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[[파일:Partial transmittance.gif|섬네일|프레넬 방정식]]
'''프레넬 방정식'''({{lang|en|Fresnel equations}}) 또는 '''프레넬 공식'''({{lang|en|Fresnel's formulas}})은 [[반사계수]]와 [[투과계수]]에 관한 것으로 한 매질과 광학적 특성 즉, [[굴절률]]이 다른 [[매질]]의 계면에서 반사 또는 투과 진폭을 입사진폭으로 나눈 값을 말한다. [[프랑스]]의 [[물리학자]] [[오귀스탱 장 프레넬]]이 유도하였다.

== 개요 ==
굴절률이 ''n''<sub>1</sub>인 매질에서 ''n''<sub>2</sub>인 매질로 빛이 투과할 때 [[반사]]와 [[굴절]]이 일어난다. 프레넬 방정식은 이 성질을 [[반사계수]], [[투과계수]]로 나누어 성분을 분석하여 표현한 방정식이다.

이 방정식에는 간단한 가정이 있는데, 첫 번째는 빛이 한 매질에서 다른 매질로 투과할 때, 그 면이 균일하고 평평한 평면이며, 둘째는 빛이 투과할 때 [[평면파]]라는 것이다.

== 진폭 방정식 ==
'''진폭 방정식'''({{lang|en|amplitude equations}})은 빛을 전자기파로 취급하여 [[반사의 법칙]], [[스넬의 법칙|굴절의 법칙]]과 이들의 [[반사광]]과 [[굴절광]]의 세기를 표현한 것이다. 빛이 경계면을 지날 때의 전기장과 자기장의 경계조건을 빛의 파동 방정식에 적용하여 구현하였다.
[[파일:Fresnel.svg|오른쪽|섬네일|300px|프레넬 방정식에 쓰이는 변수들]]

=== 표기법 ===
입사파를 ''i'', 반사파를 ''r'', 투과파를 ''t''로 쓰자.

=== 반사, 굴절 ===
[[입사파]]와 [[반사파]], [[굴절파]]의 위상은 같다.

:<math>\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_r \boldsymbol{r} - \omega t = \boldsymbol{K}_t \boldsymbol{r} - \omega t</math>

:<math>\boldsymbol{K}_i = K_i\sin\theta_{i} \bar{x} + K_i\cos\theta_{i} \bar{z}</math>

:<math>\boldsymbol{K}_r = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} - K_r\cos\theta_{r} \bar{z}</math>

:<math>\boldsymbol{K}_t = K_t\sin\theta_{t} \bar{x} + K_t\cos\theta_{t} \bar{z}</math>

<math>z = 0</math> 일때

:<math>K_i\sin\theta_{i} \bar{x} = K_r\sin\theta_{r} \bar{x} = K_t\sin\theta_{t} \bar{x}</math>
:<math>K_i\sin\theta_{i}  = K_r\sin\theta_{r}  = K_t\sin\theta_{t}\ </math>
이고
:<math>K = n \frac{\omega}{c}</math>
:<math>n_i = n_r</math>
이므로
:<math>\sin\theta_{i} = \sin\theta_{r}</math>
:<math>\theta_i=\theta_r</math>
을 만족한다 이를 [[반사의 법칙]]이라고 한다. 그리고
:<math>n_i\sin\theta_{i} = n_t\sin\theta_{t}</math>
이다. 이를 [[스넬의 법칙]]이라고 한다.

=== 파동방정식 ===
전자기파인 빛을 파동형태로 나타낸 방정식으로 빛이 투과하는 경계면과 법선에 대하여 입사파, 투과파, 반사파로 나누어 나타낼 수 있으며, 각 파들의 계수들은 서로 관련이 있다.

==== 멕스웰 방정식 및 표기법은 다음과 같다 ====
:<math>\boldsymbol{K} \times \boldsymbol{E} = {\omega}\boldsymbol{B} = {\omega}{\mu}\boldsymbol{H}</math>
:<math>\boldsymbol{H} = \frac{n}{{\omega}{\mu}}\bar{k}\times\boldsymbol{E}</math>
:<math>\tau = \boldsymbol{K}\boldsymbol{r} - \omega t</math>

==== 입사파 ====
빛이 경계면에 입사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:<math>E^i_x = -I_\parallel \cos\theta_i e^{i\tau_i}</math>
:<math>E^i_y = I_\bot e^{i\tau_i}</math>
:<math>E^i_z = I_\parallel \sin\theta_i e^{i\tau_i}</math>
:<math>H^i_x = -I_\bot \cos\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}</math>
:<math>H^i_y = -I_\parallel\frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}</math>
:<math>H^i_z = I_\bot \sin\theta_i \frac{n_i}{\mu_i c}e^{i\tau_i}</math>

==== 투과파 ====
빛이 경계면을 투과하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:<math>E^t_x = -T_\parallel \cos\theta_t e^{i\tau_t}</math>
:<math>E^t_y = T_\bot e^{i\tau_t}</math>
:<math>E^t_z = T_\parallel \sin\theta_t e^{i\tau_t}</math>
:<math>H^t_x = -T_\bot \cos\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}</math>
:<math>H^t_y = -T_\parallel\frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}</math>
:<math>H^t_z = T_\bot \sin\theta_t \frac{n_t}{\mu_t c}e^{i\tau_t}</math>

==== 반사파 ====
빛이 반사하는 파로 전기장과 자기장의 각각의 x, y, z성분은 다음과 같다.
:<math>E^r_x = -R_\parallel \cos\theta_r e^{i\tau_r}</math>
:<math>E^r_y = R_\bot e^{i\tau_r}</math>
:<math>E^r_z = R_\parallel \sin\theta_r e^{i\tau_r}</math>
:<math>H^r_x = -R_\bot \cos\theta_r \frac{n_t}{\mu_r c}e^{i\tau_r}</math>
:<math>H^r_y = -R_\parallel\frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}</math>
:<math>H^r_z = R_\bot \sin\theta_r \frac{n_r}{\mu_r c}e^{i\tau_r}</math>

=== 경계조건 ===
==== 멕스웰 방정식 경계조건 ====
:<math> \bar{z}\times\left(\boldsymbol{E_2} - \boldsymbol{E_1}\right) = 0 </math>
:<math> \bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{D_2} - \boldsymbol{D_1}\right) = 0 </math>
:<math> \bar{z}\times\left(\boldsymbol{H_2} - \boldsymbol{H_1}\right) = 0 </math>
:<math> \bar{z}\cdot\left(\boldsymbol{B_2} - \boldsymbol{B_1}\right) = 0 </math>
이를 풀어 쓰면 다음과 같다
:<math>E^i_x + E^r_x = E^t_x</math>
:<math>E^i_y + E^r_y = E^t_y</math>
:<math>H^i_x + H^r_x = H^t_x</math>
:<math>H^i_y + H^r_y = H^t_y</math>
:<math>D^i_z + D^r_z = D^t_z</math>
:<math>B^i_z + B^r_z = B^t_z</math>

이때 경계면에서는 <math>z=0</math> 이므로 다음과 같다.
:<math>\tau_i=\tau_r=\tau_t</math>

=== 프레넬 계수 ===
주어진 프레넬 방정식에 경계조건을 대입하면 방정식의 계수를 구할 수 있다. 이들을 '''프레넬 계수'''({{lang|en|Fresnell coefficients}})라고 하고, 다음과 같다.
:<math>R_\bot = \frac{n_1 \cos \theta_\text{i} - n_2 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}I_\bot </math>

:<math>T_\bot  = \frac{2 n_1 \cos \theta_\text{i}}{n_1 \cos \theta_\text{i} + n_2 \cos \theta_\text{t}}I_\bot </math>

:<math>R_\parallel = \frac{n_2 \cos \theta_\text{i} - n_1 \cos \theta_\text{t}}{n_1 \cos \theta_\text{t} + n_2 \cos \theta_\text{i}}I_\parallel </math>

:<math>T_\parallel = \frac{2 n_1\cos \theta_\text{i}}{n_1 \cos \theta_\text{t} + n_2 \cos \theta_\text{i}}I_\parallel </math>

== 반사율과 투과율 ==
프레넬 계수를 통하여 [[반사율]]과, [[투과율]]을 정의할 수 있는데, 프레넬 방정식은 전기장을 빛의 전자기를 서술하는 방정식이고, [[반사율]]과 [[투과율]]은 빛의 세기를 나타내는 것이다. 그리고 [[반사율]]과, [[투과율]]은 입사한 빛의 세기에 대해 얼마만큼 반사하거나 투과했는지의 비율을 나타낸 값이다. 따라서 이를 정리하면, [[반사율]](<math>\mathbb{R}</math>)과 [[투과율]](<math>\mathbb{T}</math>)은 다음과 같다.

:<math>\mathbb{R} = \frac{{\left| R \right|}^2}{{\left| I \right|}^2}</math>
:<math>\mathbb{T} = \frac{\frac{\epsilon_t}{n_t}{\left| T \right|}^2 \cos\theta_t}{\frac{\epsilon_i}{n_i}{\left| I \right|}^2 \cos\theta_i}</math>

여기서 [[투과율]]은 입사한 빛과 투과한 빛의 매질과 유전율이 다르고 입사각과 투과각이 다르기 때문에 이를 고려한 값이다.

== 같이 보기 ==
* [[스넬의 법칙]]

== 외부 링크 ==
* [http://www.fxsolver.com/solve/share/0E2w3XC71x0z_Wu9eQ7SPw==/ 프레넬 방정식 계산기]

[[분류:기하광학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:편광]]