{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Rhombic dodecahedron v3434.png|160px|섬네일|마름모 십이면체와 그 [[면 배치]]이다]]
[[파일:Disdyakis triacontahedron.png|섬네일|면 배치가 V4.6.10인 육방 이십면체는 120개의 면을 가진 가장 큰 카탈랑의 다면체이다.]]
수학에서, '''카탈랑의 다면체''' 또는 '''아르키메데스 쌍대'''는 [[아르키메데스의 다면체]]의 [[쌍대다면체]]이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 [[벨기에]]수학자 [[외젠 샤를 카탈랑]]의 이름을 따 왔다.

카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 [[면추이]]지만 [[점추이]]는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. [[정다면체]]와 [[아르키메데스의 다면체]]와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 [[정다각형]]이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 [[꼭짓점 도형]]은 정다각형이고, [[이면각]]이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 [[등방체]]이다.

게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 [[변추이]]이다:[[마름모십이면체]]와 [[마름모삼십면체]]이다. 이것은 두 [[준정다면체]]의 쌍대이다.

[[각기둥]]과 [[엇각기둥]]을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, [[쌍각뿔]]과 [[엇쌍각뿔]]은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다.

카탈랑의 다면체 중 두개는 [[카이랄성 (수학)|카이랄]]상을 가지고 있다: [[다듬은 정육면체]]와 [[다듬은 정십이면체]]의 쌍대인 [[오각이십사면체]]와 [[오각육십면체]]이다. 이것은 각각 [[카이랄성 (수학)|거울상]]을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다.

{| class="wikitable sortable"
!{{mvar|n}}||[[아르키메데스의 다면체]]||카탈랑의 다면체
|-
!1
||[[깎은 정사면체]]||[[삼방사면체]]
|-
!2
||[[깎은 정육면체]]||[[삼방팔면체]]
|-
!3
||[[깎은 육팔면체]]||[[육방팔면체]]
|-
!4
||[[깎은 정팔면체]]||[[사방육면체]]
|-
!5
||[[깎은 정십이면체]]||[[삼방이십면체]]
|-
!6
||[[깎은 십이이십면체]]||[[육방이십면체]]
|-
!7
||[[깎은 정이십면체]]||[[오방십이면체]]
|-
!8
||[[육팔면체]]||[[마름모십이면체]]
|-
!9
||[[십이이십면체]]||[[마름모삼십면체]]
|-
!10
||[[마름모육팔면체]]||[[연꼴이십사면체]]
|-
!11
||[[마름모십이이십면체]]||[[연꼴육십면체]]
|-
!12
||[[다듬은 정육면체]]||[[오각이십사면체]]
|-
!13
||[[다듬은 정십이면체]]||[[오각육십면체]]
|}

== 대칭성 ==
카탈랑의 다면체에서, 쌍대인 아르키메데스의 다면체를 따라 대칭성으로 묶을 수 있다: 정사면체, 정팔면체 그리고 정이십면체. 각 그룹마다 6가지 형태가 있다. 자기쌍대인 정사면체 그룹은 유일하게 3가지가 있고 나머지 둘은 정팔면체 그룹과 같다
{|
|
{| class="wikitable"
|+ [[정사면체 대칭]]
|-
!colspan=11|아르키메데스
|- align=center valign=top
|[[파일:Uniform polyhedron-33-t01.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-33-t02.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-33-t012.png|60px]]
|-
!colspan=8|카탈랑
|- align=center
|[[파일:Triakistetrahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Rhombicdodecahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Tetrakishexahedron.jpg|60px]]
|}
|
{| class="wikitable"
|+ [[정팔면체 대칭]]
|-
!colspan=11|아르키메데스
|- align=center valign=top
|[[파일:Uniform polyhedron-43-t01.svg|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-43-t1.svg|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-43-t12.svg|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-43-t02.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-43-t012.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-43-s012.png|60px]]
|- align=center
!colspan=11|카탈랑
|- align=center
|[[파일:Triakisoctahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Rhombicdodecahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Tetrakishexahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Deltoidalicositetrahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Disdyakisdodecahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|60px]]
|}
|}
{| class="wikitable"
|+ [[정이십면체 대칭]]
|-
!colspan=11|아르키메데스
|- align=center valign=top
|[[파일:Uniform polyhedron-53-t01.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-53-t1.svg|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-53-t12.svg|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-53-t02.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-53-t012.png|60px]]
|[[파일:Uniform polyhedron-53-s012.png|60px]]
|- align=center
!colspan=11|카탈랑
|- align=center
|[[파일:Triakisicosahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Rhombictriacontahedron.svg|60px]]
|[[파일:Pentakisdodecahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Deltoidalhexecontahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Disdyakistriacontahedron.jpg|60px]]
|[[파일:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|60px]]
|}

== 목록 ==
{| class="wikitable sortable"
! 이름<BR>(쌍대)<BR>[[콘웨이 다면체 표기법|콘웨이 이름]]
! 그림
! 정사영
! [[면 배치|면 도형]]
! 면
! 모서리
! 꼭짓점
! [[공간대칭군]]
|- align=center
| [[삼방사면체]]<BR>([[깎은 정사면체]])<BR>"kT"
| [[파일:triakis tetrahedron.png|60px|Triakis tetrahedron]][[파일:triakistetrahedron.jpg|60px|Triakis tetrahedron]]
| [[파일:Dual tetrahedron t01 ae.png|60px]][[파일:Dual tetrahedron t01 A2.png|60px]][[파일:Dual tetrahedron t01.png|60px]]
| [[이등변삼각형]]<BR>[[파일:DU02 facets.png|40px]]<BR>V3.6.6
|  12
|  18
|  8
|  T<sub>d</sub>
|- align=center
| [[마름모십이면체]]<BR>([[육팔면체]])<BR>"jC"
| [[파일:rhombic dodecahedron.png|60px|Rhombic dodecahedron]][[파일:rhombicdodecahedron.jpg|60px|Rhombic dodecahedron]]
| [[파일:Dual cube t1 v.png|60px]] [[파일:Dual cube t1.png|60px]][[파일:Dual cube t1 B2.png|60px]]
| [[마름모]]<BR>[[파일:DU07 facets.png|40px]]<BR>V3.4.3.4
|  12
|  24
|  14
|  O<sub>h</sub>
|- align=center
| [[삼방팔면체]]<BR>([[깎은 정육면체]])<BR>"kO"
| [[파일:triakis octahedron.png|60px|Triakis octahedron]][[파일:triakisoctahedron.jpg|60px|Triakis octahedron]]
| [[파일:Dual truncated cube t01 e88.png|60px]][[파일:Dual truncated cube t01.png|60px]][[파일:Dual truncated cube t01 B2.png|60px]]
| [[이등변삼각형]]<BR>[[파일:DU09 facets.png|40px]]<BR>V3.8.8
|  24
|  36
|  14
|  O<sub>h</sub>
|- align=center
| [[사방육면체]]<BR>([[깎은 정팔면체]])<BR>"kC"
| [[파일:tetrakis cube.png|60px|Tetrakis hexahedron]][[파일:tetrakishexahedron.jpg|60px|Tetrakis hexahedron]]
| [[파일:Dual cube t12 e66.png|60px]][[파일:Dual cube t12.png|60px]][[파일:Dual cube t12 B2.png|60px]]
| [[이등변삼각형]]<BR>[[파일:DU08 facets.png|40px]]<BR>V4.6.6
|  24
|  36
|  14
|  O<sub>h</sub>
|- align=center
| [[연꼴이십사면체]]<BR>([[마름모육팔면체]])<BR>"oC"
| [[파일:Strombic icositetrahedron.png|60px|Deltoidal icositetrahedron]][[파일:deltoidalicositetrahedron.jpg|60px|Deltoidal icositetrahedron]]
| [[파일:Dual cube t02 f4b.png|60px]][[파일:Dual cube t02.png|60px]][[파일:Dual cube t02 B2.png|60px]]
| [[연꼴]]<BR>[[파일:DU10 facets.png|40px]]<BR>V3.4.4.4
|  24
|  48
|  26
|  O<sub>h</sub>
|- align=center
| [[육방팔면체]]<BR>([[깎은 육팔면체]])<BR>"mC"
| [[파일:disdyakis dodecahedron.png|60px|Disdyakis dodecahedron]][[파일:disdyakisdodecahedron.jpg|60px|Disdyakis dodecahedron]]
| [[파일:Dual cube t012 f4.png|60px]][[파일:Dual cube t012.png|60px]][[파일:Dual cube t012 B2.png|60px]]
| [[부등변삼각형]]<BR>[[파일:DU11 facets.png|40px]]<BR>V4.6.8
|  48
|  72
|  26
|  O<sub>h</sub>
|- align=center
| [[오각이십사면체]]<BR>([[다듬은 정육면체]])<BR>"gC"
| [[파일:pentagonal icositetrahedron.png|60px|Pentagonal icositetrahedron]][[파일:pentagonalicositetrahedronccw.jpg|60px|Pentagonal icositetrahedron (Ccw)]]
| [[파일:Dual snub cube e1.png|60px]][[파일:Dual snub cube A2.png|60px]][[파일:Dual snub cube B2.png|60px]]
| [[오각형]]<BR>[[파일:DU12 facets.png|40px]]<BR>V3.3.3.3.4
|  24
|  60
|  38
|  O
|-  align=center
| [[마름모삼십면체]]<BR>([[십이이십면체]])<BR>"jD"
| [[파일:rhombic triacontahedron.png|60px|Rhombic triacontahedron]][[파일:rhombictriacontahedron.svg|60px|Rhombic triacontahedron]]
| [[파일:Dual dodecahedron t1 e.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t1 A2.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t1 H3.png|60px]]
| [[마름모]]<BR>[[파일:DU24 facets.png|40px]]<BR>V3.5.3.5
|  30
|  60
|  32
|  I<sub>h</sub>
|- align=center
| [[삼방이십면체]]<BR>([[깎은 정십이면체]])<BR>"kI"
| [[파일:triakis icosahedron.png|60px|Triakis icosahedron]][[파일:triakisicosahedron.jpg|60px|Triakis icosahedron]]
| [[파일:Dual dodecahedron t12 exx.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t12 A2.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t12 H3.png|60px]]
| [[이등변삼각형]]<BR>[[파일:DU26 facets.png|40px]]<BR>V3.10.10
|  60
|  90
|  32
|  I<sub>h</sub>
|- align=center
| [[오방십이면체]]<BR>([[깎은 정이십면체]])<BR>"kD"
| [[파일:pentakis dodecahedron.png|60px|Pentakis dodecahedron]][[파일:pentakisdodecahedron.jpg|60px|Pentakis dodecahedron]]
| [[파일:Dual dodecahedron t01 e66.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t01 A2.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t01 H3.png|60px]]
| [[이등변삼각형]]<BR>[[파일:DU25 facets.png|40px]]<BR>V5.6.6
|  60
|  90
|  32
|  I<sub>h</sub>
|- align=center
| [[연꼴육십면체]]<BR>([[마름모십이이십면체]])<BR>"oD"
| [[파일:Strombic hexecontahedron.png|60px|Deltoidal hexecontahedron]][[파일:deltoidalhexecontahedron.jpg|60px|Deltoidal hexecontahedron]]
| [[파일:Dual dodecahedron t02 f4.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t02 A2.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t02 H3.png|60px]]
| [[연꼴]]<BR>[[파일:DU27 facets.png|40px]]<BR>V3.4.5.4
|  60
|  120
|  62
|  I<sub>h</sub>
|- align=center
| [[육방이십면체]]<BR>([[깎은 십이이십면체]])<BR>"mD"
| [[파일:disdyakis triacontahedron.png|60px|Disdyakis triacontahedron]][[파일:disdyakistriacontahedron.jpg|60px|Disdyakis triacontahedron]]
| [[파일:Dual dodecahedron t012 f4.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t012 A2.png|60px]][[파일:Dual dodecahedron t012 H3.png|60px]]
| [[부등변삼각형]]<BR>[[파일:DU28 facets.png|40px]]<BR>V4.6.10
|  120
|  180
|  62
|  I<sub>h</sub>
|- align=center
| [[오각육십면체]]<BR>([[다듬은 정십이면체]])<BR>"gD"
| [[파일:Pentagonal hexecontahedron.png|60px|Pentagonal hexecontahedron]][[파일:pentagonalhexecontahedronccw.jpg|60px|Pentagonal hexecontahedron (Ccw)]]
| [[파일:Dual snub dodecahedron e1.png|60px]][[파일:Dual snub dodecahedron A2.png|60px]][[파일:Dual snub dodecahedron H2.png|60px]]
| [[오각형]]<BR>[[파일:DU29 facets.png|40px]]<BR>V3.3.3.3.5
|  60
|  150
|  92
|  I
|}

== 같이 보기 ==
* [[고른 타일링의 목록]]
* [[콘웨이 다면체 표기법]]
* [[아르키메데스의 다면체]]
* [[존슨의 다면체]]

== 참고 자료 ==
* [[외젠 샤를 카탈랑]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
* [[Alan Holden]] ''Shapes, Space, and Symmetry''. New York: Dover, 1991.
* {{인용| last1=Wenninger | first1=Magnus | author1-link=Magnus Wenninger | title=Dual Models | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54325-5 | mr=730208 | year=1983}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} (Section 3-9)
* {{서적 인용| author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{매스월드| urlname=CatalanSolid | title=Catalan Solids}}
* {{매스월드| urlname = Isohedron | title = Isohedron}}
* {{GlossaryForHyperspace | anchor=Catalan | title=Catalan}}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/archimedean-duals-info.html Archimedean duals] – at Virtual Reality Polyhedra
* [https://web.archive.org/web/20051201035511/http://ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Catalan.htm Interactive Catalan Solid] in Java

{{볼록 다면체 탐색기}}

[[분류:카탈란의 다면체]]
[[분류:다면체]]