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[[수리물리학]]에서, '''대수적 양자장론'''({{llang|en|Algebraic quantum field theory}})은 [[함수해석학]]의 [[C* 대수|C*-대수]]를 '''국소적 양자 물리학'''에 응용한 이론이다. 헤이그와 카스틀러가 도입했기 때문에 [[양자장론]]에 대한 '''헤이그-카스틀러 공리계'''(Haag–Kastler axiomatic framework)라고도 한다. 이 공리계는 [[민코프스키 공간]]의 모든 열린 집합에 대해 주어진 대수와 그 사이의 사상으로 명시된다. 양자장론의 공리화라는 수리물리학의 주요 주제에 속한다.

== 함수해석학과 양자장론의 관련성 ==
[[함수해석학]]에서는 [[벡터 공간|선형 공간]] 구조와 [[위상 공간 (수학)|위상 수학]] 구조를 함께 갖춘 함수 공간과 그곳에서 작용소([[사상 (수학)|사상]])를 연구한다. 이 때 작용소들은 특정한 대수적 구조를 가지고 있다. [[C* 대수|C*-대수]]는 그러한 대수 구조들 중 하나이고 폰 노이만 대수는 [[C* 대수|C*-대수]]의 일종이다.

한편, 양자장론의 수학적 구조는 힐베르트 공간이라는 함수 공간과 그곳에서 작용소들이다. 대수적 양자장론은 이에 착안하여, 힐베르트 공간의 작용소들이 이루는 대수인 [[폰 노이만 대수]]를 이용해 양자장론을 엄밀히 정의하려고 한다.

== 헤이그-카스틀러 공리 ==
<math>\mathcal{O}</math>를 민코프스키 공간의 모든 열린 부분집합과 제한된 부분집합의 집합이라 하자. 대수적 양자장론은 공통적 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal{H}</math>에서 [[폰 노이만 대수]] <math>\mathcal{A}(O)</math>의 그물 <math>\{\mathcal{A}(O)\}_{O\in\mathcal{O}}</math>을 통해 정의된다. 공리계는 다음과 같다:<ref>{{서적 인용|제목=Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory|성=Baumgärtel|이름=Hellmut|연도=1995|출판사=Akademie Verlag|위치=Berlin|isbn=3-05-501655-6}}</ref>

* ''아이소토니'': <math>O_1 \subset O_2</math>이면 <math>\mathcal{A}(O_1) \subset \mathcal{A}(O_2)</math>.
* ''인과관계'': 만일 <math>O_1</math>와 <math>O_2</math>가 장소꼴로 분리되어 있으면, <math>[\mathcal{A}(O_1),\mathcal{A}(O_2)]=0</math>.
* ''푸앵카레 공변성'': 다음과 같은 <math>\mathcal{H}</math> 위의 푸앵카레 군 <math>\mathcal{P}</math>의 강하게 연속적인 유니터리 표현 <math>U(\mathcal{P})</math>이 존재한다: <math>\mathcal{A}(gO) = U(g) \mathcal{A}(O) U(g)^*,\,\,g \in \mathcal{P}.</math>
* ''스펙트럼 조건'' : 에너지 운동량 연산자 <math>P</math>의 조인트 스펙트럼 <math>\mathrm{Sp}(P)</math> (즉, 시공간 변환의 생성원)는 닫힌 전방 광원뿔에 포함되어 있다.
* ''진공 벡터의 존재'' : 순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터 <math>\Omega\in\mathcal{H}</math>가 존재한다.

그물 대수학 <math>\mathcal{A}(O)</math>들은 국소 대수라고 부른다''.'' C*-대수 <math>\mathcal{A} := \overline{\bigcup_{O\in\mathcal{O}}\mathcal{A}(O)}</math>는 준 ''국소대수''라고 불린다.

== 범주론적 공식화 ==
범주 '''''<math>\bf{Mink} </math>'''''를 범주의 [[사상 (수학)|사상]]은 [[포함 사상|포함 함수]]이고 대상은 민코프스키 공간 ''<math>M</math>''의 [[열린집합|열린]] 부분 집합들인 [[범주론|범주]]라 하자. '''''<math>\bf{Mink} </math>'''''의 모든 사상이 C*-대수 범주 '''''<math>\bf{uC^*alg} </math>'''''의 [[단사 사상]]에 사상되는  [[함자 (수학)|공변 함자]] '''''<math>\mathcal{A}:\bf{Mink}\to \bf{uC^*alg} </math>'''''가 주어진다.('''아이소토니''')

[[푸앵카레 군]]은 '''''<math>\bf{Mink} </math>'''''에 대해 [[연속 함수|연속적으로]] [[군의 작용|작용]]한다. 이 [[군의 작용|작용]]의 [[당김]]이 존재하며 이는 <math>\mathcal{A}(M)</math>의 [[작용소 노름|표준 위상]]에서 연속이다.([[푸앵카레 군|푸앵카레 공변]]).

민코프스키 공간은 [[인과 구조]]를 가지고 있다. [[열린집합]] ''<math>V</math>가'' 열린집합 ''<math>U</math>''의 [[Causal complement|인과적 여집합]]에 있는 경우 사상의 [[상 (수학)|상]]은

: <math>\mathcal{A}(i_{U,U\cup V})</math>

이고

: <math>\mathcal{A}(i_{V,U\cup V})</math>

는 [[교환법칙|교환]]한다(장소꼴 교환성). 만약 <math>\bar{U}</math>가 열린집합 ''<math>U</math>'' 의 [[Causal completion|인과적 완비화]]이면 <math>\mathcal{A}(i_{U,\bar{U}})</math>는 [[동형 사상]] (원시적 인과관계)이다.

C*-대수와 관련된 [[상태 (함수해석학)|상태]]는 단위 [[노름]]을 갖는 양의 선형 범함수이다. <math>\mathcal{A}(M)</math> 위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 [[그물 (수학)|그물]] [[단사 사상]]을 통해 각 열린 집합 ''<math>U</math>''에 대해 <math>\mathcal{A}(U)</math>과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 [[층 (수학)|준층]] 구조를 형성한다.

[[GNS 구축|겔판트-나이마크-세겔 구성]]에 따르면 각 상태에 대해 <math>\mathcal{A}(M)</math>의 [[힐베르트 공간]] [[군의 표현|표현]]을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 [[기약표현]]에 해당하고 혼합 상태는 [[기약표현|가약 표현]]에 해당한다. 각각의 기약 표현([[동치관계|동치 관계]] 기준)을 [[초선택 규칙|초선택 규칙 섹터]]라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 [[진공]]이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, [[푸앵카레 군|푸앵카레]] 대수를 보면 [[사차원 운동량|에너지-운동량]]([[푸앵카레 군|시공간 변환]]에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 [[광추|빛 원뿔]] 위와 내부에 있는 [[푸앵카레 군]]의 [[유니터리 표현]]이다. 이는 진공 섹터이다.

== 휘어진 시공간에서의 양자장론 ==
최근에는 대수적 양자장론이 [[휘어진 시공간의 양자장론|휘어진 시공간 양자장론]]을 포함하도록 하는 접근 방식이 추가로 구현되었다. 실제로, 국소적 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 [[재규격화]] 절차를 일반화하는 데 특히 적합하다. [[블랙홀]]이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.

== 각주 ==
<references />

== 참고 문헌 ==
* {{인용|last1=Haag|first1=Rudolf|author-link1=Rudolf Haag|last2=Kastler|first2=Daniel|author-link2=Daniel Kastler|title=An Algebraic Approach to Quantum Field Theory|doi=10.1063/1.1704187|mr=0165864|year=1964|journal=[[Journal of Mathematical Physics]]|issn=0022-2488|volume=5|issue=7|pages=848–861|bibcode=1964JMP.....5..848H|url=https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1704187}}
* {{인용|last1=Haag|first1=Rudolf|author-link1=Rudolf Haag|title=Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras|orig-year=1992|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Theoretical and Mathematical Physics|isbn=978-3-540-61451-7|mr=1405610|year=1996|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-61458-3|doi=10.1007/978-3-642-61458-3}}
* {{저널 인용|제목=The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory|저널=[[Communications in Mathematical Physics]]|성=Brunetti|이름=Romeo|성2=Fredenhagen|이름2=Klaus|url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00220-003-0815-7|날짜=2003|권=237|호=1–2|쪽=31–68|arxiv=math-ph/0112041|bibcode=2003CMaPh.237...31B|doi=10.1007/s00220-003-0815-7|성3=Verch|이름3=Rainer}}
* {{저널 인용|제목=Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups|저널=[[Advances in Theoretical and Mathematical Physics]]|성=Brunetti|이름=Romeo|성2=Dütsch|이름2=Michael|url=https://inspirehep.net/literature/811019|날짜=2009|권=13|호=5|쪽=1541–1599|arxiv=0901.2038|doi=10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7|성3=Fredenhagen|이름3=Klaus}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-02780-2|제목=Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations|연도=2009|편집자-성=Bär|편집자2-성=Fredenhagen|총서=Lecture Notes in Physics|권=786|출판사=Springer|doi=10.1007/978-3-642-02780-2|isbn=978-3-642-02780-2}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21353-8|제목=Advances in Algebraic Quantum Field Theory|연도=2015|편집자-성=Brunetti|편집자2-성=Dappiaggi|총서=Mathematical Physics Studies|출판사=Springer|doi=10.1007/978-3-319-21353-8|isbn=978-3-319-21353-8|편집자3-성=Fredenhagen|편집자4-성=Yngvason}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-25901-7|제목=Perturbative Algebraic Quantum Field Theory: An Introduction for Mathematicians|성=Rejzner|이름=Kasia|저자링크=Kasia Rejzner|연도=2016|총서=Mathematical Physics Studies|출판사=Springer|arxiv=1208.1428|bibcode=2016paqf.book.....R|doi=10.1007/978-3-319-25901-7|isbn=978-3-319-25901-7}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21894-6|제목=Cosmological Applications of Algebraic Quantum Field Theory in Curved Spacetimes|성=Hack|이름=Thomas-Paul|연도=2016|총서=SpringerBriefs in Mathematical Physics|권=6|출판사=Springer|arxiv=1506.01869|bibcode=2016caaq.book.....H|doi=10.1007/978-3-319-21894-6|isbn=978-3-319-21894-6}}
* {{서적 인용|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-04738-2|제목=From Classical Field Theory to Perturbative Quantum Field Theory|성=Dütsch|이름=Michael|연도=2019|총서=Progress in Mathematical Physics|권=74|출판사=Birkhäuser|doi=10.1007/978-3-030-04738-2|isbn=978-3-030-04738-2}}
* {{서적 인용|url=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/11626|제목=Homotopical Quantum Field Theory|성=Yau|이름=Donald|연도=2019|출판사=World Scientific|arxiv=1802.08101|doi=10.1142/11626|isbn=978-981-121-287-1}}
* {{저널 인용|제목=Snowmass white paper: The quest to define QFT|저널=International Journal of Modern Physics A|성=Dedushenko|이름=Mykola|날짜=2023|권=38|호=4n05|arxiv=2203.08053|doi=10.1142/S0217751X23300028}}

== 외부 링크 ==
* [https://www.lqp2.org/ Local Quantum Physics Crossroads 2.0] – 국소적 양자 물리학을 연구하는 과학자 네트워크
* [https://www.lqp2.org/faceted-paper-view 논문] – 대수적 QFT에 대한 사전 인쇄 데이터베이스
* [https://www.physik.uni-hamburg.de/en/th2/ag-fredenhagen.html 대수적 양자장론] – 함부르크 대학의 AQFT 리소스

[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자장론]]