PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/SeyE20uTyhg.srt

1
00:00:05,300 --> 00:00:13,060
بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السادسة مساق تحليل

2
00:00:13,060 --> 00:00:18,680
حقيقة 2 لطلبة قسم رياضيات بكلية العلوم بالجامعة

3
00:00:18,680 --> 00:00:23,220
الإسلامية بغزة. الحديث اليوم إن شاء الله هيكون حول

4
00:00:23,220 --> 00:00:30,200
قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) 

5
00:00:30,200 --> 00:00:38,320
بتمر في التفاضل والتكامل (calculus) بتمر من ناحية

6
00:00:38,320 --> 00:00:45,100
عملية استخدامها وتوظيفها لحل اللي هي بعض النهايات

7
00:00:45,100 --> 00:00:50,400
اللي بيكون .. اللي هو عجزنا عن حلها بطرق عادية

8
00:00:51,750 --> 00:00:57,550
هنشوف الآن في الحديث عن قواعد لوبيتال حول اللي

9
00:00:57,550 --> 00:01:01,570
هو كيف اللي هو أن نبرهن هذه اللي هي القواعد كيف نشتق

10
00:01:01,570 --> 00:01:06,310
هذه القواعد كيف اللي هو أيضًا بشكل سريع حول اللي

11
00:01:06,310 --> 00:01:12,490
هي استخدام هذه القواعد طبعًا 

12
00:01:12,490 --> 00:01:16,430
في الأول هنتحدث عن الكميات الغير معينة

13
00:01:17,020 --> 00:01:23,580
(indeterminate forms) اللي هي اللي بتعالجها اللي هي

14
00:01:23,580 --> 00:01:28,840
قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) عندي على سبيل المثال لو جينا أخدنا

15
00:01:28,840 --> 00:01:37,090
الـ limit اللي هو x على x<sup>3</sup> على x<sup>2</sup> مثلًا as x

16
00:01:37,090 --> 00:01:44,730
goes to zero  الـ limit αx على x لما x تروح للزيرو

17
00:01:44,730 --> 00:01:50,670
الـ limit اللي هو x<sup>2</sup> على x لما x تروح للزيرو

18
00:01:50,670 --> 00:01:59,900
الـ limit x على x<sup>3</sup> لما x تروح للزيرو الـ limit مثلًا

19
00:01:59,900 --> 00:02:07,100
-x على x<sup>3</sup> لما x تروح لـ 0 لو طلعنا على

20
00:02:07,100 --> 00:02:11,440
اللي هي الـ limits اللي موجودة هنا كلها على صورة

21
00:02:11,440 --> 00:02:16,260
اللي هي لو تعويض مباشر هنلاقيها على صورة 0 على 0

22
00:02:16,960 --> 00:02:21,420
الآن كمية 0 على 0 بالطرق السابقة كان اللي هو أنه

23
00:02:21,420 --> 00:02:27,620
احنا صعب اللي هو نتعامل معها لكن في بعض الأحيان زي

24
00:02:27,620 --> 00:02:30,520
الحالة هذه هنلاقي أنه احنا بنعرف نتعامل معها و

25
00:02:30,520 --> 00:02:36,140
بنعرف نحكم عليها اللي هلاحظ أنه كل رغم أن كلها 0

26
00:02:36,140 --> 00:02:41,100
على 0 إلا أنها بتعطي في كل حالة شيء مختلف عن

27
00:02:41,100 --> 00:02:47,350
الحالة الثانية الآن هذه مثلًا عبارة عن الـ limit 1 على x

28
00:02:47,350 --> 00:02:51,030
لما x تروح للـ 0 طبعًا 1 على x لما x تروح للـ 0 إيش

29
00:02:51,030 --> 00:02:53,710
مالها؟ does not exist لأنه من اليمين بتعطي ما لا نهاية

30
00:02:53,710 --> 00:02:56,790
ومن اليسار بتعطي سالب ما لا نهاية عشان هيك

31
00:02:56,790 --> 00:03:02,510
كده يبقى نقول عنها does not exist لأن الـ limit αx

32
00:03:02,510 --> 00:03:06,210
على x لما x تروح للـ 0 هو يساوي عبارة عن α

33
00:03:06,960 --> 00:03:09,720
اللي هو عبارة عن عدد حقيقي (real number) لو فرضنا أنه α

34
00:03:09,720 --> 00:03:13,480
ماخدينها احنا عدد حقيقي (real number) إذا أنا أعطتني عدد

35
00:03:13,480 --> 00:03:16,320
أول ما أعطتني اللي هي أنا أعطتني does not exist

36
00:03:16,320 --> 00:03:20,620
الحالة الثانية اللي هي بتطلع الـ limit x لما x تروح ل

37
00:03:20,620 --> 00:03:24,330
0 برضه أعطتنا إيه؟ أعطتنا عدد حقيقي (real number) في الحالة اللي

38
00:03:24,330 --> 00:03:28,670
بعدها أعطتنا اللي هو عبارة عن الـ limit 1 على x<sup>2</sup>

39
00:03:28,670 --> 00:03:32,790
لما x تروح للصفر يعني أعطتنا إيش؟ مالها؟ زائد ما لا نهاية

40
00:03:32,790 --> 00:03:37,070
في الحالة الثالث الأخيرة هتعطينا اللي هو

41
00:03:37,070 --> 00:03:42,770
ناقص الـ limit 1 على x<sup>2</sup> لما x تروح للزيرو بمعنى

42
00:03:42,770 --> 00:03:46,700
آخر سالب ما لا نهاية يعني الـ Indeterminate Form Zero

43
00:03:46,700 --> 00:03:51,880
على Zero أعطتنا اللي هو أجوبة أو قيم مختلفة تابعًا

44
00:03:51,880 --> 00:03:56,280
لطبيعة كل حالة من الحالات اللي موجودة مرة أعطتنا

45
00:03:56,280 --> 00:03:59,700
doesn't exist مرة أعطتنا ما لا نهاية ومرة أعطتنا ما لا 

46
00:03:59,700 --> 00:04:03,640
نهاية و1 5 6 ناقص 1 اللي بدناها اللي هو

47
00:04:03,640 --> 00:04:09,020
ناقص ما لا نهاية وما لا نهاية الآن الـ  الـ الـ الـ

48
00:04:09,020 --> 00:04:13,780
الـ Indeterminate form هذه اللي الآن يعني بدنا

49
00:04:13,780 --> 00:04:19,780
نحاول نعالجها بـ 

50
00:04:19,780 --> 00:04:25,400
نحاول نعالجها بـ الـ الـ بقواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) الـ

51
00:04:25,400 --> 00:04:28,640
Indeterminate Form اللي عندنا اللي هو 0 على 0 طبعًا

52
00:04:28,640 --> 00:04:33,240
في Indeterminate Form أخرى برضه هتعالجها اللي هي الـ L

53
00:04:33,240 --> 00:04:38,620
'Hôpital's Rule أو Rules اللي هي زي ما لا نهاية على

54
00:04:39,400 --> 00:04:43,280
ما لا نهاية أيضًا هذول الشغلتين الأساسيات اللي

55
00:04:43,280 --> 00:04:47,480
هتعالجها اللي بقواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rule) مباشرة بنظريات مباشرة

56
00:04:47,480 --> 00:04:51,240
عليها أيضًا هتظهر لو ظهرت عندنا مثلًا ما لا نهاية ناقص

57
00:04:51,240 --> 00:04:55,640
ما لا نهاية اللي هو Zero to Infinity Infinity to Zero

58
00:04:55,640 --> 00:05:01,160
إلى آخره هذوله حالات أخرى اللي هو بنقدر نحولهم عن

59
00:05:01,160 --> 00:05:04,800
طريق الـ ln أو عن طريق الـ exponential أو بطرق

60
00:05:04,800 --> 00:05:08,820
معينة للّي هي الـ formula هذه ومن ثم استخدام اللي

61
00:05:08,820 --> 00:05:12,240
هو قواعد لوبيتال (L'Hôpital's Rules) هذه عادة الشغلات اللي كانت

62
00:05:12,240 --> 00:05:16,460
تعالجها اليمين اللي هو الـ calculus أو التفاضل اللي

63
00:05:16,460 --> 00:05:20,500
أخدناه في سنة أولى أو سنة أولى أو سنة ثانية نطلع

64
00:05:20,500 --> 00:05:26,260
لفوق نيجي الآن نأخذ النظرية الأولى اللي هي لقواعد 

65
00:05:26,260 --> 00:05:30,540
لوبيتال الأولى الـ formula الأولى أو الصورة الأولى

66
00:05:30,540 --> 00:05:35,660
نظرية بسيطة ونظرية مرت عليكم وإثباتها أيضًا

67
00:05:35,660 --> 00:05:41,200
هتلاحظوا أنه اللي هو بسيط إيش النظرية بتقول؟ بتقول

68
00:05:41,200 --> 00:05:43,680
ما يلي عندي

69
00:05:45,330 --> 00:05:51,250
Let F be defined على الفترة المغلقة A وB ونفترض أن

70
00:05:51,250 --> 00:05:55,630
F of A وG of A ما يساوي؟ صفر ونفترض أن G of X لا

71
00:05:55,630 --> 00:06:00,470
تساوي صفر في الفترة اللي هي بين A وB ونفترض لو

72
00:06:00,470 --> 00:06:04,420
كانت F وG differentiable عند الـ A وG' عند الـ A

73
00:06:04,420 --> 00:06:07,880
لا يساوي صفر مفترضين G' لا يساوي صفر then the

74
00:06:07,880 --> 00:06:14,240
limit of F على G at A exist وتساوي F' على G' و

75
00:06:14,240 --> 00:06:19,580
إذا كان تحت كل هذا الشروط بيطلع عندي اللي هو ال

76
00:06:19,580 --> 00:06:24,320
limit had exist وبالضبط هذا الـ limit بيساوي F' على

77
00:06:24,320 --> 00:06:29,780
G' of A على F' of A نشوف النظرية ونشوف برهان النظرية

78
00:06:29,780 --> 00:06:38,960
(theorem) عندي ماخد الـ F والـ G عبارة عن دوال من A

79
00:06:38,960 --> 00:06:47,280
وB لعند R مفترض أن الـ F of A بيساوي الـ G of A

80
00:06:47,280 --> 00:06:53,680
بيساوي إيش؟ بيساوي صفر ومفترض أن الـ G of X

81
00:06:58,040 --> 00:07:09,500
لا تساوي 0 لكل X وموجودة في الفترة A وB فرضنا

82
00:07:09,500 --> 00:07:16,260
كمان F وG differentiable عند الـ A F prime

83
00:07:16,260 --> 00:07:22,740
of A وG prime of A exists 60 2 وهذه لا تساوي

84
00:07:22,740 --> 00:07:29,900
إيش؟ لا تساوي صفر تحت هذه الظروف كلها بيكون عندي الـ limit

85
00:07:29,900 --> 00:07:38,410
f of x على g of x as x بتروح لل a طبعًا ال a الفترة

86
00:07:38,410 --> 00:07:43,390
اللي عندنا هي فترة من وين؟ من عند a لعند b إذا

87
00:07:43,390 --> 00:07:46,270
أكيد ال x إذا تروح لل a ما فيش مجال لها ال x اللي

88
00:07:46,270 --> 00:07:49,210
بتروح لل a اللي من وين؟ من جهة اليمين لأنه هي

89
00:07:49,210 --> 00:07:52,450
المنطقة اللي أنا عمال قاعد بشتغل فيها الفترة من a ل

90
00:07:52,450 --> 00:07:57,870
b إذا ال x بتروح لل a من وين؟ من اليمين هيساوي اللي

91
00:07:57,870 --> 00:08:06,930
هو f prime عند ال a على g prime عند الـ A يعني

92
00:08:06,930 --> 00:08:09,910
بمعنى آخر إيش اللي .. إيش .. إيش .. إيش .. كيف هم

93
00:08:09,910 --> 00:08:13,650
نطبق هذه النظرية؟ كانت تعرض علينا الـ limit نيجي

94
00:08:13,650 --> 00:08:19,650
يقول لنا أوجد الـ limit للـ F of X على G of X لما X

95
00:08:19,650 --> 00:08:25,090
تروح لمين؟ لل A من اليمين نيجي الآن الـ F of A نعوض

96
00:08:25,090 --> 00:08:29,500
تعويض مباشر ده طلعت عند 0 على 0 وكانت عندي الشروط

97
00:08:29,500 --> 00:08:32,520
هذه مكتملة اللي هي الـ F والـ G differentiable و

98
00:08:32,520 --> 00:08:36,080
الـ F prime والـ G prime موجودات عند الـ A على طول

99
00:08:36,080 --> 00:08:42,420
نحط هذه إيش؟ بتساوي F prime of A على G prime of A

100
00:08:42,420 --> 00:08:48,880
معايا فهذه اللي هي .. اللي هي .. كيفية تطبيق

101
00:08:48,880 --> 00:08:53,500
النظرية نيجي لإثبات برهان النظرية البرهان بسيط

102
00:08:53,500 --> 00:08:54,680
عندي

103
00:08:59,270 --> 00:09:11,330
خذ عندي for x بين a وبين b لو جيت حسبت الهدف

104
00:09:11,330 --> 00:09:18,970
الهدف الموجودة هذه الـ f of x على g of x إيش هتساوي؟

105
00:09:18,970 --> 00:09:28,250
هتساوي f of x ناقص f of a على g of x ناقص g of a ليش؟

106
00:09:28,250 --> 00:09:31,110
لأن الـ f of a والـ d of a ليش؟ ما أعطينا إياهم بيساوي

107
00:09:31,110 --> 00:09:34,170
صفر ليش عملت هيك؟ لأ بدأت أعمل أكثر من هي بدأت أعمل

108
00:09:34,170 --> 00:09:39,110
أقسم هذا على x minus a وهذا على x ما لها minus a

109
00:09:40,060 --> 00:09:43,580
طبيعي ال x لا تساوي ال a الآن أنا باخد الـ limit

110
00:09:43,580 --> 00:09:47,620
للجهتين وبتجرأ وبأخد موزع لأن أنا ضامن من الـ F

111
00:09:47,620 --> 00:09:51,260
prime of A موجودة والـ G prime of A موجودة ومش هيك

112
00:09:51,260 --> 00:09:54,160
وكمان الـ G prime of A لا تساوي 0 إذا كل أموري تمام

113
00:09:54,160 --> 00:09:58,220
التمام إذا بأخذ الـ limit للجهتين لما X تروح لل A

114
00:09:58,220 --> 00:10:04,040
من اليمين بيساوي الـ limit لما X تروح لل A من اليمين

115
00:10:05,480 --> 00:10:09,560
والشيء اللي تحت وزعت ليش وزعت؟ ضامن أن الـ limit

116
00:10:09,560 --> 00:10:14,520
exist والـ limit اللي تحت كمان لا تساوي صفر هذه

117
00:10:14,520 --> 00:10:20,400
اللي هي عبارة عن مين؟ هذه تعريف F prime of A وهذه

118
00:10:20,400 --> 00:10:26,660
تعريف G prime of A بكون أنا حصلت على اللي هو اللي

119
00:10:26,660 --> 00:10:33,300
بدي إياه هذه اللي هي النظرية الأولى في اللي هو هذا ال

120
00:10:33,300 --> 00:10:37,890
section اللي يعني بتحذير بقول لك أنه أنت يعني تعرضت

121
00:10:37,890 --> 00:10:46,230
عليك الـ limit 17x ولا .. قداش؟ مش مشكلة x زائد 17 أين

122
00:10:46,230 --> 00:10:51,750
كانت بنفع x زائد 17 على 2x زائد 3 مثلًا لما x تروح

123
00:10:51,750 --> 00:10:55,500
لمين؟ للصفر هو مش ميقوم لما نشوف على طول ونروح

124
00:10:55,500 --> 00:11:00,960
نفاضل بنفعش أنت يعني بتلتبس بيصير نفاضل الجهتين

125
00:11:00,960 --> 00:11:06,340
بيطلع 1 على 2 لأ هو أنا بقول بتساوي الـ f

126
00:11:06,340 --> 00:11:10,720
prime على g prime عند ال zero لما نكون هدي zero و

127
00:11:10,720 --> 00:11:16,080
هدي zero لكن لا هدي zero ولا هدي zero إذا بنفعش

128
00:11:16,260 --> 00:11:21,280
تحديد هذا نقول بتساوي اللي هو الـ limit من فعش نقول

129
00:11:21,280 --> 00:11:24,540
بتساوي الـ limit 1 على 2 على اعتبار فاضلنا

130
00:11:24,540 --> 00:11:28,800
ويساوي نصف وهذا الكلام غير صحيح لأن الـ limit زي ما

131
00:11:28,800 --> 00:11:32,800
أنتم عارفين لهذا المقدار بالتعويض المباشر هو

132
00:11:32,800 --> 00:11:42,780
عبارة عن 17 على 3 هذا كلام سهل نأخذ مثال تطبيقي

133
00:11:42,780 --> 00:11:48,310
على النظرية اللي عندنا المثال التطبيقي برضه مثال

134
00:11:48,310 --> 00:11:56,530
مباشر عرض علينا الآن example عرض

135
00:11:56,530 --> 00:12:04,830
علينا بقول أو جد الـ limit x<sup>2</sup> زائد x على sin 2x

136
00:12:04,830 --> 00:12:09,530
لما x تروح لمين؟ للزيرو بالمناسبة، النظرية اللي قبل

137
00:12:09,530 --> 00:12:13,070
بشوية حكينا عنها سواء كانت الـ A اللي بتروح لها end

138
00:12:13,070 --> 00:12:17,150
point أو نقطة داخلية أو حتى left end point بتظبط

139
00:12:17,150 --> 00:12:22,150
عليها النظرية والبرهان similarly ماشي الحال؟ واضح

140
00:12:22,150 --> 00:12:28,430
هاه؟ طيب، وإيه السبب؟

141
00:12:28,430 --> 00:12:34,390
لأن الاختبار صفر على صفر هذه differentiable وهذه

142
00:12:34,390 --> 00:12:38,970
differentiable كل أمورها مية وكويسة ومش هي كمان

143
00:12:38,970 --> 00:12:43,730
ولو فضلت هتلاقي اللي هنا لا يساوي صفر إذا على طول

144
00:12:43,730 --> 00:12:50,410
بقول 2x عند الـ zero بفاضل جاعد وبعوض يعني هذه

145
00:12:50,410 --> 00:12:56,950
سميتها وكأنها F وهذه g f of x وهذه g of x بعوض f

146
00:12:56,950 --> 00:13:02,190
prime of zero بعوض هنا g prime of zero الآن f

147
00:13:02,190 --> 00:13:06,490
prime of zero 2x زائد 1 في صفر بيصير 2

148
00:13:06,490 --> 00:13:11,850
في صفر زائد 1 وتحت اللي هو تفاضلها 2 cosine

149
00:13:11,850 --> 00:13:16,970
2x بيصير 2 cosine 2x وعوض بصفر بيصير

150
00:13:16,970 --> 00:13:25,500
2 cosine 2 في صفر وهذا يعني بيساوي اللي هو

151
00:13:25,500 --> 00:13:30,140
1 على 2 على اعتبار كوصالة Zero بيساوي 1

152
00:13:30,140 --> 00:13:36,760
هذه اللي هي تطبيق النظرية اللي عندي نيجي الآن للـ

153
00:13:36,760 --> 00:13:40,480
Cauchy Mean Value Theorem الـ Cauchy Mean Value

154
00:13:40,480 --> 00:13:46,140
Theorem تعميم للـ Mean Value Theorem اللي احنا 

155
00:13:46,140 --> 00:13:52,050
عارفينها بدل ما هو على دالة نحكي عن إيش عن دالتين

156
00:13:52,050 --> 00:14:00,930
نشوف إيش اللي بيقوله النظرية بتقول ما يلي لأن

157
00:14:00,930 --> 00:14:11,690
theorem عند F و G دالتين من A و B ماخدهم من A و B

158
00:14:11,690 --> 00:14:17,390
لعند R جاي لي نفس شروط الـ mean value theorem

159
00:14:17,390 --> 00:14:22,150
العادية بدل ما هي على دالة دالتين جاي لي F و G

160
00:14:22,150 --> 00:14:35,270
continuous on A و B and differentiable on O B ماشي

161
00:14:35,270 --> 00:14:42,230
الحال ومعطيني أيضاً بيقولي الـ G prime لل X لا تساوي

162
00:14:42,230 --> 00:14:49,110
صفر لكل X وين موجودة في الـA والـB اللي أنا

163
00:14:49,110 --> 00:14:59,190
بيقول له النتيجة then there exist لنتيجة then then

164
00:14:59,190 --> 00:15:09,250
هذا كله معطى if this hold then then

165
00:15:09,250 --> 00:15:18,160
there exist C Element in A و B such that G أو F 

166
00:15:18,160 --> 00:15:25,820
prime of C على G prime of C بيساوي F of B ناقص F of

167
00:15:25,820 --> 00:15:35,360
A على G of B ناقص G of A الـ proof ده كلام سهل

168
00:15:35,360 --> 00:15:38,140
كمان الـ proof نشوف كده

169
00:15:41,590 --> 00:15:46,050
عندي يا جماعة أول إشي هو معطيني إيش مالها g prime

170
00:15:46,050 --> 00:15:51,650
of x إيش مالها لا تساوي صفر إذا by rules theorem

171
00:15:51,650 --> 00:15:58,490
هيكون g of b لا تساوي مين g of a كيف أذكركم أذكركم

172
00:15:58,490 --> 00:16:03,950
كيف الآن إيش rules theorem كانت بتقول g من a و b

173
00:16:03,950 --> 00:16:14,130
لعند r continuous on a و b و differentiable on a و

174
00:16:14,130 --> 00:16:21,270
b هذا ما أعطينا إياه هو ماشي الحال بيقول لي if g of

175
00:16:21,270 --> 00:16:28,350
a بيساوي g of b بيساوي صفر then هو في الواقع زي ما

176
00:16:28,350 --> 00:16:31,510
قلنا أن ال role theorem تنفع لو قلنا g of a بيساوي

177
00:16:31,510 --> 00:16:37,710
g of b وسكتنا لأنه الشاهد في الموضوع أنه المماس

178
00:16:37,710 --> 00:16:41,920
يكون معاه موازي لمحور الصينات أه ولما تكون الـ G of

179
00:16:41,920 --> 00:16:45,440
A بيساوي الـ G of B وسكتنا أي قاطع بينهم هيكون

180
00:16:45,440 --> 00:16:48,520
عبارة عن موازي لمحور السينات يعني معناته اللي

181
00:16:48,520 --> 00:16:52,220
مماثل اللي بيجي هيكون موازي لهذا يعني موازي لمحور

182
00:16:52,220 --> 00:16:57,740
السينات طيب then .. then there exists C element in

183
00:16:57,740 --> 00:17:03,520
A و B such that G prime of C بيساوي إيش بيساوي صفر

184
00:17:03,520 --> 00:17:10,560
الآن هذا معطى مفرغ منه اللي فوق معطى عندي الآن عندي

185
00:17:10,560 --> 00:17:14,640
لو كان g of a بيساوي g of b بيعطينا أنه يوجد صفر بين

186
00:17:14,640 --> 00:17:18,000
الـ a والـ b بحيث أن g prime of c إشماله لا تساوي

187
00:17:18,000 --> 00:17:23,260
صفر لكن هو مفترض لي أن g prime of x لا تساوي صفر لكل

188
00:17:23,260 --> 00:17:26,540
x في الـ a والـ b يعني الآن الـ Contraposition هو

189
00:17:26,540 --> 00:17:30,800
اللي hold hand يعني بمعنى آخر أنه بما أنه G prime

190
00:17:30,800 --> 00:17:36,160
of X لا تساوي 0 لكل X element in A و B هيعطينا هذا

191
00:17:36,160 --> 00:17:40,940
نفيه B implies Q تكافئ not Q implies not B وهذا

192
00:17:40,940 --> 00:17:46,240
لسه عمله أنا بما أن g prime of x لا يساوي صفر لكل

193
00:17:46,240 --> 00:17:51,840
x طبعاً في اللي هو b إذا g of a لا يساوي مين؟ g of

194
00:17:51,840 --> 00:17:59,900
b واضح؟ طيب إذا صار عندي الأول حاجة by Rolle's

195
00:17:59,900 --> 00:18:09,850
theorem g of a لا يساوي g of b because G prime of X

196
00:18:09,850 --> 00:18:15,670
لا يساوي صفر لكل X واللي موجودة في الـA والـB هذه

197
00:18:15,670 --> 00:18:22,850
أول نقطة خلصنا هذه بررناها نيجي الآن زي ما عملنا

198
00:18:22,850 --> 00:18:26,270
في إثبات الـMean Value Theorem إذا بتتذكروا بدي

199
00:18:26,270 --> 00:18:29,630
أعرف دالة أطبق عليها برضه خلي رولز الـTheorem

200
00:18:29,630 --> 00:18:32,890
مطبقة أو الـMean Value Theorem مطبقة وأحصل عن

201
00:18:32,890 --> 00:18:38,260
نتيجة اللي أنا بديها الآن هي الشكل اللي بديها بدي

202
00:18:38,260 --> 00:18:45,680
أخد H of X let أو define H of X بيساوي اللي هو

203
00:18:45,680 --> 00:18:52,740
المقدار هذا اللي بديه F of B ناقص F of A على G of

204
00:18:52,740 --> 00:18:57,910
B minus G of A بتخلي المقدار هذا اللي هو يتصفر في

205
00:18:57,910 --> 00:19:00,650
حالة ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

206
00:19:00,650 --> 00:19:00,870
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

207
00:19:00,870 --> 00:19:00,910
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

208
00:19:00,910 --> 00:19:00,970
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

209
00:19:00,970 --> 00:19:01,090
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

210
00:19:01,090 --> 00:19:01,850
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

211
00:19:01,850 --> 00:19:01,890
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

212
00:19:01,890 --> 00:19:02,850
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

213
00:19:02,850 --> 00:19:07,410
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

214
00:19:07,410 --> 00:19:12,650
ال ..

215
00:19:12,650 --> 00:19:16,510
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

216
00:19:16,510 --> 00:19:24,170
ال .. ال ..

217
00:19:25,340 --> 00:19:30,660
H of A بيطلع صفر لأن بدي اللي هو الجزء الثاني اللي

218
00:19:30,660 --> 00:19:39,320
هييجيب لي قيمة مين قيمة الـ F ناقص G G of B ناقص G of

219
00:19:39,320 --> 00:19:44,060
A أو G of X ناقص H of A عشان نروحهم مع بعض ناقص F

220
00:19:44,060 --> 00:19:50,880
of X ناقص F of A الآن ليش عملت هيك عشان أحصل H of

221
00:19:50,880 --> 00:19:53,180
A H of A هذه صفر

222
00:19:55,780 --> 00:20:02,140
وهدي إيه إيه بيصير صفر H of B إذا صارت عندي H of A

223
00:20:02,140 --> 00:20:09,360
بيساوي صفر و H of B حط H of B بيصير هدي بيه هدي

224
00:20:09,360 --> 00:20:13,780
بتروح مع هدي بيصير F of B ناقص F of A ناقص F of B

225
00:20:13,780 --> 00:20:16,800
ناقص F of A بيروحن مع بعض بيصير H برضه بيساوي صفر

226
00:20:16,800 --> 00:20:22,300
إذا هدي أكيد برضه بتساوي H of B الآن

227
00:20:24,650 --> 00:20:28,050
عندي هذا الـ differentiable و continuous وهذا الـ

228
00:20:28,050 --> 00:20:31,210
differentiable و continuous على ما يناسبها من a و

229
00:20:31,210 --> 00:20:35,750
b أو على ال a و b ال a و b اللي هو open

230
00:20:35,750 --> 00:20:38,770
differentiable وعلى ال a و b closed continuous

231
00:20:38,770 --> 00:20:43,350
تبعاً لها هتطلع أنه ثابت هذا وهدوله ثوابت حيث أن

232
00:20:43,350 --> 00:20:50,330
عندي هذا كله على بعض continuous صار عندي H is

233
00:20:50,330 --> 00:20:59,130
continuous on A و B و differentiable on A و B open

234
00:20:59,130 --> 00:21:03,930
لأنه أنا من رأس الدورة الـ H of X معرفها اللي هي

235
00:21:03,930 --> 00:21:10,740
الـ H for every X element in A و B H of X بيساوي كده

236
00:21:10,740 --> 00:21:15,360
ماعيش يا بابا صارت الآن أنا حققت كل شروط الـ roles

237
00:21:15,360 --> 00:21:19,780
theorem اللي هي الـ H continuous على الـ A و B والـ

238
00:21:19,780 --> 00:21:23,360
differential على الـ A و B open أو H of A بيساوي و

239
00:21:23,360 --> 00:21:27,260
H of B بيساوي اللي هي صفر إذا حسب roles theorem

240
00:21:27,260 --> 00:21:31,720
إذا by roles theorem by أو حتى by main value

241
00:21:31,720 --> 00:21:38,180
theorem by roles theorem there exists C element ال

242
00:21:38,180 --> 00:21:46,290
A و B such that اتش prime of c إيش هيساوي صفر هذا

243
00:21:46,290 --> 00:21:52,190
حسب الـ mean value theorem معايا يا جماعة الآن

244
00:21:52,190 --> 00:21:57,130
بتفاضل هذه دلنا أوجد تفاضل هذه تفاضل هذه معليش

245
00:21:57,130 --> 00:22:04,760
خلينا نكتبها لإنه ندخل على العالـ slide بدي أفاضل

246
00:22:04,760 --> 00:22:09,740
هذه فاضلة H prime of X اللي هي عند الـ C بتساوي

247
00:22:09,740 --> 00:22:15,580
صفر صفر بيساوي H prime of C تساوي فاضل هذه وأعوض

248
00:22:15,580 --> 00:22:20,420
عن الـ X بصفر لأن هذا ثابت وهذا ثابت ده بيصير صفر

249
00:22:20,420 --> 00:22:23,420
تفاضل هذا مع هذا لأن مع هذا بيصير G prime of X

250
00:22:23,420 --> 00:22:29,220
مضروب في هذا إذا صار عندي بيساوي F of B ناقص F of A

251
00:22:30,080 --> 00:22:36,100
على g of b ناقص g of a مضروب في مين؟ فضلت في g

252
00:22:36,100 --> 00:22:40,920
prime of x وأنا بدي أحسبها عند مين؟ عند c، إذا g

253
00:22:40,920 --> 00:22:45,320
prime of c ناقص تفاضل هذه، هذا ثابت صفر لأن هذا

254
00:22:45,320 --> 00:22:50,620
قداش تفاضلها ناقص f prime عند الـ x وأنا باخدها عند

255
00:22:50,620 --> 00:22:56,280
الـ c اللي هي h of c, فـ h prime of c فبيصير ناقص f

256
00:22:56,280 --> 00:23:02,200
prime of c الآن بتدنجل هذه على جهة هذه بيصير عندي

257
00:23:02,200 --> 00:23:10,720
الآن f prime of c نجلته هان وأجسمها جي برايم of c

258
00:23:10,720 --> 00:23:15,840
لأن جي برايم of c لا تساوي صفر بيساوي f of b ناقص f

259
00:23:15,840 --> 00:23:25,710
of a على g of b ناقص g of a وهيك بيكون حصلنا على C

260
00:23:25,710 --> 00:23:31,630
في الـA وB بحيث أنه هذه تتحقق وهو المطلوب هذه اللي

261
00:23:31,630 --> 00:23:37,190
بيسميها Cauchy Mean Value Theorem هذه تعميم لمين؟

262
00:23:37,190 --> 00:23:41,590
تعميم اللي هو الـMean Value Theorem بس خد اللي هو

263
00:23:41,590 --> 00:23:47,230
G of X بتساوي X G of X بيساوي X و G of X بيساوي X

264
00:23:47,230 --> 00:23:49,190
اللي هي تحقق كل الشروط ال differential

265
00:23:49,190 --> 00:23:53,470
بالـ continuous والاخره ماشي الحال بيصير عندي

266
00:23:53,470 --> 00:23:58,110
اللي هي في حالة G of X بتساوي X معايا يا شباب

267
00:23:58,110 --> 00:24:02,450
بيصير G of BB و G of AA وهذه اللي هي G prime اللي

268
00:24:02,450 --> 00:24:05,510
هي 1 فبيصير F prime of C بيساوي F of B ناقص F of

269
00:24:05,510 --> 00:24:10,470
A على B minus A إذا F

270
00:24:15,650 --> 00:24:21,210
أمسح البرهان بس الآن

271
00:24:21,210 --> 00:24:31,930
الـ note اللي عندي الـ note كما يلي note if

272
00:24:31,930 --> 00:24:42,820
g of x بيساوي x then we get from الـ theorem هذه

273
00:24:42,820 --> 00:24:51,140
اللي بقول عليها كوشي mean value theorem we get the

274
00:24:51,140 --> 00:24:59,500
mean value theorem كيف الـ g of x بيساوي x معناه

275
00:24:59,500 --> 00:25:04,160
انتصار الـ g of b بيساوي b و g of a بيصير a يعني

276
00:25:04,160 --> 00:25:10,530
هذا بيصير a, b وهذه بيصير A و G prime of C اللي هي

277
00:25:10,530 --> 00:25:14,070
بيصير 1 فبيصير F prime of C بيساوي F of B ناقص F

278
00:25:14,070 --> 00:25:20,590
of A على B minus A وهذه هي الـ main value theorem

279
00:25:21,280 --> 00:25:24,720
واضح .. اه .. طيب اطلع للي بعده لأن احنا اللي

280
00:25:24,720 --> 00:25:26,820
بيهمنا هذا الكوشي بين الـ value theorem احنا 

281
00:25:26,820 --> 00:25:31,980
حكيناها أصلاً عشان خاطر أنه احنا نحكي عن اللي هو

282
00:25:31,980 --> 00:25:37,960
L'Hôpital's rule  ال form اللي عنده اللي أمامي دكتور

283
00:25:37,960 --> 00:25:41,860
جديد في السؤال في غيرك مفهوم إن أنا جسمت على X

284
00:25:41,860 --> 00:25:46,640
minus A على E minus A الطرفين أصلاً أنت بتصير F أو

285
00:25:46,640 --> 00:25:48,580
P نقص F أو A على B minus A

286
00:26:01,110 --> 00:26:06,630
البرهان مش صعب اللي قلناه، كتير سهل، ما هو الـ C

287
00:26:06,630 --> 00:26:09,970
اللي لاجيناها في الحالة الأولى، هل هي الثانية؟ إذا

288
00:26:09,970 --> 00:26:13,390
كنت تتعامل بـ Mean Value Theorem أنت؟ مش بدك تطبّق

289
00:26:13,390 --> 00:26:16,170
الـ Mean Value Theorem بدك تطبّق الـ Mean Value Theorem لأن

290
00:26:16,170 --> 00:26:21,090
there exists c1 such that f prime of c1 بيساوي f of

291
00:26:21,090 --> 00:26:24,030
b minus f of a على b minus a ما فيش فيها مشكلة

292
00:26:24,030 --> 00:26:27,950
there exists c2 such that g prime of c2 بيساوي g of

293
00:26:27,950 --> 00:26:32,550
b نقص g of a على b minus a الـ c1 هذه مش شرط يكون

294
00:26:32,550 --> 00:26:39,630
هي نفسها الـ c2 أو احنا لازم نثبتها هي نفسها اه ف .. و

295
00:26:39,630 --> 00:26:44,780
بعدين البرهان سهل ماشي .. نحن الواحد يفكر 100% ..

296
00:26:44,780 --> 00:26:50,780
جميل لكن .. يعني .. بس أنه احنا .. الـ C هذه مش

297
00:26:50,780 --> 00:26:53,700
ضمنياً تساوي الـ C2 و بدنا نثبت أنها تساويها .. إذا

298
00:26:53,700 --> 00:26:59,920
كانت بتساويها طيب .. نيجي لها اللي هي النظرية اللي

299
00:26:59,920 --> 00:27:05,840
بعيدها النظرية اللي بعيدها .. أنا مرضيتش أمسح اللوح

300
00:27:05,840 --> 00:27:08,800
أساسي منقررها من الـ theory من الأولى

301
00:27:11,650 --> 00:27:30,050
نشوف نطلع إيش اللي بتقوله هذه النظرية نفس

302
00:27:30,050 --> 00:27:35,710
اللي هنا F و G differentiable on A و B معايا أه؟

303
00:27:35,710 --> 00:27:42,150
الآن such that G prime of X ده يساوي صفر G prime of

304
00:27:42,150 --> 00:27:47,970
X لا يساوي صفر أنا مش موجودة For all X elements in

305
00:27:47,970 --> 00:27:55,070
A و B ونفترض أن limit F of X limit F of X لما X

306
00:27:55,070 --> 00:27:59,570
تروح إلى الـ A من اليمين موجودة و بتساوي إيش؟ صفر

307
00:27:59,570 --> 00:28:02,490
و limit G of X لما X تروح إلى الـ A من اليمين

308
00:28:02,490 --> 00:28:09,580
بتساوي صفر إذا صار limit الحاصل القسمة لأن بيساوي f

309
00:28:09,580 --> 00:28:14,300
prime of a على g prime of a بيساوي limit f of x

310
00:28:14,300 --> 00:28:19,580
على g of x لما x تروح لل a باليمين يعني وكأنه هنا

311
00:28:19,580 --> 00:28:25,460
حول الحديث كله من افتراض أنه عند النقطة اللي هي F'

312
00:28:25,780 --> 00:28:31,240
و G' موجودة ولا تساوي صفر وحول الحديث من إن التعويض

313
00:28:31,240 --> 00:28:35,280
المباشر أن F of A و G of A بتساوي صفر لـ limit لـ ..

314
00:28:35,280 --> 00:28:39,220
limit لل Function لما X تروح لـ A صفر و limit لل

315
00:28:39,220 --> 00:28:42,040
Function لما .. اللي .. اللي هو ال X .. ال X بتروح

316
00:28:42,040 --> 00:28:48,920
لسفر .. لل A بتساوي صفر وحول أيضاً طلب جي برايم نفسه

317
00:28:48,920 --> 00:28:54,680
على كل الفترة اللي تكون لا تساوي صفر مش عند النقطة

318
00:28:54,680 --> 00:29:03,060
بس وقال لك إنه حتى اللي هو النتيجة هتطلع بـ limit

319
00:29:03,060 --> 00:29:07,940
مش هتطلع بـ F prime of A على G prime of A يعني اللي

320
00:29:07,940 --> 00:29:14,980
بقصده إنه الآن طور هذه الحديث هنا إنه لما تُعرض

321
00:29:14,980 --> 00:29:21,580
علينا limit F of X على G of X لما X تروح للـ A من

322
00:29:21,580 --> 00:29:24,360
اليمين أو إن كانت حتى لو في الـ interior point الـ X

323
00:29:24,360 --> 00:29:31,300
بتروح للـ A برضه صحيحة الآن بعدي عندي إذا لجيت limit

324
00:29:31,300 --> 00:29:34,480
الأولى، اللي أنا بحكي عن limit سيرة مش عن تعويض

325
00:29:34,480 --> 00:29:38,340
مباشر زي اللي جابله، الآن limit f of x لما x تروح

326
00:29:38,340 --> 00:29:41,780
لـ a من اليمين و limit f of x لما x تروح لـ a من

327
00:29:41,780 --> 00:29:46,700
اليمين، إذا هذه موجودة و هذه موجودة و طلع عندي 0

328
00:29:46,700 --> 00:29:51,060
على 0، يعني طلع ال limit عبارة عن 0 على 0، هنا بدو

329
00:29:51,060 --> 00:29:57,200
يحدث العلاج، إذا كانت الآن الـ limit اللي طلعت عندي

330
00:29:57,200 --> 00:30:02,000
F prime of X على G prime of X لما X تروح للـ A من

331
00:30:02,000 --> 00:30:06,780
اليمين إذا طلعت عبارة عن قيمة خلاص ارتاح هذه اللي

332
00:30:06,780 --> 00:30:12,450
طلعت هي مين فهمت الـ limit ماشي الحال لو طلعت كمان

333
00:30:12,450 --> 00:30:18,230
مرة zero على zero اللي هو و بتحقق كل الشروط اللي

334
00:30:18,230 --> 00:30:21,950
.. اللي في الأول برضه بأعمل كمان مرة بفاضل لما

335
00:30:21,950 --> 00:30:26,430
بتطلع لكن لو طلعت ال limit هذه does not exist بسكت

336
00:30:26,430 --> 00:30:31,130
و بجاوبي عمش .. بدنا ندور على طريقة أخرى واضح؟ الآن

337
00:30:31,130 --> 00:30:34,990
لو طلعت هذه infinity أو سالب infinity هذه آسف

338
00:30:34,990 --> 00:30:38,900
infinity أو سالب infinity برضه إن النظرية صحيحة اللي

339
00:30:38,900 --> 00:30:45,290
هو هدمين الجزء الثاني من النظرية if limit f prime

340
00:30:45,290 --> 00:30:48,450
على g prime بيساوي L بيساوي infinity أو سالب

341
00:30:48,450 --> 00:30:52,190
infinity هتطلع ال limit على طول لل F على G اللي

342
00:30:52,190 --> 00:30:56,350
ببحث عنها إيش هتساوي برضه ال infinity أو سالب

343
00:30:56,350 --> 00:31:00,670
infinity حسب القيمة هذه إذا أي إن كانت اللي هي ال

344
00:31:00,670 --> 00:31:05,190
limit مادامَ exist سواء ال existence عبارة عن

345
00:31:05,190 --> 00:31:09,210
element in R أو اللي هو عبارة عن ناقص infinity أو

346
00:31:09,210 --> 00:31:18,100
سالب infinity فإن النظرية صحيحة واضح؟ أي سؤال؟ طيب

347
00:31:18,100 --> 00:31:27,200
صلّى على النبي عليه الصلاة والسلام خلينا

348
00:31:27,200 --> 00:31:31,360
نيجي للنظرية ونبرهنها

349
00:31:45,860 --> 00:31:50,880
Theorem كده ش؟ نزلي بس النص يا محمد اللي هي theorem

350
00:31:50,880 --> 00:31:59,580
6 3 3 إيش النظرية بتقول؟ بتقول ما يعني عندي طبعاً

351
00:31:59,580 --> 00:32:04,540
ماخد الـ a أصغر من الـ b strictly و a ممكن حتى تأخد سالب

352
00:32:04,540 --> 00:32:07,580
infinity والـ b تأخد infinity يعني ممكن تكون

353
00:32:07,580 --> 00:32:11,040
الفترة من a .. الفترة كلها a ممكن تكون أي فترة sub

354
00:32:11,040 --> 00:32:16,710
interval من اللي هو 100 من الـ real numbers فرضنا f

355
00:32:16,710 --> 00:32:26,190
و g من a و b لعند اللي هو r وإذا كانت a infinity

356
00:32:26,190 --> 00:32:30,130
أو سالب infinity آسف إذا كانت a سالب infinity أو b

357
00:32:30,130 --> 00:32:33,610
infinity بتكون o من زمن بعرفي لأن عشان اللي هو

358
00:32:33,610 --> 00:32:36,890
ناخدها من real number لـ real number لذا نفترض f و

359
00:32:36,890 --> 00:32:46,080
g من a و b لعند الـ R ونفترض إن f و g differentiable

360
00:32:46,080 --> 00:32:54,620
on a و b ماشي الحال و differentiable on a و b الآن

361
00:32:54,620 --> 00:32:57,900
مش لازم يكونوا continue و تعندى و كده لأنه أنا هدخل

362
00:32:57,900 --> 00:33:02,240
لجوه شغل هيكون لجوه هل جيت بتشوف إيش معنى لجوه

363
00:33:02,240 --> 00:33:08,620
such that g prime of x g prime of x لا تساوي صفر

364
00:33:08,620 --> 00:33:17,430
لكل x وين موجودة في الفترة a و b الآن بقول لي إذا

365
00:33:17,430 --> 00:33:27,170
كانت limit limit اللي هي f of x لما x تروح للـ a من

366
00:33:27,170 --> 00:33:32,190
اليمين بيساوي limit g of x لما x تروح للـ a من

367
00:33:32,190 --> 00:33:40,980
اليمين بيساوي صفر هذا كله موضوع الآن بدو يوصل بدي

368
00:33:40,980 --> 00:33:46,200
أقولك كيف أنا بدي أحصل على نتيجة limit f of x على

369
00:33:46,200 --> 00:33:51,060
g of x لما x تروح للـ a من اليمين بقولك إذا كان أنت

370
00:33:51,060 --> 00:33:59,180
if لأن إيه if limit f prime of x على g prime of x

371
00:33:59,180 --> 00:34:06,520
لما x تروح للـ a من اليمين بيساوي L then أتجرا أقول

372
00:34:06,520 --> 00:34:12,020
فاش عندي مشكلة limit f of x اللي ببحث عنها على g

373
00:34:12,020 --> 00:34:17,360
of x لما x تروح للإيه من اليمين برضه إيش هيساوي؟

374
00:34:17,360 --> 00:34:29,740
هيساوي ال .. من يحياتي هذه هيكون صحيحة طيب خلينا

375
00:34:29,740 --> 00:34:38,330
الآن اللي هو البرهان شوف عليها واضح النظرية شرحناها

376
00:34:38,330 --> 00:34:45,050
يعني نص النظرية شرحناها بشكل كامل الآن since limit

377
00:34:45,050 --> 00:34:51,730
F prime of X على G prime of X لما X تروح لـ A من

378
00:34:51,730 --> 00:35:00,690
وين؟ من اليمين هيعندي الفترة A و B حتى لو كانت

379
00:35:00,690 --> 00:35:05,580
منتهية وين ما بدها، هي حاضرة الآن عندي X تذهب إلى

380
00:35:05,580 --> 00:35:09,760
اليمين اليمين فبدي من الجهة دي طبيعي من اليمين بيساوي

381
00:35:09,760 --> 00:35:15,800
الـ then for every epsilon أكبر من صفر لأي epsilon

382
00:35:15,800 --> 00:35:20,440
أكبر من صفر أي epsilon there exists delta أكبر من

383
00:35:20,440 --> 00:35:24,660
صفر such that لأن X تذهب إلى الامن وين من اليمين

384
00:35:24,660 --> 00:35:27,460
إذن الجوار اللي حوالها هو عبارة عن جوار من A لعند

385
00:35:27,460 --> 00:35:32,340
مين الـ A زي الـ Delta لعند الـ A زي الـ Delta صح ولا لأ

386
00:35:32,340 --> 00:35:36,260
إذن لكل ما دامت الـ limit هي دي بيساوي L، ده لكل

387
00:35:36,260 --> 00:35:41,480
إبسلون بقدر ألاقي Delta بحيث أن X element في A و

388
00:35:41,480 --> 00:35:46,400
A زائد Delta ف X element في A و A زائد Delta، then

389
00:35:46,400 --> 00:35:52,180
قطعاً .. then قطعاً هيكون عندي F prime of X على G

390
00:35:52,180 --> 00:35:58,030
prime of X نقص L، ذويكون أصغر من 100 من إبسلون هذا

391
00:35:58,030 --> 00:36:02,370
تعريف الـ limit للـ F prime of X على G prime of X

392
00:36:02,370 --> 00:36:06,510
بسهولة لما X تروح لمن؟ للـ A من اليمين هو كاتبها

393
00:36:06,510 --> 00:36:11,110
هذه A زائد Delta C في الكتاب يعني مسميها C يعني

394
00:36:11,110 --> 00:36:16,090
مسمي إنه لكل X there exists C بحيث إنه لكل X في ال

395
00:36:16,090 --> 00:36:20,650
A اللي عند الـ A للـ C بكون هذا الكلام متحقق أنا

396
00:36:20,650 --> 00:36:23,510
حبيت أكتب لك اللي هو التعريف الدارجي اللي أنت ده

397
00:36:23,510 --> 00:36:27,700
كسله كمان في ال .. في الحل واضح لحد تلاتة

398
00:36:38,080 --> 00:36:42,520
ماشي الحال بس هي ك .. هذه .. و هذه ك صح و هذه ك صح

399
00:36:42,520 --> 00:36:47,040
و هذه ك صح اللي كاتبها صح بس هذه للطالب أسهله في

400
00:36:47,040 --> 00:36:49,960
ال .. في ال .. لإنه .. خلّيني أقول هذا اللي دارج

401
00:36:49,960 --> 00:36:54,640
عليه في ال .. في .. اللي هو التعبير عن ال .. لكل x

402
00:36:54,640 --> 00:36:58,940
في الجوار الجوار هذا سهل و .. و .. و .. وعبّرنا

403
00:36:58,940 --> 00:36:59,200
عنه

404
00:37:02,810 --> 00:37:07,630
-A هو أكبر من صفر وأصغر من دلتة برضه هيك صح صحيح

405
00:37:07,630 --> 00:37:11,910
نفس الشيء طيب

406
00:37:11,910 --> 00:37:15,050
الآن

407
00:37:15,050 --> 00:37:23,590
هذا الكلام i.e. أو بمعنى آخر that is هيكون هذا اللي

408
00:37:23,590 --> 00:37:31,230
هو F prime of X ناقص G prime of X أصغر ناقص L

409
00:37:31,230 --> 00:37:37,150
بتغيرها عشان أصغر من Y وأكبر من 200 من سالب Y شيل

410
00:37:37,150 --> 00:37:43,470
الـ L هذه بصير اللي هو أصغر من L زائد Y وأكبر من L

411
00:37:43,470 --> 00:37:49,430
ناقص Y هذا متحقق لمين؟ لكل X و N موجودة في الفترة

412
00:37:49,430 --> 00:37:53,550
من A لعند A زائد Delta و اكتب لي هذا سميلي

413
00:37:56,530 --> 00:38:03,990
واحد ماشي الحال سميليه واحد الآن عندي اللي هو شروط

414
00:38:03,990 --> 00:38:06,850
الـ Mean Value Theorem الكوشي Mean Value Theorem

415
00:38:06,850 --> 00:38:10,130
اللي قبل بشوية الـ F والـ G differentiable على الـ A

416
00:38:10,130 --> 00:38:16,170
و الـ B اه و الـ G prime of X لا تساوي صفر و ال ..

417
00:38:16,170 --> 00:38:22,490
أو .. إيش كمان كلّه متحقق بس خلينا نقول

418
00:38:26,140 --> 00:38:31,240
بدي الآن وين أطبّق الـ Mean Value Theorem بدي

419
00:38:31,240 --> 00:38:37,720
أطبّقها على اللي هو اللي جوا عندي لداخل الـ Mean

420
00:38:37,720 --> 00:38:44,560
لداخل الفترة هذه عشان أشتغل وين اللي بتطلع عندي 

421
00:38:44,560 --> 00:38:48,490
أضمن تكون هنا عشان القيمة اللي هتطلع عندي اللي

422
00:38:48,490 --> 00:38:53,170
بتحققها تكون بتحقق اللي بتطلع عندي و بتحققها دي

423
00:38:53,170 --> 00:38:57,730
عشان هي كصح اللي أعوض مكان بعض ماشي الحال خد الآن

424
00:38:57,730 --> 00:39:07,030
لجد تفهموا إيش اللي بقصدهم خد الآن four alpha أكبر

425
00:39:07,030 --> 00:39:16,040
من a و أصغر من beta و أصغر من a زائد delta يعني أنا

426
00:39:16,040 --> 00:39:20,060
غرضي أن أنا أشتغل .. أن أنا رايح .. بدي أنا limit

427
00:39:20,060 --> 00:39:24,580
أصلًا و ال limit بديها لما أروح لمين؟ لل A يعني بدي

428
00:39:24,580 --> 00:39:29,760
في الجوار اللي حوالين ال A و جاي ناحيتها هذا اللي

429
00:39:29,760 --> 00:39:31,740
بهم، اللي ما أناش سغاداش، بيكون التصرف مافيش ..

430
00:39:31,740 --> 00:39:36,980
مافيش عنده مشكلة الآن هي ال alpha أخدتها هنا و هي

431
00:39:36,980 --> 00:39:37,420
ال beta

432
00:39:41,900 --> 00:39:44,540
أصغر من Alpha أصغر من Beta أصغر من a زي الـ

433
00:39:44,540 --> 00:39:54,060
Delta؟ By Cauchy Mean Value Theorem there exists

434
00:39:54,060 --> 00:40:03,220
سموها هو نسميها U Element in mean in Alpha و Beta

435
00:40:03,220 --> 00:40:10,110
و ال Alpha و Beta جزء من هذول، إذا اللي بنطبق

436
00:40:10,110 --> 00:40:14,750
على هذه اللي بنطبق على .. اللي بنطبق على هذه بنطبق

437
00:40:14,750 --> 00:40:19,790
على هذه، مظبوط؟ يعني هذه ال U اللي لجيتها بنطبق

438
00:40:19,790 --> 00:40:22,210
عليها الكلام هذا اللي هو F prime of U على D prime

439
00:40:22,210 --> 00:40:27,510
of U بين هذه و بين هذه واضح، و هذا الكلام مهم طيب،

440
00:40:27,510 --> 00:40:34,640
there exists U such that F prime of U على g prime

441
00:40:34,640 --> 00:40:39,240
of u بيساوي إيش يا جماعة بيساوي f of b أو beta

442
00:40:39,240 --> 00:40:50,260
ناقص f of alpha على g of beta ناقص g of alpha واضح

443
00:40:50,260 --> 00:41:00,020
آه؟ هذا سمولي يمين هو اتنين الآن عند هذه اللي

444
00:41:00,020 --> 00:41:05,260
لجيتها هنا اللي بتحقق هذه هي وين موجودة من ضمن

445
00:41:05,260 --> 00:41:12,980
النقاط اللي بتحقق هذه لكل X هنا وهذه جزء منها إذا

446
00:41:12,980 --> 00:41:18,100
F prime of X of U على G prime of U بين ال L ناقص

447
00:41:18,100 --> 00:41:22,020
إبسلون و ال L زائد مين؟ إبسلون وفي نفس الوقت F

448
00:41:22,020 --> 00:41:25,860
prime of U هذه اللي لقيتها G prime of U بيساوي هذا

449
00:41:25,860 --> 00:41:29,840
إذا from واحد

450
00:41:30,390 --> 00:41:40,070
و اتنين we get اللي هو F prime of U على G prime of

451
00:41:40,070 --> 00:41:47,610
U بستبدلها و بيصير F of Beta ناقص F of Alpha على G

452
00:41:47,610 --> 00:41:54,070
of Beta ناقص G of Alpha بحيث أنه هذا يكون أكبر من

453
00:41:54,070 --> 00:42:03,630
L ناقص Y و أصغر من 100 من L زائد Y لأن هذا صحيح لأي

454
00:42:03,630 --> 00:42:09,750
Alpha و Beta بشكلهم اللي موجود Alpha أصغر من Beta

455
00:42:09,750 --> 00:42:15,570
و Alpha بين ال A و بين مين؟ ال A زائد دلتا إذا

456
00:42:15,570 --> 00:42:22,150
الألفة هذه حرة في كل المنطقة هذه بنفع يعني الألفة

457
00:42:22,150 --> 00:42:26,530
هذه لو بدها تروح لل A حد مش بمنعها الألفة تروح لها

458
00:42:26,530 --> 00:42:31,060
لأنه صحيح على كل هذه الألفات اللي لجيتها هذه الآن

459
00:42:31,060 --> 00:42:40,340
let alpha goes to mean to a من وين؟ من اليمين

460
00:42:40,340 --> 00:42:45,720
ماشي؟ مقدر و لن تؤثر لأ على ال beta ولا عليها زي

461
00:42:45,720 --> 00:42:50,980
الدلتية الحرة بتروح لهذه وهذه زي ما هي يعني تصرف

462
00:42:50,980 --> 00:42:58,540
alpha يروح لأي a beta بالنسبة لها ثابت ولا تتأثر هذا

463
00:42:58,540 --> 00:43:03,500
الكلام مهم إذا صار عندي الآن لما Alpha تروح لأ من

464
00:43:03,500 --> 00:43:10,700
اليمين ال up of Alpha بيصير عندي limit ال up of

465
00:43:10,700 --> 00:43:17,780
Alpha لما ال Alpha تروح لأ من اليمين بيساوي هو في

466
00:43:17,780 --> 00:43:21,980
الواقع limitها limitها هذه Alpha اللي كنا نسميها X

467
00:43:21,980 --> 00:43:23,980
مثلًا ال up of X سمى X تروح لأ من اليمين لأ من

468
00:43:23,980 --> 00:43:29,480
اليمين الآن ال Alpha راحت لليمين اليمين limitها

469
00:43:29,480 --> 00:43:35,020
أنا ما عطيني إيش بيساوي؟ بيساوي صفر، ما عطيني

470
00:43:35,020 --> 00:43:37,080
limit f of x عندما x تروح لليمين اليمين إيش

471
00:43:37,080 --> 00:43:40,540
بيساوي؟ صفر، أنا سميتها إيش أنا؟ Alpha هذه اللي

472
00:43:40,540 --> 00:43:46,660
بتتحرك، إذا هذا ال limit إيش هيساوي؟ بنفس السبب أو

473
00:43:46,660 --> 00:43:52,940
لنفس السبب limitG of Alpha لما Alpha تروح لل A من

474
00:43:52,940 --> 00:43:59,680
اليمين برضه مش هيساوي صفر إذا الآن برجع لهذه برجع

475
00:43:59,680 --> 00:44:09,060
لهذه بيصير عندي الآن اللي حصلته كله على بعضه لكل ي

476
00:44:09,060 --> 00:44:17,130
أكبر من صفر ماشي الحال ل gate Delta بحيث أنه ال Alpha

477
00:44:17,130 --> 00:44:20,050
و beta بشكل هذا أكبر من a و أقل زي ال Delta

478
00:44:20,050 --> 00:44:24,570
سيبك من ال L Alpha خلاص رديتها أنا beta أكبر من a و

479
00:44:24,570 --> 00:44:29,170
أصغر من a زي ال Delta طلع عندي هذا المقدار أصغر

480
00:44:29,170 --> 00:44:33,170
من L زي ال إبسلون و أكبر من L ناقص إبسلون ماشي؟

481
00:44:33,170 --> 00:44:37,300
الآن رديت و أخدته من ال limit الآن بدي أخد ال

482
00:44:37,300 --> 00:44:40,940
limit لهذا المقدار كله لما ال alpha تروح لمين؟ لل

483
00:44:40,940 --> 00:44:45,240
a من اليمين الآن لما أخد ال limit لهذا زي ما قلت

484
00:44:45,240 --> 00:44:48,500
ال beta مالهاش علاقة بال alpha ال beta ثابتة

485
00:44:48,500 --> 00:44:50,920
بالنسبة لل alpha فال alpha تروح لل a من اليمين زي

486
00:44:50,920 --> 00:44:55,100
ما بدها لن تتأثر beta فبيصير limit اللي فوق على

487
00:44:55,100 --> 00:44:59,520
limit اللي تحت هذا ثابت و هذا ثابت و هذا limit هو

488
00:44:59,520 --> 00:45:04,300
اللي هو صفر و هذا limit هو صفر و هذول أعداد إذا

489
00:45:04,300 --> 00:45:11,220
أصار عندي الآن عندي take the limit بيصير عندي L

490
00:45:11,220 --> 00:45:18,100
ناقص Epsilon أصغر أو يساوي اللي هو F of Beta على G

491
00:45:18,100 --> 00:45:23,660
of Beta أصغر من L زائد Epsilon من وين حصلته هذا؟

492
00:45:23,660 --> 00:45:29,160
when I take the limit of this inequality as Alpha

493
00:45:29,160 --> 00:45:37,460
goes to A from right واضح؟ هذا حصلت عليه هذا عرفت

494
00:45:37,460 --> 00:45:40,600
ثانوية هذا حصلت عليه من وين أن أخدت ال limit

495
00:45:40,600 --> 00:45:44,660
للجهات التلاتة as Alpha تروح لل A من اليمين

496
00:45:44,660 --> 00:45:48,780
واستخدمت هذه الحقيقة أن هذا صفر و هذا صفر صار هذا

497
00:45:48,780 --> 00:45:53,360
المقدار و هذا المقدار بين هذا و هذا إذن اللي حصلت

498
00:45:53,360 --> 00:46:02,380
عليه الآن هو ما يليه لكل epsilon أكبر من صفر لجهة

499
00:46:02,380 --> 00:46:07,610
Delta أكبر من الصفر such that هذه beta كانت

500
00:46:07,610 --> 00:46:14,650
arbitrary بين a و بين مين اللي هو such that if

501
00:46:14,650 --> 00:46:26,150
beta بين ال a و ال a زائد delta we have then إيش

502
00:46:26,150 --> 00:46:31,990
اللي حصلنا عليه اللي هو f of beta على f of alpha

503
00:46:33,100 --> 00:46:38,720
صارت أصغر أو يساوي L زايد إبسلون و أكبر أو يساوي

504
00:46:38,720 --> 00:46:47,620
إبسلون ناقص L أو بمعنى آخر IE F of Beta على F of

505
00:46:47,620 --> 00:46:53,340
Alpha ناقص L absolute value أصغر أو يساوي إبسلون

506
00:46:53,340 --> 00:47:02,280
و هذا هذا this means that hence limit

507
00:47:03,350 --> 00:47:13,590
f of beta على f of alpha as اللي هو limit of فدي g

508
00:47:13,590 --> 00:47:23,970
مالكم فدي g بساكتين g of beta فدي g of beta limit

509
00:47:23,970 --> 00:47:28,270
of beta على g of beta مظبوط؟

510
00:47:29,140 --> 00:47:33,140
as اللي هو طبعًا الآن بيت إيه شمالها لكل بيتها

511
00:47:33,140 --> 00:47:37,620
يعني بيتها وين راحت؟ على اليمين اليمين هان لكل بيتها

512
00:47:37,620 --> 00:47:49,320
وين؟ في الجوار هذا الآن بيساوي ال هو المطلوب مش

513
00:47:49,320 --> 00:47:53,440
عاجبك بيتك تبقى تكسر أي سؤال

514
00:47:56,950 --> 00:48:01,030
بتصور هيك المظهرية واضحة تمامًا هي تلت خطوات في

515
00:48:01,030 --> 00:48:05,530
الواقع تلت خطوات مين هما؟ هو طبعًا في الكتاب يعني لو

516
00:48:05,530 --> 00:48:12,190
لاحظت هتلاقي يعني أنه بدها بس ترتيب الآن لأ بدها

517
00:48:12,190 --> 00:48:19,150
ترتيب طلع عليها الآن عندك هذا الآن استخدمت أنا هذا

518
00:48:19,150 --> 00:48:23,370
في الأول بالعمدان واستخدم هذا استخدمت هذا عشان

519
00:48:23,370 --> 00:48:27,150
أقول لك هذه ال inequality صحيح على كل المنطقة هذه لأن

520
00:48:27,150 --> 00:48:33,170
لجيت U لأن اللي لجيتها U أنا لجيتها لجيت ال U و

521
00:48:33,170 --> 00:48:36,070
أخدت الفترة هنا عشان أقول لك ال U اللي لجيتها في

522
00:48:36,070 --> 00:48:41,570
داخل الفترة هذه الحديث هذه جايب عن هذه بعمل

523
00:48:41,570 --> 00:48:45,750
confusion عند الطالب لأن اللي لجيتها من قال إنه

524
00:48:45,750 --> 00:48:49,970
هنا موجودة ما هي اللي لجيتها هنا وين لجيتها؟ بين A

525
00:48:49,970 --> 00:48:56,050
و B بين A و B أو بين Alpha و Beta يعني بدها يصير

526
00:48:56,050 --> 00:49:05,880
عندي اللي هي ال F prime ال F prime عندي ال limit

527
00:49:05,880 --> 00:49:11,140
.. ال limit لل .. خليني أكتبها يا شيخ ليش؟ ها ..

528
00:49:11,140 --> 00:49:16,120
هذا بيساوي ال .. اللي هي إيش؟ ما لأ بأخذ ال

529
00:49:16,120 --> 00:49:20,740
infinity بطلع حد برضه إيش؟ infinity يعني الحالة

530
00:49:20,740 --> 00:49:26,250
التانية اللي هي F بساوة infinity هيكون ال limit لل

531
00:49:26,250 --> 00:49:33,570
F على G شمالها بيساوي infinity الآن بدها يصير عنده

532
00:49:33,570 --> 00:49:38,750
بدل ما أقول limit F prime على G prime بيساوي L بدها

533
00:49:38,750 --> 00:49:43,310
يصير أشهر بيساوي infinity كيف بنعبر على إنه الرقم

534
00:49:43,310 --> 00:49:47,190
يروح لما لنهاية ال limit أنه ناخد اللي هو صرنا

535
00:49:47,190 --> 00:49:50,250
متعارفين for every إبسط إنه كانت عبارة عن إيش؟ صغير

536
00:49:50,250 --> 00:49:55,190
for every K Element in R طبعًا لو أخدت K positive

537
00:49:55,190 --> 00:49:58,050
برضه بنفعله لإذا .. إذا بيكون أكبر من ال positive

538
00:49:58,050 --> 00:50:01,170
أكيد هيكون أكبر من مين؟ من ال negative for every K

539
00:50:01,170 --> 00:50:05,450
element in R there exists delta such that لكل X في

540
00:50:05,450 --> 00:50:12,970
هذه المنطقة بيطلع اللي هو F prime of X اللي هو هذا

541
00:50:12,970 --> 00:50:16,630
.. بقى اللي بمسحه هذا بمسح من التعريف ذاك للتعريف

542
00:50:16,630 --> 00:50:20,920
limit F prime على G prime إيش بيساوي؟ ما للهاي بما

543
00:50:20,920 --> 00:50:23,800
أن هذا بيساوي ما لنهاية أيضًا لأ كل K المتنارة بين X

544
00:50:23,800 --> 00:50:28,200
زي الزلتة such that لما تكون X يعني بين ال A و بين

545
00:50:28,200 --> 00:50:31,060
Z زي الدلتة يعني روحت في ال A من اليمين then F

546
00:50:31,060 --> 00:50:35,800
برايم على D برايم أكبر من مين؟ من K ماشي الحالة و

547
00:50:35,800 --> 00:50:39,540
هذا اللي هو الواحد عندي و هذا كله اللي هو كلام

548
00:50:39,540 --> 00:50:46,340
شماله نفس الشيء متحقق فبيصير عندي بأستبدل هذا هذا

549
00:50:46,340 --> 00:50:50,270
مافيش داعي له بيصير التفاصيل هنا و بيصير عندي هذا

550
00:50:50,270 --> 00:50:55,110
لجيته إذا from واحد عند اتنين we have اللي هو

551
00:50:55,110 --> 00:51:01,370
نعملها مع بعض بأستبدل هذا بأحطه هان بيصير عندي f

552
00:51:01,370 --> 00:51:11,330
prime f of beta ناقص f of alpha على g of beta ناقص

553
00:51:11,330 --> 00:51:17,220
g of alpha أكبر من مين؟ من K ماشي الحال ونفس السبب

554
00:51:17,220 --> 00:51:21,260
الأولاني ال alpha اللي هو limit هذه صفر و limit

555
00:51:21,260 --> 00:51:26,260
هذه صفر المعطيلة هي هو بيصير هذه عبارة عن لما ال

556
00:51:26,260 --> 00:51:28,700
alpha تروح لل beta فبيصير عند f في beta و d في

557
00:51:28,700 --> 00:51:33,060
beta أكبر من مين؟ من K صار عندي الآن لكل K element

558
00:51:33,060 --> 00:51:38,360
in R لجهة Delta بحيث أنه لما تكون Beta بين ال A و

559
00:51:38,360 --> 00:51:43,660
A زائد Delta حصلت على هذه أكبر من مين؟ من K وهذا

560
00:51:43,660 --> 00:51:50,080
اللي هو إيه شماله؟ هو تعريف limit F of Beta على G 

561
00:51:50,080 --> 00:51:58,480
of Beta as Beta روح للـ A من اليمين سوى ملا نهاية

562
00:51:58,480 --> 00:52:01,440
ولو بدنا سالب ملا نهاية بنفس الأسلوب ده بتقول for

563
00:52:01,440 --> 00:52:07,660
every K K سالمة بيصير أصغر ونفس الكلام

564
00:52:07,660 --> 00:52:13,110
examples .. نشوف الـ examples اللي عندنا

565
00:52:13,110 --> 00:52:20,890
نيجي للـ examples اللي عندي الأولى يعني limit

566
00:52:22,440 --> 00:52:28,260
Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين،

567
00:52:28,260 --> 00:52:33,740
ليس بسهل، دعونا نشرح عن الـ الوحش وبالكالكولس هذه لأن

568
00:52:33,740 --> 00:52:36,820
limit Sin X على جدر X لما X تروح لـ 0 من وين؟ من

569
00:52:36,820 --> 00:52:40,620
اليمين، الآن الـ limit اللي فوق لما X تروح لـ 0 من

570
00:52:40,620 --> 00:52:43,920
اليمين، صفر و اللي تحت صفر، إذا صار عبارة عن 0 على

571
00:52:43,920 --> 00:52:48,020
0 وكل أمورها إيش ما لها متحققة الـ differential

572
00:52:48,020 --> 00:52:51,190
الـ continuous و هو و هو و الأخرى و الأخرى إذا بنفضل

573
00:52:51,190 --> 00:52:53,330
اللي فوق و بنفضل اللي تحت فضلنا اللي فوق و طلعني

574
00:52:53,330 --> 00:52:58,430
cos X و اللي تحت 1 على 2 في جدر الـ X الآن اللي ..

575
00:52:58,430 --> 00:53:00,150
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

576
00:53:00,150 --> 00:53:00,750
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

577
00:53:00,750 --> 00:53:01,710
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

578
00:53:01,710 --> 00:53:01,750
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

579
00:53:01,750 --> 00:53:01,830
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

580
00:53:01,830 --> 00:53:01,850
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

581
00:53:01,850 --> 00:53:02,510
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي ..

582
00:53:02,510 --> 00:53:09,470
اللي .. اللي ..

583
00:53:09,470 --> 00:53:10,410
اللي ..

584
00:53:15,260 --> 00:53:20,220
الآن اللي بعدها 1-sin x على x تربيع لما x تروح

585
00:53:20,220 --> 00:53:23,520
لمين لسه في رجولنا النظرية صحيحة برضه لو كانت اللي

586
00:53:23,520 --> 00:53:27,900
.. اللي .. اللي بدنا نروحلها جوا نقطة interior أو

587
00:53:27,900 --> 00:53:30,700
على الـ end points كلها صحيحة وبنفس الأسلوب البرهان

588
00:53:30,700 --> 00:53:34,700
زي ما برهننا عن اليمين بنبرهن في الوسط فبناخد بدل

589
00:53:34,700 --> 00:53:37,700
ما هو الجوار من a لعند a زائد delta إذا كانت جوا

590
00:53:37,700 --> 00:53:40,640
من a ناقص delta لعند a زائد delta وده كان على

591
00:53:40,640 --> 00:53:47,360
الجهة الثانية من a ناقص delta لعند الـ a فاهمين

592
00:53:47,360 --> 00:53:51,060
عليها هذه اللي هي برضه عبارة عن لو أخدنا limit للي

593
00:53:51,060 --> 00:53:54,780
فوق صفر و limit للي تحت صفر إلى أن فضلنا اللي فوق

594
00:53:54,780 --> 00:53:58,940
و فضلنا اللي تحت طالع عندي sin x على 2x إلى أن طلع

595
00:53:58,940 --> 00:54:04,360
عندي 0 على 0 كمان مرة و متحقق كل أمورها إذا بنشتقل

596
00:54:04,360 --> 00:54:07,520
كمان مرة بيصير cosine x على 2 و يساوي نص و هكذا

597
00:54:07,520 --> 00:54:09,180
اللي بعدها

598
00:54:11,950 --> 00:54:16,150
limit e to the x نقص واحد على x لما x تروح لمين

599
00:54:16,150 --> 00:54:20,730
للصفر برضه نفس الاشي هذي بيصير صفر على صفر لـ limit

600
00:54:20,730 --> 00:54:24,750
الأولى بنشتق أن تطلع عندي واحد

601
00:54:28,600 --> 00:54:33,500
الآن الأخيرة نفس الشيء لإن الـ X على X minus واحد

602
00:54:33,500 --> 00:54:36,560
برضه نفس الشيء Zero ع Zero بيطلع عندي اللي هو

603
00:54:36,560 --> 00:54:39,240
بالفاضل هذي بتطلع واحد على X بالفاضل هذي واحد

604
00:54:39,240 --> 00:54:44,220
بيصير الآن لما الـ X تروح للواحد بيساوي الواحد أطلع

605
00:54:44,220 --> 00:54:48,920
لفوق بيكون وصلنا احنا عند مين عند آخر نظرية اللي

606
00:54:48,920 --> 00:54:56,000
هي Lobitals Rule اللي هي في حالة اللي هي إنّها تطلع

607
00:54:56,000 --> 00:54:59,960
عندي infinity او ناقص infinity الـ limit يعني الـ

608
00:54:59,960 --> 00:55:03,280
indeterminate form اللي هو infinity على infinity

609
00:55:03,280 --> 00:55:07,080
او ناقص infinity على infinity برضه المرة الجاية إن

610
00:55:07,080 --> 00:55:07,620
شاء الله