99 Copyright©  2022: Author
https://ojs3.unpatti.ac.id/index.php/variance/
Accepted: 2023-03-05

## PENENTUAN JUMLAH POPULASI DAN TOTAL LIFETIME MENGGUNAKAN INTEGRAL GANDA, DIAGRAM LEXIS DAN METODE GRACE-NESBITT
( Determination the Population Number and Total Lifetime using of Multiple Integral,
Lexis Diagram and Grace-Nesbiit Method )
Agung Prabowo 1*) , Silfina Nihayatul Islamiyyah 2) , Zalfa Diba Adzkia 3) , Ratri Maharsi 4) , Annisa Wulansari 5)
1,2,3,4,5 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman
Jl. Dr. Suparno Utara No. 61 Kampus Unsoed, Karangwangkal, Purwokerto, 53312, Jawa Tengah, Indonesia
e-mail corresponding author : agung.prabowo@unsoed.ac.id
Abstrak: Pada  model  populasi  penduduk  stasioner,  laju  pertumbuhan  bersifat  konstan  yang  ditandai dengan  terjadinya  keseimbangan  antara  banyaknya  kelahiran  dan  kematian.  Pada  populasi  tersebut, jumlah  penduduk  usia  muda  relatif  sama  dengan  usia  dewasa.  Analisis  lebih  tajam  tentang  populasi stasioner dan untuk membangun basis teoritis terkait model  penduduk stasioner, perlu  dibuat  beberapa asumsi yaitu peluang setiap kelahiran pada periode satu tahun adalah sama dan profil kematian mengikuti tabel kehidupan tertentu yang menjadi rujukan. Pada populasi stasioner dapat dihitung total lifetime, yaitu jumlah dari total future lifetime yang masih akan dijalani oleh individu ditambah banyaknya lifetime yang telah dijalani oleh individu tersebut. Selanjutnya, untuk menghitung total lifetime dapat digunakan integral ganda dan diagram Lexis. Dalam tulisan ini, diberikan contoh penggunaan integral ganda dan diagram Lexis  untuk  perhitungan  total  lifetime.  Penelitian  ini  diselesaikan  dengan  menggunakan  studi  literatur. Pada contoh-conoth yang diberikan, total lifetime dihitung secara manual dengan dua cara yaitu integral ganda  dan  diagram  Lexis.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  kedua  cara  tersebut  memberikan  hasil yang sama.
Kata Kunci: diagram Lexis, integral ganda, metode Grace-Nesbitt, populasi stasioner, tabel kehidupan
Abstract: The stationary population is population growth in a constant state which shows the number of births and deaths in balance. In this population, the number of young people is equal to that of adults. For a more in-depth analysis and to build a theoretical basis for the analysis of the stationary population model, assumptions are added such as the probability of each birth in a period a year is the same and the mortality profile in the Life Table is also valid. This can also be done by calculating the total lifetime, which is the sum of the total future lifetimes that will still be lived by individuals plus the number of lifetimes that have been lived by a number of individuals. To calculate the total lifetime, multiple integrals and lexis diagrams can be used. Therefore, in this study, an example of the use of multiple integrals and lexis diagrams will be described to determine the total lifetime. By using a literature study method, namely the method of obtaining data  from  the  results  of  reading  and  studying  and  processing  the  data  obtained.  To  determine  the  total lifetime can be done using multiple integrals and lexis diagrams through manual calculations. By using multiple integrals and lexis diagrams, both methods get the same results.
Keywords : Grace-Nesbitt method, life table, Lexis diagram, multiple integral, stationary population.

## 1. PENDAHULUAN
Penduduk  adalah  sekumpulan  individu  yang  bertempat  tinggal  di  suatu  wilayah  dengan  ketentuan hukum yang berlaku. Pertumbuhan penduduk pada suatu negara dipengaruhi oleh berbagai variabel seperti
kelahiran  (natalitas),  kematian  (mortalitas),  dan  perpindahan  penduduk  (emigrasi/migrasi).  Jumlah penduduk yang besar tanpa diimbangi oleh kualitas dari penduduk tersebut akan menghambat pertumbuhan ekonomi dari negara yang bersangkutan.
Berdasarkan  komposisi  penduduk  menurut  umur  dan  jenis  kelamin,  karakteristik  penduduk  suatu negara  dibedakan  menjadi  beberapa  kelompok  seperti  ekspansif,  konstraksi,  dan  stasioner.  Penduduk stasioner  adalah  pertumbuhan  penduduk  dalam  keadaan  tetap  yang  menunjukkan  jumlah  kelahiran  dan kematian  seimbang.  Dalam  populasi  ini,  jumlah  penduduk  usia  muda  seimbang  dengan  usia  dewasa. Penduduk dalam keadaan stasioner akan mengalami pertambahan yang stabil di masa  yang akan datang. Contoh  negara  yang  mempunyai  penduduk  stasioner  adalah  negara  maju  seperti  Singapura  dan  Swedia. Untuk  analisis  lebih  mendalam  dan  membangun  untuk  landasan  teoritis  untuk  analisis  model  populasi stasioner, ditambahkan asumsi seperti peluang tiap kelahiran dalam periode 1 tahun adalah sama dan profil mortalitas  pada  tabel  kehidupan  yang  digunakan  juga  sama.  Hal  ini  dapat  dilakukan  dengan  menghitung total lifetime yaitu jumlah dari waktu hidup masa depan yang masih akan dijalani individu ditambah dengan waktu  hidup  yang  telah  dijalani  individu  tersebut.  Selanjutnya,  untuk  menghitung total  lifetime dapat digunakan  integral  ganda  dan  diagram  Lexis.  Sedangkan  pembahasan  lengkap  tentang  masalah kependudukan secara matematis dapat ditemukan pada [1].
Dalam tabel kehidupan atau lebih tepatnya disebut number-living column , terdapat tiga karakteristik berikut ini yang terkait dengan tabel kehidupan sebagai model populasi stasioner [2], yaitu:
1. terdapat himpunan peluang yang disimbolkan dengan x n x l / l  menyatakan seorang individu yang saat ini berusia x akan terus hidup hingga mencapai usia n x  ;
2. terdapat sejumlah x l orang yang masih hidup dari dengan sejumlah 0 l bayi yang lahir pada waktu yang sama (disebut kohor), dan selanjutnya sejumlah x l orang akan menjalani kehidupan bersama;
3. terdapat suatu populasi yang bersifat stasioner, yaitu total banyaknya penduduk berdasarkan distribusi usia akan tetap sehingga pada sebarang titik waktu akan terdapat   dt t x l L n x n 0    orang yang hidup tepat antara usia x dan n x  .
Gagasan pertama  kali tentang diagram Lexis  dimunculkan dalam  [3]. Menurut [4], Wilhelm Lexis merupakan pionir dalam riset-riset demografi. Diagram Lexis digunakan untuk menggambarkan peristiwa- peristiwa  demografi  dengan  menggunakan  dimensi  waktu  ganda.  Masih  menurut  [4],  wajar  jika  terdapat klaim  bahwa  ahli  demografi  di  seluruh  dunia  tidak  akan  dapat  membayangkan  demografi  tanpa  diagram Lexis.
Penggunaan diagram Lexis antara lain ditemukan pada literatur-literatur yang ditulis oleh Brown [5], Vandeschrick  [6],  Feeney  [7],  Irma  [8],  Rau,  Bohk-Ewald,  Muszynska,  dan  Vaupel  [9].  Scholey  dan Willekens [10] mengembangkan diagram Lexis untuk keperluan visualisasi komposisi. Penggunaan lainnya dari diagram Lexis diberikan contohnya oleh [11] dan [12] dalam bidang informatika medis.
Menurut [13], model Cox yang umumnya digunakan pada  analisis survival, dapat digunakan pada lebih  banyak  kasus.  Dari  sudut  pandang  demografi,  penggunaan  model  Cox  dengan  visualisasi  data menggunakan  diagram  Lexis  menempatkan  waktu  sebagai  variabel  kovariat  (penjelas)  dengan  berbagai jenis  skala  waktu.  Salah  satu  model  Cox  adalah  regresi  Cox  yang  pembahasannya  ditemukan  pada  [14]. Masalah survival data lainnya ditemukan pada [15] yang memandang data ketahanan hidup penderita kanker secara komprehensif dari sisi teori, empiris,  komputasi dan aplikasi. Sedangkan  [16] menangani masalah improved survival (ketahanan hidup yang dapat ditingkatkan) pada pasien Diabetic Nephropathy. Merujuk pada [13], maka masalah-masalah survival dapat dikaitkan dengan diagram Lexis.
Integral  merupakan  salah  satu  teori  dalam  matematika  yang  penting  dan  terus  berkembang,  baik secara teoritis maupun penerapannya. Dalam aplikasinya, integral dapat digunakan dalam kehidupan sehari-
hari termasuk dalam bidang kependudukan.  Sebagai contoh, integral ganda digunakan untuk menghitung total lifetime dan jumlah populasi.
Diagram Lexis adalah diagram yang melukiskan hubungan antara waktu terjadinya suatu peristiwa kependudukan dengan umur seseorang pada waktu terjadinya peristiwa tersebut. Peristiwa yang dimaksud misalnya  kematian.  Diagram  Lexis  disajikan  dalam  bentuk  serupa  diagram  Kartesius  dengan  sumbu- x menyatakan waktu terjadinya kematian individu-individu dalam suatu populasi dan sumbu-y menyatakan usia  individu-individu  tersebut.  Penggunaan  diagram  Lexis  antara  lain  untuk  menentukan total  lifetime . Dengan  demikian, total  lifetime individu-individu  dalam  suatu  populasi  dapat  dihitung  dengan  metode integral  ganda  dan  diagram  Lexis.  Diagram  Lexis  juga  digunakan  dalam  menghitung  jumlah  populasi. Dengan  bantuan  metode  Grace-Nesbitt,  maka  dapat  dihitung total  lifetime .  Keuntungan  penggunaan diagram  Lexis  dan  metode  Grace-Nesbitt  adalah  kemudahannya  dalam  perhitungan  dibandingkan perhitungan menggunakan integral ganda. Penggunaan diagram Lexis memerlukan metode Grace-Nesbitt.
Oleh karena itu, dalam artikel ini dijelaskan mengenai penentuan total lifetime yang dihitung dengan dua  cara  yaitu  menggunakan  integral  ganda  dan  diagram  Lexis.  Hal  ini  bertujuan  untuk  mengetahui bagaimana penggunaan integral ganda dan diagram Lexis dalam bidang kependudukan, khususnya dalam kasus menentukan total lifetime .

## 2. METODOLOGI
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  pustaka  atau  riset  literatur  (ristur)  yaitu dengan  memperoleh  informasi  dari  hasil  membaca  dan  mempelajarinya.  Riset  literatur  yaitu  metode memperoleh  data  dari  hasil  membaca  maupun  dan  mengolah  data  yang  didapatkan.  Untuk  memperoleh gambaran tentang penggunaan integral ganda, diagram Lexis, dan metode Grace-Nesbitt diberikan dua buah contoh soal, yaitu:

## Contoh Soal 1:
Tentukan  usia  rata  rata  untuk  individu-individu  dalam  suatu  populasi  yang  saat  ini  berusia  30-65  dan meninggal pada usia antara 63-80!

## Contoh Soal 2:
Tentukan total lifetime untuk individu-individu dalam suatu populasi yang saat ini berusia antara 30-65 dan meninggal pada usia antara 60-80 dalam waktu 40 tahun dari saat ini!
Usia  rata-rata  merupakan  rasio  antara total  lifetime terhadap  jumlah  populasi.  Untuk  menghitung kedua  kuantitas  tersebut  dapat  digunakan  integral  ganda.  Untuk  menghitung  jumlah  populasi  dapat digunakan integral ganda dan diagram Lexis. Sedangkan untuk menghitung total lifetime dapat digunakan integral ganda dan metode Grace-Nesbitt.
Pada contoh soal 1 dan 2, variabel y adalah umur orang saat ini yaitu 65 30   y . Pada contoh soal 1,  variabel t adalah  umur  saat  terjadi  kematian  untuk  orang  yang  berumur , y dengan . t 80 63   sedangkan pada contoh soal 2, variabel t adalah umur saat terjadinya kematian untuk orang yang berumur y , dengan . y t 40  

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Model Populasi Stasioner
Model  merupakan  alat  utama  dalam  sains  untuk  menerangkan  gejala  alam.  Contoh  model  dalam demografi  adalah  Tabel  Kehidupan  yang  menggambarkan  model  penduduk  stasioner.  Model  penduduk stasioner  pertama  kali  dibuat  oleh  Thomas  Halley  pada  tahun  1692  yang  menganggap  penduduk  kota Breslau pada tahun1688 – 1691 bersifat stasioner.
Penduduk stasioner hanya ada dalam teori yaitu berupa Tabel Kehidupan atau sering disebut Tabel Kematian.  Pada  kelompok  penduduk  yang  disebut  populasi  stasioner  dimungkinkan  adanya  “kelahiran tahunan”  dengan  banyaknya  kelahiran  tahunan  diasumsikan  konstan  sepanjang  waktu.  Dalam  populasi stasioner juga terdapat profil mortalitas. Oleh karena banyaknya kelahiran konstan, maka dalam populasi stasioner tidak ada model fertilitas dan karakteristik populasi hanya merupakan fungsi dari mortalitas.
Asumsi-asumsi lain pada model populasi stasioner adalah:
1. kelahiran  sebanyak 0 l terjadi  pada  periode  1  tahun  sehingga  kelahiran  sepanjang  periode  tersebut berdistribusi uniform (seragam), artinya peluang setiap kelahiran dalam periode 1 tahun adalah sama;
2. profil mortalitas pada Tabel Kehidupan berlaku juga dalam populasi stasioner.
Berdasarkan  kedua  asumsi  tersebut,  kelahiran  sepanjang  periode  1  tahun  tersebar  merata  dengan peluang yang sama selama periode tersebut (peluang seorang bayi lahir pada 1 Januari sama dengan peluang bayi  tersebut  lahir  pada  31  Desember),  serta  laju  kematian  juga  bernilai  sama  untuk  seluruh 0 l orang kelahiran-baru.
Sebagai  implikasi,  dari  sejumlah 0 l kelahiran-baru  ( new-born )  akan  terdapat x l orang  yang  masih hidup pada usia x . Asumsi tingkat kematian yang  sama  untuk  seluruh  kelahiran, berakibat  bahwa setiap bagian pecahan yang panjangnya h dalam periode satu tahun, menyebabkan terdapat 0 l h  kelahiran dalam interval sepanjang h tersebut, serta terdapat x l h  individu yang masih hidup  mencapai usia x pada interval sepanjang h untuk tiap-tiap usia x , dengan . ,..., , , x  2 1 0 
Oleh karena profil mortalitas yang sama berlaku untuk setiap individu yang berusia x pada kelompok kelahiran, maka seluruhnya akan memberikan angka yang sama untuk jumlah individu yang hidup mencapai usia x , yaitu x l h  . Oleh karena interval h dapat dibuat sekecil mungkin ( 0  h ) , maka x l individu yang mencapai usia x dalam 1 tahun tersebar merata ( uniform ) sepanjang tahun tersebut.
Istilah  stasioner  diartikan  bahwa  semua  ukuran  demografis  dari  suatu  populasi  atau  sub-populasi mempunyai  nilai-nilai  yang  sama  sepanjang  waktu.  Misalnya,  banyaknya  kelahiran  konstan  sepanjang waktu,  banyaknya  kematian  konstan  sepanjang  waktu,  dan  lain-lain.  Dalam  model  populasi  stasioner, dimisalkan  terdapat  kelompok dengan  kelahiran sebanyak 0 l individu yang terjadi  sepanjang  tahun (dari awal sampai dengan akhir tahun). Dalam populasi tersebut, profil mortalitas setiap individu mengikuti Tabel Kehidupan tertentu (misalnya Tabel Kehidupan Kanada, 1990 – 1992 untuk jenis kelamin pria). Model ini diperluas dengan menambahkan asumsi terdapat kelahiran sebanyak 0 l individu setiap tahunnya dan terjadi (terdistribusi)  sepanjang  tahun  selama  beberapa  tahun  yang  dipilih.  Asumsikan  juga  bahwa  Tabel Kehidupan  yang  dijadikan  sebagai  profil  mortalitas,  berlaku  untuk  seluruh  kelahiran  pada  keseluruhan tahun. Berkaitan dengan kohor, [17] memberikan metode analisis kohor berdasarkan periode umur dengan menggunakan diagram, stereogram, dan persamaan diferensial.
Pada  model  pertama  pengamatan  hanya  menggunakan  satu  tahun  kelahiran  saja,  misalnya  tahun 1990. Artinya, pada tahun 1990 terdapat 0 l kelahiran yang terjadi dari 1 Januari 1990 sampai dengan 31 Desember 1990. Pada model kedua, pengamatan dilakukan pada banyak tahun, misalnya 1988, 1989, 1990, 1991, dan 1992. Pada tahun-tahun tersebut, banyaknya kelahiran adalah sama yaitu . l 0 Persamaanya, pada kedua model memiliki profil mortalitas yang mengacu pada suatu tabel kehidupan tertentu yang dipilih (bisa sama atau berbeda). Dalam hal digunakan tabel kehidupan yang berbeda, maka profil mortalitas merujuk pada  dua  buah  tabel  kehidupan.  Misalkan,  model  pertama  menggunakan  Tabel  Kehidupan  Kanada,  dan model  kedua  menggunakan  Tabel  Kehidupan  Amerika  Serikat.  Namun,  apabila  pada  model  kedua digunakan  Tabel Kehidupan  Amerika Serikat, maka  harus berlaku  untuk seluruh kelahiran pada masing- masing  tahun.  Tidak  boleh  misalnya  1988,  1989,  1990,  1991  menggunakan  Tabel  Kehidupan  Amerika Serikat, namun tahun 1992 profil mortalitasnya menggunakan Tabel Kehidupan Kanada.
Misalkan, dalam model populasi stasioner ini tidak ada migrasi ke dalam (imigrasi)  kecuali akibat kelahiran.  Misalkan  pula,  tidak  ada  emigrasi  (migrasi  keluar)  kecuali  akibat  kematian.  Gambar  berikut memberikan ilustrasi status populasi pada suatu titik waktu yang dinyatakan oleh garis vertikal putus-putus pada Gambar 1.
Gambar 1. Ilustrasi Populasi Penduduk Stasioner: Dalam Selang Waktu yang Sangat Pendek yaitu h ,
Terdapat Kelahiran dan Kematian yang Sama Banyaknya, yaitu . l h 0 
Pada  titik  waktu  yang  diberikan,  terdapat  sebanyak x h L orang  pada  populasi  yang  berusia x dan h x  dari kelompok kelahiran total sebanyak 0 l h  . Sebanyak x h L orang terbagi menjadi dua kelompok, yaitu kelompok I dan II yang dibatasi oleh garis tegak putus-putus. Karena kedua kelompok memiliki ukuran yang sama, maka keduanya memiliki mortalitas yang sama sehingga x h L orang yang hidup antara x dan h x  pada dua titik waktu yang berbeda akan mengelompok dalam kelompok yang sama ukurannya. Oleh karena h dipilih sebarang, maka komposisi umur pada populasi tersebut akan stasioner sepanjang waktu. Jika 1  h , artinya ada 0 L orang yang berusia antara 0 dan 1 pada setiap waktu, ada 1 L orang yang berusia antara 1 dan 2 pada setiap waktu, dan seterusnya. Ini adalah akibat dari populasi yang stasioner.
Berdasarkan persamaan .... L L T x x x     1 total populasi adalah 0 T sepanjang waktu. Secara umum, dapat dikatakan bahwa populasi yang berusia x atau lebih ada sebanyak x T individu pada tiap waktu.
Terdapat y l individu  yang  mencapai  usia y dari  suatu survivorship  group dengan 0 l kelahiran. Turunan  dari  banyaknya  kematian  pada  usia y dalam  suatu  tahun  adalah dy l y y   sehingga  banyaknya kematian dalam satu tahun pada populasi tersebut adalah integral dari dy l y y   untuk seluruh rentang usia y . Jadi, 𝐷 = ∫ 𝑙 𝑦 ∙ 𝜇 𝑦 𝑑𝑦 = − ∞ 0 𝑙 𝑦 | ∞ 0 = −(𝑙 ∞ − 𝑙 0 ) = 𝑙 0 .
Pada  awal  waktu,  dalam survivorship  group tersebut  terjadi  sebanyak 0 l kelahiran.  Dengan berjalannya waktu, dalam rentang usia dari 0 sampai tak hingga, banyaknya seluruh kematian adalah 𝐷 = 𝑙 0 .  Hasil  ini  dapat  diperumum  untuk  pecahan h dengan 1 0   h .  Pada  Gambar  1,  terdapat  kelompok kelahiran sebanyak 0 l h  yang seiring waktu akan menjadi y l h  pada kelompok individu ( survivor ) yang berusia y , serta terjadi dy l h y y    kematian pada usia y selama jangka waktu h dalam 1 tahun. Akibatnya diperoleh
0 0 0 l h dy l h dy l h y y y y             yang sama dengan banyaknya kelahiran. Jadi, dalam selang waktu yang sangat pendek yaitu h terdapat kelahiran dan kematian yang sama banyaknya, yaitu 0 l h  .

## 3.2 Integral Ganda
Integral  ganda  ( double  integrals )  adalah  integral  biasa/tunggal  yang  hasil  pengintegralan  pertama harus diintegralkan kembali. Integral ganda dinyatakan sebagai berikut:

## ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
yang merupakan bentuk umum integral lipat dua tak tentu ( indifinite double integrals ) dikarenakan tidak memiliki  batas  atas  dan  batas  bawah.  Kemudian  untuk  bentuk  umum  integral  lipat  dua  tertentu  ( difinite double integrals ) sebagai berikut:
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 2 𝑥 1 𝑦 2 𝑦 1
Bentuk tersebut dinamakan integral lipat dua tertentu ( difinite double integrals ) karena tiap-tiar integralnya mempunyai batas atas ( 𝑥 2 dan 𝑦 2 ) dan batas bawah ( 𝑥 1 dan 𝑦 1 ).
Integral ganda memiliki beberapa penerapan. Penerapan yang paling jelas adalah dalam perhitungan volume  benda  pejal.  Integral  ganda  juga dapat  diaplikasikan  ke  dalam  banyak  hal.  Dari  yang  sederhana, hingga aplikasi perhitungan yang sangat kompleks. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali terutama dalam bidang matematika demografi, seperti yang dibahas pada artikel ini.

## 3.3 Metode Grace-Nesbitt
Dalam populasi stasioner berlaku ketiga rumus berikut:
x x y y l dy l       (1)
x x y T dy l    
(2)
x x y Y dy T    
(3)
  x x x y Y T x dy l y        (4)
dengan
x l :   banyaknya individu yang mencapai usia x dalam satu tahun  banyaknya kematian dalam satu tahun untuk individu dengan usia x atau lebih;
x T :  jumlah individu dalam populasi  yang berumur x atau lebih setiap saat atau total future lifetime dari sebarang x l group ;
x Y : total future lifetime dari x T individu yang berusia x atau lebih atau total past lifetime setelah usia x .
Berikut ini adalah dua buah formula Grace-Nesbitt yang digunakan dalam diagram Lexis, yaitu:
x x x T l x l    (5)
x x x Y T x T 2    (6)
Persamaan (5) berarti jika suatu kelompok terdiri dari x l individu, maka total banyaknya tahun hidup yang  dilalui  oleh x l individu  tersebut  adalah x x T l x   .  Sedangkan  Persamaan  (6)  berarti  jika  suatu
kelompok terdiri x T individu berusia x atau lebih, maka total past lifetime sebelum usia x adalah x T x  , total past lifetime setelah usia x adalah x Y dan total future lifetime adalah x Y .
Berikut ini penurunan kedua metode Grace-Nesbitt pada Persamaan (5) dan (6). Misalkan x L adalah suatu  fungsi  yang  menyatakan  banyaknya  tahun-hidup  ( life-years )  yang  telah  dilalui  oleh  sejumlah x l individu  sepanjang  tahun  dari  usia x hingga 1  x .  Definisikan ..... L L L T x x x x       2 1 dengan x T menyatakan total future life-times (total waktu hidup masa depan) yang masih akan dijalani oleh sejumlah x l individu dalam suatu populasi.
Misalkan terdapat x l individu yang masih hidup pada usia x dalam suatu survivorship group . Pilih y x  , maka terdapat y l individu yang hidup pada usia y . Selanjutnya, dy l y y   menyatakan banyaknya kematian pada usia 𝑦 dan dy l y y y    menyatakan total usia pada saat kematian dari seluruh kematian yang terjadi pada usia 𝑦 . Total banyaknya tahun hidup yang dilalui oleh kelompok yang terdiri dari x l individu adalah    
x y y dy l y  .  Dengan  integral  parsial y u  dan dy du  serta dy l dv y y    dan
x y y y l x l dy l v         diperoleh
x x x y y T l x dy l y        
Hasil ini disebut metode Grace-Nesbitt pada
Persamaan (5), yaitu x x x T l x l    .
Selanjutnya, akan total past lifetime dan total lifetime untuk x T individu berusia x atau lebih. Seluruh orang yang hidup saat ini telah mencapai usia x atau lebih, sehingga total past lifetime tepat hingga usia x adalah x T x  yang  merupakan  hasil  kali  umur  ( x )  dengan total  future  lifetime dari x l grup  yaitu   .... 1     x x L L x .  Populasi  tersebut  juga  menyimpan past  lifetime untuk  usia  setelah x akibat  seluruh anggota populasi berusia x atau lebih. Jadi,
total lifetime = total past lifetime + total future lifetime
=   ( total past lifetime sebelum usia x + total past lifetime setelah usia x ) + total future lifetime
Untuk sejumlah x T individu yang saat ini berusia x atau lebih, berlaku
i. total past lifetime sebelum usia x = x T x 
ii. total past lifetime setelah usia x = x Y (dihitung dengan integral parsial)
iii. total past lifetime = x x Y T x  
iv. total future lifetime = x Y
Jadi, total lifetime = x x x x x Y T x Y Y T x 2       . Ini adalah metode Grace-Nesbitt yang kedua pada Persamaan (6). Berdasarkan hasil ini, dalam populasi stasioner, x Y menyatakan total future lifetime untuk x T yang berusia x atau lebih dan total past lifetime setelah usia x

## 3.4 Diagram Lexis
Diagram  Lexis  dapat  digunakan  untuk  mendefinisikan  populasi  stasioner.  Pada  diagram  Lexis dilukiskan hubungan antara waktu terjadinya suatu peristiwa kependudukan dengan umur seseorang pada waktu terjadinya peristiwa tersebut. Peristiwa ini dilukiskan dalam sebuah grafik dengan sumbu- x (sumbu
horizontal)  melukiskan  skala  waktu  dan  sumbu- y (sumbu  vertikal)  melukiskan  skala  umur  atau  lamanya waktu (Gambar 2). Kedua sumbu dibatasi dengan garis-garis dengan jarak yang sama.

## Gambar 2. Diagram Lexis dan Petunjuk Arah
Sejarah  kehidupan  individu  yang  secara  grafis  digambarkan  oleh  sebuah  garis  yang  titik  awalnya adalah  pada  saat  individu  tersebut  lahir  (masuk  ke  dalam  populasi)  dan  titik  akhirnya  adalah  pada  saat meninggal (keluar dari populasi). Pada diagram Lexis di Gambar 2 berlaku:
1. Garis vertikal pada diagram Lexis menyatakan umur. Penomoran umur dimulai dari umur yang paling kecil pada baris pertama dilanjutkan umur berikutnya pada baris selanjutnya.
2. Garis horizontal berisi urutan waktu (tahun) terjadinya suatu peristiwa.
3. Seluruh individu dalam populasi bergerak dengan sudut 45 0 , ke arah bawah menyamping kanan.
4. Setiap pertambahan unit waktu sama dengan pertambahan usia.
Penggunaan  diagram  Lexis  dibantu  dengan  arah  mata  angin  (Gambar  2  kanan).  Selain  itu,  penggunaan diagram Lexis juga perlu batuan formula Grace-Nesbitt. Formula Grace-Nesbitt pada Persamaan (5) dan (6) yang  digunakan  pada  perhitungan total  lifetime perannya  pada  diagram  Lexis.  Persamaan  (5)  dan  (6) menjelaskan tentang total lifetime atas sejumlah 𝑙 𝑥 dan 𝑇 𝑥 individu. Total lifetime untuk sejumlah 𝑙 𝑥 individu dalam suatu kelompok adalah 𝑥 ∙ 𝑙 𝑥 + 𝑇 𝑥 . Sedangkan, total lifetime untuk sejumlah 𝑇 𝑥 individu dalam suatu kelompok adalah 𝑥 ∙ 𝑇 𝑥 + 2𝑌 𝑥 .
Pada artikel ini diberikan dua buah contoh soal. Kedua contoh soal tersebut dicari solusinya masing- masing dengan metode integral ganda dan metode Grace-Nesbitt serta diagram Lexis. Kedua contoh yang akan diselesaikan tersedia pada bagian Metodologi Penelitian.

## 3.5 Penyelesaian Contoh Soal 1 dengan Integral Ganda
Penyelesaian soal nomor 1 dengan integral ganda menggunakan persamaan:
∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 𝑡 2 𝑡 1 𝑦 2 𝑦 1 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (7)
Pada Persamaan (7),   t , y f merupakan suatu fungsi yang dapat menyatakan berbagai situasi. Secara umum, untuk menghitung persamaan (5) sesuai dengan situasinya adalah dengan substitusi   t , y f oleh:
number of members :   1  t , y f (8)
total past lifetime :   y t , y f  (9)
total future lifetime :   t t , y f  (10)
total lifetime :   y t t , y f   (11)
Pada  soal  nomor  1  dihitung  usia  rata-rata  meninggal.  Usia  rata-rata  meninggal  untuk  individu individu  dalam  suatu  populasi  merupakan  rasio  antara total  lifetime individu-individu  dalam  populasi tersebut terhadap banyaknya individu dalam populasi tersebut. Perhitungan total lifetime dengan substitusi fungsi   t , y f pada  Persamaan  (11) dan  banyaknya  individu  dalam  populasi  dihitung  dengan  Persamaan (8).
Nyatakan  usia  rata-rata  meninggal  dengan 𝐵 𝐴 ,  sehingga 𝐴 menyatakan  banyaknya  individu  dalam populasi dan 𝐵 menyatakan total tahun hidup ( lifetime ) yang dijalani oleh orang-orang yang berusia 30-65 tahun. Berdasarkan contoh soal 1, usia individu adalah 30-65 dan usia terjadinya kematian  adalah 63-80. Berdasarkan batas-batas integrasi tersebut, Persamaan (7) dituliskan menjadi:
∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 65 30
. 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (12)
Interval  usia  individu  dan  interval  waktu  terjadinya  kematian  menunjukkan  adanya overlap antara  usia individu dan waktu terjadinya kematian sehingga integral pada Persamaan (12) dipecah menjadi dua, yaitu
∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (13)
Pada Persamaan (13), untuk menghitung total tahun hidup ( total lifetime ) 𝐵 ambil 𝑓(𝑦, 𝑡) = 𝑦 + 𝑡 dan untuk menghitung banyaknya individu 𝐴 ambil 𝑓(𝑦, 𝑡) = 1 , maka diperoleh Persamaan (14) dan (15):
𝐵 = ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (14)
dan
𝐴 = ∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (15)
Persamaan  untuk  menghitung A yaitu  Persamaan  (15)  terdiri  dari  dua  buah  suku.  Penyelesaian Persamaan (15) dilakukan untuk suku pertama sisi kanan Persamaan (15), yaitu:
∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (16)
Integral pada Persamaan (16) merupakan integral ganda. Penyelesaiannya dengan menghitung lebih dahulu integral terhadap variabel t , yaitu ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 . Dari 𝑙 𝑦 . 𝜇 𝑦 𝑑𝑦 = −𝑙 𝑦 (Persamaan (1)), maka:
∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡  = 𝑙 𝑦+𝑡 | 63−𝑦 80−𝑦 = ( −𝑙 𝑦+80−𝑦 ) − (− 𝑙 𝑦+63−𝑦 ) = 𝑙 63 − 𝑙 80
Selanjutnya, Persamaan (16) akan menjadi:
∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (𝑙 63 63 30 − 𝑙 80 )𝑑𝑦 = 𝑙 63 . 𝑦| 30 63 − 𝑙 80 . 𝑦| 30 63 = 𝑙 63 (63 − 30) − 𝑙 80 (63 − 30)
= 33𝑙 63 − 33𝑙 80 (17)
Perhitungan suku kedua sisi kanan Persamaan (15), yaitu
∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦
0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦
Hitung ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 terlebih dahulu. Dari (1) diperoleh ∫ 𝑙 𝑦 𝜇 𝑦 𝑑 𝑦 = −𝑙 𝑦 , maka
∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 = −𝑙 𝑦+𝑡 | 0 80−𝑦 = (−𝑙 𝑦+80−𝑦 ) − (−𝑙 𝑦+0 ) = 𝑙 𝑦 − 𝑙 80
Selanjutnya,
∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (𝑙 𝑦 65 63 − 𝑙 80 )𝑑𝑦 = ∫ 𝑙 𝑦 𝑑 𝑦 − ∫ 𝑙 80 𝑑𝑦 65 63 65 63 = −𝑇 𝑦 | 63 65 −𝑙 80 . 𝑦| 63 65 = (−𝑇 65 ) − (𝑇 63 ) − 𝑙 80 (65 − 63) = 𝑇 63 − 𝑇 65 − 2𝑙 80 (18)
Sehingga banyaknya individu adalah jumlahan dari hasil perhitungan pada Persamaan (17) dan (18):
A = ∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63
30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65
63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦
= 33 𝑙 63 − 33𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 65 − 2𝑙 80 = 33 𝑙 63 − 33𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 65 (19)
Persamaan (14) menghasilkan nilai B . Seperti halnya Persamaan (15), Persamaan (14) terdiri dari dua buah suku berbentuk integral ganda. Penyelesaiannya dimulai dengan mengintegralkan suku pertama ruas kanan Persamaan (14), yaitu:
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30
. 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (20)
Penyelesain dilakukan dengan menghitung lebih dahulu integral terhadap variabel t , yaitu:
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 (21)
Dengan menggunakan integral parsial, dimisalkan:
𝑢  = 𝑦 + 𝑡 𝑑𝑣 = 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦
𝑣 = ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 = −𝑙 𝑦+𝑡
maka Persamaan (21) menjadi:
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡  = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢
= (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 63−𝑦 80−𝑦 − ∫ −𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 𝑑𝑡 = −(𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 63−𝑦 80−𝑦 + (−𝑇 𝑦+𝑡 )| 63−𝑦 80−𝑦 (Persamaan (2))
= (−(𝑦 + 80 − 𝑦)𝑙 𝑦+80−𝑦 )— (𝑦 + 63 − 𝑦)𝑙 𝑦+63−𝑦 + (−𝑇 𝑦+80−𝑦 ) − (−𝑇 𝑦+63−𝑦 ) = [−80𝑙 80 + 63𝑙 63 ] − 𝑇 80 + 𝑇 63 (22)
= 63 𝑙 63 − 80𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 80
Selanjutnya, Persamaan (20) menjadi
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (63𝑙 63 − 80𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 80 63 30 )𝑑𝑦 = 63𝑙 63 . 𝑦 − 80𝑙 80 . 𝑦 + 𝑇 63 . 𝑦 − 𝑇 80 . 𝑦| 30 63
= 63𝑙 63 (63 − 30) − 80𝑙 80 (63 − 30) +
𝑇 63 (63 − 30) − 𝑇 80 (63 − 30)
= 2079𝑙 63 − 2640𝑙 80 + 33𝑇 63 − 33𝑇 80 (23)
Integral suku kedua ruas kanan Persamaan (14), yaitu:
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 Perhitungan dilakukan untuk ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0
. 𝜇 𝑦+𝑡 dt terlebih dahulu.
Misal: u = y + 𝑡 dv = 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
du = 𝑑𝑦 v = ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 = −𝑙 𝑦+𝑡
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 . 𝜇 𝑦+𝑡 dt = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
= (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 0 80 − ∫ −𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 𝑑𝑡 = −(𝑦 + 𝑡)(𝑙 𝑦+𝑡 )| 0 80−𝑦 +   (−𝑇 𝑦+𝑡 )| 0 80−𝑦 (Persamaan (2))
= [(−(𝑦 + 80 − 𝑦)𝑙 𝑦+80−𝑦 ) − (−𝑦 + 0)𝑙 𝑦+0 ] − [−𝑇 80 + 𝑇 𝑦 ] = [−80𝑙 80 + 𝑦𝑙 𝑦 ] + [−𝑇 80 + 𝑇 𝑦 ] = 𝑦𝑙 𝑦 − 80𝑙 80 + 𝑇 𝑦 − 𝑇 80
Akibatnya, integral suku kedua ruas kanan Persamaan (14) menjadi:
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (𝑦. 𝑙 𝑦 − 80𝑙 80 + 𝑇 𝑦 − 𝑇 80 )
65 63 𝑑𝑦
Dengan menggunakan Persamaan (3) dan Persamaan (4) diperoleh:
= (−𝑦. 𝑇 𝑦 − 𝑌 𝑦 )| 63 65 −80. 𝑙 80 . 𝑦)| 63 65 + (−𝑌 𝑦 )| 63 65 − 𝑇 80 . 𝑦| 63 65
= [(−65𝑇 65 − 𝑌 65 )— 63𝑇 63 − 𝑌 63 ) − 80𝑙 80 (65 − 63) + (−𝑌 65 − (−𝑌 63 )) − 𝑇 80 (65 − 63)
= −160𝑙 80 − 2𝑇 80 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 + 63𝑇 63 + 2𝑌 63 (24)
Sehingga total lifetime pada Persamaan (14) sebagai penjumlahan Persamaan (23) dan (24):
B = ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 63−𝑦 63 30 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 63 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦
= 2079𝑙 63 − 2640𝑙 80 + 33𝑇 63 − 33𝑇 80 − 160𝑙 80 − 2𝑇 80 −  65𝑇 65 − 2𝑌 65
= 2079𝑙 63 − 96𝑇 63 + 2𝑌 63 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 − 2800𝑙 80 − 35𝑇 80 (25)
Dengan demikian, usia rata-rata untuk individu-individu dalam suatu populasi yang saat ini berusia 30-65 dan meninggal pada usia antara 63-80 adalah rasio antara Persamaan (25) dan (19), yaitu:
usia rata − rata = 𝐵 𝐴 = 2079𝑙 63 − 96𝑇 63 + 2𝑌 63 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 − 2800𝑙 80 − 35𝑇 80 33𝑙 63 − 35𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 65 (26)

## 3.6 Penyelesaian Contoh Soal 1 dengan Diagram Lexis
Penyelesaian dengan diagram Lexis menempatkan usia populasi pada sumbu tegak dan waktu (usia) terjadinya kematian pada sumbu mendatar. Kedua sumbu mempunyai satuan tahun sehinga panjang interval yang sama menyatakan jarak usia yang sama . Umur populasi adalah 30-65 dan meninggal pada usia antara 63-80. Pada sumbu tegak dituliskan usia dari 30-65 dan pada sumbu mendatar dituliskan waktu peristiwa terjadi yaitu 63-80 (Gambar 3).
Gambar 3. Diagram Lexis untuk Contoh Soal 1
Perhatikan  daerah  yang  dilingkupi  oleh  warna  kuning  pada  Gambar  3.  Pandang  daerah  tersebut sebagai  wilayah  suatu  negara,  yang  dibatasi  oleh  daratan  dan  lautan.  Batas-batas  daratan  adalah  garis mendatar dan tegak. Batas-batas lautan adalah garis diagonal. Dalam wilayah negara tersebut, penduduknya dapat melakukan migrasi, baik imigrasi (migrasi in /masuk) maupun emigrasi (migrasi out /keluar). Sebagai kesepakatan, migrasi masuk dan keluar hanya dapat melalui batas negara yang berupa daratan (garis tegak atau  mendatar).  Untuk  migrasi  masuk  dapat  dilakukan  lewat  arah  utara  dan  timur.  Untuk  migrasi  keluar dilakukan arah barat dan selatan.
Pada  Gambar  3,  terdapat  lima  buah  garis  kuning,  masing-masing  dua  garis  diagonal,  dua  garis mendatar dan satu garis tegak. Kedua garis diagonal sejajar atau berhimpit dengan garis berwarna merah. Pada  garis  mendatar  pertama  terdapat  kelompok  individu  yang  berumur  63  tahun,  ditulis 63 l .  Individu tersebut  dari  arah  utara  sehingga  posisinya  adalah  migrasi in .  Oleh  karena  panjang  garis  kuning  tersebut adalah  33  (dari  63  –  30),  maka  banyaknya  individu  yang  masuk  adalah 33 ∙ 𝑙 63 .  Garis  kuning  mendatar kedua  pada  posisi  usia  80  sehingga  terdapat  mempunyai  kelompok  individu  dengan  usia  80,  ditulis 𝑙 80 . Individu tersebut dari arah selatan sehingga posisinya adalah migrasi out . Oleh karena panjang garis kuning tersebut adalah 35 (dari 80 – 45), maka banyaknya individu yang masuk adalah 35 ∙ 𝑙 80 . Garis kuning tegak bermula pada posisi 63 dan berakhir pada posisi 65. Garis tersebut berada pada posisi sebelah barat sehingga posisinya adalah migrasi in . Banyaknya individu yang masuk wilayah suatu negara dari arah barat pada usia antara  63  dan  65  dinyatakan  dengan 𝑇 63 − 𝑇 65 .  Banyaknya  populasi  (individu)  yang  dianalisis  adalah migrasi in dikurangi migrasi out , yaitu 33 ∙ 𝑙 63 + 𝑇 63 − 𝑇 65 − 35 ∙ 𝑙 80 . Hasil ini sama persis dengan solusi bagian A yang dikerjakan dengan integral ganda.
Selanjutnya  dihitung total  lifetime untuk  seluruh  individu  yang  kita  analisis.  Jumlah  total  individu yang  dianalisis  adalah 63 33 l  + 65 63 T T  80 35 l   .  Dengan  menggunakan  metode  Grace-Nesbitt  pada persamaan (5) dan (6), diperoleh total lifetime untuk masing-masing komponen adalah:
total lifetime untuk komponen 63 33 l  adalah   63 63 63 33 T l   
total lifetime untuk komponen 80 35 l  adalah   80 80 80 35 T l   
total lifetime untuk komponen 65 63 T T  adalah     65 65 63 63 2 65 2 63 Y T Y T       
sehingga total lifetime keseluruhan adalah:
total lifetime =   63 63 63 33 T l    +     65 65 63 63 2 65 2 63 Y T Y T          80 80 80 35 T l     = 80 80 65 65 63 63 63 35 2800 2 65 2 96 2079 T l Y T Y T l             
Hasil ini sama persis dengan solusi menggunakan integral ganda. Jadi,
usia rata − rata = 𝐵 𝐴 = 2079𝑙 63 − 96𝑇 63 + 2𝑌 63 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 − 2800𝑙 80 − 35𝑇 80 33𝑙 63 − 35𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 65
Hasil ini sama dengan Persamaan (26).

## 3.7 Penyelesaian Contoh Soal 2 dengan Integral Ganda
Perhatikan contoh soal 2 pada bagian metodologi. Pada contoh soal 2 terdapat penambahan informasi kematian  terjadi  dalam  waktu  40  tahun  dari  saat  ini.  Berdasarkan  penyelesaian  dari  contoh  soal  1, total lifetime pada Persamaan (14) diubah menjadi tiga buah integral. Suku pertama ruas kanan Persamaan (14) diubah menjadi dua buah integral, sedangkan suku kedua ruas kanan tetap, diperoleh:
Total lifetime = ∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡) 40 60−𝑦 40 30 . 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 60−𝑦 60
40 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 + ∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡
80−𝑦 0 65
60 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (27)
Contoh  soal  2  hanya  menghitung total  lifetime ,  maka  ambil f ( y +𝑡) = 𝑦 + 𝑡 . Penyelesaian  dilakukan berturut-turut untuk suku pertama, kedua dan ketiga Persamaan (27). Integral suku pertama:
Suku pertama = ∫ [∫ 𝑓(𝑦, 𝑡) 40 60−𝑦 . 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡] 40 30 𝑑𝑦 (28)
Penyelesaian terhadap variabel t adalah mengitung bagian dalam Persamaan (28), yaitu:
∫ (𝑦 + 𝑡) 40
60−𝑦 . 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
Misal: u = 𝑦 + 𝑡 dv = 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
du = 𝑑𝑡 v = ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡  = −𝑙 𝑦+𝑡
Diperoleh
∫ (𝑦 + 𝑡) 40 60−𝑦 . 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 40 − ∫ (−𝑙 𝑦+𝑡 ) 40 60−𝑦 𝑑𝑡 = (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 40 + ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 40 60−𝑦 𝑑𝑡 = −(𝑦 + 𝑡)𝑙 𝑦+𝑡 | 60−𝑦 40 + (−𝑇 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 40
= [(−(𝑦 + 40)𝑙 𝑦+40 ) − (−(𝑦 + 60 − 𝑦)𝑙 𝑦+60−𝑦 )] + [(−𝑇 𝑦+40 ) − (−𝑇 𝑦+60−𝑦 )]
= −(𝑦 + 40)𝑙 𝑦+40 + 60𝑙 60 − 𝑇 𝑦+40 + 𝑇 60 = −(𝑦 + 40)𝑙 𝑦+40 − 𝑇 𝑦+40 + 60𝑙 60 + 𝑇 60
Selanjutnya, Persamaan (28) menjadi:
Suku pertama = ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡) 40 60−𝑦 40 30 . 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦
= ∫ (−(𝑦 + 40)𝑙 𝑦+40 − 𝑇 𝑦+40 + 60𝑙 60 + 𝑇 60 ) 40 30 𝑑𝑦
= 60𝑙 60 ∫ 𝑑𝑦 + 𝑇 60 ∫ 𝑑𝑦 40 30 − 40 30 ∫ (𝑦 + 40)𝑙 𝑦+40 𝑑(𝑦 + 40) 40 30 − ∫ 𝑇 𝑦+40 𝑑(𝑦 + 40) 40 30
= 600𝑙 60 + 10 𝑇 60 − [− ((𝑦 + 40)𝑇 𝑦+40 + 𝑌 𝑦+40 )] | 40 30 − [(−𝑌 𝑦+40 )] | 40 30
= 600𝑙 60 + 10 𝑇 60 − [−(80𝑇 80 + 𝑌 80 ) − (−(70𝑇 70 + 𝑌 70 ))] − [(−𝑌 80 ) − (−𝑌 70 )]
= 600𝑙 60 + 10 𝑇 60 − [70𝑇 70 − 80𝑇 80 + 𝑌 70 − 𝑌 80 ] − [𝑌 70 − 𝑌 80 ]
= 600𝑙 60 + 10 𝑇 60 − 70𝑇 70 + 80𝑇 80 − 2𝑌 70 + 2𝑌 80 (29)
Penyelesaian suku kedua Persamaan (27):
Suku kedua = ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 60−𝑦 60 40 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (30)
Penyelesaian terhadap variabel t adalah mengitung bagian dalam Persamaan (30), yaitu
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 60−𝑦 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 Misal: u = 𝑦 + 𝑡 dv = 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
du = 𝑑𝑡 v = ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 = −𝑙 𝑦+𝑡
Diperoleh
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡
80−𝑦 60−𝑦
. 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡  = (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 80−𝑦 − ∫ −𝑙 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 80−𝑦 60−𝑦
= −(𝑦 + 𝑡)(𝑙 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 80−𝑦 + (−𝑇 𝑦+𝑡 )| 60−𝑦 80−𝑦
= [(−(𝑦 + 80 − 𝑦)𝑙 𝑦+80−𝑦 ) − (−(𝑦 + 60 − 𝑦)𝑙 𝑦+60−𝑦 )] +   [(−𝑇 𝑦+80−𝑦 ) − (−𝑇 𝑦+60−𝑦 )]
= −80𝑙 80 + 60𝑙 60 − 𝑇 80 + 𝑇 60
Selanjutnya, integral suku kedua pada Persamaan (30) menjadi:
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 60−𝑦 60 40 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (−80𝑙 80 + 60𝑙 60 − 𝑇 80 + 𝑇 60 ) 𝑑𝑦 60 40 = [−80𝑙 80 . 𝑦 + 60𝑙 60 . 𝑦 − 𝑇 80 . 𝑦 + 𝑇 63 . 𝑦]| 40 60
= −80𝑙 80 (60 − 40) + 60𝑙 60 (60 − 40) − 𝑇 80 (60 − 40) + 𝑇 60 (60 − 40)
= −1600𝑙 80 + 1200𝑙 60 − 20𝑇 80 + 20𝑇 60 (31)
Penyelesaian suku ketiga Persamaan (27):
Suku ketiga = ∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡
80−𝑦 0
65 60 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 (32)
Penyelesaian terhadap variabel t adalah menghitung bagian dalam Persamaan (32), yaitu
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡
80−𝑦 0 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
Misal: u = 𝑦 + 𝑡 dv = 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡
du = 𝑑𝑡 v = ∫ 𝑙 𝑦+𝑡 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 = −𝑙 𝑦+𝑡
Diperoleh:
∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡  = (𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 0 80−𝑦 − ∫ −𝑙 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 80−𝑦
0
= −(𝑦 + 𝑡)(−𝑙 𝑦+𝑡 )| 0 80−𝑦 + (−𝑇 𝑦+𝑡 )| 0 80−𝑦
= [(−(𝑦 + 80 − 𝑦)𝑙 𝑦+80−𝑦 ) − (−(𝑦 + 0)𝑙 𝑦+0 )] + [−𝑇 𝑦+80−𝑦 − (−𝑇 𝑦+0 )]
= −80𝑙 80 + 𝑦𝑙 𝑦 − 𝑇 80 + 𝑇 𝑦
Selanjutnya, integral suku ketiga pada Persamaan (27) menjadi
∫ ∫ (𝑦 + 𝑡). 𝑙 𝑦+𝑡 80−𝑦 0 65 60 . 𝜇 𝑦+𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (−80𝑙 80 + 𝑦𝑙 𝑦 − 𝑇 80 + 𝑇 𝑦 ) 65 60 dy
= [−80𝑙 80 . 𝑦 − 𝑦. 𝑇 𝑦 − 𝑌 𝑦 − 𝑇 80 . 𝑦 − 𝑌 𝑦 ]| 60 65
= [−80𝑙 80 (65 − 60)] + [(−65𝑇 65 − 𝑌 65 ) − (−63𝑇 63 − 𝑌 63 )] + [−𝑇 80 . (65 − 60)] + [−𝑌 65 − (−𝑌 63 ) ] = −400𝑙 80 − 5𝑇 80 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 + 60𝑇 60 + 2𝑌 60 ( 33)
Dengan demikian, total lifetime pada Persamaan (27) adalah penjumlahan dari (29), (31) dan (33):
Total lifetime = [600𝑙 60 +  10𝑇 60 − 70𝑇 70 + 80𝑇 80 − 2𝑌 70 + 2𝑌 80 ] +
[−1600𝑙 80 + 1200𝑙 60 − 20𝑇 80 + 20𝑇 60 ] +
[−400𝑙 80 − 5𝑇 80 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 + 60𝑇 60 + 2𝑌 60 ]
= 1800𝑙 60 − 2000𝑙 80 + 90𝑇 60 − 65𝑇 65 − 70𝑇 70 + 55𝑇 80
+2𝑌 60 − 2𝑌 65 − 2𝑌 70 + 2𝑌 80

## 3.8 Penyelesaian Contoh Soal 2 dengan Diagram Lexis
Pada contoh soal 2 hanya dihitung total lifetime untuk individu-individu dalam suatu populasi yang saat  ini  berusia  antara  30-65  dan  meninggal  pada  usia  antara  60-80  dalam  waktu  40  tahun  dari  saat  ini. Perbedaan  dengan  contoh  soal  1  pada  adanya  penambahan  frase  “dalam  waktu  40  tahun  dari  saat  ini”. Syarat ini diterapkan pada sumbu mendatar dengan mengubah sumbu mendatar mulai dari 0.
Perhatikan  daerah  yang  dilingkupi  oleh  warna  kuning  pada  Gambar  4.  Migrasi in dari  arah  utara ( 60 30 l  ) ditambah arah barat ( 65 60 T T  ). Migrasi out dari arah selatan ( 80 25 l  ) ditambah arah timur    ( 80 70 T T  ). Angka 30 pada 60 30 l  berasal dari (30 – 0). Angka 25 pada 80 25 l  dari (40 – 15).
Banyaknya individu dalam area yang dibatasi oleh garis kuning adalah:
Jumlah Individu = 60 30 l  65 60 T T   80 25 l     80 70 T T   = 60 30 l  80 25 l   65 60 T T   80 70 T T  

## Gambar 4. Diagram Lexis untuk Contoh Soal 2
Dengan menggunakan metode Grace-Nesbitt pada Persamaan (5) dan (6), diperoleh:
Jumlah Individu = 60 30 l  80 25 l  
65 60 T T   80 70 T T   Total lifetime =   60 60 60 30 T l           80 80 80 25 T l             65 65 60 60 2 65 2 60 Y T Y T     80 80 70 70 2 80 2 70 Y T Y T       
atau
Total lifetime = 80 80 70 70 80 65 65 60 60 60 2 55 2 70 000 2 2 65 2 90 1.800 Y T Y T l . Y T Y T l                   
Artikel ini memberikan dua contoh soal terkait penentuan jumlah populasi dan total lifetime . Metode integral ganda dapat digunakan untuk menghitung kedua kuantitas yang dicari. Diagram Lexis digunakan untuk  menghitung  jumlah  populasi,  sedangkan  metode  Grace-Nesbitt  dipakai  dalam  perhitungan total lifetime .  Berdasarkan  dua  contoh  yang  diberikan,  penggunaan  metode  integral  ganda  dan  diagram  Lexis memberikan hasil yang tepat sama dalam menentukan jumlah populasi. Metode integral ganda dan metode Grace-Nesbitt  juga  memberikan  hasil  yang  sama  dalam  perhitungan total  lifetime .  Contoh-contoh pendukung yang memperlihatkan hasil yang sama tersedia pada [5] [18].  Diagram Lexis dipandang sebagai penyederhanaan dari metode integral ganda untuk menghitung jumlah populasi. Sedangkan metode Grace- Nesbitt merupakan penyederhanaan dari metode integral ganda untuk menghitung total lifetime .

## 4. KESIMPULAN
Metode  integral  ganda  dan  diagram  Lexis  merupakan  dua  buah  metode  yang  digunakan  untuk menentukan total lifetime . Penggunaan integral ganda dan diagram Lexis menghasilkan nilai total lifetime yang sama. Dengan menggunakan integral ganda dan diagram Lexis, untuk contoh soal 1 dapat diperoleh hasil dari perhitungan total lifetime adalah:
Total lifetime = 2079𝑙 63 − 96𝑇 63 + 2𝑌 63 − 2800𝑙 80 − 35𝑇 80 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 Kemudian untuk contoh soal 2, diperoleh hasil total lifetime sebesar:
Total lifetime =
80 80 70 70 80 65 65 60 60 60 2 55 2 70 000 2 2 65 2 90 1.800
Y T Y T l . Y T Y T l                   
Perhitungan total lifetime menggunakan integral  ganda dan diagram  Lexis memberikan hasil  yang  sama. Sedangkan rata-rata usia pada contoh soal 1 dan contoh soal 2 berturut-turut adalah
Usia rata − rata  = 2079𝑙 63 − 96𝑇 63 + 2𝑌 63 − 65𝑇 65 − 2𝑌 65 − 2800𝑙 80 − 35𝑇 80 33𝑙 63 − 35𝑙 80 + 𝑇 63 − 𝑇 65 Usia rata − rata = 80 80 70 70 80 65 65 60 60 60 2 55 2 70 000 2 2 65 2 90 1.800 Y T Y T l . Y T Y T l                    60 30 l  80 25 l   65 60 T T   80 70 T T  
Untuk penelitian selanjutnya, dapat mengimplementasikan penggunaan integral ganda dan diagram Lexis  dengan  menggunakan  persoalan  yang  lebih  kompleks.  Persoalan  ini  dapat  berupa  data  untuk menemukan kematian pada grafik sederhana sesuai dengan tiga koordinat demografis yaitu, saat kematian, usia orang yang meninggal pada saat kematian, dan saat kelahiran orang tersebut. Dengan kata lain, diagram Lexis dapat berfungsi sebagai alat bantu untuk memahami hubungan antara umur seseorang dengan variabel demografi yang lain.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   N.  Keyfitz,  Introduction  to  the  Mathematics  and  Population,  Masshachussetts:  Addison-Wesley Publishing Company, 1988.
[2]   D. R. Cox, "Regression and Life-Tables( with Discussion)," Journal of the Royal Statistical Society Series B, vol. 34, no. 2, pp. 187-220, 1972.
[3]   W. Lexis, "La Représentation graphique de la mortalité au moyen de points mortuaires," Annales de Demographie Internationale, vol. IV, pp. 297-324, 1880.
[4]   K. H. &. K. O. Tesárková, "A Few Notes on the Lexis Diagram: The 100th Anniversary of the Death of Wilhem Lexis," Demografie, vol. 56, no. 4, pp. 277-290, 2014.
[5]   R. Brown, Introduction to the Mathematics of Demography, 3rd Ed., USA: Actex Oublications, 1997.
[6]   C. Vandeschrick, "The Lexis Diagram," Demographic Research, vol. 3, no. 4, pp. 97-124, 2001.
[7]   G. Feeney, "Lexis Diagram," pp. 586-588, 2005.
[8]   I. Irma, Diagram Lexis, Kuningan: Sekolah Tinggi Ilmu Kesehatan, 2005.
[9]   R. Rau, C. Bohk-Ewald, M. Muszynska and J. Vaupel, Vizualizing Mortality Dynamics in the Lexis Diagram, Dordrecht: Springer Series in Demographic Method and Population Analysis, 2017.
[10]  J. Scholey and F. Willekens, "Vizualizing Compositional Data on  the Lexis Surface," Demographic Research, vol. 36, pp. 627-658, 2017.
[11]  S.  Dahlin,  "Exploring  the  Usefulness  of  Lexis  Diagrams  of  Quality  Improvement," BMC  Medical Informatics and Decision Making, vol. 20, no. 7, pp. 1-13, 2020.
[12]  G. A. Mensah, G. S. Wei, P. D. Sorlie, L. J. Fine and D. Gordon, "Decline in Cardiovascular Mortality, Possible Causes and Implications," Circulation Research, vol. 120, pp. 336-380, 2017.
[13]  B. Carstensen, "Demography and Epidemiology: Practical Use of the Lexis Diagram in the Computer Age," Annual Meeting of Finnish Statistical Society, pp. 1-30, 2005.
[14]  J. Whitehead, "Fitting Cox's Regression Model to Survival Data Using GLIM," Applied Statistics, vol. 29, no. 3, pp. 268-275, 2004.
[15]  H. Brenner, O. Gefeller and T. Hakulinen, "Period Analysis for "Up-to-Date' Cancer Survival Data: Theory,  Empirical  Valuation,  Computational  Realisation  and  Applications," European  Journal Cancer, vol. 40, no. 3, pp. 326-335, 2004.
[16]  P. Hovind, L. Tarnow, P. Rossing, B. Carstensen and H. H. Parving, "Improved Survival in Patients Obtaining  Remission  of  Nephrotic  Range  Albuminuria  in  Diabetic  Nephropathy," Kidney International, vol. 66, no. 3, pp. 1190-1186, 2004.
[17]  N.  Keiding,  "Age-Period-Cohort  Analysis  in  the  1870s:  Diagrams,  Stereograms,  and  the  Basic Differential Equation," Canadian Journal of Statistics, vol. 39, no. 3, pp. 405-420, 2011.
[18]  K. P. Veit, "Stationary Population Method," Transaction of Society of Actuaries, vol. 16, pp. 233-264, 1964.