## LEFT INVERTIBLE SEMIGRUP PADA RUANG HILBERT

## LEFT INVERTIBLE SEMIGROUP ON HILBERT SPACES
Ezhari Asfa’ani 1 , Lilis Harianti Hasibuan 2§ , Miftahul Jannah 3 , Darvi Mailisa Putri 4
1 Program Studi Matematika, UIN Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: ezhariasfaani@uinib.ac.id] 2 Program Studi Matematika, UIN Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: lilisharianti@uinib.ac.id]
3 Program Studi Matematika, UIN Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: miftahuljannah@uinib.ac.id] 4 Program Studi Matematika, UIN Imam Bonjol padang, Indonesia [Email: darvimailisa@uinib.ac.id] § Corresponding Author
Received Mei 2020; Accepted Juni 2020; Published Juni 2020;

## Abstrak
Analisis Fungsional merupakan salah satu  cabang dari ilmu  Matematika yang membahas tentang ruang vektor serta pemetaan di antara ruang - ruang tersebut. Pada artikel ini membahas tentang semigrup pada ruang  Hilbert  yang  dapat  dibalik  dan  mempunyai  balikan.  Untuk  Semigrup  yang  sangat  kontinu  pada Ruang Hilbert, disini disajikan bukti singkat dari fakta-fakta bahwa inverse kiri dari semigrup yang dapat dibalik dan dapat dipilih menjadi semigrup juga. Lebih jauh pada tulisan ini akan ditunjukkan pula bahwa semigrup ini tidak perlu unik.
Kata Kunci : semigrup, ruang Hilbert, invers kiri

## Abstract
Functional  Analysis is  one branch of  Mathematics that deals  with vector  spaces and mapping between these  spaces  This  article  to  discuss  about  semigroups  on  Hilbert  Space.  For  strongly  continous semigroups on Hilbert space, we present a short proof of the fact that the left inverse of a left invertible semigroup can be chosen to be a semigroups as well. Furthermore, we show that this semigroups need not to be unique.Keywords: three-five word(s) or phrase(s), that it’s  representative for the article.
Keyword : semigroups, Hilbert Space, left invertible

## 1. Pendahuluan
Analisis  Fungsional  merupakan  salah  satu cabang  dari  ilmu  Matematika  yang  membahas tentang  ruang  vektor  serta  pemetaan  di  antara ruang  -  ruang  tersebut. Koleksi  operator  linier terbatas  pada  ruang  Hilbert  dapat  membentuk suatu  semigrup  atas  operator  linier  terbatas.  Di dalam  Analisis  Fungsional  terdapat  materi tentang  teorema  -  teorema  Semigrup  Operator
Linier Terbatas pada ruang Hilbert.
Dalam  tulisan  ini  akan  dipelajari  semigrup kiri yang tidak dapat dibalik. Dalam makalah [4] mereka  pada  tahun  1983  Louis  dan  Wexler menunjukkan  bahwa  jika  suatu  semigrup  yang sangat kontinu pada ruang Hilbert dibiarkan tidak dapat  dibalik  untuk  satu  (atau  yang  semuanya setara)  waktu  yang  cukup  positif,  maka  terdapat
Miftah J, Lilis H.H, Ezhari A, Darvi M.P.                                                                                            Left Invertible Semigrup Ruang Hilbert…
invers  kiri  yang  juga  merupakan  semigrup  yang sangat kontinu.
Bukti  menggunakan  kontrol  optimal  dan Ricatti  Equations.  Bukti  disajikan  lebih  singkat menggunakan  persamaan  Lyapunov.  Lebih  jauh lagi,  dengan  menggunakan  persamaan  Lyapunov ini,  dapat  ditunjukkan  bahwa  setiap  semigroup ivertible  kiri  adalah  perturbasi  terbatas  dari semigroup isometrik, lihat teorema 2.2.
Hasil  yang  diperoleh    pada  tulisan  ini melengkapi  yang  ditemukan  pada  [2],  [5],  dan [6], yang terutama berkonsentrasi pada hubungan antara  invertibilitas  kiri  dan  observabilitas  yang tepat.
Berikut  ini  akan  diperkenalkan  beberapa notasi.  Z  menunjukkan  Hilbert  Space  dengan produk  dalam
.  Notasi merupakan simbol dari operator pemetaan.  Domain operator a akan dilambangkan dengan D (A).
Dan  ρ(A)  menunjukkan  resolusi  yang dikirim.  Spektrum  titik  A  diberikan  oleh  σ(A). Jika  A  adalah  generator  yang  sangat  kecil  dari sebuah  semi-grup,  maka  kami  menunjukkan semigroup ini dengan T (t).

## 2. LandasanTeori
Definisi  2.1. [5] C 0 -semigrup (    ) adalah
left  invertible  jika  terdapat  suatu  fungsi
sehingga dan  untuk  setiap
, H suatu ruang Hilbert, berlaku:
‖ ‖   ‖ ‖
Lemma  2.1. [5] Misalkan merupakan
infinitesimal generator dari C 0 -semigrup ( ) dan ( ) .  Maka

## memenuhi persamaan Sylvester
〈 〉   〈 〉
Jika dan hanya jika untu  setiap Lebih lanjut, Jika X invertible, maka Yang berarti adalah  left  invers dari ( ) .
Bukti.
Akan ditunjukkan persamaan (2) ekivalen dengan 〈 〉 〈 〉 untuk  etiap , yaitu 〈 〉   〈 〉 〈 〉   〈 〉 Sehingga dengan menurunkan persamaan 〈 〉〈 〉 untuk  etiap dan evaluasi di
maka diperoleh (1).
Misalkan (1) berlaku, maka untuk , 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Diperoleh 〈 〉   〈 〉 untuk setiap
.
Karena domainnya dense maka dapat disimpulkan bahwa (2) berlaku.
Miftah J, Lilis H.H, Ezhari A, Darvi M.P.                                                                                            Left Invertible Semigrup Ruang Hilbert…
Teorema  2.1. [1] Misalkan (    ) C 0 - semigrup  pada  ruang  Hilbert  H.  Pernyataan berikut ekivalen:
1. (    ) adalah left invertible.
2. Terdapat  C 0 -semigrup (    ) sehingga untuk setiap . Bukti. ‖ ‖   ‖         ‖   ‖    ‖‖     ‖
‖    ‖ ‖ ‖   ‖     ‖ Pilih
‖    ‖ ,  maka ‖ ‖   ‖     ‖ .
Jadi (    ) left invertible.
Misalkan A adalah  infinitesimal generator  dari (    ) .  Pilih sehingga eksponensial stabil. Untuk ‖ ‖ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖ ∫ ‖ ‖ ∫ ‖     ‖ ‖ ‖ Definisikan 〈     〉   ∫ ‖     ‖ , maka: X adalah solusi dari 〈 〉   〈 〉 〈 〉 , untuk Tulis  kembali  persamaan  diatas  ke  persamaan
Sylvester:
Yang  merupakan  kasus  khusus  dari  persamaan Sylvester  secara  umum.  Berdasarkan  lemma diperoleh  bahwa  semigrup  yang  dibangun  oleh
adalah left invertible dan
Dengan ( ) adalah  semigrup  yang dibangun oleh . Akibatnya adalah  left  invers  dari .
Telah  diketahui  bahwa C 0 -semigrup  dapat diperluas ke grup jika dan hanya jika negatif dari generatornya  juga  merupakan  generator.  Untuk left  invertible  semigrup  hal  yang  sama  juga berlaku.
Teorema 2.2 [1] Misalkan A adalah infinitesimal generator  dari  C 0 -semigrup ( ) pada
ruang  Hilbert  H.  Maka ( ) adalah  left invertible jika dan hanya jika –A dapat diperluas ke  suatu  infinitesimal  generator  dari  C 0 -
semigrup.
Bukti. Asumsikan (    ) adalah  left invertible  dan (    ) adalah C 0 -semigrup sehingga .  Misalkan dengan domain merupakan infinitesimal generator dari (    ) . Untuk , Untuk dengan menggunakan kekontinuan kuat dari (    ) diperoleh
Miftah J, Lilis H.H, Ezhari A, Darvi M.P.                                                                                            Left Invertible Semigrup Ruang Hilbert…
Jadi, dan Dengan kata lain, merupakan suatu perluasan dari .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Selanjutnya  asumsikan  bahwa merupakan infinitesimal generator dari C 0 -semigrup (    ) dan merupakan suatu perluasan dari . Makan merupakan perluasan dari . Untuk dan , maka 〈 〉   〈 〉 〈 〉   〈 〉 〈 〉   〈 〉 (pertama  digunakan dan selanjutnya  digunakan untuk ).  Berdasarkan  Lemma,  maka  dapat disimpulkan . Contoh  2.1. Berikut  diberikan  contoh  semigrup
yang tidak left invertible. Misalkan semigrup pada , dengan { [   ] Diobservasi  di
maka
[   ] , diperoleh:
‖     ‖   ‖    ‖
‖ ‖   ‖    ‖
‖    ‖   ‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖
‖     ‖   ‖    ‖ ‖ ‖
[   ] ‖ ‖
Terdapat [   ] sehingga ‖    ‖ ‖ ‖ .
Contoh  2.2. Berikut  contoh  yang  menunjukkan bahwa left invers semigrup tidak unik.
Misalkan  Z  adalah  ruang  Hilbert  dan  ambil . Lebih lanjut, ambil
( )   ( ̇ ̇ )
dengan domain
{( )    |
dan √ } Dimana menyatakan  ruang  Sobolev  dari
-fungsi terdiferensial di
. Operator
didefinisikan secara similar, yaitu:
( )   ( ̇ ̇ )
dengan domain
{( )    |
dan √ }
Dapat    ditunjukkan  bahwa  operator  diatas membangun semigrup yang kontinu kuat pada H .
Untuk ( ) berlaku:
〈 ( )   ( )〉   〈 ( )   ( )〉 ∫ ̇ ̅̅̅̅̅̅̅ ∫ ( ̇ ̅̅̅̅̅̅̅) ∫ ̇ ̅̅̅̅̅̅̅ ∫ ( ̇ ̅̅̅̅̅̅̅)
[| | ] [| | ] | | | |
| | untuk Akibatnya  untuk , membangun semigrup kontraksi.
Miftah J, Lilis H.H, Ezhari A, Darvi M.P.                                                                                            Left Invertible Semigrup Ruang Hilbert…
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (1) dipenuhi untuk untuk  etiap
〈 ( )   ( )〉   〈( ) ( )〉 ∫ ̇ ̅̅̅̅̅̅̅
∫ ( ̇ ̅̅̅̅̅̅̅) ∫ ̇ ̅̅̅̅̅̅̅
∫ ( ̇
̅̅̅̅̅̅̅) [ ̅̅̅̅̅̅̅]
[ ̅̅̅̅̅̅̅] ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
√ ( √ ) ̅̅̅̅̅̅̅

## ̅̅̅̅̅̅̅
Akibatnya,  berdasarkan  lemma membangun left  invers.  Tetapi  karena  nilainya  bergantung pada maka inversnya tidak unik.
Ruang  Hilbert  merupakan  ruang  hasil  kali dalam  (pre-Hilbert)  yang  lengkap.  Ruang  pre- Hilbert  dikatakan  lengkap  jika  setiap  barisan Cauchy  di  dalamnya  konvergen.  Pada  ruang Hilbert  terdapat  jenis-jenis  operator  linear diantaranya operator adjoint dan operator normal.
Pembahasan mengenai operator normal memerlukan konsep ruang Hilbert, operator linear kontinu dan operator adjoint.
Metode  yang  digunakan  penulis  dalam penyusunan  tulisan  ini  adalah  metode  tinjauan pustaka (study literature), yaitu dengan memahami beberapa buku tentang Ruang Hilbert,
Operator Linier Terbatas, Semigrup.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Misalkan (    ) C 0 -semigrup  pada  ruang
Hilbert H . Pernyataan berikut ekivalen:
1. (    ) adalah left invertible.
2. Terdapat C 0 -semigrup (    ) sehingga untuk setiap . ‖ ‖   ‖         ‖   ‖    ‖‖     ‖
‖    ‖ ‖ ‖   ‖     ‖ Pilih ‖    ‖ , maka ‖ ‖
‖     ‖ . Jadi (    ) left invertible.
Misalkan A adalah  infinitesimal  generator  dari
(    ) .  Pilih sehingga
eksponensial stabil. Untuk ‖ ‖ ∫ ‖ ‖ ‖ ‖
∫ ‖ ‖ ‖ ‖ ∫ ‖ ‖ ∫ ‖     ‖ ‖ ‖ Definisikan 〈     〉   ∫
‖     ‖ , maka: X adalah solusi dari
〈 〉   〈 〉 〈 〉 , untuk
Miftah J, Lilis H.H, Ezhari A, Darvi M.P.                                                                                            Left Invertible Semigrup Ruang Hilbert…

## 5. Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Pengelola  Rumah  Jurnal  UIN  Imam  Bonjol Padang
2. MAp  Journal  Program  Studi  Matematika
UIN Imam Bonjol Padang 3. Rekan-Rekan Dosen Program Studi Matematika UIN Imam Bonjol Padang 4. Para  penulis  Map  Journal  Program  Studi Matematika UIN Imam Bonjol Padang
5. Kepada  Tim  editor  yang  telah  memberikan masukan terhadap kebaikan tulisan ini.

## Daftar Pustaka
[1]  R.F. Curtain., H.J. Zwart. 1995. An Introduction to Infinite-Dimensional Linear System Theory, Springer-Verlag. New York.
[2]  B.H. Haak, E.M.Ouhabaz, Exact Observability, square function , 2012, J.Func Anal, 262(6), 8(2), pp.2903-2927 [3]  M. Haase, 2004. Decomposition theorem for generator of strongly continuos groups on Hilbert spaces , J.Operator Theory, 52(1),pp 21-37
[4]  J.C. Louis, D.Wexler.1983. On Exact Controllability In Hilbert Spaces . Jurnal of Differential Equation. 49,pp 258-269.
[5]  G.Q.Xu, C. Liu, Y.F. Shang.2000. Characteristic of Left invertible semigroups and admissibility of observasion operation , System and Control Letters, 58(8),pp. 561- 566.
[6]. G.Q. Xu, Y.F.Shang, Characteristic of left invertible semigroups and admissibility of abservation operators,System and Contol Letters, 58(8),pp. 561-566,2009
[7]  Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. UGM, Yogyakarta.
[8]  F. Kappel, W. Schappacher: Strongly continuous semigroups–an introduction, preprint . 5.