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'''범함수 적분'''({{llang|en|Functional integration}})은 [[적분]]의 영역이 [[함수 공간]]인 적분이다. 범함수 적분은 [[확률]], [[편미분방정식]] 연구, 입자 및 장의 [[양자역학]]에 대한 [[경로 적분 공식화|경로 적분 방식]]에서 발생한다.

일반적으로 적분([[르베그 적분]]의 의미에서)에는 적분 할 함수(피적분 함수)와 함수를 적분 할 공간 영역(적분 영역)이 있다. 적분 과정은 적분 영역의 각 점에 대한 피적분 값을 더하는 것으로 구성된다. 이 절차를 엄밀하게 만들려면 적분 영역을 더 작은 영역으로 나누는 극한 과정이 필요하다. 각각의 작은 영역에 대해 피적분 값은 크게 다를 수 없으므로 단일 값으로 대체될 수 있다. 범함수 적분에서 적분 영역은 함수들의 공간이다. 각 함수에 대해 피적분 함수는 더할 값을 반환한다. 이 절차를 엄밀하게 만드는 것은 현재 연구의 주제가 되는 과제를 제기한다.

범함수 적분은 영국 수학자 [[퍼시 존 다니엘]]의 1919년 논문에서 처음 등장하였으며<ref>{{저널 인용|제목=Integrals in An Infinite Number of Dimensions|저널=The Annals of Mathematics|성=Daniell|이름=P. J.|날짜=July 1919|총서=Second Series|권=20|호=4|쪽=281–288|doi=10.2307/1967122|jstor=1967122}}</ref> [[노버트 위너]]는 1921년 [[브라운 운동]]에 관한 논문에서 절정에 달하는 일련의 연구에서 범함수 적분을 다루었다. 그들은 입자의 무작위 경로에 확률을 할당하기 위한 엄밀한 방법(현재 [[위너 확률 과정|위너 측도]]으로 알려짐)을 개발했다. [[리처드 파인만]]은 계의 양자 역학적 속성을 계산하는 데 유용한 또 다른 함수 적분인 [[경로 적분 공식화|경로 적분]]을 개발했다. 파인만 경로 적분에서 입자의 고유한 궤적이라는 고전적 개념은 고전적 특성에 따라 가중치가 다르게 부여된 고전적 경로의 무한한 합으로 대체된다.

범함수 적분은 이론 물리학에서 양자화 기술의 핵심이다. 범함수 적분의 대수적 특성은 [[양자 전기역학]] 및 입자물리학의 [[표준 모형]]에서 특성을 계산하는 데 사용되는 급수를 개발하는 데 사용된다.

== 범함수 적분 ==
표준적인 [[리만 적분]]은 <math>x</math>값의 연속 범위에 대해 함수 <math>f(x)</math>를 합산하는 반면, 함수 적분은 함수 ''<math>f</math>''들의 연속 범위(또는 공간)에 대해 "함수의 함수"로 생각할 수 있는 [[범함수]] <math>G[f]</math>를 합산한다.). 대부분의 범함수 적분은 정확하게 계산할 수 없지만 근사적 계산을 할 수 있다. 범함수 적분의 공식적인 정의는 다음과 같다.<math display="block">
\int G[f]\; \mathcal{D}[f] \equiv \int_{\mathbb{R}}\cdots \int_{\mathbb{R}} G[f] \prod_x df(x)\;.
</math>그러나 대부분의 경우 함수 <math>f(x)</math>는 다음과 같은 무한 급수의 직교 함수 <math>f(x) = f_n H_n(x)</math>로 작성할 수 있다. 그러면 정의는 <math display="block">
\int G[f] \; \mathcal{D}[f] \equiv \int_{\mathbb{R}} \cdots \int_{\mathbb{R}} G(f_1; f_2; \ldots) \prod_n df_n\;,

</math>가 된다. 적분은 대문자 <math>\mathcal{D}</math>와 범함수의 적분으로 표시된다. 때때로 인수는 대괄호 <math>\mathcal{D}[f]</math>로 작성된다. 이는 범함수 적분 측도가 함수에 따라 다름을 나타낸다.

== 예 ==
대부분의 범함수 적분은 실제로 무한하지만 종종 관련된 두 범함수 적분의 [[몫]]의 극한은 유한할 수 있다. 정확하게 계산할 수 있는 범함수 적분은 일반적으로 다음 [[가우스 적분]]으로 시작한다.

: <math>
\frac{\displaystyle\int \exp\left\lbrace-\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}} f(x) K(x;y) f(y)\,dy + J(x) f(x)\right]dx\right\rbrace \mathcal{D}[f]}
   {\displaystyle\int \exp\left\lbrace-\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^2} f(x) K(x;y) f(y) \,dx\,dy\right\rbrace \mathcal{D}[f]} =
 \exp\left\lbrace\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^2} J(x) \cdot K^{-1}(x;y) \cdot J(y) \,dx\,dy\right\rbrace\,,
</math>

여기서 <math>
K(x;y)=K(y;x)
</math>. 이것을 <math>J(x)</math>에 대해 범함수로 미분하고 0으로 설정하면 이것은 <math>f</math>로 이뤄진 단항식을 곱한 지수가 된다. 이를 확인하기 위해 다음 표기법을 사용하겠다.

<math>
 G[f,J]=-\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}} f(x) K(x;y) f(y)\,dy + J(x) f(x)\right]dx\, \quad,\quad W[J]=\int \exp\lbrace G[f,J]\rbrace\mathcal{D}[f]\;.
</math>

이 표기법을 사용하면 첫 번째 방정식을 다음과 같이 작성할 수 있다.

<math>
\dfrac{W[J]}{W[0]}=\exp\left\lbrace\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^2} J(x) K^{-1}(x;y) J(y) \,dx\,dy\right\rbrace.
</math>

이제 범함수 미분을 <math>
W[J]
</math>의 정의로 가져간다. 그런 다음 <math>
J=0
</math>에서 계산하면 다음을 얻는다:

<math>
\dfrac{\delta }{\delta J(a)}W[J]\Bigg|_{J=0}=\int f(a)\exp\lbrace G[f,0]\rbrace\mathcal{D}[f]\;,
</math>

<math>
\dfrac{\delta^2 W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}\Bigg|_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp\lbrace G[f,0]\rbrace\mathcal{D}[f]\;,
</math>

이는 예상한 결과이다. 또한 첫 번째 방정식을 사용하면 다음과 같은 유용한 결과에 도달한다.

: <math>
  \dfrac{\delta^2}{\delta J(a)\delta J(b)}\left(\dfrac{W[J]}{W[0]}\right)\Bigg|_{J=0}=
 K^{-1}(a; b)\;;
</math>

이러한 결과를 종합하고 원래 표기법으로 뒷받침하면 다음과 같다.

<math>
\frac{\displaystyle\int f(a)f(b)\exp\left\lbrace-\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^2} f(x) K(x;y) f(y)\, dx\,dy\right\rbrace \mathcal{D}[f]}
   {\displaystyle\int \exp\left\lbrace-\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^2} f(x) K(x;y) f(y) \,dx\,dy\right\rbrace \mathcal{D}[f]} =
 K^{-1}(a;b)\,.
</math>

또 다른 유용한 적분은 범함수 [[디랙 델타 함수|델타 함수]]이다.

: <math>
\int \exp\left\lbrace \int_{\mathbb{R}} f(x) g(x)dx\right\rbrace \mathcal{D}[f] = \delta[g] = \prod_x\delta\big(g(x)\big),
</math>

제약 조건을 지정하는 데 유용하다. 함수 적분은 [[반가환수|그라스만 값]] 함수 <math>\psi(x)</math>에 대해서도 수행할 수 있다. 어디 <math>\psi(x) \psi(y) = -\psi(y) \psi(x)</math> 이는 [[페르미온]] 과 관련된 계산을 위한 양자 전기역학에서 유용하다.

== 경로 적분에 대한 접근 ==
적분 공간이 경로( ''ν'' = 1)로 구성되는 범함수 적분은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다. 정의는 두 가지로 나뉜다. [[위너 확률 과정|위너 이론]]에서 파생된 구성은 [[측도]]를 기반으로 적분을 생성하는 반면 파인만의 경로 적분을 따르는 구성은 그렇지 않다. 이 두 가지 광범위한 구분 내에서도 적분은 동일하지 않다. 즉, 다른 함수족에 대해 다르게 정의된다.

=== 위너 적분 ===
[[위너 확률 과정|위너 적분]]에서 확률은 [[브라운 운동]] 경로들의 족에 할당된다. 족는 주어진 시간에 공간의 작은 영역을 통과하는 것으로 알려진 경로 <math>w</math>로 구성된다. 서로 다른 공간 영역을 통과하는 경로는 서로 독립적이라고 가정하고 브라운 경로의 두 지점 사이의 거리는 시간 <math>t</math>와 확산 상수 ''<math>D</math>''에 따라 달라지는 [[분산]]으로 [[정규 분포|가우스 분포]]인 것으로 가정한다.

: <math>\Pr\big(w(s + t), t \mid w(s), s\big) = \frac{1}{\sqrt{2\pi D t}} \exp\left(-\frac{\|w(s+t) - w(s)\|^2}{2Dt}\right).</math>

경로족에 대한 확률은 한 지역에서 시작하여 다음 지역에 있을 확률을 곱하여 찾을 수 있다. 위너 측도는 많은 작은 영역의 극한을 고려하여 만들 수 있다.

* [[이토 적분|이토 미적분]]과 스트라토노비치 미적분

=== 파인만 적분 ===
* 트로터 공식 또는 리 곱 공식 .
* 윅 회전의 캑 아이디어.
* x-점-점-제곱 또는 i S[x] + x-점-제곱을 사용한다.
* Cartier DeWitt–Morette는 측도보다는 적분자에 의존한다.

=== 레비 적분 ===
* [[Fractional quantum mechanics|분수 양자 역학]]
* [[Fractional Schrödinger equation|분수 슈뢰딩거 방정식]]
* [[레비 확률 과정|레비 과정]]
* [[Fractional statistical mechanics|분수 통계 역학]]

== 같이 보기 ==
* 가우스 범함수 적분
* [[위너 확률 과정|위너 과정]]
* [[경로 적분 공식화|파인만 경로 적분]]
* 안장점 근사

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽어보기 ==
* [http://www.scholarpedia.org/Path_integral Jean Zinn-Justin (2009), ''Scholarpedia'' '''4'''(2):8674].
* [[:en:Hagen_Kleinert|Kleinert, Hagen]], ''Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets'', 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback {{ISBN|981-238-107-4}}   ''(also available online: [http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5 PDF-files])''
* {{저널 인용|title=Fractional quantum mechanics|journal=Physical Review E|last1=Laskin|first1=Nick|author-link=Nick Laskin|year=2000|volume=62|issue=3|pages=3135–3145|arxiv=0811.1769|bibcode=2000PhRvE..62.3135L|doi=10.1103/PhysRevE.62.3135|pmid=11088808|s2cid=15480739}}
* {{저널 인용|title=Fractional Schrödinger equation|journal=Physical Review E|last1=Laskin|first1=Nick|author-link=Nick Laskin|year=2002|volume=66|issue=5|page=056108|arxiv=quant-ph/0206098|bibcode=2002PhRvE..66e6108L|doi=10.1103/PhysRevE.66.056108|pmid=12513557|s2cid=7520956}}
* {{SpringerEOM|id=Integral_over_trajectories|title=Integral over trajectories|author-first=R. A.|author-last=Minlos}}
* O. G. Smolyanov, E. T. Shavgulidze. ''Continual integrals''. Moscow, Moscow State University Press, 1990. (in Russian). http://lib.mexmat.ru/books/5132
* [[:en:Victor_Popov|Victor Popov]], Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, Springer 1983
* [[:en:Sergio_Albeverio|Sergio Albeverio]], Sonia Mazzucchi, A unified approach to infinite-dimensional integration, Reviews in Mathematical Physics, 28, 1650005 (2016)

[[분류:적분학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:양자장론]]