{{위키데이터 속성 추적}}
{{고른 타일링 정보|정다각형 타일링 정보 표|Us}}[[기하학]]에서 '''사각형 타일링''', '''사각형 테셀레이션''' 또는 '''사각형 격자'''는 [[2차원|유클리드 평면]]에서의 정다각형 테셀레이션이다. 이것은 슐레플리 기호로 {4,4}이며, 그 의미는 매 [[꼭짓점]]마다 [[정사각형]]이 ''4''개가 있다는 것을 의미한다.

콘웨이는 이것을 '''쿼드라일'''이라고 불렀다.

정사각형의 [[내각과 외각|내각]]은 90도이기 때문에 한 점에 네 정사각형으로 360도를 완전히 채운다. 이것은 [[평면에서의 세 정다각형 타일링]] 중 하나이다. 나머지 둘은 [[정삼각형 타일링]]과 [[정육각형 타일링]]이다.

== 균일 색칠 ==
사각형 타일링은 9가지의 구분되는 [[균일 색칠]]이 있다. 꼭짓점 주변의 사각형의 색깔을 나타냈다: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. (i)의 경우에는 단순 반사 대칭을 가지고 있고, (ii)는 미끄럼 반사 대칭을 가진다. 세 개는 색칠을 줄인 같은 대칭 영역으로 볼 수 있다: 1213에서 1112<sub>i</sub>로, 1234에서 1123<sub>i</sub>로, 그리고 1123<sub>ii</sub>에서 색을 줄여 1112<sub>ii</sub>가 되었다고 볼 수 있다.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="margin-bottom: 10px;"
! colspan="12" |9가지 균일 색칠
|- align="center"
!1111
!1212
!1213
!1112<sub>i</sub>
!1122
|- align="center"
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_1.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_7.png|76x76픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_8.png|76x76픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_2.png|75x75픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_4.png|76x76픽셀]]
|- align="center"
| colspan="2" |p4m (*442)
| colspan="2" |p4m (*442)
|pmm (*2222)
|- align="center"
!1234
!1123<sub>i</sub>
!1123<sub>ii</sub>
!1112<sub>ii</sub>
|- align="center"
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_9.png|76x76픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_5.png|76x76픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_6.png|76x76픽셀]]
|[[파일:Square_tiling_uniform_coloring_3.png|76x76픽셀]]
|- align="center"
| colspan="2" |pmm (*2222)
| colspan="2" |cmm (2*22)
|}

== 관련 다면체와 테셀레이션 ==
이 타일링은 위상적으로 정다면체와 [[정다포체와 그 결합의 목록|쌍곡면]]으로 확장된 정다각형 타일링의 수열의 일부와 관련되어 있다: {4,p}, p=3,4,5...

또한 위상적으로 꼭짓점에 면이 네개 있는 정다면체와 테셀레이션의 배열의 부분과 연관되어 있다. 이 수열은 [[팔면체]]부터 시작하고 n이 무한으로 갈 때 [[슐레플리 기호]]로 {n,4}이고, 콕서터 다이어그램으로는 {{CDD|node_1|n|node|4|node}}이다.

== 정사각형 타일링의 위토프 구성 ==
[[고른 다면체]]처럼, 정사각형 타일링을 기반으로 하는 [[고른 타일링|고른 테셀레이션]]은 여덟가지가 있다.

원래 면이 있는 곳에 빨간 색을, 꼭짓점에 노란색을, 변에 파란색을 칠하면 모든 8가지 형채는 모두 구분이 된다. 하지만, 면을 모두 동일하게 보면 위상적으로 구분되는 형태는 세 개 뿐이다: '''정사각형 타일링''', [[깎은 정사각형 타일링|깎은 정사각형 타일링]], [[부풀린 정삼각형 테셀레이션]]이다.

== 위상적으로 동일한 타일링 ==
[[파일:Isogonal snub square tiling1.svg|섬네일|150x150픽셀|두 종류의 면으로 이루어진 [[점추이]]적인 변형이다]]
[[파일:Isohedral_tiling_p4-51d.svg|섬네일|150x150픽셀|마름모 면으로 이루어진 2-면추이 변형이다]]
다른 사각형 테셀레이션은 정사각형 타일링과 위상적으로 동일(꼭짓점 주변에 사각형 4개)하게 만들 수 있다.

면추이 테셀레이션은 동일한 면([[면추이]])을 가지고 있고 [[점추이]]이며 18가지의 변형이 있다. 여기에는 6가지의 변끼리 만나지 않는 삼각형과 동일한 것, 혹은 두 변이 동일선상에 있는 사각형을 포함한다. 여기에 나온 대칭은 모든 면의 색이 동일하다고 가정하고 적용했다.<ref>Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481</ref>
{| class="wikitable" width="480" style="margin-bottom: 10px;"
|+면추이 사각형 테셀레이션
|[[파일:Lattice of squares.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-49.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Lattice of rectangles.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Lattice of rhomboids.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:IIsohedral tiling p4-51c.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Lattice of rhombuses.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-51c.svg|90x90픽셀]]
|- 
![[정사각형]]<br>
p4m, (*442)
!사각형<br>
p4g, (4*2)
![[직사각형]]<br>
pmm, (*2222)
![[평행사변형]]<br>
p2, (2222)
!평행사변형<br>
pmg, (22*)
![[마름모]]<br>
cmm, (2*22)
!마름모<br>
pmg, (22*)
|- align="center" valign="top"
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-52b.png|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-52.png|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-46.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-53.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-47.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p4-43.svg|90x90픽셀]]
|- align="center" valign="top"
! colspan="2" |[[사다리꼴]]<br>
cmm, (2*22)
!사각형<br>
pgg, (22×)
![[연꼴]]<br>
pmg, (22*)
!사각형<br>
pgg, (22×)
!사각형<br>
p2, (2222)
|}
{| class="wikitable" width="480" style="margin-bottom: 10px;"
|+불가능한 사각형 혹은 변끼리 만나지 않는 삼각형
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-7.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-4.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-5.svg|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-3.png|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-6.png|90x90픽셀]]
|[[파일:Isohedral_tiling_p3-2.png|90x90픽셀]]
|- align="center" valign="top"
!이등변<br>
pmg, (22*)
! colspan="2" |이등변<br>
pgg, (22×)
! colspan="2" |부등변<br>
pgg, (22×)
!부등변<br>
p2, (2222)
|}

== 원 채우기 ==
정사각형 타일링은 모든 점에 지름이 같은 원의 중심을 놓아 [[원 채우기]]에 사용할 수 있다. E모든 원은 채우기에 있는 다른 4개의 원과 접촉하고 있다([[입맞춤 수 문제|입맞춤 수]]).<ref name="Critchlow">Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, circle pattern 3</ref> 채우기 밀도는 π/4=78.54%를 덮는다. 원 채우기의 균일 색칠은 4가지가 있다.
{| style="margin-bottom: 10px;"
|[[파일:Square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
|[[파일:Rectified_square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
|[[파일:Expanded_square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
|[[파일:Translational_square_tiling_circle_packing.png|180x180픽셀]]
|}

== 관련된 복소 정 무한각형 ==
정사각형 타일링과 꼭짓점을 공유하는 [[복소 정 무한각형]]은 3가지가 있다. 복소 정 무한각형은 꼭짓점과 변을 가지고 있고 변은 둘 이상의 꼭짓점을 포함할 수 있다. 정 무한각형 p{q}r은 다음 제약을 가진다: 1/''p'' + 2/''q'' + 1/''r'' = 1. 변은 꼭짓점이 ''p''개가 있고, 꼭짓점 도형은 ''r''각형이다.<ref>Coxeter, Regular Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.</ref>
{| class="wikitable" style="margin-bottom: 11px;"
!자기쌍대
! colspan="2" |쌍대
|-
|[[파일:Complex_apeirogon_4-4-4.png|160x160픽셀]]
|[[파일:Complex_apeirogon_2-8-4.svg|161x161픽셀]]
|[[파일:Complex_apeirogon_4-8-2.png|160x160픽셀]]
|-
!4{4}4 또는 {{CDD|4node_1|4|4node}}
!2{8}4 또는 {{CDD|node_1|8|4node}}
!4{8}2 또는 {{CDD|4node_1|8|node}}
|}

== 같이 보기 ==
* [[정다포체의 목록]]
* [[고른 타일링의 목록]]
* [[정사각형 격자]]
* [[정다각형 타일링]]

== 각주 ==
{{각주}}
* [[해럴드 스콧 맥도널드 콕서터|Coxeter, H.S.M.]] ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} p.&nbsp;296, Table II: Regular honeycombs
* {{KlitzingPolytopes|flat.htm#2D|2D Euclidean tilings|o4o4x - squat - O1}}
* {{The Geometrical Foundation of Natural Structure (book)}} p36
* {{서적 인용|제목=Tilings and Patterns|성=[[Branko Grünbaum|Grünbaum, Branko]] ;  and Shephard, G. C.|연도=1987|출판사=W. H. Freeman|위치=New York|isbn=0-7167-1193-1}} (Chapter 2.1: ''Regular and uniform tilings'', p.&nbsp;58-65)
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} [https://web.archive.org/web/20100919143320/https://akpeters.com/product.asp?ProdCode=2205]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|urlname=SquareGrid|title=Square Grid}}
* {{매스월드|title=Regular tessellation}}
* {{매스월드|title=Uniform tessellation}}
{{벌집}}
{{테셀레이션}}

[[분류:다면체]]
[[분류:정다각형 타일링]]