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'''과잉수'''(過剩數)는 [[수론]]에서 [[자연수]] 중에서 자기 자신을 제외한 양의 [[약수]]를 모두 더했을 때 자기 자신보다 더 커지는 수다.

== 과잉수의 예 ==
예를 들어, 20의 [[진약수]]의 합은 <math>1+2+4+5+10=22>20</math>으로 원래의 수 20보다 더 크기 때문에 20은 과잉수가 된다.

과잉수는 무수히 많이 있으며 과잉수 중 가장 작은 수는 12이다. 특이하게도 이는 진약수의 일부의 합에 따라 [[반완전수]]와 [[기묘수]]로 분류할 수 있다고 한다. [[진약수]]의 일부의 합으로 자기자신이 된다면 ‘[[반완전수]]’(semiperfect nunber), 그렇지 못하면 즉 과잉수 중에서 [[진약수]], 일부의 합으로도 자기자신과 똑같아 만들어낼 수 없으면 ‘[[기묘수]]’(weird number)이다. 사실 과잉수 중 [[기묘수]] 즉 다시 말해 [[반완전수]]가 아닌 과잉수를 찾는 게 더 어렵다고 한다. 1부터 1만까지의 자연수 중에서 과잉수는 모두 2491개가 있는데, 이들중에서도 [[괴짜수|기묘수]]는 단지 7개 밖에 없기 때문이다. 가장 작은 기묘수는 [[70]]이다. 70의 약수는 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70으로 70을 제외한 약수의 합은 74이다.

하지만 위의 약수들 중 어떤 조합을 빼고 합하더라도 70이 되도록 만들 수 있는 방법은 없다. 5 이상의 수는 아예 제외할 수 없고, 나머지는 1, 2뿐이너서 두가지 모두를 제외시켜도 71이기 때문에 그렇다. 또한 진약수가 모두 [[부족수]]이어서 다른 과잉수 또는 [[완전수]]의 '''[[항등원|자기자신이 아닌]]''' [[배수]]로 표기될 수 없는 과잉수는 [[원시 과잉수]] (primitive abundant number) 라고 한다. 마찬가지로, 다른 [[반완전수]]의 '''[[항등원|자기자신이 아닌]]''' [[배수]]로 표기될 수 없지만, 다시 말해 진약수가 모두 부족수이거나 부족수와 [[괴짜수]]가 섞여있고, 반완전수가 전혀 없더라도 특정 과잉수의 진약수들의 일부의 합이 자기자신이 될 경우 해당 [[반완전수]]는 [[원시 반완전수]](primitive semi perfect number)이다.

또한 진약수가 모두 부족수여서 다른 [[기묘수]]의 배수의 형식으로 표기될 수 없는 [[기묘수]]는 [[원시 기묘수]](primitive weird number)이라고 하며, 1000000 이하의 수 중 단지 24개 존재한다. 그러나 n이 [[기묘수]]인 경우 n의 약수의 합보다 더 큰 소수 p와 n의 곱 역시 [[기묘수]]가 된다는 성질 때문에 10000 이상에서는 갑자기 149 이상의 [[솟수|소수]]와 최소의 [[기묘수]] [[70]]의 곱으로 인해 괴짜수가 나타나는 빈도가 높아진다.

과잉수를 작은 것부터 나열하면 아래와 같다. {{OEIS|id=A005101}}
: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, …

=== 홀수 과잉수 ===
과잉수 중 가장 작은 홀수는 [[945]]다. 또한 945부터 5355까지는 서로 630만큼의 등차수열을 이룬다. (즉 5775보다 작은 모든 홀수 과잉수는 315의 배수다.) 과잉수의 [[배수]]는 언제나 과잉수이므로 짝수 과잉수도 홀수 과잉수도 무수히 많이 있다.

처음 몇 개의 홀수 과잉수는 아래와 같다. {{OEIS|id=A005231}}
: 945, 1575, 2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135, 9555, 9765, …

== 특징 ==
* 진약수의 일부를 더해서 자기자신이 될 수 있으면 [[반완전수]](semiperfect nunber)이고, 그렇지 못하면 [[기묘수]](weird number)가 된다. [[945]]는 가장 작은 홀수 반완전수이기도 하다.
* 자연수 중 과잉수의 [[점근 밀도]](Asymptotic Density)는 평균 0.2474에서 0.2480 사이로 알려져 있으므로 아무리 많아도 26%를 넘지 않는다. 그래도 과잉수의 비율이 1/6, 즉 약 16.67% 이하로 떨어지지 않음을 보이는 것은 쉬운데, 6을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이므로 실제로 n=30가 되었을 때 17%이 되며, n=56일 때부터 17%를 초과하게 되면서 더 이상 17% 이하로 떨어지지 않는다는 것을 알 수 있다.
* 20161보다 큰 모든 정수는 2개의 과잉수의 합으로 표현될 수 있다. (2개의 과잉수의 합으로 표현되지 않는 자연수는 모두 1456개이다.)
* 어떤 수의 진약수의 합이 그 어떤 수보다 1만큼 커지는 과잉수를 [[준완전수]]라고 한다. 이 준완전수는 지금까지 하나도 발견되지 않았다. 또한 준완전수가 존재하지 않는다는 명제도 아직까지 증명되지 않았다.(사이먼 싱 저 페르마의 마지막 정리 한국어 번역본 33쪽) 간혹, 어떤 자연수의 진약수의 합이 자기 자신과 비슷할 경우 그 자연수를 준완전수라고 칭하기도 한다. 진약수의 합에서 자기자신을 뺀 값을 [[초과값]]이라고 하는데, 그 결과가 음수이면 [[부족수]], 0이면 [[완전수]], 양수이면 과잉수이며, 과잉수의 경우 제외할 일부 진약수의 합이 초과값과 일치해야 [[반완전수]]가 된다. [[초과값]]이 홀수이려면 짝수제곱이거나, 짝수제곱에 2의 거듭제곱을 곱해야 하기 때문이다. 3 이상의 홀수를 약수로 가지고, 진약수가 모두 홀수인 자연수는 초과값이 -1이 아니다. 참고로 n이 완전수일 경우에는 n의 소인수의 지수+1만큼의 거듭제곱이나 n과 서로소인 임의의 소수 p에 대하여 pn의 [[초과값]]은 p의 값에 상관없이 항상 n×2이므로 초과값이 [[완전수]]의 2배인 과잉수는 무수히 많다.
* 과잉수는 모두 [[합성수]]이며, 모든 소수는 진약수가 1 밖에 없어서 부족수다. 그러나 합성수이면서 소인수가 2개 이상, 즉 합성수 중 소수의 거듭제곱수가 아닌 부족수도 아주 많이 있으며, 두 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n에 대하여 (서로 같은 소수예도 상관없다) 약수가 n개인 과잉수는 개수가 한정되어 있다. 또한 세 개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n애 대하여 약수가 n개인 과잉수는 무수히 많이 있다. 특이한 점은 약수가 4개인 과잉수는 없고, 약수가 [[소수 (수론)|소수]]개인 과잉수는 [[소인수분해|소인수]]가 단 하나밖에 없기 때문에 그러헌 과잉수는 존재하자 않는다. 완전수도 자기자신을 제외한 모든 배수가 과잉수인데, [[완전수]] 6의 경우 6n(n은 2 이상인 자연수)의 진약수의 합 중에서 1+n+2n+3n만 해도 6n+1로, 6n보다 크기 때문이다. 또한 완전수의 배수는 모두 반완전수인데, 그 이유는 완전수에 곱한 수만큼의 완전수의 진약수들의 합이 그 수 자신이 되기 때문이다. 예를 들어, 6n의 진약수 중에서 n, 2n, 3n을 더하기만 하면 바로 6n이 되기 때문에 [[반완전수]]다.

== 같이 보기 ==
* [[완전수]]
* [[부족수]]
* [[반완전수]]
* [[기묘수]]

{{약수에 따른 정수의 집합}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:정수열]]