{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|몫집합||상집합(商集合)}}
[[파일:Upset.svg|섬네일|집합 <math>\{1,2,3,4\}</math>의 [[부분 집합]]이 [[부분 순서]]로 나열되어 있다. 원소 1을 포함하는 모든 집합(녹색)은 상집합이며, 이는 추가로 [[필터 (수학)|필터]]를 이룬다.]]
[[순서론]]에서 '''상집합'''(上集合, {{llang|en|upper set}}, {{lang|en|upward-closed set}}, {{lang|en|upset}})은 <math>S</math>에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 <math>S</math>에 속하는, [[원순서 집합]]의 [[부분 집합]] <math>S</math>이다. 마찬가지로, '''하집합'''(下集合, {{llang|en|lower set}}, {{lang|en|downward-closed set}}, {{lang|en|downset}})은 <math>S</math>에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 <math>S</math>에 속하는, [[원순서 집합]]의 [[부분 집합]] <math>S</math>이다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''상폐포'''(上閉包, {{llang|en|upper closure}})는 다음과 같은 [[부분 집합]]이다.
:<math>\uparrow S=\{x\in X\colon\exists s\in S\colon s\lesssim x\}</math>
이는 <math>S</math>를 포함하는 최소 상집합이다.
[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>의 '''하폐포'''(下閉包, {{llang|en|lower closure}})는 다음과 같은 [[부분 집합]]이다.
:<math>\downarrow S=\{x\in X\colon\exists s\in S\colon x\lesssim s\}</math>
이는 <math>S</math>를 포함하는 최소 하집합이다.

[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[부분 집합]]을 '''상집합'''(上集合, {{llang|en|upper set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in S</math> 및 <math>y\in X</math>에 대하여, <math>x\lesssim y</math>라면 <math>y\in S</math>이다.
* <math>\uparrow S\subseteq S</math>
* <math>\uparrow S=S</math>
* <math>s\in S</math> 및 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\{s\}=\min C</math>라면, <math>C\subseteq S</math>이다.
* <math>X\setminus S</math>는 하집합이다.

[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[부분 집합]]을 '''하집합'''(下集合, {{llang|en|lower set}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in S</math> 및 <math>y\in X</math>에 대하여, <math>y\lesssim x</math>라면 <math>y\in S</math>이다.
* <math>\downarrow S\subseteq S</math>
* <math>\downarrow S=S</math>
* <math>s\in S</math> 및 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\{s\}=\max C</math>라면, <math>C\subseteq S</math>이다.
* <math>X\setminus S</math>는 상집합이다.

== 성질 ==
[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 <math>(U_i)_{i\in I}</math>의 [[교집합]]
:<math>\bigcap_{i\in I}U_i</math>
및 [[합집합]]
:<math>\bigcup_{i\in I}U_i</math>
역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 [[교집합]]과 [[합집합]] 역시 하집합이다.

따라서, [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 상집합들의 족은 ([[부분 집합]] 관계에 대하여) [[완비 격자]]를 이룬다. 마찬가지로, <math>(X,\le)</math>의 하집합들의 족 역시 [[완비 격자]]를 이룬다.

=== 반사슬과의 관계 ===
[[부분 순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 상집합 <math>U\subseteq X</math>의 [[극소 원소]]들의 집합 <math>\min U</math>는 <math>X</math>의 [[반사슬]]을 이룬다. 마찬가지로, <math>(X,\le)</math>의 하집합 <math>L\subseteq X</math>의 [[극대 원소]]들의 집합 <math>\max L</math>은 <math>X</math>의 [[반사슬]]을 이룬다.

반대로, [[부분 순서 집합]] <math>(X,\le)</math>의 [[반사슬]] <math>A\subseteq X</math>가 주어졌을 때, <math>\uparrow A</math>는 상집합이며
:<math>\min\uparrow A=A</math>
:<math>\max\downarrow A=A</math>
이다. 따라서, <math>X</math>의 [[반사슬]] 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수
:<math>\uparrow\colon\operatorname{Antichain}(X,\le)\to\operatorname{Upper}(X,\le)</math>
는 [[단사 함수]]이며,
:<math>\max\colon\operatorname{Upper}(X,\le)\to\operatorname{Antichain}(X,\le)</math>
는 그 [[왼쪽 역사상]]이자 [[전사 함수]]이다.

만약 <math>(X,\le)</math>가 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다면 이 두 함수는 [[전단사 함수]]이다. 그러나 일반적 [[부분 순서 집합]]에 대해서는 [[전단사 함수]]가 아닐 수 있다. 예를 들어, [[실수]]의 [[전순서 집합]]에서 양의 실수의 부분 집합 <math>\mathbb R^+\subseteq\mathbb R</math>는 상집합이지만 [[극소 원소]]를 갖지 않는다.

== 예 ==
=== 자명한 상집합·하집합 ===
임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>에 대하여, <math>X</math>는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 [[공집합]] <math>\varnothing\subseteq X</math> 역시 <math>X</math>의 상집합이자 하집합이다.

=== 주 필터와 주 아이디얼 ===
{{본문|필터 (수학)}}
임의의 [[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math>의 원소 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>\uparrow\{x\}=\{y\in X\colon x\lesssim y\}</math>
:<math>\downarrow\{x\}=\{y\in X\colon y\lesssim x\}</math>
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 [[필터 (수학)|필터]]와 [[필터 (수학)|아이디얼]]을 이룬다.

=== 실직선 ===
실수의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
* <math>(a,\infty)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>)
* <math>[a,\infty)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>)
* <math>\mathbb R</math>
* <math>\varnothing</math>

마찬가지로, 실수의 [[전순서 집합]] <math>(\mathbb R,\le)</math>의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
* <math>(-\infty,a)</math> (<math>a\in\mathbb R</math>)
* <math>(-\infty,a]</math> (<math>a\in\mathbb R</math>)
* <math>\mathbb R</math>
* <math>\varnothing</math>

=== 정렬 집합 ===
[[순서수]]는 스스로 미만의 다른 [[순서수]]들의 집합으로 여길 수 있다.
:<math>\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\alpha\}</math>
이 경우, 두 순서수 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여, 만약 <math>\alpha\le\beta</math>라면 <math>\alpha</math>는 <math>\beta</math>의 하집합이다.

[[순서수]] <math>\alpha</math>의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta_0\le\beta<\alpha\}</math> (<math>\beta_0\le\alpha+1</math>)
[[순서수]] <math>\alpha</math>의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon\beta<\beta_0\}</math> (<math>\beta_0\le\alpha+1</math>)

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=upper set|title=Upper set}}
* {{nlab|id=lower set|title=Lower set}}
* {{nlab|id=up set|title=Up set}}
* {{nlab|id=down set|title=Down set}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Upper_Set|제목=Definition: upper set|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-15|archive-date=2021-01-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20210120135723/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Upper_Set|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Upper_Set|제목=Definition: upper closure|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-15|archive-date=2021-01-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20210120135723/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Upper_Set|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Lower_Set|제목=Definition: lower set|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-15|archive-date=2017-12-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20171227184959/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Lower_Set|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Lower_Closure|제목=Definition: lower closure|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Strict_Upper_Set|제목=Definition: strict upper closure|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Strict_Lower_Set|제목=Definition: strict lower closure|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Upper_Set|제목=Equivalence of definitions of upper set|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-15|archive-date=2020-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20200923161049/https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Upper_Set|url-status=}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Lower_Set|제목=Equivalence of definitions of lower set|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-15|archive-date=2017-07-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20170709144321/https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Lower_Set|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:순서론]]