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[[M이론]]에서 '''U-이중성'''(U-二重性, {{llang|en|U-duality}})은 [[S-이중성]]과 [[T-이중성]]에 의하여 생성되는, [[M이론]]의 이산 대칭군이다.

== 정의 ==
M이론을 <math>1\le n\le 8</math>차원 [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>에 [[축소화]]하였다고 하자. 그렇다면 그 U-이중성군은 일반적으로 예외 단순 [[리 군]] E<sub>''n''(''n'')</sub>의 이산 부분군이다. (E<sub>''n''(''n'')</sub>은 E<sub>''n''</sub>의 갈린({{llang|en|split}}) 비콤팩트 실수 형태이다.) 이들은 다음과 같다.<ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|이름2=Melanie|성2=Becker|저자링크3=존 헨리 슈워츠|이름3=John Henry|성3=Schwarz|doi=10.2277/0511254865|제목=String theory and M-theory: a modern introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|연도=2006|월=12|url=http://theory.caltech.edu/~stringbook/|bibcode=2007stmt.book.....B|언어=en|확인날짜=2017-09-13|보존url=https://web.archive.org/web/20150118104448/http://theory.caltech.edu/~stringbook/|보존날짜=2015-01-18|url-status=dead}}</ref>{{rp|345–350,636}}<ref>{{서적 인용|이름=Clifford V.|성=Johnson||제목=D-Branes| 출판사=Cambridge University Press | 연도=2003 | isbn=9780521809122|url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item1169323|언어=en|doi=10.1017/CBO9780511606540|기타=Cambridge Monographs on Mathematical Physics}}</ref>{{rp|278–281}}<ref>{{저널 인용|제목=On discrete U-duality in M-theory|이름=Shun’ya|성=Mizoguchi|이름2=Germar|성2=Schröder|arxiv=hep-th/9909150|doi=10.1088/0264-9381/17/4/308|bibcode=2000CQGra..17..835M|언어=en|issn= 0264-9381|저널=Classical and Quantum Gravity|권=17|호=4|쪽=835–870|날짜=2000-02-21}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=U-duality in three and four dimensions|arxiv=1205.6403|bibcode=2012arXiv1205.6403M|성=Malek|이름=Emanuel|언어=en|날짜=2012}}</ref>

{| class="wikitable"
|-
! [[축소화]]한 차원 수 !! Ⅱ종 [[초끈 이론]] [[T-이중성]]군 !! [[초중력]] U-이중성군 !! [[M이론]] U-이중성군
|-
| 1 || 1 || E<sub>1(1)</sub>=[[2차원 실수 특수선형군|SL(2;ℝ)]] || E<sub>1(1)</sub>(ℤ)=[[SL(2;ℤ)]]
|-
| 2 || 1 || E<sub>2(2)</sub>=SL(2;ℝ)×ℝ<sup>+</sup> || E<sub>2(2)</sub>(ℤ)=[[SL(2;ℤ)]]
|-
| 3 || O(2,2;ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(2;ℤ) || E<sub>3(3)</sub>=SL(2;ℝ)×SL(3;ℝ) || E<sub>3(3)</sub>(ℤ)=SL(2;ℤ)×SL(3;ℤ)
|-
| 4 || O(3,3;ℤ)=SL(4;ℤ) || E<sub>4(4)</sub>=SL(5;ℝ)  || E<sub>4(4)</sub>(ℤ)=SL(5;ℤ)
|-
| 5 || O(4,4;ℤ) || E<sub>5(5)</sub>=SO(5,5;ℝ) || E<sub>5(5)</sub>(ℤ)=SO(5,5;ℤ)
|-
| 6 || O(5,5;ℤ) || [[E₆|E<sub>6(6)</sub>]] || E<sub>6(6)</sub>(ℤ)⊂[[E₆|E<sub>6(6)</sub>]]
|-
| 7 || O(6,6;ℤ) || [[E₇|E<sub>7(7)</sub>]] || E<sub>7(7)</sub>(ℤ)⊂[[E₇|E<sub>7(7)</sub>]]
|-
| 8 || O(7,7;ℤ) || [[E₈|E<sub>8(8)</sub>]] || E<sub>8(8)</sub>(ℤ)⊂[[E₈|E<sub>8(8)</sub>]]
|}
여기서 <math>n=1</math>인 경우는 ⅡB [[초끈 이론]]의 [[모듈러 군|SL(2;ℤ)]] [[S-이중성]]이다.

[[파일:E8subgroups.svg|섬네일|오른쪽|E<sub>''n''</sub>의 부분군들]]
이들 U-이중성군 E<sub>''n''(''n'')</sub>은 T-이중성군 <math>O(n-1,n-1;\mathbb Z)</math>과 <math>n</math>차원 [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>의 [[자기 동형군]] <math>\operatorname{SL}(n,\mathbb R)</math> 둘 다를 부분군으로 가진다. 즉, (실수 형식을 무시하면)
:<math>E_8\supset O(14),SL(8)</math>
:<math>E_7\supset O(12),SL(7)</math>
:<math>E_6\supset O(10),SL(6)</math>
:<math>E_5=O(10)\supset O(8),SL(5)</math>
:<math>E_4=SL(5)\supset O(6)=SL(4),SL(4)</math>
:<math>E_3=SL(2)\times SL(3)\supset O(4)=SL(2)\times SL(2),SL(3)</math>
:<math>E_2=SL(2)\times U(1)\supset O(3)=SL(2),SL(2)</math>
:<math>E_1=SL(2)\supset O(2)=U(1),SL(1)=1</math>
또한, 이 U-이중성 가운데 일부는 [[행렬 이론]]으로 설명될 수 있다.<ref name="BBS"/>{{rp|636}}<ref name="OP"/>{{rp|§7}}

여기서, <math>\mathsf E_{n(n)}(\mathbb Z)</math>는 구체적으로 다음과 같다. 우선, [[리 군]] <math>\mathsf E_{n(n)}</math>는 다음과 같은 두 [[부분군]]을 가진다.
:<math>\operatorname{SO}(n-1,n-1;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{SL}(n;\mathbb R)</math>
이에 따라서, <math>\mathsf E_{n(n)}(\mathbb Z)</math>는 다음과 같은 두 이산 부분군의 [[합집합]]으로 생성되는 부분군이다.<ref name="OP>{{저널 인용|제목=U-duality and M-theory|arxiv=hep-th/9809039|이름=N. A.|성=Obers|이름2=B.|성2=Pioline | doi=10.1016/S0370-1573(99)00004-6 | 널=Physics Reports | 권=318 | 쪽=113–225|날짜=1999|언어=en}}</ref>{{rp|(4.10)}}
:<math>\operatorname{SO}(n-1,n-1;\mathbb Z) \cup \operatorname{SL}(n;\mathbb Z)</math>
이 두 이산 부분군은 각각 다음과 같이 유래한다.
* <math>\operatorname{SL}(n;\mathbb Z)</math>는 [[M이론]]을 콤팩트화한 [[원환면]] <math>\mathbb T^n</math>의 ([[방향 (다양체)|방향]] 보존) [[사상류군]]이다. ([[M이론]]은 [[일반 상대성 이론]]을 포함하므로, [[미분 동형 사상]]은 이론의 대칭이어야 한다.) 이는 특히 ⅡB 초끈 이론의 [[S-이중성]] <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)</math>을 포함한다.
* <math>\operatorname{SO}(n-1,n-1;\mathbb Z)</math>는 <math>\mathbb T^{n-1}</math> 위에 콤팩트화한 ⅡA 초끈 이론의 [[T-이중성]] 대칭군이다.

== 역사 ==
크리스토퍼 마이클 헐({{lang|en|Christopher Michael Hull}})과 폴 킹즐리 타운젠드({{lang|en|Paul Kingsley Townsend}})가 1995년 발견하고 명명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Christopher Michael|성=Hull|공저자=Paul Kingsley Townsend|저널=Nuclear Physics B
|권=438|호=1–2|날짜=1995-03-27|쪽=109–137|제목=Unity of superstring dualities|arxiv=hep-th/9410167|bibcode=1995NuPhB.438..109H|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=U-duality}}
* {{nlab|id=U-duality -- table|title=U-duality — table}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/~distler/blog/archives/001213.html | 제목=Split real forms | 웹사이트=Musings | 이름=Jacques | 성=Distler | 날짜=2007-03-22|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자장론]]