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[[범주론]]에서 '''이차 범주'''(二次範疇, {{llang|en|bicategory}})는 [[범주 (수학)|범주]]의 개념과 [[모노이드 범주]]의 개념의 공통적인 일반화이다.

== 정의 ==
'''이차 범주'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>. 그 원소를 '''0차 세포'''(零次細胞, {{llang|en|0-cell}})라고 한다.
* 임의의 두 0차 세포 <math>X,Y\in \operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C(X,Y)</math>.
** 이 범주의 대상 <math>f\in\operatorname{Ob}(\mathcal C(X,Y))</math>은 <math>f\colon X\to Y</math>인 '''1차 세포'''(一次細胞, {{llang|en|1-cell}})라고 한다.
** 이 범주의 사상 <math>\alpha\colon f\Rightarrow g</math>은 (두 1차 세포 사이의) '''2차 세포'''(二次細胞, {{llang|en|2-cell}})라고 한다.
** <math>\mathcal C(X,Y)</math>의 사상의 합성을 2차 세포의 '''수직 합성'''(垂直合成, {{llang|en|vertical composition}})이라고 한다.
** <math>\mathcal C(X,Y)</math>의 [[항등 사상]]을 1차 세포의 '''항등 2차 세포'''(恒等二次細胞, {{llang|en|identity 2-cell}})라고 한다.
* 임의의 세 0차 세포 <math>X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[함자 (수학)|함자]] <math>(\otimes_{X,Y,Z})\colon \mathcal C(Y,Z) \times\mathcal C(X,Y) \to \mathcal C(X,Z)</math>. 이를 '''수평 합성 함자'''(水平合成函子, {{llang|en|horizontal composition functor}})라고 한다. 수평 합성 함자의, 대상에 대한 상을 1차 세포의 '''합성'''이라고 하며, 사상에 대한 상을 2차 세포의 '''수평 합성'''(水平合成, {{llang|en|horizontal composition of 2-cells}})이라고 한다.
* 임의의 0차 세포 <math>X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, 1차 세포 <math>\operatorname{id}_X \in \mathcal C(X,X)</math>. 이를 '''항등 1차 세포'''(恒等一次細胞, {{llang|en|identity 1-cell}})라고 한다.
* 임의의 두 0차 세포 <math>X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[자연 동형]] <math>\lambda_{\mathcal C(X,Y)} \colon \operatorname{Id}_{\mathcal C(X,Y)} \Rightarrow \operatorname{Id}_{\mathcal C(X,Y)}\circ\operatorname{Const}_{\operatorname{id}_X}</math> 및 <math>\rho_{\mathcal C(X,Y)} \colon \operatorname{Id}_{\mathcal C(X,Y)} \Rightarrow \operatorname{Const}_{\operatorname{id}_Y}\circ \operatorname{Id}_{\mathcal C(X,Y)}</math>. <math>\rho</math>를 '''오른쪽 항등자'''(-恒等子, {{llang|en|right unitor}})라고 하며, <math>\lambda</math>를 '''왼쪽 항등자'''(-恒等子, {{llang|en|left unitor}})라고 한다.
** 즉, 그 성분은 각 <math>f\in\operatorname{Ob}(\mathcal C(X,Y))</math>에 대하여 <math>\rho_f \in \hom_{\mathcal C(X,Y)} (f \otimes \operatorname{Id}_X, f)</math> 및 <math>\lambda_f \in \hom_{\mathcal C(X,Y)} (\operatorname{Id}_Y \otimes f, f)</math>이다.
* 임의의 네 0차 세포 <math>X,Y,Z,W\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, [[자연 동형]] <math>\alpha \colon (\otimes_{X,Z,W}) \circ (\otimes_{X,Y,Z})\times\operatorname{Id}_{\mathcal C(Z,W)} \Rightarrow 
(\otimes_{X,Y,W}) \circ (\operatorname{Id}_{\mathcal C(X,Y)} \times \mathcal C_{Y,Z,W})</math>. 이를 '''결합자'''(結合子, {{llang|en|associator}})라고 한다.
** 즉, 그 성분은 각 <math>f\in\mathcal C(X,Y)</math> 및 <math>g\in\mathcal C(Y,Z)</math> 및 <math>h\in\mathcal C(Z,W)</math>에 대하여 <math>\mathcal C(X,W)</math>의 사상 <math>\alpha_{f,g,h} \colon \alpha_{(f\otimes g)\otimes h} \to \alpha_{f\otimes(g\otimes h)}</math>이다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* ('''오각형 항등식''' 五角形恒等式 {{llang|en|pentagon identity}}) 네 1차 세포 <math>X\xrightarrow f Y\xrightarrow gZ\xrightarrow hW\xrightarrow kV</math>에 대하여, 다음과 같은 꼴의 그림이 가환 그림이어야 한다. 여기서 각 사상들은 모두 결합자의 성분들이다.
<math>\begin{matrix}
((f\otimes g)\otimes h)\otimes k & \to & (f\otimes g)\otimes(h\otimes k) & \to & f \otimes (g\otimes(h\otimes k)) \\
\downarrow & & & & \uparrow \\
(f\otimes(g\otimes h))\otimes k & & \to & & f\otimes((g\otimes h)\otimes k)
\end{matrix}</math>
* ('''삼각형 항등식''' 三角形恒等式 {{llang|en|triangle identity}}) 두 1차 세포 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ</math>에 대하여, 다음과 같은 꼴의 그림이 가환 그림이어야 한다.
:<math>\begin{matrix}
(f\otimes \operatorname{Id}_Y) \otimes g & \overset\alpha\to & f\otimes (\operatorname{Id}_Y \otimes g) \\
 {\color{White}---}{\scriptstyle\rho}\searrow & & \swarrow{\scriptstyle\lambda}{\color{White}---}\\
 & f\otimes g
\end{matrix}</math>

== 예 ==
0차 세포가 하나 밖에 없는 이차 범주의 개념은 [[모노이드 범주]]의 개념과 일치한다.

이차 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 모든 범주 <math>\mathcal C(X,Y)</math>가 이산 범주(즉, 사상이 [[항등 사상]] 밖에 없는 범주)인 조건을 추가하면, 이는 [[범주 (수학)|범주]]의 개념과 일치한다. 보다 일반적으로, 결합자와 항등자가 자명한 ([[항등 사상]]으로 구성된) 이차 범주의 개념은 [[범주 (수학)|범주]]의 [[모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]의 개념과 같다. (이러한 구조를 '''엄밀한 2-범주'''({{llang|en|strict 2-category}})라고 한다.)

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=bicategory|title=Bicategory}}
* {{nlab|id=pentagon identity|title=Pentagon identity}}
* {{nlab|id=pseudofunctor|title=Pseudofunctor}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]