PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/PVuSVTtYhJQ_raw.srt

1
00:00:04,910 --> 00:00:07,650
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:07,650 --> 00:00:10,710
والصلاة والسلام على سيد المسالين سيدنا محمد على

3
00:00:10,710 --> 00:00:15,510
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم واحد وعشرين

4
00:00:15,510 --> 00:00:19,630
في مساق تحليل حقيقة نين لطلاب وطالبات الجامعة

5
00:00:19,630 --> 00:00:26,460
الإسلامية قسم الرياضيات في كلية العلمهنكمل الحديث

6
00:00:26,460 --> 00:00:32,660
عن اللي هو الـ Sequence of Functions خلصنا من

7
00:00:32,660 --> 00:00:36,180
سيكشن الـ Pointwise أو الـ Uniform Convergence

8
00:00:36,180 --> 00:00:40,340
الآن بدنا نشوف تأثير الـ Pointwise و الـ Uniform

9
00:00:40,340 --> 00:00:44,700
Convergence على اللي هو بعض الـ Sequence of

10
00:00:44,700 --> 00:00:49,040
Functions إيش بتسوي فيهاالان تحت عنوان 82

11
00:00:49,040 --> 00:00:53,900
interchange of limits هنجي نشوف اللي هو الـ

12
00:00:53,900 --> 00:00:57,160
sequence of continuous functions لو كانت اللي هي

13
00:00:57,160 --> 00:01:01,620
pointwise convergence هل صح شرط انه لو لمين بتروح

14
00:01:01,620 --> 00:01:04,680
في ال pointwise convergence ان يكون continuous ولا

15
00:01:04,680 --> 00:01:09,780
بلزمها دعم شوية نخلي اللي هو بدل ال pointwise

16
00:01:09,780 --> 00:01:13,220
convergence نخليه uniform و ال uniform يوديالـ

17
00:01:13,220 --> 00:01:16,040
function اللي بتطلع تطلع continuous ولا لأ؟ هنشوف

18
00:01:16,040 --> 00:01:19,680
الكلام هذا الشغل الثاني هنشوف أنه لو كانت ال

19
00:01:19,680 --> 00:01:23,360
function is integrable هل ال sequence of functions

20
00:01:23,360 --> 00:01:27,640
is integrable؟ هل ال limit اللي لما يكون اللي هو

21
00:01:27,640 --> 00:01:32,080
ال Fn بتروح لل F point twice أو ال Fn بتروح لل F

22
00:01:32,080 --> 00:01:37,850
uniform convergence؟هل هذا واحد منهم بيقدّي انه ال

23
00:01:37,850 --> 00:01:39,850
integration لل limit بيساوي ال limit لل

24
00:01:39,850 --> 00:01:42,730
integration يعني ال limit بتدخل جوا ال integration

25
00:01:42,730 --> 00:01:46,990
ولا لأ؟ هل دخولها يعني بال point wise بحافظ على

26
00:01:46,990 --> 00:01:50,170
المساواة ولا لأ بال زمن اللي هو ال uniform

27
00:01:50,170 --> 00:01:54,730
convergence؟ هنشوفه والشغل التالثة هل انه لو كان

28
00:01:54,730 --> 00:01:59,150
في عندي sequence of differentiable functions هتطلع

29
00:01:59,150 --> 00:02:04,040
ان هو لو كان عندي F unconverged زي ال Fهيطلع عندي

30
00:02:04,040 --> 00:02:06,460
اللي هو ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

31
00:02:06,460 --> 00:02:07,500
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

32
00:02:07,500 --> 00:02:07,620
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

33
00:02:07,620 --> 00:02:08,200
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

34
00:02:08,200 --> 00:02:08,300
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

35
00:02:08,300 --> 00:02:08,340
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

36
00:02:08,340 --> 00:02:09,020
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

37
00:02:09,020 --> 00:02:10,060
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

38
00:02:10,060 --> 00:02:11,000
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

39
00:02:11,000 --> 00:02:13,560
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

40
00:02:13,560 --> 00:02:13,560
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

41
00:02:13,560 --> 00:02:13,720
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

42
00:02:13,720 --> 00:02:23,020
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

43
00:02:28,280 --> 00:02:34,340
المثال الأول اللي أمامنا هاي في عندى example 821 g

44
00:02:34,340 --> 00:02:38,900
n of x بساوية x أُس n هذا شفناها يا جماعة على

45
00:02:38,900 --> 00:02:43,640
الفترة x 01 is continuous أكيد اللي هي ال function

46
00:02:43,640 --> 00:02:47,540
هذه g 1 of x بساوية x g 2 of x بساوية x تربيع g 3

47
00:02:47,540 --> 00:02:52,110
of x بساوية x تكعيب كله عبارة عن دوال متصلةالان

48
00:02:52,110 --> 00:02:55,950
and even continuously differentiable بيقولك أصلا

49
00:02:55,950 --> 00:03:00,430
هيطلع مش ده continuous لأ و ال derivative L هتطلع

50
00:03:00,430 --> 00:03:03,190
موجودة و ال derivative continuous يعني

51
00:03:03,190 --> 00:03:06,510
continuously differentiable بالرغم من أنها القوة

52
00:03:06,510 --> 00:03:09,650
اللي موجودة في ال sequence g of n of x من ناحية

53
00:03:09,650 --> 00:03:14,220
انها continuously differentiableإلا إنه لما جينا

54
00:03:14,220 --> 00:03:17,880
ناخد limit GN of X as N goes to infinity طلعت

55
00:03:17,880 --> 00:03:21,280
بتساوي G of X اللي هي 0 X في الفترة 01 و 1 في

56
00:03:21,280 --> 00:03:25,180
الفترة X اللي هو بتساوي 1 يعني اللي طلعتلنا ال

57
00:03:25,180 --> 00:03:31,040
limit إلها طلعتلنا إياها is not continuousيعني

58
00:03:31,040 --> 00:03:35,080
بالرغم إن ال limit موجودة طبعا هذا pointwise

59
00:03:35,080 --> 00:03:38,520
convergence اللي هو ال pointwise convergence هنا

60
00:03:38,520 --> 00:03:44,660
طلعلي اللي هو ال sequence of functions GN limitها

61
00:03:44,660 --> 00:03:48,820
مش continuous ماقدرش يطلع اللي هو continuous

62
00:03:48,820 --> 00:03:52,560
function هذا ال pointwise convergence بالرغم إنه

63
00:03:52,560 --> 00:03:56,740
GN of X is اللي هو continuously differentiable

64
00:03:56,740 --> 00:04:03,550
الآن ناخد مثال آخر إذاإذا كانت GN هي عملية عملية

65
00:04:03,550 --> 00:04:04,930
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

66
00:04:04,930 --> 00:04:15,930
عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية

67
00:04:15,960 --> 00:04:19,840
طيب نشوف ال example اللي بعده الان ال example اللي

68
00:04:19,840 --> 00:04:25,400
بعده بقول لي اللي هو let FN be هذه let FN من 0

69
00:04:25,400 --> 00:04:30,460
لعند 1 من 01 لعند R be defined for N أكبر سواء 2

70
00:04:30,460 --> 00:04:37,150
by مراكبين دالة تشوف هذه الدالةعندي Fn of X بساوي

71
00:04:37,150 --> 00:04:42,490
N تربيع X الـ N هذا دالة المتغير X هذه الـ Fn و

72
00:04:42,490 --> 00:04:45,030
الـ N تربيحة دولة اللي هنا اللي بدلن على اللي هو

73
00:04:45,030 --> 00:04:49,810
الـ sequence F1, F2, F3, F4 أما الدالة هي F منين

74
00:04:49,810 --> 00:04:55,280
بدلالة X الـ Fn بدلالة Xإذاً هذا عدد يعني هذه

75
00:04:55,280 --> 00:04:59,280
Linear الدلة N تربيع X في الفترة من Zero لعند مين

76
00:04:59,280 --> 00:05:03,140
واحدة على N لو جينا رسمناها اللي هي N تربيع عند

77
00:05:03,140 --> 00:05:07,620
طبعا دي خطية بكفي نقطين نرسم عشان نحط خط بينهم عند

78
00:05:07,620 --> 00:05:12,900
X بصفر بتطلع اللي هي الأولى اللي هي N تربيع X صفر

79
00:05:12,900 --> 00:05:16,540
ال X واحدة على N بيصير واحدة على N في N تربيع

80
00:05:16,540 --> 00:05:19,640
بتطلع اللي هي واحدة على N هي واحدة على N بتطلع

81
00:05:19,640 --> 00:05:23,760
واحدة على Nبتطلع قيمة as an أسف an تربيع في واحدة

82
00:05:23,760 --> 00:05:30,260
الان بتطلع an إذا هذه اللي هي الخط هيه للجزء اللي

83
00:05:30,260 --> 00:05:33,760
هو الأولاني الجزء الثاني اللي هو بيبدأ من عند

84
00:05:33,760 --> 00:05:36,520
واحدة الان عند مين واحدة الان عند اتنين ان خلينا

85
00:05:36,520 --> 00:05:41,150
نرسمههذا برضه ايش معله ده اللي خطية لإنه ايش ماخده

86
00:05:41,150 --> 00:05:46,190
عبارة عن ناقص N تربيع في X ناقص 2 على N هذي ثابت و

87
00:05:46,190 --> 00:05:50,190
هذي ثابت بالنسبالي X الان X لحقها إذا ده اللي خطية

88
00:05:50,190 --> 00:05:53,890
برضه و ده الخط خليني ناخد اللي هي X بتساوي 1 على N

89
00:05:53,890 --> 00:05:58,010
خد 1 على N ناقص 2 على N بيطلع ناقص 1 على N في ناقص

90
00:05:58,010 --> 00:06:01,790
N تربيع بيطلع 1 على N فعلا 1 على N بيطلع 1 على N و

91
00:06:01,790 --> 00:06:06,150
N فبيطلع مين؟لأن هذا بيطلع واحدة الان في ناقص ان

92
00:06:06,150 --> 00:06:09,850
تربيع بتطلع اللي هي ناقص واحدة الان في ناقص ان

93
00:06:09,850 --> 00:06:13,990
تربيع بتطلع اللي هي ان ان إذا هذه واحدة الان بتطلع

94
00:06:13,990 --> 00:06:17,590
أيهاش بالساوء اللي بعيدها النقطة الأخيرة اتنين على

95
00:06:17,590 --> 00:06:20,370
ان اتنين على الناقص اتنين على الان سفر هذي بيصير

96
00:06:20,370 --> 00:06:24,480
أيهاش سفر ترجع وين على سفر فبتنزل في الشكل هذاباجي

97
00:06:24,480 --> 00:06:27,540
الدالة من عند اللي هو طبعا معرف عالميا على الفترة

98
00:06:27,540 --> 00:06:31,720
Zero و واحد هي من Zero لعندي اتنين على N الان N

99
00:06:31,720 --> 00:06:34,340
بتساوي واحد او اتنين او تلاتة او اربع او خمس او

100
00:06:34,340 --> 00:06:37,580
ستة لبدكية كل دالة من هنا بتختلف عن التانية يعني

101
00:06:37,580 --> 00:06:43,220
هذه FN in general F واحد F اتنين F تلاتة بتيجي

102
00:06:43,220 --> 00:06:46,360
لهيك او بتروح لهيك بس بنفس اللي هي الشكل الأمامي

103
00:06:46,700 --> 00:06:49,900
إيش عندي في فترة ماتنين على ألا واحد، ماتنين على

104
00:06:49,900 --> 00:06:53,340
ألا واحد، الفترة ها دي ماخدين الدالة إيش بتساوي؟

105
00:06:53,340 --> 00:06:57,440
بتساوي إيش؟ سفر واضح إن الدالة هي الدالة محترمة

106
00:06:57,440 --> 00:07:02,880
دالة is continuousMadame Continuous أكيد اشمالها

107
00:07:02,880 --> 00:07:08,060
is integrable إذا الدوال هذول أف واحد و أف اتنين و

108
00:07:08,060 --> 00:07:11,480
أف تلاتة و أف أربعة و أف خمسة و أف ستة إلى ما لا

109
00:07:11,480 --> 00:07:17,380
نهاية من الأفانز بتكون عبارة عن .. عبارة عن

110
00:07:17,380 --> 00:07:21,600
integrable أو أف اتنين و طالعIntegrable Functions

111
00:07:21,600 --> 00:07:25,760
من أن و طالع .. من أن واحد بيصير في المشكلة طيب

112
00:07:25,760 --> 00:07:29,520
Note that Fn of X is continuous لكل أن أكبر ساوية

113
00:07:29,520 --> 00:07:34,180
اتنين ناخد الفكرة احنا Hence, Integrable and ال

114
00:07:34,180 --> 00:07:38,520
integration من صفر لأن واحد Fn of X DX ايش بيساوي؟

115
00:07:38,520 --> 00:07:42,060
بيساوي اللي هو واحد بتعرفوا تحسبوها هي مساحة ..

116
00:07:42,060 --> 00:07:48,500
مساحة المتلت هذا اللي هو اتنين على أناللي هو مضروب

117
00:07:48,500 --> 00:07:54,360
في مين فان بطلع جداش اتنين في نص بطلع واحد عارف ان

118
00:07:54,360 --> 00:07:56,880
النص القاعدة في الارتفاع إذا الجداش بطلع عندى اللي

119
00:07:56,880 --> 00:08:00,100
هو قيمة ال integration هذا بساوي واحد لأن هذا

120
00:08:00,100 --> 00:08:04,060
المنطقة إيه شمالها سفر إذا اللي هي قيمة ال

121
00:08:04,060 --> 00:08:08,480
integration هذا بساوي واحد يعني ال function of

122
00:08:08,480 --> 00:08:12,980
ands integrable وقيمة اللي هي ال integration بساوي

123
00:08:12,980 --> 00:08:18,850
واحد لكل and أكبر أو يساوي اتنينان بيساوي واحد

124
00:08:18,850 --> 00:08:21,490
اعوضها لحالك وشوف ايش اللي بيصير Note that as n

125
00:08:21,490 --> 00:08:25,490
goes to infinity اللي

126
00:08:25,490 --> 00:08:31,310
هو الفترات اللي عليها عشان نورجيكم إياهاطيب هذه

127
00:08:31,310 --> 00:08:35,230
الدالة معرفها as n goes to infinity هذه الفترة

128
00:08:35,230 --> 00:08:39,050
بتصير عبارة عن اللي هو النقطة zero و هذه الفترة

129
00:08:39,050 --> 00:08:43,130
بتصير النقطة zero و الفترة 2 على n بتصير اللي هي

130
00:08:43,130 --> 00:08:48,430
mean zero ل عند واحد and so الدالة إيش هتصير limit

131
00:08:48,430 --> 00:08:54,410
fn of x بتساوي f of x إيش هتساوي هتساوي zeroيعني

132
00:08:54,410 --> 00:08:59,450
الان لما ان تروح لما لنهاية هذه كلها ايش مالها

133
00:08:59,450 --> 00:09:03,870
بتنطبق عالمين لإن كل ما كبرت ان بتفرد هذه بتفرد

134
00:09:03,870 --> 00:09:07,170
هذه بتفرد هذه لإن as n goes to infinity هذا الكلام

135
00:09:07,170 --> 00:09:12,210
ده اللي هتفرد و تمشي عالمين على اللي هي من سفر

136
00:09:12,210 --> 00:09:16,250
لعند واحد هتظلها ايش قيمتها قيمتها سفر فاهمين عليش

137
00:09:16,250 --> 00:09:21,600
بقول الان as n goes to infinityهذه الآن بتبدأ اللي

138
00:09:21,600 --> 00:09:26,000
هي .. هذي بيصير الان نص .. هذي المنطقة كلها .. آسف

139
00:09:26,000 --> 00:09:28,040
.. هذي المنطقة كلها هذا اللي بيتمد .. مش هدوله ..

140
00:09:28,040 --> 00:09:31,440
هذي اللي بيتمد اللي هي اتنين على ان بتجربها ان ..

141
00:09:31,440 --> 00:09:34,220
بتصغر as and goes to infinity واحدة على ان بتجربها

142
00:09:34,220 --> 00:09:37,850
انلأن as n goes to infinity بيهدفك بروح لمين في دا

143
00:09:37,850 --> 00:09:42,750
السفر يعني بيصير ده لكلها من معرفة ك zero function

144
00:09:42,750 --> 00:09:46,370
يعني limit of n of x as n goes to infinity بيساوي

145
00:09:46,370 --> 00:09:54,030
اللي هي سفر لكل x limit الفترة 01 مدام سفرأه إذا

146
00:09:54,030 --> 00:09:57,530
صار عنده اللي هو لاحظوا ال convergence point wise

147
00:09:57,530 --> 00:10:01,350
convergence بعتمد عالميا على x في كل حاجة اللي هو

148
00:10:01,350 --> 00:10:05,010
ال integration من سفر اللي عنده واحد f of x dx إيش

149
00:10:05,010 --> 00:10:09,630
هيساوي؟ هيساوي zero لأن قيمة ال function كله وين

150
00:10:09,630 --> 00:10:14,510
هتيجي على اللي هي السفر فبكون ال integration اللي

151
00:10:14,510 --> 00:10:19,770
بيساوي zero اللي بدي أنا .. اللي بدي أفله نلاحظ

152
00:10:20,580 --> 00:10:27,480
اللي وصلتله ان ال integration من 0 و 1 لل F of X

153
00:10:27,480 --> 00:10:33,040
DX بيساوي 0 أكيد بيسويش 1 اللي هو بيساوي اللي هو

154
00:10:33,040 --> 00:10:39,510
مين هذا الواحد limit لل integrationمن zero and

155
00:10:39,510 --> 00:10:46,170
واحد F N of X DX as N goes to infinity مظبوط؟ لأن

156
00:10:46,170 --> 00:10:49,530
ال integration هذا طلع دايما إيش حيساوي؟ حيساوي

157
00:10:49,530 --> 00:10:54,130
واحد بغض النظر عن قيمة ال N إذا هذا ال limit لل

158
00:10:54,130 --> 00:10:59,270
integration هاي اللي بتوصله وليس شرط يساوي إيش ال

159
00:10:59,270 --> 00:11:03,250
integration لل limit رغم إن ال F طلعت مالها

160
00:11:03,250 --> 00:11:09,070
Integrable ال limit يعني ال N limitأف ان of X لما

161
00:11:09,070 --> 00:11:14,810
ان تروح لنهاية اللي عندي ايش بيساوي F of X بالرغم

162
00:11:14,810 --> 00:11:19,810
من هيك اللي هو هذا الكلام لكل X وين موجودة لكل X

163
00:11:19,810 --> 00:11:25,990
موجودة في الفترة 01 بالرغم من هيكالان الـ

164
00:11:25,990 --> 00:11:31,790
integration limit للـ integration من C1 لـ F of X,

165
00:11:32,290 --> 00:11:39,570
N of X, DX ما سواش لل integration من 0 ل1 limit لـ

166
00:11:39,570 --> 00:11:45,070
F, N of Xيعني ايش اللي بقصده اللي هو ماقدرتش ال

167
00:11:45,070 --> 00:11:49,710
limit تدخل لجوه ال integration في ضوء ال pointwise

168
00:11:49,710 --> 00:11:53,470
convergence وفي ضوء ان ال limit نفسها طلعت

169
00:11:53,470 --> 00:11:58,050
integrable اذا الان هنا ال pointwise convergence

170
00:11:58,050 --> 00:12:02,570
قد يعطي انه اللي هو ال function تكون اللي هو

171
00:12:02,570 --> 00:12:07,560
integrable لكن لا يمكنإنه .. أو .. أيه .. أو ..

172
00:12:07,560 --> 00:12:11,280
آسف ليس شرطا أن يكون limit لل integration بساوي ال

173
00:12:11,280 --> 00:12:14,600
integration لل limit إذا بدنا دفعة أكبر من ال

174
00:12:14,600 --> 00:12:17,820
pointwise convergence و الحالتين ال continuity و

175
00:12:17,820 --> 00:12:21,600
ال integrability هانفتنتين الدفعة هذه هي ال

176
00:12:21,600 --> 00:12:25,970
uniform convergence و هنشوف هذا الكلاممن خلال

177
00:12:25,970 --> 00:12:31,770
النظريات القادمة أول نظرية عندنا هذه النظرية اللي

178
00:12:31,770 --> 00:12:35,750
هي هتتعلق بالـ sequence of continuous functions

179
00:12:35,750 --> 00:12:40,090
كيف أنه لو كانت اللي هي sequence of continuous

180
00:12:40,090 --> 00:12:43,570
functions converts uniformly to some function F

181
00:12:43,570 --> 00:12:46,690
then F must be continuous

182
00:12:49,500 --> 00:12:54,300
طيب يا جماعة الان نيجي theorem 8.2.2 بتقول ما يلي

183
00:12:54,300 --> 00:12:57,520
الان نتقف ان بيه a sequence of continuous

184
00:12:57,520 --> 00:13:02,860
functionson a set A subset من R، إذاً Fn عبارة عن

185
00:13:02,860 --> 00:13:07,300
متتابعة من الدوالي المتصلة على الفترة A subset من

186
00:13:07,300 --> 00:13:12,360
R and suppose that اللي هي الـ Fn converges

187
00:13:12,360 --> 00:13:15,640
uniformly on A to a function F من A لعند R، بقول

188
00:13:15,640 --> 00:13:21,200
إذا ولا يهمك مضمون إن الـ F نفسها تكون إيش ما لها

189
00:13:21,200 --> 00:13:24,400
is a continuous function، إذاً

190
00:13:30,480 --> 00:13:36,500
المقاومة للمعاملات المستمرة هي مستمرة باستخدام

191
00:13:36,500 --> 00:13:41,880
المعاملة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

192
00:13:41,880 --> 00:13:43,080
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

193
00:13:43,080 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

194
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

195
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

196
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

197
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

198
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

199
00:13:43,760 --> 00:13:43,760
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة

200
00:13:43,760 --> 00:13:50,400
المستمرة المستمرة المستمرة المستمرة المستأو نصل

201
00:13:50,400 --> 00:13:54,440
إلى أن الـ F نفسها continuous عالميا على الـ A

202
00:13:54,440 --> 00:13:59,280
element الـ R خلّينا بس نرتب حاجة ده بما أن F

203
00:13:59,280 --> 00:14:03,180
unconverts uniform للـ F on A إذا حسب التعريف الـ

204
00:14:03,180 --> 00:14:05,820
uniform convergence لكل يسون أكبر من سفر there

205
00:14:05,820 --> 00:14:10,690
exists actuallyof epsilon اللي هو such that أو

206
00:14:10,690 --> 00:14:13,530
there exists H such that الـH هتتمد على مين؟ على

207
00:14:13,530 --> 00:14:16,630
الـEpsilon if N أكبر يسوى H لأنه for convergence

208
00:14:16,630 --> 00:14:20,470
زي ما انتوا عارفين such that if N أكبر يسوى H then

209
00:14:20,470 --> 00:14:24,610
F N of X ناقص F of X أصغر من Epsilon ع تلاتة حرن

210
00:14:24,610 --> 00:14:27,230
أصغر من Epsilon في الدنيا من ضمنها مين؟ Epsilon

211
00:14:27,230 --> 00:14:32,010
على تلاتة for all X element in مين؟ in A إذا الأن

212
00:14:32,010 --> 00:14:41,540
أول حاجة لكل Epsilonأكبر من 0 لجينا H such that

213
00:14:41,540 --> 00:14:46,780
element of N طبعاً such that for every N أكبر أو

214
00:14:46,780 --> 00:14:55,100
يساوي H عندي F N of X نقص F of X أصغر من Y ع تلاتة

215
00:14:55,100 --> 00:15:04,390
لكل X element من A هذه أول واحدةلأن let C element

216
00:15:04,390 --> 00:15:09,870
in A be arbitrary but fixed ليش؟ بدي أثبتلك أن F

217
00:15:09,870 --> 00:15:16,050
continuous on A، F تبعتنا، هي المطلوبكيف بدى

218
00:15:16,050 --> 00:15:20,150
أثبتها؟ بدى أخد أي C Fixed لكن Arbitrary إن إيه

219
00:15:20,150 --> 00:15:23,230
بما إنه C Arbitrary لو أثبتنا F Continuous and

220
00:15:23,230 --> 00:15:26,190
الـC بتكون F Continuous على كل الـMain الـA كيف

221
00:15:26,190 --> 00:15:31,530
بدى أثبتها؟ بدى أثبتلك Limit F of X لما X بتروح

222
00:15:31,530 --> 00:15:36,430
للـC أش بتساوي F of C إيش معناته هذا؟ معناته لكل ي

223
00:15:36,430 --> 00:15:40,910
أكبر من صفر بدى لاجي K element none such that as

224
00:15:40,910 --> 00:15:49,500
تلاقي Deltaاللي هو أكبر من سفر such that X minus C

225
00:15:49,500 --> 00:15:55,280
أصغر من Delta يعطيني F of X ناقص F of C أصغر من

226
00:15:55,280 --> 00:16:00,260
مين من Y هذا اللي بدأ أثبته عشان أصل لمين لل F

227
00:16:00,260 --> 00:16:04,440
continuous عند ال C اللي هي كانت arbitrary في ال A

228
00:16:04,440 --> 00:16:08,620
إذا F continuous على كل ال A ده هنشوفه الآن طيب

229
00:16:10,260 --> 00:16:13,740
استخدمها معناه الـ for convergence هيه وأخدت C

230
00:16:13,740 --> 00:16:18,800
arbitrary point but fixed in A then الآن احسب مالي

231
00:16:18,800 --> 00:16:24,420
اف .. طبعا هذا الكلام بس جاب المبدأ هنا هذا صحيح

232
00:16:24,420 --> 00:16:31,800
لكل N أكبر أو يساوي H من ضمنها صحيح للـH يعني

233
00:16:31,800 --> 00:16:36,260
هلاجي ان FH of X ناقص F of X أصغر من مين؟ من

234
00:16:36,260 --> 00:16:41,540
إبسلون ع تلاتة لكل X element in Aبرضه صحيح لل F H

235
00:16:41,540 --> 00:16:48,840
of C ناقص F of C أصغر من F3 لكل X element A صحيح

236
00:16:48,840 --> 00:16:52,340
من ضمن ال X والC وغير و الاخر هي كل العناصر اللي

237
00:16:52,340 --> 00:16:57,520
في ال Aأحسبلي الآن F of X ناقص F of C أصغر أو

238
00:16:57,520 --> 00:17:03,120
أساوي F of X ناقص F H of X زاد F H of X ناقص F H

239
00:17:03,120 --> 00:17:06,980
of C زاد F H of C ناقص F of C يعني إيش اللي سويته

240
00:17:06,980 --> 00:17:11,680
اللي هو ضفت قمتين و طرحتين ضفت ال H of X F H of X

241
00:17:11,680 --> 00:17:16,320
وضفت ال F H of C عشان بدي أستخدم اللي فوق عشان أصل

242
00:17:16,320 --> 00:17:24,660
للي بديها شوف كيف اللي عنديالـ Fx ناقص Fh of X من

243
00:17:24,660 --> 00:17:29,320
اللي فوق أصغر من ي على تلاتة هذه نزلوها زي ما هي

244
00:17:29,320 --> 00:17:33,240
تسيبوكوا منها هذه Fh of C ناقص F of C أصغر من ي

245
00:17:33,240 --> 00:17:38,760
برضه من ي على تلاتة إذا الآن اللي حصلته لكل ي أكبر

246
00:17:38,760 --> 00:17:45,620
من 0 لجيت H أبحث

247
00:17:46,530 --> 00:17:54,690
إنه لكل N أكبر أو سوء H طلع عندي F X ناقص F of C

248
00:17:54,690 --> 00:18:00,470
أصغر من Epsilon ع تلاتة وزائد Epsilon ع تلاتة يعني

249
00:18:00,470 --> 00:18:04,910
اتنين Epsilon ع تلاتة زائد ال absolute value ل F H

250
00:18:04,910 --> 00:18:14,170
of X ناقص F H of C هذه الآناللي هيسعفني ان هو

251
00:18:14,170 --> 00:18:18,610
مفترض لي ان ال FN اللي هي ال sequence كلها

252
00:18:18,610 --> 00:18:24,010
continuous عند ال A كلها، اذا اكيد ال FH اللي هي

253
00:18:24,010 --> 00:18:27,810
واحدة من ال sequence is continuous عند مين، عند كل

254
00:18:27,810 --> 00:18:31,930
العناصر اللي في ال A، من ضمن هنا ال C اللي أخدت

255
00:18:31,930 --> 00:18:37,490
fixed but arbitrary و هيك، هبتكون أنا بديت أنهي

256
00:18:37,490 --> 00:18:42,700
البرهان، شوف كيفهذه حصلناها طيب الأن أكيد هيقولنا

257
00:18:42,700 --> 00:18:47,860
since FH is continuous at C مدام continuous at C

258
00:18:47,860 --> 00:18:53,800
إذا لكل ي أكبر من سفر بقدر ألاقي Delta الـ Delta

259
00:18:53,800 --> 00:18:57,700
هذه طبعا بدي نوّهلك ويقولك الـ Delta أكيد هتعتمد

260
00:18:57,700 --> 00:19:01,920
عالميا على الـ Y وهتعتمد على الـ C لأنه أنا باخد

261
00:19:01,920 --> 00:19:06,790
ال continuity لعند مين عند النقطة Cوهتعتمد على ال

262
00:19:06,790 --> 00:19:11,470
FH لأنه مااخد ال continuity لمن أنا لل FH إذا

263
00:19:11,470 --> 00:19:17,610
الدلتا هذه هي بتعتمد على ال FH و C لل Y على 3 لإنه

264
00:19:17,610 --> 00:19:24,650
أنا بدأ استخدم limit FH of X لما X تروح للـC بسوء

265
00:19:24,650 --> 00:19:30,590
FH of C يعني لكل Y أكبر من 0 there exists Delta

266
00:19:30,590 --> 00:19:35,630
الـDelta هذه لمين تعتمد على الـC وتعتمد على الـFH

267
00:19:35,630 --> 00:19:40,470
وتعتمد على مين على اللي هي الـY اللي بتاخدها

268
00:19:40,470 --> 00:19:45,340
arbitrarily ماشي الحال طيبإذا التعريف هذا بدي

269
00:19:45,340 --> 00:19:48,860
أترجمه لكل إبسلون أكبر من صفر there exist اللي هي

270
00:19:48,860 --> 00:19:53,300
Delta أكبر من صفر such that لما X minus C كان أصغر

271
00:19:53,300 --> 00:19:57,420
من Delta والـ X في الـ A يعطيني الفرق بين التنتين

272
00:19:57,420 --> 00:20:00,620
هدولة أصغر من مين من أي إبسلون في الدنيا من ضمن

273
00:20:00,620 --> 00:20:04,820
إبسلون ع تلاتة واضحة الصورة الآن هذه الآن بدي

274
00:20:04,820 --> 00:20:09,090
أدمجها مع حد بيصير عندي لكل إبسلونأكبر من سفر

275
00:20:09,090 --> 00:20:13,330
there exist Delta أكبر من سفر such that for every

276
00:20:13,330 --> 00:20:18,610
X element in A بتحقق X minus C أصغر من Delta اللي

277
00:20:18,610 --> 00:20:26,230
هو بيعطيني then F of X ناقص F of C أصغر من 2 Y ع 3

278
00:20:27,010 --> 00:20:31,930
ومن هذه أصغر من ي على تلاتة يعني بمعنى أخر أصغر من

279
00:20:31,930 --> 00:20:37,270
ي وهذا بالظبط معناته أنه limit f of x لما x تروح ل

280
00:20:37,270 --> 00:20:40,570
c بيساوي f of c وهذا كانت c element in a

281
00:20:40,570 --> 00:20:46,170
arbitrarily إذا f is continuous on a إذا خلصنا

282
00:20:46,170 --> 00:20:51,690
النظرية الأولى اللي هي اللي بتتعلق بال sequence of

283
00:20:51,690 --> 00:20:52,430
continuous functions

284
00:20:58,670 --> 00:21:05,130
طيب نشوف ال .. ال remark يا جماعة ال

285
00:21:05,130 --> 00:21:07,430
remark بيقول لي the limit of a sequence of

286
00:21:07,430 --> 00:21:10,370
continuous functions may be continuous but the

287
00:21:10,370 --> 00:21:13,590
convergence is pointwise يعني بيقولك يعني ممكن أنت

288
00:21:13,590 --> 00:21:17,250
تلاقيلك اللي هو sequence of functions continuous

289
00:21:17,250 --> 00:21:20,870
ويكون ال pointwise convergence ويروح لمين ل

290
00:21:20,870 --> 00:21:25,660
continuous functions طبعا ممكن أكيدو جبلنا دوال ..

291
00:21:25,660 --> 00:21:30,920
دوال من هالنوع اللي هو كان عندى اللي هى ال .. اذا

292
00:21:30,920 --> 00:21:37,480
بتتذكروا اظن انتبهتنا قبل شوية انه

293
00:21:37,480 --> 00:21:48,100
fn of x بساوى x على n هذه continuous طبعا on Rو F

294
00:21:48,100 --> 00:21:53,840
of X اللي هي limitها limit F N of X لما N تروح لما

295
00:21:53,840 --> 00:21:57,940
نهاية بساوي اللي هو عبارة عن سفر هذه برضه اي

296
00:21:57,940 --> 00:22:02,000
شمالها continuous function بالرغم من ان ال F N

297
00:22:02,000 --> 00:22:06,780
بتروح لل F point twice but ال F N does not

298
00:22:06,780 --> 00:22:10,660
converge لل F uniformly زي ما أثبتنا يعني ممكن

299
00:22:10,660 --> 00:22:14,280
اللي هو ال point twice convergence يكون limitه

300
00:22:14,280 --> 00:22:16,420
continuous function لما تكون sequence of

301
00:22:16,420 --> 00:22:20,810
continuous functionsطبيعي لكن احنا بنقول الضمان

302
00:22:20,810 --> 00:22:25,010
انه يطلع continuous انها تكون uniform convergence

303
00:22:25,010 --> 00:22:30,830
وجبنا مثال على انه اللي هو اللي هي sequence of

304
00:22:30,830 --> 00:22:34,130
continuous functions converge pointwise to some

305
00:22:34,130 --> 00:22:36,730
function that is not continuous زي ما شوفنا في

306
00:22:36,730 --> 00:22:41,610
المثال الأول نيجي الآن نحكي عن موضوع او الجزء

307
00:22:41,610 --> 00:22:47,770
المتعلق بمينالجزء المتعلق بالـ Integrable

308
00:22:47,770 --> 00:22:54,370
Functions الآن نشوف أيش العلاج لإنه نضمن الـ Limit

309
00:22:54,370 --> 00:22:56,730
للـ Integration بساوي الـ Integration للـ Limit أو

310
00:22:56,730 --> 00:22:59,850
اللي هو لما ندخل الـ Limit للـ Integration متى

311
00:22:59,850 --> 00:23:04,590
بنقدر ندخله ويظل المحافظة على المساوية Let FN be a

312
00:23:04,590 --> 00:23:07,750
sequence of functions that are integrable on A وB

313
00:23:08,610 --> 00:23:13,110
and suppose that FN converges uniformly من A و B

314
00:23:13,110 --> 00:23:19,150
to F then إذا لما تكون ال convergence uniform then

315
00:23:19,150 --> 00:23:23,850
ال F is integrable من A و B هاي واحد اتنين ال

316
00:23:23,850 --> 00:23:27,210
integration لل F of X DX من A لعين B بسوء ال limit

317
00:23:27,210 --> 00:23:29,870
لل integration يعني بمعنى أخر ال limit لل

318
00:23:29,870 --> 00:23:33,910
integration بسوء ال integration لل limitلما نكون

319
00:23:33,910 --> 00:23:38,490
هذا ماله uniform convergence خلّينا نشوف اللي هو

320
00:23:38,490 --> 00:23:43,270
البرهان الان خلّينا نسمي الفترة تبعتنا let J

321
00:23:43,270 --> 00:23:47,950
بتساوي A وB الان بما أن FN بتروح لل F uniform اللي

322
00:23:47,950 --> 00:23:53,540
في صناعة الكلام هذاالان تنسوش ان الـ Fn is

323
00:23:53,540 --> 00:23:56,320
integrable يعني ايش ما لها bounded يعني ال

324
00:23:56,320 --> 00:23:58,200
sequence of bounded functions و زي ما صارت ال

325
00:23:58,200 --> 00:24:01,980
sequence of bounded functions اذا automatic بتتحقق

326
00:24:01,980 --> 00:24:05,900
ان اللي هي اللي ما اللي هي تبعت ال norm لل F ناقص

327
00:24:05,900 --> 00:24:13,130
Fm اللي هو بتروح للسفر يعني Fn يعني Fnبتروح للـ F

328
00:24:13,130 --> 00:24:18,850
uniformly معناته Fn ناقص F اللي هو ايه شماله over

329
00:24:18,850 --> 00:24:22,650
some .. over ايه او اللي مسميها J goes to mean to

330
00:24:22,650 --> 00:24:26,890
zero يعني normal Fn ناقص الـ F أصغر من يبسطه يعني

331
00:24:26,890 --> 00:24:29,190
forever يبسطه نقوم نسيف it there exists كي لم

332
00:24:29,190 --> 00:24:31,710
تنساش that forever أن أكبر شهو K أفقن ناقص أفقر

333
00:24:31,710 --> 00:24:36,150
أصغر من مين من الـ Y عارفين هالقصة طيب .. طيب نيجي

334
00:24:36,150 --> 00:24:40,630
الأنلت جيب سواء a و b since fn converts uniformly

335
00:24:40,630 --> 00:24:44,650
to f و since fn is integrable then fn is bounded

336
00:24:44,650 --> 00:24:48,830
then we can use our lemma then for every epsilon

337
00:24:48,830 --> 00:24:52,510
there exists k of epsilon such that if n أكبر سواء

338
00:24:52,510 --> 00:24:58,940
k of epsilon هذه we have f ناقص fnأصغر من Epsilon

339
00:24:58,940 --> 00:25:01,540
على أربعة في B minus A أصغر من Epsilon في الدنيا

340
00:25:01,540 --> 00:25:04,280
من ضمنها Epsilon على أربعة في B minus A هذه

341
00:25:04,280 --> 00:25:08,760
للحسابات زي العادة ما بنحكي فيها بحكي عنها و طبعا

342
00:25:08,760 --> 00:25:14,400
في لها تفسير و فسرنا كتير في أوقات

343
00:25:14,400 --> 00:25:19,580
سابقة هذه سميها واحد الآن اللي سمينا ال K of

344
00:25:19,580 --> 00:25:23,520
Epsilon هذه سمينا هي إيش K للتسهيل بس الان FK is

345
00:25:23,520 --> 00:25:28,590
integrableأه then مدام integrable اذا there exist

346
00:25:28,590 --> 00:25:33,730
a partition بي ابسلون لل FK هذه X not X واحد X and

347
00:25:33,730 --> 00:25:37,470
such that ال U بي ابسلون و FK نقص ال ابسلون بي

348
00:25:37,470 --> 00:25:40,190
ابسلون و FK أصغر من مين من أي ابسلون في الدنيا

349
00:25:40,190 --> 00:25:43,370
نضيب انها ابسلون على اتنين عارفين هذي ايش هذي هذي

350
00:25:43,370 --> 00:25:45,950
اللي هي ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

351
00:25:45,950 --> 00:25:46,930
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

352
00:25:46,930 --> 00:25:46,950
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

353
00:25:46,950 --> 00:25:47,750
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

354
00:25:47,750 --> 00:25:49,330
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

355
00:25:49,330 --> 00:25:49,930
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

356
00:25:49,930 --> 00:25:53,420
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. الإذا صار عندى

357
00:25:53,420 --> 00:25:57,640
الآن من الـ Integrability للـ FK حصلنا ع بارتيشين

358
00:25:57,640 --> 00:26:01,100
بي إبسلون بحيث أن ال Upper نقص ال Lower أصغر من

359
00:26:01,100 --> 00:26:07,800
الـ Y على 2 لهذا ال بارتيشين الآن عندى فوق F of X

360
00:26:07,800 --> 00:26:11,520
نقص FK of X أصغر من Y على 2 على 4 B minus A for

361
00:26:11,520 --> 00:26:16,410
every X element in A by 2 by 1 thenخلّينا اللي هو

362
00:26:16,410 --> 00:26:20,850
نكمل ال .. ال .. ال .. البرهان هي هذه اللي هي

363
00:26:20,850 --> 00:26:29,290
خلّينا اكتبها عشان اللي هو نتذكر اللي هي نلم

364
00:26:29,290 --> 00:26:37,950
الخطوات تبعتنا اللي عندي FMF ناقص FM أو FN أصغر من

365
00:26:37,950 --> 00:26:40,910
إبسلون على أربعة في B minus A هذه B minus A طول

366
00:26:40,910 --> 00:26:44,970
الفترة تبعت AJ الـ J الآن الـ partition عندي اللي

367
00:26:44,970 --> 00:26:52,410
هو U بإبسلون أو F ناقص FH أو FK ناقص منها ناقص L

368
00:26:52,410 --> 00:26:59,370
بإبسلون و FK أصغر من إبسلون على كده؟ على اتنين

369
00:26:59,370 --> 00:27:07,470
للحسابات طيب الآنبقول لي من هذه من هذه أكيد أكبر

370
00:27:07,470 --> 00:27:12,650
أو يساوي F ناقص FN of X يعني من هذه بنقدر نحصل هذا

371
00:27:12,650 --> 00:27:17,850
صحيح لكل N أكبر أو يساوي K من ضمنها اللي هي N إيش

372
00:27:17,850 --> 00:27:21,890
بتساوي زي ما احنا متعودين بنستخدم اللي بلزمنا اللي

373
00:27:21,890 --> 00:27:28,910
هي FK يعني بيصير هذا أكبر أو يساوياللي هو f of x

374
00:27:28,910 --> 00:27:35,250
ناقص fn of x لكل x element in J لأن من ضمن الأنات

375
00:27:35,250 --> 00:27:40,010
هذه اللي هي main الـ K يعني بيصير عنده fn أو زي ما

376
00:27:40,010 --> 00:27:47,110
هو مسميها f of x ناقص fk of x absolute value صار

377
00:27:47,110 --> 00:27:53,430
أصغر من ي على أربعةبـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ-

378
00:27:53,430 --> 00:27:53,490
بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ

379
00:27:53,490 --> 00:27:54,170
- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ-

380
00:27:54,170 --> 00:27:59,490
بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ

381
00:27:59,490 --> 00:27:59,490
- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ-

382
00:27:59,490 --> 00:27:59,490
بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ- بـ

383
00:27:59,490 --> 00:28:06,630
- بـ- بـ- بـ- بـفكنا هذه بيصير عندي الان F of X

384
00:28:06,630 --> 00:28:12,090
ناقص Y على 4 في B minus A أذر أو يساوي FK of X

385
00:28:12,090 --> 00:28:16,450
عارفين طبعا كيف اللي هو أكبر أذر يساوي و أكبر ساوي

386
00:28:16,450 --> 00:28:21,350
ناقصها اللي FK نجلت هنا بيصير F of X وجبتها دي هنا

387
00:28:21,350 --> 00:28:24,310
بيصير F of X ناقص Y على 4 في B minus A أذر يساوي

388
00:28:24,310 --> 00:28:30,250
FK of Xوهذه نفسها fk of x أكيد أصغر أو يساوي ال

389
00:28:30,250 --> 00:28:34,410
absolute value لل fk of x زي ما انتوا عارفين وال

390
00:28:34,410 --> 00:28:36,550
absolute value لل fk of x أصغر أو يساوي ال

391
00:28:36,550 --> 00:28:42,230
supremum لل absolute value له المصورة عامة اللي هو

392
00:28:42,230 --> 00:28:45,550
على الفترة xj minus واحد لل xj اللي هو إيش اللي

393
00:28:45,550 --> 00:28:50,760
بنسميه اللي هو ال mj اللي هو تبع ال upper sumالان

394
00:28:50,760 --> 00:28:58,040
صار عندي ال F of X ال F of X نسجلها هذه F of X أثر

395
00:28:58,040 --> 00:29:08,440
أو ساوي Y على 4 في B minus A زائد MJ of FK لكل X

396
00:29:08,440 --> 00:29:17,970
لكل إيش؟ اللي هي X X وين في الفترة؟ اللي هو XJأو

397
00:29:17,970 --> 00:29:23,890
ناقص واحد و XJ وهذا وين يا جماعة نفسه اللي هو لكل

398
00:29:23,890 --> 00:29:31,510
J من واحد و اتنين لعند مين الان طيب لأ

399
00:29:31,510 --> 00:29:36,450
هذه حتى لكل X لأن هذه ال X هذه أخدناها arbitrarily

400
00:29:36,450 --> 00:29:47,720
في ال J هذه لكل X في ال J نعم خلينا نسجل صح طيبإذا

401
00:29:47,720 --> 00:29:49,960
استخدمنا اللي هو معناته ال uniform convergence

402
00:29:49,960 --> 00:29:54,640
حصلنا على هذه استخدمنا ال integrability لل FK اللي

403
00:29:54,640 --> 00:29:57,820
لاجيناها هذه المرتبطة بال K اللي لاجيناها عشانها

404
00:29:57,820 --> 00:30:02,340
اللي هي N أكوا سوا K ومنها استخدمنا اللي هو

405
00:30:05,130 --> 00:30:10,310
اللي فوق لل FK بالذات هذه أصغر من هذه وهذه حصلنا

406
00:30:10,310 --> 00:30:13,730
على ال inequality هذه عشان بضروح أثبت ال

407
00:30:13,730 --> 00:30:17,430
integrability لمين لل F نفسها شوفوا كيفنا نثبت

408
00:30:17,430 --> 00:30:23,690
الآن صار عندي الآنF of X أصغر سواء هذا في هذا

409
00:30:23,690 --> 00:30:28,770
وعارفين إيش معنات اللي هو M J of F K الان M J of F

410
00:30:28,770 --> 00:30:31,090
زي ما انتوا عارفين إيش بتساوي ال supermom ل F of X

411
00:30:31,090 --> 00:30:35,370
اللي على فترة مين X اللي هي في J minus واحد وJ

412
00:30:35,370 --> 00:30:40,670
أكيد اللي هي ال ها دي هتكون أصغر من Y على 4 في B

413
00:30:40,670 --> 00:30:48,220
minus A زائد M J عليها عارفين ليش لأن ال F of XF

414
00:30:48,220 --> 00:30:52,440
of X أصغر أو ساوي هذا القيمة، مظبوط؟ إذا صارت هذه

415
00:30:52,440 --> 00:30:56,940
القيمة عبارة عن اللي هو upper bound of the mean

416
00:30:56,940 --> 00:31:01,580
للـ F of X، ماشي الحال صارت هذه upper bound، إذا

417
00:31:01,580 --> 00:31:04,820
ال least upper bound، ال supremum، هيظل أصغر أو

418
00:31:04,820 --> 00:31:09,140
ساوي هذه القيمة، لأن هذه القيمة عبارة عن عدد، صار

419
00:31:09,140 --> 00:31:13,420
الآن M J of F أصغر أو ساوي هذا المقدر، وضحكة هذه

420
00:31:13,420 --> 00:31:19,780
أعملناها كتير، إذا صار عندي MJ of Fأصغر أو يساوي

421
00:31:19,780 --> 00:31:28,060
MJ of FK زايد إبسلون على أربعة في B minus A هذا

422
00:31:28,060 --> 00:31:33,240
الكلام اللي هو لكل اللي هي من J واحد واتنين عند

423
00:31:33,240 --> 00:31:36,760
الناقص واحد الباقي انتوا عارفينه دايما بنعمله اضرب

424
00:31:36,760 --> 00:31:43,520
لهنا في XJ ناقص XJ minus واحد واضرب هنا في XJ ناقص

425
00:31:43,520 --> 00:31:49,300
XJ minus واحد وهنا في XJ minus XJ minus واحدضربنا

426
00:31:49,300 --> 00:31:54,200
اللي هو الترفيه المتباينة في XJ minus XJ minus

427
00:31:54,200 --> 00:31:58,780
واحد و بعدين أخدنا ال summation J من عند واحد لعند

428
00:31:58,780 --> 00:32:02,700
N و أخدنا ال summation J من عند واحد لعند N و

429
00:32:02,700 --> 00:32:06,880
أخدنا ال summation J من عند واحد لعند N هذا كله

430
00:32:06,880 --> 00:32:11,020
على بعضه طبعا كل شغلنا على ال BY اللي لاجناها ال

431
00:32:11,020 --> 00:32:15,180
partition اللي لاجناها فوق اللي هو عندي هذا عبارة

432
00:32:15,180 --> 00:32:23,430
عن اللي هي ال Uof اللي هو الـ partition بي ابسلون

433
00:32:23,430 --> 00:32:28,290
اللي بدي اشتغل عليه هدولة الهن و mean و A اللي هي

434
00:32:28,290 --> 00:32:34,250
ال function F أصغر أو يساوي هذا mean هو ال U اللي

435
00:32:34,250 --> 00:32:40,010
هو ال بي ابسلون و ال FK و هد ايش هتكون عبارة عن

436
00:32:40,010 --> 00:32:44,320
ايش عشان هيك أخدنا بي مايلوس ايه هتشوفوهاالآن هذه

437
00:32:44,320 --> 00:32:50,400
y زائد y على أربعة في b minus a ال summation هذا

438
00:32:50,400 --> 00:32:54,160
لل sub intervals اللي هو زي ما انتوا عارفين x واحد

439
00:32:54,160 --> 00:32:57,780
نقص x not زائد x اتنين نقص x واحد لما أصل ل xn نقص

440
00:32:57,780 --> 00:33:01,600
xn نقص واحد يعني هيضل في الآخر xn نقص x not يعني b

441
00:33:01,600 --> 00:33:06,980
minus a في b minus a هذه بتروح مع هذه فبصير عندي

442
00:33:06,980 --> 00:33:13,610
ال uأصغر من الـ U هذا زي إبسلون على أربعة اللي

443
00:33:13,610 --> 00:33:17,450
عنده اللي هو الـ U بإبسلون F أصغر يسوي U بإبسلون

444
00:33:17,450 --> 00:33:21,570
FK زي إبسلون على أربعة Similarly وفعلا Similarly

445
00:33:21,570 --> 00:33:25,690
بعد بدل ما نشتغل على الأبراللي فوق بدل ما نشتغل

446
00:33:25,690 --> 00:33:30,870
على الأبر هنا بنشتغل عالميا على اللاور اللي بيطلع

447
00:33:30,870 --> 00:33:34,350
عند ال ال ب إبسلون و أف هذا بيبقى لكم ال ب إبسلون

448
00:33:34,350 --> 00:33:38,030
و أف كيه ناقص إبسلون على أربع أصغر من ال ب إبسلون

449
00:33:38,030 --> 00:33:44,490
و أف إذا اللي وصلنا له ما هي ليه يا جماعة اللي

450
00:33:44,490 --> 00:33:55,110
وصلنا له انه لكل إبسلون أكبر من 0هناك بي إبسلون

451
00:33:55,110 --> 00:34:05,870
مثلًا U بي إبسلون و F أصغر أو يساوي U بي إبسلون و

452
00:34:05,870 --> 00:34:09,990
FK زائد إبسلون على أربعة

453
00:34:13,830 --> 00:34:20,130
بإبسلون و FK ناقص إبسلون على أربعة أصغره يساوي L

454
00:34:20,130 --> 00:34:25,830
بيبسلون و F هذه اللي وصلنا له لحد الآن نيجي الان

455
00:34:25,830 --> 00:34:32,230
نرتبهم مع بعض و نصل للي بدناه اشي معهود خدوا الان

456
00:34:32,230 --> 00:34:38,530
U بيبسلون و Fناقص الـ P,Y,F هذه ناقص هذه لما ضروف

457
00:34:38,530 --> 00:34:43,510
هذه في ناقص بيصير هذه ناقص هذه معهودة وهذه بيصير

458
00:34:43,510 --> 00:34:46,690
ناقص وهذه بيصير زائد وهذه بيصير أكبر أو يساوي

459
00:34:46,690 --> 00:34:52,570
بتجمع هذه لهذه يعني بيصير عدى هذه ناقص هذه أصغر من

460
00:34:52,570 --> 00:34:59,130
الـ U,P,Y,F هيهازائد هادي ناقص هادي زائد هادي يعني

461
00:34:59,130 --> 00:35:03,010
بيصير عنده هادي يو بي إبسل و أف كيه ناقص البي إبسل

462
00:35:03,010 --> 00:35:06,190
و أف كيه زائد إبسل على أربعة وإبسل على أربعة اللي

463
00:35:06,190 --> 00:35:10,690
هو إبسل على مين؟ على اتنين وهذه من الأول لما

464
00:35:10,690 --> 00:35:15,630
نستخدمها اللي هو الـRiemann criterion for

465
00:35:15,630 --> 00:35:19,640
integrability للأف كيهاللي هو أوجدتنا الـ Py هو

466
00:35:19,640 --> 00:35:23,220
أوجدتنا أن هذه ناقصة أصغر من Y على 2 يعني صار عندي

467
00:35:23,220 --> 00:35:26,820
Y على 2 وY على 2 إبسلون معناته هذه صارت أصغر من

468
00:35:26,820 --> 00:35:30,080
إبسلون و بالرماني criterion for integrability

469
00:35:30,080 --> 00:35:36,560
بتطلع الـ F is إيش is integrable وهذا اللي هو

470
00:35:36,560 --> 00:35:41,200
الإثبات لإن ال function F is integrable دل نثبت

471
00:35:41,200 --> 00:35:43,500
اللي هو limit لل integration بساوي integration لل

472
00:35:43,500 --> 00:35:46,630
limitوهذا من خلال الخطوات اللي طلعت عندنا حلّجي

473
00:35:46,630 --> 00:35:55,030
يطلع بشكل سهل وبشكل سلس وخلّينا نشوفه الان since

474
00:35:55,030 --> 00:35:58,130
epsilon was arbitrary then f is integrable on j زي

475
00:35:58,130 --> 00:36:02,750
ما قلنا خد ال integration من a لb f of x dx نقص ال

476
00:36:02,750 --> 00:36:07,950
integration من a لb fn of x dx بساوي اللي هوالـ

477
00:36:07,950 --> 00:36:10,830
absolute value طبعاً صارت هذه integrable وهذه

478
00:36:10,830 --> 00:36:14,470
integrable ماشي الحال إذا ال integration هذا نقص

479
00:36:14,470 --> 00:36:17,010
ال integration هذا بساوي ال integration لهذا نقص

480
00:36:17,010 --> 00:36:20,210
هذا الكل إيش ماله DX من خواص التكامل اللي أخدناها

481
00:36:20,210 --> 00:36:25,370
سابقاً وهذا نفسه أصغر أو يساويأصغر يساوي ال

482
00:36:25,370 --> 00:36:28,750
integration من a لb واخدناها سابقاً absolute value

483
00:36:28,750 --> 00:36:34,370
of f of x ماقص fn of x لكل ايش ماله dx ال absolute

484
00:36:34,370 --> 00:36:36,490
value integration أصغر يساوي ال integration لل

485
00:36:36,490 --> 00:36:42,340
absolute value وهذا نفسهاللي هو أصغر أو يساوي norm

486
00:36:42,340 --> 00:36:47,060
الـ F ناقص الـ Fn over اللي هي الـ interval J

487
00:36:47,060 --> 00:36:51,320
ماشي، الآن بيصير عندى هذا أصغر أو يساوي ال

488
00:36:51,320 --> 00:36:56,840
integration من A ل B norm الـ F ناقص الـ Fn over J

489
00:36:56,840 --> 00:37:03,720
الكل إيش ماله؟ DX الآن هذا يا جماعة ثابت بيطلع

490
00:37:03,720 --> 00:37:09,520
براته بيصير عبارة عن يساوي ال absolute valueالـ

491
00:37:09,520 --> 00:37:13,700
norm للـ f ناقص الـ fn over j في ال integration من

492
00:37:13,700 --> 00:37:20,600
a إلى b dx هذا هيهان وهذا ال integration من a إلى

493
00:37:20,600 --> 00:37:25,840
b إلى dx هو عبارة عن b minus a صار هذا ناقص هذا

494
00:37:25,840 --> 00:37:31,200
أصغر من هذا في b minus a الآن as n goes to

495
00:37:31,200 --> 00:37:34,920
infinity as n goes to infinity صار هذا أكبر أو

496
00:37:34,920 --> 00:37:42,930
يساوي سفروهذا هيوطلع لهذه المنطقة هيها هذه بس خد

497
00:37:42,930 --> 00:37:46,170
ال limit للجهتين as n goes to infinity هذا بيصير

498
00:37:46,170 --> 00:37:51,590
ال limit هناas n goes to infinity وهنا ال limit as

499
00:37:51,590 --> 00:37:54,170
n goes to infinity طبعا هذا one هيروح لإنه أفن

500
00:37:54,170 --> 00:37:57,910
بتروح للأف uniformly هذا بتروح كله لمين للصفر إذا

501
00:37:57,910 --> 00:38:01,330
as n goes to infinity ال limit هذا إيش بيساوي صفر

502
00:38:01,330 --> 00:38:04,990
مدام ال limit هذا صار بيساوي صفر هذا independent

503
00:38:04,990 --> 00:38:09,170
of the limit هذا عبارة عن فيش فيه n صار عندي اللي

504
00:38:09,170 --> 00:38:12,990
هو مضحكة

505
00:38:12,990 --> 00:38:19,770
بتصور الصورة صار عندي الأن limitهذا بيساوي ايش صار

506
00:38:19,770 --> 00:38:24,770
بيساوي سفر limit لال absolute value من a لعند b f

507
00:38:24,770 --> 00:38:32,170
of x dx نقص integration fn of x dx من a لعند b

508
00:38:32,170 --> 00:38:35,710
limit as angles to infinity limit ال absolute

509
00:38:35,710 --> 00:38:38,810
value صار سفر إذا أكيد ال limit بدون absolute

510
00:38:38,810 --> 00:38:42,690
value بيساوي سفر هذا independent of the limit إذا

511
00:38:42,690 --> 00:38:48,210
بيصير بساوي ال integration من a لb f of x dxبتدخل

512
00:38:48,210 --> 00:38:54,370
ال limit ناقص limit ال integration fn of x dx من a

513
00:38:54,370 --> 00:38:59,310
ل عند بيه ماشي الحل و لا نضحك الصورة هذا صار عليه؟

514
00:38:59,310 --> 00:39:05,780
هذا كله على بعض صار بساوي سفرإذا الـ limit ننجل

515
00:39:05,780 --> 00:39:08,620
هذا على الجهة الثانية بيصير limit ال integration

516
00:39:08,620 --> 00:39:15,080
من a ل b fn of x dx as n goes to infinity بساوي

517
00:39:15,080 --> 00:39:20,900
اللي بيظل هنا من a ل b f of x dx وهذا معناته إنه

518
00:39:20,900 --> 00:39:24,310
في حالة ال uniform convergenceالـ FN sequence of

519
00:39:24,310 --> 00:39:27,030
integrable functions هتروح لـ integrable function

520
00:39:27,030 --> 00:39:29,450
و هيطلع عنده limit لل integration بيساوي ال

521
00:39:29,450 --> 00:39:32,150
integration ل limit و بهي .. و هيكون كون احنا

522
00:39:32,150 --> 00:39:37,110
علجنا اللي هو النقطة الثانية في اللي هو المحاضرة

523
00:39:37,110 --> 00:39:42,270
ضال عندي نقطة أخيرة بس قبلها خليني نذكر هال نظرية

524
00:39:42,270 --> 00:39:47,470
اللي هي برهانة خارج نطاق اللي هو الكتاب و نشوف

525
00:39:47,470 --> 00:39:49,110
اللي هو

526
00:39:53,380 --> 00:39:58,540
إيش بتقول هذه اللي هي النظرية؟ إيش بتقول bounded

527
00:39:58,540 --> 00:40:02,310
convergence theorem؟النظرية بتقول let FN be a

528
00:40:02,310 --> 00:40:07,150
sequence of functions that are integrable in A وB

529
00:40:07,150 --> 00:40:12,530
مفترضين إنها integrable and suppose that بدي يبعد

530
00:40:12,530 --> 00:40:14,850
عن ال uniform convergence بتقول لو شيلنا ال

531
00:40:14,850 --> 00:40:18,550
uniform convergence ممكن نبدله بإيش إيه؟ ويظل

532
00:40:18,550 --> 00:40:20,850
محافظنا على ال limit لل integration بساوي ال

533
00:40:20,850 --> 00:40:24,920
integration لل limit؟ آه، بنفع، نشوف كيفلت أفأن بـ

534
00:40:24,920 --> 00:40:27,340
sequence of functions that are integrable in A وB

535
00:40:27,340 --> 00:40:30,380
بس بده يدفع ثمن برضه integrable in A وB and

536
00:40:30,380 --> 00:40:34,400
suppose that أفأن converts in A وB to an

537
00:40:34,400 --> 00:40:37,780
integrable function F يعني أفأن بتروح للـ F على

538
00:40:37,780 --> 00:40:44,700
الفترة هذه اللي هو point twice ماجالش uniformly بس

539
00:40:44,700 --> 00:40:50,770
الآن بده يفترض شغلة بده يقيد الأفأنبشغلة معينة

540
00:40:50,770 --> 00:40:54,950
شغلة كبيرة برضه التقييد مش جليل طبعا لكن بيضل اشي

541
00:40:54,950 --> 00:40:59,830
يعني منفذ تاني suppose also that there exist B

542
00:40:59,830 --> 00:41:05,870
أكبر من سفر بحيث انه FN of X أصغر شهر بيه لكل X

543
00:41:05,870 --> 00:41:09,750
element in A و B و لكل N element in B هذا في

544
00:41:09,750 --> 00:41:14,690
الواقع اللي هو uniform boundedness ليش؟ لأن هو

545
00:41:14,690 --> 00:41:21,200
مفترض ان ال sequence FN of Xأصغر أو يساوي اللي هو

546
00:41:21,200 --> 00:41:28,140
B لكل X element in A وB ولكل N element in N هو مش

547
00:41:28,140 --> 00:41:32,360
مفترض إن الـ Fn نفسها تكون bounded يعني F1 اللي

548
00:41:32,360 --> 00:41:35,580
حالها bounded، F2 bounded، F3 bounded كل إن هيكون

549
00:41:35,580 --> 00:41:39,940
bounded صح، بس اللي طالبه أكثر اللي طبعا في حالة

550
00:41:39,940 --> 00:41:47,640
الـ F1 bounded، F2 bounded، هيكون عندي Fnof X أصغر

551
00:41:47,640 --> 00:41:52,480
أو ساوى BN F4

552
00:41:53,890 --> 00:41:58,290
أني اللي هو الآن بنقول عن FN نفسها bounded أنه

553
00:41:58,290 --> 00:42:02,750
there exists B لها، B لمن؟ لل FN لو فرضنا أن FN

554
00:42:02,750 --> 00:42:05,950
الحالها bounded، there exists B للـN سميتها BN

555
00:42:05,950 --> 00:42:11,850
صشدتها، دي أصغر يساوي BN لكل X element in A وB هذا

556
00:42:11,850 --> 00:42:16,650
لو فرضنا أنه كل واحدة على حدة A bounded هو طالب

557
00:42:16,650 --> 00:42:24,260
أكثر جاي الـ bound هذابنفع لكل الـ mean للـ F1 و

558
00:42:24,260 --> 00:42:30,980
للـ F2 و للـ F3 و للـ F4 يعني فارض أن FN of X أصغر

559
00:42:30,980 --> 00:42:35,920
أو يشوي يعني درج ZEF بأكبر من صفر such that FN of

560
00:42:35,920 --> 00:42:42,040
X أصغر شهر و B لكل N element N و لكل X element مين

561
00:42:42,040 --> 00:42:48,760
in ال interval اللي هي A أو B طبعا هذا الكلام أكيد

562
00:42:48,760 --> 00:42:52,940
بيعطي هذا لكن هذا مش شرط يعطي هذا لأن هذا ال BN لل

563
00:42:52,940 --> 00:42:57,540
F1 فيه B1 ال F2 بيه F2 F3 بيه F3 F4 بيه F4 هل فيه

564
00:42:57,540 --> 00:43:01,770
الherosoprimam هدولة ليس شرطاماقدرش نقول أه عشان

565
00:43:01,770 --> 00:43:06,070
هيك طلبه كبير طبعا البرنامج خارج عن نطاق ال course

566
00:43:06,070 --> 00:43:10,250
سبعنا الان تحت هذا ال condition اللي قلنا عنه

567
00:43:10,250 --> 00:43:14,190
condition ماقدرنا نقول وازن then ال integration من

568
00:43:14,190 --> 00:43:17,450
a ل b of x dx بسوء limit لل integration من a b ل f

569
00:43:17,450 --> 00:43:20,610
n of x dx يعني بمعنى أخر limit لل integration بسوء

570
00:43:20,610 --> 00:43:24,950
ال integration لل limitالان نيجي لجزيه الثالث من

571
00:43:24,950 --> 00:43:29,350
المحاضرة اللي بتعلق بالـ sequence of

572
00:43:29,350 --> 00:43:32,550
differentiable functions خلينا نشوف المثال أول اشي

573
00:43:32,550 --> 00:43:37,570
و بعدين نيجي لنظريتنا let fn of x بساوي summation

574
00:43:37,570 --> 00:43:42,270
2 to the minus k cosine 3k x k من 1 لعين ده يعني

575
00:43:42,270 --> 00:43:47,950
الانF1 of X بيساوي اللي هو 2 تره ماينس واحد كساين

576
00:43:47,950 --> 00:43:52,810
تلاتة X F2 of X بيساوي اللي هو 2 تره ماينس واحد

577
00:43:52,810 --> 00:43:56,930
كساين تلاتة X زائد 2 تره ماينس اتنين كساين تلاتة

578
00:43:56,930 --> 00:44:01,070
تربيع X و هكذاFn of X هي عبارة عن الـSummation هذا

579
00:44:01,070 --> 00:44:04,690
من واحد لـ&N وهذه عبارة عن Sequence of Functions

580
00:44:04,690 --> 00:44:09,070
واضح أن هذه Sequence of Functions هي عبارة عن

581
00:44:09,070 --> 00:44:12,570
Sequence of Differentiable Functions، لماذا؟ لأن

582
00:44:12,570 --> 00:44:16,450
كل واحدة منهم عبارة عن Summation، Finite Summation

583
00:44:16,450 --> 00:44:20,570
لـCos Function والـCos Function مستمر في كل مكان

584
00:44:20,570 --> 00:44:25,510
وDifferentiable في كل مكانإذا صارت عندي الـ F1 و

585
00:44:25,510 --> 00:44:29,330
الـ F2 و الـ F3 و الـ Fn عامة R الـ differential

586
00:44:29,330 --> 00:44:33,930
of the function on R لكن شوفت على الـ limit احنا

587
00:44:33,930 --> 00:44:37,890
خدنا المثال هذا but limit Fn of X as N plus

588
00:44:37,890 --> 00:44:41,970
infinity بساوة summation كمن عند واحد إلى ما لا

589
00:44:41,970 --> 00:44:47,150
نهاية بتصير ماشي الحالة2 to the minus k cosine 3kx

590
00:44:47,150 --> 00:44:51,150
هذه أخدنا مثال على function is continuous

591
00:44:51,150 --> 00:44:54,590
everywhere و is not differentiable anywhere و قلنا

592
00:44:54,590 --> 00:44:59,930
برهانة خارج نطاق اللي هو اكتبنا فهذه الدالة عبارة

593
00:44:59,930 --> 00:45:04,790
عن ال limit هذه اللي هي طلعت هذه الدالة يعني limit

594
00:45:04,790 --> 00:45:08,590
ال function هذه دالة هذا ال limit is not

595
00:45:08,590 --> 00:45:12,710
differentiable at any x element in R يعني هذا

596
00:45:12,710 --> 00:45:16,620
عبارة عن مثالعلى sequence of functions FN

597
00:45:16,620 --> 00:45:25,100
differentiable on R but its limit FN هنشوف

598
00:45:25,100 --> 00:45:32,970
converts كمان uniformly ل F والـ F andF can

599
00:45:32,970 --> 00:45:36,950
converge uniformly to F but الـ F زي ما قلنا is

600
00:45:36,950 --> 00:45:44,430
not differentiable at any X element in R وكأنه الـ

601
00:45:44,430 --> 00:45:50,980
uniform convergence هنا برضه وصفة ما نفعتشإن نجيب

602
00:45:50,980 --> 00:45:54,340
الـ sequence of differentiable functions تطلع

603
00:45:54,340 --> 00:45:57,220
differentiable function يعني ال uniform

604
00:45:57,220 --> 00:46:01,220
convergence كمان نفسه بده دعمة أو بدنا condition

605
00:46:01,220 --> 00:46:05,280
غير هيك يوصلنا للي بدنايا انه اللي هو ال sequence

606
00:46:05,280 --> 00:46:08,060
of differentiable functions تقول إلى

607
00:46:08,060 --> 00:46:13,940
differentiable function ده نشوف نكمل .. نكملالان

608
00:46:13,940 --> 00:46:18,300
هنشوف كيف ينفرج .. ينفرج .. ينفرج ينفرج ينفرج

609
00:46:18,300 --> 00:46:19,940
ينفرج ينفرج عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

610
00:46:19,940 --> 00:46:20,360
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

611
00:46:20,360 --> 00:46:21,560
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

612
00:46:21,560 --> 00:46:21,960
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

613
00:46:21,960 --> 00:46:23,120
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

614
00:46:23,120 --> 00:46:24,740
عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة

615
00:46:24,740 --> 00:46:28,440
عامة عامة عامة عامة عامة

616
00:46:29,930 --> 00:46:34,590
هذا أكيد أصغر أو ساوي اللي هو ال absolute value of

617
00:46:34,590 --> 00:46:36,130
summation أصغر أو ساوي ال summation لل absolute

618
00:46:36,130 --> 00:46:39,650
value وال cosine أصغر أو ساوية حدث ان صار عبارة عن

619
00:46:39,650 --> 00:46:41,890
ال summation ال absolute value of summation هذا

620
00:46:41,890 --> 00:46:44,910
أصغر أو ساوي two to the minus k كمن عند n زائد

621
00:46:44,910 --> 00:46:49,430
واحد إلى مين إلى ما لا نهايةوهذا as n goes to

622
00:46:49,430 --> 00:46:53,210
infinity هذا بروح لل zero ماشي الحال خليها في

623
00:46:53,210 --> 00:46:59,350
الذاكره الآن صار عندي f of x نقص fn of x أصغر أو

624
00:46:59,350 --> 00:47:04,450
يساوي هذا الرقم ماشي مش معتمد على x صار هذا أصغر

625
00:47:04,450 --> 00:47:08,050
أو ساوي هذا صار هذا upper bound لهذهمدام upper

626
00:47:08,050 --> 00:47:10,210
bound إذا ال upper bound أكبر أو ساوي ال least

627
00:47:10,210 --> 00:47:14,170
upper bound اللي هو نوم لل F ناقص FN over R أصغر

628
00:47:14,170 --> 00:47:17,310
أو ساوي هذا as N goes to infinity هذا بيروح لل

629
00:47:17,310 --> 00:47:21,250
zero إذا ال F ناقص FN over R بتروح لل zero وهذا

630
00:47:21,250 --> 00:47:27,570
معناته أن FN بتروح لل F اللي هو on mean on R يعني

631
00:47:27,570 --> 00:47:31,250
ال convergence إيش ماله uniform convergence بالرغم

632
00:47:31,250 --> 00:47:35,880
إن ال uniform convergence حادثوالـ Fn sequence of

633
00:47:35,880 --> 00:47:40,200
differentiable functions الـ F إيش ما لها طلعتش

634
00:47:40,200 --> 00:47:44,840
differentiable إذا بالزمن اللي هو condition أو

635
00:47:44,840 --> 00:47:49,900
conditions تضمنلي أنه لما Fn تروح للـ F و Fn

636
00:47:49,900 --> 00:47:52,580
sequence of differentiable functions تطلعلي الـ F

637
00:47:52,580 --> 00:47:56,930
differentiable خلّينا نشوف نظريتنا اللي هيأخر جزء

638
00:47:56,930 --> 00:48:00,990
في ال section و في ال chapter اللي بدنا ناخده منه

639
00:48:00,990 --> 00:48:07,070
اللي هي بتجاوبنا على هذا الأمر و نشوف أيش النظرية

640
00:48:07,070 --> 00:48:12,630
بتقوله و من ثم بعد أنفة من نص نبرهن النظرية نشوف

641
00:48:12,630 --> 00:48:17,400
let J subset من R be a bounded intervalbounded

642
00:48:17,400 --> 00:48:21,340
interval open مش open مش فارقة معاه a closed مش

643
00:48:21,340 --> 00:48:24,560
closed مش فارقة الان and let fn be a sequence of

644
00:48:24,560 --> 00:48:29,360
functions on j يعني عبقى عندي عندي fn sequence of

645
00:48:29,360 --> 00:48:33,940
functions fn sequence of functions على مين؟ على

646
00:48:33,940 --> 00:48:38,180
الـ j اللي هي ال interval اللي عندي لعند ارف واحدة

647
00:48:38,180 --> 00:48:43,700
اتنين ارف تلاتة الاخرين وبدنا نفترضاللي هو suppose

648
00:48:43,700 --> 00:48:49,880
that there exist x0 element in j بحيث أن fn of x0

649
00:48:49,880 --> 00:48:56,440
converges اللي هو to some limit الان ايش مفترض ان

650
00:48:56,440 --> 00:49:03,520
في عندي x0في الـ J بحيث أن FN of X0 هذه صارت

651
00:49:03,520 --> 00:49:07,840
sequence of numbers هذه converges to some number

652
00:49:07,840 --> 00:49:12,560
ايش هو مش عارفينه الان and that ومعطيك كمان شغلة

653
00:49:12,560 --> 00:49:18,800
هذه معطيكياها اللي هي and converges عند مقطة محددة

654
00:49:18,800 --> 00:49:24,320
اسمها X0 في الـ J and the sequence FN prime of

655
00:49:24,320 --> 00:49:29,510
derivatives exist on Jيعني مفترض إن الـ F N'

656
00:49:29,830 --> 00:49:32,910
exists يعني F N sequence of differentiable

657
00:49:32,910 --> 00:49:36,390
functions مفترض إن F N sequence of differentiable

658
00:49:36,390 --> 00:49:40,210
functions ومش هيك، وبيقولك إن هذه الـ F N'

659
00:49:40,750 --> 00:49:45,230
converts uniformly on J to some function F يعني

660
00:49:45,230 --> 00:49:50,950
بيقولك F N' existsFN برايم exist لكل N وهذا الـ

661
00:49:50,950 --> 00:49:55,430
sequence بيقول لك converges uniformly to some

662
00:49:55,430 --> 00:50:00,130
function اسمها مين؟ اسمها J إذن sequence of

663
00:50:00,130 --> 00:50:05,510
functions لأن في X0 في الـ J بحيث أن FN of X0

664
00:50:05,510 --> 00:50:10,830
نفسها تكون converges FN برايم converges uniformly

665
00:50:10,830 --> 00:50:17,150
to some Gto some G بكل الأنظم مع وجود هذه الشروط

666
00:50:17,150 --> 00:50:23,210
اللي حكينا عليها then the sequence FN converges

667
00:50:23,210 --> 00:50:32,330
uniformly to a function F بعد هذا بعد هذا بنلاقي

668
00:50:32,330 --> 00:50:37,370
أن FN غصب إن عنا لازم تكون converges uniformly to

669
00:50:37,370 --> 00:50:44,660
some function mean F ومش هيكوالـ function F هذه

670
00:50:44,660 --> 00:50:51,260
تطلع الـ derivative تبعتها هي مين؟ هي الـ G يعني

671
00:50:51,260 --> 00:51:01,310
وكأنه أن الـ F N converges uniformly to Fاللي هي

672
00:51:01,310 --> 00:51:07,270
الـ derivative لها مين الاش الـ G يعني F N برايم

673
00:51:07,270 --> 00:51:10,510
بتكون uniformly convergence to some function G

674
00:51:10,510 --> 00:51:17,890
هتطلع الـ F N converge uniformly لل function اللي

675
00:51:17,890 --> 00:51:24,570
تفضلها هو مين هو عبارة عن الـ Gطيب إذا في عندي

676
00:51:24,570 --> 00:51:28,210
شغلتين بدنا نثبت ان FN can form convergence to F

677
00:51:28,210 --> 00:51:35,690
والـ F' إيش بتساوي؟ بتساوي مين؟ اللي هي الـ G يعني

678
00:51:35,690 --> 00:51:42,830
هتصير إنه الـ FN' اللي هو sequence of

679
00:51:42,830 --> 00:51:45,770
differentiable functions بتطلع عندي هذه sequence

680
00:51:45,770 --> 00:51:49,210
of differentiable functions converge to function

681
00:51:49,210 --> 00:51:54,110
بتكون differentiableليش؟ لأن F' ايش بتتساوي G؟

682
00:51:54,110 --> 00:51:57,590
يعني F is differentiable يعني هذه بتقول إنه لو

683
00:51:57,590 --> 00:52:00,950
الشرطة ده و الشرطة ده تتحققوا إذن ال sequence of

684
00:52:00,950 --> 00:52:06,290
differentiable functions FN هتكون converges to ..

685
00:52:06,290 --> 00:52:09,110
uniform converges طبعا to a differentiable

686
00:52:09,110 --> 00:52:13,310
function F إذن الشغلتين هدولة إحنا بدنا نثبتهم

687
00:52:13,310 --> 00:52:18,330
خلينا نشوف كيف نثبت هدولة الشغلتين بدنا نثبت إنه

688
00:52:18,330 --> 00:52:23,460
FNConverse Uniform للـ F وبدنا نثبت أن F' بيسوا G

689
00:52:23,460 --> 00:52:29,760
يعني بدنا نثبت لك في النهاية أنه limit F

690
00:52:31,240 --> 00:52:37,940
of X زائد اللي هو F of X زائد Delta X مثلا أو F of

691
00:52:37,940 --> 00:52:45,520
X ناقص F of C على X minus C as X بتروح للـ C بدنا

692
00:52:45,520 --> 00:52:51,980
نثبت أنه exist ويساوي G of meanof C يعني بمعنى هذا

693
00:52:51,980 --> 00:52:56,460
for arbitrary C element in main NG يعني كأنه في

694
00:52:56,460 --> 00:53:01,300
النهاية بدنا نثبت لك انه هذا exist يعني F prime of

695
00:53:01,300 --> 00:53:05,840
C exist ويساوي main G of C او بمعنى اخر بدنا نثبت

696
00:53:05,840 --> 00:53:08,320
لك انه for every Y colon of Z there exists delta

697
00:53:08,320 --> 00:53:14,490
such that X minus Cأصغر من Delta يؤدي إلى F of X

698
00:53:14,490 --> 00:53:20,270
ناقص F of C على X minus C ناقص G of C يكون أصغر من

699
00:53:20,270 --> 00:53:24,530
مين من Y إذا أثبتنا هذا معناته و أثبتنا إن هذا

700
00:53:24,530 --> 00:53:28,460
اللي هو limit existيعني الـ F' exist ويساوى مين

701
00:53:28,460 --> 00:53:31,920
الـ G of C والـ C كون بتكون أخديها Arbitrary في

702
00:53:31,920 --> 00:53:36,680
الـ G فبكون خلصنا أن الـ F' بيساوى الـ G وهذا كله

703
00:53:36,680 --> 00:53:40,920
بعد ما نثبت أن الـ F أنه conversion form للمين للـ

704
00:53:40,920 --> 00:53:48,280
F و تعالوا لتفاصيل البرهان طيب نيجي نشوف برهاننا

705
00:53:48,280 --> 00:53:51,020
شوفوا طاولوا روحكم علينا

706
00:53:55,700 --> 00:53:58,860
عشان نعرف بس نشتغل لبنى حيكة خلّينا نسمي ال end

707
00:53:58,860 --> 00:54:02,960
points جيه واحدة اسمها A واحدة اسمها B يعني let A

708
00:54:02,960 --> 00:54:06,440
أزرع من بي بي the end points of J جيه مفتوح مفتوح

709
00:54:06,440 --> 00:54:08,020
مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح

710
00:54:08,020 --> 00:54:08,080
مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح

711
00:54:08,080 --> 00:54:08,580
مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح

712
00:54:08,580 --> 00:54:13,580
مفتوح مفتوح مفتوح مفتوح مفتووخلّيني أخد X بـ

713
00:54:13,580 --> 00:54:17,700
Arbitrary Point في الـ J أحنا بنحكي عن أي X وين ما

714
00:54:17,700 --> 00:54:26,420
لا في الـ J اللي هي .. if M and N element in N

715
00:54:26,420 --> 00:54:29,320
then F minus N is differentiable on the closed

716
00:54:29,320 --> 00:54:34,550
interval within points X0 and X أكيدمفترضين احنا

717
00:54:34,550 --> 00:54:41,010
ان الـ F M' exist مظبوط مدام exist اذا F M

718
00:54:41,010 --> 00:54:44,850
differentiable و F N differentiable اذا F M نقص F

719
00:54:44,850 --> 00:54:48,910
N differentiable على كل مين؟ على كل الـ J اللي انا

720
00:54:48,910 --> 00:54:52,950
بدي اشتغل على فترة محددة انا اخدت X element in J

721
00:54:52,950 --> 00:54:57,490
arbitraryوهو معطيل في النظرية X0 اللي عندها اللي

722
00:54:57,490 --> 00:55:02,110
هي Fn of X0 converts بحكي عن X0 هذه المقصودة في

723
00:55:02,110 --> 00:55:08,170
النظرية بدي أطبّج عليها عندي بما أن Fm ناقص Fn is

724
00:55:08,170 --> 00:55:11,730
differentiable على closed interval within points

725
00:55:11,730 --> 00:55:18,090
X0 و X يعني يا X0 و X يا X و X0 حسب موقع كل من X و

726
00:55:18,090 --> 00:55:23,440
X0إذا صارت Fm ناقص Fn عبارة عن الـ differential

727
00:55:23,440 --> 00:55:26,120
بالـ function على هذه الـ closed bounded interval

728
00:55:26,120 --> 00:55:30,320
إذا أكيد continuous عليها كمان إذا بالـ mean value

729
00:55:30,320 --> 00:55:33,940
theorem مطبقة الـ mean value theorem ده طبقها على

730
00:55:33,940 --> 00:55:39,300
مين يا جماعة؟ على الـ Fm ناقص Fn يعني هذه دالتنا

731
00:55:39,300 --> 00:55:43,660
اللي بدنا نطبق عليها الـ mean value theorem إذا by

732
00:55:43,660 --> 00:55:47,760
mean value theorem there exists Y بين الـ X0 والـ

733
00:55:47,760 --> 00:55:53,380
X بحيثإن الـ Derivative لهذه بيساوي F M ناقص F N

734
00:55:53,380 --> 00:55:59,440
عند اللي هي X ناقص F M ناقص F Note عند الـ X Note

735
00:55:59,440 --> 00:56:05,640
بيساوي F M ناقص F N Prime عند مين؟ عند الـ Yby

736
00:56:05,640 --> 00:56:09,840
mean value theorem there exists y between x0 and x

737
00:56:09,840 --> 00:56:13,700
such that هذا الدلة كلها على بعض عند ال x fm of x

738
00:56:13,700 --> 00:56:19,300
نقص fn of x هذا الدلة ناقص fm of x0 نقص fn of x0

739
00:56:19,300 --> 00:56:25,060
هذا الدلة عند النقطة x0 بساوي اللي هي x minus x0فى

740
00:56:25,060 --> 00:56:30,520
اللى هو ال derivative لهذه عند مين عنده النقطة Y

741
00:56:30,520 --> 00:56:34,700
اللى هى F M prime of Y نقص F M prime of Y إذا

742
00:56:34,700 --> 00:56:47,340
حصلنا على هذه النقطة طيب الآن لو أجيت بس

743
00:56:47,340 --> 00:56:50,140
عشان بدي ألاقي مكان لما فيه كلام كتير بدي أكتبه

744
00:56:50,140 --> 00:56:57,540
هذا عندي المفروضخلّيني أكتب إن هذولة عندي المعطيات

745
00:56:57,540 --> 00:57:07,950
اللي هي FN of X0 Converges ومعايا اللي هو FNprime

746
00:57:07,950 --> 00:57:14,250
converging formally to the G هذا المطلوب أن FN

747
00:57:14,250 --> 00:57:20,290
converging formally to F و F' هي مين الـ G هذه

748
00:57:20,290 --> 00:57:24,450
المعطيات وهي المطلوب هذا اللي هو ملخصها خلينا نشوف

749
00:57:24,450 --> 00:57:31,590
عشان أنه احنا نبدأ اللي هو أفسلكم كل خطوة اللي هو

750
00:57:31,590 --> 00:57:35,270
ما كانت مش مفسرة في التلخيص نفسلكم إياها بالتفصيل

751
00:57:36,790 --> 00:57:43,750
الان وجدنا هذه يا جماعة ماشي الحال الان عندي هذا

752
00:57:43,750 --> 00:57:47,830
الكلام صحيح لكل x عندي طبعا x note نحكي عن x note

753
00:57:47,830 --> 00:57:56,530
محددة صار عندي الان fm of x ناقص fn of x هذه صارت

754
00:57:56,530 --> 00:58:01,600
absolute valueأصغر أو يساوي بدي أنجل هذه على النطق

755
00:58:01,600 --> 00:58:04,420
هذه وأقول absolute value هذه بساوي ال absolute

756
00:58:04,420 --> 00:58:07,720
value هذه وأخد triangle inequality بيصير أصغر أو

757
00:58:07,720 --> 00:58:17,260
يساوي ال absolute value لهذه Fn of X0 ناقص Fn of

758
00:58:17,260 --> 00:58:26,650
X0 زائد ال absolute value لل X minus X0في الـ F M

759
00:58:26,650 --> 00:58:34,930
prime of Y ناقص F M F N prime of mean of Y ماشي

760
00:58:34,930 --> 00:58:39,650
الحال هذا mean ماله هذا بال mean value بال

761
00:58:39,650 --> 00:58:42,550
triangle inequality بعد ما نجلتها على الجهة

762
00:58:42,550 --> 00:58:50,310
الثانية الآن هذا المقدار هذا المقداراللي هو أكيد

763
00:58:50,310 --> 00:58:54,790
هذا بيصير هذا المقدار أصغر يساوي هذا وهذا أصغر

764
00:58:54,790 --> 00:59:05,090
يساوي FM of X not FM of X not ناقص FM of X not

765
00:59:05,090 --> 00:59:12,730
زائد هذه اللي هي اللي هي موجودة في الفترة من عند A

766
00:59:12,730 --> 00:59:17,890
لعند BX و X0 بغض النظر الموقع هنادي أو هنادي في

767
00:59:17,890 --> 00:59:22,470
الآخر اللي هي B minus A أكيد أكبر من X minus X0

768
00:59:22,470 --> 00:59:29,670
أكيد إذا زائد B minus A فيه هذا هذا أكيد أصغر أو

769
00:59:29,670 --> 00:59:36,890
يساوي مين ال norm ل F M prime ناقص F N prime over

770
00:59:36,890 --> 00:59:40,550
مين الجيل اللي عندي ليش لأن هذا supremum للي فوق

771
00:59:40,550 --> 00:59:45,630
صار هذا كله عبارة عن رقمهذا كله عبارة عن رقم هذا

772
00:59:45,630 --> 00:59:51,650
الرقم الآن أكبر أو ساوي هذه لكل X وين موجودة في

773
00:59:51,650 --> 00:59:55,350
الجيل لأنه أخدت X مالها من رأس الدور أخدت X is

774
00:59:55,350 --> 01:00:00,290
arbitrary point ماشي الحال صار عندي الآن هذا صار

775
01:00:00,290 --> 01:00:04,650
upper bound لهذه عدناها مائة مرة إذا صار عند هذا

776
01:00:04,650 --> 01:00:07,250
ال upper bound أكبر أو ساوي ال least upper bound

777
01:00:07,250 --> 01:00:10,010
اللي هو ال supremum إذا صار عند ال supremum اللي

778
01:00:10,010 --> 01:00:15,810
هو norm ال FMناقص FN over J أصغر أو ساوي المقدار

779
01:00:15,810 --> 01:00:20,570
هذا وهي اللي هو حصلنا عليه هنا وتفسيره هي اللي

780
01:00:20,570 --> 01:00:26,130
فسرتلكم إياه فوق إذا صار عندي FM ناقص FN over J

781
01:00:26,130 --> 01:00:29,490
أصغر أو ساوي FN of X node ناقص FN of X node زاد B

782
01:00:29,490 --> 01:00:36,990
minus A في النور اللي أمامي الآن اللاحظ أن FN of X

783
01:00:36,990 --> 01:00:41,760
node convergeاللي هو and FN' is uniformly

784
01:00:41,760 --> 01:00:46,480
convergent in J then by the inequality above and

785
01:00:46,480 --> 01:00:50,520
theorem 8.11 we have FN is uniformly convergent

786
01:00:50,520 --> 01:00:55,300
رماها على طول خلّيني أفسرلكم أيها هذه خلّيني

787
01:00:55,300 --> 01:01:01,260
أفسرلكم اللي حكاه هنا وكيف وصل أن FN converges

788
01:01:01,260 --> 01:01:07,570
uniformly من مين لل FNنفسرها والتفسير يمكن مرة قبل

789
01:01:07,570 --> 01:01:17,510
هيك الان شوفوا معايا بما انه عندي ال FN of X0

790
01:01:17,510 --> 01:01:25,950
converges اذا it is Cauchy مظبوط is it is a Cauchy

791
01:01:25,950 --> 01:01:32,270
sequence معايا مدام Cauchy sequenceأيضا المعروف

792
01:01:32,270 --> 01:01:35,790
ايش معناه الـ Cauchy Sequence ان لكل أبسلون أكبر

793
01:01:35,790 --> 01:01:43,440
من سفر there exist اللي هو مثلا نسميها H1اللي هو

794
01:01:43,440 --> 01:01:49,220
element in N such that for every N و M أكبر أو

795
01:01:49,220 --> 01:01:57,500
يساوي H1 بكون عندي FN of X0 ناقص FN of X0 أصغر من

796
01:01:57,500 --> 01:02:02,740
مين؟ من يبسلون على اتنين مثلا يبسلون على اتنين

797
01:02:02,740 --> 01:02:07,220
ماشي؟ هذا من وين جبته؟ من أن FN of X0 converges

798
01:02:07,220 --> 01:02:12,910
هذه الأولى خليها هذه اسمها واحد الانعندي معطينة

799
01:02:12,910 --> 01:02:19,030
برضه اللي هو FN الـ Prime Uniform Convergence

800
01:02:22,150 --> 01:02:28,730
Converges uniformly Converges uniformly Converges

801
01:02:28,730 --> 01:02:32,450
uniformly Converges

802
01:02:32,450 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

803
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

804
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

805
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

806
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

807
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

808
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

809
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

810
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

811
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

812
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

813
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

814
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

815
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges uniformly Converges uniformly Converges

816
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
uniformly Converges uniformly Converges uniformly

817
01:02:34,190 --> 01:02:34,190
Converges usually Converges usually Converges

818
01:02:34,190 --> 01:02:34,290
usually Converges usually Converges usually

819
01:02:34,290 --> 01:02:34,530
Converges usually Converges usually Converges

820
01:02:34,530 --> 01:02:38,430
usually Converges usually Converges usually

821
01:02:38,430 --> 01:02:44,130
Converges usually Converges usually Converges

822
01:02:44,130 --> 01:02:51,420
usually Converges usually Converges usuallyاللي هو

823
01:02:51,420 --> 01:03:00,120
Normal Fn-Fm أصغر من Epsilon على B-A في 2 حرّا أي

824
01:03:00,120 --> 01:03:02,860
Epsilon في الدنيا نضب لها Epsilon على B-A في 2

825
01:03:02,860 --> 01:03:07,640
الان بدي استخدم هذه واستخدم هذه بدي استخدم ان الان

826
01:03:07,640 --> 01:03:11,020
و الام بتكون أكبر من H2 و الان و الام أكبر من مين

827
01:03:11,020 --> 01:03:15,420
من H1 إذا for every Epsilonأكبر من الصفر there

828
01:03:15,420 --> 01:03:18,700
exist H بتساوي الماكسما عشان انا اقدر استخدم

829
01:03:18,700 --> 01:03:24,360
التنتين ال maximum بين H1 وH2 such that for every

830
01:03:24,360 --> 01:03:29,180
N و M أكبر أو يساوي H أكبر أو يساوي H هيكون عندى

831
01:03:29,180 --> 01:03:36,260
norm norm هذه صحيحة لكل M و N في الدنيا ال FM ناقص

832
01:03:36,260 --> 01:03:42,800
FN over J أصغر أو يساوي الأولى زائد التانية الأولى

833
01:03:42,800 --> 01:03:47,930
هذهالأولى أصغر أو يساوي منها نائب سن على اتنين

834
01:03:49,210 --> 01:03:52,890
مظبوط لأن هذه أصغر من 100 على 2 لكل الـ N و الـ M

835
01:03:52,890 --> 01:03:56,670
الأكبر يساوي H اللي هي أكيد الـ H أكبر يساوي مين؟

836
01:03:56,670 --> 01:04:00,330
اللي هي H1 يعني N و M اللي بيكون أكبر يساوي H أكيد

837
01:04:00,330 --> 01:04:04,690
بيكون الـ H1 اللي أنا بالفعل أستخدمها زائد التانية

838
01:04:04,690 --> 01:04:10,090
برضه الـ F M' ناقص F M' أصغر من مين هنا؟ M' هذا

839
01:04:10,090 --> 01:04:13,050
طبعا، هذي Prime و هذي Prime لأن F M' الـPrime الـ

840
01:04:13,050 --> 01:04:19,730
Convergent لمن؟ لل Gإبسلون في اتنين في B minus A

841
01:04:19,730 --> 01:04:24,890
اللي كان مضروبة في مين في B minus A فبصير هذا

842
01:04:24,890 --> 01:04:27,250
إبسلون على اتنين و إبسلون على هذي بيصير روح مح هذي

843
01:04:27,250 --> 01:04:30,450
و هي سوى إبسلون إذا اللي حصلته لكل إبسلون أكبر من

844
01:04:30,450 --> 01:04:34,830
zero there exists H such that لكل N أكبر سوى H طلع

845
01:04:34,830 --> 01:04:39,590
عندي FN نقص FN أصغر من مين من إبسلون إذا by Cauchy

846
01:04:39,590 --> 01:04:46,420
criterion يكون عند ال FNconverges uniformly to

847
01:04:46,420 --> 01:04:52,180
some function mean F مش عارفين لسه عنها حاجة إذا

848
01:04:52,180 --> 01:04:57,600
اللي أثبتناه الأن أن F is uniformly convergent to

849
01:04:57,600 --> 01:05:02,880
some function F مين هي مش عارفينها لسه أما أثبتنا

850
01:05:02,880 --> 01:05:07,280
وجودها أثبتنا أن F converges uniformly ل F إذا

851
01:05:07,280 --> 01:05:16,630
بقدر أجرّأ وأقولLimit الـ Fm أو الـ Fn as n goes

852
01:05:16,630 --> 01:05:21,430
to infinity تساوي F ماقدر أتجرأ لإن أثبتت وجودها

853
01:05:21,430 --> 01:05:27,570
الان لاحظوا بس شغلة Fn is differentiable is a

854
01:05:27,570 --> 01:05:31,360
continuousمدام continuous و أثبتت FM بتروح

855
01:05:31,360 --> 01:05:35,080
converts uniformly لها إذا ال limit هذه هتطلع برضه

856
01:05:35,080 --> 01:05:40,260
إيش ماله is continuous و هذه خلوها في الذاكرة مكون

857
01:05:40,260 --> 01:05:47,340
احنا أوصلنا أو أثبتنا الجزء الأول من النظرية أن FM

858
01:05:47,340 --> 01:05:53,820
converts uniformly to F و ال limit لها سمناها F و

859
01:05:53,820 --> 01:05:57,720
هيطلع لنا عبارة عن continuous function شوفوا يا

860
01:05:57,720 --> 01:05:58,420
جماعة الآن

861
01:06:02,600 --> 01:06:09,330
صار عندي الآنأثبتنا أن Fn تتعامل بشكل مرتبط سمينا

862
01:06:09,330 --> 01:06:13,050
limit Fn بسوء F which is continuous because Fn زي

863
01:06:13,050 --> 01:06:14,670
ما قلنا is continuous لأنه في الأصل هي

864
01:06:14,670 --> 01:06:18,610
differentiable و Fn بتروح لل F إذن صارت ال F اللي

865
01:06:18,610 --> 01:06:23,330
هي نفسها continuous الآن بدي أستخدم ال continuity

866
01:06:23,330 --> 01:06:29,090
عند ال F بدي أصل اللي بديه طيب خد C الآن ب any

867
01:06:29,090 --> 01:06:35,950
fixed point in J الآن بدي أروح إلى إثبات أنهالـ

868
01:06:35,950 --> 01:06:43,810
Limit للـ F of X ناقص F of C على X minus C as X

869
01:06:43,810 --> 01:06:46,970
بتروح للـ C هذه الـ C وينها؟ الـ C أخذناها

870
01:06:46,970 --> 01:06:51,470
arbitrary في X in J إذا أثبتت لهذا الـ C اللي هو

871
01:06:51,470 --> 01:06:56,870
بساوي اللي هي G of Cمعناته إذا أثبتت هذا معناته

872
01:06:56,870 --> 01:07:02,150
أثبتت أن F' of C exist وهي ساوي G of C ومعناته

873
01:07:02,150 --> 01:07:08,310
أثبتت أن F بتساوي G على كل J لأن C ماخدها

874
01:07:08,310 --> 01:07:12,610
arbitrary but fixed يعني إيش بده أثبت في هذا؟يعني

875
01:07:12,610 --> 01:07:16,910
زي ما قلنا في الأول زي ما قلنا في الأول بدنا نثبت

876
01:07:16,910 --> 01:07:21,970
لكم الآن لكل إبسلون أكبر من سفر there exists Delta

877
01:07:21,970 --> 01:07:27,350
أكبر من سفر such that X minus C أصغر من Delta يؤدي

878
01:07:27,350 --> 01:07:34,990
إلى اللي هو F of X ناقص F of C على X minus C ناقص

879
01:07:34,990 --> 01:07:39,630
G of C أصغر من إبسلون ده أثبتت بكون خلصت إذا أثبتت

880
01:07:39,630 --> 01:07:44,780
هذا بكون خلصت اللي هوالإثبات تنشوف طيب صلوا على

881
01:07:44,780 --> 01:07:50,120
النبي عليه الصلاة والسلام نيجي الآن قولنا C N of X

882
01:07:50,120 --> 01:07:54,020
point in J F M ناقص F N is differentiable on the

883
01:07:54,020 --> 01:07:58,020
closed interval with endpoints C and X الان F N

884
01:07:58,020 --> 01:08:00,840
ناقص F N differentiable على ال closed interval

885
01:08:00,840 --> 01:08:06,120
اللي هي C ومين وال X ال XR اللي خدناها اللي هي

886
01:08:06,120 --> 01:08:10,770
arbitraryماشي، الآن بدأ استخدم الـ Mean Value

887
01:08:10,770 --> 01:08:14,010
Theorem، then by mean value theorem كمان مرة there

888
01:08:14,010 --> 01:08:19,250
exists z between c and x such that fm of x ناقص fn

889
01:08:19,250 --> 01:08:22,130
of x النقطة الأولى، ناقص fm of c ناقص fn of c

890
01:08:22,130 --> 01:08:26,270
النقطة التانية بساوي x minus c مضروبة في fn prime

891
01:08:26,270 --> 01:08:32,390
of z ناقص fn prime اللي هو fm prime of zماشي الحال

892
01:08:32,390 --> 01:08:35,350
طبقت الـ Mean Value Theorem على الدالة ال .. اللي

893
01:08:35,350 --> 01:08:41,770
هي Fm ناقص Fn لكل M O N الان خدوا الحسبة الان خد X

894
01:08:41,770 --> 01:08:44,690
لا تساوى C لإنه .. X لا تساوى C لإن انا بدأو أدي X

895
01:08:44,690 --> 01:08:48,430
عالميا على C يعني X minus C اللي هو أصغر من Delta

896
01:08:48,430 --> 01:08:52,760
يعني X بدأو أديها على Cالان اجسموا كل الأطراف على

897
01:08:52,760 --> 01:09:00,820
x-c بيصير اللي هي fm ناقص fm of c على x-c ناقص

898
01:09:00,820 --> 01:09:08,500
الان fn of x هي هاناقص اللي هي هذه اللي هي FN of C

899
01:09:08,500 --> 01:09:13,300
هي ناقص وهي ناقص إذا بيطلع صحيح على X minus C

900
01:09:13,300 --> 01:09:18,400
بساوي اللي هو F M prime of Z ناقص FN prime of Z

901
01:09:18,400 --> 01:09:24,340
لإنه جسمت على X minus C الآن أكيد هذه .. هذه أصغر

902
01:09:24,340 --> 01:09:27,460
أو يساوي نورمها لأن نورم هو ال supermom إلها صار

903
01:09:27,460 --> 01:09:31,320
عندي الآن هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار

904
01:09:31,950 --> 01:09:37,770
الان الان اف ام ابراهيم converged uniformly اذا

905
01:09:37,770 --> 01:09:40,110
لكل ابسلون اكبر من سفر there exists delta such

906
01:09:40,110 --> 01:09:42,390
there exists such و في ابسلون و such ذات هذا اصغر

907
01:09:42,390 --> 01:09:44,990
من مين some ابسلون او ابسلون على اتنين او اللي

908
01:09:44,990 --> 01:09:52,710
بدكميا الان اذا نكمل اللي بنقوله شوفSince Fn'

909
01:09:53,010 --> 01:09:57,510
converges uniformly on J إذا لكل ي أكبر من 0 there

910
01:09:57,510 --> 01:10:03,770
exists H of ي H of ي such that if M و N أكبر سواء

911
01:10:03,770 --> 01:10:10,230
H of ي then هذا المقدار اللي هو أصغر من مين من ي

912
01:10:10,230 --> 01:10:16,590
يعني صار كل هذا المقدار أصغر من ي لمين؟ لأ ال M و

913
01:10:16,590 --> 01:10:25,840
ال N لأأكبر من مين من H of Epsilon لان صار عندي

914
01:10:25,840 --> 01:10:31,280
لان لكل M و N أكبر سوى H of Epsilon صار المقدار

915
01:10:31,280 --> 01:10:35,140
هذا اللي هو أصغر أو سوى هذا اللي هو أصغر من

916
01:10:35,140 --> 01:10:37,860
Epsilon خليها في الذاكرة هذه أصغر من مين من

917
01:10:37,860 --> 01:10:42,740
Epsilonالان take the limit of both sides as M goes

918
01:10:42,740 --> 01:10:46,160
to infinity بس هان عشان بياخد M رايحة لما لنهاية

919
01:10:46,160 --> 01:10:50,000
بدنا ناخد لل M أكبر أو يساوي H N عشان لما ال M

920
01:10:50,000 --> 01:10:53,340
تروح لما لنهاية M تبقى مرتاحة زي 100 و M لا تتحركش

921
01:10:53,340 --> 01:11:01,520
بدنا إياها تتحرك بيصير عندى as M goes to infinity

922
01:11:01,520 --> 01:11:08,350
ال limit لل F M of X هيساوي F of Xلأنه صارت

923
01:11:08,350 --> 01:11:14,670
uniformly الـ Fm أثبتناها بتروح للـ F uniformly

924
01:11:14,670 --> 01:11:19,830
إذن limit Fm of X هي F of X و limit Fm of C هي F

925
01:11:19,830 --> 01:11:25,490
of C على X minus C معايا هذا Fn of X ناقص Fn of C

926
01:11:25,490 --> 01:11:29,370
على X minus C زي ما هي لإن أنا إبسلتها زي ما هي

927
01:11:29,370 --> 01:11:32,890
مين اللي طيرتها الكبيرة اللي هي M إذا صار هذا

928
01:11:32,890 --> 01:11:38,130
المقدار أصغر أو يساوي مين؟ إبسلونفي حال مين؟ في

929
01:11:38,130 --> 01:11:43,930
حال X لا تساوي C و للأنات اللي أكبر من مين من H of

930
01:11:43,930 --> 01:11:49,710
Y أنا تحت هذه الشروط ماشي طيب عمالي قاعد بجرب على

931
01:11:49,710 --> 01:11:58,400
اللي هو الهدف تبعي شوف صار عندي الآنهذه الـ

932
01:11:58,400 --> 01:12:03,740
Inquality واحد اللي هو متحققها لكن أنا بعرف أنه

933
01:12:03,740 --> 01:12:07,780
limit of F N prime of C أشهر بساوي G of C لأنه

934
01:12:07,780 --> 01:12:12,440
احنا مفترضين من رأس الدور أنه F N prime converges

935
01:12:12,440 --> 01:12:18,470
uniformly to مين؟للـ G .. طيب لأن sense limit F N

936
01:12:18,470 --> 01:12:22,330
prime of C بيسوي G of C إذا there exists N of

937
01:12:22,330 --> 01:12:25,590
إبسلون such that for every N أكبر بيسوي N of

938
01:12:25,590 --> 01:12:29,910
إبسلون حيكون F N prime of C ناقص G of C اللي هو

939
01:12:29,910 --> 01:12:38,310
أصغر من إيش من إبسلونالان صار عندى هذه متحققة للان

940
01:12:38,310 --> 01:12:43,430
أكبر سواء H و هذه متحققة للان الأكبر سواء N عشان

941
01:12:43,430 --> 01:12:47,750
استخدم التنتين بتاخد ال maximum بين هذه و هذه و

942
01:12:47,750 --> 01:12:52,630
اقول let K بسوء ال maximum بين H of epsilon و N

943
01:12:52,630 --> 01:12:59,130
epsilon اذا الان صار عندى التنتين متحققات لكل N

944
01:12:59,130 --> 01:13:04,530
أكبر او يساوي K ومشروع استخدامهالآن من جهة ثانية

945
01:13:04,530 --> 01:13:07,750
بدي استخدم الـ FK' of C إنها exist

946
01:13:11,040 --> 01:13:14,540
إذا صارت عندي هذه زي ما قلنا وهذه هاتين تان بحجله

947
01:13:14,540 --> 01:13:18,620
استخدمهم لكل ان أكبر أو ساو كي بدي استخدم هذه كمان

948
01:13:18,620 --> 01:13:22,900
و أربط هذه مع هذه و أخلص اللي بديها since fk prime

949
01:13:22,900 --> 01:13:26,860
of c exist مين ال K هذه ال K هذه اللي خدتها ال

950
01:13:26,860 --> 01:13:31,660
superman بين هذه و هذه عشان ينفع استخدم هذه و هذه

951
01:13:31,660 --> 01:13:37,760
و هذه بعد شويةthen مدام fk prime of c exist then

952
01:13:37,760 --> 01:13:42,080
if x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا دلتا k طبعا

953
01:13:42,080 --> 01:13:46,480
الدلتا هتعتمد على اللي هو ال epsilon نسميها دلتا k

954
01:13:46,480 --> 01:13:49,360
لإنها اعتمدت على مين؟ على الكل يعنى then there

955
01:13:49,360 --> 01:13:53,380
exists دلتا k بحيث x minus c أصغر من دلتا يعطيني

956
01:13:53,380 --> 01:13:57,540
fk of x ناقص fk of c على x minus c اللي هي ناقص fk

957
01:13:57,540 --> 01:14:04,140
prime of c أصغر من إبسلون فاهمين هذا؟ مدام fkprime

958
01:14:04,140 --> 01:14:09,260
of c بيساو limit exist إذا حساو limit f of x ناقص

959
01:14:09,260 --> 01:14:14,280
f of c بprime على x minus c طبعا كك كله as x بتروح

960
01:14:14,280 --> 01:14:17,620
لل c صار exist يعني forever epsilon أكبر من 0

961
01:14:17,620 --> 01:14:21,740
exist دلتا بحيث أنه لما تكون x minus c أصغر من

962
01:14:21,740 --> 01:14:24,360
دلتا يعطيني هذا ناقص هذا أصغر من epsilon وهذا هو

963
01:14:24,360 --> 01:14:28,400
المكتوبلذن صار عندى هذا موجود وهي اتنين وهي تلاتة

964
01:14:28,400 --> 01:14:33,020
لأن واحد و اتنين و تلاتة بدي اصل اللي بديه خلينا

965
01:14:33,020 --> 01:14:35,720
نكتب هنا عشان ما نجلبش الصفحة عشان يظلوا كله

966
01:14:35,720 --> 01:14:43,880
قدامكم الان اللي وصلت اليه مالي for every epsilon

967
01:14:43,880 --> 01:14:46,660
أكبر من سفر بقول there exists delta أكبر من سفر

968
01:14:46,660 --> 01:14:49,740
such that if

969
01:14:51,280 --> 01:14:57,660
x-c أصغر أكبر من صفر وأصغر من دلتا then شوف الآن

970
01:14:57,660 --> 01:15:02,400
then إيش اللي هو بدي مين أنا هي هي اللي بديها f of

971
01:15:02,400 --> 01:15:12,880
x minus f of c على x minus c ناقص g of c أصغر

972
01:15:12,880 --> 01:15:18,120
أو يساوي ماشي الحال أصغر أو يساوي بدي أبدأ الآن

973
01:15:18,120 --> 01:15:24,240
اللي هو هي هذهبدي أدخلها دي، عشان؟ أصغر أو ساوي

974
01:15:24,240 --> 01:15:32,300
اللي هو F of X ناقص F of C على X minus C ناقص FN

975
01:15:32,300 --> 01:15:39,840
of X ناقص FN of C على X minus C زائد اللي دخلتها

976
01:15:39,840 --> 01:15:51,830
دي FN of X ناقص FN of C على X minus C ناقصاللي هو

977
01:15:51,830 --> 01:15:56,850
ايش

978
01:15:56,850 --> 01:16:03,170
التانية فك

979
01:16:03,170 --> 01:16:13,890
prime of c a زائد فك

980
01:16:13,890 --> 01:16:21,820
prime of c ناقص فنقص من اللي ضال G of C بظبط هيك ا

981
01:16:21,820 --> 01:16:26,460
اظن تشوف عليها الان انا بتلزمنيش كل الانات بتلزمني

982
01:16:26,460 --> 01:16:31,480
بس ال مين ال K لأنه الان انا بحكي على استخدام ال K

983
01:16:31,480 --> 01:16:39,280
K K و هاد ايهاش K طيب الان نيجي نتطلعالـ K تبعتنا

984
01:16:39,280 --> 01:16:42,040
هذه بنحكي عن K محددة الـ K اللي هي superman بين H

985
01:16:42,040 --> 01:16:46,320
و بين N يعني الـ K أكبر أو يساوي H و الـ K أكبر أو

986
01:16:46,320 --> 01:16:51,600
يساوي مين الـ N يعني بحججلي أستخدم F K of C F K

987
01:16:51,600 --> 01:16:55,020
prime of C ناقص G of C أصغر من إبسلون و بحججلي

988
01:16:55,020 --> 01:16:58,320
أستخدم هذه ناقص F K of K في K أصغر من مين من

989
01:16:58,320 --> 01:17:04,540
إبسلون الآن هذه هذه هي هان الأولى إذا أصغر أو

990
01:17:04,540 --> 01:17:13,170
يساوي هذه من واحدepsilon زائد هذه التانية من مين

991
01:17:13,170 --> 01:17:19,250
من اللي هي تلاتة هي fk of x نقص fk of c عليك x

992
01:17:19,250 --> 01:17:23,490
minus c نقص fk prime أصغر برضه من مين من epsilon

993
01:17:23,490 --> 01:17:29,290
هذه من تلاتة وهذه من واحد هذه أكيد من مين هستخدمها

994
01:17:29,290 --> 01:17:35,610
من اتنين اللي هي n هذه لكل n أكبر سوى nوعندي الـ K

995
01:17:35,610 --> 01:17:38,190
أصلا أكبر أوي سواء لإنها ال maximum بين ال team

996
01:17:38,190 --> 01:17:42,910
تان إذا هذه برضه بحق الله أستخدمها أمن اتنين أصغر

997
01:17:42,910 --> 01:17:47,470
من إبسلون إذا صار عندي هذا المقدار اللي فوق أصغر

998
01:17:47,470 --> 01:17:52,290
من تلاتة إبسلون وإبسلون was arbitrarily إذا صار

999
01:17:52,290 --> 01:17:57,210
عندي limit هذا المقدار بساوي G of C إيش معناه

1000
01:17:57,210 --> 01:18:01,430
limit هذا المقدار بساوي G of C معناته أنه اللي هو

1001
01:18:01,430 --> 01:18:08,730
ال F primeof C هو الـ G of C وزي ما قلنا في الأول

1002
01:18:08,730 --> 01:18:12,530
since C was arbitrary in G then صارت اللي هي F

1003
01:18:12,530 --> 01:18:18,990
بتساوي G على كل مين على كل الـ G وهيك بنكون خلصنا

1004
01:18:18,990 --> 01:18:23,330
النظرية وانهينا ال section اللي هو تمانية اتنين

1005
01:18:23,330 --> 01:18:26,370
وهيك بنكون خلصنا الحديث اللي بنتحدثه في chapter

1006
01:18:26,370 --> 01:18:30,370
تمانية وعندنا طبعا الأسئلة المطلوبة هيها في نهاية

1007
01:18:30,370 --> 01:18:33,430
كل section تمانية واحد وتمانية اتنين وإلى لقاء