{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻||수학에서 곱셈의 결과 값}}

[[수학]]에서 '''곱'''({{llang|en|product}})은 [[곱셈]] 연산의 결과가 되는 값, 또는 곱하는 요소들을 표현한 식이다. 예를 들어 6은 2와 3의 곱(곱셈의 결과값)이며, <math>x\cdot (2+x)</math> 은 <math>x</math> 와 <math>(2+x)</math>의 곱이다.

[[실수]] 또는 [[복소수]]는 곱해지는 순서가 결과에 영향을 주지 않는데, 이를 [[곱셈]]의 [[교환법칙]]이라 한다. 반면 [[행렬]]이나 [[결합 대수]]의 여러 [[대수 구조]]들은 일반적으로 곱해지는 순서에 따라 그 결과가 달라진다. 즉 [[행렬 곱셈]]은 비가환이다.

수학에는 다양한 종류의 곱이 존재한다. 일반적인 수의 곱셈 외에도 [[다항식]]이나 [[행렬]], [[대수 구조]] 등에 대해 곱을 정의할 수 있다.

==두 수의 곱==
{{본문|곱셈}}

===두 자연수의 곱===
[[파일:Three by Four.svg|섬네일|3 곱하기 4는 12이다.]]
어떤 물체가 가로로 <math>r</math>개, 세로로 <math>s</math>개 놓여있다면 물체의 총 개수는

:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ times}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+\cdots+s }_{r\text{ times}} </math>
개가 된다.

===두 정수의 곱===
[[정수]]에는 양수와 음수가 존재한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다.

:<math>\begin{array}{|c|c  c|}
                   \hline
  \cdot & - & + \\ \hline
    -   & + & - \\
    +   & - & + \\ \hline
\end{array}</math>
즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다. 이때 정수의 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 [[분배법칙]]으로부터 유도되는 결과이다.

===두 유리수의 곱===
두 [[유리수]]의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다.

:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>

===두 실수의 곱===
두 [[실수]]의 곱의 엄밀한 정의는 [[실수의 구성]]에 따른 결과로 나타난다. 실수를 구성했을 때, 임의의 실수 {{mvar|a}}에 대해 유리수를 원소로 가지고 {{mvar|a}}가 [[상한과 하한|상한]]인 집합 {{mvar|A}}가 존재한다.
:<math>a=\sup_{x\in A} x</math>
{{mvar|b}}가 집합 {{mvar|B}}의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱 <math>a\cdot b</math>는
:<math>a\cdot b=\sup_{x\in A, y\in B}x\cdot y</math>
로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 {{mvar|A}}와 {{mvar|B}}를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱 <math>a\cdot b</math>는 동일하다.

===두 복소수의 곱===
두 [[복소수]]의 곱은 <math> i^2=-1</math>이라는 것과 분배법칙을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}
  (a + b\, i) \cdot (c + d\, i)
    &= a \cdot c + a \cdot d\, i + b \, i \cdot c + b \cdot d \cdot i^2\\
    &= (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) \, i
\end{align}</math>

====복소수 곱셈의 기하학적 의미====
[[파일:Komplexe zahlenebene.svg|섬네일|upright=1.25|극좌표에 나타낸 반지름(녹색 선)이 {{mvar|r}}이고 각이 <math>\varphi</math>인 복소수 <math>a + b\, i</math>.]]
복소수는 [[극좌표계|극좌표]]에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수 <math>a + b\, i</math>가 극좌표에서 반지름이 {{mvar|r}}이고 각이 <math>\varphi</math>이면
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) +  i \sin(\varphi) ) = r \cdot  e ^{ i \varphi} </math>

이다. 한편
:<math>c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) +  i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi}</math>
라 하면 두 복소수 <math>a + b\, i</math>와 <math>c + d\, i</math>의 곱은 아래와 같다.

:<math>(a + b\, i) \cdot (c + d\, i) = (a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}</math>
즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다.

===두 사원수의 곱===
{{본문|사원수}}
[[사원수]] 참조. 사원수의 곱셈에서는 일반적으로 <math>a \cdot b</math>와 <math>b \cdot a</math>가 같지 않다.

==수열의 곱==
수열의 곱에서는 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 [[Π|파이]] <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">Π</span>를 사용한다.([[합]] 기호로 대문자 시그마 <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">Σ</span>를 쓰는 것과 유사하다.)<ref name=":0">{{웹 인용|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> 예를 들어, <math>\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2</math>는 <math>1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36</math>를 의미한다.<ref>{{웹 인용|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu|archive-date=2023-08-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20230829132018/https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|url-status=}}</ref>

하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같다.

== 가환환 ==
[[가환환]]에도 곱 연산이 존재한다.

=== 정수의 합동류 ===
{{본문|모듈러 산술#성질}}
환의 <math>\Z/N\Z</math>의 합동류의 덧셈은 아래와 같고,

:<math>(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z</math>

곱은 아래처럼 정의된다.

:<math>(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z</math>

=== 합성곱 ===
{{본문|합성곱}}
[[파일:Convolucion Funcion Pi.gif|섬네일|upright=1.5|방형파의 자기 자신에 대한 합성곱은 [[삼각형함수]]가 된다.]]
두 실함수를 곱하는 또다른 방법으로 [[합성곱]]이 있다.

두 함수 {{mvar|f}}, {{mvar|g}}가
:<math>
  \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t < \infty,\qquad
  \int\limits_{-\infty}^\infty |g(t)|\,\mathrm{d}t < \infty
</math>
을 만족할 때 합성곱은 아래와 같이 정의된다.
:<math>(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau </math>

=== 다항식환 ===
{{본문|다항식환}}
[[다항식환]]에서 두 다항식의 곱은 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k </math>
여기서 <math> c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j </math>이다.

== 선형대수학에서의 곱 ==
[[선형대수학]]에서는 여러 종류의 곱을 다룬다.

=== 스칼라 곱셈 ===
{{본문|스칼라 곱셈}}
[[벡터 공간]]의 정의에 의해 [[스칼라 (수학)|스칼라]]와 벡터를 곱해 벡터를 얻는 사상 <math>\R \times V \rightarrow V</math>인 [[스칼라 곱셈]]을 할 수 있다.

=== 스칼라곱 ===
<math>v \cdot v > 0</math>인 모든 <math>0 \not= v \in V</math>에 대해 [[스칼라곱]]은 아래와 같이 정의되는 이중선형사상이다.
:<math>\cdot : V \times V \rightarrow \R </math>

<math>n</math>차원 유클리드 공간에서 스칼라곱(점곱이라고도 한다.)은 다음과 같다.

:<math>\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i</math>

스칼라곱으로부터 [[노름 공간|노름]]을 <math>\|v\| := \sqrt{v \cdot v} </math>로 정의할 수 있다.

두 벡터 사이의 각 또한 스칼라곱으로 정의한다.
:<math>\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}</math>

=== 3차원 공간의 벡터곱 ===
{{본문|벡터곱}}
3차원 공간에서 두 벡터의 [[벡터곱]]은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다.

벡터곱은 아래와 같은 [[행렬식]]으로도 구할 수 있다.
:<math>\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
         u_1 &        u_2 &        u_3 \\
         v_1 &        v_2 &        v_3 \\
\end{vmatrix}</math>

=== 선형 사상의 합성 ===
{{본문|함수의 합성}}
[[체 (수학)|체]] '''F''' 위의 두 [[벡터 공간]] ''V''와 ''W''에 대하여 아래조건을 만족하는 함수 ''f''를 [[선형 변환|선형 사상]]이라 한다.<ref>{{서적 인용|last1=Clarke|first1=Francis|title=Functional analysis, calculus of variations and optimal control|date=2013|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=1447148207|pages=9–10}}</ref>
:<math>f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.</math>

유한 차원 벡터 공간에 대해, '''b<sub>V</sub>'''와 '''b<sub>W</sub>'''를 각각 ''V''와 ''W''의 [[기저 (선형대수학)|기저]]라 하고 ''v<sub>i</sub>''를 '''v'''의 '''b<sub>V</sub>'''<sup>''i''</sup> 방향 성분이라 하면 다음과 같이 된다.
:<math>f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,</math>
여기서 식은 [[아인슈타인 표기법]]을 따랐다.

그러면 이제 유한 차원 벡터 공간 위의 두 선형 사상에 대하여 함수를 합성할 수 있다. ''f''를 ''V''에서 ''W''로의 선형 사상, ''g''를 ''W''에서 ''U''로의 선형 사상이라 하자. 그러면 ''V''에서 ''U''로 가는 ''f''와 ''g''의 합성 {{math|1=''g'' ∘ ''f''}}는 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.</math>
또는 행렬 '''F'''와 '''G'''에 대해 ''F<sub>ij</sub>=f<sup>j</sup><sub>i</sub>'', ''G<sub>ij</sub>=g<sup>j</sup><sub>i</sub>''라 하면 함수의 합성은 다음과 같다.
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},</math>
둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다.

=== 두 행렬의 곱 ===
{{본문|행렬 곱셈}}
두 행렬
:<math>A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r} </math>
:<math>B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}</math>

에 대해 두 행렬의 행렬곱은 아래와 같다.

:<math>B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}</math>

=== 벡터 공간의 텐서곱 ===
{{본문|텐서곱}}
두 유한 차원 벡터 공간 ''V''와 ''W''에 대해, 두 벡터 공간의 [[텐서곱]]은 다음을 만족하는 (2, 0)-텐서로 정의할 수 있다.<ref>{{서적 인용|last1=Boothby|first1=William M.|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|url-access=registration|date=1986|publisher=Academic Press|location=Orlando|isbn=0080874398|page=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/200 200]|edition=2nd}}</ref>
:<math>V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,</math>
여기서 ''V<sup>*</sup>''와 ''W<sup>*</sup>''는 각각 ''V''와 ''W''의 [[쌍대 공간]]이다.

=== 선형대수학에서의 기타 곱 ===
* [[아다마르 곱]]
* [[크로네커 곱]]
* [[텐서]]의 곱:
** [[외대수#정의|쐐기곱]]
** [[내부곱]]
** [[외적]]
** [[텐서곱]]

== 데카르트 곱 ==
{{본문|데카르트 곱}}
[[집합론]]에서, [[데카르트 곱]]은 여러 [[집합]]으로부터 새로운 집합을 만드는 연산이다. 즉, 집합 ''A''와 ''B''에 대해 데카르트 곱 ''A'' × ''B''는 a ∈ ''A''이고 b ∈ ''B''인 모든 순서쌍 (a, b)들로 이루어진 집합이다.<ref>{{서적 인용|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=13|edition=2nd}}</ref>

== 기타 대수 구조에서의 곱 ==
* [[집합]]의 [[데카르트 곱]]
* [[군]]의 [[직접곱]], [[반직접곱]], [[화환곱]]
* 군의 [[자유곱]]
* [[환 (수학)#연산|환의 곱]]
* [[아이디얼#연산|아이디얼의 곱]]
* [[곱위상]]
* [[대수적 위상수학]]의 [[교곱]], [[합곱]], [[매시 곱]]
* [[호모토피]]의 [[분쇄곱]], [[쐐기합|쐐기곱]]

== 범주론에서의 곱 ==
이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 [[범주론]]에서의 [[곱 (범주론)|곱]]의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다.
* [[당김 (범주론)|당김]]
* [[초곱]]

== 같이 보기 ==
* [[곱셈]]
* [[무한곱]]
* [[논리곱]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:곱셈]]