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[[펠릭스 베레진]]의 이름을 딴 '''베레진 적분'''({{llang|en|Berezin integral}}, [[헤르만 그라스만]]의 이름을 따서 '''그라스만 적분'''이라고도 함)은 [[반가환수|그라스만 수]]([[외대수]]의 원소) 함수에 대한 적분을 정의하는 방법이다. [[르베그 적분]]의 의미에서 [[적분]]이 아니다. "적분"이라는 단어가 사용되는 이유는 베레진 적분은 르베그 적분과 유사한 특성을 갖고 있고 [[페르미온]]의 역사에 대한 합으로 사용되는 물리학의 [[경로 적분 공식화|경로 적분]]을 확장하기 때문이다.

== 정의 ==
<math>\Lambda^n</math>를 반교환수 <math>\theta_{1},\dots,\theta_{n} </math>들의 복소 다항식들의 외대수하고 하자.(생성원들의 순서 <math>\theta_1,\dots,\theta_n</math>가 고정되어 있으며 외대수의 방향을 정의한다.)

=== 일변수 ===
그라스만 변수 <math>\theta = \theta_1</math> 하나에 대한 ''베레진 적분은'' 선형 범함수

: <math>\int [af(\theta)+bg(\theta)] \, d\theta = a\int f(\theta) \, d\theta + b\int g(\theta) \, d\theta, \quad a,b \in \C</math>

로 정의된다. 여기서

: <math>\int \theta \, d\theta = 1, \qquad \int \, d\theta = 0 </math>

로 정의해서

: <math>\int \frac\partial{\partial\theta}f(\theta)\,d\theta = 0.</math>

이 성립하도록 한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의하고 다음을 의미한다.

: <math>\int (a\theta+b)\, d\theta = a, \quad a,b \in \C. </math>

<math>f(\theta)=a\theta + b</math> 는 가장 일반적인 <math>\theta</math> 변수 함수이다. 그라스만 변수의 제곱은 0이 되기 때문에 <math>f(\theta)</math>는 1차를 넘어서는 0이 아닌 항을 가질 수 없다.

=== 다변수 ===
<math>\Lambda^{n}</math>위의 ''베레진 적분은'' 모든 <math>f\in\Lambda^n</math>에 대해 다음 성질들

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{n}\cdots\theta_{1}\,\mathrm{d}\theta=1,</math>
: <math>\int_{\Lambda^n}\frac{\partial f}{\partial\theta_{i}}\,\mathrm{d}\theta=0,\ i=1,\dots,n</math>

을 가진 유일한 선형 범함수 <math>\int_{\Lambda^{n} }\cdot\textrm{d}\theta</math>로 정의된다.  여기서 <math>\partial/\partial\theta_{i}</math>는 왼쪽 또는 오른쪽 편도함수를 의미한다. 이러한 성질은 적분을 유일하게 정의한다.

문헌에는 다양한 관례가 존재한다. 일부 저자는 대신<ref>{{서적 인용|제목=Mirror symmetry|날짜=2003|출판사=American Mathematical Society|위치=Providence, RI|쪽=155|기타=Hori, Kentaro.|isbn=0-8218-2955-6|oclc=52374327}}</ref>

: <math>\int_{\Lambda^n}\theta_{1}\cdots\theta_{n}\,\mathrm{d}\theta:=1.</math>

로 정의한다. 공식

: <math>\int_{\Lambda^n}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta=\int_{\Lambda^1}\left( \cdots \int_{\Lambda^1}\left(\int_{\Lambda^1}f(\theta) \, \mathrm{d}\theta_{1}\right) \, \mathrm{d}\theta_2 \cdots \right)\mathrm{d}\theta_n</math>

은 [[푸비니 정리|푸비니 법칙]]을 표현한다. 오른쪽에는 단항식 <math>f=g(\theta')\theta_{1}</math>의 내부 적분은 <math>g( \theta')</math>로 설정되어 있다. 여기서 <math>\theta'=\left(\theta_{2},\ldots,\theta_{n}\right)</math>이다. <math>f=g (\theta')</math>의 적분은 사라진다. <math>\theta_{2}</math>과 그 이후의 변수들에 대한 적분은 비슷한 방법으로 계산된다.

=== 그라스만 변수 변환 ===
<math>\theta_{i}=\theta_{i}\left(\xi_{1},\ldots,\xi_{n}\right),\ i=1,\ldots,n,</math>를 어떤 반대칭 변수 <math>\xi_{1},\ldots,\xi_{n}</math> [[홀수와 짝수|홀수]] 다항식리하 하자. 야코비 행렬은 행렬

: <math>D=\left\{ \frac{\partial\theta_{i}}{\partial\xi_{j}},\ i,j=1, \ldots, n\right\}</math>

이다. 여기서 <math>\partial /\partial\xi_{j}</math> ''오른쪽 편도함수을'' 나타낸다( <math>\partial(\theta_1\theta_2) /\partial\theta_2 = \theta_1, \; \partial(\theta_1\theta_2) /\partial\theta_1 = -\theta_2</math> ). 좌표 변환 공식은 다음과 같다.

: <math>\int f(\theta) \, \mathrm{d}\theta=\int f(\theta( \xi))(\det D)^{-1} \, \mathrm{d}\xi.</math>

== 짝수 변수와 홀수 변수 적분하기 ==

=== 정의 ===
이제   실 가환변수 <math>x=x_{1},\ldots,x_{m}</math>의 함수들과 반교환 변수 <math>\theta_{1},\ldots,\theta_{n}</math>들의 함수들의 대수 <math>\Lambda^{m\mid n}</math>를 고려하자. (이를 <math>(m|n)</math>차원 자유 초대수라고 한다. ). 직관적으로 함수 <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}</math>는 m 짝수([[보손]], 교환) 변수와 n 홀수(페르미온, 반교환) 변수의 함수이다. 보다 공식적으로는 원소 <math>f=f(x,\theta) \in\Lambda^{m\mid n}</math>는 열린 집합 <math>X\subset\R^{m}</math>에서는 변하는 인수 <math>x</math>의 <math>\Lambda^{n}</math> 대수의 값 함수이다. 이 함수가 연속적이고 콤팩트 집합 <math>K\subset\R^{m}</math>의 여집합에서는 사라진다고 하자. 그러면  베레진 적분은 다음과 같다.

: <math>\int_{\Lambda^{m\mid n}} f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}x=\int_{\R^m} \, \mathrm{d}x \int_{\Lambda^n} f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta.</math>

=== 짝수 변수와 홀수 변수의 변환 ===
좌표 변환을 다음과 같이 해보자. <math>x_i=x_i (y,\xi),\ i=1,\ldots,m;\ \theta_j=\theta_j (y,\xi),j=1,\ldots, n,</math> 여기서 <math>x_i</math>는 짝수이고 <math>\theta_j</math>들은 짝수 변수 <math>y</math>에 따라 바뀌는 <math>\xi</math>의 홀수 다항식이다. 이 변환의 야코비 행렬은 블록 형식을 갖는다.

: <math>\mathrm{J}=\frac{\partial(x,\theta)}{\partial (y,\xi)}= \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix},</math>

여기서 각 짝수 도함수 <math>\partial/\partial y_{j}</math>들은 대수 <math>\Lambda^{m\mid n}</math>의 모든 원소와 가환이다. 홀수 도함수는 짝수 원소와 가환이고 홀수 원소와 반교환 한다. 대각선 블록의 성분<math>A=\partial x/\partial y</math>와 <math>D=\partial\theta/\partial\xi</math>은 짝수이고 대각선을 벗어난 블록의 성분 <math>B=\partial x/\partial \xi,\ C=\partial\theta/\partial y</math>들은 홀수 함수들이다. 여기서 <math>\partial /\partial\xi_{j}</math>는 다시 오른쪽 ''도함수를'' 의미한다.

이제 행렬 <math>\mathrm{J}</math>의 [[초행렬식|베레지니안]] (또는 ''초행렬식'')이 필요하다. 이는 <math>\det D</math>가 <math>\Lambda^{m\mid n}</math>에서 역행렬이 존재할 때 짝수 함수

: <math>\operatorname{Ber} \mathrm{J} =\det\left( A-BD^{-1}C\right) \det D^{-1}</math>

이다. 실함수 <math>x_i=x_i(y,0)</math>가 <math>\R^m</math>의 열린 집합 <math>X, Y</math> 에 대해 역사상을 가지는 매끄러운 사상 <math>F:Y\to X</math>을 정의한다고 하자. 그리고 사상의 선형 부분 <math>\xi\mapsto\theta=\theta(y,\xi)</math>은 <math>y\in Y</math> 각각에 대해 역사상이 존재한다고 하자. 베레진 적분에 대한 일반 변환 법칙은 다음과 같다.

: <math>
\begin{align}
& \int_{\Lambda^{m\mid n}}f(x,\theta) \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}x = \int_{\Lambda^{m\mid n}} f(x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \operatorname{Ber} \mathrm{J} \, \mathrm{d} \xi \, \mathrm{d}y \\[6pt]
= {} &\int_{\Lambda^{m\mid n}} f (x(y,\xi),\theta (y,\xi)) \varepsilon \frac{\det\left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D} \, \mathrm{d}\xi \, \mathrm{d}y,
\end{align}
</math>

여기서 <math>\varepsilon=\mathrm{sgn}(\det\partial x(y,0)/\partial y</math> )는 사상 <math>F</math>의 방향을 나타내는 기호이다.  중첩 <math>f(x(y,\xi),\theta(y,\xi))</math>은 함수 <math>x_{i}(y,\xi)</math>가 <math>\xi</math>에 독립적일 때 명백하게 정의된다. 일반적인 경우에는 <math>x_{i}(y,\xi) =x_{i}(y,0)+\delta_{i},</math>과 같이 쓴다.  여기서 <math>\delta_{i}, i=1,\ldots,m</math>는 심지어는 <math>\Lambda^{m\mid n}</math>의 멱영원들이다. 그리고

: <math>f(x(y,\xi),\theta) =f(x(y,0),\theta) +\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x(y,0),\theta) \delta_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_i \, \partial x_j}(x(y,0),\theta) \delta_i\delta_j+ \cdots,</math>

라 둔다. 여기서 테일러 급수는 유한하다.

== 유용한 공식 ==
가우스 적분에 대한 다음 공식은 [[양자장론]]의 [[경로 적분 공식화]]에 자주 사용된다. 복소 <math>n \times n</math> 행렬 <math>A</math>에 대해,

* <math>\int \exp\left[-\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A </math>

복소 반대칭 <math>n \times n</math> 행렬 <math>M</math>과  <math>(\mathrm{Pf}\, M)^2 = \det M</math>이 성립하는 <math>M</math>의 [[파피안]] <math>\mathrm{Pf}\, M</math>에 대해

* <math>\int \exp\left[- \tfrac{1}{2} \theta^T M \theta\right] \,d\theta = \begin{cases} \mathrm{Pf}\, M & n \mbox{ even} \\ 0 & n \mbox{ odd} \end{cases} </math>

.

위의 공식에서 표기법 <math> d \theta = d\theta_1\cdots \, d\theta_n </math>이 사용되었다. 이러한 공식에서 다른 유용한 공식이 나온다(<ref>S. Caracciolo, A. D. Sokal and A. Sportiello, Algebraic/combinatorial proofs of Cayley-type identities for derivatives of determinants and pfaffians, Advances in Applied Mathematics, Volume 50, Issue 4, 2013, https://doi.org/10.1016/j.aam.2012.12.001; https://arxiv.org/abs/1105.6270</ref>의 부록 A 참조). :

* <math>\int \exp\left[\theta^TA\eta +\theta^T J + K^T \eta \right] \,d\eta_1\,d\theta_1\dots d\eta_n d\theta_n = \det A \,\,\exp[-K^T A^{-1} J ] </math>

여기서 <math> A</math>는 <math>n \times n</math>  가역 행렬이다. 이러한 적분은 모두 분할 함수의 형태라는 점에 유의하라.

== 역사 ==
교환 및 반교환 변수와의 적분에 대한 수학적 이론은 [[펠릭스 베레진]]에 의해 창안되고 개발되었다.<ref>A. Berezin, ''The Method of Second Quantization'', Academic Press, (1966)</ref> 1956년 David John Candlin<ref>{{저널 인용|제목=On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics|저널=Nuovo Cimento|성=D.J. Candlin|연도=1956|권=4|호=2|쪽=231–239|bibcode=1956NCim....4..231C|doi=10.1007/BF02745446}}</ref> 이 몇 가지 중요한 초기 통찰력을 제시했다. [[물리학자]] Khalatnikov<ref>{{저널 인용|제목=Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov|저널=Journal of Experimental and Theoretical Physics|성=Khalatnikov|이름=I.M.|url=http://jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_001_03_0568.pdf|연도=1955|권=28|호=3|쪽=633|언어=RU|번역제목=The Representation of Green's Function in Quantum Electrodynamics in the Form of Continual Integrals|access-date=2023-10-05|archive-date=2021-04-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20210419060358/http://jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_001_03_0568.pdf|url-status=}}</ref> (그의 논문에는 실수가 포함되어 있음), Matthews 및 Salam,<ref>{{저널 인용|제목=Propagators of quantized field|저널=Il Nuovo Cimento|성=Matthews|이름=P. T.|성2=Salam|이름2=A.|연도=1955|권=2|호=1|출판사=Springer Science and Business Media LLC|쪽=120–134|bibcode=1955NCimS...2..120M|doi=10.1007/bf02856011|issn=0029-6341}}</ref> 및 Martin을 포함한 다른 저자들이 이러한 발전에 기여했다.<ref>{{저널 인용|제목=The Feynman principle for a Fermi system|저널=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|성=Martin|이름=J. L.|날짜=23 June 1959|권=251|호=1267|출판사=The Royal Society|쪽=543–549|bibcode=1959RSPSA.251..543M|doi=10.1098/rspa.1959.0127|issn=2053-9169}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[초다양체]]
* [[베레진 행렬식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽어보기 ==
* Theodore Voronov: ''Geometric integration theory on Supermanifolds'', Harwood Academic 출판사,{{ISBN|3-7186-5199-8}}
* Berezin, Felix Alexandrovich: I''ntroduction to Superanalysis'', Springer 네덜란드,{{ISBN|978-90-277-1668-2}}

[[분류:적분학]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:미분 형식]]
[[분류:다중선형대수학]]
[[분류:초대칭]]
[[분류:양자장론]]