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'''초월수론'''은 [[초월수]] ( [[유리수|유리]] [[계수]] [[다항 방정식]]의 해가 아닌 수)를 정성적, 정량적 방법으로 연구하는 [[수론]]의 한 분야이다.

== 초월성 ==
[[대수학의 기본 정리]]에 따르면 유리 계수를 갖는 비 상수 [[다항식]] (또는 동등하게 [[정수]] 계수를 갖는 다항식)은 [[복소수|복소]][[근 (수학)|해를]] 가진다. 즉, 상수가 아닌 유리 계수 다항식<math>P</math>에 대해서 <math>P(\alpha)=0</math>를 만족하는 복소수<math>\alpha</math>가 언제나 존재한다. 초월수론은 다음의 역 질문과 관련이 있다. 임의의 복소수<math>\alpha</math>가 주어진 경우, <math>P(\alpha)=0</math>를 만족하는 유리 계수 다항식<math>P</math>가 존재하는가? 그러한 다항식이 존재하지 않으면 그러한 수<math>\alpha</math>를 초월수라고 한다.

더 일반적으로 이 이론은 숫자들의 [[대수적 독립 집합|대수적 독립성]]을 다룬다.  [[체 (수학)|숫자]] 집합<math>\{ \alpha_1, \dots,\alpha_{n} \}</math>는 ''K''  계수 ''n'' 변수의 0이 아닌 다항식 ''P'' 가 없고 ''P'' (α <sub>1</sub>, α <sub>2</sub>, …, α <sub>''n''</sub> ) = 0인 경우 [[체 (수학)|체]]''K'' 에 대해 [[대수적 독립]]이라고 한다. 따라서 주어진 숫자가 [[초월수]]인지 아닌지 알아내는 것은 체 ''K'' 는 [[유리수체]]이고, ''n=&#x2009;1''인 [[대수적 독립]]의 특수한 경우이다.

이와 관련된 개념으로는 지수, 로그, 대수 연산을 포함하여 숫자에 대한 [[폐쇄형 표현|폐쇄형 표현식]]이 있는지 여부가 있다. "폐쇄형"에 대한 정의는 다양하며, 폐쇄형에 대한 질문은 종종 초월성에 대한 질문으로 축소될 수 있다.

== 역사 ==

=== 유리수에 의한 근사: Liouville에서 Roth까지 ===
대수적이지 않은 대상을 지칭하기 위해 ''초월적''이라는 용어를 사용하는 것은 17세기로 거슬러 올라가는데, 그때 [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠|고트프리트 라이프니츠]]가 [[사인함수|사인 함수]]가 [[대수함수|대수 함수]]가 아니라는 것을 증명했다.<ref>N. Bourbaki, ''Elements of the History of Mathematics'' Springer (1994).</ref> 어떤 종류의 수들이 초월수일 수 있는지에 대한 질문은 1748년으로 거슬러 올라가는데<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Gelfond|1960|p=2}}.</ref> 당시 [[레온하르트 오일러|오일러]]는 유리수 ''b''가 어떤 유리수 ''a'' 와 ''c''에 대해 <math>b=a^{c}</math>의 형태가 아닌 한 log <sub>''a''</sub> ''b'' 라는 수는 [[유리수]] ''a''와 ''b'' 에 대해 [[대수적 수|대수적]]이지 않다고 주장했다.<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ|제목=Introductio in analysin infinitorum|성=Euler|이름=L.|연도=1748|위치=Lausanne}}</ref>

오일러의 주장은 20세기까지 증명되지 않았지만 그의 주장 후 거의 100년 후에 [[조제프 리우빌|조제프 리우빌(Joseph Liouville)]]은 대수적이지 않은 숫자의 존재를 증명했는데, 이는 그때까지 확실히 알려지지 않았던 사실이었다.<ref>The existence proof based on the different [[cardinalities]] of the [[Real number|real]] and the [[Algebraic number|algebraic]] numbers was not possible before [[Cantor's first set theory article]] in 1874.</ref> 1840년대에 이 문제에 관해 쓴 원래 논문에서는 [[연분수|연분수를]] 사용하여 초월수를 구성하는 주장을 개략적으로 설명했다. 그 후 1850년대에 그는 숫자가 대수적일 수 있는 [[필요조건과 충분조건|필요조건]]을 제시했으며, 따라서 숫자가 초월적일 수 있는 충분조건도 제시했다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques|저널=Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris|성=Liouville|이름=J.|연도=1844|권=18|쪽=[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2977n/f883.image 883–885], [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2977n/f910.image 910–911]}}; ''Journal Math. Pures et Appl.'' '''16''', (1851), pp.133–142.</ref> 이 초월성 기준은 충분히 강하지 않아서 필요한 것은 아니며, 실제로 숫자 [[자연로그의 밑|''e'']]가 초월수라는 사실을 증명하지 못한다. 그러나 그의 연구는 광범위한 초월수들의 집합을 제시했으며, 이는 그의 명예를 기리기 위해 [[리우빌 수]]로 알려져 있다.

리우빌의 기준은 본질적으로 대수적 수가 유리수에 의해 잘 근사될 수 없다는 것을 말한다. 그러므로 어떤 수가 유리수에 의해 아주 잘 근사될 수 있다면 그 수는 초월수여야 한다. 리우빌의 작업에서 "매우 잘 근사화됨"의 정확한 의미는 특정 지수와 관련이 있다. 그는 α가 2보다 큰 ''d'' 차의 [[대수적 수]]이고, ε가 임의의 양수이면 다음의 부등호 표현:

: <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{d+\varepsilon}}</math>

이 오직 유한개의 유리수 ''p'' / ''q'' 들에 의해서만 만족될 수 있다는 것을 보였다. 이것을 이용하여 초월성을 판별하는 것은 쉽지 않다. 왜냐하면 2보다 큰 어떠한 ''d'' 에 대해서도 무한히 많은 유리수 ''p'' / ''q'' 들이 있는지 확인해야 하기 때문이다. (''d'' 가 커짐에 따라 우변이 감소한다는 것에 주의하라.)

20세기에 [[악셀 투에|악셀 투에(Axel Thue)]]<ref>{{저널 인용|제목=Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen|저널=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]|성=Thue|이름=A.|연도=1909|권=1909|호=135|쪽=284–305|doi=10.1515/crll.1909.135.284}}</ref>,, [[카를 루트비히 지겔|카를 루트비히 지겔(Carl Siegel)]]<ref>{{저널 인용|제목=Approximation algebraischer Zahlen|저널=[[Mathematische Zeitschrift]]|성=Siegel|이름=C. L.|url=https://zenodo.org/record/1538156|연도=1921|권=10|호=3–4|쪽=172–213|doi=10.1007/BF01211608}}</ref> 및 [[클라우스 로스|클라우스 로스(Klaus Roth)]]<ref>{{저널 인용|제목=Rational approximations to algebraic numbers|저널=[[Mathematika]]|성=Roth|이름=K. F.|연도=1955|권=2|호=1|쪽=1–20|doi=10.1112/S0025579300000644}} And "Corrigendum", p. 168, {{Doi|10.1112/S002559300000826}}.</ref>의 연구는 Liouville의 작업에서 지수를 ''d''+ε 에서 ''d'' /2+1+ε로 그리고 마지막으로 1955년에 2+ε로 축소했다. [[Thue–Siegel–Roth 정리]]로 알려진 이 결과는 지수 2+ε를 2로만 바꾸면 결과는 더 이상 사실이 아니므로 (반례가 존재한다.) 이런 종류의 지수에서 얻을 수 있는 가장 좋은 결과이다. 그러나 [[서지 랭|서지 랭(Serge Lang)]]은 Roth의 결과가 개선될 것이라고 추측했다. 특히 그는 우변 분모의 ''q'' <sup>2+ε</sup>가 <math>q^{2}(\log q)^{1+ \epsilon}</math>으로 축소될 수 있다고 추측했다.

로스의 연구는 리우빌이 시작한 연구를 효과적으로 마무리지었고, 그의 정리를 통해 수학자들은 [[챔퍼나운 수|챔퍼나운 상수(Champernowne constant)]]를 비롯한 더 많은 숫자의 초월성을 증명할 수 있었다. 하지만 이 정리는 아직 ''모든'' 초월수를 감지할 만큼 강력하지 않으며 ''e'' 와 π를 포함한 많은 유명 상수는 위의 의미에서 아주 잘 근사될 수 없거나 그렇다고 알려져 있지 않다.<ref>{{저널 인용|제목=On the approximation of π|저널=Proc. Akad. Wetensch. Ser. A|성=Mahler|이름=K.|연도=1953|권=56|쪽=30–42}}</ref>

=== 보조 함수들: 에르미트에서 베이커까지 ===
다행히도 19세기에 ''e'' 의 대수적 속성을 다루고, 결과적으로 [[오일러 항등식]]을 통해 π의 속성을 다루는 다른 방법이 개척되었다. 이 작업은 소위 [[보조함수|보조 함수]]의 사용에 중점을 두었다. 이는 일반적으로  고려 대상 영역에 많은 0을 가지는 있는 [[함수]]이다. 여기서 "많은 0"은 서로 다른 많은 0을 의미할 수도 있고, 적은 수의 0이 있지만 높은 [[중복도]]를 가질 수도 있으며, 심지어 높은 중복도를 가진 많은 0을 의미할 수도 있다. [[샤를 에르미트|에르미트(Charles Hermite)]]는 1873년에 <math>e</math>의 초월성을 증명하기 위해 각 [[자연수]] <math>k</math>에 대하여 <math>e^{kx}</math>를 근사하는 보조 함수들을 사용했다.<ref>{{저널 인용|제목=Sur la fonction exponentielle|저널=C. R. Acad. Sci. Paris|성=Hermite|이름=C.|연도=1873|권=77}}</ref> 그의 작업은 1880년대에 [[페르디난트 폰 린데만|린데만(Ferdinand von Lindemann)]]<ref>{{저널 인용|제목=Ueber die Zahl π|저널=[[Mathematische Annalen]]|성=Lindemann|이름=F.|url=https://zenodo.org/record/1428234|연도=1882|권=20|호=2|쪽=213–225|doi=10.1007/BF01446522}}</ref>에 의해 0이 아닌 대수적 수α에 대해 ''e'' <sup>α</sup> 가 초월적임을 증명하면서 발전되었다. 특히 이것은 ''e'' <sup>π ''i''</sup>=-1 가 대수적이므로 π 가 초월적임을 증명했고, 따라서 원을 정사각형화할 수 있는지([[원적 문제]])에 대한 [[컴퍼스와 자 작도|고대의 문제]]에 대해 부정적으로 답했다. [[카를 바이어슈트라스|카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)]]는 그들의 작업을 더욱 발전시켜 결국 1885년에 [[린데만-바이어슈트라스 정리|Lindemann–Weierstrass 정리]]를 증명했다.<ref>{{저널 인용|제목=Zu Hrn. Lindemann's Abhandlung: 'Über die Ludolph'sche Zahl'|저널=Sitzungber. Königl. Preuss. Akad. Wissensch. Zu Berlin|성=Weierstrass|이름=K.|연도=1885|권=2|쪽=1067–1086}}</ref>

1900년에 [[다비트 힐베르트|다비트 힐버트]]는 그의 유명한 [[힐베르트 문제|23가지 문제]]들을 제시했다. 이 중 일곱 번째 문제는 힐베르트의 추정으로 가장 어려운 것 중 하나이었는데, ''a'', ''b'' 가 대수적 수이고, ''a'' 는 0이나 1이 아니며, ''b는'' [[무리수]]일 때 ''a'' <sup>''b''</sup> 형태의 수의 초월성에 관한 것이다. 1930년대에 [[알렉산드르 겔폰트|알렉산드르 겔폰트(Alexander Gelfond)]]<ref>{{저널 인용|제목=Sur le septième Problème de D. Hilbert|저널=Izv. Akad. Nauk SSSR|성=Gelfond|이름=A. O.|연도=1934|권=7|쪽=623–630}}</ref>와 [[테오도어 슈나이더|테오도어 슈나이더(Theodor Schneider)]]<ref>{{저널 인용|제목=Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen|저널=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|성=Schneider|이름=T.|연도=1935|권=1935|호=172|쪽=65–69|doi=10.1515/crll.1935.172.65}}</ref> [[Siegel의 보조정리]]에 의해 존재가 보장되는 비명시적 보조 함수를 사용하여 이러한 모든 숫자가 실제로 초월적임을 증명했다. 이 결과, [[겔폰트-슈나이더 정리]]는 <math>e^{\pi}</math>와 [[겔폰트-슈나이더 상수]]와 같은 숫자의 초월성을 증명했다.

이 분야에서 다음으로 큰 성과는 1960년대에 일어났는데, [[앨런 베이커|앨런 베이커(Alan Baker)]]가 겔폰트가 제기한 [[로그의 선형 결합]]에 관한 문제에 진전을 이루었을 때였다. 겔폰트 자신은 다음 값에 대한 비자명한 하한까지 찾는 데 성공했었다.

: <math>|\beta_1\log\alpha_1 +\beta_2\log\alpha_2|\,</math>

여기서 4개의 미지수는 모두 대수적이며, α는 0도 1도 아니고 β는 무리수이다. 하지만 겔폰트는 세 개 이상의 대수의 합에 대해서는 비슷한 하한을 찾지 못했다. [[베이커의 정리|베이커 정리]]의 증명에는 그러한 하한이 포함되어 있었고, 이 과정에서 유수 1에 대한 가우스의 [[학급 수 문제|유수 문제]]가 해결되었다. 이 연구는 [[디오판토스 방정식]]을 푸는 데에도 활용되어 베이커에게 [[필즈상|필즈 메달]]을 안겨주었다. 순전히 초월수론적 관점에서, 베이커는 다음의 명제를 증명했다. <math>\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n}</math>는 0이나 1이 대수적 수이며, <math>\beta_{1}, \dots, \beta_{n}</math>은 1, <math>\beta_{1}, \dots, \beta_{n}</math>가 유리수체에 대해 [[일차 독립 집합|선형 독립]]인 대수적 수이라고 하자. 그 때 다음 수는 초월수이다.<ref>A. Baker, ''Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. I, II, III'', Mathematika '''13''' ,(1966), pp.204–216; ibid. '''14''', (1967), pp.102–107; ibid. '''14''', (1967), pp.220–228, {{MathSciNet|id=0220680}}</ref>

: <math>\alpha_1^{\beta_1}\alpha_2^{\beta_2}\cdots\alpha_n^{\beta_n}</math>

=== 기타 기술: 칸토어(Cantor) 및 Zilber ===
1870년대에 [[게오르크 칸토어|Georg Cantor]]는 [[집합론]]을 발전시키기 시작했고, 1874년에 대수적 수의 집합이 [[자연수]] 집합과 [[전단사 함수|일대일 대응]] 될 수 있고, 따라서 초월수 집합은 [[비가산]]이어야 한다는 것을 증명하는 논문을 발표했다.<ref>{{저널 인용|제목=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen|저널=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]]|성=Cantor|이름=G.|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=266194|연도=1874|권=1874|호=77|쪽=258–262|언어=de|doi=10.1515/crll.1874.77.258}}</ref> 나중에 1891년에 칸토어는 그의 더 익숙한 [[대각선 논법|대각선 논증]]을 사용하여 같은 결과를 증명했다.<ref>{{저널 인용|제목=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre|저널=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|성=Cantor|이름=G.|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910|연도=1891|권=1|쪽=75–78|언어=de}}</ref> 칸토어의 결과는 비구성적인 증명이므로 초월수를 구성하는 데 사용할 수 없다고 종종 인용되지만<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/mathematicslogic0000kacm|제목=Mathematics and Logic|성=Kac|이름=M.|성2=Stanislaw|이름2=U.|연도=1968|출판사=Fredering A. Praeger|쪽=[https://archive.org/details/mathematicslogic0000kacm/page/13 13]}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Men of Mathematics|성=Bell|이름=E. T.|연도=1937|출판사=Simon & Schuster|위치=New York|쪽=[https://archive.org/details/menofmathematics0041bell/page/569 569]}}</ref> 앞서 언급한 두 논문의 증명은 초월수를 구성하는 방법을 제시한다.<ref>{{저널 인용|제목=Georg Cantor and Transcendental Numbers|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Gray|이름=R.|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|연도=1994|권=101|호=9|쪽=819–832|doi=10.1080/00029890.1994.11997035|jstor=2975129|access-date=2024-08-13|archive-date=2022-04-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20220416183012/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gray819-832.pdf|url-status=}}</ref>

칸토어가 초월수 집합의 충만함을 증명하기 위해 집합론을 사용한 반면, 최근 발전의 경우, 초월수론의 [[미해결 문제 목록|미해결 문제]]를 증명하기 위해 [[모형 이론]]을 사용하려는 시도가 있다. 그 미해결 문제는 유리수체 위 선형적으로 독립인 복소수 <math>x_1, \dots ,x_{n} </math> 들에 대해, 다음 체의 [[초월 확대|초월 차수]]를 결정하는 것이다.

: <math>K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n})</math>

[[스티븐 섀뉴얼|스티븐 섀뉴얼(Stephen Schanuel)]]은 답이 적어도 ''n'' 이상이라고 [[샤누엘의 추측|추측]]했지만, 현재까지 증명은 알려져 있지 않다. 하지만 2004년에 [[보리스 질버|보리스 질버(Boris Zilber)]]는 모형 이론적 기법을 사용하여 덧셈, 곱셈, 지수 연산을 갖춘 [[복소수]]와 매우 유사하게 동작하는 구조를 만든 논문을 발표했다. 게다가 이 추상적인 구조에서 섀뉴얼의 추측이 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero|저널=Annals of Pure and Applied Logic|성=Zilber|이름=B.|연도=2005|권=132|호=1|쪽=67–95|doi=10.1016/j.apal.2004.07.001|mr=2102856}}</ref> 불행히도 이 구조가 언급된 연산을 거친 복소수와 실제로 동일한지 아직 알 수 없다. 복소수와 매우 유사하게 동작하지만 섀뉴얼의 추측이 성립하지 않는 다른 추상 구조가 존재할 수도 있다. 질버는 문제의 구조가 '''C''' 임을 증명할 수 있는 여러 가지 기준을 제시했지만, 강력한 지수 폐쇄 공리(Strong Exponential Closure axiom)라고 불리는 것을 증명하지는 못했다. 이 공리의 가장 간단한 경우는 그 이후로 증명되었지만<ref>{{저널 인용|제목=A remark on Zilber's pseudoexponentiation|저널=Journal of Symbolic Logic|성=Marker|이름=D.|연도=2006|권=71|호=3|쪽=791–798|doi=10.2178/jsl/1154698577|jstor=27588482|mr=2250821}}</ref> 추측의 증명을 완료하려면 이것이 완전한 일반적으로 성립한다는 증명이 필요하다.

== 접근법들 ==
이 수학 분야의 대표적인 문제 중 하나는 주어진 숫자가 초월수인지 아닌지 알아내는 것이다. [[게오르크 칸토어|칸토어]]는 [[집합의 크기|기수]] 논증을 사용하여 대수적 수는 [[가산 집합|셀 수]] 있을 만큼 많으며, 따라서 거의 모든 수가 초월수임을 보였다. 그러므로 초월수는 전형적인 경우로 나타난다. 그렇더라도 주어진 수가 초월수(또는 간단하게 무리수)인지 증명하는 것은 매우 어려울 수 있다.

이러한 이유로 초월 이론은 보통 정량적인 접근 방식을 취한다. 따라서 특정 복소수 α가 주어졌을 때, α가 대수적 수에 얼마나 가까운지를 물어볼 수 있다. 예를 들어, α라는 숫자가 대수적이라고 가정하면, 그 숫자가 매우 높은 차수나 매우 큰 계수를 갖는 최소 다항식을 가져야 한다는 것을 보일 수 있나? 궁극적으로, 유한 차수나 계수의 크기가 충분하지 않다는 것을 보일 수 있다면 그 숫자는 초월수여야 한다. 숫자 α가 초월수라는 것은 정수 계수를 갖는 모든 0이 아닌 다항식 P 에 대해 ''P'' (α)≠0인 것과 동치이다. 이 문제는 다음 형식의 하한을 찾으려고 시도하여 접근할 수 있다.

: <math> |P(a)| > F(A,d) </math>

여기서 우변 F는 모든 ''P'' ≠ 0에 대해 ''P'' 의 [[계수]]의 크기를 측정하는 ''A'' 와 그 [[다항식|차수]] ''d'' 에 따라 달라지는 양함수이다. 이러한 하한을 '''초월 측도'''라고 한다.

''d''=&#x2009;1의 경우는 다음의 하한을 요구하는 "고전적" [[디오판토스 근사]]이다.

: <math>|ax + b|</math> .

초월수론과 디오판토스 근사법은 많은 공통점을 가지고 있다. 둘 다 [[보조함수|보조 함수]]의 개념을 사용한다는 것이다.

== 주요 결과 ==
[[겔폰트-슈나이더 정리]]는 1900년~1950년대 초월수론의 주요 발전이었다. 1960년대에 [[대수적 수]]들의 로그의 선형 결합에 관한 [[앨런 베이커]]의 방법이 수많은 고전적 문제와 [[디오판토스 방정식]]에 응용을 가져다주면서 초월수론을 재 부흥시켰다.

== 말러의 분류 ==
1932년에 [[쿠르트 말러|쿠르트 말러(Kurt Mahler)]]는 초월수를 '''S''', '''T''', '''U''' 라는 3개 종류(클래스)로 나누었다.<ref name="Bug250">{{괄호 없는 하버드 인용|Bugeaud|2012|p=250}}.</ref> 이러한 클래스의 정의는 위에서 언급한 [[리우빌 수|Liouville 수]]의 개념을 확장한 것이다.

=== 실수의 무리 측도 ===
리우빌 수를 정의하는 한 가지 방법은 주어진 [[실수]] '''x'''가 선형 결합<math>|qx-p| </math>를 0을 제외하고 얼마나 작게 만드는지 고려하는 것이다. 여기서 ''p'', ''q'' 는 | ''p'' |, | ''q'' |가 양의 정수H를 상계로 가지는 정수이다.

<math>m(x, 1, H)</math>을 위의 선형 결합이 <math>x</math>에서 취하는 0이 아닌 최솟값으로 하자.

그리고 다음을 고려해보자.

: <math>\omega(x, 1, H) = -\frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}</math>
: <math>\omega(x, 1) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,1,H).</math>

ω(''x'', 1)를 주로 실수 x의 '''무리 측도'''라고 부른다. 유리수 x에 대해, ω(''x'', 1) = 0이며, 무리수에 대해선 최소 1이상의 값을 가진다. 리우빌 수는 무한의 무리 측도를 가진다. 로스(Roth)의 정리는 모든 대수적 수인 실 무리수는 무리 측도가 1이라는 걸 말해준다.

=== 복소수의 초월 측도 ===
다음으로, 복소수 ''x'' 에 대해 같은 방식으로 다항식의 최소 절댓값을 고려해 보겠다. 자연수''n'', ''H''에 대해, 우리는 차수는 최대 ''n'' 이고, [[다항식의 높이|높이]]는 최대 ''H''인 정수 계수 다항식을 고려할 것이다.

<math>m(x, n, H)</math>을 이러한 다항식이 <math>x</math>에서 취하는 0을 제외한 최소 절대값으로 정의하자. 그리고 다음을 고려해보자:

: <math>\omega(x, n, H) = -\frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}</math>
: <math>\omega(x, n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,n,H).</math>

<math>\omega(x,n) </math>이 어떤 자연수n에 대해 무한한 경우, 복소수''x''를 차수n의 '''U 수'''라고 정의한다.

U수인 경우를 제외하면 이제 우리는 문제없이 다음을 정의할 수 있다.

: <math>\omega (x) = \limsup_{n\to\infty}\, \omega(x,n).</math>

ω( ''x'' )는 주로 x의 '''초월 측도'''라고 불린다. ω( ''x'', ''n'' )이 유계이면 ω( ''x'' )는 유한하고 ''x''를 '''S 수''' 라고 한다. ω( ''x'', ''n'' )이 유한하지만 유계가 아닌 경우 ''x''를 '''T 수''' 라고 한다. x가 대수적이라는 것은 ω( ''x'' )=0과 동치이다.

리우빌 수는 분명히 U 수의 하위 집합이다. 1953년에 [[윌리엄 르베크|William LeVeque]]는 모든 차수의 U 숫자를 구축했다.<ref name="LV172">{{괄호 없는 하버드 인용|LeVeque|2002|p=II:172}}.</ref> [[리우빌 수]] 와 U 수는 비가산 집합이다. 그것은 측도 0의 집합이다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Burger|Tubbs|2004|p=170}}.</ref>

T 숫자는 또한 측도 0의 집합을 구성한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Burger|Tubbs|2004|p=172}}.</ref> T수가 존재한다는 사실이 드러나기까지 약 35년이 걸렸다. 1968년에 [[볼프강 슈미트|볼프강 M. 슈미트(Wolfgang M. Schmidt)]]는 그러한 사례가 존재한다는 것을 보여주었다. 그러나 거의 모든 복소수는 S수이다.<ref name="Bug251">{{괄호 없는 하버드 인용|Bugeaud|2012|p=251}}.</ref> Mahler는 지수 함수가 모든 0이 아닌 대수적 수를 S수로 보낸다는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|LeVeque|2002|pp=II:174–186}}.</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Burger|Tubbs|2004|p=182}}.</ref> 이는 ''e''가 S수임을 보여주고 {{Pi}} 의 초월성을 증명한다. {{Pi}}는 U 수가 아닌 것으로 알려져 있다. {{Sfn|Baker|1975}} 그 밖의 많은 초월수는 아직 분류되지 않은 상태이다.

두 수 ''x'', ''y''는 0이 아닌 어떤 정수 계수 이변수 다항식''P''이 ''P''(''x'', y)=0를 만족하는 경우 '''대수적으로 종속'''이라고 한다. 대수적으로 종속된 두 복소수는 동일한 Mahler 클래스에 속한다는 강력한 정리가 있다.<ref name="LV172">{{괄호 없는 하버드 인용|LeVeque|2002|p=II:172}}.</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Burger|Tubbs|2004|p=163}}.</ref> 이를 통해 ''e'' 또는 {{Pi}}와 Liouville 수의 합과 같은 새로운 초월수의 구성이 가능해진다.

기호 S는 아마도 말러의 스승인 [[카를 루트비히 지겔|칼 루트비히 지겔(Carl Ludwig Siege)]] 의 이름을 뜻하는 것이고, T와 U는 바로 그 다음 두 글자일 뿐이다.

=== Koksma의 분류법 ===
1939년에 [[주르젠 콕스마|Jurjen Koksma]]는 대수적 수에 의한 근사를 기반으로 한 또 다른 분류를 제안했다.<ref name="Bug250">{{괄호 없는 하버드 인용|Bugeaud|2012|p=250}}.</ref><ref name="Baker, p. 87">{{괄호 없는 하버드 인용|Baker|1975|p=87}}.</ref>
차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수들에 의한 복소수 x의 근사를 고려해보자. 또한 차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수 <math>\alpha</math>를 <math>| x- \alpha |</math>를 최소로 하는 수로 잡도록 하자. (차수 n이하, 높이 H 이하인 대수적 수들의 집합은 유한 집합이므로 언제나 가능하다.)

ω*(''x'', ''H'', ''n'') 와 ω*(''x'', ''n'')를 다음을 만족하도록 정의한다.

: <math>|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.</math>
: <math>\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega^*(x,n,H).</math>

가장 작은 양의 정수 ''n'' 에 대해 ω*( ''x'', ''n'' )이 무한대라면 ''x''를 n 차수의 '''U*-수''' 라고 한다.

ω*( ''x'', ''n'' )이 유계이고 0으로 수렴하지 않을 때 ''x''를 '''S*-수''' 라고 한다.

ω*( ''x'', ''n'' )이 0으로 수렴할 때 ''x''를 '''A*-수'''라고 한다.

ω*( ''x'', ''n'' )이 모두 유한하지만 비 유계라면 ''x를'' '''T*-수''' 라고 한다.

Koksma와 Mahler의 분류는 초월수를 동일한 계열로 구분한다는 점에서 동등하다.<ref name="Baker, p. 87">{{괄호 없는 하버드 인용|Baker|1975|p=87}}.</ref> ''A*'' 숫자는 대수적 수이다.<ref name="Bug251">{{괄호 없는 하버드 인용|Bugeaud|2012|p=251}}.</ref>

=== LeVeque의 구성 ===
다음을 생각하자.

: <math>\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}.</math>

λ의 ''n'' 제곱근(Liouville 수)은 ''n'' 차 U 수임을 보일 수 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Baker|1975|p=90}}.</ref>

이 구성은 차수 ''n'' 의 U-수의 비가산 집합족을 생성하도록 개선될 수 있다. ''Z''를 λ의 무한 급수에서 등장하는 모든 10의 거듭제곱으로 구성된 집합으로 정의하자. ''Z'' 의 모든 부분집합의 집합은 비가산이다. λ의 무한 급수에서 ''Z'' 의 부분 집합을 삭제하면 셀 수 없이 많은 서로 다른 리우빌 수가 생성되는데, 그 ''n'' 제곱근은 차수 ''n'' 의 U 수이다.

=== '''유형(type)''' ===
수열 {ω( ''x'', &#x2009;''n'' )}의 [[상한과 하한|상한]]을 '''유형(type)'''이라고 한다. 거의 모든 실수는 1형 S 수이며, 이는 실 S 수에 대한 최소값이다. 거의 모든 복소수는 1/2형의 S수이며, 이는 역시 최소이다. 거의 모든 숫자라는 주장은 Mahler에 의해 추측되었으며 1965년에는 Vladimir Sprindzhuk에 의해 증명되었다.<ref name="Baker, p. 86">{{괄호 없는 하버드 인용|Baker|1975|p=86}}.</ref>

== 미해결 문제들 ==
겔폰트-슈나이더 정리는 많은 수의 종류가 초월수라는 것을 증명했지만, 이 종류는 여전히 가산이다. 잘 알려진 수학 상수 중 상당수는 아직 초월수로 알려지지 않았으며, 어떤 경우에는 유리수인지 무리수인지조차 알려지지 않았다. 일부 목록은 [[초월수|여기에서]] 확인할 수 있다.

초월수론의 주요 문제는 개별 수가 초월적임을 보여주는 것이 아니라 특정 숫자 집합이 대수적으로 독립적임을 보여주는 것이다. 따라서 우리는 ''e'' 와 ''π''가 초월수라는 것을 알고 있지만 그것이 ''e+π'' 가 초월수라는 것을 의미하지는 않으며, 다른 방법 (예를 들어 e''π'') 으로 결합하여도 초월수임을 의미하지 않는다. (초월수로 알려진 [[자연로그의 밑의 원주율 제곱|겔폰트 상수]] <math>e^{\pi}</math>는 예외) 또 다른 큰 문제는 지수 함수와 관련이 없는 숫자를 다루는 것이다. 초월수론의 주요 결과는 ''e'' 와 로그 함수를 중심으로 이루어지는 경향이 있는데, 이는 이 두 가지 대상을 이용한 기본적인 방식으로 표현할 수 없는 숫자를 처리하기 위해 완전히 새로운 방법이 필요하다는 것을 의미한다.

[[샤누엘의 추측|섀뉴얼의 추측]]은 대수적 독립성을 다루므로 이런 문제 중 첫 번째 문제를 어느 정도 해결할 수 있으며, 참으로 증명된다면 실제로 ''e'' + ''π가'' 초월수임을 확인할 것이다. 하지만 여전히 지수 함수를 중심으로 돌아가기 때문에 [[아페리 상수]]나 [[오일러-마스케로니 상수]]와 같은 숫자를 다루지는 않는다. 또 다른 극도로 어려운 미해결 문제는 소위 [[지속적인 문제|상수 문제 또는 항등성 문제]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Some Undecidable Problems Involving Elementary Functions of a Real Variable|저널=Journal of Symbolic Logic|성=Richardson|이름=D.|연도=1968|권=33|호=4|쪽=514–520|doi=10.2307/2271358|jstor=2271358|mr=0239976}}</ref>

== 같이 보기 ==

* [[겔폰트-슈나이더 정리]]
* [[초월수]]
* [[디오판토스 근사]]
* [[대수적 수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Transcendental Number Theory|성=Baker|이름=Alan|저자링크=Alan Baker (mathematician)|연도=1975|출판사=[[Cambridge University Press]]|기타=paperback edition 1990|isbn=0-521-20461-5|zbl=0297.10013}}
* {{서적 인용|제목=Distribution modulo one and Diophantine approximation|성=Bugeaud|이름=Yann|연도=2012|총서=Cambridge Tracts in Mathematics|권=193|출판사=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-11169-0|zbl=1260.11001}}
* {{서적 인용|제목=Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory|성=Burger|이름=Edward B.|성2=Tubbs|이름2=Robert|연도=2004|출판사=[[Springer-Verlag|Springer]]|isbn=978-0-387-21444-3|zbl=1092.11031}}
* {{서적 인용|제목=Transcendental and Algebraic Numbers|성=Gelfond|이름=A. O.|저자링크=Alexander Gelfond|연도=1960|출판사=Dover|zbl=0090.26103}}
* {{서적 인용|제목=Introduction to Transcendental Numbers|성=Lang|이름=Serge|저자링크=Serge Lang|연도=1966|출판사=Addison–Wesley|zbl=0144.04101}}
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve|제목=Topics in Number Theory, Volumes I and II|성=LeVeque|이름=William J.|저자링크=William J. LeVeque|연도=2002|출판사=Dover|원본연도=1956|isbn=978-0-486-42539-9}}
* {{서적 인용|제목=Pillars of Transcendental Number Theory|성=Natarajan|이름=Saradha|저자링크=:fr:Saradha Natarajan|성2=Thangadurai|이름2=Ravindranathan|연도=2020|출판사=[[Springer Verlag]]|isbn=978-981-15-4154-4|zbl=}}
* {{서적 인용|제목=Mahler's Problem in Metric Number Theory (1967)|성=Sprindzhuk|이름=Vladimir G.|저자링크=Vladimir Gennadievich Sprindzuk|연도=1969|총서=AMS Translations of Mathematical Monographs|출판사=[[American Mathematical Society]]|기타=Translated from Russian by B. Volkmann|isbn=978-1-4704-4442-6|zbl=}}
* {{서적 인용|제목=Metric theory of Diophantine approximations|성=Sprindzhuk|이름=Vladimir G.|저자링크=Vladimir Gennadievich Sprindzuk|연도=1979|총서=Scripta Series in Mathematics|출판사=[[Wiley (publisher)|Wiley]]|기타=Translated from Russian by Richard A. Silverman. Foreword by Donald J. Newman.|isbn=0-470-26706-2|zbl=0482.10047}}
* [[앨런 베이커|Alan Baker]] 와 [[기스베르트 뷔스트홀츠|Gisbert Wüstholz]], ''Logarithmic Forms and Diophantine Geometry'', New Mathematical Monographs '''9''', Cambridge University Press, 2007,{{ISBN|978-0-521-88268-2}}

{{수론}}

[[분류:초월수]]
[[분류:해석적 수론]]