{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''델 페초 곡면'''(del Pezzo曲面, {{llang|en|del Pezzo surface}})은 [[사영 평면]]의 점들을 [[부풀리기|부풀려]] 얻을 수 있는 [[대수 곡면]]의 한 종류다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, '''델 페초 곡면'''은 다음 두 조건을 만족시키는 <math>K</math>-[[대수다양체]] <math>X</math>이다.
* [[대수 곡면]]이다. 즉, [[크룰 차원]]이 2차원이다.
* [[파노 다양체]]이다. 즉, [[반표준 인자]] <math>-K_X</math>가 [[풍부한 선다발|풍부한 인자]]이며, [[완비 대수다양체]]이다.

== 분류 ==
델 페초 곡면은 [[유리 곡면]]이다. 즉, [[사영 평면]]과 [[쌍유리 동치]]이다. 델 페초 곡면 ''X''의 '''차수'''({{llang|en|degree}}) ''d''는 [[반표준 인자]](또는 [[표준 인자]])의 제곱이며, 표준 인자의 자기 [[교차수]]와 같다.
:<math>d = (-K_X)^2 = K_X^2</math>

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.
* [[사영 평면]]의 <math>k</math>개의 점에서의 [[부풀리기]] (<math>k=0,1,2,\dots,8</math>). 보통 <math>\operatorname{dP}_k</math>로 쓴다. 이 경우, 차수가 <math>9-k</math>이며, [[피카르 군]]은 홀 [[유니모듈러 격자]] <math>\operatorname I_{1,k}</math>이다.
* <math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math>. 이 경우 차수가 8이며, [[피카르 군]]은 짝 [[유니모듈러 격자]] <math>\operatorname{II}_{1,1}</math>이다.
사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

== 성질 ==
델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 [[교차수]]가 <math>-1</math>인 [[유리 곡선]]이며, 이러한 곡선들의 수는 {{OEIS|A33541}}에 수록되어 있다.

{| class=wikitable
! 기호 !! 차수 <math>d</math> !! (−1)-곡선의 수 !! [[피카르 군]] !! [[모듈라이 공간]]의 차원 !! 비고
|-
! <math>\operatorname{dP}_8</math>
| 1 || 240 || <math>\operatorname I_{1,8}</math> ||  8 || (−1)-곡선들은 [[E₈|E<sub>8</sub>]]의 [[근계]]와 대응
|-
! <math>\operatorname{dP}_7</math>
| 2 || 56 || <math>\operatorname I_{1,7}</math> || 6 || 분지선이 평면 4차 곡선인, [[사영 평면]]의 2겹 [[피복 공간]]
|-
! <math>\operatorname{dP}_6</math>
| 3 || 27 || <math>\operatorname I_{1,6}</math> || 2 || <math>\mathbb P^3</math> 속의 3차 곡면
|-
! <math>\operatorname{dP}_5</math>
| 4 || 16|| <math>\operatorname I_{1,5}</math> || 2 || <math>\mathbb P^4</math> 속의 [[세그레 곡면]] (=두 [[이차 곡면]]의 교차)
|-
! <math>\operatorname{dP}_4</math>
| 5 || 10|| <math>\operatorname I_{1,4}</math> || 0
|-
! <math>\operatorname{dP}_3</math>
| 6 || 6 || <math>\operatorname I_{1,3}</math>|| 1
|-
! <math>\operatorname{dP}_2</math>
| 7 || 3|| <math>\operatorname I_{1,2}</math> || 1
|-
! <math>\operatorname{dP}_1</math>
| 8  || 1 || <math>\operatorname I_{1,1}</math>|| 0 || [[히르체브루흐 곡면]]
|-
! <math>\mathbb P^1\times\mathbb  P^1</math>
| 8  || 0 || <math>\operatorname{II}_{1,1}</math> || 0 || 두 개의 [[사영 직선]]의 곱 ([[이차 곡면]])
|-
! <math>\operatorname{dP}_0</math>
| 9 || 0 || <math>\operatorname I_{1,0}</math> || 0 || 사영 평면 <math>\mathbb P^2</math>
|}

=== (−1)-곡선 ===
델 페초 곡면에서 '''(−1)-곡선'''({{llang|en|(−1)-curve}})은 [[자기 교차수]]가 −1이며, [[표준 인자]]와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다.
:<math>\pi\colon\operatorname{dP}_n\twoheadrightarrow\mathbb P^2</math>
에서, <math>\mathbb P^2</math>의 [[세르 뒤틀림 층]] <math>O(1)</math>의 [[당김 (미분기하학)|당김]]을 <math>H=\pi^*O(1)</math>라고 하고, [[부풀리기]]로 발생하는 예외적 인자들을 <math>E_1,\dots,E_n</math>이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 [[피카르 군]]
:<math>\operatorname{Pic}(\operatorname{dP}_n)=\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{H,E_1,\dots,E_n\}\cong\mathbb Z^{n+1}</math>
의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 이룬다. 이 경우, [[교차수]]는 다음과 같다.
:<math>E_i.E_j=-\delta_{ij}</math>
:<math>E_i.H=0</math>
:<math>H.H=1</math>
[[표준 인자]]는 다음과 같다.
:<math>K=-3H+\sum_iE_i</math>
인자
:<math>C=aH-\sum_{i=1}^nb_iE_i</math>
가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 [[디오판토스 방정식]]을 만족시켜야 한다.<ref>{{웹 인용|url=http://math.rice.edu/~av15/Files/LeidenLectures.pdf|제목=Arithmetic of del Pezzo surfaces | 이름=Anthony|성=Várilly-Alvarado|날짜=2010-10|언어=en}}</ref>
:<math>a^2-\sum_{i=1}^nb_i^2=-3a+\sum_{i=1}^nb_i=-1</math>
이 디오판토스 방정식의 해는 <math>n<9</math>인 경우 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! <math>a</math> !! 0이 아닌 <math>b_i</math> !! 개수 !! 해석
|-
| 0 || −1 || <math>n</math> || 예외 곡선
|-
| 1 || 1, 1 || <math>\binom n2</math> || 부풀려진 두 점을 지나는 [[사영 직선]]
|-
| 2 || 1, 1, 1, 1, 1 || <math>\binom n5</math> || 부풀려진 5개의 점을 지나는 [[원뿔 곡선]]
|-
| 3 || 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 || <math>7\binom n7</math> || 하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. <math>n=7,8</math>인 경우에만 가능
|-
| 4 || 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 || 56 || 세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. <math>n=8</math>인 경우에만 가능
|-
| 5 || 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1 || 28 || 6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. <math>n=8</math>인 경우에만 가능
|-
| 6 || 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 || 8 || 7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. <math>n=8</math>인 경우에만 가능
|}

=== 호지 수 ===
델 페초 곡면 <math>\operatorname{dP}_n</math>은 [[사영 평면]]을 <math>n</math>번 [[부풀리기|부풀려]] 얻은 곡면이다. 따라서, [[호지 수]] 가운데 <math>h^{1,1}</math>만이 <math>n</math>만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, <math>\operatorname{dP}_n</math>의 호지 수는 다음과 같다.
{| style="text-align:center"
| || || 1
|-
| || 0 || || 0
|-
| 0 || ||  1+''n'' || || 0
|-
| || 0 || || 0
|-
| || || 1
|}

<math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math>의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.
{| style="text-align:center"
| || || 1
|-
| || 0 || || 0
|-
| 0 || ||  2 || || 0
|-
| || 0 || || 0
|-
| || || 1
|}

== 역사 ==
[[나폴리]]의 수학자 [[파스콸레 델 페초]]({{lang|it|Pasquale del Pezzo}})가 1880년대에 연구하였다.<ref>{{저널 인용|성=del Pezzo|이름=Pasquale|날짜=1885|제목=Sulle superficie dell ordine <math>n</math> immerse negli spazi di <math>n+1</math> dimensioni|저널=Rendiconto della Reale Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli|권=24|쪽=212-216|jfm=17.0514.01|언어=it}}</ref><ref>{{저널 인용|성=del Pezzo|이름=Pasquale|날짜=1887|제목=Sulle superficie dell’<math>n</math><sup>mo</sup> ordine immerse nello spazio di <math>n</math> dimensioni|저널 =Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo |권=1|호=1|쪽=241–271|doi=10.1007/BF03020097|jfm= 19.0841.02|언어=it}}</ref>

== 응용 ==
델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 [[거울 대칭]]의 중요한 예이다.<ref>{{저널 인용|제목=Mirror symmetry for Del Pezzo surfaces: Vanishing cycles and coherent sheaves|이름=Denis|성=Auroux|공저자=Ludmil Katzarkov, Dmitri Orlov|arxiv=math/0506166|doi=10.1007/s00222-006-0003-4|bibcode=2006InMat.166..537A|언어=en}}</ref> 델 페초 곡면은 또한 [[자이베르그 이중성]]에 사용되며,<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0405118|제목=Seiberg duality is an exceptional Mutation|이름=Christopher P.|성=Herzog|doi=10.1088/1126-6708/2004/08/064|bibcode=2004JHEP...08..064H|저널=Journal of High Energy Physics|권=2004|호=8|쪽=64|언어=en}}</ref> [[M이론]]의 '''신비로운 이중성'''({{llang|en|mysterious duality}})에 등장한다.<ref>{{저널 인용|제목=A mysterious duality|이름=Amer|성=Iqbal|이름2=Andrew|성2=Neitzke|이름3=Cumrun|성3=Vafa|저자링크3=캄란 바파|arxiv=hep-th/0111068|저널=Advances in Theoretical and Mathematical Physics|권=5|쪽=769-808|날짜=2002|bibcode=2001hep.th...11068I|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last1=Manin | first1=Yuri Ivanovich | 저자링크=유리 마닌 | title=Cubic forms | publisher=North-Holland | 판=2 | series=North-Holland Mathematical Library | isbn=978-0-444-87823-6 | mr=833513 | 날짜=1986 | volume=4|언어=en}}
* {{서적 인용 | last1=Kollár | first1=János | last2=Smith | first2=Karen E. | last3=Corti | first3=Alessio | title=Rational and nearly rational varieties | doi=10.1017/CBO9780511734991 | publisher=Cambridge University Press | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-83207-6 | mr=2062787 | 날짜=2004 | volume=92|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Igor V.|성=Dolgachev|제목=Classical algebraic geometry: a modern view|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf|doi=10.1017/CBO9781139084437|isbn=978-1-107-01765-8|날짜=2012|출판사=Cambridge University Press|언어=en|확인날짜=2015-07-20|보존url=https://web.archive.org/web/20140531105635/http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/CAG.pdf|보존날짜=2014-05-31|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Reflection groups in algebraic geometry|이름=Igor V.|성=Dolgachev|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=45|호=1|날짜=2008-01|쪽=1–60|doi=10.1090/S0273-0979-07-01190-1 |mr=2358376|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DelPezzoSurface|title=Del Pezzo surface}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/172550/graphs-of-lines-on-del-pezzo-surfaces|제목=Graphs of lines on del Pezzo surfaces|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/207812/are-genus-zero-gromov-witten-invariants-on-del-pezzo-surfaces-enumerative|제목=Are genus zero Gromov Witten Invariants on Del-Pezzo surfaces enumerative?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:곡면]]
[[분류:복소곡면]]
[[분류:대수곡면]]