{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자역학|기본 개념}}

'''브라-켓 표기법'''({{llang|en|bra-ket notation}})은 [[양자역학]]에서 [[양자 상태]]를 표현하는 표준 표기법으로, 추상적인 [[벡터]]와 [[선형 범함수]]를 표현하는 데 사용된다.

이 표기법은 [[괄호|꺾쇠괄호]] '⟨', '⟩'와 , [[수직선 (기호)|수직선]] '|' 을 사용하여 표기한다.
오른꺾쇠괄호로 표기한 것을 '''켓'''이라고 하며, 주로 [[열벡터]]를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.
:<math>|\psi\rangle</math>
왼꺾쇠괄호로 표기한 것을 '''브라'''라고 하며, 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.
:<math>\langle\phi|</math>
여기에서 {{math|{{ket|A}}}}는 '켓-{{math|A}}'로 읽고, {{math|{{bra|A}}}}는 '브라-{{math|A}}'로 읽는다.

유한차원벡터공간에 포함된 브라와 켓에 대하여 일반적으로 다음이 성립한다.
:<math>|A\rangle = \begin{pmatrix}
                     A_1 \\
                     A_2 \\
                     A_3 \\
                     A_4 \\
                     \vdots \\
                     A_N \\
                     \end{pmatrix}</math>
:<math>\langle A| = \begin{pmatrix}A_1^*,& A_2^*,& A_3^*,& A_4^*,& \cdots ,& A_N^* \end{pmatrix}</math>
이때, {{math|A*}}은 {{math|A}}의 켤레 복소수이다.

브라와 켓, 그리고 연산자의 조합은 [[행렬 곱셈]]을 표현하는데 사용된다.

브라-켓 표기법은 복소벡터공간에서 벡터의 [[스칼라곱]] 또는 벡터 위로의 선형 범함수의 작용을 나타내기 위해 사용된다.
[[내적]]이나 [[작용 (물리학)|작용]]은 브라-켓 표기법으로 다음과 같이 표현된다.
:<math>\langle\phi{\mid} {\mid}\psi\rangle=\langle\phi{\mid}\psi\rangle</math>

같은 레이블인(같은 내용물을 가진)브라와 켓은 서로에게 [[에르미트 수반]]이다.
쌍대공간의 각 브라 벡터에는 꼭 한 개의 켓벡터가 대응된다는 [[리스 표현 정리]]에 의해 〈''ψ''| 는 다음과 같이 켓벡터 |''ψ''〉 와 대응되며 잘 정의되어 있다.
:<math> | \psi \rangle \quad \overset{\mathrm{DC}}{\leftrightarrow} \quad \langle \psi | </math>

브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에<ref name="Dirac">{{harvnb|Dirac|1939}}</ref><ref>{{harvnb|Shankar|1994|loc=Chapter 1}}</ref> '''디랙 표기법'''이라고도 한다.

브라-켓 표기법이 생겨나기 100년 전쯤에 [[헤르만 그라스만]]이 내적을
<math>[\phi{\mid}\psi]</math>
으로 표기한 전례가 있다.
<ref name="Grassmann">{{harvnb|Grassmann|1862}}</ref>

== 소개 ==
브라-켓 표기법은 [[선형 대수학]]의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 [[복소 벡터 공간]]에서의 벡터, [[내적]], [[선형 연산자]], [[에르미트 수반]], [[쌍대공간]]에 초점이 맞추어져있으며, 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다.

양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 또한 양자역학으로 설명되는 많은 현상들이 브라-켓 표기법을 사용하여 표현된다.

표기법에 대해 간단히 설명하자면, 켓 {{math|{{ket|''m''}}}}은 [[열벡터]]이며, 같은 레이블의 브라 {{math|{{bra|''m''}}}} 의 [[켤레 전치]](행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 [[행렬 곱셈]]을 의미한다.<ref name="Bra-Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication">[http://algassert.com/post/1629 Gidney, Craig (2017). Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication]</ref> 그러나, 켓은 열벡터로 쓰여지기 어려운 [[가산 집합|불가산]] 무한차원 벡터 공간에서 나타날 수도 있다. 또한, 숫자들의 목록으로 열벡터를 쓰기 위해서는 [[기저]]가 필요한데, 이에 반해 "{{math|{{ket|''m''}}}}"이라고 쓰는것은 어떠한 특정한 기저를 정할 필요가 없다. 이러한 특성은 자주 다른 기저(예를 들자면 위치 기저, 운동량기저, 에너지 고유기저 등)로 바꿔야하는 양자역학에서의 계산에 유용하며, 그래서 브라-켓 표기법은 행렬로 쓰이기 어려운 기저벡터를 명시적으로 표현하기에 좋다. 심지어 어떤 상황에서는 중요한 두 기저 벡터가 단순히"{{math|{{ket|''-''}}}}"와"{{math|{{ket|''+''}}}}"로 표현될 때도 있다.

일부 물리학자들이 선호하는 [[내적]]에 대한 표준 수학적 표기법은 다음의 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다.

:<math>(\phi,\psi) = \langle\phi{\mid}\psi\rangle = \bigl(\langle\phi|\bigr) \,  \bigl(|\psi\rangle\bigr),</math>

브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음의 구성은 외적을 나타낸다.
:<math>|\psi\rangle\langle\phi|</math>
또한 [[행렬 곱셈]](즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다.

만약 켓이 벡터공간의 한 원소일 경우, 대응되는 브라는 쌍대공간의 원소이다. — 리스 표현 정리를 참고하라.

== 벡터 공간 ==
=== 벡터와 켓의 차이점 ===
수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 대부분 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량([[변위]], [[속도]] 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나({{math|{{vec|''r''}}}}) 또는 굵게 표시하여 ({{math|'''r'''}}) 쓰여진다.

양자역학에서 [[양자 상태]]는 일반적으로 추상복소벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 [[파동함수]](삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가리키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들은 일반적으로 "켓"으로 불리게 되고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다.

=== 켓 표기법 ===
디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다(예시: {{math|{{ket|''A''}}}}). 켓 표기법이 사용된 것들은 "켓"이라고 불리며, {{math|{{ket|''A''}}}}는 "켓-A"로 읽는다.<ref>{{서적 인용|title=Quantum Mechanics Demystified|url=https://archive.org/details/isbn_9780071471411|first=D.|last=McMahon|publisher=McGraw-Hill|year=2006|isbn=0-07-145546-9}}</ref> 이러한 켓들은 선형대수학의 일반적인 법칙을 통해 만들어질 수 있다. 다음의 수식은 그 예시이다.

:<math>\begin{align}
|A \rangle &= |B\rangle + |C\rangle \\
|C \rangle &= (-1+2i)|D \rangle \\
|D \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} |x\rangle \, \mathrm{d}x \,.
\end{align}</math>

참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어라도 레이블로 적절하다면 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 {{math|''x''}}마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"{{math|{{ket|''A''}}}}"는 "{{math|''A''}}" 자체의 의미와 관계 없이  구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, {{math|{{ket|1}}+{{ket|2}}}}는 {{math|{{ket|3}}}}일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그러나 이해를 돕기 위해서 켓 안의 레이블은 논리적으로 일관성 있게 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 [[에너지 고유켓]]은 일반적이고 관습적으로 [[양자수]]를 나열한 것으로 붙여진다.

=== 내적과 브라 ===
[[내적]]은 일반화된 [[스칼라곱]]으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은 {{math|(''A'', ''B'')}} 으로 쓰일 수 있다. 여기에서 {{math|''A''}}와 {{math|''B''}}는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘 다 켓이다.

{{math|{{ket|A}}}}와 {{math|{{ket|B}}}}의 내적은 브라–켓 표기법으로 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math> (A, B) = \langle A | B \rangle</math>
브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눌 수 있다.
:<math> \langle A | B \rangle = \bigl( \langle A | \bigr) \, \bigl( | B \rangle \bigr)</math>
여기에서 {{math|{{bra|''A''}}}}는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, {{math|{{ket|''B''}}}}는 위에서와 같이 켓이다.

내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 {{math|{{bra|''A''}}}}와 켓 {{math|{{ket|''B''}}}}는 ''둘다'' , ''그 자체''로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미는 크게 두가지가 있지만, 표현 {{math|{{bra-ket|''A''|''B''}}}}는 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석된다.

==== 브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석 ====
{{본문|내적}}
고정된 [[정규 직교 기저]]를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.
:<math> \langle A | B \rangle \doteq A_1^* B_1 + A_2^* B_2 + \cdots + A_N^* B_N =
\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix}</math>

이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.
:<math>\begin{align} \langle A | &\doteq \begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \\
| B \rangle &\doteq \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_N \end{pmatrix} \end{align}</math>

그리고 이러한 정의에서는 브라 옆에 켓을 놓는 것이 [[행렬 곱셈]]의 의미를 갖는다는 것을 암시한다.

브라의 [[켤레 전치]](''에르미트 수반''으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.
:<math>\langle A |^\dagger = |A \rangle, \quad |A \rangle^\dagger = \langle A |</math>
왜냐하면 다음과 같은 브라,
:<math>\begin{pmatrix} A_1^* & A_2^* & \cdots & A_N^* \end{pmatrix} \,,</math>
가 있을 때, [[켤레 복소수]]를 취하고 [[전치행렬|행렬을 전치]]하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다.
:<math>\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_N \end{pmatrix}</math>

==== 브라를 선형범함수로 해석 ====
{{본문|쌍대공간|리스 표현 정리}}

무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운, 동치의 추상적인 정의는 브라를 켓의 공간에서의 선형 [[범함수]]로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 [[선형 변환]]으로 정의하는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약 {{math|{{bra|''A''}}}}가 리스 표현 정리 아래에서 {{math|{{ket|''A''}}}}와 상응하는 선형 범함수라면 다음과 같이 함수로 표시할 수 있다.
:<math>\langle A | B \rangle = \langle A|\bigl(|B\rangle\bigr)</math>
즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 ''내적이 아니다''. 이러한 내용이 혼란스러울 수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.

수학 용어에서, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 [[리스 표현 정리]]에 따라 연관되어 있다.

=== 규격화 불가능 상태와 비힐베르트 공간에서의 브라-켓 표기법 ===
브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.

양자역학에서, 무한의 [[노름]]을 가지고 있는 켓, 즉, [[규격화 불가능]] [[파동함수]]들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 [[디랙 델타 함수]]나 무한 [[평면파]]가 [[파동 함수]]로 사용되는 상태 등이 있다. 기술적으로, 이러한 상태는 [[힐베르트 공간]]에 속하지 않는다. 그러나, "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태들을 포함하도록 확장될 수 있다.([[겔판트-나이마르크-세갈 구성]]과 [[조작된 힐베르트 공간]]을 참고하라.) 브라–켓 표기법은 이러한 넓은 맥락에서도 비유적으로 사용될 수 있다.

[[바나흐공간|바나흐 공간]]은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간 {{math|{{mathcal|B}}}}에서, 벡터는 켓으로, [[선형 범함수]]는 브라로 표기될 수 있다. 사실, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 아닌 어떠한 벡터공간에서도 벡터를 켓으로 선형 범함수를 브라로 표기하는 것이 가능하다. 이러한 더 일반적인 맥락에서 꺾쇠괄호는 리스 표현 정리가 적용될 수 없기 때문에 더 이상 내적의 의미를 가질 수 없다.

== 양자역학에서의 사용 ==
양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 [[선형 대수학|선형대수학]]을 기반으로 한다.

* [[파동 함수]] 및 다른 [[양자상태]]는 복소수 [[힐베르트 공간]]의 벡터로 표현될 수 있다.(이 힐베르트 공간의 정확한 구조는 상황에 따라 다르다.) 브라-켓 표기법에서의 예를 들자면 하나의 전자는 "상태" {{math|{{ket|''ψ''}}}}에 존재할 수 있다. (기술적으로, 양자상태는 힐베르트 공간위에서 벡터 방향으로의 [[반직선]]이기 때문에, 0이 아닌 복소수 {{math|''c''}} 에 대해 {{math|''c''{{ket|''ψ''}}}} 또한 같은 상태에 대응된다.)
* 양자적 중첩상태는 중첩상태를 구성하는 상태들의 벡터 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 전자가 {{math|{{ket|1}} + {{ket|2}}}}인 상태에 있는 것은 상태 {{math|{{ket|1}}}} 과 상태 {{math|{{ket|2}}}}가 중첩된 상태에 있다는 것이다.
* 관측은 양자상태의 힐베르트 공간 위에서의 선형연산과 연관된다. 이는 [[관측가능량]]이라고도 불린다.
* 동역학은 힐베르트 공간에서의 선형 연산자로 설명되기도 한다. 예를 들어, [[슈뢰딩거 묘사]]에는 하나의 전자가 지금 상태 {{math|{{ket|ψ}}}}에 있을 때 모든 가능한 {{math|{{ket|ψ}}}}에 대해 적용되는 선형 시간 변화 연산자 U가 있어 약간의 시간 뒤의 상태를 {{math|''U''{{ket|ψ}}}}로 표시한다.
* [[파동 함수|파동함수 규격화]]는 파동 함수의 [[노름]]을 1로 맞추는 작업이다.

벡터와 선형 연산자를 포함한 양자역학의 모든 계산은 사실상 브라-켓 표기법으로 표기될 수 있다. 아래는 그에 대한 몇 가지 예시이다.

=== 스핀이 없는 위치공간 파동함수 ===
  {{여러그림
   | left
   | footer    = 복소벡터의 원소들은 첨자의 숫자에 대해 표시된다. 위의 그림는 이산 첨자 {{math|''k''}} 와 연속 첨자 {{math|''x''}}에 대해 원소들을 실수부와 허수부로 표시한 것이다. 무한히 많은 요소들 가운데 두개의 특정한 요소가 빨간색 화살표로 강조되어있다.
   | width1    = 225
   | image1    = Discrete complex vector components.svg
   | caption1  = 복소 벡터 {{math|{{ket|''A''}} {{=}} ∑<sub>''k''</sub> ''A''<sub>''k''</sub> {{ket|''e<sub>k</sub>''}}}}의 이산적으로 분포된 원소 {{math|''A''<sub>''k''</sub>}}는 ''가산-무한'' 차원 힐베르트 공간에 속한다. 여기에는 가산-무한하게 많은 {{math|''k''}}값과 기저벡터 {{math|{{ket|''e<sub>k</sub>''}}}}가 있다.
   | width2    = 230
   | image2    = Continuous complex vector components.svg
   | caption2  = 복소벡터 {{math|{{ket|''ψ''}} {{=}} ∫ d''x'' ''ψ''(''x''){{ket|''x''}}}}의 연속적으로 분포된 원소 {{math|''ψ''(''x'')}}는 ''불가산-무한'' 차원 힐베르트 공간에 속한다. 여기에는 무한하게 많은 {{math|''x''}} 값과 기저벡터 {{math|{{ket|''x''}}}}가 있다.
  }}

[[스핀 (물리학)|스핀]]-0 점입자의 힐베르트 공간은 "공간[[기저]]" {{math|{ {{ket|'''r'''}} <nowiki>}</nowiki>}}위에 펼쳐져있으며, 이때 레이블 {{math|'''r'''}}은 모든 점들의 [[위치 공간]]의 집합으로 확장된다. 이 레이블은 몇몇 기저 상태에서 작용하는 위치 연산자의 고유값, <math> \hat{\mathbf{r}}|\mathbf{r}\rangle =   \mathbf{r}|\mathbf{r}\rangle </math>이다. [[가산 집합|불가산 무한]]한 수의 벡터의 원소는 기저에 있는, 이것은 불가산 무한 차원 힐베르트 공간. 힐베르트 공간의 차원(일반적으로 무한한) 그리고 위치 공간(보통 1,2,3)은 섞이지 않는다.

이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓 {{math|{{ket|Ψ}}}} 에 대해 다음과 같이 [[파동함수]]로도 알려져 있는 스칼라 함수 {{math|'''r'''}}을 정의할 수 있다.
:<math>\Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r}|\Psi\rang \,.</math>
왼쪽의 {{math|Ψ('''r''')}}은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 {{math|{{ket|Ψ}} {{=}} ∫ d<sup>3</sup>'''r''' Ψ('''r''') {{ket|'''r'''}}}}는 켓이다.

그 다음에는 관습적으로 파동함수(켓)에 작용하는 선형 연산자를 다음과 같은 방법으로 정의한다.
:<math>A \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r}|A|\Psi\rang \,.</math>

예를 들어, [[운동량]] 연산자 {{math|'''p'''}} 는 다음과 같은 형태이다.
:<math>\mathbf{p} \Psi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \lang \mathbf{r} |\mathbf{p}|\Psi\rang = - i \hbar \nabla \Psi(\mathbf{r}) \,.</math>

간혹 다음과 같은 표현을 만나게 될 때도 있다.
:<math>\nabla |\Psi\rang </math>
하지만 이것은 [[기호의 남용|표기법의 남용]]이다. 미분 연산자는 반드시 위치기저
:<math>\nabla \lang\mathbf{r}|\Psi\rang </math>
에 [[사영작용소|사영]]되는, 켓에 작용하는, 파동함수를 미분하는 효과를 가진 추상적인 연산자로 이해되어야한다.
그럼에도 불구하고, 운동량 기저에서, 연산자는 {{math|''iħ'''''p'''}} 와 같이 단순한 곱셈 연산자에 해당한다.

=== 상태의 중첩 ===
양자 역학에서 식 {{math|{{bra-ket|''φ''|''ψ''}}}}은 일반적으로 상태{{math|''ψ''}}가 상태 {{math|''φ''}}으로 [[파동 함수 붕괴|붕괴]]할 [[확률 진폭]]으로 해석된다. 수학적으로는 {{math|''ψ''}}가 {{math|''φ''}}으로 사영될 때의 계수를 의미한다. 또한 그것은 상태 {{math|''ψ''}}의 상태 {{math|''φ''}}로의 사영을 의미한다.

=== 스핀-{{sfrac|1|2}} 입자에 대한 기저 변환 ===
정적인 스핀-{{sfrac|1|2}} 입자는 이차원 힐베르트 공간을 가진다. 그 공간의 [[정규 직교 기저]] 가운데 하나는 다음과 같다.
:<math>|{\uparrow}_z \rangle \,, \; |{\downarrow}_z \rangle</math>
여기에서, {{math|{{ket|↑<sub>''z''</sub>}}}} 가 [[각운동량 연산자|각운동량 연산자 ''S<sub>z</sub>'']] 의 값이 확실히 {{math|+{{sfrac|1|2}}}}인 상태이고, {{math|{{ket|↓<sub>''z''</sub>}}}}는  [[각운동량 연산자|각운동량 연산자 {{math|''S<sub>z</sub>''}}]] 의 값이 확실히 {{math|-{{sfrac|1|2}}}}인 상태이다.

이러한 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 통해, 입자의 ''어떠한'' 양자 상태도 두 기저의 [[선형결합]](즉, 양자 중첩)으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>|\psi \rangle = a_{\psi} |{\uparrow}_z \rangle + b_{\psi} |{\downarrow}_z \rangle</math>
이때 ''a<sub>ψ</sub>'' 와 ''b<sub>ψ</sub>'' 는 복소수이다.

다음처럼 같은 힐베르트 공간에 대한 ''다른'' 기저도 존재한다.
:<math>|{\uparrow}_x \rangle \,, \; |{\downarrow}_x \rangle</math>
이 상태들은{{math|''S<sub>z</sub>''}} 대신 {{math|''S<sub>x</sub>''}}의 관점에서 정의된 것이다.
또한, 입자의 ''어떠한'' 상태도 위의 두 기저의 선형 결합으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>|\psi \rangle = c_{\psi} |{\uparrow}_x \rangle + d_{\psi} |{\downarrow}_x \rangle</math>

어떠한 기저를 사용하는지에 따라 다음과 같이 다른 벡터형식으로 다음과 같이 쓰일 수 있다.
:<math>|\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} a_\psi \\ b_\psi \end{pmatrix} \quad \text{또는} \quad |\psi\rangle \doteq \begin{pmatrix} c_\psi \\ d_\psi \end{pmatrix} </math>
다시 말해서, 벡터의 "좌표"는 사용된 기저에 의존한다.

이것은 {{math|''a''<sub>ψ</sub>}}, {{math|''b''<sub>ψ</sub>}}와 {{math|''c''<sub>ψ</sub>}}, {{math|''d''<sub>ψ</sub>}}의 수학적 관계이다. 자세한 내용은 [[기저 변환]]을 참고하라.

=== 잘못된 사용 ===
{{출처 필요 문단|날짜=2018-09-15}}
표기법의 몇가지 관례와 오용이 물리학계에서 일반적으로 받아들여지고 있지만 이러한 표기법은 혼동을 일으킬 여지가 있다.

같은 방정식에서 ''레이블''과 상수로 같은 기호를 사용하는 것은 일반적이다. 예를 들어, <math>\hat{\boldsymbol{\alpha}} |\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle</math>에서 기호 <math>\alpha</math>는 '''동시에''' ''연산자의 이름'' {{math|''α̂''}}, ''고유벡터'' {{math|{{ket|''α''}}}} 그리고 연관된 ''고유값'' {{math|''α''}}로 사용되었다.

벡터의 요소를 표기할 때 이와 비슷한 일이 발생한다. 동 {{math|''Ψ''}} (대문자)는 전통적으로 파동함수와 연관되었고, {{math|''ψ''}} (소문자)는 같은 맥락에서 파동함수 또는 복소상수 레이블을 표시하는데 사용되며, 아래첨자에 의해서만 구분된다.

주된 남용은 벡터 레이블 안에 연산을 포함하는 것이다. 이러한 남용은 벡터의 크기변환을 빠르게 표기하기 위해 사용된다. 즉, 만약 벡터 {{math|{{ket|''α''}}}}가 {{sqrt|2}}배 크기변환될 때, 이것을 {{math|{{ket|''α''/{{sqrt|2}}}}}}으로 표시하는 셈이다. 그러나 이러한 표기법은 말이 되지 않는다. 왜냐하면 {{math|''α''}} 가 함수나 숫자가 아닌 레이블(이름)이기 때문에 연산을 수행할 수 없기 때문이다.

이러한 오용은 {{math|{{ket|''α''}} {{=}} {{ket|''α''/{{sqrt|2}}}}<sub>1</sub> ⊗ {{ket|''α''/{{sqrt|2}}}}<sub>2</sub>}}와 같이 벡터를 텐서곱으로 표현할 때 레이블의 일부가 표기법의 '''바깥'''으로 나가는 경우가 일반적이다. 여기에서, 서로 다른 뜻을 갖고있는 세 벡터의 레이블의 일부분이 아래첨자 1, 2와 같이 켓의 바깥으로 이동했다. 그리고 {{math|''α''}}가 첫 번째 벡터의 노름(벡터의 크기)을 의미하는 것으로 오용되었다.

== 선형 연산자 ==
{{참고|선형 연산자}}

=== 켓에 작용하는 선형 연산자 ===
켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 [[선형 변환|선형 연산자]]를 맵이라고 한다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇 가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서, 만약 {{math|'''''A'''''}}가 선형 연산자이고 {{math|{{ket|''ψ''}}}}가 켓일 때, {{math|'''''A'''''{{ket|''ψ''}}}}은 또다른 켓이다.

{{math|''N''}}-차원 힐베르트 공간에서, {{math|{{ket|''ψ''}}}}  는 {{math|''N'' × 1}} [[열벡터]]로 쓰일 수 있으며, {{math|'''''A'''''}}는 복소수 항목을 포함한 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬로 쓰일 수 있다. 켓 {{math|'''''A'''''{{ket|''ψ''}}}}는 일반적인 [[행렬 곱셈]]으로 계산될 수 있다.

선형 연산자는 양자역학 이론의 어떠한 부분에도 존재한다. 예를 들어, [[에너지]]나 [[운동량]] 같은 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 변화 과정은 회전이나 시간의 진행과 같은 [[유니터리 작용소|유니터리]] 선형 연산자로 표현된다.

=== 브라에 작용하는 선형 연산자 ===
연산자는 브라의 ''오른쪽''에서 작용하는 것으로 표기된다. 특히, 만약 {{math|'''''A'''''}}가 선형 연산자이고,  {{math|{{bra|''φ''}}}}가 브라이면, {{math|{{bra|''φ''}}'''''A'''''}}는 규칙에 따라 다음과 같이 정의되는 또 다른 브라이다.
:<math>\bigl(\langle\phi|\boldsymbol{A}\bigr) |\psi\rangle = \langle\phi| \bigl(\boldsymbol{A}|\psi\rangle\bigr) </math>
(다른 말로 [[함수의 합성]]이다.) 이 표현은 일반적으로 다음과 같이 쓰인다.([[에너지 내적]]을 참고하라.)
: <math>\langle\phi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,.</math>

{{math|''N''}}-차원 힐베르트 공간에서, {{math|{{bra|''φ''}}}}는  {{math|1 × ''N''}} [[행벡터]]로 쓰일 수 있고,,(이전 단락에서와 같은) {{math|'''''A'''''}} 는 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬으로 쓰일 수 있다. 그러고 나면 브라 {{math|{{bra|''φ''}}'''''A'''''}} 는 일반적인 [[행렬 곱셈]]으로 계산될 수 있다.

만약 같은 상태 벡터가 다음과 같이 브라와 켓쪽에 둘다 나타나면
:<math>\langle\psi|\boldsymbol{A}|\psi\rangle \,,</math>
이 표현은 상태 {{math|{{ket|''ψ''}}}}에 있는 물리학 계에 대해 관측 가능한 표현 연산자 {{math|'''''A'''''}}의 [[기댓값|기대값]] 또는 평균을 나타낸다.

=== 외적 ===
힐베르트 공간 {{math|{{mathcal|H}}}} 에서 선형 연산자를 정의하는 편리한 방법은 외적으로 정의하는 것이다. 만약 {{math|{{bra|''φ''}}}}가 브라이고 {{math|{{ket|''ψ''}}}}이 켓이면, 외적

: <math> |\phi\rang \, \lang \psi| </math>

은 다음과 같은 규칙에 따라 [[유한 계급 연산자|계급-1 연산자]]를 나타낸다.

:<math> \bigl(|\phi\rang \lang \psi|\bigr)(x) = \lang \psi | x \rang |\phi \rang</math>.

유한차원 벡터 공간에 대해, 외적은 간단한 행렬 곱셈으로 이해할 수 있다.

: <math> |\phi \rangle \, \langle \psi | \doteq
\begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_1^* & \psi_2^* & \cdots & \psi_N^* \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\phi_1 \psi_1^* & \phi_1 \psi_2^* & \cdots & \phi_1 \psi_N^* \\
\phi_2 \psi_1^* & \phi_2 \psi_2^* & \cdots & \phi_2 \psi_N^* \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\phi_N \psi_1^* & \phi_N \psi_2^* & \cdots & \phi_N \psi_N^* \end{pmatrix}
</math>

이때 외적은 선형 연산자로 볼 수 있는 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬이다.

외적의 사용 용도 가운데 하나는 [[사영작용소]]를 구성하는 것이다. 노름이 1인 주어진 켓 {{math|{{ket|''ψ''}}}}에 대해, {{math|{{ket|''ψ''}}}}에 펼쳐진 하위공간으로의 직교사영은 다음과 같다.

:<math>|\psi\rangle \, \langle\psi| \,.</math>

=== 에르미트 수반 연산자 ===
브라와 켓이 서로 변환될 수 있는 것처럼({{math|{{ket|''ψ''}}}}를 {{math|{{bra|''ψ''}}}}으로 만듦으로써), {{math|''A''{{ket|''ψ''}}}}에 상응하는 쌍대공간의 원소는 {{math|{{bra|''ψ''}}''A''<sup>†</sup>}}이다. 이때 {{math|''A''<sup>†</sup>}} 는 연산자 {{math|''A''}}의 [[에르미트 수반]]이다. 다시말해,

:<math> |\phi\rangle = A |\psi\rangle \quad \text{if and only if} \quad \langle\phi| = \langle \psi | A^\dagger \,.</math>

만약 {{math|''A''}} 가 {{math|''N'' × ''N''}} 행렬로 표현된다면,  {{math|''A''<sup>†</sup>}} 는 {{math|''A''}}의 [[켤레전치]]이다.

{{math|''A'' {{=}} ''A''<sup>†</sup>}}인 자기수반연산자는 양자역학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 관측가능량은 항상 자기수반연산자로 표현된다. 만약 {{math|''A''}} 가 자기수반연산자이면, {{math|{{bra|''ψ''}}''A''{{ket|''ψ''}}}}는 항상 실수이다(복소수가 아니다). 이것은 관측가능량의 [[기댓값]]이 실수임을 의미한다.

== 성질 ==
브라-켓 표기법은 선형대수 표현의 조작을 쉽게하기 위해 고안되었다. 여기에는 조작을 쉽게 하는 몇몇 특성들을 목록으로 정리해두었다. 무엇을 다음과 같이, {{math|''c''<sub>1</sub>}}과 {{math|''c''<sub>2</sub>}} 는 임의의 [[복소수]]이고,  {{math|''c''*}} 는 {{math|''c''}}의 켤레 복소수를 의미하며, {{math|''A''}}와 {{math|''B''}}는 임의의 선형 연산자를 나타내고, 이러한 특성은 브라와 켓 어느 것을 골라도 적용된다.

=== 선형성 ===
* 브라가 선형 범함수

::<math>\langle\phi| \bigl( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigr) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle \,. </math>

* 일 때, 덧셈의 정의와 [[쌍대공간]]에서의 선형 범함수의 스칼라곱의 정의에 따라 다음과 같다.<ref>[http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hilbert.pdf Lecture notes by Robert Littlejohn] {{웨이백|url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hilbert.pdf |date=20120617144946 }}, eqns 12 and 13</ref>

::<math>\bigl(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigr) |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2 \langle\phi_2|\psi\rangle \,. </math>

=== 연관성 ===
브라-켓 표기법으로 쓰여진 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형 범함수와 연관된 모든 주어진 식에서, 괄호로 묶는것은 어떠한 문제도 되지 않는다(즉, [[결합법칙|연결결합법칙]] 속성을 갖고 있다.). 예를 들어:

:<math>\begin{align}
\lang \psi| \bigl(A |\phi\rang\bigr) = \bigl(\lang \psi|A\bigr)|\phi\rang \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, \lang \psi | A | \phi \rang \\
\bigl(A|\psi\rang\bigr)\lang \phi| = A\bigl(|\psi\rang \lang \phi|\bigr) \, &\stackrel{\text{def}}{=} \, A | \psi \rang \lang \phi |
\end{align}</math>

등과 같다. 식의 오른쪽(어떠한 괄호도 없는)과 표현은 중의적이지만 표현되는 것이 허용된다. ''왜냐하면'' 왼쪽의 표현과 같기 때문이다. 참고로 결합성은 물리의 비선형 시간 역전 연산자와 같은 비선형 연산자 표현까지 적용되지는 않는다.

=== 에르미트 수반 ===
브라–켓 표기법은 특히 에르미트 수반(또는 데거라고 하며 {{math|†}}으로 표시한다.)의 표현이다. 공식적인 규칙은 다음과 같다:

* 브라의 에르미트 수반은 켓이고, 그 역도 성립한다.
* 복소수의 에르미트 수반은 켤레 복소수이다.
* 모든 것(선형 연산자, 브라, 켓, 숫자)의 에르미트 수반의 에르미트 수반은 그 자신이다. 즉,

::<math>\left(x^\dagger\right)^\dagger=x \,.</math>

* 브라-켓 표기법으로 기술된 어떠한 조합의 복소수, 브라, 켓, 내적, 외적, 선형연산자에 대해, 그것의 에르미트 수반은 요소들의 순서를 뒤집고, 각각에 대해 에르미트 수반을 취함으로써 계산할 수 있다.

이러한 규칙은 어떠한 표현에 대해서라도 에르미트 수반을 구하기에 충분하다. 아래는 몇가지 예시이다.

* 켓:

::<math>
\bigl(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle\bigr)^\dagger = c_1^* \langle\psi_1| + c_2^* \langle\psi_2| \,.
</math>

* 내적:

::<math>\langle \phi | \psi \rangle^* = \langle \psi|\phi\rangle \,.</math>


: Note {{math|{{bra-ket|''φ''|''ψ''}}}} 가 스칼라,Hermitian 복합 단지는 복잡한 공액,즉

::<math>\bigl(\langle \phi | \psi \rangle\bigr)^\dagger = \langle \phi | \psi \rangle^*</math>

* 행렬 원소:

:: <math>\begin{align}
\langle \phi| A | \psi \rangle^* &= \left\langle \psi \left| A^\dagger \right|\phi \right\rangle \\
\left\langle \phi\left| A^\dagger B^\dagger \right| \psi \right\rangle^* &= \langle \psi | BA |\phi \rangle \,.
\end{align}</math>

* 외적:

::<math>\Big(\bigl(c_1|\phi_1\rangle\langle \psi_1|\bigr) + \bigl(c_2|\phi_2\rangle\langle\psi_2|\bigr)\Big)^\dagger = \bigl(c_1^* |\psi_1\rangle\langle \phi_1|\bigr) + \bigl(c_2^*|\psi_2\rangle\langle\phi_2|\bigr) \,.</math>

== 브라와 켓의 합성 ==
두 힐베르트 공간 {{math|''V''}}와 {{math|''W''}} 는 [[텐서곱]]을 통해 또다른 공간 {{math|''V'' ⊗ ''W''}} 을 형성할 수 있는데, 이것은 양자역학에서 복합계를 설명하는데 사용된다. 만약 계가 각각 {{math|''V''}} 와 {{math|''W''}} 로 설명되는 두개의 부분계의 합성인 경우, 전체 계의 힐베르트 공간은 두 공간의 텐서곱이다. ( 두 부분계가 동일입자인 경우는 예외이며, 이러한 경우, 상황은 약간 더 복잡해진다.)

만약 {{math|{{ket|''ψ''}}}}가 {{math|''V''}}에 속한 켓이고, {{math|{{ket|''φ''}}}}는 {{math|''W''}},에 속한 켓일 때, 두 켓의 직접 곱은 {{math|''V'' ⊗ ''W''}} 에 속한 켓이다. 이것은 다음과 같이 다양한 표기법으로 쓰여진다.

:<math>|\psi\rangle|\phi\rangle \,,\quad |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle\,,\quad|\psi \phi\rangle\,,\quad|\psi ,\phi\rangle\,.</math>

이러한 곱의 적용은 [[양자 얽힘]]과 [[EPR 역설]]을 참고하라.

== 단위 연산자 ==
완비정규[[직교]]계([[기저 (선형대수학)|기저]])이고,

:<math>\{ e_i \ | \ i \in \mathbb{N} \} \,,</math>

인 노름이 내적{{math|{{angbr|·,·}}}}인 힐베르트 공간{{math|''H''}}를 고려하자.

기초적인 [[함수해석학|함수해석]]에서, 어떠한 켓 {{math|{{ket|''ψ''}}}}는 다음과 같이 쓰일 수 있다는 것은 알려진 사실이다.

:<math>|\psi\rangle = \sum_{i \in \mathbb{N}} \langle e_i | \psi \rangle | e_i \rangle,</math>

이때 {{math|{{bra-ket|·|·}}}}은 힐베르트 공간 위에서의 내적이다.

이것은 켓의 (복소)스칼라의 교환법칙에 따라 다음의.

:<math>\sum_{i \in \mathbb{N}} | e_i \rangle \langle e_i | = 1\!\! 1</math>

는 반드시 각 벡터를 자기 자신으로 보내는 '항등 연산자'여야 한다.

== 수학자들에 의해 사용된 표기법 ==
브라-켓 표기법을 사용할 때 물리학자가 고려하는 대상은 [[힐베르트 공간]] ([[완비 거리 공간|완비]] [[내적 공간]])이다.

{{math|{{mathcal|H}}}}를 힐베르트 공간이라고 하고, {{math|''h'' ∈ {{mathcal|H}}}}를 {{math|{{mathcal|H}}}}안의 벡터라고 하자. 물리학자들이 {{math|{{ket|''h''}}}}로 나타내고 싶은 것은 벡터 그 자체이다. 즉,

:<math> |h\rangle\in \mathcal{H} </math>

{{math|{{mathcal|H}}*}}를 {{math|{{mathcal|H}}}}의 [[쌍대 공간]]이라고 하자. 이것은  {{math|{{mathcal|H}}}} 위에서의 선형 범함수의 공간이다. 위상 동형 {{math|''Φ'' : {{mathcal|H}} → {{mathcal|H}}*}}는 정의된 모든 {{math|''g'' ∈ {{mathcal|H}}}}에 대해  {{math|''Φ''(''h'') {{=}} ''φ<sub>h</sub>''}}으로 정의된다.

:<math> \phi_h(g) = \mbox{IP}(h,g) = (h,g) = \langle h,g \rangle = \langle h|g \rangle </math>,

이때, {{math|IP(·,·)}}, {{math|(·,·)}}, {{math|{{angbr|·,·}}}}, 그리고, {{math|{{bra-ket|·|·}}}}는 단지 힐베츠트 공간의(또는 처음 세 표기법의 경우, 내적 공간에서도) 두 원소 사이의 내적을 표현하는 다른 표기법일 뿐이다.
표기의 혼동은 {{math|''φ<sub>h</sub>''}}, {{math|''g''}}와 {{math|{{bra|''h''}}}}, {{math|{{ket|''g''}}}}를 각각 식별하는데에서 발생한다. 이것은 문자 그대로 상징적 대체이기 때문이다. {{math|''φ<sub>h</sub>'' {{=}} ''H'' {{=}} {{bra|''h''}}}}라고 하고 {{math|''g'' {{=}} G {{=}} {{ket|''g''}}}}라고 하자. 이러한 가정은 다음과 같은 식을 제공한다

:<math> \phi_h(g) = H(g) = H(G)=\langle h|(G) = \langle h|\bigl(|g\rangle\bigr) \,. </math>

괄호를 무시하고 두개의 세로선을 제거한 식을 얻게 된다.

== 참고 서적 ==
* {{저널 인용|제목=A new notation for quantum mechanics|저널=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|성=Dirac|이름=P. A. M.|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=2031476|연도=1939|권=35|호=3|쪽=416–418|bibcode=1939PCPS...35..416D|doi=10.1017/S0305004100021162|ref=harv}}니다. 또한 자신의 표준 텍스트, ''양자 역학의 원리'',IV edition Clarendon Press(1958년), {{ISBN|978-0198520115}}
* {{서적 인용|제목=Extension Theory|성=Grassmann|이름=H.|연도=1862|총서=History of Mathematics Sources|출판사=American Mathematical Society, London Mathematical Society|기타=2000 translation by Lloyd C. Kannenberg|ref=harv}}
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/historyofmathema027671mbp|제목=A History Of Mathematical Notations Volume II|성=Cajori|이름=Florian|저자링크=Florian Cajori|연도=1929|출판사=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]]|쪽=134|isbn=978-0-486-67766-8}}
* {{서적 인용|제목=Principles of Quantum Mechanics|url=https://archive.org/details/principlesofquan0000shan_x3c9|성=Shankar|이름=R.|연도=1994|판=2nd|isbn=0-306-44790-8|ref=harv}}
* {{서적 인용|url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html|제목=The Feynman Lectures on Physics|성=Feynman|이름=Richard P.|성2=Leighton|이름2=Robert B.|연도=1965|권=III|출판사=Addison-Wesley|위치=Reading, MA|isbn=0-201-02118-8|성3=Sands|이름3=Matthew}}

== 같이 보기 ==
* [[Angular momentum diagrams (quantum mechanics)|각 운동량 다이어그램(양자역학)]]
* n-틈새 간섭식
* [[Quantum state|양자 상태]]
* [[내적 공간|내적]]

== 각주 ==
<references />

{{양자역학 주제}}

[[분류:정보 이론]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:수학 표기법]]
[[분류:폴 디랙]]
[[분류:양자정보과학]]
[[분류:양자역학]]