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[[범주론]]에서 '''함자'''(函子, {{llang|en|functor|펑크터}} {{IPA|/ˈfʌŋktə(r)/}})는 두 [[범주 (수학)|범주]] 사이의 [[함수]]에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다.  함자는 [[작은 범주]]의 범주의 [[사상 (수학)|사상]]으로 볼 수 있다.

함자의 개념은 [[대수적 위상수학]]에서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에 대해 [[기본군]] 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다.

== 정의 ==
''<math>C</math>''와 ''<math>D</math>''가 [[범주 (수학)|범주]]라 하자. 이때 ''<math>C</math>''와 ''<math>D</math>'' 사이의 '''함자''' <math>F\colon C\to D</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* ''<math>C</math>''의 임의의 대상 X에 대해 대응되는 D의 대상 <math>F(X)</math>
* ''<math>C</math>''의 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대해 대응되는 D의 사상 <math>F(f)\colon F(X)\to F(Y)</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (항등사상의 보존) <math>F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}</math>
* (사상 합성의 보존) ''<math>C</math>''의 임의의 사상 <math>f\colon X \to Y</math>와 <math>g\colon Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(g\circ f) = F(g)\circ F(f)</math>
다시 말해, 함자는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다.

정의역과 공역이 같은 범주인 함자를 '''[[자기 함자]]'''(自己函子, {{llang|en|endofunctor|엔도펑크터}})라고 한다. 자기 함자는 [[작은 범주]]로 이루어진 범주 <math>\operatorname{Cat}</math>의 [[자기 사상]]이기도 하다.

=== 공변함자와 반변함자 ===
수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 함자를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 ''<math>F</math>''가 ''<math>C</math>''에서 ''<math>D</math>''로의 '''반변함자'''(反變函子, {{llang|en|contravariant functor}})는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* ''<math>C</math>''의 임의의 대상 ''<math>X</math>''에 대해 대응되는 ''<math>D</math>''의 대상 <math>F(X)</math>
* ''<math>C</math>''의 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대해 대응되는 ''<math>D</math>''의 사상 <math>F(f)\colon F(Y)\to F(X)</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* (항등사상의 보존) <math>F(\operatorname{id}_{X}) =\operatorname{id}_{F(X)}</math>이다.
* (사상 합성의 반변) ''<math>C</math>''의 임의의 사상 <math>f\colon X \to Y</math>와 <math>g\colon Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(g\circ f) = F(f)\circ F(g)</math>
즉, 반변함자가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀐다. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 함자는 반변함자와 구분하기 위해 '''공변함자'''(共變函子, {{llang|en|covariant functor}})라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변함자를 것을 그 [[쌍대범주]]의 공변함자로서 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 함자를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 <math>F: C\rightarrow D</math>가 반변함자라고 말하는 대신 <math>F: C^{op} \rightarrow D</math>(혹은 <math>F:C \rightarrow D^{op}</math>)가 (공변)함자라고 말한다.

== 예 ==
* '''상수 함자'''({{llang|en|identity functor}}): ''<math>C</math>''의 모든 대상에 대해 ''<math>D</math>''의 특정한 대상 ''<math>X</math>''를 대응시키고, ''<math>C</math>''의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 함자를 '''상수 함자''' 혹은 '''선택 함자'''라고 한다.
* '''대각 함자'''({{llang|en|diagonal functor}}): ''<math>D</math>''의 대상 ''<math>X</math>''를 ''<math>X</math>'' 상의 상수 함자로 보내는 함자를 '''[[대각 함자]]'''라고 한다. 이는 ''<math>D</math>''에서 함자 범주 ''<math>D^C</math>''로의 함자이다.

== 역사 ==
‘{{llang|de|Funktor|풍크토어}}’라는 단어는 원래 철학자 [[루돌프 카르나프]]가 1934년에 [[언어철학]]에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》({{llang|de|Logische Syntax der Sprache}})에서 정의한 용어다.<ref>{{서적 인용|제목= Logische Syntax der Sprache|이름=Rudolf|성=Carnap|총서=Schriften zur wissenschaftlichen Weltauffassung|권=8|doi=10.1007/978-3-662-25375-5||저자링크=루돌프 카르나프|출판사=Springer|위치=[[빈]]|날짜=1934|언어=de}}</ref>

[[사무엘 에일렌베르크]]와 [[손더스 매클레인]]이 1945년에 카르나프의 용어를 ‘{{llang|en|functor|펑크터}}’로 수학에 차용하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1990284|이름=Samuel|성=Eilenberg|저자링크=사무엘 에일렌베르크|공저자=[[손더스 매클레인|Saunders Mac Lane]]|제목=General theory of natural equivalences|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=58|호=2|날짜=1945-09|쪽=231–294}}</ref> 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|[[범주 (수학)|범주]]를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고,  함자를 정의한 이유는 [[자연 변환]]을 정의하기 위해서이다. <br>{{lang|en|[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.}}|<ref name="Mac Lane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|18}}}}

== 같이 보기 ==
* [[칸 확대]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용
 |first=Steve |last=Awodey
 |title=Category Theory
 |url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780199587360.do
 |날짜=2010 | 판=2판 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-958736-0 |series=Oxford Logic Guides |volume=49 | zbl=1194.18001|mr=2668552  | 언어=en}}
*{{서적 인용
 |성          = Barr
 |이름       = Michael
 |공저자    = Charles Wells
 |edition      = 3판
 |series       = Reprints in Theory and Applications of Categories
 |title        = Category Theory for Computing Science
 |url          = http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |volume       = 22
 |날짜       = 2012
 |zbl          = 1253.18001
 |mr           = 2981171
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2014-09-22
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20150115164028/http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html
 |보존날짜 = 2015-01-15
 |url-status = dead
}}
*{{서적 인용
 | title = Introduction to the theory of categories and functors
 | publisher = Wiley
 | 날짜 = 1968
 | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=19
 | zbl=0197.29205 | mr=0236236
 | 성 = Bucur | 이름=Ion | 공저자=Aristide Deleanu | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Functor}}
* {{매스월드|id=Functor|title=Functor}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/functor|제목=Functor|웹사이트=nLab|언어=en}}

[[분류:함자| ]]