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[[수학]] 및 [[수리물리학]]에서 '''복소 시공간'''({{llang|en|Complex spacetime}})은 [[실수]] 공간 및 시간 좌표로 설명되는 [[시공간]]의 전통적인 개념을 [[복소수]] 공간 및 시간 좌표로 확장한 개념이다. 이 개념은 물리학을 암시하지 않고 완전히 수학적이지만 예를 들어 윅 회전처럼 유용할 수 있다.

== 실 공간과 복소 공간 ==
=== 수학적 기초 ===
[[벡터 공간|실 선형 공간]] <math>\mathbb{R}^n</math>에서 스칼라를 실수가 아니라 복소수로 바꾸면 복소수 선형 공간 <math>\mathbb{C}^n</math>이 생성된다. 복소 [[내적 공간]]의 경우 벡터의 일반적인 실수 값 [[내적 공간|내적]]은 복소 내적으로 대체된다. 이는 미분 기하학적 성질을 내포하고 있는데, [[미분기하학]]에서 "[[복소다양체]]"라고 부르는 [[다양체]]의 한 종류다. 모든 복소수는 두 개의 실수로 구성되기 때문에 선형 공간 <math>\mathbb{C}^n</math>은 <math>\mathbb{R}^{2n}</math>와 관련될 수 있다.

=== 물리학 ===
[[특수 상대성이론]]과 [[일반 상대성이론]]의 [[민코프스키 공간]]은 4차원 [[유클리드 공간]]과 비슷하다. [[중력]]을 미분기하학적으로 설명하는 [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]]의 기초가 되는 [[시공간]]은 실 4차원 [[준 리만 다양체]]이다.

양자 역학에서 [[입자]]를 설명하는 [[파동 함수]]는 위치를 나타내는 3차원 실 벡터 및 시간 변수의 복소수 함수이다. 주어진 계에 대한 모든 파동함수의 집합은 무한 차원의 복소수 [[힐베르트 공간]]이다.

== 역사 ==
4차원을 초과하는 차원을 갖는 시공간의 개념에 대한 관심은 그 자체적 수학적 옳음에 있다. 물리학에서의 등장은 [[중력]]과 [[전자기학|전자기력]]를 통합하려는 시도에 뿌리를 둘 수 있다. 이러한 아이디어는 [[끈 이론]]과 그 너머에 널리 퍼져 있다. ''복소'' 시공간의 개념은 상당히 덜 주목을 받았지만 로렌츠&디랙 방정식 및 [[맥스웰 방정식]]과 함께 고려되어 왔다.<ref>{{저널 인용|제목=A discussion on the present state of relativity - Analytic solutions of Lorentz-invariant linear equations|저널=Proc. R. Soc. A|성=Trautman|이름=A.|연도=1962|권=270|호=1342|쪽=326–328|bibcode=1962RSPSA.270..326T|doi=10.1098/rspa.1962.0222}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Maxwell's equations and complex Minkowski space|저널=J. Math. Phys.|성=Newman|이름=E. T.|연도=1973|권=14|호=1|출판사=The American Institute of Physics|쪽=102–103|bibcode=1973JMP....14..102N|doi=10.1063/1.1666160}}</ref> 다른 아이디어들에는, 실 시공간을 <math>SU(2)</math>의 복소 표현 공간으로 보내는 것이 포함된다. [[트위스터 이론]]을 참조하라.<ref>{{인용|url=Roger Penrose}}</ref>

1919년, 독일 수학자 [[테오도어 칼루차]]는 [[일반 상대성이론]]을 5차원 시공 모델로 확장한 연구 결과를 [[알베르트 아인슈타인]]에게 보냈는데,<ref>{{서적 인용|제목=Subtle is the Lord ...: The Science and the Life of Albert Einstein|성=Pais|이름=Abraham|날짜=1982|출판사=Oxford University Press|위치=Oxford|쪽=329–330}}</ref> 아인슈타인은 칼루차의 이론에서 중력과 [[전자기학|전자기력]]을 함께 나타내는 방정식이 나온 방식에 깊은 인상을 받았다. 1926년에 [[오스카르 클레인]]은<ref>{{저널 인용|제목=Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie|저널=[[Zeitschrift für Physik A]]|성=Oskar Klein|날짜=1926|권=37|호=12|쪽=895–906|bibcode=1926ZPhy...37..895K|doi=10.1007/BF01397481}}</ref> 칼루차가 제안한 이론에서 마치 [[원군|1차원 원형 공간]]이 시공간의 모든 점 안에 숨겨져 있는 것처럼 기존의 4차원 시공간을 이외에 해당하는 공간이 극도로 작은 원으로 말려 있을 수 있다고 제안했다. 추가 차원은 각도로도 생각할 수 있으며, 이는 360° 회전하면서 공간을 생성한다. 이 5차원 이론을 [[칼루차-클레인 이론]]이라고 한다.

1932년 [[매사추세츠 공과대학교|MIT]]의 Hsin P. Soh는 [[아서 스탠리 에딩턴|아서 에딩턴]]의 조언을 받아 복소 4차원 [[리만 기하학]] 내에서 중력과 전자기학을 통합하려는 이론을 발표했다. 복소 리만 다양체의 선 요소 <math>ds^2</math>는 복소수 값이므로 실수 부분은 질량과 중력에 해당하고 허수 부분은 전하와 전자기에 해당한다. 일반적인 장소 <math>x,y,z</math>및 시각 <math>t</math>좌표 자체는 실수이지만 [[접공간]]은 복소 공간이 허용된다.<ref>{{저널 인용|제목=A Theory of Gravitation and Electricity|저널=J. Math. Phys. (MIT)|성=Soh, H. P.|날짜=1932|권=12|호=1–4|쪽=298–305|doi=10.1002/sapm1933121298}}</ref>

1915년 [[일반 상대성이론]]이 발표된 후 수십 년 동안 [[알베르트 아인슈타인]]은 [[중력]]과 [[전자기학]]을 통합하여 두 상호 작용을 설명하는 [[통일장 이론]]을 만들려고 했다. [[제2차 세계 대전|2차 세계대전 말기]]에 알베르트 아인슈타인은 다양한 종류의 복소 시공간 기하학을 고려하기 시작했다.

1953년에 [[볼프강 파울리]]는<ref>{{저널 인용|제목=On Pauli's invention of non-abelian Kaluza–Klein Theory in 1953|성=N. Straumann|연도=2000|arxiv=gr-qc/0012054|bibcode=2000gr.qc....12054S}}</ref> [[칼루차–클레인 이론]]을 6차원 공간으로 일반화하고 ([[차원 축소 (물리학)|차원 축소]]를 사용하여) 클라인의 "말려 있는" 원이 극소 [[초구]]의 표면이 된다 가정하고 <math>SU(2)</math> [[게이지 이론]]의 핵심을 유도했다.

1975년 Jerzy Plebanski는 "복소 아인슈타인 방정식의 몇 가지 해들"이란 논문을 출판했다.<ref>{{저널 인용|제목=Some solutions of complex Einstein equations|저널=[[Journal of Mathematical Physics]]|성=Plebański, J.|연도=1975|권=16|호=12|쪽=2395–2402|bibcode=1975JMP....16.2395P|doi=10.1063/1.522505}}</ref>

복소 시공간에서 [[해석적 연속]]을 통해 [[디랙 방정식]]을 공식화하려는 시도가 있었다.<ref>{{저널 인용|제목=A study of the Lorentz–Dirac equation in complex space-time for clues to emergent quantum mechanics|저널=Journal of Physics: Conference Series|성=Mark Davidson|연도=2012|권=361|호=1|쪽=012005|bibcode=2012JPhCS.361a2005D|doi=10.1088/1742-6596/361/1/012005}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[사차원 벡터]]
* [[힐베르트 공간]]
* [[트위스터 공간]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 더 읽어보기 ==
* {{저널 인용|제목=On the history of unified field theories Part&nbsp;II (ca.&nbsp;1930 — ca.&nbsp;1965)|저널=Living Reviews in Relativity|성=Goenner|이름=Hubert F.M.|url=http://www.livingreviews.org/lrr-2004-2|연도=2014|권=17|호=5|쪽=5|bibcode=2014LRR....17....5G|doi=10.12942/lrr-2014-5|pmc=5255905|pmid=28179849}}

[[분류:상대성이론]]
[[분류:시공간]]