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[[파일:Manhattan distance.svg|thumb]]
'''거리'''<ref>한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?page=3&et=en&find_kw=distance</ref><ref>대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.or.kr/?act=&vid=&mid=cheminfo&wordfield=eng&word=distance</ref>(距離, distance)는 어떤 사물이나 장소가 공간적으로 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. [[물리학]]이나 일상적인 상황에서 거리는 물리적인 거리나 [[시간]]의 간격을 말하는 것이 보통이나 다른 기준을 따르기도 한다. [[수학]] 용어로서의 거리는 더 엄밀하게 정의되고 사용된다.

== 수학 ==
=== 기하학 ===
[[해석기하학]]에서 [[좌표공간|좌표평면]]위의 두 점 (''x<sub>1</sub>'',''y<sub>1</sub>'') 과(''x<sub>2</sub>'',''y<sub>2</sub>'') 사이의 거리는
:<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>
이다. 마찬가지로, 3차원 공간에서 두 점 (''x<sub>1</sub>'',''y<sub>1</sub>'',''z<sub>1</sub>'') 과 (''x<sub>2</sub>'',''y<sub>2</sub>'',''z<sub>2</sub>'') 사이의 거리는
:<math>d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}</math>
이다. 이 공식은 [[직각삼각형]]에서 [[빗변]]의 길이에 대한 [[피타고라스의 정리]]를 이용하여 유도할 수 있다.

이 가장 일반적인 거리는 [[유클리드 거리]]라고 하며, [[비유클리드 기하학]]에서는 이 공식이 성립하지 않는다.

=== 유클리드 공간에서의 거리 ===
[[유클리드 공간]] '''R'''<sup>n</sup>에서, 두 점의 거리는 [[유클리드 거리]](2-노름 거리)로 주어진다. 다른 [[노름]]을 이용한 거리가 사용되기도 한다.

점 (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...,''x''<sub>''n''</sub>)과 점 (''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ...,''y''<sub>''n''</sub>)이 주어졌을 때, p차 [[민코프스키 거리]](혹은 "p-노름 거리")는 다음과 같이 정의된다:
{| cellpadding="2"
| 1-노름 거리 || <math> = \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|</math>
|-
| 2-노름 거리 || <math> = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^2 \right)^{1/2}</math>
|-
| ''p''-노름 거리 ||<math> = \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math>
|-
| 무한 노름 거리 ||<math> = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \left| x_i - y_i \right|^p \right)^{1/p}</math>
|-
| || <math> = \max \left(|x_1 - y_1|,  |x_2 - y_2|,  \ldots, |x_n - y_n| \right).</math>
|}

''p''는 정수가 아니어도 되며, 1보다 작을 수는 없다. 1보다 작을 경우, [[삼각 부등식]]이 성립하지 않는다.

2-노름 거리는 [[유클리드 거리]]로, 일반적으로 두 점 사이의 거리를 [[자 (도구)|자]]로 재었을 때의 "직관적인" 거리와 같다.

1-노름 거리는 "[[맨해튼 거리]]"나 "택시 거리"라고 불리는데, 이는 바둑판처럼 깔끔하게 정비된 도시에서를 자동차로 움직일 때의 거리와 같기 때문이다.

무한 노름 거리는 [[체비쇼프 거리]]로도 불린다.

''p''-노름에서 1이나 2, 무한 이외의 ''p'' 값은 자주 쓰이지는 않는다.

=== 일반 경우 ===
[[수학]], 특히 [[기하학]]에서 [[집합]] ''M''의 [[거리 함수]] d는 [[실수]] '''R'''에 대해 d: ''M''×''M''&nbsp;→&nbsp;'''R'''처럼 주어지며, 다음 조건을 만족한다:
* ''d''(''x'',''y'') ≥ 0 이고, ''d''(''x'',''y'') = 0 [[동치|if and only if]] ''x'' = ''y''. (다른 두 점간의 거리는 양수 값을 가지며, 자기 자신까지의 거리는 0이다.)
* [[대칭관계|대칭]]이다: ''d''(''x'',''y'') = ''d''(''y'',''x''). (''x''에서 ''y''까지의 거리는 어느 방향이나 같다.)
* [[삼각 부등식]]을 만족한다: ''d''(''x'',''z'') ≤ ''d''(''x'',''y'') + ''d''(''y'',''z''). (두 점 사이의 거리는 가장 짧은 경로의 길이이다).
이러한 [[거리 함수]]가 정의된 집합을 [[거리 공간]]이라고 한다.

예를 들어, 두 실수 ''x''와 ''y'' 사이의 거리를 ''d''(''x'',''y'') = |''x'' − ''y''| 로 정의했을 때, 위 세 조건을 만족한다. 하지만 거리는 정의내리기 나름이다. 만약 거리 함수를 ''x'' = ''y''일 경우는 ''d''(''x'',''y'') = 0, 아닐 경우는 1로 정의한다면, 이 역시 거리 함수의 조건을 만족한다.

== 물리학적인 거리 ==
{{참조|변위}}

[[특수 상대성 이론]]에 의하면 시간적인 간격과 공간적인 거리는 서로 분리할 수 없고 [[시공간적 거리]]라는 하나의 양으로서만 측정할 수 있다.

시간을 제외하고 공간만을 생각한 거리는 아래 '''기하학적 거리''' 부분에 나와 있는 식으로 계산할 수 있으며 이러한 거리는 어떤 물체가 한 곳에서 다른 곳으로 갈 때의 속도와 걸린 시간을 곱한 것(속도가 시간에 따라 달라질 경우 속도를 시간에 대해 [[적분]]한 것)과 같다.

== 다른 거리 ==
* [[마할라노비스 거리]]: 통계학에서 쓰이는 거리.
* [[해밍 거리]]와 [[리 거리]]: 부호 이론에서 쓰이는 거리.
* [[레벤슈타인 거리]]
* [[유클리드 거리]]
* [[맨해튼 거리]]
* [[체비쇼프 거리]]
* [[캔버라 거리]]
* [[하우스도르프 거리]]

== 같이 보기 ==
* [[변위]]
* [[거리 공간]]
* [[길이]]
* [[거리측량]]

{{운동학}}

{{전거 통제}}

[[분류:거리| ]]
[[분류:길이]]
[[분류:초등 수학]]
[[분류:계량기하학]]