{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Archimedes pi.svg|대체글=아르키메데스가 원주율을 근사하는 방법을 설명하기 위한, 단위원에 외접 및 내접 오각형과 육각형 그리고 팔각형의 그림|섬네일|[[단위원]]의 [[외접 다각형|외접 ''n''각형]]의 [[둘레]]의 [[수열]]의 극한은 단위원의 둘레(=2π)와 같다. 단위원의 [[내접 다각형|내접 ''n''각형]]의 둘레의 수열의 극한 역시 이와 같다.]]
{{미적분학}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서, [[수열]]의 '''극한'''(極限, {{llang|en|limit}})은 [[수열]]이 한없이 가까워지는 값이다. 직관적으로, {{mvar|a<sub>n</sub>}}이 {{mvar|n}}이 커짐에 따라 어떤 고정된 값 {{mvar|a}}에 제한이 없이 가까워진다면, {{math|(''a<sub>n</sub>'')}}이 {{mvar|a}}로 '''수렴'''(收斂)한다고 하며, {{mvar|a}}를 {{math|(''a<sub>n</sub>'')}}의 극한이라고 한다. 어디로도 수렴하지 않는 수열을 '''발산'''(發散)한다고 한다. 예를 들어, 수열 {{math|(1/''n'')}}은 0에 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 0이다. 반면 수열 {{math|((-1)<sup>''n''</sup>)}}은 어떤 고정된 값에 한없이 가까워지지 않으므로 발산한다. 수열의 극한의 개념은 [[실수]] 공간을 비롯한 [[거리 공간]]을 비롯한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 논의할 수 있다.

== 역사 ==
[[엘레아의 제논]]은 극한 과정과 관련된 역설인 [[제논의 역설]]로 유명하다.

[[레우키포스]] · [[데모크리토스]] · [[안티폰]] · [[크니도스의 에우독소스]] · [[아르키메데스]]는 [[실진법]], 즉 무한수열에 의한 근사를 통해 넓이나 부피를 구하는 방법을 만들었다. 아르키메데스는 지금은 [[기하 급수]]라고 불리는 것의 합을 구하는 데 성공했다.

[[아이작 뉴턴]]은 그의 《무한 급수 해석》(1669년 작성, 1711년 원고 출판) · 《유율법과 무한 급수》(1671년 작성, 1736년 영어 번역본 출판) · 《곡선 [[구적법]] 논문》(1693년 작성, 1704년 그의 《광학》의 부록에 출판)에서 급수에 대해 다루었다. 

18세기, [[레온하르트 오일러]]를 비롯한 수학자들은 일부 발산 급수의 합을 정확한 때에 멈추는 방법을 통해 계산하였다. 이들은 계산만 가능하면 급수의 수렴 여부에 관심을 갖지 않았다. 18세기 말, [[조제프루이 라그랑주]]는 《해석 함수 이론》({{llang|la|Théorie des fonctions analytiques}}, 1797년)에서 엄밀한 논의의 결여가 미적분학의 더 이상의 발전을 막고 있다고 주장하였다. [[카를 프리드리히 가우스]]는 그의 [[초기하 급수]] 작품(1813년)에서 급수가 수렴할 조건을 처음 엄밀하게 연구하였다.

[[베르나르트 볼차노]]는 《이항 정리》({{llang|de|Der binomische Lehrsatz}}, 1816년)에서 수열의 극한의 현대적 정의를 제시하였으나, 당시에는 주목받지 못했다. [[카를 바이어슈트라스]] 역시 1870년대에 수열의 극한의 현대적 정의를 제시하였다

== 실수 수열 ==
=== 정의 ===
실수 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty\in\mathbb R^\mathbb N</math>의 '''극한'''은 다음 조건을 만족시키는 [[실수]] <math>a\in\mathbb R</math>이다.
* 임의의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>|a_n-a|<\epsilon</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다.
이를
:<math>a_n\to a\qquad(n\to\infty)</math>
또는
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>
와 같이 표기한다. 즉, 실수 수열의 극한은 항이 궁극적으로 임의 오차 범위 이내로 근접하는 값이다.

=== 성질 ===
수렴하는 수열은 다음과 같은 성질을 갖는다.
* 수렴 수열의 극한은 유일하다.
{{증명}}
<math>a<b</math> 둘 다 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>의 극한이라고 가정하고 모순을 유도하자. 정의 속 <math>\epsilon=(b-a)/2</math>의 경우에 의해 <math>a_n<a+\epsilon=b-\epsilon<a_n</math>인 <math>n</math>이 존재한다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}
* 수렴 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>은 [[유계 수열]]이다.
{{증명}}
<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>이라고 하고 상하계를 찾자. 정의 속 <math>\epsilon=1</math>의 경우에 의해 임의의 <math>n>N</math>에 대하여 <math>|a_n|\le|a_n-a|+|a|<1+|a|</math>인 <math>N</math>이 존재한다. [[유한 집합]]의 최댓값 <math>M=\max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_N|,1+|a|\}</math>은 임의의 <math>n</math>에 대하여 <math>|a_n|\le M</math>을 만족시킨다.
{{증명 끝}}
* 수렴 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>a_n\le b_n</math>이게 되는 <math>N</math>이 존재한다면, <math>\lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}b_n</math>이다.
{{증명}}
이는 바로 다음 명제의 대우이다.
{{증명 끝}}
* 수렴 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>이 <math>\lim_{n\to\infty}a_n<\lim_{n\to\infty}b_n</math>이면, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>a_n<b_n</math>이게 되는 <math>N</math>이 존재한다.
{{증명}}
<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a<b=\lim_{n\to\infty}b_n</math>라고 하자. 정의 속 <math>\epsilon=(b-a)/2</math>의 경우에 의해 <math>a_n<a+\epsilon=b-\epsilon<b_n</math>인 <math>n</math>이 존재한다.
{{증명 끝}}
수열의 수렴성은 다음과 같이 판정할 수 있다.
* ([[샌드위치 정리]]) 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(c_n)_{n=0}^\infty</math>이 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>a_n\le b_n\le c_n</math>이게 되는 <math>N</math>이 존재하고, <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L</math>이면, <math>\lim_{n\to\infty}b_n=L</math>이다.
* ([[단조 수렴 정리]]) [[단조 수열|단조]] [[유계 수열]]은 수렴 수열이다.
* ([[실수의 완비성]]) 모든 실수 [[코시 수열]]은 수렴 수열이다.
주어진 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>의 [[부분 수열]]은, 어떤 [[강한 증가 함수]] <math>n\colon\N\to\N</math>, <math>k\mapsto n_k</math>를 써서 <math>(a_{n_k})_{k=0}^\infty</math>와 같은 형식을 갖는 수열이다. 수열과 그 부분 수열의 수렴성의 관계는 다음과 같다.
* 수렴 수열의 모든 부분 수열은 같은 극한으로 수렴한다.
{{증명}}
<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>라고 하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 정의 속의 <math>N</math>이 존재한다. 그렇다면 임의의 <math>k>N</math>에 대하여 <math>n_k>k>N</math>이므로 <math>|a_{n_k}-a|<\epsilon</math>이다. 즉 <math>\lim_{k\to\infty}a_{n_k}=a</math>이다.
{{증명 끝}}
* ([[볼차노-바이어슈트라스 정리]]) 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.
실수열에 대한 [[사칙 연산]]과 극한 연산의 순서는 교환 가능하다. 즉, 두 수렴 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>, <math>(b_n)_{n=0}^\infty</math>의 극한이
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}b_n=b</math>
라고 하면, 다음이 성립한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=a-b</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac ab\qquad(b_n\ne0\forall n\in\N;b\ne0)</math>
{{증명}}
<math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab</math>만을 증명하자. 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>a</math>의 정의 속의 <math>N_1</math>과 <math>b</math>의 정의 속의 <math>N_2</math>이 존재한다. 또한 수렴 수열은 유계 수열이므로, 임의의 <math>n</math>에 대하여 <math>|b_n|\le M</math>인 <math>M</math>이 존재한다. 이와 [[삼각 부등식]]에 의해, 임의의 <math>n>\max\{N_1,N_2\}</math>에 대하여 <math>|a_nb_n-ab|=|a_n-a||b_n|+|a||b_n-b|\le\epsilon(|M|+|a|)</math>이다. 즉 <math>\lim_{n\to\infty}a_nb_n=ab</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 예 ===
수렴 수열의 예는 다음과 같다.
* <math>\lim_{n\to\infty}c=c</math> (<math>c</math>는 상수)
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac1{n^p}=0\qquad(p > 0)</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}a^n=0\qquad(|a|<1)</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]a=1\qquad(a>0)</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1</math>
* [[십진법]]에 의한 내림 근사 통해, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 이렇게 만든 수열은 모두 [[코시 수열]]이다. 수열 {{math|(0.3, 0.33, 0.333, ...)}}은 {{math|{{sfrac|3}}}}로 수렴한다. 수열 {{math|(1.4, 1.41, 1.414, ...)}}은 {{math|{{sqrt|2}}}}로 수렴한다.
더 많은 예는 다음과 같다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e=2.71828\cdots</math> ([[자연로그의 밑]])
* <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}n\left(x^{\frac1n}-1\right)=\ln x\qquad(x>0)</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln{n}\right)=\gamma=0.57721\cdots</math> ([[오일러-마스케로니 상수]])
* [[산술 평균]]과 [[기하 평균]]에 의한 두 [[점화 수열]]은 모두 [[산술 기하 평균]]으로 수렴한다.
다음 예들은 수열이 무한대로 발산하는 속도의 비교를 반영한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^p}=0\qquad(p>0)</math>
::* <math>\lim_{n\to\infty}\frac n\sqrt[n]{n!}=e</math>
::::* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{a^n}=0\qquad(a>1)</math>
::::::* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0\qquad(a>1)</math>
::::::::* <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0</math>

=== 무한대 극한 ===
실수 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty\in\R^\N</math>의 '''무한대 극한'''은 다음과 같은 두 경우로 정의된다. 극한이 무한대인 수열은 일반적으로 수렴 수열로 간주되지 않는다.
* 만약 임의의 실수 <math>K\in\R</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>a_n>K</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다면, <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 양의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, <math>a_n\to\infty\,(n\to\infty)</math> 또는 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math>와 같이 표기한다.
* 만약 임의의 실수 <math>K\in\R</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>a_n<K</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다면, <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 음의 무한대로 수렴(또는 발산)한다고 하고, <math>a_n\to-\infty\,(n\to\infty)</math> 또는 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty</math>와 같이 표기한다.
예를 들어,
* <math>\lim_{n\to\infty}n=\infty</math>
* <math>\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty</math>
무한대 발산은 발산과 다른 개념인 데 주의하자. 예를 들어,
* 수열 {{math|0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...}}은 발산 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.
* 수열 {{math|1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ...}}은 발산 수열이자 무계 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.

== 거리 공간 ==
=== 정의 ===
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math>(<math>X</math>는 [[집합]], <math>d</math>는 [[거리 함수]])의 [[점렬]] <math>(x_n)_{n=0}^\infty\in X^\N</math>의 '''극한'''은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는, 거리 공간의 원소 <math>x\in X</math>이다.
* 모든 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>d(x_n,x)<\epsilon</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다.
* <math>\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0</math>
이를 <math>x_n\to x\,(n\to\infty)</math> 또는 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=x</math>와 같이 표기한다. 즉, 거리 공간 속 점렬의 극한 역시 점렬이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값이다. 오차에 대한 척도는 주어진 거리 함수이다. 또한, 만약 실수의 표준적인 거리 <math>(X,d)=(\R,|x-y|)</math>를 사용하면, 실수 수열에 대한 정의는 거리 공간에 대한 정의에 포함된다.

=== 성질 ===
수렴 점렬의 극한은 유일하다. (이는, 어떤 점렬도 동시에 두 다른 점으로 그 둘 사이의 거리의 반 이내로 접근할 수는 없기 때문이다.)

수렴 점렬은 항상 유계 점렬이다.

코시 점렬이 항상 수렴 점렬일 필요는 없다. 코시 점렬이 항상 수렴 점렬인 거리 공간을 [[완비 거리 공간]]이라고 한다. 그러나, 만약 코시 점렬에게 수렴 부분 점렬이 존재한다면, 그 코시 점렬은 수렴한다.

거리 공간 위의 함수 <math>f\colon X\to X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* 임의의 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\in X^\N</math>에 대하여, 만약 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=x</math>이면, <math>\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x)</math>이다. 즉, <math>f</math>는 임의의 점렬의 극한을 보존한다.

[[유클리드 공간]] 속 점렬 <math>(x_k)_{k=0}^\infty\in(\mathbb R^n)^\mathbb N</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* (점렬 수렴) <math>\lim_{k\to\infty}x_k=x</math>
* (각 좌표 성분 수렴) 임의의 <math>i\in\{1,2,\ldots,n\}</math>에 대하여, <math>\lim_{k\to\infty}x_{k,i}=x_i</math>
또한, 유클리드 공간 위의 임의의 [[Lp 거리|{{mvar|L<sup>p</sup>}} 거리]] 아래, 점렬의 수렴성은 동일하다.

== 위상 공간 ==
=== 정의 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\tau)</math>(<math>X</math>는 [[집합]], <math>\tau</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상]])의 점렬 <math>(x_n)_{n=0}^\infty\in X^\N</math>의 '''극한'''은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는, 위상 공간의 원소 <math>x\in X</math>이다.
* <math>x</math>의 임의의 [[근방]] <math>U</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>x_n\in U</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다.
* <math>x</math>를 포함하는 임의의 [[열린 집합]] <math>O</math>에 대하여, 모든 <math>n>N</math>에 대하여 <math>x_n\in O</math>이게 되는 자연수 <math>N\in\N</math>이 존재한다.
이를 <math>x_n\to x\,(n\to\infty)</math> 또는 <math>\lim_{n\to\infty}x_n=x</math>와 같이 표기한다. 즉, 위상 공간 속 점렬의 극한 역시 점렬이 궁극적으로 임의의 오차 범위 이내로 접근하는 값이다. 오차에 대한 척도는 주어진 위상이다. 또한, 만약 거리 공간의 [[거리 위상|표준 위상]]을 사용하면, 거리 공간에 대한 정의는 위상 공간에 대한 정의에 포함된다.

=== 성질 ===
수렴 점렬의 극한이 유일할 필요는 없다. 예를 들어, [[비이산 공간]] 속의 임의의 점렬은 그 속의 임의의 점으로 수렴한다. 그러나 [[하우스도르프 공간]]의 경우, 수렴 점렬의 극한은 유일하다. 위상 공간 사이의 [[연속 함수]]는 점렬의 극한을 보존한다. 그러나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[함수의 극한]]
* [[급수 (수학)|급수]]
* [[점마다 수렴]]
* [[균등 수렴]]

== 외부 링크 ==
* {{네이버캐스트|id=3896|저자=정경훈|제목=극한의 성질|날짜=2010-10-25}}
* {{플래닛매스|urlname=limitofrealnumbersequence|title=Limit of real number sequence}}
* [https://web.archive.org/web/20101215160108/http://maths.abdn.ac.uk/~igc/tch/ma2001/notes/node18.html 수열의 예]
* [https://web.archive.org/web/20040905075957/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html 극한을 포함한 수열의 역사]

[[분류:수열]]
[[분류:극한]]