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[[미적분학]]에서, '''연속 실함수'''({{llang|en|continuous real function}})는 정의역 속 모든 점에서 함수의 값으로 수렴하는 실함수다. 엄밀한 정의는 [[엡실론-델타 논법]] 또는 이미 이를 사용하여 정의된 개념을 필요로 한다.

== 정의 ==
[[실수]]에서 실수로 가는 실함수는 [[데카르트 좌표계]]에서 [[함수의 그래프|그래프]]로 나타낼 수 있다. 이 때 대략적으로 말하면, 그래프가 전체 구간에서 끊어지지 않은 하나의 [[곡선]]일 때 함수가 연속이다. 수학적으로 엄밀한 정의는 [[함수의 극한|극한]]을 이용하여 정의한다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf|title=Continuity and Discontinuity|last1=Speck|first1=Jared|year=2014|website=MIT Math|page=3|archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf|archive-date=2016-10-06|url-status=dead|access-date=2023-10-21|quote=Example 5. The function 1/x is continuous on (0,∞) and on (-∞,0), i.e., for x>0 and for x<0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely x=0, and an infinite discontinuity there.}}</ref> 변수 <math>x</math>에 대한 함수 <math>f(x)</math>가 주어졌을 때, 실수 <math>c</math>에 대해 <math>x</math>가 <math>c</math>로 갈 때 <math>f(x)</math>의 극한이 <math>f(c)</math>와 같다면 함수가 '''<math>c</math>에서 연속'''이라고 한다.

함수의 연속을 정의하는 방법은 여러 가지가 있는데, 이는 함수의 [[정의역]]의 성질에 따라 달라진다. 방금 정의는 특정 점에서의 연속에 대한 정의였다. 한편 어떤 [[구간|열린 구간]]에 대하여, 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 내의 모든 점에서 함수가 연속일 때, 함수가 '''구간에서 연속'''이라고 한다. 또한 함수가 구간 <math>(-\infty, \infty)</math>에서 연속일 때(즉, [[실직선]] 위에서 연속일 때), 이를 단순히 '''연속 함수'''라고 부른다. 예를 들어 [[다항식|다항 함수]]는 모든 점에서 연속이므로 연속 함수이다.

어떤 구간이 열린 구간이 아니라 [[구간|반열린 구간]] 혹은 [[구간|닫힌 구간]]인 경우, 그 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 안의 모든 [[내부 (위상수학)|내부점]]에서 함수가 연속이며 구간의 끝점에서의 함숫값이 구간 내의 변수가 끝점으로 갈 때의 함숫값과 같을 때, 함수가 '''구간에서 연속'''이라고 한다. 예를 들어 함수 <math>f(x)=\sqrt{x}</math>는 정의역인 반열린 구간 <math>[0,\infty)</math>에서 연속이다.

일반적으로 정의역 "바깥의" 점의 연속성 여부는 다뤄지지 않는다. 예를 들어 <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>와 <math>f(x)=\tan x</math>는 각각 <math>x\in\mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>과 <math>x\in\mathbb{R}\backslash\{n\pi|n\in\mathbb{N}\}</math>는 정의역에 해당하는 구간의 모든 점에서 연속이므로, 통상적으로 함수가 연속 함수라고 말한다. 일부 저자는 [[고립점]]을 제외한 실수 전체를 정의역으로 가지는 [[부분 정의 함수]]의 연속을 다룬다. 이러한 정의에 따르면, 위 함수들은 구간에 속하지 않는 점에서 불연속이다. 부분 정의 함수에 대하여 어떤 점이 정의역의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 속할 때, 이 점이 정의역에 속하지 않거나 이 점에서 연속이 아니라면 함수가 그 점에서 불연속이라고 한다. 예를 들어 <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>와 <math>f(x)=\sin \frac{1}{x}</math>는 0에서 정의되지 않으므로 0에서 연속이 아니다. 어떤 점에서 함수가 불연속일 때 이 점을 불연속점이라고 한다.

연속은 아래와 같이 다양한 방식으로 정의할 수 있다.

=== 함수의 극한을 이용한 정의 ===
함수 <math>f</math>와 함수의 정의역에 속하는 점 <math>c</math>에 대해, <math>x</math>가 정의역 내에서 <math>c</math>로 다가갈 때 그 [[함수의 극한|극한]] <math>f(x)</math>가 존재하고 <math>f(c)</math>와 같다면, <math>f</math>는 <math>c</math>에서 연속이다.<ref>{{인용|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|year=1997}}, section II.4</ref> 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.

<math>\lim_{x\to c}f(x)=f(c)</math>

구체적으로 이는 다음의 세 가지 조건을 함의한다. 첫째, <math>f</math>는 <math>c</math>에서 정의되어야 한다.(즉, <math>c</math>가 <math>f</math>의 정의역에 속해야 한다.) 둘째, 극한이 존재해야 한다. 셋째, 극한값이 <math>f(c)</math>와 같아야 한다. (한편 이 정의에서함수의 정의역은 고립점을 가지지 않는다고 가정한다.)

=== 근방을 이용한 정의 ===
실수에서 점 <math>c</math>의 [[근방]]이란 <math>c</math>로부터 일정한 거리 내에 있는 모든 점을 포함하는 구간이다. 직관적으로 말하면, 점 <math>c</math>에 대하여 <math>c</math>의 근방의 길이가 0으로 수렴할 때 그 근방에서 함숫값의 구간이 점 <math>f(c)</math>를 포함하면서 길이가 0에 수렴하면 함수가 <math>c</math>에서 연속이라고 한다. 더 정확하게는 함수의 치역에서 임의의 근방 <math>N_1(f(c))</math>이 주어졌을 때, <math>x\in N_2(c)</math>인 모든 <math>x</math>에 대해 <math>f(x)\in N_1(f(c))</math>를 만족하도록 하는 정의역 위에서의 근방 <math>N_2(c)</math>을 항상 잡을 수 있다면 함수가 <math>c</math>에서 연속이라고 한다.

근방은 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대해 정의할 수 있는 개념이기 때문에, 함수의 연속은 실수 위에서 정의된 실함수뿐만 아니라 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 위에서 정의된 함수에 대해서 보다 일반적으로 정의할 수 있다. 함수는 고립점 위에서 자동으로 연속이 되며, 예를 들어 정의역이 정수인 실함수는 항상 연속이다.

=== 수열의 극한을 이용한 정의 ===
[[파일:Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg|섬네일|<math>f(x)=e^x</math>과 <math>c=0</math>으로 수렴하는 수열 <math>x_n=\frac{1}{n}</math>에 대해 <math>f(x_n)=e^{ \frac{1}{n}}</math>은 <math>f(0)=1</math>로 수렴한다. 따라서 <math>f</math>는 0에서 연속이다.]]
정의역 <math>D</math> 위의 점들로 구성된 임의의 수열 <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>에 대해, 이 수열이 <math>c</math>로 수렴하고 그에 대응하는 수열 <math>(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}</math>이 <math>f(c)</math>로 수렴한다면, <math>f</math>는 <math>c</math>에서 연속이라고 한다. 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.

<math>\forall(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset D : \lim_{n\to\infty}x_n=c \Rightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(c)</math>

=== 엡실론-델타 논법을 이용한 정의 ===
[[파일:Example_of_continuous_function.svg|오른쪽|섬네일|엡실론-델타 논법을 이용한 연속의 정의에 대한 설명: 함수 f가 x=2에서 연속임을 보이려고 한다. 이때 ε=0.5라는 값이 주어졌다고 하자. 그러면 δ=0.5일 때, 2를 기준으로 2-δ보다 크고 2+δ보다 작은 모든 x는 함숫값이 f(2)-ε보다 크고 f(2)+ε보다 작다. 즉 조건을 만족하는 δ=0.5를 잡을 수 있다. 방금은 ε 값으로 0.5가 주어졌지만, 아무리 작은 ε가 주어지더라도 조건을 만족하는 δ를 잡을 수 있다면 f는 x=2에서 연속이다.]]
[[엡실론-델타 논법]]을 이용하여 연속을 정의할 수 있다. 함수 <math>f:D\to\mathbb{R}</math>과 정의역 <math>D</math> 위의 점 <math>x_0</math>에 대해, 다음을 조건을 만족하면 <math>f</math>가 <math>x_0</math>에서 연속이라고 한다.

''임의의 작은 실수 <math>\varepsilon>0</math>이 주어졌다고 하자. 이때 어떤 실수 <math>\delta>0</math>이 존재하여 <math>x_0-\delta<x<x_0+\delta</math>인 정의역 위의 모든 <math>x</math>에 대해 함숫값 <math>f(x)</math>가 <math>f(x_0)-\varepsilon<f(x)<f(x_0)+\varepsilon</math>를 만족한다.''

이를 아래처럼 표현할 수도 있다.

''임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해, <math>\delta>0</math>이 존재하여서 모든 <math>x\in D</math>에 대해 <math>|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>을 만족한다.''

직관적으로 설명하면, 이는 <math>x</math>에 대한 함숫값 <math>f(x)</math>이 <math>f(x_0)</math>를 기준으로 하는 어떤 작은 [[근방]] 내에 있도록 하고 싶다면 <math>x</math>가 <math>x_0</math>를 기준으로 하는 작은 근방 내에 있어야 한다는 것과 같다. 이때 <math>f(x_0)</math>를 기준으로 하는 근방이 아무리 작더라도 이를 만족하는 <math>x_0</math>를 기준으로 하는 근방을 항상 찾을 수 있다면, 함수가 <math>x_0</math>에서 연속이라고 한다.

== 연속 함수의 구성 ==
[[파일:Brent_method_example.svg|오른쪽|섬네일|[[삼차 함수]]의 그래프. 삼차 함수는 <math>\mathbb R</math> 위에서 연속이다.]]
주어진 함수가 연속인지 판별하기 위해서는 함수가 위의 연속의 정의 중 하나를 만족하는지 알아보면 된다. 한편 어떤 정의역 위에서 정의된 두 연속 함수가 주어졌을 때, 두 함수의 합으로 만들어지는 함수 또한 같은 정의역 위에서 연속이다. 즉, 두 연속 함수

<math>f,g\colon D\to\mathbb R</math>

가 주어졌을 때, 두 연속 함수의 합

<math>s=f+g</math>

는 <math>D</math>에서 연속이다.(이때 모든 <math>x\in D</math>에 대해 <math>s(x)=f(x)+g(x)</math>로 정의된다.) 두 연속 함수의 곱에 대해서도 같은 결과가 성립한다. 즉, 두 연속 함수의 곱

<math>p=f\cdot g</math>

는 <math>D</math>에서 연속이다.(이때 모든 <math>x\in D</math>에 대해 <math>p(x)=f(x)\cdot g(x)</math>로 정의된다.)

한편 [[상수 함수]]와 [[항등 함수]]는 실수 <math>\mathbb R</math> 위에서 연속이다. 그리고 모든 [[다항식|다항 함수]]는 상수 함수와 항등 함수의 합과 곱들로 나타낼 수 있다. 따라서 위의 결과들에 의해 다항 함수는 <math>\mathbb R</math> 위에서 연속이다.
[[파일:Homografia.svg|오른쪽|섬네일|[[유리 함수]]의 그래프. <math>x = -2</math>에서 함수는 정의되지 않는다. 수직선과 수평선은 유리함수의 [[점근선]]이다.]]
위와 비슷한 방식으로, 연속 함수의 역수

<math>r=1/f</math>

는 <math>D\setminus\{x:f(x)=0\}</math>에서 연속이다.(이때 <math>f(x)\neq0</math>인 모든 <math>x\in D</math>에 대해 <math>r(x)=1/f(x)</math>로 정의된다.) 따라서 <math>g</math>의 근을 제외한 정의역에서, 두 연속 함수의 몫

<math>q=f/g</math>

는 <math>D\setminus\{x:f(x)=0\}</math>에서 연속이다.(이때 <math>g(x)\neq0</math>인 모든 <math>x\in D</math>에 대해 <math>q(x)=f(x)/g(x)</math>로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수

<math>y(x)=\frac{2x-1}{x+2}</math>

은 분자와 분모가 모두 연속 함수이므로 <math>x\neq-2</math>인 모든 실수점 위에서 연속이다. <math>x=-2</math>에서는 함수가 정의되지 않으므로 연속성에 대해 논의할 수 없다.

[[함수의 합성]]으로 연속 함수를 구성하는 것도 가능하다. 두 연속 함수

<math>g: D_g \subseteq\mathbb{R}\to R_g \subseteq  \mathbb{R}</math>과 <math>f: D_f \subseteq\mathbb{R}\to R_f\subseteq D_g</math>

가 주어졌을 때, 두 함수의 합성 <math>c=f \circ g:D_f \to \mathbb{R}</math>는 연속이다.(이때 모든 <math>x\in D_f</math>에 대해 <math>c(x)=g(f(x))</math>로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수

<math>y(x)=e^{\sin(\ln x )}</math>

은 <math>x>0</math>에서 연속인 함수 <math>e^x</math>와 <math>\sin x</math>, 그리고 <math>\ln x</math>의 합성이므로 <math>x>0</math>에서 연속이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:연속 함수]]
[[분류:미적분학]]