PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/DOFH4XnuduE_postprocess.srt

1
00:00:19,490 --> 00:00:24,690
بسم الله الرحمن الرحيم في حديثنا السابق في ال

2
00:00:24,690 --> 00:00:28,850
sections الماضي من خمسة واحد لغاية خمسة خمسة كنا

3
00:00:28,850 --> 00:00:33,130
بنتكلم على ال homogenous

4
00:00:33,130 --> 00:00:38,000
differential equationفي خمسة ستة اعطينا مقدمة

5
00:00:38,000 --> 00:00:41,860
بسيطة انه انا لو بده اجيب حل ال non homogeneous

6
00:00:41,860 --> 00:00:46,540
equation star هذا بده اقسم المسألة الى جزئين ال

7
00:00:46,540 --> 00:00:49,540
homogeneous و ال non homogeneous ال homogeneous

8
00:00:49,540 --> 00:00:53,320
بحلها زى ما كنت حل في ال sections الماضية و بده

9
00:00:53,320 --> 00:00:57,340
اسميه ال complementary solution الحل المتمة وديله

10
00:00:57,340 --> 00:01:01,840
رمز YC بعد هيكهو يقول لو عندي particular solution

11
00:01:01,840 --> 00:01:07,400
حل خاص للمعادلة هذه a star باجمع الحالين تبع ال

12
00:01:07,400 --> 00:01:10,400
homogenous وال non homogenous بيعطيني حل محترم

13
00:01:10,400 --> 00:01:14,640
لمين للمعادلة اللي هي رقم a star يبقى هذه اللي

14
00:01:14,640 --> 00:01:20,860
قلناها في المرة الماضيةالان بدى انتقل الى هذا ال

15
00:01:20,860 --> 00:01:24,540
section وهو طريقة ال undetermined coefficients

16
00:01:24,540 --> 00:01:28,400
المعادلات اللى من هذا القبيل يابانات انها ثلاث طرق

17
00:01:28,400 --> 00:01:32,240
للحل الطريقة الأولى ال undetermined coefficients

18
00:01:32,240 --> 00:01:36,940
الطريقة الثانية ال variation of parameters الطريقة

19
00:01:36,940 --> 00:01:40,400
الثالثة ال reduction of orders والتلت طرق سناخدهم

20
00:01:40,400 --> 00:01:44,040
في هذا ال section و ال sectionالذي يليه له خمسة

21
00:01:44,040 --> 00:01:48,780
تمانية ان شاء الله تبارك وتعالى اليوم فقط هناخد ال

22
00:01:48,780 --> 00:01:51,760
undetermined coefficients كل المعلومات النظرية

23
00:01:51,760 --> 00:01:54,200
اللي بنيها من هذا ال section هي قدامك على اللوح

24
00:01:54,200 --> 00:01:59,440
ولم يبقى الا مجموعة من الأمثلة طيب نيجي للطريقة

25
00:01:59,440 --> 00:02:02,780
هذه بيقولي هذه المعادلة الأصلية اللي هي non

26
00:02:02,780 --> 00:02:07,600
homogeneous المعاملات دول يا بنات كلهم ثوابت تمام؟

27
00:02:07,710 --> 00:02:12,210
هذه المعادلة سأقوم بتقسيمها لهموجينياس ونون

28
00:02:12,210 --> 00:02:15,830
هموجينياس سأقوم بتقسيم الهموجينياس بالأول اللي هي

29
00:02:15,830 --> 00:02:20,510
المعادلة اللي عندنا هدى بدون f of x لو كانت تساوي

30
00:02:20,510 --> 00:02:24,750
زيرو يبقى الحل تبعها هيكون على الشكل اللي أننا كنا

31
00:02:24,750 --> 00:02:28,770
بنطلعهفي ال sections الماضية سواء كان ال complex

32
00:02:28,770 --> 00:02:34,130
roots or repeated roots ال roots are all different

33
00:02:34,130 --> 00:02:37,090
يبقى بالطرق التلاتة السابقة اللي كنا بيعملها

34
00:02:37,090 --> 00:02:41,630
وقلعنا هذا الحل تمام؟ الآن بدأ افترض ان هذا الحل

35
00:02:41,630 --> 00:02:45,630
هو لميلا المعادلة هذهنفرض Y تساوي يصر X ونجيب ال

36
00:02:45,630 --> 00:02:50,050
characteristic كواشي ونذهب للحل هنا ونجيبها خلصنا

37
00:02:50,050 --> 00:02:54,530
حل ال homogeneous بداجي للحل الخاص تبع ال non

38
00:02:54,530 --> 00:02:57,670
homogeneous اللي انها دي فباجي بقول we use the

39
00:02:57,670 --> 00:03:01,030
method of undetermined coefficients بدنا نستخدم

40
00:03:01,030 --> 00:03:05,870
طريقة المعاملات المجهولة والحين هنقولك لسه منها

41
00:03:05,870 --> 00:03:12,140
معادلات مجهولةعن طريق البحث عن حل لإيجاد

42
00:03:12,140 --> 00:03:16,420
حل خاص للنهوموجينيس الـ differential equation من

43
00:03:16,420 --> 00:03:20,540
الـ start اللي فوق اللي هي الـ non homogenous احنا

44
00:03:20,540 --> 00:03:24,100
هذا جيبنا له ال homogenous بدنا ال non homogenous

45
00:03:24,100 --> 00:03:29,560
يعطيه رمز YPكيف بنجيبه؟ بنستخدم طريقة الـ

46
00:03:29,560 --> 00:03:33,060
Undetermined coefficients إذا تحقق في المعادلة

47
00:03:33,060 --> 00:03:38,040
أمران ما هم الأمران هذه؟ الأمر الأول ذكرناه إن

48
00:03:38,040 --> 00:03:43,480
المعاملات هذول كلهم ثوابتالأمر الثاني يجب أن يكون

49
00:03:43,480 --> 00:03:49,420
ال f of x على شكل معين ماهو هذا الشكل المعين اللي

50
00:03:49,420 --> 00:03:53,700
لو تحقق في ال f of x بقدر استخدم ال undetermined

51
00:03:53,700 --> 00:04:00,550
coefficients دون غيرها بقول بسيطة جدالو جيت على

52
00:04:00,550 --> 00:04:05,690
الفوفيكس لاجيتها polynomial بدي اكتب شكل ال

53
00:04:05,690 --> 00:04:09,690
particular solution على polynomial زيها من نفس

54
00:04:09,690 --> 00:04:15,050
الدرجة بس المعاملات مش هم يبقى هدول هم ال

55
00:04:15,050 --> 00:04:19,450
undetermined coefficients تبعت طريقتنا هذه مضروبة

56
00:04:19,450 --> 00:04:23,830
كلهافى x to the power s مين ال x to the power s

57
00:04:23,830 --> 00:04:29,250
هذا ما سنجيب عليه بعد قليل يبقى خلّيكم صحين معانا

58
00:04:29,250 --> 00:04:34,890
لأن هذا very important مين هي ال x أس s هذا very

59
00:04:34,890 --> 00:04:41,680
important وهي عمود في قريف الحل والإجابةلو كانت ال

60
00:04:41,680 --> 00:04:45,460
F of X هذه على شكل polynomial في exponential

61
00:04:45,460 --> 00:04:49,620
polynomial من الدرجة النونية في exponential إذا

62
00:04:49,620 --> 00:04:53,620
شكل الحل الخاص بدي يكون X to the power S

63
00:04:53,620 --> 00:04:57,460
polynomial من الدرجة النونية زي ال polynomial هذه

64
00:04:57,460 --> 00:05:02,380
بالضبط في نفس ال exponential اللي عندي طيب الحالة

65
00:05:02,380 --> 00:05:07,300
التالتة و الأخيرة لو كانت ال F of X اللي عندي

66
00:05:07,900 --> 00:05:15,700
بولونوميال في exponential في cosine بي إكس أو sin

67
00:05:15,700 --> 00:05:24,620
بي إكس أو مجموعهما أو الفرق فيما بينهما يبقى عندي

68
00:05:24,620 --> 00:05:30,930
بولونوميال في exponential في ال cosineبكس أو ال

69
00:05:30,930 --> 00:05:35,510
polynomial في ال exponential في ال sign بكس أو ال

70
00:05:35,510 --> 00:05:39,290
polynomial في ال exponential في ال cosine بكس زي

71
00:05:39,290 --> 00:05:45,010
ال sign بكس الحالات هدول كلهم ذكرتهم لهم نفس ال

72
00:05:45,010 --> 00:05:48,390
particular solution شو ال particular solution بحط

73
00:05:48,390 --> 00:05:52,260
ال x to the power s كما في الحالتين السابقتينبعد

74
00:05:52,260 --> 00:05:55,740
ذلك بكتب polynomial من الدرجة النونية في cosine

75
00:05:55,740 --> 00:06:00,620
بكس زائد polynomial أخرى من الدرجة النونية في sin

76
00:06:00,620 --> 00:06:04,340
بكس وكله بضربه في مين؟ في ال exponential اللي

77
00:06:04,340 --> 00:06:10,080
عندنا خلصنا؟ خلصنا يبقى من حد ما جاحل بده أطلع على

78
00:06:10,080 --> 00:06:13,840
الشكل لفه فيك مش هان أشوف هل بنفعل هال polynomial

79
00:06:13,840 --> 00:06:18,800
هل بنفعل هال undetermined coefficients أم لا تمام

80
00:06:18,800 --> 00:06:24,010
بعد ما عرفت أنه معاملات ثوابتباجي بتطلعهذا الـ F

81
00:06:24,010 --> 00:06:28,030
of X polynomial يبقى شكل ال particular solution

82
00:06:28,030 --> 00:06:32,070
polynomial في X to the power S من نفس الدرجة إذا و

83
00:06:32,070 --> 00:06:34,610
الله polynomial في exponential يبقى كمان

84
00:06:34,610 --> 00:06:38,150
polynomial في exponential في X to the power S إذا

85
00:06:38,150 --> 00:06:41,190
polynomial في exponential في صين أو كوسين أو

86
00:06:41,190 --> 00:06:44,730
مجموحمة أو الفرق فيما بينهما يبقى X to the power S

87
00:06:44,730 --> 00:06:47,950
polynomial في الكوسين زائد polynomial من نفس

88
00:06:47,950 --> 00:06:50,990
الدرجة في الصين وكله مضمون في مين؟ في ال

89
00:06:50,990 --> 00:06:54,980
exponentialنجي لقصة ال X to the powers الشي هذه

90
00:06:54,980 --> 00:07:00,360
شايفين هذا الحل يا بنات ال complementary solution

91
00:07:00,360 --> 00:07:05,670
هذالو حل ال homogenous من حد ما اتطلعه بتحط ليه في

92
00:07:05,670 --> 00:07:11,330
برواز و هنجي نرجعله ايش نجي نرجعله انا كتبت شكل ال

93
00:07:11,330 --> 00:07:15,570
particular solution و غطيت هنا كأنها مش موجودة و

94
00:07:15,570 --> 00:07:22,210
جيت طلعت في الحل هل اي جزء هنا يشبه اي جزء هنا ولا

95
00:07:22,210 --> 00:07:28,150
لأ اذا فيش تشابه يبقى S ب Zero يبقى بصير X of Zero

96
00:07:28,150 --> 00:07:32,550
بقداشيبقى اللي كتبته هو و بدون X to the power S

97
00:07:32,550 --> 00:07:40,970
إذا في term واحد يشابه أي term من هدول بحط S بواحد

98
00:07:40,970 --> 00:07:47,230
بصير هذه مضروبة كلها في X باجي بطلع بعد هيك اختلف

99
00:07:47,230 --> 00:07:52,820
كل term عن ال term هنا يبقى شغلي تمام 100% خلصتإذا

100
00:07:52,820 --> 00:07:58,060
لاجيت لا يزال أي term من ال particular solution

101
00:07:58,060 --> 00:08:03,800
يشبه أي term من ال complementary solution بحط S ب

102
00:08:03,800 --> 00:08:08,540
2 يعني إذا واحد ماجبتش النتيجة بحط ب 2 تمام؟ و

103
00:08:08,540 --> 00:08:13,460
باجي بضرب فيها بصير عندي X تربيع مضربة في الجثة و

104
00:08:13,460 --> 00:08:17,730
X تربيع في الجثة و X تربيع في الجثة و باجي بطلعهل

105
00:08:17,730 --> 00:08:22,170
أي term من هنا يشبه أي term إذا مافيش شبه خلاص

106
00:08:22,170 --> 00:08:27,450
يبقى ال S بقداش؟ باتنين، في شبه بحط ال S بتلاتة و

107
00:08:27,450 --> 00:08:32,130
هكذا واضحة الصورة اللي هان؟ يبقاش بقول here ال S

108
00:08:32,130 --> 00:08:35,510
ممكن تاخد zero و ممكن واحد و ممكن اتنين و ممكن

109
00:08:35,510 --> 00:08:38,550
تلاتة و ممكن إلى ما شاء الله حصل طبيعة المعادلة

110
00:08:38,940 --> 00:08:45,180
بحيث no term of the solution ip وليه جزء في الحل

111
00:08:45,180 --> 00:08:51,040
yp اللي طلعنا هذا is a term in the solution yc هو

112
00:08:51,040 --> 00:08:55,240
عبارة عن term موجود هنا فيش وبحيث مايكونش عندي

113
00:08:55,240 --> 00:09:01,040
term بالمعنى وبالتالي لما بأجيخ بخلصك بجمع ال yp

114
00:09:01,040 --> 00:09:05,580
مع ال yc بيعطيني ال general solution تبع المعادلة

115
00:09:05,580 --> 00:09:12,050
starأظن واضحة الصورة؟ ها بدنا نطبقها على أرض

116
00:09:12,050 --> 00:09:16,970
الواقع يبقى جاب اللابدة يبدأ تطلع لشغل تيم هل

117
00:09:16,970 --> 00:09:22,110
المعادلة معاملتها ثوابت ولا لأ؟ اتنين هل ال F of X

118
00:09:22,110 --> 00:09:25,870
على أي شكل من الأشكال اللي عندي هذول ولا لأ؟ إذا

119
00:09:25,870 --> 00:09:29,210
والله تحقق الشرطان automatic بروح ال undetermined

120
00:09:29,210 --> 00:09:32,790
coefficients ما تحقق يبقى روح دور ع ال variation

121
00:09:32,790 --> 00:09:35,690
of parameters أو ال reduction of order أو ما إلى

122
00:09:35,690 --> 00:09:39,860
ذلكبناخد أمثلة بقول هاتل ال general solution

123
00:09:39,860 --> 00:09:44,040
للمعادلة اللي قدامي بقوله كويس يبقى أنا بدي أبدأ

124
00:09:44,040 --> 00:09:47,860
بمين بال homogeneous differential equation يبقى

125
00:09:47,860 --> 00:09:55,040
الحل كتري بدي أقوله let Y تساوي E أص RX be a

126
00:09:55,040 --> 00:10:05,800
solution of the homogeneous differential equation

127
00:10:06,110 --> 00:10:12,970
Equation للمعادلة y double prime زائد تلاتة y

128
00:10:12,970 --> 00:10:20,990
prime زائد اتنين y يساوي zero then

129
00:10:20,990 --> 00:10:25,710
the characteristic

130
00:10:27,280 --> 00:10:35,640
Equation is R تربيع زائد تلاتة R زائد اتنين يساوي

131
00:10:35,640 --> 00:10:41,900
زيرو بدي احل المعادلة هذه يبقى هذه R زائد واحد في

132
00:10:41,900 --> 00:10:49,560
Rزائد اتنين يساوي زيرو ومنها R1 تساوي سالب واحد

133
00:10:49,560 --> 00:10:55,040
وR2 تساوي سالب اتنين يبقى بناء عليه أصبح ال

134
00:10:55,040 --> 00:11:01,760
complementary solution YC يساوي C واحد في E أثناق

135
00:11:01,760 --> 00:11:09,040
X زائد C اتنين E أثناق اتنين X وببرزه وبروحه بخليه

136
00:11:09,560 --> 00:11:16,760
خلصنا ال homogenous بدنا نروح ندور على ال

137
00:11:16,760 --> 00:11:21,000
particular solution تبع ال non homogenous

138
00:11:21,000 --> 00:11:25,940
differential equation مشان هيك بدروح افحص الشرطين

139
00:11:25,940 --> 00:11:29,940
اللي عندنا بجيب اطلع على المعادلة اللي عندى هذه

140
00:11:31,200 --> 00:11:36,060
فالعولي هنا المعاملات كلهم ثوابت يبقى اتحقق الشرط

141
00:11:36,060 --> 00:11:40,940
الأول هنا ال F of X ستة وتلاتين X في U6 يبقى

142
00:11:40,940 --> 00:11:45,420
polynomial من الدرجة الأولى مضروبة في ال

143
00:11:45,420 --> 00:11:49,200
exponential اللي هو مهم الحالة التانية اللي عندنا

144
00:11:49,200 --> 00:11:58,800
اذا باجي بقوله they particular solution

145
00:12:00,390 --> 00:12:11,590
of the differential equation is in the form على

146
00:12:11,590 --> 00:12:19,620
الشكلي التالي yp يسوى x to the power svالان بدى

147
00:12:19,620 --> 00:12:22,680
اجي لل polynomial ال polynomial عندى من مين؟ من

148
00:12:22,680 --> 00:12:30,100
الدرجة الاولى يبقى باجي بقوله a node x زائد a1 في

149
00:12:30,100 --> 00:12:36,240
a أُس سالي ب 2x مظبوط؟ سالي ب 2x بالشكل اللى عندنا

150
00:12:36,240 --> 00:12:43,360
و باجي بقول استنى شوية الان بدى اشوف قداش قيمة S

151
00:12:43,360 --> 00:12:48,560
تمام؟ هدول لما غطي هذا من هنا كام term بيكونوا؟

152
00:12:50,830 --> 00:12:59,390
هل a1 في e²x لها ترم شبه في yc ولا لأ؟ وهل a⁻x في

153
00:12:59,390 --> 00:13:03,590
e²x لها ترم شبه في yc ولا لأ؟

154
00:13:06,660 --> 00:13:13,920
إي والسالب X هذه مفيش زيها هذي C2E والسالب 2X وهذه

155
00:13:13,920 --> 00:13:19,760
constant في E والسالب 2X هذه مع هذه مافيش تشابه

156
00:13:19,760 --> 00:13:25,020
تمام؟ إذا التشابه constant في مين؟ في E والسالب 2X

157
00:13:25,020 --> 00:13:30,940
إذا من شأن أشيل هذا التشابه بحط S بقداشلو حطيت S

158
00:13:30,940 --> 00:13:36,160
بواحد بصير

159
00:13:36,160 --> 00:13:39,880
عندي X تربيع ماعنديش X تربيع في ال exponential

160
00:13:39,880 --> 00:13:46,580
بصير عندي X في A1 في ال exponential فيه زيها يبقى

161
00:13:46,580 --> 00:13:52,040
ماعنديش إلا S بقداش فقط لا غير يبقى باجي بقوله

162
00:13:52,040 --> 00:13:58,610
hereالـ S تساوي واحد اللى بتغلق فى هذه البنات

163
00:13:58,610 --> 00:14:03,310
بيكون ضيعة المسألة لأن هذا عمود فقري عندى فى

164
00:14:03,310 --> 00:14:10,470
المسألة إذا بناء عليه بدي يصير ال Y P كتالي X فى A

165
00:14:10,470 --> 00:14:17,440
نود Xزائد a1x في a أثناق أثنين x يعني كأنه بدي

166
00:14:17,440 --> 00:14:24,620
يصير a نود x تربيع زائد a1x في a أثناق أثنين x

167
00:14:35,120 --> 00:14:44,100
انا مش سارق واحد اكس انا مش سارق واحد اكس انا مش

168
00:14:44,100 --> 00:14:50,480
سارق واحد اكس انا مش سارق واحد اكسهذه يا بنات هي E

169
00:14:50,480 --> 00:14:56,780
of 6 وليس E سلبي 2 X يعني أنا بتطلع للي عندنا هذه

170
00:14:56,780 --> 00:15:01,960
طبعا polynomial فيه 6 إذا بناء علي كل الكلام اللي

171
00:15:01,960 --> 00:15:06,960
قلته هذا ماله ماهوش صح يبقى ماهو الصحيح انه S

172
00:15:06,960 --> 00:15:12,200
بقداش بزيره لإن مافيش E of 6 عندي بالمرة طبعا يبقى

173
00:15:12,200 --> 00:15:18,390
باجي بقوله hereالـ S تساوي 0 يبقى بنانا عليها أصبح

174
00:15:18,390 --> 00:15:27,850
YP بدي ساوي A نوت X زائد A1 في الـ E و ال 6 هل

175
00:15:27,850 --> 00:15:32,690
احنا جيبنا شكل ال particle الصينيش؟مجهولين بدي

176
00:15:32,690 --> 00:15:37,410
اعرفهم هدول هم ال undetermined coefficients اي نود

177
00:15:37,410 --> 00:15:43,590
و اي واحد بدي اعرفهم كيف بسيطة جدا بدنا نرجع نعوض

178
00:15:43,590 --> 00:15:48,090
في المعادلة الأصلية اللي عندنا تمام؟ معناته بدي

179
00:15:48,090 --> 00:15:55,730
لزمني اللي هو ال YP' و YPW'هذه مش هنفضلها مشتقة

180
00:15:55,730 --> 00:16:02,490
حاصل ضرب دالتين يبقى مشتقة الأولى في الثانية زائد

181
00:16:02,490 --> 00:16:07,070
a node x زائد a1 مشتقة ال exponential بال

182
00:16:07,070 --> 00:16:13,920
exponential itselfبدنا الان ypw prime هذي مشتقة

183
00:16:13,920 --> 00:16:19,100
تكون اصلا ثابت و ال exponential بنفسها هذي حصل ضرب

184
00:16:19,100 --> 00:16:26,120
دالتين يبقى مشتقة الأولى في الثانية زائد ال a node

185
00:16:26,120 --> 00:16:30,520
x زائد ال a1 مشتقة ال exponential بال exponential

186
00:16:30,520 --> 00:16:39,030
itself يبقى صارت هذي اتنين a node us xزائد a

187
00:16:39,030 --> 00:16:48,010
naught x زائد ال a one كل هذا مضروب في ال EOSX

188
00:16:48,010 --> 00:16:52,010
بالشكل اللي عندنا هذا الان بدي امسك المعلومات اللي

189
00:16:52,010 --> 00:16:57,210
حصلت عليها واروح اعوض في المعادلة الأصلية هذه منها

190
00:16:57,210 --> 00:17:02,290
اللي بدي اسميها star فبجيب اقول هنا substitute

191
00:17:06,030 --> 00:17:14,510
N equation star we get الأول YW prime يبقى بده نزل

192
00:17:14,510 --> 00:17:24,850
هذول زي ما هما اتنين A node U6 زائد A1 X زائد A

193
00:17:24,850 --> 00:17:33,200
node X زائد ال A1 كله في ال U6 هذا مهماللي هو الـ

194
00:17:33,200 --> 00:17:37,620
YW' بدي تلاتة في الـ Y' وينه الـ Prime هايا بدي

195
00:17:37,620 --> 00:17:44,640
أضربها في تلاتة يبقى زائد تلاتة A node EO6 زائد

196
00:17:44,640 --> 00:17:51,730
تلاتة A node Xزائد تلاتة a one في ال a و ال six

197
00:17:51,730 --> 00:18:00,130
بعدها زائد اتنين y هي ال y يبقى زائد اتنين a node

198
00:18:00,130 --> 00:18:06,450
x زائد اتنين a one في ال a و ال six كله بده يسوى

199
00:18:06,450 --> 00:18:15,190
ستة و تلاتين x a و ال sixأيش رأيكوا؟ بدي أقسم كله

200
00:18:15,190 --> 00:18:18,970
على U6 الطرفين مرة واحدة حتى نتخلص من هذه الشغله

201
00:18:18,970 --> 00:18:26,570
بصير عندي اتنين A node زائد A node X زائد ال A1

202
00:18:26,570 --> 00:18:35,010
زائد تلاتة A node زائد تلاتة A node X زائد تلاتة

203
00:18:35,010 --> 00:18:43,610
A1 زائد اتنين A node Xزائد اتنين او اتنين او اتنين

204
00:18:43,610 --> 00:18:44,950
او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او

205
00:18:44,950 --> 00:18:47,610
اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين

206
00:18:47,610 --> 00:18:51,090
او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او

207
00:18:51,090 --> 00:18:53,370
اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين

208
00:18:53,370 --> 00:18:54,090
او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او

209
00:18:54,090 --> 00:18:54,870
اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين او اتنين

210
00:18:54,870 --> 00:19:02,180
او اتنين اهذه المعادلة فيها X وهذه المعادلة فيها X

211
00:19:02,180 --> 00:19:06,560
اش غير و سالب ماعنديش بالمرة في المعادلة مش مشكلة

212
00:19:06,560 --> 00:19:12,160
يبقى عند هنا بنات كده اش A node X و تلاتة A node X

213
00:19:12,160 --> 00:19:19,060
يبقى اربعة A node X و اتنين A node X يبقى ستة A

214
00:19:19,060 --> 00:19:26,670
node Xالان عندنا مين؟ عندنا اتنين a نوت و اتنين a

215
00:19:26,670 --> 00:19:33,230
one و تلاتة a note و تلاتة a one و اتنين a one نجي

216
00:19:33,230 --> 00:19:38,890
نجمع عندنا تلاتة a note و اتنين a note يبقى خمسة a

217
00:19:38,890 --> 00:19:45,000
noteنجمع A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و

218
00:19:45,000 --> 00:19:57,620
A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1 و A1

219
00:19:58,110 --> 00:20:02,270
الان بعد ما وصلنا هكذا بروح بقارن المعاملات في

220
00:20:02,270 --> 00:20:06,710
الطرفين إذا لو روحنا قارننا المعاملات في الطرفين

221
00:20:06,710 --> 00:20:14,790
بصير 6A نود بده يساوي 36 يبقى A نود يبقى 13 بنات

222
00:20:15,660 --> 00:20:23,420
بستة تمام and المعادلة التانية خمسة a node زائد

223
00:20:23,420 --> 00:20:28,780
ستة a one بده يساوي قداش zero هالحين a node عندي

224
00:20:28,780 --> 00:20:37,400
بستة يبقاش بصير عند هنا بصير خمسة في ستة زائد اللي

225
00:20:37,400 --> 00:20:46,210
هو ستة a one بده يساوي zero خمسة في ستةسالب تلاتين

226
00:20:46,210 --> 00:20:55,650
على ستة بصير ال A1 سالب خمسة يبقى بناء عليه اصبح

227
00:20:55,650 --> 00:21:01,990
ال particular solution YP يساوي هذا شكل ال

228
00:21:01,990 --> 00:21:06,510
particular solution هشيل ال A node و احط مكانها

229
00:21:06,510 --> 00:21:15,050
ستة يبقى هاي 6 Xناقص خمسة كله في من؟ في الـEO6

230
00:21:15,050 --> 00:21:21,070
بدنا شكل ال general solution يبقى باجي بقوله شكل

231
00:21:21,070 --> 00:21:25,950
ال general solution على الشكل التالي ده

232
00:21:40,470 --> 00:21:43,270
general solution

233
00:21:46,420 --> 00:21:56,140
Y تساوي YC زائد YP يبقى Y يساوي نجي YC وين YC هيو

234
00:21:56,140 --> 00:22:07,700
يبقى C1 E-X زائد C2 E-2X زائد الحل اللي طلعناه YP

235
00:22:07,700 --> 00:22:16,910
زائد 6X-5 كله في E-X يبقى هذاالجنرال صليوشي الامام

236
00:22:16,910 --> 00:22:23,510
للمعادلة التفاضلية اللي عندنا نجي ناخد مثال ثاني

237
00:22:23,510 --> 00:22:27,490
example

238
00:22:27,490 --> 00:22:32,190
two solve

239
00:22:32,190 --> 00:22:39,930
the differential equation

240
00:22:39,930 --> 00:22:46,550
حل المعادلة التفاضليةأصل الـ initial value problem

241
00:22:46,550 --> 00:23:01,850
يبقى الـ initial value problem يبقى

242
00:23:01,850 --> 00:23:02,790
الـ initial value problem يبقى الـ initial value

243
00:23:02,790 --> 00:23:04,550
problem يبقى الـ initial value problem يبقى الـ

244
00:23:04,550 --> 00:23:04,590
initial value problem يبقى الـ initial value

245
00:23:04,590 --> 00:23:04,730
initial value problem يبقى الـ initial value

246
00:23:04,730 --> 00:23:08,010
initial value problem يبقى الـ initial value

247
00:23:08,010 --> 00:23:09,990
problem يبقى الـ initial value problem يبقى الـ

248
00:23:09,990 --> 00:23:10,550
initial value problem يبقى الـ initial value

249
00:23:10,550 --> 00:23:15,400
problem يو ال y عند ال zero بده يساوي سالب واحد و

250
00:23:15,400 --> 00:23:21,400
ال y prime عند ال zero بده يساوي واحد و هاد يسميها

251
00:23:21,400 --> 00:23:24,140
لهمين المعادلة star

252
00:23:46,020 --> 00:23:55,040
هذا خلصنا منه نرجع

253
00:23:55,040 --> 00:23:56,220
لسؤال مرة تانية

254
00:24:01,960 --> 00:24:08,220
بنقول بسيطة يبقى احنا بدنا نيجي للحل على الشكل

255
00:24:08,220 --> 00:24:14,900
التالي بدنا ناخد ال homogeneous ونفرض اللي حل يبقى

256
00:24:14,900 --> 00:24:23,600
let Y تساوي E قصة RX بيه solution of the

257
00:24:23,920 --> 00:24:29,780
Differential equation اللى ع الشكل التالي زى prime

258
00:24:29,780 --> 00:24:33,700
نقص اتنين واحد ساوي زيرو اللى هى ال homogeneous

259
00:24:33,700 --> 00:24:38,200
بعد هيك باجى بقوله the characteristic

260
00:24:41,660 --> 00:24:49,880
Equation is R تربيع زائد الار ناقص اتنين يساوي

261
00:24:49,880 --> 00:24:55,460
زيرو هذه لو جيت حللت بحللها الى قوسين كله بده

262
00:24:55,460 --> 00:25:01,180
يساوي زيرو يبقى هنا R و هنا R هنا واحد هنا اتنين

263
00:25:01,180 --> 00:25:07,570
هنا زائد ناقصيبقى بالنسبة عليه صارت الار تساوي

264
00:25:07,570 --> 00:25:13,890
واحد والار تساوي سالب اتنين يبقى بالنسبة عليه بجيب

265
00:25:13,890 --> 00:25:21,190
حل المعادلة المتجانسة و بسميه YC يبقى C واحد EOS X

266
00:25:21,190 --> 00:25:27,310
زائد C اتنين EOS ناقص اتنين X الشكل اللي عندنا هذا

267
00:25:28,160 --> 00:25:32,960
الان بروح ادور على شكل ال particular solution باجي

268
00:25:32,960 --> 00:25:37,920
بطلع في المعادلة اللى عندى الشرط اللى هو المتحقق

269
00:25:37,920 --> 00:25:44,680
كله ثوابت الشرط التانى two exponential تنتين

270
00:25:44,680 --> 00:25:50,160
مختلفات عن بعض تماماأذا سأذهب لحفظ المعادلة التي

271
00:25:50,160 --> 00:25:54,460
لدي إلى معادلتين يعني بدل ما كنت أريد حل مثلا أريد

272
00:25:54,460 --> 00:25:59,480
حل مان تنتين معاكم المرة التي فاتت أخر نقطة في

273
00:25:59,480 --> 00:26:04,580
محاضرة المرة الماضية قلنا لو L of Y يساوي F of X و

274
00:26:04,580 --> 00:26:08,900
L of Y يساوي G of X هذه لـparticular solution وهذه

275
00:26:08,900 --> 00:26:11,240
لـparticular solution يبقى الـparticular solution

276
00:26:11,240 --> 00:26:15,440
للمعادلة الأصلية هو مجموع لإتنين تمام يبقى الآن

277
00:26:15,440 --> 00:26:21,830
بدنا نذهب نستخدمهيبقى باجي بقوله the differential

278
00:26:21,830 --> 00:26:30,910
equation a star is written as بروح بكتب على الشكل

279
00:26:30,910 --> 00:26:38,510
التالي y w prime زائد y prime ناقص اتنين y يسوى

280
00:26:38,510 --> 00:26:45,110
ستة e و ناقص x المعادلة التانية y w prime زائد y

281
00:26:45,110 --> 00:26:51,670
primeنقص اتنين Y يسوى اربعة E أس ناقص تلاتة X

282
00:26:51,670 --> 00:26:55,110
واضحة

283
00:26:56,200 --> 00:27:01,000
نظرة لأن F of X مجموعة دلتين وكل واحدة منفصلة عن

284
00:27:01,000 --> 00:27:05,300
التانية فجسمت المعادلة إلى معادلتين يعني لو روحت

285
00:27:05,300 --> 00:27:10,300
رجعتهم لأصلهم بصير هذا هو المعادلة الأصلية اللي

286
00:27:10,300 --> 00:27:15,240
عندى بس مضروبة في نص بيأثر على شكل الحل لا بيأثرش

287
00:27:15,240 --> 00:27:19,080
النص بيجي مع ال constants وكان الله بالسر عليما

288
00:27:19,080 --> 00:27:27,930
نجي لهذه بدنا ال Y P1يبقى باجي بقول X to the power

289
00:27:27,930 --> 00:27:33,910
S في Ion بقول

290
00:27:33,910 --> 00:27:37,510
المعادلة اللي عندنا هذه نظرا لإن ال exponential

291
00:27:37,510 --> 00:27:41,630
هذي تختلف عن ال exponential هذي بجزء المعادلة إلى

292
00:27:41,630 --> 00:27:46,150
معادلتين تمام بجيب الحل الخاص للمعادلة الأولى و

293
00:27:46,150 --> 00:27:50,050
بجيب الحل الخاص لمعادلة تانية يبقى الحل الخاص الكل

294
00:27:50,050 --> 00:27:55,230
هو مجموع ليمين مجموع لاتنينطبعا قد تستغربوا انه

295
00:27:55,230 --> 00:27:59,390
انا لو جمعت المعادلة تل اتنين هدول بيعطيهم

296
00:27:59,390 --> 00:28:03,070
المعادلة الأصلية هده زمان هي بس الطرف هذا مضروب في

297
00:28:03,070 --> 00:28:06,730
نص لإنه بيصير اتنين المعادلة ع الشمال يسوء المجموع

298
00:28:06,730 --> 00:28:11,090
لاتنين نصها اللي يؤثر على شكل الحل لأن نصها عند

299
00:28:11,090 --> 00:28:14,530
مناسب الحل بيكون داخل مع مين مع ال constants وكان

300
00:28:14,530 --> 00:28:18,290
الله بالسر عليه تمام يبقى باجي للمعادلة الأولى

301
00:28:18,290 --> 00:28:22,620
بقول X to the power S و باجي بطلعفي عندي هنا

302
00:28:22,620 --> 00:28:27,320
polynomial يا بنات؟ اه في بس polynomial من الدرجة

303
00:28:27,320 --> 00:28:36,560
الصفرية بقى بقوله ايه ايه أس ناقص X بس مش أكتر بدي

304
00:28:36,560 --> 00:28:41,300
أروح أدور على ال S باجي باطلع هل اللي بين قسين

305
00:28:41,300 --> 00:28:44,020
يشبه أي term عندنا؟

306
00:28:51,250 --> 00:29:03,920
يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقىيجي

307
00:29:03,920 --> 00:29:13,660
للمعادلة التانية ال YP2 YP2 بده يساوي هذا ال X to

308
00:29:13,660 --> 00:29:18,920
the power S فيه كمان نفس القصة بس بغير ال

309
00:29:18,920 --> 00:29:25,040
polynomial اللي هناك بروح بقوله هذه P في E أس ناقص

310
00:29:25,040 --> 00:29:34,940
تلاتة X تلاتة X في زيهايبقى الـ S يساوي 0 تمام؟ من

311
00:29:34,940 --> 00:29:40,400
أين جاء التلاتة هذه؟ آه، الحيها فوق، لا لا لا،

312
00:29:40,400 --> 00:29:46,220
استنى شوية هي E أس تلاتة X في المسألة، مظبوط؟ آه،

313
00:29:46,220 --> 00:29:52,200
يبقى هي E أس تلاتة X في المسألة الموجودة، يبقى فيش

314
00:29:52,200 --> 00:29:57,140
تشابه ما بينها وبين أي term هنا يبقى كمان هنا،

315
00:29:57,140 --> 00:30:04,970
hereS is equal to zero يبقى أصبح ال YP2 بيساوي B

316
00:30:04,970 --> 00:30:10,010
في E أث ناقص تلاتة X إذا صار شكل ال particular

317
00:30:10,010 --> 00:30:18,590
solution YP يساوي YP1 زائد YP2 يبقى A في E أث ناقص

318
00:30:18,590 --> 00:30:25,050
X زائد B في E أث ناقص تلاتة X يبقى صار شكل ال

319
00:30:25,050 --> 00:30:26,530
general solution

320
00:30:33,070 --> 00:30:44,770
Y تساوي YC زائد YP وين ال Y يبقى هذه ال Y يساوي YC

321
00:30:52,230 --> 00:30:59,650
بنطلع شكل a قد قيمة a وb يبقى بدى ارجع وين بدى

322
00:30:59,650 --> 00:31:04,490
ارجع اه اه اه استنى استنى شوية هذا شكله بس بدى

323
00:31:04,490 --> 00:31:11,390
اطلع قد قيمة a وb يبقى بداجي هنا y p one prime

324
00:31:11,390 --> 00:31:15,310
ناقص a في u ناقص x تمام

325
00:31:19,020 --> 00:31:25,340
وYP1W' يساوي A في E أس ناقص X نرجع نعوض ناخد

326
00:31:25,340 --> 00:31:29,840
المعلومات هذه ونعوض في المعادلة اللي فوق يبقى ال

327
00:31:29,840 --> 00:31:39,340
YW' صارت A في E أس ناقص X زائد Y' اللي هي ناقص A

328
00:31:39,340 --> 00:31:46,860
في E أس ناقص Xوهنا ناقص اتنين a في ال E اص ناقص X

329
00:31:46,860 --> 00:31:52,840
كله بدي يساوي الستة E اص ناقص X اظن هدول اتنين مع

330
00:31:52,840 --> 00:31:57,860
بعض الله سهل عليهم وبناء ان عليه بصير سالي باتنين

331
00:31:57,860 --> 00:32:05,460
a يساوي ستة يبقى ال a تساوي قداشسالب تلاتة نجي

332
00:32:05,460 --> 00:32:10,380
بالمثل هنا يساوي

333
00:32:10,380 --> 00:32:18,080
ناقص تلاتة بي اث ناقص تلاتة اكس و ال YPW prime

334
00:32:18,080 --> 00:32:24,440
يساوي تسعة بي اث ناقص تلاتة اكس بدنا ناخد المعلومة

335
00:32:24,440 --> 00:32:28,960
اللي حصلنا عليها و نرجع نعوض في المعادلة اللي فوق

336
00:33:00,010 --> 00:33:06,460
يبقى ايش بيصير عندناتالش معي ليه؟هدول قداش؟ خمسة،

337
00:33:06,460 --> 00:33:11,700
مظبوط؟ خمسة هو، هذه واحدة، تسعة، يبقى بصير عندك

338
00:33:11,700 --> 00:33:18,200
قداش؟ أربعة بي تساوي، هدا بدي يعطيني أربعة بي

339
00:33:18,200 --> 00:33:24,380
تساوي قداش؟ أربعة، يبقى بي تساوي واحد، يبقى أصبح

340
00:33:24,380 --> 00:33:31,280
YP2 يساوي E أصناع قصة ثلاثة X بالشكل اللي عندنا

341
00:33:31,280 --> 00:33:41,490
هذايبقى الان اصبح YP يسوى YP1 زائد YP2 يسوى الان

342
00:33:41,490 --> 00:33:44,630
YP1

343
00:33:44,630 --> 00:33:50,330
يسوى

344
00:33:50,330 --> 00:33:58,350
YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1

345
00:33:58,350 --> 00:33:58,810
يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى

346
00:33:58,810 --> 00:34:00,170
YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1

347
00:34:00,170 --> 00:34:00,570
يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى

348
00:34:00,570 --> 00:34:01,730
YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسوى YP1 يسو هدا ال

349
00:34:01,730 --> 00:34:10,930
P1 بالزائد زائد E اص ناقص تلاتة X بالضبط تمام طيب

350
00:34:10,930 --> 00:34:15,290
الان بدي ال general solution باجي بقول له that

351
00:34:15,290 --> 00:34:19,110
general solution

352
00:34:25,570 --> 00:34:31,490
YCYP YCYP YCYP

353
00:34:31,490 --> 00:34:32,730
YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP

354
00:34:32,730 --> 00:34:33,470
YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP

355
00:34:33,470 --> 00:34:37,870
YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP

356
00:34:37,870 --> 00:34:40,570
YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP YCYP

357
00:34:40,570 --> 00:34:41,730
YCYP YCYP YCYP

358
00:34:49,970 --> 00:34:54,770
الان مديني initial conditions اتنين يبقى بقدر انا

359
00:34:54,770 --> 00:34:59,520
اجيب له y عندي ال zero y prime بعد ما نشتق هذهيبقى

360
00:34:59,520 --> 00:35:07,840
لو جيت كلفة Y' يبقى C1EOS X ناقص اتنين C2EOS ناقص

361
00:35:07,840 --> 00:35:15,760
اتنين X وهنا زائد تلاتة EOS ناقص X وهنا ناقص تلاتة

362
00:35:15,760 --> 00:35:23,230
EOS ناقص تلاتة Xالان نجي يقول ي عند ال zero تساوي

363
00:35:23,230 --> 00:35:27,790
قدر السلب واحد وي عند ال zero تساوي سلب واحد

364
00:35:27,790 --> 00:35:35,330
implies سلب واحد يساوي c واحد زائد c اتنين ناقص

365
00:35:35,330 --> 00:35:42,680
تلاتة زائد واحدمعنى هذا الكلام ان c1 زائد c2 يساوي

366
00:35:42,680 --> 00:35:47,960
بضل هنا قداش ناقص اتنين بدي اوديهم علي شجة تانية

367
00:35:47,960 --> 00:35:54,500
بصير قداش واحد فقط لا غير الان بدي اجي لل y prime

368
00:35:54,500 --> 00:35:58,240
عند ال zero بدي يساوي واحد اللي هو ال conditioning

369
00:35:58,240 --> 00:36:04,240
الثاني implies ان واحد يساوي هي ال y prime هشيل كل

370
00:36:04,240 --> 00:36:13,440
X وحط مكانها zeroيبقى C1-2C2 زائد تلاتة وهنا ناقص

371
00:36:13,440 --> 00:36:19,200
تلاتة تمام هادي و هادي مع السلامة يبقى هذا بدي

372
00:36:19,200 --> 00:36:23,800
يعطينا C1-2C2

373
00:36:23,800 --> 00:36:29,400
بدي أسوي كمان جدراشهذه الأولى نجلناها الشجرة

374
00:36:29,400 --> 00:36:34,020
التانية بيعطيك هذه واحد وهذه كمان كده اش هذه كمان

375
00:36:34,020 --> 00:36:38,140
واحد طب يابنتك بتدرجع المعادلة الأولى واضربها في

376
00:36:38,140 --> 00:36:46,700
سالب يبقى سالب C1 سالب C2 بده يسوى كده اش سالب

377
00:36:46,700 --> 00:36:55,130
واحد هذه C1 نقص اتنين C2 يسوى كده اش1 لو جيت جماعة

378
00:36:55,130 --> 00:37:01,930
هدول بقداش بـ 0 هذا معناه سالب تلاتة C2 بده يساوي

379
00:37:01,930 --> 00:37:09,570
0 يبقى معناه هذا الكلام انه C2 بده يساوي 0 لما C2

380
00:37:09,570 --> 00:37:16,690
يساوي 0 يبقى C1 بده يساوي كدهاش C2 يساوي يبقى C1

381
00:37:16,690 --> 00:37:25,800
يساوي 1 يبقى بناء عليه أصبح ذاSolution of the

382
00:37:25,800 --> 00:37:35,620
initial value problem is Y تساوي هاي بده اشيل C1 و

383
00:37:35,620 --> 00:37:41,280
اكتب مكان واحد يبقى وضلت EOS X C2 ب Zero يبقى طاري

384
00:37:41,280 --> 00:37:46,440
ال term اللي عندنا هذا يبقى ناقص تلاتة EOS ناقص X

385
00:37:46,440 --> 00:37:53,770
زائد EOS ناقص تلاتة Xبالشكل اللي عندنا هذا لا يزال

386
00:37:53,770 --> 00:37:59,270
هناك المزيد من الأمثلة إلى المحاضرة القادمة ان شاء

387
00:37:59,270 --> 00:38:00,590
الله تعالى