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[[환론]]에서 '''균형 잡힌 쌍가군'''({{llang|en|balanced bimodule}})은 한쪽 환의 작용에 대한 임의의 [[자기 사상]]을 항상 반대쪽 환의 작용으로 나타낼 수 있는 [[쌍가군]]이다. 이 개념은 [[모리타 동치]] 이론에 등장한다.

== 정의 ==
=== 균형 잡힌 쌍가군 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>
* [[환 (수학)|환]] <math>S</math>
* [[쌍가군]] <math>_RM_S</math>

이 경우, 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>R\to\operatorname{End}(M_S)</math>
:<math>S^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}(_RM)</math>
이 존재한다.

만약 이 두 [[환 준동형]]이 둘 다 [[전사 함수]]라면 <math>_RM_S</math>를 '''균형 잡힌 쌍가군'''({{llang|en|faithfully balanced bimodule}})이라고 한다. 만약 이 두 [[환 준동형]]이 둘 다 [[전단사 함수]]라면 <math>_RM_S</math>를 '''충실하게 균형 잡힌 쌍가군'''({{llang|en|faithfully balanced bimodule}})이라고 한다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|488, Definition/Corollary 18.21}}

=== 균형 잡힌 가군 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>
* <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>
그렇다면, [[아벨 군]]의 [[자기 사상환]]
:<math>\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})</math>
을 정의할 수 있으며, <math>M</math>은 <math>\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})</math>-[[왼쪽 가군]]을 이룬다. 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>\phi_M\colon R\to\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] [[자기 사상환]]은 (정의에 따라) <math>R</math>의 [[상 (수학)|상]]의 [[중심화 부분환]]이다.
:<math>\operatorname{End}(_RM)=\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))</math>
또한, <math>R</math>를 <math>\operatorname{End}(_RM)</math>으로 치환하면 다음을 얻는다.
:<math>\operatorname{End}(_{\operatorname{End}(_RM)}M)=\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname{End}(_RM))</math>

이에 따라, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군 <math>_RM</math>을 '''균형 잡힌 <math>R</math>-왼쪽 가군'''이라고 한다.
* <math>\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname{End}(_RM))=\phi_M(R)</math>. 즉, 임의의 [[아벨 군]] 준동형 <math>f\colon M\to M</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 자기 준동형과 가환한다면, <math>f</math>는 <math>r\cdot</math>의 꼴로 나타낼 수 있다 (<math>r\in R</math>). (그러나 이러한 표현이 유일할 필요는 없다.)
* <math>\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R)</math>. 즉, <math>\phi_M(R)</math>는 이중 [[중심화 부분환]] 연산의 [[고정점]]이다.
* <math>M</math>은 균형 잡힌 <math>(R,\operatorname{End}(_RM)^{\operatorname{op}})</math>-쌍가군이다.
'''균형 잡힌 오른쪽 가군'''의 개념 역시 마찬가지로 정의된다. 즉, 환 <math>S</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>M_S</math>에 대하여, 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>\phi_M\colon S^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}(_{\mathbb Z}M)</math>
을 정의하였을 때, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>R</math>-오른쪽 가군을 '''균형 잡힌 <math>R</math>-오른쪽 가군'''이라고 한다.
* <math>\operatorname C_{\operatorname{End}(_{\mathbb Z}M)}(\operatorname{End}(M_S))=\phi_M(S^{\operatorname{op}})</math>. 즉, 임의의 [[아벨 군]] 준동형 <math>f\colon M\to M</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 자기 준동형과 가환한다면, <math>f</math>는 <math>r\cdot</math>의 꼴로 나타낼 수 있다 (<math>r\in R</math>). (그러나 이러한 표현이 유일할 필요는 없다.)
* <math>\operatorname C_{\operatorname{End}(_{\mathbb Z}M)}(\operatorname C_{\operatorname{End}(_{\mathbb Z}M)}(\phi_M(S^{\operatorname{op}})))=\phi_M(S^{\operatorname{op}})</math>. 즉, <math>\phi_M(S^{\operatorname{op}})</math>는 이중 [[중심화 부분환]] 연산의 [[고정점]]이다.
* <math>M</math>은 균형 잡힌 <math>(\operatorname{End}(_SM),S)</math>-쌍가군이다.

물론, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

== 성질 ==
[[반단순환]]의 모든 [[왼쪽 가군]]은 균형 잡힌 왼쪽 가군이며, 모든 [[오른쪽 가군]]은 균형 잡힌 오른쪽 가군이다.

임의의 [[왼쪽 아르틴 환]]의 [[단순 왼쪽 가군]]은 균형 잡힌 왼쪽 가군이다.<ref>{{서적 인용 |last=Isaacs|first= I. Martin |title=Algebra: a graduate course |series=Graduate Studies in Mathematics |volume=100 |publisher=American Mathematical Society|날짜=1994 |isbn=978-0-8218-4799-2 |mr=2472787|url=http://bookstore.ams.org/gsm-100|언어=en}}</ref>{{rp|187, Chapter 12}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Balanced module}}

[[분류:가군론]]