## PROYEKSI GEOMETRI FUZZY PADA RUANG

## Muhammad Izzat Ubaidillah
Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: IzzatBja@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Geometri fuzzy merupakan  perkembangan  dari  geometri  tegas,  yang  mana  pada  geometri  tegas unsur-unsurnya  hanya  ada  dan  tidak  ada,  akan  tetapi  pada  geometri fuzzy unsur-unsur  tersebut berkembang dengan ketebalan yang dimiliki oleh masing-masing unsur tersebut. Proyeksi geometri tegas merupakan pembentukan bayangan suatu unsur geometri yang diproyeksikan terhadap unsur proyektor, dengan  sifat  tegak  lurus  yang  diwakili  oleh  masing-masing  unsurnya,  pembahasannya  difokuskan  pada koordinat  hasil  proyeksi.  Sedangkan  proyeksi  geometri fuzzy mempunyai  pembahasan  yang  lebih  luas, yang  mencakup  tentang  koordinat  hasil  proyeksi,  keeratan  relasi  masing-masing  unsur  dan  ketebalan masing-masing  unsur  tersebut.  Penelitian  ini  dilakukan  untuk  mendeskripsikan  dan  menganalisis prosedur  proyeksi  geometri fuzzy pada  ruang  serta  menjelaskan  perbedaan  antara  proyeksi  geometri tegas dan proyeksi geometri fuzzy pada ruang.
Kata kunci : Geometr Fuzzy, Proyeksi Geometri Fuzzy, Relasi Fuzzy.

## ABSTRACT
Fuzzy geometry  is  an  outgrowth  of  crisp  geometry,  which  in  crisp  geometry  elements  are  exist and not  exist,  but also  while on fuzzy geometry  elements are  developed  by thickness which is owned  by each  of  these  elements.  Crisp  projective  geometries  is  the  formation  of  a  shadow  of  geometries  element projected  on  the  projectors  element,  with  perpendicular  properties  which  are  represented  by  their respective elemental, the discussion focused on the results of the projection coordinates. While the fuzzy projective geometries have richer discussion, which includes about coordinates of projection results, the mutual  relation  of  each  element  and  the  thickness  of  each  element.  This  research  was  conducted  to describe  and  analyzing  procedure fuzzy projective  geometries  on  the  plane  and  explain  the  differences between crisp projective geometries and fuzzy projective geometries on plane.
Keywords: Fuzzy Geometry, Fuzzy Relations, Fuzzy Projection Geometries

## PENDAHULUAN
Teori himpunan fuzzy merupakan perluasan  dari  teori  himpunan  tegas.  Pada  teori himpunan  tegas,  keberadaan  suatu  elemen  pada suatu  himpunan hanya  akan  memiliki  dua kemungkinan keanggotaan, yaitu menjadi anggota atau  tidak  menjadi  anggota .  Suatu nilai  yang  menunjukkan  seberapa  besar  tingkat keanggotaan  suatu  elemen dalam  suatu himpunan ,  sering  dikenal  dengan  nama derajat  keanggotaan  dinotasikan  dengan
.
Pada  himpunan  tegas,  hanya  ada  dua  nilai keanggotaan, yaitu
1 untuk anggota , dan
0 untuk bukan  anggota . Himpunan fuzzy didasarkan  pada  gagasan  untuk memperluas  jangkauan  fungsi  keanggotaan sedemikian hingga fungsi stersebut akan mencakup  bilangan real pada  interval 0,1 , dengan  demikian  menunjukkan  bahwa  derajat keanggotaan  suatu  elemen dalam  suatu himpunan tidak  hanya  ada 0 dan 1 ,  namun juga nilai yang terletak di dalamnya (Kusumadewi, 2002). Berdasarkan teori tersebut,
titik  dan  garis  yang  pada  geometri  tegas  hanya ada  dan  tidak  ada,  maka  dalam  geometri fuzzy akan  berkembang,  titik  dan  garis  tidak  hanya direpresentasikan  dengan  ada  dan  tidak  ada, tetapi  berkembang  dengan  ketebalan  yang berbeda.

## KAJIAN TEORI

## A. Proyeksi Geometri Tegas
Pembahasan  proyeksi  tegas  pada  ruang terdiri dari tiga poin, yaitu proyeksi titik ke garis, titik ke bidang, dan proyeksi garis ke bidang.
1. Proyeksi Titik ke Garis
Proyeksi titik ke garis merupakan pembentukan  bayangan  suatu  titik  terhadap suatu  garis  proyektor,  dengan  syarat  garis hubung titik dengan titik hasil proyeksinya harus tegak  lurus  dengan  garis  proyektor.  Sedangkan hasil  proyeksi  yang  berupa  bayangan  titik tersebut  dapat  ditemukan  koordinatnya,  dengan diketahui koordinat titik yang diproyeksikan dan persamaan garis proyektornya.
Gambar 1. Proyeksi Titik ke Garis

## 2. Proyeksi Titik ke Bidang
Proyeksi  titik  ke  bidang  merupakan pembentukan  bayangan  suatu  titik  terhadap suatu  bidang  proyektor,  dengan  syarat  garis hubung titik dengan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang  proyektor.  Sedangkan hasil  proyeksi  yang  berupa  bayangan  titik tersebut  dapat  ditemukan  koordinatnya,  dengan diketahui koordinat titik yang diproyeksikan dan persamaan bidang proyektornya.

## Gambar 2. Proyeksi Titik ke Bidang

## 3. Proyeksi Garis ke Bidang
Proyeksi  garis  ke  bidang  merupakan pembentukan bayangan suatu garis yang diproyeksikan terhadap bidang proyektor, dengan  sifat  tegak  lurus  yang  diwakili  oleh masing-masing unsurnya.
Pada  proyeksi  garis  ke  bidang  terdapat tiga kemungkinan, yaitu garis yang diproyeksikan tegak  lurus  dengan  bidang  proyektor,  garis  yang diproyeksikan  sejajar  dengan  bidang  proyektor, dan  garis  yang  diproyeksikan  tidak  tegak  lurus dan tidak sejajar dengan bidang proyektor.
Gambar 3. Proyeksi Garis yang Tegak Lurus dengan Bidang Proyektor
Proyeksi  garis  ke  bidang,  dimana  garis yang  di  proyeksikan  saling  tegak  lurus  dengan bidang.  Proyeksinya  diwakili  titik,  dan  hasilnya juga berupa titik bukan berupa garis.
Kemungkinan proyeksi ini terjadi jika garis saling tegak  lurus  dengan  setiap  garis  pada  bidang (Krismanto, 2008).
Gambar 4. Proyeksi Garis yang Sejajar dengan Bidang Proyektor
Proyeksi  garis  ke  bidang,  dimana  garis yang  diproyeksikan  sejajar  dengan  bidang proyektor,  proyeksi  ini  terjadi  bila  garis  dan bidang  tidak  mempunyai  titik  potong.  Hasil proyeksi  ini  didapatkan  misalnya  titik  A  dan  B terletak  pada  garis,  titik  A’  dan  B’  merupakan proyeksi  titik  A  dan  B  pada  bidang.  Ruas  garis A’B’ adalah proyeksi garis pada bidang.
Gambar 5. Proyeksi Garis yang Tidak Tegak Lurus dan Tidak Sejajar dengan Bidang Proyektor
Proyeksi  garis  ke  bidang,  dimana  garis yang  diproyeksikan  tidak  saling  tegak  lurus  dan tidak  sejajar  dengan  bidang  proyektor.  Untuk hasil proyeksinya  diwakili titik dan titik dan hasilnya  berupa  titik ’  dan  titik ’  yang  apabila dihubungkan  menjadi  garis ’ ’ .  Kemungkinan ini  terjadi  jika  terdapat  garis  tidak  tegak  lurus dengan  bidang,  serta  garis  menembus  bidang (Krismanto, 2008).

## B. Teori Himpunan Fuzzy
Menurut  Kusumadewi  dkk  (2006),  teori himpunan fuzzy merupakan  kerangka  matematis yang digunakan untuk mempresentasikan ketidakpastian,  dan  ketidakjelasan  karena  nilai kebenarannya  tidak  hanya  bernilai  benar  atau salah.  Nilai  0  menunjukkan  salah,  dan  nilai  1 menunjukkan  benar  dan  masih  ada  nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah.
Secara matematis suatu himpunan fuzzy dalam  semesta  pembicaraan dapat  dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut | | dimana adalah  fungsi  keanggotaan  dari himpunan fuzzy ,  yang  merupakan  suatu
pemetaan  dari  himpunan  semesta ke  selang tertutup 0 , 1 (Susilo, 2006). Apabila  semesta adalah  himpunan  yang kontinu,  maka  himpunan fuzzy dinyatakan dengan

## |
Dimana  lambang di  sini  bukan  lambang integral  seperti  yang  dikenal  dalam  kalkulus, tetapi  melambangkan  keseluruhan  unsur-unsur bersama  dengan  derajat  keanggotaannya dalam  himpunan fuzzy .  Apabila  semesta adalah  himpunan  yang  diskrit,  maka  himpunan fuzzy dinyatakan dengan

## |
Dimana lambang Σ di sini tidak melambangkan  operasi  penjumlahan  seperti yang dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan  keseluruhan  unsur-unsur bersama  dengan  derajat  keanggotaannya  dalam himpunan fuzzy .
Terdapat tiga oprasi dasar pada himpunan fuzzy ,yaitu  operasi  irisan (Intersection), operasi Gabungan (union) , dan
operasi tidak (complement).
Operasi irisan berhubungan dengan operasi  interseksi  pada  himpunan  tegas. - predikat  sebagai  hasil  operasi  dengan  operator “Dan” diperoleh dengan mengambil nilai keanggotaan terkecil antar element pada himpunan-himpunan yang bersangkutan.
Ditunjukkan  sebagai
adalah  suatu fuzzy
subset dari sehingga
dan  derajat keanggotaannya
min

## ,
Operasi  gabungan  berhubungan  dengan operasi  union  pada  himpunan  tegas. -predikat sebagai  hasil  operasi  dengan  operator  “Atau” diperoleh  dengan  mengambil  nilai  keanggotaan terbesar antar element pada himpunan- himpunan yang bersangkutan. Ditunjukkan sebagai ! adalah suatu fuzzy subset " dari sehingga "     ! dan derajat keanggotaannya
! maks
,
Operasi tidak berhubungan dengan operasi  komplemen  pada  himpunan  tegas. - predikat  sebagai  hasil  operasi  dengan  operator “Tidak”  diperoleh  dengan  mengurangkan  nilai keanggotaan  elemen  pada  himpunan  yang bersangkutan  dari  1.  Ditunjukkan  sebagai  A’  (a komplemen) dan derajat keanggotaannya
1 #
C. Relasi Fuzzy Relasi fuzzy $% antara  elemen-elemen dalam  himpunan dengan  elemen–elemen dalam himpunan & didefinisikan sebagai himpunan bagian fuzzy
dari perkalian cartesius ' & , yaitu himpunan fuzzy
$%  ,  | ( ,  |,     ' &
Relasi fuzzy $% disebut  juga  relasi fuzzy pada  himpunan  (semesta) ' & .  Jika & , maka $% disebut relasi fuzzy pada himpunan . Relasi  tegas  hanya  menyatakan  adanya atau  tidak  adanya  hubungan  antara  elemen- elemen  dari  suatu  himpunan  dengan  elemen- elemen  dari  himpunan  lainnya,  sedangkan  relasi fuzzy lebih luas dari itu, karena juga menyatakan derajat keeratan hubungan relasi tersebut.

## PEMBAHASAN
A. Geometri Fuzzy
Proyeksi geometri fuzzy merupakan pengembangan  dari  proyeksi  geometri  tegas dengan  himpunan fuzzy yang  didefinisikan sebagai berikut:
Misal ) * , * , + * merupakan  suatu  titik di  koordinat  ruang $ , , )%  -)| *% . himpunan fuzzy di ) , jadi )%  - * , *, + * | *% . dinamakan titik fuzzy , misal / 0 1 2 1 2 1 +  "
3 2 3 2 3 +  " 4
merupakan  suatu  persamaan  garis  di koordinat  ruang $ , , /5  -/| 65 . himpunan fuzzy di / , jadi /5  0 1 2 1 2 1 +  " 3 2 3 2 3 +  " | 65 7 dinamakan garis fuzzy, dan misal 8 9  2   2 +  " merupakan persamaan
bidang dikoordinat  ruang $ , , 8%  -8| :; . himpunan fuzzy di 8 ,  jadi 8%  - 2   2 +  " | :; . dinamakan bidang fuzzy .

## B. Proyeksi Geometri Fuzzy
1. Proyeksi Titik Fuzzy pada Garis Fuzzy
Gambar 6. Proyeksi Titik Fuzzy pada Garis Fuzzy
Misal  sebuah  titik fuzzy )% < , < , + < | <5 diproyeksikan terhadap garis fuzzy /5 9 =0 1 2 1 2 1 + 2 "  0
3 2 3 2 3 + 2 "  0 4 | 65 > , untuk mengetahui hasil proyeksinya, dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Pertama,
Diberikan
titik
fuzzy )% < , < , + < ? <5 sebagai
unsur
yang diproyeksikan dan garis fuzzy /5 9 =0 1 2 1 2 1 + 2 "  0 3 2 3 2 3 + 2 "  0 4 | 65 >
sebagai unsur proyektor.
Kedua,  dicari  koordinat  hasil  proyeksi tegas  titik fuzzy )% < , < , + < | *% terhadap  garis fuzzy
/5 9 =0 1 2 1 2 1 + 2 "  0
3 2 3 2 3 + 2 "  0 4 | 65 > ,
yang  didefinisikan  dengan @% < pada  garis /5 . Selanjutnya  mencari  jarak  antara  titik )% dengan titik @% < ,  setelah  itu  mencari  jarak  antara  titik fuzzy )% dengan titik fuzzy @% A (titik-titik fuzzy pada garis fuzzy /5 , @% A /5 . Ketiga,  dicari  derajat  keanggotaan  relasi antara  titik fuzzy )% dengan  garis fuzzy /5 yang didefinisikan  dengan (% ,  dimana $% merupakan relasi  dari  titik fuzzy )% pada  garis fuzzy /5 , $% B )% ' /5 .
$%  C)%, @% A | (% )%, @% A |)%, @% A )% ' /5D
Pada  proyeksi  geometri fuzzy dari  titik fuzzy ke  garis fuzzy ,  hasil  proyeksi  tidak  hanya berupa  satu  titik fuzzy seperti  pada  proyeksi geometri tegas, akan tetapi semua titik fuzzy pada garis fuzzy proyektor dengan derajat keanggotaan  ketebalan  yang  dipengaruhi  oleh derajat keanggotaan global relasi fuzzy . Derajat  keanggotaan  relasi (% bisa diketahui dengan fungsi berikut:
(% )%, @% A E FG H FI 0 , 5
dimana J Jarak terdekat titik fuzzy )% pada @% < K A Jarak titik fuzzy )% pada @% A Derajat keanggotaan relasi tersebut merupakan representasi dari seberapa besar atau kuat relasi antara titik fuzzy )% dengan garis fuzzy /5 ,  dengan  berasumsi  jika  jarak  antara  titik fuzzy )% dengan @% A /5 semakin  dekat,  maka  kekuatan
(% semakin  besar.  Sedangkan  jika  jarak  antara titik fuzzy )% dengan @% A semakin  jauh  maka berlaku  sebaliknya.  Akan  tetapi,  kekuatan  relasi tersebut masih berada dalam interval 0,1 . Relasi  tersebut  dapat  digambar  ke  dalam tabel berikut.
Tabel 1. Tabel Matrik Relasi Titik fuzzy )% dengan Garis fuzzy /5 , (% )%, @% A
$% @% <FL … @% <F 1 @% < )% (% )%, @% <FL … (% )%, @% <F1 (% )%, @% < $% @% <N1
… @% <NL
)% (% )%, @% <N1 … (% )%, @% <NL
Sumber: Djauhari, 1990:55
Sehingga  diperoleh  derajat  keanggotaan relasi  titik )% dengan  garis /5 (% )%, @% A sebagai berikut
(% )%, @% A -)%, @% <FL | ( ; )%, @% <FL , … , )%, @% <F1 | (% )%, @% <F1 , )%, @% < | (% )%, @% < , )%, @% <N1 | (% )%, @% <N1 , …, )%, @% <NL | (% )%, @% <NL .
Keempat,  setelah  diketahui (% )%, @% A , dicari  hasil  perkalian  derajat  keanggotaan ketebalan titik yang diproyeksikan *% dan derajat keanggotaan  relasi (% )%, @% A ,  yang  didefinisikan dengan O )%, @% A .  Selanjutnya  mencari  derajat keanggotaan  ketebalan  masing-masing  titik  hasil proyeksi *P Q )%, @% A ,  yang  merupakan  irisan ( intersection ) dari O )%, @% A dengan 65 .
* R Q )%, @% <FL min O )%, @% <FL , 65
V * R Q )%, @% <F1 min O )%, @% <F1 , 65 * R Q )%, @% <
min O )%, @% < , 65
* R Q )%, @% <N1 min O )%, @% <N1 , 65 V * R Q )%, @% <NL min O )%, @% <NL , 65
Jadi  didapatkan  hasil  proyeksi  yaitu berupa garis
fuzzy )W; 0 1 2 1 2 1 + 2 "  0 3 2 3 2 3 + 2 "  0 4 | *P Q ,  dengan  ko- ordinat  yang  sama  dengan  garis  proyektor /5 karena )W;  /5 , dan dengan * R Q sebagai berikut:
* R Q )%, @% A -)%, @% <FL | * R Q )%, @% <FL , …, X)%, @% <F1 Y * R Q )%, @% <F1 Z, )%, @% < | * R Q )%, @% < , )%, @% <N1 | * R Q )%, @% <N1 , …, )%, @% <NL | * R Q )%, @% <NL .
2. Proyeksi Titik Fuzzy pada Bidang Fuzzy
Gambar 7. Proyeksi Titik Fuzzy pada Bidang Fuzzy
Misal  sebuah  titik fuzzy )% < , < , + < | <5 diproyeksikan
terhadap bidang
fuzzy 8%  - 2   2 +  " | :; . ,  untuk  mengetahui hasil  proyeksinya,  dapat  dicari  dengan  langkah- langkah sebagai berikut:
Pertama,
Diberikan
titik
fuzzy
)% < , < , + < ? <5 sebagai
unsur
yang diproyeksikan  dan  bidang fuzzy 8%  - 2   2 +  " | :; . , sebagai unsur proyektor.
Kedua,  dicari  koordinat  hasil  proyeksi tegas  titik fuzzy )% < , < , + < | *% terhadap  bidang fuzzy 8%  - 2   2 +  " | :; . ,  yang  di- definisikan dengan @% < pada bidang 8% . Selanjutnya mencari  jarak  antara  titik )% dengan  titik @% < , setelah  itu  mencari  jarak  antara  titik fuzzy )% dengan  titik fuzzy @% A (titik-titik fuzzy pada  garis fuzzy 8% , @% A 8% .
Ketiga,  dicari  derajat  keanggotaan  relasi antara  titik fuzzy )% dengan  bidang fuzzy 8% yang didefinisikan  dengan (% ,  dimana $% merupakan relasi  dari  titik fuzzy )% pada  bidang fuzzy 8% , $% B )% ' 8% .
$%  C)%, @% A | (% )%, @% A |)%, @% A )% ' 8%D
Pada  proyeksi  geometri fuzzy dari  titik fuzzy ke  bidang fuzzy ,  hasil  proyeksi  tidak  hanya berupa  satu  titik fuzzy seperti  pada  proyeksi geometri tegas, akan tetapi semua titik fuzzy pada bidang fuzzy proyektor dengan derajat keanggotaan  ketebalan  yang  dipengaruhi  oleh derajat keanggotaan global relasi fuzzy . Derajat  keanggotaan  relasi (% bisa diketahui dengan fungsi berikut:
(% )%, @% A E FG H FI [,\
dimana J Jarak terdekat titik fuzzy )% pada @% < K A Jarak titik fuzzy )% pada @% A
Derajat keanggotaan relasi tersebut merupakan representasi dari seberapa besar atau kuat  relasi  antara  titik fuzzy )% dengan  bidang fuzzy 8% ,  dengan  berasumsi  jika  jarak  antara  titik
fuzzy )% dengan @% A 8% semakin  dekat,  maka kekuatan (% semakin besar. Sedangkan jika jarak antara titik fuzzy )% dengan @% A semakin jauh maka berlaku  sebaliknya.  Akan  tetapi,  kekuatan  relasi tersebut masih berada dalam interval 0,1 . Relasi  tersebut  dapat  digambar  ke  dalam tabel berikut
Tabel 2. Tabel Matrik Relasi Titik fuzzy )% dengan Bidang fuzzy 8% , (% )%, @% A
$% @% <FL ] … @% <F1 ] @% < )% (% )%, @% <FL ] … (% )%, @% <F1 ] (% )%, @% < $% @% <N1 ] … @% <NL ] )% (% )%, @% <N1 ]
… (% )%, @% <NL ] Sumber: Djauhari, 1990:55
Sehingga  diperoleh  derajat  keanggotaan relasi  titik )% dengan  bidang 8% (% )%, @% A sebagai berikut
(% )%, @% A -)%, @% <FL ] | ( ; )%, @% <FL ] , … , )%, @% <F1 ] | (% )%, @% <F1 ] , )%, @% < | (% )%, @% < , )%, @% <N1 ] | (% )%, @% <N1 ] , …,
)%, @% <NL ] | (% )%, @% <NL ] .
Keempat,  setelah  diketahui (% )%, @% A , dicari  hasil  perkalian  derajat  keanggotaan ketebalan titik yang diproyeksikan *% dan derajat keanggotaan  relasi (% )%, @% A ,  yang  didefinisikan dengan O )%, @% A .  Selanjutnya  mencari  derajat keanggotaan  ketebalan  masing-masing  titik  hasil proyeksi *P Q )%, @% A ,  yang  merupakan  irisan ( intersection ) dari O )%, @% A dengan :; .
* R Q )%, @% <FL ] min O )%, @% <FL ] , 65 V
* R Q )%, @% <F1 ] min O )%, @% <F1 ] , 65 * R Q )%, @% < min O )%, @% < , 65 * R Q )%, @% <N1 ] min O )%, @% <N1 ] , 65 V * R Q )%, @% <NL ] min O )%, @% <NL ] , 65
Jadi  didapatkan  hasil  proyeksi  berupa bidang fuzzy ) P ;  - 2   2 +  " | *P Q . , dengan  koordinat  yang  sama  dengan  bidang proyektor 8% karena )W;  8% ,  dan  dengan
* R Q sebagai berikut:
* R Q )%, @% A -)%, @% <FL ] | * R Q )%, @% <FL ] , …, X)%, @% <F1 ] Y * R Q )%, @% <F1 ] Z,
)%, @% < | * R Q )%, @% < , )%, @% <N1 ] | * R Q )%, @% <N1 ] , …, )%, @% <NL ] | * R Q )%, @% <NL ] .
3. Proyeksi Garis Fuzzy pada Bidang Fuzzy
Pada  proyeksi  geometri fuzzy pada  garis fuzzy pada  bidang fuzzy ,  sama  halnya  pada proyeksi  geometri  tegas  yaitu  terdapat  tiga bentuk  proyeksi  diantaranya  garis fuzzy yang diproyeksikan  tegak  lurus  dengan  bidang fuzzy proyektor, garis fuzzy yang diproyeksikan sejajar dengan  bidang fuzzy proyektor,  dan  garis fuzzy yang diproyeksikan tidak sejajar dan tidak saling tegak lurus dengan bidang fuzzy proyektor.
a. Proyeksi Garis Fuzzy ^_ pada Bidang Fuzzy `; Jika Garis ^_ Saling Tegak Lurus dengan Bidang `;
Gambar 8. Proyeksi Garis Fuzzy /5 pada Bidang Fuzzy 8% yang Saling Tegak Lurus
Misal  sebuah  garis fuzzy /5 diproyeksikan terhadap  bidang fuzzy 8% , untuk mengetahui hasil proyeksinya,  dapat  dicari  dengan  langkah- langkah sebagai berikut:
Pertama,  diberikan  garis fuzzy /5 sebagai unsur  yang  diproyeksikan  dan  bidang fuzzy 8% , sebagai unsur proyektor.
Kedua,  dicari  koordinat  hasil  proyeksi tegas garis fuzzy /5 terhadap bidang fuzzy 8% , yang di-definisikan  dengan @% < pada  bidang 8% . Selanjutnya  mencari  jarak  antara  titik /5 < yang mana titik /5 < /5 dan /5 < merupakan titik dengan jarak  terdekat  dengan  titik @% < ,  setelah  itu mencari  jarak  antara  titik /5 A /5 dengan  titik fuzzy @% A (titik-titik fuzzy pada  bidang fuzzy 8% , @% A 8% .
Ketiga,  dicari  derajat  keanggotaan  relasi antara  titik / a _  /5 dengan  bidang fuzzy 8% yang didefinisikan  dengan (% ,  dimana $% merupakan relasi dari titik-titik fuzzy pada /5 terhadap bidang fuzzy 8% , $% B /5 ' 8% .
$%  C/5 A , @% A | (% /5 A , @% A |/5 A , @% A /5 ' 8%D
Pada  proyeksi  geometri fuzzy dari  garis fuzzy pada  bidang fuzzy ,  hasil  proyeksi  tidak
hanya  berupa  satu  titik fuzzy seperti  pada proyeksi  geometri  tegas,  akan  tetapi  semua  titik fuzzy pada bidang fuzzy proyektor dengan derajat keanggotaan  ketebalan  yang  dipengaruhi  oleh derajat keanggotaan global relasi fuzzy . Derajat  keanggotaan  relasi (% bisa diketahui dengan fungsi berikut:
(% )%, @% A E FG H FI [,\
dimana J Jarak terdekat garis /5 pada bidang 8%
K A Jarak titik
/5 dengan @% A
Derajat keanggotaan relasi tersebut merupakan representasi dari seberapa besar atau kuat  relasi  antara  titik fuzzy /5 A dengan  bidang fuzzy 8% ,  dengan  berasumsi  jika  jarak  antara  titik fuzzy /5 A dengan @% A 8% semakin  dekat,  maka kekuatan (% semakin besar. Sedangkan jika jarak antara titik fuzzy /5 A dengan @% A semakin juah, maka berlaku  sebaliknya  yaitu  kekuatan (% semakin kecil,  akan  tetapi  kekuatan  masing-masing  relasi tersebut masih berada pada interval [0, 1].
Relasi  tersebut  dapat  digambar  ke  dalam tabel berikut
Tabel  3. Tabel  Matriks  Relasi  Garis Fuzzy /5 dengan Bidang Fuzzy 8% , /5 Tegak Lurus 8% ,
(% /5 A , @% A
$% @% <FL H
… @% <F1
@% < /5 1 (% /5 1 , @% <FL H … (% /5 1 , @% <F1 (% /5 1 , @% <
/5 3 (% /5 3 , @% <FL H … (% /5 3 , @% <F1 (% /5 3 , @% < /5 , (% /5 , , @% <FL H … (% /5 , , @% <F1 (% /5 , , @% < V V
V V
/5 L (% /5 L , @% <FL H … (% /5 L , @% <F1 (% /5 L , @% <
$% @% <N1 … @% <FL H /5 1 (% /5 1 , @% <N1 … (% /5 1 , @% <FL H /5 3 (% /5 3 , @% <N1 … (% /5 3 , @% <FL H /5 , (% /5 , , @% <N1 … (% /5 , , @ <FL H V V V /5 L (% /5 L , @% <N1 … (% / L , @% <FL H Sumber: Djauhari, 1990:55
Sehingga  diperoleh  derajat  keanggotaan relasi  garis fuzzy /5 pada  bidang fuzzy 8% dengan (% /5, @% A sebagai berikut:
(% /5, @% A -/5, @% <FL H | ( ; /5, @% <FL H , …, /5, @% <F1 | (% /5, @% <F1 , /5, @% < | (% /5, @% < ,
/5, @% <N1 | (% /5, @% <N1 , …, /5, @% <NL H | (% /5, @% <NL H .
Keempat,  setelah  diketahui (% /5, @% A , dicari  hasil  perkalian  derajat  keanggotaan ketebalan titik yang diproyeksikan 65 dan derajat keanggotaan  relasi (% /5, @% A ,  yang  didefinisikan dengan O /5, @% A .  Selanjutnya  mencari  derajat keanggotaan  ketebalan  masing-masing  titik  hasil proyeksi 6P k /5, @% A ,  yang  merupakan  irisan ( intersection ) dari O /5, @% A dengan :; .
6 R Q /5, @% <FL H
min O /5, @% <FL H , :;
V 6 R Q /5, @% <F1
min O /5, @% <F1 , :;
6 R Q /5, @% <
min O /5, @% < , :; 6 R Q /5, @% <N1 min O /5, @% <N1 , :; V 6 R Q /5, @% <NL H
min O /5, @% <NL H , :;
Jadi  didapatkan  hasil  proyeksi  berupa bidang /W;  8% dengan / P ; 9 l 2   2 + 2 "  0Y 6 R Q m dengan  koordinat  yang  sama  dengan  bidang proyektor 8% , dan dengan 6 R Q sebagai berikut:
6 R Q /5, @% A -/5, @% <FL H | 6 R Q /5, @% <FL H , …,
/5, @% <F1 | 6 R Q /5, @% <F1 , /5, @% < | 6 R Q /5, @% < , /5, @% <N1 | 6 R Q /5, @% <N1 , …,
/5, @% <NL H | 6 R Q /5, @% <NL H .
b. Proyeksi Garis Fuzzy ^_ pada Bidang Fuzzy `; Jika  Garis ^_ Saling  Sejajar  dengan Bidang `;
Gambar 9. Proyeksi Garis Fuzzy /5 pada Bidang Fuzzy 8% yang Saling Sejajar
Misal  sebuah  garis fuzzy /5 diproyeksikan terhadap  bidang fuzzy 8% , untuk mengetahui hasil proyeksinya,  dapat  dicari  dengan  langkah- langkah sebagai berikut:
Pertama,  diberikan  garis fuzzy /5 sebagai unsur  yang  diproyeksikan  dan  bidang fuzzy 8% , sebagai unsur proyektor.
Kedua,  dicari  jarak  terdekat  antara  garis fuzzy /5 dengan  bidang fuzzy 8% ,  yang  dinotasikan J dengan syarat J merupakan panjang garis fuzzy
hubung /5 dengan bidang fuzzy 8% , dimana J tegak lurus  dengan  garis fuzzy /5 dan  bidang fuzzy 8% , setelah  itu  mencari  jarak  antara  titik /5 A /5 dengan titik fuzzy @% A (titik-titik fuzzy pada bidang fuzzy 8% , @% A 8% .
Ketiga,  dicari  derajat  keanggotaan  relasi antara  titik / a _  /5 dengan  bidang fuzzy 8% yang didefinisikan  dengan (% ,  dimana $% merupakan relasi dari titik-titik fuzzy pada /5 terhadap bidang fuzzy 8% , $% B /5 ' 8% .
$%  C/5 A , @% A | (% /5 A , @% A |/5 A , @% A /5 ' 8%D
Derajat  keanggotaan  relasi (% bisa diketahui dengan fungsi berikut:
(% )%, @% A E FG H FI [,\
dimana J Jarak terdekat garis /5 pada bidang 8%
K A Jarak titik
/5 dengan @% A
Derajat keanggotaan relasi tersebut merupakan representasi dari seberapa besar atau kuat  relasi  antara  titik fuzzy /5 A dengan  bidang fuzzy 8% ,  dengan  berasumsi  jika  jarak  antara  titik fuzzy /5 A dengan @% A 8% semakin  dekat,  maka kekuatan (% semakin besar. Sedangkan jika jarak antara titik fuzzy /5 A dengan @% A semakin juah, maka berlaku  sebaliknya  yaitu  kekuatan (% semakin kecil,  akan  tetapi  kekuatan  masing-masing  relasi tersebut masih berada pada interval [0, 1].
Relasi  tersebut  dapat  digambar  ke  dalam tabel berikut
Tabel  4. Tabel  Matriks  Relasi  Garis Fuzzy /5 dengan  Bidang Fuzzy 8% ,  dimana /5 Sejajar 8% , (% /5 A , @% A
$% @% <FL H
… @% <F1
@% < /5 1 (% /5 1 , @% <FL H … (% /5 1 , @% <F1 (% /5 1 , @% <
/5 3 (% /5 3 , @% <FL H … (% /5 3 , @% <F1 (% /5 3 , @% <
/5 , (% /5 , , @% <FL H … (% /5 , , @% <F1 (% /5 , , @% < V V
V V /5 L (% /5 L , @% <FL H … (% /5 L , @% <F1 (% /5 L , @% <
$% @% <N1
… @% <FL H /5 1 (% /5 1 , @% <N1
… (% /5 1 , @% <FL H /5 3 (% /5 3 , @% <N1
… (% /5 3 , @% <FL H
/5 , (% /5 , , @% <N1
… (% /5 , , @ <FL H V V V /5 L (% /5 L , @% <N1 … (% / L , @% <FL H Sumber: Djauhari, 1990:55
Sehingga  diperoleh  derajat  keanggotaan relasi  garis fuzzy /5 pada  bidang fuzzy 8% dengan (% /5, @% A sebagai berikut:
(% /5, @% A -/5, @% <FL H |1, … , /5, @% <F1 |1, /5, @% < |1, /5, @% <N1 |1, …, /5, @% <NL H |1.
dimana (% /5 A , @% A 1 ,  terjadi  ketika  relasi antara  titik fuzzy /5 A dan  titik fuzzy @% A bernilai sama  dimana K A J ,  sehingga  harga  maksimum dari (% /5 A , @% A yang  relatif  terhadap  variabel /5 A bernilai 1.
Keempat,  setelah  diketahui (% /5, @% A , dicari  hasil  perkalian  derajat  keanggotaan ketebalan titik yang diproyeksikan 65 dan derajat keanggotaan  relasi (% /5, @% A ,  yang  didefinisikan dengan O /5, @% A .  Selanjutnya  mencari  derajat keanggotaan  ketebalan  masing-masing  titik  hasil proyeksi 6P k /5, @% A ,  yang  merupakan  irisan ( intersection ) dari O /5, @% A dengan :; .
6 R Q /5, @% <FL H min 65 , :;
V
6 R Q /5, @% <F1 min 65 , :; 6 R Q /5, @% < min 65 , :; 6 R Q /5, @% <N1 min 65 , :; V 6 R Q /5, @% <NL H min 65 , :;
Jadi  didapatkan  hasil  proyeksi  yaitu berupa bidang /W;  8% dengan / P ; 9 l 2   2 + 2 "  0Y 6 R Q m dengan  koordinat  yang  sama  dengan  bidang proyektor 8% , dan dengan 6 R Q sebagai berikut:
6 R Q /5, @% A 65 :;
c. Proyeksi Garis Fuzzy ^_ pada Bidang Fuzzy `; Jika  Garis ^_ Tidak  saling  Tegak  Lurus dan Tidak Saling Sejajar
Gambar 10. Proyeksi Garis Fuzzy /5 pada Bidang Fuzzy 8% yang Tidak Saling Tegak Lurus  dan Tidak Saling Sejajar
Misal  sebuah  garis fuzzy /5 diproyeksikan terhadap  bidang fuzzy 8% , untuk mengetahui hasil proyeksinya,  dapat  dicari  dengan  langkah- langkah sebagai berikut:
Pertama,  diberikan  garis fuzzy /5 sebagai unsur  yang  diproyeksikan  dan  bidang fuzzy 8% , sebagai unsur proyektor.
Kedua,  dicari  jarak  terdekat  antara  garis fuzzy /5 dengan  bidang fuzzy 8% ,  yang  dinotasikan J dengan syarat J merupakan panjang garis fuzzy hubung /5 dengan bidang fuzzy 8% , dimana J tidak berpotongan  dengan  bidang fuzzy 8% .  Jika  garis fuzzy / berpotongan  dengan  bidang fuzzy 8% , maka J bernilai  0,  setelah  itu  mencari  jarak antara titik /5 A /5 dengan titik fuzzy @% A (titik-titik fuzzy pada bidang fuzzy 8% , @% A 8% .
Ketiga,  dicari  derajat  keanggotaan  relasi antara  titik / a _  /5 dengan  bidang fuzzy 8% yang didefinisikan  dengan (% ,  dimana $% merupakan relasi dari titik-titik fuzzy pada /5 terhadap bidang fuzzy 8% , $% B /5 ' 8% .
$%  C/5 A , @% A | (% /5 A , @% A |/5 A , @% A /5 ' 8%D
Derajat  keanggotaan  relasi (% bisa diketahui dengan fungsi berikut:
(% )%, @% A E FG H FI [,\
dimana J Jarak terdekat garis /5 pada bidang 8%
K A Jarak antara titik /5 dengan @% A
Derajat keanggotaan relasi tersebut merupakan representasi dari seberapa besar atau kuat  relasi  antara  titik fuzzy /5 A dengan  bidang fuzzy 8% ,  dengan  berasumsi  jika  jarak  antara  titik fuzzy /5 A dengan @% A 8% semakin  dekat,  maka kekuatan (% semakin besar. Sedangkan jika jarak antara titik fuzzy /5 A dengan @% A semakin juah, maka berlaku  sebaliknya  yaitu  kekuatan (% semakin kecil,  akan  tetapi  kekuatan  masing-masing  relasi tersebut masih berada pada interval [0, 1].
Relasi  tersebut  dapat  digambar  ke  dalam tabel berikut
Tabel  5. Tabel  Matriks  Relasi  Garis Fuzzy /5 dan Bidang Fuzzy 8% , dimana /5 Tidak Tegak Lurus dan Tidak Sejajar 8% , (% /5 A , @% A
$% @% <FL H … @% <F1
@% <
/5 1 (% /5 1 , @% <FL H … (% /5 1 , @% <F1 (% /5 1 , @% <
/5 3 (% /5 3 , @% <FL H … (% /5 3 , @% <F1 (% /5 3 , @% <
/5 , (% /5 , , @% <FL H … (% /5 , , @% <F1 (% /5 , , @% < V V
V V /5 L (% /5 L , @% <FL H … (% /5 L , @% <F1 (% /5 L , @% <
$% @% <N1
… @% <FL H /5 1 (% /5 1 , @% <N1
… (% /5 1 , @% <FL H
/5 3 (% /5 3 , @% <N1 … (% /5 3 , @% <FL H
/5 , (% /5 , , @% <N1 … (% /5 , , @ <FL H V
V
V /5 L (% /5 L , @% <N1 … (% / L , @% <FL H Sumber: Djauhari, 1990:55
Sehingga  diperoleh  derajat  keanggotaan relasi  garis fuzzy /5 pada  bidang fuzzy 8% dengan (% /5, @% A sebagai berikut:
(% /5, @% A -/5, @% <FL H | ( ; /5, @% <FL H , …,
/5, @% <F1 | (% /5, @% <F1 , /5, @% < | (% /5, @% < ,
/5, @% <N1 | (% /5, @% <N1 , …,
/5, @% <NL H | (% /5, @% <NL H .
Keempat,  setelah  diketahui
(% /5, @% A , dicari  hasil  perkalian  derajat  keanggotaan ketebalan titik yang diproyeksikan 65 dan derajat keanggotaan  relasi (% /5, @% A ,  yang  didefinisikan dengan O /5, @% A .  Selanjutnya  mencari  derajat keanggotaan  ketebalan  masing-masing  titik  hasil proyeksi 6P k /5, @% A ,  yang  merupakan  irisan ( intersection ) dari O /5, @% A dengan :; .
6 R Q /5, @% <FL H min O /5, @% <FL H , :;
V 6 R Q /5, @% <F1 min O /5, @% <F1 , :;
6 R Q /5, @% < min O /5, @% < , :; 6 R Q /5, @% <N1 min O /5, @% <N1 , :;
V
6 R Q /5, @% <NL H min O /5, @% <NL H , :;
Jadi  didapatkan  hasil  proyeksi  berupa bidang /W;  8% dengan / P ; 9 l 2   2 + 2 "  0Y 6 R Q m dengan  koordinat  yang  sama  dengan  bidang proyektor 8% , dan dengan 6 R Q sebagai berikut:
6 R Q /5, @% A -/5, @% <FL H | 6 R Q /5, @% <FL H , …,
/5, @% <F1 | 6 R Q /5, @% <F1 , /5, @% < | 6 R Q /5, @% < , /5, @% <N1 | 6 R Q /5, @% <N1 , …,
/5, @% <NL H | 6 R Q /5, @% <NL H .

## PENUTUP
Perbedaan  proyeksi  geometri  tegas  dan proyeksi  geometri fuzzy yaitu  pada  proyeksi geometri  tegas  unsur  yang  diproyeksikan  dan unsur proyektor hanya bersifat bivalue , yaitu ada dan tidak ada. Sedangkan pada proyeksi geometri fuzzy unsur  geometri  bersifat multivalue, dengan ketebalan  yang  yang  direpresentasikan  dengan derajat  keanggotaan  dalam  interval  [0,1].  Pada proyeksi  geometri fuzzy cenderung  lebih  global dibandingkan  dengan  proyeksi  geometri  tegas karena  pada  proyeksi  geometri  tegas  terdapat syarat tegak lurus antara unsur yang
diproyeksikan dengan unsur proyektor, sehingga hasil  proyeksi  terbatas  antara  ada  dan  tidak adanya  hasil  proyeksinya  pada  syarat  tersebut, sedangkan  pada  geometri fuzzy semua  anggota unsur  proyektor  dianggap  sebagai  hasil  dari unsur  yang  diproyeksikan  tersebut  dengan derajat  keanggotaan  ketebalan  tertentu.  Derajat keanggotaan ketebalan tersebut dipengaruhi oleh derajat  keanggotaan  kekuatan  relasi  antara unsur-unsur  yang  diproyeksikan  dan  unsur- unsur proyektor.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Alisah,  E.  &  Idris.  2009. Buku  Pintar Matematika. Jogjakarta: Mitra Pelajar.
[2] Casse,  R.  2006. Projective  Geometry  An Introduction. New  York:  Oxford  University Press Inc.
[3] Djauhari, M. 1990. Himpunan Fuzzy . Jakarta: Karunika Universitas Terbuka.
[4] Krismanto.  2008. Pembelajaran  Sudut  dan Jarak  dalam  Ruang  Dimensi  Tiga  di  SMA . Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika.
[5] Kusumadewi,  S.  2002. Analisis  &  Desain Sistem  Fuzzy  Menggunakan  Toolbox  Matlab . Yogyakarta: Graha Ilmu.
[6] Kusumadewi,  S.  dkk.  2006. Fuzzy Multi- Attribute  Decision  Making .  Yogyakarta: Graha Ilmu.
[7] Kusumadewi,  S.  &  Purnomo,  H.  2004. Aplikasi  Logika  Fuzzy  untuk  Pendukung Keputusan. Yogyakarta: Graha Ilmu.
[8] Larson,  R.  &  Edwards,  B.  H.  2010. Calculus . Belmont: Cengage Learning.
[9] Rich, B. 2002. Geometri . Jakarta: Erlangga
[10] Soebari.  1995. Geometri  Analitik .  Malang: FMIPA IKIP MALANG.
[11] Spiegel,  R.  M.  1999. Analisis  Vektor .  Jakarta: Erlangga.
[12] Stein,  K.  S.  &  Barchellos,  A.  1992. Calculus and Analytic Geometry . US: Mc.Graw Hill.
[13] Sundawa,  D.  2009. Teorema  Pythagoras  dan Garis-Garis pada Segitiga . (Online: http://www.crayonpedia.org/mw/BSE:Teor ema  Pythagoras  dan  Garis-Garis  pada Segitiga 8.1 (BAB 5). diakses 7 Mei 2012).
[14] Susilo, F. 2006. Himpunan  dan Logika Fuzzy serta  Aplikasinya .  Yogyakarta:  Graha  Ilmu.