Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 299-314 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.16564

## Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal
Nova Meyana Sabara 1 , Hengki Tasman 1
1 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, Indonesia e-mail: nova.meyana@ui.ac.id, htasman@sci.ui.ac.id
Diajukan: 10 April 2023, Diperbaiki: 29 September 2023, Diterima: 23 Oktober 2023

## Abstrak
Penyakit filariasis disebabkan oleh infeksi cacing mikrofilaria yang ditularkan oleh nyamuk betina Anopheles  sp. ke  manusia.  Salah  satu  cara  untuk  mengeliminasi  penyebaran  infeksi  tersebut  adalah dengan  menggunakan  pengobatan  massal . Pengobatan  massal  merupakan  pemberian  obat  tahunan  ke seluruh  populasi  berisiko.  Pada  artikel  ini,  dikonstruksi  model  baru  untuk  melihat  pengaruh  intervensi pengobatan massal terhadap penyebaran filariasis dalam populasi. Populasi manusia dipartisi ke dalam 6 kelas  berdasarkan  kerentanan,  partisipasi  dalam  pengobatan  massal,  serta  tingkat  infeksi.  Populasi nyamuk betina dipartisi menjadi dua kelas berdasarkan kerentanan dan keinfeksian. Berdasarkan analisis titik ekuilibrium dan simulasi numerik, dapat disimpulkan bahwa penyakit akan menghilang jika 𝑅 0 < 1 dan penyakit akan mewabah jika 𝑅 0 > 1 . Pengobatan massal dapat mengurangi laju penyebaran penyakit, tapi tidak menjamin penyakit filariasis akan menghilang dari populasi jika laju infeksi individu rentan dan laju infeksi nyamuk rentan membesar.
Kata Kunci : Filariasis Limfatik , Pengobatan Massal, Model Matematika.

## Abstract
Filariasis  is  a  disease  caused  by  microfilaria  infection  transmitted  by  female  Anopheles  sp. mosquitoes.  To  eliminate  the  spread  of  the  infection,  mass  drug  administration  (MDA)  is  used.  MDA involves  administering  an  annual  drug  to  the  entire  at-risk  population.  In  this  article,  a  new  model  is constructed to assess the effect of MDA. The human population is partitioned into 6 classes according to susceptibility,  participation  in  MDA,  and  infectivity  status.  The  vector  population  is  divided  into  two classes according to susceptibility and infectivity . Based on the equilibrium point analysis and numerical simulation,  it  can  be  concluded  that  the  disease  will  disappear  if 𝑅 0 < 1, and  the  disease  will  become epidemic if 𝑅 0 > 1 . MDA can reduce the rate of spread of the disease. But, MDA does not guarantee that filariasis will disappear if the infection rate of susceptible individuals and the infection rate of susceptible mosquitoes increase.
Keywords: Lymphatic Filariasis, Mass Drug Administration, Mathematical Model.

## 1 Pendahuluan
Secara global, penyakit filariasis atau penyakit kaki gajah dianggap sebagai penyakit tropis yang  terabaikan  ( neglected  tropical  disease) .  Filariasis  merupakan  penyakit  parasit  yang disebabkan  oleh  cacing  mikroskopis  (mikrofilaria).  Terdapat  tiga  spesies  yang  menyebabkan filariasis  pada  manusia,  yaitu Wuchereria  bancrofti , Brugia  malayi dan Brugia  timori [1].
Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal
Filariasis  ditularkan  melalui  nyamuk. Infeksi  filariasis  pada  manusia  terjadi  ketika  nyamuk Anopheles sp. betina yang terinfeksi mikrofilaria menggigit manusia [1], [2].
Kebanyakan  orang  terinfeksi  filariasis  tidak  merasakan  gejala  dan  dapat  berlangsung seumur  hidup.  Manifestasi  akut  filariasis  adalah  serangan  limfangitis  (demam  dan  nyeri  pada beberapa bagian tubuh) [3]. Walau penyakit filariasis tidak mematikan, tapi dalam jangka waktu lama  filariasis  dapat  merusak  sistem  limfatik,  menyebabkan  rasa  sakit  dan  dapat  menyebabkan cacat  permanen.  Perubahan  patologis  pada  pembuluh  limfatik  memicu  timbulnya  limfedema kemudian menimbulkan berbagai manifestasi klinis seperti peradangan pada kulit, kelenjar getah bening, pembengkakan pada payudara dan skrotum pada pria [4], [5].
Terdapat 863 juta orang di 47 negara di seluruh dunia saat ini yang terancam oleh filariasis dan  diperlukan  strategi  untuk  menghentikan  penyebaran  infeksi  parasit  tersebut  [6]. World Health  Organization  (WHO) telah  mengidentifikasi  filariasis  sebagai  masalah  kesehatan  global [7]. Di tahun 2020, WHO mendeklarasikan program global untuk mengeliminasi filariasis, yaitu: ” The  Global  Goal  of  Elimination  of  Lymphatic  Filariasis  as  a  Public  Health  Problem  by  the Year  2020 ”. Program  tersebut  mempunyai  2  strategi,  yaitu  menghentikan  penyebaran  infeksi melalui  pengobatan  tahunan  berskala  besar  di  daerah  endemis  filariasis  dan  meringankan penderitaan akibat filariasis melalui penyediaan paket perawatan esensial yang direkomendasikan.  Strategi  yang  direkomendasikan WHO untuk  eliminasi  filariasis  adalah pengobatan  massal  atau mass  drug  administration. Pengobatan  massal  adalah  pemberian  obat tahunan  ke  seluruh  populasi  yang  berisiko  terinfeksi.  Pengobatan  massal  dilakukan  minimal  5 tahun    untuk  mengurangi  kepadatan  mikrofilaria  dalam  aliran  darah  dan  mencegah  penyebaran parasit  ke  nyamuk  namun  memiliki  efek  terbatas  pada  parasit  dewasa  [6]  [8].  Obat  yang direkomendasikan  pada  pengobatan  massal  adalah albendazole ,  atau  dengan  diberikan  juga invermectin , atau dietilkarbamazin , atau kombinasi ketiganya, tergantung pada kondisinya [9].
Model matematika dapat digunakan untuk menilai keefektifan program eliminasi filariasis. Sudah  banyak  model  matematika  dikembangkan  oleh  peneliti  untuk  memahami  dinamika penyebaran penyakit filariasis dalam populasi.
Pada  tahun  2015,  Bhunu  melakukan  penelitian  mengenai  penyakit  filariasis.  Penulis menunjukkan bahwa vaksinasi pre-exposure akan membantu dalam mengurangi beban penyakit filariasis  [10].  Kemudian  pada  tahun  2017,  Mwamtobe,  dkk  melakukan  penelitian  dengan mengategorikan individu terinfeksi filariasis ke dalam dua bagian, yaitu individu terinfeksi akut dan individu terinfeksi kronis [11].
Selanjutnya  Oguntolu,  dkk  pada  tahun  2021  melakukan  penelitian  mengenai  filariasis dengan  menambahkan  kontrol  vektor  pada  model  berupa  penyemprotan  insektisida  dan
pemakaian  kelambu  [12].  Pada  tahun  yang  sama,  Salonga,  dkk  melakukan  penelitian  filariasis dengan  asumsi  dalam  model  yaitu  perekrutan  ke  dalam  populasi  manusia  dan  nyamuk  hanya melalui kelahiran dan tidak ada penularan infeksi secara vertikal (yaitu ibu hamil yang terinfeksi tidak dapat menularkan infeksi ke janin) [13].
Dengan model matematika, dapat diperoleh solusi eliminasi penyebaran penyakit filariasis. Pertama,  bisa  digambarkan  secara  matematis  pola  eliminasi  penyakit  filariasis  dengan  keadaan sebenarnya.  Kedua,  pola  eliminasi  penyakit  dianalisis  melalui  model  matematika  yang  telah dirumuskan  kemudian  menginterpretasikan  hasil  analisis  tersebut  pada  keadaan  sebenarnya. Untuk  itu,  pada  penelitian  ini  dapat  ditentukan  bentuk  model,  pola  penyebaran,  analisis  dan interpretasi dari model matematika eliminasi penyakit filariasis.

## 2 Metode Penelitian
Pertama,  disusun  asumsi-asumsi  untuk  model.  Lalu,  model  baru  matematika  dikonstruksi dengan memperhatikan asumsi-asumsi yang telah disusun. Setelah itu, model dianalisis. Dengan menggunakan  metode Next  Generation  Matrix didapatkan  bilangan  reproduksi  dasar  ( basic reproduction  number ).  Bilangan  ini  berkaitan  dengan  syarat  eksistensi  titik  ekuilibrium  dan kestabilan  titik  ekuilibrium  dari  model  yang  dikonstruksi.  Selanjutnya  dilakukan  simulasi numerik  dari  model  dengan  metode  Range  Kutta  orde  45.  Kemudian,  dilakukan  analisis elastisitas  untuk  mengetahui  parameter-parameter  yang  paling  berpengaruh  terhadap  model penyebaran penyakit filariasis dengan intervensi pengobatan massal.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Konstruksi Model
Model  pada  penelitian  ini  terdiri  atas  dua  populasi,  yaitu  populasi  manusia  dan  populasi nyamuk. Populasi manusia dibagi dalam 6 kelas dan populasi nyamuk dibagi ke dalam 2 kelas. Pembagian kelas kedua populasi tersebut dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Pendefinisian Variabel Variabel Definisi Satuan 𝑆 ℎ Populasi individu rentan Manusia 𝑆 ℎ𝑚 Populasi individu rentan yang mendapatkan pengobatan massal Manusia 𝐸 ℎ Populasi individu terinfeksi filariasis Manusia 𝐸 ℎ𝑚 Populasi individu terinfeksi filariasis dan mendapatkan pengobatan massal Manusia 𝐼 ℎ𝑎 Populasi individu terinfeksi filariasis akut dan dapat menularkan Manusia

## Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal
Variabel Definisi Satuan 𝐼 ℎ𝑐 Populasi individu terinfeksi filariasis kronis Manusia 𝑆 𝑣 Populasi nyamuk rentan Nyamuk 𝐼 𝑣 Populasi nyamuk yang menularkan filariasis Nyamuk
Peluang  manusia  yang  terinfeksi  akut  untuk  menginfeksi  nyamuk  rentan  lebih  besar daripada  peluang  manusia  terinfeksi  kronis  untuk  menginfeksi  nyamuk  rentan.  Hal  ini dikarenakan kebanyakan pasien kronis mempunyai gejala limfedema dan sudah tidak secara aktif terinfeksi parasit filaria [1].
Model  dikonstruksi  dengan  menerapkan  asumsi-asumsi  berikut.  Populasi  manusia  dan nyamuk diasumsikan tertutup, sehingga tidak ada manusia dan nyamuk yang masuk atau keluar dari populasi. Selanjutnya, kedua populasi konstan, sehingga ukuran populasi total manusia dan nyamuk  tidak  berubah  seiring  berjalannya  waktu.  Kemudian  kedua  populasi  homogen  yang artinya  setiap  manusia  dan  nyamuk  memiliki  peluang  yang  sama  untuk  terinfeksi,  tidak membedakan  jeis  kelamin  dan  tidak  membedakan  usia.  Diasumikan  pula  tidak  ada  penularan penyakit  filariasis  secara  vertikal  yang  artinya  penularan  cacing  dari  manusia  ke  keturunannya dan penularan nyamuk ke telurnya tidak diperhatikan. Penularan penyakit filariasis hanya terjadi melalui  vektor  nyamuk  dan  melibatkan  pasien  filariasis  akut  saja.  Kemudian  diasumsikan individu  yang  telah  sembuh  mempunyai  kekebalan  sementara,  yang  artinya  dapat  terinfeksi kembali.
Dengan  asumsi-asumsi  tersebut,  maka  dikonstruksi  diagram  transmisi  penyakit  filariasis seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit Filariasis
Berdasarkan diagram transmisi pada Gambar 1 , dikonstruksi sistem persamaan diferensial biasa non-linier berdimensi 8 sebagai berikut.
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 𝑚 𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ − 𝜆 𝑆 ℎ 𝐼 𝑣 + 𝛽 𝑤 𝑆 ℎ𝑚 + 𝛽 𝑤 𝐸 ℎ𝑚 + 𝛼 𝐼 ℎ𝑎 , 𝑑𝑆 ℎ𝑚 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑚 𝑆 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝑆 ℎ𝑚 , 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜆 𝑆 ℎ 𝐼 𝑣 − (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑚 + 𝜎) 𝐸 ℎ , 𝑑𝐸 ℎ𝑚 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑚 𝐸 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝐸 ℎ𝑚 , 𝑑𝐼 ℎ𝑎 𝑑𝑡 = 𝜎 𝐸 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼) 𝐼 ℎ𝑎 , 𝑑𝐼 ℎ𝑐 𝑑𝑡 = 𝜅 𝐼 ℎ𝑎 − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ𝑐 , 𝑑𝑆 𝑣 𝑑𝑡 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣 − 𝜇 𝑣 𝑆 𝑣 − 𝜃 𝑆 𝑣 𝐼 ℎ𝑎 , 𝑑𝐼 𝑣 𝑑𝑡 = 𝜃 𝑆 𝑣 𝐼 ℎ𝑎 − 𝜇 𝑣 𝐼 𝑣 , (1)
dengan 𝑁 ℎ = 𝑆 ℎ + 𝑆 ℎ𝑚 + 𝐸 ℎ + 𝐸 ℎ𝑚 + 𝐼 ℎ𝑎 + 𝐼 ℎ𝑐 dan 𝑁 𝑣 = 𝑆 𝑣 + 𝐼 𝑣 .    Perhatikan 𝑁 ℎ dan 𝑁 𝑣 konstan  karena 𝑑𝑁 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑁 𝑣 𝑑𝑡 = 0 .  Hal  ini  sesuai  dengan  asumsi  populasi  manusia  dan  nyamuk konstan.
Pendefinisian parameter yang digunakan pada sistem (1) dapat dilihat pada Tabel 2. Semua parameter yang digunakan bernilai positif dan konstan.
Tabel 2. Pendefinisian Parameter Parameter Definisi Satuan 𝑁 ℎ Populasi total manusia manusia 𝜇 ℎ Laju kelahiran/kematian alami manusia 1/hari 𝛽 𝑚 Laju pemberian pengobatan massal 1/hari 𝛽 𝑤 Laju penurunan perlindungan dari pengobatan massal 1/hari 𝜆 Laju individu rentan yang terinfeksi 1/(nyamuk . hari) 𝛼 Laju pengobatan individu kronis yang telah sembuh 1/hari 𝜅 Laju  perkembangan  individu  terinfeksi  akut  menjadi individu kronis 1/hari 𝜎 Laju perkembangan individu laten menjadi individu terinfeksi akut 1/hari 𝑁 𝑣 Populasi total nyamuk nyamuk 𝜇 𝑣 Laju kelahiran/kematian alami nyamuk 1/hari

## Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal
Parameter Definisi Satuan 𝜃 Laju infeksi dari nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi 1/(manusia . hari)

## 3.2  Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  ( disease-free  equilibrium  point )  menyatakan  keadaan setimbang dengan tidak terdapatnya penyakit dalam populasi. Dalam koordinat (𝑆 ℎ , 𝑆 ℎ𝑚 ,  𝐸 ℎ ,  𝐸 ℎ𝑚 , 𝐼 ℎ𝑎 , 𝐼 ℎ𝑐 , 𝑆 𝑣 , 𝐼 𝑣 ) , sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐸 0 = ( 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 , 𝑁 ℎ 𝛽 𝑚 𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 , 0, 0, 0, 0, 𝑁 𝑣 , 0). (2)
Perhatikan jumlah dari populasi 𝑆 ℎ dan populasi 𝑆 ℎ𝑚 adalah 𝑁 ℎ yang bernilai konstan.
3.3  Bilangan Reproduksi Dasar 𝑅 0
Bilangan reproduksi dasar ( basic reproduction number ) 𝑅 0 merupakan ambang batas yang dapat  digunakan  untuk  mengetahui  apakah  suatu  penyakit  menular  dapat  menjadi  wabah  atau endemik  dalam  suatu  populasi.  Bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 dapat  dikonstruksi  dengan menggunakan metode Next Generation Matrix sebagai berikut [14].
a. Konstruksi subsistem infeksi 𝐸 ℎ , 𝐸 ℎ𝑚 , 𝐼 ℎ𝑎 , 𝐼 ℎ𝑐 dan 𝐼 𝑣 .
b. Linearkan subsistem infeksi tersebut di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit, sehingga menghasilkan matriks
J = ( −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑚 − 𝜎 0 0 0 𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 ) 𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0 𝜎 0 −𝜇 ℎ − 𝜅 − 𝛼 0 0 0 0 𝜅 −𝜇 ℎ 0 0 0 𝜃𝑁 𝑣 0 −𝜇 𝑣 ) .
c. Dekomposisi  matriks 𝐽 menjadi  matriks 𝑇 dan  matriks Σ yang  memenuhi 𝐽 = 𝑇 + Σ . Didapat matriks 𝑇 dan Σ sebagai berikut.
𝑇 = ( 0 0 0 0  𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝜃𝑁 𝑣 0 0 ) , Σ = ( −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑚 − 𝜎 0 0 0 0 𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0
0 0 −𝜇 ℎ − 𝜅 − 𝛼 0 0 0 0 𝜅 −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 −𝜇 𝑣 ) .
d. Hitung  matriks 𝐾 = −𝑇Σ −1 dan  cari  nilai  eigen  dominan  dari  matriks 𝐾 .  Diperoleh bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks 𝐾 , yaitu
𝑅 0 = √ 𝜃 𝑁 𝑣 𝜎 𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝜇 𝑣 (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑚 + 𝜎) (𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼) . (3)
Besaran 𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ +𝛽 𝑤 ) 𝜇 𝑣 (𝛽 𝑤 +𝛽 𝑚 +𝜇 ℎ ) menyatakan  banyaknya  infeksi  sekunder  pada  populasi  manusia yang  dihasilkan  oleh  1  nyamuk  terinfeksi  filariasis  selama  masa  menularnya  dalam  populasi individu  yang  seluruhnya  rentan.    Besaran 𝜃 𝑁 𝑣 𝜎 (𝜇 ℎ +𝛽 𝑚 +𝜎) (𝜇 ℎ +𝜅+𝛼) menyatakan  banyaknya  infeksi sekunder pada populasi nyamuk yang dihasilkan oleh 1 manusia yang terinfeksi filariasis selama masa menularnya dalam populasi nyamuk yang seluruhnya rentan.

## 3.4  Titik Ekuilibrium Endemik
Titik  ekuilibrium  endemik  ( endemic  equilibrium  point )  menyatakan  keadaan  setimbang dalam  populasi  yang  di  dalamnya  ada  manusia  dan  nyamuk  yang  terinfeksi.  Dalam  koordinat (𝑆 ℎ , 𝑆 ℎ𝑚 ,  𝐸 ℎ ,  𝐸 ℎ𝑚 , 𝐼 ℎ𝑎 , 𝐼 ℎ𝑐 , 𝑆 𝑣 , 𝐼 𝑣 ) , sistem (1) mempunyai titik ekuilibrium endemik
𝐸 1 = ( (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )𝜒 𝜙 , 𝛽 𝑚 𝜒 𝜙 , Α Β , 𝛽 𝑚 Α (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )Β , 𝜇 ℎ Δ Β , 𝜅Δ Β , (𝜔 + 𝜁)𝑁 𝑣 𝜏 + 𝜁 , 𝜇 ℎ 𝜊𝑁 𝑣 𝜎𝜃 Β ), (4)
dengan
𝜊 = (𝑅 0 2 − 1)(𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )𝑁 ℎ ,
𝜔 = 𝑅 0 2 𝜇 𝑣 𝜇 ℎ 3 + (𝜇 𝑣 (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 𝜅 + 𝜎)𝑅 0 2 + 𝑁 ℎ 𝜎𝜃)𝜇 ℎ 2 ,
Γ = (𝜇 𝑣 (( 𝜎 + 𝛼 + 𝜅)𝛽 𝑤 + 𝜎𝜅 + 𝛽 𝑚 (κ + α))𝑅 0 2 + 𝑁 ℎ 𝜎𝛽 𝑤 𝜃)𝜇 ℎ , τ = (𝜇 ℎ 3 𝜇 𝑣 + ((𝜅 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 𝜎 + 𝛽 𝑤 )𝜇 𝑣 + 𝑁 ℎ 𝜎𝜃)𝜇 ℎ 2 ,
𝜂 = ((𝛽 𝑤 + 𝜅)𝜎 + (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛼 + 𝜅))𝜇 𝑣 ,
𝜓 = 𝑅 0 2 𝜇 ℎ 𝛽 𝑤 𝜎𝜅 ,
𝜁 = (𝜂 + 𝑁 ℎ 𝜎𝛽 𝑤 𝜃) ,
𝜒 = 𝑁 ℎ 𝜏 + 𝜁 1 𝑅 0 2 ,
𝜙 = 𝜔 + 𝜁(𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) ,
Α = 𝜇 ℎ 𝜇 𝑣 𝜊(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼) ,
Β = 𝜔 + Γ + ψ ,
Δ = 𝜇 𝑣 𝜊𝜎 .
Karena 𝜊 = (𝑅 0 2 − 1) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝑁 ℎ , maka titik endemik 𝐸 1 ada jika 𝑅 0 > 1 .

## Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal

## 3.5  Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Analisis  kestabilan  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dilakukan  dengan  terlebih  dahulu membentuk matriks Jacobian hasil pelinearan di sekitar titik ekuilibrium 𝐸 0 , yaitu:
𝐽(𝐸 0 )
=
( −𝛽 𝑚 − 𝜇 ℎ 𝛽 𝑤 0 𝛽 𝑤 𝛼 0 0 −𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 ) 𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑚 − 𝜎 0 0 0 0 𝜆 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 ) 0 0 𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0 0 0 0 𝜎 0 −𝜇 ℎ − 𝜅 − 𝛼 0 0 0 0 0 0 0 𝜅 −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 0 −𝜃𝑁 𝑣 0 −𝜇 𝑣 0 0 0 0 0 𝜃𝑁 𝑣 0 0 −𝜇 𝑣 ) .
Selanjutnya, didapat persamaan karakteristik dari matriks 𝐽(𝐸 0 ) , yaitu
(𝜇 ℎ + 𝑥) 2 (𝜇 𝑣 + 𝑥) (𝛽 𝑤 + 𝜇 ℎ + 𝑥) (𝛽 𝑤 + 𝜇 ℎ + 𝛽 𝑚 + 𝑥) 𝑃 = 0, (5)
dengan
𝑃   = 𝑥 3 + 𝑎 1 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑥 + 𝑎 3 , (6)
𝑎 1 = 2 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑣 + 𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝛼 + 𝜅,
𝑎 2 = 𝜇 ℎ 2 + (𝜎 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 2 𝜇 𝑣 + 𝜅) 𝜇 ℎ + (𝜎 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 𝜅) 𝜇 𝑣 + (𝜎 + 𝛽 𝑚 ) (𝛼 + 𝜅) ,
𝑎 3 = −(𝜇 ℎ + 𝜎 + 𝛽 𝑚 ) (𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼) 𝜇 𝑣 (𝑅 0 2 − 1).
Dari Persamaan (5) diperoleh nilai eigen 𝑥 1,2 = −𝜇 ℎ , 𝑥 3 = −𝜇 𝑣 , 𝑥 4 = −(𝛽 𝑤 + 𝜇 ℎ ) , 𝑥 5 = −(𝛽 𝑤 + 𝜇 ℎ + 𝛽 𝑚 ) .  Untuk  mendapatkan  nilai  eigen 𝑥 6 , 𝑥 7 dan 𝑥 8 digunakan  kriteria  Routh- Hurwitz.
Koefisien 𝑎 1 dan 𝑎 2 jelas bernilai positif. Koefisien 𝑎 3 bernilai positif jika 𝑅 0 < 1 . Lebih lanjut, didapat
𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 = 1 𝛽 𝑤 +𝛽 𝑚 +𝜇 ℎ (2𝜇 ℎ 4 + (5𝛽 𝑚 + 2𝛽 𝑤 + 3𝛼 + 4𝜇 𝑣 + 3𝜎 + 3𝜅)𝜇 ℎ 3 + (4𝛽 𝑚 2 +
(5𝜎 + 8𝜇 𝑣 + 7𝛼 + 7𝜅 + 3𝛽 𝑤 )𝛽 𝑚 + 2𝜇 𝑣 2 + (4𝜎 + 4𝛼 + 4𝜅 + 4𝛽 𝑤 )𝜇 𝑣 + 𝜎 2 + (3𝛽 𝑤 + 4𝜅 + 4𝛼)𝜎 + (𝛼 + 𝜅)(𝛼 + 3𝛽 𝑤 + 𝜅))𝜇 ℎ 2 + (𝛽 𝑚 3 + (5𝛼 + 5𝜇 𝑣 + 𝛽 𝑤 + 5𝜅 + 2𝜎)𝛽 𝑚 2 + (3𝜇 𝑣 2 + (6𝜅 + 4𝛽 𝑤 + 6𝜎 + 6𝛼)𝜇 𝑣 + 𝜎 2 + (2𝛽 𝑤 + 6𝜅 + 6𝛼)𝜎 + 2(𝛼 + 𝜅)(𝛼 + 2𝛽 𝑤 + 𝜅))𝛽 𝑚 + (𝜎 + 2𝛽 𝑤 + 𝛼 + 𝜅)𝜇 𝑣 2 + (𝜎 + 𝛼 + 𝜅)(𝜎 + 𝛼 + 𝜅 + 4𝛽 𝑤 )𝜇 𝑣 + (𝜅 + 𝛼 + 𝛽 𝑤 )𝜎 2 + ((4𝛼 + 4𝜅)𝛽 𝑤 + 2𝜅𝛼 + 𝛼 2 + 𝜅 2 + 𝜆𝑁 𝑣 𝑁 ℎ 𝜃)𝜎 + 𝛽 𝑤 (𝛼 + 𝑘) 2 )𝜇 ℎ + (𝛼 + 𝜅 + 𝜇 𝑣 )𝛽 𝑚 3 + (𝛼 + 𝜅 + 𝜇 𝑣 )(𝜇 𝑣 + 𝜅 + 𝛽 𝑤 + 2𝜎 + 𝛼)𝛽 𝑚 2 + ((𝛽 𝑤 + 𝜎 + 𝜅 + 𝛼)𝜇 𝑣 + 𝜎 2 + (𝛼 + 2𝛽 𝑤 + 𝜅)𝜎 + 𝛽 𝑤 (𝛼 + 𝜅))(𝛼 +
𝜅 + 𝜇 𝑣 )𝛽 𝑚 +   𝛽 𝑤 ((𝜎 + 𝛼 + 𝜅)𝜇 𝑣 2 + (𝜎 + 𝛼 + 𝜅) 2 𝜇 𝑣 + 𝜎(𝜎(𝛼 + 𝜅) + 2𝜅𝛼 + 𝛼 2 + 𝜅 2 + 𝜆𝑁 𝑣 𝑁 ℎ 𝜃))) .
Jelas 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 bernilai positif.
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  maka  titik  ekulibirum  bebas  penyakit 𝐸 0 stabil asimtotik lokal jika 𝑅 0 < 1 . Hasil ini dirangkum dalam Teorema 1.
Teorema 1 . Titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 stabil asimtotik lokal jika 𝑅 0 < 1 .

## 3.6  Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik
Analisis  kestabilan  titik  ekuilibrium  endemik  dilakukan  dengan  terlebih  dahulu membentuk  matriks  Jacobian  hasil  pelinearan  di  sekitar  titik  ekuilibrium  endemik 𝐸 1 sebagai berikut.
𝐽(𝐸 1 ) =
( −𝛽 𝑚 − 𝜇 ℎ − 𝜆 𝜇 ℎ 𝜊𝑁 𝑣 𝜎𝜃 Β 𝛽 𝑤 0 𝛽 𝑤 𝛼 0 0 −𝜆 (𝜇 ℎ +𝛽 𝑤 )𝜒 𝜙
𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0 0 0 0
𝜆 𝜇 ℎ 𝜊𝑁 𝑣 𝜎𝜃 Β 0 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑚 − 𝜎 0 0 0 0 𝜆 (𝜇 ℎ +𝛽 𝑤 )𝜒 𝜙 0 0 𝛽 𝑚 −𝜇 ℎ − 𝛽 𝑤 0 0 0 0 0 0 𝜎 0 −𝜇 ℎ − 𝜅 − 𝛼 0 0 0 0 0 0 0 𝜅 −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 0 −𝜃 (𝜔+𝜁)𝑁 𝑣 𝜏+𝜁 0 −𝜇 𝑣 − 𝜃 𝜇 ℎ Δ Β 0 0 0 0 0 𝜃 (𝜔+𝜁)𝑁 𝑣 𝜏+𝜁 0 𝜃 𝜇 ℎ Δ Β −𝜇 𝑣 ) Selanjutnya, didapat persamaan karakteristik
(𝜇 ℎ + 𝑥) (𝜇 𝑣 + 𝑥) (𝛽 𝑤 + 𝜇 ℎ + 𝑥) 𝑃 = 0, (7)
dengan
𝑃 = 𝑥 5 + 𝑎 1 𝑥 4 + 𝑎 2 𝑥 3 + 𝑎 3 𝑥 2 + 𝑎 4 𝑥 + 𝑎 5 , (8)
𝑎 1 = Β𝜙(𝜏 + 𝜁)((4𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 2𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜅 + 𝛼 + 𝜇 𝑣 )Β + 𝜇 ℎ 𝜃(𝜆𝑁 𝑣 𝜊𝜎 + Δ)),
𝑎 2 = (( 𝜊 𝑁 𝑣 𝜇 ℎ 𝜎(𝜎 + 𝛽 𝑚 + 𝛽 𝑤 + 𝛼 + 𝜅 + 3𝜇 ℎ )𝜃𝜆 + (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) + (2𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ + 𝜎) + (3𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 2𝛽 𝑚 + 𝜎)(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼))Β)Β + (𝜆𝜇 ℎ 𝜃𝑁 𝑣 𝜊𝜎 + (4𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 2𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜅 + 𝛼)Β)(𝜃𝜇 ℎ Δ + 𝜇 𝑣 Β)) (𝜏 + 𝜁) 𝜙 ,
𝑎 3 = −𝜒𝑁 𝑣 Β 2 𝜃𝜎𝜆(𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )(𝜔 + 𝜁) + (((3𝜇 ℎ 2 + (2𝛽 𝑚 + 2𝛼 + 2𝜎 + 2𝜅 +
2𝛽 𝑤 )𝜇 ℎ + (𝜅 + 𝛽 𝑤 )𝜎 + (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛼 + 𝜅))𝜃𝜎𝑁 𝑣 𝜊𝜇 ℎ 𝜆 + (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 +
𝜇 ℎ )(𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ ) + (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) + (2𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛽 𝑚 + 𝜎 +
𝜇 ℎ ))(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼)) Β) (𝜏 + 𝜁)Β + ((𝜎 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 𝛽 𝑤 + 𝜅 + 3𝜇 ℎ )𝜃𝜎𝑁 𝑣 𝜊𝜇 ℎ 𝜆 +
(𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) + (2𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ ) + (3𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 2 +
𝜎)(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼))Β) (𝜏 + 𝜁)(𝜃𝜇 ℎ Δ + 𝜇 𝑣 Β)) 𝜙 ,
𝑎 4 = (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ )(𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼)Β + (𝜇 ℎ 3 + (𝜎 + 𝛽 𝑚 + 𝛼 + 𝛽 𝑤 + 𝜅)𝜇 ℎ 2 + ((𝜅 + 𝛽 𝑤 )𝜎 + (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛼 + 𝜅))𝜇 ℎ + 𝜅𝛽 𝑤 𝜎)𝜃𝜎𝑁 𝑣 𝜊𝜇 ℎ 𝜆)(𝜏 + 𝜁)Β + ((3𝜇 ℎ 2 + (2𝛽 𝑚 + 2𝛼 + 2𝜎 + 2𝜅 + 2𝛽 𝑤 )𝜇 ℎ + (𝜅 + 𝛽 𝑤 )𝜎 + (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛼 + 𝜅))𝜃𝜎𝑁 𝑣 𝜊𝜇 ℎ 𝜆 + (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ )(𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ ) + (𝜇 ℎ (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) + (2𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 )(𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ ))(𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼))Β)(𝜏 + 𝜁)(𝜃𝜇 ℎ Δ + 𝜇 𝑣 Β))𝜙 − (𝜒𝑁 𝑣 Β 2 𝜃𝜎𝜆(𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )𝜇 ℎ + 𝜒𝑁 𝑣 Β 2 𝜃𝜎𝜆(𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 )(𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ))(𝜔 + 𝜁) ,
𝑎 5 = 𝜇 ℎ 𝜇 𝑣 (𝑅 0 2 − 1) (𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) (𝛽 𝑚 + 𝜎 + 𝜇 ℎ ) (𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼).
Perhatikan koefisein 𝑎 1 , 𝑎 2 bernilai positif. Selain itu, koefisien 𝑎 5 bernilai positif jika 𝑅 0 > 1 .
Karena  koefisien  persamaan  karakteristik  dari  titik  ekuilibrium  endemik  memiliki kompleksitas  yang  tinggi,  maka  sulit  dianalisis  secara  analitik.  Oleh  karena  itu,  dilakukan pendekatan secara numerik pada Bagian 3.7.
3.7  Simulasi Numerik.
Nilai  parameter  yang  digunakan  dapat  dilihat  pada  Tabel  3.  Dalam  koordinat (𝑆 ℎ , 𝑆 ℎ𝑚 ,  𝐸 ℎ ,  𝐸 ℎ𝑚 , 𝐼 ℎ𝑎 , 𝐼 ℎ𝑐 , 𝑆 𝑣 , 𝐼 𝑣 ) , syarat awal ( 𝑡 = 0 ) yang digunakan adalah (965, 0, 20, 0, 10, 5, 2400, 100) .
Tabel 3 . Nilai Parameter pada Sistem (1) Parameter Definisi Nilai Sumber 𝑁 ℎ Populasi total manusia 1.000 Diasumsikan 𝜇 ℎ Laju kelahiran/kematian alami manusia 0,000039 [11] 𝛽 𝑚 Laju pengobatan massal 0,0833 Diasumsikan 𝛽 𝑤 Laju  penurunan  perlindungan  dari  pengobatan massal 0,00274 Diasumsikan 𝜆 Laju individu rentan yang terinfeksi 0,000161 [13] 𝛼 Laju pengobatan individu kronis yang telah sembuh 0,0844 [13] 𝜅 Laju  perkembangan  individu  terinfeksi  akut menjadi individu kronis 0,000137 Diasumsikan 𝜎 Laju perkembangan individu laten menjadi individu terinfeksi akut 0,0288 [13] 𝑁 𝑣 Populasi total nyamuk 2.500 Diasumsikan
Parameter Definisi Nilai Sumber 𝜇 𝑣 Laju kelahiran/kematian alami nyamuk 0,1429 [11] 𝜃 Laju infeksi dari nyamuk rentan menjadi nyamuk terinfeksi 0,0021 [13]
Dengan  nilai  parameter  pada  Tabel  3,  didapatkan 𝑅 0 = 0,76 dan  titik  ekuilibrium  bebas penyakit 𝐸 0 = (32,284;  967,716; 0; 0; 0; 0;  2.500; 0 ) dan nilai eigen dari matriks pelinearan di titik  ekulibrium 𝐸 0 adalah 𝜆 1 = −3,9 × 10 −7 , 𝜆 2 = −0,143, 𝜆 3 = −0,162 + 0,076 𝐼,     𝜆 4 = −0,162 − 0,07752 𝐼,    𝜆 5 = −0,0196,    𝜆 6 = −0,003,   𝜆 7 = −0,086 dan 𝜆 8 = −3,9 × 10 −7 .
Gambar 2. Dinamik Penyebaran Filariasis ketika 𝑹 𝟎 < 𝟏 .
Berdasarkan Gambar 2, dinamik populasi laten 𝐸 ℎ mengalami kenaikan sampai hari ke-15 kemudian  mengalami  penurunan  pada  hari  berikutnya  menuju  keadaan  ekuilibrium 𝐸 ℎ = 0 . Populasi  terinfeksi  akut 𝐼 ℎ𝑎 mengalami  kenaikan  dan  penurunan  menuju  keadaan  ekuilibrium 𝐼 ℎ𝑎 = 0 .  Populasi  nyamuk  rentan 𝑆 𝑣 mengalami  penurunan  dan  kenaikan  menuju  keadaan ekuilibrium 𝑆 𝑣 = 2500 .  Populasi  nyamuk  terinfeksi 𝐼 𝑣 mengalami  kenaikan  sampai  hari  ke-34 kemudian mengalami penurunan pada hari berikutnya menuju keadaan ekuilibrium 𝐼 𝑣 = 0 .
Selanjutnya,  dilakukan  simulasi  numerik  untuk 𝑅 0 > 1 .  Jika  nilai  parameter 𝛼 diperkecil dari 𝛼 = 0,0844 menjadi 𝛼 = 0,00844 , diperoleh bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 = 2,39 dengan titik  kesetimbangan 𝐸 1 = (9,871;  295,885; 15,073;  451,804;  50,283;  308,732;  1436,45; 1063,55)  dan  nilai  eigen 𝜆 1 = −3,9 × 10 −7 , 𝜆 2 = −0,211, 𝜆 3 = −0,341 + 0,034 𝐼, 𝜆 4 = −0,341 − 0,034 𝐼, 𝜆 5 = −6 × 10 −6 , 𝜆 6 = −5,9 × 10 −3 , 𝜆 7 = −3,7 × 10 −3 , dan 𝜆 8 = −0,143.
Karena bagian real dari semua nilai eigen dari matriks pelineran sistem (1) di sekitar titik ekuilibrium  endemik 𝐸 1 bernilai  negatif,  maka  titik  ekuilibrium  endemik 𝐸 1 stabil  asimtotik lokal.

## Model Penyebaran Penyakit Filariasis dengan Intervensi Pengobatan Massal
Gambar 3. Dinamik Penyebaran Filariasis ketika 𝑹 𝟎 > 𝟏 .
Berdasarkan Gambar 3, populasi manusia laten 𝐸 ℎ mengalami kenaikan sampai hari ke-15 kemudian  mengalami  penurunan  pada  hari  berikutnya  menuju  keadaan  ekuilibrium 𝐸 ℎ = 15,073 .  Populasi  manusia  terinfeksi  akut  filariasis 𝐼 ℎ𝑎 mengalami  kenaikan  dan  penurunan menuju  keadaan  ekuilibrium 𝐼 ℎ𝑎 = 50,283. Populasi  nyamuk  rentan 𝑆 𝑣 mengalami  penurunan dan  kenaikan  menuju  keadaan  ekulibrium 𝑆 𝑣 = 1436,45 dan  populasi  nyamuk  terinfeksi 𝐼 𝑣 mengalami  kenaikan,  kemudian  mengalami  penurunan  menuju  keadaan  ekuilibrium 𝐼 𝑣 = 1.063,55 .
Selanjutnya, terdapat dua kasus yang ditinjau, yaitu: (1) dimisalkan pada populasi terdapat manusia yang terinfeksi akut pada saat awal dan (2) dimisalkan pada populasi terdapat nyamuk terinfeksi pada saat awal.

## Kasus 1
Misalkan  suatu  populasi  pada  awalnya  terdapat  35  manusia  terinfeksi  akut  ( 𝐼 ℎ𝑎 (0) = 35) dan semua nyamuk bebas penyakit ( 𝐼 𝑣 (0) = 0 ). Dengan menggunakan parameter pada Tabel 3, dan tidak ada pengobatan 𝛽 𝑚 = 𝛼 = 0 didapatkan 𝑅 0 = 183,2 yang berarti penyakit akan mewabah dan menjadi endemik. Pada Gambar 4 ditampilkan dinamik penyebaran penyakit filariasis tanpa pengobatan massal.
Gambar 4. Dinamik Penyebaran Filariasis tanpa Pengobatan Massal

## Nova Meyana Sabara, Hengki Tasman
Jika  nilai  laju  infeksi  nyamuk 𝜃 diperbesar  dari 𝜃 = 0,0021 menjadi 𝜃 = 0,021 dengan pengobatan  massal 𝛽 𝑚 = 0,0833 dan 𝛼 = 0,0844 didapatkan 𝑅 0 = 2,408 yang  artinya  jika penularan  dari  manusia  terinfeksi  akut  tinggi,  akan  menyebabkan  penyakit  menjadi  endemik walaupun telah dilakukan pengobatan massal. Pada Gambar 5 , ditampilkan dinamik penyebaran penyakit filariasis dengan memperbesar nilai 𝜃 dan dilakukan pengobatan massal.
Gambar 5. Dinamik Penyebaran Filariasis dengan memperbesar nilai 𝜽

## Kasus 2
Misalkan  populasi  pada  awalnya  terdapat  150  nyamuk  yang  terinfeksi (𝐼 𝑣 (0) = 150) .  Dengan memperbesar  nilai 𝜆 dari 𝜆 = 0,000161 menjadi 𝜆 = 0,00161 didapatkan 𝑅 0 = 7,615 yang artinya dengan meningkatnya jumlah nyamuk terinfeksi dan tetap dilakukan pengobatan massal, penyakit  akan  tetap  menjadi  endemik.  Pada Gambar  6 ditampilkan  dinamik  penyebaran penyakit filariasis dengan memperbesar nilai 𝜆 dan dilakukan pengobatan massal.
.
Gambar 6 . Dinamik Penyebaran Filariasis dengan memperbesar nilai 𝝀

## 3.7  Analisis Elastisitas Bilangan Reproduksi Dasar 𝑅 0
Analisis  elastisitas  diperlukan  untuk  mengetahui  parameter-parameter  yang  paling berpengaruh  terhadap  suatu  besaran  [15].  Elastisitas  bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 terhadap parameter laju infeksi 𝜃 dapat dihitung dengan rumus berikut.
𝜀 𝜃 𝑅 0 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝜃 × 𝜃 𝑅 0 = 1 2 √ 𝑁 𝑣 𝜎𝜆𝑁 ℎ (𝜇 ℎ + 𝛽 𝑤 ) 𝜃𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ + 𝜅 + 𝛼)(𝜇 ℎ + 𝛽 𝑚 + 𝜎)(𝛽 𝑤 + 𝛽 𝑚 + 𝜇 ℎ ) × 𝜃 𝑅 0 .
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  Tabel  3,  didapatkan  elastisitas 𝑅 0 terhadap  parameter  laju infeksi pada nyamuk 𝜃 , yaitu 𝜀 𝜃 𝑅 0 = 0,5 .
Dilakukan hal yang sama untuk parameter lainnya,  sehingga diperoleh nilai elastisitas 𝑅 0 terhadap parameter-parameter yang digunakan seperti pada Tabel 4.
Tabel 4. Nilai Elastisitas 𝑹 𝟎 terhadap parameter
Parameter
Nilai Elastisitas 𝑅 0 terhadap parameter 𝛽 𝑚 −0,72 𝜃 0,5 𝜆 0,5 𝛼 −0,49 𝛽 𝑤 0,47 𝜎 0,25 𝜅 −0,008
Dari  Tabel  4,  tiga  nilai  mutlak  terbesar  dari  nilai  elastisitas  parameter  adalah 𝛽 𝑚 , 𝜃 ,  dan 𝜆 .  Jika  laju  pengobatan  massal 𝛽 𝑚 ditingkatkan  (atau  diturunkan)  sebesar  10%, maka  nilai 𝑅 0 akan  menurun  (atau  meningkat)  sekitar 7,2 % .  Sementara  itu,  jika  laju  infeksi pada nyamuk 𝜃 ditingkatkan (atau diturunkan) sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan meningkat (atau menurun) sekitar 5%.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  diagram  transmisi  yang  dikonstruksi,  diperoleh  model  SEI-SI  penyebaran penyakit  filariasis  dengan  pengobatan  massal,  yaitu  sistem  (1).  Terdapat  dua  titik  ekuilibrium, yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit 𝐸 0 yang  stabil  asimtotik  lokal  jika  bilangan  reproduksi dasar 𝑅 0 < 1 dan  titik  ekuilibrium  endemik 𝐸 1 yang  eksistensinya  bergantung  pada 𝑅 0 .  Titik ekuilibrium endemik 𝐸 1 ada jika 𝑅 0 > 1 .

## Nova Meyana Sabara, Hengki Tasman
Berdasarkan  analisis  titik  ekuilibrium  dan  simulasi  numerik,  penyakit  akan  menghilang jika 𝑅 0 < 1 dan  penyakit  akan  mewabah  jika 𝑅 0 > 1 .  Berdasarkan  hasil  analisis  elastisitas bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 terhadap  parameter,  tiga  parameter  yang  paling  berpengaruh terhadap 𝑅 0 adalah laju pengobatan massal 𝛽 𝑚 , laju infeksi pada nyamuk 𝜃 dan laju infeksi pada manusia 𝜆 ,  sehingga  langkah  yang  dapat  dilakukan  untuk  eliminasi  filariasis  adalah meningkatkan  laju  pengobatan  massal 𝛽 𝑚 ,  mengurangi  laju  perkembangan  dari  nyamuk  rentan menjadi  nyamuk  terinfeksi 𝜃 dan  mengurangi  laju  kontak  individu  rentan  dengan  individu terinfeksi 𝜆 .

## 5 Ucapan Terima Kasih
Terima  kasih  kepada  Kementerian  Pendidikan,  Kebudayaan,  Riset,  dan  Teknologi Republik  Indonesia  yang  telah  mendukung  penelitian  ini  melalui  Hibah  PUTI  Q2  –  Batch  3 Nomor: NKB-1458/UN2.RST/HKP.05.00/2022.

## 6 Daftar Pustaka
[1] CDC, “Filariasis,” https://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/.
[2] M. A. Stephano, M. M. Mayengo, J. I. Irunde, and D. Kuznetsov, “Sensitivity analysis and parameters estimation for the transmission of lymphatic filariasis,” Heliyon , vol. 9, no. 9, p. e20066, Sep. 2023, doi: 10.1016/j.heliyon.2023.e20066.
[3] A. Chandy, A. S. Thakur, M. P. Singh, and A. Manigauha, “A review of neglected tropical diseases:  filariasis,” Asian  Pac  J  Trop  Med ,  vol.  4,  no.  7,  pp.  581–586,  Jul.  2011,  doi: 10.1016/S1995-7645(11)60150-8.
[4] R. P. Singh, L. De Britto, and G. Vijayalakshmi, “A study on ‘clinical epidemiology of filarial  lymphedema  patients  attending  filariasis  clinic  in  Pondicherry,’” Clin  Epidemiol Glob Health , vol. 8, no. 3, pp. 915–919, Sep. 2020, doi: 10.1016/j.cegh.2020.02.023.
[5] P. Kulkarni, J. J. Thomas, J. Dowerah, M. R. Narayana Murthy, and K. Ravikumar, “Mass drug administration programme against lymphatic filariasis-an evaluation of coverage and compliance in a northern Karnataka district, India,” Clin  Epidemiol  Glob  Health ,  vol.  8, no. 1, pp. 87–90, Mar. 2020, doi: 10.1016/j.cegh.2019.04.013.
[6] WHO, “Filariasis,” https://www.cdc.gov/parasites/lymphaticfilariasis/.
[7] A. Zerbo, R. Castro Delgado, and P. Arcos González, “Exploring the dynamic complexity of risk factors for vector-borne infections in sub-Saharan Africa: Case of urban lymphatic
filariasis,” J  Biosaf  Biosecur ,  vol.  3,  no.  1,  pp.  17–21,  Jun.  2021,  doi: 10.1016/j.jobb.2021.03.002.
[8] M.  Laman et  al. ,  “Mass  drug  administration  of  ivermectin,  diethylcarbamazine,  plus albendazole  compared  with  diethylcarbamazine  plus  albendazole  for  reduction  of lymphatic filariasis endemicity in Papua New Guinea: a cluster-randomised trial.,” Lancet Infect Dis , vol. 22, no. 8, pp. 1200–1209, Aug. 2022, doi: 10.1016/S1473-3099(22)00026- 3.
[9] M.  A.  Irvine et  al. ,  “Effectiveness  of  a  triple-drug  regimen  for  global  elimination  of lymphatic  filariasis:  a  modelling  study,” Lancet  Infect  Dis ,  vol.  17,  no.  4,  pp.  451–458, Apr. 2017, doi: 10.1016/S1473-3099(16)30467-4.
[10]  C. P. Bhunu, “Assessing the potential of pre-exposure vaccination and chemoprophylaxis in  the  control  of  lymphatic  filariasis,” Appl  Math  Comput ,  vol.  250,  pp.  571–579,  Jan. 2015, doi: 10.1016/j.amc.2014.11.018.
[11]  P.  M.  Mwamtobe,  S.  M.  Simelane,  S.  Abelman,  and  J.  M.  Tchuenche,  “Mathematical analysis  of  a  lymphatic  filariasis  model  with  quarantine  and  treatment,” BMC  Public Health , vol. 17, no. 1, p. 265, Dec. 2017, doi: 10.1186/s12889-017-4160-8.
[12]  F.  A.  Oguntolu,  G.  Bolarin,  O.  J.  Peter,  A.  I.  Enagi,  and  K.  Oshinubi,  “Mathematical model for the control of lymphatic filariasis transmission dynamics,” Communications in Mathematical Biology and Neuroscience , vol. 2021, 2021, doi: 10.28919/cmbn/5307.
[13]  P.  K.  N.  Salonga,  V.  M.  P.  Mendoza,  R.  G.  Mendoza,  and  V.  Y.  Belizario,  “A mathematical  model  of  the  dynamics  of  lymphatic  filariasis  in  Caraga  Region,  the Philippines,” R  Soc  Open  Sci ,  vol.  8,  no.  6,  p.  201965,  Jun.  2021,  doi: 10.1098/rsos.201965.
[14]  O.  Diekmann,  J.  A.  P.  Heesterbeek,  and  M.  G.  Roberts,  “The  construction  of  next- generation matrices  for  compartmental  epidemic  models,” J  R  Soc  Interface ,  vol.  7,  no. 47, pp. 873–885, Jun. 2010, doi: 10.1098/rsif.2009.0386.
[15]  M. Martcheva, An introduction to mathematical epidemiology , 1st ed. Springer, 2015.