{{위키데이터 속성 추적}}

{{다른 뜻}}
[[파일:First Equation Ever.png|섬네일|1557년 [[로버트 레코드]]가 저술한 《기지의 숫돌》에 나오는 [[등호]]를 사용한 최초의 방정식. 현대 표기에서의 14''x'' + 15 = 71과 같은 의미이다.<ref>Recorde, Robert, ''The Whetstone of Witte'' ... (London, England: {{not a typo|Jhon}} Kyngstone, 1557), [https://archive.org/stream/TheWhetstoneOfWitte#page/n237/mode/2up "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."]</ref>]]
'''방정식'''(方程式, {{llang|en|equation}})은 [[미지수]]의 값에 따라 [[참]], [[거짓]]이 결정되는 [[등식]]이다.

방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 미지수의 값을 '''[[근 (수학)|해]]'''(解, solution) 또는 '''[[근 (수학)|근]]'''(根, root)이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 첫 번째의 경우는 불능이라고 하고, 마지막의 경우는 [[항등식]]([[부정 방정식|부정]])이라 한다.

예를 들어
:<math>x^2-5x+6=0 </math>
은 미지수 <math>x</math>의 값에 따라 등식의 참과 거짓이 결정되므로 방정식이고, 그 해는 <math>2</math>와 <math>3</math>이다. 한편
:<math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math>
은 문자 <math>x</math>가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식이다. 그리고
:<math>0\cdot x=2</math>
는 <math>x</math>가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하지 못하므로 불능이다.

방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 [[구장산술]]의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 [[연립방정식]]의 [[계수]]를 [[직사각형]] 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 [[가우스 소거법]]에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 [[음수]]의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.

방정식에서 미지수를 나타내는 [[문자]]로 보통 [[로마자]]의 뒤쪽 문자인 <math>x, y, z</math> 등을 사용한다. 이는 [[프랑스]]의 [[수학자]] 겸 [[철학자]]인 [[르네 데카르트]]가 시초이다.

방정식은 다양한 종류가 존재한다.

== 예시 ==
=== 다항 방정식 ===
{{본문|다항식}}
[[파일:Polynomialdeg2.svg|섬네일|right|220px|[[이차방정식]] {{nowrap|1=''x''<sup>2</sup> – ''x'' + 2 = 0}}의 두 근인 -1과 2는 [[이차 함수]] {{nowrap|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup> – ''x'' + 2}}의 [[함수의 그래프|그래프]]가 x축과 만나는 교점이다.]]
[[유리수]], [[실수]], [[복소수]] 등 [[체 (수학)|체]]의 [[원소 (수학)|원소]]를 [[계수]]로 가지는 [[다항식]] <math>P</math>와 <math>Q</math>에 대해
:<math>P=0</math> 또는 <math>P=Q</math>
로 표현되는 식을 '''다항 방정식'''(多項方程式, {{llang|en|polynomial equation}}) 또는 '''대수방정식'''(代數方程式, {{llang|en|algebraic equation}}))이라고 한다.

[[다항식#정의#차수|차수]]가 {{math|n}}인 [[다항식]]으로 이루어진 다항 방정식을 '''{{math|n}}차 방정식'''이라고 한다. 즉 차수가 1인 방정식을 [[일차 방정식]], 2인 방정식을 [[이차 방정식]]과 같이 부른다. 예를 들어
:<math>2x+1=3</math>
은 일차 방정식이고,
:<math>x^2-x-2=0</math>
은 이차 방정식이다.

다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수도 있다. 예를 들어
:<math>x^5-3x+1=0</math>
는 미지수가 <math>x</math> 하나인 [[정수]]계수 다항 방정식이고,
:<math>y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}</math>
는 미지수가 <math>x,y</math> 두 개인 [[유리수]]계수 다항 방정식이다.

어떤 유리수계수 다항 방정식은 계수들의 [[사칙연산]]과 [[거듭제곱근]]만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있다. 즉, 근의 공식이 존재한다. 흔히 '''근의 공식'''이라고 하면 [[이차방정식#이차 방정식의 근의 공식|이차 방정식의 근의 공식]]({{llang|en|quadratic formula}})을 의미한다. 예를 들어 [[이차 방정식]]
:<math>ax^2 + bx + c = 0, (a\neq0)</math>
은
:<math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}</math>
을 두 근으로 가지며, 따라서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 [[오차 방정식#오차방정식의 근|아벨-루피니 정리]]에 의하면 오차 이상의 다항방정식은 이러한 방식으로 표현할 수 없는 근이 존재한다.

한편 [[대수학의 기본 정리]]에 따르면 모든 [[복소수|복소계수]] 다항 방정식은 하나 이상의 [[복소수]] 근을 가진다.

=== 무리 방정식 ===
방정식의 항에 [[무리식]]([[제곱근|루트]])을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다. 예를 들어
:<math> x+ \sqrt{x+1} - 1 = 0 </math>
는 무리 방정식이다. 위 방정식을 풀면
:<math> x- 1 = -\sqrt{x+1} </math>
:<math> (x- 1)^2 = (-\sqrt{x+1})^2 </math>
:<math> (x- 1)(x- 1) = x+1 </math>
:<math> x^2-3x=x(x-3)=0 </math>
가 되어 <math> x= 0, 3</math>이 된다. 그런데 무리 방정식에는 위처럼 유도과정을 거쳐 찾은 값이 방정식에 대입했을 때는 성립하지 않는 [[무연근]]이 존재할 수 있다. 따라서 앞에서 얻은 값이 무리방정식의 근이 되는지 검산하는 과정이 필요하다. 예시의 방정식에서 <math> x= 0</math>을 대입하면 식이 성립하지만, <math> x= 3</math>을 대입하면 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서 <math>x=3</math>은 무연근이고, <math> x=0</math>만이 무리 방정식의 근이다.

=== 연립 방정식 ===
[[연립 방정식]]은 서로 다른 2개의 [[미지수]]가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. [[연립 방정식]]도 미지수의 차수에 따라 [[연립 일차 방정식]], [[연립 이차 방정식]] 등으로 나뉜다. [[연립 일차 방정식]]에선 <math>y=ax+b</math>와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 [[대입법]]과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 [[가감법]], 그리고 행렬을 이용한 [[가우스 소거법]]이 주로 사용된다.

=== 미분방정식 ===
{{본문|미분방정식}}
[[파일:Flow around a wing.gif|섬네일|[[오일러 방정식]]은 [[유체]]의 [[점성|비점성]] 흐름을 다루는 미분방정식이다.]]
[[미분방정식]]은 [[함수]]와 그 [[도함수]]들로 표현되는 방정식이다. 일반적으로 어떤 물리적 대상을 표현하는 함수에 대해 그 도함수는 대상의 [[변화율]]을 의미하며, 따라서 물리적 대상과 그 변화율 간의 관계는 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 [[공학]], [[물리학]], [[화학]], [[생물학]], [[경제학]] 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지한다.

==== 상미분방정식 ====
{{본문|상미분방정식}}
상미분방정식은 하나의 [[독립 변수]]만을 가지는 미분 방정식이다.

==== 편미분방정식 ====
{{본문|편미분방정식}}
편미분방정식은 여러 개의 [[독립 변수]]를 가지는 미분 방정식이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[디오판토스 방정식]]
* [[다항식]]
* [[수식]]
* [[항등식]]
* [[부등식]]
* [[연립방정식]]
* [[가우스 소거법]]
* [[소거법]]
* [[근 (수학)]]
* [[무연근]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
{{전거 통제}}

[[분류:방정식]]
[[분류:초등대수학]]