Vol. 11, No. 2,  149-158,  Januari  2015
UJI KESTABILAN DUA MATRIKS KORELASI MELALUI VEKTOR VARIANSI VARIABEL STANDAR
Andi waru A.Paluseri, 1 Aidawayati Rangkuti, 2 Erna Tri Herdiani 3

## Abstrak
Pengujian kestabilan matriks korelasimerupakan salah satuanalisis statistika yang memegang peranan penting dalampembangunan ekonomi danindustri keuangan.Penelitian ini bertujuan untuk membahas uji kestabilan dua matriks korelasi melalui vektor variansi variabel standar dan mengaplikasikannya pada data. Statistik penguji yang digunakan dalam penelitian ini yakni statistik yang didasarkan pada vektor variansi variabel standar (VVVS) sebagai ukuran dispersi multivariat di mana seluruh variabel yang terlibat berupa variabel standar di bawah asumsi kenormalan. Selanjutnya untuk menyelidiki variansi dari VVVS maka digunakan beberapa sifat-sifat dari matriks komutasi, dan operator . Dalam menganalisis  data digunakan alat bantu software minitab 15 dan matlab 7.11.Berdasarkan hasil eksperimen dan simulasi dalam penelitian ini menunjukkan bahwa secara umum statistik VVVS memiliki tingkat kompleksitas komputasi jauh lebih mudah dibanding dengan statistik popular lainnya. Hasil simulasi data disimpulkan bahwa  nilai  Ujian Nasional di SMP Negeri 30 Makassar Tahun Ajaran 2010/2011 dan 2011/2012 berbeda secara signifikan atau tidak  stabil.
Kata kunci : Vektor Variansi, Matriks Korelasi, Matriks Komutasi, Operator

## Abstract
Testingthe  stability  of  thecorrelation  matrixis  ast atistical  analysisplays  an  important  rolein  economic developmentand  financial  industries.  This  studyaimed  totestthe  stability  of  thetwodiscussthe  correlation matrixviastandard  variablevariancevectorand  applyingdata.Statisticstestersused  inthis  studyare  based onthestatisticalvariance  andstandard  variablevector(VVVS)  Multivariatedispersionas  a  measure  ofwhere allthe  variables  involvedin  the  form  ofstandard  variableunder  the  assumption  ofnormality.  Furthermore, toinvestigate thevarianceofVVVSthenusedsome ofthe propertiesof the matrixcommutation, andvecoperator. In analyzingthe datausedMinitab15software toolsandmatlab7.11.Based onexperimentaland simulationresultsin this studyindicatethat in generalVVVSstatisticallyhas a highcomputationalcomplexityis much  easierthanwithotherpopularstatistics.  Data  simulation  result  concluded  that  in  SMP  Negeri  30 Makassar differ significantly or unstable. 1
Keywords : Vectorof Variance, CorrelationMatrices, MatrixCommutation, VECoperator
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani

## 1. PENDAHULUAN 
Pengujian kestabilan matriks korelasimerupakan salah satuanalisis statistika yang memegang peranan    penting  dalampembangunan  ekonomi  danindustri  keuangan.  Antara  lain Cooka dkk .(2002)  melakukan  studi  kestabilan  beberapa  matriks  korelasi  antara  aset-aset  pada portofolio,Annaert dkk .,(2003)  menggunakan  kestabilan  barisan  matriks  korelasi  untuk melakukan manajemen resiko, Goetzman dkk (2005) menguji struktur korelasi dari pasar ekuitas ( equity  market )  dunia,  sedangkan  Da  Costadkk.(2005)  menggunakan  matriks  korelasi  tentang pasar saham sebagai faktor keputusan dalam menaksir resiko finansial, Chilsondkk.(2006)mengaplikasikan kestabilan matriks korelasidalamsistem komputasi paraleldenganmatrikskorelasiberdimensibesar,  dan  Fischer(2007)  melakukan  studi  tentang  asset perusahaan yang didasarkan pada kestabilan matriks-matriks korelasi.Kemudian, Herdiani (2008) memonitoring  stabilitas  barisan  matriks  korelasi  yang  diaplikasikan  pada  proses  produksi dudukan kabel tegangan tinggi (flenge) di PT PINDAD (Persero).
Beberapa  statistik  popular  yang  dibangun  dengan  menggunakan  kriteria  LRT  antara  lain adalah  statistik  Box  dan  Kullback,  statistik  Jennrich,  statistic  Ficher  dan  statistik  Schott. Kepopulerannya  terletak  pada  keefektifan  dan  kemudahan  dalam  penerapannya,    akan  tetapi pengujian  statistik    ini  menghadapi  kendala  pada  saat  variabel  yang  terlibat  berukuran    besar (Chilson, 2006) dan  (Herwindiati, 2007). Hal yang sama juga dikemukakan oleh Olivares (2000), Gande dkk (2003) dan Fischer (2007) bahwa tatkala cukup banyak  variabel yang terlibat, maka perhitungan statistik menjadi tidak praktis.
Untuk  mengatasi  hal  tersebut,  dalam  penelitian  ini  digunakan  statistik  vektor  variansi variabel-variabel standar (VVVS) sebagai dasar mengkontruksi statistik penguji untuk melihat kestabilan  matriks korelasi. Statistik VVVS dibangun berdasarkan  variansi vektor (VV) sebagai ukuran  dispersi  multivariat  seperti  yang  dikemukakan  oleh  Djauhari  dkk  (2008).  Tujuan penelitian ini untuk mengkaji rumusan alternatif variansi dari VVVS dan  menentukan pengujian hipotesis kestabilan dua matriks korelasi serta mensimulasikan ke data.
Masalah dalam penelitian ini adalah:
Andi waru A.Paluseri
Email: andi.waru@yahoo.co.id
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
a. Bagaimana membuktikan pengembangan  analisis  statistik VVVS  untuk menguji kestabilan dua matriks korelasi.
b. Bagaimana mengaplikasikan  statistik VVVS dalam menguji stabilitas dua matriks korelasi pada  data  hasil  Ujian  Nasional  SMP  Negeri  30  Makassar  Tahun  Ajaran  2010/2011  dan 2011/2012.
Tujuan Penelitiannya adalah:
a. Membuktikan  rumusan  alternatif  statistik  VVVS  untuk  menguji      kestabilan  dua  matriks korelasi.
b. Menentukan statistik pengujian hipotesis kestabilan dua matriks korelasi melalui VVVS.
c. Mengaplikasikan  uji  statistik  VVVS    pada  data    ujian  nasional  SMP  Negeri  30  Makassar tahun ajaran 2010/2011 dan 2011/2012.
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
a. Memberikan  konstribusi  pada  bidang  statistika  berkenaan  dengan  statistik  pengujian kestabilan dua matriks korelasi melalui VVVS
b. Memberikan  informasi  kepada  pihak  sekolah  yang  bersangkutan  tentang  hubungan  dari setiap  mata  pelajaran  yang  diujikan  pada  “UN”    sehingga  dapat  dibuat  kebijakan  dalam mengambil keputusan perbaikan mutu siswa.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## a. Perkalian Kronecker
Definisi 2.1
Misalkan  A dan  B  dua  buah  matriks  masing-masing  berukuran dan ,  maka
perkalian  Kronecker  ( Kronecker  product )  dari  A  dan  B  dinotasikan  sebagai ,  yaitu  suatu
matriks berukuran
didefinisikan sebagai,
[ ]
(1)
Sifat   2.1 ( Perkalian Kronecker)
Misalkan A, B dan C tiga buah matriks, dan
adalah dua buah vektor, maka berlaku
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
a. , skalar sembarang.
b. (     )       (     )   (     ) ,dengan A dan B berukuran sama
c. (     )
Sifat 2.2
Misalkan A, B, C and D adalah matriks berukuran m x r, p x k,  r x n, dan k x q , maka
(   )(   )
(2)
Sifat  2.3
Misalkan A adalah matriks dan B adalah  matriks , maka (   )     ( )  ( ) (3)

## b. Operator
Operator  yang  mentransformasikan  matriks  kedalam  bentuk  vektor  disebut  “operator vec ” disingkat “ . Mekanisme dari operator dapat diberlakukan untuk ukuran matriks apapun (Magnus & Neudecker, 1979).
Definisi 2.2
Jika  A  adalah  matriks  berukuran dengan    kolom  ke- adalah ⃗⃗ , maka
( ) adalah sebuah vektor berukuran dan dinyatakan sebagai
( )   [ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ] [ ]
(4)
(Schott, JR,1997)
C. Trace dari suatu Matriks
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
Trace adalah sebuah fungsi yang hanya terdefenisi pada matriks bujur sangkar. Jika matriks A  berukuran ,  maka  trace  dari  A  dinotasikan ( ) dan  didefenisikan  sebagai  jumlahan
dari unsur-unsur diagonal utama, yaitu ( )   ∑ (5) Definisi 2.3 Jika  matriks dan  B  masing-masing  berukuran dan ,  maka matriks bujursangkar berukuran , sehingga (  )   ∑ ∑ ∑ ∑ (  ) (6)
c. Matriks Komutasi ( Commutation matriks )
Suatu  matriks  bujur  sangkar  P  disebut  matriks  komutasi  jika  setiap  baris  dan  setiap  kolom  dari matriks  P  hanya  mengandung  sebuah  elemen  1,  dan  yang  lainnya  adalah  nol.  Matriks  Identitas termasuk salah satu matriks komutasi.

## Definisi 2.4
Misalkan adalah matriks berukuran
dengan elemen tidak nol, yaitu 1 pada posisi (  ) yakni  baris  ke-i  dan  kolom-j.  Maka  matriks  komutasi  berukuran dinotasikan  dengan dan didefenisikan sebagai
∑ ∑ ( ) (7)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini membuktikan rumusan alternatif variansi dari statistik VVVS dan menentukan pengujian hipotesis kestabilan dua matriks korelasi serta mensimulasikan ke data.
(   ( )) (   ( ))     ( )      ( )      ( ) .
Bukti
Ruas kiri dapat dituliskan sebagai berikut.
                      P vec K I P I I P P P I I K I P vec pp p p p p p p p pp p t          2 2 2 2 2 1 2 1                     P I I P P P I I K P vec I P vec p p p p p p pp t p t          2 2 2 4 1           P vec K P vec I pp p  2
Karena K pp simetris, maka
                 
  P I I P P P I I P vec K P vec p p p p p p t pp t          2 2 4 1
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
        P vec K P vec pp

## 
Berdasarkan Teorema 7.30., lihat Schott (1997, hal. 278) bahwa K pp vec(P) = vec (P t ) , maka
                    P I I P P P I I P vec P vec p p p p p p t t          2 2 4 1         t P vec P vec                           P vec P P P I P vec P vec P P P vec p p t t                       P vec P I P P P I P vec P vec P I P P P vec p p p p t p p t         
Dari sifat operator vec,           4 P Tr P vec P P P vec t   , maka
                  P vec P P P I P vec P Tr p p t 4                       P vec P I P P P I P vec P vec P I P P P vec p p p p t p p t                            P vec P P P I P vec P Tr p t t p t 4                       P vec P I P P P I P vec P vec P I P P P vec p p p p t p p t t t         
Selanjutnya, dengan menggunakan sifat kronecker (     ) diperoleh                   P vec P P P I P vec P Tr p t p t 4                       P vec P I P P P I P vec P vec P I P P P vec p p p p t p p t t                            P vec P P P vec P I P Tr p t t p 4                       P vec P I P P P vec P I P vec P I P vec P P p p p t p p p t         
Operator vec mempunyai sifat bahwa         p t p p PPI vec PPI vec P vec P I    seperti
dikemukakan dalam Teorema 7.16, Sshott (1997, hal. 263). Oleh karena itu, ruas kanan sama dengan
            3 4 P vec PPI vec P Tr p t p               p p p t p p p t PPI vec P P PPI vec PPI vec P vec      3
Karena Λ p vec (P 2 ) = vec (D p 2 ) dan Tr (A t B) = {vec(A)} t vec(B), maka diperoleh               2 2 2 2 3 3 4 p t p p p D vec P P D vec D P Tr P D Tr P Tr                P PD D Tr D vec P P D vec p p p t p 2 2 2 2  

## Terbukti bahwa
(   ( )) (   ( ))       2 3 4 2 2 2 P D Tr P D Tr P Tr p p  
Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
Misalkan adalah vector acak yang memiliki matriks korelasi sampel dengan matrix korelasi populasi ,dan ⃗ ⃗ ⃗ adalah vector acak yang memiliki matriks
korelasi sampel dengan matrix korelasi populasi .
Hipotesis yang akan di uji adalah :

## lawan

## Statitisk uji yang akan digunakan adalah
‖   ( )‖ (‖   ( )‖ )
√   (‖   ( )‖ ) →  (   ) dan ‖   ( )‖ (‖   ( )‖ ) √   (‖   ( )‖ ) →  (   )
[[‖   ( )‖ (‖   ( )‖ )]   [‖   ( )‖ (‖   ( )‖ )]]
√ [  ( )       ( )      ( ) ] [  ( )       ( )      ( ) ]
→  (   )
Di  bawah
Maka,
[‖   ( )‖ ]   [‖   ( )‖ ] √ [  ( )       ( )      ( ) ]   [  ( )       ( )      ( ) ]

## →  (   )
Data yang digunakan sebagai simulasi penggunaan uji kestabilan dua matriks korelasi adalah data sekunder yakni data hasil Ujian Nasional Tahun Ajaran 2010/2011 dan 2011/2012 SMP Negeri 30 Makassar yang terdiri dari empat mata pelajaran, yaitu Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris. Matematika, dan IPA

## Hasil penelitian menunjukkan bahwa
(   ( )) (   ( ))     ( )      ( )      ( ) .
Hipotesis yang akan di uji adalah :
lawan
Statitisk uji yang akan digunakan adalah

## Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
‖   ( )‖ (‖   ( )‖ )
√   (‖   ( )‖ ) →  (   ) dan
‖   ( )‖ (‖   ( )‖ ) √   (‖   ( )‖ ) →  (   ) sehingga
[‖   ( )‖ ] [‖   ( )‖ ] √ [  ( )    ( )   ( ) ] [  ( )    ( )   ( ) ]
Hasil simulasi data diperoleh statististik VVVS, yaitu | | Untuk , maka (       ) . Tampak bahwa | | ⁄ artinya ditolak, sehingga dapat dikatakan bahwa nilai  Ujian Nasional di SMP Negeri 30 Makassar Tahun Ajaran 2010/2011 dan 2011/2012 berbeda secara signifikan atau tidak  stabil.

## 4. KESIMPULAN
a. Telah ditunjukkan  rumusan alternatif dari variansi  VVVS yaitu
{  ( )      ( )     ( ) }
b. Statistik pengujian hipotesis kesamaan dua matriks korelasi
lawan
[‖   ( )‖ ]   [‖   ( )‖ ] √ [  ( )       ( )      ( ) ]   [  ( )       ( )      ( ) ]
dengan kriteria pengujian, jika | | ⁄ , maka H 0 ditolak pada taraf signifikan
c. Hasil simulasi data yang diperoleh dari pengujian statistik VVVS disimpulkan bahwa nilai
UN  SMP  Negeri  30  Makassar  Tahun  Ajaran  2010/2011  dan  2011/2012  adalah  berbeda secara signifikan atau tidak stabil.

## 5. REFERENSI
[1] Annaert, J., Claes, A.G.P., dan De Custer, A.J.K. (2003),  “Inter Temporal Stability of the European  Credit  Spread  Co-Mvement  Structure”. University  of  Antwerp,  Faculty  of Applied Economics in its series Working papers .

## Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
[2] Chilson,  J.,  Ng,  R.,  Wagner,  A.  dan  Zamar,  R.  (2006),  “Parallel  Computation  of  High Dimensional Robust Correlation and Covariance Matrices”, Algorithmica, Springer New York, 45(3) 403-431.
[3] Cleroux, R. (1987), “Multivariate Association and Inference Problems in Data Analysis”, Proceedings  of  the  Fifth  International  Symposium  on  Data  and  Informatics,  Vol.  1, Versailles, France.
[4] Cooka,  W.,  Mounfield,  C.,  Ormerod,  P.,  dan  Smith,  L.  (2002),  “Eigen  analysis  of  the stability and degree of information content in correlation matrices contructed from property time series data”, The European Physical Journal , B, 27, 189-195.
[5] Da  Costa,  Jr,  N.,  Nunes,  S.,  Caretta,  P.,  dan  Da  Silva,  S.  (2005),  “Stock-Market  co- movements revisited”, Economics Bulletin , 7(3), 1-9.
[6] Djauhari, M.A. (2007), “A. Measure of Data Concentration”, Journal of Probability and Statistics , vol 2, No. 2, 139-135.
[7] Djauhari,  M.A.  dan  Herdiani,  E.T.  (2008)’  “  Monitoring  the  Stability  of  Correlation Stucture in Drive Rib Production Process: An MSPCApproach”, The Open Industrial and Manufacturing Eigneering Journal , Vol. 1, 8-18.
[8] Djauhari, M.A. dan Herdiani, E.T. (2008),  “A.Test For Stability of Correlation Matrix ”. International  Conference  on  Quantitative  Methods  Used  in  Economics  and  Business , Universitas Malahayati. 83-92.
[9] Fischer, M. (2007) , “Are Correlations Constant Over Time? Application of the CC-TRIG- Test to Retum Series from Different Asset Classes”, SFB 649 Disscussion Paper 2007-012, University of Erlangen-Numberg, Germany.
[10]   Gande,  A.  dan  Parsley,  D.C.  (2002),  “News  Spillovers  in  the  Sovereign  Debt  Market”. Forthcoming Journal of Financial Economics
[11]   Goetzmann,  W.N.,  Li.,  L.,  dan  Rouwenhorst,  K.G.  (2005),  “Long-Term  Global  Market Correlation”, Journal of Business, 78(1), 1-38.
[12]   Herdiani  E.T.  (2008). Statistik  Penguji  Kestabilan  Barisan  Matriks  Korelasi ,    Disertasi, Institut Teknologi Bandung.
[13]   Herwindiati, D.E., Djauhari, M.A., dan Mashuri, M (2007), ” Robust Mulitivariate Outlier Labeling”, Communication in Statistics : Computation and simulation. 36(6), 1287-1294.
[14]   Magnus, J.R. and Neudecker, H. (1979), “The Commutation Matrix. Some Properties and Application”. The Annals of Statistic Vol 7. No. 2 381-394.
[15]   Montgomery,  D.C.  (2005) Introduction  to  Statistical  Qualiti  Control .  Fith  Edition.  John Wiley & Sons, Inc., New York.

## Andi waru A.Paluseri, Aidawayati Rangkuti, Erna Tri Herdiani
[16]   Neudecker,  H.  (dan  Wesseman,  A.M.  (1990),  “The  Asymtotic  Variance  Matrix  of  the sample correlation matrix”, Linear Algebra and Its Aplications . 127, 589-599.
[17]   Richard  and  Dean,  2002, Aplied  Multivariate  Statistical  Analysis ,  fifth  edition,  Prentice- Hall, Inc, USA
[18]   Schott, J.R. (1997). Matrix Analysis for Statistics . John Wiley & Sons, New York.
[19]   Schott,  J.R.  (2007),  “Testing  the  Equality  of  Correlation  Matrices  when  Sample Correlation  Matrices  are  Dependent”, Journal  of  Statistical  Planning  and  Inference ,  137, 1992-1997.