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[[복소해석학]]에서 '''스토크스 현상'''(Stokes現象, {{llang|en|Stokes phenomenon}})은 [[전해석 함수]]의 [[점근적 근사]]가 [[분지절단]]을 보이는 현상이다.

== 정의 ==
어떤 [[전해석 함수]] <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>가 <math>|z|\gg1</math>에 대하여 다음과 같이 근사된다고 하자.
:<math>f(z)\approx g(z)\qquad(|z|\gg1)</math>
여기서 <math>g(z)</math>는 전해석 함수가 아니며, [[분지절단]]을 가질 수 있다. 이 경우, <math>f</math>가 '''스토크스 현상'''을 보인다고 한다.

== 예 ==
[[파일:Root-system-A2-v1.png|섬네일|오른쪽|<math>\operatorname{Ai}(z)</math>의 스토크스 선들의 모양]]
[[에어리 함수]] <math>\operatorname{Ai}(z)</math>는 <math>\widehat\infty</math>에서 [[본질적 특이점]]을 갖는 [[전해석 함수]]이다. 임의의 편각 <math>\operatorname{arg}z</math>에 대하여, 에어리 함수는 다음과 같이 근사된다.
:<math>\operatorname{Ai}(z)\sim C_+x^{-1/4}\exp(+(2/3)x^{3/2})+C_-x^{-1/4}\exp(-(2/3)x^{3/2})</math>
이 근삿값은 전해석 함수가 아니므로, 스토크스 현상이 발생하는 것을 볼 수 있다.

이와 같이, 일반적으로 점근적 근사는 여러 개의 점근적 항으로 구성되어 있다. 대부분의 편각에서는 이 항 가운데 하나만이 지수적으로 우세하게 되고, 따라서 나머지 항들은 버릴 수 있다. 여러 항들의 크기가 일치하게 되는 점들을 '''반 스토크스 선'''({{llang|en|anti-Stokes line}})이라고 한다. 이러한 점에서는 점근적 근사의 우세한 항이 바뀌게 된다.

열등한 항의 계수는 '''스토크스 선'''({{llang|en|Stokes line}})에서 급격한 변화를 겪는다. 스토크스 선은 우세한 항이 열등한 항보다 상대적으로 가장 큰 값을 갖는 선이다.

<math>\operatorname{Ai}(z)</math>의 스토크스 선들은
:<math>\operatorname{arg}(z)=2n\pi/3\qquad(n\in\mathbb Z)</math>
이며, 반 스토크스 선들은
:<math>\operatorname{arg}(z)=(2n+1)\pi/3\qquad(n\in\mathbb Z)</math>
이다. 스토크스 선 근처에서 <math>C_+</math>와 <math>C_-</math>의 값은 급격히 변할 수 있다.

== 역사 ==
[[조지 가브리엘 스토크스]]가 [[에어리 함수]]를 연구하는 과정에서 발견하였다.<ref>{{저널 인용|이름=G. G.|성=Stokes|저자링크=조지 가브리엘 스토크스|제목=On the numerical Calculation of a Class of Definite Integrals and Infinite Series|저널=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|권=9|호=1|날짜=1851|쪽=166–187|bibcode=1851TCaPS...9..166S|url=http://biodiversitylibrary.org/page/2437437|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=G. G.|성=Stokes|저자링크=조지 가브리엘 스토크스|제목=On the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments|저널=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|권=10|호=1|날짜=1858|쪽=105–128|bibcode=1864TCaPS..10..105S|url=http://biodiversitylibrary.org/page/2424113|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=G. G.|성=Stokes|저자링크=조지 가브리엘 스토크스|제목=Supplement to a paper on the Discontinuity of Arbitrary Constants which appear in Divergent Developments|저널=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|권=11|호=2|날짜=1869|쪽=412-425|jfm=02.0163.03|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[보렐 합]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=The Stokes phenomenon, Borel summation and Mellin-Barnes regularisation|doi=10.2174/97816080501091090101|isbn=978-1-60805-097-0|출판사=Bentham|이름=Victor|성=Kowalenko|날짜=2009|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=R. E.|성=Meyer|제목=A simple explanation of the Stokes phenomenon|날짜=1989-09|저널=Society for Industrial and Applied Mathematics Review|권=31|호=3|쪽=435–445|doi=10.1137/1031090|zbl=0679.34068|jstor=2031404|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Introduction to Stokes structures|arxiv=0912.2762|이름=Claude|성=Sabbah|doi=10.1007/978-3-642-31695-1|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=2060|날짜=2013|출판사=Springer|isbn= 978-3-642-31694-4|issn=0075-8434|zbl=1260.34002|bibcode=2009arXiv0912.2762S|언어=en}}
* {{저널 인용|이름=M. V.|성=Berry|제목=Stokes’ phenomenon; smoothing a Victorian discontinuity|저널=Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques |권=68|호=1|쪽=211-221|날짜=1988|zbl=0701.58012|mr=1001456|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__211_0|doi=10.1007/BF02698550|issn=0073-8301|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Lectures on non-perturbative effects in large ''N'' gauge theories, matrix models and strings|이름=Marcos|성=Mariño|arxiv=1206.6272|bibcode=2012arXiv1206.6272M|날짜=2012|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stokes phenomenon}}
* {{매스월드|id=StokesPhenomenon|title=Stokes phenomenon}}
* {{웹 인용|웹사이트=nLab|url=http://ncatlab.org/nlab/show/Stokes+phenomenon|제목=Stokes phenomenon|언어=en}}

[[분류:점근 해석]]
[[분류:복소해석학]]