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[[파일:Logistic Bifurcation map High Resolution.png|섬네일|right|로지스틱 사상의 분기도]]
[[동역학계 이론]]에서 '''로지스틱 사상'''({{llang|en|logistic map}})은 간단한 2차 다항식으로 주어지는 이산 시간 [[동역학계]]이다. 이는 매개 변수의 값을 변화시키는 과정에서 주기가 2배가 되는 [[분기 (동역학계)|분기]]가 일어나는 [[주기배가 분기]]들의 열을 보이며, 이들은 [[파이겐바움 상수]]로 묘사되는 보편적인 성질을 보인다. 주기배가 분기들이 끝나는 값부터는 [[혼돈 (수학)|혼돈]] 현상이 나타난다.

== 정의 ==
임의의 실수 매개 변수 <math>r\in\mathbb R</math>에 대하여, '''로지스틱 사상'''은 다음과 같은 함수이다.
:<math>f\colon\mathbb R\mapsto\mathbb R</math>
:<math>f\colon x\mapsto rx(1-x)</math>
이는 다음과 같이 이산 시간 [[동역학계]]로 생각할 수 있다.
:<math>x_{n+1}=f(x_n)</math>

=== 집단생체학적 해석 ===
로지스틱 사상은 [[로지스틱 방정식]]을 이산화한 방정식이다. 이 경우, <math>x_n</math>은 <math>n</math>번째 세대의 개체 수 <math>N_n</math>와, 가능한 최대 개체 수 <math>N_{\max}</math>의 비
:<math>x_n=N_n/N_{\max}\in[0,1]</math>
를 나타낸다. 로지스틱 사상에 따르면, <math>n+1</math>번째 세대의 인구는 <math>n</math>번째 세대의 인구의 함수이며, 다음과 같은 성질들을 보인다.
* 만약 개체 수가 매우 작다면 (<math>0\le x_n\ll 1</math>), 개체 수는 매개 변수 <math>r</math>에 따라 [[기하급수]]적으로 증가하거나 (<math>r>1</math>) 감소한다 (<math>0<r<1</math>).
* 만약 개체 수가 최댓값 <math>x=1</math>에 매우 가깝다면, 개체 수는 과밀도로 인하여 급격히 감소한다.
즉, 로지스틱 사상에서는 개체의 수가 <math>r</math>배로 늘어나지만, 그 가운데 <math>(N_{\max}-N)/N_{\max})</math>는 과밀도로 사망하게 된다.

로지스틱 사상을 개체 수 모형으로 생각한다면, 초기 조건은 <math>x_0\in[0,1]</math>이며, <math>r\in[0,4]</math>이어야 한다. 이를 벗어나면, 개체 수가 음수가 되는 등의 기현상이 발생한다.

== 성질 ==
<math>r</math>에 따라 로지스틱 사상은 다음과 같은 성질을 보인다.
* <math>0\le r\le1</math>일 경우, <math>x</math>는 0으로 수렴한다.
* <math>1\le r<3</math>일 경우, <math>x</math>는 <math>1-1/r</math>로 수렴하며, 수렴하는 속도는 선형이다. 이 가운데 <math>r=2</math>인 경우는 해석적으로 풀 수 있다.
* <math>r=3</math>일 경우 <math>x</math>는 <math>1-1/3</math>으로 수렴하지만, 수렴하는 속도는 매우 느리다.
* <math>3<r<1+\sqrt6</math>일 경우, [[거의 모든]] 초기 조건은 주기 2의 [[주기점]]에 도달한다.
* <math>1+\sqrt6<r<3.54409</math>일 경우, [[거의 모든]] 초기 조건은 주기 4의 [[주기점]]에 도달한다.
* <math>3.54409<r<3.56995</math>일 경우, <math>r</math>가 증가하면서 [[거의 모든]] 초기 조건은 주기 2<sup>''n''</sup>의 [[주기점]]에 도달한다. 주기는 <math>r</math>가 증가하면서 두 배씩 증가([[주기배가 분기]])하며, 주기가 일정한 <math>r</math>의 [[구간]]의 길이는 제1종 [[파이겐바움 상수]] <math>\delta\approx4.669201609</math>의 역수로 기하급수적으로 감소한다.
* <math>3.56995\le r<4</math>일 경우, 대부분의 <math>r</math> 값들은 [[혼돈 (수학)|혼돈]]을 보인다. [[거의 모든]] 초기 조건은 무한한 주기를 가진다.
** 다만, 이 구간에서도 일부 <math>r</math> 값은 혼돈을 보이지 않을 수 있다. 예를 들어, <math>r=1+\sqrt8</math>부터 시작하는 작은 구간에서는 [[거의 모든]] 초기 조건은 주기 3의 주기점으로 수렴한다. (다만, [[샤르코우스키 정리]]에 따라 이 경우 모든 주기의 주기점이 존재한다.) 이보다 <math>r</math>가 더 커지면 주기는 6, 12, 24 등으로 증가([[주기배가 분기]])하여, 결국 다시 혼돈 현상을 보이게 된다.
* <math>r=4</math>인 경우는 [[혼돈 (수학)|혼돈]]적이지만, 해석적으로 풀 수 있다.
* <math>r>4</math>일 경우, [[거의 모든]] 초기 조건은 <math>\pm\infty</math>로 발산한다.

임의의 <math>r</math>값에 대하여, 안정적인 주기적 궤도는 0개 또는 1개밖에 없다. 만약 안정적인 주기적 궤도가 존재한다면, [[거의 모든]] 초기 조건은 이 궤도로 수렴한다. (일부 경우, [[샤르코우스키 정리]]에 따라서 다른 불안정한 주기적 궤도의 존재를 유추할 수 있다.)

=== 고정점과 2차 주기점 ===
로지스틱 사상은 <math>r\ne0</math>일 경우 두 개의 [[고정점]]을 가진다.
:<math>x=0</math>
:<math>x=1-1/r</math>
집단생태학적으로, 이는 멸종 상태이거나 평형 상태에 해당한다. 이 고정점은 <math>r</math>의 값에 따라 안정할 수도, 불안정할 수도 있다.

로지스틱 사상은 <math>a\not\in[-1,3]</math>이면 다음과 같이 주기가 2인 주기적 궤도를 가진다.
:<math>x=\frac1{2r}\left(1+r\pm\sqrt{r^2-2r-3}\right)</math>

=== 해석적 해 ===
로지스틱 사상
:<math>x_{n+1}=rx_n(1-x_n)</math>
에서, 다음과 같은 치환을 가하자.
:<math>y=1-2x</math>
그렇다면 로지스틱 사상은 다음과 같이 된다.
:<math>y_{n+1} = 1+\frac12r(y_n^2-1)</math>
함수 <math>F</math>가 다음 방정식을 만족시킨다고 하자.
:<math>F(rx)=1+\frac12r(F(x)^2-1)</math>
그렇다면, 로지스틱 사상의 해석적 해는 다음과 같다.
:<math>y_n=F(r^nx)</math>
:<math>x_n=\frac12\left(1-F(r^n\theta)\right)</math>
여기서 <math>F^{-1}</math>는 <math>F</math>의 역함수이며, <math>\theta</math>는 초기 조건의 매개 변수이다. 따라서, 이러한 함수를 찾을 수 있다면 해당 <math>r</math>에 대한 로지스틱 사상의 해석적 해를 적을 수 있다.

로지스틱 사상에서, <math>r\in\{-2,2,4\}</math>인 경우는 이러한 꼴의 해석적 해가 가능하다.

==== ''r'' = 4 ====
<math>r=4</math>인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.
:<math>F(x)=\cos(\sqrt x)</math>
:<math>x_n=\sin^2(2^n\theta)=\frac12\left(1-\cos(2^{n+1}\theta)\right)</math>
이는 [[삼각 함수]]의 [[두배각 공식]]으로 쉽게 보일 수 있다. 이 경우, 만약 <math>\theta/\pi</math>가 [[유리수]]라면 주기적 궤도를 이루지만, <math>\theta/\pi</math>가 무리수라면 이는 주기적 궤도에 수렴하지 않는다.

이 경우, 임의의 양의 주기에 대하여, 이를 최소 주기로 갖는 주기적 궤도가 존재한다. 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 최소 주기가 <math>n</math>인 주기적 궤도의 수는 다음과 같다.
:2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161, … {{OEIS|A1037}}
즉, 두 개의 [[고정점]]이 존재하며, 하나의 주기 3인 주기적 궤도가 존재한다. 이 경우 [[샤르코우스키 정리]]에 의하여 나머지 궤도들의 존재를 알 수 있다. 이 모든 주기적 궤도들은 불안정하다.

==== ''r'' = ±2 ====
<math>r=2</math>인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.
:<math>F(x)=\exp(x)</math>
:<math>x_n=\frac12\left(1-\exp(2^n\theta)\right)</math>
<math>r=-2</math>인 경우, 해석적 해는 다음과 같다.
:<math>F(x)=2\cos(\pi/3-x/\sqrt3)</math>

== 같이 보기 ==
* [[로지스틱 함수]]
* [[랴푸노프 안정성]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용
 | 이름 = R. M. | 성= May
 | title = Simple mathematical models with very complicated dynamics
 | journal = Nature
 | year = 1976
 | volume = 261 | issue = 5560 | pages = 459–67
 | doi = 10.1038/261459a0
 | pmid = 934280
|bibcode = 1976Natur.261..459M | 언어=en}}
* {{서적 인용|장=Introduction to universality and renormalization group techniques|arxiv=1210.2262|이름=Alessandro|성=Sfondrini|bibcode=2012arXiv1210.2262S|제목=Proceedings of the VIII Modave School in Mathematical Physics|url=http://pos.sissa.it/cgi-bin/reader/conf.cgi?confid=195|장url=http://pos.sissa.it/archive/conferences/195/005/Modave%20VIII_005.pdf|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=LogisticMap|title=Logistic map}}
* {{매스월드|id=LogisticMapR=4|title=Logistic map — ''r'' = 4}}
* {{매스월드|id=LogisticMapR=2|title=Logistic map — ''r'' = 2}}
* {{매스월드|id=LogisticMapR=-2|title=Logistic map — ''r'' = &minus;2}}

[[분류:혼돈 이론]]
[[분류:인구]]
[[분류:집단생태학]]