{{위키데이터 속성 추적}}
{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="280"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|정 쌍각뿔의 집합
|-
|align=center colspan=2|[[파일:Hexagonale bipiramide.png|200px|hexagonal bipyramid]]<br>(육각형 형태를 예시로 들었다)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|콕서터 다이어그램||{{CDD|node_f1|2x|node_f1|n|node}}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[슐레플리 기호]]||{ } + {''n''}
|-
|bgcolor=#e7dcc3|면||2''n'' [[삼각형]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|모서리||3''n''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|꼭짓점||2 + ''n''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[면 배치]]||V4.4.''n''
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[구면대칭군의 목록|대칭군]]||[[삼차원의 이면체 대칭|D<sub>''n''h</sub>]], [''n'',2], (*''n''22), 4''n''차
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[삼차원의 점군|회전군]]||D<sub>''n''</sub>, [''n'',2]<sup>+</sup>, (''n''22), 2''n''차
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[쌍대다면체]]||[[각기둥|''n''각기둥]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|특성||볼록, [[면추이]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|[[전개도]]||[[파일:Generalized bipyramid net.svg|150px|쌍''n''각뿔의 전개도, 여기서는 오각쌍뿔을 예로 들었다]]
|}
[[파일:bipiramide5.jpg|섬네일|[[빨대]]와 [[고무줄]]로 만든 쌍각뿔이다. 축의 빨대는 이것이 단순한 다면체로 존재하지 않기 때문에 추가했다]]
''n''각 '''쌍각뿔'''은 ''n''[[각뿔]]과 그 [[거울상]]을 밑면에서 밑면끼리 연결하여 생긴 [[다면체]]이다. 쌍''n''각뿔은 2''n''개의 [[삼각형]] 면과 3''n''개의 모서리, 그리고 2&nbsp;+&nbsp;''n''개의 꼭짓점을 가진다.

쌍각뿔의 이름에 쓰였던 ''n''각형은 외부의 면이 아니라 내부의 면이다. 두 각뿔 절반을 연결하는 주 대칭면에 존재한다.

==정-, 불규칙- 그리고 오목 쌍각뿔==
'''정 쌍각뿔'''의 두 꼭짓점은 그 밑면의 [[중심 (기하학)|중심]]의 위와 아래에 존재한다. 정 쌍각뿔이 아닌 쌍각뿔은 '''불규칙 쌍각뿔'''이라고 부른다. '''정 쌍각뿔'''은 [[정다각형]]의 내부의 면을 가지고 대부분 ''직 쌍각뿔''의 의미를 내포한다. 직 쌍각뿔은 내부의 다각형 P에 대해서 {{nowrap|{ } + P}}라고 나타낼 수 있고, 정 쌍''n''각뿔은 {{nowrap|{ } + {''n''}}}으로 나타낼 수 있다.

'''오목 쌍각뿔'''은 오목한 내부의 다각형을 가진다.
:[[파일:Concave quadrilateral bipyramid.png|160px]]

[[면추이]] 정 쌍각뿔은 [[각기둥|고른 각기둥]]의 [[쌍대다면체]]이고, 일반적으로 [[이등변삼각형]] 면을 가진다.

구나 [[지구의]]에 쌍각뿔은 [[지리적 극|극]]에서 극으로 가는 ''n''개의 등간격의 [[경도]]와 [[적도]]를 따라 [[이등분]] 하는 선으로 [[원근 투영|투영]]될 수 있다.

[[구면 삼각형]]으로 투영된 쌍각뿔 [[면 (기하학)|면]]들은 [[구면대칭군의 목록|이면체 대칭]] D<sub>''n''h</sub>의 기본 영역을 나타낸다.

==부피==
쌍각뿔의 [[부피]]는 ''V''&nbsp;={{sfrac|2|3}}''Bh''이며, ''B''는 밑면의 넓이이고 ''h''는 밑면에서 꼭대기 까지의 높이이다. 이 공식은 꼭대이의 위치에 관계없이, ''h''가 밑면을 포함하는 [[평면]]에 수직한 거리로 측정되었으면 성립한다.

따라서 밑면이 변의 길이가 ''s''인 정[[n각형|''n''각형]]으로 이루어졌고 높이가 ''h''인 쌍각뿔의 부피는 다음과 같다:
:<math>V = \frac{n}{6}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}</math>

==정삼각형 쌍각뿔==
세 종류의 쌍각뿔만이 모든 모서리의 길이가 같을 수 있다 (이것은 모든 면이 [[정삼각형]]이라는 것을 암시하며 따라서 쌍각뿔은 [[삼각형다면체]]이다): [[삼각쌍뿔|삼각]], [[정팔면체|사각]], 그리고 [[오각쌍뿔|오각]]쌍뿔이다. 모서리의 길이가 동일한 삼각이나 오각쌍뿔은 [[존슨의 다면체]](J<sub>12</sub>과 J<sub>13</sub>)로 계수되는 반면, 모서리의 길이가 동일한 사각쌍뿔, 또는 [[정팔면체]]는 [[플라톤의 다면체]]로 계수한다..
{| class=wikitable
|- align="center" valign="bottom"
|[[파일:Triangular dipyramid.png|100px]]
|[[파일:octahedron.svg|100px]]
|[[파일:Pentagonal dipyramid.png|100px]]
|- align="center" valign="top"
|[[삼각쌍뿔]]
|사각쌍뿔<br>([[정팔면체]])
|[[오각쌍뿔]]
|}

==Kalidescopic 대칭==
밑면이 정다각형이고 [[꼭대기 (기하학)|꼭대기]]들을 통과하는 선이 밑면의 중심을 통과할 때, ''n''각쌍뿔의 [[구면대칭군의 목록|대칭군]]은 4''n''차의 [[삼차원의 이면체 대칭|이면체 대칭]] D<sub>''n''h</sub>를 가진다. 예외적으로 정팔면체의 경우는 더 큰 48차의 [[정팔면체 대칭]]군 O<sub>h</sub>을 가지고 세 종류의 D<sub>4h</sub>을 부분군으로 가진다. [[삼차원의 점군|회전군]]은 2''n''차의 D<sub>''n''</sub>를 가지고, 정팔면체는 더 큰 24차의 대칭군 O를 가지며 세 종류의 D<sub>4</sub>를 부분군으로 가진다.

[[구면다면체|구면]] 2''n''각쌍뿔의 이각형 면은 [[삼차원의 이면체 대칭]]의 기본 영역을 나타낸다: D<sub>''n''h</sub>, [''n'',2], (*''n''22), 4''n''차. 반사 영역은 교대로 색칠된 삼각형을 거울상으로 볼 수 있다.

{| class="wikitable"
!D<sub>1h</sub>
!D<sub>2h</sub>
!D<sub>3h</sub>
!D<sub>4h</sub>
!D<sub>5h</sub>
!D<sub>6h</sub>
!...
|-
|[[파일:Spherical digonal bipyramid2.png|120px]]
|[[파일:Spherical square bipyramid2.png|120px]]
|[[파일:Spherical hexagonal bipyramid2.png|120px]]
|[[파일:Spherical octagonal bipyramid2.png|120px]]
|[[파일:Spherical decagonal bipyramid2.png|120px]]
|[[파일:Spherical dodecagonal bipyramid2.png|120px]]
|}

==직 정쌍각뿔==

{{쌍각뿔}}

==부등변 다면체==
'''부등변 다면체'''는 위상적으로 2''n''각쌍뿔과 같으나 동일한 [[부등변삼각형]]들로 이루어져있다.

두 종류가 존재하는데, 한 종류는 중심 주변의 2''n''개의 꼭짓점이 위아래로 교대된 고리를 이루고, 다른 종류는 꼭짓점 2''n''개는 같은 평면에 있지만 두 반지름이 교대되어있다.

첫 번째는 둘레에 있는 모서리의 중점의 2-fold 회전축과, 꼭짓점을 통한 대칭면, 그리고 그 축의 n-fold 회전대칭을 가지며, 대칭 D<sub>''n''d</sub>, [2<sup>+</sup>,2''n''], (2*''n''), 2''n''차를 나타낸다. [[결정학]]에서, 변이 8개와 12개가 있는 부등변다면체가 존재한다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/forms_zones_habit.htm|title=Crystal Form, Zones, Crystal Habit|website=Tulane.edu|accessdate=2017-09-16}}</ref> 이 모든 형태는 [[점추이]]이다.

두 번째는 대칭 D<sub>''n''</sub>, [2,''n''], (*''nn''2), 2''n''차를 가진다.

가장 작은 부등변다면체는 면이 8개이고 위상적으로 정팔면체와 동일하다. 두번째 종류는 ''마름모 쌍각뿔''이다. 첫번째 종류는 (0,0,±1), (±1,0,''z''), (0,±1,−''z'')으로 나타나는 꼭짓점 6개를 가진다. 여기서 ''z''는 0과 1사이의 변수이며, ''z''&nbsp;=&nbsp;0 일 때 정팔면체를 만들고, ''z''&nbsp;=&nbsp;1일 때는 동일한 면에 있는 면을 병합하면 [[맞붙인 쐐기꼴]]이 된다. ''z''&nbsp;>&nbsp;1일 때, 이것은 오목해진다.

{| class=wikitable
|+ 4-부등변 다면체의 기하학적 변형
!''z''&nbsp;=&nbsp;0.1
!''z''&nbsp;=&nbsp;0.25
!''z''&nbsp;=&nbsp;0.5
!''z''&nbsp;=&nbsp;0.95
!''z''&nbsp;=&nbsp;1.5
|-
|[[파일:4-scalenohedron-01.png|160px]]
|[[파일:4-scalenohedron-025.png|160px]]
|[[파일:4-scalenohedron-05.png|160px]]
|[[파일:4-scalenohedron-095.png|160px]]
|[[파일:4-scalenohedron-15.png|160px]]
|}

==별 쌍각뿔==
자기 교차하는 쌍각뿔은 [[별 다각형]]을 중심도형으로 가져서 존재하고, 각각의 다각형 변을 이 두 점으로 연결하는 삼각형 면으로 정의되었다. {p/q} 쌍각뿔은 [[콕서터 다이어그램]] {{CDD|node_f1|2x|node_f1|p|rat|q|node}}를 가진다.
{| class=wikitable
|- align=center
![[별 오각쌍뿔|5/2]]
!7/2
!7/3
!8/3
!9/2
!9/4
!10/3
!11/2
!11/3
!11/4
!11/5
!12/5
|- align=center valign=top
|[[파일:Pentagram Dipyramid.png|50px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|5|rat|2x|node}}
|[[파일:7-2 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|7|rat|2x|node}}
|[[파일:7-3 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|7|rat|3x|node}}
|[[파일:8-3 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|8|rat|3x|node}}
|[[파일:9-2 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|9|rat|2x|node}}
|[[파일:9-4 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|9|rat|4|node}}
|[[파일:10-3 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|10|rat|3x|node}}
|[[파일:11-2 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|11|rat|2x|node}}
|[[파일:11-3 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|11|rat|3x|node}}
|[[파일:11-4 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|11|rat|4|node}}
|[[파일:11-5 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|11|rat|5|node}}
|[[파일:12-5 dipyramid.png|60px]]<br>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|12|rat|5|node}}
|}

[[면추이]] 짝수 변의 별은 다음 {8/3} 형태와 같이 [[꼬인 정다각형|비평면 지그재그형]] 꼭짓점, 안팎 [[변추이]] 형태, 또는 둘 다로 만들어질 수 있다:
{| class=wikitable
!정다각형
!지그재그 정다각형
!변추이
!지그재그 변추이
|-
|[[파일:8-3 dipyramid.png|150px]]
|[[파일:8-3-bipyramid zigzag.png|150px]]
|[[파일:8-3-bipyramid-inout.png|150px]]
|[[파일:8-3-dipyramid zigzag inout.png|150px]]
|}


== 각주 ==
{{각주}}

==서지학==
* {{서적 인용| author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
*{{매스월드|urlname=Dipyramid |title=Dipyramid}}
* {{매스월드| urlname = Isohedron | title = Isohedron}}
*{{GlossaryForHyperspace |anchor=Bipyramid |title=Bipyramid}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
** [[VRML]] models [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/alphabetic-list.html (George Hart)] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/triangular_dipyramid.wrl <3>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/triangular_dipyramid.wrl |date=20210427014514 }} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/octahedron.wrl <4>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/octahedron.wrl |date=20201231095928 }} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/pentagonal_dipyramid.wrl <5>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/pentagonal_dipyramid.wrl |date=20200723151640 }} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/hexagonal_dipyramid.wrl <6>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/hexagonal_dipyramid.wrl |date=20210414131958 }} [https://web.archive.org/web/20150203062131/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/heptagonal_dipyramid.wrl <7>] [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/octagonal_dipyramid.wrl <8>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/octagonal_dipyramid.wrl |date=20200420092938 }} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/enneagonal_dipyramid.wrl <9>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/enneagonal_dipyramid.wrl |date=20200417002436 }} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/decagonal_dipyramid.wrl <10>] {{웨이백|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/decagonal_dipyramid.wrl |date=20210427040752 }}
*** [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html Conway Notation for Polyhedra] Try: "dP''n''", where ''n'' = 3, 4, 5, 6, ... example "dP4" is an octahedron.

{{다면체 탐색기}}

[[분류:다면체]]
[[분류:각뿔과 쌍각뿔]]