{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''꼬임 없는 가군'''({{llang|en|torsion-free module}})은 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여 "특별한 이유가 없다면" <math>rm\ne0</math>인 [[가군]] <math>_RM</math>이다. 마찬가지로, '''나눗셈 가군'''({{llang|en|divisible module}})은 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여 "특별한 이유가 없다면" <math>r^{-1}m</math>이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 [[가군]] <math>_RM</math>이다.
꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 <math>R</math> 및 왼쪽 가군 <math>M</math>에서, 임의의 <math>r,s\in R</math>에 대하여 만약 <math>rs=0</math>이라면, 당연히 <math>r(sM)=0</math>이다. 따라서, 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여 <math>rm\ne0</math>일 필요 조건은 <math>m\not\in sM</math>인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, <math>M</math>을 '''꼬임 없는 가군'''이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 <math>R</math> 및 왼쪽 가군 <math>M</math>에서, 임의의 <math>s,r\in R</math>에 대하여 <math>sr=0</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>s(rM)=0</math>이므로, 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여 <math>r^{-1}m</math>이 존재할 필요 조건은 <math>sm=0</math>인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, <math>M</math>을 '''나눗셈 가군'''이라고 한다.

== 정의 ==
환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을  '''나눗셈 왼쪽 가군'''({{llang|en|divisible left module}})이라고 한다.
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ann}(_Rr)m=0</math>이라면, <math>m\in rM</math>이다.<ref name="Hattori">{{저널 인용|url=http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118800457|제목=A foundation of torsion theory for modules over general rings|이름=Akira|성=Hattori|저널=Nagoya Mathematical Journal|mr=0137745|zbl=0117.02202|issn=0027-7630|권=17|쪽=147–158|날짜=1960|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|70, Definition 3.16}}
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Ext}_R^1(R/Rr,M)=0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 1′}}

환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''꼬임 없는 왼쪽 가군'''({{llang|en|torsion-free left module}})이라고 한다.
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m\not\in\operatorname{Ann}(r_R)M</math>이라면, <math>rm\ne0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|§1}}<ref name="Tuganbaev"/>{{rp|83, §2.8}}
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 1}}
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, 자연스러운 [[군 준동형]] <math>rR\otimes_RM\to rM</math>은 [[아벨 군]]의 [[동형]]이다.<ref name="Tuganbaev">{{서적 인용 | 제목=Rings close to regular | 이름=Askar | 성=Tuganbaev | doi=10.1007/978-94-015-9878-1 | isbn=978-90-481-6116-4 | 총서=Mathematics and its Applications | 권=545 | 출판사=Springer-Verlag | 언어=en}}</ref>{{rp|83, Proposition 2.8.4}}
여기서
:<math>\operatorname{Ann}(_Rr)=\{s\in R\colon sr=0\}</math>
:<math>\operatorname{Ann}(r_R)=\{s\in R\colon rs=0\}</math>
는 각각 <math>r</math>의 왼쪽·오른쪽 [[소멸자]]이며,
:<math>\operatorname{Ann}(r_R)M=\{s_1m_1+s_2m_2+\cdots+s_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec s\in R^k,\;\vec m\in M^k\}</math>
이며, Tor는 [[Tor 함자]]이며, Ext는 [[Ext 함자]]이다.

== 성질 ==
모든 왼쪽 [[단사 가군]]은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[주 왼쪽 아이디얼]]이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|Corollary 3.17′}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[단사 가군]]일 필요충분조건은 모든 [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여 <math>\operatorname{Ext}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다.<ref>{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|Lemma 4.1.11}}

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''폰 노이만 정칙환'''({{llang|en|von Neumann regular ring}}) 또는 '''절대 평탄환'''({{llang|en|absolutely flat ring}})이라고 한다.
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>r=rsr</math>인 <math>s\in R</math>가 존재한다.
* 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|149, §2}}
* 모든 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|149, §2}}
* 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 나눗셈 왼쪽 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|149, §2}}
* 모든 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]은 나눗셈 오른쪽 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|149, §2}}
* 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 [[평탄 왼쪽 가군]]이다.
* 모든 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]은 [[평탄 오른쪽 가군]]이다.
* 모든 [[주 왼쪽 아이디얼]]은 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>Rr=Re</math>이자 <math>e^2=e</math>인 <math>e\in R</math>가 존재한다.
* 모든 [[주 오른쪽 아이디얼]]은 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>rRr=eR</math>이자 <math>e^2=e</math>인 <math>e\in R</math>가 존재한다.
* 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[왼쪽 아이디얼]]은 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 <math>r_1,r_2,\dots,r_k\in R</math>에 대하여, <math>Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re</math>이자 <math>e^2=e</math>인 <math>e\in R</math>가 존재한다.
* 모든 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[오른쪽 아이디얼]]은 [[멱등원]]에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 <math>r_1,r_2,\dots,r_k\in R</math>에 대하여, <math>Rr_1+Rr_2+\cdots+Rr_k=Re</math>이자 <math>e^2=e</math>인 <math>e\in R</math>가 존재한다.

=== 평탄 가군과의 관계 ===
모든 왼쪽 [[평탄 가군]] <math>_RM</math>은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]]이 [[주 오른쪽 아이디얼]]이라면 (예를 들어, [[베주 정역]]의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|128, Proposition 4.20}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[평탄 가군]]일 필요충분조건은 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 <math>_RM</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tuganbaev"/>{{rp|84, Proposition 2.8.5}}
* [[평탄 왼쪽 가군]]이다.
* 임의의 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다.
* 임의의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다.
여기서
:<math>\mathfrak AM=\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\}</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| 성=Matlis | 이름=Eben | title=Torsion-free modules | publisher=The University of Chicago Press |mr=0344237 | 날짜=1973-01 | url= http://www.press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/T/bo5960807.html|isbn=978-022651074-3|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Torsion-free module}}
* {{eom|title=Torsion submodule}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]