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'''알렉산더 쌍대성'''(Alexander雙對性, {{llang|en|Alexander duality}})은 [[대수적 위상수학]]에 등장하는 [[쌍대성]] 중 하나로, [[초구]] 속 부분 공간의 [[호몰로지]]와 그 [[여집합]]의 [[코호몰로지]]가 서로 동형이라는 것을 말한다.

== 정리 ==

{{인용문|'''알렉산더 쌍대성'''

초구의 비어있지 않은 부분 공간 <math> X \subseteq \mathbb S^n</math>이 [[국소 축약 가능 공간|국소적으로 축약 가능할]] 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{\tilde H}_k(\mathbb S^n\setminus X; \mathbb Z) \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X; \mathbb Z)</math>.
}}

여기서 <math>\operatorname{\tilde H}</MATH>는 [[축소 호몰로지|축소 호몰로지 · 코호몰로지 군]]이다. 만약 축소 [[체흐 코호몰로지]]를 쓸 경우 [[국소 축약 가능 공간]]이라는 조건이 필요 없어진다.

== 증명 ==

=== 푸앵카레 쌍대성을 이용한 증명 ===

<math>U</math>를 <math>X</math>의 열린 덮개라고 하면 다음이 성립한다.

<math>
\begin{align}
\operatorname H_k(\mathbb S^n \setminus X) & \cong \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n \setminus X)
\quad \text{(Poincaré duality)} \\
& \cong \varinjlim \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n \setminus X, U \setminus X) \\
& \cong \varinjlim \operatorname H^{n-k}(\mathbb S^n, U)
\quad \text{(excision)} \\
& \cong \varinjlim \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(U), \quad (k \ne 0) \\
& \cong \operatorname{\tilde H}^{n-k-1}(X)
\end{align}
</math>

=== slant product를 이용한 증명 ===

<math>X \subseteq \mathbb S^n</math>에 대해 다음 사상을 생각할 수 있다.
:<math>X \times (\mathbb S^n \setminus X) \to \mathbb S^{n-1}</math>
:<math>(x,y) \mapsto \frac{x+y}{\|x-y\|}</math>
위 사상은 다음 코호몰로지류에 대응한다.
:<math>[\phi] \in \operatorname H^{n-1}(X \times (\mathbb S^n\setminus X))</math>
위 코호몰로지류와 slant product를 통해, 사상을 만들 수 있다.
:<math>[\phi]_/ \colon \operatorname H_\bullet(X) \to \operatorname H^{n-\bullet-1} (\mathbb S^n \setminus X) , \quad \alpha \mapsto \alpha / [\phi]</math>

이제, 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 축약 가능 공간]]일 경우, 이는 [[축소 호몰로지]]의 동형 사상
:<math>[\tilde\phi]_/ \colon \operatorname{\tilde H}_\bullet(X) \to \operatorname{\tilde H}^{n-\bullet-1}(\mathbb S^n\setminus X)</math>
을 정의한다. 이 사상에 의해 알렉산더 쌍대성이 성립한다.

== 예 ==
=== 축약 가능 공간 ===
<math>X</math>가 [[축약 가능 공간]])이라고 하자. 이 경우, <math>\mathbb S^{n+1} \setminus X</math> 역시 [[축약 가능 공간]]이다. 축약 가능 공간의 [[축소 호몰로지]]와 [[축소 코호몰로지]]는 모두 0이므로, 이 경우 알렉산더 쌍대성이 자명하게 성립한다.

(반면, 축약 가능 공간은 0차 (코)호몰로지를 가지므로, 축소가 아닌 일반 (코)호몰로지의 경우 동형이 성립하지 않는 것을 알 수 있다.)

=== 초구 ===
<Math>X =\mathbb S^n</math>가 <Math>n</math>차원 [[초구]]라고 하자. 이 경우
:<math>\operatorname{\tilde H}_i(X) = \begin{cases}
0 & i < n \\
\mathbb Z & i = n
\end{cases}</math>
이며, 반면
:<math>\mathbb S^{n+1} \setminus \mathbb S^n \cong \mathbb B^{n+1} \times\{0,\infty\} \simeq \{0, \infty\}</math>
은 두 개의 점을 가진 [[이산 공간]]과 [[호모토피 동치]]이므로
:<math>\operatorname{\tilde H}^i(\mathbb S^{n+1} \setminus X) = \begin{cases}
\mathbb Z & i = 0 \\
0 & i > 0
\end{cases}</math>
이다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다.

=== 연환수 ===
마찬가지로, <math>n = 2</math>이며 <math>X = \mathbb S^1</math>인 경우를 생각하자. 이 경우
:<math>X = \mathbb S^1 \simeq \mathbb S^3 \setminus \mathbb S^1 = \mathbb S^3\setminus X</math>
이며, 이는 오직 1차에만 자명하지 않은 축소 (코)호몰로지를 갖는다. 이에 따라서 알렉산더 쌍대성이 성립하는 것을 알 수 있다. 이 경우 알렉산더 쌍대성 사상은 [[연환수]]에 의하여 유도된다.

== 역사 ==
1915년에 [[제임스 워델 알렉산더]]가 알렉산더 쌍대성의 최초의 형태를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=James W.|성= Alexander Ⅱ|저자링크=제임스 워델 알렉산더|제목=A proof of the invariance of certain constants of analysis situs|저널=Trans. Amer. Math. Soc. |권=16 |날짜=1915|쪽= 148–154|언어=en}}</ref> 알렉산더의 시대에는 (코)호몰로지가 아직 발견되지 않았으며, 알렉산더가 실제로 증명한 것은 [[합동 산술|법2]]의 [[베티 수]]가 일치한다는 것이었다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 역사 ==
* {{eom|title=Alexander duality}}
* {{nlab|id=Alexander-Čech duality}}
* {{nlab|id=Spanier-Whitehead duality}}

[[분류:대수적 위상수학]]