{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:DistanceFromAtoB001.svg|400px|right]]
[[기하학]]에서 '''두 점 사이의 거리'''는 [[좌표평면]]에서 임의의 두 점 <math>P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)</math>을 예약하고,<ref>([[유클리드 원론|유클리드 기하학원론]] 2권 법칙8)  http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc  (구텐베르크 프로젝트)</ref>
:점 <math>P(x_1, y_1)</math>에서 <math>x</math>축에 평행하게 그은 직선과 [[점 (기하학)|점]] <math>Q(x_2, y_2)</math>에서 <math>y</math>축에 평행하게 그은 [[직선]]이 서로 만나는 점 <math>O</math>을 예약할 수 있다.
:두 점 <math>P, Q</math> 사이의 거리를 <math>l</math>이라고 가정했을때,
:<math>\triangle OPQ</math>는 <math>l</math>을 [[빗변]]으로 하는 [[직각삼각형]]이고, <math>\overline {OP}=x_2-x_1 \; , \; \overline {OQ}=y_2-y_1</math>이므로,
:<math>l^2 , l, \overline {OP}, \overline {OQ}</math>은 [[피타고라스 정리]]에 의해 다음과 같은 관계가 있다.

:<math> l^2 = {\overline {OP}}^2 + {\overline {OQ}}^2 </math>
:<math> l^2= (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 </math>
:<math> l = \sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>

따라서,
:좌표평면에서 두 점 <math>P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)</math>가 있을 때 두 점 사이의 거리 <math>l</math>은 다음과 같다.

:<math>l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}</math>

==삼각함수의 덧셈정리==
<table>
<tr>
<td>
[[파일:DistanceFromAtoB002.svg|300px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
[[원]]과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,<ref>(유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)</ref>
:두 점 사이의 거리에서,
:<math>l = \sqrt {({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}</math>이므로,
:<math>P= (cos \; \alpha, sin \; \alpha) \;\; , \;\; Q= (cos \beta, sin \beta)</math>
:<math>\overline{PQ}^2= (cos \beta - cos \; \alpha )^2 + ( sin \beta - sin \; \alpha)^2 </math>
:<math>= \left ( (cos \beta - cos \; \alpha )  \cdot  (cos \beta - cos \; \alpha )  \right)  + \left( ( sin \beta - sin \; \alpha) \cdot (- sin \beta - sin \; \alpha) \right) </math>
:<math>= \left ( (cos \beta)^2  - 2cos \alpha cos \beta + (cos \; \alpha)^2  \right)  + \left( ( sin \beta)^2 -2 sin\alpha sin \beta + (sin \alpha)^2 \right) </math>
:<math>= (cos \beta)^2  + (cos \; \alpha)^2    +  ( sin \beta)^2 + (sin \alpha)^2  - 2cos \alpha cos \beta -2 sin\alpha sin \beta </math>
:<math>= (cos^2 \beta  + cos \; \alpha^2 )   +  ( sin^2 \beta + sin^2 \alpha ) - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right)</math>
그리고 [[삼각 함수 항등식]]의 [[피타고라스 정리]]에서,
: <math> \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 </math>
따라서,
:<math>= 1  +  1 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right)</math>
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right)</math>
</td>
</tr>
</table>
한편,
:이것은, [[코사인법칙#제2코사인법칙|제2코사인법칙]]에서

:<math>\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 \left(\overline{OP}\cdot {\overline{OQ}  cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>
:<math>\overline{PQ}^2= 1^2 +1^2 - 2 \left(1\cdot {1  cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)  </math>
그리고
:<math>\overline{PQ}^2= 2 - 2 \left({ cos (\alpha-\beta)} \right)= 2 - 2 \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right)  </math>
:<math>cos  \left({ \alpha-\beta} \right)= \left( cos \alpha cos \beta + sin\alpha sin \beta \right)  </math>
[[삼각함수의 덧셈정리]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[거리공간]]
* [[선분]]
* [[코사인법칙#제2코사인법칙|제2코사인법칙]]
* [[삼각함수]]
* [[지리좌표 거리]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:기하학]]