{{위키데이터 속성 추적}}
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[[파일:Erwin Schrödinger (1933).jpg|180px|섬네일|[[에르빈 슈뢰딩거]]]]
'''슈뢰딩거 방정식'''(-方程式, {{llang|en|Schrödinger equation}})은 비[[상대론]]적 [[양자역학]]적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 [[편미분 방정식]]이다. [[오스트리아]]의 [[물리학자]] [[에르빈 슈뢰딩거]]가 도입하였고,<ref name="Schrödinger25"/> 그가 발명한 [[파동역학]]의 기본 [[방정식]]이다.

== 정의 ==
[[파동 함수]] <math>\psi(x)</math>에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
:<math>i\hbar\frac{\partial{}|\psi\rangle}{\partial{}t}=\hat{H}|\psi\rangle</math>
[[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]] [[연산자]] <math>\hat{H}</math>는 고전적 [[해밀토니언]]에 해당하는 연산자로, 후자를 [[양자화 (물리학)|양자화]]하여 얻는다. <math>|\psi\rangle</math>는 [[폴 디랙]]의 [[브라-켓 표기]]를 사용해 나타낸, [[슈뢰딩거 묘사]]에서의 [[힐베르트 공간]]의 [[상태 벡터]]이다. 이를 [[파동 함수]] <math>\psi</math>로 나타낼 수 있다. ([[파동 함수]]에 대한 해석은 [[코펜하겐 해석]]을 참조하라.)

해밀토니언 연산자 <math>\hat H</math>는 보통 미분 연산자이다. 예를 들어, 퍼텐셜 <math>V(\mathbf x,t)</math> 속에 있는, 질량이 <math>m</math>인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
:<math>\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf x,t)</math>
즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.
:<math>i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi(\mathbf x,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf x,t)\right)\psi(\mathbf x,t)</math>

== 라그랑지언과 이차 양자화 ==
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 [[라그랑지언]]으로부터 유도할 수 있다.
:<math>\mathcal L=\psi^*\left(i\hbar\frac\partial{\partial t}-\hat H\right)\psi</math>
예를 들어, 퍼텐셜 <math>V(\mathbf x,t)</math> 속에 있는, 질량이 <math>m</math>인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
:<math>\mathcal L=\psi^*\left(i\hbar\frac\partial{\partial t}+\frac1{2m}\nabla^2-V\right)\psi
\sim\psi^*i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi-\frac1{2m}(\boldsymbol{\nabla}\psi)^2
-V|\psi|^2</math>
여기서 두 번째 표현은 전미분항(total derivative)을 무시하고 쓴 것이다.

이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 [[반가환수|반가환]] 장의 라그랑지언으로 여겨, [[양자장론]]으로 이차 양자화시킬 수 있다. 이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다. 또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다. 예를 들어, [[그로스-피타옙스키 방정식]]이 이러한 꼴이다.

== 역사 ==
1905년, [[알베르트 아인슈타인]]은 [[광전 효과]]를 설명하기 위해서 [[광자]]의 [[에너지]] E와 [[진동수]] ν 및 [[플랑크 상수]] h 사이의 관계를
::<math>E = h \nu</math>
로 나타내었다. 1924년 [[루이 드 브로이]]는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 <math>\psi\;</math>를 가진다는 [[드 브로이 가설]]을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
::<math>p=h / \lambda</math>
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다. 즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.

위 식들을 [[각진동수]] <math>\omega = 2\pi \nu\;</math>와 [[파수]] <math>k = 2\pi / \lambda\;</math> 및 <math>\hbar = h / 2 \pi\;</math>를 이용해 표현하면,
::<math>E=\hbar \omega</math> 및
'''p'''와 '''k'''를 [[벡터 (물리)|벡터]]로 표현하면
::<math>\mathbf p=\hbar \mathbf k</math>

[[에르빈 슈뢰딩거]]는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다.<ref name="Schrödinger25">{{저널 인용|이름=E.|성=Schrödinger|저자링크=에르빈 슈뢰딩거|제목= An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules |저널=Physical Review|권=28|쪽=1049|doi=10.1103/PhysRev.28.1049 |날짜=1926-12|언어=en}}</ref> 슈뢰딩거는 [[평면파]]의 [[위상 (파동)|위상]]을 [[복소]] [[위상인자]]로 나타내었다.
:<math>\psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>
그리고 그는
:<math> \frac{\partial}{\partial t} \psi = -i\omega \psi </math>
이므로
:<math> E \psi = \hbar \omega \psi =  i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi </math>
이며, 마찬가지로
:<math> \frac{\partial}{\partial x} \psi = i k_x \psi </math>
이므로
:<math> p_x \psi = \hbar k_x \psi = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \psi </math>
이고, 따라서
:<math> p_x^2 \psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi </math>
및 각 방향의 부분들을 더하면
:<math> p^2 \psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \psi = -\hbar^2\nabla^2 \psi </math>
이 성립함을 알았다. 이제 이를 총 에너지 E와 [[질량]] m 및 [[위치에너지]]에 대한 [[고전역학]]적 공식
:<math>E=\frac{p^2}{2m}+V</math> (단순히 총 에너지를 [[운동 에너지]]와 [[위치 에너지]]의 합으로 나타낸 것)
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi.</math>

== 관련 방정식 ==
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, [[특수상대론]]과 불합한다. 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 [[스핀 (물리학)|스핀]]에 따라 [[클라인 고든 방정식]]이나 [[디랙 방정식]] 따위를 얻는다. 이들은 비상대론적인 [[극한]]에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.

또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다. 예를 들어, [[응집물질물리학]]에서 [[보스-아인슈타인 응축]]을 나타내기 위해 사용하는 [[그로스-피타옙스키 방정식]]은 슈뢰딩거 방정식에 [[사승 상호작용]]을 추가한 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[파동 방정식]]
* {{서적 인용|이름=월터|성=무어|기타=전대호 역|제목=슈뢰딩거의 삶|출판사=사이언스북스}}

== 각주 ==
{{각주}}
== 외부 링크 ==
* {{네이버캐스트|1228|제목=슈뢰딩거 방정식}}
* {{eom|title=Schrödinger equation}}
* {{매스월드|id=SchroedingerEquation|title=Schrödinger equation}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
[[분류:오스트리아의 발명품]]
[[분류:물리학 개념]]
[[분류:에르빈 슈뢰딩거]]
[[분류:물리학 방정식]]