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[[기하학]]에서 '''다각형'''(多角形, polygon)은 한 [[평면]] 위에 있으면서 유한 개의 [[선분]]들이 차례로 이어져 이루어진 경로이다. 다각형(多角形)이라는 말을 글자 그대로 해석하면 각이 많은 모양([[도형]])이라는 뜻이다. 다각형을 이루는 각각의 선분들을 그 다각형의 변이라 하고, 변의 끝점을 [[꼭짓점]]이라 한다. [[단순 다각형|단순한 다각형]]의 경우 그 변들의 합집합은 '''다각형 영역'''의 경계를 이룬다. 다각형은 변의 개수에 따라 [[삼각형]], [[사각형]] 등 으로 이름을 붙인다.
[[파일:Polygon venn diagram.svg|340px|오른쪽|섬네일|다각형의 집합들 사이의 포함관계]]

== 분류 ==
다각형의 집합은 특정한 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 여러 부분집합으로 나눌 수 있다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

* 변들이 꼭짓점에서만 만나는 다각형을 '''단순한 다각형'''이라 한다.
* 180°가 넘는 크기의 내각을 갖지 않는 단순한 다각형을 '''[[볼록 다각형]]'''이라고 한다. 볼록하지 않은 단순한 다각형은 '''[[오목 다각형]]'''이라고 한다. 참고로, 모든 [[볼록한 다각형|볼록 다각형]]은 [[대각선]]이 내부에만 있고, 변을 연장하면 어떤 것도 다각형의 내부로 들어가지 않으며, [[오목한 다각형|오목 다각형]]은 [[대각선]]이 하나라도 일부 또는 전부가 다각형의 외부에 위치한다. 또한 변을 연장하면 변이 다각형의 내부를 자른다. 그리고 [[외각]]의 크기는 오목한 부분은 [[요각]]에서 180°를 뺀 값의 [[덧셈 역원]], 즉, 180°와 요각의 차를 더하면 된다. 이때 계산 값은 음수이므로, 해당 절댓값의 [[덧셈 역원]]을 빼주면 된다.
* 모든 변의 길이가 같은 다각형을 '''[[등변다각형]]'''이라 한다. (변이 다섯 개 이상일 경우 [[오목 다각형|오목하거나]] 심지어 단순하지 않은 다각형도 [[등변다각형]]이 될 수 있다.)
* 모든 [[꼭짓점]]이 한 [[원 (기하학)|원]] 위에 있는 [[볼록 다각형]]을 '''[[원에 내접하는 다각형]]'''이라 한다. 이것의 쌍대는 '''[[원에 외접하는 다각형]]'''으로, 모든 변이 한 원의 끝부분에 걸쳐 있는 [[볼록 다각형|볼록한 다각형]]이다.

== 다각형의 성질 ==
여기서부터는 [[유클리드 기하]]를 가정한다.
=== 자유도 ===
''n''각형의 [[자유도 (물리학과 화학)|자유도]]는 2''n''이다. 그 중 2는 위치를, 1은 놓여 있는 방향을, 1은 전체적인 크기를 결정하며 나머지 2''n''−4 가 모양을 결정한다.

다각형에 선대칭성이 있을 경우 모양에 대한 자유도가 ''n''−2 로 줄어든다. 일반적으로 ''k''를 2 이상의 정수라고 하면 ''k''겹(''k''-fold) 회전대칭성(C<sub>''k''</sub>)을 갖는 ''nk''각형의 모양에 대한 자유도는 ''2n−2''이다. 여기에 선대칭성이 추가된 경우(D<sub>''k''</sub>)에는 ''n−1''이다.

=== 각 ===
[[정다각형]]이건 아니건, [[단순 다각형|단순하건]] [[단순하지 않은 다각형|단순하지 않건]], 다각형 은 변의 수만큼의 [[각 (수학)|각]]을 갖는다. 단순한 ''n''각형의 [[내각 (기하학)|내각]](다각형 내부에 있는 각)의 합은 [[원주율|π]](''n''−2) [[라디안]](혹은 180°(''n''−2))이다. 따라서 정''n''각형의 한 [[내각과 외각|내각]]의 크기는 π(''n''−2)/''n'' 라디안(혹은 180°(''n''−2)/''n'', 혹은 (n−2)/(2''n'') 회전)이다. 이것은 다음과 같이 두 가지 방법으로 이해할 수 있다.

* 예를 들어 [[자전|자전거]]를 몰고 단순한 ''n''각형을 따라 움직인다고 가정해 보자. 그러면 각 꼭짓점에서 [[외각]]만큼 방향을 "틀어야" 할 것이다. 그 ''n''각형을 완전히 돌고 나면 자전거 자신도 완전히 한 바퀴를 돈 것이므로 각 꼭짓점에서 튼 각도의 합은 360°가 되어야 하며, 이것으로부터 위의 식을 쉽게 얻을 수 있다. 180°가 넘는 크기의 내각이 있는 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있다. 다각형을 따라 반시계방향으로 돈다고 하면 보통은 왼쪽으로 방향을 틀어야 하지만 내각의 크기가 180°가 넘는 꼭짓점에서는 오른쪽으로 방향을 틀어야 하며, 이것을 음수로 계산하면 역시 같은 식을 얻을 수 있다.

* 단순한 ''n''각형은 (''n''−2)개의 삼각형을 짜맞추어 만들 수 있으며, 각각의 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°인 것으로부터 위의 식을 얻을 수도 있다.

(단순할 필요가 없는) 일반적인 <math>n</math>각형을 따라 움직이는 경우 각 꼭짓점에서 방향을 튼 각도의 합은 360°의 정수배가 된다. 예를 들어 [[오각별]]에서는 720°, 각진 8자 모양에서는 0°이다. [[궤도]] 항목도 참고.

=== 넓이 ===
[[데카르트 좌표계]]에서 각 꼭짓점의 좌표가 그 내부를 반시계방향으로 도는 순서대로 <math>(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)</math>로 주어져 있는 [[단순 다각형|단순한 다각형]]의 [[넓이]] <math>A</math>는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:<math>
\begin{align}
A &= {1 \over 2} \left ( x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \cdots + x_n y_1 - x_1 y_n \right ) \\
  &= {1 \over 2} \left \{ x_1 ( y_2 - y_n ) + x_2 ( y_3 - y_1 ) + \cdots + x_n ( y_1 - y_{n-1} ) \right \}
\end{align}
</math>

[[신발끈 공식]]이라고 하는 이 공식은 [[1769년]] 마이스터가, 그리고 [[1795년]] [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 사용하였다. 이 공식은 다각형을 삼각형들로 나누어 생각함으로써 증명할 수 있으나, [[그린 정리]]의 특수한 경우로 볼 수도 있다.

다각형의 꼭짓점이 간격이 일정한 격자의 격자점에만 놓여 있는 경우, [[픽의 정리]]를 사용하면 다각형 내부와 경계에 있는 점의 개수를 가지고 간단하게 넓이를 구할 수 있다.

두 다각형의 넓이가 같으면, 언제나 그 중 하나를 몇 개의 다각형으로 자르고 그 조각들을 다시 맞춤으로써 다른 하나와 같은 모양을 만들 수 있다. 이것을 [[볼야이와 거윈의 정리]](Bolyai-Gerwien theorem)라 한다.

각 변의 길이가 <math>s</math> 인 정<math>n</math>각형의 넓이는 <math>A = {1 \over 4} n s^2 \cot \left ( {\pi \over n} \right )</math>이다.

=== 내접 다각형 ===
[[원 (기하학)|원]] 또는 다각형 위에 [[원에 내접하는 다각형|내접하는 다각형]]으로, 모든 꼭짓점이 주어진 원 또는 다각형의 둘레 위에 놓여 있다. ≒ 내접형</br>
모든 [[정다각형]], 모든 [[삼각형]], 모든 [[직사각형]], 모든 [[등변사다리꼴]]은 [[원에 내접하는 다각형]]이다.

==== 조건 ====
N각형의 모든 꼭짓점이 쓰여진, 최소<math>{1 \over [n]}+1</math>개의 삼각형의 외심이 일치하면 N각형은 [[내접 다각형]]이다.

==== 증명 ====
먼저 N각형 N개의 점을 모두 쓰기위해서는 삼각형이 <math>{1 \over [n]}+1</math>개가 되어야 한다.</br>
그리고 그 삼각형들의 외심이 모두 일치한다면, 외심으로부터 각 점들까지의 거리가 같으므로, 내접다각형이 된다.

=== 외접 다각형 ===
[[원 (기하학)|원]] 또는 다각형 위에 [[원에 외접하는 다각형|외접하는 다각형]]으로, 모든 변이 주어진 [[원주율|원의 둘레]] 또는 다각형의 [[꼭짓점]]에 닿는다.

외접형=모든 [[정다각형]], 모든 [[삼각형]], 모든 [[마름모]], 모든 [[연꼴|볼록 연꼴]]는 [[원에 외접하는 다각형]]이다.

==== 조건 ====
볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면 <math>\N</math>각형은 [[외접 다각형]]이다.</br>

==== 증명 ====
원 밖의 한 점에서 원으로 그을 수 있는 접선은 2개.</br>
이 때, 점을 A, 접점을 각각 B, C라고 하고, 원의 중심을 O라 하면, ∠OAB = ∠OAC이다.</br>
따라서, 볼록N각형의 모든 내각의 이등분선이 한 점에서 만나면, 이등분선들의 교점을 중심으로하는 한 원에 외점하게 된다.

== 다각형 내부의 점인지 검사하기 ==
[[컴퓨터 그래픽]]이나 [[수치기하학]]에서는 다각형의 각 꼭짓점이 주어져 있을 때, 어떤 점이 그 다각형 내부의 점인지 결정해야 하는 경우가 많다.

== 특수한 경우 ==
다각형에 대하여 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

* 이웃하지 않은 두 변이 한 직선 위에 있을 때
* [[변 (수학)|변]]의 길이가 모두 같은 경우([[등변다각형]])
* [[각 (수학)|각]]의 크기가 모두 같은 경우([[등각다각형]])

[[삼각형]]에서, 등변삼각형이 되는 것과 등각삼각형이 되는 것은 [[정삼각형]]으로 [[동치]]이다.

[[사각형]]에서, [[마름모|등변사각형]]은 곧 [[마름모]]이며, [[직사각형|등각사각형]]은 [[직사각형]] 또는 네 [[꼭짓점]]이 직사각형의 꼭짓점과 일치하는 "각진 8자" 모양이다.

== 같이 보기 ==
* [[원에 내접하는 다각형]]
* [[도형]]
* [[삼각화]]
* [[폴리폼]]
* [[다면체]]
* [[폴리토프]]
* [[정다각형]]
* [[단순 다각형|단순한 다각형]]
* [[별 다각형]]
* [[논증기하]]
* [[테셀레이션]]
* [[정다각형 타일 덮기|정다각형 타일링]]
* [[격자]]
* [[등변다각형]]
* [[등각다각형]]

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Polygon.html Mathworld: Polygon]
* [http://www.2dcurves.com/line/linep.html Mathematical curves: polygon]

{{다각형}}
{{전거 통제}}

[[분류:다각형| ]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]