## Aplikasi Model Matematika Predator dan Prey Terinfeksi dengan Kontrol Pestisida pada Penyebaran Hama Wereng Batang Cokelat di Kabupaten Bantul

## Irham Taufiq, Denik Agustito
Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa, Jalan Batikan UH III/1043 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Irham
Taufiq, email: irham.taufiq@ustjogja.ac.id; Denik Agustito, email: denikagustito@yahoo.co.id

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan membentuk model matematika yang menunjukan interaksi antara predator dan prey dengan kontrol pestisida. Interaksi antara predator dan prey rentan menggunakan fungsi respon Holling tipe II. Sedangkan Interaksi antara predator dan prey terinfeksi menggunakan fungsi respon Holling tipe I. Pertumbuhan predator dan prey menggunakan fungsi logistik. Dari Model tersebut diperoleh lima titik ekuilibrium. ketiga titik ekuilibrium tersebut dianalisis menggunakan metode linierisasi  dan  bersifat  stabil  asimtotik  lokal.  Selanjutnya,  data  diterapkan  pada  model  tersebut  dengan  simulasi  numerik menggunakan software Maple untuk memprediksikan dinamika populasi predator dan prey. Hasilnya pada waktu tertentu predator akan mati dan prey tetap hidup.
Kata Kunci Kontrol pestisida; model predator-prey; simulasi numerik; titik ekuilibrium

## Abstract
This  research  aimed  to construct  a mathematical model showed  the  interaction  between  predator  and  prey  by control of the pest. The interaction between predator and susceptible prey followed functional response Holling type  II.  But  interaction  between  predator  and  infected  prey  followed  functional  response  Holling  type  I.  The population growth both predators and prey were using the logistic function. There were five equilibrium points for this model. Three of them was linearization method analyzed and asymptotic stability. Then, data was applicated into this model by numerical simulation used software Maple to predict dynamical population both of them. The result was in certain time predator will be die and prey will be exist.
Keywords Control of pest; predator-prey model; numerical simulation; equilibrium point

## Pendahuluan
Lahan pertanian padi seluas lima hektare di Dusun Baros, Desa Tirtohargo, Kabupaten Bantul, Daerah Istimewa Yogyakarta, mengalami puso akibat serangan hama wereng batang cokelat yang muncul pada musim hujan pada tahun 2016. Lima hektare sawah yang gagal panen akibat hama wereng tersebut karena  faktor  kelembapan  yang  tinggi.  Petani  diperkirakan  mengalami  kerugian  hingga  ratusan  juta rupiah karena biaya produksi yang dibutuhkan sejak tanam hingga panen rata-rata Rp 30 juta sampai Rp 35 juta per hektare. Sementara itu, berdasarkan rekapitulasi data serangan wereng batang cokelat di Bantul yang dihimpun Dinas Pertanian dan Kehutanan Bantul pada awal Februari, tanaman padi yang terserang wereng seluas 280 hektare dengan luas ancaman 40 hektare [2].
Hama ini secara  langsung  dapat  merugikan  tanaman  padi dengan cara menghisap cairan pelepah daun  dan  cairan  sel  tanaman,  sehingga  tanaman  padi  menjadi  kering  dan  tunasnya  berkurang. Wereng dapat mentransfer virus  y a n g   mengakibatkan warna daun dan batang tanaman padi berubah menjadi kuning, cokelat jerami, dan akhirnya seluruh  tanaman padi menjadi mengering seperti disiram air panas [5]. Dari uraian tersebut perlu ada usaha untuk menyelamatkan tanaman padi dari serangan hama wereng, yaitu dengan pengendalian laju pertumbuhan hama wereng.
Menurut [6], salah satu upaya yang dilakukan para petani untuk mengendalikan hama wereng adalah pemberian pestisida. Penggunaan  pestisida  secara  tidak  tepat  dapat menyebabkan  berbagai dampak  yang  tidak  diinginkan,  seperti  pencemaran  lingkungan,  hama  menjadi  tahan  terhadap berbagai jenis pestisida,  dan hama menjadi cepat menyesuaikan diri terhadap perubahan lingkungan [ 3 ] .  Jika hanya menggunakan pestisida maka hama sulit untuk dikendalikan. Oleh karena itu perlu adanya  cara  pengendalian  hama  yang  lain.  Salah  satu  usaha  untuk  pengendalian  hama,  misalnya dengan menggunakan faktor predator/musuh alaminya [4].
Usaha pengendalian hama dengan menggunakan musuh alaminya cukup mudah. Hal ini didukung dengan  ketersediaan  populasi  predator  biasanya  tetap  terjaga  saat  populasi  hama  rendah  dan  pola pemangsaan serangga predator dapat memangsa satu atau lebih spesies [10]. Interaksi antara individu memiliki beberapa sifat, salah satunya adalah pemangsaan. Pemangsaan  merupakan  hubungan  antara predator  dengan  mangsa  dalam  interaksi  dua  populasi.  Contoh  pemangsaan  semacam  ini  adalah wereng batang p a d i  c oklat ( Nilaparvata lugens Stål.) yang dimangsa oleh pemangsa alaminya, seperti kepik mirid (Cyrtorhinus lividipennis).
Model matematika,  menjadi  alat  penting  untuk mengetahui proses  dinamika antara  predator  dan hama serta menganalisa penyebaran hama pada waktu tertentu. Model ini, terdiri dari laju perubahan populasi  predator  dan  populasi hama sebagai mangsa, yang pertama  kali  dikemukakan oleh  Lotka Volterra. Model Lotka-Volterra dapat dikembangkan untuk memodelkan interaksi antara  predator dan satu  prey.  [1]  telah  menurunkan  model  dua  predator  dan  satu  prey  dengan  asumsi  pertumbuhan predator dan prey mengikuti pertumbuhan logistik dan terjadi kompetisi antara kedua predator tersebut. Selain  itu,  [7]  dan  [8]  juga  telah  menurunkan  model  predator  prey  dengan  prey  terinfeksi  dengan kontrol pestisida.
Selanjutnya, model tersebut diaplikasikan pada populasi wereng batang cokelat yang menyerang kabupaten Bantul. Pada penelitian-penelitian tersebut, masalah model matematika predator dan prey terinfeksi dengan  kontrol pestisida belum pernah diteliti oleh peneliti-peneliti lain. Oleh karena itu, Penulis tertarik untuk meneliti aplikasi model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida pada penyebaran hama wereng batang cokelat di kabupaten bantul.

## Landasan Teori

## Sistem Persamaan Diferensial
Diberikan himpunan terbuka 𝐸 ⊆ 𝑅 𝑛 dan 𝐟: 𝐸 ⊆ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 didefinisikan fungsi f = (𝑓 1 (𝑥), 𝑓 2 (𝑥), … , 𝑓 𝑛 (𝑥)) . Sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , )
( , , , ) ( , , , ) n n n n n x f x x x
x f x x x
x f x x x    (1)
Selanjutnya, diberikan kondisi awal 𝑥 𝑖 (𝑡 0 ) = 𝑥 𝑖0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑥̇ 𝑖 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 Sistem (1) dibentuk menjadi
( )  x f x (2)
dengan 𝐱 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ∈ 𝑅 𝑛 , 𝐟 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , … , 𝑓 𝑛 ), 𝐱̇ = (𝑥̇ 1 , 𝑥̇ 2 , … , 𝑥̇ 𝑛 ) dan syarat awal x(𝑡 0 ) = x 0 = (𝑥 10 , 𝑥 20 , … , 𝑥 𝑛0 ) ∈ 𝐸 . Selanjutnya, notasi x(𝑡) = x((x 0 , 𝑡), 𝑡) menyatakan solusi Sistem (2.2.2) dengan nilai awal x 0 .
Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan solusi khusus dari Sistem (2), jika solusi tersebut konstan sepanjang waktu. Berikut ini dijelaskan mengenai titik ekuilibrium Sistem (2) pada definisi di bawah ini.
Definisi 1. Titik 𝐱̂ ∈ 𝑅 𝑛 disebut titik ekuilibrium Sistem (2) jika f(x̂) = 0 .[9]
Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial linier ataupun nonlinier diberikan dalam definisi. Definisi berikut memberikan penjelasan kestabilan lokal dari titik ekuilibrium Sistem (2).
Definisi 2. Titik ekuilibrium 𝐱̂ ∈ 𝑅 𝑛 dari Sistem (2) dikatakan: 1. Stabil  jika  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian  hingga  untuk  setiap  solusi x(𝑡) yang memenuhi x(𝑡 0 ) − x̂‖ < 𝛿 berlaku ‖x(𝑡) − x̂‖ < 𝜀 untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡 0 . 2. Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium stabil dan terdapat bilangan 𝛿 0 > 0 sedemikian hingga unntuk setiap solusi x(t) yang memenuhi x(𝑡 0 ) − x̂‖ < 𝛿 0 berlaku lim 𝑡→∞ x(𝑡) = x̂ .
3. Tidak stabil jika titik ekuilibrium 𝐱̂ ∈ 𝑅 𝑛 tidak memenuhi (1). [9]
Model Dasar Mangsa Pemangsa
Model Lotka-Volterra adalah model mangsa pemangsa yang paling sederhana yang menggambarkan interaksi populasi pemangsa dan mangsa yang diberikan sebagai berikut:
*
* dX pX XY dt dY
qY r XY dt       
(3)
Pada Sistem (3), 𝑋 menyatakan kepadatan populasi mangsa sedangkan 𝑑𝑋 𝑑𝑡 menyatakan perubahan kepadatan populasi mangsa terhadap 𝑡 , dengan 𝑡 adalah waktu dan 𝑌 menyatakan kepadatan populasi pemangsa, dan 𝑑𝑌 𝑑𝑡 menyatakan perubahan kepadatan populasi pemangsa terhadap waktu. Konstanta 𝑝, 𝛼 ∗ , 𝑞, 𝑟 bernilai positif dengan 𝑝 adalah tingkat pertumbuhan alami dari populasi mangsa, 𝛼 ∗ adalah angka penangkapan mangsa oleh pemangsa atau angka kematian dari populasi mangsa akibat interaksi dengan pemangsa, 𝑞 adalah tingkat kematian alami dari pemangsa, dan 𝑟 adalah angka pertumbuhan dari populasi pemangsa.  Selain itu, 𝑋𝑌 adalah lambang interaksi antara mangsa dan pemangsa.

## Fungsi Respon
Fungsi respon adalah meningkatnya jumlah mangsa yang dimakan oleh sejumlah individu pemangsa pada kepadatan mangsa yang berbeda-beda sampai dengan batas yang dapat menunjukkan konsumsi mangsa maksimal dalam waktu yang ditentukan. Pada saat ini, model Lotka-Volterra pada Sistem (3) sudah tidak relevan dalam kehidupan nyata karena popolasi mangsa tidak selamanya meningkat, atau populasi pemangsa tidak selamanya menurun. Hal ini dikarenakan ada lima hal yang mempengaruhi pemangsaan  oleh  pemangsa  yaitu  kerapatan  populasi  mangsa,  kerapatan  populasi  pemangsa,  sifat mangsa  yang  memiliki  reaksi  yang  sama  dengan  predator,  jumlah  dan  kualitas  makanan  pengganti yang  tersedia  untuk  pemangsa,  dan  sifat  pemangsa  seperti  jenis  makanan  yang  disukai  dan  efisien dalam menyerang.
Selain itu, fungsi respon dibagi menjadi tiga tipe umum, yaitu fungsi respon linier (tipe I), fungsi respon hiperbolik (tipe II), dan fungsi respon sigmoida (tipe III). Fungsi respon linier (tipe I) merupakan fungsi  respon  dimana  laju  pemangsaan  pemangsa  meningkat  sebanding  dengan  kerapatan  mangsa sampai  mencapai  tingkat  kejenuhan.  Jumlah  mangsa  tidak  berubah  saat  pemangsa  kenyang.  Fungsi respon hiperbolik (tipe II) merupakan fungsi respon dimana laju pemangsaan secara progresif semakin menurun.  Artinya  pemangsaan  seekor  pemangsa  yang  meningkat  seiring  dengan  meningkatnya ketersediaan  mangsa  namun  pemangsaan  semakin  menurun  pada  saat  mendekati  kenyang.  Tingkat pemangsaan  oleh  pemangsa  dipengaruhi  ketersediaan  mangsa.  Holling  berpendapat  jika  kerapatan mangsa meningkat maka daya cari pemangsa akan menurun sehingga waktu yang diperlukan pemangsa untuk  memangsa  lebih  lama.  Laju  pemangsaan  adalah  waktu  yang  diperlukan  pemangsa  untuk mengejar, menaklukan dan memakan setiap individu mangsa. Fungsi respon ini sangat umum dimiliki diantara pemangsa serangga seperti wereng batang coklat.

## Fungsi Logistik
Populasi mangsa tidak selamanya meningkat atau populasi pemangsa tidak selamanya menurun. Hal ini disebabkan area dan fasilitas hidup terbatas. Sehingga model Lotka-Volterra pada Sistem (3) kurang realistis karena populasi tidak selamanya naik. Parameter 𝑝 dipengaruhi oleh angka pertumbuhan tanpa pengaruh lingkungan, dinotasikan 𝑟 , dan angka kematian populasi mangsa karena pengaruh lingkungan, dinotasikan 𝑟 𝐾 , dalam hubungan linier
r p r X K  
(4)
Sehingga persamaan pertama pada Sistem (3) diperoleh:
* 1 dX X rX XY
dt K           (5)

## Bahan dan Metode
Penelitian diawali dengan mengumpulkan berbagai informasi yang terkait wereng batang cokelat dan musuh alaminya pada ekosistem tanaman padi di Kabupaten Bantul. Informasi yang diperlukan berupa fakta-fakta terkait dinamika Kepik predator dan hama wereng batang cokelat dengan kontrol pestisida. Asumsi-asumsi  model  digunakan  dan  disusun  untuk  memberikan  informasi  tambahan  yang  tidak diperoleh dari fakta-fakta di lapangan guna untuk membantu memudahkan analisis suatu sistem.
Bentuk  persamaan  matematika  dari  model  tersebut,  dirumuskan  dengan  memperhatikan  diagram transfer  yang  mengambarkan  dinamika  predator,  hama wereng,  dan  efek  pestisida  pada  ekosistem tanaman  padi.  Model  matematika  yang dihasilkan berbentuk  sistem persamaan  diferensial.  Analisis yang dilakukan terhadap  sistem  adalah  penentuan  eksistensi titik  ekuilibrium, kariteria kestabilan titik ekuilibrium dan simulasi dengan data wereng dan musuh alaminya yang diperoleh dari Dinas Pertanian, Pangan, Kelautan dan Perikanan Kabupaten Bantul.  Dalam  simulasi  ini,  dilakukan  dengan  bantuan software MAPLE. Hasil simulasi berupa potret fase  yang menggambarkan dinamika  predator  dan prey dengan kontrol pestisida.

## Hasil dan Pembahasan
Interaksi antara pemangsa dan mangsa dapat dimodelkan secara matematis ke dalam model predator dan  prey. Model  predator  prey  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  interaksi  antara  predator,  prey rentan  dan  prey  terinfeksi  dengan  asumsi  pertumbuhan  predator  dan  prey  mengikuti  pertumbuhan logistik. Model tersebut berupa sistem persamaan diferensial non linier yang dapat diselesaikan secara kualitatif dengan menentukan kesetabilan dari titik ekuilibriumnya. Selanjutnya, perilaku dinamik model predator prey dengan prey terinfeksi dapat diketahui melalui analisis kesetabilan titik ekuilibriumnya.
Berikut akan dibahas mengenai pembentukan model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida. Jumlah individu pada populasi prey rentan pada saat waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑋(𝑡) , jumlah individu pada populasi prey terinfeksi pada saat waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝐼(𝑡) , jumlah individu pada populasi predator pada saat waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑌(𝑡) .
Kemudian diasumsikan bahwa populasi predator dan populasi prey bersifat tertutup, artinya tidak ada predator dan prey yang melakukan migrasi. Model predator prey yang dikaji terdiri dari predator, prey rentan dan prey terinfeksi. Pertumbuhan predator dan prey mengikuti pertumbuhan logistik.
Selanjutnya, diasumsikan bahwa apabila tidak ada interaksi antara pemangsa dan mangsa, maka pertumbuhan  mangsa  mengikuti  model  logistik  yaitu  dengan  adanya  keterbatasan  daya  dukung lingkungan sebesar 𝐾 dan tingkat pertumbuhan intrinsik 𝑟 akibatnya mangsa akan bertambah dengan laju 𝑟𝑋 (1 − 𝑋 𝐾 ) . Kemudian perpidndahan populasi dari 𝑋 ke 𝐼 mengurangi laju pertumbuhan 𝑋 . hal ini dipengaruhi laju interaksi antara hama yang rentan dan terinfeksi dengan peluang transmisi hama
terinfeksi ke hama yang rentan 𝛽 dan kepadatan populasi 𝑋 dengan hama terinfeksi menghasilkan persamaan 𝛽𝑋𝐼 . Pemangsaan pemangsa pada kelas mangsa menggunakan respon Holling tipe II yaitu 𝑔(𝑥) .
Ketika  terdapat  interaksi  antara  predator  dan  mangsa  sebesar 𝑔 1 (𝑥) ,  pertumbuhan  mangsa  akan berkurang sebesar 𝑔 1 (𝑥)𝑌 yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon Holling tipe II dengan populasi pemangsa 𝑌 yaitu 𝑔 1 (𝑥) = 𝜌 1 𝑋 𝑎+𝑋 dengan 𝜌 1 adalah tingkat pemangsaan oleh predator, sehingga 𝑔 1 (𝑥)𝑌 = 𝜌 1 𝑋𝑌 (𝑎+𝑋) .
Banyaknya kematian 𝑋 diakibatkan oleh pestisida 𝑢 yaitu 𝑢𝑋 . Dengan demikian, laju perubahan jumlah prey rentan terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai
𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝑟𝑋 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝑋𝐼 − 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢𝑋 (6)
Kelas  prey  terinfeksi,  selama  selang  waktu 𝑡 ,  laju  perubahannya  dipengaruhi  oleh  perpindahan populasi 𝑋 menjadi 𝐼 , yaitu 𝛽𝑋𝐼 . Banyaknya kematian alami 𝐼 yaitu 𝑚𝐼 yang merupakan perkalian antara  laju  kematian  alami  hama m dengan  kepadatan  hama  terinfeksi 𝐼 .  kemudian  banyaknya kematian I diakibatkan oleh  pestisida u yaitu uI. Kemudian berkurangnya populasi hama yang terinfeksi akibat pemangsaan predator 𝑌 pada kelas hama terinfeksi 𝐼 pada pemangsaan ini proses pemangsaan menggunakan respon holling tipe 1 yaitu 𝑔 1 (𝐼)𝑌 yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon holling  tipe  1  dengan  kepadatan  predator 𝑌 dengan 𝑔 1 (𝐼) = 𝜇 1 𝐼 .  Dari  uraian  tersebut,  diperoleh persamaan laju perubahan populasi hama kelas terinfeksi menjadi
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑋𝐼 − 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑚 + 𝑢)𝐼 (7)
Kemudian,  apabila  tidak  ada  hama  maka  terjadi  penurunan  populasi  predator  dengan  tingkat kematian alami sebesar 𝜌 tetapi apabila terdapat hama rentan maka terjadi interaksi antara predator dan prey rentan sebesar 𝛾 1 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 . Sedangkan apabila terdapat hama rentan maka terjadi interaksi antara predator  dan prey terinfeksi yaitu 𝛾 2 𝜇 1 𝐼𝑌 . Banyaknya kematian 𝑌 diakibatkan oleh pestisida 𝑢 yaitu 𝑢𝑌 . Dengan demikian, laju perubahan jumlah predator terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑝 + 𝑢)𝑌 (8)
Berdasarkan Persamaan (6), (7), dan (8) diperoleh model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida yang berupa sistem persamaan diferensial non linier sebagai berikut: 𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝑟𝑋 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝑋𝐼 − 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢𝑋
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑋𝐼 − 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑚 + 𝑢)𝐼 (9)
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑝 + 𝑢)𝑌
dengan syarat awal 𝑋(0) = 𝑋 0 , 𝐼(0) = 𝐼 0 , 𝑌(0) = 𝑌 0
Model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida berupa sistem persamaan diferensial nonlinier. Penyelesaian kualitatif Sistem (9) dengan cara melihat perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium untuk model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida pada Sistem (9) diperoleh jika 𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 0 .
Jika 𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 0 , maka
𝑟𝑋 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝑋𝐼 − 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢𝑋 = 0
𝑋 [𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝜌 1 𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢] = 0
diperoleh 0 X  (10)
atau
𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝜌 1 𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢 = 0 (11)
Kemudian, jika 0 dI dt  , maka
𝛽𝑋𝐼 − 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑚 + 𝑢)𝐼 = 0 𝐼[𝛽𝑋 − 𝜇 1 𝑌 − (𝑚 + 𝑢)] = 0
diperoleh 0 I  (12)
atau 𝛽𝑋 − 𝜇 1 𝑌 − (𝑚 + 𝑢) = 0 (13)
Kemudian, jika
0 dY dt  , maka
𝛾 1 𝜌 1 𝑋𝑌 𝑎 + 𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼𝑌 − (𝑝 + 𝑢)𝑌 = 0 𝑌 [ 𝛾 1 𝜌 1 𝑋 𝑎 + 𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼 − (𝑝 + 𝑢)] = 0
diperoleh 0 Y  (14)
atau 𝛾 1 𝜌 1 𝑋 𝑎+𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼 − (𝑝 + 𝑢) = 0 (15)
Berdasarkan uraian tersebut, dari Persamaan (10), (12), dan (14) diperoleh titik ekuilibrium yaitu 𝑇𝐸 1 = (0,0,0) .  Kemudian  dari  Persamaan  (11),  (12),  dan  (14)  diperoleh  titik  ekuilibrium 𝑇𝐸 2 = (𝑋 ∗ , 0,0) . Kemudian Persamaan (12), dan (14) disubstitusikan ke Persamaan (11) yaitu 𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝜌
1 𝑌 𝑎+𝑋 − 𝑢 = 0
𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽(0) − 𝜌 1 (0) 𝑎+𝑋 − 𝑢 = 0
𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) = 𝑢 (1 − 𝑋 𝐾 ) = 𝑢 𝑟 1 − 𝑢 𝑟 = 𝑋 𝐾
𝑋 = 𝐾 − 𝐾𝑢 𝑟
𝑋 = 𝐾𝑟−𝐾𝑢 𝑟
Jadi, diperoleh . 𝑇𝐸 2 = ( 𝐾𝑟−𝐾𝑢 𝑟 ,0,0)
Selanjutnya,  dari  Persamaan  (11),  (13),  dan  (14)  diperoleh  titik  ekuilibrium 𝑇𝐸 3 = (𝑋 ∗ , 𝐼 ∗ , 0) . Persamaan (14) disubstitusikan ke Persamaan (11) dan (13) yaitu:
𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝜌 1 (0) 𝑎+𝑋 − 𝑢 = 0
𝑟 (1 − 𝑋 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝑢 = 0 (16)
dan 𝛽𝑋 − 𝜇 1 (0) − (𝑚 + 𝑢) = 0 𝛽𝑋 = (𝑚 + 𝑢)
𝑋 = (𝑚+𝑢) 𝛽 (17)
Kemudian persamaan (17) disubstitusikan ke persamaan (16) yaitu:
𝑟 (1 − (𝑚+𝑢) 𝛽 𝐾 ) − 𝛽𝐼 − 𝑢 = 0
𝛽𝐼 = 𝑟 − (𝑚+𝑢)𝑟 𝛽𝐾 − 𝑢 𝐼 = 𝑟− (𝑚+𝑢)𝑟 𝛽𝐾 −𝑢
𝛽
Jadi diperoleh 𝑇𝐸 3 = ( (𝑚+𝑢) 𝛽 , 𝑟− (𝑚+𝑢)𝑟 𝛽𝐾 −𝑢 𝛽 , 0) .
Selanjutnya, dari Persamaan (11), (12), dan (15) diperoleh titik ekuilibrium 𝑇𝐸 4 = (𝑋 ∗ , 0, 𝑌 ∗ ) .
Kemudian, dari Persamaan (11), (13), dan (15) diperoleh titik ekuilibrium 𝑇𝐸 5 = (𝑋 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑌 ∗ ) .
Teorema 1. Jika r u  , maka titik ekuilibrium 𝑇𝐸 1 = (0,0,0) bersifat stabil asimtotik lokal. Teorema  2.  Jika 𝑢 < 𝑟, 𝛽𝑘𝑟 < 𝑟𝑚 + 𝑟𝑢 + 𝛽𝑘𝑢 dan 𝛾 1 𝜌 1 𝑘𝑟 + (𝑝 + 𝑢)𝑘𝑢 < (𝑝 + 𝑢)(𝑟𝑎 + 𝑘𝑟) + 𝛾 1 𝜌 1 𝑘𝑢 maka titik ekuilibrium 𝑇𝐸 2 = ( 𝐾𝑟−𝐾𝑢 𝑟 ,0,0) bersifat stabil asimtotik lokal.
Teorema  3.  Jika 𝑓 33 < 0, 𝑓 11 + 𝑓 22 < 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑓 11 𝑓 22 − 𝑓 12 𝑓 21 > 0 maka  titik  ekuilibrium 𝑇𝐸 3 = ( (𝑚+𝑢) 𝛽 , 𝑟− (𝑚+𝑢)𝑟 𝛽𝐾 −𝑢 𝛽 , 0) .  bersifat  stabil  asimtotik  lokal,  dengan 𝑓 11 = 𝑟 − 2𝑟𝑋 𝐾 − 𝛽𝐼 − 𝑢, 𝑓 12 =
−𝛽𝑋, 𝑓 21 = 𝛽𝐼, 𝑓 22 = 𝛽𝑋 − (𝑚 + 𝑢), 𝑑𝑎𝑛 𝑓 33 = 𝛾 1 𝜌 1 𝑋 𝑎+𝑋 − 𝛾 2 𝜇 1 𝐼 − (𝑝 + 𝑢)
Simulasi  model  dilakukan  dengan  menggunakan  Software  Maple.  Simulasi  ini  bertujuan  untuk melengkapi hasil-hasil yang diperoleh secara analisis pada bab sebelumnya. Pada bagian ini dilakukan simulasi  titik  ekuilibrium  untuk  mengetahui  perilaku  dinamik  penyelesaian  Sistem  (9)  dalam  jangka waktu yang lama di sekitar titik ekuilibrium tersebut. Dalam simulasi model matematika predator dan satu  prey  terinfeksi  dengan  kontrol  pestisida  ini  digunakan  wereng  batang  coklat  sebagai  prey, sedangkan kepik mirid sebagai predator. Simulasi model matematika predator prey ini pada Sistem (9) menggunakan nilai parameter berdasarkan data dari dinas pertanian, pangan, perikanan dan kelautan kabupaten Bantul, [1], [7], dan [11]. Adapun nilai-nilai parameter yang digunakan adalah:
𝑟 = 1 , 𝐾 = 10 , 𝑚 = 0,1 , 𝑝 = 0,3 , 𝑢  =  0,5 , 0, 7   , 1 0, 5   , 1 0,15   2 0, 2   1 0, 2   , X(0)=4, I(0)=3, dan Y(0)=3
Apabila nilai parameter tersebut disubstitusikan ke model tersebut, maka diperoleh gambar berikut.
Gambar 1. Deret waktu dari perilaku Sistem (4) menggunakan data.
: Prey rentan X : Prey Terinfeksi I
: Predator Y
Pada Gambar 1 diberikan nilai awal, terlihat pada waktu t tertentu bahwa solusi konvergen ke TE3. Dalam  artian  ketika  diberikan  nilai  awal,  pada  waktu  awal  populasi  mangsa  rentan  dan  terinfeksi turun  kemudian  naik  sedikit  menuju  nilai  tertentu  dan  populasi  predator  turun  sampai  mendekati punah.

## Kesimpulan
Dalam penelitian ini diberikan model matematika predator dan prey terinfeksi dengan kontrol pestisida. Sistem (9) memiliki delapan titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium Sistem (9) dianalisis hanya kestabilan lokal dengan metode linierisasi. Jika tingkat pertumbuhan intrinsik hama kurang dari tingkat kematian akibat pemberian pestsida maka predator dan prey akan punah dan bersifat stabil asimtotik lokal. tingkat pertumbuhan intrinsik hama lebih dari tingkat kematian akibat pemberian pestisida maka hanya hama rentan yang  akan tetap hidup sedangkan yang  lainnya akan  punah dan  bersifat stabil asimtotik lokal. Jika data dari dinas kabupaten bantul diterapkan pada model tersebut maka hasilnya pada waktu tertentu predator akan mati dan prey tetap hidup mengikuti TE3.

## Ucapan Terimakasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dinas Pertanian Pangan Perikanan dan Kelautan Kabupaten Bantul yang telah membantu pengambilan data penelitian ini dan LP3M UST yang telah membiayai penelitian ini, serta semua pihak yang telah pberkontribusi pada penelitian ini.

## Referensi
[1] Alebraheem, J dan Abu-Hasan, Y., 2012, Persistence of predators in a two predators-one prey model with non periodic solution,
Applied Mathematical Sciences, Vol. 6, 2012, no. 19, 943 – 956
[2] Antara. 2016. Wereng Pusokan Lima Hektare Sawah, diakses tanggal 18 februari 2018 dari https://www.republika.co.id/berita/nasional/daerah/16/02/17/o2ormp219-wereng-pusokan-lima-hektare-sawah-di-bantul
[3] Arif, A., 2015, Pengaruh Bahan Kimia Terhadap Penggunaan Pestisida Lingkungan, Jurnal Farmasi, UIN Alauddin 3(4)
[4] Baehaki SE, Mejaya, IMJ, dan Sembiring, H, 2013, Implementasi pengendalian hama terpadu dalam pengelolaan terpadu di indonesia. PENGEMBANGAN INOVASI PERTANIAN 6(4),198-209
[5] Baehaki, SE dan Mejaya, IMJ, 2014, Wereng Cokelat sebagai Hama Global Bernilai Ekonomi Tinggi dan Strategi Pengendaliannya. IPTEK TANAMAN PANGAN, 9(1), 1– 12.
[6] Indiati, SW. dan Marwoto, 2017, Penerapan Pengendalian Hama Terpadu (PHT) pada Tanaman, 15(2):87-100
[7] Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012, Dynamics of Pest and its Predator Model  with  Disease  in  the  Pest  and  Optimal Use  of  Pesticide,  Fever Epidemic Through the use, American Journal of Theoretical Biology 310: 187-198.
[8] Karim, IA., 2018, dinamika model predator hama wereng batang cokelat (nilaparvata lugens) pada tanaman padi dengan penerapan pestisida. Faktor Exacta 11 (1): 94-102
[9] Olsder, G. J., 1994, Mathematical Systems Theory, Delftse Uitgevers Maatschappij CW Delft, Netherland.
[10] Sianipar, MS, 2015, Populasi Hama Wereng Batang Coklat (Nilaparvata Lugens Stal.) Dan Keragaman Serangga Predatornya Pada Padi  Sawah  Lahan  Dataran  Tinggi  Di  Desa  Panyocokan,  Kecamatan  Ciwidey,  Kabupaten  Bandung,  Jurnal  Agrikultura  Unpad 26(2):111-121
[11] Sinha, S., Isra, O. P., dan Dhar, J., “ Modelling a predator-prey system with infected prey in polluted environment,” Elsevier Inc, 2010, 1861-1872.