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[[파일:Standard part function with two continua.svg|섬네일|400px|right|초실수선은 실수선보다 더 조밀하다. 실수선 위의 각 점은 이에 무한히 가까운 무한한 수의 초실수들에 대응한다. 반대로, 표준 부분 함수는 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 대응시킨다.]]
[[비표준 해석학]]에서 '''초실수'''(超實數, {{llang|en|hyperreal}})는 [[실수]]에 [[무한대]] 원소들과 [[무한소]] 원소들을 포함하는 체이며, 실수에 대한 모든 [[1차 논리]] 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다. 1800년대에, 이른바, 입실론-델타 방법은, 무한대와 무한소의 문제를 돌아갔다고 할 수 있는 반면, 초실수는 무한대와 무한소에 대한 직관을 현실화 했다고 볼 수 있다.

== 정의 ==
실수 <math>\mathbb R</math>의 수열 <math>\mathbb R^{\mathbb N}</math>의 [[가환환]]을 생각하자. 이는 [[크룰 정리]]에 따라 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak u\subset\mathbb R^{\mathbb N}</math>을 가진다. (크룰 정리는 [[선택 공리]]와 [[동치]]이다.) 그 [[몫환]]
<math>\mathbb R^{\mathbb N}/\mathfrak u={}^*\mathbb R</math>
는 [[체 (수학)|체]]를 이루는데, 이를 '''초실수체'''(超實數體, {{llang|en|hyperreal field}})라고 하고, 그 원소를 '''초실수'''라고 한다. 각 실수를 상수열의 [[동치류]]로 대응시키면, 실수체는 다음과 같이 초실수체로 표준적으로 매장된다.
:<math>r\in\mathbb R\mapsto[(r,r,r,\dots)]\in{}^*\mathbb R</math>

이러한 극대 아이디얼 <math>\mathfrak u</math>는 자유 [[극대 필터]] <math>\mathcal U\subset\mathcal P(\mathbb N)</math>에 의하여 주어진다. 즉,
:<math>(s_i)_{i\in\mathbb N}\in\mathfrak u\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i=0\}\in\mathcal U</math>
이다. 이 경우, <math>{}^*\mathbb R</math> 위에 다음과 같은 [[이항 관계]]를 정의할 수 있다.
:<math>[s]\le[t]\iff\{i\in\mathbb N\colon s_i\le t_i\}\in\mathcal U</math>
이는 [[전순서]]를 이룬다는 것을 보일 수 있다. 따라서 초실수체는 실수체를 확대하는 [[순서체]]이다.

초실수체는 선택하는 자유 극대 필터에 따라 달라진다. 만약 [[연속체 가설]]을 가정한다면, 모든 초실수체는 순서체로서 서로 [[동형]]임을 보일 수 있다. 반면, [[연속체 가설]]을 부정한다면 서로 동형이지 않는 초실수체가 존재한다.

=== 실수 집합의 확대 ===
실수 집합 <math>S\subset\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>S</math>의 '''초실수 확대'''({{llang|en|hyperreal extension}}) <math>^*S</math>는 다음과 같다.
:<math>{}^*S=\left\{[s]\in{}^*\mathbb R\colon\{i\in\mathbb N\colon s_i\in S\}\in\mathcal U\right\}</math>
[[자연수]] 집합 <math>\mathbb N\subset\mathbb R</math>의 초실수 확대를 '''초자연수'''(超自然數, {{llang|en|hypernatural}})라고 한다. [[정수]] 집합 <math>\mathbb Z\subset\mathbb R</math>의 초실수 확대를 '''초정수'''(超整體, {{llang|en|hyperinteger}})라고 한다. 초정수의 집합은 초실수체의 [[부분환]]을 이룬다. 유한 초정수는 정수이며, 모든 비표준 초정수는 무한 초실수이다.

== 성질 ==
:<math>2^{\aleph_0}=|\mathbb R|\le|^*\mathbb R|\le|\mathbb R|^{|\mathbb N}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}</math>
이므로, 초실수 [[집합의 크기]]는 실수 집합의 크기와 같다.
:<math>|{}^*\mathbb R|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|</math>
전달 원리에 따라, [[1차 논리]]로 기술할 수 있는 실수의 성질은 초실수에 대해서도 성립한다.

초실수체는 실수체와 달리 [[아르키메데스 체]]가 아니다. 이는 아르키메데스 성질을 1차 논리로 기술할 수 없기 때문이다.

=== 전달 원리 ===
<math>\phi</math>가 기호 <math>+,-,\times,{}^{-1},\le</math> 및 <math>\forall x_i\in\mathbb R</math>, <math>\exists x_i\in\mathbb R</math>를 사용하는 [[1차 논리]] 명제라고 하자. 그렇다면, 이 명제에서 모든 변수를 실수 대신 초실수로 바꾼 1차 논리 명제 <math>\phi^*</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면 다음이 성립한다.
* <math>\phi</math>와 <math>\phi^*</math>는 서로 [[동치]]이다. 즉, <math>\phi</math>가 참이라면 <math>\phi^*</math> 역시 참이며, 반면 <math>\phi</math>가 거짓이라면 <math>\phi^*</math> 역시 거짓이다.
이를 '''전달 원리'''({{llang|en|transfer principle}})라고 한다.

전달 원리는 [[고차 논리]]에서는 성립하지 않는다. 예를 들어,
:<math>\exists\omega\forall n\in\mathbb N\colon\overbrace{1+1+\cdots+1}^n\le\omega</math>
와 같은 명제는 <math>\mathbb R</math>에서 거짓이지만 <math>\mathbb R^*</math>에서는 참이다. 그러나 이 명제는 1차 논리 명제로 쓸 수 없다.

=== 위상수학적 성질 ===
초실수의 [[전순서 집합]]은 [[순서 위상]]을 부여하여 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로 만들 수 있다. 순서 위상의 성질에 따라, 초실수 공간은 [[완비 정규 공간|완비 정규]] [[하우스도르프 공간]] (즉, [[T5 공간|T<sub>5</sub> 공간]])이다.

초실수의 위상 공간은 [[연결 공간]]이 아니며, [[완전 분리 공간]]이다. 초실수 공간은 [[국소 콤팩트 공간]]이 아니며, [[분해 가능 공간]]이 아니며, [[제1 가산 공간]]이 아니다. 따라서, 초실수 공간은 [[거리화 가능 공간]]이 아니다.

== 분류 ==
초실수 가운데 실수가 아닌 것을 '''비표준 초실수'''({{llang|en|nonstandard hyperreal}})라고 한다.

'''무한대 초실수'''({{llang|en|infinite hyperreal}})는 다음을 만족시키는 초실수 <math>r^*</math>이다.
:<math>\forall r\in\mathbb R\colon r<|r^*|</math>
'''무한소 초실수'''({{llang|en|infinitesimal hyperreal}})는 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 다음을 만족시키는, 0이 아닌 초실수 <math>r^*</math>이다.
:<math>\forall r\in\mathbb R\colon r<1/|r^*|</math>
무한대가 아닌 초실수를 '''유한 초실수'''({{llang|en|finite hyperreal}})라고 한다. 유한 초실수의 집합 <math>{}^*\mathbb F\subset{}^*\mathbb R</math>은 [[값매김환]]을 이루며, 유한 초실수환의 유일한 [[극대 아이디얼]]은 무한소 초실수의 [[유사환]] <math>\mathfrak i\subset{}^*\mathbb F</math>이다. 이에 대한 [[몫환]]은 [[실수체]]와 표준적으로 동형이다.
:<math>{}^*\mathbb F/\mathfrak i\cong\mathbb R</math>
즉, 모든 유한 초실수 <math>{}^*r</math>는 실수 <math>r</math>와 무한소 초실수 <math>\epsilon</math>의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 여기서 <math>r</math>를 <math>{}^*r</math>의 '''표준 부분'''이라고 하며, <math>\operatorname{st}({}^*r)</math>라고 쓴다.

초실수에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 [[동치 관계]]가 존재한다.
:<math>a\approx b\iff\operatorname{st}(a)=\operatorname{st}(b)</math>
이에 대한 동치류를 '''모나드'''({{llang|en|monad}})라고 한다.

== 예 ==
실수 <math>r</math>는 상수열의 동치류
<math>[(r,r,r,\dots)]</math>
로 대응된다.

초실수
:<math>\omega=[(0,1,2,3,4,\dots)]</math>
의 동치류는 무한대 초자연수이다. 그 역수
:<math>\omega^{-1}=[(1,1,1/2,1/3,1/4,\dots)]</math>
는 무한소 초실수이다.

== 역사 ==
초실수(hyperreal)라는 용어는 1948년에 에드윈 휴잇({{llang|en|Edwin Hewitt}})이 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hewitt|이름=Edwin|날짜=1948|제목=Rings of real-valued continuous functions I|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=64|쪽=45–99|doi=10.1090/S0002-9947-1948-0026239-9|mr=0026239|zbl=0032.28603|issn=0002-9947|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Keisler|이름=H. Jerome|날짜=1994|장=The hyperreal line|제목=Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua|쪽=207–237|총서=Synthèse Library|권=242|출판사=Kluwer|편집자=Philip Ehrlich|isbn=978-90-481-4362-7|doi=10.1007/978-94-015-8248-3_8|zbl=0964.03535|mr=1340464|언어=en}}</ref>  표준 부분은 [[에이브러햄 로빈슨]]이 처음 정의하였고, 로빈슨은 초실수 <math>x</math>에 대하여 <math>{}^{\circ}x</math>라는 표기법을 사용하였다. [[비표준해석학]]에서는 이 개념이 미적분학에서 [[미분]]과 [[적분]] 등의 개념을 정립하는데 중요한 역할을 한다. 나중에 이 개념이 엄격히 형식화되어 [[무한소]] 이론으로 발전한다. 초실수를 사용하여, [[피에르 드 페르마]]의 직관적인 아다이콸리타스({{llang|la|adaequalitas}}, "거의 같음") 개념을 "같은 표준 부분을 갖는 두 초실수"로 형식화할 수 있다.<ref>Karin Usadi Katz and [[Mikhail Katz|Mikhail G. Katz]] (2011) A Burgessian Critique of Nominalistic Tendencies in Contemporary Mathematics and its Historiography. [[Foundations of Science]]. {{doi|10.1007/s10699-011-9223-1}} [http://www.springerlink.com/content/tj7j2810n8223p43/]{{깨진 링크|url=http://www.springerlink.com/content/tj7j2810n8223p43/ }} [http://arxiv.org/abs/1104.0375 arxiv].</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis|날짜=1998|이름=Robert|성=Goldblatt|doi=10.1007/978-1-4612-0615-6|isbn=978-1-4612-6841-3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=188|issn=0072-5285|출판사=Springer|zbl=0911.03032|mr=1643950|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{저널 인용|arxiv=1212.5740|제목=Filters and ultrafilters in real analysis|이름=Max|성=Garcia|날짜=2012|언어=en}}
* {{eom|title=Arithmetization of analysis}}
* {{매스월드|id=HyperrealNumber|title=Hyperreal number}}

{{수 체계}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:체론]]
[[분류:실폐체]]
[[분류:무한]]