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[[모형 범주]] 이론에서, '''바우스필드 국소화'''(Bousfield局所化, {{llang|en|Bousfield localization}})는 주어진 [[모형 범주]]의 약한 동치 모임을 확장시키는 한 방법이다.

== 정의 ==
[[모형 범주]] <math>(\mathcal C,\mathfrak W,\mathfrak F,\mathfrak C)</math>가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 [[모임 (집합론)|모임]]
:<math>\mathfrak W_{\text{loc}}\supseteq\mathfrak W</math>
이 존재한다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal C</math>의 <math>\mathfrak W_{\text{loc}}</math>에 대한 '''왼쪽 바우스필드 국소화'''({{llang|en|left Bousfield localization}})는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 [[모형 범주]] <math>(\mathcal C_{\text{loc,left}},\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F_{\text{loc}},\mathfrak C)</math>이다.
* <math>\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>의 약한 동치 모임은 <math>\mathfrak W_{\text{loc}}</math>이다.
* <math>\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>의 쌍대올뭉치 모임은 <math>\mathfrak C</math>이다. (즉, <math>\mathcal C</math>에서와 같다.)
* <math>\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>의 올뭉치 모임 <math>\mathfrak F_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak F</math>은 [[오른쪽 올림 성질]]로부터 결정된다. 즉, <math>\mathfrak F_{\text{loc}}=(\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak C_{\text{loc}})^\pitchfork</math>이다.
이 경우, 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.<ref name="Hir">{{서적 인용|제목=Model categories and their localizations|이름=Philip S.|성=Hirschhorn|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem?item=SURV-99-S|출판사=American Mathematical Society|총서=Mathematical Surveys and Monographs|권=99|날짜=2003|isbn=978-0-8218-4917-0|언어=en}}</ref>{{rp|58, Proposition 3.3.3}}
:<math>(\mathfrak C)^\pitchfork=\mathfrak W\cap\mathfrak F=\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak F_{\text{loc}}</math>
또한, 항등 함자 <math>\mathcal C\to\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>는 [[퀼런 수반 함자]]를 이룬다. 즉, <math>\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>는 퀼런 수반 모형 범주 쌍<math>(\mathcal C_{\text{loc,left}},\mathcal C)</math>의 왼쪽 성분이 된다.

마찬가지로, '''오른쪽 바우스필드 국소화'''({{llang|en|right Bousfield localization}}) <math>(\mathcal C_{\text{loc,right}},\mathfrak W_{\text{loc}},\mathfrak F,\mathfrak C_{\text{loc}})</math>는 올뭉치 모임을 그대로 두고, 쌍대올뭉치 모임을 바꾸는 것이다. 이 경우 마찬가지로
:<math>\mathfrak C_{\text{loc}}\subseteq\mathfrak C</math>
:<math>^\pitchfork(\mathfrak F)=\mathfrak W\cap\mathfrak C=\mathfrak W_{\text{loc}}\cap\mathfrak C_{\text{loc}}</math>
가 된다.
또한, 항등 함자 <math>\mathcal C\to\mathcal C_{\text{loc,left}}</math>는 [[퀼런 수반 함자]]를 이룬다. 즉, <math>\mathcal C_{\text{loc,right}}</math>는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 <math>(\mathcal C,\mathcal C_{\text{loc,right}})</math>의 오른쪽 성분이 된다.

=== 국소 약한 동치 ===
흔히, <math>\mathfrak W_{\text{loc}}</math>는 다음과 같이 어떤 사상 집합 <math>S</math>에 대한 '''국소 약한 사상'''({{llang|en|local weak equivalence}})으로 얻어진다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화의 경우 그 쌍대화를 사용한다.)

<math>\mathcal C</math>가 [[단체 집합]]의 범주 위의 [[풍성한 범주]]이며, 그 구조가 [[모형 범주]] 구조와 호환된다고 하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치 집합 <math>S</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal C</math> 속의 올대상 <math>X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>C</math>-'''국소 올대상'''({{llang|en|<math>C</math>-local fibrant object}})이라고 한다.
* 모든 사상 <math>(f\in C)\colon A\hookrightarrow B</math>에 대하여, <math>f^*\colon\hom_{\mathcal C}(B,X)\to\hom_{\mathcal C}(A,X)</math>는 비순환 올뭉치를 이룬다. (즉, 약한 동치이며 [[칸 올뭉치]]이다.)

<math>\mathcal C</math> 속의 쌍대올뭉치 <math>f\colon A\hookrightarrow B</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''<math>S</math>-국소 약한 동치'''({{llang|en|<math>S</math>-local weak equivalence}})라고 한다.
* 모든 <math>S</math>-국소 올대상 <math>X</math>에 대하여, <math>f^*\colon\hom_{\mathcal C}(B,X)\to\hom_{\mathcal C}(A,X)</math>는 비순환 올뭉치를 이룬다.

== 역사 ==
올드리지 나이트 바우스필드({{llang|en|Aldridge Knight Bousfield}}, {{IPA2|ɔːldɹɪdʒ naɪt baʊsfiːld}})가 1979년에 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]을 다루기 위하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Aldridge Knight|성=Bousfield|제목=The localization of spectra with respect to homology|저널=Topology|권=18|호=4|날짜=1979|쪽=257–281|doi=10.1016/0040-9383(79)90018-1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Aldridge Knight|성=Bousfield|제목=The localization of spaces with respect to homology|저널=Topology|권=14|호=2|날짜=1975-06|쪽=133–150|doi=10.1016/0040-9383(75)90023-3|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[위상 공간 국소화]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Bousfield localization}}
* {{nlab|id=Bousfield localization of model categories}}
* {{nlab|id=Bousfield localization of spectra}}
* {{nlab|id=Bousfield localization of triangulated categories}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/224501/simple-question-different-definitions-of-bousfield-localization|제목=Different definitions of Bousfield localization|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]