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[[군 스킴]] 이론에서, '''디외도네 환'''({{llang|en|Dieudonné ring}})은 [[군 스킴]]의 분류에 사용되는 [[환 (수학)|환]]이다. 디외도네 환 위의 특정 가군들의 범주는 특정 [[군 스킴]]들의 범주의 [[반대 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 정의 ==
[[체의 표수|표수]] <math>p>0</math>의 [[완전체]] <math>K</math> 위의 <math>p</math>-[[비트 벡터 환]] <math>\operatorname{WittVector}_p(K)</math>을 생각하자. <math>K</math>의 '''디외도네 환''' <math>\operatorname{Dieu}(K)</math>은 <math>\operatorname{WittVector}_p(K)</math>와 두 형식적 변수 <math>F</math>, <math>V</math>로 생성되며, 다음 관계들을 만족시키는 [[환 (수학)|환]]이다.
* <math>FV=VF=p</math>
* <math>Fw=\sigma(w)F\qquad\forall w\in\operatorname{WittVector}_p(K) </math>
* <math>wV=V\sigma(w)\qquad\forall w\in\operatorname{WittVector}_p(K)</math>
여기서
:<math>\sigma\colon\operatorname{WittVector}_p(K)\to\operatorname{WittVector}_p(K)</math>
:<math>\sigma\colon(w_0,w_1,w_2,\dots)\mapsto(w_0^p,w_1^p,w_2^p,\dots)</math>
는 <math>K</math>의 [[프로베니우스 자기 동형]]에 의하여 생성되는 <math>p</math>-[[비트 벡터 환]]의 [[자기 동형]]이다.

== 성질 ==
=== 비트 환 위의 작용 ===
표수 <math>p>0</math>의 완전체 <math>K</math> 위의 디외도네 군 <math>\operatorname{Dieu}(K)</math>는 <math>p</math>진 [[비트 벡터 환]] <math>\operatorname{WittVector}_p(K)</math> 위에 다음과 같이 작용한다.
* <math>V\colon (a_1,a_p,a_{p^2},\dots,a_{p^n})\mapsto (a_1,a_p,a_{p^2},\dots)</math>는 비트 벡터 위의 '''베르시붕'''({{llang|de|Verschiebung}})이다.
* <math>F\colon(a_1,a_p,a_{p^2},\dots)\mapsto (a_1^p,a_p^2,a_{p^2},\dots)</math>는 프로베니우스 사상이다.

=== 디외도네 이론 ===
양의 표수의 완전체 <math>K</math>에 대하여, 다음 두 범주 사이에 [[범주의 동치]]가 존재한다.
:<math>\mathcal C\simeq\mathcal D^{\operatorname{op}}</math>
여기서
* <math>\mathcal C</math>는 <math>K</math>-[[군 스킴]] <math>G\to\operatorname{Spec}K</math>가운데, [[스킴 사상]]으로서 [[유한 사상]]이며, 아벨 군 스킴이며, 또 [[p-군]]인 것들의 [[아벨 범주]]이다.
* <math>\mathcal D</math>는 디외도네 환 위의 [[왼쪽 가군]] 가운데, <math>\operatorname{WittVector}_p(K)</math>-[[가군]]으로서 [[가군의 길이|길이]]가 유한한 것들의 [[아벨 범주]]이다.

구체적으로, [[군 스킴]] <math>G\in\mathcal C</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 디외도네 환 위의 가군 <math>D(G)</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>D(G)=\varinjlim_{n\to\infty}\hom(G,\mathbb W_{p,n}(K))</math>
여기서 <math>\mathbb W_{p,n}(K)</math>는 길이 <math>n</math>의 <math>p</math>-[[비트 벡터]]의 [[군 스킴]]이며, 위의 [[귀납적 극한]]은 포함 사상
:<math>\mathbb W_{p,n}(K)\to\mathbb W_{p,n+1}(K)</math>
을 통해 취한 것이다. 이는 디외도네 군의 비트 환 위의 작용에 의하여 왼쪽 디외도네 가군을 이룬다.

이 대응 사상 아래 다음이 성립한다. <math>G</math>에 대응하는 디외도네 가군이 <math>M</math>이라면,
:<math>|G|=p^{\operatorname{length}_WM}</math>
여기서 좌변은 <math>G</math>의 원소의 수이며, 우변은 [[가군의 길이]]이다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Dieudonné module}}
* {{nlab|id=Dieudonné ring}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/05/13/the-dieudonne-module/|제목=The Dieudonné module|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2011-05-13|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-07|보존url=https://web.archive.org/web/20161019230437/https://hilbertthm90.wordpress.com/2011/05/13/the-dieudonne-module/|보존날짜=2016-10-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://hilbertthm90.wordpress.com/2013/07/13/a-quick-users-guide-to-dieudonne-modules-of-p-divisible-groups/|제목=A quick user’s guide to Dieudonné modules of p-divisible groups|웹사이트=A Mind for Madness|날짜=2013-07-13|이름=Matt|성=Ward|언어=en|확인날짜=2016-04-07|보존url=https://web.archive.org/web/20141017115631/http://hilbertthm90.wordpress.com/2013/07/13/a-quick-users-guide-to-dieudonne-modules-of-p-divisible-groups/|보존날짜=2014-10-17|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.harvard.edu/~chaoli/doc/Dieudonne.html|제목=Basic Dieudonné theory|이름=Chao|성=Li|언어=en|확인날짜=2016-04-07|보존url=https://web.archive.org/web/20160326123600/http://www.math.harvard.edu/~chaoli/doc/Dieudonne.html#|보존날짜=2016-03-26|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수군]]