## RANCANG BANGUN BENTUK PIPA EVOLUTIF
(Design Of Evolutive Pipe Shape)
Kusno,  Rusli Hidayat, Bagus Julianto Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, kusno.fmipa@unej.ac.id
Abstact : We formulate evolution tube defined by Bezier dan natural curve in three steps as the following. Firstly, calculating the parametric surfaces of Bezier and natural evolution tube defined  by  Serret  Frenet  frame  is  done.  Secondly,  we  formulate  parametric  continuity  for joining the tubes. Finally, the application of those formulas for modeling the tubes by using computer are simulated.
Keywords : Evolution tubes, Serret Frenet frame, continuity,  joining the tubes. MSC 2020 : CIS- 298430
1. Pendahuluan
Rancang bangun bentuk pipa pada sistem aliran fluida/gas dapat dibangun dari keluarga tabung/silinder, torus dan sebagian dari potongan kerucut. Bentuk-bentuk ini terdefinisi dari formulasi matematis benda standar dalam penyajian implisit ataupun dapat berupa perumusan parametrik. Namun karena alasan untuk meningkatkan efisiensi proses dan kualitas  hasil  produksi,  diperlukan  selanjutnya  komponen  rangkaian  pipa  berbentuk hampir silinder, kapsul ataupun model tabung evolutif. Kendalanya adalah teknik desain sketsa/denah dan model wireframe yang  saat ini sering digunakan untuk rancang bangun bentuk  pipa,  umumnya  dapat  menjawab  aspek  visualisasi  model,  tetapi  untuk  aspek fabrikasi  benda  aslinya,  belum  dapat  memberikan  ukuran  benda  secara  pasti/optimal. Oleh  sebab  itu  untuk  perspektif  pengembangan  teknik  konstruksi  pemodelan  bentuk- bentuk  pipa  ke  depan,  diperlukan  studi formulasi  geometrik  konstruksi  bentuk  pipa evolutif guna  dapatnya  memodelisasi  dan  mendeteksi  kepastian  ukuran  setiap  bagian pipa/benda yang dikonstruksi/dibutuhkan.
Desain  rancang  bangun  bentuk  pipa  banyak  menggunakan  teknik  penggabungan beberapa  potongan  tabung/silinder  maupun  torus.  Namun  dalam  kenyataannya,  agar bagian  interior/eksterior  rangkaian  pipa  dapat  halus  dan  memiliki  kekuatan  tekan  atas gerakan fluida/gas, teknik desain yang diperkenalkan masih banyak berfokus pada bentuk pipa  yang  homogen  (baik  ketebalan  ataupun  penampangnya)  tanpa  memperhitungkan persoalan perlunya variasi panjang jari-jari tabung guna mendukung kekuatan pipa. Oleh sebab itu, untuk solusi masalah tersebut, diperlukan studi tentang penggabungan kontinyu dua pipa berdekatan.
Di  lain  pihak,  dalam  pengembangan  industri  berbasis  rangkaian  aliran  fluida/gas, diperlukan teknik desain rancang bangun bentuk pipa yang mampu melakukan  efisiensi
dan  efektifitas  sistem  produksi  dan  kontrol  penggunaan  (volume)  fluida  saat  proses fabrikasi. Oleh karena itu lebih lanjut, diperlukan tidak hanya studi tentang teknik hitung sistem  pengaturan  ruang  fabrikasi,  tetapi  juga  dalam  hal  hitung  kontrol  output  fluida sesuai  dengan  yang  diinginkan  maupun  untuk  perhitungan  konservasi  volume  benda (dalam kasus benda padat diperkenalkan oleh Aumann [1]). Mengingat  permasalahan- permasalahan desain rancang bangun bentuk pipa pada sistem aliran fluida/gas tersebut, dalam paper ini dibahas beberapa teknik desain bentuk pipa evolutif jari-jari homogen beserta hitung kekontinyuannya.

## 2. Hasil Dan Pembahasan
Kurva Bezier parametrik derajat n dinyatakan dalam bentuk ([3],[4]):
C ( u )  =   n i i 0 P i n B ( u )   dan  0  u  1 (1a)
dengan i n B ( u )  = i i n n i u u C . ) 1 (   dan
)! ( ! ! i n i n C n i   .
Dalam persamaan (1), titik-titik P i disebut koefisien geometrik atau titik kontrol kurva C ( u ). Dalam hal  kurva  Bezier berbentuk kubik  maka derivasi  kurva terhadap variabel parameter u dapat diuraikan sebagai berikut
C 3 ( u ) = P 0 (1 – u ) 3 + 3 P 1 (1 – u ) 2 . u + 3 P 2 (1- u ). u 2 + P 3 u 3 (1b)
C 3 ’ ( u )  = P = 3 ( P 1 – P 0 ) (1 – u ) 2 + 2 ( P 2 – P 1 ) (1 – u ). u + 3 ( P 3 – P 2 ). u 2 (1c) C 3 ’’ ( u ) = Q = 6 [ ( P 2 – 2 P 1 + P 0 ).(1 – u ) + ( P 3 – 2 P 2 + P 1 ). u ]. (1d)
Oleh  sebab  itu  jika  dari bentuk  (1c)  notasi P x , P y ,  dan P z masing-masing  merupakan komponen skalar untuk vektor basis i , j dan k dari vektor singgung kurva C ( u ), maka dapat diperoleh bentuk vektor singgung satuan kurva dari bentuk Serret Frenet sebagai berikut ([5],[6]):
T ( u ) = C ’( u ) = s u P u P u P z y x   ) ( ), ( ), ( (2)
dengan s = ( P x 2 + P y 2 + P z 2 ) 1/2 . Penyajian vektor normal dari kurva diperoleh
N (u) = C ’’( u ) = 2 ' . . ,' . . ,' . . s s P s Q s P s Q s P s Q z z y y x x      . (3)
Dengan  demikian  vektor  binormal B ( u )  dari  kurva C ( u )  dapat  ditentukan  melalui perhitungan
B ( u ) = 2 2 2 ' . . ' . . ' . . / / / s s P s Q s s P s Q s s P s Q s P s P s P z z y y x x z y x    k j i
. (4)
Berdasarkan teknik hitung penyajian bentuk trihedron kurva Bezier kubik dalam formula
(2),  (3),  dan  (4)  maupun  untuk  penyajian  kurva  natural,  selanjutnya  dapat  dilakukan evaluasi  konstruksi  tabung evolutif  dari  beberapa  jenis  derajat  kurva  dan  tipe  pipa berikut.

## Hitung Tabung Evolutif Jari-jari Homogen
Andaikan kurva Bezier Kuadratik
C 2 ( u )  =   2 0 i i P B i 2 ( u )   dan  0  u  1,
maka diperoleh:
1) Turunan pertama Bezier Kuadratik P x = 2(( P 1x - P 0x ).(1- u ) + ( P 2x - P 1x ). u );
P y = 2(( P 1y - P 0y ).(1- u ) + ( P 2y - P 1y ). u ); P z = 2(( P 1z - P 0z ).(1- u ) + ( P 2z - P 1z ). u );
2) Vektor satuan singgung t dari kurva Bezier Kuadratik:
t x = P x/( P x . P x + P y . P y + P z . P z ) 1/2 ; t y = P y/( P x . P x + P y . P y + P z . P z ) 1/2 ; t z = P z/( P x . P x + P y . P y + P z . P z ) 1/2 ;
3) Vektor normal N ditentukan sebagai:
r =( P x . P x + P y . P y + P z . P z ) 1/2 ;
r 1 =0.5.(2. P x.2.( P 2x -2 P 1x + P 0x )+
2. P y. 2.( P 2y -2 P 1y + P 0y )+ 2. P z. 2.( P 2z -2 P 1z + P 0z ))/ r ; n x =(2.( P 2x -2 P 1x + P 0x ). r - r 1 . P x )/ r 2 ; n y =(2.( P 2y -2 P 1y + P 0y ). r - r 1 . P y )/ r 2 ; n z =(2.( P 2z -2 P 1z + P 0z ). r - r 1 . P z )/ r 2 ;
4) Vektor Binormal B dan panjang dari vektor N dan B dari kurva Bezier Kuadratik: b x =-( t y . n z - n y . t z ); b y =-( n x . t z - t x . n z ); b z =-( t x . n y - n x . t y ); P N =( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) 1/2 ; P B =( b x 2 + b y 2 + b z 2 ) 1/2 .
Dengan  demikian  tabung  evolutif  dari  pembangkit  kurva  kuadratik  jari-jari r dapat dirumuskan sebagai:
T 2 ( u , v ) =   2 0 i i P B i 2 ( u )  + r .(( N / P N ).cos( v )+( B / P B ).sin( v )) (5)
dengan 0  u  1 dan 0  v  2  . Dalam kasus ini jari-jari tabung r dipilih konstan. Jika titik-titik kontrol Bezier dipilih
P 0x = -12 ; P 1x = 2; P 2x = 10; P 0y =  0 ; P 1y = -2; P 2y = 5; P 0z =  9 ; P 1z = -12; P 2z = 10, maka hasilnya seperti disajikan dalam Gambar 1.
r = 2 r = 5
Gambar 1. Tabung evolutif dari kurva bezier kuadratik jari-jari konstan
Untuk  kurva  Bezier  derajat  n  dengan  vektor-vektor  normal  dan  binormalnya  masing- masing adalah N dan B , maka bentuk (5) dapat diperumum menjadi
T n (u,v) =   n i i 0 P B n i ( u )  + r .( N / P N ).cos( v )+( B / P B ).sin( v )). (6)
Dengan mengambil harga n = 3 untuk persamaan (6), yaitu kurva Bezier kubik, contoh hasilnya dapat dilihat dalam Gambar 2 berikut.
a) b)
Gambar 2. Tabung evolutif dari kurva bezier kubik

## Kontruksi Tabung Evolutif Model Pilin/Puntir
Dalam kontruksi tabung evolutif model pilin/puntir, dapat dilakukan dengan pendekatan aproksimasi  dan  eksak.  Pendekatan  pertama  dilakukan  melalui  penentuan  titik-titik kontrol sepanjang  sekitar kurva pusat tabung yang bentuknya pilin/puntir. Pendekatan kedua dilakukan dengan hitung eksak yaitu menggunakan formula natural dari heliks dan torus  serta  gabungannya.  Hitung  tabung  evolutif  untuk  heliks  terformulasi  sebagai berikut . Andaikan kurva heliks
C H ( u ) = < p .cos( u ), p .sin( u ), q . u > dengan 0  u  1 dan skalar-skalar vektor singgung satuan serta normalnya adalah
H x = - p .sin( u )/ s ; H y = p .cos( u )/ s ; H z = q / s ; K x = p .cos( u )/ s ; K y = p .sin( u )/ s ; K z = 0; dengan s =(p 2 + q 2 ) 1/2 , maka didapat skalar untuk vektor binormalnya berupa
b x =-( H y . K z - K y . H z ); b y =-( K x . H z - H x . K z ); b z =-( H x . K y - K x . H y ); dan panjang vektor normal dan binormal sebagai:
H n = ( K x . K x + K y . K y + K z . K z ) 1/2 H b = ( b x . b x + b y . b y + b z . b z ) 1/2 .
Oleh karena itu formula untuk tabung pilin  yang terkonstruksi dari kurva heliks dapat dinyatakan sebagai
T L (u,v):=  < p .cos( u )+ r .(((1/ H n ). K x ).cos( v )+((1/ H b ). b x ).sin( v )),
p .sin( u )  + r .(((1/ H n ). K y ).cos( v )+((1/ H b ). b y ).sin( v )),
q . u + r .(((1/ H n ). K z ).cos( v )+((1/ H b ). b z ).sin( v ))> (7)
dengan 0  u  1 dan 0  v  2  . Dengan mengambil harga p dan q bernilai 3, didapat bentuk seperti terlihat pada Gambar 3.
a) b)
Gambar 3. Tabung evolutif pilin dari kurva heliks

## Kondisi Kontinyu Penggabungan Dua Tabung Evolutif
Pada bagian ini, kita evaluasi beberapa penggabungan antara dua tabung (lurus), tabung dengan tabung evolutif dan penggabungan antar dua tabung evolutif. Uraian detailnya sebagai berikut. Andaikan suatu vektor satuan E dan dua vektor satuan N dan B yang masing-masing  tegak  lurus  pada  vector E .  Maka  dapat  dirumuskan  suatu  tabung terpancung dengan jari-jari lingkaran alas r , berketinggian a dan pemilihan parameter sudut pancungan   0,5  dalam bentuk interpolasi linier u  pada interval  0  u  1 dan 0  v  2  berikut:
T L ( u , v ) = r .[ u .{ cos v . N +  sin v . B } + (1- u ).{( a + sin  ) . E + N ).cos v + sin v . B }]. (8)
Jika dipilih  = 0.5  , a = 4 dan 0  v  2  , maka akan diperoleh bentuk seperti terlihat pada  Gambar  4a.  Dengan  memilih  titik  pusat  penyabungan,  beberapa  komposisi pasangan harga  , a ,  dan v yang sesuai  untuk  membentuk  model tabung terpancung, maka penyambungan tabung dapat dilaksanakan baik untuk penyambungan pertemuan 3 tabung ataupun 4 tabung  (seperti dalam Gambar 4b,c).
a) b) c)

## Gambar 4. Penyambungan antar tabung lurus
Dalam  hal  penyambungan  2  tabung  yang  berupa  tabung  lurus  bentuk  persamaan  (8) dengan tabung Bezier persamaan (6), maka kondisi kontinyu penyambungan yang harus dipenuhi adalah([2],[4]):
a) pusat lingkaran T L (1, v ) dan T n (0, v ) untuk 0  v  2  sama
b) panjang jari-jari pada masing-masing tabung di T L (1, v ) dan T n (0, v ) sama
c) arah vektor satuan E dari tabung T L (u, v ) searah dengan T n ’ (0, v ).
Dalam  Gambar  5  diperlihatkan  gabungan  antara  tabung  lurus  dengan  tabung  evolutif Bezier.

## Gambar 6. Penyambungan antara tabung lurus dan evolutif bergelembung
Andaikan 2 (dua) tabung Bezier berderajat sama dari persamaan (6), yaitu T n_1 ( u , v ) dan T n_2 ( u , v ), maka untuk mendapatkan kontinyu penyambungan order satu sepanjang 0  v  2  harus dipenuhi:
a) pusat lingkaran T n_1 (1, v )  dan T n_2 (0, v )  untuk 0  v  2  sama;
b) panjang jari-jari tabung di T n_1 (1, v )  dan T n_2 (0, v )  sama.
c) turunan pertama terhadap parameter u memenuhi T n_1 u (1, v )  = T n_2 u (0, v ), yaitu vektor: ( P n_1, n - P n_1, n-1 ) = ( P n_2, 1 - P n_2, 0 ).
Contoh  dari hasil penyambungan dua tabung evolutif Bezier menurut kondisi tersebut diperlihatkan seperti dalam Gambar 7.
a) b)
Gambar 7. Penyambungan antara dua tabung evoluti Bezier

## 3. Kesimpulan
Dari uraian di bagian pembahasan dan penerapan programasi untuk tabung evolutif, dapat disimpulkan sebagai berikut:
a. beragam bentuk pipa evolutif  dapat didesain melalui kontrol bentuk kurva pusat pipa.
b. rangkaian pipa evolutif kontinyu order satu dapat dibangun melalui penggabungan beberapa barisan potongan pipa dimaksud dengan syarat, pertama, gabungan kurva pusatnya  secara  berurutan  kontinyu  dan  jari-jari  pipa  di  masing-masing    titik sambungannya berukuran sama.

## Ucapan Terima Kasih
Tim  Peneliti  mengucapkan  terima  kasih  kepada  semua  pihak  yang  telah  membantu terlaksananya kegiatan penelitian Fundamental khususnya kepada institusi DP2M Dikti yang telah memberikan dukungan dana dengan kontrak kerja tahun anggaran 2008.

## Daftar Pustaka
[1] Aumann,  G.,  (1992).  Two  Algorithms  for  Volume-preserving  Approximations  of Surfaces of Revolution, Computer Aided Design, Volume 24 (P. 649-657).
[2] Du,  W.H.,  Schmitt,  F.J.M.,  (1990).  On  the  G 1 Continuity  of  Piecewise  Bezier Surfaces: a Review with New Results . Computer Aided Design, , Volume 22, No.9 (P.556-571).
[3] Kusno,  Hidayat  R.,  Julianto,  B.  (2008).  Studi  Geometri  Rancang  Bangun  Bentuk Pipa  Evolutif  Bahan  Besi,  Gelas  dan  Plastik (Laporan  Penelitian  Hibah Fundamental). Lemlit UNEJ.
[4] Kusno,  (2010).  Geometri  Rancang  Bangun  (Studi  tentang  Desain  dan  Pemodelan Benda dengan Kurva dan Permukaan Berbantu Komputer). Jember University Press, Universitas Jember.
[5] Leon, J.C. (1991). Modelisation et Construction de Surfaces pour la CFAO. Hermes, Paris-France.
[6] Lipcchutz,  M.M.  --.  Theory  and  Problems  of  Differential  Geometry,  Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York.