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'''비음수 행렬 분해'''(Non-negative matrix factorization, '''NMF''')는 음수를 포함하지 않은 행렬 V를 음수를 포함하지 않은 행렬 W와 H의 곱으로 분해하는 알고리즘이다.<ref>{{저널 인용|last1=Tandon|first1=Rashish|author2=Suvrit Sra|title=Sparse nonnegative matrix approximation: new formulations and algorithms|year=2010|series=TR|url=ftp://ftp.kyb.tuebingen.mpg.de/pub/mpi-memos/pdf/nmftr.pdf}}</ref> 행렬이 음수를 포함하지 않는 성질은 분해 결과 행렬을 찾기 쉽게 만든다. 일반적으로 행렬 분해는 정확한 해가 없기 때문에 이 알고리즘은 대략적인 해를 구하게 된다.
비음수 행렬 분해는 컴퓨터 시각 처리, 문서 분류, 음파 분석, 계량분석화학, 추천 시스템 등에 쓰인다.

[[파일:NMF.png|섬네일|비음수 행렬 분해: 행렬 V가 행렬 W와 행렬 H의 곱으로 근사된다.]]

== 역사 ==
계량분석화학에서 자기 모델링 그래프 분해라는 이름으로 오랫동안 행해져 왔다. 이 경우 오른쪽 행렬에 있는 벡터들은 떨어져 있는 값보다는 연속적인 값을 갖게 된다. 또 한 핀란드의 연구자들은 양수 행렬 분해라는 이름으로 1990년대 중에 이 알고리즘을 연구해왔다. 연구자 Lee와 Seung이 이 분해의 성질과 두 개의 간단한 분해 알고리즘을 비음수 행렬 분해로 소개한 뒤 널리 알려졌다.

== 동기 ==
예를 들어

* 10000x500 크기의 단어들을 포함한 행렬 V가 있다고 하자. V의 500개의 열(벡터)은 문서를 나타낸다.
* 이 행렬 V를 10000x10과 10x500의 크기를 가지는 W와 H로 분해했다고 하자. W는 10개의 열을 가지고 있는 행렬이다.
* V=WH이기 때문에 행렬 V는 W의 [[선형 결합]]으로 나타내어지는 행렬이다. 따라서 W의 열 벡터들은 V의 특징 벡터라고 할 수 있다. 즉, V가 포함한 단어들의 특징을 분석한 행렬이 W라는 것이다.

이처럼 커다란 정보를 특징과 계수들로 어림 잡아 분해하여 정보의 특징을 파악하는 데에 쓰인다.

== 종류 ==
=== 근사적인 비음수 행렬 분해 ===
일반적으로 W의 열 개수와 H의 행 개수가 WH=V가 되도록 결정된다. 기존 행렬 V와 분해한 비음수 행렬 W와 H의 곱과의 차이를 오차 U라고 이야기한다. V=WH+U. U의 원소들은 양수나 음수가 될 수 있다.
W와 H의 크기가 V보다 작기 때문에 저장하거나 다루기에 용이하다. 또 V를 원래 정보보다 상대적으로 적은 정보로 표현하여 분해한 행렬 하나가 전체 정보의 대략적인 정보를 제시할 수 있다.

=== 볼록 비음수 행렬 분해 ===
기존 비음수 행렬 분해에서는 W는 어떤 행렬도 될 수 있지만 볼록 비음수 행렬 분해에서는 W를 기존 입력 벡터들<math> (v_1, \cdots, v_n) </math>의 볼록 결합으로 제한하기 때문에 W에 포함된 정보의 질이 크게 향상된다. 또한, 결과 행렬 H가 더 직교화되는 효과가 생긴다.

=== 음수가 아닌 랭크 분해 (Non-negative rank factorization, NRF) ===
V의 [[음수가 아닌 랭크]]가 V의 랭크와 같다면 V=WH를 음수가 아닌 랭크 분해라고 한다. 음수가 아닌 랭크 분해를 찾는 것은 [[NP-난해]]이다.

=== 여러 가지 비용 함수와 정형화 기법 ===
어떤 비용 함수를 사용하느냐, 어떤 정형화 기법을 사용하느냐에 따라 분해의 종류가 나뉜다. 널리 쓰이는 두 가지 분해 방법에는 Lee와 Seung가 연구한 최소 제곱 오차와 양수 행렬에 대한 [[쿨백-라이블러 발산]](Kullback–Leibler divergence) 방법을 이용한 것이 있다. 두 방법은 다른 알고리즘으로 취급된다.
가장 보편적인 최소 제곱 오차를 이용한 분해를 아래에 서술한다. 다른 분해의 방법으로는 [[총 표준 변화]]를 이용한 방법이 있다. [[L1 정칙화]]가 최소 제곱 오차에 같이 사용되었을 때 성긴 코딩과 형태가 유사하여 '''음수가 아닌 성긴 코딩'''이라고도 부른다.

=== 온라인 NMF ===
비음수 행렬 분해는 입력 데이터를 한번에 다루는 특징이 있다. 따라서 이 알고리즘은 저장하기에 너무 크거나 [[스트리밍]]과 같은 데이터에 대해서는 적용하기 힘들다. 이렇게 많은 사용자나 많은 입력이 있거나 새로운 정보가 계속 들어와 계산을 새로 해야하는 경우에는 [[협업 필터링]]을 사용할 수도 있다. 이 때 비용 함수는 같을 수도 다를 수도 있지만 알고리즘은 달라져야 한다.

== 알고리즘 ==
비음수 행렬 <math>\mathbf{V}</math>에 근사하는 행렬곱 <math>\mathbf{WH}</math>을 찾기 위해 최신화 규칙을 반복해서 시행하면, 비용 함수의 함수값을 수렴 조건이 만족할 때까지 감소시킬 수 있고 이를 통해 구하고자 했던 분해된 행렬 <math>\mathbf{W}</math>와 <math>\mathbf{H}</math>를 얻을 수 있다. 이 때 수렴은 항상 보장된다.

즉, 알고리즘을 1) 비용 함수 2) 최신화 규칙 3) 수렴 보장으로 나누어 분석할 수 있다.

=== 비용 함수 ===
비용 함수에는 크게 두가지가 있다.
첫 번째 비용함수는 최소 제곱 오차로 아래 수식과 같이 표현할 수 있으며,<br />
<math>F(\mathbf{A},\mathbf{B}) = \|\mathbf{A} - \mathbf{B}\|^2 = \sum_{i,j}(A_{ij}-B_{ij})^2</math> <br />
0을 하한값으로 하며 A=B일 때 하한값을 취하게 된다.

두 번째 비용함수는 B로부터 A의 발산값으로, 아래 수식과 같이 표현할 수 있다.<br />
<math>D(A||B) = \sum_{i,j}(A_{ij}\log\frac{A_{ij}}{B_{ij}}-A_{ij}+B_{ij})</math><br />
이들 비용함수의 함수값을 최소화하는 방식을 통해, <math>\mathbf{V}</math>에 근사하는 <math>\mathbf{WH}</math>를 구한다.

=== 최신화 규칙 ===
각각의 비용함수들의 최신화 규칙과 그에 관한 정리는 아래와 같다.

정리 1. 아래 최신화 규칙 하에서, 최소 제곱 오차 <math>\|\mathbf{V} - \mathbf{WH}\|^2</math>는 비증가함수이다.<br />
<math>H_{au}</math> ← <math>H_{au}\frac{(W^TV)_{au}}{(W^TWH)_{au}}</math>

<math>W_{ia}</math> ← <math>W_{ia}\frac{(VH^T)_{ia}}{(WHH^T)_{ia}}</math> <br />
이 최신화 규칙을 통해 얻은 최소 제곱 오차가 불변할 때, W와 H는 임계점(stationary point)에 도달하게 된다. 이 명제의 역도 성립한다.

정리 2. 아래 최신화 규칙 하에서, B로부터 A의 발산값 <math>D(A||B)</math>은 비증가함수이다.<br />
<math>H_{au}</math> ← <math>H_{au}\frac{\sum_iW_{ia}V_{iu}/(WH)_{iu}}{\sum_kW_{ka}}</math>

<math>W_{ia}</math> ← <math>W_{ia}\frac{\sum_uH_{au}V_{iu}/(WH)_{iu}}{\sum_vH_{av}}</math><br />
이 최신화 규칙을 통해 얻은 발산값이 불변할 때, W와 H는 임계점(stationary point)에 도달하게 된다. 이 명제의 역도 성립한다.

정리1과 정리2의 증명을 아래 수렴 보장성 부분에서 확인할 수 있다.

=== 수렴 보장성 ===
<poem>
[정의]
 모든 h에 대해,
 <math>G(h, h') \ge F(h),</math> <math>G(h,h) = F(h)</math>를 만족하는 <math>G(h, h')</math>를 <math>F(h)</math>의 보조 함수라고 한다.

[보조 정리1]
 G가 보조 함수일 때, 함수 F는 비증가함수이다. 즉, <math>h^{t+1} = argmin_{h}G(h,h^t)</math>

[보조 정리2]
 행렬 <math>K(h^t)</math>가 <math>K_{ab}(h^t) = \delta_{ab}\frac{(W^TWh^t)_a}{(h_a)^t}</math>를 만족하는 대각 행렬일 때,
 <math>G(h,h^t) = F(h^t)+(h-h^t)^T</math>▽<math>F(h^t)+\frac{1}{2}(h-h^t)^TK(h^t)(h-h^t)</math>
 을 만족하는 함수 <math>G</math>는 <math>F(h)=\frac{1}{2}\sum_i(v_i-\sum_aW_{ia}h_a)^2</math> 의 보조함수이다.

[보조 정리3]
 <math>G(h,h^t) = \sum_i(v_ilogv_i-v_i)+\sum_{ia}W_{ia}h_a-\sum_{ia}v_i\frac{W_{ia}(h_a)^t}{\sum_bW_{ib}(h_b)^t}(logW_{ia}h_a-log\frac{W_{ia}(h_a)^t}{\sum_bW_{ib}(h_b)^t})</math>
 <math>F(h) = \sum_iv_ilog(\frac{v_i}{\sum_aW_{ia}h_a})-v_i+\sum_{a}W_{ia}h_a</math> 일 때,
 <math>G(h, h^t)</math>는 <math>F(h)</math>의 보조함수이다.
</poem>
==== 정리1의 증명 ====
보조정리1의 <math>G(h, h^t)</math>를 보조정리2의 <math>G(h, h^t)</math>로 바꾸면 아래와 같은 최신화 규칙을 얻는다.
<math>h^{t+1} = h^t-K(h^t)^{-1}</math>▽<math>F(h^t)</math>
보조정리2의 <math>G(h, h^t)</math> 가 보조함수이므로, 보조정리1에 의해 함수 F는 비증가함수이다.
방정식을 풀면, <math>h_a^{t+1} = h_a^{t}\frac{(W^Tv)_a}{(W^TWh^t)_a}</math>
즉, H에 대한 최신화 규칙을 유도한 것이다.
보조정리1과 보조정리2의 W와 H의 위치를 바꿔주면 W에 대한 최신화 규칙 역시 쉽게 유도할 수 있다.

==== 정리2의 증명 ====
보조정리3에서의 함수 <math>G(h, h^t)</math>의 최솟값을 구하기 위해 미분값을 0으로 할 때의 h값을 찾는다.
<math>\frac{dG(h, h^t)}{dh_a} = - \sum_i v_i \frac{W_{ia}h_a^t}{\sum_b W_{ib}h_b^t}\frac{1}{h_a}+\sum_i W_{ia} = 0 </math>
그러므로 <math>h_a^{t+1} = \frac{h_a^t}{\sum_b W_{kb}} \sum_i \frac{v_i}{\sum_b W_{ib}h_b^t}W_{ia}</math>
G가 보조 함수이므로, 함수 F는 최신화를 거듭할수록 그 함수값이 감소 내지 일정하게 유지된다. 위의 식을 행렬 형식으로 바꾸면, 발산값에서의 H 최신화 규칙과 동일한 것을 알 수 있다.
H와 W의 위치를 바꿔서, 발산값에서의 W의 최신화 규칙 역시 비증가함을 증명할 수 있다.

== 성질 ==
=== 정확한 비음수 행렬 분해 ===
일반적으로 비음수 행렬 분해는 근사를 통해 이루어지지만, 추가적인 조건이 더해지면 정확한 행렬 분해를 얻을 수 있다. <br />
1) 행렬 V가 자신의 계수와 같은 계수를 가진 단항 부분 행렬을 가지고 있을 때 정확한 비음수 행렬 분해를 구할 수 있다. <br />
2) 행렬 V가 대칭성을 가지고 있으며 자신의 계수와 같은 계수를 가진 대각 부분 행렬을 가지고 있을 때, 정확한 비음수 행렬 분해를 구할 수 있다. <br />
3) 행렬 W가 분리 조건을 만족하면 정확한 비음수 행렬 분해를 구할 수 있다.

=== 유일성 유무 판단 ===
비음수 행렬 분해는 유일성을 가지지 않는다.
<math>\mathbf{WH} = \mathbf{WBB}^{-1}\mathbf{H}</math>이고,
만약 새로운 행렬 <math>\mathbf{\tilde{W} = WB}</math> 과 <math>\mathbf{\tilde{H}}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{H}</math> 가 음수항을 가지고 있지 않다면, 또다른 행렬 분해를 구할 수 있다.

=== 군집 성질 ===
비음수 행렬 분해는 군집 성질을 가진다. 즉, 이 행렬 분해는 입력 자료 행렬<math>\mathbf{V} = (v_1, \cdots, v_n)</math>의 행들을 무조건 군집화한다.
구체적으로, <math>\mathbf{V}</math>를 <math>\mathbf{V} \simeq \mathbf{W}\mathbf{H}</math> 로 근사할 때 오차 함수<math>\min_{W,H} || V - WH ||_F, W \geq 0, H \geq 0</math>를 최소화하는 방식을 택한다.
만약 <math>HH^T = I</math> 라는 조건이 추가된다면, 위의 최소화 과정은 K-평균 군집화의 최소화과정과 동일-음이 아니라는 것만 제외하면-한 것이다.
최소 제곱 오차가 아닌 발산값을 비용 함수로 고려하는 경우에 이 행렬 분해는, 이미 대중적인 문서 군집 방법인 확률적 잠재 의미 분석과 동일하다.

== 다른 학습기법과의 관계 ==
<gallery>
[[파일:Restricted Boltzmann machine.svg|섬네일|베이즈 네트워크]]
</gallery>

* Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization에서는 비음수 행렬 분해를 이용하여 부분 기반 사진 분해를 하였다. 이 논문에서 비음수 행렬 분해를 벡터 정량화나 주성분 분석 기법과 비교했는데, 세 기법 모두 분해를 기반하고 있지만 제약 조건이 달라 결과가 모두 다르게 나왔다.
* 비음수 행렬 분해는 좀 더 일반적인 확률 모델인 다항 주성분 분석 기법과 동일시 될 수 있다. 특히, Kullback-Leibler 발산값을 최소화시키면, 비음수 행렬 분해는 확률적 잠재 의미 분석과 동일시 될 수 있다.
* 비음수 행렬 분해는 완화된 형태의 k 평균 알고리즘으로 동일시 할 수 있다. 이는 비음수 행렬 분해를 데이터 군집화에 사용하는 이론적 토대가 된다. 그러나 k-평균 알고리즘은 비음수이라는 제약 조건을 가지고 있지 않다는 차이가 있다.
* 비음수 행렬 분해는 2개 층을 가진 베이즈 네트워크 모델로 볼 수도 있다.

== 응용 사례 ==
=== 텍스트 마이닝 ===
비음수 행렬 분해는 텍스트 마이닝에 응용할 수 있다. 텍스트 마이닝에서 문서-용어 행렬은 문서에서 용어들의 가중치 정보를 담고 있다. 이 행렬은 비음수 행렬 분해를 이용하여 용어-요소 행렬과 요소-문서 행렬로 분해할 수 있다. 이 요소들은 문서의 내용으로부터 도출되고, 요소-문서 행렬은 관련 문서들의 정보 군집에 대한 정보를 담는다.

=== 스펙트럼 데이터 분석 ===
비음수 행렬 분해는 스펙트럼 데이터 분석에 응용할 수 있다. 한 가지 예시로, 비음수 행렬은 우주 상의 물체와 파편을 구분짓는데 쓰였다.

=== 생물 정보 공학 ===
비음수 행렬 분해는 유전자 발현 데이터를 그룹화하고, 군집된 데이터의 대표적인 유전자를 찾는데에 응용할 수 있다.

=== 인터넷 거리 예측 ===
비음수 행렬 분해는 인터넷 상의 거리 예측에 응용할 수 있다. 예를 들어, N개의 호스트가 있다고 하자. 각각의 호스트 사이의 거리 정보는 N×N 행렬 안에 담을 수 있고, 이를 예측해 볼 수 있다.

== 최근 연구 동향 ==
비음수 행렬 분해에서는 다양하게 연구가 진행되고 있지만, 특히 다음 영역에서의 연구를 포함한다.

=== 알고리즘 ===
요소의 초기화나 요소의 광역 최솟값을 찾는 법에 대한 연구가 진행 중이다.

=== 확장성 ===
엄청나게 큰 크기의 행렬을 분해하는 방법에 대한 연구가 진행 중이다. 웹 데이터 마이닝 분야 같은 곳에서는 굉장히 큰 데이터가 빈번하게 쓰여 지고 있고, 이는 분산 기법을 도입한 분산 비음수 행렬 분해에 대한 연구로 이어지고 있다.

=== 동적 학습 ===
데이터가 들어올 때마다 분해를 업데이트 해줄 수 있는 연구가 진행 중이다.

== 관련 라이브러리 ==
=== C ===
Linux에서 이용할 수 있다.
https://web.archive.org/web/20150201024802/http://www.cs.virginia.edu/~jdl/nmf/

=== Python ===
파이썬은 자체적으로 nimfa라는 NMF 라이브러리를 가지고 있다.
관련 API: https://web.archive.org/web/20180423194531/http://nimfa.biolab.si/

=== JAVA ===
자바에서 기계학습을 위한 라이브러리를 제공하는 곳이다.
http://sourceforge.net/projects/jlml/files/JML/

=== Matlab ===
매트랩에는 비음수 행렬 분해를 수행하는 함수가 있다.
관련 API: http://kr.mathworks.com/help/stats/nnmf.html

== 참조 논문 및 자료 ==
=== 각주 ===
{{각주}}

=== 관련논문 ===
{{참고 자료 시작}}
* {{저널 인용
 | author = J. Shen, G. W. Israël
 | title = A receptor model using a specific non-negative transformation technique for ambient aerosol
 | journal = [[Atmospheric Environment (journal)|Atmospheric Environment]]
 | volume = 23
 | issue = 10
 | pages = 2289–2298 (영어)
 | year = 1989
 | doi = 10.1016/0004-6981(89)90190-X
}}
* {{저널 인용
 | author = [[Pentti Paatero]]
 | title = Least squares formulation of robust non-negative factor analysis
 | journal = [[Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems]]
 | volume = 37
 | issue = 1
 | pages = 23–35 (영어)
 | year = 1997
 | doi = 10.1016/S0169-7439(96)00044-5
}}
* {{저널 인용
 | author = Raul Kompass
 | title = A Generalized Divergence Measure for Nonnegative Matrix Factorization
 | journal = [[Neural Computation]]
 | volume = 19
 | issue = 3
 | year = 2007
 | pages = 780–791 (영어)
 | pmid = 17298233
 | doi = 10.1162/neco.2007.19.3.780
}}
* {{저널 인용
| title=Nonnegative Matrix Factorization and its applications in pattern recognition
| author=Liu, W.X. and Zheng, N.N. and You, Q.B.
| journal=[[Chinese Science Bulletin]]
| volume=51
| pages=7–18 (영어)
| year=2006
| url=http://www.springerlink.com/index/7285V70531634264.pdf
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}}{{깨진 링크|url=http://www.springerlink.com/index/7285V70531634264.pdf }}
* {{ArXiv 인용
 | author = Ngoc-Diep Ho, Paul Van Dooren and Vincent Blondel
 | title = Descent Methods for Nonnegative Matrix Factorization
 | year = 2008
 | eprint = 0801.3199 (영어)
 | class = cs.NA
}}
* {{저널 인용
 | author = [[Andrzej Cichocki]], Rafal Zdunek and [[Shun-ichi Amari]]
 | title = Nonnegative Matrix and Tensor Factorization
 | journal = [[IEEE Signal Processing Magazine]]
 | volume = 25
 | issue = 1
 | year = 2008
 | pages = 142–145 (영어)
 | doi = 10.1109/MSP.2008.4408452
}}
* {{저널 인용
 | title = Nonnegative Matrix Factorization with the Itakura-Saito Divergence: With Application to Music Analysis
 | author = Cédric Févotte, Nancy Bertin, and Jean-Louis Durrieu
 | journal = [[Neural Computation]]
 | volume = 21
 | issue = 3
 | year = 2009
| pmid=18785855
 | doi=10.1162/neco.2008.04-08-771
 | pages=793–830 (영어)
}}
* {{저널 인용
 | author = Ali Taylan Cemgil
 | title = Bayesian Inference for Nonnegative Matrix Factorisation Models
 | journal = [[Computational Intelligence and Neuroscience]]
 | volume = 2009
 | issue = 2
 | year = 2009
 | doi = 10.1155/2009/785152
 | url = http://www.hindawi.com/journals/cin/2009/785152.abs.html
 | pages = 1 (영어)
 | pmid = 19536273
 | pmc = 2688815
 }}{{깨진 링크|url=http://www.hindawi.com/journals/cin/2009/785152.abs.html }}
== 같이 보기 ==
* [[다중선형대수학]]
* [[텐서]]
{{참고 자료 끝}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:다변량 통계]]
[[분류:기계 학습 알고리즘]]
[[분류:인수분해]]