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'''다면체'''(多面體, {{llang|en|polyhedron}})는 간단히 말해서 [[다각형]]들을 [[면 (기하학)|면]]으로 가지는 입체 도형이다.

기하학에서 다면체는 보통 틈이 없이 다각형의 변을 붙인 여러 개의 다각형을 조합한 3차원 입체를 말한다. 다면체는 볼록 다면체와 오목 다면체로 분류한다. 다면체의 어느 면을 연장해도 그 평면이 다면체의 내부를 자르지 않는 다면체를 '볼록다면체'(볼록하게 튀어나왔다고 하여 '볼록다면체'라고 하기도 한다)라고 하며, 각뿔과 정육면체가 여기에 속한다. 오목다면체는 어느 면을 연장할 경우 그 평면이 다면체의 내부를 자르게 된다. 현대 수학에서 다면체라 불리는 대상들을 전부 포괄할 수 있는 엄밀한 정의는 존재하지 않으나, 대부분의 정의에서 다면체는 다음의 각 차원별 구성 요소들로 이루어져 있다.

== 성질 ==
=== 이름 ===
다면체의 이름은 보통 면의 숫자에 따라 정한다. 예를 들어, 4개의 면을 가진 [[정다면체]]를 [[정사면체]]라 하는 식이다. 때로는 간단한 다면체에 특수한 작업을 해서 다른 다면체를 얻었을 경우 [[깎은 정육면체]] 식으로 그 작업의 명칭을 덧붙이기도 한다.Szilassi 다면체처럼 사람의 이름이 붙는 경우도 있다.

=== 변 ===
복합 다면체가 아닌 경우, 변에 대해 다음의 두 [[#쌍대다면체|쌍대 성질]]이 성립한다.
* 임의의 변은 정확히 두 꼭짓점을 연결한다.
* 임의의 변은 정확히 두 면을 연결한다.

=== 오일러 지표 ===
{{본문|오일러 지표}}
다면체가 가진 꼭짓점의 수를 V, 변의 수를 E, 면의 수를 F라 할 때, 다면체의 [[오일러 지표]] χ는 V - E + F로 정의한다. [[단일 연결]] 다면체의 오일러 지표는 언제나 2이다.

=== 쌍대다면체 ===
[[파일:Dual Cube-Octahedron.svg|right|75px]]
임의의 다면체에 대해 꼭짓점과 면의 위치가 뒤바뀐 [[쌍대다면체]]가 존재한다. 대체로 쌍대다면체는 구면 상반변환을 통해 얻을 수 있다.

=== 꼭짓점 도형 ===
각 꼭짓점에 대해 그곳으로 연결되는 꼭짓점들을 서로 연결해서 만들어지는 도형을 [[꼭짓점 도형]](vertex figure)이라 한다. 꼭짓점 도형이 정다각형인 경우를 정꼭짓점이라고 부른다.

== 다면체의 분류와 용어 ==
* '''볼록 다면체''' - 내부 전체가 [[볼록 집합]]을 이루는 다면체를 말한다. 보다 구체적으로는, 표면이 자기 자신과 교차하지 않으며, 표면에 속하는 임의의 두 점을 연결하는 선분이 표면이나 내부에 포함되는 경우이다. 이 조건을 다면체의 정의에 포함시켜, 볼록 다면체를 단순히 '다면체'라 부르는 경우도 있다.
* '''오목 다면체''' - 내부가 오목하게 들어가 있는 다면체를 말한다. 즉, 다면체의 한 꼭짓점에서 모이는 내각의 합이 360도 이상인 다면체를 뜻한다.
* '''[[점추이]] 다면체''' - 임의의 두 꼭짓점에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 [[등거리변환]]이 존재하는 다면체. 즉 이는 등거리변환들이 꼭짓점들의 집합에 [[군의 작용#작용의 종류|추이적으로 작용]]하는 경우이다.
* '''[[변추이]] 다면체''' - 임의의 두 변에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
* '''[[면추이]] 다면체''' - 임의의 두 면에 대해 하나를 다른 하나로 보내는 등거리변환이 존재하는 다면체.
* '''[[정다면체]]''' - 위의 점추이, 변추이, 면추이 조건을 모두 만족시키는 다면체이다. 따라서 정다면체의 모든 면은 전부 동일한 정다각형이다.
* '''[[준정다면체]]''' - 변추이지만 점추이, 면추이는 아닌 다면체를 말한다. 정의에 따라 준정다면체의 각 면은 정다각형이다. 변추가 아닌 변점추및 면추이 다면체는 '''쌍대 준정다면체'''라고 한다.
* '''[[반정다면체]]'''- 점추이이며, 모든 면이 정다각형인 다면체를 말한다. (다르게 정의하는 경우도 많으므로 주의할 것.) 모든 꼭짓점이 정꼭짓점이며 변추이가 아닌 면추이 다면체를 '''쌍대 반정다면체'''라고 한다.
* '''고른 다면체''' - 모든 면이 정다각형인 점추이 다면체. 즉 이는 정다면체, 준정다면체, 반정다면체 셋 중 하나에 해당한다. '''쌍대 고른 다면체'''는 모든 꼭짓점이 정꼭짓점인 면추이 다면체이다.
* '''귀한 다면체''' - 점추이 및 면추이적인 다면체. 특정 다면체가 정다면체일 필요충분조건은 그것이 고르면서 귀하다는 것이다.

== 고른 다면체 ==
[[H.S.M. 코제트]]는 1954년, 무한한 각기둥과 엇각기둥 말고는 75 종류의 [[고른 다면체]]가 있다고 추측했다. 이 추측은 후에 J. 스킬링이 증명하였다.

* 9개의 정다면체
** 5개의 볼록 정다면체 - [[정다면체|플라톤의 다면체]]
** 4개의 오목 정다면체 - [[케플러-푸앵소 다면체]]
* 15개의 준정다면체
** 13개의 볼록 준정다면체
** 2개의 오목 준정다면체
* 반정다면체
** 볼록 반정다면체
*** 무한한 수의 [[각기둥]]과 [[엇각기둥]]
*** 11개의 그밖의 볼록 반정다면체
** 40개의 오목 반정다면체

== 일반화 ==
=== 무한다면체 ===
고전적인 다면체는 유한한 유계 영역을 감싸는, 꼭짓점과 변들로 구획된 표면이다. 이 표면을 한없이 확장한 것을 무한다면체라 한다. 다음과 같은 예가 있다:

* 평면의 [[쪽 맞추기]].
* [[무한 꼬인 다면체]].

한 차원 낮은 유사한 대상으로 [[무한다각형|무한각형]]이 있다.

=== 복소다면체 ===
3차원 [[유니타리 공간]]에 포함된 다면체로, [[실수]] 차원으로는 6차원이다. Coxeter(1974)를 참고할 것.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[아르키메데스의 다면체]] - 2개의 볼록 준정다면체와 11개의 볼록 반정다면체
* [[존슨의 다면체]]
* [[다면체의 복합체]]
* [[초입방면체]]

== 참고 자료 ==
{{참고 자료 시작}}
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]]; ''Regular complex Polytopes'', CUP (1974).
* Cromwell, P.;''Polyhedra'', CUP hbk (1997), pbk. (1999).
* [[Branko Grünbaum|Grünbaum, B.]]; Polyhedra with Hollow Faces, ''Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993)'', ed T. Bisztriczky et al, Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.
* Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? ''Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift'', ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461-488.'' ([http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf pdf] {{웨이백|url=http://www.math.washington.edu/~grunbaum/Your%20polyhedra-my%20polyhedra.pdf |date=20160803160413 }})
* Pearce, P.; ''Structure in nature is a strategy for design'', MIT (1978)
{{참고 자료 끝}}

== 더 읽을 것 ==
{{참고 자료 시작}}
=== 고등학교 수준에서 읽을 수 있는 책 ===
* Cromwell, P.; ''Polyhedra'', CUP hbk (1997), pbk. (1999).
* Cundy, H.M. & Rollett, A.P.; ''Mathematical models'', 1st Edn. hbk OUP (1951), 2nd Edn. hbk OUP (1961), 3rd Edn. pbk Tarquin (1981).
* Holden; ''Shapes, space and symmetry'', (1971), Dover pbk (1991).
* Pearce, P and Pearce, S: ''Polyhedra primer'', Van Nost. Reinhold (May 1979), ISBN-10: 0442264968, ISBN-13: 978-0442264963.
* [http://www.tarquin-books.demon.co.uk/books/tarquinpaperpoly.html Tarquin publications] {{웨이백|url=http://www.tarquin-books.demon.co.uk/books/tarquinpaperpoly.html |date=20080118130501 }}: books of cut-out and make card models.
* Wenninger, M.; ''Polyhedron models for the classroom'', pbk (1974)
* Wenninger, M.; ''Polyhedron models'', CUP hbk (1971), pbk (1974).
* Wenninger, M.; ''Spherical models'', CUP.
* Wenninger, M.; ''Dual models'', CUP.

=== 학부 수준 ===
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] DuVal, Flather & Petrie; ''The fifty-nine icosahedra'', 3rd Edn. Tarquin.
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] ''Twelve geometric essays''. Republished as ''The beauty of geometry'', Dover.
* Thompson, Sir D'A. W. ''On growth and form'', (1943). (not sure if this is the right category for this one, I haven't read it).

=== 설계 및 건축을 중심으로 ===
* Critchlow, K.; ''Order in space''.
* Pearce, P.; ''Structure in nature is a strategy for design'', MIT (1978)
* Williams, R.; ''The geometrical foundation of natural structure'', Dover (1979).

=== 전문 서적 ===
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]]; ''Regular Polytopes'' 3rd Edn. Dover (1973).
* [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]]; ''Regular complex polytopes'', CUP (1974).
* [[Imre Lakatos|Lakatos, Imre]]; ''[[Proofs and Refutations]]'', Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
* Several more to add here.

=== 역사적 자료 ===
* Brückner, ''Vielecke und Vielflache'' (Polygons and polyhedra), (1900).
* Fejes Toth, L.;
{{참고 자료 끝}}

{{전거 통제}}

[[분류:다면체| ]]