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[[리 군론]]에서 '''자유 리 대수'''(自由Lie代數, {{llang|en|free Lie algebra}})는 [[리 대수]]의 범주의 [[자유 대상]]이다. 즉, [[야코비 항등식]] 등 [[리 대수]]의 정의에 속하는 관계 밖의 다른 특별한 관계를 갖지 않는 [[리 대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>R</math> 위의 리 대수의 모임은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 주어진 집합 <math>S</math> 위의 <math>R</math> 계수의 '''자유 리 대수''' <math>L(S)</math>를 정의할 수 있다. 즉, [[범주론]]적으로 리 대수의 범주 <math>\operatorname{LieAlg}_R</math>에서 집합의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 망각 함자
:<math>\operatorname{Forget}\colon\operatorname{LieAlg}_R\to\operatorname{Set}</math>
의 [[왼쪽 수반 함자]] <math>L</math>이 존재하며,
:<math>L\dashv\operatorname{Forget}</math>
집합 <math>S</math>로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 [[함자 (수학)|함자]]의 [[상 (수학)|상]] <math>L(S)</math>이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 자유 리 대수는 구체적으로 다음과 같이 묘사할 수 있다. [[집합]] <math>S</math> 위의 자유 리 대수를 <math>L(S)</math>라고 하고, <math>S</math> 위의 자유 [[단위 결합 대수]](=[[텐서 대수]], 비가환 다항식 대수)를 <math>K\langle S\rangle</math>라고 하자. 그렇다면 <math>L(S)</math>는 자연스럽게 <math>K\langle S\rangle</math>의 부분 집합을 이루며, <math>K\langle S\rangle</math>는 <math>L(S)</math>의 [[보편 포락 대수]]이다. <math>L(S)</math>는 <math>K\langle S\rangle</math> 속의, <math>S</math>로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 [[자연수]] 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소의 항의 수)와 같다.

== 성질 ==
=== 차원 ===
[[집합]] <math>S</math>에 의하여 생성되는 체 <math>K</math> 계수의 자유 리 대수를 생각하자. 만약 <math>S</math>가 [[공집합]]이라면, <math>L(S)</math>는 0차원 리 대수이다. 만약 <math>S</math>가 [[한원소 집합]]이라면, <math>L(S)</math>는 1차원 아벨 리 대수이다. 만약 <math>S</math>의 [[집합의 크기]]가 2 이상이라면, <math>L(S)</math>는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.
:<math>\dim_KL(S)=\begin{cases}|S|&|S|\le1\\
\aleph_0&2\le |S|\le\aleph_0\\
|S|&S\ge\aleph_0
\end{cases}</math>

=== 자유 리 대수의 부분 리 대수 ===
'''시르쇼프-비트 정리'''(Ширшов-Witt定理, {{llang|en|Shirshov–Witt theorem}})에 따르면, 자유 리 대수의 모든 부분 리 대수는 자유 리 대수이다.<ref>{{저널 인용 | last1=Ширшов | first1=А. И.  | title=Подалгебры свободных лиевых алгебр  | mr=0059892 | year=1953 | journal=Математический сборник | volume=33 | issue = 75  | pages=441–452 |url=http://mi.mathnet.ru/msb5381|언어=ru}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Witt | first1=Ernst | author1-link=에른스트 비트 | title=Die Unterringe der freien Lieschen Ringe | doi=10.1007/BF01166568 | mr=0077525 | year=1956 | journal=Mathematische Zeitschrift | issn=0025-5874 | volume=64 | pages=195–216 | 언어=de}}</ref>

=== 구체적 기저 ===
체 위의 자유 리 대수의 기저는 구체적으로 '''린든 단어'''({{llang|en|Lyndon word}})로 주어진다. 크기가 <math>k</math>인, [[전순서]]가 주어진 알파벳 <math>\Sigma</math> 위의 길이 <math>n</math>의 문자열 <math>s=s_1s_2\cdots s_n\in\Sigma^*</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 문자열을 '''린든 단어'''라고 한다.
* <math>s</math>의 모든 회전 <math>R^i(s)=s_is_{i+1}\cdots s_ns_1s_2\cdots s_{i-1}</math>들을 생각하자. 그렇다면, <math>s</math>는 문자열 집합 <math>\{R^i(s)\colon i=0,1,\dots,k-1\}</math> 가운데 [[사전식 순서]]에 대하여 유일한 [[최소 원소]]이다.
* 임의의 문자열 <math>a,b\in\Sigma^*</math>에 대하여 <math>s=ab</math>라고 한다면, [[사전식 순서]] 아래 항상 <math>a<b</math>이다.
따라서, 임의의 린든 단어 <math>s</math>는 더 짧은 두 린든 단어 <math>u,v</math>를 이은 것이다. 더 짧은 린든 단어로의 분해 <math>s=uv</math>에 대하여, <math>v</math>가 가장 긴 경우를 '''표준 분해'''({{llang|en|standard factorization}})라고 한다.

유한 집합 <math>\Sigma</math> 위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수 <math>L(\Sigma)</math>의 어떤 기저와 표준적으로 [[일대일 대응]]하며, 이 기저를 '''린든 기저'''({{llang|en|Lyndon basis}})라고 한다. 린든 단어 <math>s</math>에 대응하는 린든 기저 벡터 <math>\gamma(s)</math>는 다음과 같다.
* 만약 <math>s</math>의 길이가 1이라면, <math>\gamma(s)=s\in\operatorname{Span}_K\Sigma</math>
* 만약 <math>s</math>의 길이가 2 이상이며, 그 표준 분해가 <math>s=uv</math>라면, <math>\gamma(s)=[\gamma(u),\gamma(v)]</math>
예를 들어, 알파벳 <math>\Sigma=\{0,1\}</math> 위의 린든 단어들은 다음과 같다.
:ε, 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...
(ε는 길이 0의 문자열이며, 이는 린든 기저에 포함되지 않는다.)

크기 <math>k</math> 위의 알파벳 위의, 길이 <math>n</math>의 린던 단어의 수는 [[목걸이 다항식]]
:<math>M_n(k)=\frac1n\sum_{d\mid n}\mu(n/d)k^d</math>
로 주어진다. (<math>\mu</math>는 [[뫼비우스 함수]]이다.) 즉, <math>k</math>개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의, 등급 <math>n</math> 부분 공간의 차원은 <math>M_n(k)</math>이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, free}}
* {{eom|title=Basic commutator}}
* {{eom|title=Shirshov basis}}
* {{nlab|id=free Lie algebra|title=Free Lie algebra}}

== 같이 보기 ==
* [[자유군]]
* [[자유 아벨 군]]
* [[자유 단위 결합 대수]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]