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'''양자 홀 효과'''(quantum Hall effect)는 고전적 [[홀 효과]]와 유사한 것으로 일정한 조건에서 홀 [[도전율|전도율]]이 양자화하는 효과를 말한다. 이 때, 전도율은 다음과 같이 양자화한다.

:<math>\sigma_{QHE}=\frac{1}{\rho_{QHE}}=\frac{ne^2}{h}</math>
이러한 현상은 주로 저온이고, 강한 자기마당이 있는 2차원 전자계에서 볼 수 있다. 여기서 <math>n</math>이 정수인 경우에는 정수(integer) 양자 홀 효과, 분수인 경우에는 분수(fractional) 양자 홀 효과라고 한다.<ref>D. Yoshioka, ''The Quantum Hall Effect'', Springer(2002)</ref>

== 역사 ==
[[홀 효과]]는 1879년 [[에드윈 홀]](Edwin Hall)에 의해 발견되었다. 홀이 발견한 홀 효과를 양자 홀 효과와 구분하기 위해 고전적 홀 효과라고 부르기도 한다. 1978년, [[클라우스 폰클리칭]](Klaus von Klitzing)은 고전적 홀 효과와 다른 양자 홀 효과를 발견하였다. 고전적 홀 효과에서는 홀 전도율이 대상 물질의 [[전하 수송자]] 밀도에 비례하였는데, 양자 홀 효과에서는 홀 전도율이 대상 물질에 관계없이, 기본상수에만 관련되는 양자의 정수배로 양자화한다. 폰클리칭은 양자 홀 효과에 대한 연구로 1985년 노벨 물리학상을 수상하였다.

1982년, [[대니얼 추이]](Daniel Chee Tsui), [[호르스트 슈퇴르머]](Horst Störmer)와 [[아서 고서드]](Arthur C. Gossard)는 분수 양자 홀 효과를 발견하였다. 이는 정수 양자 홀 효과와는 원인이 다른데, 전자 간 상호작용에서 기인한다.

== 홀 저항 ==
2차원 전자계에서, 전자들은 2차원 평면 상에서 운동한다. 전기장 <math>\mathbf{E}</math>를 걸면, 전기장의 방향으로 전류가 흐른다. 이 상태에서 자기장 <math>\mathbf{B}</math>를 평면에 수직으로 걸면 전류는 더 이상 <math>\mathbf{E}</math> 방향으로만 흐르지 않는다. 따라서, 전도율 <math>\sigma</math>를 스칼라에서 텐서로 일반화한다.

:<math>\mathbf{J}</math>=<math>\mathbf{\sigma}</math><math>\mathbf{E}</math>

:(<math>\mathbf{J}</math>: 전류 밀도)

평면을 <math>x,y</math>로 데카르트 좌표를 쓰면 다음과 같다.

:<math>J_{x}=\sigma_{xx}E_{x}+\sigma_{xy}E_{y}</math>

:<math>J_{y}=\sigma_{yx}E_{x}+\sigma_{yy}E_{y}</math>

등방성에 의하여, [[도전율|전도율]]은 <math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy}</math>, <math>\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}</math>와 같은 성질을 가진다. 전류 밀도와 외부 전기장 <math>\mathbf{E}</math>의 관계식은 비저항 텐서로 나타낼 수 있다.

:<math>E_{x}=\rho_{xx}J_{x}+\rho_{xy}J_{y}</math>

:<math>E_{y}=\rho_{yx}J_{x}+\rho_{yy}J_{y}</math>

위의 두 식은 동일해야 하므로 아래의 관계식이 성립한다.

:<math>\rho_{xx}=\rho_{yy}=\frac{\sigma_{xx}}{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2}</math>

:<math>\rho_{xy}=-\rho_{yx}=-\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2}</math>

위의 식에서 <math>\rho_{xx}=\rho_{yy}</math>를 대각 비저항(diagonal resistivity)(<math>\sigma_{xx}=\sigma_{yy}</math>는 대각 전도율({{lang|en|diagonal conductivity}}), <math>\rho_{xy}=-\rho_{yx}</math>를 홀 저항율(<math>\sigma_{xy}=-\sigma_{yx}</math>는 홀 전도율)로 정의한다. 그리고 2차원으로 표현했기 때문에 홀 저항은 홀 저항율과 같다.

== 정수 양자 홀 효과 ==
약한 전기장에서 드루드(Drude) 이론으로 계산한 홀 비저항은

:<math>\rho_{xy}=\frac{B}{n_{e}e}</math>

:(<math>e</math>: 기본 전하, <math>n_{e}</math>: 전자 밀도)

이 된다. 이것은 일반적인 홀 효과와 같다. 하지만 저온의 2차원 전자계에 강한 자기장을 걸면 위와는 다른 현상을 관측한다.
폰클리칭은 다음 두 사실을 실험적으로 관찰하였다.<ref>K. von Klitzing, G. Dorda and M. pepper, Phys. Rev. Lett., 45, 494 (1980)</ref>

* 전자 밀도가 변하고 있는 중에도 불구하고 홀 저항율이 일정한 값을 갖는 구간이 있다. 그리고 이 때에는 대각 저항율이 사라진다.

* 홀 저항율이 변하지 않는 구간에서의 홀 저항율은 정확하게 <math>h/e^2</math>을 정수로 나눈 값이다. 즉, 홀 전도율이 <math>e^2/h</math>의 정수배의 값을 갖는 형태로 양자화된다.

이러한 현상을 정수 양자 홀 효과라고 부른다. 폰클리칭은 Si MOS 계에서 이것을 측정하였는데, 위와 같은 현상은 이러한 체계 이외에도 다른 계에서도 나타난다. GaAs-AlGaAs 이종 결합도 이러한 현상을 지닌다. 그 결합면도 2차원 전자계를 이루는데, 이러한 결합에서 자기장을 변화시키면서 홀 비저항을 측정하면, 자기장의 크기가 큰 영역에서 홀 비저항은 자기장이 커짐에 따라 계단 모양으로 증가한다.<ref>M.A.Paalane, D.C. Tusi and A.C. Gossard,Phys. Rev. B 25, 5566 (1982)</ref>

정수 양자 홀 효과는 2차원이기 때문에 홀 비저항이 저항과 같다. 따라서 대상체의 모양에 관계없이 전류와 전압만 측정하면 실험에서 원하는 값을 측정할 수 있다. 또한 대각 저항율이 없기 때문에 홀 저항을 측정하기 위한 장치의 배열이 전류 흐름 방향에 정확하게 수직일 필요가 없다. 따라서, 정수 홀 효과에서 측정한 홀 저항 <math>h/e^2</math>를 정확하게 측정할 수 있다. 이 값은 [[국제단위계|국제 단위계]](S.I.)로는 25 812.807 Ω이고, '''[[폰 클리칭 상수]]'''라 부른다.

== 분수 양자 홀 효과 ==
분수 양자 홀 효과(반정수 양자 홀 효과)는 GaAs을 기본으로 하는 이종결합 상에서 만들어지는 좀 더 높은 이동도(mobility)를 가지는 2차원 전자계에서 나타난다. [[대니얼 추이|추이]], [[호르스트 슈퇴르머|슈퇴르머]]와 고서드는 홀 비저항이 일정한 구간에서도 정수 양자 홀 효과와 달리 대각 저항율이 남아 있고, 그 위치의 홀 비저항 값도 정수 양자 효과의 <math>h/e^2</math>이 아닌, 그 값의 <math> 1/3</math>배와 <math>2/3</math>배한 값이라는 사실을 밝혔다.<ref>D.C. Tsui, H.L. Stormer and A.C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982)</ref> 이러한 현상은 정수 양자 홀 효과의 이론으로는 설명할 수 없다. 이후, 분수 양자 홀 효과는 전자 간 상호 작용에 의해 생긴다는 것이 밝혀졌다.

처음으로 발견된 분수 양자 홀 효과의 분수 값은 <math>1/3</math>과 <math>2/3</math>였다. 그러나 2차원 전자계의 이동도가 높고, 온도가 낮을수록 분수 양자 홀 효과가 갖는 분수 값의 숫자는 증가한다. 실험에 따르면, 이러한 분수 값의 분모는 홀수이다.<ref>R. Willet, J.P. Eisentein, H.L. Stomer, D.C. Tsui, A.C. Gossard and J.H. English, Phys. Rev. Lett. 59, 1776 (1987)</ref>

== 같이 보기 ==
* [[홀 효과]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{물질의 상태}}

{{전거 통제}}

[[분류:홀 효과]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:MOSFET]]
[[분류:양자전자공학]]
[[분류:1980년 과학]]
[[분류:양자 상]]