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수학에서 '''아르틴 L-함수'''(Artin L- Function)는 [[갈루아 군]] G 의 선형 표현 ρ와 연관된 [[디리클레 급수]]의 유형이다. 이 기능은 [[에밀 아르틴]] ( Emil Artin )이 1923년에 [[군론]]에 관한 그의 연구와 관련하여 도입하였다. 이 함수의 기본 속성, 특히 아래에 설명된 아르틴 추측(Artin conjecture)은 쉽게 증명할 수 있는 것으로 밝혀졌다. 비 - [[아벨 군]]이 제안되는 목적 중 하나는 아르틴 L- 함수(Artin L -function)의 복잡한 분석 특성을 [[보형 형식|자기동형 형식]](automorphic form)과 [[랭글랜즈 프로그램]]과 같은 더 큰 틀에 통합하는 것이다. 지금까지는 이 이론의 일부 영역만 확고한 기초 위에 놓여있다고 본다.

== 아르틴 추측 ==
아르틴 L-함수에 대한 아르틴추측(Artin conjecture)은 자명하지 않은 비-[[자명군]] [[군의 표현|기약 표현]] ρ의 아르틴 L-함수 L (ρ, s )가 전체 복소 평면에서 해석적이라고 기술하고있다.

이것은 1 차원 표현에서, L- 함수는 [[헤케 지표]]와 연관되어 있으며 특히 [[디리클레 L-함수]]에 관련되어 있다. 좀더 일반적으로 아르틴(Artin)은 아르틴 추측이 1 차원 표현으로부터 유도된 모든 표현에 대해 사실임을 보여주고있다. 갈루아 군이 초 가해군(supersolvable)이거나 보다 일반적으로 단항적(monomial)인 경우, 모든 표현은 아르틴 추측이 유지하는 형식이다.

[[앙드레 베유]](André Weil)는 [[유리 함수층]](funtion field)의 경우의 아르틴 추측을 증명했다.

2 차원 표현은 이미지 하위 그룹(군)의 본질에 따라 분류된다. 이 그룹은 순환, 2 면체, 4 면체, 8 면체 또는 20 면체 일 수 있다. 주기적인 또는 2 면체의 경우에 대한 아르틴추측은 헤게(Hecke)의 연구에서 쉽게 다루어 진다. 랭글랜즈(Langlands)는 4면체의 경우를 증명하기 위해 기저부를 다루었다. 터넬(Tunnell)은 8면체의 경우를 다루기 위해 이 연구를 확장했다. [[앤드루 와일스]](Andrew Wiles)는 [[모듈러성 정리|다니야마-시무라-베유 추측(Taniyama-Shimura conjecture)]]에대한 증거로 이러한 사례를 사용했다. [[리처드 로런스 테일러|리차드 테일러]] (Richard Taylor) 와 다른 사람들은 (해결할 수 없을 것으로 여겨지는) 20 면체의 경우에 대해 진전을 보였다. 이것은 활발한 연구 분야이다.

"유도된 지표에 대한 [[리하르트 브라우어|브라우어(Brauer)]]의 정리"는 모든 아르틴 L- 함수가 [[헤케 지표|헤케 L-함수]]의 양과 음의 적분의 곱이며, 따라서 전체 복소 평면에서 모형이 됨을 의미하고 있다.

랭글랜즈(Langlands, 1970)는 아르틴 추측은 GL (n) 에 대한 [[보형 형식|자기동형 형식]]과 관련된 L-함수(L-function)가 [[랭글랜즈 프로그램]]의 강력한 결과로부터 나온 것이라고 지적했다.
:<math>n \ge 1 </math>에서 보다 정확하게, 랭글랜즈 추측은 아딜 그룹 <math>GL_{n} ( A_Q )</math>의 [[보형 형식|자기동형]] [[군의 표현|표현]]을 갈로아 군의 모든 n 차원 [[단순 가군#기약 표현|기약표현]]과 연관 시키며, 이는 갈루아 표현이 환원 불가능한 경우에, 갈로아 표현의 함수는 자기동형 표현의 [[자기동형 L- 함수]]와 동일하다. 아르틴 추측은 [[군의 표현|첨단 표현(cuspidal representation)]]의 L- 함수가 동형적임을 알려진 사실로부터 보여준다. 이것은 랭글랜즈의 작업에 대한 주요 동기 중 하나였다.

== 데데킨트 추측 ==

더 약한 추측 (The weaker conjecture, 때로는 데데킨트 추측(Dedekind conjecture)으로 알려짐)은 <math>{M \over K}</math> 가 [[체 (수학)|체]]의 확장일 경우,
:<math>s\mapsto {{\zeta_M(s)}\over {\zeta_K(s)}}</math>
이것은 [[데데킨트 제타 함수]]이다.

아라마타-브라우어 정리(Aramata-Brauer theorem)는 <math>{M \over K}</math> 가 [[갈루아 군]]이라면 그 추측이 성립한다고 보여주고 있다.

보다 일반적으로, N 을 K에 대해 M 의 갈루아 클로저([[닫힘|폐포]])로, G를 <math>{N \over K}</math> 의 갈루아 군으로 하자. 이때 M에서 K-불변량 복소수의 삽입에 대한 G 의 작용과 관련된 자연스러운 형식은 <math>s\mapsto {{\zeta_M(s)}\over {\zeta_K(s)}}</math>와 관련된 아르틴 L- 함수와 동일하다. 따라서 아르틴 추측은 데데킨트 추측을 의미한다.

1975년 우치다(Uchida)와 반데르 발(van der Waal)에 의해 G 가 [[가해군]] 일 때 그 추측이 입증되었다.

== 같이 보기 ==
* [[L-함수]]

== 참고 ==
* {{저널 인용|first=E. |last=Artin |title={{lang|de|Über eine neue Art von L Reihen}} |journal=Hamb. Math. Abh. |volume=3 |year=1923 }} Reprinted in his collected works, {{ISBN|0-387-90686-X}}. English translation in [http://www.math.columbia.edu/~nsnyder Artin L-Functions: A Historical Approach] by N. Snyder.
* {{인용| last1=Artin | first1=Emil | author1-link=Emil Artin | title=Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. |language=독일어| doi=10.1007/BF02941010 |jfm=56.0173.02 | year=1930 | journal=Abhandlungen Hamburg | volume=8 | pages=292–306}}
* {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 |last=Tunnell |first=Jerrold |title=Artin's conjecture for representations of octahedral type |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |series=N. S. |volume=5 |year=1981 |issue=2 |pages=173–175 }}
* {{서적 인용|last=Gelbart |first=Stephen | authorlink = Stephen Gelbart |chapter=Automorphic forms and Artin's conjecture |title=Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) |pages=241–276 |series=Lecture Notes in Math. |volume=627 |publisher=Springer |location=Berlin |year=1977 }}
* {{인용|last=Langlands|first=Robert|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}
* {{인용| last1=Langlands | first1=R. P. | title=Lectures in modern analysis and applications, III | url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-05284-5 | doi=10.1007/BFb0079065 | mr=0302614 | year=1970 | volume=170 | chapter=Problems in the theory of automorphic forms | pages=18–61}}
* {{인용| last=Martinet | first=J. | chapter=Character theory and Artin L-functions | pages=1–87 | title=Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 | editor1-last=Fröhlich | editor1-first=A. | editor1-link=Albrecht Fröhlich | publisher=Academic Press | year=1977 | isbn=0-12-268960-7 | zbl=0359.12015 }}
* {{인용| 
last1=Prasad|first1=Dipendra|
last2=Yogananda|first2=C. S.|
editor1-last=Bambah|editor1-first=R. P.|
editor2-last=Dumir|editor2-first=V. C.|
editor3-last=Hans-Gill|editor3-first=R. J.|
title=A Report on Artin's Holomorphy Conjecture|
booktitle=Number Theory|
year=2000|
publisher=Birkhäuser Basel|
pages=301--314|
isbn=978-3-0348-7023-8|
doi=10.1007/978-3-0348-7023-8_16|
url=http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf
}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]