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|---|---|
since we are interested in the long - term behavior of this orbit , we may assume without loss of generality that @xmath4 and all the elements of its @xmath1-orbit are relatively prime to @xmath35 , and hence trace out an infinite path @xmath113 in @xmath303 . | この軌道の長期的振る舞いに興味があるので, @ xmath4 とその @ xmath1-軌道のすべての要素が @ xmath35 に相対的に素数であると一般性を失わずに仮定し,したがって @ xmath303 の無限経路 @ xmath113 を描写することができます. |
since the @xmath1-orbit of @xmath4 avoids @xmath297 , it follows that @xmath113 lies entirely in @xmath352 . | @xmath1の @xmath4の軌道が @xmath297を回避しているので, @xmath113は完全に @xmath352に属する. |
now , for any edge @xmath94 in @xmath352 that is not contained in any cycle , the path @xmath113 contains @xmath94 at most once . | @ xmath352の任意のエッジ @ xmath94がループに含まれていない場合, @ xmath113のパスには @ xmath94が最大1回含まれます. |
thus , some infinite tail of the path @xmath113 does not contain @xmath94 , and so there is a @xmath1-orbit of some positive integer whose corresponding path does not contain @xmath94 . | したがって, @ xmath113 の経路の無限尾には @ xmath94 が含まれていないので, 対応する経路に @ xmath94 が含まれていない正の整数の @ xmath1-orbit が存在する. |
we can thus assume without loss of generality that @xmath113 does not pass through @xmath94 . | 概要が失われずに @xmath113 が @xmath94 を通らないと仮定できます. |
using the same argument on each such edge @xmath94 , we can assume that @xmath113 lies on the subgraph @xmath353 formed by deleting these edges . | このようなエッジ @ xmath94 に同じ引数を使用すると,これらのエッジを削除して形成されたサブグラフ @ xmath353 に @ xmath113 が存在すると仮定できます. |
since @xmath113 is an infinite path , it must be contained in one of the loops of @xmath353 . | @ xmath113 は無限のパスなので @ xmath353 のループの 1 つに含まれている必要があります. |
thus @xmath113 is periodic . | だから @xmath113 は周期性だ |
its parity vector is also periodic , determined by the color of the edges on the loop , and so the @xmath1-orbit of @xmath4 is periodic , corresponding to a nontrivial cycle with period equal to the length of the loop . | その対位ベクトルも周期性で,ループの辺の色によって決定されるので, @ xmath1-orbit of @ xmath4 は周期性であり,周期がループの長さと同じような非微小な周期に対応します. |
but by our assumptions , the length of the loop is less than @xmath354 , and it is not the cycle @xmath24 . | ループの長さは @ xmath354 より小さいので @ xmath24 ではない |
but there are no such positive integer cycles ( see @xcite ) , and so we have a contradiction . | しかし,このような正の整数周期はありません (xciteを参照) だから矛盾があります. |
for strong sufficiency in the backward direction ,
the same argument can be applied to the graph formed by reversing the arrows in @xmath303 , and hence in @xmath352 . | 逆行方向の強い十分性については,同じ引数を @ xmath303 の矢印を逆行して形成されたグラフに適用し,したがって @ xmath352 にも適用できます. |
if we remove the bound @xmath354 on the length of the loops , the criterion shows that the set is forward and backward sufficient , but not necessarily cycle sufficient . | ループの長さに対する @ xmath354 を削除すると, 集合は前向きで後向きで十分だが,必ずしもサイクルで十分ではないことが判ります. |
using proposition [ strongsufficiency ] , we have obtained the list of strongly sufficient sets shown in table [ loopsvalues ] . | 定理 [ 強い十分性 ] を用いて,表 [ ループ値 ] に示された 強い十分性 集合のリストを得ました. |
rrrrrr + @xmath356 & @xmath357 & @xmath358 & @xmath359 & @xmath360 & @xmath361 + @xmath362 & @xmath363 & @xmath364 & @xmath365 & @xmath366 & @xmath367 + @xmath368 & @xmath369 & @xmath370 & @xmath371 & @xmath372 & @xmath373 + @xmath374 & @xmath375 & @xmath376 & @xmath377 & @xmath378 & @xmath379 + @xmath380 & @xmath381 & @xmath382 & @xmath383 & @xmath384 & @xmath385 + @xmath386 & @xmath387 & @xmath388 & @xmath389 & @xmath390 & @xmath391 + @xmath392 & @xmath393 & @xmath394 & @xmath395 & @xmath396 & @xmath397 + @xmath9 & @xmath398 & @xmath399 & @xmath400 & @xmath401 & @xmath402 + @xmath403 & @xmath404 & @xmath405 & @xmath406 & @xmath407 & @xmath408 + @xmath409 & @xmath410 & @xmath411 & @xmath412 & @xmath413 & @xmath414 + @xmath415 & @xmath416 & @xmath417 & @xmath418 & @xmath419 & @xmath420 + @xmath421 & @xmath422 & @xmath423 & @xmath424 & @xmath425 & @xmath426 + @xmath427 & @xmath428 & @xmath429 & @xmath430 & @xmath431 & @xmath432 + @xmath433 & @xmath434 & @xmath435 & @xmath436 & @xmath437 & @xmath438 + @xmath439 & @xmath440 & @xmath441 & @xmath442 & @xmath443 & @xmath444 + @xmath445 & @xmath446 & @xmath447 & @xmath448 & @xmath449 & @xmath450 + @xmath451 & @xmath452 & @xmath453 & @xmath454 & @xmath455 & @xmath456 + @xmath457 & @xmath458 & @xmath459 & @xmath460 & @xmath461 & @xmath462 + @xmath463 & @xmath464 & @xmath465 & @xmath466 & @xmath467 & @xmath468 + @xmath469 & @xmath470 & @xmath471 & @xmath472 & @xmath473 & @xmath474 + @xmath475 & @xmath476 & @xmath477 & @xmath478 & @xmath479 & @xmath480 + @xmath481 & @xmath482 & @xmath483 & @xmath484 & @xmath485 & @xmath486 + @xmath487 & @xmath488 & @xmath489 & @xmath490 & @xmath491 & @xmath492 + @xmath493 & @xmath494 & @xmath495 & @xmath496 & @xmath497 & @xmath498 + @xmath499 & @xmath500 & @xmath501 & @xmath502 & @xmath503 & @xmath504 + @xmath505 & @xmath506 & @xmath507 & @xmath508 & @xmath509 & @xmath510 + @xmath511 & @xmath512 & @xmath513 & @xmath514 & @xmath515 & @xmath516 + @xmath517 & @xmath518 & @xmath519 & @xmath520 & @xmath521 & @xmath522 + @xmath523 & @xmath524 & @xmath525 & @xmath526 & @xmath527 & @xmath528 + the sets in table [ loopsvalues ] are all strongly sufficient . | 投稿日: 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 投稿日: 投稿日: 2017年3月3日 (火) 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日 投稿日: 投稿日: 投稿日 投稿日 投稿日: 投稿日 投稿日 投稿 投稿日 投稿日 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 |
in this section , we use more powerful tools to obtain sets that are not necessarily strongly sufficient , but are strongly sufficient in the forward or backward direction or cycle sufficient . | このセクションでは 強力で十分な強度ではない セットを手に入れるのに より強力なツールを使いますが 強い強度で 十分な セットを 前方や後方方向に 十分に持つようにします |
we require some known results on the limiting percentage of odd numbers in a @xmath1-orbit . | @xmath1-orbitの奇数の割合を 制限する結果が必要になります |
in @xcite
, eliahou showed that if a @xmath1-cycle of positive integers of length @xmath12 contains @xmath66 odd positive integers ( and @xmath529 even positive integers ) , and has minimal element @xmath319 and maximal element @xmath349 , then @xmath530 in @xcite , lagarias showed a similar result for divergent orbits : the percentage of odd numbers in any divergent orbit is _ at least _ @xmath531 . | @xcite の eliahou が示したように,長さ @xmath12 の正整数の @xmath1-サイクルが @xmath66 の奇数正整数 (および @xmath529 の偶数正整数) を含み,最小要素 @xmath319 と最大要素 @xmath349 を有すると, @xcite の @xmath530 は,ラガリアス が示したように,異なる軌道に対して同様の結果が得られる: 異なる軌道における奇数の比率は少なくとも _ _ @xmath531 である. |
we also require a similar bound for infinite back tracing sequences . | 逆行列の無限にも 同じような境界が必要になります |
let @xmath4 be a positive integer relatively prime to @xmath35 and let @xmath532 be an infinite back tracing sequence in @xmath224 . | @xmath4は @xmath35の素数で, @xmath532は @xmath224の無限回帰数列であるとする. |
suppose further that the sequence is not periodic . | 連続が周期的でないと仮定します |
then by proposition [ noteventuallyperiodic ] , its back tracing parity vector is either irrational or has only finitely many @xmath2 s . | 逆行対位ベクトルは非合理的か,または @xmath2s の数も有限である. |
in the case
that the parity vector is irrational , note that every positive integer occurs at most a finite number of times in the sequence ( otherwise , the sequence must be a cycle containing that integer ) . | 偶数ベクトルが非合理である場合, 順序で全ての正の整数は限られた回しか発生しないことに注意してください (そうでなければ, 順序はその整数を含むサイクルでなければならない). |
in particular
, there is some @xmath533 such that for all @xmath534 , @xmath535 . | 特に,ある @xmath533 があります.つまり,すべての @xmath534 に, @xmath535 があります. |
now , consider the function @xmath145 defined by the composition of the first @xmath12 applications of @xmath34 or @xmath251 in this back tracing sequence . | では @ xmath145 関数を @ xmath34 または @ xmath251 の最初の @ xmath12 応用の構成で定義します |
then since @xmath536 for any positive integer @xmath20 , we have that @xmath537 where @xmath66 is the number of @xmath2 s among the first @xmath12 digits of the back tracing parity vector . | 負の整数 @ xmath20 に対して @ xmath536 から,私たちは @ xmath537 を得ます.ここで @ xmath66 は,逆行対数ベクトルの @ xmath2 の最初の @ xmath12 桁の数の数です. |
it follows that @xmath538 and therefore @xmath539 taking the natural log of both sides and solving for @xmath540 , we obtain @xmath541 in the case that the parity vector has only finitely many @xmath2 s , there is clearly an @xmath533 for which the same inequality holds for all @xmath534 . | 続いて @xmath538 とそのため @xmath539 の両辺の自然ログを取って @xmath540 を解くと, @xmath541 が得られます.対数ベクトルに @xmath2 s が有限である場合, @xmath533 が明らかに存在し,その不等式は @xmath534 すべてに当てはまります. |
thus , the percentage of odd numbers in any aperiodic infinite back tracing sequence is _ at most _ @xmath531 . | したがって,任意の無周期無限の逆行列における奇数の割合は _ @ xmath531 です. |
we summarize these results in the following proposition . | これらの結果を次の命題でまとめます. |
let @xmath542. | 計算の順番を書き換える |
[percentage ] * the percentage of odd numbers in any divergent orbit is at least @xmath543 . | [ パーセント ] * 離散軌道における奇数の割合は少なくとも @ xmath543 です. |
*
the percentage of odd numbers in any nontrivial cycle with minimal element @xmath319 and maximal element @xmath349 is bounded below by @xmath544 and above by @xmath545 . | * 最小要素 @xmath319 と最大要素 @xmath349 の任意の非微小なサイクルにおける奇数の割合は,下には @xmath544,上には @xmath545 で囲まれています. |
*
the percentage of odd numbers in any aperiodic infinite back - tracing sequence is at most @xmath543 . | * 連続した無周期的な数列の奇数の割合は,最大で @ xmath543 です. |
using this as a tool
, we obtain the following result . | これをツールとして使えば,次の結果が得られます. |
the arithmetic sequence @xmath546 is forward sufficient and cycle sufficient . | 算数列 @ xmath546 は前向きに足し,周期的に足ります. |
consider the graph @xmath547 , drawn in figure [ 27 ] . | 図27に示したグラフ @xmath547 を考えましょう. |
the action of @xmath43 and @xmath44 on the residues mod @xmath548 relatively prime to @xmath35 . ] | 余剰次数 mod @xmath548 に対する @xmath43 と @xmath44 の作用は @xmath35 に相対的に素数である ] |
now , suppose for contradiction that there is a nontrivial @xmath1-cycle or divergent @xmath1-orbit of positive integers which does not contain an integer congruent to @xmath549 mod @xmath548 . | 矛盾として,正の整数の @ xmath1-サイクルまたは @ xmath1-軌道に @ xmath549 mod @ xmath548 に一致する整数を含まない整数があると仮定します. |
consider the path @xmath113 on @xmath550 formed by taking this @xmath1-orbit mod @xmath548 , starting at the first element which is not divisible by @xmath35 . | @xmath550の @xmath113のパスを @xmath1-orbit mod @xmath548で @xmath35で割り切れない最初の要素から始めると考えます. |
consider the subgraph @xmath551 of @xmath547 formed by deleting the node @xmath549 and all its adjacent edges . | @ xmath547のサブグラフ @ xmath551をノード @ xmath549とその隣接するすべてのエッジを削除して形成します. |
since the path @xmath113 does not contain the node @xmath549 by assumption
, we see that @xmath113 lies entirely within @xmath551 . | @ xmath113のパスには @ xmath549のノードが含まれていないので, @ xmath113は完全に @ xmath551 の内部にあることがわかります. |
notice that in @xmath551 , the node @xmath552 has no arrows coming into it , so it can not occur more than once in the path @xmath113 . | @ xmath551 のノード @ xmath552 には矢印が入っていないので @ xmath113 のパスに 1 回以上出ないことに注意してください. |
similarly , the nodes @xmath279 , @xmath553 , @xmath554 , and @xmath555 can not occur more than once in @xmath113 . | 同様に @ xmath279, @ xmath553, @ xmath554, @ xmath555 のノードは @ xmath113 で 1 回以上出現することはできません. |
thus , some infinite tail @xmath556 of the path @xmath113 must lie in the subgraph @xmath557 shown in figure [ 27no20simplified ] . | したがって,パス @ xmath113 の無限尾 @ xmath556 は,図 [ 27no20simplified ] で示されたサブグラフ @ xmath557 にある必要があります. |
the graph @xmath557 . ] | グラフ @xmath557. ] |
note that by proposition [ percentage ] , any nontrivial cycle has @xmath558 and hence its percentage of odd elements is at least @xmath559 , and the percentage of odd elements in any divergent @xmath1-orbit is at least @xmath560 . | 任意の非微小な周期には @xmath558 があり,したがって奇数要素の比率は少なくとも @xmath559 で,また @xmath1-orbit の任意の分散の奇数要素の比率は少なくとも @xmath560 であることに注意してください. |
we show that the fraction of red arrows followed by any infinite path in @xmath557 is at most @xmath561 , hence obtaining a contradiction . | @xmath557 の任意の無限経路に続く赤色の矢印の分数は,最大で @xmath561 であることが示され,矛盾が得られます. |
we first note that any consecutive path of red arrows in @xmath557 has length at most @xmath45 . | まず @ xmath557 の赤い矢印の連続した経路は @ xmath45 以上の長さがあることに注意します |
moreover , any path of @xmath45 consecutive red arrows ( either from @xmath562 to @xmath45 to @xmath563 or from @xmath2 to @xmath45 to @xmath563 ) must be followed by at least @xmath45 consecutive black arrows ( from @xmath563 to @xmath564 to @xmath565 ) . | さらに, @xmath45 の連続した赤の矢印 (@xmath562 から @xmath45 から @xmath563 まで,または @xmath2 から @xmath45 から @xmath563 まで) のいずれかの経路には,少なくとも @xmath45 の連続した黒の矢印 (@xmath563 から @xmath564 から @xmath565 まで) が続く必要があります. |
it follows that the path @xmath556 has at most @xmath566 percent red arrows , as desired . | 求められたように @ xmath556 のパスには,最大で @ xmath566 パーセントの赤い矢印がある. |
the key observation in the proof above is that the graph @xmath557 essentially has too many black edges . | グラフ @ xmath557 は基本的に黒い辺が多すぎるということです |
we can use similar methods to obtain simple graph - theoretic criteria for strong sufficiency in the forward and backward directions and for cycle sufficiency . | 理論上の基準をグラフで示し, 進みと後退の方向における 強い十分性,および周期的十分性を得る方法も同様です. |
a _ simple cycle _ in a directed graph is a directed path @xmath567 of nodes for which @xmath568 if and only if @xmath569 . | 導図の _ 単純なサイクル _ は,導図の @xmath567 のノードが @xmath568 の場合,そして @xmath569 の場合のみ,導かれたパスである. |
[ pretzelcycles ] let @xmath351 , and let @xmath302 be @xmath17 distinct residues mod @xmath39 . | @xmath351と @xmath302を @xmath17と変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数として変数 |
let @xmath352 be the subgraph of @xmath303 formed by deleting the nodes labeled @xmath302 and all arrows connected to them , and let @xmath353 be the graph formed from @xmath352 by deleting any edge which is not contained in any cycle of @xmath352 . | @ xmath352 は @ xmath302 と呼ばれるノードとそれらに接続されたすべての矢印を削除して形成される @ xmath303 のサブグラフで, @ xmath353 は @ xmath352 のサイクルに含まれていないエッジを削除して @ xmath352 から形成されるグラフであるとする. |
* if the fraction of red arrows in every simple cycle of @xmath353 is less than @xmath570 , then @xmath297 is forward sufficient . | * @ xmath353の全ての単純なサイクルで赤の矢印の割合が @ xmath570より小さい場合, @ xmath297は前向きに十分です. |
*
if the fraction of red arrows in every simple cycle of @xmath353 is greater than @xmath570 , then @xmath571 is backward sufficient . | * @ xmath353の全ての単純なサイクルで赤の矢印の分数が @ xmath570より大きい場合, @ xmath571は逆行的に十分です. |
* if the fractions of red arrows in the simple cycles of each connected component @xmath572 of @xmath353 are either all greater than @xmath570 or all less than @xmath573 where @xmath574 , then @xmath571 is cycle sufficient . | * @xmath572の @xmath353の各接続元素の単純な周期における赤色の矢印の分数が @xmath570よりも大きいか @xmath573よりも小さいか,つまり @xmath574の場合は @xmath571が周期で十分である. |
let @xmath575 . | じゃあ,xmath575を やってみよう |
first , suppose the fraction of red arrows in every simple cycle of @xmath353 is less than @xmath543 . | まず, @ xmath353 の全ての単純なサイクルにおける赤い矢印の分数は @ xmath543 より小さいと仮定します. |
we show that every infinite path in @xmath353 must also have its limiting fraction of red arrows less than @xmath543 , showing that @xmath571 is forward sufficient . | @ xmath353 の無限経路の赤の矢印の限度分数も @ xmath543 よりも小さいことを示し, @ xmath571 が前向きで十分であることを示します. |
let @xmath113 be an infinite path @xmath576 of nodes in @xmath353 . | @ xmath113は @ xmath353のノードの無限パスを @ xmath576とする. |
since @xmath113 is infinite and @xmath353 has a finite number of nodes , some node must occur infinitely many times in @xmath113 . | @ xmath113 は無限で @ xmath353 のノード数は有限なので, @ xmath113 のノードには無限回ある必要があります. |
call this node @xmath577 . | このノードを @ xmath577 と呼びましょう. |
we show that the fraction of red arrows in the portion of @xmath113 between any two consecutive occurrences of @xmath577 is less than @xmath543 . | @xmath577 の2つの連続した出現の間にある @xmath113 の部分の赤い矢印の分数は @xmath543 より小さいことを示します. |
let @xmath578 be such a sub - path of @xmath113 , and call this sub - path @xmath579 . | @ xmath578 が @ xmath113 のサブパスで,このサブパスを @ xmath579 と呼びましょう. |
to show that the fraction of red arrows along the path @xmath579 must be less than @xmath543 , we induct on an invariant which we call the _ complexity _ of @xmath579 . | @ xmath579の経路に沿った赤い矢印の分数は @ xmath543より小さいことを示すために, @ xmath579の _ 複雑性 _ と呼ばれる不変数にインダクトします. |
define the _ complexity _ of @xmath579 to be the number of pairs of equal nodes in the sequence @xmath578 . | @ xmath579 の _ 複雑さを @ xmath578 の配列の等しいノードのペアの数として定義します. |
for instance , the complexity of the sequence @xmath580 is @xmath35 , and the complexity of the sequence @xmath581 is @xmath114 . | 例えば,シーケンス @ xmath580 の複雑さは @ xmath35,シーケンス @ xmath581 の複雑さは @ xmath114 です. |
for the base case , suppose @xmath579 has complexity @xmath2 . | 基本例では @ xmath579 が @ xmath2 の複雑性を有すると仮定します. |
then all of @xmath582 are distinct , and so @xmath579 is a simple cycle . | 単純に @ xmath579 は 単純なサイクルです |
by our hypothesis
, the fraction of red arrows in @xmath579 is less than @xmath543 . | @xmath579の赤い矢印の割合は @xmath543より小さい |
let @xmath583 , and assume for strong induction that if @xmath579 has complexity at most @xmath12 then the fraction of red arrows in the path @xmath579 is less than @xmath543
. | @xmath583を仮定し,強い誘導のために, @xmath579が複雑度が最大 @xmath12であるならば, @xmath579のパス内の赤い矢印の分数は @xmath543より小さいと仮定します. |
suppose @xmath579 has complexity @xmath584 . | @xmath579は @xmath584の複雑性を有すると仮定します. |
choose a node @xmath585 other than @xmath577 which occurs twice in @xmath579 . | @ xmath585 で2回現れる @ xmath577 の以外のノードを選択します. |
then we can write @xmath586 for some sequences of nodes @xmath587 , @xmath233 , and @xmath184 . | @ xmath587, @ xmath233, @ xmath184のノード数列に @ xmath586 を書き込むことができます. |
now , notice that the complexity of the sub - path @xmath588 of @xmath579 is strictly less than that of @xmath579 , since it does not contain the two copies of @xmath577 on each end . | @ xmath579 のサブパスの複雑さは @ xmath579 の複雑さより厳密に小さいことに注意してください.それは @ xmath577 の2つのコピーが各端に含まれていないからです. |
letting @xmath38 be the number of red arrows along this path and @xmath7 the total number of arrows , we have that @xmath589 by the induction hypothesis . | @ xmath38をこの経路に沿った赤い矢印の数と @ xmath7を矢印の総数とするなら, 誘導仮説によって @ xmath589が得られます. |
let @xmath590 be the cyclic path formed by deleting this cycle from @xmath579 to form the sequence of nodes @xmath591 . | @ xmath590 は @ xmath579 からこのサイクルを削除して @ xmath591 のノード列を形成したサイクルパスになります. |
then the complexity of @xmath590 is also less than that of @xmath579 , so if @xmath592 is the number of red arrows along @xmath590 and @xmath94 is the total number of arrows , we have that @xmath593 by the induction hypothesis . | @xmath590の複雑さは @xmath579の複雑さより小さいので, @xmath592が @xmath590に沿った赤い矢印の数で @xmath94が矢印の総数であるならば, 誘導仮説によって @xmath593 が得られます. |
finally , we have that @xmath594 is the fraction of red arrows in the entire path @xmath579 . | 最後に,私たちは @xmath594 が,全体のパス @xmath579 で赤い矢印の分数であることを知っています. |
it is well - known that this _ farey sum _ , also known as the _ mediant _ of the fractions @xmath595 and @xmath596 , must lie between @xmath595 and @xmath596 . | この _ farey sum _ は @ xmath595 と @ xmath596 の分数の _ 媒数 _ とも呼ばれ, @ xmath595 と @ xmath596 の間にあることがよく知られている. |
hence it must also be less than @xmath543 . | だから @ xmath543 より小さいに違いない |
this completes the induction , proving the first claim . | これは最初の主張を証明する 誘導を完了します |
the second claim is analogous . | 2つ目の主張は類似しています |
for the third claim ,
note that the @xmath0 conjecture has now been verified for the positive integers less than @xmath597 , so any nontrivial cycle must have its minimal element @xmath319 and maximal element @xmath349 both greater than @xmath597 . | 3番目の主張では, @ xmath0 推定が @ xmath597 よりも小さい正の整数に対して検証されていることに注意してください.したがって,任意の非微小な周期には最小要素 @ xmath319 と最大要素 @ xmath349 が @ xmath597 よりも大きい必要があります. |
furthermore , any infinite periodic path lying in @xmath353 must lie entirely in one of the connected components of @xmath353 . | さらに, @ xmath353 にある無限周期パスは, @ xmath353 の接続されたコンポーネントの 1 つに完全に存在する必要があります. |
assume that for all connected components @xmath572 of @xmath353 , the fractions of red arrows in the simple cycles of @xmath572 are either all greater than @xmath570 or all less than @xmath573 where @xmath574 . | @ xmath353 のすべての接続された構成要素 @ xmath572 に対して, @ xmath572 の単純なサイクルにおける赤い矢印の分数は @ xmath570 より大きいか @ xmath573 より小さいか,いずれかであると考えます.ここで @ xmath574 |
suppose to the contrary that there is an infinite periodic path @xmath113 in @xmath353 , and let @xmath572 be the connected component containing it . | 逆で, @ xmath113 に無限周期的な経路があると仮定し, @ xmath572 をその経路を含む接続元として考えます. |
if the simple cycles in @xmath572 have fractions of red arrows less than @xmath573 , then by the above argument , the fraction of red arrows in @xmath113 is also less than @xmath573 , contradicting proposition [ percentage ] . | @xmath572の単純なサイクルが @xmath573より小さい赤の矢印の分数を持っている場合,上記の引数では, @xmath113の赤の矢印の分数も @xmath573より小さいので,命題 [ パーセント ] に矛盾します. |
if instead the simple cycles in @xmath572 have fractions of red arrows greater than @xmath570 , then the fraction of red arrows in @xmath113 is also greater than @xmath598 , again contradicting proposition [ percentage ] . | 代わりに @ xmath572 の単純なサイクルが @ xmath570 よりも大きな赤の矢印の分数を持っている場合, @ xmath113 の赤の矢印の分数も @ xmath598 よりも大きいので,再び命題 [ パーセント ] に矛盾します. |
this completes the proof . | これが証拠を完成させる |
using proposition [ pretzelcycles ] ,
we have obtained , with the use of a computer , several examples of forward sufficient , backward sufficient , and cycle sufficient sets that do not appear in table [ loopsvalues ] . | 式 [ プレッツェルサイクル ] を使って,コンピュータを使って,表 [ ループ値 ] にない前向きに十分な,後向きに十分な,サイクルに十分な集合のいくつかの例を得ました. |
we list these results in tables [ blackvalues ] , [ redvalues ] , and [ bothvalues ] . | これらの結果は [ 黒値 ], [ 赤値 ], [ 両方 ] の表に記載されています. |
rrrrr + @xmath599 & @xmath600 & @xmath601 & @xmath602 & @xmath603 + @xmath604 & @xmath605 & @xmath606 & @xmath607 & @xmath608 + @xmath609 & @xmath610 & @xmath611 & @xmath612 & @xmath613 + @xmath614 & @xmath615 & @xmath616 & @xmath617 & @xmath618 + @xmath619 & @xmath620 & @xmath621 & @xmath622 & @xmath623 + @xmath624 & @xmath625 & @xmath626 & @xmath627 & @xmath628 + @xmath629 & @xmath630 & @xmath631 & @xmath632 & @xmath633 + @xmath634 & @xmath635 & @xmath636 & @xmath637 & @xmath638 + @xmath10 & @xmath639 & @xmath640 & @xmath641 & @xmath642 + @xmath643 & @xmath644 & @xmath645 & @xmath646 & @xmath647 + @xmath648 & @xmath649 & @xmath650 & @xmath651 & @xmath652 + @xmath653 & @xmath654 & @xmath655 & @xmath656 & @xmath657 + @xmath658 & @xmath659 & @xmath660 & @xmath661 & @xmath662 + @xmath663 & @xmath664 & @xmath665 & @xmath666 & @xmath667 + @xmath668 & @xmath669 & @xmath670 & @xmath671 & @xmath672 + @xmath673 & @xmath674 & @xmath675 & @xmath676 & @xmath677 + @xmath678 & @xmath679 & @xmath680 & @xmath681 & @xmath682 + @xmath683 & @xmath684 & @xmath685 & @xmath686 & @xmath687 + @xmath688 & @xmath689 & @xmath690 & @xmath691 & @xmath692 + @xmath693 & @xmath694 & @xmath695 & @xmath696 & @xmath697 + @xmath698 & @xmath699 & @xmath700 & @xmath701 & @xmath702 + @xmath703 & @xmath704 & @xmath705 & @xmath706 & @xmath707 + @xmath708 & @xmath709 & @xmath710 & @xmath711 & @xmath712 + @xmath713 & @xmath714 & @xmath715 & @xmath716 & @xmath717 + @xmath718 & @xmath719 & @xmath720 & @xmath721 & + @xmath722 & @xmath723 & @xmath724 & @xmath725 & + @xmath726 & @xmath727 & @xmath728 & @xmath729 & + rrrr + @xmath730 & @xmath731 & @xmath732 & @xmath733 + @xmath734 & @xmath735 & @xmath736 & @xmath737 + @xmath738 & @xmath739 & @xmath740 & @xmath741 + @xmath742 & @xmath743 & @xmath744 & @xmath745 + @xmath746 & @xmath747 & @xmath748 & @xmath749 + @xmath750 & @xmath751 & @xmath752 & + @xmath753 & @xmath754 & @xmath755 & + . | 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿日: 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 投稿 |
[bothvalues ] some cycle sufficient sets obtained using the third criterion in proposition [ pretzelcycles ] . | [ bothvalues ] 式[ pretzelcycles ] の第3の基準を用いて得られる, 周期的な十分な集合. |
[ cols="^",options="header " , ]
we now use properties of the @xmath45-adic dynamical system @xmath756 to provide a better understanding of the graphs @xmath48 . | @xmath45-adic動的システムの @xmath756の性質を使って @xmath48のグラフをよりよく理解します |
we will use these insights to find more strongly sufficient sets from the ones we have already found . | 発見した集合より 強い集合を見つけるために |
the graphs @xmath48 exhibit a surprising and beautiful self - duality . | 驚くほど美しい自己二元性を表しています |
let @xmath757 be any directed graph having each edge colored either red or black . | xmath757は,それぞれの辺が赤か黒かである任意の指向グラフになります. |