## KAJIAN SWAKONSISTEN TENTANG KEMUNCULAN EFEK  HALO PADA INTI BERMASSA SEDANG DENGAN MODEL SKYRME-HARTREE-FOCK

## Raden Oktova
Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta Kampus II, Jl. Pramuka 42, Yogyakarta 55161 E-mail: R.Oktova@uad.ac.id

## Intisari
Telah dilakukan  kajian  tentang  kemunculan  efek  halo  pada  inti-inti  bermassa  sedang  dengan  menggunakan metode    perhitungan  swakonsisten  (self-consistent)  dalam  ruang  koordinat  dengan  menggunakan  model Skyrme-Hartree-Fock  (SHF). Kajian  difokuskan  pada  isotop-isotop  Cr dan Sn. Pada  perhitungan  jari-jari  rms muatan inti dan jari-jari rms neutron untuk rantai isotop Cr dengan dengan nomor massa A = 50-82 dan rantai isotop  Sn pada A =  100-170, hasil  perhitungan  swakonsisten SHF  dengan  himpunan    parameter Z σ ,  dan  SkIII secara  umum  cukup  sesuai  dengan  data  eksperimental  dan  perhitungan  sebelumnya,  sedangkan  hasil  SkM* sama  sekali  berbeda  dan  menyimpang  secara  sistematik  sangat  jauh  dari  data  eksperimental  serta  semua  hasil perhitungan  lain.  Hasil  perhitungan  sebelumnya  memprediksi  efek  halo  terjadi  untuk  isotop  Cr  pada A =    80, namun  dari  ketiga  hasil  perhitungan  swakonsisten SHF  hanya  perhitungan  dengan  himpunan    parameter  SkIII menunjukkan adanya efek halo, itupun tidak terjadi pada A = 80 melainkan pada A = 82; dan sesuai dengan hasil perhitungan sebelumnya, ketiga hasil perhitungan swakonsisten SHF menunjukkan adanya lonjakan (kink) yang dimulai dari A = 74. Hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan ketiga himpunan parameter pada rantai isotop Sn tidak memprediksi adanya inti halo, sesuai dengan hasil perhitungan sebelumnya.
Kata kunci: kajian swakonsisten, efek halo, inti bermassa sedang, model Skyrme-Hartree-Fock.

## A SELF-CONSISTENT STUDY ON THE DEVELOPMENT OF HALO EFFECT IN MEDIUM-MASS NUCLEI USING THE SKYRME-HARTREE-FOCK MODEL

## Abstract
A self-consistent study on the development of halo effect in medium-mass nuclei has been performed using the Skyrme-Hartree-Fock  (SHF)  model  in  coordinate  space,  taking  Cr  and  Sn  isotope  chains  as  samples.  The nuclear charge rms radii and neutron rms radii obtained from SHF calculations using the Z σ , and SkIII parameter sets for the Cr chain with mass numbers A = 50-82 and for the Sn chain with A = 100-170 show agreement with  experimental  data  and  results  from  a  previous  study,  while the  calculated  results for  the  same  isotope chains using  the  SkM*  parameter  set  systematically  differ from  experimental  data  and  the  results  of  all  other calculations.  A previous study predicted a neutron halo effect for a Cr isotope at A =  80, however from all three parameter sets only the SkIII parameter set gives a halo effect, and not at A = 80 as previously predicted but at A = 82; moreover, in agreement with results of a previous calculation, all three self-consistent calculations using the SHF model are successful in reproducing a kink starting from A = 74. All results of SHF calculations for Sn isotopes do not show any halo effect, in agreement with the prediction of a previous  study.
Keywords: self-consistent study, halo effect, medium-mass nuclei, Skyrme-Hartree-Fock model.

## I. PENDAHULUAN
Kajian  tentang  kemunculan  efek  halo  dalam  inti  atom  (Tanihata  dkk.,  1988, Hansen  dan  Johnson,  1987) amat penting untuk pengembangan ilmu, khususnya fisika inti, karena dapat menjelaskan perilaku inti-inti atom pada  keadaan  ekstrem  jauh  dari  daerah  kestabilan  namun  masih  di  luar  garis  leleh.    Selama  ini  kajian  serupa banyak  difokuskan  pada  inti-inti  atom  ringan  (misal  Sharma,  dkk.,  2011),  di  mana  perilaku  kemunculan  efek halo telah dapat dijelaskan dengan cukup baik (misal Sánchez, dkk., 2006). Namun demikian kajian  serupa di daerah massa sedang (medium mass) belum banyak dilakukan,  bahkan secara eksperimental efek halo di daerah
massa  sedang  belum  pernah  teramati.  Khususnya  kajian  tentang  kaitan  antara  kemunculan  efek  halo  dan perubahan atau pergeseran struktur kulit inti di daerah massa sedang belum pernah dilakukan.
Dari  latar  belakang  di  atas  tampak  bahwa  kajian  tentang  inti  halo  masih  aktual,  namun  kemudian timbul pertanyaan bagaimanakah  menjelaskan  mekanisme  terjadinya efek  halo pada inti. Untuk itu diperlukan perhitungan yang swakonsisten, agar dapat ditarik kesimpulan umum yang bukan hanya berlaku untuk inti-inti halo yang sudah dikenal, melainkan juga untuk memberikan prediksi yang cukup teliti akan inti-inti halo yang belum ditemukan. Jika diasumsikan potensial inti mempunyai simetri bola, perhitungan swakonsisten tsb. dapat dilakukan  secara  iteratif  menggunakan  model  Hartree-Fock  yang  memerlukan  suatu  fungsional  kerapatan- tenaga (untuk selanjutnya disebut fungsional saja). Dalam kajian ini digunakan fungsional Skyrme,  mengingat fungsional    ini  telah  digunakan  secara  luas  untuk  menjelaskan  berbagai  sifat  keadaan  dasar    inti  bola  dalam berbagai daerah peta inti (Bender, dkk., 2003).
Dalam pada itu, kajian efek halo di daerah massa inti sedang belum banyak dilakukan, dan efek halo di daerah massa sedang belum pernah teramati secara eksperimental. Juga belum jelas bagaimanakah  mekanisme kemunculan  efek  halo  dalam  kaitannya  dengan  struktur  kulit  dan  kerapatan  inti.  Agar  dapat  dibuat  prakiraan perilaku  inti  yang  teliti,  diperlukan  metode  perhitungan  yang  swakonsisten.  Karenanya  menarik  sekali  untuk dilakukan kajian tentang kemunculan efek halo dan kaitannya dengan struktur kulit inti pada inti-inti bermassa sedang dengan  menggunakan  metode   perhitungan  swakonsisten dalam ruang koordinat  dengan  menggunakan model Skyrme-Hartree-Fock (SHF).
Masalah  yang  dikaji  dalam  penelitian  ini  adalah  (a)  Apakah  perhitungan  jari-jari  muatan  inti  secara swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  inti  ringan  dapat  memberikan  hasil  yang  sesuai  dengan  data eksperimental  yang  ada?  (b)  Apakah  perhitungan  jari-jari  muatan  inti  dan  jari-jari  rms  neutron  secara swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  inti-inti  bermassa  sedang  dapat  memberikan  hasil  yang  sesuai  dengan data  eksperimental  yang  ada  dan  hasil  perhitungan  sebelumnya?  (c)  Apakah  perhitungan  jari-jari  muatan  inti dan jari-jari rms  neutron secara swakonsisten dengan  model SHF untuk inti-inti bermassa sedang  memberikan gambaran  tentang  kemunculan  efek  halo  yang  sama  dengan  model  yang  digunakan  sebelumnya  (Rotival  dan Duguet, 2009)? (d) Di antara ketiga himpunan parameter Skyrme yang digunakan, manakah yang memberikan hasil paling teliti?
Sebagai bahan kajian awal, penelitian ini difokuskan pada rantai isotop di daerah massa sedang, yaitu Cr dan  Sn,  mengingat  untuk  rantai  isotop  tsb.  tersedia  data  hasil  perhitungan  atau  prakiraan  sebelumnya  tentang adanya sifat halo.

## II. KAJIAN PUSTAKA

## a. Penelitian Sebelumnya
Salah satu gejala menarik pada  inti-inti eksotik di dekat garis leleh (drip line) nukleon adalah efek halo (Hansen  dan  Johnson,  1987),  yaitu  inti  mempunyai  jari-jari  jauh  lebih  besar  dari  ramalan  jari-jari  inti  dalam model  tetes  cairan  (Ring  dan  Schuck,  2000:3)  karena  adanya  nukleon  yang  terikat  lemah.  Inti 11 Li  misalnya adalah salah satu inti dengan struktur halo yang sudah dikenal baik, yaitu dua buah neutron yang secara longgar mengelilingi  suatu  teras 9 Li    (Jensen,  dkk.,  2004).  Eksperimen  mutakhir  tentang  jari-jari  muatan  inti  isotop- isotop  Li  dilakukan  oleh  Sánchez  dkk.(2006),  yaitu  dengan  kombinasi  pengukuran  pergeseran  isotop  dan perhitungan  pergeseran  massa;  dan  hasilnya  menunjukkan  bahwa  jari-jari  muatan  menurun  secara  kontinu terhadap  nomor  massa  inti  dari 6 Li  ke 9 Li,  kemudian  naik  dari 9 Li  ke 11 Li;  selain  itu,  diperoleh  nilai eksperimental  jari-jari  rms  muatan  inti 11 Li  sebesar  2,467(37)  fm.  Meng,  Tanihata  dan  Yamaji  (1998) menghitung  tampang  lintang  interaksi  untuk  reaksi  inti A Na  + 12 C,  dan  berupaya  menjelaskan  kaitan  antara kemunculan  efek  halo  pada  isotop-isotop  Na  dan  struktur  kulit  inti.  Inti  ringan  baru  yang  diketahui  secara eksperimental mempunyai struktur halo antara lain 22 C (Sharma, dkk., 2011).
Jika kajian efek halo banyak difokuskan pada inti-inti ringan (isotop-isotop Li sampai dengan P), kajian pada daerah massa inti sedang akhir-akhir ini  mulai pula dilakukan,  walaupun belum  menyentuh  kaitan antara kemunculan  efek  halo  dan  struktur  kulit  inti.  Prakiraan  adanya  efek  halo  pada  inti-inti  bermassa  sedang ditunjukkan  oleh  Rotival  dan  Duguet  (2009)  dengan  cara  membuat metode  analisis  baru  yang  memunculkan faktor-faktor  halo  yang  dapat  digunakan  untuk  menentukan  ada-tidaknya  efek  halo;  sejalan  dengan  itu Capel, Johnson  dan  Nunes  (2011)  mengembangkan  cara  baru  untuk  menentukan  apakah  suatu  inti  mempunyai  efek halo atau tidak, yaitu dengan metode nisbah (ratio method).
Sebagai  suatu  kajian  kecil  di  Indonesia  tentang  inti  halo,  Oktova  (2011)  melakukan  perhitungan secara swakonsisten distribusi muatan pada inti halo ringan dengan fungsional kerapatan-tenaga Skyrme dengan contoh pada isotop 11 Li, dan hasilnya menunjukkan semua hasil perhitungan jari-jari rms muatan inti jauh lebih kecil daripada nilai acuan dan ketidaktelitian ini diduga karena 11 Li adalah inti ringan, di mana gaya tiga-benda cukup  penting  (Moya de  Guerra,  Garrido    dan    Sarriguren,  2002,  Garrido  dan  Moya  de  Guerra,  2000), sedangkan  ketiga  himpunan  parameter  Skyrme  yang  dikaji  diperoleh  dengan  parametrisasi  pada  inti-inti
bermassa  sedang  hingga  besar.  Jika  dalam  menerapkan  metode  baru  analisisnya  Rotival  dan  Duguet  (2009) menggunakan  program  HFBRAD  yang  dikembangkan  oleh  Bennaceur  dan  Dobaczewski  (2005)  untuk perhitungan  keadaan  dasar  inti  bola  dengan  model  Hartree-Fock-Bogolyubov  (HFB) nonrelativistik,  pada penelitian ini juga digunakan model SHF seperti pada penelitian kami sebelumnya (Oktova, 2011), karena lebih cepat dan perhitungan lebih sederhana.

## b. Fungsional Kerapatan-Tenaga Skyrme dan Model SHF
Dalam perhitungan keadaan dasar inti bola dengan model SHF, tenaga total inti dapat dituliskan sebagai
, cm pair coul Skyrme E E E E E     (1)
dengan suku-suku pada ruas kanan berturut-turut adalah tenaga Skyrme, Coulomb, pasangan, dan pusat massa, dan Skyrme E merupakan suku yang dominan.
Secara  singkat  metode  perhitungan  keadaan  dasar  inti  bola  secara  swakonsisten  dengan  model  SHF (Reinhard,  1991)  adalah  sbb.  Perhitungan  keadaan  dasar  secara  swakonsisten  didasarkan  pada  persamaan Hartree-Fock,
             | ˆ | | ˆ | T H HF , | ˆ | 1 a       N j j j V          
(2)
dengan  subskrip  “a”  menunjukkan  fungsi  gelombang  bersifat  antisimetrik.  Persamaan  ini  dapat  diungkapkan dalam wakilan koordinat sebagai
) ( ) ( 2 2 x x U m H             ), ( ´) ( ´) , ( ´ x x x x U dx EX         
(3)
dengan Hamiltonian Hartree-Fock HF H ˆ dapat dipisahkan menjadi potensial lokal atau Hartree berbentuk
, ´) ( ´) , ( ˆ ´) ( * ´ ) ( ˆ 1    N j j j H x x x V x dx x U   (4)
dan suatu potensial nonlokal atau pertukaran
. ´) ( ´) , ( ˆ ´) ( * ´) , ( ˆ 1    N j j j EX x x x V x x x U   (5)
Potensial  Skyrme  menyajikan  suatu  gaya  berjangkauan  nol  yang  bergantung  pada  kerapatan  dan momentum,
  (6) , ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) )( ( ) )( 1 ( ) )( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 4 3 3 6 1 2 2 2 2 1 1 2 1 0 0 j i j i j i j i j i x j i j i j i x j i j i j i j i x j i x Skyrme p p r r p p it r r r P x t p p r r p p P x t p p r r r r p p P x t r r P x t V                                                               x P adalah operator pertukaran ruang
    , j i r r  vektor matriks spin Pauli, dan
2 / ) ( j i r r r     , dan parameter- parameter
4 3 3 2 2 1 1 0 0 , , , , , , , , , t x t x t x t x t  ditentukan  secara  empiris  dari  data  jari-jari rms dan  tenaga  ikat  inti.
Bentuk  potensial  sederhana  tsb.  memungkinkan  nilai  harap  tenaga  untuk  determinan-determinan  Slater  dapat dihitung dari besaran-besaran kerapatan dan arus partikel berikut,
  ), r ( σ ) r ( w i ) r ( J ), r ( ) r ( w ) r ( τ
, ) r ( ) r ( ) r ( ) r ( w i ) r ( j ), r ( ) r ( w ) r ( ρ β q β β β q β q β β β q β β β β q β β q β q β β β q                                              
          2
(7)
dengan   adalah  fungsi  gelombang  partikel-tunggal  keadaan  ,  dan  indeks  isospin q meliputi  keadaan- keadaan proton dan neutron. Peluang pengisian keadaan  adalah  w .Bila suatu kulit sepenuhnya terisi, maka 1   w ,  namun  nilai-nilai  pecahan  dapat  terjadi  untuk  inti-inti  tanpa  bilangan  ajaib  (nonmagic  nuclei),  dan pengisian ini dapat dihitung dengan skema perhitungan gaya pasangan.
Khusus  untuk  keadaan  dasar  inti  bola,  dalam  koordinat  bola  fungsi  gelombang  partikel-tunggal  dapat dipisahkan,
), , ( ) ( ) (         m j Y r r R r   
(8)
dengan ) , (      m j Y  adalah  fungsi-fungsi  harmonik  bola  spinor.  Fungsi  gelombang  radial ) (r R  tidak bergantung pada bilangan kuantum  m . Fungsional  tenaga Skyrme dapat dinyatakan dalam bentuk
        , ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 2 4 4 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 16 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 16 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4 1 2 3 2 1 3 12 1 2 3 2 1 3 12 1 2 0 2 1 0 2 1 2 0 2 1 0 2 1 2 0 2                                                     q q q q q q q q q q q q q Skyrme J J t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t m r dr E                      (9) dengan r r r      2 2 2 ,  kerapatan  total neutron proton      , neutron proton      ,  kerapatan  arus  total
neutron proton J J J      ,  dan neutron proton J J J
        .  Untuk  keadaan  dasar  arus j  nol,  sedangkan  besaran- besaran kerapatan dan arus dalam pers. (7) menjadi fungsi radial r dan turunannya.
Dalam wakilan bola, persamaan Hartree-Fock untuk ) (r R  dapat diungkapkan sebagai
,     R R h q 
(10)
dengan Hamiltonian medan rata-rata (Hartree-Fock)
, σ ,          q ls q r q r q U U h B (11)
dengan  operator q B , q U dan q ls U , merupakan fungsi dari q  ,  , q J  , dan J  . Perlu diperhatikan bahwa pers. (10)  bersifat nonlinier dalam fungsi gelombang ) (r R  melalui Hamiltonian medan rata-rata q h yang bergantung pada kerapatan.
Karena  nukleon  yang  terikat  lemah  pada  inti  halo  mempunyai  kontribusi  penting  dalam  gerak  pusat massa, koreksi pusat massa perlu diperhitungkan untuk inti halo. Prosedur pertama adalah dengan suatu koreksi diagonal, dapat dihitung koreksi massa efektif
      A m m eff 1 1 . (12)
dan  operator  dua-benda  tenaga  kinetik  pusat  massa  dihampiri  dengan  operator  satu-benda,
   2 2 ) ( i cm p p   .
Prosedur ini mungkin baik untuk perhitungan keadaan dasar namun dapat menghasilkan parameter massa yang kurang  tepat  untuk  translasi,  rotasi,  vibrasi  dan  fisi.  Suatu  koreksi  pusat  massa  yang  lebih  konsisten  adalah dengan tetap menggunakan massa nukleon bebas namun tenaga dari perhitungan Hartree-Fock dikurangi dengan tenaga titik nol translasi (zero-point-motion energy, ZPE
Am p Z cm trans
2 2     , (13)
dengan cm p  adalah  operator  momentum  pusat  massa.  Pemilihan  prosedur  ini  konsisten  dengan  koreksi  ZPE dalam perhitungan-perhitungan kolektif inti (Giraud dan Grammaticos, 1975), namun memerlukan waktu lama dalam perhitungan komputasi.
Jika  telah  diperoleh  penyelesaian  pers.  Hartree-Fock  (10),  dan  diperoleh  nilai  w ,  dapat  dihitung tenaga  sistem  dari  fungsional Skyrme E .  Namun  sebagian  besar  informasi  tenaga  dapat  diperoleh  dari  tenaga partikel-tunggal   .
Gaya  Coulomb  mempunyai  jangkauan  tak  terhingga,  sehingga  akan  sangat  menghabiskan  waktu  jika suku  pertukaran  dihitung  secara  eksak;  bagian  ini  dihitung  dengan  hampiran  Slater,  dan  diperoleh  tenaga Coulomb,
exch Coul, 3 3 2 Coul 1 2 1 E ') r ( ρ '| r r | ) r ( ´ ρ r d r d e E C C           ,
(14)
dengan suku pertukaran
, 4 . 3 4 3 3 / 4 pr 0 2 3 / 1 exch Coul,     
        r dr E (15)
dan sumbangannya pada potensial Hartree-Fock dapat dihitung dengan variasi
, exch Coul, dir Coul, Coul U U U   (16) dengan suku langsung . 3 , 4 3 / 1 pr 3 / 1 exch Coul, C 2 dir Coul,                U e U
(17)
Perhitungan  dalam  kajian  ini  menggunakan  gaya  pasangan  sederhana  (skematik)  dengan  fungsional berbentuk
2 ) 1 (             q q q pair w w G E    , (18.a)
dengan  unsur  matriks  gaya  pasangan q G adalah  konstan  dengan  bentuk A G proton / 22  dan
A
G neutron / 29  , dan  w dihitung secara iteratif dengan hampiran BCS
, ) 1 (      q q q w w G    (18.b) .    q q w A  
Kerapatan  muatan  inti  dihitung  dengan  transformasi  invers  Fourier-Bessel  terhadap  faktor  bentuk proton dan neutron
, ) ( ) ( 2 1 ) ( 0 2 2   k F kr j k dk r C c  
(19)
dengan 0 j fungsi Bessel bola orde nol, dan diperoleh jari-jari rms muatan inti
. ) ( ) 0 ( 3 0 2 2   k C C c dk k F d F r
(20)
Sebagai perbandingan dapat dihitung cari-cari muatan inti dalam model tetes cairan
, 1/3 0 A r R  (21)
dengan r 0 suatu konstanta empiris sebesar 1,2  1,5 fm.

## III. METODE PENELITIAN
Dalam fisika inti, tidak dikenal batas-batas yang tajam antara inti-inti ringan, inti-inti bermassa sedang, dan inti-inti berat. Penelitian ini mengkaji rantai-rantai isotop di daerah massa sedang, yaitu secara teknis berupa inti-inti yang mempunyai nomor massa antara 40 s.d. 140. Sampel inti pada kajian ini didasarkan hasil analisis awal oleh Rotival dan Duguet (2009),  yaitu rantai isotop Cr dan Sn. Dari hasil analisis mereka, rantai isotop Sn tidak  menunjukkan  efek  halo  yang  signifikan,  sehingga  selain  rantai  isotop  Cr,  rantai  isotop  Sn  dikaji  sebagai pembanding.
Khusus  untuk  jari-jari  rms  muatan  inti  bermassa  sedang,  tersedia  data  pembanding  eksperimental (Angeli, 2004) untuk satu isotop Cr dan beberapa isotop Sn.
Untuk  membantu    perhitungan  numerik,  program  Fortran  77  HAFOMN, yaitu  program  perhitungan keadaan  dasar  inti  secara  swakonsisten  dalam  ruang  koordinat  dengan  fungsional  kerapatan-tenaga  Skyrme (Reinhard,  1991)  digunakan  pada  komputer  pribadi  dengan  bahasapemrograman  Windows  Compaq  Visual Fortran  Professional  Edition  6.5.  Himpunan  parameter  fungsional    Skyrme  yang  dapat  digunakan  adalah  Z , SkM*, dan SkIII (Friedrich dan Reinhard, 1986), dan nilai parameter ditunjukkan dalam Tabel I. Gaya pasangan dihampiri  dengan  gaya  konstan  (pers. 18)  dan  sumbangan  tenaganya  dihitung  secara  iteratif  dengan  hampiran BCS (pers. 18.a, 18.b).
Proses  iteratif untuk  menyelesaikan  persamaan  HF  radial  (pers.  10)  dan  persamaan  BCS  (pers.  18.a, 18.b)  guna  mendapatkan  keadaan  dasar  inti  dimulai  dengan  potensial  osilator  harmonik  isotropik  sebagai tebakan awal (Bertsch, 1991). Ruang  koordinat radial dibagi  menjadi 29 titik  kisi, dengan  ukuran langkah 0,3 fm. Cacah kulit partikel-tunggal osilator yang digunakan, n max dihitung sedemikian rupa sehingga seluruh cacah nukleon  (proton  atau  neutron)  dapat  tertampung  dalam  aras-aras  tersebut.  Misalnya,  dalam  kajian  awal  untuk menguji  ketelitian  model  SHF  dengan  menggunakan  rtantai  isotop  beryllium  dari  nomor  massa A =  7  12 sebagai bahan pengujian, semua proton dan neutron tertampung dalam orbital-orbital 1s 1/2 , 1p 3/2 , dan 1p 1/2 . Dari eigennilai  dan  eigenfungsi Hamiltonian dengan  potensial  awal,  diperoleh  tebakan  awal  kerapatan  normal  dan kerapatan tensor (     , , ), yang selanjutnya digunakan untuk menghitung potensial partikel-tunggal, ) ( n/p r V  dengan  fungsional  kerapatan-tenaga  Skyrme  (pers.  6). Pada  langkah  selanjutnya,  eigennilai  dan  eigenfungsi radial Hamiltonian partikel-tunggal  dengan  potensial  partikel-tunggal, ) ( n/p r V  tsb.  dihitung  dan  digunakan untuk  menghasilkan  nilai  baru  (     , , ),  dst.  Jika  iterasi  konvergen,  langkah  iterasi  dihentikan  ketika terpenuhi  dua  syarat  sekaligus:  (a)  selisih  nilai  tenaga  total  partikel-tunggal (pers.  1) pada  dua  langkah berurutan lebih kecil atau sama dengan nilai toleransi tenaga tertentu, dan (b) selisih nilai jari-jari muatan pada dua  langkah  berurutan  lebih  kecil  atau  sama  dengan  nilai  toleransi  jari-jari  tertentu.  Dalam  penelitian  ini digunakan  nilai  toleransi  tenaga  dan  jari-jari  berturut-turut  sama  dengan  0,001  MeV  dan  0,001  fm. Jika konvergensi telah tercapai, diperoleh himpunan keadaan partikel-tunggal swakonsisten.
Nilai-nilai kerapatan (     , , ), fungsi gelombang radial (pers. 8), potensial partikel-tunggal ) ( n/p r V  dan  nilai-nilai  lain  yang  bergantung  pada  jarak  radial r (misalnya  diferensial  terhadap r)  disimpan  dalam  kisi radial  dengan  titik-titik  kisi  berjarak  sama.  Prosedur  dasar  perhitungan  numerik  keadaan  dasar  secara swakonsisten  ini  digambarkan  pada  diagram  alir  dalam  Gambar  1.  Uraian  terinci  subrutin-subrutin  yang disebutkan  dalam  diagram  alir  serta  parameter  kisi  ruang  koordinat  dsb.dapat  dilihat  pada  Reinhard  (1991). Cacah  titik  kisi  yang  digunakan  adalah  NGRID,  yang  nilainya  dihitung  untuk  menyesuaikan  dengan  cacah nukleon dalam inti, dengan lebar langkah sama dengan 0,3, yang diharapkan dapat memberikan ketelitian tenaga dan jari-jari sebesar 0,1 %.
Kecuali  dikatakan  lain,  perhitungan  yang  lengkap  memperhitungkan  semua  suku  fungsional  tenaga total  dalam  pers.  (1),  khususnya  fungsional  tenaga  Skyrme  pers.  (9),  dengan  memperhitungkan  sumbangan tenaga  Coulomb  lengkap  (suku  langsung  dan  tidak  langsung)  sesuai  pers.  (14-17), suku  pasangan  (18) diperhitungkan  dengan  skema  BCS.  Perhitungan  kerapatan  muatan  inti ) (r c  secara  lengkap memperhitungkan pembungkusan (folding)  muatan nukleon bebas dengan faktor bentuk (pers. 19), dan koreksi gerak  pusat  massa  dilakukan  secara  lengkap  (dengan  operator  dua-benda)  menggunakan  pers.  (13).
Gambar 1. Diagram alir untuk perhitungan numerik keadaan dasar secara swakonsisten.
Tabel I. Parameter fungsional Skyrme untuk himpunan parameter , SkM*, dan SkIII Parameter SkM* SkIII -1983,76 -2645,0 -1128,75 362,252 410,0 395,0 -104,27 -135,0 -95,0 11861,4 15595,0 14000,0 123,69 130,0 120,0 1,1717 0,09 0,45 0 0 0 0 0 0 1,7620 0 1,0 0,25 0,16667 1,0
Sebagaimana disampaikan di muka, proses iteratif untuk menyelesaikan persamaan Hartree-Fock radial (pers.  10)  guna  mendapatkan  keadaan  dasar  inti  dimulai  dengan  potensial  osilator  harmonik  isotropik  sebagai
0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 0 x 2 x 3 x 
Gambar 1. Diagram alir untuk perhitungan numerik keadaan dasar secara swakonsisten.
Tabel I. Parameter fungsional Skyrme untuk himpunan parameter , SkM*, dan SkIII Parameter SkM* SkIII -1983,76 -2645,0 -1128,75 362,252 410,0 395,0 -104,27 -135,0 -95,0 11861,4 15595,0 14000,0 123,69 130,0 120,0 1,1717 0,09 0,45 0 0 0 0 0 0 1,7620 0 1,0 0,25 0,16667 1,0
Sebagaimana disampaikan di muka, proses iteratif untuk menyelesaikan persamaan Hartree-Fock radial (pers.  10)  guna  mendapatkan  keadaan  dasar  inti  dimulai  dengan  potensial  osilator  harmonik  isotropik  sebagai
 Z  Z
Gambar 1. Diagram alir untuk perhitungan numerik keadaan dasar secara swakonsisten.
Tabel I. Parameter fungsional Skyrme untuk himpunan parameter , SkM*, dan SkIII Parameter SkM* SkIII -1983,76 -2645,0 -1128,75 362,252 410,0 395,0 -104,27 -135,0 -95,0 11861,4 15595,0 14000,0 123,69 130,0 120,0 1,1717 0,09 0,45 0 0 0 0 0 0 1,7620 0 1,0 0,25 0,16667 1,0
Sebagaimana disampaikan di muka, proses iteratif untuk menyelesaikan persamaan Hartree-Fock radial (pers.  10)  guna  mendapatkan  keadaan  dasar  inti  dimulai  dengan  potensial  osilator  harmonik  isotropik  sebagai
tebakan  awal.  Cacah  aras  partikel-tunggal  yang  digunakan, n max dihitung  sedemikian  rupa  sehingga  seluruh cacah nukleon (proton atau neutron) dapat tertampung dalam aras-aras tersebut.
Kecuali  dikatakan  lain,  perhitungan  yang  lengkap  memperhitungkan  semua  suku  fungsional  tenaga total  dalam  pers.  (1),  khususnya  fungsional  tenaga  Skyrme  pers.  (9),  dengan  memperhitungkan  sumbangan tenaga  Coulomb  lengkap  (suku  langsung  dan  tidak  langsung)  sesuai  pers.  (13-14),  suku  pasangan  (17) diperhitungkan  dengan  skema  BCS.  Perhitungan  kerapatan  muatan  inti secara  lengkap memperhitungkan folding muatan nukleon bebas dengan faktor bentuk (pers. 19), dan koreksi gerak pusat massa dilakukan secara hampiran dengan menggunakan pers. (12).
Hasil  perhitungan  keadaan dasar  swakonsisten  isotop-isotop  untuk  suatu  rantai  tertentu  (misal  Cr) digunakan untuk melakukan analisis kemunculan efek halo.

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Melengkapi data hasil-hasil perhitungan sebelumnya oleh Rotival dan Duguet (2009), perhitungan jari- jari rms  muatan inti dan jari-jari rms neutron  untuk inti-inti bermassa sedang dilakukan  pada  rantai isotop Cr dengan A = 50-82 dan rantai isotop Sn dengan A = 100-170.
Pada  Tabel  II  dan  Gambar  2  ditunjukkan  hasil  perhitungan  jari-jari  rms  muatansecara  swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr dengan A = 50-82. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data dari dua acuan: yang pertama adalah hasil perhitungan swakonsisten Rotival dan Duguet (2009) dengan model HFB nonrelativistik  untuk  inti  bola  (Bennaceur  dan    Dobaczewski,  2005),  dan  yang  kedua  adalah sebuah  data eksperimental untuk A = 54 dari kumpulan data 799 jari-jari muatan inti keadaan dasar dari berbagai eksperimen hamburan elektron elastik, sinar X atom muonik, geseran isotopik K α dan geseran isotopik optis hingga Januari 2004 (Angeli, 2004).
Tabel  II. Hasil  perhitungan  jari-jari  rms  muatan  secara  swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  isotop-isotop  Cr. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain (Rotival dan Duguet, 2009) Eksperimen (Angeli, 2004) Z σ SkM* SkIII 50 3,612 3,929 3,678 52 3,619 3,930 3,687 54 3,649 3,972 3,716 3,70 3,6604 56 3,671 3,987 3,739 3,71 58 3,695 4,006 3,762 60 3,720 4,027 3,785 3,76 62 3,745 4,049 3,809 64 3,766 4,070 3,829 3,83 66 3,784 4,089 3,847 68 3,797 4,106 3,862 3,88 70 3,807 4,122 3,876 72 3,816 4,138 3,890 3,90 74 3,825 4,155 3,905 76 3,855 4,180 3,915 3,94 78 3,851 4,197 3,930 80 3,862 4,214 3,945 3,96 82 3,875 4,232 3,961
Terlihat  dari  Gambar  2  bahwa  titik  eksperimental  untuk A =  54  sesuai  dengan  hasil  perhitungan swakonsisten dengan model SHF dengan himpunan  parameter Z σ , dan mendekati hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan hasil perhitungan swakonsisten dengan model SHF dengan himpunan  parameter SkIII. Hasil perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan menyimpang  secara  sistematik  sangat  jauh  dari  semua  hasil  perhitungan  lain  dan  data  eksperimental; kesimpulan  ini  sangat  berbeda  dengan  kesimpulan  dari  hasil  perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF untuk rantai isotop  beryllium (Gambar 2) di mana himpunan parameter SkM* terbukti yang paling teliti. Suatu gejala  menarik ditunjukkan  oleh  perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter SkIII,  yaitu  kemunculan  puncak  dan  penurunan  jari-jari  muatan  inti  pada A =  82  atau  cacah  neutron  sama
) (r c 
dengan  58,  namun  gejala  serupa  tidak  ditunjukkan  oleh  hasil  perhitungan lain  dengan  model  SHF,  sehingga kemunculan efek halo pada A = 82 diragukan. Terlihat juga bahwa hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) cukup sesuai dengan hasil perhitungan swakonsisten dengan model SHF dengan himpunan  parameter SkIII dan Z σ .
Gambar 2. Hasil perhitungan jari-jari rms muatan secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Pada Tabel III dan Gambar 3 ditunjukkan hasil perhitungan jari-jari rms neutron secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009), dan untuk ini tidak tersedia data eksperimental.
Tabel III. Hasil perhitungan jari-jari rms neutron secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain
(Rotival dan
Duguet, 2009) Z σ SkM* SkIII 50 3.508 3.835 3.586 52 3.547 3.889 3.638 54 3.626 4.025 3.727 3.70 56 3.680 4.092 3.792 3.76 58 3.735 4.157 3.851 60 3.784 4.219 3.906 3.90 62 3.833 4.281 3.959 64 3.876 4.337 4.006 4.04 66 3.912 4.390 4.049 68 3.941 4.440 4.089 4.10 70 3.965 4.487 4.127 72 3.986 4.532 4.163 4.18 74 4.004 4.578 4.198 76 4.163 4.824 4.376 4.32 78 4.219 4.876 4.430 80 4.256 4.927 4.484 4.58 81 4.274 4.953 4.511 82 4.291 4.978 4.536 84 4.323 5.028 4.198
Seperti  halnya  pada  perhitungan jari-jari  muatan  inti  (Gambar  2),  terlihat  dari  Gambar  3  bahwa  hasil perhitungan swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr dengan himpunan  parameter SkM* sama sekali berbeda dan  menyimpang secara sistematik sangat jauh dari semua  hasil perhitungan lain. Terlihat juga
3.5 4.0 4.5 50 55 60 65 70 75 80 85 Ja ri -j a ri m u a ta n , r c (f m ) Nomor massa, A SkM* SkIII Eksp. Rotival-Duguet Z σ Cr
bahwa  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  cukup  sesuai  dengan  hasil  perhitungan  swakonsisten dengan  model  SHF  dengan himpunan    parameter  SkIII  namun berbeda  dari  hasil  perhitungan  swakonsisten dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter  Z σ terutama  untuk  nomor  massa  besar.  Hasil  perhitungan Rotival dan Duguet (2009) memprediksi efek halo terjadi pada A =  80, dan untuk melakukan pengecekan secara halus dalam    perhitungan  swakonsisten  SHF  diperhitungkan  juga A =  79  dan A = 81,  namun  dari  ketiga  hasil perhitungan swakonsisten SHF hanya perhitungan dengan himpunan  parameter SkIII menunjukkan adanya efek halo, itupun tidak terjadi pada A = 80 melainkan A = 82. Sesuai dengan hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009), ketiga hasil perhitungan swakonsisten SHF menunjukkan adanya lonjakan (kink) yang dimulai dari A = 74.
Gambar 3. Hasil perhitungan jari-jari rms neutron secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Cr. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Pada Tabel IV dan Gambar 4 ditunjukkan  hasil perhitungan jari-jari rms  muatan  secara swakonsisten dengan  model  SHF  untuk  isotop-isotop  Sn dengan A =  104-160. Sebagai  pembanding  ditunjukkan  pula  data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Tabel IV. Hasil perhitungan jari-jari rms  muatan secara  swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain (Rotival dan Duguet, 2009) Eksperimen (Angeli, 2004) Z σ SkM* SkIII 104 4.481 4.886 4.584 4.52 108 4.517 4.915 4.62 4.5607 110 4.535 4.93 4.637 4.5807 112 4.552 4.945 4.653 4.5943 114 4.569 4.959 4.669 4.6103 116 4.584 4.973 4.684 4.64 4.6266 118 4.598 4.987 4.698 4.6413 120 4.611 5.001 4.712 4.6543 122 4.623 5.014 4.725 4.72 4.6657 124 4.634 5.026 4.738 4.6759 146 4.766 5.203 4.899 4.85 160 4.859 5.321 4.999 4.96
Hasil perhitungan jari-jari rms muatan oleh Rotival dan Duguet (2009) tidak memprediksi adanya efek halo  proton,  dan  hal  ini  dipertegas  oleh  hasil  perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  ketiga himpunan parameter, seperti terlihat dari Gambar 4. Terlihat juga bahwa data eksperimental sesuai dengan hasil
J a ri -j a ri rm s n e u tro n , r n (f m ) Nomor massa, A SkM* SkIII Rotival-Duguet Z σ Cr
perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  untuk  daerah  massa  A  =108-124  yang  ditunjukkan,  namun  hasil perhitungan  swakonsisten  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkIII  dan  Z σ secara  sistematik  berturut-turut sedikit  lebih  besar  dan  sedikit  lebih  kecil  dari  data  eksperimental  dan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet (2009), kecuali untuk A = 122 di mana hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan himpunan  parameter SkIII sesuai  dengan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009).  Seperti  halnya  pada  perhitungan  jari-jari  muatan inti  dan  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Cr  (Gambar  2  dan  4),  terlihat  dari  Gambar  4  bahwa  hasil perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan menyimpang secara sistematik sangat jauh dari semua hasil perhitungan lain dan data eksperimental.
Gambar 4. Hasil perhitungan jari-jari rms muatan secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Pada  Tabel  V  dan  Gambar  5  ditunjukkan  hasil  perhitungan  jari-jari  rms  neutron  secara  swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn pada A = 100-170. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
Tabel  V. Hasil  perhitungan  jari-jari  rms neutron  secara  swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  isotop-isotop  Sn.  Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain
(Rotival dan
Duguet, 2009) Z σ SkM* SkIII 100 4.285 4.669 4.390 4.35 114 4.525 4.985 4.660 4.50 128 4.681 5.217 4.862 4.86 142 4.882 5.543 5.111 5.10 156 5.044 5.788 5.311 5.36 170 5.141 5.995 5.476 5.55
Seperti halnya pada hasil perhitungan jari-jari muatan inti dan jari-jari rms neutron untuk isotop-isotop Cr (Gambar 2 dan 4) dan hasil perhitungan jari-jari muatan inti untuk isotop-isotop Sn (Gambar 4), terlihat dari Gambar  5  bahwa  hasil  perhitungan  swakonsisten  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Sn  dengan  model SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan  menyimpang  secara  sistematik  sangat  jauh dari semua hasil perhitungan lain.
perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  untuk  daerah  massa  A  =108-124  yang  ditunjukkan,  namun  hasil perhitungan  swakonsisten  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkIII  dan  Z σ secara  sistematik  berturut-turut sedikit  lebih  besar  dan  sedikit  lebih  kecil  dari  data  eksperimental  dan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet (2009), kecuali untuk A = 122 di mana hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan himpunan  parameter SkIII sesuai  dengan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009).  Seperti  halnya  pada  perhitungan  jari-jari  muatan inti  dan  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Cr  (Gambar  2  dan  4),  terlihat  dari  Gambar  4  bahwa  hasil perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan menyimpang secara sistematik sangat jauh dari semua hasil perhitungan lain dan data eksperimental.
Gambar 4. Hasil perhitungan jari-jari rms muatan secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Pada  Tabel  V  dan  Gambar  5  ditunjukkan  hasil  perhitungan  jari-jari  rms  neutron  secara  swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn pada A = 100-170. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
Tabel  V. Hasil  perhitungan  jari-jari  rms neutron  secara  swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  isotop-isotop  Sn.  Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain
(Rotival dan
Duguet, 2009) Z σ SkM* SkIII 100 4.285 4.669 4.390 4.35 114 4.525 4.985 4.660 4.50 128 4.681 5.217 4.862 4.86 142 4.882 5.543 5.111 5.10 156 5.044 5.788 5.311 5.36 170 5.141 5.995 5.476 5.55
Seperti halnya pada hasil perhitungan jari-jari muatan inti dan jari-jari rms neutron untuk isotop-isotop Cr (Gambar 2 dan 4) dan hasil perhitungan jari-jari muatan inti untuk isotop-isotop Sn (Gambar 4), terlihat dari Gambar  5  bahwa  hasil  perhitungan  swakonsisten  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Sn  dengan  model SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan  menyimpang  secara  sistematik  sangat  jauh dari semua hasil perhitungan lain.
perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  untuk  daerah  massa  A  =108-124  yang  ditunjukkan,  namun  hasil perhitungan  swakonsisten  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkIII  dan  Z σ secara  sistematik  berturut-turut sedikit  lebih  besar  dan  sedikit  lebih  kecil  dari  data  eksperimental  dan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet (2009), kecuali untuk A = 122 di mana hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan himpunan  parameter SkIII sesuai  dengan  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009).  Seperti  halnya  pada  perhitungan  jari-jari  muatan inti  dan  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Cr  (Gambar  2  dan  4),  terlihat  dari  Gambar  4  bahwa  hasil perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan menyimpang secara sistematik sangat jauh dari semua hasil perhitungan lain dan data eksperimental.
Gambar 4. Hasil perhitungan jari-jari rms muatan secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009) dan data eksperimental (Angeli, 2004).
Pada  Tabel  V  dan  Gambar  5  ditunjukkan  hasil  perhitungan  jari-jari  rms  neutron  secara  swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn pada A = 100-170. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
Tabel  V. Hasil  perhitungan  jari-jari  rms neutron  secara  swakonsisten  dengan  model  SHF  untuk  isotop-isotop  Sn.  Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).
A Perhitungan SHF Perhitungan lain
(Rotival dan
Duguet, 2009) Z σ SkM* SkIII 100 4.285 4.669 4.390 4.35 114 4.525 4.985 4.660 4.50 128 4.681 5.217 4.862 4.86 142 4.882 5.543 5.111 5.10 156 5.044 5.788 5.311 5.36 170 5.141 5.995 5.476 5.55
Seperti halnya pada hasil perhitungan jari-jari muatan inti dan jari-jari rms neutron untuk isotop-isotop Cr (Gambar 2 dan 4) dan hasil perhitungan jari-jari muatan inti untuk isotop-isotop Sn (Gambar 4), terlihat dari Gambar  5  bahwa  hasil  perhitungan  swakonsisten  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Sn  dengan  model SHF  dengan  himpunan    parameter  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan  menyimpang  secara  sistematik  sangat  jauh dari semua hasil perhitungan lain.
Mirip  dengan  perhitungan  jari-jari  rms  neutron  untuk  isotop-isotop  Cr  (Gambar  3),  pada  Gambar  5  terlihat bahwa  hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  sesuai  dengan  hasil  perhitungan  swakonsisten  dengan model  SHF  dengan  himpunan    parameter  SkIII,  kecuali  pada  A  =  114  di  mana  hasil  perhitungan  Rotival  dan Duguet  (2009)  sesuai  dengan  hasil  perhitungan  swakonsisten  SHF  dengan  himpunan    parameter  Z σ .  Hasil perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009)  tidak  memprediksi  efek  halo  untuk  isotop-isotop  Sn,  dan  hal ini dipertegas oleh semua hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan ketiga himpunan  parameter. Sesuai dengan hasil  perhitungan  Rotival  dan  Duguet  (2009),  ketiga  hasil  perhitungan  swakonsisten  SHF  tidak  menunjukkan adanya lonjakan.
Gambar 5. Hasil perhitungan jari-jari rms neutron secara swakonsisten dengan model SHF untuk isotop-isotop Sn. Sebagai pembanding ditunjukkan pula data hasil perhitungan Rotival dan Duguet (2009).

## KESIMPULAN DAN SARAN
Pada perhitungan jari-jari muatan inti secara swakonsisten dengan model SHF untuk inti ringan dengan mengambil contoh rantai isotop beryllium dengan nomor massa A = 7-12 dan tiga himpunan parameter Skyrme (Z σ ,  SkM*,  and  SkIII),  hasil  perhitungan  dengan ketiga  himpunan  parameter  Skyrme  menghasilkan kecenderungan sistematik yang sesuai data eksperimental, dalam arti jari-jari muatan mengecil dari 7 Be ke 10 Be lalu  membesar  untuk  inti  halo  1-neutron 11 Be,  kemudian  naik  lebih  banyak  lagi  untuk 12 Be,  namun  hanya berhasil  memunculkan  titik  balik  kedua  dan  gagal  memunculkan  titik  balik  pertama.  Selain  itu,himpunan parameter  SkM*  memberikan  hasil  perhitungan  paling  teliti sejauh  menyangkut  simpangan  rata-rata  terhadap data eksperimental terbaru.
Pada  perhitungan  jari-jari  rms  muatan  inti  dan  jari-jari  rms  neutron  untuk  inti-inti  bermassa  sedang pada  rantai  isotop  Cr  dengan  dengan A =  50-82 dan  rantai  isotop  Sn pada A =  100-170, ternyata  hasil perhitungan swakonsisten SHF dengan himpunan  parameter Z σ , dan SkIII secara umum cukup sesuai dengan data  eksperimental  yang  ada  dan  perhitungan  sebelumnya,  sedangkan  hasil  SkM*  sama  sekali  berbeda  dan menyimpang secara sistematik sangat jauh dari data eksperimental yang ada serta semua hasil perhitungan lain.
Hasil perhitungan sebelumnya memprediksi efek halo terjadi untuk isotop Cr pada A =  80, namun dari ketiga hasil perhitungan swakonsisten SHF hanya perhitungan dengan himpunan parameter SkIII menunjukkan adanya efek halo, itupun tidak terjadi pada A = 80 melainkan A = 82. Sesuai dengan hasil perhitungan Rotival dan  Duguet  (2009),  ketiga  hasil  perhitungan  swakonsisten  SHF  menunjukkan  adanya  lonjakan  (kink)  yang dimulai  dari A =  74.  Hasil  perhitungan  swakonsisten  SHF  dengan  ketiga  himpunan  parameter  pada  rantai isotop  Sn  tidak  memprediksi  adanya  inti  halo,  sesuai  dengan  hasil  perhitungan  sebelumnya.
4.2 4.6 5.0 5.4 5.8 6.2 95 105 115 125 135 145 155 165 175 J a ri -j a ri rm s n e u tr o n , r n (f m ) Nomor massa, A SkM* SkIII Rotival-Duguet Z σ Sn
Perhitungan  swakonsisten  dengan  model  SHF dengan  ketiga  himpunan  parameter  pada  inti-inti bermassa  sedang  memberikan  hasil  paling  teliti  dengan  himpunan  parameter Z σ dan  SkIII,  berbeda  dengan hasil perhitungan swakonsisten pada inti ringan di mana yang paling teliti adalah himpunan parameter SkM*. Penelitian yang telah dilakukan barulah tahap awal dengan mengkaji hubungan antara jari-jari inti (muatan dan neutron)  dan  nomor  massa,  dan  belum  mengkaji  secara  lebih  mendalam  tentang  hubungan  antara  kemunculan efek halo (inti halo) dan struktur kulit.  Untuk penelitian  lebih lanjut perlu dikaji hubungan antara kemunculan efek  halo,  khususnya  pada  rantai  isotop  Cr,  dan  struktur  kulit  secara  lebih  mendalam,  misalnya  dengan menggunakan kriteria baru yang sudah dirintis oleh Rotival dan Duguet.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Publikasi  ini  merupakan  bagian  kegiatan  Penelitian  Fundamental  DP2M  Ditjen  Dikti  Kementerian Pendidikan  dan  Kebudayaan  yang  dibiayai melalui  Kopertis  Wilayah  V  Daerah  Istimewa  Yogyakarta, Nomor Kontrak 1141.5/K5/KL/2013, tanggal 21 Mei 2013.

## DAFTAR PUSTAKA
Angeli, I., 2004, “A consistent set of nuclear rms charge radii: properties of the radius surface R(N,Z) , ” Atomic Data and Nuclear Data Tables, 87(2), 185-206.
Bender,  M.,  Heenen,  P.-H., dan Reinhard,  P.- G.,  2003,  “ Self-consistent  mean-field  models  for  nuclear structure,” Rev. Mod. Phys., 75, 121-180.
Bennaceur,  K.    dan  Dobaczewski, J., 2005,  “ Coordinate-space  solution  of  the  Skyrme-Hartree-Fock- Bogolyubov  equations  within  spherical  symmetry.  The  program  HFBRAD  (v1.0)”, Comput.  Phys. Commun., 168, 96-122.
Capel,  P.,    Johnson,  R.  C., dan Nunes, F.  M., 2011,  “Nuclear  halo  structure  by  the  ratio  method”, preprint arXiv:1104.2228v1 [nucl-th] 12 Apr 2011.
Friedrich, J.  dan Reinhard, P.- G., 1986, ”The nonlinearity of the scalar field in a relativistic mean - field theory ,” Phys. Rev., C33, 335-351.
Garrido, E. dan Moya de Guerra, E., 2000., Phys. Lett., B488, 68.
Hansen, P.G.  and Johnson,  B., 1987, “The neutron  halo  of extremely neutron - rich nuclei” Europhys. Lett., 4, 409-414.
Jensen,  A.  S.  ,  Riisager,  K.  ,  Fedorov,  D.  V., dan Garrido,  E.  ,  2004,  “Structure  and    reactions  of  quantum halos”. Rev. Mod. Phys., 76, 215-261.
Meng,  J.,  Tanihata,  I., dan Yamaji,  S.,  1998,  “The  proton  and  neutron  distributions  in  Na  isotopes:  the development of halo and shell structure”, Phys. Lett. B, B419 (1-4), 1-6.
Moya de Guerra, E., Garrido, E., dan Sarriguren, P., 2002, dalam Challenges of Nuclear Structure, Proc. 7th International Spring Seminar on Nuclear Physics, A. Covello (ed.), Singapore: World Scientific,  p. 63.
Oktova,  R.,    2011,  “Perhitungan distribusi  muatan  inti  halo 11 Li  secara swakonsisten  dengan  metode Skyrme- Hartree- Fock”, Jurnal Fisika, 1 (2), 59-65.
Reinhard,  P.- G.,  1991,  “The  Skyrme -Hartree-Fock  model of  the  nuclear  ground  state”,  dalam Computational Nuclear Physics 1: Nuclear structure, K. Langanke, J.A. Maruhn, dan S.E. Koonin (ed.), Berlin: Springer Verlag, pp. 28-50.
Ring,  P. dan Schuck,  P.,  2000,  “The  Nuclear  Many - Body  Problem,”  Berlin:  Springer, cetakan  kedua  edisi pertama.
Rotival,  V. dan Duguet,  T.,  2009,  ” New  analysis  method  of  the  halo  phenomenon  in  finite  many-fermion systems: First applications to medium-mass atomic nuclei ”, Phys. Rev., C79, 054308-054331.
Sánchez, R. , Nörtershäuser, W. ,  Ewald, G. , Albers, D. , Behr, J. , Bricault, P. , Bushaw, B., Dax, A., Dilling, J. , Dombsky, M. , Drake, G.W.F. , Götte, S. , Kirchner, R. , Kluge, H.-J. , Kühl, Th., Lassen, J. , Levi, C.D.P. , Pearson, M.R. , Prime, E. , Ryjkov, V. , Wojtaszek, A. , Yan, Z.-C., dan Zimmermann, C., 2006, “Nuclear charge radii of 9,11 Li: the influence of halo neutrons,” Phys. Rev. Lett., 96, 033002.
Sharma, M., Bhagwat, A., Khan, Z.,  Haider, W., dan Gambhir, Y., 2011, “Neutron density distribution and the halo structure of 22 C”, Phys. Rev. C.
Tanihata, I. ,  Kobayashi, T. ,  Yamakawa, O., Shimoura, S., Ekuni, K., Sugimoto, K., Takahashi, N., Shimoda, T., Sato, H., 1988, “Measurement of interaction cross sections using isotope beams of Be and B and isospin dependence of the nuclear radii ,“ Phys. Lett. B, 206, 592-596.