{{위키데이터 속성 추적}}
{{두 다른 뜻|수학에서 [[리 대수]]를 분류하는 벡터의 집합|[[식물학]]에서 식물의 뿌리들의 구조|뿌리|대한민국의 지명|근계리}}
[[파일:Root system G2.svg|섬네일|right|예외 [[리 군]] [[G₂|G<sub>2</sub>]]의 근계. <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math>는 단순근이다.]]

[[리 군]] 이론에서, '''근계'''(根系, {{llang|en|root system}})는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 [[벡터]]의 [[집합]]이다. 근계의 원소인 벡터는 '''근'''(根, {{llang|en|root}})이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 '''단순근'''(單純根, {{llang|en|simple root}})의 집합을 고를 수 있고, 이를 '''딘킨 도표'''({{llang|en|Dynkin diagram}})로 나타내어 분류할 수 있다. [[반단순 리 군]]에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.

모든 근계는 '''기약 근계'''(旣約根系, {{llang|en|irreducible root system}})의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 [[단순 리 대수]](의 동형류)와 일대일로 대응한다.

== 정의 ==
유한 차원 실수 [[내적 공간]] <math>(V,(\cdot,\cdot))</math> 속의 부분 집합 <math>\Phi\subseteq V</math>가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, '''근계'''라고 한다.
* (선형 생성) <math>V=\operatorname{Span}_{\mathbb R}\Phi</math>. 즉, <math>V</math>의 모든 원소는 <math>\Phi</math>의 원소들의 [[선형 결합]]으로 나타낼 수 있다. (이는 유일하지 않을 수 있다.)
* (스칼라배의 제한) <math>\alpha\in\Phi</math>라면, <math>-\alpha\in\Phi</math>이고, 그 밖의 다른 스칼라배 <math>t\Phi</math> (<math>t\in\mathbb R</math>)는 <math>\Phi</math>의 원소가 아니다.
* (반사에 대한 닫힘) 임의의 <math>\alpha,\beta\in\Phi</math>에 대하여, <math>\alpha</math>에 대하여 수직인 초평면에 대한 <math>\beta</math>의 반사<math>\beta-2\alpha(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)</math>도 <math>\Phi</math>의 원소다. 즉, 근들은 다른 근에 대한 반사에 대하여 닫혀 있다.
* (정수성) <math>0\not\in\Phi</math>이며, <math>\forall \alpha,\beta\in\Phi\colon 2(\alpha,\beta)/(\alpha,\alpha)\in\mathbb Z</math>
* [[유한 집합]]이다.
근계의 원소는 '''근'''이라고 부른다. 근계의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}})는 <math>V</math>의 차원이다.

두 실수 내적 공간 <math>V</math>, <math>V'</math> 및 그 속의 근계 <math>\Phi\subseteq V</math>, <math>\Phi'\subseteq V'</math>에 대하여, 만약 <math>f(\Phi)=\Phi'</math>가 되는 [[전단사 함수|전단사]] [[실수 선형 변환]] <math>f\colon V\to V'</math>이 존재하며, 또한
:<math>\frac{(f(\alpha),f(\beta))_{V'}}{(f(\alpha),f(\alpha))_{V'}}=\frac{(\alpha,\beta)_V}{(\alpha,\alpha)_V}\qquad\forall\alpha,\beta\in \Phi</math>
라면, <math>(V,\Phi)</math>와 <math>(V',\Phi')</math>를 서로 '''[[동형]]'''이라고 한다.

특히, 동형이 [[등거리 변환]]일 필요는 없다. 예를 들어, [[항등 함수]] <math>(V,(-,-))\to(V,2(-,-))</math> 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 [[노름]]을 <math>\sqrt2</math>로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 <math>1</math> 또는 <math>\sqrt{2/3}</math>이다.)

통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.
:<math>\langle\alpha,\beta\rangle=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}</math>
(이는 물론 [[쌍선형 형식]]을 이루지 못한다.)

=== 양근과 단순근 ===
근계 <math>\Phi</math>의 '''양근의 집합'''(陽根의 集合, {{llang|en|set of positive roots}}) <math>\Phi^+\subset\Phi</math>는 다음을 만족하는 부분집합이다.
* 임의의 <math>\alpha\in\Phi</math>에 대하여, <math>\alpha\in\Phi^+</math>이거나 <math>-\alpha\in\Phi^+</math>이지만, <math>\{\alpha,-\alpha\}\subset\Phi^+</math>는 아니다.
* <math>\alpha,\beta\in\Phi^+</math>이고, <math>\alpha+\beta\in\Phi</math>이면 <math>\alpha+\beta\in\Phi^+</math>이다.
양근의 집합의 원소를 '''양근'''(陽根, {{llang|en|positive root}})이라고 한다. 양근의 집합 <math>\Phi^+\subseteq\Phi</math>이 주어졌을 때, 격자
:<math>\{v\in V\colon \forall\alpha\in\Phi\colon
\alpha^\vee(v)\in\mathbb Z\}</math>
위에 다음과 같은 [[부분 순서]]를 줄 수 있다.
:<math>u\le v\iff \forall\alpha\in\Phi^+\colon \alpha^\vee(v-u)\ge0</math>
이 구성은 [[리 대수]]의 [[표현론]]에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 [[정수 무게]]의 격자에 해당한다.

=== 단순근 ===
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, '''단순근'''(單純根, {{llang|en|simple root}})은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다.

=== 카르탕 행렬 ===
근계 <math>\Phi</math>와 그 위의 순서를 매긴 [[단순근]]의 열 <math>\alpha_1,\dots,\alpha_r</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 '''카르탕 행렬'''({{llang|en|Cartan matrix}}) <math>M</math>은 다음과 같은 <math>r\times r</math> [[정사각 행렬]]이다.
:<math>M=(M_{ij})_{i,j=1,\dots,r}</math>
:<math>M_{ij}=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}</math>
정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.

카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 [[반단순 리 대수]])를 재구성할 수 있다.

=== 딘킨 도표 ===
[[파일:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|섬네일|기약근계의 딘킨 도표]]
각 근계 <math>(V,\Phi)</math>에 대하여, '''딘킨 도표'''(Дынкин圖表, {{llang|en|Dynkin diagram}})라는, 일종의 [[유향 그래프]]를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 <math>(V,\Phi)</math>의 양근의 집합 <math>\Phi^+\subseteq\Phi</math>를 고르자.
* 딘킨 도표는 각 단순근에 대응하는 [[꼭짓점]]을 갖는다.
* 두 꼭짓점 사이에는 0개, 1개, 2개, 또는 3개의 변(邊)이 존재할 수 있다. 변이 2개 또는 3개인 경우, 변은 방향을 가지며, 이 방향은 항상 더 짧은 단순근을 가리킨다. (이 경우 두 단순근의 길이는 항상 다르다.)
* 두 꼭짓점 사이의 변의 수는 두 단순근 사이의 각도에 대응하며, 다음 표를 따른다.
:{| class=wikitable
!근 사이 각 ([[라디안]]) || 근 사이 각 (°) || 변의 종류
|-
| <math>\pi/2</math> || 90° || 변 없음
|-
| <math>2\pi/3</math> || 120° || 하나의 변
|-
| <math>3\pi/4</math> || 135° || 두 개의 변 + 화살표
|-
| <math>5\pi/6</math> || 150° || 세 개의 변 + 화살표
|}
딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.

기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 [[연결 성분]] 분해는 근계의 (기약 근계들로의) [[직합]] 분해와 같다.

== 성질 ==
[[파일:Integrality of root systems.svg|섬네일|500px|right|정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각은 <math>\pi/2</math>, <math>\pi/3</math>, <math>\pi/4</math>, <math>\pi/6</math> 또는 이들의 여각이다.]]
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 [[코사인]]은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
: <math>\mathbb Z\ni 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)} \cdot 2 \frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} = 4 \frac{(\alpha,\beta)^2}{\vert \alpha \vert^2 \vert \beta \vert^2} = 4 \cos^2(\theta) = (2\cos(\theta))^2.</math>
<math>2\cos(\theta) \in [-2,2]</math>이므로,
:<math>\cos\theta=0, \pm \tfrac12, \pm\tfrac{\sqrt2}2, \pm\tfrac{\sqrt3}2, \pm1</math>
이다. 즉, <math>\theta</math>는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.

== 연산 ==
=== 스칼라배 ===
근계 <math>(V,\Phi)</math> 및 임의의 실수 <math>t\in\mathbb R\setminus\{0\}</math> 및 임의의 직교 행렬 <math>M\in\operatorname O(V;\mathbb R)</math>에 대하여, <math>(V,tM\Phi)</math> 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 <math>(V,\Phi)</math>와 동형이다.

=== 직합 ===
두 근계 <math>(V,\Phi)</math>, <math>(V',\Phi')</math>가 주어졌을 때, 그 '''[[직합]]''' <math>\Phi\oplus\Phi'</math>은 다음과 같은 근계이다.
:<math>\Phi\oplus\Phi'=\iota(\Phi)\cup\iota'(\Phi')</math>
:<math>V\xrightarrow\iota V\oplus V'\xleftarrow{\iota'}V'</math>
여기서 <math>\iota</math>와 <math>\iota'</math>은 [[직합]]의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.

'''기약 근계'''(旣約根系, {{llang|en|irreducible root system}})는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 '''긴 근'''({{llang|en|long root}}), 짧은 것은 '''짧은 근'''({{llang|en|short root}})으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 [[노름]]의 비는 <math>\sqrt2</math>이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 <math>\sqrt2</math>로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) <math>1</math>로 잡는다.)

=== 쌍대 근계 ===
근계 <math>(V,\Phi)</math>의 '''쌍대 근계'''(雙對根系, {{llang|en|dual root system}})는 다음과 같다.
* <math>V^\vee</math>는 <math>V</math>의 (대수적) [[쌍대 공간]]이다. 물론, 내적을 사용하여 표준적인 동형 사상 <math>V\to V^\vee</math>이 존재한다.
* <math>\Phi^\vee=\{\alpha^\vee\colon\alpha\in\Phi\}</math>
* 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>u^\vee\in V^*</math>, <math>u^\vee(v)=\langle u,v\rangle=2(u,v)/(u,u)</math>
그렇다면 <math>(V^\vee,\Phi^\vee)</math> 역시 근계를 이룬다.

임의의 근계 <math>(V,\Phi)</math>는 그 이중 쌍대 근계 <math>(V^{\vee\vee},\Phi^{\vee\vee})</math>와 표준적으로 동형이다.

단순 근계 가운데, <math>B_n</math>의 쌍대 근계는 <math>C_n</math>이다. 다른 단순 근계들(<math>A_n</math>, <math>D_n</math>, <math>E_6,E_7,E_8,F_4,G_2</math>)은 스스로의 쌍대 근계이다.

== 분류 ==
=== 기약 근계의 목록 ===
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. '''고전 근계'''({{llang|en|classical root system}})는 네 개의 족 <math>A_n</math>, <math>B_n</math>, <math>C_n</math>, <math>D_n</math>으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 '''예외 근계'''({{llang|en|exceptional root system}}) <math>G_2, F_4, E_6, E_7, E_8</math>이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 [[고전군]]([[직교군]], [[특수 유니터리 군]], [[심플렉틱 군]])의 [[리 대수]](의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 <math>\sqrt2</math>가 되도록 정규화하였다.<ref>{{서적 인용|성=Polchinski|이름=Joseph|제목=String theory. Volume 2|언어=en}}</ref>
{| class=wikitable
!근계 || 근의 수 || 짧은 근 수 || 긴 근 부분격자의 지표 || 카르탕 행렬식 || 바일 군의 크기 || 콕서터 수 <math>h</math> || 이중 콕서터 수 <math>h^\vee</math> || 딘킨 도표 || 콕서터 라벨<ref name="Fuchs">{{서적 인용|제목=Affine Lie algebras and quantum groups: an introduction with applications in conformal field theory|이름=Jürgen A.|성=Fuchs
|출판사=Cambridge University Press | 총서=Cambridge Monographs on Mathematical Physics | 날짜=1995-03 | isbn=978-052148412-1
|url=http://www.cambridge.org/vn/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/affine-lie-algebras-and-quantum-groups-introduction-applications-conformal-field-theory|zbl=0952.17016 | mr = 1337497 | 언어=en}}</ref>{{rp|43}} || 이중 콕서터 라벨<ref name="Fuchs"/>{{rp|43}}
|- align=center
|A<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;1) || ''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) || &nbsp; ||&nbsp; || ''n''&nbsp;+&nbsp;1 || (''n''&nbsp;+&nbsp;1)!
| colspan=2 | <math>n+1</math> || <math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet</math>
| colspan=2 | <math>1-1-\cdots-1</math>
|- align=center
|B<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;2) || 2''n''<sup>2</sup> || 2''n''||  2  || 2 || 2<sup>''n''</sup> ''n''! || <math>2n</math> || <math>2n-1</math> || <math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet</math> || <math>1-2-\cdots-2\Rightarrow2</math> || <math>1-2-\cdots-2\Rightarrow1</math>
|- align=center
|C<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;3) || 2''n''<sup>2</sup> || 2''n''(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)||  2  || 2 || 2<sup>''n''</sup> ''n''! || <math>2n</math> || <math>n+1</math> || <math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Leftarrow\bullet</math> || <math>2-2-\cdots-2\Leftarrow1</math> || <math>1-1-\cdots-1\Leftarrow1</math>
|- align=center
|D<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;4) || 2''n''(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1) || &nbsp;||&nbsp; || 4 || 2<sup>''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1</sup> ''n''!
|colspan=2| <math>2n-2</math>
|| <math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}</math>
|colspan=2 | <math>1-2-\cdots-2<{1\atop1}</math>
|- align=center
| [[E₆|E<sub>6</sub>]] || 72 || &nbsp; ||&nbsp;|| 3 || 2<sup>7</sup>×3<sup>4</sup>×5
| colspan=2 | 12 || <math>{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet</math>
|colspan=2 | <math>{1-2\atop1-2}>3-2</math>
|- align=center
| [[E₇|E<sub>7</sub>]] || 126 || &nbsp; ||&nbsp;|| 2 || 2<sup>10</sup>×3<sup>4</sup>×5×7
| colspan=2 | 18 || <math>{\bullet\atop{}}{-\atop{}}{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
|colspan=2 | <math>{2\atop{}}{-\atop{}}{3\atop2}>4-3-2-1</math>
|- align=center
|[[E₈|E<sub>8</sub>]] || 240 || &nbsp;||&nbsp; || 1 || 2<sup>14</sup>×3<sup>5</sup>×5<sup>2</sup>×7
| colspan=2 | 30
|| <math>{\bullet\atop{}}{-\atop{}}{\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
|colspan=2 | <math>{2\atop{}}{-\atop{}}{4\atop3}>6-5-4-3-2</math>
|- align=center
| [[F₄|F<sub>4</sub>]] || 48 || 24||  4  || 1 || 2<sup>7</sup>×3<sup>2</sup> || 12 || 9 || <math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math> || <math>2-3\Rightarrow4-2</math> || <math>2-3\Rightarrow2-1</math>
|- align=center
| [[G₂|G<sub>2</sub>]] || 12 || 6 ||  3  || 1 || 2<sup>2</sup>×3 || 6 || 4 || <math>\bullet\Rrightarrow\bullet</math> || <math>2\Rrightarrow3</math> || <math>2\Rrightarrow1</math>
|}

=== 고전적 기약 근계 ===
<math>A_n</math>형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 <math>\mathbb R^{n+1}</math>의 원소로 표기하였다.)
:<math>\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)</math>
:<math>\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\alpha^n=(0,0,\dots,1,-1)</math>

<math>B_n</math>형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:<math>\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)</math>
:<math>\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)</math>
:<math>\alpha^n=(0,0,\dots,0,1)</math>

<math>C_n</math>형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:<math>\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)</math>
:<math>\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)</math>
:<math>\alpha^n=(0,0,\dots,0,2)</math>

<math>D_n</math>형 근계의 단순근은 다음과 같다.
:<math>\alpha^1=(1,-1,0,\dots,0,0)</math>
:<math>\alpha^2=(0,1,-1,\dots,0,0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\alpha^{n-1}=(0,0,\dots,1,-1)</math>
:<math>\alpha^n=(0,0,\dots,1,1)</math>

=== 예외적 기약 근계 ===
예외적 기약 근계는 [[E₆]], [[E₇]], [[E₈]], [[F₄]], [[G₂]] 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
|+E<sub>8</sub>
|-
| 1||-1||0||0||0||0||0||0
|-
|0|| 1||-1||0||0||0||0||0
|-
|0||0|| 1||-1||0||0||0||0
|-
|0||0||0|| 1||-1||0||0||0
|-
| 0||0||0||0|| 1||-1||0||0
|-
|0||0||0||0||0|| 1||-1||0
|-
|0||0||0||0||0||1|| 1||0
|- 
| -½||-½||-½||-½||-½||-½||-½||-½
|}
{| class=wikitable
|+ F<sub>4</sub>
|-
| 1||-1||0||0
|-
|0|| 1||-1||0
|-
|0||0|| 1||0
|-
| -½||-½||-½||-½
|}
{| class=wikitable
|+ G<sub>2</sub>
|-
| <math>\sqrt{2/3}</math> || 0
|-
|<math>-\sqrt{3/2}</math> || <math>1/\sqrt2</math>
|}

== 예 ==
=== 낮은 차원의 근계 ===
0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.

1차원 근계는 하나 밖에 없으며, <math>\{-\sqrt2,\sqrt2\}\subset\mathbb R</math>이다.

2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, <math>B_2</math>와 <math>C_2</math>는 서로 동형이며, <math>A_1\times A_1</math>과 <math>D_2</math> 역시 서로 동형이다.)
{| class="wikitable" |+'''2차원 근계'''
|- align=center
| [[파일:Root system A1xA1.svg|250px|Root system A<sub>1</sub> + A<sub>1</sub>]]
| [[파일:Root system A2.svg|250px|Root system A<sub>2</sub>]]
| [[파일:Root system B2.svg|250px|Root system B<sub>2</sub>]]
|- align=center
| <math>A_1 \times A_1</math>
| <math>A_2</math>
| <math>B_2</math>
|- align=center
| [[파일:Root system C2 (fixed).svg|250px|Root system C<sub>2</sub>]]
| [[파일:Root system D2.svg|250px|Root system D<sub>2</sub>]]
| [[파일:Root system G2.svg|250px|Root system G<sub>2</sub>]]
|- align=center
| <math>C_2</math>
| <math>D_2</math>
| <math>G_2</math>
|}

3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 [[정육면체]]·[[정팔면체]]의 모양을 가진다.
:[[파일:Root vectors b3 c3-d3.png]]

=== 반단순 리 대수에 대응되는 근계 ===
{{본문|무게 (표현론)}}
복소수체 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 및 그 [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathfrak h</math>는 <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]]을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 [[내적 공간]]을 이룬다.

그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 [[딸림표현]]에 대응하는 <math>\mathfrak h</math>-[[무게 (표현론)|무게]]들
:<math>\Phi=\{\alpha\in \mathfrak h^\vee\colon \mathfrak g_\alpha\ne0\}\subseteq\mathfrak h^\vee</math>
을 생각하자. 그렇다면, <math>(\mathfrak h^\vee,\Phi)</math>는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.
* <math>\mathfrak g</math>의 [[단순 리 대수]]들로의 직합 분해는 <math>(\mathfrak h^\vee,\Phi)</math>의 기약 근계들로의 직합 분해와 대응한다.
* 특히, [[단순 리 대수]]에 대응하는 근계는 기약 근계이다.
* 두 [[반단순 리 대수]]가 서로 동형일 [[필요 충분 조건]]은 그 대응하는 근계가 서로 동형인 것이다.

== 역사 ==
근계의 이론은 복소수 [[반단순 리 대수]]의 [[표현론]]에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, [[단순 리 대수]]에 대응되는 근계는 기약 근계이다.

카르탕 행렬의 개념은 [[엘리 카르탕]]이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 [[예브게니 딘킨]]이 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* Dynkin, E. B. ''The structure of semi-simple algebras.'' Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59&ndash;127.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Root system}}
* {{eom|title=Dynkin diagram}}
* {{매스월드|id=RootSystem|title=Root system}}
* {{매스월드|id=DynkinDiagram|title=Dynkin diagram}}
* {{수학노트|title=루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/ADE.html|제목= A Rapid Introduction to ADE Theory |이름=John|성=McKay|날짜=2001-01-01|언어=en}}
* {{저널 인용
| doi = 10.2307/2324217
| issn = 0002-9890
| volume = 100
| issue = 10
| pages = 937–941
| last = Proctor | first = R. A.
| title = Two amusing Dynkin diagram graph classifications
| journal = The American Mathematical Monthly | date=1993-12
| jstor = 2324217
| 언어=en
}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[무게 (표현론)]]
* [[콕서터 군]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리 대수]]
[[분류:유클리드 기하학]]