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[[군론]]에서, '''특성 단순군'''(特性單純群, {{llang|en|characteristically simple group}})은 [[특성 부분군]]이 [[자명 부분군]]과 자기 자신밖에 없는 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 <math>\{1_G\}</math>와 <math>G</math>가 아닌 [[특성 부분군]]을 갖지 않는다면, <math>G</math>를 '''특성 단순군'''이라고 한다.

== 성질 ==
[[유한군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>G</math>는 특성 단순군이다.
* <math>G</math>는 유한 개의 같은 [[단순군]] <math>N</math>의 [[직접곱]] <math>N^{\times n}</math>과 [[동형]]이다.
{{증명}}
우선, <math>G</math>가 유한 특성 단순군이라고 하고, <math>G</math>가 유한 개의 같은 단순군의 직접곱임을 보이자. 편의상 <math>G\ne\{1_G\}</math>이라고 하자. <math>G</math>의 임의의 [[극소 정규 부분군]] <math>N</math>을 취하자. 그렇다면, 임의의 <math>\phi\in\operatorname{Aut}(G)</math>에 대하여, <math>\phi(N)</math> 역시 극소 정규 부분군이다. 이제 <math>M</math>이
:<math>\{\phi_1(N)\times\cdots\times\phi_k(N)\le G
\colon\phi_i\in\operatorname{Aut}(G),\;
\forall i\in\{1,\dots,k\}
\colon\phi_i(N)\cap\phi_1(N)\cdots\phi_{i-1}(N)\phi_{i+1}(N)\cdots\phi_k(N)=\{1_G\}
\}</math>
의 한 [[극대 원소]]라고 하자. 그렇다면, <math>M\vartriangleleft G</math>이며, 임의의 <math>\phi\in\operatorname{Aut}(G)</math>에 대하여, <math>\phi(N)\cap M\vartriangleleft G</math>이다. 따라서 <math>\phi(N)\cap M=\{1_G\}</math>이거나 <math>\phi(N)\cap M=\phi(N)</math>이며, <math>M</math>의 극대성에 의하여 <math>\phi(N)\cap M=\phi(N)</math>이다. 즉,
:<math>M=\prod_{\phi(N)}\phi(N)</math>
이며, <math>M</math>은 <math>G</math>의 특성 부분군이다. <math>G</math>는 특성 단순군이므로 <math>G=M</math>이다. 또한, 임의의 <math>H\vartriangleleft N</math>에 대하여, <math>H\vartriangleleft G</math>이므로, <math>N</math>의 극소성에 의하여 <math>H=\{1_G\}</math>이거나 <math>H=N</math>이다. 즉, <math>N</math>은 단순군이며,
:<math>G=\prod_{\phi(N)}\phi(N)\cong\prod_{\phi(N)}N</math>
이다.

반대로, 임의의 단순군 <math>N</math> 및 음이 아닌 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>N^{\times n}</math>이 특성 단순군임을 보이자. 만약 <math>N</math>이 [[아벨 군]]이라면, <math>|N|</math>은 [[소수 (수론)|소수]]이며, <math>N</math>에 [[체 (수학)|체]]의 구조를 부여할 수 있고, <math>N^{\times n}</math>을 이 체에 대한 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]으로 생각할 수 있다. 이 경우 <math>N^{\times n}</math>의 군으로서의 자기 동형 사상은 [[전단사 함수|전단사]] [[선형 변환]]과 동치이며, 특성 부분군은 모든 전단사 선형 변환에 대하여 불변인 [[부분 벡터 공간]]과 동치이다. 이러한 부분 공간은 영공간과 자기 자신뿐이므로, <math>N^{\times n}</math>은 특성 단순군이다.

만약 <math>N</math>이 아벨 군이 아니라면, <math>n</math>개의 자연스러운 단사 군 준동형
:<math>\imath_i\colon N\hookrightarrow N^{\times n}\qquad(i\in\{1,\dots,n\})</math>
의 상을 <math>\imath_i(N)=N_i</math>로 표기하자. 그렇다면 <math>N^{\times n}</math>은 다음과 같은 내직접곱과 같다.
:<math>N^{\times n}=N_1\times\cdots\times N_n</math>
우선 임의의 <math>H\vartriangleleft N^{\times n}</math>를 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다는 사실을 보이자.
:<math>H=N_{i_1}\times\cdots\times N_{i_k}\qquad(1\le i_1<\cdots<i_k\le n)</math>
이는 임의의 <math>g\in H</math> 및 <math>g_i\in N_i</math> 및 <math>j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>g=g_1\cdots g_n</math>이며, <math>g_j\ne 1_{N^{\times n}}</math>일 경우, <math>N_j\subseteq H</math>임을 보이는 것으로 족하다. <math>N_j</math>는 비아벨 단순군이므로 <math>\operatorname Z(N_j)=\{1_{N^{\times n}}\}</math>이며, 특히 <math>g_j\not\in\operatorname Z(N_j)</math>이다. 따라서,
:<math>1_{N^{\times n}}\ne g_jhg_j^{-1}h^{-1}=ghg^{-1}h^{-1}\in H</math>
인 <math>h\in N_j</math>가 존재하며,
:<math>N_j=\langle\operatorname{Cl}(g_jhg_j^{-1}h^{-1})\rangle\subseteq H</math>
이다. (여기서 <math>\langle\operatorname{Cl}(g_jhg_j^{-1}h^{-1})\rangle</math>는 <math>g_jhg_j^{-1}h^{-1}</math>의 [[켤레류]]로 생성된 부분군을 뜻한다.)

이제 <math>H</math>가 <math>N^{\times n}</math>의 자명하지 않은 특성 부분군이라고 가정하자. 편의상
:<math>H=N_1\times\cdots\times N_k\qquad(1\le k<n)</math>
이라고 하자. 다음과 같은 <math>N^{\times n}</math>의 자기 동형 사상을 생각하자.
:<math>\phi\colon N^{\times n}\to N^{\times n}</math>
:<math>\phi\colon(g_1,g_2,\dots,g_n)\mapsto(g_n,g_1,\dots,g_{n-1})\qquad(g_i\in N)</math>
그렇다면
:<math>\phi(H)=N_2\times\cdots\times N_{k+1}\ne H</math>
이며, 이는 모순이다. 즉, <math>N^{\times n}</math>은 자명하지 않은 특성 부분군을 갖지 않는다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
유한 개의 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math> 크기의 군의 직접곱은 특성 단순군이다.

임의의 군의 [[극소 정규 부분군]]은 특성 단순군이다.

== 외부 링크 ==
* {{groupprops|제목=Characteristically simple group}}

[[분류:군론]]