JMP : Vol. 8 No. 2, Des. 2016, hal. 41-56                ISSN 2085-1456

## IMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK

## Dian Pratama
dianpratama3789@gmail.com
ABSTRACT. A intuitionistic fuzzy set in is set gives a membership function and a non-membership function (the complement of membership function) for each with the sum worth one. When it’s applied in group’s theory, it will called intuitionistic fuzzy group with conditions membership function is fuzzy subgroup and non-membership function is anti-fuzzy subgroup. In this research, the operator will be given a fuzzy set is called  fuzzy  translation  operator.  This  operator  is  a  mapping  imposed  on  membership functions  (fuzzy  subset)  to  interval [   ] .  This  research  will  discuss  the  properties homomorphism  of  translation  on  intuitionistic  fuzzy  groups.  These  properties  is  the structure of the image and pre-image homomorphism of translation on intuitionistic fuzzy group. We obtain that image and pre-image of translation on intuitionistic fuzzy (normal) groups is also intuitionistic fuzzy (normal) groups.
Keywords :  fuzzy  group,  intuitionistic  fuzzy  group,  translation  intuitionistic  fuzzy group, image  and pre-image.
ABSTRAK. Himpunan  fuzzy  intuitionistik dari adalah  himpunan  yang  ditandai oleh  suatu  fungsi  keanggotaan dan  fungsi  non-keanggotaan  (komplemen  dari  fungsi keangotaan) untuk  setiap dengan  sifat  penjumlahan  keduanya  bernilai  kurang dari  satu . Apabila  himpunan  yang  digunakan  adalah  aljabar  grup,  maka  memunculkan grup fuzzy intuitionistik dengan syarat fungsi keanggotaan merupakan subgrup fuzzy dan fungsi  non-keanggotaan  merupakan  anti-subgrup  fuzzy.  Pada  penelitian  ini,  akan diberikan  operator  himpunan  fuzzy  yang  dinamakan  operator  translasi  fuzzy.  Operator translasi  fuzzy  merupakan  pemetaan  yang  dikenakan  pada  fungsi  keanggotaan  (subset fuzzy)  ke  selang [   ] .  Pembahasan  dari  penelitian  adalah  meneliti  sifat  homomorfisma dari suatu translasi grup fuzzy intuitionistik. Sifat tersebut adalah struktur image dan pre- image homomorfisma  dari translasi pada  grup  fuzzy  intuitionistik.  Hasil  yang  diperoleh adalah image dan pre-image dari  translasi  pada  intuitionistik  grup  fuzzy  (normal)  juga merupakan intuitionistik grup fuzzy (normal).
Kata  Kunci :  grup  fuzzy,  grup  fuzzy  intuitionistik,  translasi  grup  fuzzy intuitionistik, image dan pre-image

## 1. PENDAHULUAN
Himpunan  fuzzy  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Zadeh  (1965). Himpunan  fuzzy  adalah  suatu  himpunan  yang  setiap  anggotannya  memiliki derajat keanggotaan. Derajat keanggotaan dari himpunan fuzzy dinamakan fungsi keangotaan  yang mempunyai nilai  pada interval [   ] . Oleh karena itu, sebarang
himpunan  fuzzy di  dalam dapat  direpresentasikan  sebagai  fungsi  dari ke bilangan  riil  pada  interval [   ] dan  dinamakan  subset  fuzzy.  Rosenfeld  (1971) memperkenalkan konsep grup fuzzy yang merupakan penerapan himpunan fuzzy pada  aljabar  grup.  Pada  grup  fuzzy  diperoleh  bahwa  fungsi  keanggotaannya dinamakan subgrup fuzzy. Hal ini terus diteliti oleh Biswas (1986) yang akhirnya memunculkan  anti-subgrup  fuzzy.  Penelitian  mengenai  subgrup  fuzzy  dan  anti- subgrup  fuzzy  dilakukan  antara  lain  oleh  Jeyaraman  dan  Sheik  Abdullah  (2010) yang  mengkaji  homomorfisma  dan  anti-homomorfisma  pada  subgrup  fuzzy maupun  anti-subgrup  fuzzy.  Hal  ini  terus  diperdalam,  salah  satunya  dengan meneliti  hubungan  antara  fungsi  keanggotaan  dengan  subgrup  fuzzy  dan  fungsi non-keanggotaan  dengan  anti-subgrup  fuzzy.  Diberikan  sebarang  anggota himpunan  fuzzy,  selain  terdapat  derajat  keanggotaan  (fungsi  keanggotaan)  maka terdapat  pula  derajat  non-keanggotaan  (fungsi  non-keanggotaan)  yang  apabila keduannya dijumlahkan bernilaisatu.
Pada penerapannya sehari-hari, terdapat kejadian penjumlahan dari fungsi keanggotaan dan fungsi non-keanggotaan tidak bernilai satu. Misalkan dalam teori probabilitas pada kejadian pemilihan kepala negara. Suatu negara terdapat 2 calon kepala negara ( dan ). Didefinisikan bahwa probabilitas calon adalah fungsi keanggotaan  dan  probabilitas  bukan  calon (calon )  adalah  fungsi  non- keanggotaan.  Setelah  dilakukan  pemilihan  suara,  terdapat  pemilih  yang  tidak menggunakan hakpilih (golput) dan terdapat pula beberapa suara  yang tidak sah. Hal  ini  mengakibatkan  penjumlahan  probabilitas  kedua  calon  tidak  bernilai  satu. Kejadian  tersebut  melatarbelakangi  struktur  himpunan  fuzzy  baru  dinamakan himpunan fuzzy intuitionistik. Atanassov (1986) mendefinisikan himpunan fuzzy intuitionistik  adalah  suatu  himpunan  dengan  sifat  penjumlahan  dari  fungsi keanggotaan dan fungsi non-keanggotaan untuk tiap-tiap anggota bernilai kurang dari sama dengan satu. Sharma (2011) membawa konsep tersebut kedalam aljabar grup, sehingga memunculkan grup fuzzy intuitionistik dengan fungsi keanggotaan merupakan  subgrup  fuzzy  dan  fungsi  non-keanggotaan  merupakan  anti-subgrup fuzzy.
Image dan Pre-Image Translasi 43
Pada  lain  pihak,  dalam  teori  himpunan  terdapat  istilah  pemetaan  (fungsi) yang  merupakan  aturan  pengaitan  antara  setiap  anggota  domain  ke  tepat  satu anggota  kodomain.  Apabila  aturan  tersebut  dikenakan  pada  himpunan  fuzzy dengan domain adalah nilai dari fungsi keanggotaan dan kodomain adalah interval [   ] ,  maka  pemetaan  tersebut  dinamakan  operator  fuzzy  dan  salah  satu  bentuk operator  fuzzy  adalah  translasi.  Souriar  (1993)  menggunakan  operator  translasi fuzzy  pada  himpunan  fuzzy  dan  grup  fuzzy.  Berdasarkan  fenomena  yang  telah dipaparkan,  penelitian  ini  akan  mengkaji  sifat-sifat image dan pre-image pada translasi grup fuzzy intuitionistik. Selanjutnya akan dibuktikan pula struktur dari image dan pre-image pada translasi grup fuzzy intuitionistik.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur buku dan jurnal  ilmiah  terutama  yang  berhubungan  dengan  himpunan  fuzzy  intuitionistik, grup  fuzzy  intuitionistik,  dan  translasi  fuzzy.  Langkah-langkah  yang  digunakan dalam penelitian yaitu :
1) Mendefinisikan  grup  fuzzy  intuitionistik  dengan  memperumun  definisi  grup fuzzy.
2) Mendefinisikan translasi pada grup fuzzy intuitionistik sebagai operator.
3) Membuktikan  sifat-sifat image dan pre-image pada  translasi  grup  fuzzy intuitionistik.
4) Membuktikan  struktur  himpunan  dari image dan pre-image pada  translasi grup fuzzy intuitionistic
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Himpunan Fuzzy Intuitionistik
Pada konsep himpunan fuzzy, fungsi merupakan representasi dari fungsi keanggotaan sehingga secara tidak langsung terdapat pula fungsi non-keanggotaan yaitu yang  dalam  hal  ini  jelas  bahwa
.  Jika  diketahui merupakan  fungsi  keanggotaan  dan fungsi  non-keanggotaan  dengan  sifat
,  maka  memunculkan  suatu  konsep  baru  yang  dinamakan  himpunan fuzzy intuitionistik.
Definisi 3.1.1 (Atanassov, 1984) Diberikan himpunan tak kosong  . Himpunan A disebut himpunan fuzzy intuitionistik didalam ditulis {〈 〉         } dengan  ketentuan [   ] dan
[   ] masing-masing  sebagai  fungsi  keanggotaan  dan  fungsi  non-keanggotaan dari yang memenuhi
dan dinotasikan
.
Untuk  selanjutnya  himpunan  fuzzy  intuitionistik  cukup  ditulis  sebagai subset  fuzzy  intuitionistik.  Didefinisikan {〈 〉         } dan
{〈 〉         } merupakan  subset  fuzzy  intuitionistik  dari . Untuk setiap berlaku : 1. jika dan hanya jika dan . 2. jika dan hanya jika dan . 3. {〈 〉         } dengan dan .
4. {〈 〉          } dengan ketentuan,
{ } dan { } . 5. {〈 〉        } dengan ketentuan, { } dan { } . 6. { }         [   ] dengan .
Pada bagian terakhir ini akan dijelaskan mengenai definisi pemetaan pada subset fuzzy intuitionistik sebagai berikut.
Definisi 3.1.2 (Sharma, 2011) Diketahui , himpunan dan subset fuzzy intuitionistik  dari dan serta  pemetaan .  Image  dari terhadap pemetaan disimbolkan
didefinisikan sebagai berikut:
Image dan Pre-Image Translasi 45

## (
)
dengan ketentuan,

## { }
{ } Pre-image  dari disimbolkan didefiniskan  sebagai ( ) engan ketentuan (    ) dan (    ) atau ( (    ) (    ))
Hubungan  antara  himpunan cut-set dan  homomorfisma  akan  diberikan pada teorema berikut.
Teorema  3.1.3  (Sharma,  2011) Jika
dan  A,B  merupakan  subset  fuzzy
intuitionistik dari dan serta
, maka berlaku sifat – sifat berikut.
1. ( )
2. ( )

## 3.2 Grup Fuzzy Intuitionistik
Pada pembahasan ini akan diberikan beberapa dasar teori menenai struktur intuitionistik pada aljabar grup.
Definisi 3.2.1 (Sharma, 2011) Diberikan grup dan subset fuzzy intuitionistik A dari .  Himpunan disebut  subgrup  fuzzy  intuitionistik  dari jika dan hanya jika { } dan { } untuk setiap .
Definisi 3.2.2 (Sharma, 2011) Diberikan grup dan subgrup fuzzy intuitionistik A dari . Himpunan disebut subgrup fuzzy normal intuitionistik dari
jika dan hanya jika
dan untuk setiap
.
Selanjutnya diberikan beberapa teorema yang berhubungan dengan cut-set , image dan pre-image pada grup fuzzy intuitionistik.
Teorema 3.2.3 (Sharma, 2011) Diberikan subset fuzzy intuitionistik dari grup . Himpunan merupakan subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari jika dan hanya  jika subgrup  (normal)  dari untuk  setiap [   ] yang memenuhi dan
dan elemen  identitas  dari serta
.
Teorema  3.2.4  (Sharma,2011) Diberikan  homomorfisma  grup  yang  surjektif . Jika merupakan subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari maka merupakan subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari .
Teorema  3.2.5  (Sharma,  2011) Diberikan  homomorfisma  grup .  Jika
merupakan  subgrup  fuzzy  (normal)  intuitionistik  dari maka merupakan  subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari .

## 3.3 Translasi pada Grup Fuzzy Intuitionistik
Setelah  diberikan  definisi  grup  fuzzy  intuitionistik  dan  operator  translasi, selanjutnya  akan  diberikan  definisi  operator  translasi  pada  grup  fuzzy intuitionistik.
Definisi  3.3.1  (Sharma,  2011) Diberikan  himpunan  tak  kosong , [   ] dan subset fuzzy intuitionistik dari . Operator translasi dan didefinisikan sebagai berikut : ( ) ( )
Image dan Pre-Image Translasi 47
dengan  ketentuan { } ,  dan {
} , { } , dan { }
Apabila  diberikan  sebarang  subgrup  fuzzy  (normal)  intuitionistik dan [   ] ,  maka  diperoleh  bahwa dan juga  merupakan  subgrup  fuzzy (normal) intuitionistik seperti yang dijelaskan berikut.
Teorema 3.3.2 (Sharma, 2011) Jika subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari grup maka dan subgrup  fuzzy  intuitionistik  (normal)  dari  grup untuk setiap [   ] .
Keadaan dari teorema 3.3.2 tidak berlaku sebaliknya, artinya jika sebarang operator dan merupakan subgrup fuzzy intuitionistik maka belum tentu merupakan  subgrup  fuzzy  intuitionistik.  Berikut  ini  akan  diberikan  definisi tambahan  tentang  himpunan  yang  mempunyai  nilai  keanggotaan  yang  sama dengan elemen identitas pada subgrup fuzzy intuitionistik.
Definisi 3.3.3 (Sharma, 2011) Diberikan grup dengan elemen identitas dan subset  fuzzy  intuitionistik  dari .  Didefinisikan  himpunan sebagai berikut :
{ } { } { }
Setelah  diberikan  sifat  yang  mendukung,  maka  diperoleh  akibat  yang merupakan  bentuk  konvers  dari  teorema  3.2.2  yang  akan  diberikan  sebagai berikut.
Akibat 3.3.4 Diberikan subset fuzzy intuitionistik dari grup .
1.  Jika subgrup  fuzzy  (normal)  intuitionistik  dari dengan
{          } , maka subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari dengan
ketentuan {
} dan {
} .
2.  Jika subgrup  fuzzy  (normal)  intuitionistik  dari dengan
{ } , maka subgrup fuzzy (normal) intuitionistik dari dengan ketentuan { } dan { } .

## 3.4 Homomorfisma Translasi pada Grup Fuzzy Intuitionistik
Berikut  ini  diberikan  pembahasan  sifat  translasi  pada  grup  fuzzy intuitionistik  terutama  pada  bentuk  dan  struktur image dan pre-image homomorfisma.  Pada  teorema  3.1.3,  apabila  bentuk  dari diganti  menjadi dan menjadi untuk setiap [   ] . Hal ini juga berlaku untuk bentuk dan untuk setiap [   ] . Lebih lanjut mengenai sifat translai tersebut akan diberikan  definisi  himpunan  baru  yaitu (( ) ) dan sebagai berikut :
(( ) )   { (    ) (    )    } ((    ) )   { } Definisi  himpunan  tersebut  juga  berlaku  untuk (( ) ) dan .  Pembentukan  himpunan  baru  tersebut  memberikan  dampak  pada teorema 3.1.3 mengenai sifat image dan pre-image dari translasi himpunan fuzzy intuitionistik seperti yang akan diberikan pada teorema berikut,
Teorema  3.4.1 Diberikan  sebarang [   ] dan homomorfisma dari grup ke grup . Jika subset fuzzy intuitionistik dari dan
merupakan translasi dari maka diperoleh,
( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) )
untuk setiap [   ] dengan .
Image dan Pre-Image Translasi 49
Bukti:
Pada  Teorema  3.1.3,  diperoleh  bahwa
( ) ( ) untuk setiap subset fuzzy intuitionistik di . Jika himpunan diganti menjadi maka diperoleh,
( ) ( ) (1) Diketahui himpunan ( ) ( ( ) ( ) ) dengan
( ) { } ( ) { }
sehingga diperoleh,
( ) ( (    ) (    ))   ( (    ) (    )) Selanjutnya akan diberikan definisi (( ) ) sebagai berikut, (( ) )   { (    ) (    )    } { } ( ) Diperoleh (( ) ) ( ) (2) Jadi dari persamaan (1) dan (2) menghasilkan,
( ) (( ) ) ( ) Pembuktian selanjutnya analog untuk . Teorema  3.4.2 Diberikan  sebarang [   ] dan homomorfisma dari grup ke grup . Jika subset fuzzy intuitionistik dari dan [ ]
merupakan translasi dari maka diperoleh, ( ) ( ) ((    ) ) ( ) ( ) ((    ) )
untuk setiap [   ] dengan .

## 50 Dian Pratama
Bukti :
Pada  Teorema  3.1.3  diperoleh  bahwa, ( ) (    ) untuk  setiap
subset  fuzzy  intuitionistik  di .  Jika  himpunan diganti  menjadi
maka diperoleh
( ) ( ) .                                     (3) Akan  ditunjukkan  bahwa ( ) ((    ) ) .  Ambil  sebarang ( ) sehingga, ( ) dan ( ) { } dan { }
{   { } } dan
{   { } }
{   { }       } dan {   { }       } { } dan { }
dan
((    ) ) .                                                                                       (4)
Jadi dari persamaan (3) dan (4) diperoleh
( ) ( ) ((    ) ) Pembuktian selanjutnya analog untuk . Terlihat bahwa pada teorema 3.4.2 hanya diperoleh ( ) ( ) ((    ) ) baik  untuk  translasi maupun .  Pada  teorema  selanjutnya  ini  akan  diberikan  syarat  cukup  agar diperoleh ((    ) ) ( )     ( ) .
Teorema  3.4.3 Diberikan  sebarang [   ] dan
homomorfisma surjektif  dari  grup ke  grup .  Jika subset  fuzzy  intuitionistik  dari dan [ ] merupakan translasi dari maka diperoleh,
Image dan Pre-Image Translasi 51
( ) ( ) ((    ) ) ( ) ( ) ((    ) )
untuk setiap [   ] dengan
.
Bukti :
Pada  Teorema3.4.2  diperoleh  bahwa
( ) ((    ) ) ,  tinggal ditunjukkan  bahwa ((    ) ) ( ) .  Ambil  sebarang
((    ) ) sehingga  diperoleh dan atau
ekuivalen dengan { } dan { } Karena merupakan  homomorfisma  surjektif  maka  terdapat sedemikian sehingga, dan { }      { } dan
{ }      { }
{ } dan { }
dan
( ) dan ( )
( ) ( )
sehingga diperoleh ( ) ((    ) ) .  Jadi  dapat  disimpulkan bahwa
( ) ( ) ((    ) ) Pembuktian selanjutnya analog untuk .
Selanjutnya  akan  diberikan  struktur image dan pre-image pada  translasi grup fuzzy intuitionistik.

## 52 Dian Pratama
Teorema  3.4.4 Diberikan  homomorfisma  surjektif  grup dan [   ] .  Jika merupakan  subgrup  fuzzy  intuitionistik  dari maka [ ] merupakan subgrup fuzzy intuitionistik dari . Bukti. Pembuktian pertama untuk , menurut teorema 3.3.2, jika subgrup fuzzy intuitionistik maka juga merupakan subgrup fuzzy intuitionistik untuk setiap
[   ] .  Untuk  menunjukan merupakan  intutionistik  subgrup  fuzzy
menurut  teorema  3.2.3  cukup  membuktikan  dengan
merupakan subgrup  dari untuk  setiap [   ] dengan
.  Ambil  sebarang sehingga diperoleh
dan
Menurut definisi 3.1.2 mengenai image dan pre-image
{ } { } Sehingga terdapat sedemikian sehingga ( ) dan dan { } dan { } Diketahui adalah  subgrup  fuzzy  intuitionistik  pada ,  sehingga { } dan { } , Jadi  diperoleh sehingga ( ) .  Karena homomorfisma  diperoleh sehingga ( ) Jadi ( ) merupakan subgrup  dari sehingga  mengakibatkan
merupakan  subgrup  fuzzy intuitionistik dari .
Image dan Pre-Image Translasi 53
Pembuktian selanjutnya analog untuk . Selanjutnya apabila diketahui subgrup fuzzy normal intuitionistik, maka
maupun juga  merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik seperti yang akandiberikan pada akibat berikut.
Akibat  3.4.5 Diberikan  homomorfisma  surjektif  grup
dan [   ] . Jika merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  dari maka [ ] merupakan subgrup fuzzy normal intuitionistik dari .
Bukti.
Menurut  teorema  3.3.2,  jika subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  maka
[ ] juga  merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  untuk  setiap
[   ] .  Karena [ ] merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik, maka  menurut  teorema  3.4.4  jelas  bahwa [ ] merupakan  subgrup fuzzy normal intuitionistik.
Pada  teorema  berikutnya  akan  diberikan  pula  bahwa  pre- image dari translasi subgrup fuzzy intuitionistik merupakan subgrup fuzzy intuitionistik baik untuk maupun . Teorema 3.4.6 Diberikan homomorfisma grup
dan [   ] . Jika
merupakan  subgrup  fuzzy  intuitionistik  dari
maka [ ] merupakan subgrup fuzzy intuitionistik dari . Bukti. Pembuktian  pertama  untuk menurut  teorema  3.3.2,  jika subgrup fuzzy intuitionistik maka
juga merupakan subgrup fuzzy intuitionistik untuk
setiap [   ] .  Selanjutnya  untuk  menunjukan
merupakan intutionistik  subgrup  fuzzy  menurut  teorema  3.2.3  cukup  membuktikan  dengan merupakan  subgrup  dari untuk  setiap [   ] dengan
.  Ambil  sebarang
sehingga  diperoleh dan
( ) ( ) dan ( ) ( ) { } dan { } Diketahui adalah subgrup fuzzy intuitionistik pada , sehingga ( )      { ( ) ( )} dan ( )      { ( ) ( )} dan dengan  kata  lain .  Karena homomorfisma  diperoleh atau  dengan  kata  lain ( ) .  Jadi ( ) merupakan  subgrup  dari sehingga mengakibatkan merupakan  subgrup  fuzzy  intuitionistik  dari . Selanjutnya analog untuk sehingga diperoleh subgrup fuzzy
intuitionistik.
Sama  halnya  dengan  sifat image ,  apabila  diketahui subgrup  fuzzy normal  intuitionistik,  maka
maupun juga  merupakan subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  seperti  yang  akan  diberikan  pada  akibat berikut.
Akibat  3.4.7 Diberikan  homomorfisma  grup dan [   ] .  Jika merupakan subgrup fuzzy normal intuitionistik dari maka
[ ] merupakan subgrup fuzzy normal intuitionistik dari .
Bukti:
Menurut  teorema  3.3.2,  jika subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  maka
[ ] juga  merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik  untuk  setiap
[   ] .  Karena [ ] merupakan  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik, maka  menurut  teorema  3.4.6  jelas  bahwa
[ ] merupakan subgrup fuzzy normal intuitionistik.
Image dan Pre-Image Translasi 55

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Dari  penjelasan  yang  telah  diberikan,  diperoleh  kesimpulan  bentuk  dan struktur dari image dan pre-image translasi subgrup fuzzy intuitionistik. Diberikan sebarang  homomorfisma  dari ke dengan dan masing-masing merupakan  subset  fuzzy  intuitionistik  untuk dan .  Jika subgrup  fuzzy intuitionistik  dan bersifat  surjektif,  maka image dari  translasi  subgrup  fuzzy intuitionistik ditulis [ ] juga  merupakan  subgrup  fuzzy intuitionistik. Begitu pula apabila subgrup fuzzy intuitionistik dan tidak perlu surjektif,  maka pre-image dari  translasi  subgrup  fuzzy  intuitionistik ditulis [ ] merupakan  subgrup  fuzzy  intuitionistik.  Hal  ini  juga berlaku  apabila dan adalah  subgrup  fuzzy  normal  intuitionistik,  maka
[ ] dan [ ] juga  merupakan  subgrup  fuzzy normal  intuitionistik.  Pada  penelitian  ini,  operator  yang  digunakan  merupakan operator  translasi.  Sangat  memungkinkan  untuk  menemukan  operator  lain  selain operator  translasi  misalkan  translasi  perbesaran.  Untuk  lebih  lanjut  disarankan untuk  mengembangkan  sifat-sifat  tanslasi  lain  seperti  koset, normalizer ,  dan centralizer.

## DAFTAR PUSTAKA
Atanassov, K. T., Intuitionistic fuzzy sets , Fuzzy Sets and Systems, 20 (1984), 87- 96.
Biswas, R., Fuzzy Subgroups and Anti Fuzzy Subgroups , Fuzzy Sets and Systems, 35 (1990), 21-124.
Jeyaraman,  K.  dan  Sheik  Abdullah., The  Homomorphism  and  Anti- Homomorphism of Level Subgroups of Fuzzy Subgroups, Int. Math. Forum 5 (46) (2010), 2293-2298.
Rosenfeld, A., Fuzzy Groups , J. Math. Anal. Appl., 35 (1971), .512-517.
Sharma,  P.K., -  Cut  of  Intuitionistic  Fuzzy  Groups ,  International Mathematical Forum, 6 (53) (2011), 2605-2614.
Sharma,  P.K., Intuitionistic  Fuzzy  Groups ,  IFRSA  International  Journal  of  Data Warehousing and Mining, 1 (1) (2011).
Souriar,  S., A  Study  of  Translates  of  Fuzzy  Subgroups ,  Department  of Mathematics and Statistics Cochin University of  Science and Technology Cochin, 682 022, Kerala, 1993.
Zadeh, L.A., Fuzzy Sets, Information and Control , 8 (1965), 338-353.