{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Fourier series and transform.gif|섬네일]]
[[수학]]에서 '''푸리에 급수'''(Fourier級數, {{lang|en|Fourier series}})는 주기 함수를 삼각함수의 가중치로 분해한 [[급수 (수학)|급수]]다. 대부분의 경우, 급수의 계수는 본래 함수와 일대일로 대응한다.

함수의 푸리에 계수는 본래 함수보다 다루기 쉽기 때문에 유용하게 쓰인다. 푸리에 급수는 전자 공학, 진동 해석, [[음향학]], [[광학]], [[신호 처리]]와 [[영상 처리]], [[데이터 압축]] 등에 쓰인다. [[천문학]]에서는 [[분광기]]를 통해 별빛의 진동수를 분해하여 별을 이루는 [[화학 물질]]을 알아내는 데 쓰이고, 통신 공학에서는 전송해야 하는 데이터 신호의 스펙트럼을 이용하여 통신 시스템 설계를 최적화하는 데 쓰인다.

== 역사 ==
프랑스의 과학자이자 수학자인 [[조제프 푸리에]]가 [[열 방정식]]을 풀기 위하여 도입하였다. 프랑스 혁명에 참가했다.<ref>{{저널 인용|성=Fourier|이름=Joseph|저자링크=조제프 푸리에|제목={{lang|fr|Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, présenté le 21 décembre 1807 à l'Institut national}}|저널={{lang|fr|Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomatique de Paris}}|권=1|쪽=112–116|월=3|연도=1808|위치=Paris|출판사=Bernard|호=6}}
다음 책에 수록.
{{서적 인용|제목=Œuvres complètes|권=2|이름=Joseph|성=Fourier|저자링크=조제프 푸리에|url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_FOURIER__2|장=Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides|chapterurl=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k33707/f220n7.capture|쪽=215–221|확인날짜=2012-10-13|보존url=https://web.archive.org/web/20081206014221/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_FOURIER__2#|보존날짜=2008-12-06|url-status=dead}}</ref>

== 정의 ==
푸리에 급수는 [[주기함수]]를 기본적인 조화함수인 [[삼각함수]] 또는 [[지수 함수|복소 지수 함수]]의 급수로 나타낸 것이다. 주기함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb C</math>가 <math>T</math>의 주기를 가진다고 하자. 즉,

:<math>f(x)=f(x+T)</math>

라고 하자. 또한, <math>f</math>가 모든 유한 구간({{lang|en|finite interval}})에서 제곱적분 가능하다고 하자. 즉, 임의의 <math>a,b\in\mathbb R</math>에 대하여,

:<math>\int_a^b|f|^2\,dx</math>

가 유한한 값으로 존재한다고 하자. 그렇다면 <math>f</math>의 '''푸리에 계수'''({{lang|en|Fourier coefficient}}) <math>g_n</math>을 다음과 같이 정의한다.

:<math>
g_n=\frac1{T}\int_{t_{0}}^{t_{0} + T}\exp\left(-\frac{2n\pi{i}x}{T}\right)f(x)\,dx,\quad t_{0} \in \mathbb{R}.
</math>

그렇다면 다음이 성립한다. 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, 다음 식이 성립하지 않는 <math>x</math>의 집합은 [[르베그 측도]] 0을 가진다.

:<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}g_n\exp\left(\frac{2n\pi{i}x}{T}\right)</math>.

만약 <math>f</math>가 연속미분가능 (<math>C^1</math>) 함수라면 (즉, <math>f</math>의 [[도함수]]가 존재하고 연속적인 경우) <math>f</math>의 푸리에 급수는 모든 <math>x</math>에서 <math>f(x)</math>로 수렴한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|author=William E. Boyce, Richard C. DiPrima |title=Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems |edition=8판 |publisher=Wiley |location=New Jersey |year=2005 |isbn=0-471-43338-1}}
* {{서적 인용|성=Fourier|이름=Joseph|저자링크=조제프 푸리에|제목=Théorie Analytique de la Chaleur|연도=1822}}
** 재판: {{서적 인용|성=Fourier|이름=Joseph|저자링크=조제프 푸리에|제목=Théorie Analytique de la Chaleur|출판사=Cambridge University Press|isbn=9781108001809|연도=2009}}
** 영역 (역자 Alexander Freeman): {{서적 인용| 이름 = Joseph|성= Fourier |저자링크=조제프 푸리에| title = The Analytical Theory of Heat | publisher = Dover | year = 2003 | isbn = 0-486-49531-0 }}
* {{저널 인용|이름=Enrique A.|성=Gonzalez-Velasco |title=Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |year=1992 |pages=427–441 |issue=5 |doi=10.2307/2325087}}
* {{서적 인용| last=Katznelson| first= Yitzhak| title=An introduction to harmonic analysis| edition = 2판 | publisher = Dover | year=1976 | location=New York  | isbn=0-486-63331-4}}
* [[펠릭스 클라인|Felix Klein]], ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert'', Springer, Berlin, 1928.
** 영역: ''Development of mathematics in the 19th century''. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. (역자 M. Ackerman)
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}
* {{서적 인용| 이름=A.|성=Zygmund | title=Trigonometric series | edition=3판 | publisher = Cambridge University Press | location=Cambridge | year=2003 | isbn=0-521-89053-5 }}

== 같이 보기 ==
* [[푸리에 변환]]
* [[조화 해석학]]
* [[조제프 푸리에]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류-줄}}
* {{springer|title=Fourier series|id=p/f041090}}
* {{Cite EB1911 |wstitle=Fourier's Series |volume=10 |pages=753–758 |first=Ernest |last=Hobson |short=1 |authorlink=E. W. Hobson}}
* {{MathWorld | urlname= FourierSeries | title= Fourier Series}}
* {{webarchive |url=https://web.archive.org/web/20011205152434/http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html |date=December 5, 2001 |title=Joseph Fourier – A site on Fourier's life which was used for the historical section of this article }}

{{급수}}
{{전거 통제}}

[[분류:푸리에 급수| ]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:급수]]
[[분류:디지털 신호 처리]]
[[분류:조제프 푸리에]]