{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''뇌터 환'''(Noether環, {{llang|en|Noetherian ring}})은 [[아이디얼]]들이 [[오름 사슬 조건]]을 만족하는 [[환 (수학)|환]]이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 [[다항식환]]처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

== 정의 ==
=== 뇌터 가군 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>의 [[부분 대상]]들의 [[부분 순서 집합]] <math>\operatorname{Sub}(X)</math>가 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다면, <math>X</math>를 '''뇌터 대상'''({{llang|en|Noetherian object}})이라고 한다.<ref name="Faith">{{서적 인용|제목=Algebra: rings, modules, and categories I|이름=Carl|성=Faith|총서= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권=190|날짜=1973|isbn= 978-3-642-80636-0|doi=10.1007/978-3-642-80634-6|issn=0072-7830|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|146}}

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''왼쪽 뇌터 가군'''({{llang|en|left Noetherian module}})이라고 한다.
* <math>M</math>은 [[왼쪽 가군]] [[범주 (수학)|범주]] <math>_R\operatorname{Mod}</math> 속의 뇌터 대상이다. 즉, <math>M</math>의 [[부분 가군]]들의 [[격자 (순서론)|격자]] <math>\operatorname{Sub}(M)</math>가 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다.<ref name="Lam"/>{{rp|20}}
* <math>M</math>의 모든 [[부분 가군]]이 [[유한 생성 가군]]이다. 즉, 임의의 부분 가군 <math>N\subseteq M</math>에 대하여 <math>N=Rm_1+\cdots+Rm_k</math>인 <math>m_1,\dots,m_k\in M</math>이 존재한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|20, (1.18)}}
'''오른쪽 뇌터 가군'''({{llang|en|right Noetherian module}}) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 [[오른쪽 가군]]으로 정의할 수 있다.

[[가환환]] 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

=== 뇌터 환 ===
환 <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''왼쪽 뇌터 환'''({{llang|en|left Noetherian ring}})이라고 한다.
* <math>_RR</math>는 뇌터 [[왼쪽 가군]]이다. (즉, [[왼쪽 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]]은 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다. 또는, 모든 [[왼쪽 아이디얼]]은 유한 생성 아이디얼이다.)
* 모든 <math>R</math>-[[유한 생성 왼쪽 가군]]은 뇌터 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|21, Proposition 1.21}}
* <math>R</math>-[[왼쪽 아이디얼]]들로 구성된, [[공집합]]이 아닌 임의의 [[집합]]은 ([[부분 집합]] 관계에 대하여) 적어도 하나 이상의 [[극대 원소]]를 갖는다.<ref name="Lam"/>{{rp|19}}
* (배스-파프 정리 {{llang|en|Bass–Papp theorem}}) <math>R</math>의 [[단사 왼쪽 가군]]들의 [[귀납적 극한]]은 단사 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam-module">{{서적 인용 | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999|언어=en}}</ref>{{rp|80–81, Theorem 3.46}}
* (배스-파프 정리) <math>R</math>의 [[단사 왼쪽 가군]]들의 임의의 (무한 또는 유한) [[직합]]은 단사 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam-module"/>{{rp|80–81, Theorem 3.46}}
* (배스-파프 정리) <math>R</math>의 [[가산 집합|가산]] 개의 [[단사 왼쪽 가군]]들의 [[직합]]은 단사 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam-module"/>{{rp|80–81, Theorem 3.46}}
마찬가지로 '''오른쪽 뇌터 환'''({{llang|en|right Noetherian ring}})을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 '''(양쪽) 뇌터 환'''({{llang|en|(two-sided) Noetherian ring}})이라고 한다.

[[가환환]]의 경우, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''뇌터 가환환'''({{llang|en|Noetherian commutative ring}})이라고 한다.
* 왼쪽 뇌터 환이다.
* 오른쪽 뇌터 환이다.
* 양쪽 뇌터 환이다.
* 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>는 뇌터 스킴이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|83, Proposition II.3.2}}
* 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>는 국소 뇌터 스킴이다.
* (코언 정리 {{llang|en|Cohen’s theorem}}) 모든 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>이 유한 생성 아이디얼이다.<ref>{{저널 인용|이름=Irvin Sol|성=Cohen|제목=Commutative rings with restricted minimum condition|저널=Duke Mathematical Journal|권=17|호=1|쪽=27–42|날짜=1950|doi=10.1215/S0012-7094-50-01704-2|mr=0033276|zbl=0041.36408|issn=0012-7094|언어=en}}</ref>

=== 뇌터 스킴 ===
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''국소 뇌터 스킴'''(局所-, {{llang|en|locally Noetherian scheme}})이라고 한다.
*  뇌터 가환환들의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]들로 구성된 [[열린 덮개]]가 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|83}}
* 모든 아핀 [[열린집합]]은 뇌터 가환환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|83, Proposition II.3.2}}<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2016-05-10
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|58, Exercise 2.3.16}}

스킴 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''뇌터 스킴'''({{llang|en|Noetherian scheme}})이라고 한다.
* 뇌터 가환환들의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]으로 구성된 유한 [[열린 덮개]]가 존재한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|83}}
* 국소 뇌터 스킴이며, ([[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서) [[콤팩트 공간]]이다.

== 성질 ==
=== 뇌터 가군의 성질 ===
환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math> 및 그 부분 가군 <math>N\subseteq M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|20, (1.20)}}
* <math>M</math>이 뇌터 가군이다.
* <math>N</math>과 <math>M/N</math> 둘 다 뇌터 가군이다.
([[아르틴 가군]]에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환 <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|20, (1.19)}}
* <math>M</math>은 뇌터 가군이자 [[아르틴 가군]]이다.
* <math>M</math>은 유한한 길이의 [[합성열]]을 갖는다. 즉, <math>M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M</math>이 존재하며, <math>M_i/M_{i-1}</math>은 모두 [[단순 가군]]이다.
특히, [[유한 집합]]인 가군은 항상 뇌터 가군이자 [[아르틴 가군]]이다.

=== 뇌터 환의 성질 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:[[유한환]] ⊊ [[왼쪽 아르틴 환]] ⊊ 왼쪽 뇌터 환
:[[유한환]] ⊊ [[오른쪽 아르틴 환]] ⊊ 오른쪽 뇌터 환

만약 <math>R</math>가 왼쪽 뇌터 환이라면, 다음 환들 역시 왼쪽 뇌터 환이다.
* ([[힐베르트 기저 정리]]) 유한 개의 변수에 대한 [[다항식환]] <math>R[x_1,x_2,\dots,x_k]</math>
* 임의의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak a\vartriangleleft R</math>에 대하여, [[몫환]] <math>R/\mathfrak a</math>

만약 <math>R</math>가 뇌터 가환환이라면, 다음 [[가환환]]들 역시 뇌터 가환환이다.
* [[형식적 멱급수환]] <math>R[[x_1,x_2,\dots,x_k]]</math>
* 임의의 곱셈 [[모노이드]] <math>S\subseteq R</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>S^{-1}R</math>

[[환 (수학)|환]] <math>S</math>의 [[부분환]] <math>R\subseteq S</math>가 주어졌으며, <math>R</math>가 [[가환환]]이며, <math>_RS</math>가 <math>R</math>-[[유한 생성 왼쪽 가군]]이라고 하자. 그렇다면 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>가 왼쪽 뇌터 환이다.
* <math>R</math>가 뇌터 환이다.
그러나 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이 아니라면 이는 성립하지 않을 수 있다.

뇌터 가환환의 경우, [[크룰 높이 정리]]가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 [[소 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]]은 [[내림 사슬 조건]]을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

=== 뇌터 스킴의 성질 ===
국소 뇌터 스킴의 [[줄기 (수학)|줄기]]는 모두 뇌터 [[국소환]]이다.<ref name="Liu"/>{{rp|55, Proposition 2.3.46(a)}} (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 [[구조층]]은 (스스로 위의 [[가군층]]으로서) [[연접층]]이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 [[준분리 스킴]]이다 (즉, 국소 뇌터 스킴 <math>X</math>에 대하여, 유일한 [[스킴 사상]] <math>X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z</math>는 [[준분리 사상]]이다).

뇌터 스킴은 [[뇌터 공간]]이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

<math>X</math>가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.
* <math>X</math> 위의 [[국소 유한형 사상|국소 유한형]] 스킴 <math>Y\to X</math>
* <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]
* <math>X</math>의 [[열린 부분 스킴]]

<math>X</math>가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.
* <math>X</math> 위의 [[유한형 사상|유한형]] 스킴 <math>Y\to X</math><ref name="Liu"/>{{rp|96, Exercise 3.2.1}}
* <math>X</math>의 [[닫힌 부분 스킴]]<ref name="Liu"/>{{rp|55, Proposition 2.3.46(a)}}
* <math>X</math>의 [[열린 부분 스킴]]<ref name="Liu"/>{{rp|55, Proposition 2.3.46(a)}}
특히, [[체 (수학)|체]] 위의 [[대수다양체]]는 뇌터 스킴이다.

== 예 ==
모든 [[데데킨트 정역]]은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 [[주 아이디얼 정역]], [[유클리드 정역]], [[체 (수학)|체]], [[이산 값매김환]]은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 [[정칙 국소환]]은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 [[유일 인수 분해 정역]]이나 뇌터 환이 아닌 [[값매김환]]이 존재한다.

=== 뇌터 벡터 공간 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 가군([[벡터 공간]])의 경우 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 뇌터 가군이다.
* [[아르틴 가군]]이다.
* 유한 차원 [[벡터 공간]]이다.

=== 뇌터 군환 ===
임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여, [[군환]] <math>R[G]</math>를 생각하자. 이는 [[환 (수학)|환]]을 이루며, 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면 <math>R</math>-[[결합 대수]]를 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>R[G]</math>는 왼쪽 뇌터 환이다.
* <math>R[G]</math>는 오른쪽 뇌터 환이다.
이는 [[가환환]] 위의 [[군환]]의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이 <math>R</math>-[[결합 대수]] [[준동형]]
:<math>R[G]\to R[G]^{\operatorname{op}}</math>
:<math>g\mapsto g^{-1}\qquad(\forall g\in G)</math>
에 따라 [[일대일 대응]]하기 때문이다. 임의의 [[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>R[G]</math>가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면, <math>R</math>는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며, <math>G</math>는 [[뇌터 군]]이다. 반대로, 만약 <math>R</math>가 뇌터 가환환이며, <math>G</math>가 [[뇌터 군|뇌터]] [[가해군]]의 [[유한군]]에 의한 [[군의 확대|확대]]라면, <math>R[G]</math>는 양쪽 뇌터 환이다. 일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 [[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 존재한다.<ref name="Ol’shanskiĭ">{{서적 인용
|성1=Ol’shanskiĭ
|이름1=Aleksandr Yur’evich
|제목=Geometry of defining relations in groups
|번역자-성=Bakhturin
|번역자-이름=Yu. A.
|언어=en
|총서=Mathematics and Its Applications. Soviet Series
|권=70
|출판사=Kluwer Academic Publishers
|위치=Dordrecht
|날짜=1991
|isbn=978-0-7923-1394-6
|issn=0169-6378
|doi=10.1007/978-94-011-3618-1
|mr=1191619
|zbl=0732.20019
}}</ref>{{rp|423, Theorem 38.1}}
* <math>G</math>는 [[뇌터 군]]이다.
* 임의의 뇌터 가환환 <math>R</math>에 대하여, <math>R[G]</math>는 양쪽 뇌터 환이 아니다.
{{증명|부제=뇌터 군환의 환과 군의 뇌터성}}
<math>R</math>가 [[환 (수학)|환]], <math>G</math>가 [[군 (수학)|군]]이며, <math>R[G]</math>가 그 [[군환]]이라고 하자. 엄격하게 상승하는 <math>R</math>의 왼쪽 [[아이디얼]]들의 열
:<math>\mathfrak a_0\subsetneq\mathfrak a_1\subsetneq\mathfrak a_2\subsetneq\cdots</math>
이 주어졌을 때,
:<math>\mathfrak a_0[G]\subsetneq\mathfrak a_1[G]\subsetneq\mathfrak a_2[G]\subsetneq\cdots</math>
는 엄격하게 상승하는 <math>R[G]</math>의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 만약
:<math>H_0\subsetneq H_1\subsetneq H_2\subsetneq\cdots</math>
가 엄격하게 상승하는 <math>G</math>의 [[부분군]]들의 열이라면,
:<math>\mathfrak b_0\subsetneq\mathfrak b_1\subsetneq\mathfrak b_2\subsetneq\cdots</math>
:<math>\mathfrak b_i=\left\{\sum_{g\in G}r_gg\in R[G]\colon\forall gH_i\in G/H_i\colon\sum_{h\in gH_i}r_h=0\right\}</math>
는 엄격하게 상승하는 <math>R[G]</math>의 왼쪽 아이디얼들의 열이다. 따라서, 만약 <math>R[G]</math>가 왼쪽 뇌터 환이라면, <math>R</math>는 엄격하게 상승하는 왼쪽 아이디얼들의 열을 갖지 않으며, <math>G</math>는 엄격하게 상승하는 부분군들의 열을 갖지 않는다. 즉, <math>R</math>는 왼쪽 뇌터 환이며, <math>G</math>는 [[뇌터 군]]이다.
{{증명 끝}}

=== 오른쪽 뇌터 환이 아닌 왼쪽 뇌터 환 ===
무한 차수의 [[체의 확대]]
:<math>L/K</math>
:<math>\dim_KL\ge\aleph_0</math>
가 주어졌다고 하자. (예를 들어, <math>L/K=\mathbb R/\mathbb Q</math>를 잡을 수 있다.) 그렇다면 [[삼각환]]
:<math>\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}</math>
를 생각하자. 이는 왼쪽 뇌터 환이자 [[왼쪽 아르틴 환]]이지만, 오른쪽 뇌터 환이나 [[오른쪽 아르틴 환]]이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|22, Corollary 1.24}}

=== 뇌터 환의 부분환인 비뇌터 환 ===
<math>D</math>가 뇌터 환이 아닌 임의의 [[정역]]이라고 하자. 그렇다면, 그 [[분수체]] <math>\operatorname{Frac}(D)</math>는 ([[체 (수학)|체]]이므로) 뇌터 환이며, <math>D</math>는 그 [[부분환]]이다.

[[삼각환]] <math>R=(\begin{smallmatrix}\mathbb Z&\mathbb Q\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})</math>은 오른쪽 뇌터 환이며, 양쪽 뇌터 환 <math>S=(\begin{smallmatrix}\mathbb Q&\mathbb Q\\0&\mathbb Q\end{smallmatrix})</math>의 부분환이지만, 왼쪽 뇌터 환이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|20, Corollary 1.23}})

=== 뇌터 조건의 비국소성 ===
임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa\ge\aleph_0</math>에 대한 [[직접곱]] <math>R=\mathbb F_2^\kappa</math>을 생각하자. 이는 뇌터 환이 아니다. 반면, 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에서의 [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}\cong\mathbb F_2</math>는 뇌터 환이다.

== 역사 ==
[[에미 뇌터]]는 1921년 논문<ref>{{저널 인용|이름=Emmy|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|날짜=1921|제목=Idealtheorie in Ringbereichen|저널=Mathematische Annalen|권=83|호=1–2|쪽=24–66|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|doi=10.1007/BF01464225|issn=0025-5831|언어=de|확인날짜=2015-04-16|보존url=https://web.archive.org/web/20150712144807/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002267829|보존날짜=2015-07-12|url-status=dead}}</ref>에서 환의 아이디얼의 [[오름 사슬 조건]]을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

== 같이 보기 ==
* [[뇌터 스킴]]
* [[아르틴 환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Noetherian ring}}
* {{eom|title=Noetherian module}}
* {{eom|title=Noetherian scheme}}
* {{매스월드|id=NoetherianRing|title=Noetherian ring}}
* {{매스월드|id=NoetherianModule|title=Noetherian module}}
* {{nlab|id=noetherian ring|title=Noetherian ring}}
* {{nlab|id=noetherian module|title=Noetherian module}}
* {{nlab|id=noetherian scheme|title=Noetherian scheme}}
* {{nlab|id=noetherian object|title=Noetherian object}}
* {{nlab|id=noetherian category|title=Noetherian category}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Noetherian_ring|제목=Noetherian ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Noetherian_domain|제목=Noetherian domain|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/뇌터_환|제목=뇌터 환|웹사이트=오메가|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.mathwiki.net/%EB%87%8C%ED%84%B0_%ED%99%98 }}
* {{웹 인용|url=http://www.mathwiki.net/뇌터_가군|제목=뇌터 가군|웹사이트=오메가|언어=ko}}{{깨진 링크|url=http://www.mathwiki.net/%EB%87%8C%ED%84%B0_%EA%B0%80%EA%B5%B0 }}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2009/11/28/the-noetherian-condition-as-compactness/|제목=The Noetherian condition as compactness|이름=Qiaochu|성=Yuan|날짜=2009-11-28|웹사이트=Annoying Precision|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://deltaepsilons.wordpress.com/2009/08/09/how-to-tell-if-a-ring-is-noetherian/|제목=How to tell if a ring is Noetherian|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2009-08-09|웹사이트=Delta Epsilons|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://deltaepsilons.wordpress.com/2009/08/11/integrality-invariant-theory-for-finite-groups-and-more-tools-for-noetherian-testing/|제목=Integrality, invariant theory for finite groups, and more tools for Noetherian testing|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2009-08-11|웹사이트=Delta Epsilons|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://deltaepsilons.wordpress.com/2009/08/13/a-prime-ideal-criterion-for-being-noetherian/|제목=A prime ideal criterion for being Noetherian|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2009-08-13|웹사이트=Delta Epsilons|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/34620/when-is-an-irreducible-scheme-quasi-compact|제목=When is an irreducible scheme quasi-compact?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:환론]]