{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''왼쪽 유도 함자'''(-誘導函子, {{llang|en|left derived functor}})와 '''오른쪽 유도 함자'''(-誘導函子, {{llang|en|right derived functor}})는 각각 [[오른쪽 완전 함자]] 또는 [[왼쪽 완전 함자]]가 왼쪽 또는 오른쪽에서 [[완전 함자|완전]]하지 못한 정도를 측정하는 [[함자 (수학)|함자]]이다.<ref>{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
'''유도 함자'''의 개념은 원래 [[단사 대상을 충분히 가지는|단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]]의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 [[아벨 범주]]의 대상 대신 그 속의 [[사슬 복합체]]에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 '''초유도 함자'''(超誘導函子, {{llang|en|hyperderived functor}}) 또는 '''초코호몰로지'''(超cohomology, {{llang|en|hypercohomology}})라고 한다. 초유도 함자의 값은 [[사슬 복합체]]의 [[유사동형]]에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 [[유도 범주]] 위에 정의된다.

[[사슬 복합체]]의 범주는 자연스럽게 [[모형 범주]]를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 [[모형 범주]]에 대하여 일반화할 수 있다.

=== 단사 · 사영 분해를 통한 정의 ===
==== 단사 분해 ====
[[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에서, 임의의 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여 '''단사 분해''', 즉 다음과 같은 꼴의 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to A\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots</math>
여기서 <math>I^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)</math>는 [[단사 대상]]으로 구성된 [[자연수]] 차수 [[공사슬 복합체]]이다. 이러한 [[긴 완전열]]을 대상 <math>A</math>의 '''단사 분해'''({{llang|en|injective resolution}})이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, [[단사 대상]]으로 구성된 [[자연수]] 차수 [[공사슬 복합체]]의 [[유사동형]]과 같다.
:<math>\begin{matrix}
0&\to&A&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&I^0&\to&I^1&\to&I^2&\to&\cdots
\end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}</math>
[[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>와 [[아벨 범주]] <math>\mathcal B</math> 및 그 사이의 [[왼쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal A</math>의 대상 <math>A\in\mathcal A</math>에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 <math>F</math>에 대한 [[상 (수학)|상]]을 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
0&\to&F(A)&\to&0&\to&0&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&F(I^0)&\to&F(I^1)&\to&F(I^2)&\to&\cdots
\end{matrix}</math>
<math>F</math>는 두 행의 [[유사동형]]을 보존하지 않는다. 즉, <math>I^\bullet</math>는 [[완전열]]이었지만, <math>F(I^\bullet)</math>은 더 이상 완전열이 아니다. <math>F(I^\bullet)</math>의 [[코호몰로지]]를 <math>F</math>의 '''오른쪽 유도 함자'''의 값으로 정의한다.
:<math>\operatorname R^\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\le0}</math>
:<math>\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(I))</math>
특히, <math>\operatorname R^0F(A)=F(A)</math>이다.

보다 일반적으로, [[단사 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 자연수 차수 [[공사슬 복합체]] <math>A^\bullet\in\operatorname{Ch}_{\ge0}^\bullet(\mathcal A)</math>가 주어졌을 때, 항상 [[단사 대상]]으로 구성된 [[유사동형]] [[공사슬 복합체]]를 찾을 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
0&\to&A^0&\to&A^1&\to&A^2&\to&\cdots\\
\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0&\to&I^0&\to&I^1&\to&I^2&\to&\cdots
\end{matrix}\qquad\operatorname H^i(I)=\operatorname H^i(A)</math>
이를 [[공사슬 복합체]] <math>A^\bullet</math>의 '''단사 분해'''라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 [[공사슬 복합체]]에 대한 특수한 경우이다. 임의의 [[공사슬 복합체]] <math>A^\bullet\in\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)</math>에 대하여, [[왼쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>는 두 행의 [[유사동형]]을 일반적으로 보존하지 않는다.
<math>F</math>의 '''오른쪽 초유도 함자'''({{llang|en|right hyperderived functor}})의 값은 <math>A^\bullet</math>의 단사 분해 <math>I^\bullet</math>의 [[상 (수학)|상]] <math>F(I)</math>의 [[코호몰로지]]이다.
:<math>\operatorname R^\bullet F\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(F)\to\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal B)</math>
:<math>\operatorname R^\bullet F(A)=\operatorname H^\bullet(F(A))</math>

서로 다른 단사 분해를 사용하면, [[자연 동형]] 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 <math>R^iF\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>는 [[가법 함자]]임을 보일 수 있다.

==== 사영 분해 ====
[[단사 대상]] 대신, [[사영 대상]]을 사용해 [[오른쪽 완전 함자]] <math>G</math>의 '''왼쪽 유도 함자'''({{llang|en|left derived functor}}) <math>\operatorname L_iG</math>도 유사하게 정의할 수 있다.

[[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>에서, 대상 <math>A\in\mathcal A</math>의 '''사영 분해'''({{llang|en|projective resolution}}) <math>P_\bullet</math>를 생각하자.
:<math>\begin{matrix}
\cdots&\to&P_2&\to&P_1&\to&P_0&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&0&\to&0&\to&A&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I)=\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}</math>
[[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>와 [[아벨 범주]] <math>\mathcal B</math> 및 그 사이의 [[오른쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>의 '''왼쪽 유도 함자''' <math>\operatorname L_iF(A)</math>는 <math>A</math>의 사영 분해의 상의 [[호몰로지]]이다.
:<math>\begin{matrix}
\cdots&\to&F(P_2)&\to&F(P_1)&\to&F(P_0)&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&0&\to&0&\to&F(A)&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L_iF(P_\bullet)</math>
:<math>\operatorname L_\bullet F\colon\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B)</math>

보다 일반적으로, [[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 자연수 차수 [[사슬 복합체]] <math>A_\bullet\in\operatorname{Ch}^{\ge0}_\bullet(\mathcal A)</math>가 주어졌을 때, 항상 [[사영 대상]]으로 구성된 [[유사동형]] [[사슬 복합체]]를 찾을 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
\cdots&\to&P_2&\to&P_1&\to&P_0&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&A_2&\to&A_1&\to&A_0&\to&0\\
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(I_\bullet)=\operatorname H_i(A_\bullet)</math>
이를 [[사슬 복합체]] <math>A_\bullet</math>의 '''사영 분해'''라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 [[사슬 복합체]]에 대한 특수한 경우이다.
[[사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>와 [[아벨 범주]] <math>\mathcal B</math> 및 그 사이의 [[오른쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>의 '''왼쪽 초유도 함자'''({{llang|en|left hyperderived functor}})
:<math>\operatorname L_\bullet F\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\mathcal A\to\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal B)</math>
는 <math>A_\bullet</math>의 사영 분해의 상의 [[호몰로지]]이다.
:<math>\begin{matrix}
\cdots&\to&F(P_2)&\to&F(P_1)&\to&F(P_0)&\to&0\\
&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
\cdots&\to&F(A_2)&\to&F(A_1)&\to&F(A_0)&\to&0
\end{matrix}\qquad\operatorname H_i(F(P_\bullet))=\operatorname L_iF(P_\bullet)</math>

=== 모형 범주를 통한 정의 ===
[[단사 대상을 충분히 가지는|단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는]] [[아벨 범주]] 위의 (공)[[사슬 복합체]]의 범주는 [[모형 범주]]를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 [[모형 범주]]에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 [[모형 범주]] 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.

[[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[호모토피 범주]]로 가는 [[충실한 함자]]
:<math>\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 <math>\mathcal M</math>의 약한 동치 사상을 [[호모토피 범주]] <math>\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>의  [[동형 사상]]으로 대응시킨다.

모형 범주에서 올뭉치를 <math>\twoheadrightarrow</math>, 쌍대올뭉치를 <math>\hookrightarrow</math>, 약한 동치를 <math>\xrightarrow\sim</math>로 표기하자. [[시작 대상]]은 <math>\{\bullet\}\in\mathcal M</math>이며, [[끝 대상]]은 <math>\varnothing\in\mathcal M</math>로 표기하자.

==== 올 분해 ====
[[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>에서 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal D</math>로 가는 함자 <math>F\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>가 <math>\mathcal M</math>의 [[올대상]] 사이의 약한 동치를 <math>\mathcal B</math>의 [[동형 사상]]으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 <math>A\in\mathcal M</math>에 대하여, 그 '''올분해'''({{llang|en|fibrant resolution}})
:<math>A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>F</math>의 '''오른쪽 초유도 함자''' <math>\operatorname RF</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D</math>
:<math>\operatorname RF\colon A\mapsto F(I)</math>
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 [[호모토피 범주]] <math>\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>위에 정의된다.

{| class=wikitable
! 공사슬 복합체 !! 모형 범주
|-
| [[공사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)</math> || [[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>
|-
| [[공사슬 복합체]] 범주의 [[유도 범주]] <math>\operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)</math> || [[모형 범주]]의 [[호모토피 범주]] <math>\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>
|-
| [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal B)</math> || [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal D</math>
|-
| [[오른쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>로부터 정의된 함자 <math>F^*\colon\operatorname{Ch}^\bullet_{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B)</math> || 함자 <math>F\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>
|-
| [[단사 대상]]으로 구성된 [[공사슬 복합체]] <math>I^\bullet</math> || 올 대상 <math>I\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>
|-
| 단사 분해 <math>A^\bullet\to I^\bullet</math> || 올 분해 <math>A\xrightarrow\sim I\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>
|-
| 오른쪽 초유도 함자 <math>\operatorname RF\colon\operatorname D^\bullet_{\ge0}(\mathcal A)\to\operatorname D(\mathcal B)</math> || 오른쪽 초유도 함자 <math>\operatorname RF\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>
|}

==== 쌍대올 분해 ====
[[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[호모토피 범주]]로 가는 [[충실한 함자]]
:<math>\mathcal M\to\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>
가 존재한다.

[[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>에서 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal D</math>로 가는 함자 <math>F\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>가 <math>\mathcal M</math>의 [[쌍대올대상]] 사이의 약한 동치를 <math>\mathcal B</math>의 [[동형 사상]]으로 보낸다고 하자.

임의의 대상 <math>A\in\mathcal M</math>에 대하여, 그 쌍대올분해
:<math>\varnothing\hookrightarrow Q\to A</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>F</math>의 '''왼쪽 초유도 함자''' <math>\operatorname LF</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal M)\to\mathcal D</math>
:<math>\operatorname LF\colon A\mapsto F(Q)</math>

{| class=wikitable
! 사슬 복합체 !! 모형 범주
|-
| [[사슬 복합체]] 범주 <math>\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}(\mathcal A)</math> || [[모형 범주]] <math>\mathcal M</math>
|-
| [[사슬 복합체]] 범주의 [[유도 범주]] <math>\operatorname D_\bullet^{\ge0}(\mathcal A)</math> || [[모형 범주]]의 [[호모토피 범주]] <math>\operatorname{ho}(\mathcal M)</math>
|-
| [[유도 범주]] <math>\operatorname D(\mathcal B)</math> || [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal D</math>
|-
| [[오른쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>로부터 정의된 함자 <math>F^*\colon\operatorname{Ch}_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B)</math> || 함자 <math>F\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>
|-
| [[사영 대상]]으로 구성된 [[사슬 복합체]] <math>P_\bullet</math> || 쌍대올 대상 <math>0\hookrightarrow P</math>
|-
| 사영 분해 <math>P_\bullet\to A_\bullet</math> || 쌍대올 분해 <math>0\hookrightarrow P\to A</math>
|-
| 왼쪽 초유도 함자 <math>\operatorname LF\colon\operatorname D_\bullet^{\ge0}\to\operatorname D(\mathcal B)</math> || 왼쪽 초유도 함자 <math>\operatorname LF\colon\mathcal M\to\mathcal D</math>
|}

=== 칸 확대를 통한 정의 ===
[[모형 범주]]에서는 약한 동치의 [[모임 (집합론)|모임]]이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 [[칸 확대]]의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0611952|이름=Georges|성=Maltsiniotis|bibcode=2006math.....11952M|제목=Quillen’s adjunction theorem for derived functors, revisited|날짜=2006|언어=en}}</ref>

약한 동치의 모임이 주어진 범주 <math>\mathcal C</math> 및 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 [[국소화 (범주론)|국소화]]를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) [[호모토피 범주]] <math>\operatorname{ho}(\mathcal C)</math> 및 포함 함자 <math>J\colon\mathcal C\to\operatorname{ho}(\mathcal C)</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>F</math>의 '''왼쪽 유도 함자''' <math>\operatorname LF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D</math>는 (만약 존재한다면) <math>F</math>의 <math>J</math>에 대한 [[오른쪽 칸 확대]]이다.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal C&\overset F\to&\mathcal D\\
\downarrow&\!\!\!\!{\color{White}_{\mathrm LF}}\nearrow_{\mathrm LF}\!\!\!\!\\
\!\!\!\!\operatorname{ho}(\mathcal C)\!\!\!\!
\end{matrix}</math>
[[오른쪽 칸 확대]]의 [[보편 성질]]에 따라서, 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 자연 변환의 성분 <math>\operatorname LF(J(X))\to F(X)</math>이 존재한다. [[모형 범주]]의 경우, 이 사상은 <math>X</math>의 쌍대올 분해 <math>0\hookrightarrow P\to X</math>의 상 <math>F(P)\to F(X)</math>이다.

마찬가지로, <math>F</math>의 '''오른쪽 유도 함자''' <math>\operatorname RF\colon\operatorname{ho}(\mathcal C)\to\mathcal D</math>는 (만약 존재한다면) <math>F</math>의 <math>J</math>에 대한 [[왼쪽 칸 확대]]이다. [[왼쪽 칸 확대]]의 [[보편 성질]]에 따라서, 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 자연 변환의 성분 <math>F(X)\to \operatorname RF(J(X))</math>이 존재한다. [[모형 범주]]의 경우, 이 사상은 <math>X</math>의 올 분해 <math>X\to I\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>의 상 <math>F(X)\to F(I)</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal C&\overset F\to&\mathcal D\\
\downarrow&\!\!\!\!{\color{White}_{\mathrm LF}}\nearrow_{\mathrm LF}\!\!\!\!\\
\!\!\!\!\operatorname{ho}(\mathcal C)\!\!\!\!
\end{matrix}</math>

== 성질 ==
원래 함자 <math>F</math>는 [[왼쪽 완전 함자]]라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
:<math>0\to X^0\to I^0\to I^1</math>
의 상
:<math>0\to F(X^0)\to F(I^0)\to F(I^1)</math>
은 [[완전열]]이다. 따라서, <math>F(X^0)\to F(I^0)</math>은 [[단사 사상]]이며,
:<math>\operatorname R^0F(X)=\ker(F(I^0)\to F(I^1))=\operatorname{im}(F(X)\to F(I^0))\cong F(X)</math>
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 [[자연 동형]]이다. 즉, <math>R^0F\simeq F</math>이다.

만약 <math>X</math>가 [[단사 대상]]이라면, 단사 분해를
:<math>0\to X\to X\to 0</math>
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 [[상 (수학)|상]]
:<math>0\to F(X)\to F(X)\to 0</math>
의 [[호몰로지]]는 자명하다. 즉, 모든 <math>i>0</math>에 대하여 <math>\operatorname R^iF(X)=0</math>이고, [[단사 대상]]의 유도 함자에 대한 [[상 (수학)|상]]은 항상 0이다.

=== 긴 완전열 ===
[[왼쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> 및 <math>\mathcal C</math>의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to A\to B\to C\to 0</math>
이 주어졌을 때, [[뱀 보조정리]]에 따라서 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 발생한다.
:<math>0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to\operatorname R^1F(A)\to\operatorname R^1F(B)\to\operatorname R^1F(C)\to\operatorname R^2F(A)\to\cdots</math>
마찬가지로, [[오른쪽 완전 함자]] <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> 및 <math>\mathcal C</math>의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to A\to B\to C\to 0</math>
이 주어졌을 때, [[뱀 보조정리]]에 따라서 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 발생한다.
:<math>\cdots\to\operatorname L_2F(C)\to\operatorname L_1F(A)\to\operatorname L_1F(B)\to\operatorname L_1F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0</math>

== 예 ==
흔히 쓰이는 많은 [[호몰로지]] 및 [[코호몰로지]] 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.
{| class=wikitable
! 적용 대상 !! 함자 !! 완전성 방향 !! 유도 함자
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> || [[아벨 군]][[층 (수학)|층]]의 단면 <math>\Gamma(-,X)\colon\operatorname{Sh}(X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}</math> || [[왼쪽 완전 함자]] || [[층 코호몰로지]] <math>\operatorname R^\bullet\Gamma(-,X)=\operatorname H^\bullet(X,-)</math>
|-
| [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>A</math> || [[가군 준동형]] 군 <math>\hom(A,-)\colon R\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}</math> ||  [[왼쪽 완전 함자]] || [[Ext 함자]] <math>\operatorname R^\bullet\hom(A,-)=\operatorname{Ext}^\bullet(A,-)</math>
|-
| [[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>A</math> || [[텐서곱]] <math>\otimes A\colon\text{Mod-}R\to\operatorname{Ab}</math> || [[오른쪽 완전 함자]] || [[Tor 함자]] <math>\operatorname L_\bullet(\otimes A)=\operatorname{Tor}_\bullet(-,A)</math>
|-
| [[군 (수학)|군]] <math>G</math>  || [[군의 가군|가군]]의 불변원 <math>(-)^G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}</math> || [[왼쪽 완전 함자]] || [[군 코호몰로지]] <math>\operatorname R^\bullet(-)^G=\operatorname H^\bullet(G,-)</math>
|-
| [[군 (수학)|군]] <math>G</math>  || [[군의 가군|가군]]의 쌍대불변원 <math>(-)_G\colon\mathbb Z[G]\text{-Mod}\to\operatorname{Ab}</math> || [[오른쪽 완전 함자]] || [[군 호몰로지]] <math>\operatorname L_\bullet(-)_G=\operatorname H_\bullet(G,-)</math>
|-
| [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math> || 에탈 층의 단면 <math>\Gamma(-)\colon\operatorname{Sh}(\operatorname{\acute Et}/X;\operatorname{Ab})\to\operatorname{Ab}</math> || [[왼쪽 완전 함자]] || [[에탈 코호몰로지]] <math>\operatorname R^\bullet\Gamma(-)=\operatorname{H_{\acute et}}^\bullet(-)</math>
|}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Derived functor}}
* {{nlab|id=derived functor|title=Derived functor}}
* {{nlab|id=hyper-derived functor|title=Hyper-derived functor}}
* {{nlab|id=derived functor in homological algebra|title=Derived functor in homological algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:함자]]
[[분류:호몰로지 대수학]]