{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:3-adic_integers_with_dual_colorings.svg|섬네일| [[폰트랴긴 쌍대성|폰트랴긴 쌍대]] 군에서 대응하는 character가 선택된 3진 정수]]
[[수학]]에서 <math>p</math>'''진 해석학'''({{llang|en|''p''-adic analysis}})은 [[P진수|<math>p</math>진수]] 함수에 대한 [[해석학 (수학)|해석학]]을 다루는 [[정수론|수론]]의 한 분야이다.

<math>p</math>진수에 대한 복소 함수 이론은 국소 콤팩트 군에 대한 이론의 일부이다. <math>p</math>진 해석학에 대한 일반적인 의미는 대상 공간에 대한 <math>p</math>진 값 함수론이다.

<math>p</math>진 해석학은 주로 [[정수론]]과 관련 있으며, [[디오판토스 기하학|디오판틴 기하학]]과 [[디오판토스 근사|디오판틴 근사]]에서 중요한 역할을 한다. 일부 응용에서는 <math>p</math>진 [[함수해석학|함수 해석학]] 및 스펙트럼 이론의 개발이 필요했다. 여러 가지 면에서 <math>p</math>진 해석학은 [[해석학 (수학)|고전적 해석학]] 보다 덜 미묘하다. 예를 들어 [[초거리 공간|초거리 부등식]]은 <math>p</math>진 수의 [[급수 (수학)|무한 급수]]의 수렴이 훨씬 더 간단하다는 것을 의미하기 때문이다. <math>p</math>진 체 위의 [[위상 벡터 공간]]은 독특한 특징을 보여준다. 예를 들어 [[볼록 집합|볼록성]]과 [[한-바나흐 정리]]와 관련된 측면은 다르다.

== 중요한 결과 ==
=== 오스트롭스키 정리 ===
[[알렉산드르 오스트롭스키 (수학자)|알렉산더 오스트롭스키]](1916)가 증명한 오스트롭스키 정리는 [[유리수]] 체의 모든 자명하지 않은 [[절댓값 (대수학)|절대값]]이 일반적인 절대값 또는 <math>p</math>진 절대값과 동일하다고 말한다.<ref>{{서적 인용|url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3|제목=P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions|성=Koblitz|이름=Neal|저자링크=Neal Koblitz|연도=1984|판=2nd|출판사=Springer-Verlag|위치=New York|쪽=3|isbn=978-0-387-96017-3|확인날짜=24 August 2012|인용문='''Theorem 1''' (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on <math>\mathbb{Q}</math> is equivalent to {{math|{{abs|&nbsp;}}<sub>''p''</sub>}} for some prime {{mvar|p}} or for {{math|1=''p'' = ∞}}.}}</ref>

=== 말러의 정리 ===
[[쿠르트 말러]]가 도입한 '''말러 정리'''는 다항식으로 연속 <math>p</math>진 함수를 표현한다.

[[환의 표수|표수]]가 0인 모든 [[체 (수학)|체]]에서 다음 결과가 나타난다:

: <math>(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)</math>

를 [[점화식|차분 연산자]]라고 하자. 그런 다음 [[다항식|다항 함수]] <math>f</math>를 [[유한차분|뉴턴 급수]]

: <math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty (\Delta^k f)(0){x \choose k}</math>

로 표현 할 수 있다, 여기서

: <math>{x \choose k}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}</math>

실수 분야에서 <math>f</math>가 다항식이라는 가정은 약화될 수 있지만 단순한 [[연속 함수|연속성]]까지 약화될 수는 없다.

말러는 다음과 같은 결과를 증명했다.

'''말러 정리''': ''<math>f</math>가'' <math>p</math>진 정수에 대한 연속 <math>p</math>진 값 함수이면 동일한 항등식이 유지된다.

=== 헨젤 보조정리 ===
{{본문|헨젤 보조정리}}
[[쿠르트 헨젤]]의 이름을 따서 명명된 헨젤의 올림 보조정리라고도 하는 헨젤의 보조정리는 [[모듈러 산술]]의 결과로, 다항 방정식에 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>를 법으로 하는 단순 근이 있는 경우 이 근은 <math>p</math>의 더 높은 거듭제곱을 법으로 동일한 방정식의 유일한 근에 해당함을 나타낸다. 이 근은 <math>p</math>의 연속적인 거듭제곱들을 법으로 해를 반복적으로 "[[올림]]"하여 찾을 수 있다. 더 일반적으로 이는 방정식을 풀기 위한 [[뉴턴 방법]]의 [[완비화 (환론)|완비]] [[가환환|가환 환]] (특히 <math>p</math>진 체 포함)에 대한 유사체의 일반적 이름으로 사용된다. <math>p</math>진 해석학은 어떤 면에서 [[실해석학]]보다 더 간단하기 때문에 다항식의 근을 보장하는 비교적 쉬운 판정법이 있다.

<math>f(x)</math>가 [[정수]](또는 <math>p</math>진 정수) 계수를 갖는 [[다항식]]이고 <math>m,k</math>가 <math>m\leq k</math>인 양의 정수라고 하자. ''<math>r</math>''이

: <math>f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}</math> 그리고 <math>f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}</math>

과 같은 정수인 경우

: <math>f(s) \equiv 0 \pmod{p^{k+m}}</math> 그리고 <math>r \equiv s \pmod{p^{k}}.</math>

인 정수 <math>s</math>가 존재한다. 또한 ''<math>s</math>''는 <math>p^{k+m}</math>를 법으로 유일하며,

: <math>s = r + tp^k</math> 여기서, <math>t = - \frac{f(r)}{p^k} \cdot (f'(r)^{-1})</math>

과 같이 명시적으로 계산할 수 있다.

== 국소-대역 원칙 ==
하세 원리라고도 알려진 [[헬무트 하세]]의 국소-대역 원리는 [[중국인의 나머지 정리]]를 사용하여 각각의 다른 소수로 거듭제곱 해를 결합하여 방정식에 대한 정수 해를 찾을 수 있다는 생각이다. 이것은 유리수([[실수]] 와 [[p진수]][[유리수|)]]의 [[완비화 (환론)|완비화]]에서 방정식을 검사하여 처리된다. 하세 원리는 특정 유형의 방정식이 각 소수 ''<math>p</math>''에 대한 [[실수]]와 <math>p</math>진수에 해가 있는 경우에만 유리 해를 갖는다고 말한다.

== 응용 ==
=== p진 양자 역학 ===
'''<math>p</math>진 양자역학'''은 기본 물리학의 특성을 이해하기 위한 비교적 최근의 접근 방식이다. 표준적인 양자역학의 수학적 형식화는 복소 함수 해석학을 기반으로 이뤄져 있다.  <math>p</math>진 해석학을 [[양자역학]]에 적용한 것이다.  <math>p</math>진수는 1899년 경 독일 수학자 [[쿠르트 헨젤]]이, 그리고 초기에 초급 형태로 독일 수학자 [[에른스트 쿠머]] (1810-1893)가 발견한 직관적인 산술 시스템(그러나 기하학적으로 반직관적)이다. 이와 밀접한 관련이 있는 [[아델 환|아델]]과 이델은 1930년대에 [[클로드 슈발레|끌로드 슈발레]]와 [[앙드레 베유]]에 의해 소개되었다. 그들의 연구는 이제 수학의 주요 분야로 자리 잡았다. 이는 때때로 물리학에 적용되었지만 1987년 러시아 수학자 [[Volovich|볼로비치가]] 출판하기 전까지는 물리학계에서 그 주제가 심각하게 다루어지지 않았다.<ref>I.V.Volovich, ''Number theory as the ultimate theory'', CERN preprint, CERN-TH.4791/87</ref> 현재는 이 주제에 대한 수백 개의 연구 논문이 있으며<ref name="integral">V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov ''P-adic Analysis and Mathematical Physics'', (World Scientific, Singapore 1994)</ref><ref name="r">L. Brekke and P. G. O. Freund, ''P-adic numbers in physics'', Phys. Rep. '''233''', 1-66(1993)</ref> 국제 저널도 있다.

주제에 대한 두 가지 주요 접근 방식이 있다.<ref name="repeat">{{저널 인용|제목=Adeles in Mathematical Physics|url=https://archive.org/details/arxiv-0707.3876|성=Dragovich|이름=Branko|연도=2007|arxiv=0707.3876}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency|저널=Theoretical and Mathematical Physics|성=Djordjević|이름=G. S.|성2=Dragovich|이름2=B.|연도=2000|권=124|호=2|쪽=3|arxiv=quant-ph/0005027|bibcode=2000TMP...124.1059D|doi=10.1007/BF02551077}}</ref> 첫 번째는 <math>p</math>진 포텐셜 우물에 있는 입자를 고려하며 목표는 매끄러운 복소수 값 파동함수 해를 찾는 것이다. 이 해들은 일상 생활과 어느 정도 친숙함을 갖는다. 두 번째는 <math>p</math>진 포텐셜 우물의 입자를 고려하며 목표는 <math>p</math>진 값 파동함수를 찾는 것이다. 이 경우 물리적 해석이 더 어렵다. 그러나 이는 수리물리학적으로 종종 눈에 띄는 특성을 나타내므로 사람들은 계속해서 연구하고 있다. 상황은 2005년에 한 과학자에 의해 다음과 같이 요약되었다: "나는 이 모든 결과가 그저 흥미로운 우연에 지나지 않고 단지 장난감 모형으로만 의미 있다고는 생각 할 수 없다. 이에 대한 더 많은 작업이 필요하고 가치가 있다고 생각한다."<ref name="freund">{{서적 인용|제목=AIP Conference Proceedings|성=Freund|이름=Peter G. O.|연도=2006|권=826|쪽=65–73|장=P-Adic Strings and Their Applications|arxiv=hep-th/0510192|doi=10.1063/1.2193111}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[p진수]]
* P진 타이히뮐러 이론
* [[국소 콤팩트 공간]]
* [[실해석학]]
* [[복소해석학]]
* 초복소수 해석학
* [[조화해석학|조화 해석학]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=p-adic analysis: a short course on recent work|성=Koblitz|이름=Neal|저자링크=Neal Koblitz|연도=1980|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=46|출판사=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-28060-5|zbl=0439.12011}}
* {{서적 인용|제목=Local Fields|성=Cassels|이름=J.W.S.|저자링크=J. W. S. Cassels|연도=1986|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=3|출판사=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-31525-5|zbl=0595.12006}}
* {{저널 인용|제목=Complexity of Deciding Solvability of Polynomial Equations over p-adic Integers|저널=Univ. Of Bonn CS Reports 85183|성=Chistov|이름=Alexander|성2=Karpinski|이름2=Marek|url=http://theory.cs.uni-bonn.de/Zope/English/csreports/report_1997/paper_85183/abstract.html|연도=1997}}
* {{저널 인용|제목=Zero testing of p-adic and modular polynomials|저널=Theoretical Computer Science|성=Karpinski|이름=Marek|저자링크=Marek Karpinski|성2=van der Poorten|이름2=Alf|연도=2000|권=233|호=1–2|쪽=309–317|doi=10.1016/S0304-3975(99)00133-4|성3=Shparlinski|이름3=Igor}} ([http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.131.6544 preprint])
* A course in  p진 analysis, Alain Robert, Springer, 2000, {{ISBN|978-0-387-98669-2}}
* Ultrametric Calculus: An Introduction to  p진 Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, {{ISBN|978-0-521-03287-2}}
* p진 Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-76879-5}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:P-진수]]
[[분류:해석학 (수학)]]