{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Koide geometrical.png|섬네일|고이데 공식을 기하적으로 나타낸 모습.]]
'''고이데 공식'''({{lang|en|Koide formula}}), '''고이데의 질량공식'''({{llang|ja|小出の質量公式}})은 1981년 [[고이데 요시오]]가 발견한 경험적 공식으로, 1981년 발표된 기존 형태에서는 세 하전 [[경입자]] 간의 질량을 다루었으며, 이후에는 [[중성미자]]나 [[쿼크]] 등 다른 [[입자 목록|입자]]까지 확장되었다.<ref>Zenczykowski, P., ''Elementary Particles And Emergent Phase Space'' (Singapore: World Scientific, 2014), [https://books.google.com/books?id=TkG7CgAAQBAJ&pg=PA64 pp. 64–66].</ref>{{rp|64–66}}

== 공식 ==
고이데 공식의 형태는 다음과 같다.

:<math>Q = \frac{\; m_e + m_\mu + m_\tau \;}{\left(\,\sqrt{m_e\,} + \sqrt{m_\mu\,} + \sqrt{m_\tau\,} \,\right)^2} = 0.666661(7) \approx \frac{\,2\,}{3}~,</math>

여기서 [[전자]], [[뮤 입자]], [[타우 입자]]의 질량은 각각 {{mvar|m}}{{sub|e}}&nbsp;=&nbsp;{{val|0.510998946|(3)|ul=MeV/c2}}, {{mvar|m}}{{sub|''μ''}}&nbsp;=&nbsp;{{val|105.6583745|(24)|u=MeV/c2}}, {{mvar|m}}{{sub|''τ''}}&nbsp;=&nbsp;{{val|1776.86|(12)|u=MeV/c2}}이며, 괄호 속의 숫자는 측정 불확실성이다.<ref name="AmslerDoser2008">
{{저널 인용
 |last1=Amsler |first1=C.
 |collaboration=Particle Data Group
 |year=2008
 |title=Review of Particle Physics
 |journal=Physics Letters B
 |volume=667 |issue=1–5 |pages=1–6
 |doi=10.1016/j.physletb.2008.07.018 |pmid=10020536
 |bibcode=2008PhLB..667....1A
 |url=https://cds.cern.ch/record/1481544/files/PhysRevD.86.010001.pdf
|hdl=1854/LU-685594
 |s2cid=227119789
 |hdl-access=free
 }}
</ref> 이 값을 대입하면 {{mvar|Q}}&nbsp;=&nbsp;{{val|0.666661|(7)}}이 된다.<ref>Since the uncertainties in {{mvar|m}}{{math|{{sub|e}}}} and {{mvar|m}}{{math|{{sub|μ}}}} are much smaller than that in {{mvar|m}}{{math|{{sub|τ}}}}, the uncertainty in {{mvar|Q}} was calculated as <math>\Delta Q = \frac{\,\partial\,Q\,}{\,\partial \,m_\tau\,}\,\Delta m_\tau ~.~ </math></ref>

여기서 전자, 뮤 입자, 타우 입자의 자리에 어떤 질량을 집어넣어도 {{nowrap| {{sfrac|1|3}} ≤ {{mvar|Q}} < 1 }}이 되는데, 상한값은 분모가 제곱근 형태이기 때문에 수학적으로 성립하며, 하한값은 [[코시-슈바르츠 부등식]]을 따른다. 실험적으로 측정한 값인 {{sfrac|2|3}}은 범위 정중앙에 위치한다.

여기서 제기되는 의문은 값 자체에 있는데, 전혀 관련이 없어 보이는 세 숫자를 합치면 간단한 분수가 나오고, 거기에 전자, 뮤 입자, 타우 입자를 사용하면 {{mvar|Q}}의 값이 양 극단 (세 질량이 같을 경우 {{sfrac|1|3}}, 하나의 질량이 매우 클 경우 1) 사이에 정확히 위치한다는 것이다.

로버트 풋은 고이데 공식을 <math>\frac{1}{\,3\,Q\,}</math>의 값이 <math>\left[\,\sqrt{m_e\,}, \sqrt{m_\mu\,}, \sqrt{m_\tau\,}\,\right]</math> 벡터와 <math>[1, 1, 1]</math> 벡터 사이의 코사인 제곱 사이의 각도([[스칼라곱]])를 나타내는 것으로 보았는데,<ref name=":0">
{{ArXiv 인용
 |last=Foot |first=R.
 |date=1994-02-07
 |title=A note on Koide's lepton mass relation
 |eprint=hep-ph/9402242
}}
</ref> 이 경우 각도는 정확히 45도가 된다(<math>\theta = (45.000 \pm 0.001)^\circ~.</math>).<ref name=":0"/>

만약 공식에서 {{mvar|Q}}의 값이 정확히 {{sfrac|2|3}}라고 한다면, 전자와 뮤 입자의 질량에서 타우 입자의 질량을 예측하는 데 사용할 수 있으며, 이 경우 타우 입자의 질량 {{mvar|m}}{{sub|τ}}&nbsp;=&nbsp;{{val|1776.969|u=MeV/c2}}이 된다.<ref name=":1">
{{웹 인용
 |last=Brannen |first=Carl A.
 |date=May 2, 2006
 |title=The lepton masses
 |website=Brannen's personal website
 |url=http://brannenworks.com/MASSWS2.pdf
 |url-status=live |access-date=18 Oct 2020
}}
</ref>

고이데 공식은 [[앞선입자]] 모형을 기반으로 만들어졌으나, 이를 유도하는 방법 또한 발견되었다. 하지만, 고이데 공식의 원리는 아직 밝혀지지 않은 상태이다. 쿼크의 질량에서도 비슷한 관계가 발견되었으며,<ref name=Rodejohann>
{{저널 인용
 |first1=W. |last1=Rodejohann
 |first2=H. |last2=Zhang
 |year=2011
 |title=Extension of an empirical charged lepton mass relation to the neutrino sector
 |journal=Physics Letters B
 |volume=698 |issue=2 |pages=152–156
 |arxiv=1101.5525 |bibcode=2011PhLB..698..152R
 |doi=10.1016/j.physletb.2011.03.007 |s2cid=59445811
}}
</ref><ref>
{{저널 인용
 |last=Rosen |first=G.
 |year=2007
 |title=Heuristic development of a Dirac-Goldhaber model for lepton and quark structure
 |journal=Modern Physics Letters A
 |volume=22 |issue=4 |pages=283–288
 |bibcode=2007MPLA...22..283R |doi=10.1142/S0217732307022621
 |url=https://www.researchgate.net/publication/228650747
}}
</ref><ref>
{{ArXiv 인용
 |last=Kartavtsev |first=A.
 |year=2011
 |title=A remark on the Koide relation for quarks
 |eprint=1111.0480 |class=hep-ph
}}
</ref> 이를 적용하면 [[꼭대기 쿼크]]의 질량을 173.263947(6)&nbsp;GeV로 유도할 수 있다.<ref>
{{ArXiv 인용
 |last1=Rivero |first1=A.
 |year=2011
 |title=A new Koide tuple: Strange-charm-bottom
 |eprint=1111.7232 |class=hep-ph
}}
</ref>

== 추측적 확장 ==
칼 브란넨은 경입자의 질량이 다음 관계에 따라 [[순환 행렬]]의 고윳값의 제곱으로 주어진다고 주장하였다.<ref name=":1"/>

: <math>\sqrt{\,m_n\;} = \mu \left[\,1 + 2 \eta \cos\left( \delta + \frac{\,2\pi\,}{3}\cdot n \right) \,\right]</math> (단 {{mvar|n}} = 0, 1, 2, ...)

여기에 {{mvar|η}}{{sup|2}} = 0.500003(23), 위상값 {{mvar|δ}} = 0.2222220(19)({{sfrac|2|9}}와 유사)를 대입하면 실험 결과와 일치하나, ''η''{{sup|2}} = {{sfrac|1|2}}과 {{mvar|δ}} = {{sfrac|2|9}}라는 값 자체가 실험 결과와 일치하지 않는 문제가 있다.<ref name=":1"/>

쿼크에서도 비슷한 관계가 제안되었는데, 여기서 위상값은 {{sfrac|2|27}} = {{sfrac|2|9}} × {{sfrac|1|3}}과 {{sfrac|4|27}} = {{sfrac|2|9}} × {{sfrac|2|3}}으로, 입자 간 전하량의 차이를 내포하고 있다{{big|(}}쿼크에서 {{sfrac|1|3}}과 {{sfrac|2|3}}, 경입자에서 {{sfrac|3|3}} = 1, {{nobr|  {{sfrac|1|3}} × {{sfrac|2|3}} × {{sfrac|3|3}} ≈ {{mvar|δ}} {{big|)}}.}}<ref>
{{저널 인용
 |last=Zenczykowski |first=Piotr
 |date=2012-12-26
 |title=Remark on Koide's Z3-symmetric parametrization of quark masses
 |url=http://arxiv.org/abs/1210.4125
 |journal=Physical Review D
 |volume=86 |issue=11 |page=117303
 |doi=10.1103/PhysRevD.86.117303 |arxiv=1210.4125
 |bibcode=2012PhRvD..86k7303Z |s2cid=119189170 |issn=1550-7998
}}
</ref>

== 쿼크의 질량 ==
고이데 공식과 유사한 형태로 쿼크의 질량 사이의 관계를 설명하는 공식이 있는데, 특히 쿼크의 질량은 에너지 크기를 사용하기 때문에, 분석이 더욱 어렵다.<ref>Quadt, A., ''Top Quark Physics at Hadron Colliders'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2006), [https://books.google.com/books?id=UpKMo682Yq0C&pg=PA147 p. 147].</ref>

쿼크 중 가장 무거운 [[맵시 쿼크|맵시]]{{nobr|(1.275 ± 0.03 GeV)}}, [[바닥 쿼크|바닥]]{{nobr|(4.180 ± 0.04 GeV)}}, [[꼭대기 쿼크|꼭대기]]{{nobr|(173.0 ± 0.40 GeV)}}는, 측정치의 불확실성을 고려하지 않을 경우, 다음 식으로 정립할 수 있다.<ref name=Cao/>

: <math>Q_\text{heavy} = \frac{m_c + m_b + m_t}{\big(\sqrt{m_c} + \sqrt{m_b} + \sqrt{m_t}\big)^2} \approx 0.669 \approx \frac{2}{3}.</math>

2011년 발표한 논문 중에서 이 관계를 찾은 경우가 있었지만,<ref>
{{cite arXiv<!-- Do not convert to cite journal -->
 |last1=Rodejohann |first1=W.
 |last2=Zhang |first2=H.
 |year=2011
 |title=Extension of an empirical charged lepton mass relation to the neutrino sector
 |arxiv=1101.5525
 |class=hep-ph
}}</ref> 출판 시 식이 빠졌기 때문에,<ref name=Rodejohann/> 최초로 이 식이 출판된 것은 2012년이었다.<ref name=Cao>
{{저널 인용
 |last1=Cao |first1=F. G.
 |year=2012
 |title=Neutrino masses from lepton and quark mass relations and neutrino oscillations
 |journal=Physical Review D
 |volume=85 |issue=11 |page=113003
 |arxiv=1205.4068
 |bibcode=2012PhRvD..85k3003C
|doi=10.1103/PhysRevD.85.113003
|s2cid=118565032
 }}</ref>

비슷하게 가벼운 쿼크, [[위 쿼크|위]]{{nobr|(2.2 ± 0.4 MeV)}}, [[아래 쿼크|아래]]{{nobr|(4.7 ± 0.3 MeV)}}, [[기묘 쿼크|기묘]]{{nobr|(95.0 ± 4.0 MeV)}}도 불확실성을 고려하지 않을 경우, 다음 식으로 나타난다.<ref name=Cao/>

: <math>Q_\text{light} = \frac{m_u + m_d + m_s}{\big(\sqrt{m_u} + \sqrt{m_d} + \sqrt{m_s}\big)^2} \approx 0.56 \approx \frac{5}{9},</math>

1978년 위, 아래, 기묘 쿼크의 질량을 계산한 연구에서는, 위 쿼크의 질량을 0으로 가정한 것을 제외하고, 우연히 고이데 공식과 유사한 형태로 결과를 산출하였는데,<ref name=Harari>{{저널 인용|title=Quark masses and cabibbo angles]|url=http://cds.cern.ch/record/870700/files/c78-08-23-p611.pdf|journal=Physics Letters B|volume=78 |issue=4 |year=1978 |doi=10.1016/0370-2693(78)90485-9|last1=Harari|first1=Haim|last2=Haut|first2=Hervé|last3=Weyers|first3=Jacques|pages=459–461|bibcode=1978PhLB...78..459H}}</ref> 현대에 사용하는 형식으로 변환한 값은 다음과 같다.

: <math>Q_\text{light} = \frac{0 + m_d + m_s}{\big(\sqrt{0} + \sqrt{m_d} + \sqrt{m_s}\big)^2} \approx 0.70</math>

== 입자 질량의 증가 ==
[[양자장론]]에 따르면, [[결합 상수]]나 [[질량]]은 에너지 규모에 따라 증가하기 때문에,<ref>Álvarez-Gaumé, L., & Vázquez-Mozo, M. A., ''An Invitation to Quantum Field Theory'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2012), [https://books.google.com/books?id=0oNj1AdbFq8C&pg=PA151 pp. 151–152].</ref>{{rp|151–152}} 각 변수의 값은 [[재규격화군|재규격화]]에 따라 관측한 에너지 규모에 따라 변화한다.<ref>Green, D., ''Cosmology with MATLAB'' (Singapore: World Scientific, 2016), [https://books.google.com/books?id=7mhIDQAAQBAJ&pg=PA197 p. 197].</ref> 에너지가 높아 [[대칭 (물리학)|대칭]]이 파괴되지 않았을 경우에 각 값 사이의 관계는 간단하지만, 에너지가 낮아질수록 재규격화가 복잡해져 관계 또한 복잡해진다. 고이데 공식은 에너지가 낮은 경우인 극 질량에서 정확히 성립하기 때문에, 과학자 다수는 이 관계를 [[수비학]]의 일종으로 본다.<ref>
{{웹 인용
 |last=Motl |first=L.
 |date=16 January 2012
 |title=Could the Koide formula be real?
 |url=http://motls.blogspot.com/2012/01/could-koide-formula-be-real.html
 |work=The Reference Frame
 |accessdate=2014-07-10
}}</ref>

일본의 물리학자 스미노 유키나리는 [[유효 이론]]을 통해, 새로 발생한 [[게이지 이론|게이지 대칭]]이 고이데 공식을 정확히 충족하게 된다는 새 기작을 주장했다.<ref>
{{저널 인용
 |last=Sumino |first=Y.
 |year=2009
 |title=Family Gauge Symmetry as an Origin of Koide's Mass Formula and Charged Lepton Spectrum
 |journal=Journal of High Energy Physics
 |volume=2009 |issue=5 |pages=75
 |arxiv=0812.2103
 |bibcode=2009JHEP...05..075S
 |doi=10.1088/1126-6708/2009/05/075
|s2cid=14238049
 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[쿼크 섞임]]
* [[클리퍼드 대수]]
* [[세대 (물리학)]]
* [[힉스 메커니즘]]
* [[렙톤 섞임]]
* [[테크니컬러 (물리학)]]

== 각주 ==
{{각주|25em}}

; 참고 자료
* {{저널 인용
 |last=Koide |first=Y.
 |year=1983
 |title=New view of quark and lepton mass hierarchy
 |journal=Physical Review D
 |volume=28 |issue=1 |pages=252–254
 |bibcode = 1983PhRvD..28..252K
 |doi=10.1103/PhysRevD.28.252
}}
:* {{저널 인용
 |last1=Koide |first1=Y.
 |year=1984
 |title=Erratum: New view of quark and lepton mass hierarchy
 |journal=Physical Review D
 |volume=29 |issue=7 |pages=1544
 |bibcode = 1984PhRvD..29Q1544K
 |doi=10.1103/PhysRevD.29.1544
|doi-access=free
 }}
* {{저널 인용
 |last=Koide |first=Y.
 |year=1983
 |title=A fermion-boson composite model of quarks and leptons
 |journal=Physics Letters B
 |volume=120 |issue=1–3 |pages=161–165
 |bibcode = 1983PhLB..120..161K
 |doi=10.1016/0370-2693(83)90644-5
}}
* {{서적 인용
 |last1=Oneda |first1=S.
 |last2=Koide |first2=Y.
 |title=Asymptotic symmetry and its implication in elementary particle physics
 |year=1991
 |publisher=World Scientific
 |url=https://books.google.com/books?isbn=9810204981
 |isbn=978-981-02-0498-3
}}
* {{ArXiv 인용
 |last=Foot |first=R.
 |year=1994
 |title=A note on Koide's lepton mass relation
 |eprint=hep-ph/9402242
}}
* {{저널 인용
 |last=Koide
 |first=Y.
 |year=2000
 |title=Quark and Lepton Mass Matrices with a Cyclic Permutation Invariant Form
 |url=https://core.ac.uk/download/pdf/25285108.pdf
 |journal=Physics
 |arxiv=hep-ph/0005137
 |bibcode=2000hep.ph....5137K
 |access-date=2023-04-26
 |archive-date=2022-10-23
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221023043219/https://core.ac.uk/download/pdf/25285108.pdf
 |url-status=
 }}
* {{ArXiv 인용
 |last1=Rivero |first1=A.
 |last2=Gsponer |first2=A.
 |year=2005
 |title=The strange formula of Dr. Koide
 |eprint=hep-ph/0505220
}}
* {{ArXiv 인용
 |last=Koide |first=Y.
 |year=2005
 |title=Challenge to the mystery of the charged lepton mass
 |eprint=hep-ph/0506247
}}
* {{저널 인용
 |last1=Li |first1=N.
 |last2=Ma |first2=B.-Q.
 |year=2006
 |title=Energy scale independence for quark and lepton masses
 |arxiv=hep-ph/0601031
 |doi=10.1103/PhysRevD.73.013009
 |volume=73
 |issue=1
 |pages=013009
 |journal=Physical Review D
|bibcode=2006PhRvD..73a3009L|s2cid=2624370
 }}
* {{저널 인용
 |last=Brannen |first=C.
 |year=2010
 |title=Spin Path Integrals and Generations
 |url=http://www.brannenworks.com/Gravity/spinpath.pdf
 |journal=Foundations of Physics
 |volume=40 |issue= 11|pages=1681–1699
 |arxiv=1006.3114
 |bibcode=2010FoPh...40.1681B
 |doi=10.1007/s10701-010-9465-8
|citeseerx=10.1.1.749.3756
 |s2cid=11007648
 }}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve++%280.510998910+%2B+105.658369+%2B+m+%29%2F%28+sqrt+0.510998910+%2B+sqrt+105.658369+%2B+sqrt+m+%29^2+%3D++2%2F3 Wolfram Alpha] (타우 입자의 질량에 대한 해)

[[분류:렙톤]]
[[분류:물리학의 미해결 문제]]
[[분류:경험적 법칙]]