{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서 '''프라티니 부분군'''(Frattini部分群, {{llang|en|Frattini subgroup}})은 어떤 군의, “매우 작은” 원소들만으로 구성된 [[정규 부분군]]이다. 구체적으로, “너무 작아서” 군을 생성할 때 불가결할 경우가 절대 없으며, 또한 모든 극대 진부분군에 속하는 원소들만으로 구성된다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 부분군들의 족을
:<math>\operatorname{Sub}(G)</math>
라고 하자. 이는 [[부분 집합]] 관계에 따라서 [[부분 순서 집합]]을 이루며, 이는 사실 [[완비 격자]]를 이룬다. 이 [[완비 격자]]에서, [[하한]]은 [[교집합]]이다. (그러나 [[상한]]은 [[합집합]]이 아니다.) 그 [[최대 원소]]는 물론 <math>G\in\operatorname{Sub}(G)</math>이다.

이제, <math>\operatorname{Sub}(G) \setminus \{G\}</math>의 [[극대 원소]]들의 집합
:<math>\max(\operatorname{Sub}(G) \setminus \{G\})\subseteq \operatorname{Sub}(G) \setminus \{G\}</math>
을 생각하자. (이는 [[공집합]]일 수 있다.)

군 <math>G</math>의 원소 <math>a</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''비생성원'''(非生成元, {{llang|en|non-generating element}})라고 하자.
* 만약 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>가 <math>G</math>를 생성하며, <math>a\in S</math>라면, <math>S\setminus \{a\}</math> 역시 <math>G</math>를 생성한다.

이제, 다음 두 [[부분 집합]]이 일치하며, 이를 <math>G</math>의 '''프라티니 부분군'''이라고 하고, <math>\operatorname\Phi(G)</math>로 표기한다.
* <math>\textstyle\bigcap\max(\operatorname{Sub}(G)\setminus\{G\})</math> (즉, <math>G</math>의 모든 극대 진부분군들의 교집합)
* <math>G</math>의 비생성원들의 [[집합]]
(여기서, <math>\textstyle\bigcap\varnothing = G</math>이다. 즉, 만약 극대 진부분군이 없다면, 프라티니 부분군은 <math>G</math> 전체이다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (비생성원 ⇒ 모든 극대 진부분군에 속함)''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>g\in G</math>가 비생성원이라고 하고, <math>M \in \max(\operatorname{Sub}(G)\setminus\{G\})</math>가 <math>G</math>의 극대 진부분군이라고 하자. 이제, <math>a\not\in M</math>이라면, <math>M\cup\{g\}</math>로 생성되는 [[부분군]]을 생각하자. <math>M</math>이 극대 진부분군이므로, 이는 <math>G</math>이다. 그런데 <math>M\cup \{a\}</math>은 <math>G</math>의 생성 집합이지만 <math>M</math>은 <math>G</math>의 생성 집합이 아니다. 따라서 이는 모순이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (비생성원이 아님 ⇒ 속하지 않는 극대 진부분군이 존재)''':
<div class="mw-collapsible-content">
어떤 원소 <math>g\in G</math> 및 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>S\cup\{g\}</math>가 <math>G</math>를 생성하지만, <math>S</math>는 <math>G</math>를 생성하지 않는다고 하자.

이제, <math>S</math>를 포함하며, <math>g</math>를 포함하지 않는 모든 부분군들의 족
:<math>\{H\in\operatorname{Sub}(G)\colon g\not\in H\supseteq S\}</math>
을 생각하자. [[초른 보조정리]]에 따라, 이는 적어도 하나의 [[극대 원소]] <math>M\le G</math>를 갖는다. 이제, 이 부분군이 <math>G</math>의 극대 진부분군임을 보이면 족하다.

<math>M</math>을 포함하는 임의의 부분군 <math>M<N\le G</math>를 생각하자. 이제, <math>M</math>이 <math>\{H\in\operatorname{Sub}(G)\colon g\not\in H\supseteq S\}</math>의 [[극대 원소]]이므로, <math>g\in N</math>이다. 그러므로, <math>N = G</math>이다. 따라서, <math>M</math>은 <math>g</math>를 포함하지 않는, <math>G</math>의 극대 진부분군이다.
</div></div>

== 성질 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 프라티니 부분군은 항상 <math>G</math>의 [[정규 부분군]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>G</math>의 프라티니 부분군은 <math>G</math>의 부분군들의 [[완비 격자]]에 의하여 결정된다. <math>G</math>의 극대 진부분군의 집합은 <math>G</math>의 모든 [[자기 동형 사상]] 아래 불변이며, 따라서 그 [[교집합]]인 프라티니 부분군 역시 마찬가지다. 특히, 켤레 사상은 군의 [[자기 동형 사상]]이므로, 프라티니 부분군은 [[정규 부분군]]이다.
</div></div>
만약 <math>G</math>가 [[유한군]]이라면, 그 프라티니 부분군은 [[멱영군]]이다.

임의의 두 [[유한군]] <math>G</math>, <math>H</math>에 대하여,
:<math>\operatorname\Phi(G\times H) = \operatorname\Phi(G)\times\operatorname\Phi(H)</math>
이다.

== 예 ==
크기 8의 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}(4)</math>의 부분군들의 하세 도표는 다음과 같다.
:[[파일:Dih4 subgroups (cycle graphs).svg|400px]]
이 경우, 극대 진부분군들은 위에서 둘째 줄의 세 부분군들이다. <math>\operatorname{Dih}(4)</math>의 프라티니 부분군은 이들의 [[교집합]]([[하한]])인, 셋째 줄의 가운데에 있는 [[부분군]] {F, Ⅎ}이다.

[[초특별군]]의 프라티니 부분군은 그 [[군의 중심|중심]]과 일치하며, [[소수 (수론)|소수]] 크기의 [[순환군]]이다.

=== 극대 진부분군이 없는 군 ===
[[유리수체]]의 덧셈군 <math>(\mathbb Q,+)</math>을 생각하자. 이는 극대 진부분군을 갖지 않으며, 따라서 그 프라티니 부분군은 <math>\mathbb Q</math> 전체이다.

마찬가지로, [[자명군]]은 극대 진부분군을 갖지 않으며, 그 진부분군은 [[자명군]]이다.

== 역사 ==
[[파일:Giovanni Frattini.jpg|thumb|right|프라티니 (1900년대 촬영 사진)]]
조반니 프라티니({{llang|it|Giovanni Frattini}}, 1852~1925)가 1885년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Giovanni|성=Frattini|제목=Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni|저널= Atti della Reale Accademia dei Lincei. Serie Quarta|권=1|쪽=281–285, 455–457|날짜=1885|jfm=17.0097.01|언어=it}}</ref> 이 논문에서 프라티니는 프라티니 부분군의 두 정의가 서로 [[동치]]임을 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[프라티니 논증]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Frattini subgroup}}
* {{eom|title=Frattini-subgroup(2)}}
* {{매스월드|id=FrattiniSubgroup|title=Frattini subgroup}}
* {{매스월드|id=FrattiniFactor|title=Frattini factor}}
* {{매스월드|id=FrattiniExtension|title=Frattini extension}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Frattini_subgroup | 제목=Frattini subgroup | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://groupprops.subwiki.org/wiki/Frattini-free_group | 제목=Frattini-free group | 웹사이트=Groupprops | 언어=en}}

{{전거 통제}}
[[분류:군론]]