{{위키데이터 속성 추적}}
{{초대칭}}
'''초다양체'''(超多樣體, {{llang|en|supermanifold}})는 [[초대칭]]을 고려하여 [[다양체]]의 개념을 일반화시킨 것이다. [[비가환 다양체]]의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, [[미분기하학]] 등을 할 수 있다.

== 정의 ==
=== 초공간 ===
{{본문|초공간}}
음이 아닌 정수 <math>p,q</math>를 생각하자. (<math>p</math>는 [[보손]]적 차원의 수, <math>q</math>는 [[페르미온]]적 차원의 수다.) <math>p|q</math>차원의 '''초공간'''은 다음과 같은 데이터로 주어진 [[환 달린 공간]]이다.
* 두 [[실수 벡터 공간]] <math>X</math>, <math>V</math> (<math>\dim X=p</math>, <math>\dim V=q</math>)
* 자명한 [[벡터 다발]] <math>\textstyle E = X\times\bigwedge(V^*)\twoheadrightarrow X</math>
* <math>E</math>의 [[매끄러운 단면]]으로 구성되는, <math>\mathbb Z/2</math> 등급 실수 [[결합 대수]]의 층 <math>\textstyle\Gamma^\infty(X,E)=\mathcal C^\infty(X)\otimes\bigwedge(V^*)</math>
이 층의 단면
:<math>f\in \mathcal C^\infty\left(X, \bigwedge V^*\right)</math>
은 다음과 같이 “[[테일러 급수]]” 전개를 갖는다.
:<math>f = \sum_{I,J}\frac1{I!}f_{I,J}x^I \xi^J + o(1)</math>
:<math>I \in \mathbb N^{\dim V}</math>
:<math>J \in \{0,1\}^{\dim V}</math>
이에 따라, 이는 “가환 좌표” <math>(x^1,\dotsc,x^p)</math>와 “반가환 좌표” <math>(\xi^1,\dotsc,\xi^q)</math>에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다. 

이 [[환 달린 공간]]을 <math>\mathbb R^{p|q}</math>로 표기하자.

=== 초다양체 ===
음이 아닌 정수 <math>p,q</math>를 생각하자. (<math>p</math>는 [[보손]]적 차원의 수, <math>q</math>는 [[페르미온]]적 차원의 수다.) <math>p|q</math>차원의 '''초다양체'''는 [[다양체]]이자, 국소적으로 <math>\mathbb R^{p|q}</math>와 [[동형]]인 [[환 달린 공간]]이다.

이는 일반적 [[매끄러운 다양체]]의 정의 (국소적으로 <math>\mathcal C^\infty(\mathbb R^p)</math>와 동형인 [[환 달린 공간]])과 유사하다.

=== 초다양체 위의 미분 형식 ===
데카르트 좌표계 <math>(x^1,\dotsc,x^p,\theta^1,\dotsc,\theta^q)</math>를 갖는 초공간 <math>\mathbb R^{p|q}</math> 위의 '''미분 형식'''들의 층은 다음과 같은, <math>\mathbb Z/2</math> 등급 [[미분 등급 대수]]의 [[층 (수학)|층]]이다.
:<math>\Omega(\mathbb R^{p|q}) = \mathcal C^\infty(\mathbb R^p) \otimes_{\mathbb R} \bigwedge \operatorname{Span}_{\mathbb R}
\left\{
\mathrm dx^1,\dotsc,\mathrm dx^p,\,\theta^1,\dotsc,\theta^q,
\mathrm d\theta^1,\dotsc,\mathrm d\theta^q
\right\}</math>
:<math>\deg x^i = \deg \mathrm d\theta = 0</math>
:<math>\deg \mathrm dx^i = \deg \theta^i = 1</math>

임의의 <math>p|q</math>차원 초다양체 <math>M</math>의 미분 형식들의 [[층 (수학)|층]]은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.

== 분류 ==
<math>M</math>이 [[매끄러운 다양체]]라고 하고, <math>E</math>가 <math>M</math> 위의 [[벡터 다발]]이라고 하자. 그렇다면 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge^\bullet(E^*)</math>의 [[매끄러운 단면]]들의 [[층 (수학)|층]]을 갖춘 <math>M</math>은 초다양체를 이룬다. 이를 <math>\Pi E</math>라고 쓴다. <math>\Pi</math>는 [[매끄러운 벡터 다발]]의 [[범주 (수학)|범주]]에서 초다양체의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]이다.
:<math>\Pi \colon \operatorname{VectBdl} \to \operatorname{sMfd}</math>
특히, <math>E=\mathrm TM</math>([[접다발]])인 경우 <math>\Pi\mathrm TM</math>은 [[미분 형식]]들의 [[층 (수학)|층]] <math>\Omega(M)</math>이다.

'''배첼러 정리'''(Batchelor定理, {{llang|en|Batchelor's theorem}})에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 <math>\Pi E</math>의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, [[함자 (수학)|함자]] <math>\Pi</math>는 (초다양체의 범주에 [[동치류]]를 취하더라도) [[범주의 동치]]를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>, <math>F\twoheadrightarrow N</math>이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상
:<math>\phi\colon E\to F</math>
은 초다양체의 사상
:<math>\Pi\phi \colon \Pi(E) \to \Pi(F)</math>
을 유도하는데, 층 단면의 밂
:<math>(\Pi\phi)_*\colon \Gamma(\mathcal O_{\Pi(E)}) \to \Gamma(\mathcal O_{\Pi(F)})</math>
는 ([[외대수]]에서 유도되는) <math>\mathbb N</math> 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 <math>\mathbb Z/2</math> 차수만을 보존한다.

=== 초다양체 사상의 분류 ===
임의의 두 초다양체 <math>M</math>, <math>N</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\hom_{\operatorname{sMfd}}(M,N) \cong \hom_{\operatorname{sAlg}_{\mathbb R}} (\Gamma(\mathcal O_N), \Gamma(\mathcal O_M))</math>
여기서
* <math>\operatorname{sAlg}_{\mathbb R}</math>는 실수 위의, <math>\mathbb Z/2</math> 등급을 갖는 [[실수]] [[등급 대수]]의 [[범주 (수학)|범주]]이다.
즉, 이는 함자
:<math>\operatorname{sMfd} \to \operatorname{sAlg}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}</math>
를 정의한다. 또한, 이는 [[충실충만한 함자]]이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Supermanifolds: theory and applications|이름=Alice|성=Rogers|doi=10.1142/1878|isbn=978-981-02-1228-5|연도=2007|월=4|출판사=World Scientific|위치=Singapore|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Introduction to supergeometry|이름=Alberto S.|성=Cattaneo|공저자=Florian Schätz|arxiv=1011.3401|연도=2011|월=7|doi=10.1142/S0129055X11004400|저널=Reviews in mathematical physics|권=23|호=6|쪽=669|issn=0129-055X|언어=en|bibcode=2011RvMaP..23..669C}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on supergeometry|이름=G.|성=Sardanashvily|arxiv=0910.0092|연도=2009|언어=en|bibcode=2009arXiv0910.0092S}}
* {{저널 인용|제목=Notes on supermanifolds and integration|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|arxiv=1209.2199|연도=2012|언어=en|bibcode=2012arXiv1209.2199W}}
* {{저널 인용|제목=Notes on super Riemann surfaces and their moduli|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|arxiv=1209.2459|연도=2012|언어=en|bibcode=2012arXiv1209.2459W}}
* {{저널 인용|저널=Bulletin of the Manifold Atlas|제목=Super manifolds: An incomplete survey|성=Hohnhold|이름=Henning|공저자=Stefan Stolz, Peter Teichner|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Super_manifolds:_an_incomplete_survey|연도=2011|권=2011|쪽=1–6|언어=en|확인날짜=2013-01-07|보존url=https://web.archive.org/web/20120910152428/http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Super_manifolds:_an_incomplete_survey|보존날짜=2012-09-10|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=Super Lie groups: structure and representations|출판사=[[제노바 대학교|Università degli Studi di Genova]]|이름=Claudio|성=Carmeli|날짜=2006|언어=en|기타=박사 학위 논문|url=http://www.ge.infn.it/~carmeli/publication/Carmeli_thesis.pdf|확인날짜=2013-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20110806021842/http://www.ge.infn.it/~carmeli/publication/Carmeli_thesis.pdf#|보존날짜=2011-08-06|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=supermanifold|title=Supermanifold}}
* {{nlab|id=supergeometry|title=Supergeometry}}
* {{nlab|id=signs in supergeometry|title=Signs in supergeometry}}
* {{nlab|id=differential form on a supermanifold|title=Differential form on a supermanifold}}
* {{nlab|id=integration over supermanifolds|title=Integration over supermanifolds}}
* {{nlab|id=superpoint|title=Superpoint}}
* {{nlab|id=super spacetime|title=Super spacetime}}
* {{nlab|id=super Cartesian space|title=Super Cartesian space}}
* {{nlab|id=super Minkowski spacetime|title=Super Minkowski spacetime}}
* {{nlab|id=complex supermanifold|title=Complex supermanifold}}

== 같이 보기 ==
* [[초공간]]
* [[초대칭]]
* [[매끄러운 다양체]]
* [[비가환 공간]]

[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:초대칭]]