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[[범주론]]에서 '''당김'''({{llang|en|pullback|풀백}})은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, [[곱 (범주론)|곱]]의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 '''올곱'''({{llang|en-US|fibered product}}, {{llang|en-GB|fibred product}})이라고 불린다.

== 정의 ==
어떤 [[범주 (수학)|범주]]에서 대상 <math>X,Y,Z</math> 및 [[사상 (수학)|사상]]
:<math>X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY</math>
이 주어졌을 때, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 '''당김''' <math>X\times_ZY</math>는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 <math>P</math> 및 사상 <math>p_1,p_2</math>으로 구성된다.
:<math>\begin{matrix}
P&\overset{p_1}\to&X\\
{\scriptstyle p_2}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
Y&\underset g\to&Z
\end{matrix}</math>
위와 같은 가환 그림을 '''당김 사각형'''({{llang|en|pullback square}})이라고 한다. 이 그림에서, <math>f</math>를 <math>g</math>에 대한 '''당김''' 또는 '''밑 변환'''(-變換, {{llang|en|base change}})이라고 한다.

이는 범주론적 [[극한 (범주론)|극한]]을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 <math>P'</math> 및 사상 <math>p'_1\colon P'\to X</math>, <math>p'_2\colon P'\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ p'_1=g\circ p'_2</math>라면 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 <math>u\colon P'\to P</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
&&P'\\
^{p'_1}&\swarrow&\downarrow\scriptstyle\exists!u&\searrow&^{p'_2}\\
X&\leftarrow&P&\rightarrow&Y\\
_f&\searrow&&\swarrow&_g\\
&&Z
\end{matrix}</math>

만약 <math>X=Y</math>이며 <math>f=g</math>일 경우, <math>X\xrightarrow fZ\xleftarrow fX</math>의 당김은 '''핵쌍'''(核雙, {{llang|en|kernel pair}})이라고 한다.

=== 밑 변환 ===
범주 <math>\mathcal C</math>의 사상에 대한 어떤 성질 <math>\mathfrak P</math>가 주어졌다고 하자. (즉, <math>\mathcal C</math>의 사상들의 [[모임 (집합론)|모임]] <math>\mathfrak P\subseteq\operatorname{Mor}(\mathcal C)</math>가 주어졌다고 하자.)

만약 모든 <math>\mathfrak P</math> 사상 <math>f\colon X\to Y</math> 및 임의의 사상 <math>Y'\to Y</math>에 대하여 밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math> 역시 <math>\mathfrak P</math> 사상이라면, <math>\mathfrak P</math>를 '''밑 변환에 대하여 안정적인 성질'''({{llang|en|property invariant under base change}})이라고 한다.

밑 변환에 대하여 불안정한 성질 <math>\mathfrak P</math>에 대하여, '''보편 <math>\mathfrak P</math> 사상'''({{llang|en|universally <math>\mathfrak P</math> morphism}})은 다음 조건을 만족시키는 사상 <math>f\colon X\to Y</math>이다.
* 임의의 사상 <math>Y'\to Y</math>에 대하여, 밑 변환 <math>f'\colon X\times_YY'\to Y'</math>은 <math>\mathfrak P</math> 사상이다.

범주 <math>\mathcal C</math>가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 밑 변환에 의하여, 임의의 사상 <math>f\colon B'\to B</math>에 대하여 [[조각 범주]] 사이의 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>f^*\colon\mathcal C/B\to\mathcal C/B'</math>
가 존재하며, 이는 [[조각 범주]]의 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.
:<math>f^*\colon (X\to B)\mapsto (X\times_BB'\to B')</math>
:<math>f^*\colon \begin{pmatrix}
X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&\searrow\\
Y&\to&B
\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}
X\times_BB'\\
{\scriptstyle f^*g}\downarrow&\searrow\\
Y\times_BB'&\to&B
\end{pmatrix}</math>
여기서 사상 <math>X\times_BB'\to Y\times_BB'</math>는 다음과 같이, 당김 보조정리에 의하여 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
X\times_BB'&\cong&X\times_Y(Y\times_BB')&\to&Y\times_BB'&\to&B'\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&&X&\to&Y&\to&B
\end{matrix}</math>
즉, 왼쪽·오른쪽 사각형이 둘 다 당김 사각형이므로 전체 사각형 역시 당김 사각형이며, <math>X\times_Y(Y\times_BB')\cong X\times_BB'</math>이 된다.

만약 <math>\mathcal C</math>가 [[토포스]]라면, 그 위의 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/B</math>, <math>\mathcal C/B'</math> 역시 [[토포스]]이며, 밑 변환 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]와 [[오른쪽 수반 함자]]를 갖는다.
:<math>f_!\dashv f^*\dashv f_*</math>
또한, <math>(f_!,f^*,f_*)</math>는 [[토포스]] 사이의 [[본질적 기하학적 사상]]을 이룬다.

== 성질 ==
=== 곱과의 관계 ===
(유한) [[곱 (범주론)|곱]]과 [[동등자]]가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 곱
:<math>X\xleftarrow{\pi_X}X\times Y\xrightarrow{\pi_Y}Y</math>
이 주어졌을 때,
:<math>X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY</math>
의 당김은
:<math>X\times Y\xrightarrow[g\circ\pi_Y]{f\circ\pi_X}Z</math>
의 [[동등자]]이다. 반대로, 당김과 [[곱 (범주론)|곱]]이 존재하는 범주에서는 [[동등자]]가 존재한다.

만약 <math>1</math>이 [[끝 대상]]일 경우, <math>X\times_1Y\cong X\times Y</math>이다. 즉, [[끝 대상]]이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

=== 당김 사각형의 붙임 ===
다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.
:<math>\begin{matrix}
\bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\bullet&\to&\bullet&\to&\bullet\\
\end{matrix}</math>
이 그림에서, 왼쪽 사각형 · 오른쪽 사각형 · 전체 사각형이 각각 당김 사각형을 이루는지 여부를 고려할 수 있다. 그렇다면, '''당김 보조정리'''({{llang|en|pullback lemma}})에 따르면 다음이 성립한다.
* 오른쪽 사각형이 당김 사각형이라고 가정했을 때, 왼쪽 사각형이 당김 사각형인 것은 전체 사각형이 당김 사각형인 것과 [[동치]]이다.
그러나 이러한 정리는 왼쪽 사각형에 대하여 성립하지 않는다.  즉, 두 개의 당김 사각형을 붙여 당김 사각형을 만들 수 있고, 반대로 당김 사각형을 반으로 갈랐을 때 오른쪽이 당김 사각형이라면 왼쪽도 마찬가지다. (그러나 왼쪽이 당김 사각형일 경우 오른쪽은 아닐 수 있다.)

즉, 다음과 같은 경우가 가능하다. (표에서 "예"는 당김 사각형인 경우, "아니오"는 당김 사각형이 아닌 경우이다.)
{| class=wikitable
|-
! 오른쪽 || 왼쪽 || 전체 || 가능?
|-
| 예 || 예 || 예 || 가능
|-
| 예 || 예 || 아니오 || 불가능
|-
| 예 || 아니오 || 예 || 불가능
|-
| 예 || 아니오 || 아니오 || 가능
|-
| 아니오 || 예 || 예 || 가능
|-
| 아니오 || 예 || 아니오 || 가능
|-
| 아니오 || 아니오 || 예 || 가능
|-
| 아니오 || 아니오 || 아니오 || 가능
|}

== 예 ==
=== 대수적 범주 ===
[[대수 구조 다양체]]로 정의되는 범주의 경우, 당김이 항상 존재하며, 보통 '''올곱'''으로 불린다. 다음과 같은 [[대수 구조]] 및 [[준동형]]
:<math>X\xrightarrow fZ\xleftarrow gY</math>
의 당김은 다음과 같다.
:<math>X\times_ZY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\in Z\}=\bigsqcup_{z\in Z}f^{-1}(z)\times g^{-1}(z)\subset X\times Y</math>
이 경우 사상 <math>X\times_ZY\to X</math>, <math>X_\times ZY\to Y</math>는 자연스러운 사영 함수 <math>(x,y)\mapsto x</math>, <math>(x,y)\mapsto y</math>이다. 예를 들어, [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>는 아무런 연산을 갖지 않는 [[대수 구조]]이므로 당김이 존재한다. 마찬가지로, [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>, [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>, [[유사환]]의 범주 <math>\operatorname{Rng}</math>, [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>, [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math> 등에서도 모두 당김이 존재한다.

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주에서, <math>X\to Z\leftarrow Y</math>의 당김은 [[곱공간]] <math>X\times Y</math>의 다음과 같은 [[부분 공간]]이다.
:<math>X\times_ZY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=f(y)\}\subseteq X\times Y</math>
집합으로서 이는 집합의 범주에서의 당김과 같다.

특히, [[올다발]] <math>\pi\colon E\to B</math> 및 [[연속 함수]] <math>X\to B</math>가 주어졌을 때, <math>E\times_BX</math>는 <math>X</math> 위에서 정의된 <math>\pi</math>의 [[당김 올다발]]이다. "당김"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

=== 스킴 ===
스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math>는 [[유한 완비 범주]]이며, 특히 모든 당김을 갖는다. 스킴의 당김은 (망각 함자 <math>\operatorname{Sch}\to\operatorname{Top}</math> 아래) 일반적으로 위상 공간의 당김과 다르다.

[[스킴 사상]]의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 안정적인 것은 다음이 있다.
* [[전사 함수]]
* [[준콤팩트 함수]]
* [[닫힌 몰입]]
* [[열린 몰입]]
* [[분리 사상]]
* [[준분리 사상]]
* [[유한 사상]]
* [[국소 유한 표시 사상]]
** [[유한 표시 사상]] = [[준콤팩트 함수]] + [[준분리 사상]] + [[국소 유한 표시 사상]]
* [[국소 유한형 사상]]
** [[유한형 사상]] = [[준콤팩트 함수]] + [[국소 유한형 사상]]
* [[고유 사상]]
* [[평탄 사상]]
* [[형식적 매끄러운 사상]]
** [[매끄러운 사상]] = [[국소 유한 표시 사상]] + [[형식적 매끄러운 사상]]
* [[형식적 비분기 사상]]
** [[비분기 사상]] = [[국소 유한 표시 사상]] + [[형식적 비분기 사상]]
** [[에탈 사상]] = [[국소 유한 표시 사상]] + [[형식적 매끄러운 사상]] + [[형식적 비분기 사상]]

[[스킴 사상]]의 성질 가운데 밑 변환에 대하여 불안정한 것은 다음이 있다.
* [[전단사 함수]]
* [[단사 함수]]
* [[열린 함수]]
* [[닫힌 함수]]
* [[우세 사상]]
* [[위상 동형]]

== 같이 보기 ==
* [[곱 (범주론)]]
* [[밂 (범주론)]]
* [[데카르트 사상]]

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fibre product of objects in a category}}
* {{매스월드|id=PullbackMap|title=Pullback map}}
* {{nlab|id=pullback|title=Pullback}}
* {{nlab|id=kernel pair|title=Kernel pair}}
* {{nlab|id=base change|title=Base change}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]