{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''직교군'''(直交群, {{llang|en|orthogonal group}})은 주어진 [[체 (수학)|체]]에 대한 [[직교 행렬]]의 [[리 군]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위에 [[비퇴화 이차 형식]]
:<math>Q\colon V\to K</math>
가 주어졌다고 하자. (만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2가 아니라면, 이는 <math>V</math> 위의 대칭 [[비퇴화 쌍선형 형식]]과 같다.) 그렇다면, '''직교군''' <math>\operatorname O(V,Q)</math>는 <math>V</math> 위의 가역 [[선형 변환]]들 가운데, <math>Q</math>를 보존하는 것들로 구성된 [[군 (수학)|군]]이다.
:<math>\operatorname O(V,Q)=\{M\in\operatorname{GL}(V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}</math>
이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 <math>K</math>에 대한 [[대수군]]이다. 또한, 만약 <math>K</math>가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 [[리 군]]을 이룬다.

만약 <math>V</math>가 <math>n</math>차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 <math>\operatorname O(n;K)</math>로 쓴다.

[[실베스터 관성 법칙]]에 의하여, [[실수체]] <math>K=\mathbb R</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]은 [[계량 부호수]] <math>(p,q)</math>에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 <math>\operatorname O(p,q;\mathbb R)</math>와 같이 쓴다.

=== 특수직교군 ===
직교군에서 2차 [[순환군]]으로 가는 다음과 같은 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2</math>
:<math>D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2</math>.
이 준동형을 '''딕슨 불변량'''(Dickson不變量, {{llang|en|Dickson invariant}})이라고 한다. 만약 체의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아니라면 이는 [[행렬식]] <math>\det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}</math>과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)

'''특수직교군'''(特殊直交群, {{llang|en|special orthogonal group}}) <math>\operatorname{SO}(n;K)</math>는 딕슨 불변량의 [[핵 (수학)|핵]]이다.
:<math>\operatorname{SO}(n;K)=\ker D=\operatorname{O}(n;K)/(\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>.
즉, 딕슨 불변량이 0인 [[직교 행렬]]의 [[리 군]]이다. 만약 체의 [[환의 표수|표수]]가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 [[리 군]]이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 [[완전열|짧은 완전열]]을 만족한다.
:<math>1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n;K)\to\operatorname{SO}(n;K)\to1</math>.

=== 스핀 군과 핀 군 ===
특수직교군 <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>에 대하여, 그렇다면 다음 [[완전열|짧은 완전열]]을 만족시키는 유일한 [[연결 공간|연결]] [[리 군]] <math>\operatorname{Spin}(n)</math>이 존재한다.
:<math>1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1</math>.
이 [[리 군]]을 '''스핀 군'''({{llang|en|spin group}})이라고 한다.

<math>n>2</math>일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 [[범피복 공간]]이다. (<math>n=2</math>일 경우는 물론 <math>\operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)</math>이고, 그 범피복 공간은 <math>\mathbb R</math>이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 '''핀 군'''({{llang|en|pin group}})을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 [[짧은 완전열]]을 이룬다.
:<math>
\begin{matrix}
&&1&&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&\mathbb Z/2&=&\mathbb Z/2\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
1&\to&\operatorname{Spin}(n)&\to&\operatorname{Pin}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\|\\
1&\to&\operatorname{SO}(n)&\to&\operatorname{O}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\
&&\downarrow&&\downarrow\\
&&1&&1
\end{matrix}
</math>

=== 직교 리 대수 ===
실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 [[리 군]]을 이루며, 이에 대응하는 [[리 대수]]를 정의할 수 있다. 이는 <math>\mathfrak{so}(n;K)</math> 또는 <math>\mathfrak o(n;K)</math>와 같이 쓴다 (<math>K=\mathbb R,\mathbb C</math>).

<math>\mathfrak{so}(n;\mathbb R)</math>는 <math>n\times n</math> 정사각 실수 [[반대칭 행렬]]들로 구성된 리 대수이며, <math>\mathfrak{so}(n;\mathbb C)</math>는 정사각 복소수 [[반대칭 행렬]]들로 구성된 리 대수이다.
:<math>\mathfrak{so}(n;K)=\{M\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon M^\top=-M\}</math>

=== 스피너 노름 ===
체 <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q</math>의 직교군 <math>\operatorname O(V,Q)</math>에 대하여, '''스피너 노름'''({{llang|en|spinor norm}})은 다음과 같은 [[군 준동형]]이다.
:<math>N\colon\operatorname O(V,Q)\to K^\times/(K^\times)^2</math>
:<math>N(R_v)=1\qquad(Q(v)\ne0)</math>
여기서 <math>R_v</math>는 <math>v\in V</math>에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.
:<math>R_v\colon u\mapsto u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}</math>
직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

=== SO*(2''n'') ===
<math>\mathfrak{so}(2n;\mathbb C)</math>은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.

우선, 체 <math>K</math> 위의 <math>2n</math>차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위에 [[심플렉틱 벡터 공간|심플렉틱 구조]]
:<math>\Omega \colon V\otimes_KV\to V</math>
가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는
:<math>\Omega = \begin{pmatrix}
0_{n\times n}&1_{n\times n}\\
-1_{n\times n}&0_{n\times n}
\end{pmatrix}</math>
의 꼴이다. 그렇다면,
:<math>\operatorname{GL}(V;K)</math>
위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.
:<math>\operatorname O^*(V,\Omega) = \left\{M \in\operatorname{GL}(V;K) 
\colon
 \Omega(M^\top u,v) = \Omega(u,Mv)\qquad\forall u,v\in V
\right\}</math>
즉, <math>\Omega</math>를 <math>2n\times 2n</math> 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.
:<math>M\Omega = \Omega M</math>
마찬가지로,
:<math>\operatorname{SO}^*(V,\Omega) = \operatorname{SL}(V) \cap \operatorname O^*(V,\Omega)</math>
이다.

그렇다면, [[실수 리 대수]] <math>\mathfrak{so}^*(2n;\mathbb R)</math>는 <math>\mathfrak{so}(2n;\mathbb C)</math>의 실수 형태이다.

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
체 <math>K</math>에 대한 직교군의 [[군의 중심|중심]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname O(n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}</math>
만약 <math>K</math>의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 <math>K</math>의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 <math>n</math>이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, <math>n</math>이 홀수라면 그렇지 않다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname{SO}(n;K))=\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\
\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}\qquad(\operatorname{char}K\ne2)</math>
중심에 대하여 [[몫군]]을 취하면, '''사영 직교군'''({{llang|en|projective orthogonal group}})
:<math>\operatorname{PO}(n;K)=\operatorname O(n;K)/\operatorname Z(\operatorname O(n;K))</math>
을 얻는다.

마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname{Spin}(n;\mathbb C))=\begin{cases}\mathbb Z/2&n\equiv1,3\pmod4\\\mathbb Z/4&n\equiv2\pmod4\\(\mathbb Z/2)^{\oplus2}&n\equiv0\pmod4\end{cases}</math>
:<math>\operatorname Z(\operatorname{Spin}(p,q;\mathbb R))=\begin{cases}\mathbb Z/2&pq\not\equiv0\pmod4\\\mathbb Z/4&pq\equiv0\pmod4\end{cases}</math>

=== 리 이론적 성질 ===
복소수 리 군 <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb C)</math>는 <math>n\ne4</math>일 경우 [[단순 리 군]]이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 <math>n=2k+1</math>이라면 <math>B_k</math>에, 만약 <math>n=2k</math>라면 <math>D_k</math>에 해당하며, 그 [[딘킨 도표]]는 다음과 같다.
:<math>B_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet</math>
:<math>D_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\langle{\bullet\atop\bullet}</math>

<math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>는 <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb C)</math>의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 <math>\operatorname{SO}(k,k;\mathbb R)</math>이며, 홀수 차수에서는 <math>\operatorname{SO}(k+1,k;\mathbb R)</math>이다.

<math>\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)</math>의 [[극대 원환면]]은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
R_1&&0\\
&\ddots\\
0&&R_k
\end{pmatrix}</math>
여기서
:<math>R_i=\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\\\sin\theta_i&\cos\theta_i\end{pmatrix}</math>
는 2×2 회전 행렬이다. <math>\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)</math>의 [[극대 원환면]]은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
R_1&&&0\\
&\ddots\\
&&R_k\\
0&&&1
\end{pmatrix}</math>
<math>\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)</math>의 [[바일 군]]은 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^k\rtimes\operatorname{Sym}(k)</math>
이다. 여기서 <math>\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm 1\}^k</math>는
:<math>\epsilon\colon \theta_i\mapsto\epsilon_i\theta_i</math>
와 같이 작용하며, [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(k)</math>는
:<math>\sigma\colon\theta_i\mapsto\theta_{\sigma(i)}</math>
와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 <math>(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm1\}^k</math>의 원소는 블록 대각 행렬
:<math>\operatorname{diag}\left(M(\epsilon_1),\dots,M(\epsilon_k),\prod_{i=1}^k\epsilon_k\right)\in\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)</math>
:<math>M(+1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>
이며, <math>\operatorname{Sym}(k)</math>의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 <math>2k\times 2k</math> [[치환행렬]]에 <math>(2k+1,2k+1)</math>번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

<math>\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)</math>의 바일 군은 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^{k-1}\rtimes\operatorname{Sym}(k)</math>
이다. 포함 관계
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))<\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))</math>
아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
:<math>1\to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \xrightarrow\phi \{\pm1\} \to 1</math>
이며, <math>\phi</math>는 다음과 같다.
:<math>\phi\colon(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k,\sigma)\mapsto\prod_{i=1}^k\epsilon_k\in\{\pm1\}</math>

=== 위상수학적 성질 ===
실수 직교군 <math>\operatorname{O}(n;\mathbb R)</math>은 <math>n(n-1)/2</math>차원의 [[리 군]]이며, [[콤팩트 공간]]이다. 두 개의 [[연결 성분]]을 가지며, 이들은 각각 행렬식 <math>\det M=\pm1</math>인 실수 [[직교행렬]]들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 [[연결 공간]]인 실수 [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>를 이룬다.

복소수 직교군 <math>\operatorname O(n;\mathbb C)</math>은 복소수 <math>n(n-1)/2</math>차원(실수 <math>n(n-1)</math>차원)의 복소수 [[리 군]]이자 [[대수군]]이다. <math>n\ge2</math>인 경우, 복소수 직교군은 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 [[연결 성분]]을 가지며, 이는 각각 행렬식이 <math>\det M=\pm1</math>인 복소수 [[직교행렬]]들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb C)</math>를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 [[기본군]]은 다음과 같다.
:<math>\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb R))\cong\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb C))\cong\begin{cases}1&n=1\\\mathbb Z&n=2\\\mathbb Z/2&n>2\end{cases}</math>
이에 따라, 실수 특수직교군의 [[범피복 공간|범피복]] 리 군을 취하면 <math>n=2</math>에서는 <math>\mathbb R</math>를, <math>n>2</math>에서는 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(n)</math>을 얻는다.

부정부호 실수 직교군 <math>\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)</math> (<math>p,q>0</math>)는 네 개의 연결 성분을 가지며,
:<math>\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))=(\mathbb Z/2)^2</math>
이다. 여기서 한 <math>\mathbb Z/2</math>는 <math>p</math>차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 <math>q</math>차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. <math>\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)</math>는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우
:<math>\pi_0(\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))</math>
이다. <math>\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)</math>의 연결 부분군을 <math>\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R)</math>라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
:<math>\pi_1(\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R))=\pi_1(\operatorname{SO}(p;\mathbb R))\times\pi_1(\operatorname{SO}(q;\mathbb R))</math>

==== 보트 주기성 ====
[[호프 올뭉치]]
:<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow\operatorname O(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^n</math>
로 인하여, 만약 <math>i<n-1</math>이라면
:<math>\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))</math>
이다.<ref name="Karoubi">{{서적 인용|제목=Handbook of K-theory. Volume 1|장=Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory|이름=Max|성=Karoubi|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-111-138.pdf|url=http://k-theory.org/handbook/|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_4|쪽=111–137|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://k-theory.org/handbook/ }}</ref>{{rp|112}} 즉, 직교군의 [[호모토피 군]]들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|113}}
:<math>\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8
\end{cases}\qquad(i<n-1)</math>
이 주기성을 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

{| class="wikitable"
|-
! 직교군
!style="width:3em"| π<sub>0</sub>
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
|-
| O(1) || ℤ/2 || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| O(2)
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ/2 || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| O(3) || ℤ/2
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ/2 || 0 || ℤ || ℤ/2 || ℤ/2 || ℤ/12 || ℤ/2 || ℤ/2 || ℤ/3
|-
| O(4) || ℤ/2 || ℤ/2
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ<sup>2</sup> || (ℤ/2)<sup>2</sup> || (ℤ/2)<sup>2</sup> || (ℤ/12)<sup>2</sup> || (ℤ/2)<sup>2</sup> || (ℤ/2)<sup>2</sup> || (ℤ/3)<sup>2</sup>
|-
| O(5) || ℤ/2 || ℤ/2 || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ || ℤ/2 || ℤ/2 || 0 || ℤ || 0 || 0
|-
| O(6) || ℤ/2 || ℤ/2 || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ || 0 || ℤ || ℤ/24 || ℤ/2
|}

특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.
:<math>\pi_i(\operatorname{SO}(n))\cong\begin{cases}0&i=0\\\pi_i(\operatorname O(n))&i>0\end{cases}</math>
:<math>\pi_i(\operatorname{Spin}(n))\cong\begin{cases}0&i=0,1\\
\pi_i(\operatorname O(n))&i>1\end{cases}\qquad(n>2)</math>
:<math>\pi_i(\operatorname{Pin}(n))\cong\begin{cases}0&i=1\\
\pi_i(\operatorname O(n))&i\ne1\end{cases}\qquad(n>2)</math>

다음과 같은 '''무한 직교군''' <math>\operatorname O(\infty)</math>을 범주론적 [[쌍대극한]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname O(\infty)=\varinjlim_n\operatorname O(n)</math>
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
:<math>\pi_i(\operatorname O(\infty))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8
\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 [[고리 공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|112, Theorem 1}}
:<math>\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)</math>

무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] 실수 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 직교군 <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 <math>\operatorname O(\infty)</math>와 다르다. [[작용소 노름]]에 의한 위상을 주었을 때, <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 [[축약 가능 공간]]이며, 따라서 모든 [[호모토피 군]]이 자명하다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0040-9383(65)90067-4|제목=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space|이름=Nicolaas H.|성=Kuiper|저널=Topology|권=3|호=1|쪽=19–30|날짜=1965|언어=en}}</ref>
:<math>\pi_i(\operatorname O(\mathcal H))=0\quad\forall i</math>

=== 포함 관계 ===
모든 <math>n</math>에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
* <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SU}(n)\subset\operatorname{USp}(2n)</math>
* <math>\operatorname{SU}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(2n)</math>
* <math>\operatorname{SO}(n-1;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>. 만약 <math>n</math>이 짝수인 경우, 이는 <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 [[딘킨 도표]]를 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 따라 접은 것이다. 만약 <math>n</math>이 홀수인 경우, 이는 <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 [[딘킨 도표]]에 <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, <math>\circ</math>로 표시한 꼭짓점을 제거한 것이다.
*:<math>2\mid n\colon\qquad \overbrace{\bullet-\cdots-\bullet}^{n/2-3}-\bullet\langle{\bullet\atop\bullet}\qquad\to\qquad \overbrace{\bullet-\cdots-\bullet}^{n/2-3}-\bullet\Rightarrow\bullet</math>
*:<math>2\nmid n\colon\qquad \bullet-\bullet-\overbrace{\bullet-\cdots-\bullet}^{\lfloor n/2\rfloor-3}\Rightarrow\circ\qquad\to\qquad \bullet-\overset{{\scriptstyle\otimes\atop\displaystyle|}}\bullet-\overbrace{\bullet-\cdots-\bullet}^{\lfloor n/2\rfloor-3}\Rightarrow\circ\qquad\to\qquad\bullet-\overset{{\scriptstyle\otimes\atop\displaystyle|}}\bullet-\overbrace{\bullet-\cdots-\bullet}^{\lfloor n/2\rfloor-3}</math>
*만약
또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:<math>\operatorname{Spin}(3)\subset G_2</math>
:<math>\operatorname{Spin}(9)\subset F_4</math>
:<math>\operatorname{Spin}(10)\subset E_6</math>
:<math>\operatorname{Spin}(12)\subset E_7</math>
:<math>\operatorname{Spin}(16)\subset E_8</math>

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 '''예외적 동형'''({{llang|en|exceptional isomorphism}})을 보인다.
;1차원:
:<math>\operatorname O(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\cong\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname{SO}(1)\cong\operatorname{PSO}(1)\cong1</math>
;2차원:
:<math>\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)\cong\mathbb S^1</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(1,1;\mathbb R)\cong\mathbb R</math>
;3차원:
:<math>\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{PUSp}(2)\cong\mathbb{RP}^2</math>
:<math>\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{USp}(2)\cong\mathbb S^3</math>
:<math>\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(2,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Spin}^+(2,1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)</math>
;4차원:
:<math>\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\cong\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^3</math>
:<math>\operatorname{PSO}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2)</math>
:<math>\operatorname{PSO}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(3,1;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)</math>
;5차원:
:<math>\operatorname{SO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PUSp}(4)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(3,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)</math>
;6차원:
:<math>\operatorname{SO}(6)\cong\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)</math>
:<math>\operatorname{PSO}(6)\cong\operatorname{PSU}(4)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(6)\cong\operatorname{SU}(4)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb H)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{SU}(2,2)/(\mathbb Z/2)</math>
:<math>\operatorname{PSO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2,2)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(3,3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(3,3)\cong\operatorname{PSL}(4;\mathbb R)</math>

=== 홀수 표수 유한체 위에서의 직교군 ===
<math>\mathbb F_q</math>가 표수가 2가 아닌 [[유한체]]라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 <math>\mathbb F_q^n</math> 위의 [[비퇴화 이차 형식]]은 정확히 두 개의 동형류가 있다..

홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 <math>\alpha\in\mathbb F_q</math>에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 <math>Q_1</math>과 <math>aQ_1</math>의 꼴이다 (<math>a\in\mathbb F_q</math>는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 <math>\operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)</math>은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, '''플러스형'''과 '''마이너스형''' 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 <math>n/2</math>인 것을 플러스형, <math>n/2-1</math>인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 <math>\operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)</math>라고 쓴다.<ref name="Wilson">{{서적 인용| last=Wilson | first=Robert A. | title=The finite simple groups | zbl=1203.20012 | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=251 | location=London | publisher=Springer | isbn=978-1-84800-987-5 | 날짜=2009 | 언어=en }}</ref>{{rp|69–75}}

표수가 2가 아닌 유한체 <math>\mathbb F_q</math> (<math>q=p^k</math>, <math>p</math> [[소수 (수론)|소수]])의 직교군의 크기는 다음과 같다.<ref name="Wilson"/>{{rp|72, (3.30)–(3.32)}}
:<math>|\operatorname O(2n+1;\mathbb F_q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>
:<math>|\operatorname O^+(2n;\mathbb F_q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>
:<math>|\operatorname O^-(2n;\mathbb F_q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>

=== 표수 2에서의 직교군 ===
표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.
* 표수가 2인 [[완전체]] 위의 홀수 차원 [[벡터 공간]]에서의 직교군은 [[심플렉틱 군]]과 같다.
* 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 [[벡터 공간]]에서의 직교군은 [[심플렉틱 군]]의 부분군이다.
구체적으로, 표수 2인 체 위의 [[이차 형식]]의 연관 [[대칭 쌍선형 형식]]은 [[교대 쌍선형 형식]]이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

== 응용 ==
직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 [[피복군]] [[스핀 군|Spin(3)]]는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 [[양자역학]]에 핵심적이다.

[[특수 상대성 이론]]에서는 [[민코프스키 공간]]의 (중심을 고정시키는) [[대칭군 (기하학)|대칭군]]인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 '''[[로런츠 군]]'''이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 [[양자장론]]에서 핵심적이다. [[더 시터르 공간]] 및 [[반 더 시터르 공간]]의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

[[등각 장론]]에서, <math>(p,q)</math>-차원 시공간의 등각 대칭군은 <math>\operatorname{SO}(p+1,q+1)</math>이다. 이 대칭군이 [[반 더 시터르 공간]]의 대칭군과 같다는 사실은 [[AdS/CFT 대응성]]에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 [[대통일 이론]]의 게이지 군으로 쓰인다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Grove | first=Larry C. | title=Classical groups and geometric algebra | publisher=American Mathematical Society | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2019-3 | mr=1859189 | 날짜=2002 | volume=39 | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-39 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Taylor | first=Donald E. | title=The geometry of the classical groups | publisher=Heldermann | isbn=3-88538-009-9| mr=1189139 | 날짜=1992 | series=Sigma Series in Pure Mathematics | volume=9 | zbl=0767.20001 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Orthogonal group}}
* {{eom|title=Spinor group}}
* {{매스월드|id=OrthogonalGroup|author=Todd Rowland|title=Orthogonal group}}
* {{매스월드|id=GeneralOrthogonalGroup|title=GeneralOrthogonal group}}
* {{매스월드|id=SpecialOrthogonalGroup|title=Special Orthogonal group}}
* {{매스월드|id=ProjectiveGeneralOrthogonalGroup|title=Projective general orthogonal group}}
* {{매스월드|id=ProjectiveSpecialOrthogonalGroup|title=Projective special orthogonal group}}
* {{nlab|id=orthogonal group|title=Orthogonal group}}
* {{nlab|id=orthogonal group of an inner product space|title=Orthogonal group of an inner product space}}
* {{nlab|id=special orthogonal group|title=Special orthogonal group}}
* {{nlab|id=spin group|title=Spin group}}
* {{nlab|id=stable orthogonal group|title=Stable orthogonal group}}
* {{수학노트|title=직교군과 직교리대수}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf|제목=Sporadic isogenies|이름=Paul|성=Garrett|날짜=2015-05-07|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_group_for_a_symmetric_bilinear_form|제목=Orthogonal group for a symmetric bilinear form|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_group_for_the_standard_dot_product|제목=Orthogonal group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Special_orthogonal_group_for_the_standard_dot_product|제목=Special orthogonal group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Split_orthogonal_group|제목=Split orthogonal group|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_similitude_group_for_a_symmetric_bilinear_form|제목=Orthogonal similitude group for a symmetric bilinear form|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Orthogonal_similitude_group_for_the_standard_dot_product|제목=Orthogonal similitude group for the standard dot product|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Special_orthogonal_similitude_group|제목=Special orthogonal similitude group|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Spinor_norm|제목=Spinor norm|웹사이트=Groupprops|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[스핀 군]]
* [[직교행렬]]
* [[스피너]]
* [[원군]]
* [[3차원 직교군]]

[[분류:리 군]]
[[분류:대수군]]