{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Hypersphere.png|thumb]]
[[기하학]]에서 '''3차원 초구'''(三次元超球, {{llang|en|3-sphere}}, {{lang|en|glome}})는 4차원 공간 속의 단위 벡터로 구성된 [[리만 다양체]]이다. 그 위에는 [[리 군]] [[SU(2)]]의 구조를 줄 수 있다.

== 정의 ==
3차원 초구는 다음과 같이 [[대칭 공간]]을 이룬다.
:<math>\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2) \cong \operatorname{Sp}(1)</math>
:<math>\mathbb S^3 \cong \operatorname{SO}(4) / \operatorname{SO}(3)</math>

또한, <math>\mathbb S^3</math>는 노름 1의 [[사원수]]의 공간으로 여길 수 있다.
:<math>\mathbb S^3 = \{x\in\mathbb H \colon \|x\|=1\}</math>

[[리만 구]] <math>\mathbb S^2 \cong \mathbb P^1_{\mathbb C}</math> 위의 [[정칙 선다발]] <math>\mathcal O(1)</math>에 대응하는 U(1) 주다발의 전체 공간은 <math>\mathbb S^3</math>와 동형이다. 이는 [[호프 올다발]]
:<math>\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^2</math>
을 정의한다.

== 성질 ==
=== 좌표계 ===
3차원 초구 위에는 여러 개의 유용한 좌표계들이 존재한다.

==== 구면 좌표계 ====
3차원 초구 위에는 '''[[구면 좌표계]]'''를 사용할 수 있다. 즉, 좌표 <math>(\psi,\theta,\phi)</math>에 대하여
:<math>\psi\in[0,\pi]</math>
:<math>\theta\in[0,\pi]</math>
:<math>\phi\in \mathbb R/2\pi\mathbb Z</math>
이며, 매장 <math>\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb R^4</math>은 다음과 같다.
:<math>(\psi,\theta,\phi)\mapsto (\cos \psi, \sin\psi\cos\theta, \sin\psi\sin\theta\cos\phi,\sin\psi\sin\theta\sin\phi)</math>
이 좌표계에서 3차원 초구의 [[리만 계량]]은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = \mathrm d\psi^2 + \sin^2\psi \left(\mathrm d\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm d\phi^2\right)</math>
[[부피 형식]]은 다음과 같다.
:<math>\omega = \sin^2\psi\sin\theta \mathrm d\psi\wedge\mathrm d\theta\wedge\mathrm d\phi</math>

==== 호프 좌표계 ====
3차원 초구 위의 '''호프 좌표계'''(Hopf座標系, {{llang|en|Hopf coordinate system}}) <math>(\eta,\xi,\xi')</math>는 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration|이름=Anna |성=Yershova|이름2=Swati |성2=Jain|이름3=Steven M.|성3= LaValle, |이름4= Julie C.|성4= Mitchell|doi=10.1177/0278364909352700 | 저널=The International Journal of Robotics Research|pmc=2896220|url=http://msl.cs.uiuc.edu/~lavalle/papers/YerJaiLavMit10.pdf|날짜=2010-06|권=26|호=7|언어=en}}</ref>{{rp|§2,§8}}
:<math>\xi,\xi' \in \mathbb R/(2\pi\mathbb Z)</math>
:<math>\eta \in [0,\pi/2]</math>
매장 <math>\mathbb S^3 \hookrightarrow \mathbb C^2\cong\mathbb R^4</math>은 다음과 같다.
:<math>(\eta,\xi,\xi') \mapsto \left(\cos\eta\exp(\mathrm i\xi),\sin\eta\exp(\mathrm i\xi')\right)</math>
이 좌표계에서 3차원 초구의 [[리만 계량]]은 (반지름이 1일 때) 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = \mathrm d\eta^2 + \cos^2\eta \,\mathrm d\xi^2 + \sin^2\eta\,\mathrm d{\xi'}^2</math>
[[부피 형식]]은 다음과 같다.
:<math>\omega = \sin\eta\cos\eta\,\mathrm d\eta\wedge\mathrm d\xi\wedge\mathrm d\xi'</math>
이 좌표계에서, [[호프 올다발]]은 다음과 같다.
:<math>\mathbb S^3 \twoheadrightarrow \mathbb S^2</math>
:<math>(\eta,\xi,\xi') \mapsto (2\eta,\xi-\xi')</math>
여기서 <math>\mathbb S^2</math> 위의 좌표는 구면 좌표계이다. 즉,
:<math>z = \exp(\mathrm i\xi)\sin\eta</math>
:<math>z' = \exp(\mathrm i\xi')\cos\eta</math>
라고 적으면,
:<math>\cos(2\eta) = |z|^2-|z'|</math>
:<math>\sin(2\eta)\exp(\mathrm i(\xi-\xi')) = 2z\bar{z'}</math>
이므로
:<math>(z,z') \mapsto (|z|^2-|z'|^2,2z\bar{z'})</math>
가 되며,
:<math>(|z|^2-|z'|^2)^2 + |2z\bar{z'}|^2 = (|z|^2+|z'|^2)^2 = 1</math>
이 된다.

=== 군의 작용 ===
<math>\mathbb S^3</math> 위에는 [[리 군]] <math>\operatorname O(4)</math>가 작용한다. 그 가운데 <math>\operatorname{SO}(4) \cong \operatorname{SU}(2) \times \operatorname{SU}(2) / \{(1,1),(-1,-1)\}</math>은 SU(2)의, 스스로 위의 왼쪽 · 오른쪽 곱셈 작용에 해당한다.

호프 올다발로 인하여, <math>\mathbb S^3</math>는 <math>\mathbb S^2</math> 위의 U(1) [[주다발]]을 이루며, 이는 <math>\operatorname O(3) \times \operatorname U(1)</math>의 작용을 정의한다. 이는 <math>\operatorname O(4)</math>의 부분군이다.

=== 연속 함수 ===
리 군 SU(2)의 곱셈 연산에 해당하는 [[매끄러운 함수]]
:<math>\mathbb S^3 \times \mathbb S^3 \to \mathbb S^3</math>
가 존재한다. 이는 노름 1의 사원수의 곱셈으로 생각할 수도 있다.

=== 미분 형식 ===
[[호프 올다발]]에 의하여, <math>\mathbb S^2</math>의 부피 형식을 <math>\mathbb S^3</math>에 당길 수 있다. 이는 물론 2차 [[완전 미분 형식]]이다. 이는 호프 올다발의 U(1)×SO(3) 대칭 가운데 U(1)의 작용에 대하여 불변이다.

== 같이 보기 ==
* [[단위원]]
* [[정팔포체]]
* [[파울리 행렬]]
* [[클리포드 원환면]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Glome|title=Glome}}
* {{nlab|id=3-sphere}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학]]
[[분류:리 군]]
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:사원수]]