{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''최소 다항식'''(最小多項式, {{llang|en|minimal polynomial}})은 [[체 (수학)|체]]에 대한 [[결합 대수]]의 원소가 만족시키는 가장 간단한 [[일계수 다항식]]이다.<ref name="Goldberg">{{저널 인용
|url=https://www.ams.org/journals/tran/2007-359-08/S0002-9947-06-04296-6/S0002-9947-06-04296-6.pdf
|형식=PDF
|성=Goldberg
|이름=Moshe
|제목=Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=359
|호=8
|쪽=4055–4072
|날짜=2007-08
|issn=0002-9947
|doi=10.1090/S0002-9947-06-04296-6
|jstor=20161761
|mr=2302523
}}</ref>

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[멱결합 대수]] <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.
:<math>\mathfrak J_a=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}</math>
(만약 <math>A</math>가 1을 갖지 않는다면, <math>\mathfrak J_a\subseteq(x)K[x]</math>이다.) 그렇다면 <math>\mathfrak J_a</math>는 <math>K[x]</math>의 [[아이디얼]]이다. <math>K[x]</math>는 [[주 아이디얼 정역]]이므로, 이는 항상 [[주 아이디얼]]이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.
* <math>\mathfrak J_a=(0)</math>이다. 이 경우, <math>a</math>는 [[초월원]]이며, <math>A</math>는 [[초월 대수]]이다.
* <math>\mathfrak J_a=(p_a(x))</math>가 되는 [[일계수 다항식]] <math>p_a(x)\in K[x]</math>가 존재한다. 이 경우, <math>p_a(x)</math>를 <math>a</math>의 '''최소 다항식'''이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며, <math>\mathfrak J_a</math>에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은 <math>p_a</math>보다 차수가 더 크다.)

== 성질 ==
[[멱결합 대수]]의 원소가 최소 다항식을 가질 [[필요충분조건]]은 [[대수적 원소]]이다. 따라서 [[대수적 대수]](특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

=== 체의 확대 ===
[[체의 확대]] <math>L/K</math>에 대하여, <math>L</math>은 가환 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]]를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 [[기약 다항식]]이다. [[귀류법]]을 써서, <math>L/K</math>에서 <math>a\in L</math>의 최소 다항식 <math>p_a\in K[x]</math>가 인수 분해가 가능하다면 (<math>p_a=qr</math>), <math>K</math>는 [[정역]]이므로 <math>q(a)=0</math>이거나 <math>r(a)=0</math>이며, <math>\deg q,\deg r<\deg p</math>이다. 그러나 <math>p_a</math>는 <math>\mathfrak J_a</math>의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

[[대수적 확대]] <math>L/K</math>에서, <math>K</math>가 [[완전체]]라면 임의의 <math>a\in L</math>에 대하여 <math>p_a(x)\in K[x]\subset\bar K[x]</math>의 ([[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 <math>K</math>가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 <math>L/K</math>가 '''[[분해 가능 확대]]'''가 아니라고 한다.

=== 행렬 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]의 유한 차원 <math>K</math>-[[단위 결합 대수]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>에서, 임의의 행렬 <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 [[행렬의 닮음]]에 대하여 불변이다. 즉, [[가역 행렬]] <math>G\in\operatorname{GL}(n;K)</math>에 대하여, <math>M</math>과 <math>G^{-1}MG</math>의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 <math>L</math>이 <math>K</math>를 포함하는 더 큰 체일 경우, <math>M</math>의 <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>에서의 최소 다항식과 <math>\operatorname{Mat}(n;L)</math>에서의 최소 다항식은 일치한다.

체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 행렬 <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>M</math>의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
* <math>M</math>은 [[삼각화 가능 행렬]]이다.
또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>M</math>의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
* <math>M</math>은 [[대각화 가능 행렬]]이다.

[[케일리-해밀턴 정리]]에 따라, <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 최소 다항식은 [[특성 다항식]]을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 최소 다항식의 [[소인수 분해]]가
:<math>p_M(x)=\prod_pp^{n_p}(x)</math>
라면,
:<math>\deg p\mid\dim\ker p^{n_p}(M)</math>
:<math>n_p\le\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p</math>
:<math>\det(x-M)=\prod_{p}p^{\dim\ker p^{n_p}(M)/\deg p}</math>
이다.<ref name="Hoffman">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/LinearAlgebraHoffmanAndKunze
|성=Hoffman
|이름=Kenneth
|제목=Linear Algebra
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice-Hall
|위치=Upper Saddle River, New Jersey
|날짜=1971
|isbn=0-13-536797-2
}}</ref>{{rp|196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4}}

== 예 ==
[[체의 확대]] <math>L/K</math>에서, <math>a\in K</math>라면, <math>p_a(x)=x-a\in K[x]</math>이다.

[[실수체]]의 확대인 [[복소수체]] <math>\mathbb C/\mathbb R</math>에서, <math>z\in\mathbb C</math>의 최소 다항식은 다음과 같다.
:<math>p_z(x)=\begin{cases}
x-z&z\in\mathbb R\\
(x-z)(x-\bar z)=x^2-2(z+\bar z)x+z\bar z&z\in\mathbb C\setminus\mathbb R
\end{cases}</math>

실수 행렬
:<math>M=
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    -2 & -2 & -1
  \end{pmatrix}
\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)</math>
의 특성 다항식은
:<math>\det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)</math>
이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, <math>M</math>의 최소 다항식 역시
:<math>p_M(x)=(x+1)(x-1)(x-2)</math>
이다.

=== 대수적 수체 ===
[[이차 수체]] <math>\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q</math>에서, <math>d</math>가 [[제곱 인수가 없는 정수]]라고 하자. 그렇다면 <math>\sqrt d</math>의 최소 다항식은 <math>x^2-d\in\mathbb Q[x]</math>이다.

<math>\sqrt2+\sqrt3</math>의 <math>\mathbb Q</math> 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.
:<math>p_{\sqrt2+\sqrt3}(x)= x^4-10x^2 + 1 = (x-\sqrt2-\sqrt3)(x+\sqrt2-\sqrt3)(x-\sqrt2+\sqrt3)(x+\sqrt2+\sqrt3)</math>

[[원분체]] <math>\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q</math>에서, <math>\zeta_n</math>의 최소 다항식은 '''[[원분 다항식]]''' <math>\Phi_n</math>이라고 하며, 다음과 같다.
:<math>\Phi_1(x) = x - 1</math>
:<math>\Phi_2(x) = x + 1</math>
:<math>\Phi_3(x) = x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_4(x) = x^2 + 1</math>
:<math>\Phi_5(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x +1</math>
:<math>\Phi_6(x) = x^2 - x + 1</math>
:<math>\Phi_7(x) = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>
:<math>\Phi_8(x) = x^4 + 1</math>
:<math>\Phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1</math>
:<math>\Phi_{10}(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1</math>
:<math>\vdots</math>
특히, <math>n</math>이 [[소수 (수론)|소수]]일 경우
:<math>\Phi_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}</math>
이다.

=== 분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식 ===
[[분해 가능 확대]]가 아닌 [[체의 확대]] <math>(\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x))/\mathbb F_p(x)</math>에서, <math>y\in\mathbb F_p(x)[y]/(y^p-x)</math>의 최소 다항식은
:<math>p_y(X)=X^p-x\in \mathbb F_p(x)[X]</math>
이다. 이 경우, <math>\overline{\mathbb F_p(x)}</math> 위에서
:<math>p_y(X)=(X^p-(\sqrt[p]x)^p)=(X-\sqrt[p]x)^p</math>
이다. 즉, <math>p_y</math>는 분해 가능 다항식이 아니다.

== 같이 보기 ==
* [[분해체]]
* [[체 노름]]
* [[분해 가능 확대]]
* [[갈루아 확대]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Field theory|이름=Steven M.|성=Roman|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=158|doi=10.1007/0-387-27678-5|판=2|날짜=2006|isbn=978-0-387-27677-9|zbl=1172.12001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=ExtensionFieldMinimalPolynomial|title=Extension field minimal polynomial}}
* {{매스월드|id=AlgebraicNumberMinimalPolynomial|title=Algebraic number minimal polynomial}}
* {{매스월드|id=MatrixMinimalPolynomial|제목=Matrix minimal polynomial}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Minimal_Polynomial|제목=Definition: Minimal polynomial|웹사이트=ProofWiki|확인날짜=2015-08-18|보존url=https://web.archive.org/web/20131205045859/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Minimal_Polynomial|보존날짜=2013-12-05|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Minimal_Polynomial_is_Unique|제목=Minimal polynomial is unique|웹사이트=ProofWiki|확인날짜=2021-09-02|archive-date=2021-09-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210902122440/https://proofwiki.org/wiki/Minimal_Polynomial_is_Unique|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Minimal_Polynomial_is_Irreducible|제목=Minimal polynomial is irreducible|웹사이트=ProofWiki|확인날짜=2015-08-18|보존url=https://web.archive.org/web/20131203091657/http://www.proofwiki.org/wiki/Minimal_Polynomial_is_Irreducible|보존날짜=2013-12-03|url-status=dead}}

[[분류:대수]]
[[분류:체론]]
[[분류:선형대수학]]