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'''팽창''' (보통 '''⊕'''로 나타낸다)은 [[수학적 형태학]]의 기본 연산 중 하나이다. 원래는 [[이진 이미지]]를 위해서 개발되었다, 이것은 처음에 [[회색조]] 이미지로 확장되었으며, [[완비 격자]]로 확장되었다. 팽창 연산은 보통 입력 이미지에 포함된 모양을 탐색하는 것과 확장하는 것을 위해서 [[구조적 요소]]를 이용한다.

== 이진 팽창 ==
[[파일:Dilation.png|섬네일|right|짙은 파란색 사각형을 원판으로 팽창해서 둥근 모서리가 있는 밝은 파란색 사각형을 만든다.]]

이진 형태학에서, 팽창은 이동-불변([[병진 불변]]) 연산자이며, [[민코프스키 덧셈]]과 동등하다.

이진 이미지는 수학적 형태학에서 [[유클리드 공간]] '''R'''<sup>''d''</sup> 또는 어떤 ''d''차원의 정수 격자 '''Z'''<sup>''d''</sup>의 [[부분집합]]으로 볼 수 있다. ''E''를 유클리드 공간이나 정수 격자라 하고, ''A''를 ''E''의 이진 이미지라 하고, ''B''를 '''R'''<sup>''d''</sup>의 부분집합에 관련이 있는 구조적 요소라고 하자.

''A''를 ''B''로 팽창시킨 것은 다음과 같이 정의된다:

::<math>A  \oplus B = \bigcup_{b\in B} A_b,</math>

여기서 ''A''<sub>''b''</sub>는 ''A''를 ''b''로 평행이동 시킨 것이다.

팽창은 가환 연산이기 때문에 다음과 같이 쓸 수 있다: <math>A  \oplus B = B\oplus A = \bigcup_{a\in A} B_a</math>.

''B''가 원점을 중심으로 두고 있다면, ''A''를 ''B''로 팽창시킨 것은 ''B''의 중심이 ''A''의 내부에서 움직일 때 ''B''에 있는 점들의 궤적으로 이해할 수 있다. 크기가 10이고 원점에 중심을 둔 정사각형을 마찬가지로 원점을 중심으로 둔 반지름이 2인 원판으로 팽창시키면 원점을 중심으로 하고 꼭짓점이 둥근 크기가 14인 정사각형이 된다. 둥근 꼭짓점의 반지름은 2이다.

팽창은 다음을 통해서도 얻을 수 있다: <math>A  \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A\neq \varnothing\}</math>, 이 때 ''B''<sup>''s''</sup>는 ''B''의 [[회전 대칭|대칭]]이다. 즉, <math>B^s=\{x\in E \mid -x \in B\}</math>이다.

=== 예시 ===

A를 다음의 11 x 11 행렬이라고, 그리고 B를 다음의 3 x 3 행렬이라고 하자:

     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
     0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0              1 1 1
     0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1
     0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0              1 1 1
     0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
     0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A의 모든 픽셀에 대해서 , B의 중심을 '''삽입(superimpose)'''하자.

B의 모든 삽입된 픽셀은 B에 대한 A의 팽창에 포함된다.

B에 대한 A의 팽창은 이 11 x 11 행렬로 주어진다.

     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
     1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

=== 이진 팽창의 특성 ===

다음은 이진 팽창 연산의 특성이다

* 이것은 [[병진 불변]]이다.
* 이것은 [[단조증가]]한다. 다시 말하면, <math>A\subseteq C</math>이면, <math>A\oplus B \subseteq C\oplus B</math>이다.
* 이것은 [[가환]] 연산이다.
* ''E''의 원점이 구조적 요소 ''B''에 있으면, 이것은 [[폐포연산|확장적]]이다. 즉, <math>A\subseteq  A\oplus B</math>이다.
* 이것은 [[결합법칙]]을 만족한다. 즉, <math>(A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)</math>이다.
* 이것은 [[합집합]]에서 [[분배법칙]]이 성립한다.

==회색조 연산==
[[회색조]] 형태학에서, 이미지는 [[유클리드 공간]]이나 [[격자 그래프|격자]] ''E''에서 <math>\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}</math>로 맵핑되는 [[함수]]이다. 여기서 <math>\mathbb{R}</math>은 [[실수]]의 집합이고, <math>\infty</math>은 어떤 실수 보다 큰 수이고, <math>-\infty</math>은 어떤 실수 보다 작은 수이다.

회색조 구조적 요소는 같은 형태의 "구조적 함수"라고 불리는 함수이다.

이미지를 ''f''(''x'')로 나타내고 구조적 함수를 ''b''(''x'')하고 나타내면, ''b''에 대한 ''f''의 회색조 팽창은 다음과 같이 주어진다:

::<math>(f\oplus b)(x)=\sup_{y\in E}[f(y)+b(x-y)],</math>

이 때, "sup"은 [[상한]]을 의미한다.

===단순한 구조적 함수===
[[파일:Grayscale Morphological Dilation.gif|섬네일|5x5의 크기인 단순한 구조적 함수를 사용하는 회색조 이미지의 팽창의 예시이다. 위에 있는 그림은 원래의 이미지에 있는 각각의 픽셀에 구조적 함수를 적용하는 창을 나타낸다. 아래의 그림은 결과로 나타나는 확장된 이미지를 나타낸다.]]
형태학적 적용에서 단순한 구조적 요소를 사용하는 것은 흔한 일이다. 단순한 구조적 함수는 다음의 형태를 가지는 함수 ''b''(''x'')이다:

::<math>b(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x\in B,\\-\infty,&\text{otherwise},\end{array}\right.</math>

여기서 <math>B\subseteq E</math>이다.

이 경우에, 확장은 매우 단순화 되고, 다음으로 주어진다:

::<math>(f\oplus b)(x)=\sup_{y\in E}[f(y)+b(x-y)]=\sup_{z\in E}[f(x-z)+b(z)]=\sup_{z\in B}[f(x-z)].</math>

(''x''&nbsp;=&nbsp;(''px'',&nbsp;''qx''), ''z''&nbsp;=&nbsp;(''pz'',&nbsp;''qz'')라고 가정하면, ''x''&nbsp;−&nbsp;''z''&nbsp;=&nbsp;(''px''&nbsp;−&nbsp;''pz'',&nbsp;''qx''&nbsp;−&nbsp;''qz'')이다.)

유계, 이산 경우에(''E''가 격자이고 ''B''가 유계이면), [[상한]] 연산자는 [[최대값]]으로 바꿀 수 있다. 따라서, 확장은 [[순서통계량]] 필터의 특정한 경우로, 움직이는 창(구조적 함수릐 지지 ''B''의 대칭)에 있는 원소 중 최대값을 반환한다.

==완비 격자에서 팽창==

[[완비격자]]는 모든 부분집합이 [[상한]]과 [[하한]]을 가지는 [[부분 순서 집합]]이다. 특히, 이것은 [[최소 원소]]와 [[최대 원소]]를 포함한다 ("universe"라고도 불린다).

<math>(L,\leq)</math>를 상한과 하한이 각각 <math>\vee</math>와 <math>\wedge</math>으로 기호화된 완비 격자라고 하자. 이것의 전체 집합과 최소 원소는 각각 ''U''와 <math>\varnothing</math>로 기호화되어 있다. 더 나아가서, let <math>\{ X_{i} \}</math>를 ''L''에 있는 원소의 모임으로 두자.

팽창은 상한에 분포하는 어떤 연산자 <math>\delta: L\rightarrow L</math>이고, 최소 원소를 보존한다:
* <math>\bigvee_i\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_i X_i\right),</math>
* <math>\delta(\varnothing)=\varnothing.</math>

== 같이 보기 ==
* [[버퍼 (GIS)]]
* [[닫기 (형태학)]]
* [[침식 (형태학)]]
* [[수학적 형태학]]
* [[열기 (형태학)]]
* [[민코프스키 덧셈]]

==서지학==
* ''Image Analysis and Mathematical Morphology'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637240-3}} (1982)
* ''Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances'' by Jean Serra, {{ISBN|0-12-637241-1}} (1988)
* ''An Introduction to Morphological Image Processing'' by Edward R. Dougherty, {{ISBN|0-8194-0845-X}} (1992)

[[분류:수학적 형태학]]
[[분류:디지털 기하학]]