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[[환론]]에서 '''반단순환'''(半單純環, {{llang|en|semisimple ring}})은 모든 가군이 [[반단순 가군]]인 [[환 (수학)|환]]이다. 유한 개의 [[나눗셈환]]들의 위의 [[행렬환]]들의 [[직접곱]]과 동형이다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''반단순환'''이라고 한다.
* 스스로에 대한 [[왼쪽 가군]]으로서 [[반단순 가군]]이다.
* 스스로에 대한 [[오른쪽 가군]]으로서 [[반단순 가군]]이다.
* <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]]들의 범주 <math>R\text{-Mod}</math>에서, 모든 [[짧은 완전열]]은 [[분할 완전열]]이다.
* <math>R</math>의 [[오른쪽 가군]]들의 범주 <math>\text{Mod-}R</math>에서, 모든 [[짧은 완전열]]은 [[분할 완전열]]이다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[왼쪽 가군]]이 [[반단순 가군]]이다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[오른쪽 가군]]이 [[반단순 가군]]이다.
* [[왼쪽 아르틴 환]]이며, [[반원시환]]이다.
* [[오른쪽 아르틴 환]]이며, [[반원시환]]이다.
* 유한 개의 아르틴 [[단순환]]들의 [[직접곱]]이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 [[동치]]이다.)
* ('''아르틴-웨더번 정리''' {{llang|en|Artin–Wedderburn theorem}}) 유한 개의 [[나눗셈환]]들 <math>D_1,\dots,D_k</math>에 대한 [[직접곱]] <math>\textstyle\prod_i\operatorname{Mat}(n_i;D_i)</math>과 동형이다.

== 성질 ==
모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 [[뇌터 환]]이며, 오른쪽 [[뇌터 환]]이며, [[반원시환]]이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|173}}
{| style="text-align: center"
| 반단순환 || ⇒ || [[반원시환]] || ⇒ || [[반소환]]
|-
||  || || ⇑ || || ⇑
|-
| [[단순환]] || ⇒ || 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]]
|}
만약 (왼쪽 또는 오른쪽) [[아르틴 환]]의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.<ref name="Lam"/>{{rp|173, Proposition 11.7}}
{| style="text-align: center"
| 반단순환 || ⇔ || 아르틴  [[반원시환]] || ⇔ || 아르틴  [[반소환]]
|-
||  || || ⇑ ||
|-
| 아르틴 [[단순환]] || ⇔ || 아르틴  [[원시환]] || ⇔ || 아르틴 [[소환 (환론)|소환]]
|}

[[단순환]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 반단순환이다.
* 왼쪽 [[아르틴 환]]이다.
* 오른쪽 [[아르틴 환]]이다.
특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

[[가환환]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 반단순환이다.
* [[아르틴 환|아르틴]] [[축소환]]이다.
* 유한 개의 [[체 (수학)|체]]들의 [[직접곱]]이다.

유한 개의 반단순환들의 [[직접곱]]은 반단순환이다.

== 분류 ==
반단순환의 구조는 '''아르틴-웨더번 정리'''({{llang|en|Artin–Wedderburn theorem}})로서 완전히 알려져 있다.<ref name="FD">{{서적 인용|제목=Noncommutative algebra|이름=Benson|성=Farb|이름2=R. Keith|성2=Dennis|출판사=Springer-Verlag|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=144|날짜=1993|doi=10.1007/978-1-4612-0889-1|isbn=978-1-4612-6936-6|언어=en}}</ref>{{rp|40, Theorem 1.11}} 구체적으로, 반단순환 <math>R</math>가 주어졌을 때, 정의에 따라 <math>_RR</math>는 [[반단순 가군]]이며, 이를 유한 개의 [[단순 가군]]의 [[직합]]으로 나타내어진다.
:<math>_RR=\bigoplus_{i=1}^k{}_RM_i^{\oplus n_i}\qquad(i\ne j\implies M_i\not\cong M_j)</math>
이 경우,
:<math>R^{\operatorname{op}}\cong\operatorname{End}(_RR)\cong\prod_{i=1}^k\operatorname{Mat}(n_i;\operatorname{End}_R(M_i))</math>
:<math>R\cong\operatorname{End}(_RR)^{\operatorname{op}}\cong\prod_{i=1}^k\operatorname{Mat}(n_i;\operatorname{End}(_RM_i))^{\operatorname{op}}\cong\prod_{i=1}^k\operatorname{Mat}(n_i;\operatorname{End}(_RM_i)^{\operatorname{op}})</math>
가 된다. [[슈어 보조정리]]에 의하여 <math>\operatorname{End}(_RM_i)^{\operatorname{op}}</math>는 [[나눗셈환]]이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 [[직접곱]]과 동형이다.

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>는 [[반원시환]]이지만 [[아르틴 환]]이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 [[순환군]]들의 [[직합]]인데, 이렇게 표기될 수 없는 [[아벨 군]]들이 존재한다.

[[바일 대수]] <math>\mathbb Q\langle x,p\rangle/(xp-px-1)</math>는 [[단순환]]이자 [[영역 (환론)|영역]]이지만, 반단순환이 아니다.

=== 복소수 행렬 대수 ===
자연수 <math>n\in\mathbb N</math>이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 <math>n\times n</math> 행렬 대수
:<math>\mathcal A\subseteq\operatorname{Mat}(n,n;\mathbb C)=\operatorname{End}_{\mathbb C}(\mathbb C^n)</math>
가 주어졌을 때, 만약
:<math>\mathcal A=\{A^*\colon A\in\mathcal A\}</math>
라면, <math>\mathcal A</math>는 반단순 대수이다. (여기서 <Math>(-)^*</math>는 [[에르미트 수반]]이다.)

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal A</math>는 유한 차원 복소수 [[결합 대수]]이므로, [[아르틴 환]]이다. 따라서 <math>\mathcal A</math>가 [[반원시환]]임(즉, [[제이컵슨 근기]]가 <math>\{0\}</math>임)을 보이면 족하다.

임의의 <math>M\in\sqrt{\mathcal A}</math>라고 하자. 그렇다면,
# <math>\mathcal A</math>가 유한 차원 [[결합 대수]]이므로, [[제이컵슨 근기]] <math>\operatorname{rad}(\mathcal A)</math>는 [[멱영 아이디얼]]이다.
# 따라서 <math>(M^*M)^k=0</math>인 양의 정수 <math>k\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.
# 그런데 <math>M^*M</math>은 [[양의 준정부호]] 행렬이며, 따라서 <math>M^*M=0</math>이다.
# 이에 따라, 임의의 <math>v\in\mathbb C^n</math>에 대하여 <math>\|Mv\|^2=v^*M^*Mv=0</math>이며, 즉 <math>Mv=0</math>이다.
# 따라서 <math>M=0</math>이다.
</div></div>

=== 마슈케 정리 ===
[[유한군]] <math>G</math>와 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌고, 또
:<math>\operatorname{char}K\nmid|G|</math>
라고 하자. (즉, <math>G</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]를 [[소인수]]로 갖지 않는다.) 그렇다면 [[군환]] <math>K[G]</math>를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이므로 자명하게 [[왼쪽 아르틴 환]]이자 [[오른쪽 아르틴 환]]이다. '''마슈케 정리'''({{llang|en|Maschke’s theorem}})에 따르면, [[군환]] <math>K[G]</math>는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케({{llang|en|Heinrich Maschke}}, 1853~1908)가 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last=Maschke |first=Heinrich |date=1898 |title=Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen |journal=Mathematische Annalen |volume=50 |issue=4 |pages=492–498 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002256975 |jfm=29.0114.03 | mr = 1511011 |doi=10.1007/BF01444297|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Maschke |first=Heinrich |date=1899 |title=Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind |journal=Mathematische Annalen |volume=52 |issue=2–3 |pages=363–368 |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002257599 |jfm=30.0131.01 | mr = 1511061 |doi=10.1007/BF01476165 |언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Classical semi-simple ring}}
* {{eom|title=Semi-simple ring}}
* {{eom|title=Semi-simple algebra}}
* {{eom|title=Wedderburn-Artin theorem}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Semisimple_Artinian_ring|제목=Semisimple Artinian ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{수학노트|title=아틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]