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[[수학]]에서 '''거리 정규 그래프'''({{Llang|en|distance-regular graph}})는 임의의 두 꼭짓점 ''v,'' ''w'' 에 대해 ''v''와의 [[거리 (그래프 이론)|거리]]가 ''j''이고 ''w''와의 거리가 ''k''인 꼭짓점 수가 ''j'', ''k'' 및 ''v''와 ''w'' 사이의 거리에만 의존하는 [[정규 그래프]]이다.

모든 [[거리 전이 그래프]]는 거리 정규 그래프이다. 실제로, 거리 정규 그래프는 거리 전이 그래프의 일반화로서 도입되었고, 반드시 큰 자기동형군을 갖지 않고도 거리 전이 그래프의 수치적인 규칙성을 갖는다.

== 교차 배열 ==
직경 <math>d </math>의 그래프 <math>G </math>에 대해, 정수 배열 <math>\{ b_0, b_1, \ldots, b_{d-1}; c_1, \ldots, c_d \} </math>이 존재하여 모든 <math>1 \leq j \leq d </math>과 거리가 <math>j </math>인 <math>G </math>의 꼭짓점 쌍 <math>u </math>, <math>v </math>에 대해 <math>v </math>와의 거리가 <math>j+1 </math>인 <math>u </math>의 이웃이 <math>b_j </math>개이고 <math>v </math>와의 거리가 <math>j - 1 </math>인 <math>u </math>의 이웃이 <math>c_j </math>개인 경우, <math>G </math>는 거리 정규 그래프이다. 거리 정규 그래프를 특징짓는 이 정수 배열을 '''교차 배열'''(intersection array)이라고 한다.

=== 공스펙트럼 거리 정규 그래프 ===
한 쌍의 연결 거리 정규 그래프는 동일한 교차 배열이 있는 경우에만 [[스펙트럼 그래프 이론|공스펙트럼]]이다.

거리 정규 그래프의 연결은 공스펙트럼 거리 정규 그래프들의 [[그래프 연합|서로소 합집합]]인 경우에만 끊어진다.

== 성질 ==
<math>G </math>를 [[학위(그래프 이론)|차수]] <math>k</math>이고 교차 배열 <math>\{ b_0, b_1, \ldots, b_{d-1}; c_1, \ldots, c_d \} </math>을 갖는 연결 거리 정규 그래프라고 하자. 모든 <math>0 \leq j \leq d </math>에 대해 <math>G_{j} </math>를 <math>G </math>에서 거리가 <math>j </math>인 꼭짓점 쌍을 연결하여 얻은 <math>k_{j} </math>-정규 그래프라고 하고, 그 [[인접행렬|인접 행렬]]을 <math>A_j </math>이라고 하자. 거리 <math>j </math>인 꼭짓점 쌍 <math>u </math>, <math>v </math>에 대해, <math>v </math>와의 거리가 <math>j </math>인 <math>u </math>의 이웃의 개수를 <math>a_j </math>라고 하자.

=== 그래프 이론적 성질 ===

* 모든 <math>0 \leq j < d </math>에 대해 <math>\frac{k_{j+1}}{k_{j}} = \frac{b_{j}}{c_{j+1}} </math>이다.
* <math>b_0 > b_1 \geq \cdots \geq b_{d-1} > 0 </math>이고, <math>1 = c_1 \leq \cdots \leq c_d \leq b_0 </math>이다.

=== 스펙트럼 성질 ===

* <math>G</math>가 완전 다분 그래프(complete multipartite graph)가 아닌 한, <math>G</math>의 모든 고유값 중복도 <math>m > 1</math>에 대해  <math>k \leq \frac{1}{2} (m - 1)(m + 2)</math>이다.
* <math>G</math>가 완전 다분 그래프가 아닌 한, <math>G</math>의 모든 고유값 중복도 <math>m > 1</math>에 대해 <math>d \leq 3m - 4</math>이다.
*  <math>\lambda</math>가 <math>G </math>의 단순 고유값인 경우 <math>\lambda \in \{ \pm k \}</math>이다.
* <math>G </math>는 <math>d + 1 </math>개의 서로 다른 고윳값을 갖는다.

만약에 <math>G </math>가 [[강한 정규 그래프]]인 경우 <math>n \leq 4m - 1</math>이고 <math>k \leq 2m - 1</math>이다.

== 예 ==
[[파일:Klein-map.png|섬네일| 종수 3의 유향 표면에 포함된 7차 [[클라인 그래프]] 및 관련 지도. 이 그래프는 교차 배열 {7,4,1;1,2,7} 및 자기동형군 PGL(2,7)을 갖는 거리 정규 그래프이다.]]
거리 정규 그래프의 예는 다음과 같다.

* [[완전 그래프]]
* [[순환 그래프]]
* [[홀수 그래프|홀 그래프]]
* [[무어 그래프]]
* [[웰 그래프|웰스 그래프]]와 [[실베스터 그래프]]
*
* 직경 2의 강한 정규 그래프

== 거리-정규 그래프의 분류 ==
주어진 차수 <math>k > 2</math>를 갖는 서로 다른 연결된 거리 정규 그래프의 개수는 유한하다.<ref>{{저널 인용|제목=There are only finitely many distance-regular graphs of fixed valency greater than two|저널=[[Advances in Mathematics]]|성=Bang|이름=S.|성2=Dubickas|이름2=A.|날짜=2015-01-10|권=269|호=Supplement C|쪽=1–55|arxiv=0909.5253|doi=10.1016/j.aim.2014.09.025|성3=Koolen|이름3=J. H.|성4=Moulton|이름4=V.}}</ref>

유사하게, 완전 다분 그래프를 제외하면 주어진 고유값 중복도 <math>m > 2</math>를 갖는 서로 다른 연결된 거리 정규 그래프의 개수는 유한하다.<ref>{{저널 인용|제목=Bounding the diameter of distance-regular graphs|저널=[[Combinatorica]]|성=Godsil|이름=C. D.|날짜=1988-12-01|권=8|호=4|쪽=333–343|언어=en|doi=10.1007/BF02189090|issn=0209-9683}}</ref>

=== 3차 거리 정규 그래프 ===
[[삼차 그래프|3차]] 거리 정규 그래프는 완전히 분류되었다.

13개의 고유한 3차 거리 정규 그래프는 [[완전 그래프|K<sub>4</sub>]] (또는 [[사면체|사면체 그래프]]), [[완전 이분 그래프|K<sub>3,3</sub>]], [[페테르센 그래프]], [[정육면체|정육면체 그래프]], [[히우드 그래프|헤우드 그래프]], [[파푸스 그래프]], [[콕세터 그래프|콕서터 그래프]], [[투테-콕세터 그래프|텃-콕서터 그래프]], [[정십이면체|정십이면체 그래프]], [[데자르그 그래프]], [[투테 12 케이지|텃 12-케이지]], [[Biggs–Smith 그래프|빅스–스미스 그래프]] 및 [[포스터 그래프]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 추가 자료 ==

* {{서적 인용|제목=Algebraic combinatorics|성=Godsil|이름=C.&nbsp;D.|저자링크=Chris Godsil|연도=1993|총서=Chapman and&nbsp;Hall Mathematics Series|출판사=Chapman and&nbsp;Hall|위치=New&nbsp;York|쪽=xvi+362|isbn=978-0-412-04131-0|mr=1220704}}
[[분류:정규 그래프]]
[[분류:그래프족]]
[[분류:대수적 그래프 이론]]