{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[이론물리학]]에서 '''S-이중성'''(S-二重性, {{lang|en|S-duality}})은 서로 다른 듯한 두 물리 이론이 [[결합 상수]]의 [[역수]]를 취하는 변환에 의하여 서로 동등한 현상이다. 즉, 결합 상수가 작은 한 이론은 결합 상수가 큰 다른 이론과 동등하게 된다. [[양자장론]]과 [[끈 이론]]에서 나타난다.

== 양자장론의 S-이중성 ==
양자장론에서는 여러 가지의 S-이중성을 찾을 수 있다. 이들은 대부분 일종의 [[초대칭]]을 가정하며, 궁극적으로 [[초끈 이론]]의 S-이중성에서 비롯된다.

=== 전기-자기 이중성 ===
S-이중성의 가장 기본적인 형태는 [[맥스웰 방정식]]의 '''전기-자기 이중성'''(電氣磁氣二重性, {{lang|en|electric–magnetic duality}})이다. 대전 입자를 포함하지 않는 [[맥스웰 방정식]]은 [[전기장]]과 [[자기장]]을 치환하여도 동등하다. 여기에 전기적으로 대전된 입자만 추가하면 전기-자기 이중성이 깨지지만, [[자기 홀극|자기적으로 대전된 입자]]도 추가하면 다시 전기-자기 이중성이 성립한다. 여기서 전기적으로만 대전된 입자는 전기 홀극, 자기적으로만 대전된 입자는 [[자기 홀극]], 전기와 자기 둘 다 대전된 입자를 '''[[다이온]]'''이라고 한다.

부호수가 <math>(p,4-p)</math>인 4차원 다양체 <math>M</math>를 생각하자. 그 가운데 호몰로지 <math>H^2(M)</math>에 다음과 같은 연산자 <math>N_\tau\colon H^2(M;\mathbb C)\to H^2(M;\mathbb C)</math>를 정의하자.
:<math>N_\tau=\operatorname{Re}\tau+s*\operatorname{Im}\tau</math>
여기서 <math>p\equiv0\pmod2</math>인 경우 <math>s=i</math>, 그렇지 않은 경우 <math>s=1</math>로 놓는다.
이 경우, <math>(s*)^2=-1</math>이므로, <math>N_\tau</math>의 역은
:<math>(N_\tau)^{-1}=N_{1/\tau}</math>
이다. 즉, 이러한 꼴의 연산자는 단순히 [[복소수]]로 생각할 수 있다.

U(1) 게이지 이론은 다음과 같이 기술할 수 있다. U(1) 접속의 곡률을 <math>F</math>라고 하자. 이는 선다발의 [[천 특성류]]와 같다.
:<math>c_1=[F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)</math>
게이지 이론의 [[작용 (물리학)|작용]]을 다음과 같이 적자.
:<math>S_\tau=\frac1{4\pi}\int_MF\wedge N_\tau F</math>
통상적으로, 그 성분들은
:<math>\tau=\theta/2\pi+4\pi i/g^2</math>
으로 적는다. 여기서
* <math>g</math>는 [[결합 상수]]
* <math>\theta</math>는 [[CP 위반]] 각
이다. 즉, 텐서 표기법으로 쓰면
:<math>S=\int_M\sqrt{|\det g|}\,\left(\frac1{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\right)</math>
이다. 이 작용은
:<math>F\mapsto F_D=\frac{\delta S}{\delta F}=N_\tau F</math>
:<math>\tau\mapsto-1/\tau</math>
에 대하여 불변이다. 이는 고전 전자기학의 전기-자기 이중성이다.

이 이론을 양자화하게 되면, 그 [[경로 적분]]은
:<math>Z=\int DA\,\exp(iS)</math>
이다. 이 경우, <math>[F/2\pi]\in H^2(M;\mathbb Z)</math>이므로,
:<math>S_{\tau+1}-S_\tau=(\theta/2)\int_M(F/2\pi)\wedge(F/2\pi)</math>
이다. 만약 <math>M</math>이 [[스핀 다양체]]라면, 2차 미분형식의 [[교차 형식]](intersection form)은 짝수이므로, 항상 <math>\int_M(F/2\pi)^2</math>는 짝수다. 따라서
:<math>S_{\tau+1}-S_\tau\in\mathbb Z</math>
이고, 이 경우 [[경로 적분]]에 등장하는 <math>\exp(iS)</math>는 불변이다. 즉, 양자역학적으로
:<math>\tau\mapsto\tau+1</math>
또한 대칭이다. 이들을 합성하면 [[모듈러 군]]
:<math>\tau\mapsto\frac{a\tau+b}{c\tau+d}</math> (<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)</math>
을 이루게 된다.  유클리드 [[계량 부호수]]의 경우, 이는 구체적으로 [[경로 적분]]을 계산해 확인할 수 있다. [[맥스웰 방정식]]을 만족시키는 장세기 <math>F</math>는
:<math>dF=d*F=0</math>
이므로 [[조화형식]](harmonic form)을 이루며, 이는 [[호지 이론]]에 따라 [[코호몰로지류]] <math>H^2(M;\mathbb R)</math>에 대응한다. 유클리드 계량 부호수에서는 2차 형식에 대한 [[호지 쌍대]]가 <math>*^2=1</math>이므로, 호지 쌍대의 [[고윳값]]에 따라 임의의 장세기를
:<math>F=2\pi(p_++p_-)</math>
:<math>*F=2\pi(p_++-p_-)</math>
:<math>p_\pm\in H^2_\pm(M;\mathbb Z)</math>
로 분해할 수 있다. 그렇다면
:<math>N_\tau F=2\pi(\tau p_++\bar\tau p_-)</math>
이다. 따라서 작용은
:<math>S=\pi\left(\tau\langle p_+, p_+\rangle-\bar\tau\langle p_-,p_-\rangle\right)</math>
가 된다. 따라서, 경로 적분은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|성=Witten|이름=Edward|저자링크=에드워드 위튼|날짜=1995-09|제목=
On ''S''-duality in Abelian gauge theory|arxiv=hep-th/9505186|bibcode=1995hep.th....5186W|doi=10.1007/BF01671570|저널=Selecta Mathematica|issn=1022-1824|권=1|호=2|쪽=383–410|zbl=0833.53024|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Erik|성=Verlinde|arxiv=hep-th/9506011|doi= 10.1016/0550-3213(95)00431-Q|bibcode=1995NuPhB.445..211V|title=Global aspects of electric-magnetic duality|저널=Nuclear Physics B|issn=0550-3213|권=455|호=1–2|쪽=211–225|날짜=1995-11-20|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9703136|날짜=1997-03|제목= Les Houches lectures on fields, strings and duality|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|저자링크=로베르튀스 데이크흐라프|bibcode=1997hep.th....3136D|언어=en}}</ref>{{rp|89–91}}
:<math>Z(\tau)\sim\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2}</math> (<math>q=\exp(2\pi i\tau)</math>)
이는 서로 다른 [[선다발]]들의 합만 고려한 것이다. 여기에 유한 에너지 모드들의 기여를 고려하면, 각 모드의 에너지는 <math>\operatorname{Im}\tau=1/g^2</math>에 비례하며, 경로 적분에는 (에너지 연산자의 행렬식의 제곱근이므로) 각 모드가 <math>\sqrt{\operatorname{Im}\tau}</math>를 기여한다. 이 인자는 [[경로 적분]]의 [[측도]]를 국소적으로 재정의해 없앨 수 있다. 그러나 게이지 고정을 할 경우 상수 게이지 변환은 진동 모드에 영향을 미치지 않으므로 <math>\operatorname{Im}\tau)^{-1/2}</math>를 곱해야 하고, 또한 <math>b_1</math> (1차 [[베티 수]]) 개의 영에너지 모드는 게이지 변환에 영향을 받지 않으므로 이들은 <math>(\operatorname{Im}\tau)^{b_1/2}</math>를 기여한다. 즉, 총 경로 적분은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Z(\tau)\sim(\operatorname{Im}\tau)^{(b_1-1)/2}\sum_{p_+\in H^2_+(M;\mathbb Z)}q^{p_+^2/2}\sum_{p_-\in H_-^2(M;\mathbb Z)}\bar q^{p_-^2/2}</math>
이는 [[세타 함수]]의 일종이며, 이는 무게가
:<math>\frac12(\chi-\sigma,\chi+\sigma)</math>
인 (비정칙) [[모듈러 형식]]이다. 여기서 <math>\chi</math>는 <math>M</math>의 [[오일러 지표]]이고, <math>\chi=b_2^+-b_2^-</math>는 교차 형식의 부호수이다. 무게가 0이 아닌 경우에는 고전적인 [[모듈러 군]] 대칭에 [[변칙 (물리학)|변칙]]이 생기는 것을 알 수 있다.

=== 몬토넨-올리브 이중성 ===
{{본문|1=𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론}}
4차원에서, [[𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론|<math>\mathcal N=4</math> 초대칭을 갖는 비가환 양-밀스 이론]]에서도 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 '''몬토넨-올리브 이중성'''({{lang|en|Montonen–Olive duality}})이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric/magnetic duality and its stringy origins
|이름=Michael J.|성=Duff|저자링크=마이클 제임스 더프|doi=10.1142/S0217751X96001899|arxiv=hep-th/9509106|bibcode=1996IJMPA..11.4031D|저널=International Journal of Modern Physics A|권=11|호=22|날짜=1996-09-10}}</ref><ref>{{저널 인용|
|제목=Exact electromagnetic Duality|이름=David Ian|성=Olive|doi=10.1016/0920-5632(95)00618-4
|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=45|호=1|날짜=1996-01|쪽=88–102|arxiv=hep-th/9508089|bibcode=1996NuPhS..45...88O}}
</ref><ref>{{저널 인용|
|제목=Exact electromagnetic Duality|이름=David Ian|성=Olive
|저널=Nuclear Physics B Proceedings Supplements|권=46|호=1–3|날짜=1996-03|쪽=1–15|doi=10.1016/0920-5632(96)00002-3|bibcode=1996NuPhS..46....1O}}</ref> 이는 클라우스 몬토넨({{llang|fi|Claus Montonen}})과 데이비드 이언 올리브({{lang|en|David Ian Olive}})가 1977년 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Magnetic monopoles as gauge particles?|이름=Claus|성=Montonen|공저자=David Olive|저널=Physics Letters B|권=72|호=1|날짜=1977-12-05|쪽=117–120|doi=10.1016/0370-2693(77)90076-4|bibcode=1977PhLB...72..117M}}</ref>

몬토넨-올리브 이중성은 ⅡB종 [[초끈 이론]]으로 설명할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric–magnetic duality and its stringy origins|이름=Michael J.|성=Duff|저자링크=마이클 제임스 더프
|arxiv=hep-th/9509106|bibcode=1996IJMPA..11.4031D|저널=International Journal of Modern Physics A|권=11|호=22|쪽=4031–4050|날짜=1996-09-10|doi=10.1142/S0217751X96001899}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Joseph|성=Polchinski|저자링크=조지프 폴친스키|제목=String Theory, Volume 2: Superstring theory and beyond|ISBN=978-0521633048|doi=10.2277/0521633044|출판사=Cambridge University Press|연도=1998|bibcode=2005stth.book.....P}}</ref>{{rp|186–187}} <math>\mathcal N=4</math> <math>U(N)</math> 양-밀스 이론은 <math>N</math>개의 겹친 [[D-막|D3-막]]들 위에 존재하는 [[유효 이론]]이다. D3-막에는 [[끈 (물리학)|기본 끈]](F-끈)과 [[D-막|D1-막]](D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 [[자기 홀극]]을 이룬다. ⅡB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

=== 자이베르그 이중성 ===
{{본문|자이베르그 이중성}}
4차원 <math>\mathcal N=1</math> [[초대칭]] [[양-밀스 이론]]에서도 '''[[자이베르그 이중성]]'''({{lang|en|Seiberg duality}})이라는 S-이중성이 존재한다.<ref>{{
웹 인용
|url=http://www.lepp.cornell.edu/~pt267/files/notes/Seibergology.pdf
|제목=Notes on Seibergology
|이름=Flip|성=Tanedo|날짜=2011
}}</ref> 이 경우, 서로 대응하는 두 이론은 일반적으로 똑같지 않지만, 낮은 에너지 눈금에서는 [[재규격화군]] 흐름에 의하여 서로 같아진다. 서로 대응하는 두 이론의 [[모듈러스 (물리학)|모듈러스 공간]]은 서로 동형이다. [[나탄 자이베르그]]가 1994년 발견하였다.<ref>{{저널 인용|
제목=Electric-Magnetic Duality in Supersymmetric Non-Abelian Gauge Theories
|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|저널=Nuclear Physics B|권=435|쪽=129–146|호=1–2|날짜=1995-02-06
|doi=10.1016/0550-3213(94)00023-8|arxiv=hep-th/9411149|bibcode=1995NuPhB.435..129S}}</ref>

보다 일반적으로, [[맛깔]] 대칭({{lang|en|flavour symmetry}})들을 게이지하면, '''이중성 폭포'''({{lang|en|duality cascade}})라는 일련의 관계들을 얻는다.<ref>{{서적 인용
|이름=Matthew J.|성=Strassler|arxiv=hep-th/0505153|bibcode=2005hep.th....5153S|연도=2003
|제목= Progress In String Theory: TASI 2003 Lecture Notes, Boulder, Colorado, USA, 2 – 27 June 2003|url=https://archive.org/details/progressstringth00mald|쪽=[https://archive.org/details/progressstringth00mald/page/n431 419]–510|isbn= 978-981-256-406-1|doi=      10.1142/9789812775108_0005
}}</ref>

=== 자이베르그-위튼 이론 ===
{{본문|자이베르그-위튼 이론}}
'''[[자이베르그-위튼 이론]]'''({{lang|en|Seiberg–Witten theory}})은 <math>\mathcal N=2</math> 4차원 [[초대칭 게이지 이론]]의 모듈러스 공간({{lang|en|moduli space}})을 다루는 이론이다. [[나탄 자이베르그]]와 [[에드워드 위튼]]이 1994년 발표하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in ''N''=2 supersymmetric Yang-Mills theory|이름=Nathan|성=Seiberg|저자링크=나탄 자이베르그|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|저널=Nuclear Physics B|권=426|호=1|날짜=1994-09-05|쪽=19–52|arxiv=hep-th/9407087|bibcode=1994hep.th....7087S|doi=10.1016/0550-3213(94)90124-4}}</ref> 이에 따라, 많은 경우 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간을 정확히 계산할 수 있고, 서로 다른 것처럼 보이는 이론들이 S-이중성에 따라 사실 같은 양자장론임을 알 수 있다.

=== 6차원 (2,0) 초등각 장론으로 인한 이중성 ===
{{본문|6차원 (2,0) 초등각 장론}}
[[6차원 (2,0) 초등각 장론]]을 각종 차원의 다양체에 [[콤팩트화]]하면, 여러 다양한 S-이중성을 얻는다. 특히, 이를 콤팩트 [[리만 곡면]]에 축소하면, 4차원 초대칭 게이지 이론의 이중성들의 여러 일반화를 얻는다.

== 끈 이론의 S-이중성 ==
[[파일:Dualität.svg|섬네일|500px|right|[[초끈 이론]]들 사이의 이중성]]
[[초끈 이론]]들도 S-이중성을 나타낸다.<ref>{{저널 인용|제목=String Theory Dualities|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9609051|이름=Michael|성=Dine|arxiv=hep-th/9609051|bibcode=1996hep.th....9051D|날짜=1996}}</ref> ⅡB종 초끈 이론은 스스로에게 대응한다. 즉, [[결합 상수]] <math>g</math>의 ⅡB종 초끈 이론은 결합 상수 <math>1/g</math>의 이론과 같다. [[Ⅰ종 초끈 이론]]은 SO(32) [[잡종 끈 이론]]과 대응한다. ⅡA종 초끈 이론과 E<sub>8</sub> 잡종 이론은 [[축소화]]한 [[M이론]]에 대응하게 된다.

따라서, 일반적으로 [[M이론]]의 이중성들의 군은 [[T-이중성]]과 S-이중성들로 생성된다. T-이중성과 S-이중성을 합성한 이중성을 '''[[U-이중성]]'''이라고 한다.<ref>{{저널 인용|제목=U-duality and M-Theory|이름=N.A.|성=Obers|공저자=Boris Pioline|arxiv=hep-th/9809039|bibcode=1999PhR...318..113O|doi= 10.1016/S0370-1573(99)00004-6
|저널=Physics Reports|권=318|호=4–5|쪽=113–225|날짜=1999-09}}</ref>

S-이중성 아래, 기본 [[끈 (물리학)|끈]](F-끈)은 [[D-막|D1-막]](D-끈)과 맞바뀌고, [[D-막|D5-막]]은 [[NS5-막]](F5-막)과 맞바뀐다.<ref>{{저널 인용|제목=Putting string duality to work|날짜=1997-12-15|이름=Clifford V.|성=Johnson|arxiv=hep-th/9802001|url=http://arxiv.org/html/hep-th/9802001v1/page4.html#Effects%20of}}</ref>

=== Ⅰ종/Spin(32) 잡종 이중성 ===
{| class="wikitable"
|-
! Ⅰ종 막 !! Spin(32) 잡종 막
|-
| [[끈 (물리학)|기본 끈]] || (없음)
|-
| [[D-막|D1-막]] || [[끈 (물리학)|기본 끈]]
|-
| [[D-막|D5-막]] || [[NS5-막|NS5]]
|-
| D0-막 (非BPS) || Spin(32) 스피너 상태 입자 (非BPS)
|}
[[Ⅰ종 끈 이론]]의 [[끈 (물리학)|기본 끈]]은 다른 끈 이론의 끈과 달리 BPS가 아니어서, 일반적으로 안정하지 않다 (즉, 끊어질 수 있다). 이는 [[Ⅰ종 끈 이론]]은 [[캘브-라몽 장]]을 포함하지 아니하므로, 끈이 보존되는 전하에 대하여 대전되어 있지 않기 때문이다. [[결합 상수]]가 작을 경우 끈이 끊어지는 속도가 느려 [[섭동 이론]]을 전개할 수 있지만, 그 S-이중 이론은 [[결합 상수]]가 큰 경우에 해당하므로 Ⅰ종 끈은 곧 붕괴해 버린다. 반면 Spin(32) 잡종 끈은 BPS이므로 안정하며, I종 이론에서 [[D-막|D1-막 (D-끈)]]으로 존재한다.

==== Spin(32)의 스피너 상태 ====
Spin(32) 잡종 끈 이론의 (기본 끈의) 스펙트럼에는 게이지 군 Spin(32)의 [[스피너]] 표현으로 변환하는 상태가 존재한다. 이는 질량을 가지며, BPS 상태가 아니지만, Spin(32) 게이지 전하의 보존으로 인하여 이러한 상태 가운데 가장 가벼운 것은 안정하다.

S-이중성에 따라서, [[Ⅰ종 끈 이론]]에도 이에 대응하는 안정한 상태가 존재한다. S-이중성의 성질에 의하여 이는 물론 [[Ⅰ종 기본 끈]]의 스펙트럼에 등장하지 않는다. ([[Ⅰ종 기본 끈]]의 스펙트럼의 모든 상태는 SO(32)의 텐서 표현을 따른다.) 다만, 초중력 근사에서, 이러한 상태는 [[호모토피 군]]
:<math>\pi_8(\operatorname{Spin}(32)) \cong \operatorname{Cyc}(2)</math>
로서 존재함을 알 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9810188|이름=Edward|성=Witten|제목=''D''-branes and K-theory|저자링크=에드워드 위튼|날짜=1998|doi=10.1088/1126-6708/1998/12/019|저널=Journal of High Energy Physics|권=9812|쪽=019|언어=en}}</ref> 즉, 9+1차원 시공간 속에서, 입자 주위의 9차원 공간의 등각 무한대인 8차원 초구 <math>\mathbb S^8</math>를 생각하자. 이 경우 호모토피 군의 존재로 인하여, 무한대에서 위와 같이 위상수학적으로 자명하지 않은 꼴을 취하는 게이지 장의 상태를 취할 수 있다. 이는 양-밀스 방정식의 해를 이루지 않으며, 이와 같은 꼴의 해의 최저 에너지 상태는 (만약 존재한다면) 고에너지 물리학(즉, 초끈 이론)에 의존한다.

[[Ⅰ종 끈 이론]]의 관점에서, 이는 BPS 조건을 따르지 않는 [[D0-막]]으로 여길 수 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9808141|제목=SO(32) spinors of Type Ⅰ and other solitons on brane–antibrane pair|날짜=1998|권=9809|doi=10.1088/1126-6708/1998/09/023|저널=Journal of High Energy Physics|쪽=023|저자링크=아쇼케 센|이름=Ashoke|성=Sen|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|doi=10.1088/1126-6708/1998/10/021|title=Type Ⅰ D-particle and its interactions|arxiv=hep-th/9809111|저널=Journal of High Energy Physics|권=9810|쪽=021|저자링크=아쇼케 센|이름=Ashoke|성=Sen|언어=en}}</ref> 이는 BPS가 아니지만, 게이지 전하의 보존으로 인하여 안정하다.

=== ⅡB 자기 이중성 ===
{| class="wikitable"
|-
! ⅡB종 막 !! ⅡB종 막
|-
| [[끈 (물리학)|기본 끈]] || [[D-막|D1-막]]
|-
| [[D-막|D3-막]] || [[D-막|D3-막]]
|-
| [[D-막|D5-막]] || [[NS5-막]]
|-
| [[D-막|D7-막]] || S7-막<ref name="Ortin">{{서적 인용|이름=Tomás|성=Ortín|제목=Gravity and Strings|연도=2004|url=https://archive.org/details/gravitystrings0000orti|doi=10.1017/CBO9780511616563|출판사=Cambridge University Press|isbn=9780521824750|언어=en}}</ref>{{rp|522}}
|-
| [[D-막|D9-막]] || S9-막<ref name="Ortin"/>{{rp|522}}
|}
ⅡB 이론은 스스로의 S-이중 이론이다. 또한, ⅡB 이론의 S-대칭은 <math>SL(2,\mathbb Z)</math>이다. 이에 따라 기본 끈((1,0)-끈)은 일반적으로 ''p''개의 기본 끈과 ''q''개의 D-끈으로 이루어진 '''(''p'',''q'')-끈'''에 대응되게 된다. 마찬가지로 (''p'',''q'') 5-막도 존재한다. D3-막은 S-이중성에 따라 변환하지 않는다.

7-막과 9-막의 변환은 더 복잡하다. [[D7-막]]은 여차원이 2이므로, [[초중력]]에서 그 해는 부족각(不足角, {{llang|en|deficit angle}})을 가지며, 액시온(0차 [[라몽-라몽 장]])과 [[딜라톤]]은 그 주위에서 [[모노드로미]]를 갖는다. 7-막들은 이 액시오딜라톤의 [[SL(2;ℤ)]] [[모노드로미]] 행렬로서 분류된다. 부족각의 존재 때문에, 충분히 많은 7-막을 사용하면 ⅡB 초끈 이론의, 양의 곡률을 갖는 다양체 위의 [[축소화]]를 정의할 수 있으며, 이 경우 7-막들은 [[F이론]]에 의하여 [[타원 곡선]] 올의 퇴화에 해당한다.

9-막의 경우, 이는 시공간을 채우는 막이므로, 올챙이({{llang|en|tadpole}}) [[파인먼 도표]]의 상쇄를 위하여 특정한 수의 D9-막과 [[오리엔티폴드]]를 가해야 하며, 이 경우 [[Ⅰ종 초끈 이론]]을 얻는다.

=== ⅡA / 잡종 이중성 ===
ⅡA종 끈 이론을 [[K3 곡면]] 위에 [[축소화]]하여 얻는, 6차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 초끈 이론은 [[잡종 끈 이론]]을 4차원 [[원환면]] 위에 축소화하여 얻는 6차원 <math>\mathcal N=(1,1)</math> 초끈 이론과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=K3 surfaces and string duality|이름=Paul S.|성=Aspinwall|arxiv=hep-th/9611137 | bibcode=1996hep.th...11137A|날짜=1996|언어=en}}</ref>{{rp|Proposition 1}} 이 경우, 끈 [[결합 상수]]가 서로 반비례하므로, 이는 S-이중성의 한 형태이다.

== ⅡB종 초중력의 S-이중성 ==
ⅡB종 초중력은 ⅡB종 초끈 이론의 저에너지 [[유효이론]]이다. ⅡB종 초끈 이론이 <math>SL(2,\mathbb Z)</math> S-이중성을 가지는 것처럼, ⅡB종 초중력도 [[2차원 실수 특수선형군|<math>SL(2,\mathbb R)</math>]] S-이중성을 가진다. (초중력을 [[초끈 이론]]으로 양자화하는 과정에서, 양자역학적 효과에 의하여 [[2차원 실수 특수선형군|<math>SL(2,\mathbb R)</math>]]가 <math>SL(2,\mathbb Z)</math>로 깨진다.)

ⅡB종 초중력의 보손 장들은 [[2차원 실수 특수선형군|<math>SL(2,\mathbb R)</math>]]에 대하여 다음과 같이 변환한다.
{| class="wikitable"
|-
! 장 !! 행렬 <math>M=\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}\in SL(2,\mathbb R)</math>에 대한 변환
|-
| [[캘브-라몽 장]] <math>B_2</math> 및 [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 2차 형식]] <math>C_2</math>  || <math>\binom{B_2}{C_2}\mapsto M\binom{B_2}{C_2}</math>
|-
| [[딜라톤]] <math>\Phi</math> 및 [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 0차 형식]] <math>C_0</math> || <math>\tau=C_0+i\exp(-\Phi)</math>, <math>\tau\mapsto(a\tau+b)/(c\tau+d)</math>
|-
| [[라몽-라몽 장|라몽-라몽 4차 형식]] <math>C_4</math> || 불변
|-
| [[중력장]] (아인슈타인 틀) <math>g^{\text{(E)}}_{\mu\nu}=\exp(-\Phi/2)g^{\text{(string)}}_{\mu\nu}</math> || 불변
|-
|}

== U-이중성 ==
{{본문|U-이중성}}
[[M이론]]에서는 [[T-이중성]]과 S-이중성에 의하여, 보다 더 큰 이산대칭군이 존재한다. 이를 '''[[U-이중성]]'''이라고 한다.

== 통계역학적 격자 모형의 S-이중성 ==
[[통계역학]]에서, 각종 [[격자 모형]]들도 S-이중성을 만족한다. 2차원 격자 모형의 S-이중성은 '''크라머르스-바니어 이중성'''({{lang|en|Kramers–Wannier duality}})이라고 하며,<ref>{{저널 인용|이름=J. B.|성=Kogut|날짜=1979|제목=An introduction to lattice gauge theory and spin systems|저널=Reviews of Modern Physics|권=51|쪽=659–713|bibcode=1979RvMP...51..659K|doi=10.1103/RevModPhys.51.659}}</ref> [[헨드릭 안토니 크라머르스]]와 그레고리 바니어({{llang|de|Gregory Hugh Wannier}})가 1941년 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=H. A.|성=Kramers|저자링크=헨드릭 안토니 크라머르스|공저자=G. H. Wannier |날짜=1941|제목=Statistics of the two-dimensional ferromagnet|저널=Physical Review|권=60|쪽=252–262|bibcode=1941PhRv...60..252K|doi=10.1103/PhysRev.60.252}}</ref> 2차원 이상의 차원에도 유사한 이중성들이 존재한다.

== 같이 보기 ==
* [[T-이중성]]
* [[거울 대칭]]
* [[AdS/CFT 대응성]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=S-duality}}
* {{nlab|id=duality in string theory|title=Duality in string theory}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:쌍대성이론]]
[[분류:격자 모형]]