{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[실해석학]]에서 '''리만 적분'''(Riemann積分, {{llang|en|Riemann integral}})은 [[닫힌구간]]에 정의된 [[실숫값 함수]]의 [[적분]]의 종류이다. [[베른하르트 리만]]이 정의하였다. 대략, 정의역 구간을 작은 구간으로 잘게 나눠, 각각의 작은 구간 위의 넓이를 [[직사각형]]의 넓이를 통해 근사한다. 구간을 잘게 나눌수록 실제 넓이와의 오차가 줄어드는데, 이 과정에 극한을 취하면 실제 넓이를 얻는다. '''다르부 적분'''(Darboux積分, {{llang|en|Darboux integral}})은 리만 적분과 동치이면서 더 단순한 기법을 사용하는 적분이다. 대략, 각각의 직사각형을 임의로 취하는 대신, 각각의 극대 및 극소 넓이의 직사각형을 취하여, 상계와 하계의 차이를 좁혀가며 근사한다.

== 정의 ==
=== 구간의 분할 ===
[[닫힌구간]] <math>[a,b]</math>의 '''분할'''(分割, {{llang|en|partition}})은 [[유한 집합]] <math>\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]</math>이다. 편의상 그 원소들을 다음과 같이 표기한다.
:<math>a=x^P_0<x^P_1<x^P_2<\cdots<x^P_{n_P}=b</math>
이는 닫힌구간 <math>[a,b]</math>를 내부가 쌍마다 [[서로소 집합|서로소]]인 닫힌구간 <math>[x^P_i,x^P_{i+1}]</math>들로 분할하는 방법에 대응한다. 닫힌구간 <math>[a,b]</math>의 분할 <math>P</math>의 '''태그'''({{llang|en|tag}})는 분할된 각 구간의 대표 원소들로 구성된 튜플 <math>(t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1}</math>이다. 또한, <math>P</math>의 '''메시'''({{llang|en|mesh}}) <math>\lambda(P)</math>는 분할된 구간들의 최대 길이이다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\lambda(P)=\max_{0\le i\le n_P-1}(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>
닫힌구간 <math>[a,b]</math>의 두 분할 <math>P,Q</math>가 <math>P\subseteq Q</math>를 만족시키면, <math>Q</math>가 <math>P</math>의 '''세분'''(細分, {{llang|en|refinement}})이라고 한다. 즉, 이는 <math>Q</math>가 <math>P</math>를 더 잘게 분할하여 얻을 수 있는지를 나타낸다. 또한, <math>P</math>와 <math>Q</math>의 '''공통 세분''' <math>P\cup Q</math>은 두 분할 모두의 세분인 분할 가운데 가장 잘지 않은 하나이다.

예를 들어, 닫힌구간 <math>[0,1]</math>을 3등분하는 분할 0 < 1/3 < 2/3 < 1은 각 구간의 길이가 1/3이므로 메시가 1/3이며, 2등분 분할 0 < 1/2 < 1과의 공통 세분은 0 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1이다. (1/6, 1/2, 5/6)은 3등분 분할의 한 가지 태그이다.

=== 리만 합 ===
{{본문|리만 합}}
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
* 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
* 분할 <math>a=x^P_0<x^P_1<x^P_2<\cdots<x^P_{n_P}=b</math>
* 태그 <math>(t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1}</math>
그렇다면, 함수 <math>f</math>의 분할 <math>P</math> 및 태그 <math>t</math>에 대한 '''리만 합'''은 다음과 같다.
:<math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=f(t_0)(x^P_1-x^P_0)+f(t_1)(x^P_2-x^P_1)+\cdots+f(t_{n_P-1})(x^P_{n_P}-x^P_{n_P-1})</math>
주어진 함수의 주어진 분할에 대한 리만 합은 (태그가 유일하지 않으므로) 유일하지 않다.

예를 들어, 다음과 같은 리만 합을 정의할 수 있다.
* <math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f(x^P_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>. 이를 '''왼쪽 리만 합'''(왼쪽Riemann合, {{llang|en|left Riemann sum}})이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 왼쪽 끝점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
* <math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f(x^P_{i+1})(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>. 이를 '''오른쪽 리만 합'''(오른쪽Riemann合, {{llang|en|right Riemann sum}})이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 오른쪽 끝점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
* <math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f\left(\frac{x^P_i+x^P_{i+1}}2\right)(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>. 이를 '''가운데 리만 합'''(가운데Riemann合, {{llang|en|middle Riemann sum}})이라고 한다. 즉, 이는 각 구간의 중간점을 취하는 태그에 대한 리만 합이다.
* <math>\frac{b-a}n\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)</math>. 여기서 <math>t_i\in\left[a+i\frac{b-a}n,a+(i+1)\frac{b-a}n\right]</math>. 즉, 이는 <math>n</math>등분 분할에 대한 리만 합이다.

=== 리만 적분 ===
함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 실수 <math>I\in\mathbb R</math>가 존재한다면, <math>f</math>를 <math>[a,b]</math> 위의 '''리만 적분 가능 함수'''라고 하고, <math>I</math>를 <math>f</math>의 <math>[a,b]</math> 위의 '''리만 적분'''이라고 한다.
* <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=I</math>
이는 통상적인 의미의 극한이 아니다. <math>\lambda(P)</math>의 하나의 값에 여러 가지 리만 합이 대응하기 때문이다. 즉, 이 극한은 다음 조건과 동치이다.
* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\delta(\epsilon)>0</math>이 존재하여, 임의의 분할 <math>a=x^P_0<x^P_1<x^P_2<\cdots<x^P_{n_P}=b</math> 및 태그 <math>(t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1}</math>에 대하여, <math>\lambda(P)<\delta(\epsilon)</math>이면 <math>\left|\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)-I\right|<\epsilon</math>이다.
리만 적분 값 <math>I</math>를
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx</math>
와 같이 표기하며, 리만 적분 가능 함수의 집합을 <math>\mathcal R([a,b];\mathbb R)</math>와 같이 표기한다. 적분 상한이 적분 하한보다 작지 않은 경우의 리만 적분을 다음과 같이 추가 정의한다.
:<math>\int_a^af(x)\mathrm dx=0\qquad(a\in\mathbb R,\;f\colon\{a\}\to\mathbb R)</math>
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=-\int_b^af(x)\mathrm dx\qquad(a>b,\;f\in\mathcal R([b,a];\mathbb R))</math>

== 다르부 적분 ==
=== 다르부 상합과 다르부 하합 ===
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
* 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
* 분할 <math>a=x^P_0<x^P_1<x^P_2<\cdots<x^P_{n_P}=b</math>
그렇다면, 함수 <math>f</math>의 분할 <math>P</math>에 대한 '''(다르부) 상합'''((Darboux)上合, {{llang|en|upper (Darboux) sum}}) <math>U(f,P)</math>은 다음과 같다. (여기서 <math>\sup</math>와 <math>\inf</math>는 각각 [[상한과 하한]]의 기호이다.)
:<math>U(f,P)=\sum_{i=0}^{n_P-1}\sup_{x\in[x^P_{i+1},x^P_i]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>
마찬가지로, 함수 <math>f</math>의 분할 <math>P</math>에 대한 '''(다르부) 하합'''((Darboux)下合, {{llang|en|lower (Darboux) sum}}) <math>L(f,P)</math>은 다음과 같다.
:<math>L(f,P)=\sum_{i=0}^{n_P-1}\inf_{x\in[x^P_{i+1},x^P_i]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>
또한, 함수 <math>f</math>의 분할 <math>P</math>에 대한 (다르부) 진폭은 다음과 같다.
:<math>w(f,P)=U(f,P)-L(f,P)=\sum_{i=0}^{n_P-1}\sup_{x,y\in[x^P_{i+1},x^P_i]}|f(x)-f(y)|(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>
다르부 상합과 다르부 하합은 리만 합의 [[상계와 하계]]를 제시한다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
:<math>L(f,P)\le\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)\le U(f,P)</math>
다르부 상합은 항상 다르부 하합 이상이며, 둘의 차이는 세분을 취할수록 좁혀진다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
:<math>L(f,P)\le U(f,Q)</math>
:<math>P\subseteq Q\implies L(f,P)\le L(f,Q)\le U(f,Q)\le U(f,P)</math>
{{증명}}
둘째 명제는 <math>Q</math>가 다음과 같은 꼴인 경우를 보이는 것으로 족하다.
:<math>a=x^P_0<\cdots<x^P_j<y<x^P_{j+1}<\cdots<x^P_{n_P}=b</math>
이 경우,
:<math>\begin{align}U(f,Q)
&=\sum_{0\le i\le n_P-1}^{i\ne j}\sup_{x\in[x^P_i,x^P_{i+1}]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)+\sup_{x\in[x^P_j,y]}f(x)(y-x^P_j)+\sup_{x\in[y,x^P_{j+1}]}f(x)(x^P_j-y)\\
&\le\sum_{0\le i\le n_P-1}^{i\ne j}\sup_{x\in[x^P_i,x^P_{i+1}]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)+\sup_{x\in[x^P_j,x^P_{j+1}]}f(x)(y-x^P_j)+\sup_{x\in[x^P_j,x^P_{j+1}]}f(x)(x^P_{j+1}-y)\\
&=U(f,P)
\end{align}</math>
첫째 명제는 둘째 명제를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>L(f,P)\le L(f,P\cup Q)\le U(f,P\cup Q)\le U(f,Q)</math>
{{증명 끝}}

=== 다르부 상적분과 다르부 하적분 ===
함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>의 <math>[a,b]</math> 위의 '''(다르부) 상적분'''((Darboux)上積分, {{llang|en|upper (Darboux) integral}})은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.
:<math>\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\inf_{\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]}^{|P|<\aleph_0}U(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}U(f,P)</math>
마찬가지로, <math>f</math>의 <math>[a,b]</math> 위의 '''(다르부) 하적분'''((Darboux)下積分, {{llang|en|lower (Darboux) integral}})은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.
:<math>\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\sup_{\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]}^{|P|<\aleph_0}L(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}L(f,P)</math>
{{증명}}
임의의 <math>\epsilon>0</math>을 취하자. 그러면, 다음을 만족시키는 분할 <math>Q</math>가 존재한다.
:<math>U(f,Q)<\inf_{\{a,b\}\subseteq R\subseteq[a,b]}^{|R|<\aleph_0}U(f,R)+\frac\epsilon2</math>
따라서, 임의의
:<math>\{a,b\}\subseteq P_{|P|<\aleph_0}\subseteq[a,b]</math>
:<math>\lambda(P)<\frac\epsilon{1+4n_Q\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|}</math>
에 대하여,
:<math>\begin{align}U(f,P)
&\le U(f,P)-U(f,P\cup Q)+U(f,Q)\\
&\le U(f,Q)+n_Q\cdot2\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\cdot\lambda(P)\\
&<\inf_{\{a,b\}\subseteq R\subseteq[a,b]}^{|R|<\aleph_0}U(f,R)+\epsilon
\end{align}</math>
따라서,
:<math>\lim_{\lambda(P)\to0}U(f,P)=\inf_{\{a,b\}\subseteq R\subseteq[a,b]}^{|R|<\aleph_0}U(f,R)</math>
{{증명 끝}}
([[유계 함수]]의) 다르부 상적분과 다르부 하적분은 항상 존재한다. 다르부 상적분과 다르부 하적분이 일치한다면, <math>f</math>를 '''다르부 적분 가능 함수'''라고 하고, 그 다르부 상적분과 다르부 하적분을 <math>f</math>의 '''다르부 적분'''이라고 한다. 다르부 적분 가능성 및 다르부 적분 값은 리만 적분 가능성 및 리만 적분 값과 완전히 일치한다.

== 성질 ==
=== 리만 적분 가능성 ===
리만 적분 가능 함수는 항상 [[유계 함수]]이다.
{{증명}}
함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 무계 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 분할 <math>P</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>0\le j\le n_P-1</math>이 존재한다.
:<math>\sup_{x\in[x^P_j,x^P_{j+1}]}|f(x)|=\infty</math>
따라서,
:<math>\sup_{t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}]}\left|\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)\right|
\ge\sup_{t_j\in[x^P_{j-1},x^P_j]}|f(t_j)(x^P_{j+1}-x^P_j)|-\left|\sum_{0\le i\le n_P-1}^{i\ne j}f(x^P_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)\right|=\infty</math>
이며, <math>f</math>는 리만 적분 가능 함수일 수 없다.
{{증명 끝}}
유계 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. (여기서 <math>\lambda^*</math>는 [[르베그 외측도]], <math>\limsup</math>는 [[상극한]], <math>\liminf</math>는 [[하극한]]이다.)
* (리만 적분 가능 함수) <math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\in\mathbb R</math>가 존재한다.
* (다르부 적분 가능 함수) <math>\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx</math>
* (다르부 진폭의 영 집적) 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 분할 <math>P</math>가 존재하여, <math>w(f,P)<\epsilon</math>
* ([[조르당 측도|조르당]] [[거의 어디서나]] [[연속 함수]]) 임의의 <math>\epsilon>0</math> 및 <math>\eta>0</math>에 대하여, 분할 <math>P</math>가 존재하여, <math>\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>\epsilon}(x^P_{i+1}-x^P_i)<\eta</math>
* ([[르베그 측도|르베그]] [[거의 어디서나]] [[연속 함수]]) <math>\lambda^*(\{c\in(a,b)\colon\limsup_{x\to c}f(x)\ne\liminf_{x\to c}f(x)\})=0</math>
{{증명|부제=리만 적분 가능 함수 ⇔ 다르부 적분 가능 함수}}
'''필요 조건:''' <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 리만 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 리만 적분의 정의에서의 <math>\delta(\epsilon/4)>0</math>가 존재한다. 또한, 다음을 만족시키는 분할 <math>P</math>와 두 태그 <math>(s_i,t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1}</math>를 취할 수 있다.
:<math>\lambda(P)<\delta\left(\frac\epsilon4\right)</math>
:<math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f(s_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)<L(f,P)+\frac\epsilon4</math>
:<math>\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)>U(f,P)-\frac\epsilon4</math>
따라서,
:<math>\begin{align}\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx-\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx
&\le U(f,P)-L(f,P)\\
&<\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)-\sum_{i=0}^{n_P-1}f(s_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)+\frac\epsilon2\\
&<\epsilon\end{align}</math>
'''충분 조건:''' <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 다르부 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다르부 적분의 정의에서의 <math>\delta(\epsilon/2)>0</math>가 존재한다. 따라서, 임의의
:<math>\{a,b\}\subseteq P_{|P|<\aleph_0}\subseteq[a,b]</math>
:<math>(t_i\in[x^P_{i+1},x^P_i])_{i=0}^{n_P-1}</math>
:<math>\lambda(P)<\delta\left(\epsilon/2\right)</math>
에 대하여,
:<math>\begin{align}\left|\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)-\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx\right|
&\le U(f,P)-L(f,P)\\
&<\epsilon\end{align}</math>
{{증명 끝}}{{증명|부제=다르부 적분 가능 함수 ⇔ 다르부 진폭의 영 집적}}
다음 항등식에 의하여 성립한다.
:<math>\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx-\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\inf_{\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]}^{|P|<\aleph_0}w(f,P)</math>
{{증명 끝}}{{증명|부제=다르부 진폭의 영 집적 ⇔ 조르당 거의 어디서나 연속 함수}}
다음 부등식에 의하여 성립한다.
:<math>\epsilon\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>\epsilon}(x^P_{i+1}-x^P_i)\le w(f,P)\le \epsilon(b-a)+2\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>\epsilon}(x^P_{i+1}-x^P_i)</math>
{{증명 끝}}{{증명|부제=조르당 거의 어디서나 연속 함수 ⇔ 르베그 거의 어디서나 연속 함수}}
<math>f</math>의 불연속점 집합을 <math>E\subseteq[a,b]</math>라고 하자.

'''필요조건:''' 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>\eta>0</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 분할 <math>P</math>가 존재한다.
:<math>\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>1/n}(x^P_{i+1}-x^P_i)<\eta</math>
따라서,
:<math>\lambda^*(\{c\in(a,b)\colon\limsup_{x\to c}f(x)-\liminf_{x\to c}f(x)>1/n\})\le\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>1/n}(x^P_{i+1}-x^P_i)<\eta</math>
즉,
:<math>\lambda^*(E)=0</math>
'''충분조건:''' 임의의 <math>\epsilon>0</math> 및 <math>\eta>0</math>을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는, <math>E</math>의 열린구간 가산 덮개 <math>\{I_k\}_{k=1}^\infty</math>가 존재한다.
:<math>\sum_{k=1}^\infty|I_k|<\eta</math>
또한, 임의의 연속점 <math>x\in[a,b]\setminus E</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>\delta_x>0</math>이 존재한다.
:<math>\sup_{s,t\in(x-\delta_x,x+\delta_x)}|f(s)-f(t)|<\epsilon</math>
이로부터, <math>[a,b]</math>의 열린 덮개
:<math>\{(x-\delta_x,x+\delta_x)\}_{x\in[a,b]\setminus E}\cup\{I_k\}_{k=1}^\infty</math>
를 얻으며, 이는 [[르베그 수]] <math>\delta>0</math>을 갖는다. <math>\lambda(P)<\delta</math>인 분할 <math>P</math>를 취하자. 그렇다면, 각 <math>[x^P_i,x^P_{i+1}]</math>은 덮개의 어떤 원소에 포함되는데, <math>w(f,P,i)>\epsilon</math>일 경우, 이 덮개 원소는 <math>(x-\delta_x,x+\delta_x)</math> 꼴일 수 없다. 즉, 이 경우 반드시 <math>I_k</math> 꼴의 원소에 포함된다. 따라서,
:<math>\sum_{0\le i\le n_P-1}^{w(f,P,i)>\epsilon}(x^P_{i+1}-x^P_i)\le\sum_{k=1}^\infty|I_k|<\eta</math>
{{증명 끝}}
특히, [[연속 함수]]는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 불연속점 집합이 [[유한 집합]]이거나 [[가산 무한 집합]]인 함수 역시 거의 어디서나 연속 함수에 속하므로 리만 적분 가능 함수이다. [[단조 함수]] 역시 많아야 가산 개의 불연속점을 가지므로 리만 적분 가능 함수이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
리만 적분 가능 함수는 다음과 같은 연산들에 대하여 닫혀있다.
* (합) <math>f,g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)\implies f+g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)</math>
* (곱) <math>f,g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)\implies fg\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)</math>
* ([[함수의 제한]]) <math>f\in\mathcal R([a,b];\mathbb R),\;[c,d]\subseteq[a,b]\implies f|_{[c,d]}\in\mathcal R([c,d];\mathbb R)</math>
* ([[균등 극한]])
또한, 일부 경우 자연스러운 공식이 성립한다. 즉, 닫힌구간 <math>I</math> 위의 리만 적분 가능 함수 <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math> 및 정의역 속 점들 <math>a,b,c\in I</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\int_a^bf(x)+g(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_a^bg(x)\mathrm dx</math>
:<math>\int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx\qquad(k\in\mathbb R)</math>
:<math>\int_a^cf(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_b^cf(x)\mathrm dx</math>
그러나, 리만 적분 함수는 몫과 [[함수의 합성]]에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, 두 리만 적분 가능 함수의 몫은 [[무계 함수]]일 수 있다. 또한, <math>[0,1]</math> 위의 리만 적분 가능 함수
:<math>f(x)=\begin{cases}1&x=0\\0&x\in(0,1]\end{cases}</math>
를, 역시 <math>[0,1]</math> 위의 리만 적분 가능 함수인 [[토메 함수]]의 왼쪽에 합성하면, [[디리클레 함수]]를 얻는데, 이는 <math>[0,1]</math> 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다. 하지만 왼쪽의 함수가 연속 함수라면 합성된 함수는 리만 적분 가능 함수이다. 즉,
* <math>f\in\mathcal C([c,d];\mathbb R),\;g\in\mathcal R([a,b];[c,d])\implies f\circ g\in\mathcal R([a,b]\to\mathbb R)</math>
리만 적분 가능 함수는 균등 극한이 아닐 수 있는 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 또한, [[코시 열]] 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 즉, 리만 적분 가능 함수의 공간은 [[완비 거리 공간|완비]] [[Lp 공간|''L''<sup>p</sup> 공간]]이 아니다.

=== 미적분학의 기본 정리 ===
{{본문|미적분학의 기본 정리}}
리만 적분에 대한 미적분학의 제1 기본 정리는 다음과 같다. 리만 적분 가능 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대한 다음 함수를 생각하자.
:<math>F\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt</math>
그렇다면, <math>F</math>는 [[립시츠 연속 함수]]이다. 따라서, <math>F</math>는 [[거의 어디서나]] [[미분 가능 함수]]이며, 모든 미분 가능점에서 <math>F'(x)=f(x)</math>이다. 만약 추가로 <math>f</math>가 [[연속 함수]]라면, <math>F</math>는 연속 미분 가능 함수이며, 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 <math>F'(x)=f(x)</math>를 만족시킨다, 즉, <math>f</math>의 원함수이다.

리만 적분에 대한 미적분학의 제2 기본 정리는 다음과 같다. 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* ([[부정적분]] 가능 함수) <math>F'(x)=f(x)\forall x\in[a,b]</math>
* (리만 적분 가능 함수) <math>\int_a^bf(x)\mathrm dx\in\mathbb R</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b</math>
리만 적분에 대한 미적분학 제2 기본 정리는 적분 가능 함수를 전제하여야 한다. 즉, 부정적분 가능 함수는 리만 적분 가능 함수일 필요가 없다.

== 예 ==
제곱 함수 <math>x^2</math>의 0에서 1까지의 리만 적분은 <math>n</math>등분 분할에 대한 오른쪽 리만 합을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\int_0^1x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac13</math>
제곱 함수 <math>x^2</math>는 연속 함수이므로, 부정적분 가능 함수이자 리만 적분 가능 함수이다. 따라서, 그 리만 적분을 미적분학의 기본 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\int_0^1x^2\mathrm dx=\left.\frac13x^3\right|_0^1=\frac13</math>

=== 리만 적분 가능 함수가 아닌 함수 ===
[[디리클레 함수]]
:<math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}</math>
는 <math>[0,1]</math> 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다. 구간을 아무리 잘게 분할해도, 각각의 구간 안에는 [[유리수]]가 존재하며, 또한 각각의 구간 안에는 [[무리수]]가 존재한다. 따라서 다음과 같은 두 가지 리만 합을 취할 수 있다.
:<math>\sum_{i=0}^{n_P-1}D(s_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=1\qquad(s_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}]\cap\mathbb Q)</math>
:<math>\sum_{i=0}^{n_P-1}D(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=0\qquad(t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}]\setminus\mathbb Q)</math>
리만 합의 극한이 존재할 수 없으므로, 리만 적분 가능 함수가 아니다. 사실, <math>[0,1]</math> 위의 다르부 상적분과 다르부 하적분은 다음과 같다.
:<math>\overline{\int_0^1}D(x)\mathrm dx=1</math>
:<math>\underline{\int_0^1}D(x)\mathrm dx=0</math>

=== 부정적분 가능 함수 ⇏ 리만 적분 가능 함수 ===
다음과 같은 함수를 생각하자.
:<math>f(x)=\begin{cases}2x\sin\frac1{x^2}-\frac2x\cos\frac1{x^2}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math>
그렇다면,
:<math>\int f(x)\mathrm dx=\begin{cases}x^2\sin\frac1{x^2}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}+C</math>
이므로, <math>f</math>는 <math>[-1,1]</math> 위의 부정적분 가능 함수이다. 그러나, <math>f</math>는 <math>[-1,1]</math> 위의 무계 함수이므로, <math>[-1,1]</math> 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다.

=== 부정적분 가능 유계 함수 ⇏ 리만 적분 가능 함수 ===
[[볼테라 함수]]의 도함수는 유계 함수이지만, 리만 적분 가능 함수가 아니다.

== 관련 개념 ==
=== 이상 적분 ===
리만 적분이 정의되려면, [[유계 함수]]와 [[유계 구간]]이 전제되어야 하는데, [[이상 적분]]은 이러한 전제를 완화시켜 [[무계 함수]]와 [[무계 구간]]에 대한 적분을 일부 허용한다.

=== 차원의 일반화 ===
실수선에 정의된 함수 대신 높은 차원의 [[유클리드 공간]]에 정의된 함수를 사용하면, [[리만 중적분]]을 얻는다.

=== 측도의 일반화 ===
[[항등 함수]]의 미분 대신 임의의 [[증가 함수]]의 미분소를 사용하면, [[리만-스틸티어스 적분]]을 얻는다. [[조르당 측도]] 대신 [[르베그 측도]]를 사용하면, [[르베그 적분]]을 얻는다. 실수 함수의 예를 들면, 함수가 나타내는 영역을 '세로로' 잘게 쪼개 적분을 구하는 리만 적분과는 달리, 르베그 적분은 함수가 나타내는 영역을 '가로로' 잘개 쪼개 적분을 구한다.

== 같이 보기 ==
* [[넓이]]
* [[부정적분]]
* [[르베그 적분]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Riemann integral}}
** {{eom|title=Cauchy integral}}
** {{eom|title=Darboux sum}}
* {{매스월드|id=RiemannIntegral|title=Riemann integral}}
** {{매스월드|id=DarbouxIntegral|title=Darboux integral}}
** {{매스월드|id=LowerIntegral|title=Lower integral}}
** {{매스월드|id=UpperIntegral|title=Upper integral}}
** {{매스월드|id=RiemannSum|title=Riemann sum}}
** {{매스월드|id=LowerSum|title=Lower sum}}
** {{매스월드|id=UpperSum|title=Upper sum}}
** {{매스월드|id=MeshSize|title=Mesh size}}
* {{nlab|id=Riemann integration}}
* {{플래닛매스|urlname=RiemannIntegral|title=Riemann integral}}
** {{플래닛매스|urlname=exampleofestimatingaRiemannintegral|title=Example of estimating a Riemann integral}}
** {{플래닛매스|urlname=RiemannSum|title=Riemann sum}}
** {{플래닛매스|urlname=GeneralisedNdimensionalRiemannSum|title=Generalised n-dimensional Riemann sum}}
* {{proofwiki|id=Definition:Definite Integral/Riemann|제목=Definition:Definite integral/Riemann}}
** {{proofwiki|id=Definition:Definite Integral/Darboux|제목=Definition:Definite integral/Darboux}}
** {{proofwiki|id=Definition:Upper Integral|제목=Definition:Upper integral}}
** {{proofwiki|id=Definition:Lower Integral|제목=Definition:Lower integral}}
** {{proofwiki|id=Definition:Upper Sum|제목=Definition:Upper sum}}
** {{proofwiki|id=Definition:Lower Sum|제목=Definition:Lower sum}}
** {{proofwiki|id=Definition:Subdivision (Real Analysis)|제목=Definition:Subdivision (real analysis)}}
** {{proofwiki|id=Definition:Norm_of Subdivision|제목=Definition:Norm of subdivision}}
** {{proofwiki|id=Condition for Riemann Integrability|제목=Condition for Riemann integrability}}
** {{proofwiki|id=Continuous Function is Riemann Integrable|제목=Continuous function is Riemann integrable}}
** {{proofwiki|id=Monotone Function is Riemann Integrable|제목=Monotone function is Riemann integrable}}
** {{proofwiki|id=Riemann-Lebesgue Theorem|제목=Riemann-Lebesgue theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:적분학]]
[[분류:베른하르트 리만]]