{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조|expanded=가군}}
[[환론]]에서 '''가군'''(加群, {{llang|en|module|모듈}})은 어떤 [[환 (수학)|환]]의 작용이 주어진 [[아벨 군]]이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 [[분배 법칙]]을 통해 서로 호환되는 [[대수 구조]]이다. 가군의 개념은 [[체 (수학)|체]] 위의 [[벡터 공간]]과 아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 [[군 (수학)|군]]의 [[표현론 (수학)|표현론]]과 밀접한 연관이 있으며, [[가환대수학]]과 [[호몰로지 대수학]]의 주요 대상이며, [[대수기하학]]과 [[대수적 위상수학]]에서 중요하게 사용된다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 '''왼쪽 가군'''({{llang|en|left module}}) <math>(M,+,r\cdot_{r\in R})</math>은 다음과 같은 데이터로 주어지는 [[대수 구조]]이다.
* <math>(M,+)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다.
* [[함수]] <math>\cdot\colon R\times M\to M</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
** ([[분배 법칙]]) <math>(r+s)(m+n)=rm+rn+sm+sn\qquad\forall m,n\in M,\;r,s\in R</math>
** ([[결합 법칙]]) <math>(rs)m=r(sm)\qquad\forall m\in M,\;r,s\in R</math>
** (항등원) <math>1_Rm=m\qquad\forall m\in M</math>. 여기서 <math>1_R\in R</math>은 <math>R</math>의 곱셈 항등원이다.
<math>R</math> 위의 '''오른쪽 가군'''은 그 [[반대환]] <math>R^{\operatorname{op}}</math> 위의 왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>(M,+)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다.
* [[함수]] <math>\cdot\colon M\times R\to M</math>는 다음 조건을 만족시킨다.
** ([[분배 법칙]]) <math>(m+n)(r+s)=mr+nr+ms+ns\qquad\forall m,n\in M,\;r,s\in R</math>
** ([[결합 법칙]]) <math>m(rs)=(mr)s\qquad\forall m\in M,\;r,s\in R</math>
** (항등원) <math>m1_R=m\qquad\forall m\in M</math>. 여기서 <math>1_R\in R</math>은 <math>R</math>의 곱셈 항등원이다.

[[유사환]] <math>R</math> 위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다.

왼쪽 가군인 동시에 오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 '''[[쌍가군]]'''이라 한다. <math>R</math>이 [[가환환]]일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 '''<math>R</math>-가군'''이라고 한다.

환 <math>R</math> 위의 왼쪽 가군은 [[아벨 군]] <math>(M,+)</math> 및 [[환 준동형]] <math>R\to\operatorname{End}(M)</math>의 쌍과 동치이다. 환 <math>R</math> 위의 오른쪽 가군은 그 [[반대환]] <math>R^\operatorname{op}</math> 위의 왼쪽 가군과 동치이다.

=== 준동형 ===
환 <math>R</math> 위의 두 왼쪽 가군 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 '''[[준동형]]''' <math>f\colon M\to N</math>은 다음 두 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
* <math>f</math>는 덧셈 아벨 군의 [[군 준동형]]이다. 즉, 임의의 <math>m,m'\in M</math>에 대하여 <math>f(m+m')=f(m)+f(m')</math>이다.
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>rf(m)=f(rm)</math>이다.
오른쪽 가군의 준동형도 마찬가지로 정의할 수 있다.

== 가군의 크기 ==
가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.

=== 길이 ===
{{본문|가군의 길이}}
가군의 '''[[가군의 길이|길이]]'''는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.

=== 크룰 차원 ===
{{본문|크룰 차원}}
[[가환환]] <math>R</math> 위의 가군의 '''[[크룰 차원]]'''은 가군을 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[벡터 다발]]의 일종으로 여겨 [[대수기하학]]적으로 정의하는 차원의 개념이다.

=== 계수 ===
[[정역]] <math>R</math> 위에 정의된 가군 <math>M</math>의 '''계수'''({{llang|en|rank}})는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 [[동치]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Hideyuki|성=Matsumura|기타=Miles Reid 역|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=8|제목=Commutative ring theory|출판사=Cambridge University Press|날짜=1989-06|isbn=978-0-521-36764-6|doi=10.1017/CBO9781139171762|mr=1011461|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|84}}
* <math>\operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}\left(M\otimes_R\operatorname{Frac}R\right)</math>. 여기서 <math>\operatorname{Frac}R</math>는 <math>R</math>의 [[분수체]]이며, <math>\dim_{\operatorname{Frac}R}</math>는 <math>R</math>의 분수체 위의 [[벡터 공간]]의 차원이다.
* <math>\operatorname{rank}M</math>은 <math>M</math>의 <math>R</math>-[[선형 독립]] 집합의 최대 크기이다. 여기서 <math>R</math>-선형 독립 집합이란 임의의 함수 <math>f\colon B\in R</math>에 대하여 만약 <math>\{b\in B\colon f(r)\ne 0\}</math>가 [[유한 집합]]이며 <math>\textstyle\sum_{b\in B}f(r)b=0</math>이라면 <math>\{b\in B\colon f(r)\ne 0\}=\varnothing</math>인 부분 집합 <math>B\subseteq M</math>을 말한다.

[[아벨 군]]의 [[계수 (아벨 군)|계수]]는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, [[체 (수학)|체]] 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다.

=== 호몰로지 차원 ===
{{본문|호몰로지 차원}}

[[호몰로지 대수학]]을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 '''사영/단사 차원'''({{llang|en|projective/injective dimension}})은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 [[하한]]이다.

== 성질 ==
[[정역]] <math>R</math> 위의 가군의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to N\to M\to M/N\to0</math>
이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다.
:<math>\operatorname{rank}_RM=\operatorname{rank}_RN+\operatorname{rank}_R(M/N)</math>
이는 [[정역]]의 [[분수체]] <Math>\operatorname{Frac}R</math>가 <math>R</math>의 [[평탄 가군]]이므로 <math>\otimes\operatorname{Frac}R</math>가 [[짧은 완전열]]을 보존하기 때문에, <math>\operatorname{Frac}R</math> 위의 [[벡터 공간]]의 완전열
:<math>0\to N\otimes\operatorname{Frac}R\to M\otimes\operatorname{Frac}R\to(M/N)\otimes\operatorname{Frac}R\to0</math>
이 존재하기 때문이다.

=== 범주론적 성질 ===
환 <math>R</math>에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를 <math>R\text{-Mod}</math>, 오른쪽 가군의 범주를 <math>\text{Mod-}R</math>라고 한다. 이 경우, [[범주의 동치]]
:<math>R^{\operatorname{op}}\text{-Mod}\simeq\text{Mod-}R</math>
가 존재한다. 만약 <math>R</math>가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 <math>\operatorname{Mod}_R</math>로 쓴다.

<math>R\text{-Mod}</math>와 <math>\text{Mod-}R</math> 둘 다 [[아벨 범주]]를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|-
! [[영 대상]]
| 자명 가군 <math>\{0\}</math>
|-
! [[곱 (범주론)|곱]]
| [[직접곱]] <math>\prod_{i\in I}M_i</math> (유한곱은 [[직합]]과 같음)
|-
! [[쌍대곱]]
| [[직합]] <math>\bigoplus_{i\in I}M_i</math> (유한 직합은 직접곱과 같음)
|-
! 텐서곱
| 가군의 텐서곱 <math>\bigotimes_{i\in I}M_i</math>
|}

=== 대수기하학적 성질 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 가군은 [[대수기하학]]적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 <math>R</math>는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 [[환의 스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>이라는 [[스킴 (수학)|스킴]]이다. 스킴 <math>\operatorname{Spec}R</math>의 점들은 <math>R</math>의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>들이다.

<math>R</math> 위의 가군 <math>M</math>은 <math>\operatorname{Spec}R</math> 위의 [[가군층]]을 이룬다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|110}} 이 가군층의 점 <math>\mathfrak p</math> 위의 올은 가군의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>M_{\mathfrak p}</math>이다.

만약 <math>M</math>이 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[사영 가군]]이라면, 이러한 가군은 [[세르-스완 정리]]에 따라서 유한 차원 대수적 [[벡터 다발]]로 생각할 수 있다. 만약 <math>M</math>이 [[자유 가군]] <math>R^{\oplus\kappa}</math>라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 [[벡터 다발]]을 이룬다.

== 종류 ==
가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다.
:'''[[자유 가군]]''' ⊆ '''[[사영 가군]]''' ⊆ '''[[평탄 가군]]''' ⊆ '''[[꼬임 부분군|꼬임]] 없는 가군'''
만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다.
* [[국소환]] 또는 [[주 아이디얼 정역]] 위에서는 '''[[자유 가군]]''' = '''[[사영 가군]]'''
* [[완전환]]({{llang|en|perfect ring}}, 예를 들어 [[아르틴 환]] 등) 위에서는 '''[[사영 가군]]''' = '''[[평탄 가군]]'''
* [[데데킨트 정역]] 위에서는 '''[[평탄 가군]]''' = '''[[꼬임 부분군|꼬임]] 없는 가군'''

'''[[단사 가군]]'''은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다.

'''[[단순 가군]]'''은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 [[단순군]]이나 [[단순환]]과 유사한 개념이다.

'''[[유한 생성 가군]]'''은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, <Math>R</math> 위의 왼쪽 가군 <math>M</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[유한 집합]] <math>B\subseteq M</math>이 존재한다면, <math>M</math>을 [[유한 생성 가군]]이라고 한다.
* 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m=\sum_{b\in B}f(b)b</math>인 함수 <math>f\colon B\to R</math>가 존재한다.

== 예 ==
특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다.
{| class=wikitable
! 환 !! 가군
|-
| [[체 (수학)|체]] || 체 위의 [[벡터 공간]]
|-
| [[정수환]] <math>\mathbb Z</math> || [[아벨 군]]
|-
| [[정수환]]의 [[몫환]] <math>\mathbb Z/(n)</math> || 모든 원소의 위수가 <math>n</math>의 [[약수]]인 [[아벨 군]]
|-
| [[자명환]] <math>0</math> || 자명 가군 <math>0</math>
|}

* 임의의 환 <math>R</math>은 스스로의 가군이다.
* [[자명군]] <math>\{0\}</math>은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 '''자명 가군'''({{llang|en|trivial module}})이라고 한다.
* 군 <math>G</math>에 대하여, [[군환]] <math>R[G]</math>는 <math>R</math> 위의 [[자유 가군]]을 이룬다.

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[벡터 공간]]
* [[결합 대수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=F.W.|성=Anderson|공저자=K.R. Fuller|제목=Rings and categories of modules|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=13|판=2|출판사=Springer|날짜=1992|isbn=0-387-97845-3|언어=en}}
* {{서적 인용|url=http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~wisbauer/book.pdf|제목=Foundations of module and ring theory: a handbook for study and research|이름=Robert|성=Wisbauer|날짜=1991|출판사=Gordon and Breach Science Publishers|zbl=0746.16001|총서=Algebra, Logic and Applications|권=3|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Module}}
* {{eom|title=Modules, category of}}
* {{eom|title=Unitary module}}
* {{eom|title=Rank of a module}}
* {{매스월드|id=Module|title=Module}}
* {{nlab|id=module|title=Module}}
* {{nlab|id=Mod}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/61678/what-is-the-general-geometric-interpretation-of-modules-in-algebraic-geometry|제목=What is the general geometric interpretation of modules in algebraic geometry? |언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론| ]]
[[분류:대수 구조]]