{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''정칙 범주'''(正則範疇, {{llang|en|regular category}})는 모든 유한 [[극한 (범주론)|극한]]을 갖고, 모든 사상을 그 [[치역]]으로의 [[전사 사상]]과 치역에서 [[공역]]으로 가는 [[단사 사상]]으로 유일하게 분해할 수 있는 [[범주 (수학)|범주]]이다.

== 정의 ==
=== 정칙 사상 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에서, 어떤 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>의 [[쌍대 동등자]]
:<math>\operatorname{coeq}\{f,g\}\colon Y\to Q</math>
로 나타낼 수 있는 사상을 '''정칙 전사 사상'''({{llang|en|regular epimorphism}})이라고 한다. 정칙 단사 사상은 ([[쌍대 극한]]이므로) 항상 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 어떤 두 사상 <math>f,g\colon X\to Y</math>의 [[동등자]]
:<math>\operatorname{eq}\{f,g\}\colon K\to X</math>
로 나타낼 수 있는 사상을 '''정칙 단사 사상'''({{llang|en|regular monomorphism}})이라고 한다. 정칙 단사 사상은 ([[극한 (범주론)|극한]]이므로) 항상 단사 사상이다.

=== 유효 사상 ===
사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 스스로와의 [[당김 (범주론)|당김]]
:<math>\pi_1,\pi_2\colon X\times_YX\to X</math>
을 가지며, <math>\pi_1,\pi_2</math>의 [[쌍대 동등자]]가 <math>f</math>와 같다면, <math>f</math>를 '''유효 전사 사상'''({{llang|en|effective epimorphism}})이라고 한다. 유효 전사 사상은 정의에 따라 정칙 전사 사상이다. 이와 같은 스스로와의 당김은 '''핵쌍'''({{llang|en|kernel pair}})이라고 하며, 대략 [[대수 구조]]에서의 [[합동 관계]]의 일반화로 생각할 수 있다. 즉, 유효 전사 사상은 "[[합동 관계]]"에 대한 "몫"으로의 사영 사상으로 생각할 수 있다.

사상 <math>f\colon X\to Y</math>가  스스로와의 [[밂 (범주론)|밂]]
:<math>\iota_1,\iota_2\colon Y\to Y\sqcup_XY</math>
을 가지며, <math>\iota_1,\iota_2</math>의 [[동등자]]가 <math>f</math>와 같다면, <math>f</math>를 '''유효 단사 사상'''({{llang|en|effective monomorphism}})이라고 한다. 유효 단사 사상은 정의에 따라 정칙 단사 사상이다. 이 정의에서, <math>\iota_1,\iota_2</math>의 [[동등자]]는 <math>f</math>의 "[[치역]]"으로 생각할 수 있다. 즉, 유효 단사 사상은 [[정의역]]과 [[치역]] 사이의 동형을 정의하는 단사 사상으로 생각할 수 있다.

=== 정칙 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건들을 만족시킨다면 '''정칙 범주'''라고 한다.
* [[유한 완비 범주]]이다.
* 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>의 스스로에 대한 [[당김 (범주론)|당김]] <math>\xleftarrow{\pi_1}XX\times_YX\xrightarrow{\pi_2}X</math>에 대하여, <math>\pi_0,\pi_1\colon X\times_YX\to X</math>의 [[쌍대 동등자]]가 존재한다. 이는 <math>f</math>의 '''핵쌍'''이라고 한다.
* 정칙 전사 사상의 당김은 정칙 전사 사상이다.

두 정칙 범주 사이의 '''정칙 함자''' <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>는 다음 조건을 만족시키는 함자이다.
* [[유한 연속 함자]]이다. 즉, 유한 극한을 보존한다.
* 핵쌍의 [[쌍대 동등자]]를 보존한다.
[[작은 범주|작은]] 정칙 범주와 정칙 함자의 [[범주 (수학)|범주]]를 <math>\operatorname{RegCat}</math>라고 하자.

=== 유효 정칙 범주 ===
정칙 범주 <math>\mathcal C</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''유효 정칙 범주'''({{llang|en|effective regular category}}) 또는 '''바 완전 범주'''({{llang|en|Barr-exact category}})라고 한다. (이는 퀼런 완전 범주와 관계없는 개념이다.)
* 임의의 대상 <math>X</math>가 주어졌으며, <math>X\times X</math>의 [[부분 대상]] <math>r\colon Y\hookrightarrow X\times X</math>가 [[동치 관계]]를 이룰 때, <math>r</math>는 핵쌍으로부터 유도된다.

== 성질 ==
정칙 범주 <math>\mathcal C</math>에서, 모든 정칙 전사 사상들의 모임 <math>\operatorname{RegEpi}(\mathcal C)</math>과 단사 사상들의 모임 <math>\operatorname{Mono}(\mathcal C)</math>은 [[분해계]]를 이룬다. 즉, 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>f=m\circ e</math>
인 정칙 전사 사상 <math>e\colon X\to Y'</math>과 단사 사상 <math>m\colon Y'\to Y</math>이 존재한다. <math>Y</math>의 [[부분 대상]] <math>m</math>을 <math>f</math>의 '''[[치역]]'''이라고 한다.

=== 정칙 사상 ===
임의의 범주 속의 사상에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 정칙 전사 사상이자 [[단사 사상]]이다.
* [[전사 사상]]이자 정칙 단사 사상이다.
* [[동형 사상]]이다.
(반면, 임의의 범주에서는 [[전사 사상]]이자 [[단사 사상]]이지만 [[동형 사상]]이 아닌 사상이 존재할 수 있다.)

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[동형 사상]] ⊆ 유효 단사 사상 ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ [[강한 단사 사상]] ⊆ [[극단 단사 사상]] ⊆ [[단사 사상]]
:[[동형 사상]] ⊆ [[분할 단사 사상]] ⊆ 정칙 단사 사상 ⊆ [[강한 단사 사상]] ⊆ [[극단 단사 사상]] ⊆ [[단사 사상]]
:[[동형 사상]] ⊆ 유효 전사 사상 ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ [[강한 전사 사상]] ⊆ [[극단 전사 사상]] ⊆ [[전사 사상]]
:[[동형 사상]] ⊆ [[분할 전사 사상]] ⊆ 정칙 전사 사상 ⊆ [[강한 전사 사상]] ⊆ [[극단 전사 사상]] ⊆ [[전사 사상]]
[[분할 단사 사상]]이 정칙 단사 사상인 이유는 [[분할 단사 사상]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 그 [[왼쪽 역사상]] <math>r\colon Y\to X</math>이 주어졌을 때 <math>f=\operatorname{eq}\{f\circ r,\operatorname{id}_Y\}</math>이기 때문이다. 마찬가지로,
[[분할 전사 사상]]이 정칙 전사 사상인 이유는 [[분할 전사 사상]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 그 [[오른쪽 역사상]] <math>s\colon Y\to X</math>이 주어졌을 때 <math>f=\operatorname{eq}\{s\circ f,\operatorname{id}_X\}</math>이기 때문이다.

어떤 범주에서 모든 사상 <math>f\colon X\to Y</math>의 스스로와의 [[당김 (범주론)|당김]] <math>X\times_YX</math>이 존재한다면, 이 범주에서 [[정칙 전사 사상]]의 개념과 [[유효 전사 사상]]의 개념이 일치한다. [[토포스]](또는 더 일반적으로 [[준토포스]])에서, 다음이 성립한다.
* 모든 [[전사 사상]]은 정칙 전사 사상이자 유효 전사 사상이다.
* 모든 [[단사 사상]]은 정칙 단사 사상이다.
[[아벨 범주]]에서, 모든 [[단사 사상]]은 정칙 단사 사상이다.

=== 완전열 ===
정칙 범주 <math>\mathcal C</math> 속에서, '''짧은 완전열'''은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
:<math>N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q</math>
여기서
* <math>\{\iota,\iota'\}</math>는 <math>q</math>의 핵쌍이다.

만약 <math>\mathcal C</math>가 추가로 [[아벨 범주]]라면, <math>N\overset{\iota}{\underset{\iota'}\rightrightarrows}X\overset q\to Q</math>가 (정칙 범주의) 짧은 완전열인 것은
:<math>0\to N\overset{\iota-\iota'}\to X\overset q\to Q\to0</math>
가 ([[아벨 범주]]의) [[완전열]]인 것과 [[동치]]이다.

=== 정칙 논리 ===
[[1차 논리]]에서 '''정칙 공식'''({{llang|en|regular formula}})은
* 명제 변수 <math>P_1,P_2,\dots</math>
* [[논리곱]] <math>\land</math>
* 존재 기호 <math>\exists</math>
만으로 나타낼 수 있는 공식이다. '''정칙 논리'''는
:<math>\forall x\colon(\phi(x)\to\phi'(x))</math>
꼴의 명제들만을 다룰 수 있는, [[1차 논리]]를 약화시킨 논리이다.

정칙 범주의 내부 논리는 정칙 논리이다. 구체적으로, 정칙 범주 <math>\mathcal C</math>의 [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>을 골랐을 때, 다음과 같은 대응이 존재한다.
{| class="wikitable"
! 정칙 논리 !! 정칙 범주
|-
| 종류({{llang|en|sort}}) || <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>
|-
| <math>\forall(x:X),(x':X)\colon x=x'</math>인 종류 <math>X</math> || [[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>
|-
| 종류 <math>X</math>의 상수 <math>c</math> || 사상 <math>c\colon1\to X</math>
|-
| 종류 <math>X\to Y</math>의 함수 <math>f</math> || 사상 <math>f\colon X\to Y</math>
|-
| 함수의 합성 <math>f\circ g</math> || 사상의 합성 <math>f\circ g</math>
|-
| <math>\forall(x\colon X),(x'\colon X)\colon f(x)=f(x')\implies x=x'</math>가 성립하는 함수 <math>f</math> || [[단사 사상]] <math>f\colon X\hookrightarrow Y</math>
|-
| 종류 <math>Y</math>에 대한 [[술어]] <math>R(y)\iff\exists x\in X\colon f(x)=y</math>  || [[부분 대상]] <math>f\colon X\hookrightarrow Y</math>
|-
| <math>\forall(y\colon Y)\exists(x\colon X)\colon f(x)=y</math>가 성립하는 함수 <math>f</math> || 정칙 전사 사상 <math>f\colon X\twoheadrightarrow Y</math>
|-
| <math>\forall(z,z'\colon X\times Y)\colon\pi_X(z)=\pi_X(z')\land\pi_Y(z)=\pi_Y(z')\implies z=z'</math>,<br><math>\forall(x\colon X)\forall(y\colon Y)\exists(z\colon X\times Y)\colon(\pi_X(z)=x\land\pi_Y(z)=y)</math> || [[곱 (범주론)|곱]] <math>X\overset{\pi_X}\leftarrow X\times Y\overset{\pi_Y}\to Y</math>
|-
| <math>\forall(x\colon X)\colon f(x)=g(x)\implies\exists(y:Y)\colon h(y)=x</math> || [[동등자]] <math>h\colon Y\hookrightarrow X\overset f{\underset g\rightrightarrows}Y</math>
|}

== 같이 보기 ==
* [[토포스]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Michael|성=Barr|이름2=Pierre A.|성2=Grillet|이름3=Donovan H.|성3=van Osdol|제목=Exact categories and categories of sheaves|출판사=Springer-Verlag|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=236|날짜=1971|doi=10.1007/BFb0058579|issn=0075-8434|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Carsten|성=Butz|url=http://www.brics.dk/LS/98/2/|제목=Regular categories and regular logic|총서=Centre for Basic Research in Computer Science Lecture Series|권=98-2|issn=1395-2048|날짜=1998-10|언어=en}}
* {{서적 인용| editor1-last=Pedicchio | editor1-first=Maria Cristina | editor2-last=Tholen | editor2-first=Walter | title=Categorical foundations: special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory | series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications | volume=97 | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=0-521-83414-7 | doi=10.1017/CBO9781107340985 | zbl=1034.18001|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=regular category|title=Regular category}}
* {{nlab|id=regular 2-category|title=Regular 2-category}}
* {{nlab|id=regular functor|title=Regular functor}}
* {{nlab|id=regular logic|title=Regular logic}}
* {{nlab|id=exact category|title=Exact category}}
* {{nlab|id=Barr embedding theorem}}
* {{nlab|id=kernel pair|title=Kernel pair}}
* {{nlab|id=cokernel pair|title=Cokernel pair}}
* {{nlab|id=regular monomorphism|title=Regular monomorphism}}
* {{nlab|id=regular epimorphism|title=Regular epimorphism}}
* {{nlab|id=effective monomorphism|title=Effective monomorphism}}
* {{nlab|id=effective epimorphism|title=Effective epimorphism}}
* {{nlab|id=embedding|title=Embedding}}
* {{nlab|id=covering|title=Covering}}

[[분류:범주론]]