## PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL DALAM KOORDINAT SILINDIRS PADA MASALAH KONDUKSI PANAS
Agung Handayanto 1

## Abstrak
Proses  perpindahan  panas/energi  melalui  suatu  media  zat  padat  atau  cair  yang terjadi  karena  kontak  langsung  diantara  partikel-pertikel  yang  mempunyai  perbedaan temperatur disebut dengan konduksi panas.
Persamaan dasar perpindahan panas konduksi menyatakan bahwa : laju perpin- dahan panas konduksi satu dimensi dalam keadaan setimbang adalah : q = - kA (dT/dx) dimana  k  :  konduktivitas  termal  bahan,  A  :  luas  penampang  bahan  yang  diukur tegak lurus  terhadap  arah  lintasan  panas  dan  (dT/dx)  :  gradien  temperatur  k e  arah perpindahan panas.
Untuk  memperoleh  persamaan  distribusi  temperatur,  persamaan  keseimbangan energi  bagi  masing-masing  elemen  selama  waktu  singkat  ∆t  adalah:  aliran panas yang masuk selama ∆t ditambah dengan perubahan dari energi-dalam selama ∆t adalah sama dengan  aliran  panas  yang  keluar  selama  ∆t  ditambah  dengan  panas  yang  dicetuskan oleh  sumber  panas-dalam  selama  ∆t.  Dalam  penjabarannya  diruang  dimensi  tiga (silinder),  akan  diperoleh  laju  perpindahan  panas  pada  arah  z,  r  dan  yaitu q z , q r dan q  .
Kata kunci:  laju  perpindahan  panas,  deret taylor,  persamaan  konduktivitas  panas

## Pendahuluan
Istilah  konduksi  panas  dapat  kita  temukan  pada  ilmu  fisika,  khususnya  pada bahasan  perpindahan  panas.  Perpindahan  panas  adalah  proses  berpindahnya  panas  dari benda/materi  yang  mempunyai  temperatur  tinggi  ke  benda/materi  temperatur  lebih rendah.  Para  ahli  ilmu  fisika  sepakat  bahwa  perpindahan  panas  dapat  terjadi  melalui  3 (tiga)  cara  yang  berlainan,  yaitu  cara  konduksi,  konveksi  dan  radiasi.  Proses  perpindahan panas  secara  konduksi  (selanjutnya  disebut  perpindahan  panas  konduksi  saja)  pada
1 Program  Pendidikan Matematika  IKIP  PGRI  Semarang
prinsipnya  adalah  suatu  proses  yang  jika  dua  benda/materi  atau  dua  bagian  benda/materi temperaturnya  disentuhkan  dengan  yang  lainnya  maka  akan  terjadilah  perpindahan panas (Kreith,  2005).
Dalam  bahasan  ini  akan  didapatkan  suatu  persamaan  differensial  parsial  dari penjabaran  persamaan  dasar  perpindahan  panas  konduksi.  Persamaan  differensial  parsial tersebut  berada  pada  koordinat  kartesian  dimensi  1  (satu).  Tetapi  persamaan  differensial parsial  tersebut  akan  juga  melukiskan  untuk  suatu  penyelesaian  pada  sistem  2  (dua) dimensi  dan 3 (tiga)  dimensi.
Persamaan  dasar  perpindahan  panas  konduksi q k akan  diuraikan  kedalam  deret Taylor  untuk  suatu  titik  tertentu.  Hal  ini  dilakukan  karena  temperatur  merupakan  fungsi dari  jarak,  yaitu  fungsi  dari  koordinat-koordinat  yang  berubah-ubah  dari  satu  titik  ke  titik yang  lainnya.  Dari  titik  tertentu  kemudian  diberlakukan  untuk  sembarang  titik,  sehingga persamaan  tersebut  bisa  berlaku  secara  umum.  Melalui  asumsi-asumsi  yang  masih  dapat dibenarkan,  persamaan  differensial  parsial  akan  berlaku  secara  umum  dalam  koordinat kartesian.

## Konduksi  Panas
Proses  perpindahan  panas/energi  melalui  suatu  media  zat  padat  atau  cair  yang terjadi  karena  kontak  langsung  diantara  partikel-pertikel  yang  mempunyai  perbedaan temperatur  disebut  dengan  konduksi  panas.  Menurut  teori  kinetik,  temperatur  suatu elemen  zat  adalah  sebanding  dengan  energi  kinetik  rata-rata  dari  molekul-molekul  yang membentuk  elemen  tersebut  (Kreith,  2005).  Perbedaan  temperatur  diantara  dua  daerah lokal  dalam  zat  sebenarnya  adalah  manifestasi  dari  keadaan  dimana  energi  kinetik  rata- rata  dari  molekul-molekul  daerah  lokal  yang  satu  lebih  tinggi  dari  energi  kinetik  rata-rata molekul- molekul  daerah  lokal  yang  kedua.(Kreith,  2005).
Persamaan  dasar  perpindahan  panas  konduksi  menyatakan  bahwa  :  laju perpindahan  panas  konduksi  satu  dimensi  dalam  keadaan setimbang  adalah  :
dx dT kA q k   ..........(1)
dimana,    k :  konduktivitas  termal  bahan
A : luas  penampang  bahan  yang  diukur  tegak lurus terhadap  arah  lintasa  panas.
dx dT : gradien  temperatur  ke arah perpindahan  panas
Tanda  “  –  “  (negatif)  adalah  untuk  memenuhi  hukum  termodinamika  pertama yang  menyatakan  bahwa  panas  merupakan  energi  dalam  transit  yang  mengalir  dari tempetarur  tinggi  ke  tempat  temperatur  rendah  (Holman,  2006).  Jadi  aliran  panas  adalah positif  jika  gradien  temperatur  negatif.
Gambar  1. Sketsa gradien  temperatur  dari  laju  perubahan  temperatur  T terhadap  jarak dalam  arah  aliran  panas  pada sumbu  x.

## Penjabaran  Persamaan  Konduksi  Panas
Tinjau  suatu  elemen  kecil  dalam  suatu  benda  padat.  Elemen  ini  berbentuk  seperti kubus  pada  koordinat  kartesian.  Panjang  sisi-sisi  benda  tersebut  adalah  :  ∆z,  ∆r  dan  ∆ 
(Gerald,  2005). Gambar  benda tersebut  seperti  terlihat  berikut  ini. O T=T(x) dx dT   T X
Gambar  2. Sketsa yang  melukiskan  suatu  elemen  untuk  penurunan persamaan  konduksi  panas  secara umum  pada koordinat  kutub (silindris).
Elemen  luas  ABCD = ½ (r + ∆r) 2 ∆  - ½ r 2 ∆  , sehingga  harga  limitnya  dL = r dr d 
Elemen  volume  ABCD.EFGH,  harga  limitnya,  dV = r dr d  dz .
Menurut  Kreith  (2005),  untuk  memperoleh  persamaan  distribusi  temperatur, dituliskan  persamaan  keseimbangan  energi  bagi  masing-masing  elemen  selama  waktu singkat  ∆t sebagai  berikut  :
Jika  persamaan  keseimbangan  diatas  dituliskan  secara aljabar  akan menjadi  :
( q z + q r + q  ) ∆t +   ( r  ∆z  ∆r  ∆  ) =
( q z+ ∆ z + q r+ ∆ r + q  + ∆  )   + c  ∆ T ( r ∆ z ∆ r ∆  )                                 ..........(2) Aliran  panas yang masuk  selama  ∆t Perubahan  dari energi-dalam selama  ∆t Aliran  panas yang Keluar  selama  ∆t Panas yang  dicetuskan  oleh sumber  panas-dalam  selama  ∆t + + = Z H G F E D C B A z z   r     r  z  r     r) (r
Panas  konduksi  persatuan  waktu  yang  masuk  kedalam  elemen  pada  arah  z,  r  dan 
sesuai  dengan  persamaan  laju  perpindahan  panas  konduksi  (1),  masing-masing  harga limitnya  adalah  :
) d dr )( (  r z T k q z     ..........(3) ) dz d )( (  r r T k q r     ..........(4) ) d dr )( ( z T k q       ..........(5)
Menurut  Gerald  (2005),  jika  q z dideretkan  menurut  deret  Taylor  disekitar  z  =  z o , maka akan diperoleh  :
..... ! 3 ) z - (z ! 2 ) z - (z q ) z - (z q '' ' 3 o '' 2 o ' o z o o z      o z o z z q q q
Untuk  z – zo = dz, persamaan  diatas  dapat ditulis  kembali  menjadi  :
.... ! 3 z ! 2 dz q dz q q '' ' 3 '' 2 ' o z o z o z       o z o z dz q q
Secara umum  persamaan  tersebut  dapat ditulis  menjadi  :
.... ! 3 z ! 2 dz q dz q q '' ' 3 '' 2 ' z z z       z z dz q q atau ) O(dz q dz q q 2 ' z z z     dz
dimana  derajat  residu  O(dz 2 )  dapat  diabaikan  untuk  dz  yang  sangat  kecil,  sehingga diperoleh  persamaan  pendekatan  :
' z z z q dz q q    dz
atau ' z z z q dz - q - q   dz ' z q z dz -    z dz -           ) d dr )( (  r z T k
= dz d dr 2 2  r z T k   ..........(6)
Dengan  cara  yang  sama,  akan  diperoleh  juga  selisih  laju  perpindahan  panas  konduksi masing- masing  pada arah  r dan  sebagai  berikut  :
' r r r q dr - q - q   dr ' r q r dr -    r dr -           ) dz d )( (  r r T k = d dz dr dr dz d 2 2   r T k r r T k     
..........(7)
dan ' q d - q - q
       d ' q d -            d -        ) d dr )( ( z r T k  = dz d dr 2 2     r T k
..........(8)
Jika  persamaan  (6),  (7)  dan  (8)  disubstitusikan  ke  persamaan  keseimbangan  energi  (2), maka  diperoleh  :
                    dt dz dr d r 2 2 2 2 2 2   k r T r T r T z T r dz) dr d (r dT c dt) dz d dr (r     q  t T k c k q r 1 r 2 2 2 2 2 2                           r T r T r T z T r
atau
t T k c k q r 1 2 2 2 2 2 2 2                           r T r T r T z T ..........(9)
dimana  :  c = kapasitas  panas  yang  dianggap  tak tergantung  pada temperatur.
 = massa  jenis  elemen  yang  dianggap  tak tergantung  pada temperatur.
Jika  k  dianggap  homogen,  maka  persamaan  umum  konduksi  panas  yang didalamnya  ada sumber  panas q adalah  :
t T a 1 k q 1 r 1 2 2 2 2 2 2 2                 r T r r T T z T  ……….(10)
dimana  :  c k  a (difusivitas  thermal)
Jika  sistem  dalam  keadaan  setimbang/stasioner  (tidak  tergantung  oleh  waktu), maka  persamaan  konduksi  panas menjadi  :
0 k q r 1 r 1 2 2 2 2 2 2 2               z T r T T z T  ..........(11)
Jika  sistem  dalam  keadaan  setimbang/statisioner  dan  tanpa  sumber  panas  q  maka persamaan  konduksi  panas  menjadi  :
0 r 1 r 1 2 2 2 2 2 2 2             z T r T T z T  ..........(12)

## PENUTUP
Dari  uraian/pembahasan  persamaan  umum  konduksi  panas  secara  analitis tersebut,  dilakukan  asumsi-asumsi  yang  masih  dapat  dibenarkan,  sehingga  hasil  yang diperoleh  juga  diharapkan  bisa  berlaku  secara umum.
Persamaan  umum  konduksi  panas  masih  bisa  dijabarkan  ke  dalam  koordinat- koordinat  kartesian  atau  bola  (eliptik),  asalkan  kita  dapat  menterjemahkan  gejala-gejala fisis  ke dalam  bentuk  matematis.

## DAFTAR   PUSTAKA
Gerald,  C.F. 2005. Applied Numerical Analysis . Addison-Wesley  Publishing  Company.
Holman,  J.P. 2006. Perpindahan Panas . Penerbit  Erlangga.  Jakarta.
Kreith,  F. 2005. Principles  Heat Transfer . Harper & Row Publisher.