{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]과 [[모노이드]] 이론에서, '''멱등원'''(冪等元, {{llang|en|idempotent element}})은 거듭제곱하여도 변하지 않는 원소이다.

== 정의 ==
=== 범주의 멱등 사상 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>의 [[자기 사상]] <math>e\colon X\to X</math>가 <math>e\circ e=e</math>를 만족시킨다면, <math>e</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''멱등 사상'''({{llang|en|idempotent morphism}})이라고 한다.

만약 <math>e=g\circ f</math>이며 <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>가 되는 사상 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다면, <math>e</math>를 '''분할 멱등 사상'''({{llang|en|split idempotent morphism}})이라고 한다.

<math>\mathcal C</math>의 '''카루비 껍질'''({{llang|en|Karoubi envelope}}) <math>\operatorname{Split}(\mathcal C)</math>는 다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]]이다.
* <math>\operatorname{Split}(\mathcal C)</math>의 대상 <math>(X,e)</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>과 <math>X</math> 위의 멱등 사상 <math>e\colon X\to X</math>의 [[순서쌍]]이다.
* <math>\operatorname{Split}(\mathcal C)</math>의 사상 <math>f\colon (X,e)\to(X',e')</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상 <math>f\colon X\to X'</math> 가운데, <math>e'\circ f=f=f\circ e</math>인 것이다.
*:<math>\begin{matrix}
X&\overset e\to&X\\
{\scriptstyle f}\downarrow&{\scriptstyle f}\searrow&\downarrow\scriptstyle f\\
X'&\underset{e'}\to&X'
\end{matrix}</math>
* <math>(X,e)</math> 위의 [[항등 사상]]은 <math>e\in\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>이다.
카루비 껍질에서, 모든 멱등 사상은 분할 멱등 사상이다.

그렇다면, [[충실충만한 함자]]
:<math>\mathcal C\to\operatorname{Split}(\mathcal C)</math>
:<math>X\mapsto(X,\operatorname{id}_X)</math>
:<math>f\mapsto f</math>
가 존재한다. 또한, [[준층]] [[범주의 동치]]
:<math>\operatorname{PSh}(\mathcal C)\simeq\operatorname{PSh}(\operatorname{Split}(\mathcal C))</math>
가 존재하며, 이에 따라 [[충실충만한 함자]]
:<math>\operatorname{Split}(\mathcal C)\to\operatorname{PSh}(\operatorname{Split}(\mathcal C))\simeq\operatorname{PSh}(\mathcal C)</math>
가 존재한다.

=== 모노이드의 멱등원 ===
[[모노이드]] <math>(R,\cdot)</math>의 원소 <math>e\in R</math>가 <math>e^2=e\cdot e=1</math>을 만족시킨다면, <math>e</math>를 <math>R</math>의 '''멱등원'''이라고 한다.

[[모노이드]] <math>R</math>의 멱등원들만으로 구성된 집합 <math>E\subseteq R</math>에서, 만약
:<math>ee'=e'e\qquad\forall e\in E</math>
가 성립한다면, <math>E</math>가 '''직교 멱등원 집합'''({{llang|en|set of mutually orthogonal idempotents}})이라고 한다.

모든 원소가 멱등원인 모노이드를 '''멱등 모노이드'''({{llang|en|nilpotent monoid}})라고 하며, 그 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]를 이룬다. <math>n</math>개의 원소로 생성되는 [[자유 대상|자유]] 멱등 모노이드의 [[집합의 크기]]는 다음과 같다. {{OEIS|A005345}}
:<math>\sum_{k=0}^n\binom nk\prod_{i=1}^k(k-i+1)^{2^i}</math>

=== 환의 멱등원 ===
[[환 (수학)|환]]은 곱셈 [[모노이드]]를 이루며, 환의 멱등원이란 곱셈에 대한 멱등원을 뜻한다.

환 <math>R</math>의 멱등원 <math>e\in R</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 멱등원을 '''원시 멱등원'''({{llang|en|primitive idempotent}})이라고 한다.
* <math>(eR)_R</math>는 <math>R</math>-[[분해 불가능 오른쪽 가군]]이다.
* <math>_R(Re)</math>는 <math>R</math>-[[분해 불가능 왼쪽 가군]]이다.
* [[환 (수학)|환]] <math>eRe</math>의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.
* <math>e=e_1+e_2</math>이자 <math>e_1e_2=e_1e_2</math>, <math>e_1\ne0\ne e_2</math>인 멱등원 <math>e_1,e_2\in R</math>가 존재하지 않는다.

환 <math>R</math>의 멱등원 <math>e\in R</math>에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 멱등원을 '''국소 멱등원'''({{llang|en|local idempotent}})이라고 한다.
* [[오른쪽 가군]] [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}(eR_R,eR_R)</math>는 [[국소환]]이다.
* [[왼쪽 가군]] [[자기 사상환]] <math>\operatorname{End}({}_RRe,{}_RRe)</math>는 [[국소환]]이다.
* <math>eRe</math>는 [[국소환]]이다.

모든 국소 멱등원은 원시 멱등원이다.

== 예 ==
=== 멱등 함수 ===
[[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서의 멱등 사상은 '''멱등 함수'''({{llang|en|idempotent function}})라고 한다. 즉, [[집합]] <math>X</math> 위의 [[함수]] <math>e\colon X\to X</math>가 다음 조건을 만족시키면, <math>X</math> 위의 '''멱등 함수'''라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>e(e(x))=e(x)</math>
멱등 함수 <math>e\colon X\to X</math>의 경우, [[고정점]] 집합과 [[상 (수학)|상]]이 일치한다.
:<math>\{x\in X\colon x=e(x)\}=\{e(x)\colon x\in X\}</math>
또한, 이는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{Split}(\operatorname{Set})\to\operatorname{Set}</math>
:<math>(X,e)\mapsto e(X)</math>
:<math>(f\colon(X,e)\to(X',e'))\mapsto(f|_{e(X)}\colon e(X)\to e'(X'))</math>
를 이루며, 이는 충실충만한 매장
:<math>\operatorname{Set}\to\operatorname{Split}(\operatorname{Set})</math>
:<math>X\mapsto(X,\operatorname{id}_X)</math>
:<math>f\mapsto f</math>
의 [[오른쪽 수반 함자]]를 이룬다.

멱등 함수의 예로서 다음을 들 수 있다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, [[폐포 (위상수학)|폐포]] <math>\operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X)</math>는 멱등 함수이다. 그 [[상 (수학)|상]]이자 [[고정점]] 집합은 [[닫힌집합]]들이다.
* 함수 <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>가 <math>f(x_1,\dots,x_n)=(x_1-(x_1+\cdots+x_n)/n,\dots,x_n-(x_1+\cdots+x_n)/n)</math>으로 정의되었을 때, <math>f</math>는 멱등 함수이다. <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]]이자 [[고정점]] 집합은 [[산술 평균]]이 0인 원소들이다. 이는 분산의 정의에서 [[산술 평균]] 대신 제곱 평균을 사용하는 한 가지 동기가 된다.

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Idempotent|title=Idempotent}}
* {{매스월드|id=IdempotentMatrix|title=Idempotent matrix}}
* {{매스월드|id=FreeIdempotentMonoid|title=Free idempotent monoid}}
* {{nlab|id=idempotent|title=Idempotent}}
* {{nlab|id=split idempotent|title=Split idempotent}}
* {{nlab|id=Karoubi envelope}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Idempotent|제목=Definition: idempotent|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-05-24|보존url=https://web.archive.org/web/20100504192815/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Idempotent#|보존날짜=2010-05-04|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:반군론]]
[[분류:환론]]