{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''프로이덴탈 마방진'''(Freudenthal魔方陣, {{llang|en|Freudenthal magic square}})은 [[요르단 대수]]로부터 [[단순 리 대수]]를 구성하는 방법이다.<ref name="BS">{{저널 인용 | last1 = Barton | first1 = C.  H. | last2 = Sudbery | first2 = A. | doi = 10.1016/S0001-8708(03)00015-X | title = Magic squares and matrix models of Lie algebras | journal = Advances in Mathematics | volume = 180 | issue = 2 | pages = 596–647 | year = 2003 | arxiv = math/0203010 | 언어=en}}</ref><ref name="Baez">{{저널 인용| last1 = Baez | first1 = John Carlos | title = The octonions | journal = Bulletin of the American Mathematical Society | issn = 0273-0979 | volume = 39 | issue = 2 | pages = 145–205 | year = 2002 | url = http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ | doi = 10.1090/S0273-0979-01-00934-X | arxiv = math/0105155v4| mr = 1886087 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Pierre|성= Ramond|저자링크=피에르 라몽 | 날짜=1976|url=http://inspirehep.net/record/111550 |제목=Introduction to exceptional Lie groups and algebras | 기타=CALT-68-577 | 출판사= [[캘리포니아 공과대학교]] | 언어=en}}</ref> 특히, 만약 요르단 대수를 [[실수]] · [[복소수]] · [[사원수]] · [[팔원수]]의 3×3 [[에르미트 행렬]]의 요르단 대수로 잡을 경우, 예외적 [[단순 리 대수]] [[F₄]] · [[G₂]] · [[E₆]] · [[E₇]] · [[E₈]]을 대수적으로 구성할 수 있다.

== 정의 ==
다음 두 데이터가 주어졌다고 하자.
* (항등원 <math>1_J\in J</math>을 갖는) 유한 차원 [[실수 요르단 대수]] <Math>(J,\bullet,1_J)</math>
* <math>J</math> 위의 불변 비퇴화 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>\langle-,-\rangle \colon J \otimes_{\mathbb R}J\to \mathbb R</math>. 즉, 다음이 성립해야 한다.
*:<math>\langle A,B\bullet C\rangle = \langle A\bullet B,C\rangle\qquad\forall A,B,C\in J</math>
* (항등원 <math>1_K\in K</math>를 갖는) [[실수 합성 대수]] <math>(K,\cdot,1_K)</math>. 여기서 내적을 <math>\langle 1_K,1_K\rangle=1</math>이 되게 규격화한다.
이제, 다음과 같은 실수 벡터 공간을 생각하자.
:<math>\mathfrak g(K,J) = \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R) \oplus (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp</math>
여기서
* <math>\mathfrak{der}(-;\mathbb R)</math>는 쌍선형 [[이항 연산]]에 대한 [[미분 리 대수]]이다.
* <math>(-)^\perp</math>은 [[내적]]에 대한 [[직교 여공간]]이다.
이 가운데, <math> \mathfrak{der}(K;\mathbb R) \oplus \mathfrak{der}(J;\mathbb R)</math>는 이미 [[실수 리 대수]]를 이루며, 이는 <math> (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp</math> 위의 표준적인 [[리 대수 표현]]을 갖는다. 즉, 만약 <math>\mathfrak g(K,J)</math> 전체가 실수 리 대수를 이루려면, [[야코비 항등식]]을 만족시키는, <math> (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_K\})^\perp \otimes_{\mathbb R} (\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp</math> 위의 [[리 괄호]]가 존재하면 족하다.

이제, 다음과 같은 괄호를 정의하자.
:<math>[a\otimes A,b\otimes B] = \frac{\langle A,B\rangle_J}{4\langle 1_J,1_J\rangle_J}\mathsf D_{a,b} - \langle a,b\rangle_K [A\bullet,B\bullet] + \frac12(a\cdot b-b\cdot a)\otimes\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp}(A\bullet B)\qquad(a,b\in (\operatorname{Span}\{1_K\})^\perp,\;A,B\in (\operatorname{Span}\{1_J\})^\perp)</math>
여기서
* <math>(A\bullet) \colon J\to J</math>는 <math>A</math>에 의한 요르단 곱셈이며, 그 교환자는 미분을 이룬다 (<math>[A\bullet,B\bullet] \in \mathfrak{der}(J;\mathbb R)</math>).
* <math>\mathsf D_{a,b} = [a\cdot, b\cdot] + [a\cdot, \cdot b] + [\cdot a,\cdot b] \in\mathfrak{der}(K;\mathbb R)</math>는 <math>K</math> 위의 미분이다.

이제, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, <math>\mathfrak g(K,J)</math>는 [[실수 리 대수]]를 이룬다.<ref name="BS"/>{{rp|Theorem 3.1}}
* <math>(K,\cdot)</math>가 [[실수 결합 대수]]이다.
* <math>J</math>에서 다음 항등식이 성립한다.
*:<math>2 \langle 1_J,1_J\rangle\operatorname{proj}_{(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp} \left(A\bullet (A\bullet A)\right)= 3\langle A,A\rangle A\qquad\forall A\in(\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{1_J\})^\perp</math>

== 성질 ==
특히, 다음과 같은 특수한 경우가 성립한다.
:<math>\mathfrak g(\mathbb R,J) = \mathfrak{der}(J;\mathbb R)</math><ref name="BS"/>{{rp|(3.5), Theorem 3.2}} ([[미분 리 대수]])
:<math>\mathfrak g(\tilde{\mathbb C},J) = \mathfrak{con}_0'(J)</math><ref name="BS"/>{{rp|(3.6), Theorem 3.2}}
:<math>\mathfrak g(\tilde{\mathbb H},J) = \mathfrak{con}(J)</math><ref name="BS"/>{{rp|(3.7), Theorem 3.2}}
:<math>\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(n;\mathbb K')) \cong  \mathfrak g(\mathbb K',\operatorname H(n;\mathbb K)) \qquad\forall n\ge2,\;\mathbb K,\mathbb K'</math>{{rp|Theorem 6.1}}
여기서 <math>\mathfrak{con}_0'(-)</math> 및 <math>\mathfrak{con}(-)</math>은 [[칸토르-쾨허-티츠 구성]]을 통해 <math>J</math>에 대응되는 [[리 대수]]들이다.

== 예 ==
프로이덴탈 마방진을 구성하는 [[실수 리 대수]]들은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
|-
! <math>J</math> ╲ <math>K</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>\mathbb C</math> || <math>\mathbb H</math> || <math>\tilde{\mathbb C}</math> || <math>\tilde{\mathbb H}</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(n)</math> || <math>\mathfrak{usp}(2n)</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}(n)</math> || <math>\mathfrak{su}(n)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak{su}(2n)</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}(n,n)</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\mathbb H)</math> || <math>\mathfrak{usp}(2n)</math> || <math>\mathfrak{su}(2n)</math> || <math>\mathfrak o(4n)</math> || <math>\mathfrak{su}^*(2n)</math> || <math>\mathfrak o^*(4n)</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\tilde{\mathbb C})</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}^*(2n)</math> || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak {sl}(2n;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\operatorname H(n;\tilde{\mathbb H})</math> || <math>\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(n,n)</math> || <math>\mathfrak o^*(4n)</math> || <math>\mathfrak{sl}(2n;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(2n,2n)</math>
|}
여기서
* <math>\tilde{\mathbb C} = \mathbb R[\mathrm i]/(\mathrm i^2 - 1)</math>은 분할 복소수({{llang|en|split-complex number}})의 실수 가환 [[결합 대수]]이다.
* <math>\tilde{\mathbb H} = \mathbb R\langle \mathrm i,\mathrm j\rangle/(\mathrm i^2 + 1, \mathrm j^2 -1,\mathrm i\mathrm j+\mathrm j\mathrm i)</math>는 분할 사원수의 [[실수 결합 대수]]이다. 이는 사실 <math>\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)</math> (2×2 실수 [[정사각 행렬]]의 대수)와 [[실수 결합 대수]]로서 동형이다.
* <math>\operatorname H(n;K)</math>는 <math>K</math> 계수 <math>n\times n</math> 에르미트 행렬들의 [[요르단 대수]]이다.

=== 3×3 ===
3×3 행렬의 경우, (분할) [[팔원수]]의 3×3 행렬 공간 <math>\operatorname H(3;\mathbb O)</math> 및 <math>\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})</math>가 요르단 대수가 되므로, 프로이덴탈 마방진에 이를 추가할 수 있다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
|-
! <math>J</math> ╲ <math>K</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>\mathbb C</math> || <math>\mathbb H</math> || <math>\mathbb O</math> || <math>\tilde{\mathbb C}</math> || <math>\tilde{\mathbb H}</math> || <math>\tilde{\mathbb O}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{so}(3)</math> || <math>\mathfrak{su}(3)</math> || <math>\mathfrak{usp}(6)</math> || <math>\mathfrak f_4</math> || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak f_{4(4)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}(3)</math> || <math>\mathfrak{su}(3)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak{su}(6)</math> || <math>\mathfrak e_6</math> || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}(3,3)</math> || <math>\mathfrak e_{6(2)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb H)</math> || <math>\mathfrak{usp}(6)</math> || <math>\mathfrak{su}(6)</math> || <math>\mathfrak{so}(12)</math> || <math>\mathfrak e_7</math> || <math>\mathfrak{su}^*(6)</math> || <math>\mathfrak o^*(12)</math> || <math>\mathfrak e_{7(-5)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\mathbb O)</math> || <math>\mathfrak f_4</math> || <math>\mathfrak e_6</math> || <math>\mathfrak e_7</math> || <math>\mathfrak e_8</math> || <math>\mathfrak e_{6(-26)}</math> || <math>\mathfrak e_{7(-25)}</math> || <math>\mathfrak e_{8(-24)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\tilde{\mathbb C})</math> || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak{su}^*(6)</math> || <math>\mathfrak e_{6(-26)}</math> || <math>\mathfrak{sl}(3;\mathbb R)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak e_{6(6)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\tilde{\mathbb H})</math> || <math>\mathfrak{sp}(6;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak{su}(3,3)</math> || <math>\mathfrak o^*(12)</math> || <math>\mathfrak e_{7(-25)}</math> || <math>\mathfrak{sl}(6;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(6,6)</math> || <math>\mathfrak e_{7(7)}</math>
|-
| <math>\operatorname H(3;\tilde{\mathbb O})</math> || <math>\mathfrak f_{4(4)}</math> || <math>\mathfrak e_{6(2)}</math> || <math>\mathfrak e_{7(-5)}</math> || <math>\mathfrak e_{8(-24)}</math> || <math>\mathfrak e_{6(6)}</math> || <math>\mathfrak e_{7(7)}</math> || <math>\mathfrak e_{8(8)}</math>
|}

=== 2×2 ===
2×2인 경우, 팔원수의 경우 약간의 해설이 필요하다. 이 경우,
:<math>\mathfrak g(\mathbb K,\operatorname H(2;\mathbb O))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})</math>
는 잘 정의되지만, 반대로
:<math>\mathfrak g(\mathbb O,\operatorname H(2;\mathbb K))\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\})</math>
는 잘 정의되지 않는다. 이 경우, 대칭성을 사용하여 둘째 대수를 첫째와 같게 임의로 정의할 수 있다. 사실, 이러한 경우 항상
:<math>\mathfrak g(\mathbb K,\mathbb H(2;\mathbb K')) \cong \mathfrak o(\mathbb K\oplus\mathbb K')\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\},\;\mathbb K'\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})</math><ref name="BS"/>{{rp|Theorem 8.3}}
임을 보일 수 있다. (계량 부호수는 <math>\mathbb K</math>와 <math>\mathbb K'</math>의 고유 내적으로부터 유도된다.) 이를 통해, <math>\mathbb K=\mathbb K'=\mathbb O</math>인 경우 등의 칸을 채워 넣을 수 있다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
|-
! <math>J</math> ╲ <math>K</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>\mathbb C</math> || <math>\mathbb H</math> || <math>\mathbb O</math> || <math>\tilde{\mathbb C}</math> || <math>\tilde{\mathbb H}</math> || <math>\tilde{\mathbb O}</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(2;\mathbb R)=\mathfrak u(1)</math> || <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)</math> || <math>\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)</math> || <math>\mathfrak o(9;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(5,4)</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak o(3;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)</math> || <math>\mathfrak o(4;\mathbb R)=\mathfrak{su}(2)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)</math> || <math>\mathfrak o(10;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)</math> || <math>\mathfrak o(6,4)</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\mathbb H)</math> || <math>\mathfrak o(5;\mathbb R)=\mathfrak{usp}(4)</math> || <math>\mathfrak o(6;\mathbb R)=\mathfrak{su}(4)</math> || <math>\mathfrak o(8;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(12;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)</math> || <math>\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)</math> || <math>\mathfrak o(8,4)</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\mathbb O)</math> || <math>\mathfrak o(9;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(10;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(12;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(16;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(9,1)</math> || <math>\mathfrak o(10,2)</math> || <math>\mathfrak o(12,4)</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\tilde{\mathbb C})</math> || <math>\mathfrak o(2,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(3,1)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)</math> || <math>\mathfrak o(5,1)=\mathfrak{su}^*(4)</math> || <math>\mathfrak o(9,1)</math> || <math>\mathfrak o(2,2)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus2}</math> || <math>\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(5,5)</math> 
|-
| <math>\operatorname H(2;\tilde{\mathbb H})</math> || <math>\mathfrak o(3,2)=\mathfrak{sp}(4;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(4,2)=\mathfrak{su}(2,2)</math> || <math>\mathfrak o(6,2)=\mathfrak o^*(8)</math> || <math>\mathfrak o(10,2)</math> || <math>\mathfrak o(3,3)=\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak o(4,4)</math> || <math>\mathfrak o(6,6)</math>
|-
| <math>\operatorname H(2;\tilde{\mathbb O})</math> || <math>\mathfrak o(5,4)</math> || <math>\mathfrak o(6,4)</math> || <math>\mathfrak o(8,4)</math> || <math>\mathfrak o(12,4)</math> || <math>\mathfrak o(5,5)</math> || <math>\mathfrak o(6,6)</math> || <math>\mathfrak o(8,8)</math>
|}

=== 1×1 ===
1×1 행렬의 경우, <math>\mathbb R=\operatorname H(1;\mathbb R)=\operatorname H(1;\mathbb C)=\operatorname H(1;\mathbb H)</math>이므로, 더 이상 대칭성이 성립하지 않는다. 이는 행렬이 “너무 작아서” 있어야 하는 일부 미분들이 자명하게 작용하기 때문이다.<ref name="BS"/>{{rp|Theorem 4.2}}

{| class=wikitable style="text-align: center"
|-
! <math>J</math> ╲ <math>K</math> || <math>\mathbb R</math> || <math>\mathbb C</math> || <math>\mathbb H</math> || <math>\mathbb O</math> || <math>\tilde{\mathbb C}</math> || <math>\tilde{\mathbb H}</math> || <math>\tilde{\mathbb O}</math>
|-
| <math>\mathbb R</math> || 0 || 0 || <math>\mathfrak{su}(2)</math> || <math>\mathfrak g_2</math> || 0 || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math> || <math>\mathfrak g_{2(2)}</math>
|}

== 역사 ==
[[자크 티츠]]와 [[한스 프로이덴탈]]<ref>{{저널 인용|first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1954 | volume = 16 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur  Oktavenebene. Ⅰ | pages = 218–230 | mr = 0063358 }}</ref><ref>{{저널 인용|ref=harv |first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1954 | volume = 16 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur Oktavenebene. Ⅱ | pages = 363–368 | mr = 0068549 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1955 | volume = 17 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur Oktavenebene. Ⅲ | pages = 151–157 | mr = 0068550 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1955 | volume = 17 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur Oktavenebene. Ⅳ | pages = 277–285 | mr = 0068551 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1959 | volume = 21 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur Oktavenebene. Ⅴ – Ⅸ | pages = 165–201, 447–474 }}</ref><ref>{{저널 인용|first=Hans |last=Freudenthal |authorlink=한스 프로이덴탈 | journal = Indagationes Mathematicae | language = de | year = 1963 | volume = 25 | title = Beziehungen der E<sub>7</sub> und E<sub>8</sub> zur Oktavenebene. Ⅹ, Ⅺ | pages = 457–471, 472–487 | mr = 0163203 }}</ref>이 1950년대 말에 각각 독자적으로 발견하였다. 그러나 티츠는 이 내용을 1966년에 와서야 출판하였다.<ref>{{저널 인용| first=Jacques |last=Tits |authorlink=자크 티츠 | title=Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles |journal= Indagationes Mathematicae | volume=28 |year=1966 |pages=223–237 |mr = 0219578 |언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[E₆]]
* [[E₇]]
* [[E₈]]
* [[F₄]]
* [[G₂]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Freudenthal magic square}}
* {{nlab|id=magic triangle|title=Magic triangle}}
* {{nlab|id=magic pyramid|title=Magic pyramid}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]