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'''보어-판레이우언 정리'''({{lang|en|Bohr–van Leeuwen theorem}})는 [[통계 역학]] 분야의 한 정리이다. 이 정리에 의하면, [[고전 역학]]과 [[통계 역학]]을 동시에 적용하였을 때, [[자화]] 정도의 열 평균은 항상 0이 된다.<ref>존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)은 보어-판레이우언 정리에 대해 다음과 같이 적었다. "어떤 유한한 온도와 유한한 전자기장 하에서, 전자 집합의 알짜 자화는 열 평형 상태에서 동등하게 사라진다". (van Vleck, 1932)</ref> 따라서, 고전 역학으로는 [[반자성]], [[상자성]], [[강자성]]과 같은 고체의 자성을 설명할 수 없고, [[양자 역학]]으로만 설명할 수 있다.<ref name=Aharoni>{{harvnb|Aharoni|1996}}</ref>

== 역사 ==
현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 [[닐스 보어]](Niels Bohr)가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다.<ref>{{harvnb|Bohr|1972}}</ref> 이후 1919년 헨드리카 판레이우언({{llang|nl|Hendrika Johanna van Leeuwen}})가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.<ref>{{harvnb|van Leeuwen|1921}}</ref> 1932년에는 물리학자 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 [[반자성]], [[상자성]], [[강자성]]과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 [[양자 역학]]과 [[상대성 이론]]이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 [[수소]] 원자의 [[보어 모형]]을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

== 증명 ==
===직관적인 증명===
보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 [[고립계]]에 적용된다. (회전이 가능한 경우는 해당하지 않는다. 예를 들어, 고립된 별의 경우 자기장의 영향을 받아 회전할 수 있다.)<ref name=Feynman>{{harvnb|Feynman|Leighton|Sands|2006}}</ref> 여기에 덧붙여, 만약 어떤 장과 주어진 온도에서 [[열 평형]] 상태가 오직 하나만 존재하고, [[장 (물리)|장]]이 걸어진 이후에 평형 상태까지 도달할 만큼 충분한 시간이 주어진다고 하면, 그 계는 결국 자화되지 않은 상태가 될 것이다.

계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 [[맥스웰-볼츠만 통계]]로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은
:<math>\exp(-U/k_\mathrm{B}T)</math>
에 비례한다. 여기서 <math>U</math>는 계의 에너지이고, <math>k_\mathrm{B}</math>는 [[볼츠만 상수]], <math>T</math>는 [[온도]]에 해당한다. 여기서 에너지는 [[운동에너지]](<math>m</math>가 입자의 질량이고, <math>v</math>가 속력일 때, 입자의 <math>m v^2/2</math> 값)와 [[위치 에너지]]이다.

하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하 <math>q</math>의 속도가 <math>\mathbf{v}</math>인 입자에 가해지는 [[로런츠 힘]]은<br/>
:<math>\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),</math>
으로 나타난다. 여기서 <math>\mathbf{E}</math>는 전기장이고, <math>\mathbf{B}</math>는 자기장이다. 이 식에서 [[일률]]을 구해보면 <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}</math>가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장 <math>\mathbf{B}</math>와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다.<ref name=Feynman/>

회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 [[자기 모멘트]] 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 [[자기 모멘트]]는 0이 된다.<ref name=Feynman/>

===수식을 이용한 증명===
간결함을 위해 <math>N</math>개의 [[전자]]가 존재하는 계를 생각해보자. (고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 [[전자]]로 인해 발생되는 것이고, 또 원한다면 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 충분히 일반적이다.) 각 전자들은 질량 <math>m_e</math>와 음의 전하 <math>e</math>를 갖는다. 전자의 위치를 <math>\mathbf{r}</math>라고 하고, 그 속도를 <math>\mathbf{v}</math>라고 한다면, 각 전자는 전류 <math>\mathbf{j} = e\mathbf{v}</math>와<ref name=Aharoni/><br/>
:<math> \boldsymbol{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}</math><br>
의 [[자기 모멘트]]를 갖게 된다. 위 식은 [[자기 모멘트]]가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 [[자기 모멘트]]의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다.<br/>
:<math> \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,</math>
여기서 <math>\mathbf{r}_i</math> 위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고, <math>\mathbf{a}_i</math>는 위치 <math>\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}</math>에 의존적인 벡터 계수이다.

한편 [[맥스웰-볼츠만 통계]]에 의하면 n번째 입자가 운동량 <math>\boldsymbol{p}_n</math>을 갖고, 위치 <math>\boldsymbol{r}_n</math>을 가질 확률을 다음과 같이 나타낼 수 있다.<br />
:<math> dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)}{k_\mathrm{B}T}\right]}d\boldsymbol{p}_1,\ldots,d\boldsymbol{p}_Nd\boldsymbol{r}_1,\ldots,d\boldsymbol{r}_N.</math>
여기서 <math>\mathcal{H}</math>는 [[해밀토니언]]으로, 계의 전체 [[에너지]]와 같다.<ref name=Aharoni/>

이를 이용하여 어떤 [[일반화 좌표]]에 대한 함수 <math>f(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)</math>의 열 평균을 구하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.<br />
:<math>\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.</math>

자기장의 존재 하에 [[해밀토니언]]은<br/>
:<math> \mathcal{H} = \frac{1}{2m_e}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),</math>
으로 나타난다. 여기서 <math>\mathbf{A}_i</math>는 [[자기 벡터 퍼텐셜]]이고, <math>\phi(\mathbf{q})</math>는 [[전위|전기 스칼라 퍼텐셜]]이다. 각각의 입자의 운동량 성분 <math>\mathbf{p}_i</math>와 위치 성분 <math>\mathbf{r}_i</math>는 [[해밀턴 역학]]에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다:<br/>
:<math> \begin{align}
\dot{\mathbf{p}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}</math>

열 평균 <br />
:<math>\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},</math>
의 각 항은
:<math> \int_{-\infty}^\infty p dp, </math>
에 비례한다고 할 수 있다. (여기서 <math>p</math>는 [[일반화 운동량]] 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는 <math>p</math>의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 [[자기 쌍극자 모멘트]]의 열 평균 <math>\langle\mu\rangle=0</math>이 된다.<ref name=Aharoni/>

== 보어-판레이우언 정리의 응용 ==
보어-판레이우언 정리는 [[플라스마]] 물리, 전기기계기술, 전자전기 공항 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다.

== 각주 ==
{{각주|2}}

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용
|last=Aharoni
|first=Amikam
|author-link=Amikam Aharoni
|title=Introduction to the Theory of Ferromagnetism
|publisher=[[Clarendon Press]]
|year=1996
|isbn=0198517912
|url=http://www.oup.com/us/catalog/general/subject/Physics/ElectricityMagnetism/?view=usa&ci=9780198508090
|ref=harv
|access-date=2011-12-21
|archive-date=2011-06-29
|archive-url=https://web.archive.org/web/20110629022541/http://www.oup.com/us/catalog/general/subject/Physics/ElectricityMagnetism/?view=usa&ci=9780198508090
|url-status=dead
}}
*{{서적 인용
|last = Bohr
|first = Niehls
|author-link = Niehls Bohr
|contribution = The Doctor's Dissertation (Text and Translation)
|year = 1972
|origyear = originally published as "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)
|title = Early Works (1905-1911)
|editor-last = Rosenfeld
|editor-first = L.
|editor3-last = Nielsen
|editor3-first = J. Rud
|publisher = [[Elsevier]]
|volume = 1
|series = Niels Bohr Collected Works
|pages = 163, 165–393
|doi = 10.1016/S1876-0503(08)70015-X
|isbn = 9780720418019
|ref = harv
|postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}
}}
*{{서적 인용
|last = Feynman
|first = Richard P.
|author-link = Richard Feynman
|first2 = Robert B.
|last2 = Leighton
|author2-link = Robert B. Leighton
|first3 = Matthew
|last3 = Sands
|author3-link = Matthew Sands
|title = [[The Feynman Lectures on Physics]]
|volume = 2
|year = 2006
|isbn = 0-8053-9045-6
|ref = harv
}}
*{{웹 인용
 |url=http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19670013534_1967013534.pdf
 |first1=Reece
 |last1=Roth
 |title=Plasma Stability and the Bohr-Van Leeuwen Theorem
 |year=1967
 |publisher=NASA
 |accessdate=2008-10-27
|ref = harv
}}
*{{저널 인용
|first = Hendrika Johanna
|last = van Leeuwen
|url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00204299/en/
|title = Problèmes de la théorie électronique du magnétisme
|journal = [[Journal de Physique et le Radium]]
|volume = 2
|issue = 12
|pages  = 361–377
|year = 1921
|ref = harv
}}
*{{서적 인용
|last = van Vleck
|first = J. H.
|author-link=John Hasbrouck Van Vleck
|title=The theory of electric and magnetic susceptibilities
|publisher=[[Clarendon Press]]
|year = 1932
|isbn = 0198512430
|ref = harv
}}
*{{서적 인용
|last = van Vleck
|first = J. H.
|author-link=John Hasbrouck Van Vleck
|contribution = Quantum mechanics: The key to understanding magnetism (Nobel lecture, 8 December 1977)
|title = Nobel Lectures in Physics 1971-1980
|editor-last = Lundqvist
|editor-first = Stig
|publisher = [[World Scientific]]
|year = 1992
|url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1977/vleck-lecture.html
|isbn = 981-02-0726-3
|ref = harv
|postscript = <!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}
}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20081024061820/http://www.tcd.ie/Physics/Schools/what/materials/magnetism/five.html The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last]

[[분류:고전역학]]
[[분류:전자기학]]
[[분류:물리학 이론]]
[[분류:통계역학]]
[[분류:통계역학 이론]]
[[분류:물리학 정리]]