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{{출처 필요|날짜=2013-6-9}}
[[이론물리학]]에서, '''아인슈타인-카르탕 이론'''({{lang|en|Einstein-Cartan theory}})은 [[일반 상대론]]을 [[스핀 (물리학)|스핀]]을 고려해 확장한 이론이다. 일반상대론에서 공간의 [[꼬임]]을 가정하여 자연스럽게 유도할 수 있다. [[알베르트 아인슈타인]]과 [[엘리 카르탕]](Élie Joseph Cartan)의 이름을 땄다. 이 이론은 프랑스 수학자 [[엘리 카르탕]]이 1922년에 처음 제안 하였으며, 가장 간단한 푸앵카레 [[게이지 이론]]이다.

== 도입 ==
고전 물리의 주 이론으로 [[일반 상대성이론]]은 하나의 알려진 결함을 지닌다. 그것은 [[스핀-궤도 결합]] 즉, 진성 각 운동량과 궤도 각 운동량의 교환을 기술할 수 없다. 일반 상대론이 스핀을 지닌 물질이 있을 때 아인슈타인-카탄 이론으로 확장되어야 함을 보이는 질적인 이론 증명이 있다. 거시적인 물체의 고유 각 운동량 (스핀)은 매우 작고, 또 꼬임은 ([[중력파]]와 달리) 전파하지 않으므로, 아인슈타인-카르탕 이론 고유의 효과는 너무 작아 현재 기술로는 관찰 할 수 없다.

일반 상대성 이론이 [[준 리만 다양체|준 리만 기하학]]을 기반으로 서술 되는 반면에, 아인슈타인-카르탕 이론은 리만-카르탕 기하학을 기반으로 서술 된다. 또한 비틀림과 스핀을 연관 시키는 추가적인 방정식이 제시된다.

일반 상대성 이론을 리만-카르탕 기하학으로 재구성할 때, 먼저 준 리만 기하학 위의 [[아인슈타인-힐베르트 작용]]을 리만-카르탕 기하학 위의 팔라티니 작용으로 대체한다. 그리고 두 번째로, 팔라티니 작용으로부터 0의 비틀림 제약을 제거함으로써 스핀과 비틀림에 대한 추가적인 방정식들과, [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]] 자체에 스핀과 관련된 항을 추가하게 된다.

일반 상대성 이론은 원래 준 리만 기하학 기반으로, [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]]을 이끌어 내는, [[아인슈타인-힐베르트 작용]]을 통해 공식화 되었다. 원래 일반 상대성 이론 공식화 될 당시에는, 리만-카르탕 기하학의 개념이 없었다. 또한 리만 기하학이, 회전 및 부스트 대칭에 대한 연속 방정식과 보존 법칙을 표현하거나 구부러진 시공간 기하학에서 스피너를 설명하는 데 필요할 수 있는, 국소적 로렌츠 대칭을 구현하는 데 필요한 구조를 가지고 있지 않다는 것을 이해하기에는 당시 게이지 대칭의 개념에 대한 이해가 부족했다. 이 구조를 추가한 결과는 리만-카르탕 기하학이다. 특히 스피너를 설명할 수 있으려면 스핀 구조를 포함해야 하며, 이는 그러한 기하학을 생성하기에 충분하다.

== 역사 ==
이 이론은 1922년 수학자 [[엘리 카르탕]]에 의해 처음 제안되었으며<ref>{{저널 인용|제목=Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces à torsion|저널=Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris|성=Élie Cartan|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3127j/f593.image|연도=1922|권=174|쪽=593–595|언어=fr}}</ref> 이후 몇 년 동안 설명되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)|저널=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|성=Cartan|이름=Elie|연도=1923|권=40|쪽=325–412|언어=fr|doi=10.24033/asens.751|issn=0012-9593}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)|저널=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|성=Cartan|이름=Elie|연도=1924|권=41|쪽=1–25|언어=fr|doi=10.24033/asens.753|issn=0012-9593}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (deuxième partie)|저널=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|성=Cartan|이름=Elie|연도=1925|권=42|쪽=17–88|언어=fr|doi=10.24033/asens.761|issn=0012-9593}}</ref> [[알베르트 아인슈타인|앨버트 아인슈타인]]은 1928년 통합장 이론의 일부로 비틀림을 [[전자기장 텐서]]와 일치시키려는 시도가 실패하면서 이 이론 계열 연구자에 속하게 되었다. 이러한 사고 방식은 관련이 있지만 다른 텔레파라렐리즘 이론으로 그를 이끌었다.<ref>{{저널 인용|제목=On the History of Unified Field Theories|저널=Living Reviews in Relativity|성=Goenner|이름=Hubert F. M.|연도=2004|권=7|호=1|쪽=2|bibcode=2004LRR.....7....2G|doi=10.12942/lrr-2004-2|pmc=5256024|pmid=28179864}}</ref>

데니스 시아마<ref>{{저널 인용|제목=The Physical Structure of General Relativity|저널=Reviews of Modern Physics|성=Sciama|이름=D. W.|날짜=1964-01-01|권=36|호=1|쪽=463–469|bibcode=1964RvMP...36..463S|doi=10.1103/revmodphys.36.463|issn=0034-6861}}</ref>와 [[톰 키블]]<ref>{{저널 인용|제목=Lorentz Invariance and the Gravitational Field|저널=Journal of Mathematical Physics|성=Kibble|이름=T. W. B.|연도=1961|권=2|호=2|쪽=212–221|bibcode=1961JMP.....2..212K|doi=10.1063/1.1703702|issn=0022-2488}}</ref>은 1960년대에 독립적으로 이 이론을 재검토했으며 1976년에 중요한 리뷰가 출판되었다<ref>{{저널 인용|제목=General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects|저널=Reviews of Modern Physics|성=Hehl|이름=Friedrich W.|성2=von der Heyde|이름2=Paul|날짜=1976-07-01|권=48|호=3|쪽=393–416|bibcode=1976RvMP...48..393H|doi=10.1103/revmodphys.48.393|issn=0034-6861|성3=Kerlick|이름3=G. David|성4=Nester|이름4=James M.}}</ref>

아인슈타인-카르탕 이론은 역사적으로 비틀림이 없는 상대성 이론과 [[브랜스-딕 이론]]과 같은 다른 대안에 의해 가려져 왔다. 아인슈타인-카르탕 이론은 고전적이기 때문에 [[양자 중력]] 문제를 완전히 다루지는 않는다. 아인슈타인–카르탕 이론에서 [[디랙 방정식]]은 비선형이 된다.<ref>{{저널 인용|제목=Nonlinear Spinor Equation and Asymmetric Connection in General Relativity|저널=Journal of Mathematical Physics|성=Hehl|이름=F. W.|성2=Datta|이름2=B. K.|연도=1971|권=12|호=7|쪽=1334–1339|bibcode=1971JMP....12.1334H|doi=10.1063/1.1665738|issn=0022-2488}}</ref> 최근 아인슈타인-카르탕 이론에 대한 관심은 [[물리 우주론|우주론적]] 함의, 가장 중요한 것은 우주의 시작에서 [[중력 특이점]]을 피하는 쪽으로 몰렸다.<ref name="Nikodem J. Popławski 2010 73–77">{{저널 인용|제목=Nonsingular Dirac particles in spacetime with torsion|저널=Physics Letters B|성=Nikodem J. Popławski|연도=2010|권=690|호=1|쪽=73–77|arxiv=0910.1181|bibcode=2010PhLB..690...73P|doi=10.1016/j.physletb.2010.04.073}}</ref><ref name="NP1">{{저널 인용|제목=Cosmology with torsion: An alternative to cosmic inflation|저널=Physics Letters B|성=Nikodem J. Popławski|연도=2010|권=694|호=3|쪽=181–185|arxiv=1007.0587|bibcode=2010PhLB..694..181P|doi=10.1016/j.physletb.2010.09.056}}</ref><ref name="NP2">{{저널 인용|제목=Nonsingular, big-bounce cosmology from spinor–torsion coupling|저널=Physical Review D|성=Nikodem Popławski|연도=2012|권=85|호=10|쪽=107502|arxiv=1111.4595|bibcode=2012PhRvD..85j7502P|doi=10.1103/PhysRevD.85.107502}}</ref> 이 이론은 실행 가능한 것으로여겨지며 물리학계에서 활발한 주제로 남아 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Note on the torsion tensor|저널=Physics Today|성=Hehl|이름=Friedrich W.|성2=Weinberg|이름2=Steven|연도=2007|권=60|호=3|쪽=16|bibcode=2007PhT....60c..16H|doi=10.1063/1.2718743}}</ref>

이 이론은 [[고리 양자 중력의 역사|루프 양자 중력]]에 간접적으로 영향을 미쳤다(또한 [[트위스터 이론]]에도 영향을 준 것으로 보인다<ref>{{저널 인용|제목=Dennis William Sciama. 18 November 1926 — 19 December 1999|저널=Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society|성=Ellis|이름=George F. R.|성2=Penrose|이름2=Sir Roger|날짜=2010|권=56|쪽=411|doi=10.1098/rsbm.2009.0023}}</ref> ).

== 장 방정식 ==
일반 상대성 이론의 [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]]은 [[아인슈타인-힐베르트 작용]]을 시공간의 실제 작용으로 가정한 다음 계량 텐서에 대해 해당 작용을 변분하여 유도할 수 있다. 아인슈타인-카르탕 이론의 장 방정식은 대칭 [[레비치비타 접속]]이 아닌 일반적인 비대칭 [[아핀 접속]]이 가정된다는 점을 제외하면 정확히 동일한 접근 방식에서 나온다(즉, 시공간에는 [[리만 곡률 텐서|곡률]] 외에 [[비틀림 텐서|비틀림]]이 있는 것으로 가정됨). 계량과 비틀림은 독립적으로 변화한다.

<math>\mathcal{L}_\mathrm{M}</math>가 물질의 [[라그랑지언|라그랑주 밀도]]를 나타내고 <math>\mathcal{L}_\mathrm{G}</math>가 중력장의 라그랑주 밀도를 나타낸다고 하자. 아인슈타인-카르탕 이론에서 중력장의 라그랑주 밀도는 [[스칼라 곡률|리치 스칼라 곡률]]에 비례한다.

: <math>\mathcal{L}_\mathrm{G}=\frac{1}{2\kappa}R \sqrt{|g|} </math>
: <math>S=\int \left( \mathcal{L}_\mathrm{G} + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right) \, d^4x </math>

여기서 <math>g</math>는 계량 텐서의 [[행렬식]]이며, <math>\kappa</math>는 [[중력 상수]]와 [[빛의 속력]]을 포함하는 물리 상수 <math>8\pi G/c^4</math>이다.. [[해밀턴의 원리]]에 의해 중력장과 물질에 대한 전체 작용 <math>S</math>의 변분이 사라지기 때문에,

: <math>\delta S = 0.</math>

계량 텐서 <math>g^{ab}</math>에 대한 변분은 아인슈타인 방정식을 산출한다.

: <math> \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{G}}{\delta g^{ab}} -\frac{1}{2}P_{ab}=0</math>

{| class="wikitable"
|<math> R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}=\kappa P_{ab}</math>
|}
여기서 <math>R_{ab}</math>는 [[리치 곡률 텐서]]이고 <math>P_{ab}</math>는 [[에너지-운동량 텐서|정준 응력-에너지-운동량 텐서]]이다. 접속에 0이 아닌 비틀림 텐서가 포함되어 있기 때문에 리치 곡률 텐서는 더 이상 대칭이 아니다. 따라서 방정식의 우변도 대칭이 될 수 없으며, <math>P_{ab}</math>는 스핀 텐서와 관련된 것으로 표시될 수 있는 비대칭 기여도를 포함해야 함을 의미한다. 이 정준 에너지-운동량 텐서는 Belinfante-Rosenfeld 절차에 의해 더 친숙한 ''대칭'' 에너지-운동량 텐서와 관련된다.

비틀림 텐서 <math>{T^{ab}}_c</math>에 대한 변분은 카르탕 [[스핀 접속]] 방정식을 산출한다.

: <math>\frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{G}}{\delta {T^{ab}}_c} -\frac{1}{2}{\sigma_{ab}}^c =0</math>

{| class="wikitable"
|<math> {T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d = \kappa {\sigma_{ab}}^c</math>
|}
여기서 <math>{\sigma_{ab}}^c</math>는 스핀 텐서이다. 비틀림 방정식은 편미분 방정식이 아닌 [[편미분방정식|대수적]] 제약이기 때문에 비틀림 장은 [[파동]]으로 전파되지 않고 물질 밖에서 사라진다. 따라서 원칙적으로 비틀림은 물질 내부에서 효과적인 "스핀-스핀" 비선형 자기 상호 작용을 생성하는 스핀 텐서에 찬성하여 이론에서 대수적으로 제거될 수 있다.

== 특이점 회피 ==
리만 기하학(예: [[펜로즈–호킹 특이점 정리|펜로즈 특이점 정리]])는 리만-카르탕 기하학에서 성립할 필요가 없다. 결과적으로 아인슈타인-카르탕 이론은 [[대폭발|빅뱅]]에서 특이점이라는 일반 상대론적 문제를 피할 수 있다.<ref name="Nikodem J. Popławski 2010 73–77" /><ref name="NP1" /><ref name="NP2" /> 비틀림과 디랙 스피너 사이의 최소 결합은 효과적인 비선형 스핀-스핀 자체 상호 작용을 생성하며, 이는 매우 높은 밀도에서 [[페르미온]] 물질 내부에서 중요해진다. 그러한 상호 작용은 [[관측 가능한 우주]]가 수축하기 전에 최소이지만 유한한 [[척도인자]]에서 단일 빅뱅을 첨단과 같은 [[빅 바운스]]로 대체할 것으로 추측된다. 이 시나리오는 또한 가장 큰 규모의 현재 우주가 공간적으로 평평하고 균질하며 등방성으로 보이는 이유를 설명하여 우주 [[급팽창 이론|팽창]]에 대한 물리적 대안을 제공한다. 비틀림은 [[블랙홀]] 과 같은 특이점의 형성을 피하고 [[점입자|"점"]] 대신 페르미온이 공간적으로 확장되도록 해서 양자장 이론에서 자외선 발산을 제거하는 데 도움이 된다. 일반 상대성 이론에 따르면 충분히 조밀한 질량의 중력 붕괴는 단일 블랙홀을 형성한다. 대신 아인슈타인-카르탕 이론에서는 붕괴가 반등에 도달하고 [[사건의 지평선|사건의 지평]] 반대편에서 성장하는 새로운 우주로 가는 규칙적인 아인슈타인-로젠 다리([[웜홀]])를 형성한다.

== 초중력과의 관계 ==
[[초중력]]은 그 스핀 접속이 자유 [[라리타-슈윙거 방정식|라리타-슈윙거]] 장([[그래비티노]])으로부터 발생하는 아인슈타인-카르탕 이론으로 생각할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[루프 양자중력]]
== 각주 ==
<references />

{{중력이론}}
{{전거 통제}}

[[분류:중력 이론]]
[[분류:알베르트 아인슈타인]]