{{위키데이터 속성 추적}}
[[쌍곡 기하학]]에서 '''쌍곡공간'''(雙曲空間, {{llang|en|hyperbolic space}})은 균일한 음의 [[곡률]]을 갖는 [[동차공간]]이다.

== 정의 ==
<math>n\ge2</math>가 2 이상의 [[정수]]라고 하자. ''n''차원 '''쌍곡공간''' <math>H^n</math>은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 [[단면 곡률]]({{llang|en|sectional curvature}})이 &minus;1인 <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] 최대 대칭({{llang|en|maximally symmetric}}) [[리만 다양체]]이다.

== 성질 ==
쌍곡공간 <math>H^n</math>은 <math>n</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>과 [[위상동형]]이자 [[미분동형]]이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 [[등거리사상]]은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 [[리만 곡률 텐서]]는 다음과 같다.
:<math>R_{ijkl}=-(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})</math>
여기서 <math>g_{ij}</math>는 쌍곡공간의 [[계량 텐서]]이다.

쌍곡공간의 [[등거리변환군]]은 정시적({{llang|en|orthochronous}}) [[로런츠 군]] <math>\operatorname O^+(1,n)</math>이다.

== 모형 ==
<math>n</math>차원 쌍곡공간 <math>H^n</math>은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

=== 푸앵카레 반공간 ===
{{본문|푸앵카레 반평면}}
''n''차원 열린 상반공간 <math>\mathbb R^+\times\mathbb R^{n-1}=\{(z,\mathbf x)|z>0,\mathbf x\in\mathbb R^{n-1}\}</math>에 다음과 같은 [[계량 텐서]]를 부여하자.
:<math>ds^2=z^{-2}(dz^2+\Vert d\mathbf x\Vert^2)</math>
이 [[리만 다양체]]는 <math>H^n</math>과 [[등거리사상]]을 가지며, 이를 '''푸앵카레 반공간 모형'''({{llang|en|Poincaré half-space model}})이라고 한다.
이 경우, [[측지선]]은 <math>z=0</math> 평면에 수직인 [[반원]]들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{dist}(z_1,\mathbf x_1;z_2,\mathbf x_2)=\cosh^{-1}\left(
1+\frac{\Vert\mathbf x_1-\mathbf x_2\Vert^2+(z_1-z_2)^2}{2z_1z_2}
\right)</math>

=== 푸앵카레 공 ===
{{본문|푸앵카레 원판}}
반지름이 1인 ''n''차원 열린 초공 <math>B^n=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|\Vert\mathbf x\Vert<1\}</math>에 다음과 같은 [[계량 텐서]]를 부여하자. 여기서 <math>(r,\Omega)</math>는 [[구면좌표계]]이다 (<math>r\in[0,1)</math>, <math>\Omega\in S^{n-1}</math>).
:<math>ds^2=\frac4{(1-r^2)^2}(dr^2+r^2d\Omega^2)</math>
이 [[리만 다양체]]는 <math>H^n</math>과 [[등거리사상]]을 가지며, 이를 '''푸앵카레 공 모형'''({{llang|en|Poincaré ball model}})이라고 한다. 이 경우, [[측지선]]은 구면 <math>\partial B^n=S^{n-1}=\{\mathbf x\in\mathbb R^n|\Vert\mathbf x\Vert=1\}</math>에 수직인 [[원호]]이다.

=== 갠스 모형 ===
''n''차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math>에, 다음과 같은 [[계량 텐서]]를 부여하자.
:<math>ds^2=\frac{d\tilde r^2}{1+\tilde r^2}+\tilde r^2d\Omega^2</math>
여기서 <math>(\tilde r,\Omega)</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 [[구면좌표계]]이다.
이 [[리만 다양체]]는 <math>H^n</math>과 [[등거리사상]]을 가지며, 이를 '''갠스 모형'''({{llang|en|Gans model}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/2315350|jstor=2315350|제목=A new model of the hyperbolic plane|이름=David|성=Gans|저널=The American Mathematical Monthly|권=73|호=3|날짜=1996-03|언어=en}}</ref>
갠스 모형 <math>(\tilde r,\Omega)</math>은 푸앵카레 공 모형 <math>(r,\Omega)</math>과 다음과 같이 대응한다.
:<math>\tilde r=2r/(1-r^2)</math>
갠스 모형은 쌍곡면 모형 <math>(t,\rho,\Omega)</math>과 다음과 같이 대응한다.
:<math>(t,\rho)=(\sqrt{1+r^2},r)</math>
즉, 이는 쌍곡면 모형 <math>(t,\mathbf x)</math>을 <math>\mathbf x</math> 공간으로 그대로 사영한 것이다.

=== 쌍곡면 모형 ===
<math>n+1</math>차원 [[민코프스키 공간]] <math>\mathbb R^{1,n}=\{(t,\mathbf x)|t\in\mathbb R,\mathbf x\in\mathbb R^n\}</math>은 다음과 같은 계량을 갖는다.
:<math>ds^2=-dt^2+\Vert d\mathbf x\Vert^2</math>
민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 <math>n</math>차원 초곡면을 생각하자.
:<math>\{(t,\mathbf x)\in\mathbb R^{1,n}|t^2-\Vert\mathbf x\Vert^2=1,\;t>0\}</math>
이 초곡면은 [[민코프스키 공간]]으로부터 [[계량 텐서]]를 유도받으며, 이 계량 텐서는 [[양의 정부호]]임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 [[리만 다양체]]를 이룬다. 이 리만 다양체는 <math>H^n</math>과 [[등거리사상]]을 가지며, 이를 '''쌍곡면 모형'''({{llang|en|hyperboloid model}})이라고 한다.

=== 동차공간으로서의 정의 ===
쌍곡공간은 [[동차공간]]으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>H^n\cong\operatorname O^+(1,n)/\operatorname O(n)</math>
여기서 <math>\operatorname O^+(1,n)</math>은 정시적({{llang|en|orthochronous}}) [[로런츠 군]]이며, <math>\operatorname O(n)</math>은 [[직교군]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HyperbolicGeometry|title=Hyperbolic geometry}}
* {{eom|title=Lobachevskii geometry}}

== 같이 보기 ==
* [[쌍곡 기하학]]
* [[반 더 시터르 공간]]

{{전거 통제}}

[[분류:쌍곡기하학]]
[[분류:리만 기하학]]