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{{초대칭}}
'''초대칭 대수'''(超對稱代數, {{llang|en|supersymmetry algebra}})는 [[푸앵카레 대칭]]과 [[초대칭]]을 나타내는 [[리 초대수]]다.

== 정의 ==
푸앵카레 대수는 [[시공]]에 대한 [[병진 (수학)|병진]] <math>P_\mu</math>와 [[로런츠 변환]] <math>M_{\mu\nu}</math>로 이루어진다. 이들은 [[보손]]적 생성자다. 여기에 일련의 [[페르미온]]적 생성자 <math>Q_\alpha^i</math>와 <math>\bar Q_{\dot\alpha}^i</math>를 추가한다. (만약 <math>\mathcal N</math>개의 초대칭이 있으면 <math>i=1,2,\dots,\mathcal{N}</math>.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 <math>D</math>차원의 시공에서 <math>D</math>개의 병진 생성자와 <math>D(D-1)/2</math>개의 [[로런츠 변환]]으로 총 <math>D+D(D-1)/2</math>차원이다. (<math>D=4</math>일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 <math>\mathcal N</math>개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 <math>D+D(D-1)/2+\dim(\text{spinor})\times\mathcal{N}</math>차원이 된다.

주어진 [[시공간]] 차원에서, 초전하({{llang|en|supercharge}})의 수는 그 차원에서의 최소 [[스피너]] 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 <math>\mathcal N</math>이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 <math>\mathcal N=1</math>이며, <math>\mathcal N>1</math>인 경우를 '''확장 초대칭'''({{llang|en|extended supersymmetry}})이라고 한다. 4차원 [[민코프스키 공간]]에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, <math>\mathcal N=1</math> 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자([[중력자]])가 필요하므로, 이는 [[초중력]] 이론을 이룬다. [[11차원 초중력]]이나 10차원 IIA/B [[초중력]], 4차원 <math>\mathcal N=8</math> [[초중력]]<ref>{{저널 인용|제목=Perturbative and non-perturbative aspects of <math>\mathcal N=8</math> supergravity|이름=Sergio|성=Ferrara|공저자=Alessio Marrani|arxiv=1103.5138|bibcode=2011arXiv1103.5138F|날짜=2011-03|언어=en}}</ref> 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 [[그래비티노]]로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 <math>\mathcal N=1</math> 초대칭 [[양-밀스 이론]]이나 [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론|4차원 <math>\mathcal N=4</math> 초대칭 양-밀스 이론]]<ref>{{저널 인용|제목=Notes on theories with 16 supercharges|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|doi=10.1016/S0920-5632(98)00128-5|arxiv=hep-th/9705117|bibcode=1998NuPhS..67..158S|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplement|권=67|호=1–3|쪽=158–171|날짜=1998|언어=en}}</ref> 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 시공간의 차원 !! <math>\mathcal N=1</math>의 초전하수
|+ 다양한 차원의 [[민코프스키 공간]]에서의 최소 초대칭 수
|-
| 11 || 32
|-
| 10, 9, 8, 7 || 16
|-
| 6, 5 || 8
|-
| 4 || 4
|-
| 3 || 2
|-
| 2,1 || 1
|}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! 시공간의 차원
! colspan="2" | 32개의 초전하
! colspan="2" | 16개의 초전하 !! 8개의 초전하 !! 4개의 초전하
! colspan="2" | 2개의 초전하
|+ 차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.
|-
| 11 || <math>\mathcal N=1</math>
|colspan="7" | (불가능)
|-
| 10 || <math>\mathcal N=(1,1)</math> (IIA종) || <math>\mathcal N=(2,0)</math> (IIB종) || <math>\mathcal N=(1,0)</math> (I종)
|colspan="5" rowspan="4" | (불가능)
|-
| 9
|colspan="2"| <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math>
|-
| 8
|colspan="2"| <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math>
|-
| 7
|colspan="2"| <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math>
|-
| 6
| colspan="2" | <math>\mathcal N=(2,2)</math> || <math>\mathcal N=(1,1)</math> || <math>\mathcal N=(2,0)</math> || <math>\mathcal N=(1,0)</math>
| colspan="3" rowspan="2" | (불가능)
|-
| 5
| colspan="2" | <math>\mathcal N=4</math>
| colspan="2" | <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math>
|-
| 4
| colspan="2" | <math>\mathcal N=8</math>
| colspan="2" | <math>\mathcal N=4</math> || <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math>
| colspan="2" | (불가능)
|-
| 3
| colspan="2" | <math>\mathcal N=16</math>
| colspan="2" | <math>\mathcal N=8</math> || <math>\mathcal N=4</math> || <math>\mathcal N=2</math> || <math>\mathcal N=1</math> || (불가능)
|-
| 2
| colspan="2" | <math>\mathcal N=(16,16)</math>
| colspan="2" | <math>\mathcal N=(8,8)</math> || <math>\mathcal N=(4,4)</math> || <math>\mathcal N=(2,2)</math> || <math>\mathcal N=(1,1)</math> || <math>\mathcal N=(2,0)</math>
|}

== 4차원 초대칭 ==
4차원에서, <math>\mathcal N=1</math> 초대칭은 ([[디랙 스피너]]이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 <math>4\mathcal N</math>개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 <math>\mathcal N=1</math>, <math>\mathcal N=2</math>, <math>\mathcal N=4</math> 및 <math>\mathcal N=8</math> [[초중력]]이다. 중력을 포함하지 않는 경우, <math>\mathcal N>4</math>인 경우는 [[와인버그-위튼 정리]]에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 <math>\mathcal N=8</math>까지만 가능하다.

주어진 <math>\mathcal N</math>에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.
* 병진 변환 <math>P_\mu</math>
* 회전 <math>J_{\mu\nu}</math>
* [[초대칭]] <math>Q^i_\alpha</math>, <math>\bar Q^i_{\dot\alpha}</math> (<math>i=1,\dots,\mathcal N</math>). 이는 [[R대칭]]군의 크기가 <math>\mathcal N</math>인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 <math>b^{ai}{}_j</math>라고 쓰자.
* [[R대칭]] <math>R^a</math>는 [[R대칭]]군 <math>R\subseteq U(\mathcal N)</math>의 [[딸림표현]]을 따른다. 이 표현을 <math>f^{ab}{}_c</math>라고 쓰자.
* 중심 원소 <math>Z^{ij}</math>
이들의 리 초괄호는 다음과 같다.
:<math>[P_\mu, P_\nu] = 0</math>
:<math>[J_{\mu\nu}, P_\rho] = i\left(\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\right)</math>
:<math>[J_{\mu\nu}, J_{\rho\sigma}] = i\left(\eta_{\mu\rho} J_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} J_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} J_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} J_{\mu\rho}\right)</math>
:<math>\{Q_\alpha^i,Q_\beta^j\}=\epsilon_{\alpha\beta}Z^{ij}</math>
:<math>[Q_\alpha^i,M_{\mu\nu}]=\frac12(\sigma_{\mu\nu})^\beta{}_\alpha Q^i_\beta</math>
:<math>[\bar Q_{\dot\alpha}^i,M_{\mu\nu}]=-\frac12(\sigma_{\mu\nu})^{\dot\beta}{}_{\dot\alpha}\bar Q^i_{\dot\beta}</math>
:<math>\{\bar Q^i,\bar Q^j\}=-\epsilon_{\dot\alpha\dot\beta}(Z^{ij})\dagger)</math>
:<math>\{Q_\alpha^i,\bar Q_{\dot\alpha}^j\}=2\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\delta^{ij}P_\mu</math>
:<math>[Q^i,R^a]=b^{ai}{}_jQ^j</math>
:<math>[Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger \bar Q^j</math>
:<math>[\bar Q^i,R^a]=-(b^{ai}{}_j)^\dagger Q^j</math>
:<math>[\bar Q^i,R^j{}_k]=-\delta^i_k\bar Q^j</math>
:<math>[Z^{ij},P_\mu]=[Z^{ij},J_{\mu\nu}]=[Z^{ij},R^a]=[Z^{ij},Q]=0</math>
즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

=== 위상 뒤틀림 ===
4차원에서는 <math>\mathcal N=2</math> 또는 <math>\mathcal N=4</math>인 경우 위상 뒤틀림({{llang|en|topological twist}})을 가해 [[위상 양자장론]]으로 만들 수 있다. 이 경우, <math>\mathcal N=2</math>인 경우는 [[SU(2)]] [[R대칭]]을 <math>\operatorname{Spin}(4)=\operatorname{SU}(2)^2</math> [[로런츠 대칭]]의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, <math>\mathcal N=4</math>인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

=== 초다중항 ===
4차원 [[민코프스키 공간]]에서 상호작용이 가능한 [[초다중항]]들은 다음과 같다.
* <math>\mathcal N=1</math>
** '''손지기 초다중항'''({{llang|en|chiral multiplet}}): 복소 스칼라장, 바일 스피너
** '''벡터 초다중항'''({{llang|en|vector multiplet}}): 바일 스피너, 게이지장
** '''중력자 초다중항'''({{lang|en|graviton supermultiplet}}): [[중력자]], 바일 그래비티노
* <math>\mathcal N=2</math>
** '''하이퍼 초다중항'''({{llang|en|hypermultiplet}}): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
*** 서로 다른 [[나선도]]의 두 <math>\mathcal N=1</math> 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 ''R'', 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 {{overline|''R''}}을 따른다.
** '''벡터 초다중항''': 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
*** <math>\mathcal N=1</math> 벡터 초다중항과 (게이지 [[딸림표현]]) <math>\mathcal N=1</math> 손지기 초다중항으로 구성된다.
** '''중력자 초다중항''': [[중력자]], 디랙 [[그래비티노]], [[중력광자]]
* <math>\mathcal N=4</math>
** '''벡터 초다중항''': 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
** '''중력자 초다중항'''
* <math>\mathcal N=8</math>
** '''중력자 초다중항'''

== 3차원 초대칭 ==
3차원 [[민코프스키 공간]]에서의 초대칭은 다음과 같다.<ref name="MS">{{저널 인용|arxiv=hep-th/0108074|이름=D. G. C.|성=McKeon|공저자=T. N. Sherry|제목=Supersymmetry in three dimensions|언어=en}}</ref> 이 경우 <math>\mathcal N=1</math> 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, [[마요라나 스피너]]가 된다.
:<math>\{Q^i,\bar Q^j\}=i\sigma^\mu_{\alpha\beta}\delta^{ij}P_\mu+Z^{ij}</math>
여기서 중심 확대 <math>Z^{ij}</math>는 반대각화하여 <math>\lfloor \mathcal N/2\rfloor</math>개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. <math>\mathcal N=2</math> 초대칭에서는 하나의 중심 전하 <math>Z</math>가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 <math>M</math>은 BPS 부등식
:<math>M\ge Z</math>
를 만족시킨다.<ref name="MS"/>{{rp|(19)}}

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 [[초다중항]]들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 <math>*F=\phi</math>로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.
* <math>\mathcal N=1</math>: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). [[R대칭]]은 없다.
* <math>\mathcal N=2</math><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703110|제목=Aspects of ''N''=2 supersymmetric gauge theories in three dimensions|이름=O.|성=Aharony|이름2=A.|성2=Hanany|이름3=K.|성3=Intriligator|저자링크4=나탄 자이베르그|이름4=N.|성4=Seiberg|이름5=M.J.|성5=Strassler|언어=en}}</ref>: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). [[R대칭]]은 U(1). 이 경우는 4차원 <math>\mathcal N=1</math>을 [[축소화]]하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 [[거울 대칭]]이 존재한다.
* 마찬가지로 <math>\mathcal N=4,8,16</math> 등이 존재한다.

== 6차원 초대칭 ==
6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, [[질량껍질]] 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.
* <math>\mathcal N=1</math>. [[R대칭]]은 SU(2)이다.
** 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
* <math>\mathcal N=(1,1)</math>. [[R대칭]]은 SO(4)이다.
** 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
* <math>\mathcal N=(2,0)</math>. [[R대칭]]은 SO(5)이다.
** 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

== 2차원 초대칭 ==
{{본문|1=2차원 𝒩=1 초등각 장론}}
{{본문|1=2차원 𝒩=2 초등각 장론}}
{{본문|1=2차원 𝒩=4 초등각 장론}}

== 같이 보기 ==
* [[아딘크라 (물리학)]]
* [[초등각 장론]]
* [[2차원 𝒩=2 초등각 장론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality|이름=John|성=Terning|doi=10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001|isbn=978-019856763-9|날짜=2005|출판사=Oxford University Press|url=http://particle.physics.ucdavis.edu/modernsusy/|zbl=1087.81006|총서=International Series of Monographs on Physics|권=132|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Supersymmetry}}

{{전거 통제}}

[[분류:초대칭]]