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[[수학]]과 [[물리학]]에서 '''파울리 행렬'''({{lang|en|Pauli matrix}})은 3차원 회전군의 생성원인 세 개의 2×2 복소 [[행렬]]이다. 기호는 <math>\sigma_1</math>, <math>\sigma_2</math>, <math>\sigma_3</math>로, 다음과 같다.
:<math>
\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.
</math>

파울리 행렬은 [[에르미트 행렬]]이면서 [[유니타리 행렬]]이다. 수학적으로 회전 대칭의 [[리 대수]]인 <math>\mathfrak{su}_2</math>의 생성원이며, [[양자역학]]에서 [[스핀 (물리학)|스핀]]이나 [[아이소스핀]] 등을 표현하는 데 쓰인다. [[볼프강 파울리]]가 [[제이만 효과]]를 연구하기 위하여 1925년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Wolfgang|성=Pauli|저자링크=볼프강 파울리|제목={{lang|de|Über den Einfluß der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse auf den Zeemaneffekt}}|저널={{lang|de|Zeitschrift für Physik}}|권=31|호=1|쪽=373–385|연도=1925|doi=10.1007/BF02980592|bibcode=1925ZPhy...31..373P|언어=de}}</ref>

== 수학적 성질 ==
파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이다.
: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i </math> : 에르미트 행렬
: <math>\sigma_i^\dagger \sigma_i = I </math> : 유니타리 행렬
여기서 <math>I</math>는 [[단위행렬]]이다.
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!증명 : 파울리 행렬은 에르미트 행렬이다.
|-
|
:<math>
\sigma_1^\dagger = 
\begin{pmatrix}
0&\bar{1}\\
\bar{1}&0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
= \sigma_1
</math>
:<math>
\sigma_2^\dagger =
\begin{pmatrix}
0&\bar{i}\\
\bar{-i}&0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
=\sigma_2
</math>
:<math>
\sigma_3^\dagger =
\begin{pmatrix}
\bar{1}&0\\
0&\bar{-1}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
=\sigma_3
</math>
|}
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!증명 : 파울리 행렬은 유니타리 행렬이다.
|-
|
파울리 행렬은 에르미트 행렬이기도 하므로,
: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i </math>
이다. 따라서 파울리 행렬이 유니타리 행렬이라는 것은 다음과 동치이다.
: <math>\sigma_i^2 = I </math>
위의 증명은 아래와 같다.
:<math>
\sigma_1^2 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0+1  & 0+0\\
0+0  & 1+0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1  & 0\\
0  & 1
\end{pmatrix}
=I
</math>
:<math>
\sigma_2^2 =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
= 
\begin{pmatrix}
0+(-i)\times i & 0 + 0 \\
0 +0 &i \times (-i) + 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 &1
\end{pmatrix}
= I
</math>
:<math>
\sigma_3^2 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1+0  & 0+0\\
0+0  & 0+(-1)^2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1  & 0\\
0  & 1
\end{pmatrix}
=I
</math>
|}

파울리 행렬은 에르미트 행렬이면서 유니타리 행렬이기 때문에 아래 성질이 성립한다.
:<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I</math>

파울리 행렬의 [[행렬식]]과 [[대각합]]의 값은 다음과 같다.
:<math>\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{for}\ i = 1, 2, 3
\end{matrix}</math>
이로부터, 파울리행렬의 [[고윳값]]은 ±1 임을 알 수 있다.

파울리 행렬은 다음과 같은 [[교환관계]]와 [[반대바꿈관계]]를 가진다.
:<math>\begin{matrix}
[\sigma_a, \sigma_b]     &=& 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c \\[1ex]
\{\sigma_a, \sigma_b\} &=& 2 \delta_{a b} \cdot I
\end{matrix}</math>

여기서 ''ε''<sub>''abc''</sub>는 [[레비치비타 기호]], ''δ''<sub>''ab''</sub>는 [[크로네커 델타]]이며, <math>[\sigma_a, \sigma_b]</math>는 [[리 대수|리 괄호]]이다.

위의 두 관계를 요약하면 다음과 같다.

:<math>\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,</math>.

예를 들어, 몇몇 값을 구해보면
:<math>\begin{matrix}
\sigma_1\sigma_2 &=& i\sigma_3,\\
\sigma_2\sigma_3 &=& i\sigma_1,\\
\sigma_2\sigma_1 &=& -i\sigma_3,\\
\sigma_1\sigma_1 &=& I.\\
\end{matrix}</math>
이다.

또한, 위 행렬 3개를 한번에 벡터로 모아 '''파울리 벡터'''({{lang|en|Pauli vector}})로 사용하기도 하는데, 자세한 정의는 다음과 같다.
:<math>\mathbf{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,</math>
교환관계식을 이용하면 파울리 벡터와 교환법칙이 성립하는 임의의 벡터 '''a'''와 '''b'''에 대해 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.
:<math>(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + i \mathbf{\sigma} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) \quad \quad \quad \quad \,</math>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!증명
|-
|
:{|
|<math>(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})(\mathbf{b} \cdot \mathbf{\sigma}) \,</math>
|<math> = a_i \sigma_i b_j \sigma_j \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \sigma_i \sigma_j \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \left( \delta_{ij} \cdot I+ i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \delta_{ij} \cdot I+ i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \,</math>
|-
|
|<math> = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,</math>
|}
|}
또한, 임의의 벡터 '''a'''와 그 방향 단위벡터 <math>\textstyle \hat{n}</math>, 그 벡터의 길이 ''a''에 대해 아래의 관계가 성립한다.
:<math>e^{i (\mathbf{a} \cdot \mathbf{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \mathbf{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad </math>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!증명
|-
|
먼저 임의의 짝수에 대한 [[거듭제곱]]에 대해
:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,</math>
이 성립함을 알 수 있지만, 홀수에 대한 거듭제곱에 대해서는
:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,</math>
임을 알 수 있다. 이 두 사실과, 지수함수와 사인, 코사인 함수와의 관계
:{|
|<math>e^{ix} \,</math>
|<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \,</math>
|-
|
|<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
|}
를 이용하고 x에
:<math>x = a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \,</math>
을 대입하면,
::<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
을 얻는다. 여기서 왼쪽의 합은 코사인, 오른쪽의 합은 사인 함수의 급수 형태임을 알 수 있다. 따라서,
:<math>e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,</math>
이다.
|}

== 리 대수의 발생원 ==
파울리 행렬은 [[리 대수]] <math>\mathfrak{su}(2)</math> (또는 <math>\mathfrak a_1</math>)의 발생원이다, 즉
:<math> [\frac{\sigma^i}{2},\frac{\sigma^j}{2}] = \epsilon^{ijk} \cdot \frac{\sigma^k}{2}  </math>
이므로, 그 구조 상수는 <math>\epsilon^{ijk}</math>이다.

== 클리퍼드 대수의 발생원 ==
파울리 행렬은 [[클리퍼드 대수]]의 발생원이며, 다음과 같은 디랙-클리퍼드 연산법칙을 만족한다
:<math> \{\sigma^i,\sigma^j \} = 2\delta^{ij} </math>
따라서 단위행렬과 함께 2x2의 [[에르미트 행렬]]의 [[기저]]가 된다.
일반적인 ''n''차원의 클리퍼드 행렬을 이루는 기저는 파울리 행렬을 직화곱으로 언제나 표현할 수 있다.

== 같이 보기 ==
* [[디랙 행렬]]
* [[각운동량]]
* [[겔만 행렬]]
* [[푸앵카레 군]]
* [[블로흐 구면]]
* [[오일러의 네 제곱수 항등식]]
* [[교환 행렬]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pauli matrices }}
* {{매스월드|id=PauliMatrices|title=Pauli matrices}}
* {{수학노트|id=파울리 행렬}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:행렬]]
[[분류:수리물리학]]