{{위키데이터 속성 추적}}
{{분리공리}}
{{다른 뜻|분해 가능 공간||[[가산 집합|가산]] [[조밀 집합|조밀]] 부분공간을 갖는 공간}}
[[일반위상수학]]에서 '''하우스도르프 공간'''({{llang|en|Hausdorff space}}) 또는 '''T<sub>2</sub> 공간'''(T<sub>2</sub>空間, {{llang|en|T<sub>2</sub>-space}}) 또는 '''분리 공간'''(分離空間, {{llang|en|separated space}})은 서로 다른 점들을 각각 [[서로소 집합|서로소]] [[근방]]들로 둘러쌀 수 있는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
[[파일:Hausdorff space.svg|섬네일|right|하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 <math>x,y</math>를 서로소 열린 근방 <math>U,V</math>로 구분할 수 있다.]]
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 공간을 '''하우스도르프 공간'''이라고 한다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne y</math>라면 <math>x\in U</math>, <math>y\in V</math>인 [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|98}}
* 임의의 두 [[콤팩트 집합]] <math>C,D\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>C</math>와 <math>D</math>가 서로소라면, <math>C\subseteq U</math>, <math>D\subseteq V</math>인 [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재한다.<ref name="Willard"/>{{rp|124}}
* [[그물 (수학)|그물]]의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 [[그물 (수학)|그물]] <math>x_\alpha</math> 및 점 <math>y_1,y_2\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_\alpha\to y_1</math>이며  <math>x_\alpha\to y_2</math>라면 <math>y_1=y_2</math>이다.<ref name="Willard">{{서적 인용|author=Willard, Stephen |title=General Topology |publisher=Dover Publications |year=2004 |isbn=0-486-43479-6}}</ref>{{rp|86–87}}
* [[필터 (수학)|필터]]의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 [[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal F</math> 및 점 <math>y_1,y_2\in X</math>에 대하여, 만약 <math>\mathcal F\ne\mathcal P(X)</math>이며, <math>\mathcal F\to y_1</math>이며, <math>\mathcal F\to y_2</math>라면 <math>y_1=y_2</math>이다.<ref name="Willard"/>{{rp|86–87}}
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>의 모든 닫힌 [[근방]]들의 교집합은 <math>\{x\}</math>이다.
* 곱공간 <math>X\times X</math>의 [[대각 부분 집합]] <math>\Delta(X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X</math>은 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 집합 <math>I</math>에 대하여, 곱공간 <math>X^I</math>의 [[대각 부분 집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
{{증명|부제=서로 다른 정의의 동치}}
각 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathcal N_x</math>가 <math>x</math>의 [[근방 필터]]라고 하자.

두 점의 [[근방]] 분리 ⇒ 수렴 진[[필터 (수학)|필터]]의 극한의 유일성: 진[[필터 (수학)|필터]] <math>\mathcal F</math>가 서로 다른 두 점 <math>y_1\ne y_2</math>로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 [[열린 근방]] <math>U_1\ni y_1</math>, <math>U_2\ni y_2</math>에 대하여, <math>U_1,U_2\in\mathcal F</math>이므로 <math>U_1\cap U_2\in\mathcal F</math>이며, <math>\varnothing\not\in\mathcal F</math>이므로 <math>U_1\cap U_2\ne\varnothing</math>이다. 즉, [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]]으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.

수렴 진[[필터 (수학)|필터]]의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 [[근방]] 분리: [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]]을 갖지 않는 서로 다른 두 점 <math>y_1\ne y_2</math>가 존재한다고 가정하자. 그렇다면
:<math>\mathcal F=\{U_1\cap U_2\colon U_1\in\mathcal N_{y_1},\;U_2\in\mathcal N_{y_2}\}</math>
가 <math>X</math> 위의 [[필터 (수학)|필터]]임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 <math>\varnothing\not\in\mathcal F</math>이므로 <math>\mathcal F</math>는 진[[필터 (수학)|필터]]이며, <math>X\in\mathcal N_{y_1},\mathcal N_{y_2}</math>이므로 <math>\mathcal N_{y_1},\mathcal N_{y_2}\subseteq\mathcal F</math>이다. 즉, <math>\mathcal F</math>는 서로 다른 두 점 <math>y_1\ne y_2</math>로 수렴한다.
{{증명 끝}}
위상 공간 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''US 공간'''({{llang|en|US space}})이라고 한다.<ref name="Wilansky">{{저널 인용|제목=Between ''T''<sub>1</sub> and ''T''<sub>2</sub>|이름=Albert|성=Wilansky|jstor=2316017|doi=10.2307/2316017|저널=The American Mathematical Monthly|권=74|호=3|날짜=1967-03|쪽=261–266|언어=en}}</ref>{{rp|262}}
* <math>X</math> 속의 모든 [[점렬]]은 (만약 수렴한다면) 유일한 [[극한]]을 갖는다.
즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 [[점렬]]로 대체한 것이다.

위상 공간 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''KC 공간'''({{llang|en|KC space}})이라고 한다.<ref name="Wilansky"/>{{rp|262}}
* <math>X</math>의 모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분 공간은 [[닫힌집합]]이다.

위상 공간 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''약한 하우스도르프 공간'''({{llang|en|weakly Hausdorff space}})이라고 한다.
* 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 [[닫힌집합]]이다. 즉, 임의의 하우스도르프 [[콤팩트 공간]] <math>K</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon K\to X</math>에 대하여, <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(K)\subseteq X</math>는 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이다.

== 성질 ==
=== 포함 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[우리손 공간]](T<sub>2½</sub>) ⊊ 하우스도르프 공간(T<sub>2</sub>) ⊊<ref name="Wilansky"/>{{rp|262, Theorem 3.1}} US 공간 ⊊<ref name="Wilansky"/>{{rp|262, Theorem 3.1}} KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]
:하우스도르프 공간(T<sub>2</sub>) ⊊ [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] ∩ [[차분한 공간]]

[[제1 가산 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Wilansky"/>
* US 공간이다.
* KC 공간이다.
* 하우스도르프 공간이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
하우스도르프 공간들의 집합의 [[곱공간]]은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 [[부분공간 위상|부분 공간]]은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 [[몫공간]]은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 [[곱공간]]은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 [[부분공간 위상|부분 공간]]은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 [[몫공간]]은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

=== 약한 하우스도르프 공간 ===
<math>X</math>를 [[약한 하우스도르프 공간]]이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 <math>K</math>와 임의의 연속 함수 <math>f\colon K\to X</math>에 대하여, <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>f(K)\subseteq X</math>는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 <math>A\subseteq X</math>가 [[콤팩트 생성 공간|k-닫힌집합]]일 [[필요충분조건]]은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 <math>C\subseteq X</math>에 대하여 <math>A\cap C</math>가 [[닫힌집합]]인 것이다.

=== 전사 사상 ===
하우스도르프 공간를 대상으로 하고 [[연속 함수]]를 사상으로 삼은 범주 <math>\operatorname{Haus}</math>에서, [[전사 사상]]은 [[상 (수학)|상]]이 [[조밀 집합]]인 [[연속 함수]]이다.
{{증명|각주=<ref name="WhatAre">{{웹 인용
|url=https://math.stackexchange.com/questions/214045/what-are-the-epimorphisms-in-the-category-of-hausdorff-spaces
|제목=What are the epimorphisms in the category of Hausdorff spaces?
|언어=en
|웹사이트=Stack Exchange
}}</ref>}}
<math>\operatorname{Haus}</math>에서, [[조밀 집합]]을 상으로 하는 [[연속 함수]]는 자명하게 [[전사 사상]]이다. ([[조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다]] 참고.) 반대로,
:<math>f\colon X\to Y</math>
가 하우스도르프 공간 사이의 [[전사 사상]]이라고 가정하고, [[상 (수학)|상]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
:<math>Y_0=\operatorname{cl}f(X)</math>
가 <math>Y</math>임을 증명하자.
:<math>Z=Y\cup_iY</math>
가 포함 함수 <math>i\colon Y_0\to Y</math>에 대한 [[붙임 공간]]이라고 하고,
:<math>g,h\colon Y\to Z</math>
가 두 개의 자연스러운 [[연속 함수]]라고 하자. (즉, <math>g,h</math>는 각각 두 개의 매장 <math>Y\to Y\sqcup Y</math>와 [[몫사상]] <math>Y\sqcup Y\to Z</math>의 [[함수의 합성|합성]]이다.) 붙임 공간의 정의에 따라 <math>g\circ f=h\circ f</math>임을 알 수 있다. 만약 <math>Z</math>가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 <math>g=h</math>이며, 결국 <math>Y_0=Y</math>이게 된다. 이제 <math>Z</math>가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.
* <math>U\subseteq Z</math>가 [[열린집합]]일 [[필요충분조건]]은 <math>g^{-1}(U),h^{-1}(U)\subseteq Y</math>가 둘 다 [[열린집합]]인 것이다.
* <math>Z=g(Y)\cup h(Y)=g(Y\setminus Y_0)\sqcup h(Y)=g(Y)\sqcup h(Y\setminus Y_0)</math>
(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, <math>g,h</math>는 [[닫힌 함수|닫힌]] 위상수학적 [[매장 (수학)|매장]]이며, <math>g\restriction Y\setminus Y_0</math>과 <math>h\restriction Y\setminus Y_0</math>은 [[열린 함수|열린]] 위상수학적 [[매장 (수학)|매장]]이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 <math>\xi,\eta\in Z</math>가 [[서로소 집합|서로소]] [[열린 근방]]을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.
* <math>\xi,\eta\in g(Y)</math>
** 이 경우, <math>\xi=g(x)</math>, <math>\eta=g(y)</math>인 서로 다른 두 점 <math>x,y\in Y</math>이 존재한다. <math>Y</math>의 하우스도르프 조건에 따라, <math>U,V</math>가 <math>x,y</math>의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, <math>g(x),g(y)</math>는 다음과 같은 서로소 열린 근방 <math>\tilde U,\tilde V</math>를 갖는다.
**:<math>\tilde U=
\begin{cases}
g(U\setminus Y_0)&x\in Y\setminus Y_0\\
g(U)\cup h(U)&x\in Y_0
\end{cases}</math>
**:<math>\tilde V=
\begin{cases}
h(V\setminus Y_0)&y\in Y\setminus Y_0\\
g(V)\cup h(V)&y\in Y_0
\end{cases}</math>
* <math>\xi,\eta\in h(Y)</math>
** 이 증명은 위와 유사하다.
* <math>\xi\in g(Y)\setminus h(Y)=g(Y\setminus Y_0)</math>, <math>\eta\in h(Y)\setminus g(Y)=h(Y\setminus Y_0)</math>
** 이 경우, <math>g(Y\setminus Y_0)</math>와 <math>h(Y\setminus Y_0)</math>은 <math>\xi,\eta</math>의 서로소 열린 근방이다.
{{증명 끝}}

=== 정칙 단사 사상 ===
하우스도르프 공간의 범주 <math>\operatorname{Haus}</math>에서, [[정칙 단사 사상]]은 [[닫힌 함수|닫힌]] [[매장 (수학)|매장]]이다.
{{증명}}
하우스도르프 공간 사이의 [[정칙 단사 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>이 주어졌으며, <math>f</math>가 <math>g,h\colon Y\to Z</math>의 [[동등자]]라고 하자. 편의상
:<math>X=\{y\in Y\colon g(y)=h(y)\}</math>
이며, <math>f</math>가 포함 함수라고 가정할 수 있다. (이는 이러한 포함 함수가 실제로 동등자를 이루며, 모든 동등자들은 서로 [[동형]]이기 때문이다.) 이 경우, <math>f</math>는 [[매장 (수학)|매장]]이며, 하우스도르프 조건에 따라 <math>X</math>는 <math>Y</math>의 [[닫힌집합]]이다. 즉, <math>f</math>는 [[닫힌 함수|닫힌]] [[매장 (수학)|매장]]이다.

반대로, 하우스도르프 공간 사이의 [[닫힌 함수|닫힌]] [[매장 (수학)|매장]] <math>f\colon X\to Y</math>이 주어졌다고 하자. 편의상, <math>f</math>가 [[닫힌집합]] <math>X\subseteq Y</math>의 포함 함수라고 하자. <math>f=\operatorname{eq}\{g,h\}</math>인 하우스도르프 공간 <math>Z</math> 및 두 [[연속 함수]] <math>g,h\colon Y\to Z</math>를 찾으면 족하다. <math>Z</math>가 다음과 같은 [[붙임 공간]]이라고 하자.
:<math>Z=Y\cup_fY</math>
그렇다면, <math>Z</math>가 하우스도르프 공간임을 [[#전사 사상]]에서의 증명과 유사하게 보일 수 있다. 자연스러운 두 연속 함수
:<math>g,h\colon Y\to Z</math>
를 정의하였을 때,
:<math>X=\{y\in Y\colon g(x)=h(x)\}</math>
이다. 즉, <math>f</math>는 <math>g,h</math>의 [[동등자]]이다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간 ===
양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>에, 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]]를 주자.
:<math>\left\{(a+\mathbb Zb)\cap\mathbb Z^+\colon\gcd(a,b)=1\right\}</math>
이는 양의 정수의 '''서로소 위상'''({{llang|en|relatively prime topology}})이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 [[우리손 공간]]이 아니다.<ref>{{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}</ref>

=== 하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간 ===
하우스도르프 공간은 모든 [[그물 (수학)|그물]] 또는 [[필터 (수학)|필터]]가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 [[점렬]]로 약화시킨다면, 모든 [[점렬]]이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.<ref>{{저널 인용|last=van Douwen |first=Eric K. |title=An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits |journal=Topology and its Applications |volume=51 |issue=2 |year=1993 |pages=147–158 |doi=10.1016/0166-8641(93)90147-6 | 언어=en }}</ref>

=== 하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T<sub>1</sub> 공간 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>에 새로운 점 <math>\bullet</math>을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.
* <math>\mathbb R</math>의 위상에서 열린집합 <math>U</math>는 <math>\mathbb R\sqcup\{\bullet\}</math>에서도 열린집합이다.
* <math>S\subset\mathbb R</math>가 [[유한 집합]]이라면, <math>(\mathbb R\setminus S)\sqcup\{\bullet\}</math>은 열린집합이다.
그렇다면 <math>\mathbb R\sqcup\{\bullet\}</math>은 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이며 [[차분한 공간]]이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

=== 하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간 ===
[[비가산 집합]]에, 모든 [[가산 집합]]을 [[닫힌집합]]으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 ([[콤팩트 집합]]은 [[유한 집합]]과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 [[차분한 공간]]도 아니다.

== 역사 ==
하우스도르프 조건은 [[펠릭스 하우스도르프]]가 1914년에 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다<ref>{{서적 인용|성=Hausdorff|이름= Felix|저자링크=펠릭스 하우스도르프|제목= Grundzüge der Mengenlehre mit 53 Figuren im Text|위치=[[라이프치히]]|출판사=Verlag von Veit & Comp.|날짜=1914|jfm=45.0123.01|zbl=1175.01034|url=https://archive.org/details/grundzgedermen00hausuoft|언어=de}}</ref>{{rp|213, §VII.1}}.
{{인용문|
'''근방 공리계''':
:🄐 각 점 <math>x</math>는 적어도 하나 이상의 [[근방]] <math>U_x</math>를 갖는다. 임의의 [[근방]] <math>U_x</math>는 점 <math>x</math>를 포함한다.<br>
:🄑 <math>U_x</math>, <math>V_x</math>가 같은 점 <math>x</math>의 [[근방]]일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 [[근방]] <math>W_x</math>가 존재한다 (<math>W_x\subseteq U_x\cap V_x</math>).<br>
:🄒 <math>U_x</math> 속의 임의의 점 <math>y</math>에 대하여, <math>U_x</math>의 부분 집합인 [[근방]] <math>U_y</math>가 존재한다 (<math>U_y\subseteq U_x</math>).<br>
:🄓 서로 다른 두 점 <math>x</math>, <math>y</math>에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 [[근방]] <math>U_x</math>, <math>U_y</math>가 존재한다 (<math>U_x\cap U_y=\varnothing</math>).<br>
{{lang|de|
'''Umgebungsaxiome:'''
:🄐 Jedem Punkt <math>x</math> entspricht mindestens eine Umgebung <math>U_x</math>; jede Umgebung <math>U_x</math> enthält den Punkt <math>x</math>.<br>
:🄑 Sind <math>U_x</math>, <math>V_x</math> zwei Umgebungen desselben Punktes <math>x</math>, so gibt es eine Umgebung <math>W_x</math>, die Teilmenge von beiden ist (<math>W_x\subseteqq \mathfrak D(U_x,V_x)</math>).<br>
:🄒 Liegt der Punkt <math>y</math> in <math>U_x</math>, so gibt es eine Umgebung <math>U_y</math>, die Teilmenge von <math>U_x</math> ist (<math>U_y\subseteqq U_x</math>).<br>
:🄓 Für zwei verschiedene Punkte <math>x</math>, <math>y</math> gibt es zwei Umgebungen <math>U_x</math>, <math>U_y</math> ohne gemeinsamen Punkt (<math>\mathfrak D(U_x,U_y)=0</math>).
}}
}}
여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

약한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드({{llang|en|Michael Campbell McCord}})가 [[호모토피 이론]]에서의 편의를 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용
 | last = McCord | first = Michael C.
 | journal = Transactions of the American Mathematical Society
 | mr = 0251719
 | pages = 273–298
 | title = Classifying spaces and infinite symmetric products
 | volume = 146
 | year = 1969
 | doi=10.2307/1995173 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hausdorff space}}
* {{매스월드|id=T2-Space|title=T_2-space}}
* {{매스월드|id=T2-SeparationAxiom|title=T_2-separation axiom}}
* {{nlab|id=Hausdorff space}}
* {{nlab|id=weakly Hausdorff topological space|title=Weakly Hausdorff topological space}}
* {{nlab|id=locally Hausdorff topological space|title=Locally Hausdorff topological space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Hausdorff_space|제목=Hausdorff space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/KC-space|제목=KC-space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/US-space|제목=US-space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/88420/example-of-a-weak-hausdorff-space-that-is-not-hausdorff|제목=
Example of a weak Hausdorff space that is not Hausdorff|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/632320/weak-hausdorff-space-not-kc|제목=Weak Hausdorff space not KC|출판사=StackExchange|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]