{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻 설명|[[물|자연수]](自然水)는 자연에서 나는 물을 가리키기도 합니다.}}
[[파일:Iowa 420.svg|thumb]]
수학에서 '''자연수'''(自然數, {{llang|en|natural number}})는 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수다. '''양의 정수'''(陽-整數, {{llang|en|positive integer}}) 1, 2, 3, ...로 정의되거나, '''음이 아닌 정수'''(陰-整數, {{llang|en|non-negative integer}}) 0, 1, 2, 3, ...로 정의된다. '''범자연수'''(汎自然數, {{문화어|옹근수(-數), 완수(完數)}}, {{llang|en|whole number}})라는 용어는 첫째 정의를 택할 경우에 음이 아닌 정수를 가리키는 데 사용되며, 이에 대응하는 문화어와 영어는 둘째 정의를 택할 경우에 [[정수]]를 가리키는 데 사용된다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/inform/term/term_l.jsp|제목=남북 기술용어|웹사이트=북한과학기술네트워크}}</ref> 자연수의 [[집합]]은 대문자 '''[[N]]'''을 써서 표기하며, 보통 [[칠판 볼드체]] ℕ를 사용한다.

[[약수]] 관계나 [[소수 (수론)|소수]] 분포를 비롯한 자연수의 성질들은 [[수론]]의 연구 대상이며, [[자연수의 분할|분할]]이나 [[계수적 조합론|계수]]를 비롯한 자연수의 문제들은 [[조합론]]의 연구 대상이다. 자연수는 많은 연산에 대하여 닫혀있지 않다. [[정수]]는 자연수를 [[뺄셈]]에 대하여 닫혀있도록 확장하여 얻는 수 체계이며, [[유리수]]는 자연수를 추가로 [[나눗셈]]에 대하여 닫혀있도록 확장한 수 체계이다. [[실수]]는 추가로 [[코시 수열]]의 [[수열의 극한|극한]]에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이며, [[복소수]]는 추가로 [[다항식의 근]]에 대하여 닫혀있도록 확장한 것이다.  하나하나가 유한하지만, [[무한 집합]]을 이룬다. 자연수의 집합은 "가장 작은 크기"의 무한 집합이며, 자연수와 크기가 같은 집합을 [[가산 무한 집합]]이라고 한다.

자연수가 만족시켜야 하는 일련의 [[공리]]들을 제시하여 자연수를 일종의 무정의 개념으로 간주할 수 있으며, 이러한 자연수의 공리들이 이루는 체계 가운데 가장 자주 사용되는 하나는 [[페아노 공리계]]이다. [[수리논리학]]에서 이는 자연수의 [[구조 (논리학)|이론]]에 해당된다. 자연수를 특별한 [[집합]]으로서 간주하여 다룰 수도 있는데, 이 경우 보통 자연수의 집합은 최소 재귀 집합으로 정의된다. 수리논리학에서 이는 자연수의 [[구조 (논리학)|모형]]에 해당된다.

자연수의 수를 세는 역할을 일반화하면 [[기수]]의 개념을 얻으며, 자연수의 순서를 매기는 기능을 일반화하면 [[순서수]]의 개념을 얻는다. 자연수의 집합의 [[대수학|대수적]] 성질을 일반화하면 [[반환 (수학)|반환]]의 개념을 얻는다. 특히 자연수는 많은 스포츠 점수 같은 경기나 게임에 사용될수 있으며 우리가 가장 흔히 보는 수로도 볼 수 있다.

== 정의 ==
=== 공리적 정의 (페아노 공리계) ===
{{본문|페아노 공리계}}
가장 통용되는 자연수 이론인 [[페아노 공리계]]는 상수 <math>0\in\mathbb N</math> 및 함수 <math>s\colon\mathbb N\to\mathbb N</math>에 대한 다음과 같은 공리들로 이루어진 [[2차 논리]] 이론 <math>\mathbb N</math>이다.
* 임의의 <math>x\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>s(x)\ne 0</math>
* (<math>s</math>는 [[단사 함수]]) 임의의 <math>x,y\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>s(x)=s(y)</math>이면 <math>x=y</math>
* ([[수학적 귀납법]]) 임의의 <math>I\subseteq\mathbb N</math>에 대하여, <math>0\in I</math>이며 <math>s(I)\subseteq I</math>이면, <math>I=\mathbb N</math>
이 공리들 가운데 2차 논리 공식은 셋째 공리뿐이다. 이 셋째 공리를 [[1차 논리]] 공리꼴로 대신하면, [[페아노 산술]]을 얻으며, 이는 보다 더 약한 공리계이다.

=== {{앵커|집합론적 정의}}집합론적 정의 (폰 노이만) ===
자연수 이론의 한 가지 모형 <math>(\mathbb N,0,s)</math>을 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
:<math>0=\varnothing</math>
:<math>s(x)=x\cup\{x\}</math>
:<math>\mathbb N=\bigcap_{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I</math>
이 경우, 각 자연수는 그보다 작은 자연수들의 집합이다. 예를 들어, 처음 몇 자연수는 다음과 같다.
:<math>0=\varnothing</math>
:<math>1=\{0\}=\{\varnothing\}</math>
:<math>2=\{0,1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}</math>
:<math>3=\{0,1,2\}=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}</math>

=== 집합론적 정의 (프레게와 러셀) ===
[[고유 모임]]이 허용되는 집합론의 경우, 자연수를 [[유한 집합]]의 [[대등]] 관계에 대한 [[동치류]]로서 정의할 수 있다. 즉, 각 자연수는 그 자연수를 원소 개수로 하는 집합들의 모임이다. 즉, 이는 다음과 같다.
:<math>0=\{\varnothing\}</math>
:<math>s(x)=\{y\cup\{z\}\colon y\in x,\;z\not\in y\}</math>
:<math>\mathbb N=\bigcap_{I\colon 0\in I\supseteq s(I)}I</math>
그러나, 이러한 구성은 고유 모임을 사용하므로, [[분류 공리꼴]]을 만족시키는 집합론에서 사용할 수 없다.

== 성질 ==
자연수의 집합은 [[가환]] [[순서 반환]]을 이룬다.

=== 수학적 귀납법 ===
{{본문|수학적 귀납법}}
자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>의 정의에 따라, [[수학적 귀납법]]이 성립한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 명제를 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.
* 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n</math>은 성질 <math>S</math>를 만족시킨다.
여기서 <math>S</math>는 주어진 성질이며, 자연수 [[부분 집합]] <math>S\subseteq\mathbb N</math>으로 간주할 수 있다. 이 명제를 증명하려면 다음 두 가지를 증명하기만 하면 된다.
* <math>0\in S</math>. 즉, 0은 이 성질을 만족시킨다.
* 만약 <math>n\in S</math>라면, <math>n+1\in S</math>. 즉, 어떤 자연수가 이 성질을 만족시키면, 뒤따르는 자연수도 이를 만족시킨다.
자연수의 집합 위의 [[초한 귀납법]]에 따르면, 다음 한 가지를 증명하는 것으로 대신할 수도 있다.
* 만약 <math>0,1,2,\dotsc,n-1\in S</math>라면, <math>n\in S</math>. 즉, 어떤 자연수보다 작은 자연수가 모두 이 성질을 만족시키면, 그 자연수 역시 이를 만족시킨다.
특히, <math>n=0</math>인 경우 이 조건이 뜻하는 바는 단순히 <math>0\in S</math>인데, 이는 이 조건의 전제가 항상 참이기 때문이다.

자연수의 집합 위의 [[초한 재귀 정리]]에 따르면, [[수열]]을 [[점화식]]을 통해 정의할 수 있다. 즉, 집합 <math>X</math>에서 값을 취하는 수열 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X</math>은, 그 일반항을 통하지 않고서도, 다음과 같은 점화식을 줌으로써 정의할 수 있다.
:<math>x_n=f(x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_{n-1})</math>
여기서 <math>\textstyle f\colon\bigcup_{n=0}^\infty X^n\to X</math>는 <math>X</math>에서 값을 취하는 각 유한 수열에 <math>X</math>의 원소를 대응시키는 함수이다. 특히, 이 점화식에서 <math>n=0</math>인 경우, 이 점화식이 뜻하는 바는 공(空)수열 <math>()</math>의 함숫값 <math>f()</math>을 첫항 <math>x_0</math>으로 정의하는 식 <math>x_0=f()</math>이다.

=== 무한 강하법 ===
{{본문|무한 강하법}}
자연수의 집합은 [[정렬 집합]]이다. 즉, [[공집합]]이 아닌 자연수 [[부분 집합]] <math>\varnothing\ne S\subseteq\mathbb N</math>은 항상 [[최소 원소]] <math>\min S\in S</math>를 갖는다.
{{증명}}
[[귀류법]]을 사용하여, <math>S</math>가 최소 원소를 갖지 않는다고 가정하자. 이제 <math>\mathbb N\setminus S=\mathbb N</math>임을 강한 수학적 귀납법을 통해 증명하자. 만약 <math>0,1,2,\dotsc,n-1\in\mathbb N\setminus S</math>라면, <math>n\in\mathbb N\setminus S</math>이다. 그렇지 않다면 <math>n=\min S</math>이므로 모순이기 때문이다. 따라서, <math>S=\varnothing</math>이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
자연수의 집합 위에서 [[무한 강하법]]이 성립한다. 즉, 자연수의 [[감소 무한 수열]] <math>n_0>n_1>n_2>\cdots</math>는 존재하지 않는다. 이는 위에서 증명한 자연수의 정렬성을 통해 엄밀하게 증명할 수 있다. 즉, 만약 자연수의 감소 무한 수열이 존재한다면, 그 수열의 항들의 집합은 자연수의 부분 집합인데, 이는 공집합이 아니면서 최소 원소를 갖지도 않으므로 모순이다. 무한 강하법을 사용하여 다음과 같은 꼴의 명제를 증명할 수 있다.
* 성질 <math>S\subseteq\mathbb N</math>을 만족시키는 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>은 존재하지 않는다.
이를 증명하려면 다음 한 가지를 증명하기만 하면 된다.
* 만약 <math>n\in S</math>라면, <math>n'\in S</math>인 자연수 <math>n'\in\{0,1,2,\dotsc,n-1\}</math>가 존재한다.

=== 집합론적 성질 ===
자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>은 [[무한 집합]]이다. 자연수의 [[집합의 크기]]를 [[알레프 0]] <math>\aleph_0=|\mathbb N|</math>으로 정의하며, 이는 최소 [[무한 기수]]이다. 즉, 임의의 무한 집합 <math>S</math>에 대하여, <math>|S'|=\aleph_0</math>인 부분 집합 <math>S'\subseteq S</math>가 존재한다. 자연수의 집합과 크기가 같은 집합(=[[전단사 함수]] <math>\mathbb N\to S</math>가 존재하는 집합 <math>S</math>)을 [[가산 무한 집합]]이라고 한다. 예를 들어, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 가산 무한 집합이며, [[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>는 비(非)가산 무한 집합이다.

=== 수론적 성질 ===
자연수에 대한 곱셈식 <math>ab=c</math>이 성립할 때, <math>a,b</math>가 <math>c</math>의 [[약수]]라고 하며, 반대로 <math>c</math>를 <math>a,b</math>의 [[배수]]라고 한다. 0은 모든 자연수를 약수로 가지며, 0의 배수는 0뿐이다. 그러나, 양의 정수의 경우만을 생각하기도 한다. 항등식 <math>1a=a</math>에 따라, 자연수는 항상 1과 자기 자신을 약수로 가지는데, 약수가 이들뿐인 자연수를 [[소수 (수론)|소수]]라고 하며, 그렇지 않은 자연수를 [[합성수]]라고 한다. 다만, 0과 1은 소수도 합성수도 아니라고 정의한다. [[산술의 기본 정리]]에 따르면, 모든 합성수는 유한 개의 소수들의 곱으로 표현 가능하며, 이러한 표현은 소수들을 곱하는 순서를 무시하면 유일하다.

== 같이 보기 ==
* [[정수]]
* [[소수 (수론)|소수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{포털|수학}}
* {{네이버캐스트|contents-id=1956|제목=자연수 VS 유리수}}
* {{네이버캐스트|contents-id=2083|제목=자연수 VS 실수}}
* {{eom|title=Natural number}}
* {{매스월드|id=NaturalNumber|title=Natural number}}
* {{nlab|id=natural number|title=Natural number}}
* {{nlab|id=natural numbers type|title=Natural numbers type}}
* {{nlab|id=natural numbers in SEAR|title=Natural numbers in SEAR}}
* {{nlab|id=extended natural number|title=Extended natural number}}
* {{groupprops|제목=Natural number}}
* {{플래닛매스|urlname=naturalnumber|title=Natural number}}

{{수 체계}}

{{전거 통제}}

[[분류:기수]]
[[분류:순서수]]
[[분류:정수]]
[[분류:수론]]
[[분류:수 체계]]