{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''아벨 다양체'''(Abel多樣體, {{llang|en|Abelian variety}}) 또는 '''가환다양체'''(可換多樣體)는 [[아벨 군]]을 이루는 [[대수다양체]]다. 가환 [[리 군]]에 대응되는 [[대수기하학]]적 개념이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>k</math> 위의 '''아벨 다양체'''는 <math>k</math>에 대한, [[대수군]]을 이루는 (기약 [[연결 공간|연결]]) [[사영 대수다양체]]이다.

'''등원사상'''(等原寫像, {{llang|en|isogeny|아이소제니}})은 두 아벨 다양체 사이의, [[핵 (수학)|핵]]이 [[유한 집합]]인 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]이다.<ref name="GriffithsHarris"/>{{rp|329}} 영어명 {{llang|en|isogeny|아이소제니}}는 {{llang|grc|ἰσογενής|이소게네스}}(같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점([[군 (수학)|군]]의 [[항등원]])을 보존시키기 때문이다.

아벨 다양체의 '''극성화'''(極性化, {{llang|en|polarization}})는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. '''주극성화'''({{llang|en|principal polarization}})는 [[동형사상]]인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. '''(주)극성화 아벨 다양체'''({{llang|en|(principally) polarized Abelian variety}})는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

== 복소수체 위의 아벨 다양체 ==
=== 아벨 함수와 세타 함수 ===
복소수 아벨 다양체 위의 [[유리형 함수]]를 '''아벨 함수'''(Abel函數, {{llang|en|Abelian function}})라고 한다. 즉, 이는 <math>g</math>개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 [[주기 함수|주기적]]인 [[유리형 함수]]이다. 이는 [[타원 함수]]의 고차원 일반화이다.

복소수 아벨 다양체 위의 [[해석적 선다발]]의 해석적 단면을 '''[[세타 함수]]'''라고 한다.

=== 리만 조건 ===
복소수체 <math>\mathbb C</math>에 대한 <math>g</math>차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 [[원환면]]
:<math>V/\Lambda\cong T^{2g}</math>
이다. 여기서
* <math>V\cong\mathbb C^g</math>는 <math>g</math>차원 복소수 [[벡터 공간]]이다.
* <math>\Lambda\subset V</math>는 <math>V</math> 속의 격자이다.
이러한 해석적 복소수 원환면 위의 '''리만 형식'''(Riemann形式, {{llang|en|Riemann form}}) <math>h\colon V\times V\to\mathbb C</math>은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 [[반쌍선형 형식]]이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다.
* (에르미트성) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대해, <math>\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}</math>
* ([[반쌍선형 형식|반쌍선형성]]) 임의의 <math>\alpha,\alpha'\in\mathbb C</math>, <math>u,v,v'\in V</math>에 대해, <math>\langle u,\alpha v+\alpha'v'\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\alpha'\langle u,v'\rangle</math>
* (정부호성) 임의의 0이 아닌 <math>u\in V</math>에 대하여, <math>\langle u,u\rangle>0</math>이다.
* (정수성) 임의의 <math>u,v\in\Lambda</math>에 대하여, <math>\langle u,v\rangle\in\mathbb R+i\mathbb Z</math>이다.
그렇다면 복소수 원환면 <math>V/\Lambda</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathbb C/\Lambda</math>는 아벨 다양체이다. 즉, [[복소수 사영 공간]]으로 가는 매장이 존재한다.
* ('''리만 조건''', Riemann條件, {{llang|en|Riemann conditions}}) <math>\mathbb C/\Lambda</math> 위에 리만 형식이 존재한다.
리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 <math>(V/\Lambda,h)</math>는 [[켈러 다양체]]를 이루며, 그 켈러 형식
:<math>K=\frac12i(h-\bar h)\in H^2(V/\Lambda;\mathbb Z)\qquad(h(a,b)=\langle a,b\rangle)</math>
은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, [[고다이라 매장 정리]]에 따라 <math>V/\Lambda</math>는 [[사영 대수다양체]]를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 <math>V</math> 위의 [[세타 함수]]들로 주어진다.

리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 <math>h</math>의 허수 부분
:<math>Q=\operatorname{Im}h|_{\Lambda\times\Lambda}\colon\Lambda\times\Lambda\to\mathbb Z</math>
은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다.
:<math>h(u,v)=iQ^{\mathbb R}(u,v)+Q^{\mathbb R}(iu,v)\qquad\forall u,v\in V</math>
여기서 <math>Q^{\mathbb R}\colon V\times V\to\mathbb R</math>는 <math>Q</math>의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.
* <math>\Lambda</math> 위의, 정수값의 반대칭 [[이차 형식]] <math>Q</math>가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.<ref name="Milne">{{웹 인용|제목=Abelian varieties|이름=J. S.|성=Milne|날짜=2008-03-16|판=2.0|url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html|언어=en}}</ref>{{rp|13–14}}
*: <math>Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V</math>
*: <math>h(u,u)=Q^{\mathbb R}(iu,u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}</math>
또는 이는 <math>Q^{\mathbb R}</math> 대신 <math>Q^{\mathbb C}</math>를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. <math>\Lambda\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=V\oplus\bar V</math>로 놓으면,
* <math>\Lambda</math> 위의, 정수값의 반대칭 [[이차 형식]] <math>Q</math>가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.<ref name="GriffithsHarris">{{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}</ref>{{rp|327}}
*: <math>Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V</math>
*: <math>h(u,u)=-iQ^{\mathbb R}(u,\bar u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}</math>

=== 등원사상과 극성화 ===
복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 <math>V/\Lambda</math>, <math>V/\Lambda'</math>에서 등원사상
:<math>V/\Lambda\twoheadrightarrow V/\Lambda'</math>
이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 <math>\Lambda'\hookrightarrow\Lambda</math>와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 [[아벨 군]]으로 여길 때) [[부분군의 지표|유한 지표 부분군]]으로 주어진다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 [[동치류]]에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 <math>H,H'</math>이 양의 정수 <math>n,n'\in\mathbb Z^+</math>이 존재해 <math>nH=n'H'</math>인 경우, <math>H\sim H'</math>으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 [[동치류]] <math>[H]</math>는 주극성화를 정의한다.

=== 모듈러스 공간 ===
복소수 <math>g</math>차원 주극성화 아벨 다양체의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal A_g</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathcal A_g=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)</math>
여기서 <math>\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)</math>는 리만 형식을 보존하는 [[심플렉틱 변환]]들의 집합이고, <math>\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)</math>는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 <math>\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)</math>를 '''지겔 상반평면'''(Siegel上半平面, {{llang|en|Siegel upper half-plane}})이라고 하는데, 이는 <math>g=1</math>일 경우 일반적인 복소수 [[상반평면]]이기 때문이다.

이는 복소수 <math>g(g+1)/2</math>차원 [[오비폴드]]이다. 모든 ([[대수다양체]]가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 <math>g^2</math>차원이므로, <math>g>1</math>인 경우 [[거의 모든]] 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, <math>g=1</math>인 경우 ([[타원곡선]]) 모든 복소수 원환면은 대수적이다.

예를 들어, <math>g=1</math>인 경우 <math>\operatorname{Sp}(2;\mathbb Z)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>는 [[모듈러 군]]이고,
:<math>\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)/\operatorname U(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)\cong\{z\mapsto az+b|a\in\mathbb R^+,b\in\mathbb R\}\cong \mathbb H</math>
는 (아핀) 복소수 [[상반평면]]이므로
:<math>\mathcal A_1=\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>
는 복소수 [[타원 곡선]]의 모듈러스 공간이다.

== 예 ==
아벨 다양체의 주된 예는 [[대수 곡선]]의 [[야코비 다양체]] 또는 일반적인 [[대수다양체]]의 [[피카르 다양체]] 및 [[알바네세 다양체]]이다. 1차원 아벨 다양체는 [[타원 곡선]]이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[모티브 (수학)]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Birkenhake | first=Christina | 공저자=H. Lange | title=Complex Abelian varieties | publisher=Springer | isbn=978-0-387-54747-3 | 날짜 = 2004 | zbl = 1056.14063 | 판 = 2판 | 총서 = Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | 권 = 302 | doi = 10.1007/978-3-662-06307-1 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목 = Abelian varieties | 이름= David | 성=Mumford|저자링크=데이비드 멈퍼드|zbl=1177.14001|출판사= Tata Institute of Fundamental Research | 날짜=2008 | 판 = 2판 | 언어 = en | isbn = 978-81-85931-86-9}}
* {{서적 인용 | 제목=Introduction to Abelian varieties|이름=V. Kumar|성=Murty|출판사=American Mathematical Society/Centre de Recherches Mathématiques|isbn=978-0-8218-1179-5|총서=CRM Monograph Series|권=3|날짜=1993|zbl=0779.14013|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=CRMM-3-S|언어=en}}
* {{서적 인용 | 제목 = Complex Tori and Abelian Varieties | 이름=Olivier|성=Debarre|출판사=American Mathematical Society/Société Mathématique de France|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=SMFAMS-11|isbn=978-0-8218-3165-6|날짜=2005|총서=SMF/AMS Texts and Monographs|권=11|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Abelian varieties|이름=Gerard|성=van der Geer|공저자=Ben Moonen|url=http://staff.science.uva.nl/~bmoonen/boek/BookAV.html|언어=en|확인날짜=2013-10-30|보존url=https://web.archive.org/web/20110806013349/http://staff.science.uva.nl/~bmoonen/boek/BookAV.html|보존날짜=2011-08-06|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Abelian varieties and moduli|이름=Donu|성=Arapura|날짜=2012-04-19|url=https://www.math.purdue.edu/~dvb/preprints/abelian.pdf|언어=en}}
* {{eom|first=B.B.|last= Venkov|coauthors=A.N. Parshin|title=Abelian variety}}
* {{eom|first=I.V.|last=Dolgachev|title=Abelian scheme}}
* {{eom|title=Isogeny|first=I.V.|last=Dolgachev}}
* {{eom|title=Abelian function}}
{{전거 통제}}

[[분류:아벨 다양체| ]]
[[분류:닐스 헨리크 아벨]]
[[분류:대수곡면]]