{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률론]]에서 에르고딕 동역학계는, 대략적으로 설명하면, 해당 시스템의 위상 공간에서 시스템 상태들의 공간에 대해 평균하면 시간에 따라 평균적으로 동일한 행동을 보인다. 물리학에서 이 용어는 시스템이 열역학의 에르고딕 가설을 만족하는 시스템임을 함축한다.
무작위 프로세스는 시간에 따른 평균이 확률 공간에서의 평균과 같으면 에르고딕하며, 열역학 분야에서는 앙상블 평균으로 알려져 있다. 긴 시간 후의 에르고딕 프로세스 상태는 초기 상태로부터 거의 독립적이 된다.


[[동역학계 이론]]에서 '''에르고딕성'''(ergodic性, {{llang|en|ergodicity}})은 어떤 [[동역학계]]의 궤적이 거의 항상 공간 전체를 밀집하게 채우는 성질을 뜻한다. 에르고딕성을 보이는 [[동역학계]]를 연구하는 수학 분야를 '''에르고딕 이론'''(ergodic理論, {{llang|en|ergodic theory}})이라고 한다. 에르고딕성 계는 [[에르고딕성 가정]]([[:en:Ergodic hypothesis]])을 충족시킨다.

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 '''측도 보존 변환'''(測度保存變換, {{llang|en|measure-preserving transformation}}) <math>T\colon X\to X</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[가측 함수]]이다.
:<math>\mu \circ T^{-1}=\mu\colon\Sigma\to[0,1]</math>
여기서 <math>T^{-1}\colon\Sigma\to\Sigma</math>는 [[가측 집합]]의 [[원상 (수학)|원상]] 함수이다.

[[확률 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위에 측도 보존 변환 <math>T\colon X\to X</math>가 주어졌다고 하자. 다음 네 조건은 서로 [[동치]]이며, 만약 이 조건이 성립한다면 <math>T</math>가 <math>\mu</math>에 대한 '''에르고딕 변환'''({{llang|en|ergodic transformation}})이라고 한다.
* 모든 [[가측 집합]] <math>E\in\Sigma</math>에 대하여, <math>T^{-1}(E)=E</math>라면 <math>\mu(E)\in\{0,1\}</math>이다.
* 모든 [[가측 집합]] <math>E\in\Sigma</math>에 대하여, <math>\mu(T^{-1}(E)\setminus E\cup E\setminus T^{-1}(E))=0</math>이라면 <math>\mu(E)\in\{0,1\}</math>이다.
* 모든 [[가측 집합]] <math>E\in\Sigma</math>에 대하여, <math>\mu(E)>0</math>이라면 다음이 성립한다.
*:<math>\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}(E)\right)=1</math>
* 모든 [[가측 집합]] <math>E,F\in\Sigma</math>에 대하여, <math>\mu(E),\mu(F)>0</math>이라면 다음 부등식을 만족시키는 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>이 존재한다.
*:<math>\mu\left(T^{-n}(E)\cap F\right)>0</math>

== 성질 ==
[[확률 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 측도 보존 변환 <math>T\colon X\to X</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>T</math>에 대하여 불변인 <math>\Sigma</math>-[[가측 집합]]들의 [[시그마 대수]]
:<math>\mathcal C=\{S\in\Sigma\colon T^{-1}(S)=S\}</math>
를 정의하자.

[[확률 공간]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 실수값의 [[확률 변수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>의 [[절댓값]]이 [[기댓값]]을 갖는다고 하자.
:<math>\operatorname E(|f|)=\int_X|f|<\infty</math>
이 경우, <math>f</math>의 <math>n</math> 단위만큼 시간 변환을 가한 '''시간 평균'''({{llang|en|time average}})
:<math>\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)</math>
과 '''공간 평균'''({{llang|en|space average}})
:<math>\operatorname E(f)=\int_Xf\,d\mu</math>
을 생각할 수 있다. 이 둘은 일반적으로 다르지만, '''버코프 에르고딕 정리'''({{llang|en|Birkhoff’s ergodic theorem}})에 따르면 만약 <math>T</math>가 에르고딕 변환이라면, 공간 평균은 무한한 시간 평균의 극한과 일치한다.

구체적으로, <math>T</math>가 에르고딕 변환이라고 가정하지 않았을 때, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 [[거의 확실하게]] 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)=\operatorname E(f|\mathcal C)(x)</math>
여기서 <math>\operatorname E(f|\mathcal C)\colon X\to\mathbb R</math>는 <math>\mathcal C</math>에 대한 <math>f</math>의 [[조건부 기댓값]]이다.

만약 <math>T</math>가 에르고딕 변환이라고 추가로 가정하면, <math>\mathcal C</math>는 측도 0 또는 1의 집합으로만 구성된다.
:<math>\mathcal C\subseteq\left\{S\in\Sigma\colon\mu(S)\in\{0,1\}\right\}</math>
따라서, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 [[거의 확실하게]] <math>\operatorname E(f|\mathcal C)(x)=\operatorname E(f)</math>이며, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여 [[거의 확실하게]] 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} f(T^kx)=\operatorname E(f)</math>

=== 폰 노이만 에르고딕 정리 ===
확률 공간 <math>(X,\Sigma,\mu)</math> 위의 확률 보존 변환 <math>T\colon X\to X</math>은 그 [[L2 공간|L<sup>2</sup> 공간]] 위에 [[유니터리 작용소]]
:<math>U\colon L^2(X;\mathbb R)\to L^2(X;\mathbb R)</math>
:<math>U\colon f\mapsto f\circ T</math>
를 정의한다. 이를 사용하여, 에르고딕 정리를 일반적인 [[힐베르트 공간]] 위의 유니터리 작용소에 대한 정리로 일반화할 수 있으며, 이를 '''폰 노이만 에르고딕 정리'''({{llang|en|von Neumann ergodic theorem}})라고 한다.

구체적으로, [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위에 [[유니터리 작용소]] <math>U\colon\mathcal H\to\mathcal H</math>가 주어졌다고 하고, <math>\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}</math>가 <math>\ker(1-U)</math>로의 [[사영 작용소]]라고 하자. 그렇다면, <math>n^{-1}(1+U+\cdots+U^{n-1})</math>은 [[강한 작용소 위상]]에 대하여 다음과 같이 수렴한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}U^k=\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}</math>
즉, 모든 <math>|f\rangle\in\mathcal H</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}\left\|n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}U^k|f\rangle-\operatorname{Proj}_{\ker(1-U)}|f\rangle\right\|=0</math>

== 역사 ==
1885년에 [[루트비히 볼츠만]]은 [[통계역학]]에서 {{llang|de|Ergode|에르고데}}라는 단어를 최초로 사용하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ludwig|성=Boltzmann|저자링크=루트비히 볼츠만|날짜=1885|제목=Ueber die Eigenschaften Monocyklischer und andere damit verwandter Systeme|저널=Journal für die reine und angewandte Mathematik|권=1885|호=98|쪽=68–94|doi= 10.1515/crll.1885.98.68|issn=0075-4102|언어=de}}</ref> 이 단어는 {{llang|grc|[[:wiktionary:ko:ἔργον|ἔργον]]|에르곤}}(일) + {{llang|grc|[[:wiktionary:ko:ὁδός|ὁδός]]|호도스}} (경로)에서 유래하는데, 이는 볼츠만이 원래 "에르고데"를 하나의 [[운동 상수]](즉, 에너지)만을 갖는 정적 통계역학적 계로 정의하였기 때문이다. 이후 [[앙리 푸앵카레]]가 [[삼체 문제]]를 연구하기 위하여 1890년에 [[푸앵카레 재귀정리]]를 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H.J.|성=Poincaré|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique|저널=Acta Mathematica|권=13|쪽=1–270|날짜=1890|url=http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1890am.pdf|언어=fr}}</ref>

에렌페스트 부부([[파울 에렌페스트]], 타티아나 에렌페스트({{llang|de|Tatiana Ehrenfest}})는 1912년에 "에르고딕 가설"({{llang|de|Ergodenhypothese|에르고덴휘포테제}})이라는 용어를 현대적인 의미로 최초로 사용하였다.<ref>{{서적 인용|성=Ehrenfest|이름=P.|저자링크=파울 에렌페스트|이름2=T.|성2=Ehrenfest|url=http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4247254|제목=Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik|총서=Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen, Band IV-2-II, Heft 6|위치=Leipzig|출판사=Druck und Verlag von B. G. Teubner|날짜=1912|oclc=8874694|언어=de}}</ref>

버코프 에르고딕 정리와 폰 노이만 에르고딕 정리는 1930년대 초에 증명되었다. [[존 폰 노이만]]은 자신의 에르고딕 정리를 증명한 뒤 이를 1931년 10월 [[조지 데이비드 버코프]]에게 거론하였고, 버코프는 곧 버코프 에르고딕 정리를 증명하였다.<ref name="Halmos">{{저널 인용|제목=Von Neumann on measure and ergodic theory|mr=0097294|doi=10.1090/S0002-9904-1958-10203-7 |이름=Paul R. |성=Halmos|저자링크=헐모시 팔|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=64|쪽=86–94|언어=en}}</ref> 버코프는 자신의 에르고딕 정리를 1931년 12월에 먼저 출판하였고,<ref>{{저널 인용|first=George David|last=Birkhoff|authorlink=조지 데이비드 버코프|title=Proof of the ergodic theorem|날짜=1931|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=17|pages=656–660|doi=10.1073/pnas.17.2.656|pmid=16577406|issue=12|pmc=1076138|bibcode = 1931PNAS...17..656B |언어=en}}</ref> 이후 폰 노이만은 자신의 에르고딕 정리를 이듬해 1932년에 출판하였다.<ref>{{저널 인용|first=John|last=von Neumann|authorlink=존 폰 노이만|title=Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis|year=1932|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=18|pages=70–82|doi=10.1073/pnas.18.1.70|pmid=16577432|issue=1|pmc=1076162|bibcode = 1932PNAS...18...70N |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first=John|last=von Neumann|authorlink=존 폰 노이만|title=Physical Applications of the Ergodic Hypothesis|year=1932|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|volume=18|pages=263–266|doi=10.1073/pnas.18.3.263|pmid=16587674|issue=3|pmc=1076204|jstor=86260|bibcode=1932PNAS...18..263N|언어=en}}</ref>

== 응용 ==
[[통계역학]]은 매우 큰 [[계 (물리학)|계]]의 성질의 시간에 대한 통계를 연구한다. 매우 큰 계의 미시적 [[동역학]]은 매우 복잡하며 연구하기 힘들다. 그러나 만약 계의 동역학이 에르고딕 변환이라고 가정한다면, 즉 임의의 상태 영역에 가능한 [[미시상태]]에 대해 같은 확률로 도달 가능하다고 가정한다면, 버코프 에르고딕 정리에 따라서 계의 성질들의 시간 평균은 공간 평균과 같다. 따라서, 에르고딕성을 가정한다면 계의 모든 가능한 상태들에 대한 (공간) 평균을 계산하여, 계의 시간 통계를 유추할 수 있다. 이를 통계역학의 '''에르고딕 가설'''({{llang|en|ergodic hypothesis}})이라고 한다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|first=George David|last=Birkhoff|authorlink=조지 데이비드 버코프|title=What is the ergodic theorem?|journal=American Mathematical Monthly|volume=49|year=1942|pages=222–226|doi=10.2307/2303229|issue=4|jstor=2303229|언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Walters | first=Peter | title=An introduction to ergodic theory | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=79 | publisher=Springer | year=1982 | isbn=0-387-95152-0 | zbl=0475.28009 |언어=en}}
* {{서적 인용 | 이름=Vladimir Igorevich|성= Arnol'd |저자링크=블라디미르 아르놀트 | 이름2= André|성2= Avez | 제목=Ergodic Problems of Classical Mechanics | 출판사= W.A. Benjamin |날짜=1968 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | 이름=Karl |성=Petersen|제목= Ergodic Theory |총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | 출판사= Cambridge University Press | 날짜=1990 | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레 재귀정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ergodicity|first= D.V.|last=Anosov}}
* {{eom|title=Ergodic theory}}
* {{매스월드|id=ErgodicTransformation|title=Ergodic transformation}}
* {{매스월드|id=ErgodicMeasure|title=Ergodic measure}}
* {{매스월드|id=ErgodicTheory|title=Ergodic theory}}
* {{매스월드|id=BirkhoffsErgodicTheorem|title=Birkhoff's ergodic theorem}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/73248/applications-of-and-motivation-for-von-neumanns-mean-ergodic-theorem|제목=Applications of and motivation for von Neumann's mean ergodic theorem|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:에르고딕 이론| ]]