{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]과 [[대수기하학]]에서 '''모듈러 곡선'''(modular曲線, {{llang|en|modular curve}})은 [[상반평면]]의 [[모듈러 군]]의 부분군에 대한 [[몫공간]]인 [[리만 곡면]]이다.<ref name="DS">{{서적 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어=en}}</ref> [[타원곡선]]과 [[모듈러 군]]의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

== 정의 ==
[[모듈러 군]] <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)</math>의 부분군 <math>G\subset\Gamma(1)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 <math>N</math>에 대하여 <math>\Gamma(N)\supset G</math>라면, <math>G</math>를 모듈러 군의 '''합동 부분군'''(合同部分群, {{llang|en|congruence subgroup}})이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 <math>N</math>을 합동 부분군 <math>G</math>의 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}})라고 한다.

&Gamma;(1)은 자연스럽게 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math>에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 <math>G</math> 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 <math>G\setminus\mathbb H</math>를 (비콤팩트) '''모듈러 곡선''' <math>Y(G)</math>라고 한다. 이는 일반적으로 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은 [[리만 곡면]]이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 '''확장 상반평면'''({{llang|en|extended upper-half plane}})
:<math>\mathbb H^*=\mathbb H\cup\mathbb Q\cup\{i\infty\}</math>
을 정의하자. 그렇다면 '''콤팩트 모듈러 곡선'''을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.<ref name="DS"/>{{rp|58}}
<math>X(G)=G\setminus\mathbb H^*=Y(G)\cup G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})</math>

대표적인 합동 부분군 &Gamma;<sub>0</sub>(''N''), &Gamma;<sub>1</sub>(''N'') 및 &Gamma;(''N'')에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 ''X''<sub>0</sub>(''N''), ''X''<sub>1</sub>(''N''), ''X''(''N'')이라고 적는다.

== 타원점과 첨점 ==
합동 부분군 <math>G</math>의 '''타원점''' <math>\tau\in\mathbb H</math>는 그 점에서의 <math>\mathbb H</math>-[[군의 작용|작용]]에 대한 [[안정자군]] <math>G_\tau</math>가 자명하지 않는 (<math>\pm1\subset G</math>보다 더 큰) 점이다.<ref name="DS"/>{{rp|48}} 이 경우, <math>G_\tau/\{\pm1\}</math>의 크기를 타원점 <math>\tau</math>의 '''계수'''({{llang|en|order}})라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 <math>G</math>의 모듈러 곡선 <math>Y(G)</math> 위의 한 점으로 간주할 수 있다.

합동 부분군 <math>G</math>의 '''첨점'''(尖點, {{llang|en|cusp}})은 :<math>G\setminus(\mathbb Q\cup\{i\infty\})=X(G)-Y(G)</math>
의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.

== 타원곡선과의 관계 ==
모듈러 곡선은 소위 '''준위 구조'''({{llang|en|level structure}})를 가진 복소 [[타원곡선]]의 [[모듈라이 공간]]이다. 예를 들어, <math>X(1)</math>은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. <math>\tau\in\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>는 타원 곡선
:<math>\mathbb C/\Lambda(z,\tau z)</math>
과 대응된다. 여기서 <math>\Lambda=\Lambda(\langle z,\tau z)</math>는 <math>0\ne z,\tau z\in\mathbb C</math>에 의하여 생성되는 2차원 [[격자]]이며, <math>z</math>는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 <math>z</math>를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)

=== ''X''(''N'') ===
''X''(''N'')의 경우, 타원곡선 <math>E</math> 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 <math>p,q\in E</math>이다.<ref name="Silverman">{{서적 인용|제목=The arithmetic of elliptic curves|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=106|성=Silverman|이름=Joseph H.|판=2판|날짜=2009|출판사=Springer|isbn=978-0-387-09493-9|zbl=1194.11005|doi=10.1007/978-0-387-09494-6|언어=en}}</ref>{{rp|440}}
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 차수는 <math>N</math>의 약수이다. 즉, <math>Np=Nq=0</math>이다.
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 [[베유 쌍]](Weil pairing)은 <math>e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)</math>이다.
복소수체의 경우, 두 <math>N</math>차 점
:<math>p=(a+b\tau)/N</math>
:<math>q=(c+d\tau)/N</math>
:<math>a,b,c,d\in\mathbb Z/N</math>
의 베유 쌍은
:<math>e_N(p,q)=\exp(2\pi i(ad-bc)/N)</math>
이다.

이에 따라서 <math>\{p,q\}</math>는 ''N''차 [[꼬임 부분군]]
:<math>\{z\in\mathbb C\colon Nz\in\Lambda\}</math>
의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 구체적으로, 임의의 <math>\tau\in\Gamma(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
:<math>(p,q)=(1/N,\tau/N)\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
로 주어진다.

=== ''X''<sub>0</sub>(''N'') ===
''X''<sub>0</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 ''N''차 [[순환군|순환]] [[부분군]]
:<math>i\colon\mathbb Z/n\hookrightarrow C/\Lambda</math>
이다.<ref name="Silverman"/>{{rp|440}} 구체적으로, <math>\tau\in\Gamma_0(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
:<math>\{0,1/N,2/N,\dots,(N-1)/N\}\subset\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
이다.

=== ''X''<sub>1</sub>(''N'') ===
''X''<sub>1</sub>(''N'')의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 <math>N</math>인 점 (즉, <math>Nz\in\Lambda</math>인 <math>z\in\mathbb C</math>)이다.<ref name="Silverman"/>{{rp|439}} 구체적으로, <math>\tau\in\Gamma_1(N)\backslash\mathbb H</math>에 대하여 이는
:<math>1/N\in\mathbb C/\Lambda(1,\tau)</math>
이다.

== 성질 ==
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 <math>G</math>의 콤팩트 모듈러 곡선 <math>X(G)</math>의 종수(genus)는 다음과 같다.<ref name="DS"/>{{rp|68}}
:<math>g(X(G))=1+|\Gamma(1):G|/12-r_2/4-r_3/3-r_\infty/2</math>
여기서
* <math>|\Gamma(1):G|</math>는 [[부분군의 지표]]다.
* <math>r_2</math>는 <math>G</math>의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
* <math>r_3</math>는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
* <math>r_\infty</math>는 <math>G</math>의 첨점들의 수이다.

== 예 ==
=== &Gamma;(1) ===
[[모듈러 군]] <math>\Gamma(1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 <math>X(1)</math>은 [[리만 구]] <math>\hat{\mathbb C}</math>와 [[동형]]이다. 이 동형사상은 [[j-불변량]]에 의하여 주어진다.
:<math>j\colon \Gamma(1)\backslash\mathbb H\to\hat{\mathbb C}</math>

이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. &Gamma;(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
* 계수가 2인 타원점 1개 (<math>i\in\mathbb H</math>)
* 계수가 3인 타원점 1개 (<math>(1+i\sqrt 3)/2\in\mathbb H</math>)
* 첨점 1개 (<math>i\infty</math>)
를 가진다. 따라서
:<math>g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0</math>
이다. 이는 [[리만 구]]에 해당한다.

=== &Gamma;(''N'') ===
&Gamma;(''N'')의 경우 <math>N>1</math>이면 타원점이 없다.<ref name="DS"/>{{rp|57}} 이 경우 [[부분군의 지표]]는 다음과 같다.<ref name="DS"/>{{rp|106}}
:<math>|\Gamma(1):\Gamma(N)|=\begin{cases}
\frac12N^3\prod_{p|N}(1-1/p^2)&N>2\\
6&N=2
\end{cases}</math>
또한, 이 경우 <math>|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N</math>개의 첨점이 있다.<ref name="DS"/>{{rp|106}}
따라서 이 경우 종수는
:<math>g=1+|\Gamma(1):\Gamma(N)|(1/12-1/2N)</math>
이다. 예를 들어, <math>N=2</math>인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는
:<math>g=1+6(1/12-1/4)=0</math>
이다.

''N''이 [[소수 (수론)|소수]] ''p''일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. {{OEIS|A191590}}
:<math>g=(p+2)(p-3)(p-5)/24</math>

따라서 &Gamma;<sub>1</sub>(''N'')의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.<ref name="DS"/>{{rp|107}} 부분군의 지표는 {{OEIS|A001766}}, 첨점의 수는 {{OEIS|A000114}}, 종수는 {{OEIS|A001767}}이다.
{| class="wikitable"
|-
! ''N'' !! [[부분군의 지표|지표]] !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0
|-
| 2 || 6 || 3
| rowspan=10 | 0
| rowspan=10 | 0
| 0
|-
| 3 || 12 || 4 || 0
|-
| 4 || 24 || 6 || 0
|-
| 5 || 60 || 12 || 0
|-
| 6 || 72 || 12 || 1
|-
| 7 || 168 || 24 || 3
|-
| 8 || 192 || 24 || 5
|-
| 9 || 324 || 36 || 10
|-
| 10 || 360 || 36 || 13
|-
| 11 || 66 || 60 || 26
|}

''X''(1)의 경우, [[리만 구면]]으로의 구체적인 동형사상은 [[j-불변량]] <math>j\colon\mathbb H/\Gamma(1)\to\hat{\mathbb C}</math>에 의해 주어지고, ''X''(2)의 경우, [[리만 구면]]으로의 구체적인 동형사상은 [[모듈러 람다 함수]] <math>\lambda\colon\mathbb H/\Gamma(2)\to\hat{\mathbb C}</math>에 의해 주어진다.

=== &Gamma;<sub>1</sub>(''N'') ===
&Gamma;<sub>1</sub>(2)와 &Gamma;<sub>1</sub>(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. &Gamma;<sub>1</sub>(''N'')의 경우 ''N''>3이면 타원점이 없다.<ref name="DS"/>{{rp|57}} &Gamma;<sub>1</sub>(''N'')의 [[부분군의 지표|지표]]는
:<math>|\Gamma(1):\Gamma_1(N)|=|\Gamma(1):\Gamma(N)|/N</math>
이며, 첨점의 개수는 다음과 같다.<ref name="DS"/>{{rp|107}}<ref name="KK"/>
:<math>r_\infty=\begin{cases}
2&N=2,3\\
3&N=4\\
\frac12\sum_{d|N}\phi(d)\phi(N/d)&N>4
\end{cases}</math>
(<math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.)
따라서 &Gamma;<sub>1</sub>(''N'')의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.<ref name="DS"/>{{rp|107}}<ref name="KK">{{저널 인용|저널=Bulletin of the Australian Mathematical Society|권=54|호=2|날짜=1996-10|쪽=291–297|제목=On the genus of some modular curves of level ''N''|이름=Chang Heon|성=Kim|공저자=Ja Kyung Koo|doi=10.1017/S0004972700017755|언어=en}}</ref>
여기서 부분군의 지표는 {{OEIS|A000114}}, 첨점의 수는 {{OEIS|A029936}}, 종수는 {{OEIS|A029937}}이다.
{| class="wikitable"
|-
! ''N'' !! [[부분군의 지표|지표]] !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0
|-
| 2 || 3 || 2 || 1 || 0 || 0
|-
| 3 || 4 || 2 || 0 || 1 || 0
|-
| 4 || 6 || 3
| rowspan="9" | 0
| rowspan="9" | 0
|| 0
|-
| 5 || 12 || 4 || 0
|-
| 6 || 12 || 4 || 0
|-
| 7 || 24 || 6 || 0
|-
| 8 || 24 || 6 || 0
|-
| 9 || 36 || 8 || 0
|-
| 10 || 36 || 8 || 0
|-
| 11 || 60 || 10 || 1
|-
| 12 || 48 || 10 || 0
|}

=== &Gamma;<sub>0</sub>(''N'') ===
[[모듈러 군#모듈러 군 Γ0(N)|&Gamma;<sub>0</sub>(''N'')]]의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
:<math>r_2=\begin{cases}0&4 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-1}p))&4 \not| N\end{cases}</math>
:<math>r_3=\begin{cases}0&9 | N\\\prod_{p | N}(1+(\tfrac{-3}p))&4 \not| N\end{cases}</math>
:<math>r_\infty=\sum_{0<k | N}\phi((d,N/d))</math>
여기서 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이고, <math>(\tfrac ab)</math>는 [[르장드르 기호]]이다. <math>a|b</math>는 <math>a</math>가 <math>b</math>의 인수라는 뜻이다. <math>p|b</math>는 <math>p</math>가 <math>b</math>의 [[소인수]]라는 뜻이다.

이 경우 [[부분군의 지표]]는 {{OEIS|A001615}}, 계수 2의 타원점의 수는 {{OEIS|A000089}}, 계수 3의 타원점의 수는 {{OEIS|A000086}}, 첨점의 수는 {{OEIS|A001616}}, 모듈러 곡선의 종수는 {{OEIS|A001617}}이다.
{| class="wikitable"
|-
! ''N'' !! [[부분군의 지표|지표]] !! 첨점의 수 !! 계수 2 타원점의 수 !! 계수 3 타원점의 수 !! 종수
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 0
|-
| 2 || 3 || 2 || 1 || 0 || 0
|-
| 3 || 4 || 2 || 0 || 1 || 0
|-
| 4 || 6 || 3 || 0 || 0 || 0
|-
| 5 || 6 || 2 || 2 || 0 || 0
|-
| 6 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0
|-
| 7 || 8 || 2 || 0 || 2 || 0
|-
| 8 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0
|-
| 9 || 12 || 4 || 0 || 0 || 0
|-
| 10 || 18 || 4 || 2 || 0 || 0
|-
| 11 || 12 || 2 || 0 || 0 || 1
|}

== 같이 보기 ==
* [[모듈러성 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Modular curve|last=Panchishkin|first=A.A.|공저자=A. N. Parshin}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:리만 곡면]]
[[분류:모듈러 형식]]