{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 2|극한의 일반적인 정의|수열의 경우|수열의 극한|함수의 경우|함수의 극한}}
{{다른 뜻|극한 (범주론)|해석학적 극한|범주론적 극한}}
{{다른 뜻}}
[[해석학 (수학)|해석학]] 및 [[위상수학]]에서 '''극한'''(極限, {{llang|en|limit}}) 또는 '''극한값'''(極限-)은 [[수열]]이나 [[함수]] 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 <math>\lim</math>. '''수렴'''(收斂, {{llang|en|convergence}})은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. '''발산'''(發散, {{llang|en|divergence}})은 수렴에 반대되는 성질이다. [[수열의 극한]]은 [[그물 (수학)|그물]]의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, [[함수의 극한]]은 [[필터 (수학)|필터]]의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

== 정의 ==
=== 필터 ===
{{본문|근방 필터}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B\subset\mathcal P(X)</math>
* <math>x\in X</math>
만약 다음 조건이 성립한다면 '''필터 기저 <math>\mathcal B</math>가 점 <math>x</math>로 수렴한다'''({{llang|en|the filter base <math>\mathcal F</math> converges to the point <math>x</math>}})고 하며, <math>x</math>를 <math>\mathcal B</math>의 '''극한'''이라고 한다. 이를 <math>\mathcal B\to x</math>라고 쓴다.
* <math>\mathcal N_x\subset\mathop\uparrow\mathcal B</math>. 즉, 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>B\subset U</math>인 <math>B\in\mathcal B</math>가 존재한다. (여기서 <math>\mathcal N_x</math>는 <math>x</math>의 [[근방 필터]]이며, <math>\mathop\uparrow\mathcal B</math>는 <math>\mathcal B</math>의 [[상폐포]]다.)
다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건이 성립한다면 <math>x</math>가 <math>\mathcal B</math>의 '''집적점'''(集積點, {{llang|en|cluster point}})이라고 한다.
* <math>\textstyle x\in\bigcap_{B\in\mathcal B}\operatorname{cl}B</math>. (여기서 <math>\operatorname{cl}B</math>는 <math>B</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]다.)
* <math>\mathcal B'\to x</math>이며 <math>\mathop\uparrow\mathcal B\subset\mathop\uparrow\mathcal B'</math>인 [[필터 기저]] <math>\mathcal B'\subset\mathcal P(X)</math>가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

[[필터 기저]] <math>\mathcal B</math>의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 [[그물 (수학)|그물]]
:<math>\{(b,B)\colon b\in B\in\mathcal B\}\to X</math>
:<math>(b,B)\mapsto b</math>
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 [[상향 원순서 집합|상향]] [[부분 순서]]는 다음과 같다.
:<math>(b,B)\lesssim(b',B')\iff B\supset B'</math>

=== 그물과 점렬 ===
{{본문|그물 (수학)}}
{{본문|수열의 극한}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in(I,\lesssim_I)}\subset X</math>
* <math>x\in X</math>
만약 다음 조건이 성립한다면, '''그물 <math>(x_i)_{i\in I}</math>가 점 <math>x</math>로 수렴한다'''({{llang|en|the net <math>(x_i)_{i\in I}</math> converges to the point <math>x</math>}})고 하며, <math>x</math>를 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 '''극한'''이라고 한다. 이를 <math>x_i\to x</math>라고 쓴다.
* 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>\forall i\gtrsim_Ii_0\colon x_i\in U</math>인 <math>i_0\in I</math>가 존재한다.
특히, 실수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R</math>의 경우 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\forall n\ge n_0\colon|x_n-x|<\epsilon</math>인 자연수 <math>n_0\in\mathbb N</math>이 존재한다.
다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건이 성립한다면 <math>x</math>가 <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 '''집적점'''이라고 한다.
* 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon x_i\in U\}</math>는 [[공종 집합]]이다.
* <math>x_{i(j)}\to x</math>인 [[상향 원순서 집합]] <math>(J,\lesssim_J)</math> 및 [[단조함수|단조]] [[공종 함수]] <math>i\colon J\to I</math>가 존재한다.
* <math>x_{i(j)}\to x</math>이며 <math>\forall i_0\in I\exists j_0\in J\forall j\in j_0\colon i(j)\gtrsim i_0</math>인 [[상향 원순서 집합]] <math>(J,\lesssim_J)</math> 및 [[함수]] <math>i\colon J\to I</math>가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

[[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 [[필터 기저]]
:<math>\{\{x_i\colon i\gtrsim i_0\}\colon i_0\in I\}</math>
의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 [[함수의 극한]]의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 <math>(x_i)_{i\in(I,\lesssim_I)}</math>은 <math>I\to X</math> 꼴의 함수다. <math>I</math>에 한 점을 추가한 집합 <math>I\cup\{\infty\}</math> 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 <math>i\in I</math>는 [[고립점]]이며, <math>\infty</math>의 [[열린 근방]]은 (<math>\infty</math>와) <math>\{i\in I\colon i\gtrsim_I i_0\}</math> 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,
:<math>\mathcal D_\infty=\mathop\uparrow\{\{i\in I\colon i\gtrsim_I i_0\}\colon i_0\in I\}</math>
이며, 그 그물에 대한 [[상 (수학)|상]]
:<math>\{\{x_i\colon i\in D\}\colon D\in\mathcal D_\infty\}</math>
은 그물로 유도되는 [[필터 기저]]와 같은 [[필터 (수학)|필터]]를 생성한다. 따라서, <math>(x_i)_{i\in I}</math>의 <math>\infty</math>에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

<math>\mathbb N</math> 위의 [[전순서]]에 의하여, [[점렬]]은 그물의 특수한 경우다. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 속 점렬의 '''극한'''·'''집적점'''은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, [[부분 점렬]]의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

=== 함수 ===
{{본문|함수의 극한}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* <math>x_0\in X</math>
* [[함수]] <math>f\colon X\setminus\{x_0\}\to Y</math>
* <math>y_0\in Y</math>
그렇다면, <math>x_0</math>의 [[빠진 근방]]들의 [[집합족]]
:<math>\mathcal D_{x_0}=\{U\setminus\{x_0\}\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}</math>
은 <math>X\setminus\{x_0\}</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 (수학)|필터]]를 이루며, 따라서 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(\mathcal D_{x_0})</math>은 <math>Y</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 기저]]를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, '''함수 <math>f</math>가 점 <math>x_0</math>에서 점 <math>y_0</math>로 수렴한다'''({{llang|en|the map <math>f</math> converges to the point <math>y_0</math> at the point <math>x_0</math>}})고 하며, <math>y_0</math>을 <math>f</math>의 <math>x_0</math>에서의 '''극한'''이라고 한다. 이는
:<math>f(x)\to y_0\qquad(x\to x_0)</math>
라고 쓴다.
* <math>f(\mathcal D_{x_0})</math>는 <math>y_0</math>으로 수렴한다. 즉, 임의의 [[근방]] <math>V\ni y_0</math>에 대하여, <math>f(U\setminus\{x_0\})\subset V</math>인 [[근방]] <math>U\ni x_0</math>이 존재한다.
특히, 실함수 <math>f\colon\mathbb R\setminus\{x_0\}\to\mathbb R</math>의 경우, 이 조건은 다음과 같다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>f((x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta))\subset(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)</math>인 양의 실수 <math>\delta>0</math>이 존재한다.
<math>X=\mathbb R</math>가 [[실수선]]일 때, <math>\mathcal D_{x_0}</math> 대신
:<math>\mathcal D_{x_0}^-=\{U\cap(-\infty,x_0)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}</math>
:<math>\mathcal D_{x_0}^+=\{U\cap(x_0,\infty)\colon U\in\mathcal N_{x_0}\}</math>
을 사용하면 <math>f</math>의 <math>x_0</math>에서의 '''좌극한'''(左極限, {{llang|en|left limit}})·'''우극한'''(右極限, {{llang|en|right limit}})의 개념을 얻는다.

== 성질 ==
=== 존재와 유일성 ===
필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, [[무한 집합|무한]] [[이산 공간]] 속 [[쌍대 유한 집합]]들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. [[비이산 공간]]의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 모든 [[부분 집합]]들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]다.
* 모든 필터는 집적점을 갖는다.
* [[콤팩트 공간]]이다.
특히, [[콤팩트 공간]]의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 [[콤팩트 공간]]의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 [[점렬 콤팩트 공간]]이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]다.
* 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
특히, [[하우스도르프 공간]] 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, [[하우스도르프 공간]] 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\lim\mathcal F=x</math>
:<math>\lim_{x\in I}x_i=x</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}x_n=x</math>
:<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0</math>
(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)

=== 시작 위상 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>X</math>
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 족 <math>(Y_i)_{i\in I}</math>
* [[함수]]족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>
* <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B\subset\mathcal P(X)</math>
* <math>x\in X</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* <math>X</math> 위에 모든 <math>f_i</math>들을 [[연속 함수]]로 만드는 가장 엉성한 [[시작 위상]]을 부여하였을 때, <math>\mathcal B\to x</math>
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>f_i(\mathcal B)\to f_i(x)</math>
특수한 경우들은 다음과 같다.

==== 부분 공간 ====
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[부분 집합]] <math>Y\subset X</math>
* <math>Y</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B\subset\mathcal P(Y)</math>
* <math>y\in Y</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* <math>\mathcal B\to y</math>
* <math>X</math>에서 <math>\mathcal B\to y</math>
즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.

==== 곱공간 ====
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 집합 <math>(X_i)_{i\in I}</math>. <math>\textstyle X=\prod_{i\in I}X_i</math>가 그 [[곱공간]], <math>\pi_i\colon X\to X_i</math>가 사영 함수들이라고 하자.
* <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 [[필터 기저]] <math>\mathcal B\subset\mathcal P(X)</math>
* <math>x\in X</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]다.
* <math>\mathcal B\to x</math>
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>\pi_i(\mathcal B)\to x_i</math>
즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

=== 이중 극한 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X_1</math>, <math>X_2</math>
* [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math>
* [[함수]] <math>f\colon X_1\times X_2\to Y</math>
* <math>a_i\in X_i</math> (<math>i=1,2</math>)
이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.
* 극한 <math>\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>x_1\in X_1</math>에 대하여, 극한 <math>\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)</math>이 존재한다.
그렇다면, 이중 극한
:<math>\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)</math>
이 존재하며,
:<math>\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)</math>
이다.
{{증명}}
:<math>b=\lim_{(x_1,x_2)\to(a_1,a_2)}f(x_1,x_2)\in Y</math>
:<math>\forall x_1\in X\colon g(x_1)=\lim_{x_2\to a_2}f(x_1,x_2)</math>
이라고 하자. 임의의 [[근방]] <math>V\ni b</math>에 대하여, 근방 <math>U_1\ni a_1</math> 및 <math>U_2\ni a_2</math>이 존재하며,
:<math>\forall x_1\in U_1\forall x_2\in U_2\colon f(x_1,x_2)\in V</math>
가 성립한다. 여기에 <math>x_2\to a_2</math>를 취하면
:<math>\forall x_1\in U_1\colon g(x_1)\in\operatorname{cl}V</math>
를 얻는다. 정칙성에 따라, <math>b</math>의 [[닫힌집합|닫힌]] [[근방]]들은 [[국소 기저]]를 이룬다. 따라서,
:<math>\lim_{x_1\to a_1}g(x_1)=b</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[확률 변수의 수렴]]
* [[극한 (범주론)]]
* [[함수의 극한]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Bourbaki
|이름1=Nicolas
|제목=General topology. Chapters 1–4
|언어=en
|판=Reprint of the 1966 edition
|총서=Elements of Mathematics (Berlin)
|출판사=Springer-Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-540-19374-X
|mr=0979294
|zbl=0683.54003
}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=수열의 극한}}
* {{eom|제목=Limit}}
* {{매스월드|id=Limit|제목=Limit}}
* {{nlab|id=convergence|제목=Convergence}}
* {{nlab|id=limit of a function|제목=Limit of a function}}
* {{플래닛매스|urlname=limit|제목=Limit}}
* {{플래닛매스|urlname=limitexamples|제목=Limit examples}}
* {{플래닛매스|urlname=limitofsequenceofsets|제목=Limit of sequence of sets}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한| ]]
[[분류:수렴]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:일반위상수학]]