{{위키데이터 속성 추적}}
[[리만 곡면]] 이론에서, 리만 곡면의 '''자기 동형군'''(自己同型群, {{llang|en|automorphism group}})은 [[정칙 함수]]이며 그 역함수 또한 [[정칙 함수]]가 되는 [[전단사 함수|전단사]] [[자기 함수]]들로 구성된 [[군 (수학)|군]]이다. 종수 1 이하에서는 이는 복소수 [[리 군]]을 이루지만, 종수 2 이상에서는 이는 [[유한군]]이며, 그 크기의 [[상계 (수학)|상계]]는 '''후르비츠 자기 동형군 정리'''({{llang|en|Hurwitz automorphism theorem}})에 의하여 주어진다. 이 상계를 포화시키는 [[리만 곡면]]을 '''후르비츠 곡면'''(Hurwitz曲面, {{llang|en|Hurwitz surface}})이라고 한다.

== 정의 ==
[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>의 '''[[자기 동형]]'''은 다음 조건을 만족시키는 [[자기 함수]]
:<math>f\colon\Sigma\to\Sigma</math>
이다.
* [[전단사 함수]]이다.
* [[정칙 함수]]이다.
* 그 [[역함수]] <math>f^{-1}\colon\Sigma\to\Sigma</math> 역시 [[정칙 함수]]이다.
이들은 합성에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이를 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>의 '''자기 동형군'''이라고 한다.

== 성질 ==
'''후르비츠 자기 동형군 정리'''({{llang|en|Hurwitz automorphism theorem}})에 따르면, 종수 <math>g\ge2</math>의 연결 콤팩트 [[리만 곡면]] <math>\Sigma_g</math>의 자기 동형군의 크기는 다음과 같은 [[상계 (수학)|상계]]를 따른다.
:<math>|\operatorname{Aut}(\Sigma_g)|\le 84(g-1)</math>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 스케치''':
<div class="mw-collapsible-content">
[[균등화 정리]]에 따라, 모든 쌍곡 리만 곡면 (즉, <math>g>1</math>) <math>\Sigma</math>는 [[쌍곡 평면]]의 몫으로 나타낼 수 있다. [[가우스-보네 정리]]에 따라, (표준적 쌍곡 계량에 따른) 이 [[리만 곡면]]의 넓이는 다음과 같이, 종수에 의하여 결정된다.
:<math>A=4\pi(g-1)</math>
리만 곡면의 넓이가 종수에 의해 고정되므로, <math>\Sigma</math>의 자기 동형군의 크기는 그 [[군의 작용|작용]]의 기본 영역({{llang|en|fundamental domain}})의 넓이에 의해 결정된다. 즉, 후자를 최소화해야 한다.

기본 영역이 (쌍곡) 삼각형이며, 꼭짓점 각이 각각 <math>\pi/p</math>, <math>\pi/q</math>, <math>\pi/r</math>라고 하자 (<math>p,q,r\in\mathbb Z^+</math>). 쌍곡기하학에서 삼각형의 넓이는 그 꼭짓점의 각들에 의하여 결정되며, 다음과 같다.
:<math>S=\pi\left(1-1/p-1/q-1/r\right)</math>
즉, 위의 우변이 가질 수 있는 최소의 양의 실수 값을 찾으면 된다. 이는
:<math>(p,q,r)=(2,3,7)</math>
:<math>1-1/p-1/q-1/r=1/42</math>
임을 쉽게 확인할 수 있다.

이에 따라, [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하지 않을 수 있는 자기 사상들의 수는
:<math>A/S\le \frac{4\pi(g-1)}{\pi/42} = 168(g-1)</math>
이다. [[방향 (다양체)|방향]]을 보존해야 한다는 조건을 추가하면,
:<math>|\operatorname{Aut}(\Sigma_g)|\le \frac12 168(g-1)=84(g-1)</math>
이 된다.
</div></div>
이 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 리만 곡면을 '''후르비츠 곡면'''({{llang|en|Hurwitz surface}})이라고 하며, 그 자기 동형군을 '''후르비츠 군'''({{llang|en|Hurwitz group}})이라고 한다.

=== 후르비츠 군 ===
모든 후르비츠 군은 (2,3,7)-[[폰 뒤크 군]] <math>\operatorname D(2,3,7)=\langle a,b|a^2=b^3=(ab)^7=1\rangle</math>의 [[몫군]]이며, [[유한군]]이며, (정의에 따라) 그 [[집합의 크기|크기]]는 84의 배수이다.

== 쌍곡선의 관점에서 해석 ==
[[미분기하학|미분 기하학]]의 기본 주제 중 하나는 양의 곡률, 영의 곡률, 음의 [[스칼라 곡률|곡률]] ''K''의 [[리만 다양체]] 사이의 삼분법이다. 그것은 다양한 상황과 여러 수준에서 나타난다. 콤팩트한 리만 곡면 ''X'' 의 맥락에서 리만 [[균일화 정리]]를 통해 이는 서로 다른 위상의 곡면 간의 구별로 볼 수 있다.

* ''X는'' [[리만 구|구]], ''K'' >&nbsp;0가 있는 [[곡면 종수|종수]] 0의 콤팩트 리만 곡면&nbsp;;
* ''X'' 편평한 [[원환면|원환체]] 또는 [[타원곡선|타원 곡선]], ''K'' &nbsp;=&nbsp;0가 있는 속 1의 리만 곡면;
* ''X는'' 1보다 크고 ''K''.&nbsp;<&nbsp;0''를'' 갖는 [[리만 곡면|쌍곡면]]이다.

처음 두 경우에서 곡면 ''X는'' 무한히 많은 등각 자기동형사상을 허용하지만(사실 등각 자동형 군은 구의 경우 3차원이고 원환체의 경우 1차원의 복소 [[리 군]]이다), 쌍곡선 리만 곡면은 이산형만 허용한다. 자동형 집합. 후르비츠의 정리는 실제로 더 많은 것이 사실이라고 주장한다. 이는 속의 함수로서 자기 동형 군의 차수에 대한 균일한 경계를 제공하고 경계가 날카로운 리만 곡면을 특성화한다.

== 예 ==
각 종수 별로, 자기 동형군의 최대 크기는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
! 종수 ''g'' !! 자기 동형군의 최대 크기 !! 후르비츠 상계 포화? !! 곡면의 이름 !! 곡면의 자기 동형군
|-
| 0 || <math>2^{\aleph_0}</math> || N/A || [[리만 구]] || <math>\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)</math> ([[뫼비우스 변환]])
|-
| 1 || <math>2^{\aleph_0}</math> || N/A || [[타원 곡선]] <math>\mathbb C/(z\sim z+1\sim z+\tau)</math> || 항등원의 연결 성분이 콤팩트 아벨 덧셈군인 콤팩트 복소수 [[리 군]]
|-
| 2 || 48 ||  ❌ || 볼차 곡선({{llang|en|Bolza curve}}) <math>\operatorname{Proj}(\mathbb C[x,y,z]/(y^2z^3-x^5+xz^4))</math> || <math>\operatorname{GL}(2;\mathbb F_3)</math>
|-
| 3 || 168 || ⭕ || [[클라인 4차 곡선]] || <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_7)</math>
|-
| 4||120 || ❌ || 브링 곡선({{llang|en|Bring curve}}) || <math>\operatorname{Sym}(5)</math> (5차 [[대칭군 (군론)|대칭군]])
|-
| 5 || 192 || ❌ || ||
|-
| 6 || 150 || ❌ || ||
|-
| 7 || 504 || ⭕ ||맥비스 곡선({{llang|en|Macbeath curve}})|| <math>\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_8)</math>
|-
| 8 ||336  || ❌ || ||
|-
| 9 || 320 || ❌ || ||
|-
| 10|| 432 || ❌ || ||
|-
| 11 ||240  || ❌ || ||
|}

후르비츠 상계가 포화되는 종수들의 값들은 무한히 많으며, 마찬가지로 후르비츠 상계가 포화되지 않는 종수들의 값 또한 무한히 많다.<ref>{{저널 인용|성=Belolipetsky, M. |성2= Jones|이름2= G.|제목=A bound for the number of automorphisms of an arithmetic Riemann surface|저널=Math. Proc. Camb. Phil. Soc.|권=138|쪽=289–299|날짜=2005|언어=en}}</ref> 후르비츠 상계가 포화되는 종수들 가운데 가장 작은 것들은 다음과 같다. {{OEIS|A179982}}
:3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, 2131, 2185, 2663, 3404, 4369, 4375, 5433, 5489, 6553, 7201, 8065, 8193, 8589, 11626, 11665, …
종수 3과 7에서는 후르비츠 상계를 포화시키는 연결 콤팩트 [[리만 곡면]]이 유일하지만, 종수 14에서는 후르비츠 상계를 포화시키는, 세 개의 서로 다른 (서로 동형이 아닌) 연결 콤팩트 [[리만 곡면]]들이 존재한다.

=== 구성 ===
[[파일:3-7_kisrhombille.svg|섬네일|후르비츠 군과 곡면은 (2,3,7) 슈바르츠 삼각형에 의한 쌍곡선 평면의 쪽매맞춤을 기반으로 구성된다.]]
후르비츠 군의 예를 얻기 위해 쌍곡선 평면의 (2,3,7) 쪽매맞춤부터 시작하겠다. 전체 대칭 군은 각도 π/2, π/3 및 π/7을 갖는 하나의 기본 삼각형의 측면에 걸친 반사에 의해 생성된 전체 (2,3,7) 삼각형 군이다. 반사는 삼각형을 뒤집고 방향을 변경하므로 삼각형을 쌍으로 결합하여 방향을 유지하는 쪽매맞춤 다각형을 얻을 수 있다. 후르비츠 곡면은 쌍곡선 평면의 무한 쪽매맞춤 부분을 ''g'' 의 콤팩트한 리만 곡면으로 '닫음'으로써 얻는다. 이는 반드시 정확히 84( ''g'' − 1)개의 이중 삼각형 타일을 포함한다.

다음 두 개의 [[정다각형 테셀레이션|일반 쪽매맞춤]]에는 원하는 대칭 군이 있다. 회전 군은 모서리, 꼭지점 및 면에 대한 회전에 해당하는 반면, 전체 대칭 군에는 반사도 포함된다. 쪽매맞춤의 다각형은 기본 영역이 아니다. (2,3,7) 삼각형에 의한 쪽매맞춤은 이 두 가지를 모두 개선하며 규칙적이지 않다.
{| class="wikitable"
|[[파일:Heptagonal_tiling.svg|100x100픽셀]]위수 3 칠각형 쪽매맞춤
|[[파일:Order-7_triangular_tiling.svg|100x100픽셀]]위수 7 삼각형 쪽매맞춤
|}
[[위토프 구성]]은 여기에 제공된 두 개의 일반 타일을 포함하여 8개의 균일한 [[고른 테셀레이션|쪽매맞춤]]을 생성하여 추가로 균일한 쪽매맞춤을 생성한다. 이것들은 모두 후르비츠 곡면으로 내려와 곡면의 쪽매맞춤(삼각형, 칠각형 쪽매맞춤 등)을 생성한다. ).

위의 주장으로부터 후르비츠 군 ''G는'' 두 개의 생성원 ''a'' 와 ''b'' 와 세 개의 관계를 갖는 군의 유한 몫이라는 속성을 특징으로 한다는 것을 추론할 수 있다.

: <math>a^2 = b^3 = (ab)^7 = 1,</math>

따라서 ''G''는 위수 2와 3인 두 원소에 의해 생성된 유한 군이며, 그 곱의 위수는 7이다. 보다 정확하게는 후르비츠 곡면, 즉 주어진 속의 곡면에 대한 자기 동형 군의 최대 위수를 실현하는 쌍곡면은 주어진 구성에 의해 얻을 수 있다. 이것이 허비츠 정리의 마지막 부분이다.

== 후르비츠 군 및 곡면의 예 ==
[[파일:Small_cubicuboctahedron.png|섬네일|작은 입방육팔면체는 24개의 꼭지점에서 만나는 56개의 삼각형으로 이루어진 [[클라인 4차 곡선|클라인]] 사차 쪽매맞춤의 다면체 몰입이다.<ref>{{하버드 인용|Richter}} Note each face in the polyhedron consist of multiple faces in the tiling – two triangular faces constitute a square face and so forth, as per [http://homepages.wmich.edu/~drichter/images/mathieu/hypercolors.jpg this explanatory image].</ref>]]
가장 작은 후르비츠 군은 168차의 사영 특수 선형 군 PSL(2,7) 이고 해당 곡선은 [[클라인 4차 곡선]]이다. 이 군은 PSL(3,2) 와도 동형이다.

다음은 504차 자기동형 군 PSL(2,8)을 갖는 Macbeath 곡선이다. 더 많은 유한 단순 군은 후르비츠 군이다. 예를 들어 [[교대군|교대 군]] 중 64개를 제외한 모든 군은 후르비츠 군이며, 후르비츠가 아닌 가장 큰 예는 167차이다. 후르비츠 군인 가장 작은 교대 군은 A <sub>15</sub>이다.

가장 큰 랭크의 [[사영 선형군|사영 특수 선형군]]은 후르비츠 군이다 {{하버드 인용|Lucchini|Tamburini|Wilson|2000}}. 낮은 랭크의 경우 후르비츠와 같은 군이 더 적다.  7을 법으로 ''p''의 위수인 n_p에 대해 ''q'' =7 또는 ''q'' = ''p'' <sup>''n<sub>p</sub>''</sup> 중 ''하나'' 인 경우에만 PSL(2, ''q'' )가 후르비츠라는 것을 알 수 있다. 실제로, PSL(3, ''q'' )는 ''q'' = 2인 경우에만 후르비츠이고, PSL(4, ''q'' )는 결코 후르비츠가 아니며, PSL(5, ''q'' )는 ''q'' = 7 <sup>4</sup> 또는 ''q'' = ''p<sup>n<sub>p</sub></sup>'' 인 경우에만 후르비츠이다. {{하버드 인용|Tamburini|Vsemirnov|2006}}   .

마찬가지로 리 유형의 많은 군이 후르비츠이다. 큰 랭크의 유한 [[고전군|고전 군]]은 후르비츠이다 {{하버드 인용|Lucchini|Tamburini|1999}}   . G2 유형의 예외적인 리 군과 2G2 유형의 [[이임학 군]]은 거의 항상 후르비츠 군이다{{하버드 인용|Malle|1990}}. 낮은 랭크의 예외적이고 비틀린 리 군의 다른 계열은 후르비츠로 표시된다 {{하버드 인용|Malle|1995}}.

후르비츠 군으로 생성될 수 있는 12개의 [[산재군|산재 군]]들 있다. 얀코 군 J <sub>1</sub>, J <sub>2</sub> 및 J <sub>4</sub>, [[피셔 군 (수학)|피셔 군]] Fi <sub>22</sub> 및 Fi' <sub>24</sub>, 루드발디스 군, Held 군, 톰슨 군, 하라다– 노턴 군, 세 번째 [[콘웨이군 (수학)|콘웨이 군]] Co <sub>3</sub>, 라이언스 군 및 [[괴물군 (수학)|괴물군]], {{하버드 인용|Wilson|2001}}.

== 역사 ==
후르비츠 자기 동형군 정리는 [[아돌프 후르비츠]]가 1893년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|last = Hurwitz|first = Adolf|저자링크=아돌프 후르비츠|title = Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich|journal = Mathematische Annalen|volume = 41|issue=3 |year = 1893|pages = 403–442|doi = 10.1007/BF01443420 |jfm=24.0380.02|언어=de }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | 장=Hurwitz groups and surfaces | 이름=A. Murray |성=Macbeath | 장url=http://library.msri.org/books/Book35/files/macbeath.pdf |editor1-last=Levy | editor1-first=Silvio | title= The eightfold way: the beauty of Klein’s quartic curve  | url=http://www.msri.org/communications/books/Book35/index.html | publisher=Cambridge University Press | series=Mathematical Sciences Research Institute Publications | isbn=978-0-521-66066-2 | mr=1722410 | year=1999 | volume=35|쪽=103–113|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Marston|성=Conder|제목=Hurwitz groups: a brief survey|저널= Bulletin of the American Mathematical Society|권=23|날짜=1990|호=2|쪽=359–370|doi=10.1090/S0273-0979-1990-15933-6 |mr=1041434|zbl=0716.20015|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Hurwitz_group|제목=Hurwitz group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{수학노트|title=컴팩트 리만곡면의 자기동형군}}
* {{웹 인용|url=http://bomber0.byus.net/index.php/2007/12/13/481|제목=Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group|웹사이트=피타고라스의 창|날짜=2007-12-13|저자=이철희|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://bomber0.byus.net/index.php/2007/12/13/481 }}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 곡면]]
[[분류:대수기하학 정리]]
[[분류:복소기하학 정리]]
[[분류:군론 정리]]