## PERANCANGAN ALGORITMA UNTUK MENGHITUNG HARGA OPSI RESET DENGAN METODE BINOMIAL

## Bony Parulian Josaphat
Dosen Sekolah Tinggi Ilmu Statistik

## Abstract
Reset option is one of exotic options or path-dependent options, namely his payoff option depends on the behavior of the price of the underlying asset between the beginning and the time to maturity, not solely depend on the final price of the underlying asset. Reset option discussed here is the reset option with single reset time . Based on the presence or absence  of  early  exercise  facility,  reset  option  consists  of  an  option  of  European  and American.
This  paper  describes  the  design  of  algorithms  for  reset  option  price  calculation using  binomial  method.  Furthermore,  in  this  paper  also  described  the  algorithm implementation.  Algorithm  implementation  is  done  by  developing  a  simple  application using Java programming language. After implementing and testing, we obtain results that the designed algorithm is fairly accurate based on a comparison with the results of similar calculation using Ms. Excel .

## Keywords : opsi reset, opsi call, opsi put, metode binomial

## I.     PENDAHULUAN
Harga  saham  dapat  mengalami  kenaikan  ataupun  penurunan  seiring  dengan kondisi  yang  ada.  Opsi  merupakan  salah  satu  pilihan  yang  dapat  digunakan  untuk meminimalisasi  resiko  dan  sekaligus  memaksimalkan  keuntungan  dalam  penjualbelian saham  (lihat  [4]).  Secara  umum,  opsi,  dalam  dunia pasar  modal,  adalah  suatu  hak  yang didasarkan  pada  suatu  perjanjian  untuk  membeli  atau  menjual  suatu komoditi, surat berharga  keuangan,  atau  suatu mata  uang  asing pada  suatu  tingkat harga yang  telah disetujui (ditetapkan di muka) pada setiap waktu dalam masa tiga bulan kontrak.
Dilihat  dari  cara  pelaksanaan  sebuah  opsi  maka  paling  tidak  terdapat  dua  gaya  yang dikenal saat ini yaitu :
 Opsi Eropa :  yaitu  suatu  kontrak  opsi  yang  hanya  bisa  dilaksanakan  pada  hari terakhir saat tanggal jatuh tempo masa berlakunya opsi tersebut.
 Opsi Amerika :  yaitu  suatu  kontrak  opsi  yang  bisa  dilaksanakan  kapan  saja  di dalam masa berlakunya kontrak opsi.
Dilihat dari sisi jual beli, opsi terdiri atas opsi beli dan opsi jual. Opsi beli , atau yang lebih dikenal dengan istilah call option , adalah suatu hak untuk membeli sebuah aset pada harga kesepakatan  ( strike  price )  dan  dalam  jangka  waktu  tertentu  yang  disepakati—baik  pada akhir  masa  jatuh  tempo  ataupun  di  antara  tenggang  waktu  masa  sebelum  jatuh  tempo. Opsi  jual ,  atau  yang  lebih  dikenal  dengan  istilah put  option ,  adalah  suatu  hak  untuk menjual  sebuah  aset  pada  harga  kesepakatan  ( strike  price )  dan  dalam  jangka  waktu tertentu  yang  disepakati—baik  pada  akhir  masa  jatuh  tempo  ataupun  di  antara  tenggang waktu masa sebelum jatuh tempo.
Model untuk penghitungan harga opsi diperkenalkan pertama kali oleh Black and Scholes (1973) dan Merton (1973). Mereka mengamati tingkah laku lognormal dari harga aset dan menurunkan  suatu  persamaan  diferensial  parsial  (disingkat  PDP)  yang  menggambarkan harga  opsi.  Untuk  opsi  Eropa,  mereka  telah  menurunkan  suatu  penyelesaian  bentuk tertutup dari PDP yang dikenal dengan rumus Black-Scholes .
Pada tahun 1979 Cox, Ross and Rubinstein ( Cox, J. C., Ross S. and Rubinstein M., "Option Pricing: A simplified Approach", The Journal of Financial Economics , 7, 229 - 263, 1979.) menyajikan suatu pendekatan sederhana untuk penghitungan harga opsi, yaitu suatu rumus harga  opsi  waktu  diskrit.  Dijelaskan  tentang  kenyataan  bahwa  rumus Black - Scholes merupakan  suatu  kasus  limit  khusus  dari  model Cox - Ross - Rubinstein (CRR)  binomial diskrit.  Dengan  kata  lain,  model  binomial  menyediakan  hampiran  diskrit  untuk  proses harga kontinu di bawah model Black - Scholes .
Opsi  reset  merupakan  jenis  opsi  yang  dapat  ditemukan  di  pasar  opsi.  Pada  opsi  reset, penjual dan pembeli opsi diperkenalkan dengan waktu reset. Strike price opsi reset akan di - reset menjadi strike price baru hanya pada pre - specified reset date jika harga aset pokok lebih rendah daripada strike price.
Opsi  reset  sudah  diperjualbelikan  dalam  beberapa  tahun  ini.  Chicago  Board  Options Exchange  (CBOE)  dan  New York  Stock  Exchange  (NYSE),  keduanya  memperkenalkan S&P 500 index put warrants dengan waktu reset 3 bulan di akhir 1996. Morgan Stanley menerbitkan reset  warrant dengan  strike  price  mula - mula  $44.73  pada  Juli  1997.  Strike
price akan diubah menjadi o $39.76 pada 5 Agustus 1997 jika harga aset pokok jatuh di bawah  $39.76.Contoh  lain  lagi  datang  dari  Taiwan,  yaitu  Grand  Cathay  Securities memiliki enam opsi reset yang terdaftar di Taiwan Stock Exchange (TSE) (Kode - kodenya di TSE adalah 0517, 0522, 0523, 0527, 0528, dan 0538) dari 1998 hinggga 1999. [1] Seiring dengan berkembangnya pengetahuan manusia mengenai opsi dan saham, banyak metode  numerik  penghitungan  harga  opsi  yang  muncul,  di  antaranya  adalah  metode trinomial,  binomial,  beda  hingga,  dan  elemen  hingga.  Penulis  memilih  untuk menggunakan  metode  binomial  karena  metode  ini  termasuk  salah  satu  teknik penghitungan  harga  opsi  yang  banyak  digunakan  dan  merupakan  salah  satu  teknik  yang sederhana.
Akan tetapi, meskipun metode binomial dapat digunakan untuk memodelkan harga saham dengan cara yang sederhana, namun belum tentu mudah untuk merancang algoritma yang efisien. Hal inilah yang menumbuhkan niat penulis untuk membuat algoritma yang efisien yang  dapat  digunakan  sebagai  salah  satu  acuan  untuk  membuat  kode  program  atau aplikasi untuk menentukan harga opsi dengan menggunakan metode binomial.
Tujuan  penelitian  pada  makalah  ini  adalah  merancang  algoritma  metode  binomial  yang akurat  dan  efisien  untuk  menentukan  harga  opsi  reset;  membuktikan  apakah  algoritma penghitungan harga opsi yang telah dibuat oleh penulis dapat diimplementasikan menjadi sebuah aplikasi; dan untuk mengetahui efisiensi algoritma yang telah dibuat.
Adapun spesifikasi kebutuhan dari perangkat lunak aplikasi ini adalah:
1. Menerima masukan data dari pengguna berupa nilai variabel - variabel yang dibutuhkan dalam menentukan harga opsi.
2. Dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  penghitungan  harga  opsi  sesuai  dengan  jenis opsi yang ditentukan oleh pengguna.

## Studi Literatur
Berikut ini dijelaskan pengertian opsi reset dan metode binomial, yaitu:
1. Opsi Reset
Opsi reset merupakan salah satu opsi path - dependent yang strike price - nya dapat direset berdasarkan  kriteria  tertentu.  Pada  opsi  reset  dikenal  istilah  waktu  reset.  Ini  merupakan waktu yang diberikan kepada pemilik opsi untuk mengubah harga strike price ([2]).
2. Metode Binomial
Metode  binomial  merupakan  salah  satu  teknik  yang  digunakan  untuk  menentukan  harga saham.  Dengan  menggunakan  metode  binomial,  harga  saham  dimodelkan  secara
sederhana dengan menggunakan pohon binomial, dan harga saham pada setiap langkahnya akan mengalami kenaikan atau penurunan harga.
Dalam  menentukan  pergerakan  harga  saham  dengan  menggunakan  metode  binomial, harga saham ( S ) akan ditentukan dari hasil eksperimen acak Bernoulli berupa pelantunan koin. Bila pelantunan koin tersebut menghasilkan muka (H) maka harga saham akan naik dengan P(T) = p dan jika pelantunan menghasilkan belakang (T) maka harga saham akan turun P(T) = 1 - p = q (lihat [6]).

## II. METODOLOGI
Berikut ini dijelaskan algoritma penghitungan harga opsi reset.

## Algoritma penghitungan harga opsi reset
Gambaran pemodelan opsi reset dapat dilihat pada Gambar 1.

## Gambar 1. Pemodelan harga saham untuk opsi reset dengan metode binomial
Algoritma  penghitungan  harga  opsi  reset  dijelaskan  sebagai  berikut  (lihat  [4]  dan  [6]).
Pada opsi reset ada 1 waktu jatuh tempo dan 1 waktu reset, yaitu secara berturut - turut T dan ' t .  Selang  waktu   ' , 0 t dibagi  menjadi M subselang  (banyak  langkah)  yang  sama panjang yaitu Δ t dengan titik - titik bagi (sampai dengan ' t ) ' ... 0 1 0 t t t t m      di mana
dan   i i t S S  adalah  harga  saham  pada  waktu i t .  Asumsi - asumsi  pada  metode  binomial adalah:
1. Dalam  selang  waktu t  harga  saham  dapat  naik  atau  turun  menjadi u S 0 atau d S 0            t T M m t t m i t i t i '
,..., 1 , 0 ,
dengan u d    1 0 .
2. Peluang harga saham naik adalah p .
3. Ekspekasi return harga  saham  besarnya  sama  dengan  suku  bunga  bebas  resiko r , sehingga  untuk  harga  saham  yang  bergerak  secara  acak  dari i S pada  waktu i t menjadi 1  i S pada waktu 1  i t berlaku   t r i i e S S E    1 .
4. Pada makalah ini dipilih 1  ud .
Solusi - solusi dari p d u dan , , adalah:
, , 1 , 1 2 2 d u d e p d u t r               dengan     t r t r e e        2 2 1   .
Misalkan pada waktu 0 0  t harga saham adalah 0 S , maka menurut metode binomial harga saham  pada  waktu diberikan  oleh atau d S 0 .  Selanjutnya  harga  saham mengambil salah satu dari , , 0 2 0 ud S d S atau 2 0 u S . Jika langkah ini diteruskan maka pada waktu t i t i   akan terdapat 1  i harga saham yang mungkin terjadi, yang diberikan oleh
i j d u S S j i j ji ,..., 1 , 0 , 0   
dengan ji S menyatakan harga saham pada waktu i t dan telah terjadi kenaikan sebanyak j kali serta penurunan harga saham sebanyak i - j kali, dihitung dari waktu 0 0  t .
Pada waktu reset m t t  ' terdapat m+ 1 harga saham yang mungkin, yaitu m m m m S S S , , 1 , 0 ,..., , . Lalu dari  masing - masing  harga  saham  ini  dibuat  lagi  pohon  binomial  sebanyak m +1.  Untuk langkah i=m dan j = 0,..., m , misalkan   k l m M k j lk S ,..., 0 ; ,..., 0    . Pada waktu jatuh tempo T , untuk tiap j = 0,..., m terdapat M - m+ 1 harga saham yang mungkin yaitu   m M l j m M l S    ,..., 0 , . Misalkan   m M l j m M l RC    ,..., 0 , menyatakan nilai - nilai payoff pada waktu jatuh tempo untuk opsi call reset Eropa  yaitu         K S j m M l K S j m M l j m M l m j m j I K S I K S RC            , , , , , .  Dengan  cara  yang  serupa,  nilai - nilai payoff pada  waktu  jatuh  tempo  untuk  opsi  put  Eropa  diberikan  oleh         K S j m M l K S j m M l m j j m M l m j m j I S K I S S RP            , , , , , ,
Harga - harga  opsi  call reset dan  opsi  put  reset  pada  waktu ' t t i  ,  yang  berkaitan  dengan harga  saham j lk S ,  diberikan  secara  berturutan  oleh     j k l j k l t r j lk RC p pRC e RC 1 , 1 , 1 1         dan     j k l j k l t r j lk RP p pRP e RP 1 , 1 , 1 1         dengan k l ,..., 1 , 0  dan , 1    m M k . , 1 ..., m m  Untuk k=l= 0 diperoleh j jm RC RC 00  dan j jm RP RP 00  . Selanjutnya harga - harga opsi call reset dan opsi put
t t   1 1 u S 0
reset
pada waktu ' t t i  diberikan secara berturutan oleh
    1 , 1 , 1 1         i j i j t r ji RC p pRC e RC ...(1)     1 , 1 , 1 1         i j i j t r ji RP p pRP e RP ...(2)  dengan 0 ,..., 1   m i dan i j ,..., 0  .
Persamaan - persamaan (1) dan (2) secara berturut - turut adalah rumus - rumus harga aplikasi untuk opsi call reset Eropa dan opsi put reset Eropa.
Untuk  opsi  reset  Amerika,  pada  persamaan  (1)  dan  (2)  di  atas  harus  ditambahkan  uji pembandingan  harga - harga ji RC dan ji RP di  atas  dengan  nilai payoff yang  diperoleh seandainya dilakukan early exercise pada waktu i t . Jadi diperoleh
                1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji RC p pRC e K S RC ...(3)
                1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji RP p pRP e S K RP ...(4)  dengan 0 ,..., 1   m i dan i j ,..., 0  .

## Implementasi
Algoritma  di  atas  diimplementasikan  ke  dalam  sebuah  aplikasi  yang  dibangun  untuk menentukan  harga  opsi.  Hasil  kalkulasi  dari  aplikasi,  yang  disebut  harga  aplikasi, dibandingkan dengan hasil penghitungan harga opsi menggunakan Ms. excel, yang disebut harga excel.
Adapun spesifikasi perangkat keras yang digunakan adalah sebagai berikut:

Prosesor : Pentium 4 Intel 3.00 GHz  RAM : 1 GB  Hard disk : 80 GB
Sedangkan spesifikasi perangkat lunak yang digunakan adalah sebagai berikut:
 Sistem Operasi : Microsoft Windows XP Professional  Bahasa Pemrograman : Java Standard Edition (JSE)
 Development Tools : JCreator, Edit plus 3

## III.    HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut diberikan beberapa contoh hasil dalam pengujian penghitungan harga opsi dengan membandingkan harga aplikasi dengan harga excel.  Input data  yang dimasukkan dapat berbeda dalam setiap pengujian.
Pengujian untuk menghitung opsi reset
Secara keseluruhan ada 4 jenis opsi reset, yaitu:
1. call reset Eropa,
2. call reset Amerika,
3. put reset Eropa,
4. put reset Amerika.
Data masukan yang digunakan untuk menguji algoritma untuk keempat jenis opsi reset di atas adalah:

suku bunga ( r) = 0.1,

volatilitas ( σ ) = 0.2,
 waktu jatuh tempo ( T ) = 1.6,
 waktu reset ( t ’) = 1,
 strike price ( K ) = 300,
 banyak langkah ( M ) = 8.
Pengujian dilakukan untuk harga - harga saham awal  yang bernilai 160, 170, ..., 240, 250 dan diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada tabel 1 sampai tabel 4.

## Tabel 1 Harga binomial opsi call reset Eropa
0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 16.41472806502810 16.41473 170 18.072637603410600 18.07264 180 19.972777788734000 19.97278 190 21.882408912493300 21.88241 200 23.792040036252500 23.79204 210 25.701671160011700 25.70167 220 27.686472529365700 27.68647 230 30.526656159486700 30.52666 240 33.915896045929000 33.91590 250  37.331826240208000 37.33183

## Tabel 2 Harga binomial opsi call reset Amerika
0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 12.819207186301100 12.81921 170 13.965100580018700 13.96510 180 15.180155902906000 15.18016 190 16.395211225793200 16.39521 200 17.610266548680500 17.61027 210 18.825321871567800 18.82532 220 20.040377194455000 20.04038 230 21.618499848356800 21.61850 240 23.235158061278800 23.23516 250  24.851816274200900 24.85180

## Tabel 3 Harga binomial opsi put reset Eropa
0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 26.925051819572600 26.92505 170 28.360575031131200 28.36058 180 29.865260171859400 29.86526 190 31.369945312587600 31.36995 200 32.874630453315800 32.87463 210 34.379315594043900 34.37932 220 35.884000734772100 35.88400 230 36.212367040422600 36.21237 240 36.415880185175300 36.41588 250  36.619393329928000 36.61939

## Tabel 4 Harga binomial opsi put reset Amerika
0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 16.414728065028100 16.41473 170 18.072637603410600 18.07264 180 19.972777788734000 19.97278 190 21.882408912493300 21.88241 200 23.792040036252500 23.79204 210 25.701671160011700 25.70167 220 27.686472529365700 27.68647 230 30.526656159486700 30.52666 240 33.915896045929000 33.91590 250  37.331826240208000 37.33183

## Pengujian batas banyak langkah penghitungan opsi
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui banyak langkah yang masih valid untuk menghitung harga opsi. Pengujian dilakukan untuk data masukan:
 suku bunga ( r) = 0.1,
 volatilitas ( σ ) = 0.2,
 waktu jatuh tempo ( T ) = 1.6,
 waktu reset ( t ’) = 1,

harga saham awal ( 0 S ) = 250,
 strike price ( K ) = 300,
 banyak langkah ( M ) = 92 dan 93.
Untuk M = 92 diperoleh hasil bahwa aplikasi tidak mengalami hang , namun untuk M = 93 diperoleh hasil bahwa aplikasi mengalami hang .
Pada tabel 1 sampai tabel 4 penghitungan harga opsi dilakukan untuk M = 8 agar bisa dibandingkan dengan harga opsi yang diperoleh dari Ms. Excel. Pada tabel 1 sampai tabel 4 diperoleh selisih yang relatif kecil antara harga aplikasi dan harga excel, yaitu lebih kecil dari 10 - 4 .  Ini  berarti  aplikasi  yang dibangun cukup  akurat untuk  menghitung harga opsi reset .
Pada aplikasi yang dibangun dilakukan pengujian untuk beberapa M . Ketika M = 92  aplikasi  masih  dapat  melakukan  penghitungan  harga  opsi,  namun  ketika M =  93 aplikasi mengalami hang . Hal ini mungkin disebabkan algoritma yang digunakan kurang efisien  untuk  perhitungan  matematis  yang  rumit.  Perhitungan  matematis  menggunakan metode  binomial  ini  melibatkan  ukuran  matriks  yang  besar  apabila  banyaknya  langkah besar.

## IV.   KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Penulis telah membuat algoritma untuk menentukan harga opsi untuk jenis opsi reset dengan menggunakan metode binomial.
2. Dengan menggunakan  aplikasi  yang dikembangkan oleh penulis, penghitungan harga opsi  yang  dapat  dilakukan  adalah  sampai M =  92  langkah  dan  ketika  menggunakan data dengan M = 93 aplikasi mengalami hang . Hal ini mungkin disebabkan algoritma yang digunakan kurang efisien untuk perhitungan matematis yang rumit.
3. Setelah  melakukan  pengujian  penghitungan  harga  opsi  dengan  menggunakan  kode program  dan  membandingkannya  dengan  penghitungan  harga  opsi  dengan menggunakan  excel,  selisihnya  diperoleh  lebih  kecil  dari  10 - 4 .  Ini  menunjukkan aplikasi yang dibangun cukup akurat.
Semakin  besar  langkah  semakin  akurat  pula  harga  binomial  yang  diperoleh.  Hal  ini memerlukan  ukuran  matriks  yang  besar.  Untuk  menyelesaikan  persoalan  matriks berukuran besar biasanya digunakan metode yang efisien, yaitu metode Successive Over - Relaxation (SOR). Penghitungan harga opsi reset menggunakan metode binomial ini bisa dikembangkan menggunakan metode SOR.

## DAFTAR PUSTAKA
Szu - Lang  Liao,  Chou - Wen  Wang, The  Valuation  of  Reset  Options  with  Multiple  Strike Resets and Reset Dates, National Chengchi University, Taiwan, 2002.
Shparber,  M.,  S.  Resheff,  “Valuation  of  Cliquet  Options”, The  Leon  Recanati  Graduate School of Business Administration, Tel Aviv University, Israel, pp. 1 - 46, 2004.
Pakpahan, V.,  et.  al.,  ”Perancangan Algoritma  untuk  Menentukan  Harga  Opsi Reset dan Opsi Barrier ”, Diploma  3  Final  Project ,  Del  Polytechnic  of  Informatics,  North Sumatera, Indonesia, 2010.
Wikipedia, Opsi (keuangan),  http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi  (keuangan),   11/9/2009, diakses 06/10/2009.
Marbun, B., “Penghitungan Harga Opsi Compound Menggunakan Metode Martingale dan Metode  Binomial”, Master  Thesis ,  Bandung  Institute  of  Technology,  Bandung, Indonesia, 2008.