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thus the only infinite back tracing sequence from @xmath220 is @xmath221 . | 唯一無限の逆行列は @ xmath220 から @ xmath221 です |
for this reason , we primarily are concerned with the elements of the @xmath0 graph which are not divisible by @xmath35 , and we define a modified version of the inverse limits for the pruned @xmath0 graph @xmath36 , shown in figure [ fig : gpruned ] . | この理由から,私たちは主に @ xmath0 のグラフの @ xmath35 で割り切れない要素を扱っており,図 [ 図: gpruned ] で示されている @ xmath0 のグラフ @ xmath36 の逆極限の修正版を定義しています. |
a portion of the pruned @xmath0 graph @xmath36 near @xmath2 . ] | @xmath2の近くにある @xmath36の割った @xmath0グラフの一部です. ] |
let @xmath36 denote the restriction of the @xmath0 graph to the positive integers relatively prime to @xmath35 , and let @xmath4 be one such positive integer . | @xmath36は @xmath0グラフの @xmath35に相対的に素数である正の整数への制限を表し, @xmath4はそのような正の整数であるとする. |
let @xmath222 be the set of all positive integers @xmath20 in @xmath36 for which @xmath215 . | @xmath222は @xmath36の正の整数 @xmath20の集合で,その集合は @xmath215である. |
then we define @xmath223 notice that @xmath224 is strictly contained in @xmath219 for every @xmath4 . | @xmath223を定義すると @xmath224は @xmath219に @xmath4のすべてに含まれていることに注意します. |
we now investigate the structure of the inverse limit sets @xmath219 . | xmath219の逆極限集合の構造を 調べてみましょう |
to start , just as the ( forward ) parity vector of an integer determines its congruence class mod every power of @xmath45 , we can show that the parity of the values of an infinite back tracing sequence from @xmath4 having infinitely many @xmath2 s determines the congruence class of @xmath4 mod every power of @xmath35 , and hence determines the integer uniquely . | まず,整数の (前向き) 偶数ベクトルが @ xmath45 の全ての乗に対する一致性クラスの値決定するのと同じように,無限数の @ xmath2 を有する @ xmath4 から無限回帰の配列の値の偶数値が @ xmath4 の全ての乗に対する一致性クラスの値決定し,したがって整数を唯一決定することを示せます. |
let @xmath4 be a positive integer . | @ xmath4 を正の整数とする. |
a _ back tracing parity vector _ ( from @xmath4 ) is an infinite sequence of @xmath179 s and @xmath2 s that is congruent mod @xmath45 to some infinite back tracing sequence from @xmath4 . | a _ 逆行対数ベクトル _ (xmath4 から) は,xmath179s と @xmath2s の無限次数で,これは @xmath45 からある無限逆行列に同等である. |
since we can expand any @xmath225 to the parity vector @xmath226 and vice versa
, we can say that a finite back tracing parity vector is admissible for @xmath4 if and only if the corresponding element of @xmath227 is . | @ xmath225 を対数ベクトル @ xmath226 に拡張し,逆もできますので, @ xmath4 の対数ベクトルは, @ xmath227 の対応要素が |
an infinite back tracing parity vector is admissible for @xmath4 if and only if every initial finite subsequence is . | 初期有限子序列がすべて @ xmath4 の場合のみ,無限の逆行対数ベクトルが許容される. |
notice that for any @xmath35-adic integer @xmath4 , we can define @xmath34@xmath228 and for @xmath229 we can also define @xmath230 . | @xmath35-adic整数 @xmath4 に対して @xmath34@xmath228 と @xmath229 に対して @xmath230 を定義できます |
hence the notion of a back tracing parity vector can be naturally extended to the @xmath35-adic integers . | だから,逆行対数ベクトルの概念は @xmath35-adic整数にも自然に拡張できます. |
furthermore , for any positive integer @xmath17 a @xmath35-adic integer @xmath231 is congruent to a unique ordinary integer @xmath38 modulo @xmath232 , and thus a given back tracing vector is admissible for @xmath231 if and only if it is admissible for @xmath38 . | さらに,任意の正の整数 @xmath17 に対して, @xmath35-adic の整数 @xmath231 は, 単一の普通整数 @xmath38 modulo @xmath232 と一致し,したがって,与えられた逆行ベクトルは, @xmath231 に対して,そして, @xmath38 に対して許容される場合にのみ許容される. |
[ unique ] let @xmath4 be a @xmath35-adic integer , and suppose @xmath233 is a back tracing parity vector for @xmath4 containing infinitely many @xmath2 s . | [ 唯一 ] @ xmath4 を @ xmath35-adic整数とし, @ xmath233 を無限数の @ xmath2 を含む @ xmath4 の逆行式対数ベクトルとする. |
if @xmath233 is also a back tracing parity vector for the 3-adic integer @xmath20 , then @xmath234 . | @xmath233 が 3 根の整数 @xmath20 の逆行対数ベクトルでもあれば, @xmath234 が成り立つ. |
let @xmath235 be the smallest initial segment of the sequence @xmath233 containing @xmath17 @xmath2 s . | @xmath235は @xmath17 @xmath2 sを含む @xmath233の最小の初期セグメントとする. |
since @xmath235 is admissible for both @xmath4 and @xmath20 , and since there is a unique congruence class modulo @xmath232 for which @xmath235 is admissible , we must have @xmath236 . | @ xmath235 は @ xmath4 と @ xmath20 の両方に認められるので, @ xmath235 が認められるユニークな一致性クラスモジュール @ xmath232 が存在するので, @ xmath236 を持つ必要があります. |
since @xmath235 exists and is finite for every @xmath17 by assumption
, it follows that @xmath236 for every @xmath17 and thus @xmath234 . | @xmath235は存在し,仮定により @xmath17 に対して有限であるので, @xmath236 は @xmath17 に対して存在し,したがって @xmath234 である. |
since the positive integers embed naturally in the @xmath35-adics , we can easily deduce a similar result for the positive integers for our purposes . | 陽の整数は @ xmath35-adics に自然に埋め込まれているので, 陽の整数についても同様の結果を簡単に導き出せます |
let @xmath4 be a positive integer , and suppose @xmath233 is a back tracing parity vector for @xmath4 containing infinitely many @xmath2 s . | @ xmath4 を正の整数とし, @ xmath233 を無限数の @ xmath2 を含む @ xmath4 の逆行対数ベクトルとする. |
if @xmath233 is also a back tracing parity vector for the positive integer @xmath20 , then @xmath234 . | プラス整数 @ xmath20 の逆行対位ベクトル @ xmath233 である場合,その場合は @ xmath234 です. |
we now study properties of the back tracing vectors themselves . | 背面のベクトルの性質を研究する |
for the next result
, we consider a back tracing parity vector as the binary expansion of a @xmath45-adic integer . | 次の結果として, @ xmath45-adic整数の二進法展開として, 逆行対数ベクトルを考えます. |
[ noteventuallyperiodic ] every back tracing parity vector , considered as a @xmath45-adic integer , is either : * a positive integer ( i.e. | [ 周期性でない ] @xmath45-adic整数として考えられる全ての逆行対数ベクトルは, : * プラス整数 (すなわち |
, only a finite number of the digits are nonzero ) , * irrational , or * immediately periodic ( i.e. | ゼロ以外の数字は有限数だけ), * 不合理数,または * 周期性数 (すなわち |
, its binary expansion has the form @xmath237 where each @xmath238 ) . | ,その二進法展開は @xmath237 の形式で,それぞれ @xmath238 ) である. |
in particular ,
if the back tracing parity vector corresponds to an infinite back tracing sequence in @xmath239 , and it is not the trivial cycle @xmath240 , then it is either an integer or irrational . | 特に,逆行対数ベクトルが @ xmath239 の無限逆行配列に対応し,それは @ xmath240 の微小なサイクルではない場合,それは整数か不合理数である. |
let @xmath233 be a back tracing parity vector for @xmath4 . | @ xmath233 は @ xmath4 の逆行対位ベクトルとする. |
it is known that a @xmath45-adic is a rational number if and only if its binary expansion is eventually repeating ( or immediately repeating ) . | 既知の通り, @xmath45-adic は,その二進数展開が最終的に繰り返される (または直ぐに繰り返される) 場合にのみ,合理数である. |
thus , if the digits of @xmath233 are never periodic , then @xmath233 satisfies ( b ) . | したがって,もし @ xmath233 の桁が周期的でないならば, @ xmath233 は (b) を満たす. |
now ,
suppose @xmath233 is eventually repeating . | 繰り返されるでしょう. |
if its repeating part contains only @xmath179 s , it satisfies ( a ) . | その繰り返される部分に @ xmath179 s のみ含まれていると, (a) を満たす. |
so , suppose its repeating part contains at least one @xmath2 . | だから,その繰り返す部分には少なくとも 1 つの @ xmath2 が含まれていると仮定します. |
let @xmath241 , where one of @xmath242 is @xmath2 . | @ xmath241 とすると, @ xmath242 の1つが @ xmath2 である. |
since @xmath4 is a positive integer and @xmath233 is a back tracing parity vector for @xmath4 , each initial segment of @xmath233 must correspond to an admissible back tracing function for @xmath4 . | @ xmath4 は正の整数で @ xmath233 は @ xmath4 の逆行対位ベクトルであるため, @ xmath233 の各初期セグメントは @ xmath4 の許容される逆行関数に対応しなければならない. |
thus , the value @xmath243 is an integer , and @xmath244 is a valid back tracing parity vector for @xmath41 . | したがって,値 @ xmath243 は整数で, @ xmath244 は @ xmath41 の有効な逆行対位ベクトルである. |
now , let @xmath245 by a similar argument , @xmath246 is an integer and @xmath244 is a valid back tracing parity vector for @xmath246 . | @ xmath245 は整数で @ xmath244 は @ xmath246 の有効な逆行対数ベクトルであるとする |
by theorem [ unique ]
, it follows that @xmath247 . | 理論では @xmath247 が成り立つ. |
thus , we have @xmath248 which implies that @xmath249 . | 暗示する @ xmath249 があります. |
thus @xmath41 is a periodic point of @xmath1 . | したがって @xmath41 は @xmath1 の周期点です. |
but it is impossible to back trace from @xmath4 into a cycle of @xmath1 unless @xmath4 itself is in the cycle . | しかし @ xmath4 がそのサイクルに含まれていない限り @ xmath1 のサイクルに @ xmath4 から戻すことはできません. |
it follows that @xmath233 is in fact immediately periodic , as desired . | 望んだように @ xmath233 は実際に周期性である. |
notice that , to prove the nontrivial cycles conjecture , it suffices to show that the only periodic back tracing parity vector for any positive integer @xmath4 is the @xmath45-cycle @xmath250 . | 余剰周期推論を証明するには,正の整数 @ xmath4 に対して唯一周期的な逆行対位ベクトルが @ xmath45-サイクル @ xmath250 であることを示すだけで十分です. |
the integer back tracing vectors are relatively easy to understand ; they are formed by back tracing a finite number of steps , and then multiplying by @xmath45 indefinitely . | 整数逆行ベクトルは比較的分かりやすい. 定数のステップを逆行して,無限に @ xmath45 で掛けることで形成される. |
occasionally one is forced into doing so , for @xmath251 can only be applied to integers congruent to @xmath45 mod @xmath35 . | 時々,そうすることを余儀なくされる. @ xmath251 は @ xmath45 mod @ xmath35 に一致する整数のみに適用できるからです. |
if one first back traces to a multiple of @xmath35 , then multiplying by @xmath45 will still result in a multiple of @xmath35 , and one can never apply @xmath251 . | @ xmath35 の倍数に逆行すると @ xmath45 で掛けると @ xmath35 の倍数になるので @ xmath251 を適用することはできません. |
the irrational back tracing parity vectors are not so easy to understand . | 逆行対数ベクトルは 分かりにくいものです |
as with most irrational numbers , it is difficult to write one down explicitly . | 論理数とは違って 論理数を書くことが難しい |
however , we can bound the limiting fraction of @xmath2 s in the back tracing parity vectors as follows . | しかし,次のように逆行対位ベクトルで @ xmath2 s の制限分数をboundできます. |
let @xmath233 be a back tracing parity vector of some positive integer @xmath4 . | @xmath233は正の整数 @xmath4の逆行対位ベクトルとする. |
let @xmath17 be the number of 1 s among the first @xmath12 digits of @xmath233 and @xmath252 . | @xmath17 は @xmath233 と @xmath252 の最初の @xmath12 桁の間の 1 s の数とする. |
then @xmath253 let @xmath254 be the back tracing function corresponding to the first @xmath12 digits of @xmath233 . | 続いて @ xmath253 は @ xmath254 を @ xmath233 の最初の @ xmath12 桁に対応するバックトラッキング関数とする. |
then @xmath255 is a positive integer for all @xmath12 . | じゃあ @ xmath255 は @ xmath12 の正の整数になる |
thus there is a minimum value among the values of @xmath255 . | したがって @ xmath255 の値の間で最小値がある. |
let @xmath256 be the first occurrence of this minimal value . | この最小値の最初の出現は @ xmath256 になります. |
then for all @xmath257 , @xmath258 . | 計算の257番目と258番目 |
now , notice that @xmath259 for all @xmath20 . | @xmath259は @xmath20の全てに当てはまります |
therefore , if a function @xmath145 is formed by composing @xmath212 copies of @xmath251 and @xmath21 copies of @xmath34 , we have @xmath260 . | したがって, @ xmath145 の関数は @ xmath251 の @ xmath212 コピーと @ xmath34 の @ xmath21 コピーを組成することで形成されるので, @ xmath260 が得られます. |
let @xmath99 be the number of occurrences of @xmath2 among the first @xmath261 digits of @xmath233 , and let @xmath262 be the number of occurrences of @xmath2 among the next @xmath263 digits . | @ xmath99 は @ xmath2 が @ xmath233 の最初の @ xmath261 桁の間に出現する回数で, @ xmath262 は @ xmath2 が @ xmath263 の次の @ xmath263 桁の間に出現する回数で, |
then we have @xmath264 and so @xmath265 . | 計算の順番が変わります |
taking the natural log of both sides , we find that @xmath266 . | 両辺の自然ログを計算すると @xmath266 となります |
thus @xmath267 . | じゃあ,xmath267をやってみよう |
finally , we have @xmath268 . | 終に @ xmath268 ができました |
since @xmath99 and @xmath261 are constant , the right hand side of this inequality tends to @xmath269 as @xmath17 approaches infinity , and so the lim sup of the values of @xmath270 is bounded above by this limit . | @xmath99と@xmath261は定数なので, @xmath17が無限に近づくにつれて,この不等式の右辺は @xmath269に傾くので, @xmath270の値のリムサップは上記限界で上限される. |
while it is difficult to write down even one irrational infinite back tracing vector explicitly , there are several ways to obtain such vectors via a recursion . | 任意の不合理な無限回帰ベクトルさえ 書き出すのは難しいのですが 復元によってこのようなベクトルを得る方法はいくつかあります |
in particular , we can use a greedy algorithm that tries to keep the elements of the sequence as small as possible at each step , with the hopes of gaining insight into the structure of @xmath27 by partitioning it into a union of the following greedy sequences . | 順序の要素をできるだけ小さくしようとします @ xmath27の構造を次の順序の組合せに分割することで 洞察を得ることを期待します |
let @xmath4 be a positive integer . | @ xmath4 を正の整数とする. |
greedy back tracing sequence _ for @xmath4 , denoted @xmath271 , is the sequence of positive integers @xmath272 defined recursively by @xmath273 and for all @xmath274 @xmath275 we also write @xmath276 to denote @xmath271 taken mod @xmath45 , the back tracing parity vector of @xmath271 . | greedy backtracing sequence _ for @xmath4, denoted @xmath271, は @xmath273 によって再帰的に定義された正の整数の次数 @xmath272 で,すべての @xmath274 @xmath275 について @xmath276 を @xmath271 の mod @xmath45 で取り, @xmath271 の逆行対数ベクトルとして書き出す. |
it is easily verified that the recursion for @xmath271 can also be written as @xmath273 and for all @xmath274 @xmath277 we now show that for @xmath4 relatively prime to @xmath35 , the back tracing parity vector @xmath276 corresponding to @xmath271 has infinitely many @xmath2 s , and therefore that , for instance , @xmath278 is irrational . | @ xmath271 の再帰は @ xmath273 と書き換えられるので, @ xmath274 @ xmath277 のすべては @ xmath4 が @ xmath35 に相対的に素数であることを簡単に確認できます. @ xmath271 に対応する逆行対位ベクトル @ xmath276 は無限数の @ xmath2 s を有しており,したがって,例えば, @ xmath278 は非合理的であることを示します. |
[ 3zeros ] let @xmath4 be a positive integer relatively prime to @xmath35 . | [ 3ゼロ ] @ xmath4 は @ xmath35 に相対的に素数であるとする. |
then @xmath276 can have at most three @xmath179 s in a row at any point in the sequence . | 順序の任意の点で @ xmath276 は最多3つの @ xmath179 を連続して持つことができます. |
it suffices to show if @xmath20 is an odd positive integer relatively prime to @xmath35 , the greedy algorithm applies @xmath34 at most three times before applying a @xmath251 . | @xmath20が @xmath35に相対的に素数である奇数正整数である場合, greedy アルゴリズムが @xmath34 を @xmath251 を適用する前に最大3回適用するだけで十分です. |
suppose @xmath20 is an odd positive integer relatively prime to @xmath35 . | @xmath20は @xmath35の素数である奇数正整数であるとする. |
then it is congruent to one of @xmath2 , @xmath45 , @xmath196 , @xmath279 , @xmath116 , or @xmath114 mod @xmath46 . | @xmath2, @xmath45, @xmath196, @xmath279, @xmath116, または @xmath114 mod @xmath46 のいずれかに一致する. |
_ case 1 . | _ ケース1 |
_
suppose @xmath20 is congruent to @xmath45 or @xmath114 mod @xmath46
. | @ xmath20 が @ xmath45 または @ xmath114 mod @ xmath46 と一致すると仮定します. |
then the greedy algorithm applies @xmath251 , and we are done . | 貪欲なアルゴリズムが @ xmath251 を適用して 完了します |
_ suppose @xmath20 is congruent to @xmath2 or @xmath196 mod @xmath46 . | _ @xmath20 が @xmath2 または @xmath196 mod @xmath46 と一致すると仮定します. |
then the greedy algorithm determines that the next integer in the sequence is @xmath280 , which is congruent to @xmath45 or @xmath114 mod @xmath46 . | 列の次の整数は @ xmath280 で @ xmath45 または @ xmath114 mod @ xmath46 と一致します |
at this point , @xmath251 is applied , and we are done . | @ xmath251 が適用され 完了します |
_ case 3 . | ケース3 |
_
suppose @xmath20 is congruent to @xmath279 mod @xmath46
. | @ xmath20 が @ xmath279 mod @ xmath46 と一致すると仮定します. |
then the greedy algorithm applies @xmath34 to yield an integer congruent to @xmath2 mod @xmath46 . | 貪欲なアルゴリズムは @xmath34 を適用して @xmath2 mod @xmath46 に一致する整数が得られます |
then , @xmath34 is applied again to obtain an integer congruent to @xmath45 mod @xmath46 , and @xmath251 is applied . | 次に @ xmath34 を @ xmath45 mod @ xmath46 に一致する整数を得るため再度適用し, @ xmath251 を適用します. |
_ suppose @xmath20 is congruent to @xmath116 mod @xmath46
. | @ xmath20 が @ xmath116 mod @ xmath46 と一致すると仮定します. |
then the greedy algorithm applies @xmath34 to yield an integer congruent to @xmath279 mod @xmath46 , and by the above argument , two more @xmath34 s are used before applying @xmath251 . | 貪欲なアルゴリズムは @ xmath34 を適用して @ xmath279 mod @ xmath46 に一致する整数が得られ,上記の引数により @ xmath251 を適用する前に @ xmath34 の 2 つの値が使用されます. |
we immediately obtain the following fact about greedy vectors . | 貪欲なベクトルについて次の事実をすぐに得ることができます. |
let @xmath4 be a positive integer , let @xmath17 be the number of 1 s among the first @xmath12 digits of @xmath233 and @xmath252 . | @ xmath4 は正の整数で, @ xmath17 は @ xmath233 と @ xmath252 の最初の @ xmath12 桁の間の 1 s の数で, |
then @xmath281 if the @xmath12th term of @xmath276 is @xmath2 , then each @xmath2 in the first @xmath12 terms is preceded by no more than three @xmath179 s , by lemma [ 3zeros ] . | @xmath281 では @xmath276 の @xmath12 項が @xmath2 である場合,最初の @xmath12 項の @xmath2 は 3 項以上の @xmath179 s を先行して,レマ [ 3 ゼロ ] で表されます. |
it follows that @xmath282 in this case . | この場合は @xmath282 になります. |
otherwise , the @xmath12th term is @xmath179 , and the first @xmath12 terms end in a string of @xmath17 zeroes , where @xmath283 . | そうでなければ @ xmath12番目の項は @ xmath179で, 最初の @ xmath12項は @ xmath17のゼロの文字列で終わります. ここで @ xmath283です. |
the first @xmath284 terms , however , have the property that each @xmath2 is preceded by at most three @xmath179
s , so there are at least @xmath285 ones among the first @xmath12 terms . | しかし,最初の @ xmath284 項には @ xmath2 が最多 3 つの @ xmath179 s の前にあるという性質があるので,最初の @ xmath12 項には少なくとも @ xmath285 の 1 つがあります. |
as @xmath12 approaches infinity , the lower bound approaches @xmath286 , and so @xmath287 , as desired . | @ xmath12が無限に近づくと 下限は @ xmath286に近づき,そして @ xmath287も,望ましいように. |
this gives a lower bound on the limiting percentage of @xmath2 s in a greedy back tracing vector . | これは,貪欲な裏側追跡ベクトルの @xmath2s の制限パーセントの下限値になります. |
since we are greedily choosing to apply @xmath251 whenever possible , it would be of interest to determine whether the greedy algorithm does maximize the percentage of @xmath2 s in a back tracing parity vector starting from @xmath4 , and what that percentage is precisely . | 可能な限り @ xmath251 を適用することを貪欲に選択しているので, @ xmath4 から始まる逆行対位ベクトルにおける @ xmath2 s の割合を貪欲なアルゴリズムが最大化するか,その割合が正確に何であるかを見極めるのが興味深いでしょう. |
we leave this as an open problem for further study . | 問題を解くために オープンな問題を残します |
having studied infinite back tracing sequences in some depth , we return to the problem of finding arithmetic progressions in the @xmath0 graph
. | 逆行列の無限を 詳しく調べた後, @xmath0グラフで数学的進数を 探す問題に戻ります. |
we can obtain surprising information about infinite back tracing sequences when we look modulo certain integers . | 奇抜な情報を 得る事ができる 無限の 逆行列を 特定整数で調べる時 |