{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[파일:Improperintegral2.png|섬네일|260픽셀|적분 구간의 길이가 무한한 경우의 이상 적분]]
[[파일:Improperintegral1.png|섬네일|260픽셀|함수가 끝점에서 국소 유계 함수가 아닌 경우의 이상 적분]]
[[파일:Integral-cube root of x squared.png|섬네일|260픽셀|구간 내에서 함수가 수직 점근선을 갖는 적분. 이 경우 함수가 정의되지 않는 0을 제외한 나머지 구간 [-1, 0), (0, 1]에서 각각 이상 적분해야 한다.]]
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''이상 적분'''(異常積分, {{llang|en|improper integral}})은 보통의 [[적분]]이 적분 상한이나 하한이 변할 때 취하는 [[함수의 극한|극한]]으로 정의되는 적분이다. [[리만 적분]]을 비롯한 일부 적분들의 정의를 넓혀준다.

== 정의 ==
[[실수]] 구간에 정의된 실숫값 함수
:<math>f\colon[a,b]\setminus\{-\infty,\infty\}\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a<b\le\infty)</math>
에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>n\in\mathbb N</math> 및 <math>a=c_0<c_1<\cdots<c_n=b</math>가 존재한다고 하자.
* 임의의 <math>k=1,2,\dots,n</math> 및 <math>[\gamma_k,\delta_k]\subseteq(c_{k-1},c_k)</math>에 대하여, <math>\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\in\mathbb R</math>가 존재한다.
그렇다면, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>
\begin{align}
\int_a^bf(x)\mathrm dx
&=\lim_{\gamma_1\to c_0+0}\lim_{\delta_1\to c_1-0}\cdots\lim_{\gamma_n\to c_{n-1}+0}\lim_{\delta_n\to c_n-0}
\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\\
&=\sum_{k=1}^n\left(
\lim_{\gamma_k\to c_{k-1}+0}\int_{\gamma_k}^\frac{x_{k-1}+x_k}2f(x)\mathrm dx+
\lim_{\delta_k\to c_k-0}\int_\frac{x_{k-1}+x_k}2^{\delta_k}f(x)\mathrm dx\right)
\end{align}
</math>
물론 이상 적분은 존재하지 않을 수 있다. 존재한다면, 이상 적분이 '''수렴'''(收斂)한다고 하며, 존재하지 않는다면, 이상적분이 '''발산'''(發散)한다고 한다. 함수의 [[절댓값]]의 이상 적분
:<math>\int_a^b|f(x)|\mathrm dx</math>
의 수렴은 원래 이상 적분의 수렴보다 더 강한 조건이다. 절댓값의 이상 적분이 수렴한다면, 원래 이상 적분이 '''절대 수렴'''(絶對收斂)한다고 한다. 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 이상 적분을 '''조건 수렴'''(條件收斂)한다고 한다.

=== 특이 적분 ===
특히, 실수 함수 <math>f\colon[a,b)\to\mathbb R\qquad(-\infty<a<b\le\infty)</math>가 임의의 <math>[a,\beta]\subseteq[a,b)</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\beta\to b-0}\int_a^\beta f(x)\mathrm dx</math>
마찬가지로, 실수 함수 <math>f\colon(a,b]\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a<b<\infty)</math>가 임의의 <math>[\alpha,b]\subseteq(a,b]</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\int_\alpha^bf(x)\mathrm dx</math>
또한, 실수 함수 <math>f\colon(a,b)\to\mathbb R\qquad(-\infty\le a<b\le\infty)</math>가 임의의 <math>[\alpha,\beta]\subseteq(a,b)</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>
\int_a^bf(x)\mathrm dx
=\lim_{\alpha\to a+0}\lim_{\beta\to b-0}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx
=\lim_{\alpha\to a+0}\int_\alpha^\frac{a+b}2f(x)\mathrm dx+\lim_{\beta\to b-0}\int_\frac{a+b}2^\beta f(x)\mathrm dx
</math>
또한, 실수 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R\qquad(-\infty<a<c<b<\infty)</math>가 임의의 <math>[a,\delta]\subseteq[a,c)</math> 및 <math>[\gamma,b]\subseteq(c,b]</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx
=\lim_{\delta\to c-0}\lim_{\gamma\to c+0}\left(\int_a^\delta f(x)\mathrm dx+\int_\gamma^bf(x)\mathrm dx\right)
=\lim_{\delta\to c-0}\int_a^\delta f(x)\mathrm dx+\lim_{\gamma\to c+0}\int_\gamma^bf(x)\mathrm dx</math>
위와 같은 여러 경우에, 만약 피적분 함수가 직접 적분하지 못하는 곳의 임의의 근방에서 [[무계 함수]]라면, 그 이상 적분을 '''특이 적분'''(特異積分, {{llang|en|singular integral}})이라고 한다.

=== 무한대 적분 ===
특히, 실수 함수 <math>f\colon[a,\infty)\to\mathbb R\qquad(a\in\mathbb R)</math>가 임의의 <math>[a,\beta]\subseteq[a,\infty)</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>\int_a^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{\beta\to\infty}\int_a^\beta f(x)\mathrm dx</math>
마찬가지로, 실수 함수 <math>f\colon(-\infty,b]\to\mathbb R\qquad(b\in\mathbb R)</math>가 임의의 <math>[\alpha,b]\subseteq(-\infty,b]</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^bf(x)\mathrm dx</math>
또한, 실수 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 임의의 <math>[\alpha,\beta]\subseteq\mathbb R</math> 위의 적분 가능 함수라고 할 때, <math>f</math>의 '''이상 적분'''은 다음과 같은 극한이다.
:<math>
\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx
=\lim_{\alpha\to-\infty}\lim_{\beta\to\infty}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx
=\lim_{\alpha\to-\infty}\int_\alpha^0f(x)\mathrm dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_0^\beta f(x)\mathrm dx
</math>
이와 같이 적분 상한이 양의 무한대이거나, 적분 하한이 음의 무한대인 이상 적분을 '''무한대 적분'''(無限大積分)이라고 한다.

=== 코시 주요값 ===
{{본문|코시 주요값}}
(수렴하지 않을 수 있는) 이상 적분에 대하여 '''코시 주요값'''(Cauchy主要-, {{llang|en|Cauchy principal value}}) 또는 '''코시 주치'''(Cauchy主値)라 불리는 값을 줄 수 있다. 즉, 이상 적분
:<math>
\int_a^bf(x)\mathrm dx=
\lim_{\gamma_1\to c_0+0}\lim_{\delta_1\to c_1-0}\cdots\lim_{\gamma_n\to c_{n-1}+0}\lim_{\delta_n\to c_n-0}
\sum_{k=1}^n\int_{\gamma_k}^{\delta_k}f(x)\mathrm dx
</math>
의 '''코시 주요값'''은
:<math>\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0+0}\sum_{k=1}^n\int_{c_{k-1}+\epsilon}^{c_k-\epsilon}f(x)\mathrm dx</math>
이다. 특수한 경우의 이상 적분의 코시 주요 값은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 이상 적분 !! 코시 주요값
|-
| <math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\alpha\to a+0}\lim_{\beta\to b-0}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx</math>
|| <math>\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0+0}\int_{a+\epsilon}^{b-\epsilon}f(x)\mathrm dx</math>
|-
| <math>\int_a^bf(x)\mathrm dx
=\lim_{\delta\to c-0}\lim_{\gamma\to c+0}\left(\int_a^\delta f(x)\mathrm dx+\int_\gamma^bf(x)\mathrm dx\right)</math>
|| <math>\operatorname{PV}\int_a^bf(x)\mathrm dx
=\lim_{\epsilon\to0+0}\left(\int_a^{c-\epsilon}f(x)\mathrm dx+\int_{c+\epsilon}^bf(x)\mathrm dx\right)</math>
|-
| <math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx
=\lim_{\alpha\to-\infty}\lim_{\beta\to\infty}\int_\alpha^\beta f(x)\mathrm dx</math>
|| <math>\operatorname{PV}\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm dx
=\lim_{\gamma\to\infty}\int_{-\gamma}^\gamma f(x)\mathrm dx</math>
|}

== 주요 적분의 이상 적분 ==
=== 리만 적분 ===
(이상 적분을 사용하지 않는) [[리만 적분]]은 [[유계 함수]]의 [[유계 구간]] 위의 적분에 제한된다. 그러나, 이상 적분을 사용하는 리만 적분은 [[무계 함수]]의 적분이나, [[무계 구간]] 위의 적분이 일부 허용된다. 리만 적분은 [[르베그 적분]]보다 좁은 의미의 적분이나, 이상 적분을 사용하는 리만 적분은 르베그 적분에서만 가능했던 적분이 일부 허용되며, 르베그 적분에서 불가능한 적분 역시 일부 허용된다.

=== 헨스톡-쿠르츠바일 적분 ===
이상 적분을 사용하는 [[헨스톡-쿠르츠바일 적분]]은 이상 적분을 사용하지 않는 헨스톡-쿠르츠바일 적분의 적분 가능 함수의 범위를 넓혀주지 못한다. 즉, 헨스톡-쿠르츠바일 적분에선 이상 적분을 사용할 필요가 없다.

== 성질 ==
=== 수렴성 ===
적분 가능 함수의 이상 적분은 수렴하며, 그 값은 이상 적분을 사용하지 않은 적분 값과 같다.

이상 적분은 [[급수 (수학)|급수]]와 달리 수렴(또는 절대 수렴)하더라도, 함수가 0에 수렴할 필요가 없으며, 유계 함수일 필요가 없다.

극한값이 존재하면 이상적분은 수렴한다. 또한 이상적분이 무한대로 발산하는 경우 또한 존재한다.
:<math>\lim_{b\to\infty}\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \infty.</math>
어떤 이상적분은 특별한 방향없이 발산하는 경우도 있다.
:<math>\lim_{b\to\infty}\int_1^b x\sin x\, dx,</math>
위와 같은 적분은 [[확장된 실수]] 내에서도 값이 존재하지 않는다.

적분 구간의 양 끝값이 무한인 경우, 임의의 실수 c에 대해
:<math>\int_{-\infty}^c f(x)\, dx</math> 와 <math>\int_{c}^\infty f(x)\, dx</math>가 수렴하면
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = \int_{-\infty}^c f(x)\, dx + \int_{c}^\infty f(x)\, dx</math>이다.
만약 둘 중 하나라도 발산한다면 적분 구간의 양 끝값이 무한인 f(x)의 이상적분은 발산한다.

함수에 따라서는 이러한 적분구간의 양 끝값이 무한인 경우라도 적분값이 수렴하는 경우도 있다. 예를 들어 [[가우스 적분]](Gaussian integral) <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>이 있다.

이상 적분과 관련된 가장 주요문제는 다음 두 가지이다.
*극한이 존재하는가?
*극한을 계산할 수 있는가?
첫 번째 질문은 [[해석학]]의 문제이다. 두 번째 질문은 [[미적분학]]에서 다루지만 종종 [[복소해석학]]의 [[경로적분법]](contour integration)이나   [[푸리에 해석]] 등의 고급 기법을 동원하는 경우도 있다.

== 예 ==
다음 적분은 적분구간이 무한하므로 통상적인 리만 적분으로는 값을 계산할 수 없다.
:<math>\int\limits_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx</math>
그러나 리만 적분의 극한값으로 그 값을 정의할 수 있다.
:<math>\lim_{b\to\infty} \int\limits_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1. </math>
다음과 같은 적분도 함수가 구간내에서 발산하므로 역시 리만 적분으로 계산할 수 없다.
:<math>\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.</math>
그러나 적분의 극한값을 이용하여 그 값을 정의할 수 있다.
:<math>\lim_{a\to 0^+}\int\limits_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2,</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|id=Improper_integral|title=Improper integral}}
* {{매스월드|id=ImproperIntegral|title=Improper integral}}
* {{매스월드|id=SingularIntegral|title=Singular integral}}
* {{플래닛매스|urlname=ImproperIntegral|title=Improper integral}}
* {{플래닛매스|urlname=ListOfImproperIntegrals|title=List of improper integrals}}
* {{플래닛매스|urlname=methodsofevaluatingimproperintegrals|title=Methods of evaluating improper integrals}}
* {{플래닛매스|urlname=ConvergenceOfIntegrals|title=Convergence of integrals}}
* {{플래닛매스|urlname=UniformConvergenceOfIntegral|title=Uniform convergence of integral}}
* {{플래닛매스|urlname=cauchyprincipalpartintegral|title=Cauchy principal part integral}}
* {{플래닛매스|urlname=latexsymbolforcauchyprincipalvalue|title=\LaTeX symbol for Cauchy principal value}}
* {{proofwiki|id=Definition:Improper Integral|제목=Definition:Improper integral}}
* {{proofwiki|id=Definition:Divergent Improper Integral|제목=Definition:Divergent improper integral}}
* {{proofwiki|id=Definition:Absolute Convergence/Improper Integral|제목=Definition:Absolute convergence/Improper integral}}
* {{proofwiki|id=Comparison Test for Improper Integral|제목=Comparison test for improper integral}}
* {{proofwiki|id=Definition:Cauchy Principal Value|제목=Definition:Cauchy principal value}}

[[분류:적분학]]