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[[미분위상수학]]과 [[대수기하학]]에서 '''피카르-렙셰츠 이론'''({{llang|en|Picard–Lefshetz theory}})은 [[복소다양체]] 위의 [[정칙함수]]의 특이점 주위의 [[모노드로미]]를 연구하는 이론이다. [[모스 이론]]의 [[복소수]] 버전이라고 생각할 수 있다.

== 피카르-렙셰츠 공식 ==
복소 <math>k</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[복소다양체]] <math>M</math> 위에 [[정칙함수]] <math>f\colon M\to\hat{\mathbb C}</math>가 있다고 하자. 이러한 함수의 '''[[특이점]]'''은 <math>\partial f(p_i)=0</math>인 점 <math>p_i\in M</math>들이다. 특이점들이 [[이산 공간]]을 이루고, 또한 그 [[상 (수학)|상]] <math>z_i=f(p_i)</math>들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 <math>z\in\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\}</math>에 대하여 <math>M_z=f^{-1}(z)</math>는 [[위상동형]]이다. <math>z\to z_i</math>인 극한을 취하면, <math>M_z</math>의 [[호몰로지류]] 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 <math>(k-1)</math>차 호몰로지류 <math>\delta_i\in H_{k-1}(M_z)</math>임을 보일 수 있다. (<math>M_z</math>는 실수 <math>2(k-1)</math>차원이다.) <math>z</math>를 <math>z_i</math> 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 [[모노드로미]]는 <math>H_{k-1}(M_z)</math>에 대한 [[군의 작용|작용]]으로 표현할 수 있다. 즉, 이 [[모노드로미]]는 [[기본군]] <math>\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)</math>의 <math>H_{k-1}(M_z)</math>에 대한 [[군의 작용|작용]]으로 나타내어진다.

'''피카르-렙셰츠 공식'''에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. <math>w_i\in\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)</math>가 <math>z_i</math>를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,
:<math>w_i\colon\gamma\mapsto\gamma+(-1)^{k(k+1)/2}(\langle\gamma,\delta_i\rangle)\delta_i</math>
이다. 여기서
:<math>\langle\gamma,\delta_i\rangle=[M_z]\smile (\gamma\frown\delta_i)</math>
이다.

== 역사 ==
[[에밀 피카르]]와 [[솔로몬 렙셰츠]]의 이름을 땄다. [[에밀 피카르]]와 조르주 시마르({{llang|fr|Georges Simart}})는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고,<ref>{{서적 인용 | 공저자=Georges Simart | 성=Picard | 이름=Émile | 저자링크=에밀 피카르 | title=Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I| publisher=Gauthier-Villars et Fils | 언어 = fr | year=1897|url=http://www.archive.org/details/thoriedesfoncti00simagoog | jfm = 28.0327.01}}</ref> [[솔로몬 렙셰츠]]가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.<ref>{{서적 인용 | 성=Lefschetz | 이름=S. | 저자링크=솔로몬 렙셰츠 | 제목=L’analysis situs et la géométrie algébrique | 출판사=Gauthier-Villars | mr=0033557 | 날짜=1924 | jfm = 50.0663.01}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Applied Picard-Lefschetz Theory|이름=V. A.|성=Vassiliev|isbn=978-0-8218-2948-6|총서=
AMS Mathematical Surveys and Monographs|날짜=2002|권=97|zbl=1039.32039|출판사=American Mathematical Society|zbl=1039.32039|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Nicolaescu|first=Liviu|title=An Invitation to Morse Theory|date=2011|isbn=978-1-4614-1104-8|series=Universitext|issn=0172-5939|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-4614-1105-5|edition=2판|mr=2883440|zbl=1238.57001|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Groupes de monodromie en géométrie algébrique|doi=10.1007/BFb0060505|총서=Lecture Notes in Mathematics |권=340|날짜=1973|출판사=Springer|isbn=978-3-540-06433-6|이름=P.|성=Deligne|저자링크=피에르 들리뉴|공저자=N. M. Katz|zbl=0258.00005|기타=Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 7 II|언어=fr}}
*{{저널 인용 | last=Lamotke | first=Klaus | title=The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz | doi=10.1016/0040-9383(81)90013-6 | mr=592569 | zbl = 0445.14010 | 날짜=1981 | journal=Topology | issn=0040-9383 | volume=20 | issue=1 | pages=15–51 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Complex Morse theory|이름=Jonathan|성=Fisher|날짜=2010-04-22|url=http://www.math.utoronto.ca/jmfisher/papers/mat1341.pdf|언어=en|확인날짜=2013-10-26|보존url=https://web.archive.org/web/20131029195443/http://www.math.utoronto.ca/jmfisher/papers/mat1341.pdf#|보존날짜=2013-10-29|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Symplectic Picard–Lefshetz theory|이름=Jonny|성=Evans|url=http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucahjde/neuchatel-talk-beamer.pdf|날짜=2012-04-17|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=Lectures on singularities of maps|이름=Gergely|성=Berczi|날짜=2010|url=http://people.maths.ox.ac.uk/berczi/singnotes.pdf|언어=en|확인날짜=2013-10-26|archive-date=2013-10-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20131029211834/http://people.maths.ox.ac.uk/berczi/singnotes.pdf}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]