Abstrak —Penyakit  coronavirus  (COVID-19) masuk ke Indonesia dan pertama kali terdeteksi di Jakarta. Hingga Juli 2020, kasus positif COVID-19 di Jakarta menjadi penyumbang kasus positif terbanyak di Indonesia. Hal ini menunjukkan bahwa penyebaran COVID-19 semakin meningkat dan perlu penanganan yang lebih maksimal. Oleh karena itu, dalam penelitian ini dibahas tentang pemberian kontrol yang optimal untuk mengendalikan penyebaran COVID-19 di Jakarta dengan model SEIR (Susceptible Exposed Infected Recovered). Model SEIR yang digunakan merupakan hasil pengembangan dari model yang sudah ada dengan mengikuti kondisi penyebaran COVID-19 di Jakarta. Salah satu upaya yang dapat dilakukan untuk mengontrol penyebaran COVID-19 adalah dengan melakukan testing.  Testing  dilakukan pada populasi exposed dengan tujuan dapat mengurangi penyebaran COVID-19 di Jakarta. Kemudian menentukan kontrol optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dan diselesaikan secara numerik menggunakan program Matlab berdasarkan metode  forward-backward sweep  Runge-Kutta  orde  empat. Dari hasil analisis simulasi, didapat bahwa dengan melakukan testing pada populasi exposed  yang mengakibatkan berkurangnya jumlah populasi exposed sebesar 99% sehingga dapat mengurangi penyebaran COVID-19 di Jakarta.
Kata Kunci —COVID-19,  model SEIR, Prinsip Maksimum Pontryagin.

## I. PENDAHULUAN
ENYAKIT coronavirus (COVID-19) adalah penyakit yang disebabkan oleh jenis coronavirus baru yaitu Sars- CoV-2. Penyakit COVID-19 ini sudah mewabah hampir ke seluruh dunia. Berdasarkan jurnal Transmission Dynamics and Control Methodology of COVID-19 , penyakit COVID- 19 telah berkembang menjadi pandemi dalam rentang waktu yang sangat singkat. Untuk mengatasi masalah tersebut diperlukan pencegahan dan pengendalian COVID-19 dengan mengambil tindakan secepat mungkin sehingga dapat menurunkan tingkat kontak. Dengan kata lain, karantina memiliki dampak signifikan pada pengurangan penyebaran COVID-19  [1]. Indonesia sebagai salah satu negara di dunia yang terdampak COVID-19 sudah memberlakukan karantina wilayah  namun belum efektif karena kasus positif masih mengalami peningkatan.
Kasus positif COVID-19 pertama Indonesia yaitu di Jakarta. Kasus tersebut terdeteksi pada 3 Maret 2020 dengan tiga kasus positif. Sejak kasus positif pertama, penambahan kasus harian Jakarta mengalami peningkatan dan penurunan. Seperti pada tanggal 17 Februari 2021, kasus positif harian Jakarta sebanyak 1.445 orang, kemudian menurun pada 18 Februari 2021 menjadi 373 orang, dan pada 19 Februari 2021 meningkat lagi menjadi 1.920 orang. Sampai tanggal 28 Februari 2021, Jakarta menjadi penyumbang total kasus positif COVID-19 tertinggi di Indonesia, yaitu sebesar 25,4% dengan total kasus positif Jakarta sudah mencapai 343.407. Selain memiliki kasus positif yang tinggi, positivity
rate kasus COVID di Indonesia, khususnya Jakarta jauh di atas angka ideal positivity rate yang ditetapkan oleh World Health Organization (WHO) yaitu sebesar 5%. Hingga tanggal 28 Februari 2021, positivity rate Indonesia mencapai 26,2% dan Jakarta mencapai 19%. Oleh karena itu diperlukan upaya yang lebih maksimal agar penyebaran COVID-19 dapat dikendalikan.
Pada penelitian Suwardi Annas (2020)[2], telah dibangun model SEIR untuk COVID-19 di Indonesia dengan mempertimbangkan faktor vaksinasi dan isolasi sebagai parameter model. Kemudian dilakukan analisis kestabilan dan simulasi numerik model SEIR terhadap penyebaran COVID-19. Model SEIR pada penelitian tersebut masih dapat dikembangkan sesuai kondisi Jakarta saat ini. Selain itu, perlu juga dipertimbangkan pemberian variabel control agar didapat solusi yang optimal dalam upaya pencegahan penyebaran COVID-19.
Dalam  penelitian  ini  digunakan model epidemi SEIR yang didasarkan pada asumsi standar: populasi dibagi ke dalam kelompok susceptible (S) yakni individu yang rentan terhadap penyakit COVID-19, exposed (E) yakni individu yang terpapar penyakit dan tidak memiliki gejala ataupun bergejala ringan tetapi belum terdeteksi, infected (I) yakni individu yang terinfeksi penyakit dan sudah terdeteksi, dan recovered (R) yakni individu yang telah sembuh dari penyakit COVID-19.
Model matematika pada penelitian  ini  merupakan pengembangan dari model matematika yang dilakukan oleh Suwardi Annas [2]. Selain itu, dibahas suatu sistem penyebaran COVID-19 dimana populasi terpapar ( exposed ) diberikan control berupa testing /pemeriksaan. Testing adalah upaya yang dilakukan dengan melakukan pemeriksaan terhadap individu yang dipilih secara acak dari sebuah kelompok yang berpotensi terjadi penularan. Testing yang dilakukan secara optimal dapat menekan laju penyebaran COVID-19. Oleh karena itu, perlu dilakukan kontrol berupa testing untuk meminimalkan jumlah orang yang terpapar ( exposed ) dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dan diharapkan penyebaran COVID- 19 di Jakarta dapat dihentikan.

## II. METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini menggunakan data terkait populasi infected dan recovered sejak tanggal 7 April sampai 31 Mei 2021 yang didapatkan dari website JAKARTA TANGGAP COVID-19, serta data-data lainnya yang menunjang penelitian. Selanjutnya dilakukan pengembangan model matematika dari penelitian Suwardi Annas  [2]  dengan menambahkan beberapa parameter dan membeikan variabel kontrol berupa testing . Dari model matematika  tersebut dilakukan analisis sifat model matematika, yaitu analisis kestabilan pada model matematika dan analisis

## Kontrol Optimal Penyebaran COVID-19 Model SEIR di Jakarta
Nada Fitriani Azzahra, Hariyanto, dan Mardlijah Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya (ITS) e-mail : hariyantomath@gmail.com
P
keterkontrolan pada model yang telah diberikan variabel kontrol.  Setelah itu ditentukan formulasi masalah kontrol optimal yang meliputi model matematika, fungsi objektif serta syarat batas yang harus dipenuhi. Kemudian masalah tersebut diselesaikan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin dengan membentuk fungsi Hamiltonian, menentukan kontrol optimal, serta menentukan persamaan state dan costate . Dengan hasil yang diperoleh dari penyelesaian masalah control optimal, selanjutnya dibuat program simulasi dari model dengan menggunakan software Matlab. Dilakukan simulasi dengan memanfaatkan metode forward-backward sweep Runge-Kutta orde empat untuk memastikan hasil yang sesuai dengan hasil analisis kestabilan dan untuk mengetahui dinamika perubahan jumlah populasi exposed saat sebelum dan sesudah diberikan kontrol.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Model Matematika
Pada penelitian yang telah dilakukan oleh Suwardi Annas, didapatkan model matematika penyebaran COVID-19 di Indonesia seperti Persamaan (1) berikut.
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜇𝜇𝜇𝜇 − ( 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝜇𝜇 + 𝑣𝑣 ) 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 − ( 𝛽𝛽 + 𝜇𝜇 ) 𝑑𝑑
𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛽𝛽𝑑𝑑 − ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛿𝛿 + 𝜇𝜇 ) 𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝑣𝑣𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 (1)
Kemudian pada penelitian  ini dilakukan modifikasi dari model matematika pada persamaan (1) sehingga diperoleh model matematika penyebaran COVID-19 di Jakarta seperti pada persamaan (2) berikut.
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 – 𝜇𝜇𝛾𝛾 (2)
dimana 𝜇𝜇 : total populasi di Jakarta 𝑑𝑑 : populasi rentan susceptible 𝑑𝑑 : populasi terpapar exposed 𝛼𝛼 : populasi terinfeksi infecte d 𝛾𝛾 : populasi telah sembuh recovered 𝜔𝜔 : banyaknya kelahiran individu 𝜇𝜇 : tingkat kematian alami individu 𝛼𝛼 : rate penularan dari S menjadi E 𝛽𝛽 : rate penambahan gejala dari E ke I 𝜃𝜃 : rate kesembuhan individu terpapar dari E ke R 𝛿𝛿 : rate kesembuhan individu terinfeksi dari I ke R
𝛾𝛾 : rate perpindahan individu R menjadi S 𝜇𝜇 𝑖𝑖 : rate kematian individu akibat COVID-19 𝛽𝛽 : proporsi individu E yang menjadi I 1 − 𝛽𝛽 : proporsi individu E yang menjadi R 𝛼𝛼 : proporsi individu S yang menjadi E 1 − 𝛼𝛼 : proporsi individu S yang menjadi I

## B. Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan dari sistem persamaan diperoleh jika[3].
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0. 𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0

## 1) Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Titik kesetimbangan bebas penyakit merupakan suatu kondisi yang tidak terdapat penyebaran COVID-19 dalam suatu populasi sehingga tidak ada populasi exposed , infected maupun recovered , dengan kata lain 𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 = 𝛾𝛾 =  0 . Dengan merujuk pada tinjauan pustaka,  maka akan didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit sebagai berikut.
𝐾𝐾 0 = ( 𝑑𝑑 0 , 𝑑𝑑 0 , 𝛼𝛼 0 , 𝛾𝛾 0 ) = � 𝜔𝜔 𝜇𝜇 , 0,0,0 �

## 2) Titik Kesetimbangan Endemik
Titik kesetimbangan endemik penyakit digunakan untuk mengindikasi kemungkinan terjadinya persebaran penyakit. Dalam kondisi  endemik ini, setiap populasi tidak sama dengan nol ( 𝑑𝑑 ≠ 0; 𝑑𝑑 ≠ 0; 𝛼𝛼 ≠ 0; 𝛾𝛾 ≠ 0 ). Dengan merujuk pada tinjauan pustaka, maka akan didapatkan titik kesetimbangan endemik sebagai berikut.
𝐾𝐾 𝑒𝑒 = ( 𝑑𝑑 𝑒𝑒 , 𝑑𝑑 𝑒𝑒 , 𝛼𝛼 𝑒𝑒 , 𝛾𝛾 𝑒𝑒 ) dimana
𝑑𝑑 𝑒𝑒 = 𝜇𝜇 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑑𝑑 𝑒𝑒 = − [( 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 )( 𝛿𝛿 + 𝜇𝜇 + 𝜇𝜇 𝑖𝑖 )( 𝜇𝜇 2 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜔𝜔 + 𝛽𝛽𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 )] �𝛼𝛼𝜇𝜇 3 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 3 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ( 1−𝜖𝜖 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 2 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝛾𝛾𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃� −1
𝛼𝛼 𝑒𝑒 = − [( 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 )( 𝜇𝜇 2 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜔𝜔 + 𝛽𝛽𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 )( 𝜇𝜇 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛽𝛽𝛼𝛼𝛽𝛽 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 )][ 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 3 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 3 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 −
𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 ] −1
𝛾𝛾 𝑒𝑒 = − [ − ( 𝛿𝛿𝜇𝜇 3 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 2 𝜃𝜃 2 + 𝛼𝛼𝜇𝜇 3 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽 2 𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇𝛽𝛽 2 + 𝛽𝛽 2 𝛿𝛿𝜇𝜇𝛽𝛽 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 2 𝜃𝜃 2 + 𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 2 𝜃𝜃 2 + 𝛿𝛿𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 2 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 2 + 𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 + 2 𝛽𝛽𝛿𝛿𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 2 𝛿𝛿𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜔𝜔𝛽𝛽 − 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜔𝜔 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝜔𝜔 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝜔𝜔 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝛽𝛽𝜃𝜃 − 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇𝜔𝜔 (1 − 𝛼𝛼 ) − 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜔𝜔𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) +  2 𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝛽𝛽𝜃𝜃 − 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜔𝜔 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝛽𝛽𝜃𝜃 + 2 𝛽𝛽𝛿𝛿𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 )][( 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 3 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 3 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 2 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 2 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇 2 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼 2 𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 2 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇 2 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛽𝛽𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛽𝛽 (1 − 𝛼𝛼 ) + 𝛼𝛼𝛿𝛿𝛼𝛼𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛾𝛾𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝛼𝛼𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 − 𝛽𝛽 )(1 − 𝛼𝛼 ) 𝜃𝜃 )] −1

## C. Analisis Kestabilan
Kestabilan lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier.  Kestabilan lokal pada titik kesetimbangan ditentukan oleh tanda bagian real dari akar-akar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik kesetimbangan. Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Berikut ini sifat kestabilan lokal di sekitar titik kesetimbangan.
1. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika 𝛾𝛾𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) < 0 , untuk setiap 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 . 2. Titik kesetimbangan dikatakan stabil jika dan hanya jika 𝛾𝛾𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) ≤ 0 , untuk setiap 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 . 3. Titik kesetimbangan dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika 𝛾𝛾𝑅𝑅 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) > 0 , untuk setiap 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 .
1) Analisis Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Langkah pertama dalam menentukan kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit adalah mengevaluasi nilai titik kesetimbangan 𝐾𝐾 0 = ( 𝑑𝑑 0 , 𝑑𝑑 0 , 𝛼𝛼 0 , 𝛾𝛾 0 ) = � 𝜔𝜔 𝜇𝜇 , 0,0,0 � pada matriks Jacobian, sehingga diperoleh
𝐽𝐽 𝐾𝐾 0 = � −𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 2 − 𝜇𝜇 −𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 4 0 𝛾𝛾 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 5 − 𝑎𝑎 6 − 𝜇𝜇 0     0 𝑎𝑎 2 0 𝑎𝑎 4 + 𝑎𝑎 5 𝑎𝑎 6 −𝑎𝑎 8 0 𝛿𝛿 −𝑎𝑎 7 �
dengan 𝑎𝑎 1 = 0 𝑎𝑎 5 = 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑎𝑎 2 = 0 𝑎𝑎 6 = 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑎𝑎 3 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 𝑎𝑎 7 = 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 𝑎𝑎 4 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 𝑎𝑎 8 = 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛿𝛿 + 𝜇𝜇 sehingga diperoleh persamaan karakteristik
( 𝜆𝜆 1 + 𝜇𝜇 )( 𝜆𝜆 2 − 𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 6 + 𝜇𝜇 )( 𝜆𝜆 3 + 𝑎𝑎 8 )( 𝜆𝜆 4 + 𝑎𝑎 7 ) = 0 Karena semua parameter bernilai positif, maka 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 3 dan
𝜆𝜆 4 bernilai negatif. Sedangkan sistem akan bersifat stabil di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit jika 𝜆𝜆 2 < 0 , berarti 𝑎𝑎 3 < 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 6 + 𝜇𝜇 , dan sistem bersifat tidak stabil di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit jika 𝜆𝜆 2 > 0 , berarti 𝑎𝑎 3 > 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 6 + 𝜇𝜇 .
2) Analisis Kestabilan pada Titik Kesetimbangan Endemik Langkah pertama dalam menentukan kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit adalah mengevaluasi nilai titik kesetimbangan 𝐾𝐾 𝑒𝑒 = ( 𝑑𝑑 𝑒𝑒 , 𝑑𝑑 𝑒𝑒 , 𝛼𝛼 𝑒𝑒 , 𝛾𝛾 𝑒𝑒 ) pada  matriks Jacobian, sehingga diperoleh
𝐽𝐽 𝐾𝐾 𝑒𝑒 = � −𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 2 − 𝜇𝜇 −𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 4 0 𝛾𝛾 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 5 − 𝑎𝑎 6 − 𝜇𝜇 0     0 𝑎𝑎 2 0 𝑎𝑎 4 + 𝑎𝑎 5 𝑎𝑎 6 −𝑎𝑎 8 0 𝛿𝛿 −𝑎𝑎 7 �
dengan
𝑎𝑎 1 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 𝑎𝑎 5 = 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝑎𝑎 2 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 𝑎𝑎 6 = 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑎𝑎 3 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 𝑎𝑎 7 = 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 𝑎𝑎 4 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 𝑎𝑎 8 = 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛿𝛿 + 𝜇𝜇 sehingga diperoleh persamaan karakteristik
𝐴𝐴 0 𝜆𝜆 4 + 𝐴𝐴 1 𝜆𝜆 3 + 𝐴𝐴 2 𝜆𝜆 2 + 𝐴𝐴 3 𝜆𝜆 + 𝐴𝐴 4 = 0 dimana 𝐴𝐴 0 = 1 𝐴𝐴 1 = 𝑎𝑎 1 + 𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 6 + 𝑎𝑎 7 + 𝑎𝑎 8 + 2 𝜇𝜇 𝐴𝐴 2 = 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 4 + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 6 − 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 3 + 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 5 + 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 6 + 𝑎𝑎 7 𝑎𝑎 8 + 𝑎𝑎 1 𝜇𝜇 + 𝑎𝑎 2 𝜇𝜇 − 𝑎𝑎 3 𝜇𝜇 + 𝑎𝑎 5 𝜇𝜇 + 𝑎𝑎 6 𝜇𝜇 + 𝜇𝜇 2 𝐴𝐴 3 = 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 𝑎𝑎 7 + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 4 𝑎𝑎 7 + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 𝑎𝑎 8 − 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 4 𝑎𝑎 8 + 𝑎𝑎 2 𝛿𝛿𝛾𝛾 − 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 6 𝛾𝛾 𝐴𝐴 4 = 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 𝑎𝑎 7 𝑎𝑎 8 + 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 4 𝑎𝑎 7 𝑎𝑎 8 − 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 5 𝛿𝛿𝛾𝛾 + 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 3 𝛿𝛿𝛾𝛾 − 𝑎𝑎 2 𝑎𝑎 6 𝛿𝛿𝛾𝛾 + 𝑎𝑎 2 𝜇𝜇𝛿𝛿𝛾𝛾 − 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 4 𝛿𝛿𝛾𝛾 − 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 5 𝛿𝛿𝛾𝛾 − 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 6 𝑎𝑎 8 𝛾𝛾
Karena nilai eigen dari persamaan karakteristik sulit untuk ditentukan, maka untuk mengetahui sifat kestabilan di sekitar titik kesetimbangan endemik menggunakan kriteria Routh-Hurwitz sehingga diperoleh syarat yaitu:
𝐴𝐴 1 , 𝐴𝐴 2 , 𝐴𝐴 3 , 𝐴𝐴 4 >  0 𝐴𝐴 1 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 � 𝐴𝐴 1𝐴𝐴 2 − 𝐴𝐴 3 �𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 2 𝐴𝐴 4 Jika ketiga syarat di atas terpenuhi, maka sistem bersifat stabil asimtotik. Namun jika ketiga syarat di atas tidak terpenuhi, maka sistem bersifat tidak stabil.

## D. Analisis Keterkontrolan
Suatu sistem dapat diberikan kontrol jika berdasarkan analisis keterkontrolannya bersifat terkontrol. Syarat perlu dan cukup sistem terkontrol adalah sebagai berikut [4].
1. 𝑤𝑤 (0, 𝑑𝑑 1 ) = ∫ 𝑅𝑅 −𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝑅𝑅 −𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 1 0 non-singulir 2. Matriks 𝑀𝑀 𝑐𝑐 = ( 𝐵𝐵 | 𝐴𝐴𝐵𝐵 | 𝐴𝐴 2 𝐵𝐵 | … | 𝐴𝐴 𝑛𝑛−1 𝐵𝐵 ) mempunyai rank sama dengan 𝑛𝑛 . Sebelum dilakukan analisis keterkontrolan, dilakukan konstruksi model dengan menambahkan kontrol yang diinginkan. Dalam penelitian  ini diberikan variabel kontrol 𝑢𝑢 yang merupakan proporsi dilakukannya 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑡𝑡𝑑𝑑𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡 sehingga model kontrol optimal untuk penyebaran COVID-19 di Jakarta adalah sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 − 𝑢𝑢𝑑𝑑
𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼 + 𝑢𝑢𝑑𝑑
𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝜇𝜇𝛾𝛾
dengan 0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1 yang kemudian diperoleh ruang keadaan sehingga diperoleh matriks 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 .
𝐴𝐴 = � −𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 2 − 𝜇𝜇 −𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 4 0 𝛾𝛾 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 5 − 𝑎𝑎 6 − 𝜇𝜇 0     0 𝑎𝑎 2 0 𝑎𝑎 4 + 𝑎𝑎 5 𝑎𝑎 6 −𝑎𝑎 8 0 𝛿𝛿 −𝑎𝑎 7 �
𝐵𝐵 = � 0 −𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑑𝑑 𝑒𝑒 0 �
Selanjutnya dicari rank dari 𝑀𝑀 𝑐𝑐 = [ 𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴 2 𝐵𝐵 𝐴𝐴 3 𝐵𝐵 ] dan diperoleh rank ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) = 4 , sehingga model penyebaran COVID-19 adalah sistem yang terkontrol.

## E. Formulasi dan Penyelesaian Masalah Kontrol Optimal
Formulasi masalah kontrol optimal terdiri dari deskripsi secara matematis suatu sistem atau model, menentukan fungsi objektif, dan kendala atau syarat batas yang berlaku, dengan tujuan untuk mencari nilai 𝑢𝑢 ( 𝑑𝑑 ) yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif.
Pada penelitian ini fungsi objektif yang diminimumkan yaitu
𝐽𝐽 ( 𝑢𝑢 )  = � �𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2
2 � 𝑑𝑑 𝑓𝑓 0 𝑑𝑑𝑑𝑑
dimana 𝑑𝑑 merupakan populasi exposed , koefisien 𝑐𝑐 merupakan koefisien bobot untuk meminimumkan populasi exposed yang didasarkan pada biaya dari testing yang dilakukan. Dengan kata lain, akan diminimumkan populasi exposed dengan cara dilakukan testing dengan biaya yang minimum.
Prinsip Maksimum Pontryagin digunakan untuk memperoleh kontrol terbaik pada sistem dinamik dari state awal hingga state akhir, yaitu dengan memaksimalkan fungsi objektif dengan kontrol 𝑢𝑢 ( 𝑑𝑑 ) terbatas pada ( 𝑢𝑢 ( 𝑑𝑑 ) ∈ 𝑈𝑈 ) . Langkah-langkah menyelesaikan masalah kontrol optimal dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin adalah sebagai berikut.
1. Langkah 1: membentuk fungsi Hamiltonian
ℋ (S, E, I, R, u, λ )
= 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝑢𝑢 2 2 + 𝜆𝜆 1 ( 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 ) + 𝜆𝜆 2 ( 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 − 𝑢𝑢𝑑𝑑 ) + 𝜆𝜆 3 ( 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼 + 𝑢𝑢𝑑𝑑 ) + 𝜆𝜆 4 ( 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝜇𝜇𝛾𝛾 ) 2. Langkah 2 : meminimumkan ℋ terhadap semua vektor kontrol u(T) Untuk mementukan kondisi stasioner
𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝑢𝑢 = 0
𝑐𝑐𝑢𝑢 − 𝜆𝜆 2 𝑑𝑑 + 𝜆𝜆 3 𝑑𝑑 = 0 dan diperoleh
𝑢𝑢 ∗ = 𝜆𝜆 2 𝑑𝑑 − 𝜆𝜆 3 𝑑𝑑 𝑐𝑐
3. Langkah 3 : menggunakan hasil dari langkah 2 yaitu dengan mensubstitusikannya ke dalam langkah 1 dan menentukan ℋ yang optimal.
ℋ ∗ (S ∗ , E ∗ , I ∗ , R ∗ , u ∗ , λ ∗ ) = 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐𝑢𝑢 ∗2 2 + 𝜆𝜆 1 ( 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 ) + 𝜆𝜆 2 ( 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 − 𝑢𝑢 ∗ 𝑑𝑑 ) + 𝜆𝜆 3 ( 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼 + 𝑢𝑢 ∗ 𝑑𝑑 ) + 𝜆𝜆 4 ( 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝜇𝜇𝛾𝛾 )
4. Langkah 4 : menyelesaikan persamaan state � 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾
𝑑𝑑𝑑𝑑 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 − 𝑢𝑢𝑑𝑑
𝑑𝑑𝛼𝛼 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼 + 𝑢𝑢 ∗ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝛾𝛾 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 – 𝜇𝜇𝛾𝛾
dan persamaan costate − � 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ∗
𝑑𝑑𝜆𝜆 1 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − [ −𝜆𝜆 1 ( 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 + 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 + 𝜇𝜇 ) + 𝜆𝜆 2 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑
+ 𝜆𝜆 3 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 ] 𝑑𝑑𝜆𝜆 2 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − [1 − 𝜆𝜆 1 ( 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 + 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 ) + 𝜆𝜆 2 ( 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) − 𝜇𝜇 − 𝑢𝑢 ∗ ) + 𝜆𝜆 3 ( 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽 + 𝑢𝑢 ∗ ) + 𝜆𝜆 4 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 )] 𝑑𝑑𝜆𝜆 3 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − [ − 𝜆𝜆 3 ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝛿𝛿 + 𝜇𝜇 ) + 𝜆𝜆 4 𝛿𝛿 ] 𝑑𝑑𝜆𝜆 4 ∗ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − [ 𝜆𝜆 1 𝛾𝛾 − 𝜆𝜆 4 ( 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 )]
dengan kondisi awal 𝑥𝑥 (0) dan kondisi akhir 𝑥𝑥�𝑑𝑑 𝑓𝑓 � bebas dan 𝑑𝑑 𝑓𝑓 ditentukan, sehingga kondisi transversalitasnya adalah
�� 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥� ∗ − 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ∗ � 𝑑𝑑 𝑓𝑓 = 0 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ∗ �𝑑𝑑 𝑓𝑓 � = � 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥� ∗
karena fungsi objektif tidak memiliki bentuk Mayer ( S ), maka didapat 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑓𝑓 = 0 dengan 𝑖𝑖 =  1, 2, 3,4 .

## F. Penyelesaian Numerik
Metode Runge-Kutta merupakan metode penyelesaian numerik yang hanya membutuhkan satu nilai awal. Metode ini dapat digunakan pada sistem persamaan diferensial tingkat satu. Jenis metode Runge-Kutta yang digunakan adalah metode forward-backward sweep Runge-Kutta orde empat karena sistem persamaan diferensial pada penelitian ini terdapat persamaan yang diketahui nilai awal dan persamaan lainnya diketahui nilai akhir. Alur pengerjaannya adalah menyelesaikan persamaan yang diketahui nilai awalnya terlebih dahulu  secara forward , kemudian persamaan lainnya secara backward . Secara matematika dapat ditulis sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑑𝑑 )
Penyelesaian:
1) Forward Sweep
𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 + 𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕
dengan
𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 )
𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 2 � 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 2 � 𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓�𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 �
2) Backward Sweep
𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 + 2 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 + 𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕 dengan
𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 1 , 𝜕𝜕 2 � 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓 �𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ 2 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 2 , 𝜕𝜕 2 � 𝑘𝑘 4 , 𝜕𝜕 = ℎ𝑓𝑓�𝑑𝑑 𝑛𝑛 + ℎ , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑘𝑘 3 , 𝜕𝜕 �
Untuk mendapatkan kontrol yang optimal perlu dilakukan penyelesaian secara numerik menggunakan metode forward- backward sweep Range-Kutta orde empat. Hal ini dilakukan
Gambar 1. Grafik Simulasi Perubahan Populasi Susceptible Tanpa dan Dengan Kontrol.
Gambar 2. Grafik Simulasi Perubahan Populasi Exposed Tanpa dan Dengan Kontrol.
Gambar 3. Grafik Simulasi Perubahan Populasi Infected Tanpa dan Dengan Kontrol.
Gambar 4. Grafik Simulasi Perubahan Populasi Recovered Tanpa dan Dengan Kontrol.
karena persamaan state nya adalah 𝑑𝑑 (0) = 𝑑𝑑 0 , 𝑑𝑑 (0) = 𝑑𝑑 0 , 𝛼𝛼 (0) = 𝛼𝛼 0 , dan 𝛾𝛾 (0) = 𝛾𝛾 0 , sedangkan persamaan costate nya adalah nilai akhir 𝜆𝜆 1 ( 𝑑𝑑 ) = 𝜆𝜆 2 ( 𝑑𝑑 ) = 𝜆𝜆 3 ( 𝑑𝑑 ) = 𝜆𝜆 4 ( 𝑑𝑑 ) = 0 .

## G. Analisis Hasil Simulasi
Pada pembahasan ini, diberikan kondisi awal dari setiap populasi yaitu 𝑑𝑑 (0)  =  10.560.203 , 𝑑𝑑 (0)  =  858 , 𝛼𝛼 (0)  = 943 dan 𝛾𝛾 (0)  =  84 sesuai dengan  perkembangan kasus COVID-19 di Jakarta pada 7 April 2020. Adapun nilai parameter yang digunakan adalah sebagai berikut.
𝛼𝛼 = 1,44 × 10 −7 𝜇𝜇 = 1,2 × 10 −4 𝜇𝜇 𝑖𝑖 = 0,06 𝜔𝜔 = 2.914 𝛿𝛿 = 0,23 𝛽𝛽 = 0,005 𝜃𝜃 = 0,27
𝛽𝛽 = 0,88 𝛾𝛾 = 0,017 𝛼𝛼 = 0,017
Dengan  nilai parameter  di atas, didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu 𝐾𝐾 0 = (24243 × 10 3 , 0, 0, 0) . Adapun titik kesetimbangan endemik yaitu 𝐾𝐾 𝑒𝑒 = (446.670, 203.800, 16.157,597.060) . Dari pembahasan analisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit dapat disimpulkan bahwa sistem bersifat tidak stabil di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit.  Selanjutnya dari pembahasan analisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan endemik dapat disimpulkan bahwa sistem bersifat stabil asimtotik lokal di sekitar titik kesetimbangan endemik.  Selanjutnya masing- masing populasi dibuat simulasi perubahan jumlah individu sebelum dan setelah diberikan kontrol testing seperti pada Gambar 1, Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:  (1)Model matematika yang telah
dikembangkan adalah sebagai berikut
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜔𝜔 − 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 + 𝛾𝛾𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼𝛼𝛼𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝜇𝜇𝑑𝑑 − 𝑢𝑢𝑑𝑑
𝑑𝑑𝛼𝛼 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛼𝛼 (1 − 𝛼𝛼 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝛽𝛽𝛽𝛽𝑑𝑑 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝛼𝛼 − 𝛿𝛿𝛼𝛼 − 𝜇𝜇𝛼𝛼 + 𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑑𝑑𝛾𝛾 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝛿𝛿𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 (1 − 𝛽𝛽 ) 𝑑𝑑 − 𝛾𝛾𝛾𝛾 − 𝜇𝜇𝛾𝛾
(2)Dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin, maka didapatkan kontrol optimal u yang diperoleh dari model matematika penyebaran COVID-19 di Jakarta, yaitu
𝑢𝑢 ∗ = 𝜆𝜆 2 𝑑𝑑 − 𝜆𝜆 3 𝑑𝑑 𝑐𝑐
dengan 0 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 1 (3)Simulasi numerik yang dilakukan menunjukkan hasil yang sesuai dengan hasil analisis. Hasil simulasi menunjukkan keefektifan kontrol dalam mengendalikan penyebaran COVID-19 di Jakarta sehingga dapat mengurangi jumlah individu exposed atau individu yang terpapar sebesar 99% dan dengan biaya testing yang minimum.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  H. Zhu et al. , “Transmission dynamics and control methodology of covid-19: a modeling study,” Appl. Math. Model. , vol. 89, 2020, doi: 10.1016/j.apm.2020.08.056.
[2]  S. Annas, M. I. Pratama, M. Rifandi, W. Sanusi, and S. Side, “Stability analysis and numerical simulation of seir  model for pandemic Covid-19  spread in Indonesia,” Chaos, Solitons and Fractals , vol. 139, 2020.
[3]  W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (Ninth ed.) . USA: John Willey and Sons Inc, 2009.
[4]  Subiono, Sistem Linear dan Kontrol Optimal . Surabaya: Departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013.