{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''E<sub>6</sub>'''는 다섯 개의 예외적 단순 [[리 군]] 가운데 하나다.<ref>{{서적 인용|성=Adams|이름=John Frank|제목=Lectures on exceptional Lie groups|출판사=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-0-226-00526-3|mr=1428422|날짜=1996-12|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|언어=en|확인날짜=2013년 9월 15일|보존url=https://web.archive.org/web/20120908024218/http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|보존날짜=2012년 9월 8일|url-status=dead}}</ref><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref> 78차원의 리 군이며, 그 [[리 대수]]는 <math>\mathfrak e_6</math>이다.

== 정의 ==
E<sub>6</sub>는 [[팔원수]]를 사용한 다양한 방법으로 정의할 수 있다.

=== 요르단 대수를 사용한 정의 ===
3×3 [[팔원수]] [[에르미트 행렬]]로 구성된 [[요르단 대수]] <math>\operatorname H(3;\mathbb O)</math>가 존재하며, 이는 실수 요르단 대수의 분류에서 유일한 예외적 요르단 대수이다. 이는 실수 27차원 대수이다.

<math>\operatorname H_3(\mathbb O)</math> 위의 '''[[행렬식]]'''을 다음과 같이 정의하자.<ref name="Baez">{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|zbl=1026.17001|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X|언어=en}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez|언어=en}}</ref>{{rp|§3.4}}
:<math>\det M=\frac13\operatorname{tr}M^3-\frac12\operatorname{tr}M^2\operatorname{tr}M+\frac16(\operatorname{tr}M)^3</math>
성분으로 표기하면 이는 다음과 같다.
:<math>\det\begin{pmatrix}a&z&y\\\bar z&b&x\\\bar y&\bar x&c\end{pmatrix}=abc-(a|x|^2+b|y|^2+c|z|^2)+2\operatorname{Re}(xyz)</math>
<math>\operatorname{GL}(27;\mathbb R)</math>에서, 3×3 팔원수 에르미트 행렬의 행렬식을 보존하는 부분군은 E<sub>6</sub>의 비콤팩트 형식 E<sub>6(&minus;26)</sub>과 동형이다.<ref name="Baez"/>{{rp|§4.4}}

=== 팔원수를 사용한 정의 ===
두 [[나눗셈 대수]] <math>K</math>, <math>K'</math>이 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''[[프로이덴탈 마방진]]'''이라는 [[리 대수]]의 작도가 존재한다.<ref name="Baez"/>{{rp|§4.3}} E<sub>6</sub>의 리 대수는 <math>(K,K')=(\mathbb O,\mathbb C)</math>를 사용하여 정의할 수 있다. 구체적으로, 마방진을 사용하여 다음과 같은 [[벡터 공간]]에 자연스러운 리 대수를 줄 수 있으며, 이는 E<sub>6</sub>의 [[리 대수]]와 같다.<ref name="Baez"/>{{rp|§4.4}}
:<math>\mathfrak e_6\cong\mathfrak{der}(\mathbb O)\oplus\mathfrak{su}(3;\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O)\cong
\mathfrak{der}(\mathfrak h(3;\mathbb O))\oplus\mathfrak{sh}(3;\mathbb O)
</math>
여기서
* <math>\mathfrak{der}(\mathbb O)\cong\mathfrak g_2</math>는 팔원수 대수 위의 [[미분 (대수학)|미분]]들의 리 대수이며, 14차원이다. 이는 [[G₂|G<sub>2</sub>]]의 리 대수와 같다.
* <math>\mathfrak{su}(3;\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O)</math>는 <math>\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb O</math> 계수의 3×3 반에르미트 행렬 가운데, [[대각합]]이 모두 0인 것들이다. 이는 리 대수를 이루지 않으며, 3×16+8×2=64차원이다.
* <math>\mathfrak{der}(\mathfrak h(3;\mathbb O))\cong\mathfrak f_4</math>는 예외적 [[요르단 대수]] 위의 [[미분 (대수학)|미분]]들의 리 대수이며, 52차원이다. 이는 [[F₄|F<sub>4</sub>]]의 리 대수와 같다.
* <math>\mathfrak{sh}(3;\mathbb O)</math>는 예외적 요르단 대수 (3×3 팔원수 [[에르미트 행렬]]) 가운데, [[대각합]]이 0인 것들이다. 이는 3×8+2=26차원이다.
따라서, E<sub>6</sub>의 차원은 14+64=52+26=78인 것을 알 수 있다.

이 밖에도, E<sub>6</sub>의 실수 형식 E<sub>6(&minus;26)</sub>은 "[[팔원수]]에 대한 3차원 [[특수직교군]]"으로 여길 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Tevian|성=Dray|이름2=Corinne A.|성2=Manogue|제목=Octonions and the structure of E<sub>6</sub>|저널=Comment. Math. Univ. Carolin.|권=51|쪽=193–207|날짜=2010|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Aaron|성=Wangberg|이름2=Tevian|성2=Dray|제목=E<sub>6</sub>, the group: the structure of SL(3,𝕆)|arxiv=1212.3182|언어=en}}</ref> (물론 팔원수는 [[환 (수학)|환]]을 이루지 않으므로, 팔원수에 대한 특수직교군은 실제로 존재하지 않는다.)
:<math>E_{6(-26)}\cong\text{``}\operatorname{SL}(3;\mathbb O)\text{''}</math>

=== Spin(10)을 통한 정의 ===
E<sub>6</sub>은 SO(10)×SO(2)를 부분군으로 가지므로, 이를 통해 E<sub>6</sub>를 구성할 수 있다. 구체적으로, Spin(10)은 16차원 [[바일 스피너]]를 가지는데, 이에 따라 E<sub>6</sub>의 [[리 대수]]를
:<math>\mathfrak e_6 = \mathfrak{so}(10) \oplus \mathfrak{so}(2) \oplus \mathbf{16}^{-3}\oplus\overline{\mathbf{16}}^{+3}</math>
의 꼴로 구성하여, 두 스피너 사이의 적절한 [[리 괄호]]를 정의하면 된다.

이 구성에서 실수 형식을 취하려면, SO(2)를 <math>\operatorname U(1)</math> 또는 <math>\operatorname{SO}(1,1)</math> 가운데 하나로 선택하여야 한다. 즉, 전자의 경우 정의 표현은 1차원 복소수 표현으로 간주되며, 후자의 경우 정의 표현은 2차원 실수 표현이다.
* 전자의 경우, 두 [[바일 스피너]]가 서로 상호 켤레이어야 한다. 즉, 계량 부호수 <math>(p,q)</math>에서, <math>|(p-q)\bmod8| = 2</math>이어야 한다. 이 경우는 (10,0), (8,2), (6,4) 세 가지가 있다. 이들은 각각 [[단순 리 대수]] D<sub>5(−45)</sub>, D<sub>5(−13)</sub>, D<sub>5(3)</sub>에 대응하며, 각각 E<sub>6(&minus;78)</sub> (콤팩트), E<sub>6(−14)</sub>, E<sub>6(2)</sub>를 구성한다.
* 후자의 경우, [[마요라나-바일 스피너]]가 존재해야 한다. 즉, 계량 부호수 <math>(p,q)</math>에서, <math>p\equiv q\pmod8</math>이어야 한다. 이 경우는 (5,5), (9,1) 두 가지가 있다. 이들은 각각 [[단순 리 대수]] D<sub>5(5)</sub> 및 D<sub>5(−27)</sub>에 대응하며, 각각 E<sub>6(6)</sub> (분할) 및 E<sub>6(−26)</sub>을 구성한다.

=== 실수 형식 ===
E<sub>6</sub>는 다섯 개의 실수 형식을 갖는다. 이들은 다음과 같다<ref>{{저널 인용|arxiv=1412.1659|제목=On the real forms of the exceptional Lie algebra ꬲ<sub>6</sub> and their Satake diagrams|이름=Christina|성=Draper|이름2=Valerio|성2=Guido|날짜=2014|언어=en}}</ref> ([[군의 중심|중심]]이 없는 형태).
{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 다른 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[외부자기동형군]] !! 극대 콤팩트 부분군 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| E<sub>6(&minus;78)</sub> || || [[콤팩트 공간|콤팩트]] 형식 || Cyc(3) || Cyc(2) || E<sub>6(&minus;78)</sub> || <math>\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet</math>
|| <math>\circ-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>6(6)</sub> || EⅠ || 분할(split) 형식 || Cyc(2) || Cyc(2) || USp(8)/{±1} || <math>\circ-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ</math>
| <math>\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}</math>
|-
| E<sub>6(2)</sub> || EⅡ || 준분할 형식 || Cyc(6) || Cyc(2) || SU(2)×PSU(6)|| <math>\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}</math>
| <math>\circ-\circ-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>6(&minus;14)</sub> || EⅢ || || Cyc(∞) || [[자명군|1]] || SO(2)×Spin(10)|| <math>\underbrace{\circ-\bullet-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\circ}</math>
| <math>\bullet-\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ-\circ</math>
|-
| E<sub>6(&minus;26)</sub> || EⅣ || || [[자명군|1]] || Cyc(2) || [[F₄|F<sub>4</sub>]] || <math>\circ-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\circ</math>
| <math>\underbrace{\circ-\underbrace{\circ-\overset{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}\circ-\circ}-\,\circ}</math>
|}
[[사타케 도표]]와 [[보건 도표]]에서, 중괄호 (<math>\underbrace{\color{White}m}</math>)는 화살표(<math>\leftrightarrow</math>)를 나타낸다.

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
E<sub>6</sub>의 주요 극대 [[부분군]]들은 다음이 있다.
* <math>\left(\operatorname{Spin}(10)\times\operatorname U(1)\right)/(\mathbb Z/4)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.10}} 이는 E<sub>6</sub>의 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 대하여 고정된 원소들로 구성된다. 이는 E<sub>6</sub> [[딘킨 도표]]에서, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다. 이 부분군은 [[대통일 이론]]에서 중요한 역할을 한다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet</math>
* <math>\left(\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{USp}(2)\right)/(\mathbb Z/4)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.11}} 이는 E<sub>6</sub>의 또다른 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 대하여 고정된 원소들로 구성된다.이는 E<sub>6</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\circ-\bullet\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\circ-\bullet\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}</math>
* <math>\left(\operatorname{SU}(3)\times\operatorname{SU}(3)\times\operatorname{SU}(3)\right)/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.13}} 이는 E<sub>6</sub>의 <math>\mathbb Z/3</math> [[자기 동형]]에 대하여 고정된 원소들로 구성된다. 이는 E<sub>6</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\circ\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\circ\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet\qquad{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}</math>
* [[F₄|F<sub>4</sub>]].<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.7}} 이는 E<sub>6</sub>의 또다른 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 대하여 고정된 원소들로 구성된다. 이는 E<sub>6</sub>의 딘킨 도표를 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 따라 접어서 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>
* <math>\operatorname{USp}(8)/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.12}} 이는 E<sub>6</sub>의 또다른 <math>\mathbb Z/2</math> [[자기 동형]]에 대하여 고정된 원소들로 구성된다. 이 부분군의 경우 계수가 <math>\operatorname{rank}\operatorname{USp}(8)=4<\operatorname{rank}E_6=6</math>이므로, 이는 [[딘킨 도표]]로 나타낼 수 없는 특수 극대 부분군이다.

E<sub>6</sub>는 [[E₇|E<sub>7</sub>]] 및 [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 부분군이다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
* E<sub>7</sub>은 <math>(E_6\times\operatorname U(1))/(\mathbb Z/3)</math> 부분군을 가진다.<ref name="Yokota"/>{{rp|4.10}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
* E<sub>8</sub>은 <math>(E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3)</math> 부분군을 가진다.<ref name="Yokota"/>{{rp|§5.10}} 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\circ-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet\qquad\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>

=== 위상수학적 성질 ===
E<sub>6</sub>의 콤팩트 형식은 78차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[매끄러운 다양체]]이다. 그 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Homotopy groups of compact Lie groups ''E''<sub>6</sub>, ''E''<sub>7</sub> and ''E''<sub>8</sub>|이름=Hideyuki|성=Kachi|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118797372|저널=Nagoya Mathematical Journal|권=32|날짜=1968|쪽=109–139|mr=0233924|zbl=0159.24802|언어=en}}</ref>
:<math>\pi_1(E_6)\cong\mathbb Z/3</math>
:<math>\pi_3(E_6)\cong\pi_9(E_6)\cong\mathbb Z</math>
:<math>\pi_n(E_6)\cong0,\qquad n<9,n\ne1,3</math>

<math>\mathfrak e_6</math>의 [[불변 다항식]]의 차수는 2, 5, 6, 8, 9, 12이다. 즉, E<sub>6</sub>의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 9차 · 11차 · 15차 · 17차 · 23차 생성원으로 생성되는 [[외대수]]이다.

=== 근계 ===
[[파일:Gosset_1_22_polytope.svg|섬네일|right|E<sub>6</sub>의 6차원 근계를 2차원으로 사영한 것. E<sub>6</sub>의 꼭짓점들은 [[고른 폴리토프]] 1<sub>22</sub>를 이룬다.]]
E<sub>6</sub>의 [[근계]]는 72개의 근으로 구성된다. E<sub>6</sub>의 근계는 6차원이지만, 다음과 같이 9차원 벡터로 표현하는 것이 더 대칭적이다. 이 경우, 72=18+27+27개의 근들은 다음과 같다.
* 다음과 같은 18개의 근:
** <math>\mathbf8</math>이 <math>(\pm1,\mp1,0),\;(\pm1,0,\mp1),\;(0,\pm1,\mp1)</math> 6개 가운데 하나라고 하고, <math>\mathbf1=(0,0,0)</math>이라 하였을 때, <math>(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1)</math>, <math>(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1)</math>, <math>(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8)</math>
* 다음과 같은 27개의 근:
** <math>\mathbf3</math>이 <math>(2/3,-1/3,-1/3),\;(-1/3,2/3,-1/3),\;(-1/3,-1/3,2/3)</math> 가운데 하나라고 하였을 때, <math>(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3)</math>
* 다음과 같은 27개의 근:
** <math>\bar{\mathbf3}</math>이 <math>(-2/3,1/3,1/3),\;(1/3,-2/3,1/3),\;(1/3,1/3,-2/3)</math> 가운데 하나라고 하였을 때, <math>(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})</math>
이는 E<sub>6</sub>의 [[딸림표현]]을 SU(3)<sup>3</sup> 부분군으로 나타낸 것이다. SU(3)의 근계는 2차원이지만, 3차원에서 더 대칭적으로 표현할 수 있다. 이 경우, E<sub>6</sub>의 [[딸림표현]]은
:<math>\mathbf{78}_{E_6}\to(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}</math>
으로 분해되는데, 위의 근계는 이를 따른 것이다.

6차원에서는 1<sub>22</sub>라는 [[고른 폴리토프]]가 존재하는데, 이는 72개의 꼭짓점, 720개의 변, 2160개의 면, 2160개의 3차원 초면, 702개의 4차원 초면, 54개의 5차원 초면을 가진다. E<sub>6</sub>의 근계의 72개의 근들은 1<sub>22</sub>의 꼭짓점들을 이룬다.

E<sub>6</sub>의 [[바일 군]]은 크기가 51840인 [[유한군]]이다. 크기가 25920인 유일한 유한 [[단순군]]이 존재하는데, E<sub>6</sub>의 바일 군은 그 [[자기 동형군]]이다. 크기가 25920인 유일한 유한 [[단순군]]은 다음과 같이 나타내어진다.<ref>{{서적 인용|last=Conway |first=John Horton |authorlink=존 호턴 콘웨이 |last2=Curtis |first2=Robert Turner |last3=Norton |first3=Simon Phillips |last4=Parker |first4=Richard A  |last5=Wilson |first5=Robert Arnott  |title=Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups |year=1985 |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853199-0|언어=en}}</ref>{{rp|26}}
:<math>\operatorname{PSU}(4;\mathbb F_2)\cong\operatorname{PS\Omega}^-(6;\mathbb F_2)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb F_3)\cong\operatorname{PS\Omega}(5;\mathbb F_3)</math>

[[파일:DynkinE6.svg|섬네일|right|E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]]]
E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]는 여섯 개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다({{llang|en|simply laced}}).
:<math>\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet</math>
E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]는 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 가진다. 이에 따라 E<sub>6</sub>의 딘킨 도표를 접으면 [[F₄|F<sub>4</sub>]]의 [[딘킨 도표]]를 얻으며, 이는 E<sub>6</sub>의 [[F₄|F<sub>4</sub>]] [[부분군]]에 대응한다.
:<math>\begin{matrix}
\bullet-\bullet\langle\displaystyle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\\
\Downarrow\\
\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet
\end{matrix}</math>

E<sub>6</sub>의 [[아핀 딘킨 도표]]는 일곱 개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다. 이 경우, 3개 "팔" 가운데 가장 짧은 팔에 꼭짓점 <math>\scriptstyle\otimes</math>이 추가된다. 이에 따라 E<sub>6</sub> [[아핀 딘킨 도표]]는 <math>\mathbb Z/3</math> 대칭을 갖는다.
:<math>\bullet-\bullet-\overset{{\overset{\scriptstyle\otimes\atop\displaystyle|}{\displaystyle\bullet}\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet</math>

=== 표현론===
E<sub>6</sub>의 [[기약 표현]]의 차원들은 다음과 같다 {{OEIS|A121737}}.<ref name="Slansky">{{저널 인용|제목=Group theory for unified model building|이름=Richard|성=Slansky|저널=Physics Reports|doi=10.1016/0370-1573(81)90092-2|권=79|호=1|날짜=1981-12|쪽=1–128|bibcode=1981PhR....79....1S|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.126.1581&rep=rep1&type=pdf|언어=en}}</ref>{{rp|108, Table 47}}
:1, 27 (×2), 78, 351 (×4), 650, 1728 (×2), 2430, 2925, 3003 (×2), 5824 (×2), 7371 (×2), 7722 (×2), 17550 (×2), 19305 (×4), 34398 (×2), 34749, 43758, 46332 (×2), 51975 (×2), 54054 (×2), 61425 (×2), 70070, 78975 (×2), 85293, 100386 (×2), 105600, 112320 (×2), 146432 (×2), 252252 (×2), 314496 (×2), 359424 (×4), 371800 (×2), 386100 (×2), 393822 (×2), 412776 (×2), 442442 (×2), …
여기서 (×''n'')은 같은 차원의 서로 다른 [[기약 표현]]들이 ''n''개 있다는 뜻이다. 기약 표현들의 차원이 자주 중복되는 이유는 E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]가 대칭적이기 때문이다. E<sub>6</sub>는 [[사원수]] 표현을 가지지 않는다. 즉, 모든 표현은 실수 표현이거나 복소수 표현이다.

E<sub>6</sub>의 [[기본 표현]]은 '''27''', {{overline|'''27'''}}, '''78''', '''351''', {{overline|'''351'''}}, '''2925''' 여섯 개이다. '''27''' 기본 표현은 27차원 예외적 [[요르단 대수]] 위의 작용으로부터 유래하며, 복소수 표현이다. '''78'''은 [[딸림표현]]이며, 따라서 실수 표현이다. 기본 표현들은 [[딘킨 도표]]의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
:<math>\underset{\mathbf{78}}\bullet-\underset{\mathbf{2925}}\bullet\langle{\overset{\overline{\mathbf{351}}}\bullet-\overset{\overline{\mathbf{27}}}\bullet\atop\underset{\mathbf{351}}\bullet-\underset{\mathbf{27}}\bullet}</math>

[[E₈|E<sub>8</sub>]]은 E<sub>6</sub>를 부분군으로 가진다. 정확히 말하면, <math>(E_6\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3\mathbb Z)</math>는 [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 최대 부분군이다. 이 경우, E<sub>8</sub>의 [[딸림표현]] '''248'''은 다음과 같이 분해된다.
:<math>\mathbf{248}_{E_8}\to(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\bar{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}</math>

E<sub>6</sub>의 부분군에 대하여, E<sub>6</sub>의 표현들은 다음과 같이 분해된다.<ref name="Slansky"/>{{rp|Table 49}}
:<math>\mathbf{27}_{E_6}\to\mathbf{16}^1_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf{10}^{-2}_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf1^4_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}</math>
:<math>\mathbf{78}_{E_6}\to\mathbf{45}^0_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf{16}^{-3}_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\overline{\mathbf{16}}^3_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}\oplus\mathbf1^0_{\operatorname{SO}(10)\times\operatorname U(1)}</math>
:<math>\mathbf{27}_{E_6}\to\mathbf{26}_{F_4}\oplus\mathbf1_{F_4}</math>
:<math>\mathbf{78}_{E_6}\to\mathbf{52}_{F_4}\oplus\mathbf{26}_{F_4}</math>
:<math>\mathbf{27}_{E_6}\to(\bar{\mathbf3},\mathbf3,\mathbf1)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf3,\mathbf1,\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\bar{\mathbf3},\mathbf3)_{\operatorname{SU}(3)^3}</math>
:<math>\mathbf{78}_{E_6}\to(\mathbf8,\mathbf1,\mathbf1)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf8,\mathbf1)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf1,\mathbf1,\mathbf8)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\mathbf3,\mathbf3,\mathbf3)_{\operatorname{SU}(3)^3}\oplus(\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3},\bar{\mathbf3})_{\operatorname{SU}(3)^3}</math>
특히, SO(10)으로 가는 분해는 [[대통일 이론]]에서 중요하다.

=== 대수기하학적 성질 ===
[[슈발레 기저]]를 사용하여 정수 계수의 리 대수 <math>\mathfrak e_6(\mathbb Z)</math> 및 군 <math>E_6(\mathbb Z)</math>을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[대수군]]으로 정의할 수 있다.

특히, [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 계수의 [[슈발레 군]] <math>E_6(\mathbb F_q)</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.
* <math>E_6</math>의 [[범피복군]] <math>\tilde E_6</math>의 유한체 계수 형식 <math>\tilde E_6(\mathbb F_q)</math>
* <math>E_6</math>의 무중심 형식의 유한체 계수 형식 <math>E_6(\mathbb F_q)</math>
이들의  크기는 다음과 같다.
:<math>|\tilde E_6(\mathbb F_q)|=q^{36}(q^{12}-1)(q^9-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^5-1)(q^2-1) </math>
:<math>|E_6(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{3,q-1\}}|\tilde E_6(\mathbb F_q)|</math>
<math>E_6(\mathbb F_q)</math>는 모든 유한체 <math>\mathbb F_q</math>에 대하여 [[유한 단순군]]이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다 {{OEIS|A008872}}.
:<math>|E_6(\mathbb F_2)|\approx2.15\times10^{23}</math>
:<math>|E_6(\mathbb F_3)|\approx1.45\times10^{37}</math>
:<math>|E_6(\mathbb F_4)|\approx2.85\times10^{46}</math>
:<math>|E_6(\mathbb F_5)|\approx3.18\times10^{54}</math>
<math>E_6(\mathbb F_5)</math>부터는 이는 [[괴물군 (수학)|괴물군]]보다 더 크다.

E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]는 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 가진다. [[유한체]] <math>\mathbb F_{q^2}/\mathbb F_q</math>는 <math>\mathbb Z/2</math> [[프로베니우스 자기 동형]] <math>x\mapsto x^q</math>을 가지며, 이에 따라 슈발레 군을 뒤틀어 스타인버그 군 <math>{}^2E_6(q)</math> 및 그 [[범피복군]] <math>{}^2\tilde E_6(q)</math>를 정의할 수 있다. 이들의 크기는 다음과 같다.
:<math>|{}^2\tilde E_6(\mathbb F_q)|=q^{36}(q^{12}-1)(q^9+1)(q^8-1)(q^6-1)(q^5+1)(q^2-1) </math>
:<math>|{}^2E_6(\mathbb F_q)|=\frac1{\gcd\{3,q+1\}}|{}^2\tilde E_6(\mathbb F_q)|</math>
<math>{}^2E_6(\mathbb F_q)</math> 역시 모든 유한체 <math>\mathbb F_q</math>에 대하여 [[유한 단순군]]이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다 {{OEIS|A008916}}.
:<math>|{}^2E_6(\mathbb F_2)|\approx7.65\times10^{22}</math>
:<math>|{}^2E_6(\mathbb F_3)|\approx1.46\times10^{37}</math>
:<math>|{}^2E_6(\mathbb F_4)|\approx8.57\times10^{46}</math>
:<math>|{}^2E_6(\mathbb F_5)|\approx1.06\times10^{54}</math>
<math>{}^2E_6(\mathbb F_5)</math>부터는 이는 [[괴물군 (수학)|괴물군]]보다 더 크다.

== 응용 ==
[[입자물리학]]에서, E<sub>8</sub> [[잡종 끈 이론]]을 기반으로 하는 현상론적 모형에서는 4차원 [[유효 이론]]에서 자연스럽게  E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> [[게이지 이론]]이 발생한다. 이를 SO(10) [[대통일 이론]]과 연결시키려면, 통상적으로 다음과 같은 [[자발 대칭 깨짐]]이 존재한다고 추측된다.
:<math>E_8\times E_8\to E_8\to E_7\to E_6\to SO(10)</math>
이는 E<sub>6</sub>가 자연스럽게 SO(10)을 부분군으로 갖는 것에 의하여 가능하다.

== 역사 ==
리 대수 <math>\mathfrak e_6</math>는 [[빌헬름 킬링]]이 복소수 [[단순 리 대수]]를 분류하면서 발견하였다. 이후 [[엘리 카르탕]]이 1894년에 복소수 [[단순 리 군]]을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref>

E<sub>6</sub>에 대한 슈발레 군은 [[레너드 유진 딕슨]]이 1901년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Dickson|이름=Leonard Eugene|저자링크=레너드 유진 딕슨|날짜=1901|제목=A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface|저널=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|권=33|쪽=145–173|jfm=32.0133.01|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Dickson|이름=Leonard Eugene|저자링크=레너드 유진 딕슨|날짜=1907|제목=A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface (second paper)|저널=The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics|권=39|쪽=205–209|jfm=39.0198.03|언어=en}}</ref> 스타인버그 군 <sup>2</sup>E<sub>6</sub>은 [[로베르트 스테인베르그]]가 1959년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|성=Steinberg|이름=Robert|날짜=1959|제목=Variations on a theme of Chevalley|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=9|쪽=875–891|doi=10.2140/pjm.1959.9.875|issn=0030-8730|mr=0109191|zbl=0092.02505|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[E₇|E<sub>7</sub>]]
* [[E₈|E<sub>8</sub>]]
* [[팔원수]]
* [[잡종 끈 이론]]
* [[대통일 이론]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, exceptional}}
* {{eom|title=Simple finite group}}
* {{매스월드|id=ChevalleyGroups|title=Chevalley groups}}
* {{nlab|id=E6}}

[[분류:대수군]]
[[분류:리 군]]