{{위키데이터 속성 추적}}
{{과학자 정보
|이름 = 아서 케일리
|원어이름 = Arthur Cayley
|그림 = Arthur Cayley.jpg
|그림 크기 = 200px
|그림 설명 = 아서 케일리([[영국]] [[런던]]에서 찍은 사진, Barraud&Jerrard 작)
|태어난 날 = {{출생일|1821|8|16}}
|태어난 곳 = [[영국]] [[서리주]] [[리치먼드 (런던)|리치먼드]]
|국적 = [[영국]]
|죽은 날 = {{사망일과 나이|1895|1|26|1821|8|16}}
|죽은 곳 = 영국 [[케임브리지]]
|분야 = [[수학]]
|소속 = [[케임브리지 대학교]]
|출신 대학 = [[케임브리지 대학교]]
|지도교수 = [[윌리엄 홉킨스]](William Hopkins)
|지도학생 = H. F. Baker<br />Andrew Forsyth<br />Charlotte Scott
|주요 업적 = [[케일리-해밀턴 정리]]<br />[[케일리 그래프]]<br />[[팔원수]]<br />[[케일리-딕슨 구성]]<br />[[케일리 변환]]
|수상 = [[코플리 메달]](1882년)<br />[[드 모르간 메달]](1884년)<br />[[로열 메달]](1859년)<br />[[코플리 메달]](1882년)
}}
'''아서 케일리'''({{llang|en|Arthur Cayley}} {{IPA-all|ˈɑː(ɹ)θə(ɹ) ˈkeɪli}} [[FRS]], [[1821년]] [[8월 16일]] ~ [[1895년]] [[1월 26일]])는 [[영국]]의 [[법률가]]이자 [[수학자]]이다. 대학 졸업 후 25세에 14년 동안 법률가로서 활동하였다.<ref>[[w:Arthur Cayley| 아서 케일리의 생애]]</ref> 그 후 40대 이후에 드디어 본격적으로 전문수학자로서 활동하기 시작했다.

[[상대성 이론]]에서 [[4차원]]의 개념을 뚜렷하게 만들고, 기하 공간이 [[점]]과 [[선]]으로만 이루어진다고 한정하는 것을 벗어나게 했다. 또 행렬의 대수를 발전시켰고, [[기하학]]에서도 많은 업적을 쌓았다. 1884년에 드 모르간 메달을 수상했다. [[윌리엄 로언 해밀턴]]의 제자로서 해밀턴과 함께 [[케일리-해밀턴 정리]]를 발견하고, 해밀턴의 [[사원수]]를 발전시켜서 [[팔원수]]를 고안하기도 했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 [[데겐의 여덟 제곱수 항등식]]을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다.<ref>[[팔원수#역사|팔원수의 역사]]</ref>

그러나 아서 케일리는 1845년에 이와는 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.<ref>...해밀턴은 사원수의 발견을 1844년에 대외적으로 발표하였고, 곧 아서 케일리가 1845년에 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다. 이 논문은 타원 함수에 대한 내용이었는데, 거의 모두가 틀린 내용이었지만 맨 끝에 부록으로 적은 팔원수에 대한 내용만은 옳았다....{{저널 인용|제목=XXVIII. On Jacobi's Elliptic functions, in reply to the Rev. Brice Bronwin; and on Quaternions. To the editors of the Philosophical Magazine and Journal|doi=10.1080/14786444508645107|이름=Arthur|성=Cayley|저자링크=아서 케일리|쪽=208–211|저널=Philosophical Magazine (Series 3)|권=26|호=172|날짜=1845|url=http://books.google.com/books?id=AL4Re4iioHkC&pg=PA208}} 재판 {{서적 인용|장=21. On Jacobi's Elliptic Functions, in reply to the Rev. B. Bronwin: and on Quaternions|쪽=127–127|제목=The Collected Mathematical Papers, Volume 1|이름=Arthur|성=Cayley|저자링크=아서 케일리|doi=10.1017/CBO9780511703676.022|isbn=9781108004930|출판사=Cambridge University Press|위치=[[케임브리지|Cambridge]]|날짜=2009}}</ref>

아서 케일리의 팔원수는 [[사원수]] 대수에 [[케일리-딕슨 구성]]을 가하여 얻어진다.<ref>[[팔원수#정의|팔원수]]</ref>

[[제임스 조지프 실베스터]]와는 친구로, 실베스터가 런던을 방문할때면, 함께 [[w:Lincoln's Inn| Lincoln's Inn, London]](런던법학원,영국법조원 비영리협회)에서 자주 거닐며, [[w:Invariant theory|불변식론]]을 논의하곤 했다.<ref>........His friend J. J. Sylvester, his senior by five years at Cambridge, was then an actuary, resident in London; they used to walk together round the courts of Lincoln's Inn, discussing the theory of invariants and covariants. During this period of his life, extending over fourteen years, Cayley produced between two and three hundred papers.....- Forsyth, Andrew Russell (1901). "Cayley, Arthur". In Sidney Lee. Dictionary of National Biography, 1901 supplement. London: Smith, Elder & Co.</ref>

[[다비트 힐베르트]]가 힐베르트의 불변식론을 전개할 때 케일리의 [[w:Cayley's Ω process |오메가 프로세스]]를 사용하였다.<ref>{{인용|first=Arthur|last=Cayley|title=On linear transformations|journal=Cambridge and Dublin mathematical journal|volume=1|year=1846|pages=104–122|url=https://books.google.com/books?id=PBcAAAAAMAAJ&dq=Cambridge%20and%20Dublin%20mathematical%20journal%201846&pg=PR3#v=onepage&q=Cambridge%20and%20Dublin%20mathematical%20journal%201846&f=false}} Reprinted in {{인용|last=Cayley|title=The collected mathematical papers|volume=1|year=1889|publisher=Cambridge University press|place=Cambridge|pages=95–112}}</ref>

== [[w:Cayley's Ω process |케일리의 오메가 프로세스]] ==
<math>n^2</math>, 변수로 <math>x_{ij}</math>를 갖는 [[미분 연산자]]를 가정하면, 오메가 연산자(operator)가 다음과 같이 주어진다.
:<math>
\Omega = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x_{11}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{1n}} \\ \vdots& \ddots & \vdots\\ \frac{\partial}{\partial x_{n1}} & \cdots &\frac{\partial}{\partial x_{nn}}  \end{vmatrix}
</math>

[[동차다항식|2변수다항식의 2차 불변식]]의 경우, <math>f</math>는 <math>x_1, y_1</math> 그리고 다른 함수 <math>g</math> 의 <math>2</math>개의 변수<math>x_2, y_2</math>에 대해 Ω(오메가)연산자는
:<math>\frac{\partial^2 fg}{\partial x_1 \partial y_2} - \frac{\partial^2 fg}{\partial x_2 \partial y_1}</math> 이고,
<!--  
:<math>x_1+y_1 = f</math>
:<math>x_2+y_2 = g</math>,
:<math>\begin{bmatrix} x_1 & y_1  \\  x_2 & y_2   \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}</math>
:<math>x = { \begin{vmatrix} f & y_1 \\  g  & y_2 \end{vmatrix}
 \over
 \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2   \end{vmatrix}}  = {{ f \cdot y_2 - g\cdot y_1 }\over {x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2  }}  </math>
:<math>y = { \begin{vmatrix}  x_1  &  f  \\  x_2 & g  \end{vmatrix}
\over
 \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2  \end{vmatrix}} = { {g \cdot x_1 - f\cdot x_2} \over {x_1 \cdot y_2 - y_1 \cdot x_2 }}</math>

-->
:<math> \begin{vmatrix} {{\partial f}\over{\partial x_1}} &{{\partial f}\over{\partial y_1}} \\
{{\partial g}\over{\partial x_2}} &{{\partial g}\over{\partial y_2}}  \end{vmatrix} =\Omega^2(f, g)</math>로 예약해보면,

:<math>2-fold</math>(중)<!-- (중복,겹,피복) --><math>\, \Omega  process</math> ,즉 <math>\Omega^2(f, g)</math>는 <math>x</math> 그리고 <math>y</math>의 변수에 의해 <math>2</math>개의 <math>f</math> 와 <math>g</math> 가
# <math>f</math>의 <math>x_1, y_1</math> 그리고 <math>g</math>의 <math>x_2, y_2</math>로 변환한다.
# <math>\Omega</math>에 <math>r</math>승을 해주면, <math>4</math>개의 변수들(<math>x_1, y_1,x_2, y_2</math>)에 의해서 <math>f\cdot g</math>가 성립한다.
# <math>x_1,x_2</math>와 <math>x</math>를, <math>y_1, y_2</math>와 <math>y</math>를 대입한다.

<math>r-fold \,\Omega  process</math> ,즉 <math>\Omega^r(f, g)</math> 또는 <math>r-th</math> [[w:transvectant|Transvectant]](<math> tr \Omega^r</math>)로 불리는 <math>(f, g)^r</math>가 되겠다.

<!--  이것이 의미하는 것은 마치 [[파일:A_plus_b_au_carre.svg|left|50px]]과 <math>(a+b)(a+b)</math> 와<math>a^2+2ab+b^2</math>, 행렬식,사원수들이 표현의 형태는 달리하지만 이들이 같은 정보를 보존한다는것은 불변의 정보를 담는 어떤공식으로 표현될수도 있다는 아이디어에 기인한다.  이것은 정보보존의법칙의 가능성의 출발점이라는 점에서 중요한 의미가 있다.
그러나   이러한  불변식  연구에 몰두한  힐베르트,실베스터,케일리의  노력에도 불구하고 좌표상에서  존재하는
불변식은  행렬식이  아니라  칸토어의  집합론에 기반한 함수에게 돌아갔다. 함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.
 -->

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[나무 (그래프 이론)#케일리의 정리|케일리의 정리(케일리의 공식)]]
* [[케일리-해밀턴 정리]]
* [[케일리 그래프]]
* [[팔원수]]
* [[케일리-딕슨 구성]]
* [[제임스 조지프 실베스터]]
* [[w:Invariant theory|불변식론]] {{언어링크|en}}
* [[w:Cayley's Ω process |케일리의 오메가 프로세스]] {{언어링크|en}}
* [[힐베르트 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학계보|id=7824|title=Arthur Cayley}}

{{글로벌세계대백과사전}}

{{전거 통제}}
{{기본정렬:케일리, 아서}}
{{마법진}}

[[분류:1821년 출생]]
[[분류:1895년 사망]]
[[분류:19세기 수학자]]
[[분류:영국의 수학자]]
[[분류:그래프 이론가]]
[[분류:대수기하학자]]
[[분류:마방진]]
[[분류:네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미 회원]]
[[분류:미국 예술과학 아카데미 석학회원]]
[[분류:왕립학회 석학회원]]
[[분류:헝가리 과학 아카데미의 회원]]
[[분류:케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 동문]]
[[분류:프로이센 과학 아카데미의 회원]]
[[분류:코플리 메달 수상자]]
[[분류:로열 메달 수상자]]
[[분류:케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 교수]]
[[분류:케임브리지 대학교 뉴넘 칼리지]]
[[분류:왕립천문학회 학회장]]