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[[호몰로지 대수학]]에서 '''아벨 범주'''(Abel範疇, {{llang|en|Abelian category}})는 [[아벨 군]]의 범주 또는 주어진 환에 대한 [[가군]]의 범주와 유사한 성질을 가진 [[범주 (수학)|범주]]이다. 아벨 범주에서는 [[호몰로지 대수학]]의 여러 개념들을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음 두 조건들은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족하는 범주를 '''아벨 범주'''라 한다.
* <math>\mathcal C</math>는 [[국소적으로 작은 범주]]이며, 다음과 같은 구조들을 가진다.
** [[영 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>이 존재한다.
** <math>\mathcal C</math>의 임의의 유한 개의 원소 <math>A_1,\dots,A_n</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math>과 [[쌍대곱]] <math>A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n</math>이 항상 존재한다.
** 모든 [[단사 사상]]은 [[정규 단사 사상]]이며, 모든 [[전사 사상]]은 [[정규 전사 사상]]이다. 즉, 모든 단사 사상은 다른 사상의 [[핵 (수학)|핵]]이고, 모든 전사 사상은 다른 사상의 [[여핵]]이다.
* <math>\mathcal C</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.
** ([[준가법 범주|준가법성]]) <math>\mathcal C</math>는 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> 위의 [[풍성한 범주]]이다. 즉, 모든 <math>A,B\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\hom(A,B)</math>는 아벨 군이며, 임의의 <math>A,B,C\in\mathcal C</math> 및 <math>h,k\colon A\to B</math>, <math>f,g\colon B\to C</math>에 대하여 <math>(f+g)(h+k)=fh+gh+fk+gk</math>이다.
** ([[가법 범주|가법성]]) <math>\mathcal C</math>의 임의의 유한 개의 원소 <math>A_1,\dots,A_n</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math>과 [[쌍대곱]] <math>A_1\coprod A_2\coprod\cdots\coprod A_n</math>이 항상 존재한다. (준가법성에 따라서, 유한 곱은 유한 [[쌍대곱]]과 같다.)
** (준아벨성 {{llang|en|pre-Abelian}}) 모든 [[사상 (수학)|사상]]이 [[핵 (범주론)|핵]]과 [[여핵]]을 가진다.
** (아벨성) 모든 [[단사 사상]]은 [[정규 단사 사상]]이며 모든 [[전사 사상]]은 [[정규 전사 사상]]이다.
두 번째 정의에서, 처음 세 조건만을 만족시키는 범주를 '''준아벨 범주'''({{llang|en|pre-Abelian category}}, 처음 두 조건만을 만족시키는 범주를 '''[[가법 범주]]''', 처음 조건만을 만족시키는 범주를 '''[[준가법 범주]]'''라고 한다.

== 성질 ==
아벨 범주의 개념은 자기 쌍대 개념이다. 즉, 아벨 범주의 [[반대 범주]]는 항상 아벨 범주이다. 아벨 범주는 정의에 따라 [[유한 완비 범주]]이자 [[유한 쌍대 완비 범주]]이지만, [[완비 범주]]나 [[쌍대 완비 범주]]일 필요는 없다.

아벨 범주에서는 [[완전열]]과 [[분할 완전열]], [[완전 함자]], [[유도 함자]] 등의 개념을 정의할 수 있으며, 또한 [[4항 보조정리]] · [[5항 보조정리]] · [[뱀 보조정리]] · [[지그재그 보조정리]] 등이 성립한다.

=== 사상의 분해 ===
아벨 범주 속에서, 임의의 사상 <math>f\colon A\to B</math>은 어떤 [[단사 사상]] <math>\iota</math>와 [[전사 사상]] <math>\pi</math>의 합성
:<math>f=\iota\circ\pi</math>
:<math>\pi\colon A\twoheadrightarrow C</math>
:<math>\iota\colon C\hookrightarrow B</math>
으로 나타낼 수 있다. 또한, 이러한 분해는 유일한 동형 아래 유일하다. 즉, 또다른 이와 같은 분해
:<math>f=\iota\circ\pi=\iota'\circ\pi'</math>
:<math>\pi\colon A\twoheadrightarrow C'</math>
:<math>\iota\colon C'\hookrightarrow B</math>
가 주어졌을 때, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 [[동형 사상]] <math>i\colon C\to C'</math>이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
A&\xrightarrow\pi &C&\xrightarrow\iota&B\\
&{\scriptstyle\pi'}\searrow&\downarrow\scriptstyle\exists!i&\nearrow\scriptstyle\iota'\\
&&C'
\end{matrix}
</math>
이 경우, <math>\iota</math>를 <math>f</math>의 '''[[상 (수학)|상]]'''({{llang|en|image}}), <math>\pi</math>를 <math>f</math>의 '''여상'''(剩像, {{llang|en|coimage}})이라고 한다.

=== 부분 대상 ===
아벨 범주 속에서, 임의의 대상 <math>A</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(A)</math>는 항상 [[유계 격자]]를 이루며, 또한 항상 [[모듈러 격자]]를 이룬다.

=== 크기 ===
임의의 아벨 범주 <math>\mathcal A</math>와 그 대상들의 집합 <math>S \subset \operatorname{ob}(\mathcal A)</math>에 대해, 다음 조건을 만족시키는 [[충만한 부분 범주]] <math>\mathcal A'</math>가 존재한다.

* [[작은 범주|작은]] 아벨 범주이다.
* [[포함 함수|포함 함자]] <math>\iota_{\mathcal A', \mathcal A}\colon \mathcal A' \hookrightarrow \mathcal A</math>가 [[완전 함자]]이다.
* <math>S \subset \operatorname{ob}(\mathcal A')</math>
만일 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상|단사 대상(사영 대상)]]을 충분히 가진다면 추가로 다음 조건을 만족하도록 <math>\mathcal A'</math>를 찾을 수 있다.

* 단사 대상(사영 대상)을 충분히 가진다.
* [[포함 함수|포함 함자]] <math>\iota_{\mathcal A', \mathcal A}\colon \mathcal A' \hookrightarrow \mathcal A</math>는 단사 대상(사영 대상)을 보존하며 반사한다.

=== 미첼 매장 정리 ===
'''미첼 매장 정리'''({{llang|en|Mitchell embedding theorem}})에 따르면,<ref name="Mitchell">{{저널 인용
 | 이름 = Barry |성=Mitchell
 | title      = The full imbedding theorem
 | 날짜 = 1964-07
 | doi = 10.2307/2373027
 | 저널=American Journal of Mathematics | 권=86 | 호=3 | 쪽=619–637
 | jstor=2373027 | zbl=0124.01502
 | 언어=en
}}</ref> 임의의 [[작은 범주|작은]] 아벨 범주 <math>\mathcal A</math>에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 함자
:<math>I\colon\mathcal A\to R\text{-Mod}</math>
가 존재한다.
* <math>I</math>는 [[충실충만한 함자]]이다.
* <math>I</math>는 [[완전 함자]]이다.
따라서, 임의의 (작은) 아벨 범주는 가군들의 범주로 생각할 수 있으며, 특히 원소나 [[부분 집합]]과 같은 [[집합론]]적·[[가군론]]적 개념을 증명 도중 사용할 수 있다. 위의 정리를 적용하면 작지 않은 아벨 범주에도 적용할 수 있다.

== 예 ==
=== 아벨 군 ===
[[아벨 군]]들과 [[군 준동형]]들의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>는 아벨 범주의 가장 대표적인 예이며, 이는 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다. 이는 아벨 범주의 공리들을 다음과 같이 만족시킨다.
* <math>\operatorname{Ab}</math>에서 [[영 대상]]은 [[자명군]] <math>\{0\}</math>이다.
* <math>\operatorname{Ab}</math>'에서 이진 곱([[직접곱]])과 이진 쌍대곱([[직합]])은 일치한다. (<math>\operatorname{Ab}</math>에서 무한 [[직접곱]]과 무한 [[직합]]은 서로 다를 수 있다.)
* 모든 단사 사상이 [[정규 단사 사상]]임은 [[아벨 군]]의 모든 부분군이 [[정규 부분군]]임을 의미한다.
* 모든 전사 사상이 [[정규 전사 사상]]임은 다음과 같다. 임의의 전사 [[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math>은 [[몫군]] <math>H\cong G/(\ker\phi)</math>로 나타낼 수 있다. 즉, <math>\phi</math>는 <math>\ker\phi\hookrightarrow G</math>의 [[여핵]]이다.
또한, 아벨 군의 범주의 [[반대 범주]] <math>\operatorname{Ab}^{\operatorname{op}}</math> 역시 아벨 범주를 이룬다.

마찬가지로, 다음과 같은 범주들은 아벨 범주를 이룬다. (그러나 이는 [[그로텐디크 아벨 범주]]가 아니다.)
* [[유한 생성 아벨 군]]들의 범주 <math>\operatorname{fgAb}</math>
* [[유한군|유한]] [[아벨 군]]들의 범주 <math>\operatorname{finAb}</math>

반면, 모든 [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>의 경우 [[정규 부분군]]이 아닌 [[부분군]]이 존재하므로 아벨 범주를 이루지 않는다.

=== 가군 ===
보다 일반적으로, 1을 가진 환 <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]들과 [[가군 준동형]]들의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> (또는 [[오른쪽 가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R\cong{}_{R^{\operatorname{op}}}\operatorname{Mod}</math>)은 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다. [[아벨 군]]은 정수 <math>\mathbb Z</math>에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다.

<math>R</math>가 [[왼쪽 뇌터 환]]이라고 하면, 그 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>_R\operatorname{fgMod}</math> 역시 아벨 범주이다.

=== 층 ===
<math>X</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 이 위에 [[아벨 군]] 값을 가진 [[층 (수학)|층]]들의 범주 <math>\operatorname{Sh}_X^{\operatorname{Ab}}</math> 또한 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다. 보다 일반적으로, 임의의 [[위치 (수학)|위치]] 위의, [[아벨 군]] 값의 [[층 (수학)|층]]의 범주는 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다.

반면, 위상 공간 위에 존재하는 [[벡터 다발]]들의 범주는 아벨 범주가 아니다. 이는 [[핵 (수학)|핵]]이 아닌 [[단사 사상]]이 존재하기 때문이다.

=== 가군층 ===
<math>(X,\mathcal O_X)</math>가 [[환 달린 공간]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]]들의 범주 <math>\mathcal O_X\text{-Mod}</math>는 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다. <math>\mathcal O_X</math>-[[연접층]]들의 범주는 아벨 범주를 이루지만 [[쌍대 완비 범주]]가 아니다.

만약 <math>X</math>가 [[스킴 (수학)|스킴]]이라면, [[준연접층]]의 범주 <math>\operatorname{QCoh}(X)</math> 역시 [[그로텐디크 아벨 범주]]를 이룬다.

=== 함자 범주 ===
아벨 범주 <math>\mathcal A</math>와 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함자 범주 <math>\mathcal A^{\mathcal C}=\hom_{\operatorname{Cat}}(\mathcal C,\mathcal A)</math>는 아벨 범주를 이룬다.

아벨 범주 <math>\mathcal A</math>와 <math>\operatorname{Ab}</math>-[[풍성한 범주|풍성한]] [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Ab}</math>-풍성한 함자들의 범주 <math>\hom_{\operatorname{Ab-Cat}}(\mathcal C,\mathcal A)</math> 역시 아벨 범주를 이룬다.

== 역사 ==
[[데이비드 북스바움]]은 이 개념을 1955년<ref>{{저널 인용 | last=Buchsbaum | first=David Alvin | 저자링크=데이비드 북스바움 | title=Exact categories and duality | jstor=1993003 | mr=0074407 | year=1955 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=80 | issue=1 | pages=1–34 | doi=10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 | zbl=0065.25502 | 언어=en}}</ref>에 "완전 범주"({{llang|en|exact category}})라는 이름으로 도입하였다. (이 용어는 오늘날 다른 개념을 뜻한다.)

이후 1957년에 [[알렉산더 그로텐디크]]<ref>{{저널 인용 | last=Grothendieck | first=Alexandre | authorlink=알렉산더 그로텐디크 | title=Sur quelques points d’algèbre homologique | mr=0102537 | year=1957 | journal=東北数学雑誌 | issn=0040-8735 | volume=9 | pages=119–221 | doi = 10.2748/tmj/1178244839 | zbl = 0118.26104 | 언어=fr}}</ref>가 이를 "아벨 범주"({{llang|fr|catégorie abélienne}})라는 이름으로 독자적으로 재도입하였다. 그로텐디크는 이 논문에서 [[층 코호몰로지]]와 [[군 코호몰로지]]를 아벨 범주의 개념을 사용하여 일관되게 다루는 데 성공하였다. 이 논문은 [[도호쿠 대학]] 저널에 출판되었으므로 흔히 "도호쿠 논문"이라고 불린다. 곧 1960년에 피에르 가브리엘({{llang|fr|Pierre Gabriel}})은 박사 학위 논문에서 아벨 범주의 이론을 정리하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Pierre|성=Gabriel|제목=Des catégories abéliennes|저널=Bulletin de la Société Mathématique de France|권=90|날짜=1962|쪽= 323-448|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__323_0 |zbl= 0201.35602 |mr=0232821  |언어=fr}}</ref>

이후 솔 루브킨({{llang|en|Saul Lubkin}})<ref>{{저널 인용|제목=Imbedding of abelian categories|이름=Saul|성=Lubkin|날짜=1960-12|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=97|호=3|쪽=410–417|jstor=1993379|doi= 10.1090/S0002-9947-1960-0169890-3 |mr=0169890|zbl=0096.25501|언어=en}}</ref>과 피터 존 프레이드({{llang|en|Peter John Freyd}})<ref>{{서적 인용|이름=Peter John|성=Freyd|출판사=Harper and Row|날짜=1964|제목=Abelian categories: An introduction to the theory of functors|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html|총서=Harper’s Series in Modern Mathematics|zbl=0121.02103|언어=en}}</ref>가 모든 아벨 범주는 어떤 가군 범주 속에 [[충실한 함자|충실한]] [[완전 함자]]로 매장될 수 있다는 것을 보였으며, 곧 배리 미첼({{llang|en|Barry Mitchell}})<ref name="Mitchell"/>은 이 함자를 항상 [[충실충만한 함자]]로 잡을 수 있음을 보였다.

== 같이 보기 ==
* [[삼각 분할 범주]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | 제목=Abelian categories with applications to rings and modules | 출판사= Academic Press | 이름=Nicolae |성=Popescu|날짜=1973|mr=0340375|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Abelian category}}
* {{매스월드|id=AbelianCategory|title=Abelian category}}
* {{매스월드|id=FreydsTheorem|title=Freyd's theorem}}
* {{nlab|id=abelian category|title=Abelian category}}
* {{nlab|id=additive and abelian categories|title=Additive and abelian categories}}
* {{nlab|id=Freyd-Mitchell embedding theorem}}
* {{nlab|id=pre-abelian category|title=Pre-abelian category}}
* {{nlab|id=quasi-abelian category|title=Quasi-abelian category}}

{{전거 통제}}

[[분류:가법적 범주]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:닐스 헨리크 아벨]]