{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''쿠라토프스키 모노이드'''({{llang|en|Kuratowski monoid}})는 주어진 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]] 위의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] · [[내부 (위상수학)|내부]] · [[여집합]] 연산들로 구성된 [[모노이드]]이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 이제, 문자 <math>\{\mathsf k,\mathsf c\}</math>로 생성되는 [[자유 대수|자유]] [[모노이드]]([[클레이니 스타]]) <math>\{\mathsf k,\mathsf c\}^*</math>가 [[멱집합]] <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 위에 다음과 같이 [[모노이드 작용|작용]]한다고 하자.
:<math>\mathsf k\colon S\mapsto\operatorname{cl}(S)</math>
:<math>\mathsf c\colon S\mapsto X\setminus S</math>
즉, <math>\mathsf k</math>는 [[폐포 (위상수학)|폐포]] 연산이며, <math>\mathsf c</math>는 [[여집합]] 연산이다.

이제, <math>\operatorname{Pow}(X)</math> 위에 똑같이 작용하는 연산들을 서로 [[동치]]로 간주하자.
:<math>s\sim t\iff\forall S\subseteq X\colon s(S)=t(S)\qquad(s,t\in\{\mathsf k,\mathsf c\}^*)</math>
이는 [[합동 관계]]를 이루며, 이에 대한 몫 모노이드 <math>\{\mathsf k,\mathsf c\}^*/\sim</math>를 <math>X</math>의 '''쿠라토프스키 모노이드'''({{llang|en|Kuratowski monoid}})라고 한다.

== 분류 ==
=== 가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드 ===
가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드는 14개의 원소를 가지며, 다음과 같은 세 항등식으로 정의된다.<ref>{{저널 인용|이름=James H.|성=Fife|제목=The Kuratowski closure–complement problem|저널=Mathematics Magazine|issn=0025-570X|권=64|호=3|날짜=1991-06||쪽=180–182|jstor=2691300|doi=10.2307/2691300|zbl=0735.54001|언어=en}}</ref><ref name="GJ"/>{{rp|9, Theorem 1.1}}<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Sherman|제목=Variations on Kuratowski’s 14-set theorem|저널=The American Mathematical Monthly|권=117|호=2|쪽=113–123|날짜=2010-02|zbl=1210.54004|arxiv=math/0405401|bibcode=2004math......5401S|doi=10.4169/000298910x476031|jstor=10.4169/000298910x476031|issn=0002-9890|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 1.1}}<ref>{{저널 인용|doi=10.4169/loci003343|저널=Loci|권=1|날짜=2010-02|제목=The Kuratowski closure–complement problem|이름=Mark|성=Bowron|언어=en}}</ref> (<math>\epsilon</math>은 길이 0의 문자열이다.)
* ([[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[멱등원|멱등성]]) <math>\mathsf{kk}=\mathsf k</math>
* ([[여집합]]의 [[대합 (수학)|대합성]]) <math>\mathsf{cc}=\epsilon</math>
* ([[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[정칙 열린집합|정칙성]]) <math>\mathsf{kckckck}=\mathsf{kck}</math>
** 편의상, [[내부 (위상수학)|내부]] 연산 <math>\mathsf i=\mathsf{ckc}</math>를 정의하면, 이는 <math>\mathsf{ikik}=\mathsf{ik}</math>와 나머지 두 항등식으로부터 함의된다. 즉, 이는 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]가 항상 [[정칙 열린집합]]임을 나타낸다.
이 사실을 '''쿠라토프스키 14개 집합 정리'''(Kuratowski十四個集合定理, {{llang|en|Kuratowski 14-set theorem}})라고 한다. 이 모노이드를 <math>M_\text{K}</math>라고 표기하자. 즉, 쿠라토프스키 14개 집합 정리에 등장하는 14개의 집합들은 다음과 같다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 문자열 || 설명 || <math>S</math> 위의 작용
! 문자열 || 설명 || <math>S</math> 위의 작용
|-
| <math>\epsilon</math> || 원래 집합 || <math>S</math>
| <math>\mathsf c</math> || [[여집합]] || <math>X\setminus S</math>
|-
| <math>\mathsf k</math> || [[폐포 (위상수학)|폐포]] || <math>\operatorname{cl}S</math>
| <math>\mathsf{ck}</math> || [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[여집합]] || <math>X\setminus\operatorname{cl}S</math>
|-
| <math>\mathsf{ckc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]] || <math>\operatorname{int}S</math>
| <math>\mathsf{kc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[여집합]] || <math>X\setminus\operatorname{int}S</math>
|-
| <math>\mathsf{kckc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] || <math>\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)</math>
| <math>\mathsf{ckckc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[여집합]] ||  <math>X\setminus\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)</math>
|-
| <math>\mathsf{ckck}</math> || [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]] || <math>\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)</math>
| <math>\mathsf{kck}</math> || [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[여집합]] || <math>X\setminus\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)</math>
|-
| <math>\mathsf{ckckckc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]] || <math>\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S))</math>
| <math>\mathsf{kckckc}</math> || [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[여집합]] || <math>X\setminus\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S))</math>
|-
| <math>\mathsf{kckck}</math> || [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]] || <math>\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S))</math>
| <math>\mathsf{ckckck}</math> ||  [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]의 [[여집합]] || <math>X\setminus\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S))</math>
|}

그렇다면, 임의의 위상 공간의 임의의 부분 집합의 쿠라토프스키 모노이드는 <math>M_\text{K}</math>의 몫 모노이드이다.

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.<ref name="GJ"/>{{rp|11, Figure 1.1}}
:<math>
\begin{matrix}
\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}(\operatorname{cl}S))&\subset&\operatorname{cl}S\\
\cup&&\cup\\
\operatorname{int}(\operatorname{cl}(\operatorname{int}S))&\subset&\operatorname{cl}(\operatorname{int}S)&&\cup\\
\cup\\
\operatorname{int}S&&\subset&&S
\end{matrix}</math>

=== 위상 공간의 가능한 쿠라토프스키 모노이드 ===
임의의 위상 공간의 쿠라토프스키 모노이드는 다음 7가지 가운데 하나이다.<ref name="GJ">{{저널 인용|url=http://nzjm.math.auckland.ac.nz/images/6/63/The_Kuratowski_Closure-Complement_Theorem.pdf|제목=The Kuratowski closure–complement theorem|이름=B. J.|성=Gardner|이름2=Marcel|성2=Jackson|저널=New Zealand Journal of Mathematics|권=38|쪽=9–44|zbl=1185.54002|issn=1179-4984|언어=en|access-date=2016-09-04|archive-date=2022-02-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20220212062843/http://nzjm.math.auckland.ac.nz/images/6/63/The_Kuratowski_Closure-Complement_Theorem.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|12, Theorem 2.1}}
* ㈎ <math>M_{\text{K}}</math> (가장 일반적인 쿠라토프스키 모노이드)
* ㈏ 크기 10의 모노이드. 이는 <math>\mathsf{kckck}=\mathsf{kckc}</math>로 생성되는 [[합동 관계]]에 대한 <math>M_{\text{K}}</math>의 몫 모노이드이다.
* ㈐ 크기 10의 모노이드. 이는 <math>\mathsf{kckck}=\mathsf{ckck}</math>로 생성되는 [[합동 관계]]에 대한 <math>M_{\text{K}}</math>의 몫 모노이드이다.
* ㈑ 크기 8의 모노이드. 이는 <math>\mathsf{ckck}=\mathsf{kckc}</math>로 생성되는 [[합동 관계]]에 대한 <math>M_{\text{K}}</math>의 몫 모노이드이다.
* ㈒ 크기 6의 모노이드. 이는 <math>\mathsf{kck}=\mathsf{ck}</math>로 생성되는 [[합동 관계]]에 대한 <math>M_{\text{K}}</math>의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 [[필요 충분 조건]]은 모든 [[열린집합]]이 [[열린닫힌집합]]이지만 [[이산 공간]]이 아닌 것이다.
* ㈓ 크기 2의 모노이드 (2차 [[순환군]]). 이는 <math>\mathsf k=\epsilon</math>로 생성되는 [[합동 관계]]에 대한 <math>M_{\text{K}}</math>의 몫 모노이드이다. 위상 공간이 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가질 [[필요 충분 조건]]은 [[공집합]]이 아닌 [[이산 공간]]인 것이다.
* ㈔ 크기 1의 모노이드 ([[자명군]]). 이러한 쿠라토프스키 모노이드를 가지는 위상 공간은 [[공집합]] 밖에 없다.

{| class="wikitable" style="text-align: center; table-layout: fixed; width: 72em"
! colspan=2 | ㈎
! colspan=2 | ㈏
! colspan=2 | ㈐
! colspan=2 | ㈑
! colspan=2 | ㈒
! colspan=2 | ㈓
! colspan=2 | ㈔
|-
| <math>\epsilon</math> || <math>\mathsf c</math> || <math>\epsilon</math> || <math>\mathsf c</math> || <math>\epsilon</math> || <math>\mathsf c</math> || <math>\epsilon</math> || <math>\mathsf c</math>
| <math>\epsilon</math> || <math>\mathsf c</math>
| rowspan=7 | <math>\epsilon</math>
| rowspan=7| <math>\mathsf c</math>
| rowspan=7 colspan=2 | <math>\epsilon</math>
|-
| <math>\mathsf k</math> || <math>\mathsf{ck}</math>
| <math>\mathsf k</math> || <math>\mathsf{ck}</math>
| <math>\mathsf k</math> || <math>\mathsf{ck}</math>
| <math>\mathsf k</math> || <math>\mathsf{ck}</math>
| rowspan=3 | <math>\mathsf k</math>
| rowspan=3 | <math>\mathsf{ck}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckck}</math> || <math>\mathsf{kck}</math>
| <math>\mathsf{ckck}</math> || <math>\mathsf{kck}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{ckck}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{kck}</math>
| rowspan=4 | <math>\mathsf{ckck}</math>
| rowspan=4 | <math>\mathsf{kck}</math>
|-
| <math>\mathsf{kckck}</math> || <math>\mathsf{ckckck}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{kckc}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{ckckc}</math>
|-
| <math>\mathsf{kckc}</math> || <math>\mathsf{ckckc}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{kckc}</math>
| rowspan=2 | <math>\mathsf{ckckc}</math>
| rowspan=3 | <math>\mathsf{ckc}</math>
| rowspan=3 | <math>\mathsf{kc}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckckckc}</math> || <math>\mathsf{kckckc}</math>
| <math>\mathsf{ckck}</math> || <math>\mathsf{kck}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckc}</math> || <math>\mathsf{kc}</math>
| <math>\mathsf{ckc}</math> || <math>\mathsf{kc}</math>
| <math>\mathsf{ckc}</math> || <math>\mathsf{kc}</math>
| <math>\mathsf{ckc}</math> || <math>\mathsf{kc}</math>
|}

== 성질 ==
=== 조밀 집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 ===
<math>M_\text{K}</math>의 원소 <math>s\in M_\text{K}</math>에 대하여, <math>s(S)=\varnothing</math>이 되는 특별한 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>을 생각할 수 있다. 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 6개가 있으며, 다음과 같다.

{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 문자열 <math>s</math> || <math>s(S)=\varnothing</math>인 [[부분 집합]] <math>S</math>
! 문자열 <math>s</math> || <math>s(S)=\varnothing</math>인 [[부분 집합]] <math>S</math>
|-
| <math>\epsilon</math>
| rowspan=2 | [[공집합]]
| <math>\mathsf c</math>
| rowspan=2 | [[공집합]]의 [[여집합]]
|-
| <math>\mathsf k</math>
| <math>\mathsf{kc}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckck}</math>
|rowspan=2| [[조밀한 곳이 없는 집합]]
| <math>\mathsf{ckckc}</math>
|rowspan=2| [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 [[여집합]]
|-
| <math>\mathsf{kckck}</math>
| <math>\mathsf{kckckc}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckc}</math>
|rowspan=3 | [[조밀 집합]]의 [[여집합]]
| <math>\mathsf{ck}</math>
|rowspan=3 | [[조밀 집합]]
|-
| <math>\mathsf{kckc}</math>
| <math>\mathsf{kck}</math>
|-
| <math>\mathsf{ckckckc}</math>
| <math>\mathsf{ckckck}</math>
|}
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
:[[조밀 집합]]의 [[여집합]] ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]] ⇒ [[공집합]]
:[[조밀 집합]] ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]]의 [[여집합]] ⇒ [[공집합]]의 [[여집합]]

=== 열린집합·닫힌집합과 유사하게 정의되는 특별한 부분 집합 ===
마찬가지로, <math>M_\text{K}</math>의 원소 <math>s\in M_\text{K}</math>에 대하여, <math>s(S)=S</math>가 되는 특별한 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>을 생각할 수 있다. <math>s</math>가 <math>\mathsf c</math>를 짝수 개 포함한다고 가정하면, 이렇게 정의할 수 있는 특별한 부분 집합들의 족은 5개가 있으며, 다음과 같다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 문자열 <math>s</math> || <math>s(S)=S</math>인 [[부분 집합]] <math>S</math>
! 문자열 <math>s</math> || <math>s(S)=S</math>인 [[부분 집합]] <math>S</math>
|-
| <math>\epsilon</math> || (임의의 [[부분 집합]])
|-
| <math>\mathsf{ckc}</math> || [[열린집합]]
| <math>\mathsf k</math> || [[닫힌집합]]
|-
| <math>\mathsf{ckck}</math>
|rowspan=2| [[정칙 열린집합]]
| <math>\mathsf{kckc}</math>
|rowspan=2| [[정칙 닫힌집합]]
|-
| <math>\mathsf{ckckckc}</math>
| <math>\mathsf{kckck}</math>
|}
즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| || ⇗ || [[정칙 열린집합]] ⇒ [[열린집합]] || ⇘
|-
| [[열린닫힌집합]]
|colspan=3| || [[부분 집합]]
|-
| || ⇘ || [[정칙 닫힌집합]] ⇒ [[닫힌집합]] || ⇗
|}
만약 <math>s</math>가 <math>\mathsf c</math>를 홀수 개 포함한다면, <math>s(S)=S</math>인 것은 <math>S=X=\varnothing</math>인 경우 밖에는 불가능하다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>X\ne\varnothing</math>이라고 가정하자. 다음과 같은 7개 경우가 있다.
* (0) <math>\mathsf c</math>
*:당연히 불가능하다.
* (1) <math>\mathsf{kc}=\mathsf{ci}</math>
*:이 경우, <math>\varnothing=S\setminus S=S\setminus\mathsf{ci}(S)=\mathsf{i}(S)</math>이다. 따라서 <math>S=\mathsf{ci}(S)=\mathsf{c}(\varnothing)=X</math>이어야 한다. 그런데 <math>X=S=\mathsf{ci}(X)=\varnothing</math>이므로 이는 불가능하다.
* (1′) <math>\mathsf{kck}=\mathsf{kic}=\mathsf{cik}</math>
*:이 경우, <math>S</math>는 [[정칙 닫힌집합]]이므로 <math>S=\mathsf{cik}(S)=\mathsf{ci}(S)</math>인데, 이는 경우 (1)이다.
* (1″) <math>\mathsf{kckckc}=\mathsf{kikc}=\mathsf{ciki}</math>
*:이 경우, <math>S</math>는 [[정칙 닫힌집합]]이므로 <math>S=\mathsf{ciki}(S)=\mathsf{ci}(S)</math>인데, 이는 경우 (1)이다.
* (2) <math>\mathsf{ck}</math>
*:당연히 불가능하다.
* (2′) <math>\mathsf{ckckc}=\mathsf{ikc}=\mathsf{cki}</math>
*:이 경우 <math>S</math>는 [[정칙 열린집합]]이므로, <math>S=\mathsf{cki}(S)=\mathsf{ck}(S)</math>인데, 이는 경우 (2)이다.
* (2″) <math>\mathsf{ckckck}=\mathsf{ikic}=\mathsf{ckik}</math>
*:이 경우 <math>S</math>는 [[정칙 열린집합]]이므로, <math>S=\mathsf{ckik}(S)=\mathsf{ck}(S)</math>인데, 이는 경우 (2)이다.
</div></div>

== 예 ==
실수선의 쿠라토프스키 모노이드는 <math>M_{\text{K}}</math>이다. 구체적으로, 실수선의 다음과 같은 부분 집합을 생각하자.
:<math>S=(0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}\cup\left([4,5]\cap\mathbb Q\right)\subseteq\mathbb R</math>
그렇다면, <math>M_{\text{K}}</math>는 <math>S</math> 위에 서로 다르게 작용한다.

== 역사 ==
쿠라토프스키 14개 집합 정리는 [[카지미에시 쿠라토프스키]]가 1922년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용
  | last = Kuratowski
  | first = Casimir
  | authorlink = 카지미에시 쿠라토프스키
  | title = Sur l’opération ''A̅'' de l’Analysis Situs
  | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3121.pdf
  | journal = Fundamenta Mathematicae
  | volume = 3
  | pages = 182–199
  | year = 1922
  | issn = 0016-2736 | jfm=48.0210.04 | 언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=KuratowskisClosure-ComplementProblem|title=Kuratowski’s closure–complement problem}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathematrucker.com/mathtransit/cornucopia.php|제목=Kuratowski’s closure–complement cornucopia|이름=Mark|성=Bowron|날짜=2015-01-17|언어=en}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:반군론]]