{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''원시환'''(原始環, {{llang|en|primitive ring}})은 [[단순 가군]]으로서 완전히 나타낼 수 있는 [[환 (수학)|환]]이다. 이러한 환들은 [[나눗셈환]] 위의 [[선형 변환]]들의 환에 가깝다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[환 (수학)|환]]을 '''왼쪽 원시환'''({{llang|en|left primitive ring}})이라고 한다.
* [[충실한 가군|충실한]] 왼쪽 [[단순 가군]]을 갖는다.<ref name="Lam"/>{{rp|172, Definition 11.2}}
* [[소환 (환론)|소환]]이며, [[가군의 길이]]가 유한한 [[충실한 가군|충실한]] 왼쪽 가군을 갖는다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|191, Exercise 11.19}}
* 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 [[극대 왼쪽 아이디얼]]이 존재한다.
* 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼 <math>\mathfrak a\subsetneq R</math>이 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|186, Lemma 11.28}}
** 임의의 아이디얼 <math>\mathfrak b\subseteq R</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak b\ne\{0\}</math>이라면 <math>\mathfrak a+\mathfrak b=R</math>이다.
* (제이컵슨 조밀성 정리 {{llang|en|Jacobson density theorem}}) [[나눗셈환]] <math>D</math> 위의 왼쪽 [[가군]] <math>V</math>에 [[이산 위상]]을 주고, 자기 함수 집합 <math>V^V</math>에 [[곱위상]]을 주고, 자기준동형환 <math>\operatorname{End}_DV\subseteq V^V</math>에 [[부분 공간 위상]]을 주면, <math>\operatorname{End}_DV</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[부분환]]과 동형이다.
'''오른쪽 원시환'''({{llang|en|right primitive ring}})은 왼쪽 원시환의 [[반대환]]이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.

== 성질 ==
[[가환환]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|173, Proposition 11.8}}
* 왼쪽 원시환이다.
* 오른쪽 원시환이다.
* [[체 (수학)|체]]이다.

왼쪽 [[아르틴 환]]에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* 왼쪽 원시환이다.
* 오른쪽 원시환이다.
* [[소환 (환론)|소환]]이다.
* [[단순환]]이다.
* [[나눗셈환]] <math>D</math> 위의 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;D)</math>과 동형이다 (<math>n\in\mathbb N</math>).<ref name="Lam"/>{{rp|181, Theorem 11.19}}

왼쪽·오른쪽 원시환은 [[반원시환]]({{llang|en|semiprimitive ring}})이며 [[소환 (환론)|소환]]({{llang|en|prime ring}})이다. 모든 [[단순환]]은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam"/>{{rp|173}}
{| style="text-align: center"
| [[반단순환]] || ⇒ || [[반원시환]] || ⇒ || [[반소환]]
|-
||  || || ⇑ || || ⇑
|-
| [[단순환]] || ⇒ || 左·右 원시환 || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]]
|}

== 분류 ==
<math>R</math>가 왼쪽 원시환이라고 하고, <math>M</math>이 <math>R</math>의 [[충실한 가군|충실한]] 왼쪽 [[단순 가군]]이라고 하자. 그렇다면, [[슈어 보조정리]]에 따라 <math>\operatorname{End}_RM</math>은 [[나눗셈환]]이다. 또한, <math>M</math>은 자연스럽게 <math>\operatorname{End}_RM</math>의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 [[환 준동형]]이 존재한다.
:<math>R\to\operatorname{End}_RM</math>
:<math>r\mapsto(m\mapsto rm)</math>
또한, <math>M</math>이 [[충실한 가군]]이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) [[단사 함수]]이다. 즉, <math>R</math>를 <math>\operatorname{End}_RM</math>의 [[부분환]]으로 여길 수 있으며, <math>\operatorname{End}_RM</math>의 작용을 <math>R</math>로 제약시키면, <math>R</math>의 원래 작용과 같다.

이제, <math>M</math>에 [[이산 위상]]을 부여하고, 자기 함수 집합
:<math>M^M=\prod_{m\in M}M</math>
에 [[곱위상]]을 부여하고,
:<math>\operatorname{End}_RM\subseteq M^M</math>
에 [[부분 공간 위상]]을 부여하자.

'''제이컵슨 조밀성 정리'''({{llang|en|Jacobson density theorem}})에 따르면, <math>R</math>는 <math>\operatorname{End}_RM</math>의 [[조밀 집합]]이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.
* 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>\vec m\in M^n</math>에 대하여, <math>R\vec m=M^n</math>이다.

== 예 ==
[[자명환]]은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|172, Definition 11.2}}

[[체의 표수|표수]]가 0인 체 <math>K</math>에 대한 [[바일 대수]] <math>K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)</math>는 원시환이다.

왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.<ref>{{저널 인용 | doi=10.1090/S0002-9939-1964-0167497-4 | last=Bergman | first=G. M. | title=A ring primitive on the right but not on the left | jstor=2034527 | mr=0167497  | 날짜=1964-06 | journal=Proceedings of the American Mathematical Society | issn=0002-9939 | volume=15 | pages=473–475 | issue=3 | 언어=en}} 오류 정정 {{저널 인용|jstor=2034929 |제목=Errata: A ring primitive on the right but not on the left | 저널=Proceedings of the American Mathematical Society|issn=0002-9939|권=15|호=6|날짜=1964-12 | 쪽=1000–1000|언어=en }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Primitive ring}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/17/primitive-rings-definition-examples/|제목=Primitive rings; definition & examples|웹사이트=Abstract Algebra|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2009-12-17|언어=en|확인날짜=2015-04-17|보존url=https://web.archive.org/web/20150419145043/https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/17/primitive-rings-definition-examples/|보존날짜=2015-04-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/19/jacobson-density-theorem/|제목=Jacobson density theorem|웹사이트=Abstract Algebra|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2009-12-19|언어=en|확인날짜=2015-04-17|보존url=https://web.archive.org/web/20150419144858/https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/19/jacobson-density-theorem/|보존날짜=2015-04-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/19/some-applications-of-denity-theorem/|제목=Some applications of density theorem|웹사이트=Abstract Algebra|이름=Yaghoub|성=Sharifi|날짜=2009-12-19|언어=en|확인날짜=2015-04-17|보존url=https://web.archive.org/web/20150419145030/https://ysharifi.wordpress.com/2009/12/19/some-applications-of-denity-theorem/|보존날짜=2015-04-19|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]