{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서 '''파인먼-카츠 공식'''(Feynman-Kac公式, {{llang|en|Feynman–Kac formula}})은 확률 미분 방정식과 [[편미분 방정식]]이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 [[확률 과정]]을 찾기 위해서 어떤 [[편미분 방정식]]을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 [[금융공학]]에서 어떤 자산이 [[이토 확률 과정]]을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 [[파생상품]]의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 <math>g(x,t)</math>가 [[마팅게일]]일 경우 미분 계수 <math>\mathrm dg(x,t)</math>에서 시간 <math>t</math>에 대한 변화율을 나타내는 항인 <math>\mathrm dt</math>가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 <math>\mathrm dg/\mathrm dt</math>를 0으로 만들 수 있는 [[편미분 방정식]]을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 <math>g</math>를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 <math>X(t)=x</math>가 주어진 [[이토 확률 과정]] <math>X(u)</math>에 대한 [[보렐 시그마 대수|보렐 가측 함수]] <math>f(X(u))</math>가 시점 <math>T</math>에 갖는 값에 대한 시점 <math>t</math>의 기댓값 <math>g(X(t),t)</math>가 [[마팅게일]]임을 이용하여 <math>g</math>를 찾아내기 위해서 풀어야 할 [[편미분 방정식]]과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>. 그 벡터 지표를 <math>(-)^i</math>로 나타내자 (<math>i\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>).
* <math>\Omega</math> 위의 [[위너 확률 과정]] <math>W^j\colon\Omega\times[0,T] \to \mathbb R^n</math>
* <math>W</math>에 대한 [[이토 확률 과정]] <math>\mathrm dX^i(t) = \mu^i(X(t),t)\,\mathrm dt + \sigma^i{}_j(X(t),t)\,\mathrm dW^j(t)</math>
* [[보렐 시그마 대수|보렐 가측 함수]] <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R</math>
* [[보렐 시그마 대수|보렐 가측 함수]] <math>h\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R</math>
* [[보렐 시그마 대수|보렐 가측 함수]] <math>V\colon \mathbb R^n \times[0,T] \to \mathbb R</math>. 이는 [[퍼텐셜]]에 해당한다.

이제, 다음과 같은 [[확률 과정]]을 정의하자.
:<math>G \colon \Omega\times[0,T] \to \mathbb R</math>
:<math>G(t) = f(X(T))\exp\left(-\int_t^TV(X(s),s)\,\mathrm ds\right) + \int_t^T\mathrm ds\,h(X(s),s)\exp\left(
-\int_t^s\mathrm dr\,V(X(r),r)
\right)</math>
특히,
:<math>G(T) = f(X(T))</math>
이다.

이제, 그 조건부 [[기댓값]]을 정의하자.
:<math>g(x,t) = \mathbb E\left[G(t)|X(t) = x\right]</math>
이 함수가 [[유계 함수]]라고 하자. 특히,
:<math>g(x,T) = \mathbb E[f(X(T))|X(T) = x] = f(x)</math>
이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 [[편미분 방정식]]을 만족시킨다.
:<math>\left(\frac\partial{\partial t}+\sum_j\mu^j(x,t)\frac\partial{\partial x^j} + \frac12\sum_{i,j,k}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_k(x,t)\frac{\partial^2}{\partial x^i\partial x^j}-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0 </math>
[[아인슈타인 표기법]]으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.
:<math>\left(\frac\partial{\partial t}+\mu^j(x,t)\partial_j + \frac12\delta^{kl}\sigma^i{}_k(x,t)\sigma^j{}_l(x,t)\partial_i\partial_j-V(x,t)\right)g(x,t) + h(x,t) = 0 </math>

특히, 만약 <math>h = V = 0</math>인 경우 <math>G</math>는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 [[확률 변수]]가 된다.
:<math>G_t = f(X(T))</math>
이 경우
:<math>g(x,t) = \mathbb E\left[f(X(T))|X(t) = x\right]</math>
이다.

=== 리만 다양체의 경우 ===
[[리만 다양체]]의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=Wiener measures on Riemannian manifolds and the Feynman–Kac formula | 성1=Bär | 이름1=Christian | 성2=Pfäffle | 이름2= Frank | arxiv=1108.5082 | 언어=en}}</ref> 다음이 주어졌다고 하자.
* <math>n</math>차원 [[연결 공간|연결]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>. 그 벡터 지표를 <math>(-)^i</math>로 나타내자 (<math>i\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>)
* 점 <math>x_0 \in M</math> (초기 조건)
* 양의 실수 <Math>T > 0</math> (최종 시각)
그렇다면, 초기 조건이 <math>x_0</math>인 [[연속 함수]]로 구성된 [[바나흐 공간]]
:<math>\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0 \}</math>
을 생각하자. 그 속에 [[소볼레프 공간]]인 캐머런-마틴 공간
:<math>\operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) = 
\left\{
f\in\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)
\colon
\int_0^T g_{f(t)}(\dot f(t), \dot f(t)) \,\mathrm dt < \infty
\right\}</math>
을 부여하면, 이는 [[위너 공간]]을 이룬다. 즉, <math>\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M)</math> 위에, [[열핵]]으로 유도되는 위너 [[확률 측도]] <math>\mathrm dW_{x_0}</math>가 존재한다.

또한, 임의의 <Math>x_T \in M</math> (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로
:<math>\mathcal C_{x_0,x_T}^0([0,T],M) = \{f\in\mathcal C_0^0([0,T],M)\colon f(0) = x_0, f(T) = x_T \}</math>
를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간
:<math>\operatorname W^{1,2}_{x_0,x_T}([0,T],M,g) = \operatorname W^{1,2}_{x_0}([0,T],M,g) \cap \operatorname C^0{x_0,x_T}([0,T],M)</math>
을 통하여 [[위너 공간]]을 이루며, 이는 <math>\mathcal C_{x_0}^0([0,T],M)</math> 위의 [[확률 측도]]의 [[조건부 확률]]이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.
* <math>V \in \operatorname L^\infty(M;\mathbb R)</math> (퍼텐셜 함수)
* <math>\psi_0 \in \operatorname L^2(M;\mathbb R)</math> (초기 조건)
그렇다면, [[실수 힐베르트 공간]]
:<math>\mathcal H = \operatorname L^2(M;\mathbb R)</math>
위에 [[자기 수반 작용소]]인 [[해밀토니언 연산자]]
:<math>H = \nabla + V = -g^{ij}\nabla_i \nabla_j + V</math>
를 정의할 수 있다. ([[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>\nabla</math>는 음이 아닌 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 가지므로, <math>\mathcal H</math> 전체로 유일한 [[프리드릭스 확장]]({{llang|en|Friedrichs extension}})을 갖는다.)

이제, 이에 대한 [[열 방정식]]
:<math>\partial_t \psi(t,x) = - H \psi(t,x)</math>
:<math>\psi(0,x) = \psi_0(x)</math>
을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, [[복소수 힐베르트 공간]] 대신 [[실수 힐베르트 공간]], [[슈뢰딩거 방정식]] 대신 [[열 방정식]]을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 [[윅 회전]]에 해당한다.) [[힐베르트 공간]]의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해
:<math>\psi(t,x) = \exp(-tH) \psi_0(x)</math>
를 갖는다. [[브라-켓 표기법]]으로 이는
:<math>|\psi\rangle(t) = \exp(-tH) |\psi_0\rangle</math>
:<math>\langle x|\psi\rangle(t) = \langle x|\exp(-tH)|\psi_0\rangle</math>
이다.

'''파인먼-카츠 공식'''에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:<math>\psi(T,x_0) = \int_{\mathcal C^0_{x_0}([0,T],M)} \psi_0(x_0) \exp
\left(
-\int_0^T V(f(t))\,\mathrm dt
\right)\,\mathrm dW_{x_0}(f)</math>

== 증명 ==
편의상 <math>h=V = 0</math>, <math>n=1</math>인 경우만을 생각하자.

=== <math>g(X(t),t)</math>의 마팅게일 특성 ===
만약 시점 <math>0\le s\le t\le T</math>가 주어졌을 경우, 시점 <math>s</math>와 <math>t</math>에 <math>f(X(T))</math>가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:<math>\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(s)]=g(X(s),s),</math><br />
:<math>\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(t)]=g(X(t),t)</math>

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 <math>s</math>에 <math>g(t,X(t))</math>가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

:<math>
\begin{align}
\mathbb{E}[g(X(T),t))\vert \mathcal{F}(s)] & =\mathbb{E}[\,\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(t)]\,\vert\mathcal{F}(s)] \\
& =\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(s)]=g(X(s),s)
\end{align}
</math>

따라서 <math>g(X(t),t)</math>는 [[마팅게일]]이다.

=== 편미분 방정식의 도출 ===
[[이토 확률 과정]] <math>X(u)</math>에 대한 확률 미분 방정식의 해를 <math>X(t)</math>라고 하자. <math>g(X(t),t)</math>가 [[마팅게일]]이므로 미분 계수 <math>\mathrm dg(X(t),t)</math>에서 시간 <math>t</math>에 대한 변화율을 나타내는 항인 <math>\mathrm dt</math>는 반드시 0이다. 미분 계수 <math>\mathrm dg(X(t),t)</math>를 정리하면 다음과 같다.
:<math>
\begin{align}
\mathrm dg(X(t),t) & = \frac\partial{\partial t}g(X(t),t)dt+\frac\partial{\partial x}g(X(t),t)dX+\frac12\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\mathrm dX\,\mathrm dX  \\
& = \frac\partial{\partial t}g(X(t),t)\,\mathrm dt+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(X(t),t)\,\mathrm dt+\sigma\frac\partial{\partial X}g(X(t),t)\,\mathrm dW(t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\,\mathrm dt \\
& = \left[\frac\partial{\partial t}g(X(t),t)+\mu\frac\partial{\partial x}g(X(t),t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\right]\,\mathrm dt+\sigma\frac{\partial}{\partial x}g(X(t),t)\,\mathrm dW(t)
\end{align}
</math>

따라서 항 <math>\mathrm dt</math>의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 <math>x</math>에 대해 <math>g(X(t),t)</math>가 만족시키는 [[편미분 방정식]]을 구할 수 있다.
:<math>\frac\partial{\partial t}g(x,t)+\mu\frac\partial{\partial x}g(x,t)+\frac12\sigma^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}g(x,t)=0</math>

== 역사 ==
[[리처드 파인먼]]과 [[마레크 카츠]]({{llang|pl|Marek Kac}}, {{llang|en|Mark Kac}}, 1914〜1984)의 이름을 땄다.
<gallery>
Feynman at Los Alamos.jpg|[[리처드 파인먼]]
Mark_Kac.jpg|마레크 카츠
</gallery>
파인먼은 이 공식을 [[양자역학]]의 [[경로 적분]]을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.<ref>{{저널 인용|last=Kac|first=Mark|title=On distributions of certain Wiener functionals|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=65|issue=1|pages=1–13|jstor=1990512|year=1949|doi=10.2307/1990512|mr=27960|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[이토의 보조정리]]
* [[기르사노프 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Feynman integral}}
* {{웹 인용|url= http://math.swansonsite.com/instructional/feyn_kac.pdf | 제목=The Feynman–Kac formula | 성= Swanson | 이름=Jason | 날짜=2008 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분방정식]]
[[분류:확률론]]
[[분류:확률미적분학]]
[[분류:수학 정리]]
[[분류:리처드 파인만]]
[[분류:확률 과정]]