Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 260 – 266, September 2021 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2021 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/5781

## ANALISIS PENERAPAN METODE POHON BINOMIAL DAN METODE BLACK-SCHOLES

## DALAM PENENTUAN HARGA OPSI BELI
Betty Subartini 1 , Riaman 2 , Nahda Nabiilah 3 , Sukono 4 1,2,3,4 Universitas Padjadjaran, Jl. Raya-Bandung-Sumedang km 21 Jatinangor  Sumedang, Indonesia Email: betty.subartini@unpad.ac.id

## ABSTRACT
An option is one of the letters of agreement to buy and sell shares between the seller and the buyer to agree with the specified price and period. A person who buys an option can choose to exercise his or her rights or not. This research aims to find out the results of the price comparison of Apple Inc.'s Buy Options, with the use of two methods, namely the Binomial Tree method and the Black-Scholes method. The results of this study show that assuming the risk-free interest rate and the specified strike price are the same, the results of the calculation of the price of the Buy Option with both methods  are almost  the  same.  It  can  be  concluded  that  the  price  of  The  Buy  Option  obtained  by  the  Binomial  Tree method is close to the price of the Buy Option with the Black-Scholes method. So that both methods are worth using for the initial calculation of the price of the Buy Option.
Keywords: Black-scholes method, binomial tree method, european type option

## ABSTRAK
Opsi adalah salah satu surat perjanjian jual beli saham antara pihak penjual dan pembeli untuk melakukan suatu kesepakatan dengan harga dan periode yang ditentukan. Seseorang yang membeli opsi bisa memilih untuk melaksanakan haknya ataupun tidak. Penelitian ini  bertujuan  mengetahui  hasil  perbandingan  harga  Opsi  Beli  Apple  Inc.,  dengan  penggunaan  dua  metode  yaitu  metode  Pohon Binomial dan metode Black-Scholes . Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa dengan asumsi suku bunga bebas risiko dan strike price yang ditentukan sama, maka hasil perhitungan harga Opsi Beli dengan kedua metode tersebut hampir sama. Dapat disimpulkan bahwa harga Opsi Beli yang didapat dengan metode Pohon Binomial mendekati harga Opsi Beli dengan metode Black-Scholes . Sehingga kedua metode tersebut layak digunakan untuk perhitungan awal harga Opsi Beli.
Kata kunci: Metode black-scholes , metode pohon binomial, opsi tipe eropa
Dikirim: 31 Juli 2021; Diterima: 08 September 2021; Dipublikasikan: 30 September 2021 Cara sitasi: Subartini, B., Riaman, Nabiilah, N., & Sukono. (2021). Analisis penerapan metode pohon binomial dan metode black- scholes  dalam  penentuan  harga  opsi  beli. Teorema : Teori  dan  Riset  Matematika, 6 (2),  260 – 266.
DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v6i2.5781

## PENDAHULUAN
Harga saham yang terus berubah tentunya menyebabkan seorang pembeli khawatir terhadap risiko yang  akan ditanggung jika harga saham turun pada saat akan dijual. Oleh karena itu ada salah satu turunan saham yang dapat mengurangi risiko yaitu opsi. Opsi adalah sebuah perjanjian jual beli saham antara pihak penjual  opsi  ( writer ),  dan  pihak  pembeli  opsi  ( holder )  dengan  harga  kesepakatan  ( strike  price )  dan  pada periode yang ditentukan. Pemilik opsi memiliki hak untuk menjual opsi tersebut atau tidak, selama masa waktu jatuh  tempo  belum  berakhir.  Ada  beberapa  tipe  opsi  diantaranya  tipe  Eropa  dan  tipe  Amerika,  yang membedakannya adalah dalam proses penjualan opsi ( exercise), untuk tipe Eropa , exercise hanya pada saat jatuh tempo, sedangkan tipe Amerika exercise dapat dilakukan pada periode-periode  tertentu  sebelum masa waktu yang telah ditentukan berakhir( maturity time ) (Hull, 2012). Penelitian  sebelumnya  telah  dibahas  mengenai “ Kelebihan  dan  Kekurangan  Metode  Pohon Binomial “ oleh  Emmanuel et  al .,  (2014).  Kemudian  Harga  Opsi  Beli  dengan  Metode Black-Scholes dibandingkan  dengan  Harga  Opsi  Beli  Sebenarnya  oleh  (Krznaric,  2016),  selain  itu  juga  ada  yang membahas  tentang  Penerapan Model Matematika dalam Bidang Keuangan Khususnya Bidang Ekonomi yang  dikemukakan  oleh  Sulaiman et  al. ,  (2017).  Oleh  karena  itu,  penulis  termotivasi  untuk  melakukan pengembangan dalam penentuan harga opsi beli, apabila digunakan metode Pohon Binomial dengan Metode Black-Scholes ,  kemudian  dianalisis  hasil  perhitungannya,  selain  itu  yang  menjadi  alasan  pemilihan  dalam membahas masalah tersebut adalah belum ada peneliti sebelumnya yang membahas hal tersebut, sehingga hasil yang diperoleh dapat digunakan sebagai pertimbangan dalam pemilihan metode apa yang terbaik dalam penentuan harga beli opsi.

## METODE PENELITIAN
Metode Pohon Binomial dan Black-Scholes adalah dua metode yang digunakan dalam penelitian ini, dengan  tujuan menghitung harga Opsi Beli pada Apple Inc. (AAPL). Data dalam penelitian ini diperoleh dari harga penutupan saham Apple Inc dari tanggal  1 Januari 2019 sampai 31 Desember 2019 dan strike price diperoleh dari yahoo finance , sedangkan tingkat suku bunga bebas risiko ( 𝑟 ) diperoleh dari www.treasury.gov . Alat  bantu  perhitungan  digunakan  Microsoft  Excel  dan  Dev  C++  untuk program C++.
Penelitian ini terlebih dahulu penentuan nilai volatilitas saham yaitu ketidakpastian dari pergerakan saham. Nilai  volatilitas  ( 𝝈 )  berada  di  interval 𝟎  ≤  𝛔  ≤  ∞ . Volatilitas  yang  rendah  berarti  harga saham  cenderung  stabil,  sementara  volatilitas  yang  tinggi  berarti  harga  saham  tidak  stabil  dan memiliki banyak risiko (Hull, 2012). Volatilitas bisa dihitung dengan langkah berikut:
(1) Menghitung return harga saham dengan persamaan:
d e ngan 𝑆 𝑡 : harga saham pada akhir interval 𝑡, ( 𝑡 = 1,2,3, … )
(2) Menghitung 𝑅 𝑡 ̅̅̅ , yaitu expected return dengan persamaan:
𝑅 𝑡 ̅̅̅ = ∑ 𝑅 𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑛 (2)
dengan 𝑛 : jumlah data.
(3) Menghitung volatilitas dengan persamaan:
𝜎 = √ 1 𝑛 − 1 ∑(𝑅 𝑡 − 𝑅 𝑡 ̅̅̅) 2 𝑛 𝑡=1 ∙ 𝑘 (3)
dengan 𝜎 : volatilitas dan 𝑘 : Jumlah periode perdagangan (Harian, 𝑘 = 252 ) (Hull,  2012).
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 ) (1)
Setelah penentuan nilai volatilitas dilakukan Uji normalitas dengan Chi-Squared Uji Chi-Squared untuk uji normalitas didefinisikan dengan hipotesis:
𝐻 0 : Data berdistribusi normal
𝐻 𝛼 : Hipotesis alternatif, yaitu data tidak berdistribusi normal Langkah yang dilakukan untuk uji ini adalah:
(1) Membuat bin atau pengelompokan data sejumlah 𝑘 .
(2) Mencari frekuensi setiap bin dengan bantuan data analysis di Microsoft Excel .
(3) Menghitung ekspektasi setiap bin ( 𝐸 𝑖 ), dengan persamaan:
𝐸 𝑖 = (𝑁(𝐹(𝑌 𝑖+1 ) − 𝐹(𝑌 𝑖 )) (4)
dengan 𝑁 : jumlah data, 𝑌 𝑖 : nilai dari bin 𝑖 ( 𝑖 = 1,2,3,…, 𝑘 ), dan 𝐹(𝑌 𝑖 ): fungsi distribusi kumulatif dari 𝑌 𝑖 .
(4) Menghitung nilai Chi-Squared dengan persamaan:
𝜒2 = ∑ (𝑂 𝑖 − 𝐸 𝑖 ) 2 𝐸 𝑖 𝑘 𝑖=1 (5) dengan 𝑂 𝑖 : frekuensi data yang di observasi untuk bin ke- 𝑖 .
(5) Menghitung derajat kebebasan dengan persamaan:
𝑑𝑘 = 𝑘 − 𝑐 − 1 (6)
dengan 𝑐 : jumlah parameter. Dalam uji normalitas, 𝑐 = 2
(6) Menghitung p-value dari nilai 𝜒 2 yang didapat dengan bantuan CHISQ.DIST.RT dengan Microsoft Excel.
(7) Ambil kesimpulan. Hipotesis ( 𝐻 0 ) dari data akan ditolak jika p-value hitung <  0.05
Metode Pohon Binomial Metode Pohon Binomial mengasumsikan bahwa harga saham sekarang hanya bisa naik atau turun dalam setiap periodenya (Cox et al., 1979).
Untuk menghitung harga Opsi Beli dengan metode Pohon Binomial menurut Hull (2012) dilakukan langkah berikut :
(1) Menghitung 𝑢 , dan 𝑑 pada metode Pohon Binomial dengan persamaan:
𝑢 =   𝑒 𝜎√∆𝑡 (7)
𝑑 =   𝑒 −𝜎√∆𝑡 = 1 𝑢 (8)
dengan 𝑢 : faktor naik, 𝑑: faktor turun, 𝜎 : volatilitas, dan ∆𝑡 : time to expiry .
(2) Menghitung 𝐶 𝑢 dan 𝐶 𝑑 dengan persamaan:
𝐶 𝑢 = 𝑀𝑎𝑥(0, 𝑆 ∙ 𝑢 − 𝐾) (9)
𝐶 𝑑 = 𝑀𝑎𝑥(0, 𝑆 ∙ 𝑑 − 𝐾) (10)
dengan 𝐶 𝑢 : payoff ketika nilai saham naik, dan 𝐶 𝑑 : payoff ketika nilai saham turun.
(3) Menghitung nilai 𝑝 dengan persamaan:
𝑝 = 𝑒 𝑟∆𝑡 − 𝑑 𝑢 − 𝑑 (11)
dengan 𝑟 : tingkat bunga bebas risiko.
(4) Menghitung nilai 𝐶 , yaitu harga Opsi Beli dengan persamaan:
𝐶
= (𝑝 ∙ 𝐶 𝑢 ) + ((1 − 𝑝) ∙ (𝐶 𝑑 )) 𝑖 (12)
dengan 𝑖 = 1 + 𝑟 .
Metode Black-Scholes Metode Black-Scholes mengasumsikan  bahwa  harga  saham  sekarang  hanya  bisa  naik  atau  turun  dalam setiap periodenya (Cox et al., 1979) Untuk menghitung harga Opsi Beli dengan metode ini, langkah yang dilakukan adalah:
(1) Menghitung 𝑑1 dan 𝑑2 dengan persamaan:
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 262 – 266, September 2021
𝑑1 = ln ( 𝑆 0 𝐾 ) + (𝑟 + 𝜎 2 /2) ∙ 𝑡 𝜎√𝑡 (13)
𝑑2 = 𝑑1 −  𝜎√𝑡
(14)
dengan 𝑆 0 : harga saham sekarang, 𝐾 : harga kesepakatan ( strike price), 𝑟 : suku bunga, dan 𝑡 : time to expiry (tanggal kadaluarsa).
(2) Menghitung 𝑁(𝑑1) dan 𝑁(𝑑2) , di mana 𝑁(𝑑1) : fungsi distribusi kumulatif dari 𝑑1 , dan 𝑁(𝑑2) : fungsi distribusi kumulatif dari 𝑑2 . Perhitungan dilakukan dengan bantuan NORM.DIST di Microsoft Excel.
(3) Menghitung nilai Opsi Beli ( 𝐶 ) dengan persamaan:
𝐶 = 𝑆 0 𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒 −𝑟𝑡 𝑁(𝑑2) (15)
Nilai awal yang diinputkan adalah harga saham sekarang ( 𝑺 ) yang digunakan adalah nilai close terakhir ( 𝑵 = 250) sebesar $𝟐𝟗𝟏. 𝟓𝟐 , nilai bunga bebas risiko ( 𝒓 ) yang digunakan adalah 1.56%, nilai strike price ( 𝑲 ) yang digunakan adalah $𝟏𝟎𝟓 , dan trading days ( 𝒌 ) adalah 326 hari. Semua  perhitungan menggunakan bantuan software Microsoft Excel dan program C++.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penggunaan  metode  Pohon  Binomial  dan  Metode Black-Scholes harus  memenuhi    syarat-syarat tertentu diantaranya adalah data harus berdistribusi normal. Data harga penutupan saham Apple Inc. (AAPL) yang diperoleh dari situs Yahoo Finance tersebut diuji normalisasinya menggunakan metode Chi-Squared. Langkah  pertama dicari    terlebih  dulu  nilai Return,  Expected  Return dan  nilai  Volatilitas  berturut-turut menggunakan persamaan. (1), (2), dan (3), perhitungan dibantu Microsoft excel diperoleh nilai expected return = 0.00245208 dan nilai volatilitas tahunan sebesar 0.300727 . Langkah  kedua  dilakukan  Uji  Normalitas  dengan  metode Chi-Squared ,  pertama  buat bin ,  yaitu kelompok  data.  Dalam  penelitian  ini, bin terkecil diambil  dengan  nilai  -0.025,  dan  interval  sebesar  0.0025. sehingga diperoleh 33 bin . Lalu, dengan bantuan data analysis dari Microsoft Excel , akan diperoleh frekuensi dari setiap bin . Output dari data analysis yang menunjukan frekuensi dari setiap bin , dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 . Output bin dan frekuensi Bin Frequency -0.025 8 -0.0225 2 ⋮ ⋮ 0.0525 0 0.055 1 Setelah didapatkan frekuensi setiap bin , hitung 𝐸 𝑖 dengan persamaan (4). Frekuensi yang didapat dari Tabel 1 kemudian akan digunakan sebagai 𝑂 𝑖 . 𝐸 𝑖 dan 𝑂 𝑖 dapat dilihat secara singkat pada Tabel 2. Tabel 2 .  Perhitungan seluruh 𝐸 𝑖 𝑂 𝑖 12.41377822 8 4.349359969 2 ⋮ ⋮ 0.206242939 0 0.131482634 1 Setelah itu, hitung 𝜒 2 dengan persamaan (5), sehingga didapat 𝜒 2 = 42.44531. Untuk menghitung 𝑑𝑘 , gunakan persamaan (6) sehingga didapat 𝑑𝑘 = 30 . Dengan kedua nilai tersebut, gunakan bantuan CHISQ.DIST.RT  pada Microsoft  Excel untuk  mendapatkan p-value . P-value yang  didapatkan  adalah 0.065521. Karena p-value = 0,065521 > 0.05, maka kesimpulannya data berdistribusi normal.

## 3.1 Perhitungan dengan Metode Pohon Binomial
3.1.1 Perhitungan menggunakan Metode Pohon Binomial dengan bantuan Microsoft Excel Pertama cari nilai dari 𝑢 dan 𝑑 dengan persamaan (7) dan (8). Hasil perhitungannya terlihat pada Tabel 3.
Tabel 3 .  Hasil perhitungan 𝑢 dan 𝑑 𝑁 Close 𝑢 𝑑 0 157.919998 - - 1 142.190002 1.016795 0.9835 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 249 289.799988 1.300596 0.7689 250 291.519989 1.301282 0.7685
Dengan menggunakan persamaan (9) dan (10), lakukan perhitungan 𝐶 𝑢 dan 𝐶 𝑑 . Hasil perhitungan dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4 .  Hasil perhitungan 𝐶 𝑢 dan 𝐶 𝑑 𝑁 Close 𝐶 𝑢 𝐶 d 0 157.919998  39.57811266  34.84133764 1 142.190002  46.79367722  39.80857517 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 249  289.799988  271.9128314  117.8208382 250  291.519989  274.3498098  119.0251657
Selanjutnya, gunakan persamaan (11) untuk mencari nilai 𝑝 , dan gunakan persamaan (12) untuk mencari harga Opsi Beli ( 𝐶 ) diperoleh hasilnya pada Tabel 5.
Tabel 5 .  Hasil perhitungan 𝑝 dan 𝐶 𝑁 𝑝 𝐶 0 0.4973  36.62544934 1 0.4961  42.60947714 ⋮ ⋮ ⋮ 249  0.4572  185.3817515 250  0.4571  187.1095336
Tabel 5, menunjukkan  bahwa  untuk 𝑁 = 250 dapat dilihat bahwa nilai 𝐶 = 187.1095336 ., maka dapat disimpulkan bahwa pada saat hari ke- 250 didapat harga opsi beli menggunakan metode  Pohon Binomial adalah sebesar $ 187,1095336
3.1.2 Perhitungan Menggunakan Metode Pohon Binomial dengan Program C++ . Untuk melakukan perhitungan harga Opsi Beli dengan program C++, pertama, buka program yang sudah  dibuat.  Program  yang  sama  akan  digunakan  untuk  kedua  metode,  sehingga  harus  dilakukan input angka  “1” Pada  tampilan  awal  program  C++  seperti  pada  Gambar  1,  untuk  memilih  perhitungan  dengan metode Pohon Binomial.
Gambar 1. Tampilan awal program C++
Lalu,  harus  dilakukan input data  yang  dibutuhkan,  yaitu Current  Stock  Price ( 𝑆 0 sebesar 291.52, Strike Price ( 𝐾 )=105, Time to expiry ( 𝑡 )=0,766871166, Risk-free Interest Rate ( 𝑟 )=1,56%, dan Volatility ( 𝜎 )=0,300727. Setelah semua data diinputkan, akan muncul Call Price sebagai output .
Call Price adalah harga Opsi Beli yang dicari sebesar 187,11. Output program pada Gambar 2.
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 264 – 266, September 2021
Gambar 2 . Output program C++ untuk metode pohon binomial
3.2. Perhitungan dengan Metode Black-Scholes
3.2.1 . Perhitungan dengan Metode Black-Scholes dengan Microsoft Excel
Untuk  melakukan  perhitungan  dengan  metode  ini,  pertama  cari  nilai  dari 𝑑1 dan 𝑑2 dengan persamaan (13) dan (14). Hasil perhitungan disajikan dalam Tabel 6.
Tabel 6 . Hasil perhitungan 𝑑1 dan 𝑑 2 𝑁 Close 𝑑1 𝑑2 0 157.919998 1.42322943 1.081186237 1 142.190002 1.117481458 0.775963275 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 249 289.799988 6.219062288 6.052829184 250 291.519989 6.294213672 6.129063531
Selanjutnya, cari nilai dari 𝑁(𝑑1) dan 𝑁(𝑑2) dengan bantuan NORM.DIST pada Microsoft Excel . Setelah didapat nilai 𝑁(𝑑1) dan 𝑁(𝑑2) , lakukan perhitungan untuk harga Opsi Beli ( 𝐶 ) dengan persamaan (15). Hasil perhitungan disajikan  pada Tabel 7.
Tabel 7 . Hasil perhitungan 𝑁(𝑑1) , 𝑁(𝑑2) , dan 𝐶 𝑁 𝑁(𝑑1) 𝑁(𝑑2) 𝐶 0 0.922665172  0.860192861 57.19151106 1 0.868105738  0.781114665 43.05253311 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 249 1 1 185.299297 250 1 1 187.0128287 Dari Tabel 7 dapat dilihat pada 𝑁 = 250 nilai 𝐶 = 187.0128287 artinya pada saat hari ke- 250, nilai harga Opsi Beli  dengan Metode Black-Scholes adalah $187.0128287 .
3.2.2. Perhitungan dengan Metode Black-Scholes dengan Program C++ .
Untuk melakukan perhitungan harga Opsi Beli dengan program C++, pertama, buka program yang sudah  dibuat.  Kali  ini,  lakukan input angka  “2”  untuk  memilih  perhitungan  dengan  metode Black-Scholes . Tampilan awalnya program C++  pada Gambar 3.
Gambar 3. Tampilan Awal Program C++ Lalu, dilakukan input data yang dibutuhkan, yaitu Current Stock Price ( 𝑆 0 ) sebesar 291.52, Strike  Price ( 𝐾 )=105, Time  to  expiry ( 𝑡 )=0,301587302, Risk-free  Interest  Rate ( 𝑟 )=1,56%,  dan Volatility ( 𝜎 )=300727. Setelah semua data diinputkan, akan muncul Call Price sebagai output . Call Price adalah  harga  Opsi  Beli  yang  dicari  yaitu  sebesar $187.013 . Output programnya  pada Gambar 4.
Gambar 4. Output program C++ untuk metode black-scholes
KESIMPULAN
Kesimpulan  yang  dapat  diambil  dari  hasil  pembahasan  dalam  perhitungan  Harga  Opsi  Beli menggunakan  Metode  Pohon  Binomial  dan  Metode Black-Scholes berturut-turut  apabila  dengan  bantuan Microsoft Excel adalah $187.1095 , dan $187.0128 ., sedangkan dengan bantuan program C++, adalah $187.11 , dan $187.013 .
Dari harga-harga tersebut, dapat dilihat bahwa Harga Opsi Beli yang dihasilkan hampir sama, yaitu berkisar di $187, baik itu menggunakan program C++ atau dengan  bantuan Microsoft Excel , oleh karena itu maka kedua metode tersebut dapat digunakan.

## REKOMENDASI
Rekomendasi  dari  hasil  penelitian  ini,  disarankan  kepada Apple Inc. (AAPL) khususnya atau kepada perusahaan yang lainnya dalam penentuan Harga Opsi Beli dapat dipilih salah satu metode, apakah Metode  Pohon  Binomial  atau  Metode Black-Scholes .  Selanjutnya  gunakan  metode  yang  lebih  tinggi  lagi misalnya metode Trinomial, multinomial, atau Crank Nicolson.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Ucapan  Terima  kasih  penulis  sampaikan  kepada  Direktorat  Riset  dan  Pengabdian Masyarakat  Direktorat  Jenderal  Riset  dan  Pengembangan  Kementerian  Riset,  Teknologi,  dan Pendidikan Tinggi yang telah mendanai penelitian ini melalui Penelitian Dasar Unggulan Perguruan Tinggi (PDUPT) tahun 2021 dengan nomor kontrak.1207/UN6_3.1/PT.00/2021

## DAFTAR PUSTAKA
Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option  pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics 7 , 229-263.
Emmanuel,  F.  S.,  Adedoyin,  A.  O.,  &  Hammed,  O.  O.  (2014).  Performance  measure  of  binomial model  for  pricing. Applied  and  Computational  Mathematics,  3 (6-1),  18-30. doi:10.11648/j.acm.s.2014030601.14
Hull, J. C. (2012). Options, Futures, and other derivatives (9th Edition). Pearson Education.
Krznaric,  M.  J.  (2016).  Comparison  of  option  price  from black-scholes .  Model  to  actual  values.
Honors Research Projects . 396. http://ideaexchange.uakron.edu/honors_research_projects/396
Sulaiman, H., Hartono, W., & Raharjo, J. F. (2017). Penerapan dari model matematika pengendalian persediaan barang (inventory model) pada system produksi di PD Handi Meubel Cirebon). Teorema: Teori dan Riset Matematika, 1 (2), 11-24.
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 266 – 266, September 2021