{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''대칭 대수'''(對稱代數, {{llang|en|symmetric algebra}})는 [[벡터 공간]](또는 [[가군]])으로부터 생성되는 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]이다.<ref name=Bourbaki>{{서적 인용|이름 = Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키 | 총서 = Éléments de mathématique |제목= Algèbre (chapitres 1 à 3) |  날짜 = 1970 | 출판사=Hermann | isbn=978-3-540-33849-9 | 언어=fr}}</ref>{{rp|III.67–III.75, §III.6}} 대칭 대수의 원소는 벡터 공간(또는 [[가군]])의 벡터들의 형식적 곱의 합이며, 벡터들의 곱의 경우 ([[텐서 대수]]와 달리) [[교환 법칙]]이 성립한다. (만약 교환 법칙을 부여하지 않으면 대신 텐서 대수의 개념을 얻는다. 마찬가지로, 대신 반교환 법칙을 부여하면 [[외대수]]의 개념을 얻는다.)

일부 경우, 대칭 대수의 원소는 주어진 [[가환환]] 계수의 [[다항식]]으로 해석될 수 있다. 이 경우, 대칭 대수를 '''다항식환'''(多項式環, {{llang|en|polynomial ring}})이라고 부른다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>R</math>
* <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>
그렇다면, <math>M</math>으로 생성된 '''대칭 대수''' <math>\operatorname{Sym}(M;R)</math>는 <math>R</math> 위의 [[가환환|가환]] 자연수 [[등급 대수]]이다. 이는 다음과 같이 세 가지로 정의될 수 있다.
* [[범주론]]의 [[보편 성질]]을 통해 대칭 대수의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다. 이 경우, 대칭 대수의 추상적인 성질들 및 유일성이 자명하지만, 그 구체적 구성 및 존재 여부는 자명하지 않다.
* [[텐서 대수]]의 몫을 통해 대칭 대수를 구체적으로 구성할 수 있다. 이 경우, 대칭 대수의 구체적 구조는 자명하지만, 그 추상적인 성질들을 일일이 손수 확인해야 한다.
* 대칭 대수는 또한 [[보편 포락 대수]]의 특수한 경우로 여길 수 있다.
* 유한 차원 [[자유 가군]] 위의 대칭 대수는 일종의 형식적 [[다항식]]들의 공간으로 정의할 수 있다. 이 경우는 보통 '''다항식환'''이라고 불린다.

=== 보편 성질을 통한 정의 ===
<math>R</math> 위의 가환 [[결합 대수]]들의 [[대수 구조 다양체]] 범주 <math>\operatorname{CAlg}_R</math>와 <math>R</math> 위의 [[가군]]들의  [[대수 구조 다양체]] 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>를 생각하자. 이 경우, 곱셈을 잊는 [[망각 함자]]
:<math>G\colon \operatorname{CAlg}_R\to\operatorname{Mod}_R</math>
가 존재한다. 이는 [[대수 구조 다양체]]의 성질에 따라 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다.
:<math>\operatorname{Sym}\colon \operatorname{Mod}_R\to\operatorname{CAlg}_R</math>
:<math>\operatorname{Sym}\dashv G</math>
이 경우, [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{Sym}</math>을 '''대칭 대수 함자'''라고 하며, 임의의 <math>R</math>-가군 <math>M\in\operatorname{Mod}_R</math>에 대하여 그 [[상 (수학)|상]] <math>\operatorname{Sym}(M)</math>을 <math>M</math>으로부터 생성되는 '''대칭 대수'''라고 한다.

임의의 <math>M\in\operatorname{Mod}_R</math>에 대하여, 수반 함자의 성질로 인하여 단위원 사상
:<math>\eta_M\colon M\to G(\operatorname{Sym}(M))</math>
이 존재하며, 또한 임의의 <math>A\in\operatorname{CAlg}_R</math>에 대하여, 수반 함자의 성질로 인하여 쌍대 단위원 사상
:<math>\epsilon_A\colon \operatorname{Sym}(G(A))\to A</math>
이 존재한다.

=== 구체적 구성 ===
[[가군]] <math>M</math>으로 생성된 [[텐서 대수]]
:<math>\operatorname T(M;R)=\bigoplus_{i=0}^\infty M^{\otimes i}=\bigoplus_{i=0}^\infty \overbrace{M\otimes_RM\otimes_R\dotsb\otimes_RM}^i
=\bigoplus_{i=0}^\infty\operatorname T^i(M;R)</math>
는 <math>R</math> 위의 자연수 [[등급 대수]]이다. 그 속의 <math>\operatorname T(M;R)</math>의 다음과 같은 [[양쪽 아이디얼]]을 생각하자.
:<math>\mathfrak S(M;R)=\operatorname{Span}_R\left\{\operatorname T(M;R)\otimes_R(u\otimes_Rv-v\otimes_Ru)\otimes_R\operatorname T(M;R)\colon u,v\in M\right\}</math>
이는 등급을 보존한다. 이에 대한 [[몫환|몫 등급 대수]]
:<math>\operatorname{Sym}(M;R)=\frac{\operatorname T(M;R)}{\mathfrak S(M;R)}
=\bigoplus_{i=0}^\infty\operatorname{Sym}^i(M;R)
</math>
를 <math>M</math>으로 생성된 '''대칭 대수'''라고 한다.<ref name=Bourbaki/>{{rp|III.67, Définition III.6.1}} 이는 <math>R</math> 위의 자연수 [[등급 대수]]이며, 또한 [[가환환]]이다.

대칭 대수의 낮은 등급 성분들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sym}^0(M;R)\cong\operatorname T^0(M;R)\cong R</math>
:<math>\operatorname{Sym}^1(M;R)\cong\operatorname T^1(M;R)\cong M</math>
특히, 둘째 동형 <math>M\to \operatorname{Sym}^1(M;R)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(M;R)</math>는 [[보편 성질]]을 통한 정의에서 [[수반 함자]]의 단위원 사상에 해당한다. 마찬가지로, 임의의 <math>R</math> 위의 가환 [[결합 대수]] <math>A</math>에 대하여, 다음과 같은 값매김 사상을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname{Sym}(A;R)\to A</math>
:<math>a_1\otimes_Ra_2\otimes_R\dotsb\otimes_Ra_k\mapsto a_1a_2\dotsm a_k</math>
이는 [[보편 성질]]을 통한 정의에서, [[수반 함자]]의 쌍대 단위원 사상에 해당한다.

특히, 가군 <math>M</math>의 [[쌍대 가군]] <math>M^\vee</math>의 대칭 대수는
:<math>\operatorname{Sym}(M^\vee;R)=R[M]</math>
으로 표기되며, <math>M</math> 위의 '''다항식환'''이라고 한다. 특히, 만약
:<math>M=\bigoplus_{i=1}^kR</math>
가 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]]일 때, <math>M</math>에 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>x_1,x_2,\dots,x_k\in M</math>를 부여하여
:<math>R[x_1,x_2,\dots,x_k]</math>
라고 흔히 표기한다.

=== 보편 포락 대수를 통한 정의 ===
약간 다르게, 대칭 대수는 아벨 [[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]로 여길 수 있다. 구체적으로, <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>에 자명한 [[리 괄호]]
:<math>[u,v]=0\qquad\forall u,v\in M</math>
를 부여하자. 그렇다면, 이는 <math>R</math> 위의 아벨 [[리 대수]]를 이룬다. 그 위의 [[보편 포락 대수]]
:<math>\operatorname U(M;R)=\operatorname{Sym}(M;R)</math>
는 자연스럽게 <math>R</math>-[[결합 대수]]인데, 이를 '''대칭 대수'''라고 한다. 모든 리 괄호가 0이므로 이는 사실 [[가환환|가환]] [[결합 대수]]이며, 추가로 자연수 등급을 보존한다.

특히, 대칭 대수는 [[보편 포락 대수]]의 일종이므로 자연스럽게 [[호프 대수]]의 구조를 갖는다.

=== 다항식을 통한 정의 ===
만약 <math>M=R</math>일 경우 (또는 보다 일반적으로, <math>M</math>이 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]]일 경우), <math>\operatorname{Sym}(M;R)</math>는 다음과 같이 다항식을 통해 정의할 수 있다.

구체적으로, <math>R</math> 계수의, 변수 <Math>x</math>에 대한 다항식
:<math>p(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\cdots+r_kx^k\qquad(r_0,r_1,\dots,r_k\in R)</math>
들의 집합 <math>R[x]</math>를 생각하자. (이 합은 유한 개의 항만을 갖는다. 즉, 다항식의 차수가 유한하여야 한다.) 다항식의 '''차수'''
:<math>\deg p=\max\{i\in\mathbb N\colon p_i\ne0\}</math>
를 정의할 수 있다.

이제, 다항식들의 형식적인 합과 곱을 자연스럽게 정의할 수 있다.
:<math>p(x)+q(x)=\sum_{i=0}^{\max\{\deg p,\deg q\}}(p_i+q_i)x^i</math>
:<math>p(x)q(x)=\sum_{i=0}^{\deg p}\sum_{j=0}^{\deg q}p_iq_jx^{i+j}</math>
인 <math>n</math>을 다항식 <math>p</math>의 '''차수'''라고 하고, <math>\deg p</math>로 표기한다.

이 경우, <math>R[x]</math>는 자연스럽게 1차원 [[자유 가군]] <math>R</math> 위의 대칭 대수이다.

보다 일반적으로, <math>n</math>차원 [[자유 가군]] 위의 대칭 대수 <math>\operatorname{Sym}(R^{\oplus n};R)</math>의 경우, 형식적 변수(=자유 가군의 [[기저 (선형대수학)|기저]]) <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>을 도입하여, 이들에 대한 다항식의 공간으로 나타낼 수 있다.

=== 값매김 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <math>M</math>의 대칭 대수 <math>\operatorname{Sym}(M;R)</math> 위의 '''값매김'''({{llang|en|evaluation}})은 다음과 같은 <math>R</math>-[[가군 준동형]]이다.
:<math>\operatorname{eval}\colon\operatorname{Sym}(M)\otimes_RM^\vee\to R</math>
:<math>\operatorname{eval}\colon m_1\otimes_Rm_2\otimes_R\cdots\otimes_Rm_k\otimes_R \phi\mapsto \phi(m_1)\phi(m_2)\dotsm\phi(m_k)</math>
여기서 <math>M^\vee=\hom_R(M,R)</math>는 <math>M</math>의 [[쌍대 가군]]이다.

사실, 임의의 <math>\phi\in M^\vee</math>에 대하여,
:<math>\operatorname{eval}(-\otimes_R\phi)\colon\operatorname{Sym}(M)\to R</math>
:<math>\operatorname{eval}(-\otimes_R\phi)\colon S\mapsto \operatorname{eval}(S\otimes_R\phi)</math>
는 <math>R</math>-[[대칭 대수]]의 준동형을 이룬다.

특히, 임의의 가군 <math>M</math>은 스스로의 이중 [[쌍대 가군]]으로의 자연스러운 [[가군 준동형]]
:<math>\iota\colon M\to M^{\vee\vee}</math>
:<math>\iota m\colon \phi\mapsto\phi(m)</math>
을 갖는다. 이에 따라, [[쌍대 가군]] 위의 대칭 대수 <math>\operatorname{Sym}(M^\vee;R)=R[M]</math> 위에 다음과 같은 값매김을 정의할 수 있다.
:<math>R[M]\otimes_RM\to R</math>
:<math>p\otimes_Rm\mapsto \operatorname{eval}(p\otimes_R\iota(m))</math>
다항식의 관점에서, 이는 단순히 다항식의 변수에 값을 치환하는 것에 불과하다. 예를 들어, <math>R[x]</math>에서 다항식
:<math>p(x)=r_0+r_1x+r_2x^2+\dotsb+r_kx^k\in R[x]</math>
및 <math>s\in R</math>가 주어졌을 때,
:<math>\operatorname{eval}(p\otimes_Rs)=r_0+r_1s+r_2s^2+\dotsb+r_ks^k\in R</math>
이다.

== 성질 ==
=== 직합의 대칭 대수 ===
임의의 두 <math>R</math>-가군 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Sym}(N\otimes_R\operatorname{Sym}(M;R);\operatorname{Sym}(M;R))\cong\operatorname{Sym}(M\oplus N;R)</math>
특히, 임의의 가환환 <math>R</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>R[x,y]\cong R[x][y]</math>

=== 가군론적 성질 ===
<math>M=R^{\oplus d}</math>이 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{Sym}(M;R)</math> 역시 <math>R</math>-[[자유 가군]]이며, 각 등급의 차원은 다음과 같은 [[이항 계수]]이다.
:<math>\dim_R\operatorname{Sym}^i(R^{\oplus d};R)=\binom{d+i-1}i</math>
다만, <math>\operatorname{Sym}(M;R)</math> 자체는 (무한 차원 [[자유 가군]]이므로) [[유한 생성 가군]]이 아니다.

=== 환론적 성질 ===
임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[뇌터 환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]라면, <math>R[x]</math>는 [[유클리드 정역]]이다.

== 예 ==
임의의 [[가환환]] <Math>R</math> 위의 자명한 가군 <math>\{0\}</math>을 생각하자. 이 경우, 그 위의 대칭 대수는 역시 [[자명환]] <math>\{0=1\}</math>이다.

만약 [[가환환]] <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]]가 1 (즉, [[자명환]]) 또는 2라면, <math>R</math>에서 <math>+1=-1</math>이 되며, <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>으로 생성되는 대칭 대수는 <math>M</math>으로 생성되는 [[외대수]]와 같다 (즉, <math>R</math> 위의 자연수 등급 가환 [[결합 대수]]로서 표준적으로 동형이며, [[텐서 대수]]의 같은 [[양쪽 아이디얼]]에 대한 몫이다.).
:<math>\operatorname{char}R\mid 2\implies \operatorname{Sym}(M;R)\cong\operatorname\Lambda(M;R)</math>

== 같이 보기 ==
* [[외대수]]
* [[바일 대수]]
* [[클리퍼드 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symmetric algebra}}
* {{eom|title=Ring of polynomials}}
* {{매스월드|id=PolynomialRing|title=Polynomial ring}}
* {{nlab|id=symmetric algebra|title=Symmetric algebra}}
* {{웹 인용|url=https://unapologetic.wordpress.com/2009/10/26/tensor-and-symmetric-algebras/|제목=Tensor and symmetric algebras|웹사이트=The Unapologetic Mathematician|날짜=2009-10-26|이름=John|성=Armstrong|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/algebra/tensorext.pdf|제목=A few classical results on tensor, symmetric and exterior powers|이름=Darij|성=Grinberg|날짜=2016-03-25|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수]]