{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[수학]]과 [[물리학]]에서 '''2차원 등각 장론'''(二次元等角場論, {{llang|en|two-dimensional conformal field theory}})은 [[등각 장론]]의 2차원에서의 특수한 경우이다. 즉, 2차원 [[시공간]]에 존재하며, '''[[비라소로 대수]]'''라는 무한 차원 [[리 대수]] 대칭을 갖는 [[양자장론]]이다.<ref name="Ginsparg">{{저널 인용|성=Ginsparg|이름=Paul|연도=1988|월=11|제목=Applied conformal field theory|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9108028|arxiv=hep-th/9108028|bibcode=1991hep.th....8028G|언어=en}}</ref><ref name="FMS">{{서적 인용|제목=Conformal Field Theory|이름=Philippe|성=Di Francesco|이름2=Pierre|성2=Mathieu|이름3=David|성3=Sénéchal|출판사=Springer|위치=New York|연도=1997|isbn=0-387-94785-X|url=http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|언어=en|access-date=2015-03-24|archive-date=2015-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402132241/http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|url-status=}}</ref><ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|이름2=Erik|성2=Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|날짜=2009|출판사=Springer||bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105|zbl=1175.81001}}</ref><ref name="Schottenloher">{{서적 인용|제목=A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg|url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~schotten/LNP-cft-pdf/|이름=Martin|성=Schottenloher|isbn= 978-3-540-68625-5|연도=2008|doi=10.1007/978-3-540-68628-6|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]]|mr=2492295|zbl=1161.17014|판=2판|기타=Lecture Notes in Physics 759, Lecture Notes in Physics Monographs 43|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Conformal Field Theory|url=https://archive.org/details/conformalfieldth0000keto|이름=Sergei V.|성=Ketov|연도=1995|월=2|isbn= 978-981-02-1608-5 | 출판사=World Scientific|doi=10.1142/9789812831972|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Gaberdiel|이름=Matthias R.|연도=2000|제목=An introduction to conformal field theory|저널=Reports on Progress in Physics|권=63|호=4|쪽=607|doi=10.1088/0034-4885/63/4/203|arxiv=hep-th/9910156|bibcode=2000RPPh...63..607G|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1002/prop.2190440802|제목=Introduction to conformal field theory|이름=A. N.|성=Schellekens|날짜=1996|mr=1428306|언어=en|저널=Fortschritte der Physik|권=44|호=8|쪽=605–705|issn=0015-8208}}</ref><ref>{{저널 인용|url=http://www.actaphys.uj.edu.pl/vol26/pdf/v26p1785.pdf|이름=J.-B.|성=Zuber|mr=1385733|저널=Acta Physica Polonica|권=26|호=12|쪽=1785–1813|날짜=1995-12|언어=en|제목=An introduction to conformal field theory|issn=0587-4254}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Gaitsgory|이름=Dennis|제목=Notes on 2D conformal field theory and string theory|연도=1998|arxiv=math/9811061|bibcode=1998math.....11061G|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Gaberdiel|이름=Matthias R.|장=Two-dimensional conformal field theory and vertex operator algebras|제목=Encyclopedia of Mathematical Physics|연도=2006|출판사=Academic Press|쪽=317–322|doi=10.1016/B0-12-512666-2/00327-8|isbn=978-0-12-512666-3|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=등각장론|isbn= 89-374-3586-1|저자=임채호|날짜=1995-02-01|출판사=민음사|위치=서울|url=http://minumsa.minumsa.com/book/983/|언어=ko}}</ref> 2차원 등각 장론은 고차원 [[등각 장론]]에서 찾을 수 없는 여러 특수한 성질을 가진다. [[끈 이론]] 및 [[응집물질물리학]]에서 쓰인다.

== 정의 ==
=== 비라소로 대수 ===
{{본문|비라소로 대수}}
[[비라소로 대수]]는 <math>L_n</math> (<math>n\in\mathbb Z</math>)과 <math>c</math>로 인하여 생성되는 대수로, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.
:<math>[c,L_n]=0</math>
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}</math>

중심 원소 <math>c</math>가 0인 대수를 '''비트 대수'''({{llang|en|Witt algebra}})라고 하며, 이는 [[비라소로 대수]]의 [[고전역학|고전적]] 형태로 볼 수 있다. 이는 고전적으로 다음과 같은 벡터장들로 의하여 생성된다.
:<math>L_n=-z^{n+1}\frac\partial{\partial z}</math>

=== 비라소로 대수의 표현 ===
임의의 정칙 사상 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>에 대하여, 장들은 일반적으로 복잡하게 변환한다. 그 가운데, '''일차장'''({{llang|en|primary field}})들은 다음과 같이 변환한다.
:<math>(f^*O)(z,\bar z)=(\partial f)^h(\bar\partial\bar f)^{\bar h}O(f(z),\bar f(\bar z))</math>
여기서 <math>(h,\bar h)</math>는 일차장 <math>O</math>의 '''등각 무게'''({{llang|en|conformal weight}})라고 한다. 또한, 이들로부터 '''스핀''' <math>s</math>와 '''차원'''({{llang|en|scaling dimension}}) <math>\Delta</math>를 다음과 같이 정의한다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|36}}<ref name="Schottenloher"/>{{rp|156}}<ref name="Tong"/>{{rp|75}}
:<math>s=h-\bar h</math>
:<math>\Delta=h+\bar h</math>
일차장의 변환이 잘 정의되기 위해서는 스핀과 차원이 둘 다 정수여야 한다.<ref name="Schottenloher"/>{{rp|156}} 다만, 무게 <math>(h,\bar h)</math> 자체는 정수일 필요가 없다.

일차장들은 [[에너지-운동량 텐서]] <math>T(z)</math>와 다음과 같은 [[연산자 곱 전개]]를 가진다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|20}}
:<math>T(z)O(w,\bar w)=\frac h{(z-w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{z-w}\partial_w\Phi+\cdots</math>
:<math>\bar T(\bar z)O(w,\bar w)=\frac{\bar h}{(\bar z-\bar w)^2}O(w,\bar w)+\frac1{\bar z-\bar w}\bar\partial_{\bar w}O(w,\bar w)+\cdots</math>
즉, 모든 <math>n>0</math>에 대하여, 일차장들은 <math>L_n</math>, <math>\bar L_n</math>에 의하여 상쇄된다.
:<math>L_n|\phi\rangle=\bar L_n|\phi\rangle=0\forall n>0</math>
:<math>L_0|\phi\rangle=h|\phi\rangle</math>
:<math>\bar L_0|\phi\rangle=\bar h|\phi\rangle</math>
반대로,
:<math>\langle\phi|L_{-n}=\langle\phi|\bar L_{-n}=0\forall n>0</math>
:<math>\langle\phi|L_0=h\langle\phi|</math>
:<math>\langle\phi|\bar L_0=\bar h\langle\phi|</math>
이다. 일차장의 조건에서, 모든 양의 <math>n</math> 대신 <math>n=1</math>인 경우의 조건만을 적용시키면,  '''준일차장'''({{llang|en|quasiprimary field}})의 개념을 얻는다. 즉, 일차장은 [[비라소로 대수]] 전체에 대하여 잘 변환하는 반면, 준일차장은 [[비라소로 대수]]의 대역적 부분 대수 <math>\{L_0,L_{\pm1},\bar L_0,\bar L_{\pm1}\}</math>에 대하여 잘 변환한다.

일차장에 <math>L_{-n}</math> (<math>n>0</math>)을 가하여, 다양한 '''이차장'''({{llang|en|secondary field}})들을 정의할 수 있다. 즉, 만약 <math>\phi</math>가 일차장이라면 다음은 모두 이차장이다.
:<math>L_{-1}\phi\qquad L_{-3}L_{-2}\qquad L_{-4}L_{-2}^2L_{-1}\phi</math>
주어진 일차장 <math>\phi</math>로부터 정의되는 이차장들을 <math>\phi</math>의 '''자손'''(
자손, {{llang|en|descendent}})이라고 한다.

<math>L_{-n}</math>을 가하면 무게 <math>h</math>가 <math>n</math>만큼 증가하고, 마찬가지로 <math>\bar L_{-n}</math>을 가하면 무게 <math>\bar h</math>가 <math>n</math>만큼 증가한다. 일차장과 여기에 음수 차수 비라소로 연산자들을 가하여 얻은 이차장들의 집합을 '''[[베르마 가군]]'''이라고 하며, 베르마 가군의 '''무게'''는 그 일차장의 무게이다. 무게가 <math>(h,\bar h)</math>인 [[베르마 가군]]에서, 무게가 <math>(h+n,\bar h+\bar n)</math>인 이차장들의 수는
:<math>p(n)p(\bar n)</math>
이다. 여기서 <math>p(k)</math>는 [[분할수]] 함수이다. 다만, [[베르마 가군]]의 원소 가운데 노름이 0 또는 음수인 경우는 물리적 [[힐베르트 공간]]에 포함시키지 않는다.

[[항등함수|항등 연산자]]([[진공]]) <math>1</math>은 일차장이며, 그 무게는 <math>(h,\bar h)=(0,0)</math>이다. 에너지-운동량 텐서 <math>T(z)</math>, <math>\bar T(\bar z)</math>는 <math>1</math>의 자손이며, 구체적으로 다음과 같다.
:<math>T(z)=L_{-2}1</math>
:<math>\bar T(z)=\bar L_{-2}1</math>

[[비라소로 대수]]의 표현은 중심 원소 <math>c</math>의 값에 따라 분류된다. 표현이 어떤 최고 무게({{llang|en|highest weight}}) ''h''로부터 생성되는 경우를 '''최고 무게 표현'''({{llang|en|highest weight representation}})이라고 한다. 유니터리 기약 최고 무게 표현은 그 중심 원소 ''c''와 최고 무게 ''h''로 분류된다. 유니터리 표현의 경우
:<math>c,h\ge0</math>
이다. 가능한 <math>c</math>의 값들은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras|url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1986-01_103_1/page/105|이름=P.|성=Goddard|이름2=A.|성2=Kent|이름3=D.|성3=Olive|저널=Communications in Mathematical Physics|권=103|호=1|날짜=1986|쪽=105–119|mr=0826859|zbl=0588.17014|doi=10.1007/BF01464283|issn=0010-3616|언어=en}}</ref> <math>c\ge1</math>인 경우, 모든 <math>h\ge0</math>에 대한 표현 <math>(c,h)</math>가 존재한다. <math>c<1</math>인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
:<math>c=1-\frac6{m(m+1)}</math>
:<math>h=h_{p,q}(c)\equiv\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}</math>
:<math>m=2,3,4,\dots</math>
:<math>p=1,2,\dots,m-1</math>
:<math>q=1,2,\dots,p</math>
후자의 경우를 '''[[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]'''이라고 한다.

=== 모드 전개 ===
준일차장들의 [[푸리에 급수|푸리에 전개]]는 다음과 같이 쓴다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|37}}<ref name="FMS"/>{{rp|153, (6.7)}}<ref name="BP"/>{{rp|22, (2.25)}}
:<math>\phi(z,\bar z)=\sum_{n\in\mathbb Z+\eta}\sum_{\bar n\in\mathbb Z+\bar\eta}\phi_{n,\bar n}z^{-h-n}\bar z^{-\bar h-\bar n}</math>
이에 따라, <math>\phi_{n,\bar n}</math>은 무게 <math>(h,\bar n)</math>을 갖는다. <math>\eta</math>와 <math>\bar\eta</math>의 값은 부여하는 경계 조건에 따라서 달라진다.

무게가 <math>(h,0)</math>인 일차장 <math>\phi(z)</math>에 대하여,
:<math>\phi(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^n\phi_{-h-n}</math>
:<math>\phi_{-h-n}=\oint\frac{dz}{2\pi i}z^{-n-1}\phi(z)</math>
이다. 이 경우, <math>|\phi\rangle=\phi(0)|0\rangle</math>이 정의돼야 하므로
:<math>\phi_{-h-n}=0\forall n<0</math>
이며, 또한
:<math>|\phi\rangle=\lim_{z\to0}\phi(z)|1\rangle=\phi_{-h}|1\rangle</math>
이다. 즉, <math>\phi_{-h}</math>는 <math>|\phi\rangle</math>의 생성 연산자이다.

모드 성분 <math>\phi_{n,\bar n}</math>의 [[에르미트 수반]]은 다음과 같다.<ref name="BP"/>{{rp|23, (2.31)}}
:<math>\phi_{n,\bar n}^\dagger=\phi_{-n,-\bar n}</math>

=== 2차원 등각 시공간 ===
2차원에서는 무한 차원의 [[비라소로 대수]]로 인하여 무한히 많은 수의 보존량이 존재하며, 따라서 그 구조가 매우 제한돼 있다. 구체적으로, 양자장론은 [[상관 함수 (양자장론)|상관 함수]]로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 [[비라소로 대수]]와 [[워드-다카하시 항등식]]({{llang|en|Ward-Takahashi identity}})을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며({{lang|en|solvable}}), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.

2차원에서는 (유클리드 [[계량 부호수]]에서의) 등각 구조가 [[복소 구조]]와 같다. 따라서, 2차원 유클리드 등각 장론에서의 [[공간]]은 [[리만 곡면]]의 구조를 가지며, 공간의 좌표는 통상적으로 복소 좌표 <math>z</math>로 나타낸다. 즉, 벡터 <math>(x,y)\in\mathbb R^2</math>가 주어지면
:<math>(z,\bar z)=(x+iy,x-iy)</math>
로 정의한다. 통상적으로 (반)[[정칙함수|정칙적]]인 미분을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\partial=\frac\partial{\partial z}</math>
:<math>\bar\partial=\frac\partial{\partial\bar z}</math>
이 경우, 고전적인 등각 대칭은 다음과 같은 '''비트 대수'''({{llang|en|Witt algebra}})에 의하여 생성된다.
:<math>L_n=-z^{n+1}\partial</math>
:<math>\bar L_n=-\bar z^{n+1}\bar\partial</math>
이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}</math>
:<math>[\bar L_m,\bar L_n]=(m-n)\bar L_{m+n}</math>
[[양자화 (물리학)|양자화]] 후에는 여기에 [[변칙 (물리학)|변칙]]적인 항이 추가돼 [[비라소로 대수]]가 된다.

다른 모든 [[양자역학]]적 모형과 마찬가지로, 등각 장론의 '''상태 공간''' <math>\mathcal H</math>는 복소 [[벡터 공간]]을 이루며, 이 가운데 하나의 '''진공 상태'''
:<math>|1\rangle\in\mathcal H</math>
가 존재한다.

=== 범주론적 정의 ===
[[그레임 시걸]]은 등각 장론을 [[함자 (수학)|함자]]의 개념을 사용하여 다음과 같이 정의하였다.<ref>{{서적 인용|이름=Graeme|성=Segal|authorlink=그레임 시걸|장=The definition of conformal field theory|제목=Topology, geometry and quantum field theory|url=https://archive.org/details/topologygeometry00till|기타=London Mathematical Society Lecture Note Series 308|출판사=Cambridge University Press|날짜=2004|쪽=[https://archive.org/details/topologygeometry00till/page/n432 421]–577|언어=en|mr=2079383|zbl=06136769}}</ref> 원(circle)을 대상으로, [[리만 곡면]]에 의한 [[보충 경계]]를 사상으로 하는 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Bord}_2^\text{conf}</math>를 생각하자. 또한, <math>\operatorname{Hilb}</math>는 [[힐베르트 공간]]의 범주다.  그렇다면, (2차원) '''등각 장론'''은 특수한 [[함자 (수학)|함자]] <math>\operatorname{Bord}_2^\text{conf}\to\operatorname{Hilb}</math>이다. 여기서 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존하여야 한다.

=== 에너지-운동량 텐서 ===
높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 [[정칙 함수]]의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 [[리 대수]]는 (무한 차원의) [[비라소로 대수]]다. (유클리드 [[계량 텐서]]의 경우) 정칙과 반정칙 [[비라소로 대수]] 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각 장론의 상태 공간([[힐베르트 공간]])은 (중심 확장을 포함한) [[비라소로 대수]]의 [[가군]]을 이룬다. [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 [[가군]]({{lang|en|highest-weight module}})이어야 한다.

[[비라소로 대수]]의 중심 원소 <math>c</math>는 등각 대칭의 [[변칙 (물리학)|변칙적]] 파괴를 나타낸다. 이에 따라, <math>c\ne0</math>이면 등각군은 <math>L_0, L_{\pm1}</math>에 의하여 생성되는 [[뫼비우스 변환|뫼비우스 부분군]]으로 깨진다.

물리학적으로, [[비라소로 대수]]의 생성원 <math>\{L_n,\bar L_n\}</math>은 [[에너지-운동량 텐서]]의 [[푸리에 변환|푸리에 성분]]들로 나타난다. 2차원 [[양자장론]]의 [[에너지-운동량 텐서]] <math>T_{ij}</math>는 2×2 대칭 행렬이므로 일반적으로 3개의 성분을 가지는데, 2차원 등각 장론의 경우 에너지-운동량 텐서의 [[대각합]]이 0이므로 2개의 성분밖에 없다. 이들은 <math>z,\bar z</math> 기저로 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>T=\begin{pmatrix}T_{zz}&T_{z\bar z}\\
T_{\bar zz}&T_{\bar z\bar z}\end{pmatrix}</math>
:<math>T_{z\bar z}=T_{\bar zz}=0</math>
:<math>T_{zz}(z)\equiv T(z)</math>
:<math>T_{\bar z\bar z}\equiv\bar T(\bar z)</math>
또한,
:<math>\bar\partial T=0</math>
:<math>\partial\bar T=0</math>
임을 보일 수 있다. 즉, 에너지-운동량 텐서 <math>T_{ij}(z,\bar z)</math>를 <math>T(z)</math>, <math>\bar T(\bar z)</math>로 나타낼 수 있다.

에너지-운동량 텐서의 [[푸리에 급수|푸리에 성분]]을 다음과 같이 정의하자.
:<math>T(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^nL_{-n-2}</math>
:<math>\bar T(\bar z)=\sum_{n=-\infty}^\infty\bar z^n\bar L_{-n-2}</math>
이는 또한 [[경로적분법]]으로 다음과 같이 표현할 수도 있다.
:<math>L_n=\oint\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}T(z)</math>
:<math>\bar L_n=\oint\frac{dz}{2\pi i}\bar z^{n+1}\bar T(\bar z)</math>
그렇다면 이들은 [[비라소로 대수]]를 따르게 된다. 에너지-운동량 텐서의 [[에르미트 행렬|에르미트성]]에 따라서
:<math>L_n^\dagger=L_{-n}</math>
:<math>\bar L_n^\dagger=\bar L_{-n}</math>
이다.

2차원 등각 장론의 1차장 <math>\mathcal O</math>는 다음과 같은 연산자 곱 전개를 갖는다.<ref name="Tong"/>{{rp|76}}
:<math>T(z)\mathcal O(0)=\frac{h\mathcal O(0)}{z^2}+\frac{\partial\mathcal O(0)}z+:T(z)\mathcal O(0):</math>
:<math>\bar T(z)\mathcal O(0)=\frac{\bar h\mathcal O(0)}{z^2}+\frac{\bar\partial\mathcal O(0)}{\bar z}+:\bar T(\bar z)\mathcal O(0):</math>
이러한 꼴의 연산자 곱 전개는 국소장이 1차장이 될 [[필요충분조건]]이다.

== 성질 ==
=== 분배 함수 ===
2차원 등각 장론의 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 특별한 성질들을 가진다. 분배 함수를 정의하기 위해서는, 우선 진동 모드들을 이산화(discretization)하기 위하여 공간을 [[축소화]]한다. 즉, 공간에 주기적인 경계 조건을 주어, [[원 (기하학)|원]]으로 만든다. 또한, 시간에도 주기적인 경계 조건을 주자. 이 경우, 시간의 주기는 [[온도]]의 역수가 된다. 이에 따라, 2차원 등각 장론의 분배 함수를 계산하려면, 등각 장론을 ([[복소 구조]]가 주어진) [[원환면]], 즉 [[타원 곡선]] 위에 정의하면 된다.

타원 곡선의 복소 구조는 [[상반평면]]의 한 원소
:<math>\tau\in\mathbb H</math>
로 나타내어진다. 또한, [[모듈러 군]]의 [[군의 작용|작용]]에 따라, 같은 궤도에 속한 <math>\tau</math>는 같은 복소 구조를 나타낸다.
:<math>\tau\mapsto\tau+1</math>
:<math>\tau\mapsto-1/\tau</math>
따라서, 등각 장론의 분배 함수 <math>\mathcal Z(\tau,\bar\tau)</math>는 <math>\tau</math>, <math>\bar\tau</math>에 대한 함수이며, 또한 위와 같은 모듈러 변환에 대하여 불변이다.
:<math>\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\mathcal Z(\tau+1,\bar\tau+1)=\mathcal Z(-1/\tau,-1/\bar\tau)</math>
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다.
:<math>\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\operatorname{tr}_{\mathcal H}\left(q^{L_0-c/24}\bar q^{\bar L_0-\bar c/24}\right)</math>
여기서
* <math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>
* <math>\mathcal H</math>는 등각 장론의 [[힐베르트 공간]]이다. 즉, 노름이 양수인 모든 상태들의 [[내적공간]]이다.
*  <math>(c,\bar c)</math>는 등각 장론의 [[비라소로 대수]]의 중심 전하이다.

모듈러 불변인 등각 장론은 [[타원 곡선]](종수 1 [[리만 곡면]]) 위에 정의될 수 있다. 또한, 모듈러 불변 등각 장론은 임의의 종수의 [[리만 곡면]] 위에 정의할 수 있다. 즉, 고차 종수에서의 제약들은 종수 1에서 완전히 나타난다.

=== 상관 함수 ===
2차원의 경우, 구체적으로, 등각 무게가 각각 <math>(h_i,\bar h_i)</math>인 연산자 <math>O_i</math>들의 2점 상관 함수는 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)|1\rangle=C_{ij}z_{12}^{-h_i+h_j}\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j}</math>
:<math>\langle1|O_i(z_1)O_j(z_2)O_k(z_3)|1\rangle
=C_{ijk}z_{12}^{-h_i-h_j+h_k}z_{23}^{h_i-h_j-h_k}z_{13}^{-h_1+h_2-h_3}
\bar z_{12}^{-\bar h_i-\bar h_j+\bar h_k}\bar z_{23}^{\bar h_i-\bar h_j-\bar h_k}\bar z_{13}^{-\bar h_1+\bar h_2-\bar h_3}</math>
여기서 <math>z_{ij}=z_i-z_j</math>, <math>\bar z_{ij}=\bar z_i-\bar z_j</math>이다. 반면 4점 이상의 상관 함수는 등각 대칭에 의하여 완전히 결정되지 않는다. 이는 [[타이히뮐러 공간]] <math>\mathcal T_{0,n}</math>은 <math>n>3</math>이면 더 이상 0차원이 아니기 때문이다. 즉, [[리만 구]]의 등각 대칭([[뫼비우스 변환]])을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정시킬 수 있지만, 4번째의 점은 이렇게 고정시키지 못한다.

=== 카디 엔트로피 ===
2차원 등각 장론의 경우, 모듈러 불변성을 사용하여, 매우 높은 에너지 <math>E</math>에서의 [[상태 밀도]] <math>N(E)</math>가 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=John L.|성=Cardy|저자링크=존 카디|저널=Nuclear Physics B|권=270|쪽=186–204|날짜=1986|언어=en|issn=0550-3213|doi=10.1016/0550-3213(86)90552-3|제목=Operator content of two-dimensional conformally invariant theories|bibcode=1986NuPhB.270..186C}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9806026|제목=What we don't know about BTZ black hole entropy|이름=S.|성=Carlip|doi=10.1088/0264-9381/15/11/020|bibcode=1998CQGra..15.3609C|권=15|호=11|쪽=3609–3625|언어=en|저널=Classical and Quantum Gravity|issn=0264-9381|날짜=1998-11}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=1203.3561|제목=The Kerr/CFT correspondence and its extensions|이름=Geoffrey|성=Compère|bibcode=2012arXiv1203.3561C|doi=10.12942/lrr-2012-11|저널=Living Reviews in Relativity|권=15|날짜=2012|쪽=11|언어=en}}</ref>{{rp|§3.1}}<ref name="BP"/>{{rp|164–166}}<ref name="Nakayama">{{저널 인용|arxiv=1302.0884|제목=A lecture note on scale invariance vs conformal invariance|이름=Yu|성=Nakayama|bibcode=2013arXiv1302.0884N|언어=en}}</ref>{{rp|38}}<ref name="Tong">{{저널 인용|arxiv=0908.0333|이름=David|성=Tong|제목=Lectures on string theory|bibcode=2009arXiv0908.0333T|언어=en|날짜=2009|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html}}</ref>{{rp|89–91}}
:<math>N(E)\sim\exp(4\pi\sqrt{cE/6})</math>
여기서 ''c''는 등각 장론의 중심 원소다. 즉, 그 로그를 취하면 2차원 등각 장론의 [[엔트로피]]는 다음과 같다.
:<math>S(E)\approx4\pi\sqrt{cE/6}</math>
이를 '''카디 엔트로피 공식'''({{llang|en|Cardy entropy formula}})이라고 한다. 이 공식은 [[끈 이론]]에서 [[블랙홀 엔트로피]]를 계산할 때 쓰인다.

=== ''c''-정리 ===
{{본문|c-정리}}
임의의 2차원 양자 장론에 대하여, ''c''라는 값이 존재한다. 이는
* <math>c</math>는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
* <math>c</math>의 재규격화군 [[부동점]] <math>g_i=g_i^*</math>에서는 <math>c(g_i^*,\mu)</math>는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 <math>c</math>의 값은 [[비라소로 대수]]의 중심원소의 값과 일치한다.
이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 '''<math>c</math>-정리'''({{lang|en|<math>c</math>-theorem}})으로 일컫는다.

=== 아핀 리 대수 ===
등각 장론은 등각 대칭 말고도 다른 대역적인 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 이론이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math> 꼴의 대칭을 가진다고 하자. 즉, 이 경우 대칭의 생성원들 <math>Q^a</math> (<math>a=1,\dots,\dim G</math>)은 <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>값을 가진 연산자들이며, 이들은
:<math>[Q^a,Q^b]=if^{ab}{}_cQ^c</math>
꼴의 교환 관계를 만족시킨다.

그러나 등각 장론이 대칭 <math>G</math>를 가질 경우, 대칭의 생성원뿐만 아니라, 대칭에 따른 보존류 <math>j^a</math>들도 [[연산자 곱 전개]]에 의하여 대수를 이룬다. 이 보존류들은 무게가 1인 1차장들이며, 이들의 푸리에 급수를
:<math>j^a=\sum_nj_n^az^{-n-1}</math>
로 정의하면
:<math>j^a_0=Q^a</math>
가 된다. 이들의 교환 관계는 다음과 같다.
:<math>[j^a_m,j^b_n]=\frac12km\delta^{ab}\delta_{m+n,0}+if^{ab}{}_cj^c_{m+n}</math>
이들은 무한 차원 [[리 대수]]를 이루며, 이를 '''[[아핀 리 대수]]''' 또는 '''카츠-무디 대수'''({{llang|en|Kač–Moody algebra}})라고 부른다.}<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|공저자=Melanie Becker, [[존 헨리 슈워츠|John H. Schwarz]]|doi=10.2277/0511254865|제목=String Theory and M-Theory: A Modern Introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2015-03-24|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|68–69}} 여기서 <math>k\in\mathbb Z</math>는 이론마다 다른 정수이며, 아핀 리 대수의 '''레벨'''({{llang|en|level}})이라고 한다.

대표적으로, 과녁 공간이 [[리 군]] <math>G</math>인 [[시그마 모형]]을 생각할 수 있다. 이 경우, 적절한 항들을 추가시키면 이론을 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 '''[[베스-추미노-위튼 모형]]'''이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 [[끈 (물리학)|끈]]을 나타낸다.

== 예 ==
=== 2차원 자유 스칼라장 ===
2차원 등각 장론의 가장 간단한 예는 하나의 자유 스칼라장을 포함하는 모형이다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|21–24}}<ref name="Tong"/>{{rp|77–82}}
실수 스칼라장 <math>\Phi(z,\bar z)</math>를 포함하는, 다음과 같은 작용을 생각하자.
:<math>S=\frac1{4\pi\alpha'}\int d^2z\,\partial\Phi\bar\partial\Phi</math>
그렇다면 스칼라장 <math>\Phi</math>는 다음과 같은 2점 함수를 가진다.
:<math>\langle\Phi(z,\bar z)\Phi(z,\bar\Phi)=-\frac12\alpha'\ln|z-w|^2</math>
이 작용의 [[오일러-라그랑주 방정식]]
:<math>\partial\bar\partial\Phi(z,\bar z)=0</math>
을 사용하여, <math>\Phi</math>를 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>\Phi(z,\bar z)=\phi(z)+\bar\phi(\bar z)</math>
이 경우, 이들은 다음과 같은 2점 함수를 가진다.
:<math>\langle\phi(z)\phi(z')\rangle=-\frac12\alpha'\ln(z-z')</math>
:<math>\langle\bar\phi(z)\bar\phi(z')\rangle=-\alpha'\ln(\bar z-\bar z')</math>
이 경우 <math>\partial\phi</math>의 2점 함수는
:<math>\langle\partial\phi(z)\partial\phi(z')\rangle=-\frac{\alpha'}{2(z-w)^2}+\cdots</math>
이므로, <math>\phi</math>, <math>\bar\phi</math>는 1차장이 아니지만 <math>\partial\phi</math>, <math>\bar\partial\bar\phi</math>는 1차장을 이루는 것을 알 수 있다. 또한, <math>\exp(ik\phi)</math>도 1차장을 이룬다. 즉, 이론의 1차장들과 그 무게는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 1차장 !! 무게 <math>(h,\bar h)</math>
|-
| <math>1</math> || <math>(0,0)</math>
|-
| <math>\partial\phi(z)</math> || <math>(1,0)</math>
|-
| <math>\bar\partial\bar\phi(\bar z)</math> || <math>(0,1)</math>
|-
| <math>:\exp(ik\phi(z)/\sqrt{\alpha'}):</math> || <math>(k^2/4,0)</math>
|-
| <math>:\exp(-ik\bar \phi(\bar z)/\sqrt{\alpha'}):</math> || <math>(0,k^2/4)</math>
|}

이 이론의 중심 전하는 <math>(c,\bar c)=(1,1)</math>이다. 보다 일반적으로, <math>n</math>개의 스칼라장을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 <math>c=n</math>이다. 이는 [[끈 이론]]에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 보손 끈 이론에서는 시공간의 각 차원마다 이에 해당하는 실수 스칼라장이 존재한다. <math>bc</math> 유령 등각 장론이 <math>c=-26</math>이며, 끈 이론의 일관성을 위하여 총 중심 전하가 <math>c=0</math>이어야 하므로, 총 26개의 차원(스칼라장)이 존재해야 한다. 즉, 보손 끈 이론은 26차원의 시공간에서 존재한다.

자유 스칼라장 등각 장론을 복소 구조 모듈러스가 <math>\tau\in\mathbb H</math>인 [[타원곡선]] 위에 정의하면, 그 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.<ref name="BP"/>{{rp|120–122}}
:<math>\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\sqrt{\operatorname{Im}\tau}}\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)}</math>
여기서 <math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타 함수]]다. 인자 <math>1/\sqrt{\operatorname{Im}\tau}</math>는 [[끈 이론]]에서 끈의 [[질량 중심]]의 운동량 모드에 해당한다. 이는 다른 진동 모드와 달리 ([[축소화]]하지 않은 [[시공간]]에서) 국한돼 있지 않으므로, 다른 진동 모드와 달리 특별히 다뤄진다.

=== 축소화 자유 스칼라장 ===
자유 스칼라장 모형을 약간 변화시켜, '''[[축소화]] 자유 스칼라장'''을 생각할 수 있다. 이 경우, <math>\Phi(z,\bar z)</math>를 실수값 대신 <math>\mathbb R/2\pi R\cong S^1</math> 값을 가진 장으로 생각한다. 여기서 <math>R\in\mathbb R</math>은 <math>\Phi</math>의 주기이다. [[끈 이론]]에서는 이는 시공간을 반지름이 <math>R</math>이게 [[축소화]]하는 것에 해당한다. 이 경우, <math>\exp(ik\phi)</math> 꼴의 1차장들은
:<math>\exp(in\phi/R)</math> (<math>n\in\mathbb Z)</math>
로 국한된다. 또한, 이 경우 (등각 대칭을 깨고) 퍼텐셜을 추가한다면 감음수에 따른 [[솔리톤]] 상태가 존재한다. 예를 들어, [[사인-고든 모형]]이 이에 해당한다.

축소화 스칼라장을 복소 구조 모듈러스가 <math>\tau\in\mathbb H</math>인 [[타원곡선]]에 축소화시켰을 때, 그 [[분배 함수 (통계역학)|분배 함수]]는 다음과 같다.<ref name="BP"/>{{rp|122–130}}
:<math>Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{\eta(\tau)\bar\eta(\bar\tau)}\sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty q^{(m/R+Rn/2)^2/2}\bar q^{(m/R-Rn/2)^2/2}</math>
여기서
* <math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타 함수]]다.
* <math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>이다.
이 분배 함수는 축소화 주기를
:<math>R\mapsto 2/R</math>
과 같이 치환하여도 바뀌지 않는다. 이는 [[끈 이론]]의 [[T-이중성]]에 해당한다.

=== 자유 페르미온 ===
하나의 페르미온 <math>\psi</math>을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 <math>c=1/2</math>이다. [[보손화]]를 통해, 두 개의 페르미온은 하나의 보손과 같다는 사실을 보일 수 있다.

==== 경계 조건 ====
페르미온의 경우 '''느뵈-슈워츠 경계 조건'''({{llang|en|Neveu–Schwarz boundary condition}})과 '''라몽 경계 조건'''({{llang|en|Ramond boundary condition}}) 두 가지 가능한 경계 조건이 있다. 이들의 구체적인 형태는 공간의 좌표에 따라 달라진다. 공간을 <math>z\in\widehat{\mathbb C}</math>로 잡고, 무한 과거가 <math>z=0</math>, 무한 미래가 <math>z=\widehat\infty</math>인 좌표를 쓸 수도 있고, 대신 <math>z=\exp w</math>로 하여, 무한 과거가 <math>w=-\infty</math>, 무한 미래가 <math>w=+\infty</math>인 좌표를 쓸 수도 있다. 이 경우, 등각 무게가 <math>(h,\bar h)=(1/2,0)</math>인 페르미온 장 <math>\psi(z)</math>의 경계 조건은 다음과 같다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|72–73,80–82}}<ref name="BP"/>{{rp|58}}<ref name="BBS"/>{{rp|122–124}}
* '''느뵈-슈워츠 경계 조건'''에서는
::<math>\psi(e^{2\pi i}z)=+\psi(z)</math>
::<math>\psi(w+2\pi i)=-\psi(w)</math>
:이다. 즉, 평면(''z'')에서는 주기적이고, 원기둥(''w'')에서는 반주기적이다.
* '''라몽 경계 조건'''에서는
::<math>\psi(e^{2\pi i}z)=-\psi(z)</math>
::<math>\psi(w+2\pi i)=+\psi(z)</math>
이다. 즉, 평면(''z'')에서는 반주기적이고, 원기둥(''w'')에서는 주기적이다.
<math>w\to z</math>로 좌표를 바꾸면, 무게가 [[반정수]]이기 때문에 경계 조건이 주기적에서 반주기적으로 바뀌게 된다.<ref name="Ginsparg"/>{{rp|81}}<ref name="BP"/>{{rp|114–115}}

==== 분배 함수 ====
복소 구조가 <math>\tau</math>인 [[타원 곡선]]에서, 자유 페르미온의 분배 함수는 다음과 같다.<ref name="BP"/>{{rp|136}}
:<math>\mathcal Z(\tau,\bar\tau)=\frac1{2|\eta(\tau)|}\left(|\vartheta_2(\tau)|+|\vartheta_3(\tau)|+|\vartheta_4(\tau)|\right)</math>
여기서 <math>\vartheta_i(\tau)</math>는 [[야코비 세타 함수]]다.
* <math>|\vartheta_3|/|\eta|</math>는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.
* <math>|\vartheta_4|/|\eta|</math>는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온에서, <math>(-)^F</math> (<math>F</math>는 페르미온 수) 연산자를 삽입한 분배 함수 <math>\operatorname{Tr}(-)^F\exp(\dots)</math>다. 즉, <math>\frac12(|\vartheta_3|+|\vartheta_4|)/|\eta|</math>는 분배 함수에 사영 연산자 <math>(1+(-1)^F)/2</math>를 삽입한 것과 같다. 이를 '''[[GSO 사영]]'''이라고 한다.
* <math>|\vartheta_2|/|\eta|</math>는 라몽 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.
이렇게 [[GSO 사영]]을 가하고 느뵈-슈워츠 경계 조건 및 라몽 경계 조건 둘 다 포함시키지 않으면, 분배 함수는 모듈러 변환에 더 이상 불변이지 않게 된다. 즉, 등각 장론의 일관성에 의하여 [[GSO 사영]]이 불가피하다. [[끈 이론]]에서는 이 과정을 통해 [[타키온]] [[바닥 상태]]가 없어지게 된다.

=== 유령장 ===
'''유령장'''은 [[끈 이론]]에서 (초)등각 대칭을 [[게이지 고정]]시킬 때 등장하는 [[파데예프-포포프 유령]]장이다.<ref name="Tong"/>{{rp|114–117}}<ref name="BBS"/>{{rp|75–77}} 유령장들의 등각 장론에 등장하는 1차장들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 1차장 !! 무게 ''h''
|-
| 1 || 0
|-
| <math>b(z)</math> || <math>\lambda</math>
|-
| <math>c(z)</math> || <math>1-\lambda</math>
|}
여기서 <math>\lambda</math>는 임의의 매개변수이다. 이 경우 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.
:<math>T(z)=-\lambda:b\partial c:\pm(\lambda-1):c\partial b:</math>
여기서 만약 <math>b</math>, <math>c</math>가 가환수이면([[보스-아인슈타인 통계]]를 따르면) &minus;, [[반가환수]]이면 ([[페르미-디랙 통계]]를 따르면) +를 취한다.

이 이론의 중심 전하는 다음과 같다 ([[복부호 동순]]).
:<math>c=\mp2(6\lambda^2-6\lambda+1)</math>

=== 기타 예 ===
이 밖에도 대표적인 2차원 등각 장론으로는 다음이 있다.
* [[리우빌 장론]]
* [[베스-추미노-위튼 모형]]
* [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]
* 게프너 모형({{llang|en|Gepner model}})
* [[칼라비-야우 다양체]] 위의 2차원 [[시그마 모형]]

== 역사 ==
아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로({{llang|es|Miguel Ángel Virasoro}})가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 [[비라소로 대수]])를 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Virasoro|이름=Miguel Ángel|저널=Physical Review D|권=1|호=10|쪽=2933–2936|연도=1970|제목=Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models|doi=10.1103/PhysRevD.1.2933|bibcode=1970PhRvD...1.2933V}}</ref> 이후 그 중심 확장은 와이스 ({{llang|en|J. H. Weis}})가 도입하였다.

1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈({{llang|ru|Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин}})과 [[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프]], [[알렉산드르 자몰롯치코프]]가 2차원 등각 장론을 현대적으로 정의하고, 그 대표적인 성질들을 제시하였다.<ref name="BPZ">{{저널 인용|성=Belavin|이름=A.A.|공저자=[[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|A. M. Polyakov]], [[알렉산드르 자몰롯치코프|A. B. Zamolodchikov]]|제목=Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory|저널=Nuclear Physics B|volume=241|issue=2|쪽=333–80|날짜=1984-07|doi=10.1016/0550-3213(84)90052-X|bibcode=1984NuPhB.241..333B|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
=== 끈 이론 ===
[[끈 이론]]에서, [[비라소로 대수]]는 끈의 [[에너지-운동량 텐서]]의 ([[빛원뿔 좌표계]]에서의) ++, &minus;&minus;원소의 [[진동모드]] 전개로 등장한다. (닫힌 끈의 경우엔 이들이 각각 다른 [[비라소로 대수]]를 이루나, 열린 끈의 경우에는 하나의 [[비라소로 대수]]밖에 없다.) [[미분동형사상]](좌표 변환) 불변성에 의하여 물리적 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 (고전적으로) 0이 되어야 하므로, 고전적으로 <math>L_m=0</math>이다. 이를 [[양자화 (물리학)|양자화]]하면, 오직
:<math>(L_m-a\delta_{m0})|\psi\rangle=0</math> (<math>m\ge0</math>)
만을 만족시키면 된다. 여기서 <math>|\psi\rangle</math>는 임의의 실재하는 상태고, <math>a</math>는 이론에 따라 다른 상수다. ([[보존 끈 이론]]에서는 <math>a=1</math>이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우에는 <math>a=1/2</math>, R의 경우에는 <math>a=0</math>이다.)

[[보손 끈 이론]]에서는 등각 대칭의 [[게이지 고정]]을 통하여 <math>\lambda=2</math>인 [[반가환수]] 유령장들 <math>b(z), c(z), \bar b(\bar z), \bar c(\bar z)</math>이 존재한다. 이에 따라, 보손 끈 이론의 유령장들의 중심 전하는
:<math>(c,\bar c)=(-26,-26)</math>
이다. 이에 따라서 보손 끈 이론은 26차원에 존재한다.

[[초끈 이론]]에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 위의 <math>\lambda=2</math> 반가환수 유령뿐만 아니라, 초등각 대칭의 게이지 고정에 의한, <math>\lambda=3/2</math>의 가환수 유령장들이 존재한다. ([[초대칭]]의 생성원은 [[반가환수]]이므로, 이에 대응하는 유령장은 그 반대 통계를 따른다.) 이 경우 전자를 '''''bc'' 유령'''으로, 후자를 '''''βγ'' 유령'''으로 부른다. ''βγ'' 유령장들의 중심 전하는
:<math>(c,\bar c)=(11,11)</math>
이므로, 유령장들의 총 중심 전하는 &minus;26+11=15이다. 각 차원에서는 하나의 보손(''c''=1)과 하나의 페르미온(''c''=1/2)이 존재하므로, 초끈 이론은
:<math>15/(1+1/2)=10</math>
차원의 시공간에 존재한다.

<math>N=2</math> 초끈 이론은 세계면 이론이 [[2차원 𝒩=2 초등각 장론|2차원 <math>\mathcal N=2</math> 초등각 장론]]인 [[초끈 이론]]이다.<ref>{{서적 인용|장=A tour through N=2 strings|이름=Neil|성=Marcus|arxiv=hep-th/9211059|날짜=1993|bibcode=1993stqu.conf..391M|제목=String Theory, Quantum Gravity, and the Unification of the Fundamental Interactions|출판사=World Scientific}}</ref><ref>{{서적 인용|장=M-theory and N=2 Strings|제목=Strings, Branes and Dualities|이름=Emil|성=Martinec|arxiv=hep-th/9710122|bibcode=1997hep.th...10122M|doi=10.1007/978-94-011-4730-9_9|isbn=978-94-010-5989-3|날짜=1999|쪽=241–265|총서=NATO ASI Series|권=520|issn=1389-2185}}</ref> 이 경우 유령장들은 다음과 같다.
* 등각 대칭의 게이지 고정으로부터, <math>c=-26</math>인 ''bc'' 유령
* 초대칭 게이지 고정으로부터, ''βγ''유령. <math>\mathcal N=2</math> 초대칭이므로 두 쌍이 존재하며, 따라서 <math>c=2\times11</math>이다.
* 또한, <math>\mathcal N=2</math> 초대칭은 U(1) 게이지 대칭을 포함한다. 이는 <math>\lambda=1</math> 유령 등각장론을 이루며, 보통 '''''b''&prime;''c''&prime; 유령'''으로 불린다. 이는 <math>c=-2</math>이다.
<math>\mathcal N=2</math> [[초대칭]]의 [[초다중항]]은 하나의 복소 스칼라와 하나의 복소 페르미온으로 이루어져 있으므로, 이는 <math>c=2(1+1/2)=3</math>이다. 즉, <math>\mathcal N=2</math> 초끈 이론은
:<math>d_{\mathbb C}=(-26+2\cdot 11-2)/3=2</math>
개의 초다중항을 포함한다. 하나의 초다중항은 두 개의 실수 스칼라장을 포함하므로, <math>\mathcal N=2</math> 초끈 이론의 임계 차원은 4차원이다. 이 경우 일반적으로, [[시공간]]은 복소 2차원 [[켈러 다양체]]를 이루며, [[계량 부호수]]는 (4,0)이거나 (2,2)여야 한다.

=== 임계 현상 ===
일반적으로 [[임계 현상]]은 [[등각 장론]]에 의하여 나타내어지며, 특히 2차원 계의 임계 현상은 2차원 등각 장론에 의하여 나타내어진다. 2차원 계의 경우 [[평균장 이론]]이 적용되지 않는 경우가 많으며, 이러한 경우 2차원 등각 장론의 기법으로 임계 현상을 설명할 수 있다. 예를 들어, [[이징 모형]]의 경우 4차원 이상에서는 [[평균장 이론]]이 잘 적용되지만, 2차원에서는 적용되지 않는다. 이 경우, 2차원 등각 장론의 하나인 [[최소 모형 (등각 장론)|최소 모형]]으로 그 임계 현상을 설명할 수 있다. (3차원의 경우는 현재에도 잘 이해되지 않고 있다.)

== 각주 ==
{{각주|25em}}
* {{서적 인용|제목=Representation Theory of the Virasoro Algebra|이름=Kenji|성=Iohara|공저자=Yoshiyuki Koga|연도=2011|위치=London|출판사=Springer|doi=10.1007/978-0-85729-160-8|isbn=978-0-85729-159-2|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Kac–Moody and Virasoro algebras|url=https://archive.org/details/arxiv-1004.1287|이름=Antony|성=Wassermann|연도=2010|arxiv=1004.1287|bibcode=2010arXiv1004.1287W|언어=en}}
* {{저널 인용|이름1=Andrea|성1= Cappelli|이름2= Jean-Bernard|성2= Zuber|연도=2010|저널=Scholarpedia|권=5|호=4|쪽=10314|doi=10.4249/scholarpedia.10314|제목=A-D-E classification of conformal field theories|arxiv=0911.3242|bibcode=2009arXiv0911.3242C|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Two-dimensional conformal field theory and beyond. Lessons from a continuing fashion|url=https://archive.org/details/sim_letters-in-mathematical-physics_2001-05_56_2/page/151|이름=Ivan T.|성=Todorov|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=2001-05|권=56|호=2|쪽=151–161|arxiv=math-ph/0011014|bibcode=2000math.ph..11014T|언어=en|mr=1854133|zbl=1036.81040|doi=10.1023/A:1010882404019|issn=0377-9017}}
* {{저널 인용|이름=C.|성=Schweigert|공저자=J. Fuchs, J. Walcher|제목=Conformal field theory, boundary conditions and applications to string theory|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th0011109|연도=2000|월=11|arxiv=hep-th/0011109|bibcode=2001npqm.conf...37S|doi=10.1142/9789812799968_0002|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Cardy|이름=John|저자링크=존 카디|장=Boundary conformal field theory|제목=Encyclopedia of Mathematical Physics|연도=2006|출판사=Academic Press|쪽=333–340|doi=10.1016/B0-12-512666-2/00398-9|isbn=978-0-12-512666-3|arxiv=hep-th/0411189|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=1 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=4 초등각 장론]]
* [[W-대수]]
* [[아핀 리 대수]]
* [[최소 모형 (등각 장론)]]

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=rational 2d conformal field theory | title=Rational 2d conformal field theory}}
* {{nlab|id=conformal field theory | title=Conformal field theory}}

[[분류:등각 장론]]
[[분류:끈 이론]]