{{위키데이터 속성 추적}}
{{기계 번역|날짜=2022-03-22}}
{{여러그림
 | 정렬     = right
 | 방향 = vertical
 | 크기     = 250
 | 그림1    = Cauchy sequence illustration.svg
 | 설명1  = (a) 파란색으로 표시된 코시 열 <math>(x_n)</math>, <math>x_n</math> 대 <math>n</math>으로 구성된 그래프. 수열을 포함하는 공간이 완료되면 이 수열의 "최종 목적지" 즉, 극한이 존재한다.
 | 그림2    = Cauchy sequence illustration2.svg
 | 설명2  = (b) 코시 열이 아닌 수열. 수열이 진행됨에 따라 수열의 [[원소 (수학)|원소]]가 서로 임의로 근접하지 못한다.
}}
'''코시 열'''(Cauchy列, {{llang|en|Cauchy sequence}})은 [[해석학 (수학)|해석학]]에서 [[점 (기하학)|점]] 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 [[수열]]이다. [[프랑스]]의 수학자인 [[오귀스탱 루이 코시]]에서 이름을 따서 명명되었다.<ref>{{서적 인용|이름=Lang|성=Serge|제목=Algebra|판=3|위치=Reading, Massachusetts|출판사=Addison-Wesley Pub. Co.|연도=1993년|isbn=978-0-201-55540-0|zbl=0848.13001}}</ref> 보다 정확히 말하면 작은 양수의 거리가 주어진 경우에 수열의 유한한 수의 원소를 제외한 모든 원소가 서로 주어진 거리보다 작다.

각 항이 "이전" 항에 임의로 근접하는 것은 충분하지 않다. 예를 들어 자연수의 제곱근 수열은 다음과 같다.
:<math>a_n=\sqrt n</math>

연속 항은 다음과 같이 임의로 서로 가까워진다.
:<math>a_{n+1}-a_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt n}</math>

그러나 지수 {{수학 변수|n}}의 값이 증가함에 따라 {{수학|''a''<sub>''n''</sub>}} 항은 임의로 커지게 된다. 따라서 모든 지수 {{수학 변수|n}}과 거리 {{수학 변수|d}}에 대해 {{수학|''a''<sub>''m''</sub> – ''a''<sub>''n''</sub> > ''d''}}과 같이 충분히 큰 지수 {{수학 변수|m}}이 존재한다. 실제로 {{수학|''m'' > ({{제곱근|''n''}} + ''d'')<sup>2</sup>}}이면 충분하다. 결과적으로, 얼마나 멀리 가더라도 수열의 나머지 항은 서로 가까워지지 않으므로 수열은 코시 열이 아니다.

코시 열의 효용성은 [[완비 거리 공간]](모든 그러한 수열이 극한으로 수렴한다고 알려진 곳)<ref>{{서적 인용|성=Reed|이름=Michael|저자2=Barry Simon|제목=Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis|출판사=Academic press inc.|위치=San Diego, California|연도=1980년|판=2|isbn=0-12-585050-6|쪽=6}}</ref>에서 수열의 수렴 기준이 극한을 사용하는 정의와는 다르게 수열의 항 자체에만 의존하는 점에 있다. 이는 이론 및 응용 [[알고리즘]]에서 종종 이용되는데 반복적 프로세스는 [[반복법]]으로 구성된 코시 열을 생성하기 위해 상대적으로 쉽게 보여질 수 있으며 따라서 종료와 같은 논리적 조건을 충족시킨다.

보다 추상적인 [[균등 공간]]에서 코시 열은 코시 [[필터 (수학)|필터]]와 코시 [[그물 (수학)|그물]]의 형태로 일반화 할 수 있다.

== 실수에서의 활용 ==
실수의 수열 <math>x_1, x_2, x_3, \ldots</math>이 있다고 하자. 모든 [[양수 (수학)|양수]]인 ''ε''에 대해 양의 [[정수]] ''N''이 있어서, 모든 자연수 ''m'', ''n'' > ''N''이 다음 조건을 만족한다면, 이 수열을 코시 열이라고 부른다.
:<math>|x_m - x_n| < \varepsilon </math>

여기서 수직 막대는 [[절댓값]]을 나타낸다. 비슷한 방법으로 유리수나 복소수의 코시 열을 정의할 수 있다. [[오귀스탱 루이 코시|코시]]는 이러한 조건을 무한대인 ''m'', ''n''의 모든 쌍에 대해 <math>x_m - x_n</math>이 [[무한소]]가 되는 것으로 공식화했다.

실수 ''r''의 경우에는 ''r''의 잘린 소수 확장 수열은 코시 열을 형성한다. 예를 들어 ''r'' = ''π''일 때 이 수열은 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)이다. ''m'' < ''n''을 가정할 때 ''m''번째와 ''n''번째 항은 최대 10<sup>1−''m''</sup>만큼 달라지며 ''m''이 커짐에 따라 고정된 양수 ε보다 작아진다.

=== 코시 수렴 계수 ===
만약 <math>(x_1, x_2, x_3, ...)</math>가 집합 <math>X</math>의 수열인 경우에는 수열에 대한 "코시 수렴 계수"는 [[자연수]] 집합에서 자신에게 <math>\forall k \forall m, n > \alpha(k), |x_m - x_n| < 1/k</math>와 같은 [[함수]] <math>\alpha</math>이다.

코시 수렴 계수가 있는 모든 수열은 코시 열이다. 코시 열을 위한 계수의 존재는 자연수의 순서적 특성에서 비롯된다 (<math>\alpha(k)</math>는 코시 열의 정의에서 가능한 가장 작은 <math>N</math>이 되도록 하여 <math>r</math>을 <math>1/k</math>로 한다). 또한 계수의 존재는 선택 공리의 약한 형태인 [[의존적 선택 공리]]로부터 따르며 또한 AC<sub>00</sub>이라고 불리는 훨씬 더 약한 조건으로부터 온다. "정규 코시 열"은 주어진 코시 수렴 계수(보통 <math>\alpha(k) = k</math> 또는 <math>\alpha(k) = 2^k</math>)의 수열이다. 코시 수렴 계수를 갖는 모든 코시 열은 정규 코시 열과 동일하다. 이것은 어떠한 형태의 선택 공리도 사용하지 않고 증명될 수 있다.

코시 수렴 계수는 어떠한 형태의 선택도 사용하지 않으려는 [[구성주의 (수학)|구성주의]] 수학자들에 의해 사용된다. 코시 수렴 계수를 사용하면 구성주의 해석학에서 정의와 이론을 모두 단순화할 수 있다. 정규 코시 열은 에렛 비숍(Errett Bishop)의 구성적 해석학 기초([https://books.google.com/books?id=Z7I-AAAAIAAJ&dq=intitle:Foundations+intitle:of+intitle:constructive+intitle:analysis&lr=&as_brr=0&pgis=1 Foundations of Constructive Analysis])에서, 더글러스 브리지(Douglas Bridges)의 비구성적 교과서({{ISBN|978-0-387-98239-7}})에서 사용되었다.

== 거리 공간에서의 활용 ==
코시 열의 정의는 거리 개념만 포함하므로 이를 거리 공간 ''X''로 일반화하는 것이 간단하다. 이를 위해 {{절댓값|''x''<sub>''m''</sub> − ''x''<sub>''n''</sub>}}은 ''x''<sub>''m''</sub>과 ''x''<sub>''n''</sub> 사이의 거리 ''d'' (''x''<sub>''m''</sub>, ''x''<sub>''n''</sub>) (여기서 ''d''는 [[거리]]를 나타냄)로 대체된다.

일반적으로 주어진 거리 공간 {{수학|(''X'', ''d'')}}의 수열은 {{수학|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ...}}이다. 코시 열({{수학|''d''(''x''<sub>''m''</sub>, ''x''<sub>''n''</sub>) < ''ε''}})은 모든 양의 [[실수]] {{수학|''ε'' > 0}}인 경우 모든 양의 [[정수]] {{수학 변수|''m'', ''n'' > ''N''}}에 대해 거리{{수학|''d''(''x''<sub>''m''</sub>, ''x''<sub>''n''</sub>) < ''ε''}}인 양의 정수 {{수학 변수|N}}이 있다는 것을 의미한다.

대략적으로 말해서 수열의 항은 ''X''에 [[수열의 극한|극한]]이 있어야 한다는 것을 암시하는 방식으로 점점 더 가까워지고 있다. 그럼에도 불구하고 그러한 극한은 항상 ''X'' 내에 존재하는 것은 아니다. 모든 코시 열이 공간에서 수렴하는 공간의 속성을 완비성이라고 하며 아래에 자세히 설명되어 있다.

== 완비성 ==
모든 코시 열이 ''X''의 원소로 수렴되는 거리 공간(''X'', ''d'')을 [[완비 거리 공간]]이라고 한다.

=== 예시 ===
[[실수]]는 일반적인 절댓값에 의해 유도된 거리 아래에서 완비이며 [[실수의 구성]] 가운데 [[유리수]]의 코시 열을 포함한다. 이 구조에서 특정한 꼬리 행동을 가진 유리수의 코시 열의 각 동치류, 즉 서로 임의로 가까워지는 수열의 모임은 실수이다.

다소 다른 유형의 예는 [[이산 공간|이산 위상]]을 가진 거리 공간 ''X''이다. ''X'' 원소의 모든 코시 열은 어떤 지점 이후에는 값이 일정해야 하며, 결국 반복해서 등장하는 값으로 수렴한다.

=== 예시가 아닌 경우: 유리수 ===
[[유리수]] '''Q'''는 일반적인 거리에서 완비가 아니다. [[무리수]] '''R'''에 수렴하는 일련의 유리수들이 있는데 이들은 '''Q'''에 극한이 없는 코시 열들이다. 실수 ''x''가 무리수인 경우에 ''n''번째 항이 ''x''의 소수점 확장에서 ''n''번째 항이 잘린 소수점 자리인 수열(''x''<sub>''n''</sub>)은 무리수인 극한 ''x''를 가진 유리수의 코시열을 제공한다. 무리수는 확실히 '''R'''에 존재한다. 예를 들면 다음과 같다.

* <math>x_0=1, x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}</math>에 의해 정의된 수열은 정의로부터 유리수로만 구성된 수열임이 명확하지만, 이는 [[바빌로니아 법]]으로 <math>\sqrt{2}</math>를 임의의 정밀도로 근사하는 수열이므로 수열은 어떤 유리수로 수렴하지 않는다.
* 연속된 [[피보나치 수]]의 비의 수열인 <math>x_n = F_n / F_{n-1}</math>는 만약 그것이 수렴한다면 <math>\phi^2 = \phi+1</math>를 만족하는 극한 <math>\phi</math>로 수렴하는데, 어떤 유리수도 이 성질을 가지고 있지 않다. 그러나 이것을 실수 수열으로 생각한다면 무리수인 [[황금비]] <math>\varphi = (1+\sqrt5)/2</math>로 수렴한다.
* 지수, 사인, 코사인 함수 exp(''x''), sin(''x''), cos(''x'')의 값은 ''x''≠0인 모든 유리수의 값에 대해 무리수인 것으로 알려져 있지만 각각 [[테일러 급수]]를 사용하는 유리수의 코시 열의 극한으로 정의될 수 있다.

=== 예시가 아닌 경우: 열린 구간 ===
'''R'''에 보통 거리가 있는 실수의 집합에서 열린 구간 <math>X = (0, 2)</math>는 완비 공간이 아니다. 그 안에 수열 <math>x = 1/n</math>이 있는데 이것은 코시 열(임의적으로 작은 거리 경계 <math>d > 0</math>의 경우 <math>n > 1/d</math>의 모든 항 <math>x_n</math>이 <math>(0, d)</math> 구간에 적합하다)이다. 그러나 "극한"인 수 <math>0</math>은 공간 <math>X</math>에 속하지 않는다.

=== 그 외의 속성 ===
* 모든 수렴 수열(극한 ''s'' 포함)은 코시 열로서 어떠한 고정된 지점을 넘어서 특정한 실수 ''ε'' > 0이 주어지면 수열의 모든 항은 ''s''의 거리 ''ε''/2 안에 있기 때문에 수열의 특정한 두 항은 서로 거리 ''ε'' 안에 있다.
* 모든 거리 공간에서 코시 열 {{수학|''x''<sub>''n''</sub>}}은 [[유계 함수]]이다 (일부 ''N''의 경우 ''N''번째 이후의 수열의 모든 항은 서로 거리 1 안에 있고 ''M''이 {{수학|''x''<sub>''N''</sub>}}과 ''N''번째까지의 모든 항 사이의 가장 큰 거리라면 수열의 어떤 항도 {{수학|''x<sub>N</sub>''}}으로부터 {{수학|''M'' + 1}}보다 큰 거리를 갖지 않는다.
* 임의의 거리 공간에서 극한 ''s''와 수렴된 수열을 갖는 코시 열은 동일한 극한 그 자체로 수렴한다. 왜냐하면 원래 수열의 일부 고정점을 넘어서 임의의 실수 ''r'' > 0이 주어지기 때문에 수열의 모든 항은 ''s''의 ''r''/2 안에 있고 원래 수열의 두 항은 각각 거리 ''r''/2 안에 있기 때문이다. 원래 수열의 모든 항은 ''s''의 거리 ''r'' 안에 있다.

[[볼차노-바이어슈트라스 정리]], [[하이네-보렐 정리]]는 이들의 마지막 2가지 특성과 밀접하게 관련된 실수의 완비성에 대한 표준 증거를 제시한다. 실수의 코시 열은 유계이고 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 수렴하는 부분 수열을 갖기 때문에 그 자체를 스스로 수렴한다. 실수의 완전성에 대한 이 증거는 암시적으로 [[최소 상계 성질]]을 이용한다. 위에서 언급한 유리수의 완성으로서 실수를 구성하는 대안적 접근 방식은 실수의 완전성을 자율적으로 만든다.

코시 열로 작업하고 완비성을 사용할 수 있는 이점을 보여주는 표준 삽화 가운데 하나는 무한히 연속되는 실수의 합계(또는 보다 일반적인 [[노름 공간]] 또는 [[바나흐 공간]]의 원소)를 고려하여 제공된다. 이러한 [[급수 (수학)|급수]] <math>\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}</math>은 부분합 <math>(s_{m})</math>의 수열이 수렴하는 경우에만 수렴하는 것으로 간주된다. 여기서 <math>s_{m} = \sum_{n=1}^{m} x_{n}</math>이라는 등식이 성립된다. 양수 ''p'' > ''q''인 경우에는 <math>s_{p} - s_{q} = \sum_{n=q+1}^{p} x_{n}</math>이라는 등식을 통해 부분합의 수열이 코시 열인지 아닌지를 판단할 수 있다.

만약 <math>f \colon M \rightarrow N</math>가 거리 공간 ''M''과 ''N'' 사이의 [[균등 연속 함수]]이고 (''x''<sub>''n''</sub>)가 ''M''의 코시 열이라면, <math>(f(x_n))</math>는 ''N''의 코시 열이다. 만약 <math>(x_n)</math>와 <math>(y_n)</math>가 유리수, 실수 또는 복소수에서 2개의 코시 열이라면, 합계 <math>(x_n + y_n)</math>와 곱 <math>(x_n y_n)</math> 역시 코시 열이다.

== 일반화 ==
=== 위상 벡터 공간 ===
[[위상 벡터 공간]] <math>X</math>에 대한 코시 열의 개념도 있다. 먼저 0에 대한 국소기저인 <math>X</math>의 <math>B</math>를 선택한다. (<math>x_k</math>)는 각 구성체가 <math>V\in B</math>일 때에 <math>n,m > N, x_n - x_m</math>이 <math>V</math>의 원소일 때에 코시 열이다. <math>X</math>의 위상 배치가 변환 불변 공간 <math>d</math>와 호환된다면 2가지 정의는 일치한다.

=== 위상군 ===
코시 열의 위상 벡터 공간 정의는 연속적인 "추출" 연산만 있으면 되기 때문에 [[위상군]]의 맥락에서 설명될 수 있다. 위상군 <math>G</math>의 수열 <math>(x_k)</math>는 <math>G</math>의 [[항등원]]의 모든 열린 근방 <math>U</math>에 대해 <math>m, n > N</math>이 존재할 때마다 <math>x_n x_m^{-1} \in U</math>를 따르는 일부 <math>N</math>이 존재한다면 코시 열이다. 

거리 공간의 완비화 구성과 마찬가지로 <math>G</math>에 있는 모든 열린 [[근방]] <math>U</math>에 대해 <math>m, n > N</math>이 <math>x_n y_m^{-1} \in U</math>을 따르도록 몇 개의 <math>N</math>이 존재한다면 <math>(x_k)</math>와 <math>(y_k)</math>가 동등하다는 코시 열에 대한 이진 관계를 정의할 수 있다. 이러한 관계는 [[동치관계]]이고 이러한 수열은 반사적인 코시 열이다. 이러한 수열은 <math>y_n x_m^{-1} = (x_m y_n^{-1})^{-1} \in U^{-1}</math>이기 때문에 대칭이며 이는 역의 연속성에 의해 [[항등원]]의 또다른 열린 근방이기 때문에 대칭이다. <math>x_n z_l^{-1} = x_n y_m^{-1} y_m z_l^{-1} \in U' U''</math>에서 <math>U'</math>와 <math>U''</math>는 <math>U'U'' \subseteq U</math>와 같이 항등원의 개방된 근방이기 때문에 [[추이적 관계]]이다. 이러한 쌍들은 군 연산의 연속성에 의해 존재한다.

=== 군 ===
<math>G</math>군에는 코시 열 개념도 있다: <math>H=(H_r)</math>은 유한 지수 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이 감소하는 수열이다. <math>G</math>의 수열 <math>(x_n)</math>는 코시 열(w.r.t. <math>H</math>)이라고 표현하는데 <math>N</math>과 같은 <math>\forall m,n > N, x_n x_m^{-1} \in H_r</math>인 경우에 <math>r</math>이 있는 경우에만 해당된다. 기술적으로 이것은 <math>G</math>의 위상 배치를 위한 코시 열과 동일하며 <math>H</math>가 국소기저이다.

이러한 코시 열의 집합 <math>C</math>는 (성분별 결과물인 경우) 군을 형성하며 Null 수열(s.th. <math>\forall r, \exists N, \forall n > N, x_n \in H_r</math>)의 집합 <math>C_0</math>은 <math>C</math>의 정규 부분군이다. 요인 그룹 <math>C/C_0</math>은 <math>H</math>와 관련하여 <math>G</math>의 완성이라고 한다. 그런 다음에 이러한 완비가 수열 <math>(G/H_r)</math>의 역극한과 같은 형이라는 것을 확인할 수 있다.

[[정수론]]과 [[대수기하학]]에서 익숙한 이러한 구조의 예는 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 [[p진수]] 완비 구조이다. 이 경우 ''G''는 추가되는 정수이고 ''H''<sub>''r''</sub>은 ''p''<sup>''r''</sup>의 정수 배수로 구성된 가법 부분군이다. 만약 <math>H</math>가 [[공종 집합]] 수열이라면(즉 유한 지수의 모든 정규 부분군은 <math>H_r</math>을 포함한다) 이 완비는 <math>(G/H)_H</math>의 역극한과 동일하다는 점에서 표준이다. 여기서 <math>H</math>는 유한 지수의 "모든" 정규 부분군에 걸쳐 변화한다.

=== 초실수의 연속 ===
실제 수열 <math>\langle u_n: n\in \mathbb{N} \rangle</math>은 일반적인 자연수 ''n'' 이외에 지수 ''n''의 초정수 값에 대해 정의된 자연적인 초실수 확장 ''H''를 갖고 있다. 무한대인 ''H''와 ''K''에 대해 값이 표시되는 경우(<math>\, \mathrm{st}(u_H-u_K)= 0</math>)만 코시 열이다. 여기서 "st"는 표준부분함수이다.

=== 코시 범주 완비 ===
헤닝 크라우제(Henning Krause)는 2018년에 [[범주 (수학)|범주]]의 코시 완비화에 대한 개념을 도입했다. '''Q'''(유리수를 대상으로 하며, 작은 유리수에서 큰 유리수로의 사상을 가지는 얇은 범주)의 범주 코시 완비화는 '''R'''(마찬가지의 범주)이다.<ref>{{인용|제목=Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller|성1=Krause|이름1=Henning|arxiv=1805.10751|연도=2018년|bibcode=2018arXiv180510751B}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[데데킨트 절단]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=Bourbaki, Nicolas|제목=Commutative Algebra|url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000bour|판=영어 번역|출판사=Addison-Wesley|연도=1972년|isbn=0-201-00644-8}}
* {{인용|제목=Completing perfect complexes: With appendices by Tobias Barthel and Bernhard Keller|성1=Krause|이름1=Henning|arxiv=1805.10751|연도=2018년|bibcode=2018arXiv180510751B}}
* {{인용|성=Lang|이름=Serge|제목=Algebra|출판사=Addison-Wesley Pub. Co.|위치=Reading, Massachusetts|판=3|연도=1993년|isbn=978-0-201-55540-0|zbl=0848.13001}}
* {{서적 인용|성=Spivak|이름=Michael|제목=Calculus|연도=1994년|판=3|위치=Berkeley, CA|출판사=Publish or Perish|isbn=0-914098-89-6|url=http://www.mathpop.com/bookhtms/cal.htm|확인날짜=2007년 5월 26일|보존url=https://web.archive.org/web/20070517171054/http://www.mathpop.com/bookhtms/cal.htm|보존날짜=2007년 5월 17일|url-status=dead}}
* {{서적 인용|저자1=Troelstra, Anne Sjerp|저자2=van Dalen, Dirk|제목=Constructivism in Mathematics: An Introduction|url=https://archive.org/details/constructivismin0002troe}} (건설적인 수학에 이용하기 위함)
* {{서적 인용|성=Reed|이름=Michael|저자2=Barry Simon|제목=Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis|출판사=Academic press inc.|위치=San Diego, California|연도=1980년|판=2|isbn=0-12-585050-6}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{SpringerEOM|제목=Fundamental sequence|id=p/f042240}}

{{급수}}

{{전거 통제}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:위상수학]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:수열]]
[[분류:수렴]]
[[분류:오귀스탱 루이 코시]]