{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:RandLintegrals.svg|섬네일|right|256px|[[리만 적분]]은 적분 영역을 세로로 나누어 계산하지만, 르베그 적분은 적분 영역을 가로로 나누어 계산한다.]]
[[측도론]]에서 '''르베그 적분'''(Lebesgue積分, {{llang|en|Lebesgue integral}})은 일반적인 [[측도 공간]] 위에 정의될 수 있는 [[적분]]이다. 실수선 위에서의 르베그 적분은 [[리만 적분]]보다 더 일반적이며 [[리만 적분]]이 정의되지 않아도 르베그 적분이 정의되는 함수들이 존재한다. 르베그 적분은 리만 적분에 비해서 정의하는 방식이 [[극한]] 개념 등과 잘 어울리기 때문에, [[해석학 (수학)|해석학]]이나 [[확률론]] 등의 분야에 주로 사용된다.

== 정의 ==
르베그 적분은 [[르베그 측도]]를 기반으로 하여 정의하며, [[지시 함수]]와 같이 간단한 함수부터 정의한 다음 점차 일반적인 함수에 대해서 정의한다.
[[측도 공간]] <math>(E, \mathcal E, \mu)</math> 위의 '''단순 함수'''({{llang|en|simple function}}) <math>E\to[0,\infty)</math>는 [[가측 집합]] 위의 [[지시 함수]]들의, 음이 아닌 계수를 가진 유한 [[선형 결합]]이다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\sum_{i=1}^na_i1_{S_i}\qquad(a_i\ge0,\;S_i\in\mathcal E)</math>
단순함수들의 집합을 <math>\mathcal S(E)</math>라고 하자. 단순 함수 <math>s\in\mathcal S(E)</math>의 '''르베그 적분'''은 다음과 같다.
:<math>\int\sum_ia_i1_{S_i}\,d\mu=\sum_ia_i\mu(S_i)</math>
<math>\mathcal B(\mathbb R)</math>가 실수의 [[보렐 시그마 대수]]라고 하자. [[가측 함수]] <math>f\colon(E,X,\mu)\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>의 '''르베그 적분''' <math>\int f d\mu</math>는 다음과 같다.
:<math>\int f\,d\mu=\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}
-\sup\left\{\int s\,d\mu\colon s\le\max\{-f,0\},\;s\in\mathcal S(E)\right\}</math>
[[가측 집합]] <math>A\subset E</math>에 국한된 르베그 적분은 다음과 같다.
:<math>\int_Af\,d\mu=\int 1_Af\,d\mu</math>

[[유클리드 공간]] <math>E=\mathbb R^n</math> 위의 르베그 적분은 보통 [[르베그 측도]]를 갖춘 경우를 의미한다.

== 리만 적분과의 관계 ==
르베그 적분은 일반적으로 적분에서 사용하는 [[리만 적분]]과는 다른 방식으로 정의하지만, 리만 적분과 르베그 적분이 모두 존재할 경우 두 적분값은 같다. 또한, 리만 적분이 불가능하지만 르베그 적분이 가능한 경우도 존재한다.

== 예 ==
유리수 집합 위의 [[지시 함수]] <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[리만 적분]]이 존재하지 않는다. 그러나 그 르베그 적분은 존재하며,
:<math>\int 1_{\mathbb Q}\,d\mu=\mu(\mathbb Q)=0</math>
이다.

== 역사 ==
[[앙리 르베그]]가 박사 학위 논문에서 1902년 정의하였다.<ref>{{서적 인용
| 이름=Henri | 성=Lebesgue | 저자링크=앙리 르베그
| 제목=Intégrale, longueur, aire
| 날짜=1902 | 언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용
| last = Lebesgue
| first = Henri
| authorlink = 앙리 르베그
| title = Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives
| publisher = Gauthier-Villars
| 날짜 = 1904 | 언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[앙리 르베그]]
* [[영집합]]
* [[적분]]
* [[측도]]
* [[르베그-스틸티어스 측도]]
* [[리만 적분]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주}}
* {{서적 인용
|제목= Lebesgue’s theory of integration: Its origins and development
|판=2판
|이름=Thomas | 성=Hawkins
| isbn=978-082840282-8
| 출판사=AMS Chelsea Publishing
| 언어=en
}}
* {{서적 인용
| last = Bauer
| first = Heinz
| title = Measure and integration theory
| 총서 = De Gruyter Studies in Mathematics | 권=26
| publisher = De Gruyter
| location = Berlin
| 날짜 = 2001
| pages = 236
| isbn = 978-3-11-016719-1
| 언어=en
}}

* {{서적 인용
| last = Folland
| first = Gerald B.
| title = Real analysis: Modern techniques and their applications
| series = Pure and Applied Mathematics (New York)
| edition = Second
| publisher = John Wiley &amp; Sons
| location = New York
| 날짜 = 1999
| isbn = 0-471-31716-0
| mr = 1681462| 언어=en}}

* {{서적 인용
| last = Munroe
| first =  M. E.
| title = Introduction to measure and integration
| publisher = Addison-Wesley
| 날짜 = 1953
| mr = 0053186| 언어=en}}

* {{서적 인용
| last = Rudin
| first = Walter
| 저자링크=월터 루딘
| title = Real and complex analysis
| publisher = McGraw-Hill
| location = New York
| 날짜 = 1966
| mr = 0210528
| 언어=en
}}

*{{서적 인용
| last = Yeh
| first = James
| title = Real analysis: Theory of measure and integral
| 판=2판
| publisher = World Scientific
| location = Singapore
| 날짜 =2006
| pages = 760
| isbn = 978-981-256-6
| 언어=en
}}
* {{저널 인용|제목=적분개념의 발달 (리만적분에서 르베그적분으로의 이행을 중심으로)|저자=김경화|저널=한국수학사학회지|권=21|호=3|쪽=67–96|url=http://scholar.ndsl.kr/schJournalDetail.do?cn=NJOU00294661|issn=1226-931X|날짜=2008-08|언어=ko|확인날짜=2015-03-02|보존url=https://web.archive.org/web/20150403001858/http://scholar.ndsl.kr/schJournalDetail.do?cn=NJOU00294661|보존날짜=2015-04-03|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lebesgue integral}}
* {{매스월드|id=LebesgueIntegral|title=Lebesgue integral}}

{{전거 통제}}

{{토막글|수학}}

[[분류:측도론]]
[[분류:적분학]]