{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Function-x.svg|섬네일|실수 항등 함수의 그래프]]
[[수학]]에서 '''항등 함수'''(恒等函數, {{llang|en|identity function}}) 또는 '''항등 사상'''(恒等寫像, {{llang|en|identity map}}), '''항등 변환'''(恒等變換, {{llang|en|identity transformation}})은 [[정의역]]과 [[공역]]이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 [[함수]]이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''항등 함수''' <math>\operatorname{id}_X</math>는 다음과 같은 [[함수]]이다.
* <math>\operatorname{id}_X\colon X\to X</math>
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_X(x)=x</math>

== 성질 ==
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>f\circ\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_Y\circ f=f</math>
즉, 항등 함수는 집합의 [[범주 (수학)|범주]]에서의 항등 사상이다. 특히, <math>X</math>의 [[자기 함수]]의 집합 <math>\operatorname{End}(X)</math>는 [[함수의 합성]]에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>(f\circ\operatorname{id}_X)(x)
=f(\operatorname{id}_X(x))
=f(x)</math>
이므로,
:<math>f\circ\operatorname{id}_X=f</math>
이다. 마찬가지로 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여,
:<math>(\operatorname{id}_Y\circ f)(y)
=\operatorname{id}_Y(f(y))
=f(y)</math>
이므로,
:<math>\operatorname{id}_Y\circ f=f</math>
이다.
{{증명 끝}}

임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[전단사 함수]]이다.
* 다음을 만족시키는 함수 <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>가 존재한다. (이를 <math>f</math>의 [[역함수]]라고 한다.)
** <math>f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X</math>
** <math>f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y</math>
즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 [[동형 사상]]이다. 특히, <math>X</math>의 자기 전단사 함수의 집합 <math>\operatorname{Sym}(X)</math>은 함수의 합성에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이를 <math>X</math>의 [[대칭군]]이라고 한다.

== 예 ==
[[양의 정수]]의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>의 항등 함수는 [[완전 곱셈적 함수]]에 속한다.

[[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>의 항등 함수는 [[일차 함수]]에 속한다.

== 관련 개념 ==
=== (범주 속의) 항등 사상 ===
[[범주 (수학)|범주]]의 각 대상의 '''항등 사상'''(恒等寫像, {{llang|en|identity morphism}})은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 [[무정의 용어]]이다.

=== 항등 함자 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 '''항등 함자'''(恒等函子, {{llang|en|identity functor}}) <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]이다.
* <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C</math>
* 모든 대상 <math>X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)=X</math>
* 모든 대상 <math>X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)=f</math>
만약 <math>\mathcal C</math>가 [[작은 범주]]일 경우, 항등 함자 <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.
{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 함자}}
모든 대상 <math>X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_{\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)}</math>
이며, 모든 대상 <math>X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y\to Z</math>에 대하여
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname{id}_{\mathcal C}(g)\circ\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)</math>
이므로, <math>\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>는 (공변) 함자이다.
{{증명 끝}}

=== 항등 자연 변환 ===
함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>의 '''항등 자연 변환'''(恒等自然變換, {{llang|en|natural transformation}}) <math>\operatorname{id}_F</math>는 다음과 같은 [[자연 변환]]이다.
* <math>\operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F</math>
* 모든 대상 <math>X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>(\operatorname{id}_F)_X=\operatorname{id}_{F(X)}</math>
만약 <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math>가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 <math>\operatorname{id}_F</math>는 <math>\mathcal C</math>와 <math>\mathcal D</math> 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.
{{증명|부제=<math>\operatorname{id}_F</math>는 자연 변환}}
모든 대상 <math>X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>(\operatorname{id}_F)_Y\circ F(f)
=\operatorname{id}_{F(Y)}\circ F(f)
=F(f)
=F(f)\circ\operatorname{id}_{F(X)}
=F(f)\circ(\operatorname{id}_F)_X</math>
이므로, <math>\operatorname{id}_F</math>는 자연 변환이다.
{{증명 끝}}

== 같이 보기 ==
* [[포함 함수]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Identity map}}
* {{매스월드|id=IdentityMap|title=Identity map}}
* {{nlab|id=identity function|title=Identity function}}
* {{nlab|id=identity morphism|title=Identity morphism}}
* {{nlab|id=identity functor|title=Identity functor}}
* {{nlab|id=identity natural transformation|title=Identity natural transformation}}

{{집합론}}

[[분류:초등 수학]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:1]]
[[분류:함수의 종류]]