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[[순서론]]에서 '''상향 원순서 집합'''(上向原順序集合, {{llang|en|upward-directed preordered set}})은 임의의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]에 [[상계 (수학)|상계]]가 존재하는 [[원순서 집합]]이다. 마찬가지로, '''하향 원순서 집합'''(下向原順序集合, {{llang|en|downward-directed preordered set}})은 임의의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]]에 [[하계 (수학)|하계]]가 존재하는 [[원순서 집합]]이다.

== 정의 ==
임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>은 항상 다음과 같이 [[작은 범주]]로 여길 수 있다.
* 대상은 <math>X</math>의 원소이다.
* <math>x,y\in X</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>x\lesssim y</math>라면 유일한 사상 <math>(x,y)\colon x\to y</math>가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다.
* <math>x\in X</math>의 항등 사상은 <math>(x,x)</math>이다.
* 사상의 합성은 <math>(y,z)\circ(x,y)=(x,z)</math>이다.

[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''상향 원순서 집합'''(上向原順序集合, {{llang|en|upward-directed preordered set}})이라고 한다.
* [[작은 범주]]로 여겼을 때, [[여과 범주]]를 이룬다.
* 임의의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\subseteq X</math>, <math>n\in\mathbb N</math>은 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다. 즉,
** (<math>n=0</math>인 경우) [[공집합]]이 아니다.
** (<math>n=2</math>인 경우) 임의의 두 원소 <math>x_1,x_2\in X</math>에 대하여, <math>x_1\lesssim y</math>이자 <math>x_2\lesssim y</math>인 <math>y\in X</math>가 적어도 하나 이상 존재한다.
둘째 조건에서, <math>n=1</math>인 경우는 자명하게 참이며, <math>n\ge3</math>인 경우는 <math>n=2</math>인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다.

마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[원순서 집합]]을 '''하향 원순서 집합'''(下向原順序集合, {{llang|en|downward-directed preordered set}})이라고 한다.
* [[작은 범주]]로 여겼을 때, [[여과 범주]]의 [[반대 범주]]를 이룬다.
* 임의의 [[유한 집합|유한]] [[부분 집합]] <math>\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\subseteq X</math>, <math>n\in\mathbb N</math>은 [[하계 (수학)|하계]]를 갖는다. 즉,
** (<math>n=0</math>인 경우) [[공집합]]이 아니다.
** (<math>n=2</math>인 경우) 임의의 두 원소 <math>x_1,x_2\in X</math>에 대하여, <math>y\lesssim x_1</math>이자 <math>y\lesssim x_2</math>인 <math>y\in X</math>가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, {{llang|en|directed set}})으로 불린다.

[[원순서 집합]]의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 '''필터 기저'''({{llang|en|filter base}})라고 하며, 그 [[상폐포]]는 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다. 마찬가지로, [[원순서 집합]]의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 '''순서 아이디얼 기저'''({{llang|en|ordered ideal base}})라고 하며, 그 [[하폐포]]는 [[순서 아이디얼]]을 이룬다.

=== 유향 극한 ===
임의의 범주 <math>\mathcal C</math> 속의 '''상향 그림'''(上向-, {{llang|en|directed diagram}})은 정의역이 상향 원순서 집합 <math>(I,\lesssim)</math>인 [[함자 (수학)|함자]] <math>I\to\mathcal C</math>이다. 상향 그림의 [[극한 (범주론)|극한]]을 '''상향 극한'''({{llang|en|upward-directed limit}})이라고 한다.

임의의 범주 <math>\mathcal C</math> 속의 '''하향 그림'''(下向-, {{llang|en|directed diagram}})은 정의역이 하향 원순서 집합 <math>(I,\lesssim)</math>인 [[함자 (수학)|함자]] <math>I\to\mathcal C</math>이다. 상향 그림의 [[쌍대 극한]]을 '''하향 쌍대 극한'''({{llang|en|downward-directed colimit}})이라고 한다.

== 성질 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim_X)</math> 위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 [[원순서]]가 주어진다.
:<math>B\lesssim B'\iff\forall b\in B\exists b'\in B'\colon b'\lesssim_X b</math>
<math>B\lesssim B'</math>일 경우 <math>B'</math>이 <math>B</math>보다 더 '''섬세하다'''({{llang|en|finer}})고 한다. 두 상향 부분 집합 <math>B</math>, <math>B'</math>이 같은 [[필터 (수학)|필터]]를 생성하는 것은 <math>B\lesssim B'</math>이자 <math>B'\lesssim B</math>인 것과 [[동치]]이다.

마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim_X)</math> 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 [[원순서]]가 주어진다.
:<math>B\lesssim B'\iff\forall b\in B\exists b'\in B'\colon b\lesssim_X b'</math>
두 하향 부분 집합 <math>B</math>, <math>B'</math>이 같은 [[순서 아이디얼]]을 생성하는 것은 <math>B\lesssim B'</math>이자 <math>B'\lesssim B</math>인 것과 [[동치]]이다.

== 참고 문헌 ==
* J. L. Kelley (1955), ''General Topology''.
* Gierz, Hofmann, Keimel, ''et al.'' (2003), ''Continuous Lattices and Domains'', Cambridge University Press. {{ISBN|0-521-80338-1}}.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Directed set}}
* {{eom|title=Directed order}}
* {{매스월드|title=Directed set|id=DirectedSet}}
* {{nlab|id=direction|title=Direction}}
* {{nlab|id=directed limit|title=Directed limit}}
* {{nlab|id=directed colimit|title=Directed colimit}}

{{전거 통제}}
[[분류:관계 (수학)]]
[[분류:순서론]]