{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Injection.svg|섬네일|단사 함수의 예]]
[[파일:Surjection.svg|섬네일|단사 함수가 아닌 예 (이는 [[전사 함수]]이기는 하다).]]
[[수학]]에서 '''단사 함수'''(單射函數, {{llang|en|injection; injective function}}) 또는 '''일대일 함수'''(一對一函數, {{llang|en|one-to-one function}})는 [[정의역]]의 서로 다른 원소를 [[공역]]의 서로 다른 원소로 대응시키는 [[함수]]이다. [[공역]]의 각 원소는 정의역의 원소 중 최대 한 원소의 [[상 (수학)|상]]이다.<ref>{{서적 인용|쪽=398|제목 =Discrete Mathematics with Applications 4th Edition |저자=Susanna S.Epp |연도=2010|인용문=
"For a one-to-one function, each element of the range is the image of at most one element of the domain."}}</ref>

== 정의 ==
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''단사 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x,x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>f(x)=f(x')</math>이라면, <math>x=x'</math>이다.
* 임의의 <math>x,x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne x'</math>이라면, <math>f(x)\ne f(x')</math>이다.
* <math>f</math>를 그 [[치역]] <math>f(X)</math>에 국한시킨다면, <math>f</math>는 [[정의역]] <math>X</math>와 [[치역]] <math>f(X)</math> 사이의 [[전단사 함수]]를 정의한다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[단사 사상]]이다. 즉, 임의의 [[집합]] <math>Z</math> 및 [[함수]] <math>g_1,g_2\colon Z\to X</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ g_1=f\circ g_2</math>라면 <math>g_1=g_2</math>이다.
* <math>f</math>는 집합의 범주에서의 [[역사상|분할 단사 사상]]이다. 즉, <math>g\circ f</math>가 <math>X</math> 위의 [[항등 함수]]를 이루는 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다.

== 성질 ==
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 단사 함수라면, <math>g\circ f</math> 역시 단사 함수이다.
* 만약 <math>g\circ f</math>가 단사 함수라면, <math>f</math> 역시 단사 함수이다. 하지만 <math>g</math>가 단사 함수일 필요는 없다.

두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 단사 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다.
* <math>|X|\le|Y|</math>이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[집합의 크기]]이다.

[[정의역]]의 [[집합의 크기|크기]]가 0 또는 1인 함수는 항상 단사 함수이다.

== 예 ==
* [[항등 함수]]는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
* 임의의 집합 <math>X</math> 및 그 부분 집합 <math>Y\subset X</math>에 대하여, [[포함 함수]] <math>Y\to X</math>는 단사 함수이다.
* <math>f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x+1</math>로 정의된 함수는 단사 함수이며, 나아가 전단사 함수이다.
* <math>g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ g(x)=x^2</math>으로 정의된 함수는 단사 함수가 아니다. 예를 들어 <math>g(1)=1=g(-1)</math>이다.
** 그러나, 만약 <math>g</math>의 정의역을 음이 아닌 실수 <math>[0,+\infty)</math>로 제한한다면 <math>g</math>는 단사 함수이다.
* [[지수 함수]] <math>\exp\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto e^x</math>는 단사함수이다. (하지만 음수에서의 값이 없으므로 [[전사 함수]]가 아니다.)
* [[자연 로그 함수]] <math>\ln\colon(0,+\infty)\to\mathbb{R},\ x\mapsto\ln x</math>는 단사 함수이다.

== 역사 ==
유럽 언어에서 쓰이는 용어 "인젝션"({{llang|en|injection}}), "앵젝시옹"({{llang|fr|injection}}) 등은 "이니엑티오"({{llang|la|iniectiō}})에서 유래하였으며, 이는 "인"({{llang|la|in|}}, 안에) + "야키오"({{llang|la|iaciō}}, 던지다)에서 기원하였다. 이는 수학 용어로는 [[니콜라 부르바키]]가 최초로 사용하였다.

== 같이 보기 ==
* [[전단사 함수]]
* [[전사 함수]]
* [[단사 사상]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 성=Halmos | 이름=Paul R. | 저자링크=헐모시 팔 | 제목=Naive set theory | isbn=978-0-387-90092-6| 날짜=1974 | publisher=Springer | doi=
    10.1007/978-1-4757-1645-0 | issn=0172-6056|총서=Undergraduate Texts in Mathematics|zbl=0287.04001|mr=0453532 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Injection}}
* {{매스월드|id=Injection|title=Injection}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수의 종류]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]