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[[파일:Mplwp inverse trigonometric functions piaxis.svg|thumb]]

[[수학]]에서 '''역삼각함수'''(逆三角函數, {{llang|en|inverse trigonometric function}})는 [[삼각 함수]]의 [[역함수]]이다. [[삼각 함수]]는 [[전단사 함수]](또는 일대일 대응 함수)가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 [[정의역]]을 제한하는 것이 필요하다.

== 정의 ==
아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!이름
!colspan=2|표기법
!정의
!정의역
!치역 ([[라디안]])
!미분
|-
| 아크사인 || <math>y = \arcsin x</math>|| <math>y = \sin^{-1}x</math>|| <math>x = \sin y</math>|| <math>-1 \leq x \leq 1</math>|| <math>-\frac\pi2 \leq y \leq \frac\pi2</math>
|<math>y\prime={1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
|-
| 아크코사인 || <math>y = \arccos x</math>|| <math>y = \cos^{-1} x</math>|| <math>x = \cos y</math>|| <math>-1 \leq x \leq 1</math>|| <math>0 \leq y \leq \pi</math>
|<math>y\prime=-{1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
|-
| 아크탄젠트 || <math>y = \arctan x</math>|| <math>y = \tan^{-1} x</math>|| ''x'' = tan(''y'') || 모든 [[실수]] || <math>-\frac\pi2 < y < \frac\pi2</math>
|<math>y\prime={1 \over 1+x^2}</math>
|-
| 아크코탄젠트 || <math>y = \arccot x</math>|| <math>y = \cot^{-1} x</math>||''x'' = cot(''y'') || 모든 [[실수]] ||  <math>0 < y < \pi</math>
|<math>y\prime=-{1 \over 1+x^2}</math>
|-
| 아크시컨트 || <math>y = \arcsec x</math>|| <math>y = \sec^{-1} x</math>|| ''x'' = sec(''y'') || <math>x \leq -1</math> 또는 <math>x \geq 1</math>||  <math>0 \leq y < \frac\pi2</math> 또는 <math>\frac\pi2 < y \leq \pi</math>
|<math>y\prime={1 \over \left\vert x \right\vert\sqrt{x^2-1}}</math>
|-
| 아크코시컨트 || <math>y = \arccsc x</math>|| <math>y = \csc^{-1} x</math>|| ''x'' = csc(''y'') || <math>x \leq -1</math> 또는 <math>x \geq 1</math>|| <math>-\frac\pi2 \leq y < 0</math> 또는 <math>0 < y \leq \frac\pi2</math>
|<math>y\prime=-{1 \over \left\vert x \right\vert\sqrt{x^2 -1}}</math>
|-
|}

일부 저자는 아크시컨트의 치역이 (<math>0 \leq y < \pi/2</math> 또는 <math>\pi < y \leq 3\pi/2</math>)가 되도록 정의하기도 한다. 이렇게 하면 탄젠트가 그 정의역에서 음이 아니게 되고 일부 계산이 더 일관되게 된다.
예를 들어, 이 치역에서는 <math>\tan(\arcsec(x)) = \sqrt{x^2 - 1}</math>가 되지만 치역 (<math>0 \leq y < \pi/2</math> 또는 <math>\pi/2 < y \leq \pi</math>)에서는 <math>\tan(\arcsec(x)) = \pm \sqrt{x^2 - 1}</math>가 된다. 탄젠트가 <math>0 \leq y < \pi/2</math>에서는 음이 아니지만 <math>\pi/2 < y \leq \pi</math>에서는 양이 아니기 때문이다.
비슷한 이유로, 일부 저자는 아크코시컨트의 치역이 (<math>-\pi < y \leq -\pi/2</math> 또는 <math>0 < y \leq \pi/2</math>)가 되도록 정의하기도 한다.

정의역을 [[복소수]]로 두게 되면 위에서 치역의 범위는 [[실수부]]의 범위가 된다.

[[데카르트 좌표계]]에서 아크탄젠트를 구하는 [[다변수 함수|이변수 함수]]인 <math>\operatorname{atan2}</math>는 다음과 같이 정의한다.

:<math>\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
  \arctan\left(\frac y x\right)       & \quad x > 0 \\
  \arctan\left(\frac y x\right) + \pi & \quad y \ge 0,\; x < 0 \\
  \arctan\left(\frac y x\right) - \pi & \quad y < 0,\; x < 0 \\
   \frac{\pi}{2}   & \quad y > 0,\; x = 0 \\
  -\frac{\pi}{2}   & \quad y < 0,\; x = 0 \\
  \text{undefined} & \quad y = 0,\; x = 0
\end{cases}</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Inverse trigonometric functions}}
* {{eom|title=Arc function}}
* {{매스월드|id=InverseTrigonometricFunctions|title=Inverse trigonometric functions}}
* {{매스월드|id=InvserseSine|title=Inverse sine}}
* {{매스월드|id=InvserseCosine|title=Inverse cosine}}
* {{매스월드|id=InvserseTangent|title=Inverse tangent}}
* {{매스월드|id=InvserseCosecant|title=Inverse cosecant}}
* {{매스월드|id=InvserseSecant|title=Inverse secant}}
* {{매스월드|id=InvserseCotangent|title=Inverse cotangent}}
== 같이 보기 ==
* [[역함수]]

[[분류:삼각법]]
[[분류:함수와 사상]]