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[[파일:Floating water bridge.jpg|250px|섬네일|워터 브리지 실험으로 나타난 워터 브리지.]]
'''워터 브리지 현상'''(Water Bridge)이란, [[탈이온수]]가 담긴 두 비커에 [[고전압]](10kV 이상)을 걸어주게 되면 두 비커의 물이 마치 다리처럼 이어지는 현상을 의미한다.

아직 이 현상을 구체적으로 부르는 명칭은 없으나 보통 ''Floating water bridge''라고 부르거나 혹은 간단하게 ''Water Bridge''로 불린다. 이 워터 브리지 현상처럼 [[유체]]와 [[전기장]] 사이의 현상을 다루는 학문을 [[전기유체역학]](Electrohydrodynamics)이라고 분류하며, 이에 가장 유명한 현상은 [[타일러 원뿔]](Taylor cone) 현상이 있다.<ref name="ref1">A’varo G. Mari’n and Detlef Lohse, Building water bridges in air: ''Electrohydrodynamics of the Floating Water Bridge'', Oct, 20, 2010</ref>

== 역사 ==
이 현상은 1893년도에 영국의 과학자 ''Lord Armstrong''에 의해 세상에 공식적으로 알려졌으나,<ref name="ref2">W. G. Armstrong. Electrical phenomena. ''The Newcastle Literary and Philosophical Society'', The Electrical Engineer, 10:153, 1893</ref>이에 대한 분석과 원인은 120여년이 지난 최근에 와서 실험적으로 검증되었다.<ref name="ref3">Reza Montazeri. et al. ''Experimental investigation of the stability of the floating water bridge'', PHYSICAL REVIEW E88 033019(2013)</ref> 많은 과학자들이 이 현상을 전기적 현상으로만 설명하려 했기 때문이다. 하지만 이론적인 부분은 아직도 일부 미해결 상태로 남아있다.

== 이론 ==
현재까지 검증된 워터 브리지의 형성 원인은 크게 두 가지이다. 첫 번째는 [[유전체 매체]](Dielectric dielectric medium)인 물에 전기장이 가해져, 물 분자들 간의 인력(tension)이 세져서 생긴 영향이고<ref name="ref4">A. Widom. et al. ''Theory of the Maxwell pressure tensor and the tension in a water bridge'', PHYSICAL REVIEW E 80, 016301(2009)</ref>, 다른 하나는 bridge의 표면장력에 의해 생긴 수직한 방향의 힘 영향이다.<ref name="ref5">Artem A. Aerov, ''Why the water Bridge does not collapse'', PHYSICAL REVIEW E 84, 036314(2011)</ref>

=== 유전체 장력 ===


==== 변위장 ====
먼저, 물질에 전기장이 걸리게 되면, 이 물질의 분자들은 왼쪽의 모식도<ref name="griffiths1">David J. ''Griffiths introduction to Electrodynamics 4th'', 178p</ref>와 같이 [[편극 밀도|편극]]을 일으키게 된다. 원자핵과 [[원자 궤도|전자 구름]]이 전기장에 의해 [[쿨롱 법칙|쿨롱 힘]]을 받아 미세하게 분리되기 때문이다. 이 분극된 분자들은 회전하여 일정한 방향으로 정렬하게 되는데, 이 때, 걸어준 전기장에 비례해서 분극이 일어나는 물질을 [[선형유전체]](Linear dielectric)라고 한다.

분극의 영향 때문에 유전체 안에서 전기장은 처음 걸어준 전기장의 크기보다 작아지게 된다. 이러한 영향을 고려해 준 것이 바로 [[유전율]](permittivity)'''&epsilon;'''이고, 이때 분극된 분자들이, 걸어준 장의 영향을 감소시키는 [[스크리닝 효과]](screening effect)를 고려해주어,유전 매체 안에서의 장을 [[변위장]] '''D''' = &epsilon;'''E'''라고 새롭게 정의하게 된다(linear dielectric medium 일 경우).

==== 유전체 장력 ====
분자들이 전기장의 영향을 받아 분극되면, 이 분자들은 양극과 음극이 있는 [[쌍극자]](dipole)로 생각할 수 있다. 이 때, 이 쌍극자들은 왼쪽 그림<ref>Reitz Milford Christy, ''Foundations of Electromagnetic Theory 4th'', 99p</ref>과 같이 가해준 장과 같은 방향으로 일정하게 정렬하게 된다. 그렇게 되면, 자연스럽게 이 분극된 분자들, 즉 dipole 사이에 인력이 작용하게 되어 기존의 [https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_bond 수소결합]보다 더 큰 분자 간의 인력을 갖게 된다. 이 힘이 바로 워터 브리지가 만들어지는 주된 역할을 하게 되는 것이다. 분자들 사이에 인력, 즉 유전체 장력을 구하기 위해, 먼저 전하 밀도를 구해보자.

::<math>\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}</math><ref name="reitz2"/>

[8] 식에 의해, 도선 내부의 전기장은 전류와 그 크기와 방향이 비례하고, 브리지를 크게 휘어지지 않은 원통형라고 가정하면<ref name="ref4"/><small><sup>에 근거</sup></small>.
::<math>\rho_b = - \nabla \cdot \mathbf{P}</math><ref>David J. Griffiths, ''Introduction to electrodynamics 4th'', 174p 4.12.</ref>
::<math>\mathbf{P} = \epsilon_0\chi_e\mathbf{E}</math><ref>David J. Griffiths, ''Introduction to electrodynamics 4th'', 185p 4.30.</ref>


[9],[10] 식에 의해 브리지 내부에서 [[전하 밀도 용적]]은 0이 된다. 나아가, [[전하 밀도]] &sigma;에 대해 알아보기 위해, 오른쪽 그림<ref name="ritz">Reitz Milford Christy, ''Foundations of Electromagnetic Theory 4th'', 113p</ref>과 같은 유전율이 다른 두 경계면에 변위장 <math>\mathbf{D_1}, \mathbf{D_2}</math>가 생겼다고 하자. 여기에 경계 조건을 적용하면,

::<math>(\mathbf{D}_{2} - \mathbf{D}_{1})\cdot \mathbf{A} = \sigma \mathbf{A}</math>
::<math>\sigma = \epsilon E_{2n} - \epsilon_0 E_{1n}</math>

가 된다(<math>\epsilon</math>는 물의 유전율, <math>\epsilon_0</math>는 진공의 유전율). 이제 워터 브리지의 장력을 구하기 위해, 브리지의 양 끝의 단면 잘라 왼쪽 그림과 같이 모식도화 시키자.

이는 전류가 흐르는 하나의 저항이라고 생각할 수 있으므로, [8]식에 의해, 내부에서 단면적과 전기장은 수직하다. 또한, 단면을 자른 것이기 때문에
<math>\mathbf{E}_{2} = \mathbf{E}_{1} = \mathbf{E}</math> 가 된다.<ref name="ref4"/><small><sup>에 근거</sup></small> 따라서,

::<math>\sigma = \epsilon E_{2n} - \epsilon_0 E_{1n} = (\epsilon - \epsilon_0) E</math>

을 만족하게 된다. 나아가, 이 양 끝의 표면 전하는 브리지에 걸려있는 전기장에 의해, 양극은 장과 같은 방향으로, 음극은 장과 반대 방향으로 쿨롱힘을 받게 된다. 즉, 그림과 같이 양옆으로 잡아 당겨지는 힘 [[장력]]을 받게 되는 것이다. 이 힘이 바로 이 워터 브리지 모형에서 장에 의해 생기는 유전 매체 장력을 의미한다. 축 늘어져 있는 줄에서 분자들이 서로 잡아당기는 힘은, 최종적으로 줄의 양 끝에서 잡아당기는 힘과 동일하기 때문이다.

유전체 장력의 크기를 <math>T_{DT}</math>라 하고, 브리지의 단면적을 <math>A</math>라고 하면,

::<math> T_{DT} = QE = \sigma A E = (\epsilon - \epsilon_0)AE^2 </math>

가 된다. 임의의 지점에서 물의 무게와 장력의 비율을 구하기 위해서는, <math>T_{DT}</math>의 수직한 성분 <math>T_{DTvertical}</math>을 알아야 한다. 이에 [[곡률]] 개념을 도입하면,

::<math> T_{DTvertical} = T_{DT} sin\theta = T_{DT}\frac{x}{R} = T_{DT}x\xi</math>

가 된다. 이 힘이 임의의 지점까지의 물의 무게를 지탱해야 하므로, 워터 브리지의 곡률이 작다고 가정하면(거의 곧다고 가정)<ref name="ref4"/><small><sup>에 근거</sup></small>, 물의 무게는

::<math>mg = \rho xAg</math>

가 된다. 현재까지는, 유전체 장력이 물의 무게에 얼만큼의 비율을 차지하는지 모르므로, 물의 무게와 장에 의한 수직한 힘 간의 비율을 <math>f_{DT}</math>라 하면,

::<math>f_{DT} = \frac{T_{DTvertical}}{mg} = \frac{(\epsilon - \epsilon_0)AE^2x\xi}{\rho xAg} = \frac{(\epsilon - \epsilon_0)\xi E^2}{\rho g} </math>

의 식을 얻어 낼 수 있다.

=== 표면장력 ===
==== 유전체 장력 이론의 한계점 ====
워터 브리지 현상은 기본적으로 전자기적 현상으로 간주되었기 때문에, 지금까지 이러한 측면에서 찾으려는 시도만이 주류를 이루었다. 하지만 더 많은 변인을 통한 과학 실험으로, 유전체 장력 이론으로는 설명되지 않는 현상을 발견하게 되었다. 그것은 바로 "워터 브리지가 얼마나 길어질 수 있는가"에 관한 문제였다.<ref name="ref5"/> 기존의 유전체 장력 이론에 의하면, 브리지에 걸리는 장력은 <math>E^2</math>와 단면적 A에 대해 비례관계를 갖는다. 이는 워터 브리지에 걸어주는 E와 A를 통제하면, 브리지의 길이를 충분히 늘려줄 수 있음을 의미한다. 실제로 이 이론을 통하면, 워터 브리지는 약 3.5cm ~ 4.5cm까지 늘려주는 것이 가능하다.<ref name="ref12">Artem A. Aerov, ''Why the water Bridge does not collapse'', PHYSICAL REVIEW E 84, 036314(2010)</ref> 하지만, 실제 실험에서는 아무리 전압을 늘려도 브리지 길이는 2.5cm 이상을 넘어 갈 수 없다는 결과가 나온다.<ref name="ref3"/> 유전체 장력의 영향만 고려하여 발생한 한계점인 것이다.

==== 표면장력 ====
이러한 현상을 설명하기 위해 Artem A. Aerov는 표면장력도 역시 워터 브리지를 형성하는데 영향을 준다는 가설을 세웠다.<ref name="ref5"/> 이 이론에 따르면, 장력은

::<math> T_{ST} = \frac{1}{2} \gamma l</math>

을 값을 가진다. 이는 모두 브리지의 기하학적 구조에서 나온 값으로써, l은

::<math>l = 2\pi r = \pi D</math>

의 값을 갖고, 브리지의 횡단면 파라미터라 불린다.<math>\gamma</math>는 표면 장력 계수[Newton/Meter]라 불리며, 대략

::<math>\gamma \approx \frac{\rho LAg}{l} cot\theta</math>

의 크기를 가진다.<ref name="ref12"/><ref>E.C. Fuchs et al. J. Phys. D 43, 105502(2010)</ref><ref>J. Woisetschlager, K. Gatterer, and E. C. Fuchs, Exp. Fluids 48, 121(2010)</ref><ref>A. G. Marin and D. Lohse, ''Phys Fluids 22'', 122104(2010)</ref> 이 <math>\gamma</math> 인자는 보이는 바와 같이 Aerov의 추측에 의해 나타내어진 값으로서, 실험적으로만 검증되었고, 이론적으로는 아직까지 남아있는 미해결과제 중의 하나이다.<ref name="ref12"/>

표면장력으로 설명하는 Aerov의 이론에서도, 전기장은 반드시 걸어주어야 한다. 그 이유는 표면장력이 브리지에 수직으로 작용하여 중력을 상쇄하는 역할(<math>\gamma l</math>)도 하지만, 스스로 물방울이 되려는 성질(<math>-\frac{1}{2}\gamma l</math>)도 갖고 있는데, (위의 <math>T_{ST}</math>는 이 두 가지 영향을 모두 고려한 값이다)<ref name="ref3"/> 전기장을 걸어주면 표면에 있는 분자들의 극성 때문에 물방울이 되려는 성질을 완화시키고 표면장력의 영향을 더 보강해 줄 수 있기 때문이다. 실험에 의하면 수평방향의 전기장의 크기는 <math>\sqrt{\gamma}</math>와 양의 상관관계를 갖는 것으로 나타났다.<ref name="ref12"/> 나아가, 표면장력 역시 물의 무게에 작용하는 비율을 알아보기 위해, 그 값을 <math>f_{ST}</math>라고 하면,

::<math>f_{ST} = \frac{T_{STvertical}}{mg} = \frac{2\gamma \xi}{\rho gD} </math>

의 비율을 가지게 된다. 이제, 위에서 구한 <math>f_{DT}, f_{ST}</math>이 실험적으로 어떠한 값을 갖는지 알아볼 것이다.

== 실험 ==


이제, 위의 이론들을 실험적으로 점검하기 위해 다음과 같은 설계를 준비한다. 먼저 비커 2개에 불순물이 없는 증류수를 채운다. 이 때, 안정성을 위해, 실험에 쓰일 고전압 장치와 왼쪽 그림<ref name="ref1"/>에는 표현되지 않은 [[전자식 안정기]](<math>50M\Omega</math>)과 전류를 측정하기 위한 저항(<math>100\Omega</math>)을 직렬로 연결해 준다. 한편, 실험하는 동안 가장 큰 영향을 주는 조건은 물의 저항이다. 탈이온수이기 때문에, 물에 조금의 이산화탄소가 더 녹아들어가도 저항의 변동은 매우 크다. 측정에 따르면, 물은 <math>25^oC</math>에서 <math>1.8M\Omega</math>의 값을 갖고, <math>45^oC</math>에서 <math>1M\Omega</math>을 갖는다. 이는 온도에 의한 저항의 증가율보다 <math>CO_2</math>가 녹아들어감에 따라 증가하는 [[전기전도도]]가 더 크다는 사실을 말해준다. 이에, 측정시간이 길어짐에 따라, 물의 온도와 주변 이산화탄소 농도가 변하지 않도록 주의 깊게 체크해야한다.

워터 브리지의 기하학적 구조를 측정하기 위해, 카메라를 위쪽과 정면으로 설치하여 브리지의 길이, 정면에서 본 반지름, 위에서 본 반지름, 곡률을 측정할 수 있게한다. 시간에 따라 전압을 높여 주면서 워터 브리지의 지름, 곡률, 브리지에 걸리는 전압의 세기를 시간에 따라 기록한다(평균 반지름은 정면에서 본 반지름과 위에서 본 반지름의 [[기하평균]]을 한다) 마지막으로, 임의의 지점의 장력의 크기를 구하기 위해서는 퍼텐셜 에너지의 크기를 알아야 하는데, 이는 [[라플라스 방정식]]과 경계 조건을 [[콤솔 멀티피직스]] 소프트웨어에 대입하여 컴퓨터를 이용하여 구한다. 오른쪽의 그래프는, 이를 이용하여 구한 퍼텐셜의 그래프이다.<ref name="ref3"/>

== 결과와 분석 ==

오른쪽의 그래프<ref name="ref3"/>는 위에서 설계된 실험을 통해, 시간에 따라 도선의 전체 전압(<math>V_{HV}</math>)을 변화시키며 측정한 값들이다. 차례로 시간과 지름(<math>m</math>), 전류 세기(<math>mA</math>), 워터 브리지 전압(<math>V_e</math>)의 관계를 나타낸 그래프이다. 그래프를 살펴보면, 전지의 전압(<math>V_{HV}</math>)이 커질 때, 전류 세기와 지름은 똑같이 비례적으로 증가하지만 워터 브리지에 걸리는 전압(<math>V_e</math>)은 일정하다는 사실을 알 수 있다. 워터 브리지에 걸리는 전압 <math>V_e</math>는

::<math>V_e = IR_{WB} = \frac{Il}{gA} = \frac{4Il}{\pi gD^2}</math>

의 식<ref name="reitz2">Reitz Milford Christy, Foundations of Electromagnetic Theory 4th, 179p</ref>(g는 전도율, l은 브리지의 길이, D는 워터 브리지의 지름)을 만족한다. 이는 전류 세기와 지름에 대해, '''I'''가 증가하는 비율과 <math>D^2</math>이 증가하는 비율이 동일하다는 것을 의미한다. 두 값이 선형으로 증가하여야 워터 브리지에 걸리는 전압(<math>V_e</math>)가 일정하기 때문이다<ref name="ref3"/>. 하지만, 이 지름이 증가하는 정확한 이유와, 정량적으로 전압와 <math>D^2</math>이 증가하는 비율이 같다는 사실 역시 아직 미해결상태로 남아있다<ref name="ref5"/>.

또한, 이 결과는 도선 전체의 전압을 아무리 늘려줘도 워터 브리지에 걸려 있는 전기장의 크기를 늘려줄 수 없음을 의미한다. 전류의 세기와 <math>D^2</math>가 비례한다면,

::<math> \mathbf{E} = \frac{1}{g}\mathbf{J} = \frac{\mathbf{I}}{gA} = \frac{4\mathbf{I}}{\pi gD^2}</math><ref name="reitz2"/>

식에 의해, <math>\mathbf{E}</math>는 변하지 않기 때문이다.


나아가, 왼쪽 그래프<ref name="ref3"/>는 실험을 통해 측정한 값들(지름, 전류 밀도, 전기장, 곡률)을 유전체 장력과 물의 무게 비율
<math>f_{DT} = \frac{(\epsilon - \epsilon_0)\xi E^2}{\rho g} </math>
와, 표면장력과 물의 무게 비율
<math>f_{ST} = \frac{2\gamma \xi}{\rho gD} </math>

에 대입하여 나타낸 그래프이다. 그래프에서 x축 좌표는 지름, y축 좌표는 물의 무게와의 비율을 의미한다. 이 그래프로부터 두 가지 중요한 사실을 알 수 있다.

첫째, 유전체 장력과 표면 장력의 합이 브리지의 무게(그래프에서 y축 좌표 1)와 같다는 것과, 이 때 두 힘이 브리지의 무게를 지탱하는데 차지하는 비율이 각각 반에 가까워 어느 한쪽도 무시할 수 없다는 것이다.

둘째, 지름이 두꺼워질수록 유전체 장력의 영향이 커지고, 지름이 얇아질수록 표면장력의 영향이 커지는 것을 그래프에서 확인할 수 있다. 브리지 사이의 간격을 고정시킨뒤, 전압을 크게 해주면 일시적으로 장의 크기가 증가한다. 이는 분자 간의 극성을 크게하여 인력을 증가시키므로, 이에 유전체 장력에 의한 영향이 커짐을 알 수 있다. 또한, 전압 세지면 전류가 증가하기 때문에 이온들의 가속도 또한 증가하게 된다. 따라서 x축의 오른쪽으로 갈 수록 그래프의 변동이 심해지게 되고, 이 영향은 평균적으로 정지 상태라고 가정한 결과 값에 약 8%의 오차를 가진다.<ref name="ref3"/>

결론적으로, 유전체 장력과 표면장력은 워터 브리지 무게의 약 50% 씩을 차지하여, 두 힘 모두 고려해야 한다는 사실이 실험을 통해서 확인되었다. 그러나 아직 <math>\gamma</math> 인자, <math>\sqrt{I}</math>와 길이의 비례적 증가에 대한 정량적인 분석 등이 미 해결상태로 남아있는 상황이다.

== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* [http://serviceapi.nmv.naver.com/flash/convertIframeTag.nhn?vid=C6430F57B832820568A66EF7F744FEC9F70A&outKey=V1274953ab050c8a6d589a331e085a0127c04a10df4037cbb3f54a331e085a0127c04 Floating Water Bridge in electric field] - 동영상

[[분류:물리학 실험]]