{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''클럽 집합'''(club集合, {{llang|en|club set}})은 주어진 [[순서수]]보다 작은 순서수들 가운데 "거의 대부분"을 포함하는 집합이며, '''정상 집합'''(定常集合, {{llang|en|stationary set}})은 주어진 [[순서수]]보다 작은 순서수들 가운데 "충분한 수"를 포함하여, 임의의 클럽 집합과 하나 이상의 원소를 공유하는 집합이다. 즉, 이 두 개념의 관계는 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]]과 [[조밀 집합]]의 관계와 같다.

== 정의 ==
=== 클럽 집합 ===
[[극한 순서수]] <math>\alpha</math>가 주어졌다고 하자. [[부분 집합]]
:<math>C\subseteq\alpha</math>
가 다음 두 조건을 만족시키면 <math>\alpha</math>-'''클럽 집합'''({{llang|en|<math>\alpha</math>-club set}})이라고 한다.
* [[순서 위상]]에 대하여 [[닫힌집합]]이다. 즉, 임의의 [[순서수]] <math>0<\beta<\alpha</math>에 대하여, <math>\sup(C\cap\beta)=\beta</math>라면, <math>\beta\in C</math>이다.
* <math>\textstyle\sup_{\operatorname{Ord}}C=\alpha</math>이다. 즉, 임의의 [[순서수]] <math>\beta<\alpha</math>에 대하여, <math>\beta<\beta'\in C</math>가 존재한다.

=== 정상 집합 ===
임의의 기수 <math>\kappa</math> 및 부분 집합 <math>S\subseteq\kappa</math>가 주어졌으며, <math>\kappa</math>의 [[공종도]]가 [[비가산]]이라고 하자.

만약 <math>S</math>와 임의의 <math>\kappa</math>-클럽 집합의 [[교집합]]이 [[공집합]]이 아니라면, <math>S</math>를 '''정상 집합'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
클럽 집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 기수 <math>\kappa</math> 및 두 <math>\kappa</math>-클럽 집합 <math>C,C'\subseteq\kappa</math>가 주어졌을 때, <math>C\cap C'</math> 역시 <math>\kappa</math>-클럽 집합이다. 즉, 클럽 집합들은 [[필터 기저]]를 이루며, 클럽 집합을 포함하는 집합들은 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다. 이를 <math>\kappa</math>의 '''클럽 필터'''({{llang|en|club filter}})라고 한다.

클럽 집합과 정상 집합의 교집합은 정상 집합이다. 즉, 기수 <math>\kappa</math> 및 <math>\kappa</math>-정상 집합 <math>S\subseteq\kappa</math>와 <math>\kappa</math>-클럽 집합 <math>C\subseteq\kappa</math>가 주어졌을 때, <math>S\cap C</math> 역시 정상 집합이다.

=== 솔로베이 분할 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[정칙 기수|정칙]] 비가산 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>
* 정상 집합 <math>S\subseteq\kappa</math>
그렇다면, '''솔로베이 정상 집합 분할 정리'''(Solovay定常集合分割定理, {{llang|en|Solovay’s theorem on partitions of stationary sets}})에 따르면, <math>S</math>는 <math>\kappa</math>개의 정상 집합들로 [[집합의 분할|분할]]될 수 있다.

=== 포도르 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[정칙 기수|정칙]] 비가산 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>
* 정상 집합 <math>S\subseteq\kappa</math>
* [[함수]] <math>f\colon S\to\kappa</math>
또한, 다음이 성립한다고 하자.
* 임의의 <math>0<\alpha\in S</math>에 대하여, <math>f(\alpha)<\alpha</math>
'''포도르 정리'''({{llang|en|Fodor’s theorem}})에 따르면, <math>f|_{S'}=\alpha'</math>인 정상 부분 집합 <math>S'\subseteq S</math>와 [[순서수]] <math>\alpha'<\kappa</math>가 존재한다.<ref name="Jech">{{서적 인용|이름=Thomas|성=Jech|장=Stationary sets|제목=Handbook of set theory|doi=10.1007/978-1-4020-5764-9_2|isbn=978-1-4020-4843-2|출판사=Springer-Verlag|editor1-first=Matthew|editor1-last=Foreman|editor2-first=Akihiro|editor2-last=Kanamori|editor2-link=가나모리 아키히로|쪽=93–128|날짜=2010|장url=http://www.math.psu.edu/jech/preprints/stat.pdf|언어=en|access-date=2016-07-11|archive-date=2016-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20160419002529/http://www.math.psu.edu/jech/preprints/stat.pdf|url-status=dead}}</ref>{{rp|Theorem 1.5}}

=== 말로 기수 ===
<math>\kappa</math>-정상 집합들의 모임을 <math>\mathfrak S_\kappa</math>로 표기하자.

기수의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Card}</math>의 부분 모임 <math>P\subseteq\operatorname{Card}</math>에 대하여, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.
:<math>\kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)\iff (\kappa\in P)\land(\kappa\cap P\in\mathfrak S_\kappa)\land\operatorname{cf}(\kappa)>\omega</math>
이를 '''말로 연산'''(Mahlo演算, {{llang|en|Mahlo operation}})이라고 한다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|18}}

기수 <math>\kappa</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 기수를 '''말로 기수'''(Mahlo基數, {{llang|en|Mahlo cardinal}})라고 한다.
* 만약 <math>P</math>가 [[도달 불가능한 기수]]의 모임일 경우, <math>\kappa\in\operatorname{Mahlo}(P)</math>이다.<ref name="Kanamori">{{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로|날짜=2003 | 출판사=Springer-Verlag | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}</ref>{{rp|21}}
* 임의의 <math>R\subseteq V_\kappa</math>에 대하여, <math>\langle V_\alpha,\in,R\cap V_\alpha\rangle\prec\langle V_\kappa,\in, R\rangle</math>가 되는 [[도달 불가능한 기수]] <math>\alpha<\kappa</math>가 존재한다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|57, Proposition 6.2(b)}}
여기서 <math>V_\alpha</math>는 [[폰 노이만 전체]]의 단계이며, <math>\langle V_\kappa,\in,R\rangle</math>는 [[이항 연산]] <math>\in</math>과 상수 기호 <math>R</math>를 갖춘 [[구조 (논리학)|구조]]이며, <math>\prec</math>는 [[기본 매장]]의 존재를 의미한다.

마찬가지로, 만약 <math>P</math>가 약하게 도달 불가능한 기수의 모임일 경우, <math>\operatorname{Mahlo}(P)</math>의 원소를 '''약한 말로 기수'''(弱-Mahlo基數, {{llang|en|weakly Mahlo cardinal}})라고 한다.<ref name="Kanamori"/>{{rp|17}} [[일반화 연속체 가설]]을 가정한다면 약하게 도달 불가능한 기수의 개념은 [[도달 불가능한 기수]]의 개념과 일치하므로,<ref name="Kanamori"/>{{rp|18}} 마찬가지로 약한 말로 기수의 개념은 말로 기수의 개념과 일치한다.

말로 연산은 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 반복할 수 있다.
:<math>\operatorname{Mahlo}^\alpha(P)=
\begin{cases}
\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Mahlo}^\beta(P))&\beta+1=\alpha\\
P\cap\bigcap_{\beta<\alpha}\operatorname{Mahlo}^\beta(P)&\nexists\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta+1=\alpha
\end{cases}
</math>
이를 사용하여, '''<math>\alpha</math>-말로 기수'''의 개념을 정의할 수 있다. 즉, 0-말로 기수는 [[도달 불가능한 기수]]이며, 1-말로 기수는 말로 기수이다.

말로 기수는 큰 기수의 일종이다. 즉, 말로 기수의 존재 또는 부재는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]+[[선택 공리]](ZFC)로부터 증명할 수 없다. (이는 물론 ZFC가 무모순적이라는 것을 전제로 한다.)

기수에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다. (즉, 이는 무모순성 관계보다 더 강하다.)
:[[도달 불가능한 기수]] ⇐ 말로 기수 ⇐ [[약콤팩트 기수]] ⇐ [[강콤팩트 기수]]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=Set theory for category theory|이름=Michael A.|성=Shulman|bibcode=2008arXiv0810.1279S|arxiv=0810.1279|날짜=2008|언어=en}}</ref>{{rp|§9}}
:<math>\operatorname{Inaccble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Inaccble})\supseteq\operatorname{Measble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Measble})\supseteq\operatorname{Supercomp}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Supercomp})\supseteq\operatorname{Extble}\supseteq\operatorname{Mahlo}(\operatorname{Extble})\supseteq\operatorname{Superhuge}</math>
여기서
* <math>\operatorname{Inaccble}</math>: [[도달 불가능한 기수]]의 모임
* <math>\operatorname{Measble}</math>: [[가측 기수]]의 모임
* <math>\operatorname{Supercomp}</math>: [[초콤팩트 기수]]의 모임
* <math>\operatorname{Extble}</math>: 확장 가능 기수({{llang|en|extendible cardinal}})의 모임
* <math>\operatorname{Superhuge}</math>: 초거대 기수({{llang|en|superhuge cardinal}})의 모임

=== 다이아몬드 원리 ===
기수 <math>\kappa</math> 및 <math>\kappa</math>-정상 집합 <math>S\subseteq\kappa</math>에 대하여, '''<math>(\kappa,S)</math>-다이아몬드 집합렬'''({{llang|en|<math>(\kappa,S)</math>-diamond sequence}}) <math>A\colon S\to\mathcal P(\kappa)</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
* 임의의 <math>\alpha\in S</math>에 대하여, <math>A_\alpha\subseteq\alpha</math>
* 임의의 <math>T\subseteq\kappa</math>에 대하여, <math>\{\alpha\in S\colon T\cap\alpha=A_\alpha\}</math>는 <math>\kappa</math>-정상 집합이다.
'''<math>(\kappa,S)</math>-다이아몬드 원리'''(<math>(\kappa,S)</math>-diamond原理, {{llang|en|<math>(\kappa,S)</math>-diamond principle}}) <math>\diamondsuit_\kappa(S)</math>는 <math>(\kappa,S)</math>-다이아몬드 집합렬이 존재한다는 [[명제]]이다.<ref>{{서적 인용|arxiv=0911.2151|bibcode=2009arXiv0911.2151R|장=Jensen’s diamond principle and its relatives|제목=Set Theory and Its Applications|isbn=978-0-8218-4812-8|doi=10.1090/conm/533/10506|mr=2777747|총서=Contemporary Mathematics|권=533|날짜=2011|editor1-first=L.|editor1-last=Babinkostova|editor2-first= A. E.|editor2-last=Caicedo|editor3-first=S.|editor3-last=Geschke|editor4-first=M.|editor4-last=Scheepers|이름=Assaf|성=Rinot|언어=en}}</ref>

<math>\diamondsuit_{\omega_1}(\omega_1)</math>은 흔히 '''다이아몬드 원리''' <math>\diamondsuit</math>라고 표기한다.

[[구성 가능성 공리]]는 다이아몬드 원리를 함의하며, 다이아몬드 원리는 [[수슬린 가설]]의 부정 및 [[연속체 가설]]을 함의한다.
:<math>V=L\implies\diamondsuit\implies(\lnot\mathsf{SH}\land\mathsf{CH})</math>
즉, 이는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]+[[선택 공리]]로 증명하거나 반증할 수 없다.

== 역사 ==
1911년에 프리드리히 파울 말로({{llang|de|Friedrich Paul Mahlo}}, 1883~1971)가 약한 말로 기수의 개념을 "ρ<sub>0</sub>-수"({{llang|de|ρ<sub>0</sub>-Zahl}})라는 이름으로 1911년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Mahlo | first1=Paul  | title=Über lineare transfinite Mengen | year=1911 | journal=Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse | volume=63 | pages=187–225 | zbl=42.0090.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Mahlo | first1=Paul | title=Zur Theorie und Anwendung der ρ<sub>0</sub>-Zahlen | year=1912 | journal=Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse | volume=64 | pages=108–112 | zbl=43.0113.01 |언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Mahlo | first1=Paul  | title=Zur Theorie und Anwendung der ρ<sub>0</sub>-Zahlen II| year=1913 | journal=Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse | volume=65 | pages=268–282 | JFM =44.0092.02 |언어=de}}</ref>

정상 집합의 개념은 제라르 블로크({{llang|fr|Gérard Bloch}})가 1953년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Gérard|성=Bloch|제목=Sur les ensembles stationnaires de nombres ordinaux et les suites distinguées de fonctions régressives|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences|권=236|쪽=265–268|날짜=1953|언어=fr}}</ref><ref name="Jech"/>{{rp|§1.1}}

포도르 정리는 포도르 게저({{llang|hu|Fodor Géza}}, 1927~1977)가 1956년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=G.|성=Fodor|제목=Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen|저널=Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis|권=17|날짜=1956|쪽=139-142|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=6490&dataObjectType=article|언어=de|확인날짜=2016-07-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160816233033/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=6490&dataObjectType=article|보존날짜=2016-08-16|url-status=dead}}</ref> 솔로베이 정상 집합 분할 정리는 [[로버트 솔로베이]]가 1971년에 증명하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Robert M.|성=Solovay|저자링크=로버트 솔로베이|장=Real-valued measurable cardinals|editor1-first=Dana S.|editor1-last=Scott|editor2-link=데이나 스콧|제목=Axiomatic set theory. Part 1|쪽=397–428|날짜=1971|총서=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics|권=13.1|doi=10.1090/pspum/013.1/0290961|mr=0290961|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref>

다이아몬드 원리는 로널드 비언 젠슨({{llang|en|Ronald Björn Jensen}}, 1936~)이 1972년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Jensen | first1=Ronald Björn | title=The fine structure of the constructible hierarchy | doi=10.1016/0003-4843(72)90001-0 | mr=0309729 | year=1972 | journal=Annals of Mathematical Logic | volume=4 | pages=229–308|언어=en}}</ref>

"클럽 집합"({{llang|en|club set}})이라는 이름은 영어로 "[[닫힌집합]]이자 비[[유계 집합]]"({{llang|en|'''cl'''osed and '''u'''n'''b'''ounded}})의 머리글자를 딴 것이다.<ref name="Jech"/>{{rp|Definition 1.1}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Mahlo|제목=Mahlo cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160422043116/http://cantorsattic.info/Mahlo|보존날짜=2016-04-22|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Mahlo|제목=Club sets and stationary sets|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160422043116/http://cantorsattic.info/Mahlo|보존날짜=2016-04-22|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://rjlipton.wordpress.com/2015/12/16/a-game-on-infinite-trees/|제목=A game on infinite trees|이름=Richard J.|성=Lipton|이름2=Kenneth W.|성2=Regan|날짜=2015-12-16|웹사이트=Gödel’s Lost Letter and P=NP|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/37502/what-is-the-idea-behind-stationary-sets|제목=What is the idea behind stationary sets?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]