{{위키데이터 속성 추적}}
{{확률론}}
[[확률론]]에서 '''확률 과정'''(確率過程, {{llang|en|stochastic process}})은 시간의 진행에 대해 [[확률]]적인 변화를 가지는 구조를 의미한다.

== 정의 ==
확률 과정의 개념은 일련의 확률 변수들의 족으로, 또는 함수 값의 확률 변수로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다. (이 두 정의의 동치는 집합의 범주가 [[데카르트 닫힌 범주]]이기 때문이다.)

=== 확률 변수의 족을 통한 정의 ===
'''확률 과정'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[집합]] <math>T</math>. 이를 '''지표 집합'''(指標集合, {{llang|en|index set}})이라고 한다.
* [[가측 공간]] <math>S</math>. 이를 '''표본 공간'''(標本空間, {{llang|en|sample space}})이라고 한다.
* 함수 <math>T \times \Omega \to S</math>, <math>(t,\omega)\mapsto X_t(\omega)</math>. 또한, 각 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>X_t</math>는 [[가측 함수]]이다. 즉, <math>X_t</math>는 [[확률 변수]]이다.

만약 모든 <math>t\in T</math>에 대하여 <math>X_t</math>가 같은 [[확률 분포]]를 갖는다면, 확률 과정을 '''정상 과정'''(正常過程, {{llang|en|stationary process}})이라고 한다.

=== 함수 값의 확률 변수로서의 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[집합]] <math>T</math>. 이를 '''지표 집합'''(指標集合, {{llang|en|index set}})이라고 한다.
* [[가측 공간]] <math>S</math>. 이를 '''표본 공간'''(標本空間, {{llang|en|sample space}})이라고 한다.
그렇다면, <math>T</math>를 [[정의역]]으로, <math>S</math>를 [[공역]]으로 하는 모든 [[함수]]들의 [[집합]]
:<math>S^T</math>
을 생각하자. 여기에 다음과 같은 부분 집합 <math>\mathcal G\subseteq \operatorname{Pow}(S^T)</math>를 생각하자.
:<math>A \in\mathcal G \iff  \forall t\in T\colon\{f(t)\colon f\in F\} \in \mathcal F</math>
이제, <math>S^T</math>에 <math>\mathcal G</math>로 생성되는 [[시그마 대수]] <math>\sigma(\mathcal G)</math>를 부여하면, 이는 [[가측 공간]]을 이룬다.

[[확률 공간]] <math>\Omega</math> 위의, 지표 집합 <math>T</math>의, 표본 공간 <math>S</math>에 대한 '''확률 과정'''은 <math>S^T</math> 값의 [[확률 변수]] <math>X \colon\Omega \to S^T</math>이다.

=== 동치 관계 ===
확률 과정에 대하여, '''확률 동치'''(確率同値,, {{llang|en|stochastic equivalence}})와 '''구별 불가능'''(區別不可能, {{llang|en|indistinguishability}})이라는 두 [[동치 관계]]가 존재한다. 전자는 후자보다 더 거친 [[동치 관계]]이다. 즉, 서로 구별 불가능한 두 확률 과정은 서로 확률 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 못한다.

같은 지표 집합 · [[표본 공간]] · [[확률 공간]]을 갖는 두 확률 과정 <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>, <math>(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>와 <math>Y</math>가 서로 '''확률 동치'''(確率同値, {{llang|en|stochastically equivalent}})라고 한다.
* 임의의 <math>t\in T</math>에 대하여, <math>\Pr(X_t = Y_t) = 1</math>이다. 즉, <math>\{\omega\in \Omega\colon X_t(\omega) \ne Y_t(\omega)\}\subseteq\Omega\setminus N_t</math>이며 <math>\Pr(N_t) = 0</math>인 [[가측 집합]] <math>N_t\subseteq\Omega</math>이 존재한다. <math>N_t</math>는 <Math>t</math>에 의존할 수 있다.

같은 지표 집합 · 표본 공간 · [[확률 공간]]을 갖는 두 확률 과정 <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>, <math>(Y_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, <math>X</math>와 <math>Y</math>가 서로 '''구별 불가능'''(區別不可能, {{llang|en|indistinguishable}})라고 한다.
* <math>\Pr(\forall t\in T\colon X_t = Y_t) = 1</math>이다. 즉, 임의의 <Math>t\in T</math>에 대하여 <math>\{\omega\in \Omega\colon X_t(\omega) \ne Y_t(\omega)\}\subseteq\Omega\setminus N</math>이며 <math>\Pr(N) = 0</math>인 [[가측 집합]] <math>N\subseteq\Omega</math>이 존재하며, <math>N</math>은 <math>t</math>에 의존하지 않는다.

=== 분해 가능 확률 과정 ===
[[분해 가능 공간]] <math>T</math>을 지표 공간으로, [[보렐 가측 공간]] <Math>S</math>를 표본 공간으로 갖는 확률 과정 <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건들을 모두 만족시키는 데이터 <math>(U,\Omega_0)</math>이 존재한다면, <math>(X_t)_{t\in T}</math>를 '''분해 가능 확률 과정'''({{llang|en|separable stochastic process}})이라고 한다.
* <math>U\subseteq T</math>는 <math>T</math>의 [[조밀 집합]]이며, [[가산 집합]]이다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>G\subseteq T</math>과 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq S</math>에 대하여, <math>\Pr((\forall t\in G\cap U\colon X_t\in F) \land (\exists t\in G\colon X_t\not\in F)) = 0</math>. 즉, 어떤 [[가측 집합]] <math>\Omega_0\subseteq\Omega</math>에 대하여, <Math>\Pr(\Omega_0) = 0</math>이며 <math>\textstyle\bigcap_{t\in G\cap U}X_t^{-1}(F) \setminus \bigcap_{t\in G}X_t^{-1}(F) \subseteq \Omega_0</math>이다.

다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수 <math>(X_t)_{t\in U}</math>만으로부터 결정된다.

'''두브 정리'''({{llang|en|Doob’s theorem}})에 따르면, 임의의 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math> 확률 과정은 어떤 분해 가능 확률 과정과 확률 동치이다. (이는 [[조지프 두브]]가 증명하였다.)

== 성질 ==
확률 과정 <math>X\colon\Omega\to S^T</math>가 주어졌을 때, 이를 통하여 <math>\Omega</math> 위의 [[측도]]를 <math>S^T</math>로 [[밂 측도|밀어서]] <math>S^T</math> 위의 [[확률 측도]]를 정의할 수 있다. 즉, 이는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\Pr(A) = \Pr(\exists f\in A \colon\forall t\in T\colon f(t) = X_t)\qquad\forall A\subseteq S^T</math>
이에 따라 함수 공간 <math>S^T</math>는 [[확률 공간]]을 이룬다. 이를 확률 과정 <math>X</math>의 '''법칙'''(法則, {{llang|en|law}})이라고 한다. (예를 들어, [[위너 확률 과정]]의 법칙은 [[위너 공간]]의 [[확률 측도]]이다.)

=== 콜모고로프 연속성 정리 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[확률 공간]] <math>\Omega</math>
* [[완비 거리 공간]] <math>(S,d)</math>
* 확률 과정 <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in[0,\infty)}</math>
* 양의 실수 <math>\alpha,\beta,K\in\mathbb R^+</math>
또한, 다음이 성립한다고 하자.
:<math>\mathbb E(d(X_s,X_t)^\alpha) \le K |s-t|^{1+\beta} \qquad\forall s,t\in[0,\infty)</math>
그렇다면, <math>X</math>와 확률 동치이며, [[거의 확실하게]] [[연속 함수]]인 확률 과정 <math>(\tilde X_t\colon\Omega\to S)_{t\in[0,\infty)}</math>이 존재한다. 이를 '''콜모고로프 연속성 정리'''라고 한다.

== 예 ==
* [[무작위 행보]]
* [[브라운 운동]]
* [[마르코프 연쇄]]

== 역사 ==
1933년에 [[안드레이 콜모고로프]]가 확률론의 기초를 닦았다. 이후 이를 기반으로 1930년대에 콜모고로프와 [[조지프 두브]] · 윌리엄 펠러({{llang|en|William Feller}}) · [[모리스 르네 프레셰]] · 폴 피에르 레비({{llang|fr|Paul Pierre Lévy}}) · 볼프강 되블린({{llang|de|Wolfgang Doeblin}}) · [[하랄드 크라메르]] 등이 확률 과정의 이론을 전개하였다.

[[제2차 세계 대전]]으로 인하여 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 되블린은 [[유대인]]이었으며, 프랑스에 망명하였으나 [[나치 독일]]이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다.

전후 [[조지프 두브]]와 [[이토 기요시]] · [[가쿠타니 시즈오]] 등이 [[확률미적분학]]을 개발하였다.

1960년대 · 1970년대에는 알렉산드르 드미트리예비치 벤첼({{llang|ru|Александр Дмитриевич Вентцель}}) · 먼로 돈스커({{llang|en|Monroe D. Donsker}}) · [[스리니바사 바라단]] 등이 이 분야에 공헌하였다.

== 같이 보기 ==
* [[마르코프 연쇄]]
* [[무작위장]]
* [[무작위성]]
* [[정상 과정]]
* [[통계 모델]]
* [[확률미적분학]]
* [[확률적 앵무새]]
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stochastic process}}
* {{매스월드|id=StochasticProcess|title=Stochastic process}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정| ]]
[[분류:확률 모형]]