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[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''그레고리 급수'''(Gregory 級數, {{Llang|en|Gregory series}})란 [[아크탄젠트]]의 [[매클로린 급수]]이며 전개식은 다음과 같다.  

:<math>\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}</math> (단 <math>\left\vert x \right\vert\leq1</math>일 때만 수렴)

== 증명 ==
아크탄젠트의 정의에 의해 <math>\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt</math>이다.

<math>\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{1-(-t^2)}</math>이므로 [[기하급수]]에 의해 <math>\frac{1}{1+t^2}=\sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k</math>이다. 따라서,
:<math>\begin{align}
\ \arctan x
&=\int_0^x \frac{1}{1 + t^2}dt\\[5mu]
&=\int_{0}^{x} \sum_{k = 0}^\infty (-t^2)^k dt\\[5mu]
&=\int_0^x \left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots\right)dt \\[5mu]
&= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7 + \cdots \\[5mu]
&=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}
\end{align}</math>
이다.

== 역사 ==
그레고리 급수가 문헌상 기인할 수 있는 최초의 주요한 사람 중 한 명은 인도의 수학자인 [[산가마그라마 마다바]](Sangamagrama Madhava c. 1340 – c. 1425)이며 그의 원래의 참고 문헌은 직접적인 산가마그라마 마다바의 많은 작업과 마찬가지로 손실되었지만 이러한 그의 작업은 케랄라 천문학 및 수학 학교(Kerala school of astronomy and mathematics)에서 그의 후계자 몇 명에 의해 기술된 저서에서 발견돼 알려졌다. 이러한 아크탄젠트 급수에 대한 구체적인 인용에는 [[닐라칸타 소마야지]]의 탄트라삼그라하(Tantrasamgraha,c.1500)<ref name="text">{{웹 인용|url=http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_2/20005a5d_s1.pdf|title=Tantrasamgraha with English translation|editor=K.V. Sarma|publisher=Indian National Academy of Science|pages=48|language=Sanskrit, English|others=Translated by V.S. Narasimhan|archive-url=https://web.archive.org/web/20120309014402/http://www.new.dli.ernet.in/rawdataupload/upload/insa/INSA_2/20005a5d_s1.pdf|archive-date=9 March 2012|url-status=dead|access-date=17 January 2010}}</ref><ref>''Tantrasamgraha'', ed. K.V. Sarma, trans. V. S. Narasimhan in the Indian Journal of History of Science, issue starting Vol. 33, No. 1 of March 1998</ref>,  [[제하데바]](Jyeṣṭhadeva)의 [[유키브하]](Yuktibhāṣā, c. 1530)<ref name="sarma">{{웹 인용|url=http://www.new.dli.ernet.in/insa/INSA_1/20005ac0_185.pdf|title=A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy—An analytic appraisal|editor=[[K. V. Sarma]] & S Hariharan|work=Yuktibhāṣā of Jyeṣṭhadeva|archive-url=https://web.archive.org/web/20060928203221/http://www.new.dli.ernet.in/insa/INSA_1/20005ac0_185.pdf <!-- Bot retrieved archive -->|archive-date=28 September 2006|access-date=2006-07-09}}</ref>, 및 [[샨카라 바리야르]]의 [[유키디피카]](Yukti-dipika) 주석이 포함된다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=jza_cNJM6fAC|title=Cultural Foundations of Mathematics : Nature of Mathematical Proof and the Transsmision of the Calculus from India to Europe in the 16 c. CE|last=C.K. Raju|year=2007|series=History of Science, Philosophy and Culture in Indian Civilisation|volume=X Part 4|publisher=Centre for Studies in Civilistaion|location=New Delhi|page=231|isbn=978-81-317-0871-2}} 2.206 – 2.209.</ref>

==원주율==
[[제임스 그레고리 (수학자)|제임스 그레고리]](James Gregory)는 1668년에 '기기학의 보편적인 부분'(Geometriae pars universalis ,(영)The Universal Part of Geometry), '기하학적 운동'(Exercitationes geometrica ,(영)Geometrical Exercises)이라는 두 출판물에서 이 아크탄젠트 급수를 인용했다고 알려져 있다. 이러한 저술에서 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]](Gottfried Leibniz)가 [[원주율]] π를 재발견하고 이에 대한 [[라이프니츠의 원주율 공식|라이프니츠 공식]]을 얻는 것과 관련이 있다고 알려져 있다.<ref name=wolfram>{{웹 인용|title=Gregory Series|url=http://mathworld.wolfram.com/GregorySeries.html|publisher=Wolfram Math World|access-date=26 July 2012}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[역삼각함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:급수]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:조합론]]