## TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM -n STANDAR
Shelvi Ekariani
KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB shelvi_ekariani@students.itb.ac.id
Hendra Gunawan
KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB hgunawan@math.itb.ac.id
ABSTRACT. On  the  standard  n-normed  space,i.e  an  inner  product  space  equipped  with the standard n-norm, one can derive a norm from the n-norm in a certain way. The purpose of  this  note  is  to  establish  the  equivalence  between  such  a  norm  and  the  usual  norm  on standard n-normed space. Further, this fact together with others use to prove  a fixed point theorem on the standard n-normed space.
Keywords : standard n-normed space, equivalence, fixed point theorem
ABSTRAK. Pada  ruang  norm-n  standar,  yaitu  ruang  hasil  kali  dalam  yang  dilengkapi dengan  norm-n  standar,  dapat  diperoleh  suatu  norm  dari  norm-n  dengan  cara  tertentu. Tujuan  makalah  ini  adalah  untuk  menunjukkan  ekuivalensi  antara  norm tersebut  dan  norm biasa yang didefinisikan pada ruang norm-n standar. Lebih  jauh  fakta  ini digunakan untuk membuktikan suatu teorema titik tetap pada ruang norm-n standar.
Kata Kunci : ruang norm-n standar, ekuivalensi, teorema titik tetap

## 1. PENDAHULUAN
Pada  tahun  1960-an, Gähler (1994,  1969a,  1969b,  1969c,  1970) memperkenalkan teori ruang norm- n . Suatu norm- n pada ruang vektor real 𝑋 (dimana dim(𝑋) ≥ 𝑛 ) adalah pemetaan ‖∙, … ,∙‖: 𝑋 𝑛 → ℝ , yang memenuhi:
1. ‖𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 bergantung linear,
2. ‖𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ invarian terhadap permutasi,
3. ‖𝛼𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ = |𝛼|‖𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ , untuk setiap 𝛼 ∈ ℝ ,
4. ‖𝑥 1 + 𝑥, … , 𝑥 𝑛 ‖ ≤ ‖𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ + ‖𝑥, … , 𝑥 𝑛 ‖ .
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 69 - 77
Pasangan (𝑋, ‖∙, … ,∙‖) disebut ruang  norm-n. Pada  ruang  norm- n berlaku  sifat ‖𝑥 1 + 𝑦, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ = ‖𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ , untuk setiap 𝑦 = 𝛼 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 .
Pada  tahun  2001,  Gunawan  [1]  memformulasikan  Teorema  Titik  Tetap  pada ruang norm- n sebagai berikut:
Teorema 1.1. Misalkan pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 , sedemikian sehingga
‖𝑇𝑥 1 − 𝑇𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ ≤ 𝐶‖𝑥 1 − 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖,
Untuk  setiap 𝑥, 𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋 dan 𝐶 ∈ (0,1) .  Maka 𝑇 mempunyai  titik  tetap  yang tunggal, yaitu terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑇𝑥 = 𝑥 .
Pada  makalah  ini,  akan  ditunjukkan  bahwa  setiap  ruang  norm- n khususnya ruang norm- n standar dengan 𝑛 ≥ 2 adalah ruang norm yang dilengkapi dengan suatu norm  yang  diturunkan  dari  norm- n .  Lebih  lanjut,  fakta  ini  digunakan  untuk membuktikan  Teorema  Titik  Tetap  pada  ruang  norm- n standar  yang  lebih  umum versi  Gunawan.  Kemudian  di  (Nur,  2011),  telah  dibahas  Teorema  Titik  Tetap  pada ruang  norm- n standar.  Berbeda  dengan  yang  telah  dibahas  di  (Nur,  2011),  pada makalah ini pembuktian ekuivalensi antara norm yang diperoleh dari norm- n dengan norm  biasa  yang  didefinisikan  pada 𝑋 tidak  melalui  kekonvergenan  barisan  tetapi dengan menggunakan definisi norm dan sifat-sifatnya.

## 2. TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM- n STANDAR
Misalkan 𝑋 adalah ruang hasil kali dalam dengan dimensi 𝑑 ≥ 𝑛 ( 𝑑 boleh tak hingga). Ruang vektor 𝑋 yang dilengkapi dengan norm- n standar, yang didefinisikan sebagai:
‖𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ‖ 𝑠 ≔ | 〈𝑥 1 , 𝑥 1 〉 ⋯ 〈𝑥 1 , 𝑥 𝑛 〉 ⋮ ⋱ ⋮ 〈𝑥 𝑛 , 𝑥 1 〉 ⋯ 〈𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 〉 | 1 2 ,
dimana 〈∙,∙〉 menyatakan hasil kali dalam pada 𝑋 , merupakan ruang norm- n standar.
70                                                                                       Shelvi Ekariani dan Hendra Gunawan

## 2.1   Norm yang diturunkan dari norm- n
Seperti  yang  telah  dipaparkan  pada  abstrak,  suatu  norm  dapat  diperoleh  dari suatu norm- n, khususnya norm- n standar. Sehingga diperoleh teorema berikut.
Teorema  2.1. Misalkan {𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 } adalah  himpunan  bebas  linear  pada 𝑋. Maka fungsi
‖𝑥‖ 1 ∗ ≔ ( ∑ ‖𝑥, 𝑎 𝑖 2 , … , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ) 1 2 ,
mendefinisikan norm pada 𝑋.
Bukti. Dari pendefinisian norm di atas, jelas bahwa ‖𝑥‖ 1 ∗ ≥ 0 . Kemudian jika 𝑥 = 0 maka ‖𝑥‖ 1 ∗ = 0 , dan bersifat ‖𝛼𝑥‖ 1 ∗ = |𝛼|‖𝑥‖ 1 ∗ , untuk  setiap 𝛼 ∈ ℝ serta memenuhi ketaksamaan  segitiga.  Selanjutnya,  jika ‖𝑥‖ 1 ∗ = 0 ,  maka  tanpa  mengurangi keumuman diperoleh
‖𝑥, 𝑎 2 , 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑛 ‖ 𝑠 = 0, (1)
‖𝑎 1 , 𝑥, 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑛 ‖ 𝑠 = 0, (2)
‖𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑥, … , 𝑎 𝑛 ‖ 𝑠 = 0, (3)
dan seterusnya, sampai diperoleh,
‖𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛−1 , 𝑥‖ 𝑠 = 0, (4)
Dari (2) diperoleh 𝑥 merupakan kombinasi linear dari {𝑎 2 , 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑛 } , misalkan
𝑥 = ∑ 𝑘 𝑖 𝑛 𝑖=2 𝑎 𝑖 .
Dari (3) diperoleh 𝑘 1 = 0 dan seterusnya, sehingga diperoleh 𝑥 = 0 .
Jadi ‖𝑥‖ 1 ∗ mendefinisikan norm pada 𝑋 .
∎
Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  bahwa  norm ‖∙‖ 1 ∗ ekuivalen  dengan  norm ‖∙‖ = 〈∙,∙〉 1 2 . Sebelum itu, didefinisikan
Teorema Titik Tetap pada Ruang Norm-n Standar                                                                71
‖𝑥‖ 2 ∗ ≔ (∑ ‖𝑥, 𝑏 𝑖 2 , … , 𝑏 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ) 1 2 ,
dengan {𝑏 1 , . . , 𝑏 𝑛 } adalah himpunan orthonormal yang diperoleh dari himpunan bebas linear {𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 } melalui  proses  Gram-Schmidt.  Dari  Teorema  2.1  diperoleh ‖𝑥‖ 2 ∗ juga merupakan norm pada 𝑋 .
Lebih lanjut, diperoleh fakta di bawah ini.
Proposisi 2.2. Norm ‖∙‖ 2 ∗ ekuivalen dengan norm ‖∙‖ 1 ∗ .
Bukti. Dengan  melakukan  proses  Gram-Schmidt  pada  himpunan  bebas  linear {𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 }, diperoleh
𝑏 1 = 𝑐 1 𝑎 1 ,
sedemikian sehingga
𝑎 1 = 𝑘 1 𝑏 1 .
Kemudian,
𝑏 2 = 𝑑 1 𝑎 1 + 𝑑 2 𝑎 2 .
Dengan mensubstitusi nilai 𝑎 1 , diperoleh
𝑎 2 = 𝑙 1 𝑏 1 + 𝑙 2 𝑏 2 .
Proses dilanjutkan, sampai diperoleh
𝑏 𝑛 = 𝑝 1 𝑎 1 + ⋯ + 𝑝 𝑛 𝑎 𝑛 .
Dengan mensubstitusi nilai-nilai 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛−1 , diperoleh
𝑎 𝑛 = 𝑟 1 𝑏 1 + ⋯ + 𝑟 𝑛 𝑏 𝑛 .
Akibatnya,
‖𝑥, 𝑏 1 , … , 𝑏 𝑛−1 ‖ 𝑠 = ‖𝑥, 𝑐 1 𝑎 1 , 𝑑 1 𝑎 1 + 𝑑 2 𝑎 2 , … , ∑ 𝑝 𝑖 𝑎 𝑖 𝑛−1
𝑖=1 ‖ 𝑠 ≤ |𝛼|‖𝑥, 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛−1 ‖ 𝑠 ,
dan
‖𝑥, 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛−1 ‖ 𝑠 = ‖𝑥, 𝑘 1 𝑏 1 , 𝑙 1 𝑏 1 + 𝑙 2 𝑏 2 , … , ∑ 𝑟 𝑖 𝑏 𝑖 𝑛−1
𝑖=1 ‖ 𝑠 ≤ |𝛽|‖𝑥, 𝑏 1 , … , 𝑏 𝑛−1 ‖ 𝑠 .
Kemudian, perhatikan bahwa
72                                                                                      Shelvi Ekariani dan Hendra Gunawan
‖𝑥‖ 2 ∗ = (∑ ‖𝑥, 𝑏 𝑖 2 , … , 𝑏 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ) 1 2 ≤
(𝛼 2 ∑ ‖𝑥, 𝑎 𝑖 2 , … , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ) 1
2 = |𝛼|‖𝑥‖ 1 ∗ .
Dengan cara yang sama, diperoleh
‖𝑥‖ 1 ∗ ≤ |𝛽|‖𝑥‖ 2 ∗ .                                                             ∎
Proposisi 2.3. Norm ‖∙‖ 2 ∗ ekuivalen dengan norm biasa ‖∙‖ = 〈∙,∙〉 1 2 di 𝑋 , yaitu
‖𝑥‖ ≤ ‖𝑥‖ 2 ∗ ≤ √𝑛‖𝑥‖,
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 .
Bukti. Untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan {𝑏 1 , . . , 𝑏 𝑛 } himpunan  orthonormal  di 𝑋 ,  perhatikan bahwa
‖𝑥, 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 ‖ 𝑠 2 = | | 〈𝑥, 𝑥〉 〈𝑥, 𝑏 2 〉 〈𝑥, 𝑏 3 〉 〈𝑏 2 , 𝑥〉 1 0 〈𝑏 3 , 𝑥〉 ⋮ 〈𝑏 𝑛 , 𝑥〉 0 ⋮ 0 1 ⋮ 0 ⋯ 〈𝑥, 𝑏 𝑛 〉 ⋯ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋮ 1 | | = ‖𝑥‖ 2 − ∑ |〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛 𝑖=2 .
Dengan cara yang sama, diperoleh
‖𝑏 1 , 𝑥, 𝑏 3 , … , 𝑏 𝑛 ‖ 𝑠 2 = ‖𝑥‖ 2 − ∑|〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛 𝑖=1 𝑖≠2 , ⋮
‖𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛−1 , 𝑥‖ 𝑠 2 = ‖𝑥‖ 2 − ∑|〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛−1 𝑖=1 .
Dengan menggunakan ketaksamaan Bessel ∑ |〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛 𝑖=1 ≤ ‖𝑥‖ 2 , diperoleh
‖𝑥‖ 2 ≤ ‖𝑥‖ 2 − ∑|〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛 𝑖=2 + ‖𝑥‖ 2 − ∑|〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛 𝑖=1 𝑖≠2 + ⋯ + ‖𝑥‖ 2 − ∑|〈𝑥, 𝑏 𝑖 〉| 2 𝑛−1 𝑖=1 = ∑
‖𝑥, 𝑏 𝑖 2 , … , 𝑏 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} = ‖𝑥‖ 2 ∗ .
Teorema Titik Tetap pada Ruang Norm-n Standar                                                                73
Dengan  menggunakan  ketaksamaan  Hadamard ‖𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ ≤ ‖𝑥 1 ‖ … ‖𝑥 𝑛 ‖ , diperoleh
(‖𝑥‖ 2 ∗ ) 2 = ∑ ‖𝑥, 𝑏 𝑖 2 , … , 𝑏 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ≤ ( ∑ ‖𝑏 𝑖 2 ‖ 2 … ‖𝑏 𝑖 𝑛 ‖ 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ) ‖𝑥‖ 2
= 𝑛‖𝑥‖ 2 .                                                                                                        ∎
Akibat 2.4. Norm ‖∙‖ 1 ∗ ekuivalen dengan norm ‖∙‖ = 〈∙,∙〉 1 2 .

## 2.2 Kelengkapan dan Kekonvergenan Barisan
Barisan (𝑥(𝑘)) di  ruang  norm- n 𝑋 dikatakan konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 dalam norm- n, jika
lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ = 0,
untuk setiap 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋 .
Kemudian barisan (𝑥(𝑘)) di ruang norm- n 𝑋 dikatakan Cauchy , jika lim
𝑘,𝑙→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥(𝑙), 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ = 0,
untuk setiap 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋 .
Ruang norm- n 𝑋 dimana setiap barisan Cauchy (𝑥(𝑘)) ∈ 𝑋 konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 ,  disebut  ruang  norm- n yang  lengkap.  Lebih  lanjut,  ruang  norm- n yang  lengkap disebut ruang Banach-n.
Sebelum Teorema Titik Tetap, diperoleh hasil berikut.
Teorema  2.5. Barisan (𝑥(𝑘)) ∈ 𝑋 konvergen  ke 𝑥 ∈ 𝑋 dalam  norm-n  standar ‖∙, … ,∙‖ 𝑠 jika dan hanya jika (𝑥(𝑘)) konvergen ke 𝑥 dalam norm ‖∙‖ . Serupa dengan itu (𝑥(𝑘)) ∈ 𝑋 Cauchy  dalam  norm-n  standar  jika  dan  hanya  jika (𝑥(𝑘)) Cauchy dalam norm ‖∙‖ .
Bukti. Misalkan (𝑥(𝑘)) konvergen  ke 𝑥 ∈ 𝑋 dalam  norm- n standar ‖∙, … ,∙‖ 𝑠 ,  yaitu lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑎 𝑖 2 , . . . , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 = 0 untuk  setiap {𝑖 2 , … , 𝑖 𝑛 } ⊆ {1, … , 𝑛} .  Akibatnya lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥‖ 1 ∗ = lim 𝑘→∞ ∑ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑎 𝑖 2 , . . . , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} = 0 .
Selanjutnya dari fakta ‖∙‖ 1 ∗ dan ‖⋅‖ ekuivalen, diperoleh
lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥‖ = 0 .
Sebaliknya,  misalkan 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋 dan (𝑥(𝑘)) ∈ 𝑋 konvergen  ke 𝑥 ∈ 𝑋 dalam  norm ‖∙‖ ,  yaitu lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥‖ = 0 .  Kemudian  dengan  menggunakan ketaksamaan Hadamard, perhatikan bahwa
‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ 𝑠 ≤ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥‖ 𝑠 ‖𝑥 2 ‖ 𝑠 … ‖𝑥 𝑛 ‖ 𝑠 .
Ruas  kanan  ketaksamaan  di  atas  menuju  nol  jika 𝑘 menuju  tak  hingga, sehingga ‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ‖ 𝑠 menuju nol jika 𝑘 menuju tak hingga. Dengan kata lain lim 𝑘→∞ ‖𝑥(𝑘) − 𝑥, 𝑥 2 , . . . , 𝑥 𝑛 ‖ 𝑠 = 0 ,  yang  artinya (𝑥(𝑘)) konvergen  ke 𝑥 dalam norm- n standar ‖∙, … ,∙‖ 𝑠 .
Dengan  cara  yang  sama, (𝑥(𝑘)) ∈ 𝑋 Cauchy dalam  norm- n standar  jika  dan hanya jika (𝑥(𝑘)) Cauchy dalam norm ‖∙‖ . ∎
Akibat  2.6. Ruang  norm-n  standar (𝑋, ‖∙, … ,∙‖ 𝑠 ) merupakan  ruang  Banach-n  jika dan hanya jika ruang norm standar (𝑋, ‖∙‖ 𝑠 ) merupakan ruang Banach.
Teorema 7. (Teorema Titik Tetap) Misalkan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 pemetaan kontraktif terhadap himpunan  bebas  linear {𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 } di 𝑋 ,  yaitu  terdapat 𝑘 ∈ (0,1) ,  sedemikian sehingga
‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦, 𝑎 𝑖 2 , … , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 ≤ 𝑘‖𝑥 − 𝑦, 𝑎 𝑖 2 , … , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 ,
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan {𝑖 2 , … , 𝑖 𝑛 } ⊆ {1, … , 𝑛} . Maka 𝑇 mempunyai titik tetap yang tunggal di 𝑋 .
Bukti. Dari  Akibat  4,  diperoleh  bahwa (𝑋, ‖∙‖ 1 ∗ ) merupakan  ruang  Banach.  Lebih lanjut, perhatikan bahwa
(‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦‖ 1 ∗ ) 2 = ∑ ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦, 𝑎 𝑖 2 , . . . , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛} ≤ ∑ 𝑘 2 ‖𝑥 − 𝑦, 𝑎 𝑖 2 , . . . , 𝑎 𝑖 𝑛 ‖ 𝑠 2 {𝑖 2 ,…,𝑖 𝑛 }⊆{1,…,𝑛}
= 𝑘 2 (‖𝑥 − 𝑦‖ 1 ∗ ) 2 .
Sehingga diperoleh
‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦‖ 1 ∗ ≤ 𝑘‖𝑥 − 𝑦‖ 1 ∗ ,
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Ketaksamaan  terakhir  menyatakan  bahwa 𝑇 merupakan  pemetaan  kontraktif terhadap ‖∙‖ 1 ∗ .  Karena (𝑋, ‖∙‖ 1 ∗ ) merupakan  ruang  Banach,  maka  berdasarkan Teorema Titik Tetap pada ruang Banach, 𝑇 mempunyai titik tetap yang tunggal. ∎

## 3. KESIMPULAN
Dalam  ruang  norm- n standar,  yaitu  ruang  hasil  kali  dalam  yang  dilengkapi dengan  norm- n standar,  dapat  didefinisikan  suatu  norm  yang  diperoleh  dari  norm- n dengan  cara  tertentu.  Kemudian  diperoleh  fakta  bahwa  norm  yang  diturunkan  dari norm- n tersebut  ekuivalen  dengan  norm  biasa  yang  didefinisikan  pada  ruang  hasil kali  dalam.  Dengan  fakta  ini  diperoleh  bahwa  kekonvergenan  dan  kelengkapan barisan dalam norm- n mengakibatkan kekonvergenan dan kelengkapan barisan dalam norm, begitu juga sebaliknya.  Lebih jauh, telah diperoleh Teorema Titik Tetap pada ruang norm- n standar yang lebih umum daripada yang telah dirumuskan di (Gunawan dan Mashadi, 2001).
Ucapan  Terima  Kasih. Penelitian  ini  merupakan  bagian  dari  Program  Doktor Unggulan ITB, yang didanai oleh Proyek IMHERE ITB Tahun 2011-2012.

## DAFTAR PUSTAKA
Gunawan, H dan Mashadi. (2001), On n -Normed Spaces . Int. J. Math. 27 , 631-639.
Nur,M.  (2011),  Teorema  Titik  Tetap  di  Ruang  Norm- n Standar. Tesis  Magister Matematika ITB.
G 𝑎̈ hler, S. (1964), Lineare 2 -Normierte Raume, Math. Nachr . 28 , 1-43.
G 𝑎̈ hler, S. (1969a), Uber 2 -Banach Raume. Math. Nachr. 42 , 335-347.
G 𝑎̈ hler,  S.  (1969b),  Untersuchungen  Uber  Verallgemeinerte m -Metrische  Raume    I.
Math. Nachr. 40 , 165-189.
G 𝑎̈ hler,  S.  (1969c),  Untersuchungen  Uber  Verallgemeinerte m -Metrische  Raume  II. Math. Nachr. 40 , 229-264.
G 𝑎̈ hler,  S.  (1970),  Untersuchungen  Uber  Verallgemeinerte m -Metrische  Raume  III. Math. Nachr. 41 , 23-26.
Teorema Titik Tetap pada Ruang Norm-n Standar                                                                77