JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 4, Tahun 2020, Halaman 391 - 401 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
PERAMALAN HARGA SAHAM DENGAN METODE LOGISTIC SMOOTH TRANSITION AUTOREGRESSIVE (LSTAR) (Studi Kasus pada Harga Saham  Mingguan PT. Bank Mandiri Tbk Periode 03 Januari  2011 sampai 24 Desember 2018)
Maria Odelia 1 , Di Asih I Maruddani 2 , Hasbi Yasin 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro mariaodelia@student.undip.ac.id

## ABSTRACT
Series such as financial and economic data do not always form a linear model, so a nonlinear model is needed. One of the popular nonlinear models is the Smooth Transition Autoregressive (STAR). STAR has two possible suitable transition function such as logistic and exponential that need to be test to find the appropriate transition function. The purpose of writing this thesis is to determine the LSTAR model, then use the model to predict the stock price of PT Bank Mandiri. This study uses the data of the weekly stock price of PT Bank Mandiri from the period of January 3, 2011 to December 24, 2018  as insample data and the period of January 1, 2019 to December 30,  2019  as outsample data. The research procedure begins with modeling the data with the Autoregressive (AR) process, testing the linearity of the data, modeling with LSTAR, forecasting, and finally evaluating the results of forecasting. Evaluating the results of the forecasting of the weekly share price of PT Bank Mandiri with the STAR model results in the best nonlinear model LSTAR (1,1). This model produces an highly accurate forecasting result with a value of symmetric Mean Square Error (sMAPE) to be 5.12%.
Keywords :  Nonlinear, Time Series, STAR, LSTAR.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  kini  mulai  diminati  oleh  masyarakat  Indonesia. Hal  itu,  dapat  dilihat  dari jumlah  investor  yang  tumbuh  sebesar 53,04%  yang terdiri  dari investor  saham, reksa dana, dan  surat  berharga  negara  (SBN)  dengan  investor  lokal  mencapai  98,97%  dan  1,03% merupakan investor asing. Dari banyaknya kegiatan investasi di pasar modal,  saham menjadi salah satu bentuk  investasi  yang banyak  dipilih  oleh  investor.  Saham  merupakan  sertifikat bukti  kepemilikan  sebuah  perusahaan    (Zubir,  2011).  Hal  tersebut  dapat  terlihat  dari peningkatan  jumlah  investor  saham  dari  852.240 Single  Investor  Identification (SID) menjadi  1,10  juta (SID).
Harga saham akan mengalami  pergerakan naik  dan  turun  setiap harinya.  Oleh  sebab itu,  saham sering kali  dianggap  salah satu investasi  yang beresiko. Pergerakan harga saham yang  tidak  stabil  menggambarkan  kondisi  pasar  pada  suatu  saat  dan  menjadi  indikator penting  bagi  para investor  untuk  menentukan  apakah mereka akan menjual,  menahan atau membeli  satu  atau  beberapa  saham  sehingga  dalam  hal  ini  dibutuhkan  metode  untuk meramalkan  harga saham tersebut. Harga saham berbentuk  data runtun  waktu ( time series ), sehingga untuk meramalkan  harga saham dapat menggunakan  metode runtun waktu. Metode runtun  waktu  yang  sering  digunakan  dalam  analisis  runtun  waktu  adalah  metode  Box- Jenkins.  Model  yang  dihasilkan  pada  metode  Box-Jenkins  merupakan  model  linier, semantara  fakta  membuktikan  bahwa  ketergantungan  runtun  waktu  terhadap  informasi historis  tidak  selalu  linear  (Santoso,  2017).  Jika  asumsi  linieritas  tidak  dipenuhi  maka metode  Box-Jenkins  kurang  sesuai,  sehingga  diperlukan  model  baru  yang  nonlinier  untuk analisis  data tersebut.
Salah  satu metode  nonlinier,  yaitu Smooth Transition Autoregressive (STAR) yang diperkenalkan  oleh  Granger dan Terasvirta pada tahun 1993 yang merupakan perluasan dari
model autoregressive untuk  data waktu  nonlinier.  Terasvirta  (1994)  membagi  tipe  model STAR  berdasarkan  fungsi  transisinya,  yaitu Logistic  Smooth  Transition Autoregressive (LSTAR)  apabila  fungsi  transisinya  logistik  dan Eksponential  Smooth  Transition Autoregressive (ESTAR)  apabila  fungsi  transisinya  eksponensial.  Metode  yang  akan digunakan  oleh  penulis  dalam  penelitian  ini  adalah LSTAR.  Hal tersebut dikarenakan  data return Bank Mandiri  yang digunakan  dalam  penelitian  sesuai dengan fungsi  logistik  setelah diuji.
Tujuan  yang ingin  dicapai  dalam  penulisan  ini,  yaitu:  menguji  apakah fungsi  transisi LSTAR  sesuai  untuk  meramalkan return harga saham  Bank  Mandiri,  menentukan  model LSTAR untuk  memodelkan return saham Bank Mandiri  dan meramalkan  data harga saham Bank Mandiri  untuk  bulan  Januari  sampai Desember 2019.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Return
Campbell,  et.al  (1997)  memberikan  dua  alasan  utama  megapa return lebih  sering digunakan  dalam analisis,  yaitu pertama return merupakan ringkasan  peluang investasi  yang lengkap  dan  ringkas  dan  alasan  yang  kedua  deret return lebih  mudah  untuk  ditangani daripada deret harga karena memiliki  sifat statistik  yang lebih  menarik  seperti stasioneritas. Menurut Tsay (2010), return dirumuskan  sebagai berikut:
𝑋 𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 ) (1)
dengan  P t merupakan harga saham pada waktu ke-t dan P t-1 merupakan  harga saham pada waktu ke-t-1.

## 2.2. Analisis Runtun Waktu
Runtun  waktu  merupakan  serangkaian  pengamatan  suatu  variabel  yang  diambil  dan dicatat dari waktu ke waktu secara berurutan menurut urutan kejadian  dengan interval  waktu yang tetap (Wei, 2006).

## 2.3. Stasioneritas
Data runtun  waktu memiliki  syarat bahwa data harus dalam  keadaan stasioner,  yaitu tidak  adanya  perubahan  kecendrungan  dalam  rata-rata  (mean)  dan  perubahan  varian. Stasioner  data dalam  varian  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  transformasi  Box-Cox plot.  Jika nilai rounded value (lambda) bernilai  satu maka data stasioner dalam varian  tetapi jika  nilai rounded value kurang  dari  satu  maka  perlu  dilakukan  proses  transformasi. Stasioneritas  dalam mean dengan  menggunakan  uji  akar unit,  yaitu  uji Augmented Dickey Fuller (ADF), seperti berikut: Hipotesis: H 0 : ϕ = 1 ; (terdapat akar unit atau data tidak stasioner) H 1 : ϕ < 1 ; (tidak terdapat akar unit  atau data stasioner) Taraf Sigifikansi:  α Statistik  Uji:
𝐴𝐷𝐹 = 𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜 = ϕ ̂−1 𝑠𝑒(ϕ ̂) (2)
𝑠𝑒(ϕ ̂) = √ 1−ϕ ̂ 2 𝑇 (3)
Φ ̂ merupakan estimator dari Φ , 𝑠𝑒(Φ ̂) merupakan standar residual dari Φ , dan T merupakan ukuran sampel.
Kriteria Penolakan: H 0 ditolak  jika  t ratio > t (n, α) atau p-value < α.

## 2.4. Indetifikasi Model AR(p)
Pada tahap  identifikasi  model  akan digunakan function auto.arima pada package forecast dalam  bahasa pemrograman  R. Penggunaan  fungsi auto.arima dilakukan  untuk mempermudah  proses  pemodelan  ARIMA.  Fungsi  ini  secara  otomatis  memilih  model ARIMA  menggunakan  variasi  algoritma  Hyndman-Khandakar  (Hyndman  &  Khandakar, 2008),  yang menggabungkan unit root test , minimalisasi  AIC, dan MLE untuk mendapatkan model  ARIMA. Menurut Van Dijk  (1999),  AIC dirumuskan  sebagai berikut:
𝐴𝐼𝐶 = 𝑇 ln𝜎̂ 𝑎 2 + 2𝑘
(4)
dengan 𝜎̂ 𝑎 2 = ∑ 𝑎̂ 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 ,  T merupakan  ukuran  sampel, 𝑎̂ 𝑡 2 merupakan  residual  dari  estimasi model,  dan k = p+1; k merupakan  banyaknya  parameter model

## 2.5. Estimasi dan Pengujian Parameter AR(p)
Menurut Wei (2006),  bentuk umum  model Autoregressive tingkat p (AR(p)), yaitu:
𝑋 𝑡 = 𝜙 1 𝑋 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑋 𝑡−2 +. . . +𝜙 𝑝 𝑋 𝑡−𝑝 + 𝑎 𝑡 (5)
Dengan  estimasi  parameter  AR  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  kuadrat terkecil  atau Least Square Method , yaitu  dengan  meminimumkan  jumlah  kuadrat  residual berikut:
∑ 𝑎 𝑡 2 𝑇 𝑡=2 = 𝑆𝑆𝐸 = ∑ (𝑋 𝑡 − 𝜙 1 𝑋 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑋 𝑡−2 +. . . +𝜙 𝑝 𝑋 𝑡−𝑝 ) 2 𝑇 𝑡=2 (6)
Dengan pengujian  hipotesis  sebagai berikut:
H 0 : 𝜙 𝑗 = 0 (parameter tidak signifikan)
H 1 : 𝜙 𝑗 ≠ 0 (parameter signifikan);  untuk  j=1,2,...,p Taraf Signifikansi:  α Statistik  Uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡 = 𝜙 𝑗 ̂ 𝑠𝑒(𝜙 𝑗 ̂) ; 𝑠𝑒(ϕ ̂) = √ 1−𝜙 𝑗 ̂ 2 𝑇 (7)
𝑠𝑒(ϕ ̂) = √ 1−𝜙 𝑗 ̂ 2 𝑇 (8)
Kriteria Penolakan:
H 0 ditolak  jika  nilai  statistika |t hitung | >  nilai  t-tabel 𝑡 𝛼 2 (𝑛−𝑝−1) atau nilai p-value < α.

## 2.6. Model Smooth Transition Autoregressive (STAR)
Menurut Van Dijk  (1999),  model  STAR (p,d)  dimodelkan  sebagai berikut:
𝑋 𝑡 = 𝜙 1,0 + 𝜙 1 ,1 𝑋 𝑡−1 + ⋯ +  𝜙 1,𝑝 𝑋 𝑡−𝑝 (1− 𝐺(𝑠 𝑡 ; 𝛾, 𝑐)) +  𝜙 2,0 + 𝜙 2,1 𝑋 𝑡−1 +. . . + 𝜙 2,𝑝 𝑋 𝑡−𝑝 𝐺(𝑠 𝑡 ; 𝛾, 𝑐) + 𝜀 𝑡 (9)
atau 𝑋 𝑡 = 𝝓 𝟏 ′ 𝒁 𝒕 (1 − 𝐺(𝑠 𝑡 ; 𝛾, 𝑐)) + 𝝓 𝟐 ′ 𝒁 𝒕 𝐺(𝑠 𝑡 ; 𝛾, 𝑐) + 𝜀 𝑡 (10)
dengan
𝒁 𝒕 = [1, 𝑿 ̃ 𝒕 ′ ] ′ dengan 𝑿 ̃ 𝒕 =   [𝑋 𝑡−1 , … , 𝑋 𝑡−𝑝 ]′ : log return pada saat periode ke-t 𝜙 1 = [𝜙 1,0 , 𝜙 1,1 , 𝜙 1,2 , … , 𝜙 1,𝑝 ]′ dan 𝜙 2 = [𝜙 2,0 , 𝜙 2,1 , 𝜙 2,2 , … , 𝜙 2,𝑝 ]′
Keterangan 𝑠 𝑡 = 𝑋 𝑡−𝑑 : variabel  transisi  mengikuti  besar orde p pada model  AR (p) dengan 1 ≤ 𝑑 ≤ 𝑝 𝐺(𝑠 𝑡 ; 𝛾, 𝑐) : fungsi  transisi  bernilai  [0,1] c
: nilai threshold atau parameter lokasi
𝛾 : slope atau parameter pemulusan ( smoothing)
𝜀 𝑡 : nilai  residual  model  STAR
Menurut  Van Dijk  (1999),  model  STAR terbagi  menjadi  dua tipe  berdasarkan fungsi transisinya,  yaitu  fungsi  transisi  eksponensial  yang  disebut Exponential Smooth Transition Autoregressive (ESTAR)  dan  fungsi  transisi  logistik  yang  disebut Logistic  Smooth Transition Autoregressive (LSTAR).

## 2.7. Pengujian Linieritas
Pengujian  linieritas  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  kelompok  uji Lagrange Multiplier (LM), yaitu LM 3 . Statistik  LM 3 dapat diperoleh  dengan cara:
1. Menghitung  residual (𝑎̂ 𝑡 ) dan jumlah  kuadrat residual  pada model  AR 𝑆𝑆𝑅 0 = ∑ 𝑎̂ 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 (11)
2. Menduga  regresi  bantuan  ( auxiliary  regression ) 𝑎̂ 𝑡 2 terhadap (1, 𝑿 ̃ 𝑡 ) dan 𝑿 ̃ 𝒕 𝑠 𝑡 𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3, …
𝑎̂ 𝑡 = 𝛽 0,0 + 𝜷 𝟎 ′ 𝑿 ̃ 𝒕 + 𝜷 𝟏 ′ 𝑿 ̃ 𝒕 𝑠 𝑡 + 𝜷 𝟐 ′ 𝑿 ̃ 𝒕 𝑠 𝑡 2 + 𝜷 𝟑 ′ 𝑿 ̃ 𝒕 𝑠 𝑡 3 + 𝑒 𝑡 (12)
Kemudian  menghitung  jumlah  residual  kuadrat dari regresi bantuan
𝑆𝑆𝑅 1 = ∑ 𝑒̂ 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 (13)
3. Dengan pengujian  sebagai berikut: Hipotesis 𝐻 0 : 𝜙 1,𝑖 = 𝜙 2,𝑖 (model  linier) 𝐻 1 : 𝜙 1,𝑖 ≠ 𝜙 2,𝑖 ; dengan minimal  satu i ∈ {1,2, … , 𝑝} (model  nonlinier) Taraf Signifikansi:  α Statistik  Uji: 𝐿𝑀 3 = 𝑇 (𝑆𝑆𝐸 0 −𝑆𝑆𝐸 1 ) 𝑆𝑆𝐸 0 (14)
Keterangan:
SSE 0 merupakan  jumlah  kuadrat  residual  model  AR(p)  dan  SSE 1 merupakan  jumlah kuadrat residual  model  regresi bantu.
Kriteria Penolakan:
H 0 ditolak  jika  nilai  statistika 𝐿𝑀 3 > 𝜒 3(𝑝+1)
2

## 2.8. Fungsi Transisi

## 2.8.1 Fungsi Transisi Logistik Pada Model LSTAR
Menuru Terasvirta (1994),  fungsi  transisi  logistik  adalah sebagai berikut:
𝐺(𝑠 𝑡 ;𝛾, 𝑐) = 1 1+exp(−𝛾(𝑠 𝑡 −𝑐)) , 𝛾 > 0 (15)
Dari persamaan di  atas dapat diperoleh  model  LSTAR berikut:
𝑋 𝑡 = 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕 (1− ( 1 1+exp(−𝛾(𝑠 𝑡 −𝑐)) ) + 𝝓 𝟐 𝒁 𝒕 ( 1 1+exp(−𝛾(𝑠 𝑡 −𝑐)) ) + 𝜀 𝑡 (16)

## 2.8.2 Fungsi Transisi Eksponensial Pada Model ESTAR
Menuru Terasvirta (1994),  fungsi  transisi  eksponensial  adalah sebagai berikut: 𝐺(𝑠 𝑡 ;𝛾, 𝑐) = 1 − exp(−𝛾(𝑠 𝑡 − 𝑐) 2 ) , 𝛾 > 0 (17)
Dari persamaan di  atas dapat diperoleh  model  ESTAR berikut:
𝑋 𝑡 = 𝝓 𝟏 𝒁 𝒕 (1− (1 − exp(−𝛾(𝑠 𝑡 − 𝑐) 2 ) + 𝝓 𝟐 𝒁 𝒕 (1 − exp(−𝛾(𝑠 𝑡 − 𝑐) 2 ) + 𝜀 𝑡 (18)

## 2.8.3 Pengujian Fungsi Transisi
Pemilihan  fungsi  transisi 𝐺(𝑠 𝑡 ;𝛾, 𝑐) dilakukan  dengan  menguji  urutan  hipotesis  dari regresi bantu  sebagai berikut:
Untuk H 0 :
(i) 𝐻 0,1 : β 3 = 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,… , 𝑝}
(ii) 𝐻 0,2 : β 2 = 0 | β 3 = 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,…, 𝑝}
(iii) 𝐻 0,3 : β 1 = 0 | β 3 = β 2 = 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,… , 𝑝}
Untuk H 1 : (i) 𝐻 1,1 : β 3 ≠ 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,… , 𝑝}
(ii) 𝐻 1,2 : β 2 ≠ 0 | β 3 = 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,… , 𝑝}
(iii) 𝐻 1,3 : β 1 ≠ 0 | β 3 = β 2 = 0 ; untuk j ∈ {0,1,2,…, 𝑝}
Dengan ketentuan:
(i) Jika β 3 ≠ 0 , maka model  adalah LSTAR
(ii) Jika β 3 = 0 , tetapi β 2 ≠ 0 , maka model  adalah ESTAR (iii) Jika β 3 = 0 dan β 2 = 0 ,  tetapi β 1 ≠ 0 ,  maka  model  adalah  LSTAR  dan  jika β 1 = 0 maka model  adalah ESTAR.
Statistik  Uji:
𝑡 = β i,j ̂ 𝑠𝑒 (β i,j ̂ ) (19)
𝑠𝑒 (β i,j ̂ ) = √𝜎 2 𝐺 𝑛𝑛 ; 𝑛 = 𝑖 × 𝑝 + 𝑗 + 1 (20)
𝜎 2 = 𝑆𝑆𝐸 𝑇−𝑘−1 (21)
Keterangan: 𝛽 i,j ̂ merupakan  penduga  bagi 𝛽 i,j ; untuk  i ∈ {0,1,2,3} ; untuk j ∈ { 0,1,2, … , 𝑝 } , 𝑠𝑒 (𝛽 i,j ̂ ) merupakan  standar residual  dari  koefisien  regresi 𝛽 i,j ̂ , 𝜎 2 merupakan  varian  dari residual  model  regresi  bantu, 𝑆𝑆𝐸 = ∑ 𝑒̂ 𝑡 2 𝑇 𝑡=1 merupakan  jumlah  kuadrat  residual  regresi bantu, 𝐺 𝑛𝑛 merupakan  elemen dari  diagonal  utama matriks (𝐱 ′ 𝐱) −𝟏 , dan p merupakan  orde dari model  AR(p).
Kriteria Penolakan: H 0 ditolak  jika  nilai  statistika |𝑡ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔| > 𝑡 𝛼 2 ,𝑑𝑏𝑔 atau nilai p-value < 𝛼 .

## 2.9. Estimasi Parameter Model LSTAR
Dijk  (1999) menggunakan  metode Nonlinear Least Square (NLS) untuk mengestimasi parameter. Estimasi parameter pada metode NLS ditentukan  dengan meminimumkan  jumlah kuadrat residu yang didefinisikan  sebagai:
𝜃̂ = arg min 𝒬 𝑇 (𝜃) = arg 𝑚𝑖𝑛 ∑ (𝑋 𝑡 − 𝐹(𝑍 𝑡 , 𝜃)) 2 𝑇 𝑡=1 (22)
dengan
𝐹(𝑍 𝑡 , 𝜃) = 𝝓 𝟏 ′ 𝒁 𝒕 ( 1 − 𝐺 ( 𝑠 𝑡 ;𝛾, 𝑐 )) + 𝝓 𝟐 ′ 𝒁 𝒕 𝐺 ( 𝑠 𝑡 ;𝛾, 𝑐 ) (23)
Proses pencarian  nilai  parameter  pada  metode  NLS  ini  dilakukan  dengan  menggunakan metode numerik  yaitu metode  Gauss–Newton untuk  melakukan  estimasi  secara iterasi.

## 2.10. Asumsi White-Noise Residual
2.10.1. Asumsi Autokorelasi Residual
Menurut  Wei  (2006),  uji  autokorelasi  dapat  dilakukan  menggunakan  uji  hipotesis Ljung  Box-Pierce, sebagai berikut:
H 0 : 𝜌 1 =  𝜌 2 =. . . =   𝜌 𝑚 = 0 (tidak ada korelasi  antar lag) H 1 : paling  sedikit  ada satu 𝜌 𝑘 ≠ 0 dengan k=1,2,3,...,m  (terdapat korelasi  antar lag) Taraf Signifikansi:  α Statistik  Uji:
𝒬 𝑘 = 𝑇(𝑇 + 2) ∑ 𝜌 ̂ 𝑘 2 𝑇−𝑘 𝑚 𝑘−1 (24)
Keterangan: 𝜌̂ 𝑘 merupakan ACF residual  pada lag ke k, dan m merupakan  maksimum  lag. Kriteria Penolakan:
H 0 ditolak  jika  nilai  statistika 𝑄 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝜒 (𝛼,𝑑𝑓)
2 atau p-value < α
2.10.2. Asumsi Heteroskedastisitas Residual
Uji Lagrange Multiplier (LM)  merupakan  suatu  uji  terhadap  keberadaan  unsur heteroskedastisitas  untuk  mendeteksi  adanya  efek  ARCH/GARCH.  Hipotesis  pengujian yang digunakan  adalah sebagai berikut:
H 0 : 𝛼 1 = 𝛼 2 =. . . = 𝛼 𝑚 = 0 (tidak  ada efek ARCH/GARCH dalam  residual  sampai lag ke-m)
H 1 : minimal  ada satu nilai 𝛼 𝑖 ≠ 0, i=1,2,...,m  (ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke-m)
Taraf Signifikansi:  α Statistik  Uji: 𝐿𝑀 = 𝑇𝑅 2 − 𝜒 𝑚 2 (25)
𝑅 2 = 𝑆𝑆𝑅 𝑆𝑆𝑇 = ∑ (𝑎 𝑡 2 ̂−𝑎 𝑡 2 ̅̅̅̅) 2 𝑚 𝑡=1 ∑ (𝑎 𝑡 2 −𝑎 𝑡 2 ̅̅̅̅) 2 𝑚 𝑡=1 (26)
Kriteria Penolakan:
H 0 ditolak  jika  nilai  statistika 𝐿𝑀 > 𝜒 (𝑚 2 ) atau p-value < α

## 2.10.3. Asumsi Normalitas Residual
Pengujian  yang  digunakan  untuk  mengetahui  apakah  residual  berdistribusi  normal adalah  dengan  menggunakan  Uji  Kolmogorov-Smirnov.  Hipotesis  pengujian  yang digunakan  adalah sebagai berikut:
H 0 : Residual  berdistribusi  normal H 1 : Residual  tidak  berdistribusi  normal Taraf Signifikansi:  α Statistik  Uji: 𝐷 = 𝑠𝑢𝑝|𝑆(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)| (27)
Kriteria Penolakan:
H 0 ditolak  jika  nilai  statistika 𝐷 > 𝑊 (1−𝛼),𝑛 atau p-value < α

## 2.11. Peramalan  dan Evaluasi Hasil Peramalan
Evaluasi  hasil  peramalan  bertujuan  untuk  mengevaluasi  kualitas  dari  hasil  peramalan model  runtun  waktu.  Ukuran  yang  akan  digunakan  untuk  evaluasi  peramalan  dalam penelitian  ini  adalah symmetric Mean Absolute Percentage Error (sMAPE). Menurut Chen, et.al (2017),  sMAPE dirumuskan  sebagai berikut:
𝑠𝑀𝐴𝑃𝐸 = 2 𝑛 (∑ |𝑃̂ 𝑡 −𝑃 𝑡 | |𝑃 𝑡 |+|𝑃̂ 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 ) × 100% (28)
Dengan kriteria  pengujian  :
Tabel 1. Kriteria Peramalan sMAPE Nilai sMAPE Ketepatan  Peramalan <10% Sangat Baik 10% - 20% Baik 20% - 50% Cukup Baik >50% Buruk

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Data yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data sekunder  mengenai  data  harga saham  mingguan  PT  Bank  Mandiri  (Persero)  Tbk,  yang  diambil  dari  alamat  web http://finance.yahoo.com  periode  03  Januari  2011  sampai  24  Desember 2018  sebagai data insample dan periode 01 Januari 2019  sampai 30 Desember 2019 sebagai data outsample .

## 3.2. Metode Analisis
Software  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  Ms.  Excel  2016  dan  Rstudio dengan tahapan analisis  sebagai berikut:
1. Menghitung  nilai return dari harga saham PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk
2. Melakukan  uji  stasioneritas  data r eturn
3. Mengidentifikasi  model  runtun  waktu stasioner
4. Melakukan  estimasi  parameter AR (p)
5. Pemilihan  model  terbaik AR (p)
6. Orde model  AR yang terbentuk akan digunakan  sebagai variabel  transisi pada pengujian linieritas  dan model  STAR
7. Melakukan  uji  linieritas  model  AR(p) dengan menggunakan  regresi bantu
8. Menguji  apakah fungsi  transisi  LSTAR(p) cocok untuk  digunakan  dalam  memodelkan return saham PT Bank Mandiri (Persero) Tbk dengan regresi bantu
9. Mengestimasi  model  LSTAR(p)
10. Memodelkan  LSTAR(p)
11. Melakukan  uji  asumsi White-Noise residual model  LSTAR(p)
12. Meramalkan  nilai return saham PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk menggunakan  model LSTAR(p) untuk  bulan  Januari sampai Desember 2019
13. Merubah nilai  ramalan return menjadi  harga saham untuk  mendapatkan  ramalan harga saham PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk untuk bulan  Januari  sampai Desember 2019
14. Mencari indikasi  presentase kesalahan hasil  peramalan dengan menggunakan  sMAPE

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Deskripsi Data
Pergerakkan  harga  saham  PT.  Bank  Mandiri  dapat  terlihat  dari  Gambar  1  yang menampilkan  plot  dari  harga saham PT. Bank Mandiri.
Gambar 1. Grafik  Harga Saham PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk Dari Gambar 1 dapat terlihat  bahwa harga saham PT Bank Mandiri  periode 03 Januari 2011  sampai  24  Desember 2018   tidak  stasioner  dan  mengalami trend naik.  Harga saham terkecil,  yaitu  2753  dan harga saham tertinggi,  yaitu  8550 dengan rata-ratanya, yaitu  5045.

## 4.2. Return
Pergerakkan keuntungan  dan kerugian dari saham PT. Bank Mandiri  dapat terlihat dari Gambar 2 yang menampilkan  plot  dari return saham PT. Bank Mandiri.
Gambar 2. Grafik Return Harga Saham PT Bank Mandiri (Persero) Tbk
Dari  Gambar  2  terlihat  bahwa  nilai return sudah  stasioner,  secara formal  indikasi bahwa data sudah stasioner dapat diuji  dengan uji  Augmented Dickey Fuller (ADF).

## 4.3. Stasioneritas
Uji  stasioneritas  dalam varian  menggunakan  Transformasi  Box-Cox  berikut  :
Gambar 3. Plot Box-Cox Return Saham PT. Bank Mandiri
Berdasarkan gambar  3  diperoleh  nilai rounded value sebesar 1,  artinya  data return saham sudah stasioner  dalam  varian. Uji  stasioner  dalam mean akan diuji  menggunakan  uji  ADF. Berdasarkan uji  ADF diperoleh  nilai  statistik  uji  dengan  menggunakan  α sebesar 5% yaitu, nilai  tratio  = - 6,9166  dengan p-value =0,01. Dari  hasil  tersebut dapat  disimpulkan  bahwa nilai p-value uji  ADF lebih  kecil  dari  α yang artinya  menolak  H 0 yaitu  tidak  terdapat akar unit  atau data stasioner.

## 4.4. Identifikasi Model, Estimasi dan Pengujian Parameter Model AR
Identifikasi  model  dilakukan  dengan  menggunakan  menggunakan function auto.arima yang  menghasilkan  model  terbaik  dengan  AIC  terkecil,  yaitu  AR  (1).  Selanjutnya  akan dilakukan  dilakukan  estimasi  terhadap  parameter  model  AR(1)  dengan  menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS).

## Tabel 2. Estimasi  Parameter Model AR(1)
Model AIC Koefisien t-hitung Probabilitas Uji Signifikan AR(1) -1438,39 -0,169315 3,45510 0,0005425 Signifikan
Dari  hasil  diatas  maka  didapat  variabel  transisi  yang  akan  digunakan  pada  model  STAR diperoleh  berdasarkan orde  model  AR (1),  sehingga  variabel  transisi  dalam  model  STAR adalah 𝑠 𝑡 = 𝑋 𝑡−1 .

## 4.5. Uji Linieritas
Asumsi  linieritas  diuji  menggunakan Lagrange Multiplier (LM).  Pada perhitungan LM 3 diperlukan  model  regresi bantu. Model  regresi bantu diestimasi  menggunakan  metode Ordinary Least Square (OLS). Berikut  estimasi model  regresi bantu dengan variabel  transisi 𝑠 𝑡 = 𝑋 𝑡−1 :
Tabel 3. Estimasi  Model  Regresi Bantu dengan Variabel  Transisi 𝑠 𝑡 = 𝑋 𝑡−1 Parameter Koefisien t_hitung Pr(>|t|) Intercept 0,004456 1,839 0,06662 𝛽 0,1 0,040565 0,605 0,54567 𝛽 1,1 -2,065241 -2,030 0,04298 𝛽 2,1 -8,911166 -1,733 0,08385
𝛽 3,1 101,193471 3,046 0,00247 Sum Square Residual 0,6857568
Berdasarkan uji  LM 3 dengan menggunakan  α sebesar 5% diperoleh  nilai  statistik  uji  untuk LM 3 , yaitu  13,25196  dengan nilai p-value = 0,03821511  dan nilai  tabel Chi-Square = 12,597,  dari hasil  tersebut dapat disimpulkan  bahwa nilai  statistik  LM 3 lebih  besar dari nilai  tabel Chi-Square yang artinya  tolak H 0 sehingga  model  nonlinier.

## 4.6. Pengujian  Fungsi Transisi
Setelah diketahui  bahwa model yang terbentuk adalah nonlinier  maka selanjutnya  akan dilakukan  pengujian  fungsi  transisi.  Pengujian  fungsi  transisi  dilakukan  dengan  menguji signifikansi  terhadap 𝛽 . Berdasarkan  Tabel  2  probabilitas 𝛽 3,1 = 0,00246  lebih  kecil  dari pada  nilai  α =  0,05  yang  berarti  terima  H 0 sehingga  fungsi  transisi  yang  akan  digunakan adalah fungsi  transisi  logistik.

## 4.7. Model LSTAR
Hasil  estimasi  model  LSTAR  (1,1)  dengan  menggunakan  metode Nonlinier Least Square (NLS) yang didekati dengan iterasi  Gauss Newton adalah sebagai berikut:
Tabel 4. Hasil Estimasi  Model  LSTAR (1,1) Parameter Koefisien t_hitung Probabilitas 𝜙 1,1 -1,781118 -32,6599 <2e-16 𝜙 2,1 3,275201 0,0036 0,9971 𝛾 0,999998 0,0208 0,9834 𝑐 0,046558 0,0582 0,9536
Sehingga  model  LSTAR (1,1)  yang terbentuk  adalah:
𝑋 𝑡 = −1,781118𝑋 𝑡−1 (1 − ( 1 1 + e −0,999998(𝑋 𝑡−1 −0,046558) )) +3,275201𝑋 𝑡−1 ( 1 1 + e −0,999998(𝑋 𝑡−1 −0,046558) ) + 𝜀 𝑡
4.8. Uji Asumsi White-Noise Residual LSTAR (1,1)
4.8.1 Asumsi Autokorelasi Residual LSTAR (1,1)
Pada penelitian  ini  untuk  mengetahui  ada tidaknya  autokorelasi  pada  residual  dapat diuji  menggunakan  uji  Ljung  Box-Pierce.  Berikut  hasil  uji  autokorelasi  menggunakan  uji Ljung  Box-Pierce:
Tabel 5. Uji  Autokorelasi  Residual  Model  LSTAR (1,1)
lag Q-Stats p-value 1 0,06999899 0,7913383 2 0,23158848 0,8906585 ⋮ ⋮ ⋮ 17 21,50730265 0,2044166 18 21,74616033 0,2434501
Dengan menggunakan  taraf signifikansi  α sebesar 5%, dapat dilihat  pada Tabel 4 bahwa nilai p-value hingga lag ke-18 lebih  besar dari pada nilai  α=0,05 yang artinya terima H 0 , sehingga tidak  terdapat autokorelasi  didalam  residual  model.
4.8.2 Asumsi Heteroskedastisitas Residual LSTAR (1,1)
Pada penelitian  ini  untuk  mengetahui  ada tidaknya  efek ARCH/GARCH pada residual diuji  menggunakan  uji Lagrange Multiplier . Berdasarkan uji  LM  pada  lag  ke-18  dengan menggunakan  taraf signifikansi  α sebesar 5% diperoleh  nilai  statistik  uji,  yaitu  LM=14,769 dan  nilai p-value =0,6778  lebih  dari  pada  nilai  α =  0,05  yang  artinya  data  residual  model LSTAR(1,1)  tidak terdapat efek ARCH/GARCH didalam  residual  model  LSTAR pada lag ke-18 atau residual  adalah homogen.

## 4.8.3 Asumsi Normalitas Residual LSTAR (1,1)
Uji  asumsi  selanjutnya  adalah  uji  normalitas.  Menurut  Rosadi  (2016),  uji  normalitas tidak sepenting  uji  autokorelasi  dan heteroskedastisitas  sehingga apabila  uji  normalitas  tidak dipenuhi  model  masih  layak  untuk  digunakan.  Uji  asumsi  normalitas  dilakukan  dengan menggunakan  uji  Kolmogorov-Smirnov.  Berdasarkan  uji  K-S dengan  menggunakan  taraf signifikansi  α sebesar 5% diperoleh  nilai  statistik  uji  K-S, yaitu D = 0,4506  dan nilai p-value = < 2.2e-16  kurang  dari  pada nilai  α = 0,05  yang  artinya  data residual  model  LSTAR(1,1) tidak  berdistribusi  normal.

## 4.9. Peramalan  dan Evaluasi Hasil Peramalan
Ramalan nilai return untuk satu periode ke depan,  yaitu:
𝑋̂ 412|411 = −1,781118(0,01011813)(1 − ( 1 1 + e −0,999998(0,01011813−0,046558) ) )
+ 3,275201(0,01011813) ( 1 1 + e −0,999998(0,01011813−0,046558) )
Hasil  ramalan harga saham mingguan  PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk  untuk  periode 01 Januari 2019  sampai 30 Desember 2019 adalah sebagai berikut:
Tabel 6. Ramalan Harga Saham PT Bank Mandiri  (Persero) Tbk Periode Data Asli Data Ramalan 06/01/2019 7725 7502,028 13/01/2019 7700 7556,434 ⋮ ⋮ ⋮ 22/12/2019 6975 7678,687 29/12/2019 6400 7678,687
Pada  hasil  ramalan  model  runtun  waktu  yang  diperoleh  akan  dilakukan  evaluasi peramalan  menggunakan  s ymmetric  Mean Absolute  Percentage Error (SMAPE).  Nilai SMAPE  menunjukkan  angka  yang  cukup  kecil,  yaitu  5,12  %  sehingga  dapat  dikatakan peramalan dengan model  LSTAR (1,1) sangat baik.

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan  yang didapat  dari hasil  analisis  dan pembahasan pada penelitian  ini  adalah sebagai berikut:
1.  Dari analisis  dan pembahasan  didapat  model  LSTAR (1,1)  data return harga saham PT Bank Mandiri,  yaitu:
𝑋 𝑡 = −1,781118 𝑋 𝑡−1 (1 − ( 1 1+e −0,999998(𝑋𝑡−1−0,046558) )) +3,275201𝑋 𝑡−1 ( 1 1+e −0,999998(𝑋𝑡−1−0,046558) ) + 𝜀 𝑡
2.  Berdasarkan hasil  ramalan harga saham PT Bank Mandiri  dapat dilihat  bahwa nilai  Nilai SMAPE menunjukkan  angka  yang  cukup  kecil,  yaitu  5,12  % sehingga  dapat dikatakan peramalan  dengan model  LSTAR (1,1)  sangat baik.  Dengan nilai  ramalan terbesar yaitu
pada tanggal  23 Desember 2019  sebesar 7678,  687 dan nilai  ramalan terkecil  yaitu  pada tanggal  6 Januari 2019  sebesar 7502,028.

## DAFTAR PUSTAKA
Campbell,  J.Y.  Lo,  A.W.  dan  MacKinlay,  A.C.  1997. The  Econometrics  of  Financial Markets . New Jersey: Princeton.
Chen,  C.  Twycross,  J.  dan  Garibaldi.,  J.M.  2017.  A  New  Accuracy Measure  Based  on Bounded  Relative  Error for Time  Series Forecasting. PLoS ONE 12(3). Dijk,  V.  1999. Smooth  Transition  Models: Extensions  and  Outliers  Robust  Inference . Amsterdam:  Tinberg  Institute.
Hyndman,  R. J. dan Khandakar, Y. 2008.  Automatic  Time  Series Forecasting:  The forecast Package for R. 3 th Edition . Journal of Statistical Software . Volume 27. Rosadi,  D.  2016. Analisis Runtun Waktu dan Aplikasinya dengan  R .  Yogyakarta:  Gajah Mada University  Press.
Santoso,  R. dan Sudarno,  S. 2017.  Metode Nonlinear  Least Square (NLS)  untuk  Estimasi Parameter  Model    Wavelet  Radial  Basis  Neural  Network  (WRBNN). MEDIA STATISTIKA 10(1) 2017: 49-59. DOI: 10.14710/medstat.10.1.49-59. Terasvirta,  T.  1994.  Spesification,  Estimation,  and  Evaluation  of  Smooth  Transition Autoregressive  Models. Journal of the American Statistical Association . Volume 89, 425.
Tsay,  R. S. 2010. Analysis of Financial Time Series . Edisi  Ketiga. Kanada: John  Wiley  & Sons.
Wei,  W.S. 2006. Time  Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods . 2 nd Edition . USA: Addison  Wesley.
Zubir,  Z. 2011. Manajemen Portofolio dan Penerapannya dalam Investasi Saham . Jakarta: Salemba Empat.