{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''위상 벡터 공간'''(位相vector空間, {{llang|en|topological vector space}}, 약자 TVS)은 호환되는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이 주어진 [[벡터 공간]]이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 [[위상환]]이라고 하자. 그렇다면 <math>K</math>-'''위상 왼쪽 가군'''({{llang|en|topological left <math>K</math>-module}}) <math>V</math>는 다음 두 성질을 만족시키는, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 구조를 가지는 <math>K</math>-[[왼쪽 가군]]이다.
* (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 <math>+\colon V\times V\to V</math>는 [[연속 함수]]다. (여기서 <math>V\times V</math>는 [[곱위상]]을 갖춘다.)
* (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 <math>\cdot\colon K\times V\to V</math>는 [[연속 함수]]다. (여기서 <math>K\times V</math>는 [[곱위상]]을 갖춘다.)
마찬가지로 <math>K</math>-'''위상 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다. 물론, <math>K</math>가 [[가환환]]이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 <math>K</math>가 [[위상체]]라면, <math>V</math>를 <math>K</math>-'''위상 벡터 공간'''이라고 한다. ([[월터 루딘]]과 같은 일부 저자들은 여기에 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 [[아벨 군|아벨]] [[위상군]]이므로, 표준적인 [[균등 공간]] 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 [[균등 연속 함수]]임을 보일 수 있다.

=== 위상 벡터 공간의 부분 집합 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나라고 하자.

<math>\mathbb K</math>-위상 벡터 공간 <math>V</math> 속의 부분 집합 <math>E\subseteq V</math>에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.
{| class=wikitable
! 개념 !! 정의
|-
| '''[[균형 집합]]'''
| 임의의 스칼라 <math>t\in\mathbb K</math>, <math>|t|\le1</math>에 대하여 <math>tE\subseteq E</math>
|-
| '''[[유계 집합]]'''
| 임의의 0의 [[근방]] <math>U\ni0</math>에 대하여, <math>tU\supseteq E</math>인 스칼라 <math>t\in\mathbb K</math>가 존재
|-
| '''[[흡수 집합]]'''
| <math>\forall v\in V\exists r\in\mathbb R^+\forall t\in\mathbb K\colon (|t|\ge r\implies v\in tE)</math>
|}
특히, 위와 같은 [[유계 집합]]의 정의를 통해, 모든 <math>\mathbb K</math>-위상 벡터 공간은 [[유계형 집합]]을 이룬다.

== 연산 ==
=== 연속 쌍대 공간 ===
{{본문|연속 쌍대 공간}}
[[위상환]] <math>K</math>에 대한 위상 왼쪽 가군 <math>_KV</math>이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 <math>_KV\to {}_KK</math>들의 집합은 <math>K</math>-위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 <math>V</math>의 '''[[연속 쌍대 가군]]''' <math>V'_K</math>이라고 한다. 만약 <Math>K</math>가 [[위상체]]일 경우, 이는 '''[[연속 쌍대 공간]]'''이라고 한다.

이는 (대수적) [[쌍대 공간]]보다 일반적으로 더 작다.

=== 약한 위상 ===
위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 [[엉성한 위상|엉성한]] 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 '''약한 위상'''(弱한位相, {{llang|en|weak topology}})이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 <math>V</math>의 원래 위상을 '''강한 위상'''(強한位相, {{llang|en|strong topology}})이라고 한다.

구체적으로, [[위상환]] <math>K</math>에 대한 위상 왼쪽 가군 <math>_KV</math>의 [[연속 쌍대 가군]] <math>V'</math>으로 생성되는 [[시작 위상]]을 <math>V</math>의 '''약한 위상'''이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 [[연속 함수]]로 만드는 가장 [[엉성한 위상]]이다. 집합 <math>V</math>에 약한 위상을 부여한 것을 <Math>V^{\text{weak}}</math>라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\left\{\phi^{-1}(U)\colon U\in\operatorname{Open}(K),\;\phi\in V'\right\}</math>
여기서 <Math>\operatorname{Open}(K)</math>는 <math>K</math>의 [[열린집합]]들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 [[엉성한 위상]]이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 [[멱등 함수|멱등 연산]]이다. 즉, 임의의 [[위상환]] 위의 위상 왼쪽 가군 <math>_KV</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>V'=(V^{\text{weak}})'</math>
:<math>V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}})^{\text{weak}}</math>

== 성질 ==
=== 분리공리 ===
실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여, 다음 [[분리공리]]들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>V</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다.
* <math>V</math>는 [[하우스도르프 공간]]이다.
* <math>V</math>는 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[정칙 공간]]이다.
* <math>V</math>는 [[티호노프 공간]]이다.
즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T<sub>1</sub>부터 T<sub>3½</sub>(= [[티호노프 공간]])까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

=== 거리화 가능성 ===
{{참고|프레셰 공간}}
실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis">{{서적 인용
|성1=Rudin
|이름1=Walter
|저자링크1=월터 루딘
|제목=Functional analysis
|언어=en
|판=2
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|출판사=McGraw-Hill
|위치=New York, NY
|날짜=1991
|isbn=
|mr=1157815
|zbl=0867.46001
}}</ref>{{rp|18, Theorem 1.24}}
* [[제1 가산 공간]]이다.
* [[유사 거리화 가능 공간]]이다.
* <math>V</math>의 위상은 [[평행 이동]] 불변 [[유사 거리 함수]]로 유도될 수 있다.
이는 [[위상군]]의 [[버코프-가쿠타니 정리]]의 특수한 경우다.

=== 유한 차원 ===
실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 [[완비 균등 공간]]이다.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>에 대하여, 만약
* <math>V</math>, <math>W</math>가 [[하우스도르프 공간]]이며,
* <math>\dim V=\dim W<\infty</math>
라면, 모든 [[전단사 함수|전단사]] [[선형 변환]]
:<math>V\to W</math>
은 [[위상 동형]]이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 <math>\mathbb R^n</math>이나 <math>\mathbb C^n</math>(<math>n\in\mathbb N</math>)밖에 없다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis" />{{rp|16, Theorems 1.21}}<ref name="Schaefer" />{{rp|22, Theorem 3.5}} 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 [[비이산 위상]]을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

실수체나 복소수체에 대한 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 위상 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis" />{{rp|17, Theorems 1.22}}<ref name="Schaefer">{{서적 인용
|성1=Schaefer
|이름1=Helmut H.
|제목=Topological vector spaces
|언어=en
|판=3rd printing corrected
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=3
|출판사=Springer-Verlag
|위치=New York-Heidelberg-Berlin
|날짜=1971
|isbn=978-0-387-05380-6
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-1-4684-9928-5
|mr=0342978
|zbl=0217.16002
}}</ref>{{rp|23, Theorem 3.6}}
* <math>\dim V<\infty</math>
* <math>V</math>는 [[국소 콤팩트 공간]]이다.

실수체나 복소수체에 대한 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 위상 벡터 공간 <math>V</math>의 모든 유한 차원 부분 공간 <math>W\subset V</math>는 [[닫힌집합]]이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, [[비이산 위상]]을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 [[닫힌집합]]이 아니다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last=Grothendieck | first=A. | authorlink=알렉산더 그로텐디크 | title=Topological vector spaces | publisher=Gordon and Breach | 총서=Notes on Mathematics and Its Applications | 날짜=1992 | isbn=0-677-30020-4 | 판=3판 | zbl=0763.46002 | 기타=Orlando Chaljub 역 | 언어=en }}
* {{서적 인용| last=Köthe | first=Gottfried | title=Topological vector spaces I | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=159 | publisher=Springer | 날짜=1969 | isbn=0-387-04509-0 | zbl = 0179.17001 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last=Köthe | first=Gottfried | title=Topological vector spaces II | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=237 | publisher=Springer | 날짜=1979 | zbl=0417.46001 | 언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Topological vector spaces|이름=Lawrence|성=Narici|이름2=Edward|성2=Beckenstein|판=2|isbn=978-158488866-6|날짜=2010|출판사=CRC Press|총서=Pure and Applied Mathematics|url=https://www.crcpress.com/Topological-Vector-Spaces-Second-Edition/Narici-Beckenstein/p/book/9781584888666|언어=en}}
* {{서적 인용| last = Schaefer | first = Helmuth H. | 이름2=M. P. | 성2= Wolff |날짜 = 1999 | title = Topological vector spaces | series=Graduate Texts in Mathematics | 권=3 | issn=0072-5285 | 판=2판  | publisher = Springer | isbn = 978-1-4612-7155-0 | doi=10.1007/978-1-4612-1468-7| zbl = 0983.46002 | 언어 = en}}
* {{서적 인용
|성=Reed | 이름=Michael C. |공저자=Barry Simon
|제목=Functional analysis
|총서=Methods of modern mathematical physics |권=1
|출판사=Academic Press
|날짜=1980
|isbn=0-12-585050-6
|zbl= 0459.46001
|언어=en
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Topological vector space}}
* {{eom|title=Topological module}}
* {{eom|title=Weak topology}}
* {{eom|title=Strong topology}}
* {{매스월드|id=TopologicalVectorSpace|title=Topological vector space}}
* {{nlab|id=topological vector space|title=Topological vector space}}
{{전거 통제}}

[[분류:위상 벡터 공간| ]]
[[분류:함수해석학]]