{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''세타 함수'''({{llang|en|theta function}})는 [[타원 곡선]] 또는 [[아벨 다양체]] 위의 [[선다발]]의 단면이다.

== 정의 ==
복소수 [[주극성화 아벨 다양체]] <math>(V/\Gamma,h)</math>가 주어졌다고 하자. 즉,
* <math>V</math>는 [[복소수 벡터 공간]]이다.
* <math>\Lambda \le V</math>는 그 속의 (덧셈에 대한) 이산 부분군이다. 즉, 격자이다.
* <math>h\colon V \times V \to \mathbb C</math>는 리만 형식이다. 즉, [[반쌍선형 형식]]이며, <math>\forall u,v\in\Lambda\colon\operatorname{Im} h(u,v) \in \mathbb Z </math>이다.
이 경우, <math>\operatorname{Im}h</math>는 <math>V/\Gamma</math> 위의 [[2차 미분 형식]]이며, [[드람 코호몰로지]]를 통해 정수 계수 2차 코호몰로지 <math>\operatorname H^2(V/\Gamma;\mathbb Z)</math>의 원소를 정의한다. 이는 (1차 [[천 특성류]]를 통해) 어떤 [[정칙 벡터 다발|정칙]] [[선다발]] <math>L</math>에 대응하며, 이는 항상 [[풍성한 선다발]]이다. 이 선다발의 '''단면'''을 '''세타 함수'''라고 한다.

보다 구체적으로, 사영 사상 <math>\pi\colon V \twoheadrightarrow V/\Gamma</math>을 통하여, <math>L</math>의 [[당김]] <math>L^*V \twoheadrightarrow V</math>을 정의할 수 있다. 이는 자명한 정칙 선다발이며, <math>L</math>의 단면은 <math>V</math> 위의 다음과 같은 '''함수 방정식'''(函數方程式, {{llang|en|functional equation}})을 따르는 [[정칙 함수]] <math>f\colon V \to \mathbb C</math>로 주어진다.
:<math>f(v + \lambda) = \alpha(\lambda)\exp\left(\pi h(v,\lambda)+\frac12\pi h(\lambda,\lambda)\right) f(v) \qquad\forall v\in V,\;\lambda \in \Lambda</math>
여기서
:<math>\alpha \colon \Gamma \to \operatorname U(1)</math>
는 일반적으로 [[군 준동형]]이 아니며, 다음 조건을 따른다.
:<math>\alpha (\lambda + \lambda') = \exp\left(\mathrm i\pi \operatorname{Im}h(\lambda,\lambda')\right) \alpha(\lambda) \alpha(\lambda')</math>
이는 군 준동형이 아니지만, 임의의 군 준동형 <math>\phi \colon \Gamma \to \operatorname U(1)</math>에 대하여 <math>\alpha' = \phi \alpha </math> 역시 위의 조건을 따른다. 즉, 이러한 <math>\alpha</math>들의 공간은 <math>\hom(\Gamma,\operatorname U(1)) \cong \operatorname U(1)^{\dim V}</math> 위의 [[아핀 공간]]이다.

이러한 함수 방정식을 따르는 [[정칙 함수]]를 '''세타 함수'''라고 한다.

== 예 ==
=== 야코비 세타 함수 ===
'''야코비 세타 함수'''([[카를 구스타프 야코프 야코비]]의 이름에서 비롯됨)는 <math>z</math>와 <math>\tau</math>를 변수로 갖는 2변수 복소함수로, <math>z</math>는 임의의 복소수가 될 수 있지만 <math>\tau</math>는 [[상반평면]]으로 제한되어 언제나 양의 허수부를 갖는다. 그 정의는 다음과 같다.
:<math>\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z}= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}\eta^n</math>
여기서
:<math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>
:<math>\eta=\exp(2\pi iz)</math>
이다.

또한, 보통 다음과 같은 함수들을 정의한다.
:<math>
\begin{align}
\vartheta_{00}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}\eta^n = \vartheta(z;\tau)\\
\vartheta_{01}(z;\tau)& = \sum q^{n^2/2}(-\eta)^n = \vartheta(z+{\textstyle\frac{1}{2}};\tau)\\
\vartheta_{10}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}\eta^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z +1/2\tau;\tau)\\
\vartheta_{11}(z;\tau)& = \sum q^{(n+1/2)^2/2}(-\eta)^{n+1/2} = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i(z+1/2))\vartheta(z+\tau/2 + 1/2;\tau)
\end{align}
</math>
이를 다음과 같이 표기하기도 한다.
:<math>
\begin{align}
\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\
\theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\
\theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\
\theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau)
\end{align}
</math>
야코비 세타 함수는 책마다 조금씩 다르게 정의하는 경우가 많으므로 주의하여야 한다.

==== 성질 ====
야코비 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 <math>(a,b)\in\mathbb Z^2</math>에 대하여,
:<math>\vartheta(z+a+b\tau;\tau)=\exp(-\pi ib^2\tau-2\pi ibz)\vartheta(z;\tau)</math>
즉, 야코비 세타 함수는 <math>\mathbb C/\langle1,\tau\rangle</math> 위에서, <math>z\sim z+\tau</math> 방향으로 뒤틀어져 있는 [[해석적 벡터다발|해석적]] [[선다발]]의 단면이다.

=== 리만 세타 함수 ===
[[지겔 상반평면]]
:<math>\mathbb{H}_g=\{F\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{C})\colon F=F^\top,\;\mbox{Im} F\text{ is positive-definite}\}</math>
이 주어졌다고 하자. '''리만 세타 함수'''({{llang|en|Riemann theta function}})
:<math>\vartheta\colon\mathbb C^g\times\mathbb H_g\to\mathbb C</math>
:<math>\vartheta\colon(z,\tau)\mapsto\vartheta(z,\tau)</math>
는 다음과 같다.
:<math>\vartheta(z,\tau)=\sum_{m\in\mathbb Z^g}\exp\left(2\pi i\left(\frac12m^\top\tau m+m^\top z\right)\right)</math>
이 급수는 <math>\mathbb C^g\times\mathbb H_g</math>의 임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트 부분공간]]에서 [[균등수렴]]한다.

리만 세타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 임의의 <math>(a,b)\in\mathbb Z^g\times\mathbb Z^g</math>에 대하여,
:<math>\vartheta(z+a+\tau b,\tau)=\exp\left(-2\pi i\left(b^\top\tau b/2+b^\top z\right)\right)\theta(z,\tau)</math>

=== 일반적인 격자의 세타 함수 ===
[[양의 정부호]] 내적이 주어진 격자 <math>(\Lambda,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>가 주어졌다면, 이에 대응하는 '''세타 열'''({{llang|en|theta series}})
:<math>\Theta_\Lambda\colon\mathbb H\to\mathbb C</math>
를 다음과 같이 정의할 수 있다.<ref name="Conway">{{서적 인용 | zbl=0915.52003 | last=Conway | first=J.H. | authorlink=존 호턴 콘웨이 | 공저자=N. J. A. Sloane | 제목=Sphere packings, lattices and groups | 판=3판 | series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=290 | location=New York, NY | publisher=Springer | isbn=0-387-98585-9 |언어=en |doi=10.1007/978-1-4757-6568-7|issn= 0072-7830}}</ref>{{rp|44–47}}
:<math>\Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}\exp(i\pi\tau\langle x,x\rangle)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\langle x,x\rangle/2}</math>
:<math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>
이는 [[상반평면]] <math>\mathbb H</math> 위의 [[정칙함수]]이다. 만약 <math>\Lambda</math>가 <math>n</math>차원 짝 [[유니모듈러 격자]]라면, 이는 무게가 <math>n/2</math>인 [[모듈러 형식]]을 이룬다. 홀 유니모듈러 격자의 세타 함수는 다음과 같은 모듈러 항등식들을 만족시킨다.<ref name="Conway"/>{{rp|186–187}}
:<math>\Theta_\Lambda(\tau)=\Theta_\Lambda(\tau+2)=(i/\tau)^{n/2}\Theta_\Lambda(-1/\tau)</math>
따라서 이는 [[합동 부분군]] Γ<sub>0</sub>(4)에 대한 무게 <math>n/2</math>의 모듈러 형식이다.<ref>{{저널 인용|doi=10.4064/aa101-2-6|제목=Odd unimodular lattices of minimum 4|이름=Christine|성=Bachoc|공저자=Gabriele Nebe, Boris Venkov|저널=Acta Arithmetica}}</ref>

예를 들어, 격자 <math>\mathbb Z</math>에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.<ref name="Conway"/>{{rp|45}}
:<math>\Theta_{\mathbb Z}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{n^2/2}=\vartheta_{00}(0;\tau)</math>
마찬가지로, 격자 <math>\mathbb Z+1/2</math>에 대한 세타 함수는 다음과 같은 야코비 세타 함수이다.
:<math>\Theta_{\mathbb Z+1/2}=\sum_{n\in\mathbb Z}q^{(n^2+n+1/4)/2}=\vartheta_{10}(0;\tau)</math>

== 응용 ==
야코비 세타 함수는 [[아벨 다양체]] 및 [[모듈라이 공간]] 및 [[이차 형식]]의 연구에 중요하게 쓰이며, [[솔리톤]] 이론에도 응용되었다. [[그라스만 대수]]에 대해 일반화할 경우 [[양자장론]], 특히 [[끈 이론]]과 [[D-막]] 등에도 연관된다. 세타 함수의 대표적인 예는 [[타원함수론]]에 나타난다.

세타 함수는 [[기하학적 양자화]]에 등장한다. [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]이 [[켈러 다양체]]인 [[해밀턴 계]]를 양자화할 경우, 양자역학적 상태들은 어떤 해석적 다발의 해석적 단면들의 [[힐베르트 공간]]의 원소가 된다. 특히, 위상 공간이 극성화가 주어진 [[아벨 다양체]]인 경우, 상태들은 세타 함수가 된다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=Alexander|성=Polishchuk|제목=Abelian varieties, Theta functions and the Fourier transform|출판사=Cambridge University Press|날짜=2003-04|isbn=978-052180804-0|doi=10.1017/CBO9780511546532|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[세타 지표]]
* [[타원함수]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=자코비 세타함수}}
* {{수학노트|title=리만 세타함수}}
{{전거 통제}}

[[분류:세타 함수| ]]
[[분류:타원함수]]
[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:리만 곡면]]
[[분류:다변수 복소함수론]]