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[[기하학]]에서 '''케일리 변환'''(Cayley變換, {{llang|en|Cayley transform}})은 [[환 (수학)|환]] 위의 [[사영 직선]]의 특별한 [[자기 동형]]이다. 행렬의 경우, 이는 [[반대칭 행렬]]과 [[직교 행렬]] 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다.

== 정의 ==
2가 [[가역원]]인 [[환 (수학)|환]] <math>R\ni 2^{-1}</math> 위의 [[사영 직선]]
:<math>\mathbb P_R^1 = R^2 / \sim</math>
:<math>[x,y] \sim [ax,ay]\qquad\forall x,y,a\in R</math>
을 생각하자. 그 위의 '''케일리 변환'''은 다음과 같다.
:<math>f \colon [x,y] \mapsto [y-x,x+y]</math>
이는 [[멱등 함수]]이다.
:<math>f \circ f = 1</math>
따라서, 이는 <math>R</math>-[[사영 공간|사영 직선]] 위의 [[전단사 함수]]를 정의한다.

보다 일반적으로, 임의의 가역원 <math>u \in \operatorname{Unit}(R)</math>에 대하여,
:<math>f_u \colon [x,y] \mapsto [yu-x,yu+x]</math>
를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다.
:<math>f_u^{-1} \colon [x,y] \mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]</math>

== 성질 ==
=== 복소수 ===
케일리 변환
:<math>f \colon z \mapsto \frac{1-z}{1+z}</math>
은 [[리만 구]] <Math>\mathbb P^1_{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{\infty\}</math> 위의 [[뫼비우스 변환]]을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다.
:{| class=wikitable
|-
! ''z''=''f''(''f''(z)) || ''f''(''z'')
|-
| 0 || 1
|-
| i || −i
|-
| ∞ || −1
|-
| <math>\mathbb i\mathbb R\cup\{\infty\}</math> || U(1)
|-
| <math>\mathbb R\cup\{\infty\}</math> || <math>\mathbb R\cup\{\infty\}</math>
|-
| <math>\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\ge 0\} \cup \{\infty\}</math> || <math>\{z\in\mathbb C\colon |z|\le1\}</math>
|-
| <math>\{z \in\mathbb C\colon \operatorname{Re}z\le 0\} \cup \{\infty\}</math> || <math>\{z\in\mathbb C\colon |z|\ge1\} \cup\{\infty\}</math>
|}
즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다.

=== 행렬 ===
<math>n\times n</math> 실수 [[정사각 행렬]]의 환 <Math>\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math> 위의 케일리 변환을 생각하자.
:<math>f \colon \operatorname{Mat}(n;\mathbb R) \setminus X \to \operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>
:<math>M \mapsto (1-M)(1+M)^{-1} = (1+M)^{-1}(1-M)</math>
여기서 <math>X</math>는 <math>1+M</math>이 [[가역 행렬]]이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다.

이 변환에서, 만약 <math>M\in\mathfrak o(n;\mathbb R)</math>이 [[반대칭 행렬]]이라면 (<Math>M^\top = -M</math>), <math>1+M</math>은 항상 [[가역 행렬]]이며,
:<math>f(M)^\top = (1-M)(1+M)^{-1} = (1-M)^{-1}(1+M)</math>
이므로
:<math>f(M)^\top f(M) = f(M)f(M)^\top = 1</math>
이 된다. 즉, <math>f(M) \in \operatorname O(n;\mathbb R)</math>이며, 특히 <math>\det f(M) \in \{\pm1\}</math>이다.
그런데
:<math>\det \circ (f \restriction \mathfrak o(n;\mathbb R)) \colon \mathfrak o(n;\mathbb R) \setminus X \to \{\pm1\}</math>
은 [[연속 함수]]이며, 그 [[정의역]] <math>\mathfrak o(n;\mathbb R)</math>은 [[연결 공간]]이다. 따라서 이는 [[상수 함수]]이며, 그 값은 <math>\det f(0) = 1</math>이다. 즉, 케일리 변환은 [[매끄러운 함수]]
:<math>f \colon \mathfrak o(n;\mathbb R) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>
:<math>f \colon 0 \mapsto 1</math>
를 정의한다. (물론, 이는 [[전사 함수]]가 아니다. <math>\mathfrak o(n;\mathbb R)</math>는 [[축약 가능 공간]]이지만 <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.)

마찬가지로, 복소수 [[정사각 행렬]]의 환
:<math>\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math>
위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 [[매끄러운 함수]]
:<math>(f_1 \restriction \mathfrak o(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak o(n;\mathbb C) \to \operatorname{SO}(n;\mathbb C)</math>
:<math>(f_1 \restriction \mathfrak u(n;\mathbb C)) \colon \mathfrak u(n;\mathbb C) \to \operatorname U(n;\mathbb C)</math>
를 정의할 수 있다. 여기서
* <math>\mathfrak o(n;\mathbb C)</math>는 복소수 [[반대칭 행렬]]의 [[복소수 리 대수]]이다.
* <math>\mathfrak u(n;\mathbb C)</math>는 복소수 [[반에르미트 행렬]]의 [[실수 리 대수]]이다.
* <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb C)</math>는 [[행렬식]]이 1인 복소수 [[직교 행렬]]로 구성된 [[리 군]]이다.
* <math>\operatorname U(n;\mathbb C)</math>는 [[유니터리 군]]이다.

=== 사원수 ===
[[사원수]] 대수 <math>\mathbb H</math> 위의 케일리 변환
:<math>f \colon \mathbb H\cup\{\infty\} \to \mathbb H\cup\{\infty\}</math>
:<math>f \colon q \mapsto \frac{1-q}{1+q}</math>
을 생각하자. (<math>1-q</math>와 <Math>1+q</math>는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]
:<math>(\mathrm i\mathbb R+\mathrm j\mathbb R+\mathrm k\mathbb R) \cup \{\infty\}</math>
를 [[절댓값]]이 1인 [[사원수]]로 구성된 [[3차원 초구]]
:<math>\mathbb S^3 = \{q\in\mathbb H \colon |q| = 1 \}</math>
에 대응시킨다. 이는 [[리 대수]] <Math>\mathfrak{su}(2)</math>(의 [[알렉산드로프 콤팩트화]])와 [[리 군]] [[SU(2)]] 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 [[리 대응]]과 다른 사상이다.)

== 역사 ==
[[아서 케일리]]가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다.<ref>{{저널 인용
 | last=Cayley
 | first=Arthur
 | author-link=아서 케일리
 | year=1846
 | 언어=fr
 | title=Sur quelques propriétés des déterminants gauches
 | journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik
 | volume=32
 | pages=119–123
 | issn=0075-4102
 | doi=10.1515/crll.1846.32.119
}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Cayley transform}}

[[분류:연속 함수]]
[[분류:공형사상]]
[[분류:변환 (수학)]]