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[[미분기하학]]에서 '''내부곱'''(內部곱, {{llang|en|interior product}})은 [[벡터장]]과 [[미분 형식]] 사이에 정의되는, 일종의  [[미분 (대수학)|대수적 미분 연산]]이다. 기호는 <math>\lrcorner</math> 또는 <math>\iota</math>.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 '''내부곱'''
:<math>\lrcorner\colon\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet-1}(M)</math>
:<math>\lrcorner\colon X\otimes\alpha\mapsto X\lrcorner\alpha</math>
은 [[벡터장]]과 [[미분 형식]]을 곱하여 [[미분 형식]]을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. (<math>X\lrcorner\alpha</math>는 간혹 <math>\iota_X\alpha</math>로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 [[유니코드]] 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

=== 공리적 정의 ===
<math>M</math> 위의 '''내부곱'''
:<math>\lrcorner\colon\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet-1}(M)</math>
은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.
* (차수 &minus;1) 벡터장 <math>X</math> 및 동차 미분 형식 <math>\alpha</math>에 대하여, <math>\deg(X\lrcorner\alpha)=\deg\alpha-1</math>
* ([[곱 규칙]]) 벡터장 <math>X</math>에 대하여, <math>(\Omega^\bullet(M),X\lrcorner)</math>는 [[외대수]] 위의 [[미분 등급 대수]]를 이룬다. 즉, 임의의 <math>\alpha\in\Omega^p(M)</math> 및 <math>\beta\in\Omega^q(M)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*:<math>X\lrcorner(\alpha\wedge\beta)=(X\lrcorner\alpha)\wedge\beta+(-1)^p\alpha\wedge(X\lrcorner\beta)</math>
* (1차 미분 형식의 경우) [[1차 미분 형식]]에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 [[벡터장]] <math>X</math>와 [[1차 미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega^1(M)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*:<math>X\lrcorner\alpha=\alpha(X)</math>

=== 구체적 정의 ===
<math>M</math> 위의 '''내부곱'''
:<math>\lrcorner\colon\Gamma(\mathrm TM)\otimes_{\mathbb R}\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet-1}(M)</math>
은 임의의 <math>p</math>차 미분 형식 <math>\alpha</math>에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.<ref>{{서적 인용|이름=Mikio|성=Nakahara|제목=Geometry, topology, and physics|날짜=2003-06-04|판=2|url=https://www.crcpress.com/Geometry-Topology-and-Physics-Second-Edition/Nakahara/p/book/9780750306065|isbn=978-0-75030606-5|출판사=CRC Press|총서=Institute of Physics Graduate Student Series in Physics|언어=en}}</ref>{{rp|§5.4.3}}<ref>{{서적 인용|제목=Riemannian manifolds: an introduction to curvature|날짜=1997|이름=John M.|성=Lee|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=176|doi=10.1007/b98852|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-98322-6 |언어=en}}</ref>{{rp|43, Exercise 3.3}}
:<math>X\lrcorner\alpha\colon (Y_1,Y_2,\ldots,Y_{p-1})\mapsto \alpha(X,Y_1,Y_2,\ldots,Y_{p-1})\qquad\forall Y_1,Y_2,\dots,Y_{p-1}\in\Gamma(\mathrm TM)</math>

== 성질 ==
임의의 미분 형식 <math>\alpha\in\Omega(M)</math> 및 두 [[벡터장]] <math>X,Y\in\Gamma(\mathrm TM)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>X\lrcorner(Y\lrcorner\alpha)+Y\lrcorner(X\lrcorner\alpha)=0</math>
특히,
:<math>X\lrcorner X\lrcorner\alpha=0</math>
이다.

=== 리 미분과의 관계 ===
'''카르탕 마법 공식'''(Cartan魔法公式, {{llang|en|Cartan’s magic formula}})에 따르면, 임의의 [[벡터장]] <math>X\in\Gamma(\mathrm TM)</math>와 [[미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega(M)</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\mathcal L_X\alpha=\mathrm d(X\lrcorner\alpha)+X\lrcorner\mathrm d\alpha</math>
여기서 <math>\mathcal L</math>은 [[리 미분]]이다.

또한, 임의의 두 벡터장 <math>X,Y\in\Gamma(\mathrm TM)</math> 및 [[미분 형식]] <math>\alpha\in\Omega(M)</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>[X,Y]\lrcorner\alpha=\mathcal L_X(X\lrcorner\alpha)-X\lrcorner\mathcal L_X\alpha</math>

== 역사 ==
내부곱의 개념과 용어({{llang|de|inner Produkt}})는 [[헤르만 그라스만]]이 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Hermann|성=Grassmann|저자링크=헤르만 그라스만|날짜=1862|url=https://archive.org/details/dieausdehnungsl05grasgoog |제목=Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form bearbeitet|출판사=Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin|위치=[[베를린]]|언어=de}}</ref>{{rp|§4.1, 107–112}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=InteriorProduct|title=Interior product}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2011/07/26/the-interior-product/|제목=The interior product|날짜=2011-07-26|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|성=Armstrong|이름=John|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/102917/urge-reason-for-inventing-interior-product-grassmann-algebra|제목=Urge/reason for inventing interior product (Grassmann algebra)|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:다중선형대수학]]
[[분류:미분 형식]]