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[[리만 기하학]]에서 '''리만 곡률 텐서'''(Riemann曲率tensor, {{llang|en|Riemann curvature tensor}})는 [[리만 다양체]]의 [[곡률]]을 나타내는 (1,3)차 [[텐서장]]이다.

== 정의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[레비치비타 접속]] <math>\nabla</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면, 임의의 두 벡터장 <math>u,v\in\Gamma(\mathrm TM)</math>에 대하여, 다음과 같은 표현을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{Riem}(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w</math>
이 2차 [[미분 연산자]] <math>\operatorname{Riem}</math>은 사실 (1,3)차 텐서장에 불과한 것을 보일 수 있으며, 이 텐서장을 '''리만 곡률 텐서'''라고 한다. 즉, 리만 곡률 텐서는 [[공변 미분]]의 비가환성을 나타내는 개체로 이해할 수 있다.

=== 지표 표현 ===
좌표로 쓰면 다음과 같다. 여기서는 지표({{lang|en|index}})와 [[아인슈타인 표기법]]을 쓰자. 레비치비타 접속은 [[크리스토펠 기호]] <math>\Gamma^\mu_{\nu\rho}</math>로 나타내어진다. 그렇다면 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.
:<math>{\operatorname{Riem}^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}</math>

== 성질 ==
=== 대칭 ===
리만 곡률 텐서는 다음과 같은 대칭을 지닌다.
* 반대칭성
::<math>\operatorname{Riem}(u,v)=-\operatorname{Riem}(v,u)</math>
::<math>\langle \operatorname{Riem}(u,v)w,z \rangle=-\langle\operatorname{Riem}(u,v)z,w \rangle</math>
* 지표 교환 대칭성
::<math>\langle\operatorname{Riem}(u,v)w,z\rangle=\langle\operatorname{Riem}(w,z)u,v\rangle</math>
* 제1 비안키 항등식({{llang|en|first Bianchi identity}})
::<math>\operatorname{Riem}(u,v)w+\operatorname{Riem}(v,w)u+\operatorname{Riem}(w,u)v=0</math>
* 제2 비안키 항등식({{llang|en|second Bianchi identity}})
::<math>(\nabla_u\operatorname{Riem})(v,w)+(\nabla_v\operatorname{Riem})(w,u)+(\nabla_w\operatorname{Riem})(u,v)=0</math>.
이에 따라, <math>n</math>차원 다양체에서 리만 곡률 텐서는 <math>n^2(n^2-1)/12</math>개의 독립된 성분을 지닌다. (교환 대칭성은 반대칭성과 제1 비앙키 항등식으로부터 유도할 수 있다.)

지표로 쓰면 이들은 다음과 같다.
* 반대칭성
::<math>\operatorname{Riem}_{(\rho\sigma)\mu\nu}=R_{\rho\sigma(\mu\nu)}=0</math>
* 지표 교환 대칭성
::<math>\operatorname{Riem}_{\rho\sigma\mu\nu}=\operatorname{Riem}_{\mu\nu\rho\sigma}</math>
* 제1 비안키 항등식
::<math>\operatorname{Riem}_{\rho[\sigma\mu\nu]}=0</math>.
* 제2 비안키 항등식
::<math>\operatorname{Riem}_{\rho\sigma[\mu\nu;\tau]}=0</math>.
여기서 대괄호 <math>[\mu\nu\rho]</math>는 지표의 (완전) 반대칭화, 소괄호 <math>(\mu\nu)</math>는 지표의 대칭호를 뜻한다.

이 대칭에 따라서, <math>n</math>차원에서 리만 곡률 텐서의 서로 독립인 성분은
:<math>\frac1{12}n^2(n^2-1)</math>
개이다. 임의의 차원에서, 리만 곡률 텐서는 [[리치 곡률 텐서]]와 [[바일 곡률 텐서]]로 표현될 수 있다. 리치 곡률 텐서의 성분의 수는 <math>\tfrac12n(n+1)</math>이며 [[바일 곡률 텐서]]의 성분의 수는
:<math>\frac12(n-3)\binom{n+2}3\qquad(n\ge3)</math>
이다.

=== 공변 미분의 교환자 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 임의의 벡터장 <math>X</math>에 대하여, 리만 곡률의 정의에 따라 다음이 성립한다.
:<math>(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)X^\rho=\operatorname{Riem}^\rho{}_{\sigma\mu\nu}X^\sigma</math>
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 임의의 [[1차 미분 형식]] <math>\alpha</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>(\nabla_\mu\nabla_\nu-\nabla_\nu\nabla_\mu)\alpha_\sigma=-\operatorname{Riem}^\rho{}_{\sigma\mu\nu}\alpha_\rho</math>

보다 일반적으로, 임의의 <math>(r,s)</math>차 [[텐서장]] <math>T</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref>{{저널 인용|성=Sandberg|이름= Vernon D. |date=1978 |title=Tensor spherical harmonics on ''S''<sup>2</sup> and ''S''<sup>3</sup> as eigenvalue problems |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=19 |issue=12 |pages=2441–2446 |doi=10.1063/1.523649  |bibcode=1978JMP....19.2441S |url=https://authors.library.caltech.edu/32877/1/SANjmp78.pdf|언어=en }}</ref>
:<math>(\nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu) T^{\alpha_1 \dotsi \alpha_r}_{\beta_1 \dotsi \beta_s } =  \operatorname{Riem}^{\alpha_1}{}_{\rho \mu\nu} T^{\rho \alpha_2 \cdots \alpha_r}_{\beta_1 \dotsi \beta_s} + \dotsb + \operatorname{Riem}^{\alpha_r}{}_{\rho \mu\nu} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1} \rho}_{\beta_1 \dotsi \beta_s} - \operatorname{Riem}^\sigma{}_{\beta_1\mu\nu} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}_{\sigma \beta_2 \dotsi \beta_s} - \cdots - \operatorname{Riem}^\sigma{}_{\beta_s \mu\nu} T^{\alpha_1 \dotsi \alpha_r}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1} \sigma}</math>

=== 낮은 차원의 리만 곡률 ===
1차원 [[리만 다양체]](즉, [[곡선]])의 리만 곡률 텐서는 항상 0이다. 1차원 이하의 다양체는 내재적 곡률을 갖지 않는다.

2차원 [[리만 다양체]]의 경우, 리만 곡률 텐서는 1개의 독립된 성분을 가지며, 구체적으로 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\operatorname{Riem}_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}- g_{ad}g_{cb})</math>
:<math>K = \frac12\operatorname{tr}\operatorname{Ric}</math>
여기서 <math>K</math>는 [[가우스 곡률]]이며, [[스칼라 곡률]]의 ½배이다.

3차원 [[리만 다양체]]의 경우, 리만 곡률 텐서는 6개의 독립된 성분을 가지며, 이는 [[리치 곡률 텐서]]의 성분의 수와 같다. 이 경우 리만 곡률 텐서는 리치 곡률 텐서 <math>\operatorname{Ric}</math>로 표현될 수 있으며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Riem}_{abcd} = F_{ac}g_{bd} - F_{ad}g_{bc} + F_{bd}g_{ac} - F_{bc}g_{ad}</math>
:<math>F_{ab} = \operatorname{Ric}_{ab} - \frac14 (\operatorname{tr}\operatorname{Ric})g_{ab}</math>
여기서 텐서장 <math>F</math>는 [[리치 곡률 텐서]]와 [[아인슈타인 텐서]]의 평균이며, '''스하우턴 텐서'''({{Llang|en|Schouten tensor}})라고 한다.

== 역사 ==
[[베른하르트 리만]]의 이름을 땄으며, 리만의 1861년 논문<ref>{{저널 인용|제목=Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Ⅲ<sup>ma</sup> Academia Parisiensi propositae: “Trouver quel doit être l’état calorifique d’un d’un corps solide homogene indéfini pour qu’un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température d’un point puisse s’exprimer en fonction du temps et de deux autres variables independantes”|이름=Bernhard|성=Riemann|저자링크=베른하르트 리만|날짜=1861|언어=la}}</ref>에 원시적인 형태로 등장한다.<ref name="FK">{{저널 인용|url=https://core.ac.uk/download/pdf/81196658.pdf|제목=The missing link: Riemann’s “Commentatio,” differential geometry and tensor analysis|이름=Ruth|성=Farwell|이름2=Christopher|성2=Knee|저널=Historia Mathematica|권=17|날짜=1990|쪽=223–255|언어=en}}</ref>{{rp|228, 239}} 리만은 리만 곡률 텐서를 <math>(\iota\iota',\iota''\iota''')</math>로 표기하였다.<ref name="FK"/>{{rp|228}}

이후 [[엘빈 브루노 크리스토펠]]이 1869년에 같은 개념을 독자적으로 발견하였다.<ref name="FK"/>{{rp|228, 239}} 이 때문에 '''리만-크리스토펠 텐서'''라고 불리기도 한다.

== 응용 ==
[[일반 상대성 이론]]은 [[리만 기하학]]을 기반으로 한다. 그러나 이 경우 리만 곡률 텐서 자체는 [[아인슈타인 방정식]]에 등장하지 않으며, 오직 [[리치 곡률 텐서]](또는 [[아인슈타인 텐서]])만이 등장한다. 다시 말해, 리만 곡률 텐서의 나머지 성분(즉, [[바일 곡률 텐서]])은 장방정식에 대하여 결정되지 않으며, 이는 [[중력파]]에 해당한다.

== 같이 보기 ==
* [[일반상대론의 수학적 공식화 개론]]
* [[리치 곡률 텐서]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemann tensor}}
* {{매스월드|id=RiemannTensor|title=Riemann tensor}}
* {{nlab|id=Riemann curvature}}
* {{수학노트|title=리만 곡률 텐서}}
* [https://eisatopon.blogspot.com/2024/10/riemann-curvature-through-history-pdf.html The Riemann Curvature Through History (pdf) ]
[[분류:Theorems about circles]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:베른하르트 리만]]