{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, 어떤 수의 '''제곱근'''(-根, {{llang|en|square root}}) 또는 '''자승근'''은 제곱하여 그 수가 되는 모든 수이다. [[거듭제곱]]의 역연산이다. 즉, [[실수]] 및 [[복소수]] <math>a</math>에서, '제곱한 수 <math>a</math>의 뿌리가 되는 모든 수'를 뜻한다. [[실수]]의 범위에서만 보면, 모든 양의 실수는 서로 [[덧셈 역원]]인 두 제곱근을 가지며, 이 중 음이 아닌 하나를 '''주요 제곱근'''(主要제곱根, {{llang|en|principal square root}})이라고 한다. 그러나 0의 제곱근은 0뿐이므로 이를 주요 제곱근으로 삼으며, 음의 실수의 실수 제곱근은 존재하지 않으므로 주요 제곱근을 정의할 수 없다. 예를 들어, 실수 9의 제곱근은 ±3이며, 이 중 주요 제곱근은 3이다. 또한 −4의 제곱근은 존재하지 않는다. [[복소수]]의 범위에서 보면, 모든 0이 아닌 복소수는 서로 [[덧셈 역원|중심 대칭]]인 두 제곱근을 가지며, 이 중 편각이 원래의 반인 하나를 주요 제곱근으로 삼는다. 예를 들어, 복소수 <math>2i</math>의 제곱근은 <math>\pm(1+i)</math>이며, 이 중 주요 제곱근은 1 + ''i''이다.

[[미지수]] <math>x</math>의 주요 제곱근은 [[근호]]를 써서 <math>\sqrt x</math> ({{math|{{sqrt|''x''}}}})라고 적고, <math>x</math>의 제곱근 이라고 읽는다.

== 역사 ==

[[파일:YBC-7289-OBV-labeled.jpg|섬네일|YBC 7289 점토판.]]

기원전 1800년과 기원전 1600년 사이에 작성된 [[YBC 7289]] 점토판에는 {{math|{{sqrt|2}}}}의 근삿값을 계산한 결과가 적혀 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/ybc/analysis.html|title=Analysis of YBC 7289|work=ubc.ca|accessdate=19 January 2015}}</ref> [[60진법]] (1;24,51,10)을 10진법으로 바꾸면 1.41421296..으로 실제 {{math|{{sqrt|2}}}}의 값 1.41421356..과 소숫점 아래 다섯 자리까지 일치한다.

[[제곱근 2|{{math|{{sqrt|2}}}}]]가 [[무리수]]라는 것을 처음으로 증명한 사람은 [[피타고라스]]의 제자 [[히파소스]]로 알려져 있다.

페르시아의 수학자 [[콰리즈미]](783~850)는 《{{임시링크|약분·소거 계산론|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing}}》에서 제곱근을 ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’라고 불렀다. ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’는 ‘근본’·‘기반’·‘뿌리’ 등을 뜻하는데 이것에 유럽에 전해지면서 ‘뿌리’라는 뜻의 라틴어 단어 ‘라딕스({{lang|la|radix}})’로 번역되었다.<ref>{{저널 인용 |성=Gandz |이름=Solomon |날짜=1928-02 |제목=On the Origin of the Term "Root." Second Article |url=https://www.jstor.org/stable/2299460 |저널=The American Mathematical Monthly |출판사= |권=35 |호=2 |쪽=67-75 |doi= |확인날짜= }}</ref>

아랍 수학자들은 ‘자드르({{lang|ar|جذر}})’의 첫글자인 짐({{lang|ar|ﺟ}})을 제곱근을 위한 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 {{임시링크|이븐 알야사민|ar|ابن الياسمين}}(?~1204)의 저작이 있다.<ref>* {{학위논문 인용| title=Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra | first1=Jeffrey A. | last1=Oaks | publisher=Philosophica | year=2012 | page=36 | url=http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/87-2.pdf | url-status=live | archiveurl=https://web.archive.org/web/20161203134229/http://logica.ugent.be/philosophica/fulltexts/87-2.pdf | archivedate=2016-12-03 }}</ref> 한편 유럽에서는 [[레기오몬타누스]](1436~1476)가 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다. 현대적인 [[근호]] √의 기원은 아랍 문자 {{lang|ar|ﺟ}}이 변형된 것이라는 설과 소문자 r이 변형된 것이라는 설 등이 있다. 현대적인 근호가 제일 먼저 쓰인 책은 {{임시링크|크리스토프 루돌프|de|Christoph Rudolff}}의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)이다.

== 정의 ==
=== 실수의 경우 ===
음수가 아닌 [[실수]] <math>x</math>의 주요 제곱근 <math>\sqrt x</math>은 [[실수의 완비성]]에 따라 존재하며, 다음과 같다.
:<math>\sqrt x=\sup\{y\in\mathbb R\colon y^2<x\}</math>
여기서 <math>\sup</math>는 집합의 [[상한]]이다. 남은 한 제곱근은 물론 <math>-\sqrt x</math>이다. 음의 실수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다.

=== 복소수의 경우 ===
[[극 형식]]으로 나타낸 임의의 [[복소수]] <math>z=re^{i\theta}</math>의 주요 제곱근 <math>\sqrt z</math>은 다음과 같다.
:<math>\sqrt z=\sqrt re^{i\theta/2}</math>
남은 한 제곱근은
:<math>-\sqrt z=\sqrt re^{i(\theta/2+\pi)}</math>
이다. 이 경우 음의 실수 역시 제곱근을 가지며, 예를 들어 -3의 주요 제곱근은 <math>\sqrt 3i</math>이다.

== 성질 ==

[[파일:Graph of square roots.png|섬네일|400px|함수 <math>f(x) = \sqrt x</math>의 그래프]]
* 제곱근 [[함수]] <math>\sqrt{x}</math>는 음이 아닌 실수의 집합 <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\} </math>에서 자기 자신으로 가는 함수이다. <math>x</math>가 유리수일 때, <math>\sqrt{x}</math>는 [[대수적 수]]가 된다.

* 제곱근 [[함수]]는 다음과 같은 성질이 성립한다.
:음이 아닌 두 실수 <math>x</math>와 <math>y</math>에 대하여 <math>\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}</math>이다.
:음이 아닌 실수 <math>x</math>에 대하여 <math>\sqrt{x^2} = \sqrt{x}^2 = x</math>이다.
:일반적으로 실수 <math>x</math>에 대하여 <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>이다.
:자연수 <math>x</math>에 대해 <math>\sqrt{x}</math>는 자연수이거나 실수이다.

== 제곱근의 계산 ==

제곱근의 풀이법은 [[아르키메데스]]의 저서에서도 언급된 바 있으며, [[헤론]]은 [[바빌로니아 법]]과 거의 비슷한 풀이를 저서에서 제시하기도 했다. 나눗셈과 비슷한 방법으로 제곱근을 구하는 전통적인 방법인 [[개평법]]도 있다. 개평법은 16세기에 발견된 풀이로써 (a<sub>1</sub>＋a<sub>2</sub>＋…＋a<sub>k</sub>)<sup>2</sup> ＝a<sub>1</sub><sup>2</sup>＋(2a<sub>1</sub>＋a<sub>2</sub>)a<sub>2</sub>＋(2a<sub>1</sub>＋2a<sub>2</sub>＋a<sub>3</sub>)a<sub>3</sub> ＋…＋(2a<sub>1</sub>＋2a<sub>2</sub>＋…＋a<sub>k</sub>)a<sub>k</sub>라는 항등식으로부터 유도되었다. 그러나 이 방법은 각 자리의 숫자를 정확히 구할 수 있는 대신 과정이 복잡하고 [[계산 효율]]이 낮아 현대에는 거의 사용되지 않는다. 대신에, 제곱근에 빠르게 [[수렴]]하는 [[수열]]을 만들어 [[근삿값]]을 구하는 방법인 [[바빌로니아 법]]을 이용하는 것이 보통이다. 이것은 [[뉴턴랩슨 법]]을 이용하여 [[이차방정식]]의 [[근사해]]를 구하는 것과 동일하다.

양의 실수 <math>a</math>에 대하여 다음 과정을 따라 <math>\sqrt{a}</math>의 근삿값을 구할 수 있다.

# 임의의 양의 실수 <math>x_0</math>를 택한다. 이 값이 <math>\sqrt{a}</math>에 가까울수록 더 빨리 근삿값을 구할 수 있다.
# <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}\left( x_n + \frac{a}{x_n} \right)</math>라 한다.
# 원하는 정밀도까지 위의 과정을 반복한다.

위에서 구한 수열 <math>\left\{ x_n \right\}</math>은 <math>\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{a}</math>를 만족한다.


다음은 위의 방법에 따라 [[2의 제곱근|<math>\color {Blue} \sqrt 2</math>]]의 근삿값을 구한 것이다.
:<math>
\begin{align}
x_0 &=&           1 &               \\
x_1 &=&           3 &/            2 \\
x_2 &=&          17 &/           12 \\
x_3 &=&         577 &/          408 \\
x_4 &=&      665857 &/       470832 \\
x_5 &=& 886731088897 &/ 627013566048 \approx 1.4142135623~7309504880~16896235
\end{align}
</math>
:
[[2의 제곱근|<math>\color {Blue} \sqrt 2</math>]]의 참값과 소수점 아래 23자리까지 일치한다.

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center" lang="ta" xml:lang="ta"
|+{{lang|ko|[[제곱근표]]}}
|-
! width="46pt" |수

! width="40pt" |0
! width="40pt" |1
! width="40pt" |2
! width="40pt" |3
! width="40pt" |4
! width="40pt" |5
! width="40pt" |6
! width="40pt" |7
! width="40pt" |8
! width="40pt" |9
|-
!1.0
|1.0000
|1.0049
|1.0099
|1.0148
|1.0198
|1.0246
|1.0295
|1.0344
|1.0392
|1.0440
|-
!1.1
|1.0488
|1.0535
|1.0583
|1.0630
|1.0677
|1.0723
|1.0770
|1.0816
|1.0862
|1.0908
|-
!1.2
|1.0954
|1.1000
|1.1045
|1.1090
|1.1135
|1.1180
|1.1224
|1.1269
|1.1313
|1.1357
|-
!1.3
|1.140
|1.145
|1.149
|1.153
|1.158
|1.162
|1.166
|1.170
|1.175
|1.179
|-
!1.4
|1.183
|1.187
|1.192
|1.196
|1.200
|1.204
|1.208
|1.212
|1.217
|1.221
|-
!1.5
|1.225
|1.229
|1.233
|1.237
|1.241
|1.432
|1.435
|1.439
|1.442
|1.446
|}

[[이분법]] 또는 [[뉴턴 방법]]을 사용할 수도 있다.

== 1부터 21까지의 자연수의 제곱근 ==

다음은 소수점 아래 75자리까지 계산한 1부터 [[21]]까지의 (양의) 제곱근을 나타낸 것이다.
:{|
|-
|align="right"|<math>\sqrt 1 </math>||= || 1
|-
|align="right"|<math>\sqrt 2 </math>||≈|| 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
|-
|align="right"|<math>\sqrt 3 </math>||≈|| 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
|-
|align="right"|<math>\sqrt 4 </math>||= || 2
|-
|align="right"|<math>\sqrt 5 </math>||≈|| 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
|-
|align="right"|<math>\sqrt 6 </math>||≈|| 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
|-
|align="right"|<math>\sqrt 7 </math>||≈|| 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
|-
|align="right"|<math>\sqrt 8 </math>||≈|| 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
|-
|align="right"|<math>\sqrt 9 </math>||= || 3
|-
|align="right"|<math>\sqrt {10} </math>||≈|| 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
|-
|align="right"|<math>\sqrt {11} </math>||≈|| 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
|-
|align="right"|<math>\sqrt {12} </math>||≈|| 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
|-
|align="right"|<math>\sqrt {13} </math>||≈|| 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
|-
|align="right"|<math>\sqrt {14} </math>||≈|| 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
|-
|align="right"|<math>\sqrt {15} </math>||≈|| 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
|-
|align="right"|<math>\sqrt {16} </math>||= || 4
|-
|align="right"|<math>\sqrt {17} </math>||≈|| 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
|-
|align="right"|<math>\sqrt {18} </math>||≈|| 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
|-
|align="right"|<math>\sqrt {19} </math>||≈|| 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
|-
|align="right"|<math>\sqrt {20} </math>||≈|| 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
|-
|align="right"|<math>\sqrt {21}</math>||≈|| 4.5825756949 5584000658 8047193728 0084889844 5657676797 1902607242 1239068684 25547
|}

== 같이 보기 ==
* [[근 (수학)|근(루트)]]
* [[거듭제곱근]]
* [[곱셈공식]]
* [[방정식]]

== 각주 ==
{{포털|수학}}
<references/>

== 외부 링크 ==
{{위키낱말사전|제곱근}}
* {{두피디아|101013000858750|제곱근}}

[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:초등 수학]]
[[분류:단항 연산]]