{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
{{다른 뜻|벡터}}

[[선형대수학]]에서 '''벡터 공간'''(vector空間, {{llang|en|vector space}}, {{문화어|벡토르공간, 선형공간}}<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=56141|제목=벡토르공간|출판사=북한과학기술네트워크|언어=ko|확인날짜=2015-09-05|archive-date=2021-06-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20210616043232/http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=56141|url-status=dead}}</ref><ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=60554|제목=선형공간 (linear space)|출판사=북한과학기술네트워크|언어=ko|확인날짜=2015-09-05|archive-date=2021-06-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20210616043321/http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=60554|url-status=dead}}</ref>) 또는 '''선형 공간'''(線型空間, {{llang|en|linear space}})은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. [[체 (수학)|체]]에 대한, [[가군]]의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 '''벡터'''({{llang|en|vector}}, {{문화어|벡토르}}<ref>{{웹 인용|url=http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=56138|제목=벡토르 (vector)|출판사=북한과학기술네트워크|언어=ko|확인날짜=2015-09-05|archive-date=2021-06-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20210616043136/http://www.nktech.net/science/science/science_v.jsp?record_no=56138|url-status=dead}}</ref>)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 [[노름]]이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 '''벡터 공간''' <math>(V,+,\cdot)</math>은 <math>K</math>에 대한 [[가군]]이다. 즉, 다음과 같은 [[튜플]]이다.
* <math>V</math>는 [[집합]]이다. 이 집합의 원소를 '''벡터'''라고 한다.
* <math>+\colon V\times V\to V</math>는 [[함수]]이다. 이 연산을 '''벡터 덧셈'''이라고 한다.
* <math>\cdot\colon K\times V\to V</math>는 [[함수]]이다. 이 연산을 '''스칼라 곱셈'''이라고 한다.
이 데이터는 다음과 같은 [[공리]]들을 만족시켜야 한다.
* <math>(V,+)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
** (벡터 덧셈의 [[결합 법칙]]) 임의의 <math>u,v,w\in V</math>에 대하여, <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>
** (벡터 덧셈의 [[교환 법칙]]) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>u+v=v+u</math>
** (벡터 덧셈의 [[항등원]]) 임의의 <math>u\in V</math>에 대하여 <math>u+0=u</math>인 원소 <math>0\in V</math>가 존재한다.
** (역원의 존재) 임의의 <math>u\in V</math>에 대하여, <math>-u+u=0</math>인 원소 <math>-u\in V</math>가 존재한다.
* <math>(V,+,\cdot)</math>는 <math>K</math>의 [[가군]]을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
** 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>a\cdot(b\cdot v)=(ab)\cdot v</math>
** 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>1\cdot v=v</math>. 여기서 <math>1\in K</math>는 <math>K</math>의 곱셈 항등원이다.
** ([[분배 법칙]]) 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>(a+b)\cdot(u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v</math>

[[실수체]] <math>\mathbb R</math>에 대한 벡터 공간을 '''실수 벡터 공간'''(實數vector空間, {{llang|en|real vector space}})이라고 하며, [[복소수체]] <math>\mathbb C</math>에 대한 벡터 공간을 '''복소수 벡터 공간'''(複素數vector空間, {{llang|en|complex vector space}})이라고 한다.

=== 부분 공간과 기저 ===
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>의 [[부분 집합]] <math>W\subseteq V</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>W</math>가 <math>V</math>의 '''부분 벡터 공간'''(部分vector空間, {{llang|en|vector subspace}})이라고 한다.
* <math>0_V\in W</math>
* 임의의 <math>u,v\in W</math>에 대하여, <math>u+v\in W</math>
* 임의의 <math>a\in K</math> 및 <math>u\in W</math>에 대하여, <math>a\cdot u\in W</math>
즉, 부분 벡터 공간은 <math>V</math>의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.

벡터 공간 <math>V</math>의 부분 집합 <math>S</math>에 대하여, <math>S</math>의 '''생성'''({{llang|en|span}}) <math>\operatorname{Span}S</math>는 <math>S</math>를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 <math>S</math>에서, <math>s\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\})</math>인 원소 <math>s\in S</math>가 존재하지 않는다면, <math>S</math>가 '''[[선형 독립 집합]]'''이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 '''[[기저 (선형대수학)|기저]]'''라고 한다.

[[선택 공리]]를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 [[집합의 크기|크기]]를 갖는다. 벡터 공간 <math>V</math>의 기저의 크기를 벡터 공간의 '''차원'''(次元, {{llang|en|dimension}}) <math>\dim V\in\operatorname{Card}</math>이라고 한다.

=== 선형 변환 ===
{{본문|선형 변환}}
두 벡터 공간 사이의 '''[[선형 변환]]'''은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 [[가역 함수|가역]] 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 '''동형'''이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 [[행렬]]로 나타낼 수 있다.

== 분류 ==
[[선택 공리]]를 가정하자. [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 벡터 공간 <math>V</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>V\cong K^{\oplus\dim V}</math>
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 [[선택 공리]]를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 <math>K^{\oplus\dim V}</math>는 <math>K</math>의 <math>\dim V</math>개의 [[직합]]이며, <math>\dim V\ge\aleph_0</math>인 경우 이는 [[곱집합]]과 다르다.

== 연산 ==
같은 체 <math>K</math> 위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.
[[파일:Linear subspaces vector-tensor001.svg|섬네일|300px|선분과 벡터 공간]]

=== 몫공간 ===
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>와 그 임의의 부분 공간 <math>W</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>V</math> 위에 다음과 같은 [[동치 관계]]를 정의할 수 있다.
:<math>v\sim w\iff v-w\in W</math>
이 동치 관계에 대한 [[동치류]]는 다음과 같다.
:<math>[v]_\sim=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad(v\in V)</math>
'''몫공간'''(몫空間, {{Llang|en|quotient space}}) <math>V/W</math>는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 [[몫집합]](=동치류들의 집합)이다.
:<math>V/W=\{v+W\colon v\in V\}</math>
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
:<math>(v+W)+(w+W)=(v+w)+W</math>
:<math>a\cdot(v+W)=a\cdot v+W</math>
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.

=== 직접곱 ===
{{본문|직접곱}}
<math>K</math> 위의 벡터 공간들의 집합 <math>\{V_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 이들의 '''[[직접곱]]'''
:<math>\prod_{i\in I}V_i</math>
은 집합으로서 <math>V_i</math>들의 [[곱집합]]이다. 이 위에는 자연스러운 <math>K</math>-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
:<math>(a_i)_{i\in I}+(b_i)_{i\in I}=(a_i+b_i)_{i\in I}</math>
:<math>c\cdot(a_i)_{i\in I}=(c\cdot a_i)_{i\in I}</math>
이는 벡터 공간의 범주에서의 [[곱 (범주론)|곱]]이며, [[대수 구조]]로서의 [[직접곱]]이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
:<math>\pi_i\colon\prod_{i\in I}V_i\to V_i</math>
이 존재하며, 이는 [[선형 변환]]을 이룬다.

=== 직합 ===
{{본문|직합}}
<math>K</math> 위의 벡터 공간들의 집합 <math>\{V_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 이들의 '''[[직합]]'''은 다음과 같다.
:<math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\left\{a\in \prod_{i\in I}V_i\colon|\{i\in I\colon a_i\ne0\}|<\aleph_0\right\}\subseteq\prod_{i\in I}V_i</math>
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 [[쌍대곱]]이며, 가군의 [[직합]]의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
:<math>\iota_i\colon V_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}V_i</math>
가 존재하며, 따라서 각 <math>V_i</math>는 <math>\bigoplus_{i\in I}V_i</math>의 부분 공간을 이룬다.

유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 <math>S_i\subset V_i</math>가 <math>V_i</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]라면,
:<math>\bigcup_{i\in I}\iota_i(S_i)\subset\bigoplus_{i\in I}V_i</math>
는 <math>\bigoplus_{i\in I}V_i</math>의 기저를 이룬다. 따라서,
:<math>\dim\bigoplus_{i\in I}V_i=\sum_{i\in I}\dim V_i</math>
이다. 여기서 우변은 [[기수 (수학)|기수]]의 합이다.

=== 텐서곱 ===
<math>K</math> 위의 벡터 공간들의 집합 <math>\{V_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 이들의 '''텐서곱'''
:<math>\bigotimes_{i\in I}V_i=\operatorname{Free}\left(\prod_{i\in I}V_i\right)/\sim</math>
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
:<math>\phi\colon\prod_{i\in I}V_i\to \bigotimes_{i\in I}V_i</math>
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
:<math>\chi=\prod_{i\in I}V_i\to W</math>
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
:<math>\tilde\chi\colon \bigotimes_{i\in I}V_i\to W</math>
:<math>\tilde\chi\circ\phi=\chi</math>
가 존재한다. 텐서곱은 이 [[보편 성질]]로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다.<ref>{{저널 인용|제목=On genuine infinite algebraic tensor products|이름=Chi-Keung |성=Ng|arxiv=1112.3128|저널=Revista Matemática Iberoamericana|권= 29 |날짜=2013|호=1|쪽=329–356|doi=10.4171/RMI/722|언어=en}}</ref> 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.

임의의 두 벡터 공간 <math>V</math>, <math>W</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W</math>
여기서 <math>\cdot</math>은 [[기수 (수학)|기수]]의 곱셈이다.

== 성질 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>K</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.
* [[사영 가군]]이다.
* [[평탄 가군]]이다.
* [[자유 가군]]이다.
즉, 체 위에서는 모든 [[가군]]이 [[자유 가군]]이 된다.

=== 집합론적 성질 ===
체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 <math>V</math>의 [[집합의 크기]]는 다음과 같다.
:<math>|V|=\begin{cases}|K|^{\dim_KV}&\kappa<\aleph_0\\\max\{|K|,\dim_KV\}&\kappa\ge\aleph_0\end{cases}</math>

=== 범주론적 성질 ===
체 <math>K</math>에 대한 벡터 공간들과 이들 사이의 [[선형 변환]]들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루며, <math>\operatorname{Vect}_K</math>라고 쓴다. 이는 [[아벨 범주]]의 대표적인 예이다. <math>\operatorname{Vect}_K</math>에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.
* [[완비 범주]]이며, [[쌍대 완비 범주]]이다.
** [[곱 (범주론)|곱]]은 (아벨 군으로서의) [[직접곱]]이며, [[쌍대곱]]은 (아벨 군으로서의) [[직합]]이다.
** (유한) [[곱 (범주론)|곱]]과 [[쌍대곱]]이 일치한다.
** [[영 대상]]은 0차원 벡터 공간 <math>\{0\}</math>이다.
* 직합 말고도, [[텐서곱]] <math>V\otimes W</math>을 가지며, 이에 따라 <math>\operatorname{Vect}_K</math>는 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간 <math>K</math>이다.
* 집합으로의 망각 함자 <math>F\colon\operatorname{Vect}_K\to\operatorname{Set}</math>, <math>(V,+,\cdot)\mapsto V</math>가 존재하며, 이에 따라서 [[구체적 범주]]를 이룬다. 망각 함자는 [[왼쪽 수반 함자]] <math>\operatorname{Span}\dashv F</math>를 갖는데, <math>\operatorname{Span}</math>은 집합 <math>S</math>를 <math>|S|</math>차원 벡터 공간으로 대응시킨다.

=== 모형 이론적 성질 ===
[[모형 이론]]의 관점에서, 체 <math>K</math>에 대한 벡터 공간의 개념은 [[대수 구조]]로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
* 0항 연산 <math>0</math> ([[영벡터]])
* 각 <math>a\in K</math>에 대하여, 1항 연산 <math>a\cdot</math>
* 2항 연산 <math>+</math>
즉, 만약 <math>K</math>가 무한 집합일 경우, 벡터 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터 공간들의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. 벡터 공간의 [[준동형]]은 [[선형 변환]]이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. [[합동 관계]]는 부분 벡터 공간과 [[일대일 대응]]하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.

== 예 ==
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>은 <math>n</math>차원 실수 벡터 공간이다.
* 체 <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> [[행렬]]의 집합은 <math>mn</math>차원 <math>K</math>-벡터 공간을 이룬다.
* 임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 모든 [[연속 함수|연속]] 실함수의 집합 <math>\mathcal C(X,\mathbb R)</math>는 실수 벡터 공간을 이룬다.
* 체 <math>K</math> 위의 벡터 공간 V 와 어떤 집합 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>에서 <math>V</math>로의 함수 <math>f\colon X\to V</math>들의 집합은 <math>F</math> 위의 벡터 공간을 이룬다. 이는 <math>V</math>의 <math>|X|</math>개 [[직접곱]] <math>V^{\times|X|}</math>과 동형이다.
* 체 <math>K</math>에 대하여, [[다항식환]] <math>K[x]</math> 및 [[형식적 거듭제곱 급수]]환 <math>F[[x]]</math>는 <math>K</math> 위의 벡터 공간이다.
* 임의의 [[체의 확대]] <math>L/K</math>의 경우, <math>L</math>은 <math>K</math> 위의 벡터 공간을 이루며, 벡터 공간으로서의 차원은 체의 확대의 차수이다.
** [[유한체]] <math>\mathbb F_{p^n}</math>은 <math>\mathbb F_p</math> 위의 <math>n</math>차원 벡터 공간이다.
** <math>\mathbb C</math>는 <math>\mathbb R</math> 위의 2차원 벡터 공간이다.
** <math>\mathbb R</math>는 <math>\mathbb Q</math> 위의 <math>2^{\aleph_0}</math>차원 벡터 공간이다.
** 모든 [[대수적 수체]]는 <math>\mathbb Q</math> 위의 벡터 공간이다.

== 관련 개념 ==
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 '''[[노름 공간]]''' · '''[[바나흐 공간]]''', 각의 개념을 준 '''[[내적 공간]]''' · '''[[힐베르트 공간]]''', 위상적 성질을 가진 '''[[위상 벡터 공간]]''' · '''[[국소 볼록 공간]]''' · '''[[프레셰 공간]]''', 벡터 곱을 준 '''[[대수 (환론)|체 위의 대수]]''' 등이 있다.

벡터 공간은 임의의 [[환 (수학)|환]] 위의 '''[[가군]]'''의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 '''[[자유 가군]]'''이라고 한다.

== 같이 보기 ==
* [[사원수]]
* [[행렬식]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=김경호|제목=선형대수학의 이해|판=개정|날짜=2013-09-02|출판사=교우사|위치=서울|isbn=978-89-8172-012-4|url=http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book&wr_id=1675|확인날짜=2015-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20140414091239/http://kyowoo.co.kr/bbs/bbs/board.php?bo_table=internal_book#|보존날짜=2014-04-14|url-status=dead}}
* {{서적 인용|저자=조용욱|제목=선형대수학원론|출판사=교우사|위치=서울|날짜=2000}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vector space}}
* {{매스월드|id=VectorSpace|title=Vector space}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/vector+space|제목=Vector space|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/finite-dimensional+vector+space|제목=Finite-dimensional vector space|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Vect|제목=Vect|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84|제목=벡터 공간|웹사이트=오메가|언어=ko|확인날짜=2015-02-28|보존url=https://web.archive.org/web/20160305154748/http://mathwiki.net/%eb%b2%a1%ed%84%b0_%ea%b3%b5%ea%b0%84#|보존날짜=2016-03-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/%EC%9E%84%EC%9D%98%EC%9D%98_%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84%EC%9D%80_%EA%B8%B0%EC%A0%80%EB%A5%BC_%EA%B0%96%EB%8A%94%EB%8B%A4|제목=임의의 벡터 공간은 기저를 갖는다|웹사이트=오메가|언어=ko|확인날짜=2015-02-28|보존url=https://web.archive.org/web/20160306031612/http://mathwiki.net/%ec%9e%84%ec%9d%98%ec%9d%98_%eb%b2%a1%ed%84%b0_%ea%b3%b5%ea%b0%84%ec%9d%80_%ea%b8%b0%ec%a0%80%eb%a5%bc_%ea%b0%96%eb%8a%94%eb%8b%a4#|보존날짜=2016-03-06|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/11767/infinite-tensor-products|제목=Infinite Tensor Products|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{선형대수학}}

{{전거 통제}}

[[분류:벡터 공간| ]]