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[[수학]]에서 '''드무아브르의 공식'''({{llang|en|de Moivre’s formula}}) 또는 드무아브르의 정리(de Moivre's theorem)는 임의의 [[복소수]]를 [[극좌표계|극형식]]으로 나타내었을 때 성립하는 다음 등식을 의미한다. 이 식에서 ''i''는 [[허수 단위]]를 뜻한다.

:<math>\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos{nx}+i\sin{nx}</math>

이 공식은 복소수와 [[삼각 함수]]간의 관계를 보여준다.

<math>x</math>가 실수라는 가정하에, 좌변을 전개하면 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 이를 이용하면 <math>\cos{x}, \sin{x}</math>만을 사용하여 <math>\cos{nx}</math>와 <math>\sin{nx}</math>을 나타내는 식을 쉽게 유도할 수 있다. 뿐만 아니라, <math>z^n = 1</math>의 복소근을 쉽게 구할 수 있다.

== 유도 ==
역사적으로 [[오일러의 공식]]보다도 더 먼저 증명되었지만, 오일러 공식을 사용하면 이를 쉽게 유도할 수 있다.

:<math>e^{ix} \,=\, \cos x + i\sin x</math>

[[지수 함수]]의 성질에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

:<math>\left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}</math>

그러면, [[오일러의 공식]]에 의하여 다음 식을 얻을 수 있다.

:<math>e^{i(nx)} \,=\, \cos{nx} + i\sin{nx}</math>

== 수학적 귀납법을 이용한 증명 ==
세 가지 경우로 나누어 생각한다.

<math>n > 0</math>인 정수에 대하여, [[수학적 귀납법]]을 사용하여 이를 증명할 수 있다. <math>n = 1</math>일 때, 이 등식은 참이다. 이제 <math>k</math>일 때 다음의 식이 성립한다고 가정하자.

:<math>\left(\cos x + i \sin x\right)^k \,=\, \cos{kx} + i \sin{kx}</math>

이제 <math>n = k + 1</math>일 때 식이 성립하는지를 확인하면,

:<math>
\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \left(\cos{kx} + i\sin{kx}\right) \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \cos {kx} \cos x - \sin {kx} \sin x + i \left(\cos {kx} \sin x + \sin {kx} \cos x\right)\\
                                      & = \cos { \left(k+1\right) x } + i\sin { \left(k+1\right) x }
\end{alignat}
</math>

이 식이 <math>n = k + 1</math>일 때도 참이라는 것을 알 수 있다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 <math>\scriptstyle n\ge 1</math>인 모든 양의 정수에 대하여 식이 성립한다.

이제 <math>n = 0</math>일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보면, <math>\scriptstyle \cos {0x} + i\sin {0x} = 1 + i\cdot 0 = 1</math> 또는 <math>z^0 = 1</math>라는 약속에 의하여 성립한다.

이제 <math>n < 0</math>일 때 공식이 성립하는지를 확인하여 보자. 우선 <math>n = -m</math>을 만족하는 양의 정수 <math>m</math>에 대하여 생각하여 보면,
:<math>
\begin{align}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos{mx} - i\sin{mx}\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos{nx} + i\sin{nx}
\end{align}
</math>

이 식이 모든 정수에 대하여 성립한다는 사실을 알 수 있다.

== 코사인과 사인 부분을 각각 증명하는 방법 ==

복소수의 성질에 의하여, 두 복소수가 같으려면 실수부와 허수부가 같아야 한다. <br />
만약 <math> \cos x</math>와 <math> \sin x</math>가 실수라면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
:<math>\begin{alignat}{2}
  \cos{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i}}(-1)^i(\cos{x})^{n-2i}(\sin{x})^{2i}&
          &=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac n 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i}}(\cos{x})^{n-2i}((\cos{x})^2-1)^i\\
  \sin{nx}&=\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1}}(-1)^i(\cos{x})^{n-2i-1}(\sin{x})^{2i+1}&
          &=(\sin{x})\sum_{i=0}^{\lfloor \frac {n-1} 2\rfloor}{\tbinom{n}{2i+1}}(\cos{x})^{n-2i-1}((\cos{x})^2-1)^i\\
\end{alignat}</math>
이 식은 <math>x</math>가 복소수일 때에도 양변이 [[정칙함수]]이므로, 그 성질에 의하여 성립한다. 위의 식이 실제로 성립하는지 확인해보기 위해 <math>n = 2, 3</math>을 대입해보면,
:<math>\begin{alignat}{2}
  \cos{2x} &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\
  \sin{2x} &= 2{\sin{x}}{\cos{x}}\\
  \cos{3x} &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\
  \sin{3x} &= 3(\cos{x})^2{\sin{x}}-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3\\
\end{alignat}</math>

<math>\scriptstyle \cos{nx}</math>에 대한 등식의 우변은, 실제로는 [[체비쇼프 다항식]] <math>\scriptstyle T_n (\cos x)</math>의 값이다.

== 정수 지수가 아닐 때의 문제, 일반화 ==
드무아브르의 공식은 정수지수가 아닐 때는 성립하지 않는다. 드무아브르의 공식을 유도할 때 복소수의 n제곱이 사용되며, 만약 n이 정수가 아니라면 복소지수가 다가함수이기 때문에 좌변이 잘 정의되지 않는다.

=== 복소수 지수의 확장 ===
이 공식은 더 일반적으로 확장할 수 있다. <math>z</math>와 <math>w</math>가 복소수라면, <math>\cos (wz) + i \sin (wz)\,</math>와는 달리

:<math>\left(\cos z + i\sin z\right)^w</math>

는 [[여러값 함수]](multivalued function)이다. 따라서

:<math>\cos (wz) + i \sin (wz) \,</math>

는 <math>\left(\cos z + i\sin z\right)^w\,</math>의 여러 값중 하나일 뿐이다.

[[파일:CubedRoot.png|프레임|[[복소평면]]위에 찍은 <math>x^3-1 = 0</math>의 근.]]

== 활용 ==
이 공식은 <math>x^n - 1 = 0</math>의 복소근을 구하는 데에 활용할 수 있다. 만약 <math>w</math>가 복소수라면, 이는 극형식 형태로 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>w=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,</math>

이 때 <math>k</math>가 정수라면,

: <math>
     w^{{}^{\frac{1}{n}}}= \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^ {{}^{\frac{1}{n}}}= r^{{}^{\frac{1}{n}}} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]

</math>

<math>n</math>개의 서로 다른 근을 구할 때, <math>k = 0</math>부터 <math>n-1</math>까지의 값을 대입해주면 쉽게 그 값을 구할 수 있다.
<br />

또한 이 공식은 고차방정식의 특수형태인, <math>x^n = a</math>의 꼴로, [[이항방정식]] 이되겠다.

== 역사 ==
[[아브라암 드무아브르]]가 발견하였다. 허수에 대한 직접적인 언급은 없다.<ref>(인터넷 아카이브 -수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://archive.org/details/bub_gb_TFX1165yEc4C</ref><ref>(구글 도서-수열과 적분에 대한 해석잡론(解析雜論) 아브라암 드무아브르 1730)https://books.google.co.kr/books?id=TFX1165yEc4C&printsec=frontcover&dq=Miscellanea+analytica+de+seriebus+et+quadraturis.+Accessere+variae+considerationes+de+methodis+comparationum,+combinationum+%26+differentiarum,+solutiones+difficiliorum+aliquot+problematum+ad+sortem+spectantium,+itemque+constructiones+faciles+orbium+planetarum,+una+cum+determinatione+maximarum+%26+minimarum+mutationum+quae+in+motibus+corporum+coelestium+occurrunt&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwjsvvG1-5rwAhVJyIsBHVYaDfwQ6AEwBXoECAQQAg#v=onepage&q=Miscellanea%20analytica%20de%20seriebus%20et%20quadraturis.%20Accessere%20variae%20considerationes%20de%20methodis%20comparationum%2C%20combinationum%20%26%20differentiarum%2C%20solutiones%20difficiliorum%20aliquot%20problematum%20ad%20sortem%20spectantium%2C%20itemque%20constructiones%20faciles%20orbium%20planetarum%2C%20una%20cum%20determinatione%20maximarum%20%26%20minimarum%20mutationum%20quae%20in%20motibus%20corporum%20coelestium%20occurrunt&f=false</ref>

== 같이 보기 ==
* [[오일러 공식]]
* [[1의 거듭제곱근]]
* [[이항 방정식]]

== 참고 문헌 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', (1964) Dover Publications, New York. {{ISBN|0-486-61272-4}}. ''(p. 74)''.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형}}

[[분류:복소해석학 정리]]