{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Star polygon 9 4.png|섬네일|정[[구각성]] {9/4}의 경계는 중심을 4번 둘러싸므로 밀도는 4이다.]]
[[기하학]]에서, [[다포체]]의 '''밀도'''는 [[다포체]], 특히 [[고른 다포체]]나 [[정다포체]]의 중심을 [[브라우어르 차수|둘러싸는 수]]를 나타낸다. 이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 [[Facet]]이나 면의 최소 개수를 세서 시각적으로 결정할 수 있다.
다포체의 어떤 facet도 연속인 내부 영역을 지나지 않는 경우에, 밀도는 상수이다. 자기교차하지 않는 (acoptic) 다포체에 대해서, 밀도는 1이다.

[[고른 타일링#고른 타일링의 확장된 목록|겹치는 면을 가지는 테셀레이션]]은 유사하게 밀도를 주어진 점을 덮는 면의 수로 정의할 수 있다.<ref>Coxeter, H. S. M; ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'' (1999), Dover Publications, {{LCCN|99035678}}, {{ISBN|0-486-40919-8}} (206–214, Density of regular honeycombs in hyperbolic space)</ref>

==다각형==
'''별 다각형의 밀도'''는 다각형의 경계가 중심을 둘러싸는 횟수이다; 이것은 중심점 주변의 경계에 대한 [[감김수]]이다.

[[별 다각형|별 정다각형]] {''p''/''q''}에 대해서, 밀도는 ''q''이다.

이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 변의 최소 개수로 시각적으로 결정할 수 있다.

==다면체==
{| class=wikitable align=right width=320 style="margin:0em 0em 1em 1em; padding:0px;"
|[[파일:Great icosahedron.png|160px]]
|[[파일:Great icosahedron cutplane.png|160px]]
|-
|colspan=2|비볼록 [[큰 이십면체]] {3,5/2}는 오른쪽의 투명하고 졀단면을 보여주는 그림이 보여주듯이 7이다.
|}
[[아서 케일리]]는 ''밀도''를 오일러의 [[오일러 지표|다면체 공식]] (''V'' &minus; ''E'' + ''F'' = 2)을 [[케플러-푸앵소 다면체|별 정다면체]]에 적용되도록 수정할 때 사용했다. 이 때, ''d''<sub>v</sub>는 [[꼭짓점 도형]]의 밀도이고, ''d''<sub>f</sub>는 면의 밀도이고 ''D''는 다면체 전체의 밀도이다:

: ''d''<sub>v</sub> ''V''  &minus; ''E'' + ''d''<sub>''f''</sub> ''F'' = 2''D''<ref>Cromwell, P.; [https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&printsec=frontcover ''Polyhedra''], CUP hbk (1997), pbk. (1999). (Page 258)</ref>

예를 들어, [[큰 이십면체]] {3,&nbsp;5/2}는 삼각형 면(''d''<sub>f</sub>&nbsp;=&nbsp;1) 20개가 있고, 모서리 30개와 오각성 꼭짓점 도형(''d''<sub>v</sub>&nbsp;=&nbsp;2) 12개가 있으므로, 다음을 얻을 수 있다:
: 2&middot;12 &minus; 30 + 1&middot;20 = 14 = 2''D''.

이것은 큰 이십면체의 밀도가 7이라는것을 암시한다. 수정되지 않은 오일러의 다면체 공식은 [[작은 별모양 십이면체]] {5/2,&nbsp;5}와 그 쌍대인 [[큰 십이면체]] {5,&nbsp;5/2}에서는 ''V'' − ''E'' + ''F'' = −6로 적용되지 않는다.

별 정다면체는 두 쌍대쌍으로 존재하고 각각의 형태는 그 쌍대와 같은 밀도를 가진다: 한 쌍(작은 별모양 십이면체—큰 십이면체)은 밀도가 3이고, 다른 쌍([[큰 별모양 십이면체]]–큰 이십면체)은 밀도가 7이다.

헤스는 더 나아가서 일부가 다른 것 뒤쪽으로 접힐 수 있는 다른 종류의 면을 가지는 별 다면체의 공식으로 일반화했다. 밀도에 대한 결과값은 연관된 구면 다면체가 구를 덮는 횟수에 대응한다.

이것은 콕서터와 그외가 주요한 [[고른 다면체]]의 밀도를 결정하게 한다.<ref>Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)</ref>

일부 면이 중심을 통과하는 [[반다면체]]에 대해서는 밀도를 정의할 수 없다. <!-- 중심은 점의 반으로 계산할 수 도 있다, 또는 더 정확하게는 밀도를 중심을 통과하는 무한히 뻗은 직선에 교차하는 facet의 수의 ''절반''으로 정의할 수 있다. --> [[방향 (다양체)|비가향]] 다면체 역시 잘 정의된 밀도는 없다.

== 폴리코론 ==

밀도가 4, 6, 20, 66, 76, 그리고 191 중에 있는 별 정[[폴리코론]] 또는 4차원 다포체([[슐레플리-헤스 폴리코론]]이라고 불린다)는 10개가 있다. 이것은 [[자기쌍대]]인 밀도가 6인 것과 66인 것을 제외하고는 [[쌍대다면체|쌍대쌍]]으로 있다. 서로서로 쌍대쌍 관계인 것 중에 밀도가 4인 것은 [[작은 별모양 백이십포체]] {5/2, 5, 3} 와 [[정이십면체 백이십포체]] {3, 5, 5/2} 이고, 밀도가 6인 것은 [[자기쌍대 다포체]]인 [[큰 백이십포체]]{5, 5/2, 5},  20인 것은 [[큰 별모양 백이십포체]] {5/2, 3, 5}  와 [[거대 백이십포체]]  {5, 3, 5/2} , 그리고  [[자기쌍대 다포체]]인 66인 것은 [[거대 별모양 백이십포체]]{5/2, 5, 5/2}, 76인 것은 [[큰 이십면체 백이십포체]]  {3, 5/2, 5}  와 [[큰 거대 백이십포체]]  {5, 5/2, 3}이다. 또한 191인 것은 [[큰 거대 별모양 백이십포체]] {5/2, 3, 3}  및  [[거대 육백포체]] {3, 3, 5/2}이다.

== 각주 ==
{{각주}}

* Coxeter, H. S. M.; ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}
*{{인용 | last1=Coxeter | first1=H. S. M. | author1-link=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터| last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446  | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 | issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003}}
* {{인용
| publisher = CUP Archive
| isbn = 978-0-521-22279-2
| last = Wenninger
| first = Magnus J.
| title = Spherical models
| chapter = An introduction to the notion of polyhedral density
| pages = [https://books.google.com/books?id=Olc5AAAAIAAJ&pg=PA132 132–134]
| year = 1979
}}

== 외부 링크 ==
*{{매스월드 | urlname=PolygonDensity | title=Polygon density }}

[[분류:다포체]]