{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''위상 공간'''(位相空間, {{llang|en|topological space}})은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 [[공간]]이다. 이를 사용하여, 함수의 [[연속 함수|연속성]]이나 [[수열의 극한]], 집합의 [[연결 공간|연결성]] 등을 정의할 수 있다.

위상 공간의 개념은 [[위상수학]] 및 이를 기초로 하는 [[기하학]] · [[해석학 (수학)|해석학]]에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 [[일반위상수학]]이라고 한다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math> 위의 '''위상'''(位相, {{llang|en|topology}})은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.
* (열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]]들의 모임 <math>\mathcal T\subseteq\mathcal P(X)</math>. 이 경우, <math>\mathcal T</math>의 원소들을 '''[[열린집합]]'''이라고 한다.
**  <math>\varnothing,X\in\mathcal T</math>
** 만약 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal T</math>라면, <math>\bigcup\mathcal S\in\mathcal T</math>
** 만약 <math>U,V\in\mathcal T</math>라면, <math>U\cap V\in\mathcal T</math>
* (닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]]들의 모임 <math>\mathcal C\subseteq\mathcal P(X)</math>. 이 경우, <math>\mathcal C</math>의 원소들을 '''[[닫힌집합]]'''이라고 한다.
**<math>\varnothing,X\in\mathcal C</math>
** 만약 <math>\mathcal S\subseteq\mathcal C</math>라면, <math>\bigcap\mathcal S\in\mathcal C</math>
** 만약 <math>C,D\in\mathcal C</math>라면, <math>C\cup D\in\mathcal C</math>
* (근방을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\mathcal N\colon X\to\mathcal P(\mathcal P(X))</math>. 이 경우 <math>\mathcal N\colon x\mapsto\mathcal N_x</math>로 쓰고, <math>\mathcal N_x</math>의 원소를 <math>x</math>의 '''[[근방]]'''이라고 한다.
** 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>X\in\mathcal N_x</math>
** 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, 만약 <math>N\in\mathcal N_x</math>라면 <math>x\in N</math>
** 만약 <math>N\in\mathcal N_x</math>이며 <math>N\subseteq S\subseteq X</math>라면, <math>S\in\mathcal N_x</math>
** 만약 <math>M,N\in\mathcal N_x</math>라면 <math>M\cap N\in\mathcal N_x</math>
** 만약 <math>N\in\mathcal N_x</math>라면, <math>N\in\mathcal N_y\qquad\forall y\in M</math>인 <math>M\in\mathcal N_x</math>가 존재한다.
* (폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)</math>. 이 경우, <math>\operatorname{cl}S</math>를 <math>S</math>의 '''[[폐포 (위상수학)|폐포]]'''라고 한다.
** <math>\operatorname{cl}\varnothing = \varnothing</math>
** 모든 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>A\subseteq\operatorname{cl} A</math>
** 모든 <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B)</math>
** 모든 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}(\operatorname{cl}A) = \operatorname{cl}A</math>
* (내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\operatorname{int}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)</math>. 이 경우, <math>\operatorname{int}S</math>를 <math>S</math>의 '''[[내부 (위상수학)|내부]]'''라고 한다.
** <math>\operatorname{int}X = X</math>
** 모든 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>A\supseteq\operatorname{int}A</math>
** 모든 <math>A,B\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)</math>
** 모든 <math>A\subseteq X</math>에 대하여, <math>\operatorname{int}(\operatorname{int}A) = \operatorname{int}A</math>

이 정의들은 서로 [[동치]]이다.
* 열린집합을 사용한 정의에서,
** '''[[닫힌집합]]'''은 [[열린집합]]의 여집합이다.
** <math>x</math>의 '''[[근방]]'''의 모임은 <math>\mathcal N_x=\{S\subset X\colon\exists U\in\mathcal T\colon x\in U\subseteq S\}</math>이다.
** 집합 <math>S</math>의 '''[[폐포 (위상수학)|폐포]]'''는 <math>\operatorname{cl}S=\bigcap\{X\setminus U\colon U\in\mathcal T,\;U\cap S=\varnothing\}</math>이다.
** 집합 <math>S</math>의 '''[[내부 (위상수학)|내부]]'''는 <math>\operatorname{int}S=\bigcup\{U\in\mathcal T\colon U\subseteq S\}</math>이다.
* 닫힌집합을 사용한 정의에서, '''[[열린집합]]'''은 닫힌집합의 여집합이다.
* 근방을 사용한 정의에서, '''[[열린집합]]'''은 <math>\forall x\in U\colon U\in\mathcal N_x</math> 인 집합 <math>U</math>이다.
* 폐포를 사용한 정의에서, '''[[열린집합]]'''은 <math>\operatorname{cl}(X\setminus U)=X\setminus U</math>인 집합 <math>U</math>이다.
* 내부를 사용한 정의에서, '''[[열린집합]]'''은 <math>\operatorname{int}(U)=U</math>인 집합 <math>U</math>이다.
즉, [[근방]] · [[열린집합]] · [[닫힌집합]] · [[폐포 (위상수학)|폐포]] · [[내부 (위상수학)|내부]] 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다.

'''위상 공간''' <math>(X,\mathcal T)</math>은 위상을 갖춘 집합이다.

=== 위상의 비교 ===
{{본문|위상의 비교}}
같은 집합 <math>X</math> 위의 두 위상 <math>\mathcal T_1</math>, <math>\mathcal T_2</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 만약 이 조건이 성립한다면 <math>\mathcal T_1</math>이 <math>\mathcal T_2</math>보다 '''더 섬세하다'''(-纖細-, {{llang|en|finer}})고 하며, 반대로 <math>\mathcal T_2</math>가 <math>\mathcal T_1</math>보다 '''더 거칠다'''({{llang|en|coarser}})고 한다.
* <math>\mathcal T_2\subseteq\mathcal T_1</math>. 즉, 모든 <math>\mathcal T_2</math>-열린 집합은 <math>\mathcal T_1</math>-열린 집합이다.
* 모든 <math>\mathcal T_2</math>-닫힌집합은 <math>\mathcal T_1</math>-닫힌집합이다.
* <math>\mathcal T_1</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B_1</math> 및 <math>\mathcal T_2</math>의 기저 <math>\mathcal B_2</math>가 주어졌을 때, 모든 <math>x\in X</math> 및 <math>x\in B_2\in\mathcal B_2</math>에 대하여, <math>x\in B_1\subseteq B_2</math>인 <math>B_1\in\mathcal B_1</math>이 존재한다.

== 성질 ==
=== 격자론적 성질 ===
주어진 위상 공간 <math>(X,\mathcal T)</math>의 열린집합들은 [[완비 격자|완비]] [[헤이팅 대수]]를 이룬다. 즉, 위상 공간은 [[직관 논리]]의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 [[양상 논리]] S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 <math>\Box</math>(필연 기호)는 집합의 [[내부 (위상수학)|내부]]에, 양상 기호 <math>\Diamond</math>(개연 기호)는 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]에 대응한다.

주어진 집합 <math>X</math> 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 [[완비 격자|완비]] [[유계 격자|유계]] [[격자 (순서론)|격자]]를 이룬다. 이 격자의 [[최대 원소]](즉, 가장 섬세한 위상)는 [[이산 위상]]이며, [[최소 원소]](즉, 가장 거친 위상)는 [[비이산 위상]]이다.

주어진 집합 <math>X</math> 위의 위상들의 족 <math>\{\mathcal T_i\}_{i\in I}</math>의 [[하한]](만남)은
:<math>\bigwedge_i\mathcal T_i=\bigcap_i\mathcal T_i</math>
이다. 주어진 집합 <math>X</math> 위의 위상들의 족 <math>\{\mathcal T_i\}_{i\in I}</math>의 [[상한]](이음)은 <math>\bigcup_{i\in I}\mathcal T_i</math>를 [[기저 (위상수학)|기저]]로 하는 위상이다.

=== 범주론적 성질 ===
위상 공간과 [[연속 함수]]들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루며, 이 범주를 <math>\operatorname{Top}</math>이라고 한다. 이 경우, 망각 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>F\colon (X,\mathcal T)\mapsto X</math>
를 통해, <math>\operatorname{Top}</math>은 [[구체적 범주]]를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 [[수반 함자]]를 갖는다.
:<math>D\dashv F\dashv I</math>
여기서
:<math>D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>D\colon X\mapsto(X,\mathcal P(X))</math>
은 집합을 [[이산 공간]]으로 대응시키고,
:<math>I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>I\colon X\mapsto(X,\{\varnothing,X\})</math>
는 집합을 [[비이산 공간]]으로 대응시킨다.

<math>\operatorname{Top}</math>은 [[완비 범주]]이며 [[쌍대 완비 범주]]이다. 즉, 모든 작은 (= [[고유 모임]] 크기가 아닌) [[극한 (범주론)|극한]]과 [[쌍대극한]]이 존재한다. [[시작 대상]]은 (유일한 위상을 갖춘) [[공집합]] <math>(\varnothing,\{\varnothing\})</math>이며, [[끝 대상]]은 [[한원소 공간]] <math>(\{\bullet\},\{\varnothing,\{\bullet\}\})</math>이다.

== 예 ==
[[파일:Topological space examples.svg|frame|right|집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다.]]
[[유한 집합]] 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 ''X'' = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\}\}</math> ([[비이산 위상]])
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1\}\}</math>
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}</math>
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{2\}\}</math>
그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}</math>은 {2}와 {3}의 [[합집합]]인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다.
* <math>\{\varnothing,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}</math>은 {1, 2}와 {2, 3}의 [[교집합]]인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.

좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.
* [[전순서]]가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''[[순서 위상]]'''을 정의할 수 있다. [[실수]]의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
* [[거리 함수]]가 주어졌을 때, 이를 사용하여 '''[[거리 위상]]'''을 정의할 수 있다. [[실수]]의 집합이나 [[복소수]]의 집합 위에, 두 수의 차의 [[절댓값]]은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.
* 어떤 집합을 [[곱집합]] <math>\textstyle\prod_iS_i</math>로 나타내었을 때, 각 <math>S_i</math>에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 '''[[곱위상]]'''이라는 위상을 줄 수 있다.
* [[동치관계]]가 주어져있을 때, 이에 대한 [[몫집합]]에 [[몫위상|'''몫위상''']]을 정의할 수 있다. 이는 기하적으로 서로 다른 점을 같게하여 붙인다라는 개념을 줄 수 있다.
* 어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 <math>\mathcal S</math>가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 '''[[기저 (위상수학)|부분 기저]]'''라고 한다.
* 어떤 집합 <math>S</math>를 다른 집합의 [[부분 집합]] <math>\iota\colon S\hookrightarrow T</math>으로 나타내었을 때, <math>T</math>에 위상이 존재한다면 이로부터 <math>S</math> 위에 '''[[부분공간 위상]]'''을 정의할 수 있다.
* 아무런 구조 없는 집합 <math>S</math> 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.
** 모든 집합을 열린집합으로 하는 '''[[이산 위상]]'''
** 공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 '''[[비이산 위상]]'''
** [[쌍대 유한 집합]] 및 [[공집합]]이 열린집합인 '''쌍대 유한 위상'''({{llang|en|cofinite topology}})
** 보다 일반적으로, 임의의 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, <math>|S\setminus U|<\kappa</math>인 집합 <math>U</math> 및 공집합이 열린집합인 위상

== 관련 개념 ==
=== 특별한 위상 공간 ===
위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 분리성 || 가산성 || 연결성 || 콤팩트성 || 기타 성질
|-
|
* [[콜모고로프 공간]]
* [[T1 공간]]
* [[하우스도르프 공간]]
* [[정칙 공간]]
* [[티호노프 공간]]
* [[정규 공간]]
| 
* [[제1 가산 공간]]
* [[제2 가산 공간]]
* [[분해 가능 공간]]
|
* [[연결 공간]]
* [[국소 연결 공간]]
* [[단일 연결 공간]]
* [[축약 가능 공간]]
|
* [[콤팩트 공간]]
* [[국소 콤팩트 공간]]
* [[파라콤팩트 공간]]
* [[점렬 콤팩트 공간]]
* [[메조콤팩트 공간]]
* [[메타콤팩트 공간]]
* [[린델뢰프 공간]]
|
* [[거리화 가능 공간]]
* [[다양체]]
* [[폴란드 공간]]
* [[CW 복합체]]
|}

=== 추가 구조 ===
위상 공간은 [[근방]]의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.
* 두 점 사이의 거리의 개념을 추가하면, '''[[거리 공간]]'''을 얻는다.
* 집합의 넓이 · 부피의 개념을 추가하면, '''[[보렐 집합|보렐]] [[측도 공간]]''' 또는 '''[[라돈 측도|라돈 측도 공간]]'''을 얻는다.
* [[매끄러운 함수]]의 개념을 추가하면, '''[[매끄러운 다양체]]'''를 얻는다.
* [[군 (수학)|군]]의 구조를 추가하면, '''[[위상군]]'''을 얻는다. 더하여서 [[매끄러움 구조]]를 추가하면 '''[[리 군]]'''이 된다.
* [[환 (수학)|환]]의 구조를 추가하면, '''[[위상환]]'''을 얻는다.
* [[벡터 공간]]의 구조를 추가하면, '''[[위상 벡터 공간]]'''을 얻는다.

=== 일반화 ===
위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, [[대수기하학]]에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 [[부분 순서 집합]]을 [[범주 (수학)|범주]]로 추상화하여, [[덮개 (위상수학)|덮개]]의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 [[범주 (수학)|범주]] 위의 '''[[그로텐디크 위상]]'''의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 [[층 (수학)|층]]들의 범주의 성질을 공리화하면 '''[[토포스]]'''의 개념을 얻는다.

[[범주론]] 대신, 위상 공간의 열린집합들의 [[격자 (순서론)|격자론]]적 성질([[완비 격자|완비]] [[헤이팅 대수]])을 공리화하면 '''[[장소 (수학)|장소]]'''({{llang|en|locale}})라는 개념을 얻는다.

== 역사 ==
1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, [[열린집합]]은 [[거리 공간]]에 대해서만 정의되었다. 1908년에 [[리스 프리제시]]는 거리 함수를 사용하지 않고, [[수열의 극한]]을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,<ref>{{서적 인용|장=Stetigkeitsbegriff und abstrakt Mengenlehre|성=Riesz|이름=F.|저자링크=리스 프리제시|제목=Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908)|날짜=1909|출판사=Accademia Nazionale dei Lincei|언어=de}}</ref> 1914년에 [[펠릭스 하우스도르프]]는 [[근방]]의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.<ref>{{서적 인용|성=Hausdorff|이름= F.|저자링크=펠릭스 하우스도르프|제목= Grundzüge der Mengenlehre|위치=[[라이프치히]]|출판사=von Veit|날짜=1914|jfm=45.0123.01|zbl=1175.01034|언어=de}}</ref> 하우스도르프의 정의에는 오늘날 [[하우스도르프 공간]]의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주}}
* {{서적 인용|저자=박대희|공저자=안승호|제목=위상수학|판=3판|출판사=경문사|날짜=2013|isbn=978-89-6105-668-7|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6600|언어=ko|access-date=2015-01-25|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129022346/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=6600|url-status=}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[열린집합]]
* [[닫힌집합]]
* [[내부 (위상수학)]]
* [[폐포 (위상수학)]]
* [[기저 (위상수학)]]
* [[근방]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topological space}}
* {{eom|title=Topological structure (topology)}}
* {{매스월드|id=TopologicalSpace|title=Topological space}}
* {{매스월드|id=Topology|title=Topology}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/topological+space|제목=Topological space|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Top|제목=Top|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Topological_space|제목=Topological space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 공간| ]]