Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.7, No.2, Juli 2021, pp. 133~138
DOI:10.31605/saintifik.v7i2.334
ISSN 2622-8904 (online)

## Analisi Data Tersensor Berpasangan dengan Estimasi Kaplan Meier dan Nelson Aalen
Hikmah* 1 , Darma Ekawati 2 1,2 Universitas Sulawesi Barat e-mail: * 1 hikmah@unsulbar.ac.id , 2 darmaekawati@unsulbar.ac.id

## Abstrak
Dalam  bidang  matematika,  terdapat  cabang  statistika  yang  telah  mengalami  perkembangan  yang sangat  pesat,  salah  satunya  adalah  analisis  kelangsungan  hidup  (survival).  Masalah  yang  sering  ditemui dalam analisis survival adalah adanya pengamatan yang tidak lengkap karena terdapat unit penelitian yang sampai  akhir  pengamatan  tidak  diketahui  apakah  mengalami  kejadian  atau  tidak.  Tujuan  penelitian  ini untuk  membandingkan  analisis  data  tersensor  berpasangan  dengan  menggunakan  estimasi  Kaplan-Meier dan  Nelson-Aalen.  Kedua  estimasi  tersebut  banyak  digunakan  dalam  statistik  nonparametrik.  Dari  hasil yang  diperoleh,  kedua  estimasi  tersebut  menyatakan  bahwa  tidak  ada  perbedaan  yang  signifikan  antara waktu sembuh pasangan suami istri penderita hipertensi.
Kata Kunci : Data Berpasangan, Kaplan-Meier, Nelson-Aalen

## 1. PENDAHULUAN
Dalam bidang matematika terdapat cabang statistika yang telah mengalami perkembangan yang sangat pesat dengan ditemukannya berbagai alat analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis suatu kejadian/ event . Salah  satunya  adalah  analisis  kelangsungan  hidup,  yaitu  prosedur  statistik  yang  digunakan  untuk menganalisis  data  yang  berhubungan  dengan  waktu  kelangsungan  hidup  yaitu  dari  waktu  awal  yang  sudah ditentukan sampai waktu terjadinya suatu kejadian/ event . Waktu kelangsungan hidup didefinisikan sebagai variabel  random  tak  negatif,  sehingga  analisis  kelangsungan  hidup  dapat  didefinisikan  sebagai  prosedur statistik  pada  variabel  random  taknegatif  yang  berfungsi  untuk  mengetahui  ketahanan  hidup  objek  yang diteliti. Analisis survival merujuk pada sekumpulan metode statistik untuk menganalisis data antar kejadian, yaitu  data  lama  waktu  sampai  terjadinya  suatu event .  Istilah  survival  sendiri  muncul  karena  pada  mulanya, metode analisis ini digunakan untuk menyelidiki event kematian (Singh dan Mukhopadhyay, 2011).
Sesuai  dengan  pengertian  di  atas,  terdapat  banyak  metode  dalam  analisis  data  survival.  Pada dasarnya, semua metode tersebut digunakan untuk menganalisis dua hal yang menjadi ciri khas dari analisis data survival, yaitu:
a. Fungsi  survival,  yaitu  probabilitas  suatu  individu  tidak  mendapatkan event ( survive )  lebih  lama  dari suatu waktu.
b. Fungsi hazard, yaitu tingkat ( rate ) terjadinya suatu event pada suatu waktu.
Masalah  yang  sering  ditemui  dalam  analisis  data  survival  adalah  adanya  pengamatan  yang  tidak lengkap  karena  terdapat  unit  penelitian  yang  sampai  akhir  pengamatan  tidak  diketahui  apakah  mengalami event atau tidak. Kasus tersebut sering disebut dengan observasi tersensor. Salah satu bidang kehidupan yang sering  menggunakan  analisis  survival  adalah  uji  klinis.  Dalam  uji  klinis,  informasi  tentang  titik  waktu tertentu  sangat  penting  untuk  diketahui  agar  para  petugas  kesehatan  lebih  mudah  dalam  mengambil keputusan  tentang  efektivitas  perawatan.  Kali  ini  penulis  akan  mengestimasi  fungsi  survival  dengan menggunakan estimator Kaplan-Meier dan Nelson Aalen.
Su  (2011),  meneliti  kurva  survival  pada  titik  tertentu  data  tersensor  kanan  berpasangan, menggunakan studi kasus kanker payudarah. Dalam artikel tersebut, dijelaskan bahwa analisis kurva survival tidak  dilakukan  untuk  semua  waktu,  melainkan  akan  dipilih  titik  waktu  tertentu  saja  dengan  tujuan  fokus
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
terhadap jenis pengobatan yang dianggap berhasil. Penelitian kedua mengenai aplikasi metode Kaplan Meier untuk menduga selang waktu ketahanan hidup oleh Bintang (2017). Studi kasus yang digunakan juga pasien kanker payudarah pada salah satu rumah sakit di Yogyakarta.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penulis  tertarik  melakukan  perbandingan  analisis  data  tersensor  dengan menggunakan  estimasi  Kaplan-Meier  dan  Nelson  Aalen  data  berpasangan,  dengan  studi  kasus  pasangan suami  istri  penderita  hipertensi.  Sebuah  pertimbangan  tambahan  ketika  membandingkan  tingkat  ketahanan hidup  adalah  hal  yang  memungkinan  mempengaruhi  waktu  bertahan  hidup.  Hal  demikian  dapat  timbul dikarenakan  desain  eksperimental.  Untuk  mengurangi  perbedaan  antara  sampel,  sampel  yang  cocok  adalah sampel  yang  sama  atau  kembar  dan  secara  acak  diberikan  perlakuan  yang  berbeda  untuk  mengevaluasi efeknya.  Data  seperti  ini  disebut  data  tersensor  kanan  “berpasangan”,  di  mana  waktu  bertahan  hidup independen dalam kelompok tetapi dependen antara kelompok (Huster et al.  1989; Dallas dan Rao, 2000).
Menurut Bie et al. (1987) serta Borgan dan Liest l (1990) untuk membandingkan perbedaan antara dua  fungsi  survival  dengan  data  independen  yang  tersensor  kanan,  satu  pendekatan  yang  dapat  dilakukan adalah  dengan  menentukan  interval  konfidensi pada  fungsi  survival.  Pendekatan  alternatif  untuk membandingkan perbedaan antara dua kelompok adalah menguji apakah perlakuan dua kelompok memiliki fungsi survival yang sama atau tidak. Pada data tersensor kanan berpasangan, Murray (2001) menggunakan tes weighted Kaplan-Meier untuk membandingkan perbedaan antara dua fungsi survival.

## 2. METODE PENELITIAN
Data  penelitian  yang  digunakan  adalah  data  waktu  survive  pasien  hipertensi  pasangan  suami  istri (dalam satuan hari) pada salah satu puskesmas di Kab. Sinjai, Sulawesi Selatan, Januari 2013 sampai Maret 2015 (Hikmah, 2015). Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu mempelajari buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan model Kaplan-Meier, Nelson Aalen, dan modifikasinya, terutama  dalam  hal  penerapannya  dalam  analisis  data  survival.  Selanjutnya  dari  model  Kaplan-Meier  dan Nelson  Aalen  tersebut  diperoleh  formula  untuk  mengestimasi  fungsi  survival.  Setelah  diperoleh  formula untuk  mengestimasi  fungsi  survival,  dilakukan  simulasi  atau  studi  kasus  untuk  membandingkan  kurva survival dua data real pada titik waktu tertentu.

## 2.1 Metode Analisis Data

## 2.1.1 Kaplan-Meier
Pada  data  tersensor  berpasangan  didefinisikan dan masing-masing    sebagai    waktu survival    dan    tersensor    pada    subjek    ke k dan  kelompok  ke i ,  untuk i =  1,  2  dan k =  1,  2,  …,  n dengan  n  adalah  banyaknya pasangan.  Catatan  bahwa independen  t erhadap ,  tetapi  antara dan ,  serta dan masing-masing  dependen.  Secara  umum  fungsi  survival  pada  waktu dinotasikan  dengan .  Ketika  menginputkan  data  survival,  dalam  hal  ini  data  tersensor  kanan berpasangan,  maka  terbentuk =  min
dan ,  dengan adalah  fungsi indikator  kejadian yang  bernilai  1  jika event terjadi  dan  0  jika  tidak.  Diberikan adalah  waktu  survive untuk data gabungan dua kelompok, adalah banyaknya kejadian, dan banyaknya unit penelitian yang belum mengalami kejadian dan masih berisiko pada waktu . Berikut persamaan estimator Kaplan-Meier:
̂ ∏ ( ) (1)
dengan variansi,
Var ̂ ̂ ∑ (2)

## 2.1.2 Nelson Aalen
Fungsi variabel random yang cukup penting adalah fungsi hazard, yang didefinisikan sebagai
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## |
(3)
yang dapat diinterpretasikan sebagai tingkat ( rate ) terjadinya event . Estimator yang dapat digunakan  untuk mengestimasi fungsi hazard adalah Nelson-Aalen, yang didefinisikan sebagai berikut :
̂      { ∑ (4)
dengan variansi,
Var ( ̂   )   ∑ (5) Dengan
: fungsi hazard
̂ : fungsi hazard kumulatif
Estimasi  Nelson-Aalen  dapat  digunakan  untuk  mengestimasi dengan  menggunakan  hubungan dengan , yaitu
, Danardono (2012).
Hasil  estimasi  Kaplan-Meier  dan  Nelson  Aalen  akan  ditampilkan  dalam  bentuk  kurva,  selanjutnya  akan dilakukan uji log rank untuk mendukung kebenaran dari kesimpulan.

## 2.4 Hipotesis
Uji dua fungsi survival data berpasangan mempunyai spesifikasi hipotesis sebagai berikut:
,  melawan untuk  waktu  tetap ,  dengan
dan masing-
masing merupakan probabilitas survival pada kelompok pertama dan kedua.

## 2.5 Uji Statistik
Pada penelitian ini, uji statistik yang digunakan adalah
( ̂ )  ( ̂ ) √ ( ( ̂ )  ( ̂ ))
(6)
dengan adalah  fungsi  terdiferensial  bernilai  real.  Karena  digunakan  pendekatan  normal  nilai  estimasi ̂ ditransformasikan  menjadi  (1) ( ̂ )    ̂ ;  (2) ( ̂ )       ( ̂ ) ;  (3) ( ̂ ) (      ( ̂ )) ; (4) ( ̂ )       ( ( ̂ ) ( ̂ ) ) ; dan (5) ( ̂ )          ( ̂ ) .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data hipertensi yang dianalisis terdiri dari 37 pasang suami istri. Status pasien dibedakan menjadi 2, yaitu  sembuh  dan  tidak  sembuh  atau  digolongkan  tersensor  kanan.  Adanya  data  yang  tersensor  kanan disebabkan  karena  pasien  tersebut  tidak  melanjutkan  atau  tidak  melakukan  kontrol/  pemeriksanaan.  Dari data tersebut, terdapat 8 data suami dan 11 data istri yang tersensor kanan. Informasi yang digunakan adalah identitas  pasien,  usia,  jenis  kelamin,  tanggal  periksa,  tanggal  kontrol,  dan  keterangan  sembuh  atau  tidak. Adapun beberapa hal yang perlu diperhatikan kaitannya dengan data tersebut, yaitu:
a. Kejadian yang menjadi perhatian, sembuh dari hipertensi
b. Origin , saat pertama kali memeriksakan diri
c. Unit/ satuan waktu, hari.
Langkah awal, melakukan  estimasi fungsi  survival Kaplan-Meier untuk  seluruh observasi. Tujuan dari  pengamatan  terhadap  pasien  hipertensi  pasangan  suami  istri  ini  adalah  untuk  mengetahui  apakah  ada perbedaan  lama  sembuh  antara  suami  dan  istri  dari  penyakit  hipertensi  tersebut.  Selanjutnya,  dilakukan
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
estimasi  fungsi  survival  dengan  menggunakan  estimasi  kaplen-Meier  pasangan  suami  istri.  Berikut hasilnya:
Gambar 1. Kurva ̂ Data Hipertensi Berpasangan
Berdasarkan gambar di atas tampak bahwa plot fungsi survival pasangan suami dan istri berbentuk fungsi  tangga.  Tangga  akan  turun  ketika  terjadi event saja.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  semakin  hari, peluang pasien masih hipertensi semakin kecil, dengan kata lain pasien  akan sembuh. Garis pendek tegak pada grafik menunjukkan observasi yang tersensor kanan. Selain itu, pada gambar juga nampak  ada garis yang  berimpit,  ada  pula  yang  tidak.  Artinya,  tidak  ada  perbedaan  yang  signifikan  waktu  sembuh  antara suami  istri  penderita  hipertensi.  Selanjutnya,  estimasi  kumulatif  hazard  pasangan  suami  istri  dengan estimasi Nelson-Aalen:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Berdasarkan  gambar di  atas tampak bahwa plot fungsi  hazard kumulatif pasangan suami  dan istri berbentuk fungsi tangga. Tangga akan naik ketika terjadi event saja. Hal ini menunjukkan bahwa semakin bertambahnya hari maka resiko untuk sembuh  dari hipertensi semakin meningkat. Selain itu, pada gambar juga  nampak    ada  garis  yang  berimpit,  ada  pula  yang  tidak.  Berdasarkan  kurva  tersebut,  tidak  ada perbedaan  yang  signifikan rate terjadinya event (sembuh) antara  pasien  hipertensi  suami  dan  istri.  Oleh karena itu, untuk mengetahui keadaan yang sebenarnya, dilakukan uji log rank agar diperoleh kesimpulan yang benar. Dengan menggunakan bantuan R, diperoleh:
Tabel 1. Output uji log rank N Observed Expected Istri = 0 37 26 27,7 0,110 0,228 Suami = 1 37 29 27,3 0,112 0,228 Chisq = 0,2; dk = 1, p = 0,633
Berdasarkan  output  di  atas  diperoleh  p-value  =  0,633  >
,  maka
diterima,  artinya  kelompok pasien  suami  dan  istri  memiliki  peluang  yang  sama  dalam  hal  sembuh  dari  hipertensi.  Berikut  ringkasan hasil  uji  statistik  yang  diperoleh  dengan  menggunakan  program  R.  Selanjutnya  dilakukan  transformasi data, dan berikut ringkasan hasilnya.
Tabel 2. Nilai uji statistik transformasi data berpasangan Waktu (t) Transformasi Nilai uji statistik (1) (2) (3) 8 ̂ -0,3934045 ̂ -0,3925781 ̂ 0,3914341 ̂ -0,3916809 ̂ -0,3939 31 ̂ 0,4233699 ̂ 0,422266 ̂ -0,4225333 ̂ 0,422634 ̂ 0,4230233 53 ̂ 0,9223138 ̂ 0,9086804 ̂ -0,9153931 ̂ 0.9118655 ̂ 0,9190651
Dari  table  di  atas,  nampak  bahwa  nilai  uji  statistik  berada  pada  daerah  penerimaan  H 0 .  Dengan  demikian dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan lama sembuh pasien hipertensi antara kelompok suami dan istri dan berlaku untuk semua  hasil transformasi. Hal ini  sesuai dengan  uji statistik dengan menggunakan uji log rank.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  estimasi  Kaplan-Meier  dan  Nelson-Aalen,  tidak  ada  perbedaan  waktu  sembuh hipertensi data berpasangan antara  suami dan istri.  Setelah dilakukan transformasi yang dilanjutkan dengan uji  statistik  untuk  3  (tiga)  titik  waktu,  diperoleh  bahwa  tidak  ada  perbedaan  waktu  sembuh  hipertensi  data berpasangan antara suami dan istri. Hasil tersebut juga sama pada saat dilakukan uji log rank.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## DAFTAR PUSTAKA
Bie dkk, 1987,  Confidence  Intervals  and  Confidence  Bands  for The Cumulative Hazard Rate Function and Their Small Sample Properties , Scandinavian Journal of Statistics , 3, 221-233.
Bintang, 2017, Aplikasi Metode Kaplan Meier untuk Menduga Selang Waktu Ketahanan Hidup, Skripsi , Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Borgan  dkk.,  1990,  A  Note  on  Confidence  Intervals  and  Bands  for  the  Survival  Function  Based  on Transformations , Scandinavian Journal of Statistics , 1, 35-41.
Dallas,  M.J.,  Rao,  P.V.,  2000,  Testing  Equality  of  Survival  Function  Based  on  Both  Paired  and Unpaired Censored Data , Biometrics , 56, 154-159.
Danardono,  2012, Diktat  Kuliah  Analisis  Data  Survival ,  Program  Studi  Statistika  Jurusan  Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Hikmah,  2015,  Analisis  Kurva  Survival  pada  Titik  Waktu  Tertentu  untuk  Data  Tersensor  Kanan Berpasangan dengan Estimasi Kaplan Meier, Tesis, Program Pasca Sarjana Matematika,  Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Murray,  S.,  2001,  Using  Weighted  Kaplan-Meier  Statistics  in  Nonparametric  Comparison  of  Paired Censored Survival Outcomes , Biometrics , 57, 361-368.
Singh, R. and Mukhopadhyay, K., 2011, Survival Analysis in Clinical Trials: Basics and Must Know Areas , College of Medicine and JNM Hospital, Kalyani, West Bengal, India.
Su,  dkk,  2010,  Analyzing  Survival  Curves  at  A  Fixed  Point  in  Time  for  Paired  and  Clustered  Right- Censored Data , Computational Statistics and Data Analysis , 55, 1617-1628