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[[일반위상수학]]에서 '''집적점'''(集積點, {{llang|en|accumulation point}})은 그 임의의 [[근방]]이 주어진 집합과 주어진 [[기수 (수학)|기수]] 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

== 정의 ==
[[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa\in\operatorname{Card}</math>가 주어졌다고 하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>x</math>가 <math>Y</math>의 '''<math>\kappa</math>-집적점'''(集積點, {{llang|en|<math>\kappa</math>-accumulation point}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x</math>의 [[근방]] <math>X\supseteq U\ni x</math>에 대하여, <math>|U\cap Y|\ge\kappa</math>이다.
특히, 임의의 점 <math>x\in X</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{acc}(x,Y)=\min_{U\in\mathcal N_x}|Y\cap U|</math>
여기서 <math>\mathcal N_x</math>는 <math>x</math>의 [[근방 필터]]이다. 즉, <math>x</math>는 항상 <math>Y</math>의 <math>\operatorname{acc}(x,Y)</math>-집적점이다.

<math>Y</math>의 <math>\kappa</math>-집적점들의 집합을
:<math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)=\{x\in X\colon\operatorname{acc}(x,Y)\ge\kappa\}</math>
로 표기하자.

특별한 값의 <math>\kappa</math>에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.
* <math>Y\subseteq X</math>의 <math>|Y|</math>-집적점을 '''완비 집적점'''(完備集積點, {{llang|en|complete accumulation point}})이라고 한다.
* <math>\aleph_1</math>-집적점을 '''응집점'''(凝集點, {{llang|en|condensation point}})이라고 한다. (여기서 <math>\aleph_1</math>은 최소의 [[비가산]] 기수이다.)
* 점 <math>x\in X</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>이 주어졌을 때, 만약 임의의 [[근방]] <math>X\supseteq U\ni x</math>에 대하여, <math>U\cap Y\setminus\{x\}\ne\varnothing</math>이라면, <math>x</math>를 <math>Y</math>의 '''극한점'''(極限點, {{llang|en|limit point}})이라고 한다. 극한점들의 집합을 '''유도 집합'''(誘導集合, {{llang|en|derived set}})이라고 하며, 흔히 <math>Y'</math>으로 표기한다. 일반적으로, 극한점의 개념은 2-집적점과 1-집적점 사이에 있다.
** <math>X\subseteq X</math>의 극한점이 아닌 점 <math>x\in X\setminus X'</math>은 '''고립점'''(孤立點, {{문화어|외딴점}}, {{llang|en|isolated point}})이라고 한다. 즉, <math>X</math>의 고립점은 <math>\{x\}</math>가 [[열린집합]]인 점 <math>x\in X</math>이다.
* 1-집적점을 '''폐포점'''(閉包點, {{llang|en|closure point}}) 또는 '''밀착점'''(密着點, {{llang|en|adherent point}})이라고 한다. <math>Y\subseteq X</math>의 폐포점은 <math>Y</math>의 원소이거나 아니면 <math>Y</math>의 극한점이다. 폐포점들의 집합은 '''[[폐포 (위상수학)|폐포]]''' <math>\operatorname{acc\,pt}_1(Y)=\operatorname{cl}Y</math>라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>는 <math>Y\subseteq X</math>의 0-집적점이다.

== 성질 ==
=== 폐포와의 관계 ===
위상 공간 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>과 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x</math>는 <math>Y</math>의 폐포점이다.
* <math>x\in Y</math>이거나, 또는 <math>x</math>는 <math>Y</math>의 극한점이다.
다시 말해, <math>Y</math>의 폐포는 <math>Y</math>와 그 극한점들의 집합의 합집합이다.
:<math>X=\operatorname{acc\,pt}_0(Y)</math>
:<math>\operatorname{cl}Y=Y\cup Y'</math>

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>Y</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* <math>Y'\subseteq Y</math>
* <math>\operatorname{cl}Y=Y</math>

=== T<sub>1</sub> 공간의 경우 ===
만약 <math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이라면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>x</math>는 <math>Y</math>의 극한점이다.
* <math>x</math>는 <math>Y</math>의 <math>\aleph_0</math>-집적점이다.
따라서, [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 경우 <math>2\le\kappa\le\aleph_0</math>에 대하여 <math>\kappa</math>-집적점을 구별하지 않아도 되며, 이는 극한점과도 같은 개념이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>x\in X</math>가 <math>Y\subseteq X</math>의 <math>\aleph_0</math>-집적점이 아니라고 하자. 그렇다면, <math>U\cap Y</math>가 [[유한 집합]]인 <math>U\in\mathcal N_x</math>가 존재한다. (<math>\mathcal N_x</math>는 <math>x</math>의 [[근방 필터]]이다.)

<math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이므로, [[한원소 집합]]은 [[닫힌집합]]이다. 따라서,
:<math>\widetilde U=\operatorname{int}(U)\setminus(Y\setminus\{x\})=\operatorname{int}(U)\cap\bigcap_{y\in U\cap(Y\setminus\{x\})}(X\setminus\{y\})</math>
역시 (유한 개의 [[열린집합]]들의 [[교집합]]이므로) [[열린집합]]이다. (여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]를 뜻한다.) <math>\widetilde U\in\mathcal N_x</math>이자 <math>\widetilde U\cap Y=\{x\}</math>이므로 <math>x</math>는 <math>Y</math>의 극한점이 아니다.
</div></div>
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]의 임의의 부분 집합의 유도 집합은 [[닫힌집합]]이다.

다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[이산 공간]]이다.
* <math>X</math>의 모든 부분 집합은 극한점을 갖지 않는다.

=== 유도 집합 ===
편의상 극한점을 1.5-집적점으로 일컫자. 그렇다면 다음이 성립한다.
* 임의의 <math>\kappa\ge1</math>에 대하여, <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\varnothing)=\varnothing</math>
* 임의의 집합 <math>Y,Z\subseteq X</math> 및 기수 <math>\kappa\le1.5</math>에 대하여, <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y\cup Z)=\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Y)\cup \operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)</math>
* 임의의 집합 <math>Z\subseteq Y\subseteq X</math> 및 기수 <math>\kappa\ge\lambda</math>에 대하여, <math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(Z)\subseteq\operatorname{acc\,pt}_\lambda(Y)</math>

임의의 부분 집합의 유도 집합이 [[닫힌집합]]인 위상 공간을 [[TD 공간|T<sub>D</sub> 공간]]이라고 한다. 모든 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]은 [[TD 공간|T<sub>D</sub> 공간]]이며, 모든 [[TD 공간|T<sub>D</sub> 공간]]은 [[콜모고로프 공간]]이다.

== 예 ==
실수선의 [[부분 집합]]
:<math>S=\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\subsetneq\mathbb R</math>
을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(S)=
\begin{cases}
\mathbb R&\kappa=0\\
S\cup\{0\}&\kappa=1\\
\{0\}&2\le\kappa\le\aleph_0\\
\varnothing&\kappa\ge\aleph_1
\end{cases}</math>

실수선 속의, [[무리수]]의 [[부분 집합]] <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q\subsetneq\mathbb R</math>을 생각하자.
:<math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R\setminus\mathbb Q)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\
\varnothing&\kappa>2^{\aleph_0}
\end{cases}</math>

실수선 속의, [[유리수]]의 [[부분 집합]] <math>\mathbb Q\subsetneq\mathbb R</math>을 생각하자.
:<math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb Q)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le\aleph_0\\
\varnothing&\kappa\ge\aleph_1
\end{cases}</math>

실수선을 스스로의 [[부분 집합]] <math>\mathbb R\subseteq\mathbb R</math>으로 여기자.
:<math>\operatorname{acc\,pt}_\kappa(\mathbb R)=
\begin{cases}
\mathbb R&0\le\kappa\le2^{\aleph_0}\\
\varnothing&\kappa>2^{\aleph_0}
\end{cases}</math>
즉, 실수선은 [[자기 조밀 공간]]이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선 <math>\mathbb R</math>의 부분 공간 <math>\{0\}\cup[1,2]</math>의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간 <math>\{0\}\cup\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}</math>에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

=== 이산 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[이산 공간]]이다.
* <math>X</math>의 모든 점은 고립점이다.

== 역사 ==
유도 집합({{llang|de|abgeleitete Punktmenge}})이라는 용어는 [[게오르크 칸토어]]가 1872년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen|이름=Georg|성=Cantor|저자링크=게오르크 칸토어|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Cantor/Ausdehnung/|저널=Mathematische Annalen|권=5|쪽=123–132|날짜=1872|doi=10.1007/BF01446327|issn=0025-5831|호=1|언어=de}}</ref>{{rp|129, §2}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Limit point of a set}}
* {{eom|title=Accumulation point}}
* {{eom|title=Proximate point}}
* {{eom|title=Condensation point}}
* {{eom|title=Condensation point of a set}}
* {{eom|title=Complete accumulation point}}
* {{eom|title=Derived set}}
* {{eom|title=Isolated point}}
* {{매스월드|id=LimitPoint|title=Limit point}}
* {{매스월드|id=IsolatedPoint|title=Isolated point}}
* {{매스월드|id=DerivedSet|title=Derived set}}
* {{매스월드|id=PerfectSet|title=Perfect set}}
* {{nlab|id=limit point|title=Limit point}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Limit_Point|제목=Definition: limit point|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Adherent_Point|제목=Definition: adherent point|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Omega-Accumulation_Point|제목=Definition: omega-accumulation point|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Condensation_Point|제목=Definition: condensation point|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Relationship_between_Limit_Point_Types|제목=Relationship between limit point types|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Derived_Set|제목=Definition: derived set|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:극한 집합]]