{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''쌍선형 형식'''(雙線型形式, {{문화어|쌍1차형식}}<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=116908|제목=쌍1차형식|출판사=북한과학기술네트워크|확인날짜=2015-09-25|보존url=https://web.archive.org/web/20150925144109/http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=116908#|보존날짜=2015-09-25|url-status=dead}}</ref>, {{llang|en|bilinear form}})은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 [[선형 변환|선형]]인 스칼라 값 [[함수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 '''쌍선형 형식''' <math>B</math>는 다음과 같은 [[가군 준동형]]이다.<ref name="Rotman">{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}</ref>{{rp|235}}<ref name="Wilson">{{서적 인용|제목=The finite simple groups|이름=Robert|성=Wilson|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=251|issn=0072-5285|isbn=978-1-84800-987-5|날짜=2009|언어=en}}</ref>{{rp|54, (3.13)}}
:<math>B\colon V\otimes V\to K</math>
여기서 <math>\otimes</math>는 <math>K</math>-가군의 [[텐서곱]]이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>B\colon V\times V\to K</math>이다.
* (왼쪽 선형성) 임의의 <math>a,b\in K</math>, <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)</math>
* (오른쪽 선형성) 임의의 <math>a,b\in K</math>, <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)</math>

[[가환환]] <math>K</math>가 다음과 같은 2차 [[자기 동형]]을 가진다고 하자.
:<math>\bar{\quad}\colon K\to K</math>
:<math>\bar{\quad}\circ\bar{\quad}=\operatorname{id}_K</math>
<math>\bar{}</math>에 대한 '''반쌍선형 형식'''(半雙線型形式, {{llang|en|sesquilinear form}}) <math>B</math>는 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>B\colon V\times V\to K</math>이다.
* (왼쪽 반선형성) 임의의 <math>a,b\in K</math>, <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>B(au+bv,w)=\bar aB(u,w)+\bar bB(v,w)</math>
* (오른쪽 선형성) 임의의 <math>a,b\in K</math>, <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)</math>
일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, [[힐베르트 공간]] 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 [[자기 동형]] <math>\bar{\quad}</math>가 [[항등 함수]]라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

=== 대칭 형식 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 쌍선형 형식 <math>B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''대칭 쌍선형 형식'''(對稱雙線型形式, {{llang|en|symmetric bilinear form}})이라고 한다.<ref name="Rotman"/>{{rp|235}}<ref name="Wilson"/>{{rp|54, (3.13)}}
:<math>B(u,v)=B(v,u)\qquad\forall u,v\in V</math>
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 쌍선형 형식 <math>B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''반대칭 쌍선형 형식'''(反對稱雙線型形式, {{llang|en|antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|54, (3.13)}}
:<math>B(u,v)=-B(v,u)\qquad\forall u,v\in V</math>
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 쌍선형 형식 <math>B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''교대 쌍선형 형식'''(交代雙線型形式, {{llang|en|alternating bilinear form}})이라고 한다.<ref name="Rotman"/>{{rp|235}}<ref name="Wilson"/>{{rp|54, (3.13)}}
:<math>B(v,v)=0\qquad\forall v\in V</math>

<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
* <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 [[상수 함수]]이다.
* <math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2인 [[체 (수학)|체]]인 경우: 교대 형식 <math>\subsetneq</math> 반대칭 형식 = 대칭 형식

[[자기 동형]] <math>\bar{\quad}</math>를 갖는 [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[가군]] <math>V</math> 위의 반쌍선형 형식 <math>B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''에르미트 반쌍선형 형식'''(Hermite半雙線型形式, {{llang|en|Hermitian sesquilinear form}})이라고 한다.
:<math>B(u,v)=\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V</math>
이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 <math>B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''반에르미트 반쌍선형 형식'''(反Hermite半雙線型形式, {{llang|en|anti-Hermitian sesquilinear form}})이라고 한다.
:<math>B(u,v)=-\overline{B(v,u)}\qquad\forall u,v\in V</math>
만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. '''교대 반쌍선형 형식'''(交代半雙線型形式, {{llang|en|alternating sesquilinear form}})의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

=== 비퇴화 형식 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 쌍선형 형식 <math>B</math>의 '''왼쪽 근기'''({{llang|en|left radical}})와 '''오른쪽 근기'''({{llang|en|right radical}})는 각각 다음과 같다.
:<math>\operatorname{rad_L}B=\ker(v\mapsto B(v,-))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(v,u)=0\}</math>
:<math>\operatorname{rad_R}B=\ker(v\mapsto B(-,v))=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}</math>
대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 <math>B</math>의 '''근기'''({{llang|en|radical}}) <math>\operatorname{rad}B</math>라고 한다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 <math>B</math>의 근기가 <math>\{0\}</math>이라면, <math>B</math>를 '''비퇴화 쌍선형 형식'''(非退化雙線型形式, {{llang|en|nondegenerate bilinear form}})이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\forall v\colon\left(\forall w\colon B(v,w)=0\right)\implies v=0</math>
이 경우, <math>B</math>를 통해 벡터 공간의 표준적인 [[동형]]
:<math>i\colon V\to V^*</math>
:<math>v\mapsto B(v,-)</math>
이 주어진다. (만약 <math>B</math>가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, <math>B</math>가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 &minus;1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 <math>V</math>는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

=== 쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 쌍선형 형식 <math>B</math>에 '''대응하는 이차 형식'''({{llang|en|associated quadratic form}}) <math>Q_B</math>은 다음과 같은 [[이차 형식]]이다.
:<math>Q_B\colon V\to K</math>
:<math>Q_B\colon v\mapsto B(v,v)</math>

쌍선형 형식과 [[이차 형식]]의 관계는 <math>K</math>의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

==== 홀수 표수 ====
<math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, <math>B</math>를 대칭 성분과 반대칭 성분
:<math>B^+(u,v)=\frac12\left(B(u,v)+B(v,u)\right)</math>
:<math>B^-(u,v)=\frac12\left(B(u,v)-B(v,u)\right)</math>
으로 분해할 수 있으며, <math>B</math>에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 <math>B^+</math>에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 <math>Q</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.
:<math>B(u,v)=\frac12\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)</math>
그렇다면 <math>Q</math>는 <math>B</math>에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

==== 짝수 표수 ====
<math>K</math>의 표수가 2인 경우, <math>1/2</math>를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 <math>V</math>가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 [[일대일 대응]]하지만, <math>V</math>가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

== 예 ==
=== 이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식 ===
2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 [[이차 형식]]을 생각하자.
:<math>Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2</math>
표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.
:<math>B(x,y;x',y')=axx'+\frac12b(x'y+xy')+cyy'=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}</math>
만약 표수가 2인 경우, <math>b/2</math>를 정의할 수 없다. 만약 <math>b\ne0</math>이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

=== 짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식 ===
표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.
:<math>B(x,y;x',y')=xx'</math>
이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,
:<math>B(1,0;1,0)=1</math>
이므로 교대 형식이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | first=John | last=Milnor | authorlink=존 밀너 | first2=Dale | last2=Husemoller | title=Symmetric bilinear forms | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete | volume=73 | publisher=Springer | year=1973 | zbl=0292.10016 | doi =  10.1007/978-3-642-88330-9 | isbn= 978-3-642-88332-3 |언어=en}}
* {{서적 인용|제목=The algebraic and geometric theory of quadratic forms|날짜=2008|이름1=Richard|성1=Elman|이름2=Nikita|성2=Karpenko|이름3=Alexander|성3=Merkurjev|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=COLL-56|출판사=American Mathematical Society|총서=Colloquium Publications|권=56|isbn=978-0-8218-4329-1|언어=en}}
* {{서적 인용 |제목=線型代數學槪論 |url=http://www.cmgbook.com/category/sub_detail.html?no=974 |저자=鄭弼雄 |저자2=韓成鎬 |날짜=2004-09-03 |isbn=978-89-7088216-1 |출판사=淸文閣 |언어=ko |확인날짜=2015-09-26 |보존url=https://web.archive.org/web/20150926134748/http://www.cmgbook.com/category/sub_detail.html?no=974 |보존날짜=2015-09-26 |url-status=dead }}

== 같이 보기 ==
* [[이차 형식]]
* [[내적 공간]]
* [[직교군]]
* [[유니터리 군]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bilinear form}}
* {{eom|title=Sesquilinear form}}
* {{매스월드|id=BilinearForm|title=Bilinear form}}
* {{매스월드|id=SymmetricBilinearForm|title=Symmetric bilinear form}}
* {{nlab|id=bilinear form|title=Bilinear form}}
* {{nlab|id=quadratic refinement|title=Quadratic refinement}}
* {{nlab|id=characteristic element of a bilinear form|title=Characteristic element of a bilinear form}}
* {{수학노트|title=겹선형 형식(bilinear form)}}
* {{수학노트|title=교대 겹선형 형식}}
* {{수학노트|title=대칭 겹선형 형식과 이차형식}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]