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[[리 대수]] 이론에서, '''보편 포락 대수'''(普遍包絡代數, {{llang|en|universal enveloping algebra}})는 주어진 [[리 대수]]의 [[리 괄호]]를, [[결합법칙]]을 만족시키는 곱셈에 대한 [[교환자 (환론)|교환자]]로 나타내는 [[대수 (환론)|대수]]이다.

== 정의 ==
보편 포락 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 구체적으로, [[텐서 대수]]의 특정한 [[양쪽 아이디얼]]에 대한 몫으로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, [[결합 대수]]를 [[리 대수]]로 여기는 망각 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.

=== 구체적 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math>에 대한 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[텐서 대수]]
:<math>\operatorname T(\mathfrak g)=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak g^{\otimes_Kn}
=K\oplus\mathfrak g\oplus\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\oplus\dotsb
</math>
에 다음과 같은 원소들로 생성되는 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak I</math>를 생각하자.
:<math>a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad\forall a,b\in\mathfrak g\subset T(\mathfrak g)</math>
이 [[양쪽 아이디얼]]에 대한 [[몫대수]]
:<math>\operatorname U(\mathfrak g)=\frac{\operatorname T(\mathfrak g)}{\mathfrak I}</math>
를 <math>\mathfrak g</math>의 '''보편 포락 대수''' <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>라고 한다. 이는 <math>K</math>-[[결합 대수]]를 이룬다.
<math>\mathfrak g\subset\operatorname T(\mathfrak g)</math>이므로, 자연스러운 <math>K</math>-[[선형 변환]]
:<math>\mathfrak g\to U(\mathfrak g)</math>
이 존재한다.

보편 포락 대수 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>는 [[텐서 대수]] <math>T(\mathfrak g)</math>로부터 자연스럽게 [[호프 대수]]의 구조를 물려받는다. 즉, 모든 <math>a,b\in\mathfrak g</math>에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.
* 곱셈: <math>ab</math>
* 단위원: <math>1</math>
* 쌍대곱: <math>\Delta(a)=a\otimes1+1\otimes a</math>
* 쌍대단위원: <math>\epsilon(a)=0</math>
* 앤티포드: <math>S(a)=-a</math>

=== 범주론적 정의 ===
[[가환환]] <Math>K</math>가 주어졌을 때, <math>K</math>-[[리 대수]]의 범주 <math>\operatorname{LieAlg}_K</math>와 <math>K</math>-[[결합 대수]]의 범주 <math>\operatorname{Assoc}_K</math>를 생각하자. 이 두 범주는 둘 다 [[대수 구조 다양체]]의 범주이다. 따라서, 망각 함자
:<math>\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Assoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K</math>
:<math>(A,\cdot)\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)</math>
는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>\operatorname U\dashv \operatorname{Forget}</math>
:<math>\operatorname U\colon \operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{Assoc}_K</math>
를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 [[상 (수학)|상]]을 그 '''보편 포락 대수'''라고 한다.

=== 보편 포락 대수의 쌍대 대수 ===
보편 포락 대수는 쌍대 가환 [[호프 대수]]이므로, 그 [[쌍대 공간]]은 [[가환환]]을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. <math>\mathfrak g</math>가 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]]라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 <math>K</math>-벡터 공간의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\mathfrak I \to \operatorname T(\mathfrak g) \to \operatorname U(\mathfrak g) \to 0</math>
은 다음과 같이 쌍대화된다. (이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 [[등급 벡터 공간]]이다.)
:<math>0\operatorname U(\mathfrak g)^* \to \operatorname T(\mathfrak g)^* \to \mathfrak I^* \to 0</math>
여기서
:<math>\operatorname T(\mathfrak g)^* = \operatorname T(\mathfrak g^*)</math>
이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 [[텐서 대수]]의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소
:<math>p = \sum_{i=0}p_i \in \operatorname U(\mathfrak g)^*</math>
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 자연수 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여, [[선형 변환]] <math>p_i \colon \mathfrak g^{\otimes i} \to K</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\sup \{ i\in\mathbb N \colon p_i \ne 0 \} < \infty</math>
:<math>p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n) - p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,z,y,w_1,\dotsc,w_n)
= p_{1+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,[y,z],w_1,\dotsc,w_n)
\qquad\forall m,n\in\mathbb N,\;x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n\in\mathfrak g
</math>
예를 들어
:<math>p_2(x,y)-p_2(y,x) = p_1([x,y])</math>
:<math>p_3(x,y,z) - p_3(x,z,y) = p_2(x,[y,z])</math>
:<math>p_3(x,y,z) - p_3(y,x,z) = p_2([x,y],z)</math>
이다. (<math>p_0\in K</math>는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 [[가환환]] 구조는 다음과 같다.
:<math>(pq)_0() = p_0()q_0()</math>
:<math>(pq)_1(x) = p_0()q_1(x) + p_1(x)q_0()</math>
:<math>(pq)_2(x,y) = p_0()q_2(x,y) + p_1(x)q_2(y) + p_1(y)q_1(x) + p_2(x,y)q_0()</math>
:<math>(pq)_3(x,y,z) = p_0()q_3(x,y,z) + p_1(x)q_2(y,z) + p_1(y)q_2(x,z) + p_1(z)q_2(x,y) + p_2(x,y)q_1(z) + p_2(x,z)q_2(y) + p_2(y,z)q_2(x) + p_3(x,y,z)q_0()</math>
:<math>\vdots</math>
일반적으로 <math>(pq)_i</math>의 표현은 <math>2^i</math>개의 항을 갖는다. 그 항등원은
:<math>e_0() = 1</math>
:<math>e_i = 0\qquad\forall i>0</math>
이다.

== 성질 ==
=== 환론적 성질 ===
임의의 [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[아벨 리 대수]]의 보편 포락 대수는 [[가환환]]이다.

임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]]의 보편 포락 대수는 [[영역 (환론)|영역]]이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>는 [[비가환환]]이다 (즉, [[정역]]이 아니다).

=== 연산과의 호환 ===
체 <math>K</math> 위의 두 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>, <math>\mathfrak h</math>의 [[직합]] <math>\mathfrak g\oplus\mathfrak h</math>의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 ([[결합 대수]]로서의) 텐서곱이다.<ref>{{서적 인용|제목=Lie groups and Lie algebras Ⅰ. Foundations of Lie Theory. Lie transformation groups
|이름1=V. V.|성1=Gorbatsevich
|이름2=A. L.|성2=Onishchik
|이름3=E. B.|성3=Vinberg
|출판사=Springer-Verlag
|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|권=20|날짜=1993
|doi=10.1007/978-3-642-57999-8|언어=en}}</ref>{{rp|63, Corollary 1.2.4}}
:<math>\operatorname U(\mathfrak g\oplus\mathfrak h) = \operatorname U(\mathfrak g)\otimes_K \operatorname U(\mathfrak h)</math>

=== 푸앵카레-버코프-비트 정리 ===
'''푸앵카레-버코프-비트 정리'''(-定理, {{llang|en|Poincaré–Birkhoff–Witt theorem}})에 따라, 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 [[선형 변환]]은 [[단사 함수]]이다.
:<math>\iota_{\mathfrak g}\colon\mathfrak g\hookrightarrow U(\mathfrak g)</math>
또한, <math>U(\mathfrak g)</math>는 항상 <math>\mathfrak g</math>로부터 생성된다.

구체적으로, 임의의 [[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하고, <math>\mathfrak g</math>가 <math>K</math>-[[자유 가군]]이라고 하자. <math>\mathfrak g</math>의 [[기저 (선형대수학)|(하멜) 기저]] <math>B\subseteq \mathfrak g</math>를 고르자. 또한, <math>B</math> 위에 임의의 [[전순서]]를 부여하자.

그렇다면, <math>U(\mathfrak g)</math> 역시 <math>K</math>-[[자유 가군]]이며, 집합
:<math>\left\{
\iota_{\mathfrak g}(b_1)\iota_{\mathfrak g}(b_2)\dotsm\iota_{\mathfrak g}(b_n)
\colon n\in\mathbb N,\;b_1,b_2,\dotsc,b_n\in B
\right\}</math>
은 <math>U(\mathfrak g)</math>의 [[기저 (선형대수학)|(하멜) 기저]]를 이룬다. 여기서 <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}</math>은 자연수의 집합이며, 특히 <math>n=0</math>일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

=== 하리시찬드라 동형 정리 ===
[[복소수체]] 위의 [[가약 리 대수]]({{llang|en|reductive Lie algebra}}) <math>\mathfrak g</math>의 보편 포락 대수 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 [[환의 중심|중심]] <math>\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))</math>을 생각하자. 이 경우, [[바일 군]] <math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>을 정의할 수 있다. 또한, <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h</math>를 고른다면, <math>\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)</math>는 <math>\mathfrak h</math> 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, 나아가 <math>\mathfrak h</math> 위의 [[다항식환]] (대칭 대수) <math>\operatorname{Sym}\mathfrak h</math> 위에도 자연스럽게 작용한다.

'''하리시찬드라 동형 정리'''(हरीश चन्द्र同型定理, {{llang|en|Harish-Chandra isomorphism theorem}})에 따르면, 다음과 같은 표준적인 [[결합 대수]] [[동형]]이 존재한다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname U\mathfrak g))=(\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}</math>
여기서 <math>(\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}</math>는 [[바일 군]]의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

=== 카시미르 불변량 ===
<math>n</math>차원 복소수 [[단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[킬링 형식]]
:<math>B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*</math>
이 존재한다. 그렇다면, 임의의 <math>B</math>-[[정규 직교 기저]]
:<math>\mathfrak g=\operatorname{Span}\{X^1,\dots,X^n\}</math>
:<math>B(X^i,X^j)=\delta^{ij}</math>
가 주어졌을 때, <math>\mathfrak g</math>의 '''카시미르 불변량'''(Casimir不變量, {{llang|en|Casimir invariant}})은 다음과 같은 보편 포락 대수 <math>\operatorname U(\mathfrak g)</math>의 원소이다.
:<math>C=\sum_{i=1}^nB(X^i,X^j)\in U(\mathfrak g)</math>

보다 일반적으로, 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 위의 [[대칭 쌍선형 형식]]
:<math>B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*</math>
가 [[딸림표현]] 아래 불변이라고 하자. 즉, 다음 항등식이 성립한다고 하자.
:<math>B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad\forall X,Y,Z\in\mathfrak g</math>
그렇다면, 마찬가지로 '''카시미르 불변량''' <math>C(B)\in U(\mathfrak g)</math>를 정의할 수 있다.

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 [[중심 (대수학)|중심]]에 속한다. <math>K=\mathbb R</math>일 경우, [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)</math> 위의 불변 [[대칭 쌍선형 형식]] <math>B</math>는 <math>G</math> 위의 [[리만 계량]]을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 <math>G</math> 위의 [[라플라스-벨트라미 연산자]] <math>\Delta_B</math>와 같다.

== 역사 ==
1880년대에 알프레도 카펠리({{llang|it|Alfredo Capelli}})가 리 대수 <math>\mathfrak{gl}(n;K)</math>에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다. 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 [[앙리 푸앵카레]]가 푸앵카레-버코프-비트 정리를 임의의 [[리 대수]]에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용
 | first = Henri
 | last = Poincaré | 저자링크=앙리 푸앵카레
 | title = Sur les groupes continus
 | journal = Transactions of the Cambrdige Philosophical Society
 | volume = 18
 | year = 1900
 | pages = 220–225 | 언어=fr
}}</ref> 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 [[개릿 버코프]]<ref>{{저널 인용
 | first = Garrett
 | last = Birkhoff | 저자링크=개릿 버코프
 | title = Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices
 | journal = Annals of Mathematics
 | volume = 38
 | number = 2
 | 날짜=1937-04
 | pages = 526–532
 | jstor = 1968569
 | doi=10.2307/1968569 | 언어=en
}}</ref>와 [[에른스트 비트]]<ref>{{저널 인용
 | first = Ernst
 | last = Witt | 저자링크=에른스트 비트
 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0177&DMDID=dmdlog17
 | title = Treue Darstellung Liescher Ringe
 | journal = J. Reine Angew. Math.
 | volume = 177
 | year = 1937
 | pages = 152–160 | 언어=de
}}</ref>가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 [[니콜라 부르바키]]가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”({{llang|fr|théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt}})로 일컫기 시작하였다.<ref>{{서적 인용
 | first = Nicolas
 | last = Bourbaki | 저자링크=니콜라 부르바키
 | series = Éléments de mathématique
 | title = Groupes et algèbres de Lie
 | publisher = Hermann
 | year = 1960 | 언어=fr
}}</ref>

하리시찬드라 동형 정리는 [[하리시찬드라 메로트라|하리시찬드라]]가 증명하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Dixmier | first=Jacques  |저자링크=자크 디미에 | title=Enveloping algebras | 날짜=1996 | 판=2  | publisher=American Mathematical Society | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-0560-2 | mr=1393197  | volume=11 | url = http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-11 | zbl = 0867.17001 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-131 | title=Lie Superalgebras and Enveloping Algebras | first=Ian M. | last=Musson | 날짜=2012 | series=Graduate Studies in Mathematics | volume=131 | location=Providence, R.I. | publisher=American Mathematical Society | isbn=0-8218-6867-5 | zbl=1255.17001|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Universal enveloping algebra}}
* {{eom|title=Birkhoff-Witt theorem}}
* {{nlab|id=universal enveloping algebra|title=Universal enveloping algebra}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/114020/how-to-understand-the-harish-chandra-isomorphism|제목=How to understand the Harish-Chandra isomorphism?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:리 대수]]
[[분류:환론]]