{{위키데이터 속성 추적}}
{{밀레니엄 문제}}
[[수리물리학]]과 [[양자색역학]]에서 '''양-밀스 이론의 존재성과 질량 간극 가설'''({{llang|en|Yang–Mills existence and mass gap}})은 [[미해결 문제]]로서, [[클레이 수학연구소]]가 지정한 7개의 [[밀레니엄 문제|밀레니엄 수학 문제]] 중 하나이다.

2000년, 미국의 [[클레이 수학 연구소]]는 밀레니엄 현상 문제의 하나로서 이 문제에 100만 달러의 상금을 내걸었다. 이는 공식 문서에서 다음과 같이 설명되었다.

{{인용문2|{{lang|en|'''Yang–Mills Existence and Mass Gap.''' Prove that for any compact simple gauge group G, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on <math>\mathbb{R}^4</math> and has a mass gap Δ > 0. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in [45, 35].}}<br />
'''양-밀스 이론의 존재와 질량 간극.''' 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하고, 단순한 [[게이지 이론|게이지군]] G에 대해서, [[양자 마당 이론|<math>\mathbb{R}^4</math>]] 상의 자명하지 않은 [[양-밀스 이론]]이 존재하여, Δ > 0 의 [[질량 간극]]을 가짐을 증명하여라. 존재의 증명은 적어도 [45, 35]에 인용한 것만큼 강한 공리적 성질을 구성하는 것을 포함한다.}}

여기서,

* [[양-밀스 이론]]은 [[입자 물리학]]의 [[표준 모형]]에 내재하는 (비 아벨) [[양자장론]]
* <math>\mathbb{R}^4</math>는 4차원 [[유클리드 공간]]
* [[질량 간극]] Δ 는 이론에서 예측되는 가장 가벼운 입자의 질량이다.

따라서, 수상자는 우선 [[양-밀스 이론]]이 존재함을 증명해야 하고 이는 현대 [[수리물리학]]에 사용되는 엄밀함을 만족해야 한다. 특히 공식 설명에서 제프와 위튼이 인용한 45와 35의 논문에 사용된 [[구성적 양자장 이론]]에 입각한 엄밀함이 필요하다. 그 후 수상자는 이론에 따라 예측된 장의 가장 가벼운 입자의 질량이 명백히 양수임을 보여야 한다. 예를 들어 G=[[SU(3)]] ([[양자 색역학]])의 경우 수상자는 [[글루볼]]이 질량의 하한이 있어서 임의로 가벼울 수 없음을 증명해야 한다.

== 배경 ==
{{Cquote|[...] 지금까지 아무도 4차원 [[시공간]] [[양자 게이지 이론]]의 완전한 수학적 예를 찾지 못하였을 뿐만 아니라 아무도 4차원 양자 게이지 이론의 자세한 정의를 찾지 못하였다. 21세기에는 상황이 바뀔것인가? 우리는 그렇게 되기를 바란다!|[[아서 제프]]와 [[에드워드 위튼]]의 클레이 연구소 공식 문제 설명 중}}

4차원의 대부분의 알려진 그리고 자명하지 않은(상호작용하는) [[양자장 이론]]은 [[컷오프]] 규모를 가지는 [[유효 이론]]이다. 그러한 대부분의 모델에서 [[베타 함수]]가 양수이기 때문에, 그들이 자명하지 않은 [[UV 고정점]]을 가지는지 아닌지가 명확하지 않은 채 대부분의 그런 모델은 [[란다우 극]]을 가진 것으로 보인다. 이것은 그러한 [[양자장 이론]]이 [[공리적 양자장 이론]]의 공리를 따르도록 모든 규모에서 잘 정의되면 그것은 아마 자명할([[자유장 이론]]) 것임을 의미한다.

게이지 군이 [[아벨 군]]이 아니고, 쿼크를 포함하지 않는 양자 [[양 밀스 이론]]은 예외이다. 왜냐하면 이 이론을 대표하는 [[점근적 자유]]가 자명한 [[적외 고정점]]을 가짐을 의미하기 때문이다. 따라서 이는 가장 간단한 4차원에서의 자명하지 않은 구성적 양자장 이론이다. ([[양자 색역학]]은 [[쿼크]]를 수반하기 때문에 더욱 복잡한 이론이다.)

비 아벨 [[리 군]]에서 양자 양 밀스 이론은 [[색가둠]]이라 알려진 속성을 나타낸다는 것이 적어도 [[수리물리학]]이 아닌 [[이론 물리학]]의 엄밀함으로는 증명되어 있다.

== 4차원 퍼텐셜 ==
[[파일:Spacetime lattice analogy.svg|섬네일|right|아인슈타인의 방정식은 시공간 곡률이 물질-에너지 함량에 의해 생성된다는 것이다.]]

: <math>\Delta\phi=f</math> 여기서 <math>\Delta</math>는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]이며, 이는 <math>M</math>이 평탄할 때 [[라플라스 연산자]]와 같다.
: <math>\Delta G_n(\mathbf r)=-\delta^{(n)}(\mathbf r)</math> 여기서 <math>\delta^{(n)}</math>는 <math>n</math>차원 [[디랙 델타 함수]]다.
:

가우스 법칙의 결과로 퍼텐셜 V의 음의 라플라시안은 {{math|4π''kQ''}} 곱하기 디랙 델타 함수와 같다.
:<math>\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k Q\delta(\mathbf x).</math>
물질(또는 전하)의 보다 일반적인 분포는 포아송 방정식을 갖는 컨볼루션에 의해 얻어진다.
:<math>\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k \rho(\mathbf x)</math>
여기서 ρ는 분포 함수이다. 아인슈타인의 방정식은 시공간 곡률이 물질-에너지 함량에 의해 생성된다는 것이다. 상수 γ는 아인슈타인 방정식과 관련된 4차원 퍼텐셜에서도 유사한 역할을 한다.<ref>Yeo, Adrian, ''The pleasures of pi, e and other interesting numbers'', World Scientific Pub., 2006, p. 21, {{isbn|978-981-270-078-0}}.<br />Ehlers, Jürgen, ''Einstein's Field Equations and Their Physical Implications'', Springer, 2000, p. 7, {{isbn|978-3-540-67073-5}}.</ref>
:<math> R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},</math>

여기서 {{math|''R''<sub>''μν''</sub>}} is는 리치 곡률 텐서, {{mvar|R}}은 스칼라 곡률, {{math|''g''<sub>''μν''</sub>}} 는 미터법 텐서, Δ는 우주 상수, G는 뉴턴의 중력 상수, c는 진공에서의 빛의 속도, {{math|''T''<sub>''μν''</sub>}}는 응력-에너지 텐서이다. 아인슈타인 방정식의 왼쪽은 계량 텐서의 라플라시안의 비선형 유사체이며, 다음과 같이 약한 장 한계에서 축소된다.

아인슈타인 방정식의 왼쪽은 계량 텐서의 라플라시안의 비선형 유사체이며, 다음과 같이 약한 장 한계에서 축소된다.{{math|8π}}

== 각주 ==
<references />

== 같이 보기 ==
* [[질량 간극]]
* [[양자장 이론]]
* [[표준 모형]]
* [[양-밀스 이론]]

== 참고 문헌 ==
* [[아서 제프]]와 [[에드워드 위튼]] "[https://web.archive.org/web/20121002170522/http://www.claymath.org/millennium/Yang-Mills_Theory/yangmills.pdf Quantum Yang-Mills theory.]" 공식 문제 설명.

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20100704092912/http://www.claymath.org/millennium/Yang-Mills_Theory/ The Millennium Prize Problems: Yang–Mills and Mass Gap]

[[분류:양자색역학]]
[[분류:수학의 미해결 문제]]
[[분류:밀레니엄 문제]]