## RING GOLDIE PRIMA DAN SUATU ORDER DARI SUATU RING HASIL BAGI

## Novita Dahoklory
Universitas Gadjah Mada Bulaksumur, Caturtunggal, Kode Pos: 55281, Yogyakarta e-mail: novitadahoklory93@gmail.com

## Abstrak
Diberikan suatu ring hasil bagi . Suatu subring dalam ring hasil bagi disebut sebagai order jika merupakan ring hasil bagi dari oleh himpunan semua elemen reguler di dalam . Di lain pihak, suatu ring disebut ring Goldie prima apabila merupakan ring Goldie kanan dan ring Goldie prima serta ring prima.  Dalam  penelitian  ini  akan  diberikan  beberapa  sifat  yang  berlaku  dalam  ring  Goldie  prima. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat tersebut, akan diberikan hubungan antara ring Goldie prima dan order dalam suatu ring hasil bagi. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa jika merupakan ring Goldie prima maka merupakan order dalam suatu ring Artin sederhana.
Kata Kunci : Ring Goldie prima, ring hasil bagi, order.

## TITLE (A PRIME GOLDIE RING AND AN ORDER OF A QUOTIENT RING)

## Abstract
Let be  a  quotient  ring.  A  subring of is  called  an  order  if is  its  quotient  ring  by  the  set  of  all reguler element in . On the other side, a ring is called prime Goldie if is both right Goldie and  left Goldie ring and  is a prime ring. In this research,  we  will  discuss  some properties of prime Goldie ring. Morever,  using  those  properties,  we  will  give  the  relation  between  prime  Goldie  ring  and  an  order  in  a quotient  ring.  This  research  will  show  that  if is  a  prime  Goldie  ring  then is  an  order  of  a  simple Artinian ring.
Keywords: Prime Goldie ring, quotient ring, order.

## 1. Pendahuluan
1.1. Latar Belakang
Hubungan  antara dan memotivasi pembentukan  lapangan  hasil  bagi  dari  suatu daerah  integral  dengan  memanfaatkan  himpunan semua  elemen  yang  bukan  pembagi  nol  atau elemen reguler di yaitu yang  merupakan himpunan multiplikatif pada .  Diketahui bahwa himpunan  semua  elemen  reguler  pada  suatu  ring (dinotasikan  dengan )  merupakan himpunan  multiplikatif  di  ring  tersebut.  Hal  ini kemudian memotivasi pembentukan pembentukan ring  hasil  bagi  dari  suatu  ring  komutatif  dengan elemen  satuan dengan  memanfaatkan  sebarang himpunan  multiplikatif di .  Namun  apabila
diperumum pada ring dengan elemen satuan yang tidak  harus  komutatif,  eksistensi  ring  hasil  bagi dari oleh belum  tentu  terjamin.  Hal  ini kemudian  memunculkan  definisi  ring  hasil  bagi kanan  (kiri)  dari oleh Dalam  bukunya Lam,.dkk.(1991)  memberikan  syarat  perlu  dan cukup agar ring hasil bagi dari oleh ada yaitu dengan menambah syarat pada himpunan
Selanjutnya ring hasil bagi kanan (kiri) dari oleh (jika ada) disebut sebagai ring hasil bagi  klasik  yang  kemudian  dinotasikan  sebagai
.  Dalam  hal merupakan  integral,  ring ada  dan merupakan  lapangan.  Lebih khusus,  apabila merupakan  lapangan  maka merupakan  ring sendiri.  Hal  ini memunculkan  kejadian  khusus  dimana  ring  hasil
bagi  dari  suatu  ring  merupakan  ring  itu  sendiri. Syarat  yang  harus  dipenuhi  untuk  memenuhi  hal tersebut  adalah  setiap  elemen  reguler  di  ring merupakan  elemen  unit.  Hal  ini  kemudian memotivasi  definisi  dari  ring  hasil  bagi  yaitu suatu  ring  dengan  setiap  elemen  regulernya merupakan elemen unit. Diberikan suatu ring hasil bagi .  Diketahui  bahwa  ada  subring  yaitu sendiri  sedemikian  sehingga merupakan  hasil bagi  yang  kemudian  memotivasi  definisi  order. Suatu  subring di ring  hasil  bagi  disebut sebagai order dalam apabila merupakan ring hasil bagi dari oleh .
Dalam  teori  ring,  dikenal  juga  ring  Goldie prima  yaitu  ring  Goldie  kiri  dan  Goldie  kanan serta bersifat prima. Dalam bukunya McConnell.,dkk.  (2001)  membuktikan  bahwa apabila suatu ring Goldie prima maka eksistensi merupakan  ring  hasil  bagi  dari oleh terjamin.  Dalam  penelitian  ini  dijelaskan  struktur order beserta sifat yang berlaku pada order dalam suatu  ring  hasil  bagi.  Selanjutnya  akan  diberikan sifat  yang  berlaku  pada  ring  Goldie  prima.  Lebih lanjut,  akan  diberikan  hubungan  ring  Goldie prima dan order dalam ring hasil bagi.
Pada  penelitian  ini,  jika  tidak  ada keterangan yang lain maka yang dimaksud dengan ring  adalah  ring  dengan  elemen  satuan.  Pada peneltian ini tidak memuat suatu kebaruan namun menambahkan  beberapa  contoh  dan  memperjelas bukti  dalam  beberapa  penelitian  yang  menjadi acuan.

## 1.2. Tinjauan Pustaka
Teori  order  merupakan  salah  satu  topik  aljabar dalam  teori  ring  yang  termotivasi  dari  hubungan antara  suatu  daerah  integral  dan  lapangan  hasil bagi.  Suatu  ring dalam  suatu  ring disebut sebagai order apabila merupakan ring hasil bagi dari oleh  himpunan  semua  elemen  reguler  di dalam [6]
Dasar  teori  mengenai  ring  yaitu  ring  prima,  ring semiprima,  ring  sederhana,  ring  semisederhana ring  Artin  dan  ring  Noether  mengacu  pada  [8] serta  elemen  reguler  dan  himpunan  pengenol merujuk pada [9]. Selanjutnya untuk menjelaskan definisi  ring  Goldie  diperlukan  beberapa  teori
pendukung  yaitu  modul  seragam  dan  submodul esensial  merujuk  pada  [6].  Lebih  lanjut  untuk pendefinisian order diperlukan juga teori penunjang seperti ring hasil bagi yang merupakan perumuman  dari  lapangan  hasil  bagi  merujuk pada  [4]  dan  [3],  dan  [1].  Hubungan  antara definisi  serta  hubungan  ring  Goldie  prima  dan order  dalam  suatu  ring  hasil  bagi  merujuk  pada [6], [2], dan [5].

## 1.3. Landasan Teori
Definisi 1[8] Diberikan suatu ring .
i. Suatu  ideal di  ring disebut ideal prima jika  untuk  setiap  ideal di dengan berakibat atau
ii. Suatu  ideal di  ring disebut ideal semiprima jika untuk setiap ideal di dengan berakibat . Definisi 2 [8] i. Suatu ring disebut ring prima jika ideal nol di merupakan ideal prima.
ii. Suatu ring disebut ring semiprima jika ideal nol di merupakan ideal semiprima.
Definisi 3 [9] Diberikan  ring dan dengan . Didefinisikan 1. , yang  disebut  sebagai pengenol  kiri (left annihilator) 2. , yang  disebut  sebagai pengenol  kanan (right annihilator)
3.
yaitu pengenol kiri sekaligus pengenol kanan,  yang  disebut  sebagai pengenol dari .
Untuk  memudahkan  penulisan  untuk
suatu  ring ,
cukup  dituliskan  dengan
.  Begitu  juga  dengan cukup
dituliskan dengan

## Proposisi 1 [9]
Diberikan  ring .  Untuk  sebarang  himpunan  tak kosong di berlaku merupakan ideal kiri di dan merupakan ideal kanan di
.
Definisi 4 [9] Diberikan suatu ring 1. Suatu  elemen disebut reguler kanan di jika bukan  pembagi  nol
kanan  yaitu  untuk  setiap
jika
maka 2. Suatu  elemen disebut reguler  kiri di jika bukan pembagi  nol  kiri  yaitu  untuk setiap jika maka 3. Suatu  elemen disebut reguler di jika reguler kanan sekaligus  reguler  kiri.  Himpunan semua  elemen  reguler  di dinotasikan dengan Ditinjau  pada  Definisi  1.1.  Jika merupakan  elemen  reguler  di maka  berlaku
Definisi 5 [8]
1. Ring disebut ring  Noether
kanan jika  untuk  sebarang  rantai naik  ideal  kanan dari , terdapat sedemikian  hingga untuk  sebarang  bilangan  asli berlaku . 2. Ring disebut ring Artin kanan jika  untuk  sebarang  rantai  turun ideal  kanan dari , terdapat sedemikian  hingga untuk  sebarang  bilangan  asli berlaku . Contoh 1 1. Diberikan  ring  .  Diketahui  bahwa sebarang ideal di  dapat dinyatakan dengan untuk  suatu  bilangan
bulat .  Diambil  sebarang  rantai naik  ideal-ideal  di    yaitu . Diperoleh Diperhatikan bahwa merupakan  faktor  pembagi  dari Selanjutnya  misalkan adalah faktor  prima  terkecil  dari .  Dari
sini, didapatkan
Dengan  kata  lain  rantai  naik tersebut  bersifat  stasioner.  Jadi, merupakan ring Noether.
2. Perkalian  langsung  berhingga  dari lapangan yaitu ∏ merupakan ring Artin kanan
sekaligus  ring  Artin  kiri  karena setiap ideal di berbentuk ∏ dengan ideal  di    yaitu dan sendiri.  Oleh  karena  itu  setiap rantai turun di memenuhi kondisi rantai turun.

## Definisi 6 [8]
Diberikan ring .
1. Ring disebut ring  sederhana jika dan tidak  memuat  ideal  non trivial.
2. Ring disebut ring  sederhana  kanan jika dan tidak  memuat  ideal kanan non trivial.
3. Ring disebut ring  sederhana  kiri jika dan tidak memuat ideal kiri non trivial.
Berdasarkan  definisi  di  atas,  jelas  bahwa  setiap lapangan merupakan  ring  sederhana.  Hal  ini disebabkan oleh setiap ideal tak nol di memuat elemen unit.
Definisi 7 [8]
Diberikan ring .
1.  Suatu ideal kiri di disebut ideal minimal  kiri jika dan  tidak memuat ideal kiri non trivial di
2.    Suatu  ideal  kanan di disebut ideal  minimal  kanan jika dan  tidak  memuat  ideal  kanan  non trivial di
3.    Suatu  ideal di disebut ideal minimal jika dan  tidak memuat ideal non trivial di Contoh 2 Diberikan ring {( ) } Diperhatikan bahwa {( )   ( )}
merupakan ideal kanan di Dari sini, didapatkan tidak memuat ideal kanan selain ideal nol. Oleh
karena itu, dapat disimpulkan bahwa merupakan ideal minimal kanan di ring
Definisi 8 [8]
Suatu ring disebut
1. Ring semisederhana jika merupakan jumlahan langsung ideal-ideal minimal;
2. Ring semisederhana kanan jika merupakan jumlahan langsung ideal-ideal minimal kanan;
3. Ring  semisederhana  kiri jika merupakan jumlahan langsung
ideal-ideal minimal kiri.

## Contoh 3
Diberikan  ring .  Diketahui  bahwa  ideal  di
dalam adalah , ̅   ̅     ̅   ̅   ̅ ,  dan . Diperhatikan bahwa ̅   ̅ dan ̅   ̅   ̅
merupakan  ideal  minimal  di
.  Lebih  lanjut,
̅   ̅   ̅      ̅   ̅ dan ̅   ̅   ̅      ̅   ̅ Jadi, merupakan jumlahan langsung dari ideal- ideal minimal. Oleh karena itu, dapat disimpulkan merupakan ring semisederhana.

## Lemma 1 [3]
Jika ring  semisederhana  kanan  maka merupakan  ring  Noether  kanan  dan  ring  Artin kanan.
Definisi 9 [6]
Diberikan  suatu -modul  kanan .  Suatu -
submodul  kanan dari dikatakan esensial di apabila  untuk  sebarang -submodul  tak  nol dari berlaku .
Definisi di atas analog untuk -modul kiri .  Dari  definisi  tersebut,  jelas  bahwa merupakan -submodul  esensial  atas  dirinya sendiri.  Berikut  diberikan  contoh -submodul esensial  lain  dari  suatu -modul  kanan . Diperhatikan  bahwa  jika  suatu  ring dipandang
sebagai -modul kanan atas dirinya sendiri, maka ideal  kanan merupakan  submodul  dari . Selanjutnya,  ideal  kanan yang  merupakan submodul  esensial  di disebut ideal  kanan esensial dan  dinotasikan  sebagai .  Secara
analog,  ideal  kiri yang  merupakan  submodul esensial  di disebut ideal  kiri  esensial dan dinotasikan sebagai . Definisi 10 [6]
Suatu -modul tak nol dikatakan seragam jika setiap  submodul  tak  nol  dari merupakan submodul esensial di .
Diberikan  -modul  .  Modul  tersebut merupakan  -modul  seragam,  karena  untuk  setiap submodul  tak  nol
di    yaitu dan dengan .  Diperhatikan  bahwa dan Akibatnya Jadi,  merupakan modul seragam. Contoh 4 Diberikan  -modul .  Modul  tersebut  bukan merupakan -modul  seragam,  karena  terdapat - submodul dan sedemikian hingga . Lemma 2 [2] Diberikan  suatu modul  kanan .  Jika merupakan  submodul  esensial  di maka  untuk setiap terdapat sedemikian sehingga dan Lemma 3 [6]
Suatu  ring merupakan  ring  semisederhana kanan  jika  dan  hanya  jika tidak  memuat  ideal kanan esensial sejati.

## Definisi 11 [6]
Diberikan suatu ring dengan elemen satuan, dan himpunan  tertutup  secara  multiplikatif di . Diberikan  pula  suatu  ring dengan  elemen satuan. Ring disebut ring hasil bagi kanan dari (oleh ) jika terdapat suatu homomorfisma ring sedemikian hingga berlaku:
1. merupakan unit di , 2. , 3. . Selanjutnya dikatakan bersesuaian dengan sebagai ring hasil bagi kanan.
Definisi 12[6]
Diberikan suatu ring dengan elemen satuan, dan himpunan  tertutup  secara  multiplikatif di . Diberikan  pula  suatu  ring dengan  elemen
satuan. Ring disebut ring hasil bagi kiri dari
(oleh )  jika  terdapat  suatu  homomorfisma  ring
sedemikian hingga berlaku: 1. merupakan unit di , 2. , 3. .
Selanjutnya dikatakan bersesuaian dengan sebagai ring hasil bagi kiri.

## Definisi 13 [6]
Diberikan ring . i. Suatu himpunan tertutup secara
multiplikatif di dikatakan
memenuhi kondisi  Ore  kanan jika untuk  sebarang dan , terdapat dan sedemikian hingga . ii. suatu  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di  ring dikatakan
memenuhi kondisi  Ore  kiri jika untuk  sebarang dan , terdapat dan sedemikian hingga . Definisi 14 [4] Diberikan ring . i. Suatu  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di ring dikatakan reversibel  kanan jika untuk setiap dengan untuk  suatu maka terdapat sedemikian sehingga ii. Suatu  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di ring dikatakan reversibel  kiri jika untuk setiap dengan untuk  suatu maka terdapat sedemikian sehingga Contoh 5 Diberikan  ring dan  himpunan  semua elemen  reguler  di yaitu Diperhatikan bahwa merupakan  himpunan  tertutup secara  multiplikatif  di .  Untuk  setiap
berlaku untuk  setiap Dengan demikian  diperoleh reversibel  kanan.
Secara analog, dapat ditunjukkan reversibel kiri.
Definisi 15 [4]
Diberikan  ring dan  suatu  himpunan tertutup secara multiplikatif di .
i.
Himpunan disebut himpunan penyebut  kanan jika  memenuhi kondisi  Ore  kanan  dan  reversibel kanan. ii. Suatu  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di disebut himpunan  penyebut  kiri jika memenuhi  kondisi  Ore  kiri  dan reversibel kiri.
Teorema 1 [4]
Diberikan  ring dan  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di dengan dan . Ring  hasil bagi  kanan  dari oleh ada jika  dan hanya  jika merupakan  himpunan  penyebut kanan (kiri).
Teorema 2 [6]
Diberikan  ring dan  himpunan  tertutup  secara multiplikatif di dengan dan . Jika ring hasil bagi kanan dan ring hasil bagi kiri dari oleh ada, katakan dan , maka
Jika  diberikan  ring  hasil  bagi  kanan dengan homomorfisma  ring yang  bersesuaian,  maka  untuk  sebarang dan , dinotasikan dan Secara  analog,  untuk  ring  hasil  bagi  kiri , dinotasikan dan . Diperhatikan  bahwa  jika ,  maka  hasil pendefinisian di  atas  akan  sama  dengan
yang dibentuk melalui perkalian ring. Begitu juga untuk ,  hasilnya  akan  sama  dengan  yang
dibentuk  melalui  irisan  dua  buah  himpunan tersebut.
Dari pendefinisian tersebut, akan diberikan hubungan antara ideal-ideal kanan di dengan  ideal-ideal  kanan  di pada  proposisi berikut.

## Proposisi 2 [6]
Diberikan  suatu  ring dan
himpunan penyebut kanan. Misalkan
ring hasil bagi dari oleh . 1. Jika ideal  kanan  di ,  maka ideal  kanan  di dan . 2. Jika ideal  kanan  di ,  maka berlaku: (a) , (b) .

## Proposisi 3 [6]
Diberikan  suatu  ring dan
himpunan  Ore kanan  sedemikian  hingga  setiap  elemen  di merupakan  elemen  reguler  di .  Misalkan terdapat merupakan ring hasil bagi kanan dari oleh dengan ideal  kanan  di dan ideal kanan di berlaku
1. Jika esensial  di ,  maka
esensial di .
2. Jika esensial  di ,  maka esensial di .

## 2. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini akan dibahas ring Goldie prima  dan  order  dalam  suatu  ring.  Selanjutnya akan diberikan hubungan antara ring Goldie prima dan order dalam suatu ring hasil bagi.

## 2.1. Ring Goldie Prima
Pada bagian ini akan dibahas ring Goldie kanan  serta  sifat-sifat  yang  berlaku  di  dalamnya. Secara  analog  juga  diperoleh  sifat-sifat  yang berlaku  di  ring  Goldie  kiri.  Namun  sebelumnya, dibahas  terlebih  dahulu  modul  berdimensi seragam hingga.

## Definisi 16 [6]
Suatu -modul dikatakan berdimensi seragam hingga ( finite  uniform  dimension )  jika  setiap - submodul  tak  nol  di bukan  merupakan  hasil
jumlah  langsung  di  tak  berhingga  banyaknya - submodul tak nol.
Dari  definisi  di  atas,  jelas  bahwa  sebarang submodul  dari  suatu  modul  berdimensi  seragam hingga  pasti  berdimensi  seragam  hingga  pula. Berikut diberikan contoh -modul yang berdimensi seragam hingga dan yang tidak.

## Contoh 6
Diberikan ruang vektor berdimensi hingga atas suatu lapangan . Diketahui bahwa merupakan modul  atas .  Karena berdimensi  hingga
diperoleh
tidak  memuat  submodul  yang merupakan jumlahan  langsung  dari  tak  berhingga banyaknya submodul  tak  nol  di Jadi,
merupakan modul berdimensi seragam hingga.

## Contoh 7
modul tidak  bersifat  seragam,  karena terdapat submodul  tak  nol dan dengan . Diperhatikan bahwa tidak  esensial,  karena  terdapat submodul tak nol sedemikian hingga . Selanjutnya, juga  tidak  esensial,  karena terdapat submodul  tak  nol sedemikian hingga . Apabila  langkah  tersebut  dapat  dilanjutkan  terus- menerus  untuk  setiap .  Dari  sini,  terbentuk suatu submodul dengan .  Akibatnya, sebagai modul tidak berdimensi seragam hingga.
Definisi 17 [6]
i.
Ring disebut ring  Goldie  kanan apabila  ring berdimensi  seragam hingga  sebagai -modul  kanan  dan memenuhi  kondisi  rantai  naik  untuk annihilator kanan, dalam artian bahwa untuk  setiap  rantai  naik  annihilator- annihilator kanan di yaitu dengan terdapat sedemikian  hingga untuk setiap . ii. Ring disebut ring  Goldie  kiri apabila berdimensi seragam hingga sebagai -modul  kiri  dan  memenuhi kondisi  rantai  naik  annihilator  kiri, dalam  artian  bahwa  untuk  setiap
rantai naik annihilator-annihilator kiri di yaitu dengan terdapat sedemikian hingga untuk setiap . iii. Ring disebut ring Goldie apabila merupakan ring Goldie kanan sekaligus ring Goldie kiri.
Contoh 8
Setiap  ring  Noether  kanan  (kiri)  merupakan  ring Goldie  kanan  (kiri).  Jelas  bahwa memenuhi kondisi  rantai  naik  pada  anihilator-anihilator kanan  di Selanjutnya  akan  ditunjukkan
sebagai modul  kanan  berdimensi  seragam hingga.  Diandaikan tidak  berdimensi  seragam hingga,  yang  berarti  terdapat  ideal  kanan  yang merupakan  jumlahan  langsung  dari  tak  hingga banyaknya ideal-ideal kanan tak nol di yaitu
Akibatnya  terbentuk  rantai  naik ideal-ideal  kanan tak nol sebagai berikut
Diperhatikan  bahwa  rantai  di  atas  tidak  bersifat stasioner. Hal ini merupakan kontradiksi karena merupakan  ring  Noether  kanan.  Jadi,  dapat disimpulkan  bahwa merupakan  ring  Goldie kanan.
Lemma 4 [1] Diberikan  ring  Goldie  kanan .  Jika dengan maka Bukti. Diambil  sebarang dengan . Akan  ditunjukkan Andaikan tidak esensial, yang berarti terdapat ideal kanan tak nol di dengan Akan  dibuktikan bahwa merupakan  jumlahan langsung  di Pertama-tama  akan  dibuktikan untuk  setiap dengan dan berlaku Dengan menggunakan fakta bahwa , didapatkan Akibatnya dan Dari sini, didapatkan dan Dengan  langkah  yang  sama  dapat ditunjukkan Diambil sebarang ∑ untuk  setiap . Jadi, ∑ Kemudian dengan pengurutan kembali didapatkan dengan untuk suatu dan Dengan  menggunakan fakta  sebelumnya  diperoleh Akibatnya ∑ Jadi,  dapat dibentuk jumlahan langsung
Hal  ini  mengakibatkan  kontradiksi  karena sebagai modul  kanan  berdimensi  seragam hingga. Jadi, haruslah
Lemma 5 [1]
Diberikan  ring .  Himpunan ,  dengan
dalam merupakan ideal di .
Bukti.

## Diketahui bahwa
Jelas  bahwa ,  karena dan merupakan  ideal  kanan  esensial.  Akibatnya .  Selanjutnya  diambil  sebarang . Jadi, . Diperhatikan bahwa Jadi, dan Kemudian,  diambil  sebarang dan Jadi, Akan ditunjukkan .  Dalam  hal  ini  akan dibuktikan Andaikan bukan  merupakan  ideal  kanan  esensial  di . Artinya,  terdapat  ideal  kanan  tak  nol di
sedemikian sehingga Akibatnya  untuk  setiap dengan berlaku dan Jadi,  diperoleh merupakan  ideal  kanan  tak  nol  di Dengan mengingat  bahwa ,  didapatkan Misalkan dengan dan untuk suatu . Dari sini, diperoleh , sehingga Hal ini mengakibatkan kontradiksi karena .  Oleh  karena  itu haruslah Dengan  demikian diperoleh Lebih  lanjut  akan  ditunjukkan merupakan  ideal  kiri.  Untuk  setiap dan .  Jelas  bahwa dan Hal  ini  mengakibatkan dan Jadi,  terbukti merupakan ideal di Ideal di ring disebut sebagai ideal singular dari .  Lebih  lanjut  akan  diberikan sifat yang berlaku pada ideal singular di suatu ring Goldie kanan sebagai berikut.

## Lemma 6 [1]
Jika  ring merupakan  ring  Goldie  kanan  maka
merupakan ideal nilpoten. Bukti. Tulis Diperhatikan bahwa
Dengan  mengingat  bahwa merupakan  ring
Goldie  kanan,  yang  berarti  terdapat sedemikian  sehingga untuk  setiap Akan  dibuktikan  bahwa Andaikan .  Artinya,  terdapat sedemikian  sehingga Dibentuk koleksi ideal kanan
Mengingat memenuhi  rantai  naik  pada annihilator  kanan,  yang  berarti  terdapat  elemen maksimal  di .  Katakan merupakan
elemen  maksimal  di untuk  suatu dan .  Diperhatikan  juga  bahwa  untuk  setiap berlaku Jadi, .  Artinya,  terdapat dengan Dari sini, didapatkan dan tetapi .  Hal  ini mengakibatkan .
Kontradiksi dengan pengandaian merupakan  elemen  maksimal  di Jadi,  haruslah
.  Dengan  kata  lain, merupakan  ideal nilpoten.
Suatu ring dikatakan ring Goldie kanan semiprima  jika merupakan  ring  Goldie  kanan dan merupakan  ring  semiprima.  Selanjutnya akan  diberikan  sifat  yang  berlaku  dalam  ring Goldie semiprima.

## Lemma 7 [2]
Jika merupakan  ring  Goldie  kanan semiprima maka memenuhi kondisi rantai turun untuk anihilator kanan di
Bukti. Diambil  sebarang  anihilator  kanan  di yaitu dan untuk suatu dengan Akan ditunjukkan terlebih dahulu apabila maka Diambil  sebarang .  Berdasarkan Lemma  2,  terdapat dengan Jadi, dan Mengingat merupakan  ring  Goldie  semiprima, menurut  Lemma  6  didapatkan dan Dari sini, didapatkan Terbukti, Diperhatikan  bahwa  jika maka terdapat  suatu  ideal  kanan  tak  nol di sedemikian  sehingga .  Dari  sini diperoleh Proses  berlanjut  apabila , yaitu terdapat ideal kanan tak nol di sedemikian  sehingga Diperoleh  jumlahan  langsung .
Karena merupakan  ring  Goldie,  proses berlangsung hingga langkah ke- dengan
Selanjutnya  akan  dibuktian memenuhi kondisi  rantai  turun  untuk  anihilator  kanan  di Andaikan tidak  memenuhi  kondisi  rantai  turun untuk  anihilator  kanan  di yaitu  terdapat  rantai turun untuk anihilator kanan di sebagai berikut dengan dengan Didapatkan , ’,...,
Didapatkan jumlahan langsung . Hal ini
mengakibatkan  kontradiksi  karena  ring  Goldie kanan. Terbukti, memenuhi kondisi rantai turun untuk anihilator kanan di

## Lemma 8 [6]
Jika merupakan  ring  Goldie  kanan semiprima,  maka  setiap  ideal  kanan  tak  nol  di bukan merupakan ideal nil kanan.
Bukti. Akan dibuktikan setiap ideal kanan tak nol bukan  merupakan  ideal  nil  kanan.  Andaikan terdapat  ideal  kanan  tak  nol di yang merupakan  ideal  nil  kanan.  Misalkan
dengan Dibentuk koleksi ideal-ideal kanan
Dengan  menggunakan  fakta  bahwa memenuhi kondisi rantai naik anihilator kanan, didapatkan memuat  elemen  maksimal.  Misalkan elemen maksimal dari
Diambil sebarang
berlaku
.  Karena merupakan  ideal  nil kanan,  terdapat sedemikian  sehingga . Akibatnya Artinya, merupakan  elemen  nilpoten. Misalkan bilangan  positif  terkecil  sedemikian hingga dan Diperhatikan bahwa Dengan  mengingat  bahwa elemen maksimal dari diperoleh . Diperhatikan juga bahwa
. Disimpulkan , sehingga berlaku Karena  berlaku  untuk  setiap ,  diperoleh .  Mengingat merupakan  ring semiprima, diperoleh . Kontradiksi dengan pengandaian Terbukti, bukan merupakan ideal nil kanan.

## Lemma 9 [4]
Diberikan ring Goldie kanan semiprima
dan .  Jika ideal  kanan  tak  nol  di maka
terdapat elemen tak nol dengan
dan .
Bukti. Diambil  sebarang  ideal  kanan  tak  nol di .  Menurut  Lemma  10  diperoleh bukan  ideal nil. Artinya, terdapat
yang bukan merupakan elemen nilpoten yaitu untuk setiap berlaku . Diperhatikan bahwa Mengingat merupakan  ring  Goldie  kanan, berarti terdapat sedemikian hingga untuk setiap . Selanjutnya untuk berlaku . Diambil sebarang dengan . Didapatkan . Akibatnya dan .  Jadi, dapat disimpulkan bahwa .
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa dalam ring Goldie kanan semiprima berlaku suatu elemen  reguler  satu  sisi  merupakan  elemen reguler.
Proposisi 4 [4]
Diketahui merupakan  ring  Goldie  kanan semiprima.  Jika maka . Bukti. Diketahui .  Berdasarkan Lemma  4  diperoleh .  Diambil  sebarang .  Diperhatikan  bahwa , yang  berarti .  Menurut  Lemma  6, didapatkan merupakan  ideal  nilpoten. Karena merupakan  ring  semiprima,  diperoleh .  Dari  sini,  didapatkan dan
Terbukti, merupakan  elemen reguler.
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa setiap  ideal  kanan  esensial  dalam  suatu  ring Goldie semiprima memuat elemen reguler.

## Lemma 10 [6]
Diberikan  ring  Goldie  kanan  semiprima
.  Jika maka memuat  suatu  elemen
reguler.
Bukti. Diambil  sebarang .  Karena merupakan ring Goldie kanan semiprima,
berdasarkan Lemma 11 terdapat sedemikian  hingga dan .  Jika , maka diperoleh . Menurut Proposisi  4  dapat  dipilih sebagai  elemen reguler.  Jika maka  dengan memanfaatkan  Lemma  11  diperoleh  terdapat dengan dan .  Proses dilanjutkan  apabila ,  yaitu  terdapat dengan dan .  Dengan  cara  yang  sama  pada  langkah ke-n diperoleh barisan diperoleh barisan dengan untuk setiap . Selanjutnya dengan menggunakan induksi
akan  dibuktikan  bahwa  pada  setiap  langkah  ke- didapatkan jumlahan langsung .  Untuk ,  jelas  bahwa merupakan  jumlahan  langsung.  Misalkan  untuk berlaku merupakan jumlahan  langsung.  Akan  dibuktikan  untuk berlaku merupakan  jumlahan  langsung.  Diambil  sebarang Artinya Dengan mengingat fakta bahwa , berlaku . Didapatkan dan .  Dari sini, diperoleh Diperhatikan juga bahwa ,  sehingga  berlaku .  Artinya, dan Dari sini, diperoleh
Proses  yang  sama  dilakukan  hingga  didapatkan
. Jadi,
Kemudian akan ditunjukkan bahwa
untuk  setiap Diambil  sebarang ∑ . Misalkan untuk suatu Jadi, dan Akibatnya Karena diasumsikan merupakan jumlahan langsung,  diperoleh Jadi,  dapat
disimpulkan merupakan jumlahan langsung.
Dengan  demikian  untuk  setiap  langkah ke- , didapatkan jumlahan langsung
dengan untuk  setiap
.  Dengan  menggunakan  fakta  bahwa merupakan  ring  Goldie  prima  kanan,  proses  akan berlangsung  sampai  langkah  ke dengan
Selanjutnya  dipilih Akan  dibuktikan merupakan  elemen  reguler  di Diambil  sebarang ,  yang  berarti . Dengan mengalikan pada  kedua  ruas  diperoleh . Karena , diperoleh . Didapatkan dan Kemudian  pada  kedua  ruas dikalikan , didapatkan Karena dan diperoleh . Akibatnya dan .  Dengan  cara  yang sama  dapat  pula  ditunjukkan  bahwa . Jadi, .  Karena ,  diperoleh Mengingat , haruslah .
Menurut  Proposisi  4 diperoleh  bahwa . Jadi, terbukti merupakan  elemen  reguler  dan memuat elemen reguler.
Adapun  sifat  yang  berlaku  pada  ring Goldie  yaitu  ring  Goldie  kanan  sekaligus  ring Goldie kiri sebagai berikut.

## Proposisi 5 [4]
Misalkan merupakan  ring  Goldie  prima  dan . Jika merupakan ideal tak nol di maka memuat elemen reguler.
Bukti. Misalkan merupakan  ideal  tak  nol  di Akan ditunjukkan memuat suatu elemen reguler. Dalam hal ini akan ditunjukkan
, sehingga berdasarkan  Lemma  12  diperoleh memuat elemen reguler. Diambil sebarang ideal kanan di sedemikian  sehingga Diperhatikan bahwa Hal  ini  mengakibatkan Mengingat merupakan ring prima, didapatkan dan . Didapatkan .  Jadi,  diperoleh . Akibatnya memuat elemen reguler.

## 3.2. Ring Hasil Bagi Klasik Dan Order
Definisi 18 [5] Diberikan  ring dan himpunan  semua
elemen  reguler  di .  Ring  hasil  bagi  dari oleh (jika  ada)  disebut  sebagai  ring  hasil  bagi klasik.  Lebih  lanjut,  ring  hasil  bagi  klasik  suatu ring oleh dinotasikan  dengan
[5]. Diketahui  bahwa  jika merupakan  daerah integral  maka merupakan  lapangan  dengan
monomorfisma dari ring ke
Hal tersebut juga  berlaku  apabila  daerah  integral  diperumum menjadi  ring  dengan  elemen  satuan  yang  akan dijelaskan pada Teorema berikut.

## Teorema 3 [6]
Diberikan  suatu  ring dengan  elemen  satuan. Jika ada, maka homomorfisma ring yang bersesuaian bersifat injektif.
Diperhatikan .  Karena himpunan  semua elemen  reguler  di ,  haruslah . Akibatnya, bersifat injektif.
Diberikan  suatu  ring dengan  elemen  satuan.
Misalkan merupakan ring hasil bagi dari oleh Jelas bahwa merupakan subring di . Di sisi  lain, juga  merupakan  subring  dari  dirinya sendiri.  Hal  ini  memunculkan  pertanyaan  syarat apa  yang  diperlukan  agar sendiri  merupakan
ring  hasil  bagi  dari oleh Berikut  syarat cukup  tersebut  akan  diberikan  dalam  Teorema berikut.

## Teorema 4 [6]
Diberikan  suatu  ring dengan  elemen  satuan. Jika setiap elemen di merupakan unit di ,
maka  ring menjadi  ring  hasil  bagi  kanan  dari dirinya sendiri (oleh ). Dipilih fungsi satuan pada . 1. Jelas bahwa merupakan unit di . 2. Jika ,  dapat  dipilih dan sedemikian  hingga . 3. Karena fungsi  satuan,  jelas  bahwa
.
Jadi, merupakan  ring  hasil  bagi  kanan  dari dirinya  sendiri,  dengan  fungsi  identitas  menjadi homomorfisma yang bersesuaian.
Dari  teorema  di  atas,  muncul  definisi berikut.

## Definisi 19 [6]
Suatu ring yang memiliki elemen satuan disebut ring  hasil  bagi jika  semua  elemen  reguler  di merupakan unit di .
Selanjutnya,  jika merupakan  ring  hasil  bagi, jelas terdapat subring dari sedemikian hingga merupakan  ring  hasil  bagi  kanan  dari oleh suatu subset
,  yaitu itu  sendiri.  Dari sini, muncul konsep order.

## Definisi 20 [7]
Diberikan suatu ring hasil bagi .
4. Suatu  subring di disebut order  kanan di  dalam apabila merupakan  ring  hasil bagi kanan klasik dari .
5. Suatu  subring di disebut order  kiri di dalam apabila merupakan  ring  hasil
bagi kiri klasik dari .
6. Suatu subring di disebut order di dalam jika merupakan  order  kiri  sekaligus order kanan di .
Berikut  akan  dibuktikan  ring  Artin  kanan merupakan kejadian khusus dari ring hasil bagi.
Proposisi 6 [6]

## Bukti
Diberikan  suatu  ring .  Jika  ring merupakan ring  Artin  kanan  (kiri)  maka merupakan  ring hasil bagi. Ambil sebarang . Dibentuk rantai turun ideal kanan dengan . Katakan sedemikian  hingga .  Karena elemen  satuan,  diperoleh  bahwa .  Akibatnya  terdapat sedemikian hingga . Didapat bahwa . Karena , didapat . Diperhatikan  pula  bahwa .  Akibatnya ,  sehingga .
Jadi, merupakan unit.
Berikut  akan  diberikan  hubungan  antara ring  Goldie  prima  dan  order  dalam  suatu  ring hasil bagi sebagai berikut.

## Teorema 5 [6]
Jika merupakan  ring  Goldie  prima  maka merupakan  order  dalam  suatu  ring  sederhana

## Bukti
Terlebih dahulu akan ditunjukkan eksistensi  dari  ring  hasil  bagi  klasik dari
oleh . Menurut Teorema 1, perlu dibuktikan
merupakan himpunan penyebut kanan yaitu reversibel  kanan  dan  Ore  kanan.  Karena himpunan
reversibel  kanan,  maka  tinggal
dibuktikan  himpunan memenuhi  kondisi Ore  kanan.  Diambil  sebarang . Dibentuk himpunan Himpunan ,  karena  terdapat dengan .  Diperhatikan  bahwa  untuk  setiap dan berlaku dan .  Jadi, himpunan merupakan  ideal  kanan  di Selanjutnya akan ditunjukkan .
Diambil sebarang ideal kanan tak nol di .  Kasus  pertama  untuk Artinya, dan Kasus  kedua  untuk . Diketahui  bahwa merupakan  elemen  reguler  di .  Menurut  Lemma  4  diperoleh . Akibatnya  terdapat dengan
untuk  suatu .  Dari  sini,  diperoleh dan Jadi,  terbukti .  Menurut  Lemma 12,  ideal  kanan memuat  suatu  elemen  reguler, katakan . Artinya, yaitu untuk  suatu .  Diperoleh memenuhi kondisi  Ore  kanan.  Akibatnya  dapat  dibentuk suatu  ring  hasil  bagi  klasik  kanan oleh
.  Dengan  kata  lain  ring merupakan  order kanan di ring hasil bagi . Kemudian akan ditunjukkan bahwa
merupakan  ring  Artin  kanan.  Dalam  hal  ini  akan ditunjukkan merupakan ring semisederhana kanan,  sehingga  berdasarkan  Lemma  1  diperoleh merupakan  ring  Artin  kanan.  Misalkan
.  Menurut  Proposisi  3  dan  Lemma  12 diperoleh dan memuat suatu elemen reguler  di .  Dengan  kata  lain memuat  elemen unit  di akibatnya .  Jadi,  satu- satunya  ideal  kanan  esensial  di hanyalah . Dengan menggunakan Lemma 3, diperoleh merupakan ring semisederhana kanan.
Lebih  lanjut  akan  ditunjukkan  bahwa merupakan  ring  sederhana.  Diambil
sebarang ideal  tak  nol  di .  Menurut Proposisi  3,  haruslah  diperoleh
ideal  di .
Berdasarkan  Lemma  12,  berlaku memuat elemen  reguler  .  Diperhatikan  bahwa memuat elemen unit di , sehingga berlaku Dengan demikian diperoleh
merupakan ring
sederhana.
Dengan  analog,  dapat  pula  ditunjukkan jika  ring merupakan  ring  Goldie  kiri  prima maka merupakan  order  kiri  dalam  suatu  ring
Artin kiri sederhana .
Lebih  lanjut,  jika merupakan  ring Goldie  prima  yaitu  ring  Goldie  kanan  sekaligus ring  Goldie  kiri  maka merupakan  order  kanan dalam  suatu  ring  Artin  kanan  sederhana dan merupakan  order  kiri  dalam  suatu  ring
Artin  kiri  sederhana .  Menurut  Teorema  2
didapatkan
Oleh  karena  itu
diperoleh,  jika ring  Goldie  prima  maka merupakan  order  dalam  suatu  ring  Artin sederhana

## 3. Kesimpulan
Adapun  kesimpulan  dari  penelitian  ini  sebagai berikut.
1. Diberikan ring Goldie prima. Berlaku
i. Setiap  ideal  esensial  kanan  (kiri) memuat elemen reguler;
ii. Setiap  ideal  tak  nol  di maka
memuat elemen reguler.
2. Jika ring  Goldie  prima  maka merupakan  order  dalam  suatu  ring  Artin sederhana
Daftar Pustaka Bland,  P.E.  (2011). Rings  and  Their  Modules . Berlin/New York: Walter de Gruyter GmbH dan
Co. KG.
Chatters,  A.W.  &  Hajarnavis,  C.  (1980). Rings  with Chain Conditions . Vol. 44. London: Pitman. Goodearl,  K.  R.,  Warﬁeld,  Jr,  R.B.  (2004).  An Introduction  to  Noncommutative  Noetherian Rings . New York: Cambridge University Press.
Lam,  T.Y.  (1999). Lectures  on  Modules  and  Rings . New York: Springer-Verlag. Marubayashi, H., & Ueda, A. (2018 ). Projective Ideals of  Differential  Polynomial  Rings  over  HNP Rings . Proceeding of the International
Conference held at Aligarth Muslim University,
India.
McConnell, J. C. Robson, J. C. (2001).
Noncommutative  Noetherian  Rings. New  York: Wiley. Stenström,  B.  (1975). Rings  of  Quotients:  An Introduction  to  Methods  of  Ring  Theory .  New York: Springer-Verlag Wahyuni,  S.,  Wijayanti,  I.E.,  Yuwaningsih,  D.A.,  dan Hartanto,  A.D.  (2016). Teori  Ring  dan  Modul . Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Wisbauer, R. (1991). Foundations of Module and Ring Theory .  London:  Gordon  and  Breach  Science Publishers.