{{위키데이터 속성 추적}}
{{두 다른 뜻|[[위상수학]]의 다양체(manifold)|[[대수기하학]]에서 다루는 대상(variety)|대수다양체|[[보편대수학]]에서 다루는, [[대수 구조]]들의 모임|대수 구조 다양체}}
[[파일:Circle with overlapping manifold charts.svg|섬네일|원은 모든 점에 대해서 국소적으로 직선과 같은 구조를 가지고 있다. 따라서, 원은 1차원 다양체이다.]]
{{다양체}}

[[위상수학]]과 [[기하학]]에서 '''다양체'''(多樣體, {{llang|en|manifold|매니폴드}})는 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 닮은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다.

== 정의 ==
음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>n</math>차원 '''국소 유클리드 공간'''(局所Euclid空間, {{llang|en|locally Euclidean space}}) <math>X</math>는 다음 성질을 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathbb R^n</math>과 [[위상동형]]인 [[근방]] <math>N\ni x</math>이 존재한다.

[[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 국소 유클리드 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며,<ref>{{서적 인용|성=Spivak|이름=M.|제목=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. I|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0910.0885|제목=Metrisability of manifolds|이름=David|성=Gauld|bibcode=2009arXiv0910.0885G|날짜=2009-10|언어=en}}</ref> 이를 만족시키는 하우스도르프 국소 유클리드 공간을 '''다양체'''라고 한다.
* <math>X</math>는 [[파라콤팩트 공간]]이다.
* <math>X</math>는 [[거리화 가능 공간]]이다.
* <math>X</math>의 각 [[연결 성분]]은 [[제2 가산 공간]]이다.
* <math>X</math>의 각 [[연결 성분]]은 [[시그마 콤팩트 공간]]이다.

== 성질 ==
만약 어떤 위상 공간 <math>X</math>가 <math>m</math>차원 다양체이자 <math>n</math>차원 다양체이며, <math>m\ne n</math>이라면 <math>X</math>는 [[공집합]]이다.

모든 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* [[국소 콤팩트 공간]]이다.
* [[제1 가산 공간]]이다.
* [[국소 연결 공간]]이다.

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다음 성질을 만족시킨다.
* [[티호노프 공간]]이다.

모든 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 다양체이다.

국소 유클리드 공간 <math>M</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Gauld">{{저널 인용|제목=Topological properties of manifolds|이름=D. B.|성=Gauld|저널=The American Mathematical Monthly|jstor=2319220|권=81|호=6|날짜=1974-06|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3}}
* <math>M</math>은 [[시그마 콤팩트 공간]]이다.
* <math>M</math>은 [[제2 가산 공간]]이다.
* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.

모든 [[제2 가산 공간|제2 가산]] 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.<ref name="Gauld"/>{{rp|Theorem 3}}
* [[분해 가능 공간]]이다.

모든 [[파라콤팩트 공간|파라콤팩트]] [[분해 가능 공간|분해 가능]] 국소 유클리드 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Gauld"/>{{rp|Theorem 8}}
* [[시그마 콤팩트 공간]]이다.
* [[린델뢰프 공간]]이다.
* [[제2 가산 공간]]이다.

== 낮은 차원의 다양체의 분류 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[이산 공간]]이다.
* <math>X</math>는 0차원 다양체이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>의 모든 [[연결 성분]]은 원 <math>S^1</math> 또는 실수선 <math>\mathbb R</math>와 [[위상동형]]이다.
* <math>X</math>는 1차원 다양체이다.

== 예 ==
다양체의 대표적인 예로는 다음을 들 수 있다.
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* [[초구]] <math>S^n</math>
* [[열린 공]] <math>B^n=\{v\in\mathbb R^n\colon|\|v\|<1\}</math>
* [[실수 사영 공간]] <math>\mathbb{RP}^n</math>
* [[이산 공간]]
* [[공집합]]

다양체가 아닌 국소 유클리드 공간으로는 다음을 들 수 있다.
* [[긴 직선]]({{llang|en|long line}})은 [[연결 공간|연결]] 하우스도르프 국소 유클리드 공간이지만, [[파라콤팩트 공간]]이 아니다.
* '''두 개의 원점을 갖는 직선'''({{llang|en|line with doubled origin}}): <math>\mathbb R\times\{0,1\}</math>에, 다음과 같은 [[동치 관계]]를 주자.{{mindent|<math>(r,0)\sim(r,1)\forall r\ne0</math>}}이에 대한 [[몫공간]]은 [[연결 공간|연결]] [[제2 가산]] 국소 유클리드 공간이지만, [[하우스도르프 공간]]이 아니다.

비가산 개의 [[연결 성분]]을 갖는 다양체는 (정의에 따라 [[파라콤팩트 공간]]이지만) [[제2 가산 공간]]이 아니다. 보다 일반적으로, 다양체에 대하여 [[제2 가산 공간]]인 것은 가산 개의 [[연결 성분]]을 갖는 것과 [[동치]]이다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=The notion of abstract manifold: a pedagogical approach|이름=Konstantinos|성=Kanakoglou|날짜=2012-04|arxiv=1204.2191|bibcode=2012arXiv1204.2191K|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Manifold}}
* {{eom|title=Topology of manifolds}}
* {{매스월드|id=Manifold|title=Manifold}}
* {{nlab|id=manifold|title=Manifold}}
* {{nlab|id=non-Hausdorff manifold|title=non-Hausdorff manifold}}
* {{웹 인용|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Main_Page|제목=Manifold Atlas|언어=en|확인날짜=2015-12-02|보존url=https://web.archive.org/web/20151215210253/http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Main_Page|보존날짜=2015-12-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_Euclidean_space|제목=Locally Euclidean space|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2015-12-02|보존url=https://web.archive.org/web/20151208173505/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_Euclidean_space|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Topological_Manifold|제목=Definition: topological manifold|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-12-02|보존url=https://web.archive.org/web/20151208120713/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Topological_Manifold|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Locally_Euclidean_Space|제목=Definition: locally Euclidean space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2015-12-02|보존url=https://web.archive.org/web/20151208151419/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Locally_Euclidean_Space|보존날짜=2015-12-08|url-status=dead}}

== 같이 보기 ==
* [[매끄러운 다양체]]
* [[조각적 선형 다양체]]
* [[리만 다양체]]
{{전거 통제}}

[[분류:다양체| ]]
[[분류:미분위상수학]]
[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:미분기하학]]