{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''리만 다양체'''(Riemann多樣體, {{llang|en|Riemannian manifold}})는 각 점의 [[접공간]] 위에 [[양의 정부호]] [[쌍선형 형식]]이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 [[매끄러운 다양체]]이다. 이 구조를 '''리만 계량'''(Riemann計量, {{llang|en|Riemannian metric}})이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 [[평행 운송]] · [[각도]] · [[길이]] · [[부피]] · [[곡률]] 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 [[미분기하학]]의 분야를 [[리만 기하학]](Riemann幾何學, {{llang|en|Riemannian geometry}})이라고 한다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 [[공변접다발]] <math>T^*M</math>의 2차 [[대칭 대수|대칭승]] <math>\operatorname{Sym}^2T^*M</math> [[벡터 다발]]을 생각하자. 이는 접다발의 [[대칭 대수|대칭승]] <math>\operatorname{Sym}^2TM</math>의 [[쌍대 벡터 다발|쌍대 다발]]과 같다. 이 벡터 다발은 <math>M</math> 위의 <math>n(n+1)/2</math>차원 [[벡터 다발]]이다.

<math>\operatorname{Sym}^2T^*M</math>의 [[매끄러운 단면]]은 <math>M</math>의 각 점 <math>x\in M</math>에서의 [[접공간]] <math>T_xM</math> 위에 [[쌍선형 형식]]을 정의한다. <math>\operatorname{Sym}^2TM</math>은 <math>(TM)^{\otimes2}</math>의 [[몫 벡터 공간|몫공간]]이므로, 그 [[쌍대 벡터 다발|쌍대 다발]]인  <math>\operatorname{Sym}^2T^*M</math>은 <math>(T^*M)^{\otimes2}</math>의 [[부분 벡터 공간|부분 공간]]이 된다. 따라서<math>\operatorname{Sym}^2T^*M</math>의 [[매끄러운 단면]]은 <math>M</math> 위의 (0,2)-[[텐서장]] (<math>(T^*M)^{\otimes2}</math>의 [[매끄러운 단면]])으로 생각할 수 있다.

<math>M</math> 위의, <math>\operatorname{Sym}^2T^*M</math>의 [[매끄러운 단면]] <math>g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2T^*M)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>g</math>를 <math>M</math> 위의 '''리만 계량'''(Riemann計量, {{llang|en|Riemannian metric}})이라고 한다.
* ([[양의 정부호]]성) 임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>X\in T_xM</math>에 대하여, 만약 <math>X\ne0</math>이라면 <math>g(X,X)>0</math>
리만 계량을 갖춘 [[매끄러운 다양체]] <math>(M,g)</math>를 '''리만 다양체'''라고 한다.

두 리만 다양체 <math>(M,g_M)</math>, <math>(N,g_N)</math> 사이의 '''[[등거리 변환]]'''({{llang|en|isometric map}})은 다음 조건을 만족시키는 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>이다.
* 임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>X,Y\in T_xM</math>에 대하여, <math>g_N(df(X),df(Y))=g_M(X,Y)</math>
여기서 <math>df(X)\in T_{f(x)}N</math>는 <math>X</math>의 <math>f</math>에 대한 [[밂 (미분기하학)|밂]]이다.

== 성질 ==
모든 [[매끄러운 다양체]]에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다.

=== 유클리드 공간으로의 매장 ===
'''내시 매장 정리'''({{llang|en|Nash embedding theorem}})에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>으로의 등거리 [[매장 (수학)|매장]]을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 [[유클리드 공간]]의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다.

=== 거리 ===
[[연결 공간|연결]] 리만 다양체 위에는 자연스럽게 [[거리 공간]]의 구조가 주어진다. [모든 ([[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[파라콤팩트]]) [[다양체]]는 [[거리화 가능 공간]]이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.]

구체적으로, 연결 리만 다양체 <math>(M,g)</math> 위의 매끄러운 곡선
:<math>\gamma\colon[0,1]\to M</math>
의 '''길이'''는 다음과 같다.
:<math>L(\gamma)=\int_0^1\sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt\in[0,\infty)</math>
곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 <math>s\colon[0,1]\to[0,1]</math>에 대하여, <math>L(\gamma\circ s)=L(\gamma)</math>이다.

임의의 두 점 <math>x,y\in M</math> 사이의 '''거리'''({{llang|en|distance}})는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 [[하한]]이다.
:<math>d(x,y)=\inf_{\gamma\colon[0,1]\to M}^{\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y}L(\gamma)</math>
이는 [[거리 함수]]의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 [[길이 거리 공간]]을 이룬다.

[[연결 공간]]이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다.

리만 기하학에서는 다음과 같은 [[하이네-보렐 정리]]가 성립한다. 연결 리만 다양체 <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>M</math>은 [[완비 거리 공간]]이며, ([[거리 공간]]으로서의) [[지름]]이 유한하다.

=== 레비치비타 접속 ===
{{본문|레비치비타 접속}}
리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 '''[[레비치비타 접속]]'''이라는 [[아핀 접속]]을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다.
* 벡터의 [[평행 운송]]은 리만 계량에 대한 길이를 보존한다.
* [[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]이 0이다.
리만 다양체의 '''[[리만 곡률]]'''은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 [[텐서장]]을 축약하여 '''[[리치 곡률]]''' · '''[[바일 곡률]]'''  · '''[[스칼라 곡률]]''' · '''[[아인슈타인 텐서]]'''를 정의할 수 있다.

=== 측지선 ===
{{본문|측지선}}
리만 다양체 <math>(M,g)</math> 위에는 '''[[측지선]]'''의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다.

== 예 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> · [[초구]] <math>\mathbb S^n</math> · [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>은 모두 리만 다양체를 이룬다.

[[반단순 리 군]]의 경우, [[킬링 형식]]은 [[양의 정부호]]이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.

리만 다양체 <math>(M,g_M)</math>과 그 속의 [[몰입 (수학)|몰입]]된 부분 다양체 <math>\iota\colon N\hookrightarrow M</math>가 주어졌다면, <math>M</math> 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>g_M(X,Y)=g_M(d\iota(X),d\iota(Y))\qquad\forall x\in N,\;X,Y\in T_xN</math>
여기서 <math>d\iota(X)\in T_{\iota(x)}N</math>는 <math>X</math>의 [[밂 (미분기하학)|밂]]이다. 따라서 <math>(M,g_M)</math>은 리만 다양체를 이룬다.

=== 확장 불가능 완비 다양체 ===
3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 [[원뿔]]을 생각하자.
:<math>\{(x,y,z)\colon x^2+y^2=z^2,\;z>0\}</math>
이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 [[측지선]]은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Jost | first=Jürgen | title=Riemannian geometry and geometric analysis | publisher=Springer | edition=6 | isbn=978-3-642-21297-0 | 날짜=2008|doi=10.1007/978-3-642-21298-7|총서=Universitext|issn=0172-5939|언어=en}}
* {{서적 인용 | last= do Carmo | first=Manfredo Perdigão | title=Riemannian geometry | publisher=Birkhäuser  | isbn=978-0-8176-3490-2 | year=1992 | 기타=Francis Flaherty 역|url=http://www.springer.com/us/book/9780817634902|언어=en}}
* {{서적 인용 |last=Berger |first=Marcel |title=Riemannian geometry during the second half of the twentieth century |year=2002|판=2 |series=University Lecture Series |volume=17 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-2052-0|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem?item=ULECT-17|언어=en}}
* {{서적 인용 |last=Cheeger |first=Jeff |저자링크=제프 치거|last2=Ebin |first2=David G. |날짜=1975|title=Comparison theorems in Riemannian geometry |publisher=American Mathematical Society | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=chel-365-h|isbn=978-0-8218-4417-5|언어=en}}
* {{서적 인용 |last1=Gallot |first1=Sylvestre |last2=Hulin |first2=Dominique |last3=Lafontaine |first3=Jacques |title=Riemannian geometry |edition=3 |series=Universitext |publisher=Springer | year=2004 | 언어=en}}
* {{서적 인용 |last=Petersen |first=Peter |title=Riemannian geometry |year=2006 |publisher=Springer |isbn=978-0-387-29246-5|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=171|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-0-387-29403-2|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Lee|first=John M.|title=Riemannian manifolds: an introduction to curvature|publisher=Springer|year=1997|isbn=978-0-387-98271-7|doi=10.1007/b98852|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=176|issn=0072-5285|url=https://www.math.washington.edu/~lee/Books/riemannian.html|언어=en|확인날짜=2015-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20151208062648/https://www.math.washington.edu/~lee/Books/riemannian.html|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[준 리만 다양체]]
* [[핀슬러 다양체]]
* [[매끄러운 다양체]]
* [[필바인]]
* [[라플라스-벨트라미 연산자]]
* [[리만 곡률 텐서]]
* [[홀로노미]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemannian geometry}}
* {{eom|title=Riemannian geometry in the large}}
* {{eom|title=Riemannian manifold}}
* {{eom|title=Riemannian space}}
* {{eom|title=Riemannian metric}}
* {{eom|title=Isometric immersion}}
* {{eom|title=Nash theorems (in differential geometry)}}
* {{매스월드|id=RiemannianGeometry|title=Riemannian geometry}}
* {{매스월드|id=RiemannianManifold|title=Riemannian manifold}}
* {{매스월드|id=RiemannianMetric|title=Riemannian metric}}
* {{매스월드|id=MetricTensor|title=Metric tensor}}
* {{nlab|id=Riemannian geometry}}
* {{nlab|id=Riemannian manifold}}
* {{nlab|id=Riemannian metric}}
* {{nlab|id=fundamental theorem of Riemannian geometry|title=Fundamental theorem of Riemannian geometry}}
* {{nlab|id=moduli space of Riemannian metrics|title=Moduli space of Riemannian metrics}}

{{상대론}}
{{수학 분야}}
{{전거 통제}}

[[분류:리만 다양체| ]]