{{위키데이터 속성 추적}}
[[C* 대수]] 이론에서, '''상태'''(狀態, {{llang|en|state}})는 [[C* 대수]] 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, [[작용소 노름]] 1의 복소수 값 [[유계 작용소]]이다. 이는 대략 C* 대수를 [[비가환 기하학|비가환 공간]]으로 여겼을 때 일종의 “[[확률 측도]]”로 여길 수 있다. [[양자역학]]의 [[밀도 행렬]]을 추상화한 개념이다.

'''겔판트-나이마르크-시걸 구성'''(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, {{llang|en|Gelfand–Naimark–Segal construction}}, 약자 '''GNS 구성''')에 따라, 상태들은 [[C* 대수]]의, [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 표현(의 [[동치류]])와 [[일대일 대응]]한다.

== 정의 ==
(항등원을 갖는) [[복소수 대합 대수]] <math>(A,^*)</math> 위의 [[복소수 선형 변환]]
:<math>f\colon A\to\mathbb C</math>
가 다음 조건을 만족시킨다면, '''상태'''라고 한다.<ref name="Arveson">{{서적 인용|first=William|last=Arveson|제목=An invitation to C*-algebras|출판사=Springer-Verlag|날짜=1976|isbn=978-0-387-90176-3|doi=10.1007/978-1-4612-6371-5|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=39|언어=en}}</ref>{{rp|27, §1.6}}<ref>{{저널 인용|제목=Algebras of unbounded operators|이름=Robert T.|성=Powers|저널=Communications in Mathematical Physics|권=21|호=2|쪽=84–124|날짜=1971|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103857289|mr=283580|zbl=0214.14102|언어=en}}</ref>{{rp|107, Definition 6.2}}
* 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>f(a^*a)\in[0,\infty)</math>이다.
* <math>f(1)=1</math>이다.

[[C* 대수]] <math>A</math>의 상태들의 공간을 <math>\operatorname{State}(A)\subseteq A^*</math>라고 하자 (<math>A^*</math>는 <Math>A</math>의 [[연속 쌍대 공간]]). 이는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]이며, [[크레인-밀만 정리]]에 의하여 이는 [[극점 (기하학)|극점]]들을 갖는다. [[극점 (기하학)|극점]]인 상태들을 '''순수 상태'''(純粹狀態, {{llang|en|pure state}})<ref name="Arveson"/>{{rp|29, §1.6}}, 아닌 상태들을 '''혼합 상태'''(混合狀態,{{llang|en|mixed state}})라고 한다. (이 용어들은 [[양자역학]]에서 유래하였다.)

=== *-표현 ===
[[C* 대수]] <math>A</math>의 '''*-표현'''(*-表現) <math>(\mathcal H,\rho)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>\mathcal H</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]]이다.
* <math>\rho\colon A\to\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>는 [[복소수 대합 대수]]의 준동형이다. 즉, [[환 준동형]]이며, [[복소수 선형 변환]]이며, [[대합 (수학)|대합]]과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>\rho(a+b)=\rho(a)+\rho(b)</math>
** 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>\rho(ab)=\rho(a)\rho(b)</math>
** 임의의 <math>a\in A</math> 및 <math>\lambda\in\mathbb C</math>에 대하여, <math>\rho(\lambda a)=\lambda\rho(a)</math>
** 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>\rho(a^*)=\rho(a)^*</math> (우변의 <math>^*</math>는 [[에르미트 수반]])
** <math>\rho(1)=1</math> ([[항등 함수]])

<math>A</math>의 *-표현 <math>(\mathcal H,\rho)</math>에 대하여, 만약 <math>v\in\mathcal H</math>가 다음 조건을 만족시킨다면 '''순환 벡터'''라고 한다.<ref name="Arveson"/>{{rp|29, §1.6}}
:<math>\{\rho(a)x\colon a\in A\}</math>는 <math>\mathcal H</math>의 ([[노름]]으로 정의된 [[거리 위상]]에 대한) [[조밀 집합]]이다.

== 성질 ==
=== 기초적 성질 ===
[[복소수 대합 대수]] <math>A</math> 위의 상태 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>가 주어졌을 때, [[에르미트 형식]]
:<math>B_f\colon A\times A\to\mathbb C</math>
:<math>B_f\colon (a,b)\mapsto f(a^*b)</math>
을 정의할 수 있다. 이는 [[양의 준정부호]]이므로, [[코시-슈바르츠 부등식]]
:<math>|B_f(a,b)|^2\le B_f(a,a)B_f(b,b)\qquad\forall a,b\in A</math>
가 성립한다. 즉,
:<math>|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A</math>
이다.

[[C* 대수]] 위의 상태의 [[작용소 노름]]은 항상 1이다.<ref name="Arveson"/>{{rp|28, Proposition 1.6.2}} 특히, 항상 [[연속 함수]]를 이룬다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
우선, 다음 보조 정리를 증명하자.
:'''①''' [[C* 대수]] <math>A</math>의 [[자기 수반 원소]] <math>a\in A</math>가 <math>\|a\|\le1</math>이라면, <math>b^2=1-a</math>인 [[자기 수반 원소]] <math>b\in A</math>가 존재한다.
:'''①의 증명:''' <math>a</math>로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 [[C* 대수]] <math>B\subseteq A</math>를 생각하자. 이는 [[가환환|가환]] [[C* 대수]]이며, [[겔판트-나이마르크 정리]]에 의하여 어떤 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대한 <math>B\cong\mathcal C^0(X,\mathbb C)</math>로 표현되며, 이 표현 아래 <math>x</math>는 [[치역]]이 <math>[-1,1]</math>의 부분 집합인 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to\mathbb C</math>에 대응된다. 이 경우, <math>\sqrt{1-f}</math>에 대응되는 원소가 <math>b\in B\subseteq A</math>이다.

임의의 [[C* 대수]] <math>A</math> 위의 임의의 상태 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>를 생각하자. <math>f\colon 1_A\mapsto1_{\mathbb C}</math>이므로 <math>\|f\|\ge1</math>이다. 즉, <math>\|f\|\le1</math>임을 보이면 족하다.

임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>\|a\|\le1</math>이라고 하자. 이제 <math>|f(a)|\le1</math>임을 보이면 족하다. 그런데 [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의하여
:<math>|f(a)|^2\le f(a^*a)</math>
이다. 즉, <math>f(a^*a)\le1</math>, 즉 <math>f(1-a^*a)\ge0</math>임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.
</div></div>

=== 분해 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[C* 대수]] <math>A</math>
* [[유계 작용소]] <math>f\colon A\to\mathbb C</math>
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* 임의의 [[자기 수반 원소]] <math>a\in A</math>에 대하여, <math>f(a)\in\mathbb R</math>
그렇다면, <math>f</math>는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.
:<math>f=\alpha_+f_+-\alpha_-f_-</math>
여기서
* <math>f_+,f_-\colon A\to\mathbb C</math>는 <math>A</math> 위의 두 상태이다.
* <math>\alpha_+,\alpha_-\in[0,\infty)</math>는 음이 아닌 두 실수이며, <math>\|f\|=\alpha_++\alpha_-</math>이다.

=== 정규 상태 ===
[[폰 노이만 대수]] <math>A</math> 위의 상태 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 '''정규 상태'''(正規狀態, {{llang|en|normal state}})라고 한다.<ref>{{서적 인용|제목=C*-algebras|이름=Garth|성=Warner|url=https://www.math.washington.edu/~warner/C-star.pdf|언어=en}}</ref>{{rp|§12.6, Theorem 12.14}}
* <math>f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)</math>는 [[약한 작용소 위상]] 아래 [[연속 함수]]이다.
* <math>f\restriction\operatorname{cl}\operatorname{ball}_A(0,1)</math>는 [[강한 작용소 위상]] 아래 [[연속 함수]]이다.
* 임의의 *-표현 <math>(\mathcal H,\rho)</math>에 대하여, <math>\rho(a)=\operatorname{tr}(T\rho(a))</math>가 성립하는 [[대각합류 작용소]] <math>T\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>가 존재한다. (이 경우, <math>T</math>를 <math>f</math>의 '''[[밀도 행렬]]'''이라고 한다.)

=== 겔판트-나이마르크-시걸 구성 ===
'''겔판트-나이마르크-시걸 구성'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:① [[C* 대수]] <math>A</math>의 상태 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 <Math>(\mathcal H,\rho)</math> 및 그 속의 순환 벡터 <math>v\in\mathcal H</math>가 존재한다.<ref name="Arveson"/>{{rp|28, Theorem 1.6.3}}
::<math>\forall a\in A\colon f(a)=\langle\rho(a)v,v\rangle</math>
:② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 <math>(\mathcal H,\rho,v)</math>, <math>(\mathcal H',\rho',v')</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 [[전단사 함수|전단사]] [[유니터리 변환]] <math>U\colon\mathcal H\to\mathcal H'</math>이 존재한다.<ref name="Arveson"/>{{rp|31, Exercise 1.6.B}}
::<math>\forall a\in A\colon \rho'(a)=U\rho(a)U^*</math>
::<math>\forall a\in A\colon \rho'(a)v'=U\rho(a)v</math>
즉, [[C* 대수]]의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) [[동치류]]들과 [[일대일 대응]]한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''구성:'''
<div class="mw-collapsible-content">
구체적으로, 상태 <math>f\colon A\to\mathbb C</math>에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.<ref>{{서적 인용|first=G.|last1=Emch|title=Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory|publisher=Wiley-Interscience|year=1972|isbn=0-471-23900-3}}</ref>{{rp|73, Theorem I.2.14}} 우선, [[양쪽 아이디얼]]
:<math>\mathfrak I=\{a\in A\colon f(a^*a)=0\}</math>
를 정의하면, [[복소수 힐베르트 공간]]은
:<math>\mathcal H=\overline{A/\mathfrak I}</math>
이다. (위의 줄은 [[내적 공간]]의 [[완비 거리 공간|완비화]]를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.
:<math>\langle a+\mathfrak I,b+\mathfrak I\rangle_{\mathcal H}=f(ab)\qquad\forall a,b\in A</math>
그 위의 *-표현은 다음과 같다.
:<math>\rho\colon A\to \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>
:<math>\rho\colon a\mapsto (b+\mathcal I\mapsto ab+\mathfrak I)</math>
그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.
:<math>v=1_A+\mathfrak I\in\mathcal H</math>
</div></div>

=== 순수 상태 ⇔ 기약 *-표현 ===
[[C* 대수]] <Math>A</math>의 *-표현 <math>(\mathcal H,\rho)</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면 '''기약 *-표현'''({{llang|en|irreducible *-representation}})이라고 한다.<ref name="Arveson"/>{{rp|16, Exercise 1.3.D}}
* <math>\mathcal H\ne\{0\}</math>
* 임의의 [[닫힌집합|닫힌]] 부분 벡터 공간 <math>V\subseteq\mathcal H</math>에 대하여, 만약 <Math>\{0\}\ne V\ne\mathcal H</math>라면, <math>\rho(a)V\ne V</math>인 <math>a\in A</math>가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 [[동치류]])들과 [[일대일 대응]]한다.<ref name="Arveson"/>{{rp|30, Theorem 1.6.6}}

== 예 ==
임의의 유한 차원 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H=\mathbb C^N</math> 및 모든 <math>N\times N</math> 복소수 [[행렬]]로 구성된 [[폰 노이만 대수]] <math>\mathcal A=\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)</math>를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 [[에르미트 행렬]] <math>\rho</math>를 생각하자.
:<math>\operatorname{tr}\rho=1</math>
:<math>\rho=\rho^\dagger</math>
또한, <math>\rho</math>의 모든 [[고윳값]]이 음이 아닌 실수라고 하자.
그렇다면, 함수
:<math>\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)\to\mathbb C</math>
:<math>O\mapsto\operatorname{tr}(\rho O)=\operatorname{tr}(O\rho)</math>
는 <math>\operatorname{Mat}(N,N;\mathbb C)</math> 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 <math>\rho=|v\rangle\langle v|</math> (<math>v\in\mathbb C^N</math>는 [[단위 벡터]])의 꼴의 상태들이다. 이 경우
:<math>\phi_{|v\rangle\langle v|}\colon O\mapsto\operatorname{tr}(O|v\rangle\langle v|)=\langle v|O|v\rangle</math>
이다.

== 역사 ==
상태의 개념은 [[양자역학]]에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 [[이즈라일 겔판트]]와 [[마르크 아로노비치 나이마르크]]가 1943년에 [[겔판트-나이마르크 정리]]를 증명하는 데 사용하였으나,<ref>{{저널 인용|이름1=I.|성=Gelfand|저자링크=이즈라일 겔판트|이름2=Mark A. | 성2=Neumark |저자링크2=마르크 아로노비치 나이마르크|title=On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space |journal=Математический сборник |volume=12 |issue=2 |날짜=1943 |pages=197–217 |url=http://mi.mathnet.ru/msb6155|mr=9426|zbl=0060.27006|언어=en}}</ref> 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸({{llang|en|Irving Ezra Segal}})이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Irving Ezra|성=Segal|title=Irreducible representations of operator algebras |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=53 |issue= |날짜=1947 |pages=73–88 |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08742-5|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[양자역학]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PositiveLinearFunctional|title=Positive linear functional|이름=Mohammad Sal|성=Moslehian}}
* {{nlab|id=state on an operator algebra|title=State on an operator algebra}}
* {{nlab|title= Gelfand-Naimark-Segal construction }}
* {{웹 인용|url=http://planetmath.org/positivelinearfunctional|제목=Positive linear functional|웹사이트=PlanetMath|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://randomperturbation.wordpress.com/2011/07/07/states-and-representations-of-c-algebras/|제목=States and representations  of C*-algebras|날짜=2011-07-07|웹사이트=The Vortex|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/229057/states-in-c-algebras-and-their-origin-in-physics|제목=States in C*-algebras and their origin in physics|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:연산자 이론]]