## PENGGUNAAN TEORI KEKONGRUENAN DALAM MEMPERKECIL RUANG
PENCARIAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTINE x 2 = y 3 + 2185
Vone K. Kadademahe 1) , Mans L. Mananohas 1) , Jullia Titaley 1)
1) Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Universitas Sam Ratulangi email : vonekadademahe@gmail.com; mansmananohas@yahoo.com; july_titaley@yahoo.com

## ABSTRAK
Pada  tahun  2014  Ulas  mengajukan  sebuah  konjektur  mengenai  solusi  bilangan  bulat  dari persamaan Diophantine tipe Ramanujan-Nagell x 2 = y 3 + 2185. Tujuan penelitian ini adalah untuk memperkecil  ruang  pencarian  solusi  persamaan  Diophantine  tipe  Ramanujan-  Nagell  x 2 =  y 3 + 2185 dengan x sub himpunan bilangan ganjil anggota G 3 dan  G 4 , dimana G 3 ={x ∈ bilangan ganjil |x≡1  mod  8}  dan  G 4 ={x ∈ bilangan  ganjil  |x≡7  mod  8}      dengan  metode  membagi  y  menjadi  4 kasus,  yaitu  :  FPB(y,8)=1,  FPB(y,8)=2,  FPB(y,8)=4,  FPB(y,8)=8.  Dari  hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  untuk  x ∈ G 3 dengan  FPB(y,8)=1,    FPB(y,8)=4,  FPB(y,8)=8,  tidak mempunyai  solusi  bilangan  bulat,  sedangkan  untuk    FPB(y,8)=2  meskipun  belum  diperoleh kesimpulan akhir tapi ruang pencarian solusi telah berhasil diperkecil untuk x dan y dengan cara melakukan transformasi x=8b+1, y=4a – 2 , apabila a|b atau b|a, maka persamaan Diophantine x 2 =  y 3 +  2185  hanya  mempunyai  satu  pasang  solusi,  yaitu  :  (x,y)=(49,6),  dan  untuk  x ∈ G 4 dengan FPB(y,8)=1,  FPB(y,8)=4,  FPB(y,8)=8,  FPB(y,8)=2 dengan  melakukan  transformasi  x=8q+7, y=4p – 2  untuk p|q  atau q|p tidak mempunyai solusi bilangan bulat. Penelitian ini telah berhasil memperkecil ruang untuk x dan y.
Kata kunci : Teorema Euler, Persamaan Diophantine, dan Diophantine Ramanujan - Nagell
THE USE OF CONGRUENCE THEORY  TO REDUCING THE FINDING SPACE OF DIOPHANTINE EQUATION 𝒙 𝟐 = 𝒚 𝟑 + 𝟐𝟏𝟖𝟓 SOLUTION

## ABSTRACT
In  2014,  Ulas  was  submitted  a  conjecture  about  integer  solution  of  Diophantine  Equation  of Ramanujan – Nagell type x 2 = y 3 + 2185 . The purpose of this research is use Euler’s Theorem to reduce search solution space of Ramanujan – Nagell type x 2 = y 3 + 2185 with x is sub set of odd number in member G 3 dan G 4 , where: G 3 = {x ∈ odd number |x ≡ 1 mod 8} and G 4 = {x ∈ odd number |x ≡ 7 mod 8} With    the  method  which  devide  of y into  4  cases,  are GCD(y, 8) = 1 , GCD(y, 8) = 2 , GCD(y, 8) = 4 , GCD(y, 8) = 8 .  From  the  result  of  this  research  show  that  for x ∈ G 3 with GCD(y, 8) = 1 , GCD(y, 8) = 4 , GCD(y, 8) = 8 ,  there  is  no  solution  of  integer  number, meanwhile  for GCD(y, 8) = 2 Although  the  over  conclusions  have  not    obtained  but  has  been success    minimized  the  search  space  solution  for x and y with  transformation x = 8b + 1 , y = 4a − 2 , while a|b or b|a , then Diophantine Equation x 2 = y 3 + 2185 just has a pair solution is (x, y) = (49,6) , and for x ∈ G 4 with GCD(y, 8) = 1 , GCD(y, 8) = 4 , GCD(y, 8) = 8 , GCD(y, 8) = 2 with make transformation x = 8q + 7 , y = 4p − 2 for p|q or q|p there is no solution of integer number. The research has been successful to reduce space for x and y .
Keyword s : Euler’s Theorem, Diophantine Equation and Diophantine Ramanujan - Nagell

## PENDAHULUAN
Dalam  teori  kekongruenan,  Leonard Euler  menyumbang  penemuan  penting  yaitu Euler  mendefinisikan  fungsi  Euler  dan dengan  menggunakan  fungsi  ini,  Euler  dapat memperluas  Teorema  kecil  Fermat  dengan
dibentuknya  Teorema  Euler  yang  dapat memperkecil ruang pencarian solusi persamaan Diophantine.
Pada penelitian ini digunakan Teorema Euler dan beberapa teori kekongruenan  lainnya  untuk  memperkecil
ruang pencarian solusi persamaan
Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185.
Persamaan Diophantine 𝒙 𝟐 = 𝒚 𝟑 + 𝟐𝟏𝟖𝟓
Menurut  Bauer  and    Bennett  (2002), secara lebih umum persamaan tipe Ramanujan-Nagell yaitu: 𝑥 2 = 𝐴𝑘 𝑛 + 𝐵, 𝑘 ∈ ℤ ≥ 2, 𝐴, 𝐵 ∈ ℤ{0} ………………….......................…  (1) Dimana 𝐴, 𝐵 ≥ 0 .
Adapun  usaha  untuk  mencari  solusi persamaan  (1)  terus  dilakukan,  salah  satu konjektur  terbaru  telah  dipublikasikan  oleh Maciej  Ulas  pada  tahun  2012.  Ulas  (2012) mengajukan konjektur sebagai berikut:

## Konjektur:
Menurut  Ulas  (2012),  Jika (𝑥, 𝑦, 𝑛) , dimana 𝑥, 𝑦 adalah  bilangan  -  bilangan  bulat positif  dan 𝑛 = 3, solusi  dari  persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , yaitu :
(𝑥, 𝑦) = (49,6), (221,36), (248,39), (1949,156)
Fungsi Euler:
Misalkan 𝑛 adalah  bilangan  bulat positif.  Misalkan 𝜑(𝑛) didefinisikan  sebagai jumlah  berapa  bilangan  bulat  positif  yang kurang  dari  atau  sama  dengan 𝑛 dan  relatif prima terhadap 𝑛 (Fraleigh, 2000).
Teorema Euler:
Jika 𝑎 adalah  sebuah  bilangan  bulat  relatif prima  terhadap 𝑛 ,  maka 𝑎 𝜑(𝑛) − 1 habis dibagi  oleh 𝑛 .  Hal  ini  kongruen  dengan 𝑎 𝜑(𝑛) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) (Fraleigh, 2000).

## METODE PENELITIAN

## Waktu dan Tempat
Penelitian  ini  dilakukan  di  Fakultas Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Sam Ratulangi. Waktu pelaksanaan  penelitian  ini  di  mulai  pada bulan Mei sampai pada  bulan Juni 2018.
Metode Metode yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  dengan  melakukan sumber  literature  dan  menggunakan      teori kekongruenan  untuk  memperkecil  ruang solusi  dari    persamaan  Diophantine 𝑥 2 =
𝑦 3 + 2185 dengan 𝑥 merupakan sub himpunan ganjil, seperti berikut :
1. 𝐺 3 = {𝑥 ∈ 𝑏𝑖𝑙. 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 | 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 }.
Pada  kasus  ini,  ruang  pencarian  solusi persamaan dibagi menjadi 4 ruang, yaitu`: 2. 𝐺 4 = {𝑥 ∈ 𝑏𝑖𝑙. 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 | 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 } .
Pada  kasus  ini,  ruang  pencarian  solusi persamaan dibagi menjadi 4 ruang, yaitu:
FPB (𝑦, 8) = 1 FPB (𝑦, 8) = 4 FPB (𝑦, 8) = 2 FPB (𝑦, 8) = 8

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Beberapa  hasil  penelitian  Persamaan Diophantine 𝒙 𝟐 = 𝒚 𝟑 + 𝟐𝟏𝟖𝟓 dengan 𝒙 diambil  pada  beberapa  sub  himpunan bilangan ganjil yaitu 𝑮 𝟑 dan 𝑮 𝟒 .
Untuk  kasus 𝑥 ∈ 𝐺 3 dibagi  menjadi  4  kasus, yaitu :
Proposisi  4.1 (kasus  1.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 1 ) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + ,  untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 1.
Bukti :
Dengan
menggunakan pembuktian kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑎 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 1.
FPB (𝑦, 8) = 1 FPB (𝑦, 8) = 4 FPB (𝑦, 8) = 2 FPB (𝑦, 8) = 8
Persamaan    Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 dan  nilai 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 .  Dengan menggunakan Teorema Euler dapat diperoleh: 𝜑(8) = 4 .
Dengan FPB (𝑦, 8) = 1, dapat dibentuk persamaan:
𝑦 4 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 ……………….. (2)
Untuk 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 ekuivalen dengan : 𝑥 2 . 𝑦 = 𝑦 4 + 2185𝑦
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2) maka didapat persamaan 𝑦 ≡ 1 + 𝑦(𝑚𝑜𝑑 8) Ini berarti 0 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 . kontradiksi ∴ jadi dapat disimpulkan untuk persamaan ini untuk 𝑦 yang memenuhi FPB (𝑦, 8) = 1 tidak memiliki solusi. ∎
Proposisi  4.2 (kasus  2.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 4 )
Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + ,  untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 4.

## Bukti :
Dengan
menggunakan pembuktian kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 4.
𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 8) ,
FPB (𝑦, 8) = 4 𝑦 = 4𝑎 , 𝑎 adalah bilangan ganjil. 𝑥 = 8𝑏 + 1
(8𝑏 + 1) 2 = 64𝑎 3 + 2185 (64𝑏 2 + 16𝑏 + 1) =   64𝑎 3 + 2185 (64𝑏 2 + 16𝑏−64𝑎 3 ) =  2184
Akan  tetapi  perhatikan  ruas  kiri  habis  dibagi 16, sementara 16 ∤ 2184 . Kontradiksi.
∴ Tidak  ada  solusi  pada 𝐺 3 dengan 𝑦 sedemikian sehingga FPB (𝑦, 8) = 4 . ∎
Proposisi  4.3 (kasus  3.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 8 )
Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + , untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 .
Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 8
Bukti :
Dengan
menggunakan pembuktian
kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 8.
𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 8) , FPB (𝑦, 8) = 8 𝑦 = 8𝑎 , 𝑎 adalah bilangan ganjil. 𝑥 = 8𝑏 + 1
(8𝑏 + 1) 2 = 512𝑎 3 + 2185 (64𝑏 2 + 16𝑏−512𝑎 3 ) =  2184
Akan  tetapi  perhatikan  ruas  kiri  habis  dibagi 16, sementara 16 ∤ 2184 . Kontradiksi. ∴ Tidak  ada  solusi  pada 𝐺 3 dengan 𝑦 sedemikian sehingga FPB (𝑦, 8) = 8 . ∎
Proposisi  4.4 (kasus  4.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 2 )
Misalkan 𝑥 = 8𝑏 + 1, 𝑦 = 4𝑎 − 2 ,  dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ + , yang  memenuhi 𝑎|𝑏 atau 𝑏|𝑎 pada persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 hanya  mempunyai  satu  solusi  bilangan  bulat positif, yaitu : (𝑥, 𝑦) = (49,6) .
Bukti :
persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 dengan 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 8) dapat  ditulis 𝑥 = 8𝑏 + 1 , FPB (𝑦, 8) = 2 dapat  ditulis 𝑦 = 4𝑎 − 2 Dengan  mensubstitusikan  nilai 𝑥 dan 𝑦 diperoleh :
(8𝑏 + 1) 2 = (4𝑎 − 2) 3 + 2185 (64𝑏 2 +16𝑏−64𝑎 3 +96𝑎 2 −48𝑎) 16 = 2176 16 4𝑏 2 + 𝑏−4𝑎 3 + 6𝑎 2 − 3𝑎 = 136 ….…  (3) Untuk  persamaan  (3),  nilai 𝑎 dan 𝑏 dibagi atas 2 kasus (i) Jika 𝑎|𝑏 maka 𝑎|136 , artinya 𝑎 merupakan faktor dari 136 . 𝑎 = {1,2,4,8,17,34,68,136} Untuk 𝑎 = 1 , 1|𝑏 artinya 𝑏 = 𝑝 ,  dengan 𝑝 ∈ ℤ . Perhatikan bahwa :
4(𝑎𝑝) 2 + 𝑎𝑝−4𝑎 3 + 6𝑎 2 − 3𝑎 = 136 4𝑝 2 + 𝑝 − 137 = 0
Dengan  menggunakan  rumus  ABC, diperoleh :
𝑝 1,2 = −1 ± √1 2 − 4(4)(−137) 2 ∙ 4 = −1 ± √2193 8 = −1 ± 46,83 8 𝑝 1 = −5.98 atau 𝑝 2 = 5.73 Dapat dilihat untuk 𝑎 = 1 , nilai 𝑏 ∉ ℤ .
Merujuk dari penyelesaian diatas, untuk nilai 𝑎 dan 𝑏 yang  lainnya  dapat  disajikan  dalam Tabel 1.
Tabel 1. Solusi persamaan 3
𝑎 𝑏 1 𝑏 2 1 −5.98 5.73 2 −6,25 6 4 −8,90 8.65 8 −21,48 21,23 17 −67,40 67,15 34 −194.11 193.86 68 −554.73 554.48 136 −1577.42 1577.04 Dari Tabel 1, dapat diihat 𝑎|𝑏 memiliki  solusi  bilangan  bulat  dari persamaan  (3)  hanya  disaat 𝑎 = 2 maka 𝑏 = 6 ,  maka  salah  satu  solusi  Diophantine Ramanujan  -  Nagell 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 adalah (𝑥, 𝑦) = (49,6).
(ii) Jika 𝑏|𝑎 maka 𝑏|136 ,  artinya 𝑏 merupakan faktor dari 136. 𝑏 = {1,2,4,8,17,34,68,136} , Untuk 𝑏 = 1 , 1|𝑎 artinya 𝑎 = 𝑝 ,  dengan 𝑝 ∈ ℤ . Perhatikan bahwa : 4(𝑏) 2 + 𝑏−4𝑎 3 + 6𝑎 2 − 3𝑎 = 136 4𝑝 3 − 6𝑝 2 + 3𝑝 + 131 = 0 ….... (4) Untuk  menyelesaikan  persamaan  (4) digunakan software dan  didapatkan output seperti berikut :
Gambar 1. Solusi dan grafik persamaan 4.
Untuk  persamaan  (4)  dapat  dilihat pada  grafik  di  gambar  1,  hanya  terdapat  satu titik potong pada sumbu 𝑝 yang artinya hanya terdapat  satu  solusi  untuk  persamaan  (4) disetiap  nilai 𝑏|𝑎 dan  bukan  merupakan bilangan-bilangan bulat. Untuk solusi
persamaan  yang  lainnya  dapat  dilihat  pada Tabel 2.
Tabel 2. Solusi persamaan 3. 𝑏 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 1 −2.70347929 − − 2 −1.29711569 − − 4 −0.51939209 − − 8 0.45883286 − − 17 0.40443155 − − 34 0.32108695 − − 68 0.252048 − − 136 0.198 − −
Dari  Tabel  2  dapat  dilihat,  untuk setiap 𝑏|𝑎 pada  persamaan  (3)  tidak  terdapat solusi bilangan bulat.
∴ jadi untuk 𝑥 = 8𝑏 + 1, 𝑦 = 4𝑎 − 2 , dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ + , yang  memenuhi 𝑎|𝑏 atau 𝑏|𝑎 pada persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 terbukti  hanya  mempunyai  satu  solusi bilangan  bulat  positif,  yaitu  : (𝑥, 𝑦) = (49,6) . ∎
Untuk  kasus 𝑥 ∈ 𝐺 4 dibagi  menjadi  4 kasus, yaitu :
Proposisi  4.5 (kasus  1.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 1 ) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + ,  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 1.
Bukti : Dengan menggunakan pembuktian kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 .
Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 1.
𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 𝜑(8) = 4 Diberikan FPB (𝑦, 8) = 1, maka kita memiliki 𝑦 4 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 ……………… (5)
Untuk 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 ekuivalen dengan : 𝑥 2 . 𝑦 = 𝑦 4 + 2185𝑦
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (5) maka didapat persamaan 𝑦 ≡ 1 + 𝑦(𝑚𝑜𝑑 8) Ini berarti 0 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 8 kontradiksi
∴ jadi dapat disimpulkan untuk persamaan ini untuk 𝑦 yang memenuhi FPB (𝑦, 8) = 1 tidak memiliki solusi. ∎
Proposisi  4.6 (kasus  2.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 4 ) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + ,  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 4.

## Bukti :
Dengan
menggunakan pembuktian kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 4. 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 , 𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 8) ,
FPB (𝑦, 8) = 4 𝑦 = 4𝑝 , 𝑝 adalah bilangan ganjil. 𝑥 = 8𝑞 + 7 (8𝑞 + 7) 2 = 64𝑝 3 + 2185
(64𝑞 2 + 112𝑞 + 49) =   64𝑝 3 + 2185 (64𝑞 2 + 112𝑞−64𝑝 3 ) =  2136
Akan  tetapi  perhatikan  ruas  kiri  habis  dibagi 16, sementara 16 ∤ 2136 . Kontradiksi. ∴ tidak  ada  solusi  pada 𝐺 3 dengan 𝑦 sedemikian sehingga FPB (𝑦, 8) = 4 . ∎
Proposisi  4.7 (kasus  3.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 8 ) Misalkan 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ + ,  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 . Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 8.

## Bukti :
Dengan
menggunakan
pembuktian kontradiksi,  misalkan  untuk 𝑥 ≡ 7 𝑚𝑜𝑑 8 .
Persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 akan  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 8. 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185, 𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 8) ,
FPB (𝑦, 8) = 8 𝑦 = 8𝑝 , 𝑝 adalah bilangan ganjil. 𝑥 = 8𝑞 + 7 (8𝑞 + 7) 2 = 512𝑝 3 + 2185 (64𝑞 2 + 112𝑞 + 49) =   512𝑝 3 + 2185
(64𝑞 2 + 112𝑞−512𝑝 3 ) =  2136
Akan  tetapi  perhatikan  ruas  kiri  habis  dibagi 16, sementara 16 ∤ 2136 . Kontradiksi.
∴ tidak  ada  solusi  pada 𝐺 3 dengan 𝑦 sedemikian sehingga FPB (𝑦, 8) = 8 . ∎
Proposisi  4.8 (kasus  4.  Untuk FPB(𝑦, 8) = 2 ) Misalkan 𝑥 = 8𝑞 + 7, 𝑦 = 4𝑝 − 2 ,  dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ + , yang  memenuhi 𝑎|𝑏 atau 𝑏|𝑎 pada persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 tidak  mempunyai  solusi  bilangan  bulat  saat FPB (𝑦, 8) = 2.
Bukti :
𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 dengan 𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 8) dapat  ditulis 𝑥 = 8𝑞 + 7 dan FPB (𝑦, 8) = 2 dapat  dituliskan 𝑦 = 4𝑝 − 2 , dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦 diperoleh :
(8𝑞 + 7) 2 = (4𝑝 − 2) 3 + 2185 (64𝑞 2 + 112𝑞−64𝑝 3 + 96𝑝 2 − 48𝑝) = 2128
(64𝑞 2 +112𝑞−64𝑝 3 +96𝑝 2 −48𝑝) 16 = 2128 16
(4𝑞 2 + 7𝑞−4𝑝 3 + 6𝑝 2 − 3𝑝) = 133 …….    (6 )
Untuk  persamaan  (6),  nilai 𝑝 dan 𝑞 dibagi atas 2 kasus
(i) Jika 𝑝|𝑞 maka 𝑝|133 , artinya 𝑝 merupakan faktor dari 133 . 𝑝 = {1,7,19,133} , Untuk 𝑝 = 1 , 1|𝑞 artinya 𝑞 = 𝑘 ,  dengan 𝑘 ∈ ℤ . Perhatikan bahwa :
(4𝑞 2 + 7𝑞−4𝑝 3 + 6𝑝 2 − 3𝑝) = 133 4𝑘 2 + 7𝑘 − 134 = 0 Dengan  menggunakan  rumus  ABC, diperoleh :
𝑘 1,2 = −7 ± √7 2 − 4(4)(−134) 2 ∙ 4 = −7 ± √2193 8 = −7 ± 46,83 8 𝑘 1 = −6.73 atau 𝑘 2 = 4.98
Dapat  dilihat  untuk 𝑝 = 1 ,  nilai 𝑞 ∉ ℤ .
Merujuk dari penyelesaian diatas, untuk nilai 𝑎 dan 𝑏 yang  lainnya  dapat  disajikan  dalam Tabel 3.
Tabel 3. Solusi persamaan 6.
𝑝 𝑞 1 𝑞 2 1 −6.73 4.98 7 −18.45 16.70 19 −80.66 78.91 133 −1526.08 1524.33
Dari  Tabel  3,  dapat  diihat  bahwa untuk 𝑝|𝑞 ,  tidak  terdapat  solusi  bilangan bulat dari persamaan (6).
(ii) Jika 𝑞|𝑝 maka 𝑞|133 ,  artinya 𝑞 merupakan faktor dari 133. 𝑞 = {1,7,19,133} , Untuk 𝑞 = 1 , 1|𝑝 artinya 𝑝 = 1𝑘 = 𝑘 , dengan 𝑝 ∈ ℤ . Perhatikan bahwa : 4𝑞 2 + 7𝑞−4𝑝 3 + 6𝑝 2 − 3𝑝 = 133 4𝑘 3 − 6𝑘 2 + 3𝑘 + 122 = 0 …….      (7) Untuk  menyelesaikan  persamaan  (7) digunakan software dan  didapatkan output pada Gambar 2.
Gambar 2. Solusi dan grafik persamaan 7
Dapat  dilihat  pada  grafik  pada  gambar 2,  pada  persamaan  (7)  hanya  terdapat  satu titik potong pada sumbu 𝑥 yang artinya untuk setiap 𝑞|𝑝 hanya  etrdapat  satu  solusi  nilai 𝑝 dan  bukan  merupakan  bilangan  bulat.  Serta untuk  solusi  yang  lain  dapat  disajikan  dalam Tabel 4.
Tabel 4. Solusi persamaan 6.
𝑞 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 1 −2.65 − − 7 0.504 − − 19 0.4010287 − − 133 0.200399 − −
Dari Tabel 4, dapat dilihat untuk 𝑞|𝑝 tidak  terdapat  nilai 𝑝 bilangan  bulat  dari persamaan (6).
∴ Jadi  untuk 𝑥 = 8𝑞 + 7, 𝑦 = 4𝑝 − 2 , dengan 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ + ,  yang  memenuhi 𝑎|𝑏 atau 𝑏|𝑎 pada  persamaan Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 terbukti  tidak  mempunyai  solusi bilangan bulat saat FPB (𝑦, 8) = 2. ∎

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Pada  sub  himpunan  bilangan  ganjil 𝐺 3 dengan  membagi  ruang  pencarian  solusi menjadi 4 ruang diperoleh hasil, yaitu : untuk 𝑦 dimana FPB(𝑦, 8) = 1 , FPB(𝑦, 8) = 4 ,dan FPB(𝑦, 8) = 8 terbukti tidak memiliki solusi. Sedangkan  untuk  kasus FPB(𝑦, 8) = 2 , dengan  melakukan  transformasi 𝑥 = 8𝑏 + 1 , 𝑦 = 4𝑎 − 2 menjadi  persamaan  (3),  apabila 𝑎|𝑏 atau 𝑏|𝑎 ,  maka  persamaan  Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 hanya  mempunyai  satu pasang  solusi,  yaitu  : (𝑥, 𝑦) = (49,6) .  Pada persamaan  (3)  untuk  kasus 𝑎 ∤ 𝑏 atau 𝑏 ∤ 𝑎 belum dilakukan penelitian.
Pada  sub  himpunan  bilangan  ganjil 𝐺 4 dengan  membagi  ruang  pencarian  solusi menjadi 4 ruang diperoleh hasil, yaitu : untuk 𝑦 dimana FPB(𝑦, 8) = 1 , FPB(𝑦, 8) = 4 ,dan FPB(𝑦, 8) = 8 terbukti tidak memiliki solusi.
Sedangkan  untuk  kasus FPB(𝑦, 8) = 2 , dengan  melakukan  transformasi 𝑥 = 8𝑞 + 7 , 𝑦 = 4𝑝 − 2 menjadi  persamaan  (6),  apabila 𝑝|𝑞 atau 𝑞|𝑝 ,  maka  persamaan  Diophantine 𝑥 2 = 𝑦 3 + 2185 terbukti juga tidak memiliki solusi. Pada persamaan (6) untuk kasus 𝑝 ∤ 𝑞 atau 𝑞 ∤ 𝑝 belum dilakukan penelitian.

## Saran
Perlu  dilakukan  penelitian  lanjutan untuk  menyelidiki  solusi  dari  persamaan  (3) saat 𝑎 ∤ 𝑏 atau 𝑏 ∤ 𝑎 dan  persamaan  (6)  saat 𝑝 ∤ 𝑞 atau 𝑞 ∤ 𝑝

## DAFTAR PUSTAKA
Bauer, M., and M. Bennett. 2002.
Application of hypergeometric method to the generalized Ramanujan –  Nagell  equation . (English  summary) Ramanujan  J .  6 (2): 209-270.
Fraleigh,  J.  B.  2000. A  First  Course  In
Abstract Algebra, 6 th Edition.. Addison-Welsey Publishing
Company, New York.
Ulas,  M.    2012.    Some  Observations  on  the Diophantine  Equation y 2 = x! + A and related result, Bull. Aust. Math. Soc . 86: 377-388.