{{위키데이터 속성 추적}}
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[[기하학]]에서 '''육각형 타일링'''({{llang|en|hexagonal tiling}}) 또는 '''육각형 타일링'''은 [[2차원|유클리드 평면]]에서 세 정다각형 [[타일링]] 중 하나이다. [[슐레플리 기호]]는 {6,3} 또는 ''t''{3,6} (깎은 정삼각형 테셀레이션)이다.

[[존 호턴 콘웨이|콘웨이]]는 이것을 '''헥스타일'''(hextile)이라고 불렀다.

[[정육각형]]의 한 각은 120도이기 때문에 한 점에 정육각형 3개가 있어야 360도를 채울 수 있다. 이것은 [[정다포체의 목록|평면에서 세 정다각형 테셀레이션]] 중 하나이다. 나머지 둘은 [[정삼각형 타일링]]과 [[정사각형 타일링]]이다.

== 적용 ==
정육각형 타일링은 이차원에서 가장 가깝게 [[구 모으기|원을 모으는]] 방법이다. [[벌집 추측]]에 따르면 정육각형 타일링이 한 표면을 넓이가 같게 나눠서 둘레의 길이 합이 가장 작게 하는 방법이다. [[켈빈 남작|제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨]]이 벌집(또는 비누 거품)을 만드는 3차원 입체 구조를 연구했는데, [[웨이어-펠란 구조|켈빈 구조]](또는 [[입방정계]] 격자)가 입체라고 생각했다. 하지만 [[웨이어-펠란 구조]]가 살짝 더 효율적이다.

이 구조는 [[흑연]]의 형태로 자연에서 존재하는데, [[그래핀]] 한 장 한 장에서 탄소가 강한 공유결합을 해서 닭장 울타리처럼 보인다. 원통 형태의 그래핀인 [[탄소 나노튜브]]도 합성되었다. [[장력 강도]]가 강하고 전기 전도성을 띠기 때문에 다양한 물체에 적용할 수 있다. 비슷한 예로 [[실리센]]이 있다.

<gallery>
파일:Kissing-2d.svg|정육각혀 타일링처럼 가장 빽빽한 [[원 채우기]]
파일:Chicken Wire close-up.jpg|[[닭장]] 울타리
파일:Graphene xyz.jpg|[[그래핀]]
파일:Carbon nanotube zigzag povray.PNG|[[탄소 나노튜브]]는 원기둥 표면 위의 정육각형 타일링으로 생각할 수 있다.
파일:Tile (AM 1955.117-1).jpg|alt=Hexagonal tile with blue bird and flowers|1955년 경의 페르시아 육각형 타일
</gallery>

정육각형 타일링은 결정 구조에 많이 나타난다. 3차원에서 [[등축정계|면십입방구조]]와 [[가까운 육각형 쌓기]]가 대표적인 결정 구조인데, 3차원에서 가장 밀집하게 구를 쌓을 수 있다. 정육각형 타일링을 그래핀의 구조와 비슷하게 평행한 층으로 쌓은 구조이다. 층들이 서로 엇갈려 있으며, 두 경우 중 면십입방구조가 더 규칙적이다. 여러 물질 중에서 순수한 [[구리]]가 체심입방구조 격자 모양이다.

== 균일 색칠 ==
[[위토프 구성]]의 [[반사 (기하학)|반사 대칭]]으로 만들어진 세 가지 [[균일 색칠]]이 있다. (''h'',''k'')는 한 가지 색칠된 타일의 주기적 반복을 나타내는데, 육각형 거리를 ''h''를 처음, ''k''를 두 번째로 센다. [[골드버그 다면체]]에서도 쌍곡 테셀레이션에서 ''p'' > 6일 때 {''p''+,3}<sub>h,k</sub>라는 표기법을 쓸 수 있다.
{| class="wikitable" width=640
!''k''-균일
!colspan=3|1-균일
!colspan=2|2-균일
!colspan=2|3-균일
|- align=center
![[평면 대칭군의 목록|대칭]]
|colspan=2|p6m, (*632)
| p3m1, (*333)
|colspan=2|p6m, (*632)
|colspan=2|p6, (632)
|-
!그림
|[[파일:Uniform tiling 63-t0.svg|100px]]
|[[파일:Uniform tiling 63-t12.svg|100px]]
|[[파일:Uniform tiling 333-t012.svg|100px]]
|[[파일:Truncated rhombille tiling.svg|100px]]
|[[파일:Hexagonal tiling 4-colors.svg|100px]]
|[[파일:Hexagonal tiling 2-1.svg|100px]]
|[[파일:Hexagonal tiling 7-colors.svg|100px]]
|- align=center
!색의 수
!1
!2
!3
!2
!4
!2
!7
|- align=center
!(h,k)
|(1,0)
|colspan=2|(1,1)
|colspan=2|(2,0)
|colspan=2|(2,1)
|- align=center
![[슐레플리 기호|슐레플리]]
|{6,3}
|t{3,6}
|t{3<sup>[3]</sup>}
|colspan=2|
|colspan=2|
|- align=center
![[위토프 기호|위토프]]
| 3 &#124; 6 2
| 2 6 &#124; 3
| 3 3 3 &#124;
|colspan=2|
|colspan=2|
|- align=center
![[콕서터 다이어그램|콕서터]]
|{{CDD|node_1|6|node|3|node}}
|{{CDD|node_1|3|node_1|6|node}}
|{{CDD|node_1|split1|branch_11}}
|colspan=2|
|colspan=2|
|- align=center
![[콘웨이 다면체 표기법|콘웨이]]
|H
|tΔ
|
|cH=t6daH
|
|wH=t6dsH
|
|}

3색 테셀레이션은 다른 3차 [[순열다면체]](permutohedron)으로 생성되는 테셀레이션이다.

=== 모딴 육각형 타일링 ===
[[모따기|모딴]] 육각형 타일링은 모서리를 다른 육각형으로 대체해서 다른 육각형 타일링을 만든 것이다. 극한으로 가면, [[마름모 타일링]]이 된다.

[[파일:ChamferedHexTilingAnimation.gif|섬네일|''모딴 육각형 타일링''이 [[마름모 타일링]]으로 바뀌는 과정]]
{| class=wikitable
!육각형 (H)
!colspan=3|모딴 육각형 (cH)
!마름모 (daH)
|-
|[[파일:Uniform tiling 63-t0.svg|120px]]
|[[파일:Chamfered hexagonal tiling.svg|120px]]
|[[파일:Truncated rhombille tiling.svg|120px]]
|[[파일:Chamfered_hexagonal_tiling2.svg|120px]]
|[[파일:Rhombic_star_tiling.svg|120px]]
|}

== 관련된 테셀레이션 ==
정육각형은 6개의 정삼각형으로 나눌 수 있다. 이때 2-균일 테셀레이션이나 정삼각형 테셀레이션이 된다.
{| class=wikitable
!정규 테셀레이션
!나누기
!colspan=2|[[2-균일 타일링|2-균일 테셀레이션]]
!정규 테셀레이션
|- align=center
|[[파일:1-uniform n1.svg|120px]]<br/>원래
![[파일:Regular hexagon.svg|60px]]<br/>[[파일:Vertex type 3-3-3-3-3-3.svg|60px]]
|[[파일:2-uniform n10.svg|120px]]<br/>1/3 나누기
|[[파일:2-uniform n19.svg|120px]]<br/>2/3 나누기
|[[파일:1-uniform n11.svg|120px]]<br/>모두 나누기
|-
!정규 테셀레이션
!깎기
! colspan="2" |2-균일 쌍대
!Regular Tiling
|- align=center
|[[파일:Dual of Planar Tiling (Uniform Regular 2) 6.6.6.png|frameless|120x120px]]<br />원래
![[파일:Insetting Polygon for Uniform Tilings 1.png|frameless|66x66px]]
|[[파일:Dual of Planar Tiling (Uniform Two 8) 3.3.3.3.3.3; 3.3.6.6.png|frameless|120x120px]]<br />1/3 깎기
|[[파일:Dual of Planar Tiling (Uniform Two 9) 36; 34.6 1.png|frameless|120x120px]]<br />2/3 깎기
|[[파일:Dual of Planar Tiling (Uniform Regular 1) 3.3.3.3.3.3 Soccer Variant.png|alt=|frameless|120x120px]]<br />모두 깎기
|}

육각형 타일링은 '''늘린 마름모 타일링'''이라고 할 수도 있는데, 마름모 타일링의 각 꼭짓점이 새 모서리로 연장되기 때문이다. 이는 3차원에서 [[마름모십이면체]]와 [[늘린 십이면체]]의 관계와 비슷하다.

{| class=wikitable
|- align=center
|[[파일:Kah 3 6 romb.svg|160px]]<br/>마름모 타일링
|[[파일:Uniform tiling 63-t0.svg|160px]]<br/>육각형 타일링
|[[파일:Chicken Wire close-up.jpg|160px]]<br/>둘 사이의 관계를 사용
|}

어떤 육각형 타일을 2개, 3개, 4개, 또는 9개의 합동인 오각형으로 나눌 수도 있다.
{| class=wikitable width=700
|- valign=top
|[[파일:Pent-Hex-Type1-2.png|175px]]<br/>정육각형을 2개의 오각형으로 나눠서 만든 [[오각형 타일링|오각형 테셀레이션]] 유형 1
|[[파일:Pent-Hex-Type3-3.png|175px]]<br/>정육각형을 3개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 3
|[[파일:Pent-Hex-Type4-4.png|175px]]<br/>준정육각형을 4개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 4
|[[파일:Pent-Hex-Type3-9.png|175px]]<br/>정육각형을 3개나 9개의 오각형으로 나눠서 만든 오각형 테셀레이션 유형 3
|}

== 관련된 다면체 ==
[[육각형]] 면을 가진 이 다면체는 정육각형 타일링과 위상적으로 관련이 있다. 정육각형 타일링부터 시작해서(n=3), [[슐레플리 기호]] {6,n}과 [[콕서터 다이어그램]] {{CDD|node_1|6|node|n|node}}으로 표현되며 n은 무한으로 발산한다.
{{정육각형 타일링 표}}

아래 테셀레이션은 [[꼭짓점 도형]] ''n''<sup>3</sup>이 있는 정다면체와 위상적으로 관련이 있는데, 이는 [[쌍곡공간]]에서 계속된다.
{{3차 정다각형 타일링}}

비슷하게 ''n''.6.6. 모양의 꼭짓점 배치를 가진 [[깎기 (기하학)|깎은]] 정다면체와도 관련이 있다.

이 타일링은 깎은 마름모꼴 다면체 중 하나이며 [[콕서터 군]] 대칭을 가졌다. 정육면체를 마름모육면체에서 볼 수 있다. 깎인 도형은 깎인 꼭짓점에 정n각형이 생기고 정다각형이 아닌 육각형 면도 생긴다.

== 같이 보기 ==
* [[정다각형 타일링]]

{{테셀레이션}}
[[분류:다면체]]
[[분류:정다각형 타일링]]