## MODEL PREDATOR- PREY MENGGUNAKAN RESPON FUNGSIONAL TIPE II DENGAN PREY BERSIMBIOSIS

## MUTUALISME

## Ahmad Nasikhin dan Niken Larasati
Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman Email : ahmadnasikhin90@yahoo.co.id dan nk_larasati@yahoo.com
ABSTRACT . . In this paper, we study the dynamic behavior of predator-prey model using  functional  response  type  II  and  symbiotic  mutualism  of  prey.  One  of  the  six equilibrium points is the coexistence point which is asymtotically stable.  In this point, the number of prey and predator for a long term depends on the interaction level of prey to another species and the interaction level of another species to prey.
Keywords : predator-prey model, functional response type II, symbiotic mutualism, stability of equilibrium points.
ABSTRAK. Pada  makalah  ini,  dikaji  perilaku  dinamik  model  predator-prey menggunakan  respon  fungsional  tipe  II  dengan  prey  bersimbiosis  mutualisme.    Satu dari enam titik kesetimbangan model merupakan coexistence point yang bersifat stabil asimtotis.    Titik  tersebut  bersifat  stabil  asimtotis.  Pada  titik  tersebut,  untuk  jangka waktu yang lama, jumlah prey dan predator sangat dipengaruhi oleh tingkat interaksi prey terhadap spesies lain maupun tingkat interaksi spesies lain terhadap prey.
Kata kunci : model predator-prey, respon fungsional tipe II, simbiosis mutualisme, kestabilan titik kesetimbangan.

## 1. PENDAHULUAN
Di  dalam  lingkungan  hidup,  interaksi  (hubungan  timbal  balik  atau saling  mempengaruhi)  terjadi  baik  antar  makhluk  hidup  dengan  sesamanya maupun  dengan  lingkungannya  (Aryanto,  2012).  Interaksi  yang  terjadi  antar makhluk  hidup  dalam  suatu  lingkungan  hidup,  antara  lain  berupa  simbiosis mutualisme, kompetisi (persaingan), dan predasi. Predasi merupakan hubungan antara  mangsa  ( prey )  dan  pemangsa  (predator).  Model  matematika  yang
JMP : Volume 5 Nomor 1, Juni 2013, hal. 35 - 44
menggambarkan hubungan predasi dinamakan model predator -prey ( Edwards dan Penney, 2008).
Model  predator- prey yang  paling  sederhana  adalah  model  Lotka- Volterra.  Model  ini  hanya  memodelkan  hubungan  antara  predator dan prey saja.  Padahal  pada  kenyataannya  di  beberapa  lingkungan  hidup  terdapat hubungan  predasi  yang  mana prey bersimbiosis  mutualisme dengan  spesies lain.  Contohnya  adalah  interaksi  predasi  antara  burung  prenjak (Prinia familiaris) sebagai predator dengan kupu-kupu skipper (Taractrocera archias) sebagai prey dan bunga cente (Lantana camara) yang bersimbiosis mutualisme dengan kupu-kupu skipper. Dalam hal ini, simbiosis mutualisme antara bunga cente  dengan  kupu-kupu  skipper  diasumsikan  mengakibatkan  kedua  populasi bertambah.
Afiati  (2001),  telah  menurunkan  model  predator -prey dengan prey bersimbiosis  mutualisme  dengan  spesies  lain.  Namun  pada  model  tersebut tidak  diperhitungkan  waktu  yang  diperlukan  predator  untuk  menangani prey ( handling time ) yaitu waktu untuk berburu, membunuh, makan, dan mencerna makan.  Alexei  (1997)  dan  Gutierrez  (1996)  menggunakan  respon  fungsional tipe  II    untuk  menyertakan handling  time pada  model  predator -prey tanpa simbiosis mutualisme. Oleh karena itu, pada makalah ini, model predator prey dengan prey bersimbiosis  mutualisme  akan  dikembangkan  dengan menyertakan respon fungsional tipe II untuk memperhitungkan handling time .

## 2. MODEL
Asumsi-asumsi  yang digunakan untuk   memudahkan dalam penurunan model  predator -prey menggunakan  respon  fungsional  tipe  II  dengan prey bersimbiosis mutualisme  adalah sebagai berikut :
1. populasi bersifat tertutup,
2. apabila tidak ada interaksi antara prey dan predator serta spesies lain, maka pertumbuhan prey dan spesies lain mengikuti model logistik dan penurunan predator mengikuti model Malthus,
3. model  predator -prey yang  dikaji  terdiri  dari  satu  predator  dan  satu prey , serta prey bersimbiosis mutualisme dengan satu spesies,
4. simbiosis mutualisme antara prey dengan spesies lain mengakibatkan kedua populasi bertambah, dan
5. respon predator yang digunakan adalah respon fungsional tipe II dan respon numerikal yang sebanding dengan respon fungsional tipe II.
Variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan untuk menurunkan model  tercantum  pada  Tabel  1.    Selanjutnya,  untuk  menyederhanakan penulisan,   P t ditulis akan ditulis dengan P ,   Q t ditulis akan ditulis dengan Q , dan   R t ditulis akan ditulis dengan R .
Tabel 1. Variabel-variabel dan parameter-parameter yang digunakan pada model
Simbol Definisi Jenis Syarat Satuan   P t Jumlah spesies P pada saat t variabel   0 P t  ekor   Q t Jumlah prey pada saat t variabel   0 Q t  ekor   R t
Jumlah predator pada saat t variabel
  0 R t  ekor
a Tingkat pertumbuhan intrinsik spesies P parameter 1 0   a per satuan waktu
1 K Daya dukung lingkungan spesies P parameter 1 0 K > ekor  Tingkat interaksi spesies P terhadap prey parameter 1 0    per ekor satuan waktu
b Tingkat pertumbuhan intrinsik prey parameter 1 0   b per satuan waktu
2 K Daya dukung lingkungan prey parameter 2 0 K > Ekor  Tingkat interaksi prey terhadap spesies P
parameter 1 0    per ekor satuan waktu c Tingkat interaksi predator terhadap prey parameter 1 0   c per ekor satuan waktu h Waktu penanganan satu prey parameter 0  h waktu  Efisiensi reproduksi predator akibat interaksi predator terhadap prey peluang 1 0    e Tingkat kematian predator parameter 1 0   e per satuan waktu
Model Predator- Prey Menggunakan Respon Fungsional                                                    37
Berdasarkan  variabel,  parameter,  dan  asumsi  yang  digunakan,  dapat ditentukan  perubahan  jumlah  populasi  spesies P ,  perubahan  jumlah  populasi prey, dan perubahan jumlah populasi predator terhadap waktu sebagai berikut.
1. Perubahan jumlah populasi spesies P terhadap waktu.
Perubahan  jumlah  populasi  spesies P dipengaruhi  oleh  ada  atau  tidaknya interaksi dengan populasi prey . Saat tidak terjadi interaksi dengan populasi prey ,  maka  pertumbuhan  populasi  spesies P mengikuti  model  logistik dengan  daya  dukung  lingkungan 1 K dan  tingkat  pertumbuhan  intrinsik spesies P sebesar a . Dengan demikian,  populasi spesies P akan bertambah dengan laju
1 1 P aP K        . Asumsi simbiosis mutualisme antara prey dengan spesies  lain  mengakibatkan  kedua  populasi  bertambah.  Oleh  karena  itu, apabila  terjadi  interaksi  antara  spesies P dengan prey sebesar  ,  maka populasi  spesies P bertambah  dengan  laju PQ  .    Jadi  laju  perubahan jumlah populasi spesies P terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai
1 1 . dP P aP PQ
dt K          
2. Perubahan jumlah populasi prey terhadap waktu.
Perubahan  jumlah  populasi prey dipengaruhi  oleh  ada  atau  tidaknya interaksi  dengan  populasi  spesies P dan  populasi  predator.  Saat  tidak terjadi  interaksi  dengan  populasi  spesies P dan  predator,  maka pertumbuhan populasi prey mengikuti model logistik dengan daya dukung lingkungan 2 K dan  tingkat  pertumbuhan  intrinsik prey sebesar b .    Jadi populasi prey akan bertambah dengan laju
2 1 Q bQ K        .  Asumsi simbiosis mutualisme antara prey dengan spesies lain mengakibatkan kedua populasi bertambah.  Oleh  karena  itu,  apabila  terjadi  interaksi  antara prey dengan spesies P sebesar  .  maka  populasi prey bertambah  dengan  laju PQ  . Untuk handling  time ,    respon  fungsional  yang  digunakan  adalah  respon
(1)
38                                                                                                                                            Nasikhin
fungsional  tipe  II,  yaitu 1  chQ cQ yang  menyatakan  jumlah prey yang dimangsa  per  predator  per  satuan  waktu.  Oleh  karena  itu,  apabila  terjadi interaksi  antara  predator  dengan prey, maka  populasi prey berkurang dengan laju sebesar R chQ cQ 1  .   Jadi laju perubahan jumlah populasi prey
terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai
2 1 . 1 dQ Q cQ bQ PQ R dt K chQ    
       
3. Perubahan jumlah populasi predator terhadap waktu
Perubahan  jumlah  populasi  predator  dipengaruhi  oleh  ada  atau  tidaknya interaksi dengan populasi prey . Saat tidak terjadi interaksi dengan populasi prey , maka populasi predator berkurang mengikuti model Malthus dengan tingkat kematian predator sebesar e . Diasumsikan respon numerikal yang menyatakan  jumlah  predator  yang  diproduksi  per  predator  per  satuan waktu. sebanding dengan respon fungsional yaitu 1  chQ cQ  .  Oleh karena itu,  apabila  terjadi  interaksi  antara  predator  dengan prey, maka  populasi predator  bertambah  dengan  laju  sebesar R chQ cQ 1   . Jadi  laju  perubahan
jumlah populasi predator terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai
R chQ cQ eR dt dR 1     
Berdasarkan  persamaan  (1),  (2),  dan  (3)  diperoleh  model  predator -prey menggunakan  respon  fungsional  tipe  II  dengan prey bersimbiosis  mutualisme dengan spesies lain berupa sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
(2)
(3)
Model Predator- Prey Menggunakan Respon Fungsional                                                    39
1 2 1 1 1 . 1 dP P aP
PQ dt K dQ Q cQ bQ PQ R dt K chQ dR cQ eR R dt chQ

                         
Sistem (4) dapat ditulis kembali dalam bentuk
2 2 1 1 dP aP gP PQ dt
dQ cQ bQ fQ PQ R
dt chQ dR cQ eR
R dt chQ               
dengan
1 a g K  dan 2 b f K  .
Titik  kesetimbangan  model  predator- prey menggunakan  respon fungsional  tipe  II  dengan prey bersimbiosis  mutualisme  pada  sistem  (5) diperoleh  jika 0  dt dP , 0  dt dQ ,  dan 0  dt dR .    Jika 0  dt dP ,  diperoleh P- nullclines , yaitu 0  P atau g Q a P    . Jika 0  dt dQ , diperoleh Q-nullclines ,
yaitu 0  Q atau 0 1      chQ cR P fQ b  .  Jika 0  dt dR ,  diperoleh R-
nullclines , yaitu 0  R atau 0 1     chQ cQ e  .
Titik  kesetimbangan  diperoleh  dengan  cara  mencari  titik  perpotongan antara P-nullclines , Q-nullclines ,  dan R-nullclines. Dengan  demikian, diperoleh enam titik kesetimbangan dari sistem (5), yaitu
(4) (5)
  0 0, 0, 0 , TE 
1 , 0, 0 , a TE g     
  2 0, , 0 , b TE f       
      3 2 2 0, , , b c bech fe e TE c eh c eh      
         

4 , , 0 af b gb a TE gf gf                dan             5 2 2 , , . ac eh e bg c eh gfe a c eh e e TE gc eh c eh gc eh                                
Agar  komponen  spesies prey dan  predator  pada TE 3 berada  pada  titik kesetimbangan  positif  diasumsikan h e   dan . fe h e ecb    Agar  komponen
spesies P dan prey pada TE 4 berada  pada  titik  kesetimbangan  positif diasumsikan
1 2 . ab K K   Agar  komponen  spesies P , prey, dan  predator
pada TE 5 berada  pada  titik  kesetimbangan  positif  diasumsikan  bahwa h e  
dan     gf h e c bg a        dengan . gf   Selanjutnya,  diperoleh  bahwa
0 1 2 3 , , ,  dan TE TE TE TE bersifat  tidak  stabil,  sedangkan 4 TE bersifat  stabil asimtotis dengan syarat 1 2 ab K K   dan ) ( (        gb c gf e h .  Sementara itu,
5 TE bersifat stabil asimtotis dengan syarat , f  
          2 0, ac eh e ac eh e feg Ee eD b E c eh gc eh c eh                                     
dan
Model Predator- Prey Menggunakan Respon Fungsional                                                    41
                      2 2 2 . ac eh e feg ac eh e E b gc eh c eh ac eh e ac eh e feg Ee eD b E c eh gc eh c eh Eeac eh Ee c eh                                                                             
       

## 3.  SIMULASI MODEL
Simulasi  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  adanya  spesies P yang bersimbiosis mutualisme dengan prey pada model predator- prey menggunakan respon  fungsional  Tipe  II.    Simulasi  dilakukan  pada TE 5 karena TE 5 merupakan coexistence point yaitu setiap komponen pada 5 TE tidak ada  yang mengalami  kepunahan.  Nilai  parameter  yang  digunakan  untuk  simulasi  ini adalah
dan sehingga dan
sedangkan  nilai    dan berbeda-beda.  Titik  kesetimbangan  model,  nilai  eigen  dan  kestabilan  dengan nilai   dan   berbeda-beda dapat dilihat pada Tabel 2 dan Tabel 3.
Berdasarkan Tabel 2, semakin besar nilai  , maka saat setimbang nilai P dan Q tetap, sedangkan  nilai R semakin besar. Artinya,  semakin besar tingkat interaksi prey terhadap spesies P, maka dalam jangka waktu yang lama jumlah spesies P dan prey tetap,  sedangkan  jumlah  predator  semakin  banyak. Berdasarkan Tabel 3,  semakin besar nilai  maka saat setimbang nilai P dan R semakin  besar,  sedangkan  nilai Q tetap.  Artinya,  semakin  besar  tingkat interaksi spesies P terhadap prey, maka dalam jangka waktu yang lama jumlah spesies P dan predator semakin banyak, sedangkan jumlah prey tetap.
42                                                                                                                                           Nasikhin
Tabel 2. Titik kesetimbangan, nilai eigen, dan kestabilan TE 5 dengan perubahan nilai parameter β
Titik Kesetimbangan ( P ; Q ; R ) Nilai Eigen Kestabilan 0,0019 (18,056;17,226;14,277) (-0,417;-0,019±0,443 i ) stabil asimtotis 0,005 (18,056;17,226;16,075) (-0,421;-0,016±0.468 i ) stabil asimtotis 0,05 (18,056;17,226;42,167) (-0,444;-0,006±0,738 i ) stabil asimtotis 0,1 (18,056;17,226;71,157) (-0,453;0,023±0,949 i ) tidak stabil 0,11 (18,056;17,226;76,956) (-0,454;0,026±0,985 i ) tidak stabil
Tabel 3. Titik kesetimbangan, nilai eigen, dan kestabilan TE 5 dengan perubahan nilai parameter α
Titik Kesetimbangan ( P ; Q ; R ) Nilai Eigen Kestabilan 0,009 (22,393;17,227;15,261) (-0,526;-0,018±0,454 i ) stabil asimtotis 0,01 (23,142; 17,227;15,331) (-0,545;-0,013±0,455 i ) stabil asimtotis 0,02 (30,632; 17,227;16,028) (-0,735;-0,004±0,461 i ) stabil asimtotis 0,029 (37,373; 17,227;16,656) (-0,908;0,005±0,467 i ) tidak stabil 0,03 (38,121; 17,227;16,726) (-0,927;0,006±0,467 i ) tidak stabil

## 4. KESIMPULAN
Dari enam titik kesetimbangan model terdapat satu titik kesetimbangan yang  merupakan coexistence  point .  Hasil  simulasi  pada  titik  kesetimbangan tersebut  menunjukkan  bahwa  semakin  besar  tingkat  interaksi prey terhadap spesies lain , maka dalam jangka waktu yang lama jumlah spesies lain dan prey tetap, sedangkan jumlah predator semakin banyak ; dan semakin besar tingkat interaksi  spesies  lain  terhadap prey, maka  dalam  jangka  waktu  yang  lama jumlah spesies lain dan predator semakin banyak, sedangkan jumlah prey tetap.

## DAFTAR PUSTAKA
Afiati,  A.  (2001) Analisis  Kestabilan  Model  Dinamik  Mutualistik .  Bogor: Institut Pertanian Bogor.
Alexei,  S.  (1997) Quantitative  Population  Ecology. On-Line  Lectures. Departement of Entomology. Virginia Tech. Blacksburg. USA.
Aryanto,  S.  (2012) Aplikasi  Extended  Kalman  Filter  pada  Model  Mangsa Pemangsa . Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia.
Model Predator- Prey Menggunakan Respon Fungsional                                                    43
Edwards, C. H. dan Penney, D. E. (2008) Elementary Differential Equations .
6th Ed. New Jersey: Pearson Education.
Gutierrez,  A.  P.  (1996) Applied  Population  Ecology  a  Supply-Demand Approach . New York: John Wiley & Sons.
44                                                                                                                                           Nasikhin