{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''유클리드 군'''(Euclid群, {{llang|en|Euclidean group}})은 [[유클리드 공간]]의 [[등거리 변환]]들로 구성된 [[리 군]]이다. 즉, 거리와 각도가 정의되지만, 원점이 정의되지 않는 [[유클리드 공간]]의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이다. [[아벨 리 군]](병진 변환)과 [[직교군]](회전)의 [[반직접곱]]이다.

== 정의 ==
'''유클리드 군'''({{llang|en|Euclidean group}}) <math>\operatorname{IO}(n)</math>은 다음과 같은  [[리 군]] [[반직접곱]]이다.
:<math>\operatorname{IO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{O}(n)</math>
여기서 [[직교군]] <math>\operatorname O(n)</math>의 <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[군의 작용|작용]]은 다음과 같은, <math>n\times n</math> 행렬의 <math>n</math>차원 벡터 위의 작용이다.
:<math>\operatorname O(n)\to\operatorname{Aut}(\mathbb R^n)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>
:<math>R\mapsto(\mathbf x\mapsto R\mathbf x)</math>
이는 [[유클리드 공간]]의 [[등거리 변환]] <math>I\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>들의 [[위상군]]과 같다.

마찬가지로, '''특수 유클리드 군'''(特殊Euclid群{{llang|en|special Euclidean group}}) <math>\operatorname{ISO}(n)</math>은 [[직교군]] 대신 [[특수 직교군]]을 사용한 다음과 같은 [[리 군]] [[반직접곱]]이다.
:<math>\operatorname{ISO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)</math>

<math>\operatorname{ISO}(n)</math>과 <math>\operatorname{IO}(n)</math>은 각각 <math>\operatorname{SE}(n)</math> 및 <math>\operatorname E(n)</math>으로 표기하기도 한다.

=== 유클리드 대수 ===
유클리드 대칭군 <math>\operatorname{ISO}(n)</math> (또는 <math>\operatorname{IO}(n)</math>)의 [[리 대수]]는 '''유클리드 대수'''(Euclid代數, {{llang|en|Euclidean algebra}}) <math>\mathfrak{iso}(n)</math>이라고 한다. 그 생성원은 다음과 같다. (물리학 관례에 따라 <math>i</math>를 추가하여 적었다.)
* <math>iP_i\;(i=1,\dots,n)</math> (병진 이동)
* <math>iJ_{ij}\;(i=1,\dots,n,\;J_{ij}=-J_{ji})</math> (회전)
이들의 리 괄호는 다음과 같다.
:<math>[P_i, P_j] = 0</math>
:<math>[J_{ij}, P_k] = i\left(\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i\right)</math>
:<math>[J_{ij}, J_{kl}] = i\left(\delta_{ik} J_{jl} - \delta_{il} J_{jk} - \delta_{jk} J_{il} + \delta_{jl} J_{ik}\right)</math>

== 성질 ==
=== 위상수학적 성질 ===
<math>\operatorname{ISO}(n)</math>과 <math>\operatorname{IO}(n)</math>은 둘 다 <math>n(n+1)/2</math>차원 [[리 군]]이다. <math>\operatorname{ISO}(n)</math>은 [[연결 공간]]이며, <math>\operatorname{IO}(n)</math>은 두 개의 연결 성분을 갖는다. <math>\operatorname{ISO}(n)</math>은 <math>\operatorname{IO}(n)</math>의 두 연결 성분 가운데 항등원을 포함하는 성분이다.

반직접곱 표현에 따라, <math>\operatorname{ISO}(n)</math>은 <math>\operatorname{SO}(n)\times\mathbb R^n</math>과 [[미분 동형]]이다. 특히, 유클리드 군의 [[기본군]]은 다음과 같다.
:<math>\pi_1(\operatorname{ISO}(n))=\pi_1(\operatorname{SO}(n))=\begin{cases}\mathbb Z/2&n\ge3\\
\mathbb Z&n=2\\
1&n=1\end{cases}</math>
<math>n\ge3</math>일 경우, 그 2겹 [[범피복군]] <math>\operatorname{ISpin}(n)</math>을 정의할 수 있다. <math>n=2</math>일 경우, 그 [[범피복군]]은 무한겹이다.

=== 리 이론적 성질 ===
유클리드 대수의 2차 [[리 대수 코호몰로지]]는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 [[범피복군]]은 [[중심 확대]]를 갖지 않는다.

2차원 유클리드 군 <math>\operatorname{ISO}(2)</math>는 [[비안키 분류]]의 VII<sub>0</sub>에 해당한다.

=== 단위 등거리성 ===
'''베크먼-퀄스 정리'''({{llang|en|Beckman–Quarles theorem}})에 따르면, <math>n\ge2</math>일 때 [[함수]] <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="bq53">{{인용
 | last1 = Beckman | first1 = F. S.
 | last2 = Quarles | first2 = D. A., Jr.
 | journal = Proceedings of the American Mathematical Society
 | mr = 0058193
 | pages = 810–815
 | title = On isometries of Euclidean spaces
 | volume = 4
 | year = 1953
 | doi=10.2307/2032415 | 언어=en}}</ref><ref>{{인용
 | last = Townsend | first = Carl G.
 | journal = Mathematics Magazine
 | mr = 0256252
 | pages = 37–38
 | title = Congruence-preserving mappings
 | volume = 43
 | year = 1970
 | doi=10.2307/2688111 | 언어=en}}</ref><ref>{{인용
 | last = Bishop | first = Richard L.
 | journal = Mathematics Magazine
 | mr = 0319026
 | pages = 148–151
 | title = Characterizing motions by unit distance invariance
 | volume = 46
 | year = 1973
 | doi=10.2307/2687969 | 언어=en}}</ref>
* <math>f</math>는 [[전단사]] [[등거리 변환]]이다.
* <math>f</math>는 (전사가 아닐 수 있는) [[등거리 변환]]이다.
* (단위 길이 등거리성) 임의의 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, 만약 <math>d(\mathbf x,\mathbf y)=1</math>이라면, <math>d(f(\mathbf x),f(\mathbf y))=1</math>이다.

<math>n=1</math>일 경우, 처음 두 조건은 동치이지만 세 번째 조건은 처음 둘보다 더 약하다. 예를 들어,
:<math>\mathbb R\to\mathbb R</math>
:<math>x\mapsto\begin{cases}x+1&x\in\mathbb Z\\x&x\in\mathbb R\end{cases}</math>
는 세 번째 조건을 만족시키지만, [[등거리 변환]]이 아니다. 또한, 베크번-퀄스 정리는 무한 차원 [[힐베르트 공간]]에서도 성립하지 않는다.

== 원소의 분류 ==
유클리드 군 <math>\operatorname{IO}(n)</math>의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 적을 수 있다.
:<math>\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>
:<math>\mathbf x\mapsto R\mathbf x+\mathbf y,\qquad R\in\operatorname O(n),\;\mathbf y\in\mathbb R^n</math>

만약 <math>\mathbf y\in\operatorname{im}(1-R)</math>라면 이는 [[고정점]] 집합 <math>\mathbf x_0+\ker(1-R)</math>를 갖고, 아니라면 [[고정점]]을 갖지 않는다. 또한, <math>\det R\in\{\pm1\}</math>인데, 만약 <math>\det R=+1</math>이라면 이는 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하고, <math>\det R=-1</math>이라면 이는 [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하지 않는다. <math>\det R=+1</math>인 경우 고정점 집합을 '''회전축'''(回轉軸, {{llang|en|axis of rotation}})이라고 하며, <math>\det R=-1</math>인 경우 고정점 집합을 '''반사 초평면'''(反射超平面, {{llang|en|hyperplane of reflection}})이라고 한다.

유클리드 군의 원소들은 방향의 보존 여부와 [[고정점]]의 유무에 따라 다음과 같이 4종류로 분류된다.
{| class=wikitable
|-
! !!  [[방향 (다양체)|방향]] 보존 ||  [[방향 (다양체)|방향]] 비보존
|-
! [[고정점]] 있음
| 회전 || 반사
|-
! [[고정점]] 있음
| 회전 평행 이동 || 미끄러짐 반사
|}
각각의 설명은 다음과 같다.
* '''회전'''(回轉, {{llang|en|rotation}}): <math>R\in\operatorname{SO}(n)</math>이며 <math>\mathbf y\in\operatorname{im}(1-R)</math>인 경우. 이 경우, [[고정점]] 집합 <math>\mathbf x_0+\ker(1-R)</math>를 '''회전축'''({{llang|en|rotation axis}})이라고 한다. 만약 <math>n</math>이 짝수라면 [[홀수와 짝수|짝수]] 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전축이 0차원이라면, 이를 '''회전 중심'''({{llang|en|center of rotation}})이라고 한다. [[고정점]] 집합은 회전축이다.
** 고정점 집합이 <math>\mathbb R^n</math> 전체인 경우는 '''[[항등 함수]]'''이다. 이는 회전의 자명한 경우이다.
* '''회전 평행 이동'''(回轉平行移動, {{llang|en|rototranslation}}): <math>R\in\operatorname{SO}(n)\setminus\{1\}</math>이며 <math>\mathbf y\not\in\operatorname{im}(1-R)</math>인 경우. 이 경우, <math>\operatorname{im}(1-R)</math>를 '''회전 초평면'''({{llang|en|rotation hyperplane}})이라고 하며, 이는 <math>n</math>이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전 초평면에 수직인 성분 <math>\mathbf y^\perp=\operatorname{proj}_{(\operatorname{im}(1-R))^\perp}\mathbf y</math>를 '''평행 이동 벡터'''({{llang|en|translation vector}})라고 한다. 이 경우 [[고정점]]은 없다.
** 특히, <math>R=1</math>인 경우(즉, <math>\operatorname{rank}(1-R)=0</math>인 경우)를 '''평행 이동'''(平行移動, {{llang|en|translation}})이라고 한다. 2차원 이하에서 모든 회전 [[평행]] 이동은 평행 이동이다.
* '''반사'''(反射, {{llang|en|reflection}}): <math>R\in\operatorname O(n)\setminus\operatorname{SO}(n)</math>이며 <math>\mathbf y\in\operatorname{im}(1-R)</math>인 경우. 이 경우, 고정점 집합 <math>\mathbf x_0+\ker(1-R)</math>를 반사의 '''반사 초평면'''({{llang|en|reflection hyperplane}})이라고 한다. 반사 초평면은 <math>n</math>이 짝수일 경우 홀수 차원이며, <math>n</math>이 홀수일 경우 짝수 차원이다.
* '''미끄러짐 반사'''(-反射, {{llang|en|glide reflection}}): <math>\mathbf x\mapsto R(\mathbf x-\mathbf x_0)+\mathbf x_0+\mathbf y^\perp</math>, <math>R\in\operatorname O(n)\setminus\operatorname{SO}(n)</math>, <math>\mathbf y^\perp\in\left(\operatorname{im}(1-R)\right)^\perp</math>. 이는 반사와 평행 이동의 [[함수의 합성|합성]]이다. [[고정점]]은 없다. 마찬가지로, 아핀 부분 공간 <math>\mathbf x_0+\ker(1-R)</math>을 미끄러짐 반사의 반사 초평면이라고 하며, 이는 <math>n</math>이 짝수일 경우 홀수 차원이며, <math>n</math>이 홀수일 경우 짝수 차원이다. 이는 2차원 이상에서만 존재한다.

<math>R=-1</math>, <math>\mathbf y=\mathbf0</math>인 경우를 '''[[반전성|반전 변환]]'''({{llang|en|parity reversal}})이라고 한다. 이는 <math>n</math>이 짝수일 때 회전이며, 홀수일 때 반사이다.

=== 1차원 ===
1차원에서 회전은 [[항등 함수]]밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 [[실직선]]으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>x\mapsto\sigma x+a\qquad(\sigma\in\{\pm1\},a\in\mathbb R)</math>
* <math>\sigma=1</math>, <math>a=0</math>인 경우는 [[항등 함수]]이다. 이는 자명한 회전이다.
* <math>\sigma=1</math>, <math>a\ne0</math>인 경우는 <math>a</math>만큼의 평행 이동이다.
* <math>\sigma=-1</math>인 경우는 반사이며, 반사 초평면은 <math>\{a/2\}</math>이다.

=== 2차원 ===
2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 [[항등 함수]]이며, 0차원인 경우 회전축을 '''회전 중심'''({{llang|en|center or rotation}})이라고 한다.

2차원 유클리드 공간은 [[복소평면]] <math>\mathbb C</math>으로 간편하게 나타낼 수 있다. 이 경우, 2차원 유클리드 공간의 등거리 변환은 다음과 같이 나타내어진다. 아래 표에서 <math>\alpha</math>는 [[절댓값]]이 1인 복소수이다.

{| class=wikitable
! 평행 이동
|  <math>z\mapsto z+w</math>, <math>w\in\mathbb C\setminus\{0\}</math> || 평행 이동 벡터는 <math>w</math>
|-
! 회전
| <math>z\mapsto \alpha(z-z_0)+z_0</math> || 회전 각도는 <math>\alpha=\exp(2\pi i\theta)</math>일 때 시계 반대 방향으로 <math>\theta</math> [[라디안]]
|-
! 반사
| <math>z\mapsto\alpha(\bar z-\bar z_0)+z_0</math> || 반사축은 <math>z_0+\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{\sqrt\alpha\}</math>이다.
|-
! 미끄러짐 반사
| <math>z\mapsto\alpha(\bar z-\bar z_0)+z_0+\sqrt\alpha w</math>, <math>w\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> || 반사축 <math>z_0+\operatorname{Span}_{\mathbb R}\{\sqrt\alpha\}</math>에서 반사한 뒤, <math>\sqrt\alpha w</math>만큼 평행 이동
|}

=== 3차원 ===
3차원에서, 회전의 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 [[항등 함수]]인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 '''회전 반사'''(回轉反射, {{llang|en|rotoreflection}})인 경우이며, 2차원인 경우는 '''반사 평면'''({{llang|en|plane of reflection}})이라고 한다.

== 표현 ==
유클리드 군은 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname{ISO}(n)=\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)</math>이며, <math>\mathbb R^n</math>은 [[아벨 리 군]]이다. 따라서, 모든 [[복소수]] [[기약 표현]]은 <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 복소수 [[기약 표현]]의 [[유도 표현]]이다.

구체적으로, 유클리드 대수 <math>\mathfrak{iso}(n)</math>의 [[보편 포락 대수]]의 중심 원소는 다음이 있다. 이들은 [[슈어 보조정리]]에 따라, [[기약 표현]]에서 [[항등 함수]]의 스칼라배로 표현된다.
* <math>P^2</math>. 유니터리 표현의 경우 이는 양수이거나 0이다. 이를 <math>m^2</math>로 쓰자. <math>m</math>은 유클리드 [[계량 부호수]]에서의 [[질량]]에 해당한다.
* <math>W^2</math> ([[파울리-루반스키 벡터]]의 제곱 노름)

<math>\operatorname{SO}(n)</math>의 <math>\mathbb R^n</math> 위의 [[군의 작용|작용]]에서, 궤도는 카시미르 불변량 <math>m</math>에 의하여 분류된다. 이 경우, [[안정자군]]은 <math>m=0</math>(무질량)인 경우와 <math>m>0</math>(유질량)인 경우가 다르다.

=== 유질량 ===
<math>m>0</math>일 경우, 평행 이동군 <math>\mathbb R^n</math>은 <math>\mathbf P</math> 공간에 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]한다. 이러한 경우 [[안정자군]]은 <math>\operatorname{SO}(n-1)</math>이다. 따라서, 유니터리 표현은 <math>\operatorname{SO}(n-1)</math>의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.

=== 무질량 ===
<math>m=0</math>일 경우, [[안정자군]]은 <math>\operatorname{SO}(n)</math> 전체이다. 따라서, 유니터리 표현은 <math>\operatorname{SO}(n)</math>의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[공간군]]
* [[브라베 격자]]
* [[푸앵카레 군]]
* [[갈릴레이 군]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=EuclideanGroup|title=Euclidean group}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]