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[[수학]]에서, 실수 체 스칼라를 가진 [[벡터 공간|선형 공간]] <math>V</math>("실수 선형 공간")의 '''복소화'''는 [[복소수]] [[체 (수학)|체]]에 대한 선형 공간 <math>V^{\C}</math>를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간 <math>V</math>에 대한 모든 [[기저 (선형대수학)|기저]]는 또한 복소 선형 공간 <math>V^{\C}</math>에 대한 기저 역할을 할 수 있다.

== 정의 ==
<math>V</math>가 실 선형 공간이라 하자. <math>V</math>의 복소화는 <math>V</math>와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다.

: <math>V^{\Complex}: = V\otimes_{\R} \Complex\,.</math>

텐서 곱에서 아래 첨자 <math>\R</math>은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(<math>V</math>는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로, <math>V^{\Complex}</math> 는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여 <math>V^{\Complex}</math>를 복소 선형 공간으로 변환한다:

: <math>\alpha(v \otimes \beta) = v\otimes(\alpha\beta)\qquad\mbox{ for all } v\in V \mbox{ and }\alpha,\beta \in \Complex.</math>

보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 [[체의 확대|체 확대]] 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다.

[[범주론]]적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]] {{수학|Vect<sub>'''R'''</sub> → Vect<sub>'''C'''</sub>}}이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 [[망각 함자]] {{수학|Vect<sub>'''C'''</sub> → Vect<sub>'''R'''</sub>}}에 대한 왼쪽 [[수반 함자]]이다.

복소 선형 공간 <math>V</math>의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 '''실수화'''라고 부른다.

기저 <math>e_{\mu} </math>를 가진 복소 선형 공간 <math>V</math>의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고

<math>\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}</math>를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.

== 기본적 성질들 ==
텐서 곱의 특성상 <math>V^{\Complex}</math>의 모든 벡터 <math>v</math>는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다:

: <math>v = v_1\otimes 1 + v_2\otimes i</math>

여기서 <math>v_1</math>와 <math>v_2</math>는 <math>V</math>의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.

: <math>v = v_1 + iv_2.\,</math>

복소수 <math>a+bi</math>에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.

: <math>(a+ib)(v_1 + iv_2) = (av_1 - bv_2) + i(bv_1 + av_2).\,</math>

그런 다음 <math>V^{\Complex}</math>를 두 <math>V</math>의 [[직합]]으로 볼 수 있다:

: <math>V^{\Complex} \cong V \oplus i V</math>

복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다.

다음과 같이 주어진 <math>V^{\Complex}</math>에 <math>V</math>의 자연스러운 매장이 있다.

: <math>v\mapsto v\otimes 1.</math>

그러면 선형 공간 <math>V</math>를 <math>V^{\Complex}</math>의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다. <math>V</math>(실수 체에 대해) [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>\{e_{i}\}</math>를 갖는 경우 <math>V^{\Complex}</math>에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해 <math>\{e_{i}\otimes1\}</math>로 주어진다. 따라서 <math>V^{\Complex}</math>의 복소 차원은 <math>V</math>의 실수 차원과 같다.

: <math>\dim_{\Complex} V^{\Complex} = \dim_{\R} V.</math>

또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다.

: <math>V^{\Complex} := V \oplus V,</math>

여기서 <math>V^{\Complex}</math>는 <math>J(v,w) := (-w,v)</math>과 같이 정의된 연산자 <math>J</math>에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서 <math>J</math>는 "<math>i</math>에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로 <math>J</math>는 다음과 같다:

: <math>J = \begin{bmatrix}0 & -I_V \\ I_V & 0\end{bmatrix}.</math>

이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서, <math>V^{\Complex}</math>는 <math>V \oplus JV</math> 또는 <math>V \oplus i V</math>로 쓸 수 있다. <math>V</math>는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.

== 예 ==

* 실수 좌표 공간 <math>\R^n</math>의 복소화는 복소 좌표 공간 <math>\C^n</math>이다.
* 마찬가지로, <math>V</math>가 실수 성분이 포함된 <math>m\times n</math> 행렬로 구성된 경우 <math>V^{\Complex}</math>는 복소수 성분이 포함된 <math>m\times n</math> 행렬로 구성된다.

== 딕슨 배환 ==
<math>\R</math>에서 <math>\C</math>로 이동하는 복소화 과정은 [[레너드 유진 딕슨|레너드 딕슨]]을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상 <math>x^*=x</math>을 <math>\R</math> 에 대한 자명한 [[대합 (수학)|대합]]으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로 <math>\R</math>의 두 복사본을 사용하여, [[켤레 복소수|복소 켤레]]는 <math>z^*=(a,-b)</math>를 사용하여 <math>z=(a,b)</math>를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소 <math>w</math>와 <math>z</math>는 다음과 같이 곱한다.

: <math>w z = (a,b) \times (c,d) = (ac\ - \ d^*b,\ da \ + \ b c^*).</math>

마지막으로, 배가 된 집합에는 '''노름''' <math>N(z):=z^*z</math>가 주어진다. 항등 대합을 사용하여 <math>\R</math>에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름 <math>a^2+b^2</math>를 사용하는 <math>\C</math>이다. <math>\C</math>를 두 배로 하고 켤레 <math>(a,b)^*=(a^*,-b)</math>를 사용하면 [[사원수]]를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 [[팔원수]]가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.

이 과정은 <math>\C</math>와 자명한 대합 {{수학|1=''z''* = ''z''}} 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은 <math>\R</math> 두 배로 하여 <math>\C</math> 를 생성하는 것과는 달리 단순히 {{수학|''z''<sup>2</sup>}}이다. 이 <math>\C</math>가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 [[합성 대수]]라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.

: <math>N(p\,q) = N(p)\,N(q)\,.</math>

== 복소 켤레 ==
복소화된 선형 공간 <math>V^{\Complex}</math>는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. [[표준 형식|표준]] [[켤레 복소수|복소 켤레]] 사상과 함께 제공된다.

: <math>\chi : V^{\Complex} \to \overline{V^{\Complex}}</math>,

:

<math>\chi</math>는 <math>V^{\Complex}\rightarrow V^{\Complex}</math>인 켤레 선형 사상 또는 <math>V^{\Complex} \to \overline{V^{\Complex}}</math>인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.

반대로 복소수 켤레 <math>\chi</math>를 갖는 복소 선형 공간 <math>W</math>이 주어지면 <math>W</math>는 실 부분공간의 복소화 <math>V^{\Complex}</math>에 대한 복소 선형 공간과 동형이다.

: <math>V = \{ w \in W : \chi(w) = w \}.</math>

즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다.

예를 들어, <math>W=\C^n</math>일 때 표준 복소 켤레

: <math>\chi(z_1,\ldots,z_n) = (\bar z_1,\ldots,\bar z_n)</math>

의 불변 부분공간 <math>V</math>는 단순히 실 부분공간 <math>\R^n</math>이다.

== 선형 변환 ==
두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 [[선형 변환]] <math>f:V\rightarrow W</math>에 대해 자연 복소 선형 변환

: <math>f^{\Complex} : V^{\Complex} \to W^{\Complex}</math>

이 있다. 여기서

: <math>f^{\Complex}(v\otimes z) = f(v)\otimes z.</math>

사상 <math>f^{\Complex}</math>는 <math>f</math>의 '''복소화'''라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다:

* <math>(\mathrm{id}_V)^{\Complex} = \mathrm{id}_{V^{\Complex}}</math>
* <math>(f \circ g)^{\Complex} = f^{\Complex} \circ g^{\Complex}</math>
* <math>(f+g)^{\Complex} = f^{\Complex} + g^{\Complex}</math>
* <math>(a f)^{\Complex} = a f^{\Complex} \quad \forall a \in \R</math>

[[범주론]]에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) [[함자 (수학)|함자]]를 정의한다고 말한다.

사상 <math>f^{\Complex}</math>는 켤레와 사용하여 교환하므로 <math>V^{\Complex}</math>의 실 부분 공간을 <math>W^{\Complex}</math>의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 {{수학|''f''}} 를 통해). 또한 복소 선형 사상 <math>g:V^{\C}\rightarrow W^{\C}</math>는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다.

예를 들어 <math>n\times m</math> [[행렬]]로 생각되는 선형 변환 <math>\R^n\rightarrow \R^m</math>을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만 <math>\C^n\rightarrow \C^m</math>인 선형 사상으로 여겨진다.

== 쌍대 공간과 텐서 곱 ==
실 선형 공간 <math>V</math>의 쌍대공간은 <math>V\rightarrow \R</math>인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간 <math>V^*</math>이다. <math>V^*</math>의 복소화는 당연히 <math>V\rightarrow \C</math>인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간<math>\text{Hom}_{\R}(V,\C)</math>으로 생각할 수 있다. 즉,<math display="block">(V^*)^{\Complex} = V^*\otimes \Complex \cong \mathrm{Hom}_{\Reals}(V,\Complex). </math>동형은 다음과 같이 주어진다.<math display="block">(\varphi_1\otimes 1 + \varphi_2\otimes i) \leftrightarrow \varphi_1 + i \varphi_2 </math>여기서 <math>\varphi_1, \varphi_2</math>는 <math>V^*</math>의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.<math display="block">\overline{\varphi_1 + i\varphi_2} = \varphi_1 - i \varphi_2. </math>주어진 실 선형 사상 <math>\varphi:V\rightarrow\C</math>에 대해 복소 선형 사상 <math>\varphi:V^{\C}\rightarrow\C</math>를 얻기 위해 [[선형 변환|선형으로 확대]]할 수 있다. 즉,<math display="block">\varphi(v\otimes z) = z\varphi(v). </math>이 확대는 <math>\text{Hom}_{\R}(V,\C)</math>에서 <math>\text{Hom}_{\C}(V^{\C},\C)</math>까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지 <math>V^{\Complex}</math>에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은 [[자연 변환|자연스러운 동형사상]]이 있다:<math display="block">(V^*)^{\Complex} \cong (V^{\Complex})^*. </math>더 일반적으로, 실 선형 공간 <math>V</math>와 <math>W</math>가 주어지면 자연스러운 동형사상<math display="block">\mathrm{Hom}_{\Reals}(V,W)^{\Complex} \cong \mathrm{Hom}_{\Complex}(V^{\Complex},W^{\Complex}) </math>이 있다. 복소화는 또한 [[텐서곱|텐서 곱]], [[외대수|외승]] 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어, <math>V</math>와 <math>W</math>가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상<math display="block">(V \otimes_{\Reals} W)^{\Complex} \cong V^{\Complex} \otimes_{\Complex} W^{\Complex}\, </math>이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는<math display="block">(\Lambda_{\Reals}^k V)^{\Complex} \cong \Lambda_{\Complex}^k (V^{\Complex}). </math>모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.

== 같이 보기 ==

* 스칼라의 확장 - 일반적 과정
* 선형 복소 구조
* 베이커–캠벨–하우스도르프 공식

== 각주 ==
{{각주}}

* {{서적 인용|제목=Finite-Dimensional Vector Spaces|성=Halmos|이름=Paul|저자링크=Paul Halmos|연도=1974|출판사=Springer|쪽기타=p&nbsp;41 and §77&nbsp;Complexification, pp&nbsp;150–153|원본연도=1958|isbn=0-387-90093-4}}
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/linearalgebragro0000shaw/page/196|제목=Linear Algebra and Group Representations|성=Shaw|이름=Ronald|연도=1982|권=I: Linear Algebra and Introduction to Group Representations|출판사=Academic Press|쪽=[https://archive.org/details/linearalgebragro0000shaw/page/196 196]|isbn=0-12-639201-3}}
* {{서적 인용|제목=Advanced Linear Algebra|성=Roman|이름=Steven|연도=2005|판=2nd|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=135|출판사=Springer|위치=New York|isbn=0-387-24766-1}}

[[분류:벡터 공간]]
[[분류:복소다양체]]