Vol. 17, No. 2,  202-218,  January, 2021 DOI: 10.20956/jmsk.v17i2.11166
___________________________  Program Studi Matematika, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Gorontalo Email : 1 unimran01@gmail.com, 2* resmawan@ung.ac.id , 3 achmadnovianita@gmail.com,
4 agusyarif@ung.ac.id
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## SEIPR-Mathematical Model of the Pneumonia Spreading in Toddlers with Immunization and Treatment Effects

## Model Matematika SEIPR Penyebaran Penyakit Pneumonia pada Balita dengan Faktor Imunisasi dan Pengobatan
Rusniwati S. Imran 1* , Resmawan 2* , Novianita Achmad 3* , Agusyarif Rezka Nuha 4*

## Abstract
This  research  discussed  the  SEIPR  mathematical  model  on  the  spread  of  pneumonia among  children  under  five  years  old.  The  development  of  the  model  was  done  by considering factors of immunization and treatment factors, in an effort to reduce the rate of spread of pneumonia. In this research, mathematical model construction, stability analysis, and numerical simulation were carried out to see the dynamics of pneumonia cases in the population.  The  model  analysis  produces  two  equilibrium  points,  which  are  the equilibrium  point  without  the  disease,  the  endemic  equilibrium  point,  and  the  basic reproduction  number  ( )  as  the  threshold  value  for  disease  spread.  The  point  of equilibrium without disease reaches a stable state at the moment
, which indicates that  pneumonia  will  disappear from  the  population,  while  the  endemic  equilibrium  point reaches a stable state at that time
, which indicates that the disease will spread in the  population.  Furthermore,  numerical  simulations  show  that  increasing  the  rate parameters  of  infected  individuals  undergoing  treatment  ( ),  the  treatment  success  rate ( ), and the immunization proportion ( ), could suppress the basic reproductive number so that control of the disease spread rate can be accelerated.
Keywords: Pneumonia,  SEIPR-Mathematical  Model,  Equilibrium  Point,  Basic Reproduction Number.

## Abstrak
Penelitian ini membahas model matematika SEIPR pada penyebaran penyakit pneumonia pada balita. Pengembangan model dilakukan dengan mempertimbangkan faktor imunisasi dan pengobatan, sebagai upaya untuk menekan laju penyebaran penyakit pneumonia. Pada penelitian  ini  dilakukan  konstruksi  model  matematika,  analisis  stabilitas,  dan  simulasi numerik  untuk  melihat  dinamika  kasus  pneumonia  pada  populasi.  Analisis  model menghasilkan  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit,  titik kesetimbangan  endemik,  dan  bilangan  reproduksi  dasar )  sebagai  nilai  ambang  batas
terjadinya  penyebaran  penyakit.  Titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit  mencapai  kondisi stabil pada saat , yang menunjukkan bahwa penyakit pneumonia akan menghilang dari  populasi,  sedangkan  titik  kesetimbangan  endemik  mencapai  kondisi  stabil  pada  saat , yang menunjukkan bahwa penyakit akan menyebar dalam populasi. Selanjutnya, simulasi numerik menunjukkan bahwa peningkatan parameter laju individu terinfeksi yang menjalani  pengobatan  ( ),  tingkat  keberhasilan  pengobatan  ( ),  dan  proporsi  imunisasi ( ),  dapat  menekan  angka  bilangan  reproduksi  dasar,  sehingga  pengendalian  laju penyebaran penyakit dapat dipercepat.
Kata  kunci: Pneumonia,  Model  Matematika  SEIPR,  Titik  Kesetimbangan,  Bilangan, Reproduksi Dasar

## 1.  Pendahuluan
Pemodelan  matematika  merupakan  salah  satu  cara  untuk  merepresentasikan  permasalahan yang terjadi di dunia nyata ke dalam bentuk matematika berupa persamaan atau sistem persamaan [10].  Pemodelan  matematika  dapat  diterapkan  dalam  berbagai  bidang  ilmu  pengetahuan diantaranya  biologi,  ekonomi,  kesehatan  atau  lainnya.  Pemodelan  matematika  juga  dapat menggambarkan fenomena penyebaran suatu penyakit. Salah satu fenomena penyebaran penyakit yang  dapat  dikaji  melalui  pendekatan  model  matematika  yaitu  tentang  penyebaran  penyakit pneumonia.
Menurut badan kesehatan dunia atau World Health Organization (WHO), pneumonia adalah salah  satu  infeksi  saluran  pernapasan  akut  (ISPA)  yang  menyerang  paru-paru  yang  disebabkan oleh berbagai mikroorganisme seperti virus, jamur dan bakteri, sehingga paru-paru akan terisi oleh cairan yang dapat menyulitkan seseorang bernafas. Pneumonia sering terjadi pada bayi di bawah usia  lima  tahun  (balita)  dan  menjadi  penyebab  tertinggi  kematian  dari  2  juta  anak  setiap  tahun [20].  Penderita  pneumonia  di  indonesia  pada  tahun  2017  berjumlah  447.431.  Prevalensi pneumonia tahun 2013 (1,6%) naik menjadi (2%) dari populasi balita yang ada di Indonesia pada tahun 2018 [7, 16].
Penggunaan model matematika dalam upaya penanganan penyakit pneumonia telah banyak dilakukan sebelumnya. Jacob [6] meneliti model penyebaran penyakit pneumonia dengan asumsi bahwa  penyakit  pneumonia  bisa  disebabkan  karena  bawaan  sejak  lahir  sehingga  penelitian  ini memperhatikan  faktor carries (faktor  bawaan).  Selanjutnya  Rahmawati  [13]  melakukan pengembangan dengan menambahkan asumsi bahwa individu yang sembuh akan kembali menjadi rentan  setelah  2  tahun  yang  disebabkan  karena  hilangnya  kekebalan  tubuh.  Penelitian  lain dilakukan  oleh  Fajar  [4]  dengan  memperhatikan  faktor host yaitu  kondisi  imun  lemah  dan vaksinasi sebagai faktor pengendali penyakit pneumonia. Beberapa penelitian lain yang membahas masalah pneumonia dalam perspektif pemodelan dapat dilihat pada [9, 11,12].
Pada  penelitian  ini,  model  matematika  penyebaran  penyakit  pneumonia  dari  Fajar  [4] dimodifikasi  dengan  menambahkan  kelas exposed (E)  yakni  individu  terinfeksi  tetapi  belum menunjukkan  gejala  klinis  dan  belum  dapat  menularkan  penyakit  [2],  selanjutnya  menambahkan faktor pengobatan bagi individu yang terinfeksi karena penderita pneumonia diberikan pengobatan dengan  obat  antibiotik  [17],  dan  memperhatikan  faktor  imunisasi  yang  diberikan  pada  setiap individu  yang  lahir  agar  terhindar  dari  penyakit  pneumonia  [2],  serta  memperhatikan  faktor bawaan yakni balita yang memiliki penyakit paru-paru bawaan dari orang tuanya. Penyakit paru- paru  bawaan  menjadi  salah  satu  faktor  resiko  terjadinya  pneumonia  pada  balita  [8].  Kemudian dibentuk  sistem  persamaan  diferensial  untuk  penyebaran  penyakit  pneumonia  dengan  faktor imunisasi dan pengobatan, selanjutnya dilihat perilaku solusi dari titik kesetimbangan agar dapat
dianalisa  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  tersebut,  dan  melakukan  simulasi  numerik  untuk melihat dinamika penyebaran penyakit pneumonia.

## 2. Model Matematika
Dalam artikel ini, beberapa asumsi yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
1. Model  matematika  terbentuk  dari  lima  populasi  yang  saling  berinteraksi  yaitu  populasi Susceptible adalah  individu  sehat  tetapi  rentan  terhadap  penyakit  pneumonia  yang dinotasikan  dengan  S,  populasi Exposed adalah  individu  laten  atau  terpapar  penyakit pneumonia  yang  dinotasikan  dengan  E,  populasi Infected adalah  individu  terinfeksi penyakit pneumonia yang dinotasikan dengan I, dan populasi Pengobatan adalah individu terinfeksi yang diberi pengobatan yang dinotasikan dengan P, dan populasi yang Recovery adalah populasi yang sembuh yang dinotasikan dengan R.
2. Populasi  bersifat  tertutup,  artinya  penambahan  atau  pengurangan  populasi  hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kematian.
3. Setiap  individu  yang  lahir  yang  tidak  mendapatkan  imunisasi  akan  rentan  terhadap penyakit pneumonia.
4. Imunisasi  yang  diberikan  efektif  dan  berhasil,  sehingga  membuat  individu  yang mendapatkan imunisasi berpindah ke populasi Recovery (R).
5. Penyakit dapat menyebabkan kematian.
6. Setiap populasi terdapat kematian alami sebesar
7. Adanya  interaksi  antara  individu  rentan  dan  individu  terinfeksi  sehingga  menyebabkan individu dalam kompartemen (Susceptible) berpindah ke kelas E (Exposed) .
8. Pada saat individu laten (E) mengalami penurunan daya tahan tubuh maka akan membuat virus pneumonia menjadi aktif sehingga menjadi individu yang terinfeksi.
9. individu  rentan  yang  memiliki  penyakit  paru-paru  bawaan  ketika  berinteraksi  dengan individu  terinfeksi  maka  akan  aktif  terinfeksi  penyakit  pneumonia.  Populasi  terinfeksi yang menjalani pengobatan sebesar .
Berdasarkan asumsi tersebut diperoleh diagram kompartemen yang ditunjukkan pada Gambar 1
Gambar 1. Skema Populasi Model SEIPR untuk Penyebaran Penyakit Pneumonia
Berdasarkan  diagram  kompartemen  pada  Gambar  1,  diperoleh  sistem  persamaan  diferensial berikut,
)
) ) )          )                                           ) )
Selanjutnya  dilakukan  penskalaan  untuk  memudahkan  proses  analisis  model.  Dengan mendefinisikan  variabel-variabel  baru  yang  didefinisikan  pada  persamaan  berikut  :
,
, , , , sistem persamaan diatas menjadi,

## )
) ) )          )                                                  ) )
Adapun parameter-parameter yang digunakan pada persamaan (2) disajikan pada Tabel 1
Tabel 1. Keterangan Parameter Model
Laju kelahiran Laju kematian alami
Laju kematian karena penyakit
Laju penularan penyakit akibat adanya kontak antara populasi terinfeksi dengan populasi rentan
Laju individu laten menjadi individu yang aktif terinfeksi
Proporsi individu rentan yang memiliki penyakit paru-paru bawaan sejak lahir ) Proporsi imunisasi )
Laju individu terinfeksi yang menjalani pengobatan
Proporsi individu kelas pengobatan sembuh )
Peluang individu sembuh dengan pengobatan

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Titik Kesetimbangan
Untuk  menentukan  titik  kesetimbangan  pada  sistem  persamaan  (2),  dapat  dicari  dengan menyelesaikan  persamaan  tersebut  dengan
.Dari  penyelesaian persamaan tersebut diperoleh dua titik kesetimbangan sebagai berikut :
1. Titik Kesetimbangan Tanpa Penyakit Pneumonia ) )   ( ) ) 2. Titik Kesetimbangan Endemik ) ) ) dengan )(      )      )          ) ) )      ) )          )       )      )          )(      )      )          ) ) )       )      ) )       )      ) )(      )      )          ) ) ) )       ) )(      )      )          ) ) ) )      )      )             )                    ) ) ) )(      )      )          ) ) 3.2. Bilangan Reproduksi Dasar ) Tingkat  penyebaran  suatu  penyakit  menular  dalam  suatu  wilayah  dapat  ditunjukkan  oleh nilai  bilangan  reproduksi  dasar ) [3] . Bilangan  reproduksi  dasar  diperoleh  dengan menggunakan metode matriks next generation . Penggunaan metode ini secara spesik dapat dilihat pada [14, 15] . Matriks next generation dapat diperoleh dari kelas populasi terinfeksi pada sistem persamaan (2). Sehingga kelas populasi terinfeksi dapat ditulis sebagai berikut:

## ) ) )          )                                                  ) )
Berdasarkan persamaan (3) diperoleh matriks F dan V sebagai berikut
[ ) ] , [ ) ) ]                                       )
Selanjutnya dilakukan subtitusi titik kesetimbangan tanpa penyakit pneumonia
yakni )   ( ) ) pada persamaan (3), sehingga diperoleh:

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
[
) ))
)) ]
, [ )
) ]                                       )
Berdasarkan [18] bilangan reproduksi dasar merupakan radius spektral dari matriks K, dengan
. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

## )       )      )
)(      )      )          ) ) )
Persamaan  (5)  adalah  nilai  ambang  batas  yang  menjadi  tolak  ukur  tingkat  penyebaran populasi  terinfeksi.  Kondisi  yang  memungkinkan  berdasarkan  [3]  terdapat  pada  Definisi  (3.1) sebagai berikut.
Definisi 3.1 Jika titik kesetimbangan tanpa penyakit stabil asimtotik lokal, sehingga tidak terjadi penyebaran penyakit. Selanjutnya jika
titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik lokal, sehingga terjadi penyebaran penyakit pneumonia.

## 3.3. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Model penyebaran penyakit pneumonia diatas merupakan sistem persamaan diferensial non- linear  [1].  Analisis  kestabilan  untuk  sistem  persamaan  diferensial  non-linear  dilakukan  dengan teknik  pelinearan  yang  menggunakan  matriks Jacobian [19].  Berdasarkan  persamaan  (2)  maka diperoleh matriks jacobian sebagai berikut:
[
) ) ) ]
)

## 3.3.1. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Tanpa Penyakit
Selanjutnya,  Untuk  memperoleh  kestabilan  sistem  dititik  kesetimbangan  tanpa  penyakit, substitusi titik kesetimbangan pada matriks jacobi (6), sehingga diperoleh :
[
] ) dengan )
)
)      ))
)) )
Langkah  selanjutnya  yaitu  mencari  persamaan  karakteristik  diperoleh  dari ( )) , sehingga diperoleh ) ) ( ) )( ) ))) )
Berdasarkan persamaan (8) diperoleh lima nilai eigen. Dua nilai eigen diantaranya adalah
Karena  semua  paramater  bernilai  positif  maka
,  dan  untuk  ketiga  nilai  eigen lainnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaaan kubik berikut
)
dengan :
)                   )           ) )       )      ) )      )      )          ) ) )       )      )
Akar-akar persamaan (9) merupakan nilai-nilai eigen lain dari persamaan karakteristik (8) yaitu
, , . Berdasarkan sifat akar persamaan kubik, diperoleh sistem persamaan berikut.

## )
i. Tinjau
Berdasarkan persamaan (5),
mengakibatkan
)       )      )
)(      )      )          ) ) )       )      ) )(      )      )          ) ) Karena , maka )       )      ) )(      )      )         ) )
)       )      ) )      )          )
)       ) )          ) Karena , maka )        ) )       ) )          )

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
)        ) )          ) )        )) )          ) ) ) ) ) Karena , ,  dan ,  mengakibatkan ,  maka  jumlah  dari  ketiga nilai eigen tersebut bernilai negatif
) . Hal ini menandakan di antara ketiga nilai eigen  tersebut,  selalu  ada  yang  bernilai  negatif,  anggap
.  Selanjutnya  untuk  memeriksa kestabilan titik kesetimbangan cukup dengan memperhatikan dan . Jika dan , maka  titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit  akan  stabil,  sedangkan  jika dan ,  maka
titik kesetimbangan tidak stabil.
ii. Tinjau Berdasarkan persamaan (5), mengakibatkan )       )      ) )(      )      )          ) ) )       )      ) ) (      )      )          ) ) Karena , maka )       )      ) ) (      )      )         ) ) )       )      ) ) )          ) )       ) ) ) )(            )) ) )
)(            )) )               )
)(            )) (                )                   )) )(            )) )              ) )
)(            )) )               ) ) )                   ) ) )(            ))
iii. Tinjau
Berdasarkan persamaan (5),
mengakibatkan )       )      ) )(      )      )          ) )
)       )      ) )(      )      )          ) )
)(      )      )          ) ) )       )      ) Karena dan ,  maka  nilai  dari  persamaan  kedua  dan  ketiga  dari  persamaan (10) memenuhi kondisi berikut ) ) ) Karena < 0 dan kondisi (12) terpenuhi, maka diperoleh )
Berdasarkan kondisi (11) dan (13) diperoleh
)
Kondisi (12) dan (13) hanya dapat terpenuhi jika dan hanya jika dan . Dengan demikian,  semua  nilai  eigen  dari  persamaan  karakteristik  (8)  bernilai  negatif,  sehingga  titik kesetimbangan tanpa penyakit bersifat stabil.

## 3.3.2. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemik
Untuk  memperoleh  kestabilan  sistem  dititik  kesetimbangan  endemik,  substitusi  titik kesetimbangan pada matriks
(6), sehingga diperoleh :
[
] ) dengan ( )     )    ) )(    )    )      ) ) ) )(    )    )      ) ) )    ) ) )(      )      )          ) ) )      ) ) ) ( )       )      ) )(      )      )          ) ) ) )    )(    )    )      ) ) )    ) ( )       )      ) )(      )      )          ) ) )
Langkah selanjutnya yaitu mencari persamaan karakteristik diperoleh dari ( )) , sehingga diperoleh
)( ) ) ) ) ) ) ))                                                                                     )
Berdasarkan persamaan (15) diperoleh lima nilai eigen. Satu nilai eigen diantaranya adalah
Karena  semua  paramater  bernilai  positif  maka
dan  untuk  keempat  nilai  eigen  lainnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaaan berikut
) dengan:
)       )      ) )      )      )          ) )
dimana
)         )             ) )       )      ) )      )      )          ) ) )(      )      )          ) ) )      ) ( )       )      )                   ) )      )      )          ) ) ) ( ) )  )   ( (       )         ))) )      ) ) ( (       )( ) ))            ) )      ) )      ) ) ( (          ))   ( ))   ( (        )          ))) )      ) ) (        )       )      ))( )                   )           )) )      )      )          ) ) (       ))(            ))(      )      )          ) )

## )      )
Akar-akar  karakteristik  dari  persamaan  (16)  akan  dicari  menggunakan  kriteria  Routh Hurwitz.  Berdasarkan  kriteria  Routh  Hurwitz.  Persamaan  karakteristik  (16)  memiliki  akar-akar karakteristik real negatif atau memiliki bagian real negatif jika dan hanya jika:
i. ii. jika iii. jika iv. jika v. jika vi. jika vii.
) jika
dengan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Karena dan  Persamaan  karakteristik  (16)  memiliki  akar-akar  karakteristik  real negatif  atau  memiliki  bagian  real  negatif,  maka  semua  nilai  eigen  dari  persamaan  (8)  bernilai negatif yaitu ,
,
, , dan . Sehingga titik kesetimbangan endemik
bersifat stabil.

## 3.4. Simulasi Model
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  simulai  terhadap  model  yang  di  modifikasi  dengan mengggunakn software Phyton 3.7 untuk  memperkuat hasil analisis dan menunjukkan kestabilan masing-masing  titik  kesetimbangan  dengan  menggunakan  nilai-nilai  pada  Tabel  (2).  Simulasi numerik  digunakan  untuk  mempelajari  hal-hal  yang  terjadi dalam  dinamika  populasi  penyebaran penyakit  pneumonia  dengan  faktor  pengobatan  dan  imunisasi,  serta  melakukan  variasi  nilai parameter,  yaitu  parameter  yang  masih  memungkinkan  untuk  dikontrol  manusia  dalam  upaya penekanan  penyebaran  penyakit  pneumonia,  diantaranya  adalah  parameter  pengobatan  yaitu  laju individu  terinfeksi  yang  menjalani  pengobatan,  dan  proporsi  keberhasilan  pengobatan,  serta parameter imunisasi yaitu proporsi imunisasi.
Tabel 2 . Nilai Parameter untuk kondisi dan Parameter Sumber 0,8 0,8 Asumsi 0,4 0,3 Asumsi 0,3 0,3 [5] 0,5 0,98 Asumsi 0,91 0,91 [5] 0,3 0,3 Asumsi 0,5 0,3 Asumsi 0,55 0,55 [5] 0,7 0,01 Asumsi 0,91 0,91 [5]

## 3.4.1. Dinamika Populasi Untuk
Dinamika  populasi  pada  kondisi ditunjukan  pada  Gambar  2  dengan  menggunakan nilai parameter pada Tabel 1 dengan nilai bilangan reproduksi dasar sebesar
.
Gambar 2 . Dinamika Populasi Untuk

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Gambar (2) menunjukkan bahwa masing-masing populasi menuju titik tetap tanpa penyakit atau  stabil  di  sekitar  titik  tetap  tanpa  penyakit.  Populasi  rentan  mengalami  penurunan  jumlah populasi dari nilai awal kemudian mengalami kenaikan jumlah populasi hingga mencapai kondisi stabil di sekitar titik . Sedangkan, populasi laten dan populasi infeksi mengalami penurunan jumlah populasi dari nilai awal hingga mencapai kondisi stabil di sekitar titik . Dan untuk  populasi  pengobatan  mengalami  peningkatan  jumlah  populasi  dari  nilai  awal  kemudian mengalami  penurunan  hingga  mencapai  kondisi  stabil  disekitar  titik .  Adapun  populasi sembuh mengalami peningkatan jumlah populasi dari nilai awal hingga mencapai kondisi stabil di sekitar titik .

## 3.4.2. Dinamika Populasi Untuk
Dinamika  populasi  pada  kondisi ditunjukan  pada  Gambar  3  dengan  menggunakan nilai parameter pada Tabel 1 dengan nilai bilangan reproduksi dasar sebesar .
Gambar 3 . Dinamika Populasi Untuk
Gambar  (3)  menunjukkan  bahwa  masing-masing  populasi  menuju  titik  tetap  endemik  atau stabil di sekitar titik tetap endemik. Populasi rentan mengalami peningkatan jumlah populasi dari nilai  awal,  kemudian  mengalami  penurunan  jumlah  populasi  hingga  mencapai  kondisi  stabil  di sekitar  titik
atau  sekitar  4571  orang.  Sedangkan,  populasi  laten  dan  populasi infeksi  mengalami  penurunan  jumlah  populasi  dari  nilai  awal,  kemudian  pada  waktu  tertentu mengalami  peningkatan  jumlah  populasi  hingga  mencapai  kondisi  stabil  di  sekitar  titik atau sekitar 661 orang dan
atau sekitar 1275 orang. Dan untuk populasi pengobatan  mengalami  peningkatan  jumlah  populasi  dari  nilai  awal  hingga  mencapai  kondisi stabil disekitar titik
atau sekitar 579 orang. Adapun populasi sembuh mengalami peningkatan  jumlah  populasi  dari  nilai  awal  hingga  mencapai  kondisi  stabil  di  sekitar  titik atau sekitar 3217 orang.

## 3.4.3. Simulasi Laju Individu Terinfeksi yang Menjalani Pengobatan
Pada bagian ini dilakukan simulasi menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 3 dengan beberapa  variasi  nilai  parameter .  Simulasi  ini  bertujuan  untuk  melihat  pengaruh  parameter yaitu laju individu terinfeksi yang menjalani pengobatan terhadap penyebaran penyakit pneumonia terhadap  nilai dan  pengaruhnya  pada  dinamika  populasi  penyebaran  penyakit  pneumonia. Adapapun nilai-nilai parameter yang di variasikan dapat dilihat pada Tabel 3.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel 3. Hasil simulasi parameter terhadap Simulasi 1 0,1 2 0,3 3 0,5 4 0,7
Berdasarkan  Tabel  3  dapat  dilihat  bahwa  dengan  meningkatkan  nilai  parameter menyebabkan  nilai menurun,  sehingga  upaya  yang  harus  dilakukan  untuk  menekan  laju penyebaran  penyakit  pneumonia  yaitu  dengan  meningkatkan  laju  individu  terinfeksi  yang menjalani pengobatan. Hasil simulasi pengaruh parameter pada dinamika penyebaran penyakit pneumonia dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4. Simulai laju individu terinfeksi yang menjalani pengobatan
Gambar (4) menunjukkan  bahwa pengobatan mempunyai peran yang cukup penting dalam menekan penyebaran penyakit pneumonia yang ditandai dengan adanya jumlah populasi manusia laten dan terinfeksi yang berkurang dari jumlah populasi sebelumnya.

## 3.4.4. Simulasi Proporsi Individu Kelas Pengobatan Sembuh
Pada bagian ini dilakukan simulasi menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 dengan beberapa  variasi  nilai  parameter .  Simulasi  ini  bertujuan  untuk  melihat  pengaruh  parameter yaitu  proporsi  keberhasilan  pengobatan  pada  individu  terinfeksi  terhadap  penyebaran  penyakit pneumonia  terhadap  nilai dan  pengaruhnya  pada  dinamika  populasi  penyebaran  penyakit pneumonia. Adapapun nilai-nilai parameter yang di variasikan dapat dilihat pada Tabel 4.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel 4. Hasil simulasi parameter terhadap Simulasi 1 0,3 2 0,5 3 0,7 4 0,9
Berdasarkan  Tabel  4  dapat  dilihat  bahwa  dengan  meningkatkan  nilai  parameter menyebabkan  nilai menurun,  sehingga  upaya  yang  harus  dilakukan  untuk  menekan  laju penyebaran  penyakit  pneumonia  yaitu  dengan  meningkatkan  proporsi  keberhasilan  pengobatan yang  diberikan  pada  individu  terinfeksi.  Hasil  simulasi  pengaruh  parameter pada  dinamika penyebaran penyakit pneumonia dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5. Simulai proporsi individu kelas pengobatan sembuh
Gambar (5) menunjukkan bahwa proporsi keberhasilan pengobatan mempunyai peran yang cukup penting  dalam  menekan  penyebaran  penyakit  pneumonia  yang  ditandai  dengan  adanya  jumlah populasi manusia terinfeksi yang berkurang dari jumlah populasi sebelumnya.

## 3.4.5. Simulasi Proporsi Imunisasi
Pada bagian ini dilakukan simulasi menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 4 dengan beberapa  variasi  nilai  parameter .  Simulasi  ini  bertujuan  untuk  melihat  pengaruh  parameter yaitu  proporsi  imunisasi  yang  diberikan  pada  setiap  individu  yang  lahir  terhadap  nilai dan pengaruhnya  pada  dinamika  populasi  penyebaran  penyakit  pneumonia.  Adapapun  nilai-nilai parameter yang di variasikan dapat dilihat pada Tabel 5.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel 5. Hasil simulasi parameter terhadap Simulasi 1 0,5 2 0,52 3 0,54 4 0,56
Berdasarkan  Tabel  5  dapat  dilihat  bahwa  dengan  meningkatkan  nilai  parameter menyebabkan  nilai menurun,  sehingga  upaya  yang  harus  dilakukan  untuk  menekan  laju penyebaran  penyakit  pneumonia  yaitu  dengan  meningkatkan  proporsi  imunisasi  yang  diberikan pada setiap individu  yang  lahir.  Hasil  simulasi  pengaruh  parameter pada  dinamika  penyebaran penyakit pneumonia dapat dilihat pada Gambar 6.
Gambar 6. Simulai proporsi imunisasi
Gambar  (6)  menunjukkan  bahwa  penyebaran  penyakit  pneumonia  dapat  berkurang  dengan adanya  imunisasi  pada  setiap  individu  yang  lahir,  hal  tersebut  ditandai  dengan  adanya  jumlah populasi  rentan  yang  berkurang,  serta  jumlah  populasi  sembuh  meningkat.  Dengan  demikian tingkat  imunisasi  memiliki  peran  yang  cukup  penting  dalam  menekan  penyebaran  penyakit pneumonia.

## 4.  Kesimpulan
Model  SEIPR  pada  penyebaran  penyakit  pneumonia  pada  balita  dengan  faktor  imunisasi dan  pengobatan  memiliki  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit  dan titik  kesetimbangan  endemik.  Titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit  mencapai  kondisi  stabil  pada saat yang  menunjukkan  bahwa  dalam  jangka  waktu  tertentu  penyakit  akan  menghilang dari  populasi,  sedangkan  titik  kesetimbangan  endemic  mencapai  kondisi  stabil  pada  saat yang  menunjukkan  bahwa  penyakit  akan  tetap  menyebar  dalam  populasi.  Hasil  simulasi menunjukkan  bahwa  peningkatan  nilai  laju  individu  terinfeksi  menjalani  pengobatan,  tingkat keberhasilan pengobatan, dan proporsi imunisasi dapat menekan angka bilangan reproduksi dasar ) sehingga penyebaran penyakit dalam populasi dapat dikendalikan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1].   Ault,  J.C  &  Ayres,  Frank.  (1999). Persamaan  Diferensial  dalam  satuan  SI  Metric . Erlangga, Jakarta.
[2].     Dinkes Surabaya. Infeksi Saluran Pernafasan Akut dan Pneumonia Pada Anak, (2013). URL http://dinkes.surabaya.go.id . [17 Desember 2019]
[3].     Driessche,  P.  &  Watmough,  J.  2002.  Reproduction  Number  and  Subtreshold  Endemic Equilibrium  for  Compartmental  off  Disease  Transmission. Mathematical Biosciences , 180:29–48.
[4].     Fajar,  R.,  Sari,  M.,  Kurniastuti,  I.,  &  I.,  L.  (2016).  Analisis  Kestabilan  Model  Matematika Penyebaran  Infeksi  Penyakit  SARS  dengan  Faktor  Host  dan  Vaksinasi. Seminar  Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY .
[5].    Fajariyah,  N.  I.,  Sukestiyarno,  Y.  L.,  &  Junaedi,  I.  (2018).  Pemodelan  Matematika Penyebaran Penyakit Tuberkulosis Dengan Strategi DOTS. UNNES Journal of Mathematics , Vol. 7, No. 2, 136-137.
[6].    Jacob,  O.,  Joseph,  M.,  &  Paul,  O.  (2013).  Mathematical  Model  for  Pneumonia  Dynamics with Carriers. Journal of Math , Vol. 7, No. 50, 2457–2473.
[7].     Kemenkes  RI.  (2017). Data  dan  Informasi  ProfilKesehatan  Indonesia  2017 .  Kementerian Kesehatan Republik Indonesia, Jakarta.
[8].     Kaneshiro,  N.  K.  &  Zieve,  D.  Pneumonia  –  Children  –  Community  Acquired,  2016.  URL https://medlineplus.gov/ency/article/007690.htm . [17 Desember 2019]
[9].    Mbabazi,  F.  K.,  Mugisha,  J.  Y.  T.,  &  Kimathi,  M.  (2020).  Global  Stability  of Pneumococcal  Pneumonia  with  Awareness  and  Saturated  Treatment. Journal  of Applied Mathematics , 2020 , 1–12. https://doi.org/10.1155/2020/3243957
[10].   Ndii, M. Z. P. (2018). Pemodelan Matematika . CV Budi Utama, Yogyakarta.
[11]. Otoo, D., Opoku, P., Charles, S., & Kingsley, A. P. (2020). Deterministic epidemic model  for  ( )  pneumonia  dynamics,  with  vaccination  and  temporal
immunity. Infectious Disease Modelling , 5 , 42–60.
https://doi.org/10.1016/j.idm.2019.11.001
[12].  Rahman,  K.  S.,  Mitkari,  S.  R.,  &  Shaikh,  S.  (2020).  Modeling  the  Impact  of Vaccination,  Screening,  Treatment  on  the  Dynamics  of  Pneumonia. Journal  of Scientific Research , 12 (4), 525–536. https://doi.org/10.3329/jsr.v12i4.45815
[13].   Rahmawati,  H.,  Widowati,  &  Kartono.  (2015).  Analisa  Kestabilan  Model  Matematika Penyakit Pneumonia Dengan Carriers. Jurnal Matematika , 4(2).
[14].  Resmawan,  R.,  &  Nurwan,  N.  (2017). Konstruksi  Bilangan  Reproduksi  Dasar  pada  Model Epidemik  SEIRS-SEI  Penyebaran  Malaria  dengan  Vaksinasi  dan  Pengobatan. Jurnal Matematika Integratif , 13(2), 105. https://doi.org/10.24198/jmi.v13.n2.12332.105-114 .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
[15]. Resmawan, R., & Yahya, L. (2020). Sensitivity Analysis of Mathematical Model of Coronavirus  Disease  (COVID-19)  Transmission. CAUCHY , 6 (2),  91–99. https://doi.org/10.18860/ca.v6i2.9165
[16].  Riskesdas.  Badan  Penelitian  dan  Pengembangan  Kesehatan  Kementerian  RI.  (2018).  URL http://www.depkes.go.id/resources/download/info-terkini/hasil-riskesdas-2018.pdf . [17 Desember 2019]
[17].  Setiati, S., Alwi, I., Sudoyo, A., Simadibrata, M., Setiyohadi, B., & Syam, A. (2015). Buku Ajar Ilmu Penyakit Dalam . Interna Publishing, Jakarta Pusat.
[18].   Susanti,  N.  D.  (2016). Analisis  Perhitungan  Bilangan  Reproduksi  Dasar  (R0)  pada  Model Matematika  Dinamika  Malaria  Host-Vector .  Skripsi,  Universitas  Islam  Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
[19].   Tu,  P.  (1994). Dyamical  System:  An  Introduction  with  Applications  in  Economics  and Biology . Springer-Verlag, New York.
[20].   WHO.  Pneumonia.  (2016).  URL http://www.who.int/news-room/factsheets/detail/pneumon ia [17 Desember 2019]