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[[위상수학]]에서 '''사상류군'''(寫像類群, {{llang|en|mapping class group}})은 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[자기 동형|자기]] [[위상 동형]]들의  [[호모토피류]]들로 구성된 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[위상 동형 사상]] <math>X\to X</math>들의 집합은 [[함수의 합성]]에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이루며, 이 위에 [[콤팩트-열린집합 위상]]을 부여하면 이는 [[위상군]] <math>\operatorname{Homeo}(X)</math>을 이룬다. 항등원을 포함하는 [[연결 성분]]은 그 [[정규 부분군]] <math>\operatorname{Homeo}_0(X)</math>를 이룬다. 이에 따라, [[짧은 완전열]]
:<math>1\to \operatorname{Homeo}_0(X)\to \operatorname{Homeo}(X)\to \operatorname{MCG}(X)\to 1</math>
이 존재한다. 이 [[몫군]]
:<math> \operatorname{MCG}(X)=\frac{\operatorname{Homeo}(X)}{\operatorname{Homeo}_0(X)}</math>
을 <math>M</math>의 '''사상류군'''이라고 하며, 그 원소를 '''사상류'''라고 한다.

=== 방향 보존 사상류군 ===
만약 <math>X</math>가 [[가향 다양체]]라고 할 때, [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하는 [[위상 동형 사상]]들의 부분군
:<math>\operatorname{Homeo}^+(X)\subseteq\operatorname{Homeo}(X)</math>
이 존재한다. 이에 따라, 마찬가지로 사상류군의 부분군
:<math>\frac{\operatorname{Homeo}^+(X)}{\operatorname{Homeo}_0(X)}=\operatorname{MCG}^+(X)\subseteq\operatorname{MCG}(X)</math>
을 정의할 수 있으며, 이를 '''방향 보존 사상류군'''({{llang|en|orientation-preserving mapping class group}})이라고 한다.

=== 토렐리 군 ===
[[특이 호몰로지]]의 [[함자 (수학)|함자성]]에 따라, 사상류 <math>[f]\in\operatorname{MCG}(X)</math>는 호몰로지 군 위에 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>[f]\colon\operatorname H_\bullet(X)\to\operatorname H_\bullet(X)</math>
이 작용이 자명한 사상류, 즉 모든 [[호몰로지류]]를 보존하는 사상류들로 구성된 부분군을 '''토렐리 군'''({{llang|en|Torelli group}}) <math>\operatorname{Tor}(X)\subseteq \operatorname{MCG}(X)</math>이라고 한다.

== 성질 ==
'''닐센-서스턴 분류'''에 따르면, 임의의 콤팩트 [[연결 공간|연결]] [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>의 방향 사상류 <math>g\in\operatorname{MCG}^+(\Sigma)</math>에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.
* 유한 차수이다. 즉, <math>g^n=1</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.
* <math>g</math>의 작용에 의하여 보존되는 [[서로소 집합|서로소]] 폐곡선들이 존재한다.
* 유사 아노소프 사상({{llang|en|pseudo-Anosov map}})이다.

'''덴-닐센-베르 정리'''({{llang|en|Dehn–Nielsen–Baer theorem}})에 따르면, 임의의 콤팩트 [[연결 공간|연결]] [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다.
:<math>\operatorname{MCG}(\Sigma)\cong\operatorname{Out}(\pi_1(\Sigma))</math>
여기서 <math>\pi_1(-)</math>은 [[기본군]]이며, <math>\operatorname{Out}(-)</math>은 어떤 군의 [[외부자기동형군]]이다.

== 예 ==
=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]] <math>X</math> 위의 자기 위상 동형은 [[순열]] <math>X\to X</math>과 같으며, 그 위의 [[콤팩트-열린집합 위상]] 역시 [[이산 공간]]이다. 즉, <math>X</math>의 사상류군은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]과 같다.
:<math>\operatorname{MCG}(X)=\operatorname{MCG}^+(X)=\operatorname{Sym}(X)</math>
이 경우, (0차) [[특이 호몰로지]]는
:<math>\operatorname H_0(X)=\mathbb Z^{\oplus|X|}</math>
이며, 이에 따라 토렐리 군은 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname{Tor}(X)=1</math>

=== 구 ===
[[구 (기하학)|구]] <math>\mathbb S^2</math>의 경우,
:<math>\operatorname{MCG}(\mathbb S^2)=\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname{MCG}^+(\mathbb S^2)=1</math>
이다. 특히, 토렐리 군은 자명군이다.

== 역사 ==
닐센-서스턴 정리는 야코브 닐센({{llang|da|Jakob Nielsen}})과 [[윌리엄 서스턴]]이 증명하였다. 덴-닐센-베르 정리는 [[막스 덴]]과 야코브 닐센과 라인홀트 베르({{llang|de|Reinhold Baer}})가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[꼬임군 (위상수학)]]
* [[호모토피 군]]
== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/161768/are-the-mapping-class-groups-of-manifolds-finitely-presentable|제목=Are the mapping class groups of manifolds finitely presentable?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상수학]]