{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''왼쪽 역사상'''(-逆寫像, {{llang|en|left inverse morphism}})과 '''오른쪽 역사상'''(-逆寫像, {{llang|en|right inverse morphism}})은 각각 왼쪽 또는 오른쪽에서 합성하였을 때 [[항등 함수|항등 사상]]이 되는 [[사상 (수학)|사상]]이다. 왼쪽 역사상 및 오른쪽 역사상을 갖는 [[사상 (수학)|사상]]을 각각 '''분할 단사 사상'''(分割單射寫像, {{llang|en|split monomorphism}})과 '''분할 전사 사상'''(分割全射寫像, {{llang|en|split epimorphism}})이라고 한다.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 두 사상
:<math>f\colon X\to Y</math>
:<math>g\colon Y\to X</math>
이 주어졌다고 하자. 만약 <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>가 성립할 경우, 이를 다음과 같이 표현한다.
* <math>g</math>는 <math>f</math>의 '''왼쪽 역사상'''(-逆寫像, {{llang|en|left inverse morphism}}) 또는 '''수축'''(收縮, {{llang|en|retraction}})이다.
* <math>f</math>는 <math>g</math>의 '''오른쪽 역사상'''(-逆寫像, {{llang|en|right inverse morphism}}) 또는 '''단면'''(斷面, {{llang|en|section}})이다.
* 만약 추가로 <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>가 성립한다면 (즉, <math>g</math>가 <math>f</math>의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), <math>g</math>를 <math>f</math>의 '''양쪽 역사상'''(兩-逆寫像,{{llang|en|two-sided inverse morphism}})이라고 한다.
여기서 "수축"/"단면"이라는 이름은 [[위상수학]]에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주에서 [[올다발]]의 [[단면 (올다발)|단면]]을 일반화한 것이다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상을 '''분할 단사 사상'''(分割單射寫像, {{llang|en|split monomorphism}})이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 '''분할 전사 사상'''(分割全射寫像, {{llang|en|split epimorphism}})이라고 한다. 양쪽 역사상을 갖는 사상을 '''[[동형 사상]]'''이라고 한다.

어떤 범주에서 모든 [[단사 사상]]이 분할 단사 사상이라면, 이 범주에서 '''[[선택 공리]]'''가 성립한다고 한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 [[단사 사상]]이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 [[전사 사상]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to X</math>가 <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>를 만족시킨다고 하자.

사상 합성의 [[결합 법칙]]에 따라, 임의의 두 사상 <math>h,h'\colon Z\to X</math>에 대하여, 만약 <math>f\circ h=f\circ h'</math>이라면 <math>h=g\circ f\circ h=g\circ f\circ h'=h'</math>이다. 따라서 분할 단사 사상 <math>f</math>는 [[단사 사상]]이다.

마찬가지로, 사상 합성의 [[결합 법칙]]에 따라, 임의의 두 사상 <math>h,h'\colon Y\to Z</math>에 대하여, 만약 <math>h\circ g=h'\circ g</math>라면 <math>h=h\circ g\circ f=h'\circ g\circ f=h'</math>이다. 따라서 분할 전사 사상 <math>f</math>는 [[전사 사상]]이다.
</div></div>

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 <math>\mathcal C</math>에서의 분할 단사 사상은 그 [[반대 범주]] <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다.

임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[단사 사상]]이며, 분할 전사 사상이다.
* [[전사 사상]]이며, 분할 단사 사상이다.
* [[동형 사상]]이다.
(그러나 [[단사 사상]]이자 [[전사 사상]]인 사상이 [[동형 사상]]일 필요는 없다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
두 사상 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to X</math>가 주어졌으며, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>라고 하자. 그렇다면, <math>f\circ g\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f</math>이며 <math>g\circ f\circ g=g\circ\operatorname{id}_Y</math>이다.

만약 <math>f</math>가 [[전사 사상]]이라고 하면, <math>(f\circ g)\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f</math>이므로 <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>이며, 따라서 <math>f</math> 및 <math>g</math>는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 <math>g</math>가 [[단사 사상]]이라고 하면, <math>g\circ(f\circ g)=g\circ\operatorname{id}_Y</math>이므로 <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>이며, 따라서 <math>f</math> 및 <math>g</math>는 서로 양쪽 역사상이다.
</div></div>

=== 유일성 ===
주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

=== 단사·사영 대상과의 관계 ===
{{본문|단사 대상}}
임의의 [[범주 (수학)|범주]]에서, [[정의역]]이 [[단사 대상]]인 [[단사 사상]]은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 [[범주 (수학)|범주]]에서, [[공역]]이 [[사영 대상]]인 [[전사 사상]]은 분할 전사 사상이다.

== 예 ==
=== 집합 ===
[[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]]에서는 다음이 성립한다.
* 분할 단사 사상은 [[공역]]이 [[공집합]]이거나 [[정의역]]이 [[공집합]]이 아닌 [[단사 함수]]이다.
* 전사 사상과 [[분할 전사 사상]]의 개념이 일치한다. (이는 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 [[선택 공리]]와 [[동치]]이다.)

=== 군 ===
{{본문|반직접곱}}
[[군 (수학)|군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서, [[단사 사상]]은 [[단사 함수]]인 [[군 준동형]]이며, [[전사 사상]]은 [[전사 함수]]인 [[군 준동형]]이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 [[반직접곱]]과 깊은 관련을 갖는다.

구체적으로, 단사 [[군 준동형]] <math>i\colon H\hookrightarrow G</math>가 분할 단사 사상일 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
* <math>H</math>는 <math>i</math>에 의하여 <math>G</math>의 [[부분군]]을 이루며, <math>G\cong N\rtimes H</math>인 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math>이 존재한다. (여기서 <math>\rtimes</math>는 [[반직접곱]]을 뜻한다.)
마찬가지로, 전사 [[군 준동형]] <math>q\colon G\twoheadrightarrow Q</math>가 분할 전사 사상이 될 [[필요충분조건]]은 다음과 같다.
* <math>G\cong\ker q\rtimes Q</math>이다. (여기서 <math>\rtimes</math>는 [[반직접곱]]을 뜻한다.)

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서는 분할 단사 사상이 아닌 [[단사 사상]]이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 [[전사 사상]]이 존재한다.

구체적으로, <math>\operatorname{Top}</math>에서, [[단사 사상]]은 [[단사 함수]]인 [[연속 함수]]이며, [[전사 사상]]은 [[전사 함수]]인 [[연속 함수]]이며, [[동형 사상]]은 [[위상 동형]]이다. [[전단사 함수]]이자 [[연속 함수]]이지만, 그 [[역함수]]가 [[연속 함수]]가 아니어서 [[위상 동형]]이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 [[단사 사상]]이자 [[전사 사상]]이지만, 분할 단사 사상이 아니며 분할 전사 사상도 아니다.

=== 원순서 집합 ===
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>을 [[작은 범주]]로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 [[동형 사상]]이다.

=== 아벨 범주 ===
{{본문|분할 완전열}}
[[아벨 범주]]에서 사상 <math>f\colon A\to B</math>이 [[단사 사상]]인 것은 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재하는 것과 [[동치]]이다.
:<math>0\to A\overset f\to B\to\operatorname{coker}f\to 0</math>
(여기서 <math>0</math>은 [[아벨 범주]]의 [[영 대상]]이며, <math>\operatorname{coker}</math>는 [[여핵]]을 뜻한다.) 이 경우, <math>f</math>가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 [[분할 완전열]]인 것과 [[동치]]이다.

마찬가지로, [[아벨 범주]]에서 사상 <math>g\colon B\to C</math>이 [[전사 사상]]인 것은 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재하는 것과 [[동치]]이다.
:<math>0\to\ker g\to B\overset g\to C\to 0</math>
(여기서 <math>0</math>은 [[아벨 범주]]의 [[영 대상]]이며, <math>\ker</math>는 [[핵 (수학)|핵]]을 뜻한다.) 이 경우, <math>g</math>가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 [[분할 완전열]]인 것과 [[동치]]이다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Retract}}
* {{nlab|id=inverse|title=Inverse}}
* {{nlab|id=section|title=Section}}
* {{nlab|id=retract|title=Retract}}
* {{nlab|id=split monomorphism|title=Split monomorphism}}
* {{nlab|id=split epimorphism|title=Split epimorphism}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Retraction|제목=Definition: retraction|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Retract|제목=Definition: retract|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Section_%28Category_Theory%29|제목=Definition: section (category theory)|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Split_Monomorphism|제목=Definition: split monomorphism|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Split_Epimorphism|제목=Definition: split epimorphism|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Split_Monomorphism_is_Monic|제목=Split monomorphism is monic|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Split_Epimorphism_is_Epic|제목=Split epimorphism is epic|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Monomorphism_that_is_Split_Epimorphism_is_Split_Monomorphism|제목=Monomorphism that is split epimorphism is split monomorphism|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Epimorphism_that_is_Split_Monomorphism_is_Split_Epimorphism|제목=Epimorphism that is split monomorphism is split epimorphism|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Epimorphism_into_Projective_Object_Splits|제목=Epimorphism into projective object splits|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/10/01/split-epimorphisms-and-split-monomorphisms/|제목=Split epimorphisms and split monomorphisms|웹사이트=Annoying Precision|날짜=2012-10-01|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}

[[분류:범주론]]
[[분류:함수와 사상]]