Limits:  Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN:  2579-8936 P-ISSN:  1829-605X Vol.  16,  No. 2, Desember 2019,  117-134 DOI:  http://dx.doi.org/10.12962/ limits.v16i2. 5255

## Model Matematika Persaingan Dua Spesies dengan Toksisitas dan Pemanenan Selektif
Puja Nur Audria 1 , Miswanto 2 * , Fatmawati 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,  Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo,  Surabaya
e-mail  : miswanto@fst.unair.ac.id

## Abstrak
Persaingan  merupakan  interaksi  biologi  antar  makhluk  hidup  untuk  bersaing mendapatkan sumber energi  yang  terbatas,  misalnya  makanan  yang  dibutuhkan  untuk  tumbuh  dan  bertahan  hidup.  Beberapa spesies  mempunyai  strategi  tersendiri  dalam  bersaing,  diantaranya  adalah  kemampuan  mengeluarkan racun.  Pada  jurnal  ini,  dikaji  dua  model  predator-prey  yang  dipengaruhi  oleh  adanya  toksisitas  dan pemanenan selektif. Model pertama mengkaji model persaingan dua spesies dengan adanya toksisitas dan pemanenan  selektif,  sedangkan  model  kedua  mengkaji  model  persaingan  dua  spesies  dengan  adanya toksisitas dan pemanenan selektif dengan Holling tipe III. Dari model pertama diperoleh 4 titik setimbang yaitu 𝜀 20 ,𝜀 21 , 𝜀 22 , dan 𝜀 23 . Dari model kedua juga diperoleh 4 titik setimbang, yaitu 𝜀 20 ,𝜀 21 , 𝜀 22 , dan 𝜀 23 . Titik  setimbang 𝜀 10 dan 𝜀 20 tidak  stabil,  sedangkan 𝜀 11 , 𝜀 12 , 𝜀 13 , 𝜀 21 , 𝜀 22 , dan 𝜀 23 stabil  dalam  kondisi tertentu.  Hasil  simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  kedua  spesies  pada  model  kedua  mengalami peningkatan dibandingkan dengan model pertama. Hal tersebut dikarenakan adanya kecenderungan untuk mencari musuh yang lain  ketika jumlah  musuh mulai  berkurang.
Kata Kunci : Model Predator-Prey, Kompetisi, Toksisitas,  Pemanenan Selektif, Kestabilan.

## Abstract
Competition  is  a  biological  interaction  among  organisms  for  obtaining  the limited energy resources such as food, to grow and survive. Some species have their own type to compete, such as through toxin production. In this paper, we use predator-prey model which affect of toxicity and selective harvesting. This thesis will analyze two models. First, is mathematics model of selective harvesting of two competing species in the presence of toxicity and second is mathematics model of selective harvesting of two competing species in the presence of toxicity with Holling type III. From the first model obtained four equilibrium point, those are 𝜀 10 , 𝜀 11 , 𝜀 12 and 𝜀 13 . From second model also obtained four equilibrium point, those are 𝜀 20 , 𝜀 21 , 𝜀 22 , and 𝜀 23 . The equilibrium point 𝜀 10 and 𝜀 20 are unstable, while 𝜀 11 , 𝜀 12 , 𝜀 13 , 𝜀 21 , 𝜀 22 , and 𝜀 23 are stable under certain conditions. The numerical insight show that both of species in the second model are increasing, compared to the first model. It is caused by the tendency to find other competitor when the competitor number respond to decrease.
Keywords : Predator-Prey Model, Competition, Toxicity, Harvesting, Stability.
corresponding  author: miswanto@fst.unair.ac.id

## 1. Pendahuluan
Tiada  kehidupan  tanpa  adanya  makanan.  Virus  sebagai  makhluk  hidup  terkecil  sampai manusia  sebagai  makhluk  hidup  tertinggi  pun  membutuhkan  makanan  untuk  mempertahankan kehidupannya.  Salah  satu  cara  mendapatkan  makanan  adalah  dengan  berkompetisi.  Pada interaksi  ini  timbul  persaingan  antarspesies  untuk  mendapatkan  makanan.  Persaingan  ini  timbul terutama  karena  terbatasnya  sumber  makanan.  Kompetisi  memegang  peranan  penting  dalam evolusi  kehidupan  [1]. Layaknya  sebuah  permainan,  dalam  berkompetisi  mendapatkan makanannya,  setiap  spesies  memiliki  strategi  tersendiri  yang  didukung  oleh  morfologi,  fisiologi dan  perilaku  masing-masing  spesies  [2].  Salah  satunya  adalah  kemampuan  mengeluarkan  racun untuk  mengalahkan  pesaingnya.  Ada  beberapa  organisme  yang  dapat  mengeluarkan  racun  ketika berinteraksi  dengan  spesies  lain.  Interaksi  ini  biasa  disebut  dengan  alelopati  [3] . Peristiwa kompetisi  dan  alelopati  terjadi  sebagai  bentuk  aktivitas  spesies  untuk  menjaga  keseimbangan ekosistem.  Salah  satu  aktivitas  lain  yang  juga  mempengaruhi  keseimbangan  ekosistem  adalah adanya  faktor  pemanenan.
Kajian mengenai model matematika persaingan dua spesies terus mengalami perkembangan.  Jing  dkk.  (2009) [4]  telah  mengkaji  model  matematika  predator  prey menggunakan  fungsi  respon  Holling  tipe  II  dengan  adanya  pemanenan  pada  predator  dan mangsa.  Sedangkan  Samanta  (2010)  [5]  melakukan  telaah  mengenai  dinamika  persaingan  dua spesies  yang  dipengaruhi  oleh  zat  beracun.  Pada  tahun  2017,  sebuah  penelitian  yang  ditulis  oleh Pal  dkk [6]  menjelaskan  mengenai  model  matematika  persaingan  dua  spesies  ikan  dengan adanya  toksisitas  dan  pemanenan  selektif  dan  adanya  waktu  tunda.  Selanjutnya  pada  artikel  ini dilakukan  modifikasi  model  matematika  persaingan  dua  spesies  yang  telah  dikembangkan  oleh Pal  dkk  (2017) [6]    dengan  menghilangkan  waktu  tunda  dan  menambahkan  fungsi  respon Holling  tipe  III.

## 2. Formulasi Model Matematika
2.1. Model  Matematika  Persaingan  Dua  Spesies  dengan  Adanya  Toksisitas  dan  Pemanenan Selektif.
Pada  subbab  ini,  dikaji  dua  model  matematika  persaingan  dua  spesies  dengan  adanya toksisitas  dan  pemanenan  selektif.  Model  pertama  adalah  model  sebelum  dimodifikasi  dengan Holling  Tipe  III,  dan  model  kedua  adalah  model  sesudah  dimodifkasi  dengan  Holling  Tipe  III. Kedua  model  memiliki  masing-masing  dua  kompartemen  yakni  spesies  pertama (𝑥 1 ) dan  spesies kedua (𝑥 2 ) .
Asumsi  yang  digunakan  pada  model  pertama  yakni:  1.  Kedua  spesies  beracun.  2.  Model pertumbuhan  kedua  spesies  merupakan  model  pertumbuhan  logistik.  3.  Pemanenan  hanya  terjadi di  spesies  pertama.  4.  Laju  kematian  alami  diabaikan.  5.  Laju  kelahiran  kedua  spesies  konstan. Bentuk  model  pertama  sebagai  berikut,
1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 qEx x x x x a k x x r dt dx             (1)
2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 x x x x a k x x r dt dx            (2)
Persamaan  (1)  menunjukkan  laju  perubahan  populasi  spesies  pertama  per  satuan  waktu.
Populasi  spesies  pertama  akan  bertambah  karena  laju  pertumbuhan  secara  logistik  yang  dibatasi oleh  kapasitas  maksimum  populasi  sebesar 1 k .  Populasi  spesies  pertama  akan  berkurang  karena persaingan  dengan  spesies  kedua  dengan  laju  persaingan  sebesar 1 a .  Demikian  juga,  persaingan dengan  spesiesnya  sendiri  dan  spesies  kedua  dengan  laju  persaingan  sebesar 1  ,  serta  pemanenan sebesar q .
Persamaan  (2)  menunjukkan  laju  perubahan  populasi  spesies  kedua  per  satuan  waktu.
Populasi  spesies  kedua  akan  bertambah  karena  laju  pertumbuhan  secara  logistik  yang  dibatasi oleh  kapasitas  maksimum  populasi  sebesar 2 k .  Populasi  spesies  kedua  akan  berkurang  karena persaingan  dengan  spesies  pertama  dengan  laju  persaingan  sebesar 2 a serta    persaingan  dengan spesiesnya  sendiri  dan spesies  pertama  dengan  laju  persaingan  sebesar 2  .
Pada  model  kedua,  asumsi  yang  digunakan  yaitu:  1).  Kedua  spesies  beracun.  2).  Model pertumbuhan  kedua  spesies  merupakan  model  pertumbuhan  logistik.  3).  Pemanenan  hanya terjadi  pada  spesies  pertama.  4).  Laju  kematian  alami  diabaikan.  5).  Laju  kelahiran  kedua  spesies konstan  6).  Spesies  yang  cenderung  akan  mencari  populasi  spesies  musuh  yang  lain  ketika populasi  spesies  musuh  mulai  berkurang,  dan  7).  Fungsi  respon  Holling  hanya  ditambahkan  pada suku  ketiga  disetiap  persamaan  pada model.  Bentuk  model  kedua adalah  sebagai  berikut,
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 qEx x x x x x a k x x r dt dx              (3)
2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 x x x x x a k x x r dt dx             (4)
Persamaan  (3)  menunjukkan  laju  perubahan  populasi  spesies  pertama  per  satuan  waktu. Populasi  spesies  pertama  akan  bertambah  karena  laju  pertumbuhan  secara  logistik  yang  dibatasi oleh  kapasitas  maksimum  populasi 1 k .  Populasi  spesies  pertama  akan  berkurang  karena persaingan  dengan  spesies  kedua  dengan  laju  persaingan  sebesar 1 a ,  dan  juga  persaingan  dengan
spesiesnya  sendiri  dan  spesies  kedua  yang  dalam  persamaan  ini,  spesies  pertama  akan  cenderung mencari  spesies  kedua  yang  lain,  ketika  spesies  kedua  mulai  berkurang  dengan  laju  persaingan sebesar 1  , serta spesies  pertama  juga  akan berkurang  karena  pemanenan  sebesar q .
Persamaan  (4)  menunjukkan  laju  perubahan  populasi  spesies  kedua  per  satuan  waktu. Populasi  spesies  kedua  akan  bertambah  karena  laju  pertumbuhan  secara  logistik  yang  dibatasi oleh  kapasitas  maksimum  populasi  spesies  kedua  sebesar 2 k .  Populasi  spesies  kedua  akan berkurang  saat  terjadi  persaingan  dengan  spesies  pertama  dengan  laju  persaingan  sebesar 2 a serta    persaingan  dengan  spesiesnya  sendiri  dan  spesies  pertama  yang  dalam  persamaan  ini, spesies  kedua  akan  cenderung  mencari  spesies  pertama  yang  lain,  ketika  spesies  pertama  mulai berkurang  dengan  laju  persaingan  sebesar 2  .
Disumsikan  semua  parameter  dan  variabel  bernilai  positif  dengan  keterangan  sebagai berikut,
𝑥 1 :  Jumlah  populasi  spesies  pertama,
𝑥 2 :  Jumlah  populasi  spesies  kedua,
𝑟 1 :  Potensi  biotik  dari  spesies  pertama,
𝑟 2 :  Potensi  biotik  dari  spesies  kedua,
𝛼 1 :  Koefisien  kompetisi  interspesifik  spesies  pertama,
𝛼 2 :  Koefisien  kompetisi  interspesifik  spesies  kedua,
𝑘 1 :  Kapasitas  pendukung  spesies  pertama,
𝑘 2 :  Kapasitas  pendukung  spesies  kedua,
𝛾 1 :  Koefisien  toksisitas  spesies  pertama,
𝛾 2 :  Koefisien  toksisitas  spesies  kedua,
𝑞 :  Koefisien  kemampuan  tertangkapnya  spesies  pertama,
𝐸 :  Tingkat  pemanenan.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Untuk  menganalisis  kestabilan  dari  kedua  model  di  atas,  maka  yang  harus  dilakukan  adalah menentukan  titik  setimbang  dari  model  tersebut.

## 3.1. Titik  Setimbang  Model

## 3.1.1. Titik  Setimbang  Model Pertama
Keadaan  titik  setimbang  merupakan  suatu  kondisi  ketika  perubahan  jumlah  subpopulasi tertentu  sepanjang  waktu  adalah  nol.  Model  pertama  akan  memiliki  titik  setimbang  jika
memenuhi  memenuhi 0 2 1   dt dx dt dx , dengan  demikian 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1             qEx x x x x a k x x r dt dx  (5) 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2            x x x x a k x x r dt dx  (6)
Dari  persamaan  (5) dan (6) diperoleh  empat  titik  setimbang,  yaitu:
1. Titik  setimbang  kepunahan mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  populasi  spesies pertama  dan  spesies  kedua  dalam  keadaan  punah (𝑥 1 ,𝑥 2 = 0 ).  Dari  sini  diperoleh  titik setimbang  kepunahan 𝜺 𝟏 𝟎 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = (𝟎, 𝟎) .
2. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  tidak adanya  populasi  spesies  pertama (𝑥 1 = 0, 𝑥 2 ≠ 0) .  Dari  persamaan  (5)  dan  (6)  maka diperoleh 0 1  dt dx .  Kemudian  dengan  mensubstitusikan 𝑥 1 = 0 ke  dalam  persamaan  (6) diperoleh
0 1 2 2 2 2 2          k x x r dt dx (7)
Karena 𝑥 2 ≠ 0 ,  maka  diperoleh 𝑥 2 = 𝑘 2 .  Dengan  demikian  diperoleh  titik  setimbang kepunahan  spesies  pertama 𝜺 𝟏 𝟏 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = (𝟎,𝒌 𝟐 ) .
3. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  tidak adanya  populasi  spesies  kedua (𝑥 2 = 0, 𝑥 1 ≠ 0) .  Dari  persamaan  (5)  dan  (6)  maka diperoleh 0 2  dt dx .  Kemudian  dengan  mensubstitusikan 𝑥 2 = 0 ke  dalam  persamaan  (6) diperoleh
0 1 1 1 1 1 1 1           qEx k x x r dt dx (8)
Karena 𝑥 1 ≠ 0 ,  maka  diperoleh
1 1 1 1 ) ( r qE r k x
  .  Dengan  demikian  diperoleh  titik setimbang  kepunahan  spesies  kedua 𝜺 𝟏 𝟐 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = ( 1 1 1 ) ( r qE r k  , 𝟎) yang  akan  eksis apabila  memenuhi qE r  1 .
4. Titik  setimbang  koeksistensi mengindikasikan  suatu  kondisi  dimana  kedua  spesies  hidup berdampingan  dalam  suatu  ekosistem (𝑥 1 ,𝑥 2 ≠ 0) .  Dari  persamaan  (5)  dan  (6)  diperoleh
titik  setimbang  koeksistensi 𝜀 14 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) =                1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ) ( , ) ( x k r x a r k x k r qE x a r k   .  Kemudian
dengan  mensubstitusikan 𝑥 2 ke 𝑥 1 , diperoleh  persamaan  kuadrat  berikut,
0 1 2 1    p nx mx (9)
dengan 2 2 1 1 2 2 1 a k k k r m     2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1    qEk k a a k k r r k k r r n      2 2 2 1 2 1 1 qEr r k a r r k p    
Titik  setimbang 𝜀 14 akan  eksis  jika 0 , 2 1  x x sehingga  akan  ditentukan  syarat  agar 1 x bernilai  positif.    Persamaan  (9)  akan  diselidiki  apakah  persamaan  tersebut  memiliki  akar bilangan  real  positif.
Misalkan 1 1 x dan 2 1 x adalah  akar-akar  persamaan  (9),  sehingga  berlaku  sifat m p x x  2 1 1 1 .
Berdasarkan  sifat  akar  persamaan  kuadrat,  suatu  persamaan  kuadrat  memiliki  tepat  satu  akar  real positif  jika  hasil  kali  akar-akarnya  bernilai  negatif.  Dari  sini  diperoleh 0
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1      a k k k r qEr r k a r r k   .
Dengan  demikian  titik  setimbang 𝜀 14 akan  eksis  jika  memenuhi  syarat
2 1 1 2 2 2 1 r r k qEr r k a   dan
2 2 1 1 2 2 1 a k k k r    ,  atau 2 1 1 2 2 2 1 r r k qEr r k a   dan 2 2 1 1 2 2 1 a k k k r 
  .
Titik  setimbang 𝜀 14 juga  akan  eksis  jika
0 ) ( ) ( 1 2 2 2 1 2 2 2 2       x k r x a r k x  ,  karena  semua  parameter
bernilai positif, maka 0 ) ( 1 2 2 2    x k r 
. Dengan demikian agar 0 2  x maka
2 2 1 1 2 2 2 0 ) ( a r x x a r k      .
Dengan  demikian  titik  setimbang 𝜀 14 akan eksis  jika  memenuhi  syarat:
i. a) 2 1 1 2 2 2 1 r r k qEr r k a   dan 2 2 1 1 2 2 1 a k k k r    ,  atau
b) 2 1 1 2 2 2 1 r r k qEr r k a   dan 2 2 1 1 2 2 1 a k k k r   
ii.
2 2 1 0 a r x  

## 3.1.2. Titik  Setimbang  Model Kedua
Model  kedua  akan  memiliki  titik  setimbang  jika  memenuhi  memenuhi 0 2 1   dt dx dt dx ,
dengan  demikian,
0 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1              qEx x x x x x a k x x r dt dx  (10) 0 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2             x x x x x a k x x r dt dx  (11)
Dari  persamaan  (10) dan (11) diperoleh  empat  titik  setimbang  sebagai  berikut:
1. Titik  setimbang  kepunahan mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  populasi  spesies pertama  dan  spesies  kedua  dalam  keadaan  punah 𝑥 1 ,𝑥 2 = 0 .  Dari  sini  diperoleh  titik setimbang  kepunahan 𝜺 𝟐 𝟎 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = (𝟎, 𝟎) .
2. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  tidak
adanya  populasi  spesies  pertama (𝑥 1 = 0 , 𝑥 2 ≠ 0) ,  maka  diperoleh 0 1  dt dx .  Kemudian
dengan  mensubstitusikan 𝑥 1 = 0 ke dalam  persamaan  (11) maka diperoleh
0 1 2 2 2 2 2          k x x r dt dx (12)
Karena 𝑥 2 ≠ 0 ,  maka  diperoleh 𝑥 2 = 𝑘 2 .  Dengan  demikian  diperoleh  titik  setimbang kepunahan  spesies  pertama 𝜺 𝟐 𝟏 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = (𝟎, 𝒌 𝟐 ) .
3. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua mengindikasikan  suatu  kondisi  ketika  tidak
adanya  populasi  spesies  kedua (𝑥 1 ≠ 0,𝑥 2 = 0) ,  sehingga  diperoleh 0 2  dt dx .  Kemudian
dengan  mensubstitusikan 𝑥 2 = 0 ke dalam  persamaan  (10) maka diperoleh
0 1 1 1 1 1 1 1           qEx k x x r dt dx (13)
Karena 𝑥 1 ≠ 0 ,  maka  diperoleh
1 1 1 1 ) ( r qE r k x   .  Dengan  demikian  diperoleh  titik  setimbang kepunahan  spesies  kedua 𝜺 𝟐 𝟐 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = ( 1 1 1 ) ( r qE r k  , 𝟎) yang  akan  eksis  apabila  memenuhi
qE r  1 .
4. Titik  setimbang  koeksistensi mengindikasikan  suatu  kondisi  dimana  kedua  spesies  hidup berdampingan  dalam  suatu  ekosistem  ( 𝑥 1 ,𝑥 2 ≠ 0 ).  Dari  persamaan  (10)  dan  (11)  diperoleh titik  setimbang  koeksistensi (𝜀 23 ) yang  memenuhi  persamaan
0 1 2 1 3 1     A Bx Ax x (14)
0 2 2 2 3 2     C Dx Cx x (15)
Dengan 1 1 1 2 1 1 1 r qE k r x a k k A     1 2 1 1 1 r x k B   
2 2 1 2 2 r k x a k C    2 1 2 2 1 r x k D   
Menurut  Aturan  Descartes,  persamaan  (14)  dan  persamaan  (15)  akan  memiliki  paling  tidak  satu akar  real  positif  jika  variasi  perubahan  tanda  koefisien  polinomnya  lebih  dari  satu  atau  sama dengan  satu.  Karena  pada  persamaan  (14)  , 𝐵 > 0 ,  maka  agar  ada  perubahan  tanda  pada koefisien  polinomnya,  A  harus  bernilai  negatif  sehingga
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 a r qE x r qE k r x a k k A          .
Begitu  pula  dengan  persamaan  (15),  karena 𝐷 > 0 maka  agar  terdapat  perubahan  tanda  koefisien polinomya,  C  harus  bernilai  negatif  sehingga
2 2 1 2 2 1 2 2 0 a r x r k x a k C       .  Dengan  demikian
titik  setimbang  koeksistensi  akan eksis  jika  memenuhi  syarat
2 2 1 0 a r x   dan 1 1 2 0 a r qE x     .

## 3.2. Kestabilan  Model

## 3.2.1. Kestabilan  Model  Pertama
Langkah  untuk  menentukan  kestabilan  dari  titik  setimbang  model  pertama  adalah  dengan mensubstitusikan    titik  setimbang 𝜀 10 , 𝜀 11 ,𝜀 12 dan 𝜀 14 ke  dalam  matriks  Jacobian  dari  persamaan (1) dan (2), yakni
                                           
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 x x x a k x r k x r x a x x a x qE x x a x k x r k x r J    

## 1. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Kepunahan (𝜀 10 )
Berikut  matriks  Jacobian  setelah  disubtitusikan  dengan  titik  setimbang  kepunahan 𝜺 𝟏 𝟎 (𝒙 𝟏 ,𝒙 𝟐 ) = (𝟎,𝟎)
𝐽(𝜀 10 ) = [ 𝑟 1 − 𝑞𝐸 0 0 𝑟 2 ] .
Selanjutnya,  didapat  persamaan  karakteristik  melalui |𝜆𝐼 − 𝐽(𝜀 10 )| = 0 sebagai  berikut
( 𝜆  − 𝑟 1 + 𝑞𝐸 ) ( 𝜆  − 𝑟 2 ) = 0 (16)
Dari  persamaan  karakteristik  (16) diperoleh  nilai  eigen
𝜆 1 =  𝑟 2 dan 𝜆 2 =  𝑟 1 − 𝑞𝐸 .
Berdasarkan  Teorema  2.9,  syarat  agar  titik  setimbang  kepunahan  stabil  asimtotis  adalah semua  nilai  eigen  harus  negatif.  Karena  terdapat  nilai  eigen 𝜆 1 =  𝑟 2 > 0 maka  titik  setimbang kepunahan (𝜀 10 ) tidak  stabil  asimtotis.

## 2. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Kepunahan  Spesies  Pertama (𝜀 11 )
Berikut  matriks  Jacobian  setelah  disubtitusikan  dengan  titik  setimbang  kepunahan  spesies pertama 𝜀 11 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0,𝑘 2 )
𝐽(𝜀 11 ) = [ 𝑟 1 − 𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸 0 −𝛼 2 𝑘 2 − 2 2 2 k  −𝑟 2 ] .
Selanjutnya,  didapat  persamaan  karakteristik  melalui |𝜆𝐼 − 𝐽(𝜀 11 )| = 0 sebagai  berikut
(𝜆− 𝑟 1 + 𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸)(𝜆+ 𝑟 2 ) = 0 . (17)
Dari  persamaan  karakteristik  (17) diperoleh  nilai  eigen
𝜆 1 =  𝑟 1 − 𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸 dan 𝜆 2 = −𝑟 2 .
Dengan  cara  yang  sama  seperti  sebelumnya,  maka  diperoleh 𝜆 1 = 𝑟 1 <  𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸 dan 𝜆 2 = −𝑟 2 < 0 .  Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama (𝜀 11 ) akan  stabil  asimtotis  jika 𝑟 1 <  𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸 .

## 3. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Kepunahan  Spesies  Kedua (𝜀 12 )
Berikut  matriks  Jacobian  setelah  disubtitusikan  dengan  titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua
𝜀 12 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (−
1 1 1 ) ( r r Eq k  , 0)                               
1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 0 ) ( ) ( 1 ) ( 2 r qE r k a r qE r k r a qE r k a r r qE r r J  
Selanjutnya,  didapat  persamaan  karakteristik  melalui |𝜆𝐼 − 𝐽(𝜀 12 )| = 0 sebagai  berikut
0 ) ( 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1                               r qE r k a r r r qE r r   (18)
Dari  persamaan  karakteristik  (18) diperoleh  nilai  eigen
qE r    1 1  dan 1 1 2 1 1 2 1 2 2 r qE k a r k a r r    
Dengan  menggunakan  cara  yang  sama  seperti  sebelumnya,  diperoleh
0 1 1     qE r  dan 0 1 1 2 1 1 2 1 2 2     r qE k a r k a r r  .  Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua (𝜀 12 ) akan  stabil  asimtotis jika 𝑟 1 > 𝑞𝐸 dan
1 1 1 2 2 ) ( r qE r k a r   .

## 4. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Koeksistensi  ( 𝜀 13 )
Kestabilan  lokal  pada  titik  setimbang  koeksistensi  ( 3 1  )  diperoleh  dengan  cara mensubstitusikan  nilai  titik  setimbang  yaitu ) , ( 2 1 1 3 x x   ke  dalam    matriks  Jacobian,  sehingga diperoleh
                    
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ) ( 3 x x k x r x x a x x a x x k r J       Selanjutnya,  matriks  Jacobian ) ( 13  J tersebut  dibentuk  menjadi  persamaan  karakteristik
melalui 𝑑𝑒𝑡 (𝜆𝐼 − ) ( 3 1  J ) = 0 sebagai  berikut
0 2    n m   (19)
dengan
2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 k k x a k k x a x a k k x r k x x a x k k x k x x r x r x r n k k k k x x x r k k x r k x x k m      
         
Titik  setimbang 3 1  akan stabil  asimtotis  jika  dan hanya  jika  persamaan  (19) memiliki  akar- akar negatif.  Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  akar-akar persamaan  (19) akan memiliki  tanda bagian  real  negatif  jika  dan hanya  jika, 𝑚, 𝑛 > 0 dan 𝑚𝑛 > 0 . Berdasarkan  syarat-syarat  tersebut diperoleh  beberapa hal  sebagai  berikut  :
i. Jelas  bahwa 0 , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  a a x x r r k k   , sehingga  nilai 𝑚 dijamin  positif  atau 𝑚 > 0 .
Koefisien 𝑛 akan dijamin  positif  dengan  syarat  :
) ( ) ( 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1         a k k r k r r a a k k x k r a k k x k k x a k k x a x a k k x r k x x a x k k x k x x r x r x r             ii. Selanjutnya,  akan ditentukan  syarat  agar 𝑚𝑛 > 0 . 0 ) )( ( 0 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1           
k k x a k k x a x a k k x r k x x a x k k x k x x r x r x r k k x x x r k k x r k x x k mn       Karena ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 k k x x x r k k x r k x x k      , 0 2 2 2 1  k k maka
) ( ) ( 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1         a k k r k r r a a k k x k r a k k x k k x a k k x a x a k k x r k x x a x k k x k x x r x r x r      
      Dari  uraian  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  titik  setimbang  koeksistensi  stabil  asimtotis jika  memenuhi ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2     a k k r k r r a a k k x k r a k k x      .

## 3.2.1 Kestabilan  Model  Kedua
Langkah  untuk  menentukan  kestabilan  dari  titik  setimbang  model  kedua  adalah  dengan mensubstitusikan    titik  setimbang 𝜀 20 , 𝜀 21 , 𝜀 22 , dan 𝜀 2 3 ke  dalam  matriks  Jacobian  dari persamaan  (5) dan (6), yakni
𝐽 = [ 𝑤 1 −𝑥 1 𝑤 2 −𝑥 2 𝑤 3 𝑤 4 ] (20)
dengan  :
𝑤 1 = 𝑟 1 (1 − 𝑥 1 𝑘 1 ) − 𝑟 1 𝑥 1 𝑘 1 − 𝑥 2 𝑎 1 − 2𝛾 1 𝑥 1 𝑥 2 1 + 𝑥 1 2 + 2𝛾 1 𝑥 1 3 𝑥 2 (1 + 𝑥 1 2 ) 2 − 𝑞𝐸 𝑤 2 = 𝑎 1 + 𝛾 1 𝑥 1 1 + 𝑥 1 2 𝑤 3 = 𝑎 2 + 𝛾 2 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 𝑤 4 = 𝑟 2 (1 − 𝑥 2 𝑘 2 ) − 𝑟 2 𝑥 2 𝑘 2 − 𝑎 2 𝑥 1 − 2𝛾 2 𝑥 1 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 + 2𝛾 2 𝑥 1 𝑥 2 3 (1 + 𝑥 2 2 ) 2

## 1. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Kepunahan  Spesies  Pertama (𝜀 21 )
Berikut  matriks  Jacobian  setelah  disubtitusikan  dengan  titik  setimbang  kepunahan spesies  pertama 𝜀 21 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0,𝑘 2 )
𝐽(𝜀 21 ) = [ 𝑟 1 − 𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸 0 −𝛼 2 𝑘 2 − 2 2 2 2 2 1 k k   −𝑟 2 ] .
Selanjutnya,  diperoleh  persamaan  karakteristik  melalui |𝜆𝐼 − 𝐽(𝜀 21 )| = 0 sebagai  berikut
(𝜆− 𝑟 1 + 𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸)(𝜆+ 𝑟 2 ) . (21)
Dari  persamaan  karakteristik  (20) diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 =  𝑟 1 − 𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸 dan 𝜆 2 = −𝑟 2 . Dengan  cara  yang  sama  seperti  sebelumnya,  diperoleh 𝜆 1 =  𝑟 1 < 𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸 dan 𝜆 2 = −𝑟 2 < 0 . Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama (𝜀 21 ) akan stabil  asimtotis  jika 𝑟 1 <  𝑘 2 𝛼 1 + 𝑞𝐸 .

## 2. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Kepunahan  Spesies  Kedua (𝜀 22 )
Berikut  matriks  Jacobian  setelah  disubtitusikan  dengan  titik  setimbang  kepunahan
𝜀 22 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (−
1 1 1 ) ( r r Eq k  , 0)        
                                     
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 r qE r k a r r qE r k r qE r k r a qE r k r r qE r r J   .
Selanjutnya,  diperoleh  persamaan  karakteristik  melalui |𝜆𝐼 − 𝐽(𝜀 22 )| = 0 sebagai  berikut
                            1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( 1 r qE r k a r r qE r r   . (23)
Dari  persamaan  karakteristik  (21) diperoleh  nilai  eigen
qE r    1 1  dan 1 1 2 1 1 2 1 2 2 r qE k a r k a r r     .
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, diperoleh 0 1 1     qE r  dan 0 1 1 2 1 1 2 1 2 2     r qE k a r k a r r  .  Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua (𝜀 22 ) akan  stabil  asimtotis jika 𝑟 1 > 𝑞𝐸 dan
1 1 1 2 2 ) ( r qE r k a r   .

## 3. Kestabilan  Lokal  Titik  Setimbang  Koeksistensi (𝜀 23 )
Berdasarkan  uraian  titik  setimbang  yang  telah  di  dapat,  untuk  mengetahui  kestabilan  dari titik  setimbang  koeksistensi (𝜺 𝟐 𝟑 ) secara  analitik  melalui  analisis  nilai  eigen  sulit  ditentukan. Dengan  demikian  penulis  menggunakan  metode  numerik  untuk  menentukan  kestabilan  dari  titik setimbang  koeksistensi  dengan  menggunakan software Matlab  7.0.  Simulasi  ini  dilakukan dengan  memberi  nilai  parameter  dan  tiga  nilai  awal  untuk 𝑥 1 (0) dan 𝑥 2 (0) yang  diketahui. Berikut  adalah  tabel  nilai  awal  dan  nilai  parameter  yang  digunakan  (Tabel  1  dan  Tabel  2). Simulasi  ini  dilakukan  pada waktu 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 200 .
Tabel  1. Nilai  awal
Nilai Awal 𝒙 𝟏 (𝟎) 𝒙 𝟐 (𝟎) Warna 1 100 10 Merah 2 150 20 Biru 3 190 30 Hijau
Tabel  2. Nilai  parameter  model  matematika  persaingan  dua  spesies  dengan
adanya  toksisitas  dan pemanenan  selektif Parameter Nilai Sumber 𝑟 1 3,98 Pal dkk (2017) 𝑟 2 4,86 Pal dkk (2017) 𝛼 1 0,004 Pal dkk (2017) 𝛼 2 0,002 Pal dkk (2017) 𝑘 1 300 Pal dkk(2017) 𝑘 2 250 Pal dkk (2017) 𝛾 1 0,0002 Asumsi 𝛾 2 0,0002 Asumsi 𝑞 0,05 Pal dkk (2017) 𝐸 14 Pal dkk (2017)
Berikut  ini  adalah  hasil  simulasi  numerik  dari  bidang  fase  titik  setimbang  koeksistensi
Gambar  1. Grafik  bidang  fase  populasi 𝑥 1 dan 𝑥 2 pada model  matematika  persaingan  dua spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan pemanenan  selektif  dengan  Holling  tipe  III.
Gambar  1  menyajikan  grafik  bidang  fase  populasi  spesies  pertama  dan  spesies  kedua pada  model  matematika  persaingan  dua  spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan  pemanenan  selektif dengan  syarat  eksistensi (𝜺 𝟐 𝟑 ). Berdasarkan  gambar  tersebut  dengan  ketiga  nilai  awal  yang digunakan  menunjukkan  bahwa  semua  grafiknya  cenderung  menuju  ke  titik  setimbang koeksistensi  spesies  pertama  dan  spesies  kedua  yaitu  titik  (177,  231),  dengan  kata  lain  grafik tersebut  konvergen.  Dengan  demikian  model  tersebut  cenderung  stabil  asimtotis  pada  titik setimbang  koeksistensi.
100 120 140 160 180 200 220 0 50 100 150 200 250 x1(t) x 2 (t ) [100 10] [150 20] [190 30]

## 4. Simulasi Numerik
Pada  subbab  ini,  disimulasikan  perbandingan  model  pertama  dan  model  kedua  menggunakan bantuan  program  MATLAB  7.0.  Simulasi  dilakukan  dalam 𝑡 = 10 ,  dengan  nilai  awal (𝑥 1 (0),𝑥 2 (0)) = (30,30) dan  nilai  parameter  yang  digunakan  sama  dengan  nilai  parameter untuk  simulasi  bidang  fase.  Berikut  merupakan  hasil  simulasi  numerik  model  pertama.
Gambar  2. Dinamika  populasi  spesies  pertama (𝑥 1 ) dan spesies  kedua (𝑥 2 ) pada model matematika  persaingan  dua spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan pemanenan  selektif
Gambar  2 menyajikan  grafik  antara  spesies  pertama  dan  spesies  kedua  selama 𝑡 = 10 . Dari  gambar  terlihat  bahwa  spesies  pertama  dan  spesies  kedua  sempat  mengalami  kenaikan selama  beberapa  waktu  karena  ada  pertumbuhan  alami  dari  kedua  spesies  tersebut.  Namun setelah  itu,  jumlah  spesies  pertama  mengalami  penurunan  yang  menyebabkan  peningkatan  pada spesies  kedua  akibat  adanya  persaingan  antar  kedua  spesies.  Kemudian  kedua  spesies  cenderung konstan  pada  suatu  titik  yang  menunjukkan  jumlah  populasi  di  akhir  pengamatan,  yakni  spesies pertama  sebanyak  62  spesies  dan  spesies  kedua  sebanyak  148  spesies.  Pada  Gambar  3  disajikan hasil  simulasi  dari  model  kedua.  Gambar  ini menyajikan  grafik  antara  spesies  pertama  dan spesies  kedua  selama 𝑡 = 10 .  Dari  gambar  terlihat  bahwa  spesies  pertama  dan  spesies  kedua sempat  mengalami  kenaikan  selama  beberapa  waktu  karena  ada  pertumbuhan  alami  dari  kedua spesies  tersebut.  Kemudian  kedua  spesies  cenderung  konstan  pada  suatu  titik  yang  menunjukkan jumlah  populasi  di  akhir  pengamatan,  yakni  spesies  pertama  sebanyak  177  spesies  dan  spesies kedua  sebanyak  231  spesies.  Selanjutnya  pada  Gambar  4  disajikan  hasil  simulasi  numerik perbandingan  dari  kedua model.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 60 80 100 120 140 160 waktu p o p u la s i Dinamika dari spesies petama dan spesies kedua spesies pertama spesies kedua
Gambar  3. Dinamika  populasi  spesies  pertama (𝑥 1 ) dan spesies  kedua (𝑥 2 ) pada model matematika  persaingan  dua spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan pemanenan  selektif  dengan
Holling  Tipe  III
Gambar  4. Dinamika  populasi  spesies  pertama (𝑥 1 )
Gambar  4  di  atas  menunjukkan  perbandingan  jumlah  populasi  spesies  pertama  sebelum dan  setelah  dimodifikasi  dengan  Holling  tipe  III.  Terlihat  adanya  perbedaan  pada  model  pertama dan  Perubahan  jumlah  populasi  spesies  pertama  pada  model  kedua  mengalami  peningkatan  yang cukup  besar  dibanding  pada  model  pertama.  Begitu  pula  di  akhir  waktu  pengamatan,  jumlah populasi  spesies  pertama  cenderung  lebih  tinggi  daripada  jumlah  populasi  spesies  pertama  pada model  pertama  (Tabel  3).  Dengan  demikian,  dapat  disimpulkan  bahwa  dengan  adanya  fungsi respon  Holling  tipe  III,  dapat  meningkatkan    jumlah  populasi  spesies  pertama  karena  adanya aktivitas  pencarian  spesies  kedua yang  lain  ketika  spesies  kedua mulai  berkurang.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 250 waktu p o p u la s i Dinamika dari spesies petama dan spesies kedua spesies pertama spesies kedua 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 waktu ju m la h p o p u la s i s p e s ie s p e rt a m a ( x 1 ) model pertama model kedua
Tabel  3. Perbandingan  jumlah  populasi  spesies  pertama  ( 𝑥 1 ) saat waktu 𝑡 = 10 Kondisi Jumlah  Populasi  Spesies Pertama ( 𝒙 𝟏 ) Model  Pertama 62 Model  Kedua 177
Gambar  5. Dinamika  populasi  spesies  kedua (𝑥 2 )
Grafik  pada  Gambar  5  menunjukkan  perbandingan  jumlah  populasi  spesies  pertama sebelum  dan  setelah  dimodifikasi  dengan  Holling  tipe  III.  Terlihat  bahwa  adanya  perbedaan  pada model  pertama  dan  model  kedua.  Perubahan  jumlah  populasi  spesies  kedua  pada  model  kedua mengalami  peningkatan  yang  cukup  besar  dibanding  pada  model  pertama.  Begitu  pula  di  akhir waktu  pengamatan,  jumlah  populasi  spesies  kedua  cenderung  lebih  banyak  daripada  jumlah populasi  spesies  kedua  pada  model  pertama  (Tabel  4).  Dengan  demikian,  dapat  disimpulkan bahwa  dengan  adanya  fungsi  respon  Holling  tipe  III,  dapat  meningkatkan    jumlah  populasi spesies  kedua  karena  adanya  aktivitas  pencarian  spesies  pertama  yang  lain  ketika  spesies pertama  mulai  berkurang  .
Tabel  4. Perbandingan  jumlah  populasi  spesies  kedua ( 𝑥 2 ) saat waktu 𝑡 = 10 Kondisi Jumlah  Populasi  Spesies Kedua ( 𝒙 𝟐 ) Model  Pertama 148 Model  Kedua 231
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 250 waktu ju m la h p o p u la s i s p e s ie s k e d u a ( x 2 ) model pertama model kedua

## 5. Simpulan
Berdasarkan  hasil  pembahasan  diperoleh  simpulan  sebagai  berikut:
1. Model  matematika  persaingan  dua  spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan  pemanenan  selektif memiliki  empat  titik  setimbang,  yakni  :
a. Titik  setimbang  kepunahan 𝜀 10 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0,0) , yang  bersifat  tidak  stabil.
b. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama 𝜀 11 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0, 𝑘 2 ) yang  bersifat  stabil asimtotis  jika 𝑟 1 <  𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸
c. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua 𝜀 12 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = ( 1 1 1 ) ( r qE r k  , 0) yang  bersifat  stabil
asimtotis  jika 𝑟 1 > 𝑞𝐸 dan
1 1 1 2 2 ) ( r qE r k a r  
d. Titik  setimbang  koeksistensi 𝜀 13 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 ) ( x k r qE x a r k       , 1 2 2 2 1 2 2 2 ) ( x k r x a r k      ) cenderung
stabil  asimtotis  jika ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2     a k k r k r r a a k k x k r a k k x      .
2. Model  matematika  persaingan  dua  spesies  dengan  adanya  toksisitas  dan  pemanenan  selektif dengan  Holling  tipe  III memiliki  empat  titik  setimbang,  yakni  :
a. Titik  setimbang  kepunahan 𝜀 10 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0,0) , yang  bersifat  tidak  stabil.
b. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  pertama 𝜀 11 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (0, 𝑘 2 ) yang  bersifat  stabil asimtotis  jika 𝑟 1 <  𝑘 2 𝛼 1 − 𝑞𝐸
c. Titik  setimbang  kepunahan  spesies  kedua 𝜀 12 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = ( 1 1 1 ) ( r qE r k  , 0) yang  bersifat  stabil
asimtotis  jika 𝑟 1 > 𝑞𝐸 dan
1 1 1 2 2 ) ( r qE r k a r  
d. Titik setimbang koeksistensi 𝜀 24 (𝑥 1 ,𝑥 2 ) = (𝑥 1 ,𝑥 2 ) yang memenuhi persamaan
0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1                              r qE k r x a k k x r x k x r qE k r x a k k x  0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 3 2                       r k x a k x r x k d x r k x a k x 
yang  cenderung  stabil  asimtotis  pada titik  setimbang  koeksistensi 𝜀 24 .
3. Pada  perbandingan  simulasi  numerik  model  matematika  persaingan  dua  spesies  sebelum  dan sesudah  dimodifikasi  dengan  Holling  tipe  III,  nampak  bahwa  terjadi  peningkatan  jumlah populasi  spesies  pertama (𝑥 1 ) dan  spesies  kedua (𝑥 2 ) pada  model  dengan  Holling  tipe  III
dibandingkan  dengan  model  sebelum  modifikasi  yang  cenderung  lebih  sedikit  dan  tidak  ada peningkatan  yang  cukup  pesat pada jumlah  populasi  kedua  spesies.

## 6. Daftar Pustaka
[1] N.  H.  T.  Siahaan, Hukum Lingkungan dan Ekologi Pembangunan ,  Edisi  Kedua.  Jakarta: Erlangga,  2004.
[2] O.  J.  Schmitz, Ecology  and  Ecosystem  Conservation ,  First  Edit.  Washington  DC.:  Island Press, 2007.
[3] D. Abdurahman, Kelompok Pertanian dan Kesehatan , vol.  Edisi  1. Bandung,  2008.
[4] X.  Jing,  Z.  Liu,  R.  Yuan,  and  S.  Ruan,  “The  Effects  of  Harvesting  and  Time  Delay  on Predator-Prey  System  with  Holling  type  II  Functiona  Response,” SIAM  J.  Appl.  Math. , vol.  70, pp. 1178–1200, 2009.
[5] G.  P.  Samanta,  “A  Two  Species  Competitive  System  Under  The  Influence  of  Toxic Substances,” Appl. Math. Comput. , vol.  216, pp. 291–299, 2010.
[6] D.  Pal,  G.  P.  Samanta,  and  G.  S.  Mahapatra,  “Selective  Harvesting  of  Two  Competing Fish  Species  in  the  Presence  of  Toxicity  with  Time  Delay,” Appl.  Math.  Comput. ,  vol. 313, pp. 74–93, 2017.