{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''부분 적분'''(部分積分, {{llang|en|integration by parts}})은 두 함수의 곱을 [[적분]]하는 기법이다.<ref name="Larson">{{서적 인용
|성1=Larson
|이름1=Ron
|성2=Edwards
|이름2=Bruce
|제목=Calculus: Early Transcendental Functions
|언어=en
|판=6
|출판사=Cengage Learning
|위치=Boston, MA
|날짜=2013
|isbn=978-1-285-77477-0
|lccn=2013949101
}}</ref><ref name="Lax">{{서적 인용
|성1=Lax
|이름1=Peter D.
|성2=Terrell
|이름2=Maria Shea
|제목=Calculus With Applications
|언어=en
|판=2
|시리즈=Undergraduate Texts in Mathematics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2014
|isbn=978-1-4614-7945-1
|doi=10.1007/978-1-4614-7946-8
|lccn=2013946572
}}</ref><ref name="Stewart2018">{{서적 인용
|성=Stewart
|이름=Seán M.
|제목=How to Integrate It
|언어=en
|출판사=Cambridge University Press
|날짜=2018-02
|isbn=978-1-108-41881-2
|doi=10.1017/9781108291507
}}</ref><ref name="wusj1">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref><ref name="wusj2">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第二册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2010-02
|isbn=978-7-301-15876-0
}}</ref>

== 정의 ==
{{참고|부정적분#부분 적분|리만 적분#부분 적분}}
만약 <math>I\subseteq\mathbb R</math>가 구간이며 <math>u,v\colon I\to\mathbb R</math>가 [[연속 미분 가능 함수]]라면 ([[도함수]] <math>u',v'</math>가 [[연속 함수]]라면), 다음이 성립한다.<ref name="Lax" />{{rp|292}}
:<math>\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx</math>
이를 <math>u'(x)\mathrm dx=\mathrm du</math> 및 <math>v'(x)\mathrm dx=\mathrm dv</math>를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.
:<math>\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du</math>
만약 <math>u,v\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 [[연속 미분 가능 함수]]라면, 다음이 성립한다.<ref name="Lax" />{{rp|292, Theorem 7.1}}
:<math>\begin{align}\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx
&=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx\\
&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx
\end{align}</math>

=== 증명 ===
[[곱의 법칙 (미적분학)|곱의 법칙]]에 따라 다음이 성립한다.
:<math>uv'=(uv)'-u'v</math>
양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.<ref name="Stewart2018" />{{rp|79}}
:<math>\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx</math>
또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.<ref name="Lax" />{{rp|292}}
:<math>\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx</math>

=== LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙) ===
이 명제에서는 주어진 적분에서 <math>u</math>와 <math>\mathrm dv</math>를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 <math>u</math>로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 <math>v'</math>으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 [[로그 함수]], [[역삼각 함수]], [[대수적 함수]], [[삼각 함수]], [[지수 함수]]에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 <math>u</math>로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙({{llang|en|LIATE rule}})이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.<ref name="Kasube">{{저널 인용
|성=Kasube
|이름=Herbert E.
|제목=A Technique for Integration by Parts
|언어=en
|저널=The American Mathematical Monthly
|권=90
|호=3
|쪽=210-211
|날짜=1983-03
|issn=0002-9890
|doi=10.2307/2975556
|jstor=2975556
}}</ref> 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

=== 따름정리 ===
만약 <math>I\subseteq\mathbb R</math>가 구간이며 <math>u,v\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>n</math>번 연속 미분 가능 함수라면 (<math>n</math>계 도함수 <math>u^{(n)},v^{(n)}</math>이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.<ref name="Stewart2018" />{{rp|101, Exercise 46}}
:<math>\int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm dx=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^n\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm dx</math>
이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

== 예 ==
=== 첫째 예 ===
부정적분
:<math>\int x^2\ln x\mathrm dx</math>
을 구하자. <math>u=\ln x</math>이며 <math>\mathrm dv=x^2\mathrm dx</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=(\mathrm dx)/x</math>이며 (상수차를 무시하면) <math>v=x^3/3</math>이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.<ref name="Larson" />{{rp|516, Example 2}}
:{|
|<math>\int x^2\ln x\mathrm dx</math>
|<math>=\frac{x^3}3\ln x-\frac 13\int x^2\mathrm dx</math>
|-
|
|<math>=\frac{x^3}3\ln x-\frac 19x^3+C</math>
|}

=== 둘째 예 ===
부정적분
:<math>\int\arcsin x\mathrm dx</math>
를 구하자. <math>u=\arcsin x</math>이며 <math>\mathrm dv=\mathrm dx</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=(\mathrm dx)/\sqrt{1-x^2}</math>이며 <math>v=x</math>이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.<ref name="Stewart2018" />{{rp|87, Example 7.10}}
:{|
|<math>\int\arcsin x\mathrm dx</math>
|<math>=x\arcsin x-\int\frac x{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx</math>
|-
|
|<math>=x\arcsin x+\frac 12\int\frac{\mathrm d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}</math>
|-
|
|<math>=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C</math>
|}

=== 셋째 예 ===
부정적분
:<math>\int x^2\sin x\mathrm dx</math>
을 구하자. <math>u=x^2</math>이며 <math>\mathrm dv=\sin x\mathrm dx</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=2x</math>이며 <math>v=-\cos x</math>이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
:<math>\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm dx</math>
우변의 마지막 항의 적분에서 <math>u=x</math>, <math>\mathrm dv=\cos x\mathrm dx</math>, <math>\mathrm du=\mathrm dx</math>, <math>v=\sin x</math>라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
:{|
|<math>\int x\cos x\mathrm dx</math>
|<math>=x\sin x-\int \sin x\mathrm dx</math>
|-
|
|<math>=x\sin x+\cos x+C</math>
|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.<ref name="Larson" />{{rp|518, Example 4}}
:<math>\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C</math>

=== 넷째 예 ===
부정적분
:<math>\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx</math>
을 구하자. <math>u=\sqrt{x^2-1}</math>이며 <math>\mathrm dv=\mathrm dx</math>라고 하자. 그러면 <math>\mathrm du=(x/\sqrt{x^2-1})\mathrm dx</math>이며 <math>v=x</math>이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.<ref name="wusj1" />{{rp|}}
:{|
|<math>\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx</math>
|<math>=x\sqrt{x^2-1}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx</math>
|-
|
|<math>=x\sqrt{x^2-1}-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx-\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
|
|<math>=x\sqrt{x^2-1}-\ln|x+\sqrt{x^2-1}|-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx</math>
|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.<ref name="wusj1" />{{rp|256, 예6.2.21}}
:<math>\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx=\frac 12x\sqrt{x^2-1}-\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C</math>

=== 다섯째 예 ===
다음과 같은 두 적분을 구하자.
:<math>\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx</math>
:<math>\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx</math>
이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
:{|
|<math>\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx</math>
|<math>=\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\sin bx)</math>
|-
|
|<math>=\frac 1be^{ax}\sin bx-\frac ab\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx</math>
|-
|}
:{|
|<math>\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx</math>
|<math>=-\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\cos bx)</math>
|-
|
|<math>=-\frac 1be^{ax}\cos bx+\frac ab\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx</math>
|}
즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.
:<math>b\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\sin bx</math>
:<math>a\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\cos bx</math>
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.<ref name="wusj1" />{{rp|256, 예6.2.22}}
:<math>\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C</math>
:<math>\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C</math>

=== 여섯째 예 ===
다음과 같은 적분을 구하자.
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}\qquad(a>0)</math>
다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}</math>
|<math>=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^2}\mathrm dx</math>
|-
|
|<math>=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}-2a^2\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}</math>
|}
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.<ref name="wusj1" />{{rp|258, 예6.2.26}}
:{|
|<math>\int\frac{\mathrm dfx}{(x^2+a^2)^2}</math>
|<math>=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}</math>
|-
|
|<math>=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^3}\arctan\frac xa+C</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[부정적분#부분 적분]]
* [[리만 적분#부분 적분]]
* [[아벨 변환]]
* [[아벨의 합 공식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=부분적분}}
* {{eom|title=Integration by parts}}
* {{매스월드|id=IntegrationbyParts|tiltle=Integration by parts}}

{{전거 통제}}

[[분류:적분학]]