{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''올범주'''(-範疇, {{llang|en-US|fibered category}}, {{llang|en-GB|fibred category}}, {{llang|fr|catégorie fibrée}}) 또는 '''그로텐디크 올뭉치'''({{llang|en|Grothendieck fibration}})는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 [[올뭉치]]와 같은 성질을 보이는 [[함자 (수학)|함자]]이다.<ref name="Vistoli">{{저널 인용|arxiv=math/0412512|제목=Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory|이름=Angelo|성=Viscoli|날짜=2007-05-17|bibcode=2004math.....12512V|언어=en}}</ref> [[내림 데이터]]나 [[스택 (수학)|스택]]을 정의할 때 쓰인다.

== 정의 ==
올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, [[준층]]의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다.
* 다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다.
이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 [[동치]]이다.

=== 쪼갬을 통한 정의 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 위의 '''쪼갬을 갖춘 올범주''' <math>\Pi</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>B</math>의 각 [[열린집합]] <math>U \subseteq B</math>에 대하여, [[범주 (수학)|범주]] <math>\Pi(U)</math>
* 두 [[열린집합]] <math>U \subseteq V \subseteq B</math>에 대하여, [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{res}^V_U\colon\Pi(V) \to \Pi(U)</math>. 이를 '''제한 함자'''({{llang|en|restriction functor}})라고 한다.
* 세 [[열린집합]] <math>U \subseteq V \subseteq W \subseteq B</math>에 대하여, 함자 <math>\operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V</math>와 <math>\operatorname{res}^W_U</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\tau_{U,V,W}\colon \operatorname{res}^V_U \circ \operatorname{res}^W_V \Rightarrow \operatorname{res}^W_U</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:임의의 네 [[열린집합]] <math>U \subseteq V \subseteq W \subseteq X</math>에 대하여, <math>\tau_{U,V,X}\circ\tau_{V,W,X} = \tau_{U,W,X}\circ\tau_{U,V,W}</math>

보다 일반적으로, 임의의 범주 <math>\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 위의 '''쪼갬을 갖춘 올범주'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>\mathcal B</math>의 대상 <math>U</math>에 대하여, [[범주 (수학)|범주]] <math>\Pi(U)</math>
* 두 대상 사이의 사상 <math>i\colon U \to V</math>에 대하여, [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{res}_i\colon\Pi(V) \to \Pi(U)</math>. 이를 '''제한 함자'''({{llang|en|restriction functor}})라고 한다.
* 두 사상 <math>U \xrightarrow i V \xrightarrow j W</math>에 대하여, 함자 <math>\operatorname{res}_i \circ \operatorname{res}_j</math>와 <math>\operatorname{res}_{j\circ i}</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\tau_{i,j}\colon \operatorname{res}_i\circ \operatorname{res}_j \Rightarrow \operatorname{res}_{j\circ i}</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:임의의 세 사상 <math>U \xrightarrow i V \xrightarrow j W \xrightarrow k X</math>에 대하여, <math>\tau_{i,k\circ j}\circ\tau_{j,k} = \tau_{j\circ i,k}\circ\tau_{i,j}</math>

=== 데카르트 사상을 통한 정의 ===
==== 데카르트 사상 ====
[[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal E</math>의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 [[보편 성질]]을 만족시킨다면, <math>f</math>를 '''데카르트 사상'''(Descartes寫像, {{llang|en|Cartesian morphism}}, {{llang|fr|morphisme cartésien}})이라고 한다.
:임의의
:* 사상 <math>f'\colon X'\to Y</math>
:* <math>\hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)</math>
:에 대하여, 만약 <math>\Pi(f)\circ\hat g=\Pi(f')</math>라면, <math>\Pi(g)=\hat g</math>이며 <math>f\circ g=f'</math>인 사상 <math>g\colon X'\to X</math>가 유일하게 존재한다.
::<math>\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
X'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset f\to&Y
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f}\to&\Pi Y
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>

==== 올범주 ====
함자 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''올범주'''({{llang|en|fibered category}})라고 한다.
* 대상 <math>Y\in\mathcal E</math> 및 <math>\mathcal B</math> 속의 임의의 사상 <math>\hat f\colon\hat X\to \Pi(Y)</math>에 대하여, <math>\Pi(X)=\hat X</math>이며 <math>\Pi(f)=\hat f</math>인 대상 <math>X\in\mathcal E</math> 및 데카르트 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다.
*:<math>
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\exists X\overset{\exists f}\to Y&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\hat X\overset{\hat f}\to\Pi Y
\end{matrix}
</math>
이 경우, <math>f</math>를 <math>\hat f</math>의 <math>X</math>에서의 '''데카르트 올림'''({{llang|en|Cartesian lift}})이라고 한다. 데카르트 올림은 [[보편 성질]]에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 [[동형 사상]] 아래 유일하다.

올범주의 '''쪼갬'''({{llang|en|cleavage}}, {{llang|fr|clivage}})은 각 <math>(X,\hat f)</math>에 대하여 한 올림을 고르되, 만약 <math>\hat f</math>가 [[항등 사상]]일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 [[선택 공리]]에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라, <math>\mathcal B</math>의 각 사상 <math>f\colon U \to V</math>에 대하여 함자 <math>\operatorname{res}_f\colon\Pi(V) \to \Pi(U)</math>가 정의된다.

올범주 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>의, 대상 <math>\hat X\in\mathcal B</math> 위의 '''올'''({{llang|en-US|fiber}}, {{llang|en-GB|fibre}}, {{llang|fr|fibre}}) <math>\mathcal E(\hat X)</math>은 <math>\hat X</math>의 [[원상 (수학)|원상]]과 그 사이의 사상들로 구성된, <math>\mathcal E</math>의 [[부분 범주]]이다.

==== 올범주 사상 ====
같은 밑범주를 갖는 두 올범주 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>, <math>\Pi'\colon\mathcal E'\to\mathcal B</math> 사이의 '''사상'''은 다음 두 조건을 만족시키는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon\mathcal E\to\mathcal E'</math>이다.
* [[조각 범주]] <math>\operatorname{Cat}/\mathcal B</math>의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.
*:<math>\begin{matrix}
\mathcal E&\overset F\to&\mathcal E'\\
&{\scriptstyle\Pi}\searrow&\downarrow\scriptstyle\Pi'\\
&&\mathcal B
\end{matrix}</math>
* 데카르트 사상의 [[상 (수학)|상]]은 항상 데카르트 사상이다.
<math>\mathcal B</math> 위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 <math>\operatorname{Fib}(\mathcal B)</math>라고 한다.

== 성질 ==
=== 합성 ===
두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.

[[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>에서, 다음과 같은 [[당김 (범주론)|당김]]이 주어졌다고 하자.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal C\times_{\mathcal B}\mathcal D&\overset{\Pi'}\to&\mathcal D\\
\downarrow&&\downarrow\\
\mathcal C&\underset\Pi\to&\mathcal B\\
\end{matrix}</math>
만약 <math>\Pi</math>가 올범주라면 <math>\Pi'</math> 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 [[당김 (범주론)|당김]]에 대하여 안정적이다.

=== 분해계 ===
올범주 <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math>에서, 만약 <math>\mathcal B</math> 위에 [[분해계]] <math>(\mathfrak E,\mathfrak M)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
* <math>\mathfrak E'</math>은 <math>\mathcal E</math>의 사상 가운데, <math>\Pi</math>에 대한 상이 <math>\mathfrak E</math>에 속하는 것들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.
* <math>\mathfrak M'</math>은 <math>\mathcal E</math>의 데카르트 사상 가운데, <math>\Pi</math>에 대한 상이 <math>\mathfrak M</math>에 속하는 것들의 [[모임 (집합론)|모임]]이다.
그렇다면, <math>(\mathfrak E',\mathfrak M')</math>은 <math>\mathfrak E</math> 위의 [[분해계]]를 이룬다. 특히, <math>\mathcal E</math>가 [[동형 사상]]의 모임이며, <math>\mathfrak M</math>이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 [[분해계]]를 이루며, 이 경우 <math>\mathfrak M'</math>은 모든 데카르트 사상의 모임이며 <math>\mathfrak E'</math>은 동형 사상의 [[원상 (수학)|원상]]의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 [[분해계]]를 이룬다.

== 종류 ==
모든 올이 [[준군]]을 이루는 올범주를 '''준군 올범주'''(準群-範疇, {{llang|en-US|category fibered in groupoids}}, {{llang|en-GB|category fibred in groupoids}}, {{llang|fr|catégorie fibrée en groupoïdes}})라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 '''이산 올범주'''({{llang|en|discretely fibred category}})라고 한다.

== 예 ==
=== 곱 올범주 ===
두 범주 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[곱범주]] <math>\mathcal C\times\mathcal D</math>에서 <math>\mathcal C</math> (또는 <math>\mathcal D</math>)로 사영하는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{proj}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal C</math>
:<math>\operatorname{proj}_{\mathcal D}\colon\mathcal C\times\mathcal D\to\mathcal D</math>
는 올범주를 이룬다.

=== 조각 범주 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>B\in\mathcal C</math>에 대한 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/B</math>를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 [[정의역]]으로 대응시키는 망각 함자
:<math>\mathcal C/B\to\mathcal C</math>
:<math>(X\xrightarrow fB)\mapsto X</math>
:<math>\begin{pmatrix}
X&\xrightarrow f&Y\\
&\searrow&\downarrow\\
&&B
\end{pmatrix}\mapsto(X\xrightarrow fY)</math>
는 이산 올범주를 이룬다. 대상 <math>X\in\mathcal C</math> 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) <math>\hom_{\mathcal C}(X,B)</math>이다.

이는 사실 [[표현 가능 함자|표현 가능]] [[준층]]
:<math>\hom_{\mathcal C}(-,B)\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.

=== 공역 올범주 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>가 모든 [[당김 (범주론)|당김]]을 갖는다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal C</math>의 [[화살표 범주]] <math>\mathcal C^\to</math>를 생각하자. 사상을 그 [[공역]]으로 대응시키는 함자
:<math>\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\mathcal C^\to\to\mathcal C</math>
:<math>\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon(A\overset f\to B)\mapsto B</math>
:<Math>\operatorname{codom}_{\mathcal C}\colon\left(\begin{matrix}
A&\overset f\to&B\\
{\scriptstyle h}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle k\\
C&\underset g\to&D
\end{matrix}\right)\mapsto (B\overset k\to D)</math>
를 생각하자. 이는 올범주를 이루며,<ref name="Vistoli"/>{{rp|Example 3.15}} 사상 <math>f\colon A\to B</math>의, <math>g\in\mathcal C^\to</math> (<math>g\colon C\to B</math>)에서의 올림은 다음과 같은 (<math>A\times_BC\to A</math>에서 <math>g</math>로 가는 <math>\mathcal C^\to</math>의 사상으로 간주한) [[당김 (범주론)|당김]]이다.
:<math>\begin{matrix}
\begin{matrix}
A\times_BC&\to&C\\
\downarrow&&\downarrow\scriptstyle g\\
A&\underset f\to&B
\end{matrix}
\end{matrix}</math>

=== 그로텐디크 구성 ===
[[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>로 가는 함자
:<math>F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}</math>
가 주어졌을 때, <math>\mathcal C</math> 위의 '''그로텐디크 구성'''({{llang|en|Grothendieck construction}}) <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>의 대상 <math>(X,x)</math>은 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>와 <math>F(X)</math>의 대상 <math>x\in F(X)</math>의 순서쌍이다.
* <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>의 사상 <math>(f,\phi)\colon(X,x)\to(X',x')</math>은 <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to X'</math>과 <math>F(X)</math>의 사상 <math>x\to Ff(x')</math>의 [[순서쌍]]이다.
그렇다면, <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 올범주를 이룬다. <math>X\in\mathcal C</math> 위의 올은 [[작은 범주]] <math>F(X)</math>이다.

==== 가군 범주 ====
범주 <math>\operatorname{Mod}</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\operatorname{Mod}</math>의 대상 <math>(R,M)</math>은 [[가환환]] <math>R</math>와 그 위의 [[가군]] <math>M</math>의 [[순서쌍]]이다.
* <math>\operatorname{Mod}</math>의 사상 <math>(f,\phi)\colon (R,M)\to(R',M')</math>은 [[환 준동형]] <math>f\colon R\to R'</math>과 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>\phi\colon M\to f^*M'</math>의 [[순서쌍]]이다.
그렇다면, <math>\operatorname{Mod}</math>는 [[가환환]] 범주 <Math>\operatorname{CRing}</math> 위의 올범주를 이룬다. 가환환 <math>R</math> 위의 올은 <math>R</math>-[[가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>이다.

이는 가환환을 가군 [[아벨 범주]]로 대응시키는 함자
:<math>M\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cat}</math>
:<math>M\colon R\mapsto \operatorname{Mod}_R</math>
:<math>M\colon (f\colon R\to S)\mapsto(f^*\colon\operatorname{Mod}_S\to\operatorname{Mod}_R)</math>
에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은 <math>\operatorname{Mod}_R</math>이다.

=== 준연접층 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{QCoh}</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\operatorname{QCoh}</math>의 대상 <math>(X,\mathcal F)</math>는 [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>와 그 위의 [[준연접층]] <math>\mathcal F</math>의 [[순서쌍]]이다.
* <math>\operatorname{QCoh}</math>의 사상 <math>(f,\phi)\colon(X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)</math>는 [[스킴 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>과 층 사상 <math>\phi\colon \mathcal F \to f^*\mathcal G</math>의 [[순서쌍]]이다.
그렇다면, [[스킴 (수학)|스킴]]의 범주로 가는 망각 함자 <math>\operatorname{QCoh} \to \operatorname{Sch}</math>는 올범주를 이룬다.<ref name="Vistoli"/>{{rp|53–55, §3.2.1}} 이는 [[스킴 (수학)|스킴]]을 [[준연접층]] [[아벨 범주]]로 대응시키는 함자
:<math>\operatorname{Sch}^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Cat}</math>
:<math>X \mapsto \operatorname{QCoh}_X</math>
에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 [[스킴 사상]] <math>X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z</math>에 대하여, [[자연 동형]]
:<math>f^* \circ g^* \Rightarrow (g\circ f)^*</math>
이 존재한다.

(만약 <math>\operatorname{Sch}</math> 위에 [[fpqc 위상]]을 부여한다면, 이는 [[스택 (수학)|스택]]을 이룬다.)

==== 원소 범주 ====
모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.

[[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>로 가는 함자
:<math>F\colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
가 주어졌을 때, <math>\mathcal C</math> 위의 '''원소 범주'''({{llang|en|category of elements}}) <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>의 대상 <math>(X,x)</math>은 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>와 <math>F(X)</math>의 원소 <math>x\in F(X)</math>의 순서쌍이다.
* <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>의 사상 <math>f\colon (X,x)\to (X',x')</math>은 <math>Ff\colon x'\mapsto x</math>을 만족시키는 <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to X'</math>이다.
그렇다면, <math>\mathcal C\textstyle\int F</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 이산 올범주를 이룬다. <math>X\in\mathcal C</math> 위의 올은 (이산 범주로 간주한) [[집합]] <math>F(X)</math>이다.

원소 범주 구성은 함자 <math>F</math>의 [[치역]]이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.

==== 부분 대상 범주 ====
모든 [[부분 순서 집합]]은 [[작은 범주|작은]] [[얇은 범주]]로 생각할 수 있다.

모든 [[당김 (범주론)|당김]]을 갖는 [[작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여, [[부분 순서 집합]]의 범주 <math>\operatorname{Poset}</math>로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.
:<math>\operatorname{Sub}\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Poset}</math>
:<math>\operatorname{Sub}\colon X\mapsto\operatorname{Sub}(X)</math>
:<math>\operatorname{Sub}\colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^*\colon \operatorname{Sub}(Y)\to\operatorname{Sub}(X)\right)</math>
여기서 <math>\operatorname{Sub}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]]이며, <math>f^*</math>은 [[단사 사상]]의 [[당김 (범주론)|당김]]이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 '''부분 대상 올범주''' <math>\operatorname{Sub}(\mathcal C)</math>라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
* <math>\operatorname{Sub}(\mathcal C)</math>의 대상 <math>(X,x)</math>은 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>와 그 [[부분 대상]] <math>x\in\operatorname{Sub}(X)</math>의 [[순서쌍]]이다.
* <math>\operatorname{Sub}(\mathcal C)</math>의 사상 <math>f\colon(X,x)\to(X',x')</math>은 <math>x\le f^*(x')</math>을 만족시키는 <math>\mathcal C</math>-사상 <math>f\colon X\to X'</math>이다.
이는 <math>\mathcal C</math> 위의 올범주를 이루며, <math>X\in\mathcal C</math> 위의 올은 <math>\operatorname{Sub}(X)</math>이다.

=== 위상 함자 ===
{{본문|위상 함자}}
모든 [[위상 함자]]는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.

=== 올다발 ===
[[올다발]]의 범주 <math>\operatorname{Bun}</math>을 생각하자. 그 대상은 [[올다발]] <math>\pi\colon E \twoheadrightarrow B</math>이며, 그 사상은 [[다발 사상]]
:<math>\begin{matrix}
E &\overset f\to & E' \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!\!\!} \\
B & \underset g\to & B'
\end{matrix}</math>
이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{codom} \colon \operatorname{Bun} \to \operatorname{Top}</math>
:<math>\operatorname{codom} \colon (E \,\xrightarrow\pi\, B) \mapsto B</math>
:<math>\operatorname{codom} \colon \left(\begin{smallmatrix}
E &\overset f\to & E' \\
{\scriptstyle\!\!\pi}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!} && {\scriptstyle\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi'\!\!} \\
B & \underset g\to & B'
\end{smallmatrix}\right) \mapsto g</math>
는 올범주이다. 위상 공간 <math>B</math> 위의 올은 <math>B</math> 위의 올다발과, 밑공간에 대하여 [[항등 함수]]인 올다발 사상의 범주 <math>\operatorname{Bun}_B</math>이다.

이 함자의 쪼갬은 사상 <math>g\colon B\to B'</math>에 대하여 올다발의 [[당김 (범주론)|당김]] 함자 <math>g^* \colon \operatorname{Bun}_{B'} \to \operatorname{Bun}_B</math>를 고르는 것에 대응한다.

마찬가지로, [[벡터 다발]]의 범주 <math>\operatorname{Vect}</math> 역시 위상 공간의 범주 위의 올범주
:<math>\operatorname{codom} \colon \operatorname{Vect} \to \operatorname{Top}</math>
를 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 대신, 한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 범주 <math>\operatorname{Open}(X)</math>를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로 <math>X</math>의 [[열린집합]]에 정의된 [[올다발]] 또는 [[벡터 다발]]의 범주의 망각 함자
:<math>\operatorname{Bun}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)</math>
:<math>\operatorname{Vect}_{\operatorname{Open}(X)} \to  \operatorname{Open}(X)</math>
역시 올범주를 이룬다.

(이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 [[열린집합]]의 범주 대신 [[다양체]]의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 [[다양체]]의 범주에서는 [[올곱]]이 존재하지 않기 때문이다.)

=== 층 ===
범주 <math>\operatorname{Sh}</math>가 다음과 같다고 하자.
* 그 대상은 순서쌍 <math>(X,\mathcal F)</math>이다. 여기서 <math>X</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이며 <math>\mathcal F</math>는 그 위의 (집합 값의) [[층 (수학)|층]]이다.
* 그 사상 <math>(f,\phi) \colon (X,\mathcal F) \to (Y,\mathcal G)</math>은 [[연속 함수]] <math>X\to Y</math>와 층 사상 <math>\mathcal F\to f^*\mathcal G</math>로 주어진다. 만약 층을 [[에탈레 공간]]으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
*:<math>\begin{matrix}
\mathcal F &\overset f\to & \mathcal G \\
{\scriptstyle\!\!\!\!\pi_{\mathcal F}}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\pi\!\!\!\!} && {\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\pi'}\downarrow{\scriptstyle\pi_{\mathcal G}\!\!\!\!} \\
X & \underset f\to & Y
\end{matrix}</math>
즉, 에탈레 공간 구성에 따라서 <math>\operatorname{Sh}</math>는 [[화살표 범주]] <math>\operatorname{Top}^\to</math>의 [[부분 범주]]로 여길 수 있다.

그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간 <math>X</math> 위의 올은 <math>X</math> 위의 층들의 범주 <math>\operatorname{Sh}(X)</math>이다.

마찬가지로, 임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 그 [[열린집합]]의 범주 <math>\operatorname{Open}(X)</math> 및 [[열린집합]]에 정의된 층의 범주 <math>\operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)}</math>를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자 <math>\operatorname{Sh}_{\operatorname{Open}(X)} \to \operatorname{Open}(X)</math> 역시 올범주이다.

위 정의에서, 집합 값의 층 대신 [[군 (수학)|군]]이나 [[아벨 군]]이나 [[환 (수학)|환]]이나 [[가환환]] (또는 일반적으로 [[대수 구조 다양체]]) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.

== 역사 ==
올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장<ref name="SGA1-VI">{{서적 인용
 | editor1-last = Grothendieck
 | editor1-first = A.
 | editor1-link = 알렉산더 그로텐디크
 | title = Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1)
 | 장=Exposé VI. Catégories fibrées et descente
 | 총서=Lecture Notes in Mathematics |권=224 | issn=0075-8434
 | year=1971
 | publisher = Springer
 | isbn = 978-3-540-05614-0
 |doi=10.1007/BFb0058656 | arxiv=math/0206203
 | 쪽=145–194
 | 언어 = fr
}}</ref>{{rp|164–165, Définition 6.1}}에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만,<ref name="SGA1-VI"/>{{rp|161, Définition 5.1}} 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)

== 같이 보기 ==
* [[스택 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FiberedCategory|title=Fibered category|저자=Stover, Christopher}}
* {{매스월드|id=FiberedCategoryMorphism|title=Fibered category morphism|저자=Stover, Christopher}}
* {{매스월드|id=PresheafofCategories|title=Presheaf of categories|저자=Stover, Christopher}}
* {{nlab|id=Grothendieck fibration}}
* {{nlab|id=prefibered category|title=Prefibered category}}
* {{nlab|id=Cartesian morphism}}
* {{nlab|id=cleavage|title=Cleavage}}
* {{nlab|id=codomain fibration|title=Codomain fibration}}
* {{nlab|id=Grothendieck construction}}
* {{nlab|id=discrete fibration|title=Discrete fibration}}
* {{nlab|id=fibration fibered in groupoids|title=Fibration fibered in groupoids}}
* {{웹 인용|url=https://mysite.science.uottawa.ca/phofstra/halifax.pdf|제목=Fibrations and proofs|이름=Pieter J. W.|성=Hofstra|날짜=2008-06-01|언어=en|확인날짜=2016-02-22|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303035436/http://mysite.science.uottawa.ca/phofstra/halifax.pdf|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/1259275/why-is-a-cartesian-morphism-called-cartesian|제목=Why is a cartesian morphism called cartesian?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]