{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|연속 실함수|연속 함수의 일반적인 개념|실함수의 경우}}
{{미적분학}}
[[위상수학]]과 [[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''연속 함수'''(連續函數, {{llang|en|continuous function, continuous map}})는 [[정의역]]의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, [[치역]]의 값 역시 작게 변화하는 [[함수]]이다. 즉, 변수가 연속적으로 변할 때 함숫값도 연속적으로 변하는 [[함수]]이다. 이는 함숫값에 갑작스러운 변화가 생기지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는, 임의의 작은 함숫값의 변화에 대해, 충분히 작은 범위 안에 있는 변수의 함숫값이 그 변화보다 작도록 할 수 있을 때 함수가 연속이라고 한다. 예를 들어 성장하는 중인 나무의 특정 시각 <math>t</math>에서의 높이가 <math>H(t)</math>라고 하면 함수 <math>H</math>는 연속 함수로 볼 수 있다. 반면 특정 시각 <math>t</math>에 은행 계좌에 들어있는 돈을 <math>M(t)</math>라고 하면 함수 <math>M</math>은 돈을 넣거나 뺄 때마다 순간적으로 변하므로 불연속 함수로 볼 수 있다. 19세기까지 수학자들은 다소 직관적인 방식에 의존하여 연속이라는 개념을 사용하였지만, 이후 소위 [[엡실론-델타 논법]]을 사용하여 연속을 엄밀하게 정의하였다.

연속 함수는 [[실수]] 집합 또는 [[복소수]] 집합 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있으며, 보다 일반적으로 임의의 [[거리 공간]] 또는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 사이의 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 집합 사이의 함수 가운데 어떤 것들이 연속 함수인지는 집합 위에 정의된 위상에 따라 다르다. 이를테면, [[스콧 연속 함수]]는 [[스콧 위상]]을 부여한 [[원순서 집합]] 사이의 연속 함수를 일컫는다. 다른 한편, 정의역이나 공역의 거리 구조를 바꾸더라도 위상이 변하지 않는다면 연속 함수의 개념은 변하지 않는다.

연속 함수 조건의 더 강한 형태로는 [[균등 연속 함수]]나 [[립시츠 연속 함수]] 따위가 있다. 다만, 이 조건들을 정의하려면 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 구조만으로는 부족하다. [[균등 연속 함수]]의 정의역과 공역은 적어도 [[균등 공간]] 구조를 갖추어야 하며, [[립시츠 연속 함수]]가 정의되기 위해서는 [[거리 공간]] 구조가 필요하다.

== 정의 ==
[[파일:continuity topology.svg|섬네일|점 <math>x</math>에서의 연속: 임의의 <math>f(x)</math>의 근방 ''V''에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 근방 ''U''가 존재한다.]]
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. 이 조건을 만족시키는 <math>f</math>를 '''점 <math>x</math>에서 연속'''({{lang|en|continuous at the point <math>x</math>}})이라고 한다.
* 임의의 <math>f(x)</math>의 [[근방]] <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
* 임의의 [[그물 (수학)|그물]] <math>x_\alpha\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_\alpha\to x</math>라면 <math>f(x_\alpha)\to f(x)</math>이다.
* <math>\lim_{x'\to x}f(x')=f(x)</math>. 여기서 <math>\lim_{x'\to x}</math>은 [[함수의 극한]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''연속 함수'''라고 한다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(U)\subseteq X</math>는 [[열린집합]]이다.
* 임의의 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(C)\subseteq X</math>는 [[닫힌집합]]이다.
* <math>f</math>는 <math>X</math>의 모든 점에서 연속이다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>A\subseteq X</math>에 대하여, 항상 <math>f(\operatorname{cl}(A))\subseteq\operatorname{cl}(f(A))</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]를 일컫는다.
* 임의의 [[부분 집합]] <math>B\subseteq Y</math>에 대하여, 항상 <math>\operatorname{cl}(f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}B)</math>이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''점렬 연속 함수'''(點列連續函數, {{llang|en|sequentially continuous function}})라고 한다.
* 임의의 [[수열|점렬]] <math>x_i\in X</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.

== 성질 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math> 및 <math>g\colon Y\to Z</math>에 대하여, 그 [[함수의 합성|합성]]
:<math>g\circ f\colon X\to Z</math>
역시 연속 함수이다.

연속 [[전단사 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>의 [[역함수]] <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>는 일반적으로 연속 함수가 아니다. 그러나 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이며, <math>Y</math>가 [[하우스도르프 공간]]이라면, <math>f^{-1}</math>는 연속 함수가 된다. 즉, 이 경우 연속 [[전단사 함수]]는 [[위상 동형 사상]]과 [[동치]]이다. 이는 [[콤팩트 공간]] <math>X</math>에서 [[하우스도르프 공간]] <math>Y</math>으로 가는 모든 연속 함수는 [[닫힌 함수]]이기 때문이다.

두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면, <math>f(X)</math>도 [[콤팩트 공간]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 [[연결 공간]]이라면, <math>f(X)</math>도 [[연결 공간]]이다.
* 만약 <math>X</math>가 [[경로 연결 공간]]이라면, <math>f(X)</math>도 [[경로 연결 공간]]이다.

임의의 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약 <math>X</math>가 [[제1 가산 공간]]이라면, <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 [[동치]]이다.

[[집합]] <math>X</math> 및 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 족 <math>(Y_i)_{i\in I}</math> 및 함수족 <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Z</math> 및 함수 <math>g\colon Z\to X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math> 위에 모든 <math>f_i</math>를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 [[시작 위상]]을 부여하였을 때, <math>g</math>는 연속 함수이다.
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>f_i\circ g</math>는 연속 함수이다.
특히, [[곱공간]]을 공역으로 하는 함수가 연속 함수일 필요충분조건은 성분별로 연속 함수인 것이다. 마찬가지로, [[끝 위상]]과 [[몫공간]]에 대해서도 유사한 명제가 성립한다.

=== 균등 공간 사이의 연속 함수 ===
[[균등 공간]] 사이에서, 모든 [[균등 연속 함수]]는 연속 함수이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 정의역이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[균등 공간]]인 경우, 연속성은 균등 연속성과 [[동치]]이다 ([[하이네-칸토어 정리]]).

=== 거리 공간에서의 연속 함수 ===
두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 및 <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 <math>x</math>에서 연속이다.
* 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 <math>\delta_\epsilon>0</math>이 존재한다.
** 임의의 <math>x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta_\epsilon</math>라면, <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.
* <math>f</math>는 <math>x</math>에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 [[점렬]] <math>x_i\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.

[[거리 공간]] 사이에서, 모든 [[립시츠 연속 함수]]는 [[균등 연속 함수]]이며, 따라서 연속 함수이다.

=== 실수값 연속 함수 ===
{{참고|연속 실함수}}
임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 두 연속 함수
:<math>f,g\colon X\to\mathbb R</math>
에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>f + g\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
* <math>fg\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
** [[상수 함수]]는 연속 함수이므로, 만약 <math>g</math>가 임의의 실수 <math>r</math>라면, <math>rf\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다. 특히, <math>r=-1</math>인 경우 <math>-f\colon X\to\mathbb R</math>는 연속 함수이다.
* 만약 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>f(x)\ne0</math>이라면, <math>1/f</math>는 연속 함수이다.

=== 실수 위의 함수 ===
{{참고|연속 실함수}}
어떤 [[구간]] <math>I\subset\mathbb R</math> 및 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon I\to Y</math> 및 [[실수]] <math>r\in I</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
* 만약 <math>\lim_{x\to r^+}f(x)=f(r)</math>이라면 <math>f</math>는 <math>r</math>에서 '''우연속'''({{llang|en|right-continuous}})이다.
* 만약 <math>\lim_{x\to r^-}f(x)=f(r)</math>이라면 <math>f</math>는 <math>r</math>에서 '''좌연속'''({{llang|en|left-continuous}})이다.

실수 구간 <math>I\subset\mathbb R</math>으로부터 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math>로 가는 함수 <math>f\colon I\to Y</math> 및 임의의 실수 <math>r\in I</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 <math>r</math>에서 연속이다.
* <math>f</math>는 <math>r</math>에서 좌연속이며 우연속이다.

== 예 ==
[[파일:Function-1 x.svg|섬네일|함수 <math>x\mapsto 1/x</math>의 그래프. 이 함수의 정의역은 0이 아닌 실수의 집합 <math>\mathbb R\setminus\{0\}</math>이며, 이는 연속 함수이다. 만약 <math>0\mapsto0</math>이라고 추가 정의하면 이 함수는 0에서 불연속이 된다. 만약 <math>0\mapsto\infty</math>로 정의하면 이 함수는 0에서도 연속이 되며, [[복소평면]]에서 [[리만 구]]로 가는 [[유리형 함수]]로 확장할 수 있다. 이는 이 함수를 복소함수로 보았을 때, 0은 [[특이점 (해석학)#극점의 위수|위수]]가 1인 극점이고, 유한한 주부분을 가진 [[로랑 급수]]가 특이점 주변에서 정의될 수 있기 때문이다.]]
실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.
* 모든 [[다항식]] <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[지수 함수]] <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[사인 함수|사인]] <math>\sin\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[코사인]] <math>\cos\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
* [[절댓값]] <math>|\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>
다음 함수는 연속 함수가 아니다.
* [[부호 함수]] <math>\operatorname{sgn}\colon x\mapsto\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}</math>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}

== 같이 보기 ==
* [[반연속 함수]]
* [[불연속점의 분류]]
* [[균등 연속 함수]]
* [[절대 연속 함수]]
* [[립시츠 연속 함수]]
* [[횔더 연속 함수]]
* [[동등 연속 함수족]]
* [[유계 작용소]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Continuous function}}
* {{eom|title=Continuous mapping}}
* {{매스월드|id=ContinuousFunction|title=Continuous function}}
* {{매스월드|id=ContinuousMap|title=Continuous map}}
* {{매스월드|id=PiecewiseContinuous|title=Piecewise continuous}}

{{전거 통제}}

[[분류:연속 함수| ]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:일반위상수학]]
[[분류:함수의 종류]]