{{위키데이터 속성 추적}}
'''ADM 질량'''({{llang|en|ADM質量}}) 또는 '''ADM 에너지'''({{llang|en|ADM energy}})는 [[ADM 형식]]에서 자연스럽게 등장하는 일종의 [[해밀토니언]]의 값이다.<ref name="Deser08b">{{저널 인용|제목=Arnowitt–Deser–Misner energy|doi=10.4249/scholarpedia.7596|저널=Scholarpedia|권=3|호=10|쪽=7596|이름=Stanley|성=Deser|날짜=2008|issn=1941-6016|언어=en}}</ref><ref name="ADM08">{{저널 인용|제목=Republication of: The dynamics of general relativity|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2008-09_40_9/page/1997|arxiv=gr-qc/0405109|bibcode=2008GReGr..40.1997A|doi=10.1007/s10714-008-0661-1|성=Arnowitt|이름=Richard|저자2=Stanley Deser, Charles W. Misner|날짜=2008-09|저널=General Relativity and Gravitation|권=40|호=9|쪽=1997–2027|issn=0001-7701|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
<math>\mathbb R^4</math> 위의, 로런츠 부호수의 계량 <math>g_{\mu\nu}</math>가 주어졌다고 하고, 또한 [[계량 텐서]]가 공간의 무한에서 [[점근적 평탄 다양체|점근적으로 평탄]]하다고 가정하자.

이에 따라,
:<math>g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}</math>
를 정의하자. 그렇다면, 그 '''ADM 질량'''은 다음과 같다.<ref name="ADM08"/>{{rp|(5.1)}}<ref>{{서적 인용|성=Carroll|이름=Sean M.|제목=Spacetime and geometry: an introduction to general relativity|url=http://preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/|출판사=Addison-Wesley|isbn=0805387323|날짜=2003|언어=en|확인날짜=2017-12-03|보존url=https://web.archive.org/web/20140505075543/http://www.preposterousuniverse.com/spacetimeandgeometry/|보존날짜=2014-05-05|url-status=dead}}</ref>{{rp|252–253}}<ref name="CGP"/>{{rp|595, (5.13), §5.2.1}}
:<math>M=\frac1{16\pi G}\lim_{r\to\infty}\oint_r(\delta^{ij}\partial_ih_{jk}-\delta^{ij}\partial_kh_{ij})\hat n^k\;\sqrt{\gamma^{(2)}}\mathrm dx^2</math>
여기서
* <math>\textstyle\oint_r</math>은 원점에서 반지름이 <math>r</math>인 구면에 대하여 계산되는 적분이다.
* <math>\hat n^k</math>는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다.
* <math>\textstyle\sqrt{\gamma^{(2)}}\;\mathrm dx^2</math>는 구면의 넓이 원소이다.
* 계수 <math>1/(16\pi)</math>는 [[슈바르츠실트 계량]]의 질량과 비교하여 고정된 것이다.

마찬가지로, '''ADM 운동량'''(ADM運動量, {{llang|en|ADM momentum}})을 정의할 수 있으며, 다음과 같다.<ref name="ADM08"/>{{rp|(5.2)}}
:<math>P^i=-\frac1{8\pi G}\lim_{r\to\infty}\oint_r\delta_{jk}\pi^{ij}\hat n^k\;\sqrt{\gamma^{(2)}}\mathrm dx^2</math>

고차원 시공간에서도 마찬가지 정의가 가능하다.

== 성질 ==
ADM [[에너지-운동량]] <math>P^\mu</math>는 점근적 [[로런츠 변환]]에 대하여 [[4차원 벡터]]로 변환한다.<ref name="ADM08"/>{{rp|§5.2}}<ref name="Deser08b"/>

=== 존재 조건 ===
만약 계량이 공간의 무한에서 점근적으로 평탄하지 않다면 (예를 들어, [[우주 상수]]가 존재한다면), 위 적분들은 수렴하지 않을 수 있다.

구체적으로, <math>D>2</math>차원 [[리만 다양체]] <math>(\Sigma,g)</math>가 주어졌으며, <math>\Sigma</math>는 [[유클리드 공간]]의 [[부분 집합]]
:<math>\mathbb R^D\setminus\operatorname{ball}(0,1;\mathbb R^D)</math>
와 [[미분 동형]]이라고 하자 (<math>\operatorname{ball}(0,1;\mathbb R^D)</math>는 <math>\mathbb R^D</math> 속의 단위 [[초구]]). 즉, 이 경우 위 [[미분 동형 사상]]에 의하여 좌표계 <math>(x^i)_{i=1,\dots,D}</math> 및 함수 <math>r=\sqrt{\delta_{ij}x^ix^j}</math>를 정의할 수 있다. <math>(\Sigma,g)</math>의 ADM 질량이 유한하게 존재할 [[충분 조건]]은, 다음 부등식들을 만족시키는 상수 <math>\alpha</math>가 존재하는 것이다.<ref name="CGP">{{저널 인용|제목=Mathematical general relativity: a sampler|이름1=Piotr T.|성1=Chruściel|이름2=Gregory J.|성2=Galloway|이름3=Daniel|성3=Pollack|arxiv=1004.1016|bibcode=2010arXiv1004.1016C|mr=2721040|zbl=1205.83002|doi=10.1090/S0273-0979-2010-01304-5|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=47|호=4|날짜=2010-10|쪽=567–638|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>{{rp|595, (5.14), §5.2.1}}
:<math>|g_{ij}-\delta_{ij}|\in O\left(r^{-\alpha}\right)\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,D\}</math>
:<math>|\partial_k g_{ij}|\in O(r^{-\alpha-1})\qquad\forall i,j,k\in\{1,\dots,D\}</math>
:<math>R\in\operatorname L^1(\Sigma;\mathbb R)</math>
:<math>\alpha>\frac{D-2}2</math>
여기서 <math>\alpha</math>는 인 임의의 상수이며, <math>R\colon\Sigma\to\mathbb R</math>는 [[스칼라 곡률]] 함수이며, <math>\operatorname L^1(\Sigma;\mathbb R)</math>는 <math>\Sigma</math> 위의 절댓값 적분 가능 실함수들의 집합(즉, [[Lp 공간|L<sup>''p''</sup> 공간]]의 특수한 경우)이다.

=== 양 에너지 정리 ===
'''양 에너지 정리'''(陽energy定理, {{llang|en|positive-energy theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.<ref>{{서적 인용|장= Positive energy theorems in general relativity|제목=The Springer handbook of spacetime|doi=10.1007/978-3-642-41992-8_18|arxiv=1302.3405|bibcode=2014shst.book..363D|isbn=978-3-642-41991-1|날짜=2014|이름=Sergio|성=Dain|editor1-first=Abhay|editor1-last=Ashtekar|editor2-first=Vesselin|editor2-last=Petkov|쪽=363–380|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Positive energy in general relativity|이름=Jerry L.|성=Kazdan|저널=Séminaire N. Bourbaki|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1981-1982__24__315_0|mr=689537 |zbl=0496.53043|권=24|날짜=1982-06|호=593|쪽=315–330|언어=en}}</ref>
* ① [[우세 에너지 조건]]을 만족시키고, ② 점근적으로 평탄한 4차원 시공간의 ADM 에너지는 음이 아닌 실수이며,
* ①과 ②를 만족시키며, ③ ADM 에너지가 0인 4차원 시공간은 [[민코프스키 공간]] 밖에 없다.

==== 리만-펜로즈 부등식 ====
점근적으로 평탄한 3차원 [[리만 다양체]] <math>(\Sigma,\gamma)</math>가 주어졌다고 하고, (시간 불변 시공간으로 간주하였을 때) 그 ADM 질량이 <math>m</math>이라고 하자. 또한, <math>\Sigma</math>의 [[극소 곡면]] 가운데 제일 바깥에 있는 것의 넓이가 <math>A</math>라고 하자. (이러한 [[극소 곡면]]은 [[연결 공간]]이 아닐 수 있다.) 그렇다면, '''리만-펜로즈 부등식'''(Riemann-Penrose不等式, {{llang|en|Riemann–Penrose inequality}})에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>Gm\ge\sqrt{A/16\pi}</math>
이는 양 에너지 정리의 일반화이다.

== 역사 ==
[[파일:ArnowittDeserMisner2009 01.jpg|thumb|right|아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진]]
리처드 루이스 아노윗({{llang|en|Richard Lewis Arnowitt}}, 1928~2014) · 스탠리 데세르({{llang|pl|Stanley Deser}}, 1931~) · 찰스 미스너({{llang|en|Charles W. Misner}}, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Editorial note to R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, “The dynamics of general relativity”|url=https://archive.org/details/sim_general-relativity-and-gravitation_2008-09_40_9/page/1989|날짜=2008-09|저널=General Relativity and Gravitation|권=40|호=9|쪽=1989–1995|issn=0001-7701|이름=Jorge|성=Pullin|doi=10.1007/s10714-008-0649-x|언어=en|bibcode=2008GReGr..40.1989P}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.113.745 |title=Quantum theory of gravitation: general formulation and linearized theory |날짜=1959 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley |journal=Physical Review |volume=113 |issue=2 |pages=745–750 |bibcode=1959PhRv..113..745A}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Arnowitt|이름=R. L.|성2=Deser |이름2=Stanley|성3=Misner|이름3=C.|날짜=1959|제목=Dynamical structure and definition of energy in general relativity|저널=Physical Review|권=116|호=5|쪽=1322–1330|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.117.1595 |title=Canonical variables for general relativity |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=117 |호=6 |pages=1595–1602 |bibcode=1960PhRv..117.1595A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRevLett.4.375 |title=Finite self-energy of classical point particles |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review Letters |권=4 |호=7 |pages=375–377 |bibcode=1960PhRvL...4..375A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.118.1100 |title=Energy and the criteria for radiation in general relativity |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=118 |호=4 |pages=1100–1104 |bibcode=1960PhRv..118.1100A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.120.313 |title=Gravitational–electromagnetic coupling and the classical self-energy problem |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley| 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=120 |pages=313–320 |bibcode=1960PhRv..120..313A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.120.321 |title=Interior Schwarzschild solutions and interpretation of Source Terms |날짜=1960 |last1=Arnowitt |first1=R. |성2=Deser |이름2=Stanley| 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=120 |pages=321–324 |bibcode=1960PhRv..120..321A | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.121.1556 |title=Wave zone in general relativity |날짜=1961 |last1=Arnowitt |first1=R. L. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=121 |호=5 |pages=1556–1566 |bibcode=1961PhRv..121.1556A| 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |doi=10.1103/PhysRev.122.997 |title=Coordinate invariance and energy expressions in general relativity |날짜=1961 |last1=Arnowitt |first1=R. L. |성2=Deser |이름2=Stanley | 성3=Misner | 이름3=Charles |journal=Physical Review |권=122 |호=3 |pages=997–1006 |bibcode=1961PhRv..122..997A| 언어=en}}</ref>

양 ADM 에너지 정리는 1979년에 리처드 멜빈 셰인({{llang|en|Richard Melvin Schoen}})과 [[야우싱퉁]]이 최초로 증명하였다.<ref>{{저널 인용|1=|제목=On the proof of the positive mass conjecture in general relativity|이름=Richard|성=Schoen|이름2=Shing-Tung|성2=Yau|저자링크2=야우싱퉁|저널=Communications in Mathematical Physics|권=65|호=1|쪽=45–76|날짜=1979-02|doi=10.1007/BF01940959|issn=0010-3616|url=http://www.doctoryau.com/papers/PositiveMassConjecture.pdf|언어=en|확인날짜=2017-12-03|보존url=https://web.archive.org/web/20170516232805/http://www.doctoryau.com/papers/PositiveMassConjecture.pdf|보존날짜=2017-05-16|url-status=dead}}</ref> 이후 1981년에 [[에드워드 위튼]]이 [[순간자]]를 통한 새 증명을 제시하였고,<ref>{{저널 인용|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103919981|제목=A new proof of the positive energy theorem|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|저널=Communications in Mathematical Physics|권=80|호=3|쪽=381–402|날짜=1981-09|doi=10.1007/BF01208277|issn=0010-3616|mr=0626707|zbl=0149.2980|언어=en}}</ref> 이듬해에 토머스 파커({{llang|en|Thomas Parker}})와 클리퍼드 헨리 토브스({{llang|en|Clifford Henry Taubes}})가 위튼의 증명을 수학적으로 엄밀하게 보완하였다.<ref>{{저널 인용|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103921154|제목=On Witten’s proof of the positive energy theorem|이름=Thomas|성=Parker|이름2=Clifford Henry|성2=Taubes|저널=Communications in Mathematical Physics|권=84|호=2|쪽=223–238|날짜=1982-06|doi= 10.1007/BF01208569|issn=0010-3616|zbl=
0528.58040|mr=0661134|언어=en}}</ref>

리만-펜로즈 부등식은 1973년에 [[로저 펜로즈]]가 물리학을 사용하여 추측하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=Roger|성=Penrose|저자링크=로저 펜로즈|제목=Naked singularities|저널=Annals of the New York Academy of Sciences|권=224|날짜=1973-12|issn=0077-8923|쪽=125–134|doi=10.1111/j.1749-6632.1973.tb41447.x|언어=en}}</ref> 2001년에 휴버트 루이스 브레이({{llang|en|Hubert Lewis Bray}}) · 게르하르트 후이스켄({{llang|de|Gerhard Huisken}}, 1958~) · 톰 일매넌({{llang|en|Tom Ilmanen}}, 1961~)이 수학적으로 엄밀히 증명하였다.<ref>{{저널 인용 |last=Bray |first=H. |title=Proof of the Riemannian Penrose inequality using the positive mass theorem |journal=Journal of Differential Geometry |volume=59 |issue=2 |날짜=2001 |pages=177–267 |bibcode = 2001JDGeo..59..177B |url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090349428 | mr=1908823 | zbl=01782703 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 |last=Huisken |first=G. |last2=Ilmanen |first2=T. |title=The inverse mean curvature flow and the Riemannian Penrose inequality |journal=Journal of Differential Geometry |volume=59 |issue=3 |날짜=2001 |pages=353–437 |mr=1916951|url=https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090349447|언어=en }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:일반 상대성이론]]
[[분류:리만 기하학]]