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[[추상대수학]]의 한 분야인 '''가환대수학'''(可換代數學, {{llang|en|commutative algebra}})은 [[가환환]]과 그 [[아이디얼]] 및 가환환상의 [[가군]]을 연구한다. [[대수기하학]]과 [[대수적 수론]]은 둘 다 가환대수학을 기초로 한다. 가환환의 주요한 예로는 [[다항식환]], [[대수적 정수]]의 환(여기에는 [[정수]]의 환 '''Z'''가 포함된다) 및 [[p진 정수]]의 환이 있다. 또한, 가환대수학은 [[스킴 (수학)|스킴]]의 국소적 연구에 있어 주요한 도구가 된다.

가환대수학에 반대되는 개념은 가환하지 못할 수 있는 환들을 연구하는 분야인 [[비가환대수학]]이다. 여기에는 [[환론]], [[표현론 (수학)|표현론]] 및 [[바나흐 대수|바나흐 대수론]]이 포함된다.

== 전개 ==
가환대수학에서는 [[대수적 수론]]과 [[대수기하학]]에서 등장하는 환들을 공통적으로 다룬다. 대수적 수론에서 등장하는 환들은 [[대수적 수체]]의 [[대수적 정수환]]이며, (유리) [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> · [[가우스 정수]] 환 <math>\mathbb Z[\sqrt{-1}]</math> · [[아이젠슈타인 정수]] 환 <math>\mathbb Z[\omega]</math> 등이 있다. 대수기하학에서 등장하는 환들은 [[대수다양체]] 위의 정칙함수들의 환이며, 이들은 <math>K[x_1,\dots,x_n]/I</math>의 꼴이다 (<math>K</math>는 [[체 (수학)|체]], <math>I</math>는 [[아이디얼]]).

이 두 종류의 환의 경우, '''[[소 아이디얼]]'''이라는 개념이 공통적으로 존재한다. 수론적 관점에서, 소 아이디얼은 [[소수 (수론)|소수]]를 일반화한 개념이며, 기하학적 관점에서 소 아이디얼은 (기약) 부분 대수다양체를 일반화한 개념이다.

소 아이디얼을 기하학적으로 부분다양체로 해석할 경우, 이 부분다양체 근처에서의 정보만을 추출하는 연산을 생각할 수 있다. 이 연산을 소 아이디얼에서의 '''[[국소화 (환론)|국소화]]'''라고 하며, [[분수체]]의 정의를 일반화한 연산이다. 예를 들어, [[아핀 공간]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>을 원점 ([[극대 아이디얼]] <math>(x_1,\dots,x_n)</math>)에서 국소화하면 원점 근처에서의 [[유리 함수체]]
:<math>\{p/q\colon p,q\in K[x_1,\dots,x_n],\;q(0)\ne0\}</math>
을 얻는다. 국소화하여 얻은 환을 다루기 위해서는, 보통 "형식적" 원소를 추가하는 것이 편하다. 이는 '''[[완비화 (환론)|완비화]]'''라는 연산에 해당한다. 예를 들어, 원점에서의 [[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>을 완비화하면 [[형식적 거듭제곱 급수]] 환
:<math>K[[x_1,\dots,x_n]]</math>
을 얻는다. 국소화와 완비화는 수론에서도 [[하세 원리]]({{llang|en|Hasse principle}})른 통해 널리 쓰인다. 예를 들어, 정수환 <math>\mathbb Z</math>를 소수 <math>p</math>로 생성되는 [[주 아이디얼]]에서 국소화한 뒤 완비화하면, [[p진 정수]] <math>\mathbb Z_p</math>를 얻는다.

가환대수학에서 쓰이는 또다른 주요 원리로는 [[가환환]] 위의 [[가군]]에 대해 중점을 두는 것이다. 고전적 환론에서 [[환 (수학)|환]]에서만 정의되었던 많은 개념들은 환 위의 [[가군]]에 대하여 일반화할 수 있다. 모든 환은 스스로에 대한 [[가군]]으로 볼 수 있으며, 보통 어떤 성질 <math>X</math>를 만족시키는 환은 스스로에 대한 가군으로서 <math>X</math>를 만족시키는 환으로 여길 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[그뢰브너 기저]]
* [[호몰로지 대수학]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=永田雅宜|기타=박종근 역|제목=가환환론|날짜=1990|출판사=학문사|isbn=2007099001138|언어=ko}}
** {{서적 인용|저자=永田雅宜|제목=可換環論|출판사=紀伊國屋書店|날짜=1974|언어=ja}}
* {{서적 인용|이름=Michael|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|공저자=Ian G. MacDonald|제목=Introduction to commutative algebra|출판사=Addison-Wesley|날짜=1969|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=David|성=Eisenbud|저자링크=데이비드 아이젠버드|제목=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=150|출판사=Springer-Verlag|날짜= 1995|isbn=978-0-387-94269-8|mr=1322960|doi=10.1007/978-1-4612-5350-1|issn=0072-5285 |언어=en}}
* {{서적 인용 | 성=Eisenbud | 이름=David | 저자링크=데이비드 아이젠버드 | title=The geometry of syzygies. A second course in commutative algebra and algebraic geometry | publisher=Springer-Verlag | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=229 | 날짜=2005 | isbn=978-0-387-22215-8 | doi=10.1007/b137572 | url=http://www.msri.org/people/staff/de/ready.pdf | issn=0072-5285 | 언어=en | 확인날짜=2016-04-23 | 보존url=https://web.archive.org/web/20160418002843/http://www.msri.org/people/staff/de/ready.pdf | 보존날짜=2016-04-18 | url-status=dead }}
* {{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Miles|성=Reid|제목=Undergraduate Commutative Algebra|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=29|출판사=Cambridge University Press|날짜=1996-04|url=http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf|mr=1458066|isbn=978-0-521-45889-4|doi=10.1017/CBO9781139172721|언어=en|확인날짜=2015년 4월 2일|보존url=https://web.archive.org/web/20160414151327/http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf|보존날짜=2016년 4월 14일|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.commalg.org|제목=commalg.org: the commutative algebra community|이름=Graham|성=Leuschke|공저자=Moira McDermott, Sean Sather-Wagstaff|언어=en}}

{{수학 분야}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학| ]]