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'''호프-리노우 정리'''({{llang|en|Hopf–Rinow theorem}})는 [[리만 다양체]]의 [[측지선 완비 준 리만 다양체|측지선 완비성]]에 대한 일련의 진술이다. 그것은 1931년에 그것을 출판한 [[하인츠 호프]]와 그의 제자 빌리 리노우의 이름을 따서 명명됐다.<ref>{{저널 인용|제목=Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche|저널=[[Commentarii Mathematici Helvetici]]|성=Hopf|이름=H.|성2=Rinow|이름2=W.|연도=1931|권=3|호=1|쪽=209–225|doi=10.1007/BF01601813}}</ref> Stefan Cohn-Vossen은 호프-리노우 정리의 일부를 특정 유형의 [[거리 공간|계량 공간]]의 맥락으로 확장했다.

== 진술 ==
<math>(M, g)</math>를 매끄러운 [[연결 공간|연결]] 리만 다양체라 하자. 그러면, 다음 명제들은 동치이다.{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Chapter 7|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 2.C.5|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Section 1.7|4a1=Kobayashi|4a2=Nomizu|4y=1963|4loc=Section IV.4|5a1=Lang|5y=1999|5loc=Section VIII.6|6a1=O'Neill|6y=1983|6loc=Theorem 5.21 and Proposition 5.22|7a1=Petersen|7y=2016|7loc=Section 5.7.1}}

# <math>M</math>의 [[닫힌 집합|닫힌]] 부분집합과 [[유계 집합|유계]] [[부분집합]]운  [[콤팩트 공간|콤팩트]] 하다;
# <math>M</math>이 [[완비 거리 공간|완비]] [[거리 공간|계량 공간]]이다.
# <math>M</math>이 측지 완비다. 즉, 각 <math>p \in M,</math> [[지수 사상 (리만 기하학)|지수 사상]] exp<sub>''p''</sub>는 전체 [[접공간]] <math>\operatorname{T}_p M.</math>에서 정의된다.

또한, 위의 어느 하나는 주어진 두 점이 <math>p, q \in M,</math> 이 두 지점을 연결하는 [[측지선]]을 극소화하는 길이가 존재한다(측지선은 일반적으로 길이 함수에 대한 [[임계점 (수학)|임계점]]이며 최소값일 수도 있고 아닐 수도 있다).

호프-리노우 정리에서 완비성의 첫 번째 특성화는 순전히 다양체의 위상과 다양한 집합의 경계를 다룬다. 두 번째는 [[변분법]] (즉 길이 함수의 극소화)에서 특정 문제에 대한 극소점의 존재를 다룬다. 세 번째는 특정 연립 [[상미분방정식]]에 대한 해의 특성을 다룬다.

== 변형 및 일반화 ==
* 호프-리노우 정리는 다음과 같은 방법으로 [[길이 거리 공간]]에 일반화된다.
** [[길이 거리 공간]]이 [[완비 거리 공간|완비]] [[국소 콤팩트 공간|국소 콤팩트]]이면 두 점을 [[측지선|극소화 측지선]]으로 연결할 수 있으며 경계가 있는 [[닫힌 집합]]은 모두 [[콤팩트 공간|콤팩트]]이다.

: 실제로 이러한 성질은 국소 콤팩트 [[길이 거리 공간]]에 대한 완비성을 특징으로 한다.{{sfnm|1a1=Burago|1a2=Burago|1a3=Ivanov|1y=2001|1loc=Section 2.5.3}}

* 이 정리는 무한 차원 다양체에는 적용되지 않는다. [[힐베르트 공간|분리 가능한 힐베르트 공간]]의 단위 구는 대척점이 길이를 최소화하는 측지선으로 결합될 수 없는 방식으로 [[힐베르트 다양체]]의 구조를 부여받을 수 있다. 최소화 여부에 관계없이 두 지점이 측지선으로 결합된다는 것이 자동적으로 참이 아니라는 것이 나중에 관찰됐다.<ref>{{인용|last1=Atkin|first1=C. J.|title=The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions|mr=0400283|year=1975|journal=[[The Bulletin of the London Mathematical Society]]|volume=7|issue=3|pages=261–266|doi=10.1112/blms/7.3.261}}</ref>
* 이 정리는 또한 [[준 리만 다양체|로런츠 다양체]]에 일반화되지 않는다. Clifton-Pohl 원환은 콤팩트하지만 완비가 아닌 예(2차원 원환에 대한 미분동형사상)를 제공한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 참조 ==
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* {{위키인용|ref={{sfnRef|Burago|Burago|Ivanov|2001}}|reference={{서적 인용|mr=1835418|zbl=0981.51016|last1=Burago|first1=Dmitri|last2=Burago|first2=Yuri|last3=Ivanov|first3=Sergei|title=A course in metric geometry|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=33|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|year=2001|isbn=0-8218-2129-6|author-link1=Dmitri Burago|author-link2=Yuri Burago|author-link3=Sergei Ivanov (mathematician)|doi=10.1090/gsm/033|ref=none}} {{erratum|https://www.pdmi.ras.ru/~svivanov/papers/bbi-errata.pdf|checked=yes}}}}
* {{서적 인용|title=Metric spaces of non-positive curvature|last1=Bridson|first1=Martin R.|last2=Haefliger|first2=André|year=1999|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=319|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin|doi=10.1007/978-3-662-12494-9|isbn=3-540-64324-9|mr=1744486|zbl=0988.53001|author-link1=Martin Bridson|author-link2=André Haefliger}}
* {{서적 인용|title=Riemannian geometry|last=do Carmo|first=Manfredo Perdigão|authorlink=Manfredo do Carmo|year=1992|series=Mathematics: Theory & Applications|publisher=[[Birkhäuser|Birkhäuser Boston, Inc.]]|location=Boston, MA|others=Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty|isbn=0-8176-3490-8|mr=1138207|zbl=0752.53001}}
* {{서적 인용|title=Riemannian geometry|last1=Gallot|first1=Sylvestre|last2=Hulin|first2=Dominique|year=2004|edition=Third|series=Universitext|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/978-3-642-18855-8|isbn=3-540-20493-8|mr=2088027|zbl=1068.53001|last3=Lafontaine|first3=Jacques|author-link1=Sylvestre Gallot|author-link2=Dominique Hulin}}
* {{서적 인용|title=Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces|last1=Gromov|first1=Misha|year=1999|edition=Based on the 1981 French original|series=Progress in Mathematics|volume=152|publisher=[[Birkhäuser|Birkhäuser Boston, Inc.]]|location=Boston, MA|others=With appendices by [[Mikhail Katz|M. Katz]], [[Pierre Pansu|P. Pansu]], and [[Stephen Semmes|S. Semmes]].|doi=10.1007/978-0-8176-4583-0|isbn=0-8176-3898-9|mr=1699320|zbl=0953.53002|title-link=Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces|translator-last1=Bates|translator-first1=Sean Michael|author-link1=Mikhael Gromov (mathematician)}}
* {{서적 인용|title=Riemannian geometry and geometric analysis|last1=Jost|first1=Jürgen|year=2017|edition=Seventh edition of 1995 original|series=Universitext|publisher=[[Springer, Cham]]|doi=10.1007/978-3-319-61860-9|isbn=978-3-319-61859-3|mr=3726907|zbl=1380.53001|author-link1=Jürgen Jost}}
* {{서적 인용|title=Foundations of differential geometry. Volume I|last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi|year=1963|publisher=[[John Wiley & Sons, Inc.]]|location=New York–London|mr=0152974|zbl=0119.37502|author-link1=Shoshichi Kobayashi|author-link2=Katsumi Nomizu|title-link=Foundations of Differential Geometry}}
* {{서적 인용|title=Fundamentals of differential geometry|last1=Lang|first1=Serge|year=1999|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=191|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=New York|doi=10.1007/978-1-4612-0541-8|isbn=0-387-98593-X|mr=1666820|zbl=0932.53001|author-link1=Serge Lang}}
* {{서적 인용|title=Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity|last1=O'Neill|first1=Barrett|year=1983|series=Pure and Applied Mathematics|volume=103|publisher=[[Academic Press|Academic Press, Inc.]]|location=New York|doi=10.1016/s0079-8169(08)x6002-7|isbn=0-12-526740-1|mr=0719023|zbl=0531.53051|author-link1=Barrett O'Neill}}
* {{서적 인용|title=Riemannian geometry|last1=Petersen|first1=Peter|year=2016|edition=Third edition of 1998 original|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=171|publisher=[[Springer Publishing|Springer, Cham]]|doi=10.1007/978-3-319-26654-1|isbn=978-3-319-26652-7|mr=3469435|zbl=1417.53001}}
{{참고 자료 끝}}

== 외부 링크 ==
* {{SpringerEOM|id=H/h048010|제목=Hopf–Rinow theorem|성1=Voitsekhovskii|이름1=M. I.}}
* {{매스월드|Hopf-RinowTheorem|성=Derwent, John}}

[[분류:계량기하학]]