## MENENTUKAN GRUP GALOIS PADA POLINOMIAL RASIONAL DENGAN PENGEMBANGAN METODE STAUDUHAR

## Juli Loisiana Butar-butar
Dosen Universitas Quality Berastagi Email : julois.butrz@gmail.com

## Abstrak
Setelah  ditemukannya  solusi  umum  secara  radikal  dari  suatu  polinomial hingga  berderajat  empat,  memunculkan  suatu  permasalahan  bahwa  tidak  ada solusi  umum  secara  radikal  dari  suatu  polinomial  berderajat  lima.  Teori  Galois muncul  sebagai  jawabandari  permasalahan  tersebut  dan  telah  memberikan peranan besar dalam pengembangan matematika khususnya di bidang Aljabar dan Teori  Bilangan.Untuk  menentukan  grup  Galois  dari  suatu  polinomial  monik rasional f ( x )  berderajat n dengan  koeﬁsien-koeﬁsien  integer  merupakan menentukan  grup  automorﬁsma  dari  akar-akar  polinomial f ( x ).Oleh  karena  itu, grup Galois f ( x )adalah subgrup dari S n . Metode Stauduhar sebagai salah salah satu metode  untuk  menentukan  grup  Galois  dari f ( x ), yakni  mencari  subgrup  transitif maksimal  terkecil  yang  bersuaian  dengan  akar-akar f ( x ).  Pada  tulisan  ini  akan dibahas metode Stauduhar dengan menggunakan aturan pada Teorema Dedekind.
Kata kunci: Grup Galois, Metode Stauduhar

## Abstract
After it was found the general solution of by radicals of polynomial up to degree  four,  appear  a  problem  that  there  is  no  general  solution  by  radicals  of polynomial  degree  five.  Galois  theory  had  appeared  as  the  answereof  this problem  and it has given a big role in development  of  mathematics in  particular Algebra  and  Number  Theory.  To  determine  Galois  group  from  a  rational  monic polynomial f(x) with integer coefficients of degree n is determining automorphism group  from  roots  of    f(x).    Therefore,  Galois  Group    f(x)is  a  subgroup  of  S n . Method  of  Stauduhar  as  one  manner  to  determining  Galois  Group    f(x),  that  is finding the least maximal transitive subgroup that act on roots of f(x).In this paper will be studied method of Stauduhar using Dedekind’s Theorem.
Keywords: Galois Group, Stauduhar’s Method.

## Pendahuluan
Diberikan 𝑝(𝑥) polinomial  monik berderajat 𝑛 tak  tereduksi  atas  lapangan bilangan rasional ℚ sehingga
mempunyai  akar-akar 𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 di
lapangan 𝕃 yang merupakan sublapangan bilangan kompleks ℂ sehingga ℚ merupakan lapangan bagian  dari 𝕃 , dinotasikan ℚ ≤ 𝕃 . Dibentuk himpunan 𝐴 = {𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 }
dan  dipetakan  ke  himpunan  itu  sendiri sehingga  himpunan  dari  pemetaan- pemetaan  tersebut  akan  membentuk suatu grup permutasi.
Hal  ini  membawa  suatu  deﬁnisi lain  tentang  grup  automorﬁsma  dari himpunan  akar-akar  polinomial  tak tereduksi 𝑝(𝑥) , yaitu  Aut 𝕃 ( ℚ ).  Konsep grup  ini  merupakan  salah  satu  bentuk dari grup Galois pertama kali
diperkenalkan  oleh  Évariste  Galois (1831).  Grup  Galois ℚ atas 𝕃 yang dinotasikan Gal( 𝕃 / ℚ ).
Diberikan  polinomial  monik  tak tereduksi atas ℚ , 𝑓(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛 ∈ ℚ[𝑥], untuk 𝑛 bilangan  aslidan  koeﬁsien- koeﬁsien 𝑎 0 , 𝑎 1 , ⋯ , 𝑎 𝑛 bilangan  bulat ℤ .
Andaikanakar-akar dari 𝑓(𝑥) adalah 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 di lapangan 𝕃 , sehingga ℚ ≤ 𝕃 .  Karena 𝑓(𝑥 𝑖 ) = 0 , untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 ,  maka 𝑥 𝑖 bersifat aljabar  atas ℚ .  Hal  ini  berarti ℚ ≤ ℚ[𝑥 𝑖 ] , dengan lapangan ℚ[𝑥 𝑖 ] = {𝑟 0 + 𝑟 1 𝑥 𝑖 + 𝑟 2 𝑥 𝑖 2 + ⋯ + 𝑟 𝑘 𝑥 𝑖 𝑘 : 𝑟 0 , 𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ∈ ℚ}
dan  indeks ℚ atas ℚ[𝑥 𝑖 ] , [ℚ[𝑥 𝑖 ]: ℚ] , adalah  derajat  polinomial  minimal  dari 𝑥 𝑖 di  lapangan 𝕃 ,  untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 . Polinomial 𝑓(𝑥) dapat  difaktorisasikan ke  bentuk  linier  di 𝕃 [ x ], 𝑓(𝑥)   = (𝑥– 𝑥 1 )(𝑥– 𝑥 2 ) ⋯ (𝑥– 𝑥 𝑛 ) sehingga 𝕃 disebut  lapangan  pemisahan  ( spitting field ) 𝑓(𝑥) atas ℚ ,  dinotasikan 𝕃  = Spl(𝑓(𝑥))   =  ℚ[𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ] . Grup Galois ℚ atas 𝕃 dari 𝑓(𝑥) dinotasikan denganGal( 𝕃 / ℚ ) atau Gal( 𝑓(𝑥) ).
Karena  menentukan  grup  Galois 𝑓(𝑥) merupakan  mencari  subgroup simetri dari 𝑆 𝑛 yang bersesuaian sehinggaGal(( 𝑓(𝑥) )  isomorfik  dengan subgroup simetri dari 𝑆 𝑛 . Namun, untuk enentukan  grup  Galois ℚ atas  lapangan pemisahannya  merupakan  perhitungan sulit.  Jika  derajat  polinomial  dan koefisien relatif besar, maka perhitungan secara  komputerisasi  adalah  merupakan penyelesaian  alternatif.  Oleh  karena  itu, dibutuhkan  suatu  algoritma  untuk  dapat menentukan  grup  Galois  polinomial tersebut. MetodeStauduhar dalam (Stauduhar,  1973)  merupakan  salah  satu algoritma untuk menentukan grup Galois dari polinomial tak tereduksi atas ℚ .  Dalam  metodeini  untukmenentukan suatu  grup  Galois  atas 𝑓(𝑥) ,  Gal( 𝑓(𝑥) ), adalah  denganmencari  subgrup  transitif
maksimal  terkecil  dari  grup  simetrik S n yang  bersesuaian  dengan  akar-akar  dari 𝑓(𝑥) .
Menurut  (Gupta,  2018),  Teorema Dedekind menyatakan: Diberikan 𝑓(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] polinomial  monik square- free berderajat 𝑛 dan  bilangan  prima 𝑝 sedemikian  hingga 𝑝 membagi  habis diskriminan  dari 𝑓(𝑥) .  Dimisalkan 𝐺 ⊂ 𝑆 𝑛 grup  Galois  dari 𝑓(𝑥) atas  lapangan bilangan  rasional ℚ .  Jika 𝑓 𝑝 = 𝑓̅ = 𝑓(mod 𝑝) ∈ ℤ 𝑝 [𝑥] difaktorisasi sebagai:
𝑓 𝑝 = 𝑓̅ = ∏ 𝑓 𝑖 ̅ 𝑟 𝑖=1 dimana 𝑓 𝑖 ̅ adalah  polinomial  monik berbeda tak tereduksi di ℤ 𝑝 [𝑥] , deg(𝑓 𝑖 ̅) = 𝑑 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 ,  dan 𝑑 1 + 𝑑 2 + ⋯ + 𝑑 𝑟 = 𝑛 , maka terdapat suatu automorfisma 𝜎 ∈ 𝐺 dimana  dianggap sebagai  permutasi  dari  akar-akar 𝑓(𝑥) yang  merupakan  hasil  kali  dari cycle dengan panjang 𝑑 1 , 𝑑 2 , ⋯ , 𝑑 𝑟 . ”
Dengan demikian, tujuan penelitian ini adalahmembentuk kembali suatu  algoritma  baru,  yakni  dengan menggunakan teorema Dedekind tersebut sebagai tambahan dalam
langkah  menentukan  grup  Galois 𝑓(𝑥) dalam Metode Stauduhar .

## Tinjauan Pustaka
1. Metode Stauduhar
Metode Stauduhar merupakan suatu  metode  yang  didasarkan  pada polinomial resolven (Stauduhar, 1973). Polinomial resolvent (Bright, 2013) didefinisikan sebagai suatu polinomial yang akar-akarnya
merupakan  “kombinasi”  dari  akar-akar 𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 dari  suatu  polinomial 𝑓 ;
dimana caranya kombinasi 𝑟 𝑖 ditentukan oleh polinomial multivariable 𝑝 . Polinomial resolvent merupakan polinomial  yang  didefinisikan  oleh  dua polinomial 𝑝(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] dan 𝐹 ∈
ℤ[𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ] menjadi suatu polinomial  baru 𝑅 𝐹,𝑝 (𝑦) = ∏ (𝑦 − 𝐹 𝑖 (𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ ) 𝐹 𝑖 ∈orb(𝐹)
Dalam  penelitian  (Andri,  2005) memaparkan teorema-teorema berikut.
Teorema 2.1.1.
Andaikan 𝑝(𝑥) ∈ ℚ monik tak  tereduksi dengan koefisien-koefisien integer.
Dimisalkan 𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 adalah  urutan awal  dari  akar-akar 𝑝(𝑥) .  Dimisalkan 𝐻 adalah  subgrup  transitif  dari 𝑆 𝑛 .
Andaikan  berhubungan  urutan  akar- akar, 𝐺𝑎𝑙(𝑝(𝑥)) .  Untuk  sebarang 𝐺 di 𝐻 ,  dan 𝐹 suatu  fungsi  terkait 𝐺 , dimisalkan 𝜎 1 , 𝜎 2 , ⋯ , 𝜎 𝑘 adalah himpunan perwakilan koset 𝐻 , maka
𝑄 𝐻,𝐺 (𝑦) = ∏(𝑦 − 𝜎 𝑖 (𝐹(𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 )) 𝑘 𝑖=1
dikatakan  polinomial  resolven  dari 𝐺 yang  berkaitan 𝐻 dan  mempunyai koefisien-koefisien integer.
Bukti
Untuk setiap 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 , 𝜎 𝑖 aljabar atas atas  integer.  Karena  itu,  koefisien- koefisien  dari 𝑄 (𝐻,𝐺) (𝑦) adalah  aljabar atas  integer.Andaikan 𝜋 ∈ Gal(𝑝(𝑥)) , maka 𝜋 ∈ 𝐻 sehingga
𝜋 (𝑄 (𝐻,𝐺) (𝑦)) = ∏(𝑦 𝑘 𝑖=1 − 𝜋𝜎 𝑖 (𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 )))
= ∏(𝑦 − (𝜋𝜎 𝑖 )(𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 )) 𝑘 𝑖=1
Tetapi  karena {𝜋𝜎 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘} adalah juga  himpunan  perwakilan-perwakilan koset  kanan  dari 𝐺 di 𝐻 sehingga 𝜋 hanya  mempermutasi  akar-akar  dari 𝑄 (𝐻,𝐺) (𝑦) dengan  koefisien-koefisien tetap. Koefisien dari 𝑄 tetap aljabar atas integer karena Gal(𝑝(𝑥)) dan karena itu integer..

## Teorema 2.1.2.
Andaikan  semua  asumsi  dari  teorema 2.1.1.berlaku.  Jika 𝐹(𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) bukan akar  berulang  dari 𝑄 𝐻,𝐺 (𝑦) ,  maka 𝐺𝑎𝑙(𝑝(𝑥)) adalah  subgrup 𝐺 jika  dan hanya jika 𝐹(𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) .

## Bukti
⇒) Andaikan Gal(𝑝(𝑥)) ⊆ 𝐺 .  Diambil 𝜋 ∈ Gal(𝑝(𝑥)) .  Karena  itu, 𝜋 ∈ 𝐺 sehingga 𝜋(𝐹) = 𝐹 .  Akibatnya, 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) ditetapkan terhadap permutasi  dari  semua  elemen  di Gal(𝑝(𝑥)) sehingga 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) bilangan rasional.Karena
𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) aljabar  atas  integer, maka 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) integer.
⇐) Karena 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) integer,  maka 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) ditetapkan oleh Gal(𝑝(𝑥)) . Karena 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) bukan  akar  berulang  dari 𝑄 (𝐻,𝐺) , maka  hanya  permutasi-permutasi 𝐻 di 𝐺 yang  menetapkan 𝐹(𝑟 1 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) .
Oleh karena itu, (Gal(𝑝(𝑥)) ∩ 𝐻) ⊆ 𝐺 .  Tetapi  karena Gal(𝑝(𝑥)) ⊆ 𝐻 , maka diperoleh Gal(𝑝(𝑥)) ⊆ 𝐺 . ∎
Sebagai  konsekuensi  dari  teorema 2.2.diperoleh akibat-akibat berikut.
Akibat 2.1.3.
Jika 𝜎 𝑖 𝐹(𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) bukan akar berulang dari 𝑄 𝐻,𝐺 (𝑦) , maka
𝐺𝑎𝑙(𝑝(𝑥)) adalah  subgrup 𝐺 jika  dan hanya jika 𝜎 𝑖 𝐹(𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) .
Akibat 2.1.4. Jika 𝐺𝑎𝑙(𝑝(𝑥)) adalah  subgrup  dari 𝜎 𝑖 𝐺𝜎 𝑖 −1 dan  tidak  mempunyai  akar berulang  dari 𝑄 𝐻,𝐺 (𝑦) berdasarkan pengurutan  baru 𝑟 𝑗 ′ = 𝑟 𝜎 𝑖 (𝑗) ′ ,  maka
𝐺𝑎𝑙(𝑝(𝑥)) adalah subgrup dari 𝐺 .
Teorema  berikut  dapat  digunakan untuk  menentukan  apakah  grup  galois termuat di subgrup alternating 𝐴 𝑛 .
Teorema 2.1.5. (van der Waerden). Diberikan 𝑝(𝑥) polinomial monik tak tereduksi berderajat 𝑛 dengan koefisien-koefisien integer. Jika diskriminan  dari 𝑝(𝑥) , 𝐷𝑖𝑠𝑐(𝑝(𝑥))
kuadrat  sempurna  di ℚ ,  maka  grup galois adalah subgrup dari 𝐴 𝑛 .
Disc(𝑝(𝑥)) kuadrat sempurna di ℚ
artinya √Disc(𝑝(𝑥)) ∈ ℚ . Untuk menghitung nilai diskriminan  suatu  polinomial  haruslah mengetahui  akar-akar  dari  polinomial tersebut Disc(𝑝) = ∏ (𝑢 𝑗 − 𝑢 𝑖 ) 2 1≤𝑖<𝑗≤𝑛
dengan 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 adalah  akar-akar  dari 𝑝 untuk 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑛 .
Namun,  terdapat  suatu  formula eksplisit  untuk  menghitung  Disc( p ( x )) hanya  dengan  menggunakan  koeﬁsien- koeﬁsien polinomial p ( x ) (Baker, 2004).
Polinomial p ( x )  = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n – 1 x n – 1 + x n dengan d = deg( p(x) ), dan p’ ( x )= a 1 +2 a 2 x + ⋯ +( n –1) a n –  1 x n –  2 + nx n  – 1 adalah turunan pertama p ( x ) atas x sehingga diskriminan dari p ( x )adalah Disc(𝑝(𝑥))
=   (−1) 𝑑(𝑑−1)
2 Res(𝑝(𝑥), 𝑝’(𝑥)). Res(𝑓(𝑥), 𝑓’(𝑥)) = | | | 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 ⋯ 1 0 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 0 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 ⋯ 1 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ ∙ ∙ ∙ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 𝑎 0 𝑎 1 ⋯ 𝑎 𝑛 𝑎 1 2𝑎 2 ⋯ 1 0 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 0 0 𝑎 1 2𝑎 2 ⋯ 1 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 0 𝑎 1 2𝑎 2 ⋯ 1 | | |
dengan Res(𝑝(𝑥), 𝑝’(𝑥)) adalah  resultan dari 𝑝(𝑥) dan 𝑝′(𝑥)
Metode  Stauduhar  adalah  metode untuk mencari grup galois dari polinomial tak tereduksi dengan koefisien-koefisien integer adalah
menggunakan  akar-akar  kompleks  dari polinomial  yang  diberikan.  Langkah- langkah  dari  metode  ini  diperoleh berdasarkan  teorema-teorema  di  atas dan disusun dalam algoritma berikut.

## Algoritma 2.1.: Membangun Grup
Galois dengan Metode Stauduhar Input: Polinomial monik tak tereduksi 𝑝(𝑥) berderajat n dengan  koeﬁsien-koeﬁsien integer.
Output  : Grup Galois dari (𝑥) .
Langkah 1:  Cari  diskriminan  dari 𝑝(𝑥) , Disc( 𝑝(𝑥) ).  Jika  Disc( 𝑝(𝑥) ) kuadrat  sempurna  di ℚ , maka  Gal( 𝑝(𝑥) )  ≤ A n = G 0 .
Jika tidak, makaGal( 𝑝(𝑥) ) ≤ S n = G 0 .
Langkah 2:  Cari  nilai  aproksimasi  dari akar-akar p ( x ) (dengan komputerisasi).
Langkah 3:  Pilih G 1 suatu  subgrup transitif  maksimal  dari G 0 , dan [𝐺 0 : 𝐺 1 ] = 𝑘 .  Hitung suatu  polinomial  resolven berderajat k , 𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦)
secara numerik, menggunakan  suatu  fungsi F 1 ( r 1 , r 2 , ⋯ , r n ) termasuk terhadap G 1 di S n ,  dan suatu himpunan represetatif-represetatif koset kanan untuk G 1 di S n .
Langkah  4:   Jika 𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦) mempunyai suatu akar integer sehingga akar tersebut adalah 𝜎 𝑖 𝐹 1 (𝑟 1 , 𝑟 2 , ⋯ , 𝑟 𝑛 ) ,  dengan σ i adalah  suatu  perwakilan koset kanan, maka Gal(𝑝(𝑥)) ⊂ 𝜎 𝑖 𝐺 1 𝜎 𝑖 −1 .
Urutkan  kembali  akar-akar p ( x )  dengan  aturan 𝑟′ 𝑖 = 𝑟 𝜎 𝑖 (𝑖) .  Hal  ini  berakibat
Gal( p ( x )) ⊂ G 1 . Jika  tidak, makaGal( p ( x )) ⊄ G 1 .
Kembali ke langkah 3.
Langkah 5:   Pilih G 2 adalah  subgrup transitif  maksimal  dari G 1 , dan  fungsi F 2 termasuk  ke
G 2 di G 1 .  Kemudian  hitung
polinomial
resolven 𝑄 𝐺 1 ,𝐺 2 (𝑦)
berderajat [𝐺 1 : 𝐺 2 ] . Uji polinomial  ini  untuk  akar integer.  Lakukan  seperti langkah 4, sehingga diperoleh Gal( p ( x )) ⊂ G 2 .
Langkah 6:  Lakukan  hingga  hingga
tidak ada polinomial resolven yang tidak mempunyai  akar  integer atau suatu subgrup transitif
minimal dari S n ,  yakni G m ditemukan.
Langkah 7:  Gal( p ( x )) = G m . Selesai.
Terdapat langkah pemilihan subrup  transitif  maksimal  yang  dapat dilihat pada tabel 1 (Stauduhar, 1973).Sedangkan perwakilan- perwakilan  dari  koset-koset  kanan  dari subgrup-subgrup maksimal transitif dapat  dilihat  pada  tabel  2  (Stauduhar, 1973).
Untuk  lebih  mengerti  langkah- langkah  dalam  menentukan  grup  Galois tersebut perhatikan contoh 1 berikut
Contoh  2.1.6 Tentukan  grup  Galois dengan menggunakan Metode Stauduhar dari
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 + 8𝑥 2 + 8𝑥 + 2 .
Solusi
Langkah 1: Disc( 𝑓(𝑥) )= -1024.
Karena √Disc(𝑓(𝑥))   ∉ ℚ , maka
Gal (𝑓(𝑥)) ≤ 𝑆 4 .
Langkah 2:
Aproksimasi akar 𝑓(𝑥) r 1 = -1.0000 + 1.5538 i,
r 2 = -1.0000 - 1.5538 i r 3 = -1.6436 r 4 = -0.3564
Langkah 3:
G 1 = G 8 ≤ S 4 .  Dengan  perwakilan  koset kanan  adalah  {Id,  (23),  (34)}  sehingga fungsi
𝐹 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) =   𝑥 1 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑥 4 Polinomial resolven
𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦) = ∏(𝑦 − 𝜎 𝑖 𝐹 1 (𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 , 𝛼 4 )) 3 𝑖=1 = (𝑦 − (2 −  2𝑖))(𝑦 − (4))
(𝑦 − (2 + 2𝑖))
Langkah 4:
Karena σ 2 F 1 =  4,  maka  polinomial resolven mempunyai akar integer.
Sehingga  Gal( f ( x )) ⊂ (23) G 8 (23).Urutan akar-akar yang baru 𝛼 𝑖 = 𝛼 ′ 𝜎 𝑖 (𝑖) 𝑟 ′ 1 = 𝑟 (23)(1) = 𝑟 1 = −1.0000  +  1.5538𝑖 𝑟′ 2 = 𝑟 (23)(2) = 𝑟 3 = −1.6436
𝑟 ′ 3 = 𝑟 (23)(3) = 𝑟 3 = −1.0000  −  1.5538𝑖 𝑟′ 4 = 𝛼 (23)(4) = 𝛼 (6) = −0.3564
Sehingga Gal( 𝑓(𝑥) ) ≤ G 8 .
Langkah 5: G 8 mempunyai subgrup transitif maksimal 𝐺 4 1 , dan 𝐺 4 2 , tetapi 𝐺 4 2 terdapat di A n . Pilih G 2 = 𝐺 4 1 dengan  perwakilan  koset kanan  adalah{Id,  (12)(34)}  sehingga fungsi
𝐹 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) = 𝑥 1 𝑥 2 2 + 𝑥 2 𝑥 3 2 + 𝑥 3 𝑥 4 2 + 𝑥 4 𝑥 1 2
Polinomial resolven
𝑄 𝐺 1 ,𝐺 2 (𝑦) = ∏(𝑥 2 𝑖=1 − 𝜎 𝑖 𝐹 1 (𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 , 𝛼 4 )) = (𝑥 − (1.4696 ⋅ 10 −4 ))
(𝑥 − (1.4696 ⋅ 10 −4 )) Karena polinomial resolven tidak mempunyai akar integer, maka Gal( 𝑓(𝑥) ) tidak terdapat di 𝐺 4 1 .
Langkah 6:
Karena 𝐺 8 tidak  mempunyai  subgrup transitif yang sesuai lagi, maka 𝐺 8 adalah subrup  transitif  terkecil  dari 𝑆 4 yang bersesuaian  dengan  Gal( 𝑓(𝑥) ).  Dengan rantai subgrup adalah 𝑆 4 ⊃ 𝐺 8 .
Langkah 7:
Gal( 𝑓(𝑥) ) = 𝐺 8 . Selesai.
2.2 Metode Stauduhar dengan Menggunakan Teorema Dedekind Penelitian (Gupta, 2018) membuktikan suatu teorema yang sangat membantu dalam langkah-langkah
menentukan  grup  galois  dari  polinomial koefisien integer atas 𝑄 . Teorema 2.2.1 (Teorema Dedekind) Diberikan 𝑓(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] polinomial monik square-free berderajat 𝑛 dan  bilangan  prima 𝑝 sedemikian hingga 𝑝 membagi  habis  diskriminan dari 𝑓(𝑥) .  Dimisalkan 𝐺 ⊂ 𝑆 𝑛 grup Galois dari 𝑓(𝑥) atas lapangan bilangan  rasional ℚ .  Jika 𝑓 𝑝 = 𝑓̅ = 𝑓(𝑚𝑜𝑑 𝑝) ∈ ℤ 𝑝 [𝑥] difaktorisasi sebagai:
𝑓 𝑝 = 𝑓̅ = ∏ 𝑓 𝑖 ̅ 𝑟 𝑖=1 dimana 𝑓 𝑖 ̅ adalah  polinomial  monik berbeda tak tereduksi di ℤ 𝑝 [𝑥] , 𝑑𝑒𝑔(𝑓 𝑖 ̅) = 𝑑 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 , dan 𝑑 1 + 𝑑 2 + ⋯ + 𝑑 𝑟 = 𝑛 , maka terdapat suatu automorfisma 𝜎 ∈ 𝐺 dimana  dianggap sebagai  permutasi  dari  akar-akar 𝑓(𝑥) yang  merupakan  hasil  kali  dari  cycle dengan panjang 𝑑 1 , 𝑑 2 , ⋯ , 𝑑 𝑟
Teorema  Dedekind  menyatakan bahwa jika polinomial 𝑓(𝑥) difaktorisasi atas  suatu  lapangan  hingga ℤ p dengan 𝑝 adalah  bilangan  prima  yang  lebih  kecil dari 𝑛 sehingga 𝑓 = 𝑔 1 𝑔 2 ⋯ 𝑔 𝑠 ,  maka permutasi 𝜎 𝑖 yang  bersesuaian  dengan 𝑔 𝑖 dimana  panjang cycle dari 𝜎 𝑖 sama dengan  derajat  polinomial 𝑔 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑠 .  Dengan  menggunakan  konsep dari  teorema  Dedekind,  langkah  pada Metode  Stauduhar  akan  ditambahkan, yakni  memfaktorisasi  polinomial 𝑓(𝑥) atas  lapangan  hingga ℤ p dengan 𝑝 bilangan  prima  yang  lebih  kecil  dari 𝑛 .
Sehingga disusun algoritma baru sebagai berikut.
Algoritma  2.2.:  Membangun  Grup
Galois  dengan  Metode  Stauduhar dengan konsep p -adic
Input:  Polinomial  monik  tak  tereduksi
𝑓(𝑥) berderajat n dengan koeﬁsien-    koeﬁsien  integer.
𝔗 𝑆 𝑛 :  himpunan  semua  subgrup transitif dari S n 𝔗 𝐴 𝑛 :  himpunan  semua  subgrup transitif dari A n
Output  : Grup Galois dari 𝑓(𝑥) .
Lang- kah 1: Cari  diskriminan  dari 𝑓(𝑥) , Disc( 𝑓(𝑥) ).  Jika  Disc( 𝑓(𝑥) )
square-free di ℚ ,     maka bentuk himpunan 𝑇 ←
𝔗 𝐴 𝑛 . Jika tidak, maka bentuk
𝑇 ← 𝔗 𝑆 𝑛 .
Lang- kah 2: Faktorisasi f modulo beberapa  bilangan  prima 𝑝 dengan 𝑝 ∤ Disc(𝑓(𝑥)) , 𝑓(𝑋)mod 𝑝 = (𝑔 1 𝑔 2 ⋯ 𝑔 𝑠 )(mod 𝑝).
Hilangkan semua grup dari T yang    tidak  berisi  suatu elemen  dari  bentuk cycle yang  diperoleh  dari    derajat faktorisasi modulo p Langkah 3: Jika |𝑇| = 1 , maka Gal(𝑓(𝑥)) = 𝑇 .  Jika  tidak, maka lanjut ke langkah 4. Langkah 4: Jika  Disc( f ( x ))  kuadrat  di ℚ , maka  Gal( f ( x ))  ≤ A n = G 0 . Jika tidak Gal( f ( x ))  ≤ S n = G 0 .
Langkah 5: Pilih G 1 suatu subgrup transitif maksimal dari T , dan [𝐺 0 : 𝐺 1 ] = 𝑘 .  Hitung  suatu polinomial resolven berderajat k , 𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦) secara numerik, menggunakan suatu  fungsi F 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) termasuk    terhadap G 1 di S n ,  dan  suatu  himpunan represetatif-represetatif koset kanan  untuk G 1 di S n .
Langkah 6: Jika 𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦) mempunyai
suatu  akar  integer  sehingga akar tersebut adalah 𝜎 𝑖 𝐹(𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 ) ,  dengan σ i adalah  suatu  perwakilan koset kanan, maka Gal(𝑓(𝑥)) ⊂ 𝜎 𝑖 𝐺 1 𝜎 𝑖 −1 .
Urutkan  kembali  akar-akar f ( x )  dengan    aturan 𝛼′ 𝑖 = 𝛼 𝜎 𝑖 (𝑖) .  Hal  ini  berakibat
Gal( f ( x )) ⊂ G 1 . Jika     tidak, maka Gal( f ( x )) ⊄ G 1 . Kembali ke langkah 5. Lang- kah 7: Lakukan  hingga  tidak  ada polinomial  resolven  yang tidak mempunyai akar integer  atau  suatu  subgrup transitif minimal dari S n , yakni G m ditemukan.
Lang- kah 8
Gal(𝑓) = 𝐺 𝑚 . Selesai.

## Contoh 2.2.2
Tentukan grup Galois dari
f ( x )= x 6 – 3 x 4 + 5 ∈ℚ [ x ] dengan menggunakan Algoritma 3.2.

## Solusi
Input  :  Polinomial  monik  tak  tereduksi
f ( x )= x 6 – 3 x 4 + 5 ∈ℚ [ x ].
𝒯 𝑆 6 :  himpunan  semua  subgrup  transitif
dari S 6 𝒯 𝐴 6 :  himpunan  semua  subgrup  transitif dari A 6 Output : Gal( f ( x )).
Langkah 1:
Karena √Disc(𝑓) = √−5832000𝑖∉ℚ , maka Gal( f ( x )) ≤ S 6 . Sehingga 𝒯 𝑆 6 = {𝐺 72 , 𝐺 36 2 , 𝐺 18 , 𝐺 12 1 , 𝐺 6 1 , 𝐺 48 , 𝐺 24 1 , 𝐺 24 2 , 𝑆 5 , 𝑆 6 } Langkah 2:
Disc( f ( x )) = – 5832000  = - 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 .
Faktorisasi f ( x )  mod p dengan  beberapa p bilangan prima bukan faktor dari 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑥)mod 7 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) (𝑥 2 + 3𝑥 + 5)(x 2 + 4x + 5)mod 7, sehingga diperoleh cycle -1,1,2,2. 𝑓(𝑥)mod 11 =   (𝑥 + 4)(𝑥 + 7) (𝑥 4 + 2𝑥 2 + 10) mod 11, sehingga diperoleh cycle -1,1,4 𝑓(𝑥)mod 13  (𝑥 2 + 5)(𝑥 2 + 6𝑥 + 1)
(𝑥 2 + 7𝑥 + 1) mod 13,
sehingga diperoleh cycle -2,2,2 𝑓(𝑥)mod 23 = (𝑥 3 + 11𝑥 2 + 13𝑥 + 15)(𝑥 3 + 12𝑥 2 + 13𝑥 + 8) mod 23, sehingga diperoleh cycle -3,3
Buang  anggota  dari 𝒯 𝑠 6 yang  tidak mempunyai  bentuk cycle -1,1,2,2; cycle -
1,1,4; cycle -2,2,2; dan cycle -3,3.
Sehingga himpunan 𝒯 𝑠 6 menjadi
𝒯 𝑆 6 = {𝐺 48 , 𝐺 24 1 , 𝐺 24 2 , 𝑆 6 } .
Langkah 3:
Karena |𝒯 𝑆 6 | ≠ 1, lanjut ke langkah 4.
Langkah 4:
Aproksimasi akar 𝑓 α 1 = 1.4457 + 0.1955 i α 2 = 1.4457 –  0.1955 i α 3 = -1.4457 + 0.1955 i α 4 = -1.4457 –  0.1955
α 5 = 1.0506 i α 6 = -1.0506 i
Langkah 5:
G 1 = G 48 ≤ S 6 dengan  perwakilan  koset kanan adalah σ 1 = Id, σ 2 = (24635), σ 3 = (26)(35), σ 4 = (354), σ 5 = (2345), α 6 = (253), σ 7 = (345), σ 8 = (256)(34), σ 9 = (26435), σ 10 = (2346), σ 11 = (234), σ 12 = (25)(36), σ 13 = (2435), σ 14 = (24)(35), σ 15 =(26543) sehingga
𝐹 1 (𝑥 1 , ⋯ , 𝑥 6 )   =   𝑥 1 𝑥 2 + 𝑥 3 𝑥 4 + 𝑥 5 𝑥 6 Polinomial resolven 𝑄
𝑄 𝐺 0 ,𝐺 1 (𝑦) = ∏(𝑦 15 𝑖=1 − 𝜎 𝑖 𝐹 1 (𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 )) = ∏(𝑦 − 𝜎 𝑖 (𝛼 1 𝛼 2 15 𝑖=1 + 𝛼 3 𝛼 4 + 𝛼 5 𝛼 6 )) = (𝑦 – (5.3603))(𝑦 – (−3))
(𝑦 – (−1.6410
− 2.4724𝑖))(𝑦 – (1.7175))
(𝑦 – (−2.1283
−  3.0377𝑖))(𝑦 – (−2.1283
+  3.0377𝑖))(𝑦 – (2.5391)) (𝑦 – (1.7175))(𝑦 – (−2.1283 −  3.0377𝑖))(𝑦 – (−2.1283 +  3.0377𝑖))(𝑦 – (−3.1528))
(𝑦 – (−2.4626
+  3.6030𝑖))(𝑦 – (−2.4626
−  3.6030𝑖))
Langkah 6:
Karena σ 2 F 1 =  3,  maka  polinomial resolven mempunyai akar integer.
Sehingga
Gal( f ( x )) ⊂ (24635) G 48 (25364).
Urutan akar-akar yang baru 𝛼 𝑖 = 𝛼 ′ 𝜎 𝑖 (𝑖) 𝛼 ′ 1 = 𝛼 (24635)(1) = 𝛼 (1)
= 1.4457  +  0.1955𝑖
𝛼 ′ 2 = 𝛼 (24635)(2) = 𝛼 (4) = −1.4457 −  0.1955𝑖 𝛼′ 3 = 𝛼 (24635)(3) = 𝛼 (5) = 1.0506𝑖
𝛼′ 4 = 𝛼 (24635)(4) = 𝛼 (6) = −1.0506𝑖 𝛼 ′ 5 = 𝛼 (24635)(5) = 𝛼 (2) = 1.4457– 0.1955𝑖 𝛼 ′ 6 = 𝛼 (24635)(6) = 𝛼 (3) = −1.4457 +  0.1955𝑖 . Sehingga Gal( p ( x )) ≤ G 48 .
Langkah 7:
G 48 mempunyai subgrup transitif maksimal 𝐺 24 1 , 𝐺 24 2 ,  dan 𝐺 24 3 ,  tetapi 𝐺 24 3 terdapat  di A n . Pilih G 2 = 𝐺 24 1 dengan perwakilan  koset  kanan  adalah{Id, (12)}.
F 2 = (𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 − 𝑥 4 ) (𝑥 3 + 𝑥 4 − 𝑥 5 − 𝑥 6 )(𝑥 5 + 𝑥 6 − 𝑥 1 − 𝑥 2 )(𝑥 1 − 𝑥 2 )(𝑥 3 − 𝑥 4 )(𝑥 5 − 𝑥 6 ) Polinomial Resolven
Q 𝐺 1 ,𝐺 2 (𝑦) = ∏(𝑦 2 𝑖=1 − 𝜎 𝑖 𝐹 2 (𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 )) = (𝑦 – 0)(𝑦 – 0)
Karena  polinomial  resolven  mempunyai akar  ganda,  maka  Gal( f ( X ))  tidak terdapat di 𝐺 24 1 .
Langkah 8:
Pilih G 2 = 𝐺 24 2 dengan  perwakilan  koset kanan adalah{Id, (13)(24)}.
F 2 = ( x 1 + x 2 - x 3 - x 4 )( x 3 + x 4 - x 5 - x 6 ) ( x 5 + x 6 - x 1 - x 2 )
Polinomial Resolven
Q 𝐺 1 ,𝐺 2 (𝑦) = ∏(𝑦 2 𝑖=1 − 𝜎 𝑖 𝐹 2 (𝛼 1 , 𝛼 2 , ⋯ , 𝛼 𝑛 ))
= (𝑦 – 0)(𝑦 – 0)
Karena  polinomial  resolven  mempunyai akar  ganda,  maka  Gal( f ( X ))  tidak terdapat di 𝐺 24 2 . Langkah 9:
Karena 𝐺 48 tidak  mempunyai  subgrup transitif yang sesuai lagi, maka 𝐺 48 adalah  subrup  transitif  terkecil  dari 𝑆 6 yang  bersesuaian  dengan  Gal( f ).
Dengan rantai subgrup adalah 𝑆 6 ⊃ 𝐺 48 . Langkah 10:
Gal( p ( x )) = 𝐺 48 . Selesai.
Pada Algoritma 2.2.  adanya seleksi dari grup-grup transitif
maksimal,  sehingga  Gal( f ( x ))  termuat  di grup  tersebut.Hal  ini  menjadikan  lebih tepat dalam perhitungan.
Secara  ringkas  metode  Stauduhar
adalah  suatu  metode  untuk  menguji apakah polinomial resolven 𝑄 𝐺 𝑖 −1+𝐺 𝑖 (𝑦) memiliki suatu
faktor linier. Jika ada, maka G i = H ,untuk i =  1, ⋯ , m- 1  dan  faktor  tersebut menentukan suatu urutan baru dari akar- akar  sehingga  Gal( f ( x )) ⊆ H. Jika  tidak ada,  maka  rantai  berakhir  pada G i . Dalam  metode  ini,  rantai  diperluas hingga  salah  satu  dari  dua  hal  berikut berlaku yaitu:
1. Diperoleh G i adalah  suatu  grup transitif  minimal.  Pada  kasus  ini rantai berakhir dengan G m = G i . 2. Untuk semua subgrup-subgrup transitif  maksimal H dari G i , 𝑄 𝐺 𝑖 −1+𝐺 𝑖 (𝑦) tidak mempunyai faktor  linier.  Pada  kasus  ini  rantai berakhir  dengan G m = G i .  Sehingga jika G 0 ⊃ G 1 ⊃ G 2 ⊃⋯⊃ G m adalah rantai  yang  berhubungan  dengan polinomial f ( x ),  maka  Gal( f ( x ))  =
G m .

## Kesimpulan Dan Saran
Kesimpulan  yang  diperoleh  dari  hasil kajian ini adalah sebagai berikut:
1. Metode  Stauduhar  merupakan  suatu metode  menentukan  grup  Galois  dari suatu  polinomial  monik 𝑓(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] derajat n dengan  koeﬁsien-koeﬁsien integer,  yakni  mencari barisan rantai dari  subgrup  maksimal  transitif  dari grup simetrik S n dengan menggunakan polinomial Resolven 𝑄 𝐺 𝑖−1 ,𝐺 𝑖 (𝑦) , untuk suatu subgrup transitif maksimal 𝐺 𝑖 dari 𝑆 𝑛 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ 𝑚 − 1 . Sehingga jika 𝑄 𝐺 𝑖−1 ,𝐺 𝑖 (𝑦) mempunyai  tepat  satu akar integer, maka Gal(𝑓(𝑥))
terdapat  di 𝐺 𝑖 .  Kemudian  mencari 𝐺 𝑖 ⊃ 𝐺 𝑖+1 yang  juga  mempunyai tepat  satu  akar  integer,  untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 − 1 .  Sehingga  diperoleh barisan  grup S n = G 0 ⊃ G 1 ⊃⋯⊃ G m ,dengan 𝐺 𝑚 = Gal(𝑓(𝑥)) . 2. Berdasarkan Teorema  Dedekind,  jika
polinomial 𝑓(𝑥)mod 𝑝 ≡ 𝑔 1 𝑔 2 ⋯ 𝑔 𝑠 mod 𝑝, dengan suatu bilangan  prima 𝑝 ∤ Disc(𝑓) ,  maka derajat  dari 𝑔 𝑖 adalah  bentuk cycle dari permutasi akar-akar 𝑓(𝑥) . Dengan  menggunakan  Teorema  ini pada  Metode  Stauduhar,  langkah- langkah  penentuan  grup  Galois  akan lebih  cepat  karena  adanya  proses eleminasi  subgrup  transitif  maksimal 𝑆 𝑛 yang  tidak  memiliki  elemen dengan  panjang cycle sama  dengan derajat dari 𝑔 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑠 .
Daftar Pustaka Andri, Tengku Muhammad. 2005.
Finding  The  Galois  Group  of  A
Polynomial:  A  Demonstration  of Stauduhar’s  Method. The  2 nd International Conference On Research And Education In Mathematics(Icrem 2). 173-182 Baker,  J.  Andrew.2004. AnIntroduction to Galois Theory . http://www.maths.gla.ac.uk//Galoi s.pdf. Diakses tanggal 15
September 2010.
Bright,  Curtis.  2013.  Computing  the Galois  group  of  a  polynomial.
https://cs.uwaterloo.ca/~cbright/re ports/computing-galois-group.pdf. Diakses  9  September  2018  Pukul 14.00 WIB.
Gupta, Shiv. 2018. On Tate’s Proof of a Theorem  of  Dedekind. Open Journal of Discrete Mathematics . 8. 73-78. Stauduhar, R. P. 1973. The determination of Galois grups. Math.Computation 27 .981-996.