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[[복소해석학]]에서 '''리만 곡면'''(Riemann曲面, {{llang|en|Riemann surface}})은 1차원 [[복소다양체]]이다. 

이러한 곡면은 [[베른하르트 리만]]이 처음 연구하였으며 리만의 이름을 따서 명명되었다. 리만 곡면은 [[복소평면|복소 평면]]을 변형한 버전으로 생각할 수 있다. 모든 점의 이웃에서 국소적으로 복소 평면의 좌표 조각처럼 보이지만 전체 [[위상수학|위상]]은 상당히 다를 수 있다. 예를 들어 [[구 (기하학)|구]], [[원환면]] 또는 복소평면 여러 장을 함께 붙인 것처럼 보일 수 있다.

리만 곡면의 주요 관심사는 [[정칙 함수]]가 그들 사이에 정의될 수 있다는 것이다. 리만 곡면은 오늘날 이러한 함수, 특히 [[제곱근]] 및 기타 [[대수함수|대수 함수]] 또는 [[자연로그|로그]]와 같은 [[다가 함수]]의 전역적 성질을 연구하기 위한 자연스러운 설정으로 본다.

모든 리만 곡면은 2차원 실해석 [[다양체]] (즉, [[곡면]])이지만 정칙 함수의 명확한 정의에 필요한 더 많은 구조(특히 [[복소다양체|복소 구조]])를 포함한다. 2차원 실수 다양체는 [[방향 (다양체)|방향을 정할 수]] 있고 [[거리화]] 할 수 있는 경우에만 리만 곡면(보통 몇 가지 동치인 방식들로)으로 전환될 수 있다. 따라서 구와 원환면은 복소 구조를 줄 수 있지만 [[뫼비우스의 띠]], [[클라인 병]], 실 사영 평면은 그렇지 않다.

== 정의 ==
'''리만 곡면'''은 복소 차원이 1차원인 [[복소다양체]]이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 [[매끄러운 다양체]]이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 [[유향 다양체|유향]] [[등각다양체]]({{lang|en|orientable conformal manifold}})로 정의할 수 있다. '''등각 계량'''({{lang|en|conformal metric}})은 [[바일 변환]]에 대한 [[리만 다양체|리만 계량 텐서]]의 [[동치류]]이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다. 2차원에서, 향이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

== 예제 ==
* [[복소평면]]과 [[리만 구]]는 리만 곡면이다.
* 주어진 리만 곡면의 [[열린집합]]은 리만 곡면을 이룬다.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] 리만 곡면은 특이점이 없는 복소 사영 [[대수 곡선]]과 같다.

== 해석학 대 대수학 ==
상수 함수가 아닌 유리형 함수의 존재는 임의의 콤팩트 리만 곡면이 [[사영 다형체]]임을 보여주기 위해 사용될 수 있다. 즉, [[사영 공간]] 내부의 [[다항식|다항]] 방정식으로 주어질 수 있다. 실제로, 모든 콤팩트 리만 곡면은 복소 사영 3-공간에 [[몰입 (수학)|몰입]] 될 수 있음을 보여줄 수 있다. 이것은 놀라운 정리이다. 리만 곡면은 국소적 좌표 조각에 의해 제공된다. 하나의 전역 조건, 즉 콤팩트 조건이 추가되면 곡면은 필연적으로 대수적이다. 리만 곡면의 이러한 특징을 통해 [[해석기하학|해석]] 또는 [[대수기하학]]의 방법으로 곡면을 연구할 수 있다. 고차원 대상에 대한 해당 설명은 거짓이다. 즉, 대수적이지 않은 콤팩트 복소수 2-다양체가 있다. 다른 한편으로 모든 사영 복소 다양체는 반드시 대수적이다.([[가가 정리|저우 정리]] 참조)

예를 들어 원환면 <math>T:=\C/(\Z+\tau\Z)</math>를 고려하자'''.''' 격자 '''<math>\Z+\tau\Z</math>'''에 포함되는 [[바이어슈트라스 타원함수|바이어스트라스 함수]] <math>\wp_\tau(z)</math>는 T 위에서 정의되는 [[유리형 함수]]이다. 이 함수와 그 미분 <math>\wp_\tau'(z)</math>는 ''T''의 함수체를 [[생성 집합|생성한다]]. 또한 다음이 성립한다:

: <math>[\wp'(z)]^2=4[\wp(z)]^3-g_2\wp(z)-g_3,</math>

여기서 계수 ''g''<sub>2</sub>와 ''g''<sub>3</sub>은 τ에 의존하므로 대수 기하학의 의미에서 타원 곡선 ''E''<sub>τ</sub>를 제공한다. 이를 뒤집는 것은 [[j-불변량]] ''j''(''E'')에 의해 수행되며, 이는 ''τ''및 원환면를 결정하는 데 사용할 수 있다.

== 리만 곡면의 분류 ==
모든 리만 곡면 집합은 쌍곡선, 포물선 및 타원 리만 곡면의 세 부분 집합으로 나눌 수 있다. 기하학적으로 이들은 음수, 영 또는 양수 [[단면 곡률]]을 갖는 곡면에 해당한다. 즉, 연결된 모든 리만 곡면 <math>X</math> 일정한 곡률이 다음과 같은 독특한 [[완비 거리 공간|완비]] 2차원 실수 [[리만 다양체|리만 계량]]을 인정한다 <math>-1, 0</math> 또는 <math>1</math> 이는 리만 곡면으로서의 구조에 의해 결정되는 리만 계량의 등각 동치류에 속한다. 이것은 등온 좌표의 존재 결과로 볼 수 있다.

복소 해석 용어에서 [[균일화 정리|푸앵카레&#x2013;쾨베 균일화 정리]]([[리만 사상 정리]]의 일반화)는 모든 단순 연결된 리만 곡면이 다음 중 하나와 등각적으로 동등하다고 말한다.

* 리만 구 <math>\widehat{\mathbb{C}} := \mathbb{C} \cup\{\infty\}</math>, 이는 [[리만 구|<math>\mathbb P^1(\mathbb C)</math>]]
* 복소 평면 <math>\mathbb C</math>
* [[원판|열린 원판]] <math>\mathbb D := \{z \in \mathbb C : |z| < 1\}</math> 이것은 [[상반평면|상반면]]과 동형이다. <math>\mathbb H := \{z \in \mathbb C : \mathrm{Im}(z) > 0\}</math>.

리만 곡면은 그것의 [[피복 공간|보편 덮개]]가  <math>\mathbb P^1(\mathbb C)</math>, <math>\mathbb C</math> 또는 <math>\mathbb D</math>와 동형인지 여부에 따라 타원, 포물선 또는 쌍곡선이다. 각 종류의 원소는 더 정확한 설명을 허용한다.

=== 타원 리만 곡면 ===
리만 구 <math>\mathbb P^1(\mathbb C)</math>가 유일한 예인데, [[군의 작용|자유롭고]] [[군의 작용|적절하게 불연속적으로]] 쌍정칙 변환에 의해 그것에 [[군의 작용|작용하는]] [[군 (수학)|군]]이 없기 때문에, 보편 덮개가 <math>\mathbb P^1(\mathbb C)</math>과 동형인 리만 곡면 그 자체가 그것과 동형적이어야 한다.

=== 포물 리만 곡면 ===
만약에 <math>X</math>가 복소 평면 <math>\mathbb C</math>에 대해 동형인 보편 덮개의 리만 곡면이면, 다음 곡면 중 하나와 동형이다.

* <math>\mathbb C</math>
* 몫 <math>\mathbb C/\Z</math>
* 몫 <math>\mathbb C / (\mathbb Z + \mathbb Z\tau)</math>. 여기서 <math>\tau \in \mathbb C</math>, <math>\mathrm{Im}(\tau) > 0</math>.

위상 수학적으로는 평면, 원통 및 [[원환면]]의 세 가지 유형만 있다. 그러나 전자의 두 경우에서 (포물) 리만 곡면 구조는 고유하지만 매개변수 <math>\tau</math>를 변경한다. 세 번째 경우는 동형이 아닌 리만 곡면을 제공한다. 매개변수 <math>\tau</math>에 의한 설명은 "표시된" 리만 곡면의 [[타이히뮐러 공간]]을 제공한다(리만 곡면 구조에 추가하여 원환면에 대한 고정된 동형으로 볼 수 있는 "표시"의 위상 데이터를 추가한다). 해석 [[모듈라이 공간]]을 얻으려면(마킹을 잊음) 사상류 군에 의해 타이히뮐러 공간의 몫을 취한다. 이 경우 [[모듈러 곡선]]이다.

=== 쌍곡 리만 곡면 ===
나머지 경우에는 <math>X</math>가 [[푹스군|푹스 군]]에 의한 상반면의 몫과 동형인 쌍곡 리만 곡면이다(이것은 곡면에 대한 푹스 모형이라고도 함). <math>X</math>의 위상수학적 유형은 [[원환면]]과 [[구 (기하학)|구]]를 제외한 모든 유향 곡면이 될 수 있다.

<math>X</math>가 콤팩트인 경우 특히 흥미롭다. 그런 다음 위상 유형은 종수 <math>g \ge 2</math>으로 설명된다. 타이히뮐러 공간과 계수 공간은 <math>6g - 6</math> -차원이다. 유한 유형의 리만 곡면(닫힌 곡면에서 유한한 수의 점을 뺀 동형)의 비슷한 분류가 주어질 수 있다. 그러나 일반적으로 무한 위상 유형의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 너무 커서 그러한 설명을 허용할 수 없다.

== 성질 ==
모든 2차원 [[가향 다양체|가향]] [[매끄러운 다양체]]는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, [[뫼비우스의 띠]]나 2차원 실수 [[사영 공간]]은 향을 줄 수 없으므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 [[원환면]]이나 [[구 (기하학)|구]], [[평면]]은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 매끄러운 다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 '''[[모듈라이 공간]]'''이라고 한다. 예를 들어, [[원환면]]의 모듈라이 공간은 <math>\mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)</math>이다. 종수가 <math>g>1</math>인 경우, 모듈라이 공간의 차원은 <math>3g-3</math>이다.

=== 리만 곡면의 자기동형사상 ===
리만 곡면의 [[자기동형군]]은 다음과 같다.
* 종수({{lang|en|genus}}) 0:
** [[리만 구면]]의 [[자기 동형 사상]]은 [[뫼비우스 변환]]이다.
** 구멍을 뚫은 리만 구면의 [[자기 동형 사상]]은 구멍들을 보존하는 뫼비우스 변환이거나 아니면 구멍들을 서로 바꾸는 뫼비우스 변환이다.
** 열린 반평면(또는 열린 원판)의 [[자기 동형 사상]]은 실수 계수의 뫼비우스 변환 <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb R)</math>이다.
** [[원환 (수학)|원환]]({{lang|en|annulus}}) <math>\{a<|z|<1\}</math>의 [[자기 동형 사상]]은 회전 <math>z\mapsto\exp(i\theta)z</math> 또는 반전 <math>z\mapsto a/z</math>이다. 이 사실은 [[프리드리히 쇼트키]]({{lang|de|Friedrich Hermann Schottky}})가 1877년에 증명하였다.<ref>{{서적 인용|
doi=10.1090/conm/455/08845
|장=Schottky’s theorem on conformal mappings between annuli|성=Astala|이름=K.|공저자=T. Iwaniec, G. Martin, J. Onninen|기타=Contemporary Mathematics  455|연도=2008|제목=Complex Analysis and Dynamical Systems III: A Conference in Honor of the Retirement of Dov Aharonov, Lev Aizenberg, Samuel Krushkal, and Uri Srebro|isbn= 978-0-8218-4150-1|쪽=35–39|출판사=American Mathematical Society}}</ref>
* 종수 1:
** 대부분의 복소 원환면의 [[자기동형군]]은 평행이동 <math>U(1)\times U(1)</math>과 180° 회전으로 생성된다. 다만, 수직(90°) 격자에 의하여 생성되는 복소 원환면의 경우 90° 회전도 자기 동형 사상을 이루고, 정육각형(60°) 격자에 의하여 생성되는 원환면의 경우 60° 회전도 자기 동형 사상을 이룬다.<ref>{{저널 인용|url=http://math.arizona.edu/~vpiercey/EllipticAuts.pdf|제목=Automorphism groups of elliptic curves over ℂ|이름=Victor I.|성=Piercey|날짜=2008-01-23}}{{깨진 링크|url=http://math.arizona.edu/~vpiercey/EllipticAuts.pdf }}</ref>
* 종수 <math>g\ge2</math>인 경우, [[자기동형군]]은 유한군이며, 그 크기는 <math>84(g-1)</math> 이하이다. 이를 '''[[리만 곡면 자기 동형군|후르비츠 자기동형사상 정리]]'''라고 하며, [[아돌프 후르비츠]]({{llang|de|Adolf Hurwitz}})가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[복소다양체]]
* [[켈러 다양체]]
* [[리만-로흐 정리]]
* [[균일화 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Farkas | first=Hershel M. | 공저자=Irwin Kra | title=Riemann Surfaces | publisher=Springer-Verlag | location=New York | edition=2판 | isbn=978-1-4612-7391-2  | year=1992 | doi = 10.1007/978-1-4612-2034-3 | 기타 = Graduate Texts in Mathematics 71}}
* {{서적 인용 | last=Hartshorne | first=Robin | 저자링크=로빈 하츠혼 | title=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]] | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | mr=0463157  | year=1977}}
* {{서적 인용 | last=Jost | first=Jürgen | title=Compact Riemann Surfaces: An introduction to contemporary mathematics | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-33065-3 | year=2006 | pages=208–219|doi=10.1007/978-3-540-33067-7}}
* {{서적 인용|제목=An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic Curves and Moduli Spaces|이름=Martin|성=Schlichenmaier|isbn=978-3-540-71174-2|doi=10.1007/978-3-540-71175-9|연도=2007|출판사=Springer|위치=Berlin Heidelberg|판=2}}
* {{서적 인용|제목=An Introduction to Riemann Surfaces|이름=Terrence|성=Napier|공저자=Mohan Ramachandran|isbn= 978-0-8176-4692-9|doi=10.1007/978-0-8176-4693-6|위치=Boston|출판사=Birkhäuser|연도=2012}}

== 외부 링크 ==
* {{Eom|title=Riemann surface|first=E.D.|last=Solomentsev }}
* {{매스월드|id=RiemannSurface|title=Riemann surface}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.tifr.res.in/~pablo/download/book/book.html|이름=Pablo Arés|성=Gastesi|제목=Riemann Surfaces}}
{{전거 통제}}

[[분류:리만 곡면| ]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:베른하르트 리만]]