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[[계 (물리학)|물리계]]가 비평형 상태에서 [[평형]] 상태로 변화하는 것을 '''완화'''(緩和, relaxation)이라고 부른다. 이 때, 완화에 걸리는 시간을 '''완화 시간'''(緩和時間, relaxation time)이라고 부른다.

== 볼츠만 운송 방정식 ==
{{본문|볼츠만 운송 방정식}}

전자의 파동 벡터가 <math>\vec k</math>일 때, 외부에서 field <math>\vec F</math>를 걸어주면 전자는 다음과 같은 식을 만족하며 변한다.

:<math>\hbar \frac {d\vec k} {dt}= \vec F</math>

t초일 때 위치가 <math>\vec r</math>, 파동 벡터가 <math>\vec k</math>인 전자의 확률밀도함수를 <math>f(\vec k,\vec r,t)</math>로 나타내고 이를 전자의 분포함수라고 부른다.

우선 전자의 상태가 산란되지 않고 외부에서 가해준 힘에 의해서만 변한다고 가정하면 전자는 dt 이후에 위치는 <math>r +\dot r dt </math>, 파동 벡터는 <math>k +\dot k dt </math>인 상태가 되므로 역으로 <math>r -\dot r dt </math>, <math>k -\dot k dt </math> 인 상태가 dt초 후에 <math>f(\vec k,\vec r,t)</math>인 상태로 변한다고 볼 수 있다.

따라서 분포함수의 변화율은 다음과 같다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{drift}=[f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)-f(k,r,t)]/dt</math>
이는 연속적인 전자의 흐름과 관계되므로 표류기간이라고 부른다.

<math>f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)</math>을 다음과 같이 [[테일러 전개]]하여

:<math>f(k-\dot k dt, r-\dot r dt, t-dt)=f(k,r,t)-[\dot k \cdot \frac{\partial f}{\partial k}+\dot r \cdot \frac{\partial f}{\partial r}+ \frac{\partial f}{\partial t}]dt\cdot \cdot \cdot </math>

이를 대입하면 표류기간은 다음과 같다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{drift}=-[ \dot k \cdot \nabla_k f +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]=-[ \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} ]</math>

한편, 전자는 충돌(collision)에 의한 분포함수의 변화율까지 고려해서 평형상태를 유지해야 하므로 표류에 의한 분포함수 변화율과 충돌에 의한 분포함수 변화율의 합은 0이어야 한다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{drift}+ (\frac {df} {dt})_{coll}=0</math>

따라서 충돌에 의한 분포함수 변화율 식은 다음과 같다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{coll}= \frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} </math>

이를 볼츠만의 운송 방정식이라 한다.

== 완화 시간 ==
크리스탈이 uniform 하고 분포함수이 위치에 따라 무관하다고 가정하자.

이때 분포함수 f(k)는 k' 상태에서 k 상태로의 전이로 인해 증가하고, k 상태에서 k'상태로의 전이로 인해 감소한다.

이에 해당하는 단위 시간당 전이 확률을 각각 P(k',k), P(k,k')라 한다면 충돌 항은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{coll}= \sum_{k'}{ P(k',k)f(k')[1-f(k)]-P(k,k')f(k)[1-f(k')] } </math>

여기서 <math>f(k')[1-f(k)]</math> term 은 전자가 k'상태에 존재하고 k 상태에 존재하지 않을 확률을 나타낸다.

Fermi level 이 conduction band의 bottom 에 놓여 있는 간단한 상황을 생각해보면 f(k)와 f(k')이 매우 작다고 할 수 있다.

이때 열적 평형에서의 distribution function을 <math>f_0(k)</math> 로 정의하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 0이어야 하므로 다음의 관계식을 얻는다.

:<math>P(k',k)f_0(k')=P(k,k')f_0(k)</math>

이를 이용하면 collision에 의한 distribution function 변화율은 다음과 같다.

:<math>(\frac {df} {dt})_{coll}=- \sum_{k'}{ P(k,k')[f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}] }
=-\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [f(k)-f(k')\frac{f_0(k)}{f_0(k')}] </math>

여기서 V는 크리스탈의 부피이다.

외부 field 가 매우 작고 distribution function이 열적평형에 가까우며 scattering에 의한 에너지 변화가 매우 작은 탄성 충돌이라고 가정하면 다음의 식이 성립한다.

:<math> f(k)=f_0(k)+f_1(k)</math>

:<math>f_1(k)<<f_0(k) </math>

:<math>f_0(k)\cong f_0(k')</math>

이를 통해 다음과 같은 식이 만족하므로

:<math>(\frac {df} {dt})_{coll}=-f_1(k)\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]\equiv-\frac{f_1(k)}{\tau(k)} \equiv-\frac{f(k)-f_0(k)}{\tau(k)}</math>

collision의 relaxation time을 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{f_1(k')}{f_1(k)}]</math>

한편, relaxation time approximation 을 이용하여 Boltzmann transport equation 은 다음과 같이 relaxation time으로 표현할 수 있고

:<math>\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) +v\cdot \nabla_r f + \frac{\partial f}{\partial t} =-\frac{f-f_0}{\tau}</math>

공간적으로 uniform 하고 steady state 일 때 위 식은 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.

:<math>\frac{1}{\hbar}(F \cdot \nabla_k f) =-\frac{f_1}{\tau}</math>

만약 외부에서 걸어주는 field 가 x 방향이라면

:<math>f_1=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial k_x}=-\frac{\tau}{\hbar}F_x \frac{\partial f}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial k_x}=-\tau v_x F_x \frac{\partial f}{\partial E}</math>

위 식이 만족하고, 여기서 <math>v_x=\frac {\hbar k_x}{m*}</math> 이고 m*는 전자의 effective mass이다.

:<math>f=f_0+f_1</math>과 <math>f_0>>f_1</math>을 이용하면

:<math>f_1=-\tau v_x F_x \frac{\partial f_0}{\partial E}</math>

로 근사할 수 있고 이 식을 relaxation time 식에 대입하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

:<math>\frac{1}{\tau(k)}=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-\frac{k'_x}{k_x}]=\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k' P(k,k') [1-cos\theta]</math>

여기서 <math>\theta</math>는 k와 k'사이 각을 의미한다.

== 같이 보기 ==
* [[시간 상수]]
== 참고 문헌 ==
* C. Hamaguchi, Basic Semiconductor Physics,Springer,pages 196-252

[[분류:천문학에서의 시간]]