{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수군]] 이론에서, '''보렐 부분군'''(Borel部分群, {{llang|en|Borel subgroup}})은 [[대수군]]의 [[극대 원소|극대]] [[가해군|가해]] 부분군이다. 보렐 부분군을 포함하는 부분군을 '''포물형 부분군'''(抛物型部分群, {{llang|en|parabolic subgroup}})이라고 한다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 ([[자리스키 위상]]에서) [[연결 공간|연결]] [[대수군]] <math>G\to\operatorname{Spec}K</math>
<math>G</math>의 보렐 부분군은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

=== 정의 1 ===
<math>G</math>의 [[부분군]] 가운데, 다음 세 조건들을 만족시키는 것들을 생각하자.
* [[자리스키 위상]]에 대하여 [[닫힌집합]]이다.
* [[자리스키 위상]]에 대하여 [[연결 공간]]이다.
* [[군 (수학)|군]]으로서 [[가해군]]이다.
이들은 포함 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 [[극대 원소]]를 '''보렐 부분군'''이라고 한다.<ref name="Procesi">{{서적 인용|제목=Lie groups: an approach through invariants and representations|성=Procesi|이름=Claudio|날짜=2007|doi=10.1007/978-0-387-28929-8|총서=Universitext|issn=0172-5939|출판사=Springer-Verlag|언어=en}}</ref>{{rp|190, Definition 7.4.1.1}}

대수군 <math>G</math>의 부분 대수군 가운데, <math>G</math>의 어떤 보렐 부분군을 포함하는 것을 '''포물형 부분군'''(抛物型部分群, {{llang|en|parabolic subgroup}})이라고 한다.

=== 정의 2 ===
<math>G</math>의 [[부분군]] <math>H\le G</math> 가운데, [[잉여류]] 공간 <math>G/H</math>가 <math>K</math>-[[완비 대수다양체]]를 이루는 것을 <math>G</math>의 '''포물형 부분군'''이라고 한다.

포물형 부분군들은 포함 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 [[최소 원소]]를 '''보렐 부분군'''이라고 한다.

== 성질 ==
보렐 부분군은 [[켤레류|켤레]] 아래 유일하다.<ref name="Procesi"/>{{rp|190, Theorem 7.4.1.1}} 즉, 대수적으로 닫힌 체 <math>G</math> 위의 [[대수군]] <math>G</math>의 임의의 두 보렐 부분군 <math>H,H'\le G</math>가 주어졌을 때,
:<math>H'=gHg^{-1}</math>
가 되는 <math>g\in G</math>가 존재한다.

=== 보렐 부분 리 대수 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>의 [[부분 리 대수]] 가운데, [[가해 리 대수]]인 것들을 생각할 수 있다. 이들은 포함 관계에 대하여 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 그 [[극대 원소]]를 <math>\mathfrak g</math>의 '''보렐 부분 리 대수'''({{llang|en|Borel subalgebra}})라고 한다.

<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>일 때, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math> 및 그 보렐 부분 리 대수 <math>\mathfrak b</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>\mathfrak g</math>를 리 군으로 갖는 임의의 대수적 [[리 군]] <math>G</math>에 대하여,  <math>G</math>의 보렐 부분군은 [[리 군]]이며, 그 리 대수는 <math>\mathfrak b</math>와 동형이다.

== 예 ==
=== 자명한 경우 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <Math>K</math> 위의 [[가해군|가해]] [[연결 공간|연결]] [[대수군]] <math>G</math>의 유일한 보렐 부분군 및 유일한 포물형 부분군은 <math>G</math> 자신이다. 이 경우 <math>G/G\cong\operatorname{Spec}K</math>는 자명하게 <math>K</math>-[[완비 대수다양체]]를 이룬다.

=== 일반 선형군 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>을 생각하자. 그 위의 [[가역 행렬|가역]] [[상삼각 행렬]]들의 부분군
:<math>B=\left\{\begin{pmatrix}
m_{11}&m_{12}&\dotsm&m_{n,n-1}&m_{n,n}\\
0&m_{22}&\dotsm&m_{2,n-1}&m_{2,n}\\
\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\
0&0&\dotsm&0&m_{nn}
\end{pmatrix}\colon
m_{i,j}\in K,\;m_{ii}\ne0\forall i=1,\dotsc,n\right\}\subseteq\operatorname{GL}(n;K)
</math>
은 <math>\operatorname{GL}(n;K)</math>의 보렐 부분군이다.

이 경우 <math>\operatorname{GL}(n;K)/B</math>는 [[기 (수학)|기 대수다양체]]이다.

=== 표준 보렐 부분 리 대수 ===
복소수체 위의 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>를 생각하자. 이 경우, 다음 데이터를 고를 수 있다.
* [[카르탕 부분 대수]] <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>
* [[양근 (수학)|양근]] 집합 <math>\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)\subseteq\Delta(\mathfrak g,\mathfrak h)</math>
그렇다면, [[멱영 리 대수]]
:<math>\mathfrak n=\bigoplus_{\alpha\in\Delta^+(\mathfrak g,\mathfrak h)}\mathfrak g_\alpha</math>
를 정의할 수 있다. 이 경우 <math>\mathfrak h\oplus\mathfrak n</math>을 <math>\mathfrak g</math>의 '''표준 보렐 부분 리 대수'''(標準Borel部分Lie代數, {{llang|en|standard Borel subalgebra}})라고 하며, 이는 <math>\mathfrak g</math>의 보렐 부분 리 대수를 이룬다.

== 역사 ==
[[아르망 보렐]]이 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Armand|성=Borel|저자링크=아르망 보렐|제목=Groupes linéaires algébriques|저널=Ann. of Math. |권=64|호= 1|날짜=1956|쪽=20–82|mr=93006|zbl=0070.26104|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Borel subgroup}}
* {{eom|title=Parabolic subgroup}}
* {{eom|title=Parabolic subalgebra}}
* {{nlab|id=Borel subgroup}}
* {{nlab|id=parabolic subgroup|title=Parabolic subgroup}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수군]]