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'''리 대수의 표현'''(Lie代數-表現, {{llang|en|representation of a Lie algebra}})은 주어진 [[리 대수]]를 [[벡터 공간]]의 [[선형 변환]]의 리 대수의 부분대수로 나타내는 [[준동형]]이다. [[군 표현론|군의 표현]]과 유사한 개념이다. 특히, 대응되는 [[리 군]]의 표현과 밀접한 관계를 지닌다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 '''표현''' <math>(M,\phi)</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>M</math>은 <math>R</math> 위의 [[가군]]이다.
* <math>\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M;R)</math>는 리 대수 준동형이다. 여기서 <math>\mathfrak{gl}(M;R)</math>는 <math>M</math>의 <math>R</math>-가군 [[자기 사상]]들로 구성된 [[단위 결합 대수]]의 [[리 대수]]이다.
이는 <math>\mathfrak g</math>의 [[보편 포락 대수]] <math>\mathcal U(\mathfrak g)</math> 위의 [[가군]]과 같은 개념이다.

위 정의를 풀어 쓰면, 다음과 같다. [[함수]] <math>\phi\colon\mathfrak g\times M\to M</math>는 다음 조건들을 모두 만족시켜야 한다.
* (쌍선형성) <math>\phi</math>는 쌍선형 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.
** (스칼라곱) 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>x\in\mathfrak g</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여 <math>\phi(rx,m)=\phi(x,rm)=r\phi(x,m)</math>
** (<math>\mathfrak g</math>에 대한 선형성) 임의의 <math>x,y\in\mathfrak g</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여 <math>\phi(x+y,m)=\phi(x,m)+\phi(y,m)</math>
** (<math>M</math>에 대한 선형성) 임의의 <math>x\in\mathfrak g</math> 및 <math>m,n\in M</math>에 대하여 <math>\phi(x,m+n)=\phi(x,m)+\phi(x,n)</math>
* ([[리 괄호]]의 보존) 임의의 <math>x,y\in\mathfrak g</math>에 대하여, <math>\phi([x,y],m)=\phi(x,\phi(y,m))-\phi(y,\phi(x,m))</math>

=== 무게 ===
{{본문|무게 (표현론)}}
표현 <math>\rho\colon\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}})는 [[카르탕 부분대수]]의 (표현에 따른 행렬로서의) 어느 한 공통적 [[고유벡터]]의 [[고윳값]]들의 모임이다. 즉, [[카르탕 부분대수]]를 <math>\mathfrak h\subset\mathfrak g</math>로 쓰면, 그  대수적 [[쌍대공간]]의 원소인 <math>\rho</math>의 무게 <math>\lambda\in\mathfrak h^*</math>는 적어도 하나의 0이 아닌 <math>v\in V</math>가 모든 <math>\xi\in\mathfrak h</math>에 대하여 <math>\rho(\xi)v=\lambda(\xi)v</math>를 만족한다.

딸림표현의 무게의 집합은 [[근계]]를 이룬다. 통상적으로 "리 대수의 근"이라는 것은 그 딸림표현의 근계의 원소를 일컫는다.

== 연산 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 두 표현 <math>(M,\phi)</math>, <math>(M',\phi')</math>이 주어졌다고 하자.
* 가군의 [[직합]] <math>M\oplus M'</math> 위에 자연스럽게 <math>\mathfrak g</math>-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 '''직합'''이라고 한다.
* 가군의 [[텐서곱]] <math>M\otimes_RM'</math> 위에도 자연스럽게 <math>\mathfrak g</math>-표현의 구조가 존재한다. 이를 두 표현의 '''텐서곱'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 자명한 표현 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math> 및 <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>이 주어졌을 때, [[상수 함수]]
:<math>\phi\colon\mathfrak g\times M\to M</math>
:<math>\phi\colon(x,m)\to0</math>
는 <math>\mathfrak g</math>의 표현을 이룬다. 이를 '''자명한 표현'''({{llang|en|trivial representation}})이라고 한다.

=== 딸림표현 ===
{{본문|딸림표현}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 리 대수 <math>\mathfrak g</math>가 주어졌을 때,
:<math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\operatorname{gl}(\mathfrak g;R)</math>
:<math>\operatorname{ad}\colon x\mapsto[x,-]</math>
로 정의하면, <math>\mathfrak g</math>는 스스로의 표현을 이룬다. 이를 리 대수의 '''[[딸림표현]]'''이라고 한다. 이는 리 군 <math>G</math>의, 스스로의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)</math> 위의 [[군의 표현]]인 [[딸림표현]]의 무한소 형태이다.

=== 아벨 리 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>을 [[아벨 리 대수]]로 생각하자. 임의의 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>f\colon M\to R</math>가 주어졌을 때,
:<math>\phi\colon M\times R\to R</math>
:<math>\phi\colon (m,r)\mapsto f(m)r</math>
로 정의하면 이는 <math>M</math>의 표현을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[리 대수]]
* [[근계]]

== 참고 문헌 ==
* J.Humphreys, ''Introduction to Lie algebras and representation theory'', Birkhäuser, 2000

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:표현론]]