{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[파일:Dualität.svg|섬네일|500px|오른쪽|T-이중성과 [[S-이중성]]은 서로 다른 것처럼 보이는 [[초끈 이론]]들을 서로 연관짓는다. T-이중성에 따라, ⅡA형과 ⅡB형 초끈 이론이 서로 동형이고, E<sub>8</sub>×E<sub>8</sub> [[잡종 끈 이론]]과 SO(32) [[잡종 끈 이론]]이 서로 동형이다.]]
[[끈 이론]]에서 '''T-이중성'''(T-二重性, {{llang|en|T-duality}}) 또는 '''과녁 공간 이중성'''({{llang|en|target space duality}})은 서로 다른 두 [[시공간]] (과녁 공간) 위의 [[끈 이론]]이 서로 같은 현상이다.<ref>{{저널 인용|저널=Physics Reports|권=244|쪽=77–202|연도=1994|doi=10.1016/0370-1573(94)90070-1|제목=Target space duality in string theory|이름=Amit|성=Giveona|공저자=Massimo Porratib, Eliezer Rabinovici|호=2–3|월=8|arxiv=hep-th/9401139|bibcode=1994PhR...244...77G}}</ref><ref name="AAGL">{{저널 인용|제목=An introduction to T-duality in string theory|성=Álvarez|이름=Enrique|이름2=Luis|성2= Álvarez-Gaumé|이름3= Yolanda|성3= Lozano|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=31|호=1–3|날짜=1995-04|쪽=1–20|doi=10.1016/0920-5632(95)00429-D|arxiv=hep-th/9410237|bibcode=1995NuPhS..41....1A|언어=en}}</ref><ref name="BBS">{{서적 인용|이름=Katrin|성=Becker|이름2=Melanie|성2= Becker|저자링크3=존 헨리 슈워츠|이름3=John Henry|성3= Schwarz|doi=10.2277/0511254865|제목=String Theory and M-Theory: A Modern Introduction|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0511254864|날짜=2006-12|언어=en}}</ref>{{rp|187–248}}<ref name="Polchinski1">{{서적 인용|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=String Theory, Volume 1: An introduction to the bosonic string|ISBN=978-0521633031|doi=10.2277/0521633036|출판사=Cambridge University Press|연도=1998}}</ref>{{rp|232–281}} 대략, 끈의 길이보다 아주 작은 [[차원]]은 끈의 길이보다 아주 큰 차원과 동등하다. 따라서, [[끈 이론]]에서의 시공간은 [[점입자]] 이론에서의 시공간과 근본적으로 다르고, 매우 짧은 길이와 매우 긴 길이에 대한 차이가 사라진다.

== 정의 ==
[[원기둥]]에 [[축소화]]한 [[보손 끈 이론|닫힌 보손 끈]]을 생각하자. 축소 차원의 크기가 <math>2\pi R</math>이라고 하자. 그렇다면 축소 차원에서의 [[운동량]]은 <math>1/R</math>의 단위로 [[양자화 (물리학)|양자화]]된다.
:<math>p=n/R</math>, <math>n\in\mathbb Z</math>

끈은 또한 축소 차원에 따라 (점입자와 달리) 감길 수 있다. 닫힌 끈의 경우, 축소 차원에 따라 감긴 수를 '''감음수'''({{lang|en|winding number}}) <math>w</math>라고 부른다.
[[파일:Windung von Strings.PNG|섬네일|502px|가운데|닫힌 끈의 감음수. 시계 방향으로 감기면 음수, 시계 반대 방향으로 감기면 양수로 친다.]]
그렇다면 끈의 질량은 다음과 같다.
:<math>
m^2=\frac{n^{2}}{R^{2}}+w^{2}R^{2}+2\left(N+\tilde{N}-2\right)
</math>
여기서 <math>N+\tilde N</math>은 끈의 총 진동 모드의 수다. (<math>\alpha'=1</math>로 놓자.) 따라서
:<math>R\leftrightarrow 1/R\quad n\leftrightarrow w</math>
와 같이 바꾸면 끈의 질량 스펙트럼이 같은 것을 알 수 있다. 또한 마찬가지로 끈의 상호 작용도 같다는 사실을 보일 수 있다.

[[파일:T-duality.png|섬네일|500px|가운데|끈 이론에서는 T-이중성으로 인하여 매우 작은 차원이 매우 큰 차원과 동등하다. 이는 이론의 질량 스펙트럼으로 확인할 수 있다.]]

=== 열린 끈과 D-막의 T-이중성 ===
열린 끈의 경우, [[노이만 경계 조건]]이 [[디리클레 경계 조건]]에 대응됨을 알 수 있다. 따라서 이론에 디리클레 경계조건과 [[D-막]]을 포함하여야 한다. 이에 따라, D<math>p</math>-막은 (축소화하는 방향에 따라서) D<math>p</math>-막 또는 D<math>(p-1)</math>-막에 대응된다.

=== 등각 장론의 관점 ===
T-이중성은 [[2차원 등각 장론]]의 관점에서 이미 등장한다. 가장 간단하게, 스칼라장
:<math>X \colon \Sigma \to \mathbb R/(2\pi R\mathbb Z)</math>
을 생각하자. 그렇다면, 그 [[분배 함수 (물리학)|분배 함수]]는 다음과 같은 꼴이다.<ref name="BP">{{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|이름2=Erik|성2=Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|bibcode=2009LNP...779.....B|mr=2848105|언어=en}}</ref>{{rp|124, (4.19)}}
:<math>Z_R(\tau,\bar\tau)
= \frac1{|\eta(\tau)|^2} \sum_{m,n\in\mathbb Z}
q^{\frac12(m/R+Rn/2)^2}\bar q^{-\frac12(m/R-Rn/2)^2}</math>
여기서
:<math>q = \exp(2\pi\mathrm i\tau)</math>
:<math>\bar q = \exp(2\pi\mathrm i\bar\tau)</math>
이며, <math>\eta</math>는 [[데데킨트 에타 함수]]이다. 그렇다면, 푸아송 재합 공식({{llang|en|Poisson resummation formula}})을 통하여
:<math>Z(\tau;R) = Z(\tau+1;R) = Z(-1/\tau;R) = Z(\tau;2/R)</math>
임을 보일 수 있다.<ref name="BP"/>{{rp|125, §4.2}} 물리학적으로, 처음 두 등식은 [[모듈러 군]]의 작용이며, 마지막 등식은 끈의 T-이중성을 나타낸다.

=== 여러 차원의 축소화 ===
여러 개의 차원을 [[축소화]]할 경우, T-이중성 군은 더 커진다.<ref name="BBS"/>{{rp|265–286}}<ref name="Polchinski1"/>{{rp|246–255}} <math>k</math>개의 차원을 축소화할 경우, T-이중성 군은 <math>\operatorname O(k,k,\mathbb Z)</math>이다. 이 군은 다음 성질을 만족하는 <math>2k\times2k</math> [[정사각행렬]] <math>M</math>들의 군이다.
* <math>M</math>은 [[유니모듈라 행렬]]({{llang|en|unimodular matrix}})이다. 즉, <math>M</math>의 모든 성분은 [[정수]]이며, <math>M^{-1}</math>이 존재하고, <math>M^{-1}</math>의 모든 성분도 [[정수]]이다.
* <math>M</math>은 [[계량 부호수]]가 <math>(k,k)</math>인 [[계량 텐서]]에 대한 [[직교행렬]]이다. 즉, <math>\Omega=\begin{pmatrix}
0_n&I_n\\
I_n&0_n
\end{pmatrix}</math> (<math>I_n</math>은 <math>n\times n</math> [[단위행렬]], <math>0_n</math>은 <math>n\times n</math> [[영행렬]])이면, <math>M^\top\Omega M=\Omega</math>이다.

=== 초끈 이론에서의 T-이중성 ===
초끈 이론에서는 T-이중성은 ⅡA와 ⅡB종 이론, [[잡종 끈 이론|HE와 HO 이론]]을 각각 서로 연관짓는다. 즉, 축소화의 관계는 다음과 같다.

:<math>\begin{matrix}
D=11 & \mathrm{M} \\
     & \downarrow \\
D=10 & \mathrm{IIA} & & \mathrm{IIB} & \mathrm{H}\operatorname E_8\times\operatorname E_8 & & \mathrm H\operatorname{SO}(32) \\
     & \downarrow & \swarrow &   & \downarrow & \swarrow \\
D=9  & \mathcal N=2    & &            & \mathcal N=1
\end{matrix}
</math>

Ⅰ종 끈 이론은 T-이중성 변환을 하면 [[D-막]]에 의하여 (10차원) [[푸앵카레 대칭]]이 깨지게 된다. 이 이론을 '''Ⅰ′종 이론'''({{lang|en|Type Ⅰ′}}) 또는 '''ⅠA종 이론'''({{lang|en|Type IA}})이라고 한다.<ref name="BBS"/>{{rp|224–226}}<ref name="Schwarz1999">{{서적 인용|arxiv=hep-th/9907061|bibcode=1999hep.th....7061S|doi=10.1142/9789812793850_0023|이름=John|성=Schwarz|저자링크=존 헨리 슈워츠|제목=The many faces of the superworld: Yuri Golfand memorial volume| 장=Some properties of Type Ⅰ′ string theory|쪽=388–397|출판사=World Scientific|위치=Singapore|isbn=978-981-02-4206-0 |날짜=2010-07|언어=en}}</ref> 이 이론은 ⅡA종 끈 이론에 [[오리엔티폴드]] 사영을 가한 것으로 볼 수 있다. ⅡA종 끈 이론에서는 오른쪽 및 왼쪽 모드가 서로 반대 손지기({{lang|en|chirality}})를 가지므로, 사영을 하려면 [[향 (다양체)|향]]의 반전 <math>\Omega</math>와 축소 차원에 대한 반사를 합성한 연산에 대하여 사영하여야 한다. 이에 따라 I′종 이론은 두 개의 O8<sup>−</sup>-평면을 가지고, 또한 T-이중성에 따라서 32개의 [[D-막|D8-막]]을 가진다.

T-이중성 아래, NS-NS 배경장 <math>(g,B,\Phi)</math>은 다음과 같은 '''부셔 규칙'''({{llang|en|Buscher rule}})을 통해 변환한다.<ref name="AAGL"/>{{rp|(1.0.2)}}
:<math>g_{11}'=\frac1{g_{11}}</math>
:<math>g_{1i}'=\frac{B_{1i}}{g_{11}}</math>
:<math>g_{ij}'=g_{ij} - \frac{g_{1i}g_{1j}-B_{1i}B_{1j}}{g_{11}}</math>
:<math>B_{1i}'=\frac{g_{1i}}{g_{11}}</math>
:<math>B_{ij}'=B_{ij}-\frac{g_{1i}B_{1j}-g_{1j}B_{1i}}{g_{11}}</math>
:<math>\Phi' = \Phi-\frac12\ln g_{11}</math>
여기서
* 1은 T-이중성을 취하는 방향의 좌표의 지표이며, <math>i,j</math>는 다른 방향의 좌표의 지표이다.
* <math>g</math>는 [[중력장]]이다.
* <math>B</math>는 [[캘브-라몽 장]]이다.
* <math>\Phi</math>는 [[딜라톤]]이다.

=== 위상 T-이중성 ===
{{본문|위상 T-이중성}}
보다 일반적으로, T-이중성은 원과의 곱공간 대신 원을 올로 하는 [[올다발]]에 대하여 적용될 수 있다. 이 경우 T-이중성은 서로 [[위상 동형]]이지 않을 수 있는 올다발 사이의 쌍대성을 정의한다.

== 초중력의 T-이중성 ==
초끈 이론의 저에너지 극한은 [[초중력]]이다. ⅡA 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡA 초중력이고, ⅡB 초끈 이론의 저에너지 극한은 10차원 ⅡB 초중력이다. 이 경우, T-이중성에 의하여 10차원 ⅡA 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 9차원 <math>\mathcal N=2</math> 초중력과 ⅡB 초중력을 원 위에 축소화하여 얻는 <math>\mathcal N=2</math> 초중력은 서로 같다. 즉, 비축소화 ⅡA와 ⅡB 이론들은 하나의 축소화 초중력 모듈러스 공간의 경계에 위치해 있다.

그 자세한 대응성은 다음과 같다. 10차원 ⅡA 초중력의 보손 장과 10차원 중 한 차원을 [[축소화]]하여 얻는 9차원 장들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! ⅡA 10차원 장 !! [[축소화]] 뒤 9차원 장들
|-
| [[중력장]] || 중력장, 벡터장, 스칼라장
|-
| [[캘브-라몽 장|캘브-라몽 2차 형식]] || 2차 형식, 벡터장
|-
| [[딜라톤]] || 스칼라장
|-
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 1차 형식]] || 벡터장, 스칼라장
|- 
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 3차 형식]] || 3차 형식, 2차 형식
|-
! 합계 !! 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)
|}
ⅡB 초중력의 보손 장과 이를 축소화하여 얻는 장들은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! ⅡB 10차원 장 !! [[축소화]] 뒤 9차원 장들
|-
| [[중력장]] || 중력장, 벡터장, 스칼라장
|-
| [[캘브-라몽 장|캘브-라몽 2차 형식]] || 2차 형식, 벡터장
|-
| [[딜라톤]] || 스칼라장
|-
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 0차 형식]] || 스칼라장
|-
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 2차 형식]] || 2차 형식, 벡터장
|- 
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 4차 형식]] || 3차 형식
|-
! 합계 !! 중력장, 스칼라장 (×3), 벡터장 (×3), 2차 형식 (×2), 3차 형식 (×1)
|}
(ⅡB 라몽-라몽 4차 형식의 장세기는 자기 쌍대({{llang|en|self-dual}})이므로, 축소화하면 4차 형식을 남기지 않는다.)

따라서 9차원으로 축소화하면 9차원 보손 장들의 종류와 개수가 같아지는 것을 알 수 있다.

== 역사 ==
[[오사카 대학]]의 깃카와 게이지({{llang|ja|{{ruby-ja|吉川 圭二|きっかわ けいじ}}}})와 야마사키 마사미({{llang|ja|{{ruby-ja|山崎 眞見<!--眞: 본인이 구자체를 선호 https://researchmap.jp/read0139846?lang=japanese -->|やまさき まさみ}}}})가 1984년에<ref>{{저널 인용|제목=Casimir effects in superstring theories|이름=Keiji|성= Kikkawa|이름2= Masami|성2= Yamasaki|doi=10.1016/0370-2693(84)90423-4|날짜=1984-12-20|권=149|호=4–5|쪽=357–360|저널=Physics Letters B|bibcode=1984PhLB..149..357K|언어=en}}</ref>, [[도쿄 공업대학]]의 사카이 노리스케({{llang|ja|{{ruby-ja|坂井 典佑|さかい のりすけ}}}})와 센다 이쿠오({{llang|ja|{{ruby-ja|仙田 郁夫|せんだ いくお}}}})가 1986년에<ref>{{저널 인용|저널=Progress of Theoretical Physics|권=75|호=3|연도=1986|쪽=692–705|제목=Vacuum energies of string compactified on torus|이름1=Norisuke |성1=Sakai|이름2= Ikuo|성2= Senda|doi=10.1143/PTP.75.692|bibcode=1986PThPh..75..692S|언어=en}}</ref> 초기적인 형태로 도입하였다. 토머스 헨리 부셔({{llang|en|Thomas Henry Buscher}})<ref>{{저널 인용|성=Buscher|이름=Thomas Henry|제목=Quantum corrections and extended supersymmetry in new σ-models|저널=Physics Letters B|권=159|호=2–3|날짜=1985-09-19|쪽=127-130|doi=10.1016/0370-2693(85)90870-6|bibcode=1985PhLB..159..127B}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Buscher|이름=T.H.|제목=A symmetry of the string background field equations|journal=Physics Letters B|권=194|호=1|쪽=59-62|날짜=1987-07-30|doi=10.1016/0370-2693(87)90769-6|bibcode=1987PhLB..194...59B}}</ref><ref>{{저널 인용|성=Buscher|이름=T.H.|제목=Path-integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma-models|저널=Physics Letters B|권=201|호=4|날짜=1988-02-18|쪽=466–472|doi=10.1016/0370-2693(88)90602-8|bibcode=1988PhLB..201..466B}}</ref>와 마르틴 로체크({{llang|cs|Martin Roček}}), 에리크 페터르 페를린더({{llang|nl|Erik Peter Verlinde}})<ref>{{저널 인용|이름=Martin|성=Roček|이름2=Erik Peter |성2=Verlinde|제목=Duality, quotients and currents|journal=Nuclear Physics B|권=373|호=3|쪽=630-646|날짜=1992-04-13|doi=10.1016/0550-3213(92)90269-H|arxiv=hep-th/9110053|bibcode=1992NuPhB.373..630R|언어=en}}</ref> 가 이를 개량하고 확장하였다.

오늘날에는 이와 같은 가환(Abelian) T-이중성 말고도, 이를 일반화한 비가환 T-이중성<ref>{{저널 인용|제목=Recent developments in non-Abelian T-duality in string theory|이름=Konstadinos|성=Sfetsos|날짜=2011-11|doi=10.1002/prop.201100063|저널=Fortschrifte der Physik|권=59|호=11–12|쪽=1149–1153|arxiv=1105.0537|bibcode=2011ForPh..59.1149S}}</ref>과 페르미온 T-이중성<ref>{{저널 인용|이름=Nathan|성=Berkovits|공저자=[[후안 말다세나|Juan Maldacena]]|저널=Journal of High Energy Physics|권=2008|호=9|쪽=62|날짜=2008-09-11|제목={{lang|en|Dual superconformal symmetry, and the amplitude/Wilson loop connection}}|doi=10.1088/1126-6708/2008/09/062|arxiv=0807.3196|bibcode=2008JHEP...09..062B}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Fermionic T-duality: a snapshot review|이름=Eoin|성=Ó Colgáin|날짜=2012-11-20|arxiv=1210.5588|bibcode=2012IJMPA..2730032O|doi=10.1142/S0217751X12300323|저널=International Journal of Modern Physics A: Particles and fields, gravitation, cosmology|권=27|호=29|쪽=1230032|언어=en}}</ref>이 알려져 있다. 또한, [[거울 대칭]]도 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0550-3213(96)00434-8|arxiv=hep-th/9606040|bibcode=1996NuPhB.479..243S|이름=Andrew|성=Strominger|저자링크=앤드루 스트로민저|이름2=Shing-Tung|성2=Yau|저자링크2=야우싱퉁|이름3=Eric|성3=Zaslow|저널=Nuclear Physics B|권=479|호=1–2|날짜=1996-11-11|쪽=243–259|제목=Mirror symmetry is ''T''-duality|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[S-이중성]]
* [[거울 대칭]]
* [[AdS/CFT 대응성]]
* [[이중 장론]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://damtp.cam.ac.uk/user/tong/talks/qgeom.pdf|이름=David|성=Tong|날짜=2007-02-19|제목=Quantum geometry: What the string saw|형식=PDF}} ([[케임브리지 대학교]] 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
* {{웹 인용|url=http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/MaximeGabella/T-duality.pdf|이름=Maxime|성=Gabella|제목=Topics in T-duality|연도=2008|확인날짜=2013-01-06|보존url=https://web.archive.org/web/20160308000113/http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/people/MaximeGabella/T-duality.pdf|보존날짜=2016-03-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/D-branes.pdf|이름=Xi|성=Yin|제목=Notes on D-branes and dualities|확인날짜=2013-01-06|보존url=https://web.archive.org/web/20080830002031/http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/D-branes.pdf#|보존날짜=2008-08-30|url-status=dead}}
* {{nlab|id=T-duality}}

[[분류:끈 이론]]
[[분류:양자장론]]