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[[수학]]에서 '''쌍곡선 함수'''(雙曲線函數, {{llang|en|hyperbolic function}})는 일반적인 [[삼각함수]]와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 [[매개변수]]로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준[[쌍곡선]]을 매개변수로 표시할 때 나온다.

== 종류 ==
[[파일:sinh cosh tanh.svg|256px|섬네일|<span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span>, <span style="color:#0000b3;">tanh</span>]]
[[파일:csch sech coth.svg|256px|섬네일|<span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span>, <span style="color:#0000b3;">coth</span>]]
[[삼각함수]](''원함수'')의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

* 쌍곡사인({{lang|en|hyperbolic sine}})
:<math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!</math>

* 쌍곡코사인({{lang|en|hyperbolic cosine}})
:<math>\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!</math>

* 쌍곡탄젠트({{lang|en|hyperbolic tangent}})
:<math>\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x}</math>
:<math> = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!</math>

* 쌍곡코시컨트({{lang|en|hyperbolic cosecant}})
:<math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!</math>

* 쌍곡시컨트({{lang|en|hyperbolic secant}})
:<math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!</math>

* 쌍곡코탄젠트({{lang|en|hyperbolic cotangent}})
:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} </math>
:<math> = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix \!</math>

== 삼각함수와의 관계 ==

2차원 평면상에서 매개변수 <math>t</math>를 사용한 자취 <math>(\cos t,\, \sin t)</math>가 [[단위원 (기하)|단위원]] <math>x^2 + y^2 = 1</math>을 그리는 것처럼, <math>(\cosh t,\, \sinh t)</math>은 [[쌍곡선]] <math>x^2 - y^2 = 1</math> 을 그린다. 이는 다음과 같은 간단한 관계를 통해 쉽게 알 수 있다.
:<math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,</math>

그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 [[주기함수]]가 아니라는 차이가 있다.

매개변수 <math>t</math>가 단위원을 그리는 삼각함수의 경우에 각을 뜻하는 양인 것과는 달리 쌍곡선 함수의 경우에는 평면상의 면적에 대응하는 쌍곡각(雙曲角, hyperbolic angle)<!--옳은 번역인지?? [[사용자:Xaos|xAOs]] -->에 대응한다. 쌍곡각은 <math>x</math>축과 쌍곡선, 그리고 <math>(\cosh t,\, \sinh t)</math>위의 점과 원점을 지나는 직선이 이루어지는 면적을 두배한 양으로 정의된다.

<math>\cosh\, x</math>는 [[짝함수]] 즉 <math>y</math>축에 대해 대칭이며, <math>\cosh 0 \,=\, 1</math>이다.

<math>\sinh\, y</math>는 [[홀함수]] 즉 원점에 대해 대칭이며, <math>\sinh 0 \,=\, 0</math>이다.

쌍곡선 함수는 [[삼각함수 공식]]과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 '''[[오스본 법칙]]'''에 따라 어떤 삼각함수 항등식이라도 쌍곡선 항등식으로 변환될 수 있다. 예를 들어 삼각함수의 덧셈정리와 반각공식은 다음과 같은 쌍곡선 함수의 덧셈 정리와 반각 공식으로 바뀐다.
* 덧셈 정리
*: <math>\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,</math>
*: <math>\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,</math>
*: <math>\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,</math>
* 반각 공식
*: <math>\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}</math>
*: <math>\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}</math>

== 역함수 ==
쌍곡선 함수의 [[역함수]]는 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
  \operatorname {arcsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
  \operatorname {arccosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\
  \operatorname {arctanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\
  \operatorname {arccsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 \\
  \operatorname {arcsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\
  \operatorname {arccoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\
\end{align}</math>

== 역쌍곡함수의 미분 ==
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arccosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arctanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arccsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>
:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arccoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>

== 역쌍곡함수의 부정적분 ==
:<math>\begin{align}
   \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = a^{-1}\operatorname{arcsinh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &=  a^{-1}\operatorname{arccosh} \left( \frac{u}{a} \right) + C \\
   \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & = a^{-1}\operatorname{arctanh} \left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 < a^2 \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{arccsch}\left| \frac{u}{a} \right| + C \\
   \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{arcsech}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\

\end{align}</math>

''C''는 [[적분상수]]이다.

== 복소수와 쌍곡선 함수 ==
[[지수함수]]가 모든 [[복소수]]를 인자로 받을 수 있기 때문에, 지수함수의 사칙연산으로 정의된 쌍곡선 함수 또한 복소수까지 확장시킬 수 있다. 이때, sinh z와 cosh z는 복소평면 위 어떤 점에서도 해석적인 [[전해석 함수]](entire function)이다.

삼각함수와의 관계는 복소수에 대한 [[오일러 공식]]으로 다음과 같이 주어진다.

:<math>e^{ix} = \cos x + i\;\sin x</math>

:<math>\cosh(ix) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \cos(x)</math>

:<math>\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin(x)</math>

:<math>\tanh(ix) = i \tan(x) \,</math>

:<math>\sinh(x) = -i \sin(ix) \,</math>

:<math>\cosh(x) = \cos(ix) \,</math>

:<math>\tanh(x) = -i \tan(ix) \,</math>

:<math>\operatorname{arsinh}(x) = i \arcsin(-ix)</math>

:<math>\operatorname{arcosh}(x) = i \arccos(x)</math>

:<math>\operatorname{artanh}(x) = i \arctan(-ix)</math>

== 테일러 급수 ==
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>

이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, <math>e^x</math>와 <math>e^{-x}</math>의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[현수선]](懸垂線, catenary): <math>\cosh x</math>는 일정한 [[중력장]]에서 양끝이 고정되어 있고 밀도가 일정한 줄이 아래로 늘어질 때 그리는 곡선이다.
* [[삼각함수]]
* [[쌍곡선]]
{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:쌍곡기하학]]
[[분류:해석 함수]]
[[분류:거듭제곱]]