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[[수학]]에서 [[실수]] 체계를 정의하는 방법은 다양하다. '[[#실수 공리|실수 공리]]' 문단에서는 실수를 완비순서체로서 공리화하였다. [[집합론]] 공리 하에, 실수 공리계를 만족하는 실수 [[모형 (논리학)|모형]]이 존재하며, 임의의 두 모형이 [[동형]]임을 보일 수 있다. 대부분의 실수 모형은 순서체로서의 [[유리수]] 체계의 기본적 성질을 이용하여 구성되었다.

== 실수 공리 ==
실수의 모형은 집합 <math>\mathbf{R}</math>, <math>\mathbf{R}</math>의 서로 다른 두 원소 <math>0,1</math>, <math>\mathbf{R}</math> 상의 두 [[이항연산]] <math>+,\times</math>(각각 '''덧셈''', '''곱셈'''이라고 한다), 그리고 <math>\mathbf{R}</math> 상의 [[이항관계]] <math>\le</math>로 이루어져 있으며 다음 성질을 만족한다.

# <math>\left(\mathbf{R},+,\times\right)</math>는 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉,
#* 임의의 <math>x,y,z\in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>(x+y)+z=x+(y+z),(x \times y) \times z=x \times (y \times z)</math> (덧셈, 곱셈의 [[결합법칙]])
#* 임의의 <math>x,y\in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x+y=y+x,x \times y = y \times x</math> (덧셈, 곱셈의 [[교환법칙]])
#* 임의의 <math>x,y,z\in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \times (y+z)=(x \times y)+(x \times z)</math> (덧셈에 대한 곱셈의 [[분배법칙]])
#* 임의의 <math>x \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x+0=x</math> (덧셈 [[항등원]]의 존재)
#* <math>0 \ne 1</math> 또한 임의의 <math>x \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \times 1=x</math> (곱셈 항등원의 존재)
#* 임의의 <math>x \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>-x \in \mathbf{R}</math>이 존재해 <math>x+(-x)=0</math> (덧셈 [[역원]]의 존재)
#* <math>\mathbf{R}</math>의 임의의 원소<math>x \ne 0</math>에 대하여 <math>x^{-1} \in \mathbf{R}</math>이 존재해 <math>x \times x^{-1} = 1</math> (곱셈 역원의 존재)
# <math>\left(\mathbf{R},\le\right)</math>는 [[전순서 집합]]을 이룬다. 즉,
#* 임의의 <math>x \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le x</math> ([[반사관계|반사성]])
#* 임의의 <math>x,y \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le y</math> 또한 <math>y \le x</math>이면 <math>x=y</math> ([[반대칭관계|반대칭성]])
#* 임의의 <math>x,y,z \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le y</math> 또한 <math>y \le z</math>이면 <math>x \le z</math> ([[추이관계|추이성]])
#* 임의의 <math>x,y \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le y</math> 혹은 <math>y \le x</math> ([[완전관계|완전성]])
#  <math>\mathbf{R}</math>상의 체 연산 <math>+, \times</math>는 순서 <math>\le</math>와 양립한다. 즉,
#* 임의의 <math>x,y,z \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le y</math>이면 <math>x+z \le y+z</math> (덧셈 하의 순서 보존)
#* 임의의 <math>x,y \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>0 \le x</math> 또한 <math>0 \le y</math>이면 <math>0 \le xy</math> (곱셈 하의 순서 보존)
# 순서 <math>\le</math>는 데데킨트 완비성을 만족한다. 즉, 임의의 공집합이 아닌 <math>\mathbf{R}</math>의 부분집합 <math>A</math>에 대하여, <math>A</math>가 [[상계와 하계|위로 유계]]이면 <math>A</math>는 [[상한과 하한|상한]]을 가진다.

첫번째 성질은 '''체 공리''', 둘째와 셋째를 합쳐서 '''순서 공리''', 넷째는 '''(데데킨트) 완비성 공리'''라고 한다.

유리수는 순서체, 즉 체 공리와 순서 공리를 만족하는 수 체계이지만, 데데킨트 완비성 공리는 만족하지 않는다. 이는 완비성이 실수의 근본적인 성질임을 엿보여 준다. 데데킨트 완비성으로부터 [[아르키메데스 성질]]을 유추할 수 있다. [[#실수 모형의 구성|아래 문단]]에 실수 공리의 몇가지 모형이 제시되어 있다. 실수 공리의 임의의 두 모형은 서로 동형이다. 즉, 완비순서체는 동형의 의미 하에 유일하다.

여기서 임의의 두 모형 <math>\left(\mathbf{R},0_\mathbf{R},1_\mathbf{R},+_\mathbf{R}, \times _\mathbf{R}, \le _\mathbf{R}\right) , \left(\mathbf{S},0_\mathbf{S},1_\mathbf{S},+_\mathbf{S}, \times _\mathbf{S}, \le _\mathbf{S}\right)</math>이 동형이라는 것은, 체 연산과 순서를 모두 보존하는 [[전단사 함수]] <math>f:\mathbf{R} \to \mathbf{S}</math>가 존재한다는 것, 즉 다음을 만족하는 함수 <math>f</math>가 존재한다는 것이다.

* <math>f</math>는 <math>\mathbf{R}</math>에서 <math>\mathbf{S}</math>로 가는 전단사 함수이다.
* <math>f(0_\mathbf{R})=0_\mathbf{S},</math> 또한 <math>f(1_\mathbf{R})=1_\mathbf{S},</math>
* 임의의 <math>x,y \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>f(x +_\mathbf{R} y) = f(x) +_\mathbf{S} f(y)</math> 또한 <math>f(x \times _\mathbf{R} y) = f(x) \times _\mathbf{S} f(y)</math>
* 임의의 <math>x,y \in \mathbf{R}</math>에 대하여 <math>x \le _\mathbf{R} y</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>f(x) \le _\mathbf{S} f(y)</math>이다.

== 실수 모형의 구성 ==
실수의 각 구성은 수학적으로나 역사적으로나 중요성이 크다. 앞의 세 개는 각각 [[게오르크 칸토어]]/[[찰스 메레]], [[리하르트 데데킨트]], [[카를 바이어슈트라스]]/[[오토 슈톨츠]]에 의한 것으로 모두 몇년 간격으로 나타났으며, 각각의 장단점이 존재한다. 이 세가지 구성의 주된 동기는 수학 교육이다.

=== 코시 수열에 의한 구성 ===
[[거리 공간]]의 모든 [[코시 수열]]을 수렴하게 만드는 정석적 방법은 [[완비 거리 공간#완비화|완비화]]를 통해 거리 공간에 새로운 점을 추가하는 것이다. <math>\mathbf{R}</math>은 <math>\mathbf{Q}</math>의 거리 <math>|x-y|</math>에 대한 완비화로 정의된다. 다른 거리에 대한 <math>\mathbf{Q}</math>의 완비화는 [[p진수]] 참고.

유리수 코시 수열, 즉 임의의 유리수 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 자연수 <math>N</math>이 존재해 임의의 <math>m, n > N</math>에 대해 <math>|x_m - x_n| < \varepsilon</math>임을 만족하는 유리수열 <math>(x_n)</math>의 집합을 <math>R</math>이라 두자. 두 코시 수열의 덧셈, 곱셈, 순서를 다음과 같이 정의한다.

:<math>(x_n)+(y_n)=(x_n + y_n)</math>
:<math>(x_n) \times (y_n)=(x_n \times y_n)</math>

<math>R</math>에 정의한 '두 수열 사이의 거리가 0으로 수렴한다'는 [[동치관계]]는, 앞서 정의한 덧셈, 곱셈, 순서에 대해 불변이며, [[동치류]]들의 집합 <math>\mathbf{R}</math>이 [[#실수 공리|모든 실수 공리]]를 만족하는 것을 보일 수 있다. 유리수 <math>r</math>를 수열 <math>(r,r,r,...)</math>의 [[동치류]]로 재정의함으로써 <math>\mathbf{Q}</math>를 <math>\mathbf{R}</math>에 [[매장]]시킬 수 있다.

'<math>(x_n),(y_n)</math>가 동치이거나, 자연수 <math>N</math>이 존재하여 임의의 <math>n > N</math>에 대해 <math>x_n \ge y_n</math>이다'는 순서관계 <math>(x_n) \ge (y_n)</math>를 통해 실수 간의 순서 관계를 정립할 수 있다.

이러한 구성에서 모든 실수 <math>x</math>는 유리수 코시 수열로 표현될 수 있다. 그러나 이러한 표현은 유일하지 않다. <math>x</math>로 수렴하는 유리수 코시 열 모두가 <math>x</math>의 한 표현이다. 여기에서 [[원주율#계산식|하나의 실수를 여러 가지 수열로 근사할 수 있다]]는 관점이 보여진다.

이 구성에서 [[최소 상계 성질|최소 상계 공리]]가 성립함은 다음과 같이 증명할 수 있다. <math>S</math>를 <math>\mathbf{R}</math>의 공집합이 아닌 부분집합이라 두고, 상계 <math>u_0</math>가 존재한다고 하자. <math>u_0</math>가 유리수라고 가정해도 무방하다. <math>S</math>가 공집합이 아니므로 어떤 유리수 <math>l_0</math>과 어떤 <math>s\in S</math>가 존재하여 <math>l_0<s</math>이다. 이제 수열 <math>(u_n),(l_n)</math>을 다음과 같이 정의한다. <math>m_n=\frac{u_n + l_n}{2}</math>이 만약 <math>S</math>상계가

* 맞으면, <math>l_{n+1} = l_n,u_{n+1} = m_n</math>
* 아니면, <math>l_{n+1} = m_n,u_{n+1} = u_n</math>

두 수열 모두 유리수 코시 수열이며, 서로 동치이다. 이로부터 실수 <math>[(l_n)]=[(u_n)]=u</math>를 얻는다. <math>n</math>에 대한 귀납법에 의해 다음이 성립한다.

# 모든 <math>l_n</math>은 <math>S</math>의 상계가 아니다.
# 모든 <math>u_n</math>은 <math>S</math>의 상계이다.

첫번째 결론에 의해 <math>S</math>의 임의의 상계 <math>b</math>에 대하여, <math>l_n<b</math>가 빠짐없이 성립하므로 <math>u\le b</math>이고, 두번째 결론에 의해 <math>u</math>는 <math>S</math>의 상계이다. 따라서 <math>u</math>는 <math>S</math>의 최소상계이며 <math>\le</math>는 완비적이다.

[[십진법]]으로 표현된 실수는 자연스럽게 코시 수열로 바꿔 나타낼 수 있다. 예를 들어 <math>\pi</math>의 십진법 표기 [[원주율|3.1415...]]는 코시 수열 <math>(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)</math>의 동치류로 해석된다. 또 [[0.999…]] = 1은 코시 수열 <math>(0.9, 0.99, 0.999, ...)</math>, <math>(1,1,1,...)</math>이 동치라는 의미로 이해할 수 있다.

유리수의 완비화에 의한 실수 구성의 장점 중 하나는, 실수에 국한되지 않고 다른 거리 공간에도 적용 가능하다는 것이다.

=== 데데킨트 절단에 의한 구성 ===
순서체 상의 [[데데킨트 절단]] <math>(A,B)</math>는, 아래로 닫혀있고 [[최대원소]]가 없는 집합 <math>A</math>와 위로 닫힌 집합 <math>B</math>로 이루어진, 순서체의 [[집합의 분할|분할]]이다. 데데킨트 절단을 실수로 두어 실수 체계를 구성할 수 있다. 데데킨트 절단 <math>(A,B)</math>는 간단히 <math>A</math>로 나타내도 되는데, 이는 <math>B</math>가 <math>A</math>에 의해서만 결정되기 때문이다. 따라서 실수를 그보다 작은 유리수 전체의 집합이라 생각할 수 있다. 자세히 말해, 실수 <math>r</math>은 아래 조건을 만족하는 <math>\mathbf{Q}</math>의 부분집합이다.<ref name="pugh">{{서적 인용
|title=Real Mathematical Analysis
|first=Charles Chapman
|last=Pugh
|language=en
|location=New York
|publisher=Springer
|year=2002
|isbn=0-387-95297-7
|pages=11&ndash;15
|url=http://books.google.com/books?id=R_ZetzxFHVwC
}}</ref>

# <math>r\ne\emptyset</math>
# <math>r\ne\mathbf{Q}</math>
# <math>r</math>은 아래로 닫혀있다. 즉, <math>x\in r</math>이고 <math>y<x</math>이면 <math>y\in r</math>이다.
# <math>r</math>은 [[최대 원소]]를 가지지 않는다. 즉, 임의의 <math>x\in r</math>에 대하여 <math>y\in r</math>이 존재하여 <math>x<y</math>

모든 실수의 집합을 <math>\mathbf{R}</math>이라 두고 그 위의 순서와 연산을 아래와 같이 구성한다.

* <math>\mathbf{R}</math> 위의 전순서: <math>x\le y\Leftrightarrow x\subseteq y</math>
* 유리수 끼워넣기: 유리수 <math>q</math>를 그보다 작은 전체 유리수의 집합 <math>\{ x\in\mathbf{Q}:x<q\}</math>으로 간주한다.<ref name="pugh" /> 이는 유리수의 [[조밀성]]에 의해 최대원소가 존재하지 않으므로 데데킨트 절단의 조건을 만족한다. 실수로서의 유리수는 원래 유리수의 성질을 보존한다.
* 덧셈: <math>A+B:=\{ a+b:a\in A,b\in B\}</math><ref name="pugh" />
* 뺄셈: <math>A-B:=\{ a-b:a\in A,b\in\mathbf{Q}\!\setminus\! B\}</math> 여기서 <math>\mathbf{Q}\!\setminus\! B</math>는 <math>\mathbf{Q}</math>에 대한 <math>B</math>의 [[차집합]]이다.
* [[반수 (수학)|반수]](덧셈의 역원)는 뺄셈의 특례이다. <math>-B:=0-B=\{a-b:a<0,b\in\mathbf{Q}\!\setminus\! B\}</math>.
* [[절댓값]]: <math>|A|:=A\cup (-A)</math>
* 곱셈:<ref name="pugh" />
** <math>A,B\ge 0</math>일 때, <math>A\times B:=\{ ab:a,b\ge 0,a\in A,b\in B\}\cup\{ x\in\mathbf{Q}:x<0\}</math>
** <math>A,B</math> 중 음수가 있을 때에는 <math>|A|\times |B|</math>에 적당한 부호를 붙인다.
* 나눗셈의 정의도 곱셈과 비슷하다.
** <math>A\ge 0,B>0</math>일 때, <math>A/B:=\{ a/b:a\in A,b\in\mathbf{Q}\setminus B\}</math>
** <math>B\ne 0</math> 또한 <math>A,B</math> 중 음수가 있을 때에는 <math>|A|/|B|</math>에 적당한 부호를 붙인다.
* 상한: <math>\mathbf{R}</math>의 상계를 가지는 부분집합 <math>S</math>는 <math>\mathbf{R}</math>에서 상한 <math>\bigcup S</math>를 가진다.

무리수를 데데킨트 절단으로 표현하는 예로, [[2의 제곱근|2의 양의 제곱근]]은 집합 <math>A=\{ x:x<0\lor x\times x<2\}</math>로 표현될 수 있다.<ref>
{{서적 인용
|language=en
|title=What is Mathematics, Really?
|first=Reuben
|last= Hersh
|location=New York
|publisher=Oxford University Press US
|year=1997
|isbn=0-19-513087-1
|pages=274
|url=http://books.google.com/books?id=R-qgdx2A5b0C
}}
</ref> <math>A</math>가 실수이며 <math>A\times A=2</math>임을 위의 정의를 통해 알 수 있다. <math>A</math>가 실수임을 증명하려면 임의의 <math>x\in A</math>에 대해 <math>y\in A</math>가 존재하여 <math>x<y</math>임을 보여야 한다. <math>y=\frac{2x+2}{x+2}</math>를 취하면 된다. <math>A\times A\le 2</math>는 자명하고, 등호의 성립을 보이려면 임의의 유리수 <math>q<2</math>에 대하여, 양의 유리수 <math>x\in A</math>가 존재하여 <math>q<x\times x</math>임을 보이면 된다.

이 구성의 장점은 임의의 실수가 유일한 하나의 절단과 대응한다는 점이다.

=== 스테빈의 구성 ===
[[십진법]]에 의한 실수의 표기는 [[시몬 스테빈]] 때부터 널리 알려졌다.<ref>Karin Usadi Katz and Mikhail G. Katz (2011) ''Stevin Numbers and Reality''. ''Foundations of Science''. {{doi|10.1007/s10699-011-9228-9}} Online First. [http://www.springerlink.com/content/14365870k67308l6/]{{깨진 링크|url=http://www.springerlink.com/content/14365870k67308l6/ }}</ref> 실수를 그의 (무한) 십진법 전개식으로 정의하고, [[0.999…]]와 1.000… 등을 같은 실수로 정의한 뒤, 실수의 연산과 순서의 정의를 더한다. 십진법에 의한 정의는 코시 열과 데데킨트 절단에 의한 것과 동치이다. 10 외의 다른 [[밑 (수학)|밑]]을 사용해도 무방하다.

이 구성의 장점은, 실수에 대한 처음의 인상과 가까우며, 함수의 급수 전개를 시사한다는 것이다. 모든 실수 모형의 동형성을 증명하는 표준적 방법은 각각의 모델에서 모든 실수의 소수 전개식을 제시하는 것이다.

=== 초실수에 의한 구성 ===
{{빈 문단}}

=== 초현실수에 의한 구성 ===
{{빈 문단}}

=== 정수 집합에 의한 구성 ===
{{빈 문단}}

== 모형 간의 동형성 ==
{{빈 문단}}

== 같이 보기 ==
* [[구성주의 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:실수]]
[[분류:구성주의 (수학)]]
[[분류:공리]]