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'''복소해석학'''(複素解析學, {{llang|en|complex analysis}})은 복소변수 [[함수]](복소함수)를 연구하는 [[수학]]의 한 분야이다. 복소해석학은 [[정수론]], [[응용수학]]을 포함한 [[수학]]의 여러 분야와 [[물리학]]에서도 유용하게 이용된다.

복소해석학의 주된 내용은 복소 [[해석함수]], 좀 더 일반적으로 [[유리형 함수]]와 관련된 이론이다. 복소 [[해석함수]]는 실수부와 허수부로 나눌 수 있고, 실수부와 허수부를 나타내는 함수는 각각 [[라플라스 방정식]]을 만족하기 때문에, 복소해석학은 [[물리학]]의 2차원 문제에 광범위하게 응용되고 있다.

== 역사 ==
복소해석학은 19세기 무렵에 여러 수학자들에 의해 연구되기 시작한 분야로, 수학의 고전적인 분야 가운데 하나이다. 초창기에는 [[레온하르트 오일러]], [[카를 프리드리히 가우스]], [[베른하르트 리만]], [[오귀스탱 루이 코시]], [[카를 바이어슈트라스]] 등이 중요한 업적을 남겼고, 20세기에 들어서는 더 많은 수학자들이 복소해석학의 연구에 동참했다. 전통적으로 복소해석학의 주제들, 그 중에서도 특히 [[등각사상]]은 [[물리학]]의 여러 분야에 응용되었으며, 이는 [[해석적 수론]]의 연구 전반에서도 중요한 역할을 한다. 현대에 복소해석학이 응용되는 분야는 20세기 말부터 두각을 나타내고 있는 [[복소 동역학]]이나, [[해석함수]]를 반복적으로 적용하여 얻을 수 있는 [[망델브로 집합]]과 같은 [[프랙털]] 구조를 다루는 [[프랙털 기하학]] 등이 유명하다. 이들 분야에 대한 발달과 함께 복소해석학은 더욱 많은 사람들이 관심을 갖는 분야가 되었다. 최근의 중요한 복소함수론의 응용은 물리학의 [[끈 이론]]에서 찾을 수 있다.

== 복소함수 ==
일반적으로 '''[[복소함수]]'''란 [[독립변수]]와 [[종속변수]]가 모두 복소수인 함수를 말한다. 다시 말해 복소함수는 [[정의역]]과 [[치역]]이 복소평면의 [[부분집합]]인 함수로, 복소함수의 독립변수와 종속변수는 모두 실수부와 허수부로 나눌 수 있다.

: <math>z = x + iy\,</math>
: <math>w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\,</math>
: 여기서 <math>x,y \in \mathbb{R}\,</math> 이고 <math>u(x,y), v(x,y)\,</math>는 [[실함수]]이다.

즉, 복소함수 ''f''(''z'')는 실수부를 나타내는 함수

: <math>u = u(x,y)\,</math>
와 허수부를 나타내는 함수
: <math>v = v(x,y),\,</math>
로 나눌 수 있으며 이들 두 함수는 모두 ''x'' 와 ''y''을 독립변수로 갖는 [[다변수 함수|이변수 함수]]이다.

기본적인 복소함수는 실함수의 정의역을 복소평면으로 확장하여 정의하는 것이 일반적이다. 예를 들어 복소함수로서의 지수함수 <math>f\,(z)=e^z\,</math>는 복소변수 ''z''가 실수일 때, 실함수로서의 지수함수 <math>f\,(x)=e^x\,</math>와 같은 값을 가질 뿐만 아니라, 실함수로서의 지수함수가 갖는 중요한 성질인

:<math>f\,(x+y)=e^{x+y}=e^x\,e^y=f\,(x)\,f\,(y)</math>

를 복소평면에서 만족하도록 정의되었다.

== 도함수와 코시-리만 방정식 ==
=== 도함수 ===
실함수에서와 마찬가지로 복소함수 <math>f(z)\, </math>의 정의역 안의 점 <math>z \, </math>에서의 '''[[미분]]'''은 극한
:<math>f^\prime(z) = \frac{dw}{dz} = \lim_{h \to 0}\frac{f(z+h) - f(z)}{h}\,\cdots\cdots (1)</math>
으로 정의한다. 만약 극한이 존재하지 않는다면 <math>f(z)\, </math>는 점 <math>z_0 \, </math>에서 미분 불가능하다. 여기서 극한에 관해 주의해야 할 것은, 일변수 함수의 극한에서 <math>h\, </math>는 수직선을 따라 0에 접근하는 경우만을 생각할 수 있었지만, 복소평면에서는 무수히 많은 경로를 생각할 수 있고 어떤 경우든 그 극한값이 모두 일치해야 극한이 존재한다는 점이다.

복소함수 <math>f: D \rightarrow \mathbb{C}\, </math>의 영역 <math>D \, </math> 안의 모든 점에서 위 (1)의 극한이 존재하면 <math>f \, </math>를 <math>D \, </math>에서 미분가능하다고 하고 식(1)로 정의된 함수 <math> f': D \rightarrow \mathbb{C}\, </math>를 <math>f \, </math>의 '''도함수'''라고 한다.

복소함수가 도함수를 갖는 것은 실함수가 도함수를 갖는 것보다 훨씬 더 수학적으로 중요한 결과이다. 실함수의 경우 정의역의 모든 점에서 1계 도함수가 존재하지만 2계 도함수가 존재하지 않는 경우를 찾을 수 있으나, 복소함수의 경우 열린집합에서 정의된 함수가 도함수를 가지면 그 함수는 무한번 미분 가능한 함수가 된다.

=== 코시-리만 방정식 ===
{{본문|코시-리만 방정식}}
해석적인 복소함수 <math>f(z)\, </math>의 ''z''에서 극한 (1)이 존재한다. 그러므로 극한 (1)에서 ''h''가 특별히 실수축과 허수축에 나란하게 움직이는 경우의 극한도 존재하고 또 같은 극한값을 가져야 한다. 따라서 함수 <math>f(z)\, </math>의 실수부와 허수부를 각각 <math>u(x, y),\,\,v(x,y)\, </math>라고 하면

:<math>
f^\prime(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}.\,
</math>

이다. 위 두 식의 실수부와 실수부, 허수부와 허수부는 같아야 하므로 다음이 성립한다.

:<math>
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,
</math> 또는, <math>u_x=v_y \qquad u_y=-v_x.\,</math>

이 두 방정식을 '''코시-리만 방정식'''이라고 한다.

== 중요한 결과들 ==

* 복소해석학에서 가장 중요한 해석 도구 중의 하나로 [[선적분]]을 들 수 있다.
** '''[[코시 적분 정리]]''': 닫힌 곡선의 안쪽에서 해석적인 복소함수를 그 닫힌곡선을 따라 적분한 값은 항상 0이다.
** '''[[코시 적분 공식]]''': 원판 안에서 [[정칙함수]]의 값은 그 원판의 경계선(원)을 따라 그 함수와 관련된 특정한 형태의 함수를 적분하여 구할 수 있다.
** '''[[유수 정리]]''': 닫힌곡선의 안쪽에서 [[특이점|극]](극점)이나 [[특이점|진성특이점]]을 갖는 복소함수의 닫힌곡선 위에서의 선적분의 계산은 유수 정리를 이용할 수 있다. 유수 정리를 이용하면 실수체 위에서 사실상 불가능할 정도로 복잡한 실함수의 [[적분]] 계산을 복소평면에서의 선적분을 이용하여 계산할 수 있다.
* 복소해석학의 주요 주제는 복소함수-해석함수, 유리형 함수-에 관한 것이다.
** '''[[테일러 급수]]''': 해석적인 복소함수는 [[테일러 급수]]로 나타낼 수 있다.
** '''[[로랑 급수]]''': 특이점을 제외한 특이점 근방에서 복소함수는 [[로랑 급수|로랑의 급수]]로 나타낼 수 있으며 이를 이용하여 특이점 근방에서의 복소함수의 특성을 알아볼 수 있다.
** '''[[피카르의 대정리]]''': 진성특이점 근방에서 해석함수의 특성을 설명하는 정리이다.
** '''[[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]''': 전체 복소평면에서 유계인 해석함수 즉, 유계인 전해석함수는 [[함수|상수함수]]이다. [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]를 이용하면 [[대수학의 기본정리]]를 짧게 증명할 수 있다. 대수학의 기본정리는 ‘복소수체는 대수적으로 닫혀있다’는 내용이다.
** '''[[해석적 연속]]''': 만약 한 함수가 [[단일 연결]] 영역 <math> \Omega</math>에서 해석적이라면 그 함수값은 <math> \Omega</math>의 부분 영역에서의 함수값에 의해 완전히 결정된다. 이를 이용하면 해석함수의 정의역을 확장할 수 있다. 예를 들어 최초에는 복소평면의 제한된 부분에서만 수렴하는 무한급수로 정의되었던 [[리만 제타 함수]]도 해석적 확장을 통해 그 정의역을 확장할 수 있다.
* 위의 모든 내용들은 일변수 복소해석학에 관련된 것들이다. 그러나 2변수 이상의 복소해석학에서도 역시 풍부한 이론들을 찾을 수 있다.
** 2변수 이상의 복소해석학에서도 멱급수 전개와 같은 해석적인 성질들이 성립하지만, 등각성(conformality)과 같은 일변수 해석함수가 갖는 기하학적 성질은 더 이상 성립하지 않는다.
** '''[[리만 사상 정리]]''': 단순연결영역에서 등각 관계(conformal relation)에 관한 함수의 존재성에 관한 정리인 리만 사상 정리는 일변수 복소해석학에서 매우 중요한 의미를 갖는 이론이지만 2변수 이상의 복소함수에서는 성립하지 않는다.

== 같이 보기 ==
* [[복소기하학]]
* [[벡터 미적분학]]
* [[실해석학]]
* [[리만-로흐 정리]]
* [[룽게의 정리]]
== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용|제목=복소해석학|저자=김정헌|공저자=정광식|출판사=대선|날짜=2011-03|isbn=978-89-8894464-6|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=복소해석학|저자=김정진|공저자=윤갑진|출판사=교우사|날짜=2013-03|isbn=978-89-8172946-2|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=복소해석학|저자=이춘호|공저자=최규홍|출판사=경문사|날짜=2013-03|isbn=978-89-6105673-1|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=복소해석학의 이해|판=2판|저자=양영오|출판사=청문각|날짜=2009-08|isbn=978-89-6364016-7|언어=ko}}
* {{서적 인용|제목=복소해석학개론|저자=고석구|판=3판|출판사=경문사|날짜=2009-09|isbn=978-89-6105248-1|언어=ko}}
*  {{서적 인용|이름=Jerrold E.|성=Marsden|공저자=Hoffman|url=http://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Basic_Complex_Analysis.html|제목=Basic complex analysis|판=3판|출판사=W. H. Freeman|날짜=1998-11|zbl=0777.26001|언어=en}}
*  {{서적 인용|이름=Elias M.|성=Stein|공저자=Rami Shakarchi|제목=Complex analysis|url=http://press.princeton.edu/titles/7563.html|출판사=Princeton University Press|날짜=2003|isbn=978-069111385-2|총서=Princeton Lectures in Analysis|권=2|언어=en}}
* {{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}
* {{서적 인용|이름=Richard A.|성=Silverman|제목=Introductory complex analysis|총서=Dover Books on Mathematics|출판사=Dover|isbn=978-048664686-2|zbl= 0145.29804|날짜=1967|url=http://store.doverpublications.com/0486646866.html|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Complex made simple|날짜=2008|이름=David C.|성=Ullrich|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-97|출판사=American Mathematical Society|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=97|isbn=978-0-8218-4479-3|zbl=1221.30002|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Function theory of one complex variable|판=3판|이름=Robert E.|성=Greene|공저자= Steven G. Krantz|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=40|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-40-R|isbn=978-0-8218-3962-1|mr=2215872 |zbl=1114.30001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}}[http://mathworld.wolfram.com/ComplexAnalysis.html Wolfram Research's MathWorld Complex Analysis Page]
{{수학 분야}}
{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학| ]]