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[[수학]] 및 [[수리철학]]에서 '''수학적 대상''' (数學的対象, {{llang|en|''mathematical object''}})은 수학 중에서 생겨 오는 [[추상적 대상]]이다.

일반적으로 조우하는 수학적 대상으로 [[수]], [[순열]], [[집합의 분할|분할]], [[행렬]], [[집합]], [[함수]], 및 [[이항관계|관계]] 등을 들 수 있다. 수학의 분과로서의 [[기하학]]은 [[육각형]], [[점 (수학)|점]], [[직선|선]], [[삼각형]], [[원 (기하학)|원]], [[구]], [[다면체]], [[위상 공간 (수학)|위상 공간]], 및 [[다양체]]와 같은 대상을 가진다. 다른 분과의 [[대수학]]은 [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]], [[체 (수학)|체]], [[격자 (순서론)|격자]], 및 [[속 (대수학)|속]] 등의 대상을 가진다. [[범주 (수학)|범주]]은 수학적 대상을 일제히 생기게 하는 것과 동시에, 그 자체가 하나의 수학적 대상이다.

수학적 대상의 [[존재론|존재론적인 입장]]은 [[수리철학]]에서 조사 및 논의되는 중요한 주제이다. 이 논의에 대해서는 논문 {{harv|Burgess|Rosen|1997}}을 참조.
==칸토르의 골조==
20세기의 변환기 무렵에 나타난 [[게오르크 칸토어|칸토어]]의 일에 의해 초래된 관점은, 모든 수학적 대상은 [[집합]]에 의해서 정의할 수 있다는 것이었다. {0,1}이라는 집합은 비교적 명확한 예이다. 표면적으로는 2를 법으로 하는 정수의 [[군 (수학)|군]] '''Z'''<sub>2</sub>도 또 두 개의 요소를 가진 집합이다. 그러나 그것은 단지 집합 {0,1}인 것은 아니다. 이는 2를 법으로 하는 [[가법|화]] 및 [[뺄셈|반수]]의 [[연산]]에 의해서 '''Z'''<sub>2</sub>에 할당된 부가 구조에 대해 언급하고 있지 않기 때문이다. 예를 들면,  0또는 1의 어느 쪽이 [[가법 단위원]]인지를 우리는 어떻게 알면 좋은 것인지? 이 군을 집합으로서 체계화하기 위해서는 우선 네 개의 조 ({0,1}, +, -, 0)로서 규정해, 다음에 네 개 조를 집합으로서 나타내는 몇 개의 관습 중 하나를 사용해 주면 집합으로서 쓸 수 있기 때문에, 나머지는 필연적으로 +, &minus;, 0을 집합으로서 규정하면 좋다.

이 접근은, 수학의 존재론은 실천이나 교육법의 영향을 받아야 하는 것일지라는 근원적으로 철학적인 물음이 생긴다. 수학자는 그러한 부호화에 대한 연구는 실시하지 않고, 부호화는 규범적이지도 실천적이지도 않다. 그들은 어떤 대수학의 교과서에도 나타나지 않고, 대수학의 교정의 학생이나 지도자도 그러한 부호화에는 전혀 정통하고 있지 않다. 그러므로, 만약 존재론이 실천을 반영해야 할 것이라면, 수학적 대상은 이 방법으로는 집합에 환원할 수 없다.
==기초부에 관련되는 역리==
그렇지만, 만약 수학적 존재론이 수학의 내부무모순성을 성립시키기 위해서 만들어져 있다면, 수학적 대상은 그 [[역설]]의 [[본질]]을 드러내기 위해서, 실제의 실천과는 관계없는 것으로, 어느 단일의 방법으로 (예를 들면, 집합으로서) 정의를 할 수 있는 것은 보다 중요하다. 이는 [[수학기초론]]에 의해서 놓쳐 온 관점이다. 수학기초론은 전통적으로, 수학적 대상을 집합으로서 정의하는 것에 대한 정당화로서 역설을 잘 취급하는 것에 수학적 실천의 상세를 정확하게 반영하는 것보다도 높은 우선 순위를 주어 왔다.

집합을 갖춘 수학적 대상의 이 근본적인 분류에 의해서 만들어진 긴장의 상당수는 근본적인 목적을 과도하게 타협하는 일 없이 완화시킬 수 있다. 즉, 2종류의 대상을 [[전체모임]], 집합 및 [[관계 (수학)|관계]] 속에 들어갈 수 있는 것에 의해서, 그 두 개의 대상을 단순한 다른 것의 실체라고 보는 요구는 생기지 않는다. 이들은 [[술어 논리]]의 [[논의 영역]]으로서 [[모델 이론]]의 기초를 형성하고 있다. 이 관점에서는, 수학적 대상은 술어 논리의 언어로 표현된 [[:en:Axiomatic system|형식 이론]]의 [[공리]]를 채우는 [[실체]]이다.
==범주론==
이 접근의 변화형은 관계를 [[산법|연산]]으로 옮겨놓는 [[보편 대수학]]의 기초이다. 이 변화형에서 공리는 자주 [[방정식]] 또는 방정식 간의 음복관계의 형태를 취한다.

보다 추상적인 변화형은 [[범주론]]이며, 이는 집합을 대상으로 하고, 게다가의 연산을 이러한 대상간이 [[사상 (범주론)|사상]]으로서 추상화한다. 이 추상화의 레벨에서의 수학적 대상은 단지 그 [[그래프 이론|그래프]]의 [[꼭짓점]]에 환원된다. 사상로서의 그 그래프의 [[모서리]]는 이러한 대상을 변환할 수 있는 방법을 추상화해, 그 그래프의 구조는 사상의 [[함수의 합성|합성법칙]]에서 부호화된다. [[범주 (수학)|범주]]는 (통상은 [[구체범주]]이다, 즉 [[집합]]의 [[범주 (수학)|범주]]에의, 또는 보다 일반적으로는 적절한 [[토포스]]에의 충실 [[망각관수]]를 갖추고 있는 경우에) 몇 개의 공리적인 이론의 모델 및 그러한 사이의 [[준동형사상]]으로서 생긴다, 또는 다른 것보다 원시적인 범주로 구성될 것이다. 또, 범주는 그 [[:en:provenance|기원]]과는 관련되지 않고, 그 자신으로 의미를 가지는 [[추상적 대상]]으로서 연구될 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[수학적 구조]]
==참고 문헌==
* Azzouni, J., 1994. ''Metaphysical Myths, Mathematical Practice''. Cambridge University Press.
* Burgess, John, and Rosen, Gideon, 1997. ''A Subject with No Object''. Oxford Univ. Press.
* [[Davis, Philip]] and [[Reuben Hersh]], 1999 [1981]. ''The Mathematical Experience''. Mariner Books: 156-62.
* Gold, Bonnie, and Simons, Roger A., 2008. ''Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy''. Mathematical Association of America.
* Hersh, Reuben, 1997. ''What is Mathematics, Really? ''  Oxford University Press.
* Sfard, A., 2000, "Symbolizing mathematical reality into being,  Or how mathematical discourse and mathematical objects create each other," in Cobb, P., ''et al.'', ''Symbolizing and communicating in mathematics classrooms: Perspectives on discourse, tools and instructional design''. Lawrence Erlbaum.
* [[Stewart Shapiro]], 2000. ''Thinking about mathematics: The philosophy of mathematics''. Oxford University Press.
== 외부 링크 ==
* [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]: "[http://plato.stanford.edu/entries/abstract-objects Abstract Objects] " -- by Gideon Rosen.
* Wells, Charles, "[https://web.archive.org/web/20081014205857/http://www.abstractmath.org/MM//MMMathObj.htm Mathematical Objects.] "
* [https://web.archive.org/web/20100717234001/http://theory.cs.uvic.ca/amof/ AMOF: The Amazing Mathematical Object Factory]
* [https://web.archive.org/web/20100611203942/http://www.math.cuhk.edu.hk/exhibit/ Mathematical Object Exhibit]
{{전거 통제}}

[[분류:수학적 대상| ]]