{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:L'Hospital's-rule001.svg|섬네일|300픽셀|{{math|1=''h''(''x'') = ''f''(''x'') /''g''(''x'')}}는 {{math|1=''x'' = 0}}에서 정의되지 않지만, {{math|1=''h''(0) =''f′''(0)/''g′''(0)}}와 같이 재정의하면 연속이 된다.]]
{{미적분학}}

[[실해석학]]에서 '''로피탈의 정리'''({{llang|en|l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule}}) 또는 '''로피탈의 법칙''' 또는 '''[[요한 베르누이|베르누이]]의 규칙'''({{llang|en|Bernoulli's rule}})<ref>{{서적 인용|제목 = 수학사|저자 = Howard Eves|번역자1 = 이우영|번역자2 = 신향균|출판사 = 경문사|초판연도 = 1995|쪽 = 392|인용문 = …… 로피탈 후작이 요한의 면밀한 재정적 동의 아래 1696년 최초의 미적분학 교재를 만든 것은 바로 그의 자료였다. 잘 알려진 0/0꼴의 부정형의 계산법이 후에 미적분학 책에서 로피탈의 정리로 잘못 알려지게 된 것은 바로 이러한 과정에서였다.|장 = 베르누이 일가|장url = http://library.thinkquest.org/22584/tmh3007.htm|access-date = 2008-07-17|archive-date = 2007-08-10|archive-url = https://web.archive.org/web/20070810071838/http://library.thinkquest.org/22584/tmh3007.htm}}</ref>은 [[도함수]]를 통해 [[부정형]]의 [[함수의 극한|극한]]을 구하는 정리이다.

== 정의 ==
[[확장된 실수]] <math>a,L\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}</math> 및 [[함수]] <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. (여기서 <math>I</math>는 열린구간이며, <math>a\ne\pm\infty</math>인 경우 <math>a</math>를 포함하고, <math>a=\pm\infty</math>인 경우 <math>a</math>를 끝점으로 한다.) 또한, 이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>f,g</math>는 (빠진) [[근방]] <math>I\setminus\{a\}</math>에서 [[미분 가능 함수]]이다.
* 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.
** <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0</math>
** <math>\lim_{x\to a}|f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=\infty</math>
* <math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math>
그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

== 증명 ==
=== ''x'' → ''a'' ≠ ±∞ (0/0) ===
우선 <math>a\ne\pm\infty</math>이며 <math>\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0</math>인 경우를 증명하자. <math>f(a)=g(a)=0</math>라고 재정의하자. 그렇다면, <math>f,g</math>는 <math>I</math>에서 연속 함수이면서, (빠진) 근방 <math>I\setminus\{a\}</math>에서 미분 가능 함수이다. [[코시 평균값 정리]]에 따라, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{\xi_x\to a}\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}=L</math>

=== ''x'' → ''a'' ≠ ±∞ (∞/∞) ===
이제 <math>a\ne\pm\infty</math>이며 <math>\lim_{x\to a}|f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=\infty</math>이며 <math>L\ne\pm\infty</math>인 경우를 증명하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>(a,b)\subseteq I</math>가 존재한다.  
:<math>L-\epsilon<\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}<L+\epsilon\qquad(\xi\in(a,b))</math>
코시 평균값 정리에 따라, 임의의 <math>x\in(a,b)</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>\xi_x\in(x,b)</math>가 존재한다.
:<math>\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}=\frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(b)}{g(x)}}{1-\frac{g(b)}{g(x)}}</math>
즉,
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}\left(1-\frac{g(b)}{g(x)}\right)+\frac{f(b)}{g(x)}</math>
이 경우, <math>\lim_{x\to\ a}|g(x)|=\infty</math>이므로, 다음을 만족시키는 <math>(a,b')\subseteq(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}<(L+\epsilon)\left(1-\frac{g(b)}{g(x)}\right)+\frac{f(b)}{g(x)}<L+2\epsilon\qquad(x\in(a,b'))</math>
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}>(L-\epsilon)\left(1-\frac{g(b)}{g(x)}\right)+\frac{f(b)}{g(x)}>L-2\epsilon\qquad(x\in(a,b'))</math>
이에 따라, <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>이며, 비슷하게 <math>\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> 역시 증명할 수 있다.

마찬가지로, <math>a\ne\pm\infty</math>이며 <math>\lim_{x\to a}|f(x)|=\lim_{x\to a}|g(x)|=\infty</math>이며 <math>L=\pm\infty</math>인 경우를 증명할 수 있다.

=== ''x'' → ±∞ ===
마지막으로, <math>a=\infty</math>인 경우는 다음과 같이 증명할 수 있다.
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(\frac 1t)}{g(\frac 1t)}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f'(\frac 1t)\cdot(-\frac 1{t^2})}{g'(\frac 1t)\cdot(-\frac 1{t^2})}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math>
마찬가지로, <math>a=-\infty</math>인 경우를 증명할 수 있다.

== 예 ==
* <math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}1=\cos 0=1</math>
* <math>\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}x=\lim_{x\to 0}\frac{a^x\ln a}1=\ln a</math>
* <math>\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac 16</math>
* <math>\lim_{x\to\infty}x\left(\frac\pi 2-\arctan x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac\pi 2-\arctan x}{\frac 1x}
=\lim_{x\to\infty}\frac{-\frac 1{1+x^2}}{-\frac 1{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=1</math>
* <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}x=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac 1x}1=0</math>
* <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac 2{e^x}=0</math>
* <math>\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac 1x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0</math>
* <math>\lim_{x\to 0^+}x^x=\lim_{x\to 0^+}e^{x\ln x}=e^0=1</math>
* <math>\lim_{x\to 0}\left(\frac 1{\sin x}-\frac 1x\right)=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}2=0</math>
* <math>\lim_{x\to\infty}x^{\frac 1x}=\lim_{x\to\infty}e^{\frac{\ln x}x}=e^0=1</math>
* <math>\lim_{x\to 0^+}(\cot x)^{\frac 1{\ln x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\ln\cot x}{\ln x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{\frac{-\tan x-\cot x}{1/x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{-\frac x{\sin x\cos x}}=e^{-1}</math>
== 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우 ==
로피탈의 정리를 적용하기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다:

# 부정형이 <math> \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 </math> 혹은 <math> \pm \infty </math> 이어야 한다.
# 함수 미분 가능성: <math> f(x) </math>와 <math> g(x) </math>는 극한과 동일한 지점 <math> c </math>를 제외하고는 열린 [[구간]] <math> \mathcal{I} </math>에서 [[미분 가능 함수|미분 가능]]하다  
# 열린 구간 <math> \mathcal{I} </math> 내에 존재하는 <math> x </math>에 대해 <math> g'(x) \ne 0 </math>이다. (단 <math> x \ne c </math>) 
# 도함수 비의 극한 <math> \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} </math>가 존재한다.

만약 이 조건 중 하나라도 성립하지 않는다면 유효하지 않아 로피탈의 정리를 적용할 수 없다.

=== 도함수의 비의 극한이 존재하지 않을 때 ===
다음과 같은 전제 조건은 로피탈의 정리에서 제거할 수 없다.
:<math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L\in\mathbb R\cup\{-\infty,\infty\}</math>
즉, 이러한 도함수의 비의 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않을 경우, 로피탈의 정리는 당연히 효력을 잃는다. 그러나 이 경우에도, 원래 함수의 비의 극한은 확장된 실수로서 존재할 수 있다. 예를 들어,
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(x+\sin x)'}{x'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}1\in\varnothing</math>
이지만, (여기서 <math>\in\varnothing</math>은 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않는다는 뜻이다.)
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}x=1</math>
이다. 또한, 도함수의 비의 극한이 존재하는지와 상관 없이, 만약 남은 전제 조건들을 모두 만족시킨다면, 다음이 성립한다.
:<math>\liminf_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\le\liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\le\limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\le\limsup_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>

=== 분모의 도함수가 끊임없이 0이 될 때 ===
만약 <math>g'(x)=0</math>인 <math>x</math>가 <math>x\to\infty</math> 도중에 끊임없이 나타난다면, (정확히 말해, <math>0=g'(x_0)=g'(x_1)=\cdots</math>인 수열 <math>x_n\to\infty</math>가 존재한다면,) <math>f'/g'</math>는 <math>(b,\infty)</math> 꼴의 구간에 정의될 수 없으므로, <math>\infty</math>에서 확장된 실수로서의 극한을 가질 수 없으며, 따라서 이는 로피탈의 정리의 적용 대상이 아니다. 그러나 <math>g'</math>의 영점이 아닌 범위에서의 극한만을 생각하여 로피탈의 정리를 확장시킬 수 있는가를 생각할 수 있다. 답은 그럴 수 없다는 것이다. 이러한 경우에 대한 한 가지 반례는 다음과 같다.
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{(x+\sin x\cos x)'}{(e^{\sin x}(x+\sin x\cos x))'}
=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos^2x}{\cos xe^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cos x}{e^{\sin x}(2\cos x+x+\sin x\cos x)}=0</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x\cos x}{e^{\sin x}(x+\sin x\cos x)}=\lim_{x\to\infty}e^{-\sin x}\in\varnothing</math>

== 관련 정리 ==
=== 복소함수의 경우 ===
복소변수 함수의 경우 일반적인 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어 <math>0<x<1</math>에서 정의된 함수 <math>f(x) = x, g(x) = x + x^2 e^{i/x^2}</math>의 경우, 모든 실수 t에 대해 <math>|e^{it}| = 1</math> 이므로
:<math>\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1</math>
가 되지만,
:<math>g'(x) = 1 + \left(2x - \frac{2i}{x}\right) e^{i/x^2}</math>
이므로
:<math>|g'(x)| \ge \left|2x - \frac{2i}{x}\right| - 1 \ge \frac{2}{x} - 1</math> ([[삼각 부등식]])
이므로
:<math>\left|\frac{f'(x)}{g'(x)}\right| = \left|\frac{1}{g'(x)}\right| \le \frac{x}{2-x}</math>
가 되어 ''x''를 0으로 보내는 값은 0이 된다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|저자링크=월터 루딘
|제목=Principles of mathematical analysis
|언어=en
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1976
|isbn=978-0-07-054235-8
|mr=0385023
|zbl=0346.26002
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|확인날짜=2014-10-06
|url-status=dead
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006165957/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542358.html
|보존날짜=2014-10-06
}}</ref>{{rp|112-113}}

복소변수 함수의 경우 로피탈의 정리가 적용 가능하기 위해서는 f'와 g'의 값이 존재해야 한다는 강한 조건을 만족해야 한다. 즉, 복소변수 함수에서 성립하는 로피탈의 정리는 다음과 같다.<ref>고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 253쪽.</ref>
* 복소함수 f와 g가 a에서 [[해석적]]이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.
* <math>\lim_{z \to a} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}.</math>

=== 슈톨츠-체사로 정리 ===
{{본문|슈톨츠-체사로 정리}}
일반적인 함수의 극한 계산에 이용되는 로피탈의 정리와 달리, [[수열]]의 극한 계산에만 사용되는 로피탈의 정리의 유사 형태로 슈톨츠-체사로 정리가 있다.

== 역사 ==
정리의 이름은 [[17세기]]에 활동하였던 [[프랑스]]의 [[수학자]]이자 [[후작]]인 [[기욤 드 로피탈]]의 이름에서 유래되었다. 그는 저서 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(''l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes'')에서 이 정리를 소개하였다.

== 같이 보기 ==
* [[요한 베르누이]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=L'Hospital rule}}
* {{매스월드|id=LHospitalsRule|title=L'Hospital's rule}}
* {{플래닛매스|urlname=lhopitalsrule|title=L’Hôpital’s rule}}
* {{플래닛매스|urlname=proofofdelhopitalsrule|title=Proof of De l’Hôpital’s rule}}
* {{proofwiki|id=L'Hôpital's Rule|제목=L'Hôpital's rule}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:극한]]
[[분류:실해석학 정리]]