| 1 | |
| 00:00:20,750 --> 00:00:26,090 | |
| Okay اذا اليوم ان شاء الله هنكمل موضوع ال limit | |
| 2 | |
| 00:00:26,090 --> 00:00:32,390 | |
| theorems او نظريات النهايات و من النظريات المهمة | |
| 3 | |
| 00:00:32,390 --> 00:00:39,710 | |
| هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x in و | |
| 4 | |
| 00:00:39,710 --> 00:00:44,570 | |
| ال sequence هذي convergent ل x فال sequence of | |
| 5 | |
| 00:00:44,570 --> 00:00:49,350 | |
| absolute valuesبتطلع convergence وال limit تبعتها | |
| 6 | |
| 00:00:49,350 --> 00:00:55,490 | |
| تطلع absolute .. absolute limit تبعت ال sequence | |
| 7 | |
| 00:00:55,490 --> 00:01:00,750 | |
| XL فالبرهان | |
| 8 | |
| 00:01:00,750 --> 00:01:04,470 | |
| بيتمد على ال triangle inequality | |
| 9 | |
| 00:01:07,360 --> 00:01:13,720 | |
| أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه | |
| 10 | |
| 00:01:13,720 --> 00:01:20,740 | |
| absolute a minus absolute b وأخد ال absolute value | |
| 11 | |
| 00:01:20,740 --> 00:01:28,600 | |
| هذا أصغر من أو ساوي absolute a minus bفلو أخدت هنا | |
| 12 | |
| 00:01:28,600 --> 00:01:36,160 | |
| a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل | |
| 13 | |
| 00:01:36,160 --> 00:01:43,760 | |
| الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x | |
| 14 | |
| 00:01:43,760 --> 00:01:51,740 | |
| فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given | |
| 15 | |
| 00:01:55,040 --> 00:02:00,540 | |
| واندي انا x in converge ل x، اذا هذا بيدّي انه | |
| 16 | |
| 00:02:00,540 --> 00:02:03,580 | |
| يوجد | |
| 17 | |
| 00:02:03,580 --> 00:02:13,660 | |
| capital N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث انه لو | |
| 18 | |
| 00:02:13,660 --> 00:02:18,260 | |
| كان N أكبر من أو ساوي capital N فهذا بيدّي ان | |
| 19 | |
| 00:02:18,260 --> 00:02:22,080 | |
| absolute x in minus x أصغر من epsilon | |
| 20 | |
| 00:02:25,260 --> 00:02:30,300 | |
| وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon | |
| 21 | |
| 00:02:30,300 --> 00:02:34,260 | |
| لكل | |
| 22 | |
| 00:02:34,260 --> 00:02:41,180 | |
| n أكبر من أو ساوي capital N إذا | |
| 23 | |
| 00:02:41,180 --> 00:02:44,800 | |
| أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من سفر | |
| 24 | |
| 00:02:44,800 --> 00:02:50,760 | |
| يوجد capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث | |
| 25 | |
| 00:02:50,760 --> 00:02:57,040 | |
| لكل n أكبر من أو ساوي capital Nالقيمة المطلقة ل | |
| 26 | |
| 00:02:57,040 --> 00:03:02,480 | |
| absolute xn minus absolute x أصغر من epsilon إذا | |
| 27 | |
| 00:03:02,480 --> 00:03:07,900 | |
| حسب تعريف epsilon capital N for limits هذا معناه | |
| 28 | |
| 00:03:07,900 --> 00:03:14,260 | |
| بالظبط أن limit absolute xn as n tends to infinity | |
| 29 | |
| 00:03:14,260 --> 00:03:21,790 | |
| بساوي absolute x وهو المطلوبOkay تمام اذا هذا | |
| 30 | |
| 00:03:21,790 --> 00:03:32,890 | |
| بيكمل برهان نظرية اتناش تمام واضح النظرية | |
| 31 | |
| 00:03:32,890 --> 00:03:39,270 | |
| اللي بعدها نظرية تلاتاش بتقول لو انا فيها اندي | |
| 32 | |
| 00:03:39,270 --> 00:03:45,490 | |
| sequence حدودها كلها غير سالبة حدود ال sequence xm | |
| 33 | |
| 00:03:45,490 --> 00:03:50,750 | |
| كلها غير سالبة اعداد غير سالبةوالـ sequence لو | |
| 34 | |
| 00:03:50,750 --> 00:03:57,730 | |
| كانت الـ sequence Xn convergent to some X فالـ | |
| 35 | |
| 00:03:57,730 --> 00:04:02,730 | |
| limit للـ sequence of square roots لـ Xn تطلع | |
| 36 | |
| 00:04:02,730 --> 00:04:08,470 | |
| convergent والـ limit تبعتها بساول square root للـ | |
| 37 | |
| 00:04:08,470 --> 00:04:09,890 | |
| limit للـ sequence Xn | |
| 38 | |
| 00:04:13,780 --> 00:04:19,760 | |
| والبرهان تبع النظرية دي سهل انا اول شي عندى احنا | |
| 39 | |
| 00:04:19,760 --> 00:04:25,060 | |
| فرضين ان ال limit ل Xn بساوي X في نظرية تمانية | |
| 40 | |
| 00:04:25,060 --> 00:04:28,700 | |
| قلنا ان لو كانت حدود ال sequence Xn كلها غير سالبة | |
| 41 | |
| 00:04:28,700 --> 00:04:34,360 | |
| ف limit ل sequence Xn اللى هى X ايضا تطلع غير | |
| 42 | |
| 00:04:34,360 --> 00:04:40,840 | |
| سالبة اذا X اكبر من او ساوى 0الان في عندي حالتين | |
| 43 | |
| 00:04:40,840 --> 00:04:46,300 | |
| ال X هنا أكبر من أو ساوي سفر ففي عندي احتمالين اما | |
| 44 | |
| 00:04:46,300 --> 00:04:54,260 | |
| X بساوي سفر او X أكبر من السفر تمام و في كل حالة | |
| 45 | |
| 00:04:54,920 --> 00:04:59,540 | |
| مطلوب مني ان اثبت ان limit ال square root ل xn | |
| 46 | |
| 00:04:59,540 --> 00:05:03,960 | |
| بساوي ال square root of x تمام؟ انشوف في الحالة | |
| 47 | |
| 00:05:03,960 --> 00:05:08,520 | |
| الأولى لو كانت ال x بساوي سفر وانا عندي من الفرض | |
| 48 | |
| 00:05:08,520 --> 00:05:15,550 | |
| xn converges to x اللي هي سفرأذا لو أخدت أي إبسلون | |
| 49 | |
| 00:05:15,550 --> 00:05:20,250 | |
| أكبر من السفر من كون ال sequence هذه converge | |
| 50 | |
| 00:05:20,250 --> 00:05:24,270 | |
| للسفر إذا لأي إبسلون يوجد capital N يعتمد على | |
| 51 | |
| 00:05:24,270 --> 00:05:30,150 | |
| إبسلون بحيث المسافة بين xn والسفر أصغر من إبسلون | |
| 52 | |
| 00:05:30,150 --> 00:05:33,470 | |
| تربية لكل N أكبر من أوسعه ال capital N هذا من | |
| 53 | |
| 00:05:33,470 --> 00:05:36,690 | |
| تعريف ال conversion ممكن أحط هنا إبسلون أو إبسلون | |
| 54 | |
| 00:05:36,690 --> 00:05:42,940 | |
| تربية مافي مشكلةطيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn | |
| 55 | |
| 00:05:42,940 --> 00:05:48,840 | |
| كلهم أكبر من أو يساوي سفر وبالتالي القيمة المطلقة | |
| 56 | |
| 00:05:48,840 --> 00:05:53,800 | |
| لـ xn بساوي نفسها ناخد | |
| 57 | |
| 00:05:53,800 --> 00:05:59,120 | |
| الجدر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي ال square | |
| 58 | |
| 00:05:59,120 --> 00:06:04,790 | |
| root of xnبساوي ال absolute value ل square root ل | |
| 59 | |
| 00:06:04,790 --> 00:06:10,190 | |
| xn minus صفر وهذا أصغر من إبسلون square root | |
| 60 | |
| 00:06:10,190 --> 00:06:13,870 | |
| لإبسلون تربية بيطلع إبسلون هذا الكلام صحيح for | |
| 61 | |
| 00:06:13,870 --> 00:06:18,830 | |
| every n bigger than or equal capital N طب هذا | |
| 62 | |
| 00:06:18,830 --> 00:06:23,050 | |
| معناه بما أن إبسلون was arbitrarily بما أن احنا | |
| 63 | |
| 00:06:23,050 --> 00:06:29,850 | |
| أثبتنا هذا الكلام لكل إبسلون عدد موجبهذا من تعريف | |
| 64 | |
| 00:06:29,850 --> 00:06:34,350 | |
| epsilon capital N for limits للنهايات هذا معناه | |
| 65 | |
| 00:06:34,350 --> 00:06:40,970 | |
| limit ال square root ل XN بالساوي السفر لما N تولى | |
| 66 | |
| 00:06:40,970 --> 00:06:47,140 | |
| Nوهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب السفر هنا احنا | |
| 67 | |
| 00:06:47,140 --> 00:06:50,780 | |
| ماخدين x بالساوية سفر فالسفر هذا هو square root ل | |
| 68 | |
| 00:06:50,780 --> 00:06:54,360 | |
| x اذا هين اثبتت ان limit square root ل x in | |
| 69 | |
| 00:06:54,360 --> 00:06:58,820 | |
| بالساوية square root ل x في حالة لما x بالساوية | |
| 70 | |
| 00:06:58,820 --> 00:07:07,280 | |
| سفر تمام باقي نثبتالنتيجة نفسها في حالة لما X أكبر | |
| 71 | |
| 00:07:07,280 --> 00:07:11,740 | |
| من 0 تفضلي قال جيت حكيت أنه ممكن أخد يبسلون مش | |
| 72 | |
| 00:07:11,740 --> 00:07:15,740 | |
| يبسلون تربيه لما أكمل خطوة بعد تطلع جدر اليبسلون | |
| 73 | |
| 00:07:15,740 --> 00:07:19,660 | |
| يعني أقل من الجدر يبسلون جدر اليبسلون قولت أن أحنا | |
| 74 | |
| 00:07:19,660 --> 00:07:23,600 | |
| خلنا يبسلون تربيه عشان لما أخد الجدر يطلع يبسلون | |
| 75 | |
| 00:07:23,600 --> 00:07:29,520 | |
| مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي اليبسلون مش اليبسلون | |
| 76 | |
| 00:07:29,520 --> 00:07:34,300 | |
| أكبر عدد أكبر من 0 givenإذا إبسلون تربية برضه عدد | |
| 77 | |
| 00:07:34,300 --> 00:07:39,880 | |
| موجة بقى تقري هو ال given وبالتالي يوجد أن تعتمد | |
| 78 | |
| 00:07:39,880 --> 00:07:44,320 | |
| على إبسلون تربية بدل إبسلون طب إبسلون تربية تعتمد | |
| 79 | |
| 00:07:44,320 --> 00:07:48,420 | |
| على إبسلونإذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على | |
| 80 | |
| 00:07:48,420 --> 00:07:52,240 | |
| إبسلون وإعتبر الإبسلون تربية بدل إبسلون في ال | |
| 81 | |
| 00:07:52,240 --> 00:07:55,920 | |
| definition فمافي مشكلة بس خدناها الإبسلون تربية | |
| 82 | |
| 00:07:55,920 --> 00:07:59,660 | |
| عشان لما ناخد جدر التربية يطلع أندي أصغر من إبسلون | |
| 83 | |
| 00:07:59,660 --> 00:08:03,760 | |
| وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جدر X N بساوة | |
| 84 | |
| 00:08:03,760 --> 00:08:11,840 | |
| ستة تمام اللي هي جدر X في أي سؤال تاني؟طيب، نشوف | |
| 85 | |
| 00:08:11,840 --> 00:08:16,800 | |
| الحالة التانية، لو كانت ال X هذه أكبر من صفر، إذا | |
| 86 | |
| 00:08:16,800 --> 00:08:20,640 | |
| جدر ال X بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جدر X in | |
| 87 | |
| 00:08:20,640 --> 00:08:26,120 | |
| زي جدر X أكبر من أو ساوي جدر ال X، لأن هذا أكبر من | |
| 88 | |
| 00:08:26,120 --> 00:08:35,430 | |
| أو ساوي صفر، وهذا موجب، لأن ال X موجبةطيب، الآن | |
| 89 | |
| 00:08:35,430 --> 00:08:40,630 | |
| هذا المقدار أكبر من أو ساوي هذا واتنين موجبين، إذا | |
| 90 | |
| 00:08:40,630 --> 00:08:47,950 | |
| المقلوب الكبير أصغر من أو ساوي المقلوب الصغير هذه | |
| 91 | |
| 00:08:47,950 --> 00:08:53,010 | |
| الخاصية أخدناها في chapter one وبناء عليه | |
| 92 | |
| 00:09:01,430 --> 00:09:06,810 | |
| بنان على ذلك انا ممكن احسب جدر xn minus جدر ال x | |
| 93 | |
| 00:09:06,810 --> 00:09:12,870 | |
| بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقاما، هاي | |
| 94 | |
| 00:09:12,870 --> 00:09:16,870 | |
| المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في | |
| 95 | |
| 00:09:16,870 --> 00:09:23,030 | |
| واحد، اذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه، | |
| 96 | |
| 00:09:23,030 --> 00:09:27,870 | |
| تمام؟الان ال bus تحليل الفرق بين المربعين فبطلع | |
| 97 | |
| 00:09:27,870 --> 00:09:33,170 | |
| مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x in negative x و | |
| 98 | |
| 00:09:33,170 --> 00:09:38,310 | |
| بيبقى ال end في المقام المقدار هذا الان ناخد | |
| 99 | |
| 00:09:38,310 --> 00:09:43,370 | |
| القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة | |
| 100 | |
| 00:09:43,370 --> 00:09:48,230 | |
| للطرف اليمين القيمة المطلقة لل bus على القيمة | |
| 101 | |
| 00:09:48,230 --> 00:09:53,070 | |
| المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له | |
| 102 | |
| 00:09:53,070 --> 00:09:58,770 | |
| نفسهأذا الأن أنا في عندي sequence اللي هي الحد | |
| 103 | |
| 00:09:58,770 --> 00:10:02,810 | |
| العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square | |
| 104 | |
| 00:10:02,810 --> 00:10:10,390 | |
| root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من | |
| 105 | |
| 00:10:10,390 --> 00:10:15,610 | |
| أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي واحد على square | |
| 106 | |
| 00:10:15,610 --> 00:10:21,870 | |
| root of xn زي square root of x والكسر هذا من | |
| 107 | |
| 00:10:21,870 --> 00:10:27,950 | |
| المتباينة تسعةهذا الكثير أصغر من أو يساوي واحد على | |
| 108 | |
| 00:10:27,950 --> 00:10:32,610 | |
| square root of x ضرب absolute x in سالب x الآن | |
| 109 | |
| 00:10:32,610 --> 00:10:43,830 | |
| ارجعوا لنظرية اتنين اربعة with | |
| 110 | |
| 00:10:43,830 --> 00:10:52,060 | |
| c عدد موجب ساوي واحد على جدر ال x هذا عدد موجبو a | |
| 111 | |
| 00:10:52,060 --> 00:10:59,780 | |
| n بساوي x n minus x إذن | |
| 112 | |
| 00:10:59,780 --> 00:11:03,940 | |
| هى يوجد c عدد موجب اللى هو واحد على جدر ال X و هى | |
| 113 | |
| 00:11:03,940 --> 00:11:08,820 | |
| فى عندي sequence a n الحد العام تبعها x n سالد x و | |
| 114 | |
| 00:11:08,820 --> 00:11:14,680 | |
| ال sequence هذه تقول إلى سفر as n tends to | |
| 115 | |
| 00:11:14,680 --> 00:11:19,870 | |
| infinityلأن انا من المعطيات عندي xn تقول x أو | |
| 116 | |
| 00:11:19,870 --> 00:11:24,490 | |
| limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي سفر، لذلك | |
| 117 | |
| 00:11:24,490 --> 00:11:29,890 | |
| حسب نظرية 2.4، كل شروطة متحققة، وبالتالي، لذلك حسب | |
| 118 | |
| 00:11:29,890 --> 00:11:34,630 | |
| النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit | |
| 119 | |
| 00:11:34,630 --> 00:11:41,190 | |
| square root ل xn بساوي square root ل xوهو المطلوب | |
| 120 | |
| 00:11:41,190 --> 00:11:46,690 | |
| اثباته اذا هاي اثبتنا ان limit ال square root ل X | |
| 121 | |
| 00:11:46,690 --> 00:11:50,410 | |
| ان بساوي ال square root ل X في حالة لما X تكون | |
| 122 | |
| 00:11:50,410 --> 00:11:54,750 | |
| موجبة و الحالة الأولى في حالة لما X صفر برضه | |
| 123 | |
| 00:11:54,750 --> 00:11:58,410 | |
| اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية | |
| 124 | |
| 00:11:58,410 --> 00:12:02,690 | |
| تمام؟ في حد عنده اي سؤال او استفسار واضح البرهان؟ | |
| 125 | |
| 00:12:05,660 --> 00:12:12,800 | |
| في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار | |
| 126 | |
| 00:12:12,800 --> 00:12:21,660 | |
| الكسر او النسبة او ايش | |
| 127 | |
| 00:12:21,660 --> 00:12:27,300 | |
| ال ratio test ماذا هذا ال ratio test بيقول هذا ال | |
| 128 | |
| 00:12:27,300 --> 00:12:31,120 | |
| ratio test بتعلق بال sequences of positive numbers | |
| 129 | |
| 00:12:32,030 --> 00:12:35,090 | |
| يعني عشان أنا أطبخ ال ratio test لازم ال sequence | |
| 130 | |
| 00:12:35,090 --> 00:12:39,170 | |
| تبعتي تكون حدودها كلها موجة بقى فلو في عندي | |
| 131 | |
| 00:12:39,170 --> 00:12:44,310 | |
| sequence of positive real numbers such that limit | |
| 132 | |
| 00:12:44,310 --> 00:12:49,050 | |
| ال ratio ل xn زائد واحد على xn exists موجود أو | |
| 133 | |
| 00:12:49,050 --> 00:12:54,370 | |
| بتساوي عدد حقيقي L و لو كان هذا العدد L أصغر من | |
| 134 | |
| 00:12:54,370 --> 00:13:01,300 | |
| واحد ف limit ال sequence xn بتساوي سبلهذا هو ال | |
| 135 | |
| 00:13:01,300 --> 00:13:07,380 | |
| ratio test برهان ال test أو النظرية هذه موجود في | |
| 136 | |
| 00:13:07,380 --> 00:13:11,680 | |
| الكتاب نظرية تلاتة اتنين احداشر فحاسبكم تقرؤوا | |
| 137 | |
| 00:13:11,680 --> 00:13:15,780 | |
| البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي | |
| 138 | |
| 00:13:15,780 --> 00:13:20,340 | |
| أخدناها فعايزينكم | |
| 139 | |
| 00:13:20,340 --> 00:13:23,660 | |
| تفتحوا الكتاب و تقرؤوا برهان و تفهموا لحالكم بعد | |
| 140 | |
| 00:13:23,660 --> 00:13:28,800 | |
| ما خدنا كل هالبرهين بدنا ياكم تعتمدوا عن أنفسكم | |
| 141 | |
| 00:13:28,800 --> 00:13:33,440 | |
| شويةتمام؟ و اللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان | |
| 142 | |
| 00:13:33,440 --> 00:13:38,840 | |
| ترجعليه إذا هسيكم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار | |
| 143 | |
| 00:13:38,840 --> 00:13:42,540 | |
| .. الآن الكتاب للأسف مش في أمثلة في ال section هذا | |
| 144 | |
| 00:13:42,540 --> 00:13:49,000 | |
| تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال | |
| 145 | |
| 00:13:49,000 --> 00:13:52,100 | |
| من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل | |
| 146 | |
| 00:13:58,060 --> 00:14:02,820 | |
| فأول مثال هو exercise تمانتاش الفرحة c في section | |
| 147 | |
| 00:14:02,820 --> 00:14:06,700 | |
| تلاتة اتنين أو صفحة تمانية وستين في الكتاب المقرر | |
| 148 | |
| 00:14:06,700 --> 00:14:10,300 | |
| السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the | |
| 149 | |
| 00:14:10,300 --> 00:14:15,820 | |
| sequence xn اللي لحد العام ال nth term تبعها b to | |
| 150 | |
| 00:14:15,820 --> 00:14:20,600 | |
| n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد | |
| 151 | |
| 00:14:21,470 --> 00:14:24,070 | |
| Discurses ل Convergence يعني بين هل ال sequence | |
| 152 | |
| 00:14:24,070 --> 00:14:27,850 | |
| هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent | |
| 153 | |
| 00:14:27,850 --> 00:14:35,790 | |
| عايزين نجيب ال limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا | |
| 154 | |
| 00:14:35,790 --> 00:14:41,150 | |
| طبعا هنطبق ال ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم | |
| 155 | |
| 00:14:41,150 --> 00:14:45,490 | |
| منها ال ratio testلتطبيق ال ratio test بلزمني | |
| 156 | |
| 00:14:45,490 --> 00:14:50,690 | |
| اتأكد ان ال sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لان | |
| 157 | |
| 00:14:50,690 --> 00:14:54,970 | |
| ال bus b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n | |
| 158 | |
| 00:14:54,970 --> 00:14:57,830 | |
| factorial عدد موجب لان هذه sequence of positive | |
| 159 | |
| 00:14:57,830 --> 00:15:07,550 | |
| real numbers الآن ال ratio ل xn زياد واحد و xn هي | |
| 160 | |
| 00:15:07,550 --> 00:15:12,230 | |
| عندي xn زياد واحد عوض عنها بدل n بn زياد واحد | |
| 161 | |
| 00:15:13,160 --> 00:15:18,740 | |
| وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين | |
| 162 | |
| 00:15:18,740 --> 00:15:25,460 | |
| ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n | |
| 163 | |
| 00:15:25,460 --> 00:15:31,900 | |
| factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial | |
| 164 | |
| 00:15:31,900 --> 00:15:37,640 | |
| بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b | |
| 165 | |
| 00:15:38,750 --> 00:15:43,210 | |
| بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع بي على n | |
| 166 | |
| 00:15:43,210 --> 00:15:47,870 | |
| زياد واحد الان لما انت قول ل infinity ان زياد واحد | |
| 167 | |
| 00:15:47,870 --> 00:15:54,050 | |
| بتقول ل infinity مقلوبة بروح ل سفر ضرب بي عدد موجة | |
| 168 | |
| 00:15:54,050 --> 00:15:58,990 | |
| بروح ل سفر اذا limit بي على ان زياد واحد بساوي بي | |
| 169 | |
| 00:15:58,990 --> 00:16:03,290 | |
| في limit واحد على ان زياد واحد اللي هي سفر بي في | |
| 170 | |
| 00:16:03,290 --> 00:16:10,590 | |
| سفر بساوي سفر تمام؟إذا أنا عندي L اللي هو بمثل | |
| 171 | |
| 00:16:10,590 --> 00:16:17,570 | |
| limit ال ratio هذا طلع بساوي سفر عدد حقيقي أصغر من | |
| 172 | |
| 00:16:17,570 --> 00:16:23,910 | |
| واحد إذا حسب ال ratio test limit لل sequence xn | |
| 173 | |
| 00:16:23,910 --> 00:16:28,030 | |
| بساوي سفر إذا هنا أثبتنا إن ال sequence convergent | |
| 174 | |
| 00:16:28,030 --> 00:16:34,010 | |
| ونهيتها بتطلع بالساوي سفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق | |
| 175 | |
| 00:16:34,010 --> 00:16:35,510 | |
| مباشر على ال ratio test | |
| 176 | |
| 00:16:38,490 --> 00:16:42,730 | |
| مثال تاني مثال | |
| 177 | |
| 00:16:42,730 --> 00:16:46,330 | |
| تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة | |
| 178 | |
| 00:16:46,330 --> 00:16:54,610 | |
| اتنين بنشوف ايه ال exercise هذا بيقول give | |
| 179 | |
| 00:16:54,610 --> 00:17:01,930 | |
| an example of two divergent sequences two | |
| 180 | |
| 00:17:01,930 --> 00:17:04,090 | |
| divergent sequences | |
| 181 | |
| 00:17:06,940 --> 00:17:12,840 | |
| such that there are some مجموعهم there | |
| 182 | |
| 00:17:12,840 --> 00:17:19,020 | |
| are some converges نعطي | |
| 183 | |
| 00:17:19,020 --> 00:17:24,060 | |
| مثال ل two divergent sequences تنتهي from two | |
| 184 | |
| 00:17:24,060 --> 00:17:29,140 | |
| divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل | |
| 185 | |
| 00:17:29,140 --> 00:17:36,270 | |
| هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب | |
| 186 | |
| 00:17:36,270 --> 00:17:42,430 | |
| واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ملا نهاية طبعا ال | |
| 187 | |
| 00:17:42,430 --> 00:17:48,210 | |
| sequence هذه لو بيننا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا | |
| 188 | |
| 00:17:48,210 --> 00:17:53,670 | |
| أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد، | |
| 189 | |
| 00:17:53,670 --> 00:18:00,040 | |
| الرابع واحد، و هكذاوناخد ال sequence yn الحد العام | |
| 190 | |
| 00:18:00,040 --> 00:18:04,760 | |
| تبعها سالب واحد قص ان زاد واحد وان طبعا تبدأ من | |
| 191 | |
| 00:18:04,760 --> 00:18:12,080 | |
| واحد فهذه ال sequence حدودها هتكون أول حد واحد، | |
| 192 | |
| 00:18:12,080 --> 00:18:17,160 | |
| التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و | |
| 193 | |
| 00:18:17,160 --> 00:18:17,620 | |
| هكذا | |
| 194 | |
| 00:18:20,300 --> 00:18:25,720 | |
| تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان ال sequence xn هذي | |
| 195 | |
| 00:18:25,720 --> 00:18:29,660 | |
| divergent by contradiction فرضنا انها convergent | |
| 196 | |
| 00:18:29,660 --> 00:18:35,960 | |
| وصلنا الى تناغم صح؟ طب ما هذي هي هذي هي ال | |
| 197 | |
| 00:18:35,960 --> 00:18:43,750 | |
| sequence ال sequence yn هي سالب ال sequence xnو Xn | |
| 198 | |
| 00:18:43,750 --> 00:18:47,710 | |
| is divergent و Yn is divergent او بنفس البرهان | |
| 199 | |
| 00:18:47,710 --> 00:18:51,530 | |
| ممكن نعمل نفس البرهان اذا هي عندي مثال على two | |
| 200 | |
| 00:18:51,530 --> 00:18:57,670 | |
| sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي | |
| 201 | |
| 00:18:57,670 --> 00:19:04,750 | |
| نجمعهم لو أخدت ال sequence جديدة ال inf term تبعها | |
| 202 | |
| 00:19:04,750 --> 00:19:09,070 | |
| او الحد العام تبعها هو مجموعة ال inf term زي Xn | |
| 203 | |
| 00:19:09,070 --> 00:19:15,280 | |
| وYn هذه sequence تالتة جديدةما هو الحد العام لهذه | |
| 204 | |
| 00:19:15,280 --> 00:19:21,360 | |
| الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع سفر، | |
| 205 | |
| 00:19:21,360 --> 00:19:25,740 | |
| التاني على التاني سفر، إذا هذه عبارة عن الـ | |
| 206 | |
| 00:19:25,740 --> 00:19:30,300 | |
| sequence constant zero ثابت سفر أو الـ sequence | |
| 207 | |
| 00:19:30,300 --> 00:19:35,480 | |
| الحد العام تبعها ثابت سفر وطبعا أي sequence ثابتة | |
| 208 | |
| 00:19:35,480 --> 00:19:39,880 | |
| بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت | |
| 209 | |
| 00:19:39,880 --> 00:19:45,000 | |
| نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت سفرإذا هذا | |
| 210 | |
| 00:19:45,000 --> 00:19:50,700 | |
| مثال على two divergent sequences their sum is | |
| 211 | |
| 00:19:50,700 --> 00:19:55,900 | |
| convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن | |
| 212 | |
| 00:19:55,900 --> 00:20:00,200 | |
| ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain | |
| 213 | |
| 00:20:00,200 --> 00:20:05,820 | |
| مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات | |
| 214 | |
| 00:20:05,820 --> 00:20:11,880 | |
| زي هيك و هكذا في الكتاب في تمارينعلى هذا السياق | |
| 215 | |
| 00:20:11,880 --> 00:20:22,020 | |
| هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال | |
| 216 | |
| 00:20:22,020 --> 00:20:29,440 | |
| رقم تلاتة هذا | |
| 217 | |
| 00:20:29,440 --> 00:20:32,900 | |
| عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين | |
| 218 | |
| 00:20:35,100 --> 00:20:41,360 | |
| بقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power | |
| 219 | |
| 00:20:41,360 --> 00:20:47,240 | |
| one over n where a و b are positive numbers and a | |
| 220 | |
| 00:20:47,240 --> 00:20:56,260 | |
| less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟ | |
| 221 | |
| 00:20:56,260 --> 00:21:02,420 | |
| لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n | |
| 222 | |
| 00:21:02,420 --> 00:21:09,520 | |
| positiveوكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus | |
| 223 | |
| 00:21:09,520 --> 00:21:16,460 | |
| b to n الان ناخد ال nth root لطرفي المتبينة هذه | |
| 224 | |
| 00:21:16,460 --> 00:21:22,700 | |
| فبطلع b أصغر من ال nth root للمجموعة ده اللي احنا | |
| 225 | |
| 00:21:22,700 --> 00:21:33,440 | |
| سمناه zn اذا الان انا عندي zn بساوي a n زاد b nto | |
| 226 | |
| 00:21:33,440 --> 00:21:39,580 | |
| the power one over n والان انا عندى بما انه a أصغر | |
| 227 | |
| 00:21:39,580 --> 00:21:45,740 | |
| من b a أصغر من b من الفرض هى فهذا بالتأكيد بيقدى | |
| 228 | |
| 00:21:45,740 --> 00:21:52,200 | |
| انه a to n أصغر من b to n اذا | |
| 229 | |
| 00:21:52,200 --> 00:21:59,680 | |
| هشيل ال a to n هذه و اضع خليها أصغر من b to n زائد | |
| 230 | |
| 00:21:59,680 --> 00:22:07,730 | |
| b to n الكل to one over nطب هذا بيطلع two ضرب b to | |
| 231 | |
| 00:22:07,730 --> 00:22:14,450 | |
| n الكل to power one over n وزع ال power فبطلع two | |
| 232 | |
| 00:22:14,450 --> 00:22:22,290 | |
| to one over n ضرب b صح؟ الآن ال sequence إذا | |
| 233 | |
| 00:22:22,290 --> 00:22:28,470 | |
| أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحداشر مع | |
| 234 | |
| 00:22:28,470 --> 00:22:35,870 | |
| بعض فبطلع عندي bمن المتباينة عشرة الـ B هدا هي | |
| 235 | |
| 00:22:35,870 --> 00:22:42,590 | |
| أصغر من ال ZN ومن المتباينة أحداشر ال ZN أصغر من | |
| 236 | |
| 00:22:42,590 --> 00:22:47,610 | |
| two to one over N times B for every N natural | |
| 237 | |
| 00:22:47,610 --> 00:22:56,780 | |
| number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل Nانا | |
| 238 | |
| 00:22:56,780 --> 00:23:01,660 | |
| لان عندي الـ sequence ZN هذه اللي انا عايز اثبت ان | |
| 239 | |
| 00:23:01,660 --> 00:23:07,120 | |
| ال limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between | |
| 240 | |
| 00:23:07,120 --> 00:23:13,680 | |
| two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي | |
| 241 | |
| 00:23:13,680 --> 00:23:20,620 | |
| متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام | |
| 242 | |
| 00:23:20,620 --> 00:23:27,340 | |
| تبعها ثابت بيهوبالتالي ال limit تبعت بي لما بي | |
| 243 | |
| 00:23:27,340 --> 00:23:35,340 | |
| تقول ل infinity بتساوي بي و limit ال sequence هذي | |
| 244 | |
| 00:23:35,340 --> 00:23:39,380 | |
| two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي | |
| 245 | |
| 00:23:39,380 --> 00:23:44,760 | |
| واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف | |
| 246 | |
| 00:23:44,760 --> 00:23:52,170 | |
| limitc to 1 على n as n tends to infinity بساوة | |
| 247 | |
| 00:23:52,170 --> 00:23:59,230 | |
| واحد صح فاندي c هنا بساوة اتنين لان ال limit ل two | |
| 248 | |
| 00:23:59,230 --> 00:24:02,450 | |
| to one over n as n tends to infinity بساوة واحد | |
| 249 | |
| 00:24:02,450 --> 00:24:07,290 | |
| وبالتالي limit two to one over n times constant b | |
| 250 | |
| 00:24:07,290 --> 00:24:12,170 | |
| بساوة واحد في b او b في واحد ف limit ال sequence | |
| 251 | |
| 00:24:12,170 --> 00:24:18,000 | |
| هذه ايضا تطلع bلما انتقل ل infinity، اذا by | |
| 252 | |
| 00:24:18,000 --> 00:24:23,000 | |
| squeeze theorem بطلع عندي limit ال sequence zm | |
| 253 | |
| 00:24:23,000 --> 00:24:28,240 | |
| المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ اذا هاي هنا | |
| 254 | |
| 00:24:28,240 --> 00:24:34,120 | |
| استخدامنا ال sandwich او ال squeeze، تمام؟ واضح؟ | |
| 255 | |
| 00:24:36,340 --> 00:24:40,080 | |
| Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها، | |
| 256 | |
| 00:24:40,080 --> 00:24:43,480 | |
| حالها مش صعب إما تطبيق على ال sandwich theorem أو | |
| 257 | |
| 00:24:43,480 --> 00:24:48,680 | |
| على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخدناها في ال | |
| 258 | |
| 00:24:48,680 --> 00:24:52,740 | |
| section هذا أو في ال succession السابق أو بالتالي | |
| 259 | |
| 00:24:52,740 --> 00:24:58,760 | |
| مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدى أن احنا نستخدم حاجة | |
| 260 | |
| 00:24:58,760 --> 00:25:05,270 | |
| مش موجودة في المناجمإذا ما يكون إلا من شطرتكم | |
| 261 | |
| 00:25:05,270 --> 00:25:10,210 | |
| تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في ال section هذا | |
| 262 | |
| 00:25:10,210 --> 00:25:15,550 | |
| طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد | |
| 263 | |
| 00:25:15,550 --> 00:25:21,590 | |
| التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان | |
| 264 | |
| 00:25:21,590 --> 00:25:22,310 | |
| النصف الأول | |
| 265 | |
| 00:25:26,220 --> 00:25:32,640 | |
| تمام فإذا هنا ال section جديد أو أنوان جديد ال | |
| 266 | |
| 00:25:32,640 --> 00:25:38,160 | |
| monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها | |
| 267 | |
| 00:25:38,160 --> 00:25:42,380 | |
| الواتيرية المتتاليات الواتيرية ال monotone | |
| 268 | |
| 00:25:42,380 --> 00:25:46,960 | |
| sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو | |
| 269 | |
| 00:25:46,960 --> 00:25:55,200 | |
| متلاقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real | |
| 270 | |
| 00:25:55,200 --> 00:26:02,880 | |
| numbersسنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا | |
| 271 | |
| 00:26:02,880 --> 00:26:07,400 | |
| كان Xn less | |
| 272 | |
| 00:26:07,400 --> 00:26:11,800 | |
| than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل | |
| 273 | |
| 00:26:11,800 --> 00:26:17,260 | |
| حد أصغر من أول ساول لبعده فالسيكوينس في الحالة دي | |
| 274 | |
| 00:26:17,260 --> 00:26:23,860 | |
| بنسميها increasing و بنسميها decreasingإذا كان كل | |
| 275 | |
| 00:26:23,860 --> 00:26:32,760 | |
| حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟ | |
| 276 | |
| 00:26:32,760 --> 00:26:40,000 | |
| طيب بنسمي ال sequence monotone ال sequence بنسميها | |
| 277 | |
| 00:26:40,000 --> 00:26:45,460 | |
| monotone أو واتيرية if it is either increasing or | |
| 278 | |
| 00:26:45,460 --> 00:26:46,040 | |
| decreasing | |
| 279 | |
| 00:26:48,950 --> 00:26:53,170 | |
| إن المتتالي الوطرية هي متتالية إما increasing أو | |
| 280 | |
| 00:26:53,170 --> 00:26:58,250 | |
| decreasing معنى | |
| 281 | |
| 00:26:58,250 --> 00:27:01,490 | |
| آخر كل increasing sequence is monotone sequence | |
| 282 | |
| 00:27:01,490 --> 00:27:06,090 | |
| and every decreasing sequence is monotone sequence | |
| 283 | |
| 00:27:06,090 --> 00:27:14,370 | |
| طب هاي أمثلة على monotone sequences فاندي هنا | |
| 284 | |
| 00:27:14,370 --> 00:27:21,540 | |
| sequence n of natural numbersis increasing واضح ان | |
| 285 | |
| 00:27:21,540 --> 00:27:26,440 | |
| xn بساوي n أصغر من او ساوي xn plus one اللي هو n | |
| 286 | |
| 00:27:26,440 --> 00:27:31,440 | |
| زاد واحد لان هذا increasing وهذا increasing ال | |
| 287 | |
| 00:27:31,440 --> 00:27:36,040 | |
| sequence اللي ال inf term تبعها two to n اللي هي | |
| 288 | |
| 00:27:36,040 --> 00:27:41,440 | |
| هذه is increasing بينما | |
| 289 | |
| 00:27:41,440 --> 00:27:46,720 | |
| ال sequence one over n decreasing هي كل حد أكبر من | |
| 290 | |
| 00:27:46,720 --> 00:27:52,140 | |
| أو ساوي لبعدهو كذلك ال sequence one over two to n | |
| 291 | |
| 00:27:52,140 --> 00:27:57,580 | |
| طيب، في سؤال هنا بطلح نفسه، هل كل sequence لازم | |
| 292 | |
| 00:27:57,580 --> 00:28:01,720 | |
| تكون monotone sequence؟ لأ، مو لأ، مش شرط، مش شرط، | |
| 293 | |
| 00:28:01,720 --> 00:28:03,620 | |
| مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش | |
| 294 | |
| 00:28:03,620 --> 00:28:03,840 | |
| شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش | |
| 295 | |
| 00:28:03,840 --> 00:28:07,680 | |
| شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش | |
| 296 | |
| 00:28:07,680 --> 00:28:12,580 | |
| شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش | |
| 297 | |
| 00:28:12,580 --> 00:28:12,580 | |
| شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش | |
| 298 | |
| 00:28:12,580 --> 00:28:17,150 | |
| شرط، مش شرط، مش شرطthe following sequence is | |
| 299 | |
| 00:28:17,150 --> 00:28:20,010 | |
| sequence اللي الحد اللي عام تبعها negative one to | |
| 300 | |
| 00:28:20,010 --> 00:28:24,830 | |
| n أو n زيادة واحد اللي هي ال alternated sequence | |
| 301 | |
| 00:28:24,830 --> 00:28:29,750 | |
| ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني | |
| 302 | |
| 00:28:29,750 --> 00:28:34,930 | |
| المتدبدبة في الإشارة واحد سالب واحد واحد سالب واحد | |
| 303 | |
| 00:28:34,930 --> 00:28:40,450 | |
| هذه ليست conversion ليست monotone is not | |
| 304 | |
| 00:28:40,450 --> 00:28:46,980 | |
| increasing and it is not decreasingنفس الشيء ال | |
| 305 | |
| 00:28:46,980 --> 00:28:51,180 | |
| sequence اللي حد اللي عم تبعها سالب one to n اللي | |
| 306 | |
| 00:28:51,180 --> 00:28:56,040 | |
| هي سالب واحد موجة بتنين سالب تلاتة و هكذا ال | |
| 307 | |
| 00:28:56,040 --> 00:29:00,560 | |
| sequence هذه is not monotone لا increasing ولا | |
| 308 | |
| 00:29:00,560 --> 00:29:05,590 | |
| decreasing تمام واضحإذا ال sequence .. أي .. لو | |
| 309 | |
| 00:29:05,590 --> 00:29:09,310 | |
| أخدنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing، | |
| 310 | |
| 00:29:09,310 --> 00:29:14,070 | |
| ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither | |
| 311 | |
| 00:29:14,070 --> 00:29:16,810 | |
| increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون | |
| 312 | |
| 00:29:16,810 --> 00:29:22,950 | |
| odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟ | |
| 313 | |
| 00:29:22,950 --> 00:29:26,870 | |
| طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق | |
| 314 | |
| 00:29:29,970 --> 00:29:34,290 | |
| بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها | |
| 315 | |
| 00:29:34,290 --> 00:29:39,170 | |
| monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات | |
| 316 | |
| 00:29:39,170 --> 00:29:46,690 | |
| monotone convergence theorem النظرية | |
| 317 | |
| 00:29:46,690 --> 00:29:52,550 | |
| هذه بتقول خد .. خدي let x and b a monotone | |
| 318 | |
| 00:29:52,550 --> 00:29:57,650 | |
| sequence خلينا ناخد monotone sequenceالان هذه الـ | |
| 319 | |
| 00:29:57,650 --> 00:30:01,130 | |
| monotone sequence بتكون convergent if and only if | |
| 320 | |
| 00:30:01,130 --> 00:30:05,830 | |
| it is bounded تمام؟ | |
| 321 | |
| 00:30:05,830 --> 00:30:10,470 | |
| moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x in | |
| 322 | |
| 00:30:10,470 --> 00:30:16,970 | |
| هذه bounded and increasing فأكيد طبعا convergent و | |
| 323 | |
| 00:30:16,970 --> 00:30:22,370 | |
| ال limit تبعتها بساوي ال supremum إلها ك set كذلك | |
| 324 | |
| 00:30:22,370 --> 00:30:25,170 | |
| لو كانت ال sequence x in bounded و decreasing | |
| 325 | |
| 00:30:27,590 --> 00:30:31,190 | |
| فبتكون طبعا convergent و ال limit بتبعتها بساوة ال | |
| 326 | |
| 00:30:31,190 --> 00:30:36,270 | |
| inform اللي لها ك set طيب | |
| 327 | |
| 00:30:36,270 --> 00:30:39,430 | |
| احنا عندي انا عندي هنا two statements او تلاتة | |
| 328 | |
| 00:30:39,430 --> 00:30:47,010 | |
| statements انا عندي العبارة هذه انا | |
| 329 | |
| 00:30:47,010 --> 00:30:53,490 | |
| عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدون فكيف | |
| 330 | |
| 00:30:53,490 --> 00:31:00,150 | |
| البرهان بتتمأول شي العبارة الأولى اللى فى البرواز | |
| 331 | |
| 00:31:00,150 --> 00:31:08,610 | |
| هذه if and only if statement صح ففى two parts واحد | |
| 332 | |
| 00:31:08,610 --> 00:31:15,750 | |
| هذا ال part ال only if part و ال if part نشوف ال | |
| 333 | |
| 00:31:15,750 --> 00:31:21,260 | |
| only if part يعنىلو كانت x in convergent بينا نثبت | |
| 334 | |
| 00:31:21,260 --> 00:31:25,680 | |
| إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة | |
| 335 | |
| 00:31:25,680 --> 00:31:31,120 | |
| أثبتنا إن كل تجارب convergent is bounded اختبار | |
| 336 | |
| 00:31:31,120 --> 00:31:41,320 | |
| الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved proved | |
| 337 | |
| 00:31:41,320 --> 00:31:49,530 | |
| earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقةلو كانت | |
| 338 | |
| 00:31:49,530 --> 00:31:54,830 | |
| السيكوانس تبقى convergent ضرورة تكون bounded سواء | |
| 339 | |
| 00:31:54,830 --> 00:31:58,690 | |
| كانت السيكوانس monotone ولا حتى مش monotone okay؟ | |
| 340 | |
| 00:31:58,690 --> 00:32:02,950 | |
| تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة | |
| 341 | |
| 00:32:02,950 --> 00:32:08,970 | |
| باقى نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت | |
| 342 | |
| 00:32:08,970 --> 00:32:17,730 | |
| السيكوانس bounded السيكوانس لو كانت bounded و | |
| 343 | |
| 00:32:17,730 --> 00:32:18,510 | |
| monotone | |
| 344 | |
| 00:32:21,420 --> 00:32:25,800 | |
| طبعا احنا فرضين انها monotone اه من البداية x in | |
| 345 | |
| 00:32:25,800 --> 00:32:32,020 | |
| is monotone فالان عشان نكمل برهان العبارة هذه ال | |
| 346 | |
| 00:32:32,020 --> 00:32:35,060 | |
| if and only if او ال by conditional statement هذا | |
| 347 | |
| 00:32:35,060 --> 00:32:40,920 | |
| فبدنا نثبت ان لو كانت ال sequence bounded و | |
| 348 | |
| 00:32:40,920 --> 00:32:49,520 | |
| monotone فبتطلع convergent طيب | |
| 349 | |
| 00:32:49,520 --> 00:32:54,920 | |
| monotoneمونوتون لما ال sequence تكون مونوتون | |
| 350 | |
| 00:32:54,920 --> 00:33:04,060 | |
| معناها اما increasing او decreasing او decreasing | |
| 351 | |
| 00:33:04,060 --> 00:33:08,260 | |
| اذا | |
| 352 | |
| 00:33:08,260 --> 00:33:16,500 | |
| عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا | |
| 353 | |
| 00:33:16,500 --> 00:33:25,750 | |
| لبرهانه بده برهين a و bلأن جزء A بيقول لو كانت ال | |
| 354 | |
| 00:33:25,750 --> 00:33:29,330 | |
| sequence bounded و increasing فبتثبت أنها | |
| 355 | |
| 00:33:29,330 --> 00:33:33,510 | |
| convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و | |
| 356 | |
| 00:33:33,510 --> 00:33:37,930 | |
| increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit | |
| 357 | |
| 00:33:37,930 --> 00:33:43,530 | |
| تبعتها هي ال suprem من إلها كمجموعة و الجزء B | |
| 358 | |
| 00:33:43,530 --> 00:33:47,690 | |
| بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing | |
| 359 | |
| 00:33:47,690 --> 00:33:54,510 | |
| فبتطلع convergentوإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي | |
| 360 | |
| 00:33:54,510 --> 00:34:00,390 | |
| ال infront إلى كسب إذا الإكمال برهان الاتجاه هذا و | |
| 361 | |
| 00:34:00,390 --> 00:34:05,690 | |
| برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن | |
| 362 | |
| 00:34:05,690 --> 00:34:11,290 | |
| أحنا نثبت a و b و أضع يكمل كون أثبتنا إلى عبارة من | |
| 363 | |
| 00:34:11,290 --> 00:34:16,750 | |
| بروزة هذه و a و b يعني برهاننا النظرية كاملة تمام؟ | |
| 364 | |
| 00:34:17,990 --> 00:34:39,030 | |
| نثبت الآن باقي اثبات a وb نثبت الجزء a فخلّينا | |
| 365 | |
| 00:34:39,030 --> 00:34:43,130 | |
| نفرض ان ال sequence x in is bounded قلنا bounded | |
| 366 | |
| 00:34:43,130 --> 00:34:48,700 | |
| زاد increasingطيب من تعريف الـ bounded sequence | |
| 367 | |
| 00:34:48,700 --> 00:34:54,840 | |
| مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M | |
| 368 | |
| 00:34:54,840 --> 00:35:03,840 | |
| بحيث أنه absolute Xn أصغر من أو ساوي M لكل N طيب | |
| 369 | |
| 00:35:03,840 --> 00:35:07,540 | |
| معروف أنه أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو ساوي القيمة | |
| 370 | |
| 00:35:07,540 --> 00:35:14,200 | |
| المطلقة له، مظبوط؟إذا من ال boundedness من فرض ان | |
| 371 | |
| 00:35:14,200 --> 00:35:18,260 | |
| ال sequence bounded في معدد موجد بحيث ان xn أصغر | |
| 372 | |
| 00:35:18,260 --> 00:35:23,640 | |
| من أو ساوي M لكل M تمام واضح طيب الآن إذا ال | |
| 373 | |
| 00:35:23,640 --> 00:35:27,800 | |
| sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال | |
| 374 | |
| 00:35:27,800 --> 00:35:33,120 | |
| property ال supremum تبعها exist سميه x star | |
| 375 | |
| 00:35:35,800 --> 00:35:40,000 | |
| الان بيدثبت الادعاء هذا الـ claim الادعاء بيدثبت | |
| 376 | |
| 00:35:40,000 --> 00:35:45,260 | |
| انه limit ال sequence xn بساوي ال x star اللي هو | |
| 377 | |
| 00:35:45,260 --> 00:35:51,580 | |
| ال suprem لست xn فلو أثبتت هذا الادعاء معناته | |
| 378 | |
| 00:35:51,580 --> 00:35:55,600 | |
| أثبتت أنا ان ال sequence xn is convergent و ال | |
| 379 | |
| 00:35:55,600 --> 00:36:00,650 | |
| limit تبعتها بساوي ال suprem إلها كستتعالى نشوف | |
| 380 | |
| 00:36:00,650 --> 00:36:04,930 | |
| كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim انا | |
| 381 | |
| 00:36:04,930 --> 00:36:09,430 | |
| ايش بتثبت؟ بتثبت ان ال sequence x in convergent و | |
| 382 | |
| 00:36:09,430 --> 00:36:13,630 | |
| ال limit تبعتها بساوي العدد x star فهستخدم تعريف | |
| 383 | |
| 00:36:13,630 --> 00:36:17,830 | |
| epsilon capital N لل limit فلازم ابدأ let epsilon | |
| 384 | |
| 00:36:17,830 --> 00:36:25,090 | |
| أكبر من الصفر بيه given الان ال x star هذاهو ال | |
| 385 | |
| 00:36:25,090 --> 00:36:28,430 | |
| supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد | |
| 386 | |
| 00:36:28,430 --> 00:36:33,830 | |
| موجب بيبطل upper bound بيبطل upper bound لأن ال x | |
| 387 | |
| 00:36:33,830 --> 00:36:37,690 | |
| star هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيبطل | |
| 388 | |
| 00:36:37,690 --> 00:36:41,590 | |
| upper bound إذا هذا العدد x star minus y is not an | |
| 389 | |
| 00:36:41,590 --> 00:36:46,710 | |
| upper bound معناته في أنصر في ال set هذه اللي هو x | |
| 390 | |
| 00:36:46,710 --> 00:36:51,450 | |
| رقم capital N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هوش | |
| 391 | |
| 00:36:51,450 --> 00:36:55,860 | |
| upper boundوطبعاً العدد هذا المؤشر او ال index | |
| 392 | |
| 00:36:55,860 --> 00:37:00,040 | |
| capital N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال | |
| 393 | |
| 00:37:00,040 --> 00:37:05,500 | |
| epsilon اللي بنيت فيها طبعا انا فرض ان ال sequence | |
| 394 | |
| 00:37:05,500 --> 00:37:10,860 | |
| xn increasing وبالتالي x capital N أصغر من أو سوى | |
| 395 | |
| 00:37:10,860 --> 00:37:14,880 | |
| xn لكل N أكبر من أو سوى capital N من تعريف ال | |
| 396 | |
| 00:37:14,880 --> 00:37:20,500 | |
| increasing sequence اذا انا في عندي هنا هى عندي x | |
| 397 | |
| 00:37:20,500 --> 00:37:28,280 | |
| capital N هىxN أصغر من أو ساوي xN لكل N أكبر من أو | |
| 398 | |
| 00:37:28,280 --> 00:37:36,360 | |
| ساوي N طيب و x*) هو ال suprem of ال sequence xN و | |
| 399 | |
| 00:37:36,360 --> 00:37:42,440 | |
| xN هذا عنصر في ال sequence و x*) upper bound لل | |
| 400 | |
| 00:37:42,440 --> 00:37:49,540 | |
| sequence إذن xN أصغر من أو ساوي x*) طيب و x*) أصغر | |
| 401 | |
| 00:37:49,540 --> 00:37:57,820 | |
| من نفسها زاد عدد موجب هذا مافي شكو من هنا .. أيوه | |
| 402 | |
| 00:37:57,820 --> 00:38:03,460 | |
| .. من المتباينة هذه هي عندي x capital n أكبر من x | |
| 403 | |
| 00:38:03,460 --> 00:38:11,420 | |
| star سالب y إذا أنا طلع عندي الآن x star أكبر من | |
| 404 | |
| 00:38:11,420 --> 00:38:13,160 | |
| .. أو x in | |
| 405 | |
| 00:38:15,810 --> 00:38:25,070 | |
| أكبر من X star minus Y أصغر من X star زاد Y لكل N | |
| 406 | |
| 00:38:25,070 --> 00:38:30,910 | |
| أكبر من أو ساوي capital N فظبطك صح؟ طيب مهاد | |
| 407 | |
| 00:38:30,910 --> 00:38:37,890 | |
| المتباينة هي نفسها X N minus X star أصغر من Y أكبر | |
| 408 | |
| 00:38:37,890 --> 00:38:44,610 | |
| من سالب Y لكل N أكبر من أو ساوي capital Nطب | |
| 409 | |
| 00:38:44,610 --> 00:38:49,930 | |
| المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن absolute xn | |
| 410 | |
| 00:38:49,930 --> 00:38:53,210 | |
| minus x star أصغر من إبسلون لكل n أكبر من أوي | |
| 411 | |
| 00:38:53,210 --> 00:38:58,370 | |
| ساوية كابتن ان الأن since إبسلون was arbitrary هذا | |
| 412 | |
| 00:38:58,370 --> 00:39:03,810 | |
| بالظبط تعريف إبسلون كابتن ان لل limit أه؟ بأن هذا | |
| 413 | |
| 00:39:03,810 --> 00:39:08,470 | |
| الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من سفر إذن هذا معناه | |
| 414 | |
| 00:39:08,470 --> 00:39:13,190 | |
| حسب التعريف إن limit xn بساوي x star | |
| 415 | |
| 00:39:18,780 --> 00:39:23,660 | |
| إذا هذا بثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا | |
| 416 | |
| 00:39:23,660 --> 00:39:30,560 | |
| الجزء A من النظرية فالجزء | |
| 417 | |
| 00:39:30,560 --> 00:39:35,300 | |
| التاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B | |
| 418 | |
| 00:39:38,510 --> 00:39:42,310 | |
| ففي الجزء B الان انا عندي ال sequence تبعتي | |
| 419 | |
| 00:39:42,310 --> 00:39:46,570 | |
| bounded و decreasing اذا ا assume x in is bounded | |
| 420 | |
| 00:39:46,570 --> 00:39:50,770 | |
| and decreasing فاش | |
| 421 | |
| 00:39:50,770 --> 00:39:55,690 | |
| عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد | |
| 422 | |
| 00:39:55,690 --> 00:40:01,530 | |
| العام تبعها negative x in تمام؟ الان بما ان x in | |
| 423 | |
| 00:40:01,530 --> 00:40:05,170 | |
| decreasing اذا ال sequence سالب x in تطلع | |
| 424 | |
| 00:40:05,170 --> 00:40:10,610 | |
| increasingوطبعا بما أن ال sequence x in bounded | |
| 425 | |
| 00:40:10,610 --> 00:40:15,670 | |
| إذا ال sequence سالب x in أيضا bounded إذا الأن | |
| 426 | |
| 00:40:15,670 --> 00:40:18,790 | |
| أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn | |
| 427 | |
| 00:40:18,790 --> 00:40:26,310 | |
| bounded وin crazy إذا حسب الجزء a by part a limit | |
| 428 | |
| 00:40:26,310 --> 00:40:32,790 | |
| ال sequence yn تطلع existوبتساوي ال supremum لكل | |
| 429 | |
| 00:40:32,790 --> 00:40:37,870 | |
| ال y in ال supremum لعناصر ال sequence اللي هي y | |
| 430 | |
| 00:40:37,870 --> 00:40:41,510 | |
| in تمام؟ | |
| 431 | |
| 00:40:41,510 --> 00:40:47,370 | |
| انها ده من ايه؟ من الجزء ايه من النظرية؟طيب ال | |
| 432 | |
| 00:40:47,370 --> 00:40:51,450 | |
| supremum ل سالب xn هيفقن العدد طبيعي احنا خدنا قبل | |
| 433 | |
| 00:40:51,450 --> 00:40:56,490 | |
| هيك exercise بيقول supremum او infimum سالب حاجة | |
| 434 | |
| 00:40:56,490 --> 00:41:02,190 | |
| بساوي سالب ال infimum فهنا بصير هذا سالب ال | |
| 435 | |
| 00:41:02,190 --> 00:41:07,530 | |
| infimum تمام؟ اذا انا عندي بيطلع عندي limit xn | |
| 436 | |
| 00:41:07,530 --> 00:41:15,180 | |
| بساوي سالب limit سالب xn تمام؟أضربوا هنا هيندي | |
| 437 | |
| 00:41:15,180 --> 00:41:18,940 | |
| limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد | |
| 438 | |
| 00:41:18,940 --> 00:41:24,700 | |
| فبطلع سالب limit سالب xn بساوي سالب سالب موجب اللي | |
| 439 | |
| 00:41:24,700 --> 00:41:29,000 | |
| هو ال inform ل xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي | |
| 440 | |
| 00:41:29,000 --> 00:41:33,280 | |
| أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني ال sequence | |
| 441 | |
| 00:41:33,280 --> 00:41:37,640 | |
| xn convergent وال limit تبعتها بساوي ال inform | |
| 442 | |
| 00:41:40,760 --> 00:41:44,680 | |
| بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا | |
| 443 | |
| 00:41:44,680 --> 00:41:49,280 | |
| الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ | |
| 444 | |
| 00:41:49,280 --> 00:41:53,180 | |
| monotone convergence theorem فارجو أنكم تحاولوا | |
| 445 | |
| 00:41:53,180 --> 00:41:56,080 | |
| تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ | |
| 446 | |
| 00:41:56,080 --> 00:41:58,440 | |
| monotone convergence theorem في | |