Cara Sitasi: Anwar, N., Nurman, T. A., Patahuddin, H., Irwan, M. (2023). Solusi numerik model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis di Sulawesi Selatan dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF 45). Teknosains: Media Informasi dan Teknologi , 17(2), 262-269. https://doi.org/10.24252/teknosains.v17i2.35960
Diajukan 20 Mei 2023; Ditinjau 29 Juli 2023; Diterima 5 Agustus 2023; Diterbitkan 30 Agustus 2023 Copyright © 2023. The authors. This is an open access article under the CC BY-SA license

## Solusi numerik model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis di Sulawesi Selatan dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF 45)
Nurinayah Anwar 1 , Try Azisah Nurman 1 , Hikmawati Patahuddin 1 , Muh. Irwan 1*
1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar Jl. HM. Yasin Limpo 36 Gowa, Sulawesi Selatan, Indonesia. 92113 *E-mail: muhirwan@uin-alauddin.ac.id
Abstrak: Matematika berperan penting dalam perkembangan IPTEK, salah satunya dengan menggunakan  model  matematika  untuk  menjelaskan  berbagai  fenomena  yang  ada  di masyarakat.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  solusi  numerik  model  SIR  pada penyakit  tuberkulosis  dengan  mengunakan  metode  RKF  45.  Pada  penelitian  ini, menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF 45) sebagai salah satu metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial nonlinier. Metode RKF 45 adalah metode numerik  satu  langkah  dengan  ketelitian  yang  tinggi  dikarenakan  memiliki  6  konstanta perhitungan yang berperan untuk memperbarui solusi sampai orde 5. Model SIR penderita penyakit tuberkulosis yang berbentuk sistem persamaan differensial yang mencakup jumlah populasi individu rentan dengan simbol S ( Susceptible ), populasi individu terinfeksi dengan simbol  I  ( Infected ),  dan  populasi  individu  sembuh  dengan  simbol  R  ( Recovered ).  Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pada saat t = 5000 dan h = 0,01 dengan metode RKF 45 orde  empat  diperoleh  solusi 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59276, 𝑅 5000 = 28685.55 , dan  metode  RKF  45  orde  lima  diperoleh  solusi 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59277, 𝑅 5000 = 28685.55 . Berdasarkan  hasil  penelitian  ini  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa metode  RKF  45  merupakan  metode  numerik  dengan  ketelitian  yang  tinggi  dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial nonlinier.
Kata  Kunci: model SIR;  penyakit tuberkulosis;  persamaan diferensial nonlinier; RKF 45; solusi numerik
Abstract: Mathematics  plays  an  important  role  in  the  development  of  science  and technology, one of which is by using  mathematical  models to  explain various phenomena that exist in society. This study aims to determine the numerical solution of the SIR model in tuberculosis using the RKF 45 method. In this study, using the Runge Kutta Fehlberg method (RKF  45)  as  one  of  the  numerical  methods  to  solve  systems  of  nonlinear  differential equations. The RKF 45 method is a one-step numerical method with high accuracy because it has 6 calculation constants which play a role in updating solutions up to order 5. The SIR model for tuberculosis sufferers is in the form  of a system of differential  equations which includes  the  number  of  populations  of  susceptible  individuals  with  the  symbol  S (Susceptible),  the  population    infected  individuals  with  the  symbol  I  (Infected),  and  the individual  population  recovered  with  the  symbol R  (Recovered).  The results  of  this  study indicate that when t = 250 and h = 0.01 with the fourth order RKF 45 method, the solution 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59276, 𝑅 5000 = 28685.55 , and  the  fifth  order  RKF  45 method obtained solutions 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59277, 𝑅 5000 = 28685.55 . Based on the results of this study it can be concluded that the RKF 45 method is a numerical method with high accuracy in solving systems of nonlinear differential equations.
Keywords: nonlinear  differential  equations;  numerical  solution;  RKF  45;  SIR  models; tuberculosis

## PENDAHULUAN
atematika  mempunyai  peran  penting  dalam  perkembangan  IPTEK  (Ilmu Pengetahuan  dan  Teknologi)  di  zaman  modern  ini.  Salah  satu perkembangannya  yaitu  model  matematika.  Banyak  fenomena  yang  ada  di kalangan masyarakat yang dapat diamati dan dianalisa menggunakan model matematika (Ulfa  &  Sugiyanto,  2013).  Model  matematika  merupakan  representasi  abstrak  dari fenomena yang dibangun dengan menggunakan persamaan yang menghasilkan perspektif dari  perilaku  umum  suatu  peristiwa  (Kurniawati  &  Rosyidi,  2019).  Pemodelan matematika  adalah  upaya  yang  dilakukan  untuk  mendeskripsikan  suatu  masalah  di kehidupan masyarakat dengan menggunakan beberapa ketentuan sehingga menghasilkan asumsi yang dapat digunakan sebagai acuan dalam memodelkan permasalahan tersebut. Persamaan  diferensial  merupakan  salah  satu  persamaan  yang  dapat  menyelesaikan masalah dalam pemodelan matematika (Nubatonis, 2021). Adapun masalah yang dapat dimodelkan  tentang  penyakit-penyakit  yang  ada  di  seluruh  dunia  yaitu  salah  satunya model matematika penyebaran penyakit tuberkulosis.
Penelitian terkait model matematika telah banyak dilakukan, diantaranya penelitian Setiawan (2017) mengenai analisis dan simulasi model SITR pada penyebaran penyakit tuberkulosis di Kota Makassar. Selanjutnya penelitian Muhlish (2015) mengenai solusi numerik untuk model imunologi seluler pada tuberkulosis dengan metode RKF 45  dan metode  Adam  Bashforth  Moulton.  Selanjutnya  penelitian  dari  Zahro  (2019)  tentang solusi  numerik  model  interaksi Mycobacterium  tuberculosis yang  sensitif  dan  resisten terhadap antibiotik dengan metode Runge Kutta Fehlberg.
Model SIR sangat cocok digunakan untuk menggambarkan dinamika penyebaran suatu penyakit menular, salah satunya pada penyakit tuberkulosis karena model ini dapat memberikan  informasi  yang  sesuai  berdasarkan  data  yang  telah  diperoleh  (Fredlina, 2012). Pada penelitian Inayah et al. (2020), diasumsikan penderita penyakit tuberkulosis dapat  sembuh  dan  memiliki  kekebalan  tubuh  yang  permanen  sehingga  penderita  telah sembuh  akan  pulih  dan  telah  terbebas  dari  penyakitnya.  Model matematika  yang akan diformulasikan  yaitu  dibagi  ke  dalam  3  kompartemen,  yakni  kompartemen susceptible yaitu  kelompok  yang  rentan  terhadap  penyakit,  kompartemen infected yaitu  kelompok yang telah terinfeksi penyakit, dan kompartemen recovered yaitu kelompok yang telah sembuh dari penyakit.
Metode Runge Kutta Fehlberg (RKF 45) adalah salah satu metode yang tergolong dalam  kelompok metode Runge Kutta Orde-4, yang memiliki tingkat ketelitian hingga orde-5. (Ahmad & Charan, 2016). Ketelitian ini dapat terjadi karena metode ini memiliki 6  konstanta  perhitungan  yang  dapat mengupdate solusi  hingga  orde-5.  Metode  ini merupakan metode yang sering digunakan dan yang paling popular saat ini (Suryaningrat et  al.  2020).  Berdasarkan  uraian  latar  belakang  maka  penelitian  ini  bertujuan  untuk mengetahui  model  SIR  dan  solusi numeric  model SIR pada  penyebaran  penyakit tuberkulosis di  Sulawesi  Selatan  dengan  menggunakan  metode  Runge-Kutta  Fehlberg (RKF  45).  Solusi  yang  diperoleh  dapat  menjadi  pertimbangan  pada  instansi  terkait khususnya  pada  Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Selatan  untuk  dilakukan  beberapa pencegahan  untuk  meminimalisir  besaran  jumlah  penderita  penyakit  tuberkulosis Provinsi Sulawesi Selatan.
M

## METODE PENELITIAN
Penelitian  dilaksanakan  pada  bulan  Juli  tahun  2022.  Jenis  penelitian  ini  adalah penelitian kajian teori dan terapan dengan pendekatan kuantitatif yang bertujuan untuk penyebaran penyakit tuberkulosis di Sulawesi Selatan. Jenis data yang digunakan adalah data  sekunder,  dengan  sumber  data  diperoleh  dari  Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi Selatan  serta  Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Provinsi  Sulawesi  Selatan.  Penelitian  ini menggunakan  model  matematika  yang  diformulasikan  menjadi  3  kompartemen,  yakni kompartemen susceptible yaitu kelompok yang rentan terhadap penyakit, kompartemen infected yaitu kelompok yang telah terinfeksi penyakit, dan kompartemen recovered yaitu kelompok yang telah sembuh dari penyakit.
Prosedur dalam penelitian ini yaitu: (1) Mengambil data sekunder untuk data SIR yang berasal dari Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan dan BPS Provinsi Sulawesi Selatan;  (2)  Mencari  nilai  awal  dan  nilai  parameter  yang  akan  digunakan;  (3) Menyelesaikan model SIR menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF 45); (4) Menginterpretasikan hasil solusi numerik model SIR menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF 45); dan c(5) Menarik kesimpulan dari hasil solusi numerik model SIR menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF 45).

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Data sekunder
Berdasarkan data BPS Provinsi Sulawesi Selatan pada tahun 2019 jumlah populasi penduduk  yang  ada  di  Sulawesi  Selatan  yaitu  sebesar  8.819.549  juta  jiwa.  Populasi individu Susceptible (S) terhadap penyakit tuberkulosis dihitung dengan mengurangkan jumlah populasi penduduk dengan jumlah populasi Infected (I), dan populasi Recovered (R) , yaitu: 𝑆 = 𝑁 − (𝐼 + 𝑅) = 8.819.549 − (18.863 + 17.024) = 8.783.662  𝑗𝑖𝑤𝑎. Adapun rincian nilai awal dari kompartemen S, I, dan R dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Rincian nilai awal dari setiap kompartemen yang digunakan dalam pemodelan Variabel Nilai Keterangan 𝑆 𝑜 8.783.662 Data  populasi  individu  yang  rentan  terhadap  penyakit tuberkulosis  di  BPS  Provinsi  Sulawesi  Selatan  dan  Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan akhir tahun 2019 𝐼 𝑜 18.863 Data  populasi  individu  yang  telah  terinfeksi  penyakit tuberkulosis di Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan2019 𝑅 𝑜 17.024 Data  Populasi  individu  yang  telah  sembuh  dari  penyakit tuberkulosis di Dinas Provinsi Sulawesi Selatan 2019 Keterangan: S = populasi susceptible ; I = populasi infected ; dan R = populasi recovered

## 2. Nilai parameter model SIR
Nilai parameter-parameter yang akan digunakan pada model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis dapat dilihat pada Tabel 2.
3. Model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis
Adapun  asumsi  yang  digunakan  untuk  merumuskan  model  matematika  pada penyakit tuberkulosis yaitu sebagai berikut:
a. Populasi  penduduk  bersifat  tertutup  yang  berarti  pertambahan  dan  pengurangan penduduk  hanya  dipengaruhi  oleh  kelahiran  dan  kematian,  sedangkan  pertambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh faktor lain diabaikan.
b. Populasi  bersifat  homogen  yang  artinya  setiap  individu  mempunyai  kemungkinan yang sama untuk dapat terjangkit penyakit tuberkulosis.
c. Kematian  yang  disebabkan  oleh  faktor  lain  selain  terinfeksi  tuberkulosis  dianggap sebagai kematian alami.
d. Individu yang belum terserang penyakit termasuk ke dalam kelas susceptible .
e. Individu  pada  kelas recovered tidak  akan  kembali  lagi menjadi  individu  pada  kelas infected .
f. Terjadi kematian akibat terinfeksi tuberkulosis.
Tabel 2. Nilai parameter-parameter pada model SIR penyebaran penyakit tuberkulosis di Provinsi Sulawesi Selatan
Parameter Definisi Formulasi Π Laju kelahiran populasi. Π = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 ∗ 4 = 168.185 8.819.549 ∗ 4 = 0,004767392 𝜇 Laju kematian alami 𝜇 = 1 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝 ∗ 4 = 1 70,43 ∗ 4 = 0,00354962 𝜇 𝑡 Laju  kematian  yang  disebabkan  oleh penyakit tuberkulosis. 𝜇 𝑡 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑎𝑛 𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑘𝑢𝑙𝑜𝑠𝑖𝑠 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑓𝑒𝑘𝑠𝑖 ∗   4 = 772 18.863 ∗ 4 = 0,01023167 B Laju  penularan  penyakit  tuberkulosis dari Susceptible menjadi Infected 𝑏 = 1 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑢𝑠𝑝𝑒𝑘 = 1 8.783.662 = 0,0000001138 C Laju kesembuhan dari Infected menjadi Recovered 𝑐 = 1 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑃𝑒𝑚𝑢𝑙𝑖ℎ𝑎𝑛 = 1 9 = 0,11111
Berikut model SIR pada penyebaran tuberkulosis berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan:
Selanjutnya disubtitusikan lebih lanjut ke dalam bentuk persamaan biasa yaitu sebagai berikut:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =   −𝑏 𝐼(𝑡) 𝑁(𝑡) 𝑆(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡) + Ԥ (1)
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =  𝑏 𝐼(𝑡) 𝑁(𝑡) 𝑆(𝑡) − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝑐)𝐼(𝑡) (2)
𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑗(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =  𝑐𝐼(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡) (3)
dimana:
N(t) : Jumlah populasi
S(t) : Jumlah individu yang rentan ( Susceptible ) I(t)
: Jumlah individu yang terinfeksi ( Infected ) R(t) : Banyaknya individu yang telah sembuh ( Recovered ) Π
: Laju kelahiran populasi
µ : Laju kematian alami µ t : Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit tuberkulosis
b : Laju penularan penyakit tuberkulosis dari Susceptible menjadi Infected
c : Laju kesembuhan dari Infected menjadi Recovered
4. Solusi numerik model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis Persamaan yang dihasilkan pada model SIR pada penyebaran penyakit tuberkulosis yaitu  persamaan  (4.1)  sampai  (4.3)  diselesaikan  menggunakan  metode  Runge-Kutta Fehlberg sebagai berikut.
Formula orde-4 : 𝑦 𝑖+1 =   𝑦 𝑖 + 25 216 𝑘 1 + 1408 2565 𝑘 3 + 2197 4104 𝑘 4 − 1 5 𝑘 5
Formula orde-5 : 𝑦̂ 𝑖+1 =   𝑦 𝑖 + 16 135 𝑘 1 + 6656 12825 𝑘 3 + 28561 56430 𝑘 4 − 9 50 𝑘 5 + 2 55 𝑘 6 Maka diperoleh persamaan (4) hingga (6) untuk Orde 4 dan persamaan (7) hingga (9) untuk Orde 5, yaitu:
𝑆 𝑖+1 =   𝑆 𝑖 + 25 216 𝑘 1 + 1408 2565 𝑘 3 + 2197 4104 𝑘 4 − 1 5 𝑘 5 (4) 𝐼 𝑖+1 =   𝐼 𝑖 + 25 216 𝑚 1 + 1408 2565 𝑚 3 + 2197 4104 𝑚 4 − 1 5 𝑚 5 (5)
𝑅 𝑖+1 =   𝑅 𝑖 + 25 216 𝑛 1 + 1408 2565 𝑛 3 + 2197 4104 𝑛 4 − 1 5 𝑛 5 (6)
dan
𝑆̂ 𝑖+1 =   𝑆 𝑖 + 16 135 𝑘 1 + 6656 12825 𝑘 3 + 28561 56430 𝑘 4 − 9 50 𝑘 5 + 2 55 𝑘 6 (7) 𝐼̂ 𝑖+1 =   𝐼 𝑖 + 16 135 𝑚 1 + 6656 12825 𝑚 3 + 28561 56430 𝑚 4 − 9 50 𝑚 5 + 2 55 𝑚 6 (8) 𝑅̂ 𝑖+1 =   𝑅 𝑖 + 16 135 𝑛 1 + 6656 12825 𝑛 3 + 28561 56430 𝑛 4 − 9 50 𝑛 5 + 2 55 𝑛 6 (9)
dengan konstanta penghitung, sebagai berikut:
𝑘 1 = ℎ 𝑓(𝑡 𝑖 , 𝑆 𝑖 , 𝐼 𝑖 , 𝑅 𝑖 ) 𝑚 1 = ℎ 𝑔(𝑡 𝑖 , 𝑆 𝑖 , 𝐼 𝑖 , 𝑅 𝑖 ) 𝑛 1 = ℎ 𝑗(𝑡 𝑖 , 𝑆 𝑖 , 𝐼 𝑖 , 𝑅 𝑖 ) 𝑘 2 = ℎ 𝑓 (𝑡 𝑖 + 1 4 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1 4 𝑘 1 , 𝐼 𝑖 + 1 4 𝑚 1 , 𝑅 𝑖 + 1 4 𝑛 1 ) 𝑚 2 = ℎ 𝑔 (𝑡 𝑖 + 1 4 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1 4 𝑘 1 , 𝐼 𝑖 + 1 4 𝑚 1 , 𝑅 𝑖 + 1 4 𝑛 1 ) 𝑛 2 = ℎ 𝑗 (𝑡 𝑖 + 1 4 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1 4 𝑘 1 , 𝐼 𝑖 + 1 4 𝑚 1 , 𝑅 𝑖 + 1 4 𝑛 1 ) 𝑘 3 = ℎ 𝑓 (𝑡 𝑖 + 3 8 ℎ , 𝑆 𝑖 + 3 32 𝑘 1 + 9 32 𝑘 2 , 𝐼 𝑖 + 3 32 𝑚 1 + 9 32 𝑚 2 , 𝑅 𝑖 + 3 32 𝑛 1 + 9 32 𝑛 2 ) 𝑚 3 = ℎ 𝑔 (𝑡 𝑖 + 3 8 ℎ , 𝑆 𝑖 + 3 32 𝑘 1 + 9 32 𝑘 2 , 𝐼 𝑖 + 3 32 𝑚 1 + 9 32 𝑚 2 , 𝑅 𝑖 + 3 32 𝑛 1 + 9 32 𝑛 2 ) 𝑛 3 = ℎ 𝑗 (𝑡 𝑖 + 3 8 ℎ , 𝑆 𝑖 + 3 32 𝑘 1 + 9 32 𝑘 2 , 𝐼 𝑖 + 3 32 𝑚 1 + 9 32 𝑚 2 , 𝑅 𝑖 + 3 32 𝑛 1 + 9 32 𝑛 2 ) 𝑘 4 = ℎ 𝑓 (𝑡 𝑖 + 12 13 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1932 2197 𝑘 1 − 7200 2197 𝑘 2 + 7296 2197 𝑘 3 , 𝐼 𝑖 + 1932 2197 𝑚 1 − 7200 2197 𝑚 2 + 7296 2197 𝑚 3 , 𝑅 𝑖 + 1932 2197 𝑛 1 − 7200 2197 𝑛 2 + 7296 2197 𝑛 3 ) 𝑚 4 = ℎ 𝑔 (𝑡 𝑖 + 12 13 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1932 2197 𝑘 1 − 7200 2197 𝑘 2 + 7296 2197 𝑘 3 , 𝐼 𝑖 + 1932 2197 𝑚 1 − 7200 2197 𝑚 2 + 7296 2197 𝑚 3 , 𝑅 𝑖 + 1932 2197 𝑛 1 − 7200 2197 𝑛 2 + 7296 2197 𝑛 3 ) 𝑛 4 = ℎ 𝑗 (𝑡 𝑖 + 12 13 ℎ , 𝑆 𝑖 + 1932 2197 𝑘 1 − 7200 2197 𝑘 2 + 7296 2197 𝑘 3 , 𝐼 𝑖 + 1932 2197 𝑚 1 − 7200 2197 ㄰ 2 + 7296 2197 𝑚 3 , 𝑅 𝑖 + 1932 2197 𝑛 1 − 7200 2197 𝑛 2 + 7296 2197 𝑛 3 ) 𝑘 5 = ℎ 𝑓 (𝑡 𝑖 + ℎ , 𝑆 𝑖 + 439 216 𝑘 1 − 8𝑘 2 + 3860 513 𝑘 3 − 845 4104 𝑘 4 , 𝐼 𝑖 + 439 216 𝑚 1 − 8𝑚 2 + 3860 513 𝑚 3 − 845 4104 𝑚 4 , 𝑅 𝑖 + 439 216 𝑛 1 − 8𝑛 2 + 3860 513 𝑛 3 − 845 4104 𝑛 4 ) 𝑚 5 = ℎ 𝑔 (𝑡 𝑖 + ℎ , 𝑆 𝑖 + 439 216 𝑘 1 − 8𝑘 2 + 3860 513 𝑘 3 − 845 4104 𝑘 4 , 𝐼 𝑖 + 439 216 𝑚 1 − 8𝑚 2 + 3860 513 𝑚 3 − 845 4104 𝑚 4 , 𝑅 𝑖 + 439 216 𝑛 1 − 8𝑛 2 + 3860 513 𝑛 3 − 845 4104 𝑛 4 )
𝑛 5 = ℎ 𝑗 (𝑡 𝑖 + ℎ , 𝑆 𝑖 + 439 216 𝑘 1 − 8𝑘 2 + 3860 513 𝑘 3 − 845 4104 𝑘 4 , 𝐼 𝑖 + 439 216 𝑚 1 − 8𝑚 2 + 3860 513 𝑚 3 − 845 4104 𝑚 4 , 𝑅 𝑖 + 439 216 𝑛 1 − 8𝑛 2 + 3860 513 𝑛 3 − 845 4104 𝑛 4 )
𝑘 6 = ℎ 𝑓 (𝑡 𝑖 + 1 2 ℎ , 𝑆 𝑖 − 8 27 𝑘 1 + 2𝑘 2 − 3544 2565 𝑘 3 + 1859 4104 𝑘 4 − 11 40 𝑘 5 , 𝐼 𝑖 − 8 27 𝑚 1 + 2𝑚 2 − 3544 2565 𝑚 3 + 1859 4104 𝑚 4 − 11 40 𝑚 5 , 𝑅 𝑖 − 8 27 𝑛 1 + 2_ 2 − 3544 2565 𝑛 3 + 1859 4104 𝑛 4 − 11 40 𝑛 5 ) 𝑚 6 = ℎ 𝑔 (𝑡 𝑖 + 1 2 ℎ , 𝑆 𝑖 − 8 27 𝑘 1 + 2𝑘 2 − 3544 2565 𝑘 3 + 1859 4104 𝑘 4 − 11 40 𝑘 5 , 𝐼 𝑖 − 8 27 𝑚 1 + 2𝑚 2 − 3544 2565 𝑚 3 + 1859 4104 𝑚 4 − 11 40 𝑚 5 , 𝑅 𝑖 − 8 27 𝑛 1 + 2𝑛 2 − 3544 2565 𝑛 3 + 1859 4104 𝑛 4 − 11 40 𝑛 5 ) 𝑛 6 = ℎ 𝑗 (𝑡 𝑖 + 1 2 ℎ , 𝑆 𝑖 − 8 27 𝑘 1 + 2𝑘 2 − 3544 2565 𝑘 3 + 1859 4104 𝑘 4 − 11 40 𝑘 5 , 𝐼 𝑖 − 8 27 𝑚 1 + 2𝑚 2 − 3544 2565 𝑚 3 + 1859 4104 𝑚 4 − 11 40 𝑚 5 , 𝑅 𝑖 − 8 27 𝑛 1 + 2𝑛 2 − 3544 2565 𝑛 3 + 1859 4104 𝑛 4 − 11 40 𝑛 5 )
Maka  akan  didapatkan  solusi  numerik  model  SIR  pada  penderita  penyakit tuberkulosis dengan menggunakan metode Rungr Kutta Fehlberg (RKF 45) untuk 0,01 tahun  pada  orde  4  yaitu 𝑆 1 = 8783349,39 , 𝐼 1 = 18839,45 da n 𝑅 1 = 17044,34 ,  dan  orde  5 yaitu 𝑆 1 = 8783349,37 , 𝐼 1 = 18839, 45 𝑑𝑎𝑛 𝑅 1 = 17044, 34 , dan untuk solusi numerik untuk 1 tahun pertama untuk metode RKF orde 4 yaitu 𝑆 100 = 8752539 ,  𝐼 100 = 16648.17  𝑑𝑎𝑛 𝑅 100 = 18930.55 , dan  untuk  metode  RKF  45  orde  5  yaitu 𝑆 100 = 8752539 ,  𝐼 100 = 16648.19  𝑑𝑎𝑛 𝑅 100 = 18930.54. Serta solusi numerik untuk 50 tahun kedepan untuk metode RKF orde 4 yaitu 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59276, 𝑅 5000 = 28685.55, dan untuk metode RKF 45 orde 5 yaitu 𝑆 5000 = 7355233, 𝐼 5000 = 36.59277, 𝑅 5000 = 28685.55 .
5. Interpretasi hasil
Plot grafik hasil iterasi solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg pada penyebaran penyakit tuberkulosis untuk setiap Susceptible , Infected , dan Recovered menggunakan Program R, akan ditunjukkan pada plot grafik pada Gambar 1.
Gambar 1. Penyebaran jumlah Susceptible penyakit tuberkulosis RKF 45
Pada  Gambar  1  memperlihatkan  grafik  garis  menurun  dari  waktu  ke  waktu. Menurunnya  populasi Susceptible disebabkan  karenanya  banyaknya  populasi  yang berpindah menjadi Infected yang disebabkan oleh populasi Susceptible pernah berkontak langsung dengan populasi Infected dan menyebar melalui percikan air liur dari populasi Infected yang bersin atau batuk.
Gambar 2. Penyebaran jumlah Infected penyakit tuberkulosis RKF 45
Pada  Gambar  2  memperlihatkan  grafik  garis  mengalami  penurunan  secara  terus menerus  dari  waktu  ke  waktu  dan  pada  waktu  tertentu  penyakit  tersebut  akan  stabil. Penurunan  tersebut  terjadi  disebabkan  karena  pengobatan  dari  pasien  tuberkulosis berhasil  dan  dalam  beberapa  waktu  kedepan  populasi  yang  terinfeksi  akan  berkurang sehingga mengakibatkan populasi Recovered akan mengalami peningkatan.
Gambar 3. Penyebaran jumlah Recovered penyakit tuberkulosis RKF 45 Orde 4
Pada  Gambar  3  memperlihatkan  grafik  garis  populasi Recovered mengalami peningkatan  dari  waktu  ke  waktu.  Peningkatan  populasi Recovered disebabkan  oleh tingkat  pemulihan  semakin  tinggi  dari  individu Infected menjadi Recovered .  Adapun peningkatan  individu  yang  sembuh  dari  penyakit  tuberkulosis  mencapai  puncak maksimal pada iterasi ke 2367 sampai 2373 yang mana mencapai 30.634 jiwa, kemudian iterasi selanjutnya akan mengalami penurunan.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  model  SIR  pada  penyebaran  penderita  penyakit tuberkulosis di Sulawesi Selatan yaitu
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =   −𝑏 𝐼(𝑡) 𝑁 𝑆(𝑡) − 𝜇𝑆(𝑡) + Ԥ = −0,0000001138 ∗ 𝐼(𝑡) 8.819.549 𝑆(𝑡) −
0,001183 𝑆(𝑡) + 0,001589
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =  𝑏 𝐼(𝑡) 𝑁 𝑆(𝑡) − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝑐)𝐼(𝑡) = 0,0000001138 ∗ 𝐼(𝑡)
8.819.549 𝑆(𝑡) −
(0,001183 + 0,00341 + 0,11111)𝐼(𝑡) 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑗(𝑡, 𝑆, 𝐼, 𝑅) =  𝑐𝐼(𝑡) − 𝜇𝑅(𝑡) = 0.11111 𝐼(𝑡) − 0,001183 𝑅(𝑡)
Dan  hasill  solusi  numerik  menggunakan  metode  Runge  Kutta  Fehlberg  dengan  jarak langkah  h=0,01,  pada  50  tahun  ke  depan  adalah  untuk  individu  yang  rentan  sebanyak 7.355233 jiwa dan untuk induvidu yang terinfeksi sebanyak 36 jiwa serta individu yang sembuh sebanyak 28.685 jiwa.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, N., & Charan, S. (2016). Numerical accuracy between Runge-Kutta Fehlberg method and Adams- Bashforth  method  for  first  order  ordinary  differential  equations  with  boundary  value  problem. J. Math. Comput. Sci ., 6(6), 1145-1156. Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis. Kanada: John Wiley & Sons, Inc. Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Selatan.  (2021). Profil  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Selatan  Tahun 2021 . Makassar: Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan. Fredlina, K. Q., Oka, T. B., & Dwipayana, I. M. A. (2012). Model SIR ( Susceptible, Infectious, Recovered ) untuk penyebaran penyakit tuberkulosis. E-Jurnal Matematika , 1(1), 52-58.
https://doi.org/10.24843/MTK.2012.v01.i01.p009.
Inayah,  N.,  Manaqib,  M.,  Fitriyati,  N.,  &  Yupinto,  I.  (2020).  Model  matematika  penyebaran  penyakit pulmonary tuberculosis dengan penggunaan masker medis. Barekeng: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan , 14(3), 459-470.
Kurniawati, I., & Rosyidi, A. H. (2019). Profil pemodelan matematika siswa SMP dalam menyelesaikan masalah  pada  materi  fungsi  linear. Jurnal  Ilmiah  Pendidikan  Matematika ,  8(2),  174-180. https://doi.org/10.26740/mathedunesa.v8n2.p174-180.
Mathews, J. H., & Fink, K. D. (2004). Numerical Methods Using Matlab. 4th Editions. New Jersey: The Prentice Hall, Inc. Munir, R. (2006). Metode Numerik . Bandung: Informatika. Nubatonis,  O.  E.  (2021).  Model  persamaan  diferensial  orde  satu  untuk  masalah  kinematika  garis  lurus.
Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 2(1), 54-63.
https://doi.org/10.35508/fractal.v2i1.4039. Ritschel, T. (2013). Numerical Methods for Solution of  Differential  Equations. Lyngby:  Departement  of Applied Mathematics and Computer Science.
Rositarini,  O.,  Lestari,  D.,  &  ‘Arifah,  H.  (2017).  Analisis  numerik  model  SIR  ( Susceptible , Infected , Recovered )  pada  penyebaran  penyakit  tuberculosis  di  Yogyakarta. Seminar  Matematika  dan Pendidikan Matematika UNY 2017 , 171-178.
Suryaningrat,  W.,  Ashgi,  R.,  &  Purwani,  S.  (2020).  Order  Runge-Kutta  with  extended  formulation  for solving ordinary differential equations. International Journal of Global Operations Research , 1(4), 160-167.
Tulus. (2015). Numerical study on the stability of Takens-Bogdanov systems. Buletin of Mathematics , 4(1), 78-88.
Ulfa, M., & Sugiyanto, S. (2013). Model matematika untuk kontrol campak menggunakan vaksinasi. Jurnal Fourier , 2(2), 97-110.