{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=군}}
[[군론]]에서 '''아벨 군'''(Abel群, {{llang|en|abelian group}}) 또는 '''가환군'''(可換群, {{llang|en|commutative group}})은 [[교환 법칙]]이 성립하는 [[군 (수학)|군]]이다. [[정수환]] 위의 [[가군]]으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
아벨 군은 다음과 같은 두 가지 방법으로 정의할 수 있다.
* '''아벨 군'''은 모든 <math>g,h\in G</math>에 대하여 <math>g+h=h+g</math>인 [[군 (수학)|군]] <math>(G,+)</math>이다.
* '''아벨 군'''은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 [[가군]] <math>(G,+,n\cdot_{n \in \mathbb Z})</math>이다.
두 정의는 서로 동치이다. [[교환 법칙]]을 만족시키는 군 <math>(G,+)</math>이 주어졌다면, 여기에
:<math>n\cdot g=\begin{cases}\overbrace{g+g+\cdots+g}^n&n>0\\(-n)\cdot(-g)&n<0\\0&n=0\end{cases}\qquad\forall n\in\mathbb Z,\;g\in G</math>
와 같이 [[정수환]]의 작용을 정의할 수 있다. 반대로, 정수환 위의 가군 <math>(G,+,n\cdot_{n\in\mathbb Z})</math>이 주어졌다면, 정수환의 작용을 잊으면 <math>(G,+)</math>는 가환 법칙을 만족시키는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.

=== 생성 집합 ===
아벨 군 <math>G</math>의 '''생성 집합'''(生成集合, {{llang|en|generating set}}) <math>S\subset G</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]]이다.
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 <math>n\colon S\to\mathbb Z</math>가 존재한다.
** <math>\{s\in S\colon n(s)\ne0\}</math>은 [[유한 집합]]이다.
** <math>g=\sum_{s\in S}n(s)s</math>이다.
<math>G</math>의 '''최소 생성 집합'''(最小生成集合, {{llang|en|minimal generating set}})은 생성 집합 가운데, [[집합의 크기]]가 가장 작은 것이다. 최소 생성 집합이 [[유한 집합]]인 아벨 군을 '''유한 생성 아벨 군'''(有限生成Abel群, {{llang|en|finitely generated abelian group}})이라고 한다.

=== 계수 ===
아벨 군 <math>G</math>의 '''[[일차 독립]] 부분 집합'''(一次獨立部分集合, {{lang|en|linearly independent subset}}) <math>A=\{a_i\}_{i\in I}\subset G</math>는 그 합이 0인 [[선형 결합]]이 자명한 [[선형 결합]]밖에 없는 부분 집합이다. 즉, <math>n=(n_i)_{i\in I}</math>가 유한개의 성분들만 0이 아닌 <math>|I|</math>개 음이 아닌 정수들의 [[순서쌍]]이라고 하면,
:<math>\sum_{i\in I}n_ia_i=0</math>
일 [[필요충분조건]]은 <math>n=0</math>인 경우다.

아벨 군 <math>G</math>의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}}) <math>\operatorname{rank}G</math>는 다음과 같이 두 가지 방법으로 정의될 수 있는 [[기수 (수학)|기수]]이다.
* <math>\operatorname{rank}G</math>는 <math>G</math>의 일차 독립 부분집합들의 [[집합의 크기]]들의 최댓값이다.
* <math>\operatorname{rank}G=\dim_{\mathbb Q}G\otimes\mathbb Q</math>이다. 여기서 <math>\otimes</math>는 아벨 군의 [[텐서곱]]이다.
따라서, [[유리수]] 위의 [[벡터 공간]]의 경우, 아벨 군으로서의 계수는 [[유리수]] 위의 벡터 공간으로서의 차원과 같다.

=== 높이 ===
아벨 군 <math>G</math>의 원소 <math>g\in G</math> 및 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, <math>g</math>의 '''<math>p</math>-높이'''({{llang|en|<math>p</math>-height}}) <math>\operatorname{ht}_p(g)\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ht}_p(g)=\sup\{n\in\mathbb N\colon\exists h\in G\colon p^nh=g\}\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>

=== 직접곱과 직합 ===
{{본문|직접곱|직합}}
아벨 군들의 집합 <math>\{G_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌다면, '''[[직접곱]]'''
:<math>\prod_{i\in I}G_i</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[군 (수학)|군]]의 [[직접곱]]의 특수한 경우이며, 아벨 군들의 직접곱은 항상 아벨 군을 이룬다.

아벨 군들의 집합 <math>\{G_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌다면, '''[[직합]]'''
:<math>\bigoplus_{i\in I}G_i</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[가군]]의 [[직합]]의 특수한 경우이다. 직합은 직접곱의 부분군이다.
:<math>\bigoplus_{i\in I}G_i\subseteq\prod_{i\in I}G_i</math>
만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면 직합은 직접곱과 같으나, 무한 집합이라면 직합은 직접곱의 [[진부분 집합]]이다.

임의의 크기의 집합 <math>I</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{rank}\left(\bigoplus_{i\in I}G_i\right) = \sum_{i\in I}\operatorname{rank}G_i</math>
여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 합이다.

=== 텐서곱 ===
{{본문|텐서곱}}
아벨 군들의 집합 <math>\{G_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌다면, '''텐서곱'''
:<math>\bigotimes_{i\in I}G_i</math>
을 취할 수 있다. 이는 [[가군]]의 텐서곱의 특수한 경우다.

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[순환군]] ⊊ 아벨 [[유한군]] ⊊ 유한 생성 아벨 군 ⊊ 아벨 군 ⊊ [[데데킨트 군]] ⊊ [[멱영군]] ⊊ [[가해군]] ⊊ [[군 (수학)|군]]
특히, 모든 아벨 군은 [[데데킨트 군]]이므로, 아벨 군의 모든 [[부분군]]은 [[정규 부분군]]이다.

아벨 군들의 [[직접곱]]은 아벨 군이다. 아벨 군의 [[부분군]]은 아벨 군이다. 그러나 아벨 군의 [[자유곱]]은 아벨 군이 아니다.

유한 생성 아벨 군의 유한 개의 직합은 유한 생성 아벨 군을 이룬다.

모든 아벨 [[유한군]]은 유한 생성 아벨 군이며, 계수가 0이다.

모든 아벨 군 <math>G</math>에 대하여, <math>G</math>의 계수는 <math>G</math>의 최소 생성 집합의 크기보다 같거나 작고, <math>G</math>의 최소 생성 집합의 크기는 <math>G</math>의 [[집합의 크기|크기]]보다 같거나 작다.

아벨 군 가운데 [[단순군]]인 것은 [[소수 (수론)|소수]] 크기의 [[순환군]] <math>\mathbb Z/p</math>밖에 없다.

=== 가군론적 성질 ===
아벨 군은 정수환 위의 [[가군]]이므로, 가군론을 적용할 수 있다. 가군론적 각종 성질은 아벨 군의 성질에 다음과 같이 대응한다.
{| class=wikitable
|-
! 가군의 성질 !! 아벨 군의 성질
|-
| [[자유 가군]]
| rowspan=2 | [[자유 아벨 군]] (정수환이 [[주 아이디얼 정역]]이기 때문)
|-
| [[사영 가군]]
|-
| [[평탄 가군]]
| rowspan=2 | [[꼬임 부분군|꼬임 없는]] 아벨 군 (정수환이 [[데데킨트 정역]]이기 때문)
|-
| 꼬임 없는 가군
|-
| [[단사 가군]] || [[나눗셈군]]
|-
| [[유한 생성 가군]] || 유한 생성 아벨 군
|-
| [[단순 가군]] || 아벨 [[단순군]] = [[소수 (수론)|소수]] 크기의 [[순환군]] <math>\mathbb Z/p</math>
|}

아벨 군 <math>G</math>의 (정수환 위의 가군으로서의) [[크룰 차원]]은 다음과 같다.
:<math>m=\begin{cases}\inf\{n\in\mathbb Z^+\colon nG=0\}\in\mathbb Z^+&\exists n\in\mathbb Z^+\colon nG=0\\
0&\nexists n\in\mathbb Z^+\colon nG=0\end{cases}</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>의 크룰 차원은 <math>\mathbb Z/(m)</math>의 크룰 차원과 같다. 즉, <math>m=0</math>일 경우 <math>G</math>의 크룰 차원은 1이며, <math>m=1</math>인 경우 <math>G</math>의 크룰 차원은 <math>-\infty</math>이며, 0 또는 1이 아닌 경우 <math>G</math>의 크룰 차원은 0이다.

아벨 군 <math>G</math>의 (정수환 위의 가군으로서의) [[가군의 길이|길이]]는 그 [[합성열]]({{llang|en|composition series}})의 최대 길이와 같다. 예를 들어, 아벨 유한군 <math>\mathbb Z/(n)</math>의 길이는 <math>n</math>의 소인수 분해가
:<math>n=\prod_ip_i^{n_i}</math>
일 때 <math>\sum_in_i</math>이다. 무한 순환군 <math>\mathbb Z</math>의 길이는 무한대이다.

[[정역]] <math>R</math> 위의 가군의 계수는 <math>\operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}M\otimes_R\operatorname{Frac}R)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{Frac}R</math>는 <math>R</math>의 [[분수체]]를 뜻하며, <math>\dim_{\operatorname{Frac}R}</math>는 분수체 위의 [[벡터 공간]]으로서의 차원이다. 이 경우, 아벨 군의 가군론적 계수는 아벨 군으로서의 계수와 같다.

=== 대수기하학적 성질 ===
아벨 군은 [[정수환]] 위의 가군이다. [[대수기하학]]적으로, 정수환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]은 다음과 같이, 소수 [[주 아이디얼]]을 닫힌 점으로 하는 1차원 [[스킴 (수학)|스킴]]이다.
:[[파일:Spec Z.png|정수환의 그림. 닫힌 점들은 소수로 생성되는 주 아이디얼이며, 이 밖에 일반점 (0)이 있다.]]
가환환 위의 가군은 가환환의 스펙트럼 위의 [[가군층]]을 이룬다. 즉, 아벨 군은 정수환의 스펙트럼 <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z</math> 위의 [[층 (수학)|층]]으로 생각할 수 있다. 이 경우, 유한 생성 아벨 군
:<math>G=\bigoplus_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathbb Z}\sum_{k=1}^\infty(\mathbb Z/\mathfrak p^k)^{\oplus n(\mathfrak p^k)}</math>
의 [[지지 집합]]은
:<math>\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}\mathbb Z\colon\exists k\colon n(\mathfrak p^k)\ne0\}</math>
이다. [[가군층]]의 직합 및 텐서곱은 아벨 군의 직합 및 텐서곱과 같다. 아벨 군 <math>G</math>의, 닫힌 점 <math>(p)</math> 위에서의 가군층의 올은 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math> 위의 [[벡터 공간]]
:<math>G\otimes_{\mathbb Z}\mathbb F_p\cong\mathbb F_p^{\oplus(n(0)+\sum_kn(p^k))}</math>
이며, [[일반점]] <math>(0)</math> 위에서의 가군층의 올은 [[유리수]] 위의 벡터 공간
:<math>G\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q\cong\mathbb Q^{\oplus n(0)}</math>
이다. 즉, 일반점 위에서의 가군층의 차원은 아벨 군의 계수와 같다.

예를 들어, 순환군 <math>\mathbb Z/m</math>의 지지 집합은 <math>m</math>의 소인수들이다. 만약 <math>\mathbb Z/m</math> 및 <math>\mathbb Z/n</math>이 주어졌을 때, 두 아벨 군의 텐서곱은
:<math>\mathbb Z/\gcd\{m,n\}</math>
이 된다. 특히, <math>m</math>과 <math>n</math>이 서로소라면 이는 [[자명군]]이 된다. 기하학적으로, 이는 <math>\mathbb Z/m\otimes\mathbb Z/n</math>의 지지 집합은 <math>\mathbb Z/m</math>의 지지 집합과 <math>\mathbb Z/n</math>의 지지 집합의 교집합이 되기 때문이다. 두 지지 집합이 겹치지 않는다면, 텐서곱이 항상 0이 된다.

=== 호몰로지 대수학적 성질 ===
아벨 군을 [[정수환]] 위의 가군으로 간주하였을 때, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이며, [[단사 가군]]은 [[나눗셈군]]이다.

임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>F</math>의 [[몫군]] <math>F/N</math>으로 나타낼 수 있다.
:<math>0\to N\to F\to G\to0</math>
또한, 자유 아벨 군의 모든 [[부분군]]은 자유 아벨 군이므로, 이는 길이가 1인 사영 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 <math>G</math>의 [[사영 차원]]은 다음과 같다.
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]일 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=1</math>
마찬가지로, 임의의 아벨 군 <math>G</math>은 어떤 [[나눗셈군]] <math>D</math>의 부분군으로 나타낼 수 있다.
:<math>0\to G\to D\to Q</math>
또한, 나눗셈군의 [[몫군]]은 역시 나눗셈군이므로, 이는 길이가 1인 단사 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 <math>G</math>의 [[단사 차원]]은 다음과 같다.
* <math>G</math>가 [[나눗셈군]]일 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[나눗셈군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=1</math>

=== 범주론적 성질 ===
아벨 군과 [[군 준동형]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로, [[완비 범주]]이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 [[극한 (범주론)|극한]]과 쌍대극한은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 범주론의 개념 !! 아벨 군론의 개념
|-
! [[영 대상]]
| [[자명군]] <math>0</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| 군의 [[직접곱]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}G_i</math>
|-
! [[쌍대곱]]
| 아벨 군의 [[직합]] <math>\textstyle\bigoplus_{i\in I}G_i</math>
|-
! [[동등자]]
| [[집합]]과 [[함수]]의 범주에서의 동등자
|-
! [[쌍대동등자]]
| <math>\phi,\chi\colon G\to H</math>의 쌍대동등자는 <math>\{\phi(g)-\chi(g)\colon g\in G\}</math>으로부터 생성되는 [[부분군]]에 대한 [[몫군]]
|-
! [[단사 사상]]
| [[단사 함수]]인 [[군 준동형]]
|-
! [[전사 사상]]
| [[전사 함수]]인 [[군 준동형]]
|-
! [[군 대상]]
| 아벨 군
|-
!  [[단사 대상]]
| [[나눗셈군]]
|-
! [[사영 대상]]
| [[자유 아벨 군]]
|}
다시 말해, [[정수환]] 위의 [[단사 가군]]은 [[나눗셈군]]이며, [[정수환]] 위의 [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이다.

아벨 군의 [[아벨 범주]]이며, 따라서 다음 성질들이 성립한다.
* 두 아벨 군 사이의 [[군 준동형]]들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 갖는다. 구체적으로, <math>\phi,\chi\colon G\to H</math>가 주어졌다면 <math>(\phi+\chi)\colon g\mapsto \phi(g)+\chi(g)</math>와 같이 정의한다.
* 모든 유한 [[곱 (범주론)|곱]]과 유한 [[쌍대곱]]이 존재하며, 서로 같다. 이는 [[직접곱]](=아벨 군의 [[직합]])이다.
* [[분할 완전열|분할 보조정리]]가 성립한다.

망각 함자
:<math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{Set}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]가 존재하며, 이는 집합을 그 집합으로부터 생성되는 [[자유 아벨 군]]에 대응시킨다. 마찬가지로, 포함 함자
:<math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{Grp}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]]가 존재하며, 이는 군을 그 [[아벨화]]에 대응시킨다.

또한, 아벨 군의 범주에서 [[유사환]]의 범주로 가는 [[충실충만한 함자]]
:<math>\operatorname{Ab}\to\operatorname{Rng}</math>
가 존재한다. 이는 아벨 군 <math>(G,+,0)</math>를 모든 곱이 0인 [[유사환]] <math>(G,+,\cdot,0)</math>, <math>g\cdot h=0\forall g,h\in G</math>으로 대응시킨다.

[[폰트랴긴 쌍대성]]에 의하여, 아벨 군의 범주의 [[반대 범주]]는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 아벨 [[위상군]]과 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.
:<math>\operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{HausCompAb}</math>
또한, 아벨 유한군의 범주의 반대 범주는 스스로와 동치이다.
:<math>\operatorname{FinAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{FinAb}</math>

=== 모형 이론적 성질 ===
아벨 군의 모임은 하나의 [[2항 연산]](+)과 하나의 1항 연산(&minus;), 하나의 0항 연산(0)을 갖는 [[대수 구조 다양체]]이다. [[군 (수학)|군]]의 [[대수 구조 다양체]]와 마찬가지로, 아벨 군의 [[합동 관계]]는 임의의 [[부분군]]에 의하여 정의된다 (아벨 군의 경우 모든 부분군이 [[정규 부분군]]이다).

== 분류 ==
아벨 군들은 일차적으로 계수 <math>\operatorname{rank}G</math>에 의하여 분류된다. 이는 [[기수 (수학)|기수]]이다.

일반적인 아벨 군은 분류하기 힘들다. 다만, 다음과 같은 부분적인 분류가 존재한다.
* 유한 생성 아벨 군은 완전히 분류되었다. 즉, 모든 유한 생성 아벨 군은 그 계수 및 [[꼬임 부분군]]에 의하여 완전히 분류된다.
* [[꼬임 부분군]]이 없는 계수 1의 아벨 군 역시 완전히 분류되었다.
* [[나눗셈군]] 역시 완전히 분류되었다.

=== 아벨 유한군의 분류 ===
모든 아벨 [[유한군]]은 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 '''소분해'''(素分解, {{llang|en|prime decomposition}})라고 한다.
:<math>G=\bigoplus_p\bigoplus_{i=1}^{t_p}\mathbb Z/p^{n_{p,i}}\qquad(n_{p,1}\ge n_{p,2}\ge\cdots\ge n_{p,t_p})</math>
여기서 <math>p</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이다.

마찬가지로 아벨 유한군을 다음과 같이 표현할 수도 있으며, 이를 '''불변 인자 분해'''(不變因子分解, {{llang|en|invariant factor decomposition}})라고 한다.
:<math>\mathbb Z/k_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb Z/k_u</math>
여기서
:<math>k_u \mid k_{u-1} \mid \cdots \mid k_1</math>
이다 (<math>a\mid b</math>는 <math>a</math>가 <math>b</math>의 약수임을 뜻한다).

이 두 분해는 [[중국인의 나머지 정리]]를 사용하여 서로 동치임을 보일 수 있다.<ref>{{서적 인용
  | 성 = Hungerford
  | 이름 = Thomas W.
  | 제목 = Algebra
  | 판=5
  | 출판사 = Springer
  | 날짜 = 1989
  | isbn = 978-0-387-90518-1
  | 언어=en
}}</ref>{{rp|78–81}} 구체적으로,
:<math>k_1=\prod_pp^{n_{p,1}}</math>
:<math>k_2=\prod_pp^{n_{p,2}}</math>
:<math>\vdots</math>
와 같다. 여기서, 만약 <math>i>t_p</math>라면 <math>n_{p,i}=0</math>으로 정의한다.

아벨 유한군은 항상 계수가 0이며, 최소 생성 집합의 크기는 <math>\max_p\{t_p\}</math>이다. 즉, 불변 인자 분해에서 항의 수와 같다.

==== 아벨 유한군의 자기 동형 ====
아벨 유한군의 [[자기 동형군]] 역시 완전히 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0605185|제목=Automorphisms of finite Abelian groups|이름=Christopher J.|성=Hillar|이름-2=Darren|성-2=Rhea|저널=The American Mathematical Monthly|bibcode=2006math......5185H|jstor=27642365|권=114|호=10|날짜=2007-12|쪽= 917–923|issn=0002-9890|언어=en}}</ref>
소분해가 주어진 아벨 <math>p</math>-유한군의 [[자기 동형군]]의 크기는 다음과 같다.
:<math>\left|\operatorname{Aut}\left(\bigoplus_{i=1}^t\mathbb Z/p^{n_i}\right)\right|= \prod_{k=1}^t(p^{t+1-D_k}-p^{k-1})\prod_{j=1}^tp^{n_j(D_j-1)}\prod_{i=1}^tp^{C_i(n_i-1)}</math>
여기서 항상
:<math>n_1\ge n_2\ge\cdots\ge n_t</math>
이며,
:<math>C_i=\max\{j\colon n_{p,i}=n_{p,j}\}</math>
:<math>D_i=\min\{j\colon n_{p,i}=n_{p,j}\}</math>
이다. 임의의 아벨 유한군
:<math>G=\bigoplus_pG_p</math>
의 자기 동형군은
:<math>\operatorname{Aut}(G)=\prod_p\operatorname{Aut}(G_p)</math>
이다.

=== 유한 생성 아벨 군의 분류 ===
모든 유한 생성 아벨 군 <math>G</math>는 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다.
:<math>G=\mathbb Z^n\oplus\operatorname{Tors}(G)</math>
여기서 <math>\operatorname{Tors}(G)</math>는 아벨 [[유한군]]이며, <math>G</math>의 '''[[꼬임 부분군]]'''이라고 한다. [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>은 <math>G</math>의 계수와 같다.

=== 꼬임 부분군이 없는 계수 1 아벨 군의 분류 ===
[[꼬임 부분군]]이 [[자명군]]이며, 계수가 1인 아벨 군들은 다음과 같이 완전히 분류된다.<ref>{{서적 인용| 이름=Phillip A. |성=Griffith | title=Infinite Abelian group theory | series=Chicago Lectures in Mathematics | publisher=University of Chicago Press | 날짜=1970 | isbn=0-226-30870-7 |언어=en}}</ref>

계수가 1인 아벨 군 <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 임의의 <math>g\in G</math> (<math>g\ne0</math>)에 대하여, 모든 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대한 <math>p</math>-높이들의 수열
:<math>\operatorname{ht}(g)=(\operatorname{ht}_2(g),\operatorname{ht}_3(g),\operatorname{ht}_5(g),\dots,\operatorname{ht}_p(g),\dots,)</math>
을 정의할 수 있다. 임의의 두 원소 <math>g,h\in G</math> (<math>g\ne 0\ne h</math>)에 대하여, 계수가 1이므로 항상
:<math>mg=nh</math>
인 <math>m,n\in\mathbb Z\setminus\{0\}</math>이 존재한다 (<math>\gcd(g,h)=1</math>). 따라서, 만악 <math>p</math>가 <math>m</math> 또는 <math>n</math>의 소인수가 아니라면, <math>\operatorname{ht}_p(g)=\operatorname{ht}_p(h)</math>가 된다. 즉, <math>\operatorname{ht}(g)</math>와 <math>\operatorname{ht}(h)</math>는 유한 개의 성분을 제외하고는 서로 일치한다. 이러한 두 <math>s,t</math>에 대하여
:<math>s\sim t\iff|\{p\colon s_p\ne t_p\}|<\aleph_0</math>
와 같이 [[동치]] 관계를 정의하면, [[동치류]] <math>[\operatorname{ht}(g)]</math>는 <math>g\in G</math>에 상관없이 유일하게 정의된다. 이를 <math>G</math>의 '''형'''({{llang|en|type}}) <math>T(G)</math>라고 하자.

그렇다면, [[꼬임 부분군]]이 없는 계수 1의 두 아벨 군 <math>G</math>, <math>H</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>와 <math>H</math>는 서로 [[동형]]이다.
* 두 군은 같은 형을 갖는다. 즉, <math>T(G)=T(H)</math>이다.

=== 고차 계수 아벨 군 ===
계수가 2 이상인 아벨 군의 분류는 사실상 불가능한 것으로 생각된다. 계수가 2 이상인, [[꼬임 부분군]]이 자명한 아벨 군의 분류는 계수 1인 경우와 비교할 때 (어떤 [[집합론]]적인 엄밀한 의미에서) 훨씬 더 어렵다.<ref>{{저널 인용|제목=The classification problem for torsion-free abelian groups of finite rank|doi=10.1090/S0894-0347-02-00409-5 |issn=0894-0347|이름=Simon|성=Thomas|저널=Journal of the American Mathematical Society | 날짜=2003-01 | 권=16|호=1|쪽=233–258 |mr=1937205 | 언어=en}}</ref>

== 예 ==
흔히 볼 수 있는 아벨 군의 예로는 다음이 있다.
{| class=wikitable
! 기호 || 설명 ||  계수 || 최소 생성 집합의 크기 || [[집합의 크기]]
|-
| <math>\mathbb Z/n</math> || [[순환군]] ||0 || 1 ||  <math>n</math>
|-
| <math>\mathbb Z/2\times\mathbb Z/2</math> || [[클라인 4원군]] || 0 || 2 || 4
|-
| <math>\mathbb Z</math> || [[무한 순환군]] || 1 || 1  || <math>\aleph_0</math>
|-
| <math>\mathbb Q</math> || [[유리수]]의 덧셈군 || 1 || <math>\aleph_0</math> || <math>\aleph_0</math>
|-
| <math>\mathbb Q^n</math> || [[유클리드 공간]]의 [[유리점]] || <math>n</math> || <math>\aleph_0</math> || <math>\aleph_0</math>
|-
| <math>\mathbb Q^+\cong\bigoplus_p\mathbb Z</math> || 양의 유리수의 곱셈군(=가산 개의 생성원의 [[자유 아벨 군]])|| <math>\aleph_0</math> || <math>\aleph_0</math>  || <math>\aleph_0</math>
|-
| <math>(\mathbb Z/2)^{\oplus\aleph_0}</math> || 2차 [[순환군]]의 [[가산 무한]] [[직합]] || 0 || <math>\aleph_0</math>  || <math>\aleph_0</math>
|-
| <math>\mathbb R</math> || [[실수]]의 덧셈군 || <math>2^{\aleph_0}</math> || <math>2^{\aleph_0}</math> || <math>2^{\aleph_0}</math>
|-
| <math>\mathbb R^n</math> || [[유클리드 공간]] || <math>2^{\aleph_0}</math> || <math>2^{\aleph_0}</math> || <math>2^{\aleph_0}</math>
|}

== 역사 ==
역사적으로, [[군론]]은 고차 방정식의 해법 가능성 여부에 대한 [[갈루아 이론]]으로부터 출발하였다. 이를 연구하던 [[닐스 헨리크 아벨]]은 어떤 [[다항식]]의 [[분해체]]의 [[갈루아 군]]이 아벨 군일 경우, 다항식의 해를 거듭제곱근만으로 나타낼 수 있음을 보였다. (이후 [[에바리스트 갈루아]]는 사실 갈루아 군이 [[가해군]]임이 족함을 보였다. 아벨 군은 [[가해군]]의 특수한 경우이다.)

아벨의 업적을 기리기 위하여, [[카미유 조르당]]이 이 개념을 "아벨 군"이라고 명명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en}}
* {{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}
* {{서적 인용 |last=Fuchs |first=László |날짜=1970 |title=Infinite Abelian groups. Volume I |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-I |publisher=Academic Press |mr=0255673| 언어=en }}
* {{서적 인용 |last=Fuchs |first=László |날짜=1973 |title=Infinite Abelian groups. Volume II |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-II |publisher=Academic Press |mr=0349869 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 성= Norman | 이름=Christopher  | 제목=Finitely generated Abelian groups and similarity of matrices over a field|총서= Springer Undergraduate Mathematics Series | doi=10.1007/978-1-4471-2730-7|issn=1615-2085|isbn=978-1-4471-2729-1|날짜=2012|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[리 군]]
* [[아벨 범주]]
* [[가해군]]
* [[가군]]
* [[유체론]]
* [[자유 아벨 군]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Abelian group}}
* {{매스월드|id=AbelianGroup|title=Abelian group}}
* {{nlab|id=abelian group|title=Abelian group}}
* {{nlab|id=Ab}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Abelian_group|제목=Abelian group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{수학노트|title=유한생성 아벨군의 기본정리}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/아벨_군|제목=아벨 군|웹사이트=오메가|언어=ko|확인날짜=2018-10-31|보존url=https://web.archive.org/web/20160315203115/http://mathwiki.net/%EC%95%84%EB%B2%A8_%EA%B5%B0|보존날짜=2016-03-15|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:아벨 군론| ]]
[[분류:닐스 헨리크 아벨]]