BEBERAPA KELAS RUANG BARISAN SELISIH DIPERUMUM TIPE CESARO
Mizan Ahmad 1 ∗
1 Universitas Nahdlatul Ulama Al Ghazali Cilacap
Email: 1 mizan.ahmad36@mail.com
*Penulis Korespondensi
Abstract. In this paper, we discuss about some classes of Cesaro Generalized differ- ence sequence spaces. We observe their completeness and the relationships between them. At the end of this paper, we construct the Kothe-Toeplitz dual of some class of Cesaro difference sequence spaces.
Keywords: normed spaces, Cesaro difference sequences, Kothe-Toeplitz dual.
Abstrak. Pada tulisan ini dibahas mengenai beberapa kelas ruang barisan selisih Ce- saro. Diselidiki kelengkapan masing-masing kelas dan hubungan antar kelas. Pada akhir tulisan ini, dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz dari beberapa kelas ruang barisan selisih Cesaro.
Kata Kunci: Ruang bernorma, barisan selisih Cesaro, dual K¨othe-Toeplitz.

## I. PENDAHULUAN
Ruang barisan merupakan salah satu konsep dalam matematika yang banyak dipelajari dan dikembangkan. Beberapa ruang barisan yang sudah dikenal di antaranya ruang barisan ter- batas, ruang barisan p - absolutely summable , ruang barisan absolutely summable , ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan Cesaro. Konsep barisan Cesaro dikenalkan oleh Ernesto Cesaro dengan mengenalkan rata-rata Cesaro (Cesaro means ) dari su- atu barisan.
Diberikan ω ( R ) = { x = ( x k ) : x k ∈ R , k ∈ N } dan n ∈ N . Ruang barisan Cesaro
C p = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ p = ( ∞ X n =1 1 n n X k =1 | x k | p ) 1 p < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
dan
C ∞ = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ ∞ = sup n 1 n n X k =1 | x k | < ∞}
dikenalkan dalam Shiue [10]. Hasilnya, l p ⊂ Ces p (1 < p < ∞ ) . Ng dan Lee [8] mengenalkan ruang barisan Cesaro tipe non-absolute, yaitu
X p = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ p = ( ∞ X n =1 | 1 n n X k =1 x k | p ) 1 p < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
dan
X ∞ = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ ∞ = sup n | 1 n n X k =1 x k | < ∞} .
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Dalam penelitian tersebut didapatkan, Ces p ⊂ X p , 1 ≤ p < ∞ .
Selanjutnya, Orhan [9] mengenalkan ruang barisan selisih Cesaro X p (∆) dan X ∞ (∆) dengan mengganti x = x k menjadi ∆ x = ∆( x k ) = ( x k − x k +1 ) , k = 1 , 2 , ... . Lebih lanjut,
Orhan [9] mendefinisikan ruang barisan selisih Cesaro X p (∆) dan X ∞ (∆) dengan
O p (∆) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ p = ( ∞ X n =1 1 n n X k =1 | ∆ x k | p ) 1 p < ∞ , 1 ≤ p < ∞}
dan
O ∞ (∆) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∥ x ∥ ∞ = sup n 1 n n X k =1 | ∆ x k | < ∞} .
Dari penelitian tersebut didapatkan X p ⊂ X p (∆) , X ∞ ⊂ X ∞ (∆) , O p (∆) ⊂ X p (∆) dan O ∞ (∆) ⊂ X ∞ (∆) , untuk 1 ≤ p < ∞ . Selanjutnya, Et [3] mendefinisikan dan meneliti ruang barisan
C p (∆ m ) = ( ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∞ X n =1 1 n n X k =1 | ∆ m x k | ! p < ∞ , untuk 1 ≤ p < ∞ ) ,
dan
C ∞ (∆ m ) = ( ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : sup n 1 n n X k =1 | ∆ m x k | < ∞ ) ,
untuk m ∈ N . Dari penelitian tersebut disimpulkan bahwa C p (∆ m − 1 ) ⊂ C p (∆ m ) dan C p
(∆ m ) ⊂ C q (∆ m ) , untuk 1 ≤ p < q < ∞ . Lebih lanjut, untuk barisan kompleks tidak nol g = ( g k ) , Et dan Esi [7] mendefinisikan barisan selisih
X (∆ m g ) = { x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∆ m g x k ∈ X } ,
dengan X = l ∞ , c, c 0 dan ∆ m g x k = P m v =0 ( − 1) v m v ! x k + v g k + v . Dari penelitian tersebut dida- patkan X (∆ m g ) ⊂ X (∆ m +1 g ) . Selain itu, B. C. Tripathy et al. [2] meneliti Z (∆ n m ) , untuk Z = C ∞ , O ∞ , C p , O p , l p , dengan X = l ∞ , c, c 0 dan ∆ n m x k = P n v =0 ( − 1) n m v ! x k + mv . Dari peneli- tian tersebut didapatkan Z (∆ n − 1 m ) ⊂ Z (∆ n m ) . Adapun, A. H. Ganie et al. [1] meneliti Z (∆ n m , θ ) dan Z [∆ n m , θ ] , untuk Z = C ( ∞ ) , C ( p ) . Dari penelitian tersebut didapatkan C ( p ) (∆ n − 1 m , θ ) ⊂ C ( p ) (∆ n m , θ ) dan C ( p ) [∆ n − 1 m , θ ] ⊂ C ( p ) [∆ n m , θ ] .
Pada tulisan ini digunakan notasi C p sebagai X p dan C ∞ sebagai X ∞ . Selanjutnya, untuk X ruang barisan bilangan real, ruang bernorma ( X, ∥ · ∥ ) disebut ruang BK jika ( X, ∥ · ∥ ) merupakan ruang Banach dan untuk setiap k ∈ N , fungsi P k : X → R dengan definisi P k ( x ) = x k , dengan x = ( x k ) merupakan fungsi kontinu.
Terdapat banyak ruang dual yang sering diteliti berkaitan dengan ruang barisan, beberapa diantaranya dibahas dalam Garling [5]. Pada tulisan ini hanya dibahas untuk ruang dual K¨othe- Toeplitz. Dual K¨othe-Toeplitz dari ruang barisan E dinotasikan [ E ] α dengan [ E ] α = { y = ( y k ) : P ∞ k =1 | x k y k | < ∞ , untuk setiap x = x ( k ) ∈ E } . Penelitian tentang dual K¨othe-Toeplitz
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dari suatu ruang barisan dapat ditemukan dalam Et dan C ¸ olak [4], Et [3], serta Kizmaz [6].
Pada tulisan ini, dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz dari beberapa kelas ruang barisan selisih Cesaro.

## II. RUANG BARISAN SELISIH DIPERUMUM CESARO
Berikut ini didefinisikan beberapa kelas barisan selisih diperumum Cesaro.
Definisi 1 Diberikan ω ( R ) = { x = ( x k ) : x k ∈ R , untuk setiap k ∈ N } . Untuk suatu m ∈ N , g = ( g k ) barisan bilangan real tidak nol, dan 1 ≤ p < ∞ didefinisikan
C p (∆ m g ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∞ X i =1 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! p < ∞} , C ∞ (∆ m g ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! < ∞} , l p (∆ m g ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∞ X k =1 | ∆ m g x k | p < ∞} , O p (∆ m g ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : ∞ X i =1 1 i i X k =1 | ∆ m g x k | ! p < ∞} , O ∞ (∆ m g ) = { ¯ x = ( x k ) ∈ ω ( R ) : sup i 1 i i X k =1 | ∆ m g x k | ! < ∞}
dengan
∆ m g x k = m X v =0 ( − 1) v m v ! x k + v g k + v .
Dari definisi tersebut diperoleh kelengkapan dari masing-masing ruang barisan adalah se- bagai berikut
Teorema 1 Diberikan 1 ≤ p < ∞ .
1. Ruang C ∞ (∆ m g ) merupakan ruang Banach terhadap norma yang didefinisikan sebagai berikut
∥ x ∥ ∆ m g C ∞ = m X k =1 | x k g k | + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | .
2. Ruang O ∞ (∆ m g ) merupakan ruang Banach terhadap norma yang didefinisikan sebagai berikut
∥ x ∥ ∆ m g O ∞ = m X k =1 | x k g k | + sup i 1 i i X k =1 | ∆ m g x k | .
3. Ruang l p (∆ m g ) merupakan ruang Banach terhadap norma yang didefinisikan sebagai
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
berikut
∥ x ∥ ∆ m g l p = m X k =1 | x k g k | + ( ∞ X k =1 | ∆ m g x k | p ) 1 p .
4. Ruang C p (∆ m g ) merupakan ruang Banach terhadap norma yang didefinisikan sebagai berikut
∥ x ∥ ∆ m g C p = m X k =1 | x k g k | + ( ∞ X i =1 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | p ) 1 p .
5. Ruang O p (∆ m g ) merupakan ruang Banach terhadap norma yang didefinisikan sebagai berikut
∥ x ∥ ∆ m g O p = m X k =1 | x k g k | + ( ∞ X i =1 ( 1 i i X k =1 | ∆ m g x k | ) p ) 1 p .
Bukti. 1. Mudah ditunjukkan bahwa C ∞ (∆ m g ) merupakan ruang bernorma terhadap norma yang bersesuaian. Selanjutnya, akan ditunjukkan C ∞ (∆ m g ) ruang Banach.
Diambil sebarang bilangan ε > 0 dan ( x s ) = ( x s i ) = ( x s 1 , x s 2 , ... ) barisan Cauchy di dalam C ∞ (∆ m g ) , maka terdapat n 0 ∈ N , sedemikian sehingga untuk setiap s, t ≥ n 0 berlaku
∥ x s − x t ∥ ∆ m g C ∞ < ε ⇔ m X k =1 | ( x s k − x t k ) g k | + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) | ! < ε.
Akibatnya, untuk setiap s, t ≥ n 0 berlaku
m X k =1 | ( x s k − x t k ) g k | < ε (1)
dan
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) | ! < ε, (2)
untuk setiap i ∈ N . Dengan demikian untuk setiap k = 1 , ..., m dan s, t ≥ n 0 , berlaku | ( x s k − x t k ) g k | < ε . Akibatnya, untuk setiap k = 1 , ..., m , ( x s k ) ∞ s =1 merupakan barisan Cauchy di R . Dengan demikian barisan ( x s k ) ∞ s =1 konvergen, katakan ke x k ∈ R , untuk k = 1 , ..., m . Dengan kata lain
lim s →∞ x s k = x k , untuk k = 1 , ..., m. (3)
Selanjutnya, dipunyai sup i | 1 i P i k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) | < ε , untuk setiap s, t ≥ n 0 dan untuk setiap i ∈ N . Karena berlaku untuk setiap i ∈ N , maka didapatkan (∆ m g ( x s k )) ∞ s =1 meru- pakan barisan Cauchy di C ∞ yang lengkap. Akibatnya, (∆ m g ( x s k )) ∞ s =1 konvergen, katakan ke y = ( y k ) ∈ C ∞ , sehingga diperoleh lim s →∞ ∆ m g ( x s k ) = y k , untuk setiap k ∈ N .
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Untuk k = 1 didapatkan
y 1 = lim s →∞ ∆ m g ( x s 1 ) = lim s →∞ m X v =0 ( − 1) v ( m v ) x s 1+ v g 1+ v = lim s →∞ m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) x s 1+ v g 1+ v + ( − 1) m x 1+ m g 1+ m ! = m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ x s 1+ v g 1+ v + ( − 1) m lim s →∞ x s 1+ m g 1+ m .
Karena lim s →∞ x s k = x k , untuk setiap k = 1 , ..., m , maka lim s →∞ x s 1+ v = x 1+ v , untuk v = 1 , ..., m − 1 . Karena lim s →∞ x s 1+ v ada dan P m − 1 v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ x s 1+ v g 1+ v ada, maka diperoleh lim s →∞ x s 1+ m ada, katakan x 1+ m = lim s →∞ x s 1+ m .
Proses tersebut dilanjutkan untuk k = 2 , 3 , 4 , ... , sehingga diperoleh
x k = lim s →∞ x s k , untuk setiap k > m. (4)
Berdasarkan 3 dan 4 didapatkan
x k = lim s →∞ x s k , untuk setiap k ∈ N
dan
∆ m g x k = lim s →∞ ∆ m g x s k , untuk setiap k ∈ N
Selanjutnya, berdasarkan 1 dan 2, untuk setiap s ≥ n 0 berlaku
m X k =1 | ( x s k − x k ) g k | = lim t →∞ m X k =1 | ( x s k − x t k ) g k | < ε
dan
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) | = lim t →∞ sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x t k ) | < ε.
Dibentuk x = ( x k ) , untuk setiap k ∈ N . Akan ditunjukkan bahwa x ∈ C ∞ (∆ m ) . Untuk setiap s ≥ n 0 berlaku
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! ≤ sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x k − x s k ) | ! + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g x s k | ! < ∞ .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Jadi, x ∈ C ∞ (∆ m g ) . Selanjutnya, untuk setiap s ≥ n 0 berlaku
∥ x s − x ∥ ∆ m g C ∞ = m X k =1 | ( x s k − x k ) g k | + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) | ! < 2 ε
Dengan demikian, C ∞ (∆ m g ) ruang Banach terhadap norma ∥ · ∥ ∆ m g C ∞ .
2. Bukti mengikuti (1) .
3. Bukti mengikuti (1) .
4. Bukti mengikuti (1) .
5. Bukti mengikuti (1) .
Lebih lanjut, diperoleh teorema berikut.
Teorema 2 Ruang Z (∆ m g ) merupakan ruang BK, dengan Z = l p , C p , O p , l ∞ , C ∞ , O ∞ , untuk 1 ≤ p < ∞ .
Bukti. Ditunjukkan untuk Z = C ∞ . Untuk kelas yang lain, bukti menggunakan teknik yang sama.
Diambil sebarang barisan ( x s ) yang konvergen, maka terdapat x ∈ C ∞ (∆ m g ) sedemikian sehingga berlaku
∥ x s − x ∥ ∆ m g C ∞ → 0 , untuk s → ∞ ⇔ m X k =1 | ( x s k − x k ) g k | + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) | → 0 , untuk s → ∞ .
Dengan demikian diperoleh
m X k =1 | ( x s k − x k ) g k | → 0 , untuk s → ∞ (5)
dan
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) | → 0 , untuk s → ∞ (6)
Dari 5 diperoleh
| ( x s k − x k ) g k | → 0 , untuk s → ∞ dan untuk k = 1 , ..., m. (7)
Dengan kata lain
lim s →∞ x s k = x k untuk k = 1 , ..., m.
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Dari 6 diperoleh
| 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) | → 0 , untuk s → ∞ dan untuk setiap i ∈ N .
Dengan kata lain
lim s →∞ 1 i i X k =1 ∆ m g ( x s k − x k ) = 0 untuk setiap i ∈ N .
Karena
lim s →∞ ∆ m g ( x s k − x k ) = lim s →∞ m X v =0 ( − 1) v ( m v )( x s k + v − x k + v ) g k = lim s →∞ m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v )( x s k + v − x k + v ) g k + ( − 1) m ( x s k + m − x k + m ) g k ! = m − 1 X v =0 ( − 1) v ( m v ) lim s →∞ ( x s k + v − x k + v ) g k + ( − 1) m lim s →∞ ( x s k + m − x k + m ) g k ,
maka untuk k = 1 diperoleh
lim s →∞ x s 1+ m = x 1+ m .
Proses dilanjutkan untuk i = 2 , 3 , ... , sehingga diperoleh
lim s →∞ x s k = x k untuk setiap k ∈ N .
Jadi, C ∞ (∆ m g ) merupakan ruang BK .
Berikut hubungan antar kelas barisan selisih Cesaro.
Teorema 3 Ruang Z (∆ m − 1 g ) ⊂ Z (∆ m g ) , dengan Z = l p , C p , O p , l ∞ , C ∞ , O ∞ , untuk 1 ≤ p < ∞ . Lebih lanjut, Z (∆ i g ) ⊂ Z (∆ m g ) , untuk i = 1 , ..., m − 1 .
Bukti. Ditunjukkan untuk Z = C ∞ . Untuk kelas yang lain, bukti menggunakan teknik yang sama.
Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ C ∞ (∆ m − 1 g ) , maka berlaku
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k | ! < ∞ .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Karena ∆ m g x k = ∆ m − 1 g x k − ∆ m − 1 g x k +1 , maka untuk setiap i ∈ N berlaku
sup i | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! ≤ sup i | 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k | ! + sup i | 1 i i X k =1 ∆ m − 1 g x k +1 | ! .
Jadi, C ∞ (∆ m − 1 g ) ⊂ C ∞ (∆ m g ) . Lebih lanjut, untuk m ≥ 2 berlaku
C ∞ (∆ 1 g ) ⊂ C ∞ (∆ 2 g ) ⊂ ... ⊂ C ∞ (∆ m − 1 g ) ⊂ C ∞ (∆ m g ) .
Dengan demikian untuk i = 1 , 2 , ..., m − 1 diperoleh C ∞ (∆ i g ) ⊂ C ∞ (∆ m g ) .
Teorema 4 Jika 1 ≤ p < ∞ , maka
1. l p (∆ m g ) ⊂ l ∞ (∆ m g ) ⊂ O ∞ (∆ m g ) , 2. O p (∆ m g ) ⊂ C p (∆ m g ) ⊂ C ∞ (∆ m g ) , dan
3. O p (∆ m g ) ⊂ O ∞ (∆ m g ) ⊂ C ∞ (∆ m g ) .
Bukti. 1. Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ l p (∆ m g ) , dengan 1 ≤ p < ∞ , maka berlaku
∞ X k =1 | ∆ m g x k | p < ∞ .
Akibatnya ada M > 0 sehingga berlaku | ∆ m g x k | < M , untuk setiap k ∈ N . Dengan demikian, sup k | ∆ m g x k | < M < ∞ . Jadi, l p (∆ m g ) ⊂ l ∞ (∆ m g ) .
Selanjutnya, diambil sebarang ( x k ) ∈ l ∞ (∆ m g ) , maka berlaku sup k | ∆ m g x k | < ∞ . Den- gan demikian ada M > 0 sehingga untuk setiap k ∈ N berlaku | ∆ m g x k | < M . Oleh karena itu, diperoleh
sup i 1 i i X k =1 | ∆ m g x k | < M.
Jadi, l ∞ (∆ m g ) ⊂ O ∞ (∆ m g ) .
2. Bukti mengikuti (1) .
3. Bukti mengikuti (1) .
Teorema 5 Jika 1 ≤ p < q , maka
1. C p (∆ m g ) ⊂ C q (∆ m g ) ,
2. O p (∆ m g ) ⊂ O q (∆ m g ) , dan
3. l p (∆ m g ) ⊂ l q (∆ m g ) .
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Bukti. 1. Diambil sebarang x = ( x k ) ∈ C p (∆ m g ) , dengan 1 ≤ p < q , maka berlaku
∞ X i =1 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! p < ∞ ,
sehingga untuk setiap ε > 0 ada n 0 ∈ N sedemikian sehingga berlaku
∞ X i = n 0 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! p < ε. (8)
Karena 1 ≤ p < q , maka untuk setiap i ≥ n 0 dan 0 < ε < 1 berlaku
| 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! q < | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! p < ε < 1 . (9)
Oleh karena itu, berdasarkan 8 dan 9 didapatkan
∞ X i = n 0 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! q < ∞ X i = n 0 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! p < ε.
Dengan demikian,
∞ X i =1 | 1 i i X k =1 ∆ m g x k | ! q < ∞ .
Jadi, C p (∆ m g ) ⊂ C q (∆ m g ) , untuk 1 ≤ p < q .
2. Bukti mengikuti (1) .
3. Bukti mengikuti (1) .

## III. DUAL K ¨ OTHE-TOEPLITZ
Pada bagian ini, dibahas dual K¨othe-Toeplitz untuk ruang l ∞ (∆ m g ) , O ∞ (∆ m g ) , dan C ∞ (∆ m g ) . Berdasarkan Garling [5], jika X dan Y ruang barisan dengan X ⊂ Y , maka [ Y ] α ⊂ [ X ] α . Se- lanjutnya, didefinisikan
SZ (∆ m g ) = { x = ( x k ) : x ∈ Z (∆ m g ) , x 1 = ... = x m = 0 } , dengan Z = l ∞ , C ∞ , O ∞
dan
U = { a = ( a k ) : ∞ X k =1 k m | a k g − 1 k | < ∞} .
Lemma 1 Jika x ∈ SC ∞ (∆ m g ) , maka sup k k − m | x k g k | < ∞ .
Bukti. Bukti mengikuti Akibat 2.3. pada Et [3] dengan mengganti ∆ m dengan ∆ m g .
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Teorema 1 [ Sl ∞ (∆ m g )] α = U .
Bukti. Jika a ∈ U maka P ∞ k =1 k m | a k g − 1 k | < ∞ , artinya ada M 1 > 0 sehingga berlaku P ∞ k =1 k m | a k g − 1 k | < M 1 . Berdasarkan Lema 1 maka ada M 2 > 0 sehingga k − m | x k g k | < M 2 , untuk setiap x k ∈ Sl ∞ (∆ m g ) . Dengan demikian berlaku
∞ X k =1 | a k x k | = ∞ X k =1 k m | a k g − 1 k | k − m | x k g k | < M 2 ∞ X k =1 k m | a k g − 1 k | < M 2 M 1 < ∞ .
Jadi, a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g )] α .
Selanjutnya, jika a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g )] α , maka ∞ X k =1 | x k a k | < ∞ ,
untuk setiap ( x k ) ∈ Sl ∞ (∆ m g ) . Dibentuk barisan x = ( x k ) dengan
| x k g k | = ( 0 , k ≤ m k m , k > m.

## Akibatnya, diperoleh
∞ X k =1 k m | a k g − 1 k | = m X k =1 k m | a k g − 1 k | + ∞ X k =1 | x k g k | | a k g − 1 k | < ∞ .
Dengan demikian, a ∈ U .
Teorema 2 [ Sl ∞ (∆ m g )] α = [ l ∞ (∆ m g )] α .
Bukti. Diketahui Sl ∞ (∆ m g ) ⊂ l ∞ (∆ m g ) , maka diperoleh
[ l ∞ (∆ m g )] α ⊂ [ Sl ∞ (∆ m g )] α .
Diambil sebarang a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g )] α dan x = ( x k ) ∈ l ∞ (∆ m g ) . Karena a ∈ [ Sl ∞ (∆ m g )] α , maka berlaku
∞ X k =1 | a k y k | < ∞ ,
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
untuk setiap ( y k ) ∈ Sl ∞ (∆ m g ) . Selanjutnya dibentuk barisan ¯ x = (¯ x k ) dengan
¯ x k = ( 0 , k ≤ m x k , k > m,
maka ¯ x ∈ Sl ∞ (∆ m g ) . Akibatnya, didapatkan
∞ X k =1 | a k x k | = m X k =1 | a k x k | + ∞ X k =1 | a k ¯ x k | < ∞ .
Dengan demikian, a ∈ [ l ∞ (∆ m g )] α .
Teorema 3 U = [ l ∞ (∆ m g )] α = [ O ∞ (∆ m g )] α = [ C ∞ (∆ m g )] α .
Bukti. Berdasarkan Teorema 1 dan 2 diperoleh bahwa U = [ l ∞ (∆ m g )] α . Selanjutnya, untuk kelas C ∞ (∆ m g ) dan O ∞ (∆ m g ) , bukti menggukan teknik yang sama.

## IV. KESIMPULAN
Pada tulisan ini, dikonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz untuk l ∞ (∆ m g ) , C ∞ (∆ m g ) , dan O ∞ (∆ m g ) . Untuk penelitian selanjutnya, disarankan untuk mengkonstruksikan dual K¨othe-Toeplitz untuk kelas yang lain.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih kepada penilai yang telah memberikan saran.

## REFERENSI
[1] A. H. Ganie, S. A. Lone, dan A. Afroza, Generalised Difference Sequence Spaces of Non-absolute Type, EKSAKTA 11 2 (2020), 147-153.
[2] B. C. Tripathy, A. Esi, dan B. K. Tripathy, On A New Type of Generalized Difference Cesaro Sequence Spaces, Soochow J. Mat. 31 3 (2005), 333-340.
[3] Et, M., On Some Generalized Cesaro Difference Sequence Spaces, Istanbul Univ. Fen Fak. Mat. Dergrisi 55-56 (1996-1997), 221-229.
[4] Et, M. dan C ¸ olak, R., On Some Generalized Diffeerence Sequence Spaces, Soochow J. Math. 21 (1995), 377-386.
[5] Garling, D.J. H., The β - and γ -duality of Sequence Spaces, Proc. Camb. Phil. Soc. 63 (1967), 963.
[6] Kizmaz, H., On Certain Sequence Spaces, Soochow J. Math. 24 (1981), 169-176.
[7] M, E.T. dan A. Esi, On K¨othe-Toeplitz duals of Generalized Difference Sequence Spaces, Bull. Malaysian Math. Sc. Soc. (2) 23 (2000), 25-32.
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i1.13285
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
[8] Ng, PN. and Lee, P.Y., Cesaro Sequence Spaces of Non Absolute Type, Comment. Math. 20 (1978), 429-433.
[9] Orhan, C., Cesaro Difference Sequence Spaces and Related Matrix Transformations, Commun. Fac. Sci.Univ. Ankara, Ser. A. 32 (1983), 55-63.
[10] Shiue, J.S., On The Cesaro Sequence Spaces, Thamkang J. Math. 1 (1970), 19-25.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 1 (JUN 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id