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[[리만 가설]]은 [[수학]]에서 가장 중요한 [[추측]] 중 하나이자 [[리만 제타 함수]]의 0에 대한 정의이다. 다양한 기하학적 및 산술적 객체는 소위 "전역 [[L-함수]]"로 설명될 수 있으며 이는 공식적으로 리만 제타 함수와 유사하다. 그런 다음 이러한 L-함수의 0에 대해 동일한 질문을 던질 수 있으며 리만 가설의 다양한 일반화를 산출할 수 있다. 많은 수학자들은 '''리만 가설을 일반화한 것'''이 사실이라고 믿는다. 이러한 추측의 유일한 사례는 대수 함수체 사례(수체 사례가 아님)에서 발생한다.

전역 L-함수는 [[타원곡선]], 대수적 수체(이 경우 [[데데킨트 제타 함수]]), [[마스 파동 형식]] 및 [[디리클레 지표]](이 경우 [[디리클레 L-함수]]라고 함)와 연관될 수 있다. 리만 가설이 데데킨트 제타 함수에 대해 공식화되면 확장된 리만 가설(Extended Riemann hypothesis, ERH)로, 디리클레 L-함수에 대해 공식화되면 일반화 리만 가설(Generalized Riemann hypothesis, GRH)로 알려져 있다. 이 두 문장은 아래에서 더 자세히 논의될 것이다. (많은 수학자들은 리만 가설을 단지 디리클레 L-함수의 특별한 경우가 아닌 모든 전역 L-함수로 확장하기 위해 일반화 리만 가설을 사용한다.)

== 일반화 리만 가설 (GRH) ==
일반화 리만 가설 또는 디리클레 L-함수에 대한 가설은 1884년에 아돌프 필츠가 처음으로 공식화했다.<ref>{{서적 인용|성=Davenport|이름=Harold|제목=Multiplicative Number Theory|판=Third|기타=Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=74|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|연도=2000년|isbn=0-387-95097-4|쪽=124|url=https://www.google.com/books/edition/Multiplicative_Number_Theory/SFztBwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1&pg=PA124}}</ref> 원래의 리만 가설과 마찬가지로 [[소수 (수론)|소수]] 분포에 대한 광범위한 결과가 있다.

이러한 가설의 공식적인 진술은 다음과 같다. 디리클레 지표는 {{개행 금지|gcd(''n'', ''k'') > 1}}일 때마다 모든 ''n''에 대해 {{개행 금지|1=''χ''(''n'' + ''k'') = ''χ''(''n'')}}인 양의 정수 ''k''가 존재하는 [[곱셈적 함수]]이자 [[수론적 함수]] ''χ''이다. 이러한 문자가 주어지면 우리는 해당 디리클레 L-함수를 다음과 같이 표현한다.

<math>
L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
</math>

{{개행 금지|Re ''s'' > 1}}와 같은 모든 [[복소수]]에 대해 이 함수는 [[해석적 연속]]에 따라 복소 평면 전체에서 정의된 (<math> \chi </math>가 원시적인 경우에만) [[유리형 함수]]로 확장될 수 있다. '''일반화 리만 가설'''은 모든 디리클레 지표 ''χ''와 {{개행 금지|1=''L''(''χ'', ''s'') = 0}}인 모든 복소수에 대해 ''s''가 음의 실수가 아니라면 ''s''의 실수부는 1/2이라고 주장한다. 모든 ''n''에 대한 {{개행 금지|1=''χ''(''n'') = 1}}은 일반화 리만 가설을 산출한다.

=== 일반화 리만 가설의 결과 ===
[[디리클레 등차수열 정리]]는 만약 ''a''와 ''d''가 [[서로소 아이디얼]]인 [[자연수]]일 경우에는 [[등차수열]] ''a'', {{개행 금지|''a'' + ''d''}}, {{개행 금지|''a'' + 2''d''}}, {{개행 금지|''a'' + 3''d''}}, ...는 무한히 많은 소수들을 포함하는 [[무한 집합]]이 된다고 정의한다. {{개행 금지|π(''x'', ''a'', ''d'')}}는 이 수열에서 ''x''보다 작거나 같은 소수인 수를 나타낸다. 일반화 리만 가설이 참이라면 모든 서로소인 ''a''와 ''d'', 그리고 {{개행 금지|''ε'' > 0}}에 대해 다음과 같이 표현한다.

<math>\pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln t}\,dt + O(x^{1/2+\varepsilon})\quad\mbox{ as } \ x\to\infty</math>

여기서 ''φ''(''d'')는 [[오일러 피 함수]]이고 O는 [[점근 표기법]]이다. 이는 소수 정리를 상당히 강화시킨 것이 특징이다.

일반화 리만 가설이 참이면 곱셈 군 <math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times</math>의 모든 적절한 부분군은 {{개행 금지|2(ln ''n'')<sup>2</sup>}}보다 작은 숫자와 {{개행 금지|3(ln ''n'')<sup>2</sup>}}보다 작은 ''n''에 대한 보정을 생략한다.<ref>{{저널 인용|성=Bach|이름=Eric|연도=1990년|제목=Explicit bounds for primality testing and related problems|저널=Mathematics of Computation|권=55|호=191|쪽=355–380|doi=10.2307/2008811|jstor=2008811|doi-access=free}}</ref>

즉 <math>(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times</math>는 {{개행 금지|2(ln ''n'')<sup>2</sup>}}보다 작은 숫자에 의해 생성된다. 이는 종종 증거에 사용되며 (일반화 리만 가설을 가정할 때) 다음과 같은 많은 결과를 초래한다.

* [[밀러-라빈 소수판별법]] 다항식 시간 내에 실행될 수 있다. ([[AKS 소수판별법]]인 일반화 리만 가설이 필요하지 않은 다항식 시간 원시성 판별법은 2002년에 발표되었다.)
* 섕크스-토넬리 알고리즘은 다항식 시간에 실행되도록 보장된다.
* 최초 상수 평활도를 갖는 유한한 체에 대해 다항식을 인수하기 위한 이바뇨스-카르핀스키-삭세나 결정론적 알고리즘은 다항식 시간에 실행될 것을 보장한다.<ref>{{서적 인용|이름1=Gabor|성1=Ivanyos|이름2=Marek|성2=Karpinski|이름3=Nitin|성3=Saxena|제목=Schemes for Deterministic Polynomial Factoring|저널=Proc. ISAAC|연도=2009년|쪽=191–198|doi=10.1145/1576702.1576730|isbn=9781605586090|arxiv=0804.1974}}</ref>

일반화 리만 가설이 참이면 모든 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에는 <math>O((\ln p)^6)</math>보다 작은 원시 루트 모듈러 연산(정수 모듈로서 ''p''의 곱셈 군을 형성함)가 존재한다.<ref>{{저널 인용|성=Shoup|이름=Victor|제목=Searching for primitive roots in finite fields|저널=Mathematics of Computation|권=58|호=197|연도=1992년|쪽=369–380|doi=10.2307/2153041|jstor=2153041|doi-access=free}}</ref>

[[약한 골드바흐의 추측]]은 또한 일반화 리만 가설에서 비롯된다. 이 추측의 아직 검증되지 않은 해럴드 헬프곳(Harald Helfgott)의 증명은 10<sup>29</sup> 이상의 모든 정수에 대한 추측을 입증하는 충분한 한계를 얻기 위해 특정한 가상 부분까지의 수천 개의 작은 문자에 대한 일반화 리만 가설을 검증한다. 아래 정수는 이미 계산에 의해 검증되었다.<ref>p5. {{arXiv 인용|성=Helfgott|이름=Harald|eprint=1305.2897|제목=Major arcs for Goldbach's theorem|class=math.NT|연도=2013년}}</ref>

일반화 리만 가설이 참이라고 가정하면 포여-비노그라도프 부등식에서 문자 합계의 추정치는 <math>O\left(\sqrt{q}\log\log q\right)</math>로 개선될 수 있다. 여기서 ''q''는 문자의 계수를 의미한다.

== 확장된 리만 가설 (ERH) ==
''K''가 정수의 환 O<sub>''K''</sub>가 있는 수체([[유리수]] '''Q'''의 유한 차원의 [[체의 확장]])라고 가정하자(이 환은 ''K''에서 정수 '''Z'''의 정수적 폐포이다). 만약 ''a''가 0이 아닌 O<sub>''K''</sub>의 [[아이디얼]]이라면, 우리는 ''Na''로 [[아이디얼 노름]]을 나타낸다. ''K''의 데데킨트 제타 함수는 다음에 의해 정의된다.

<math>
\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}
</math>

모든 복소수 ''s''에 대해 실수부가 1보다 크다고 가정하면 그 합계는 O<sub>''K''</sub>의 0이 아닌 모든 아이디얼 ''a''에 걸쳐 있다.

데데킨드 제타 함수는 함수 방정식을 만족하며 복잡한 전체 평면으로의 해석적 연속을 통해 확장될 수 있다. 결과 함수는 수체 ''K''에 대한 중요한 정보를 인코딩한다. '''확장된 리만 가설'''은 모든 수체 ''K''와 모든 복잡한 숫자 ''s''에 대해 ζ<sub>''K''</sub>(''s'') = 0이라고 주장한다. ''s''의 실수부가 0과 1 사이라면 사실은 1/2이다.

일반화 리만 가설은 정수 '''Z'''의 환을 가진 수체를 '''Q'''로 할 경우 확장된 가설을 따르게 된다. 확장된 리만 가설은 체보타료프 밀도 정리의 효과적인 버전을 암시한다.<ref>{{저널 인용|성1=Lagarias|이름1=J.C.|성2=Odlyzko|이름2=A.M.|제목=Effective Versions of the Chebotarev Theorem|저널=Algebraic Number Fields|연도=1977년|쪽=409–464}}</ref> 만약 ''L''/''K''가 갈루아 군 ''G''와 결합하는 유한 갈루아 확장이고 ''C''가 ''G''의 결합인 경우에는 대수적 수 이론에서 ''x'' 이하의 노름 ''K''와 프로베니우스 결합 등급의 비분화 소립자 수는 다음과 같이 표현한다.

<math>\frac{|C|}{|G|}\Bigl(\operatorname{li}(x)+O\bigl(\sqrt x(n\log x+\log|\Delta|)\bigr)\Bigr)</math>

점근 표기법에서 암시하는 상수가 절대적인 경우 ''n''은 ''Q''에 대한 ''L''의 정도이며 Δ와는 구별된다.

== 같이 보기 ==
* [[디리클레 L-함수]]
* [[셀베르그 클래스]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:추측]]
[[분류:베른하르트 리만]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]