{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''국소 콤팩트 공간'''(局所compact空間, {{llang|en|locally compact space}})은 국소적으로 [[콤팩트 공간|콤팩트]]한 구조를 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
임의의 위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, <math>X</math>를 '''국소 콤팩트 공간'''이라고 한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|182, §29}}
* <math>X</math>의 모든 점은 항상 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[근방]]을 갖는다.

[[하우스도르프 공간|하우스도르프 분리 공리]]를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* (1) 국소 콤팩트 공간이다.
* (2) <math>X</math>의 모든 점은 [[닫힌집합|닫힌]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[근방]]을 갖는다.
* (2’) <math>X</math>의 모든 점은 [[상대 콤팩트]] [[근방]]을 갖는다.
* (2’’) <math>X</math>의 모든 점은 [[상대 콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는다.
* (3) <math>X</math>의 모든 점은 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는다.
* (4) <math>X</math>의 모든 점은 [[닫힌집합|닫힌]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는다.
* (5) <math>X</math>는 어떤 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 [[열린집합]]과 [[위상동형]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|185, Corollary 29.4}}
* (5’) <math>X</math>의 [[알렉산드로프 콤팩트화]]가 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|183}}
그러나 [[하우스도르프 공간]]이 아닌 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.
:{| style="text-align: center"
| || || (2) ↔ (2’) ↔ (2’’)
|-
| || ↗ || || ↘
|-
| (5) ↔ (5’) → (4) || || || || (1)
|-
| || ↘ || || ↗
|-
| || || (3)
|}

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|182}}

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 [[베르 공간]]이며 ([[베르 범주 정리]]) 또한 [[티호노프 공간]]이다.
{{증명|부제=국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간}}
<math>X</math>가 국소 콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이며, <math>F\subseteq X</math>가 [[닫힌집합]]이며, <math>x\in X\setminus F</math>라고 하자. <math>x</math>의 [[상대 콤팩트]] [[근방]] <math>U</math>를 고르자. 그렇다면 <math>\operatorname{cl}U</math>는 [[콤팩트 집합]]이므로, [[티호노프 공간]]이다. 따라서 <math>x</math>와
:<math>F_0=(\operatorname{cl}U\setminus U)\cup(\operatorname{cl}U\cap F)</math>
를 분리하는 [[연속 함수]]
:<math>f_0\colon\operatorname{cl}U\to[0,1]</math>
:<math>f_0(x)=0</math>
:<math>f_0|_{F_0}=1</math>
가 존재한다. <math>\operatorname{cl}U</math>와 <math>X\setminus U</math>가 <math>X</math>의 유한 [[닫힌집합|닫힌]] [[덮개 (위상수학)|덮개]]를 이루며, 그 교집합은 <math>F_0</math>에 포함되므로, 함수
:<math>f\colon X\to[0,1]</math>
:<math>f|_{\operatorname{cl}U}=f_0</math>
:<math>f|_{X\setminus U}=1</math>
는 잘 정의되며, [[연속 함수]]이다. 또한 <math>f</math>는
:<math>f(x)=0</math>
:<math>f|_F=1</math>
을 만족한다.
{{증명 끝}}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
국소 콤팩트 공간 <math>X</math>와 위상 공간 <math>Y</math>가 주어졌다고 하자. 만약 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수|연속]] [[열린 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다면, <math>Y</math> 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 [[닫힌집합]]과 [[열린집합]]은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|185, Corollary 29.3}} 반대로, [[하우스도르프 공간]]의 국소 콤팩트 [[조밀 집합]]은 [[열린집합]]이다.<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|149, Theorem 3.3.9}}<ref name="Gompa">{{저널 인용
|이름1=Raghu R.
|성1=Gompa
|제목=What is "locally compact"?
|언어=en
|저널=Pi Mu Epsilon Journal
|권=9
|호=6
|쪽=390–392
|날짜=1992
|issn=0031-952X
|jstor=24340250
}}</ref>{{rp|392}} 즉, [[하우스도르프 공간]]의 국소 콤팩트 집합은 항상 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]의 [[교집합]]이다.
{{증명}}
[[하우스도르프 공간]] <math>X</math>의 부분집합 <math>D\subseteq X</math>가 [[국소 콤팩트 집합]]이자 조밀 집합이라고 하자. 임의의 <math>x\in D</math>에 대하여,
:<math>x\in U\subseteq D</math>
인 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U</math>를 찾으면 족하다.
:<math>x\in D\cap U\subseteq K\subseteq D</math>
인 <math>X</math>의 [[열린집합]] <math>U</math> 및 [[콤팩트 집합]] <math>K</math>를 고르자. <math>\operatorname{cl}D=X</math>이며, <math>K</math>가 <math>X</math>의 [[닫힌집합]]이므로,
:<math>x\in U=U\cap X=U\cap\operatorname{cl}D\subseteq\operatorname{cl}(U\cap D)\subseteq\operatorname{cl}K=K\subseteq D</math>
이다.
{{증명 끝}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들의 집합 <math>(X_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[곱공간]] <math>\textstyle\prod_{i\in I}X_i</math>은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
* 모든 <math>X_i</math>는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 [[콤팩트 공간]]이다.

=== 위상군 ===
<math>G</math>가 국소 콤팩트 하우스도르프 [[위상군]]이며, <math>H\subseteq G</math>가 그 [[부분군]]이라고 하자. 그렇다면, [[잉여류]] 공간 <math>G/H</math>는 국소 콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|186, Exercise 29.9}}

=== 위상 벡터 공간 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 및 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="RudinFunctionalAnalysis">{{서적 인용
|성1=Rudin
|이름1=Walter
|저자링크1=월터 루딘
|제목=Functional analysis
|언어=en
|판=2
|총서=International Series in Pure and Applied Mathematics
|출판사=McGraw-Hill
|위치=New York, NY
|날짜=1991
|isbn=
|mr=1157815
|zbl=0867.46001
}}</ref>{{rp|16–18, Theorems 1.21–23}}
* 국소 콤팩트 공간이다.
* [[국소 유계 공간]]이며, 모든 [[유계 집합|유계]] [[닫힌집합]]은 [[콤팩트 집합]]이다.
* 유한 차원 공간이다. 즉, [[벡터 공간]] <math>\mathbb K^n</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)과 [[동형]]이다.
* [[위상 벡터 공간]] <math>\mathbb K^n</math> (<math>n\in\mathbb N</math>)과 [[동형]]이다.

== 예 ==
(유한 차원) [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 [[가산 무한]] [[곱공간]] <math>\mathbb R^{\aleph_0}</math>는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.<ref name="Munkres"/>{{rp|182–183, Example 29.2}}

[[p진수|''p''진수선]] <math>\mathbb Q_p</math>은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 [[이산 공간]]은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 [[비이산 공간]]은 ([[하우스도르프 공간]]이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

[[유리수]] 공간 <math>\mathbb Q</math>는 [[하우스도르프 공간]]이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.<ref name="Munkres"/>{{rp|186, Exercise 3.1}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Locally compact space}}
* {{매스월드|id=LocallyCompact|title=Locally compact}}
* {{nlab|id=locally compact topological space|제목=Locally compact topological space}}
* {{nlab|id=locally compact locale|title=Locally compact locale}}

[[분류:위상 공간의 성질]]