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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''횔더 부등식'''({{lang|en|Hölder's inequality}})은 [[르베그 적분]]과 [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 공간]]을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 [[부등식]]이다. 부등식의 이름은 [[오토 횔더]]의 이름을 따서 지은 것이다.

== 정의 ==
''S'',''Σ'',''μ''가 [[측도 공간]]이고, ''p'', ''q'' ∈ '''R'''가 1 ≤ ''p'', ''q'' ≤ ∞ 이고 1/''p'' + 1/''q'' = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 [[실함수]], [[복소함수]] 가운데 ''S''에서 [[가측 함수]] ''f'', ''g''에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.

:<math>\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.</math>

부등식은 ||''fg''||<sub>1</sub>의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 ''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''μ'') , ''g'' ∈ L<sup>''q''</sup>(''μ'')일 때, ''fg'' ∈ L<sup>1</sup>(''μ'')가 성립한다.

1 < ''p'', ''q'' < ∞ and ''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''μ'') and ''g'' ∈ L<sup>''q''</sup>(''μ'')일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 [[필요충분조건]]은 |''f''|<sup>''p''</sup> 과 |''g''|<sup>''q''</sup>이 L<sup>1</sup>에서 [[일차 종속]]일 때 만족한다. 즉, ''α'',&nbsp;''β''&nbsp;≥&nbsp;0 인 ''α'',&nbsp;''β''&nbsp;가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 ''α''|''f''|<sup>''p''</sup> = ''β''|''g''|<sup>''q''</sup>가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.

(||''f''||<sub>''p''</sub> = 0 인 경우, ''β''&nbsp;=&nbsp;0이다.||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=&nbsp;0 인 경우,''α''&nbsp;=&nbsp;0이다.)

이때 ''p''와 ''q''는 '''횔더 켤레'''('''Hölder conjugates''')이다. ''p'' = ''q'' = 2인 경우, 이 부등식은 [[코시-슈바르츠 부등식]]이 된다.

횔더 부등식은 L<sup>''p''</sup>(''μ'')에서 [[삼각 부등식]]과 [[민코프스키 부등식]]을 증명하기 위해 사용하며, L<sup>''p''</sup>(''μ'')의 [[쌍대공간]] L<sup>''q''</sup>(''μ'')를 구성하기 위해 사용한다. (1&nbsp;≤&nbsp;''q''&nbsp;<&nbsp;∞)

횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.

* 횔더 켤레의 정의에 의하면, 1/∞은 0을 뜻한다.
* 만약 1 ≤ ''p'', ''q'' < ∞ 이면, ||''f''||<sub>''p''</sub> , ||''g''||<sub>''q''</sub>는 다음과 같이 정의한다.

::<math>\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;and&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.</math>

* 만약 ''p'' = ∞ 이면, ||''f''||<sub>∞</sub>는 |''f''|의 [[본질적 상한]]으로 정의한다. 같은 방식으로 ||''g''||<sub>∞</sub>도 정의한다.
* 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ 과 ∞ 곱하기 0는 0으로 약속한다.

=== 일반화 횔더 부등식 ===
''r'' ∈ (0,∞) 이고 ''p''<sub>1</sub>, …, ''p<sub>n</sub>'' ∈ (0,∞<nowiki>]</nowiki>이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.

:<math>\sum_{k=1}^n \frac1{p_k}=\frac1r.</math>

이때, ''S''에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 ''f''<sub>1</sub>, …, ''f<sub>n</sub>''에 대하여,

:<math>\biggl\|\prod_{k=1}^n f_k\biggr\|_r\le \prod_{k=1}^n\|f_k\|_{p_k}.</math>

가 성립한다.

또한, 다음도 성립한다.

:<math>f_k\in L^{p_k}(\mu)\;\;\forall k\in\{1,\ldots,n\}\implies\prod_{k=1}^n f_k \in L^r(\mu).</math>

'''주의:''' ''r'' ∈ (0,1)에 대해, ||.||<sub>''r''</sub>는 일반적으로 [[삼각 부등식]]이 성립하지 않기 때문에 [[노름]]이 아니다.

=== 역 횔더 부등식 ===
''p'' ∈ (1,∞)이고, [[측도 공간]] (''S'',''Σ'',''μ'')이 ''μ''(''S'')&nbsp;>&nbsp;0를 만족한다고 가정하자. 이때, ''S''에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 ''f'', ''g'' (이때, ''g''(''s'')&nbsp;≠&nbsp;0 측도 ''μ''값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 ''s''&nbsp;∈&nbsp;''S'')에 대하여 다음이 성립한다.

:<math>\|fg\|_1\ge\|f\|_{1/p}\,\|g\|_{-1/(p-1)}.</math>

만약, ||''fg''||<sub>1</sub> < ∞ 이고 ||''g''||<sub>−1/(''p''−1)</sub> > 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 ''α''&nbsp;≥&nbsp;0 에 대해

:<math>|f| = \alpha|g|^{-p/(p-1)}\,</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

이 측도 ''μ''값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.

'''주의:''' ||''f''||<sub>1/''p''</sub> 와 ||''g''||<sub>−1/(''p''−1)</sub>는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.

:<math>\biggl(\int_S|f|^{1/p}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{\!p}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;,&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\biggl(\int_S|g|^{-1/(p-1)}\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{-(p-1)}.</math>

=== 조건부 횔더 부등식 ===
<math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>를 [[확률 공간]]이라 하고, <math>\mathcal{G}\subset\mathcal{F}</math>를 부분 [[시그마 대수]]라 하고, 횔더 켤레 ''p'', ''q'' ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 ''X'', ''Y''에 대하여 다음이 성립한다.

:<math>\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]
\le
\bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p}
\,\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q}

\qquad\mathbb{P}\text{-almost surely.}</math>

'''특이 사항:'''
* 만약 음이 아닌 확률변수 ''Z''가 기댓값이 무한이라면, 이때 ''Z''의 [[조건부 평균]]은 다음과 같이 정의한다.

::<math>\operatorname{E}[Z|\mathcal{G}]=\sup_{n\in\mathbb{N}}\,\operatorname{E}[\min\{Z,n\}|\mathcal{G}]\quad\text{a.s.}</math>

* 조건부 횔더 부등식의 우변에서, 0 곱하기 ∞ , ∞ 곱하기 0 은&nbsp;0으로 생각한다. ''a''&nbsp;>&nbsp;0 에 ∞를 곱해도 &nbsp;∞으로 생각한다.

== 예 ==
''p''와 ''q''가 (1,∞) [[열린구간]]에 속한다고 가정하자.

* ''n''차원 [[유클리드 공간]]의 집합 ''S'' = {1,&nbsp;…,&nbsp;''n''} 가 [[셈측도]]를 측도로 가질 때, 다음 부등식이 성립한다.
::<math>\sum_{k=1}^n |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \biggr)^{\!1/q}
\text{ for all }(x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots.y_n)\in\mathbb{R}^n\text{ or }\mathbb{C}^n.</math>

* 만약 <math>S=\mathbb N</math>이 [[셈측도]]를 측도로 가질 때, [[수열 공간]]에서의 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

::<math> \sum\limits_{k=1}^{\infty} |x_k\,y_k| \le \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |x_k|^p \biggr)^{\!1/p\;} \biggl( \sum_{k=1}^{\infty} |y_k|^q \biggr)^{\!1/q}
\text{ for all }(x_k)_{k\in\mathbb N}, (y_k)_{k\in\mathbb N}\in\mathbb{R}^{\mathbb N}\text{ or }\mathbb{C}^{\mathbb N}.</math>

* 만약 ''S''가 [[르베그 측도]]를 측도로 갖는 '''R'''<sup>''n''</sup>의 [[가측 집합]]일 때, '''f''', '''g'''는 '''S'''에서 가측 실함수, 복소함수이다. 이때, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

::<math>\int_S \bigl| f(x)g(x)\bigr| \,\mathrm{d}x \le\biggl(\int_S |f(x)|^p\,\mathrm{d}x \biggr)^{\!1/p\;} \biggl(\int_S |g(x)|^q\,\mathrm{d}x\biggr)^{\!1/q}.</math>

* [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>에서 , <math>\operatorname{E}</math>를 [[기댓값]] 연산으로 정의하자. Ω에서 실수, 복소수값을 갖는 [[확률 변수]] ''X''와 ''Y''에 대해, 횔더 부등식은 다음과 같이 성립한다.

::<math> \operatorname{E}|XY| \le \bigl(\operatorname{E}|X|^p\bigr)^{1/p}\; \bigl( \operatorname{E}|Y|^q\bigr)^{1/q}.</math>

:0 < ''r'' < ''s''이고, ''p'' = s/r라 정의하자. 이때, ''q'' = ''p''/(''p''−1)는 ''p''의 횔더 켤레다. 횔더 부등식을 확률 변수 |''X''|<sup>''r''</sup> 과 1<sub>Ω</sub>에 대해 적용하면 다음식을 얻을 수 있다.

::<math>\operatorname{E}|X|^r\le\bigl(\operatorname{E}|X|^s\bigr)^{r/s}.</math>

:''s''의 절대 [[모멘트]]가 유한할 때, ''r''의 절대 모멘트도 유한하다. (이 결과는 [[옌센 부등식]]을 통해서도 얻을 수 있다.)

== 증명 ==
=== 횔더 부등식의 증명 ===
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, [[영 부등식]]을 사용하여 증명하겠다.

만약 ||''f''||<sub>''p''</sub> = 0 이라면, ''f''는 측도 ''μ''값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 ''fg''도 ''μ''값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=&nbsp;0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||''f''||<sub>''p''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 , ||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;>&nbsp;0 이라고 가정할 수 있다.

만약 ||''f''||<sub>''p''</sub> = ∞ 또는 ||''g''||<sub>''q''</sub>&nbsp;=&nbsp;∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||''f''||<sub>''p''</sub> , ||''g''||<sub>''q''</sub> 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.

만약 ''p'' = ∞ , ''q'' = 1이면, 거의 모든 점에서 |''fg''| ≤ ||''f''||<sub>∞</sub> |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, ''p''&nbsp;=&nbsp;1 and ''q''&nbsp;=&nbsp;∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 ''p'', ''q'' ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.

아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 ''a'', ''b''에 대하여 ''a<sup>p</sup>'' = ''b<sup>q</sup>''일 때이다.

:<math>a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,</math>

이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

<math>a=\frac{\left\vert f(s) \right\vert}{\lVert f(s) \rVert_p}, b=\frac{\left\vert g(s) \right\vert}{\lVert g(s) \rVert_q}</math>를 대입하면

:<math>\frac{|f(s)|}{\|f\|_p}\frac{|g(s)|}{\|g\|_q} \le \frac{(\frac{|f(s)|}{\|f\|_p})^p}p + \frac{(\frac{|g(s)|}{\|g\|_q})^q}q,\qquad s\in S.</math>

주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||''f''||<sub>''p''</sub> 와 ||''g''||<sub>''q''</sub>는 상수 취급을 받는다.

:<math>\frac{\|fg\|_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q} \le \frac{1}{p(\|f\|_p)^p}\int_{S}^{} |f|^p+\frac{1}{q(\|g\|_q)^q}\int_{S}^{} |g|^q</math>

이때, 가정에서 ''p'' ,''q''∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||''f''||<sub>''p''</sub> and ||''g''||<sub>''q''</sub> 의 정의에 의해,

<math>(\lVert f \rVert_p)^p=\int_{S}^{} |f|^p  ,\quad  (\lVert g \rVert_q)^q=\int_{S}^{} |g|^q</math>이므로,

<math>\frac{\lVert fg \rVert_1}{\lVert f \rVert_p\lVert g \rVert_q}\le\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math>

그리고, 양변에 ||''f''||<sub>''p''</sub>||''g''||<sub>''q''</sub> 을 곱하면 증명이 끝난다.

등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 <math>\frac{\left\vert f \right\vert}{\lVert f \rVert_p}=\frac{\left\vert g \right\vert}{\lVert g \rVert_q}</math>가 성립할 때이다.

=== 일반화된 횔더 부등식의 증명 ===
횔더 부등식과 [[수학적 귀납법]]을 사용하여 이를 증명할 수 있다. ''n'' = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. ''n''&nbsp;−&nbsp;1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 ''p''<sub>1</sub>&nbsp;≤ …&nbsp;≤ ''p<sub>n</sub>라 가정할 수 있다.

1 : ''p<sub>n</sub>'' = ∞ 일 때,

:<math>\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k}=\frac1r.</math>

가정과 |''f<sub>n</sub>''|의 본질적 상한을 사용하면,

:<math>\begin{align} \|f_1\cdots f_n\|_r &\le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_r \|f_n\|_\infty\\
&\le\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{n-1}\|_{p_{n-1}}\|f_n\|_\infty.\end{align}</math>

을 얻을 수 있다.

2 : ''p<sub>n</sub>'' < ∞ 일 때,

:<math>p:=\frac{p_n}{p_n-r}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;and&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>q:=\frac{p_n}r</math>

는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,

:<math>\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\,|f_n|^r\bigr\|_1
\le\bigl\||f_1\cdots f_{n-1}|^r\bigr\|_p\,\bigl\||f_n|^r\bigr\|_q.</math>

이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.

:<math>\|f_1\cdots f_n\|_r \le \|f_1\cdots f_{n-1}\|_{pr}\|f_n\|_{qr}.</math>

''qr'' = ''p<sub>n</sub>''이고,

:<math>\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{p_k} = \frac1r-\frac1{p_n} = \frac{p_n-r}{rp_n} = \frac1{pr}\,,</math>

이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.

=== 역 횔더 부등식의 증명 ===

''p''와

:<math>q:=\frac{p}{p-1}\in(1,\infty)</math>

가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,

:<math>\begin{align} \bigl\||f|^{1/p}\bigr\|_1 &= \bigl\||fg|^{1/p}\,|g|^{-1/p}\bigr\|_1\\
&\le \bigl\||fg|^{1/p}\bigr\|_p\,\bigl\||g|^{-1/p}\bigr\|_q
=\|fg\|_1^{1/p}\,\bigl\||g|^{-1/(1-p)}\bigr\|_1^{(p-1)/p}.\end{align}</math>

양변을 ''p''제곱하여, ||''fg''||<sub>1</sub>에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.

''g''가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |''fg''|&nbsp;= ''α''|''g''|<sup>−''q''/''p''</sup>를 만족하는 상수 ''α''&nbsp;≥&nbsp;0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.

=== 조건부 횔더 부등식의 증명 ===
확률변수를 다음과 같이 정의하자.

:<math>U=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/p},\qquad V=\bigl(\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]\bigr)^{1/q}</math>

이때, 이들은 부분 [[시그마 대수]]에서 측정 가능하다. 이때

:<math>\operatorname{E}\bigl[|X|^p1_{\{U=0\}}\bigr]
= \operatorname{E}\bigl[1_{\{U=0\}}\underbrace{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}_{=\,U^p}\bigr]=0,</math>

집합 {''U'' = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |''X''| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {''V'' = 0}에서 거의 확실하게 |''Y''| = 0이다. 따라서,

:<math>\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]=0\qquad\text{a.s. on }\{U=0\}\cup\{V=0\}</math>

이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.

:<math>\{U=\infty, V>0\}\cup\{U>0, V=\infty\}</math>

우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.

:<math>\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}\le1
\qquad</math> 집합 <math>H:=\{0<U<\infty,\,0<V<\infty\}</math>에서 거의 확실하게 성립.

이제 임의의 집합

:<math>G\in\mathcal{G},\quad G\subset H.</math>

에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.

''U'', ''V'', 1<sub>''G''</sub>가 부분 [[시그마 대수]]에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

:<math>\begin{align}
\operatorname{E}\biggl[\frac{\operatorname{E}\bigl[|XY|\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{UV}1_G\biggr]
&=\operatorname{E}\biggl[\operatorname{E}\biggl[\frac{|XY|}{UV}1_G\bigg|\,\mathcal{G}\biggr]\biggr]\\
&=\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|}{U}1_G\cdot\frac{|Y|}{V}1_G\biggr]\\
&\le\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|X|^p}{U^p}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;}
\biggl(\operatorname{E}\biggl[\frac{|Y|^q}{V^q}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\
&=\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|X|^p\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{U^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/p\;}
\biggl(\operatorname{E}\biggl[\underbrace{\frac{\operatorname{E}\bigl[|Y|^q\big|\,\mathcal{G}\bigr]}{V^p}}_{=\,1\text{ a.s. on }G}1_G\biggr]\biggr)^{\!1/q}\\
&=\operatorname{E}\bigl[1_G\bigr].
\end{align}</math>

== 역사 ==
횔더 부등식은 L.J 로저스가 [[1888년]]에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 [[1889년]]에 발견하였다.

== 같이 보기 ==
* [[코시-슈바르츠 부등식]]
* [[민코프스키 부등식]]
* [[옌센 부등식]]
* [[영의 부등식]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=G.H. |성=Hardy|저자링크=고드프리 해럴드 하디|공저자=[[존 이든저 리틀우드|J. E. Littlewood]], G. & Pólya|제목=Inequalities|출판사= Cambridge Univ. Press  |연도=1934|isbn=0521358809}}
* {{저널 인용|이름=O.|성= Hölder|제목=Ueber einen Mittelwerthsatz|저널=  Nachr. Ges. Wiss. Göttingen  |연도=1889|쪽= 38–47}}
* {{저널 인용|이름=L J.|성= Rogers|제목=An extension of a certain theorem in inequalities|저널= Messenger of math |volume=17|연도=1888|쪽= 145–150}}
* {{서적 인용
 | 성=Kuttler
 | 이름=Kenneth
 | 제목=An introduction to linear algebra
 | 출판사=Online e-book in PDF format, Brigham Young University
 | url=http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
 | 연도=2007
 | isbn=
 | access-date=2008-05-29
 | archive-date=2008-08-07
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20080807175104/http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
 | url-status=
 }}

== 외부 링크 ==
* {{springer|first=L.P. |last=Kuptsov|title=Hölder inequality}}

{{전거 통제}}

[[분류:부등식]]
[[분류:대수학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:바나흐 공간]]
[[분류:확률부등식]]
[[분류:함수해석학 정리]]