qas: question: ما هي الزمرة في الرياضيات وما هي الشروط الأربعة التي يجب أن تتحقق فيها؟

answers: answer_id: 925503
question_id: 1039852
text:  هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس
answer_end: 196
is_impossible: no

question: ما هو مبدأ الزمر وكيف يمكن استخدامه في الجبر المجرد والمجالات الرياضية الأخرى؟

answers: answer_id: 925507
question_id: 1039856
text:  يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية
answer_end: 440
is_impossible: no

question: ما هو دور الزمر في نظرية الزمر وما يتم دراسته في هذا الفرع من الرياضيات؟

answers: answer_id: 925523
question_id: 1039866
text: من الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم
answer_end: 743
is_impossible: no

question: كيف يرتبط الزمر بفكرة التناظر؟

answers: answer_id: 925520
question_id: 1039869
text: ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر
answer_end: 927
is_impossible: no

question: ما هي زمرة التماثل وكيف يمكن استخدامها لوصف التناظر الهندسي؟

answers: answer_id: 925525
question_id: 1039873
text: في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية
answer_end: 1288
is_impossible: no

question: ما هي زمرة لي وما هي دورها في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات؟

answers: answer_id: 925526
question_id: 1039874
text:  هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل
answer_end: 1224
is_impossible: no

question: ما هي نظرية الزمر ومتى نشأت؟

answers: answer_id: 925530
question_id: 1039878
text: هي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور
answer_end: 1526
is_impossible: no

question: على يد من نشأت نظرية الزمر؟
answers: answer_id: 925532
question_id: 1039880
text: على يد إيفاريست
answer_end: 1391
is_impossible: no

question: ما هي مشكلة إيجاد معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة؟

answers: answer_id: 925537
question_id: 1039886
text: هي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ
answer_end: 1633
is_impossible: no

question: كيف تم استخدام مفهوم الزمر في مجالات أخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة؟

answers: answer_id: 925539
question_id: 1039887
text:  ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ
answer_end: 1633
is_impossible: no

question: ما هي الأقسام المختلفة لنظرية الزمر؟

answers: answer_id: 925541
question_id: 1039889
text: الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة
answer_end: 1835
is_impossible: no

question: ما هي أهمية تمثيلات الزمر في الفيزياء والمعلوماتية وعلم البلورات؟

answers: answer_id: 925543
question_id: 1039891
text:  تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية
answer_end: 2226
is_impossible: no

question: ما هو تصنيف الزمر المنتهية البسيطة ومتى تم إعلانه؟

answers: answer_id: 925545
question_id: 1039893
text:  وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983
answer_end: 2319
is_impossible: no

question: ما هي نظرية الزمر الهندسية وماذا تهتم بدراسته؟

answers: answer_id: 925547
question_id: 1039895
text: التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر
answer_end: 2436
is_impossible: no

question: ما هي خصائص زمرة الأعداد الصحيحة وكيف تشكل زمرة تحت عملية الجمع؟

answers: answer_id: 925549
question_id: 1039897
text: من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:

answer_end: 2598
is_impossible: no

question: ما هو التعريف التجريدي للزمرة وعملية الزمرة؟

answers: answer_id: 925550
question_id: 1039898
text: تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية
answer_end: 2795
is_impossible: no

question: ما هي الطرق المختلفة للتعبير عن عملية الزمرة وما هي البديهيات التي يجب أن تحققها؟




answers: answer_id: 925551
question_id: 1039899
text: .
answer_end: 2865
is_impossible: no
context: في الرياضيات، الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.
ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.
نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.
تعريف وتوضيح.
المثال الأول: الأعداد الصحيحة.
من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:
الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة نموذجٌ للبديهيات التجريدية للزمر.
تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.
تعريف.
الزمرة هي مجموعة formula_1 مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز formula_2 وتسمى قانون الزمرة لـ formula_1 أو عملية الزمرة، تربط كل عنصرين اثنين formula_4 و formula_5 من عناصرها بعنصر ثالث formula_6 ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها formula_7 أو formula_8، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب formula_9، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل formula_10 أو formula_11. وكل من المجموعة والعملية formula_12 يحققان البديهيات التالية: