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[[거짓말 이론|리 이론]]에서 '''리의 세 번째 정리'''({{llang|en|Lie's third theorem}})는 모든 유한 차원 실수 [[리 대수]] <math>\mathfrak{g}</math>는 어떤 실수 [[리 군]] ''<math>G</math>''의 리 대수라는 정리이다. 이 정리는 [[리 대응|리군-리 대수 대응]]의 일부이다.

역사적으로 세 번째 정리는 다르지만 관련된 결과를 나타낸다. 현대적으로 다시 표현된 [[소푸스 리]]의 앞선 두 정리는 매끄러운 다양체에서 [[군의 작용|군 작용]]의 무한소 변형과 관련된다. 목록의 세 번째 정리는 국소 리 군의 무한소 변환에 대한 [[야코비 항등식]]을 명시한다. 반대로, [[벡터장]]의 리 대수가 있는 경우 이 리 대수의 적분은 ''국소'' 리 군 작용을 제공한다. 현재 세 번째 정리로 알려진 결과는 원래 정리에 대한 본질적이고 대역적인 역 정리를 제공한다.

== 역사 ==
[[단일 연결 공간|단일 연결]] 실수 리 군 [[범주 (수학)|범주]]와 유한 차원 실수 리 대수 사이의 [[범주의 동치|동치성]]은 일반적으로 (20세기 후반 문헌에서) 카르탕의 정리 또는 [[엘리 카르탕]]이 증명한 카르탕-리 정리라고 불린다. 소포스 리는 이전에 [[마우러-카르탕 형식|마우러-카르탕 방정식]]의 국소적 가해성, 즉 유한 차원 리 대수 범주와 국소 리 군 범주 사이의 동치성이라는 국소 버전을 증명했다.

리는 그의 결과를 3개의 직접 정리와 3개의 역 정리로 나열했다. 카르탕 정리의 무한소 변형은 본질적으로 리의 세 번째 역 정리였다. 영향력 있는 책<ref>[[장피에르 세르|Jean-Pierre Serre]] (1992)[1965] ''Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures Given at Harvard University'', page 152, Springer {{ISBN|978-3-540-55008-2}}</ref>에서 [[장피에르 세르]]는 이를 '''리의 세 번째 정리'''라고 불렀다. 이 이름은 역사적으로 다소 오해의 소지가 있지만 일반화와 관련하여 자주 사용된다.

세르는 그의 책에서 두 가지 증명을 제공했다. 하나는 [[아도 정리]]에 기초한 것이고 다른 하나는 엘리 카르탕의 증명을 자세히 설명한 것이다.

== 증명 ==
리의 세 번째 정리에 대한 여러 가지 증명이 있으며, 각각은 서로 다른 대수적이거나 기하학적인 방법을 사용한다.

=== 대수적 증명 ===
고전적인 증명은 간단하지만 증명이 대수적이고 아주 비자명한 [[아도 정리]]에 의존한다.<ref>{{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2011/05/10/ados-theorem/|제목=Ado's theorem|성=Tao|이름=Terence|저자링크=Terence Tao|날짜=2011-05-10|웹사이트=What's new|언어=en|확인날짜=2022-09-18}}</ref> 아도 정리에 따르면 모든 유한 차원 리 대수는 [[행렬]]로 표현될 수 있다. 결과적으로 [[행렬 지수 함수]]를 통해 이러한 행렬 대수를 적분하면 원래 리 대수를 적분한 리 군이 생성된다.

=== 코호몰로지적 증명 ===
좀 더 기하학적인 증명은 [[엘리 카르탕]]이 했다<ref>{{저널 인용|제목=Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie|저널=Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travaux en cours|성=Van Est|이름=Willem|url=https://international.scholarvox.com/catalog/book/88853657|날짜=1987|권=27|출판사=Hermann|쪽=83–96|언어=fr|번역제목=A proof of Elie Cartan of Lie's third theorem|출판장소=Paris}}</ref>. 이 증명은 [[리 대수|중심]]의 차원에 대한 [[수학적 귀납법|귀납법]]을 사용하며 [[리 대수 코호몰로지|슈발레-엘렌베르크 복합체]]를 연관시킨다.<ref>{{웹 인용|url=https://ivv5hpp.uni-muenster.de/u/jeber_02/talks/lieIII.pdf|제목=Van Est's exposition of Cartan's proof of Lie's third theorem|성=Ebert|이름=Johannes}}</ref>

=== 기하학적 증명 ===
뒤스터마트와 콜크는 2000년에 다른 기하학적 증명을 발견했다.<ref>{{서적 인용|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-56936-4|제목=Lie Groups|성=Duistermaat|이름=J. J.|저자링크=Hans Duistermaat|성2=Kolk|이름2=J. A. C.|날짜=2000|총서=Universitext|출판사=Springer Berlin Heidelberg|위치=Berlin, Heidelberg|doi=10.1007/978-3-642-56936-4|isbn=978-3-540-15293-4}}</ref> 이전의 증명과 달리 이는 [[구성적 증명]]이다. 적분 결과인 리 군은 리 대수의 [[경로 (위상수학)|경로]]들이 이루는 (무한 차원) [[바나흐 공간|바나흐]] 리 군과 적합한 리 부분 군의 몫으로 구성된다. 이 증명은 [[리 준군]]과 [[리 준대수]]에 대한 리 세 번째 정리의 일반화를 위한 길을 열었기 때문에 리 이론<ref name=":5">{{ArXiv 인용|eprint=1110.5627|class=math.HO|first=Reyer|last=Sjamaar|title=Hans Duistermaat's contributions to Poisson geometry|date=2011-10-25}}</ref>에 영향을 미쳤다.<ref>{{저널 인용|제목=Integrability of Lie brackets|저널=[[Annals of Mathematics]]|성=Crainic|이름=Marius|저자링크=Marius Crainic|성2=Fernandes|이름2=Rui|저자링크2=Rui Loja Fernandes|url=http://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p06|날짜=2003-03-01|권=157|호=2|쪽=575–620|언어=en|doi=10.4007/annals.2003.157.575|issn=0003-486X}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[미분 방정식의 리 군 적분|미분 방정식의 리 군 적분자]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{인용|last=Cartan|first=Élie|authorlink=Élie Cartan|title=La théorie des groupes finis et continus et l'''Analysis Situs''|year=1930|periodical=Mémorial Sc. Math.|volume=XLII|pages=1–61}}
* {{인용|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3319134666|doi=10.1007/978-3-319-13467-3}}
* {{인용|last=Helgason|first=Sigurdur|authorlink=Sigurdur Helgason (mathematician)|title=Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|isbn=978-0-8218-2848-9|mr=1834454|year=2001|volume=34}}

== 외부 링크 ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lie_theorem 수학 백과사전(EoM)]

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]