{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Parabola_with_focus_and_directrix.svg|250픽셀|섬네일|임의의 포물선에 대하여 그 포물선 위의  점에서 그 포물선의 초점과 그 포물선의 준선에 이르는 거리는 같다. 위의 그림에서 <math>P_iF=P_iQ_i\quad(i=1,2,3)</math>이 성립한다.]]
'''포물선'''(抛物線, {{문화어|팔매선}}, {{llang|en|parabola}})은 [[이차 곡선]]의 일종으로, 평면상의 한 직선과 하나의 정점에 이르는 거리가 같은 점들의 [[집합]](자취)이다. 이 때 직선을 '''준선''', 정점을 '''초점'''이라고 한다. 그리고 어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 수직이고 그 포물선의 초점을 지나는 직선을 그 포물선의 축이라고 하는데 그 포물선의 축은 그 포물선을 대칭시키는 유일한 직선이다. 또 어떤 포물선에 대하여 그 포물선과 그 포물선의 축의 교점을 그 포물선의 꼭짓점이라고 하는데 그 포물선의 꼭짓점은 그 포물선의 초점과 가장 가까운 그 포물선 위의 유일한 점이다. 다시 말해 어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 초점을 중심으로 하고 그 포물선의 초점과 그 포물선의 꼭짓점을 양끝점으로 하는 선분을 반지름으로 하는 원과 그 포물선의 교점은 그 포물선의 꼭짓점으로 유일하다.

== [[데카르트 좌표계|좌표평면]]에서의 포물선 ==
[[파일:The distance between a point of parabola curve and focus or directrix.svg|섬네일|300px|포물선 위의 한 점에서 초점 또는 준선과의 거리]]

초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax</math>이고 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay </math>이다.

이는 [[두 점 사이의 거리|두 점 사이의 거리 공식]]을 이용하여 증명할 수 있다.

다음은 "초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> x^2 = 4ay</math>이다."라는 명제의 증명이다.

초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선 위의 점의 좌표를 <math> (x,y)</math>라고 하자.

그러면 [[두 점 사이의 거리|두 점 사이의 거리 공식]]에 의하여 점 <math> (x,y)</math>에서 점 <math> (0,a)</math>, 직선 <math> y=-a</math>에 이르는 거리가 각각 <math> \sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 }</math>, <math>\left\vert y+a \right\vert</math>이므로

포물선의 정의에 의하여 점 <math> (x,y)</math>의 자취의 방정식은 <math>  \sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 } = \left\vert y+a \right\vert </math>인데

<math> \sqrt{ x^2 +  (y-a)^2 } = \left\vert y+a \right\vert \Longleftrightarrow  x^2 +  (y-a)^2  = ( y+a )^2 </math>, <math> x^2 +  (y-a)^2  = ( y+a )^2 \Longleftrightarrow x^2=4ay </math>이므로

점 <math> (x,y)</math>의 자취의 방정식은 <math> y= \frac {1} {4a} x^2 </math>이다. 따라서 초점의 좌표가 <math> (0,a)</math>이고 준선의 방정식이 <math> y=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y = \frac {1} {4a} x^2 </math>이다.

"초점의 좌표가 <math> (a,0)</math>이고 준선의 방정식이 <math> x=-a</math>인 포물선의 방정식은 <math> y^2 = 4ax </math>이다."라는 명제도 위의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

또 이를 통해 [[이차 함수|이차함수]]의 그래프는 준선이 x 또는 y축에 평행한 포물선을 그린다는 것을 알 수 있다.

== 역사 ==
{{참고|원뿔 곡선}}
[[파일:Conic sections 2n.png|섬네일|300px|마주 보는 두 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취가 원뿔 곡선이다. 제일 왼쪽의 A가 포물선이다.]]
[[원뿔 곡선]]의 엄밀한 정의는 [[메나이크모스]]에 의해 정립되었다. 메나이크모스는 [[정육면체]]의 [[부피]]를 두배로 늘리는 문제<ref group="주해">정육면체의 부피 문제는 고대 그리시 시대 기하학의 난제 가운데 하나였다. 이와 관련해서는 [[미노스]]의 묘비에 얽힌 전설, [[아폴로]]의 제단에 얽힌 전설 등 다양한 이야기가 전해지고 있다. - Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN|89-7282-298-1}}, 95-96쪽</ref>, 즉 <math>x^3 = 2</math>의 해를 구하는 과정에서 원뿔 곡선을 그림과 같이 마주보는 두 개의 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때 나타나는 자취로 파악하였다.<ref>토비아스 단치히, 심재관 역, 《과학의 언어 수》, 지식의숲, 2007년, {{ISBN|978-89-9176-244-2}}, 366쪽</ref><ref group="주해">메나이크모스의 해는 전하지 않는다. 11세기 페르시아의 수학자 [[오마르 하이얌]]이 포물선과 원을 이용하여 <math>x^3 + ax = b </math> 꼴의 삼차방정식에 대한 양의 실수근을 작도하였다. - 스티븐 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 88-89쪽</ref>

원뿔 곡선의 수학적 특성을 집대성한 것은 [[페르게의 아폴로니오스]]로 그는 모두 8권의 《원뿔 곡선론》을 저술하였다. 이 가운데 일곱권이 오늘날까지 전해지는데 네 권은 그리스어로 세 권은 아랍어로 된 판본이 남아있다.<ref name="EVE156">Howard Eve, 이우영 신향균 역, 《수학사》, 경문사, {{ISBN|89-7282-298-1}}, 156-157 쪽</ref>

[[아르키메데스]]는 실진법을 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 그에 내접하는 삼각형의 넓이의 {{frac|4|3}}임을 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성=Stein|이름=Sherman|번역자=이우영|제목=아르키메데스|출판사=경문사|연도=2006|isbn=89-7282-926-9|쪽=87}}</ref> 아르키메데스의 증명 과정을 간략히 소개하면,
# 포물선을 가로지르는 직선을 한 변으로 하는 내접 삼각형을 그린다.
# 위와 같이 하여 그린 내접 삼각형에 의해 포물선은 두 구간으로 분할되며 여기에 다시 같은 방법으로 내접 삼각형을 그릴 수 있다.
# 이렇게 계속하여 내접 삼각형을 그려나가면 아래의 그림과 같이 포물선을 가로지르는 직선에 둘러싸인 도형은 무수히 많은 삼각형으로 분할된다.
# 최초의 내접 삼각형 넓이를 1이라고 하면 전체 삼각형의 넓이는 다음의 공식에 의해 구할 수 있다.
:<math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;</math>
이는 공비가 {{frac|1|4}}인 [[기하급수]]를 구하는 것과 같다.
[[파일:Parabolic Segment Dissection.svg|섬네일|center|포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이]]

17세기 이후 포물선은 다시 활발하게 응용되기 시작했는데, [[고전역학]]의 [[등가속도운동]]의 계산<ref>오가미 마사시, 임정 역, 《수학으로 풀어보는 물리의 법칙》, 이지북, 2005년, {{ISBN|978-89-5624-190-6}}, 137-138쪽</ref>이나 [[반사망원경]]과 같은 [[광학]] 도구의 제작에 필수적이기 때문이다.<ref name="George616">George F. Simmons, 고석구 외 역, 《미적분학과 해석기하》, 경문사, {{ISBN|89-7282-435-6}}, 616쪽</ref> 1604년 경 [[갈릴레이]]는 탑 꼭대기에서 수평으로 발사된 물체가 단지 중력에 의해서만 영향을 받는 다면 포물선의 궤적을 그릴 것이란 것을 발견했다.<ref>스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 612쪽</ref> 뉴턴은 포물선의 미분을 연구하다 포물선 회전체 모양의 거울에서는 모든 빛이 초점으로 모인다는 것을 증명하고 이를 바탕으로 반사망원경을 만들었다. [[토목공학]]에서 [[흙댐]]의 [[침윤선]]을 작도할 때도 사용된다.<ref>{{서적 인용 |저자1=장병욱 |저자2=전우정 |저자3=송창섭 |저자4=유찬 |저자5=임성훈 |저자6=김용성 |날짜=2010 |제목=토질역학 |출판사=구미서관 |쪽=109 |isbn=978-89-8225-697-4 }}</ref>

== 포물선의 방정식 ==
<!-- [[파일:Ecuación de parábola vertical.svg|300px|섬네일|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]] -->
[[파일:Parabola axis001.svg|섬네일|300px|준선이 x축에 평행하고 아래로 볼록한 일반적인 포물선]]
개요에서 나타낸 바와 같이 준선이 x축에 평행하고 꼭지점이 원점에 놓인 포물선의 초점을 F(0,p)라고 하면, 이 포물선의 방정식은
: <math> y = \frac{1}{4p}x^2 </math> --- ⓐ
로 나타낼 수 있다. 이를 x축으로 h만큼, y축으로 k만큼 평행 이동하면
: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math> --- ⓑ

가 된다.<ref name="스티브69">스티브 크란츠, 남호영 장영호 역, 《문제해결로 살펴본 수학사》, 경문사, {{ISBN|978-89-6105-603-8}}, 69쪽 - 이 책에서는 초점을 원점에 놓은 포물선을 평행이동 시켜 일반적인 관계식을 구한다. 그러나 그 결과는 본질적으로 같다.</ref>

이때 초점과 준선 역시 평행이동 되므로 초점은 <math>(h,k+p)</math>, 준선은 <math>y=k-p</math>가 된다.

위의 식 ⓑ를 풀어
:<math> y = \frac{1}{4p}x^2 - \frac{1}{2p}mx + \frac{1}{4p}m^2 + k</math>
의 꼴로 나타낼 때, <math> \frac{1}{4p} = a, - \frac{1}{2p}m = b, \frac{1}{4p}m^2 + k = c </math>라고 하면, 포물선의 방정식은
:<math> y = ax^2 + bx +c </math> --- ⓒ
로 나타낼 수 있다.

준선이 y축에 평행하다면 식 ⓑ는 x와 y가 뒤바뀌어 <math> x - k = \frac{(y - h)^2}{4p} </math> 꼴이 될 것이다.<ref name="스티브69" />

== 접선의 방정식 ==
[[파일:Parabel-tk-s.svg|섬네일|포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하다.]]

포물선 위의 한 점에서 만나는 [[접선]]의 [[기울기]]는 포물선의 방정식을 [[미분]]하여 구할 수 있다.<ref>고바야시 미치마사, 조윤동 역, 《문과 학생을 위한 미적분》, 아카데미, {{ISBN|978-89-7616-425-4}}, 85-92쪽</ref>

예를 들어 <math>y=x^2</math> 위의 한 점 <math>P(1,1)</math>와 만나는 접선의 기울기를 계산하면,
:<math>\frac{d}{dx} x^2 = 2x</math>
이므로, <math>x=1</math> 일 때 기울기는 2가 된다. 따라서 이 [[직선]]의 방정식은 <math>y = 2x + c</math>의 꼴임을 알 수 있다. 한편, 이 직선이 점 <math>P(1,1)</math>를 지나므로 c는 -1 이 된다. 따라서 <math>y=x^2</math> 위의 한 점 <math>P(1,1)</math>와 만나는 직선의 방정식은 <math>y = 2x - 1</math> 이 된다. 포물선 위의 한 점에서 만나는 접선은 유일하고, 역으로 특정한 기울기를 갖는 접선은 오직 포물선 위의 한 점에서만 만난다.

=== 기울기가 주어졌을 경우 ===
기울기가 <math>k\,</math>로 주어졌을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
*<math>(y-n)^2=4p(x-m)</math> 일 때
<math>(y\,-n)=k(x-m)+\frac{p}{k}</math>
*<math>(x-m)^2=4p(y-n)</math> 일 때
<math>(y\,-n)=k(x\,-m)-k^2p</math>

=== 접점이 주어졌을 경우 ===
포물선 위의 점 <math>(x_1,y_1)</math>에서 접선을 그었을 경우, 포물선의 접선의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.
*<math>(y-n)^2=4p(x-m)</math> 일 때
<math>(y_1-n\,)(y-n)=2p	\left\{(x-m)+(x_1-m)\right\}</math>
*<math>(x-m)^2=4p(y-n)</math> 일 때
<math>(x_1-m\,)(x-m)=2p	\left\{(y-n)+(y_1-n)\right\}</math>

== 포물선의 극방정식 ==
[[극좌표계]]에서 포물선은 다음과 같이 정의된다.
:<math>r  = { \ell\over {1 + cos \theta } } </math>

== 성질 ==
=== 원뿔곡선 ===
[[파일:Las parábolas son cuadráticas.svg|섬네일|원뿔곡선에서 포물선은 원뿔의 기울기와 나란한 경우에 해당한다.]]
포물선은 원뿔곡선의 하나이다. 원뿔곡선의 일반적인 방정식은
: <math>A x^{2} + B xy + C y^{2} + D x + E y + F = 0 </math>
으로 나타낼 수 있고, 위 식에서 <math> B^2 = 4AC </math>의 관계가 성립할 때 포물선이 된다.<ref>[https://www.alpertron.com.ar/METHODS.HTM#Parabol Methods to solve Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0]</ref> 원뿔곡선에서 포물선이 갖는 성질을 기하학적으로 살펴보면 그림과 같이 하나의 평면으로 원뿔을 중심각과 나란한 방향으로 절단할 때 포물선이 나타나게 된다.<br clear="all" />

=== 포물선의 합동 ===
[[파일:Parabola01 kr.svg|섬네일|포물선의 각 요소]]
어떤 포물선에 대하여 그 포물선의 준선에 평행하고 그 초점을 지나는 직선과 그 포물선의 두 교점을 양 끝점으로 하는 선분을 그 포물선의 통경이라고 한다. 일반적인 포물선의 방정식
: <math> y - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math>
에서 살펴 보면 통경의 양 끝 점의 x축 성분은 <math>y= p + k</math>로 놓아 구할 수 있다.
:<math> p + k - k = \frac{(x - h)^2}{4p} </math>
:<math> 4p^2 = (x-h)^2</math>
:<math> x = h \pm 2p</math>
와 같이 되어 통경의 두 끝점 좌표는 <math>( h - 2p, p+k ), ( h + 2p, p+k)</math>가 되고, 선분의 길이는 <math>4p</math> 임을 알 수 있다. 즉 통경의 길이는 언제나 꼭지점과 초점 사이의 거리의 4배이다.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LatusRectum.html latus rectum]</ref> 이와 같이 통경의 길이는 각 포물선의 방정식 마다 유일하고 통경의 길이가 같다면 두 포물선은 [[합동 (기하학)|합동]]이다.<ref>{{웹 인용 |url=http://greatminds.net/maps/images/math_documents/G11-M1-C-Lesson-34_Teacher_Materials.pdf |제목=Lesson 34: Are All Parabolas Congruent? |확인날짜=2016-04-24 |보존url=https://web.archive.org/web/20160509145740/http://greatminds.net/maps/images/math_documents/G11-M1-C-Lesson-34_Teacher_Materials.pdf |보존날짜=2016-05-09 |url-status=dead }}</ref>

=== 반사성질 ===
[[파일:Parabel 2.svg|섬네일|포물선의 반사성질]]
그림과 같이 포물선 위의 한 점 E에서 만나는 접선을 생각하면 포물선으로 들어오는 빛의 입사각과 접선에서 초점으로 나가는 반사각이 같음을 알 수 있다. 이와 같은 포물선의 성질은 여러 곳에서 응용되고 있다. 포물선을 회전하여 반사면을 만들면 [[빛]]과 같은 [[전자기파]]를 초점으로 모을 수도 있고, 반대로 초점에 광원을 놓으면 빛은 포물면에 반사된 뒤 곧게 나아간다. 이러한 반사 성질은 [[반사망원경]]이나 [[파라볼라 안테나]], [[손전등]]과 같은 것에 사용된다.<ref name="George616" />

<gallery>
파일:Antena parabólica.jpg|[[파라볼라 안테나]]
파일:HaleTelescope-MountPalomar.jpg|[[팔로마천문대]]의 헤일 반사망원경
파일:Funcionamiento Linterna.png|반사되어 나가는 손전등의 빛
</gallery>

== 같이 보기 ==
* [[돔 (건축)]]
* [[이차 방정식]]
* [[이차 함수]]

== 각주 ==
=== 내용주 ===
<references group="주해" />

=== 참조주 ===
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{springer|title=Parabola|id=p/p071150}}
* {{MathWorld|title=Parabola|urlname=Parabola}}

{{원뿔 곡선}}

{{전거 통제}}

[[분류:원뿔 곡선]]