blueapple8259/wikipedia_raw_ko huggingface dataset:
{{위키데이터 속성 추적}}
'''디리클레 합성곱'''(Dirichlet convolution) 혹은 '''디리클레 [[곱셈적 함수#포갬(합성곱 ; Convolution)|포갬]]'''은 [[수론적 함수]](arithmetic function)의 집합에서 정의되는 [[이항연산]](binary operation)으로, [[정수론|수론]]에서 중요하게 다뤄진다. 독일 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레|르죈 디리클레]]의 이름에서 유래하였다.

== 정의 ==
''f'', ''g''가 수론적 함수 (즉, 자연수에서 복소수로의 함수)일 때, ''f'', ''g''의 디리클레 포갬 ''f'' * ''g''는 다음과 같이 정의되는 수론적 함수이다.
:<math>
(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d)
</math>
여기서 덧셈은 ''n''의 모든 양의 약수 ''d''에 대해 이루어진다.

== 성질 ==

이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
* [[닫힘 (수학)|닫혀]]있다: f와 g가 모두 [[곱셈적 함수|곱셈적]]이라면, f * g도 곱셈적이다. (주의: 그러나 두 완전 곱셈적인 함수의 포갬은 완전 곱셈적이 아닐 수 있다.)
* [[교환법칙]]: ''f'' * ''g'' = ''g'' * ''f''
* [[결합법칙]]: (''f'' * ''g'') * ''h'' = ''f'' * (''g'' * ''h'')
* [[분배법칙]]: ''f'' * (''g'' + ''h'') = ''f'' * ''g'' + ''f'' * ''h''
* [[항등원]]: ''f'' * &epsilon; = &epsilon; * ''f'' = ''f'', 여기서 &epsilon;은 n = 1에서 &epsilon;(''n'') = 1, n > 1에서 &epsilon;(''n'') = 0으로 정의되는 함수.
* [[역원]]: 모든 곱셈적 함수 f에 대해, 어떤 곱셈적 함수 g가 존재하여 ''f'' * ''g'' = &epsilon;를 만족한다.

덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 &epsilon;을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 [[가환환]](commutative ring)을 이루고, 이를 '''디리클레 환'''(dirichlet ring)이라 부른다. 이 환의 unit은 ''f''(1) &ne; 0 을 만족하는 f들이다.

나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 &epsilon;을 항등원으로 하는 [[아벨 군|가환군]](abelian group)을 이룬다. 

<!-- [[곱셈적 함수]] 항목에 몇가지 중요한 곱셈적 함수간의 포갬으 관계식의 예를 찾아볼 수 있다. -->
[[곱셈적 함수]]에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.

== 역원의 계산 ==
주어진 수론적 함수 <math>f(n)</math>에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 <math>f^{-1}(n)</math>이 존재한다. 이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다. 맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
:<math>f^{-1}(1) = \frac {1}{f(1)}</math> 
그리고 <math>n>1</math>일 경우는 다음과 같다.
:<math>f^{-1}(n) = \frac {-1}{f(1)}\sum_{d|n~~d<n} f\left(\frac{n}{d}\right) f^{-1}(d).</math>
예를 들어, 모든 <math>n</math>에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 [[뫼비우스 함수]]가 된다. 더 일반적인 관계는 [[뫼비우스 반전 공식]]에 의해 유도된다.

== 디리클레 급수와의 관계 ==

''f''가 수론적 함수이면, '''[[디리클레 급수|L-급수]]'''(L-series)는 다음과 같이 정의된다.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
:<math>
L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}
</math>
L-급수의 곱은 [[디리클레 합성곱|디리클레 포갬]]과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
:<math>
L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s)
</math>
위 관계식은 L-급수를 푸리에 변환과 비교해 보면, 포갬 정리(convolution theorem)과 긴밀하다.

== 수론적 함수의 미분과의 관계 ==
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 [[미분]]은 불가능하다. 그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.

주어진 산술함수 <math>f(n)</math>의 미분은 다음과 같이 정의한다. 여기서 물론 <math>\Lambda</math>는 [[망골트 함수]](Mangoldt function)이다.
:<math>f'(n) = f(n) \log n\;</math>
예를 들어, 모든 <math>n</math>에 대해 1 인 수론적 함수 <math>u(n)</math>이 있다고 할 때, 관계식 <math>\sum_{d|n}\Lambda(d) = \log n</math> 때문에 다음이 성립한다
:<math>\Lambda * u = u'</math>
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.<ref name="Introduction to Analytic Number Theory">{{서적 인용
  | 성 = Apostol
  | 이름 = Tom
  | 제목 = Introduction to Analytic Number Theory
  | 출판사 = Springer
  | 날짜 = 1998
  | 쪽 = 45
  | doi = 
  | ISBN = 978-0387901633
}}</ref>

*<math>(f + g)' = f' + g'</math>
*<math>(f * g)' = f'*g + f*g'</math>
*<math>(f^{-1})' = -f'*(f*f)^{-1}</math>

== 같이 보기 ==
* [[수론적 함수]]
* [[뫼비우스 반전 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:수론]]
[[분류:수론적 함수]]
{{위키낱말사전|소수}}
'''소수'''에는 다음과 같은 뜻이 있다.

== 수학 ==
* '''[[소수 (수론)|소수]]'''(素數, [소쑤]): 수학에서 1과 그수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는, 1보다 큰 자연수.
* '''[[소수 (기수법)|소수]]'''(小數, [소수]): 수학에서 소수점을 찍어 나타낸 실수.
* '''[[작은 수|소수]]'''(小數): 수학에서 0보다 크고 1보다 작은 수.

== 제도 ==
* '''[[소수 (관직)|소수]]'''(少守): [[신라]]의 관직.

== 지리 ==
* '''[[샤오수이강|소수]]'''(瀟水): 중국의 강.

== 인물 ==
* '''[[소수 (전한)|소수]]'''(疏受, ?~?): 전한 후기의 관료·유학자.
* '''[[소수 (양)|소수]]'''(蕭秀, 475~518): [[양 (남조)|양나라]]의 황족.
* '''[[소수 (조선)|소수]]'''(蘇遂, 1517~1592): [[조선]] 중기의 문신.

== 같이 보기 ==
* {{in title|소수}}

{{동음이의|지명|인명}}
{{위키데이터 속성 추적}}
'''깊은 생각'''({{lang|en|Deep Thought}})은 [[더글러스 애덤스]]의 과학소설 《[[은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서]]》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.

==줄거리==
소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다. 결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 [[42]]라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다. 깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다. 천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.

원작 라디오 시리즈에선, [[Geoffrey McGivern]]이 그 목소리를 담당했고, 후의 LP 녹음과 TV 시리즈에선 [[Valentine Dyall]]가 목소리를 연기했다.

체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 [[딥 블루]]의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다. 이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 [[딥 프리츠]], [[딥 주니어]] 등으로 이어진다.

{{IBM}}
{{토막글|소설}}

[[분류:은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서]]
{{위키데이터 속성 추적}}
{{출처 필요|날짜=2013-05-05}}
{{다른 뜻 넘어옴|응력|요나라의 연호|응력 (연호)}}
[[파일:Stress in a continuum.svg|오른쪽|섬네일|450px|응력의 일반적인 개념을 그림으로 나타낸 것. 오른쪽 직육면체는 응력 텐서를 표현한다.]]
'''변형력'''<ref>한국물리학회 물리학용어집 https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?page=4&et=en&find_kw=stress</ref>(變形力) 또는 '''스트레스'''<ref>대한화학회 화학술어집 https://new.kcsnet.or.kr/?act=&vid=&mid=cheminfo&wordfield=eng&word=stress</ref>({{llang|en|stress}}) 또는 '''응력'''(應力)은 역학에서 단위면적당 작용하는 힘을 뜻한다. [[오귀스탱 루이 코시]]가 1822년 처음 고안했다.

사실상 응력의 개념은 [[연속체]](continuum)라는 가정 아래 성립할 수 있다. 물체 내부의 경우, 가상의 단위부피를 설정해서 그 가상의 표면 바깥에 작용하는 힘을 계산하기 때문이다. 여기서 '가상의 힘'은 크게 두 종류가 있는데, [[표면힘]](Surface Force)과 [[몸체힘]](Body Force)이다. 표면힘은 표면에 평행한 힘이며, 몸체힘은 표면에 대하여 수직 방향인 힘이다.

응력의 [[국제단위계|SI]]단위는 파스칼(Pa)이다. [[압력]]과 같은 단위지만, 압력과 응력은 전혀 다른 개념이다.

일반적인 단면봉(Prismatic Bar)의 경우, 수직응력(Normal Stress)은 바깥쪽(Tension) 또는 안쪽(Compression)으로 작용한다. [[변형률]](Strain)과의 연관성 때문에, 보통 바깥쪽 응력을 양으로, 안쪽 응력을 음으로 본다. 이 경우, 보통은 계산의 편리성을 위해 ''모든 단면적에 고르게 힘이 작용한다''라고 가정하고 평균값을 사용하는 경우가 많다. 즉,

:<math>\sigma_\mathrm{avg} = \frac{F_\mathrm n}{A}\approx\sigma\,\!</math>

실제로는 모든 지점마다 작용하는 응력의 값이 다르다. 때문에 코시는 이를 표현하기 위해 [[텐서]]를 사용했다.
:<math>\sigma_{ij}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
\,\!</math>

이 방식은 축이 변할 경우 값이 어떻게 바뀌는지 계산하는 것이 힘들다는 단점을 가지고 있다. 이를 보완하기 위해 Mohr's Circle을 사용한다. 또한 코시 텐서는 작은 변형에 맞는 방식이기 때문에, 큰 변형의 경우 다른 방식을 사용한다.

== 변형력 ==
변형력(stress, 응력(應力))은 물체가 외부 힘의 작용에 저항하여 원형을 지키려는 힘을 말하며 [[층밀림 변형력]](shear stress, [[전단응력]])과 깊은 관계를 가지있으며 [[고체역학]], [[유체역학]]과도 연관있다. 한편 [[응집력]](cohesion, 응력(凝力))은 원자, 분자 또는 이온 사이에 작용하여 고체나 액체 따위의 물체를 이루게 하는 서로 끌어당기는 힘을 통틀어 이르는 말로 변형력과 연관있다.

==역사==
==정의==

===수직 및 층밀림===
{{추가 정보|압축 (물리학)|층밀림 변형력}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[연속체 역학]]
* [[층밀림]](shearing, [[전단]])
* [[층밀림 변형력]](shear stress, [[전단 응력]])
* [[층밀림 힘]](shear force, [[전단력]])
* [[층밀림 비율]](shear rate, [[전단율]])
* [[변형 (역학)]]
* [[일그러짐 (물리학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:연속체역학]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:텐서]]
{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Quadratic formula.svg|thumb]]
'''대수학'''(代數學, {{llang|en|algebra}})은 일련의 [[공리]]들을 만족하는 [[수학|수학적]] 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 [[수학]]의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 [[대수 구조]]라고 하며, 그 예시로 [[반군]], [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]], [[가군]], [[체 (수학)|체]], [[벡터 공간]], [[격자 (순서론)|격자]] 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, [[군론]], [[환론]], [[선형대수학]], [[격자 (순서론)|격자론]], [[정수론]] 등으로 분류된다.

[[기하학]], [[해석학 (수학)|해석학]], [[정수론]]과 함께 대수학은 수학의 대분야 중 하나로 볼 수 있다. 대수학이란 용어는 단순한 [[산술]]적 수학을 가리키기도 하나, 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구에 대해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다.

== 어원 ==

algebra라는 명칭은 [[페르시아]]의 저명한 수학자인 [[콰리즈미]](783~850)가 쓴 《{{임시링크|약분·소거 계산론|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing}}》({{llang|ar|الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة|알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라}})에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르({{llang|ar|[[:wiktionary:جبر|جبر]]}})’는 (흩어진 것을) 묶는다는 뜻으로, 이 책에서는 방정식에서 항들을 묶어서 소거하는 것을 부르는 말로 쓰였다.

‘대수(代數)’라는 말은 수를 대신한다는 뜻으로, 수 대신 문자를 쓴다는 점에 착안한 번역어이다. ‘대수’라는 번역어는 [[오거스터스 드 모르간|드 모르간]]의 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 {{임시링크|알렉산더 와일리|en|Alexander Wylie (missionary)}}와 [[이선란]]이 번역한 《대수학》에서 처음 쓰였다.<ref>{{서적 인용 |성=Masini |이름=Federico |translator=이정재 |날짜=2005 |orig-year=1993 |제목=근대 중국의 언어와 역사 |url= |언어= |위치= |출판사=소명출판 |isbn= |확인날짜= }}</ref>

== 역사 ==

고대의 대수학에 대한 주요 저서로는 [[에우클레이데스의 원론]](기원전 3세기)이나 [[구장산술]](3세기), 디오판토스의 {{임시링크|산술 (책)|label=산술|en|Arithmetica}}(3세기) 등이 있다. 9세기에 페르시아의 수학자 [[콰리즈미]]는 《{{임시링크|약분·소거 계산론|en|The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing}}》([[820년]])를 통해 대수학을 하나의 독립적인 분야로 정립했다. 이 책은 1145년 {{임시링크|체스터의 로버트|en|Robert of Chester}}가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》({{llang|la|Liber algebrae et almucabala}})란 제목으로 [[라틴어]]로 번역한 뒤 다섯 세기에 걸쳐서 [[유럽]]의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"({{llang|la|algebra}})와 "알무카발라"({{llang|la|almucabala}})는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 [[2차 방정식]], [[사칙연산]], [[십진법]], [[0]] 등의 개념이 소개되었다.

[[19세기]] 이후에는 [[에바리스트 갈루아]]가 대수 방정식을 연구하기 위해서 [[군 (수학)|군]]이라는 대수적 구조를 도입하였고, [[조지 불]]은 [[논리학]]을 연구하기 위해서 [[불 대수]]라는 대수적 구조를 정의하였다. 이후 [[현대]] [[수학]]에서는 [[다비트 힐베르트]]의 [[공리]] 주의나 [[니콜라 부르바키]] 스타일에서 찾아볼 수 있듯이, 고전적인 대수학에서 상당히 거리가 추상화되어 있으며, 방정식의 해법은 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 일부분에 불과하다.

== 대수학의 연구 분야 ==
* [[군론]]
* [[환론]]
* [[체론]]
* [[정수론]]
* [[대수기하학]]
* [[추상대수학]]
* [[선형대수학]]

== 같이 보기 ==
{{포털|수학}}
* [[대수 구조]]
* [[대수학의 기본 정리]]
* [[수학]]

== 각주 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

{{대수론}}
{{수학 분야}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:대수학|*]]
{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Rubik's cube.svg|섬네일|유명한 퍼즐인 [[루빅스 큐브]]는 [[순열군]] 개념을 이용해 해결할 수 있다.]]
{{대수 구조|expanded=군}}

[[수학]]에서 '''군론'''(群論, {{llang|en|group theory}})은 [[군 (수학)|군]]에 대해 연구하는 [[추상대수학]]의 한 분야이다. 군은 추상대수학에서 중요하게 다루는 [[대수 구조]]로, 군에 특정 [[연산]]이나 [[공리]]를 추가하면 [[환]], [[체]], 또는 [[벡터 공간]]이 된다. 군은 수학의 여러 분야에서 사용되며, 군론에서 사용하는 방법들은 [[대수학]]의 여러 분야에 영향을 주었다.

[[결정]]이나 [[수소 원자]], [[표준 모형]]에서의 세 가지 기본 상호작용과 같은 다양한 물리계를 군론에서 [[대칭군 (군론)|대칭군]]을 이용해 연구할 수 있다. 따라서 군론, 그리고 이와 밀접하게 연관된 [[표현론 (수학)|표현론]]은 [[물리학]]과 [[화학]], [[재료과학]], [[공개 키 암호 방식]] 등의 응용 분야에서 중요하게 쓰인다.

군론은 약 19세기쯤부터 연구되었다. 20세기에는 1만 페이지 이상의 저널 논문에 걸쳐 [[유한 단순군]]의 분류에 대한 증명을 완성했는데, 이는 20세기의 가장 위대한 수학 업적 중 하나로 꼽힌다.<ref>{{인용|last=Elwes|first=Richard|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|journal=Plus Magazine|issue=41|date=December 2006|access-date=2024-03-09|archive-date=2009-02-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20090202092008/http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|url-status=dead}}</ref>

== 발전 배경 ==
18세기까지 [[4차 방정식]]까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만([[지롤라모 카르다노|카르다노]], 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]]에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 [[갈루아]](Galois)에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. [[갈루아 이론]]으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.

== 군의 종류 ==
유한 [[순열군]]과 [[일반선형군]], 그리고 생성원과 관계식으로 [[군의 표시|표현]]되는 추상군까지 다양한 종류의 군들이 연구되었다.

=== 순열군 ===
가장 먼저 체계적으로 연구된 군은 [[순열군]]이다. 임의의 집합 ''X''와, ''X''에서 ''X''로 가는 [[전단사 함수]]들의 모임 ''G''가 주어졌을 때(이때 ''G''는 함수들의 합성에 대해 닫혀 있어야 하고 임의의 함수에 대해 역함수가 존재해야 한다.), ''G''는 ''X''에 [[군의 작용|작용]]하는 군이 된다. 만약 ''X''가 ''n''개의 원소로 이루어져 있고 ''G''는 ''X''에서 ''X''로 가는 모든 전단사 함수들, 즉 ''n''에 대한 모든 순열을 포함할 때, ''G''는 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이 되며 이를 ''S<sub>n</sub>''이라 쓴다. 일반적으로 임의의 순열군 ''G''는 ''X''에 대한 대칭군의 [[부분군]]이다. [[케일리의 정리]]에 의해 모든 군은 대칭군의 부분군과 동형인데, 초창기에는 임의의 군을 자기 자신에 작용하는(즉 ''X''=''G''인) 왼쪽 정칙표현으로 나타냈다.

=== 일반선형군 ===
몇몇 군은 [[일반선형군]]에 속한다. 일반선형군 ''G''는 [[체 (수학)|체]] ''K'' 위에서 행렬곱과 역원에 대해 닫혀 있는 ''n''×''n'' 가역행렬들의 집합이다. 일반선형군은 ''n''차원 벡터 공간 ''K''<sup>''n''</sup>에 대해 [[선형 변환]]으로서 작용한다.

=== 변환군 ===
변환군이란 어떤 공간 ''X''에 작용했을 때 그 고유 구조를 보존하는 군이다. 순열군과 일반선형군은 변환군의 특수한 예로, 순열군의 경우 ''X''는 집합, 일반선형군의 경우 ''X''는 [[벡터 공간]]이다.
변환군은 [[미분기하학]]에도 적용되는데, [[다양체]]에의 군의 작용을 [[위상동형사상]]이나 [[미분동형사상]]으로 볼 수 있다. 이때 군은 [[이산 공간|이산적]]일 수도, [[연속 함수|연속적]]일 수도 있다.

=== 추상군 ===
군론이 발전하기 시작할 무렵, 대부분의 군은 수나 순열, 행렬 등을 통해 명시적으로 표현되는 개념이었다. 19세기 말 이후부터는 추상군이라는 개념이 자리잡았는데, 여기서 '추상'이라는 말은 [[동형]]인 두 군은 같은 군으로 여기는 것에서 나타나듯이 군의 원소의 특성은 무시한다는 의미이다. 일반적으로 추상군은 ''생성원''과 ''관계식''을 이용해 [[군의 표시|표현]]된다.
: <math> G = \langle S|R\rangle. </math>
많은 종류의 추상군은 [[몫군]]으로부터 구성된다. 군 ''H''가 군 ''G''의 [[정규 부분군]]일 때, ''H''의 [[잉여류]]들이 이루는 군을 몫군이라 하며 ''G/H''로 쓴다. [[대수적 수체]]가 몫군의 대표적인 예시이며, [[정수론]]에서 주요하게 쓰인다.

=== 기타 군의 종류 ===
* [[아벨 군]]
* [[리 군]]
** [[로런츠 군]]
* [[공간군]]
* [[갈루아 군]]

== 같이 보기 ==
* [[군 (수학)]]
* [[환론]]
* [[체론]]
* [[벡터 공간]]

{{수학 분야}}
{{전거 통제}}
{{위키공용분류}}

{{토막글|수학}}

[[분류:군론]]
{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|섬네일|양 끝이 고정된 줄을 따라 전달되는 파동]]
[[파일:Spherical wave2.gif|섬네일|한 점으로 이루어진 파동원에서 퍼져나오는 파동]]

[[물리학]]과 [[수학]]에서 '''파동 방정식'''(波動方程式, {{lang|en|wave equation}})은 일반적인 [[파동]]을 다루는 2차 [[편미분 방정식]]이다. [[음파]]와 [[전자기파]], [[수면파]] 등을 다루기 위하여 [[음향학]], [[전자기학]], [[유체역학]] 등 물리학의 여러 분야에 등장한다. [[양자역학]]에서 [[위치 에너지]]가 없는 경우 [[파동 함수]]는 파동 방정식을 따른다.

== 개요 ==
파동 방정식은 <math>u(\mathbf x,t)</math>에 대한 선형 쌍곡 [[편미분 방정식]]으로, 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u </math>
여기서 <math>c</math>는 파동의 속도를 나타내는 매개변수다. 공기중을 진행하는 음파의 경우에는 대략 300 m/s이고, 이 속도를 [[음속]](音速)이라 부른다. 현의 진동의 경우 <math>c</math>는 다양한 값을 가질 수 있다.
<math>u(\mathbf x,t)</math>는 시각 <math>t</math>, 위치 <math>\mathbf x</math>에서의 파동의 [[진폭]]을 나타내는 함수다. 음파의 경우 진폭은 그곳에서의 공기의 압력이며, 진동하는 현의 경우엔 기준 위치에서부터의 변위를 나타낸다. 파동의 종류에 따라 <math>u</math>는 [[스칼라]] 또는 [[벡터 (물리)|벡터]]일 수 있다. <math>\nabla^2</math>는 위치 <math>x</math>에 대한 [[라플라스 연산자]]이다.

기본적인 파동 방정식은 [[선형 미분 방정식]]이다. 따라서 서로 다른 두 파동의 결합은 단순히 두 파의 더한 것과 같다. 또한 파동을 분석하기 위해 파를 성분별로 나누어도 된다. [[푸리에 변환]]을 이용해 파동은 사인함수들로 쪼개어질 수 있고, 이 방법은 파동방정식을 분석하는 데 유용하다.

<math>x</math>축 방향으로 늘어선 1차원 (현)의 경우, 위 식은 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 } </math>

2차원에선 다음과 같다.
:<math>{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \left ({ \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right ) </math>

식의 상수를 주파수에 따른 변수로 생각해 더 복잡하고 실제적인 파동방정식을 만들 수 있다. 이때의 방정식은 비선형이 된다.

== 역사 ==
현악기의 떨리는 현의 파동의 문제를 연구하기 위해 [[장 르 롱 달랑베르]], [[레온하르트 오일러]], [[다니엘 베르누이]], [[조제프루이 라그랑주]] 등이 연구하였다.
== 같이 보기 ==
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[라플라스 연산자]]
* [[맥스웰 방정식]]
* [[슈뢰딩거 방정식]]
* [[정상파]]

{{위키공용분류}}
{{전거 통제}}
{{토막글|과학}}

[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:파동]]
[[분류:물리학 개념]]
{{위키데이터 속성 추적}}
{{전자기학}}
'''비오-사바르 법칙'''(Biot-Savart法則, {{lang|en|Biot–Savart law}})은 [[전자기학]]에서 주어진 [[전류]]가 생성하는 [[자기장]]이 전류에 수직이고 전류에서의 거리의 [[역제곱 법칙|역제곱]]에 비례한다는 물리 법칙이다. 또한 자기장이 전류의 세기, 방향, 길이에 연관이 있음을 알려준다. 비오-사바르 법칙은 전자기학에서 유효하며 앙페르 회로 법칙과 가우스 자기 법칙과 일맥상통한다. 이 법칙의 이름은 이 법칙을 발견한 [[장바티스트 비오]]와 [[펠릭스 사바르]]({{lang|fr|Félix Savart}})의 이름을 땄다.

== 정의 ==
원점 <math>\mathbf r=\mathbf{0}</math>에 전류 <math>I</math>가 무한소의 길이의 전선 <math>d\mathbf l</math>을 따라 흐른다고 하자. 그렇다면 이 무한소의 전선에 흐르는 전류에 의하여 발생하는 무한소의 자기장 <math>d\mathbf B(\mathbf r)</math>은 다음과 같다.
:<math>d\mathbf B(\mathbf r)=\frac{\mu_0}{4\mathrm\pi}\frac{I\,d\mathbf l\times\hat{\mathbf r}}{r^2}</math>.
여기서 <math>\hat{\mathbf r}=\mathbf r/r</math>은 <math>\mathbf r</math>의 방향의 [[단위벡터]]이고, <math>\mu_0</math>은 [[진공]]의 [[투자율]]이다.

유한한 길이의 전선을 따라 흐르는 전류의 경우, 양변을 적분하면 전류로 인하여 발생하는 총 자기장을 알 수 있다.

== 활용 ==
직선 전류에 의한 자기장과 솔레노이드 내부의 자기장은 앙페르 법칙을 이용해 구할 수 있고, 비오-사바르 법칙은 원형 전류 중심에서의 자기장의 세기를 구하는 데 이용된다.

원형 도선 중심에서의 자기장
[[파일:비오사바르.jpg|453x453픽셀]]

원형 도선이 있을 때, 전류 요소 Idl은 지면 앞으로 나오는 방향이고, r에 수직이다. 또 dB의 방향도 r에 수직인 방향이 된다.

r<sup>2</sup>=x<sup>2</sup>+R<sup>2</sup>이므로 비오-사바르 법칙에서 다음과 같다.

[[파일:비오사바르 1번.PNG]]
원형 전류의 각 전류 요소 Idl에 의한 자기장 dB를 그 회로에 따라 모두 합하면 회로축에 수직인 dB의 y성분은 상쇄되므로 dB의 x성분만 계산하면 된다.
<math>dB_x=dB\sin{\theta}=dB\frac{R}{r}=dB\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2} }=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{RIdl}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2} } }</math>

[[파일:비오사바르 3번.PNG]]이므로 x=0일 때 <math>B_x=\frac{\mu_0I}{2R}</math> 가 된다.

== 같이 보기 ==
* [[쿨롱 법칙]]
* [[앙페르 회로 법칙]]
* [[자기]]
* [[소용돌이도]]

== 외부 링크 ==
* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/Biot-SavartLaw.html Science World - Biot-Savart Law]
* {{웹 인용|url=http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/BiotSavart/BiotSavart_kr.html|제목=비오-사바르 법칙의 증명 방법|저자=Fu-Kwun Hwang|날짜=2001-02-22|확인날짜=2012-08-20}}

{{전거 통제}}

[[분류:공기역학]]
[[분류:전자기학]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]
{{위키데이터 속성 추적}}
{{구별|구글}}
[[파일:Googol.png|섬네일]]
'''구골'''(googol)은 10의 100제곱을 가리키는 숫자이다. 즉 1 뒤에 0이 백 개 달린 수이다. 구골은 [[관측 가능한 우주]]의 모든 [[소립자]]의 개수(약 10^80개)보다 더 많다.

:<math>1 googol</math> = <math>10^{100}</math> = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

이 수의 이름은 1920년 미국의 수학자 [[에드워드 캐스너]](Edward Kasner)의 9살짜리 조카 [[밀턴 시로타]](Milton Sirotta)에게서 지어졌다. 캐스너는 이 개념을 저서 《Mathematics and the Imagination》(수학과 상상)에 수록했다.

이 수의 학문적 중요성은 그리 크지 않고 주로 수학 수업에서 거론될 뿐이다. 캐스너는 이 수를 매우 [[큰 수]]와 [[무한대]]의 차이를 보이기 위해 고안했다. [[칼 세이건]]은 그의 저서 '코스모스'에서 마치 무한대처럼 느껴지는 우주의 크기를 무한대와 비교하기 위하여 구골보다도 더 큰 수인 [[구골플렉스]](역시 [[밀턴 시로타]]가 명명)를 활용하여 "구골플렉스와 1이 무한대보다 작은 정도는 서로 정확히 같다."라고 했다. 그리고 구골은 무량대수보다 더 큰 수이다. 구골은 1뒤에 0이 100개 있어서, 10의 100제곱이다.

== 구골에서 유래한 수 ==
; '''[[구골플렉스]]'''(googolplex): 10의 구골제곱이다.
:<math>1 googolplex</math> = <math>10^{10^{100}}</math> = 10<sup>10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000</sup>

;'''구골플렉시안'''(googolplexian): 10의 구골플렉스 제곱(10<sup>구골플렉스</sup>)이다. 1 다음에 0이 구골플렉스 개 붙는다.(<math>10^{10^{10^{100}}}</math>)
:<math>1 googolplexian</math> = <math>10^{10^{10^{100}}}</math> = 10<sup>10<sup>10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000</sup></sup>

== 회사명 구글의 유래 ==
인터넷 검색엔진 업체 [[구글]](Google)은 처음에 구골(Googol)로 등록하려다가 실수로 사명을 잘못 표기한 것에서 구글로 등록하여 지금까지 쓰이고 있다.<ref>{{웹 인용 |url=http://graphics.stanford.edu/~dk/google_name_origin.html |제목=Origin of the name "Google" |확인날짜=2010-03-23 |보존url=https://www.webcitation.org/68ubHzYs7?url=http://graphics.stanford.edu/~dk/google_name_origin.html |보존날짜=2012-07-04 |url-status=dead }}</ref>
마운틴 뷰에 있는 구글 본사도 구골플렉스를 변형시켜 구글플렉스라고 부른다.

== 같이 보기 ==
* [[구골플렉스]]
* [[그레이엄 수]]: 수학적 의미가 있는 수 중에서 가장 큰 수. 너무 거대해서 지수표기로 나타낼 수 없다.([[커누스 윗화살표 표기법|커누스 표기법]] 참고.)
* [[무한대]]

== 각주 ==
<references/>

{{큰 수}}
{{수사}}
{{토막글|숫자}}

[[분류:큰 수]]
[[분류:1920년대 신조어]]
{{위키데이터 속성 추적}}
{{전자기학}}
[[파일:Vektor.png|thumb]]
'''포인팅 벡터'''({{lang|en|Poynting vector}})는 [[전자기장]]이 가진 [[에너지]]와 [[운동량]]을 나타내는 [[벡터 (물리)|벡터]]로, [[전기장]]과 [[자기장]]의 [[벡터곱]]이다.

== 역사 ==
영국의 존 헨리 포인팅({{lang|en|John Henry Poynting}})이 1883년에 유도하였다.<ref>{{저널 인용|성=Poynting|이름=John Henry|제목=On the transfer of energy in the electromagnetic field|저널=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|연도=1834|월=1|권=175|쪽=343–361|doi=10.1098/rstl.1884.0016}}</ref>

== 정의 ==
포인팅 벡터 '''S'''는 [[국제단위계]]에서 다음과 같다.
:<math>\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}</math>
[[CGS 단위계]]에서는 <math>1/\mu_0</math> 대신 <math>c/4\pi</math>를 쓴다.

== 성질 ==
포인팅 벡터의 크기는 전자기장의 에너지 선속 밀도({{lang|en|energy flux density}}, 단위 시간 및 단위 면적 당 에너지)의 크기와 같다. 포인팅 벡터의 방향은 에너지가 전달되는 방향과 같으며 항상 전기장 및 자기장과 수직이다.

=== 전자기장의 운동량과 각운동량 ===
포인팅 벡터는 전자기장의 에너지뿐만 아니라 [[운동량]] <math>\mathbf p</math>와 [[각운동량]] <math>\mathbf L</math>과도 다음과 같이 연관되어 있다.
:<math>\mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V \mathbf{S}d\tau</math>
:<math>\mathbf L = \mathbf{r} \times \mathbf p = \mu_0 \epsilon_0 \int_V (\mathbf{r} \times \mathbf{S})d\tau</math>

== 포인팅 정리 ==
'''포인팅 정리'''({{lang|en|Poynting's theorem}})는 [[전자기장]]을 포함한 [[계 (물리학)|계]]에서의 [[에너지 보존 법칙]]이다. 즉, 전자기장이 한 일의 양은 전자기장이 잃게 되는 에너지의 양과 같다는 정리다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\frac{dW}{dt} = - \frac{d}{dt}\int_V \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2) d\tau - \frac{1}{\mu_0}\oint_S (\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{a}</math>
우변의 첫 번째 적분은 부피 안에 저장된 전자기장의 에너지이며, 두 번째 적분은 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지다. 즉, 포인팅 정리에 따르면, 전자기력에 의하여 전하가 받은 일의 양은 전자기장에 저장된 에너지의 양의 감소량과 표면의 수직 방향의 전자기파로 방출되는 에너지량과 같다.

:<math>\frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt}\int_V u_{mech} d\tau</math>
:<math>u_{em} = \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2)</math>

역학적 에너지 밀도, 전자기장의 에너지 밀도 식을 이용하여 포인팅 정리 식과 [[발산정리]]를 이용하면 포인팅 정리의 미분형을 얻을 수 있다.
:<math>\frac{\partial}{\partial t}(u_{mech} + u_{em}) = - \nabla \cdot \mathbf{S}</math>

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:전자기학]]
[[분류:벡터]]
[[분류:광학]]
{{위키데이터 속성 추적}}
{{상수 정보
|이름 = 미세 구조 상수 ''α''
|종류 = [[물리 상수]]
|값 = 7.297 352 5698
|오차 = 0.000 000 0024
|지수 = -3
|출처 = [[CODATA]] 2010<ref name="CODATA2010">{{저널 인용|제목=CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2010
|이름=Peter J.|성=Mohr|공저자=Barry N. Taylor, David B. Newell
|저널=Reviews of Modern Physics|권=84|호=4|쪽=1527–1605|doi=10.1103/RevModPhys.84.1527|arxiv=1203.5425|bibcode=2012RvMP...84.1527M|url=http://physics.nist.gov/cuu/Constants/|날짜=2010-11-13}}</ref>
}}
{{상수 정보
|이름 = 미세 구조 상수의 역수 ''α''<sup>−1</sup>
|종류 = [[물리 상수]]
|값 = 137.035 999 074
|오차 = 0.000 000 044
|출처 = [[CODATA]] 2010<ref name="CODATA2010"/>
}}

{{양자장론}}

'''미세 구조 상수'''(微細構造常數, {{llang|en|fine structure constant}}, 기호 ''α'') 또는 '''조머펠트 미세 구조 상수'''(Sommerfeld -)는 [[전자기력]]의 세기를 나타내는 [[물리상수]]다. [[원자물리학]]과 [[입자물리학]]에서 자주 나타난다. [[1916년]] [[아르놀트 조머펠트]]가 발견하였다. 원래 조머펠트가 [[원자]] [[방출 스펙트럼]]의 [[미세 구조]]를 연구할 때 발견하였으므로 이런 이름이 붙었다.

2020년 4월에, 130억 광년 떨어진 곳에서 미세구조상수가 다른 곳이 관측되었다는 논문이 발표되었다.<ref>https://advances.sciencemag.org/content/6/17/eaay9672</ref> 이는 전자기법칙이 전 우주에서 같지는 않을 수 있다는 점을 시사한다.

== 정의 ==
미세 구조 상수 <math>\alpha</math>는 [[국제단위계]]에서는 다음과 같이 정의한다.
: <math>\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}</math>
여기서 <math>e</math>는 [[기본 전하]], <math>\pi</math>는 [[원주율]], <math>\hbar=h/{2\pi}</math>는 [[플랑크 상수|디랙 상수]], <math>c</math>는 [[빛의 속도]], <math>\epsilon_0</math>은 진공의 [[유전율]]이다. 이 값은 두 [[전자]]가 <math>\hbar / m_e c</math>(전자의 [[컴프턴 효과|컴프턴 파장]])의 거리를 두고 떨어져 있을 때, 그 [[전기적 위치 에너지]]와 전자의 [[정지 에너지]] <math>m_e c^2</math>의 비로 해석할 수 있다.

== 유도 ==
[[CGS 단위계]]에서는 <math>4\pi\epsilon_0</math> 인자가 전하량에 포함되므로 식이 다음과 같이 바뀐다.
: <math>\alpha = \frac{e^2}{\hbar c}</math>

<math>\alpha</math>는 차원이 없는 상수이기 때문에, 그 값은 단위계에 상관없이 같다. 여기에 들어가는 기본 상수값을 대입해보면
: <math>\alpha</math> =0.007 292 31
: <math>1/\alpha</math> = 137.131
이 나온다. 이 값은 실제 측정값과는 차이가 있다. 여기에 [[양자 전기역학]]에서 예견하는 전자들의 상호작용을 통한 보정을 고려할 수 있다. 이는 전자의 [[자기 모멘트]]와 미세 구조 상수와의 관계를 통해 구해진 것으로, 다음과 같다.
: <math>\alpha</math> =0.007 297 352 5698(24)
: <math>1/\alpha</math> = 137.035 999 074(44)

== 같이 보기 ==
* [[무차원 물리 상수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [http://physics.nist.gov/cuu/Constants/alpha.html CODATA 미세 구조 상수 권장값]
* {{언어링크|en}} [http://scienceworld.wolfram.com/physics/FineStructureConstant.html Eric Weisstein's World of Physics — Fine Structure Constant]

{{전거 통제}}

[[분류:물리 상수]]
[[분류:물리학 개념]]
{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:3D Spherical.svg|섬네일|300px|right|[[구면좌표계]]는 물리학에서 흔히 사용된다.]]
'''좌표계'''(座標系, coordinate system) 혹은 '''자리표계'''는 [[유클리드 공간]]과 같은 [[다양체]]의 [[점 (기하학)|점]]이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 '''좌표'''를 사용하는 체계이다.<ref>Woods p. 1</ref><ref>{{매스월드|id=CoordinateSystem|title=Coordinate System}}</ref> [[스칼라]] [[튜플]]을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 '''스칼라'''는 보통 [[실수]], 경우에 따라서는 [[복소수]]나 다른 일반적인 [[환 (수학)|환]](ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 [[스칼라]]는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 [[데카르트 좌표계]]는 [[프랑스]]의 철학자이자 수학자인 [[르네 데카르트]]가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 데카르트 좌표계를 발명해 냈다고 한다.

== 대표적인 좌표계 ==
* [[수직선 (수학)|수직선]]
* [[데카르트 좌표계]]
* [[복소평면]]
* [[극좌표]]
** [[원통 좌표계]]
** [[구면 좌표계]]
*** [[지리 좌표계]]
* [[천구 좌표계]]
** [[지평 좌표계]]
** [[은하 좌표계]]
** [[적도 좌표계]]
** [[황도 좌표계]]
* [[관성 좌표계]]

==기하학적 객체의 좌표==
좌표계는 점의 위치를 지정하는 데 자주 사용되지만 선, 평면, 원 또는 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데에도 사용될 수 있다. 예를 들어, [[플러커 좌표]]는 공간에서 선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요한 경우 설명되는 그림의 유형은 좌표계의 유형을 구별하는 데 사용된다. 예를 들어 선 좌표라는 용어는 선의 위치를 지정하는 모든 좌표계에 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 세트에 대한 좌표계가 분석 측면에서 동일할 수 있다. 이에 대한 예는 투영 평면의 점과 선에 대한 동차 좌표계이다. 이와 같은 경우의 두 시스템은 이원적이라고 한다. 이원론적 시스템은 한 시스템의 결과가 다른 시스템으로 전달될 수 있는 특성을 가지고 있다. 왜냐하면 이러한 결과는 동일한 분석 결과에 대한 서로 다른 해석일 뿐이기 때문이다. 이것이 [[쌍대성]]의 원리로 알려져 있다.

== 같이 보기 ==
* [[갈릴레이 변환]]
* [[기준틀]]
* [[갈릴레이 군]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |title=Higher Geometry|first=Frederick S.|last=Woods
|publisher=Ginn and Co.|year=1922|pages=1ff
|url=https://books.google.com/books?id=3ZULAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{언어링크|en}} [http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/MARTIN/Hex.pdf Hexagonal Coordinate Systems]

{{전거 통제}}

[[분류:좌표계| ]]
[[분류:해석기하학]]