{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}

[[미적분학]]에서 '''몫 규칙'''(-規則, {{llang|en|quotient rule}}) 또는 '''몫의 미분법'''은 두 함수의 몫을 [[미분]]할 때 쓰이는 공식이다.

== 정의 ==
두 함수 <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math>가 <math>x_0\in I\subseteq\mathbb R</math>에서 미분 가능하다고 하자. 또한, <math>g(x_0)\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>f/g</math> 역시 <math>x_0</math>에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
:<math>\left(\frac fg\right)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}</math>
함수의 [[선형 근사]] <math>d(-)</math>를 사용하여 표기하면 다음과 같다.
:<math>\left.d\left(\frac fg\right)\right|_{x=x_0}=\left.\frac{gdf-fdg}{g^2}\right|_{x=x_0}</math>

== 예 ==
*<math>\frac{(4x - 2)}{(x^2 + 1)}</math>의 미분은:

:
<math>\begin {aligned} \frac{d}{dx} \frac{4x - 2}{x^2 + 1} & = \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ & =\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} \\ & =\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end {aligned}</math>

위의 예제에서는
:<math>g(x) = 4x - 2</math>
:<math>h(x) = x^2 + 1</math>
로 지정했다.

*<math>\sin(x)/x^2</math>의 미분 (<math>x</math> &ne; 0 일 때):
:<math>
\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}
</math>

또다른 예로 :
<math> f(x) = \frac{2x^2}{x^3}</math>를 미분할 경우에:
<math>g(x) = 2x^2</math> and <math>h(x) = x^3</math>, and <math>g'(x) = 4x</math> and <math>h'(x) = 3x^2</math> 라는 것을 볼 수 있고, 따라서
:<math>\begin {aligned}
f'(x) & = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2} 
\\ & = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
\\ & = \frac{-2x^4}{x^6}
\\ & = -\frac{2}{x^2}\end {aligned} </math>
이다.

== 증명 ==
=== [[뉴턴의 차분몫]]의 응용 ===
:만약 <math>f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}</math>이며
::<math>h(x) \ne 0</math>이 성립하고 <math>g</math> 와 <math>h</math>는 미분 가능한 함수라면:

:<math>
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right) \\
&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)} \\
&= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
\end{align}
</math>

== 곱 규칙의 응용 ==
만약 <math>f(x) = \frac {g(x)} {h(x)}</math> 라면

:<math>g(x)=f(x)h(x)</math>

:<math>g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)</math>

나머지는 간단한 방정식을 풀때와 비슷한 방법으로 <math>f'(x)</math>를 식 왼쪽의 유일한 항으로 만들어주면 되고, <math>f(x)</math>는 식 오른쪽에서 없애야 한다.

:<math>
\begin{align}
f'(x) &=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}
\end{align}
</math>


이어서
:<math>f(x)={{g(x)}\over{h(x)}}</math>에서
:<math>g(x)=1</math>일때
:<math>(f(x))^{'}=\left({{1}\over{h(x)}}\right)^{'}</math>
:<math>\;\;\;={{\left(-h(x)\right)^{'}}\over{(h(x))^2}}</math>
:<math>\;\;\;=-{{h'(x)}\over{h^2(x)}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[곱 규칙]]
* [[연쇄 법칙]]
* [[뉴턴의 차분몫]]

[[분류:미분학]]