## APLIKASI KURVA BEZIER PADA DESAIN BOTOL MINUMAN
( Application of Bezier Curve in Design of Beverage Bottle )

## Muhammad Bagus Firman Triadi, Bagus Juliyanto, Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia E-mail: {muhammadbagusfirmantriadi9, bagus2780}@gmail.com, firdaus_u@yahoo.com
Abstract. The  beverage  bottle  consists  of  several  parts.  There  are  mouth,  neck, shoulders and body of the beverage bottle. This study aims to modeled the shape of the  beverage  bottles  use  Bezier  curves  with  degrees  less  than  or  equal  to  six (𝑛 ≤ 6) ,  for  obtain  a  varied  and  symmetrical  shape  of  the  beverage  bottles.  This research  method  are  divided  into  several  stages.  First,  modeled  the  mouth  of  the beverage bottle. Second, modeled the neck of the beverage bottle. Third, modeled the  body  of  the  beverage  bottle.  Fifth,  combined  the parts  of  the  beverage  bottle. The  results  of  this  study  was  obtained  a  procedure  for  modeled  varied  and symmetrical beverage bottles using Bezier curves with degrees less than or equal to six (𝑛 ≤ 6) .
Keywords: Beverage Bottle, Bezier Curve, Computer Aided Geometric Design MSC 2010: 51A05

## 1. Pendahuluan
Penggunaan botol minuman pada masyarakat saat ini terus meningkat. Botol minuman dianggap lebih praktis dan efisien. Botol minuman dibagi menjadi dua jenis, yaitu botol minuman  sekali  pakai  dan  botol  minuman  yang  dapat  digunakan  berulang.  Botol minuman sekali pakai memiliki sifat tidak tahan terhadap panas dan mudah rusak. Botol minuman  sekali  pakai  memiliki  kekurangan  yaitu  sifatnya  yang  sekali  pakai,  sehingga dapat  mencemari  lingkungan.  Oleh  karena  itu,  dibuatlah  botol  minuman  yang  dapat digunakan  berulang  agar  dapat  mengurangi  dampak  negatif  tersebut.  Umumnya  botol minuman  yang  dapat  digunakan  berulang  terbentuk  dari  benda  geometri  dasar  tabung atau  berbentuk  bola  dan  elipsoida.  Namun  botol  minuman  yang  dapat  digunakan berulang juga dapat dibangun melalui kurva Bezier.
Berdasarkan pemodelan yang telah dilakukan terkait dengan kurva Bezier, Maharani [1] memodelisasi  bentuk  kerajinan  keramik  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  lima. Kurva  Bezier  yang  digunakan  pada  penelitiaannya  masih  mengunakan  kurva  Bezier berderajat  lima.  Tujuan  dari  tugas  akhir  ini  adalah  untuk  memodelkan  bentuk  botol minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  kurang  dari  atau  sama  dengan  enam ( 𝑛 ≤ 6 ),  sehingga  diperoleh  bentuk  botol  minuman  yang  variatif  dan  simetris.
Aplikasi Kurva Bezier Pada Desain ........... Triadi, M.B.F., Juliyanto, B., Ubaidillah, F.
Penelitian  ini  diharapkan  dapat  menghasilkan  berbagai  bentuk  botol  minuman  yang dapat digunakan berulang yang bervariatif dan menarik minat masyarakat untuk beralih dari penggunaan botol minuman sekali pakai ke penggunaan botol minuman yang dapat digunakan berulang.

## Kurva Bezier
Menurut  Haryono  [1],  kurva  Bezier  terdiri  dari  beberapa  titik  pembentuknya  yang berjumlah 𝑛 + 1 , sehingga terdapat titik-titik 𝑷 0 sampai dengan 𝑷 𝑛 . Titik 𝑷 0 merupakan titik awal kurva dimana kurva berangkat dari titik tersebut yang melengkung ke arah 𝑷 𝑛 dan berhenti di titik tersebut. Kurva Bezier derajat 𝑛 dinyatakan dalam bentuk:
𝑪(𝑡) = ∑ 𝐏 𝑖 𝐵 𝑖 𝑛 (𝑡) 𝑛 𝑖=0
untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 , dengan:
𝑪(𝑡) = 〈𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)〉 , 𝑡 ∈ [0,1] 𝐵 𝑖 𝑛 (𝑡) = 𝐶 𝑖 𝑛 (1 − 𝑡) 𝑛−𝑖 . 𝑡 𝑖 , 𝑡 ∈ [0,1] 𝐶 𝑖 𝑛 = 𝑛! 𝑖!(𝑛−𝑖)! 𝐏 𝑖 = titik tetap dan kontrol kurva 𝑪(𝑡) (Kusno, [2])
Berikut merupakan persamaan kurva Bezier berderajat 𝑛 :
1. Persamaan kurva Bezier 𝑛 = 2
𝑪(𝑡) = ( 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 ) (1 − 𝑡) 2 + ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ) (2𝑡(1 − 𝑡)) + ( 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) 𝑡 2
2. Persamaan kurva Bezier 𝑛 = 3
𝑪(𝑡) = ( 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 ) (1 − 𝑡) 3 + ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ) (3𝑡(1 − 𝑡) 2 ) + ( 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) (3𝑡 2 (1 − 𝑡)) + ( 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 ) 𝑡 3
3. Persamaan kurva Bezier 𝑛 = 4
𝑪(𝑡) = ( 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 ) (1 − 𝑡) 4 + ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ) (4𝑡(1 − 𝑡) 3 ) + ( 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) (6𝑡 2 (1 − 𝑡) 2 ) + ( 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 ) (4𝑡 3 (1 − 𝑡)) + ( 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 ) 𝑡 4
4. Persamaan kurva Bezier 𝑛 = 5
𝑪(𝑡) = ( 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 ) (1 − 𝑡) 5 + ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ) (5𝑡(1 − 𝑡) 4 ) + ( 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) (10𝑡 2 (1 − 𝑡) 3 ) + ( 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 ) (10𝑡 3 (1 − 𝑡) 2 ) + ( 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 ) (5𝑡 4 (1 − 𝑡)) + ( 𝑥 5 𝑦 5 𝑧 5 ) 𝑡 5
5. Persamaan kurva Bezier 𝑛 = 6
𝑪(𝑡) = ( 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 ) (1 − 𝑡) 6 + ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ) (6𝑡(1 − 𝑡) 5 ) + ( 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 ) (15𝑡 2 (1 − 𝑡) 4 ) + ( 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 ) (20𝑡 3 (1 − 𝑡) 3 ) + ( 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 4 ) (15𝑡 4 (1 − 𝑡) 2 ) + ( 𝑥 5 𝑦 5 𝑧 5 ) (6𝑡 5 (1 − 𝑡)) + ( 𝑥 6 𝑦 6 𝑧 6 ) 𝑡 6

## 2. Metodologi
Metode  penelitian  yang  digunakan  untuk  memodelkan  bentuk  botol  minuman menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  kurang  dari  atau  sama  dengan  enam  ( 𝑛 ≤ 6 ) diuraikan sebagai berikut.
1. Menentukan  sebuah  segmen  garis  pada  sumbu- 𝑧 dan  membaginya  menjadi  empat bagian.
2. Mentranslasi titik-titik dari hasil (a) sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 .
3. Mengkonstruksi  kurva  batas  bagian-bagian  botol  minuman  menggunakan  segmen garis dan kurva Bezier berderajat kurang dari atau sama dengan enam dengan rincian yaitu kurva batas mulut botol minuman berupa segmen garis, kurva batas leher botol minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  dua,  kurva  batas  bahu  botol minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  tiga,  kurva  batas  badan  botol minuman menggunakan kurva Bezier berderajat empat, lima dan enam.
4. Memutar kurva batas pada tiap bagian-bagian botol minuman terhadap sumbu- 𝑧 .
5. Menambahkan  kurva  Helix  sebagai  drat  pada  bagian  mulut  botol  minuman  dan lingkaran sebagai alas pada bagian badan botol minuman.
6. Menggabungkan bagian-bagian botol minuman menjadi botol minuman utuh.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## Modelisasi Mulut Botol Minuman
Diberikan  segmen  garis 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dengan 1,5 ≤ |𝐴𝐵 ̅̅̅̅| ≤ 2 𝑐𝑚 pada  sumbu- 𝑧 .  Berdasarkan data tersebut dimodelisasi beragam bentuk mulut botol minuman menggunakan segmen garis dan kurva Helix. Uraian detailnya sebagai berikut (Gambar 1).
1. Titik 𝐴 dan 𝐵 ditranslasi  (digeser)  sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 .  Penggeseran  ini dimaksudkan  agarbotol  minuman  yang  akan  dimodelisasi  memiliki  bentuk  yang proporsional.  Misalkan  titik 𝐴(0; 0; 𝑧 1 ) dan 𝐵(0; 0; 𝑧 2 ) pada  sumbu- 𝑧 ditranslasi sejauh 𝑘 = 2 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 ,  sehingga  diperoleh  titik  bayangannya  yaitu 𝐴′(0; 2; 𝑧 1 ) dan 𝐵′(0; 2; 𝑧 2 ) .
2. Modelisasi kurva batas mulut botol minuman menggunakan segmen garis 𝐴′𝐵′ ̅̅̅̅̅̅ .
3. Memutar  kurva  batas  mulut  botol  minuman  yang  telah  diperoleh  melalui  sumbu putar sumbu- 𝑧 .
4. Menambahkan drat pada mulut botol minuman menggunakan kurva Helix.

## Gambar 1. Langkah-langkah modelisasi mulut botol minuman

## Modelisasi Leher Botol Minuman
Diberikan  segmen  garis 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ dengan 0,5 ≤ |𝐵𝐶 ̅̅̅̅| ≤ 1 𝑐𝑚 pada  sumbu- 𝑧 .  Berdasarkan data  tersebut  dimodelisasi  beragam  bentuk  leher  botol  minuman  menggunakan  kurva Bezier berderajat dua. Uraian detailnya sebagai berikut (Gambar 2).
1. Titik 𝐵 dan 𝐶 ditranslasi  (digeser)  sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 .  Penggeseran  ini dimaksudkan  agar  botol  minuman  yang  akan  dimodelisasi  memiliki  bentuk  yang proporsional.  Misalkan  titik 𝐵(0; 0; 𝑧 2 ) dan 𝐶(0; 0; 𝑧 3 ) pada  sumbu- 𝑧 ditranslasi sejauh 𝑘 = 2 𝑐𝑚 dan 2 ≤ 𝑘 ≤ 2,5 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 ,  sehingga  diperoleh  titik bayangannya yaitu 𝐵′(0; 2; 𝑧 2 ) dan 𝐶′(0; 𝑘; 𝑧 3 ) .
2. Modelisasi  kurva  batas  leher  botol  minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat dua.
3. Memutar kurva batas leher botol minuman yang telah diperoleh melalui sumbu putar sumbu- 𝑧 .
Gambar 2. Langkah-langkah modelisasi leher botol minuman

## Modelisasi Bahu Botol Minuman
Diberikan segmen garis 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ dengan 1 ≤ |𝐶𝐷 ̅̅̅̅| ≤ 2 𝑐𝑚 pada sumbu- 𝑧 . Berdasarkan data tersebut dimodelisasi beragam bentuk bahu botol minuman menggunakan kurva Bezier berderajat tiga. Uraian detailnya sebagai berikut (Gambar 3).
1. Titik 𝐶 dan 𝐷 ditranslasi  (digeser)  sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 .  Penggeseran  ini dimaksudkan  agar  botol  minuman  yang  akan  dimodelisasi  memiliki  bentuk  yang proporsional.  Misalkan  titik 𝐶(0; 0; 𝑧 3 ) dan 𝐷(0; 0; 𝑧 4 ) pada  sumbu- 𝑧 ditranslasi sejauh 2 ≤ 𝑘 ≤ 2,5 𝑐𝑚 dan 2,5 ≤ 𝑘 ≤ 3 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 ,  sehingga  diperoleh titik bayangannya yaitu 𝐶′(0; 𝑘; 𝑧 3 ) dan 𝐷′(0; 𝑘; 𝑧 4 ) .
2. Modelisasi  kurva  batas  bahu  botol  minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat tiga.
3. Memutar kurva batas bahu botol minuman yang telah diperoleh melalui sumbu putar sumbu- 𝑧 .
Gambar 3.  Langkah-langkah modelisasi bahu botol minuman

## Modelisasi Badan Botol Minuman
Diberikan  segmen  garis 𝐷𝐸 ̅̅̅̅ dengan 17 ≤ |𝐷𝐸 ̅̅̅̅| ≤ 20 𝑐𝑚 pada  sumbu- 𝑧 .  Berdasarkan data  tersebut  dimodelisasi  beragam  bentuk  mulut  botol  minuman  menggunakan  kurva Bezier  berderajat  empat  (Gambar  4),  lima  (Gambar  5)  dan  enam  (Gambar  6).  Uraian detailnya sebagai berikut.
1. Titik 𝐷 dan 𝐸 ditranslasi  (digeser)  sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah  sumbu- 𝑦 .  Penggeseran  ini dimaksudkan  agar  botol  minuman  yang  akan  dimodelisasi  memiliki  bentuk  yang proporsional.  Misalkan  titik 𝐷(0,0, 𝑧 4 ) dan 𝐸(0,0, 𝑧 5 ) pada  sumbu- 𝑧 ditranslasi sejauh 2,5 ≤ 𝑘 ≤ 3 𝑐𝑚 dan 3 ≤ 𝑘 ≤ 4 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 , sehingga diperoleh titik bayangannya yaitu 𝐷′(0; 𝑘; 𝑧 4 ) dan 𝐸′(0; 𝑘; 𝑧 5 ) .
2. Modelisasi kurva batas badan botol minuman menggunakan kurva Bezier berderajat empat, lima dan enam.
3. Memutar  kurva  batas  badan  botol  minuman  yang  telah  diperoleh  melalui  sumbu putar sumbu- 𝑧 .
4. Menambahkan lingkaran sebagai alas botol minuman.
Gambar  4.    Langkah-langkah  modelisasi  badan  botol  minuman  menggunakan  kurva Bezier berderajat empat
Aplikasi Kurva Bezier Pada Desain ........... Triadi, M.B.F., Juliyanto, B., Ubaidillah, F.
Gambar 5.   Langkah-langkah modelisasi badan botol minuman menggunakan kurva Bezier berderajat lima
Gambar 6. Langkah-langkah modelisasi badan botol minuman menggunakan kurva Bezier berderajat enam

## Penggabungan Bagian-bagian Botol Minuman
Penggabungan  botol  minuman  secara  utuh  diperlukan  unsur  kesimetrisan  melalui  satu sumbu pemodelan kearah vertikal dengan panjang 20 ≤ 𝑡 ≤ 25 𝑐𝑚 , 𝑡 sebagai panjang sumbu  pemodelan.  Penggabungan  bagian-bagian  botol  minuman  memiliki  urutan  dan ukuran  masing-masing  yaitu  mulut  botol  minuman 1,5 ≤ 𝑡 𝑚𝑢𝑙𝑢𝑡 ≤ 2 𝑐𝑚 ,  leher  botol minuman 0,5 ≤ 𝑡 𝑙𝑒ℎ𝑒𝑟 ≤ 1 𝑐𝑚 , bahu botol minuman 1 ≤ 𝑡 𝑏𝑎ℎ𝑢 ≤ 2 𝑐𝑚 dan badan botol minuman 17 ≤ 𝑡 𝑏𝑎𝑑𝑎𝑛 ≤ 20 𝑐𝑚 .  Langkah  selanjutnya  yaitu  menggabungkan  bagian- bagian tersebut menjadi  botol minuman yang utuh dengan mengisikannya pada sumbu pemodelan. Pengisian bagian-bagian botol minuman pada sumbu pemodelan dilakukan dengan cara mengisi bagian yang paling bawah terlebih dahulu. Penggabungan bagian- bagian  botol  minuman  harus  memperhatikan  jari-jari (𝑟) pada  tiap  bagian  botol minuman.  Jari-jari (𝑟) atas  kurva  batas  bagian  bawah  harus  sama  dengan  jari-jari (𝑟) bawah  kurva  batas  bagian  atasnya.  Berikut  merupakan  hasil  penggabungan  bagian- bagian botol minuman (Gambar 7).
Gambar 7.  Hasil penggabungan bagian-bagian botol minuman

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  memodelkan  botol minuman  menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  kurang  dari  atau  sama  dengan  enam ( 𝑛 ≤ 6 ), prosedurnya sebagai berikut.
Pertama, memodelisasi mulut botol minuman dengan menentukan sebuah segmen garis pada sumbu- 𝑧 . Kemudian mentranslasi titik-titik tersebut sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 . Langkah  selanjutnya  yaitu  mengkonstruksi  kurva  batas  mulut  botol  minuman menggunakan  sebuah  segmen  garis.  Kurva  batas  mulut  botol  minuman  tersebut kemudian terhadap sumbu- 𝑧 .  Langkah terakhir  yaitu menambahkan drat  menggunakan kurva Helix.
Kedua,  memodelisasi  leher  botol  minuman  dengan  menentukan  sebuah  segmen  garis pada sumbu- 𝑧 . Kemudian mentranslasi titik-titik tersebut sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 . Langkah  selanjutnya  yaitu  mengkonstruksi  kurva  batas  leher  botol  minuman menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  dua.  Kurva  batas  leher  botol  minuman  tersebut kemudian terhadap sumbu- 𝑧 .
Ketiga,  memodelisasi  bahu  botol  minuman  dengan  menentukan  sebuah  segmen  garis pada sumbu- 𝑧 . Kemudian mentranslasi titik-titik tersebut sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 . Langkah  selanjutnya  yaitu  mengkonstruksi  kurva  batas  bahu  botol  minuman menggunakan  kurva  Bezier  berderajat  tiga.  Kurva  batas  leher  botol  minuman  tersebut kemudian terhadap sumbu- 𝑧 .
Keempat, memodelisasi badan botol minuman dengan menentukan sebuah segmen garis pada sumbu- 𝑧 . Kemudian mentranslasi titik-titik tersebut sejauh 𝑘 𝑐𝑚 searah sumbu- 𝑦 . Langkah  selanjutnya  yaitu  mengkonstruksi  kurva  batas  badan  botol  minuman menggunakan kurva Bezier berderajat empat, lima dan enam. Kurva batas badan botol minuman  tersebut  kemudian  terhadap  sumbu- 𝑧 .  Langkah  terakhir  yaitu  menambahkan alas botol minuman menggunakan lingkaran.
Kelima,  menggabungkan  bagian-bagian  botol  minuman  menjadi  botol  minuman  utuh dengan  memperhatikan  unsur  kesimetrisan  melalui  satu  sumbu  pemodelan  kearah vertikal  dan  mengisikan  bagian-bagian  botol  minuman  dengan  cara  mengisi  bagian yang paling bawah terlebih dahulu. Penggabungan bagian-bagian botol minuman harus memperhatikan  jari-jari (𝑟) pada  tiap  bagian  botol  minuman.  Jari-jari (𝑟) atas  kurva batas bagian bawah harus sama dengan jari-jari (𝑟) bawah kurva batas bagian atasnya. Sehingga dihasilkan botol minuman yang proporsional dan simetris.

## Daftar Pustaka
[1] Haryono, A. (2014). Studi Pembentukan Huruf Font dengan Kurva Bezier. Jurnal TEKNIKA . 69-78.
[2] Kusno.  (2009). Geometri  Rancang  Bangun:  Studi  tentang  Desain  dan  Pemodelan Benda  dengan  Kurva  dan  Permukaan  Berbantu  Komputer .  Jember:  Jember University Press.
[3] Maharani, N. (2016). Aplikasi Kurva Bezier Berderajat Lima Hasil dari Modifikasi Kurva  Kuartik  pada  Desain  Keramik. Skripsi .  Malang:  Fakultas  Sains  dan Teknologi Universitas Negeri Maulana Malik Ibrahim.