{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''에일렌베르크-질버 사상'''(Eilenberg-Zilber寫像, {{llang|en|Eilenberg–Zilber map}})과 '''알렉산더-휘트니 사상'''(Alexander-Whitney寫像, {{llang|en|Alexander–Whitney map}})은 [[아벨 범주]] 위의 [[단체 대상]]의 텐서곱과 [[사슬 복합체]]의 텐서곱을 비교하는, 서로 반대 방향의 두 사슬 복합체 사상이다.<ref>{{서적 인용 | last1=Goerss | first1=Paul G. | last2=Jardine | first2=John Frederick | title=Simplicial homotopy theory | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | 날짜=1999 | volume=174 |언어=en}}</ref> 이들의 합성은 사슬 복합체의 [[호모토피]]를 이루어, [[호몰로지 군]]의 동형을 유도한다. 즉, 단체 대상의 텐서곱과 사슬 복합체의 텐서곱은 같은 호몰로지 군을 정의한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>
* <math>\mathcal A</math> 위의 두 [[단체 대상]] <math>A_\bullet, B_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to\mathcal A</math>
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
* <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>는 <math>\mathcal A</math> 위의, [[자연수]] 등급의 [[사슬 복합체]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* [[단체 대상]] <math>A_\bullet\in\operatorname s(\mathcal A)</math>에 대하여, [[무어 사슬 복합체]] <math>\operatorname C_\bullet(A) \in \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math> 및 [[정규화 사슬 복합체]] <math>\operatorname N_\bullet(A) \in\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>를 정의할 수 있다. 후자는 전자의 몫 사슬 복합체이다.

=== 에일렌베르크-질버 사상 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의 두 [[단체 대상]] <math>A_\bullet</math>, <math>B_\bullet</math>에 대한 '''에일렌베르크-질버 사상'''은 다음과 같은 [[사슬 복합체]] 사상이다.
:<math>\operatorname C(A_\bullet) \otimes \operatorname C(B_\bullet) \to\operatorname C(A\otimes B)</math>
:<math> a\otimes b \mapsto \sum_{(\mu,\nu)\in\operatorname{Shuffle}(m,n)} (-)^{(\mu,\nu)} s_{m,\nu}(a) \otimes s_{n,\mu}(b) \qquad a\in A_m, \;b\in B_n</math>

여기서
* <math>\operatorname{Shuffle}(m,n)</math>은 모든 <math>(m,n)</math>-[[셔플 순열]] <math>\{0,1,\dotsc,m+n-1\}\to \{0,1,\dotsc,m+n-1\}</math>들의 집합이다. [[셔플 순열]] <math>(\mu,\nu)</math>의 성분은 <math>(\mu_{m-1},\dotsc,\mu_1,\mu_0)</math> 및 <math>(\nu_{n-1},\dotsc,\nu_1,\nu_0)</math>이다.
* <math>s_{n,\mu} = s_{n+m-1\mu_{m-1}} \circ \dotsb \circ s_{n+1,\mu_1} \circ s_{n,\mu_0} \colon B_n \to B_{m+n}</math>이며 <math>s_{m,\nu}\colon A_m \to A_{m+n} </math> 역시 마찬가지로 정의된다.
* <math>(-)^{(\mu,\nu})</math>는 [[순열]]의 부호 <math>\operatorname{Sym}(n)\twoheadrightarrow\{\pm1\}</math>를 셔플 순열 <math>\operatorname{Shuffle}(m,n) \le \operatorname{Sym}(m+n)</math>에 적용한 것이다.

이 사상은 [[무어 사슬 복합체]]에 대하여 정의되지만, 그 몫인 [[정규화 사슬 복합체]] 위에서도 잘 정의된다. 즉, 다음과 같은 에일렌베르크-질버 사상이 존재한다.
:<math>\operatorname N_\bullet(A) \otimes \operatorname N_\bullet(B) \to \operatorname N_\bullet(A \otimes B)</math>

=== 알렉산더-휘트니 사상 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위의 두 [[단체 대상]] <math>A_\bullet</math>, <math>B_\bullet</math>에 대한 '''알렉산더-휘트니 사상'''은 다음과 같은 [[사슬 복합체]] 사상이다.
:<math>\operatorname C(A_\bullet) \otimes \operatorname C(B_\bullet) \to\operatorname C(A\otimes B)</math>
:<math>a \otimes b \mapsto \bigoplus_{p+q = n}
(\partial_{\leftarrow} a) \otimes (\partial_{\rightarrow} b)
\qquad n\in\mathbb N,\;a\in A_n,\;b\in B_n</math>
여기서
* <math>\partial_\leftarrow \colon A_{p+q} \to A_p </math>는 '''앞면 사상'''({{llang|en|앞面寫像}}, {{llang|en|front-face map}})이라고 하며, [[단체 범주]]의 다음과 같은 사상 <math>\in\hom_\triangle(p,p+q)</math>에서 유도된 것이다.
*: <math>\{0,1,\dotsc,p\} \hookrightarrow \{0,1,\dotsc,p+q\} </math>
*: <math>i \mapsto i</math>
* <math>\partial_\leftarrow \colon B_{p+q} \to B_q </math>는 '''뒷면 사상'''({{llang|en|뒷面寫像}}, {{llang|en|back-face map}})이라고 하며, [[단체 범주]]의 다음과 같은 사상 <math>\in\hom_\triangle(q,p+q)</math>에서 유도된 것이다.
*: <math>\{0,1,\dotsc,q\} \hookrightarrow \{0,1,\dotsc,p+q\} </math>
*: <math>i \mapsto i+p</math>

== 성질 ==
=== 호모토피 ===
에일렌베르크-질버 사상은 알렉산더-휘트니 사상의 [[오른쪽 역사상]]이지만, 일반적으로 [[왼쪽 역사상]]이 아니다. 즉, 다음과 같은 합성은 [[항등 사상]]이다.
:<math>\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)\to \operatorname N(A\otimes B) \to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)</math>

그 반대 합성은 [[항등 사상]]이 아닐 수 있지만, 항상 [[사슬 호모토피]]이다. 즉, [[모형 범주]] <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>의 약한 동치이며, 특히 같은 [[호몰로지]]를 정의한다.
:<math>\operatorname N(A\otimes B) \to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)\to \operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)</math>

이 사실을 '''에일렌베르크-질버 정리'''({{llang|en|Eilenberg–Zilber theorem}})라고 한다.

=== 대칭성 ===
에일렌베르크-질버 사상은 (텐서곱의 순서를 뒤바꾸었을 때) 대칭 사상이지만, 알렉산더-휘트니 사상은 그렇지 않다.

=== 모노이드 돌트-칸 대응 ===
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
* <math>K</math>-[[결합 대수]]들의 범주 <math>\operatorname{Alg}/K</math> (즉, [[가환환]]의 범주의 [[조각 범주]])의 단체 대상의 범주 <math>\operatorname s(\operatorname{Alg}_K)</math>. 이는 <math>(\operatorname s(\operatorname{Mod}_K),\otimes_K)</math> 속의 [[모노이드 대상]]들의 범주이다.
* <math>K</math>-[[미분 등급 대수]]의 범주 <math>\operatorname{dgAlg}_K</math>. 이는 <math>K</math>-[[사슬 복합체]]의 [[모노이드 범주]] <math>(\operatorname{Ch}^+_K,\otimes_K)</math> 속의 [[모노이드 대상]]이다.
그렇다면, [[돌트-칸 대응]]으로부터, 이 두 범주 사이에 서로 다른 두 쌍의 [[수반 함자]]들이 존재한다. 이들은 각각 [[퀼런 동치]]를 정의하며, 이를 '''모노이드 돌트-칸 대응'''({{llang|en|monoidal Dold–Kan correspondence}})이라고 한다. (그러나 일반 [[돌트-칸 대응]]과 달리, 이는 [[범주의 동치]]가 아니다.)

구체적으로, [[돌트-칸 대응]]의 함자
:<math>\Gamma \colon \operatorname{Ch}^+_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Mod}_K)\colon \operatorname N</math>
에서, 둘 중 하나를 취하면, 다음과 같은 두 [[수반 함자]]를 얻는다.
:<math>\Gamma \colon \operatorname{dgAlg}_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Alg}_K)\colon \operatorname N'</math>
:<Math>\operatorname N' \dashv \operatorname\Gamma</math>
:<math>\Gamma' \colon \operatorname{dgAlg}_K \leftrightarrows \operatorname s(\operatorname{Alg}_K)\colon \operatorname N</math>
:<math>\operatorname \Gamma' \dashv \operatorname N</math>
여기서 등장하는 [[자연 변환]]의 성분은 각각 알렉산더-휘트니 사상
:<math>\operatorname N(A\otimes B) \to\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B)</math>
과 에일렌베르크-질버 사상
:<math>\operatorname N(A)\otimes \operatorname N(B) \to \operatorname N(A\otimes B)</math>
이다.

=== 가환 모노이드 돌트-칸 대응 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
* <math>K</math> 위의 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]들의 범주 <math>K\backslash\mathrm{CRing}</math> (즉, [[가환환]]의 범주의 [[쌍대 조각 범주]])
* <math>K</math>-[[가환 미분 등급 대수]]의 [[모형 범주]] <math>\operatorname{cdgAlg}_K</math>
그렇다면, 다음 두 [[모형 범주]] 사이에 [[퀼런 동치]]가 존재하며, 이를 '''가환 모노이드 돌트-칸 대응'''({{llang|en|commutative-monoidal Dold–Kan correspondence}})이라고 한다.
:<math>\operatorname N\colon\operatorname s(K\backslash\mathrm{CRing}) \leftrightarrows \operatorname{cdgAlg}_K\colon\Gamma'</math>
이는 에일렌베르크-질버 사상에 의하여 정의된다 (알렉산더-휘트니 사상은 비대칭이어서 사용될 수 없다).

(여기서, <math>K</math>를 [[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]]로 가정하는 것은, 아닐 경우 <math>\operatorname{CDGA}_K</math>에 [[모형 범주]] 구조가 자연스럽게 주어지지 못하기 때문이다.)

== 역사 ==
에일렌베르크-질버 사상은 [[사무엘 에일렌베르크]]와 조지프 에이브러햄 질버({{llang|en|Joseph Abraham Zilber}}, 1923~2009)의 이름을 땄다. 알렉산더-휘트니 사상은 [[제임스 워델 알렉산더]]와 [[해슬러 휘트니]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Eilenberg-Zilber map}}
* {{nlab|id=Alexander-Whitney map}}
* {{nlab|id=Eilenberg-Zilber theorem}}
* {{nlab|id=simplicial ring|title=Simplicial ring}}
* {{nlab|id=simplicial Lie algebra|title=Simplicial Lie algebra}}
* {{nlab|id=cosimplicial algebra|title=Cosimplicial algebra}}
** {{nlab|id=model structure on cosimplicial rings|title=Model structure on cosimplicial rings}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.jhu.edu/~jmb/note/alexwhit.pdf | 제목=The Alexander–Whitney chain map | 이름= J. Michael | 성= Boardman | 날짜=2009-04-10 | 언어=en}}
* {{웹 인용 | url=http://www.math.harvard.edu/~amathew/SCR.pdf | 제목=Simplicial commutative rings Ⅰ | 이름=Akhil | 성=Mathew | 언어=en | 확인날짜=2017년 7월 31일 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170918144039/http://www.math.harvard.edu/~amathew/SCR.pdf | 보존날짜=2017년 9월 18일 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/88156/extend-alexander-whitney-and-eilenberg-zilber-map-to-n-fold-tensor-products | 제목=Extend Alexander-Whitney and Eilenberg-Zilber map to n-fold tensor products |출판사=Math Overflow | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:대수적 위상수학 정리]]