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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''함수의 극한'''({{llang|en|limit of a function}})은 [[독립 변수와 종속 변수|독립 변수]]가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도(수렴), 존재하지 않을 수도(발산) 있다. [[실수]]를 비롯한 [[거리 공간]]의 경우, 함수의 극한 개념은 [[엡실론-델타 논법]]을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.

== 일변수 함수 ==
=== 정의 ===
[[열린구간]] <math>I\ni a</math> 및 [[실수]] 함수 <math>f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>0<|x-a|<\delta</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
:<math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math> 또는 <math>f(x)\to L\quad(x\to a)</math>
정의에 따라, <math>a</math>에서 <math>f</math>의 극한은 <math>a</math> 부근에서 <math>f</math>의 행위와 상관이 있으나, <math>a</math>에서의 함숫값과 상관 없으며, 심지어 <math>a</math>에서 정의되었는지와 상관 없다.

==== 단측 극한 ====
'''단측 극한'''(單側極限, {{llang|en|one-sided limit}}) 또는 '''한쪽 극한'''은 보다 더 약한 개념의 극한이며, '''좌극한'''(左極限, {{llang|en|left-handed limit}})과 '''우극한'''(右極限, {{llang|en|right-handed limit}})으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. [[실수]] 함수 <math>f\colon(b,a)\to\mathbb R</math>에 대하여, 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 '''좌극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>0<a-x<\delta</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
:<math>\lim_{x\to a-0}f(x)=L</math> 또는 <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L</math>
비슷하게, [[실수]] 함수 <math>f\colon(a,b)\to\mathbb R</math>에 대하여, 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 '''우극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>0<x-a<\delta</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
:<math>\lim_{x\to a+0}f(x)=L</math> 또는 <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=L</math>

==== 일정 범위 안에서의 극한 ====
정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. [[열린구간]] <math>I</math> 및 [[실수]] 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math> 및 <math>I</math>의 부분 집합 <math>E\subseteq I</math> 및 그 [[극한점]] <math>a\in E'</math>에 대하여, 부분 집합 <math>E</math>의 범위에서 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L=\lim_{E\ni x\to a}f(x)\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>x\in E</math>이고 <math>0<|x-a|<\delta</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.
좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 [[유리수]] 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 <math>I\setminus\{a\}\subseteq E</math>인 열린구간 <math>I\ni a</math>가 존재한다면, 이는 일반적인 극한과 동치이며, 이 경우 기호 <math>E\ni</math>를 생략할 수 있다.

==== 무한대에서의 극한 ====
실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 <math>f\colon(b,\infty)\to\mathbb R</math>에 대하여, 무한대에서 함수 <math>f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L=\lim_{x\to\infty}f(x)\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>M>0</math>가 존재하여, <math>x>M</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.
비슷하게, 실수 함수 <math>f\colon(-\infty,b)\to\mathbb R</math>에 대하여, 음의 무한대에서 함수 <math>f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>L=\lim_{x\to-\infty}f(x)\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>M>0</math>가 존재하여, <math>x<-M</math>이면 항상 <math>|f(x)-L|<\epsilon</math>이게 된다.

==== 무한대 값 극한 ====
실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 <math>I\ni a</math> 및 실수 함수 <math>f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 극한이 무한대라고 하며, <math>\lim_{x\to a}f(x)=\infty</math>라 표기한다.
* 임의의 <math>M>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>0<|x-a|<\delta</math>이면 항상 <math>f(x)>M</math>이게 된다.
비슷하게, <math>f</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 <math>a</math>에서 함수 <math>f</math>의 극한이 음의 무한대라고 하며, <math>\lim_{x\to a}f(x)=-\infty</math>라 표기한다.
* 임의의 <math>M>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>가 존재하여, <math>0<|x-a|<\delta</math>이면 항상 <math>f(x)<-M</math>이게 된다.
이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다.

=== 성질 ===
극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.)

어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기 <math>\lim</math>를 사용할 수 있는 이유이다.

열린구간 <math>I\ni a</math> 및 실수 함수 <math>f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* (극한 존재) <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>
* (좌극한과 우극한 존재 및 일치) <math>\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=L</math>
* ([[상극한과 하극한]] 존재 및 일치) <math>\limsup_{x\to a}f(x)=\liminf_{x\to a}f(x)=L</math>
* ('닿지 않는' [[수열의 극한]] 보존) 모든 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math>라면, <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math>이다.
* ('닿지 않는' [[수열의 극한]] 보존) 다음 두 조건을 만족시킨다.
** 모든 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math>라면, <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)</math>가 존재한다.
** 어떤 <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에 대하여, <math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math>이며, <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L</math>이다.
{{증명}}
간단하게 [[절댓값]]을 풀고 묶는 과정이다.

(충분조건) 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대해 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>을 만족하는 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재한다. 이 때 <math>x>a,~x<a</math>의 두가지 경우가 존재한다.<br/>첫 번째 경우 <math>0<x-a<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>이고 두 번째 경우 <math>0<a-x<\delta\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)</math>이다.<br/>그러므로 <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>은 <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)</math>의 [[충분조건]]이다.

(필요조건) 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대해 <math>0<x-a<\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>와 <math>0<a-x<\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>를 만족하는 어떤 양의 실수 <math>\delta _1,\delta _2</math>가 존재한다.<br/><math>\delta</math>를 <math>\min(\delta _1,\delta _2)</math>로 잡아주면, <math>0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2</math>이다. 이때 <math>x>a</math>라면 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<x-a<\delta\le\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>이다.<br/>마찬가지로 <math>x<a</math>라면 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow 0<a-x<\delta\le\delta_1\Rightarrow\left| f(x)-L\right| <\epsilon</math>이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>이다.<br/>그러므로 <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>은 <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=L=\lim_{x\to a^+}f(x)</math>의 [[필요조건]]이다.
{{증명 끝}}

어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다. 즉, 열린구간 <math>I\ni a</math> 및 <math>a</math>에서 극한이 존재하는 함수 <math>f\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 항상 다음을 만족시키는 [[빠진 근방]] <math>J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}</math> 및 양의 실수 <math>M>0</math>이 존재한다.
* 임의의 <math>x\in J\setminus\{a\}</math>에 대하여, <math>|f(x)|<M</math>
함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간 <math>I\ni a</math> 및 <math>a</math>에서 극한이 존재하는 함수 <math>f,g\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 서로 대우인 다음 두 성질이 성립한다.
* 어떤 빠진 근방 <math>J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에서 항상 <math>f(x)\le g(x)</math>라면, <math>\lim_{x\to a}f(x)\le\lim_{x\to a}g(x)</math>이다.
* <math>\lim_{x\to a}f(x)<\lim_{x\to a}g(x)</math>이라면, 어떤 빠진 근방 <math>J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에서 항상 <math>f(x)<g(x)</math>이다.
{{증명}}
[[귀류법]]을 이용한다. 결론을 [[부정]]하여 <math>L>M</math>이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 <math>\lim_{x\to a}\left\{ g(x)-f(x)\right\} =M-L</math>이다. 가정에 의하여 <math>L-M>0</math>이므로 극한의 정의에 의하여 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right)\right| <L-M</math>를 만족하는 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재한다. 어떤 수의 [[절댓값]]은 그 수보다 크거나 같으므로 <math>\left\{ g(x)-f(x)\right\} -\left( M-L\right) <L-M</math>이다. 정리하면 <math>f(x)>g(x)</math>이므로 이는 [[전제]]에 대해 [[모순]]이다. 그러므로 <math>L\le M</math>이다.
{{증명 끝}}

함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간 <math>I\ni a</math> 및 <math>a</math>에서 극한이 존재하는 함수 <math>f,g\colon I\setminus\{a\}\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)</math>
* <math>\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\lim_{x\to a}f(x)\lim_{x\to a}g(x)</math>
만약 추가로 어떤 빠진 근방 <math>J\setminus\{a\}\subseteq I\setminus\{a\}</math>에서 항상 <math>g(x)\ne0</math>이라면,
* <math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)}</math>
{{증명}}
함수의 극한의 엄밀한 정의인 [[엡실론-델타 논법]]을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
# <math>\lim_{x \to a}\left\{ f(x) + g(x) \right\} = \alpha + \beta</math>
#:[[삼각 부등식]]에 의하여
#::<math>|f(x)+g(x)-(\alpha +\beta )|=|(f(x)-\alpha )+(g(x)-\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |</math>
#:가 성립한다.
#:모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 <math>\frac{\epsilon}{2}>0</math>이므로
#::<math>|x-a|<\delta _1\Rightarrow|f(x)-\alpha |<\frac{\epsilon}{2}</math>
#::<math>|x-a|<\delta _2\Rightarrow|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}</math>인 양의 실수 <math>\delta _1</math>과 <math>\delta _2</math>가 존재한다.
#:<math>\delta</math>를 <math>\min(\delta _1,\delta _2)</math>로 잡아주면 <math>0<\delta\le\delta _1</math>이며 동시에 <math>0<\delta\le\delta _2</math>이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
#::<math>|\left\{ f(x)+g(x)\right\}-(\alpha +\beta )|\le |f(x)-\alpha |+|g(x)-\beta |<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon</math>
#:다시 말해 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대해 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재하여 <math>0<|x-a|<\delta\Rightarrow |{f(x)+g(x)}-(\alpha +\beta )|<\epsilon</math>이다.
#:그러므로 극한에 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a}\left\{ f(x)+g(x)\right\} =\alpha +\beta</math>이다.
# <math>\lim_{x \to a}f(x)g(x)= \alpha\beta</math>
#:증명하고자 하는 명제의 결론은 다음과 같다. 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재하여 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon</math>이다.
#:여기서 <math>\alpha g(x)</math>를 더하고 빼주면 <math>\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| =\left| f(x)g(x)-\alpha g(x)+\alpha g(x)-\alpha\beta\right| =\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)+\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right|</math>이다.
#:[[삼각 부등식]]을 사용한다면 <math>\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right|\le\left|\left\{ f(x)-\alpha\right\} g(x)\right| +\left|\alpha\left\{ g(x)-\beta\right\}\right| =\left| f(x)-\alpha\right|\left| g(x)\right| + \left| \alpha\right|\left| g(x)-\beta\right|</math>이다.
#:모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 <math>\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right|\right) }>0,~1>0,~\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right| \right) }>0</math>이므로 <math>0<\left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\alpha\right|\right) },~0<\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| g(x)-\beta\right| <1,</math><math>0<\left| x-a\right| <\delta _3\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right| \right) }</math>를 만족하는 양의 실수 <math>\delta _1,~\delta _2,~\delta _3</math>가 존재한다.
#:[[삼각 부등식]]에 의해 <math>\left| g(x)\right| =\left| g(x)-\beta +\beta\right|\le\left| g(x)-\beta\right| +\left|\beta\right| <1+\left|\beta\right|</math>이다.
#:<math>\delta</math>를 <math>\min(\delta _1,\delta _2,\delta _3)</math>로 잡아주면, <math>0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2,~0<\delta\le\delta _3</math>이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
#::<math>\begin{array}{rcl}
\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| & \le & \left| f(x)-\alpha\right|\left|g(x)\right| +\left|\alpha\right|\left| g(x)-\beta\right| \\
 & < & \frac{\epsilon}{2\left( 1+\left|\beta\right|\right)}\left( 1+\left|\beta\right|\right) +\left|\alpha\right|\frac{\epsilon}{2\left(1+\left|\alpha\right|\right)} \\
 & < & \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} \\
 & = & \epsilon
\end{array}</math>
#:다시 말해 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대해 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재하여 <math>0<|x-a|<\delta\Rightarrow\left| f(x)g(x)-\alpha\beta\right| <\epsilon</math>이다.
#:그러므로 극한에 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a}f(x)g(x) =\alpha\beta</math>이다.
# <math>\lim_{x \to a}k=k</math> (단, <math>k</math>는 상수)
#:모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대해 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가(아무 양의 실수는 상관이 없다. 여기서는 1로 한다.) 존재하여 <math>\left| x-a\right| <1\Rightarrow\left| k-k\right| =0<\epsilon</math>이다.
#:그러므로 극한에 정의에 의하여 <math>\lim_{x \to a}k=k</math>이다.
# <math>\lim_{x \to a}kf(x) = k\alpha</math> (단, <math>k</math>는 [[상수]])
#:<math>g(x)=k</math>로 정의하고 2번과 3번 성질을 적용시키자.
#::<math>\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}k=k</math>
#::<math>\lim_{x\to a}kf(x)=\lim_{x\to a}g(x)f(x)=k\alpha</math>
#:이다.
# <math>\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta</math>
#:<math>c=-1</math>로 잡고 1번과 4번 성질을 적용시키자.
#::<math>\lim_{x\to a}(-1)g(x)=(-1)\cdot\beta =-\beta</math>
#::<math>\lim_{x\to a}\left\{ f(x)-g(x)\right\} =\lim_{x\to a}\left\{ f(x)+(-1)g(x)\right\} =\alpha +(-\beta )=\alpha -\beta</math>
#:그러므로 <math>\lim_{x \to a}\left\{ f(x) - g(x) \right\} = \alpha - \beta</math>이다.
# <math>\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}</math> (단, <math>f(x) \ne 0, \alpha \ne 0</math>)
#:증명하기에 앞서 다음과 같은 보조정리를 증명하자. <math>\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}</math>
#:모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여<math>\frac{\left|\alpha\right|}{2}>0,~\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon >0</math>이므로 <math>\left| x-a\right| <\delta _1\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2},~\left| x-a\right| <\delta _2\Rightarrow\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon</math>을 만족하는 양의 실수 <math>\delta _1,\delta _2</math>가 존재한다.
#:<math>\left| f(x)-\alpha\right| <\frac{\left|\alpha\right| }{2}</math>이라면 [[삼각 부등식]]에 의하여 <math>\left|\alpha\right| =\left|\alpha -f(x)+f(x)\right|\le\left|\alpha -f(x)\right| +\left| f(x)\right| =\left| f(x)-\alpha\right| +\left| f(x)\right| <\frac{\left|\alpha\right|}{2}+\left| f(x)\right|</math>이므로 <math>\left| f(x)\right| >\frac{\left|\alpha\right|}{2}</math>이다.
#:따라서 <math>\frac{1}{\left|\alpha f(x)\right|}=\frac{1}{\left|\alpha\right|\left| f(x)\right|}<\frac{1}{\left|\alpha\right|}\cdot\frac{2}{\left|\alpha\right|}=\frac{2}{\alpha ^2}</math>이다.
#:<math>\delta</math>를 <math>\min(\delta _1,\delta _2)</math>로 잡아주면, <math>0<\delta\le\delta _1,~0<\delta\le\delta _2</math>이므로 위에서 언급한 부등식들을 모두 조합하면 다음과 같다.
#::<math>\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| =\frac{\left|\alpha -f(x)\right|}{\left|\alpha f(x)\right|}<\frac{2}{\alpha ^2}\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\epsilon =\epsilon</math>
#:다시 말해 모든 양의 실수 <math>\epsilon</math>에 대하여 어떤 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재하여 <math>0<\left| x-a\right| <\delta\Rightarrow\left|\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{\alpha}\right| <\epsilon</math>이다.
#:그러므로 극한의 정의에 의하여 <math>\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\alpha}</math>이다.
#:위에서 증명한 보조정리와 4번 성질을 적용시키자.
#::<math>\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to a}g(x)\left(\frac{1}{f(x)}\right)=\beta\cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{\beta}{\alpha}</math>
#:그러므로 <math>\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{\beta}{\alpha}</math>이다.
{{증명 끝}}

그 밖에, 함수의 극한에 대하여 [[로피탈의 정리]]가 성립한다.

=== 예 ===
함수의 극한의 예는 다음과 같다.
* ([[상수 함수]]의 극한) <math>\lim_{x\to a}c=c</math>
* ([[유리 함수]]의 극한) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}=
\begin{cases}\infty&n>m\\\frac{a_n}{b_m}&n=m\\0&n<m\end{cases}\qquad(n,m\in\mathbb N;\;a_n,b_m>0)</math>
* ([[자연로그의 밑]]) <math>\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x=e</math>
* (동위 무한소) <math>\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1</math>
* (고위 무한소) <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\log_ax}{x^p}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^p}{b^x}=0\qquad(a,b>1;\;p>0)</math>
다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자.
:<math>f\sim g\quad(x\to0)\iff \lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}g(x)=0;\;\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1</math>
그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.
:<math>x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim e^x-1\sim\ln(1+x)\quad(x\to0)</math>
:<math>a^x-1\sim x\ln a\quad(x\to0)\qquad(a>0)</math>
:<math>(1+x)^a-1\sim ax\quad(x\to0)\qquad(a>0)</math>
:<math>1-\cos x\sim\frac12x^2\quad(x\to0)</math>
:<math>\tan x-\sin x\sim\frac12x^3\quad(x\to0)</math>

== 다변수 함수 ==
=== 정의 ===
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>\mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n</math> 및 함수 <math>\mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m</math>에 대하여, 점 <math>\mathbf a</math>에서 함수 <math>\mathbf f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 <math>\mathbf L=\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbb R^m</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>이 존재하여, <math>0<\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert_{\mathbb R^n}<\delta</math>이면 항상 <math>\Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}<\epsilon</math>이게 된다.
또한, 점 <math>\mathbf a</math>에서 함수 <math>\mathbf f</math>의 '''다중 극한'''은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. 즉, 다음과 같다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.)
:<math>\lim_{x_1\to a_1}\lim_{x_2\to a_2}\cdots\lim_{x_n\to a_n}\mathbf f(\mathbf x)</math>
비슷하게 다른 종류의 극한을 정의할 수 있다. 즉, [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb R^n</math> 및 함수 <math>\mathbf f\colon D\to\mathbb R^m</math> 및 <math>D</math>의 부분 집합 <math>E\subseteq D</math> 및 그 [[극한점]] <math>\mathbf a\in E'</math>에 대하여, 집합 <math>E</math>의 범위에서 점 <math>\mathbf a</math>에서 함수 <math>\mathbf f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 <math>L=\lim_{E\ni\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)\in\mathbb R^m</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>이 존재하여, <math>\mathbf x\in E</math>이고 <math>0<\Vert\mathbf x-\mathbf a\Vert_{\mathbb R^n}<\delta</math>이면 항상 <math>\Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}<\epsilon</math>이게 된다.

=== 성질 ===
두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한에 대하여, 실수와 비슷한 성질들이 성립한다. 즉, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 [[열린 공]]에서 [[유계 함수]]이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수의 [[선형 결합]]의 극한은 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. [[공역]]이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, [[샌드위치 정리]]가 성립한다.

[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>\mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n</math> 및 함수 <math>\mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m</math> 및 점 <math>\mathbf L\in\mathbb R^m</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L</math>
* <math>\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\Vert\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf L\Vert_{\mathbb R^m}=0</math>
* <math>\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}f_j(\mathbf x)=L_j\qquad j=1,2,\ldots,m</math>
이에 따라, 다변수 함수의 극한의 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.

함수가 극한을 갖는 점에서 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 가지는 점에서 극한을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 함수
:<math>f(x,y)=\begin{cases}0&xy=0\\1&xy\ne0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2</math>
는 검증
:<math>\lim_{k\to\infty}f\left(0,\frac1k\right)=0\ne1=\lim_{k\to\infty}f\left(\frac1k,\frac1k\right)</math>
에 따라, <math>(0,0)\in\mathbb R^2</math>에서 극한을 갖지 못하지만, 다중 극한 1을 갖는다.
:<math>\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y)=\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y)=1</math>
또한, 함수
:<math>g(x,y)=\begin{cases}(x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y&xy\ne0\\0&xy=0\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2</math>
는 검증
:<math>0\le g(x,y)\le|x|+|y|\qquad\forall(x,y)\in\mathbb R^2</math>
에 따라, <math>(0,0)\in\mathbb R^2</math>에서 극한 0을 갖지만, 다중 극한을 갖지 못한다.
:<math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0</math>
그러나, 만약 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.

=== 예 ===

== 거리 공간 ==

=== 정의 ===
두 [[거리 공간]] <math>(M,d_M)</math>, <math>(N,d_N)</math> 사이의 함수 <math>f\colon M\to N</math>에 대하여, 점 <math>a\in M</math>에서 함수 <math>f</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 점 <math>L=\lim_{x\to a}f(x)\in N</math>이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta>0</math>이 존재하여, <math>0<d_M(x,a)<\delta</math>이면 항상 <math>d_N(f(x),L)<\epsilon</math>이다.
같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수 <math>d_M,d_N</math>에 대한 함수의 극한을 <math>(d_M,d_N)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)</math>와 같이 표기하자. 특히, [[노름]] <math>\Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W</math>에 의해 유도되는 거리 함수에 대한 함수의 극한을 <math>(\Vert\cdot\Vert_V,\Vert\cdot\Vert_W)\bar{}\lim_{x\to a}f(x)</math>와 같이 표기하자.

=== 성질 ===
두 [[거리 공간]] <math>(M,d_M)</math>, <math>(N,d_N)</math> 사이의 함수 <math>f\colon M\to N</math> 및 점 <math>L\in N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\lim_{x\to a}f(x)=L</math>
* <math>\lim_{x-a}d(f(x),L)=0</math>
이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다.

[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>\mathbf a\in D\subseteq\mathbb R^n</math> 및 함수 <math>\mathbf f\colon D\setminus\{\mathbf a\}\to\mathbb R^m</math> 및 점 <math>\mathbf L\in\mathbb R^m</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 어떤 <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, <math>(\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L</math>
* 모든 <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, <math>(\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^n},\Vert\cdot\Vert_{p,\mathbb R^m})\bar{}\lim_{\mathbf x\to\mathbf a}\mathbf f(\mathbf x)=\mathbf L</math>
즉, 유클리드 공간 위의 [[Lp 노름|L<sup>p</sup> 노름]] (<math>1\le p\le\infty</math>)에 대한 함수의 극한은 서로 동치이다. 그러나, 이는 무한 차원의 경우 성립하지 않는다.

== 역사 ==
[[라이프니츠]]는 [[곡선]] 위에 있는 한 [[점 (기하학)|점]]의 [[기울기]]를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.<ref>Thompson, S.P; Gardner, M; Calculus Made Easy. 1998. Page 10-11. {{ISBN|0-312-18548-0}}.</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용 |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |저자=James Stewart |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009}}
*{{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}
*{{웹 인용 |1= |url=http://bcs.whfreeman.com/marsdenvc5e/pages/bcs-main.asp?s=02000&n=00020&i=99020.01&v=chapter&o= |제목=Internet Supplement for Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony Tromba |연도=2003 |확인날짜=2013-01-11 }}{{깨진 링크|url=http://bcs.whfreeman.com/marsdenvc5e/pages/bcs-main.asp?s=02000&n=00020&i=99020.01&v=chapter&o= }}

== 외부 링크 ==
* {{플래닛매스|urlname=limitrulesoffunctions|title=Limit rules of functions}}
* {{플래닛매스|urlname=improperlimits|title=Improper limits}}
* {{플래닛매스|urlname=listofcommonlimits|title=List of common limits}}
* {{플래닛매스|urlname=limitexamples|title=Limit examples}}
* 다양한 함수의 극한을 구해주는 사이트 [http://www.wolframalpha.com/input/?i=limits&a=*C.limits-_*ExamplePage-&f2=1%2Fx&f=Limit.limitfunction_1%2Fx&f3=0&f=Limit.limit_0&a=*FVarOpt.1-_**-.***Limit.limitvariable--.**Limit.direction--.**Limit.limitvariable2-.*Limit.limit2-.*Limit.direction2---.*--/ 울프람 알파 Limits]

[[분류:미적분학]]
[[분류:극한]]