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[[일반위상수학]]에서 '''이산 공간'''(離散空間, {{llang|en|discrete space}})은 모든 [[부분집합]]이 [[열린집합]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
'''이산 공간'''의 개념은 순수하게 [[일반위상수학]]적으로 정의할 수 있으며, 대신 [[범주론]]적으로, 또는 [[기하학]]적으로 정의할 수도 있다.

=== 위상수학적 정의 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''이산 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math> 위의 위상은 그 [[멱집합]]이다. 즉, <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]이 [[열린집합]]이다.
* <math>X</math> 속의 모든 [[한원소 집합]]은 [[열린집합]]이다.
* <math>X</math> 속의 [[조밀 집합]]은 <math>X</math> 전체 밖에 없다.
* <math>X</math>를 [[정의역]]으로 하는 모든 [[함수]]는 [[연속 함수]]이다. 즉, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 및 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* <math>X</math>를 [[공역]]으로 하는 [[연속 함수]]는 [[국소 상수 함수]] 밖에 없다. 즉, 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>Y</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon Y\to X</math> 및 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>f|_U</math>가 [[상수 함수]]인 [[근방]] <math>U\ni y</math>가 존재한다.
* <math>X</math> 속의 [[점렬]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>이 수렴한다면, <math>x_N=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots</math>가 되는 <math>N\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* [[국소 연결 공간]]이자 [[완전 분리 공간]]이다.
* [[국소 경로 연결 공간]]이자 [[완전 분리 공간]]이다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 모든 [[한원소 집합]]이 … || [[닫힌집합]]이어야 한다 || [[열린집합]]이어야 한다 || [[닫힌집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]일 수 없다 || [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]의 교집합이어야 한다
|-
! 위상 공간의 종류
|| [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] || 이산 공간 || (특별한 이름이 없음) || [[자기 조밀 공간]] || [[TD 공간|T<sub>D</sub> 공간]]
|}

=== 범주론적 정의 ===
[[범주론]]적으로, 이산 공간은 위상 공간의 [[구체적 범주]]에서의 [[자유 대상]]이다. 즉, 망각 함자 <math>F\colon \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}</math>
:<math>D\dashv F</math>
를 가지며, 이 함자를 '''이산 함자'''라고 한다. 집합 <math>S</math>의 <math>D</math>에 대한 [[상 (수학)|상]] <math>I(S)</math>는 <math>S</math> 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 [[오른쪽 수반 함자]]는 [[비이산 공간]] 함자이다.)

=== 기하학적 정의 ===
집합 <math>X</math> 위에는 다음과 같은 표준적 [[거리 함수]]를 줄 수 있다.
:<math>d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}</math>
이 거리 함수를 '''이산 거리 함수'''(離散距離函數, {{llang|en|discrete metric}})라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 [[거리 공간]]을 '''이산 거리 공간'''(離散距離空間, {{llang|en|discrete metric space}})이라고 한다. 이산 거리에 대한 [[거리 위상]]은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 [[거리화 가능 공간]]임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 [[초거리 공간]]을 이룬다.

== 성질 ==
이산 공간에서는 모든 부분 집합이 [[열린닫힌집합]]이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
* [[국소 콤팩트 공간]]이다.
* [[하우스도르프 공간]]이다.
* [[완전 정규 공간]]이다.
* [[거리화 가능 공간]]이다.
* [[다양체]](=[[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]])이다. (그러나 [[제2 가산 공간]]이 아닐 수 있다.)

이산 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[콤팩트 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[유한 집합]]이다.
이산 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[제2 가산 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[가산 집합]]이다.
두 이산 공간 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>와 <math>Y</math>는 서로 [[위상 동형]]이다.
* <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이에 [[전단사 함수]]가 존재한다.

== 예 ==
유한 개의 점을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다.
* 이산 공간이다.

[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 이산 공간이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\textstyle\inf_{y\in X\setminus\{x\}}d(x,y)>0</math>이다.

임의의 [[양의 정수]] <math>n</math>에 대하여, [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z/(n))</math>은 이산 공간이다. (<math>\operatorname{Spec}(\mathbb Z/(n))</math>의 점의 수는 <math>n</math>의 [[소인수]]의 수와 같다.)

== 같이 보기 ==
* [[기둥 집합]]
* [[맨해튼 거리]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Discrete topology}}
* {{eom|title=Discrete space}}

[[분류:위상 공간]]
[[분류:일반위상수학]]