{{위키데이터 속성 추적}}
[[양자장론]]에서, '''2차원 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 장론'''(二次元<math>\mathcal N=4</math>超等角場論, {{llang|en|two-dimensional <math>\mathcal N=4</math> superconformal theory}})은 네 개의 [[초대칭]]을 가지는 [[2차원 등각 장론]]이다.

== 정의 ==
2차원 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! 기호 || 이름 || 무게 <math>h</math> || SU(2) [[R대칭]] 표현 || 페르미온 수 <math>F</math>
|-
| <math>T(z)</math> || [[에너지-운동량 텐서]] || 2 || '''1''' || 0
|-
| <math>G^a(z)</math> || 초전류 || 3/2 || <math>\mathbf2</math> || +1
|-
| <math>\bar G^{\bar a}(z)</math> || 초전류 || 3/2 || <math>\bar{\mathbf2}</math> || −1
|-
| <math>J^i(z)</math> || [[R대칭]] 보존류 || 1 || <math>\mathbf3=\mathfrak{su}(2)</math> || 0
|-
| <math>k</math> || 중심 원소 || 0 || '''1''' || 0
|}
위 표에서 <math>G^a</math>를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, <math>G^a</math>의 에르미트 수반은 <math>\bar G^{\bar a}</math>이다.

중심 원소 <math>k=0,1,2,3,\dots</math>는 SU(2) [[아핀 리 대수]]의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 <math>c</math>는 다음과 같다.
:<math>c=6k=0,6,12,18,\dots</math>
이들의 [[연산자 곱 전개]]는 다음과 같다. 여기서 <math>\cdots</math>는 <math>z\to0</math>에서 비특이항을 나타낸다.
:<math>T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots</math>
:<math>T(z)G(0)=\frac32z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots</math>
:<math>T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots</math>
:<math>J^i(z)J^j(0)=\frac12kz^{-2}\delta^{ij}+iz^{-1}\epsilon^{ijk}J^k+\cdots</math>
:<math>J^i(z)G^a(0)=-\frac12\sigma_{ab}^iz^{-1}G^b(0)+\cdots</math>
:<math>G^a(z)\bar G^{\bar b}(0)=
4k\delta^{ab}z^{-3}
-4\sigma_{a\bar b}^iz^{-2}J^i(0)
+z^{-1}\left(2\delta^{ab}T(z)-2\sigma_{a\bar b}^i\partial J^i(0)\right)+\cdots</math>
이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
:<math>T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n}</math>
:<math>G(z)=\sum_{r\in\mathbb Z+\eta}z^{r-3/2}G_{-r}</math>
:<math>J^i(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}^i</math>
여기서 NS 경계 조건의 경우 <math>\eta=0</math>이며 R 경계 조건의 경우 <math>\eta=1/2</math>이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.<ref name="ET87">{{저널 인용|제목=Unitary representations of the <math>N=4</math> superconformal algebra|저널=Physics Letters B|권=196|호=1|날짜=1987-09-24|쪽=75–81|이름=Tohru|성=Eguchi|이름2=Anne|성2=Taormina|doi=10.1016/0370-2693(87)91679-0|bibcode=1987PhLB..196...75E|언어=en}}</ref>
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac12k(m^3-m)\delta_{m+n,0}</math>
:<math>[L_m,G_r^a]=(m/2-r)G_{m+r}^a</math>
:<math>[L_m,J_n^i]=-nJ_{m+n}^i</math>
:<math>[J^i_m,J^j_n]=i\epsilon^{ijk}J^k_{m+n}+\frac12mk\delta^{ij}\delta_{m+n,0}</math>
:<math>[J_m^i,G_r^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG^b_{m+r}</math>
:<math>\{G_r^a,G_s^b\}=0</math>
:<math>\{G_r^a,\bar G_s^{\bar b}\}
=2\delta^{a\bar b}L_{r+s}-2(r-s)\sigma_{a\bar b}^iJ^i_{r+s}+\frac12k(4r^2-1)\delta_{r+s,0}</math>

=== 대역적 대수 ===
NS 대수에서, <math>L_{\pm1}</math>, <math>L_0</math>, <math>G_{\pm1/2}^a</math>, <math>\bar G_{\pm1/2}^{\bar a}</math>, <math>J^i_0</math>는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다. 
:<math>[L_1,L_{-1}]=2L_0</math>
:<math>[L_{\pm1},L_0]=\pm L_0</math>
:<math>[G_{\pm12}^a,L_0]=\pm\frac12G_{\pm12}^a</math>
:<math>[L_1,G_{1/2}^a]=[L_{-1},G_{-1/2}^a]=0</math>
:<math>[L_{\pm1},G_{\mp1/2}^a]=\pm G_{\pm1/2}^a</math>
:<math>[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0</math>
:<math>[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k</math>
:<math>\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\pm 1/2}^b\}=\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\mp 1/2}^b\}=0</math>
:<math>\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\pm 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_{\pm1}</math>
:<math>\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\mp 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0\mp\sigma^i_{a\bar b}J^i_0</math>
:<math>[J_0^i,G_{\pm1/2}^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_{\pm1/2}^b</math>

마찬가지로, R 대수에서, <math>L_0</math>, <math>G_0^a</math>, <math>\bar G_0^{\bar a}</math>, <math>J^i_0</math>, <math>k</math>는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.
:<math>[L_0,L_0]=[G_0^a,L_0]=[\bar G_0^{\bar a},L_0]=0</math>
:<math>[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0</math>
:<math>[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k</math>
:<math>\{G_0^a,G_0^b\}=0</math>
:<math>\{G_0^a,\bar G_0^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0-\frac12k</math>
:<math>[J_0^i,G_0^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_0^b</math>

== 표현 ==
2차원 <math>\mathcal N=4</math> 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 <math>h</math> 및 SU(2) 아이소스핀 <math>l=0,1/2,1,\dots</math>에 따라 분류된다. 이는 '''유질량 표현'''({{llang|en|massive representation}})과 '''무질량 표현'''({{llang|en|massless representation}})으로 나뉜다.<ref name="ET88">{{저널 인용|url=https://cds.cern.ch/record/188079/files/198806358.pdf|이름=Tohru|성=Eguchi|이름2=Anne|성2=Taormina|doi=10.1016/0370-2693(88)90360-7|제목=On the unitary representations of <math>N=2</math> and <math>N=4</math> superconformal algebras|bibcode=1988PhLB..210..125E|저널=Physics Letters B|권=210|호=1–2|쪽=125–132|날짜=1988-08-18|언어=en}}</ref>
{| class=wikitable
! || NS 경계 조건 || R 경계 조건
|-
! 무질량 표현
| <math>h=k/4</math>, <math>0\le l\le k/2</math> || <math>h=l</math>, <math>0\le l\le k/2</math>
|-
! 유질량 표현
| <math>h>k/4</math>, <math>0\le l\le k/2-1/2</math> || <math>h>l</math>, <math>1/2\le l\le k/2</math>
|}
유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 [[BPS 부등식]]을 만족시킨다.
:<math>h\ge k/4\qquad(\text{NS})</math>
:<math>h\ge|l|\qquad(\text{R})</math>
무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 [[위튼 지표]]가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

=== 분배 함수 ===
<math>\mathcal N=4</math> 초등각 장론에서는 [[2차원 𝒩=2 초등각 장론|<math>\mathcal N=2</math>인 경우]]와 달리 <math>(-1)^F\ne (-1)^{J_0}</math>이며, 따라서 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]에는 [[아이소스핀]] (SU(2) [[R대칭]]의 [[카르탕 부분군]] U(1)에 대한 전하) <math>q</math>에 대한 [[퓨가시티]] <math>z</math>와 [[페르미온 수]] <math>F</math>에 대한 [[퓨가시티]] <math>y</math>를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.<ref name="ET88"/>
:<math>Z(q,z,y)=\sum_{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^qy^F</math>
이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

== 예 ==
[[초켈러 다양체]] 위의 2차원 [[시그마 모형]]은 <math>\mathcal N=(4,4)</math> 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, <math>4k</math> 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) [[아핀 리 대수]] 준위가 <math>k</math>인 초등각 장론을 이룬다. [[K3 곡면]] 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 <math>k=1</math>이다.

== 응용 ==
<math>\mathcal N=4</math> 초등각 장론에 [[위상 뒤틂]]을 가하여 <math>\mathcal N=4</math> [[위상 끈 이론]]을 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=ᅟ<math>N=4</math> topological strings|이름=Nathan|성=Berkovits|이름2=Cumrun|성2=Vafa|저자링크2=캄란 바파|doi=10.1016/0550-3213(94)00419-F|arxiv=hep-th/9407190|언어=en}}</ref>

== 참고 자료 ==
* {{저널 인용|제목= Superconformal algebras in two dimensions with <math>N=4</math>|doi=10.1016/0370-2693(88)90645-4|저널=Physics Letters B|권=208|호=3–4|날짜=1988-07-21|쪽=447–450|이름=A.|성=Sevrin|이름2= W.|성2=Troost|이름3=A.|성3=Van Proeyen|bibcode=1988PhLB..208..447S|언어=en}}
* {{저널 인용|저널=Physics Letters B|권=184|호=2–3|날짜=1987-01-29|쪽=191–196|제목=Comments on the <math>N = 2,3,4</math> superconformal algebras in two dimensions|이름=Adam|성=Schwimmer|이름2=Nathan|성2=Seiberg|저자링크2=나탄 자이베르그|doi=10.1016/0370-2693(87)90566-1|bibcode=1987PhLB..184..191S|언어=en}}
* {{저널 인용|url=https://ooguri.caltech.edu/documents/14-phdthesis.pdf|이름=Hirosi|성=Ooguri|제목=Superconformal symmetry and geometry of Ricci-flat Kähler manifolds|저널=International Journal of Modern Physics A|권=4|호=17|쪽=4303|날짜=1989-10-20|bibcode=1989IJMPA...4.4303O|doi=10.1142/S0217751X89001801|언어=en}}{{깨진 링크|url=https://ooguri.caltech.edu/documents/14-phdthesis.pdf }}

== 같이 보기 ==
* [[2차원 등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:등각 장론]]