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[[수학]]에서 '''상'''(像, {{llang|en|image}})은 어떤 [[함수]]에 대한 [[정의역]]의 원소(들)에 대응하는 [[공역]]의 원소(들)이다. 반대로, '''원상'''(原像, {{llang|en|preimage}}) 또는 '''역상'''(逆像, {{llang|en|inverse image}})은 어떤 함수에 대한 [[공역]]의 원소(들)에 대응하는 [[정의역]]의 원소(들)이다.

== 정의 ==
[[정의역]]이 <math>X</math>, [[공역]]이 <math>Y</math>인 함수 <math>f\colon X\to Y</math>를 생각하자. 정의역의 원소 <math>x\in X</math>의, 함수 <math>f</math>에 대한 '''상'''은 공역의 원소 <math>f(x)\in Y</math>이다. 정의역의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>의, 함수 <math>f</math>에 대한 '''상'''은 공역의 부분 집합
:<math>f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y</math>
이다.

공역의 원소 <math>y\in Y</math>의, 함수 <math>f</math>에 대한 '''원상'''은 정의역의 부분 집합
:<math>f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X</math>
이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 <math>B\subseteq Y</math>의, 함수 <math>f</math>에 대한 '''원상'''은 정의역의 부분 집합
:<math>f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X</math>
이다.

정의역의 상을 '''[[치역]]'''이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.
{| class="wikitable"
! 상 !! 원상
|-
| <math>f(A)</math> || <math>f^{-1}(B)</math>
|-
| <math>f[A]</math> || <math>f^{-1}[B]</math>
|-
| <math>f_*(A)</math> || <math>f^*(B)</math>
|-
| <math>f^\rightarrow(A)</math> || <math>f^\leftarrow(B)</math>
|}

== 성질 ==
=== 합성 ===
임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y\to Z</math>에 대하여, 그 [[함수의 합성|합성]] <math>g\circ f\colon X\to Z</math>의 상과 원상은 다음과 같다.
:<math>(g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad(A\subseteq X)</math>
:<math>(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad(C\subseteq Z)</math>
즉, 상은 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>X\to\mathcal P(X)</math>
:<math>(f\colon X\to Y)\mapsto(f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y))</math>
를 정의하며, 원상은 함자
:<math>\operatorname{Set}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>X\to\mathcal P(X)</math>
:<math>(f\colon X\to Y)\mapsto(f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X))</math>
를 정의한다.

=== 단조성 ===
임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>A\subseteq A'\subseteq X</math>라면, <math>f(A)\subseteq f(A')</math>
* 만약 <math>B\subseteq B'\subseteq Y</math>라면, <math>f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')</math>
즉, 임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)</math>
:<math>f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)</math>
는 (범주로 본) [[멱집합]] [[격자 (순서론)|격자]] 사이의 두 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.

=== 상과 원상 사이의 관계 ===
임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 임의의 <math>A\subseteq X</math>에 대하여,
** <math>f^{-1}(f(A))\supseteq A</math>
** 만약 <math>f</math>가 [[단사 함수]]라면, <math>f^{-1}(f(A))=A</math>
* 임의의 <math>B\subseteq X</math>에 대하여,
** <math>f(f^{-1}(B))\subseteq B</math>
** 만약 <math>f</math>가 [[전사 함수]]라면, <math>f(f^{-1}(B))=B</math>
* 임의의 <math>A\subseteq X</math> 및 <math>B\subseteq Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
** <math>f(A)\subseteq B</math>
** <math>A\subseteq f^{-1}(B)</math>
이에 따라, 임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)</math>와 <math>f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)</math>는 서로 [[수반 함자]]이다.
:<math>f\dashv f^{-1}</math>

=== 기타 성질 ===
그 밖에도, 임의의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* 정의역 속의 [[집합족]] <math>(A_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여,
*:<math>f\biggl(\bigcup_{i\in I}A_i\biggr)=\bigcup_{i\in I}f(A_i)</math>
*:<math>f\biggl(\bigcap_{i\in I}A_i\biggr)\subseteq\bigcap_{i\in I}f(A_i)</math>
* 공역 속 [[집합족]] <math>(B_j)_{j\in J}\subseteq\mathcal P(Y)</math>에 대하여,
*:<math>f^{-1}\biggl(\bigcup_{j\in J}B_j\biggr)=\bigcup_{j\in J}f^{-1}\left(B_j\right)</math>
*:<math>f^{-1}\biggl(\bigcap_{j\in J}B_j\biggr)=\bigcap_{j\in J}f^{-1}\left(B_j\right)</math>
* 정의역의 두 부분 집합 <math>A,A'\subseteq X</math>에 대하여,
*:<math>f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')</math>
* 공역의 두 부분 집합 <math>B,B'\subseteq Y</math>에 대하여,
*:<math>f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')</math>

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Image|title=Image}}
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* {{플래닛매스|urlname=DirectImage|title=Direct image}}
* {{플래닛매스|urlname=InverseImage|title=Inverse image}}
* {{proofwiki|id=Definition:Image|제목=Definition: image}}
* {{proofwiki|id=Definition:Preimage|제목=Definition: preimage}}
{{집합론}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]