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[[수학]]에서 '''이항 관계'''(二項關係, {{llang|en|binary relation}})는 “…는 …보다 크다” 또는 “…와 …는 같다”와 같이, 두 대상에 대하여 정의되는 성질을 [[집합론]]적으로 실현한 개념이다. 이항 관계는 [[순서쌍]]들로 구성된 [[집합]]이다. 어떤 순서쌍이 이항 관계의 원소라면, 순서쌍의 두 성분 사이에 관계가 성립한다고 해석한다.

예를 들어, “…는 …의 [[약수]]”라는 조건은 두 [[정수]] 사이의 이항 관계 <math>\mid</math>를 정의한다. 이 이항 관계는 구체적으로 <math>m</math>이 <math>n</math>의 약수인 경우의 모든 [[순서쌍]] <math>(m,n)</math>들의 집합이다. <math>(5,20)</math>은 이 이항 관계의 원소이며, <math>(6,13)</math>은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 <math>(5,20)\in{\mid}</math>나 <math>(6,13)\not\in{\mid}</math> 대신
:<math>5\mid 20</math>
:<math>6\nmid 13</math>
와 같이 적는다.

이항 관계의 개념은 [[모임 (집합론)|모임]] 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, [[고유 모임]]일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.

이항 관계는 [[관계 (수학)|관계]]의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 '''관계'''라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 '''대응'''(對應, correspondence)이라고 일컫는다.

== 정의 ==
'''이항 관계'''는 다음 조건을 만족시키는 [[집합]] <math>R</math>이다.
* 모든 원소는 [[순서쌍]]이다. 즉, 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>r=(x,y)</math>인 집합 <math>x</math>, <math>y</math>가 존재한다.
만약 <math>(x,y)\in R</math>라면, <math>x</math>와 <math>y</math> 사이에 관계 <math>R</math>가 성립한다고 해석한다. <math>xRy</math>는 <math>(x,y)\in R</math>를 뜻한다. <math>x\not Ry</math>는 <math>(x,y)\not\in R</math>를 뜻한다. <math>xRySz</math>는 <math>(x,y)\in R</math>이며 <math>(y,z)\in S</math>임을 뜻한다.

집합 <math>X</math>와 <math>Y</math> 위의 이항 관계는 이항 관계 <math>R\subseteq X\times Y</math>를 뜻한다. 집합 <math>X</math> 위의 이항 관계는 <math>X</math>와 <math>X</math> 위의 이항 관계 <math>R\subseteq X\times X</math>를 뜻한다. 모든 이항 관계 <math>R</math>는 어떤 집합 (예를 들어, <math>X=\bigcup\bigcup R</math>) 위의 이항 관계이다.

== 연산 ==
=== 합성 ===
이항 관계 <math>R</math>와 <math>S</math>의 '''합성''' <math>S\circ R</math>는 다음과 같다.
:<math>S\circ R=\{(x,z)|\exists y\colon(x,y)\in R\land(y,z)\in S\}</math>

이항 관계의 합성은 [[결합 법칙]]을 만족시킨다.
:<math>(T\circ S)\circ R=T\circ(S\circ R)</math>

이에 따라, 집합과 이항 관계의 범주 <math>\operatorname{Rel}</math>를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* 대상은 [[집합]]이다.
* 두 집합 사이의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>은 이항 관계 <math>f\subseteq X\times Y</math>이다.
* 사상의 합성은 이항 관계의 합성이다.
* 집합 <math>X</math>의 항등 사상은 대각선 <math>\operatorname{id}_X=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X</math>이다.

범주 <math>\operatorname{Rel}</math>은 모든 작은 [[곱 (범주론)|곱]]과 [[쌍대곱]]을 가지며, 둘 모두 [[분리합집합]]으로 주어진다. 또한, [[동등자]]를 가지지 않지만, 모든 작은 [[약한 동등자]]({{llang|en|weak equalizer}})를 갖는다.

=== 역관계 ===
이항 관계 <math>R</math>의 '''역관계''' <math>R^{-1}</math>는 <math>R</math> 속 순서쌍의 두 성분을 뒤바꾼 이항 관계이다.
:<math>R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}</math>
역관계는 자명하게 멱등 연산이다.
:<math>(R^{-1})^{-1}=R</math>
역관계와 합성은 다음과 같이 호환된다.
:<math>(S\circ R)^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}</math>

=== 정의역과 치역 ===
이항 관계 <math>R</math>가 주어졌을 때,
* [[집합]] 또는 [[모임 (집합론)|모임]] <math>A</math>의 '''상'''은 <math>A</math>의 원소와 관계를 이루는 원소들의 집합이다.
*:<math>R(A)=\{y|\exists x\in A\colon(x,y)\in R\}</math>
* [[집합]] 또는 [[모임 (집합론)|모임]] <math>B</math>의 '''원상'''은 역관계에 대한 상이다.
*:<math>R^{-1}(B)=\{x|\exists y\in B\colon (x,y)\in R\}</math>
* <math>R</math>의 '''정의역''' <math>\operatorname{dom}R</math>는 모든 집합의 [[고유 모임]]의 원상이다. (이는 범주 <math>\operatorname{Rel}</math>에서의 정의역과 다른 개념이다.)
*:<math>\operatorname{dom}R=R^{-1}(V)=\{x|\exists y\colon(x,y)\in R\}</math>
* <math>R</math>의 '''치역''' <math>\operatorname{ran}R</math>는 모든 집합의 [[고유 모임]]의 상이다.
*:<math>\operatorname{ran}R=R(V)=\{y|\exists x\colon(x,y)\in R\}</math>
만약 <math>(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in R</math>라면, <math>\{x\},\{x,y\}\in\bigcup R</math>이므로, <math>x,y\in\bigcup\bigcup R</math>이다. 따라서, 이항 관계의 상·원상·정의역·치역은 항상 집합이다.<ref name="Kunen">{{서적 인용
|성=Kunen
|이름=Kenneth
|제목=Set theory
|언어=en
|총서=Studies in Logic (London)
|권=34
|출판사=College Publications
|위치=London
|날짜=2011
|isbn=978-1-84890-050-9
|mr=2905394
|zbl=1262.03001
}}</ref>{{rp|27, Definition I.6.6, Justification}}

임의의 이항 관계 <math>R</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{dom}R^{-1}=\operatorname{ran}R</math>
:<math>\operatorname{ran}R^{-1}=\operatorname{dom}R</math>
:<math>\operatorname{dom}R\cup\operatorname{ran}R=\bigcup\bigcup R</math>

== 종류 ==
* '''[[함수]]'''는 이항관계의 중요한 유형이다. 이항관계 <math>F\subseteq X\times Y</math>가 함수 <math>F\colon X\to Y</math>일 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
** <math>\forall x\in X\exists y\in Y\colon xFy</math>
** <math>\forall x\in X\forall y,z\in Y\colon xFy\land xFz\implies y=z</math>
* 이항관계는 일반적으로 함수가 아니다. 예를 들어 약수 관계에서, 5로 나누어지는 정수는 유일하지 않다.
* '''[[반사관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 <math>R\subseteq X^2</math>이다.
::<math>\forall x\in X\colon xRx</math>
* '''[[대칭관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 <math>R\subseteq X^2</math>이다.
::<math>\forall x,y\in X\colon xRy\implies yRx</math>
* '''[[반대칭관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 <math>R\subseteq X^2</math>이다.
::<math>\forall x,y\in X\colon xRy\land yRx\implies x=y</math>
* '''[[추이관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 <math>R\subseteq X^2</math>이다.
::<math>\forall x,y,z\in X\colon xRy\land yRz\implies xRz</math>
* '''[[완전관계]]'''는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 <math>R\subseteq X^2</math>이다.
::<math>\forall x,y\in X\colon xRy\lor yRx</math>

== 같이 보기 ==
* [[추상 재작성 시스템]]
* [[하세 도형]]
* [[결합 구조]]
* [[순서론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|제목=이항관계}}
* {{eom|제목=Binary relation}}
* {{매스월드|id=Relation|제목=Relation}}
* {{nlab|id=Rel|제목=Rel}}
* {{플래닛매스|urlname=Relation|제목=Relation}}
* {{proofwiki|id=Definition:Relation|제목=Definition: relation}}

{{전거 통제}}

[[분류:관계 (수학)]]