{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Omega-exp-omega-labeled.svg|섬네일|right|<math>\omega^\omega</math> 이하의 순서수들의 형상화]]
[[집합론]]에서 '''순서수'''(順序數, {{llang|en|ordinal}}) 또는 '''서수'''(序數)는 [[정렬 전순서 집합]]들의 "길이"를 측정하는 [[수 (수학)|수]]의 일종이다. [[자연수]]를 확장하며, [[자연수]]들의 정렬 전순서 집합과 같은 무한 정렬 전순서 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다.

[[자연수]]는 [[집합]]의 [[집합의 크기|크기]]를 표현하기 위해 사용되기도 하고, [[수열|열]]에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 쓰임새는 [[유한 집합]]의 경우 크게 다르지 않으나, [[무한 집합]]의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 것이 [[기수 (수학)|기수]]이고, 후자를 확장한 것이 순서수이다.

기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 [[정렬 전순서 집합]]에 대해서만 정의되며, [[정렬 전순서]]의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해, [[정렬 전순서]]란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 [[전순서]]를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 [[전순서 집합]]에서 [[최소 원소]]를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 [[순서형]]이라고 한다.

== 정의 ==
=== 동치류를 이용한 정의 ===
기수를 모든 집합의 [[전단사 함수]]에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 [[정렬 전순서 집합]]의 순서 동형에 대한 [[동치류]]로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 집합이 아니며, [[고유 모임]]이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>는 [[고유 모임]]들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.)

[[유형 이론]]이나 [[윌러드 밴 오먼 콰인]]의 [[새 기초]](New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 [[유형 이론]]을 사용하는 《[[수학 원리]]》에 등장한다.

=== 폰 노이만 정의===
집합론적 문제를 피하기 위해, [[정렬 전순서 집합]]의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 [[존 폰 노이만]]이 제시하였고,<ref name="vN">{{저널 인용|last=von Neumann|first=Johann|authorlink=존 폰 노이만|날짜=1923|title=Zur Einführung der trasfiniten Zahlen|journal=Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis|publisher=|쪽=199–208|권=1|호=4|url=http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article|언어=de|확인날짜=2014-11-17|보존url=https://web.archive.org/web/20141129015612/http://acta.fyx.hu/acta/showCustomerArticle.action?id=4981&dataObjectType=article|보존날짜=2014-11-29|url-status=dead}}</ref> 오늘날 표준적인 정의다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 가정하면, [[추이적 집합]] <math>S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[추이적 집합]]을 '''순서수'''라고 한다.
* <math>(S,\subseteq)</math>는 [[전순서 집합]]을 이룬다. 즉, 임의의 <math>a,b\in S</math>에 대하여, <math>a\in b</math>이거나 <math>b\in a</math>이거나 <math>a=b</math>이다.
* <math>(S,\subseteq)</math>는 [[정렬 전순서 집합]]을 이룬다.<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | publisher= Springer | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3판 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en}}</ref>{{rp|19, Definition 2.10}}
* <math>S</math>의 모든 원소는 [[추이적 집합]]이다.
폰 노이만 정의에서는 순서수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\alpha\in\beta</math>
* <math>\alpha\subsetneq\beta</math>
이를 <math>\alpha<\beta</math>로 표기하고, <math>\alpha\not<\beta</math>를 <math>\alpha\ge\beta</math>로 표기한다. 즉, 순서수 <math>\alpha</math>는 그보다 작은 모든 순서수들의 집합이다.
:<math>\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}</math>
이 순서에 따라, 모든 [[순서수]]는 [[정렬 전순서 집합]]이며, 반대로 모든 정렬 전순서 집합이 정확히 하나의 순서수와 순서 동형이라는 것은 [[초한 귀납법]]을 이용해 보일 수 있다.

마찬가지로, 모든 순서수의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>는 [[정렬 전순서 집합|정렬 전순서 모임]]을 이룬다. 이 덕분에 순서수에 대해 초한 귀납법을 자유로이 사용할 수 있다.

== 연산 ==
순서수들에 대해 덧셈 · 곱셈 · 거듭제곱 연산을 정의하는 것이 가능하다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 [[정렬 전순서 집합]]을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, [[초한 귀납법]]을 이용해 정의할 수도 있다. 유한 순서수의 경우, 순서수로서의 연산은 [[기수 (수학)|기수]]로서의 연산 및 [[자연수]]로서의 연산과 일치한다. 무한 순서수의 경우, 순서수의 연산은 [[극한 기수]]로서의 연산과 현저히 다르다.

두 [[정렬 전순서 집합]] <math>(S,\le)</math>와 <math>(T,\le)</math>가 주어졌다고 하고, <math>S</math>의 순서형이 <math>\alpha</math>, <math>T</math>의 순서형이 <math>\beta</math>라고 하자. (폰 노이만 정의에서는 <math>S=\alpha</math>, <math>T=\beta</math>로 놓을 수 있다.)

=== 덧셈 ===
[[서로소 합집합]] <math>S\sqcup T</math>에 다음과 같은 [[정렬 순서]]를 주자.
:<math>s\le t\qquad\forall s\in S,\;t\in T</math>
그렇다면 순서수의 '''합''' <math>\alpha+\beta</math>는 <math>S\sqcup T</math>의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 합은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.<ref name="Jech"/>{{rp|23, Definition 2.18}}
* <math>\alpha + 0 = \alpha</math>
* <math>\alpha + (\beta +1 )  = (\alpha + \beta ) + 1</math>
* <math>\alpha + \beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha + \gamma</math> (<math>\beta</math>는 0이 아닌 극한 순서수)

<math>(\operatorname{Ord},+)</math>는 "[[모노이드]]"를 이룬다. 즉, 덧셈의 [[결합 법칙]]이 성립하며, 양쪽 [[항등원]] <math>0\in\operatorname{Ord}</math>이 존재한다. (물론, <math>\operatorname{Ord}</math>는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 [[모노이드]]가 될 수 없다.)
* ([[결합 법칙]]) <math>(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)</math>
* (양쪽 [[항등원]]) <math>\alpha+0=0+\alpha=\alpha</math>

그러나 이는 "[[가환 모노이드]]"가 아니다. 즉, 덧셈의 [[교환 법칙]]을 만족시키지 않는다. 예를 들어,
:<math>1+\omega=\omega<\omega+1</math>
이다.

=== 곱셈 ===
[[곱집합]] <math>T\times S</math>에 [[사전식 순서]]를 주자. 그렇다면 순서수의 '''곱''' <math>\alpha\beta</math>는 <math>T\times S</math>의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 곱은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.<ref name="Jech"/>{{rp|23, Definition 2.19}}
* <math>\alpha 0 =0 </math>
* <math>\alpha(\beta +1 )  = \alpha\beta + \alpha</math>
* <math>\alpha\beta = \bigcup_{\gamma<\beta} \alpha \gamma</math> (<math>\beta</math>는 0이 아닌 극한 순서수)

<math>(\operatorname{Ord},\cdot)</math>는 "[[모노이드]]"를 이룬다. 즉, 곱셈의 [[결합 법칙]]이 성립하며, 양쪽 [[항등원]] <math>1\in\operatorname{Ord}</math>이 존재한다. (물론, <math>\operatorname{Ord}</math>는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 [[모노이드]]가 될 수 없다.)
* ([[결합 법칙]]) <math>(\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)</math>
* (양쪽 [[항등원]]) <math>1\alpha=\alpha1=\alpha</math>

또한, 이 "[[모노이드]]"는 0을 가지며, 오른쪽 [[분배 법칙]]이 성립한다.
* <math>\alpha0=0\alpha=0</math>
* (우측 [[분배 법칙]]) <math>\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma</math>
* ([[영인자]]의 부재) <math>\alpha\beta=0</math>이라면 <math>\alpha=0</math>이거나 <math>\beta=0</math>이다.
그러나 [[교환 법칙]] 및 왼쪽 [[분배 법칙]]은 성립하지 않는다.
:<math>2\omega=\omega<\omega2</math>
:<math>(\omega+1)2=\omega+1+\omega+1=\omega2+1<\omega2+2</math>

=== 거듭제곱 ===
[[직합]]
:<math>S^{\oplus T}=\bigoplus_{t\in T}S</math>
에 [[사전식 순서]]를 주자. 그렇다면 순서수의 '''거듭제곱''' <math>\alpha^\beta</math>는 <math>S^{\oplus T}</math>의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 거듭제곱은 마찬가지로 다음과 같이 [[초한 귀납법]]으로 정의할 수도 있다.<ref name="Jech"/>{{rp|23, Definition 2.20}}
* <math>\alpha^0 =1</math>
* <math>\alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta\alpha</math>
* <math>\alpha^\beta = \bigcup_{\gamma<\beta}\alpha^\gamma</math> (<math>\beta\ne0</math>은 극한 순서수)

임의의 순서수 <math>\alpha,\beta,\gamma</math>에 대하여 다음이 성립한다.
* <math>0^\alpha=\begin{cases}0&\alpha>0\\1&\alpha=0\end{cases}</math>
* (거듭제곱의 [[분배 법칙]]) <math>\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\alpha^\gamma</math>
* <math>\alpha^{\beta\gamma}=(\alpha^\beta)^\gamma</math>
그러나 <math>(\alpha\beta)^\gamma\ne\alpha^\gamma\beta^\gamma</math>일 수 있다. 예를 들어,
:<math>(\omega2)^2=\omega2\omega2=\omega^22\ne\omega^24</math>
이다.

순서수의 거듭제곱은 기수의 거듭제곱과 현저히 다르다. 예를 들어, 순서수 연산에 대해서, [[칸토어의 정리]]가 다음과 같이 성립하지 않는다.
:<math>2^\omega=\omega</math>

=== 순서 보존 ===
임의의 서수 <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math>에 대하여 다음이 성립한다.
* <math>\alpha+\beta<\alpha+\gamma</math>와 <math>\beta<\gamma</math>는 [[동치]]이다.
* <math>\alpha+\beta=\alpha+\gamma</math>와 <math>\beta=\gamma</math>는 [[동치]]이다.
* <math>\alpha+\gamma<\beta+\gamma</math>이면 <math>\alpha<\beta</math>이다.
* <math>\alpha<\beta</math>이면 <math>\alpha+\gamma\le\beta+\gamma</math>이기만 하다.

비슷하게, 곱셈에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\alpha\beta<\alpha\gamma</math>와 <math>\beta<\gamma</math> 또는 <math>\alpha=0</math>은 [[동치]]이다.
* <math>\alpha\beta=\alpha\gamma</math>와 <math>\beta=\gamma</math> 또는 <math>\alpha=0</math>은 [[동치]]이다.
* <math>\alpha\gamma<\beta\gamma</math>이면 <math>\alpha<\beta</math>이다.
* <math>\alpha<\beta</math>이면 <math>\alpha\gamma\le\beta\gamma</math>이기만 하다.

== 성질 ==
폰 노이만 정의에서, 순서수 <math>\alpha</math>의 원소 <math>\beta\in\alpha</math>는 여전히 순서수이다.

순서수의 집합 <math>S\subset\operatorname{Ord}</math>에 대하여, 그 합집합 <math>\textstyle\bigcup S=\sup S</math> 역시 순서수이며, 이는 <math>S</math>의 [[상한]]이다.

공집합이 아닌, 순서수의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\varnothing\ne C\subset\operatorname{Ord}</math>에 대하여, 그 교집합 <math>\textstyle\bigcap C=\min C</math> 역시 순서수이며, 이는 <math>C</math>의 [[최소 원소]]이다.

순서수의 집합은 일반적으로 순서수가 아니다. 순서수의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Ord}</math>은 [[고유 모임]]이며, 따라서 순서수가 아니다. 이 사실을 [[부랄리포르티 역설]]이라고 한다.

== 종류 ==
=== 유한 순서수 ===
임의의 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 순서수를 '''유한 순서수'''({{llang|en|finite ordinal}})라고 한다.
* <math>\alpha<\omega</math>이다.
* <math>\alpha</math>는 (폰 노이만 정의에 따라) 집합으로서 [[유한 집합]]이다. 즉, <math>|\alpha|<\aleph_0</math>이다.
* <math>(\alpha,\le)</math>의 역순서 <math>(\alpha,\ge)</math>는 [[정렬 전순서]]이다. 즉, <math>\alpha</math>에서 [[공집합]]이 아닌 모든 [[부분 집합]]이 [[최대 원소]]를 갖는다.
* <math>\alpha</math>는 [[순서 위상]]을 부여하였을 때, [[극한점|집적점]]을 갖지 않는다.

유한 순서수들은 [[자연수]](음이 아닌 정수)들과 대응된다. 폰 노이만 정의에 따르면, 이들은
:<math>0=\varnothing</math>
:<math>1=\{0\}=\{\varnothing\}</math>
:<math>2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}</math>
등의 집합으로 정의된다.

=== 가산 무한 순서수 ===
[[파일:Ordinal ww.svg|섬네일|right|순서수 <math>\omega^2</math>의 형상화. <math>\omega</math>개의 <math>\omega</math>들이 모여 있다.]]
가장 작은 무한 순서수 <math>\omega</math>는 자연수 집합 전체의 순서형이며, 폰 노이만 정의에서는 이는 자연수의 집합과 같다.
:<math>\omega=\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math>
그 다음에는 <math>\omega+1</math>, <math>\omega+2</math> 등의 순서수들이 존재한다.
:<math>\omega+1=\{0,1,2,\dots,\omega\}</math>
:<math>\omega+2=\{0,1,2,\dots,\omega,\omega+1\}</math>
마찬가지로, <math>\omega+\omega=\omega\cdot2</math>는 다음과 같다. (순서수의 곱셈은 가환하지 않으며, <math>2\omega=\omega\ne\omega\cdot2</math>이다.)
:<math>\omega\cdot2=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\}</math>
:<math>\omega\cdot2+1=\{0,1,2\dots,\omega,\omega+1,\omega+2,\dots,\omega\cdot2\}</math>
마찬가지로, <math>\omega\cdot3,\omega\cdot3+1,\dots</math> 등이 존재한다.
이와 같은 방법으로 만들어지는 모든 순서수(즉, 자연수 <math>m</math>과 <math>n</math>에 대해 <math>\omega\cdot m+n</math>으로 나타낼 수 있는 순서수)들의 집합(의 순서형)은 그 자체로 순서수가 되며, 이는 <math>\omega^2</math>이다. 비슷한 방법으로 <math>\omega^3,\omega^4,\dots</math> 등이 존재한다.

<math>\omega,\omega^2,\omega^3,\dots</math>의 극한은 <math>\omega^\omega</math>이고, 마찬가지로 <math>\omega^{\omega^\omega}</math> 등등이 존재한다.

<math>\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots</math>의 극한은 <math>\epsilon_0</math>라고 한다. 이 역시 가산 무한 순서수이다. 이는
:<math>\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0</math>
을 만족시킨다.

=== 비가산 무한 순서수 ===
모든 가산 무한 순서수들의 집합의 순서형은 가장 작은 비가산 무한 순서수 <math>\omega_1</math>이다. 이는 가장 작은 비가산 무한 [[기수 (수학)|기수]] <math>\aleph_1</math>과 같다.

=== 극한 순서수와 따름 순서수 ===
모든 순서수들은 '''따름 순서수'''(-順序數, {{llang|en|successor ordinal}}) 또는 '''극한 순서수'''(極限順序數, {{llang|en|limit ordinal}})로 분류된다. (일부 문헌에서는 0을 극한 순서수에서 제외하기도 한다.) 이들은 [[초한 귀납법]]을 적용할 때 보통 개별적으로 다룬다.

순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 순서수를 '''극한 순서수'''라고 하며, 이를 만족시키지 않는 순서수를 '''따름 순서수'''라고 한다.
* <math>\alpha=\beta+1</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재하지 않는다.
* <math>\sup\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}=\alpha</math>이다. (물론 <math>\sup\varnothing=0</math>으로 놓는다.)
* <math>\operatorname{cf}\alpha\ne1</math>이다. (여기서 <math>\operatorname{cf}</math>는 [[공종도]]이다.)
* 폰 노이만 정의에서, <math>\alpha</math>는 [[최대 원소]]를 갖지 않는다.
* <math>\alpha=\omega\beta</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재한다.
* 폰 노이만 정의에서, 임의의 순서수 <math>\beta>\alpha</math>에 대하여 <math>\beta</math>에 [[순서 위상]]을 부여하였을 때, <math>\alpha\in\beta</math>는 <math>\beta</math>의 [[극한점|집적점]]이거나 <math>\alpha=0</math>이다. 즉, <math>\alpha\ne0</math>라면 <math>\alpha</math>의 모든 [[근방]]은 [[무한 집합]]이다.
* 폰 노이만 정의에서, <math>\alpha</math>는 [[순서 위상]]을 부여하였을 때 [[콤팩트 공간]]이 아니거나 <math>\alpha=0</math>이다.

예를 들어, 순서수들
:<math>0,1,2,\ldots,\omega,\omega+1,\omega+2</math>
가운데, 1, 2와 <math>\omega+1</math>, <math>\omega+2</math>는 따름 순서수이며, 0과 <math>\omega</math>는 극한 순서수이다.

=== 칸토어 표준형 ===
임의의 순서수 <math>\delta\ge2</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 순서수 <math>\alpha</math>는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타내어진다.
:<math>\alpha=\delta^{\beta_1}\gamma_1+\delta^{\beta_2}\gamma_2+\cdots+\delta^{\beta_k}\gamma_k</math>
:<math>0\le\beta_1<\beta_2<\cdots<\beta_k\in\operatorname{Ord}</math>
:<math>\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_k<\delta</math>
이를 <math>\alpha</math>의 '''<math>\delta</math>진 칸토어 표준형'''(<math>\delta</math>進Cantor標準型, {{llang|en|base-<math>\delta</math> Cantor normal form}})이라고 한다. 진법 <math>\delta</math>가 주어지지 않았을 때, '''칸토어 표준형'''이란 <math>\omega</math>진 칸토어 표준형을 뜻한다.<ref name="Jech"/>{{rp|24, Theorem 2.26}}

이를 재귀적으로 사용하여, 일부 순서수들을 양의 정수 및 기호 <math>\omega</math>만으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.
:<math>\omega^{\omega^25+\omega^3+\omega+2}+\omega^{\omega^8+\omega^2}+\omega^034</math>
이와 같이 나타낼 수 있는 순서수는 <math>\epsilon_0</math> 이하이다. 여기서 순서수 <math>\epsilon_0</math>는 다음과 같다.
:<math>\epsilon_0=\min\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\alpha=\omega^\alpha\}=
\sup\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots\}=
\omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}</math>
즉, <math>\epsilon_0</math>의 <math>\omega</math>진 칸토어 표준형은 <math>\epsilon_0=\omega^{\epsilon_0}</math>이므로 이는 자연수와 <math>\omega</math>만으로 나타낼 수 없다.

=== 짝순서수와 홀순서수 ===
모든 순서수는 '''짝순서수'''(-順序數, {{llang|en|even ordinal}}) 또는 '''홀순서수'''(-順序數, {{llang|en|odd ordinal}})로 분류된다. 이는 자연수가 [[짝수]]와 [[홀수]]로 분류되는 것의 일반화이다. 이 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.

순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 순서수를 '''짝순서수'''라고 한다.
* <math>\alpha</math>가 극한 순서수이거나, 만약 <math>\alpha=\beta+1</math>이라면 <math>\beta</math>는 짝순서수가 아니다. (이는 재귀적인 정의이다.)
* 만약 <math>\alpha=\lambda+n</math>이며, <math>\lambda</math>가 극한 순서수, <math>n</math>이 유한 순서수라면, <math>n</math>은 [[짝수]]이다.<ref>{{서적 인용 |title=Ordered Sets |first=Egbert |last=Harzheim |year=2005 |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-24219-8|doi=10.1007/b104891|총서=Advances in Mathematics|권=7|언어=en}}</ref>{{rp|296, §9.1}}
* <math>\alpha=2\beta</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재한다.
* <math>\alpha=2\beta+1</math>인 순서수 <math>\beta</math>가 존재하지 않는다.
짝순서수가 아닌 순서수를 '''홀순서수'''라고 한다.

== 응용 ==
순서수의 개념은 [[초한 귀납법]]을 사용할 때 필요하다. 이를 사용하여, 무한한 구조를 귀납적으로 손쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, [[측도론]]에서 [[보렐 집합]]들은 어떤 [[기저 (위상수학)|기저]]로부터 생성되는 ‘생일’에 대응하는 순서수로 분류된다.

[[증명 이론]]에서는 주어진 수학 이론의 강력한 정도를 순서수로 측정하며, 이 이론을 '''[[순서수 분석]]'''이라고 한다. 순서수가 더 큰 이론은 순서수가 더 작은 이론의 무모순성을 증명할 수 있다.

== 역사 ==
[[게오르크 칸토어]]가 1883년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|성=Cantor|이름=Georg|저자링크=게오르크 칸토어|날짜= 1883|제목=Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre|위치=Leipzig|jfm=15.0453.01|언어=de}}</ref> 원래 순서수의 [[동치류]]로서의 정의는 [[고유 모임]]이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 [[존 폰 노이만]]이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.<ref name="vN"/>

== 같이 보기 ==
* [[셈]]
* [[순서 위상]]
* [[초현실수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=존|성=콘웨이|저자링크=존 호턴 콘웨이|이름2=리처드|성2=가이|제목=수의 바이블|isbn=978-89-86865-78-3|기타=이진주, 황용석 역|출판사=한승|날짜=2003|url=http://www.hansbook.com/ourbooks/class_detail.html?no=125|언어=ko|확인날짜=2014-11-26|보존url=https://web.archive.org/web/20150928071621/http://www.hansbook.com/ourbooks/class_detail.html?no=125|보존날짜=2015-09-28|url-status=dead}}
** {{서적 인용|이름=John Horton|성=Conway|이름2=Richard K.|성2=Guy|제목=The book of numbers|출판사=Springer|날짜=1996| doi =  10.1007/978-1-4612-4072-3|isbn=978-1-4612-8488-8 | zbl = 0866.00001 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Ordinal number}}
* {{매스월드|id=OrdinalNumber|title=Ordinal number}}
* {{매스월드|id=InitialOrdinal|title=Initial ordinal}}
* {{매스월드|id=OrdinalAddition|title=Ordinal addition}}
* {{매스월드|id=OrdinalMultiplication|title=Ordinal multiplication}}
* {{매스월드|id=OrdinalExponentiation|title=Ordinal exponentiation}}
* {{nlab|id=ordinal number|title=Ordinal number}}
* {{nlab|id=countable ordinal|title=Countable ordinal}}
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Ordinal|제목=Ordinal numbers|웹사이트=Cantor’s Attic|이름=Joel David|성=Hamkins|이름2=Victoria|성2=Gitman|언어=en|확인날짜=2016-07-18|보존url=https://web.archive.org/web/20160717123432/http://cantorsattic.info/Ordinal|보존날짜=2016-07-17|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ordinal|제목=Definition: ordinal|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-07-18|보존url=https://web.archive.org/web/20171227203715/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ordinal|보존날짜=2017-12-27|url-status=dead}}
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{{집합론}}

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