{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Triangle.Orthocenter.svg|섬네일|수심]]
[[기하학]]에서 '''수심'''(垂心, {{llang|en|orthocenter}})은 [[삼각형]]의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 [[수직|수선]]이 공통으로 지나는 점이다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref><ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref><ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 [[수직|수선]]은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''수심''' <math>H</math>라고 한다.
{{증명|부제=원주각을 통한 증명}}
꼭짓점 <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 두 수선 <math>BH_B</math>, <math>CH_C</math>의 교점을 <math>H</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\angle AH_BH=\angle AH_CH=\angle BH_BC=\angle BH_CC=90^\circ</math>
이므로 <math>H_B</math>, <math>H_C</math>는 선분 <math>AH</math>를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 <math>BC</math>를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 <math>A</math>, <math>H_B</math>, <math>H</math>, <math>H_C</math>는 한 원 위의 점이며, 점 <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math> 역시 한 원 위의 점이다. [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle HAB=\angle HH_BH_C=\angle BCH_C</math>
이다. 따라서
:<math>\angle HAB+\angle ABC=\angle BCH_C+\angle ABC=\angle AH_CC=90^\circ</math>
이며, <math>AH</math>는 <math>BC</math>의 수선이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=외심과 무게 중심을 통한 증명|각주=<ref name="Honsberger" />{{rp|17, §2.1}}}}
[[정삼각형]]의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 [[수직 이등분선]]과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 [[외심]]에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 <math>ABC</math>의 외심을 <math>O</math>, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]을 <math>G</math>, 변 <math>BC</math>의 [[중점 (기하학)|중점]]을 <math>M_A</math>라고 하자. 그렇다면 <math>O\ne G</math>이다. 유향 선분 <math>OG</math>의 연장선 위에서 <math>GH=2OG</math>인 점 <math>H</math>를 잡자. 그렇다면 <math>G</math>는 선분 <math>AM_A</math> 위의 점이며 <math>AG=2GM_A</math>, <math>\angle AGH=\angle M_AGO</math>이므로, 삼각형 <math>AGH</math>와 <math>M_AGO</math>는 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 특히 <math>\angle GAH=\angle GM_AO</math>이므로 <math>AH</math>와 <math>OM_A</math>는 평행하며, <math>OM_A</math>는 <math>BC</math>의 수선이므로 <math>AH</math> 역시 변 <math>BC</math>의 수선이다. 마찬가지로 <math>BH</math>, <math>CH</math>는 각각 변 <math>AC</math>, <math>AB</math>의 수선이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=근축을 통한 증명|각주=<ref name="Coxeter" />{{rp|38, §2.4}}}}
꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 그렇다면 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>를 지름으로 하는 두 원은 두 점 <math>A</math>, <math>H_A</math>에서 만나므로 두 원의 [[근축]]은 직선 <math>AH_A</math>이다. 마찬가지로, 변 <math>AB</math>와 <math>BC</math>를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 <math>BH_B</math>이며, 변 <math>AC</math>, <math>BC</math>를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 <math>CH_C</math>이다. 따라서 세 직선 <math>AH_A</math>, <math>BH_B</math>, <math>CH_C</math>는 세 원의 [[근축|근심]]에서 만난다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=체바 정리를 통한 증명}}
꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\frac{AH_C}{H_CB}\cdot\frac{BH_A}{H_AC}\cdot\frac{CH_B}{H_BA}=\frac{b\cos A}{a\cos B}\cdot\frac{c\cos B}{b\cos C}\cdot\frac{a\cos C}{c\cos A}=1</math>
이므로 [[체바 정리]]에 따라 직선 <math>AH_A</math>, <math>BH_B</math>, <math>CH_C</math>는 한 점에서 만난다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
[[예각 삼각형]]의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. [[직각 삼각형]]의 수심은 직각의 꼭짓점이다. [[둔각 삼각형]]의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.

=== 외접원과의 관계 ===
삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 [[외심]]과 대변 사이의 거리의 2배이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|23, §2.4}}

삼각형 <math>ABC</math>의 수심 <math>H</math>를 각 변에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]시킨 상은 [[외접원]] 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 수선 <math>AH_A</math>, <math>BH_B</math>, <math>CH_C</math>의 연장선과 외접원의 교점을 <math>H_A'</math>, <math>H_B'</math>, <math>H_C'</math>이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|18, §2.2}}
:<math>HH_A=H_AH_A'</math>
:<math>HH_B=H_BH_B'</math>
:<math>HH_C=H_CH_C'</math>
{{증명}}
원주각의 성질에 따라
:<math>\angle H_A'=\angle C=90^\circ-\angle HBH_A=\angle BHH_A'</math>
이므로 <math>BH=BH_A'</math>이다. <math>BH_A</math>는 <math>HH_A'</math>의 수선이므로 <math>H_A</math>는 선분 <math>HH_A'</math>의 중점이다.
{{증명 끝}}

삼각형의 외심은 [[중점 삼각형]]의 수심이다.

삼각형의 수심과 외심은 [[등각 켤레점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|71, §7.4, (ix)}} 삼각형 <math>ABC</math>의 수심을 <math>H</math>, 외심을 <math>O</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Coxeter" />{{rp|37, §2.4, (2.42)}}
:<math>\angle OAH=|\angle ABC-\angle ACB|</math>
:<math>\angle OBH=|\angle BAC-\angle ACB|</math>
:<math>\angle OCH=|\angle BAC-\angle ABC|</math>
{{증명}}
점 <math>A</math>를 지나는 외접원의 지름을 <math>AA'</math>이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
:<math>\angle OAC=90^\circ-\angle AA'C=90^\circ-\angle B=\angle HAB</math>
이다. 따라서
:<math>\angle OAH=|\angle BAC-\angle HAB-\angle OAC|=|\angle BAC-2(90^\circ-\angle B)|=|\angle BAC+2\angle B-(\angle BAC+\angle B+\angle C)|=|\angle B-\angle C|</math>
이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이를 <math>BC=a</math>, <math>AC=b</math>, <math>AB=c</math>, 반둘레를 <math>s</math>, 외접원의 반지름을 <math>R</math>, 내접원의 반지름을 <math>r</math>라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 <math>O</math>, 내심 <math>I</math>, 수심 <math>H</math>를 잇는 삼각형 <math>OIH</math>의 넓이는 다음과 같다.<ref name="Mitrinović">{{서적 인용
|성1=Mitrinović
|이름1=D. S.
|성2=Pečarić
|이름2=J. E.
|성3=Volenec
|이름3=V.
|제목=Recent Advances in Geometric Inequalities
|언어=en
|총서=Mathematics and Its Applications
|권=28
|출판사=Springer Science+Business Media, B.V.
|위치=Dordrecht
|날짜=1989
|isbn=978-90-481-8442-2
|doi=10.1007/978-94-015-7842-4
}}</ref>{{rp|2, §1.1.1, Theorem B1}}
:<math>\begin{align}S_{OIH}
&=2R^2\sin\frac{A-B}2\sin\frac{B-C}2\sin\frac{C-A}2\\
&=\frac{|a-b||b-c||c-a|}{8r}\\
&=\frac{\sqrt{-s^4+2s^2(2R^2+10Rr-r^2)-r(4R+r)^3}}4
\end{align}</math>

=== 수선 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 수심을 <math>H</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Coxeter" />{{rp|36, §2.4, (2.41)}}
:<math>AH_A=\frac{bc}{2R}=b\sin C=c\sin B</math>
:<math>BH_B=\frac{ac}{2R}=a\sin C=c\sin A</math>
:<math>CH_C=\frac{ab}{2R}=a\sin B=b\sin A</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 수심을 <math>H</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|19, §2.2, (b)}}<ref name="Coxeter" />{{rp|37, §2.4, (2.44)}}
:<math>AH_A\cdot HH_A=BH_A\cdot CH_A</math>
:<math>BH_B\cdot HH_B=AH_B\cdot CH_B</math>
:<math>CH_C\cdot HH_C=AH_C\cdot BH_C</math>
:<math>AH\cdot HH_A=BH\cdot HH_B=CH\cdot HH_C</math>
{{증명}}
수선 <math>AH_A</math>의 연장선과 외접원의 교점을 <math>H_A'</math>이라고 하자. 그렇다면 점 <math>H_A</math>를 지나는 외접원의 두 현 <math>AH_A'</math>, <math>BC</math>에 대한 [[방멱 정리]]에 따라
:<math>AH_A\cdot HH_A=AH_A\cdot H_AH_A'=BH_A\cdot CH_A</math>
이다.

점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>H_A</math>, <math>H_B</math>는 한 원 위의 점이므로, 점 <math>H</math>를 지나는 두 현 <math>AH_A</math>와 <math>BH_B</math>에 대한 방멱 정리에 따라
:<math>AH\cdot HH_A=BH\cdot HH_B</math>
이다.
{{증명 끝}}

마지막 등식에 따라, 삼각형 <math>ABC</math>의 두 [[체바 선분]]을 지름으로 하는 비(非)[[동심원]]의 [[근축]]은 수심 <math>H</math>를 지난다.<ref name="Coxeter" />{{rp|38, §2.4, Theorem 2.45}} 삼각형 <math>ABC</math>의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)[[동축원]]의 [[근축|근심]]은 수심 <math>H</math>이다.<ref name="Coxeter" />{{rp|38, §2.4, Theorem 2.46}} 삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 <math>ABC</math>, <math>AEF</math>, <math>BDF</math>, <math>CDE</math>의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.<ref name="Coxeter" />{{rp|39, §2.4, Theorem 2.47}}

=== 오일러 직선과 구점원 ===
{{본문|오일러 직선|구점원}}
삼각형 <math>ABC</math>의 수심 <math>H</math>, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]] <math>G</math>, [[외심]] <math>O</math>는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.
:<math>\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}</math>
만약 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형이라면, <math>H=G=O</math>이다. 만약 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형이 아니라면, 수심 <math>H</math>, 무게 중심 <math>G</math>, 외심 <math>O</math>를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''[[오일러 직선]]'''이라고 한다.

삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>, 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 중점 <math>M_A</math>, <math>M_B</math>, <math>M_C</math>, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 <math>AH_A</math>, <math>BH_B</math>, <math>CH_C</math>의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 '''[[구점원]]'''이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 [[중점 삼각형]]의 공통 외접원이다.

삼각형 <math>ABC</math>의 구점원의 중심 <math>N</math>은 무게 중심과 외심을 잇는 선분 <math>OG</math>의 중점이다. 특히 삼각형 <math>ABC</math>가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 <math>N</math>은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.

삼각형 <math>ABC</math> 및 외접원 위의 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 점 <math>P</math>와 수심 <math>H</math>를 잇는 선분 <math>PH</math>의 중점은 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 [[심슨 직선]] 위의 점이자 구점원 위의 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|47, §5.3}} 특히 점 <math>P</math>를 각 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 <math>H</math>를 지난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|43, §5.1}}
{{증명}}
꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 외접원의 지름을 <math>AA'</math>이라고 하자. 편의상 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이며 <math>P</math>가 호 <math>BA'</math> 위의 점이라고 가정하자. 점 <math>P</math>를 지나는 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 점 <math>P</math>를 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>에 대하여 반사시킨 상을 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>이라고 하자.

우선 선분 <math>PH</math>의 중점이 <math>P</math>의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. <math>HE'</math>과 <math>DE</math>가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 <math>BH</math>의 연장선과 <math>AC</math> 및 외접원의 교점을 <math>H_B</math>, <math>H_B'</math>이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 <math>HH_B=H_BH_B'</math>이다. 선분 <math>PH_B'</math>과 <math>AC</math>의 교점을 <math>Q</math>라고 하자. 그렇다면 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>H_B'</math>을 직선 <math>AC</math>에 대하여 반사시킨 상은 각각 <math>H</math>, <math>Q</math>, <math>E'</math>이므로, <math>Q</math>는 선분 <math>HE'</math> 위의 점이다. <math>PE'</math>과 <math>HH_B'</math>은 평행하며, <math>C</math>, <math>E</math>, <math>D</math>, <math>P</math>는 한 원 위의 점이므로, [[엇각]] 및 [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle PE'H=\angle E'PQ=\angle PH_B'B=\angle PCB=\angle PED</math>
이다. 따라서 <math>HE'</math>과 <math>DE</math>는 평행한다.

이제 선분 <math>PH</math>의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 <math>H</math>를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 [[중심 닮음 변환]]을 생각하자. 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 <math>AH</math>, <math>BH</math>, <math>CH</math>의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 <math>PH</math>의 중점은 외접원 위의 점 <math>P</math>에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다.
{{증명 끝}}

삼각형의 키페르트 포물선({{llang|en|Kiepert’s parabola}})의 준선은 오일러 직선이다.<ref name="Eddy">{{저널 인용
|성1=Eddy
|이름1=R. H.
|성2=Fritsch
|이름2=R.
|제목=The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle
|언어=en
|저널=Mathematics Magazine
|권=67
|호=3
|쪽=188–205
|날짜=1994-06
|issn=0025-570X
|doi=10.2307/2690610
|jstor=2690610
}}</ref>{{rp|200}} 삼각형의 모든 내접 [[포물선]]의 [[준선]]은 수심을 지난다.<ref name="Eddy" />{{rp|200}}

=== 수심 삼각형 ===
직각 삼각형이 아닌 삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''수심 삼각형'''(垂心三角形, {{llang|en|orthic triangle}}) <math>H_AH_BH_C</math>라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 [[수족 삼각형]]이자 수심의 [[체바 삼각형]]이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.

예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 [[내심]]이며,<ref name="Coxeter" />{{rp|17, §1.6, Theorem 1.61}} 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 [[방심]]이다.<ref name="Coxeter" />{{rp|18, §1.6, Exercise 3}} 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다.
{{증명}}
편의상 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 대변에 내린 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 수심을 <math>H</math>라고 하자. 그렇다면 사각형 <math>CH_AHH_B</math>, <math>BCH_BH_C</math>, <math>BH_CHH_A</math>는 모두 내접 사각형이므로
:<math>\angle AH_AH_B=\angle H_BCH_C=\angle H_BBH_C=\angle AH_AH_C</math>
이다. 따라서, <math>AH_A</math>는 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>의 <math>H_A</math>에서의 내각 이등분선이며, <math>BC</math>는 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>의 <math>H_A</math>에서의 외각 이등분선이다.
{{증명 끝}}

==== 파냐노 문제 ====
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 만약 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>이다. 이를 '''파냐노 문제'''({{llang|en|Pagnano’s problem}})라고 한다. 만약 삼각형 <math>ABC</math>가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 <math>A</math>라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 <math>AAH_A</math>이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).<ref name="Coxeter" />{{rp|88–89, §4.5}}<ref name="Isaacs" />{{rp|86–89, §2H, Problem 2.39}}
{{증명|제목=증명 1}}
편의상 <math>\angle ABC</math>와 <math>\angle ACB</math>가 예각이라고 하자. <math>D</math>가 변 <math>BC</math> 위의 고정된 점이라고 하고, <math>D'</math>, <math>D''</math>이 각각 점 <math>P</math>를 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면
:<math>\angle D'AD''=\angle D'AB+\angle BAC+\angle CAD''=\angle DAB+\angle BAC+\angle CAD=2\angle BAC</math>
이며, 변 <math>AB</math>, <math>AC</math> 위의 점 <math>E</math>, <math>F</math>에 대하여, 삼각형 <math>DEF</math>의 둘레는
:<math>p_{DEF}=DE+EF+FD=D'E+EF+FD''</math>
이다.

만약 <math>\angle BAC<90^\circ</math>라면, <math>\angle D'AD''<180^\circ</math>이므로 선분 <math>D'D''</math>은 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>와 교점 <math>E_D</math>, <math>F_D</math>를 갖는다. 고정된 점 <math>D</math>에 대하여, 이 두 점 <math>E_D</math>, <math>F_D</math>는 삼각형 <math>DEF</math>의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는
:<math>p_{DE_DF_D}=D'D''=2AD'\cos\angle AD'D''=2AD\cos((180^\circ-\angle D'AD'')/2)=2AD\cos(90^\circ-\angle BAC)=2AD\sin A</math>
이다. 따라서 최소 둘레 <math>p_{DE_DF_D}</math>를 가장 작게 만드는 점 <math>D</math>는 선분 <math>AD</math>의 길이를 가장 작게 만드는 점 <math>H_A</math>이다.

만약 <math>\angle BAC\ge 90^\circ</math>라면, <math>\angle D'AD''\ge 180^\circ</math>이므로 선분 <math>D'D''</math>은 변 <math>AB</math>, <math>AC</math>와 교점을 갖지 않는다. 변 <math>AB</math>, <math>AC</math> 위의 점 <math>E</math>, <math>F</math>에 대하여, 유향 선분 <math>D'A</math>의 연장선과 선분 <math>D''F</math>의 교점을 <math>A'</math>이라고 하자. 그렇다면
:<math>p_{DEF}=D'E+EF+FD''\ge D'F+FD''\ge D'A'+A'D''\ge D'A+AD''</math>
이다. 따라서 고정된 점 <math>D</math>에 대하여, 둘레 <math>p_{DEF}</math>를 가장 작게 만드는 두 점 <math>E</math>, <math>F</math>는 <math>A</math>, <math>A</math>이다. 이 경우 최소 둘레는
:<math>p_{DAA}=2AD</math>
이며, 이를 가장 작게 만드는 점 <math>D</math>는 점 <math>H_A</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=증명 2}}
예각 삼각형 <math>ABC</math>와 내접 삼각형 <math>DEF</math>가 주어졌다고 하자 (<math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math> 위의 점이다). 이를 차례로 직선 <math>AC</math>, <math>C_1B_1</math>, <math>B_2A_2</math>, <math>A_3C_3</math>, <math>C_4B_4</math>에 대하여 반사시켜 삼각형 <math>A_1B_1C_1</math>와 내접 삼각형 <math>D_1E_1F_1</math>, 삼각형 <math>A_2B_2C_2</math>와 내접 삼각형 <math>D_2E_2F_2</math>, 삼각형 <math>A_3B_3C_3</math>와 내접 삼각형 <math>D_3E_3F_3</math>, 삼각형 <math>A_4B_4C_4</math>와 내접 삼각형 <math>D_4E_4F_4</math>, 삼각형 <math>A_5B_5C_5</math>와 내접 삼각형 <math>D_5E_5F_5</math>를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 <math>A_5B_5</math>는 선분 <math>AB</math>를 [[평행 이동]]시킨 상이다. 벡터 <math>\overrightarrow{FF_5}</math>는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 <math>DEF</math>의 선택과 무관하다. 꺾인 선 <math>FE_1D_2F_3E_4D_5F_5</math>는 내접 삼각형 <math>DEF</math>의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 <math>DEF</math>가 수심 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 <math>ABC</math>의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>이다.
{{증명 끝}}

==== 수심축 ====
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 대변에 내린 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 직선 <math>H_BH_C</math>와 <math>BC</math>의 교점을 <math>D</math>, 직선 <math>H_AH_C</math>와 <math>AC</math>의 교점을 <math>E</math>, 직선 <math>H_AH_B</math>와 <math>AB</math>의 교점을 <math>F</math>라고 하자. 그렇다면 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''수심축'''({{llang|en|orthic axis}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|151, §13.2, (ii)}}
{{증명}}
편의상 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>는 수심 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>의 외각 이등분선이다. 따라서
:<math>\frac{H_AF}{FH_B}\cdot\frac{H_BD}{DH_C}\cdot\frac{H_CE}{EH_A}
=-\frac{H_AH_C}{H_BH_C}\cdot\frac{H_AH_B}{H_AH_C}\cdot\frac{H_BH_C}{H_AH_B}
=-1</math>
이며, [[메넬라오스 정리]]에 따라 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 공선점이다.
{{증명 끝}}

=== 수심계 ===
평면 위의 세 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 <math>ABC</math>가 [[직각 삼각형]]이라면, 수심 <math>H</math>는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 <math>ABC</math>가 직각 삼각형이 아니라면, <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>와 수심 <math>H</math>는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> 역시 각각 삼각형 <math>BCH</math>, <math>ACH</math>, <math>ABH</math>의 수심이다. 이 경우 네 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H</math>가 '''수심계'''(垂心系, {{llang|en|orthocentric system}})를 이룬다고 한다.<ref name="Isaacs" />{{rp|61–62, §2C}} 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다.
{{증명}}
점 <math>H</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 수심인 것은 직선 <math>AH</math>, <math>BH</math>, <math>CH</math>는 각각 직선 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math>의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H</math> 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H</math>의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 <math>H</math> 대신 남은 세 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.
{{증명 끝}}

[[수심계]] <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H</math> 속 네 삼각형 <math>ABC</math>, <math>ABH</math>, <math>ACH</math>, <math>BCH</math>의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다.
{{증명}}
네 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>H</math>가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 <math>AH</math>와 <math>BC</math>, <math>BH</math>와 <math>AC</math>, <math>CH</math>와 <math>AB</math>의 교점을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>H_AH_BH_C</math>는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.
{{증명 끝}}

=== 드로츠파르니 직선 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 수심 <math>H</math>에서 직교하는 두 직선이 직선 <math>BC</matH>와 점 <math>D_1</math>, <math>D_2</math>에서, 직선 <math>AC</math>와 점 <math>E_1</math>, <math>E_2</math>에서, 직선 <math>AB</math>와 점 <math>F_1</math>, <math>F_2</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 <math>D_1D_2</math>, <math>E_1E_2</math>, <math>F_1F_2</math>의 중점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''드로츠파르니 직선'''({{llang|en|Droz-Farny line}})이라고 한다.<ref name="Ayme">{{저널 인용
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426.pdf
|형식=PDF
|성1=Ayme
|이름1=Jean-Louis
|제목=A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem
|언어=en
|저널=Forum Geometricorum
|권=4
|쪽=219–224
|날짜=2004
|issn=1534-1178
|access-date=2020-06-16
|archive-date=2019-12-31
|archive-url=https://web.archive.org/web/20191231065837/http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426.pdf
|url-status=
}}</ref>

=== 테일러 원 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하고, 발 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>을 지나는 변 <math>AB</math>와 <math>AC</math>, <math>BC</math>와 <math>AB</math>, <math>AC</math>와 <math>BC</math>의 수선의 발을 각각 <math>P</math>와 <math>Q</math>, <math>R</math>와 <math>S</math>, <math>T</math>와 <math>U</math>라고 하자. 그렇다면 6개의 점 <math>P</math>와 <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>, <math>T</math>, <math>U</math>는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''테일러 원'''({{llang|en|Taylor circle}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|95, §9.6}} 테일러 원은 [[터커 원]]의 특수한 경우이다.
{{증명}}
편의상 삼각형 <math>ABC</math>가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 <math>ABC</math>의 내접 비단순 육각형 <math>PQRSTU</math>가 [[터커 원]]의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 <math>PQ</math>와 <math>ST</math>가 각각 <math>BC</math>의 [[반평행선]]과 평행선임을 보이면 된다.

우선 <math>PQ</math>와 <math>BC</math>가 반평행함을 증명하자. 사각형 <math>APDQ</math>가 [[내접 사각형]]이므로 [[원주각]]의 성질에 따라
:<math>\angle APQ=\angle ADQ=90^\circ-\angle DAC=\angle ACB</math>
이므로 <math>PQ</math>는 반평행선이다.

이제 <math>ST</math>가 <math>BC</math>와 평행함을 증명하자. <math>RS</math>와 <math>TU</math>가 반평행선이므로
:<math>\angle SRU=\angle BAC=\angle TUR</math>
이다. 따라서 <math>RS=TU</math>임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 <math>PQ=RS=TU</math>를 보이면 된다. 삼각법에 따라
:<math>PD=c\cos B\sin B=2R_0\sin B\sin C\cos B</math>
:<math>QD=b\cos C\sin C=2R_0\sin B\sin C\cos C</math>
:<math>\angle PDQ=180^\circ-A</math>
이다. 여기서 <math>R_0</math>은 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원의 반지름이다. [[사인 법칙]]에 따라 세 내각의 크기가 <math>180^\circ-A</math>, <math>90^\circ-B</math>, <math>90^\circ-C</math>인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 <math>\sin A:\cos B:\cos C</math>이므로, [[코사인 법칙]]에 따라
:<math>\sin^2A=\cos^2B+\cos^2C+2\cos B\cos C\cos A</math>
이다. 이제 삼각형 <math>PDQ</math>에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
:<math>\begin{align}PQ^2
& =PD^2+QD^2+2\cdot PD\cdot QD\cdot\cos A \\
& =4R_0^2\sin^2B\sin^2C(\cos^2B+\cos^2C+2\cos B\cos C\cos A) \\
& =4R_0^2\sin^2A\sin^2B\sin^2C
\end{align}</math>
이는 3개의 반평행선에서 <math>PQ</math>를 선택한 것과 무관하다.
{{증명 끝}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Orthocentre}}
* {{매스월드|id=Orthocenter|title=Orthocenter}}
* {{매스월드|id=OrthicTriangle|title=Orthic triangle}}
* {{매스월드|id=OrthocentricSystem|title=Orthocentric system}}
* {{매스월드|id=FagnanosProblem|title=Fagnano’s problem}}
* {{매스월드|id=Droz-FarnyTheorem|title=Droz-Farny theorem|성1=van Lamoen|이름1=Floor|성2=Weisstein|이름2=Eric W.}}
* {{매스월드|id=TaylorCircle|제목=Taylor circle|성1=Grinberg|이름1=Darij|성2=Weisstein|이름2=Eric W.}}

{{오심}}

[[분류:삼각형의 중심]]