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[[복소해석학]]에서 '''모레라 정리'''(-定理, {{llang|en|Morera's theorem}})는 [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[열린집합]]에 정의된 복소 [[연속 함수]]에 대하여, [[정칙 함수]]와 경로 무관성이 동치라는 정리이다.

== 정의 ==
'''모레라 정리'''에 따르면, [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 [[연속 함수]] <math>f\colon D\to\mathbb C</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>f</math>는 [[정칙 함수]]이다.
* 임의의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 닫힌 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to D</math>에 대하여, <math>\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0</math>
* 임의의 삼각형 [[열린집합]] <math>T\subseteq D</math>에 대하여, <math>\int_{\partial T}f(z)\mathrm dz=0</math>
특히, <math>D</math>가 [[단일 연결 공간|단일 연결]] 열린집합이라면, <math>f</math>가 정칙 함수인 것과 [[경로 적분]]이 경로에 의존하지 않는 것은 동치이다.

== 증명 ==
[[코시 적분 정리]]에 의하여, 후자가 전자를 함의하는 것을 보이는 것으로 족하다.<ref name="tanxj">{{서적 인용
|저자1=谭小江
|저자2=伍胜健
|제목=复变函数简明教程
|언어=zh
|총서=北京大学数学教学系列丛书
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2006-02
|isbn=978-7-301-08530-1
}}</ref>{{rp|91-92}}

임의의 <math>w_0\in D</math>를 취하자. 그렇다면, <math>f</math>가 어떤 [[볼록 집합|볼록]] [[열린 근방]] <math>w_0\in\tilde D\subseteq D</math>에서 정칙 함수임을 보이는 것으로 족하다. (<math>\tilde D</math>는 볼록 집합이므로 [[단일 연결 공간|단일 연결 집합]]이다.)

함수 <math>F\colon\tilde D\to\mathbb C</math>를
:<math>F(w)=\int_{[w_0,w]}f(z)\mathrm dz\qquad\forall w\in\tilde D</math>
와 같이 정의하자. 여기서 <math>[w_0,w]\subseteq\tilde D</math>는 <math>w_0</math>와 <math>w</math> 사이의 닫힌 선분이다. 그렇다면, 임의의 <math>w\in\tilde D</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\lim_{w'\to w}\frac{F(w')-F(w)}{w'-w}
&=\lim_{w'\to w}\int_{[w,w']}\frac{f(z)}{w'-w}\mathrm dz\\
&=\lim_{w'\to w}\int_0^1f(w+t(w'-w))\mathrm dt\\
&=f(w)
\end{align}</math>
즉, 임의의 <math>w\in\tilde D</math>에 대하여, <math>F'(w)=f(w)</math>이다. 따라서 <math>F</math>는 <math>\tilde D</math>에서 정칙 함수이며, 그 도함수 <math>f</math> 역시 <math>\tilde D</math>에서 정칙 함수이다.

== 따름정리 ==
모레라 정리는 일부 함수들이 정칙 함수라는 것을 증명하는 데 사용된다.

=== 콤팩트 수렴 정칙 함수열의 극한의 정칙성 ===
연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math>에 정의된 정칙 함수열 <math>f_n\colon D\to\mathbb C</math>가 함수 <math>f\colon D\to\mathbb C</math>로 [[콤팩트 수렴]]한다고 하자. 그렇다면, <math>f</math> 역시 정칙 함수이다.

임의의 <math>z_0\in D</math>를 취하고, <math>0<r<d(z_0,\partial D)</math>를 취하자. 그렇다면, <math>\bar\operatorname B(z_0,r)\subseteq D</math>이며, 이는 [[콤팩트 집합]]이므로, <math>f_n</math>은 <math>\bar\operatorname B(z_0,r)</math>에서 <math>f</math>로 [[균등 수렴]]한다. 따라서, <math>f</math>는 <math>\bar\operatorname B(z_0,r)</math>에서 연속 함수이며, 임의의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 닫힌 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to\bar\operatorname B(z_0,r)</math>에 대하여, 
:<math>\int_\gamma f(z)\mathrm dz=\lim_{n\to\infty}\int_\gamma f_n(z)\mathrm dz=0</math>
이다. 모든 삼각형은 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 닫힌 곡선이므로, 모레라 정리에 의하여, <math>f</math>는 <math>\bar\operatorname B(z_0,r)</math>에서 정칙 함수이다.

=== 리만 제타 함수의 정칙성 ===
[[리만 제타 함수]] <math>\zeta</math>는
:<math>D=\{s\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}s>1\}</math>
에서 다음과 같이 정의된다.
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac 1{n^s}\qquad\forall s\in D</math>
이 급수는 [[바이어슈트라스 M-판정법]]에 따라 <math>D</math>에서 [[콤팩트 수렴]]하며, 각 <math>s\mapsto 1/n^s</math>는 정칙 함수이므로, 임의의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to D</math>에 대하여,
:<math>\int_\gamma\zeta(s)\mathrm ds=\sum_{n=1}^\infty\int_\gamma\frac 1{n^s}\mathrm ds=0</math>
이다. 모레라 정리에 의하여, <math>\zeta</math>는 <math>D</math>에서 정칙 함수이다.

=== 감마 함수의 정칙성 ===
[[감마 함수]] <math>\Gamma</math>는
:<math>D=\{s\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}s>0\}</math>
에서 다음과 같이 정의된다.
:<math>\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\mathrm dx</math>
각 <math>s\mapsto x^{s-1}</math>는 정칙 함수이다. 따라서, [[푸비니 정리]]에 의하여, 임의의 조각마다 <math>\mathcal C^1</math> 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to D</math>에 대하여,
:<math>\int_\gamma\Gamma(s)\mathrm ds=\int_0^\infty e^{-x}\mathrm dx\int_\gamma x^{s-1}\mathrm ds=0</math>
이다. 모레라 정리에 의하여, <math>\Gamma</math>는 <math>D</math>에서 정칙 함수이다.

== 같이 보기 ==
* [[코시-리만 방정식]]
* [[유수 (복소해석학)]]
* [[미타그레플레르 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Morera theorem}}
* {{매스월드|id=MorerasTheorem|title=Morera's theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]