{{위키데이터 속성 추적}}
이 문서는 '''[[삼각함수]]의 덧셈 정리'''에 대해 설명한다.

:<math>\sin \left(x + y \right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y</math>
:<math>\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>
:<math>\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math>
:<math>\cos \left(x - y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y</math>
:<math>\tan \left(x + y\right)={{\tan x + \tan y} \over{ 1- \tan x \tan y}}</math>
:<math>\tan \left(x - y\right)={{\tan x - \tan y} \over{ 1+ \tan x \tan y}}</math>

==사인함수의 덧셈정리==

[[파일:Heron'sTrigon002.svg|300px|right]]
[[예각삼각형|예각 삼각형]] <math>ABC</math>의 넓이 <math>\triangle  ABC</math>에 대해서,<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙13] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey, [[퍼블릭 도메인]])</ref><ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey,PublicDomain)</ref>
:<math>\triangle  ABC= \triangle  AHB+\triangle  AHC</math>
:<math>\triangle  ABC= {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta) </math>

:<math>\triangle  AHB+\triangle  AHC </math>
:<math>={1 \over{2}}\; \overline{BH}\;\overline{AH} + {1 \over{2}}\; \overline{CH}\;\overline{AH}</math>
:<math>={1 \over{2}}c \sin \alpha \; b \cos \beta + {1 \over{2}} b \sin \beta \; c \cos \alpha </math>
:<math>={1 \over{2}}c  b (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha) </math>
따라서,
:<math> {1 \over{2}} {b}c \sin(\alpha+\beta) = {1 \over{2}}c  b (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha)   </math>
:<math> \sin(\alpha+\beta) = (\sin \alpha \;\cos \beta +  \sin \beta \;  \cos \alpha)   </math>

==코사인의 덧셈정리==
[[파일:Euclid-elements-II-4and12.svg|400px|right]]
[[둔각삼각형]] <math>\triangle{ABC}</math>에서<math>, \;\overline{BD}</math>의 임의의 한점  <math>C</math>에 대해서,<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙12] (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)</ref><ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙4] (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)</ref>
<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙7] (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)</ref>
:<math>\overline{BD}^2=\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)</math>
:<math>\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;</math>
그리고,
:<math>\overline{AC}^2=\overline{CD}^2 + \overline{AD}^2 \;\;</math>
:<math>\overline{AC}^2-\overline{CD}^2 = \overline{AD}^2 \;\;</math>
따라서,
:<math>\overline{AB}^2=\overline{BD}^2 + \overline{AD}^2   </math>
:<math>\overline{AB}^2= \left(\overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right) \right)  + \left( \overline{AC}^2-\overline{CD}^2  \right) </math>
:<math>\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)  </math>
그리고
:<math>\cos (\pi - \alpha)  = {{\overline{CD}} \over{ \overline{AC} } }</math>
:<math>\overline{CD} =  \overline{AC}  \cos (\pi - \alpha) </math>
:<math>\overline{CD} =  - \overline{AC} \cos \alpha </math>
따라서,
:<math>\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 + 2 \left(\overline{BC}\cdot \overline{CD} \right)  </math>
:<math>\overline{AB}^2= \overline{BC}^2 +\overline{AC}^2 - 2 \left(\overline{BC}\cdot {\overline{AC}  \cos \alpha} \right)  </math>
:<math>c^2= a^2 +b^2 - 2ab  \cos \alpha  </math>

이것은 [[코사인법칙#제2코사인법칙|제2코사인법칙]]이고,
<table>
<tr>
<td>
[[파일:DistanceFromAtoB002.svg|300px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
[[유클리드 원론]] 3권 법칙3 에서,<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 3권 법칙3] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey,PublicDomain)</ref> [[두 점 사이의 거리]]를 가정하면,
:<math>l^2 = {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}</math>이므로,
:<math>P= (\cos \; \alpha, \sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (\cos \beta, \sin \beta)</math> 일때,
:<math>\overline{PQ}^2= (\cos \beta - \cos \; \alpha )^2 + ( \sin \beta - \sin \; \alpha)^2 </math>
:<math>= \left ( (\cos \beta - \cos \; \alpha )  \cdot  (\cos \beta - \cos \; \alpha )  \right)  + \left( ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \cdot ( \sin \beta - \sin \; \alpha) \right) </math>
:<math>= \left ( (\cos \beta)^2  - 2\cos \alpha \cos \beta + (\cos \; \alpha)^2  \right)  + \left( ( \sin \beta)^2 -2 \sin\alpha \sin \beta + (\sin \alpha)^2 \right) </math>
:<math>= (\cos \beta)^2  + (\cos \; \alpha)^2    +  ( \sin \beta)^2 + (\sin \alpha)^2  - 2\cos \alpha \cos \beta -2 \sin\alpha \sin \beta </math>
:<math>= (\cos^2 \beta  +   \sin^2 \beta )   +  (\cos^2 \; \alpha + \sin^2 \alpha ) - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)</math>
그리고 [[삼각 함수 항등식]]의 [[피타고라스 정리]]에서,
: <math> \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 </math>
따라서,
:<math>= 1  +  1 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)</math>
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)</math>
</td>
</tr>
</table>
한편,
:이것은, [[코사인법칙#제2코사인법칙|제2코사인법칙]]에서는,

:<math>\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ}  \cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>
:<math>\overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1  \cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>

그리고 [[두 점 사이의 거리]]에서,
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ \cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)  </math>
따라서,
:<math> { \cos (\alpha-\beta)} = \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta \right)  </math>

==탄젠트의 덧셈정리==
:<math>\tan x={{\sin x} \over{\cos x}}</math>
:<math>\tan \left(x + y \right)={{\sin \left(x + y  \right)} \over{\cos\left(x + y  \right)}}</math>
:<math>\tan \left(x + y  \right)={ {\sin x \cos y + \cos x \sin y } \over{\cos x \cos y - \sin x \sin y} }</math>
:<math>\tan \left(x + y  \right)={  { { {\sin x \cos y}\over{\cos x \cos y} } + { { {\cos x \sin y} \over{\cos x \cos y}}  } } \over {  { {\cos x \cos y} \over{\cos x \cos y}} -{ {\sin x \sin y} \over{\cos x \cos y}}  }    }</math>
:<math>\tan \left(x + y  \right)={  { { \tan x} + { \tan y  } } \over {  1 -{ \tan x \tan y  }  }  }</math>

==덧셈정리의 변형==
[[파일:Sincos-theta001.svg|200px|right]]
:<math>\sin (-\theta) = -\sin \theta \;\; , \;\;  \cos (-\theta)= \cos \theta </math>
<!-- 왜그런지 설명하시요 >>>그림삽입 -->


따라서,
:<math>\sin \left(x + (-y )\right)=\sin x \cos (-y) + \cos x \sin (-y)</math>
:<math>\sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y</math>
그리고,
:<math>\cos \left(x - (-y)\right)=\cos x \cos (-y) + \sin x \sin (-y)</math>
:<math>\cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y</math>

그리고,

:<math>\tan (-\theta)={{\sin (-\theta)} \over{\cos (-\theta)}}={-{\sin \theta} \over{\cos \theta}}=- \tan \theta</math>
:<math>\tan (x+(-y))={  { { \tan x} + { \tan(-y)} } \over {  1 -{ \tan x \tan (-y)  }  }  }</math>
:<math>\tan (x-y)={  { { \tan x} -{\tan y} } \over {  1 +{ \tan x \tan y  }  }  }</math>

==유클리드 기하학 원론 2권 법칙9를 이용한 정리==
<table>
<tr>
<td>
[[파일:Euclid-elements-II-9.svg|300px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
:[[정삼각형]]에서 <math> \overline{AE}= 1 </math>을 예약하고,<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9] (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)</ref>
:<math>{{ \overline{AF}} \over {1}}= { \cos \alpha} </math>
:<math> {{\overline{EF}} \over {1}} = { \sin \alpha}</math>
:<math> {{\overline{FD}}\over{AF}}= {{\sin \beta}} </math>
::<math> {\overline{FD}}=  {\overline{GC}} = {\sin \beta {\overline{AF}}}={\sin \beta \cos \alpha}</math>

:<math> {{\overline{EG}} \over{\overline{EF}}}= {{\cos \beta}}  </math>
::<math> {\overline{EG}} = {{\cos \beta}}{\overline{EF}} ={\cos \beta}  { \sin \alpha} </math>
:<math> {\sin(\alpha + \beta)}= {{{\overline{EG}}+{\overline{GC}} }\over {1}}  </math>
:<math> {\sin(\alpha + \beta)}= {{\cos \beta}  { \sin \alpha}}+{{\sin \beta \cos \alpha}}  </math>
이것은 사인함수이다.

:한편,예약된 [[정삼각형]]에서,<ref>[http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 유클리드 기하학 원론 2권 법칙9] (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)</ref>
:<math> \overline{AE}= 1 , \angle A = \angle E = \angle B, \angle A = \angle \alpha + \angle \beta , \angle \alpha = \angle \beta</math>
:<math> {{\overline{EF}} \over {1}} = { \sin \alpha}</math>
:<math> {{\overline{AF}} \over {1}} = { \cos \alpha}</math>
:<math> {{\overline{AD}}\over{AF}}= {{\cos \beta}} </math>

::<math> {\overline{AD}}=  { \cos \beta} {\overline{AF}} </math>
::<math> {\overline{AD}}=  { \cos \beta} { \cos \alpha}</math>

:<math> {{\overline{GF}} \over{\overline{EF}}}= {{\sin \beta}}  </math>
:<math> {{\overline{GF}}}= {{\sin \beta}} {\overline{EF}}  </math>
:<math> {{\overline{GF}}}= {{\sin \beta}} {\sin \alpha}  </math>


::<math> {\overline{GF}} ={\overline{CD}} ={ \sin \beta} { \sin \alpha}</math>
:<math> {\cos(\alpha + \beta)}= {{{\overline{AC}} }\over {1}}  </math>
:<math> {\cos(\alpha + \beta)}= {{{\overline{AD}} }-{\overline{CD}}}  </math>
:<math> {\cos(\alpha + \beta)}= {{\cos \beta}  { \cos \alpha}}-{{\sin \beta \sin \alpha}}  </math>
이것은  코사인함수이다.
</td>
</tr>
</table>

== 행렬을 이용한 정리 ==

{|
| [[파일:DistanceFromAtoB Matrix Rota.svg|300px]]
|-
| : <math>\sin (-\theta) = -\sin \theta \;\; , \;\; \cos (-\theta)= \cos \theta </math>이고,

[[삼각함수]]의 [[점 (기하학)|점]]의 좌표 <math>( \text{cosine} , \text{sine} )</math>에서,

: <math>P = (x,y) \;\; , \;\; P' = (x',y')</math>
: <math>P = (\cos,\sin) \;\; , \;\; P' = (\cos',\sin')</math>이고,
: <math>\theta = 90^\circ</math>로,
: <math>P' = ( \alpha +\theta , \alpha +\theta )</math>을 예약해보면,<ref>([[유클리드 원론|유클리드 기하학 원론]] [http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 3권 법칙9] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey,PublicDomain)</ref><ref>([[유클리드 원론|유클리드 기하학 원론]] [http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc 3권 법칙3] ([[구텐베르크 프로젝트]],John Casey,PublicDomain)</ref>
: <math>P' = ( \alpha+{{\pi}\over{2}} , \alpha+{{\pi}\over{2}})</math>
: <math>P' = ( x\cos \alpha+{x} \cos \theta , y\cos \alpha+{y} \sin \theta)</math>
: <math>P' = \left( x\cos \alpha+{x} \cos {{\pi}\over{2}} , y\cos \alpha+{y} \sin {{\pi}\over{2}} \right)</math>

[[삼각함수]]의 값에서,

: <math>P' = ( x\cos \alpha+{y} \sin (-\theta) , y\cos \alpha+{x} \cos (-\theta) )</math>
: <math>P' = ( x\cos \alpha - {y} \sin \theta , y\cos \alpha+{x} \cos \theta )</math>

그리고,

: <math> x'= {x} \cos \alpha - {y} \sin \theta </math>
: <math> y'= {x} \sin \alpha +{y} \cos \theta</math>

따라서,

: <math>\alpha = 90^\circ</math>로 변형해서,
: <math>\theta = \alpha = 90^\circ</math>
: <math> {x} \cos \theta - {y} \sin \theta =x'</math>
: <math> {x} \sin \theta +{y} \cos \theta =y'</math>
: <math>

   \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
</math>

: <math>

   \begin{pmatrix} \cos y & -\sin y \\ \sin y & \cos y \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix} \cos x \\ \sin x \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \cos (x+y) \\ \sin(x+y) \end{pmatrix}
</math>

: <math>cos x \cos y - \sin x \sin y=\cos \left(x + y\right)</math>
: <math>\cos x \sin y+ \sin x \cos y =\sin \left(x + y\right)</math>
|
|}

== 같이 보기 ==
* [[삼각 함수 항등식]]
* [[예각삼각형]]
* [[둔각삼각형]]
* [[삼각함수]]
* [[회전행렬]]
* [[유클리드 원론]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:기하학]]