{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''푸아송 다양체'''(Poisson多樣體, {{llang|en|Poisson manifold}})는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 [[심플렉틱 다양체]]의 일반화이다.<ref>{{서적 인용|first =Jean-Paul|last = Dufour|저자2 = Nguyen Tien Zung|title = Poisson structures and their normal forms|publisher = Birkhäuser |총서=Progress in Mathematics|volume = 242|year = 2005|doi=10.1007/b137493|isbn=978-3-7643-7334-4|issn=0743-1643|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|first = V.|last = Guillemin|first2 = S.|last2 = Sternberg|title = Symplectic techniques in Physics|publisher = Cambridge University Press|year = 1984|isbn = 0-521-24866-3|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first = Alan|last = Weinstein|title = Poisson geometry|journal = Differential Geometry and its Applications|volume = 9|날짜 = 1998-08|issue = 1–2|pages = 213–238|doi=10.1016/S0926-2245(98)00022-9|언어=en}}</ref> 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

== 정의 ==
푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 [[동치]]이다.

=== 푸아송 괄호를 통한 정의 ===
체 <math>K</math> 위의 가환 [[결합 대수]] <math>A</math> 위의 '''푸아송 괄호'''(Poisson括弧, {{llang|en|Poisson bracket}})는 다음 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[리 대수]] 구조이다.
* 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>(A,\{a,-\})</math>는 <math>K</math>-[[미분 대수]]이다. 즉, 다음 [[곱 규칙]]이 성립한다.
*: <math>\{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad\forall a,b,c\in A</math>

'''푸아송 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 실수 가환 결합 대수 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math> 위의 푸아송 괄호 <math>\{,\}</math>

푸아송 다양체 <math>(M,\{,\})</math> 위에서, 임의의 <math>f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>에 대하여 <math>\{f,-\}</math>는 <math>M</math> 위의 [[벡터장]]을 이루며, 이러한 꼴의 [[벡터장]]을 '''[[해밀턴 벡터장]]'''이라고 한다. <math>X=\{f,-\}</math>라면 <math>f</math>를 <math>X</math>의 '''[[해밀토니언]]'''({{llang|en|Hamiltonian}})이라고 한다.

[[리 대수]] <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>의 [[리 대수 중심|중심]]의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 '''[[카시미르 함수]]'''라고 한다. (이는 0차 [[푸아송 코호몰로지]]에 해당한다.)

=== 텐서장을 통한 정의 ===
매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 '''푸아송 텐서장'''(Poisson tensor場, {{llang|en|Poisson tensor field}}) <math>\pi</math>는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 [[텐서장]]이다.
* (반대칭성) <math>\pi^{ij} = \pi^{ji}</math>
* (멱영성) <math>[\pi,\pi]=0</math>. 여기서 <math>[-,-]</math>는 [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]이다.

구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는
:<math>\{f,g\} = \pi(\mathrm df,\mathrm dg) \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>
의 꼴로 주어진다.

여기서, [[스하우턴-네이엔하위스 괄호]]가 0이 되는 것은 [[야코비 항등식]]에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\pi^{[i|l}\partial_l\pi^{|jk]} = 0</math>
여기서 <math>[...]</math>는 지표 <math>i,j,k</math>의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,

:<math>
\pi^{il}\partial_l\pi^{jk}
+
\pi^{jl}\partial_l\pi^{ki}
+
\pi^{kl}\partial_l\pi^{ij}
 = 0</math>
이다.

=== 리 준대수를 통한 정의 ===
'''푸아송 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 매끄러운 다양체 <math>M</math>
* <math>\mathrm T^*M</math> 위의 [[리 준대수]] 구조 <math>\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM</math>. 이 경우, [[리 괄호]]는 다음과 같다.
*: <math>[\alpha,\beta] = \mathcal L_{\sharp\alpha}\beta - \mathcal L_{\sharp\beta} \alpha - \mathrm d\langle\sharp\alpha,\beta\rangle \in \Omega^1(M)\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^1(M)</math>
여기서 <math>\mathcal L</math>은 [[1차 미분 형식]]의 [[리 미분]]이다.

이 정의에서의 <math>\sharp</math>는 [[음악 동형]]을 통해 푸아송 텐서장 <math>\pi</math>와 같은 데이터를 정의한다.
:<math>\sharp \colon \mathrm T^*M \to \mathrm TM</math>
:<math>\sharp \colon \alpha \mapsto \pi(\alpha,-)</math>
이는 [[리만 다양체]]나 [[심플렉틱 다양체]]의 [[음악 동형]]과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉, <math>\flat\colon\mathrm TM \to \mathrm T^*M</math> 사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)

=== 푸아송 사상 ===
두 푸아송 다양체 <math>(M,\{,\}_M)</math>, <math>(N,\{,\}_N)</math> 사이의 '''푸아송 사상'''(Poisson寫像, {{llang|en|Poisson map}}) <math>\phi\colon M\to N</math>은 [[매끄러운 함수]] 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.
:<math>\{f,g\}_N \circ \phi = \{f\circ\phi,g\circ\phi\}_M \qquad\forall f,g\in\mathcal C^\infty(N,\mathbb R)</math>
푸아송 텐서장으로는
:<math>\pi_N \circ \phi = \phi_* \pi_M \in \Gamma^\infty\left(\bigwedge^2\phi^*\mathrm TN\right)</math>
이어야 한다. 여기서 <math>\phi_*</math>는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 <math>\operatorname{PoissDiff}</math>라고 표기하자.

푸아송 사상 가운데 [[미분 동형 사상]]을 이루는 것을 '''푸아송 미분 동형 사상'''(Poisson微分同形寫像, {{llang|en|Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism}})이라고 한다. 이는 <math>\operatorname{PoissDiff}</math>의 [[동형 사상]]이다.

== 성질 ==
푸아송 다양체 <math>M</math>의 [[부분 다양체]] (즉, [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[단사 함수|단사]] [[몰입 (수학)|몰입]]) <math>\iota\colon C\hookrightarrow M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''푸아송 부분 다양체'''({{llang|en|Poisson submanifold}})라고 한다.
* <math>\iota</math>를 푸아송 사상으로 만드는 <math>C</math> 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
* <math>\iota</math>를 푸아송 사상으로 만드는 <math>C</math> 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
* 임의의 <math>f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여, 만약 <math>f \restriction C = 0</math>이라면, <Math>\{f,g\} \restriction C = 0</math>이다. (즉, <math>\{f\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\colon f\restriction C = 0\}</math>는 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>의 [[리 대수 아이디얼]]을 이룬다.)

푸아송 다양체 <math>M</math>의 모든 [[열린집합]]은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 [[닫힌집합]]이 푸아송 다양체가 될 [[필요 충분 조건]]은 [[심플렉틱 잎]]들의 [[합집합]]인 것이다.

[[심플렉틱 다양체]]의 푸아송 부분 다양체는 [[열린집합]] 밖에 없다.

=== 공등방성 부분 다양체 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 [[부분 다양체]] <math>C\hookrightarrow M</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>C</math>의 '''쌍대 법다발'''({{llang|en|conormal bundle}})은 다음과 같다.
:<math>\mathrm N^*C = \{\alpha \in \mathrm T^*M\colon \langle\alpha,v\rangle = 0\;\forall v\in \mathrm TC\} \subseteq \mathrm T^*M</math>

이제, <math>(M,\pi)</math>이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 '''공등방성 부분 다양체'''(共等方性部分多樣體, {{llang|en|coisotropic submanifold}})라고 한다.
* <math>\sharp (\mathrm N^*C) \subseteq \mathrm TC</math>
* 임의의 <math>f, g\in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)</math>에 대하여, 만약 <math> f \restriction C = g \restriction C = 0</math>이라면, <math>\{f,g\} \restriction C = 0</math>이다. (다시 말해서, <math>\{f \in \mathcal C^\infty(M,\mathbb R)\colon f \restriction C = 0 \}</math>는 <math>\mathcal C^\infty(M,\mathbb R) \}</math>의 [[부분 리 대수]]이다.)

정의에 따라서 (즉, 모든 [[리 대수 아이디얼]]이 [[부분 리 대수]]이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.

=== 푸아송 사상 ===
세 푸아송 다양체 <math>M</math>, <math>N</math>, <math>P</math> 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f \colon M \to N</math>, <math>g\colon N\to P</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 푸아송 사상이라면 <math>g\circ f</math> 또한 푸아송 사상이다.
* 만약 <math>f</math>가 [[전사 함수]]인 푸아송 사상이며 <math>g\circ f</math>도 푸아송 사상이라면, <math>g</math> 역시 푸아송 사상이다.

특히, [[미분 동형]]인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 [[실수 리 대수]] 사이의 [[리 대수 준동형]] <math>\phi\colon \mathfrak g \to \mathfrak h</math>이 주어졌을 때,
:<math>\phi^\vee \colon \mathfrak h^\vee \to \mathfrak g^\vee</math>
는 푸아송 사상이다. 여기서 <math>(-)^\vee</math>는 [[쌍대 공간]]이며, 리 대수의 [[쌍대 공간]]은 [[선형 푸아송 다양체]]로 간주한다.

== 연산 ==
=== 곱공간 ===
임의의 두 푸아송 다양체 <math>(M,\pi_M)</math>, <math>(N,\pi_N)</math>에 대하여, 곱공간 <math>M\times N</math> 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.
:<math>
\pi((u,v),(u',v)) = \pi_M(u,u') + \pi_N(v,v') \qquad\forall (x,y) \in M\times N,\;(u,v), (u',v') \in \mathrm T_{(x,y)}M\times N = \mathrm T_xM \oplus \mathrm T_yN </math>
이는 푸아송 다양체의 범주의 [[곱 (범주론)|곱]]이다. 특히, 사영 사상
:<math>\operatorname{proj}_1 \colon M \times N \to M</math>
:<math>\operatorname{proj}_2 \colon M \times N \to N</math>
역시 푸아송 사상을 이룬다.

=== 분리합집합 ===
임의의 푸아송 다양체들의 집합 <math>(M_i)_{i\in I}</math>에 대하여, [[분리합집합]] <math>\textstyle\bigsqcup_{i\in I}</math> 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 [[쌍대곱]]이다.

=== 시작 대상과 끝 대상 ===
푸아송 다양체의 범주의 [[시작 대상]]은 [[공집합]] <math>\varnothing</math>이며, 푸아송 다양체의 범주의 [[끝 대상]]은 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 <math>M</math>에 대하여 유일한 두 함수
:<math>\varnothing \to M</math>
:<math>M \to \{\bullet\}</math>
는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

=== 망각 함자 ===
푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 [[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 함수]]의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.
:<math>\operatorname{PoissDiff} \to \operatorname{Diff}</math>
반대로, [[매끄러운 다양체]]에 값이 0인 [[상수 함수]] 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.
:<math>\operatorname{Diff}\hookrightarrow\operatorname{PoissDiff}</math>
:<math>M \mapsto (M,0)</math>
그러나 이는 [[망각 함자]]와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

모든 [[심플렉틱 다양체]]는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 <math>\operatorname{SympDiff}</math>에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 <math>\mathbb R^2</math>, <math>\mathbb R^4</math>에 표준적인 [[심플렉틱 형식]]을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 <math>\mathbb R^2\to\mathbb R^4</math>은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 <math>\mathbb R^2\to\mathbb R^4</math>는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.

== 분류 ==
=== 심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현 ===
푸아송 다양체 <math>M</math>의 '''심플렉틱 실현'''(symplectic實現, {{llang|en|symplectic realization}})은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[심플렉틱 다양체]] <math>N</math>
* [[전사 함수]]이자 [[침몰 (수학)|침몰]]인 푸아송 사상 <math>\phi\colon N \to M</math>
모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.<ref>{{저널 인용|first = Marius|last = Crainic|first2 = Ioan |last2 = Mărcuț|title = On the existence of symplectic realizations|journal = Journal of Symplectic Geometry|volume = 9|year = 2011|issue = 4|pages = 435–444|arxiv=1009.2085|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first = М. В.|last = Карасёв|title = Аналоги объектов теории групп Ли для нелинейных скобок Пуассона |journal =  Известия академии наук Союза Советских Социалистических Республик. Серия математическая |volume = 28 |year = 1987|pages = 497–527 | doi=10.1070/IM1987v028n03ABEH000895 | url=http://mi.mathnet.ru/izv1499 | zbl=0624.58007 | mr= 854594 | 언어=ru}}</ref><ref name="Weinstein">{{저널 인용|first = Alan |last = Weinstein|title = The local structure of Poisson manifolds|journal = Journal of Differential Geometry|volume = 18|year = 1983|issue = 3|pages = 523–557 | doi=10.4310/jdg/1214437787 | mr = 723816 | zbl= 0524.58011|언어=en}} {{저널 인용|first = Alan |last = Weinstein|title = Errata and addenda: “The local structure of Poisson manifolds” |journal = Journal of Differential Geometry|volume = 18|year = 1983|issue = 3|pages = 523–557 | doi=10.4310/jdg/1214439822 | mr= 834280 | 언어=en}}</ref>

=== 심플렉틱 잎 ===
푸아송 다양체 <math>M</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의하자. 만약 두 점 <math>x</math>, <math>y</math> 사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 [[매끄러운 함수|매끄러운]] [[곡선]] <math>\gamma\colon[a_0,a_N]\to M</math>이 존재한다면, <math>x\sim y</math>라고 하자.
* <math>\gamma(a_0) = x</math>
* <math>\gamma(a_N) = y</math>
* <math>\gamma</math>의 각 매끄러운 조각은 [[해밀턴 벡터장]]의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 <math>\gamma_i\colon [a_i,a_{i+1}]\to M</math>에 대하여, <math>\dot\gamma_i(t) = \{h_i(\gamma_i(t)),-\} \in \mathrm T_{\gamma_i(t)}M</math>이 되는 [[매끄러운 함수]] <math>h_i\colon M\to\mathbb R</math>가 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Weinstein"/>{{rp|528, Proposition 1.3}}
* <math>\sim</math>은 [[동치 관계]]를 이룬다.
* <math>\sim</math>의 각 [[동치류]]는 <math>M</math>의 부분 [[매끄러운 다양체]]를 이루며, 이는 [[연결 공간]]이다.
* 푸아송 구조 <math>\pi</math>를 <math>\sim</math>의 동치류 <math>\iota_i\colon M_i\hookrightarrow M</math>에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다. 이를 <math>M</math>의 '''심플렉틱 잎'''({{llang|en|symplectic leaf}})이라고 한다.
* 심플렉틱 잎 <math>M_i</math>의 임의의 점 <math>x\in M_i</math>에 대하여, <math>\operatorname{rank} \pi|_x = \dim M_i</math>이다. 특히, <math>\operatorname{rank}\pi</math>는 각 심플렉틱 잎 위에서 [[상수 함수]]이다.
다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 [[심플렉틱 다양체]]들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.

=== 국소 구조 ===
<math>n</math>차원 푸아송 다양체 <math>M</math>의 임의의 점 <math>x_0\in M</math>이 주어졌을 때, <math>x</math>의 충분히 작은 [[근방]]에 다음과 같은 국소 좌표계
:<math>(q_1,q_2,\dotsc,q_r,p_1,p_2,\dotsc,p_r,c_1,\dotsc,c_{n-2r})</math>
를 항상 찾을 수 있다.<ref name="Weinstein"/>{{rp|Theorem 2.1}}
:<math>\{q_i,q_j\} = \{p_i,p_j\} = \{q_i,c_k\} = \{p_i,c_k\} = 0</math>
:<math>\{q_i,p_j\} = \delta_{ij}</math>
:<math>\{c_k,c_l\}(x_0) = 0</math>
즉, 이는 국소적으로 어떤 <math>2r</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>S</math>와 푸아송 다양체 <math>N</math>의 [[곱공간]]으로 표현되며, 이 경우 <math>N</math>의 푸아송 구조는 <math>x_0</math>(의 [[상 (수학)|상]])에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 <math>(S,N)</math>은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, [[심플렉틱 다양체]]인 <math>S</math>는 [[다르부 정리]]에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 <math>N</math>는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 <math>N</math>의 점 <math>x_0\in N</math>에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, [[리 대수]]
:<math>\mathcal C^\infty(N;\mathbb R)</math>
의 부분 리 대수
:<math>\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R) = \{f\in\mathcal C^\infty(N;\mathbb R)\colon f(x_0) = 0\}</math>
의 다음과 같은 [[리 대수 아이디얼]]을 생각할 수 있다.
:<math>\mathfrak m = \{f\in\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R)\colon \partial_i \partial_j f(x_0) = 0\}</math>
이에 따라, [[공변접공간]]
:<math>\mathrm T^*_{x_0}N = \frac{\mathcal C^\infty_{0,x_0}(N;\mathbb R)} {\mathfrak m} </math>
위에 [[리 대수]] 구조가 주어진다. 이에 따라, [[접공간]] <math>\mathrm T_{x_0}N</math> 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 <math>N</math>의 <math>x_0\in N</math>에서의 '''선형 근사'''(線型近似, {{llang|en|linear approximation}})라고 한다.<ref name="Weinstein"/>{{rp|535–536, §4}} 이는 대략 <math>x_0</math> 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

== 예 ==
=== 자명한 푸아송 다양체 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 매끄러운 함수 공간에 [[아벨 리 대수]]의 구조를 주면 (<math>\{f,g\}=0</math>), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 <math>\pi = 0</math>에 해당한다. [[리 준대수]]로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, [[리 괄호]]가 모두 0인 것)에 해당한다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 [[한원소 공간]]들이다.

=== 2차원 이하 푸아송 다양체 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우, <math>M</math> 위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체 <math>(M,\pi)</math>의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.
* 2차원 잎들은 <math>\{x\in M \colon \pi_x\ne 0\}</math>의 [[연결 성분]]이다. 이들은 2차원 [[심플렉틱 다양체]]를 이룬다.
* 0차원 잎들은 <math>\{x\in M \colon \pi_x = 0 \} </math>의 점들이다.

=== 심플렉틱 다양체 ===
[[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>가 주어졌을 때, [[푸아송 괄호]]
:<math>\{f,g\}=\omega^{-1}(\mathrm df,\mathrm dg)</math>
를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 <math>M</math>의 [[연결 성분]]들이다.

=== 선형 푸아송 다양체 ===
[[유클리드 공간]] <math>V=\mathbb R^n</math> 및 <math>V^*</math> 위의 임의의 반대칭 [[쌍선형 형식]] <math>\pi(-,-)</math>을 고르자. 그렇다면, 모든 점 <math>x\in V</math>에서 <math>\mathrm T_xV = V</math>이므로, <math>(V,\pi)</math>는 푸아송 다양체를 이룬다.

[[실수 선형 변환]] <math>\pi^\#\colon V^* \to V</math>의 계수가 <math>2r</math>라고 하자. 그렇다면, <math>V</math>의 적절한 [[기저 (선형대수학)|기저]]
:<math>(x_1,\dotsc,x_n) \subseteq V</math>
및 그 쌍대 기저
:<math>(x^1,\dotsc,x^n) \subseteq V^*</math>
에 대하여,
:<math>\pi\left(\sum_{i=1}^na_ix^i,\sum_{j=1}^nb_jx^j\right) = \sum_{i=1}^r (a_{2i-1}b_{2i} - a_{2i} b_{2i-1})</math>
가 되게 할 수 있다. 이 경우, <math>x_{2r+1},\dotsc,x_n</math>에만 의존하는 임의의 함수는 [[카시미르 함수]]를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각
:<math>c \in \operatorname{Span}\{x_{2r+1},\dotsc,x_n\}</math>
에 대하여
:<math>\mathbb R^{2r} \times \{c\}</math>
의 꼴이다. 특히, 만약 <math>n=2r</math>일 경우 이는 [[심플렉틱 벡터 공간]]을 이룬다.

=== 리 대수의 쌍대 공간 ===
{{본문|리-푸아송 구조}}
유한 차원 [[실수 리 대수]] <math>(\mathfrak g,[,])</math>의 [[쌍대 공간]] <math>\mathfrak g^*</math> 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 <math>f,g\in\mathcal C^\infty(\mathfrak g^*;\mathbb R)</math> 및 <math>x\in\mathfrak g^*</math>에 대하여,
:<math>\{f,g\}(x)=x([\mathrm df(x),\mathrm dg(x)])</math>
여기서
:<math>\mathrm df(x),\mathrm dg(x)\in\mathrm T_x^*\mathfrak g^*\cong\mathfrak g</math>
이므로, 우변에 [[리 괄호]]를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 '''리-푸아송 구조'''({{llang|en|Lie–Poisson structure}})라고 한다.

[[리 지수 사상]]에 따라 <math>\mathfrak g=\mathfrak{lie}(G)</math>가 되는 [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>를 정의하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g^*</math>는 물론 [[리 군]] <math>G</math>의 [[군의 표현|표현]]을 이룬다. <math>\mathfrak g^*</math>의 심플렉틱 잎들은 <math>\mathfrak g^*</math> 속의, <math>G</math>에 대한 궤도에 해당한다. 이를 '''쌍대딸림표현 궤도'''({{llang|en|coadjoint orbit}})라고 한다.

예를 들어, <math>\mathfrak g = \mathfrak o(3)</math>([[3차원 직교군]]의 [[리 대수]])라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (<math>\mathfrak g</math>가 [[반단순 리 대수]]이므로, [[킬링 형식]] <math>B(-,-)</math>에 의하여 [[딸림표현]]과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 [[SO(3)]]의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\mathbb S^2_r = \{v \in \mathfrak g \colon |B(v,v)| = r^2 \} \qquad (r\in[0,\infty))</math>
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 <math>r</math>의 [[구 (기하학)|구]]이다. <math>r>0</math>일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, <math>r=0</math>일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.

=== 리 대수의 족 ===
실수 <math>t\in\mathbb R</math>에 의존하는, 다음과 같은 [[실수 리 대수]]의 족을 생각하자.<ref name="Weinstein"/>{{rp|550–551, §11.A}}
:<math>\mathfrak g_t = \operatorname{Span}_{\mathbb R}\{x,y,z\}</math>
:<math>[x,y]=tz</math>
:<math>[y,z]=x</math>
:<math>[z,x]=y</math>
만약 <math>t>0</math>일 때, 이는 <math>(x,y,z)</math>의 재정의를 통해 [[3차원 회전군]]의 [[리 대수]] <math>\mathfrak o(3)</math>를 이룬다. 만약 <math>t<0</math>일 때, 이는 마찬가지로 3차원 [[로런츠 군]]의 [[리 대수]] <math>\mathfrak o(1,2)=\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>와 동형이다. <math>t=0</math>일 때, 이는 [[유클리드 평면]]의 등거리 변환군의 리 대수 <math>\mathfrak{io}(2)</math>와 같다.

이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 [[유클리드 공간]]
:<math>\mathbb R^4 = \operatorname{Span}\{x,y,z,t\}</math>
위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.
:<math>\{x,y\} = tz</math>
:<math>\{y,z\} = x</math>
:<math>\{z,x\} = y</math>
:<math>\{t,x\} = \{t,y\} = \{t,z\} = 0</math>
그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.

이 위에는 다음과 같은 두 [[카시미르 함수]]가 존재한다.
:<math>t</math>
:<math>x^2+y^2+tz^2</math>
이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,
:<math>M_{t,r} = \{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \colon x^2+y^2+tz^2 = r\}</math>
의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 [[연결 성분]] 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.

{| class=wikitable
! [[카시미르 함수]]의 값 || 추가 조건 || 차원 || 설명 || 미분 동형인 다양체
|-
| <math>t \ne 0</math>, <math>r = 0</math> || <math>z=0</math> || 0 || [[한원소 공간]] <math>\{(0,0,0,t)\}</math>
| rowspan=2 | [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math>
|-
| <math>t = 0</math>, <math>r = 0</math> || || 0 || [[한원소 공간]] <math>\{(0,0,z,0)\}</math>
|-
| <math>t>0</math>, <math>r>0</math> || || 2 || 타원면 || 구 <math>\mathbb S^2</math>
|-
| <math>t<0</math>, <math>r < 0</math> || <math>z>0</math> || 2 || 쌍곡면
| rowspan=2| 평면 <math>\mathbb R^2</math>
|-
| <math>t<0</math>, <math>r < 0</math> || <math>z<0</math> || 2 || 쌍곡면
|-
| <math>t<0</math>, <math>r > 0</math> || ||  2 || 쌍곡면
| rowspan=4 | 원기둥 <math>\mathbb S^1 \times \mathbb R</math>
|-
| <math>t<0</math>, <math>r = 0</math> || <math>z>0</math> || 2 || (꼭짓점이 없는) [[원뿔]] (3차원 [[민코프스키 공간]]의 미래 [[빛원뿔]])
|-
| <math>t<0</math>, <math>r = 0</math> || <math>z<0</math> || 2 || (꼭짓점이 없는) [[원뿔]] (3차원 [[민코프스키 공간]]의 과거 [[빛원뿔]])
|-
| <math>t = 0</math>, <math>r>0</math> || || 2 || <math>z</math>축에 대한 반지름 <math>r</math>의 원기둥
|}

=== 국소 선형 모형 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>
* [[매끄러운 주다발]] <math>G \hookrightarrow P \,\overset\pi\twoheadrightarrow\, M</math>
* <math>P</math>의 [[주접속]] <math>\theta \in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>
그렇다면,
:<math>\tilde\theta \in \Omega^1(P \times \mathfrak g^*)</math>
:<math>\tilde\theta_{(p,\alpha)} = \langle\alpha,\theta\rangle</math>
를 정의할 수 있다. [[주접속]]의 정의에 따라, 이는 <math>G</math>의 <math>P\times\mathfrak g^*</math> 위의 [[오른쪽 군 작용]]에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상
:<math>(\pi,0) \colon P \times \mathfrak g^* \twoheadrightarrow M</math>
에 대한 [[당김]]을 통하여
:<math>\tilde\omega = (\pi,0)^*\omega - \mathrm d\tilde\theta \in \Omega^2(P\times\mathfrak g^*)</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>G</math>-불변인 [[닫힌 미분 형식|닫힌]] [[2차 미분 형식]]이며, 또한 <math>P\times\{0\}</math>의 어떤 <math>G</math>-불변 [[근방]]
:<math>M \times\{0\} \subseteq U\subseteq M\times\mathfrak g^*</math>
:<math>U \cdot G = U</math>
에서 [[비퇴화 이차 형식]]을 정의한다. 즉, 이는 <math>U</math> 위의 <math>G</math>-불변 [[심플렉틱 다양체]] 구조를 정의한다. 따라서, [[몫공간]] <math>U/G</math> 위에는 푸아송 다양체 구조 <math>\tilde\omega/G</math>가 존재한다. 이 구성은 [[주접속]]에 의존하지만, 서로 다른 [[주접속]]을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.<ref name="CLM"/>{{rp|Remark 5.17}} (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)

이 푸아송 다양체를 주다발 <math>P</math>의 '''국소 선형 모형'''(局所線型模型, {{llang|en|local linear model}})이라고 한다.<ref name="CLM">{{저널 인용|제목=Poisson manifolds of compact types|arxiv=1510.07108 | 날짜=2015|이름=Marius | 성=Crainic|이름2=Rui |성2=Loja Fernandes | 이름3=David|성3=Martínez Torres| 언어=en}}</ref>{{rp|§5.8}}

== 역사 ==
[[시메옹 드니 푸아송]]의 이름을 땄다. 이 개념은 [[물리학]]에서 비롯되었다. 고전 역학에서, [[해밀턴 계]]를 정의하려면 사실 [[심플렉틱 다양체]] 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 <math>H\colon M\to\mathbb R</math>가 주어졌을 때, [[벡터장]] <math>\{H,-\}</math>은 다양체 <math>M</math> 위의 1차 [[상미분 방정식]]을 정의하며, 이는 고전 역학의 [[해밀턴 방정식]](의 일반화)이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용 | url=https://faculty.math.illinois.edu/~ruiloja/Math595/book.pdf | 제목=Lectures on Poisson geometry | 이름=Rui | 성=Loja Fernandes | 이름2=Ioan | 성2=Mărcuț | 날짜=2015-10-23 | 언어=en | 확인날짜=2018-07-14 | 보존url=https://web.archive.org/web/20180715011014/https://faculty.math.illinois.edu/~ruiloja/Math595/book.pdf | 보존날짜=2018-07-15 | url-status=dead }}
* {{eom|title=Poisson manifold}}
* {{nlab|id=Poisson manifold}}
* {{nlab|id=Poisson tensor}}
* {{nlab|id=Lie-Poisson structure}}
* {{nlab|id=linear Poisson structure|title=Linear Poisson structure}}
* {{nlab|id=off-shell Poisson bracket|title=Off-shell Poisson bracket}}
* {{nlab|id=Poisson algebra}}
* {{nlab|id=Poisson Lie algebroid}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]