Abstrak —Tingkat  suku  bunga  sangat  berpengaruh  pada penentuan  harga  sekuritas.Salah  satunya  pada  penentuan harga bond yang nilainya bergantung pada tingkat suku bunga yang berlaku saat itu.Jenis bond yang dibahas pada tugas akhir ini  adalah zero  coupon  bond.  Bond jenis  ini  tidak  membagikan kupon  atau  bunga  pada  setiap  periode.Jadi,  penerbit bond membayarkan  pokok  hutang  dan  bunga  pada  saat  masa jatuh  tempo.Pada  kenyataannya,  tingkat  suku  bunga  bersifat stokastik.Sehingga  diperlukan  model  suku  bunga  stokastik yang bisa mewakili kondisi riil tingkat suku bunga pasar.Pada tugas  akhir  ini  digunakan  model  suku  bunga  Cox  Ingersoll Ross  (CIR).Untuk  menentukan  harga bond diperlukan  nilai parameter  dari  model  suku  bunga  CIR.  Sehingga  perlu dilakukan  estimasi  parameter.Nilai  parameter  didapatkan mennggunakan  metode Ordinary  Least  Square (OLS).  Hasil estimasi  tersebut  digunakan  sebagai  input  pada  metode Kalman  Filter untuk  mengestimasi  tingkat  suku  bunga  harian yang  mengikuti  model  CIR . Pada  tugas  akhir  ini,  nilai parameter  dan  tingkat  suku  bunga  harian  hasil  estimasi  akan digunakan untuk menentukan harga zero coupon bond .
Kata Kunci —Tingkat suku bunga, Model CIR, OLS, Kalman Filter, zero coupon bond

## I. PENDAHULUAN
ada  dunia  ekonomi,  tingkat  suku  bunga  berpengaruh penting  dalam  penentuan  harga  suatu  sekuritas, contohnya  pada  penentuan  harga bond (obligasi),  saham, dan  opsi.  Pergerakan  tingkat  suku  bunga  merupakan  proses stokastik  karena  selalu  berubah-ubah  sepanjang  waktu, sehingga diperlukan model stokastik untuk bisa menjelaskan pergerakan  dari  tingkat  suku  bunga  tersebut.  Model  tingkat suku bunga yang dibahas pada tugas akhir ini adalah model Cox  Ingersoll  Ross  (CIR).  Model  ini  pertama  kali diperkenalkan  pada  tahun  1985  oleh  Cox,  Ingersoll,  dan Ross[1].  Model  CIR  menjamin  tingkat  suku  bunga  bernilai positif  dan  memiliki  sifat  mean  reversion  yakni  memiliki kecenderungan kembali ke nilai rata-rata jangka panjang.
Salah  satu  sekuritas  yang  nilainya  bergantung  pada tingkat suku bunga adalah bond (obligasi). Bond adalah surat hutang  yang  diterbitkan  oleh  pemerintah  atau  perusahaan untuk  memenuhi  kebutuhan  dana. Bond merupakan  contoh dari  investasi  yang  bebas  resiko  karena  menjamin  adanya keuntungan  dari  pengembalian  yang  akan  diterima pemegang bond pada  saat  jatuh  tempo,  yakni  berupa  nilai pokok dan bunga. Jenis bond yang dibahas pada tugas akhir ini  adalah zero  couponbond atau  obligasi  tanpa  kupon. Pemegang bond akan  menerima  pembayaran  berupa  nilai pokok  hutang  dan  bunga  pada  saat  jatuh  tempo,  tidak  ada pembayaran  bunga  secara  periodik.  Keuntungan  yang
diterima pemegang bond dinyatakan oleh tingkat suku bunga yang  berlaku  pada  masa  kepemilikan bond .  Karena  itu, tingkat  suku  bunga  sangat  berpengaruh  dalam  penentuan harga zero  couponbond .  Pihak  investor  atau  pembeli bond harus  mengetahui  tentang  pergerakan  tingkat  suku bunga  di  pasar.  Investor  juga  harus  mengetahui  bagaimana menentukan  harga zero  couponbond agar  tidak  membeli bond dengan harga yang lebih tinggi dari seharusnya.
Dalam penentuan harga zero couponbond dibutuhkan nilai parameter  dari  model  tingkat  suku  bunga.  Pada  tugas  akhir ini  adalah  model  CIR.  Untuk  mendapatkan  nilai  dari parameter model CIR perlu dilakukan proses estimasi. Pada penelitian  terdahulu  telah  dilakukan  oleh  AR  Rizqiyatul Barokah  dengan  judul  “Implementasi  Model  Cox  Ingersoll Ross  dalam  Mengaproksimasi  Tingkat  Bunga  Harian  dan Harga Zero  CouponBond ”.  Dalam  penelitian  ini  digunakan metode Generelized  Method  of  Moment (GMM)  untuk mengestimasi  parameter  pada  model  CIR[2].  Dan  ada  pula penelitian yang telah dilakukan oleh Kamil Kladivko dengan judul  “ Maximum  Likelihood  Estimation  of  The  Cox- Ingersoll-Ross  Process:  The  Matlab  Impementation ”. Penelitian  ini  menggunakan  metode  Maximum  Likelihood Estimation (MLE) untuk mengestimasi model CIR[3].
Metode Kalman Filter adalah suatu metode estimasi yang optimal.Metode ini dapat diterapkan pada model state space . Parameter  pada  model  tingkat  suku  bunga  CIR  bisa diestimasi menggunakan metode Kalman Filter dengan cara merubah model CIR ke bentuk state space [4].
Berdasarkan  permasalahan  tersebut,  maka  pada  tugas akhir ini penulis menggunakan metode Kalman Filter untukmengestimasi  parameter  pada  model  CIR.  Hasil estimasi  tersebut  selanjutnya  digunakan  untuk  menentukan harga zero coupon bond .

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Model Suku Bunga CIR
Model  tingkat  suku  bunga  CIR  merupakan  model equilibrium yang  diperkenalkan  pada  tahun  1985.  Model CIR  menjamin  tingkat  suku  bunga  bernilai  positif  dan memiliki sifat mean reversion atau mempunyai kecenderungan kembali menuju rata-rata. Bentuk dari model CIR adalah[1]:
( )    (     ( ))      √ ( )   ( )
(1)
dengan
( ) : tingkat suku bunga pada waktu t : kecepatan ( ) kembali menuju

## Estimasi Parameter pada Model Suku Bunga Cox Ingersoll Ross (CIR) Menggunakan Kalman Filter untuk Menentukan Harga Zero Coupon Bond
Eni Mariana, Erna Apriliani, dan Sentot Didik Surjanto Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : april@matematika.its.ac.id
P
: rata-rata jangka panjang tingkat suku bunga
: volatility dari tingkat suku bunga
( ) : proses Wiener

## B. Formula Ito
Misalkan
merupakan
proses stokastik yang
didefinisikan sebagai
( ) ( )
dimana ( ) adalah  proses  Wiener,  maka ( ( )   ) juga merupakan  proses  stokastik  yang  mempunyai  bentuk persamaan diferensial sebagai berikut [6]:
(    ( )) ( ) (2)
dan  Persamaan  (2)  dapat  ditulis  sebagai  bentuk  integral berikut ini:
(    ( ))    ( ( )   )
∫ ( )   ∫ ( )

## C. Zero Coupon Bond
Bond adalah  surat  hutang  yang  berisi  suatu  kontrak hutang yang menjamin penerbit bond membayar bunga pada periode tertentu dan melunasi pokok hutang kepada pembeli bond pada waktu jatuh tempo.
Zero  coupon  bond adalah  suatu  kontrak  hutang  yang dibuat  saat dengan  masa  jatuh  tempo yang  menjamin pembeli bond menerima  pembayaran  bunga  dan  pokok hutang  pada  saat tanpa  ada  pembayaran  secara  periodik. Nilai  kontrak  adalah
dan  dinotasikan (    ) .  Nilai (    ) untuk semua [6].
Bentuk  persmaan  zero  coupon bond yang  mengikuti model tingkat suku bunga CIR satu faktor adalah[7]:
(    )    (    ) (   ) ( )
(3)
dengan:
(    )   [ (   )(   ) ⁄ (   )(  (   )  ) ] ⁄ (4)
(    ) (  (   )  ) (   )(  (   )  ) (5) √ ( )
tingkat suku bunga pada waktu t
Tingkat suku bunga majemuk yang berlaku saat dengan waktu  jatuh  tempo dinotasikan  dengan (    ) dan merupakan  laju  konstan  dimana  investasi  dari  unit (    ) saat akan  terus  bertambah  sampai  menghasilkan  sejumlah unit pada waktu jatuh tempo . Dengan rumus[6]:
(    ) (   )
(   )
(6)
dengan:
(    ) : Harga
pada Persamaan (3)
(    ) :

## D. Ordinary Least Square (OLS)
Ordinary  Least  Square (OLS)  adalah  metode  estimasi didalam  ilmu  statistika  yang  meminimalkan  jumlahan kuadrat dari eror[8]. Misalkan diberikan suatu model:
,   t=1,2,…,n (7)
Dengan adalah  bagian  eror  dan  nilai  ekspektasinya adalah  nol. [ ] .  Maka  estimator  untuk  koefisien pada Persamaan (7) adalah:
̂ ∑ ∑

## E. Kalman Filter
Kalman  Filter adalah  suatu  metode  estimasi  yang optimal. Komponen dasar dari metode Kalman Filter adalah persamaan  pengukuran  dan  persamaan  transisi.  Dengan menggunakan  data  pengukuran  untuk  memperbaiki  hasil estimasi.  Secara  umum  algoritma Kalman  Filter untuk sistem dinamik linear waktu diskrit adalah[9]:
Model sistem dan model pengukuran:
( ̅ ) ( ) ( )
Inisialisasi:
̂ ̅ Tahap Prediksi: estimasi : ̂ ̂ kovarians eror
Tahap Koreksi: kalman gain :
( ) kovarians eror : ( ) estimasi : ̂ ̂ ( ̂ )

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Analisis Model CIR
Pada  bagian  iniakandibahas  mengenai  penyelesaian  dari model  CIR  pada  Persamaan  (1).  Karena  Persamaan  (1) adalah  persamaan  diferensial  stokastik,  maka  digunakan formula  Ito.  Dengan  menggunakan  formula  Ito  didapatkan penyelesaian model CIR sebagai berikut:
(     ) ( )    ( ) ∫ (     ) √ ( ) ( ) (8)
Persamaan  (8)  adalah  penyelesaian  dari  Persamaan  (1). Didapatkan  penyelesaian  rekursif  untuk (     ) dalam bentuk  nilai  sebelumnya ( ) .  Dengan  diberikan ( ) . Persamaan (8) dapat ditulis dalam bentuk persamaan transisi sebagai berikut (     )    ( ) ( )    (     ) (9)
dengan
(     )   ∫ (     ) √ ( ) ( )
Setelah  mendapatkan  penyelesaian  dari  model  CIR, selanjutnya dicari rata-rata dan varians. Dengan menghitung rata-rata  model  CIR,  bisa  dibuktikan  sifat mean  reversion dari  model  CIR.  Rata-rata  bisa  didapat  dengan  menghitung ekspektasinya.
[ ( )] ( )    ( ) (10) Persamaan (10) adalah rata-rata dari model CIR. Dengan mengambil  nilai akan  didapatkan [ ( )]
.  Maka  terbukti  bahwa  model  CIR  memiliki  sifat mean reversion karena rata-rata jangka panjangnya adalah yang merupakan mean reversion level .
Selanjutnya  akan  dihitung  varians  dari  model  CIR. Dengan  terlebih  dahulu  menghitung [ ( )] dan ( [ ( )]) maka  bisa  dihitung  varians  dari  suku  bunga model CIR.
( ( ))    [ ( )]   ( [ ( )])
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (11)
Sudah  didapatkan  penyelesaian, mean ,  dan  varians  dari model CIR.

## B. Ordinary Least Square (OLS) pada Model CIR
Nilai awal pada tahap estimasi parameter didapatkan dari metode OLS. Persamaan (1) diubah menjadi bentuk:
( )      √
(12)
dengan (   ) .  Untuk  menggunakan  OLS,  Persamaan (12) ditransformasi ke bentuk:
(       )
√ √ √ (13)
Dengan  meminimalkan  jumlahan  kuadrat  dari  bagian  eror ∑ ( ) terhadap dan akan  didapatkan  estimator untuk ̂ dan ̂ sebagai berikut:
̂ ∑ ∑ ∑ ∑ (     ) ∑ ( ∑ ∑ )
̂ (     ) ∑ ∑
∑ ( ∑
∑ ∑
∑ (     ) ∑
)
Dan estimator untuk ̂ adalah:
̂   √ ∑ ( ( ) √
̂ √ ̂√ )
Data yang digunakan dalam proses estimasi parameter ini adalah  data  suku  bunga  harian  selama  1  tahun  untuk zero coupon  bond dari Bank  of  England sejak  2  Januari  2014 sampai 31 Desember 2014 [10].
Dengan  bantuan software Matlab,  didapatkan  hasil estimasi  untuk  parameter  model  CIR  adalah  1.390  untuk nilai , 0.012, dan 0.094 untuk nilai .

## C. Estimasi Menggunakan Kalman Filter
Parameter  dan state yang  akan  diestimasi  adalah dan nilai suku bunga harian yang mengikuti model CIR.Data pengukuran  yang  digunakan  adalah  data  suku  bunga  harian selama  1  tahun  untuk zero  coupon  bond untuk  masa  jatuh tempo  5  tahun . Model  sistem  dan  model  pengukuran  untuk algoritma Kalman Filter adalah
dan
(14) dengan [       ] , [ ]
[       (    )  ] , dan (    )
(    ) Seperti pada Persamaan (4)
(    ) Seperti pada Persamaan (5)
Nilai  awal  parameter  didapatkan  dari  hasil  estimasi menggunakan  OLS.  Sedangkan  nilai  awal  untuk diambil dari  data  pertama,  yakni  nilai  suku  bunga  pada  tanggal  2 Januari  2014.  Dengan  bantuan software Matlab  didapatkan hasil sebagai berikut.
Gambar 1. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan Kalman Filter
Gambar 2. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan Kalman Filter
Gambar 3. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan Kalman Filter
Gambar 4. Hasil estimasi untuk suku bunga harian menggunakan Kalman Filter
Dari grafik hasil estimasi yang ditunjukkan pada Gambar 1, Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4  terlihat bahwa hasil estimasi  menggunakan Kalman  Filter untuk  parameter dan ( ) tidak  cukup  baik.  Karena  grafik  dari  nilai estimasi metode Kalman Filter belum mendekati grafik nilai dari sistem yang sebenarnya.
Setelah didapatkan hasil estimasi, dilakukan simulasi nilai tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond. Simulasi ini  dilakukan  untuk  dapat  melihat  perbandingan  data  real dengan  data  simulasi  yang  nilai  parameter  dan  suku bunganya  didapatkan  dari  proses  estimasi.  Dengan  bantuan software Matlab didapatkan hasil simulasi sebagai berikut:
Gambar 5. Perbandingan grafik data real tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond dengan data simulasi
Dari Gambar 5 terihat grafik data simulasi yang berwarna merah sangat mendekati grafik data real yang berwarna biru dengan rata-rata eror sebesar 0.00017.

## D. Estimasi Menggunakan Extended Kalman Filter
Karena  persamaan  model  CIR  merupakan  persamaan nonlinear, digunakan metode Extended Kalman Filter (EKF) untuk  mengestimasi  parameter  dan state. Seperti  pada metode Kalman  Filter, parameter  dan state yang  akan diestimasi  adalah
dan  nilai  suku  bunga  harian  yang mengikuti  model  CIR.  Model  sistem  untuk  algoritma EKFadalah:
( )
(15)
dengan
[       ] dan [ ( ) ] .
Karena  data  pengukuran  yang  digunakan  sama  dengan data  pengukuran  saat  metode Kalman  Filter ,  maka  model pengukuran pada EKF sama seperti pada Persamaan (14).
Matriks jacobian untuk ( ) adalah

## [
(     ) ]
Nilai  awal  parameter  didapatkan  dari  hasil  estimasi menggunakan  OLS.  Sedangkan  nilai  awal  untuk diambil dari  data  pertama,  yakni  nilai  suku  bunga  pada  tanggal  2 Januari  2014.  Dengan  bantuan software Matlab  didapatkan hasil sebagai berikut.
Gambar 7. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan EKF
Gambar 8. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan EKF
Gambar 9. Hasil estimasi untuk suku bunga harian menggunakan EKF
Tidak  jauh  berbeda  dengan  hasil  estimasi  menggunakan Kalman  Filter ,  estimasi  menggunakan Extended  Kalman Filter juga  tidak  cukup  baik.  Jika  dilihat  dari  grafik  hasil estimasi pada Gambar 6, Gambar 7, Gambar 8, dan Gambar 9, grafik warna merah yang menunjukkan hasil estimasi dari EKF  tidak  mendekati  grafik  warna  biru  dari  sistem  yang sebenarnya.
Setelah didapatkan hasil estimasi, dilakukan simulasi nilai tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond. Simulasi ini  dilakukan  untuk  dapat  melihat  perbandingan  data  real dengan  data  simulasi  yang  nilai  parameter  dan  suku bunganya  didapatkan  dari  proses  estimasi.  Dengan  bantuan software Matlab didapatkan hasil simulasi sebagai berikut:
Gambar 6 Perbandingan grafik data real tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond dengan data simulasi
Dari Gambar 10 terlihat bahwa grafik data simulasi yang berwarna merah memiliki perbedaan jauh dengan grafik data
real yang  berwarna  biru  dengan  rata-rata  eror  sebesar 0.0193.Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  hasil  estimasi parameter dan suku bunga  harian  model CIR  menggunakan Extended Kalman Filter belum cukup baik.

## E. Estimasi Menggunakan Ensamble Kalman Filter
Karena  persamaan  model  CIR  merupakan  persamaan nonlinear,  digunakan  metode Ensamble  Kalman  Filter (EnKF)  untuk  mengestimasi  parameter  dan state. Seperti pada  metode Kalman  Filter dan  EKF , parameter  dan state yang  akan  diestimasi  adalah
dan  nilai  suku  bunga harian  yang  mengikuti  model  CIR.  Model  sistem  untuk algoritma  EnKFsama  seperti  pada  EKF  yakni  Persamaan (15). Sedangkan untuk model pengukuran sama seperti pada Persamaan (14) karena data yang digunakan sama.
Nilai  awal  parameter  didapatkan  dari  hasil  estimasi menggunakan  OLS.  Sedangkan  nilai  awal  untuk diambil dari  data  pertama,  yakni  nilai  suku  bunga  pada  tanggal  2 Januari  2014.  Dengan  melakukan  ensamble  sebanyak  100 dan  dengan  bantuan software Matlab  didapatkan  hasil sebagai berikut.
Gambar 11. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan EnKF
Gambar 12. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan EnKF
Gambar 13. Hasil estimasi untuk parameter menggunakan EnKF
Gambar 14. Hasil estimasi untuk suku bunga harian menggunakan EnKf
Dari Gambar 11, Gambar 12, Gambar 13, dan Gambar 14 didapatkan  hasil  estimasi  yang  tidak  cukup  baik  untuk parameter  dan state yang  diestimasi.  Terlihat  dari  grafik nilai  estimasi  metode  EnKFbelum  mendekati  grafik  nilai dari sistem yang sebenarnya.
Setelah didapatkan hasil estimasi, dilakukan simulasi nilai tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond. Simulasi ini  dilakukan  untuk  dapat  melihat  perbandingan  data  real dengan  data  simulasi  yang  nilai  parameter  dan  suku bunganya  didapatkan  dari  proses  estimasi.  Dengan  bantuan software Matlab didapatkan hasil simulasi sebagai berikut:
Gambar 7 Perbandingan grafik data real tingkat suku bunga harian untuk zero coupon bond dengan data simulasi
Dari Gambar 15 terlihat bahwa grafik data simulasi yang berwarna merah memiliki perbedaan jauh dengan grafik data real yang  berwarna  biru  dengan  rata-rata  eror  sebesar 0.0193.Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  hasil  estimasi parameter dan suku bunga  harian  model CIR  menggunakan Ensemble Kalman Filter belum cukup baik.

## F. Estimasi  Tingkat  Suku  Bunga  Harian  Menggunakan Kalman Filter
Karena  dari  estimasi  parameter  menggunakan  metode Kalman Filter , EKF, dan EnKF hasil yang didapatkan tidak cukup  baik,  maka  digunakan  nilai  parameter  dari  hasil estimasi  menggunakan  OLS.  Yakni  1.390  untuk  nilai , 0.012,  dan  0.094  untuk  nilai .Dengan  menggunakan  nilai parameter  tersebut,  dilakukan  estimasi  tingkat  suku  bunga harian  yang  mengikuti  model  CIR  menggunakan  metode Kalman  Filter. Nilai  awal  tingkat  suku  bunga  adalah  data pertama  tingkat  suku  bunga  pada  tanggal  2  Januari  2015 yakni  sebesar  0.0198.Model  dari  sistem  adalah  bentuk diskrit dari Persamaan (9)sebagai berikut:

## ( )
Model pengukurannya sama seperti pada Persamaan (14). Dengan  menggunakan software Matlab  didapatkan  hasil estimasi  untuk  tingkat  suku  bunga  harian  adalah  sebagai berikut:
Gambar 16. Hasil estimasi tingkat suku bunga harian menggunakan metode

## Kalman Filter
Dari  Gambar  16  didapatkan  hasil  estimasi  yang  baik karena nilainya mendekati nilai suku bunga dari sistem yang sebenarnya.  Hasil  estimasi  ini  nantinya  akan  digunakan untuk simulasi dalam penentuan harga zero coupon bond .

## G. Simulasi Harga Zero Coupon Bond
Pada  Gambar  13  telah  didapatkan  hasil  estimasi  dari tingkat  suku  bunga  harian  yang  mengikuti  model  CIR. Dengan  menggunakan  nilai  parameter  dari  metode  OLS, dilakukan  simulasi  harga zero  coupon  bond .Misalkan diambil  satu  hari  yakni  tanggal  1  Oktober  2014.Dari  hasil estimasi  suku  bunga  harian  menggunakan  metode Kalman Filter didapatkan  tingkat  suku  bunga  pada  saat  itu  adalah sebesar  0.0187  atau  1.87%.  Selanjutnya  menggunakan rumus  harga zero  coupon  bond pada  Persamaan  (3)  maka didapatkan hasil simulasi sebagai berikut:
Gambar 17. Simulasi harga zero coupon bond untuk tanggal 1 Oktober 2014 dengan masa jatuh tempo 5 tahun
Hasil  simulasi  harga zero  coupon  bond pada  Gambar 17menunjukkan  bahwa  harga bond mengalami  kenaikan dari tahun ke tahun hingga waktu jatuh tempo.

## IV. KESIMPULAN
Nilai  parameter  dari  model  CIR  tidak  bisa  diestimasi menggunakan  metode Kalman  Filter,  Extended  Kalman Filter dan Ensamble  Kalman  Filter. Dari  hasil  estimasi didapatkan  eror  estimasi  untuk  masing-masing  metode adalah sebagai berikut :
Tabel 1. Tabel eror estimasi untuk masing-masing metode
Parameter OLS KF EKF EnKf - 0.23218 0.45706 0.28074 - 0.01176 0.01414 0.00930 - 0.01044 0.00506 0.00900 ( ) 0.00274 0.02336 0.08386 0.00736
Terlihat  dari  grafik  hasil  estimasi  dan  eror  estimasi  pada Tabel  1bahwa  hasil  estimasi  masih  jauh  dari  nilai  yang sebenarnya.Sehingga  digunakan  hasil  estimasi  parameter dengan  metode  OLS  sebagai  nilai  parameter  untuk mengestimasi  tingkat  suku  bunga  harian  yang  mengikuti model CIR dengan metode Kalman Filter .
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  dari  metode  OLS. Metode Kalman  Filter menghasilkan  estimasi  yang  baik untuk  tingkat  suku  bunga  harian  model  CIR.  Terlihat  dari grafik hasil estimasi dan nilai eror yang kecil.
Dari  hasil  estimasi  tingkat  suku  bunga  harian menggunakan  metode Kalman  Filter dilakukan  simulasi harga zero  coupon  bond .  Dari  hasil  simulasi  didapatkan bahwa semakin dekat dengan masa jatuh tempo, harga zero coupon bond semakin tinggi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Cox J.C., Ingersoll J.E., and Ross S.A. 1985. “A Theory of The Term Structure of Interest Rates”. Econometrica Vol. 53, Issue 2, pp. 385- 408.
[2] Barokah  AR.R.  2009.  “Implementasi  Model  Cox  Ingersoll  Ross dalam  Mengaproksimasi  Tingkat  Bunga  Harian  dan  Harga Zero Coupon  Bond ”.  Departemen  Matematika,  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia.
[3] Kladivko,  K.  2007.  “Maximum  Likelihood  Estimation  of  The  Cox- Ingersoll-Ross Process :  The  Matlab  Implementation”.  Technical Computing Prague.
[4] Vo,  Long  H.  2014.  “Application  of  Kalman  Filter  on  Modelling Interest Rates”. Journal of Management Science Vol. 1, pp. 1-15.
[5] Ross,  S.M.  2011.  “An  Elementary  Introduction  to  Mathematical Finance, Third Edition”. New York: Cambridge University Press.
[6] Brigo  D.,  Mercurio  F.  2006.  “Interest  Rate  Models  –  Theory  and Practice, second edition”. Germany:Springer-Verlag Berlin Heiderlberg.
[7] Chatterjee, S. 2005. “Application of The Kalman Filter for Estimating Continuous  Time  Term  Structure  Models:  The  Case  of  UK  and Germany”. Department of Economics, University of Glasgow.
[8] Sypkens,  R.  2010.  “Risk  Properties  and  Parameter  Estimation  on Mean Reversion and GARCH Model”. University of South Africa.
[9] Lewis,  F.L.  1986.  “Optimal  Estimation  with  an  Introduction  to Stochastic Control Theory”. Canada: John Wiley & Sons, Inc.
[10] http://www.bankofengland.co.uk/statistics/Pages/yieldcurve/default.as px. Diakses pada 17 Maret 2015