## APROKSIMASI FUNGSI BERVARIASI- 𝝋 TERBATAS DI RUANG HENSTOCK-KURZWEIL DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI TANGGA

## Elin Herlinawati
Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Terbuka, Jalan Cabe Raya, Pondok Cabe, Pamulang, Tangerang Selatan, 15418
* elin@ecampus.ut.ac.id

## Abstrak
Aproksimasi fungsi merupakan suatu proses pendekatan (hampiran) untuk memperoleh nilai fungsi yang mendekati nilai sebenarnya. Fungsi yang lebih rumit dapat didekati dengan fungsi yang lebih sederhana sehingga mempermudah proses komputasi. Pada artikel ini, aproksimasi fungsi difokuskan pada fungsi-fungsi bervariasi- 𝜑 terbatas di ℋ𝒦[𝑎, 𝑏] dengan memanfaatkan fungsi  Young.  Pertama  ditunjukkan  eksistensi  keterintegralan  fungsi  bervariasi- 𝜑 terbatas dengan  menggunakan  kriteria  Cauchy  yang  berlaku  pada  integral  Henstock-Kurzweil. Kemudian, dibuktikan teorema aproksimasi fungsi bervariasi- 𝜑 terbatas di ℋ𝒦[𝑎, 𝑏] dengan menggunakan fungsi tangga.
Kata Kunci: aproksimasi, Henstock-Kurzweil, fungsi bervariasi terbatas.

## PENDAHULUAN
Pada abad ke-19, beberapa matematikawan  mulai  mengkaji  mengenai teori  integral  dan  sifat-sifatnya,  mulai  dari integral Riemann hingga integral Lebesgue.
Selanjutnya,  pengkajian  mengenai  teori integral  terus  dilakukan  hingga  akhirnya ditemukan  fungsi  kontinu  pada  interval kompak  yang  tidak  terintegralkan  Riemann maupun Lebesgue walaupun derivatif fungsi pada  interval  tersebut  berhingga.  Untuk mengatasi  hal  tersebut,  Denjoy,  Perron, Kurzweil,  dan  Henstock,  secara  mandiri, mendefinisikan  konsep  integral  yang  lebih umum  dari  integral  Riemann  dan  integral Lebesgue.  Hasil  yang  mereka  peroleh
ternyata  ekuivalen  satu  sama  lain.  Integral ini  kemudian  dikenal  sebagai  integral Henstock-Kurzweil (adapula yang meyebutnya sebagai integral Henstock atau integral Denjoy atau integral Perron).
Definisi 1. (Yeong dalam Herlinawati, 2021)
Misalkan [𝑎, 𝑏] dengan ∪ {[𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ]} 𝑘=1 𝑛 = [𝑎, 𝑏] dan 𝑡 𝑘 ∈ [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ] .  Misalkan  pula 𝜇 𝑛 ([𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ]) = 𝑣 𝑘 − 𝑢 𝑘 menyatakan ukuran dari interval [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ] . (i) Jika 1 1 {([ , ],...,[ , ]} n n P u v u v = partisi
pada  [ , ] a b dan  ada  fungsi  positif  yang  didefinisikan  pada 1 { ,..., } n t t ,
maka  partisi  P  dikatakan fine  − jika
Volume 8 No. 2 Bulan Desember  Tahun 2022
[ , ] ( , ( )) k k k k u v t t   [ , ] k k k t u v  untuk
1, 2,..., k n = .
(ii) Fungsi
𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan
terintegralkan Henstock-Kurzweil pada
[𝑎, 𝑏] jika  terdapat 𝐴 ∈ ℝ yang memenuhi  sifat  berikut:  jika  diberikan
0   terdapat  fungsi  positif  pada
[𝑎, 𝑏] sehingga ( , ) S f P A  −  untuk
setiap  partisi fine  − P  dari [𝑎, 𝑏] dengan 1 ( , ) ( ) ([ , ]) n k n k k k S f P f t u v  = =  .
(iii) Koleksi dari semua fungsi
terintegralkan Henstock-Kurzweil pada
[𝑎, 𝑏] dinotasikan sebagai ℋ𝒦[𝑎, 𝑏] .
Selanjutnya, fungsi-fungsi di ℋ𝒦[𝑎, 𝑏] dapat diaproksimasi dengan suatu fungsi. Aproksimasi fungsi merupakan suatu proses pendekatan (hampiran) untuk memperoleh  nilai  fungsi  yang  mendekati nilai  sebenarnya  (Fathurrohman,  2018). Aproksimasi fungsi bertujuan untuk memberikan  fungsi  hampiran  yang  efektif.
Selain  itu,  fungsi  yang  lebih  rumit  dapat didekati dengan fungsi yang lebih sederhana sehingga mempermudah proses komputasi.
Selanjutnya, Herlinawati (2021) menjelaskan bahwa hasil kali fungsi kontinu dan fungsi terintegralkan Henstock- Kurzweil  tidak  selalu  merupakan  fungsi yang  terintegralkan  Henstock-Kurzweil  di ruang  berdimensi-n.  Namun    hasil  kali fungsi  terintegralkan  Henstock-Kurzweil dengan fungsi bervariasi terbatas menghasilkan  fungsi  yang  terintegralkan Henstock-Kurzweil  (Torres  et  al.,  2009). Selain  itu,  Torres  et  al.    juga  menjelaskan relasi inklusi antara ruang bervariasi terbatas ( 𝐵𝑉 𝑝 (ℝ)) dan  ruang  Henstock-Kurzweil ( ℋ𝒦(ℝ)) . Oleh karena itu, pada artikel ini, aproksimasi fungsi difokuskan pada subruang  dari ℋ𝒦[𝑎, 𝑏] yang  merupakan fungsi bervariasi terbatas.
Fungsi  bervariasi  terbatas  ( bounded variation )  merupakan  fungsi  bernilai  real dengan total variasi terbatas.
Definisi  2 .  (Torres  et  al.,  2009)  Misalkan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dan 𝑃 = {𝑥 𝑖 } 𝑖=1 𝑛 merupakan partisi dari [𝑎, 𝑏] , maka variasi 𝑓 atas [𝑎. 𝑏] adalah
𝑉(𝑓) = 𝑠𝑢𝑝 𝑃 {∑ |𝑓(𝑥 𝑖 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 )| ∞ 𝑖=1 } (1)
Fungsi 𝑓 dikatakan bervariasi terbatas pada [𝑎, 𝑏] apabila 𝑉(𝑓, [𝑎, 𝑏]) < ∞.
Definisi  2 .  (Boonpogkrong  et  al.,  2004) Misalkan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dan 0 < 𝑝 < ∞ . Jika diberikan partisi 𝑃 = {[𝑡 𝑖 , 𝑡 𝑖+1 ]} 𝑖=1 𝑛 dari [𝑎, 𝑏] maka  variasi-p  dari 𝑓 didefinisikan sebagai
𝑉 𝑝 (𝑓) = 𝑠𝑢𝑝 𝑃 {(∑ |𝑓(𝑥 𝑖 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 )| 𝑝 ∞ 𝑖=1 ) 1/𝑝 } (2)
Ruang  fungsi  yang  memuat  semua fungsi  bervariasi  terbatas  pada [𝑎, 𝑏] dinotasikan sebagai B 𝑉 𝑝 [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya, hubungan  antara  fungsi  BV p dan  teori integral dikemukakan oleh L.C. Young pada tahun 1936. Young menunjukkan eksistensi integral  Riemann-Stieltjes  untuk  fungsi- fungsi  bervariasi  terbatas,  yaitu  jika 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝑝 [𝑎, 𝑏] dan 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 𝑞 [𝑎, 𝑏] dengan 𝑝, 𝑞 >
0 dan 1 𝑝 + 1 𝑞 > 1 maka ∫ 𝑓 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 ada dengan syarat 𝑓, 𝑔 tidak memiliki titik-titik diskontinu  yang  sama.  Kemudian  Young menganalisis  eksistensi  integral  untuk fungsi-fungsi  bervariasi  terbatas  yang memiliki  titik  diskontinu  yang  sama. Integral  ini  kemudian  dikenal  sebagai integral  Young.    Lebih  jauh  lagi,  hasil tersebut  diperumum  dengan  memanfaatkan kondisi Young ( Young’s Condition ) sebagai berikut
𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝑝 [𝑎, 𝑏], 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 𝑞 [𝑎, 𝑏] (3)
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 8 (2), pp: 121-126.
dan
∑ 𝑝 −1 ( 1 𝑛 ) 𝑞 −1 ( 1 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 (4)
maka ∫ 𝑓 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 ada (Varayu, 2005).
Dengan menggunakan kondisi Young, eksistensi (𝐻𝐾) ∫ 𝑓 𝑑𝑔 𝑏 𝑎
juga dapat ditunjukkan.  Hasil  ini  akan  dikemukakan pada bagian hasil dan pembahasan.
Selanjutnya, penelitian mengenai fungsi-fungsi  bervariasi  terbatas  juga  telah dilakukan  diantaranya  oleh  Boonpogkrong et  al.  (2005a)  dan  Piazza  et  al.  (2016), sedangkan  penelitian  tentang  hampiran fungsi  juga  telah  dilakukan  oleh  beberapa peneliti diantaranya yaitu Boonpogkrong et al. (2004b) mengenai pendekatan Henstock- Kurzweil  ke  integral  Young,  Bongiorno  et al.  (2008)  tentang  aproksimasi  fungsi terintegralkan non-absolute bernilai  ruang Banach dengan menggunakan fungsi tangga, Herlinawati  (2019)  tentang  penggunaan metode  PNSR  dalam  fungsi  Gauss  untuk menghampiri  suatu  fungsi,  dan  Herlinawati (2020)  tentang  pendekatan  fungsi-fungsi kontinu  terbatas  menggunakan  konsep konvolusi.
Pada  artikel  ini  dibahas  mengenai pendekatan fungsi-fungsi
di ruang
Henstock-Kurzweil khususnya fungsi bervariasi- 𝜑 terbatas  dengan  menggunakan fungsi  tangga  dan  memanfaatkan  sifat-sifat fungsi Young termasuk menerapkan kondisi Young.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  diawali dengan  studi  literatur.  Mengkaji  definisi integral Henstock-Kurzweil dibangun dengan modifikasi konstanta 𝛿 pada integral
Riemann menjadi fungsi positif 𝛿
(Herlinawati,  2021).  Kemudian,  digunakan fungsi  Young  yang  memiliki  sifat strictly increasing untuk mendefinisikan variasi- 𝜑
terbatas 𝐵𝑉 𝜑 . Selanjutnya, fakta bahwa 𝐵𝑉 𝜑 juga  merupakan  variasi  terbatas  ( 𝐵𝑉) , mengakibatkan  ruang 𝐵𝑉 𝜑 merupakan subruang  dari  ruang  Henstock-Kurzweil (HK)  pada  interval  kompak.  Namun,  untuk interval  tak  berbatas,  hubungan  inklusi ruang 𝐵𝑉 𝜑 dan  Ruang  HK  tidak  dapat dipenuhi  (Torres  et  al.,  2009).  Oleh  karena itu,  penelitian  ini  dibatas  untuk  interval kompak.
Selanjutnya, diberikan beberapa konsep  yang  akan  digunakan  pada    bagian selanjutnya.
Definisi 1. (Masta et al., 2016) Fungsi 𝜑: [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan fungsi Young jika 𝜑 konveks, kontinu kiri, 𝜑(0) = 0 , dan lim 𝑡→∞ 𝜑(𝑡) = ∞ .
Definisi 2. (Yeong dalam Herlinawati, 2021)
Misalkan P dan Q adalah partisi-partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dari [𝑎, 𝑏] .  Fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ terintegralkan Henstock-Kurzweil pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat fungsi positif 𝛿 sehingga |𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑆(𝑓, 𝑄)| < 𝜀. (5)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian,  pembahasan  dibagi menjadi  dua  bagian.  Pertama,  dibuktikan eksistensi  integral  Henstock-Kurzweil  dari fungsi-fungsi 𝐵𝑉 𝜑 atas interval kompak dan lema  pendukung.  Pada  bagian  kedua, diivestigasi aproksimasi fungsi-fungsi terintegralkan Henstock-Kurzweil, khususnya untuk fungsi-fungsi 𝐵𝑉 𝜑 , dengan menggunakan fungsi tangga.
Eksistensi  Integral  Henstock-Kurzweil dari fungsi-fungsi 𝑩𝑽 𝝋 Sebelum membuktikan teorema eksistensi keterintegralan Henstock-
Volume 8 No. 2 Bulan Desember  Tahun 2022
Kurzweil atas fungsi-fungsi 𝐵𝑉 𝜑 , perhatikan
Lema 1 berikut.
Lema  1 .  Misalkan 𝜑 dan 𝜓 adalah  fungsi Young, dan 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ . Maka
∑ 𝜑 ( 1 𝑛 ) 𝜓 ( 1 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 (6)
jika dan hanya jika
∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 . (7)
Bukti. Misalkan ∑ 𝜑 ( 1 𝑛 ) 𝜓 ( 1 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 .
Pilih 𝑀 ∈ ℤ + dengan 𝐴, 𝐵 ≤ 𝑀 maka ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=1 = ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) 𝑚−1 𝑛=1 + ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=𝑚 = ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) 𝑚−1 𝑛=1 + ∑ ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) (𝑘+1)𝑚 𝑛=𝑘𝑚 ∞ 𝑘=1 ≤ ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) 𝑚−1 𝑛=1 + 𝑚 ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑘=1 (8)
Karena ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) 𝑚−1 𝑛=1 terbatas  maka
∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) 𝑚−1 𝑛=1 < ∞ . Akibatnya
∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=1 < ∞ . (9)
Sebaliknya, misalkan ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=1 < ∞ .  Akan  ditunjukkan bahwa ∑ 𝜑 ( 1 𝑛 ) 𝜓 ( 1 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 .
Misal 𝑦 = 𝐴𝑛 dan 𝑧 = 𝐵𝑛 maka ∑ 𝜑 ( 1 𝑛 ) 𝜓 ( 1 𝑛 ) ∞ 𝑛=1 = ∑ 𝜑 (𝐴 1 𝐴𝑛 ) 𝜓 (𝐵 1 𝐵𝑛 ) ∞ 𝑛=1 ≤ ∑ ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑦 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑧 ) ∞ 𝑧=1 ∞ 𝑦=1 = ∑ 𝜑 ( 𝐴 𝑘 ) 𝜓 ( 𝐵 𝑘 ) ∞ 𝑘=1 < ∞ . ∎
Selanjutnya, Teorema 1 berikut
menunjukkan eksistensi keterintegralan Henstock-Kurzweil atas fungsi 𝐵𝑉 𝜑 .
Teorema 1 . Misalkan 𝜑 dan 𝜓 adalah fungsi Young, 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝜑 [𝑎, 𝑏] dan 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 𝜓 [𝑎, 𝑏] memenuhi kondisi Young maka
(𝐻𝐾) ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 𝑑𝑔 < ∞ . (10)
Bukti. Ambil  sebarang 𝐴 ≥ 𝑉 𝜑 (𝑓) dan 𝐵 ≥
𝑉 𝜓 (𝑔) . Dari Lema 1 diperoleh
∑ 𝜑 −1 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 −1 ( 𝐵 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 .  (11)
Berdasarkan  kondisi  Young,  maka ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 𝑑𝑔 ada.
Selanjutnya,  ambil  sebarang 𝜀 > 0 , karena 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 ⊂ ℋ𝒦 maka  terdapat fungsi  positif 𝛿 1 dan 𝛿 2 untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .    Misalkan 𝑃 = {(𝑡 𝑘 , [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ])} 𝑘=1 𝑛 dan 𝑃′ = {(𝑠, [𝑢′ 𝑘 , 𝑣′ 𝑘 ])} 𝑘=1 𝑛 masing-masing adalah  partisi 𝛿 1 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dan  partisi 𝛿 2 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada  [a,b],  berdasarkan  Definisi  2 (Kriteria  Cauchy  untuk  integral  Henstock- Kurzweil), diperoleh
|∑ 𝑓(𝑡 𝑘 )(𝑔(𝑣 𝑘 ) − 𝑔(𝑢 𝑘 )) 𝑛 𝑘=1 − ∑ 𝑓(𝑠 𝑘 )(𝑔(𝑣′ 𝑘 ) − 𝑔(𝑢′ 𝑘 )) 𝑛 𝑘=1 | < 𝜀 . Hal ini menunjukkan bahwa (𝐻𝐾) ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 𝑑𝑔 < ∞ . ∎
Aproksimasi  Fungsi 𝑩𝑽 𝝋 di  Ruang Henstock-Kurzweil
Sebelum membuktikan teorema aproksimasi  dalam  artikel  ini,  diberikan terlebih  dahulu  lema  2  sebagai  pendukung pembuktian teorema.
Lema  2. Misalkan 𝜑 dan 𝜓 adalah  fungsi Young, 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝜑 [𝑎, 𝑏] dan 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 𝜓 [𝑎, 𝑏] memenuhi  kondisi  Young.  Misalkan  pula 𝐸 𝑣 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 𝑣 } merupakan  himpunan titik partisi dari [𝑎, 𝑏] , 𝑃 = {(𝑡 𝑘 , [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ])} 𝑘=1 𝑛 dan 𝑃′ = {(𝑠 𝑘 , [𝑢′ 𝑘 , 𝑣′ 𝑘 ])} 𝑘=1 𝑛 partisi  pada [𝑎, 𝑏]
sehingga ⋃[𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ] = ⋃[𝑢′ 𝑘 , 𝑣′ 𝑘 ] , [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ] ⊂ (𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ) , dan [𝑢′ 𝑘 , 𝑣′ 𝑘 ] ⊂ (𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ) .  Maka  untuk  setiap 𝜉 ∈ [𝑢 𝑘 , 𝑣 𝑘 ] dan 𝜂 ∈ [𝑢 𝑘 ′ , 𝑣 𝑘 ′ ] diperoleh |∑ 𝑓(𝜉)(𝑔(𝑣 𝑘 ) − 𝑔(𝑢 𝑘 ) 𝑛 𝑘=1 − ∑ 𝑓(𝜂)(𝑔(𝑣 ′ 𝑘 ) − 𝑔(𝑢 ′ 𝑘 ) 𝑛 𝑘=1 | ≤ 𝐶. ∑ 𝜑 −1 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 −1 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=2 𝑣−1 (12)
untuk  suatu konstanta 𝐶 > 0 .
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 8 (2), pp: 121-126.
Selanjutnya, misalkan diberikan himpunan 𝐸 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 } dan 𝑓 ∈
𝐵𝑉 𝑝 [𝑎, 𝑏] , definisikan fungsi tangga ℎ pada
𝐸 sebagai
ℎ(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥 𝑘 )𝜒 {𝑥 𝑘 } (𝑥) 𝑛 𝑘=1 + ∑ 𝑓(𝑥 𝑘 +)χ (𝑥 𝑘 ,𝑥 𝑘+1 ) (𝑥) 𝑛−1 𝑘=1 (13)
dengan 𝜒 merupakan  fungsi  karakteristik.
Dengan menggunakan definisi fungsi tangga tersebut, akan dibuktikan aproksimasi fungsi bervariasi  terbatas  yang  dijelaskan  pada Teorema 2.
Teorema  2. Misalkan 𝜑, 𝜓 merupakan fungsi  Young, 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝜑 [𝑎, 𝑏] dan 𝑔 ∈ 𝐵𝑉 𝜓 [𝑎, 𝑏] memenuhi kondisi Young. Maka untuk setiap 𝜀 > 0 , terdapat fungsi tangga ℎ pada [𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga
|(𝐻𝐾) ∫ 𝑓 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 − (𝐻𝐾) ∫ ℎ 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 | < 𝜀 . (14)
Bukti .  Misal 𝐴 ≥ 𝑉 𝜑 (𝑓) dan 𝐵 ≥ 𝑉 𝜓 (𝑔) .
Dari Lema 1, diperoleh
∑ 𝜑 −1 ( 1 𝑛 ) ∙ 𝜓 −1 ( 1 𝑛 ) ∞ 𝑛=1 < ∑ 𝜑 −1 ( 𝐴 𝑛 ) ∙ 𝜓 −1 ( 𝐵 𝑛 ) < ∞ ∞ 𝑛=1 . (15)
Misalkan pula
𝐸 𝑝 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 𝑝 } ⊂ [𝑎, 𝑏] (16)
dengan 𝑝 ≥ 1 maka untuk 𝜉, 𝜂 ∈ (𝑥 𝑘 , 𝑥 𝑘+1 ), 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 𝑝 − 1 , diperoleh
|ℎ 1 (𝜉) − ℎ 1 (𝜂)| ≤ 𝐶 1 2 −𝑝 (17)
dan
|ℎ 2 (𝜉) − ℎ 2 (𝜂)| ≤ 𝐶 1 2 −𝑝 (18)
dengan ℎ 1 , ℎ 2 adalah  fungsi strictly increasing pada [𝑎, 𝑏] ,  dan 𝐶 1 , 𝐶 2 ∈ ℝ .
Disini, himpunan {(𝑥 𝑖 , [𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ]} 𝑖=1 𝑛 𝑝
menyatakan  pasangan  titik  dan  interval partisi  pada [𝑎, 𝑏] dengan [𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ] ⊂ [𝑎, 𝑏], 𝑥 𝑖 ∈ [𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ], dan 𝑥 𝑖 ∈ 𝐸 𝑝 .
Selanjutnya, didefinisikan fungsi tangga h seperti pada persamaan (13), maka (𝑓 − ℎ)(𝑥 𝑘 ) = 0 untuk setiap 𝑥 𝑘 ∈ 𝐸 𝑝 .
Kemudian, dari Teorema 1, diperoleh (𝐻𝐾) ∫ 𝑓 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 − (𝐻𝐾) ∫ ℎ 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 = (𝐻𝐾) ∫ (𝑓 − ℎ)𝑑𝑔 𝑏 𝑎 < ∞ .                       (19)

## Akan ditunjukkan bahwa
|(𝐻𝐾) ∫ (𝑓 − ℎ) 𝑑𝑔 𝑏 𝑎 | < 𝜀 . (20)
Misalkan 𝜀 > 0 . Karena (19), maka terdapat fungsi 𝛿 > 0 pada [𝑎, 𝑏] sedemikian sehingga
|(𝐻𝐾) ∫ (𝑓 − ℎ)(𝑥)𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 − ∑ (𝑓 − 𝑛 𝑝 𝑖=1 ℎ)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 ))| < 𝜀 2 (21)
untuk sebarang partisi 𝑃 pada [𝑎, 𝑏] .
Ketaksamaan  (21)  dapat  ditulis  dalam
bentuk |(𝐻𝐾) ∫ (𝑓 − ℎ)(𝑥)𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 | < 𝜀 2 + |∑ (𝑓 − ℎ)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑖=1 | (22)
Selanjutnya,  berdasarkan  Lema  2, diperoleh
|∑ (𝑓 − ℎ)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑖=1 | = |∑ (𝑓 − ℎ)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑦 𝑖 ∈𝐸 𝑝 + ∑ (𝑓 − ℎ)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑦 𝑖 ∉𝐸 𝑝 | = |0 + ∑ (𝑓 − 𝑡)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑦 𝑖 ∉𝐸 𝑝 | ≤ 𝐶  ∑ 𝜑 −1 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 −1 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=2 𝑝−1 . (23)
Untuk  nilai 𝑝 yang  cukup  besar,  maka
∑ 𝜑 −1 ( 𝐴 𝑛 ) 𝜓 −1 ( 𝐵 𝑛 ) ∞ 𝑛=2 𝑝−1 → 0 untuk 𝑝 → ∞ sehingga |∑ (𝑓 − 𝑡)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑖=1 | < 𝜀 2 (24)
Berdasarkan (22) dan (24), diperoleh
|(𝐻𝐾) ∫ (𝑓 − 𝑡)(𝑥)𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 | < 𝜀 2 + |∑ (𝑓 − 𝑡)(𝑦 𝑖 )(𝑔(𝑣 𝑖 ) − 𝑔(𝑢 𝑖 )) 𝑛 𝑝 𝑖=1 | = 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀 . ∎
Volume 8 No. 2 Bulan Desember  Tahun 2022

## SIMPULAN
Telah ditunjukkan eksistensi keterintegralan  secara  Henstock-Kurzweil dari
fungsi-fungsi
𝐵𝑉 𝜑 dengan memanfaatkan  fungsi  Young  dan  lema pendukung.  Kemudian  integral  Henstock- Kurzweil  atas  fungsi-fungsi  pada 𝐵𝑉 𝜑 juga dapat  diaproksimasi  dengan  menggunakan fungsi  tangga  pada  interval  kompak.
Selanjutnya,  berdasarkan  hasil  tersebut, penelitian yang dapat dilakukan selanjutnya adalah mengkaji aproksimasi fungsi di ruang Henstock-Kurzweil  untuk  domain  tak terbatas.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada LPPM  Universitas  Terbuka  yang  telah mendanai penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Bongiorno, B., Piazaa L.D., dan Musial, K. 2008.  “Approximation  of  Banach
Space Valued Non-Absolutely Integrable Functions By Step Functions”. Glasgow  Math.  Journal. Vol 50, pp: 583-593.
Fathurrohman,  Ilham.  2018. Aproksimasi
Fungsi  Menggunakan  Metode  Norm Minimum Pada Ruang Hilbert L2[a,b]. Skripsi. Bandung: Universitas Padjadjaran.
Herlinawati,  Elin.  2019.  “Metode  PNSR
Pada Interpolasi Gaussian”. Fibonacci: Jurnal Pendidikan Matematika  dan  Matematika .  Vol.  5
(1), pp: 65-70.
Herlinawati, E.  2020. “Aproksimasi Fungsi Kontinu Terbatas Dengan Konvolusi”. Jurnal Matematika  Sains Dan Teknologi . Vol  21(2), pp:  89-98. https://doi.org/10.33830/jmst.v21i2.1
313.2020.
Herlinawati,  Elin.  2021.  “Beberapa  sifat fungsi-fungsi Terintegralkan Henstock-Kurzweil di Ruang Berdimensi-N”. JMPM: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika .  Vol.  6  (1),  pp:  81-89. https://doi.org/10.26594/jmpm.v6i1.2 170 .
Masta,  A.A.,  Gunawan,  Hendra.,  Budhi,
W.S.  2016.  “Inclusion  Properties  of Orlicz  and  Weak  Orlicz  Spaces”. J. Math.  Fund.  Sci.  Vol.  48(3), pp:193-
203.
Piazza,  Luisa  Di.,  Musial,  kazimierz.,  dan
Marraffa,  Valeria.  2016.  “Variational henstock  Integrability  of  Banach Space Valued Functions”.
Mathematica  Bohemica.  Vol  141(2), pp:287-296.
Torres, Fransisco J.M., dan Sanches-Perales, Salvador.  2009.  “Inclusion  Relations for the Spaces L(R), HK(R) ∩ BV(R), and  L2(R)”. Russian  Journal  of Mathematical Physics . Vol. 16(2), pp: 287-289.
Varayu,  Boonpogkrong,  dan  Chew,  Tuan Seng.  2005a.  “On  Integrals  With Integrators  in 𝐵𝑉 𝜑 “. Real  analysis Excange . Vo. 30(1), pp: 193-200.
Varayu,  Boonpogkrong,  dan  Chew,  Tuan
Seng. 2005b. “The Henstock- Kurzweil Approach to Young
Integrals  with  Integrators  in 𝐵𝑉 𝜑 “.
Mathematica  Bohemica .  Vol  131(3), pp:233-260.