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[[모노이드]] 이론에서, '''그린 관계'''(Green關係, {{llang|en|Green’s relation}})는 임의의 [[모노이드]] 위에 존재하는 5개의 표준적인 [[동치 관계]] L·R·J·H·D이다.

== 정의 ==
임의의 [[모노이드]] <math>M</math> 위에는 다음과 같이 5개의 표준적인 [[동치 관계]]가 존재하며, 이를 '''그린 관계'''라고 한다.<ref name="Green">{{저널 인용|제목=On the structure of semigroups|이름=James Alexander|성=Green|권=54|호=1|날짜=1951-07|쪽=163–172|doi=10.2307/1969317|저널=Annals of Mathematics. Second Series|jstor=1969317|언어=en}}</ref>
:<math>m \;\mathcal L\; n\iff Mm=Mn</math>
:<math>m \;\mathcal R\; n\iff mM=nM</math>
:<math>m \;\mathcal J\; n\iff MmM=MnM</math>
:<math>m \;\mathcal H\; n\iff (m \;\mathcal{L}\; n)\land(m \;\mathcal{R}\; n)</math>
:<math>m \;\mathcal D\; n\iff\exists p\in M\colon m\;\mathcal L\;p\;\mathcal R\;n\iff \exists q\in M\colon m\;\mathcal R\;q\;\mathcal L\;n</math>
즉, 풀어 쓰면 다음과 같다.
* <math>\mathcal L</math>은 두 원소가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* <math>\mathcal R</math>는 두 원소가 생성하는 오른쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* <math>\mathcal J</math>는 두 원소가 생성하는 양쪽 아이디얼이 같은지 여부이다.
* <math>\mathcal H</math>는 두 원소가 생성하는 왼쪽·오른쪽 아이디얼이 둘 다 같은지 (즉, <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>가 동시에 성립하는지) 여부이다.
* <math>\mathcal D</math>는 첫째가 생성하는 왼쪽 아이디얼이 둘째가 생성하는 오른쪽 아이디얼과 교차하는지 여부이다.

== 성질 ==
이들 사이에는 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\mathcal H&\implies&\mathcal L\\
\Downarrow&&\Downarrow\\
\mathcal R&\implies&\mathcal D&\implies&\mathcal J
\end{matrix}</math>
<math>\mathcal H</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>를 함의하는 가장 섬세한 [[동치 관계]]이며, <math>\mathcal D</math>는 <math>\mathcal L</math>과 <math>\mathcal R</math>를 함의하는 가장 거친 [[동치 관계]]이다.

유한 모노이드에서 <math>\mathcal D</math>와 <math>\mathcal J</math>는 서로 [[동치]]이나, 이는 무한 모노이드에서 성립하지 않을 수 있다.

가환 모노이드에서는 5개 그린 관계가 모두 서로 동치이다. [[군 (수학)|군]]의 경우 5개 그린 관계가 모두 동치이며 항상 참이다 (즉, 그 [[동치류]]는 군 전체이다).

=== 동치류 ===
주어진 <math>\mathcal D</math>-동치류 속에 포함된 <math>\mathcal H</math>-동치류들의 크기는 모두 같다.

'''그린 정리'''({{llang|en|Green’s theorem}})에 따르면, 임의의 [[모노이드]]의 임의의 <math>\mathcal H</math>-동치류 <math>H</math>에 대하여, 다음 두 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
* <math>H^2 \cap H = \varnothing</math>
* <math>H^2 = H</math>이며 <math>H</math>는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.

=== 쉬첸베르제 군 ===
[[모노이드]] <math>M</math>의 <math>\mathcal H</math>-[[동치류]] <math>H</math>가 주어졌을 때,
:<math>T(H)=\{t\in M\colon Ht\subseteq H\}</math>
를 정의하자. 그렇다면, 이는 <math>M</math>의 부분 모노이드를 이룬다. 이 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
:<math>t\sim t'\iff \forall h\in H\colon ht=ht'</math>
그렇다면 <math>\Gamma(H)=T(H)/{\sim}</math> 역시 모노이드를 이루며, 이는 사실 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이를 <math>H</math>의 '''쉬첸베르제 군'''({{llang|en|Schützenberger group}})이라고 한다.

일반적으로 <math>|H|=|\Gamma(H)|</math>이다.  만약 <math>H</math>가 [[군 (수학)|군]]을 이룬다면 <math>\Gamma(H)=T(H)=H</math>이다. 같은 <math>\mathcal D</math>-동치류에 속하는 <math>\mathcal H</math>-동치류들의 쉬첸베르제 군은 서로 [[동형]]이다. 오른쪽 작용 대신 왼쪽 작용을 사용하여 쉬첸베르제 군을 정의할 수 있으며, 이들은 서로 [[반대군]]을 이루므로 서로 동형이다.

== 역사 ==
그린 관계는 제임스 알렉산더 그린({{llang|en|James Alexander Green}}, 1926〜2014)이 1951년에 도입하였다.<ref name="Green"/> 그린은 이 [[동치 관계]]들을 오늘날 사용되는 표기 따위 대신 [[합동 산술]]과 유사하게 표기하였다.
{| class=wikitable
! 그린의 기호 !! 오늘날의 기호
|-
|<math>x \equiv y\quad(\mathfrak l)</math>
|<math>x\;\mathcal L\;y</math>
|-
| <math>x \equiv y\quad(\mathfrak r)</math>
| <math>x\;\mathcal R\;y</math>
|-
| <math>x \equiv y\quad(\mathfrak r\cap\mathfrak l)</math> 
| <math>x\;\mathcal H\;y</math>
|-
| <math>x \equiv y\quad(\mathfrak d)</math>
| <math>x\;\mathcal D\;y</math>
|-
| <math>x \equiv y\quad(\mathfrak f)</math>
| <math>x\;\mathcal J\;y</math>
|}

쉬첸베르제 군은 프랑스의 수학자 마르셀폴 쉬첸베르제({{llang|fr|Marcel-Paul Schützenberger}}, 1920〜1996)가 1957년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Marcel-Paul|성=Schützenberger|year=1957|title=''D̄'' représentation des demi-groupes|journal=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences|volume=244|pages=1994–1996|zbl=0081.25303|언어=fr}}</ref>

수학자 존 매킨토시 하위({{llang|en|John Mackintosh Howie}})는 그린 관계의 중요성에 대하여 다음과 같이 평하였다.
{{인용문2|
새 [[반군]]을 접하게 되면, 거의 최초로 묻는 질문은 “그린 관계가 어떤가?”이다.<br>
{{lang|en|[O]n encountering a new semigroup, almost the first question one asks is ‘What are the Green relations like?’}}
|<ref>{{서적 인용|장=Semigroups, past, present and future|이름=John Mackintosh|성= Howie|제목= Proceedings of the International Conference on Algebra and its Applications, March 18–22, 2002, Department of Mathematics, Chulalongkorn University, Bangkok, Thailand|날짜= 2002|출판사=Chulalongkorn University|쪽=6–20|oclc=935919056|언어=en}}</ref>{{rp|7}}
}}

== 예 ==
유한 모노이드의 그린 관계는 보통 '''계란통 그림'''({{llang|en|eggbox diagram}})으로 표현된다. 이 경우.
* <math>\mathcal R</math>의 동치류는 그림의 각 행에 대응된다.
* <math>\mathcal L</math>의 동치류는 그림의 각 열에 대응된다.
* <math>\mathcal H</math>의 동치류는 그림의 각 칸에 대응된다.
* <math>\mathcal D</math> 또는 <math>\mathcal J</math>의 동치류는 그림의 각 행렬에 대응된다.

예를 들어, 집합 <math>\{1,2,3\}</math>의 [[자기 함수]] <math>\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}</math>들의 모노이드를 생각하자. 함수 <math>(1\mapsto x,2\mapsto y,3\mapsto z)</math>를 <math>(x,y,z)</math>로 표기하자. 그렇다면, 이 모노이드의 계란통 그림은 다음과 같다.
{|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| '''(1 1 1)''' || '''(2 2 2)''' || '''(3 3 3)'''
|}
|-
|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| '''(1 2 2)'''<br/>(2 1 1) || '''(1 3 3)'''<br/>(3 1 1) || (2 3 3)<br/>(3 2 2)
|-
| (2 1 2)<br/>'''(1 2 1)''' || (3 1 3)<br/>(1 3 1) || '''(3 2 3)'''<br/>(2 3 2)
|-
| (2 2 1)<br/>(1 1 2) || (3 3 1)<br/>'''(1 1 3)''' || (3 3 2)<br/>'''(2 2 3)'''
|}
|-
|
|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| '''(1 2 3)''' (2 3 1)<br/>(3 1 2) (1 3 2)<br/>(3 2 1) (2 1 3)
|}
|}

여기서 굵은 글씨체로 표기된 원소는 [[멱등원]]이며, 이를 포함하는 칸(<math>\mathcal H</math>-동치류)은 [[멱등원]]을 항등원으로 하는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.

=== 자연수의 덧셈 모노이드 ===
자연수 집합 <math>\mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}</math>은 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다. 이는 [[가환 모노이드]]이므로 5개의 그린 관계가 모두 일치하며, 그 [[동치류]]는 모두 [[한원소 집합]]이다. (즉, 그린 관계는 자연수의 값이 같은 것이다.) 즉, 그 달걀통 그림은 다음과 같다.
{|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| '''0'''
|}
|-
|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| 1
|}
|-
|
|
|
{| border="1" style="border-collapse: collapse"
| 2
|}
|-
|
|
|
| ⋱
|}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Green equivalence relations}}

{{전거 통제}}

[[분류:반군]]