{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
{{다른 뜻|근접 대수|[[결합 법칙]]을 만족시키는 일반적인 [[대수 (환론)|대수]]|[[순서론]]과 [[조합론]]에서, 근접 관계({{llang|en|incidence}})를 추상화한 대수적 구조}}
[[추상대수학]]에서 '''결합 대수'''(結合代數, {{llang|en|associative algebra}})는 [[결합 법칙]]을 만족시키는 [[대수 (환론)|대수]]이다. 즉, [[가군]]과 [[유사환]]의 구조를 동시에 갖춘 [[대수 구조]]이다. [[가군]]이 [[아벨 군]]을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 [[환 (수학)|환]]을 일반화한다.

== 정의 ==
=== 유사 결합 대수 ===
가환 [[유사환]] <math>R</math> 위의 '''유사 결합 대수'''({{llang|en|(possibly) non-unital associative algebra}}) <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 [[대수 구조]]이다.
* <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R})</math>는 <math>R</math>의 [[가군]]을 이룬다.
* <math>(M,0,+,*)</math>은 [[유사환]]을 이룬다.
이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>r\in R</math> 및 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>r\cdot(m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)</math>
이는 유사환의 준동형 <math>R\to Z(M)</math>과 같다. 여기서 <math>Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}</math>은 <math>M</math>의 [[환의 중심|중심]]이다.

유사 결합 대수의 '''[[준동형]]'''은 <math>(0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 <math>R\text{-nuAssoc}</math>이라고 하자.

=== 결합 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 '''(단위) 결합 대수'''(單位結合代數, {{llang|en|(unital) associative algebra}}) <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*,1)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된 [[대수 구조]]이다.
* <math>(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>는 <math>R</math> 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
* <math>(M,0,1,+,*)</math>은 [[환 (수학)|환]]을 이룬다.
이는 [[환 준동형]] <math>R\to Z(M)</math>과 같다. 여기서 <math>Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}</math>은 <math>M</math>의 [[환의 중심|중심]]이다.

결합 대수의 '''[[준동형]]'''은 <math>(0,1,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 [[환 준동형]]을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 <math>R\text{-Assoc}</math>이라고 하자.

=== 가환 대수 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 결합 대수 가운데, [[가환환]]인 것을 '''가환 대수'''({{llang|en|commutative algebra}})라고 한다. <math>R</math> 위의 단위 가환 대수 <math>M</math>은 가환환 준동형 <math>R\to M</math>과 같다.

== 성질 ==
결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 [[대수 구조 다양체]]를 이루며, 이에 따라 곱 · [[쌍대곱]] · [[시작 대상]] · [[끝 대상]]의 존재를 알 수 있다.

{| class=wikitable
! 구조 || 유사 결합 대수 || 결합 대수
|-
! [[시작 대상]]
| 영가군 || <math>R</math>
|-
! [[끝 대상]]
| 영가군 || 영가군
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| 유사환으로서의 곱 || (유사)환으로서의 곱
|-
! [[쌍대곱]]
| 결합 대수의 [[자유곱]] || 단위 결합 대수의 [[자유곱]]
|}
즉, 유사 결합 대수의 범주는 [[영 대상]]을 가지지만, 결합 대수의 경우는 [[시작 대상]]과 [[끝 대상]]이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, [[곱집합]]과 호환되지만, [[쌍대곱]]은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 '''텐서곱''' <math>\otimes_R</math>이 존재하며, 이는 <math>R</math> 위의 [[가군]]의 [[텐서곱]]과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다.

=== 망각 함자 ===
유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-nuAssoc}\to\operatorname{Rng}</math>
및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-Assoc}\to\operatorname{Ring}</math>
가 존재한다. 후자의 [[왼쪽 수반 함자]]는 <math>S\mapsto R\otimes_{\mathbb Z}S</math>이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자
:<math>R\text{-Assoc}\to R\text{-nuAssoc}</math>
가 존재한다. 이 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]는
단위원이 없는 유사 결합 대수 <math>A</math>를
:<math>A\mapsto R\oplus A</math>
로 대응시킨다 (<math>\oplus</math>는 [[아벨 군]]의 [[직합]]). 이 경우, <math>R\oplus A</math> 위의 연산은 다음과 같다.
:<math>s\cdot(r,a)=(sr,s\cdot a)</math>
:<math>(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)</math>

== 분류 ==
[[복소수체]] 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.<ref>{{저널 인용|제목=
Complete lists of low dimensional complex associative algebras|이름=I. S.|성=Rakhimov|이름2=I. M.|성2=Rikhsiboev|이름3=W.|성3=Basri|arxiv=0910.0932|bibcode=2009arXiv0910.0932R|언어=en}}</ref>

=== 3차원 이하 복소수 결합 대수 ===
<math>\mathbb C</math> 위의 1차원 결합 대수는 <math>\mathbb C</math> 자체 밖에 없다. <math>\mathbb C</math> 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.
:<math>\mathbb C[x]/(x^2-1)</math>
:<math>\mathbb C[x]/(x^2)</math>
둘 다 가환 대수이므로, [[대수기하학]]적으로 해석할 수 있다. [[대수기하학]]적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 <math>\pm1</math>으로 구성되어 있으며, 후자는 ([[축소환]]이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 [[비퇴화 이차 형식]] · 퇴화 이차 형식에 대한 [[클리퍼드 대수]]이다.

<math>\mathbb C</math> 위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.
:<math>\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2-y,xy)</math>
:<math>\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2,xy)</math>
:<math>\mathbb C[x,y]/(x^2,y^2,xy)</math>
:<math>\mathbb C[x]/(x^4)</math>
:<math>\mathbb C\langle x,y\rangle/\left(x^2-1,y^2,(x-1)y,y(x-1)\right)</math>
이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

== 예 ==
=== 환론 ===
특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.
{| class=wikitable
! 가환환 <math>R</math> || <math>R</math> 위의 유사 결합 대수 || <math>R</math> 위의 결합 대수
|-
| [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> || [[유사환]] || [[환 (수학)|환]]
|-
| <math>\mathbb Z/(n)</math> || [[환의 표수|표수]]가 <math>n</math>의 약수인 유사환 (<math>ns=0\forall s</math>) || [[환의 표수|표수]]가 <math>n</math>의 약수인 환
|}

모든 [[환 (수학)|환]] <math>S</math>는 스스로의 [[환의 중심|중심]] <math>Z(S)\{r\in S\colon rs=sr\forall s\in S\}</math>에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[환 준동형]] <math>R\to Z(S)</math>가 주어졌다면, <math>S</math>는 <math>R</math> 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 <math>R\to S</math>가 주어졌다면, <math>S</math>는 <math>R</math> 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

=== 추가 구조를 갖는 대수 ===
[[리 대수]]의 [[보편 포락 대수]]는 결합 대수이다. 마찬가지로, [[클리퍼드 대수]]나 [[외대수]]는 결합 대수이다.

[[복소수체]] <math>\mathbb C</math>와 [[사원수]] 대수 <math>\mathbb H</math>는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 <math>a+bi\subseteq\{a+bi+cj+dk\}</math>를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

=== 함수 대수 ===
<math>R</math>가 [[위상환]]이라고 하자. [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 연속 함수 <math>\mathcal C(X;R)</math>의 집합은 자연스럽게 <math>R</math> 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.
:<math>r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)</math>
:<math>f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)</math>
:<math>0\colon x\mapsto 0_R</math>
:<math>1\colon x\mapsto 1_R</math>

마찬가지로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[매끄러운 함수]]의 집합 <math>\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)</math>은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Abstract algebra|날짜=2007|성=Grillet|이름=Pierre Antoine|isbn= 978-0-387-71567-4|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=242|출판사=Springer|doi=10.1007/978-0-387-71568-1|issn=0072-5285|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Associative rings and algebras}}
* {{매스월드|id=AssociativeAlgebra|title=Associative algebra}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/associative+unital+algebra|제목=Associative unital algebra|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[자유 단위 결합 대수]]
* [[리 대수]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]
[[분류:대수기하학]]