{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''이차 리 대수'''(二次Lie代數, {{llang|en|quadratic Lie algebra}})는 [[리 괄호]]와 호환되는 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이 주어진 유한 차원 [[리 대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 '''이차 리 대수'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>K</math>-[[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>K</math>-[[비퇴화 쌍선형 형식]] <math>\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to K</math>, <math>x\otimes y \mapsto \langle x,y\rangle</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\langle [x,y]|z\rangle = \langle y|[z,x]\rangle</math>

[[아인슈타인 표기법]]을 사용하여, <math>\mathfrak g</math>의 원소를 <math>t^i</math>와 같이 윗첨자로 표기하고, <math>\mathfrak g</math>의 구조 상수를
:<math>[t^i,t^j] = f^k{}_{ij}t^i t^j</math>
와 같이 적고 (<math>f^k{}_{ij} = - f^k_{ji}</math>), 쌍선형 형식을
:<math>\langle t^i|t^j\rangle = C_{ij}t^i t^j</math>
와 같이 적을 경우 (<math>C_{ij} = C_{ji}</math>), 위 조건은 다음과 같다.
:<math>0 = C_{l(j}f^l{}_{k)i} = C_{lj}f^l{}_{ki} + C_{lk}f^l{}_{ji}</math>
여기서 <math>(\dotso)</math>는 해당 첨자들의 대칭화를 뜻한다.

== 연산 ==
같은 [[가환환]] 위의 두 이차 리 대수의 [[직합]]은 표준적으로 이차 리 대수 구조를 갖는다.

=== 이중 확대 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
* <math>K</math>-이차 리 대수 <math>(\mathfrak g,\langle-|-\rangle)</math>
* <math>K</math>-리 대수 <math>\mathfrak h</math> 및 그 위의 불변 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-|-\rangle_{\mathfrak h}</math> (이는 비퇴화가 아닐 수 있다)
* <math>K</math>-[[리 대수 준동형]] <math>(\cdot) \colon \mathfrak h \to \mathfrak{der}(\mathfrak g)\cap\mathfrak o(\mathfrak g)</math> (여기서 <math>\mathfrak o(\mathfrak g)</math>는 대칭 쌍선형 형식 <math>\langle-|-\rangle</math>에 대한 [[직교 리 대수]])
그렇다면, [[직합]] <math>K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee</math>
위에 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 줄 수 있다.
:<math>\langle (g',h',h'^\vee)|(g,h,h^\vee) \rangle = \langle g'|g\rangle + \langle h^\vee|h'\rangle + \langle h'^\vee|h\rangle + \langle h'|h\rangle</math>
:<math>[(g,0,0),(g',0,0)] = ([g,g'],0,\omega(g,g'))</math>
:<math>[(0,h,0),(0,h',0)] = (0,[h,h'],0)</math>
:<math>[(0,0,h^\vee),(g,0,h'^\vee)] = 0</math>
:<math>[(0,h,0),(0,g,0)] = (h \cdot g,0,0)</math>
:<math>[(0,0,h^\vee),(0,h,0)] = (0,0,h^\vee \circ \operatorname{ad}_h)</math>
여기서
:<math>\omega(g,g') \in\mathfrak h^*</math>
:<math>\omega(g,g')(h) = \langle h\cdot g|g'\rangle</math>
이다. 이를 <math>\mathfrak g</math>의, <math>\mathfrak h</math>를 통한 '''이중 확대'''({{llang|en|double extension}})라고 한다.<ref name="MR"/>{{rp|553–554, §0.2}}

만약 <math>K=\mathbb R</math>일 때, <math>\mathfrak g</math>의 부호수가 <math>(m_+,m_-)</math>이며, <math>\mathfrak h</math>가 <Math>n</math>차원이라면, <math>h</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]]에 관계 없이, <math>\mathfrak g</math>의 <Math>\mathfrak h</math>를 통한 이중 확대의 부호수는 <math>(m_++n,m_-+n)</math>이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
이중 확대 <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee</math>에서, <math>\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee</math>의 부호수를 계산하면 된다. <math>\mathfrak h</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]]을 대각화하였을 때, <math>\mathfrak h\oplus\mathfrak h^\vee</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]]은
:<math>\begin{pmatrix}
0&1\\
1&a
\end{pmatrix}\qquad(a\in\{0,1,-1\})</math>
의 꼴의 블록들로 구성된 블록 대각 행렬이 된다. 이 블록들은 <math>a</math>의 값에 관계 없이 모두 부호수가 <math>(1,1)</math>임을 쉽게 확인할 수 있다.
</div></div>

== 성질 ==
비퇴화 쌍선형 형식이 존재해야 하므로, [[체 (수학)|체]] 위의 이차 리 대수는 항상 유한 차원 [[벡터 공간]]이다.

[[실수체]] 위의 [[리 대수]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Geometry Ⅵ. Riemannian geometry|이름=M. M.|성=Postnikov|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|isbn= 978-3-540-41108-6|doi=10.1007/978-3-662-04433-9|언어=en}}</ref>{{rp|340–341, Proposition 26.2, Proposition 26.3}}
* [[양의 정부호]]의 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.
* 콤팩트 [[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 [[직합]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
실수 이중 리 대수의 구조 정리에서, 이중 확장을 통하여 얻은 이차 리 대수는 항상 부정부호임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 따라서, 양의 정부호를 얻으려면, [[양의 정부호]] [[단순 리 대수]] 및 1차원 [[아벨 리 대수]]들의 직합을 취할 수 밖에 없다.
</div></div>

== 분류 ==
[[실수체]] 위의 이차 리 대수 가운데, (이차 리 대수로서) 직합으로 분해될 수 없는 것은 항상 [[단순 리 대수]]이거나, 1차원 [[아벨 리 대수]]이거나, 또는 어떤 이차 리 대수의, 1차원 아벨 리 대수 또는 단순 리 대수에 대한 이중 확대이다.<ref name="MR">{{저널 인용|url= http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1985_4_18_3_553_0 |제목=Algèbres de Lie et produit scalaire invariant | 이름1= Alberto|성1=Medina|이름2=Philippe|성2=Revoy | 저널=Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure | 권=18 | 호=3 | 쪽=553–561 | 날짜=1985 | zbl=0592.17006 |mr=826103 |doi=10.24033/asens.1496 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème Ⅱ}}
즉, 실수체 위의 모든 이차 리 대수는 단순 리 대수와 1차원 아벨 리 대수로부터, 직합 및 이중 확대 연산을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.<ref name="MR">{{저널 인용|url= http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1985_4_18_3_553_0 |제목=Algèbres de Lie et produit scalaire invariant | 이름1= Alberto|성1=Medina|이름2=Philippe|성2=Revoy | 저널=Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure | 권=18 | 호=3 | 쪽=553–561 | 날짜=1985 | zbl=0592.17006 |mr=826103 |doi=10.24033/asens.1496 | 언어=fr}}</ref>{{rp|Théorème Ⅱ}}

마찬가지로, [[실수체]] 위의 모든 이차 리 대수 가운데 [[가해 리 대수]]인 것은 아벨 리 대수로부터, 다음 연산들을 유한 번 취하여 구성될 수 있다.<ref name="MR"/>{{rp|Théorème Ⅲ}}
* [[직합]]
* 1차원 [[아벨 리 대수]]에 대한 이중 확대 <math>\mathfrak g \mapsto \mathfrak g\oplus\mathbb R\oplus\mathbb R</math>

== 예 ==
[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 [[단순 리 대수]]의 경우, 그 위에 존재하는 모든 이차 리 대수 구조는 [[킬링 형식]]에 비례한다. 특히, 이에 따라 [[표수 0]]에서 모든 [[반단순 리 대수]]는 이차 리 대수 구조를 가질 수 있다.

임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] 위에, 임의의 [[비퇴화 쌍선형 형식]] 및 [[아벨 리 대수]] 구조를 부여하면, 이는 이차 리 대수를 이룬다.

=== 비콤팩트 이차 리 대수 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 이차 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[다항식환]] <math>\mathfrak g[t]</math> 위에 [[리 괄호]]
:<math>[p,q]_{\mathfrak g[t]}(t) = [p(t),q(t)]_{\mathfrak g}</math>
를 줄 수 있다. 또한, 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
:<math>t^n\mathfrak g[t]\subseteq\mathfrak g</math>
는 그 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다. 따라서, [[몫 리 대수]]
:<math>\frac{\mathfrak g[t] }{t^n\mathfrak g[t]}
=\oplus_{i=0}^{n-1}\mathfrak gt^i
</math>
를 취할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 [[대칭 쌍선형 형식]]을 주자.
:<math>\langle x_0+x_1t+\dotsb+x_{n-1}t^{n-1}|y_0+y_1t+\dotsb+y_{n-1}t^{n-1}\rangle = \langle x_{n-1}|y_{n-1}\rangle_{\mathfrak g}</math>
그렇다면, 이 역시 이차 리 대수를 이룬다.

이제, 만약 예를 들어 <math>K</math>가 [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]]이며, <math>\mathfrak g</math>가 [[단순 리 대수]]이며, <math>n\ge2</math>일 때, 이와 같은 이차 리 대수는 [[반단순 리 대수]]와 [[아벨 리 대수]]의 직합이 아니다.

=== 아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수 ===
다음과 같은 리 대수를 생각하자.<ref name="DT"/>{{rp|Proposition 2.2}}
:<math>\mathfrak g_4 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{C,L_+,L_-,C^*\}</math>
:<math>[C,L_\pm]=\pm L_\pm</math>
:<math>[L_+,L_-]=C^*</math>
:<math>[L_\pm,L_\pm]=0</math>
:<math>[C,C^*] = [L_\pm,C^*] = 0</math>
여기에 부호수 (2,2)의 [[이차 형식]]
:<math>\langle C^*|C\rangle = 1</math>
:<math>\langle L_\pm|L_\mp\rangle = 1</math>
:<math>\langle L_\pm|L_\pm\rangle = \langle C|C\rangle = \langle C^*|C^*\rangle = \langle C^*|L_\pm\rangle = \langle C | L_\pm\rangle = 0</math>
을 정의하면, 이는 [[실수체]] 위의 4차원 이차 리 대수를 이룬다.

이는 [[가해 리 대수]]이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

또한, 다음을 생각하자.<ref name="DT"/>{{rp|Proposition 2.3}}
:<math>\mathfrak g_5 = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x_1,x_2,t,x^1,x^2\}</math>
:<math>\langle x_i|x^j\rangle = \delta_i^j</math>
:<math>\langle x_i|x_j\rangle = 0</math>
:<math>\langle t|t\rangle = 1</math>
:<math>[x_1,x_2]=t</math>
:<math>[x_i,t]=-\epsilon_{ij} x^j</math>
:<math>[x^j,t] = [x_i,x^j] = 0</math>
여기서 <math>\delta_i^j</math>는 [[크로네커 델타]]이며, <math>\epsilon_{ij}</math>는 [[레비치비타 기호]]이며, [[아인슈타인 표기법]]을 사용하였다. 
이는 부호수 (3,2)의 이차 리 대수를 이룬다.

이는 [[가해 리 대수]]이며, 4차원의 이차 리 대수 가운데 아벨 리 대수나 단순 리 대수의 직합으로 표현될 수 없는 유일한 것이다.

=== 낮은 차원의 이차 리 대수 ===
6차원 이하의 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 위의 이차 리 대수는 모두 알려져 있다.<ref name="DT">{{저널 인용|url=http://eastwestmath.org/index.php/EWM/article/view/305/282|제목=Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions|날짜=2012|저널=East–West Journal of Mathematics|권=14|호=2|쪽=208–218|arxiv=1204.4787|이름1=Pham Tien|성1=Dat|이름2=Duong Minh|성2=Thanh|이름3=Le Anh|성3=Vu|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://eastwestmath.org/index.php/EWM/article/view/305/282 }}</ref><ref name="BE">{{저널 인용|arxiv=1404.5174|제목=Classification of quadratic Lie algebras of low dimension | 이름=Saïd | 성=Benayadi | 이름2=Alberto | 성2=Elduque | 날짜=2014 | 언어=en}}</ref>

[[실수체]] 위의 기약 이차 리 대수들 가운데 낮은 차원인 것들은 다음과 같다.

{| class=wikitable
|+ [[가해 리 대수]]가 아닌 10차원 이하의 기약 실수 이차 리 대수<ref name="BE"/>{{rp|Theorem 4.11}}
! 차원 || 이차 리 대수
|-
| rowspan=2 |3 || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)</math>
|-
| rowspan=3 | 6 || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)</math>에 의한 이중 확대 <math>0\oplus \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^*</math>
|-
| <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)\to\mathfrak{der}(0)</math>에 의한 이중 확대 <math>0\oplus \mathfrak o(3;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(3;\mathbb R)^*</math>
|-
| <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math>
|-
| rowspan=3 | 8 || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(3;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(2,1;\mathbb R)</math>
|-
| rowspan=2 | 9 || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3)</math>
|-
| <math>\mathfrak o(3;\mathbb R[x]/(x^3)) = \mathfrak o(3;\mathbb R)\otimes_{\mathbb R} \mathbb R[x]/(x^3)</math>
|-
| rowspan=5 | 10 || <math>\mathfrak o(3,2)</math>
|-
| <math>\mathfrak o(4,1)</math>
|-
| <math>\mathfrak o(5)</math>
|-
| <math>V = \mathbb R^2</math>일 때, 이중 확대 <math>V\otimes V\oplus \mathfrak{sl}(V) \oplus\mathfrak{sl}(V)^*</math>.<ref name="BE"/>{{rp|Example 3.11}} 여기서 <math>\langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle = \langle u,v\rangle\langle u',v'\rangle</math>이며 <math>M \cdot (u\otimes v) = Mu \otimes v</math> (<math>u,v\in V,\; M\in\mathfrak{sl}(V)</math>)
|-
| <math>W = \mathbb C^2</math>일 때, 이중 확대 <math>V \oplus \mathfrak{su}(W) \oplus\mathfrak{su}(W)^*</math>.<ref name="BE"/>{{rp|Example 4.7}}. 여기서 <math>\langle u,v\rangle = \langle u,v\rangle_{\mathbb C} + \langle v,u\rangle_{\mathbb C}</math>이며 <math>\langle-,-\rangle_{\mathbb C}</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]] 내적이다.
|-
| 11 || (총 3개)
|-
| 12 || (총 9개)
|-
| 13 || (총 4개)
|}

{| class=wikitable
|+ [[아벨 리 대수]]가 아닌 6차원 이하의 기약 [[가해 리 대수|가해]] 실수 이차 리 대수<ref name="DT"/>{{rp|Proposition 2.2, 2.3, 3.8}}
! 차원 || 이차 리 대수
|-
| 4 || <math>\mathfrak g_4</math> (※[[#아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수|위 문단]]을 참고)
|-
| 5 || <math>\mathfrak g_5</math> (※[[#아벨 리 대수나 반단순 리 대수가 아닌 4차원 이차 리 대수|위 문단]]을 참고)
|-
| 6 || (2개의 리 대수와 연속적인 족 1개가 존재)
|}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/11109/a-terminology-issue-with-the-killing-form | 제목=A terminology issue with the Killing form | 웹사이트=Math Overflow | 언어=en}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:이차 형식]]