## ANALISIS STRUKTUR PENGARUH BEBAN AKSIAL TERHADAP BALOK

## STRUCTURAL ANALYSIS OF AXIAL LOAD EFFECT ON THE BEAM
Giovani 1 , Amir Mukhlis 2
1 STT Iskandar Thani, Jl. Alue Naga, Desa Tibang, Banda Aceh, Aceh, Indonesia.
2 Universitas Iskandarmuda, Jl. Kampus Unida No. 15 Gp. Surien, Banda Aceh, Aceh, Indonesia.
E-mail: gvani78@gmail.com
amirmukhlis@hotmail.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  menitikberatkan  pada  permasalahan  beban  aksial  tekan  kritis  yang  dapat ditanggung  oleh  struktur.  Metode  yang  dipakai  dalam  perhitungan  ini  adalah  metode elemen hingga. Konsep dasar dari metode ini adalah bahwa suatu struktur yang kontinu dapat  dimodelisasi  secara  diskritisasi  menjadi  struktur  diskrit  yang  lebih  sederhana, struktur diskrit terbentuk dari gabungan elemen yang perilakunya diharapkan mewakili perilaku  struktur  yang  lebih  kompleks.  Dengan  menggunakan  metode  elemen  hingga dapat  menyelesaikan  analisis  secara  lebih  sederhana.  Hasil  akhir  dari  penelitian  ini nantinya  adalah  menentukan  nilai  beban  runtuh  dari  suatu  struktur,  pola  perpindahan ( displacement )  yang  terjadi  dan  gaya-gaya  dalam  yang  terjadi  dengan  pendekatan metode elemen hingga. Pada analisa  instabilitas  linier  maupun pada analisa  instabilitas non  linier  baik  untuk  balok  prismatis  maupun  balok  non  prismatis  akan  terdapat beberapa  perbedaan  baik  untuk  cara  pengerjaan,  nilai  beban  kritis  maupun  nilai-nilai dari displacement dan gaya-gaya dalamnya.
Kata Kunci: Matriks, Elemen Hingga, Beban Aksial, Balok .

## ABSTRACT
This  study  focuses  on  the  problem  of  critical  compressive  axial  load.  can  be  resist  by the structure. The method used in this analysis  is the finite element method. The basic concept of this method is that a continuous structure can be discretionally modeled into a simpler discrete structure, a discrete structure formed from a combination of elements whose behavior is expected to  represent  the behavior of a more complex structure. By using the finite element method can complete the analysis more simply. The final result of  this  study  is  to  determine  the  value  of  the  collapse  load  value  of  a  structure,  the displacement  pattern  that  occurs,  and  the  internal  forces  that  occur  with  the  finite element  method  approach.  In  the  analysis  of  linear  instability  and  in  the  analysis  of non-linear  instability  for  both  prismatic  and  non-prismatic  beams,  there  will  be  some differences  in  terms  of  working  methods,  critical  load  values,  and  values  of displacement and internal forces.
Keywords: Matrix, Finite Element, Axial Load, Beam.

## PENDAHULUAN
Komponen  dari  sebuah  struktur  harus direncanakan  untuk  menahan  beban  yang bekerja padanya tanpa mengalami tegangan dan deformasi  ( displacement ) yang  berlebihan beban  ini  disebabkan  oleh  berat  sendiri  dari struktur  beserta  hal-hal  lain  yang  bersangkutan seperti  beban  tembok  dan  lantai,  beban  angin, salju  dan  lain-lain  yang  semuanya  dipikul  oleh struktur. Beban ini bisa bekerja dengan berbagai cara  pada  bagian-bagian  kontruksi  seperti misalnya  searah  dengan  sumbu  batang  (beban aksial)  yang  akan  menyebabkan  terjadinya tekuk ( buckling ) pada struktur balok, perpanjangan  atau  perpendekan  pada  balok sesuai  dengan  sifat  bekerjanya  beban  yang sejajar  pada  sumbu  balok  atau  kolom  disebut beban  aksial,  beban  ini  akan  menyebabkan struktur  tersebut  mengalami  pembengkokan atau tekuk.
Hal-hal  tersebut  di  ataslah  yang  menjadi dasar  pemikiran  di  mana  kajian  ini  akan  dibuat karena  suatu  struktur  jika  dibebani  oleh  suatu gaya  maka  akan  ada  perubahan  pada  struktur tesebut. Perubahan-perubahan inilah yang nantinya  akan  diamati  dan  akan  dapat  ditarik kesimpulan  dari  analisa  instabilitas  ini  baik untuk  balok  prismatis  maupun  non  prismatis.
Selanjutnya dapat dimungkinkan dengan
menggunakan software aplikasi.  Pada  hasil kajian  yang  lain  dalam  beberapa  aplikasi  dapat memiliki  hasil  yang  berbeda  namun  dalam
penentuan  dimensi  tidak  memiliki  perbedaan yang signifikan (Mukhlis, 2016).

## METODE PENELITIAN
Metode  kekakuan  adalah  metode  yang terutama dipakai dalam  analisa struktur dengan matriks  yang  sering  digunakan  dalam  analisa struktur  dengan  metode  elemen  hingga  secara garis besarnya analisa dengan metode kekakuan dimulai  dengan  penentuan  derajat  kebebasan struktur  (DOF),  kemudian  membentuk  matriks kekakuan  elemen  dalam  arah  lokal,  setelah mendapatkan  matriks  kekakuan  arah  lokal matriks  tersebut  dimasukan  atau  digabung menjadi matriks kekakuan global sesuai dengan DOF  yang  telah  ditentukan  maka  matriks kekakuan  struktur  dapat  dibuat  dengan  cara penjumlahan  secara  berkesesuaian  dari  sebuah matriks  dapat  dicari  perpindahan  nodal, sedangkan  dari  matriks  yang  lain  dapat  dicari reaksi perletakan, akhirnya dengan perpindahan yang  telah  diketahui  nilainya  dapat  ditentukan gaya pada ujung batang.
Sebelum memulai suatu analisa sebaiknya ditentukan  dahulu  derajat  kebebasan  struktur atau    DOF  dan  matriks  kekakuan  elemen  arah lokal  dengan  koordinat  (Guire,  1979).  Derajat kebebasan  pada  masing-masing  nodal  disusun dalam urutan tertentu sehingga menjadi:
                                                           2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 . 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 . 0 0 . 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 . 0 0 . w v u w v u L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L A E L A E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L A E L A E Ke B B B B B B B B P B P B B B B B B B B B P B P B
Akibat  adanya  hubungan  antara  peralihan regangan  non  linier  akan  timbul  pengaruh kedua  pada  tegangan  aksial  dan  tegangan membran  atau  bidang  yang  menyebabkan perlunya  modifikasi  pada  kekakuan  lentur pengaruh  tersebut  dapat  dikumpulkan  menjadi dalam  sebuah  matriks  yang  disebut  matriks kekakuan  tegangan  awal  (K o )  sesuai  dengan penyebab pengaruh ini (Popov, 1995).
                             2 2 2 2 4 3 0 3 0 3 36 0 3 36 0 0 0 30 0 0 30 3 0 4 3 0 3 36 0 3 36 0 0 0 30 0 0 30 . 30 L L L L L L L L L L L L L P K O O Matriks kekakuan struktur yang
digunakan dalam analisis matriks adalah:
       bb ba ab aa K K K K KS Matriks  peralihan  nodal  ( displacement )
dapat dilihat pada persamaan berikut:
      F K U    1 11
Matriks  gaya  dalam  untuk  elemen  balok kolom adalah :
                                 

         
   

 
                       
   
 
    2 2 2 1 1 1 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 . 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 w v u w v u L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L A E L A E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L I E L A E L A E M D N M D N B B B B B B B B P B P B B B B B B B B B P B P B
Matriks  gaya  dalam  untuk  tegangan  awal dapat  dilihat  pada  persamaan  berikut  ini ( Weaver dan Johnston, 1993)
                                                       2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 . 4 3 0 3 0 3 36 0 3 36 0 0 0 30 0 0 30 3 0 4 3 0 3 36 0 3 36 0 0 0 30 0 0 30 . 30 w v u w v u L L L L L L L L L L L L L P K O O

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

## 1)  Analisa  Instabilitas  Linier  Pada  Balok

## Prismatis Dengan Perletakan Sederhana
Untuk  kasus  ini,  terjadi  tekuk  bifurkasi dan  tingkat  kritis  beban  aksial  dapat  dicari dengan  menggunakan  masalah  nilai eigen
vector . cm 20 cm 20 1 1 O P L Gambar 1. Balok prismatis tanpa diskrit Data-data material : kg Po 1000  (beban awal) 2 / . 2400 cm kg Fy  cm M L 600 6   6 10 1 , 2   B E ) / ( 2 cm kg 3 12 1 h b I    ) ( 4 cm
Struktur balok didiskrit  menjadi 6 elemen dengan panjang tiap-tiap elemen adalah 1 m
Vol. 02, No. 01, (Mei, 2019)
O P 2 1 4 3 6 L 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 9 7 8 10 6 L 6 L 6 L 6 L 6 L 6 12 14 5 11 13 6 5 Gambar 2. Pendiskritan balok prismatis
Dari  gambar  di  atas  dapat  dilihat  bahwa jumlah  DOF  yang  ada  adalah  11  yaitu:  2,  3,  4, 5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  dan  12.  Masing-masing elemen  memiliki  matriks kekakuan  balok untuk elemen lokal. Salah satu matriks itu adalah pada elemen 1, yaitu
Kb 1 3.36 10 5  1.68 10 7  3.36  10 5  1.68 10 7  1.68 10 7  1.12 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  3.36  10 5  1.68  10 7  3.36 10 5  1.68  10 7  1.68 10 7  5.6 10 8  1.68  10 7  1.12 10 9              
Selanjutnya  matriks  kekakuan  tegangan awal untuk elemen lokal pada elemen 1 adalah:
Ko 1 0.012 0.1 0.012  0.1 0.1 13.333 0.1  3.333  0.012  0.1  0.012 0.1  0.1 3.333  0.1  13.333         
Setelah  matriks  kekakuan  masing-masing elemen  baik  untuk  matriks  kekakuan  balok biasa (K b ) dan  matriks kekakuan tegangan awal (K o )  didapat  maka  masing-masing  disusun menjadi  matriks  kekakuan  struktur  baik  untuk balok (K v ) dan akibat tegangan awal (K os ). Kv 1.12 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68  10 7  6.72 10 5  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 0 0 0 0 0 5.6 10 8  0 2.24 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  6.72 10 5  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 0 0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 2.24 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  6.72 10 5  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 0 0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 2.24 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  6.72 10 5  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 0 0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 2.24 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  6.72 10 5  0 1.68 10 7  0 0 0 0 0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 2.24 10 9  5.6 10 8  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  1.12 10 9                      
                      Kos 13.333 0.1  3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1  0.024 0 0.012  0.1 0 0 0 0 0 0 0 3.333  0 26.667 0.1  3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0.012  0.1  0.024 0 0.012  0.1 0 0 0 0 0 0 0.1 3.333  0 26.667 0.1  3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0.012  0.1  0.024 0 0.012  0.1 0 0 0 0 0 0 0.1 3.333  0 26.667 0.1  3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0.012  0.1  0.024 0 0.012  0.1 0 0 0 0 0 0 0.1 3.333  0 26.667 0.1  3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0.012  0.1  0.024 0 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0.1 3.333  0 26.667 3.333  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 3.333  13.333               
               
Setelah  mendapatkan  nilai  K v dan  K os maka  dapatlah  dicari  nilai  absolut  dari  c  yang terkecil dimana nilai c ini dinamakan nilai Eigen kritis  (faktor  beban  tekuk)  nilai  ini  dapat  dicari dengan  menggunakan  solusi Eigen  vector dan
Eigen value (Katili, 2000). Nilai minimum c adalah cr C = 7,677  10 5 Nilai cr C yang  telah  didapat  dimasukan
ke dalam rumus di mana:
I E Lt C cr . . 2   871 , 9 33 , 13333 10 1 , 2 600 ). 10 677 , 7 ( 6 2 5       L = Panjang total (cm) E c = Elastisitas bahan beton ( 2 / cm kg ) I  = Inersia penampang
Setelah  mendapatkan  nilai  maka  nilai itu dimasukan ke dalam persamaan faktor tekuk untuk balok prismatis.
  1 .  k 1 875 , 9 1 14 , 3    k
Kemudian  nilai  ini  dimasukan  lagi  ke persamaan:
2 . . Lt I E P cr   5 2 6 10 677 , 7 600 33 , 13333 10 1 , 2 871 , 9       cr P Sehingga  didapatlah  beban  kritis  struktur
sebesar 767.714 kg.
Setelah  mendapatkan  Nilai  P cr (beban runtuh  struktur)  maka  selanjutnya  kita  dapat mencari  pola  ragam  bentuk  yang  terjadi  yaitu dengan  menggunakan  solusi  nilai Eigen  vector di  mana  nantinya  dalam  nilai Eigen  vector tesebut  akan  diambil  nilai Eigen  vector kritis dan  diambil  nilai  yang  terkecil.  Dari  matriks 
di  atas  diambil  kolom  matriks  berdasarkan dibaris  mana cr C .  Nilai  maksimum  (cr) adalah 0,557 cm.

## 2)  Analisa  Instabilitas  Linier  Pada  Balok
Non Prismatis Dengan Perletakan

## Sederhana
Pada  kasus  ini,  balok  sederhana  memiliki empat  elemen  dengan  tiga  bentuk  berbeda. Bentuk  balok  dapat  dilihat  pada  gambar  di bawah ini.
Pot 1-1 Pot 3-3 Pot 2-2 1 2 1 2 3 3 10 cm 10 cm 10 cm 10 cm 20 cm 20 cm o P = = = L (cm) Balok 3. Balok non prismatis
Dengan data-data material:
kg Po 1000  cm M L . 600 6   6 10 1 , 2   B E ) / ( 2 cm kg 33 , 13333 20 20 12 1 12 1 33 , 833 10 10 12 1 12 1 3 3 2 3 3 3 1                h b I h b I I ) ( 4 cm
Struktur balok didiskrit  menjadi 4 elemen dengan  panjang  tiap-tiap  elemen  adalah  (I) 200cm, (II) 100cm, (III) 100cm, (IV) 200cm.
L (cm) O P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I II III IV 200 200 100 100
Gambar 4. Pendiskritan balok Non prismatis
Dari  gambar  di  atas  dapat  dilihat  bahwa jumlah DOF yang ada adalah 8 yaitu: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 10. Matriks kekakuan balok masing- masing  elemen  dihitung,  salah  satunya  adalah matriks  kekakuan  elemen  3  pada  struktur  ini, yaitu
Kb 3 3.36 10 5  1.68 10 7  3.36  10 5  1.68 10 7  1.68 10 7  1.12 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  3.36  10 5  1.68  10 7  3.36 10 5  1.68  10 7  1.68 10 7  5.6 10 8  1.68  10 7  1.12 10 9       
      
Selanjutnya  matriks  kekakuan  tegangan awal untuk elemen lokal pada elemen 3 adalah:
Vol. 02, No. 01, (Mei, 2019)
Ko 3 0.012 0.1 0.012  0.1 0.1 13.333 0.1  3.333  0.012  0.1  0.012 0.1  0.1 3.333  0.1  13.333         
Setelah  matriks  kekakuan  masing-masing elemen  baik  untuk  matriks  kekakuan  balok biasa (K b ) dan  matriks kekakuan tegangan awal
(K o )  didapat  maka  masing-masing  disusun menjadi  matriks  kekakuan  struktur  baik  untuk balok (K v ) dan akibat tegangan awal (K os ).
Kv 3.5 10 7  2.625  10 5  1.75 10 7  0 0 0 0 0 2.625  10 5  3.386 10 5  1.654 10 7  3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 0 1.75 10 7  1.654 10 7  1.155 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  6.72 10 5  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 2.24 10 9  1.68  10 7  5.6 10 8  0 0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  3.386 10 5  1.654  10 7  2.625 10 5  0 0 0 1.68 10 7  5.6 10 8  1.654  10 7  1.155 10 9  1.75 10 7  0 0 0 0 0 2.625 10 5  1.75 10 7  3.5 10 7                                 Kos 26.667 0.1  6.667  0 0 0 0 0 0.1  0.018 0 0.012  0.1 0 0 0 6.667  0 40 0.1  3.333  0 0 0 0 0.012  0.1  0.024 0 0.012  0.1 0 0 0.1 3.333  0 26.667 0.1  3.333  0 0 0 0 0.012  0.1  0.018 0 0.1 0 0 0 0.1 3.333  0 40 6.667  0 0 0 0 0 0.1 6.667  26.667                       
Setelah  mendapatkan  nilai  K v dan  K os maka  dapatlah  dicari  nilai  absolut  dari  c  yang terkecil  di  mana  nilai  c  ini  dinamakan  nilai Eigen  kritis  (faktor  beban  tekuk)  nilai  ini  dapat dicari dengan menggunakan solusi Eigen vector dan Eigen value .
Nilai minimum c adalah
cr C = 1,021  10 5 Karena inersia penampang tidak
seragam maka persamaan di atas dikembangkan menjadi:
 I I i  ccr min c ( )   i ccr Lt 2 E I    i 1 NE   for   312 , 1 33 , 13333 10 1 , 2 600 ). 10 021 , 1 ( 995 . 20 33 , 833 10 1 , 2 600 ). 10 021 , 1 ( 6 2 5 2 6 2 5 3 1               L  = Panjang total (cm) E c = Elastisitas bahan beton ( 2 / cm kg ) I   = Inersia Penampang
Karena  luas  penampang  balok  tidak sama  maka  terdapat  2  nilai  untuk  karena  di sini  kita  mencari  nilai  kritisnya  maka  diambil nilai terkecil di antara nilai-nilai tersebut 1.586. Setelah  mendapatkan  nilai  maka  nilai  itu dimasukan  ke  dalam  persamaan  faktor  tekuk untuk balok prismatis:
cr k   1 . 
Karena  penampang  tidak  seragam  maka persamaan untuk faktor tekuk di atas dikembangkan menjadi:
k   i  k i  1    i 1 NE   for submatrix k 1  1  1  1  ( ) 
Diambil  nilai  k  yaitu  0,686,  kemudian nilai  ini dimasukan lagi ke persamaan :
2 . . Lt I E P cr cr cr   Karena  penampang  tidak  seragam  maka persamaan untuk beban kritis di atas dikembangkan menjadi: Pcr I I i  B  i  Pcr i B  E I  Lt 2   i 1 NE   for submatrix Pcr 1  1  1  1     Sehingga didapatlah beban runtuh
struktur sebesar 102.060 kg.
. Pola ragam yang terjadi adalah merupakan  bentuk  ragam  tekuk  akibat  beban kritis  (runtuh).  Setelah  mendapatkan  Nilai  P cr
(beban  runtuh  struktur)  maka  selanjutnya  kita dapat  mencari  pola  ragam  bentuk  yang  terjadi yaitu  dengan  menggunakan  solusi  nilai Eigen vector di  mana  nantinya  dalam  nilai Eigen
vector tesebut  akan  diambil  nilai Eigen  vector
kritis dan diambil nilai yang terkecil:
) , ( Kos Kv genvecs    0.011  0.703  0.032  1.517  10 14   0.093  0.703
0.032  0.011  8.638 10 3   0.531 0.025 0.659  0 0.531
0.025  8.638  10 3   0.013  0.706  0.035  3.664 10 15   0.038 0.706
0.035  0.013 
6.914  10 3   0.184  0.013  0.965  0 0.184  0.013 6.914 10 3   0.038 0.706  5.711 10 3   1.117  10 13   7.754 10 3   0.706 5.711 10 3   0.038
0.023 0.523  2.891  10 3   0.673  0 0.523  2.891 10 3   0.023 
4.366  10 3   0.574  2.117  10 4   0.584  1.711 10 14   0.574  2.117 10 4   4.366 10 3   0.01  0.707  6.87 10 3   1.017  10 12   7.17 10 3   0.707 6.87 10 3   0.01               
              
Dari  matriks  di  atas  diambil  kolom matriks berdasarkan di baris mana cr C
 cr   4.366  10 3   0.574  2.117  10 4   0.584  1.711 10 14   0.574  2.117 10 4   4.366 10 3                            Matriks  (cr) merupakan  bentuk  ragam tekuk  akibat  dari  beban  kritis  struktur  dengan nilai maksimum adalah 0,559 cm.
3)  Analisa  Instabilitas  Non  Linier  Pada
Balok Prismatis
Dengan
Perletakan

## Sederhana
Untuk  kasus  non  linier  ini  kita  akan memasukan  pengaruh  tegangan  awal  aksial  dan diasumsikan  berpengaruh  dengan  deformasi aksial  sedangkan  analisa  instabilitas  yang  akan digunakan  adalah  instabilitas  non  linier.  Dalam kasus ini akan terjadi tekuk dengan displacement sebenarnya.
Struktur sama dengan contoh kasus untuk
analisa linier prismatis.
Data-data Material:
kg P O 1000  (beban awal atau mula-mula) cm M L 600 6   6 10 1 , 2   B E ) / ( 2 cm kg 3 12 1 h b I    ) ( 4 cm
Struktur  balok  didiskrit  menjadi  6 elemen  dengan  panjang  tiap-tiap  elemen  adalah 1 m atau 100 cm.
Vol. 02, No. 01, (Mei, 2019) Giovani, Amir Mukhlis O P 2 1 4 3 6 L 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 9 7 8 10 6 L 6 L 6 L 6 L 6 L 6 12 14 5 11 13 6 5 15 16 17 18 19 20 21

## Gambar 5. Pendiskritan balok prismatis dengan

## pengaruh aksial
Dari  gambar  di  atas  dapat  dilihat  bahwa jumlah DOF yang ada adalah 18, yaitu 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, dan 21.  Masing-masing  elemen  memiliki  matriks kekakuan  balok  untuk  elemen  lokal.  Untuk elemen  lokal  pada  elemen  6,  matriksnya  dapat dilihat di bawah ini.
Kb 6 8.4 10 6  0 0 8.4  10 6  0 0 0 3.36 10 5  1.68 10 7  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 1.68 10 7  1.12 10 9  0 1.68  10 7  5.6 10 8  8.4  10 6  0 0 8.4 10 6  0 0 0 3.36  10 5 
1.68  10 7  0 3.36 10 5  1.68  10 7  0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 1.68  10 7  1.12 10 9            
           
Selanjutnya matriks kekakuan tegangan awal untuk elemen lokal pada elemen 6 adalah sebagai berikut:
Ko 6 10  0 0 10 0 0 0 12  100  0 12 100  0 100  1.333  10 4  0 100 3.333 10 3  10 0 0 10  0 0 0 12 100 0 12  100 0 100  3.333 10 3  0 100 1.333  10 4                    
Setelah  memperoleh  matriks  kekakuan masing-masing elemen, maka matriks kekakuan globalnya adalah
Selanjutnya
menentukan kekakuan struktur  berdasarkan  jumlah  DOF  yang  ada
(K aa ). Sebelum memperoleh nilai
displacement ,  perlu  ditentukan  terlebih  dahulu matriks  beban  (F)  dengan  nilai  gangguan  pada struktur  (efek  phi  delta).  Setelah  itu,  diperoleh nilai displacement (U) pada struktur. Dari hasil, diperoleh nilai displacement dan momen. Untuk grafik  beban  perpindahan  dan  grafik  beban terhadap  momen  pada  balok  prismatis  dapat dilihat pada gambar berikut.
8.40E+06 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.36E+05  1.68E+07 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1.68E+07  1.12E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05 -1.68E+07 0 3.36E+05  -1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 -1.68E+07  1.12E+09 8.40E+06 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.12E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08  1.12E+09
Gambar 6. Beban-perpindahan ( displacement ) untuk balok prismatis Gambar 7. Beban-momen untuk balok prismatis Dari grafik di atas didapat bahwa: cm kg Pcr . 362 , 2 max 767200   

## 4)  Analisis  Instabilitas  Non  Linier  Pada Balok  Non  Prismatis  Dengan  Perletakan Sederhana
Contoh kasus sama dengan kasus linier non prismatis dengan data-data material:
cm M L 1000 10   6 10 1 , 2   B E ) / ( 2 cm kg 33 , 13333 20 20 12 1 12 1 33 , 833 10 10 12 1 12 1 3 3 2 3 3 1               h b I h b I Struktur balok didiskrit  menjadi 6 elemen dengan panjang tiap-tiap elemen adalah 100 cm.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 O P 6 L 6 L 6 L I II III IV 6 L 6 L 6 L V VI 16 17 18 19 20 21
Gambar 8. Pendiskritan balok non prismatis dengan pengaruh aksial
Dari  gambar  tersebut  dapat  dilihat bahwa jumlah DOF yang ada adalah 18, yaitu 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, dan  21).  Matriks kekakuan  lokal pada salah satu elemen lokal, yaitu elemen 4 adalah
Kb 4 8.4 10 6  0 0 8.4  10 6  0 0 0 3.36 10 5  1.68 10 7  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 1.68 10 7  1.12 10 9  0 1.68  10 7  5.6 10 8  8.4  10 6  0 0 8.4 10 6  0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  0 3.36 10 5  1.68  10 7  0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 1.68  10 7  1.12 10 9                         Dan matriks kekakuan tegangan awal
untuk elemen 4 (lokal) adalah
Ko 4 10  0 0 10 0 0 0 12  100  0 12 100  0 100  1.333  10 4  0 100 3.333 10 3  10 0 0 10  0 0 0 12 100 0 12  100 0 100  3.333 10 3  0 100 1.333  10 4          
        

Untuk matriks kekakuan elemen 4 dapat dilihat pada persamaan berikut ini
Ke 4 8.4 10 6  0 0 8.4  10 6  0 0 0 3.36 10 5  1.68 10 7  0 3.36  10 5  1.68 10 7  0 1.68 10 7  1.12 10 9  0 1.68  10 7  5.6 10 8  8.4  10 6  0 0 8.4 10 6  0 0 0 3.36  10 5  1.68  10 7  0 3.36 10 5  1.68  10 7  0 1.68 10 7  5.6 10 8  0 1.68  10 7  1.12 10 9                        
Kemudian  matriks  kekakuan  elemen tersebut disusun sedemikian rupa yang nantinya akan  membentuk  matriks  kekakuan  global (KG).
Setelah mendapatkan nilai matriks
kekakuan  global  maka  selanjutnya  dapatlah dicari  matriks  kekakuan  struktur  berdasarkan jumlah DOF yang ada (K aa ).
Nilai pertambahan beban mempengaruhi nilai  dari displacement dan  momen  sehingga jika  beban  bertambah  maka displacement dan
momen  pun  ikut  bertambah  hal  ini  dilakukan dengan  berulang-ulang  dengan  menambah beban  sampai  kondisi  beban  dan displacement mencapai kondisi ultimate .
Dari  hasil,  diperoleh  nilai displacement dan  momen.  Untuk  grafik  beban  perpindahan dan  grafik  beban  terhadap  momen  pada  balok non prismatis dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 9. Beban-perpindahan ( displacement ) untuk balok non prismatis
Gambar 10. Beban-Momen untuk balok non prismatis Dari  gambar  grafik  di  atas  didapatlah bahwa: cm kg Pcr . 289 , 2 max 101100   

## 5)  Perhitungan  beban  kritis  struktur dengan metode klasik Euler
Asumsi  awal  dari  perhitungan  adalah dengan mengasumsikan  perletakan  adalah sendi-rol dengan nilai k = 1 elemen Balok tanpa
2.10E+06 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.10E+04  1.05E+06 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  7.00E+07 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 4.20E+06 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 4.20E+04 0 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 0 1.40E+08 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 1.05E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 3.57E+05  1.58E+07 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 1.58E+07  1.19E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.05E+07 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 3.57E+05  -1.58E+07 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 -1.58E+07  1.19E+09 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 4.20E+06 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 4.20E+04 0 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 0 1.40E+08 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 2.10E+04  -1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 -1.05E+06  7.00E+07 2.10E+06 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7.00E+07 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 4.20E+06 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.05E+06 0 4.20E+04 0 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.50E+07 0 0 1.40E+08 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 1.05E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 3.57E+05  1.58E+07 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 1.58E+07  1.19E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.68E+07 0 0 -8.40E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 6.72E+05 0 0 -3.36E+05  1.68E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 0 2.24E+09 0 -1.68E+07  5.60E+08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -8.40E+06 0 0 1.05E+07 0 0 -2.10E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3.36E+05  -1.68E+07 0 3.57E+05  -1.58E+07 0 -2.10E+04  1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.68E+07  5.60E+08 0 -1.58E+07  1.19E+09 0 -1.05E+06  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+06 0 0 4.20E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2.10E+04  -1.05E+06 0 4.20E+04 0 1.05E+06 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07 0 0 1.40E+08  3.50E+07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.05E+06  3.50E+07  7.00E+07
diskrit  saja  untuk  mencari  beban  kritis strukturnya dengan metode klasik Euler.
Data-data Material:
2 / . 2400 cm kg Fy  cm M L 1000 10   6 10 1 , 2   B E ) / ( 2 cm kg 3 12 1 h b I    ) ( 4 cm Rumus umum Euler (Singer dan Pytel, 1985) adalah:   2 2 . . . L k I E Pcr C       kg Pcr Pcr . 59 , 766857 600 . 1 20 . 20 . 12 1 . 10 1 , 2 . 14 , 3 2 3 6 2         
Pengaruh  dari  tegangan  leleh  dapat dimasukan pada saat akan dicari beban izin dari struktur  dimana  sebelum  mencari  beban  izin tersebut kita terlebih dahulu mencari nilai λ dan
Ccr  nya  dengan  memasukan  nilai  jari-jari  grasi (r):
78 , 5 20 20 . 20 12 1 2 3    r A I r 81 , 103 78 , 5 600      r Le 4 , 131 2400 10 . 1 , 2 . 14 , 3 . 2 . . 2 6 2 2    cr cr C Fy E C  cr C   ……………. inelastic buckling 02 , 1651 4 , 131 . 2 81 , 103 1 . 2400 . 2 1 . 2 2 2 2                      Ff C Fy Ff cr  Kemudian  mencari  nilai  tegangan  izin balok untuk cr C   maka: 6 , 867 901 , 1 02 , 1651 4 , 131 . 8 ) 81 , 103 ( 4 , 131 . 8 ) 81 , 103 .( 3 3 5 02 , 1651 . 8 ) ( . 8 ) .( 3 3 5 . 2 1 . 3 3 3 3 2 2                  Fa C C C Fy Fa cr cr cr    Selanjutnya  didapatlah  nilai  P a (beban
izin): kg Pa Pa A Fa Pa . 04 , 347039 400 6 , 867 .     KESIMPULAN
Vol. 02, No. 01, (Mei, 2019)
Dari  hasil  penelitian,  maka  dapat diambil beberapa kesimpulan.

## 1. Pada  analisa  nonlinier  terdapat  adanya
gaya-gaya
pengganggu efek P-∆,
sehingga  dengan  adanya  pengaruh  ini maka displacement serta gaya-gaya
dalam yang terjadi mengalami peningkatan, sedangkan proses
incremental (penambahan  beban)  adalah untuk  mencari  beban runtuh dari  struktur balok.
2. Jumlah pendiskritan elemen
mempengaruhi  nilai displacement dan
besarnya  beban  runtuh  dimana  makin banyak  diskritisasi  yang  dilakukan  maka nilai displacement dan  beban  semakin teliti.
3. Terlihat pada contoh kasus yang diberikan  baik  Pada  analisa  instabilitas linier  maupun  pada  analisa  instabilitas non  linier  untuk  balok  prismatis  nilai beban kritisnya  lebih  besar dibandingkan dengan beban kritis balok non prismatis.

## DAFTAR PUSTAKA
Mukhlis, A., 2016, “Perbandingan Perencanaan Portal Baja dengan SAP2000 dan ETABS”, Jurnal Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Teuku Umar, Volume 2, Nomor 2, Tahun 2016.
Katili,  I.,  2000, Aplikasi  Metode  Elemen  Hingga  Pada  Balok,  Rangka,  Grid,  dan  Portal ,  Jakarta, Fakultas Teknik Universitas Indonesia.
Guire, W.M., dan Gallagher, R., 1979, Matrix Struktural Analysis , New York, Wiley. Popov, E.P., 1995, Mechanics of Materials , Jakarta, Erlangga. Singer, P.L. dan Pytel, A., 1985, Strength of material, Jakarta, Erlangga.
Weaver, W. dan Johnston, P.R., 1993, Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur , Bandung, Eresco.