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'''마르코프 행렬'''(또는 마르코프 매트릭스, Markov matrix)은 [[안드레이 마르코프]]에 의해 알려진 이 행렬은 [[확률론]]적 방법으로 전개되므로 [[확률 행렬]](Stochastic matrix)로도 잘 알려져 있다. [[마르코프 연쇄]]에서 [[확률 과정]]으로 표현된다.

== 응용 ==
마르코프 행렬은 1906년에 처음으로 이를 발표한 러시아 수학자이자 교수인 [[안드레이 마르코프]]에 의해 [[마르코프 연쇄]]와 함께 개발되었다.<ref name=":2">{{서적 인용|title=Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation|last=Gagniuc|first=Paul|publisher=John Wiley & Sons|year=2017|isbn=978-1-119-38755-8|location=USA, NJ|pages=1–8}}</ref><ref name=":0">{{저널 인용| last1 = Hayes | first1 = Brian | year = 2013 | title = First links in the Markov chain | url = | journal = American Scientist | volume = 101 | issue = 2| pages = 92–96 }}</ref> 그의 초기 의도된 사용은 언어학적 분석과 다른 수학 과목에 사용이었다. [[카드 섞기]]와 비슷하지만 마르코프 체인과 매트릭스는 다른 분야에서 빠르게 이용되었다.<ref name=":2" /><ref name=":0" /><ref>''Charles Miller Grinstead; James Laurie Snell (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Soc. pp. 464–466. {{isbn|978-0-8218-0749-1}}.''</ref>

이후 [[확률 행렬]]로 알려진 마르코프 행렬은 [[안드레이 콜모고로프]]와 같은 학자에 의해 더 발전되었으며, 안드레이 콜모고로프는 연속 [[마르코프 확률 과정]]을 허용함으로써 가능성을 넓혔다.<ref>{{저널 인용| last1 = Kendall | first1 = D. G. | last2 = Batchelor | first2 = G. K. | last3 = Bingham | first3 = N. H. | last4 = Hayman | first4 = W. K. | last5 = Hyland | first5 = J. M. E. | last6 = Lorentz | first6 = G. G. | last7 = Moffatt | first7 = H. K. | last8 = Parry | first8 = W. | last9 = Razborov | first9 = A. A. | last10 = Robinson | first10 = C. A. | last11 = Whittle | first11 = P. | year = 1990 | title = Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987) | url = | journal = Bulletin of the London Mathematical Society | volume = 22 | issue = 1| page = 33 | doi = 10.1112/blms/22.1.31 }}</ref> 1950년대에는 이러한 확률론적인 행렬인 [[확률 행렬]](stochastic matrices)이 본래의 수학적 영역 밖에서 사용되기 시작했고, [[계량 경제학]]<ref>{{저널 인용|last=Solow|first=Robert|date=1952-01-01|title=On the Structure of Linear Models|journal=Econometrica|volume=20|issue=1|pages=29–46|doi=10.2307/1907805|jstor=1907805}}</ref>, [[회로 이론]]<ref>{{저널 인용|last=Sittler|first=R.|date=1956-12-01|title=Systems Analysis of Discrete Markov Processes|url=http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/1086324/|journal=IRE Transactions on Circuit Theory|volume=3|issue=4|pages=257–266|doi=10.1109/TCT.1956.1086324|issn=0096-2007}}</ref> 등의 분야에서 응용 영역이 출현했다. 1960년대에 확률 행렬의 응용은 [[행동 과학]]에서 [[지질학]]<ref>{{저널 인용|last=Gingerich|first=P. D.|date=1969-01-01|title=Markov analysis of cyclic alluvial sediments|url=http://archives.datapages.com/data/doi/10.1306/74D71C4E-2B21-11D7-8648000102C1865D|journal=Journal of Sedimentary Research|language=en-US|volume=39|issue=1|pages=330–332|doi=10.1306/74d71c4e-2b21-11d7-8648000102c1865d|issn=1527-1404}}{{깨진 링크|url=http://archives.datapages.com/data/doi/10.1306/74D71C4E-2B21-11D7-8648000102C1865D }}</ref><ref>{{저널 인용|last=Krumbein|first=W. C.|last2=Dacey|first2=Michael F.|date=1969-03-01|title=Markov chains and embedded Markov chains in geology|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02047072|journal=Journal of the International Association for Mathematical Geology|language=en|volume=1|issue=1|pages=79–96|doi=10.1007/BF02047072|issn=0020-5958}}</ref>, 주거 계획에 이르기까지 훨씬 더 다양한 과학 연구에까지 나타났다. 또한, 확률 행렬과 [[마르코프 확률 과정]]의 사용 범위와 기능성을보다 일반적으로 개선하기 위해 많은 수학적 연구가 수십 년 동안 수행되었다.

1970년대부터 현재까지, 확률 행렬은 구조 과학<ref>{{저널 인용|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167473089900258|title=A Markov matrix for fatigue load simulation and rainflow range evaluation |language=en|access-date=2017-05-05|doi=10.1016/0167-4730(89)90025-8|volume=6|issue=2–4|journal=Structural Safety|pages=247–258 | last1 = Krenk | first1 = S.}}</ref>에서부터 의료 진단<ref>{{저널 인용|last=Beck|first=J.Robert|last2=Pauker|first2=Stephen G.|date=1983-12-01|title=The Markov Process in Medical Prognosis|url=https://dx.doi.org/10.1177/0272989X8300300403|journal=Medical Decision Making|language=en|volume=3|issue=4|pages=419–458|doi=10.1177/0272989X8300300403|issn=0272-989X}}</ref>, 인사 관리<ref>{{저널 인용|last=Gotz|first=Glenn A.|last2=McCall|first2=John J.|date=1983-03-01|title=Sequential Analysis of the Stay/Leave Decision: U.S. Air Force Officers|url=http://pubsonline.informs.org/doi/abs/10.1287/mnsc.29.3.335|journal=Management Science|volume=29|issue=3|pages=335–351|doi=10.1287/mnsc.29.3.335|issn=0025-1909}}</ref>에 이르기까지 공식적인 분석이 필요한 거의 모든 분야에서 사용되어왔다. 또한, 이러한 확률 행렬은 마르코프 행렬이라는 용어로 토지 변화 모델링에서 아직까지 사용되기도 한다.<ref>{{저널 인용|last=Kamusoko|first=Courage|last2=Aniya|first2=Masamu|last3=Adi|first3=Bongo|last4=Manjoro|first4=Munyaradzi|date=2009-07-01|title=Rural sustainability under threat in Zimbabwe – Simulation of future land use/cover changes in the Bindura district based on the Markov-cellular automata model|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0143622808000702|journal=Applied Geography|volume=29|issue=3|pages=435–447|doi=10.1016/j.apgeog.2008.10.002}}</ref>

== 예 ==

<table>
<tr>
<td>
[[파일:Finance Markov chain example state space.svg|섬네일|400px|오른쪽|<!--Directed graph representation of a Markov chain for the state of financial markets (note : numbers are made-up).--> 상승,하락,침체 마켓의 [[마르코프 체인]]]]
</td>
<td>
:<math>P = \begin{bmatrix}
0.9 & 0.075 & 0.025 \\
0.15 & 0.8 & 0.05 \\
0.25 & 0.25 & 0.5
\end{bmatrix}</math>

:<math>\begin{align}
x^{(n+3)} &=  x^{(n+2)} P = \left( x^{(n+1)} P \right) P \\\\
   &=  x^{(n+1)} P^2=  \left(  x^{(n)} P \right) P^2\\
   &=  x^{(n)}  P^3 \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
x^{(n+3)} &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0.9 & 0.075 & 0.025 \\
0.15 & 0.8 & 0.05 \\
0.25 & 0.25 & 0.5
\end{bmatrix}^3 \\
   &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
 0.7745 & 0.17875 & 0.04675 \\
 0.3575 & 0.56825 & 0.07425 \\
 0.4675 & 0.37125 & 0.16125 \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix} 0.3575 & 0.56825 & 0.07425 \end{bmatrix}
\end{align}</math>

</td>
</tr>
</table>
:<math>P = \begin{bmatrix}
0.9 & 0.075 & 0.025 \\
0.15 & 0.8 & 0.05 \\
0.25 & 0.25 & 0.5
\end{bmatrix}</math>에서
:<math>\lim_{N\to \infty } \, P^N=
\begin{bmatrix}
 0.625 & 0.3125 & 0.0625 \\
 0.625 & 0.3125 & 0.0625 \\
 0.625 & 0.3125 & 0.0625 \\
\end{bmatrix}</math>

== 같이 보기 ==
* [[이중확률 행렬]](Doubly stochastic matrix)
* [[싱크혼 일반형식]](Sinkhorn normal form)
* [[유니터리 행렬]]
* [[가우스-마르코프 정리]](Gauss–Markov theorem)
* [[싱크혼 정리]](Sinkhorn's theorem)
* [[랜덤 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 자료 ==
* [[코넬 대학교]]도서관 - [https://arxiv.org/abs/1408.5728 Sinkhorn normal form for unitary matrices,Martin Idel, Michael M. Wolf (Submitted on 25 Aug 2014 (v1), last revised 4 Sep 2015 (this version, v3))]
* [[옥스퍼드 대학교]] - [http://www.robots.ox.ac.uk/~fwood/teaching/W4315_Fall2010/Lectures/gauss_markov_theorem/main.pdf InformationEngineering]
* [http://probability.ca/MT/BOOK.pdf Markov Chains and Stochastic Stability , S.P. Meyn & R.L.Tweedie , Springer-Verlag 1993 this version compiled Sep.2005]
* [https://web.archive.org/web/20130903184125/ webarchive - Markov matrix]

{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]
[[분류:마르코프 모형]]