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[[수론]]에서 '''유클리드의 정리'''(Euclid의定理, {{llang|en|Euclid’s theorem}})는 무한한 수의 [[소수 (수론)|소수]]들이 존재한다는 정리이다.

== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]]는 정확히 두 개의 양의 정수 약수를 갖는 양의 정수이다. '''유클리드의 정리'''에 따르면, 소수의 집합 <math>\mathbb P</math>의 크기는 무한하다.
:<math>|\mathbb P|=\aleph_0</math>

== 증명 ==
수천 년 동안에 유클리드의 정리의 수많은 증명들이 발표되었다.

=== 에우클레이데스의 증명 ===
이 증명은 기원전 3세기에 작성된 [[에우클레이데스]]의 《[[에우클레이데스의 원론|원론]]》 9권 정리 20번에 수록되어 있다.

[[귀류법]]을 사용하여, 소수의 개수가 유한하다고 가정하자. 그렇다면 수
:<math>q=\prod_{p\in\mathbb P}p+1</math>
를 생각하자. 이 수는
:<math>q>\max\mathbb P</math>
:<math>q\equiv 1\pmod{p\in\mathbb P}</math>
이므로 모든 소수보다 크며, 소인수를 갖지 않는다. 이는 모순이다. 따라서, 소수의 수는 무한하다.

=== 골트바흐의 증명 ===
[[크리스티안 골드바흐]]는 1730년에 [[레온하르트 오일러]]에게 보내는 서신에서 [[페르마 수]]가 [[쌍마다 서로소 정수]]들의 [[무한 집합]]을 이룬다는 것을 보여 유클리드의 정리를 증명하였다.<ref>{{서적 인용|성1=Aigner|이름=Martin|성2=Ziegler|이름2=Günter M.|제목=Proofs from The Book|판=4|쪽=3|출판사=Springer|isbn=978-3-642-00855-9|doi=10.1007/978-3-642-00856-6|언어=en}}</ref>

=== 오일러의 증명 ===
[[레온하르트 오일러]]는 유클리드의 정리를 [[조화 급수]]를 사용하여 다음과 같이 증명하였다. [[산술의 기본 정리]]에 따라, 모든 양의 정수는 유일한 [[소인수 분해]]를 가지므로, [[분배 법칙]]을 사용하여 다음 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
: <math>\prod_{p\in\mathbb P} \frac{1}{1-1/p}=\prod_{p\in\mathbb P} \sum_{k\geq 0}p^{-k}=\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty</math>
우변은 [[조화급수]]이며, 이는 발산한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 좌변은 유한한 수들의 곱이므로, 만약 <math>\mathbb P</math>가 [[유한 집합]]이라고 하면 좌변은 유한하게 되고, 등식이 성립할 수 없다. 따라서, <math>\mathbb P</math>는 무한 집합이다.

=== 퓌르스텐베르크의 증명 ===
[[힐렐 퓌르스텐베르크]]는 다음과 같은 증명을 1955년에, 아직 학부 학생일 때 발표하였다.<ref>{{저널 인용
| last = Furstenberg
| first = Harry
| authorlink = 힐렐 퓌르스텐베르크
| title = On the infinitude of primes
| journal = American Mathematical Monthly
| volume = 62
| 날짜 = 1955
| 쪽 = 353
| doi = 10.2307/2307043
| jstor = 2307043
| issue = 5
| mr=0068566
| 언어=en
}}</ref>

<math>\mathbb Z</math> 위에, 다음과 같은 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B</math>를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상]]을 정의하자.
:<math>\mathcal B=\left\{a\mathbb Z+b\colon a,b\in\mathbb Z,\;a\ne0\right\}</math>
즉, <math>\mathcal B</math>는 [[등차수열]]들의 집합이다. 모든 기저 집합이 무한 집합이므로, 모든 [[열린집합]]은 [[무한 집합]]이다.

이 위상에서, 기저의 열린집합 <math>B\in\mathcal B</math>들은 다음과 같이 모두 [[열린닫힌집합]]이다.
:<math>a\mathbb Z+b=\mathbb Z\setminus\bigcup_{c=b+1}^{a+b-1}(a\mathbb Z+c)</math>
이제, 다음 등식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
:<math>\{1,-1\}=\mathbb Z\setminus\bigcup_{p\in\mathbb P}p\mathbb Z</math>
만약 <math>\mathbb P</math>가 [[유한 집합]]이라면, 우변은 유한 개의 [[닫힌집합]]의 [[합집합]]의 여집합이므로, 열린집합이다. 그러나 좌변은 [[유한 집합]]이므로 [[열린집합]]일 수 없다. 따라서, <math>\mathbb P</math>는 [[무한 집합]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Juan Pablo|성=Pinasco|제목=New proofs of Euclid’s and Euler’s theorems|저널=The American Mathematical Monthly|권=116|호=2|날짜=2009-02|쪽=172–174|jstor=27642694|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=Michael|성=Rubinstein|제목=A formula and a proof of the infinitude of the primes|저널=The American Mathematical Monthly|권=100|호=4|날짜=1993-04|쪽=388–392|jstor=2324965|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=M.|성=Wunderlich|제목=Another proof of the infinite primes theorem|저널=The American Mathematical Monthly|권=72|호=3|날짜=1965-03|쪽=305–305|jstor=2313710|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=J. M.|성=Aldaz|공저자=A. Bravo|제목=Euclid’s argument on the infinitude of primes|저널=The American Mathematical Monthly|권=110|호=2|날짜=2003-02|쪽=141–142|jstor=3647773|doi=10.2307/3647773|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=John B.|성=Cosgrave|제목=A remark on Euclid’s proof of the infinitude of primes|저널=The American Mathematical Monthly|권=96|호=4|날짜=1989-04|쪽=339–341|jstor=2324090|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Euclid'sTheorem|title=Euclid's theorem}}

[[분류:소수에 관한 정리]]