{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]과 [[추상대수학]]에서 '''귀납적 극한'''(歸納的極限, {{llang|en|inductive limit, direct limit, injective limit}})은 [[범주 (수학)|범주]]의 대상에 대한 일종의 [[극한 (범주론)|극한]]이다. 기호는 <math>\varinjlim</math> 또는 <math>\injlim</math>.

== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에 대하여, 대상의 집합 <math>\mathcal X\subset\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 [[사상 (범주론)|사상]]의 집합 <math>\mathcal F\subset\hom(\mathcal C)</math>가 다음을 만족한다고 하자.
# 모든 <math>f\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>f\colon X\to Y</math>이면 <math>X,Y\in\mathcal X</math>이다.
# <math>f,g\in\mathcal F\cap\hom(X,Y)</math>라면 <math>f=g</math>이다.
# ([[반사관계|반사성]]) 모든 <math>X\in\mathcal X</math>에 대하여, <math>1_X\in\mathcal F</math>이다.
# ([[추이관계|추이성]]) <math>f,g\in\mathcal F</math>이고 <math>fg</math>가 존재한다면 <math>fg\in\mathcal F</math>이다.
# ([[유한 집합]]의 상한의 존재) <math>X,Y\in\mathcal X</math>이라면, <math>f\colon X\to Z</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>인 <math>f,g\in\mathcal F</math>, <math>Z\in\mathcal X</math>가 존재한다.

이러한 조건을 만족하는 <math>(\mathcal X,\mathcal F)</math>를 '''유향체계'''(有向體系, {{llang|en|directed system}})이라고 한다.

<math>(\mathcal X,\mathcal F)</math>가 유향체계라고 하자. 편의상 <math>\mathcal X=\{X_i\}</math>, <math>\mathcal F=\{f_{ij}\}</math>로 쓰자. 이 경우 <math>f_{ij}</math>가 존재한다면 <math>f_{ij}\colon X_i\to X_j</math>이다. 이 유향체계의 '''귀납적 극한''' <math>\varinjlim\mathcal X</math>은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* 대상 <math>X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* 각 <math>X_i\in\mathcal X</math>에 대하여, 사상 <math>\phi_i\colon X_i\to X</math>
이들은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족하여야 한다. <math>\phi_i=\phi_jf_{ij}</math>이어야 하고, 또한 임의의 또다른 대상 <math>Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 사상들 <math>\psi_i\colon X_i\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>\psi_i=\psi_jf_{ij}</math>라면 다음 [[가환 그림|그림]]을 가환하게 하는 유일한 사상 <math>u\colon X\to Y</math>가 존재하여야 한다.

[[파일:Direct limit category.svg|center]]

이를 보통 <math>\varinjlim X_i=X</math>로 쓴다.

== 예 ==
일반적인 범주에서 귀납적 극한은 존재하지 않을 수도 있다. 다만, [[대수 구조]]의 범주([[집합]]의 범주, [[군 (수학)|군]]이나 [[환 (수학)|환]]의 범주, 주어진 환에 대한 [[가군]]의 범주 따위)의 경우에는 항상 존재한다. 또한 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이나 [[균등 공간]]의 범주에서도 항상 존재한다.

=== 대수 구조 다양체 ===
연산 집합 <math>\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}</math>을 갖는 [[대수 구조 다양체]] <math>\mathcal V</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며, 특히 모든 귀납적 극한이 존재한다. 구체적으로, <math>\mathcal V</math> 속 대수 구조들의 유향 체계 <math>((A_i)_{i\in(I,\lesssim)},(\phi_{ij}\colon A_i\to A_j)_{i\lesssim j})</math>의 귀납적 극한은 집합으로서 [[분리 합집합]]의 [[몫집합]]
:<math>\varinjlim A_i=\left(\bigsqcup_{i\in I}A_i\right)/{\sim}</math>
:<math>(a,i)\sim(b,j)\iff\exists k\in I\colon i,j\lesssim k\land\phi_{ik}(a)=\phi_{jk}(b)</math>
이며, 이 위의 <math>n</math>항 연산 <math>f_\alpha</math>는 다음과 같이 정의된다.<ref name="Bergman">{{서적 인용
|성1=Bergman
|이름1=George M.
|제목=An invitation to general algebra and universal constructions
|언어=en
|판=2
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2015
|isbn=978-3-319-11477-4
|doi=10.1007/978-3-319-11478-1
|mr=3309721
|zbl=1317.08001
|lccn=2014954583
}}</ref>{{rp|385, Lemma 9.1.10}}
:<math>\forall i_1,\dots,i_n\in I\forall a_1\in A_{i_1}\cdots\forall a_n\in A_{i_n}\forall k\gtrsim i_1,\dots,i_n\colon f_\alpha^{\varinjlim A_i}([(a_1,i_1)],\dots,[(a_n,i_n)])=[(f_\alpha^{A_k}(\phi_{i_1k}(a_1),\dots,\phi_{i_nk}(a_n)),k)]</math>

=== 위상 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Top}</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 위상 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 집합으로서 [[집합]]의 [[대수 구조 다양체]]에서의 귀납적 극한이다. 이 위에는 [[분리 합집합]] 위에 유도되는 자연스러운 위상의 [[몫위상]]을 취한다.

=== 균등 공간 ===
[[균등 공간]]과 [[균등 연속 함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Unif}</math>는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대 완비 범주]]이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 균등 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 균등 공간 구조를 정의하는 [[유사 거리 함수]]족을 통해 구체적으로 기술할 수 있다.<ref name="Elliott">{{저널 인용
|성1=Elliott
|이름1=Robert J.
|제목=Inductive limits of uniform spaces
|언어=en
|저널=Journal of the London Mathematical Society
|권=42
|쪽=93–100
|날짜=1967
|issn=0024-6107
|doi=10.1112/jlms/s1-42.1.93
|mr=0205220
|zbl=0147.22901
}}</ref>{{rp|97, Theorem 4.6}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|year=1998 |title=Categories for the working mathematician |edition=2판 |기타=Graduate Texts in Mathematics 5|publisher=Springer}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Inductive limit}}
* {{매스월드|id=DirectLimit|제목=Direct limit}}
* {{nlab|id=directed colimit|제목=Directed colimit}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:일반위상수학]]