{{위키데이터 속성 추적}}
{{고른 타일링 정보|정다각형 타일링 정보 표|Ut}}
[[기하학]]에서 '''삼각형 타일링'''({{llang|en|triangular tiling}}) 또는 '''삼각형 테셀레이션'''은 [[2차원|유클리드 평면]]에서 세 정다각형 [[타일링]] 중 하나이다. 정삼각형의 한 각은 60도 이기 때문에 한 점에 정삼각형 6개가 있어야 360도를 채울 수 있다. 삼각형 타일링의 [[슐레플리 기호]]는 {3,6}이다.

[[콘웨이]]는 이것을 삼각형 모양의 그리스 문자 델타(Δ)에서 이름을 따 '''델타일'''(deltile)이라고 불렀다. 정삼각형 타일링은 또한 [[정육각형 타일링|육각타일]](hextille)에 면을 중심점과 삼각형으로 바꾸는 [[콘웨이 다면체 표기법|키스]](kis) 연산자 때문에 '''키스육각타일'''(kishextile)이라고도 불린다.

이것은 [[정다포체의 목록|평면에서의 세 정다각형 테셀레이션]] 중 하나이다. 나머지 둘은 [[정사각형 타일링]]과 [[정육각형 타일링]]이다.

== 균일 색칠 ==
삼각형 타일링은 9가지의 구분되는 [[균일 색칠]]이 있다. (꼭짓점 주위의 6개의 정삼각형의 색을 이름 붙이면 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) 이 중 세 개는 다른 색칠에서 같은 색을 써서 만들 수 있다: 111212와 111112는 121213에서 1과 3을 결합하여 만들 수 있고, 그리고 111213은 121314를 줄인 것이다.<ref>Tilings and Patterns, p.102-107</ref>

111112(* 표시 한 것)는 [[균일 색칠|아르키메데스 색칠]]이다. 아르키메데스 색칠은 1-균일이 아니고, 다른 모든 세번째 정삼각형이 칠해진 정삼각형의 열이 있다. 표시된 예는 2-균일이지만 열을 이동시킨 이런 아르키메데스 색칠이 무한히 많이 있다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|-  align=center
| bgcolor="#ffc0c0" |111111
| bgcolor="#ffc0c0" |121212
| bgcolor="#ffc0c0" |111222
| bgcolor="#ffc0c0" |112122
| bgcolor="#c0c0ff" |111112(*)
|- align="center"
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_111111.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_121212.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_111222.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_112122.png|75x75픽셀]]
|[[파일:2-uniform_triangular_tiling_111112.png|75x75픽셀]]
|- align="center"
|p6m (*632)
|p3m1 (*333)
|cmm (2*22)
|p2 (2222)
|p2 (2222)
|}
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|-  align=center
| bgcolor="#ffc0c0" |121213
| bgcolor="#c0ffc0" |111212
| bgcolor="#c0ffc0" |111112
| bgcolor="#ffc0c0" |121314
| bgcolor="#c0ffc0" |111213
|- align="center"
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_121213.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_111212.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_111112.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_121314.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Uniform_triangular_tiling_111213.png|75x75픽셀]]
|- align="center"
| colspan="3" |p31m (3*3)
| colspan="2" |p3 (333)
|}

== A2 격자와 원 채우기 ==
[[파일:Compound_3_triangular_tilings.svg|섬네일|A{{sup sub|*|2}} 격자를 세 개의 정삼각형 격자로 나타내었다: {{CDD|node_1|split1|branch}} + {{CDD|node|split1|branch_10lu}} + {{CDD|node|split1|branch_01ld}}]]
정삼각형 격자의 [[꼭짓점 배열]]은 A<sub>2</sub> 격자라고 불린다.<ref>http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html</ref> 이것은 [[단체 벌집]]의 2차원 경우이다.

A{{sup sub|*|2}} 격자(A{{sup sub|3|2}}라고도 함)는 A<sub>2</sub> 격자 세 개의 결합으로 구성될 수 있으며, A<sub>2</sub> 격자와 동일하다.
:{{CDD|node_1|split1|branch}} + {{CDD|node|split1|branch_10lu}} + {{CDD|node|split1|branch_01ld}} = {{CDD|node_1|split1|branch_11}} 의 쌍대 = {{CDD|node_1|split1|branch}}
정삼각형 격자의 꼭짓점은 가장 조밀한 [[원 채우기]]의 중심들이다.<ref name="Critchlow">Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern 1</ref> 모든 원은 채우기에 있는 다른 원 6개와 접촉한다([[입맞춤 수 문제|입맞춤 수]]). 채우기 밀도는 {{분수|{{pi}}|{{sqrt|12}}}} 또는 90.69%이다. A<sub>2</sub> 격자 세 개의 결합은 여전히 A<sub>2</sub> 격자이기 때문에, 원 채우기는 3색의 원으로 주어질 수 있다.

정삼각형 타일링의 [[보로노이 다이어그램|보로노이 셀]]은 [[육각형]]이고, [[보로노이 다이어그램|보로노이 테셀레이션]]인 정육각형 타일링은 원 채우기에 직접적으로 대응된다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
!A<sub>2</sub> 격자 원 채우기
!A{{sup sub|*|2}} 격자 원 채우기
|-
|[[파일:Triangular_tiling_circle_packing.png|240x240픽셀]]
|[[파일:Triangular tiling circle packing3.svg|240x240픽셀]]
|}

== 기하학적 변형 ==
정삼각형 채우기는 동등한 {3,6} 토폴로지를 (모든 꼭짓점 주변에 정삼각형이 6개가 있는) 정다각형 타일링으로 만들 수 있다. 동일한 면([[점추이|면-전이성]])과 [[점추이|점-전이성]]이 있는 5가지 변형이 있다. 대칭은 모든 면의 색이 같다고 가정한다.<ref>Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481</ref><gallery>
Isohedral_tiling_p3-11.svg|[[부등변삼각형]]<BR>p2 대칭
Isohedral_tiling_p3-12.svg|부등변삼각형<BR>pmg 대칭
Isohedral_tiling_p3-13.svg|[[이등변삼각형]]<BR>cmm 대칭
Isohedral_tiling_p3-11b.png|[[직각삼각형]]<BR>cmm 대칭
Isohedral_tiling_p3-14.svg|[[정삼각형]]<BR>p6m 대칭
</gallery>

== 관련된 다면체와 타일링 ==
삼각형 타일링은 다면체와 관련이 있다. 꼭짓점에 적은 정삼각형을 두면 틈이 생겨서 [[각뿔]]로 접힐 수 있게 된다. 이것들은 [[정다면체]]로 확장 될 수 있다: 꼭짓점에 정삼각형이 5개, 4개, 그리고 3개일 때는 각각 [[정이십면체]], [[정팔면체]], 그리고 [[정사면체]]를 정의한다.

이 타일링은 슐레퓰리 기호 {3,n}인 [[쌍곡평면]]으로 계속되는 정다면체의 수열과 위상적으로 관계가 있다.
{{정삼각형 타일링}}

또한 [[꼭짓점 배치]]가 Vn.6.6이고 마찬가지로 쌍곡평면으로 계속되는 [[카탈랑의 다면체]]의 수열의 일부와도 위상적으로 관계가 있다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|[[파일:Triakistetrahedron.jpg|67x67픽셀]]<br>
V3.6.6
|[[파일:Tetrakishexahedron.jpg|63x63픽셀]]<br>
V4.6.6
|[[파일:Pentakisdodecahedron.jpg|60x60픽셀]]<br>
V5.6.6
|[[파일:Uniform_polyhedron-63-t2.svg|60x60픽셀]]<br>
V6.6.6
|[[파일:Order3_heptakis_heptagonal_til.png|60x60픽셀]]<br>
V7.6.6
|}

<br>
=== 정육각형과 정삼각형 타일링에서 위토프 구성 ===
정육각형 테셀레이션(또는 이중 정삼각형 타일링)을 기반으로 하는 [[고른 다면체]] 같은 8가지의 [[고른 타일링|고른 테셀레이션]]이 있다.

타일의 면에 빨간색을 칠하고, 꼭짓점에 노란색, 모서리에 파란색을 칠하면 8가지 형태가 있고, 7개는 위상적으로 구분된다. (''깍은 정삼각형 타일링''은 위상적으로 정육각형 테셀레이션과 동일하다.)

{{정육각형 타일링 작은 표}}
{{정삼각형 타일링 표}}

== 관련된 복합 정 무한각형 ==
정삼각형 타일링의 꼭짓점을 공유하는 복합 정 무한각형이 4가지가 있다. 복합 정 무한각형은 꼭짓점과 모서리가 있고, 모서리는 2개 또는 그 이상의 꼭짓점을 포함한다. 정 무한각형 ''p''{''q''}''r'' 는 다음으로 구성된다: 1/''p'' + 2/''q'' + 1/''r'' = 1. 모서리는 꼭짓점이 ''p'' 개가 있으며, 꼭짓점 도형은 ''r''각형이다.<ref>Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.</ref>

처음은 2-모서리로 이루어져있고, 다음의 둘은 정삼각형의 모서리이며 마지막은 정육각형 모서리와 겹친다.
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|[[파일:Complex_apeirogon_2-6-6.png|160x160픽셀]]
|[[파일:Complex_apeirogon_3-4-6.png|160x160픽셀]]
|[[파일:Complex_apeirogon_3-6-3.png|160x160픽셀]]
|[[파일:Complex_apeirogon_6-3-6.png|163x163픽셀]]
|-
!2{6}6 또는 {{CDD|node_1|6|6node}}
!3{4}6 또는 {{CDD|3node_1|4|6node}}
!3{6}3 또는 {{CDD|3node_1|6|3node}}
!6{3}6 또는 {{CDD|6node_1|3|6node}}
|}

=== 다른 삼각형 타일링 ===
한 종류의 삼각형으로 이루어진 세 종류의 [[라브스 타일링|라브스 테셀레이션]]이 있다:
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 10px;"
|[[파일:1-uniform_3_dual.svg|240x240픽셀]]<br>
[[Kisrhombille 타일링|Kisrhombille]]<br>
30°-60°-90° 직각삼각형
|[[파일:1-uniform_2_dual.svg|240x240픽셀]]<br>
[[Kisquadrille 타일링|Kisquadrille]]<br>
45°-45°-90° 직각삼각형
|[[파일:1-uniform_4_dual.svg|262x262픽셀]]<br>
[[Kisdeltile 타일링|Kisdeltile]]<br>
30°-30°-120° 정삼각형
|}

== 같이 보기 ==
* [[정다각형 타일링]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} p.&nbsp;296, Table II: Regular honeycombs
* {{서적 인용|제목=Tilings and Patterns|성=[[Branko Grünbaum|Grünbaum, Branko]] ;  and Shephard, G. C.|연도=1987|출판사=W. H. Freeman|위치=New York|isbn=0-7167-1193-1}} (Chapter 2.1: ''Regular and uniform tilings'', p.&nbsp;58-65, Chapter 2.9 Archimedean and Uniform colorings pp.102-107)
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205]

{{테셀레이션}}

[[분류:정다각형 타일링]]