{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''바나흐 공간'''(Banach空間, {{llang|en|Banach space}})은 [[완비 거리 공간|완비]] [[노름 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=바나하공간론|저자=조총만|총서=대우학술총서|권=485|isbn=978-89-8910318-9|출판사=아카넷|url=http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|날짜=2000|언어=ko|확인날짜=2016-06-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160805201245/http://www.acanet.co.kr/book/book_detail.php?book_id=284|보존날짜=2016-08-05|url-status=dead}}</ref><ref>{{서적 인용|성=Beauzamy|이름=Bernard|title=Introduction to Banach spaces and their geometry|날짜=1985|판=2판|publisher=North-Holland|총서=North-Holland Mathematics Studies|권=68|zbl=0585.46009|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름= Marián |성=Fabian|이름2=Petr|성2=Habala|이름3=Petr|성3=Hájek|이름4=Vicente|성4=Montesinos|이름5=Václav|성5=Zizler | 날짜=2011 | 제목=Banach space theory: the basis for linear and nonlinear analysis|총서=Canadian Mathematical Society Books in Mathematics|issn=1613-5237|출판사=Springer|doi=10.1007/978-1-4419-7515-7|isbn=978-1-4419-7514-0|zbl=1229.46001|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Topics in Banach space theory|이름=Fernando|성=Albiac|이름2=Nigel J.|성2=Kalton|출판사=Springer-Verlag|날짜=2016|판=2|doi=10.1007/978-3-319-31557-7|isbn=978-3-319-31555-3|issn=0072-5285|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=233|zbl=06566917|언어=en}}</ref> [[함수해석학]]의 주요 연구 대상 가운데 하나다. [[스테판 바나흐]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]라고 하자.

<math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>(X,\|\cdot\|)</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]을 '''<math>\mathbb K</math>-바나흐 공간'''이라고 한다.
* ([[노름]]으로 정의한 [[거리 함수]]를 부여하면) [[완비 거리 공간]]이다. 즉, 모든 [[코시 열]]이 [[수렴]]한다.
* 모든 [[절대 수렴]] 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 <math>(v_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\sum_{i\in\mathbb N}\|v_i\|<\infty</math>라면, 급수 <math>\textstyle\sum_{i\in\mathbb N}v_i</math> 역시 ([[노름]]으로 정의한 [[거리 위상]]에 대하여) 수렴한다.<ref name="Kadets">{{서적 인용
|성1=Kadets
|이름1=Mikhail I.
|성2=Kadets
|이름2=Vladimir M.
|제목=Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence
|언어=en
|총서=Operator Theory Advances and Applications
|권=94
|출판사=Birkhäuser
|위치=Basel
|날짜=1997
|isbn=978-3-0348-9942-0
|doi=10.1007/978-3-0348-9196-7
|zbl=0876.46009
}}</ref>{{rp|8, §1.2, Exercise 1.2.1}}

체 <math>\mathbb K</math>를 [[실수체]] 또는 [[복소수체]]로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, [[유리수체]]는 완비되지 못한다.)

=== 부분 공간 ===
<math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>V</math>의 부분 벡터 공간 <math>\iota\colon W\hookrightarrow V</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>W</math>가 [[닫힌집합]]이라면 <math>W</math>는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 [[선형 변환]] <math>P\colon V\to W</math>가 존재한다면, <math>W</math>를 '''여공간을 가지는 부분 공간'''({{llang|en|complemented subspace}})라고 한다.
* <math>P</math>는 [[전사 함수]]이다.
* <math>\iota\circ P\colon V\to V</math>는 (<math>W</math>로의) [[사영 (선형대수학)|사영]]이다. 즉, <math>\iota\circ P\circ\iota\circ P=\iota\circ P</math>이다.
* <math>P</math>는 [[유계 작용소]]이다.
여분 부분 공간은 (연속 함수의 [[상 (수학)|상]]이므로) 항상 [[닫힌집합]]이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ [[닫힌 집합|닫힌]] 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간
여분 부분 공간 <math>W\subseteq V</math>가 주어졌을 때, 바나흐 공간 <math>V</math>를 다음과 같이 분해할 수 있다.
:<math>V=W\oplus\ker P</math>
그러나 이러한 <Math>P</math>는 유일하지 않을 수 있다.

== 연산 ==
=== 완비화 ===
<math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>\bar V</math> 및 [[등거리 변환|등거리]] [[선형 변환]] <math>\iota\colon V\to\bar V</math>가 존재한다.
* [[상 (수학)|상]] <math>\iota(V)\subseteq\bar V</math>는 <math>\bar V</math>의 [[조밀 집합]]이다.
또한, 이는 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다.
* 임의의 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>W</math> 및 등거리 선형 변환 <Math>j\colon V\to W</math>에 대하여, 만약 <Math>j(V)</math>가 [[조밀 집합]]이라면, <math>j=i\circ\iota</math>인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 [[선형 변환|선형]] [[위상 동형 사상]]) <math>i\colon\bar V\to W</math>가 존재한다.

<math>\bar V</math>는 [[거리 공간]]으로서 <math>V</math>의 [[완비 거리 공간|거리 공간 완비화]]와 같다. 만약 <math>V</math>가 이미 바나흐 공간이라면 <Math>\iota</math>는 바나흐 공간 동형 사상이다.

=== 부분 공간과 몫공간 ===
<math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>X</math>의 <math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간 <math>Y\subseteq X</math>에 제한 노름 <math>\|\|_X\restriction Y</math>를 부여하면, 이는 [[노름 공간]]을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>Y</math>는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.
* <math>Y</math>는 [[닫힌집합]]이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 <math>Y\subseteq X</math>에 대한 [[몫공간]] <math>X/Y</math> 위에
:<math>\lVert x+Y\rVert=\inf_{y\in Y}\lVert x+y\rVert</math>
으로 [[노름]]을 주자. 그렇다면 <math>X/Y</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.

=== 상 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>X</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>Y</math>
* [[연속 함수|연속]] [[열린 함수|열린]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon X\to Y</math>
그렇다면, <math>T(X)</math>는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간이다.

=== 직합 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]의 집합 <math>(V_i)_{i\in I}</math>
* [[확장된 실수]] <math>1\le p\le\infty</math>
그렇다면, [[직합]]
:<math>\tilde V=\bigoplus_{i\in I}V_i</math>
위에 다음과 같은 [[노름]]을 정의하자.
:<math>\left\|\bigoplus_{i\in I}v_i\right\|=\begin{cases}
\sqrt[p]{\sum_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}^p}&p<\infty\\
\max_{i\in I}\|v_i\|_{V_i}&p=\infty
\end{cases}
</math>
그렇다면, <math>\tilde V</math>는 <math>\mathbb K</math>-내적 공간을 이룬다.

만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 모든 <math>i</math>에 대하여 <math>V_i</math>가 바나흐 공간이다.
* <math>\tilde V</math>는 바나흐 공간이다.
이 경우, <math>\tilde V</math>의 (<math>p</math>-노름으로 정의되는) 위상은 <math>p</math>에 의존하지 않는다.

그러나 만약 <math>I</math>가 [[무한 집합]]이라면, <math>V_i</math>가 모두 바나흐 공간이라도 <Math>\tilde V</math>가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 <math>\tilde V</math>의 완비화 <math>V</math>를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 <math>p\in[1,\infty]</math>에 따라 다르다.

=== 텐서곱 ===
[[힐베르트 공간]]의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.<ref>{{서적 인용|성=Ryan|이름=Raymond A.|날짜=2002|제목=Introduction to tensor products of Banach spaces|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-1-4471-3903-4|총서=Springer Monographs in Mathematics|isbn=978-1-85233-437-6|issn=1439-7382|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=The metric theory of tensor products: Grothendieck’s résumé revisited
|이름=Joseph|성=Diestel|이름2=Jan H.|성2=Fourie|이름3=Johan|성3=Swart|총서=American Mathematical Society Miscellaneous Books|권=52|isbn=978-0-8218-4440-3|날짜=2008|doi=10.1090/mbk/052|출판사=American Mathematical Society|언어=en}}</ref> 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 '''사영 위상 텐서곱'''({{llang|en|projective topological tensor product}})과 "최소" 텐서곱인 '''단사 위상 텐서곱'''({{llang|en|injective topological tensor product}})이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

== 성질 ==
=== 바나흐 공간 사이의 선형 변환 ===
'''바나흐-샤우데르 정리'''(-定理, {{llang|en|Banach-Schauder theorem}}) 또는 '''열린 사상 정리'''(-寫像定理, {{llang|en|open mapping theorem}})에 따르면, 임의의 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 [[전사 함수|전사]] [[유계 작용소]] <math>T\colon V\to W</math>는 [[열린 함수]]이다.<ref name="Rudin">{{서적 인용 | last=Rudin | first=Walter | authorlink=월터 루딘 | 제목=Functional analysis | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | 날짜=1991 | zbl=0867.46001 | 총서=International Series in Pure and Applied Mathematics|판=2판 |언어=en}}</ref>{{rp|48, Theorem 2.11}} 특히, 두 바나흐 공간 사이의 [[전단사]] [[선형 변환]]은 항상 [[위상 벡터 공간]]의 [[동형 사상]]이다. (그러나 이는 [[등거리 변환]]이 아닐 수 있다.)

이 정의는 [[베르 범주 정리]]를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
<math>V</math> 속의 단위 [[열린 공]]의 [[상 (수학)|상]]
:<math>T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)</math>
이 <math>0_W</math>의 [[근방]]임을 증명하면 족하다.

우선, <math>V</math>는 다음과 같은 [[열린 공]]들의 [[합집합]]이다.
:<math>V=\bigcup_{n\in\mathbb Z^+}\operatorname{ball}_V(0,n)</math>
<math>T</math>가 [[전사 함수]]이므로
:<math>W=T(V)=\bigcup_{n=1}^\infty T\left(\operatorname{ball}_V(0,n)\right)</math>
이다.

[[베르 범주 정리]]에 따라서, 바나흐 공간 <math>W</math>는 [[가산 집합|가산]] 개의 [[조밀한 곳이 없는 집합]]들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,
:<math>\operatorname{ball}_W(nc,nr)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,n)\right)\right)</math>
인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>c\in W</math> 및 양의 실수 <math>r>0</math>가 존재한다. (<math>\operatorname{ball}(-,-)</math>는 [[열린 공]]을 뜻한다.) 즉,
:<math>\operatorname{ball}_W(c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>
이다.

이제,
:<math>\operatorname{ball}_W(0,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>
를 증명하자. 우선,
:<math>\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)
=-\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>
이므로, 임의의 <math>w\in\operatorname{ball}_W(0,r)</math>에 대하여,
:<math>w\pm c\in\operatorname{ball}(\pm c,r)\subseteq\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>
이며, <math>\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>는 [[볼록 집합]]이므로
:<math>w=\frac{(w+c)+(w-c))}2\in\operatorname{cl}\left(T\left(\operatorname{ball}_V(0,1)\right)\right)</math>
이다.

이제
:<math>\operatorname{ball}_W(0,r/2)\subseteq T\left(\frac2r\operatorname{ball}_V(0,1)\right)</math>
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 <math>w\in\operatorname{ball}_W(0,r/2)</math>에 대하여, <math>Tv=w</math>인 <math>v\in V</math>를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 <math>(v_1,v_2,\ldots)</math>을 재귀적으로 고를 수 있다.
:<math>\|v_i\|<2^{-i}\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
:<math>\|w-Tv_1-\cdots-Tv_i\|<2^{-i-1}r\qquad\forall i\in\mathbb Z^+</math>
(이는 <math>r</math>의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 [[절대 수렴]] 급수는 수렴하므로,
:<math>v=\sum_{i=1}^\infty v_i\in\operatorname{ball}_V(0,1)</math>
를 정의할 수 있다. <math>T</math>가 [[연속 함수]]이므로
:<math>Tv=w</math>
이다.
</div></div>

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 [[전단사 함수|전단사]] [[유계 작용소]]는 [[위상 벡터 공간]]의 동형이다.<ref name="Rudin"/>{{rp|51, Theorem 2.15}} 또한, 바나흐 공간의 '''닫힌 그래프 정리'''({{llang|en|closed graph theorem}})에 따르면, 두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>, <math>W</math> 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>T\colon V\to W</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[연속 함수]]이다.
* [[유계 작용소]]이다.
* <math>\operatorname{graph}T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W</math>는 ([[곱위상]]을 부여한) <math>V\oplus W</math> 속의 [[닫힌집합]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[연속 함수]] ⇔ [[유계 작용소]]는 임의의 [[노름 공간]]에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 [[닫힌 그래프 정리|위상수학에서의 닫힌 그래프 정리]]로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

<math>\operatorname{graph}T\subseteq V\oplus W</math>가 [[닫힌집합]]이라 가정하자. 이에 따라 <math>\operatorname{graph}T</math>는 (임의의 <math>p\in[1,\infty]</math>에 대한 [[노름]]을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수
:<math>\pi_V\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow V</math>
:<math>\pi_W\colon\operatorname{graph}T\twoheadrightarrow W</math>
는 정의에 따라 [[연속 함수]]이다. <math>\pi_V</math>는 [[전단사 함수]]이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 <math>\pi_V</math>는 [[위상 동형 사상]]이다. 따라서
:<math>T = \pi_W\circ\pi_V^{-1}\colon V\to W</math>
역시 [[연속 함수]]이다.
</div>
</div>

즉, 두 바나흐 공간 사이의 [[유계 작용소]]에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| 닫힌 그래프 [[선형 변환]]
|-
| ⇕
|-
| [[연속 함수|연속]] [[선형 변환]]
|-
| ⇕
|-
| [[유계 작용소]] || ⇐ || [[전사 함수|전사]] [[유계 작용소]] || ⇒ || [[열린 함수|열린]] 유계 작용소
|-
| ⇑ || || ⇑
|-
| [[단사 함수|단사]] [[유계 작용소]] || ⇐ || [[전단사 함수|전단사]] [[유계 작용소]] || ⇒ || [[닫힌 함수|닫힌]] 유계 작용소
|-
| colspan=2 rowspan=2 | || ⇕
|-
| [[위상 동형]] [[유계 작용소]]
|}

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 [[유계 작용소]]의 열에 대하여 '''[[균등 유계성 원리]]'''가 성립한다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] || ⇒ || <math>\mathbb K</math>-[[반사 바나흐 공간]] || ⇒ || <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간
|-
| ⇓
| colspan=3 |
| ⇓
|-
| <math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]
| colspan=3 | ⟹
| <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]
|}

=== 샤우데르 기저 ===
{{본문|샤우데르 기저}}
벡터 공간의 [[기저 (선형대수학)|(하멜) 기저]]나 [[힐베르트 공간]]의 [[정규 직교 기저]]와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 '''[[샤우데르 기저]]'''라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

=== 바나흐 공간 위의 미적분학 ===
{{본문|프레셰 도함수}}
바나흐 공간 속의 [[열린집합]] 위에 정의된 함수의 경우, '''[[프레셰 도함수]]'''라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

== 분류 ==
[[분해 가능]] 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

=== L<sup>1</sup>의 몫공간으로의 표현 ===
모든 [[분해 가능]] <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간은 [[르베그 공간]] <math>\ell^1(\mathbb K)</math>의 [[몫공간]]이다. 즉, <math>\ell^1(\mathbb K)</math>에 [[닫힌집합|닫힌]] <math>\mathbb K</math>-부분 벡터 공간 <math>M</math>이 존재하여, <math>X\cong\ell^1(\mathbb K)/M</math>이다.<ref>{{저널 인용|first1=Stefan|last1=Banach|저자링크=스테판 바나흐|first2=S.|last2=Mazur|저자링크2=스타니스와프 마주르|title=Zur Theorie der linearen Dimension|journal=Studia Mathematica|volume=4|year=1933|pages=100–112|issn=0039-3223|언어=de}}</ref>

=== <math>\mathcal C^0</math>의 부분 공간으로의 표현 ===
'''바나흐-마주르 정리'''(Banach-Mazur定理, {{llang|de|Banach–Mazur theorem}})에 따르면, 임의의 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>에 대하여 다음이 성립한다.
* 어떤 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <Math>K</math> 및 [[등거리 변환|등거리]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>\iota\colon V\to\mathcal C^0(K,\mathbb K) </math>가 존재한다.
* 만약 <math>V</math>가 [[분해 가능 공간]]이라면, [[등거리 변환|등거리]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>\iota\colon V\to\mathcal C^0([0,1],\mathbb K) </math>가 존재한다.
여기서 <math>\mathcal C^0(-,\mathbb K)</math>는 <Math>\mathbb K</math>값의 연속 함수들의 [[바나흐 대수]]이며, 그 위의 노름은
:<math>\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|</math>
이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 <math>V</math>가 주어졌을 때, 그 [[연속 쌍대 공간]] <math>V'</math>의 단위 [[닫힌 공]] <math>K=\operatorname{ball}_{V'}(0,1)</math>을 생각하고, 그 위에 [[약한-* 위상]]을 부여하자. 이는 [[바나흐-앨러오글루 정리]]에 의하여 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이다. [[약한-* 위상]]의 정의에 따라, 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여 [[연속 함수]]
:<math>K\to\mathbb K</math>
:<math>f\mapsto f(v)</math>
는 [[연속 함수]]이다. 즉, 이는 [[연속 함수]]
:<math>V\to\mathcal C^0(K)</math>
:<math>v\mapsto(f\mapsto f(x))</math>
를 정의한다. 이는 [[등거리 변환|등거리]] [[선형 변환]]임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 <math>V</math>가 추가로 [[분해 가능 공간]]이라면, <math>\mathcal C^0(K,\mathbb R)</math>는 <math>\mathcal C^0([0,1],\mathbb R)</math>의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

=== 바나흐-마주르 거리 ===
'''바나흐-마주르 콤팩트 공간'''({{llang|en|Banach–Mazur compactum}})이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 [[모듈라이 공간]]이 존재한다.

자연수 <math>n</math> 및 <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 두 <math>n</math>차원 실수 바나흐 공간 <math>V</math>, <math>W</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 [[전단사 함수|전단사]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]]들의 공간 <math>\operatorname{GL}(V,W)</math>을 생각할 수 있다. 이 경우, <math>V</math>와 <math>W</math> 사이의 '''바나흐-마주르 거리'''({{llang|en|Banach–Mazur distance}})는 다음과 같다.
:<math>d(V,W)=\ln_{T\in\operatorname{GL}(V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|</math>
여기서 <math>\|T\|</math>는 [[작용소 노름]]이다.

이는 [[삼각 부등식]]을 만족시킨다. <math>n</math>차원 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 [[거리 함수]]를 통해 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]]을 이룬다. 이를 '''바나흐-마주르 콤팩트 공간'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 유클리드 공간 ===
자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <math>\mathbb K^n</math> 위에 노름
:<math>\|(x_1,\dots,x_n)\|=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}</math>
를 부여하면, 이는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.

=== 르베그 공간 ===
{{본문|르베그 공간}}
임의의 [[측도 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 및 [[확장된 실수]] <math>1\le p\le\infty</math>에 대하여, [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^p(X;\mathbb K)</math>는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.

=== 수렴 수열 공간 ===
{{본문|수렴 수열 공간}}
[[수렴 수열 공간]] <math>\operatorname c(\mathbb K)</math>과 영 수렴 수열 공간 <math>\operatorname c_0(\mathbb K)</math>은 둘 다 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.

=== 힐베르트 공간 ===
{{본문|힐베르트 공간}}
임의의 <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>에 대하여,
:<math>\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}\qquad(v\in \mathcal H)</math>
로 노름을 정의하면 이는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다.

=== 연속 함수 공간 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math> 위의, <Math>\mathbb K</math>값의 [[연속 함수]]들의 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]]
:<math>\mathcal C^0(X,\mathbb K)</math>
에 다음과 같은 [[노름]]을 줄 수 있다.
:<math>\|f\|=\max_{x\in X}|f(x)|</math>
이는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 대수]]를 이룬다.

== 역사 ==
[[스테판 바나흐]]가 1922년부터 연구하였다.<ref>{{저널 인용|성=Banach|이름=Stefan|저자링크=스테판 바나흐|제목=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales|저널=Fundamenta Mathematicae|권=3|연도=1922|쪽=133–181|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or215.pdf |jfm=48.0201.01|언어=fr}}</ref> 이 밖에도, [[한스 한]]과 [[에두아르트 헬리]]가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 [[스테판 바나흐]]와 [[스타니스와프 마주르]]가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 [[스테판 바나흐]]가 1929년에 발표하였고,<ref>{{저널 인용|이름=Stefan|성=Banach|저자링크=스테판 바나흐|날짜=1929|제목=Sur les fonctionelles linéaires II|저널=Studia Mathematica|권=1|호=1|쪽=223–239|issn=0039-3223|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-smv1i1p13bwm|언어=fr}}</ref>{{rp|238}} 이듬해 [[율리우시 샤우데르]]<ref>{{저널 인용|이름=J.|성=Schauder|저자링크=율리우시 샤우데르|제목=Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen|저널=Studia Mathematica|권=2|호=1|날짜=1930|쪽=183–196|issn=0039-3223|url=http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-smv2i1p16bwm|언어=de}}</ref>가 개량하였다.<ref>{{서적 인용|제목=Real and functional analysis|이름1=K.|성1=Mukherjea|이름2=K.|성2=Pothoven|출판사=Springer-Verlag|총서=Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering|권=6|doi=10.1007/978-1-4684-2331-0|날짜=1978|언어=en}}</ref>{{rp|261, §5.4}}<ref>{{서적 인용|제목=Topological vector spaces|이름=Lawrence|성=Narici|이름2=Edward|성2=Beckenstein|판=2|isbn=978-158488866-6|날짜=2010|출판사=CRC Press|총서=Pure and Applied Mathematics|url=https://www.crcpress.com/Topological-Vector-Spaces-Second-Edition/Narici-Beckenstein/p/book/9781584888666|언어=en}}</ref>{{rp|466, §14.4}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Banach space|first=M.I.|last=Kadets|공저자=B.M. Levitan}}
* {{eom|title=Topological tensor product}}
* {{eom|title=Open-mapping theorem}}
* {{eom|title=Banach-Mazur compactum}}
* {{매스월드|id=BanachSpace|title=Banach space|저자=Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein}}
* {{매스월드|id=MinimalBanachSpace|title=Minimal Banach space|저자=Mohammad Sal Moslehian}}
* {{매스월드|id=PrimeBanachSpace|title=Prime Banach space|저자=Mohammad Sal Moslehian}}
* {{매스월드|id=BanachCompletion|title=Banach completion|저자=Mohammad Sal Moslehian}}
* {{매스월드|id=OpenMappingTheorem|title=Open mapping theorem}}
* {{nlab|id=Banach space}}
* {{nlab|id=direct sum of Banach spaces|title=Direct sum of Banach spaces}}
* {{nlab|id=tensor product of Banach spaces|title=Tensor product of Banach spaces}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/|제목=Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)|날짜=2012-06-23|웹사이트=Annoying Precision|이름=Qiaochu|성=Yuan|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/01/26/245b-notes-6-duality-and-the-hahn-banach-theorem/|제목=245B, Notes 6: Duality and the Hahn-Banach theorem|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-01-26|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/02/01/245b-notes-9-the-baire-category-theorem-and-its-banach-space-consequences/|제목=245B, Notes 9: The Baire category theorem and its Banach space consequences|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|날짜=2009-02-01|웹사이트=What’s New|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/171709/predual-of-a-direct-sum-of-banach-spaces|제목=Predual of a direct sum of Banach spaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/190587/is-there-a-simple-direct-proof-of-the-open-mapping-theorem-from-the-uniform-boun|제목=Is there a simple direct proof of the Open Mapping Theorem from the Uniform Boundedness Theorem?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
{{전거 통제}}

[[분류:바나흐 공간| ]]
[[분류:폴란드의 과학과 기술]]