{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서, '''직교좌표계'''({{lang|en|Orthogonal coordinates}})는 그 [[좌표]] 곡면들 모두가 직각으로 만나는 d개의 좌표들의 집합('''q''' = (''q''<sup>1</sup>, ''q''<sup>2</sup>, ..., ''q<sup>d</sup>''))으로 정의된다(여기서 위 첨자는 지수가 아니라 인덱스이다). 특정한 좌표 ''q<sup>k</sup>''에 대한 좌표 곡면은 ''q<sup>k</sup>''가 상수로서 주어지는 곡선, 곡면, 또는 초곡면이다. 예를 들면, 3차원 [[데카르트 좌표계]](''x'', ''y'', ''z'')의 경우 그것의 좌표 곡면들(''x'' = constant, ''y'' = constant, 및 ''z''= constant)이 서로 직각으로 만나는 평면들이라는 점에서 삼차원 데카르트 좌표계(''x'', ''y'', ''z'')는 이 문서에서 말하는 직교 좌표계의 하나이다. 또한 이러한 직교 좌표계는 [[곡선 좌표계]]의 특별하면서도 매우 일반적인 경우에 해당한다.

== 동기 ==
[[파일:Conformal_map.svg|오른쪽|섬네일|직각 그리드에 적용되는 등각 매핑. 곡선 그리드의 직교성이 유지되고 있음을 주목할 것.]]
[[데카르트 좌표계]]에서 벡터 연산 및 물리 법칙들을 다루는 것이 가장 쉽겠지만 비-데카르트 직교 좌표계들 역시 다양한 문제들에 종종 사용된다. 비-데카르트 좌표계들은 양자역학, 유체의 흐름, 전기동역학, 화학 원소 또는 열의 확산 등에서 나타나는 경계값 문제들에서 특히 유용하게 사용된다.

비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다.

일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 “변수 분리법”이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 [[라플라스 방정식]] 또는 [[헬름홀츠 방정식]]으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀츠 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다.<ref>{{웹 인용|url=http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html|title=Orthogonal Coordinate System|author=[[Eric W. Weisstein]]|publisher=[[MathWorld]]|accessdate=10 July 2008}}</ref><ref>{{Harvnb|Morse and Feshbach|1953|loc=Volume 1, pp. 494-523, 655-666.}}</ref>

직교 좌표계에서 그것의 [[메트릭 텐서]]는 비대각항들이 0이 되도록 구성된다. 즉, 무한소 제곱 거리(infinitesimal squared distance) ''ds''<sup>2</sup>은 항상 무한소 좌표 변이들의 제곱된 값들의 스케일된 합(a scaled sum of the squared infinitesimal coordinate displacements)으로서 표현될 수 있다.

<math>
ds^2 = \sum_{k=1}^d \left( h_k \, dq^{k} \right)^2
</math>

여기서 ''d''는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은

: <math>
h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|
</math>

메트릭 텐서의 대각 성분들의 제곱근들 또는 국소 기저 벡터들 <math>\mathbf e_k</math>의 길이들과 같다. 이러한 스케일 함수들 ''h<sub>i</sub>'' 은 새로운 좌표계에서 미분 연산자들(예를 들면, [[기울기 (벡터)|기울기 연산자]](gradient), [[라플라스 연산자|라플라시안]], [[발산 (벡터)|발산 연산자]] 및 [[회전 (벡터)|회전 연산자]])를 계산하는데 사용된다.

2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들(''x'', ''y'')의 표준적인 2차원 그리드의 [[등각 매핑]]을 통해서이다. 복소수 ''z'' = ''x'' + ''iy''는 실수 좌표''x'' 와 ''y''로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 [[정칙 함수]] ''w'' = ''f''(''z'')는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 ''w'' = ''u'' + ''iv''로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다.

삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다(예를 들면, 타원 좌표). 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다.

== 기저 벡터 ==
=== 공변 기저 ===
데카르트 좌표계에서, 기저 벡터들은 변하지 않는다(고정된다). 반면, 보다 일반적인 곡선 좌표계에서는, 공간 상의 한 점은 좌표들에 의해 명기되고, 그러한 모든 점들에는 (일반적으로는 고정되지 않은) 기저 벡터들의 세트가 바인딩된다: 이것은 일반적인 곡선 좌표의 핵심이며 매우 중요한 개념이다. 직교 좌표들을 특징짓는 것은 (기저 벡터가 변하더라도) 그러한 기저 벡터들은 서로에 대해 항상 직교한다는 것이다. 즉,

: <math>\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0 \quad \text{if} \quad i \neq j</math>

이러한 기저 벡터들은, 정의에 의해, 나머지 좌표들은 고정시키면서 하나의 좌표를 변화시킴으로써 얻어지는 곡선들의 접선 벡터들이다:
[[파일:OrthogonalCoordinates.png|섬네일|300x300픽셀|2D 직교 좌표의 시각화. 하나의 좌표를 상수로 유지함으로써 얻어진 곡선들이 기저 벡터들과 함께 도시되었다. 기저 벡터들의 길이가 같지 않을 수 있다. 길이의 동일성이 요구되는 것은 아니고 직교하는 것만이 요구된다. ]]

: <math>\mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i}</math>

여기서, '''r'''은 어떤 점이고 ''q<sup>i</sup>''는 [[기저 벡터]]가 추출되는 좌표이다. 즉, 곡선은, 한 좌표를 제외한, 모든 좌표들을 고정시킴으로써 얻어진다: 이때, 고정되지 않은 좌표는 매개변수 곡선(parametric curve)에서와 같이 변하게 되고, 그러한 매개 변수에 대한 그 곡선의 도함수가 그 좌표에 대한 기저 벡터이다.

기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들 <math>\hat{\mathbf e}_i</math>의 길이들 <math>{h}_i</math>이다(아래 표 참조). 스케일 인수들은 종종 라미 계수들(Lamé coefficients)로 불리기도 하는데, 선형 탄성 분야에서 더욱 잘 알려진 계수에 대해서도, 같은 이름이 사용되고 있으므로, 이러한 용어를 사용하지 않는 것이 바람직하다.

정규화된 기저 벡터들은 아래와 같이 해트를 사용하여 표기되며, 길이로 나눔으로써 얻어진다:

: <math>\hat{\mathbf e}_i = \frac{{\mathbf e}_i}{h_i} = \frac{{\mathbf e}_i}{\left|{\mathbf e}_i\right|}</math>

벡터장은, 기저 벡터에 대한 또는 정규화된 기저 벡터에 대한, 그것의 성분들에 의해 기술될 수 있으며, 따라서, 어떤 경우를 의미하는 것인지 명확히 하는 것이 필요하다. 양들에서의 명확성을 위해, 정규화된 기저에서의 성분들이 여러 응용들에서 가장 일반적으로 사용된다(예를 들면, 사람들은 접속 속도와 스케일 인수의 곱이 아니라 접선 속도를 다루기를 원한다): 도함수들에서는, 정규화된 기저는 더욱 복잡하기 때문에 다소 덜 사용된다.

=== 반변 기저 ===
위에서 논의된 기저 벡터들은, 벡터들과 함께 변하기 때문에, 공변 기저 벡터들이다. 직교 좌표계의 경우, 반변 기저 벡터들은, 공변 벡터들과 같은 방향이지만 반비례하는 길이를 갖기 때문에, 찾기 쉽다(이런 이유에서 기저 벡터들의 위 두 세트들은 서로에 대해 역이라 한다):

: <math>\mathbf e^i = \frac{\hat{\mathbf e}_i}{h_i} = \frac{\mathbf e_i}{h_i^2}</math>

위 식은 [[크로네커 델타]](Kronecker delta)를 사용하여  <math> \mathbf e_i \cdot \mathbf e^j = \delta^j_i</math>이라는 사실로부터 얻어진다. 또한 아래와 같다:

: <math>\hat{\mathbf e}_i = \frac{\mathbf e_i}{h_i} = h_i \mathbf e^i = \hat{\mathbf e}^i</math>

이제까지 직교 좌표계들에서 벡터들을 나타내기 위해 일반적으로 사용되는 세가지 다른 기저 세트들이 소개되었다: 공변 기저 '''e'''''<sub>i</sub>'', 반변 기저 '''e'''''<sup>i</sup>'', 및 정규화된 기저 '''ê'''''<sup>i</sup>''. '''비록 하나의 벡터는 (그 정체성(identity)은 좌표계의 선택에 무관한) ''객관적 양''일지라도, 벡터의 성분들은 그 벡터가 어떤 기저에 기초하여 표현되는지에 따라 달라진다'''.

혼동을 피하기 위해, '''e'''''<sub>i</sub>'' 기저에 대한 벡터 '''x'''의 성분들은 '''x'''''<sup>i</sup>''로 표현하고, '''e'''''<sup>i</sup>'' 기저에 대한 성분들은 '''x'''''<sub>i</sub>''로서 표현한다:

: <math>\mathbf x = \sum_i x^i \mathbf e_i = \sum_i x_i \mathbf e^i</math>.

인덱스들의 위치는 성분들이 어떻게 계산되는지를 나타낸다 (위 첨자를 지수로 혼동하지 말 것). 합 기호 Σ와 (모든 기저 벡터들에 대해 합하여짐을 나타내는) 합의 범위는 종종 생략될 수 있다. 성분들 사이의 관계는 아래와 같이 간단히 표현될 수 있다:

: <math>h_i^2 x^i = x_i</math>.

정규화된 기저에 대한 벡터 성분들을 나타내기 위해 널리 사용되는 특별한 표기법은 없다. 이 문서에서, 우리는 벡터 성분들에 대해 아래 첨자들을 사용할 것이다. 그러한 성분들은 정규화된 기저에서 계산된 것이라는 것을 유념할 것.

== 벡터 대수학 ==
벡터 추가 및 빼기는, 복잡성이 없는 데카르트 좌표계에서와 마찬가지로, 구성 요소별로 수행됩니다. 다른 벡터 연산들의 경우, 추가적인 고려가 필요할 수도 있다.

하지만, 이러한 모든 연산들은 벡터장 내의 두 벡터들이 동일한 점에 바인딩된다(즉, 벡터들의 꼬리가 일치한다)고 가정하고 있음을 유념할 필요가 있다. 일반적으로 기저 벡터는 직교 좌표계에서도 변하기 때문에, (그 성분들이 공간 상의 다른 점들에서 계산되는) 두 벡터들이 더하여 진다면, 다른 기저 벡터들이 고려돼야 한다.

=== 내적 ===
데카르트 좌표계(정규직교 기저 세터를 가진 유클리드 공간)에서의 내적은, 단순히, 성분들의 곱들의 합이다. 직교 좌표계에서, 두 벡터들 '''x'''와 '''y'''의 내적은, 그 벡터들의 성분들이 정규화된 기저들에서 계산될 때,익숙한 형태를 취하게 된다:

: <math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i x_i \hat{\mathbf e}_i \cdot \sum_j y_j \hat{\mathbf e}_j = \sum_i x_i y_i</math>

위 식은, 어떤 점에서의 정규화된 기저가 데카르트 좌표계를 구성하기 위해 사용될 수 있다(기저 세트가 정규직교한다)는 사실로부터, 즉각적으로 얻어지는 결과이다.

공변 또는 반변 기저들에서의 성분들의 경우,

: <math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i h_i^2 x^i y^i = \sum_i \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum_i x^i y_i = \sum_i x_i y^i</math>

위 식은, 벡터를 성분 형태로 쓰고, 기저 벡터를 정규화한 후, 내적을 취함으로써, 쉽게 유도 될 수 있다. 예를 들어, 2차원에서는 아래와 같다:

: <math>
\begin{align}
\mathbf x \cdot \mathbf y & =
\left(x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2\right) \cdot \left(y_1 \mathbf e^1 + y_2 \mathbf e^2\right) \\[10pt]
& = \left(x^1 h_1 \hat{ \mathbf e}_1 + x^2 h_2 \hat{ \mathbf e}_2\right) \cdot \left(y_1 \frac{\hat{ \mathbf e}^1}{h_1} + y_2 \frac{\hat{ \mathbf e}^2}{h_2}\right) = x^1 y_1 + x ^2 y_2
\end{align}
</math>

여기에서는, 정규화된 공변 및 반변 기저들이 같다는 사실이 사용되었다.

=== 외적 ===
3차원 데카르트 좌표계에서, 외적은 아래와 같다:

: <math>\mathbf x \times \mathbf y =
(x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{ \mathbf e}_1 + (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{ \mathbf e}_2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{ \mathbf e}_3</math>

성분들이 정규화된 기저에서 계산된다면, 위 식은 직교 좌표계에서도 유효하게 유지된다.

공변 또는 반변 기저들을 사용하여 직교 좌표계에서의 외적을 구하기 위해서는, 예를 들면 아래와 같이, 기저 벡터들이 정규화돼야 한다:

: <math>\mathbf x \times \mathbf y = \sum_i x^i \mathbf e_i \times \sum_j y^j \mathbf e_j =
\sum_i x^i h_i \hat{\mathbf e}_i \times \sum_j y^j h_j \hat{\mathbf e}_j</math>

풀어 쓰면,

: <math>\mathbf x \times \mathbf y =
(x^2 y^3 - x^3 y^2) \frac{h_2 h_3}{h_1} \mathbf e_1 + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \frac{h_1 h_3}{h_2} \mathbf e_2 + (x^1 y^2 - x^2 y^1) \frac{h_1 h_2}{h_3} \mathbf e_3</math>

(비직교 좌표계 및 고차원으로의 일반화를 단순화시키는) 외적에 대한 간결한 표기는 (스케일 인수들이 모두 1이 아니면, 0 및 1 이외의 다른 성분들을 갖는) 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)를 사용함으로써 가능하다.

== 벡터 계산 ==
=== 미분 ===
어떤 점에서의 무한소 변위를 본다면, 아래는 자명하다.

: <math>d\mathbf r = \sum_i \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i} \, dq^i = \sum_i \mathbf e_i \, dq^i</math>

정의에 의해, 어떤 함수의 기울기 연산자(gradient)는 아래를 만족해야 한다. (이러한 정의는 f가 텐서인 경우에도 유효하다.)

: <math>df = \nabla f \cdot d\mathbf r \quad \Rightarrow \quad df = \nabla f \cdot \sum_i \mathbf e_i \, dq^i</math>

이 경우, 델 연산자는 아래와 같이 주어진다:

: <math>\nabla = \sum_i \mathbf e^i \frac{\partial}{\partial q^i}</math>

이것은, 일반적인 곡선 좌표에서도, 그대로 유효하다. (기울기 연산자 및 라플라스와 같은) 양들은 이 연산자의 적절한 응용을 통해  얻을 수 있다.

=== 기저 벡터 공식들 ===
d'''r''' 과 정교화된 기저 벡터들'''ê'''''<sub>i</sub>''로부터, 아래의 식들을 구성할 수 있다.<ref>Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, {{isbn|978-0-07-154855-7}}.</ref><ref>Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
{| class="wikitable"
! scope="col" width="10px" |Differential element
! scope="col" width="200px" |Vectors
! scope="col" width="200px" |Scalars
|-
|[[:en:Line_element|Line element]]
|Tangent vector to coordinate curve ''q<sup>i</sup>'':
<math>d\boldsymbol{\ell} = h_i dq^i \hat{\mathbf{e}}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} dq^i </math>
|[[:en:Infinitesimal|Infinitesimal]] [[:en:Length|length]]
<math>d\ell = \sqrt{d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}} = \sqrt{(h_1 \, dq^1)^2 + (h_2 \, dq^2)^2 + (h_3 \, dq^3)^2} </math>
|-
|[[:en:Vector_area|Surface element]]
|[[:en:Normal_(geometry)|Normal]] to coordinate surface ''q<sup>k</sup>'' = constant:
<math> \begin{align}
d\mathbf{S} & = (h_i dq^i \hat{\mathbf{e}}_i) \times (h_j dq^j \hat{\mathbf{e}}_j) \\
& = dq^i dq^j \left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^j}\right)\\
& = h_i h_j dq^i dq^j \hat{\mathbf{e}}_k
\end{align}</math>
|Infinitesimal [[:en:Surface_(mathematics)|surface]]
<math> dS_k = h_ih_j \, dq^i \, dq^j</math>
|-
|[[:en:Volume_element|Volume element]]
|N/A
|Infinitesimal [[:en:Volume|volume]]
<math>\begin{align}
dV & = |(h_1 \, dq^1 \hat{\mathbf{e}}_1) \cdot (h_2 \, dq^2 \hat{\mathbf{e}}_2) \times (h_3 \, dq^3 \hat{\mathbf{e}}_3)| \\
& = |\hat{\mathbf{e}}_1 \cdot \hat{\mathbf{e}}_2 \times \hat{\mathbf{e}}_3| h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3\\
& = J \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3 \\
& = h_1 h_2 h_3 \, dq^1 \, dq^2 \, dq^3
\end{align}</math>
|}
이때, J은, [[야코비 행렬식]]으로서, 아래와 같이 주어진다.

: <math>J = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^1} \cdot \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^2} \times \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^3} \right)\right| = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(q^1, q^2, q^3)} \right| = h_1 h_2 h_3</math>
:[[야코비 행렬식]]은 (직교 좌표계에서) 무한소 큐브 d''x''d''y''d''z''의 무한소 휘어진 부피로의 부피적 변형이라는 기하학적 해석을 갖는다.

=== 적분===
위에서 설명된 선요소를 사용하면 경로  <math>\scriptstyle \mathcal P</math>를 따라 계산되는 벡터'''F'''의 선적분은 아래와 같다:

: <math>\int_{\mathcal P} \mathbf F \cdot d\mathbf r =
\int_{\mathcal P} \sum_i F_i \mathbf e^i \cdot \sum_j \mathbf e_j \, dq^j = \sum_i \int_{\mathcal P} F_i \, dq^i
</math>

한 개의 좌표 좌표 ''q<sub>k</sub>''를 상수로 유지함으로써 기술되는 표면에 대한 무한소의 면적 요소는 아래와 같다:

: <math>dA = \prod_{i \neq k} ds_i = \prod_{i \neq k} h_i \, dq^i</math>

유사하게 볼륨 요소는 아래와 같다:

: <math>dV = \prod_i ds_i = \prod_i h_i \, dq^i</math>

여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 [[야코비 행렬식]]이라는 것을 주목할 것.

한 예로, 3차원 공간에서 ''q''<sup>1</sup> = ''constant''인 표면 <math>\scriptstyle\mathcal S</math> 에 대한 벡터 함수 '''F'''의 면적분은 아래와 같다:

: <math>\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot d\mathbf A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf n} \ d A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf e}_1 \ d A =
\int_{\mathcal S} F^1 \frac{h_2 h_3}{h_1} \, dq^2 \, dq^3
</math>

이때 '''F'''<sup>1</sup>/''h''<sub>1</sub>는 해당 표면에 수직한'''F'''의 성분이라는 점을 주목할 것.

== 3차원에서의 미분 연산자들 ==
{{본문|del}} 이러한 연산자들은 응용에서 종종 사용되기 때문에 이 섹션에서의 모든 벡터 성분들은 정규화된 기저에 대해 제시된다: <math>F_i = \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{e}}_i</math>.
{| class="wikitable"
!Operator
!Expression
|-
|[[:en:Gradient|Gradient]] of a [[:en:Scalar_field|scalar field]]
|<math>
\nabla \phi =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3}
</math>
|-
|[[:en:Divergence|Divergence]] of a [[:en:Vector_field|vector field]]
|<math>
\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( F_1 h_2 h_3 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( F_2 h_3 h_1 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( F_3 h_1 h_2 \right)
\right]
</math>
|-
|[[:en:Curl_(mathematics)|Curl]] of a vector field
|<math>
\begin{align}
\nabla \times \mathbf F & =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_3 F_3 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_2 F_2 \right)
\right] +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_3 h_1}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_1 F_1 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_3 F_3 \right)
\right] \\[10pt]
& + \frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_1 h_2}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_2 F_2 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_1 F_1 \right)
\right]
=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1\hat{\mathbf{e}}_1 & h_2\hat{\mathbf{e}}_2 & h_3\hat{\mathbf{e}}_3 \\
\dfrac{\partial}{\partial q^1} & \dfrac{\partial}{\partial q^2} & \dfrac{\partial}{\partial q^3} \\
h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3
\end{vmatrix}
\end{align}
</math>
|-
|[[:en:Laplacian|Laplacian]] of a scalar field
|<math>
\nabla^2 \phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3} \right)
\right]
</math>
|}
위 표현들은 <math>H = h_1 h_2 h_3</math>를 정의하는 레비-치비타 심볼을 사용하여 그리고 반복되는 인덱스들에 대한 합을 가정함으로써 보다 간결한 형태로 쓰여질 수 있다.
{| class="wikitable"
!Operator
!Expression
|-
|[[:en:Gradient|Gradient]] of a [[:en:Scalar_field|scalar field]]
|<math>
(\nabla \phi)_k =
\frac{\hat{ \mathbf e}_k}{h_k} \frac{\partial \phi}{\partial q^k}
</math>
|-
|[[:en:Divergence|Divergence]] of a [[:en:Vector_field|vector field]]
|<math>
\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{H}\frac{\partial}{\partial q^k} \left(\frac{H}{h_k} F_k\right)
</math>
|-
|[[:en:Curl_(mathematics)|Curl]] of a vector field
|<math>
\left(\nabla \times \mathbf F\right)_k =
\frac{h_k \hat{ \mathbf e}_k}{H}
\epsilon_{ijk}\frac{\partial}{\partial q^i}\left(h_j F_j\right)
</math>
|-
|[[:en:Laplacian|Laplacian]] of a scalar field
|<math>
\nabla^2 \phi = \frac{1}{H}
\frac{\partial}{\partial q^k}\left(\frac{H}{h_k^2}\frac{\partial \phi}{\partial q^k}\right)
</math>
|}

== 표: 직교 좌표 ==
일반적인 데카르트 좌표계 이외의 다른 것들이 아래 개시되었다.<sup>[5]</sup> 간결함을 위해 좌표 열에 구간에 대한 정보가 표기되었다.
{| class="wikitable"
! scope="col" width="20px" |Curvillinear coordinates (''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>, ''q''<sub>3</sub>)
! scope="col" width="200px" |Transformation from cartesian (''x'', ''y'', ''z'')
! scope="col" width="200px" |Scale factors
|-
|[[:en:Spherical_polar_coordinates|Spherical polar coordinates]]
<math>(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x&=r\sin\theta\cos\phi \\
y&=r\sin\theta\sin\phi \\
z&=r\cos\theta
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=1 \\
h_2&=r \\
h_3&=r\sin\theta
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Cylindrical_polar_coordinates|Cylindrical polar coordinates]]
<math>(r, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)</math>
|<math>\begin{align}
x&=r\cos\phi \\
y&=r\sin\phi \\
z&=z
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_3=1 \\
h_2&=r
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Parabolic_cylindrical_coordinates|Parabolic cylindrical coordinates]]
<math>(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)</math>
|<math>\begin{align}
x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\
y&=uv\\
z&=z
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=1
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Parabolic_coordinates#Three-dimensional_parabolic_coordinates|Parabolic coordinates]]
<math>(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x&=uv\cos\phi\\
y&=uv\sin\phi\\
z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=uv
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Paraboloidal_coordinates|Paraboloidal coordinates]]
<math>\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < b^2 < \mu < a^2 < \nu
\end{align}</math>
|<math>\frac{x^2}{q_i - a^2} + \frac{y^2}{q_i - b^2} = 2 z + q_i</math>where <math>(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)</math>
|<math>h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)}}</math>
|-
|[[:en:Elliptic_cylindrical_coordinates|Elliptic cylindrical coordinates]]
<math>(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)</math>
|<math>\begin{align}
x&=a\cosh u \cos v\\
y&=a\sinh u \sin v\\
z&=z
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\
h_3&=1
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Prolate_spheroidal_coordinates|Prolate spheroidal coordinates]]
<math>(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\
y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\
z&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Oblate_spheroidal_coordinates|Oblate spheroidal coordinates]]
<math>(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\
y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\
z&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Ellipsoidal_coordinates|Ellipsoidal coordinates]]
<math>\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\
& c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\
& c^2 < b^2 < \nu < a^2,
\end{align}</math>
|<math>\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1</math>where <math>(q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)</math>
|<math>h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}</math>
|-
|[[:en:Bipolar_cylindrical_coordinates|Bipolar cylindrical coordinates]]
<math>(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)</math>
|<math>\begin{align}
x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\
y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\
z&=z
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=1
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Toroidal_coordinates|Toroidal coordinates]]
<math>(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Bispherical_coordinates|Bispherical coordinates]]
<math>(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)</math>
|<math>\begin{align}
x &= \frac{a\sin u \cos \phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sin u \sin \phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align}</math>
|-
|[[:en:Conical_coordinates|Conical coordinates]]
<math>\begin{align}
& (\lambda,\mu,\nu)\\
& \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\
& \lambda \in [0,\infty)
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\
y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\
z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
h_1&=1\\
h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\
h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)}
\end{align}</math>
|}

== 내용주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[곡선좌표계]]
* [[텐서]]
* [[벡터장]]
* [[균형 3진법]]
== 각주 ==
* Korn GA and Korn TM. (1961) ''Mathematical Handbook for Scientists and Engineers'', McGraw-Hill, pp.&nbsp;164–182.
* {{저널 인용|last=Morse and Feshbach|title=Methods of Theoretical Physics, Volume 1|publisher=McGraw-Hill|year=1953|ref=harv}}

* Margenau H. and Murphy GM. (1956) ''The Mathematics of Physics and Chemistry'', 2nd. ed., Van Nostrand, pp.&nbsp;172–192.
* Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud (2003) ''Tensor Analysis'', pp.&nbsp;81 – 88.

{{기본정렬:직교 좌표계}}
[[분류:좌표계]]