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[[대수적 K이론]]에서 '''밀너 환'''(Milnor環, {{llang|en|Milnor ring}})은 각 등급 성분이 [[대수적 K군]]으로 가는 자연스러운 [[군 준동형]]을 갖는 [[등급환]]이다. 그 0~2등급 성분은 [[대수적 K군]]과 동형이지만, 이는 고차 등급 성분에서 성립하지 않는다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 <math>n</math>차 '''밀너 환''' <math>\operatorname K^{\operatorname M}(K)</math>은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}(K)=\frac{\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)}{(a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}}</math>
여기서
* <math>K^\times=K\setminus\{0\}</math>는 <math>K</math>의 [[가역원군]]이다.
* <math>\textstyle\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)=\bigoplus_{n=0}^\infty(K^\times)^{\otimes_{\mathbb Z}n}</math>는 정수 계수 <math>n</math>차 [[텐서 대수]]이다.
* <math>(a\otimes_{\mathbb Z}(1-a))_{a\in K\setminus\{0,1\}}</math>는 <math>\{a\otimes_{\mathbb Z}(1-a)\colon a\in K\setminus\{0,1\}\}</math>으로부터 생성되는 <math>\operatorname T(K^\times;\mathbb Z)</math>의 [[양쪽 아이디얼]]이다.

이는 자연수 계수 [[등급환]]을 이룬다. 자연수 <math>n</math>에 대하여, 밀너 환의 등급 <math>n</math> 성분을 '''<math>n</math>차 밀너 K군'''(<math>n</math>次Milnor K群, {{llang|en|<math>n</math>th Milnor K-group}}) <math>\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)</math>이라고 한다.

밀너 환의 <math>n</math>등급 원소는 보통
:<math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\in\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)\qquad a_1,\dots,a_n\in K^\times</math>
로 표기하며, <math>n</math>차 '''기호'''(記號, {{llang|en|symbol}})라고 하기도 한다. (이는 [[힐베르트 기호]] 등과 비유한 것이다. 힐베르트 기호는 밀너 환과 유사한 <math>(a,1-a)=1</math>이라는 항등식을 만족시킨다. 여기서 우변이 0 대신 1인 것은 군 연산을 덧셈 대신 곱셈으로 표기하기 때문이다.)

== 성질 ==
밀너 환은 등급 가환 등급환이다.

밀너 K군에서 (퀼런) [[대수적 K군]]으로 가는 자연스러운 [[군 준동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}_n(K)\to\operatorname K_n(K)\;\forall n\in\mathbb N</math>
이는 <math>n\le2</math>에 대하여 [[동형 사상]]이지만, <math>n\ge3</math>일 때는 일반적으로 동형 사상이 아니다.

=== 블록-가토 추측 ===
임의의 체 <math>K</math> 및 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]의 배수가 아닌 정수 <math>l\in\mathbb Z\setminus(\operatorname{char}K)\mathbb Z</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mu_l</math>이 [[1의 거듭제곱근|1의 <math>l</math>거듭제곱근]]으로 구성된, <math>K</math>의 주어진 [[분해 가능 폐포]] <math>K^{\operatorname{sep}}</math>에 대한 [[절대 갈루아 군]] <math>\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)</math>의 [[군의 가군|가군]]이라고 하자.

'''블록-가토 추측'''(Bloch-[加藤]推測, {{llang|en|Bloch–Kato conjecture}})에 따르면, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.
:<math>\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{l\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\operatorname H_{\operatorname{\acute et}}^n(K;\mu_l^{\otimes n})=\operatorname H^n(\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K);\mu_l^{\otimes n})</math>
여기서 좌변은 <math>l</math>차 [[꼬임 부분군|꼬임 군]]이 되는 [[몫군]]이며, 우변은 [[절대 갈루아 군]]의 [[군 코호몰로지]](=[[에탈 코호몰로지]])이다.  이 동형 사상을 '''갈루아 기호'''(Galois記號, {{llang|en|Galois symbol}})라고 한다.

블록-가토 추측은 스펜서 재니 블록({{llang|en|Spencer Janney Bloch}})과 [[가토 가즈야]]가 제시하였고, [[블라디미르 보예보츠키]]가 2008년에 [[모티브 코호몰로지]]를 사용하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=블라디미르 보예보츠키 | title=On motivic cohomology with Z/l coefficients | arxiv=0805.4430 | 날짜=2008 | bibcode=2008arXiv0805.4430V | 언어=en}}</ref>

=== 이차 형식과의 관계 ===
<math>K</math>가 [[체의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[체 (수학)|체]]라고 하자. 그 [[비트 환]] <math>\operatorname W(K)</math>의 '''기본 아이디얼'''({{llang|en|fundamental ideal}}) <math>\mathfrak i(K)\subseteq \operatorname W(K)</math>은 다음과 같은 [[군 준동형]]의 [[핵 (수학)|핵]]이다.
:<math>\operatorname W(K)\to\mathbb Z/2</math>
:<math>[(V,Q)]\mapsto\dim_KV\bmod2</math>
즉, 기본 아이디얼은 짝수 차원 벡터 공간 위의 [[비퇴화 이차 형식]]들의 비트 동치류들로 구성된 [[아이디얼]]이다. 그렇다면, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
:<math>\frac{\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}{2\operatorname K_n^{\operatorname M}(K)}\to\frac{\mathfrak i(K)^n}{\mathfrak i(K)^{n+1}}</math>
:<math>\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\mapsto\operatorname{diag}(1,-a_1)\otimes\operatorname{diag}(1,-a_2)\otimes\cdots\otimes\operatorname{diag}(1,-a_n)</math>
여기서 <math>\operatorname{diag}(a,b)</math>는 대각화된 2차원 [[이차 형식]]을 뜻하며, 우변의 <math>\otimes</math>는 [[이차 형식]]의 텐서곱이다. (우변과 같은 꼴의 이차 형식을 '''피스터 형식'''(Pfister形式, {{llang|en|Pfister form}})이라고 하며, 이는 알브레히트 피스터({{llang|de|Albrecht Pfister}})가 1965년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Albrecht|성=Pfister|제목=Multiplikative quadratische Formen|doi=10.1007/BF01220043|저널=Archiv der Mathematik|날짜=1965|권=16|호=1|쪽=363–370|issn=0003-889X|언어=de}}</ref>)

'''밀너 추측'''(Milnor推測, {{llang|en|Milnor conjecture}})에 따르면, 이는 항상 [[아벨 군]]의 [[동형 사상]]을 이룬다. 이는 [[존 밀너]]가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프({{llang|ru|Дми́трий Орло́в}}) · 알렉산드르 비시크({{llang|ru|Алекса́ндр Вишик}}) · [[블라디미르 보예보츠키]]가 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | title=An exact sequence for K<sub>*</sub><sup>''M''</sup>/2 with applications to quadratic forms | author1-first=Dmitri | author1-last=Orlov | author2-first=Alexander | author2-last=Vishik | author3-first=Vladimir | author3-last=Voevodsky | author3-link=블라디미르 보예보츠키 | journal=Annals of Mathematics | volume=165 | year=2007 | pages=1-13 | doi=10.4007/annals.2007.165.1 | mr=2276765 | zbl = 1124.14017 | 언어=en}}</ref>

== 예 ==
임의의 체 <math>K</math>에 대하여,
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}_0(K)\cong\mathbb Z</math>
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}_1(K)\cong K^\times</math>
이다.

유한체의 경우
:<math>\operatorname K^{\operatorname M}_n(\mathbb F_q)=0\qquad\forall n\ge2</math>
이다.

<math>\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb C)</math>는 [[비가산 집합]]이며, [[유리수체]] 위의 [[벡터 공간]]이다.

유리수체의 2차 K군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname K_2^{\operatorname M}(\mathbb Q)=\operatorname{Cyc}(2)\oplus\bigoplus_{p=3,5,7,11,\dots}\mathbb F_p^\times</math>
여기서 <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>은 <math>n</math>차 [[순환군]]을 뜻한다.

== 역사 ==
[[존 밀너]]가 1970년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Milnor|이름=John|저자링크=존 밀너|제목=Algebraic ''K''-theory and quadratic forms|저널=Inventiones  Mathematicae|권=9|날짜=1970|쪽=318–344|url=http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|doi=10.1007/BF01425486|issn=0020-9910|언어=en|확인날짜=2016년 4월 3일|보존url=https://web.archive.org/web/20160217033631/http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/OberseminarAlgGeo/Literatur/Milnor%20%281969%29,%20Algebraic%20K-Theory%20and%20Quadratic%20Forms.pdf|보존날짜=2016년 2월 17일|url-status=dead}}</ref> 이는 역사적으로 2차 [[대수적 K군]]의 최초의 올바른 구성이였다. 밀너는 마찬가지로 고차 밀너 K군을 정의하였는데, 이는 사실 고차 [[대수적 K군]]과 다르다는 것이 훗날 밝혀졌다. 그러나 고차 밀너 K군은 [[대수적 K군]]보다 더 다루기 편하며, 또 그 자체로 여러 흥미로운 성질(블록-가토 추측 등)을 가진다는 것이 밝혀졌다.

== 같이 보기 ==
* [[아즈마야 대수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Developments in algebraic K-theory and quadratic forms after the work of Milnor|이름=A.|성=Merkurjev|장url=http://www.math.ucla.edu/~merkurev/papers/milnor3.pdf|제목=Collected papers of John Milnor. Volume V: Algebra|날짜=2010|쪽=399–418|url=http://bookstore.ams.org/cworks-19-5|isbn=978-0-8218-4876-0|총서=Collected Works|권=19|출판사=American Mathematical Society|언어=en|확인날짜=2016-04-04|보존url=https://web.archive.org/web/20160412025013/http://bookstore.ams.org/cworks-19-5|보존날짜=2016-04-12|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
*{{nlab|id=Milnor K-theory}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/4246/why-is-milnor-k-theory-not-ad-hoc|제목=Why is Milnor K-theory not ad hoc?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:K이론]]
[[분류:대수적 수론]]
[[분류:이차 형식]]