Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 1, Hal. 21 - 28 pISSN : 2460-3333 eISSN : 2579-907X

## SOLUSI POSITIF MODEL SIR
Awawin Mustana Rohmah 1
1 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, awawin.emer@gmail.com
Abstract Model  that  describes  the  epidemic  spread  of  disease  can  spread  in  this  area, one  of  which  can  be  formed  in  the  mathematical  model  of  endemic  SIR  (susceptible, infected, and recovery). Based on the model, we can analysis existence and uniqueness, it  shows  that  the  system  has  solution  and  unique.  Furthermore  SIR  indicated  that  the model has a positive solution. The final results obtained from this study is SIR model of having a uniqueand solution, as well as solutions that model is positive.
Keywords: SIR model, Exsistence and unique, positive solution.
Abstrak. Model  epidemik  yang  menggambarkan  penyebaran  penyakit  dapat menularkan  di  suatu  wilayah  yang  salah  satunya  dapat  dibentuk  dalam  model matematika  endemik  SIR  ( susceptible , infected ,  dan recovery ).  Berdasarkan  model tesebut, dilakukan analisa eksitensi dan ketunggalan, hal ini menunjukkan bahwa sistem mempunyai  penyelesaian  dan  tunggal.  Selanjutnya  ditunjukkan  bahwa  model  SIR mempunyai penyelesaian positif.  Adapun  hasil akhir  yang  diperoleh dari penelitian ini adalah  model  SIR  mempunyai  penyelesaian  dan  tunggal,  serta  solusi  model  tersebut posistif.
Kata Kunci: Model SIR, Eksistensi dan ketunggalan solusi, solusi positif .

## 1 Pendahuluan
Penyakit  menular  dapat  menyebar  melalui  kontak  langsung  maupun  tidak  langsung, sehingga dapat mengakibatkan infeksi yang berperan pada penyebaran penyakit. Model SIR merupakan  salah  satu  model  epidemi  yang  menggambarkan  penyebaran  penyakit infeksi  dengan  adanya  penyembuhan  dan  tanpa  adanya  kekebalan  terhadap  infeksi tersebut.  Pada  model  tersebut  populasi  dibedakan  menjadi  tiga  subpopulasi  yaitu subpopulasi susceptible 𝑆 𝑡 atau subpopulasi individu yang rentan terhadap penyakit, subpopulasi infective (𝐼(𝑡)) atau  subpopulasi  individu  yang  terinfeksi  dan  dapat menularkan  penyakit  serta  subpopulasi recovered (𝑅(𝑡)) atau  subpopulasi  yang  telah sembuh.
Pada  penelitian  ini,  dikonstruksi  model  penyebaran  penyakit  tipe SIR yang dibahas  oleh  [1].  Untuk  mengetahui  perilaku  dari  model SIR perlu  dilakukan  analisa. Analisis  yang  dapat  dilakukan  meliputi  eksistensi  dan  ketunggalan  penyelesaian  dari model SIR dengan  menunjukkan  konstanta  Lipschitz.  Analisis  eksistensi  dan ketunggalan  dilakukan  dengan  tujuan  untuk  mengetahui  bahwa  model  yang  dibangun memiliki  penyelesaian  dan  tunggal.  Selanjutnya  perlu  ditunjukkan  bahwa  model tersebut  mempunyai  solusi  positif,  dimana  dapat  diketahui  bahwa  sistem  tersebut memiliki aliran yang kontinu.

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science
2 Pembahasan

## 2.1 Model Matematika
Jumlah  subpopulasi 𝑆 akan  bertambah  karena  banyaknya  kelahiran  sebesar Π ,  namun berkurang  karena  adanya  kematian  alami  dengan  laju 𝜇 serta  adanya  kontak  antara individu 𝑠 𝑖 bertemu dengan 𝑖 𝑖 yang mengkibatkan jumlah subpopulasi 𝑆 berkurang dan masuk menjadi subpopulasi 𝐼 sebesar 𝑏.
Gambar 1 . Diagram Kompartmen Subpopulsi Susceptible
Berdasarkan Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi 𝑆 persatuan waktu, sehingga dapat disebut 𝑑𝑆 𝑑𝑡 .
Jumlah subpopulasi 𝐼 bertambah karena adanya kontak antara individu 𝑠 𝑖 bertemu dengan 𝑖 𝑖 yang mana mengakibatkan individu tersebut terinfeksi, serta berkurang karena adanya  kematian  alami 𝜇 dan  kematian  karena  terinfeksi  TB  sebesar 𝜇 𝑡 .  Individu terinfeksi dilakukan penyembuhan sehingga mengakibatkan berkurangnya subpopulasi 𝐼 sebesar 𝑐 yang masuk dalam subpopulasi 𝑅.
Gambar 2 . Diagram Kompartmen Subpopulsi Infected
Berdasarkan Gambar 2 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi 𝐼 persatuan waktu, sehingga dapat disebut 𝑑𝐼 𝑑𝑡 .
Jumlah  subpopulasi 𝑅 bertambah  karena  adanya  subpopulasi  terinfeksi 𝐼 yang disembuhkan,  namun  subpopulasi 𝑅 diasumsikan  pada  penyakit  TB  tidak  kembali rentan, dan berkurang karena adanya kematian alami sebesar 𝜇 .
Gambar 3 . Diagram Kompartmen Subpopulsi Recovered
Berdasarkan Gambar 3 dapat dijelaskan bahwa ada perubahan pada jumlah subpopulasi 𝑅 persatuan waktu, sehingga dapat disebut 𝑑𝑅 𝑑𝑡 .
Berdasarkan  uraian  dan  diagram  kompartmen  tersebut,  sehingga  dapat  dibentuk sistem sebagai berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Π − bS 𝐼 𝑁 − μS (1)
𝑆 Π bS 𝐼 𝑁 μS 𝐼 bS 𝐼 𝑁 cI (μ + μ t )I 𝑅 cI μR

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = bS 𝐼 𝑁 − (𝑐 + μ + μ t )𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = cI − μR

## 2.2 Penyederhanaan Sistem
Pada Persamaan (1) dilakukan penyederhanaan sistem. Misalkan terdapat 𝑆 sedemikian hingga 𝑆 ∈ 𝐶 Ω, 𝑅 maka  akan  ditunjukkan  bahwa  persamaan  tersebut  mempunyai penyelesain  dan  tunggal,  lihat  subpopulasi 𝑆 pada  interval  waktu 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞  . Oleh  karena  itu,  interaksi  yang  terjadi  antara  individu susceptible 𝑆 dengan  individu infected 𝐼 akan  menyebabkan  terjadinya  perubahan  status  dari susceptible menjadi terinfeksi  atau  tetap  menjadi susceptible ,  ambil  sebarang 𝑡 = 𝛿 dimana 𝑡 1 < 𝛿 < 𝑡 2 interaksi  individu 𝑠, 𝑖 . Sehingga  menyebabkan  terjadinya  perubahan  secara  proposi sebesar 𝑝 dengan 𝑠, 𝑖  ≈ 𝑖 atau  dapat  dikatakan  bahwa  perubahan  proporsi  yang disebabkan oleh virus dari subpopulasi 𝑏 𝐼 𝑁 𝑆 adalah 𝑝𝐼 atau 1 − 𝑝 𝑆 . Dengan demikian untuk setiap 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ terdapat transisi 𝑏 𝐼 𝑁 𝑆 sebesar 𝑝𝐼 dan 1 − 𝑝 𝑆 dengan 0 < 𝑝 < 1 sebagai  proporsi  yang  berarti  bahwa  pada  interval  waktu  tersebut  terdapat individu 𝑠 yang diskontinu pada 𝑡 = 𝛿 dan tewrdapat  individu 𝑠 yang kontinu sebagai individu susceptible .  Persamaan (1) dapat  disederhanakan sesuai  dengan evolusi virus yang terjadi pada tubuh individu sehingga menjadi
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Π − (1 − p)S − μS
(2)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = pI − ((1 − 𝑞) + μ + μ t )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = qI − μR

## 2.3 Eksistensi dan Ketunggalan
Untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan sistem dapat ditentukan dengan definisi konstanta Lipschitz. Terdapat konstanta Lipschitz 𝑘(𝑡) yang memenuhi 𝑓 𝑋 1 𝑡 , 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 𝑡 , 𝑡)  ≤ 𝑘(𝑡) 𝑋 1 − 𝑋 2 sedemikian hingga model sistem berlaku untuk setiap 𝑡 ∈ 𝑅 . Persamaan 1 , (2) dan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑋
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑋 𝑡 , 𝑡)
atau dapat ditulis 𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑆 𝑡 , 𝑡)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑓(𝐼 𝑡 , 𝑡)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑅 𝑡 , 𝑡) , maka akan terdapat 𝑓(𝑋 1 𝑡 , 𝑡) dan 𝑓(𝑋 2 𝑡 , 𝑡) dengan 𝑋 1 =  𝑆 1 , 𝐼 1 , 𝑅 1 𝑋 2 =  𝑆 2 , 𝐼 2 , 𝑅 2 .

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Selanjutnya  akan  dicari  nilai  dari 𝑘(𝑡) yang  merupakan  konstanta  Lipschitz  yang memenuhi bentuk berikut
𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  ≤ 𝑘(𝑡) 𝑋 1 − 𝑋 2
dengan
𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 dinyatakan  sebagai 𝑎 𝑖1 = 𝑏 𝑖1 + 𝑐 𝑖1 ,  dengan 𝑖 = 1,2,3 maka
𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 =  𝑏 𝑖1 + 𝑐 𝑖1
atau 𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  ≤  𝑏 𝑖1 +  𝑐 𝑖1 , dengan 𝑏 𝑖1 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑏 𝑖𝑗 3 𝑗 =1
dengan ketentuan 𝑎 𝑖1 ≤  𝑏 𝑖1 +  𝑐 𝑖1 (3)
Selanjutnya berdasarkan Persamaan 2 , dapat dibentuk sebagai berikut i. Susceptible
𝑎 11 = Π −  1 − p S 1 − μS 1 −  Π −  1 − p S 2 − μS 2 = −𝜇 𝑆 1 − 𝑆 2 − 1 𝑆 1 − 𝑆 2 + 𝑝 𝑆 1 − 𝑆 2 𝑎 11 = 𝑝 − 𝜇 − 1  𝑆 1 − 𝑆 2 menggunakan ketentuan (3) maka didapatkan 𝑎 11 ≤   𝑝 − 𝜇 − 1  𝑆 1 − 𝑆 2 . (4)
ii. Infected 𝑎 21 = pI 1 −   1 − 𝑞  + μ + μ t 𝐼 1 −  pI 1 −   1 − 𝑞  + μ + μ t 𝐼 1 = 𝑝 + 𝑞  𝐼 1 − 𝐼 2 −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2 𝑎 21 = 𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2 menggunakan ketentuan (3) maka didapatkan 𝑎 21 ≤    𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2 . (5)
iii. Recovered 𝑎 31 = 𝑞𝐼 1 − 𝜇𝑅 1 −  𝑞𝐼 2 − 𝜇𝑅 2 = 𝑞 𝐼 1 − 𝐼 2 − 𝜇 𝑅 1 − 𝑅 2 𝑎 31 = 𝑞 − 𝜇  𝑅 1 − 𝑅 2 menggunakan ketentuan (4) maka didapatkan
𝑎 31 ≤   𝑞 − 𝜇  𝑅 1 − 𝑅 2 . (6)
Selanjutnya Persamaan (5)-(7) dapat dibentuk norm sebagai berikut.
𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 =  𝑏 𝑖1 + 𝑐 𝑖1
𝑓 𝑋 1 (𝑡), 𝑡  − 𝑓(𝑋 2 (𝑡), 𝑡)  ≤  𝑏 𝑖1 +  𝑐 𝑖1 , dengan 𝑏 𝑖1 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑏 𝑖𝑗 3 𝑗 =1
Karena yang dibahas hanya satu wilayah sehingga, tidak ada 𝑐 𝑖1 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 ≤ 𝑝 − 𝜇 − 1  𝑆 1 − 𝑆 2 𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2 𝑞 − 𝜇  𝑅 1 − 𝑅 2 (7)
atau
𝑏 𝑖1 = maks 𝑖 𝑏 𝑖𝑗 𝑛
𝑗 =1 , 𝑎 11 ≤   𝑝 − 𝜇 − 1    𝑆 1 − 𝑆 2 𝑎 21 ≤    𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
𝑎 31 ≤   𝑞 − 𝜇    𝑅 1 − 𝑅 2
𝑝 − 𝜇 − 1  𝑆 1 − 𝑆 2
𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝐼 1 − 𝐼 2
𝑞 − 𝜇  𝑅 1 − 𝑅 2 ≤ maks{  𝑝 − 𝜇 − 1  ,
𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝑞 − 𝜇  } 𝑆 1 − 𝑆 2 𝐼 1 − 𝐼 2 𝑅 1 − 𝑅 2
Untuk memenuhi nilai maksimum mutlak dari maks    𝑝 − 𝜇 − 1  ,    𝑝 + 𝑞  − 1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 ,   𝑞 − 𝜇 terhadap  tingkat  dari  individu  populasi  dapat  dilakukan berdasarkan  asumsi  sebagai  berikut. 𝑚𝑎𝑘𝑠    𝑝 − 𝜇 − 1  ,    𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 ,   𝑞 − 𝜇 adalah
{  𝑝 𝑚𝑎𝑥 −  𝜇 − 1 𝑚𝑖𝑛 ,   𝑝 + 𝑞 𝑚𝑎𝑥 −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝑚𝑖𝑛 ,    𝑞 𝑚𝑎𝑥 −  𝜇 𝑚𝑖𝑛 } .
Nilai maksimum tersebut merupakan konstanta Lipschitz 𝑘(𝑡) dari masing-masing perubahan subpopulasi.Sedemikian hingga diamatikonstanta Lipschitz pada subpopulasi infected tersebut. 𝑝 + 𝑞  −  1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 adalah  tingkat  infeksi  virus (𝐼) ,  sehingga dapat  dikatakan  penyebaran  penyakit  sangat  luas  jika 𝑝 + 𝑞 mempunyai  nilai maksimum dan nilai dari 1 + 𝜇 + 𝜇 𝑡 minimum.

## 2.4 Solusi Positif
Berdasarkan  Persamaan (1) ,  akan  ditentukan  total  populasi  dan  solusi  postif  dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 . 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = Π − bS 𝐼 𝑁 − μS + bS 𝐼 𝑁 −  𝑐 + μ + μ t 𝐼 + cI − μR
= Π − μ 𝑆 + 𝐼 + 𝑅  − 𝜇 𝑡 𝐼
= Π − μN − μ t 𝐼
Misal 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑘 , dengan 𝑘 non negatif. Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑁 = 𝐶 = konstan, hal ini tidak mungkin terjadi karena 𝑁 bergantung pada waktu. Untuk 𝑘 > 0 berarti 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑘 > 0 .
Misalkan 𝜆 𝑡  = μ t 𝐼, sehingga menjadi 𝑑𝑁 𝑑𝑡 =  Π − μN − 𝜆(𝑡) > 0 ⇒ Π − μN > 𝜆 1 𝑡 ,
sehingga untuk 𝑑𝑁 𝑑𝑡 ≤ Π − μN maka 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = Π − μN − 𝜔 , dengan 𝜔 merupakan konstanta > 0 . Akibatnya, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + μN = Π − 𝜔 . Dengan begitu, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + 𝑗 𝑡 𝑁 = 𝜑 𝑡 dengan faktor pengintegralnya adalah 𝑣. 𝑝 = 𝑒 𝑗  𝑡 𝑑𝑡 sehingga menjadi
𝑉 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + 𝑉μN =  Π − 𝜔 𝑉 𝑑 𝑑𝑡 𝑁𝑒 μ𝑡 =   Π − 𝜔 𝑒 𝜇𝑡 𝑑𝑡 𝑁 = Π − 𝜔 𝜇 + 𝐶𝑒 −𝜇𝑡

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Selanjutnya ditentukan nilai konstanta 𝐶 dengan 𝑡 = 0 sehingga
𝑁 0  = Π − 𝜔 𝜇 + 𝐶𝑒 −𝜇 (0)
𝐶 = 𝑁 0  − Π−𝜔 𝜇 .
Kemudian nilai 𝐶 disubstitusikan ke 𝑁(𝑡) sehingga
𝑁 𝑡  = Π−𝜔 𝜇 +  𝑁 0  − Π−𝜔 𝜇 𝑒 −𝜇𝑡 .
Ini berarti untuk 𝑡 = 0,
𝑁 𝑡  = 𝑁 0  ≠ 0 , sedangkan untuk 𝑡 → ∞
lim 𝑡→∞ 𝑁 𝑡  = lim 𝑡→∞ Π − 𝜔 𝜇 +  𝑁 0  − Π − 𝜔 𝜇 𝑒 −𝜇𝑡 lim 𝑡→∞ 𝑁 𝑡  = Π−𝜔 𝜇 .
Agar Π−𝜔 𝜇 > 0 maka 0 < 𝜔 < Π .  Dengan  kata  lain,  konstanta 𝜔 tidak  lebih  besar dari    tingkat  kelahiran Π .  Oleh  karena  itu,  diperoleh  penyelesaian 𝑁 0  ≤ 𝑁 𝑡  ≤ Π−𝜔 𝜇 untuk 𝑡 ∈ 𝑅 + yang merupakan penyelesaian positif.
Pada  Persamaan 2 akan  dibentuk  dalam  non  dimensional  dan  selanjutnya ditentukan penyelesainnya serta solusi positif.
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = Π − (1 − p)S − μS
Disubstitusi  dengan 𝑠 = 𝑆 𝑁 atau 𝑠𝑁 = 𝑆 sehingga  diperoleh 𝑁 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = Π − (1 − p)Ns − μNs , maka
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = Π 𝑁 − (1 − p)s − μs
𝑑𝑠 𝑑𝑡 +  1 − p s + μs = Π 𝑁 𝑁 = 𝑒 𝜃𝑡 𝑁 0 Π = 𝛿𝑠𝑁 Π 𝑁 = 𝛿𝑠𝑁 𝑁 = 𝛿𝑠
Berdasarkan bentuk non dimensional tersebut, kemudian ditentukana solusi positifnya.
Misal 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑘 , dengan 𝑘 non negative. Untuk 𝑘 = 0 maka 𝑠 = 𝐶 = konstan, hal ini tidak mungkin terjadi karena 𝑁 bergantung pada waktu. Untuk 𝑘 > 0 berarti
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑘 > 0 .
Misalkan 𝜆 1 𝑡  = Π 𝑁 , sehingga menjadi 𝑑𝑠 𝑑𝑡 =   −(1 − p)s − μs − 𝜆 1 (𝑡) > 0 ⇒ −(1 − p)s − μs > 𝜆 1 𝑡 ,
sehingga  untuk 𝑑𝑠 𝑑𝑡 ≤ −(1 − p)s − μs ,  maka 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = − 1 − p s − μs + ω ,  dengan 𝜔 merupakan konstanta > 0 . Akibatnya, 𝑑𝑠 𝑑𝑡 +  1 − p s + μs = 𝜔 . Dengan begitu,
𝑑𝑠 𝑑𝑡 + 𝑗 𝑡 𝑠 = 𝜑 𝑡 dengan  faktor  pengintegralnya  adalah 𝑣. 𝑝 = 𝑒 𝑗  𝑡 𝑑𝑡 sehingga menjadi
𝑉 𝑑𝑠 𝑑𝑡 + 𝑉 1 + μ − p s = 𝜔𝑉

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
𝑑 𝑑𝑡 𝑠𝑒 1+μ−p 𝑡 =   𝜔𝑒 1+μ−p 𝑡 𝑑𝑡
𝑠 = 𝜔 1 + μ − p + 𝐶𝑒 − 1+μ−p 𝑡
Selanjutnya ditentukan nilai konstanta 𝐶 dengan 𝑡 = 0 sehingga 𝑠 0  = 𝜔 1 + μ − p + 𝐶𝑒 − 1+μ−p 0 𝐶 = 𝑠 0  − 𝜔 1+μ−p .
Kemudian nilai 𝐶 disubstitusikan ke 𝑠(𝑡) sehingga
𝑠 𝑡  = 𝜔 1+μ−p +  𝑠 0  −
𝜔 1+μ−p 𝑒 − 1+μ−p 𝑡 .
Ini berarti untuk 𝑡 = 0,
𝑠 𝑡  = 𝑠 0  ≠ 0 , sedangkan untuk 𝑡 → ∞ lim 𝑡→∞ 𝑠 𝑡  = lim 𝑡→∞ 𝜔 1 + μ − p +  𝑠 0  − 𝜔 1 + μ − p 𝑒 − 1+μ−p 𝑡 lim 𝑡→∞ 𝑠 𝑡  = 𝜔 1+μ−p .
Jelas 𝜔 1+μ−p > 0 . Oleh karena itu, diperoleh penyelesaian 𝑠 0  ≤ 𝑠 𝑡  ≤ 𝜔 1+μ−p untuk 𝑡 ∈ 𝑅 + yang  merupakan  penyelesaian  positif.  Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  pada interval waktu 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ subpopulasi susceptible monoton turun.
Untuk 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = bS 𝐼 𝑁 −  𝑐 + μ + μ t 𝐼, analog  dengan  subpopulasi susceptible bahwa persamaan  dapat  direduksi  menjadi 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = pI − ((1 − 𝑞) + μ + μ t )𝐼 ,  kemudian  untuk melakukan non dimensional  terhadap persamaan tersebut  dengan melakukan substitusi 𝑖 = 𝐼 𝑁 atau 𝑖𝑁 = 𝐼 sehingga 𝑁 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = pNi − ((1 − 𝑞) + μ + μ t )𝑁𝑖 maka 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = pi − ((1 − 𝑞) + μ + μ t )𝑖 ,  karena 𝑠(𝑡) monoton  turun  pada  interval 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ dapat diasumsikan bahwa 𝑖(𝑡) monoton naik. Dengan begitu penyelesaiannya adalah 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = pi − ((1 − 𝑞) + μ + μ t )𝑖 𝑑𝑖 𝑖 = 𝑝 −   1 − 𝑞  + μ + μ t 𝑑𝑡 𝑖 = 𝐶𝑒 𝑝−  1−𝑞 +μ+μ t 𝑡 . Selanjutnya ditentukan nilai konstanta 𝐶 dengan 𝑡 = 0 sehingga
𝑖 0  = 𝐶𝑒 𝑝−  1−𝑞 +μ+μ t 0
𝐶 = 𝑖 0 .
Kemudian nilai 𝐶 disubstitusikan ke 𝑖(𝑡) sehingga 𝑖 𝑡  = 𝑖 0 𝑒 𝑝−  1−𝑞 +μ+μ t 𝑡 . Ini berarti untuk 𝑡 = 0,
𝑖 𝑡  = 𝑖 0  ≠ 0 , sedangkan untuk 𝑡 → ∞ lim 𝑡→∞ 𝑖 𝑡  = lim 𝑡→∞ 𝑖 0 𝑒 𝑝−  1−𝑞 +μ+μ t 𝑡 .
Akibatnya, 𝑖(𝑡) untuk 𝑡 ∈ 𝑅 + yang merupakan penyelesaian positif dan dapat dikatakan bahwa pada interval waktu 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ subpopulasi infected monoton naik.
Untuk 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = cI − μR, analog  dengan  subpopulasi susceptible bahwa  persamaan dapat  direduksi  menjadi 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = qR − μR ,  kemudian  untuk  melakukan  non  dimensional

## Unisda Jounal of Mathematics and Computer Science
terhadap persamaan tersebut dengan melakukan substitusi 𝑟 = 𝑅 𝑁 atau 𝑟𝑁 = 𝑅 sehingga 𝑁 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = qNr − μNr maka 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = qr − μr ,  karena 𝑟(𝑡) monoton  turun  pada  interval 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ dapat  diasumsikan  bahwa 𝑟(𝑡) monoton  naik.  Sehingga penyelesaiannya adalah 𝑑𝑟
𝑑𝑡 = qr − μr 𝑑𝑟 𝑟 = 𝑞 − 𝜇 𝑑𝑡 𝑟 = 𝐶𝑒 𝑞−𝜇  𝑡 .
Selanjutnya ditentukan nilai konstanta 𝐶 dengan 𝑡 = 0 sehingga
𝑟 0  = 𝐶𝑒 𝑞−𝜇  0
𝐶 = 𝑟 0 . Kemudian nilai 𝐶 disubstitusikan ke 𝑖(𝑡) sehingga 𝑟 𝑡  = 𝑟 0 𝑒 𝑞−𝜇  𝑡 . Ini berarti untuk 𝑡 = 0,
𝑖 𝑡  = 𝑖 0  ≠ 0 , sedangkan untuk 𝑡 → ∞ lim 𝑡→∞ 𝑟 𝑡  = lim 𝑡→∞ 𝑟 0 𝑒 𝑞−𝜇  𝑡
sehingga 𝑖 𝑡 untuk 𝑡 ∈ 𝑅 + yang  merupakan penyelesaian positif dan dapat  dikatakan bahwa pada interval waktu 𝑡 ∈  𝑡 1 , 𝑡 2 ⊂   0, ∞ subpopulasi recovered monoton naik. Berdasarkan model SIR tersebut, setiap perubahan subpopulasi terhadap waktu (𝑡) ada  yang  monoton  naik  dan  monoton  turun.  Sedemikian  hingga  model  tersebut memiliki aliran sistem dinamis.

## 3 Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  tersebut,  diperoleh  bahwa  model SIR mempunyai penyelesaian dan tunggal, serta solusi penyelesaiannya positif dan aliran sistem tersebut dinamis.

## Daftar Pustaka
[1]   Fredlina, K.Q dan Oka, B. T. 2012. Model SIR Untuk Penyakit Tuberkulosis. E-journal matematika . 1(1).
[2]   Hariyanto,  W.  Basuki,  Budiantara,  I  Nyoman.  2013.  The  construction  of  model  Pre-Coalition between  H1N1-p  and  H5N1  Influenza  Virus  in  Indonesia . Applied  Mathematical  Science .  Hikari Ltd. 7: 4899-4907.
[3]   Saputra,  R.  K.  2014.  Analisis  Dinamik  Model  SIS  dengan  Laju  Kelahiran  dan  Kematian  yang
Dipengaruhi Total Populasi. Journal matematika UB . matematika.studentjournal.ub.ac.id