{{위키데이터 속성 추적}}
[[가환대수학]]에서 '''정칙 국소환'''(正則局所環, {{llang|en|regular local ring}})은 [[극대 아이디얼]]의 최소 생성원 집합의 크기가 [[크룰 차원]]과 같은 [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]]이다.

== 정의 ==
[[가환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]] <math>(R,\mathfrak m,K)</math>에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 '''정칙 국소환'''이라고 한다. (여기서 <math>\mathfrak m</math>은 <math>R</math>의 유일한 [[극대 아이디얼]]이며, <math>K=R/\mathfrak m</math>은 그 [[잉여류체]]이다.)
* [[극대 아이디얼]]을 생성하는 [[매개계]]가 존재한다. 즉, [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>은 <math>\dim R</math>개의 원소들로 생성된다 (<math>\dim R</math>는 [[크룰 차원]]).
** [[크룰 높이 정리]]에 따라, 임의의 [[뇌터 환]]의 극대 아이디얼에 대하여, <math>\mathfrak m</math>은 최소한 <math>\dim R</math>개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
* <math>\dim_K\mathfrak m/\mathfrak m^2=\dim R</math>이다. 여기서 <math>\dim_K</math>는 <math>K</math>-[[벡터 공간]]의 차원이다.
** <math>\mathfrak m/\mathfrak m^2</math>는 <math>\operatorname{Spec}R</math>의 유일한 닫힌 점 <math>\mathfrak m</math>에서의 [[자리스키 공변접공간]]이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 [[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math> 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
* <math>R</math> 위의 모든 [[가군]]들의 [[사영 차원]]은 [[상계 (수학)|상계]]를 갖는다.
*:<math>\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} < \infty</math>
* <math>R</math> 위의 모든 [[가군]]들의 [[사영 차원]]은 <math>\dim R</math> 이하이다.
*:<math>\sup \{\operatorname{pd} M \colon M \in \operatorname{Mod}_R \} \le \dim R</math>

'''[[정칙 스킴]]'''은 모든 [[국소환]]이 정칙 국소환인 [[스킴 (수학)|스킴]]이다. '''정칙환'''(正則環, {{llang|en|regular ring}}) <math>R</math>는 [[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R</math>가 [[정칙 스킴]]인 [[가환환]]이다. 즉, 모든 [[소 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]가 정칙 국소환인 [[가환환]]이다.

== 성질 ==
[[체 (수학)|체]]를 포함하는 정칙 국소환 <math>R</math>는 스스로의 [[분수체]]에 대한 [[형식적 멱급수환]]이다. 즉,
:<math>R\cong\operatorname{Frac}(R)[[x_1,\dots,x_{\dim R}]]</math>
이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
정칙 국소환의 모든 [[국소화 (환론)|국소화]] 및 [[완비화 (환론)|완비화]] 역시 정칙국소환이다.

국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 [[필요 충분 조건]]은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다.

=== 함의 관계 ===
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

{| style="text-align: center"
| || || [[이산 값매김환]]
|-
| || || ∩
|-
| [[체 (수학)|체]] || ⊂  || 정칙 국소환 || ⊂ || [[고런스틴 국소환]] || ⊂ || [[코언-매콜리 국소환]] || ⊂ || [[뇌터 가환환|뇌터]] [[국소 가환환]]
|-
| || || ∩
|-
| || || [[유일 인수 분해 정역]]
|}

모든 정칙 국소환은 [[유일 인수 분해 정역]]이라는 사실은 '''오슬랜더-북스바움 정리'''({{llang|en|Auslander–Buchsbaum theorem}})라고 한다.<ref>{{저널 인용 | last=Auslander | first=Maurice | 이름2=David Alvin |성2=Buchsbaum|저자링크2=데이비드 북스바움 | title=Unique factorization in regular local rings | jstor=90213 | mr=0103906 | 날짜=1959 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | issn=0027-8424 | volume=45 | pages=733–734 | doi=10.1073/pnas.45.5.733}}</ref>

또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>R</math>는 [[체 (수학)|체]]이다.
* <math>\dim R=0</math>이다.
(체는 [[크룰 차원]]이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.)

정칙 국소환 <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
* <math>R</math>는 [[이산 값매김환]]이다.
* <math>\dim R=1</math>이다.

== 분류 ==
{{본문|완비 국소환}}
정칙 국소환은 [[국소화 (환론)|국소화]]를 가하여 [[완비 국소환]]으로 만들 수 있다. 이 가운데 [[뇌터 가환환]]인 것은 구조 정리가 알려져 있다.

== 예 ==
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대한 [[p진 정수]]환 <math>\mathbb Z_p</math>은 [[이산 값매김환]]이므로 정칙 국소환이다. 이는 [[체 (수학)|체]]를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다.

[[국소환]] <math>R</math>에 대한, <math>n</math>개의 변수에 대한 [[형식적 멱급수환]] <math>R[\![x_1,\dots,x_n]\!]</math>은 정칙 국소환이다. 특히, 체 <math>K</math>에 대한 [[형식적 멱급수환]] <math>K[\![x_1,\dots,x_n]\!]</math>은 <math>n</math>차원의 정칙 국소환이다.

=== 정칙 국소환이 아닌 국소환 ===
체 <math>K</math>에 대하여 [[국소 가환환]] <math>K[x]/(x^2)</math>를 생각하자. 그 [[크룰 차원]]은 0차원이지만, 그 [[극대 아이디얼]] <math>(x)</math>은 [[영 아이디얼]]이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.

[[호몰로지 대수학]]적으로, <math>K[x]/(x^2)</math>는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.
:<math> \dotsm \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{K[x]}{(x^2)} \to K \to 0</math>
따라서 그 [[가군]]의 [[사영 차원]]은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.

[[대수기하학]]적으로, <math>K[x]/(x^2)</math>는 [[아핀 직선]] <math>\mathbb A^1_K = \operatorname{Spec}K[x]</math> 속의 원점 <math>\operatorname{Spec} (K[x]/(x)) \hookrightarrow \operatorname{Spec}K[x]</math>의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실 

== 응용 ==
대수기하학에서, [[완전체]]에 대한 [[대수다양체]] <math>V</math>가 <math>x\in V</math>에서 [[비특이 대수다양체|비특이]]인 [[필요 충분 조건]]은 [[싹 (수학)|싹]]의 [[국소환]] <math>\mathcal O_{V,x}</math>가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 [[스킴 (수학)|스킴]]에 대하여 정의할 수 있다. '''[[정칙 스킴]]'''({{llang|en|regular scheme}})은 정칙환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]으로 덮을 수 있는 스킴이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 [[아핀 대수다양체]] <math>V\subset K^n</math> 속의 (닫힌) 점 <math>x\in V</math>에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>
* 국소환 <math>\mathcal O_{V,x}</math>가 정칙국소환이다.
* <math>V</math>가 다항식들 <math>f_1,\dots,f_m\in K[x_1,\dots,x_n]</math>의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, <math>x\in K^n</math>에서의 <math>m\times n</math> [[야코비 행렬]] <math>(\partial f_i/\partial x^j)|_x</math>의 [[계수 (선형대수학)|계수]]가 <math>n-\dim V</math>이다.
즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다.

== 역사 ==
정칙 국소환의 개념은 [[볼프강 크룰]]이 1937년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Krull|이름= Wolfgang |저자링크=볼프강 크룰|날짜=1937|제목=Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche Ⅲ. Zum Dimensionsbegriff der Idealtheorie | 저널= Mathematische Zeitschrift | 쪽=745–766|doi=10.1007/BF01160110|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Regular ring (in commutative algebra)}}
* {{매스월드|id=RegularLocalRing|title=Regular local ring}}
* {{매스월드|title=Regular ring|id=RegularRing}}
* {{nlab|id=regular local ring|title=Regular local ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]