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{{출처 필요|날짜=2010-11-13}}
[[파일:Exp.svg|오른쪽|200px|섬네일|''y = e<sup>x</sup>''의 그래프<ref>([[울프럼알파]])http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(x) {{웨이백|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(x) |date=20180507153831 }}</ref>]]
'''지수 함수'''(指數函數, {{llang|en|exponential function}})란 [[거듭제곱]]의 [[지수]]를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 [[초월함수]]이다. [[로그 함수]]의 [[역함수]]이다.

== 정의 ==
<math>a</math>를 양의 상수, <math>x</math>를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 <math>y=a^x</math>로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 <math>f(x)=2^x</math>는 지수함수다. [[자연로그]]의 [[역함수]]로 주어지는 지수함수는 <math>\text{exp}(x)</math> 또는 <math>e^x</math>와 같이 쓴다. 이때 <math>e</math>를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 <math>y=e^x</math> 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 <math>x</math>의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 <math>x</math>축과 만나지 않지만, <math>x</math>축에 점점 접근해간다.

''a''가 양의 실수, ''x''가 임의의 실수일 때, ''a''를 [[밑 (수학)|밑]], ''x''를 지수로 하는 지수함수를 ''a''<sup>''x''</sup> 로 쓴다.
특별히 지수가 [[자연수]](혹은 [[유리수]])일 때, 이 함수는 ''a''의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.
* ''a''<sup>''x''</sup>는 '''R'''에서 (0, ∞) 로의 [[연속 함수|연속사상]]이다.
* ''a''<sup>0</sup> = 1
* ''a''<sup>''p''+''q''</sup> = ''a''<sup>''p''</sup>''a''<sup>''q''</sup>

== 극한 ==
함수 <math>f(x)=a^x</math>에서 

<math>a>1</math>일 때 위 지수함수의 극한은

<math>\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty</math>, <math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=0</math>이고,

<math>0<a<1</math>일 때 위 지수함수의 극한은

<math>\lim_{x \to \infty}f(x)=0</math>, <math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=\infty</math>이다.

그리고 <math>a=1</math>일 때 위 지수함수의 극한은

<math>\lim_{x \to \infty}f(x)=1</math>, <math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=1</math>이다.

== 미분 ==
밑이 ''[[자연로그의 밑|e]]'' 인 지수 함수 ''e''<sup>''x''</sup>의 도함수는 ''e''<sup>''x''</sup> 자신이 된다. ''e''<sup>''x''</sup>를 <math>\exp(x)</math> 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ''a''<sup>''x''</sup>는 [[자연로그]] ln 을 사용하여, <math>e^{\ln a^x} = e^{x \ln a}</math> 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ''a''<sup>''x''</sup>의 도함수는 (ln ''a'')''a''<sup>''x''</sup> = ''a''<sup>''x''</sup> ln ''a''가 된다.

<math>\exp(x)</math>는 [[미분방정식]] <math>dy/dx = y</math>의 [[특수해]]가 된다. 이는 반대로 미분방정식 <math>dy/dx = y, \; y(0) = 1</math>를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

[[해석학 (수학)|해석학]]에서 지수 함수는 주로 밑이 ''[[자연로그의 밑|e]]''인 것만을 가리킨다.

=== 음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분 ===
음함수 미분을 이용하여 <math>\frac{d}{dx}a^x</math>의 해를 구할 수 있다.

<math>y = a^x</math> 라 하면 다음이 성립한다:

<math>\ln y = \ln a^x = x\ln a</math>

좌변을 <math>x</math>에 대해 미분하면:

<math>\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln a \; \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (\ln a ) y = (\ln a ) a^x</math>


== 로그함수의 역함수로서의 정의 ==
[[로그함수]]를 [[정적분]]을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 [[거듭제곱]]이 아닌 [[로그함수]]의 [[역함수]]로 정의된다.

[[자연로그]]를 다음과 같이 정의하자.

<math>\ln x=\int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt</math>

이때 <math>y= \ln x</math>는 [[강한 증가 함수]]이며 치역이 실수 전체이므로 [[역함수]]가 존재한다. 이때의 [[역함수]]를 <math>y=\exp (x)</math>라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

<math>{dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y</math>

즉, <math>{d \over dx} \exp (x)= \exp (x)</math>이다. 또한, <math>\ln 1=0</math> 이므로, <math>\exp (0)=1</math>이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

<math>\exp (a+b)=\exp (a)\cdot \exp (b)</math>

:<math>\exp (a)=p, \exp (b)=q</math>로 놓으면
:<math>a=\ln p, b=\ln q</math>이므로 로그의 성질에 의하여 <math>a+b=\ln p+\ln q=\ln pq</math>
:따라서 <math>\exp (a+b)=pq=\exp (a)\cdot\exp (b)</math>가 성립한다.

[[로그함수]] <math>y=\ln x</math>는 정의역 전체에서 [[연속 함수]]이므로 [[중간값 정리]]에 의하여 방정식 <math>\ln x=1</math>를 만족하는 해 <math>x</math>가 존재하며, [[단사함수]]이므로 실수 <math>x</math>는 단 한개만 존재한다. 방정식 <math>\ln x=1</math>의 해를 <math>x=e</math>라 하자.

<math>\therefore \ln e=1, \exp (1)=e</math>

이제 <math>\exp (x)=e^x</math>로 놓고 이것을 '''지수함수'''로 정의한다.

[[수학적 귀납법]]을 이용하면 <math>x</math>가 [[자연수]]일 때 <math>\exp (x)=\underbrace{e\times e\times e\times\cdots e}_x</math>임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 <math>a^x=e^{x\ln a}</math> <math>(a>0)</math>로 정의하자.

마찬가지로 [[수학적 귀납법]]을 이용하여 [[자연수]] <math>x</math>에 대하여 <math>a^x=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_x</math>임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.
;1에 대하여 성립
:<math>a^1=e^{\ln a}=a</math>
;<math>n</math>에 대하여 성립한다는 가정 아래, <math>n+1</math>에 대하여 성립
::<math>a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n</math>
:양변에 a를 곱하면
::<math>a^n\cdot a=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}</math>
:위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
::<math>a^n\cdot a=a^n\cdot a^1=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}</math>
::<math>\therefore a^{n+1}=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}</math>
:따라서 [[수학적 귀납법]]에 의하여 자연수 <math>x</math>에 대하여 <math>e^{x\ln a}</math>로 정의된 <math>a^x</math>는 a를 x번 곱한 것과 같다.

== 같이 보기 ==
* [[자연로그의 밑]]
* [[행렬 지수 함수]]
* [[지수열]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|exponential function}}
* {{플래닛매스|urlname=ComplexExponentialFunction|제목=Complex exponential function}}
* {{매스월드|id=ExponentialFunction|title= Exponential Function}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:해석 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:거듭제곱]]