{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''별난''' <math>\R^4</math>는 [[유클리드 공간]] <math>\R^4</math>와 [[위상동형사상|위상동형]]이지만 [[미분동형사상|미분동형]]이 아닌 미분 가능 다양체이다. 첫 번째 예는 1982년 [[마이클 프리드먼]]과 다른 사람들이 위상 4-다양체에 대한 프리드먼의 정리와 매끄러운 4-다양체에 대한 [[사이먼 도널드슨]]의 정리 사이의 대조를 사용하여 발견되었다.<ref>Kirby (1989), p. 95</ref><ref>Freedman and Quinn (1990), p. 122</ref> <math>\R^4</math>에 부여 할 수 있는 서로 미분동형이 아닌 미분구조들이 이루는 연속체가 있다. 이는 클리포드 타우베스가 처음으로 증명했다.<ref>Taubes (1987), Theorem 1.1</ref>

이 구성에 앞서 [[초구|4차원 구]]에 대한 미분동형이 아닌 매끄러운 구조{{Snd}}[[이국적 초구 모노이드|별난 구]]{{Snd}}는 이미 존재하는 것으로 알려져 있지만 특정 사례에 대한 그러한 구조의 존재에 대한 질문은 여전히 미해결이다(2023년 현재 미해결). 4 이외의 모든 양의 정수 ''n''에 대해 <math>\R^n</math>은 유일한 미분 구조를 가진다.<ref>Stallings (1962), in particular Corollary 5.2</ref>

== 작은 별난 R<sup>4</sup> ==
별난 <math>\R^4</math>가 표준 <math>\R^4</math>의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 있으면 '''작다'''고 한다.

작은 별난 <math>\R^4</math> 자명하지 않은 매끄러운 5차원 ''h'' - 보충경계( [[H-보충 경계|''h'' -보충경계 정리]]가 4차원에서 실패한다는 도널드슨의 증명에 의해 존재함)에서 시작하고 위상수학적 ''h'' -보충경계 정리가 이 차원에서 유지하는 프리드먼의 정리를 사용하여 구성할 수 있다.

== 큰 별난 R<sup>4</sup> ==
별난 <math>\R^4</math>가 표준 <math>\R^4</math>의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장될 수 없는 경우 '''크다'''고 한다.

큰 별난 <math>\R^4</math> 예들은 콤팩트 4-다양체 종종 위상수학적 합(프리드먼의 작업에 의해)으로 분할될 수 있지만 매끄러운 합(도널드슨의 작업에 의해)으로 분할될 수 없다는 사실을 사용하여 구성할 수 있다.

마이클 하틀리 프리드먼과 로렌스 R. 테일러(1986)는 극대 별난 <math>\R^4</math>가 있다는 것을 보여주었다. 다른 모든 <math>\R^4</math>가 극대 별난 <math>\R^4</math>의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 매장된다.

== 관련 별난 구조 ==
카슨 손잡이들은 프리드먼 정리(여기서 <math>\mathbb{D}^2</math>는 닫힌 단위 원판)에 따라 <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2</math>와 위상동형이다. 그러나 도널드슨의 정리에 따라 모두 <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2</math>와 미분동형이 아니다. 즉, 일부 카슨 손잡이는 별난 <math>\mathbb{D}^2 \times \R^2.</math>

(2022년 현재) 별난 4차원 구가 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 그러한 별난 4차원 구는 4차원에서 [[일반화된 푸앵카레 추측|매끄럽게 일반화된 푸앵카레 추측]]에 대한 반례가 된다. 일부 그럴듯한 후보는 [[이국적 초구 모노이드|글럭 비틀림]]으로 제공된다.

== 같이 보기 ==
* Akbulut cork - <math>H^3(S^3,\mathbb{R})</math>에서 별난 <math>\R^4</math>를 구성하는 데 사용된다.
* 지도책(위상수학)

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/topologyof4manif0000free|title=Topology of 4-manifolds|last1=Freedman|first1=Michael H.|authorlink1=Michael Freedman|last2=Quinn|first2=Frank|authorlink2=Frank Quinn (mathematician)|year=1990|series=Princeton Mathematical Series|volume=39|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|isbn=0-691-08577-3|url-access=registration}}
* {{저널 인용|title=A universal smoothing of four-space|journal=Journal of Differential Geometry|last1=Freedman|first1=Michael H.|author-link=Michael Freedman|last2=Taylor|first2=Laurence R.|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440258|year=1986|volume=24|issue=1|pages=69–78|doi=10.4310/jdg/1214440258|issn=0022-040X|mr=857376|doi-access=free}}
* {{서적 인용|title=The topology of 4-manifolds|last=Kirby|first=Robion C.|author-link=Robion Kirby|year=1989|series=Lecture Notes in Mathematics|volume=1374|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|isbn=3-540-51148-2}}
* {{서적 인용|title=The wild world of 4-manifolds|last=Scorpan|first=Alexandru|year=2005|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3749-8}}
* {{저널 인용|title=The piecewise-linear structure of Euclidean space|journal=Proc. Cambridge Philos. Soc.|last=Stallings|first=John|author-link=John R. Stallings|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2053736&fulltextType=RA&fileId=S0305004100036756|year=1962|volume=58|issue=3|pages=481–488|bibcode=1962PCPS...58..481S|doi=10.1017/s0305004100036756|s2cid=120418488}} {{MathSciNet|id=0149457}}
* {{서적 인용|title=4-manifolds and Kirby calculus|last1=Gompf|first1=Robert E.|author-link=Robert Gompf|last2=Stipsicz|first2=András I.|year=1999|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=20|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, RI|isbn=0-8218-0994-6}}
* {{저널 인용|title=Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds|journal=Journal of Differential Geometry|last=Taubes|first=Clifford Henry|author-link=Clifford Henry Taubes|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440981|year=1987|volume=25|issue=3|pages=363–430|doi=10.4310/jdg/1214440981|mr=882829|id={{Project Euclid|1214440981}}|doi-access=free}}

[[분류:미분 구조]]
[[분류:4차원 기하학]]
[[분류:4-다양체]]