{{위키데이터 속성 추적}}
[[미적분학]]에서 '''아벨-디니-프링스하임 판정법'''({{llang|en|Abel–Dini–Pringsheim test}}) 혹은 '''아벨-디니-프링스하임 정리'''({{llang|en|Abel–Dini–Pringsheim theorem}})는 임의의 [[양의 실수]] 항 [[발산급수]]로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 [[수렴 판정법]]이다.<ref name="Knopp">{{서적 인용
|성=Knopp
|이름=Konrad
|번역자-성=Young
|번역자-이름=R. C. H.
|제목=Theory and application of infinite series
|언어=en
|판=2
|기타=Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young.
|출판사=Blackie & Son
|위치=London–Glasgow
|날짜=1951
|zbl=0042.29203
}}</ref>{{rp|§IX.39}} 마찬가지로, 임의의 양의 실수 항 [[수렴급수]]로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 [[수렴 판정법]]은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

== 정의와 증명 ==
=== 발산급수 ===
발산급수에 대한 '''아벨-디니-프링스하임 판정법'''에 따르면, 임의의 [[양의 실수]]의 [[수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset(0,\infty)</math>에 대하여, 만약
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n=\infty</math>
라면, 다음 명제들이 성립한다 (<math>S_n=a_0+a_1+\cdots+a_n</math>).
* (A) <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}=\infty</math>
* (B) 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}<\infty</math>
* (C) 만약 추가로 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{S_n}=0</math>이라면, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}=1</math>
이에 따라, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n^t}</math>
는 <math>t>1</math>일 때 수렴하며, <math>t\le1</math>일 때 발산한다.
{{증명|부제=A}}
가정에 따라, <math>S_n</math>은 [[증가수열]]이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 <math>n\in\{0,1,2,\dots\}</math>에 대하여,
:<math>\frac{S_n}{S_{n+k_n}}<\frac12</math>
인 <math>k_n\in\{0,1,2,\dots\}</math>이 존재한다. 따라서,
:<math>\frac{a_n}{S_n}+\cdots+\frac{a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}\ge\frac{a_n+\cdots+a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}=\frac{S_{n+k_n}-S_{n+k_n}}{S_n}=1-\frac{S_n}{S_{n+k_n}}>\frac12</math>
이다. 즉, <math>a_0/S_0+\cdots+a_n/S_n</math>은 [[코시 수열]]이 아니다. 즉, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{S_n}</math>
는 발산한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=B}}
만약 <math>0<\epsilon\le\epsilon'</math>이라면, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>S_n\ge1</math>이므로 <math>a_n/(S_nS_{n-1}^\epsilon)\ge a_n/(S_nS_{n-1}^{\epsilon'})</math>이다. 따라서, <math>0<\epsilon\le1</math>인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 <math>x\in(0,\infty)</math>에 대하여 다음 부등식이 성립한다.
:<math>\epsilon(1-x)\le1-x^\epsilon</math>
이는
:<math>f(x)=\epsilon(1-x)-1+x^\epsilon</math>
라고 하였을 때
:<math>f(1)=0</math>
:<math>f'(x)=\epsilon(x^{\epsilon-1}-1)\ge0\qquad(\forall x\in(0,1])</math>
:<math>f'(x)=\epsilon(x^{\epsilon-1}-1)\le0\qquad(\forall x\in[1,\infty))</math>
이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{S_nS_{n-1}^\epsilon}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{S_n-S_{n-1}}{S_nS_{n-1}^\epsilon}\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1{S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)\\
&\le\sum_{n=1}^\infty\frac1{\epsilon S_{n-1}^\epsilon}\left(1-\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)^\epsilon\right)\\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac1\epsilon\left(\frac1{S_{n-1}^\epsilon}-\frac1{S_n^\epsilon}\right)\\
&=\frac1{\epsilon S_0^\epsilon}\\
&<\infty
\end{align}
</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=C}}
<math>\ln S_n</math>은 무한대로 발산하는 증가수열이다. [[슈톨츠-체사로 정리]]에 따라, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_n}
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots+a_n/S_n}{\ln S_0+\ln(S_1/S_0)+\cdots+\ln(S_n/S_{n-1})}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/S_{n-1})}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(S_n/(S_n-a_n))}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/S_n}{\ln(1/(1-a_n/S_n))}\\
&=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{a_n/S_n}{\ln(1-a_n/S_n)}\right)\\
&=1
\end{align}
</math>
마지막은 <math>a_n/S_n</math>이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식
:<math>\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1-t)}=-1</math>
에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여
:<math>\lim_{t\to0}\frac t{\ln(1-t)}=\lim_{t\to0}\frac1{\ln(1-t)^{1/t}}=\frac1{\ln\mathrm(1/\mathrm e)}=1</math>
와 같이 구하거나, [[테일러 급수]] 전개
:<math>\ln(1-t)=-t-\frac{t^2}2-\frac{t^3}3-\cdots\qquad(|t|<1)</math>
를 사용한다.)
{{증명 끝}}

=== 수렴급수 ===
수렴급수에 대한 '''아벨-디니-프링스하임 판정법'''에 따르면, 임의의 [[양의 실수]]의 [[수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty\subset(0,\infty)</math>에 대하여, 만약
:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n<\infty</math>
라면, 다음 명제들이 성립한다 (<math>r_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots</math>).
* (A’) <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n}=\infty</math>
* (B’) 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^{1-\epsilon}}<\infty</math>
* (C’) 만약 추가로 <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{r_n}=0</math>이라면, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_0/r_0+a_1/r_1+\cdots+a_n/r_n}{\ln r_n}=-1</math>
특히, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^t}</math>
는 <math>t<1</math>일 때 수렴하며, <math>t\ge1</math>일 때 발산한다.
{{증명|부제=A’}}
가정에 따라, <math>r_n</math>은 0으로 수렴하는 [[감소수열]]이다. 따라서, 임의의 <math>n\in\{0,1,2,\dots\}</math>에 대하여,
:<math>\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}<\frac12</math>
인 <math>k_n\in\{0,1,2,\dots\}</math>이 존재한다. 따라서,
:<math>\frac{a_n}{r_n}+\cdots+\frac{a_{n+k_n}}{r_{n+k_n}}\ge\frac{a_n+\cdots+a_{n+k_n}}{r_n}=\frac{r_n-r_{n+k_n+1}}{r_n}=1-\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}>\frac12</math>
이다. 즉, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n}</math>
의 부분합은 [[코시 수열]]이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=B’}}
만약 <math>0<\epsilon\le\epsilon'</math>이라면, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여, <math>r_n<1</math>이므로 <math>a_n/r_n^{1-\epsilon}\ge a_n/r_n^{1-\epsilon'}</math>이다. 따라서, <math>0<\epsilon\le1</math>인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 <math>x\in(0,\infty)</math>에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).
:<math>\epsilon(1-x)\le1-x^\epsilon</math>
따라서, 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{r_n^{1-\epsilon}}
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{r_n-r_{n+1}}{r_n^{1-\epsilon}}\\
&=\sum_{n=0}^\infty r_n^\epsilon\left(1-\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)\\
&\le\sum_{n=0}^\infty\frac{r_n^\epsilon}\epsilon\left(1-\left(\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)^\epsilon\right)\\
&=\sum_{n=0}^\infty\frac1\epsilon(r_n^\epsilon-r_{n+1}^\epsilon)\\
&=\frac{r_0^\epsilon}\epsilon\\
&<\infty
\end{align}
</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=C’}}
(C)에
:<math>S_n=\frac1{r_n}</math>
를 대입한다.
{{증명 끝}}

=== 둘 사이의 관계 ===
발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 [[동치]]다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에
:<math>S_n'=\frac1{r_n}</math>
을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.<ref name="Hildebrandt">{{저널 인용
|성=Hildebrandt
|이름=T. H.
|제목=Remarks on the Abel-Dini theorem
|언어=en
|저널=American Mathematical Monthly
|권=49
|쪽=441–445
|날짜=1942
|issn=0002-9890
|doi=10.2307/2303268
|mr=0007058
|zbl=0060.15508
}}</ref>

== 예 ==
급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty1</math>
는 발산하며, 그 <math>n</math>번째 부분합은 <math>n</math>이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수
:<math>\sum_{n=0}^\infty\frac1{n^t}</math>
는 <math>t>1</math>일 때 수렴하며, <math>t\le1</math>일 때 발산한다. 또한, <math>1/n</math>이 0으로 수렴하므로 점근 공식
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1+1/2+\cdots+1/n}{\ln n}=1</math>
이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>
에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 <math>\ln n</math>을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수
:<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^tn}</math>
는 <math>t>1</math>일 때 수렴하며 <math>t\le1</math>일 때 발산한다. 또한, <math>1/(n\ln n)</math>이 0으로 수렴하므로
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{1+1/(2\ln 2)+\cdots+1/(n\ln n)}{\ln\ln n}=1</math>
이다.

== 역사 ==
[[노르웨이]]의 수학자 [[닐스 헨리크 아벨]]은 (A)의 약한 형태를 증명하였다.<ref name="AbelNHNoteSurLeMémoire">{{저널 인용
|성=Abel
|이름=Niels Henrik
|제목=Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4. du second tome de ce journal, ayant pour titre “remarques sur les séries infinies et leur convergence.” Suivi d’une remarque de Mr. L. Olivier sur le même objet
|언어=fr
|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
|권=3
|쪽=79–82
|날짜=1828
|issn=0075-4102
|doi=10.1515/crll.1828.3.79
|mr=1577677
|zbl=003.0093cj
|url=https://eudml.org/doc/183130
|url-access=free
}}</ref> [[이탈리아]]의 수학자 울리세 디니({{llang|it|Ulisse Dini}})이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다.<ref name="DiniSulleSerie">{{저널 인용
|성1=Dini
|이름1=Ulisse
|제목=Sulle serie a termini positivi
|언어=it
|저널=Giornale di Matematiche
|권=6
|쪽=166–175
|날짜=1868
|jfm=01.0082.01
}}</ref> (B)는 알프레트 프링스하임({{llang|de|Alfred Pringsheim}})이 증명하였다.<ref name="Pringsheim">{{저널 인용
|성1=Pringsheim
|이름1=Alfred
|제목=Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern
|언어=de
|저널=Mathematische Annalen
|권=35
|쪽=297–394
|날짜=1890
|issn=0025-5831
|doi=10.1007/BF01443860
|jfm=21.0230.01
|url=https://eudml.org/doc/157469
|url-access=free
}}</ref> (C)는 에르네스토 체사로({{llang|it|Ernesto Cesàro}})의 결과다.<ref name="CesàroENouvellesRemarques">{{저널 인용
|성1=Cesàro
|이름1=Ernesto
|제목=Nouvelles remarques sur divers articles concernant la théorie des séries
|언어=fr
|저널=Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Serie 3
|권=9
|쪽=353–367
|날짜=1890
|issn=1764-7908
|jfm=22.0247.02
|url=http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1890_3_9__353_0
|url-access=free
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:수렴판정법]]