{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Pascal's triangle 5.svg|섬네일|right|이항 계수의 표를 [[파스칼의 삼각형]]이라고 한다.]]
[[조합론]]에서 '''이항 계수'''(二項係數, {{llang|en|binomial coefficient}})는 [[이항식]]을 [[이항 정리]]로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) [[조합]]의 가짓수이다.
{{목차숨김}}

== 정의 ==
자연수 <math>n</math> 및 정수 <math>k</math>가 주어졌을 때, '''이항 계수''' <math>\textstyle\binom nk</math>는 다음과 같다.
:<math>\binom nk=\begin{cases}
n!/\left(k!(n-k)!\right)&0\le k\le n\\
0&k<0\\
0&k>n
\end{cases}</math>
여기서 <math>!</math>는 [[계승 (수학)]]이다. 이항 계수를 <math>\textstyle\binom nk</math> 대신 <math>{}_nC_k</math>나 <math>C(n, k)</math>로 쓰기도 한다. 이항 계수의 값을 삼각형 모양으로 나열한 표를 '''[[파스칼의 삼각형]]'''이라고 한다.

<math>n=2k</math>인 경우의 이항 계수를 '''중심 이항 계수'''(中心二項係數, {{llang|en|central binomial coefficient}})라고 한다. 이는 다음과 같다 (<math>k=0,1,2,\dots</math>).
:1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, … {{OEIS|A000984}}

== 성질 ==
=== 항등식 ===
이항 계수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다. 이는 이항 계수의 정의로부터 쉽게 증명할 수 있다.
:<math>\binom nk=\binom n{n-k}</math>
다음과 같은 점화식이 성립하며, 이는 '''파스칼의 법칙'''(Pascal-法則, {{llang|en|Pascal’s rule}})이라고 한다.
:<math>\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}</math>

=== 급수 공식 ===
이항 계수는 다음과 같은 급수 공식들을 만족시킨다. 이들은 대부분 생성 함수(의 도함수)의 특수한 값으로 얻어진다.

==== 이항 계수의 합 ====
이 공식들은 [[생성함수 (수학)|생성함수]] <math>(1+x)^n</math>(의 도함수)의 <math>x=1</math> 값으로부터 유도할 수 있다.
:<math>\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n</math>
:<math>\sum_{k=0}^nk\binom nk=n2^{n-1}</math>
또한, [[피보나치 수]]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math> \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n-k}k =F(n+1)</math>
여기서 <math>F(n)</math>은 <math>n</math>번째 [[피보나치 수]]이다.

==== 이항 계수의 곱의 합 ====
다음 항등식은 '''[[주세걸]]-[[알렉상드르테오필 방데르몽드|방데르몽드]] 항등식'''(朱世傑-Vandermonde恒等式, {{llang|en|Zhu–Vandermonde identity}})이라고 한다.
:<math> \sum_{j=0}^k\binom mj\binom n{k-j}=\binom{m+n}k</math>
이항계수의 제곱의 합은 다음과 같이 중심 이항 계수로 주어진다.
:<math> \sum_{k=0}^{n} \binom nk^2 =\binom{2n}n</math>
이는 [[조합론]]적으로 증명할 수 있다. <math>\textstyle\binom{2n}n</math>은 크기가 <math>2n</math> 집합 속에서 <math>n</math>개의 [[조합]]의 가짓수인데, 이는 크기 <math>2n</math>의 집합의 처음 절반에서 <math>k</math>개를 고르고, 나머지 절반에서 <math>n-k</math>개를 고르는 가짓수의 <math>k</math>에 대한 합 <math>\textstyle\sum_{k=0}^n\binom nk\binom n{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom nk^2</math>과 같다.

=== 생성 함수 ===
이항 계수는 다음과 같은 [[생성 함수 (수학)|생성 함수]]를 갖는다.
:<math>\sum_{k=0}^n\binom nkx^k=(1+x)^n</math>
:<math>\sum_{n=k}^\infty\binom nkx^n = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom nkx^k y^n = \frac1{1-y-xy}</math>
:<math>\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{(n+k)!}\binom{n+k}kx^k y^n =\exp(x+y)</math>

중심 이항 계수의 생성 함수는 다음과 같다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}nx^n=\frac1{\sqrt{1-4x}}</math>

=== 점근 공식 ===
일반적으로, 모든 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>k\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 다음과 같은 [[부등식]]이 성립한다.
:<math>(n/k)^k\le\binom nk\le n^k/k!\le(en/k)^k</math>
중심 이항 계수의 경우 다음 부등식이 성립한다.
:<math>\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \le \binom{2n}n \le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}\qquad\forall n\ge1</math>

<math>n\gg1</math> 및 <math>|1/2-k/n|\ll1</math>에 대하여, [[스털링 근사]]를 사용하여 이항계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.
:<math>\binom nk\approx\frac{2^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}\exp(-(2k-n)^2/2n)</math>
이에 따라, [[이항분포]]를 [[정규분포]]로 근사할 수 있다. 특히, <math>k=n/2</math>일 경우 중심 이항 계수의 스털링 근사는 다음과 같다.
:<math>\binom n{n/2}\approx \frac{2^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}</math>
이다.

만약 <math>n\gg1</math>이며 <math>n\gg k</math>라면, [[스털링 근사]]를 사용하여 이항 계수를 다음과 같이 근사할 수 있다.
:<math>\binom nk\sim\frac{(n/k-1/2)^k\exp(k)}{\sqrt{2\pi k}}</math>

=== 수론적 성질 ===
'''쿠머 정리'''(Kummer定理, {{llang|en|Kummer’s theorem}})에 따르면, 음이 아닌 정수 <math>n\ge k</math> 및 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여,
:<math>p^c \mid \binom nk</math>
인 최대 <math>c</math>는 다음과 같다.
:<math>c=|\{b\in\mathbb Z^+\colon k/p^b-\lfloor k/p^b\rfloor>n/p^b-\lfloor n/p^b\rfloor\}|</math>
즉, 이는 <math>k+(n-k)</math>를 <math>p</math>진법에서 계산할 때 [[받아올림]]의 수와 같다.

'''[[뤼카의 정리]]'''는 이항계수의 소수에 대한 나머지의 값을 제시한다.

중심 이항 계수 <math>\textstyle\binom{2n}n</math>은 <math>n>4</math>에 대하여 항상 [[제곱 인수가 없는 정수]]이다. 이를 '''에르되시 추측'''(Erdős推測, {{llang|en|Erdős squarefree conjecture}})라고 한다. [[에르되시 팔]]이 1980년에 추측하였고,<ref>{{서적 인용|성=Erdős|이름=P.|저자링크=에르되시 팔|이름2=R. L.|성2=Graham|제목=Old and new problems and results in combinatorial number theory|위치=Geneva|총서=L’Enseignement Mathématique|출판사=Université de Genève|권=28|날짜=1980|zbl=0434.10001|언어=en}}</ref> 앤드루 그랜빌({{llang|en|Andrew Granville}})과 올리비에 라마레({{llang|fr|Olivier Ramaré}})가 1996년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Granville|이름=A.|이름2=O.|성2=Ramaré|제목=Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients|저널=Mathematika|권=43|호=1|쪽=73–107|날짜=1996-06|url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/ramare.pdf|doi=10.1112/S0025579300011608 |언어=en}}</ref>

임의의 양의 정수 <math>d\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{N\to\infty}\frac{\left|\{n<N\colon d \mid\binom nk\}\right|}{N(N+1)/2}=1</math>
<math>\textstyle N(N+1)/2=\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^n1</math>은 <math>n<N</math>인 이항계수 <math>\textstyle\binom nk</math>의 수이므로, 임의의 양의 정수는 거의 모든 이항계수를 약수로 가진다. 이는 데이비드 싱매스터({{llang|en|David Singmaster}})가 1974년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Singmaster|이름=David|날짜=1974|제목=Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients|저널=Journal of the London Mathematical Society|권=8|호=3|쪽=555–560|doi=10.1112/jlms/s2-8.3.555|언어=en}}</ref>

=== 초한 이항 계수 ===
이항 계수의 정의는 임의의 [[기수 (수학)|기수]]에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 <math>\kappa,\lambda</math>에 대하여, '''초한 이항 계수'''(超限二項係數, {{llang|en|transfinite binomial coefficient}})
:<math>\binom\kappa\lambda</math>
는 크기가 <math>\kappa</math>인 집합의, 크기가 <math>\lambda</math>인 [[부분 집합]]들의 수이다. 만약 <math>\kappa</math>와 <math>\lambda</math>가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다.

초한 이항 계수의 값은 다음과 같다.
:<math>\binom\kappa\lambda=\begin{cases}
\kappa^\lambda&\lambda\le\kappa\ge\aleph_0\\
0&\lambda>\kappa\\
\binom nk&k=\lambda<\aleph_0,\;n=\kappa<\aleph_0
\end{cases}</math>
첫 번째 경우는
:<math>\kappa^\lambda\le\binom{\kappa\lambda}\lambda=\binom\kappa\lambda\le\kappa^\lambda</math>
이기 때문이다. (여기서 첫 부등식은 <math>\lambda</math>개의, 크기가 <math>\kappa</math>인 집합들에서 각각 하나의 원소를 뽑는 것이다.)

특히, 중심 이항 계수는 다음과 같다.
:<math>\binom{2\kappa}\kappa=\binom\kappa\kappa=2^\kappa</math>
초한 이항 계수의 경우, 유한 이항 계수에 대하여 성립하는 대칭성이 일반적으로 성립하지 않는다.
:<math>\binom{\kappa+\lambda}\lambda\ne\binom{\kappa+\lambda}\kappa</math>
예를 들어
:<math>\binom{1+\aleph_0}1=\aleph_0</math>
:<math>\binom{1+\aleph_0}{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math>
이다.

== 응용 ==
=== 조합론 ===
조합론에서, 이항 계수는 크기가 <math>n</math>인 [[유한 집합]]의 크기가 <math>k</math>인 부분집합의 수이다. 즉, <math>n</math>개의 원소의 <math>k</math>개의 [[조합]]의 수이다. 이 밖에도, 이항계수는 다음과 같은 다양한 조합론적 문제에 등장한다.
* [[카탈랑 수]] <math>\textstyle C_n=\binom{2n}n/(n+1)= {2n \choose n} - {2n \choose n+1}</math>는 다양한 조합론적 문제의 해이다.
* 크기가 <math>n</math>인 집합에서, 크기가 <math>k</math>인 [[중복집합]]을 고를 수 있는 가짓수는 <math>\textstyle\binom{n+k-1}k</math>이다.
* <math>k</math>개의 기호 <math>\bullet</math> 및 <math>n</math>개의 기호 <math>\circ</math>를 포함하는 문자열의 수는 <math>\textstyle\binom{n+k}k</math>이다. 또한, <math>\bullet\bullet</math>을 부분 문자열로 포함하지 않는 문자열의 수는 <math>\textstyle\binom{n+1}k</math>이다.

=== 대수학 ===
{{본문|이항급수}}
이항 계수는 대수학에서 다음과 같이 [[이항급수]]의 전개에 사용되며, "이항계수"라는 이름은 이로부터 유래한다.
:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n\binom nkx^{n-k} y^k = \sum_{k=0}^n \binom nkx^k y^{n-k}</math>

=== 통계학 ===
{{본문|이항분포}}
[[통계학]]에서, 이항 계수는 [[이항분포]]를 정의하는 데 사용된다.

=== 정수론 ===
[[베르트랑의 공준]]을 증명할 때, 중심 이항 계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 중심 이항 계수는 [[아페리 상수]] <math>\zeta(3)</math>가 [[무리수]]임을 증명할 때 쓰이는 급수
:<math>\zeta(3)=\frac52\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{{n^3}\binom{2n}n}</math>
에 등장한다.

== 역사 ==
이항 계수는 [[파스칼의 삼각형]]의 형태로 이미 중세 동서양 수학에 알려져 있었다. 오늘날 쓰이는 표기법 <math>\textstyle\binom nk</math>은 안드레아스 프라이헤르 폰 에팅스하우젠({{llang|de|Andreas Freiherr von Ettingshausen}})이 1826년에 도입하였다.

== 같이 보기 ==
* [[포흐하머 기호]]
* [[12정도]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Graham | first=Ronald L. | 이름2=Donald E. | 성2=Knuth | 저자링크2=도널드 커누스|이름3= Oren|성3= Patashnik |title= Concrete mathematics: a foundation for computer science | 판=2판 | publisher=Addison-Wesley Professional| 날짜=1994 | isbn=0-201-55802-5 | mr=1397498|zbl=0836.00001|언어=en }}
* {{저널 인용|제목=The binomial coefficient function|이름=David|성=Fowler|jstor=2975209|doi=10.2307/2975209|저널=The American Mathematical Monthly| 권=103|호=1|날짜=1996-01|zbl=0857.05003|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Computing binomial coefficients|이름=P.|성=Goetgheluck|jstor=2323099|doi=10.2307/2323099|저널=The American Mathematical Monthly| 권=94|호=4|날짜=1987-04|zbl=0617.05004|언어=en}}
* {{서적 인용|장=Arithmetic properties of binomial coefficients. I: Binomial coefficients modulo prime powers|이름=Andrew|성=Granville|zbl=0903.11005|장url=http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/|url=http://www.cecm.sfu.ca/organics/|편집자=J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson,  R. Corless|제목=Organic mathematics. Proceedings of the Organic Mathematics Workshop, December 12-14, 1995, Simon Fraser University, Burnaby, British Columbia |출판사=American Mathematical Society|총서=Canadian Mathematical Society Conference Proceedings|권=20|쪽=253–276|날짜=1997|isbn=978-0-8218-0668-5|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Binomial coefficients|이름=Edgar E.|성=Enochs|url=http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol11/Enoch.pdf|저널=Boletín de la Asociación Matemática Venezolana|권=11|호=1|쪽=17–28|날짜=2004|zbl=1062.05007|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Binomial coefficients}}
* {{매스월드|id=BinomialCoefficient|title=Binomial coefficient}}
* {{매스월드|id=CentralBinomialCoefficient|title=Central binomial coefficient}}
* {{수학노트|title=이항계수와 조합}}
* {{수학노트|title=중심이항계수 (central binomial coefficient)}}
* {{수학노트|title=중심이항계수가 등장하는 어떤 급수에 대한 문제}}


{{전거 통제}}

[[분류:조합론]]
[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:정수열]]