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[[수학]]에서 '''테이트 코호몰로지군'''({{llang|en|Tate cohomology group}})은 유한군의 일반적인 [[군 코호몰로지|코호몰로지 군]]들을 약간 변형한 형태로 호몰로지 군과 코호몰로지 군을 하나의 열로 합친 것이다. 1952년 [[존 테이트]]가 도입하였다. 정수론의 한 부분야인 [[유체론]]에 등장한다.

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[유한군]]이고 ''<math>A</math>가'' <math>G</math>-[[군의 가군|가군]] 이면 자연 사상 ''<math>N</math>'' <math>N: H_0(G,A)\rightarrow H^0(G,A)
</math>, ''<math>a \mapsto \sum_{g\in G} ga</math>''<math>\sum_{g\in G} ga</math> ( ''<math>a</math>''의 모든 <math>G</math>-켤레에 대한 합)이 있다. '''테이트 코호몰로지 군''' <math>\hat H^n(G,A)</math>는 다음과 같이 정의된다:

* <math>\hat H^n(G,A) = H^n(G,A)</math> <math>\forall n\ge 1</math>
* <math>\hat H^0(G,A)=\operatorname {coker} N=</math> <math>H^0(G,A)</math>의 몫  ''<math>A</math>''원소의 노름에 의해,
* <math>\hat H^{-1}(G,A)=\ker N=</math><math>A</math>의 주 원소에 의한 ''<math>A</math>''의 노름 0 원소의 몫,
* <math>\hat H^{n}(G,A) = H_{-n - 1}(G,A)</math>  <math>\forall n\le -2</math>.

== 성질 ==
만약

:: <math> 0 \longrightarrow A \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow 0</math>
: 가 ''<math>G</math>-''가군의 짧은 완전열이면, 테이트 코호몰로지 군의 일반적인 긴 완전열을 얻는다.
:: <math>\cdots \longrightarrow\hat H^{n}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n}(G,B)\longrightarrow\hat H^{n}(G,C)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,A)\longrightarrow\hat H^{n+1}(G,B)\cdots</math>

* ''A'' 가 유도된 ''G'' 가군이면 ''A'' 의 모든 테이트 코호몰로지 군이 사라진다.
* ''A'' 의 0번째 테이트 코호몰로지 군은

: (<math>A</math>에 대한 <math>G</math>의 고정점들)/(<math>A</math>에 작용하는 <math>G</math>의 자명한 고정점들)

이다. 여기서 "자명한" 고정점은 <math>\sum g a</math> 형태을 의미한다. 즉, 어떤 의미에서 영 코호몰로지 군은 <math>A</math>에 작용하는 <math>G</math>의 자명하지 않은 고정점을 설명한다.

== 테이트 정리 ==
테이트 정리{{하버드 인용|Tate|1952}}는 코호몰로지 군 간의 동형사상이 되도록 코호몰로지류에 의한 곱셈에 대한 조건을 제공한다. 약간 다른 버전이 몇 가지 있다. [[유체론]]에 특히 편리한 버전은 다음과 같다.

<math>A</math>는 유한 군 <math>G</math>에 대한 가군이고 <math>a</math>는 <math>G</math>의 모든 부분군 <math>E</math>에 대해

* <math>H^1(E,A)</math>이 자명하고
* <math>H^2(E,A)</math>은 <math>\operatorname{Res}(a)</math>에 의해 생성된다. 위수 ''E'' 를 가진다.

인 <math>H^2(G,A)</math>의 원소라고 가정한다. 그러면 모든 <math>n</math>에 대해 <math>a</math>와의 컵곱은 동형사상

* <math>\hat H^n(G,\Z)\longrightarrow\hat H^{n+2}(G,A)</math>

이다. 즉, <math>A</math>의 등급 테이트 코호몰로지는 적분 계수가 있는 테이트 코호몰로지와 동형이며 차수는 2만큼 이동한다.

== Tate-Farrell 코호몰로지 ==
F. 토마스 파렐은 테이트 코호몰로지 군을 유한 가상 코호몰로지 차원의 모든 군 G의 경우로 확장했다. 파렐의 이론에 따르면, 군 <math>\hat H^n(G,A)</math>

들은 n이 군 G의 가상 코호몰로지 차원보다 클 때마다 일반 코호몰로지 군과 동형이다. 유한군은 가상 코호몰로지 차원 0을 가지며, 이 경우 파렐의 코호몰로지 군은 테이트의 코호몰로지 군과 같다.

* [[허브랜드 지수]]
* [[수업 구성|특성류 구성]]

== 참고 문헌 ==
* [[:en:M._F._Atiyah|M. F. Atiyah]] and [[:en:C._T._C._Wall|C. T. C. Wall]], "코호몰로지 of Groups", in ''Algebraic Number Theory'' by J. W. S. Cassels, A. Frohlich {{isbn|0-12-163251-2}}, Chapter IV.  See section 6.
* {{서적 인용|title=Cohomology of Groups|last=Brown|first=Kenneth S.|authorlink=Kenneth Brown (mathematician)|year=1982|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=87|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Berlin|isbn=0-387-90688-6|mr=0672956}}
* {{저널 인용|title=An extension of tate cohomology to a class of infinite groups|journal=[[Journal of Pure and Applied Algebra]]|last=Farrell|first=F. Thomas|authorlink=F. Thomas Farrell|year=1977|volume=10|issue=2|pages=153–161|doi=10.1016/0022-4049(77)90018-4|mr=0470103|doi-access=free}}
* {{인용|last=Tate|first=John|authorlink=John Tate (mathematician)|title=The higher dimensional cohomology groups of class field theory|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=2|volume=56|year=1952|pages=294–297|jstor=1969801|doi=10.2307/1969801|mr=0049950}}

[[분류:유한군]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:유체론]]