{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''모리타 문맥'''([森田]文脈, {{llang|en|Morita context}})은 두 개의 [[쌍가군]]으로 정의되는 수학적 구조이며, 이를 사용하여 '''모리타 환'''([森田]環, {{llang|en|Morita ring}})이라는, 2×2 행렬들로 구성된 [[환 (수학)|환]]을 정의할 수 있다. 만약 두 쌍가군 가운데 하나가 0이라면, 이에 대응되는 환은 '''삼각환'''(三角環, {{llang|en|triangular (matrix) ring}})이라고 하며, 이는 2×2 [[상삼각행렬]]들로 구성된다.

== 정의 ==
=== 행렬을 통한 정의 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>와 <math>S</math> 사이의 '''모리타 문맥'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Lam-module">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|486; 503, Exercise §18.18}}
* <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]] <math>{}_RM_S</math>
* <math>(S,R)</math>-[[쌍가군]] <math>{}_SN_R</math>
* <math>(R,R)</math>-[[쌍가군 준동형]] <math>\phi\colon {}_R(M\otimes_SN)_R\to {}_RR_R</math>
* <math>(S,S)</math>-[[쌍가군 준동형]] <math>\psi\colon {}_S(N\otimes_RM)_S\to {}_SS_S</math>
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* <math>\operatorname{id}_M\otimes_S\psi=\phi\otimes_R\operatorname{id}_N</math>
* <math>\psi\otimes_S\operatorname{id}_N=\operatorname{id}_M\otimes_RN</math>
모리타 문맥 <math>(R,S,M,N,\phi,\psi)</math>이 주어졌을 때, [[아벨 군]]
:<math>R\oplus M\oplus N\oplus S</math>
위에 다음과 같은 [[이항 연산]]을 부여하면 이는 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 이를 '''모리타 환'''({{llang|en|Morita ring}})이라고 한다.
:<math>(r,m,n,s)(r',m',n',s')=\left(rr'+\phi(m\otimes_Sn'),rm'+ms',nr'+sn',ss'+\psi(n\otimes_Rm')\right)</math>
<math>R\oplus M\oplus N\oplus S</math>의 원소를 다음과 같은 2×2 행렬
:<math>\begin{pmatrix}
r&m\\
n&s
\end{pmatrix}\qquad(r\in R,\;m\in M,\;n\in N,\;s\in S)</math>
로 나타내며 <math>\phi</math>와 <math>\psi</math>를 생략한다면, 모리타 환의 곱은 행렬의 곱셈으로 생각할 수 있다. 따라서, 모리타 환은 기호로
:<math>\begin{pmatrix}
R&M\\
N&S
\end{pmatrix}</math>
로 표기한다.

특수한 경우로, <math>N=0</math>이며  <math>\phi</math>, <math>\psi</math>는 영 쌍가군을 [[정의역]]으로 하는 유일한 쌍가군 준동형이라고 하자. 이 경우 모리타 환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[상삼각행렬]]로 구성되며, 이를 '''삼각환'''이라고 한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|16, Example 1.14}}<ref name="Lam-module"/>{{rp|503, Exercise §18.18}} 즉, 이는 [[아벨 군]]으로서 [[직합]] <math>R\oplus M\oplus S</math>이며, 그 위의 환 구조는 다음과 같다.
:<math>(r,m,s)(r',m',s')=(rr',rm'+ms',ss')\qquad(r,r'\in R,\;m,m'\in M,\;s,s'\in S)</math>

=== 멱등원을 통한 정의 ===
삼각환은 다음과 같이 다르게 정의할 수도 있다.<ref name="Pecsi">{{저널 인용|제목=On Morita contexts in bicategories|이름=Bertalan|성=Pécsi|저널=Applied Categorical Structures|날짜=2012-08|권=20|호=4|쪽=415–432|doi=10.1007/s10485-011-9247-2|issn=0927-2852|언어=en}}</ref>{{rp|430, Theorem 6.4(c)}}<ref>{{저널 인용|제목=A generalization of the ring of triangular matrices|이름=Stephen U.|성=Chase|mr=0123594|zbl=0113.02901|url=
http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118800586|저널=Nagoya Mathematical Journal|권=18|날짜=1961|쪽=13–25|issn=0027-7630|언어=en}}</ref> '''모리타 문맥''' <math>(T,e)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>T</math>는 [[환 (수학)|환]]이다.
* <math>e\in T</math>는 멱등원이다. 즉, <math>e^2=e</math>를 만족시킨다.
이 정의는 쌍가군을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, <math>(T,e)</math>가 주어졌을 때,
:<math>R=eTe</math>
:<math>S=(1-e)T(1-e)</math>
:<math>M=eT(1-e)</math>
:<math>N=(1-e)Te</math>
:<math>\phi\colon \left(eT(1-e)\otimes_R(1-e)Te\right)\to eTe</math>
:<math>\phi\colon \left(et(1-e)\otimes_R(1-e)t'e\right)\mapsto et(1-e)t'e</math>
:<math>\psi\colon \left((1-e)Te\otimes_SeT(1-e)\right)\to(1-e)T(1-e)</math>
:<math>\psi\colon \left((1-e)te\otimes_S et'(1-e)\right)\mapsto (1-e)tet'(1-e)</math>
로 놓으면, <math>(R,S,M,N,\phi,\psi)</math>는 모리타 문맥을 이룬다. 반대로, 모리타 문맥 <math>(R,S,M,N,\phi,\psi)</math>이 주어졌을 때,
:<math>T=\begin{pmatrix}R&M\\N&S\end{pmatrix}</math>
:<math>e=\begin{pmatrix}1_R&0_M\\0_N&0_S\end{pmatrix}</math>
로 놓으면, 이는 위 정의를 만족시킨다.

특히, 만약 <math>N=(1-e)Te=0</math>일 경우, <math>(T,e)</math>는 삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>을 정의한다.

=== 준가법 범주를 통한 정의 ===
모리타 문맥의 개념은 [[범주론]]적으로 간단히 정의할 수 있다.

'''모리타 문맥'''은 2개의 대상을 갖는 [[준가법 범주]](즉, [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 위의 [[풍성한 범주]])이다.<ref name="Pecsi"/>{{rp|430, Theorem 6.4(a)}} 이러한 [[준가법 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌으며, 그 두 대상이 <math>X</math>와 <math>Y</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>R=\operatorname{End}_{\mathcal C}(X)=\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>
:<math>S=\operatorname{End}_{\mathcal C}(Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,Y)</math>
:<math>M=\hom_{\mathcal C}(X,Y)</math>
:<math>N=\hom_{\mathcal C}(Y,X)</math>
로 놓으면, ([[준가법 범주]]에서의 [[자기 사상 모노이드]]는 [[환 (수학)|환]]을 이루므로) <math>R</math>와 <math>S</math>는 자연스럽게 [[환 (수학)|환]]의 구조를 가지며, 사상의 합성을 통해 <math>M</math>은 <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]], <math>N</math>은 <math>(S,R)</math>-[[쌍가군]]을 이룬다. 또한, 사상의 합성을 통하여 자연스럽게 사상
:<math>\phi\colon M\otimes_SN\to R</math>
:<math>\psi\colon N\otimes_SM\to S</math>
이 존재한다. 만약 <math>N=0</math>일 경우 이는 삼각환을 정의한다.

=== 2-범주를 통한 정의 ===
[[2-범주]] 이론을 통해, 모리타 문맥의 개념을 일반화할 수 있다. 구체적으로, [[2-범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 '''모리타 문맥''' <math>(R,S,M,N,\phi,\psi)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Pecsi"/>{{rp|424–425, Definition 5.1}}
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상(=0-사상)이다.
* <math>M\colon R\to S</math>와 <math>N\colon S\to R</math>는 <math>\mathcal C</math>의 1-사상이다.
* <math>\phi\colon N\circ M\Rightarrow\operatorname{id}_R</math>와 <math>\psi\colon M\circ N\to\operatorname{id}_S</math>는 <math>\mathcal C</math>의 2-사상이다.

다음과 같은 [[쌍가군]] [[2-범주]] <math>\operatorname{Bimod}</math>를 생각하자.
* <math>\operatorname{Bimod}</math>의 대상(=0-사상)은 [[환 (수학)|환]]이다.
* <math>\operatorname{Bimod}</math>의 두 대상 <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 1-사상은 <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]]이다. 1-사상의 합성은 [[쌍가군]]의 텐서곱 <math>(_SN_T)\circ(_RM_S)={}_R(M\otimes_SN)_T</math>으로 주어진다.
* <math>\operatorname{Bimod}</math>의 두 대상 <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 두 1-사상 <math>_RM_S</math>, <math>_RN_S</math> 사이의 2-사상은 <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]] 준동형 <math>\phi\colon M\to N</math>이다.
그렇다면, [[2-범주]] <math>\operatorname{Bimod}</math> 속의 모리타 문맥은 위의 다른 정의들과 [[동치]]이다.

== 성질 ==
삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[가환환]]이다.
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 [[가환환]]이며, <math>M=0</math>이다.

=== 아이디얼 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>와 <math>S</math> 및 <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]] <math>_RM_S</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>의 [[왼쪽 아이디얼]]은 다음과 같은 꼴이다.<ref name="Lam"/>{{rp|17, Proposition 1.17(1)}}
:<math>N\oplus\mathfrak S</math>
여기서
* <math>\mathfrak S\subseteq S</math>는 <math>S</math>의 [[왼쪽 아이디얼]]이다.
* <math>N\subseteq R\oplus M</math>은 <math>_RR\oplus{}_RM</math>의 <math>R</math>-[[부분 가군]]이며, <math>M\mathfrak S\subseteq N\cap M</math>이다.

마찬가지로, 삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>의 [[오른쪽 아이디얼]]은 다음과 같은 꼴이다.<ref name="Lam"/>{{rp|17, Proposition 1.17(2)}}
:<math>\mathfrak R\oplus N</math>
여기서
* <math>\mathfrak R\subseteq R</math>는 <math>R</math>의 [[오른쪽 아이디얼]]이다.
* <math>N\subseteq M\oplus S</math>은 <math>M_S\oplus S_S</math>의 <math>S</math>-[[부분 가군]]이며, <math>\mathfrak RM\subseteq N\cap M</math>이다.

마찬가지로, 삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>의 [[양쪽 아이디얼]]은 다음과 같은 꼴이다.<ref name="Lam"/>{{rp|17, Proposition 1.17(3)}}
:<math>\mathfrak r\oplus N\oplus\mathfrak s</math>
여기서
* <math>\mathfrak r\subseteq R</math>는 <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]]이다.
* <math>\mathfrak s\subseteq S</math>는 <math>S</math>의 [[양쪽 아이디얼]]이다.
* <math>_RN_S\subseteq {}_RM{}_S</math>은 <math>_RM_S</math>의 <math>(R,S)</math>-부분 쌍가군이며, <math>\mathfrak rM\subseteq N</math>이자 <math>M\mathfrak s\subseteq N</math>이다.

=== 뇌터·아르틴 조건 ===
삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|19, Theorem 1.22}}
*  <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[왼쪽 뇌터 환]]이다.
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 [[왼쪽 뇌터 환]]이며, <math>_RM</math>은 <math>R</math>-[[뇌터 가군]]이다.

삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|19, Theorem 1.22}}
*  <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[오른쪽 뇌터 환]]이다.
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 [[오른쪽 뇌터 환]]이며, <math>M_S</math>은 <math>S</math>-[[뇌터 가군]]이다.

삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|19, Theorem 1.22}}
*  <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[왼쪽 아르틴 환]]이다.
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 [[왼쪽 아르틴 환]]이며, <math>_RM</math>은 <math>R</math>-[[아르틴 가군]]이다.

삼각환 <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|19, Theorem 1.22}}
*  <math>(\begin{smallmatrix}R&M\\0&S\end{smallmatrix})</math>은 [[오른쪽 아르틴 환]]이다.
* <math>R</math>와 <math>S</math>는 [[오른쪽 아르틴 환]]이며, <math>M_S</math>은 <math>S</math>-[[아르틴 가군]]이다.

== 예 ==
=== 자명한 경우 ===
만약 <math>M=N=0</math>이라면, 모리타 환은 다음과 같이 단순히 [[환 (수학)|환]]의 [[직접곱]]과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
R&0\\
0&S
\end{pmatrix}\cong R\times S</math>

만약 <math>R=S</math>이며, <math>M=\mathfrak m\subseteq R</math>과 <math>N=\mathfrak n\subseteq R</math>이 <math>R</math>의 [[양쪽 아이디얼]]이라면, 모리타 환
:<math>\begin{pmatrix}
R&\mathfrak m\\
\mathfrak n&R
\end{pmatrix}\subseteq\operatorname{Mat}(2;R)</math>
은 <math>R</math> 계수 2×2 행렬환의 부분환이다.

=== 오른쪽 가군에 대응되는 모리타 문맥 ===
환 <math>R</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 모리타 문맥을 정의할 수 있다.<ref name="Lam-module"/>{{rp|486}}
* <math>S=\hom(M_R,M_R)</math>
* <math>{}_RN_S=\hom({}_SM_R,{}_RR_R)</math>
* <math>\phi\colon M\otimes_RN\to S</math>, <math>(m\otimes_R n)\mapsto (m'\mapsto mn(m'))</math>
* <math>\psi\colon N\otimes_SM\to R</math>, <math>(n\otimes_R m)\mapsto n(m)</math>
이러한 모리타 문맥은 [[모리타 동치]]의 정의에 사용된다. 구체적으로, 만약 <math>M_R</math>가 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]이며 [[오른쪽 가군]] [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Mod}_R</math>의 [[생성 대상]]이라면, 이는 <math>R</math>와 <math>S</math> 사이의 [[모리타 동치]]를 정의한다.

== 역사 ==
모리타 문맥과 모리타 환은 [[모리타 기이치]]가 [[모리타 동치]] 이론을 전개하기 위하여 도입하였다. "모리타 문맥"({{llang|en|Morita context}})이라는 용어는 [[하이먼 배스]]가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Hyman|성=Bass|저자링크=하이먼 배스|제목=The Morita theorem: lecture notes|출판사=University of Oregon|날짜=1962|언어=en}}</ref><ref name="Lam-module"/>{{rp|460}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Morita contexts|제목=Non-commutative ring theory. Proceedings of a conference held in Athens, Ohio, Sept. 29–30, 1989|이름=Philippe|성=Loustaunau|이름2=Jay|성2=Shapiro|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1448|쪽=80–92|날짜=1990|doi=10.1007/BFb0091253|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|title=Morita context}}

[[분류:환론]]