{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|비트 벡터|이차 형식의 동치류로 구성된 [[가환환]]|비트 벡터로 구성된 [[가환환]]}}
[[이차 형식]] 이론에서, '''비트 환'''(Witt環, {{llang|en|Witt ring}})은 [[비퇴화 이차 형식]]의 [[동치류]]로 구성된 [[가환환]]이다.

== 정의 ==
=== 비트 분해 ===
'''비트 분해 정리'''(Witt分解定理, {{llang|en|Witt decomposition theorem}})에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 [[이차 형식]] <math>Q</math>는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
:<math>(V,Q)=(V_0,0)\oplus(V_1,Q_1)\oplus(V_2,Q_2)</math>
여기서 각 성분은 다음과 같다.
* <math>(V_0,0)</math>은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
* <math>(V_1,Q_1)</math>은 이차 형식이 [[비퇴화 이차 형식]]인 이차 공간이다.
* <math>(V_2,Q_2)</math>는 '''분할 이차 공간'''({{llang|en|split quadratic space}})이다. 즉, <math>\dim_KV_2=2n</math>는 짝수이며, <math>V_2</math> 속에서 <math>Q_2|_W=0</math>인 <math>n</math>차원 부분 공간 <math>W\subseteq V_2</math>이 존재한다.
이 경우 <math>(V_1,Q_1)</math>을 <math>(V,Q)</math>의 '''핵심'''(核心, {{llang|en|core}})이라고 한다. 또한, <math>\dim_K(V_1\oplus V_2)</math>를 <math>Q</math>의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}})라고 하며, <math>(\dim_KV_2)/2</math>를 <math>Q</math>의 '''비트 지표'''({{llang|en|Witt index}})라고 한다.<ref name="Wilson">{{서적 인용|제목=The finite simple groups|이름=Robert|성=Wilson|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-84800-988-2|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=251|issn=0072-5285|isbn=978-1-84800-987-5|날짜=2009|언어=en}}</ref>{{rp|58}} 비트 정리에 따라, <math>Q|_W=0</math>이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 [[부분 순서 집합]]에서, [[극대 원소]]들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

=== 비트 환 ===
같은 체 위의 두 이차 공간 <math>(V,Q)</math>, <math>(V',Q')</math>의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 '''비트 동치'''({{llang|en|Witt-equivalent}})라고 한다. [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 [[동치류]]들의 집합 <math>\operatorname{Witt}(K)</math>을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 [[가환환]]을 이룬다.
* <math>(V,Q)+(V',Q')=(V\oplus V',Q\oplus Q')</math>. <math>\oplus</math>는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 [[직합]]이다.
* <math>-(V,Q)=(V,-Q)</math>
*  <math>0=(K^0,0)</math>. 여기서 <math>K^0</math>는 <math>K</math> 위의 0차원 벡터 공간이다.
* <math>(V,Q)\cdot(V',Q')=(V\otimes V',Q\otimes Q')</math> <math>\otimes</math>는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 [[텐서곱]]이다.
* <math>1=(K^1,x\mapsto x^2)</math>
이 가환환을 <math>K</math>의 '''비트 환'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 계수와 행렬식 ===
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>(\dim\bmod2)\colon\dim\colon\operatorname{Witt}(K)\to\mathbb Z/(2)</math>
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 <math>\mathbb Z/2</math>-[[등급환]]을 이루지 않는다.) 이 준동형의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\mathfrak i(K)=\ker(\dim\bmod2)\subseteq\operatorname{Witt}(K)</math>을 비트 환의 '''기본 아이디얼'''({{llang|en|fundamental ideal}})이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 [[비퇴화 이차 형식]] <math>Q</math>의 '''행렬식'''({{llang|en|determinant}}) 또는 '''판별식'''({{llang|en|discriminant}}) <math>\det Q\in K^\times/(K^\times)^2</math>은 <math>Q</math>를 나타내는 [[대칭 행렬]] <math>Q(x)=x^\top Mx</math>의 [[행렬식]] <math>\det M</math>의 <math>K^\times/(K^\times)^2</math>에서의 [[동치류]]이다. 이 경우, 사용하는 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 [[가역 행렬]] <math>A</math>를 통해 바꾼다면
:<math>AM'A=M</math>
:<math>(\det M')(\det A)^2=\det M</math>
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 <math>K^\times/(K^\times)^2</math>의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 <math>K</math>에 대하여, 다음과 같은 [[가환환]] <math>\operatorname{GrQExt}(K)</math>를 정의하자.
:<math>\operatorname{GrQExt}(K)=\left\{(d,e)\colon d\in K^\times/(K^\times)^2,\;e\in\mathbb Z/(2)\right\}</math>
:<math>(d,e)+(d',e')=\left((-1)^{ee'}dd', e+e'\right)</math>
:<math>(d,e)(d',e')=(d^{e'}d'^e, ee')</math>
즉, <math>\operatorname{GrQExt}(K)</math>의 원소는 <math>K</math>의 <math>\mathbb Z/(2)</math>-[[등급환|등급]] [[이차 확대]]의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.<ref name="Lam"/>{{rp|113}}

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 [[환 준동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname{Witt}(K)\to \operatorname{GrQExt}(K)</math>
:<math>(V,Q)\mapsto(\det Q,\dim_KV\bmod2)</math>
이는 [[전사 함수]]이며, 그 [[핵 (수학)|핵]]은 기본 아이디얼의 제곱이다.<ref name="CP">{{서적 인용| first1=P.E. | last1=Conner | first2=R. | last2=Perlis | title=A survey of trace forms of algebraic number fields | series=Series in Pure Mathematics | volume=2 | publisher=World Scientific | 날짜=1984-07 | isbn=978-9971-966-04-1 | zbl=0551.10017 | doi=10.1142/0066 | 언어=en }}</ref>{{rp|12}}

=== 하세-비트 불변량 ===
표수가 2가 아닌 체 <math>K</math> 위의 <math>n</math>차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 <math>Q=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\dots,a_n)</math>가 주어졌을 때, [[사원수형 대수]] (2차원 벡터 공간 위의 [[클리퍼드 대수]]) <math>\left(\tfrac{a_i,a_j}K\right)</math>들은 (짝수 차원이므로) [[중심 단순 대수]]를 이루며, 따라서 [[브라우어 군]] <math>\operatorname{Br}(K)</math>의 원소들의 대표원들을 이룬다. <math>Q</math>의 '''하세-비트 불변량'''({{llang|en|Hasse–Witt invariant}})은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
:<math>\epsilon(V,Q)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n\left[\left(\frac{a_i,a_j}K\right)\right]\in\operatorname{Br}(K)</math>
이는 <math>Q</math>의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

=== 밀너 환과의 관계 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 체 <math>K</math>의 비트 환 <math>\operatorname{Witt}(K)</math>의 기본 아이디얼 <math>\mathfrak i(K)\subseteq\operatorname{Witt}(K)</math>의 거듭제곱들은 [[여과 (수학)|하강 여과]]를 이룬다.
:<math>\operatorname{Witt}(K)=\mathfrak i(K)^0\supseteq\mathfrak i(K)^1\supseteq\mathfrak i(K)^2\supseteq\mathfrak i(K)^3\supseteq\cdots</math>
이에 대응되는 <math>\mathbb N</math>-[[등급환]]
:<math>R(K)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(K)</math>
:<math>R_n(K)=\mathfrak i(K)^n/\mathfrak i(K)^{n+1}</math>
을 정의할 수 있다.

체 <math>K</math> 위의 '''피스터 이차 형식'''({{llang|en|Pfister quadratic form}})은 다음과 같은 꼴의, <math>2^n</math>차원 [[벡터 공간]] 위의 [[이차 형식]]이다.
:<math>\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)</math>
<math>i(K)^n</math>의 원소들은 모두 유한 개의 <math>2^n</math>차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.<ref name="Lam"/>{{rp|316}}

체 <math>K</math>의 [[밀너 환]]
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}</math>
의 원소를 <math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)</math>로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 [[등급환]] [[준동형]]을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname K_\bullet^{\operatorname M}(K)\to R_\bullet(K)</math>
:<math>\{a_1,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes_K\cdots\otimes_K\operatorname{diag}(1,-a_n)</math>

'''이차 형식에 대한 밀너 추측'''({{llang|en|Milnor conjecture on quadratic forms}})에 따르면, 이 준동형은 등급환의 [[동형]]을 이룬다. 이는 [[존 밀너]]가 추측하였으며,<ref>{{저널 인용|성=Milnor|이름=John|저자링크=존 밀너|제목=Algebraic ''K''-theory and quadratic forms|저널=Inventiones  Mathematicae|권=9|날짜=1970|쪽=318–344|url=http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|doi=10.1007/BF01425486|issn=0020-9910|언어=en|확인날짜=2016년 4월 5일|보존url=https://web.archive.org/web/20160217033631/http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|보존날짜=2016년 2월 17일|url-status=dead}}</ref> 2007년에 드미트리 오를로프({{llang|ru|Дми́трий Орло́в}}) · 알렉산드르 비시크({{llang|ru|Алекса́ндр Вишик}}) · [[블라디미르 보예보츠키]]가 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | title=An exact sequence for K<sub>*</sub><sup>''M''</sup>/2 with applications to quadratic forms | author1-first=Dmitri | author1-last=Orlov | author2-first=Alexander | author2-last=Vishik | author3-first=Vladimir | author3-last=Voevodsky | author3-link=블라디미르 보예보츠키 | journal=Annals of Mathematics | volume=165 | year=2007 | pages=1-13 | doi=10.4007/annals.2007.165.1 | mr=2276765 | zbl = 1124.14017 | 언어=en}}</ref>

== 예 ==
=== 복소수체 ===
<math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[이차 폐체]]({{llang|en|quadratically closed field}}, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, <math>K</math>가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 [[대수적 폐포]]인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 <math>K^n</math> 위의 이차 형식은 그 계수 <math>r</math>에 따라서 완전히 분류된다.

<math>K</math> 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, <math>K</math> 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, <math>K</math>의 비트 환은 <math>\mathbb Z/(2)</math>이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | 날짜=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929  | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-67 | 언어=en}}</ref>{{rp|34}}

[[대수적으로 닫힌 체]]의 [[브라우어 군]]은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

=== 실수체 ===
<math>(K,\le)</math>가 [[에우클레이데스 체]]({{llang|en|Euclidean field}}, 모든 양수가 제곱근을 갖는 [[순서체]])라고 하자. (예를 들어, <math>K</math>가 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>이거나 보다 일반적으로 [[실폐체]]일 경우 이에 해당된다.)

<math>K</math>의 비트 환은 <math>\mathbb Z</math>와 동형이다.<ref name="Lam"/>{{rp|34}}
:<math>\operatorname{Witt}(K)\cong\mathbb Z</math>
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
* 계수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 양의 정부호 형식은 <math>n</math>에 대응한다.
* 계수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>의 음의 정부호 형식은 <math>-n</math>에 대응한다.
* 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 <math>0</math>에 대응한다.

[[실수체]]의 [[브라우어 군]]은 [[실수체]]와 [[사원수환]] <math>\mathbb H</math>로 구성되며, 2차 [[순환군]]이다.
:<math>\operatorname{Br}\mathbb R=\{\mathbb R,\mathbb H\}\cong\operatorname{Cyc}(2)</math>
이 경우 [[힐베르트 기호]]가
:<math>\left(\frac{a,b}\mathbb R\right)=\begin{cases}
-1&\max\{a,b\}<0\\
+1&\max\{a,b\}>0\\
\end{cases}</math>
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 <math>(n_+,n_-)</math>의 비퇴화 이차 형식 <math>Q</math>의 하세-비트 불변량은
:<math>\epsilon(Q)=(-1)^{s(s-1)/2}</math>
이다.

=== 국소체 ===
비아르키메데스 [[국소체]] <math>K</math>의 대수적 정수환의 [[잉여류체]]의 크기가 <math>q</math>라고 하고, <math>q</math>가 홀수라고 하자. 그렇다면, <math>K</math>의 비트 환은 다음과 같다.<ref name="Lam"/>{{rp|152}}
:<math>\operatorname{Witt}(K)\cong\begin{cases}\left(\mathbb Z/(2)\right)[\operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv1\pmod4\\\left((\mathbb Z/(4)\right)[\operatorname{Cyc}(2)]&q\equiv3\pmod4\end{cases}</math>
여기서 <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>는 2차 [[순환군]]이며, <math>R[G]</math>는 [[군환]]을 뜻한다.

=== 유리수체 ===
유리수체 <math>\mathbb Q</math>의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.<ref name="Lam"/>{{rp|166}}
:<math>W(\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/(8))[s,t]/(2s,2t,s^2,t^2,st-4)</math>

=== 홀수 표수의 유한체 ===
[[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> 위의 벡터 공간 <math>\mathbb F_q^n</math> 위의 이차 형식의 동치류는 총 <math>2n+1</math>개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. <math>a\in\mathbb F_q</math>가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
:<math>\nexists b\in\mathbb F_q\colon b^2=a</math>
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 [[대칭 쌍선형 형식]])은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
:<math>Q_1^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,1)</math>
:<math>Q_2^{(n)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,a)</math>
즉, 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2</math>
:<math>Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots+ax_n^2</math>
만약 <math>n</math>이 홀수라면, <math>Q_2^{(n)}</math>는 <math>\alpha Q_1^{(n)}</math>과 동치이다.<ref name="Wilson"/>{{rp|69}} 이 경우 비트 지표는 <math>Q_1^{(n)}</math>, <math>Q_2^{(n)}</math> 둘 다 <math>(n-1)/2</math>이다.

만약 <math>n</math>이 짝수라면, <math>Q_1^{(n)}</math>은 <math>\alpha Q_1^{(n)}</math>과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.<ref name="Wilson"/>{{rp|59}}
* <math>n\equiv2\pmod4</math>이며 <math>q\equiv3\pmod4</math>인 경우, <math>Q_1^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2-1</math>이며 <math>Q_2^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2</math>이다.
* <math>n\equiv0\pmod4</math>이거나 또는 <math>q\equiv1\pmod4</math>인 경우, <math>Q_1^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2</math>이며 <math>Q_2^{(n)}</math>의 비트 지표는 <math>n/2-1</math>이다.
이 경우, 비트 지표가 <math>n/2</math>인 경우를 '''플러스형'''({{llang|en|plus-type}}), <math>n/2-1</math>인 경우를 '''마이너스형'''({{llang|en|minus-type}})이라고 한다.<ref name="Wilson"/>{{rp|59}}

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
:<math>\operatorname{diag}(1,\dots,1,1,0,\dots,0)</math>
:<math>\operatorname{diag}(1,\dots,1,a,0,\dots,0)</math>

홀수 차수 유한체 <math>\mathbb F_q</math>의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 <math>q</math>에 따라 구체적으로 다음과 같다.<ref name="Lam"/>{{rp|37}}
:<math>W(\mathbb F_q)\cong\begin{cases}\mathbb Z/(4)&q\equiv3\pmod4\\\mathbb F_2[\mathbb F_q^\times/(\mathbb F_q^\times)^2]&q\equiv1\pmod4\end{cases}</math>
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
:{| class=wikitable style="text-align: center"
|+<math>q\equiv3\pmod4</math>인 경우
! <math>\mathbb Z/(4)</math>
|| 0 || 1 || 2 || 3
|-
! <math>W(\mathbb F_q)</math>
|| <math>Q_1^{(0)}</math> || <math>Q_1^{(1)}</math> || <math>Q_1^{(2)}</math> || <math>Q_2^{(1)}</math>
|}
:{| class=wikitable style="text-align: center"
|+<math>q\equiv1\pmod4</math>인 경우
! <math>\mathbb F_2[x]/(x^2)</math>
|| 0 || 1 || ''x'' || 1+''x''
|-
! <math>\operatorname{Witt}(\mathbb F_q)</math>
|| <math>Q_1^{(0)}</math> || <math>Q_1^{(1)}</math> || <math>Q_2^{(2)}</math> || <math>Q_2^{(1)}</math>
|}

== 역사 ==
[[에른스트 비트]](1911~1991)는 1937년 [[하빌리타치온]] 논문<ref>{{저널 인용|이름=Ernst|성=Witt|저자링크=에른스트 비트|날짜=1937|제목=Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1937|호=176|쪽= 31-44|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002173824|issn=0075-4102|doi= 10.1515/crll.1937.176.31|jfm=62.0106.02|zbl=0015.05701|언어=de}}</ref>에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | 장=Martin Kneser’s work on quadratic forms and algebraic groups | 이름=R. | 성=Scharlau | 제목=Quadratic Forms—Algebra, Arithmetic, and Geometry: Algebraic and Arithmetic Theory of Qudratic Forms, December 13–19, 2007, Frutillar, Chile | 총서=Contemporary Mathematics | 권=493 | editor1-first = Ricardo |editor1-last=Baeza|editor2-first= Wai Kiu|editor2-last= Chan|editor3-first= Detlev W. |editor3-last=Hoffmann|editor4-first= Rainer|editor4-last= Schulze-Pillot | 출판사=American Mathematical Society | 장url= http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~scharlau/Research/preprints/scharlau_on_kneser.pdf | 쪽=339–357 | mr = 2537110 | isbn =978-0-8218-4648-3 | doi = 10.1090/conm/493 | url = http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=conm-493 | 날짜=2009 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Witt ring}}
* {{eom|title=Witt decomposition}}
* {{eom|title=Hasse invariant}}

[[분류:이차 형식]]