PL9fwy3NUQKwY6bGFmuJGxU8kL7vx3U133/778E9B2F8Qc.srt

1
00:00:20,940 --> 00:00:25,320
بسم الله الرحمن الرحيم، المرة الماضية بدأنا فيها 

2
00:00:25,320 --> 00:00:31,060
تطبيقات على استخدام التكامل في حساب الحجوم، وأخذنا 

3
00:00:31,060 --> 00:00:35,140
على ذلك طريقتين، الطريقة الأولى كانت طريقة الـ disk 

4
00:00:35,140 --> 00:00:40,820
وهذا للمجسم المصمت، ثم أخذنا طريقة الـ washer، وهذا 

5
00:00:40,820 --> 00:00:46,180
للمجسم اللي فيه تجويف من الداخل، اليوم نأخذ الطريقة 

6
00:00:46,180 --> 00:00:51,460
الثالثة وهي طريقة القشرة الأسطوانية، يبقى 

7
00:00:51,460 --> 00:00:56,900
cylindrical shell قشرة أسطوانية، أعطيك مثال، هات 

8
00:00:56,900 --> 00:00:59,480
واحد يعطيني دفتره ويعطيني دفترك أشوف

9
00:01:02,410 --> 00:01:07,330
الدفتر هذا لو عملناه على شكل أسطوانة بهذا الشكل 

10
00:01:07,330 --> 00:01:11,570
طبعًا يبقى إيه أسطوانة بهذا الشكل زي ما أنتم 

11
00:01:11,570 --> 00:01:15,790
شايفين الفكرة، ما الموضوع؟ بدي أجيب حجم المجسم اللي 

12
00:01:15,790 --> 00:01:22,020
قدامي هذه، فلو أخذت ورقة من ورق الدفتر يبقى 

13
00:01:22,020 --> 00:01:28,240
هذه الورقة تعتبر قشرة أسطوانية، القشرة الأسطوانية 

14
00:01:28,240 --> 00:01:34,280
لو جبت المساحة الجانبية لها، وكملت عليها، بيعطيني 

15
00:01:34,280 --> 00:01:38,680
مقدار الحجم، تبقى الأسطوانة داير مايدور

16
00:01:41,980 --> 00:01:50,540
المساحة الجانبية للأسطوانة هو 2πr محيط 

17
00:01:50,540 --> 00:01:54,380
القاعدة اللي هو القطر في الارتفاع تبع 

18
00:01:54,380 --> 00:01:58,400
الأسطوانة الدائرية القائمة، يبقى 2πr هو 

19
00:01:58,400 --> 00:02:02,360
المساحة الجانبية للأسطوانة، بدي أكامل عليها، بيعطيني 

20
00:02:02,360 --> 00:02:07,640
إيه؟ بيعطيني جدّاش حجم المجسم أو الأسطوانة اللي 

21
00:02:07,640 --> 00:02:11,520
عندنا هذه، واضح؟ واضح، لأن هذه على الطبيعة بدنا نشوفها 

22
00:02:11,520 --> 00:02:17,180
من خلال الكلام اللي قدامنا هنا فضلًا، يبقى بنانية 

23
00:02:17,180 --> 00:02:20,540
الكلام اللي احنا كاتبينه volumes by cylindrical 

24
00:02:20,540 --> 00:02:25,620
shells الحجوم باستخدام القشر الأسطوانية

25
00:02:46,450 --> 00:02:51,870
الـ Y تساوي F of X about the line X يساوي L X

26
00:02:51,870 --> 00:02:57,910
يساوي L قد يكون محور Y وقد يكون خط موازي لمحور Y 

27
00:02:57,910 --> 00:03:02,390
لأن X يساوي رقم، تمام؟ سواء كان هذا الرقم موجب أو 

28
00:03:02,390 --> 00:03:07,170
سالب، بهم ليش؟ بهم إنه في عند دوران حوالي هذا

29
00:03:07,170 --> 00:03:15,000
المحور، الـ volume V يساوي تكامل من A لـ B لـ 2π في

30
00:03:15,000 --> 00:03:20,700
الارتفاع تبع الأسطوانة، 2πr نصف 

31
00:03:20,700 --> 00:03:27,380
قطر القشرة الأسطوانية، القاعدة تبعتها، r في 

32
00:03:27,380 --> 00:03:32,400
الارتفاع تبع مين؟ تبع الأسطوانة تمام؟ أو اختصر ما 

33
00:03:32,400 --> 00:03:36,720
قلت، أكامل إيه؟ ببساطة 2πx في الـ F of X DX 

34
00:03:36,720 --> 00:03:41,620
تعال نشوف هذا الكلام على الطبيعة، أنا عندي منحنى زي

35
00:03:41,620 --> 00:03:46,640
ما أنتم شايفين، Y تساوي F of X وخليته أعلى محور X 

36
00:03:46,640 --> 00:03:50,680
ممكن يتقاطع مع المحور، وممكن ما يتقاطعش، يبقى أنا 

37
00:03:50,680 --> 00:03:54,360
جبت الـ general form الشكل العام، سواء تقاطع مع الـ x أو 

38
00:03:54,360 --> 00:04:00,200
لم يتقاطع، هذا المنحنى حصر لي مساحة، المساحة اللي 

39
00:04:00,200 --> 00:04:03,580
بينه وبين محور x اللي هي المساحة المظللة اللي 

40
00:04:03,580 --> 00:04:09,000
قدامنا هذه، ما لها هذه؟ هذه دارت حوالي الخط 

41
00:04:11,520 --> 00:04:16,080
الخط اللي عندنا هذا، يبقى هيجيني شكل في الناحية 

42
00:04:16,080 --> 00:04:21,660
التانية تمامًا زيها، وجيني بالشكل هذا تمام، يبقى هذا 

43
00:04:21,660 --> 00:04:25,680
المنحنى اللي هيجيني فوق بالشكل اللي عندنا هذًا، زي 

44
00:04:25,680 --> 00:04:30,400
اللي هناك بالضبط، والـ b اللي هناك هتيجيني b زيها 

45
00:04:30,400 --> 00:04:35,400
هنا بس بإشارة مين؟ سالب، والـ a اللي هناك هيجيني a

46
00:04:35,400 --> 00:04:41,660
زيها بس بإشارة سالبة، هيجي هذه سالب a وسالب b، يبقى هذه 

47
00:04:41,660 --> 00:04:47,520
عند دورانها بدها ترسم لي محيط دائرة تمام؟ وهذه عند 

48
00:04:47,520 --> 00:04:53,140
دورانها كذلك بدها ترسم لي محيط دائرة، زي ما أنتم 

49
00:04:53,140 --> 00:04:58,280
شايفين بالشكل هذا، يبقى هذا الشكل المجسم الناتج من 

50
00:04:58,280 --> 00:05:03,040
الدوران، لسه ما اتكلمتش في الشلة، أنا أعطيتك شكل 

51
00:05:03,040 --> 00:05:09,380
المجسم، هذه الشجرة التانية كمان بتكون برضه مظللة زي 

52
00:05:09,380 --> 00:05:14,980
اللي هناك بالضبط تمامًا، يبقى هذا شكل المجسم الناتج 

53
00:05:14,980 --> 00:05:21,440
من الدوران، هذه اللي جوا هيك، هذه الصغيرة هذه بتكون 

54
00:05:21,440 --> 00:05:26,660
بالشكل هذه، يعني كأنه في تجويف، كويس؟ الآن المجسم

55
00:05:26,660 --> 00:05:30,580
اللي يعني يسيبك من التجويف، المنطقة هذه داير مايدور 

56
00:05:30,580 --> 00:05:36,450
حواليها وكله مصمت، الآن بنروح نعمل cylindrical 

57
00:05:36,450 --> 00:05:40,490
shell، بدنا نأخذ مقطع، أو المقطع عادي على شكل 

58
00:05:40,490 --> 00:05:46,550
أسطوانة، يبقى بالعادة في الحالة هذه بعكس من ما كنا 

59
00:05:46,550 --> 00:05:51,210
نعمل المرة اللي فاتت في الـ disk، وكذلك في الـ 

60
00:05:51,210 --> 00:05:55,900
washer، بجرب نفسي، خط يقطع منطقة التكامل وعمودي على 

61
00:05:55,900 --> 00:06:00,960
محور الدوران، مظبوط؟ اليوم بدنا نعمل خط يقطع منطقة 

62
00:06:00,960 --> 00:06:04,920
التكامل وموازي لمحور الدوران، على عكس المرة اللي 

63
00:06:04,920 --> 00:06:09,840
فاتت، يبقى بدي أقول لو كان عندي هذا الخط بالشكل 

64
00:06:09,840 --> 00:06:16,280
اللي إنه هذا، والحظوظ شايفينه؟ تمام، يبقى هذه النقطة 

65
00:06:16,280 --> 00:06:22,520
عند دورانها بدها ترسم لمحيط دائرة، بدها تجي هيك 

66
00:06:22,520 --> 00:06:26,600
بالشكل اللي عندنا هذا، هذا هيك، وهذا بده يجيني

67
00:06:26,600 --> 00:06:31,540
هيك، وهذا الخط الراسي هيه، ومن هنا بدها تعمل 

68
00:06:31,540 --> 00:06:39,800
لمحيط دائرة بالشكل اللي عندنا هنا تمام؟ طيب لو جيت 

69
00:06:39,800 --> 00:06:44,800
هذه نقطة الأصل على سبيل المثال، يبقى هذا البعد لحد 

70
00:06:44,800 --> 00:06:50,340
هنا جدّاش؟ بده يكون x يعني x، البعد من نقطة الأصل هذه 

71
00:06:50,340 --> 00:06:54,940
لغاية النقطة هذه، يبقى هذا هو x، شايفين الأسطوانة 

72
00:06:54,940 --> 00:06:59,220
الخضراء هذه؟ الأسطوانة الخضراء هذه اللي هي الـ shell زي ما 

73
00:06:59,220 --> 00:07:02,700
وريتكوا توي، سحيت إحدى الورقات من الدفتر اللي 

74
00:07:02,700 --> 00:07:07,470
عملناه على شكل أسطوانة، يبقى الخضراء هذه هو الـ 

75
00:07:07,470 --> 00:07:12,210
cylindrical shell القشرة الأسطوانية، بدي أجيب قدّاش 

76
00:07:12,210 --> 00:07:17,670
المساحة الجانبية لها، هذا نصف القطر قدّاش؟ x، 

77
00:07:17,670 --> 00:07:25,180
المساحة الجانبية 2πr، يبقى 2π في x في من؟ 

78
00:07:25,180 --> 00:07:29,880
في الارتفاع، الارتفاع هو F of X هذا، صحيح ولا لأ؟ 

79
00:07:29,880 --> 00:07:35,940
يبقى هذا هو الارتفاع اللي عندنا اللي هو F of X،

80
00:07:35,940 --> 00:07:39,600
يبقى هذا بيعطينا المساحة الجانبية للوسط، وأنا من 

81
00:07:39,600 --> 00:07:44,340
هنا قلنا الـ volume يبدو يساوي تكامل 2πx في F 

82
00:07:44,340 --> 00:07:51,190
of X DX، إن كاملت عليها بطلع لي قدّاش حجم المجسم المصمت 

83
00:07:51,190 --> 00:07:54,650
داير مايدور اللي عندنا هذا، يبقى واضح شكل الـ 

84
00:07:54,650 --> 00:07:58,610
cylindrical shell هذا، لو كان التكامل بالنسبة لـ x

85
00:07:58,610 --> 00:08:03,530
يبقى هنا بفرج عن المرتين الماضيتين، إن المقطع اللي 

86
00:08:03,530 --> 00:08:07,390
هو الخط المستقيم اللي بنرسمه، بدل ما كنا نرسمه 

87
00:08:07,390 --> 00:08:11,390
عمودي على محور الدوران، اليوم نرسمه موازن لمحور 

88
00:08:11,390 --> 00:08:15,670
الدوران، هذا الخط الموجود هو F of x

89
00:08:26,270 --> 00:08:30,750
هذا الدوران حوالي الخط يكون محور Y أو موازي لمحور 

90
00:08:30,750 --> 00:08:37,690
Y، ممكن يكون الدوران حوالي الخط موازي لمحور X تمام؟

91
00:08:37,690 --> 00:08:42,930
يبقى في هذه الحالة يصير التكامل بالنسبة لـ Y، يبقى يصير 

92
00:08:42,930 --> 00:08:48,310
التكامل 2πy F of Y Dy، طبعًا هذه كاملة على 

93
00:08:48,310 --> 00:08:53,450
الشجرتين كيف هذه وكيف هذه، يبقى الفكرة في الأساس بس 

94
00:08:53,870 --> 00:08:59,830
تعرف اللي هو شكل النص في القطر تبع الـ cylindrical 

95
00:08:59,830 --> 00:09:04,230
shell وتعرف الارتفاع، ضروري كل مرة ارسم ومرة ارسم 

96
00:09:04,230 --> 00:09:09,330
هذا؟ لا مش ضروري، بس ارسم لي منطقة التكامل، ارسم لي 

97
00:09:09,330 --> 00:09:15,130
خط موازي لمحور الدوران، وحدد قدّاش بقى الطرف الخط عن 

98
00:09:15,130 --> 00:09:19,130
المركز اللي عندك بيكون هذا هو نصف القطر، والخط اللي 

99
00:09:19,130 --> 00:09:24,410
رسمته بيكون هو الـ shell height هو الارتفاع أو الارتفاع 

100
00:09:24,410 --> 00:09:28,410
الجانبي للقصانة، بعد هيك حدود التكامل ممكن تكون 

101
00:09:28,410 --> 00:09:33,490
محددة عندك، ممكن أنت بدك تحددها من حال مستقيمات مع 

102
00:09:33,490 --> 00:09:38,150
منحنيات أو منحنيات مع بعضها لبعض، كما سنراه بعد 

103
00:09:38,150 --> 00:09:43,640
قليل، هذا كل جزء النظر اللي موجود في هذا الـ section

104
00:09:43,640 --> 00:09:46,920
بس الكلمتين اللي قدامك على اللوحة دول، حدا اللي هو 

105
00:09:46,920 --> 00:09:54,260
أي تساؤل، طيب نبدأ في الأمثلة، نجي لأول مثال على هذا 

106
00:09:54,260 --> 00:09:55,900
الموضوع، يبقى examples

107
00:10:03,850 --> 00:10:08,530
أول مثال من هذه اللي ألمتله بوليفي، الـ volume of

108
00:10:08,530 --> 00:10:19,330
the solid، find the volume of the solid generated 

109
00:10:19,330 --> 00:10:23,350
by 

110
00:10:23,350 --> 00:10:27,010
revolving 

111
00:10:28,290 --> 00:10:34,990
Generated by the region revolving 

112
00:10:34,990 --> 00:10:42,570
the 

113
00:10:42,570 --> 00:10:46,750
region 

114
00:10:46,750 --> 00:10:51,470
between the 

115
00:10:51,470 --> 00:10:51,990
region 

116
00:10:59,710 --> 00:11:07,430
بين اثنين، bounded والمغلقة 

117
00:11:07,430 --> 00:11:19,770
بيه by the curves المنحنيات، Y تساوي X تربيع، و Y 

118
00:11:19,770 --> 00:11:33,110
يساوي 2 ناقص X، and X تساوي زيرو، for X greater 

119
00:11:33,110 --> 00:11:44,450
than or equal to zero about the Y axis

120
00:11:57,220 --> 00:12:02,900
خلّينا نرسم المنطقة

121
00:12:02,900 --> 00:12:06,360
المحدودة بالمنحنيات اللي عندنا، نقول المنحنى

122
00:12:06,360 --> 00:12:11,420
الأولاني، Y تساوي X تربيع، إذا لو جيت رسمت هذا 

123
00:12:11,420 --> 00:12:18,880
المنحنى، هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل، يبقى 

124
00:12:18,880 --> 00:12:27,700
هذا Y تساوي X تربيع، بعدها قال الخط المستقيم Y يساوي 

125
00:12:27,700 --> 00:12:33,020
2 ناقص x، إذا لو كانت الـ x بـ 0، y يبقى دي إيش؟ 

126
00:12:33,020 --> 00:12:40,420
بـ 2، يبقى هذه 2، وإذا كان الـ y بـ 0، و x 

127
00:12:40,420 --> 00:12:46,260
بـ 2، يبقى بـ 2، هذه الـ 2 اللي عندنا هذه، يبقى 

128
00:12:46,260 --> 00:12:52,140
هذه كمان 2، يبقى هتان النقطتان تقعان على الخط 

129
00:12:52,140 --> 00:12:57,220
المستقيم اللي عندنا، يبقى أروح نرسمنا هذا الخط 

130
00:12:57,220 --> 00:13:02,900
المستقيم بالشكل هذا دوام، يبقى هذا هو الخط المستقيم 

131
00:13:10,240 --> 00:13:15,340
يبقى هاي المنطقة اللي موجودة وين؟ اللي موجودة أنا 

132
00:13:15,340 --> 00:13:20,420
يبقى باقي المنحنى هذا كله مش لازم، ليه؟ المهم هاي 

133
00:13:20,420 --> 00:13:27,040
المنحنى رسمناها، وهذا الخط اللي همين Y يساوي 2 

134
00:13:27,040 --> 00:13:31,820
ناقص x، هاي المنطقة المظللة، المنطقة المظللة اللي 

135
00:13:31,820 --> 00:13:36,510
بدها تدور حوالي مين؟ أو للمحور Y، إذا أنا بادر

136
00:13:36,510 --> 00:13:44,370
أرسم خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ لمحور Y، يبقى 

137
00:13:44,370 --> 00:13:49,650
بالدقة أقول له هذا خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ 

138
00:13:49,650 --> 00:14:03,820
لمحور Y، النقطة هذه نصف 

139
00:14:03,820 --> 00:14:09,840
القطر، يعني لو جيت من هنا رسمت نصف دائرة بيكون هذا 

140
00:14:09,840 --> 00:14:15,120
هو نصف قطر الدائرة، طب والارتفاع تبع الدائرة؟ الجزء 

141
00:14:15,120 --> 00:14:19,360
اللي في المنطقة المظللة، للي تحت ما له دعوة تمام؟ 

142
00:14:19,360 --> 00:14:25,300
إذا أنا بدي أعرف قدّاش هذا طول الخط الأخضر قدّاش؟ 

143
00:14:25,300 --> 00:14:30,740
2 ناقص x، 2 ناقص x اللي هو بُعد الخط 

144
00:14:30,740 --> 00:14:34,880
اللي عندنا هذا عن محور x، بدي أشيل هذا البعد هذا 

145
00:14:34,880 --> 00:14:42,190
البعد قدّاش؟ هذا الخط أو هذا الجزء هو عبارة عن 

146
00:14:42,190 --> 00:14:48,470
2 ناقص X ناقص X تربيع، يبقى هذا هو الذي يمثل 

147
00:14:48,470 --> 00:14:54,060
عندي هنا main الـ F of X اللي هو الارتفاع تبع من؟ 

148
00:14:54,060 --> 00:14:58,700
تبع الأسطوانة أو تبع الـ cylindrical shell يبقى 

149
00:14:58,700 --> 00:15:03,620
كويس، يبقى بدي أكامل بالنسبة لـ x، إذا بدي أعرف x 

150
00:15:03,620 --> 00:15:09,560
ستتغير من وين لوين؟ طبعًا x ستتغير من 0 لغاية آخر 

151
00:15:09,560 --> 00:15:14,670
نقطة هنا، آخر نقطة هنا قدّاش؟ أنا مش عارف، بنحل معادلة 

152
00:15:14,670 --> 00:15:20,010
الخط المستقيم مع مين؟ مع منحنى الـ parabola Y تساوي 

153
00:15:20,010 --> 00:15:20,810
X تربيع

154
00:15:28,980 --> 00:15:35,040
الشباب، لو كملت هذا هيك، بدي يحصل تقابل عن مين؟ سالب 

155
00:15:35,040 --> 00:15:39,460
2 ما لي دعوة فيها، هذه برا المنطقة، يبقى أنا 

156
00:15:39,460 --> 00:15:44,960
عندي بس x يساوي قدّاش؟ 1، إذا بدي أجي أقول له الـ 

157
00:15:44,960 --> 00:15:52,680
volume V بدي يساوي تكامل من 0 لـ 1 لـ 2πx 

158
00:15:52,680 --> 00:15:57,200
في الـ F of X، F of X الارتفاع اللي هو البعد هذا

159
00:15:57,200 --> 00:16:05,160
اللي هو ما هو اللي هو الـ 2 ناقص x، 2 ناقص x 

160
00:16:05,160 --> 00:16:11,610
ناقص X تربيع، كله بالنسبة لمين؟ لـ x، أو هذا 2

161
00:16:11,610 --> 00:16:17,330
π برا تكامل من 0 لـ 1 لـ 2x ناقص X 

162
00:16:17,330 --> 00:16:23,930
تربيع ناقص X تكعيب، كله بالنسبة إلى DX، النتيجة 

163
00:16:23,930 --> 00:16:29,590
تساوي 2π هيها برا، وتكامل هذا اللي هو x 

164
00:16:29,590 --> 00:16:34,190
تربيع على 2 مع الـ 2 الله يسهل عليها، ناقص x 

165
00:16:34,190 --> 00:16:40,950
تكعيب على 3، ناقص x أس 4 على 4، كله من 

166
00:16:40,950 --> 00:16:48,070
أندي الـ 0 لغاية الـ 1، يبقى يساوي 2π 

167
00:16:48,070 --> 00:16:56,670
ناقص 1/3 ناقص 1/4 ناقص كل الباقي بقدّاش؟ بـ 0، هذا 

168
00:16:56,670 --> 00:1

201
00:20:43,190 --> 00:20:49,330
محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero Y

202
00:20:49,330 --> 00:20:53,670
تساوي جذر الـ X يا ما رسمناه خلال الفصل هذا كله

203
00:20:53,670 --> 00:21:00,970
بيُعرف رسمه يبقى هذا Y تساوي جذر الـ X بعد ذلك يقول

204
00:21:00,970 --> 00:21:06,650
لي Y تساوي زيرو Y تساوي زيرو هو ميان محور X Y

205
00:21:06,650 --> 00:21:12,690
تساوي زيرو هو محور X بعد ذلك قال لي الخط Y تساوي X

206
00:21:12,690 --> 00:21:17,590
ناقص اثنين بحدد النقطتين عليه و بوصل فيه ما بينهما

207
00:21:17,590 --> 00:21:24,010
لو كانت الـ X بزيرو فـ Y بسالب اثنين يبقى I سالب

208
00:21:24,010 --> 00:21:31,440
اثنين لو كانت Y بزيرو X باثنين يبقى أنا من اثنين

209
00:21:31,440 --> 00:21:39,100
بيأتي بوصل فيما بينهما و بمد الخط على استقامته

210
00:21:39,100 --> 00:21:45,800
يبقى الآن المنطقة اللي احنا بدنا إياها هي هذه المنطقة

211
00:21:45,800 --> 00:21:54,420
والباقي كله مش لازم لي تمام؟ طيب، هذه المنطقة بدها

212
00:21:54,420 --> 00:21:59,800
دور حوالين مين؟ حوالين محور X، بدي أروح أهلي

213
00:21:59,800 --> 00:22:03,860
بالـ Cylindrical Shell، مش بالواشرة، يبقى موضوعنا

214
00:22:03,860 --> 00:22:08,400
الـ Cylindrical Shell، يبقى بدأ أروح أرسم خط يقطع

215
00:22:08,400 --> 00:22:15,580
هذه المنطقة ومواز لمحور الدوران يبقى باجي بقول لو

216
00:22:15,580 --> 00:22:22,300
جيت أخد هذا الخط الأفقي، الشكل أن هذا، قطع منطقة

217
00:22:22,300 --> 00:22:27,780
التكامل ومواز لمحور الدوران، يبقى هذا يُعتبر

218
00:22:27,780 --> 00:22:33,700
ارتفاع الـ Cylindrical Shell، مظبوط؟ بدي نصف القطر،

219
00:22:33,700 --> 00:22:39,840
يبقى باجي بنزل عمود من هنا، بيكون هذا نصف القطر

220
00:22:40,850 --> 00:22:45,030
طيب، هنا التكامل بيكون على عكس اللي جابله، اللي 

221
00:22:45,030 --> 00:22:49,470
جابله كاملة بالنسبة لمن؟ هنا بيكامل بالنسبة إلى Y،

222
00:22:49,470 --> 00:22:55,210
إذا هذا البعد لو جيت Goal taken أفقي، هذا Y،

223
00:22:55,210 --> 00:23:01,960
الارتفاع Y يبقى بيكون نصف القطر، هذا هو Y يبقى طول

224
00:23:01,960 --> 00:23:05,980
اللي عندي أعرف قد إيش الطول اللي عندنا هذا بدلالة

225
00:23:05,980 --> 00:23:14,380
مين؟ بدلالة Y هذا Y تساوي جذر الـ X يعني X يساوي Y 

226
00:23:14,380 --> 00:23:21,460
تربيع يبقى X يساوي Y تربيع اللي هو مين الجزء المنقطة

227
00:23:21,460 --> 00:23:29,020
اللي عندنا هذا مصبوغ يبقى هذا الجزء فقط هو X يساوي

228
00:23:29,020 --> 00:23:34,140
Y تربيع ربعنا الطرفين اللي هنا هذا الخط اللي هو

229
00:23:34,140 --> 00:23:42,280
معادلته كانت إيش كانت Y تساوي X ناقص اثنين أو X

230
00:23:42,280 --> 00:23:48,000
يساوي Y زائد اثنين طبعًا إذا أنا باجي بقول البعد

231
00:23:48,000 --> 00:23:53,620
الكبير ناقص البعد الصغير يبقى هذا الطول يمثل البعد

232
00:23:53,620 --> 00:24:00,730
هذا كله لـ Y زائد اثنين ناقص البعد هذا اللي هو Y

233
00:24:00,730 --> 00:24:06,770
تربيع، ضالت عند الـ Y ستتغير من عند Zero لعند ابصر

234
00:24:06,770 --> 00:24:12,770
قد إيش، لحد هنا تمام؟ يبقى بدي أعرف قد إيش الإحداثيات تبع

235
00:24:12,770 --> 00:24:18,510
Y هذا، مشان هيك بروح أحل المعادلة هذه بالنسبة لمين

236
00:24:18,510 --> 00:24:25,240
إلى Y هذه النقطة تقع وين؟ على المنحنيين يبقى بدي

237
00:24:25,240 --> 00:24:32,380
أروح أسوي المعادلتين ببعض اللي هو Y تربيع يساوي Y

238
00:24:32,380 --> 00:24:38,220
زائد اثنين أو بمعنى آخر لو عملت معادلة صفرية بيصير

239
00:24:38,220 --> 00:24:44,540
Y تربيع ناقص Y ناقص اثنين بدي يساوي قد إيش Zero أو لو

240
00:24:44,540 --> 00:24:49,520
حللتها بأقواس بالشكل هذا بدي يساوي Zero يبقى هاي Y

241
00:24:49,740 --> 00:24:54,660
هذا واي واي واحد وهذا اثنين وهذا ناقص وهذا زائد

242
00:24:54,660 --> 00:24:58,480
زائد واي وناقص اثنين واي بناقص واي يبقى تحليلنا

243
00:24:58,480 --> 00:25:02,960
سليم مائة بالمائة يبقى بناءً على هدف يعطينا أن واي

244
00:25:02,960 --> 00:25:08,800
تساوي سالب واحد والواي تساوي قد إيش اثنين إيش رأيك

245
00:25:08,800 --> 00:25:16,290
في واي تساوي سالب واحد؟ مرفوض أو لا؟ هذا لو كملت

246
00:25:16,290 --> 00:25:20,570
هكذا كملت المنحنى و بدأت تقاطعني و تساوي سالب واحد ما ليش

247
00:25:20,570 --> 00:25:24,450
علاقة فيها يبقى Y تساوي اثنين اللي هو البعد اللي

248
00:25:24,450 --> 00:25:30,570
عندنا هذا يبقى بدي يصير التكامل عندي من Zero لغاية

249
00:25:30,570 --> 00:25:37,090
قد إيش اثنين طيب هذه لو كانت Y تساوي اثنين يبقى الـ X

250
00:25:37,090 --> 00:25:38,150
تساوي قد إيش

251
00:25:42,010 --> 00:25:47,230
أربعة يبقى النقطة هذه اللي إحداثيات تبعها اللي هو

252
00:25:47,230 --> 00:25:53,370
أربعة واثنين طبعًا كيف أربعة واثنين؟ شو المنحنى

253
00:25:53,370 --> 00:26:02,590
هذا؟ يبقى X بقد إيش؟ أربعة بتتربع الطرفين. وين

254
00:26:02,590 --> 00:26:08,070
اثنين؟ هذا اثنين البعد الأفقي يا رجل. هذا البعد

255
00:26:08,070 --> 00:26:14,110
رأسي. مش إحنا طلعنا Y باثنين، حط فيه أي معادلة

256
00:26:14,110 --> 00:26:19,170
بدك إياها، حط Y باثنين، بصير X بأربعة، حط Y باثنين،

257
00:26:19,170 --> 00:26:22,510
بصير X بأربعة، لأن النقطة تقع على المنحنيين، بتحقق

258
00:26:22,510 --> 00:26:28,790
كل منهما، إذا إنت الـ volume V، بده يساوي تكامل من

259
00:26:28,790 --> 00:26:36,370
Zero لغاية قد إيش؟ لغاية اثنين، للاثنين by one في نصف

260
00:26:36,370 --> 00:26:40,950
القطر اللي عندنا هذا نصف القطر اللي عندنا وهو Y زي

261
00:26:40,950 --> 00:26:47,890
ما هو اثنين ناقص اللي هو مين هذا هذا Y زي ما هو اثنين

262
00:26:47,890 --> 00:26:57,770
ناقص Y تربيع يبقى في Y زي ما هو اثنين ناقص Y تربيع كل

263
00:26:57,770 --> 00:27:03,770
هذا الكلام بالنسبة لمين؟ له دي Y يبقى الـ volume V

264
00:27:03,770 --> 00:27:11,630
يبقى يساوي 2π برا تكامل من 0 لغاية 2 يدخل الـ Y جوا

265
00:27:11,630 --> 00:27:19,310
يبقى Y تربيع زائد 2Y ناقص Y تكعيب كله بالنسبة

266
00:27:19,310 --> 00:27:27,580
لمين؟ لـ DY يبقى هذا الكلام يساوي 2π VY تكعيب على

267
00:27:27,580 --> 00:27:33,060
ثلاثة زائد Y تربيع اثنين مع اثنين مع السلامة Y

268
00:27:33,060 --> 00:27:40,090
أربعة على أربعة من Zero لغاية اثنين يساوي اثنين باي

269
00:27:40,090 --> 00:27:44,970
برا يبقى ثمانية

270
00:27:44,970 --> 00:27:55,250
على ثلاثة زائد أربعة ناقص ستة عشر على أربعة أربعة

271
00:27:55,250 --> 00:28:01,750
مع أربعة بصير يبقى هذا ستة عشر باي على ثلاثة هذا

272
00:28:01,750 --> 00:28:05,110
الحجمين حجم هذه المنطقة

273
00:28:10,000 --> 00:28:14,320
ما رأيك تجي هنا على اللوحة نشوفك شوية إيه اللي حد

274
00:28:14,320 --> 00:28:19,400
تعالي شو؟ عالي بالكوا يمكن نجاوب على بعض أسئلتكوا

275
00:28:19,400 --> 00:28:24,140
آه تفضل أنا

276
00:28:24,140 --> 00:28:29,680
بكامل بالنسبة لـ .. أنا بكامل بالنسبة لـ Y لو بالنسبة

277
00:28:29,680 --> 00:28:36,700
لـ X طيب أنت من الصفر اللي هو أربعة ليه X؟ ما لك؟ طيب

278
00:28:36,700 --> 00:28:41,480
اضحكوا زيه لأ لو كان لو الـ .. لو الـ قصد من Y تساوي

279
00:28:41,480 --> 00:28:46,000
من X لو كانتش فـلال Y جذر الـ X أبسوليوت الـ X

280
00:28:46,000 --> 00:28:51,420
أبسوليوت فـلال X طيب هتكون على الجهتين؟ كيف حالك

281
00:28:51,420 --> 00:28:54,700
أنت بصيا بصيك الدورة .. استنى شوية بصيك الدورة

282
00:28:54,700 --> 00:28:57,780
حواليها نفسها مش إيه؟ آه آه لأن على يمين محورها

283
00:28:57,780 --> 00:29:02,240
زيها ما جبتش جديد طيب

284
00:29:02,240 --> 00:29:04,460
نعطي كمان مثال

285
00:29:07,670 --> 00:29:13,590
مثال ثلاثة ثلاثة

286
00:29:13,590 --> 00:29:17,210
هي سؤال تسعة و عشرين من الكتاب يقول احصل على كمية

287
00:29:17,210 --> 00:29:26,150
المجسم احصل على كمية المجسم

288
00:29:26,150 --> 00:29:28,310
نحتاج حجم المجسم

289
00:29:37,130 --> 00:29:44,690
تُحَل المنطقة المنطقة

290
00:29:44,690 --> 00:29:51,910
مجموعة من مجموعة

291
00:29:51,910 --> 00:30:01,070
من Y تساوي X و Y تساوي X تربيع

292
00:30:06,520 --> 00:30:18,520
the y axis حوالي المحور y by using باستخدام

293
00:30:18,520 --> 00:30:32,580
نمرا a the shell method نمرا b the washer method

294
00:30:45,870 --> 00:30:46,910
قلناها برسمها

295
00:30:53,920 --> 00:30:58,380
سؤال مرة ثانية بيقول هات الحجم المجسم المتولد من 

296
00:30:58,380 --> 00:31:04,820
دوران المنطقة المحدودة بالخط Y تساوي X بالمنحنى Y

297
00:31:04,820 --> 00:31:10,080
تساوي X تربيع والدوران حوالين محور Y بطريقتين

298
00:31:10,080 --> 00:31:13,700
الطريقة اللي هو طريقة shell method اللي طريقتنا

299
00:31:13,700 --> 00:31:19,080
قبل قليل والثانية الـ washer method طريقتنا اللي هو

300
00:31:19,080 --> 00:31:20,920
يوم أمس الأول

301
00:31:23,160 --> 00:31:29,460
بنرسم وبعد ذلك بيصير خير يبقى هذا محور X هذا محور 

302
00:31:29,460 --> 00:31:35,040
Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero في أن المنحنى Y

303
00:31:35,040 --> 00:31:41,540
تساوي X تربيع يبقى Y تساوي X تربيع المنحنى هتجيك

304
00:31:41,540 --> 00:31:41,940
هيك

305
00:31:44,760 --> 00:31:52,380
الخط الثاني Y تساوي X يبقى Y تساوي X اللي هو الخط 

306
00:31:52,380 --> 00:31:59,420
اللي عندنا هذا يبقى هذا Y تساوي X هذا Y تساوي X 

307
00:31:59,420 --> 00:32:04,180
تربيع حصروا المنطقة فيما بينهم اللي المنطقة

308
00:32:04,180 --> 00:32:09,570
المظللة دي هذه المنطقة المظللة لابدها تدور حوالين

309
00:32:09,570 --> 00:32:15,150
محور Y تمام؟ مدام بدها تدور حوالين محور Y يبقى 

310
00:32:15,150 --> 00:32:22,390
إحنا بدنا نروح نرسم خط يقطع منطقة التكامل ومواز

311
00:32:22,390 --> 00:32:29,110
لمحور Y يبقى لو جيت من هنا رسمت خط موازي لمحور Y

312
00:32:29,110 --> 00:32:34,970
ويقطع منطقة التكامل يبقى هذا يُعتبر الارتفاع 

313
00:32:34,970 --> 00:32:40,690
الجانبي للـ cylindrical shell بدي أعرف قد إيش طول

314
00:32:40,690 --> 00:32:48,490
الخط الأخضر هذا بقوله تمام من هنا لهنا هذا Y تساوي

315
00:32:48,490 --> 00:32:57,620
X ومن هنا لهنا هذا Y تساوي X تربيع، إذا هذا الخط

316
00:32:57,620 --> 00:33:04,120
يكون الفرق بينهم اللي هو مين؟ X ناقص X تربيع، هذا

317
00:33:04,120 --> 00:33:12,240
البعد، هذا البعد بيكون X نصف قطر من اللي هو

318
00:33:12,240 --> 00:33:18,810
cylindrical shell بدل الـ X ستتغير من Zero لغاية

319
00:33:18,810 --> 00:33:25,760
ابصر قد إيش يبقى بدي أعرف هنا آخر حاجة لذلك بدي أحل

320
00:33:25,760 --> 00:33:31,540
المعادلتين هدول مع بعضهم يبقى أنا عندي Y تساوي X

321
00:33:31,540 --> 00:33:39,060
تربيع وعندي Y تساوي X يبقى هذه ها بقدر أقول X 

322
00:33:39,060 --> 00:33:44,820
تربيع ناقص X يساوي Zero أو لو أخدت X عامل مشترك

323
00:33:44,820 --> 00:33:49,940
بصير X ناقص واحد يساوي Zero يبقى X يساوي Zero و X

324
00:33:49,940 --> 00:33:55,790
يساوي واحد يبقى نقطة التقاطع الأولى عند الـ 0 ونقطة

325
00:33:55,790 --> 00:34:02,850
التقاطع الثانية عند الـ 1 يبقى بصير الـ Volume V بدي

326
00:34:02,850 --> 00:34:11,050
يساوي تكامل من 0 لغاية 1 للاثنين باي X في الـ F of X

327
00:34:11,050 --> 00:34:15,390
اللي همّان X ناقص X تربيع 

328
00:34:20,080 --> 00:34:25,560
يبقى X ناقص X تربيع كل هذا الكلام بالنسبة لمين؟ 

329
00:34:25,560 --> 00:34:32,620
إلى DX يبقى هذا الكلام بيساوي 2π تكامل من 0 ل 1 لل X 

330
00:34:32,620 --> 00:34:40,820
تربيع ناقص X تكعيب كله بالنسبة إلى DX يبقى 2π وهذه

331
00:34:40,820 --> 00:34:44,640
عبارة عن X تكعيب على 3

332
00:34:47,470 --> 00:34:51,390
نرجع لسؤالنا هذا مرة ثانية وهو آخر مثال في هذا ال

333
00:34:51,390 --> 00:34:55,670
section قال هات لي حجم المجسم المتولد من دوران 

334
00:34:55,670 --> 00:34:59,990
المنطقة المحصورة بالمنحنى Y يساوي 2X ناقص X تربيع

335
00:34:59,990 --> 00:35:04,810
والخط المستقيم Y تساوي X والدوران بدي يكون مرة

336
00:35:04,810 --> 00:35:09,950
حوالين محور Y ومرة حوالين خط مواز لمحور Y اللي همّان

337
00:35:09,950 --> 00:35:16,710
X يساوي Y نعود للخط المستقيم Y تساوي X نعود لهذا

338
00:35:16,710 --> 00:35:22,810
المنحنى هذا المنحنى طبعًا parabola أنه Y دالة في X و 

339
00:35:22,810 --> 00:35:26,450
X من الدرجة الثانية يبقى parabola بس معمولة لها 

340
00:35:26,450 --> 00:35:30,310
Shift إذا بدي أعرف وين الـ vertex بالضبط تبع هذه ال

341
00:35:30,310 --> 00:35:36,500
parabola إذا بتروح تعمل إكمال للمربع يبقى هذه لو

342
00:35:36,500 --> 00:35:42,500
جيت قلت Y تساوي بدنا نكمّل مربع يعني قد إيش نضيف و

343
00:35:42,500 --> 00:35:50,400
نطرح أربعة ولا واحد يعني أنت بتحذر تحذير طيب مشان

344
00:35:50,400 --> 00:35:57,710
تعرف قد إيش وما حدش يولد تاني برنامج نضيف مربع معامل

345
00:35:57,710 --> 00:36:05,710
X على أربعة أمثال معامل X تربيع

346
00:36:09,680 --> 00:36:16,180
بقول مربع معامل X قد إيش؟ أربعة أربعة أمثال معامل X

347
00:36:16,180 --> 00:36:20,700
تربيع أربعة في واحد تمام؟ أما هو واحد جد وارمى

348
00:36:20,700 --> 00:36:24,520
أربعة يبقى أربعة على أربعة في قد إيش؟ يبقى بضيف واحد

349
00:36:24,520 --> 00:36:31,640
وبطرح واحد يبقى هذا Y بدي يساوي واحد ناقص واحد

350
00:36:31,640 --> 00:36:38,560
زائد اثنين X ناقص X تربيع هذا بدي أكتبه بالشكل اللي

351
00:36:38,560 --> 00:36:44,080
أنه هذا هذا الـ Y ناقص واحد هذا كله بدي أخد منه

352
00:36:44,080 --> 00:36:49,820
ناقص عامل مشترك مضروب X تربيع يعني ناقص اثنين X

353
00:36:49,820 --> 00:36:58,320
زائد واحد هذا معناه أن Y ناقص واحد يساوي الناقص X

354
00:36:58,320 --> 00:37:04,320
ناقص واحد الكل تربيع يبقى هذه parabola والـ vertex

355
00:37:04,320 --> 00:37:14,780
واحد وواحد يبقى هذه parabola open Down ولا Up؟

356
00:37:14,780 --> 00:37:23,160
Down بسبب الإشارة السالبة يبقى open down with

357
00:37:23,160 --> 00:37:25,760
vertex

358
00:37:27,210 --> 00:37:35,510
يبقى H و K يبقى واحد وواحد يبقى لو جيت قلت هذه 

359
00:37:35,510 --> 00:37:40,690
القيمة اللي عندنا واحد وجيت طالع هنا هذه واحد 

360
00:37:40,690 --> 00:37:46,470
يبقى إحداثيات النقطة هذه واحد وواحد يبقى واحد وواحد

361
00:37:46,470 --> 00:37:50,730
تقع على الخط المستقيم وفي نفس الوقت

362
00:37:59,220 --> 00:38:06,910
السؤال هو هل الـ parabola تمر بنقطة الأصل؟ نعم ليش؟

363
00:38:06,910 --> 00:38:12,490
أن لو حطيت الـ X بـ Zero و Y بـ Zero يبقى الـ parabola

364
00:38:12,490 --> 00:38:18,170
هذه لو جيت رسمتها هتأخذ الشكل التالي الشكل اللي

365
00:38:18,170 --> 00:38:22,990
عندنا هذا هيك يبقى هذا الـ parabola يبقى المنطقة

366
00:38:22,990 --> 00:38:30,250
اللي محصورة فيما بينهما للمنطقة هذه تمام؟ يبقى من

367
00:38:30,250 --> 00:38:36,080
هنا بدأنا الحل نمر أيه؟ الدوران يكون حوالين محور Y

368
00:38:36,080 --> 00:38:43,880
جل المطلوب الأول يبقى بدرجة أرسم خط يقطع منطقة

369
00:38:43,880 --> 0

401
00:42:30,680 --> 00:42:36,310
هذا البعد كله X لأن هذه نقطة الأصل هي Zero الدوران

402
00:42:36,310 --> 00:42:42,190
حوالين محور Y حوالين للخط X يساوي واحد يبقى أين 

403
00:42:42,190 --> 00:42:50,090
نصف القطر؟ واحد ناقص X ممتاز هذه المسافة كلها وهذا

404
00:42:50,090 --> 00:42:59,210
هو نصف القطر تمام؟ يبقى هذا 1-X كويس يبقى

405
00:42:59,210 --> 00:43:06,550
بدي يصير ال Volume دي بدي يساوي تكامل من 0 لاثنين by

406
00:43:06,550 --> 00:43:14,070
واحد ناقص X هذا اللي هو نصف القطر فاهمين؟ فيه؟

407
00:43:14,410 --> 00:43:17,990
الـ Height هذا الارتفاع هل اختلف عن الارتفاع اللي

408
00:43:17,990 --> 00:43:25,310
هناك؟ هو هو يبقى 2X-X تربيع يبقى 2X-X

409
00:43:25,310 --> 00:43:31,690
تربيع ناقص X الكل بالنسبة ل X والـ X ستتغير من Zero

410
00:43:31,690 --> 00:43:40,210
لغاية واحد كما هي يبقى النتيجة تساوي أي 2π و

411
00:43:40,210 --> 00:43:46,410
أي تكامل من zero لغاية واحد وهنا 1-x

412
00:43:46,410 --> 00:43:54,080
فاهمين؟ في الـ  (2x-x²)  الكل بالنسبة الى dx

413
00:43:54,080 --> 00:44:02,100
هذا الكلام يساوي 2π تكامل من zero ل1 يبقى

414
00:44:02,100 --> 00:44:10,290
2x -x² -x² +x³ الكل 

415
00:44:10,290 --> 00:44:16,270
بالنسبة الى DX يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π

416
00:44:16,270 --> 00:44:23,410
تكامل من Zero لغاية 1 dx ما فيش غيرها ونقص 2x

417
00:44:23,410 --> 00:44:30,130
تربيع + X تكعيب الكل بالنسبة الى من؟ الى DX

418
00:44:30,130 --> 00:44:36,780
يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π x تربيع على 

419
00:44:36,780 --> 00:44:47,100
2 - 2/3 x تكعيب أو هنا + x أس 4

420
00:44:47,100 --> 00:44:52,660
على 4 من زيرو لغاية 1 يبقى هذا الكلام بده

421
00:44:52,660 --> 00:45:04,890
يساوي 2π في (1/2 - 1/3 + 1/4) كيف؟ اه

422
00:45:04,890 --> 00:45:10,430
2/3 هذا ولا يما يبقى 1/2 - 2/3 زي 1/4 في

423
00:45:10,430 --> 00:45:16,790
2π يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π

424
00:45:16,790 --> 00:45:24,020
المضاعف المشترك كله لهم له قداش 12 على 2 هي 6

425
00:45:24,020 --> 00:45:33,600
في 1 ب 6 نقص 12 3 في 4 في 2 8 12 على 4 هي قداش 3

426
00:45:34,740 --> 00:45:40,960
يبقى 3 أو 6 9 يبقى 2π في 1 على

427
00:45:40,960 --> 00:45:48,140
12 يبقى π على 6 كذلك يبقى هذا الحجم اللي

428
00:45:48,140 --> 00:45:53,360
موجود هنا لحد هنا stop انتهى هذا ال section اللي

429
00:45:53,360 --> 00:45:57,080
هو 6.2 وعليكم أرقام المسائل

430
00:46:00,430 --> 00:46:09,110
يبقى exercises 6.2 المسائل التالية من واحد

431
00:46:09,110 --> 00:46:21,990
للاحداشر القد ومن 15 لتسعة وتلاتين القد كذلك

432
00:46:25,300 --> 00:46:29,740
مين اللي قال ليس بالضرورة لأ لإن هاجر نضل على

433
00:46:29,740 --> 00:46:31,420
الشجر نضل على الشجر تاني