{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Addition_on_cubic_(clean_version).svg|섬네일| [[타원곡선|타원 곡선]]은 종수 1인 매끄러운 사영 곡선이다.]]
[[대수기하학|대수 기하학]]에서 [[대수적으로 닫힌 체]] ''<math>k</math>'' 위의 대한 '''사영 다형체'''({{llang|en|Projective variety}})는 ''<math>k</math>'' 위의 ''<math>n</math>''차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb{P}^n</math>의 부분 집합으로, 다형체의 이데알을 정의하는 [[소 아이디얼|소 이데알]]을 생성하는 ''<math>k</math>''에서 계수를 가지는 ''<math>n+1</math>'' 변수 [[동차다항식]]들의 유한 족의 영점 집합이다. 동등하게, [[대수다양체|대수적 다형체]]는 <math>\mathbb{P}^n</math>의 [[자리스키 위상|자리스키 닫힌]] [[대수다양체|부분 다형체]]로 포함될 수 있는 경우 사영 다형체이다.

사영 다형체는 차원이 1이면 '''사영 곡선'''이다. 차원이 2이면 '''사영 곡면'''이다. 그 차원이 포함하는 사영 공간의 차원보다 하나 작으면 '''사영 초곡면'''이다. 이 경우 동차다항식 하나의 영점 집합이다.

''<math>X</math>''가 동차 소 이데알 ''<math>I</math>''에 의해 정의된 사영 다형체인 경우 [[몫환]]

: <math>k[x_0, \ldots, x_n]/I</math>

은 ''<math>X</math>''의 동차 좌표 환라고 한다. 차수와 차원 같은 ''<math>X</math>''의 기본 불변량은 이 [[등급 대수|등급환]]의 [[힐베르트 다항식]]에서 읽을 수 있다.

사영적 다형체는 여러 가지 방식으로 만들어 진다. 사영 다형체는 완비인데, 여기서 완비란 "누락된" 점이 없음을 의미한다고 대략적으로 설명할 수 있다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니지만 저우 보조 정리는 이 두 개념의 밀접한 관계를 설명한다. 다형체가 사영임을 보여주는 것은 ''<math>X</math>''에서 [[선다발]] 또는 약수를 연구하여 수행된다.

사영 다형체의 두드러진 특징은 층 코호몰로지에 대한 유한성 제약이다. 매끄러운 사영 다형체의 경우 [[세르 쌍대성]]은 [[푸앵카레 쌍대성]]과 비슷하다고 볼 수 있다. 또한 사영 곡선, 즉 1[[대수적 다양성의 차원|차원]] 사영 다형체에 대한 [[리만-로흐 정리]]로 이어진다. 사영 곡선 이론은 특히 풍부하며 곡선의 [[산술종수|산술 종수]]에 따른 분류를 포함한다. 더 높은 차원을 가진 사영 다형체에 대한 분류는 자연스럽게 사영 다형체의 모듈라이 공간으로 이어진다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Kollár|Moduli|loc=Ch I.}}</ref> [[힐베르트 스킴]]은 정해진 힐베르트 다항식으로 <math>\mathbb{P}^n</math>의 닫힌 부분 스킴를 매개변수화한다. 힐베르트 스킴은 [[그라스만 다양체|그라스마니안]]을 특수한 경우로 포함하며, 힐베르트 스킴도 그 자체로 사영 스킴이다. [[안정점|기하 불변 이론]]은 또 다른 접근법을 제공한다. 고전적인 접근 방식에는 [[타이히뮐러 공간|타이히뮐러]] 공간과 저우 다형체가 포함된다.

고전 수학으로 거슬러 올라가는 특히 풍부한 이론은 복소 사영 다형체, 즉 ''<math>X</math>''를 정의하는 다항식이 [[복소수|복소]] 계수를 가질 때 사용할 수 있다. 대체로 [[가가 정리|GAGA 정리]]는 사영 복소 해석 공간(또는 다양체)의 기하학이 사영 복소 다형체의 기하학과 동일하다고 말한다. 예를 들어, ''<math>X</math>''에 대한 [[정칙 벡터 다발|정칙 선형 다발]](보다 일반적으로 해석적 [[연접층]])이론은 대수 선형 다발 이론과 일치한다. [[가가 정리|저우 정리]]는 사영 공간의 부분 집합이 동차 다항식의 영점 집합임과 정칙 함수 족의 영점 집합임이 동치라고 말한다. 복소 사영 다형체에 대한 해석적 및 대수적 방법의 조합은 [[호지 이론]]과 같은 영역으로 이어진다.

== 다형체와 스킴 구조 ==
=== 다형체 구조 ===
''<math>k</math>''를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 사영 다형체를 정의할 때 기본은 사영 공간 <math>\mathbb{P}^n</math>이다. 다음과 같은 동치인 방식들로 정의할 수 있다:

* <math>k^{n+1}</math> 안에서 원점을 통과하는 모든 직선들의 집합(즉, <math>k^{n+1}</math>의 모든 1차원 벡터 부분공간)
* <math>x_0, \dots, x_n</math> 모두 0이 아닌 순서쌍 <math>(x_0, \dots, x_n) \in k^{n+1}</math>들의 집합에, 동치 관계<math display="block">(x_0, \dots, x_n) \sim \lambda (x_0, \dots, x_n)\; \forall\lambda\in k\setminus\{0\} </math>로 분할한 집합. 여기서 순서쌍들의 동치류는 [

<math display="block">[x_0: \dots: x_n]</math>로 나타낸다. 이 동치류가 사영 공간의 일반적인 점이다. 그 점의 <math display="inline">x_0,x_1, \dots, x_n </math>들은 동차 좌표라고 부른다.

사영 다형체는 정의 상 <math>\mathbb{P}^n</math>의 닫힌 부분 다형체이다.  여기서 "닫힌"은 [[자리스키 위상]]에서 닫힘을 나타낸다.<ref>{{인용|author=Shafarevich|first=Igor R.|author-link=Igor Shafarevich|title=Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space|publisher=Springer|year=1994}}</ref> 일반적으로 자리스키 위상의 닫힌 부분 집합은 동차 다항식 함수들의 유한 족의 공통 영점 집합으로 정의된다. 주어진 다항식 <math>f \in k[x_0, \dots, x_n]</math>에 대해, 조건

: <math>f([x_0: \dots: x_n]) = 0</math>

는 임의의 다항식에 대해서는 의미가 없고 ''<math>f</math>''가 [[동차다항식|동차]]인 경우에만, 즉,  ''<math>f</math>''의 모든 [[단항식]]들의 차수가 동일한 경우에만 가능하다. 이 경우

: <math>f(\lambda x_0, \dots, \lambda x_n) = \lambda^{\deg f} f(x_0, \dots, x_n)</math>

의 소멸은 <math>\lambda \ne 0</math>의 선택과 무관하다.

그러므로 사영 다형체는 <math>k[x_0, \dots, x_n]</math>의 동차 [[소 아이디얼|소 이데알]] ''<math>I</math>''에서 발생한다.

: <math>X = \left\{[x_0: \dots: x_n] \in \mathbb{P}^n, f([x_0: \dots: x_n]) = 0 \text{ for all }f \in I \right\}.</math>

더욱이, 사영 다형체 ''<math>X</math>''는 대수 다형체이며, 이는 열린 아핀 부분다형체들에 의해 덮이고 분리 공리를 만족한다는 것을 의미한다. 따라서 ''<math>X</math>''의 국소적 연구(예: 특이점)는 아핀 다형체의 연구로 귀결된다. 이에 대한 명시적 구조는 다음과 같다. 사영 공간 <math>\mathbb{P}^n</math>는 표준 열린 아핀 좌표 조각들

: <math>U_i = \{[x_0: \dots: x_n], x_i \ne 0 \}</math>

로 덮인다. 이 좌표 조각들 자체는 각각 좌표 환이

: <math>k \left [y^{(i)}_1, \dots, y^{(i)}_n \right ], \quad y^{(i)}_j = x_j/x_i</math>

인 ''<math>n</math>'' 차원 아핀 공간이다. 표기의 단순성을 위해 ''<math>i=0</math>''이라하고 위 첨자(0)를 삭제한다. 그러면 <math>X \cap U_0</math>는 ''<math>I</math>''의 모든 ''<math>f</math>''에 대해 <math>f(1, y_1, \dots, y_n)</math>들로 생성된 <math>k[y_1, \dots, y_n]</math>의 이데알로 정의되는 <math>U_0 \simeq \mathbb{A}^n</math>의 닫힌 부분 다형체이다.

:

따라서 ''<math>X</math>''는 ''<math>n+1</math>'' 차원 열린 아핀 좌표 조각 <math>X \cap U_i</math>들에 덮이는 대수적 다형체이다.

''<math>X</math>''는 <math>\mathbb{P}^n</math> 안의 아핀 다형체 <math>X \cap U_0</math>의 폐포임을 주의하라. 반대로, 어떤 닫힌(아핀) 다형체 <math>V \subset U_0 \simeq \mathbb{A}^n</math>에서 시작하여, <math>\mathbb{P}^n</math> 안에서 ''<math>V</math>''의 폐포는 ''<math>V</math>''의 '''사영 완비화'''라고 불리는 사영 다형체이다. 만약에 <math>I \subset k[y_1, \dots, y_n]</math>가 ''<math>V</math>''를 정의하면 이 폐포를 정의하는 이데알은 ''<math>I</math>''의 모든 ''<math>f</math>'' 에 대해 <math>x_0^{\deg(f)} f(x_1/x_0, \dots, x_n/x_0)</math>들로 생성된 <math>k[x_0, \dots, x_n]</math>의 동차 이데알<ref>This homogeneous ideal is sometimes called the homogenization of ''I''.</ref>이다.

예를 들어, ''<math>V</math>''가 <math>y^2 = x^3 + ax + b</math>과 같이 주어진 아핀 곡선이라면, 아핀 평면에서, 사영 평면에서의 사영 완비화는 <math>y^2 z = x^3 + ax z^2 + b z^3</math>과 같이 주어진다.

=== 사영 스킴 ===
다양한 응용을 위해 사영적 다형체, 즉 사영 스킴보다 더 일반적인 대수기하학적 객체를 고려할 필요가 있다. 사영 스킴을 향한 첫 번째 단계는 대수 다형체로서의 사영 공간에 대한 위의 설명을 정제하는 방식으로 사영 공간에 스킴 구조를 부여하는 것이다. <math>\mathbb{P}^n(k)</math>는 ''<math>n+1</math>''개의 아핀 ''n'' 차원 공간 ''<math>k^n</math>''들를 합집합 한 스킴이다. 보다 일반적으로,<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1999|loc=pg. 82}}</ref> 환 ''<math>A</math>'' 위의 사영 공간은 아핀 스킴

: <math>U_i = \operatorname{Spec} A[x_0/x_i, \dots, x_n/x_i], \quad 0 \le i \le n,</math>

들의 합집합이다. 이러한 방식으로 변수가 예상대로 일치한다. 대수적으로 닫힌 체 ''<math>k</math>''의 경우, <math>\mathbb{P}^n_k</math>의 [[자리스키 위상|닫힌 점]]들의 집합은 일반적인 의미에서 사영 공간 <math>\mathbb{P}^n(k)</math>이다.

동일하지만 효율적인 구성은 [[사영 스펙트럼|Proj 구성]]에 의해 제공되며, 이는 [[환의 스펙트럼|아핀 스킴]]을 정의하는 "Spec"으로 표시되는 환 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]과 비슷하다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Section II.5}}</ref> 예를 들어 ''<math>A</math>''가 환이라면

: <math>\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj}A[x_0, \ldots, x_n].</math>

''R''이 <math>k[x_0, \ldots, x_n]</math>의 [[몫환]]인 경우 동차 이데알 ''<math>I</math>''에 의해 표준 전사는 [[닫힌 몰입]]

: <math>\operatorname{Proj} R \hookrightarrow \mathbb{P}^n_k </math>

을 유도한다. 사영 다형체에 비해 이데알 ''<math>I</math>''가 소 이데알이라는 조건이 없어졌다. 이는 훨씬 더 유연한 개념으로 이어진다. 한편으로는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X = \operatorname{Proj} R</math>에 여러 개의 [[환원 불가능한 성분|기약 성분]]이 있을 수 있다. 더욱이 ''<math>X</math>''에는 [[멱영원]] 함수가 있을 수 있다.

<math>\mathbb{P}^n_k</math>의 닫힌 부분 스킴은 <math>k[x_0, \ldots, x_n]</math>의 [[포화 이상|포화된]] 동차 이데알 ''<math>I</math>''에 1대1 대응한다; 즉, <math>I : (x_0, \dots, x_n) = I.</math><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1999|loc=pg. 111}}</ref> 이 사실은 [[힐베르트 영점 정리|사영 영점 정리]]의 세련된 버전으로 간주될 수 있다.

위의 개념에 대해 좌표 없는 아날로그를 제공할 수 있다. 즉, 유한차원 벡터 공간 ''V'' over ''k'' 가 주어지면

: <math>\mathbb{P}(V) = \operatorname{Proj} k[V]</math>

여기서 <math>k[V] = \operatorname{Sym}(V^*)</math>는 <math>V^*</math>의 [[대칭 대수]]이다.<ref>This definition differs from {{괄호 없는 하버드 인용|Eisenbud|Harris|2000|loc=III.2.3}} but is consistent with the other parts of Wikipedia.</ref> 그것은 <math>V</math>의 사영이다. 즉, ''<math>V</math>''의 직선들을 매개변수화한다. 위에서 설명한 좌표 조각을 사용하여 정의되는 정규 전사 사상 <math>\pi: V \setminus \{0\} \to \mathbb{P}(V)</math>이 있다.<ref>cf. the proof of {{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch II, Theorem 7.1}}</ref> 구성의 한 가지 중요한 용도는 다음과 같다({{Section link||Duality and linear system}} 참조). 사영 다형체 ''<math>X</math>''의 약수 ''<math>D</math>''는 선다발 ''<math>L</math>''에 해당한다. 그러면

: <math>|D| = \mathbb{P}(\Gamma(X, L))</math>

''와 같이 설정한다. 이를 <math>D</math>''의 완비 선형계라고 한다.

임의의 [[스킴 (수학)|스킴]] ''<math>S</math>''에 대한 사영 공간은 스킴의 올곱

: <math>\mathbb{P}^n_S = \mathbb{P}_\Z^n \times_{\operatorname{Spec}\Z} S</math>

으로 정의할 수 있다. 만약에 <math>\mathcal{O}(1)</math>가 <math>\mathbb{P}_\Z^n</math> [[사영 스펙트럼|세르의 비틀린 층]]이면, <math>\mathcal{O}(1) </math>를 <math>\mathbb{P}^n_S</math>로 당긴 것을 <math>\mathcal{O}(1)</math>로 나타낸다.; 즉, 표준 사상 <math>g: \mathbb{P}^n_{S} \to \mathbb{P}^n_{\Z}</math>에 대해 <math>\mathcal{O}(1) = g^*(\mathcal{O}(1))</math>.

스킴 ''<math>X\rightarrow S</math>''가  ''<math>S</math>''로의 사영이 따르는 닫힌 몰입

: <math>X \to \mathbb{P}^n_S</math>

으로서 분해되면 ''<math>S</math>'' 위에서 '''사영적'''이라고 한다.

''<math>S</math>''-스킴 ''<math>X</math>'' 위의 선다발(또는 가역 다발) <math>\mathcal{L}</math>은 어떤 ''n'' 에 대해 <math>\mathcal{O}(1)</math>이 <math>\mathcal{L}</math>로 당겨지도록 하는 [[몰입 (수학)|몰입]](즉, 닫힌 몰입이 따라오는 열린 몰입)

: <math>i: X \to \mathbb{P}^n_S</math>

이 있는 경우, ''<math>S</math>에'' [[풍부한 가역층|아주 풍부]]하다고 한다. 그러면 ''<math>S</math>''-스킴 ''<math>X</math>''는 그것이 [[고유 사상|적절]]하고 ''<math>S</math>''에 비해 ''<math>X</math>''에 아주 풍부한 다발이 존재하는 경우에, 그리고 그때에만 사영적이다. 실제로 ''<math>X</math>''가 적절하면 아주 풍부한 선다발에 해당하는 몰입이 필연적으로 닫힌다. 반대로, ''<math>X</math>''가 사영이면, ''<math>X</math>''의 닫힌 몰입 아래에서 <math>\mathcal{O}(1)</math>의 사영 공간으로의 당김은 아주 풍부하다. "사영"이 "적절한"을 의미한다는 것은 더 깊은 의미를 지닌다: [[제거 이론의 주요 정리|소거론의 주요 정리]].

== 완비 다형체와의 관계 ==
정의에 따르면 다형체는 ''<math>k</math>''에 대해 [[고유 함수|적절]]할 경우 완비다. [[고유 사상|적합성의 판별 기준]]은 적절한 다형체에 "누락된" 점이 없다는 직관을 표현한다.

완비 다형체와 사영 다형체 사이에는 밀접한 관계가 있다. 한편으로는, 사영적 공간, 따라서 모든 사영 다형체가 완비이다. 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다. 하지만:

* 매끄러운 곡선 ''<math>C</math>''는 완비인 경우에만 사영적이다. 이는 ''<math>k</math>''에 대한 [[유리 함수층|함수체]] ''<math>k(C)</math>''의 [[이산 값매김환|이산 값매김 환]] 집합으로 ''<math>C</math>를'' 식별함으로써 증명된다. 이 집합에는 자리스키-리만 공간이라고 하는 자연스러운 자리스키 위상이 있다.
* 저우 보조 정리는 모든 완비 다형체 ''<math>X</math>''에 대해 사영 다형체 ''<math>Z</math>''와 쌍유리 사상 ''<math>Z\rightarrow X</math>''가 있음을 나타낸다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Grothendieck|Dieudonné|1961|loc=5.6}}</ref> (또한 [[정규 스킴|정규화]]를 통해 이 사영 다형체가 정규라고 가정할 수 있다.)

사영 다형체의 일부 성질은 완비성에서 비롯된다. 예를 들어, 모든 사영 다형체 ''X'' over ''k'' 에 대해,

: <math>\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k</math>

<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch II. Exercise 4.5}}</ref> 이 사실은 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]](콤팩트 연결 복소 다양체의 모든 정칙 함수는 상수함수)의 대수학적 유사체이다. 사실, 복소 사영 다형체에 대한 복소 해석적 기하학과 대수 기하학 사이의 유사성은 아래에서 설명하는 것처럼 이보다 훨씬 더 나아간다.

준 사영 다형체는, 정의 상, 사영 다형체의 열린 부분 다형체이다. 이 종류의 다형체에는 아핀 다형체가 포함된다. 거의 모든 아핀 다형체는 완비(또는 사영)가 아니다. 사실, 아핀 다형체의 사영 부분 다형체는 0차원 이여야 한다. 이는 상수함수만이 사영 다형체에 대한 대역적 정규 함수이기 때문이다.

== 예제 및 기본 불변량 ==
정의에 따르면, 다항식 환의 모든 동차 이데알은 사영 스킴을 생성한다(다형체를 제공하려면 소 이데알이어야 함). 이런 의미에서 사영적 다형체의 예는 많다. 다음 목록은 특히 집중적으로 연구되었기 때문에 주목할 만한 다양한 종류의 사영 다형체를 언급한다. 복소 사영 다형체의 중요한 부류, 즉, <math>k=\Complex</math>인 경우, 아래에서 더 자세히 설명한다.

두 사영 공간의 곱은 사영적이다. 사실 명시적 몰입( [[세그레 매장]]이라고 함)이 있다.

: <math>\begin{cases}
\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m \to \mathbb{P}^{(n+1)(m+1)-1} \\
(x_i, y_j) \mapsto x_i y_j
\end{cases}</math>

결과적으로, ''<math>k</math>''에 대한 사영 다형체의 곱은 다시 사영이다. 플뤼커 매장은 [[그라스만 다양체|그라스마니안]]을 사영 다형체로 나타낸다. [[일반선형군|일반 선형 군]] <math>\mathrm{GL}_n(k)</math>의 [[삼각행렬|상 삼각 행렬]]의 부분 군을 법으로 한 몫군과 같은 깃 다형체들은 사영적이며, 이는 [[대수군]] 이론에서 중요한 사실이다.<ref>{{인용|author=Humphreys|first=James|title=Linear algebraic groups|publisher=Springer|year=1981}}, Theorem 21.3</ref>

=== 동차 좌표환과 힐베르트 다항식 ===
사영 다형체 ''<math>X</math>''를 정의하는 [[소 아이디얼]] ''<math>\mathfrak p</math>''가 동차이므로 동차 좌표 환

: <math>R = k[x_0, \dots, x_n] /\mathfrak p</math>

는 [[등급 대수|등급환]]이다. 즉, 등급이 매겨진 성분들의 직합으로 표현할 수 있다.

: <math>R = \bigoplus_{n \in \N} R_n.</math>

모든 충분히 큰 ''<math>n</math>''에 대해, <math>\dim R_n = P(n)</math>과 같은 다항식 ''<math>P</math>가'' 존재한다. 이 다항식을 ''<math>X</math>''의 [[힐베르트 다항식]]이라고 한다. 이는 ''<math>X</math>''의 외적 기하학을 인코딩하는 불변량이다. ''<math>P</math>''의 차수는 ''<math>X</math>''의 차원 ''<math>r</math>''이고, ''<math>P</math>''의 선행 계수에 '''''<math>r!</math>'''''을 곱하면 다형체 ''<math>X</math>''의 차수가 된다. ''<math>X</math>''가 매끄러울 때 ''<math>X</math>''의 [[산술종수|산술 종수]]는 ''<math>(-1)^r(P(0)-1)</math>''이다.

예를 들어, <math>\mathbb{P}^n</math>의 동차 좌표 환은 <math>k[x_0, \ldots, x_n]</math>이고 힐베르트 다항식은 <math>P(z) = \binom{z+n}{n}</math>;  산술 종수는 0이다.

동차 좌표 환 ''<math>R</math>''은 정수적으로 닫힌 정역이다. 그래서 사영 다형체 ''<math>X</math>''는 사영적으로 정규라고 한다. [[정규 스킴|스킴의 정규성]]과는 달리, 사영적 정규성은 ''<math>R</math>''에 따라 다르다''.'' ''<math>X</math>의'' 사영 공간으로의 매장. 사영 다형체의 정규화는 사영적이다; 사실, 그것은 ''<math>X</math>''의 동차 좌표 환의 정수적 폐포의  Proj이다.

=== 차수 ===
<math>X \subset \mathbb{P}^N</math>를 사영 다형체라 하자. 매장을 기준으로 ''<math>X</math>''의 차수를 정의하는 방법에는 적어도 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 유한 집합의 [[기수 (수학)|기수]]로 정의하는 것이다.

: <math>\# (X \cap H_1 \cap \cdots \cap H_d)</math>

여기서 ''<math>d</math>''는 ''<math>X</math>''의 차원이고 ''<math>H_i</math>''는 "일반 위치"에 있는 초평면이다. 이 정의는 차수에 대한 직관에 해당한다. 실제로 ''<math>X</math>''가 초곡면이면 ''<math>X</math>''의 차수는 ''<math>X</math>''를 정의하는 동차 다항식의 차수이다. "일반 위치"는 예를 들어 교차 이론에 의해 정확해질 수 있다. 교집합이 적절하고 기약 성분의 중복도가 모두 1이라는 것을 요구한다.

이전 적에서 언급한 다른 정의는 ''<math>X</math>''의 차수가 ''<math>X</math>''의 [[힐베르트 다항식]]의 선행 계수와 ''<math>(\dim X)!</math>''의 곱이라는 것이다. 기하학적으로 이 정의는 ''<math>X</math>''의 차수가 ''<math>X</math>''에 대한 아핀 원뿔의 꼭지점의 중복도임을 의미한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. V, Exercise 3.4. (e).}}</ref>

<math>V_1, \dots, V_r \subset \mathbb{P}^N</math>가 적절히 교차하는 순수 차원의 닫힌 부분 스킴이라 하자(일반적인 위치에 있음). ''<math>m_i</math>''가 교차에서 기약 성분 ''<math>Z_i</math>''의 중복도를 나타내는 경우(즉, [[교차수|교차 중복도]]), [[베주 정리]]의 일반화는 다음과 같이 말한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Fulton|1998|loc=Proposition 8.4.}}</ref>

: <math>\sum_1^s m_i \deg Z_i = \prod_1^r \deg V_i.</math>

교차 중복도 ''<math>m_i</math>''는 <math>\mathbb{P}^N</math>의 [[저우 환]]에서 교차 곱 <math>V_1 \cdot \cdots \cdot V_r</math>에서 ''<math>Z_i</math>''의 계수로 정의될 수 있다.

특히, 만약 <math>H \subset \mathbb{P}^N</math>가 ''<math>X</math>''를 포함하지 않는 초곡면인 경우

: <math>\sum_1^s m_i \deg Z_i = \deg(X) \deg(H)</math>

여기서 ''<math>Z_i</math>''는 중복도(국소적 환의 길이) ''<math>m_i</math>''를 갖는 ''<math>H</math>'' 와 ''<math>X</math>''의 스킴 이론적 교점의 기약 성분이다.

복소 사영 다형체는 [[복소다양체|콤팩트 복소 다양체]]로 볼 수 있다. 다형체의 차수(매장에 상대적인)는 주변 복소 사영 공간에서 물려받은 계량과 관련하여 다양체로서의 다형체의 부피이다. 복소 사영 다형체는 (어떤 의미에서) 부피의 극소화로 특징지어질 수 있다.

=== 단면의 환 ===
''<math>X</math>''를 사영 다형체이라고 하고 ''<math>L</math>을'' 선 다발이라고 하자. 그러면 등급환

: <math>R(X, L) = \bigoplus_{n=0}^{\infty} H^0(X, L^{\otimes n})</math>

를 ''<math>L</math>''의 단면의 환이라고 한다. ''<math>L</math>''이 [[풍부한 가역층|풍부한]] 경우 이 환의 Proj는 ''<math>X</math>''이다. 게다가 ''<math>X</math>''가 정규이고 ''<math>L</math>''이 아주 풍부하다면 <math>R(X,L)</math>은 ''<math>L</math>''에 의해 결정된 ''<math>X</math>''의 동차 좌표 환의 정수적 폐포이다. 즉, <math>X \hookrightarrow \mathbb{P}^N</math>라서 <math>\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)</math>를 ''<math>L</math>''로 당기도록.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. II, Exercise 5.14. (a)}}</ref>

응용에서, 약수(또는 <math>\Q</math> -약수)는 단지 선다발이 아니다. ''<math>X</math>''가 정규라고 가정하면 결과 환을 일반화된 단면 환이라고 한다. 만약에 <math>K_X</math>가 ''<math>X</math>''의 [[표준 선다발|표준 약수]]이면 단면

: <math>R(X, K_X)</math>

''<span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;">&lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;

<mrow displaystyle="true" scriptlevel="0" class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle scriptlevel="0" displaystyle="true">
<mi>X</mi>
</mstyle>
</mrow>
{\displaystyle X}

&lt;/math&gt;</span>''의 일반화된 환을 ''<math>X</math>''의 [[표준환|표준 환]]라고 한다. 표준 환이 유한생성되면 환의 ''<math>\text{Proj}</math>''를 ''<math>X</math>''의 표준 모형이라고 한다. 표준 환 또는 표준 모형을 사용하여 ''<math>X</math>''의 고다이라 차원을 정의할 수 있다.

=== 사영 곡선 ===
1차원 사영 스킴을 사영 곡선이라고 한다. 사영 곡선 이론의 대부분은 매끄러운 사영 곡선에 관한 것이다. 곡선의 [[특이점 (대수기하학)|특이점]]은 정규 함수 환의 [[정수적 원소|정수적 폐포]]를 국소적으로 취하는 [[정규 스킴|정규화]]로 해결할 수 있기 때문이다. 매끄러운 사영 곡선은 [[유리 함수층|함수체]]가 동형인 경우에만 동형이다.

: <math>\mathbb F_p(t)</math>

의 유한 확장에 대한 연구 또는 동등하게 <math>\mathbb F_p</math> 위의 매끄러운 사영 곡선은 [[대수적 수론]]에서 중요한 주제이다.<ref>{{인용|author=Rosen|first=Michael|title=Number theory in Function Fields|year=2002|publisher=Springer}}</ref>

종수 1인 매끄러운 사영 곡선을 [[타원곡선|타원 곡선]]이라고 한다. [[리만-로흐 정리]]의 결과로 이러한 곡선은 <math>\mathbb{P}^2</math>의 닫힌 부분 다형체로 매장될 수 있다. 일반적으로 모든 (매끄러운) 사영 곡선은 <math>\mathbb{P}^3</math>에 매장 될 수 있다. (증명은 Secant 다형체#Examples 참조). 반대로, <math>\mathbb{P}^2</math> 안의 매끄러운 닫힌 3차 곡선은 [[속 공식|종수- 차원 공식]]에 의해 종수 1을 가지므로 타원 곡선이다.

2보다 크거나 같은 종수의 매끄러운 완비 곡선은 유한 사상 <math>C \to \mathbb{P}^1</math>이 있는 경우 2차 [[초타원 곡선]]이라고 한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch IV, Exercise 1.7.}}</ref>

=== 사영 초곡면 ===
<math>\mathbb{P}^n</math>의 여차원 1인 모든 기약 닫힌 부분 집합은 [[초곡면]]이다. 즉, 어떤 동차 기약 다항식의 영점 집합이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch I, Exercise 2.8}}; this is because the homogeneous coordinate ring of <math>\mathbb{P}^n</math> is a [[유일 인수 분해 정역|unique factorization domain]] and in a UFD every prime ideal of height 1 is principal.</ref>

=== 아벨 다형체 ===
사영 다형체 ''<math>X</math>''의 또 다른 중요한 불변량은 ''<math>X</math>''의 [[피카르 군]] <math>\operatorname{Pic}(X)</math>이다. <math>\operatorname{Pic}(X)</math>는 ''<math>X</math>''에 있는 선다발들의 동치류 집합이며, <math>H^1(X, \mathcal O_X^*)</math>와 동형이다. 따라서 내재적 성질(매장과 무관)이다. 예를 들어 <math>\mathbb{P}^n</math>의 피카르 군은 차수 사상를 통해 <math>\Z</math>와 동형이다 <math>\deg: \operatorname{Pic}(X) \to \Z</math>의 핵은 아벨 군일 뿐만 아니라, ''<math>X</math>''의 [[야코비 다양체|아코비 다형체]] ''<math>\text{Jac}(X)</math>''라는 다형체가 있으며, 그의 점은 이 군과 같다. (매끄러운) 곡선의 야코비 다형체는 곡선 연구에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 타원 곡선 '''''<math>E</math>'''''의 야코비 다형체는 '''''<math>E</math>''''' 자체이다. 종수 ''<math>g</math>''인 곡선 ''<math>X</math>''의 경우 ''<math>\text{Jac}(X)</math>''의 차원은 ''<math>g</math>''이다.

아코비안 다형체처럼 완비이고 군 구조를 갖는 다형체는 [[닐스 헨리크 아벨]]을 기리기 위해 [[아벨 다양체|아벨 다형체]]로 알려져 있다. 이는 <math>GL_n(k)</math>과 같은 아핀 대수 군과 뚜렷한 대조를 이룬다. [[아벨 다양체|아벨 다형체]]의 군은 그 이름처럼 항상 가환이다. 더욱이 그들은 풍부한 [[선다발]]을 허용하므로 사영적이다. 반면에, 아벨 스킴은 사영적이지 않을 수 있다. 아벨 다형체의 예로는 타원 곡선, 야코비 다형체 및 [[K3 곡면]]이 있다.

== 사영 ==
<math>E \subset \mathbb{P}^n</math>를 선형 부분 공간이라 하자. 즉, 어떤 선형 독립 선형 함수 <math>s_i</math>들에 대해 <math>E = \{ s_0 = s_1 = \cdots = s_r = 0 \}</math>. 그러면 '''<math>E</math>로부터의 사영'''은 (잘 정의된) 사상

: <math>\begin{cases}
\phi: \mathbb{P}^n - E \to \mathbb{P}^r \\
x \mapsto [s_0(x) : \cdots : s_r(x)]
\end{cases}</math>

이다. 이 사상의 기하학적 설명은 다음과 같다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Shafarevich|1994|loc=Ch. I. § 4.4. Example 1.}}</ref>

* '''<math>E</math>'''와 분리되도록 <math>\mathbb{P}^r \subset \mathbb{P}^n</math>로 본다. 그러면,  <math display="block">\forall x \in \mathbb{P}^n \setminus E,\; \phi(x) = W_x \cap \mathbb{P}^r.</math>여기서 <math>W_x</math>는 '''<math>E</math>'''와 <math>x</math>롤 포함하는 가장 작은 선형 공간이다.
* <math>\phi^{-1}(\{ y_i \ne 0 \}) = \{ s_i \ne 0 \}.</math> 여기서 <math>y_i</math>들은 <math>\mathbb{P}^r</math>에서 동차 좌표.
* '''''<math>E</math>'''''에서 분리된 임의의 닫힌 부분 스킴 <math>Z \subset \mathbb{P}^n</math>의 경우, 제한 사상 <math>\phi: Z \to \mathbb{P}^r </math>은 [[유한형 사상|유한 사상]]이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|Oda|2015|loc=Ch. II, § 7. Proposition 6.}}</ref>

사영을 사용하여, [[유한형 사상|유한 사상]]을 기준으로,사영 다형체가 매장된 차원으로 낮출 수 있다. 사영 다형체 <math>X \subset \mathbb{P}^n</math>으로 시작하자. 만약에 <math>n > \dim X</math>이면, ''<math>X</math>''에 없는 점으로부터의 사영은 <math>\phi: X \to \mathbb{P}^{n-1}</math>을 제공한다. 게다가, <math>\phi</math>는 <math>\text{Im}\phi</math>으로 가는 유한 사상이다. 따라서, 이 절차를 반복하면 유한 사상

: <math>X \to \mathbb{P}^d, \quad d = \dim X  </math>

이 있음을 알 수 있다. 이 결과는 뇌터의 정규화 보조정리의 사영 아날로그이다. (실제로 정규화 보조정리의 기하학적 증명을 제공한다.)

동일한 절차를 사용하여 다음과 같은 약간 더 정확한 결과를 표시할 수 있다. [[완전체]]에 대한 사영 다형체 ''<math>X</math>''가 주어지면 ''<math>X</math>''에서 초곡면 ''<math>H\subset \mathbb{P}^{d+1}</math>''로 가는 유한한 쌍유리 사상이 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch. I, Exercise 4.9.}}</ref> 특히 ''<math>X</math>''가 정규이면 ''H''의 정규화이다.

== 쌍대성 및 선형계 ==
''n''차원 사영 공간 <math>\mathbb{P}^n</math> 다음과 같이 아핀 ''n'' 공간의 직선을 매개변수화하고 쌍대는 사영 공간의 초평면을 매개변수화한다. 체 ''k''를 고정한다. 에 의해 <math>\breve{\mathbb{P}}_k^n</math>, 우리는 사영 ''n'' 공간을 의미한다

: <math>\breve{\mathbb{P}}_k^n = \operatorname{Proj}(k[u_0, \dots, u_n])</math>

다음과 같은 구조를 갖추고 있다.

: <math>f \mapsto H_f = \{ \alpha_0 x_0 + \cdots + \alpha_n x_n = 0 \}</math>, <math>\mathbb{P}^n_L</math>의 초평면

여기서 <math>f: \operatorname{Spec} L \to \breve{\mathbb{P}}_k^n</math>는 ''k''의 체 확대 ''L''에 대한 <math>\breve{\mathbb{P}}_k^n</math>의 [[유리점|''L'' 점]]이고 <math>\alpha_i = f^*(u_i) \in L.</math>

각 ''L''에 대해 구성은 <math>\breve{\mathbb{P}}_k^n</math>의 [[유리점|''L'' 점]]들의 집합과 <math>\mathbb{P}^n_L</math> 위의 초평면 집합 사이의 1대1 대응이다. 이 때문에 쌍대 사영 공간 <math>\breve{\mathbb{P}}_k^n</math>는 <math>\mathbb{P}^n_k</math>의 초평면의 [[모듈라이 공간]]이라고 한다.  .

<math>\breve{\mathbb{P}}_k^n</math>의 직선은 연필이라고 불린다. 이는 <math>\mathbb{P}^1_k</math>에 의해 매개변수화되는 <math>\mathbb{P}^n_k</math> 위의 초평면 족이다.

''V''가 유한차원 ''k-''벡터 공간이면 위와 같은 이유로 <math>\mathbb{P}(V^*) = \operatorname{Proj}(\operatorname{Sym}(V))</math>는 <math>\mathbb{P}(V)</math>의 초평면들의 공간이다. ''V''가 선다발의 단면으로 구성되는 경우는 중요한 경우이다. 즉, ''<math>X</math>''를 대수적 다형체, ''L''을 ''<math>X</math>''의 선다발, <math>V \subset \Gamma(X, L)</math>를 유한 차원 부분 벡터 공간이라 하자. 그러면 선형계 ''V''에 의해 결정되는 다음 사상이 있다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Fulton|1998|loc=§ 4.4.}}</ref>

: <math>\begin{cases}
\varphi_V: X \setminus B \to \mathbb{P}(V^*) \\
x \mapsto H_x = \{ s \in V | s(x) = 0 \}
\end{cases}</math>

여기서 기저 궤적이라고 하는 ''B''는 ''V'' 에서 0이 아닌 단면의 약수들의 교집합이다( 제수의 선형 시스템#A 사상 구성을 위한 선형 시스템에 의해 결정됨 참조).

== 연접층의 코호몰로지 ==
''<math>X</math>''를 체(또는 보다 일반적으로 뇌터 환)에 대한 사영 스킴라고 하자. ''<math>X</math>'' 위의 연접층 코호몰로지 <math>\mathcal F</math>''는'' 세르로 인해 다음과 같은 중요한 정리를 충족한다.

# <math>H^p(X, \mathcal{F})</math>는 모든 ''p''에 대해 유한차원 ''k-''벡터 공간이다.
# <math display="inline">\forall n \ge n_0, \forall p>0,</math><math display="block">H^p(X, \mathcal{F}(n)) = 0 </math>이 성립하는 (<math>\mathcal{F}</math>에 따라 다른; [[Castelnuovo–Mumford 규칙성|Castelnuovo–Mumford 규칙]] 참조)정수 <math>n_0</math>가 존재한다. 여기서 <math display="inline">\mathcal F(n) = \mathcal F \otimes \mathcal O(n)</math>는 아주 풍부한 선다발 <math display="inline">\mathcal{O}(1)</math>의 멱으로 꼬인다.

이러한 결과는 동형사상

: <math>H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(\mathbb{P}^r, \mathcal{F}), p \ge 0</math>

을 사용하여  <math>X= \mathbb{P}^n</math>의 예시를 축소하는 것으로 증명되었다. 여기서 오른쪽 <math>\mathcal{F}</math>는 0으로 확장하여 사영 공간 위의 층으로 여겨진다.<ref>This is not difficult:{{하버드 인용|Hartshorne|1977}} consider a [[단사층|flasque resolution]] of <math>\mathcal{F}</math> and its zero-extension to the whole projective space.</ref> 결과는 임의의 정수 n에 대해 <math>\mathcal{F} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^r}(n)</math>의 직접 계산으로 이어진다. 임의의<math>\mathcal F</math>에 대해 별 어려움 없이 이 경우로 축소된다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch III. Theorem 5.2}}</ref>

위의 따름정리 1.에 대한 결과로서 ''f''가 뇌터 스킴에서 뇌터 환으로의 사영 사상라면 더 높은 직상 <math>R^p f_* \mathcal{F}</math>은 coherent 하다. [[차우의 기본형|저우 보조정리]]의 도움으로 표시할 수 있는 것과 같이 적절한 사상 ''f'' 에 대해 동일한 결과가 유지된다.

[[층 코호몰로지]] 군 ''H <sup>i</sup>''는 뇌터 위상 공간에서 공간의 차원보다 엄격하게 큰 ''i'' 에 대해 사라진다. 따라서 <math>\mathcal{F}</math>의 [[오일러 지표|오일러 특성]]이라고 하는 양

: <math>\chi(\mathcal{F}) = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F})</math>

는 ''<math>X</math>''가 사영인 경우 잘 정의된 정수이다. 그러면 유리수 계수 다항식 ''P'' 의 경우 <math>\chi(\mathcal{F}(n)) = P(n)</math>임을 보일 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch III. Exercise 5.2}}</ref> 이 절차를 구조층 <math>\mathcal{O}_X</math>에 적용하여, ''<math>X</math>'' 의 힐베르트 다항식을 복구한다. 특히, ''<math>X</math>가'' 기약이고 ''r''차원이면 ''<math>X</math>''의 산술 종수는 다음과 같다.

: <math>(-1)^r (\chi(\mathcal{O}_X) - 1),</math>

이는 명백히 내재적인 것이다. 즉, 매장과 무관하다.

차수 ''d안'' 초곡면의 산술 종수는 <math>\mathbb{P}^n</math>에서 <math>\binom{d-1}{n}</math>과 같다.  특히, <math>\mathbb{P}^2</math> 안의 차수 ''d인'' 매끄러운 곡선은 산술종수 <math>(d-1)(d-2)/2</math>를 가진다. 이것은 [[속 공식|종수-차수 공식]]이다.

== 매끄러운 사영 다형체 ==
''<math>X</math>''를 모든 기약 성분의 차원이 ''n'' 인 매끄러운 사영 다형체이라고 하자. 이 상황에서, 최고 차수의 [[켈러 미분]](즉, 대수적 ''n'' -형식)으로 정의되는 [[표준 선다발|표준 층]] ''<math>\omega_X</math>''는 선다발이다.

=== 세레 쌍대성 ===
[[세르 쌍대성]]은 ''<math>X</math>'' 위의 모든 국소 자유 층 <math>\mathcal{F}</math>에 대해 다음과 같이 말한다:

: <math>H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)'</math>

여기서 위첨자 프라임은 쌍대 공간을 나타내고 <math>\mathcal{F}^\vee</math>는 <math>\mathcal{F}</math>의 쌍대 다발이다. 사영적이지만 반드시 매끄러운 스킴은 아닌 경우로의 일반화는 베르디에르 쌍대성으로 알려져 있다.

=== 리만-로흐 정리 ===
(매끄러운 사영) 곡선 ''<math>X</math>''의 경우, ''H''<sup>2</sup>과 그 이상은 차원적인 이유로 사라지고, 구조 층의 전역 단면의 공간은 1차원이다. 따라서 ''<math>X</math>''의 산술 종수는 <math>H^1(X, \mathcal{O}_X)</math>의 차원이다. 정의에 따르면 ''<math>X</math>''의 [[기하종수|기하 종수]]는 <math>H^0(X, \omega_X)</math>의 차원이다. 따라서 세르 쌍대성은 산술 종수와 기하 종수의 일치성을 의미한다. 그들은 단순히 ''<math>X</math>''의 종수라고 불릴 것이다.

세르 쌍대성은 또한 [[리만-로흐 정리]] 증명의 핵심 요소이다. ''<math>X</math>''가 매끄럽기 때문에  주요 약수를 법으로 (Weil) 약수군에서 선다발의 동형 클래스 군으로 가는 군동형사상

: <math> \begin{cases}
\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Pic}(X) \\
D \mapsto \mathcal{O}(D)
\end{cases}</math>

이 있다.. ω<sub>''X''</sub> 에 해당하는 약수는 표준 약수라고 하며 ''K''로 표시된다. ''l'' ( ''D'' )를 <math>H^0(X, \mathcal{O}(D))</math>의 차원으로 하자. 그러면 리만-로흐 정리는 다음과 같이 말한다. ''g가'' ''<math>X</math>''의 종수인 경우, ''<math>X</math>''의 임의의 약수 ''D''에 대해,

: <math>l(D) -l(K - D) = \deg D + 1 - g</math>

세르 쌍대성에 의해 이것은 다음과 같다.

: <math>\chi(\mathcal{O}(D)) = \deg D + 1 - g</math>

이는 쉽게 증명할 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch IV. Theorem 1.3}}</ref> [[히르체브루흐-리만-로흐 정리]]와 더 광범위한 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]]는 리만-로흐 정리를 더 높은 차원으로 일반화한다.

== 힐베르트 스킴 ==
[[힐베르트 스킴]]은 H의 점(함자적 의미에서)이 <math>X</math>의 닫힌 부분 스킴에 해당한다는 의미에서 사영 스킴 <math>X</math>의 모든 닫힌 부분 다형체를 매개변수화한다. 이와 같이 힐베르트 스킴은 [[모듈라이 공간]], 즉 점들이 다른 기하학적 대상을 매개변수화하는 기하학적 대상의 예이다. 보다 정확하게, 힐베르트 스킴은 [[힐베르트 다항식]]이 주어진 다항식 P와 같은 닫힌 부분 다형체를 매개변수화한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Kollár|1996|loc=Ch I 1.4}}</ref>임의의 k -스킴 T 에 대해 전단사

: <math>\{\text{morphisms }T \to H^P_X \} \ \ \longleftrightarrow \ \ \{\text{closed subschemes of } X \times_k T \text{ flat over } T, \text{ with Hilbert polynomial } P.\}</math>

가 있는 k-스킴 <math>H_X^P</math>이 존재한다는 것은 그로텐디크의 심층적인 정리이다.<ref>To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.</ref>  항등 사상<math>H_X^P \to H_X^P</math>에 해당하는 <math>X \times H_X^P</math>의 닫힌 부분 스킴을 ''보편족''이라고 한다.

<math>P(z) = \binom{z+r}{r}</math>에 대해, 힐베르트 스킴 <math>H_{\mathbb{P}^n}^P</math>는 <math>\mathbb{P}^n</math>안의 ''r-''평면의 [[그라스만 다양체|그라스마니안]]이라고 한다. 그리고 ''<math>X</math>''가 사영 스킴인 경우, <math>H_X^P</math>는 ''<math>X</math>''에서 ''r-''평면의 [[파노 다양체|파노 스킴]]이라고 한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Eisenbud|Harris|2000|loc=VI 2.2}}</ref>

== 복소 사영 다형체 ==
이 절에서 모든 대수 다형체는 [[복소수|복소]] 대수 다형체이다. 복소 사영 다형체 이론의 핵심 특징은 대수적 방법과 해석적 방법의 조합이다. 이러한 이론 사이의 전환은 다음 연결고리에 의해 제공된다: 모든 복소 다항식은 정칙 함수이기도 하므로 모든 복소 다형체 ''<math>X</math>는'' 복소 [[해석 공간]] <math>X(\Complex)</math>을 산출한다. 또한 ''<math>X</math>''의 기하학적 특성은 <math>X(\Complex)</math>의 특성에 의해 반영된다. 예를 들어, 후자는 ''<math>X</math>''가 매끄러움과 [[복소다양체|복소 다양체]]임이 동치이다. 그리고 ''<math>X</math>가'' <math>\Complex</math> 위에서 적절함과 콤팩트함이 동치이다.

=== 복소 켈러 다양체와의 관계 ===
복소 사영 공간은 [[켈러 다양체]]이다. 이것은 모든 사영 대수적 다형체 ''<math>X</math>''에 대해 <math>X(\Complex)</math>가 콤팩트 켈러 다양체임을 의미한다. 그 반대는 일반적으로 참이 아니지만 [[고다이라 매장 정리]]는 켈러 다양체가 사영적인지에 대한 판정법을 제공한다.

낮은 차원에서는 다음과 같은 결과가 있다.

* (리만) [[리만 곡면|콤팩트 리만 곡면]](즉, 1차원의 콤팩트 복소 다양체)은 사영 다형체이다. [[토렐리 정리]]에 의해 아코비안으로 유일하게 결정된다.
* (저우-고다이라) 2개의 대수적 독립인 [[유리형 함수]]들을 가진 2차원의 콤팩트 [[복소다양체|복소 다양체]]는 사영 다형체이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Appendix B. Theorem 3.4.}}</ref>

=== GAGA와 저우의 정리 ===
[[가가 정리|저우 정리]]는 해석 기하학에서 대수 기하학으로 나아가는 놀라운 방법을 제공한다. 이 정리는 복소 사영 공간의 모든 해석적 부분 다형체가 대수적이라고 한다. 저우 정리는 특정 성장 조건을 만족하는 [[정칙 함수]]가 필연적으로 대수적이라고 말하는 것으로 해석될 수 있다. "사영"은 이 성장 조건을 제공한다. 이 정리에서 다음을 추론할 수 있다.

* 복소 사영 공간 위에서 유리형 함수들은 유리함수이다.
* 대수 다형체들 사이의 대수적 사상이 해석적 [[동형 사상|동형사상]]인 경우, 이는 (대수적) 동형사상이다. (이 부분은 복소 해석학에서 기본적인 사실이다.) 특히 저우 정리는 사영 다형체 사이의 정칙 사상이 대수적이라는 것을 암시한다. (이러한 사상의 그래프를 고려. )
* 사영 다형체의 모든 [[정칙 벡터 다발|정칙 선형 다발]]은 유일한 대수 선형 다발에 의해 유도된다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Griffiths|Adams|2015|loc=IV. 1. 10. Corollary H}}</ref>
* 사영 다형체의 모든 정칙 선다발은 약수의 선다발이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Griffiths|Adams|2015|loc=IV. 1. 10. Corollary I}}</ref>

저우의 정리는 세르의 [[가가 정리|GAGA 정리]]를 통해 나타낼 수 있다. 그 주요 정리는 다음과 같이 말한다.

: ''<math>X</math>를'' <math>\Complex</math> 위의 사영 스킴이라고 하자. 그러면 ''<math>X</math>''의 연접층을 해당 복소 해석 공간 ''<math>X^{\text{an}}</math>''의 연접층에 연관시키는 함자는 범주의 동치이다. 또한, 자연 사상
:: <math>H^i(X, \mathcal{F}) \to H^i(X^\text{an}, \mathcal{F})</math>
: 들은 모든 ''<math>i</math>''와 ''<math>X</math>'' 위의 모든 연접층 <math>\mathcal{F}</math>에 대한 동형사상이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Appendix B. Theorem 2.1}}</ref>

=== 복소 토리 대 복소 아벨 다형체 ===
<math>\Complex</math> 위의 아벨 다형체 ''<math>A</math>''에 연관된 복소 다양체는 조밀한 복소 리 군이다. 이들은 다음과 같은 형식으로 표시될 수 있다.

: <math>\Complex^g / L</math>

이를 복소 토리라고도 한다. 여기서 ''<math>g</math>''는 토러스의 차원이고 ''<math>L</math>''은 격자(주기 격자라고도 함)이다.

위에서 이미 언급한 [[균일화 정리]]에 따르면  모든 1차원 토러스는 1차원 아벨 다형체, 즉, [[타원곡선|타원 곡선]]에서 발생한다. 실제로 ''<math>L</math>''에 부착된 [[바이어슈트라스 타원함수|바이어슈트라스 타원 함수]] <math>\wp</math>는 특정 미분 방정식을 만족하고 결과적으로 다음 닫힌 몰입을 정의한다:<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Mumford|1970|loc=pg. 36}}</ref>

: <math>\begin{cases}
\Complex/L \to \mathbb{P}^2 \\
L \mapsto (0:0:1) \\
z \mapsto (1 : \wp(z) : \wp'(z))
\end{cases}</math>

[[P-adic uniformization|p-진 균일화]] 정리가 있다.

더 높은 차원의 경우, 복소 아벨 다형체와 복소수 토리의 개념이 다르다. [[극성화와 반환|극화]]된 복소 토리만이 아벨 다형체에서 나온다.

=== 코다이라 소멸 ===
근본적인 고다이라 소멸 정리는 풍부한 선다발 <math>\mathcal{L}</math>에 대해 다음과 같이 말한다. 표수 0인 체 위의 매끄러운 사영 다형체 ''<math>X</math>''에서, ''i<math>i>0</math>''인 경우

: <math>H^i(X, \mathcal{L}\otimes \omega_X) = 0</math>

또는 동등하게 세르 쌍대성에 의해 ''<math>i< n</math>''에 대해  <math>H^i(X, \mathcal L^{-1}) = 0</math>.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Hartshorne|1977|loc=Ch III. Remark 7.15.}}</ref> 이 정리의 첫 번째 증명은 켈러 기하학의 해석학적 방법을 사용했고, 순수 대수적 증명은 나중에 발견되었다. 일반적으로 고다이라 소멸은 양수인 표수의 매끄러운 사영 다형체에서 성립하지 않는다. 고다이라의 정리는 사라지는 고차 층 코호몰로지에 대한 판정법을 제공하는 다양한 소멸 정리들 중 하나이다. 층의 오일러 특성(위 참조)은 종종 개별 코호몰로지 군보다 더 다루기 쉬우므로 이는 종종 사영 다형체의 기하학에 중요한 결과를 가져온다.<ref>{{인용|last1=Esnault|first1=Hélène|last2=Viehweg|first2=Eckart|year=1992|title=Lectures on vanishing theorems|publisher=Birkhäuser}}</ref>

== 관련 개념 ==
* [[다중 투영 다양성|다중 사영 다형체]]
* 가중 사영 다형체([[가중 사영 공간]]의 닫힌 부분 다형체)<ref>{{인용|mr=0704986|last=Dolgachev|first=Igor|chapter=Weighted projective varieties|title=Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981)|pages=34–71|series=Lecture Notes in Math.|volume=956|publisher=Springer|place=Berlin|year=1982|doi=10.1007/BFb0101508|isbn=978-3-540-11946-3|citeseerx=10.1.1.169.5185}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[사영 공간의 대수 기하학]]
* [[적절한 등가 관계|적당한 동치 관계]]
* [[힐베르트 스킴]]
* [[렙셰츠 초평면 정리|레프셰츠 초평면 정리]]
* [[극소 모형 프로그램]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
{{참고 자료 시작|2}}
*{{인용|title=The geometry of schemes|year=2000|first1=David|last1=Eisenbud|author-link=David Eisenbud|first2=Joe|last2=Harris}}
*{{인용|title=Intersection theory|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. 3. Folge.|isbn=978-3-540-62046-4|mr=1644323|year=1998|volume=2|edition=2nd|first=William|last=Fulton}}
*{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=X3Z9BgAAQBAJ&pg=PR5|title=Topics in Algebraic and Analytic Geometry. (MN-13), Volume 13: Notes From a Course of Phillip Griffiths|last1=Griffiths|first1=Phillip A.|last2=Adams|first2=John Frank|date=8 March 2015|publisher=Princeton University Press|language=en|isbn=978-1-4008-6926-8}}
*{{Hartshorne AG}}
*{{서적 인용|title=Complex Geometry: An Introduction|last=Huybrechts|first=Daniel|author-link=Daniel Huybrechts|year=2005|publisher=Springer|isbn=978-3-540-21290-4}}
*{{EGA|book=II}}
*{{인용|first1=János|last1=Kollár|author-link=János Kollár|title=Book on Moduli of Surfaces|url=https://web.math.princeton.edu/~kollar/|ref={{harvid|Kollár|Moduli}}}}
*{{인용|first1=János|last1=Kollár|author-link=János Kollár|title=Rational curves on algebraic varieties|year=1996}}
*{{인용|last=Mumford|first=David|author-link=David Mumford|year=1970|title=Abelian Varieties}}
*{{인용|last=Mumford|first=David|author-link=David Mumford|year=1995|title=Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties}}
*{{인용|last=Mumford|first=David|author-link=David Mumford|year=1999|title=The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians|volume=1358|edition=2nd|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/b62130|isbn=978-3540632931|series=Lecture Notes in Mathematics}}
*{{서적 인용|URL=http://www.math.upenn.edu/~chai/624_08/math624_08.html|title=Algebraic Geometry II|last1=Mumford|first1=David|last2=Oda|first2=Tadao|date=2015|language=en|author-link2=Tadao Oda}}
*{{서적 인용|url=https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh|title=Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space|author=Igor Shafarevich|author-link=Igor Shafarevich|year=1995|edition=2nd|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|isbn=978-0-387-54812-8|url-access=registration}}
*R. Vakil, [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/ Foundations Of Algebraic Geometry]
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
* Charles Siegel의 [http://rigtriv.wordpress.com/2008/07/18/the-hilbert-scheme/ Hilbert Scheme] - 블로그 게시물
* [http://www.math.uwaterloo.ca/~moraru/764ProjectiveVarieties.pdf 사영 다형체 Ch. 1]

[[분류:사영기하학]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:대수다양체]]