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[[유체론]]에서 '''힐베르트 기호'''({{llang|en|Hilbert symbol}})는 [[국소체]]의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 [[르장드르 기호]]의 일반화이다. 이를 사용하여, [[이차 상호 법칙]]을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 '''힐베르트 상호 법칙'''({{llang|en|Hilbert reciprocity law}})이라고 한다.

== 정의 ==
=== 이차 힐베르트 기호 ===
<math>\mathfrak p\in\{\infty,2,3,5,7,\dots\}</math>가 [[유리수체]]의 [[자리 (수론)|자리]]라고 하자. 즉,
:<math>\mathbb Q_{\mathfrak p}=\begin{cases}
\mathbb R&\mathfrak p=\infty\\
\mathbb Q_p&p=\mathfrak p<\infty
\end{cases}</math>
는 [[실수체]] 또는 [[p진수체]]이다. 체 <math>K</math>의 [[가역원군]]을 <math>K^\times=K\setminus\{0\}</math>라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 <math>\mathfrak p</math>에서의 '''힐베르트 기호'''는 다음과 같은 [[함수]]이다.
:<math>\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\times\mathbb Q_{\mathfrak p}^\times\to\{-1,+1\}</math>
:<math>\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\begin{cases}1&\exists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\\-1&\nexists(x,y,z)\in\mathbb Q_{\mathfrak p}^3\colon z^2=ax^2+by^2\end{cases}</math>

=== 일반적 힐베르트 기호 ===
위의 힐베르트 기호는 [[유리수체]]의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 [[대수적 수체]]에 대하여 일반화할 수 있다.

[[대수적 수체]] <math>K</math>의 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 '''힐베르트 기호'''라고 한다.<ref name="Gras">{{서적 인용 | last=Gras | first=Georges | title=Class field theory: From theory to practice | 판=2판| 날짜=2003| publisher=Springer | 총서=Springer Monographs in Mathematics|issn=1439-7382|doi=10.1007/978-3-662-11323-3|기타=H. Cohen 역|isbn=978-3-642-07908-5|zbl=1019.11032|언어=en}}</ref>{{rp|201, §II.7.3.1}}<ref name="Neukirch"/>{{rp|333, Proposition V.3.1}}
:<math>\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon K^\times_{\mathfrak p}\times K^\times_{\mathfrak p}\to \mu(K^\times)</math>
:<math>\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=\frac{(\frac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}{b})\sqrt[m]a}{\sqrt[m]a}</math>
여기서
* <math>K_{\mathfrak p}</math>는 자리 <math>\mathfrak p</math>에서의 [[국소체]]이다.
* <math>\mu(K^\times)\subseteq K</math>는 <math>K</math>에 포함된 [[1의 거듭제곱근]]들로 구성된 [[아벨 군]]이다.
* <math>m=|\mu(K)|</math>는 <math>K</math>에 포함된 [[1의 거듭제곱근]]의 수이다.
* <math>(\tfrac{K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}}b)\in\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p})</math>는 [[원분체|원분 확대]] <math>K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}</math>에 대한 [[국소 아르틴 기호]]이다. 이는 [[갈루아 군]]의 원소이므로 원분 확대체의 원소 <math>\sqrt[m]a\in K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)</math> 위에 [[군의 작용|작용]]한다.

사실, 힐베르트 기호는 <math>m</math>제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.
:<math>\left(\frac{-,-}{\mathfrak p}\right)\colon\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\times\frac{K^\times_{\mathfrak p}}{(K^\times_{\mathfrak p})^m}\to \mu(K^\times)</math>

== 성질 ==
만약 <math>\mathfrak p</math>가 복소수 자리라면 (<math>K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C</math>), <math>K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C/\mathbb C</math>는 자명한 [[체의 확대|확대]]이므로, 그 [[갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(K_{\mathfrak p}(\sqrt[m]a)/K_{\mathfrak p})=1</math>은 [[자명군]]이며, 따라서 <math>(\tfrac{a,b}{\mathfrak p})=1\;\forall a,b\in K_{\mathfrak p}\cong\mathbb C</math>이다.

임의의 [[대수적 수체]] <math>K</math>의 자리 <math>\mathfrak p</math>에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Gras"/>{{rp|195, Proposition II.7.1.1}}<ref name="Neukirch"/>{{rp|334, Proposition V.3.2}}
:<math>(a,1-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}\setminus\{0,1\}</math>
:<math>(a,-a)_{\mathfrak p}=1\qquad\forall a\in K_{\mathfrak p}^\times</math>
:<math>(a,b)_{\mathfrak p}=(b,a)_{\mathfrak p}^{-1}\qquad\forall a,b\in K_{\mathfrak p}^\times</math>
:<math>(a,bc)_{\mathfrak p}=(a,b)_{\mathfrak p}(a,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times</math>
:<math>(ab,c)_{\mathfrak p}=(a,c)_{\mathfrak p}(b,c)_{\mathfrak p}\qquad\forall a,b,c\in K_{\mathfrak p}^\times</math>

=== 유리수체의 국소 힐베르트 기호 ===
[[실수체]]에서는
:<math>\left(\frac{a,b}\infty\right)=\begin{cases}+1&\max{a,b}>0\\-1&\max{a,b}<0\end{cases}</math>
이다.

[[p진수체|2진수체]]에서, <math>a</math>와 <math>b</math>가 정수이고
:<math>a=2^\alpha u</math>
:<math>b=2^\beta v</math>
:<math>2\nmid u,v</math>
라면,
:<math>\left(\frac{a,b}2\right) = (-1)^{(u-1)(v-1)/4 + \alpha(v^2-1)/8+\beta(u^2-1)/8}</math>
이다.

홀수 소수 <math>p</math>에 대한 [[p진수체|<math>p</math>진수체]]에서, <math>a</math>와 <math>b</math>가 정수이고
:<math>a=p^\alpha u</math>
:<math>b=p^\beta v</math>
:<math>p\nmid u,v</math>
라면,
:<math>\left(\frac{a,b}p\right) = (-1)^{\alpha\beta(p-1)/2} \left(\frac up\right)^\beta \left(\frac vp\right)^\alpha</math>
이다. 여기서 <math>\textstyle(\frac ab)</math>는 [[르장드르 기호]]이다.

=== 힐베르트 상호 법칙 ===
'''힐베르트 상호 법칙'''(Hilbert相互法則, {{llang|en|Hilbert reciprocity law}})에 따르면, 임의의 대수적 수체 <math>K</math>의 두 원소 <math>a,b\in K</math>에 대하여, <math>(\tfrac{a,b}{\mathfrak p})\ne1</math>인 [[자리 (수론)|자리]] <math>\mathfrak p</math>의 수는 유한하며, 또한
:<math>\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right) = 1</math>
이다.<ref name="Gras"/>{{rp|201, §I.7.3.1}}<ref name="Neukirch">{{서적 인용|성=Neukirch|이름=Jürgen|저자링크=위르겐 노이키르히|기타=Norbert Schappacher 역|날짜=1999|제목=Algebraic number theory|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|issn=0072-7830|권=322|출판사=Springer|isbn=978-3-540-65399-8|zbl=0956.11021|mr=1697859|doi=10.1007/978-3-662-03983-0|언어=en}}</ref>{{rp|414, Theorem VI.8.1}} 여기서 <math>\textstyle\prod_{\mathfrak p}</math>는 모든 [[자리 (수론)|자리]]에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 [[이차 상호 법칙]]을 일반화한다. 만약 <math>a</math>와 <math>b</math>가 서로 다른 양의 [[홀수]] [[소수 (수론)|소수]]라면, [[유리수체]]의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.
:<math>\left(\frac{a,b}\infty\right)=1</math>
:<math>\left(\frac{a,b}2\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}</math>
:<math>\left(\frac{a,b}p\right)=1\qquad(a\ne p\ne b)</math>
:<math>\left(\frac{a,b}a\right)=\left(\frac ba\right)</math>
:<math>\left(\frac{a,b}b\right)=\left(\frac ab\right)</math>
따라서
:<math>\prod_{\mathfrak p}\left(\frac{a,b}{\mathfrak p}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right)=1</math>
이다.

== 역사 ==
[[다비트 힐베르트]]가 1897년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Hilbert | first=David | authorlink=다비트 힐베르트 | title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper | url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002115344 | 언어=de | year=1897 | journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung | issn=0012-0456 | volume=4 | pages=175–546 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[아즈마야 대수]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|arxiv=math/0012139|제목=Invitation to higher local fields|장=I.8 Explicit formulas for the Hilbert symbol|이름=Sergei V.|성=Vostokov|총서=Geom. Topol. Monogr|권=3|날짜=2000|쪽=81–89|언어=en}}

== 외부 링크 ==
*{{eom|id=Norm-residue_symbol|title=Norm-residue symbol}}
*{{매스월드|id=HilbertSymbol|title=Hilbert symbol}}

{{전거 통제}}

[[분류:유체론]]
[[분류:다비트 힐베르트]]