorization system|title=Weak factorization system}}
* {{nlab|id=lift|title=Lift}}
* {{nlab|id=(epi, mono) factorization system}}
* {{nlab|id=Joyal-Tierney calculus}}
* {{nlab|id=weak factorization system on Set|title=Weak factorization system on Set}}
* {{nlab|id=small object argument|title=Small object argument}}
* {{웹 인용|url=https://wrathofrog.wordpress.com/2011/07/30/the-small-object-argument/ | 제목=The small object argument | 날짜=2011-07-30 | 웹사이트=Wrathofrog | 언어=en}}

[[분류:범주론]]
[[분류:호모토피 이론]]