JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 4, Tahun 2020, Halaman 505 - 514 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
EXPECTED SHORTFALL DENGAN PENDEKATAN GLOSTEN-

## JAGANNATHAN-RUNKLE GARCH DAN GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION
Lisa Tanasya 1 , Di Asih I Maruddani 2 , Tarno 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains Matematika, Universitas Diponegoro e-mail: ltanasya@gmail.com

## ABSTRACT
Stock is a type of investment in financial assets that are many interested by investors. When investing, investors must calculate the expected return on stocks and notice risks that will  occur. There are several methods can be used to measure the level of risk one of which is Value at Risk (VaR),  but these method often doesn’t fulfill coherence as a risk measure because it doesn’t fulfill the nature of subadditivity. Therefore, the Expected Shortfall (ES) method is used to accommodate these weakness. Stock return data is time series data which has heteroscedasticity and heavy tailed, so time  series models used to overcome the problem of heteroscedasticity is GARCH, while the theory for analyzing heavy tailed is Extreme Value Theory (EVT). In this study, there is also a leverage effect so used the asymmetric GARCH model with Glosten -Jagannathan- Runkle GARCH  (GJR-GARCH)  model and the EVT theory with Generalized Pareto Distribution (GPD) to calculate ES of the stock return from PT. Bank Central Asia Tbk for the period May 1, 2012-January 31, 2020. The best model chosen was ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,2).  At the 95% confidence level, the risk obtained by investors using a combination of GJR-GARCH and GPD calculations for the next day is 0.7147% exceeding the VaR value of 0.6925%.
Keywords: Expected Shortfall, Value at Risk, GJR-GARCH, GPD.

## 1. PENDAHULUAN
Pasar modal  seperti pasar pada umumnya,  yaitu  tempat bertemunya  antara penjual  dan pembeli  yang  memperjualbelikan  modal  berupa  hak  kepemilikan  perusahaan  dan  surat pernyataan hutang  perusahaan,  seperti saham dan obligasi  (Sudirman,  2015). Istilah return dan  risiko  dikenal  di  dalam  investasi.  Seorang  investor  selain  menghitung return yang diharapkan  juga  harus memperhatikan  risiko  yang harus ditanggungnya.  Salah  satu metode yang digunakan  untuk  mengukur  tingkat  risiko  adalah Value at Risk (VaR). VaR merupakan suatu  ukuran  risiko  untuk  menghitung  besarnya kerugian  maksimal  yang  dialami  investor dengan  tingkat  kepercayaan tertentu  dan periode  waktu  tertentu dalam  kondisi  pasar yang normal  (Jorion,  2002).  Ukuran  risiko  dikatakan  baik  dan  efektif  jika  memenuhi  aksioma ukuran  risiko  koheren  yaitu  sifat translational  invariance , positive  homogenity , monotonicity , dan subadditivity . VaR merupakan  standar  internasional  dalam  pengukuran risiko  finansial  namun  memiliki  kekurangan  yaitu  tidak  memenuhi  sifat subadditivity sehingga  tidak  dapat  merefleksikan  diversifikasi  yang  bertujuan  untuk  meminimu mkan risiko.  Salah  satu metode  untuk  mengatasi  kekurangan  pada VaR yaitu Expected Shortfall (ES). ES memiliki  makna besarnya nilai  risiko  yang akan ditanggung  apabila  terjadi  risiko yang  nilainya  melebihi  VaR. Selain  itu,  ES  juga  memiliki  kelebihan  yaitu  ukuran  risiko koheren dan dapat menghitung  risiko  pada data berdistribusi  normal  maupun  tidak  normal. Data return finansial  memiliki  karakteristik stylized fact , dicirikan  oleh adanya volatility clustering , ekor gemuk,  dan kebergantungan  taklinier  (Danielsson,  2011). Keberadaan ekor gemuk  mengindikasikan  peluang  terjadinya  nilai extreme .  Oleh  karena  itu,  diperlukan pemodelan  menggunakan menggunakan teori Extreme  Value  Theory (EVT)  dengan Generalized  Pareto  Distribution (GPD)  untuk  meminimalkan  kejadian underestimate terhadap  risiko. Volatility clustering yakni  suatu  keadaan yang  apabila  terjadi  variabilitas data relatif  tinggi  pada  suatu  periode  maka akan  terjadi  kecenderungan  yang  sama dalam kurun  waktu  selanjutnya  dan sebaliknya.  Hal  ini  disebut  sebagai kasus  heteroskedastisitas .
Model  runtun  waktu yang  dapat digunakan  untuk  memodelkan  kondisi  heteroskedastisitas yaitu  model  ARCH/GARCH.  Model  ARCH/GARCH  mempunyai  kelemahan  dalam menangkap  fenomena  ketidaksimetrisan good news dan bad news pada  volatilitas  sektor keuangan,  artinya antara good news dan bad news tidak seimbang.  Berdasarkan Lee (2009), kelemahan dari model  ARCH/GARCH dapat diperbaiki  salah satunya dengan menggunakan model  GARCH asimetris yaitu  Glosten-Jagannathan-Runkle  GARCH (GJR-GARCH).
Terdapat  peneliti  sebelumnya  yang  telah  membahas Expected Shortfall diantaranya, Saepudin et al . (2017)  yaitu Analisis  Risiko  Investasi Saham Tunggal  Syariah  dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES) studi kasus pada saham PT Unilever Indonesia Tbk  (UNVR)  periode  16  Februari  2016  sampai  27  Oktober  2016.  Hasil  penelitiann ya menunjukkan  bahwa nilai  risiko  kerugian investasi  saham berdasarkan nilai  ES memberikan hasil nilai  risiko  yang melebihi  VaR. Penelitian  yang dilakukan  oleh Rahmawati et al . (2019) yaitu Expected Shortfall dengan  Simulasi  Monte-Carlo  untuk  Mengukur  Risiko  Kerugian Petani Jagung studi kasus pada harga jagung  panen bulanan di Kabupaten Pemalang periode Juli  2015  sampai  Juli  2018.  Hasil  penelitiannya  menunjukkan  bahwa  ES  memenuhi  sifat koherensi  dan diperoleh  nilai  risiko  berdasarkan nilai  ES memberikan  hasil  nilai  risiko  yang melebihi  VaR. Selain  itu, terdapat peneliti  sebelumnya  yang telah membahas model  GARCH asimetris  diantaranya Tyas et al . (2019)  yaitu Perhitungan Value at Risk dengan Pendekatan Threshold Autoregressive Conditional Heteroscedasticity-Generalized Extreme Value studi kasus pada saham PT Bumi  Serpong  Damai Tbk  periode  September  2012  sampai  Oktober 2018.  Berdasarkan  penelitian  yang  dilakukannya,  data return saham  memiliki  sifat heteroskedastik, heavy  tail ,  dan  mengandung leverage  effect .  Hasil  penelitiann ya menunjukkan  bahwa  model  TARCH  dengan  pendekatan  GEV  dapat  digunakan  untuk menghitung  nilai  VaR dari data return saham yang bersifat heteroskedastik, heavy tail , dan mengandung leverage effect . Penelitian  yang  dilakukan  oleh  Lee (2009)  yaitu Forecasting Performance of Asymmetric GARCH Stock Market Volatility Models studi kasus pada harga penutupan  mingguan  KOSPI periode 6 Januari 1980 sampai 3 Mei 2009. Hasil penelitiann ya menunjukkan  bahwa  terdapat respon  asimetris  pada data return KOSPI yang  digambarkan oleh  model Quadratic GARCH  (QGARCH)  dan  Glosten-Jagannathan-Runkle  GARCH (GJR-GARCH).  Berdasarkan fenomena  tersebut,  peneliti  akan menghitung  nilai Expected Shortfall menggunakan  kombinasi  antara model  asimetris  GJR-GARCH  dengan GPD pada saham PT. Bank Central Asia Tbk  periode 1 Mei 2012  sampai 31 Januari 2020.
2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Uji Augmented Dickey-Fuller
Thomas  (1996)  menyatakan  bahwa dengan  melakukan  uji  akar unit  ( unit root ), yaitu dengan melihat  apakah terdapat akar unit  di dalam model  sudah dapat melihat  kestasioneran suatu  data.  Berikut  prosedur  pengujian  stasioneritas  data  dalam mean menggunakan  uji Augmented Dickey-Fuller  (ADF): 𝐻 0 : 𝛿 = 0 (terdapat akar unit sehingga  data tidak  stasioner) 𝐻 1 : 𝛿 < 0 (tidak terdapat akar unit  sehingga  data stasioner) Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik  uji:
𝐴𝐷𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝛿 ̂ 𝑆𝐸(𝛿 ̂) (3)
Kriteria penolakan:
𝐻 0 ditolak  jika 𝐴𝐷𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝐴𝐷𝐹 (𝑛;𝛼) atau p-value < 𝛼

## 2.2. Automatic ARIMA
Identifikasi  model  runtun  waktu  merupakan  tahap  awal  dari  pemodelan  ARIMA. Penentuan  model  ARIMA  terbaik  dapat  diperoleh  secara otomatis  menggunakan  fungsi
auto.arima() pada package forecast dalam software R  dengan  menggunakan  kriteria AIC  (Rosadi,  2011).  Penggunaan  fungsi auto.arima() ini  menggunakan  variasi algoritma  Hyndman-Khandakar  yang menggabungkan  uji unit root , minimalisasi  AIC, dan MLE  untuk  mendapatkan  model  ARIMA  (Hyndman  dan  Khandakar,  2008).  Berikut merupakan algoritma  Hyndman-Khandakar  untuk  pemodelan automatic ARIMA:
1. Menentukan  orde differencing 0 ≤ 𝑑 ≤ 2 menggunakan  uji  KPPS  (Kwiatkowski- Phillips-Schmidt-Shin test ) atau uji  akar unit  berulang.
2. Menentukan  nilai p dan q dengan meminimalkan  AIC setelah dilakukan differencing d . Algoritma  ini  menggunakan  pencarian bertahap untuk  pemodelan,  sehingga  tidak  perlu lagi  mempertimbangkan  setiap kemungkinan  kombinasi  antara p dan q .

## 2.3. Model ARCH dan GARCH
Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic (ARCH)  dikenalkan  pertama  kali oleh  Engle  (1982)  untuk  menggambarkan  karakteristik  data  runtun  waktu  dalam  bidang finansial.  Model  umum  ARCH( p ) adalah (Tsay, 2002): 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑎 𝑡−1 2 +  … + 𝛼 𝑝 𝑎 𝑡−𝑝 2
(10)
Model  ARCH( p )  dikembangkan  oleh  Bollerslev  (1986)  menjadi  model Generalized Autoregressive  Conditional  Heteroscedastic (GARCH)  untuk  menghindari  pemodelan volatilitas  dengan orde yang tinggi.  Bentuk umum  model  GARCH( p , q ) yaitu  (Tsay, 2002): 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 +  ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑞 𝑗=1 (11)

## 2.4. Uji Efek Asimetris
Engle  dan Ng (1993)  mengajukan  tiga  uji  yang digunakan  untuk  mengetahui  pengaruh asimetris  ( leverage effect ) yakni Sign Bias Test , Negative Size Bias Test , dan Positive Size Bias Test dinyatakan  dalam persamaan regresi secara bersamaan ( joint test ) sebagai berikut:
𝑎̂ 𝑡 2 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑆 𝑡−1 − + 𝑏 2 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 + 𝑏 3 𝑆 𝑡−1 + 𝑎 𝑡−1 + 𝑒 𝑡 (12)
Pengujian  hipotesis  parameter pada persamaan (12) adalah sebagai berikut:
𝐻 0 : 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0
(residual  bersifat simetris)
𝐻 1 : paling  sedikit  ada satu 𝑏 𝑖 ≠ 0 , i = 1, 2, 3 (residual  bersifat asimetris) Taraf signifikansi: 𝛼 Statistik  uji: 𝐿𝑀 = 𝑛𝑅 2 , berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas 3 (13) dengan n adalah banyaknya  data, m adalah banyaknya  lag, 𝑅 2 adalah koefisien  determinasi dalam regresi dari kuadrat residual.
Kriteria uji:
𝐻 0 ditolak  jika 𝐿𝑀 > 𝜒 (𝛼; 3) 2 atau p-value < 𝛼

## 2.5. Model GJR-GARCH
Model  GJR-GARCH  diperkenalkan  oleh  Glosten,  Jagannathan,  dan Runkle  pada tahun 1993.  Model  GJR-GARCH  merupakan  salah  satu  model  yang  mampu  menangkap keberadaan  efek  asimetris  pada  volatilitas  data.  Menurut  Lee  (2009),  model  GJR- GARCH( p , q ) dapat didefinisikan  sebagai berikut: 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 𝑖 𝑎 𝑡−𝑖 2 + ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 2 𝑞 𝑗=1 + ∑ 𝛾 𝑖 𝑆 𝑡−𝑖 − 𝑎 𝑡−𝑖 2 𝑝 𝑖=1 𝑝 𝑖=1 (14)
dengan 𝛼 0 , 𝛼 𝑖 , 𝛽 𝑗 yaitu konstanta parameter model  GJR - GARCH( p , q ) dan 𝛾 𝑖 yaitu leverage effect . 𝑆 𝑡−𝑖 − yaitu variabel dummy bernilai  1 ketika 𝑎 𝑡−𝑖 < 0 dan bernilai  0 ketika 𝑎 𝑡−𝑖 ≥ 0 . 2.6. Pemilihan Model Terbaik Pemilihan  model  terbaik dapat mengunakan  AIC ( Akaike’s Information Criterion ) dan SBC ( Schwarzt Bayesian Information Criteria ) didefinisikan  sebagai berikut (Rosadi, 2011):
𝐴𝐼𝐶 = 𝑛 𝑙𝑛 ( 𝑆𝑆𝐸 𝑛 ) + 2𝑘 (15)
𝑆𝐵𝐶 = 𝑛 𝑙𝑛 ( 𝑆𝑆𝐸 𝑛 ) + 𝑘 𝑙𝑛(𝑛) (16)
dengan n adalah ukuran  sampel, SSE = ∑ 𝑎 𝑡 2 𝑛 𝑡=1 adalah sum of squared error , dan k adalah jumlah  parameter. Model  terbaik adalah model  yang memiliki  nilai  AIC dan SBC terkecil. 2.7. Metode Peak Over Threshold
Metode Peak Over Threshold (POT) adalah suatu metode Extreme Value Theory (EVT) yang  mengidentifikasi  nilai extreme menggunakan threshold (𝑢) . Menurut  Demoulin  dan Embrechts  (2002),  pemilihan  nilai threshold dilakukan  dengan  menghitung  10%  dari keseluruhan  data yang  telah  diurutkan  dari  yang  terbesar hingga  terkecil.  Nilai threshold merupakan  data urutan  ke 𝑁 𝑢 +1  dimana 𝑁 𝑢 merupakan  banyaknya  nilai extreme . Metode POT mengikuti Generalized Pareto Distribution (GPD) (McNeil, 1999). Berikut cumulative distribution function 𝐺 𝜉 yang dapat didefinisikan  sebagai berikut  (Embrecht et al. , 1997):
1 − (1 + 𝜉𝑥) − 1 𝜉 , jika 𝜉 ≠ 0 𝐺 𝜉 (𝑥) = (17)
1 −  𝑒𝑥𝑝(−𝑥) , jika 𝜉 = 0
𝐺 𝜉 (𝑥) diperluas  dengan  melibatkan  parameter skala (𝛽) dan parameter lokasi (𝑣) sehingga 𝐺 𝜉,𝑣,𝛽 juga dapat didefinisikan  sebagai GPD yang dapat ditulis  sebagai berikut:
1 − (1 + 𝜉 (𝑥−𝑣) 𝛽 ) − 1 𝜉 , jika 𝜉 ≠ 0 𝐺 𝜉,𝑣,𝛽 (𝑥) = (18) 1 −  𝑒𝑥𝑝 (− (𝑥−𝑣) 𝛽 ) , jika 𝜉 = 0
2.8. Value at Risk (VaR) VaR dari peubah acak X pada tingkat  kepercayaan (1 − 𝛼) dinyatakan  dalam bentuk kuantil  ke- (1 − 𝛼) fungsi  distribusi F yang dinyatakan  sebagai berikut  (McNeil,  1999): 𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑋) = 𝐹 −1 (1 − 𝛼) (20)
dengan F adalah fungsi  distribusi  kumulatif  distribusi return dan 𝐹 −1 adalah invers dari F . 2.9. Expected Shortfall (ES)
Ukuran risiko  dikatakan  baik dan efektif jika  memenuhi  akisoma ukuran risiko  koheren. VaR bukan  merupakan ukuran  risiko  yang memenuhi  sifat koheren karena tidak  memenuhi sifat subadditivity , sehingga  diperkenalkan Expected Shortfall . Menurut  Rockafellar  dan Uryasev  (2000)  dalam  Saepudin  (2017),  ES  merupakan  suatu  ukuran  risiko  yang memperhitungkan  kerugian  melebihi  tingkat  VaR.  Klugman et al. (2011) dalam Rahmawati et al. (2019) menyatakan  ES dari peubah acak X pada tingkat  kepercayaan (1 − 𝛼) yaitu: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋) = 1 𝛼 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1 𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) = 1 𝛼 ∫ 𝑉𝑎𝑅 𝜇 (𝑋)𝑑𝜇 1 1−𝛼 (21)
Pembuktian  sifat koheren pada ES diberikan  sebagai berikut:
1. Translational Invariance yaitu  peningkatan  dan  penurunan  kerugian  sebesar 𝑎 akan meningkat  dan menurunkan  ukuran  risiko  sebesar 𝑎 . Untuk suatu variabel  random  risiko X , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku:
𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 + 𝑎) = 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋) + 𝑎 (22)
2. Positive Homogenity yaitu  perkalian  kerugian  dengan  suatu konstanta 𝑎 akan membuat ukuran risiko  menjadi 𝑎 kali dari ukuran risiko  sebelumnya.  Untuk suatu variabel  random risiko X , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑎𝑋) = 𝑎𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋)
(23)
3. Monotonicity yaitu  jika  ada dua  variabel  random  risiko  dan salah  satu variabel  random risiko  lebih  kecil  dari  yang  lainnya,  maka  ukuran  risiko  juga  lebih  kecil.  Untuk  suatu variabel  random  risiko 𝑋 1 dan 𝑋 2 , 𝑋 1 ≤ 𝑋 2 , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 ) ≤ 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 2 ) (24)
4. Subadditivity yaitu  risiko  tidak  bisa  diperkecil  dengan  cara memisahkan  kerugian  yang ada. Dengan kata lain,  diversifikasi  kerugian  akan mengurangi  risiko.  Denuit et al. (2005) mendefinisikan  untuk  suatu variabel  random 𝑋 1 dan 𝑋 2 , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 + 𝑋 2 ) ≤ 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 ) + 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 2 ) (25)
2.10. Value at Risk dan Expected Shortfall Generalized Pareto Distribution Berdasarkan McNeil  (1999), 𝐹 𝑢 disebut  sebagai fungsi  distribusi  bersyarat untuk X > u dan u merupakan nilai threshold yang didefinisikan  sebagai berikut:
𝐹 𝑢 (𝑦) = 𝑃{𝑋 − 𝑢 ≤ 𝑦 |𝑋 > 𝑢 } = 𝑃(𝑋−𝑢≤𝑦 |𝑋>𝑢 ) 𝑃(𝑋>𝑢) = 𝐹(𝑦+𝑢)−𝐹(𝑢)
1−𝐹(𝑢) (26)
Jika x = y + u untuk X > u , maka persamaan (26) dapat ditulis  menjadi: 𝐹(𝑥) = [1 − 𝐹(𝑢)]𝐹 𝑢 (𝑦) + 𝐹(𝑢) (27) 𝐹 𝑢 (𝑦) berdistribusi  GPD dengan probabilitas 𝑞 > 𝐹(𝑢) sehingga  diperoleh  nilai VaR GPD :
𝑢 + 𝛽 𝜉 (((1 − 𝑞) 𝑛 𝑁 𝑢 ) −𝜉 − 1 ) , jika 𝜉 ≠ 0
VaR GPD = (29)
𝑢 − 𝛽𝑙𝑛 ((1 − 𝑞) 𝑛 𝑁 𝑢 ) , jika 𝜉 = 0
Berdasarkan persamaan (21) dan (29), diperoleh  nilai ES GPD sebagai berikut: 𝛽−𝑢𝜉
1−𝜉 + VaR GPD 1−𝜉 , jika 𝜉 ≠ 0 ES GPD = (30)
𝑉𝑎𝑅 𝐺𝑃𝐷 + 𝛽 , jika 𝜉 = 0
VaR dan ES dinamis  GPD dapat dihitung  dengan rumus sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 𝑡(𝐺𝑃𝐷) = 𝜇̂ 𝑡+1 + 𝜎̂ 𝑡+1 VaR GPD (31)
𝐸𝑆 𝑡(𝐺𝑃𝐷) = 𝜇̂ 𝑡+1 + 𝜎̂ 𝑡+1 ES GPD (32)
dengan u adalah nilai threshold , n adalah banyaknya  pengamatan, q adalah  nilai  dari 1 − 𝛼 dimana 𝛼 merupakan  tingkat  signifikansi, 𝑁 𝑢 adalah  banyaknya  pengamatan  di  atas nilai threshold , 𝜉 adalah nilai  parameter bentuk  dari hasil  estimasi  parameter GPD, 𝛽 adalah nilai parameter skala dari hasil estimasi parameter GPD, 𝜇̂ 𝑡+1 adalah expected return model GJR- GARCH, dan 𝜎̂ 𝑡+1 adalah volatilitas  dari model  GJR-GARCH.

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Data yang  digunakan  pada penelitian  ini  adalah  data sekunder,  yaitu  harga penutupan ( closing price ) saham harian PT. Bank Central Asia Tbk (BBCA) periode 1 Mei 2012 sampai 31  Januari  2020  pada  hari  aktif.  Data  diperoleh  melalui  situs  www.finance.yahoo.com. Adapun langkah-langkah  yang dilakukan  untuk  menganalisis  data adalah:
1. Menghitung return berdasarkan data harga penutupan saham .
2. Menghitung  dan menganalisis  nilai  statistik  deskriptif  data return saham.
3. Melakukan  pemilihan  model  ARIMA terbaik dengan fungsi auto.arima() .
4. Melakukan  estimasi  parameter melalui  uji  signifikansi  model  ARIMA yang  diperoleh dari fungsi auto.arima() .
5. Melakukan uji  LM untuk mengetahui  apakah terdapat efek ARCH/GARCH pada model.
6. Identifikasi  model  ARCH/GARCH.
7. Melakukan  estimasi  parameter melalui  uji  signifikasi  parameter model  GARCH.
8. Melakukan  uji  efek asimetris  menggunakan sign and size bias test pada model GARCH.
9. Identifikasi  model  GJR-GARCH.
10. Melakukan  estimasi  parameter melalui  uji  signifikansi  parameter model  GJR-GARCH.
11. Melakukan  uji  LM untuk  mengetahui  apakah masih  ada efek ARCH/GARCH.
12. Melakukan  pemilihan  model  terbaik.
13. Menganalisis  nilai  kurtosis  untuk  mengetahui  adanya data berekor gemuk.
14. Menghitung  nilai treshold dan nilai extreme pada data return saham.
15. Melakukan  uji  kesesuaian distribusi  GPD terhadap nilai extreme .
16. Melakukan  estimasi  parameter GPD.
17. Menghitung  nilai Value at Risk kombinasi GJR-GARCH dengan GPD.
18. Menghitung  nilai Expected Shortfall kombinasi GJR-GARCH dengan GPD.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Karakteristik Data Saham
Data yang digunakan  pada penelitian  ini  yaitu  data sekunder  harga penutupan  saham harian  dari  BBCA  periode  1  Mei  2012  sampai  31  Januari  2020  pada  hari  aktif.  Sebelum melakukan  perhitungan Expected Shortfall maka terlebih  dahulu  dilakukan  analisis  statistik deskriptif  sebagai acuan dalam analisis  selanjutnya.
Gambar 1. Plot Closing Price Saham BBCA Gambar 2. Plot Return Closing Price Saham BBCA
Gambar 1 menunjukkan  bahwa closing price saham harian  BBCA selama kurun  waktu yang diamati  tidak  stasioner karena plot  data memperlihatkan  fluktuasi  dari waktu ke waktu dan memiliki  pola trend naik yaitu  terjadi  peningkatan  pada plot  data seiring  bertambahnya waktu. Sedangkan  plot  data return closing price saham harian BBCA terlihat  pada Gambar 2 menunjukkan  bahwa data telah stasioner dalam mean . Hal tersebut dikarenakan  nilai mean pengamatan  bernilai  konstan di  sepanjang  waktu. Selain  itu,  plot  data return saham BBCA menunjukkan  sifat volatility clustering yakni  menunjukkan  volatilitas  yang  tinggi  selama periode waktu tertentu dan rendah selama periode waktu yang lain  yang menandakan adanya kasus heteroskedastisitas  pada data return saham. Karakteristik  data return saham BBCA periode  1 Mei 2012  sampai 31 Januari 2020 dapat disajikan  dalam Tabel 1.
Tabel 1. Statistik  Deskriptif  Data Return Saham BBCA Deskripsi Data Nilai Jumlah observasi 1936 Mean 0,000723 Sk ewness -0,042736 Kurtosis 6,806851
Dari Tabel 1 dapat diketahui  bahwa nilai  kurtosis  sebesar 6,806851  sehingga  memilik i bentuk  kurtosis  berupa leptokurtis (Maruddani,  2019).  Grafik leptokurtis memperlihatkan distribusi  data  dengan  titik  puncak  relatif  tinggi  sehingga  pada  data return BBCA  yang diamati  tidak  berdistribusi  secara  simetris  dan  memiliki  distribusi  berekor  gemuk. Keberadaan  ekor  gemuk  mengindikasikan  peluang  terjadinya  nilai extreme sehingga diperlukan  pemodelan  menggunakan  teori  EVT dengan pendekatan GPD.
4.2. Pemodelan Runtun Waktu
Pemodelan  runtun  waktu  pada  penelitian  ini  menggunakan  fungsi auto.arima() dimana  secara otomatis akan terbentuk diferensi  jika  data tidak  stasioner.

## 4.2.1 Automatic ARIMA
Penentuan  model  ARIMA  terbaik  diperoleh  secara  otomatis  menggunakan  fungsi auto.arima() pada package forecast dalam software R.  Model  ARIMA  terbaik  yang
terbentuk  dari  data return saham  BBCA  menggunakan  fungsi auto.arima() adalah ARIMA(1,0,1)  dengan  konstanta.

## 4.2.2 Estimasi Parameter Model
Model  ARIMA(1,0,1)  dengan  konstanta  dapat  digunakan  untuk  analisis  lebih  lanjut karena  pada  taraf  signifikansi 𝛼 = 5% semua  parameternya  signifikan  terhadap  model dengan memiliki  nilai p-value lebih kecil  dari 𝛼 = 0,05 seperti yang tersaji  pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil Estimasi  Parameter Model ARIMA Model Parameter  Koefisien P-value Keputusan ARIMA(1,0,1) C 0,000736 0,001404 𝐻 0 ditolak ∅ 1 0,720284 < 2,2e − 16 𝐻 0 ditolak 𝜃 1 -0,803918 < 2,2e − 16 𝐻 0 ditolak

## 4.3. Uji Lagrange Multiplier (LM)
Pengujian  ini  digunakan  untuk  mengetahui  ada tidaknya  efek ARCH/GARCH atau efek heteroskedastisitas  pada  residual  model  ARIMA  yang  terbentuk.  Hasil  yang  diperoleh adalah 𝐻 0 ditolak  untuk  model  ARIMA(1,0,1)  dengan  konstanta  karena nilai p-value lebih kecil  dari 𝛼 = 0,05 . Jadi, pada taraf signifikansi  5% dapat disimpulkan  bahwa terdapat efek heteroskedastisitas  pada residual  maka dilanjutkan  dengan pemodelan  ARCH/GARCH.

## 4.4. Model ARCH dan GARCH
Alternatif  model  yang  digunakan  adalah  model  GARCH( p , q )  dengan  order p dan q sebesar ≤ 2 untuk  menghindari  pemodelan  volatilitas  dengan  orde yang tinggi  pada model ARCH( p ) (Rosadi,  2011).  Model  awal yang terbentuk adalah ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1), ARIMA(1,0,1) GARCH(1,2), ARIMA(1,0,1) GARCH(2,1), dan ARIMA(1,0,1) GARCH(2,2).  Setelah  dilakukan  estimasi  parameter  melalui  uji  signifikansi  parameter diperoleh  bahwa  model  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  dan  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2) dapat  digunakan  untuk  analisis  lebih  lanjut  karena pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% semua parameternya signifikan  terhadap model  dengan nilai p-value lebih kecil  dari 𝛼 = 0,05 .

## 4.5. Uji Efek Asimetris
Pengujian  ini  digunakan  untuk  mengetahui  pengaruh  asimetris  pada  volatilitas  sektor keuangan.  Berdasarkan  Tabel  4,  pada  model  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  nilai p-value untuk uji joint effect sebesar 0,04869 sehingga 𝐻 0 ditolak  karena memiliki  nilai p-value yang lebih  kecil  dari 𝛼 = 0,05 . Pada model  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2)  nilai p-value untuk uji sign  bias sebesar  0,01784  dan joint  effect sebesar  0,01914  sehingga 𝐻 0 ditolak  karena memiliki  nilai p-value yang lebih  kecil  dari 𝛼 = 0,05 . Jadi, pada taraf signifikansi  5% dapat disimpulkan  bahwa ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  dan ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2)  terdapat efek  asimetris  sehingga  untuk  mengatasinya  dapat  dilakukan  analisis  lebih  lanjut menggunakan  GARCH asimetris  yaitu  dengan pemodelan  GJR-GARCH.
Tabel 4. Hasil Uji  Efek Asimetris Model Statistik P-value Keputusan ARIMA(1,0,1) GARCH(1,1) Sign bias Negative size bias Positive size bias Joint effect 0,13722 0,17201 0,41122 0,04869 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima
𝐻 0 ditolak ARIMA(1,0,1) GARCH(1,2) Sign bias Negative size bias Positive size bias Joint effect 0,01784 0,57455 0,36878 0,01914 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima 𝐻 0 ditolak

## 4.6. Model GJR-GARCH
Model  GJR-GARCH  yang  terbentuk  yaitu  ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,1)  dan ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2).  Setelah  dilakukan  estimasi  parameter  melalui  uji signifikansi  parameter  diperoleh  bahwa  model  ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,1)  dan
ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2)  dapat digunakan  untuk  analisis  lebih  lanjut  karena pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% semua parameternya signifikan  terhadap model  dengan memilik i nilai p-value lebih kecil  dari 𝛼 = 0,05 seperti yang tersaji  pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil Estimasi  Parameter Model GJR-GARCH Model Parameter Koefisien P-value Keputusan ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,1) C ∅ 1 𝜃 1 𝛼 0 𝛼 1 𝛽 1 𝛾 1 0,000705 0,626801 -0,737167 0,000016 0,112814 0,807324 0,159887 0,000491 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,007112 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak
𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,2) C ∅ 1 𝜃 1 𝛼 0 𝛼 1 𝛽 1 𝛽 2 𝛾 1 0,000724 0,617606 -0,732559 0,000019 0,143678 0,283345 0,472326 0,164680 0,000302 0,000000 0,000000 0,000283 0,000001 0,002639 0,000000 0,002905 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 𝐻 0 ditolak 4.7. Uji Lagrange Multiplier Model GJR-GARCH
Pengujian  ini  digunakan  untuk  mengetahui  apakah masih terdapat efek ARCH/GARCH atau efek heteroskedastisitas pada residual model  GJR-GARCH yang terbentuk sebelumnya . Berdasarkan Tabel  6, 𝐻 0 diterima  untuk  semua  model  karena nilai p-value lebih  besar dari 𝛼 = 0,05 . Jadi,  pada taraf signifikansi  5%  dapat disimpulkan  bahwa sudah  tidak  terdapat efek  heteroskedastisitas  pada  residual  maka  model  yang  terbentuk  yaitu  model ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,1) dan ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2).
Tabel 6. Hasil Uji Lagrange Multiplier Model GJR-GARCH Model Lag Statistik P-value Keputusan ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,1) ARCH Lag[3] ARCH Lag[5] ARCH Lag[7] 1,41200 1,63700 3,06000 0,23470 0,55700 0,50240 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima
𝐻 0 diterima ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,2) ARCH Lag[4] ARCH Lag[6] ARCH Lag[8] 0.02121 1,30750 1,83923 0,88420 0,66160 0,77390 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima 𝐻 0 diterima

## 4.8. Pemilihan Model Terbaik
Model  terbaik yaitu  model  yang memiliki  nilai  AIC dan SBC terkecil (Rosadi,  2011).
Tabel 7. Pemilihan  Model  Terbaik Model Nilai AIC Nilai SBC ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,1) -5,7902 -5,7701 ARIMA(1,0,1) GJR-GARCH(1,2) -5,7964 -5,7733
Berdasarkan Tabel  7,  model  ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2)  merupakan  model  terbaik karena memiliki  nilai  AIC dan SBC terkecil  maka persamaan model  ditulis  sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̂ = 0,000724 + 0,617606 𝑍 𝑡−1 − 0,732559 𝑎 𝑡−1 +  𝑎 𝑡 , 𝑎 𝑡 ~ NID (0, 𝜎 2 ) 𝜎̂ 𝑡 2 = 0,000019 + 0,143678 𝑎 𝑡−1 2 + 0,283345 𝜎 𝑡−1 2 + 0,472326 𝜎 𝑡−2 2 +
0,164680 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 2
4.9. Penentuan Nilai Threshold dan Nilai Extreme
Penentuan  nilai threshold dalam  pendekan  GPD  dengan  menghitung  10%  dari keseluruhan  data yang telah diurutkan  dari yang terbesar hingga  terkecil,  dalam hal  ini  data keseluruhan yang digunakan  sebanyak 1936. Nilai threshold merupakan data urutan ke 𝑁 𝑢 + 1 ,  dimana 𝑁 𝑢 adalah  banyaknya  pengamatan  diatas threshold (nilai extreme ). Banyaknya
nilai extreme adalah 10% × 1936 = 193,6 kemudian  dibulatkan  menjadi  194,  sehingga nilai threshold merupakan data urutan ke-195 yaitu  0,017667.

## 4.10. Uji Kesesuaian Distribusi
Uji  kesesuaian  distribusi  dilakukan  melalui  uji  Kolmogorov-Smirnov  yang  bertujuan untuk  mengetahui  apakah  data  nilai extreme pada return saham  BBCA  mengikuti  GPD. Hasil yang diperoleh  adalah 𝐻 0 diterima  karena nilai p-value lebih besar dari 𝛼 = 0,05 . Jadi, pada taraf signifikansi  5%  dapat disimpulkan  bahwa data nilai extreme pada return saham BBCA telah mengikuti  distribusi  teoritik  yang dalam hal ini  GPD.

## 4.11. Estimasi Parameter GPD
Setelah  dilakukan  uji  kesesuaian  distribusi,  langkah  selanjutnya  adalah  mengestimasi parameter  GPD.  Hasil  yang  diperoleh  adalah  jumlah  pengamatan  diatas threshold (𝑁 𝑢 ) sebesar 194 dari jumlah  pengamatan (𝑛) sebesar 1936. Nilai threshold (𝑢) sebesar 0,01767 yang  menunjukkan  dimulainya  ekor  ( tail ).  Hasil  estimasi  parameter  bentuk (𝜉) sebesar 0,13344,  parameter skala (𝛽) sebesar 0,00845,  dan  parameter lokasi (𝑣) sebesar 0,01779. 4.12. Perhitungan VaR
Berdasarkan  persamaan  (29)  untuk 𝜉 ≠ 0 diperoleh  nilai  VaR  untuk  GPD  sebesar 0.023826 . Selanjutnya,  menghitung  nilai  VaR  dinamis  kombinasi  antara  model  GJR- GARCH dengan pendekatan GPD. Berdasarkan peramalan satu periode ke depan dari model ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2)  diperoleh  nilai 𝜇̂ 𝑡+1 sebesar 0,006429 dan 𝜎̂ 𝑡+1 sebesar 0,02081 , maka: 𝑉𝑎𝑅 𝑡(𝐺𝑃𝐷) = 𝜇̂ 𝑡+1 + 𝜎̂ 𝑡+1 VaR GPD = 0,006925 Pada tingkat  kepercayaan  95%,  diperoleh  nilai 𝑉𝑎𝑅 𝑡(𝐺𝑃𝐷) sebesar 0,6925%  yang  berarti bahwa kemungkinan  kerugian  yang akan diterima  seorang investor  satu hari  ke depan yaitu sebesar 0,6925% dari investasi  hari ini.

## 4.13. Perhitungan ES
Secara matematis,  VaR tidak memenuhi  sifat koheren yang merupakan ukuran kebaikan dari  risiko  (Rahmawati et al. , 2019).  Selain  itu,  banyak  kondisi  yang mengakibatkan  risiko yang terjadi mungkin  melebihi  nilai  VaR sehingga  untuk  mengukur  besarnya kerugian  yang akan ditanggung  apabila  terjadi kerugian  yang nilainya  melebihi  VaR maka dapat digunakan nilai  ES. Berdasarkan persamaan (30)  untuk 𝜉 ≠ 0 diperoleh  nilai  ES  untuk  GPD sebesar 0,034525 . Selanjutnya,  menghitung  nilai  ES dinamis  kombinasi  antara model GJR-GARCH dengan  pendekatan  GPD.  Berdasarkan  peramalan  satu  periode  ke  depan  dari  model ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2)  diperoleh  nilai 𝜇̂ 𝑡+1 sebesar 0,006429 dan 𝜎̂ 𝑡+1 sebesar 0,02081 , maka: 𝐸𝑆 𝑡(𝐺𝑃𝐷) = 𝜇̂ 𝑡+1 + 𝜎̂ 𝑡+1 ES GPD = 0,007147
Pada tingkat  kepercayaan 95%,  diperoleh  nilai 𝐸𝑆 𝑡(𝐺𝑃𝐷) sebesar 0,7147% melebihi  nilai 𝑉𝑎𝑅 𝑡(𝐺𝑃𝐷) sebesar 0,6925%.  Hal ini  menunjukkan  bahwa kemungkinan  kerugian  yang akan diterima  seorang investor  satu  hari  ke depan  yaitu  sebesar 0,6925%  dari  investasi  hari  ini dan masih  memungkinkan  jika  terjadi  kondisi  yang lebih  buruk lagi  seperti perubahan suku bunga,  fluktuasi  pasar secara keseluruhan,  inflasi  meningkat,  dan lain-lain  sehingga  risiko yang mungkin  terjadi  yaitu  kerugian  maksimum  sebesar 0,7147% .

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  mengenai  perhitungan Expected  Shortfall menggunakan  kombinasi  antara model  asimetris  GJR - GARCH  dengan  GPD  pada  saham BBCA periode 1 Mei 2012  sampai 31 Januari 2020,  diperoleh  kesimpulan  sebagai berikut:
1. Model  terbaik  untuk  memodelkan  data return saham  tersebut  adalah  model  GJR- GARCH yaitu  ARIMA(1,0,1)  GJR-GARCH(1,2).
Persamaan mean : 𝑍 𝑡 ̂ = 0,000724 + 0,617606 𝑍 𝑡−1 − 0,732559 𝑎 𝑡−1 +  𝑎 𝑡 , dengan 𝑎 𝑡 ~ NID (0, 𝜎 2 )
Persamaan varian: 𝜎̂ 𝑡 2 = 0,000019 + 0,143678 𝑎 𝑡−1 2 + 0,283345 𝜎 𝑡−1 2 + 0,472326𝜎 𝑡−2 2 + 0,164680 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 2
2. Berdasarkan  data  nilai extreme sebesar  194  dari  keseluruhan  data  sebesar  1936, diperoleh threshold (𝑢) sebesar 0,01767. Kemudian  dilakukan  estimasi  parameter GPD yang menghasilkan  parameter bentuk (𝜉) sebesar 0,13344,  parameter skala (𝛽) sebesar 0,00845,  dan parameter lokasi (𝑣) sebesar 0,01779.
3. Hasil  perhitungan  nilai  ES  kombinasi  antara model  GJR-GARCH  dengan  GPD  pada tingkat  kepercayaan  95%  diperoleh  sebesar 0,7147% melebihi  nilai  VaR  sebesar 0,6925%.  Berdasarkan perhitungan  tersebut menunjukkan  bahwa kondisi  terburuk yang akan dialami  seorang investor untuk  satu hari ke depan yaitu kerugian  sebesar 0,6925% dari  investasi  hari  ini  dan  masih  memungkinkan  jika  terjadi  kondisi  yang  lebih  buruk lagi  sehingga  risiko  yang mungkin  terjadi  yaitu  kerugian  maksimum  sebesar 0,7147% .

## DAFTAR PUSTAKA
Danielsson,  J. 2011. Financial Risk Forecasting . England: John Wiley & Sons Ltd. Demoulin,  V.  C.  dan  Embrechts,  P.  2002. Smooth  Extremal  Models  in  Finance  and Insurance . Zurich: Department of Mathematics ETH Zentrum. Embrechts,  P.,  Kluppelberg,  C.,  dan  Mikosch,  T.  1997. Modelling Extremal  Event  for Insurance and Finance . New York: Springer.
Engle,  R.  F.  1982.  Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity  with  Estimates  of  the Variance of United Kingdom  Inflation. Journal of Econometrica , Vol. 50,  No. 4: 987- 1008.
Engle,  R. F. dan Ng,  V.K. 1993. Measuring  and Testing  the Impact of News on Volatility. Journal of Finance , Vol. 48, No. 5: 1749-1778.
Glosten,  L. R., Jagannathan, R., dan Runkle,  D. 1993. On the Relation  between the Expected Value  and  the  Volatility  of  the  Nominal  Excess  Return  on  Stocks. The  Journal of Finance , Vol. XLVIII, No.5: 1779-1801.
Hyndman,  R. J. dan Khandakar,  Y. 2008.  Automatic  Time Series Forecasting:  The Forecast Package for R. Journal of Statistical Software , Vol. 27, No. 3: 1-26. Jorion,  P. 2002. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk . Second Edition.  New York: The McGraw-Hill  Companies,  Inc.
Lee, H. S. 2009.  Forecasting  Performance of Asymmetric  GARCH Stock Market Volatility Models. Journal of International Economic Studies , Vol. 13, No. 2: 111-143. Maruddani,  D.  A.  I.  2019. Value  at  Risk  untuk Pengukuran Risiko  Investasi  Saham. Ponorogo:  WADE Group.
McNeil,  A.  J.  1999. Extreme  Value  Theory  for  Risk  Managers . Zurich:  Department Mathematic ETH Zentrum.
Rahmawati, R., Rusgiyono,  A., Hoyyi,  A., dan Maruddani,  D. A. I. 2019. Expected Shortfall dengan Simulasi  Monte-Carlo untuk Mengukur  Risiko  Kerugian Petani Jagung. Media Statistika , Vol. 12, No. 1:  117-128. Rosadi,  D. 2011. Analisis Ekonometrika & Runtun Waktu Terapan dengan R . Yogyakarta: Andi  Publisher.
Thomas,  R. L. 1996. Modern Econometrics . Inggris: Addison  Wesley. Tsay, R. S. 2002. Analysis of Financial The Series: Financial Econometrics . Canada: John Wiley  and Sons, Inc.