## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Perbandingan Metode Monte Carlo
Antithetic Variate dan Control Variate dalam Penentuan Harga Opsi Barrier Knock-Out
C. E. Murwaningtyas, W. S. Haryono, M. A. Uge, dan T. Kristofel

## Volume 12, Issue 1, Pages 37–44, June 2024
Diterima 6 Mei 2024, Direvisi 26 Mei 2024, Disetujui 28 Mei 2024, Diterbitkan 1 Juni 2024 To Cite this Article : C. E. Murwaningtyas, dkk.,“Perbandingan Metode Monte Car- lo Antithetic Variate dan Control Variate dalam Penentuan Harga Opsi Barrier Knock-Out ”, Euler J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. , vol.
12, no. 1, pp. 37–44, 2024, ht- tps://doi.org/10.37905/euler.v12i1.25128
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • EULER : JURNAL ILMIAH MATEMATIKA, SAINS DAN TEKNOLOGI
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/index Ǽ Journal Abbreviation : Euler J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. Х Frequency : Biannual (June and December) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/euler ʢ Online ISSN : 2776-3706 ǽ Editor-in-Chief : Resmawan Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/oai  Google Scholar ID : QF_r-_gAAAAJ Ͳ Email : euler@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics

## Perbandingan Metode Monte Carlo Antithetic Variate dan Control Variate dalam Penentuan Harga Opsi Barrier Knock-Out
Chatarina Enny Murwaningtyas 1 , ∗ , William Saputra Haryono 2 , Maria Andriani Uge 2 , dan Tedi Kristofel 2
1 Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, Indonesia
2 Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, Indonesia
ABSTRAK. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji efektivitas metode Monte Carlo antithetic variate dan control variate dalam penentuan harga opsi barrier knock-out dibandingkan dengan metode Monte Carlo standar. Masa- lah utama dalam penentuan harga opsi barrier adalah tingginya variansi estimasi yang dapat mengurangi akurasi dan efisiensi hasil. Metode Monte Carlo standar sering kali membutuhkan jumlah simulasi yang sangat besar untuk mencapai hasil yang stabil, yang tidak efisien secara komputasi. Untuk mengatasi masalah ini, penelitian ini meng- gunakan teknik reduksi variansi antithetic variate dan control variate. Hasil penelitian menunjukkan bahwa kedua metode tersebut menawarkan akurasi yang lebih tinggi dalam estimasi harga dibandingkan metode Monte Carlo standar. Analisis lebih lanjut menunjukkan bahwa metode control variate lebih efektif untuk opsi beli barrier up and out serta opsi beli barrier down and out, sementara metode antithetic variate unggul dalam penentuan harga opsi jual barrier up and out serta opsi jual barrier down and out. Penelitian ini menegaskan pentingnya memilih metode yang sesuai dengan jenis opsi yang dihadapi untuk mencapai estimasi yang akurat dan efisien.
ABSTRACT. This study aims to examine the effectiveness of the Monte Carlo antithetic variate and control variate methods in pricing knock-out barrier options compared to the standard Monte Carlo method. The main problem in barrier option pricing is the high variance of estimates, which can reduce the accuracy and efficiency of results. The standard Monte Carlo method often requires a very large number of simulations to achieve stable results, which is computationally inefficient. To address this issue, this study employs variance reduction techniques, antithetic variate, and control variate. The findings indicate that both methods offer higher accuracy in price estimation compared to the standard Monte Carlo method. Further analysis reveals that the control variate method is more effective for pricing up and out barrier call options and down and out barrier call options, while the antithetic variate method excels in pricing up and out barrier put options and down and out barrier put options. This study underscores the importance of selecting the appropriate method according to the type of option involved to achieve accurate and efficient estimations.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of EULER: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Investasi pada instrumen derivatif seperti opsi memegang peranan penting dalam dunia keuangan modern [1] . Opsi, seba- gai salah satu bentuk kontrak derivatif, menyediakan keleluasa- an bagi investor untuk mengelola risiko atau spekulasi, dengan memanfaatkan hak untuk membeli atau menjual aset pada harga yang telah disepakati sebelumnya. Dalam keragaman instrumen derivatif, opsi eksotik seperti opsi barrier menawarkan struktur pembayaran yang lebih kompleks, di mana aktivasi pay-off -nya bergantung pada pencapaian aset terhadap suatu nilai ambang atau barrier . Opsi barrier knock-out , khususnya, menjadi tidak ak- tif atau ” knocked out ” jika harga aset dasar menyentuh barrier yang ditentukan sebelum jatuh tempo [2] . Opsi barrier knock-out ini sa- ngat menarik untuk dipelajari karena karakteristiknya yang unik dan implikasinya yang signifikan bagi strategi investasi dan ma-
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Diterima 6 Mei 2024
Direvisi 26 Mei 2024
Disetujui 28 Mei 2024 Diterbitkan 1 Juni 2024

## KATA KUNCI
Opsi Barrier Knock-Out
Monte Carlo
Antithetic Variate
Control Variate

## KEYWORDS
Knock-Out Barrier Options Monte Carlo Antithetic Variate Control Variate
najemen risiko.
Opsi barrier knock-out dapat diklasifikasikan ke dalam em- pat jenis utama berdasarkan arah gerakan harga aset dan hak transaksi yang diberikan kepada pemegang opsi [2, 3] . Perta- ma, opsi beli barrier up and out memberikan hak kepada pembeli untuk membeli aset pada harga yang telah disepakati. Opsi ini menjadi tidak valid atau ”knocked out” jika harga aset naik dan menyentuh atau melewati barrier yang ditentukan. Kedua, opsi beli barrier down and out juga mengizinkan pembeli untuk mem- beli aset, namun opsi ini menjadi tidak valid jika harga aset justru menurun dan menyentuh atau melampaui barrier yang telah dite- tapkan. Selanjutnya, opsi jual barrier up and out memberikan hak kepada pembeli untuk menjual aset pada harga yang disepaka- ti. Opsi ini akan menjadi tidak valid jika harga aset meningkat dan mencapai atau melampaui barrier yang ditentukan. Terakhir, opsi jual barrier down and out memberi hak kepada pembeli un-
Email : enny@usd.ac.id (C. E. Murwaningtyas) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/index / E-ISSN : 2776-3706 © 2024 by the Author(s).
tuk menjual aset, namun opsi ini akan menjadi tidak valid jika harga aset turun dan menyentuh atau melampaui harga barrier yang ditentukan. Setiap jenis opsi ini menawarkan strategi yang berbeda untuk mengelola risiko investasi berdasarkan perkiraan pergerakan harga aset di masa depan.
Membahas keempat jenis opsi ini menjadi menarik kare- na masing-masing menawarkan karakteristik yang unik tergan- tung pada kondisi pasar dan arah pergerakan harga. Hal ini me- mungkinkan investor untuk memilih jenis opsi yang paling se- suai dengan prediksi mereka terhadap pergerakan harga aset di masa depan, memberikan fleksibilitas dalam strategi hedging dan spekulasi. Penilaian akurat dari masing-masing jenis opsi ini me- merlukan pemahaman yang mendalam tentang faktor-faktor yang mempengaruhi harga aset dan bagaimana barrier tersebut dapat mempengaruhi nilai opsi seiring waktu. Dengan demikian, keber- hasilan dalam memanfaatkan opsi barrier ini sangat bergantung pada kemampuan untuk memprediksi perubahan pasar yang da- pat memicu aktivasi atau deaktivasi barrier [4] .
Penentuan harga opsi barrier telah mengalami berbagai pe- ngembangan metodologi untuk meningkatkan akurasi dan efisi- ensi komputasi. Metode Black-Scholes, sebagai pendekatan ana- litik tradisional, telah lama diakui karena kemampuannya meng- hitung harga opsi dengan asumsi tertentu [3, 5] . Namun, kom- pleksitas dari opsi eksotik seperti barrier knock-out membutuh- kan teknik yang lebih dinamis dan fleksibel seperti simulasi Mon- te Carlo.
Metode Monte Carlo adalah teknik simulasi yang fleksibel untuk mengestimasi nilai instrumen keuangan dengan mensimu- lasikan berbagai lintasan harga aset dasar menggunakan bilangan acak [6] , memungkinkan analisis berbagai jenis opsi dan kondi- si pasar yang kompleks tanpa asumsi kaku seperti model Black- Scholes [7] . Keunggulan metode ini termasuk kemampuan me- nangani opsi eksotik dan teknik reduksi variansi untuk mening- katkan akurasi dan efisiensi komputasi. Namun, kelemahannya adalah kebutuhan sumber daya komputasi yang besar dan sen- sitivitas terhadap kualitas bilangan acak yang digunakan, yang dapat mempengaruhi hasil simulasi secara signifikan.
Penelitian terbaru dalam penentuan harga opsi menggu- nakan machine learning menunjukkan kemajuan signifikan. Me- tode seperti Support Vector Regression [8] , Random Forest [9] , Adap- tive Boosting [10] dan Artificial Neural Network [11] telah diterapkan dengan hasil yang bervariasi. Li dan Yan [12] menggunakan kom- binasi metode Monte Carlo antithetic dan pembelajaran mesin un- tuk meningkatkan akurasi harga opsi barrier , menemukan bahwa teknik seperti random forests dan neural networks dapat membe- rikan estimasi yang lebih akurat dibandingkan dengan metode numerik tradisional.
Metode Monte Carlo antithetic variate mengurangi variansi dengan menggunakan variabel random yang berkorelasi negatif [13] . Penelitian Zubedi, dkk. [14] menunjukkan bahwa Monte Carlo control variate lebih efektif dalam mencapai konvergensi de- ngan kesalahan yang lebih kecil dibandingkan Monte Carlo anti- thetic variate dalam penentuan harga opsi Asia. Wati, dkk. [15] menemukan bahwa metode conditional Monte Carlo cenderung konvergen lebih cepat daripada metode antithetic variate dalam menentukan harga opsi barrier . Putri, dkk. [16] menunjukkan bahwa teknik antithetic variate dapat mengurangi varians dalam penentuan harga opsi barrier tipe Eropa. Silalahi, dkk. [17] meng-
gunakan metode Monte Carlo standar, antithetic variate , dan con- trol variate untuk menilai harga opsi double barrier knock-in . Na- mun, dalam penelitian ini, fokus diberikan pada opsi barrier knock- out dengan hanya satu barrier . Hal ini berbeda dari penelitian yang telah ada seperti yang dijelaskan oleh Silalahi dkk, di mana mereka memfokuskan pada opsi knock-in dengan double barrier . Opsi barrier knock-out memberikan dinamika yang berbeda kare- na opsi menjadi tidak valid atau ” knocked out ” saat harga aset me- nyentuh barrier , sehingga memerlukan pendekatan khusus dalam penentuannya yang tidak hanya bergantung pada mencapai bar- rier tetapi juga pada bagaimana barrier tersebut menghilangkan hak opsi tersebut.
Dalam artikel ini, dilakukan studi komparatif terhadap ke- dua metode antithetic variate dan control variate dalam konteks penentuan harga opsi barrier knock-out . Penelitian ini tidak ha- nya membahas kedalaman teknis dari setiap metode tetapi ju- ga mengevaluasi dan membandingkan efektivitas mereka dalam berbagai skenario pasar. Telaah pustaka yang mendalam menge- nai opsi barrier , metode penentuan harga opsi, dan teknik Mon- te Carlo menyediakan landasan teoretis bagi analisis dan diskusi yang mengarah pada formulasi masalah yang tepat dalam kon- teks penentuan harga opsi barrier knock-out . Tujuan akhir pene- litian ini adalah untuk menentukan metode yang paling akurat dan efisien dalam penentuan harga opsi barrier knock-out serta memberikan rekomendasi praktis untuk aplikasinya di pasar ke- uangan.

## 2. Metode
Metode Monte Carlo adalah teknik simulasi yang berakar pada penggunaan bilangan acak untuk memodelkan fenomena yang kompleks dan sulit diprediksi secara analitis. Dalam kon- teks penentuan harga opsi, langkah pertama dalam penerapan metode Monte Carlo adalah mendefinisikan masalah dengan jelas dan memodelkannya menggunakan asumsi matematis yang sesu- ai. Misalnya, harga aset yang mendasari opsi sering dimodelkan menggunakan Geometric Brownian Motion (GBM), suatu proses sto- kastik yang menggambarkan pergerakan harga yang berkelanjut- an dan volatilitas pasar. Model ini mengambil parameter seperti volatilitas, tingkat bunga bebas risiko, dan harga awal aset, yang merupakan dasar bagi simulasi selanjutnya.
Simulasi dijalankan dengan menghasilkan banyak skenario random dari pergerakan harga aset hingga waktu jatuh tempo opsi. Ini dilakukan dengan menghasilkan bilangan-bilangan ran- dom yang mewakili faktor-faktor seperti fluktuasi pasar dan pe- ngaruh eksternal, yang memungkinkan penciptaan berbagai lin- tasan harga yang mungkin. Setiap lintasan ini kemudian dievalu- asi untuk menentukan nilai dari opsi pada akhir periode berda- sarkan kondisi tertentu seperti harga pelaksanaan opsi dan tipe opsi tersebut ( call atau put ).
Hasil dari setiap simulasi individu kemudian diagregasi un- tuk menghitung harga rata-rata opsi. Harga rata-rata ini dianggap sebagai estimasi yang adil dari harga opsi berdasarkan parame- ter dan model yang digunakan. Hasil ini biasanya didiskontokan kembali ke nilai saat ini menggunakan tingkat bunga bebas risi- ko yang sesuai, yang mencerminkan nilai waktu uang dan risiko keuangan.
Untuk meningkatkan efisiensi dan akurasi dari simulasi Monte Carlo, teknik reduksi variansi seperti antithetic variates dan
control variates sering digunakan. Teknik antithetic variates , misal- nya, melibatkan penggunaan pasangan lintasan yang berkorela- si negatif untuk menyeimbangkan fluktuasi hasil dan mengura- ngi varians output. Sementara itu, metode control variates meng- gunakan variabel kontrol yang nilai teoretisnya diketahui untuk mengoreksi estimasi dari simulasi, sehingga menghasilkan esti- masi yang lebih stabil dan akurat dengan lebih sedikit simulasi.
Walaupun metode Monte Carlo memiliki banyak keuntung- an seperti fleksibilitas dan kemampuan adaptasi untuk model kompleks, teknik ini juga memiliki keterbatasan, termasuk ke- butuhan akan komputasi yang intensif dan sensitivitas terhadap kualitas bilangan random yang digunakan. Kesalahan dalam pe- ngambilan sampel atau dalam pemilihan model dapat berdampak signifikan pada hasil, memerlukan pemilihan parameter dan tek- nik simulasi dengan hati-hati untuk memastikan keandalan dan keakuratan hasil yang dihasilkan.
Dalam penentuan harga opsi, metode Monte Carlo digu- nakan untuk mensimulasikan berbagai skenario pergerakan har- ga aset yang mendasarinya, berdasarkan model statistik dan ma- tematik. Algoritma ini menghasilkan lintasan harga yang kemu- dian digunakan untuk menghitung nilai opsi di masa depan. Ber- ikut adalah algoritma untuk tiga teknik yang paling umum digu- nakan dalam metode Monte Carlo standar, metode Monte Carlo antithetic variates , dan metode Monte Carlo control variates .
2.1. Algoritma Metode Monte Carlo Standar
1. Langkah 1: inisialisasi parameter.
Tetapkan harga awal aset S 0 , volatilitas σ , tingkat bunga be- bas risiko r , harga pelaksanaan K , dan waktu jatuh tempo T .
2. Langkah 2: pembangkitan lintasan aset.
Untuk setiap simulasi, gunakan Geometric Brownian Motion (GBM) untuk menghasilkan lintasan harga aset dari waktu sekarang sampai waktu jatuh tempo,
S ( t ) = S 0 exp (( r − σ 2 2 ) t + σ √ T Z ) (1)
dengan Z merupakan bilangan random yang berdistribusi normal standar N (0,1).
3. Langkah 3: evaluasi barrier dan payoff.
• Periksa setiap lintasan harga untuk menentukan apa- kah harga aset mencapai atau melampaui barrier B se- belum waktu jatuh tempo. Jika barrier tercapai, opsi menjadi tidak aktif dan payoff sama dengan nol.
• Jika barrier tidak tercapai, hitung payoff opsi di akhir lintasan, untuk opsi beli ( call ):
payoff_call = max { S ( T ) − K, 0 } (2)
dan untuk opsi jual ( put ):
payoff_put = max { K − S ( T ) , 0 } (3)
4. Langkah 4: estimasi harga opsi.
• Rata-rata nilai payoff yang ditentukan menggunakan Persamaan (2) atau (3) dari semua simulasi yang tidak mencapai barrier untuk mendapatkan estimasi harga opsi.
• Diskontokan nilai ini ke nilai saat ini menggunakan e − rT .

## 2.2. Algoritma Metode Monte Carlo Antithetic Variate
1. Langkah 1: inisialisasi dan pembangkitan lintasan aset. Sama seperti metode standar, tetapi untuk setiap lintas- an yang dihasilkan, buat juga lintasan kedua menggunakan − Z untuk menciptakan lintasan yang berkorelasi negatif, se- hingga Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut:
S ( t ) = S 0 exp (( r − σ 2 2 ) t − σ √ t Z ) (4)
2. Langkah 2: evaluasi barrier dan perhitungan payoff.
• Untuk kedua lintasan yang dihasilkan menggunakan Persamaan (1) dan (2) , periksa apakah barrier B terca- pai. Jika ya, payoff adalah nol.
• Jika tidak, rata-rata payoff dari kedua lintasan untuk setiap simulasi.
3. Langkah 3: estimasi harga opsi.
Rata-rata hasil dari semua simulasi yang disesuaikan untuk mendapatkan estimasi yang lebih stabil dan akurat.

## 2.3. Algoritma Metode Monte Carlo Control Variate
1. Langkah 1: pemilihan dan perhitungan variabel kontrol. Pilih variabel kontrol dengan solusi analitis yang diketahui, seperti opsi barrier dengan menggunakan formula Black- Scholes [3, 5] , dan hitung nilai teoretisnya menggunakan for- mula Black-Scholes. Formula Black-Scholes untuk opsi beli tipe Eropa sebagai berikut
C = S 0 N ( d 1 ) − Ke − rT N ( d 2 ) (5)
dan formula untuk opsi jual tipe Eropa sebagai berikut
P = − S 0 N ( − d 1 ) + Ke − rT N ( − d 2 ) (6)
dengan
d 1 = log ( S 0 K ) + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ √ T , (7)
d 2 = log ( S 0 K ) + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ √ T . (8)
2. Langkah 2: simulasi dan evaluasi barrier.
(a) Lakukan simulasi lintasan harga seperti pada metode standar. Periksa apakah barrier tercapai dalam simulasi. (b) Jika barrier tidak tercapai, hitung payoff opsi yang dini- lai dan variabel kontrol.
3. Langkah 3: adjustment payoff. Jika barrier tidak tercapai, sesuaikan payoff opsi yang dinilai dengan mengurangi perbedaan antara payoff simulasi dan nilai teoretis dari variabel kontrol.
4. Langkah 4: estimasi harga opsi.
Rata-rata hasil yang telah disesuaikan untuk mendapatkan estimasi yang lebih akurat.

## 2.4. Pendekatan Analitik dalam Penentuan Harga Opsi Barrier
Dalam penelitian ini, selain menggunakan simulasi Monte Carlo dalam berbagai variannya, juga dilakukan perbandingan ha- sil dengan pendekatan analitik yang sudah mapan dalam penen- tuan harga opsi. Salah satu pendekatan analitik yang paling fun- damental dan luas digunakan adalah formula Black-Scholes. For- mula ini, dikembangkan oleh Black dan Scholes [18] , telah mere- volusi bidang keuangan dengan menyediakan model matematis
yang dapat digunakan untuk mengestimasi harga pasar dari opsi tipe Eropa, yang hanya dapat dilaksanakan pada waktu jatuh tem- po. Formula opsi ini, persamaan (5) dan (6) , digunakan sebagai variabel kontrol dalam metode Monte Carlo control variates .
Selain formula asli Black-Scholes, penelitian ini juga mem- pertimbangkan pengembangan oleh Wilmot [3] , yang telah mengadaptasi model ini untuk menangani kompleksitas terten- tu dari opsi eksotik seperti opsi barrier . Formula Black-Scholes yang dimodifikasi oleh Wilmot memperkenalkan penyesuaian un- tuk faktor-faktor seperti volatilitas stokastik dan perilaku pasar yang lebih dinamis, yang lebih akurat mencerminkan kondisi pa- sar saat ini. Berikut formula opsi barrier untuk keempat jenis yang menjadi fokus dalam penelitian ini.
Opsi beli barrier up and out adalah opsi beli yang tidak berla- ku atau dinonaktifkan ketika harga aset naik dan mencapai ting- kat barrier yang telah ditentukan. Formula Black-Scholes untuk menentukan harga opsi beli barrier up and out :
C = S 0 ( N ( d 1 ) − N ( d
3 ) − b ( N ( d 6 ) − N ( d 8 ))) − Ke − rT ( N ( d 2 ) − N ( d 4 ) − a ( N ( d 5 ) − N ( d 7 ))
dengan N ( d ) merupakan fungsi distribusi normal komulatif, d 1 ditentukan dengan persamaan (7) dan d 2 ditentukan dengan per- samaan (8) dan beberapa variabel yang lain ditentukan dengan persamaan berikut:
a = ( B S 0 ) − 1+ 2 r σ 2 b = ( B S 0 ) 1+ 2 r σ 2 d 3 = log ( S 0 B ) + ( r + 1 2 σ 2 ) T σ √ T d 4 = log ( S 0 B ) + ( r − 1 2 σ 2 ) T σ √ T d 5 = log ( S 0 B ) − ( r − 1 2 σ 2 ) T σ √ T d 6 = log ( S 0 B ) − ( r + 1 2 σ 2 ) T σ √ T d 7 = log ( S 0 K B 2 ) − ( r − 1 2 σ 2 ) T σ √ T d 8 = log ( S 0 K B 2 ) − ( r + 1 2 σ 2 ) T σ √ T .
Opsi beli barrier down and out merupakan opsi beli yang ti- dak berlaku atau dinonaktifkan ketika harga aset turun dan me- nyentuh tingkat barrier yang ditentukan. Formula Black-Scholes untuk menentukan harga opsi beli barrier down and out :
Jika K > B ,
C = S 0 ( N ( d 1 ) − b (1 − N ( d 8 ))) − Ke − rT ( N ( d 2 ) − a (1 − N ( d 7 ))) .
Jika K < B ,
C = S 0 ( N ( d 3 ) − b (1 − N ( d 6 ))) − Ke − rT ( N ( d 4 ) − a (1 − N ( d 5 ))) .
Opsi jual barrier up and out merupakan opsi jual yang tidak berlaku atau dinonaktifkan ketika harga aset naik dan menyen- tuh tingkat barrier yang ditentukan. Formula Black-Scholes untuk menentukan harga opsi jual barrier up and out : Jika K > B ,
P = − S 0 (1 − N ( d 3 ) − bN ( d 6 )) + Ke − rT (1 − N ( d 4 ) − aN ( d 5 )) .
Jika K < B ,
P = − S 0 (1 − N ( d 1 ) − bN ( d 8 )) + Ke − rT (1 − N ( d 2 ) − aN ( d 7 )) .
Opsi jual barrier down and out merupakan opsi yang tidak berlaku atau dinonaktifkan ketika harga aset turun dan menyen- tuh barrier yang ditentukan. Formula Black-Scholes untuk menen- tukan harga opsi jual barrier down and out :
P = − S 0 ( N ( d 3 ) − N ( d 1 ) − b ( N ( d 8 ) − N ( d 6 ))) + Ke − rT ( N ( d 4 ) − N ( d 2 ) − a ( N ( d 7 ) − N ( d 5 ))) .
Pada metode Monte Carlo, pemantauan harga saham apa- kah sudah menyentuh nilai barrier secara diskrit sering kali ber- tentangan dengan asumsi model Black-Scholes yang beropera- si berdasarkan pendekatan kontinu. Ketidaksesuaian ini dapat mengarah pada kesalahan signifikan dalam penentuan harga opsi barrier . Oleh karena itu, perlu adanya koreksi yang diusulkan Bro- adie, dkk. [19] , yang memungkinkan penyesuaian pada posisi barrier untuk mengakomodasi realitas pemantauan diskrit dalam metode Monte Carlo. Koreksi ini penting untuk mendekatkan hasil simulasi Monte Carlo, yang biasanya menggunakan pende- katan diskrit, ke nilai teoretis yang dihasilkan oleh model Black- Scholes, sehingga memastikan bahwa estimasi harga opsi lebih akurat dan dapat diandalkan dalam pengambilan keputusan in- vestasi dan manajemen risiko.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dalam artikel ini, diselidiki dan dibandingkan metode pe- nentuan harga untuk empat jenis opsi barrier knock-out yaitu opsi beli barrier up and out , opsi beli barrier down and out , opsi jual bar- rier up and out , dan opsi jual barrier down and out . Masing-masing opsi ini memiliki karakteristik unik yang mempengaruhi perilaku dan evaluasi harganya di bawah kondisi pasar yang berbeda. Di- gunakan tiga metode simulasi Monte Carlo: standar, antithetic va- riate , dan control variate , dan hasilnya dibandingkan dengan pen- dekatan analitik yang disempurnakan oleh Wilmot [3] , yang telah mengadaptasi formula Black-Scholes untuk lebih akurat mencer- minkan dinamika pasar saat ini.

## 3.1. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Up and Out
Dalam analisis ini, dieksplorasi opsi beli barrier up and out , salah satu jenis opsi barrier knock-out yang menawarkan wawasan unik tentang dinamika pasar keuangan. Opsi ini memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli aset pada harga yang telah disepakati, namun opsi akan menjadi tidak valid atau ” knocked out ” jika harga aset mencapai atau melewati batas harga barrier yang ditentukan sebelum opsi tersebut jatuh tempo. Karakte- ristik ini membuat opsi barrier up and out menarik untuk diteliti, terutama dalam konteks volatilitas pasar yang tinggi.
Tabel 1. Perbandingan Harga Opsi Beli Barrier Up and Out
Ukuran Sampel MC Standar MC Antithetic Variate MC Control Variate Analitik 100 939,142 947,263 1063,292 1054,057 1000 1081,800 1090,553 1052,156 1054,057 10000 1027,510 1046,733 1050,863 1054,057 100000 1052,650 1058,656 1052,706 1054,057 1000000 1057,872 1053,286 1054,364 1054,057
Untuk memahami dan menilai kinerja dari opsi beli barrier up and out , dilakukan simulasi harga menggunakan metode Mon- te Carlo standar, Monte Carlo antithetic variate , dan Monte Carlo control variate . Simulasi ini dilaksanakan dengan parameter spe- sifik: harga aset saat ini ( S ) sebesar 7450, harga pelaksanaan ( K ) 8000, harga barrier ( B ) 25000, waktu kedaluwarsa ( T ) satu tahun, tingkat bunga bebas risiko ( r ) 0,08 atau 8%, dan volatilitas ( σ ) 0,35 atau 35%. Parameter ini dipilih untuk mencerminkan skenario pa- sar dengan fluktuasi signifikan, memberikan kesempatan untuk menguji bagaimana berbagai metode simulasi Monte Carlo mena- ngani kondisi ekstrem dan volatilitas tinggi dalam penilaian opsi.
Dari data yang disajikan dalam Tabel 1 , kita dapat meng- analisis bagaimana metode Monte Carlo dalam berbagai varian- nya digunakan untuk mengevaluasi harga opsi beli barrier up and out , dibandingkan dengan nilai analitik. Dalam simulasi ini, me- tode Monte Carlo standar memperlihatkan variasi yang signifikan pada ukuran sampel yang lebih kecil, namun ketidakstabilan ha- sil berkurang seiring peningkatan ukuran sampel, menunjukkan konvergensi ke nilai analitik pada sampel sebanyak 1000000. Hal ini menegaskan bahwa metode Monte Carlo Standar membutuh- kan banyak sampel untuk menghasilkan estimasi yang stabil dan akurat. Sementara itu, metode Monte Carlo antithetic variate me- nunjukkan peningkatan dalam stabilitas hasil yang lebih konsis- ten mendekati nilai analitik bahkan pada sampel yang lebih kecil, menunjukkan keefektifannya dalam mengurangi varians estima- tor, terutama dalam kondisi pasar yang volatil. Terakhir, Monte Carlo control variate secara konsisten menghasilkan estimasi yang paling mendekati nilai analitik pada semua ukuran sampel, mem- buktikan efektivitasnya dalam mengoreksi bias dan memberikan hasil yang lebih stabil dan akurat, bahkan pada sampel yang lebih kecil. Keseluruhan hasil ini menunjukkan pentingnya pemilihan metode simulasi yang tepat dalam evaluasi opsi keuangan, teru- tama dalam menghadapi kondisi pasar yang tidak stabil.
Berdasarkan Gambar 1 semakin menegaskan bahwa terda- pat efektivitas tiga metode simulasi Monte Carlo Standar, antithe- tic variate , dan control variate dalam menilai harga opsi barrier up and out di pasar yang volatil. Grafik menunjukkan bahwa metode Monte Carlo standar memerlukan sampel besar untuk stabilitas, sementara antithetic variate mengurangi varians estimator dengan efisien, terutama pada sampel yang lebih besar. Control variate se- cara konsisten memberikan hasil yang paling dekat dengan nilai analitik, menunjukkan efektivitasnya dalam mengurangi kesalah- an estimasi.

## 3.2. Penentuan Harga Opsi Beli Barrier Down and Out
Dalam analisis kedua ini, diteliti opsi beli barrier down and out , yang merupakan tipe opsi barrier knock-out dimana opsi men- jadi tidak valid atau ” knocked out ” apabila harga aset yang men- dasarinya turun di bawah harga barrier yang ditentukan sebelum
Gambar 1. Perbandingan Metode Monte Carlo Pada Opsi Be- li Barrier Up and Out
opsi jatuh tempo. Simulasi ini dilakukan dengan parameter ber- ikut: harga aset saat ini sebesar 5500, harga pelaksanaan 6500, harga barrier 4500, waktu jatuh tempo satu tahun, tingkat bunga bebas risiko 8%, dan volatilitas 0,35. Parameter ini mencermin- kan skenario di mana aset berpotensi turun di bawah nilai barrier , memicu karakteristik knock-out dari opsi. Untuk menilai bagaima- na metode Monte Carlo standar, antithetic variate , dan control va- riate dapat efektif dalam mengestimasi harga opsi dalam kondisi volatil.
Gambar 2. Perbandingan Metode Monte Carlo Pada Opsi Be- li Barrier Down and Out
Tabel 2. Perbandingan Harga Opsi Beli Barrier Down and Out
Ukuran Sampel MC Standar MC Antithetic Variate MC Control Variate Analitik 100 453,807 451,688 527,945 525,667 1000 535,395 540,178 540,943 525,667 10000 507,036 520,155 524,764 525,667 100000 524,916 528,151 525,361 525,667 1000000 529,066 525,097 525,751 525,667 Tabel 3. Perbandingan Harga Opsi Jual Barrier Up and Out Ukuran Sampel MC Standar MC Antithetic Variate MC Control Variate Analitik 100 919,181 719,869 718,167 843,970 1000 868,694 833,438 803,721 843,970 10000 861,573 843,760 841,775 843,970 100000 842,832 842,843 841,906 843,970 1000000 844,855 845,222 842,680 843,970
Dari hasil Tabel 2 dan Gambar 2 yang diperoleh, kita dapat melihat kinerja metode simulasi Monte Carlo standar, antithetic variate , dan control variate dalam menilai harga opsi beli barrier down and out . Tabel 2 menunjukkan bahwa, pada sampel yang lebih kecil, hasil dari metode standar dan antithetic variate masih berfluktuasi jauh dari nilai analitik. Sebaliknya, metode control va- riate secara konsisten memberikan estimasi yang lebih dekat de- ngan nilai analitik bahkan pada ukuran sampel yang kecil, dengan stabilisasi yang lebih baik saat ukuran sampel meningkat. Hal ini terlihat dari Gambar 2 , dimana plot dari control variate mengikuti garis nilai analitik lebih dekat dibandingkan dengan dua metode lainnya. Keseluruhan, Gambar 2 dan Tabel 2 menunjukkan bah- wa meskipun ketiga metode tersebut konvergen ke nilai analitik dengan peningkatan ukuran sampel, control variate menunjukkan performa superior dalam stabilitas dan akurasi, membuatnya sa- ngat efektif untuk penggunaan di pasar volatil di mana estimasi yang tepat sangat penting.

## 3.3. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Up and Out
Dalam analisis kasus ketiga ini, diteliti opsi jual barrier up and out dengan menggunakan parameter tertentu. Opsi ini men- jadi tidak valid atau ” knocked out ” jika harga aset naik di atas ba- tas barrier tertentu sebelum jatuh tempo. Parameter yang digu- nakan adalah harga aset saat ini S = 4400 , harga pelaksanaan K = 5600 , harga barrier B = 5300 , waktu jatuh tempo T = 1 tahun, tingkat bunga bebas risiko r = 0 , 08 dan volatilitas tinggi σ = 0 , 5 . Simulasi ini bertujuan untuk mengevaluasi bagaima- na fluktuasi harga yang signifikan mempengaruhi penilaian opsi dalam kondisi pasar yang sangat volatil dan tidak terduga.
Dari analisis Tabel 3 dan Gambar 3 yang disajikan, kita da- pat melihat bagaimana metode Monte Carlo standar, antithetic variate , dan control variate berperforma dalam menilai harga opsi jual barrier up and out . Metode control variate dan antithetic variate menunjukkan hasil yang lebih konsisten dan mendekati nilai ana- litik dibandingkan dengan Monte Carlo standar, khususnya pada sampel yang lebih besar. Menariknya, dari Gambar 3 terlihat bah- wa meskipun control variate secara umum memberikan hasil yang akurat, antithetic variate pada beberapa kasus memiliki interval kepercayaan yang lebih kecil dan sering kali menunjukkan hasil yang lebih dekat atau serupa dengan nilai analitik. Hal ini me- nunjukkan bahwa antithetic variate mungkin lebih efektif dalam
Gambar 3. Perbandingan Metode Monte Carlo Pada Opsi Ju- al Barrier Up and Out
beberapa situasi, terutama dalam mengurangi varians estimator pada kondisi pasar yang sangat volatil. Konsistensi dan keaku- ratan dari kedua metode tersebut memberikan pilihan yang lebih andal daripada Monte Carlo standar dalam estimasi harga untuk opsi keuangan yang kompleks.

## 3.4. Penentuan Harga Opsi Jual Barrier Down and Out
Dalam kasus keempat simulasi ini, dianalisis opsi jual barri- er down and out , sebuah jenis opsi yang menjadi tidak valid atau ” knocked out ” jika harga aset yang mendasarinya jatuh di bawah batas harga barrier yang ditentukan sebelum opsi tersebut jatuh tempo. Parameter yang digunakan dalam simulasi ini mencakup harga aset saat ini S = 9000 , harga pelaksanaan K = 10000 , har- ga barrier B = 5000 , waktu jatuh tempo T = 1 tahun, tingkat bunga bebas risiko r = 0 , 08 , dan volatilitas σ = 0 , 35 . Simula- si ini bertujuan untuk menguji bagaimana metode yang berbeda menanggapi kondisi ekstrem ini, memberikan wawasan berharga tentang perilaku dan risiko yang terkait dengan jenis opsi barrier ini.
Dari Tabel 4 dan Gambar 4 , dapat dilihat hasil simulasi har- ga opsi jual barrier down and out dengan menggunakan tiga meto-
Tabel 4. Perbandingan Harga Opsi Jual Barrier Down and Out
Ukuran Sampel MC Standar MC Antithetic Variate MC Control Variate Analitik 100 959,370 1010,396 1140,352 1026,899 1000 985,681 1033,368 990,370 1026,899 10000 1010,036 1031,168 1016,303 1026,899 100000 1027,653 1024,630 1027,318 1026,899 1000000 1027,658 1025,564 1026,859 1026,899
Gambar 4. Perbandingan Metode Monte Carlo Pada Opsi Ju- al Barrier Down and Out
de Monte Carlo dibandingkan dengan nilai analitik. Hasil yang di- sajikan menunjukkan bahwa metode Monte Carlo standar meng- hasilkan estimasi yang cenderung lebih berfluktuasi terhadap ni- lai analitik dibandingkan dengan metode Monte Carlo lainnya. Sementara itu, Monte Carlo antithetic variate menampilkan hasil yang lebih dekat ke nilai analitik, menunjukkan peningkatan da- lam akurasi dan konsistensi. Metode ini secara konsisten meng- hasilkan estimasi yang paling mendekati nilai analitik di semua ukuran sampel, termasuk ukuran sampel kecil, menunjukkan bah- wa metode ini lebih unggul dalam mengurangi varians dan mem- berikan estimasi yang lebih stabil dan akurat. Sebaliknya, meto- de Monte Carlo control variate , meskipun lebih baik dibandingkan metode standar, tidak sebaik antithetic variate dalam hal konsis- tensi dan akurasi. Gambar 4 yang disertakan mendukung penga- matan ini, dengan Monte Carlo antithetic variate menampilkan in- terval kepercayaan yang lebih ketat dan lebih sering berada pada atau dekat dengan garis nilai analitik dibandingkan metode lain- nya.

## 4. Kesimpulan
Penelitian ini menunjukkan bahwa metode Monte Carlo an- tithetic variate dan control variate memberikan akurasi yang lebih tinggi dalam penentuan harga opsi barrier knock-out dibanding- kan metode Monte Carlo standar. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode control variate lebih efektif untuk opsi beli barrier up and out serta down and out , sedangkan metode antithetic variate lebih unggul dalam penentuan harga opsi jual barrier up and out serta down and out . Temuan ini didukung oleh data yang menun- jukkan konvergensi lebih cepat dan varians estimasi yang lebih
rendah dibandingkan metode standar. Implikasi dari penelitian ini adalah pentingnya pemilihan metode yang tepat dalam penen- tuan harga opsi untuk meningkatkan akurasi dan efisiensi, yang dapat membantu para praktisi keuangan dalam strategi investa- si dan manajemen risiko. Penelitian ini juga berkontribusi pada pengembangan teori dan metode penentuan harga opsi dengan memperkenalkan penggunaan teknik simulasi yang lebih efisien dan akurat.
Kontribusi Penulis. Chatarina Enny Murwaningtyas : konseptualisasi, analisis formal, metodologi, penulisan draf, penulisan pengulas dan pe- ngedit. William Saputra Haryono : kurasi data, penyelidikan, perangkat lunak, validasi, visualisasi. Maria Andriani Uge : kurasi data, penyeli- dikan, validasi, visualisasi, penulisan draf. Tedi Kristofel : kurasi data, penyelidikan, validasi, visualisasi, penulisan draf. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi manuskrip yang diterbitkan.
Ucapan Terima Kasih. Para penulis menyampaikan terima kasih kepada editor dan reviewer atas pembacaan yang cermat, kritik yang mendalam, dan rekomendasi yang praktis untuk meningkatkan kualitas tulisan ini.
Pembiayaan. Penelitian ini tidak menerima pembiayaan eksternal
Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik kepen- tingan yang terkait dengan artikel ini.

## Referensi
[1] D. H. Vo, S. Van Huynh, A. T. Vo, and D. T. T. Ha, “The Importance of the Financial Derivatives Markets to Economic Development in the World’s Four Major Economies,” Journal of Risk and Financial Management , vol. 12, no. 1, Mar. 2019, doi: https://doi.org/10.3390/jrfm12010035 .
[2] P. Wilmott, S. Howison, and J. Dewynne, The Mathematics of Financial Deriva- tives . 1995. doi: https://doi.org/10.1017/cbo9780511812545 .
[3] P. Wilmott, Introduces Quantitative Finance . in The Wiley Finance Series. Wiley, 2013.
[4] H. Brown, D. Hobson, and L. C. G. Rogers, “Robust Hedging Of Barrier Op- tions,” 2001. doi: https://doi.org/10.1111/1467-9965.00116 .
[5] J. C. Hull and S. Basu, Options, futures, and other derivatives . India: Pearson Education, 2012.
[6] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering . in Stochastic Mo- delling and Applied Probability. New York: Springer, 2013.
[7] D. J. Higham, An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics, Sto- chastics and Computation , no. v. 13. in An introduction to financial option valuation: mathematics, stochastics and computation. Cambridge Universi- ty Press, 2004.
[8] C. F. Ivascu, “Option pricing using Machine Learning,” Expert Syst Appl , vol. 163, Jan. 2021, doi: https://doi.org/10.1016/j.eswa.2020.113799 .
[9] W. Li, “Application of Machine Learning in Option Pricing: A Review,” in 2022 7th International Conference on Social Sciences and Economic De- velopment (ICSSED 2022) , Atlantis Press, 2022, pp. 209–214. doi: ht- tps://doi.org/10.2991/aebmr.k.220405.035 .
[10] L. Lin, M. Wang, H. Cheng, R. Liu, and F. Chen, “OptionNet: A multisca- le residual deep learning model with confidence interval to predict op- tion price,” Journal of Finance and Data Science , vol. 9, Nov. 2023, doi: ht- tps://doi.org/10.1016/j.jfds.2023.100105 .
[11] A. Brini and J. Lenz, “Pricing cryptocurrency options with machine learning
regression for handling market volatility,” Econ Model , vol. 136, Jul. 2024, doi: https://doi.org/10.1016/j.econmod.2024.106752 .
[12] Y. Li and K. Yan, “Prediction of Barrier Option Price Based on Antithetic Mon- te Carlo and Machine Learning Methods,” Cloud Computing and Data Science , pp. 77–86, Jan. 2023, doi: https://doi.org/10.37256/ccds.4120232110 .
[13] N. P. Kurniawati, Y. Yundari, and S. W. Rizki, “Analisis Harga Opsi Beli Tipe Eropa dengan Metode Antithetic Variate dari Monte Car- lo,” Jurnal EurekaMatika , vol. 10, no. 1, pp. 53–60, 2022, doi: ht- tps://doi.org/10.17509/jem.v10i1.47673 .
[14] F. Zubedi, N. Achmad, S. L. Mahmud, and R. Mowuu, “Penentuan Harga Beli Opsi Asia Menggunakan Monte Carlo-Antithetic Variate dan Monte Carlo- Control,” Euler: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi , vol. 10, no. 1, pp. 7–14, 2022, doi: https://doi.org/10.37905/euler.v10i1.12055 .
[15] N. Wati, K. Dharmawan, and K. Sari, “Perbandingan kekonvergenan metode Conditional Monte Carlo dan antithetic variate dalam menentukan harga opsi call tipe Barrier,” E-Jurnal Matematika , vol. 7, no. 3, pp. 271–277, 2018,
doi: https://doi.org/10.24843/MTK.2018.v07.i03.p214 .
[16] L. Putri, K. Dharmawan, and I. W. Sumarjaya, “Penentuan Harga Jual Opsi Barrier Tipe Eropa Dengan Metode Antithetic Variate Pada Simulasi Mon- te Carlo,” E-Jurnal Matematika , vol. 7, no. 2, pp. 71–78, 2018, doi: ht- tps://doi.org/10.24843/MTK.2018.v07.i02.p187 .
[17] R. B. Silalahi, D. C. Lesmana, and R. Budiarti, “Determining The Va- lue of Double Barrier Option Using Standard Monte Carlo, Antithe- tic Variate, and Control Variate Methods,” Barekeng: Jurnal Ilmu Ma- tematika dan Terapan , vol. 17, no. 2, pp. 1017–1026, 2023, doi: https://doi.org/10.30598/barekengvol17iss2pp1017-1026 .
[18] F. Black and M. Scholes, “The pricing of options and corporate liabilities,” J Polit Econ , pp. 637–654, 1973.
[19] M. Broadie, P. Glasserman, and S. Kou, “A Continuity Correction for Di- screte Barrier Options,” Math Financ , vol. 7, no. 4, pp. 325–349, 1997, doi: https://doi.org/10.1111/1467-9965.00035 .