{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''단조 정규 공간'''({{llang|en|monotonically normal space}})은 [[서로소 집합|서로소]] [[닫힌집합]]을 분리하는 [[서로소 집합|서로소]] [[열린집합]]을 [[단조함수]]를 통해 고를 수 있는 [[정규 공간]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T_X)</math>
* <math>X</math>의 [[부분 집합]]의 [[순서쌍]]들의 집합 <math>\mathcal A\subseteq \mathcal P(X)\times\mathcal P(X)</math>
그렇다면, '''단조 정규성 연산자'''({{llang|en|monotone normality operator}}) <math>G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X</math>는 다음 두 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
* <math>\mathcal A</math>에 부분 순서 <math>(A,B)\le(A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'</math>를 주었을 때, <math>G</math>는 [[단조함수]]이다.
* <math>\forall(A,B)\in\mathcal A\colon A\subseteq G(A,B)\subseteq\operatorname{cl}G(A,B)\subseteq X\setminus B</math>
만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, '''자기 서로소 단조 정규성 연산자'''({{llang|en|self-disjoint monotonical normality operator}})라고 한다.
:<math>\forall(A,B)\in\mathcal A\cap\mathcal A^{-1}\colon G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing</math>
단조 정규성 연산자 <math>G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X</math>가 주어졌을 때, 만약 <math>\mathcal A=\mathcal A^{-1}</math>라면,
:<math>H\colon\mathcal A\to\mathcal T_X</math>
:<math>H(E,F)=G(E,F)\setminus\operatorname{cl}G(F,E)</math>
는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.
:<math>\mathcal S_X=\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op}}\colon A\cap\operatorname{cl}B=\operatorname{cl}A\cap B=\varnothing\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\mathcal D_X=\{(E,F)\colon\operatorname{Clsd}(X)\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op}}\colon E\cap F=\varnothing\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op}}</math>
:<math>\mathcal N_X=\{(x,F)\in X\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op}}\colon x\in X\setminus F\}\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op}}</math>

그렇다면, 항상 <math>\mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X</math>이며, <math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이라면 <math>\mathcal N_X\subseteq\mathcal D_X</math>이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>(X,\mathcal T_X)</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''단조 정규 공간'''이라고 한다.
* 단조 정규성 연산자 <math>\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>가 존재한다.

[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>(X,\mathcal T_X)</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Heath">{{저널 인용
|성1=Heath
|이름1=R. W.
|성2=Lutzer
|이름2=David J.
|성3=Zenor
|이름3=P. L.
|제목=Monotonically normal spaces
|언어=en
|저널=Transactions of the American Mathematical Society
|권=178
|쪽=481–493
|날짜=1973
|issn=0002-9947
|doi=10.2307/1996713
|mr=0372826
|zbl=0269.54009
}}</ref>{{rp|Lemma 2.2}}
* 단조 정규성 연산자 <math>\mathcal S_X\to\mathcal T_X</math>가 존재한다.
* 단조 정규성 연산자 <math>\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>가 존재한다.
* 자기 서로소 단조 정규성 연산자 <math>\mathcal N_X\to\mathcal T_X</math>가 존재한다.
{{증명}}
<math>X</math>가 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이므로,
:<math>\mathcal N_X\subseteq\mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X</math>
이다. 따라서, 만약 <math>G\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X</math>가 단조 정규성 연산자라면, <math>G\restriction\mathcal D_X\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math> 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 <math>G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, <math>G\restriction\mathcal N_X\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X</math> 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자
:<math>G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X</math>
가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>H\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X</math>
:<math>H(A,B)=\bigcup_{a\in A}G(a,\operatorname{cl}B)</math>
만약
:<math>(A,B),(A',B')\in\mathcal S_X</math>
:<math>A\subseteq A'</math>
:<math>B\supseteq B'</math>
라면, 자명하게 <math>H(A,B)\subseteq H(A',B')</math>이다. 또한, 임의의 <math>(A,B)\in\mathcal S_X</math>에 대하여,
:<math>A=\bigcup_{a\in A}\{a\}\subseteq\bigcup_{a\in A}G(a,\operatorname{cl}B)=H(A,B)</math>
:<math>B=\bigcup_{b\in B}\{b\}\subseteq\bigcup_{b\in B}G(b,\operatorname{cl}A)=\operatorname{int}\bigcup_{b\in B}G(b,\operatorname{cl}A)\subseteq\operatorname{int}(X\setminus H(A,B))=X\setminus\operatorname{cl}H(A,B)</math>
:<math>H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(G(a,\operatorname{cl}B)\cap G(b,\operatorname{cl}A))\subseteq\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}\varnothing=\varnothing</math>
이다. 따라서, <math>H</math>는 단조 정규성 연산자이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| [[거리화 가능 공간]] || → || 단조 정규 하우스도르프 공간 || → || [[완비 집합족적 정규 공간|완비 집합족적 정규]] [[하우스도르프 공간]] || → || [[집합족적 정규 공간|집합족적 정규]] [[하우스도르프 공간]]
|-
| || ↘ || || || ↓ || || ↓
|-
| || || [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>6</sub>) || → || [[완비 정규 공간|완비 정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>5</sub>) || → || [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>4</sub>)
|}
{{증명|부제=거리화 가능 공간 → 단조 정규 하우스도르프 공간}}
모든 [[거리 공간]] <math>(X,d)</math>가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>
:<math>G(E,F)=\left\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in[0,1/2)\right\}</math>
그렇다면,
:<math>x\mapsto\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}</math>
가 [[연속 함수]] <math>X\to[0,1]</math>이므로, <math>G(E,F)\subseteq X</math>는 [[열린집합]]이다. 만약
:<math>(E,F),(E',F')\in\mathcal D_X</math>
:<math>E\subseteq E'</math>
:<math>F\supseteq F'</math>
라면,
:<math>\forall x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\ge\frac{d(x,E')}{d(x,E')+d(x,F')}</math>
이므로,
:<math>G(E,F)\subseteq G(E',F')</math>
이다. 또한,
:<math>E=\left\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=0\right\}\subseteq G(E,F)</math>
:<math>F=\left\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=1\right\}\subseteq\left\{x\in X\colon\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in(1/2,1]\right\}\subseteq X\setminus\operatorname{cl}G(E,F)</math>
이다. 즉, <math>G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>는 단조 정규성 연산자이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간}}
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 [[부분 집합]]은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 <math>X</math> 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자
:<math>G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>
및 [[닫힌집합]]들의 [[이산 집합족]]
:<math>\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)</math>
:<math>\forall x\in X\exists U\in\mathcal T_X\colon x\in U\land|\{F\in\mathcal F\colon U\cap F\ne\varnothing\}|<\aleph_0</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]]
:<math>\{U(F)\}_{F\in\mathcal F}\subseteq\mathcal T_X</math>
:<math>\forall E\in\mathcal F\forall F\in\mathcal F\setminus\{E\}\colon U(E)\cap U(F)=\varnothing</math>
:<math>\forall F\in\mathcal F\colon F\subseteq\mathcal U(F)</math>
을 찾으면 충분하다. 모든 [[이산 집합족]]은 [[국소 유한 집합족]]이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, [[닫힌집합]]들의 이산 집합족의 합집합은 [[닫힌집합]]이다. 이제, 임의의 <math>F\in\mathcal F</math>에 대하여,
:<math>U(F)=G\left(F,\bigcup\mathcal F\setminus\{F\}\right)\subseteq X</math>
라고 하자. <math>G</math>의 정의에 따라, <math>U(F)</math>는 [[열린집합]]이며, <math>F\subseteq U(F)</math>이다. 만약 <math>E,F\in\mathcal F</math>이며 <math>E\ne F</math>라면,
:<math>U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing</math>
이다. 즉, <math>\{U(F)\}_{F\in\mathcal F}</math>는 [[서로소 집합족]]이다.
{{증명 끝}}
[[순서 위상]]을 갖춘 [[전순서 집합]]은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.<ref name="Heath" />{{rp|Theorem 5.3}}
{{증명}}
임의의 [[전순서 집합]] <math>(X,\le)</math> 위에 [[순서 위상]]을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.
* ([[T1 공간|T<sub>1</sub>]]) 모든 [[한원소 집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
* (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 <math>G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X</math>가 존재한다.

'''T<sub>1</sub>.''' 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여,
:<math>\{x\}=[x,x]=X\setminus\left((-\infty,x)\cup(x,\infty)\right)</math>
이므로 [[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>는 [[닫힌집합]]이다.

'''단조 정규성.''' [[선택 공리]]와 [[동치]]인 [[정렬 정리]]에 따라, <math>X</math> 위에 임의의 [[정렬 전순서]] <math>W</math>를 주자. 임의의 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math> 및 점 <math>x\in X\setminus F</math>에 대하여, 다음과 같이 정의하자.
* <math>C(x,F)</math>는 <math>x</math>를 포함하는 <math>X\setminus F</math>의 [[순서 볼록 성분]]이다.
* 만약 <math>C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing</math>이라면, <math>a(x,F)=\min\nolimits_{(X,W)}(C(x,F)\cap(-\infty,x))</math>
* 만약 <math>C(x,F)\cap(x,\infty)\ne\varnothing</math>이라면, <math>b(x,F)=\min\nolimits_{(X,W)}(C(x,F)\cap(x,\infty))</math>
이제,
:<math>G(x,F)=
\begin{cases}
(a(x,F),b(x,F))&C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing\ne C(x,F)\cap(x,\infty)\\
(a(x,F),x]&C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)\\
{}[x,b(x,F))&C(x,F)\cap(-\infty,x)=\varnothing\ne C(x,F)\cap(x,\infty)\\
\{x\}&C(x,F)\cap(-\infty,x)=\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)
\end{cases}
</math>
라고 하자. <math>G\colon\mathcal N_X\to\mathcal T_X</math>가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.
* <math>G(x,F)</math>는 [[열린집합]]이다.
** <math>C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)</math>인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) <math>x\in X\setminus F</math>이며 <math>X\setminus F</math>가 [[열린집합]]이므로, <math>x\in (a,b)\subseteq X\setminus F</math>인 <math>a,b\in X</math>가 존재한다. <math>(a,b)</math>는 <math>x</math>를 포함하는 [[순서 볼록 집합]]이므로, <math>(a,b)\subseteq C(x,F)</math>이다. <math>C(x,F)\cap(x,\infty)=\varnothing</math>이므로, <math>(x,b)=\varnothing</math>이다. 따라서, <math>(a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)</math>이다.
* <math>x\in G(x,F)</math>
** 이는 자명하다.
* <math>\operatorname{cl}G(x,F)\subseteq X\setminus F</math>
** <math>C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)</math>인 경우를 생각하자. 이 경우, <math>\operatorname{cl}G(x,F)=\operatorname{cl}(a(x,F),x]\subseteq[a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F</math>이다.
* 만약 <math>E,F\subseteq X</math>가 [[닫힌집합]]이며, <math>x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E</math>라면, <math>G(x,E)\subseteq G(x,F)</math>
** <math>C(x,E)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,E)\cap(x,\infty)</math>이며 <math>C(x,F)\cap(-\infty,x)\ne\varnothing=C(x,F)\cap(x,\infty)</math>인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, <math>G(x,E)=(a(x,E),x]</math>, <math>G(x,F)=(a(x,F),x]</math>이다. 만약 <math>a(x,E)=a(x,F)</math>라면, <math>G(x,E)=G(x,F)</math>이며, 특히 <math>G(x,E)\subseteq G(x,F)</math>이다. 이제, <math>a(x,E)\ne a(x,F)</math>라고 가정하자. <math>X\setminus F\subseteq X\setminus E</math>이므로, <math>C(x,F)\subseteq C(x,E)</math>이다. 따라서, <math>a(x,E)\le_W a(x,F)</math>이며, <math>a(x,E)\ne a(x,F)</math>이므로 <math>a(x,E)<_Wa(x,F)</math>이다. <math>a(x,F)</math>의 정의에 따라, <math>a(x,E)</math>는 <math>C(x,F)</math>의 원소일 수 없다. 따라서, <math>a(x,E)<a(x,F)</math>이며, <math>G(x,E)\subseteq G(x,F)</math>이다.
* 임의의 서로 다른 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing</math>
** <math>C(x,y)\cap(-\infty,x)=\varnothing\ne C(x,y)\cap(x,\infty)</math>이며 <math>C(y,x)\cap(-\infty,y)\ne\varnothing=C(y,x)\cap(y,\infty)</math>인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, <math>G(x,y)=[x,b(x,y))</math>, <math>G(y,x)=(a(y,x),y]</math>이다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>G(x,y)\cap G(y,x)\ne\varnothing</math>이라고 가정하자. <math>[x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus\{y\}</math>, <math>[a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus\{x\}</math>이므로, <math>x<a(y,x)<b(x,y)<y</math>일 수밖에 없다. 따라서 <math>a(y,x)=\min\nolimits_{(X,W)}(x,y)=b(x,y)</math>이며, 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 [[부분 집합]]은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 단조 정규 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[닫힌집합]]들로 구성된 [[국소 유한 덮개]]를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다.
{{증명}}
단조 정규 하우스도르프 공간 <math>X</math> 및 단조 정규성 연산자
:<math>G\colon\mathcal S_X\to\mathcal\mathcal T_X</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여,
:<math>\mathcal S_Y\subseteq\mathcal S_X</math>
이며,
:<math>H\colon\mathcal S_Y\to\mathcal T_Y</math>
:<math>H(A,B)=G(A,B)\cap Y</math>
는 단조 정규성 연산자이다.
{{증명 끝}}

단조 정규 하우스도르프 공간 <math>X</math> 및 [[닫힌 함수|닫힌]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 그 [[상 (수학)|상]] <math>f(X)</math>는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.<ref name="Heath" />{{rp|Theorem 2.6}}
{{증명}}
편의상 <math>f(X)=Y</math>라고 하자. 단조 정규성 연산자
:<math>G\colon\mathcal D_X\to\mathcal T_X</math>
가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>H\colon\mathcal D_Y\to\mathcal T_Y</math>
:<math>H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))</math>
이는 자명하게 [[단조함수]]이다.
:<math>f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))</math>
:<math>f^{-1}(K)\subseteq X\setminus\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))</math>
이므로,
:<math>H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)</math>
:<math>\begin{align}
K
&\subseteq Y\setminus f(\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\
&=\operatorname{int}(Y\setminus f(\operatorname{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\
&=\operatorname{int}f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\
&=\operatorname{int}(X\setminus H(E,F))\\
&=X\setminus\operatorname{cl}H(E,F)
\end{align}
</math>
이다. 따라서, <math>H</math>는 단조 정규성 연산자이다.
{{증명 끝}}

단조 정규 하우스도르프 공간 <math>X,Y</math> 및 [[닫힌집합]] <math>Z\subseteq X</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon Z\to Y</math>에 대하여, [[붙임 공간]] <math>X\cup_fY</math>는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.<ref name="Miwa">{{저널 인용
|성=Miwa
|이름=Takuo
|제목=Adjunction spaces of monotonically normal spaces and spaces dominated by monotonically normal subsets
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=87
|호=3
|쪽=536-538
|날짜=1983
|issn=0002-9939
|doi=10.2307/2043646
|mr=0684653
|zbl=0512.54011
}}</ref>{{rp|Theorem 1.1}}
{{증명}}
다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.
* <math>X\cup_fY</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다. 즉, 모든 [[한원소집합]]은 [[닫힌집합]]이다.
* <math>X\cup_fY</math>는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 <math>G\colon\mathcal D_{X\cup_fY}\to\mathcal T_{X\cup_fY}</math>가 존재한다.

'''T<sub>1</sub>.''' 표준적인 [[연속 함수]]
:<math>g\colon X\to X\cup_fY</math>
:<math>h\colon Y\to X\cup_fY</math>
를 생각하자. 그렇다면, [[부분 집합]] <math>U\subseteq X\cup_fY</math>이 [[열린집합]]일 [[필요충분조건]]은 <math>g^{-1}(U)\subseteq X</math>와 <math>h^{-1}(U)\subseteq Y</math>가 둘 다 [[열린집합]]인 것이다. 마찬가지로, [[닫힌집합]]일 [[필요충분조건]]은 <math>g^{-1}(U)\subseteq X</math>와 <math>h^{-1}(U)\subseteq Y</math>가 둘 다 [[닫힌집합]]인 것이다. 또한, <math>g\restriction X\setminus Z</math>는 [[열린 함수|열린]] 위상수학적 [[매장 (수학)|매장]]이며, <math>h</math>는 [[닫힌 함수|닫힌]] 위상수학적 [[매장 (수학)|매장]]이며,
:<math>g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X\cup_fY</math>
:<math>g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing</math>
이다. (그러나 <math>X\cup_fY</math>는 두 [[상 (수학)|상]]의 [[분리합공간]]일 필요가 없다.) 이제, 임의의 <math>x\in X\setminus Z</math> 및 <math>y\in Y</math>에 대하여,
:<math>g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X</math>
:<math>h^{-1}(g(x))=\varnothing\subseteq Y</math>
:<math>g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X</math>
:<math>h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y</math>
이다. 따라서, <math>g(x)</math>와 <math>h(y)</math>는 [[닫힌집합]]이며, <math>X\cup_fY</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다.

'''단조 정규성.''' 단조 정규성 연산자
:<math>G_1\colon\mathcal S_X\to\mathcal T_X</math>
:<math>G_2\colon\mathcal S_Y\to\mathcal S_Y</math>
가 주어졌다고 하자. 임의의 [[서로소 집합|서로소]] [[닫힌집합]] <math>E,F\subseteq X\cup_fY</math>에 대하여,
:<math>(g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in\mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X</math>
:<math>(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in\mathcal D_Y\subseteq\mathcal S_Y</math>
이다. 이제,
:<math>A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X</math>
:<math>B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>(A,B)\in\mathcal S_X</math>이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>
\begin{align}
\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))
&\subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&=Z\setminus(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))
&=\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\
&=\operatorname{cl}_Z(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=Z\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq X\setminus\operatorname{int}_Zf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&=X\setminus f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\operatorname{cl}_Xg^{-1}(E)
&\subseteq g^{-1}(\operatorname{cl}_{X\cup_fY}E)\\
&=g^{-1}(E)\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup(g^{-1}(E)\cap Z)\\
&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq(X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup(X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\
&=X\setminus\operatorname{cl}_X(Z\setminus f^{-1}(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\operatorname{cl}_Xg^{-1}(F)
&\subseteq g^{-1}(\operatorname{cl}_{X\cup_fY}F)\\
&=g^{-1}(F)\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup(g^{-1}(F)\cap Z)\\
&=(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\
&\subseteq(X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup(X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=X\setminus\operatorname{cl}_Xf^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))
\end{align}
</math>
이제,
:<math>f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z</math>
인 [[열린집합]] <math>V(E,F)\subseteq X</math>을 잡고,
:<math>U(E,F)=G_1(A(E,F),B(E,F))\cap(X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X</math>
:<math>G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X\cup_fY</math>
라고 하자.
:<math>
\begin{align}
g^{-1}(G(E,F))
&=U(E,F)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&=U(E,F)\cup(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\cap\\
&=U(E,F)\cup(V(E,F)\cap Z\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\\
&=U(E,F)\cup(U(E,F)\cap Z)\\
&=U(E,F)\subseteq X
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
h^{-1}(G(E,F))
&=h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&=h^{-1}(g(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\
&=G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y
\end{align}
</math>
는 모두 [[열린집합]]이므로, <math>G(E,F)\subseteq X\cup_fY</math>는 [[열린집합]]이다. 또한,
:<math>
\begin{align}
E
&=(E\cap g(X\setminus Z))\cup(E\cap h(Y))\\
&\subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\
&\subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\
&\subseteq g(G_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&\subseteq g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\
&=G(E,F)
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
F
&=(F\cap g(X\setminus Z))\cup(F\cap h(Y))\\
&\subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\
&\subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\
&\subseteq g(X\setminus\operatorname{cl}_XG_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup(X\cup_fY\setminus h(\operatorname{cl}_YG_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\
&\subseteq X\cup_fY\setminus\operatorname{cl}_{X\cup_fY}G(E,F)
\end{align}
</math>
이며 (<math>g\restriction X\setminus Z</math>가 [[열린 함수|열린]] [[매장 (수학)|매장]]이며 <math>h</math>가 [[닫힌 함수|닫힌]] [[매장 (수학)|매장]]이라는 사실을 사용하였다), 만약
:<math>(E,F),(E',F')\in\mathcal D_{X\cup_fY}</math>
:<math>E\subseteq E'</math>
:<math>F\supseteq F'</math>
라면
:<math>U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E',F')\setminus Z</math>
:<math>U(E,F)\cap Z\subseteq U(E',F')\cap Z</math>
이므로
:<math>G(E,F)\subseteq G(E',F')</math>
이다. 따라서, <math>G\colon\mathcal D_{X\cup_fY}\to\mathcal T_{X\cup_fY}</math>는 단조 정규성 연산자이다.
{{증명 끝}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Monotonically_normal_space|제목=Monotonically normal space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]