{{위키데이터 속성 추적}}
{{물리우주론}}
[[물리 우주론|물리적 우주론]]에서 우주 내의 두 물체나 사건 사이의 자연적인 거리 개념을 제공하기 위하여 '''거리 측정'''이 사용된다. 이들은 원거리에 있는 [[퀘이사]]의 [[광도 (천문학)|광도]], [[은하]]의 [[적색편이]], 또는 [[우주 마이크로파 배경]] (CMB) 전력 스펙트럼의 음향 피크의 각도 크기 등과 같은 '''관측 가능한''' 양을 퀘이사, 은하 등의 [[공변거리|공변 거리]] 등과 같이 직접적으로 관측할 수는 없지만 사용하기 편리한 다른 양들과 연결시키기 위하여 자주 사용된다. 여기에서 논의되는 모든 거리 측정은 낮은 적색 편이에서 통상적인 [[유클리드 거리]] 개념에 해당하게 된다.

우주론에 대한 현재의 이해를 따라서, 이러한 측정값은 [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량|프리드만-르메트르-로버트슨-워커]] 해를 이용하여 우주를 설명하는 [[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]의 틀 안에서 계산된다.

== 개요 ==
우주론에서 "거리"에 대한 정의로는 작은 [[적색편이]]에서 서로 [[점근선|점근적]]인 값을 가지는 몇개의 다른 정의가 있다. 이러한 거리에 대한 표현은 항상 관찰가능한 양인 적색편이 <math>z</math>의 함수로 작성할 때 가장 실용적이지만 [[척도인자]](축척 계수) <math>a=1/(1+z)</math> 의 함수로 작성할 수도 있다.

적색편이에는 두 가지 개념이 실제로 있다. 하나는 지구와 천체가 같이 이동하는(공변하는) 예를 들어 [[우주 마이크로파 배경]]으로 정의될 수 있는 주변 환경 ([[허블-르메트르 법칙|허블 흐름]])에 대하여 이동하지 않는 경우에 관찰되는 적색편이(우주론적 적색편이)이다. 다른 하나는 관측되는 천체의 [[특이운동|특이속도]] 및 우리 자신의 특이속도에 모두 의존하여 [[도플러 효과]]에 따라 실제로 관측되는 적색편이이다. 태양계가 [[사자자리]]와 [[컵자리|술잔자리]] 사이의 방향으로 약 370 km/s의 속도로 이동하기 때문에, 이 방향으로 멀리 있는 천체에 대하여 <math>1+z</math> 값은 약 1.0012배 감소하고, 반대 방향의 먼 물체에 대해서는 동일한 정도로 증가한다. 한편 지구가 태양 주위를 도는 속도는 30 km/s 에 불과하다.

먼저 몇 가지 거리 측정에 대한 공식을 기재한 다음 아래에서 더 자세히 설명한다.

우선 [[후퇴속도]]가 광속이 되는 거리에 해당하는 "[[허블 거리]]"를 다음과 같이 정의한다.

: <math>d_H= \frac{c}{H_0}\approx 3000 h^{-1} \text{Mpc}\approx 9.26 \cdot 10^{25} h^{-1} \text{m}</math>

여기서 <math>c</math>는 [[빛의 속력|빛]]의 속도, <math>H_0</math>는 현재의 [[허블 매개변수]], {{수학 변수|h}} 는 [[허블-르메트르 법칙|무차원 허블 상수]]이다. 아래에 기술하는 여러가지의 거리측정은 작은 <math>z</math> 값에서 모두 <math>z\cdot d_H</math> 에 점근한다.

또한 [[무차원 허블 매개변수]]도 다음과 같이 정의한다.<ref name="peebles1993">{{서적 인용|url=https://archive.org/details/principlesofphys00pjep/page/310|제목=Principles of Physical Cosmology|성=Peebles|이름=P. J. E.|연도=1993|출판사=[[Princeton University Press]]|쪽=[https://archive.org/details/principlesofphys00pjep/page/310 310–320]|bibcode=1993ppc..book.....P|isbn=978-0-691-01933-8}}</ref>

: <math>E(z) = \frac{H(z)}{H_0}=\sqrt{\Omega_r(1+z)^4+\Omega_m(1+z)^3+\Omega_k(1+z)^2+\Omega_\Lambda}</math>

여기서, <math>\Omega_r, \Omega_m,</math> 및 <math>\Omega_\Lambda</math>는 각각 현재의 복사 에너지 밀도, 물질 밀도, 및 "[[암흑 에너지]] 밀도"의 정규화 값(후자는 [[우주상수|우주 상수]]를 나타냄)이고,  <math>\Omega_k = 1-\Omega_r-\Omega_m-\Omega_\Lambda</math>는 곡률을 결정한다. 어떤 주어진 적색편이에서 [[허블-르메트르 법칙|허블 매개변수]] <math>H(z) = H_0E(z)</math>이다.

[[공변거리]]는 기타 대부분의 거리 공식에서 기초가 되는 식인데 적분이 포함되어 있다. 매개변수의 선택이 일부 제한된 경우(아래 참조)에는 공변거리의 적분은 [[닫혀진 형태]]를 가지지만, 일반적으로 특히 현재 [[ΛCDM 모형|우리 우주의 매개변수]]에 대해서는 [[수치적분|수치 해석]]적으로만 그 해를 찾을 수 있다. 우주론 학자들은 관측자로부터 시선방향(LOS)을 따라 적색편이가 <math>z</math>인 천체까지의 거리로 아래의 값들을 사용한다.<ref name="Hogg">{{ArXiv 인용|title=Distance measures in cosmology|author=David W. Hogg|eprint=astro-ph/9905116v4}}</ref>



* '''공변거리:'''
:[[공변거리]]는 아래의 식으로 구할 수 있다.
:: <math>d_C(z) = d_H \int_0^z \frac{dz'}{E(z')}</math>
: 이 적분에서, 만일 <math>\Omega_r=\Omega_m=0</math> 이거나, 또는 <math>1/(1+z)</math>를 축척 계수 <math>a</math>로 대체하면 <math>\Omega_\Lambda=0</math>  인 경우에 닫힌 형태의 표현식이 존재한다.
:우리 우주는 <math>\Omega_r=\Omega_k=0</math>에 의하여 닫힌 형식으로 표현되는 것으로 보인다. 이 경우 다음의 식이 성립한다.
:: <math>d_C(z) = d_H \Omega_m^{-1/3}\Omega_\Lambda^{-1/6}[f((1+z)(\Omega_m/\Omega_\Lambda)^{1/3})-f((\Omega_m/\Omega_\Lambda)^{1/3})]</math>
: 여기서,
:: <math>f(x)\equiv\int_0^x \frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}</math>이다.
: 공변 거리는 천체와 관측자가 모두 [[특이속도]]를 가지지 않을 때 해당하는 <math>z</math> 값을 사용하여 계산해야 한다.

: 공변거리에 [[척도인자|축척 계수]]를 곱하면 주어진 시간에서의 '''[[고유거리]]'''가 된다.
:: <math>d = a \cdot d_C</math>


* '''가로 공변거리:'''
:'''가로 공변거리'''(transverse comoving distance)는 아래와 같이 공변거리의 함수로 구할 수 있다.
:: <math> d_M(z) = \begin{cases} \frac{d_H}{\sqrt{\Omega_k}} \sinh\left(\frac{\sqrt{\Omega_k}d_C(z)}{d_H}\right) & \Omega_k>0\\
d_C(z) & \Omega_k=0\\
\frac{d_H}{\sqrt{|\Omega_k|}} \sin\left(\frac{\sqrt{|\Omega_k|}d_C(z)}{d_H}\right) & \Omega_k<0\end{cases}</math>
:'''가로 공변거리'''에서 <math>\Omega_k \to 0</math>의 극한을 취하면 '''공변거리'''가 되므로 <math>\Omega_k = 0</math>인 평평한 우주에서는 가로 공변거리와 공변거리가 동일하게 되는 점이 주목된다.


* '''각지름거리:'''
:[[각지름 거리|각지름거리]]와 (가로) 공변거리는 아래와 같은 관계에 있다.
:: <math> d_A(z) = \frac{d_M(z)}{1+z}</math>
: 이 식은 태양계와 천체가 둘 사이의 선에 평행한 [[특이속도]] 성분을 갖지 않는 경우 엄밀하게 정확하다.  특이속도 성분이 있다면 이에 해당하는 적색편이를 사용해야 하고 <math>d_A</math>값은 태양계의 진행 방향에 따라 0.99867에서 1.00133 사이의 계수만큼 수정해야 한다. 만일  관측자가 천체를 향하여 {{수학 변수|v}} 로 움직이기 시작하면 그 물체의 '''각지름'''은 모든 위치에서 <math>\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}</math> 의 계수만큼 감소한다.


* '''광도거리:'''
:[[광도 거리|광도거리]]는 (세로) 공변거리와 아래와 같은 관계에 있다.
:: <math>d_L(z)=(1+z) d_M(z)</math>
: 마찬가지로 이 공식도 태양계와 천체가 둘 사이의 선에 평행한 특이속도 성분을 갖지 않는 경우 엄밀하게 정확하다. 그렇지 않다면 <math>d_M</math>에 대해서는 해당 경우의 적색편이를 사용해야 하는데, 다만 계수 <math>(1+z)</math>로 측정된 적색편이를 사용해야 하고, 추가적으로 천체의 특이속도를 반영하여 <math>\sqrt{(1+v/c)/(1-v/c)}</math> (여기서 {{수학 변수|v}} 는 천체의 고유속도에서 우리에게서 멀어지는 속도성분)을 곱하여 추가적인 교정을 하여야 한다. 이러한 방식으로 광도 거리는 <math>z</math>가 적색편이 값일 때 '''[[에서링턴 상호성 정리|에서링턴의 상호성 정리]]'''(Etherington's reciprocity theorem)에 의하여 '''각지름거리'''에 <math>(1+z)^2</math>을 곱한 값과 동일하게 된다


* '''광행거리:'''
:[[광행거리]]는 아래의 식으로 구할 수 있다.
:: <math>d_T(z) = d_H \int_0^z \frac{d z'}{(1+z')E(z')} </math>
: 다음과 같은 경우 즉, <math>\Omega_r=\Omega_m=0</math> 인 경우에는 역쌍곡선 함수 <math>\text{arcosh}</math> 또는 <math>\text{arsinh}</math> (또는 우주 상수에 다른 부호가 있는 경우 [[역삼각함수|역삼각 함수]])를 포함하는 닫힌 형태의 해가 존재한다. 만약 <math>\Omega_r=\Omega_\Lambda=0</math> 인 경우에는 <math>d_T(z)</math>에 대해서는 닫힌 형태의 해가 있지만 <math>z(d_T)</math>에 대해서는 그렇지 않다.
:우주의 나이는 <math>\lim_{z\to\infty} d_T(z)/c</math>, 즉 광행거리를 빛의 속도로 나눈 값이고, 적색편이 <math>z</math> 이후 지금까지 경과된 시간 <math> t(z) = d_T(z)/c</math>이다.
[[파일:CosmoDistanceMeasures_z_to_onehalf.png|오른쪽|섬네일|400x400픽셀| 적색편이 적색편이 0에서 0.5까지의 우주적 거리 측정 비교. 그래프의 기초가 된 우주론에서는 허블 매개변수로 72km/s/Mpc, <math>\Omega_\Lambda=0.732</math>, <math>\Omega_{\rm matter}=0.266</math>, <math>\Omega_{\rm radiation}=0.266/3454</math>, 그리고 <math>\Omega_k</math>는 매개변수의 합이 1이 되도록 선택되었다. [[에드윈 허블]]은 적색편이가 0.003이 약간 넘는 [[메시에 60]]까지의 은하들을 이용했다.]]
[[파일:CosmoDistanceMeasures_z_to_1e4.png|오른쪽|섬네일|400x400픽셀| 적색편이 0에서 물질/복사 균등의 시대에 해당하는 적색편이 10,000까지의 우주적 거리 측정 비교. 기초가 된 우주론에서 허블 매개변수는 72km/s/Mpc, <math>\Omega_\Lambda=0.732</math>, <math>\Omega_{\rm matter}=0.266</math>, <math>\Omega_{\rm radiation}=0.266/3454</math>, 그리고 <math>\Omega_k</math>는 매개변수의 합이 1이 되도록 선택되었다.]]

== 대체 용어 ==
공변거리를 "'''각크기거리'''"(angular size distance)로 부르는 경우도 있는데,<ref name="peebles1993"/> 이를 '''각지름거리'''로 오인하면 안된다. 공변거리 및 각지름거리를 나타내기 위하여 때로는 기호 <math>\chi</math> 또는 <math>r</math>이 모두 사용된다.

또한 '''광행거리'''를 "회상 거리"(lookback distance)라고 하기도 한다.

== 세부 ==

=== 공변거리 ===
[[허블-르메트르 법칙|허블 흐름]]과 함께 움직이는 관찰자들인 기본적인 관측자 사이의 공변거리 <math>d_C</math>는, 우주의 팽창을 공변거리에서 고려하고 있으므로 시간에 따라 변하지 않는다. 공변거리는 시선('''LOS''')을 따라 서로 인접한 가상의 관찰자들 사이의 고유거리를 더하여서 얻는 반면에, 고유거리는 특정한 우주 시간에서 구한 값이다.

[[대폭발|표준 우주론]]에서  '''공변거리'''와 '''고유거리'''는 우주론자가 물체 사이의 거리를 측정하는 데 사용하는 두 가지 밀접하게 관련된 거리 측정인데 공변거리는 현시점에서의 고유거리이다.

공변거리는 (우리 자신의 움직임에 대한 약간의 수정과 함께) 시차로부터 얻을 수 있는데, 이는 시차를 도 단위로 표시하면 '현시간에 태양을 지나면서 원거리 천체에 중심을 둔 원 둘레'에 대한 '[[천문단위]] 길이'의 비 값에 360을 곱한 값에 해당하기 때문이다.<ref>이를 식으로 표현하면, <math> \theta(\text{in degree}) = \frac{\text{360}}{2 \pi} \cdot \frac{\text{A.U.}}{d_C} </math>이다.</ref> 그런데 [[파섹|메가파섹]] 이상의 천체는 시차가 너무 작아 측정할 수 없다( [[가이아 우주 망원경]]은 가장 밝은 별의 시차를 7 마이크로 아크초의 정밀도로 측정함). 우리 [[국부은하군|국부]] 은하군 외부 은하의 시차는 너무 작아서 측정할 수 없다.

=== 고유거리 ===
'''고유거리'''는 [[우주시|우주론적 시간]]의 특정 순간에 멀리 있는 물체가 있을 위치에 대략 해당하며 시간의 경과에 따른 [[우주팽창|우주의 팽창]]으로 인해 그 값이 증가한다. 이에 반하여 '''공변거리'''에서는 우주의 확장에 따른 계수를 소거하고 있어 공간의 확장으로 인해 시간에 따라 변하지 않는 거리를 제공한다(다만 은하단 내에서의 은하의 움직임과 같은 특이속도 등의 국부적 요인으로 인해 변경될 수 있음). 공변거리는 현시점에서의 고유거리이다.

=== 가로 공변거리 ===
일정한 적색편이 <math>z</math>로 공변하는 두 천체가 하늘에서 <math>\delta\theta</math>의 각도로 떨어져 보일 때 두 천체까지의 거리를 <math>\delta\theta\cdot d_M(z)</math>이라고 하면 이 식에 의하여 '''가로 공변거리'''(횡축 공변거리, 횡방향 공변거리) <math>d_M</math>이 정해진다.

=== 각지름거리===
적색편이가 <math>z</math>이고 크기가 <math>x</math>인 천체로 <math>\delta\theta</math> 각도의 크기로 보이는 천체는 '''각지름거리''' <math>d_A(z)=x/\delta\theta</math>를 가진다. 이것은 일반적으로 예를 들어 [[바리온 음향 진동]]의 문맥에서 소위 [[표준 잣대]]를 관측하는 데 사용된다.

=== 광도거리 ===
만일 원거리에 있는 천체의 고유 [[광도 (천문학)|광도]] <math>L</math>이 알려져 있다면, 그 광속 <math>S</math>를 측정하여 '''광도거리''' <math>d_L(z)=\sqrt{L/4\pi S}</math> 을 계산할 수 있는데, 이는 위의 표현식 <math>d_L(z)</math>와 동일한 것으로 밝혀졌다. 이 거리는 [[Ia형 초신성]]과 같은 [[우주 거리 사다리|표준 양초]]을 측정하는데 중요하며 [[암흑 에너지|우주 팽창]]의 가속도를 처음으로 발견하는 데 사용되었다.

=== 광행거리 ===
이 거리 <math>d_T</math>는 빛이 천체에서 관찰자에게 도달하는 데 걸린 '''시간'''(년)에 [[빛의 속력|'''광속''']]을 곱한 값이다. 예를 들어 이 거리측정에서 [[관측 가능한 우주]]의 반지름은 우주의 나이 138억년에 빛의 속도(1광년/년)를 곱한 값인 138억 광년이 된다.

=== 에서링턴의 거리 상호성 ===
[[에서링턴 상호성 정리|'''에서링턴''' '''거리 상호성 방정식''']]<ref>I.M.H. Etherington, “LX. On the Definition of Distance in
General Relativity”, Philosophical Magazine, Vol. 15, S. 7 (1933), pp. 761-773.</ref>은 [[표준 촉광|표준 양초]]의 '''광도거리'''와 '''각지름거리''' 사이의 관계를 나타내는 것으로 아래 식으로 표현된다.

<math>d_L=(1+z)^2 d_A </math>

== 같이 보기 ==
* [[대폭발|빅뱅]]
* [[공변거리]]
* [[프리드만 방정식]]
* [[파섹]]
* [[물리 우주론]]
* [[우주 거리 사다리]]
* [[프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량]]
* [[아원자 스케일]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Scott Dodelson, ''Modern Cosmology.'' Academic Press (2003).

== 외부 링크 ==
* [http://www.atlasoftheuniverse.com/redshift.html '우주의 거리 척도']는 다른 우주적 거리 측정을 비교한다.
* [[arxiv:astro-ph/9905116|'우주론에서의 거리 측정']]에서는 세계 모델과 적색편이의 함수로 서로 다른 거리 측정을 계산하는 방법을 자세히 설명한다.
* [http://icosmos.co.uk/ iCosmos: Cosmology Calculator(With Graph Generation)]는 우주 모델과 적색편이의 함수로 다양한 거리 측정값을 계산하고 적색편이 0에서 20까지 모델에 대한 도표를 생성한다.
[[분류:물리량]]
[[분류:물리우주론]]