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[[미분기하학]]에서 '''측정 기하학'''(測定幾何學, {{llang|en|calibrated geometry}})은 측정 형식({{lang|en|calibration}})이 주어진 [[매끄러운 다양체]]를 다루는 분야이다.

== 정의 ==
<math>(M,g)</math>가 [[리만 다양체]]라고 하자. 그 [[부피 형식]]이 <math>\omega=\sqrt{\det g}\epsilon^{\mu\nu\dots}/d!</math>라고 하자.<math>M</math> 위의 '''측정 형식'''(測定形式, {{llang|en|calibration}})은 다음 두 조건을 만족하는 <math>M</math> 위의 <math>p</math>차 [[미분 형식]] <math>\phi</math>이다.
* (닫힘) <math>d\phi=0</math>
* (측정성) 임의의 <math>x\in M</math>에 대하여, 모든 [[유향 다양체|유향]] <math>p</math>차 선형 부분 공간 <math>V\in T_xM</math>에 대하여 <math>\phi|_V=\lambda\omega|_V</math>이라고 하면 <math>\lambda\le1</math>이다. 또한, <math>\lambda=1</math>인 <math>V</math>가 항상 존재한다.
측정 형식을 갖춘 [[리만 다양체]]를 '''측정 다양체'''(測定多樣體, {{llang|en|calibrated manifold}})라고 한다.

<math>p</math>차 측정 형식을 갖춘 [[리만 다양체]] <math>(M,g,\phi)</math>의 '''측정 부분 다양체'''(測定部分多樣體, {{llang|en|calibrated submanifold}}) <math>N\subset M</math>는 다음을 만족하는 <math>p</math>차원 부분다양체이다.
* 모든 <math>x\in N</math>에 대하여 <math>\phi|_{T_xN}=\omega|_{T_xN}</math>이다.

== 예 ==
* <math>M</math>이 [[켈러 다양체]]이고, <math>\omega</math>가 그 켈러 형식이라고 하자. 이 경우 <math>\omega^n/n!</math>은 측정 형식이고, 이에 대한 측정 부분다양체는 복소 부분다양체이다.
* <math>M</math>이 복소 <math>n</math>차원 [[칼라비-야우 다양체]]라고 하고, 정칙 <math>n</math>차 [[복소 미분 형식]] <math>\Omega</math>가 갖추어져 있다고 하자. 또한, <math>\Omega\wedge\bar\Omega</math>가 부피 형식과 같다고 하자. 이 경우 <math>\operatorname{Re}\Omega</math>는 측정 형식이고, 그 부분다양체는 '''[[특수 라그랑주 부분 다양체]]'''이다.
* <math>G_2</math> [[홀로노미]] 다양체의 경우에는 3차 형식과 그 [[호지 쌍대]] 4차 형식이 측정 형식을 이룬다. 이에 대한 측정 부분다양체는 각각 '''결합 부분 다양체'''(結合部分多樣體, {{llang|en|associative submanifold}})와 '''공결합 부분 다양체'''(共結合部分多樣體, {{llang|en|coassociative submanifold}})라고 한다.
* [[스핀 군|Spin(7)]] [[홀로노미]] 다양체의 경우 평행 4차 형식('''케일리 형식''' {{lang|en|Cayley form}})이 존재한다. 이에 대한 측정 부분 다양체를 '''케일리 부분 다양체'''(Cayley部分多樣體, {{llang|en|Cayley submanifold}})라고 한다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|저널={{lang|la|Acta Mathematica}}|날짜=1982-07|권=148|호=1|쪽=47–157|제목={{lang|en|Calibrated geometries}}|이름=Reese|성=Harvey|공저자=H. Blaine Lawson Jr.|doi=10.1007/BF02392726|mr=0666108}}
* {{서적 인용 | title= Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry|기타=Oxford Graduate Texts in Mathematics|first=Dominic D.|last= Joyce|publisher=Oxford University Press|location= Oxford|isbn= 978-0-19-921559-1|year=2007|mr=2292510}}
* {{서적 인용|성=Harvey|이름=F. Reese|제목=Spinors and calibrations|기타=Perspectives in Mathematics 9|출판사=Academic Press|위치=[[보스턴|Boston]]|날짜=1990|isbn=0-12-329650-1|mr=1045637}}
* {{서적 인용|제목=Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide|last=Morgan|first= Frank |판=4판|publisher=Elsevier/Academic Press|year=2009|mr=2455580|isbn=978-0-12-374444-9}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry|이름=Dominic|성=Joyce|arxiv=math/0108088|bibcode=2001math......8088J|날짜=2001}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on Generalized Complex Geometry for Physicists|이름=Paul|성=Koerber|doi=10.1002/prop.201000083
|저널={{lang|de|Fortschritte der Physik}}|권=59|호=3–4|쪽=169–242|날짜=2011-03|arxiv=1006.1536|bibcode=2011ForPh..59..169K}}
* {{서적 인용|제목=Calibrated submanifolds and the exceptional geometries|이름=Jason Dean|성=Lotay|출판사=[[옥스퍼드 대학교]]|기타=박사 학위 논문|날짜=2005|url=http://people.maths.ox.ac.uk/joyce/theses/LotayDPhil.pdf}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=Calibrated geometry|이름=Johannes|성=Nordström|날짜=2012-07|url=http://www2.imperial.ac.uk/~jnordstr/ewha.pdf}}{{깨진 링크|url=http://www2.imperial.ac.uk/~jnordstr/ewha.pdf }}

{{전거 통제}}
[[분류:미분기하학]]
[[분류:리만 기하학]]
[[분류:다양체 상의 구조]]