## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.34312/euler.v10i2.16726 Desember 2022, Vol. 10, No. 2, Hal. 244-261

## Bifurkasi Hopf Pada Model Siklus Bisnis Investment Saving- Liquidity Money dengan Waktu Tunda
Gesti Essa Waldhani 1*
1 Teknologi Informasi, Universitas Bina Sarana Informatika, Jakarta Pusat, 10450 , Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: waluyogesti@gmail.com

## Abstrak
Perekonomian tidak selalu baik artinya mengalami gelombang naik turun, situasi ini memerlukan peramalan. Salah satunya model Investment  Saving-Liquidity Money (IS-LM) yang pertamakali diperkenalkan oleh Kalecki tahun 1935 dengan asumsi keuntungan yang diperoleh disimpan untuk digunakan  sebagai  modal  awal  investasi,  sehingga  menyebabkan  adanya  keterlambatan  dalam proses  investasi  (waktu  tunda)  dan  menyebabkan  perubahan  kestabilan  pada  keseimbangan sehingga  terjadi  bifurkasi.  Dalam  penelitian  ini  dianalisis  model  siklus  bisnis  IS-LM  tak  linear. Analisis model dilakukan dengan menentukan titik tetap, kemudian dilakukan analisis kestabilan dari  titik  tetap  tersebut  dengan  mengaplikasikan  teori  bifurkasi  Hopf.  Modifikasi  lain  yang diberikan  pada  model  adalah  penggunaan  waktu  tunda.  Waktu  tunda  merupakan  waktu  yang dibutuhkan  bagi  produk  kotor,  modal  dan  suku  bunga  agar  dapat  digunakan  sebagai  investasi. Model ini diamati pada dua kasus. Kasus pertama adalah model tanpa waktu tunda, diperoleh titik tetap  interior  bersifat  stabil  asimtotik  lokal  dengan  uji  kestabilan  Routh-Hurwitz.  Kasus  kedua adalah model dengan waktu tunda, diperoleh nilai kritis tundaan. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai waktu  tunda  sama  dengan  nilai  kritis  tundaan  dan  juga  memenuhi  kondisi  transversalitas. Pengamatan pada simulasi model dilakukan dengan menvariasikan nilai waktu tunda. Saat bifurkasi Hopf terjadi, grafik pada bidang solusi memperlihatkan pergerakan osilasi yang konstan. Apabila nilai waktu tunda yang diberikan kurang dari nilai kritis tundaan, solusi system terkontrol menuju kondisi yang seimbang. Kemudian ketika nilai waktu tunda diberikan lebih besar dari nilai kritis tundaan, solusi system terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.
Kata Kunci: Stabilitas; Investment Saving-Liquidity Money; Waktu Tunda; Bifurkasi Hopf

## Abstract
The economy is not always good, meaning it experiences ups and downs. This situation requires forecasting. One of which is the Investment Saving-Liquidity Money business cycle model, which was first introduced by Kalecki in 1935 with the assumption that profits will be saved to be used as initial investment capital, thus causing a delay in the investment process (delay time). The addition of time delay in the system of differential equations causes a change in stability at the equilibrium point so that bifurcation occurs. Another modification given to the model is the use of time delays. The model analyzed in this study is a non-linear IS-LM business cycle model with time delay. Delay time is required for the gross product, capital, and interest rate to be used as an investment. This model was observed in two cases. First Case is a model without time delay. The second case is a model with a time delay. In this case, the critical value of delay is obtained. Hopf bifurcation occurs when the value of delay time is equal to the critical value of delay and satisfies the transversality condition. Observations on the model simulation are carried out by varying the delay time value. When the Hopf bifurcation occurs, the graph on the solution  plane shows a constant oscillatory movement. If the value of delay time given is less than the critical value of delay, the controlled system solution goes to a balanced condition. Then when the delay time value is greater than the critical  value  of  delay,  the  system  solution  continues  to  fluctuate,  causing  an  unstable  system condition.
Keywords: Stability; Investment Saving-Liquidity Money; Time Delay; Hopf Bifurcation

## 1. Pendahuluan
Sistem dinamik adalah suatu metode yang berhubungan dengan pertanyaan-pertanyaan tentang tendensi-tendensi  dinamik  sistem-sistem  yang  kompleks,  yaitu  pola-pola  tingkah  laku  yang dibangkitkan oleh sistem dengan bertambahnya waktu [1]. Model persamaan diferensial yang akan dibahas pada penelitian ini merupakan sistem dinamik di bidang ekonomi.
Ekonomi merupakan suatu ilmu yang mempelajari tentang upaya manusia untuk memenuhi kebutuhan  hidupnya  yang  tidak  terbatas  dengan  sumber  daya  yang  terbatas  [2].  Menurut permasalahannya  ilmu  ekonomi  dikelompokkan  menjadi  dua,  yaitu  mikroekonomi  dan makroekonomi.  Salah  satu  permasalahan  makroekonomi  yang  dihadapi  oleh  setiap  negara  adalah pertumbuhan  ekonomi  [2].  Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  yang  pernah  mengalami  krisis perekonomian  dimulai  sejak  tahun  1990-an.  Hingga  saat  ini  keadaan  perekonomian  mengalami fluktuasi dan cenderung naik turun. Perubahan aktivitas ekonomi yang semula naik saja atau turun saja  dalam  ilmu matematika  dapat  dikategorikan  sebagai  bifurkasi.  Dalam  ilmu ekonomi,  gerakan naik  turun  yang  terjadi  disebut  dengan  siklus  bisnis  ( The  Business  Cycle )  [3].  Keadaan  ini memerlukan  adanya  peramalan  terhadap  ekonomi  negara  Indonesia  untuk  mengetahui  kondisi perekonomian  di  masa  mendatang.  Salah  satunya  adalah  model  siklus  bisnis Investment  Saving- Liquidity Money (IS-LM). Model siklus bisnis IS-LM merupakan model sistem persamaan diferensial yang melibatkan fungsi investasi ( 𝐼 ), fungsi simpanan ( 𝑆 ), fungsi permintaan uang ( 𝐿 ), dan persediaan uang ( 𝑀 ) [4]. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial dapat dilakukan dengan  metode  analitik.  Namun  kelemahan  dari  metode  analitik  adalah  tidak  semua  persamaan matematika  dapat  diselesaikan  untuk  menghasilkan  nilai  eksak,  sehingga  diperlukan  pendekatan linier dan pendekatan dalam ruang kompleks, dalam hal ini adalah analisis bifurkasi hopf. Selain itu, diberikan jaminan terhadap adanya limit cycle , dan terjadinya bifurkasi Hopf pada saat 𝑇 melewati 𝑇 𝑏 .
Guerrini,  dkk  [5]  membahas  model  pertumbuhan  Kaldor-Kalecki  dengan  waktu  tunda  pada fungsi investasi. Munculnya limit cycle karena perubahan kestabilan dua parameter yaitu waktu tunda 𝑇 dan laju pertumbuhan 𝑔 . Semakin besar nilai waktu tunda mengakibatkan munculnya limit cycle dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis. Semakin besar laju pertumbuhan mengakibatkan terjadi dua bifurkasi Hopf superkritis. Semua analisis numerik pada riset ini dilakukan dengan fungsi investasi Dana  dan  Malgrange.  Selanjutnya,  Karim,  dkk  [6]  membahas  model  siklus  bisnis  IS-LM  dasar dengan model pertumbuhan Kaldor. Dari hasil analisis muncul tiga kasus. Kasus 1 tanpa waktu tunda, kasus 2 waktu tunda pada modal dan kasus 3 waktu tunda pada modal dan pendapatan. Adapun Xie, dkk [7] membahas siklus bisnis digambarkan dengan model berorde pecahan waktu tunda dengan fungsi preferensi likuiditas dan fungsi investasi. Keberadaan dan keunikan DTFOM dibuktikan, titik ekuilibrium  positif  DTFOM  stabil  dengan  beberapa  kondisi,  bifurkasi  Hopf  diperoleh  dengan parameter waktu tunda dan dilakukan analisis numerik. Penelitian lain yang dilakukan oleh Hidayati, dkk [8] membahas  tentanganalisis kestabilan dan kontrol optimal  pada model siklus bisnis IS-LM dengan  waktu  tunda. Analisis  kestabilan  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  nilai  waktu  tunda yang  diberikan  pada  sistem.  K ontrol  yang  diberikan  ke  variabel  suku  bunga  diharapkan  dapat membantu mengurangi suku bunga ketika suku bunga mulai meningkat. Lebih lanjut dalam penelitian Musyaffafi,  dkk  [9]  dilakukan  analisis  stabilitas  pada  model  siklus  bisnis  IS-LM  dengan menggunakan metode Runge-Kutta. Pada penelitian ini, ditunjukkan perbandingan metode Runge- Kutta  orde  kelima  dan  Metode  Extended  Runge  Kutta  dalam  mensimulasikan  model  yang  telah diperoleh  dengan  kecepatan  stabilitas  model.  Adapun  Karim,  dkk  [10]  membandingkan  dinamika model siklus bisnis linier dan nonlinier dalam lingkungan yang semirip mungkin. Analisis sensitivitas parameter  dilakukan  untuk  kedua  model  dan  non  linearitas  dalam  fungsi  tabungan.  Beberepa penelitian lain yang relevamasih banyak dilakukan berkaitan dengan topik ini seperti yang dilakukan oleh  Assous,  dkk  [11]  yang  membuat  model  IS-LM  versi  baru  yang  menghilangkan  kekurangan model  asli,  Kurkina  [12]  yang  membahas  tentang  dinamika  perekonomian  Indonesia  berdasarkan pendapatan,  modal,  investasi  dan  tabungan,  Bashkirtseva,  dkk  [13][14]  mempelajari  fenomena
stokastik nonlinier dalam model siklus bisnis Kaldor diskrit, serta beberapa riset lain yang membahas model  dinamik  pada  kasus  ekonomi  dan  bisnis  [15]-[19].  Hasil-hasil  penelitian  yang  telah  diulas sebelumnya menunjukkan bahwa pembahasan model dinamik pada kasus ekonomi dan bisnis masih terbuka untuk terus dilakukan dengan berbagai modifikasi.
Adapun  model  yang  dibahas  pada  penelitian  ini,  merupakan  model  modifikasi  yang diformulasikan dari model Gabisch dan Lorenz [20] dengan mensubstitusi fungsi investasi, simpanan dan  likuiditas  menurut  Cai  [21].  Selain  itu,  penelitian  ini  memperkenalkan  waktu tunda  ke  dalam produk bruto, modal dan tingkat bunga pada fungsi investasi, dengan asumsi bahwa pendapatan dan modal bergantung pada periode masa lalu dan periode jatuh tempo yang belum pernah dianalisis oleh peneliti lain. Analisis model dilakukan dengan menentukan titik tetap, kemudian dilakukan analisis kestabilan dari titik tetap interior tanpa waktu tunda menggunakan kriteria Routh Hurwitz dan titik tetap interior waktu tunda dengan mengaplikasikan teori bifurkasi Hopf yang dilanjutkan simulasi model dilakukan dengan memvariasikan nilai waktu tunda.

## 2. Metode Penelitian
Tahapan penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut.
1. Pembentukan Model
Model siklus bisnis IS-LM yang akan dikaji dalam penelitian ini diperoleh dari pengembangan model penelitian sebelumnya.
2. Tahap penentuan Titik Tetap
Titik  tetap  diperoleh  dengan  membuat  laju  perubahan  modal,  pendapatan  dan  bruto  terhadap waktu sama dengan nol.
3. Tahap Analisis Kestabilan Titik Tetap
Kestabilan  titik  tetap  tanpa  waktu  tunda  diperoleh  dengan  pendekatan  linear.  Titik  interior disubstitusi ke matriks Jacobi sehingga dapat nilai eigen yang dianalisis dengan Routh Hurwitz untuk menentukan kestabilan. Titik tetap dengan waktu tunda diperlukan pendekatan dalam ruang kompleks untuk menganalisis bifurkasi Hopf.
4. Tahap Penentuan Syarat Transversal
Syarat transversal ditentukan untuk membuktikan terjadi bifurkasi Hopf pada titik kesetimbangan dalam.
5. Tahap Simulasi Kestabilan Titik Interior
Simulasi  dilakukan  untuk  masing-masing  parameter  sesuai  dengan  syaratnya.  Hasil  simulasi dianalisis, sehingga diperoleh gambaran adanya pengaruh waktu tunda terhadap modal, bruto dan pendapatan.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Pembentukan Model Siklus Bisnis IS-LM
Model  siklus  bisnis  nonlinear  pertama  kali  diusulkan  oleh  Kaldor  [22]  yang  dipresentasikan dalam bentuk sistem otonomus linear dengan dua variabel tak bebas yang melambangkan pendapatan dan modal. Model tersebut didefinisikan dengan persamaan diferensial biasa berikut.
{ 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼[𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡)) − 𝑆(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡))],
𝑑𝐾 𝑑𝑡 = 𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡)),
(1)
dengan 𝑌(0) ≥ 0 dan 𝐾(0) ≥ 0, dimana 𝑌(𝑡) : Produk kotor ( bruto ) pada waktu 𝑡 (𝑌(𝑡) ≥ 0),
𝐾(𝑡) : Modal pada waktu 𝑡 (𝐾(𝑡) ≥ 0),
𝛼 : Koefisien pengaturan pada pasar barang (𝛼 > 0) .
Kemudian  fungsi  investasi 𝐼 ,  fungsi  penyimpanan 𝑆. Selanjutnya  Torre  [23]  merevisi  dan memperbarui model ini dengan mengganti modal pada waktu 𝑡, 𝐾(𝑡) dengan suku bunga pada waktu 𝑡, 𝑅(𝑡) untuk  merumuskan  rumus  umum  dari  model  siklus  bisnis  IS-LM.  Model  tersebut dipresentasikan  dalam  bentuk  sistem  otonomus  linear  dengan  dua  variabel  tak  bebas  yang melambangkan  pendapatan  dan  suku  bunga.  Model  siklus  bisnis  IS-LM yang  diperkenalkan  oleh Torre [23] adalah
{ 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼[𝐼(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝑆(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡))],
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽[𝐿(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅)],
(2)
dengan 𝑌(0) ≥ 0 dan 𝑅(0) ≥ 0, dimana 𝑀 ̅ : Nilai konstan pasokan uang (𝑀 ̅ > 0) ,
𝛽 : Nilai konstan pasokan uang (𝛽 > 0), 𝐿 : Fungsi permintaan uang (𝐿 > 0).
Selanjutnya Gabisch  dan  Lorenz  [20]  mengembangkan  model  siklus  bisnis  IS-LM.  Model  tersebut dipresentasikan  dalam  bentuk  sistem  otonomus  linear  dengan  tiga  variabel  tak  bebas  yang  melambangkan pendapatan, stok modal, dan suku bunga serta melibatkan fungsi investasi, simpanan,
permintaan  akan  uang  dan  konstanta  persediaan  akan  uang.  Model  siklus  bisnis  IS-LM yang diperkenalkan oleh Gabisch dan Lorenz adalah.
{ 𝑑𝑌
𝑑𝑡 = 𝛼[𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝑆(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡))],
𝑑𝐾
𝑑𝑡 = 𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝛿𝐾(𝑡),
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛽[𝐿(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅)], (3)
dengan 𝑌(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0 , 𝐾(0) ≥ 0, dan 𝛿 : Tingkat depresi pada modal (𝛿 > 0).
Pada  model  siklus  bisnis  Kalecki  [24],  Kalecki  mengasumsikan  bahwa  investasi  bergantung pada  pendapatan  ketika  keputusan  investasi  dibuat  dan  bergantung  pada  modal  ketika  investasi diselesaikan. Kemudian konsekuensi dari fakta bahwa pada saat 𝑡 − 𝜏 ada beberapa investasi yang akan diselesaikan antara 𝑡 − 𝜏 dan 𝑡. Kalecki berasumsi bahwa modal yang dihasilkan pada periode ini dipertimbangkan ketika investasi baru direncanakan. Teorema bifurkasi Hopf diaplikasikan untuk memprediksi terjadinya bifurkasi limit cycle untuk parameter waktu tunda. Ide Kalecki diperkenalkan kedalam model IS-LM untuk merumuskan model siklus bisnis IS-LM secara umum sebagai berikut.
{ 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼[𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝑆(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡))],
𝑑𝐾 𝑑𝑡 = 𝐼(𝑌(𝑡 − 𝜏), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝛿𝐾(𝑡),
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽[𝐿(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅)], (4)
dengan 𝑌(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0 dan 𝐾(0) ≥ 0.
Pada tulisan ini, diperkenalkan waktu tunda 𝜏 ke dalam produk kotor, modal dan suku bunga, karena pendapatan dan modal saham bergantung bergantung pada periode masa lalu dan periode jatuh tempo. Jadi, pada analisis berikut kita akan mempertimbangkan model siklus bisnis IS-LM dengan waktu tunda sebagai berikut,
{ 𝑑𝑌
𝑑𝑡 = 𝛼[𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) − 𝑆(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡))],
𝑑𝐾 𝑑𝑡 = 𝐼(𝑌(𝑡 − 𝜏), 𝐾(𝑡 − 𝜏), 𝑅(𝑡 − 𝜏)) − 𝛿𝐾(𝑡 − 𝜏),
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽[𝐿(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅)], (5)
dengan 𝑌(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0 dan 𝐾(0) ≥ 0.
Cai  mengasumsikan  bahwa  fungsi investasi 𝐼 ,  fungsi  penyimpanan 𝑆 dan  fungsi  permintaan uang 𝐿 diberikan sebagai berikut.
{ 𝐼(𝑌(𝑡), 𝐾(𝑡), 𝑅(𝑡)) = 𝜂𝑌(𝑡) − 𝛿 1 𝐾(𝑡) − 𝛽 1 𝑅(𝑡),
𝑆(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡)) = 𝑙 1 𝑌(𝑡) + 𝛽 2 𝑅(𝑡), 𝐿(𝑌(𝑡), 𝑅(𝑡)) = 𝑙 2 𝑌(𝑡) + 𝛽 3 𝑅(𝑡),
(6)
dengan 𝛿 1 , 𝑙 1 , 𝑙 2 , 𝛽 1 , 𝛽 2 , 𝛽 3 adalah konstan positif. Dengan demikian, sistem (5) menjadi
{ 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼[(𝜂 − 𝑙 1 )𝑌(𝑡) − 𝛿 1 𝐾(𝑡) − (𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑅(𝑡)],
𝑑𝐾 𝑑𝑡 = 𝜂𝑌(𝑡 − 𝜏) − 𝛿 1 𝐾(𝑡 − 𝜏) − 𝛿𝐾(𝑡 − 𝜏) − 𝛽 1 𝑅(𝑡 − 𝜏),
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽[𝑙 2 𝑌(𝑡) − 𝛽 3 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅], (7)
dengan 𝑌(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0 dan 𝐾(0) ≥ 0.

## 3.2 Titik Ekuilibrium Siklus Bisnis IS-LM
Titik ekuilibrium 𝐸 = (𝑌̂, 𝐾 ̂, 𝑅̂) harus memenuhi
{ 𝛼[(𝜂 − 𝑙 1 )𝑌̂ − 𝛿 1 𝐾 ̂ − (𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑅̂] = 0 𝜂𝑌̂ − 𝛿 1 𝐾 ̂ − 𝛿𝐾̂ − 𝛽 1 𝑅̂ = 0 𝛽[𝑙 2 𝑌̂ − 𝛽 3 𝑅̂ − 𝑀
̅] = 0 (8)
Titik  ekuilibrium  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  cramer.  Tahapan-tahapan  tersebut adalah sebagai berikut.
Bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL pada persamaan (8) adalah
( 𝜂 − 𝑙 1 −𝛿 1 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 𝜂 −(𝛿 1 + 𝛿)𝐾 ̂ −𝛽 1 𝑙 2 0 −𝛽 3 ) ( 𝑌̂ 𝐾 ̂ 𝑅̂ ) = ( 0 0 𝑀 ̅ ).

## Berdasarkan metode Cramer, diperoleh

## 𝑌̂ =
| 0 −𝛿 1 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 0 −(𝛿 1 + 𝛿) −𝛽 1 𝑀 ̅ 0 −𝛽 3 | | 𝜂 − 𝑙 1 −𝛿 1 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 𝜂 −(𝛿 1 + 𝛿) −𝛽 1 𝑙 2 0 −𝛽 3 | = −𝑀 ̅(𝛿 1 𝛽 2 + 𝛿(𝛽 1 + 𝛽 2 )) 𝜃 . 𝐾 ̂ = | 𝜂 − 𝑙 1 0 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 𝜂 0 −𝛽 1 𝑙 2 𝑀 ̅ −𝛽 3 | | 𝜂 − 𝑙 1 −𝛿 1 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 𝜂 −(𝛿 1 + 𝛿) −𝛽 1 𝑙 2 0 −𝛽 3 | = −(𝜂𝛽 2 + 𝛽 1 𝑙 1 )𝑀 ̅ 𝜃 .
𝑅̂ = | 𝜂 − 𝑙 1 −𝛿 1 0 𝜂 −(𝛿 1 + 𝛿) 0 𝑙 2 0 𝑀 ̅ | | 𝜂 − 𝑙 1 −𝛿 1 −(𝛽 1 + 𝛽 2 ) 𝜂 −(𝛿 1 + 𝛿) −𝛽 1 𝑙 2 0 −𝛽 3 | = ((𝛿 + 𝛿 1 )𝑙 1 − 𝛿𝜂)𝑀 ̅ 𝜃 ,
dimana 𝜃 = 𝛿(𝛽 3 𝜂 − 𝑙 2 𝛽 1 ) − (𝛿 + 𝛿 1 )(𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ).
Karena  semua  parameter  merupakan  konstanta  positif,  maka 𝐸 ∗ ada  jika 𝜃 < 0 dan (𝛿 + 𝛿 1 )𝑙 1 − 𝛿𝜂 < 0.

## 3.3 Kestabilan Titik Ekuilibrium
Akan dibahas kestabilan sistem (7) disekitar titik ekuilibriumnya. sistem (7) merupakan sistem dinamik  nonlinear  sehingga  untuk  memudahkan  dalam  menentukan  sifat  kestabilan  dari  titik-titik ekuilibrium sistem (7) maka harus dilakukan linearisasi sistem (7). Misal 𝐸 = (𝑌̂, 𝑅̂, 𝐾 ̂) adalah titik- titik ekuilibrium dari sistem (7). Sistem (7) dapat ditulis dalam bentuk berikut,
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼[(𝜂 − 𝑙 1 )𝑌(𝑡) − 𝛿 1 𝐾(𝑡) − (𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑅(𝑡)],
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽[𝑙 2 𝑌(𝑡) − 𝛽 3 𝑅(𝑡) − 𝑀 ̅],
𝑑𝐾 𝑑𝑡 = 𝜂𝑌(𝑡 − 𝜏) − 𝛿 1 𝐾(𝑡 − 𝜏) − 𝛿𝐾(𝑡 − 𝜏) − 𝛽 1 𝑅(𝑡 − 𝜏).
Selanjutnya akan dilakukan linearisasi sistem (7) dengan memisalkan
𝑥(𝑡) = 𝑌(𝑡) − 𝑌̂,
𝑦(𝑡) = 𝑅(𝑡) − 𝑅̂,
𝑧(𝑡) = 𝐾(𝑡) − 𝐾 ̂,
𝑥(𝑡 − 𝜏) = 𝑌(𝑡 − 𝜏) − 𝑌̂, 𝑦(𝑡 − 𝜏) = 𝑅(𝑡 − 𝜏) − 𝑅̂, 𝑧(𝑡 − 𝜏) = 𝐾(𝑡 − 𝜏) − 𝐾 ̂.
sehingga diperoleh
𝑥̇(𝑡) = 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 )𝑥(𝑡) − 𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑦(𝑡) − 𝛼𝛿 1 𝑧(𝑡). 𝑦̇(𝑡) = 𝛽𝑙 2 𝑥(𝑡) − 𝛽𝛽 3 𝑦(𝑡). 𝑧̇(𝑡) = 𝜂𝑥(𝑡 − 𝜏) − 𝛿 1 𝑧(𝑡 − 𝜏) − 𝛿 1 𝑧(𝑡 − 𝜏) − 𝛽 1 𝑦(𝑡 − 𝜏).                                                                  (9)

## Misalkan solusi dari sistem (4.9) adalah
𝑥(𝑡) = 𝑙𝑒 𝜆𝑡 , 𝑦(𝑡) = 𝑚𝑒 𝜆𝑡 dan 𝑧(𝑡) = 𝑛𝑒 𝜆𝑡 .                                                                                             (10)
Substitusikan persamaan (10) ke persamaan (9) sehingga diperoleh
𝑙𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 )𝑙𝑒 𝜆𝑡 − 𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑚𝑒 𝜆𝑡 − 𝛼𝛿 1 𝑛𝑒 𝜆𝑡 𝑚𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝛽𝑙 2 𝑙𝑒 𝜆𝑡 − 𝛽𝛽 3 𝑚𝑒 𝜆𝑡
𝑛𝜆𝑒 𝜆𝑡 = 𝜂𝑙𝑒 𝜆(𝑡−𝜏) − 𝛿𝑛𝑒 𝜆𝑡 − 𝛿 1 𝑛𝑒 𝜆(𝑡−𝜏) − 𝛽 1 𝑚𝑒 𝜆(𝑡−𝜏) (11)
Kemudian sistem (11) dibagi 𝑒 𝜆𝑡 sehingga diperoleh
𝑙𝜆 = 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 )𝑙 − 𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 )𝑚 − 𝛼𝛿 1 𝑛 𝑚𝜆 = 𝛽𝑙 2 𝑙 − 𝛽𝛽 3 𝑚 𝑛𝜆 = 𝜂𝑙𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛿𝑛𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛿 1 𝑛𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛽 1 𝑚𝑒 −𝜆𝜏 (12)
Sistem (12) dapat ditulis kembali dalam bentuk berikut,
[ 𝑙𝜆 𝑚𝜆 𝑛𝜆 ] = [ 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 ) −𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 ) −𝛼𝛿 1 𝛽𝑙 2 −𝛽𝛽 3 0 𝜂𝑒 −𝜆𝜏 −𝛽 1 𝑒 −𝜆𝜏 −𝛿𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛿 1 𝑒 −𝜆𝜏 ] [ 𝑙 𝑚 𝑛 ]
sehingga diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut,
det ([ 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 ) −𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 ) −𝛼𝛿 1 𝛽𝑙 2 −𝛽𝛽 3 0 𝜂𝑒 −𝜆𝜏 −𝛽 1 𝑒 −𝜆𝜏 −𝛿𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛿 1 𝑒 −𝜆𝜏 ] − 𝜆 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]) = 0 | 𝛼(𝜂 − 𝑙 1 ) − 𝜆 −𝛼(𝛽 1 + 𝛽 2 )
−𝛼𝛿 1 𝛽𝑙 2 −𝛽𝛽 3 − 𝜆 0 𝜂𝑒 −𝜆𝜏 −𝛽 1 𝑒 −𝜆𝜏 −𝛿𝑒 −𝜆𝜏 − 𝛿 1 𝑒 −𝜆𝜏 − 𝜆 | = 0
𝑃(𝜆) + 𝑄(𝜆)𝑒 −𝜆𝜏 = 0,                                                                                                                             (13)
dengan
𝑃(𝜆) = 𝜆 3 + 𝐴𝜆 2 + 𝐵𝜆 dan 𝑄(𝜆) = 𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸,
dimana 𝐴 = 𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂),
𝐵 = 𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂), 𝐶 = 𝛿 + 𝛿 1 , 𝐷 = 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 ),
𝐸 = 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 )).
Saat 𝜏 = 0 maka persamaan (4.13) menjadi
𝜆 3 + (𝐴 + 𝐶)𝜆 2 + (𝐵 + 𝐷)𝜆 + 𝐸 = 0,
Berdasarkan kriteria Ruth-Hurwitz persamaan karakterisik diatas akan memiliki akar-akar yang negatif jika
• 𝐴 + 𝐶 > 0,
• 𝐵 + 𝐷 > 0,
• 𝐸 > 0,
• (𝐴 + 𝐶)(𝐵 + 𝐷) − 𝐸 > 0,
dengan (1) 𝐴 + 𝐶 = 𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿 + 𝛿 1 . 𝐴 + 𝐶 > 0 jika 𝑙 1 > 𝜂.
(2) 𝐵 + 𝐷 = 𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 ). 𝐵 + 𝐷 > 0 jika 𝑙 1 > 𝜂.
(3) 𝐸 = 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ))
𝐸 > 0 jika 𝑙 1 > 𝜂.
(4) (𝐴 + 𝐶)(𝐵 + 𝐷) − 𝐸 = [𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿 + 𝛿 1 ][𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 )] − 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 )).

## Oleh sebab
[𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿 + 𝛿 1 ][𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 )] − 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 )) = 𝛽 2 𝛽 3 2 𝛿 + 𝛽 2 𝛽 3 2 𝛿 1 + 𝛼 2 𝑙 1 2 𝛿 + 𝛼 2 𝑙 1 2 𝛿 1 + 𝛿 2 𝛽𝛽 3 + 𝛿 1 2 𝛽𝛽 3 + 𝛼 2 𝜂 2 𝛿 − 𝛿 2 𝛼𝜂 + 2𝛽𝛽 3 𝛿𝛼𝑙 1 − 2𝛽𝛽 3 𝛿𝛼𝜂 + 2𝛽𝛽 3 𝛿 1 𝛼𝑙 1 + 𝛼 2 𝑙 1 𝛽𝑙 2 𝛽 1 + 𝛼 2 𝑙 1 𝛽𝑙 2 𝛽 2 − 2𝛼 2 𝑙 1 𝛽𝛽 3 𝜂 − 𝛼 2 𝜂𝛽𝑙 2 𝛽 1 − 𝛼 2 𝜂𝛽𝑙 2 𝛽 2 − 2𝛼𝜂𝛿 1 𝛽𝛽 3 + 𝛿 1 𝛼𝛽𝑙 2 𝛽 1 + 𝛽 2 𝛽 3 𝛼𝜂 + 𝛼 2 𝑙 1 2 𝛽𝛽 3 + 2𝛿𝛿 1 𝛼𝑙 1 − 𝛿 1 𝛿𝛼𝜂 + 𝛿 1 2 𝛼𝑙 1 + 𝛿 2 𝛼𝑙 1
dan diasumsikan 𝑙 1 > 𝜂 maka (𝐴 + 𝐶)(𝐵 + 𝐷) − 𝐸 > 0 jika [𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿 + 𝛿 1 ][𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 )] > 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ))
Untuk  time  delay 𝑇 yang  kecil,  pendekatan  linear  sangat  cocok  untuk  memperoleh  titik bifurkasi. Untuk 𝑇 yang sangat kecil maka 𝑒 −𝜆𝑇 ≈ 1 − 𝜆𝑇 , sehingga persamaan (13) menjadi
𝜆 3 + 𝐴𝜆 2 + 𝐵𝜆  + (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)(1 − 𝜆𝑇) = 0 ⟺ 𝜆 3 + 𝜆 2 ( 𝐴+𝐶−𝐷𝑇 1−𝐶𝑇 ) + ( 𝐵+𝐷−𝐸𝑇 1−𝐶𝑇 ) 𝜆  + 𝐸 1−𝐶𝑇 = 0.
Dengan teorema bifurkasi Hopf dan kriteria Routh-Hurwitz, maka terjadi bifurkasi Hopf pada nilai 𝑇 = 𝑇 0 dengan
𝐴 + 𝐶 − 𝐷𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 > 0, 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 > 0, 𝐸 1 − 𝐶𝑇 0 > 0
Dan
( 𝐴 + 𝐶 − 𝐷𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 ) ( 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 ) = 𝐸 1 − 𝐶𝑇 0 .
Misal ditentukan 𝑔 pada
𝑇 = 𝑇 0 , 𝑔(𝜆, 𝑇 0 ) = 𝜆 3 + 𝑠𝜆 2 + 𝑘 2 𝜆  + 𝑘 2 𝑠
dengan
𝑠 = 𝐴 + 𝐶 − 𝐷𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 , 𝑘 2 = 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 0 1 − 𝐶𝑇 0 .
Nilai eigen dari persamaan diperoleh dengan memfatorkan 𝑔(𝜆, 𝑇 0 ) = 0 yaitu:
𝜆 3 + 𝑠𝜆 2 + 𝑘 2 𝜆  + 𝑘 2 𝑠 = 0 ⟺ (𝜆 + 𝑠)(𝜆 2 + 𝑘 2 ) = 0
sehingga  didapatkan 𝜆 0 (𝑇 0 ) = −𝑠, 𝜆 1,2 (𝑇 0 ) = ±𝑖𝑘. Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa  syarat transversal terpenuhi, yaitu
𝑅𝑒 ( 𝑑 𝑑𝑇 (𝜆(𝑇 0 ))) ≠ 0.
Diferensiasi total 𝑔(𝜆(𝑇), 𝑇) menghasilkan
𝑑𝑔 𝑑𝑇 = 0 ⇔ 𝜕𝑔 𝜕𝜆 . 𝑑𝜆 𝑑𝑇 + 𝜕𝑔 𝜕𝑇 = 0 ⟺ 𝑑𝜆 𝑑𝑇 = − 𝜕𝑔 𝜕𝑇 𝜕𝑔 𝜕𝜆 = −𝐶𝜆 3 − 𝐷𝜆 2 − 𝐸𝜆 3(1 − 𝐶𝑇)𝜆 2 + 2(𝐴 + 𝐶 − 𝐷𝑇)𝜆 + 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 = −𝐶(𝑖𝑘) 3 − 𝐷(𝑖𝑘) 2 − 𝐸(𝑖𝑘)
3(1 − 𝐶𝑇 0 )(𝑖𝑘) 2 + 2(𝐴 + 𝐶 − 𝐷𝑇 0 )(𝑖𝑘) + 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 0 = 𝐷𝑘 2 + 𝑖(𝑘 3 − 𝐸𝑘) 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥 − 𝑦)
dengan 𝑥 = −3𝑘 2 + 3𝐶𝑇 0 𝑘 2 + 𝐵 + 𝐷 − 𝐸𝑇 0 𝑦 = 2𝐴𝑘 + 2𝐶𝑘 − 2𝐷𝑇 0 𝑘
𝑅𝑒 ( 𝑑 𝑑𝑇 (𝜆(𝑇 0 ))) = −3𝐷𝑘 4 (1−𝐶𝑇)+𝐷𝑘 2 (𝐵+𝐷−𝐸𝑇)+2𝑘 4 (𝐴+𝐶−𝐷𝑇)−2𝐸𝑘 2 (𝐴+𝐶−𝐷𝑇)
𝑥 2 +𝑦 2 = −3𝐷𝑘 4 (1−𝐶𝑇)+𝐷𝑘 4 (1−𝐶𝑇)+2𝑘 4 𝑠(1−𝐶𝑇)−2𝑘 2 𝑠(1−𝐶𝑇)𝑘 2 𝑠(1−𝐶𝑇) 𝑥 2 +𝑦 2 = 2(−𝐷+𝑠+𝑠 2 (−1+𝐶𝑇))
𝑥 2 +𝑦 2
Karena 𝑥 2 + 𝑦 2 pasti positif dan −1 + 𝐶𝑇 < 0, −𝐷 + 𝑠 < 0 , maka 𝑅𝑒 ( 𝑑 𝑑𝑇 (𝜆(𝑇 0 ))) < 0, dan dapat disimpulkan bahwa 𝑅𝑒 ( 𝑑 𝑑𝑇 (𝜆(𝑇 0 ))) ≠ 0. Menurut teorema bifurkasi Hopf, hal ini menjamin adanya limit cycle pada saat 𝑇 = 𝑇 0 dengan 𝐴+𝐶−𝐷𝑇 0 1−𝐶𝑇 0 > 0, 𝐵+𝐷−𝐸𝑇 0 1−𝐶𝑇 0 > 0, 𝐸 1−𝐶𝑇 0 > 0 dan ( 𝐴+𝐶−𝐷𝑇 0 1−𝐶𝑇 0 ) ( 𝐵+𝐷−𝐸𝑇 0 1−𝐶𝑇 0 ) = 𝐸 1−𝐶𝑇 0 .
Untuk time delay yang lebih panjang, diperlukan pendekatan yang lain dimisalkan 𝜆 = 𝜇 ± 𝑖𝜔 dengan 𝜇 = 0 dan > 0 (𝜆 = ±𝑖𝜔) .  Untuk  melihat  perubahan  kestabilan  pada  model  persamaan
dengan  waktu  tunda  maka  nilai  eigen  tersebut  disubstitusikan  ke  dalam  persamaan  (13)  sehingga didapatkan akar-akar persamaan karakteristik
Δ(𝑖𝜔, 𝜏) = 𝑃(𝜆) + 𝑄(𝜆)𝑒 −𝜆𝜏 , = 𝜆 3 + 𝐴𝜆 2 + 𝐵𝜆 + (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)𝑒 −𝜆𝜏 = 𝜆 3 + 𝐴𝜆 2 + 𝐵𝜆 + 𝐶𝜆 2 𝑒 −𝜆𝜏 + 𝐷𝜆𝑒 −𝜆𝜏 + 𝐸𝑒 −𝜆𝜏
= (𝜔𝑖) 3 + 𝐴(𝜔𝑖) 2 + 𝐵𝜔𝑖 + 𝐶(𝜔𝑖) 2 𝑒 −𝜔𝑖𝜏 + 𝐷𝜔𝑖𝑒 −𝜔𝑖𝜏 + 𝐸𝑒 −𝜔𝑖𝜏
= −𝑖𝜔 3 − 𝐴𝜔 2 + 𝐵𝜔𝑖 − 𝐶𝜔 2 (cos 𝜔𝜏 − 𝑖 sin 𝜔𝜏) + 𝐷𝜔𝑖(cos 𝜔𝜏 − 𝑖 sin 𝜔𝜏) +𝐸(cos 𝜔𝜏 − 𝑖 sin 𝜔𝜏) = −𝐴𝜔 2 − 𝐶𝜔 2 cos𝜔𝜏 + 𝐷𝜔 sin 𝜔𝜏 + 𝐸 cos 𝜔𝜏 − 𝑖𝜔 3 + 𝐵𝜔𝑖 + 𝐶𝜔 2 𝑖 sin 𝜔𝜏 +𝐷𝜔𝑖 cos 𝜔𝜏 − 𝐸𝑖 sin 𝜔𝜏 = (−𝐴𝜔 2 + (𝐸 − 𝐶𝜔 2 )cos𝜔𝜏 + 𝐷𝜔 sin 𝜔𝜏) +(−𝜔 3 + 𝐵𝜔 + (𝐶𝜔 2 − 𝐸) sin 𝜔𝜏 + 𝐷𝜔 cos 𝜔𝜏)𝑖.                                                      (14)
Persamaan  (14)  bernilai  nol  jika  bagian  imajiner  dan  realnya  sama  dengan  nol,  sehingga didapatkan
(−𝐶𝜔 2 + E)cos𝜔𝜏 + 𝐷𝜔 sin 𝜔𝜏 = 𝐴𝜔 2 (15)
dan
𝜔 3 − 𝐵𝜔 = (𝐶𝜔 2 − 𝐸) sin 𝜔𝜏 + 𝐷𝜔 cos 𝜔𝜏.                                                                                          (16)
Selanjutnya  mengeliminasi  persamaan  (15)  dan  (16)  terhadap 𝜏 dengan  mengkuadratkan masing-masing ruas persamaan tersebut, maka diperoleh
𝐴 2 𝜔 4 = (E 2 − 2E𝐶𝜔 2 + 𝐶 2 𝜔 4 )cos 2 𝜔𝜏 + 2(𝐷𝐸𝜔 − 𝐶𝐷𝜔 3 )cos𝜔𝜏 sin 𝜔𝜏 + 𝐷 2 𝜔 2 sin 2 𝜔𝜏                      (17) dan
𝜔 6 − 2𝐵𝜔 4 + 𝐵 2 𝜔 2 = (𝐶 2 𝜔 4 − 2𝐶𝐸𝜔 2 + 𝐸 2 ) sin 2 𝜔𝜏 + 2(𝐶𝐷𝜔 3 − 𝐷𝐸𝜔) cos 𝜔𝜏 sin 𝜔𝜏 + 𝐷 2 𝜔 2 cos 2 𝜔𝜏.                                                                                                (18)
Kemudian  persamaan  (17)  dan  (18)  dijumlahkan  dan  dikelompokkan  sesuai  pangkat  maka diperoleh polinomial berderajat empat sebagai berikut
𝜔 6 + (𝐴 2 − 2𝐵 − 𝐶 2 )𝜔 4 + (𝐵 2 + 2EC − 𝐷 2 )𝜔 2 −E 2 = 0.                                                                 (19)
Untuk  mempermudah  perhitungan  dimisalkan 𝑧 = 𝜔 2 , sehingga  persamaan  (19)  berubah menjadi
𝑧 3 + (𝐴 2 − 2𝐵 − 𝐶 2 )𝜔 2 + (𝐵 2 + 2EC − 𝐷 2 )𝜔−E 2 = 0.                                                                     (20)
Menurut Ruan dan Wei [3], nilai akar dari persamaan (19) ditentukan oleh Lemma 1 sebagai berikut.
Lemma 1.
Didefinisikan ∆= 𝑎 2 − 3𝑏.
(i) Jika 𝑐 < 0, maka persamaan (20) paling tidak memiliki satu akar positif.
(ii) Jika 𝑐 ≥ 0 dan ∆< 0 maka persamaan (20) tidak memiliki akar positif. (iii)Jika 𝑐 ≥ 0 dan ∆≥ 0, maka persamaan (20) mempunyai akar-akar positif jika dan hanya jika
𝑧̅ = 1 3 (−𝑎 + √∆) > 0 dan ℎ(𝑧) ≤ 0.
Misal  perrsamaan  (20)  memiliki  akar  positif,  yang  dilambangkan  dengan 𝑧 1 , 𝑧 2 dan 𝑧 3 . Maka persamaan (19) memiliki akar positif yaitu
𝜔 1 = √𝑧 1 , 𝜔 2 = √𝑧 2 dan 𝜔 3 = √𝑧 3 .
Selanjutnya dicari nilai waktu tunda kritis (𝜏 𝑘 ) dengan tahapan-tahapan sebagai berikut. Langkah pertama mensubstitusikan 𝜔 𝑘 ke persamaan (15) dan (16) kemudian mengeliminasi fungsi sinus dari persamaan (15) dan (16)
(𝐴𝐶 − 𝐷)𝜔 𝑘 4 + (−𝐴𝐸 + 𝐵𝐷)𝜔 𝑘 2 + 𝐶𝐸 = [−𝐶 2 𝜔 𝑘 4 + (2𝐶𝐸 − 𝐷 2 )𝜔 𝑘 2 − 𝐸 2 ]cos𝜔 𝑘 𝜏                                                                                         (21)
Selanjutnya mengeliminasi fungsi cosinus dari persamaan (15) dan (16)
𝐶𝜔 𝑘 5 − (𝐸 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐷)𝜔 𝑘 3 + 𝐵𝐸𝜔 𝑘 = [𝐶 2 𝜔 𝑘 4 + (𝐷 2 − 2𝐶𝐸)𝜔 𝑘 2 + 𝐸 2 ] sin 𝜔 𝑘 𝜏                    (22)
Dari (21) dan (22) diperoleh
𝜏 𝑘 = 1 𝜔 𝑘 tan −1 (− 𝐶𝜔 𝑘 5 − (𝐸 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐷)𝜔 𝑘 3 + 𝐵𝐸𝜔 𝑘 (𝐴𝐶 − 𝐷)𝜔 𝑘 4 + (−𝐴𝐸 + 𝐵𝐷)𝜔 𝑘 2 + 𝐶𝐸 ) .                                                          (23)
Lemma 2 Jika 𝜃 < 0, (𝛿 + 𝛿 1 )𝑙 1 − 𝛿𝜂 < 0, 𝐴 + 𝐷 > 0, 𝐵 + 𝐸 > 0 dan (𝐴 + 𝐷)(𝐵 + 𝐸) − (𝐶 + 𝐹) > 0 diasumsikan benar dan 𝜏 > 0.
Jika satu dari berikut benar.
(1) 𝑐 < 0 dan ℎ ′ (𝜔 𝑏𝑖𝑓 ) ≠ 0;
(2) 𝑐 ≥ 0, ∆> 0, 𝑧̅ > 0 dan ℎ ′ (𝑧̅) < 0;
maka
𝑑𝑅𝑒𝜆(𝜏 𝑏𝑖𝑓 ) 𝑑𝜏 ≠ 0,
dimana 𝜏 𝑏𝑖𝑓 dan 𝜔 𝑏𝑖𝑓 didefinisikan pada (23).
Selanjutnya mendiferensialkan persamaan (13) terhadap 𝜏, maka diperoleh
𝑃(𝜆) + 𝑄(𝜆)𝑒 −𝜆𝜏 = 0 ⟺ 𝜆 3 + 𝐴𝜆 2 + 𝐵𝜆 + 𝐶𝜆 2 𝑒 −𝜆𝜏 + 𝐷𝜆𝑒 −𝜆𝜏 + 𝐸𝑒 −𝜆𝜏 = 0 ⟺ 𝑑(𝜆 3 ) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 + 𝐴 𝑑(𝜆 2 ) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 + 𝐵 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 + 𝐶 {𝜆 2 [ 𝑑(𝑒 −𝜆𝜏 ) 𝑑(−𝜆𝜏) (−𝜆. 1 + 𝜏 𝑑(−𝜆) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 )] + 𝑒 −𝜆𝜏 𝑑(𝜆 2 ) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 } +𝐷 {𝜆 [ 𝑑(𝑒 −𝜆𝜏 ) 𝑑(−𝜆𝜏) (−𝜆. 1 + 𝜏 𝑑(−𝜆) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 )] + 𝑒 −𝜆𝜏 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 } + 𝐸 [ 𝑑(𝑒 −𝜆𝜏 ) 𝑑(−𝜆𝜏) (−𝜆. 1 + 𝜏 𝑑(−𝜆) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 𝑑𝜏 )] = 0 ⟺ (3𝜆 2 + 2𝐴𝜆 + 𝐵 − (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)𝜏𝑒 −𝜆𝜏 + (2𝐶𝜆 + 𝐷)𝑒 −𝜆𝜏 ) 𝑑𝜆 𝑑𝜏 = (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)𝜆𝑒 −𝜆𝜏 ⟺ 𝑑𝜆 𝑑𝜏 = (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)𝜆𝑒 −𝜆𝜏 3𝜆 2 + 2𝐴𝜆 + 𝐵 − (𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸)𝜏𝑒 −𝜆𝜏 + (2𝐶𝜆 + 𝐷)𝑒 −𝜆𝜏 .
Dari persamaan (13), kita mempunyai
𝑒 −𝜆𝜏 = −𝜆 3 − 𝐴𝜆 2 − 𝐵𝜆 𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸 .
Maka kita memperoleh
𝑑𝜆 𝑑𝜏 = 𝜆(−𝜆 3 − 𝐴𝜆 2 − 𝐵𝜆 ) 3𝜆 2 + 2𝐴𝜆 + 𝐵 − 𝜏(−𝜆 3 − 𝐴𝜆 2 − 𝐵𝜆 ) + (2𝐶𝜆 + 𝐷)𝑒 −𝜆𝜏 .
Re ( 𝑑𝜆 𝑑𝜏 ) 𝜏=𝜏 𝑏 = 𝜆(−𝜆 3 −𝐴𝜆 2 −𝐵𝜆 ) 3𝜆 2 +2𝐴𝜆+𝐵−𝜏(−𝜆 3 −𝐴𝜆 2 −𝐵𝜆 )+(2𝐶𝜆+𝐷)𝑒 −𝜆𝜏
= 𝑖𝜔 𝑏 (−(𝑖𝜔 𝑏 ) 3 −𝐴(𝑖𝜔 𝑏 ) 2 −𝐵𝑖𝜔 𝑏 ) 3(𝑖𝜔 𝑏 ) 2 +2𝐴𝑖𝜔 𝑏 +𝐵−𝜏 𝑏 (−(𝑖𝜔 𝑏 ) 3 −𝐴(𝑖𝜔 𝑏 ) 2 −𝐵𝑖𝜔 𝑏 )+(2𝐶𝑖𝜔 𝑏 +𝐷)(cos 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 −𝑖 sin 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 ) = −𝜔 𝑏 4 +𝑖𝐴𝜔 𝑏 3 +𝐵𝜔 𝑏 2 −3𝜔 𝑏 2 +2𝐴𝑖𝜔 𝑏 +𝐵−𝜏 𝑏 𝑖𝜔 𝑏 3 −𝜏 𝑏 𝐴𝜔 𝑏 2 +𝜏 𝑏 𝐵𝑖𝜔 𝑏 +2𝐶𝑖𝜔 𝑏 cos 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 +2𝐶𝜔 𝑏 sin 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 +𝐷 cos 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 −𝐷𝑖 sin 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 = −𝜔 𝑏 4 +𝐵𝜔 𝑏 2 +𝐴𝜔 𝑏 3 𝑖 𝑃 1 2 +𝑄 1 2 . (𝑃 1 − 𝑄 1 )
dengan 𝑃 1 = −3𝜔 𝑏 2 + 𝐵 − 𝜏 𝑏 𝐴𝜔 𝑏 2 + 2𝐶𝜔 𝑏 sin 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 + 𝐷 cos 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 𝑄 1 =  2𝐴𝜔 𝑏 − 𝜏 𝑏 𝜔 𝑏 3 + 𝜏 𝑏 𝐵𝜔 𝑏 + 2𝐶𝜔 𝑏 cos 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 − 𝐷 sin 𝜔 𝑏 𝜏 𝑏 = 3𝜔 𝑏 6 − 4𝐵𝜔 𝑏 4 + 2𝐴 2 𝜔 4 + 𝐵 2 𝜔 2 𝑃 1 2 + 𝑄 1 2 = 𝜔 𝑏 2 (3𝜔 𝑏 4 + 𝐵 2 + (−4𝐵 + 2𝐴 2 )𝜔 𝑏 2 ) 𝑃 1 2 + 𝑄 1 2
Misalkan 𝑧 = 𝜔 𝑏 2 maka 𝑓(𝑧) = 𝑧 3 + (𝐴 2 − 2𝐵 − 𝐶 2 )𝜔 2 + (𝐵 2 + 2EC − 𝐷 2 )𝜔−E 2 dan 𝑓 ′ (𝑧) = 3𝑧 2 + 2(𝐴 2 − 2𝐵 − 𝐶 2 )𝑧 + (𝐵 2 + 2EC − 𝐷 2 ) .  Jika 𝜔 𝑏 adalah  akar  positif  terkecil  dari persamaan (19) (kecuali jika merupakan akar kembar maka dipilih akar terkecil berikutnya), maka
𝑑𝜆 𝑑𝜏 | 𝜏=𝜏 𝑏 = 𝜔 𝑏 2 (𝑓 ′ (𝜔 𝑏 2 ) + 2𝐶 2 𝜔 𝑏 2 + 𝐷 2 − 2EC) 𝑃 1 2 + 𝑄 1 2 > 0
yang  memperlihatkan  bahwa  syarat  transversal  terpenuhi,  sehingga terbukti  terjadi  bifurkasi  Hopf pada saat 𝜏 = 𝜏 𝑏 .

## 3.4 Simulasi di Titik Ekuilibrium 𝐸 ∗ Tanpa Waktu Tunda
Untuk menemukan solusinya dipilih nilai-nilai parameter yang diberikan pada Tabvel 1.
Tabel 1. Daftar titik ekuilibrium, parameter batas keberadaan titik ekuilibrium, nilai-nilai parameter dan kestabilan titik ekuilibrium
Titik  Syarat
𝛼 𝛽 𝛿 𝛿 1 𝛽 1 𝛽 2 𝛽 3 𝑙 1 𝑙 2 𝜂 𝑀 ̅
𝐸 ∗ ❖ 𝛼, 𝛽, 𝛿, 𝛿 1 , 𝛽 1 , 𝛽 2 , 𝛽 3 , 𝑙 1 , 𝑙 2 , 𝜂, 𝑀 > 0 ❖ 𝜃 < 0 dan
❖ (𝛿 + 𝛿 1 )𝑙 1 − 𝛿𝜂 <
0. 1,3 1,1 0,35 0,1 0,25 0,4 0,5 0,2 0,3 0,35 0,15
Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu
𝐸 ∗ (0,6269531250; 0,4453125000; 0,07617187500).
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Bidang solusi dan potret fase sistem pada model siklus bisnis IS-LM untuk titik ekuilibrium 𝐸 ∗
Pada Gambar 1, untuk bidang solusi memperlihatkan adanya osilasi dengan simpangan yang semakin  kecil,  sehingga  produk  kotor  ( bruto ) , modal dan suku  bunga  tersebut  berkembang  dan akhirnya stabil menuju ke suatu nilai.
Pada kasus ini, untuk potret fase titik ekuilibrium 𝐸 ∗ merupakan merupakan titik simpul stabil.

## 3.5 Simulasi di Titik Ekuilibrium 𝐸 ∗ dengan Waktu Tunda
Simulasi  numerik  model  siklus  bisnis  IS-LM  dengan  waktu  tunda  dilakukan  untuk menunjukkan adanya pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan titik tetap 𝐸 ∗ . Nilai-nilai parameter yang digunakan untuk simulasi di titik ekuilibrium 𝐸 ∗ disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai parameter untuk simulasi di titik ekuilibrium 𝐸 ∗ dengan waktu tunda Parameter 𝛼 𝛽 𝛿 𝛿 𝛽 1 𝛽 2 𝛽 3 𝑙 1 𝑙 2 𝑙 2 𝑀 ̅ Nilai 3 2 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,31 0,1 0,3 0,05
Dari Tabel 2 diperoleh
𝜃 = 𝛿(𝛽 3 𝜂 − 𝑙 2 𝛽 1 ) − (𝛿 + 𝛿 1 )(𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) = −0,018.
𝑌̂ = −𝑀 ̅(𝛿 1 𝛽 2 +𝛿(𝛽 1 +𝛽 2 )) 𝜃 = 1,166666667.
𝐾 ̂ = −(𝜂𝛽 2 +𝛽 1 𝑙 1 )𝑀 ̅ 𝜃 = 0,2777777778.
𝑅̂ = ((𝛿+𝛿 1 )𝑙 1 −𝛿𝜂)𝑀 ̅ 𝜃 = 0,2222222222.
Jadi diperoleh titik ekuilibrium
𝐸 ∗ (1,166666667; 0,2777777778; 0,2222222222).
Kemudian dari nilai-nilai parameter yang disajikan pada Tabel 2, diperoleh
𝐴 = 𝛽𝛽 3 + 𝛼(𝑙 1 − 𝜂) = 0,3, 𝐵 = 𝛼𝛽𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 ) + 𝛼𝛽𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) = 0,06, 𝐶 = 𝛿 + 𝛿 1 = 1,1, 𝐷 = 𝛿(𝛼(𝑙 1 − 𝜂) + 𝛽𝛽 3 ) + 𝛿 1 (𝛽𝛽 3 + 𝛼𝑙 1 ) = 0,42, 𝐸 = 𝛼𝛽𝛿 1 (𝛽 2 𝑙 2 + 𝛽 3 𝑙 1 ) + 𝛼𝛽𝛿(𝛽 3 (𝑙 1 − 𝜂) + 𝑙 2 (𝛽 1 + 𝛽 2 )) = 0,108. 𝜔 6 + (𝐴 2 − 2𝐵 − 𝐶 2 )𝜔 4 + (𝐵 2 + 2EC − 𝐷 2 )𝜔 2 −E 2 = 0 ⟺ 𝜔 6 − 1,24𝜔 4 + 0,0648𝜔 2 + 0,011664 = 0.                                                                                    (24)
Misal 𝑧 = 𝜔 2 , maka persamaan (24) menjadi
(𝑧 − 1,193907312)(𝑧 2 − 0,04609268812𝑧 + 0,009769602618) = 0.
Oleh sebab syarat 𝜔 > 0, maka dipilih 𝑧 1 = 1,193907312. Maka diperoleh 𝜔 1 = √1,193907312 = ±1,092660657.
Oleh  sebab 𝜔 > 0, maka  dipilih 𝜔 1 = 1,092660657. Kemudian  dicari  nilai 𝜏 𝑘 dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 dan 𝜔 𝑘 ke persamaan berikut.
𝜏 𝑘 = 1 𝜔 𝑘 tan −1 (− 𝐶𝜔 𝑘 5 − (𝐸 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐷)𝜔 𝑘 3 + 𝐵𝐸𝜔 𝑘 (𝐴𝐶 − 𝐷)𝜔 𝑘 4 + (−𝐴𝐸 + 𝐵𝐷)𝜔 𝑘 2 + 𝐶𝐸 ) . ⟺ 𝜏 𝑘 = 1 1,092660657 tan −1 (− 1,657706716 −0,0180834527 + 2.0. 𝜋) . ⟺ 𝜏 𝑘 = 1,4276505207.
Pada tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai batas waktu tunda pada jarak 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛.
Tabel 3 Nilai waktu tunda pada jarak 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑛 𝑘 𝜏 0 1,4276505207 1 7,177958958 2 12,92831271 ⋮ ⋮ 𝑛 𝜏 𝑛
Dalam artikel ini hanya dibahas nilai waktu tunda pada saat, sebelum dan sesudah nilai batas waktu tunda pada jarak 𝑘 = 0. Selain parameter yang telah disebutkan pada Tabel 4, perlu dilakukan pemilihan parameter waktu tunda yang ditunjukkan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan titik tetap. Pada simulasi ini akan disediakan tiga kasus untuk menunjukkan keberadaan bifurkasi Hopf.
Tabel 4 . Pemilihan waktu tunda serta kestabilan model No  Kasus 𝜏 Kestabilan Titik Tetap 1 𝜏 < 𝜏 𝑘 1.1 Spiral stabil 2 𝜏 = 𝜏 𝑘 1,4276505207 Spiral stabil 3 𝜏 > 𝜏 𝑘 2 Spiral tidak stabil
Simulasi di Titik Ekuilibrium 𝑬 ∗ untuk kasus 𝝉 < 𝝉 𝒌 Pada  kasus  ini,  nilai  parameter  yang  digunakan  adalah 𝜏 = 1,1 < 𝜏 𝑘 . Hasil  simulasi  dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 . Bidang solusi system dan potret fase di titik ekuilibrium 𝐸 ∗ untuk kasus 𝜏 < 𝜏 𝑘
Pada Gambar 2, untuk bidang solusi memperlihatkan adanya osilasi dengan simpangan yang semakin kecil,  sehingga kedua populasi tersebut berkembang dan akhirnya stabil menuju ke suatu nilai.
Simulasi di Titik Ekuilibrium 𝑬 ∗ untuk kasus 𝝉 = 𝜏 𝑘
Pada  kasus  ini,  nilai  parameter  yang  digunakan  adalah 𝜏 = 1,4276505207 = 𝜏 𝑘 . Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 Bidang solusi sistem dan potret fase di titik ekuilibrium 𝐸 ∗ untuk kasus 𝜏 = 𝜏 𝑘
Pada Gambar 3, untuk bidang solusi memperlihatkan adanya osilasi dengan simpangan yang semakin kecil, sehingga kedua populasi tersebut  berkembang dan akhirnya stabil menuju ke suatu nilai.
Simulasi di Titik Ekuilibrium 𝑬 ∗ untuk kasus 𝝉 > 𝜏 𝑘 Pada  kasus  ini,  nilai  parameter  yang  digunakan  adalah 𝜏 = 2 > 𝜏 𝑘 . Hasil  simulasi  dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4 Bidang solusi sistem dan potret fase di titik ekuilibrium 𝐸 ∗ untuk kasus 𝜏 > 𝜏 𝑘
Pada  Gambar  4  memperlihatkan  adanya  osilasi  dengan  simpangan  yang  semakin  besar, sehingga kedua populasi tersebut berkembang dan akhirnya menjauhi titik keseimbangannya.

## 4. Kesimpulan
Dari  pembahasan  yang  telah  dilakukan,  dapat  disimpulkan  bahwa  berdasarkan penondimensialan  model,  diperoleh  model  matematika  IS-LM  dengan  waktu  tunda.  Dalam menganalisis keberadaan bifurkasi Hopf, model ini dibagi menjadi tiga kasus dimana tiap kasusnya mengalami penaikkan nilai parameter waktu tunda dalam produk kotor, modal dan suku bunga (𝜏) . Pada kasus 𝜏 = 𝜏 𝑘 terjadi perubahan kestabilan titik dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil dan kemunculan Limit  Cycle .  Fenomena  ini  merupakan  sifat  dari  bifurkasi  Hopf.  Dengan  memilih parameter bifurkasi yang tepat, kami menyelidiki kestabilan lokal dan bifurkasi Hopf. Pengamatan pada simulasi model dilakukan dengan menvariasikan nilai waktu tunda. Saat bifurkasi Hopf terjadi, grafik pada bidang solusi memperlihatkan pergerakan osilasi yang konstan. Apabila 𝜏 < 𝜏 𝑘 , solusi sistem  terkontrol  menuju  kondisi  yang  seimbang.  Kemudian  Ketika 𝜏 > 𝜏 𝑘 solusi  sistem  terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.

## Referensi
[1] L. P. Sinaga, D. Kartika & H. Nasution,  Pengantar Sistem Dinamik: Amal Insani,  Banten, 2021
[2] C. Ragan & R. Lipsey, Economics, Thirteenth Canadian Edition: Pearson Canada, Toronto, 2017
[3] C. Seftarita, Kebijakan Ekonomi Makro dan Siklus Bisnis; Kajian Teori dan Studi Empiris: Syiah Kuala University Press, Banda Aceh, 2014.
[4] E. H. Nugrahani, P. Sianturi & Rosmely, Analisis bifurkasi pada model siklus bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money): IPB Bogor, 2016.
[5] L.  Guerrini,  A.  Krawiec  &  M.  Szydlowski,  “Bifurcation  in  a  economic  growth  model  with  a distributed time delay transformed to ODE”, Nonlinear Dyn , vol. 101, pp. 1263-1279, 2020. doi: https://doi.org/10.1007/s11071-020-05824-y
[6] F. Karim, S. Chauhan, S. k. Bhatia, “Hopf Bifurcation in an Augmented IS-LM Linear Business Cycle Model  with  Two  Time  Delays”, International  Journal  of  Mathematical,  Engineering  and
Management Sciences , vol. 5,
no. 3, pp. 518-528,2020. doi:
https://doi.org/10.33889/IJMEMS.2020.5.3.043
[7] Y. Xie, Z. Wang, and B. Meng, “Stability and Bifurcation of a Delayed Time-Fractional Order Business  Cycle  Model  with  a  General  Liquidity  Preference  Function  and  Investment Function”, mathematics , vol. 7, no. 846, 2019. doi: https://doi.org/10.3390/math7090846
[8] A. N. Hidayati, E. Apriliani, I. G. R. Usadha, “Optimal Control Of Dynamic IS-LM Bussiness Cycle Model With Two Time Delay,”Journal of Physics: Conference Series, vol. 1373, 2019. doi: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1373/1/012038
[9] U. M. Musyaffafi, M. Hafiyusholeh, Y. Farida, A. Fanani, A. Z. Arifin, “Stability Analysis of Cycle Business Investment Saving-Liquidity Money (IS-LM) Model using Runge-Kutta Fifth Order  and  Extended  Runge-Kutta  Method,”  BEST  ICON,  pp.  240-246,  2018.  doi: https://doi.org/10.5220/0008905402400246
[10]   F. Karim, S. Chauhan, J. Dhar, “On the Comparative analysis of linear and nonlinear business cycle model: Effect on system dynamics, economy and policy making general,” Quantitative Finance and Economics, vol.
4, Issue 1,
pp. 172-203. doi: https://doi.org/10.3934/QFE.2020008
[11]   M.  Assous,  A.  Dutt,  P.  Fourchard,  A.  Pottier,”In  Stability  in  Kalecki’s  Early Macroeconomics,” Journal of the History of Economics Thought, vol. 39, Special Issue 1, pp.69-87, March 2017. doi: https://doi.org/10.1017/S1053837216001097
[12]   E. S. Kurkina, “Mathematical Models of Investment Cycles,”Computational Mathematics and Modeling, vol. 28, no. 3, July, 2017. doi: https://doi.org/10.1007/s10598-017-9371-4
[13]   I. Bashkirtseva, L. Ryashko, dan A. Sysolyatina, Analysis of stochastic effects in Kaldor type business  cycle  discrete  model.  Communication  in  Nonlinear  Science  and  Numerical Simulation, Vol.36, pp.446 - 456, 2016. doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2015.12.020
[14]   I.  Bashkirtseva,  L.  Ryashko,  dan  T.  Ryazanova,  Stochastic  sensitivity  analysis  of  the variability of dynamics and transition to chaos in the business cycles model, Communication in  Nonlinear  Science  and  Numerical  Simulation,  Vol.54,  pp.174  -  184,  2018.  doi: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.05.030
[15]   E.  Cahyono,  L.  O.  Saidi,  Makkulau,  M.  Syarif,  dan  R.  Raya.  Quantitative  aspects  of business/economic cycle. Proceeding of the 3rd SHIELD International Conference, pp.56-64, 2018
[16]   J.  Kodera,  J.  Radova,  and  T.  V.  Quang,  A  Modification  of  Kaldor-Kalecki  Model  and  its Analysis, 30th International Conference Mathematical Methods in Economics, pp.420-425, 2012
[17]   N. G. Mankiw, Principles of Economics, South Western: Cengage Learning, 2017
[18]   M. U. Syarif, E. Cahyono, dan P. Adam, Study on business cycle in Indonesian economy: A signal  processing  approach.  Global  and  Stochastic  Analysis.  Vol.  5  [6],  pp.35-43,  Special Issue 2018
[19]   B. Volna,”Relaxation Oscillations in New IS-LM Model,” Dynamical Ssytems (math. DS), vol. 95, no. 3, pp.661-667
[20] G. Gabisch, H.W. Lorenz, Business cycle theory - A survey of methods and concepts (Second Edition): Springer, New York, 1989.
[21] J. P. Cai, “Hopf bifurcation in the IS-LM business cycle model with time delay”, Electronic Journal of Differential Equations ,no. 15,pp.1-6, 2005
[22] Kaldor N, “A Model of the Trade Cycle”, Economic Journal, vol.50, 78-92, 1940
[23] V. Torre, “Existence of limit cycles and control in complete Keynesian systems by theory of bifurcations”, Econometrica, vol.45, pp. 1457-1466, 1977
[24] M.  Kalecki,  A  macrodynamic  theory  of  business  cycle,  Econometrica,  vol.  3,  pp.327-344, 1935