{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''순환 범주'''(循環範疇, {{llang|en|cycle category}})는 [[단체 범주]]를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 [[작은 범주]]이다. 순환 범주의 [[반대 범주]]를 [[정의역]]으로 갖는 함자를 '''순환 대상'''(循環對象, {{llang|en|cyclic object}})이라고 한다. [[가군]] 범주 속의 순환 대상에 대하여 [[순환 호몰로지]]를 정의할 수 있다.

== 정의 ==
=== 순환 범주 ===
'''순환 범주'''(循環範疇, {{llang|en|cycle category}}) <math>\operatorname{Cyc}</math>는 다음과 같은 [[작은 범주]]이다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref>{{rp|202, Definition 6.1.1}}
* <math>\operatorname{Cyc}</math>의 대상은 [[자연수]] (음이 아닌 정수) <math>n\in\mathbb N</math>이다.
* <math>\operatorname{Cyc}</math>의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
*:<math>\delta^i_n\colon n-1\to n \qquad(0\le i\le n)</math> ('''면 사상''')
*:<math>\sigma^i_n\colon n+1\to n \qquad(0\le i\le n)</math> ('''퇴화 사상''')
*:<math>\tau_n \colon n\to n</math> ('''순환 사상''')
* 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, <math>\tau</math>를 포함하지 않는 것들은 [[단체 범주]] <math>\triangle</math>의 정의에 등장하는 것과 같다.)
*:<math>\delta^j_{n-1}\circ\delta^i_n = \delta^i_{n-1}\circ\delta^{j-1}_n\qquad(0\le i<j)</math>
*:<math>\sigma^j_{n+1}\circ\sigma^i_n = \sigma^i_{n+1} \circ \sigma^{j+1}_n\qquad(0\le i\le j)</math>
*:<math>\sigma^j_n\circ\delta^i_{n+1} = \begin{cases}
\delta^i_n\circ\sigma^{j-1}_{n-1}&i < j\\
\operatorname{id}_n& i\in \{j,j+1\} \\
\delta^{i-1}_n\circ\sigma^j_{n-1} & i > j+1
\end{cases}</math>
*:<math>\overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1} = \operatorname{id}_n</math>
*:<math>\tau_n \circ \delta^i_n = \delta^{i-1}_n \circ \tau_{n-1} \qquad(1\le i\le n)</math>
*:<math>\tau_n\circ\sigma^i_n = \sigma^{i-1}_n\circ\tau_{n+1} \qquad(1\le i\le n)</math>

이제, 임의의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 위의 '''순환 대상'''은 순환 범주의 [[반대 범주]]에서 <math>\mathcal C</math>로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>
이다.

=== 순환 대상의 구체적 정의 ===
구체적으로, [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 '''순환 대상'''은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[단체 대상]] <math>(X_\bullet,\partial_\bullet^i,d_\bullet^i)</math>. 여기서 <math>\partial_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}</math>는 면(面)이며, <math>s_\bullet^i\colon X_\bullet\to X_{\bullet-1}</math>는 퇴화 단체이다.
* 일련의 [[동형 사상]]들 <math>t_n\colon X_n\to X_n</math>, <math>n\in\mathbb N</math>
이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
* (순환의 순환성) <math>\overbrace{t_n\circ\dotsb\circ t_n}^{n+1} = \operatorname{id}_{X_n}</math>. 특히, <math>t_0 = \operatorname{id}_{X_0}</math>이다.
* (순환과 면의 호환) <math>\partial^i_n\circ t_n = t_{n-1} \circ \partial^{i-1}_n\qquad(1\le i\le n)</math>
* (순환과 퇴화 단체의 호환) <math>s^i_n \circ t_n = t_{n+1}\circ s^{i-1}_n \qquad (1\le i\le n)</math>

=== 일반적 정의 ===
순환 대상의 개념은 [[순환군]] 말고도 [[정이면체군]]이나 [[대칭군 (군론)|대칭군]] 등으로 일반화될 수 있다.

'''교차단체군'''(交叉單體群, {{llang|en|crossed simplicial group}})은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[단체 집합]] <math>G_\bullet\colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \operatorname{Set}</math>
* 임의의 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>G_n</math> 위의 [[군 (수학)|군]] 구조
* 임의의 <math>m,n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>\hom_\triangle(m,n)</math> 위의, <math>G_n</math>의 [[군의 작용|오른쪽 군 작용]] <math>\hom_\triangle(m,n)\times G_n \to \hom_\triangle(m,n)</math>
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.<ref name="Loday"/>{{rp|205, Proposition 6.1.6}}
* 임의의 <math>\phi\in \hom_\triangle(m,n)</math> 및 <math>\chi\in\hom_\triangle(n,p)</math> 및 <math>g\in G_p</math>에 대하여,
*:<math> (\chi \circ \phi)\cdot g = (\chi\cdot g) \circ \left(\phi \cdot G(\chi^{\operatorname{op}})(g) \right)  \in \hom_\triangle(m,p)</math>
* 임의의 <math>g,h\in G_n</math> 및 <math>\phi\in\hom_\triangle(m,n)</math>에 대하여,
*:<math>G(\phi^{\operatorname{op}})(gh) = 
G(\phi\cdot h)^{\operatorname{op}}(g) G(\phi^{\operatorname{op}})(h) \in G_m </math>

교차단체군의 예는 다음이 있다.
* 모든 [[단체 대상|단체군]]은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
* [[순환군]] <math>G_n=\operatorname{Cyc}(n+1)</math>
* [[정이면체군]] <math>G_n = \operatorname{Dih}(n+1)</math>
* [[쌍순환군]] <math>G_n=\operatorname{Dic}(n+1)</math>
* [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>G_n = \operatorname{Sym}(n+1)</math>

교차단체군 <Math>G_\bullet</math>이 주어졌을 때, 임의의 <math>\phi\in\hom_\triangle(m,n)</math> 및 <math>g\in G_n</math>에 대하여 편의상
:<math>g\cdot\phi = G(\phi^{\operatorname{op}})(g) \in G_m</math>
로 표기하자. 이는
:<math>g\cdot(\phi\circ\chi) = (g\cdot\phi)\cdot\chi</math>
를 만족시킨다.

교차단체군 <math>G_\bullet</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 [[작은 범주]] <math>\triangle_{G_\bullet}</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\triangle_{G_\bullet}</math>의 대상은 [[자연수]]이다. 즉, [[단체 범주]] <math>\triangle</math>의 대상과 같다.
* <math>\triangle_{G_\bullet}</math>의 사상들은 다음과 같은 꼴의 [[순서쌍]]이다.
*:<math>\hom_{\triangle_{G_\bullet}}(m, n) = \hom_\triangle(m,n) \times G</math>
* 사상의 합성은 다음과 같다.<ref name="Loday"/>{{rp|207, Corollary 6.1.7}} 여기서, <math>g\in G_n</math>에 대하여 <math>\tau_g\colon \hom_{\triangle_{G_\bullet}}(n,n)</math>은 <math>(\operatorname{id}_n,g)</math>에 대응하는 사상이며, <Math>\phi\in\hom_\triangle(m,n)</math>이다.
*:<math>\phi \circ \tau_g = (\phi,g) \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m))</math>
*:<math>\tau_g \circ \phi = (\phi\cdot g) \circ \tau_{g\cdot\phi} \qquad(\phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_n))</math>

그렇다면, 범주 <math>\mathcal C</math> 속의 '''<math>G_\bullet</math>-대상'''은 함자
:<math>\triangle_{G_\bullet}^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>
이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
:<math>G_n=\operatorname{Cyc}(n+1) = \langle t_n| t_n^{n+1} = 1\rangle</math>
:<math>\delta^i \cdot g = \begin{cases}
\delta^{i-1} & 1\le i \le n \\
\delta^n & i = 0
\end{cases} </math>
:<math>\sigma^i \cdot g = \begin{cases}
\sigma^{i-1} & 1\le i \le n \\
\sigma^n & i = 0
\end{cases} </math>
:<math>t_n\cdot\delta^i_n = \begin{cases}
t_{n-1} & i \ge 1 \\
1 & i=0
\end{cases}
</math>
:<math>t_n\cdot\sigma^i_n = \begin{cases}
t_{n+1} & i \ge 1\\
t_{n+1}^2 & i = 0
\end{cases}
</math>
그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 <math>G_\bullet</math>-대상은 '''순환 대상'''이라고 한다.

== 성질 ==
순환 범주 <math>\operatorname{Cyc}</math>는 스스로의 [[반대 범주]]와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 [[함자]]에 의하여 주어진다.<ref name="Loday"/>{{rp|208, Proposition 6.1.11}}
:<math>\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Cyc}</math>
:<math>n^{\operatorname{op}}\mapsto n</math>
:<math>(\delta_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto\begin{cases}
\sigma_{n-1}^i &  i < n\\
\sigma^0_{n-1} \circ \tau_n^{-1} & i = n
\end{cases}</math>
:<math>(\sigma_n^i)^{\operatorname{op}} \mapsto \delta^{i+1}_{n+1}</math>

=== 사상 ===
순환 범주 <math>\triangle_{\operatorname{Cyc}}</math>에서, 모든 사상 <math>f\colon m\to n</math>는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.<ref name="Loday"/>{{rp|203, Theorem 6.1.3(2)}}
:<math> f'\circ \overbrace{t_m\circ\dotsb\circ t_m}^k\qquad(f'\in\hom_\triangle(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc,n\})</math>

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 <math>G_\bullet</math>에 대하여, 범주 <math>\triangle_{G_\bullet}</math>에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
:<math>\phi \circ \tau_g \colon \phi\in\hom_\triangle(m,n),\;g\in G_m </math>

순환 범주 <math>\triangle_{\operatorname{Cyc}}</math>에서, 다음이 성립한다.<ref name="Loday"/>{{rp|202, Definition 6.1.1}}
* <math>\tau_n\circ \delta^0_n = \delta^n_n</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>
\begin{aligned}
\tau_n\circ\delta^0_n  &= \tau_n\circ\delta^0_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^n \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ \delta^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^{n-1} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ \delta^2_n\circ
\overbrace{\tau_{n-1}\circ\dotsb\circ\tau_{n-1}}^{n-2} \\
&\qquad\vdots \\
&= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ \delta^n_n \\
&= \delta_n
\end{aligned}</math>
</div></div>
* <math>\tau_n\circ\sigma^0_n = \sigma^n_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}</math>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>
\begin{aligned}
\tau_n\circ\sigma^0_n  &= \tau_n\circ\sigma^0_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^{n+2} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^{n+1} \\
&= \tau_n\circ\tau_n\circ\tau_n\circ\sigma^1_n\circ
\overbrace{\tau_{n+1}\circ\dotsb\circ\tau_{n+1}}^n \\
&\qquad\vdots\\
&= \overbrace{\tau_n\circ\dotsb\circ\tau_n}^{n+1}\circ\sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1} \\
&= \sigma^1_n\circ\tau_{n+1}\circ\tau_{n+1}
\end{aligned}
</math>
</div></div>

=== 단체와의 관계 ===
[[단체 범주]] <math>\triangle</math>에서 순환 범주로 가는 포함 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\triangle\hookrightarrow\triangle_{\operatorname{Cyc}}</math>
가 존재한다. 이는 [[충실한 함자]]이며, 대상 집합에 제한하면 [[전단사 함수]]이지만, [[충만한 함자]]가 아니다 (즉, <math>\triangle_{\operatorname{Cyc}}</math>에는 <math>t_n</math>으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여, <math>\mathcal C</math>-순환 대상의 범주에서 <math>\mathcal C</math>-[[단체 대상]]의 범주로 가는 망각 함자
:<math>\hom(\operatorname{Cyc}^{\operatorname{op}},\mathcal C) \to\hom(\triangle^{\operatorname{op}},\mathcal C)</math>
가 존재하며, 이는 [[충실한 함자]]이지만 일반적으로 [[충만한 함자]]가 아닐 수 있다.

== 예 ==
모든 성분이 [[자명군]]인 교차단체군 <math>1</math>을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 <math>\triangle_1</math>은 [[단체 범주]] <math>\triangle</math>와 같다.

각 성분이 [[대칭군 (군론)|대칭군]]인 교차단체군
:<math>G_n = \operatorname{Sym}(n+1)</math>
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 <math>\triangle_{\operatorname{Sym}}</math>는 [[유한 집합]]과 [[함수]]의 [[작은 범주]] <math>\operatorname{finSet}</math>와 [[범주의 동치|동치]]이다.

=== 결합 대수의 순환 가군 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
:<math>C\colon n\mapsto A^{\otimes_K(n+1)}</math>
:<math>C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n-1}</math>
:<math>C({\delta^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto
\begin{cases}
a_0\otimes_K\dotsb \otimes_K a_{i-1} \otimes_K a_ia_{i+1} \otimes_K a_{i+2}\otimes_K\dotsb\otimes_K a_n & 0 \le i < n \\
a_na_0 \otimes_K a_1\otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1} & i = n
\end{cases}
</math><ref name="Loday"/>{{rp|45, (1.6.1.2)}}
:<math>C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_{n+1}</math>
:<math>C({\sigma^i_n}^{\operatorname{op}}) \colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto a_0\otimes_K\dotsb\otimes_K a_i\otimes_K 1\otimes_K a_{i+1}\otimes_K a_n </math><ref name="Loday"/>{{rp|45, (1.6.1.2)}}
:<math>C(\tau_n^{\operatorname{op}}) \colon C_n \to C_n</math>
:<math>C(\tau_n^{\operatorname{op}})\colon a_0\otimes_K \dotsb \otimes_K a_n \mapsto (-)^n a_n\otimes_K a_0 \otimes_K\dotsb\otimes_K a_{n-1}</math><ref name="Loday"/>{{rp|53, §2.1.0}}
즉, 이는 <math>K</math>-가군 범주 <math>\operatorname{Mod}_K</math> 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 '''<math>A</math>에 대응되는 순환 가군'''({{llang|en|cyclic module associated to <math>A</math>}})이라고 한다.

이 구성은 [[결합 대수]]의 [[순환 호몰로지]] 및 [[호흐실트 호몰로지]]를 정의할 때 사용된다.

== 역사 ==
[[알랭 콘]]이 1983년에 도입하였다.<ref name="Connes">{{저널 인용 | url=http://www.alainconnes.org/docs/n83.pdf | 제목=Cohomologie cyclique et foncteurs Ext<sup>''n''</sup> | 이름=Alain | 성=Connes | 저자링크=알랭 콘 | 날짜=1983 | 저널=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences. Série Ⅰ. Mathématique | 권=296 | 호=23 | 쪽=953–958 | mr=777584 | zbl=0534.18009 | 언어=fr | access-date=2017-07-20 | archive-date=2016-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160304212700/http://www.alainconnes.org/docs/n83.pdf }}</ref>{{rp|§2}} 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “<math>\Lambda</math>”라고 표기하였다.<ref name="Connes"/>{{rp|§2}}<ref name="Loday"/>{{rp|201, Chapter 6}}

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치({{llang|pl|Zbigniew Fiedorowicz}})와 [[장루이 로데]]가 1991년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Crossed simplicial groups and their associated homology| 이름=Zbigniew |성=Fiedorowicz |이름2= Jean-Louis|성2= Loday|저자링크2=장루이 로데|doi=10.1090/S0002-9947-1991-0998125-4 |jstor=2001855| 저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=326|호= 1 |날짜=1991-07|쪽=57–87 |issn=0002-9947|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[순환 호몰로지]]
* [[단체 범주]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=cycle category|title=Cycle category}}
* {{nlab|id=cyclic set|title=Cyclic set}}
* {{nlab|id=cyclic object}}

[[분류:호몰로지 대수학]]