{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''바나흐 고정점 정리'''(-固定點定理, {{llang|en|Banach fixed-point theorem}}) 또는 '''축약 사상 정리'''(縮約寫像定理, {{llang|en|contraction mapping theorem}})는 [[완비 거리 공간]] 위의 축약 사상이 유일한 [[고정점]]을 갖는다는 정리이다.

== 정의 ==
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 '''축약 사상'''(縮約寫像, {{llang|en|contraction mapping}})은 1 미만의 상수에 대한 [[립시츠 연속 함수]]이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 <math>\alpha\in[0,1)</math>이 존재하는 함수 <math>T\colon X\to X</math>이다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(T(x),T(y))\le\alpha d(x,y)</math>

'''바나흐 고정점 정리'''에 따르면, [[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 축약 사상 <math>T\colon X\to X</math>은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, <math>T(x^*)=x^*</math>인 <math>x^*\in X</math>가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의 <math>x_0\in X</math>에 대하여, 반복 점렬 <math>(x_n=T^n(x_0))_{n=0}^\infty</math>은 <math>x^*</math>로 수렴한다. (여기서 <math>T^n</math>은 <math>T</math>의 <math>n</math>번 [[함수의 합성|합성]]이다.) 그 오차의 한 [[상계와 하계|상계]]는 다음과 같다.<ref name="Palais">{{저널 인용
|성1=Palais
|이름1=Richard S.
|제목=A simple proof of the Banach contraction principle
|언어=en
|저널=Journal of Fixed Point Theory and Applications
|권=2
|쪽=221–223
|날짜=2007
|issn=1661-7738
|doi=10.1007/s11784-007-0041-6
}}</ref>
:<math>d(x_n,x^*)\le\frac{\alpha^n}{1-\alpha}d(x_1,x_0)</math>
{{증명|제목=증명1|부제=통상적인 증명}}
우선, 임의의 <math>n=0,1,2,\dots</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>
\begin{align}d(x_{n+1},x_n)
&=d(T(x_n),T(x_{n-1}))\\
&\le\alpha d(x_n,x_{n-1})\\
&\le\alpha^2d(x_{n-1},x_{n-2})\\
&\vdots\\
&\le\alpha^nd(x_1,x_0)
\end{align}
</math>
따라서, 임의의 <math>m\ge n\ge 0</math>에 대하여,
:<math>
\begin{align}d(x_m,x_n)
&\le\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\\
&\le\sum_{i=n}^{m-1}\alpha^id(x_1,x_0)\\
&\le\frac{\alpha^n}{1-\alpha}d(x_1,x_0)
\end{align}
</math>
이다. 즉, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>는 [[코시 열]]이며, 어떤 점 <math>x^*\in X</math>로 수렴한다. 그렇다면, <math>T</math>가 [[연속 함수]]이므로
:<math>T(x^*)=\lim_{n\to\infty}T(x_n)=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=x^*</math>
이며, <math>x^*</math>는 <math>T</math>의 고정점이다.

반대로, <math>x^{**}\in X</math>가 <math>T</math>의 고정점이라고 하자. 그렇다면,
:<math>d(x^*,x^{**})=d(T(x^*),T(x^{**}))\le Cd(x^*,x^{**})</math>
이므로
:<math>d(x^*,x^{**})=0</math>
이다. 즉, <math>x^*=x^{**}</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=증명2|부제=다른 증명|각주=<ref name="Palais" />}}
우선, 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여,
:<math>d(x,y)\le d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\le d(x,T(x))+\alpha d(x,y)+d(T(y),y)</math>
이므로
:<math>d(x,y)\le\frac 1{1-\alpha}(d(x,T(x))+d(T(y),y))</math>
이다. 특히, <math>x,y</math>가 모두 <math>T</math>의 고정점일 경우 <math>d(x,y)=0</math>이다.

이제, 임의의 <math>m,n\ge 0</math>에 대하여
:<math>
\begin{align}d(x_m,x_n)
&\le\frac 1{1-\alpha}(d(x_m,x_{m+1})+d(x_{n+1},x_n))\\
&\le\frac{\alpha^m+\alpha^n}{1-\alpha}d(x_0,x_1)
\end{align}
</math>
이다. 즉, <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>는 [[코시 열]]이며, 어떤 점 <math>x^*</math>으로 수렴한다. 그렇다면, <math>Tx^*=x^*</math>이며, 또한 다음이 성립한다.
:<math>d(x^*,x_n)=\lim_{m\to\infty}d(x_m,x_n)\le\lim_{m\to\infty}\frac{\alpha^m+\alpha^n}{1-\alpha}d(x_0,x_1)=\frac{\alpha^n}{1-\alpha}d(x_0,x_1)</math>
{{증명 끝}}

== 응용 ==
바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.
* [[피카르-린델뢰프 정리]]
* [[음함수 정리]]

== 역 ==
=== Bessaga (1959) ===
집합 <math>X</math> 및 함수 <math>T\colon X\to X</math> 및 <math>\alpha\in(0,1)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Bessaga">{{저널 인용
|성=Bessaga
|이름=Czesław
|제목=On the converse of Banach fixed-point principle
|언어=en
|저널=Colloquium Mathematicum
|권=7
|쪽=41–43
|날짜=1959
|issn=0010-1354
|doi=10.4064/cm-7-1-41-43
|mr=111015
}}</ref>
* 만약 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, <math>T^n</math>의 고정점이 많아야 하나라면, <math>T</math>가 <math>\alpha</math>에 대한 축약 사상이 되는, <math>X</math> 위의 [[거리 함수]] <math>d</math>가 존재한다.
* 만약 추가로 <math>T^n</math>이 고정점을 갖는 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다면, <math>T</math>가 <math>\alpha</math>에 대한 축약 사상이 되는, <math>X</math> 위의 [[완비 거리 공간|완비]] [[거리 함수]] <math>d</math>가 존재한다.

===  Hitzler; Seda (2001) ===
[[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]] <math>X</math> 위의 함수 <math>T\colon X\to X</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* 유일한 고정점 <math>x^*\in X</math>을 갖는다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, 점렬 <math>(T^n(x))_{n=0}^\infty</math>이 <math>x^*</math>로 수렴한다.
그렇다면, <math>T</math>가 1/2에 대한 축약 사상이 되는, <math>X</math> 위의 [[완비 거리 공간|완비]] [[초거리 함수]] <math>d</math>가 존재한다.<ref name="Hitzler">{{저널 인용
|성1=Hitzler
|이름1=Pascal
|성2=Seda
|이름2=Anthony Karel
|제목=A "Converse" of the Banach Contraction Mapping Theorem
|언어=en
|저널=Journal of Electrical Engineering
|권=52
|호=10
|쪽=3–6
|날짜=2001
|issn=1335-3632
}}</ref>

== 일반화 ==
다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

=== 축약 조건의 약화 ===
==== ''n''번 합성이 축약 사상인 경우 ====
[[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 함수 <math>T\colon X\to X</math>에 대하여, <math>T^n</math>이 축약 사상인 <math>n\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다고 하자. 그렇다면, <math>T</math>는 유일한 고정점을 갖는다.<ref name="Bryant">{{저널 인용
|성1=Bryant
|이름1=V. W.
|제목=A remark on a fixed point theorem for iterated mappings
|언어=en
|저널=American Mathematical Monthly
|권=75
|쪽=399–400
|날짜=1968
|issn=0002-9890
|doi=10.2307/2313440
}}</ref>
{{증명}}
존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, <math>T^n</math>은 유일한 고정점 <math>x^*\in X</math>을 갖는다.
:<math>T^n(T(x^*))=T(T^n(x^*))=T(x^*)</math>
이므로, <math>T(x^*)</math> 역시 <math>T^n</math>의 고정점이다. 따라서 <math>T(x^*)=x^*</math>이다.

유일성: <math>T</math>의 고정점은 <math>T^n</math>의 고정점이므로 <math>x^*</math>로 유일하다.
{{증명 끝}}

==== ''n''번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우 ====
[[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 함수 <math>T\colon X\to X</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 <math>(\alpha_n)_{n=1}^\infty\subset[0,\infty)</math>이 존재한다고 하자.
* 임의의 <math>n\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(T^n(x),T^n(y))\le\alpha_nd(x,y)</math>
* <math>\textstyle\sum_{n=1}^\infty\alpha_n<\infty</math>
그렇다면, <math>T</math>는 유일한 고정점을 갖는다.<ref name="Caccioppoli">{{저널 인용
|성=Caccioppoli
|이름=Renato
|제목=Un teorema generale sull'esistenza di elementi uniti in una trasformazione funzionale
|언어=it
|저널=Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche. Matematiche e Naturali. Serie 6
|권=11
|쪽=794–799
|날짜=1930
}}</ref>
{{증명}}
바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.
{{증명 끝}}

==== 콤팩트 공간에서의 약화 ====
축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 [[콤팩트 공간]] 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]]은 자동적으로 [[완비 거리 공간]]이다.)

구체적으로, [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 함수 <math>T\colon X\to X</math>가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\ne y</math>라면 <math>d(T(x),T(y))<d(x,y)</math>
그렇다면, <math>T</math>는 유일한 고정점을 갖는다.<ref name="Edelstein">{{저널 인용
|성1=Edelstein
|이름1=Michael
|제목=On Fixed and Periodic Points Under Contractive Mappings
|언어=en
|저널=Journal of the London Mathematical Society
|권=37
|쪽=74–79
|날짜=1962
|issn=0024-6107
|doi=10.1112/jlms/s1-37.1.74
|mr=133102
}}</ref>
{{증명}}
함수
:<math>x\mapsto d(x,T(x))</math>
가 [[연속 함수]]이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 <math>x^*\in X</math>에서 최솟값을 갖는다. 특히
:<math>d(T(x^*),T^2(x^*))\ge d(x^*,T(x^*))</math>
이며, 따라서 <math>x^*=T(x^*)</math>이다.
{{증명 끝}}

==== 준축약 사상 ====
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 '''준축약 사상'''({{llang|en|quasicontraction mapping}})은 다음 조건을 만족시키는 <math>\alpha\in[0,1)</math>이 존재하는 함수 <math>T\colon X\to X</math>이다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(T(x),T(y))\le\alpha\max\{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\}</math>
[[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 준축약 사상 <math>T\colon X\to X</math>은 유일한 고정점을 갖는다.<ref name="Ćirić">{{저널 인용
|성1=Ćirić
|이름1=Ljubomir B.
|제목=A generalization of Banach's contraction principle
|언어=en
|저널=Proceedings of the American Mathematical Society
|권=45
|쪽=267–273
|날짜=1974
|issn=0002-9939
|doi=10.1090/S0002-9939-1974-0356011-2
|mr=0356011
}}</ref>

==== 약축약 사상 ====
[[거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 '''약축약 사상'''({{llang|en|weak contraction mapping}})은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\phi\colon[0,\infty)\to[0,\infty)</math>가 존재하는 함수 <math>T\colon X\to X</math>이다.
* 임의의 <math>x,y\in X</math>에 대하여, <math>d(T(x),T(y))\le d(x,y)-\phi(d(x,y))</math>
* <math>\phi</math>는 [[연속 함수]]이며, [[증가 함수]]이다.
* <math>\phi^{-1}(0)=\{0\}</math>
[[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 위의 약축약 사상 <math>T\colon X\to X</math>은 유일한 고정점을 갖는다.<ref name="Rhoades">{{저널 인용
|성1=Rhoades
|이름1=B. E.
|제목=Some theorems on weakly contractive maps
|언어=en
|저널=Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications
|권=47
|호=4
|쪽=2683–2693
|날짜=2001
|issn=0362-546X
|doi=10.1016/S0362-546X(01)00388-1
}}</ref>

=== 거리 공간의 일반화 ===
[[유사 거리 공간]] 또는 직사각 거리 공간({{llang|en|rectangular metric space}}) 또는 뿔 거리 공간({{llang|en|cone metric space}}) 따위에서의 일반화가 존재한다.

== 예 ==
=== 비(非)완비 거리 공간에 대한 반례 ===
(표준적인 [[거리 공간]] 구조를 갖춘) 구간 <math>(0,1]\subset\mathbb R</math>은 [[완비 거리 공간]]이 아니다. 그 위의 함수
:<math>T\colon x\mapsto\frac 12x</math>
는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

=== 비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례 ===
(표준적인 [[거리 공간]] 구조를 갖춘) 실수 집합 <math>\mathbb R</math>은 [[완비 거리 공간]]이지만 [[콤팩트 공간]]이 아니다. 그 위의 함수
:<math>T\colon x\mapsto\frac\pi 2+x-\arctan x</math>
를 생각하자. 임의의 <math>x\ne y</math>에 대하여, [[평균값 정리]]에 따라
:<math>|T(x)-T(y)|=|x-y-\arctan x+\arctan y|=\frac{\xi^2}{1+\xi^2}|x-y|<|x-y|</math>
:<math>\xi\in(x,y)\cup(y,x)</math>
이다. 그러나 <math>T</math>는 고정점을 가지지 않는다.

=== 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간 ===
(표준적인 [[거리 공간]] 구조를 갖춘) 집합
:<math>A=\{0\}\cup\bigcup_{n=1}^\infty A_n\subset\mathbb R^2</math>
:<math>A_n=\{(t,t/n)\colon t\in(0,1]\}</math>
을 생각하자.<ref name="Suzuki">{{저널 인용
|성1=Suzuki
|이름1=Tomonari
|성2=Takahashi
|이름2=Wataru
|제목=Fixed point theorems and characterizations of metric completeness
|언어=en
|저널=Topological Methods in Nonlinear Analysis
|권=8
|호=2
|쪽=371–382
|날짜=1996
|issn=1230-3429
|doi=10.12775/TMNA.1996.040
}}</ref> 이는 <math>\mathbb R^2</math>의 [[닫힌집합]]이 아니므로 (<math>(0,1)\not\in A</math>) [[완비 거리 공간]]이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 [[연속 함수]] <math>T\colon A\to A</math>에 대하여, <math>T</math>의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 [[연속 함수]]이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 <math>T(0)=0</math>이라면, 0은 <math>T</math>의 고정점이다. 이제 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>T(0)\in A_n</math>이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.
:<math>U\colon A_n\cup\{0\}\to A_n\cup\{0\}</math>
:<math>U\colon x\mapsto
\begin{cases}
T(x)&T(x)\in A_n\\
0&T(x)\not\in A_n
\end{cases}
</math>
그렇다면, <math>U</math>는 [[연속 함수]]이다. <math>A_n\cup\{0\}</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[볼록 집합]]이므로, <math>U</math>는 고정점 <math>x^*\in A_n\cup\{0\}</math>을 가진다. 또한, <math>x^*\ne 0</math>이며 <math>T(x^*)=x^*</math>임을 보일 수 있다. (만약 <math>x^*=0</math>이라면,
:<math>U(0)=0\not\in A_n</math>
이므로 <math>T(0)\not\in A_n</math>이 되어 모순이다. 그렇다면,
:<math>U(x^*)=x^*\in A_n</math>
이므로, <math>T(x^*)\in A_n</math>이며, 따라서
:<math>T(x^*)=U(x^*)=x^*</math>
이다.)

== 역사 ==
[[스테판 바나흐]]가 1922년에 처음 서술하였다.<ref name="Banach">{{저널 인용
|성=Banach
|이름=Stefan
|저자링크=스테판 바나흐
|제목=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applications aux équations intégrales
|언어=fr
|저널=Fundamenta Mathematicae
|권=3
|쪽=133–181
|날짜=1922
|issn=0016-2736
}}</ref><ref name="Ciesielski">{{저널 인용
|url=http://www.emis.de/journals/BJMA/tex_v1_n1_a1.pdf
|형식=PDF
|성=Ciesielski
|이름=Krzysztof
|제목=On Stefan Banach and some of his results
|언어=en
|저널=Banach Journal of Mathematical Analysis
|권=1
|호=1
|쪽=1–10
|날짜=2007
|issn=1735-8787
|doi=10.15352/bjma/1240321550
}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[브라우어르 고정점 정리]]
* [[축약 사상]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Contracting-mapping principle}}
* {{매스월드|id=BanachFixedPointTheorem|제목=Banach fixed point theorem}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:고정점 정리]]