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[[파일:Wythoffian construction diagram.png|400px|섬네일|직각 삼각형을 만드는 거울 3개의 위토프 구성이다.]]
[[기하학]]에서, 수학자 [[윌리엄 아브라함 위토프]](Willem Abraham Wythoff)의 이름을 딴 '''위토프 구성'''은 [[고른 다면체]]나 평면 타일링을 구성하는 방법이다. 이것은 자주 위토프의 [[만화경]]식 구성이라고도 불린다.

== 구성 과정 ==

이것은 [[구 (기하학)|구면]]에서 [[구면 삼각형]]으로 [[타일링]]을 하는 생각에서 기반했다 – [[슈바르츠 삼각형]]을 보라. 이 구성은 세 개의 거울을 [[만화경]]처럼 삼각형의 변에다가 배열한다. 하지만 만화경과 다른 점은 이 거울들은 평행하지 않고 한 점에서 교차한다. 따라서 이것들은 그 점을 중심으로 갖는 아무 구의 구면의 구면 삼각형을 둘러싸고, 반사가 반복되어서 삼각형의 복사본을 만든다. 구면 삼각형의 각이 적절히 정해졌다면, 삼각형들은 구를 한번 이상 둘러싼다.

거울로 둘러싸진 구면 삼각형 안에 꼭짓점을 적절한 위치에 놓는다면, 그 점의 반사는 고른 다면체를 만들어 낼 것이다. 구면 삼각형 ''ABC''에 대해서 우리는 고른 다면체를 만들어낼 네 가지 가능성이 있다:
# 꼭짓점이 점 ''A''에 놓였을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a''|''b''&nbsp;''c''인 다면체를 만들어 낼 것이고, 이 때 ''a''는 π를 점 ''A''의  각으로 나눈 값이며, ''b''와 ''c''도 동일하다.
# 꼭짓점이 선 ''AB''에 놓여서 ''C''의 각을 [[이등분]]할 때. 이는 위토프 기호가 ''a''&nbsp;''b''|''c''인 다면체를 만들어 낼 것이다.
# 꼭짓점이 ''ABC''의 내심에 놓여있을 때. 이것은 위토프 기호가 ''a''&nbsp;''b''&nbsp;''c''|인 다면체를 만들어 낼 것이다.
# 꼭짓점이 어떤 점에 놓여서 삼각형의 한 꼭짓점을 주위로 그 각의 두 배만큼 회전시켰을 때, 모든 각에 대해서 원래 점과 같은 거리만큼 떨어져 있다. 원래의 꼭짓점이 짝수번 반사된 것만을 사용한다. 그 다면체의 위토프 기호는 |''a''&nbsp;''b''&nbsp;''c''이다.

이 과정은 일반적으로 4차원의 [[고른 4-다포체]]를 포함한 고차원의 정다포체에 적용된다.

{| class=wikitable width=650px
|+ 예시
|[[파일:Hexagonal prism.png|240px]]<BR>[[파일:Uniform polyhedron-23-t012.png|240px]]<BR>[[육각기둥]]은 (6 2 2)와 (3 2 2)족 둘 다에서 구성된다.
|[[파일:Uniform tiling 44-t12.png|200px]][[파일:Uniform tiling 44-t012.png|200px]]<BR>[[깎은 정사각형 타일링]]은 (4 4 2)족의 다른 두 대칭점에서 구성된다.
|}

== 비-위토프 구성 ==

위토프 거울 구성을 통해서 만들 수 없는 [[고른 다포체]]들은 비-위토프(non-Wythoffian)라고 한다. 이들은 일반적으로 위토프 구성에서 [[교대 (기하학)|교대]](하나 건너뛴 꼭짓점을 삭제)나 부분적인 형태의 교대 층을 삽입함으로써 파생될 수 있다. 이 두 종류의 형태은 모두 회전 대칭을 포함한다. 종종 [[다듬음|다듬은]] 형태는 부풀려 깎은 형태의 교대를 통해서만 생성 할 수 있어도, 위토프 구성으로 고려된다.

{| class=wikitable width=500px
|+ 예시
|[[파일:Hexagonal antiprism.png|240px]]<BR>[[엇육각기둥]]은 [[십이각기둥]]의 교대로 생성된다.
|[[파일:Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg|240px]]<BR>[[늘린 삼각형 타일링]]은 [[정사각형 타일링]]과 [[정삼각형 타일링]]의 열로 층을 쌓아서 생성된다.
|[[파일:Great dirhombicosidodecahedron.png|240px]]<BR>[[큰 이중마름모이십십이면체]]는 유일한 비-위토프 고른 다면체이다.
|}

== 같이 보기 ==
* [[위토프 기호]] - [[고른 다면체]]와 [[고른 타일링]]의 위토프 구성을 위한 기호이다.
* [[콕서터 다이어그램]] - [[고른 다포체]]와 벌집의 위토프 구성의 일반화된 기호이다.

== 참고 자료 ==
* [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|콕서터]] ''[[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]]'', Third edition, (1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction)
* [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|콕서터]] ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'', Dover Publications, 1999, {{ISBN|0-486-40919-8}} (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
* Har'El, Z. ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra.'', Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [https://web.archive.org/web/20090715034226/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf] (Section 4: The Kaleidoscope)
* [[윌리엄 아브라함 위토프|W.A. 위토프]], ''A relation between the polytopes of the C600-family'', Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, 20 (1918) 966–970.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드| urlname = WythoffConstruction | title = Wythoff construction }}
*{{GlossaryForHyperspace | anchor=Wythoff  | title=Wythoff construction}}
* [https://web.archive.org/web/20051110171044/http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/26/26.html Displays Uniform Polyhedra using Wythoff's construction method]
* [https://web.archive.org/web/20051109092730/http://gregegan.customer.netspace.net.au/APPLETS/26/WythoffNotes.html Description of Wythoff Constructions]
* [http://www.math.cmu.edu/~fho/jenn/ "Jenn"], software that generates views of (spherical) polyhedra and polychora from symmetry groups

{{테셀레이션}}

{{전거 통제}}

[[분류:다면체]]
[[분류:다포체]]