{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=환}}

[[추상대수학]]에서 '''환'''(環, {{llang|en|ring}})은 덧셈과 곱셈이 정의된 [[대수 구조]]의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 [[아벨 군]]을 이루고, [[분배법칙]]과 곱셈의 [[결합법칙]] 및 [[항등원]]의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 [[추상대수학]]의 분야를 '''환론'''(環論, {{llang|en|ring theory}})이라고 한다.

[[가환환]](곱셈의 [[교환법칙]]이 성립하는 환)은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 [[가환대수학]]이라고 한다. 가환대수학은 [[대수기하학]] 및 [[대수적 수론]]과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 [[비가환 기하학]]과 [[양자군]] 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.

환에 대한 관련된 개념으로, [[군의 표현]](혹은 [[가군]])이나 [[군환]], [[나눗셈환]], [[보편 포락 대수]] 등의 특수한 환 및 인접 분야인 [[호몰로지 대수학]] 등이 있다.

== 정의 ==
[[파일:Dedekind.jpeg|thumb|[[환론]]을 창시한 수학자 중 한 명인 [[리하르트 데데킨트]] ]]
'''환'''은 [[아벨 군]]과 [[모노이드]]의 구조를 동시에 갖고, 두 구조가 서로 호환되는 [[대수 구조]]이다. 구체적으로, 환 <math>(R,+,\cdot)</math>은 [[이항 연산]]
:<math>+\colon R\times R\to R</math>
:<math>\cdot\colon R\times R\to R</math>
을 갖추고, 다음 공리들을 만족시키는 [[집합]]이다.<ref>{{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|판=3|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=211|출판사=Springer|zbl=0984.00001|mr=1878556|날짜=2002|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|isbn=978-1-4612-6551-1|언어=en}}</ref>{{rp|83}}<ref>{{서적 인용|성=Cohn|이름=Paul Moritz|제목=Algebra. Volume 1|판=2판|날짜=1982|출판사=John Wiley & Sons|zbl=0481.00001|언어=en}}</ref>{{rp|136}}
* <math>(R, +)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** (덧셈 [[결합 법칙]]) 임의의 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>(r+s)+t=r+(s+t)</math>
** (덧셈 [[교환 법칙]]) 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여,<math>r+s=s+r</math>
** (덧셈 [[항등원]]의 존재) 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>0_R+r=r</math>인 원소 <math>0_R\in R</math>가 존재한다.
** (덧셈 [[역원]]의 존재) 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>r+(-r)=0_R</math>인 원소 <math>-r\in R</math>가 존재한다.
* <math>(R, \cdot)</math>은 [[모노이드]]를 이룬다. 즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
** (곱셈 [[결합 법칙]]) 임의의 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>(rs)t=r(st)</math>
** (곱셈 [[항등원]]의 존재) 임의의 <math>r \in R</math>에 대하여 <math>r1_R=r</math>인 원소 <math>1_R\in R</math>이 존재한다.
* 덧셈과 곱셈 사이에는 [[분배 법칙]]이 성립한다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
** (오른쪽 [[분배 법칙]]) 임의의 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>r(s+t)=rs+rt</math>
** (왼쪽 [[분배 법칙]]) 임의의 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>(s+t)r=sr+tr</math>

환의 개념은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으나, 이들 정의들은 모두 서로 동치이다.
* 환은 [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 [[단위 결합 대수]]이다.
* [[아벨 군]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Ab}</math>는 [[텐서곱]]에 대하여 [[모노이드 범주]]를 이룬다. [[범주론]]적으로, 환은 아벨 군의 모노이드 범주에서의 [[모노이드 대상]]이다.
* 환은 [[아벨 군]]의 [[모노이드 범주]]에 대하여 [[풍성한 범주]] 가운데, 하나의 대상을 갖는 것이다. 이 경우, 환의 원소들은 범주의 유일한 원소의 [[자기 사상]]들이다.

환의 개념은 다음과 같은 개념들과 유사하지만 다른 개념이다.
* 일반적인 환에서는 곱셈 [[교환 법칙]]이 성립하지 않는다. 이 조건을 추가하면, [[가환환]]의 개념을 얻는다.
* 일반적인 환에서는 원소의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않을 수 있다. 0이 아닌 모든 원소가 [[가역원]]이라는 조건을 추가하면, [[나눗셈환]]의 개념을 얻는다.
* 일반적인 환에서는 항상 곱셈 항등원이 존재해야 한다. 이 조건을 생략하면, [[유사환]]이라는 개념을 얻는다. (일부 저자들은 모든 유사환을 "환"이라고 부르기도 한다.<ref>{{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en}}</ref>{{rp|223}}<ref>{{서적 인용|제목=Abstract algebra|날짜=2007|성=Grillet|이름=Pierre Antoine|isbn= 978-0-387-71567-4|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=242|출판사=Springer|doi=10.1007/978-0-387-71568-1|issn=0072-5285|언어=en}}</ref>{{rp|105}})

=== 환 준동형 ===
두 환 <math>R</math>, <math>S</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon R\to S</math>가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, '''환 준동형 사상'''(環準同型寫像, {{llang|en|ring homomorphism}})이라고 한다.
* <math>f</math>는 덧셈 [[군 준동형]]이다. 즉, 임의의 <math>r, s \in R</math>에 대하여, <math>f(r+s) = f(r) + f(s)</math>이다.
* <math>f</math>는 곱셈 [[모노이드]] [[준동형]]이다. 즉, 임의의 <math>r, s \in R</math>에 대하여 <math>f(rs) = f(r)f(s)</math>이며, <math>f(1) = 1</math>이다.
[[유사환]]의 준동형은 <math>f(1)=1</math>일 필요가 없다. 따라서, 모든 환 준동형은 [[유사환]] 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 부분환 ===
환의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq R</math>이 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''부분환'''(部分環, {{llang|en|subring}})이라고 한다.
* <math>S</math>는 덧셈 [[부분군]]을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
**  임의의 <math>s,s'\in S</math>에 대하여, <math>s+s'\in S</math>
**  임의의 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>-s\in S</math>
* <math>S</math>는 곱셈 부분 [[모노이드]]를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** <math>1_R\in S</math>
** 임의의 <math>s,s'\in S</math>에 대하여, <math>ss'\in S</math>
즉, 부분환은 덧셈 부분군이자 곱셈 부분 모노이드인 [[부분 집합]]이다.

[[아이디얼]]은 전체 아이디얼이 아닐 경우 1을 포함하지 않으므로 부분환이 될 수 없다.

=== 가군과 아이디얼 ===
{{본문|가군}}
{{본문|아이디얼}}
환의 특정 부분 집합을 '''[[아이디얼]]'''이라고 한다. 환 <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>이 주어지면, 이에 대한 '''[[몫환]]''' <math>R/\mathfrak a</math>을 정의할 수 있다. 이는 [[군 (수학)|군]]과 그 [[정규 부분군]]이 주어졌을 때, [[몫군]]을 취할 수 있는 것과 마찬가지다.

[[군 (수학)|군]]이나 [[모노이드]]가 [[집합]] 위에 왼쪽·오른쪽에서 [[군의 작용|작용]]할 수 있는 것처럼, 환의 경우 [[아벨 군]] 위에 왼쪽·오른쪽으로 작용할 수 있다. 이렇게 환의 (왼쪽·오른쪽) 작용을 갖춘 아벨 군을 '''왼쪽·오른쪽 [[가군]]'''이라고 한다. 왼쪽·오른쪽 아이디얼은 왼쪽·오른쪽 가군의 특수한 경우이다. 대략, 군의 작용과 환의 작용에 대하여 다음과 같이 대응되는 개념들이 존재한다.
{| class=wikitable
! 군론 !! 환론
|-
| 군 || 환
|-
| [[군의 작용|군의 왼쪽·오른쪽 작용]] || 왼쪽·오른쪽 [[가군]]
|-
| [[부분군]] || [[부분환]]
|-
| [[정규 부분군]] || 양쪽 [[아이디얼]]
|-
| [[몫군]] || 몫환
|-
| [[추이적 작용]] || [[순환 가군]]
|-
| [[안정자군]] || [[소멸자]]
|-
| [[충실한 작용]] || [[충실한 가군]]
|}

== 연산 ==
주어진 환들로부터 새로운 환을 만드는 다양한 연산들이 존재한다.

=== 반대환 ===
환 <math>(R,+,\cdot)</math>이 주어졌을 때, 그 위에 다음과 같은 새로운 곱셈 연산을 주자.
:<math>r\cdot's=s\cdot r\qquad\forall r,s\in R</math>
그렇다면 <math>(R,+,\cdot')</math>은 환을 이루며, 이를 <math>R</math>의 '''반대환'''(反對環, {{llang|en|opposite ring}}) <math>R^{\operatorname{op}}</math>이라고 한다. 즉, <math>R^{\operatorname{op}}</math>는 덧셈 [[아벨 군]]으로서 <math>R</math>와 같지만, 곱셈 [[모노이드]]로서 <math>R</math>의 [[반대 모노이드]]이다.

환을 하나의 대상을 갖는, [[아벨 군]]의 [[모노이드 범주]] 위의 [[풍성한 범주]]로 생각하였을 때, 이는 [[반대 범주]]의 특수한 경우이다.

=== 몫환 ===
[[군론]]의 [[몫군]]이나 [[선형대수학]]의 [[몫공간]]과 마찬가지로, 환론에서도 '''몫환'''(-環, {{llang|en|quotient ring}})의 개념을 정의할 수 있다. 환론에서 [[정규 부분군]]에 해당하는 대상은 [[양쪽 아이디얼]]이며, 이에 대한 몫환은 대략 아이디얼에 속한 원소를 모두 0으로 간주하여 얻는 환이다.

환 <math>R</math> 및 그 속의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>R</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]] <math>\sim</math>를 정의할 수 있다.
:<math>r\sim s\iff r-s\in\mathfrak a\qquad\forall r,s\in R</math>
이 동치 관계에 대한 [[동치류]]는 다음과 같다.
:<math>[r]_\sim = r+\mathfrak a=\{r+a\colon a\in\mathfrak a\}</math>
<math>R/\mathfrak a</math>는 이러한 동치류들의 집합이다. 그 위의 환의 연산은 다음과 같다.
:<math>(r+\mathfrak a)+(s+\mathfrak a)=(r+s)+\mathfrak a</math>
:<math>(r+\mathfrak a)(s+\mathfrak a)=rs+\mathfrak a</math>
이 연산들은 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다는 것을 아이디얼의 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 몫환에서는 <math>0_{R/\mathfrak a}=0+\mathfrak a</math>이며, <math>1_{R/\mathfrak a}=1+\mathfrak a</math>이다.

몫환에 대하여, 표준적인 [[전사 함수|전사]] 환 준동형
:<math>R\twoheadrightarrow R/\mathfrak a</math>
:<math>r\mapsto r+\mathfrak a</math>
이 존재한다.

=== 직접곱 ===
{{본문|직접곱}}
환의 모임은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 환들의 집합의 '''[[직접곱]]'''을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]을 이룬다. 이는 덧셈 [[아벨 군]]으로서는 아벨 군들의 [[직접곱]]이며, 곱셈 [[모노이드]]로서는 모노이드들의 [[직접곱]]이다.

=== 자유곱 ===
{{본문|자유곱}}
환의 모임은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 환들의 집합의 '''[[자유곱]]'''을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 [[쌍대곱]]을 이룬다. 일반적으로, 환들의 자유곱은 매우 복잡하다.

=== 다항식환 ===
{{본문|다항식환}}
{{본문|텐서 대수}}
환 <math>R</math> 및 집합 <math>X=\{x_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, <math>x_i</math>들을 <math>R</math>에 형식적 가환 변수로 간주하여 추가할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 환 <math>R[X]</math>를 <math>R</math> 위의 '''[[다항식환]]'''({{llang|en|polynomial ring}})이라고 한다. 만약 <math>R</math>가 가환환이라면 <math>R[X]</math> 역시 가환환이다.

환 <math>R</math> 및 집합 <math>X=\{x_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, <math>x_i</math>들을 <math>R</math>에 가환하지 않는 형식적 변수로 간주하여 추가할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 환 <math>R\langle X\rangle</math>를 <math>R</math> 위의 '''[[텐서 대수|비가환 다항식환]]'''({{llang|en|noncommutative polynomial ring}})이라고 한다. 이는 <math>R</math>가 가환환이더라도 (<math>X</math>가 공집합이 아니고, <math>R</math>가 [[자명환]]이 아니라면) 항상 가환환이 아니다.

== 성질 ==
=== 기초적 성질 ===
환 <math>R</math>의 임의의 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, 다음이 성립한다. 여기서 <math>0,1\in R</math>는 환의 덧셈 및 곱셈 항등원이다.
*<math>0r=r0=0</math>.
** 증명: 이는 <math>0r=0r+0(r-r)=(0+0)r-0r=0r-0r=0</math>이며, 마찬가지로 <math>r0=r0+(r-r)0=r(0+0)-r0=r0-r0=0</math>이기 때문이다.
* <math>(-1)r=r(-1)=-r</math>
** 증명: <math>r+(-1)r=1r+(-1)r=(1-1)r=0</math>이므로, 덧셈 역원의 정의에 따라 <math>(-1)r=-r</math>이다. <math>r(-1)=-r</math>도 마찬가지다.
* <math>(-r)s=r(-s)=-(rs)=(-1)rs</math>. 이는 위 성질과 곱셈의 결합 법칙으로부터 자명하다.
* 만약 <math>r</math>와 <math>s</math>가 [[가역원]]이라면, <math>rs</math> 역시 가역원이며, 그 역원은 <math>(rs)^{-1}=s^{-1}r^{-1}</math>이다. 따라서 가역원들의 집합은 [[가역원군]]이라는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.
** 증명: 결합 법칙에 따라서 <math>(rs)(s^{-1}r^{-1})=r(ss^{-1})r^{-1}=rr^{-1}=1</math>이다. 마찬가지로 <math>(s^{-1}r^{-1})(rs)=1</math>이다.

환 가운데, <math>0=1</math>인 것은 [[자명환]]밖에 없다. 이는 임의의 원소 <math>r</math>에 대하여 <math>r=1r=0r=0</math>이기 때문에, 원소가 0밖에 없기 때문이다.

환의 경우, 다른 [[대수 구조]]와 마찬가지로 [[준동형 정리]]와 [[동형 정리]]가 성립한다.

=== 범주론적 성질 ===
환과 [[환 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>은 [[대수 구조 다양체]]의 범주이므로, [[완비 범주]]이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 [[극한 (범주론)|극한]]과 쌍대극한은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 범주론의 개념 !! 환론의 개념
|-
! [[시작 대상]]
| [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>
|-
! [[끝 대상]]
| [[자명환]] <math>0</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| [[직접곱]] <math>\prod_{i\in I}R_i</math>
|-
! [[쌍대곱]]
| 환의 [[자유곱]]
|-
! [[동등자]]
| [[집합]]과 [[함수]]의 범주에서의 동등자
|-
! [[쌍대동등자]]
| <math>f,g\colon R\to S</math>의 쌍대동등자는 [[아이디얼]] <math>(f(r)-g(r)\colon r\in R)\subseteq S</math>에 대한 [[몫환]]이다.
|-
! [[단사 대상]]
| [[자명환]] <math>0</math>
|-
! [[모노이드 대상]]
| [[가환환]]
|-
! [[단사 사상]]
| [[단사 함수]]인 환 준동형
|-
! [[전사 사상]]
| (복잡함)<ref>{{웹 인용|url=http://www.math.umn.edu/~bahra004/full_epic.pdf|제목=Some characterizations of ring epimorphisms|언어=en}}</ref>
|}
특히, 환의 [[전사 사상]]은 [[전사 함수]]일 필요가 없다. 하지만 반대로 전사 함수인 환 준동형은 항상 환의 전사 사상이다.

==== 함자 ====
환의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math>은 [[아벨 군]]의 범주 · [[모노이드]]의 범주 · [[집합]]의 범주로 가는 [[충실한 함자|충실한]] 망각 [[함자 (수학)|함자]]를 갖는다. 이들은 각각 곱셈과 덧셈을 잊는다.
:<math>A\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Ab}</math>
:<math>M\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Mon}</math>

이 두 함자는 모두 왼쪽 [[수반 함자]]를 갖는다.
* <math>A</math>의 왼쪽 수반 함자는 [[아벨 군]] <math>G</math>를 ([[정수환]] 위의 [[가군]]으로 생각하여) 그 [[텐서 대수]] <math>\operatorname T(G)</math>에 대응시킨다.
* <math>M</math>의 왼쪽 수반 함자는 [[모노이드]] <math>M</math>을 정수 계수의 [[모노이드 환]] <math>\mathbb Z[M]</math>에 대응시킨다.

이들은 다른 함자와 다음과 같이 합성할 수 있다.
* 군에서 모노이드로 가는 망각 함자 <math>F\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Mon}</math>는 왼쪽 및 오른쪽 [[수반 함자]]를 가지며, 이 가운데 왼쪽 수반 함자는 모노이드를 그 [[가역원군]]으로 대응시킨다. 이를 환에서 모노이드로 가는 망각 함자와 합성하면, [[가역원군]] 함자 <math>\operatorname{Unit}\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Grp}</math>를 얻는다. 이는 (정의에 따라) 왼쪽 함자를 가지며, 이는 군 <math>G</math>를 정수 계수 [[군환]] <math>\mathbb Z[G]</math>에 대응시킨다.
* [[아벨 군]]의 범주와 [[모노이드]]의 범주 둘 다 [[구체적 범주]]이므로, 집합의 범주로 가는 망각 함자를 얻는다. 이를 합성하면, 환의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자 <math>\operatorname{Ring}\to\operatorname{Set}</math>를 얻어, 환의 범주 역시 [[구체적 범주]]를 이룬다. 이 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 [[집합]] <math>S</math>를 정수 계수 [[비가환 다항식환]] <math>\mathbb Z\langle S\rangle</math>에 대응시킨다. 이는 <math>S</math> 위의 [[자유 아벨 군]]의 텐서 대수 <math>\operatorname T(\mathbb Z^{\oplus|S|})</math>와 같으며, <math>S</math> 위의 [[자유 모노이드]]의 정수 계수 [[모노이드 환]]과도 같다.

이 밖에도, 환의 범주에서 [[유사환]]의 범주로 가는 포함 함자
:<math>\operatorname{Ring}\to\operatorname{Rng}</math>
가 존재한다. 이는 [[충실한 함자]]이지만 [[충만한 함자]]가 아니다. (즉, 유사환의 준동형 가운데 환 준동형이 아닌 것이 존재한다.) 이 포함 함자는 왼쪽 [[수반 함자]]
:<math>\hat{}\colon\operatorname{Rng}\to\operatorname{Ring}</math>
:<math>\hat R\colon R\mapsto R\oplus\mathbb Z</math>
를 가지며, 이를 유사환의 [[유사환#단위화|단위화]]라고 한다.

=== 군론적 성질 ===
환 <math>R</math>가 주어졌을 때, 곱셈 구조를 잊으면 [[아벨 군]]을 얻는다. 반대로, 모든 [[유한 생성 아벨 군]] 위에는 하나 이상의 환 구조가 존재한다. 구체적으로, 임의의 유한 생성 아벨 군은 유한 개의 소수 거듭제곱 크기의 [[순환군]] 및 유한 개의 [[무한 순환군]]들의 [[직합]]이다.
:<math>\operatorname{Cyc}(\infty)^{\oplus n_0}\bigoplus_i\operatorname{Cyc}(p_i^{n_i})</math>
이 아벨 군은 다음 환의 덧셈군이다.
:<math>\mathbb Z^{\oplus n_0}\bigoplus_i\mathbb Z/(p_i^{n_i})</math>

환 <math>R</math>가 주어졌을 때, 환의 여러 성질들은 그 덧셈군만으로 유추할 수 있다. 예를 들어, [[환의 표수]]는 덧셈군만으로 정의가 가능하며, 또한 환의 일부 [[아이디얼]]들의 존재 역시 유추할 수 있다.

[[유한환]]의 분류에 따라, 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(n)</math> 위의 가능한 환 구조는 정수환의 몫환 <math>\mathbb Z/(n)</math>밖에 없다. 보다 일반적으로, <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>위의 가능한 유사환 구조들은 <math>n</math>의 양의 약수들과 일대일 대응하며, <math>\operatorname{Cyc}(n)=\langle a|na=0\rangle</math>이라고 놓으면 <math>k\mid n</math>에 대응하는 유사환은 <math>a^2=ka</math>이다.<ref name="Fine">{{저널 인용|제목=Classification of finite rings of order <math>p^2</math>|jstor=2690742|url=https://www.maa.org/sites/default/files/Classification_of_Finite-Fine04025.pdf|doi=10.2307/2690742|저널=Mathematics Magazine|권=66|호=4|날짜=1993-10|쪽=248–252|issn=0025-570X|언어=en|access-date=2015-04-21|archive-date=2015-04-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20150411032758/https://www.maa.org/sites/default/files/Classification_of_Finite-Fine04025.pdf|url-status=}}</ref>{{rp|Theorem 1}}<ref name="Fuchs">{{서적 인용|제목=Infinite Abelian groups, volume 2|이름=L.|성=Fuchs|언어=en}}</ref>{{rp|283}}

[[무한 순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(\infty)</math> 위의 가능한 환 구조는 정수환 <math>\mathbb Z</math>밖에 없다. 보다 일반적으로, <math>\mathbb Z</math> 위의 가능한 유사환 구조들은 음이 아닌 정수들과 일대일 대응하며, 구체적으로 정수환의 아이디얼 <math>(n)\subseteq\mathbb Z</math>과 동형이다.<ref name="Fuchs"/>{{rp|283, Exercise 68.5}}

[[꼬임군|꼬임 아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.<ref name="Fuchs"/>{{rp|290, Proposition 120.8}}
* 원소들의 차수가 유계이다. 즉, <math>\textstyle\sup_{g\in G}\min\{n\in\mathbb Z^+\colon ng=0\}<\infty</math>이다.
* <math>G</math>를 덧셈군으로 하는 환이 적어도 하나 존재한다.
예를 들어, 덧셈군 <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>이나 [[프뤼퍼 군]] 위에는 환 구조가 존재하지 않는다. 물론, 임의의 아벨 군에 대하여 이를 덧셈군으로 하는 [[유사환]]은 항상 존재한다. (아벨 군에 모든 곱이 0인 곱셈을 주면 된다.)

임의의 환 <math>R</math>에 대하여, 그 [[가역원군]] <math>\operatorname{Unit}(R)</math>은 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 반대로, 군 <math>G</math>에 대하여, [[군환]] <math>\mathbb Z[G]</math>의 가역원군은 <math>G</math>를 부분군으로 갖는다.
:<math>G\subseteq\operatorname{Unit}(\mathbb Z[G])</math>
소수 크기의 유한 순환군 <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Fuchs"/>{{rp|323, Exercise 129.4}}
* <math>p=2</math>이거나, <math>p=2^n-1</math>의 꼴이다.
* [[가역원군]]이 <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>인 환이 존재한다.

=== 모형 이론적 성질 ===
환은 다음과 같은 연산들을 갖춘 [[대수 구조]]이다.
* 두 개의 이항 연산 (<math>+</math>, <math>\cdot)</math>
* 한 개의 1항 연산 (<math>-</math>)
* 두 개의 0항 연산 (<math>0</math>, <math>1</math>)
환들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. (반면, 예를 들어 [[체 (수학)|체]]의 모임은 역수 조건이 대수적이지 않으므로 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.) 마찬가지로, 다음 모임들은 대수 구조 다양체를 이룬다.
* 소수 <math>p</math>에 대하여 [[환의 표수|표수]]가 <math>p</math>이거나 아니면 [[자명환]]인 환들의 모임
* 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 표수가 <math>n</math>의 약수인 환들의 모임
* [[가환환]]들의 모임
* [[폰 노이만 정칙환]]들의 모임

환의 대수 구조 다양체에서, (보편 대수학적) [[준동형]]은 통상적인 환 준동형과 같으며, 부분 대수는 통상적인 [[부분환]]과 같으며, 단순 대수는 통상적인 [[단순환]]과 같다.

환의 대수 구조 다양체에서, [[합동 관계]]는 양쪽 [[아이디얼]]과 같다. 구체적으로, 환 <math>R</math>의  [[합동 관계]]들의 집합과 양쪽  [[아이디얼]]들의 집합 사이에는 [[일대일 대응]]이 존재하며, 합동 관계 <math>\sim</math>에 대응하는 아이디얼은 0과 합동인 원소들의 집합 <math>\{r\colon r\sim0\}</math>이다.<ref name="Burris">{{서적 인용|성=Burris|이름=Stanley N.|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar|날짜=1981|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|제목=A course in universal algebra|출판사=Springer|zbl=0478.08001|mr=0648287 |isbn=978-1-4613-8132-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=78|언어=en}}</ref>{{rp|39–40}}

환의 대수 구조 다양체에서, 환 <math>R</math>의 보편 대수학적 중심은 통상적인 [[환의 중심]]이 아니라, 다음과 같은 양쪽 [[아이디얼]]이다.<ref name="Burris"/>{{rp|93}}
:<math>\{r\in R\colon rR=Rr=\{0\}\}</math>
이는 환의 스스로의 왼쪽 가군으로서의 [[소멸자]]와 스스로의 오른쪽 가군으로서의 [[소멸자]]의 [[교집합]]과 같다.

=== 격자 이론적 성질 ===
환 <math>R</math>에 대하여, 양쪽 아이디얼들의 (포함 관계에 대한) [[부분 순서 집합]] <math>(\operatorname{Ideal}(R),\subseteq)</math>는 [[완비 격자|완비]] [[모듈러 격자]]를 이룬다.<ref name="Burris"/>{{rp|16, Exercise 3.6}}
이 격자에서 만남 <math>\wedge</math>은 두 양쪽 아이디얼의 [[교집합]]이며, 이음 <math>\vee</math>는 두 양쪽 아이디얼의 합 아이디얼이다.
:<math>\mathfrak a\wedge\mathfrak b=\mathfrak a\cap\mathfrak b</math>
:<math>\mathfrak a\vee\mathfrak b=\mathfrak a+\mathfrak b</math>
아이디얼의 격자가 [[분배 격자]]인 환은 '''[[산술환]]'''({{llang|en|arithmetical ring}})이라고 한다.

마찬가지로, <math>R</math>의 모든 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합이나, 오른쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다. (이는 모든 [[가군]]의 부분 가군 격자가 완비 모듈러 격자라는 정리의 특수한 경우이다.)

또한, <math>R</math>의 유한 생성 양쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 모듈러 이음 반격자({{llang|en|modular join-semilattice}})를 이룬다.<ref name="Grätzer">{{서적 인용|제목=Lattice theory: foundation|성=Grätzer|이름=George|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1|출판사=Springer|날짜=2011|isbn=978-3-0348-0017-4|언어=en}}</ref>{{rp|189, Exercise 5.44}}

환 <math>R</math>의 [[부분환]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>(\operatorname{Sub}(R),\subseteq)</math> 역시 [[완비 격자]]를 이루며, 추가로 [[대수적 격자]]를 이룬다.

== 종류 ==
다양한 종류의 특별한 환들은 특별한 이름을 갖는다. 이들 가운데 대표적인 것들 및 이들 사이의 함의 관계는 다음과 같다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|153}}
{| style="text-align:center"
| [[체 (수학)|체]] || ⇒ || [[정역]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || ⇘
|-
|[[나눗셈환]] || ⇒ || [[영역 (환론)|영역]] || ⇒ || [[축소환]]
|-
| ⇓ || || ⇓ || || ⇓
|-
| 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]] || ⇒ || [[반소환]]
|}

위 개념들과 독립적으로, '''[[뇌터 환]]'''은 "지나치게 크지 않은" 환이다. '''[[아르틴 환]]'''은 "매우 작은 (0차원)" 환이다. 모든 아르틴 환은 뇌터 환이나, 그 역은 성립하지 않는다.

=== 가환환 ===
{{본문|가환환}}
곱셈에 대해 [[교환 법칙]]이 성립하는 환을 '''[[가환환]]'''이라고 한다. 가환환의 경우 다양한 특수한 개념들이 존재하는데, 그 포함 관계는 다음과 같다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = [[주 아이디얼 정역]]  ⊋ [[유클리드 정역]]  ⊋ [[체 (수학)|체]]
특히, 모든 '''[[체 (수학)|체]]'''는 가환환이다.

만약 덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 '''[[나눗셈환]]'''이라고 부른다. 가환환인 [[나눗셈환]]은 [[체 (수학)|체]]와 같다.

== 분류 ==
모든 환들을 분류하는 것은 현재 수학으로서는 불가능하다. 다만, 일반적인 환에 대하여 다음과 같은 4단계의 대략적인 구조론이 존재한다.<ref name="Lam"/>{{rp|196, (12.8)}}
# 임의의 환 <math>R</math>는 그 [[제이컵슨 근기]] <math>\operatorname J(R)</math> 및 [[몫환]] <math>R/\operatorname J(R)</math>로 분해되며, 제이컵슨 근기에 대한 몫환은 항상 [[반원시환]]이다.
# 모든 [[반원시환]] <math>R</math>는 왼쪽 [[원시환]]들의 [[직접곱]] <math>\textstyle\prod_iR_i</math>의 [[부분환]] <math>\textstyle R\subseteq\prod_iR_i</math>으로 나타내어지며, 이 경우 사영 준동형 <math>R\to R_i</math>는 [[전사 함수]]이다.
# 모든 왼쪽 [[원시환]] <math>R</math>는 [[나눗셈환]] <math>D</math> 위의 [[자유 가군]] <math>V</math>의 [[선형 변환]]환 <math>\operatorname{End}_DV</math>의 (적절한 위상에서의) [[조밀 집합]]인 [[부분환]] <math>R\subseteq\operatorname{End}_DV</math>이다. ('''[[제이컵슨 조밀성 정리]]''')
# 모든 [[나눗셈환]] <math>D</math>에 대하여, 그 [[환의 중심|중심]] <math>Z(D)</math>는 [[체 (수학)|체]]를 이루며, <math>D</math>는 체 <math>Z(D)</math> 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.
특별한 종류의 환들의 경우, (거의) 완전한 분류가 존재한다. 예를 들어, 많은 종류의 [[유한환]]은 완전히 분류되었고, 마찬가지로 [[아르틴 환|아르틴]] [[단순환]] 및 [[반단순환]] 역시 완전히 분류되었다 ('''[[아르틴-웨더번 정리]]''').

== 예 ==
* 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>에 (표준적인) 덧셈과 곱셈을 부여하면, [[가환환]]을 이룬다. 이는 [[한원소 집합]] 위의 [[자유 대수|자유환]]이다.
* 모든 [[체 (수학)|체]]는 환을 이룬다. 예를 들어, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>, [[실수]]의 집합 <math>\mathbb R</math>, [[복소수]]의 집합 <math>\mathbb C</math>는 체이며 따라서 환을 이룬다.
* <math>n</math>이 양의 정수일 때, [[몫환]] <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math>는 환을 이룬다. 이 [[몫환]]은 [[합동 산술]]의 기초를 이룬다.
* [[한원소 집합]] <math>\{0\}</math>에, 연산 <math>0+0=0\cdot0=0</math>을 부여하면 환을 이룬다. 이를 [[자명환]]이라고 한다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위에 정의된 실수 [[연속 함수]]의 집합 <math>\mathcal C(X,\mathbb R)</math>은 [[가환환]]을 이룬다. 이때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 <math>f(x)</math> 와 <math>g(x)</math>의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.
*: <math>f+g\colon x\mapsto f(x) + g(x)</math>
*: <math>fg\colon x\mapsto  f(x) g(x)</math>
* 어떤 환 <math>R</math>이 주어졌을 때, [[다항식환]] <math>R[x_1,x_2,\cdots,x_n]</math>은 환을 이룬다. 만약 <math>R</math>가 가환환이라면 다항식환 역시 가환환이다.
* 환 <math>R</math> 및 [[자연수]] <math>n</math>이 주어졌을 때, <math>R</math>의 원소들의 <math>n\times n</math> [[정사각행렬]]의 집합 <math>\operatorname{Mat}(R;n)</math>은 행렬의 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이루며, 이를 [[행렬환]]이라고 한다. 일반적으로 이는 가환환이 아니다.
* [[불 대수]] <math>(B,\land,\lor)</math> (예를 들어, 어떤 [[집합]]의 [[멱집합]])는 다음과 같이 [[가환환]]의 구조를 줄 수 있다.
*: <math>a+b=(a\lor b)\land\lnot(a\land b)</math>
*: <math>ab=a\land b</math>

== 역사 ==
환의 연구는 [[다항식환]] 및 [[수체]]의 [[대수적 정수]]의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 [[리하르트 데데킨트]]가 도입했으며, 1897년에 [[다비트 힐베르트]]가 [[수체]]의 [[대수적 정수환]]을 다루는 동안 처음으로 "수환"({{llang|de|Zahlring|찰링}} = {{llang|de|Zahl|찰}}(數) + {{llang|de|Ring|링}}(環))이라는 용어를 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper|저널=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung|권=4|쪽=175–546|날짜=1897|jfm=28.0157.05|언어=de}}</ref>

[[아브라함 프렝켈]]은 1914년에<ref>{{저널 인용|이름=Adolf|성=Fraenkel|저자링크=아브라함 프렝켈|제목=Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=145|날짜=1914|jfm=45.0324.02|쪽=139–176|issn=0075-4102|doi= 10.1515/crll.1915.145.139|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002168197|언어=de}}</ref> 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, [[에미 뇌터]]는 1921년의 논문<ref>{{저널 인용|이름=Emmy|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|날짜=1921|제목=Idealtheorie in Ringbereichen|저널=Mathematische Annalen|권=83|호=1–2|쪽=24–66|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|doi=10.1007/BF01464225|issn=0025-5831|jfm=48.0121.03|언어=de|확인날짜=2015-04-16|보존url=https://web.archive.org/web/20150712144807/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|보존날짜=2015-07-12|url-status=dead}}</ref>에서 [[가환환]]의 이론을 공리적으로 전개하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[체 (수학)]]
* [[군 (수학)]]
* [[유사환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ring}}
* {{eom|title=Associative rings and algebras}}
* {{매스월드|id=Ring|title=Ring}}
* {{매스월드|id=UnitRing|title=Unit ring}}
* {{nlab|id=ring|title=Ring}}
* {{nlab|id=Ring|title=Category of rings}}

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}

[[분류:환론| ]]
[[분류:대수 구조]]