{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''F<sub>4</sub>'''는 [[복소수]] 예외적 [[단순 리 군]] 가운데 두 번째로 작은 것이다.<ref>{{서적 인용|성=Adams|이름=John Frank|제목=Lectures on exceptional Lie groups|출판사=[[시카고 대학교|University of Chicago]] Press|기타=Chicago Lectures in Mathematics|isbn=978-0-226-00526-3|mr=1428422|날짜=1996-12|url=http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|언어=en|확인날짜=2013년 3월 17일|보존url=https://web.archive.org/web/20120908024218/http://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/L/bo3629778.html|보존날짜=2012년 9월 8일|url-status=dead}}</ref><ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref> 52차원이며, 네 개의 [[단순근]]을 지닌다. 세 개의 [[실수]] 형식을 지닌다.

== 정의 ==
F<sub>4</sub>는 여러 방법으로 정의할 수 있다. 하나는 예외적 [[요르단 대수]]를 사용하는 것이고, 다른 하나는 그 극대 부분군 Spin(9)를 사용하는 것이다.

=== 예외적 요르단 대수를 통한 정의 ===
F<sub>4</sub>의 실수 콤팩트 형식은 예외적 [[요르단 대수]] (3×3 [[팔원수]] 에르미트 행렬 <math>\mathcal H_3(\mathbb O)</math>)들의 대수의 [[자기동형사상군]]이다.<ref>{{저널 인용|이름=John|성=Baez|제목=The octonions|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=39|호=2|쪽=145–205|날짜=2002|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/|arxiv=math/0105155|bibcode=2001math......5155B|mr=1886087|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X}} 오류 정정 {{저널 인용|doi=10.1090/S0273-0979-05-01052-9|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|권=42|호=2|날짜=2005|쪽=213–213|제목=Errata for "The octonions"|이름=John|성=Baez}}</ref>{{rp|§4.2}}<ref name="Yokota"/>{{rp|§2.2}} 예외적 요르단 대수는 27차원이고, F<sub>4</sub>는 그 위에 [[군의 작용|작용]]하게 되므로 F<sub>4</sub>의 27차원 표현이 존재한다. 이 가운데 [[대각합]] 부분을 제외하면 26차원 표현을 얻는다. 이는 F<sub>4</sub>의 가장 작은 자명하지 않은 복소 표현이다.

구체적으로, <math>M\in\mathcal H_3(\mathbb O)</math>이 3×3 팔원수 에르미트 행렬이라고 하면, F<sub>4</sub>는
:<math>\operatorname{tr}(M),\operatorname{tr}(M^2),\operatorname{tr}(M^3)</math>
을 보존시키는 SO(27)의 부분군이다.

=== Spin(9)를 통한 정의 ===
F<sub>4</sub>는 [[스핀 군|Spin(9)]]를 극대 부분군으로 지닌다. 이 경우, F<sub>4</sub>의 [[딸림표현]] '''52'''는
:<math>\mathbf{52}\to\mathbf{36}\oplus\mathbf{16}</math>
으로 분해된다. 여기서 <math>\mathbf{36}</math>은 Spin(9)의 [[딸림표현]]이고, <math>\mathbf{16}</math>은 Spin(9)의 [[스피너]] 표현이다.

따라서, F<sub>4</sub>의 실수 콤팩트 [[리 대수]] <math>\mathfrak f_4</math>는 벡터 공간으로서
:<math>\mathfrak f_4=\mathfrak{so}(9)\oplus\Gamma(\mathbb R^9)</math>
이다. 여기서 <math>\Gamma(\mathbb R^9)</math>는 16차원 [[마요라나 스피너]] 벡터 공간이다. 이들은 다음과 같은 자연스러운 교환 관계를 가진다.
:<math>[J_{ij},J_{kl}]=\delta_{jk}J_{il}-\delta_{jl}J_{ik}-\delta_{ik}J_{jl}+\delta_{il}J_{jk}</math> (<math>\mathfrak{so}(9)</math> 리 괄호)
:<math>[J_{ij},Q_a] = \frac14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b</math> (<math>\mathfrak{so}(9)</math>의 스피너 작용)
여기서 <math>\gamma_i</math>는 9차원에서의 [[디랙 행렬]]들이다.

여기에 나머지 스피너 교환자
:<math>[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}</math>
를 추가하면, [[야코비 항등식]]이 만족됨을 알 수 있다.

이 정의가 성립하려면, Spin(9)의 실수 형식에서 [[마요라나 스피너]]가 존재해야 한다. 9차원에서 [[마요라나 스피너]]가 존재할 수 있는 부호수는 (9,0), (8,1), (5,4) 세 가지이며, 이들은 각각 단순 리 대수 C<sub>4(−36)</sub> (콤팩트), C<sub>4(−20)</sub>, C<sub>4(4)</sub> (분할)에 대응한다. 이 세 실수 형식을 사용하면, 각각 F<sub>4</sub>의 세 실수 형식 F<sub>4(−52)</sub> (콤팩트), F<sub>4(−20)</sub>, F<sub>4(4)</sub> (분할)을 얻는다.

=== 기타 정의 ===
이 밖에도, 8차원 [[초구]]를 사용한 구성 또한 알려져 있다.<ref>{{저널 인용|제목= A geometric construction of the exceptional Lie algebras F<sub>4</sub> and E<sub>8</sub>|이름=José|성=Figueroa-O’Farrill|doi=10.1007/s00220-008-0581-7|arxiv=0706.2829|bibcode=2008CMaPh.283..663F|저널=Communications in Mathematical Physics|권=283|호=3|쪽=663–674|언어=en|날짜=2008-11}}</ref>

=== 실수 형식 ===
F<sub>4</sub>는 세 개의 실수 형식(real form)을 갖는다. 이들은 다음과 같다<ref>{{저널 인용|제목=Satake diagrams, Iwasawa decompositions, and representations of the exceptional Lie group ''F''<sub>4</sub>(&minus;20) | doi=10.1063/1.526763 | 저널=Journal of Mathematical Physics|권=26|쪽=2485| 이름=Veena |성=Sharma |이름2= K. C. |성2=Tripathy|날짜=1985|언어=en}}</ref> ([[군의 중심|중심]]이 없는 형태).
{| class="wikitable"
|- 
! 기호 !! 다른 기호 !! 설명 !! [[기본군]] !! [[외부자기동형군]] !! 극대 콤팩트 리 부분군 !! [[사타케 도표]] !! [[보건 도표]]
|-
| F<sub>4(&minus;52)</sub> || || [[콤팩트 공간|콤팩트]] 형식 || [[자명군|1]] || [[자명군|1]] || F<sub>4(&minus;52)</sub> || <math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>|| <math>\circ-\circ\Rightarrow\circ-\circ</math>
|-
| F<sub>4(4)</sub> || FⅠ || 분할(split) 형식 || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || (USp(6) × SU(2))/(<math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>) || <math>\circ-\circ\Rightarrow\circ-\circ</math> || <math>\bullet-\circ\Rightarrow\circ-\circ</math>
|-
| F<sub>4(&minus;20)</sub> || FⅡ || || <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> || [[자명군|1]] || SO(9) || <math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\circ</math> || <math>\circ-\circ\Rightarrow\circ-\bullet</math>
|}

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
F<sub>4</sub>의 콤팩트 형식의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.
* [[스핀 군]] Spin(9).<ref name="Yokota"/>{{rp|§2.9}} 이는 F<sub>4</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\circ\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet</math>
* <math>(\operatorname{USp}(2)\times\operatorname{USp}(6))/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§2.11}} 이는 F<sub>4</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\circ-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\circ-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}\qquad\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>
* <math>(\operatorname{SU}(3)\times\operatorname{SU}(3))/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§2.12}} 이는 F<sub>4</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표기한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*:<math>\bullet-\circ\Rightarrow\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\circ\Rightarrow\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet\qquad\bullet-\bullet</math>

F<sub>4</sub>는 E<sub>6</sub>의 부분군이다.<ref name="Yokota"/>{{rp|§3.7}} 이는 E<sub>6</sub>의 딘킨 도표를 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 따라 접어서 얻는다.
:<math>\bullet-\bullet\langle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>

=== 위상수학적 성질 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] 형태의 F<sub>4</sub>의 21차 이하의 [[호모토피 군]]은 다음과 같다.<ref>{{저널 인용|제목=The homotopy groups of Lie groups of low rank|이름=Mamoru|성=Mimura|저널=Journal of Mathematics of Kyoto University|권=6|호=2|날짜=1967|쪽=131–176|doi=10.1215/kjm/1250524375|mr=206958|zbl=0171.44101|언어=en}}</ref>{{rp|132}}
:<math>\pi_3(F_4) \cong \pi_{15}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty) </math>
:<math>\pi_8(F_4) \cong \pi_9(F_4) \cong \pi_{14}(F_4) \cong \pi_{17}(F_4) \cong \pi_{19}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{11}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(\infty)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{16}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(2)\oplus\operatorname{Cyc}(2)</math>
:<math>\pi_{18}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(720)\oplus\operatorname{Cyc}(3)</math>
:<math>\pi_{21}(F_4) \cong \operatorname{Cyc}(3)\oplus\operatorname{Cyc}(3)</math>
여기서 <math>\operatorname{Cyc}(k)</math>는 <math>k</math>차 [[순환군]]이다. 21이하의 차수 가운데 위에 수록되어 있지 않은 경우, 해당 차수의 [[호모토피 군]]은 [[자명군]]이다.

<math>\mathfrak f_4</math>의 [[불변 다항식]]의 차수는 2, 6, 8, 12이다. 즉, 그 [[유리수]] 계수 코호몰로지 환은 3차 · 11차 · 15차 · 23차 생성원으로 생성되는 [[외대수]]이다.

=== 근계 ===
[[파일:F4 roots by 24-cell duals.svg|right|섬네일|F<sub>4</sub>의 4차원 [[근계]]를 2차원으로 사영한 모습. 긴 근은 적색, 짧은 근은 황색으로 나타내었다. 긴 근과 짧은 근은 각각 서로 쌍대인 두 개의 정24면체를 이룬다.]]

F<sub>4</sub>의 [[근계]]는 24개의 긴 근과 24개의 짧은 근, 도합 48개의 근으로 구성된다. 이들은 다음과 같다.
* (±1,±1,0,0) 꼴의 긴 근 24개 (좌표축 치환)
* (±1, 0, 0, 0) 꼴의 짧은 근 8개 (좌표축 치환)
* (±½, ±½, ±½, ±½) 꼴의 짧은 근 16개
4차원에서는 [[정이십사포체]]라는 [[정다포체]]가 존재하며, 이는 스스로와 쌍대이다. F<sub>4</sub>의 24개의 긴 근은 정이십사포체의 24개의 [[꼭짓점]]을 이루며, 24개의 짧은 근 역시 정이십사포체를 이룬다. 이 두 정이십사포체는 서로 쌍대이다.

F<sub>4</sub>는 4개의 [[단순근]]을 가지며, 단순근을 고르는 한 방법은 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&1&-1&0 \\
0&0&1&-1 \\
0&0&0&1 \\
1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\
\end{pmatrix}</math>
이에 따른 [[카르탕 행렬]]은 다음과 같다.
:<math>
\begin{pmatrix}
2&-1&0&0\\
-1&2&-2&0\\
0&-1&2&-1\\
0&0&-1&2
\end{pmatrix}
</math>

F<sub>4</sub>의 [[바일 군]]은 크기가 <math>2^7\times3^2=1152</math>인 [[가해군]]이며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Weyl}(F_4)\cong\operatorname O^+(4;\mathbb F_3)</math>
이는 4차원 정24면체의 [[대칭군 (기하학)|대칭군]]이다.

[[파일:Dynkin diagram F4.PNG|섬네일|right|F<sub>4</sub>의 [[딘킨 도표]]]]
F<sub>4</sub>의 [[딘킨 도표]]는 네 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 2번째와 3번째 사이의 변은 2겹이다.
:<math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>

F<sub>4</sub>는 [[E₆|E<sub>6</sub>]]의 부분군인데, 이는 E<sub>6</sub>의 [[딘킨 도표]]를 다음과 같은 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 따라 접어서 얻을 수 있다.
:<math>\begin{matrix}
\bullet-\bullet\langle\displaystyle{\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}\\
\Downarrow\\
\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet
\end{matrix}</math>

F<sub>4</sub>의 [[아핀 딘킨 도표]]는 다섯 개의 꼭짓점을 가진 선형이며, 짧은 근 쪽에 하나의 꼭짓점 <math>\scriptstyle\otimes</math>이 추가되었다.
:<math>{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>

=== 표현론 ===
F<sub>4</sub>의 [[기약 표현]]의 차원은 다음과 같다 {{OEIS|A121738}}.<ref name="Slansky">{{저널 인용|제목=Group theory for unified model building|이름=Richard|성=Slansky|저널=Physics Reports|doi=10.1016/0370-1573(81)90092-2|권=79|호=1|날짜=1981-12|쪽=1–128|bibcode=1981PhR....79....1S|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.126.1581&rep=rep1&type=pdf|언어=en}}</ref>{{rp|107, Table 44}}
:1, 26, 52, 273, 324, 1053 (두 개), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119, 160056 (두 개), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912&hellip;
이 가운데, 52차원 표현은 [[딸림표현]]이며, 26차원 표현은 27차원 예외적 [[요르단 대수]] 위의 작용에서, [[대각합]]을 제외한 것이다. [[기본 표현]]은 26, 52, 273, 1274차원 표현들이며, 이는 [[딘킨 도표]] <math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>에 다음과 같이 대응한다.
:<math>\underset{\mathbf{52}}\bullet-\underset{\mathbf{1274}}\bullet\Rightarrow\underset{\mathbf{273}}\bullet-\underset{\mathbf{26}}\bullet</math>

F<sub>4</sub>의 [[바일 군]]은 원소 <math>v\mapsto-v</math>를 포함하며, 따라서 모든 표현은 스스로의 켤레와 동형이다. (위 목록에서 1053, 160056 따위가 중복되는 것은 복소수 켤레와 상관없다.) F<sub>4</sub>는 [[사원수]] 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다.

=== 대수기하학적 성질 ===
[[슈발레 기저]]를 사용하여 정수 계수의 리 대수 <math>\mathfrak f_4(\mathbb Z)</math> 및 군 <math>F_4(\mathbb Z)</math>을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 [[가환환]] <math>R</math>에 대하여 [[대수군]]으로 정의할 수 있다.

특히, [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math>에 대한 계수의 [[슈발레 군]] <math>F_4(\mathbb F_q)</math>의 크기는 다음과 같다.
:<math>|F_4(\mathbb F_q)|=q^{24}(q^{12}-1)(q^8-1)(q^6-1)(q^2-1)</math>
이는 모든 유한체에 대하여 유한 [[단순군]]을 이룬다. 이 가운데 가장 작은 것들의 크기는 다음과 같다. {{OEIS|A008913}}
:<math>|F_4(\mathbb F_2)|\approx3.31\times10^{15}</math>
:<math>|F_4(\mathbb F_3)|\approx5.73\times10^{24}</math>
:<math>|F_4(\mathbb F_4)|\approx1.90\times10^{31}</math>

이 밖에도, F<sub>4</sub>는 [[체의 표수|표수]] 2의 체 위에서 추가 대칭을 갖는다. F<sub>4</sub> [[딘킨 도표]]
:<math>\bullet-\bullet\Rightarrow\bullet-\bullet</math>
는 2겹 변에 화살표가 붙어 있어 대칭이 없지만, 표수 2의 체 위에서는 화살표의 방향이 사라져
:<math>\bullet-\bullet=\bullet-\bullet</math>
가 되어, [[딘킨 도표]]가 추가 <math>\mathbb Z/2</math> 대칭을 갖기 때문이다. 특히 체의 크기가 <math>2^{2n+1}</math>의 꼴인 경우, 이 대칭을 체의 [[프로베니우스 자기 동형]]으로 뒤틀어 대수군 <math>{}^2F_4(\mathbb F_{2^{2n+1}})</math>을 정의할 수 있다. 이 군들은 발견자 [[이임학]]<ref name="Ree"/> 의 이름을 따 '''이임학 군'''(李林學群, {{llang|en|Ree group}})이라고 한다. 이 군들의 크기는 다음과 같다.
:<math>|{}^2F_4(\mathbb F_q)|= q^{12}(q^6+1)(q^4-1)(q^3+1)(q-1)\qquad(q=2^{2n+1})</math>
이들은 <math>q=2</math>인 경우를 제외하면 모두 [[유한 단순군]]을 이룬다. <math>q=2</math>일 경우 이는 단순군이 아니지만, 그 [[교환자 부분군]] <math>{}^2F_4(\mathbb F_2)'</math>은 [[부분군의 지표|지표]]가 2인 [[단순군|단순]] [[부분군]]을 이룬다. 이 [[단순군]]은 발견자 [[자크 티츠]]<ref name="Tits"/> 의 이름을 따 '''티츠 군'''(Tits群, {{llang|en|Tits group}})이라고 한다. 티츠 군의 크기는 다음과 같다.
:<math>|{}^2F_4(\mathbb F_2)'|=\frac12|{}^2F_4(\mathbb F_2)|=2^{11}\times3^3\times5^2\times13=17\,971\,200</math>

== 역사 ==
리 대수 <math>\mathfrak f_4</math>는 [[빌헬름 킬링]]이 복소수 [[단순 리 대수]]를 분류하면서 2번 독립적으로 발견하였다. 그러나 킬링은 이 두 리 대수가 서로 동형이라는 것을 알아차리지 못했다.<ref name="Agricola">{{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/200808/tx080800922p.pdf|저널=Notices of the American Mathematical Society|날짜=2008-09|이름=Ilka|성=Agricola|권=55|호=8|제목=Old and new on the exceptional group ''G''<sub>2</sub>|쪽=922–929|zbl=1194.22023|issn=0002-9920|언어=en}}</ref> 이후 [[엘리 카르탕]]이 1894년에 복소수 [[단순 리 군]]을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Élie|성=Cartan|저자링크=엘리 카르탕|제목=Sur la structure des groupes de transformations finis et continus|url=https://archive.org/details/surlastructured00bourgoog|출판사=Librairie Nony et C<sup>ie</sup>|날짜=1894|기타=[[파리 대학교]] 박사 학위 논문|jfm=25.0638.02|언어=fr}}</ref>

이후 [[클로드 슈발레]]가 1955년에 F<sub>4</sub>를 비롯한 다른 모든 [[단순 리 군]]을 [[유한체]] 위에서 정의할 수 있음을 보였다.<ref>{{저널 인용|성=Chevalley|이름=Claude|저자링크=클로드 슈발레|날짜=1955|제목=Sur certains groupes simples|저널=東北数学雑誌|권=7|호=1–2|쪽=14–66|doi=10.2748/tmj/1178245104|issn=0040-8735|mr=0073602|zbl=0066.01503|언어=fr}}</ref> [[체의 표수|표수]] 3의 체 위의 뒤틀린 F<sub>4</sub>는 [[이임학]]이 1961년에 발견하였다.<ref name="Ree">{{저널 인용 | 성=Ree | 이름=Rimhak | 저자링크=이임학 | title=A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F<sub>4</sub>) | doi=10.1090/S0002-9904-1961-10527-2  | mr=0125155 | 날짜=1961 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society | issn=0002-9904 | volume=67 | pages=115–116 | 언어=en}}</ref> 티츠 군은 [[자크 티츠]]가 1964년에 발견하였다.<ref name="Tits">{{저널 인용 | 성=Tits | 이름=Jacques | 저자링크=자크 티츠 | title=Algebraic and abstract simple groups | jstor=1970394 | mr=0164968 | 날짜=1964 | 저널=Annals of Mathematics (second series) | issn=0003-486X | volume=80 | pages=313–329 | doi=10.2307/1970394 | 언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[팔원수]]
* [[G₂|G<sub>2</sub>]]
* [[E₆|E<sub>6</sub>]]
* [[E₇|E<sub>7</sub>]]
* [[E₈|E<sub>8</sub>]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, exceptional}}
* {{eom|title=Simple finite group}}
* {{매스월드|id=ChevalleyGroups|title=Chevalley groups}}
* {{매스월드|id=TwistedChevalleyGroups|title=Twisted Chevalley groups}}
* {{매스월드|id=TitsGroup|title=Tits group}}
* {{nlab|id=F4}}
* {{수학노트|title=리대수 F4의 유한차원 표현론}}

[[분류:리 군]]
[[분류:대수군]]