Տարբերական հաւասարումներ

Մաթեմաթիքայի մէջ տարբերական հաւասարումը հաւասարութիւն է, որը կը վերաբերի մէկ կամ քանի մը գործառնութիւններուն կամ կախարկութիւններուն եւ ատոնց ածանցեալներուն: Կիրառութիւններու մէջ գործառնութիւնները գլխաւորապէս կը ներկայացնեն ֆիզիքական մեծութիւններ, ածանցեալները կը ներկայացնեն փոփոխման արագութիւնը եւ տարբերական հաւասարումը կը սահմանէ երկուքին միջեւ յարաբերութիւնները։ Քանի որ այդպիսի յարաբերութիւնները չափազանց տարածուած են, այդ է պատճառը, որ տարբերական հաւասարումները կարեւոր դեր կը  խաղան բազմաթիւ բնագաւառներուն մէջ՝ ներառեալ ճարտարագիտութիւն, ֆիզիքա, տնտեսագիտութիւն եւ կենսաբանութիւն: Տարբերական հաւասարման կարգ կը կոչուի տուեալ հաւասարման մէջ մասնակցող ածանցեալներու ամենաբարձր կարգը:
Տարբերական հաւասարումներու ուսումնասիրութիւնը գլխաւորապէս բաղկացած է ատոնց լուծումներու ուսումնասիրութիւնէն (հաւասարմանը բաւարարող գործառնութիւններու բազմութիւնը), եւ ատոնց լուծումներու յատկութիւնները։ Միայն պարզագոյն բանաձեւերն են լուծելի որոշակի բանաձեւերով։ Այնուամենայնիւ տուած հաւասարման լուծումներու շատ յատկութիւններ կարող են որոշուիլ, առանց ատոնք ճշգրիտ հաշուարկելու։
Եթէ լուծումներու համար վերջնական արտայայտութեան ձեւը անիրականալի է, ապա լուծումները կարող են թուային դարձնել կամ մօտեցնել համակարգիչներու օգնութեամբ։ Տինամիք համակարգերու տեսութիւնը շեշտը կը դնէ տարբերական հաւասարումներով նկարագրուած համակարգերու որակական վերլուծութեան վրայ, մինչդեռ մշակուեր են բազմաթիւ թուային մեթոտներ՝ տուեալ ճշգրտութեամբ լուծումներ գտնելու համար:


== Պատմութիւն ==
Տարբերական հաւասարումները առաջին անգամ ի յայտ եկան Իսահակ Նիւթոնի եւ Լայպնից Գոթֆրիտ կողմէն հաշուարկներու կիրառման հետ։ Իր 1671 թուականին գրած «Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum» բաժնի 2-րդ գլխուն մէջ Իսահակ Նիւթոնը թուարկեր է երեք տիպի Տարբերական հաւասարումներ։

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                  
                    
                      d
                      y
                    
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                =
                f
                (
                x
                )
              
            
            
              
              
                
                  
                    
                      d
                      y
                    
                    
                      d
                      x
                    
                  
                
                =
                f
                (
                x
                ,
                y
                )
              
            
            
              
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      y
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                    
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      y
                    
                    
                      ∂
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                =
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}
  Այս բոլոր հաւասարումներուն մէջ, y-ը անյայտ գործառնութիւն է x-էն (կամ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
   եւ 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  -էն), իսկ f-ը տուած գործառնութիւն է։ 
Այս եւ այլ օրինակներ ան կը լուծէ օգտագործելով անվերջ շարքեր եւ քննարկում լուծումներու ոչ եզակիութիւնը։
1695 թուականին Պերնուլին առաջարկեց Պերնուլիի Տարբերական հաւասարումը։ Այն սովորական Տարբերական հաւասարում է՝

  
    
      
        
          y
          ′
        
        +
        P
        (
        x
        )
        y
        =
        Q
        (
        x
        )
        
          y
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}
  այն պարզեցնելով Լայպնիցը յաջորդ տարի գտաւ լուծումները։fՊատմականօրէն, երաժշտական գործիքի թրթռացող լարի խնդիրը ուսումնասիրուեր է Ժան Լը Ռոն Դ’Ալամբերի, Լեոնարդ Էյլերի, Դանիել Բեռնուլիի եւ Ժոզեֆ Լուի Լագրանժի կողմէն։ 1746 թուականին, Տ'Ալամպերը յայտնաբերեց միաչափ ալիքային հաւասարումը, եւ տաս տարի անց Էյլերը յայտնաբերեց եռաչափ ալիքային հաւասարումը։Էյլեր-Լակրանժի բանաձեւը մշակուեր է 1750-ականներին Էյլերի եւ Լակրանժի կողմէն, երբ անոնք կ'ուսումնասիրէին (Tautochrone) զուգամանակութեան խնդիրը։ Սա այն կորի որոշումն է, որ կշռուած մասնիկը, անկախ սկզբնակէտէն, հաստատուած ժամանակահատուածի մէջ, հաստատուած կէտի մէջ կ'իյնայ։ Լակրանժը այս խնդիրը լուծեր է 1755 թուականին եւ լուծումը ուղարկեր Էյլերին։ Անոնք երկուքով հետագային զարգացուցին Լակրանժի մեթոտը եւ այն կիրառեցին մեքանագիտութեան (mechanics) մէջ, ինչը առաջ բերաւ եւ հասցուց Լակրանժեան մեքանագիտութեան ձեւակերպմանը։ 
1822 թուականին, Ֆուրիէն հրապարակեց ջերմութեան հոսքի վերաբերեալ իր աշխատանքը Théorie analytique de la chaleur (Ջերմութեան վերլուծական տեսութիւն), որուն մէջ ան Նիւթոնի սառեցման օրէնքի իր հիմնաւորումը տուաւ, այն է, որ ջերմութեան հոսքը երկու յարակից մասնիկներու (molecules) միջեւ, համամասն է անոնց ջերմաստիճանի ծայրայեղ փոքր տարբերութեանը: Այս գիրքին մէջ ներառուած է ջերմութեան հաղորդիչ տարածումի (diffusion) համար Ֆուրիէի ջերմահաղորդակցութեան հաւասարման առաջադրանքը։ Այս մասնակի Տարբերական հաւասարումը այժմ կը դասաւանդուի մաթեմաթիքական ֆիզիքա ուսումնասիրող իւրաքանչիւր ուսանողի։


== Օրինակ ==
Դասական մեքանագիտութեան մէջ, մարմնի շարժումը կը նկարագրուի անոր դիրքով եւ ժամանակի ընթացքի մէջ անոր արագութեան փոփոխմամբ։ Նիւթոնի շարժման օրէնքները թոյլ կու տան այս փոփոխականները տինամիք արտայայտել (տուած դիրքը, արագութիւն, արագացում եւ մարմնի վրայ ազդող տարբեր ուժեր) Տարբերական հաւասարում, որը մարմնի անյայտ դիրքը կը ներկայացնէ որպէս ժամանակի գործառնութիւն։
Որոշ դէպքերուն, այս  տարբերական հաւասարումը (շարժման հաւասարում) կարող է բացայայտ լուծում ունենալ։
Իրական աշխարհի խնդրի կաղապարման մէջ տարբերական հաւասարման օգտագործման օրինակը՝ կը ներկայացնէ օդի մէջ գնդակի անկման աարագութեան որոշումը, հաշուի առնելով միայն ծանրութիւնը եւ օդի դիմադրութիւնը: Գնդակի ծանրութեան ուժի արագացումը դէպի երկիր այդ ձգողականութեան ուժի արագացումն է հանած օդի դիմադրութեան ուժը։ Ձգողականութիւնը կը համարուի հաստատուն, իսկ օդի դիմադրութիւնը կարելի է կաղապարել որպէս գնդակի արագութեանը համեմատական։ Այս կը նշանակէ որ գնդակի արագացումը, ինչ որ անոր արագութեան ածանցեալն է, կախուած է արագութիւնէն (իսկ արագութիւնը կախուած է ժամանակէն)։ Արագութիւնը որպէս ժամանակի գործառնութիւն ներկայացնելը կը ներառէ դիֆերենցիալ տարբերական հաւասարման լուծման եւ անոր ստոյգ ըլլալուն։


== Տեսակներ ==
Տարբերական հաւասարումներ կարելի է բաժնել քանի մը տեսակներու։ Բացի ինքնին տարբերական հաւասարման յատկութիւններու նկարագրութիւնէն, Տարբերական հաւասարումներու այս դասակարգումը կարող է օգնել լուծման ընտրութեան հարցի մէջ։ Սովորաբար օգտագործուող տարբերակներն են՝ սովորական/մասնակի, գծային/ոչ գծային եւ համասեռ/տարասեռ: Այս ցուցակը հեռու է սպառիչ ըլլալէն, կան Տարբերական հաւասարումներու շատ այլ յատկութիւններ եւ ենթադասեր, որոնք կարող են շատ օգտակար ըլլալ յատուկ բնագիրներուն մէջ։


== Սովորական Տարբերական հաւասարումներ ==

Սովորական Տարբերական հաւասարումները, հաւասարումներ են, ուր անյայտները մէկ փոփոխականի գործառնութիւններ են, ընդ որում հաւասարման մէջ կը մասնակցին ոչ միայն անյայտ ֆունկցիաները այլեւ այդ գործառնութիւններու ածանցեալները։
Սովորական Տարբերական հաւասարման տեսքը ընդհանուր դէպքի մէջ հետեւեալն է՝

  
    
      
        F
        
          (
          
            x
            ,
            y
            ,
            
              y
              ′
            
            ,
            
              y
              ″
            
            ,
            .
            .
            .
            ,
            
              y
              
                (
                n
                )
              
            
          
          )
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!}
   կամ 
  
    
      
        F
        
          (
          
            x
            ,
            y
            ,
            
              
                
                  
                    d
                  
                  y
                
                
                  
                    d
                  
                  x
                
              
            
            ,
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      2
                    
                  
                  y
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            ,
            .
            .
            .
            ,
            
              
                
                  
                    
                      d
                    
                    
                      n
                    
                  
                  y
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},...,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0}
  ,որտեղ 
  
    
      
         
        y
        =
        y
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle ~y=y(x)}
   անյայտ գործառնութիւնն է, 
  
    
      
         
        x
      
    
    {\displaystyle ~x}
   անկախ փոփոխականը, 
  
    
      
         
        n
      
    
    {\displaystyle ~n}
   կը կոչուի տարբերական հաւասարման կարգ։
Սովորական Տարբերական հաւասարումներու առաջին հետազօտութիւնները կատարուեր են 17 դարու վերջաւորութեան Ի. Նյուտոնի եւ Գ. Լեյբնիցի կողմէն։
Սովորական Տարբերական հաւասարումները լայն կիրառական նշանակութիւն ունին մեքենագիտութեան մէջ, աստղագիտութեան, ֆիզիքայի մէջ, քիմիայի եւ կենսաբանութեան շատ խնդիրներու մէջ։ Այս կը  բացատրուի այն բանով, որ շատ յաճախ բնական երեւոյթները կ'ենթարկուին օրէնքներու, որոնք կը գրուին սովորական տարբերական  հաւասարումներու տեսքով։ Օրինակ, Նյուտոնյան մեքենագիտութեան օրէնքները թոյլ կու տան նիւթական կէտերու համակարգի շարժման նկարագրման մեքենական խնդիրը բերել սովորական տարբերական հաւասարման լուծումները գտնելու մաթեմաթիքական խնդրին։