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[[수학]]에서, 어떤 [[집합]]의 그 위의 [[관계]]에 대한 '''닫힘'''({{llang|en|closure}})은 그 집합의 원소와 관계가 있는 원소가 항상 그 집합에 속한다는 성질이다. 어떤 집합의 어떤 성질에 대한 '''폐포'''(閉包, {{llang|en|closure}})는 그 집합을 포함하면서 그 성질을 만족시키는 가장 작은 대상이다. 여기서 다루는 성질은 보통 닫힘 성질이다. 폐포의 기호는 <math>\operatorname{cl}X</math> 또는 <math>\bar X</math>.

== 정의 ==
=== 닫힘 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 <math>S</math>
* <math>S\cup\{\bullet\}</math> 위의 '<math>{\operatorname{Ord}}+1</math>항 관계' <math>R\subset(S\cup\{\bullet\})^{\times({\operatorname{Ord}}+1)}</math>. 단, 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>r_\operatorname{Ord}\in S</math>이며, <math>r_\alpha\not\in S\implies r_\beta\not\in S\forall\alpha<\beta<\operatorname{Ord}</math>
** 특히, <math>\alpha<\operatorname{Ord}</math>에 대하여, <math>S</math> 위의 <math>\alpha+1</math>항 관계를 위 조건 및 <math>\min\{\beta\colon r_\beta\not\in S\}=\alpha</math>를 만족시키는 '<math>{\operatorname{Ord}}+1</math>항 관계'로 여길 수 있다. 또한, <math>\alpha</math>항 연산은 자연스럽게 <math>\alpha+1</math>항 관계로 여길 수 있다.
만약 <math>S</math>의 부분 집합 <math>T\subset S</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>T</math>가 '''<math>R</math>에 대하여 닫혀있다'''({{llang|en|closed under <math>R</math>}})고 한다.
* 임의의 <math>(t_\alpha)_{\alpha<\operatorname{Ord}}\subset T\cup\{\bullet\}</math> 및 <math>t_\operatorname{Ord}\in S</math>에 대하여, <math>(t_\alpha)_{\alpha\le\operatorname{Ord}}\in R</math>이면 <math>t_\operatorname{Ord}\in T</math>
보다 일반적으로, 위 조건을 만족시키는, <math>S\cup\{\bullet\}</math> 위의 '<math>{\operatorname{Ord}}+1</math>항 관계'의 집합 <math>\mathcal R</math>가 주어졌을 때, <math>T\subset S</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''<math>\mathcal R</math>에 대하여 닫혀있다'''({{llang|en|closed under <math>\mathcal R</math>}})고 한다.
* <math>T</math>는 <math>\bigcup\mathcal R</math>에 대하여 닫혀있다.
** 즉, 임의의 <math>R\in\mathcal R</math>에 대하여, <math>T</math>는 <math>R</math>에 대하여 닫혀있다.

=== 폐포 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 집합 <math>S</math>
* <math>S</math>의 부분 집합들에 대한 성질 <math>P\subset\mathcal P(S)</math>
<math>S</math>의 부분 집합 <math>T\subset S</math>의 <math>P</math>에 대한 '''폐포''' <math>\operatorname{cl}_PT</math>는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
* <math>T\subset\operatorname{cl}_PT\in P</math>
* 임의의 <math>T\subset U\in P</math>에 대하여, <math>\operatorname{cl}_PT\subset U</math>
폐포는 존재하지 않을 수 있으며, 존재한다면 유일하다. <math>P</math>가 어떤 관계(또는 관계 집합)에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 성질일 경우, 폐포는 반드시 존재하며, <math>T</math>에 <math>T</math>의 원소와 관계 있는 원소들을 추가하고, 이렇게 얻은 집합의 원소들과 관계 있는 원소들을 추가하는 과정을 계속하여 얻는다.

== 예 ==
=== 위상수학 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>Y\subset X</math>가 다음 <math>|X|+1</math>항 관계 <math>R</math>에 대하여 닫혀있다면, <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이라고 한다. 임의의 <math>x_0,x_1,\dots,x_{|X|}\in X</math>에 대하여,
:<math>(x_0,x_1,\dots,x_{|X|})\in R\iff x_{|X|}\in\operatorname{acc\,pt}_2(\{x_\alpha\}_{\alpha<|X|})</math>
여기서 <math>\operatorname{acc\,pt}_2</math>는 극한점의 집합의 기호이다. 즉 닫힌집합은 극한점을 취하는 행위에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. <math>X</math>의 부분 집합 <math>Y\subset X</math>에 대하여, 최소 닫힌집합 <math>Y\subset\operatorname{cl}Y\subset X</math>를 <math>Y</math>의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]라고 한다.

비슷하게, [[점렬 닫힌집합]]과 [[점렬 폐포]]를 정의할 수 있다. [[점렬 닫힌집합]]은 다음과 같은, 점렬 극한을 취하는 <math>\omega+1</math>항 관계 <math>R</math>에 대하여 닫혀있는 부분 집합이다. 임의의 <math>x_0,x_1,\dots,x_\omega\in X</math>에 대하여,
:<math>(x_0,x_1,\dots,x_\omega)\in R\iff x_n\to x_\omega</math>

=== 대수학 ===
[[군]] <math>G</math>의 부분 집합 <math>H\subset G</math>가 군의 연산 집합 <math>\{1_G,\cdot,{}^{-1}\}</math>에 대하여 닫혀있다면, <math>G</math>의 [[부분군]]이라고 한다. <math>S\subset G</math>에 대하여, 최소 부분군 <math>S\subset\langle S\rangle\subset G</math>를 <math>S</math>로 생성되는 군이라고 한다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>의 [[부분체]] <math>K/L</math>이 <math>K</math> 속에서 <math>L</math> 위의 다항식의 근을 구하는 행위에 대하여 닫혀있다면, <math>L</math> 역시 [[대수적으로 닫힌 체]]이다. 부분체
<math>K/L</math>의 [[대수적 폐포]] <math>\bar L</math>는 최소 대수적으로 닫힌 체 <math>K/\bar L/L</math>이다. <math>L</math>이 <math>K</math>의 부분체라는 제한을 없앨 경우, 대수적 폐포는 유일하지 않으며, 대신 동형 아래 유일하다.

=== 집합론 ===
집합 <math>X</math>가 (모든 집합의 모임 <math>V</math> 위의) 원소 관계 <math>\in</math>에 대하여 닫혀있다면, [[추이적 집합]]이라고 한다. 집합 <math>X</math>에 대하여, 최소 추이적 집합 <math>X\subset\operatorname{cl_{trn}}X\subset V</math>를 <math>X</math>의 [[추이적 폐포]]라고 한다.

집합 <math>S</math> 위의 [[이항 관계]] <math>R\subset S\times S</math>가 <math>S\times S</math> 위의 일항 관계 <math>\{(s,s)|s\in S\}\subset S\times S</math>에 대하여 닫혀있다면, 즉, <math>\{(s,s)|s\in S\}\subset R</math>이라면, [[반사 관계]]라고 한다. 이항 관계 <math>R\subset S\times S</math>에 대하여, 최소 반사 관계 <math>R\subset\operatorname{cl_{ref}}R\subset S\times S</math>를 <math>R</math>의 [[반사 폐포]]라고 한다. 비슷하게, [[대칭 관계]] · [[대칭 폐포]] · [[추이적 관계]] · [[추이적 관계|추이적 폐포]] · [[동치 관계]] · [[동치 폐포]]를 정의할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[폐포 연산자]]

[[분류:폐포 연산자]]