{{위키데이터 속성 추적}}
[[연속 함수]]의 이론에서, [[함수]]의 '''불연속점'''(不連續點, {{llang|en|point of discontinuity}})은 연속점이 아닌, [[정의역]] 속의 점이다. 함수의 불연속점의 집합은 [[이산 집합]]이거나 [[조밀 집합]]일 수 있으며, 함수의 정의역 전체일 수 있다. 불연속점을 연속이 실패하는 원인이 무엇인지에 따라 분류할 수 있다. 일부 종류의 불연속점은 자연스럽게 연속점이 되게 메워줄 수 있으며, 일부는 그럴 수 없다.

== 정의 ==
실수 함수의 경우를 생각하자. 대략, 불연속점은 [[단측 극한|좌극한과 우극한]]의 존재 여부에 따라 '''제1종 불연속점'''(第一種不連續點, {{llang|en|point of discontinuity of the first kind}})과 '''제2종 불연속점'''(第二種不連續點, {{llang|en|point of discontinuity of the second kind}})으로 분류된다. 제1종 불연속점은 좌극한과 우극한이 일치하는지에 따라 '''제거 가능 불연속점'''(除去可能不連續點, {{llang|en|point of removable discontinuity}})과 '''비약 불연속점'''(飛躍不連續點, {{llang|en|point of jump discontinuity}})으로 분류되며, 제2종 불연속점은 무한대인 좌극한이나 우극한이 있는지에 따라 '''무한 불연속점'''(無限不連續點, {{llang|en|point of infinite discontinuity}})과 '''진동 불연속점'''(震動不連續點, {{llang|en|point of oscillating discontinuity}})으로 분류된다.

구체적으로, 정의역이 [[실수]] [[열린구간]] <math>I\subseteq\mathbb R</math>, [[공역]]이 실수 집합 <math>\mathbb R</math>인 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자.

=== 제1종 불연속점 ===
불연속점 <math>a\in I</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''제1종 불연속점'''이라고 한다.
* (좌·우극한 존재) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>와 <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math>가 둘 다 존재한다.

==== 제거 가능 불연속점 ====
[[파일:Discontinuity_removable.eps.png|대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - x.|섬네일|오른쪽|없앨 수 있는 불연속점]]
제1종 불연속점 <math>a\in I</math>가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 <math>a</math>를 '''제거 가능 불연속점''' 또는 '''없앨 수 있는 불연속점'''이라고 한다.
* (좌·우극한 일치) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)</math>
* (극한 존재) <math>\lim_{x\to a}f(x)</math>가 존재한다.
* (제거 가능) <math>f|_{I\setminus\{a\}}=g|_{I\setminus\{a\}}</math>인 연속 함수 <math>g\colon I\to\mathbb R</math>가 존재한다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 제거 가능 불연속점이다.
:<math>f(x)=\begin{cases}
x^2&x<1\\0&x=1\\2-x&x>1
\end{cases}</math>
제거 가능 불연속점은 함수의 재정의를 통해 연속점으로 만들 수 있다. 예를 들어, 위 함수를 다음과 같이 재정의하자.
:<math>f(1)=1</math>
그렇다면, 1은 새로운 함수의 연속점이 된다.

==== 비약 불연속점 ====
[[파일:Discontinuity_jump.eps.png|대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = x^2, x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 2 - (x - 1)^2.|섬네일|오른쪽|비약 불연속성]]
제1종 불연속점 <math>a\in I</math>가 동치인 다음 두 조건 중 적어도 하나를 만족하면 a를 '''비약 불연속점''' 또는 '''뜀 불연속점'''이라고 한다.
* (좌·우극한 불일치) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)\ne\lim_{x\to a^+}f(x)</math>
* (극한 부재) <math>\lim_{x\to a}f(x)</math>가 존재하지 않는다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 비약 불연속점이다.
:<math>f(x)=\begin{cases}
x^2&x<1\\0&x=1\\2-(x-1)^2&x>1
\end{cases}</math>

=== 제2종 불연속점 ===
불연속점 <math>a\in I</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''제2종 불연속점'''이라고 한다.
* (좌/우극한 부재) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>와 <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> 가운데 적어도 하나가 존재하지 않는다.

==== 무한 불연속점 ====
[[파일:Discontinuity essential.svg|대체글=함수의 그래프. x < 1일 때 f(x) = sin(5/(x - 1)), x = 1일 때 f(x) = 0, x > 1일 때 f(x) = 1/(x - 1).|섬네일|오른쪽|무한 불연속점]]
제2종 불연속점 <math>a\in I</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''무한 불연속점'''이라고 한다.
* (좌/우극한 무한대) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>와 <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> 가운데 적어도 하나가 사영 무한대 <math>\hat\infty</math>이다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 무한 불연속점이다.
:<math>f(x)=\begin{cases}
\sin\frac5{x-1}&x<1\\0&x=1\\\frac1{x-1}&x>1
\end{cases}</math>

==== 진동 불연속점 ====
제2종 불연속점 <math>a\in I</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''진동 불연속점'''이라고 한다.
* (좌·우극한 무한대 아님) <math>\lim_{x\to a^-}f(x)</math>가 사영 무한대 <math>\hat\infty</math>가 아니며, <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math>가 사영 무한대 <math>\hat\infty</math>가 아니다.
예를 들어, 1은 다음과 같은 함수의 진동 불연속점이다.
:<math>f(x)=\begin{cases}
\sin\frac5{x-1}&x\ne1\\0&x=1
\end{cases}</math>

== 성질 ==
함수의 연속점의 집합은 항상 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다. 함수의 불연속점의 집합은 항상 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]이다.

실변수 실숫값 함수의 제1종 불연속점의 집합은 [[가산 집합]]이다.
{{증명}}
편의상, 실수 구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math>에 정의된 실숫값 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>만을 생각하자. <math>f</math>의 불연속점 집합을 <math>E\subseteq I</math>라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>E=\bigcup_{n=1}^\infty E_n</math>
:<math>E_n=\left\{a\in I\colon w_f(a)>\frac1n\right\}</math>
:<math>w_f(a)=\limsup_{x\to a}f(x)-\liminf_{x\to a}f(x)</math>
이제 각 <math>E_n</math>이 고립점의 집합임을 증명하자. 임의의 <math>a\in E_n</math>에 대하여, <math>a</math>에서 좌극한과 우극한이 존재한다. 따라서, 다음을 만족시키는 <math>\delta>0</math>이 존재한다.
:<math>\left|f(x)-\lim_{x\to a^-}f(x)\right|<\frac1{2n}\qquad\forall x\in(a-\delta,a)</math>
:<math>\left|f(x)-\lim_{x\to a^+}f(x)\right|<\frac1{2n}\qquad\forall x\in(a,a+\delta)</math>
따라서
:<math>w_f(x)\le\sup_{s,t\in(a-\delta,a)}|f(s)-f(t)|\le\frac1n\qquad\forall x\in(a-\delta,a)</math>
:<math>w_f(x)\le\sup_{s,t\in(a,a+\delta)}|f(s)-f(t)|\le\frac1n\qquad\forall x\in(a,a+\delta)</math>
즉, 각 <math>E_n</math>은 고립점의 집합이므로 [[가산 집합]]이다. 즉, <math>E</math>는 가산 집합이다.
{{증명 끝}}
특히, 실변수 실숫값 [[단조함수]]의 불연속점은 항상 제1종 불연속점이므로, 단조함수의 불연속점 집합은 커야 가산 집합이다. 이를 '''프로다의 정리'''({{llang|en|Froda's theorem}})라고 한다.
{{증명}}
편의상, 실수 구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math>에 정의된 실숫값 단조함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>만을 생각하자. 임의의 <math>a\in I</math>에 대하여, [[상한 공리]]에 따라, 다음과 같은 상한이 존재한다.
:<math>\sup_{x\in I\colon x<a}f(x)</math>
또한, 상한의 정의에 따라, 이는 <math>a</math>에서의 좌극한이다.
:<math>\lim_{x\to a^-}f(x)=\sup_{x\in I\colon x<a}f(x)</math>
비슷하게, 임의의 점에서의 우극한의 존재 역시 보일 수 있다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
=== 불연속점 집합이 실수 집합인 함수 ===
[[디리클레 함수]]
:<math>f(x)=\begin{cases}
1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}</math>
의 불연속점 집합은 실수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 진동 불연속점이다.

=== 불연속점 집합이 유리수 집합인 함수 ===
[[토메 함수]]
:<math>f(x)=\begin{cases}
\frac1q&x=\frac pq;p,q\in\mathbb Z;q>0;\gcd\{p,q\}=1\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}</math>
불연속점 집합은 유리수 집합이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

=== 불연속점 집합이 유리수 집합인 단조함수 ===
전체 유리수를 나열한 수열 <math>(r_n)_{n=0}^\infty</math>에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.
:<math>f(x)=\sum_{n\in\mathbb N\colon r_n<x}\frac1{2^n}\qquad(x\in\mathbb R)</math>
그렇다면, <math>f</math>는 불연속점 집합이 유리수 집합인 [[증가함수]]이다. 이들 불연속점은 모두 제거 가능 불연속점이다.

== 같이 보기 ==
* [[특이점 (해석학)]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|id=Discontinuity_point|title=Discontinuity point}}
* {{eom|id=Discontinuous_function|title=Discontinuous function}}
* {{매스월드|id=Discontinuity|title=Discontinuity}}
* {{매스월드|id=Discontinuous|title=Discontinuous}}
* {{매스월드|id=DiscontinuousFunction|title=Discontinuous function}}
* {{매스월드|id=InfiniteDiscontinuity|title=Infinite discontinuity}}
* {{매스월드|id=JumpDiscontinuity|title=Jump discontinuity}}
* {{매스월드|id=RemovableDiscontinuity|title=Removable discontinuity}}
* {{플래닛매스|urlname=Discontinuous|title=Discontinuous}}

[[분류:해석학 (수학)]]