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'''아인슈타인 반경'''(Einstein radius)은 [[아인슈타인 고리]]의 반경이다. [[중력렌즈]]를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다.

[[파일:Gravitational lens geometry.svg|center|600px]]

이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 <math>L</math>의 모든 질량 <math>M</math>이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다.

광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 <math>\alpha</math>는 그 크기가 매우 작으며, <math>\alpha</math>는 다음과 같이 나타낼 수 있다([[슈바르츠실트 계량]] 참조).
:<math>\alpha = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{b}</math>
이때
: <math>b</math>는 [[충돌경수]](광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리)
: <math>G</math>는 [[중력상수]]
: <math>c</math>는 [[광속]]이다.

위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 [[라디안]]일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 <math>D_{\rm L}</math>과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 [[천체]] 사이의 겉보기 각거리 <math>\theta_1</math>은 다음 관계를 갖는다.

: <math>b = {\theta_1}{D_{\rm L}}</math>

그리고 <math>\alpha</math>를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.
:<math>\alpha(\theta_1) = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{\theta_1}\frac{1}{D_{\rm L}}</math>   (식 1)

렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 <math>\theta_{\rm S}</math>로 잡으면

:<math>\theta_1 \; D_{\rm S} = \theta_{\rm S}\; D_{\rm S} + \alpha \; D_{\rm LS}</math>
이것을 다시 쓰면
:<math>\alpha(\theta_1) = \frac{D_{\rm S}}{D_{\rm LS}} (\theta_1 - \theta_{\rm S})</math>   (식 2)

(식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면
:<math>\theta_1-\theta_{\rm S} = \frac{4G}{c^2} \; \frac{M}{\theta_1} \; \frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm S} D_{\rm L}}</math>

렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 <math>\theta_{\rm S} = 0</math>일 때 <math>\theta_1</math> 값을 '''아인슈타인 반경'''이라고 하며, 기호는 <math>\theta_{\rm E}</math>이다. 위 식에 <math>\theta_{\rm S} = 0</math>을 대입하여 <math>\theta_1</math>에 대하여 풀면
:<math>\theta_E = \left(\frac{4GM}{c^2}\;\frac{D_{\rm LS}}{D_{\rm L} D_{\rm S}}\right)^{1/2}</math>

[[파일:Black hole lensing web.gif|frame|<math>\theta_{\rm S} \ne 0</math> → <math>\theta_{\rm S} = 0</math> → <math>\theta_{\rm S} \ne 0</math> 순서로 변화한다.]]
결국
:<math>\theta_1 = \theta_{\rm S} + \frac{\theta_E^2}{\theta_1}</math>

이므로 이것을 <math>\theta_1</math>에 대한 2차방정식 <math>{\theta_1}^2 - \theta_{\rm S}{\theta_1} - \theta_E^2 = 0</math>으로 생각하면

:<math>{\theta_1}_{\pm} = {{\theta_{\rm S} \pm \sqrt{{\theta_{\rm S}}^2 + 4\theta_{\rm E}}} \over 2}</math>

<math>\theta_{\rm S} = 0</math>이면 <math>{\theta_1}_+ = {\theta_1}_- = \theta_{\rm E}</math> 로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 [[아인슈타인 고리]]라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다.

<math>\theta_{\rm S} \ne 0</math>이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다.

== 같이 보기 ==
* [[아인슈타인 고리]]

== 참고 자료 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{저널 인용|이탤릭체=예| first = O | last = Chwolson | title = Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne | journal = Astronomische Nachrichten | volume = 221 | issue = 20 | pages = 329–330 | year = 1924 | bibcode = 1924AN....221..329C | doi = 10.1002/asna.19242212003}} (The first paper to propose rings)
* {{저널 인용|이탤릭체=예| first = Albert | last = Einstein | authorlink = 알베르트 아인슈타인 | title = Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field | journal = Science | volume = 84 | pages = 506–507 | year = 1936 | doi = 10.1126/science.84.2188.506 | pmid = 17769014 | issue = 2188 | jstor=1663250|bibcode = 1936Sci....84..506E }} (The famous Einstein Ring paper)
* {{저널 인용|이탤릭체=예| first = Jurgen | last = Renn | coauthors = Tilman Sauer and John Stachel | title =The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper | journal = Science | volume = 275 | pages = 184–186 | year = 1997 | doi = 10.1126/science.275.5297.184 | pmid =8985006 | issue = 5297|bibcode = 1997Sci...275..184R }}
{{참고 자료 끝}}

[[분류:알베르트 아인슈타인|반경]]
[[분류:중력렌즈]]