p-ISSN: 2338-4387 e-ISSN: 2580-3247

## PEMBELAJARAN MATEMATIKA TERAPAN DENGAN MODEL PETRI NET DAN MATRIKS

## Ruvita Iffahtur Pertiwi

## Universitas Wisnuwardhana Malang
e-mail: ruvitapertiwi@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  model  petri  net  dan  matriks  dari  suatu permasalahan  yang  ada  disekitar  kita.  Salah  satunya  adalah  masalah  antrian.  Kita  dapat memanfaatkan  pembelajaran  matematika  untuk  membuat  model  sistemnya.  Petri  net merupakan salah satu alat untuk memodelkan suatu permasalahan ke dalam bentuk diskrit. Selanjutnya, dapat diperoleh matriks dari model petri net tersebut untuk mengetahui keadaan selanjutnya.  Penelitian  ini  menggunakan  metode  deskriptif  kuantitatif  dan  desain  petri  net menggunakan software PIPE  v.4.3.0.  Pada  penelitian  ini  dibuat  model  Petri  net  sistem pelayanan IGD RSUD Kota X dan menghasilkan model Perti net yang terdiri dari 15 place dan 17 transisi. Hasil representasi matriks forward incidence, matriks backward incidence, dan matriks incidence yang terbentuk memiliki banyaknya baris 15 dan banyaknya kolom 17 .
Kata Kunci: Matematika Terapan, Petri net, Antrian, Matriks .

## Abstract
This study aimed at specifying the model of petri net and matrix of existing problems around us. One of them is the queue problem. We can utilise mathematics learning to create a model system. Petri net is on of the tool to model a problem in a discrete form. Furthermore, a matrix of the petri net model can be obtained to estimate the next situation. This research used quantitative descriptive method and petri net design using PIPE v.4.3.0 software. In this study Petri net model made by City X Public Hospital ED system and produced the Perti net model consisting of 15 places and 17 transitions. The results of the forward incidence matrix representation, the backward incidence matrix and the incidence matrix are formed with the number of rows 15 and the number of columns 17.
Keywords: Applied Mathematics, Petri net, Queue, Matrix

## PENDAHULUAN
Pembelajaran  matematika  dapat  dilakukan  dimana  saja.  Sering  kali  masyarakat hanya  mengetahui  matematika  digunakan  untuk  menghitung  saja,  padahal  banyak  sekali manfaat dari ilmu matematika yang bisa kita pakai. Matematika dapat digunakan sebagai alat  untuk  menyelesaikan  suatu  permasalahan.  Antrian  merupakan  salah  satu  masalah sistem event diskrit  yang  sering  dijumpai  di  dalam kehidupan  sehari-hari  (Pertiwi,  2016  &
Winarni,  2011).  Salah  satu  contohnya  adalah  antrian  pelayanan  kesehatan  Antrian pelayanan di rumah sakit terjadi karena pasien harus melalui beberapa prosedur dan sistem pelayanan yang berlaku di rumah sakit yang dituju, dimana terkadang pasien yang datang
lebih  banyak  jumlahnya  dibandingkan  dengan  fasilitas  layanan  yang  tersedia,  sehingga antrian bisa terjadi (Mustofani, 2018).. Jika pasien dalam keadaan kritis atau gawat, maka pasien dapat masuk ke Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pasien yang datang ke rumah sakit sangat  membutuhkan  pelayanan  yang  sangat  cepat  dan  tepat,  khususnya  pasien  dalam keadaan luka parah ataupun kritis pasti membutuhkan pelayanan yang cepat agar pasien dapat segera mendapat perawatan oleh dokter di IGD.
Sistem  antrian  merupakan  salah  satu  perilaku  sistem event diskrit.  Sistem event diskrit adalah sistem dimana variabel-variabelnya dapat dihitung pada saat tertentu. Pada penelitian  ini  alat  yang  digunakan untuk  memodelkan sistem  adalah Petri  net (Subiono  &
Nurwan, 2014) . Perkembangan Petri net pada awal tahun 1960an oleh C. A. Petri. Menurut Cassandras  &  Lafortune  (2008) Petri  net merupakan  graf  bipartisi  yang  terdiri  dari  dua himpunan P ( place ) dan T (transisi). Penelitian ini akan membahas tentang model sistem antrian sistem pelayanan IGD RSUD Kota X. Model sistem antrian tersebut dikontruksi dan disimulasikan menggunakan Petri net .
Suatu Petri Net adalah suatu graf bipartisi, yang terdiri dari dua himpunan bagian P dan T, masing-masing menyatakan place dan transisi (Subiono, 2015). Petri Net merupakan tools  Pemodelan  yang  mudah  diaplikasikan  untuk  banyak  sistem.  Suatu  kejadian  dapat terjadi apabila  beberapa keadaan telah terpenuhi. Informasi mengenai event dan keadaan ini  masing-masing  dinyatakan  dengan  transisi  dan place . Place dapat  berfungsi  sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi  maka  keadaan  akan  berubah  dengan place yang  menyatakan  keadaan  tersebut adalah sebagai output dari transisi.
Definisi 1. (casandras, 1993) petri net dinotasikan (P, T,A,w) dengan
𝑃 : himpunan berhingga place , 𝑃  =   {𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑛} ,
𝑇 : himpunan berhingga transisi, 𝑇  =   {𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡𝑚} ,
𝐴 : himpunan arc, 𝐴  ⊆   (𝑃  ×  𝑇)   ∪   (𝑇  ×  𝑃) ,
𝑤 : fungsi bobot, 𝑤 ∶  𝐴  →   {1, 2, 3, . . . } .
Petri  net  merupakan  suatu  graph  berarah  yang  memiliki  simpul  ( node )  dari graph berupa place P dan arc (arah) transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Petri net graph juga memiliki struktur multigraph yang menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua simpul ( node ) atau ekivalen dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan banyaknya jumlah arc (Komsiyah, 2012). Dalam notasi matematika penanda (𝑚𝑎𝑟𝑘𝑖𝑛𝑔) 𝑥 pada  Petri  net  bertanda (𝑃, 𝑇, 𝐴, 𝑊 )  adalah  fungsi 𝑥: 𝑃 → 𝑁 = {0,1,2,3, … }. Penanda dinyatakan  dengan  vektor  kolom  yang  elemen-elemennya  merupakan  bilangan  bulat  tak negatif  (banyaknya  token  dalam  suatu  place),  yaitu 𝑥 = [𝑥(𝑝 1 ), 𝑥(𝑝 2 ), … , 𝑥(𝑝 𝑛 )] 𝑇 .
Banyaknya  elemen  x  sama  dengan  banyaknya place dalam  suatu  Petri  net.  Elemen  ke-i
pada  vektor  ini  merupakan  banyaknya  token  pada place 𝑝 𝑖 ,  dengan 𝑥(𝑝 𝑖 ) ∈ {0,1,2, … }.
Suatu transisi 𝑡 𝑗 ∈ 𝑇 dalam sebuah Petri net dikatakan kondisinya terpenuhi (enabled) jika 𝑥(𝑝_𝑖 ) ≥ 𝑤(𝑝 𝑖 , 𝑡 𝑗 ) untuk setiap 𝑝 𝑖 ∈ 𝐼(𝑡 𝑗 ). Dengan kata lain, transisi 𝑡 𝑗 dalam sebuah Petri net enabled apabila  banyaknya  token  pada 𝑝 𝑖 sekurang-kurangnya  sama  dengan  bobot pada arc yang  menghubungkan 𝑝 𝑖 dengan 𝑡 𝑗 ,  untuk  semua 𝑝 𝑖 yang  menjadi  input  dari transisi 𝑡 𝑗 (Murata, 1989).
Mekanisme perubahan keadaan pada Petri Net ditandai dengan perpindahan token- token pada Petri net tersebut sehingga mengubah keadaan Petri net. Secara umum, sebuah transisi pada Petri net yang enabled , diistilahkan dengan dapat di- fire ( firing diartikan dengan transisi  di- fire ).  Fungsi  perubahan  keadaan  pada  Petri  net  ini  merupakan  perubahan keadaan Petri net sebelum dan sesudah suatu transisi di- fire (Subiono, 2015). Suatu fungsi perubahan keadaan pada sebuah Petri net (𝑃, 𝑇, 𝐴, 𝑤, 𝑥) , yaitu 𝑓: ℕ 𝑛 × 𝑇 → ℕ 𝑛 terdefinisi sebagai transisi 𝑡 𝑗 ∈ 𝑇 jika  dan  hanya  jika 𝑥(𝑝 𝑖 ) ≥ 𝑤(𝑝 𝑖 , 𝑡 𝑗 ) untuk semua 𝑝 𝑖 ∈ 𝐼(𝑡 𝑗 ). Jika 𝑓(𝑥, 𝑡 𝑗 ) terdefinisi,  maka  ditulis 𝑥 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑡 𝑗 ) dengan 𝑥 ′ (𝑝 𝑖 ) = 𝑥(𝑝 𝑖 ) − 𝑤(𝑝 𝑖 , 𝑡𝑗) + 𝑤(𝑡 𝑗 , 𝑝 𝑖 ) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , hanya transisi enabled yang dapat di- fire .  Berkurangnya token pada place input disebabkan karena proses transisi difire token di place input berkurang sebanyak bobot arc yang menghubungkannya dengan transisi yang di- fire sedangkan  token di place output bertambah sebanyak bobot arc yang menghubungkannya dengan  transisi yang di- fire .
Penelitian  ini  akan  menghasilkan  model  Petri  net  yang  kemudian  dapat direpresentasikan  dalam  bentuk  matriks  matriks forward  incidence, matriks backward incidence, dan  matriks incidence. Banyaknya  baris  dan  kolom  dari  matriks-matriks tergantung dari banyaknya place dan transisi yang ada pada model Petri net. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk memperoleh waktu tunggu dari permasalah antrian yang terjadi .

## METODE
Data  dikumpulkan  melalui  wawancara  kepala  perawat  IGD  RSUD  Kota  X  dengan pertanyaan  terbuka  terkait  alur  pelayanan  dan  dikembangkan  oleh  peneliti.  Penelitian  ini bertujuan untuk mengetahui model petri net dan matriks dari suatu permasalahan sebagai contoh  antrian  pasien  di  IGD.  Berdasarkan  tujuan  tersebut  penelitian  ini  menggunakan metode deskriptif yaitu mendeskripsikan sistem pelayanan IGD dalam bentuk Petri net dan matriks.

## Persiapan penelitian
Membuat alur prosedur pelayanan
Desain Petri net dengan software PIPE Kesimpulan Wawancara dan pengambilan data Representasi Matriks Gambar 1. Diagram Alir Penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Alur  sistem  pelayanan  pasien  IGD  RSUD  Kota  X  dimulai  dengan  pasien  datang hingga  pasien  pulang  atau  rawat  inap.  Pelayanan  dimulai  dari  pasien  datang  ke  tempat resepsionis,  di  bagian  ini  apabila  pasien  dalam  keadaan  yang  sangat  darurat  tidak  bisa mendaftar, keluarga atau kerabat pasien yang mendaftar pada bagian resepsionis.

## Gambar 2.  Alur Sistem Pelayanan IGD
Bagian resepsionis ini pasien akan di data, Setelah dari resepsionis pasien menuju ruang  triage,  dimana  semua  pasien  akan  diperiksa  dahulu kondisinya  (tindakan  pertama) dan diputuskan akan diberi tindakan sebagai pasien prioritas satu (P1), pasien prioritas dua (P2), atau pasien prioritas tiga (P3). Pada ruang triage petugas atau perawat bertanggung jawab  untuk  dapat  segera  mengambil  keputusan  (dengan  respon  time  sam  dengan  nol), melakukan  pengkajian  resiko  maupun  pengkajian  sosial,  diagnosis  pasien,  menentukan pasien termasuk prioritas P1, P2, atau P3 dan merencanakan tindakan berdasarkan tingkat urgency .
Pembagian  tindakan  pasien  berdasarkan  prioritas  bertujuan  untuk  menunjukkan apakah  pasien  dalam  kondisi  darurat,  kritis,  atau  sangat  kritis  sehingga  perlu  dilakuakan operasi. Setelah dari ruang triage dan diketahui prioritas pasien, pasien dipindah ke ruang sesuai  priori-tasnya.  Selanjutnya,  pasien  prioritas  satu,  pasien  prioritas  dua,  dan  pasien prioritas tiga akan disebut dengan P1, P2, dan P3. Pasien yang tergolong P3 adalah pasien gawat darurat yang tidak memerlukan operasi, jadi pasien setelah diberi tindakan oleh dokter
RUANG OPERASI PASIEN DATANG
RESEPSIONIS RUANG TRIAGE P1 P3 P2 PULANG / RAWAT INAP
langsung bisa pulang. Sedangkan pasien di P1 dan P2 ada kemungkinan untuk dilakukan tindakan operasi atau setelah dari IGD menuju rawat inap. Sehingga dari P1 atau P2 dapat menuju  ruang  operasi.  Pasien  di  P1  dan  P2  terdapat  dua  kemungkinan  setelah  diberi tindakan yaitu yang pertama langsung pulang /  rawat inap, yang kedua operasi lalu pulang / rawat  inap.  Jadi pelayanan pasien di IGD RSUD Kota X berakhir apabila pasien pulang atau rawat inap, alur pelayanan IGD seperti ilustrasi pada Gambar 1.
Dari hasil analisa sistem pelayanan IGD RSUD Kota X, maka permasalahan ini dapat dimodelkan dengan timed petri net dengan menggunakan software Pipe dengan variabel-variabel sebagai berikut.
𝑃 1 = Pasien anteri pendataan di resepsionis 𝑇 1 = Pasien datang di IGD 𝑃 2 = Idle / petugas resepsionis 𝑇 2 = Mulai pelayanan resepsionis 𝑃 3 = Pelayanan resepsionis 𝑇 3 = Pasien menuju ruang triage 𝑃 4 = Pasien anteri  di ruang triage
𝑇 4 = Mulai pemeriksaan di ruang triage 𝑃 5 =  Idle / petugas di ruang triage
𝑇 5 = Pasien menuju ruang tindakan 𝑃 6 =  Pemeriksaan di ruang triage
𝑇 6 = Mulai tindakan di P3 𝑃 7 = Pasien anteri tindakan prioritas 𝑇 7 = Selesai tindakan di P3 𝑃 8 = Pemeriksaan pasien di P3 𝑇 8 = Mulai tindakan di P2 𝑃 9 = Pemeriksaan pasien di P2 𝑇 9 = Selesai tindakan di P2 𝑃 10 = Pemeriksaan pasien di P1
𝑇 10 = Pasien P2 menuju ruang operasi 𝑃 11 = Pasien anteri di operasi
𝑇 11 = Mulai tindakan di P1 𝑃 12 = Idle / tim operasi
𝑇 12 = Pasien P1 menuju ruang operasi 𝑃 13 = Pasien di operasi
𝑇 13 = selesai tindakan di P1 𝑃 14 = Pasien di ruang pasca operasi
𝑇 14 = Pasien mulai di operasi 𝑃 15 = Pasien keluar IGD 𝑇 15 = Pasien selesai di operasi
𝑇 16 = Selesai pelayanan di IGD 𝑇 17 = Pasien pulang / rawat inap
Gambar 3. Petri net Sistem Pelayanan IGD RSUD Kota X
Pada  Gambar  3  diperlihatkan  terdapat  transisi 𝑇 1 yang  selalu enabled, dimana 𝑇 1 merupakan  saat  pasien  datang  ke  IGD,  karena 𝑇 1 enabled maka 𝑇 1 dapat  di fire, apabila
transisi 𝑇 1 melakukan proses di fire maka mengakibatkan token akan selalu bertambah pada place 𝑃 1 . Jika sudah terdapat token pada 𝑃 1 selanjutnya 𝑇 2 dapat difire apabila ada token idle  yang  tersedia.  Idle berarti  server  tidak  sibuk  dengan kata  lain  terdapat  petugas  yang siap melayani, kasus ini berlaku juga pada 𝑇 4 dan 𝑇 14 dapat difire apabila terdapat  token pada place sebelumnya  dan  token  idle  tersedia.  Sedangkan  untuk 𝑇 3 akan difire apabila terdapat token pada 𝑃 3 , proses yang sama berlaku pada transisi dan place selanjutnya.
Petri  net  dapat  direpresentasikan  dalam  bentuk  matriks,  yaitu  matriks forward incidence dan backward  incidence ,  dimana  keduanya  merupakan  bagian  dari  matriks incidence .  Bobot  arc  yang  menghubungkan  transisi  ke place berfungsi  sebagai  elemen matriks forward  incedence,  sedangkan elemen  matriks backward  incidence adalah  bobot arc yang menghubungkan place ke transisi. Berdasarkan model petri net pada Gambar  3 terdapat 15 place dan 17 transisi, sehingga matriks akan memiliki banyak baris (𝑛) = 15 dan  banyaknya  kolom (𝑚) = 17. Sehingga  matriks-matriks  yang  terbentuk  memiliki  ordo
15 × 17 dengan representasi sebagai berikut.
Matriks backward  incidence ( 𝐴 𝑏 )
𝑨 𝒃 = [
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]
Matriks forward  incidence ( 𝐴 𝑓 )
𝑨 𝒇 =
[
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0]
Matriks in cidence (𝐴)
𝐴 = 𝐴 𝑓 − 𝐴 𝑏
= [ 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −1]
Berdasarkan model petri net sebelumnya didapatkan matriks-matriks di atas. Matriks backward incedence dan matriks forward incidence memiliki elemen matriks yang bernilai 0 dan  1  yang  berarti  apabila  ada  arc  yang  memhubungkan  transisi  ke  place  atau  place  ke transisi elemen matriks bernilai 1, sedangkan 0 artinya antara place dan transisi tidak ada arc  yang  menghubungkan.  Selanjutnya  dengan  matriks incidence elemen-elemennya bernilai 0, 1, dan -1 diperoleh dari hasil pengurangan antara matriks backward incedence dan  matriks forward  incidence. Nilai  dari  elemen-elemen  matriks  dapat  berbeda  dan bervariasi  tergantung  dari  bobot  arc  yang  ada  pada  petri  net.  Selanjutnya,  kolom  matriks backward  incedence dapat  digunakan  untuk  menentukan  transisi  yang enable. Kita  juga
dapat  menentukan  keadaan  berikutnya  dengan  menggunakan  matrik incidence.
Berdasarkan  hasil  penelitian  ini  kita  dapat  mengetahui  model  petri  net  apabila  diketahui matriks forward incidence , backward incidence ,dan matriks incidence.

## SIMPULAN
Pembelajaran matematika dapat dibuat menarik dengan memberikan simulasi dan contoh yang nyata pada kehidupan. Diharapkan pada penelitian selanjutnya permasalahan yang  dimodelkan  dapat  lebih  berkembang  dan  beraneka  ragam.  Penelitian  ini  juga  dapat dikembangkan  untuk  mengetahui  berapa  lama  waktu  antrian  dengan  menggunakan  Petri net dengan aljabar maxplus.

## DAFTAR PUSTAKA
Cassandras, C. G., & Lafortune, S. 2008 . Introduction to Discrete Event Systems Second Edition . New York: Springer.
Komsiyah, S. 2012). Model petri net tak berwaktu pada sistem produksi (batch plant) dan simulasinya dengan PIPE2. Jurnal Mat Stat , 12 (2): 152-164.
Murata, T. 1989. Petri Nets: Properties, Analysis and Applications. Proceding of The IEEE, (hal. 541-580).
Mustofani, D. 2018. Model Antrian Pelayanan Farmasi Menggunakan Petrinet dan Aljabar Max-Plus. JMPM: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 3 (1), 33-43.
Pertiwi,  R.,  I.  (2016). Verifikasi  Formal  Petri  Net  dengan  Counter  pada  Sistem  Inventori . Tesis, Fakultas MIPA: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Subiono.  2015. Aljabar  Min-Max  Plus  dan  Terapannya .  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember. Surabaya.
Subiono,  Nurwan.  2014.  Model  Petri  Net  Antrian  Klinik  Kesehatan  Serta  Kajian  Dalam Aljabar Max Plus, Jurnal Matematika FMIPA ITS .
Winarni, W. (2011). Penjadwalan Jalur Bus dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus (Studi Kasus Busway TransJakarta). Cauchy , 1 (4), 192-206