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[[절대기하학]]에서 '''사케리-르장드르 정리'''({{llang|en|Saccheri–Legendre theorem}})는 [[삼각형의 내각합]]에 대한 정리이다.

== 정리 ==
[[절대기하학]]을 가정하자. 즉, [[유클리드 기하학]]의 공리에서 [[평행선 공준]]만을 제외하자.

'''사케리-르장드르 제1정리'''에 따르면, 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 작거나 같다.

'''사케리-르장드르 제2정리'''에 따르면, 내각합이 180도인 삼각형이 존재한다면, 모든 삼각형의 내각합은 180도이다.

'''사케리-르장드르 제3정리'''에 따르면, 내각합이 180도보다 작은 삼각형이 존재한다면, 모든 삼각형의 내각합은 180도보다 작다.

'''사케리-르장드르 제4정리'''에 따르면, 만약 주어진 각과 그 내부의 점에 대하여, 항상 그 점을 지나며, 각의 두변과 만나는 직선을 그을 수 있다면, 삼각형의 내각합은 180도보다 작을 수 없다.

== 증명 ==
=== 사케리-르장드르 제1정리 ===
[[파일:Saccheri–Legendre 1.svg|섬네일|제1 정리]]
[[파일:Saccheri–Legendre 2–1.svg|섬네일|제2 정리 보조 정리 1]]
[[파일:Saccheri–Legendre 2–2.svg|섬네일|제2 정리 보조 정리 3]]
[[파일:Saccheri–Legendre 2–3.svg|섬네일|제2 정리 보조 정리 4]]
[[파일:Saccheri–Legendre 2–4.svg|섬네일|제2 정리 보조 정리 5]]
어떤 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크다고 가정하자.

''CA''의 연장선에, ''CA'' = ''AA''<sub>1</sub>이면서, ''A''가 ''C''와 ''A''<sub>1</sub> 사이에 있게 점 ''A''<sub>1</sub>을 찍자. 또한, 길이와 (직선 ''CA'' 기준) 방향이 ''CB''와 같은 선분 ''AB''<sub>1</sub>를 긋자. 그렇다면, [[변각변]]에 따라, 삼각형 ''ABC''와 ''A''<sub>1</sub>''B''<sub>1</sub>''A''는 합동이 된다. 두 삼각형 ''ABC''와 ''ABB''<sub>1</sub>에서, 삼각형 ''ABC''의 내각합이 180도보다 크므로, ∠''CBA'' > ∠''BAB''<sub>1</sub>이다. 또한, ''AB'' = ''AB'', ''BC'' = ''AB''<sub>1</sub>이므로, ''CA'' > ''BB''<sub>1</sub>이다.

이 같은 과정을 반복하면, 다음을 만족하는 점집합 ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ... 및 ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ''B''<sub>3</sub>, ...을 얻는다.
* 점 ''C'', ''A'', ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ...은 공선점이다.
* 삼각형 ''CAB'', ''AA''<sub>1</sub>''B''<sub>1</sub>, ''A''<sub>1</sub>''A''<sub>2</sub>''B''<sub>2</sub>, ...는 합동이다.
* ''a'' = ''BB''<sub>1</sub> = ''BB''<sub>2</sub> = ''BB''<sub>3</sub> = …
* ''b'' = ''CA'' = ''AA''<sub>1</sub> = ''A''<sub>1</sub>''A''<sub>2</sub> = …
* ''a'' < ''b''

[[아르키메데스 성질]]에 따라, 다음을 만족시키는 자연수 ''n''이 존재한다.
:''CB'' + ''BA'' - ''a'' < ''n''(''b'' - ''a'')
즉,
:''CB'' + ''na'' + ''B<sub>n</sub>A<sub>n</sub>'' < (''n'' + 1)''b''
따라서, 꺽은선 ''CBB''<sub>1</sub>''B''<sub>2</sub>…''B<sub>n</sub>A<sub>n</sub>''의 길이는 직선 ''CAA''<sub>1</sub>''A''<sub>2</sub>…''A<sub>n</sub>''의 길이보다 짧다. 이는 최단 거리가 직선인 데 모순이다.

=== 사케리-르장드르 제2정리 ===
내각합이 180도인 삼각형 ''ABC''가 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 모든 삼각형의 내각합이 180도라는 것을 다음과 같이 단계별로 증명할 수 있다.

편의를 위해, ''n''각형의 "내각합 결손"을, 180(''n'' - 2) 빼기 실제 내각합으로 정의하자.

보조 정리 1, 큰 도형의 내각합 결손은 이를 구성하는 작은 도형의 내각합 결손의 합이다. 예를 들어, 삼각형 ''ABC''와 변 ''BC'' 위 점 ''D''에 대하여, ''ABC''의 내각합은 자명하게 ''ADB''와 ''ADC''의 내각합의 합 빼기 180도이다. 이는 필요할 때마다 특별한 경우를 검증하는 것으로 족하므로, 증명하지 않는다.

보조 정리 2, 큰 삼각형의 내각합이 180인 것은, 이를 구성하는 두 작은 삼각형의 내각합이 모두 180도인 것과 동치이다. 뒷부분이 앞부분을 함의한다는 것은, 보조 정리 1에 따라 자명하다. 큰 삼각형의 내각합이 180도라고 가정하자. 제1정리에 따라, 두 작은 삼각형의 내각합은 모두 180도보다 작거나 그와 같다. 또한 보조 정리 1에 따라, 두 내각합의 합이 360도이므로, 두 내각합은 각자 정확히 180도이다.

보조 정리 3, 내각합이 180도인 [[직각 삼각형]]이 존재한다. ''ABC''가 직각 삼각형이 아니라면, 최대 내각의 꼭짓점 ''A''로부터 ''BC''의 수선을 긋자. 그렇다면, 수선은 선분 ''BC''와 교점 ''D''를 갖는다. 보조 정리 2에 따라, ''ADB''는 내각합이 180도인 직각 삼각형이다.

보조 정리 4, 두 직각변이 ''ADB'' 직각변의 임의 정수 배수인 직각 삼각형은 내각합이 180도이다. ''ADB''가 내각합이 180도인 직각 삼각형이므로, 그와 합동인 삼각형들을 이어 맞추면, 두 직각변이 각각 ''AD''와 ''DB''의 임의 정수 배수인 직각 삼각형을 얻으며, 보조 정리 1에 따라 내각합이 180도이다.

보조 정리 5, 모든 직각 삼각형의 내각합은 180도이다. 직각 삼각형 ''EFG''가 주어졌다고 하자. 아르키메데스 성질에 따라, 동시에 ''FE&apos;'' = ''nAD'' > ''FE''와 ''FG&apos;'' = ''nBD'' > ''FG''를 만족하는, ''FE''의 연장선 위 점 ''E&apos;''{{공백|2}}및 ''FG''의 연장선 위 점 ''G&apos;''{{공백|2}}및 자연수 ''n''이 존재한다. 보조 정리 4에 따라, 직각 삼각형 ''EF&apos;G&apos;'' 의 내각합은 180도이다. ''E''와 ''G&apos;''를 잇자. 그렇다면, 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG&apos;'' 의 내각합은 180도이며, 다시 또 보조 정리 2에 따라 직각 삼각형 ''EFG''의 내각합은 180도이다.

보조 정리 6, 모든 삼각형의 내각합은 180도이다. 임의의 삼각형에 대하여, 그 최대 내각 꼭짓점으로부터 대변 수선을 그어, 두 작은 직각 삼각형을 만들 수 있다. 보조 정리 5와 보조 정리 2에 따라, 삼각형의 내각합은 180도이다.

=== 사케리-르장드르 제3정리 ===
제3정리는 제2정리의 [[명제의 대우|대우]]이므로, 당연히 성립한다.

=== 사케리-르장드르 제4정리 ===
{{빈 문단}}

== 역사 ==
[[지오반니 사케리]]와 [[아드리앵마리 르장드르]]가 제시 및 증명하였다. 그 뒤 르장드르는 삼각형 공준을 평행선 공준을 사용하지 않고 증명하는 데 성공한 듯했으나, 증명되지 않은 가정을 사용했음을 발견하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|저자=王宗儒
|제목=三角形内角和等于180°吗
|언어=zh
|출판사=湖南人民出版社
|날짜=1981-07
}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:비유클리드 기하학]]
[[분류:삼각형에 대한 정리]]