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'''스토크스 변수'''는 ([[가시광선]] 등을 포함한) [[전자기파]]의 [[편광]] 상태를 설명하기 위해 도입된 값이다. 이 변수들은 [[1852년]] [[조지 가브리엘 스토크스]]에 의해, 결맞지 않거나 부분 편광된 광선에서 전체 광량 (Intensity, ''I''), 편광도(Degree of polarization, ''p''), 그리고 [[편광 타원]]의 모양변수 등에 대한 일반적인 설명을 간편하게 수학적으로 대체하기 위해 도입되었다. 스토크스 변수와 광량, 편광 타원의 매개변수들 사이의 관계는 다음의 관계식과 그림에 나타나 있다.

[[파일:Poincare_sphere.png|right|포앵카레 구면]]

:<math> \begin{matrix}
S_0 &=& I \\
S_1 &=& I p \cos 2\psi \cos 2\chi\\
S_2 &=& I p \sin 2\psi \cos 2\chi\\
S_3 &=& I p \sin 2\chi
\end{matrix} </math>

여기에서 <math>I p</math>, <math>2\psi</math>, <math>2\chi</math>는 스토크스 변수 <math>S_1</math>, <math>S_2</math>, <math>S_3</math>를 [[3차원 공간]]상에 표현했을 때 편광 상태의 [[구면 좌표계]] 성분들이다. 위 식에서 <math>\psi</math> 앞의 상수 2는 어떤 편광 타원이든 180°회전시 구분할 필요가 없음을 뜻하고, <math>\chi</math> 앞의 2는 타원의 반축 길이가 90°회전과 연계되어 바뀜을 가리킨다. 네 스토크스 변수들은 각각 ''I'', ''Q'', ''U'', ''V''로 쓰이기도 한다.

스토크스 변수들이 주어지면 각각의 구면 좌표계 성분은 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

[[파일:Polarization_ellipse.svg|right|편광 타원]]
:<math> \begin{matrix}
I &=& S_0 \\
2\psi &=& \tan^{-1} \frac{S_2}{S_1}\\
2\chi &=& \tan^{-1} \frac{\cos 2\psi}{S_1}\\
p &=& \frac{s3}{I \sin 2\chi}\\
\end{matrix} </math>


== 스토크스 벡터 ==
스토크스 변수들은 종종 [[스토크스 벡터]]라 불리는 [[유클리드 벡터|벡터]]의 형태로 사용된다.
:<math>
\vec S \ = 
\begin{pmatrix} S_0 \\ S_1 \\ S_2 \\ S_3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I \\ Q \\ U \\ V\end{pmatrix}
</math>

스토크스 벡터는 무편광(unpolarized), 부분편광(partially polarized), 또는 완전편광(totally polarized)된 빛의 공간을 생성(span)한다. 참고로, [[존스 벡터]]는 완전편광된 빛의 공간만 생성할 뿐이지만 [[결맞음|결맞은]] 빛의 문제를 해결하는 데에는 더 유용하기 때문에 널리 쓰인다. 사실 네 개의 스토크스 변수는 공간에서의 축요소(basis)로 쓸 수 있는 것도 아니지만, 측정하거나 계산하기 쉽기 때문에 선택한 것이다.

광학계의 편광 효율는 입사광의 스토크스 벡터 집합에 [[뮬러 행렬]]을 곱하면 빛이 광학계를 투과한 후의 스토크스 벡터를 구하면서 바로 확인할 수 있다.

=== 예시 ===
다음 예시는 일반적인 빛의 몇몇 편광 상태를 스토크스 벡터로 표현한 것이다.
{| class="wikitable bordered" style="text-align:center"
|-
!편광형태
|선형편광 (수평)||선형편광 (수직)||선형편광 (+45˚)||선형편광 (-45˚)
|-
!스토크스 벡터
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} </math>
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}</math>
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}</math>
|-
!편광형태
|우원편광||좌원편광||무편광
|-
!스토크스 벡터
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}</math>
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}</math>
|<math> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>
|}

== 다른 방식의 설명 ==
[[파일:PolarizationEllipse.png|right]]
[[단색]] [[평면파]]는 전파되는 방향의 벡터(propagation vector) <math>\vec{k}</math>와 축요소가 <math>(\hat{\epsilon}_1,\hat{\epsilon}_2)</math>일 때 [[전기장]]의 복소수 진폭 <math>E_1</math>, <math>E_2</math>의 관계식으로 표현할 수 있다. 또한, 전파 벡터, 위상 <math>\phi</math>, (그리고 고정된 평면에서 전기장의 변화 곡선을 투영한) 편광 상태 <math>\Psi</math>의 관계식으로 표현할 수도 있다. 널리 알려진 편광 상태인 [[편광|직선편광]]과 [[편광|원편광]]은 가장 일반적인 [[편광|타원편광]]의 특수한 경우라 할 수 있다.

일반적인 타원편광은 편광 타원의 [[반장축]](半長軸; 타원의 장축 길이 절반) A와 [[반단축]](半短軸; 타원의 단축 길이 절반) B인 타원이 ''x'' 축에서 <math>\theta</math>만큼 회전한 것으로 설명할 수 있다 (오른쪽 그림 참조). 스토크스 변수 ''I'', ''Q'', ''U'', ''V''는 실험적으로 편광 상태를 설명할 때 편리하게 사용되는데, 각 변수들이 측정된 광도의 합이나 차와 바로 연관되기 때문이다. 다음 그래프들은 특수한 경우 스토크스 변수들의 예이다.

[[파일:StokesParameters.png|center]]

=== 정의 ===
스토크스 변수는 다음과 같이 정의된다.

:<math> \begin{matrix}
I & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & |E_x|^{2}+|E_y|^{2}, \\
  &   =    & |E_a|^{2}+|E_b|^{2}, \\
  &   =    & |E_l|^{2}+|E_r|^{2}, \\
Q & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & |E_x|^{2}-|E_y|^{2}, \\
U & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & |E_a|^{2}-|E_b|^{2}, \\
V & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & |E_l|^{2}-|E_r|^{2},
\end{matrix} </math>

여기서 밑에 쓰인 문자들은 각각 세 축요소를 뜻한다. [[데카르트 좌표계|데카르트 좌표]]에서 (<math>\hat{x},\hat{y}</math>), '''데카르드 좌표계'''를 45°회전시킨 경우의 (<math>\hat{a},\hat{b}</math>), [[원통 좌표계]]에서 (<math>\hat{l},\hat{r}</math>). 원통 좌표계에서 <math>\hat{l} = (\hat{x}+i\hat{y})/\sqrt{2}</math>이다. 다음 그림은 스토크스 변수의 부호가 편광 타원의 반장축 방향과 회전방향에 따라 어떻게 바뀌는지 보여준다.

[[파일:StokesParamSign1.png|center]]

=== 고정된 축에 대한 표현 ===
고정된 (<math>\hat{x},\hat{y}</math>)에 대해, 스토크스 변수는 다음과 같다.

:<math> \begin{matrix}
I&=&|E_x|^2+|E_y|^2, \\
Q&=&|E_x|^2-|E_y|^2, \\
U&=&2\mbox{Re}(E_x^*E_y),   \\
V&=&2\mbox{Im}(E_x^*E_y),   \\
\end{matrix}
</math>

반면, <math>(\hat{a},\hat{b})</math>에 대해선,

:<math> \begin{matrix}
I&=&|E_a|^2+|E_b|^2,     \\
Q&=&-2\mbox{Re}(E_a^{*}E_b),        \\
U&=&|E_a|^{2}-|E_b|^{2},        \\
V&=&2\mbox{Im}(E_a^{*}E_b).     \\
\end{matrix}
</math>

이고, <math>(\hat{l},\hat{r})</math>에 대해선

:<math> \begin{matrix}
I &=&|E_l|^2+|E_r|^2, \\
Q&=&2\mbox{Re}(E_l^*E_r),    \\
U & = &-2\mbox{Im}(E_l^*E_r),   \\
V & =&|E_l|^2-|E_r|^2. \\
\end{matrix} </math>
이 된다.

=== 속성 ===
순수한 [[단색]]의 [[결맞음|결맞은]] 빛(monochromatic coherent light)의 경우엔
:<math>
\begin{matrix}
Q^2+U^2+V^2 = I^2,
\end{matrix}
</math>

이지만, 보통의 백색광(결맞지 않은)의 경우에 스토크스 변수는 평균값으로 정의되고, 위의 등식은 다음과 같은 부등식이 된다.

:<math>
\begin{matrix}
Q^2+U^2+V^2 \le I^2.
\end{matrix}
</math>

그러나, 여기에서 총 편광량(total polarized intensity) <math>I_p</math>를 정의해서

:<math>
\begin{matrix}
Q^{2} + U^2 +V^2 = I_p^2,
\end{matrix}
</math>
로 쓸 수 있고, <math>I_p/I</math>는 전체 편광 비율이 된다.

선형편광시 복소 광량을 다음과 같이 정의해보자.

:<math>
\begin{matrix}
L & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & |L|e^{i2\theta} \\
              & \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   & Q +iU. \\
\end{matrix}
</math>

편광 타원에서 <math>\theta \rightarrow \theta+\theta'</math>로 회전했을 때, ''I'' 와 ''V''는 불변이지만,

:<math>
\begin{matrix}
L & \rightarrow & e^{i2\theta'}L, \\
Q & \rightarrow & \mbox{Re}\left(e^{i2\theta'}L\right), \\
U & \rightarrow & \mbox{Im}\left(e^{i2\theta'}L\right).\\
\end{matrix}
</math>

이 되어, 스토크수 변수들의 다음과 같은 경향성을 추론할 수 있다.

:<math>
\begin{matrix}
I & \ge & 0, \\
V & \in & \mathbb{R}, \\
L & \in & \mathbb{C}, \\
\end{matrix}
</math>

여기서 ''I''는 전체 광량을 의미하고, <math>|V|</math>, <math>|L|</math>은 각각 원편광, 선형편광된 광량을 뜻한다. 이때 전체 편광된 광량 <math>I_p=\sqrt{L^2+V^2}</math>이고, 타원축의 방향과 회전은 다음과 같이 주어지게 된다.

:<math>
\begin{matrix}
\theta &=& \frac{1}{2}\arg(L), \\
h      &=& \sgn(V). \\
\end{matrix}
</math>

여기서 <math>Q=\mbox{Re}(L)</math>이고 <math>U=\mbox{Im}(L)</math>이기 때문에,

:<math>
\begin{matrix}
|L|    &=& \sqrt{Q^2+U^2}, \\
\theta &=& \frac{1}{2}\tan^{-1}(U/Q). \\
\end{matrix}
</math>

이 된다.

=== 편광 타원과의 관계 ===
편광 타원에서 매개변수들은 스토크스 변수인

:<math>
\begin{matrix}
I_p & = & A^2 + B^2,           \\
Q   & = & (A^2-B^2)\cos(2\theta), \\
U   & = & (A^2-B^2)\sin(2\theta),  \\
V   & = & 2ABh.     \\
\end{matrix}
</math>

를 가리키며, 위 식을 통해

:<math>
\begin{matrix}
A & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p+|L|)} \\
B & = & \sqrt{\frac{1}{2}(I_p-|L|)} \\
\theta & = & \frac{1}{2}\arg(L)\\
h & = & \sgn(V). \\
\end{matrix}
</math>

임을 알 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[뮬러 행렬]]
* [[존스 행렬]]
* [[편광]]

{{전거 통제}}

[[분류:편광]]
[[분류:광학]]