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'''회전파 근사'''({{lang|en|rotating wave approximation}})는 [[상호작용 묘사]]의 [[해밀토니언 (양자역학)|해밀토니언]]에서 켓 벡터(ket vector)에 포함되는, [[섭동 이론 (양자역학)|섭동]]이 없을 때의 해밀토니안을 무시하고 상호작용에 의한 변화만을 남겨두는 근사 방법이다.

==2준위계에서 단진동하는 섭동==
===섭동 이론의 해===
2준위계([[:en:Two-state quantum system|Two-level system]])에서, 각 준위의 에너지 [[고윳값]]과 그 때의 고유함수를 각각 <math>E_a, E_b, \psi_a, \psi_b</math>라고 하고, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 <math>H_0</math>라 하면, 그 때의 파동함수를
:<math>\Psi (t)=c_a (t) \psi_a e^{-iE_a t / \hbar} +c_b (t) \psi_b e^{-iE_b t / \hbar}</math>
라 할 수 있다. 이 때,
:<math>\left| c_a (t) \right|^2 + \left| c_b (t) \right|^2 =1</math>
이다. 이제 단진동하는 섭동 <math> H^1 (\vec{r},t) = V(\vec{r}) \cos{(wt)}</math>을 주고, 초기조건을 <math> c_a (0)=1, c_b (0)=0</math>라 하면, 1차 섭동이론(first order perturbation theory)에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
:<math>c_b (t) \simeq -\frac{V_{ba}}{2\hbar}\left[ \frac{e^{i(\omega_0 +\omega)t}-1}{\omega_0 +\omega} + \frac{e^{i(\omega_0 -\omega)t}-1}{\omega_0 -\omega} \right]</math>
여기에서 <math>\omega_0</math>는 전이주파수(transition frequency)이고, <math>V_{ba} = \langle \psi_b | V | \psi_a \rangle </math>이다. 만약 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다면, 첫 번째 항은 무시하여도 좋을 것이다. 이때 전이확률(transition probability)은 아래와 같다.
:<math>P_{a \to b} (t) =|c_b (t)|^2 \simeq \frac{|V_{ab} |^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2{[(\omega_0 -\omega)t/2]}}{(\omega_0 -\omega)^2}</math>

===라비 진동수===
라비([[:en:Isidor Isaac Rabi|Isidor Isaac Rabi]], 1898 - 1988)는 처음 섭동을 회전파 근사하면, 섭동이론을 고려하지 않고도 문제를 정확히 풀 수 있음을 지적하였다. 위 결과의 첫 번째 항은 <math>\cos{(\omega t)}</math>의 첫 번째 부분 <math>e^{i\omega t} /2</math>에서 오는 것이다. 섭동 해밀토니안을 아래와 같이 적으면 문제를 해결할 수 있다.
:<math>H^1_{ba} =\frac{V_{ba}}{2} e^{-i\omega t}, \quad H^1_{ab} = \frac{V_{ab}}{2} e^{i \omega t}</math>
위의 섭동은 에르미티안(hermitian)이다. 이러한 근사는 디락 묘사에서, 섭동 이론에서 확인한 것과 같은, 물리적 의미를 확인할 수 있다. 이는 아래 원자의 쌍극자 근사에서의 섭동에서 서술할 것이다. 해는 다음과 같다.
:<math>c_a (t) = e^{i(\omega -\omega_0)t/2} \left[ \cos{(\Omega t)} + i\left( \frac{\omega_0 -\omega}{2\Omega}\right) \sin{(\Omega t)} \right],\quad c_b (t) = -\frac{i}{2\hbar \Omega} e^{i(\omega_0 -\omega)t/2} \sin{\Omega t}</math>
이제 전이주파수는 다음과 같다.
:<math>P_{a \to b} (t) =|c_b (t)|^2 = \left( \frac{|V_{ab} |}{2\hbar \Omega} \right)^2 \sin^2{(\Omega t)}</math>
이때, 라비 [[진동수]](Generalized [[:en:Rabi frequency|Rabi frequency]]) <math>\Omega</math>는
:<math> \Omega = \frac{1}{2} \sqrt{(\omega_0 -\omega)^2 + (|V_{ab}|/\hbar)^2}</math>
로 정의된다.

==원자의 쌍극자 근사에서의 섭동==
===쌍극자 근사에서의 상호작용(섭동)===
[[쌍극자 모멘트]](Dipole moment)가 <math>\vec{d}</math>, 외부 전기장이 주어졌을 때, 섭동 해밀토니안은 아래와 같이 주어진다.
:<math>H^1 = -\vec{d} \cdot \vec{E}</math>
외부 전기장은
:<math>\vec{E} (t) = \vec{E_0} \left( e^{-i\omega t} + e^{i\omega t}\right)</math>
이다. 이제 고유함수를 기저로 하자.
예를 들어,[[수소]] 원자에서 [[바닥 상태|바닥상태]](Ground state)가 (000)이고, 들뜬 상태가 (211)인 2준위계로 주어진다면,
: <math>
\vec{d} = 
\begin{pmatrix}
0 & \int \Psi_{211}^* (\vec{r})e\vec{r}\Psi_{100} (\vec{r})d^3 r \\
\int \Psi_{100}^* (\vec{r})e\vec{r}\Psi_{211} (\vec{r})d^3 r & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
이다. 일반적으로 에너지 고유상태에서 원자가 쌍극자를 가지지 않으므로, 쌍극자 모멘트 연산자의 대각 성분은 0이다. 따라서 쌍극자 모멘트 연산자를 아래와 같이 적을 수 있다.
:<math>
\vec{d} = 
\begin{pmatrix}
0 & \vec{d}_{ab} \\
{\vec{d}_{ba}}^* & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
따라서, 섭동은
:<math>
H^1 = -\vec{d}\cdot\vec{E}= 
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i\omega t} +e^{i\omega t} \right) \\
-\hbar \Omega \left( e^{-i\omega t} +e^{i\omega t} \right) & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>
이다. <math> \omega </math>와 <math> -\omega </math>로 진동하는 두 부분으로 나뉘었다.

===디락 묘사와 회전파 근사===
이제, <math>\omega_0</math>로 회전하는 좌표계에서 문제를 보기로 하자. 바로 디락 묘사(Interaction picture)이다. 라비 진동수 <math>\Omega</math>는 아래와 같이 정의한다.
:<math>\Omega = \frac{1}{\hbar}\vec{d}_{ab}\cdot\vec{E}</math>
회전하는 좌표계에서 상호작용은
:<math> H_I^1 = e^{iH_0 t/\hbar} H^1 e^{-iH_0 t/\hbar}  </math>
와 같이 주어진다. 따라서,
:<math>
H_I^1 = 
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i(\omega -\omega_0)t} +e^{i(\omega +\omega_0)t} \right) \\
-\hbar \Omega \left( e^{i(\omega -\omega_0)t} +e^{-i(\omega +\omega_0)t} \right) & 0\\
\end{pmatrix}
</math>
이다.
이제, 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다고 하면,
:<math>
H_I^1 \simeq
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i(\omega -\omega_0)t} \right)\\
-\hbar \Omega \left( e^{i(\omega -\omega_0)t} \right)& 0\\
\end{pmatrix}
</math>
로 근사할 수 있다. 바로 회전파 근사이다.
이제 다시 슈뢰딩거 묘사로 되돌아오면,
:<math>
H^1 \simeq
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega e^{-i\omega t} \\
-\hbar \Omega e^{i\omega t} & 0\\
\end{pmatrix}
</math>
이다. 바로 2준위계에서 시도한 섭동과 같은 형태의 섭동이 되었다. 섭동의 정방향 회전(<math>\omega</math>)와 역방향 회전(counter rotation, <math>-\omega</math>) 성분 중에서 정방향 회전 부분만 남게 되었다. 역방향 회전까지 고려하게 되면, 공명 주파수(resonance frequency)가 <math>\omega_0</math>가 변화하게 되는데, 바로 Bloch-Siegert 이동([[:en:Bloch-Siegert shift|Bloch-Siegert shift]])이다.

== 참고 문헌 ==
* J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition,1994.
* David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, 2004.
* L. Allen and J. H. Eberly, Optical Response and Two-level Atoms, Dover Publications, 1987.

[[분류:화학물리학]]
[[분류:원자 분자 광 물리학]]
[[분류:분자물리학]]