{{위키데이터 속성 추적}}
수학에서, [[실직선]] 위의 구간 {{math|[''a'', ''b'']}}의 '''분할'''(分割, {{llang|en|partition}})이란 다음의

:{{math|''a'' {{=}} ''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> < ... < ''x''<sub>''n''</sub> {{=}} ''b''}}

관계에 있는 [[실수]] {{math|''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}}로 구성된 유한 [[수열]]이다.

[[파일:Integral Riemann sum.png|섬네일|300px|[[리만 합]]에서 사용하는 구간의 태그된 분할. 분할 자체는 아래의 회색 선으로 표시하였고, 그 중 한 부분구간을 빨간색으로 나타내었다.]]

다르게 말하면, [[콤팩트 공간|콤팩트]] 구간 {{mvar|I}}의 분할이란 {{mvar|I}}의 시작점에서 끝점까지 순증가하는 수들로 구성된 수열이다. 각 구간 {{math|[''x''<sub>''i''</sub>, ''x''<sub>''i'' + 1</sub>]}}을 분할의 '''부분구간'''이라 한다.

== 분할의 세분 ==
구간 [a,b]의 분할 {{mvar|P}}와 {{mvar|Q}}에 대해, {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 모든 점을 포함할 때 {{mvar|Q}}를 {{mvar|P}}의 '''세분'''({{llang|en|refinement}})이라 하고 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 {{mvar|P}}와{{mvar|Q}}에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 '''공통세분'''이라 하고 {{math|''P''&nbsp;∨&nbsp;''Q''}}라 쓴다.<ref>{{서적 인용|last=Brannan|first=D. A.|title=A First Course in Mathematical Analysis|publisher=Cambridge University Press|year=2006|isbn=9781139458955|page=262|url=https://books.google.com/books?id=N8bL9lQUGJgC&pg=PA262}}</ref> 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 [[부분 순서 집합|부분 순서]]가 된다.

== 분할의 노름 ==
아래처럼 주어진 분할
:{{math|''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> < ... < ''x''<sub>''n''</sub>}}
의 '''노름'''({{llang|en|norm}}) 또는 '''메시'''({{llang|en|mesh}})란 각 부분구간들의 길이의 최댓값
:{{math|max{{{abs|''x''<sub>''i''</sub> − ''x''<sub>''i''−1</sub>}} : ''i'' {{=}} 1, ... , ''n'' }}}
이다.<ref>{{서적 인용|last=Hijab|first=Omar|title=Introduction to Calculus and Classical Analysis|publisher=Springer|year=2011|isbn=9781441994882|page=60|url=https://books.google.com/books?id=_gb9fMqur9kC&pg=PA60}}</ref><ref>{{서적 인용|author=Zorich, Vladimir A.|title=Mathematical Analysis II|publisher=Springer|year=2004|isbn=9783540406334|page=108|url=https://books.google.com/books?id=XF8W9W-eyrgC&pg=PA108}}</ref>

== 태그된 분할 ==
주어진 구간에 대해 '''태그된 분할'''({{llang|en|tagged partition}})이란<ref>{{서적 인용|last1=Dudley|first1=Richard M.|last2=Norvaiša|first2=Rimas|title=Concrete Functional Calculus|publisher=Springer|year=2010|isbn=9781441969507|page=2|url=https://books.google.com/books?id=fuuB59EiIagC&pg=PA2}}</ref> 각 {{mvar|i}}에 대해 다음 조건
:{{math|''x<sub>i</sub>'' ≤ ''t<sub>i</sub>'' ≤ ''x''<sub>''i'' + 1</sub>}}
을 만족하는 수들로 구성된 유한 수열 {{math|''t''<sub>0</sub>, ..., ''t''<sub>''n'' − 1</sub>}}을 가지는 분할이다.
다시 말해 태그된 분할이란 각 부분구간들에서 점을 한 개씩 선택한 분할로, 기존 분할과 동일하게 노름을 정의한다. 태그된 분할 {{mvar|P}}와 {{mvar|Q}}에 대해 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 분할 위의 모든 점들과 함께 모든 태그들, 즉 각 부분구간에서 선택한 점들을 모두 포함할 때 {{mvar|Q}}가 {{mvar|P}}의 세분이라 한다.

== 리만 합 ==
구간의 분할은 [[리만 적분]]과 리만-스틸체스 적분에서 사용된다. 주어진 구간의 분할이 더 섬세할수록 분할의 노름은 0에 가까워지고, 따라서 [[리만 합]]은 [[리만 적분|리만 적분값]]에 수렴한다.<ref>{{서적 인용|last1=Ghorpade|first1=Sudhir|last2=Limaye|first2=Balmohan|title=A Course in Calculus and Real Analysis|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387364254|page=213|url=https://books.google.com/books?id=Ou53zXSBdocC&pg=PA213}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[리만 합]]
* [[리만 적분]]
* [[집합의 분할]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Gordon | first=Russell A. | title=The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Ralph Henstock | series=Graduate Studies in Mathematics, 4  | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, RI | year=1994 | isbn=0-8218-3805-9 }}

[[분류:실해석학]]