{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:DilationErosion.png|섬네일|right|어떤 모양(파란색)과 그 모양의 다이아몬드 모양의 생성적 요소로의 팽창(초록색)과 침식(노란색).]]
'''수학적 형태학'''({{llang|en|'''M'''athematical '''m'''orphology}}, '''MM''')은 [[집합론]], [[격자 (순서론)|격자론]], [[위상수학]], 그리고 [[무작위 함수]]에 기반한 기하학적 구조를 분석하고 처리하는 이론과 기술이다. MM은 대부분 [[디지털 이미지]]에 적용되지만, [[그래프]], [[폴리곤 메시]], [[공간기하학|솔리드]], 그리고 많은 공간 구조에도 적용할 수 있다.

크기, [[모양]], [[볼록 집합|볼록성]], [[연결성]], 그리고 [[지오데식 거리]]같은 [[위상수학]]적 그리고 [[기하학]]적 [[연속체|연속]]공간 개념은 MM에 의해서 연속 공간과 [[이산 공간]] 모두에 소개되었다. MM은 또한 이미지를 위의 특성화에 따르도록 이미지를 바꾸는 연산의 집합으로 이루어진 형태학적 [[디지털 화상 처리]]의 근본이다.

기본 형태학적 연산은 [[침식 (형태학)|침식]], [[팽창 (형태학)|팽창]], [[열기 (형태학)|열기]]과 [[닫기 (형태학)|닫기]]가 있다.

MM은 원래 [[이진 이미지]]를 위해서 만들어졌고, 나중에 [[회색조]] [[함수]]와 이미지로 확장되었다. 잇따라 나온 [[완비 격자]]로의 일반화는 오늘날 MM의 이론적인 근원으로 넓게 받아들여진다.

== 이진 형태학 ==

이진 형태학에서, 이미지는 어떤 ''d''차원의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^d</math>이나 정수 격자 <math>\mathbb{Z}^d</math>의 [[부분 집합]]으로 볼 수 있다.

=== 구조적 요소 ===

이진 형태학의 기본 아이디어는 이미지를 간단하고 미리 정의된 모양으로 탐색해서 이 그림에서 모양이 얼마나 맞거나 맞지 않는지를 판단하는 것이다. 이 간단한 "탐색"은 [[구조적 요소]]라고 부르고, 이진 이미지(즉, 공간이나 격자의 부분집합)이다.

이것이 구조적 요소로 사용하는 예시들이다(''B''로 표기하였다):

* <math>E=\mathbb{R}^2</math>일 때, ''B''는 원점을 중심으로 하고 반지름이 ''r''인 열린 디스크이다.
* <math>E=\mathbb{Z}^2</math>일 때, ''B''는 3x3 사각형으로, ''B''={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}이다.
* <math>E=\mathbb{Z}^2</math>일 때, ''B''는 다음으로 주어지는 "십자 모양"이다: ''B''={(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.

=== 기본 연산자 ===
기본 연산은 [[민코프스키 덧셈]]과 강하게 관련된 이동 불변 ([[병진 불변]]) 연산이다.

''E''를 유클리드 공간이나 정수 격자로, ''A''를 ''E''에 있는 이진 이미지라고 하자.

==== 침식 ====
{{본문|침식 (형태학)}}

[[파일:Erosion.png|섬네일|right|진한 파란색 정사각형을 원판으로 침식시킨 것으로, 밝은 파란색 정사각형을 만든다.]]
구조적 요소 ''B''에 대한 이진 이미지 ''A''의 [[침식 (형태학)|침식]]은 다음과 같이 정의한다:

::<math>A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\}</math>,

이 때, ''B''<sub>''z''</sub>는 ''B''를 벡터 z에 대해서 평행이동한 것이다. 즉, <math>B_z = \{b+z|b\in B\}</math>, <math>\forall z\in E</math>이다.

구조적 요소 ''B''가 중심을 가지고(예: 원판이나 정사각형), 중심이 ''E''의 원점에 위치하면, ''B''에 대한 ''A''의 침식은 by ''B''가 ''A''의 내부에서 움직일 때의 ''B''의 중심의 자취로 생각할 수 있다. 예를 들어, 원점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 10인 정사각형을 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판으로 하는 침식은 원점을 중심으로 하고 한 변이 6인 정사각형이다.

''B''에 대한 ''A''의 침식은 다음과 같은 표현으로도 쓸 수 있다: <math>A  \ominus B = \bigcap_{b\in B} A_{-b}</math>.

적용 예시: 검은 사진의 팩스를 받았다고 가정하자. 전부 새는 펜으로 쓴 것 같아 보인다. 침식 과정은 두꺼운 선을 얇게 만들고 글자 "o"의 구멍을 검출할 수 있다.

==== 팽창 ====
{{본문|팽창 (형태학)}}

[[파일:Dilation.png|섬네일|right|짙은 파란색 사각형을 원판으로 팽창해서 둥근 모서리가 있는 밝은 파란색 사각형을 만든다.]]

''A''를 구조적 요소 ''B''로 [[팽창 (형태학)|팽창]]시킨 것은 다음과 같이 정의된다:

::<math>A  \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_b,</math>

여기서 ''A''<sub>''b''</sub>는 ''A''를 ''b''로 평행이동 시킨 것이다.

팽창은 가환 연산이기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있다: <math>A  \oplus B = B\oplus A = \bigcup_{a\in A} B_a</math>.

''B''가 원점을 중심으로 두고 있다면, ''A''를 ''B''로 팽창시킨 것은 ''B''의 중심이 ''A''의 내부에서 움직일 때 ''B''에 있는 점들의 궤적으로 이해할 수 있다. 크기가 10이고 원점에 중심을 둔 정사각형을 마찬가지로 원점을 중심으로 둔 반지름이 2인 원판으로 팽창시키면 원점을 중심으로 하고 꼭짓점이 둥근 크기가 14인 정사각형이 된다. 둥근 꼭짓점의 반지름은 2이다.

팽창은 다음을 통해서도 얻을 수 있다: <math>A  \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A\neq \varnothing\}</math>, 이 때 ''B''<sup>''s''</sup>는 ''B''의 [[회전 대칭|대칭]]이다. 즉, <math>B^s=\{x\in E \mid -x \in B\}</math>이다.

적용 예시: 팽창은 침식의 쌍대연산이다. 매우 가는 선으로 그린 그림은 "팽창"하면 두꺼운 선으로 만들 수 있다. 이 말을 파악하기 가장 쉬운 방법은 같은 팩스나 글씨를 더 두꺼운 펜으로 쓴 것을 생각하는 것이다.

==== 열기 ====
{{본문|열기 (형태학)}}

[[파일:Opening.png|섬네일|right|진한 파란색 정사각형을 원판으로 연 것이다, 꼭짓점이 둥근 밝은 파란색 정사각형을 만든다.]]

''A''를 ''B''로 [[열기 (형태학)|연]] 것은 ''A''를 ''B''로 침식하고, 잇따라 ''B''로 팽창 한 것이다:

::<math>A \circ B  = (A \ominus B) \oplus B </math>.

열기는 이렇게도 표현할 수 있다: <math>A \circ B = \bigcup_{B_x\subseteq A} B_x</math>. 구조적 요소 ''B''를 이미지 ''A''안에서 움직일 때의 자취로 생각한 것이다. 한 변의 길이가 10인 정사각형의 경우에 반지름이 2인 원판을 구조적 요소일 때, 열기는 한 변의 길이가 10이고 모서리의 반지름이 2인 둥근 사각형이다.

적용 예시: 누가 방수 코팅된 종이에 메모를 해서 온통 뿌리에 잔뿌리가 뻩은 것처럼 있다고 가정하자. 이 때, 열기는 본질적으로 내용은 보존하면서 "가는 선"을 제거한다. 부작용은 무엇이든지 둥글게 만든다는 것이다. 뾰족한 모서리는 점차 사라질 것이다.

==== 닫기 ====
{{본문|닫기 (형태학)}}

[[파일:Closing.png|섬네일|right|짙은 파란색 도형 (정사각형 두 개의 합집합)을 원판으로 닫은 것은 짙은 파란색과 연한 파란색 영역의 합집합이다..]]

''A''를 ''B''로 [[닫기 (형태학)|닫은]] 것은 ''A''를 ''B''로 팽창하고, 잇따라 ''B''로 침식시킨 것이다:

::<math>A \bullet B  = (A \oplus B) \ominus B </math>.

닫기는 <math>A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}</math>으로도 쓸 수 있고, 여기서 ''X''<sup>''c''</sup>는 ''E''에 대한 ''X''의 [[여집합]]이고 다(즉, <math>X^{c}=\{x\in E | x\not \in X\}</math>이다). 위의 말은 닫기는 이미지 ''A''의 외부에서 움직이는 구조적 요소의 자취의 여집합이라는 것을 의미한다.

==== 기본 연산자의 특성 ====

다음은 기본 이진 형태학적 연산자(침식, 팽창, 열기 그리고 닫기)의 특성이다:

* [[병진 불변]]이다.
* [[단조증가]]이다. 즉, <math>A\subseteq C</math>이면 <math>A\oplus B \subseteq C\oplus B</math>이고 <math>A\ominus B \subseteq C\ominus B</math>, 등이다.
* 팽창은 [[가환]] 연산이다.
* ''E''의 원점이 구조적 요소 ''B''에 있으면 <math>A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B</math>이다.
* [[결합법칙]]을 만족한다. 즉, <math>(A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)</math>이다. 게다가, 침식은 <math>(A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)</math>이 된다.
* 침식과 팽창은 쌍대성 <math>A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}</math>을 만족한다.
* 열기와 닫기도 쌍대성 <math>A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}</math>을 만족한다.
* 팽창은 [[합집합]]에서 [[분배법칙]]이 성립한다.
* 침식은 [[교집합]]에서 [[분배법칙]]이 성립한다.
* 팽창은 침식의 [[의사역행렬]]이고 반대로도 성립한다: <math>A\subseteq (C\ominus B)</math>이면 <math>(A\oplus B)\subseteq C</math>이다.
* 열기와 닫기는 [[멱등]]적이다.
* 열기는 [[역 확장적]]이고 닫기는 ''확장적''이다. 즉, <math>A\circ B\subseteq A</math>이고, <math>A\subseteq A\bullet B</math>이다.

=== 다른 연산자와 도구 ===

* [[적중과 비적중 변환]]
* [[가지치기 (형태학)|가지치기 변환]]
* [[형태학적 골격]]
* [[재생성에 의한 필터링]]
* [[궁극적 침식]]과 [[조건 이등분]]
* [[입도 측정법 (형태학)|입도 측정법]]
* [[지오데식 거리 함수]]

== 같이 보기 ==
* 화상 처리 소프트웨어의 비교

== 참고 문헌 ==
* ''Image Analysis and Mathematical Morphology'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637240-3}} (1982)
* ''Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637241-1}} (1988)
* ''An Introduction to Morphological Image Processing'' by Edward R. Dougherty, {{ISBN|0-8194-0845-X}} (1992)
* ''Morphological Image Analysis; Principles and Applications'' by Pierre Soille, {{ISBN|3-540-65671-5}} (1999), 2nd edition (2003)
* ''Mathematical Morphology and its Application to Signal Processing'', J. Serra and Ph. Salembier (Eds.), proceedings of the 1st International workshop on mathematical morphology and its applications to signal processing (ISMM'93), {{ISBN|84-7653-271-7}} (1993)
* <cite id=serra94>''Mathematical Morphology and Its Applications to Image Processing'', J. Serra and P. Soille (Eds.), proceedings of the 2nd international symposium on mathematical morphology (ISMM'94), {{ISBN|0-7923-3093-5}} (1994)</cite>
* ''Mathematical Morphology and its Applications to Image and Signal Processing'', Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink (Eds.), proceedings of the 4th international symposium on mathematical morphology (ISMM'98), {{ISBN|0-7923-5133-9}} (1998)
* <cite id=ronse05>''Mathematical Morphology: 40 Years On'', Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière (Eds.), {{ISBN|1-4020-3442-3}} (2005)</cite>
* ''Mathematical Morphology and its Applications to Signal and Image Processing'', Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto (Eds.), proceedings of the 8th international symposium on mathematical morphology (ISMM'07), {{ISBN|978-85-17-00032-4}} (2007)
* ''Mathematical morphology: from theory to applications'', Laurent Najman and Hugues Talbot (Eds). ISTE-Wiley. {{ISBN|978-1-84821-215-2}}. (520 pp.)  June 2010

== 외부 링크 ==
* [http://cmm.ensmp.fr/~serra/cours/index.htm Online course on mathematical morphology] {{웨이백|url=http://cmm.ensmp.fr/~serra/cours/index.htm |date=20110515031756 }}, by Jean Serra (in English, French, and Spanish)
* [https://web.archive.org/web/20140803222024/http://cmm.ensmp.fr/index_eng.html Center of Mathematical Morphology], Paris School of Mines
* [http://cmm.ensmp.fr/~serra/pdf/birth_of_mm.pdf History of Mathematical Morphology] {{웨이백|url=http://cmm.ensmp.fr/~serra/pdf/birth_of_mm.pdf |date=20110304214701 }}, by Georges Matheron and Jean Serra
* [https://web.archive.org/web/20100601080516/http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/ Morphology Digest, a newsletter on mathematical morphology], by Pierre Soille
* [https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University.  Lectures 16-18 are on Mathematical Morphology], by Alan Peters
* [http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/OWENS/LECT3/node3.html Mathematical Morphology; from Computer Vision lectures], by Robyn Owens
* [http://fulguro.sourceforge.net Free SIMD Optimized Image processing library]
* [https://web.archive.org/web/20180129004336/http://www.cs.bris.ac.uk/~majid/mengine/morph.html Java applet demonstration]
* [http://filters.sourceforge.net/ FILTERS : a free open source image processing library]
* [http://www.ulg.ac.be/telecom/research/libmorphoDoc/index.html Fast morphological erosions, dilations, openings, and closings]
* [http://www.johanneshjorth.se/SynD Morphological analysis of neurons using Matlab]

[[분류:디지털 기하학]]
[[분류:영상 처리]]
[[분류:수학적 형태학| ]]
[[분류:형태학]]