{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서 '''마르코프 부등식'''({{llang|en|Markov’s inequality}})은 음이 아닌 [[확률 변수]]가 어떤 양의 [[실수]] 이상일 [[확률]]의 [[상한과 하한|상계]]를 제시하는 [[부등식]]이다. 확률과 [[기댓값]]의 관계를 설명하고, 확률 변수의 [[누적 분포 함수]]에 대해 느슨한 경우가 많지만 유용한 한계를 제공한다.

== 정의 ==
[[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 [[가측 함수]] <math>f\colon X\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. '''마르코프 부등식'''에 따르면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|83, §3.1, Theorem 3.1.1}}
:<math>\mu(\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\})\le\frac 1a\int_X|f|\mathrm d\mu</math>
특히, [[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{\operatorname E(|X|)}a</math>
여기서 <math>\operatorname E(|X|)</math>는 [[기댓값]]이다.
{{증명|부제=측도론의 언어}}
:<math>\int_X|f|\mathrm d\mu
\ge\int_{\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\}}|f|\mathrm d\mu
\ge\int_{\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\}}a\mathrm d\mu
=a\mu(\{x\in X\colon|f(x)|\ge a\})
</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=확률론의 언어}}
:<math>\operatorname E(|X|)
\ge\operatorname E(|X1_{\{\omega\in\Omega\colon|X(\omega)|\ge a\}}|)
\ge\operatorname E(a1_{\{\omega\in\Omega\colon|X(\omega)|\ge a\}})
=a\operatorname{Pr}(|X|\ge a)
</math>
{{증명 끝}}

== 따름정리 ==
=== 크라메르 부등식 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math> 및 [[증가 함수|증가]] [[가측 함수]] <math>\phi\colon(\mathbb R^+,\mathcal B(\mathbb R^+))\to(\mathbb R^+,\mathcal B(\mathbb R^+))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Athreya" />{{rp|84, §3.1, Corollary 3.1.4}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{\operatorname E(|\phi(X)|)}{\phi(a)}</math>
{{증명}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)
=\operatorname{Pr}(|\phi(X)|\ge\phi(a))
\le\frac{\operatorname E(|\phi(X)|)}{\phi(a)}
</math>
{{증명 끝}}
만약 <math>\phi\colon x\mapsto x^r</math> (<math>r\in\mathbb R^+</math>)일 경우, 이는 다음과 같다.<ref name="Athreya" />{{rp|83, §3.1, Corollary 3.1.2}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{\operatorname E(|X|^r)}{a^r}</math>
만약 <math>\phi\colon x\mapsto\exp(rx)</math> (<math>r\in\mathbb R^+</math>)일 경우, 이는 다음과 같다. 이를 '''크라메르 부등식'''({{llang|en|Cramer’s inequality}})이라고 한다.<ref name="Athreya" />{{rp|84, §3.1, Corollary 3.1.5}}
:<math>\operatorname{Pr}(|X|\ge a)\le\frac{M_X(r)}{\exp(ra)}</math>
여기서 <math>M_X(r)</math>는 [[모멘트 생성 함수]]이다.

=== 체비쇼프 부등식 ===
{{본문|체비쇼프 부등식}}
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 위의 [[적분]] 가능 [[확률 변수]] <math>X\colon\Omega\to(\bar\mathbb R,\mathcal B(\bar\mathbb R))</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수 <math>a\in\mathbb R^+</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pr}(|X-\operatorname E(X)|\ge a)\le\frac{\operatorname{Var}(X)}{a^2}</math>
여기서 <math>\operatorname{Var}(X)</math>는 [[분산]]이다.

== 역사 ==
마르코프 부등식이란 이름은 러시아 수학자 [[안드레이 마르코프]]의 이름에서 따온 것이다. 그러나 이 부등식은 마르코프의 스승인 [[파프누티 체비쇼프]]가 먼저 발견하였다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MarkovsInequality|제목=Markov’s inequality}}

[[분류:확률부등식]]