## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Submit: 2 September 2022, Disetujui: 19 September 2022, Online: 21 Oktober 2022 Copyright ©2022 by C. T. Nadeak Diterbitkan oleh: Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo | Under the licence CC BY-NC 4.0

## Pelabelan Antiajaib Berdasarkan Jarak pada Operasi Perkalian Tensor Graf
Christyan Tamaro Nadeak 1 *
1 Program Studi Sains Data, Institut Teknologi Sumatera, Lampung Selatan 35365, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: christyan.nadeak@sd.itera.ac.id

## Abstrak
Misalkan = ( , ) adalah  graf  berorde n .  Misalkan : ( ) → {1,2, … , } merupakan  suatu bijeksi.  Untuk  sebarang  titik ∈ ,  jumlahan ∑ ( ) ∈ ( ) merupakan  bobot  dari  titik v dan dinotasikan  dengan ( ), dengan N(v) merupakan  himpunan  tetangga  buka  dari  titik v .  Jika ( ) ≠ ( ) untuk setiap pasangan titik berbeda x dan y , maka f merupakan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak. Jika suatu graf G memiliki pelabelan antiajaib berdasarkan jarak, maka G adalah graf  antiajaib  berdasarkan  jarak.  Penelitian  ini  membahas  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak untuk  perkalian  tensor  antara  dua  graf  lengkap.  Penelitian  ini  juga  membahas  mengenai  syarat cukup  untuk  suatu  graf  hasil  perkalian  antara  graf  beraturan  dan  graf  lengkap  merupakan  graf antiajaib berdasarkan jarak.
Kata Kunci: Pelabelan antiajaib berdasarkan jarak; Perkalian Tensor; Graf Lengkap

## Abstract
Let = ( , ) be a graph of order n. Let : ( ) → {1,2, … , } be a bijection. For any vertex ∈ ,  the  neighbor  sum ∑ ( ) ∈ ( ) is  called  the  weight  of  the  vertex    and  is  denoted  by ( ), where N(v) is the open neighborhood of . If ( ) ≠ ( ) for any two distinct vertices and , then f is called a distance antimagic labelling. If the graph G admits such a labelling, then G is  said  to  be  a  distance  antimagic  graph.  This  study  gives a  distance  antimagic  labelling  for tensor  product  of  two  complete  graph  and  sufficient  condition  so  that  the  tensor  product  of  a regular graph and complete graph is a distance antimagic graph.
Keywords: Distance Antimagic Labeling; Tensor Product; Complete Graph

## 1. Pendahuluan
Konsep  pelabelan  ajaib  berdasarkan  jarak  diperoleh  dari  suatu  pengamatan  mengenai konstruksi  dari  persegi  ajaib.  Sebuah  persegi  ajaib  dengan  sisi  n  merupakan  sebuah array × dengan setiap entrinya merupakan suatu susunan dari bilangan bulat {1, 2, 3, … , } , sehingga entri- entri  pada  setiap  baris,  setiap  kolom,  dan  diagonal  pada  persegi  ajaib  tersebut  memiliki  jumlahan yang sama. Termotivasi oleh pengamatan ini, Vilfred [1] pada tahun 1994 dalam tesis doktoralnya memperkenalkan konsep pelabelan sigma. Secara terpisah konsep ini dikenalkan juga oleh Miller, Rodgers,  dan  Simanjuntak  pada  tahun  2003  [2].  Pelabelan  ajaib  berdasarkan  jarak  dari  graf merupakan sebuah bijeksi ∶ ( ) → {1, 2, 3, … , | ( )|} yang memenuhi terdapat suatu konstanta , sehingga untuk setiap   in ( ) maka bobot dari titik , ( ) = ∑ ( ) = ∈ ( ) , dengan ( ) menyatakan himpunan titik yang bertetangga dengan  .
Dari  definisi  ini,  dapat  dilihat  bahwa  jika  suatu  graf memiliki  suatu  pelabelan  ajaib berdasarkan  jarak,  maka  komplemen  dari  graf  ,  yaitu ,  akan  memiliki  titik-titik  dengan bobot yang  berbeda.  Secara  khusus,  bobot  ini  akan  membentuk  suatu  barisan  aritmatika  dengan  suku pertama   dan beda = 1 . Arumugam dan Kamatchi [3] kemudian memperkenalkan konsep untuk nilai   yang lebih umum,  yaitu pelabelan ( , ) − antiajaib berdasarkan jarak. Beberapa hasil dari
penelitian  ini  diantaranya  dari  Kamatchi et  al [4]  yang  membuktikan  bahwa  hipergraf  memiliki pelabelan ( , ) − antiajaib berdasarkan jarak, kemudian Wijayanti et al [5] memberikan pelabelan ( , ) − antiajaib berdasarkan jarak untuk graf Petersen yang dipermumum.
Untuk konsep dan definisi yang lebih umum, yaitu setiap bobot titik yang berbeda namun tidak harus  membentuk  suatu  barisan  aritmatika,  disebut  dengan  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak. Sebuah  bijeksi ∶   ( ) → {1, 2, 3, … , | ( )|} disebut  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak  jika ( ) ≠ ( ) , untuk setiap , ∈ ( ) . Konsep ini dikenalkan oleh Arumugan dan Kamatchi pada tahun 2013 [6]. Mereka telah menentukan fungsi pelabelan antiajaib untuk beberapa keluarga graf seperti graf siklis, graf lintasan, dan graf roda. Mereka juga memberikan conjecture bahwa graf memiliki pelabelan antiajaib berdasarkan jarak jika dan hanya jika ( ) ≠ ( ) untuk setiap , ∈ ( ) .
Dengan  banyaknya  jenis  dan  macam  dari  graf,  banyak  peneliti  yang  sudah  memberikan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak untuk suatu jenis graf, ataupun memberikan bukti bahwa suatu graf  tidak  memiliki  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak.  Simanjuntak et  al [7]  memberikan pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak  untuk  jenis  graf  matahari,  prisma,  kipas,  dan  pertemanan. Kemudian penelitian ini dilanjutkan dengan menambahkan beberapa hasil komputasi [8]. Nadeak [9] dalam  skripsinya  memberikan  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak  untuk  beberapa  graf  sirkulan. Untuk kasus dari hasil operasi graf, Handa et al [10] memberikan syarat cukup untuk hasil operasi join graf dan hasil operasi korona graf agar bersifat antiajaib berdasarkan jarak. Selanjutnya Nancy et al [11] memberikan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak untuk operasi perkalian Kartesian untuk graf  lengkap  atau  graf  siklus.  Terakhir,  Rinovia et  al [12]  memberikan  pelabelan  antiajaib berdasarkan  jarak  untuk  beberapa  operasi  perkalian  graf,  salah  satunya  adalah  perkalian lexicographic .
Operasi perkalian tensor adalah salah satu perkalian yang akan memberikan pertambahan sisi antara dua graf yang lebih banyak dibandingkan operasi graf yang lain. Ini membuat titik-titik pada graf akan memiliki derajat yang juga besar, sehingga akan menjadi penelitian yang menantang dalam mencari pelabelan antiajaib berdasarkan jarak untuk graf hasil perkalian tensor secara umum. Pada penelitian  ini  akan  diberikan  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak  pada  operasi  perkalian  tensor untuk graf lengkap, kemudian memberikan syarat cukup untuk hasil perkalian sebarang graf beraturan dengan graf lengkap agar memiliki sifat antiajaib berdasarkan jarak. Dari hasil ini, kemudian dapat disimpulkan  sifat antiajaib  berdasarkan  jarak  untuk  operasi  perkalian  tensor  untuk  graf  siklus  dan lintasan.

## 2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian kepustakaan atau kajian pustaka,  yakni  melakukan  penelitian  untuk  memperoleh  data-data  dan  informasi-informasi  serta objek-objek yang digunakan dalam pembahasan masalah tersebut.
Adapun langkah-langkah yang telah dilakukan, diantaranya:
1. Menelaah definisi dari pelabelan antiajaib berdasarkan jarak dan operasi perkalian tensor antara graf.
2. Memberikan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak untuk hasil perkalian tensor antara dua graf lengkap.
3. Memberikan penjabaran syarat cukup agar hasil perkalian tensor antara sebarang graf beraturan dengan graf lengkap merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
4. Menggunakan hasil penelitian untuk membuktikan sifat antiajaib berdasarkan jarak terhadap hasil perkalian tensor antara beberapa keluarga graf.
Berikut beberapa konsep dasar yang digunakan dalam pembahasan penelitian.
1. Graf    adalah  suatu  pasangan  terurut =   ( ( ), ( )) dengan ( ) ⊆ [ ( )] .  Notasi ( ) disebut dengan himpunan titik di   dan ( ) disebut dengan himpunan sisi di   [13].
Untuk  memudahkan  penulisan,  selanjutnya { , } akan  ditulis  sebagai .  Suatu  graf dengan | ( )| =  0 atau 1 disebut sebagai graf trivial. Kemudian, kardinalitas dari himpunan titik pada graf  , yaitu | ( )| didefinisikan sebagai orde graf  , dan kardinalitas dari himpunan sisi pada graf  , yaitu | ( )| didefinisikan sebagai ukuran graf  .
2. Graf lintasan dengan titik  , merupakan graf dengan ( ) = { , , … , } , dan ( ) = { ∶  1 ≤ ≤ − 1} .
3. Graf  siklis  dengan  banyak  titik  , merupakan  graf  dengan ( )   =   { , , … , }, dan ( ) = { ∶  1 ≤ ≤ − 1}   ∪ .
4. Graf lengkap dengan   titik, merupakan graf yang setiap titiknya saling bertetangga.
5. Operasi  Gabungan  dari  Graf , , … , , ⋃ merupakan  graf  tak  terhubung  dengan komponen, dengan tiap komponennya adalah graf .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Perkalian  Tensor  antara  dua  graf    dan  ,  dinotasikan  dengan × ,  adalah  graf  dengan himpunan  titik ( × ) merupakan  himpunan  hasil  perkalian  Kartesius ( ) × ( ) ,  dan  titik ( , ℎ) bertetangga dengan titik ( ’, ℎ’) di × jika   bertetangga dengan ’ di   dan ℎ bertetangga dengan ℎ’ di   [14]. Untuk kemudahan, titik ( , ℎ) dapat dituliskan sebagai ℎ .

## 3.1 Graf Lengkap
Hasil  pertama  dari  penelitian  ini  membahas  mengenai  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak untuk operasi perkalian tensor antara dua graf lengkap.
Teorema  1 .  Untuk  bilangan  bulat  positif , ≥ 2, Graf × merupakan  graf  antiajaib berdasarkan jarak.
Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, misalkan ≤ . Akan dibuktikan bahwa
= ( − 1) + , 1 ≤ ≤ dan 1 ≤ ≤ merupakan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak bagi graf
× .
Gambar 1. Pelabelan Antiajaib berdasarkan Jarak untuk graf × Berdasarkan  pelabelan  di  atas,  dapat  dilihat  bahwa = − 1 ,  dan = − . Untuk 1 ≤ ≤ dan 1 ≤ ≤ , definisikan kedua himpunan
= , , … , , , … , , dan
= , , … , , , … , .
 Perhatikan bahwa = ∪ ∪ … ∪ ( ) ∪ ( ) ∪ … ∪ , dan = ∪ ∪ … ∪ ∪ ( ) ∪ … ∪ , sehingga = ∪ ( ) − .
Dari persamaan himpunan sebelumnya, maka
= + − , = + ( − 1).  Perhatikan bahwa
= ∪ ∪ … ∪ ( ) ∪ ( ) ∪ … ∪ , dan = ∪ ∪ … ∪ ∪ ( ) ∪ … ∪ , sehingga = ∪ ( ) − .
Dari persamaan himpunan sebelumnya, maka
= + ( ) − ( ) , = + ( − 1).
Dari kedua penjabaran di atas, maka untuk setiap 1 ≤ ≤ , barisan ( ), ( ), … , ( ) adalah barisan aritmetika menurun dengan beda − 1 . Sedangkan untuk setiap 1 ≤ ≤ , barisan
( ), ( ), … , ( ) adalah barisan aritmetika menurun dengan beda ( − 1) .
Lebih lanjut, ( ) = ( ) − ( − 1)( − 1) , dan ( ) =   ( ) − ( − 1) . Dari asumsi awal bahwa ≤ , maka untuk setiap 1 ≤ ≤ − 1 , berlaku ( )   >   ( ) .
Secara keseluruhan:
( )   >   …   >   ( )   >   ( )   >   …   >   ( )   >   …   >   ( )   >   ( ) .
Dapat disimpulkan bahwa dengan pelabelan   seperti di atas, masing-masing titik akan memilik bobot yang berbeda, sehingga   merupakan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak. ■
Teorema selanjutnya membahas syarat cukup bagi perkalian tensor antara graf beraturan dan graf lengkap memiliki pelabelan antiajaib berdasarkan jarak.
Teorema 2 . Misalkan   merupakan graf beraturan antiajaib berdasarkan jarak dengan derajat   dan orde . Graf × merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak jika memenuhi =  2 atau < .
Bukti: Misalkan | ( )| = , dengan ( ) = { , , … , } , dan ( ) = { , , … , } . Karena merupakan  graf  antiajaib  berdasarkan  jarak,  maka  misalkan  fungsi ∶ ( ) → {1, 2, … , } merupakan  pelabelan  antiajaib  berdasarkan  jarak  pada  graf  .  Artinya  pada  graf  ,  nilai  bobot
( ) ≠ ( ) , untuk setiap pasangan titik , ∈ ( ) .

## Akan dibuktikan bahwa pelabelan
× ( )   = ( ) + ( − 1)
merupakan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak.
Pertama,  dapat  diperiksa  pelabelan × merupakan  suatu  bijeksi
× ∶ ( × ) →
{1, 2, … ,
} . Kemudian perhatikan bahwa jika bertetangga dengan pada graf  , maka bertetangga dengan pada graf × , untuk setiap 1 ≤ , ≤ , dengan ≠ . Jadi pelabelan × akan memberikan bobot untuk masing-masing titik
× ( ) = ( − 1) ( ) + ( )
dengan
( ) = (1 + 2 + ⋯ + ( − 1) + ( + 1) + ⋯ + − 1) = ( ) − ,
untuk  setiap 1 ≤ ≤ ,  dan    merupakan  derajat  dari  graf  beraturan  .  Perhatikan  bahwa  karena ( ) ≠ ( ) ,  untuk  setiap  pasangan  titik , ∈ ,  maka ( ) ≠ ( ) pada  graf × , untuk setiap 1 ≤ , ≤ . Notasikan = min ( ) dan = max ( ) . Andaikan ≤ . Maka ( )  ≤ ( ) ( − 1) ( ) + ( )  ≤  ( − 1) ( ) + ( + 1) ( ) − ( + 1)  ≤  ( − 1)[ ( ) – ( )]
Karena   merupakan graf beraturan dengan derajat  , maka nilai maksimum yang paling mungkin dari − ( ) adalah + − 1 + ⋯ + ( − + 1) − (1 + 2 + ⋯ + ) = (  –   ) .
Sehingga
( − 1) 2 −   − ( − 1) 2 +   + 1   ≤  ( − 1) ( − ) ≤  ( − 1) ( − ) ≤  ( − 1)( − ) Untuk = 2 ,  maka ≤ − ,  artinya ≤ 0 ,  suatu  kontradiksi.  Jika ≠ 2 ,  maka ≥ , kontradiksi dengan informasi bahwa < . Maka haruslah > . Karena > ,  maka ( ) > ( ) ,  untuk  setiap 1 ≤ ≤ − 1 .  Lebih  lanjut,
( )   >   ( ) ,  untuk  setiap 1 ≤ < ≤ .  Ini  melengkapi  pembuktian  bahwa  semua bobotnya akan memiliki nilai yang berbeda. ■
Berdasarkan pengamatan sederhana, jika terdapat dua titik pada suatu graf G dengan himpunan tetangga buka yang sama, maka kedua titik tersebut akan memiliki bobot yang sama untuk sebarang fungsi pelabelan f di G. Akibatnya, G tidak memiliki pelabelan antiajaib berdasarkan jarak, dan G bukan  merupakan  graf  antiajaib  berdasarkan  jarak  [6]. Lemma di  bawah  ini  merupakan  akibat langsung dari pengamatan ini untuk graf hasil operasi perkalian tensor.
Lemma 1 . Jika   memuat dua titik dengan himpunan tetangga yang sama, maka untuk sebarang graf , × juga  memuat  dua  titik  dengan  himpunan  tetangga  yang  sama.  Artinya, × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
Bukti: Misalkan dan merupakan dua titik pada graf   dengan himpunan tetangga yang sama, yaitu  himpunan ’ = ( ) = ( ) .  Ambil  sebarang  titik  pada  graf ,  misalkan  ,  dengan himpunan tetangga ( ) . Perhatikan bahwa pada graf × , dua titik dan akan memiliki tetangga  yang  sama,  yaitu ( ) = ( ) = { |  ∈ ’, ∈ ( )} ,  jadi × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak . ■

## 3.2 Graf Siklus dan Lintasan.
Berikut ini merupakan hasil sifat antiajaib berdasarkan jarak untuk perkalian tensor dari graf siklus  dan  graf  lintasan  yang  merupakan  akibat  dari  teorema  dan lemma yang  telah  dibuktikan sebelumnya.
Untuk bilangan bulat positif ≥ 2 , Teorema 2 dan Lemma 1 berturut-turut memberikan akibat sebagai berikut.
Teorema 3 . Untuk ≠ 4 , Graf × merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
Bukti: Ini adalah akibat langsung dari Teorema 2 , karena adalah graf regular dengan derajat 2 . Namun ini tidak berlaku untuk = 4 karena _4 memiliki dua titik dengan himpunan tetangga yang sama. Berdasarkan Lemma 1 , graf × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak. ■
Teorema 4 . Graf × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
Bukti: Ini  adalah  akibat  langsung  dari Lemma 1 ,  karena memiliki  dua  titik  dengan  himpunan tetangga yang sama. ■
Pandang  kasus  untuk  graf
× .  Karena merupakan  suatu  graf  lengkap ,  maka berdasarkan  Teorema  2,  nilai sehingga  memenuhi
< (2) = 4 merupakan  graf  antiajaib berdasarkan  jarak.  Sehingga × dan × keduanya  merupakan  graf antiajaib  berdasarkan jarak.  Dari  Teorema  1  juga  telah  dibuktikan  bahwa × = × dan × = × keduanya merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak. Ini menjadi suatu masalah terbuka untuk graf × dengan > 4 , dan lebih lanjut × , untuk , > 4 ,  untuk diketahui sifat antiajaib berdasarkan jarak.
Untuk bilangan bulat positif ≥ 2 , Graf × isomorfik dengan graf gabungan ∪ = 2 . Nadeak [9] telah memberikan pelabelan antiajaib berdasarkan jarak terhadap graf 2 , untuk ≠ 3 .
Teorema 5 . Graf × merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak untuk ≥ 2, ≠ 3 . Gambar 2 . Graf × yang ekuivalen dengan graf 2
Bukti: Graf × isomorfik  dengan  graf  gabungan 2 .  Misalkan  himpunan  titik (2 ) = { |1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ 2} , dan himpunan sisi (2 ) = { |1 ≤ ≤ − 1,1 ≤ ≤ 2} . Ada tiga kasus yang akan ditinjau:
Kasus 1. Untuk ≡  0,2( 4) , definisikan fungsi pelabelan   sebagai berikut.
= ( − 1) + 2 , genap
( − 1) + + + 1 2 , ganjil
Dari fungsi pelabelan di atas, diperoleh bobot dari setiap titik sebagai berikut.
= ⎩ ⎨ ⎧ 1 + ( − 1), = 1, ( + + 1) + 2 ( − 1), = 2,4, … , − 2, + 2 ( − 1), = 3,5, … , − 1, , = .
Kasus 2. Untuk ≡ 1( 4) , definisikan fungsi pelabelan   sebagai berikut.
= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 3 − + ( − 1), = 1,2,
− − 3 2 + ( − 1), = 3,5, … , , + 5 − 2 + ( − 1), = 4,6, … , − 1.
Dari fungsi pelabelan di atas, diperoleh bobot dari setiap titik sebagai berikut.
= ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 1 + ( − 1), = 1, + 2 + 2 ( − 1), = 2, 1 2 ( + 3) + 2 ( − 1), = 3, 2 − + 3 + 2 ( − 1), = 4,6, … , − 1, + 5 − + 2 ( − 1), = 5,7, … , − 2, 3 + ( − 1), = .
Kasus 3. Untuk ≡ 3( 4) , definisikan fungsi pelabelan   sebagai berikut.
= ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ + ( − 1), = 1,2, − − 3 2 + ( − 1),          = 3,5, … , ,
+ 5 − 2 + ( − 1), = 4,6, … , − 1.
Dari fungsi pelabelan di atas, diperoleh bobot dari setiap titik sebagai berikut.
= ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 + ( − 1), = 1, + 1 + 2 ( − 1), = 2, 1 2 ( + 5) + 2 ( − 1), = 3, 2 − + 3 + 2 ( − 1), = 4,6, … , − 1, + 5 − + 2 ( − 1), = 5,7, … , − 2, 3 + ( − 1), = .
Dari ketiga kasus, dapat diperiksa bahwa bobot setiap titik adalah berbeda. ■
Untuk  bilangan  bulat  positif ≥ 2 , Lemma 1  memberikan  akibat  bahwa × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
Teorema 6 . Graf × bukan merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak.
Bukti: Ini  adalah  akibat  langsung  dari Lemma 1 ,  karena memiliki  dua  titik  dengan  himpunan tetangga yang sama. ■
Masalah juga terbuka untuk membuktikan sifat antiajaib berdasarkan jarak untuk graf × dengan , > 4.

## 4. Kesimpulan
Hasil  dari  penelitian  ini  adalah  graf × merupakan  graf  antiajaib  berdasarkan  jarak. Kemudian untuk suatu graf beraturan   dengan orde m dan derajat r , hasil operasi kali tensor × merupakan graf antiajaib berdasarkan jarak jika memenuhi =  2 atau < . Untuk orde yang cukup kecil dari graf siklus atau graf lintasan, dapat dibuktikan sifat antiajaib berdasarkan jarak dari teorema yang telah disajikan sebelumnya. Terdapat beberapa masalah yang masih belum diselesaikan melalui penelitian ini, seperti menentukan sifat antijaib berdasarkan jarak untuk graf × untuk = 3 atau > 4 dan > 4 , dan sifat antiajaib berdasarkan jarak untuk graf × untuk , > 4 . Kedua masalah tersebut dapat dikaji untuk penelitian selanjutnya.

## Referensi
[1] V. Vilfred, "Sigma Labelled Graphs and Circulant Graphs," University of Kerala, India, 1994.
[2] M.  Miller,  C.  Rodger,  and  R.  Simanjuntak,  "Distance  Magic  Labelings  of  Graphs", Australasian Journal of Combinatorics , vol. 28, pp. 305-315, 2003.
[3] S.  Arumugam,  N.  Kamatchi,  "On  (a;d)-Distance  Antimagic  Graphs", Australasian  J. Combinat, 54, 279-287, 2012.
[4] N. Kamatchi, G. R. Vijayakumar, A. Ramalakshmi, S. Nilavarasi, S. Arumugam, "Distance Antimagic Labelings of Graphs", Lect. Notes Comp. Sci , 10398, 113–118, 2017.
[5] D.  E  Wijayanti,  A.  Thobirin,  "Pelabelan  Anti  Ajaib  Jarak  Pada  Suatu  Graf  Petersen Diperumum", Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika, vol. 12, pp. 279-287, 2020.
[6] S. Arumugam and N. Kamatchi. "Distance Antimagic Graphs", J. Combinat. Math. Combinat. Comput. , vol. 64, pp. 61-67, 2013.
[7] R.  Simanjuntak  and  Kristiana  Wijaya.  "On  distance  antimagic  graphs."  arXiv  preprint arXiv:1312.7405, 2013. doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.1312.7405
[8] R.  Simanjuntak,  T.  Nadeak,  F.  Yasin,  K.  Wijaya,  N.  Hinding,  K.A.  Sugeng,  "Another Antimagic Conjecture", Symmetry , vol 13, 2021. doi: https://doi.org/10.3390/sym13112071
[9] C. T. Nadeak, "Pelabelan Antiajaib berdasarkan Jarak," Institut Teknologi Bandung, 2015.
[10]  A.K. Handa, A. Godinho, T. Singh, S. Arumugam, "Distance antimagic labeling of join and corona  of  two  graphs". AKCE  Int.  J.  Graphs  Comb ,  vol.  14,  172–177,  2017.  doi: https://doi.org/10.1016/j.akcej.2017.04.003
[11]  N. J. Cutinho, S. Sudha, and S. Arumugam, "Distance antimagic labelings of Cartesian product of graphs, AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics", 17:3, 940-942, 2020. doi: 10.1016/j.akcej.2019.08.005
[12]  R.  Simanjuntak,  A.  Tritama,  "Distance  Antimagic  Product  Graphs", Symmetry ,  14(7):1411, 2022. https://doi.org/10.3390/sym14071411
[13]  R. Diestel, Graph Theory . Springer-Verlag Heidelberg. 2005.
[14]  W. Imrich, S. Klavžar, Product Graphs: Structure and Recognition. Wiley, 2000.