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[[모형 이론]]에서 '''초곱'''(超곱, {{llang|en|ultraproduct|울트라프로덕트}})은 여러 [[구조 (논리학)|구조]]들의 [[곱집합]]의 [[동치류]] 집합 위에 정의된 더 큰 [[구조 (논리학)|구조]]이다.

== 정의 ==
형이 <math>\sigma</math>인 [[구조 (논리학)|구조]]들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math> 및 <math>I</math> 위의 [[극대 필터]] <math>\mathcal U</math>가 주어졌다고 하자. <math>(\mathcal U,\subset)</math>는 [[부분 순서 집합]]이므로, 이를 [[범주 (수학)|범주]]로 간주할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 [[함자 (수학)|함자]]를 정의하자.
:<math>F\colon\mathcal U^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>
:<math>F\colon S\mapsto \prod_{i\in S}M_i</math>
그렇다면, <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>의 '''초곱''' <math>M</math>은 집합으로서 <math>F</math>의 [[쌍대극한]] <math>\varinjlim F</math>이다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 순서쌍
:<math>\{(S,x)\colon S\in\mathcal U,\;x\in\prod_{i\in I}M_i\}\in\bigsqcup_{S'\in\mathcal U}(S',\prod_{i\in S'}M_i)</math>
사이에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 부여하자.
:<math>(S,x)\sim(S',x')\iff \{i\in I\colon x_i=x'_i\}\in\mathcal U</math>
그렇다면
:<math>M=\varinjlim F=\left(\bigsqcup_{S'\in\mathcal U}(S',\prod S')\right)/{\sim}</math>
이다. 여기에 다음과 같은 <math>\sigma</math>-구조를 부여한다. 여기서 <math>\vec x=(x_k)_{k=1,\dots,n}</math>, <math>\vec S=(S_k)_{k=1,\dots,n}</math>, <math>\bigcap\vec S=\bigcap_{k=1}^nS_k</math> 따위로 쓰자.
* <math>\sigma</math>의 각 <math>n</math>항 연산 <math>m_i\colon M_i^n\to M_i</math> (<math>i\in I</math>)에 대하여,
::<math>m\colon M^n\to M</math>
::<math>m\colon[(\vec S,\vec x)]\mapsto\left[\left(\bigcap\vec S,m_i(\vec x_i)_{i\in\bigcap\vec S}\right)\right]</math>
* <math>\sigma</math>의 각 <math>n</math>항 관계 <math>R_i\subset M_i^n</math> (<math>i\in\mathcal I</math>)에 대하여, 다음과 같다.
::<math>([(\vec S,\vec x)])\in R\iff\left\{i\in I\colon\vec x_i\in R_i\right\}\in\mathcal U</math>
이는 <math>\sigma</math>형의 [[구조 (논리학)|구조]]를 이룬다는 것을 보일 수 있다.

만약 모든 <math>M_i</math>가 공집합이 아니거나, 아니면 <math>\{i\in I\colon M_i=\varnothing\}\in\mathcal U</math>라면 <math>(S,x)</math>에서 <math>S=I</math>인 경우로 국한할 수 있다. 즉,
:<math>M=\left(\prod_{i\in I}M_i\right)/{\sim}</math>
으로 정의할 수 있다.

만약 모든 <math>M_i</math>들이 같을 경우, <math>\mathcal M</math>의 초곱을 <math>M</math>의 '''초거듭제곱'''(超거듭제곱, {{llang|en|ultrapower|울트라파워}})이라고 한다.

== 워시 정리 ==
'''워시 정리'''({{llang|en|Łoś’ theorem}})는 [[1차 논리]]의 명제가 초곱에서 성립할 [[필요충분조건]]을 제공한다. 부호수 <math>\sigma</math>의 [[구조 (논리학)|구조]]의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math> 및 [[극대 필터]] <math>\mathcal U</math> 및 <math>\vec a\in M^n</math> 및
<math>\sigma</math>에 대한, <math>n</math>개의 자유 변수를 갖는 [[1차 논리]] 명제 <math>\phi</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M\models\phi([\vec a])</math>
* <math>\{i\in I\colon M_i\models\phi(\vec a_i)\}\in\mathcal U</math>
이는 [[예르지 워시]]({{llang|pl|Jerzy Łoś}})가 증명하였다.

== 예 ==
초곱 <math>\prod M/\mathcal U</math>에서, 만약 사용되는 [[극대 필터]]가 <math>i\in I</math>의 [[주 필터]]
:<math>\uparrow i=\{S\subset I\colon i\in S\}</math>
라면, 초곱은 단순히 <math>M_i</math>를 얻는다.
:<math>M\cong M_i</math>

실수 집합 <math>\mathbb R</math>는 [[순서체]]의 형 <math>(+,\cdot,-,\le)</math>의 구조이다. 실수의 집합의 <math>\aleph_0</math>개 초승은 실수의 모든 [[1차 논리]]적 성질들을 만족시키며, 이를 '''[[초실수]]'''라고 한다.

==참고 문헌==
* {{서적 인용 | last=Bell | first=John Lane |공저자=Slomson, Alan B.  | year=2006 | title=Models and ultraproducts: an introduction  | 날짜=1969 | publisher=North Holland | isbn=0-7204-2054-7 | zbl = 0179.31402 | url = https://archive.org/details/ModelsAndUltraproducts | 언어=en}}
* {{서적 인용|성=Burris|이름=Stanley N.|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar|날짜=1981|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|제목=A course in universal algebra|출판사=Springer|zbl=0478.08001|mr=0648287 |isbn=978-1-4613-8132-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=78|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=The use of ultraproducts in commutative algebra|성=Schoutens|이름=Hans|날짜=2010|출판사=Springer|doi=10.1007/978-3-642-13368-8|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1999|isbn=978-3-642-13367-1|issn=0075-8434|출판사=Springer|zbll=1205.13002|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ultrafilter}}
* {{매스월드|id=Ultraproduct|title=Ultraproduct}}
* {{매스월드|id=Ultrapower|title=Ultrapower}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/ultraproduct|제목=Ultraproduct|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/ultrapower|제목=Ultrapower|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2013/12/07/ultraproducts-as-a-bridge-between-discrete-and-continuous-analysis/|제목=Ultraproducts as a bridge between discrete and continuous analysis|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2013-12-07|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/where_do_ultraproducts_come_fr.html|제목=Where do ultraproducts come from?|웹사이트=The ''n''-Category Café|이름= Tom|성=Leinster|날짜=2012-09-30|언어=en}}

{{전거 통제}}

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