## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 1, No. 1, 2019, pp. 19-33.

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Penyakit Ebola dengan Penanganan Medis
Sofita Suherman 1 , Fatmawati 2,* & Cicik Alfiniyah 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo, Surabaya
*Corresponding author: fatmawati@fst.unair.ac.id
Abstract. Ebola  disease  is  one  of  an  infectious  disease  caused  by  a  virus.  Ebola  disease  can  be transmitted  through  direct  contact  with  Ebola’s  patient,  infected  medical  equipment,  and  contact with the deceased individual. The purpose of this paper is to analyze the stability of equilibriums and to apply the optimal control of treatment on the mathematical model of the spread of Ebola with medical treatment. Model without control has two equilibria, namely non-endemic equilibrium (𝐸 0 ) and endemic equilibrium (𝐸 1 ). The existence of endemic equilibrium and local stability depends on the basic reproduction number (𝑅 0 ) . The non-endemic equilibrium is locally asymptotically stable if 𝑅 0 < 1 and endemic equilibrium tend to asymptotically stable if 𝑅 0 > 1 . The problem of optimal control is then solved by Pontryagin’s Maximum Principle. From the numerical simulation result, it is found that the control is effective to minimize the number of the infected human population and the number of the infected human with medical treatment population compare without control.
Keywords: mathematical model; Ebola disease; medical treatment; stability; optimal control.

## 1 Pendahuluan
Berbagai  penyakit  disebabkan  oleh  virus,  bakteri  dan  berbagai  hal.  Penyakit  ebola merupakan  salah  satu  penyakit  yang  disebabkan  oleh  virus.  Virus  ebola  dari  genus Ebolavirus dan  familia Filoviridae adalah  virus  yang  menyebabkan  penyakit  ebola. Penyakit ebola ini pertama kali muncul pada tahun 1976 di Sudan, dan Yambuku, Kongo serta terjadi di desa sekitar sungai Ebola, sehingga menjadikan nama penyakit ini [1].
Masa inkubasi dari virus ebola terjadi antara 2 hingga 21 hari [2]. Gejala awal penderita ebola berupa demam mendadak, sakit kepala, nyeri otot, dan menggigil. Penderita ebola bisa  mengalami  pendarahan  internal  yang  mengakibatkan  diare,  muntah,  batuk  darah, kegagalan organ hingga kematian. Resiko kematian dari penyakit ebola ini cukup tinggi berkisar antara 50-90% pada manusia [1].
Penanganan  untuk  penyakit  ebola  dengan  cara  pemberian  oralit  yang  mengandung elektrolit, karena hingga saat ini masih dilakukan penelitian untuk obat yang efektif dalam menyembuhkan penyakit ini. Penanganan medis pada pasien adalah perawatan intensif
dalam penguatan sistem imun penderita agar tidak menimbulkan kegagalan fungsi organ pada pasien [1].
Penyebaran penyakit ebola terbesar terjadi di Afrika Barat terutama di Guinea, Liberia dan  SierraLeone  [2].   Penularan  penyakit  ini  disebabkan  oleh  adanya  kontak  langsung dengan  cairan  tubuh,  sekresi,  organ-organ,  darah,  dan  permukaan  dari  barang-barang yang  terkontaminasi.  Penularan  tidak  hanya  terjadi  dari  penderita  yang  masih  hidup, penderita yang telah meninggal juga dapat menularkan penyakit. Hal ini mengakibatkan penguburan  yang  benar  oleh  pihak  medis  sangat  penting  dalam  pencegahan  penularan penyakit  [1].  Penularan  juga  dapat  terjadi  melalui  pasien  yang  dirawat  di  rumah  sakit diakibatkan  buruknya  teknik  perawatan  dan  penggunaan  peralatan  rumah  sakit  yang kurang baik [3].
Seiring  berjalannya  waktu,  pemodelan  matematika  telah  banyak  digunakan  dalam  hal kesehatan,  termasuk  penyebaran  penyakit  ebola.  Beberapa  peneliti  telah  menkontruksi model matematika penyebaran penyakit ebola. Do dkk (2016) dalam [4]  telah mengkaji model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola  dengan  memperhatikan  empat  populasi yaitu Susceptible-Latent-Infected-Recovered-Deaths dan  tanpa  pemberian  kontrol. Peneliti lain juga telah mempelajari model matematika penyebaran penyakit ebola dengan pengaruh  lain,  seperti  populasi  penderita  yang  kambuh  dan  kembali  terinfeksi  oleh Agusto  (2017)  [5].  Model  yang  digunakan  terdiri  dari  beberapa  kompartemen  yaitu Susceptible-Exposed-Infected  (early-stage dan late-stage)-Recovered-Deceased .  Diaz dkk (2018) dalam [6] juga membahas model matematika penyebaran penyakit ebola di Afrika  Barat,  lebih  khususnya  model  yang  dibahas  dengan  memperhatikan  pengaruh penanganan medis.
Pada  paper  ini  akan  dibahas  model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola  dengan penanganan medis yang merupakan hasil modifikasi dari model yang telah dikembangkan oleh Diaz dkk (2018) [6]. Modifikasi model yang dilakukan adalah memperhatikan laju kelahiran  dan  kematian  serta  penambahan  variabel  kontrol  berupa  upaya  pengobatan. Berdasarkan model yang digunakan dalam penelitian ini akan dianalisis kestabilan titik setimbang dan analisis  kontrol optimal baik secara analitik maupun numeric pada model matematika penyebaran penyakit Ebola dengan penanganan medis.

## 2 Formulasi Model
Pada  bagian  ini  akan  diformulasikan  model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola dengan  penanganan  medis.  Adapun  asumsi  yang  digunakan  untuk  kontruksi  model sebagai berikut :
a. Populasi manusia yang terpapar virus ebola tidak dapat menularkan penyakit.
b. Individu yang sembuh dianggap kebal terhadap penyakit.
c. Individu  yang  terinfeksi  dan  mati  dengan  tidak  dikubur  dengan  baik  dapat menularkan penyakit.
d. Individu  yang  terinfeksi  dan  mendapat  penanganan  di  rumah  sakit  dapat menularkan penyakit.
e. Individu  yang  terinfeksi  dan  mendapat  penanganan  di  rumah  sakit  memiliki peluang  sembuh  yang  lebih  besar  dari  individu  yang  terinfeksi  namun  tidak mendapat penanganan di rumah sakit.
f. Individu  yang  terinfeksi  dan  mendapat  penanganan  di  rumah  sakit  ketika  mati dapat langsung dikuburkan dengan baik.
g. Individu  yang  terinfeksi  dan  mati  memerlukan  waktu  untuk  dapat  dikuburkan dengan baik.
Populasi manusia dibagi menjadi tujuh kompartemen yaitu populasi manusia yang rentan terhadap  virus  ebola (𝑆), populasi  manusia  yang  terpapar  virus  ebola (𝐸) ,  populasi manusia yang terinfeksi virus ebola (𝐼) , populasi manusia yang terinfeksi virus ebola dan mendapat penanganan di rumah sakit (𝐻) , populasi manusia yang terinfeksi virus ebola dan mati dengan belum dikuburkan dengan baik (𝑅 𝐼 ) , populasi manusia yang terinfeksi virus ebola dan mati dengan dikuburkan dengan baik (𝑅 𝐵 ) , dan populasi manusia yang sembuh (𝑅 𝑅 ) . Pendefinisian parameter dapat dilihat pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Pendefinisian Parameter Model
Notasi Keterangan Λ Laju kelahiran 𝛽 1 Laju transmisi antara populasi rentan dan populasi yang terinfeksi virus ebola 𝛽 2 Laju  transmisi  antara  populasi  rentan  dan  populasi  yang  terinfeksi  dan mati dengan belum dikuburkan dengan baik 𝛽 3 Laju  transmisi  antara  populasi  rentan  dan  populasi  yang  terinfeksi  dan mendapat penanganan di rumah sakit 𝛿 Masa inkubasi 𝛾 1 Laju rata-rata penyakit pada individu yang terinfeksi tanpa penanganan di rumah sakit 𝛾 2 Laju rata-rata penyakit pada individu yang terinfeksi dengan penanganan di rumah sakit 𝜓 Laju  rata-rata  individu  yang  terinfeksi  menjadi  individu  terinfeksi  dan mendapat penanganan di rumah sakit 𝜌 1 Probabilitas  individu  mati  karena  penyakit  tanpa  penanganan  di  rumah sakit 𝜌 2 Probabilitas individu mati karena penyakit dengan penanganan di rumah sakit 𝜔 Rata-rata waktu individu terinfeksi yang mati sampai dikuburkan dengan baik 𝜇 Laju kematian alami
Berdasarkan asumsi dan pendefinisian parameter serta variabel dapat dibentuk diagram transmisi  penyebaran  penyakit  ebola  dengan  penanganan  medis  yang  disajikan  pada Gambar 1 sebagai berikut.
Gambar 1. Diagram Transmisi Model
Dari diagram transmisi pada Gambar 1 dapat diformulasikan model sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ − 𝛽 1 𝑆𝐼 − 𝛽 2 𝑆𝑅 𝐼 − 𝛽 3 𝑆𝐻 − 𝜇𝑆 (1.a)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝑆𝐼 + 𝛽 2 𝑆𝑅 𝐼 + 𝛽 3 𝑆𝐻 − 𝛿𝐸 − 𝜇𝐸 (1.b)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − 𝜌 1 𝛾 1 𝐼 − (1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼 − 𝜓𝐼 − 𝜇𝐼
(1.c)
𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝜓𝐼 − 𝜌 2 𝛾 2 𝐻 − (1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻 − 𝜇𝐻 (1.d)
𝑑𝑅 𝐼 𝑑𝑡 = 𝜌 1 𝛾 1 𝐼 − 𝜔𝑅 𝐼 (1.e)
𝑑𝑅 𝐵 𝑑𝑡 = 𝜔𝑅 𝐼 + 𝜌 2 𝛾 2 𝐻 (1.f)
𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼 + (1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻 . (1.g)
dengan 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝐻, 𝑅 𝐼 , 𝑅 𝐵 , 𝑅 𝑅 ≥ 0 dan Λ, 𝛽 1 , 𝛽 2 , 𝛽 3 , 𝛿, 𝛾 1 , 𝛾 2 , 𝜓, 𝜌 1 , 𝜌 2 , 𝜔, 𝜇  > 0.

## 3 Titik Setimbang Model
Pada  perhitungan  secara  analitik,  persamaan  (1.f)  dan  (1.g)  diabakan  karena  tidak mempengaruhi  sistem.  Model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola  dengan penanganan medis memiliki dua titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik (𝐸 0 ) dan  titik  setimbang  endemik (𝐸 1 ) .  Adapun  titik  setimbang  non  endemik  dari  model tersebut adalah 𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝐻, 𝑅 𝐼 ) = ( Λ 𝜇 , 0,0,0,0) . Dengan menggunakan metode Next Generation Matrix [7] dapat diperoleh bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) sebagai berikut.
𝑅 0 = Λ𝛿[𝛽 3 𝜓𝜔 + (𝛾 2 + 𝜇)(𝛽 1 𝜔 + 𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 )] 𝜇(𝛿 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜓 + 𝜇)(𝛾 2 + 𝜇)𝜔
Dari  hasil  perhitungan  diperoleh  titik  setimbang  endemik  dari  model  tersebut  adalah sebagai berikut 𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐻 ∗ , 𝑅 𝐼 ∗ ) .
𝑆 ∗ = (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)𝜔(𝛾 2 +𝜇) 𝛿[𝛽 1 𝜔(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 (𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔] (2.a)
𝐸 ∗ = (𝛾 1 +𝜓+𝜇)𝐼 ∗ 𝛿
(2.b)
𝐼 ∗ = Λ𝛿 (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇) − 𝜇𝜔(𝛾 2 +𝜇) 𝛽 1 𝜔(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 (𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔 (2.c)
𝐻 ∗ = 𝜓𝐼 ∗ (𝛾 2 +𝜇) (2.d)
𝑅 𝐼 ∗ = 𝜌 1 𝛾 1 𝐼 ∗ 𝜔 (2.e)
Berdasarkan  uraian  diatas,  titik  setimbang  endemik (𝐸 1 ) akan  eksis  atau  ada  jika memenuhi syarat eksistensi, yaitu 𝐼 ∗ > 0 .
𝐼 ∗ = ( Λ𝛿 (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇) − 𝜇𝜔(𝛾 2 +𝜇) 𝛽 1 𝜔(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 (𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔 ) > 0 ,
dengan
Λ𝛿 (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇) > 𝜇𝜔(𝛾 2 +𝜇) 𝛽 1 𝜔(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 (𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔 ⟺ Λ𝛿[𝛽 1 𝜔(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 (𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔] (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)𝜇𝜔(𝛾 2 +𝜇) > 1 ⟺ Λ𝛿[(𝛽 1 𝜔+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 )(𝛾 2 +𝜇)+𝛽 3 𝜓𝜔] (𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)𝜇𝜔(𝛾 2 +𝜇) > 1
Dari perhitungan di atas diperoleh 𝑅 0 > 1 . Dengan demikian titik setimbang endemik 𝐸 1 , eksis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 .

## 4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  analisis  kestabilan  pada  kedua  titik  setimbang  model, yaitu titik setimbang non endemik 𝐸 0 dan titik setimbang endemik 𝐸 1 .
Analisis kestabilan lokal titik setimbang non endemik diawali dengan mensubstitusikan nilai titik setimbang non endemik 𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝐻, 𝑅 𝐼 ) = ( Λ 𝜇 , 0,0,0,0) ke dalam matriks Jacobian, dengan demikian diperoleh
𝐽 𝐸 0 = ( −𝜇 0 −𝛽 1 Λ 𝜇 −𝛽 3 Λ 𝜇 −𝛽 2 Λ 𝜇 0 −𝛿 − 𝜇 𝛽 1 Λ 𝜇 𝛽 3 Λ 𝜇 𝛽 2 Λ 𝜇
0 𝛿 −𝛾 1 − 𝜓 − 𝜇 0 0
0 0 𝜓
−𝛾 2 − 𝜇
0 0
0 𝜌 1 𝛾 1 0 −𝜔 ) .
Berdasarkan  matriks  Jacobian 𝐽 𝐸 0 ,  dapat  dibentuk  persamaan  karakteristik  sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 0 ) = 0.
𝑑𝑒𝑡 ( 𝜆 − (−𝜇) 0 − (−𝛽 1 Λ 𝜇 ) − (−𝛽 3 Λ 𝜇 ) − (−𝛽 2 Λ 𝜇 )
0 𝜆 − (−𝛿 − 𝜇)
−𝛽 1 Λ 𝜇 −𝛽 3 Λ 𝜇 −𝛽 2 Λ 𝜇 0 −𝛿 𝜆 − (−𝛾 1 − 𝜓 − 𝜇) 0 0 0 0 −𝜓 𝜆 − (−𝛾 2 − 𝜇) 0 0
0 −𝜌 1 𝛾 1 0 𝜆 − (−𝜔) ) = 0
⟺ (𝜆 + 𝜇)[𝜆 4 + 𝑎 1 𝜆 3 + 𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 3 𝜆 + 𝑎 4 ] = 0 (3)
dengan
𝑎 1 = 𝛾 2 + 2𝜇 + 𝛾 1 + 𝜓 + 𝜔 + 𝛿 + 𝜇
𝑎 2 = (𝛾 2 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜓 + 𝜇) + (𝜔 + 𝛿 + 𝜇)(𝛾 2 + 2𝜇 + 𝛾 1 + 𝜓) + (𝛿 + 𝜇)𝜔 − 𝛿𝛽 1 Λ 𝜇 𝑎 3 = (𝜔 + 𝛿 + 𝜇)(𝛾 2 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜓 + 𝜇) + (𝛿 + 𝜇)𝜔(𝛾 2 + 2𝜇 + 𝛾 1 + 𝜓)
− ( 𝛿𝛽 3 Λ𝜓 𝜇 + 𝛿𝛽 1 Λ 𝜇 (𝛾 2 + 𝜇 + 𝜔) + 𝛿𝜌 1 𝛾 1 𝛽 2 Λ 𝜇 )
𝑎 4 = (𝛿 + 𝜇)𝜔(𝛾 2 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜓 + 𝜇)
− ( 𝛿𝛽 3 Λ𝜓 𝜇 𝜔 + 𝛿𝛽 1 Λ 𝜇 (𝛾 2 + 𝜇)𝜔 + 𝛿𝜌 1 𝛾 1 𝛽 2 Λ 𝜇 (𝛾 2 + 𝜇)).
Berdasarkan persamaan (3), diperoleh nilai eigen 𝜆 1 = −𝜇 , dan sisanya adalah akar-akar dari persamaan berikut.
𝜆 4 + 𝑎 1 𝜆 3 + 𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 3 𝜆 + 𝑎 4 (4)
Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika  persamaan karakteristik (3) memiliki akar-akar bagian real negatif. Jelas bahwa 𝜆 1 bernilai negatif karena  semua  parameter  seperti  yang  telah  dijelaskan  bernilai  positif.  Kemudian  akan ditentukan  persamaan  (4)  memiliki  akar-akar  bagian  real  negatif,  yaitu  dengan menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz  [8].  Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  titik setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika 𝑅 𝑖 < 1, dengan 𝑖 = 0,1,2,3 .
𝑅 0 = Λ𝛿[𝛽 3 𝜓𝜔+(𝛽 1 𝜔+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 )(𝛾 2 +𝜇)] 𝜇(𝛿+𝜇)𝜔(𝛾 2 +𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇) , 𝑅 1 = 𝛿𝛽 1 Λ 𝜇[(𝛾 2 +𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)+(𝜔+𝛿+𝜇)(𝛾 2 +2𝜇+𝛾 1 +𝜓)+(𝛿+𝜇)𝜔] ,
𝑅 2 = 𝛿𝛽 3 Λ𝜓+𝛿𝛽 1 Λ(𝛾 2 +𝜇+𝜔)+𝛿𝜌 1 𝛾 1 𝛽 2 Λ 𝜇[(𝜔+𝛿+𝜇)(𝛾 2 +𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)+(𝛿+𝜇)𝜔(𝛾 2 +2𝜇+𝛾 1 +𝜓)] , 𝑅 3 = 𝑎 1 2 𝑎 4 +𝑎 3 2 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 .
Hal  ini  menunjukkan  bahwa  penyakit  akan  menghilang  dari  populasi  atau  tidak  ada penyebaran penyakit atau tidak ada penyebaran penyakit.
Berikutnya,  analisis  kestabilan  titik  setimbang  endemik  sulit  dilakukan  secara  analitik karena persamaan yang dihasilkan rumit dan bergantung pada variabel 𝐼 , sehingga akan dilakukan analisis secara numerik dengan menggunakan bidang fase.
Adapun nilai parameter dan nilai awal berturut-turut disajikan pada Tabel 2 dan 3.
Tabel 2 Nilai Parameter Model
Parameter Nilai Satuan Sumber Λ 400 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑖 [5] 𝛽 1 0.376 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝛽 2 0.135 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝛽 3 0.163 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝛿 1 9 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6]
𝛾 1 0.0542 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝛾 2 0.174 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝜓 0.5 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝜌 1 0.98 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝜌 2 0.88 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6] 𝜔 0.325 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [6]) 𝜇 0.00004
1 ℎ𝑎𝑟𝑖
[5] Tabel 3. Nilai Awal
Nilai Awal 𝑺(𝟎) 𝑬(𝟎) 𝑰(𝟎) 𝑯(𝟎) 𝑹 𝑰 (𝟎) 𝑹 𝑹 (𝟎) 𝑹 𝑩 (𝟎) Warna Nilai Awal 1 980 508 137 49 122 12 3 Biru Nilai Awal 2 1250 700 250 150 200 30 10 Hijau Nilai Awal 3 90 45 10 3 7 2 1 Merah
Hasil simulasi bidang fase pada titik setimbang endemik model matematika penyebaran penyakit ebola dengan penanganan medis ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Simulasi Bidang Fase pada Bidang 𝐼 −  𝑅 𝐼 untuk Titik Setimbang Endemik Model
Gambar  2  menunjukkan  simulasi  bidang  fase  untuk  populasi  manusia  yang  terinfeksi virus  ebola (𝐼) dan  populasi  manusia  terinfeksi  yang  mati  dan  belum  mendapat penguburan dengan baik (𝑅 𝐼 ) pada model matematika penyebaran penyakit ebola dengan penanganan medis. Dari Gambar 2 menunjukkan dari waktu ke waktu (𝑡) nilai 𝐼 dan 𝑅 𝐼 cenderung  menuju  ke  suatu  titik  yaitu 𝐼 → 721 dan 𝑅 𝐼 → 117 atau  cenderung  stabil asimtotis  ke  titik (721 , 118) yang  tidak  lain  merupakan  bagian  dari  titik  setimbang endemik 𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐻 ∗ , 𝑅 𝐼 ∗ ) = (1 , 3590 , 721 , 2073 , 118) .    Nilai 𝐸 1 diperoleh melalui  substitusi  nilai  parameter  pada  titik  setimbang  endemik  yang  telah  diperoleh secara analitik.
Selain  diperoleh  nilai 𝐸 1 ,  berdasarkan  perhitungan  analitik  pada  bilangan  reproduksi dasar (𝑅 0 ) diperoleh sebagai berikut
𝑅 0 = Λ𝛿[𝛽 3 𝜓𝜔+(𝛾 2 +𝜇)(𝛽 1 𝜔+𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 )] 𝜇(𝛿+𝜇)(𝛾 1 +𝜓+𝜇)(𝛾 2 +𝜇)𝜔
= 3.1886  × 10 8
Berdasarkan penjelasan  di  atas, maka titik setimbang endemik 𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝐻 ∗ , 𝑅 𝐼 ∗ ) pada model matematika penyebaran penyakit ebola dengan penanganan medis cenderung stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika 𝑅 0 > 1 .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  terjadi penyebaran penyakit ebola.

## 5 Analisis Masalah Kontrol Optimal
Model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola  dengan  penanganan  medis  ini dikembangkan dengan penambahan variabel kontrol berupa upaya pengobatan. Berikut adalah model matematika penyebaran penyakit ebola dengan penanganan medis dengan variabel kontrol 𝑢 :
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ − 𝛽 1 𝑆𝐼 − 𝛽 2 𝑆𝑅 𝐼 − 𝛽 3 𝑆𝐻 − 𝜇𝑆 (5.a)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝑆𝐼 + 𝛽 2 𝑆𝑅 𝐼 + 𝛽 3 𝑆𝐻 − 𝛿𝐸 − 𝜇𝐸 (5.b)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − 𝑢𝜌 1 𝛾 1 𝐼 − 𝑢(1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼 − 𝜓𝐼 − 𝜇𝐼 (5.c)
𝑑𝐻 𝑑𝑡 = 𝜓𝐼 − 𝑢𝜌 2 𝛾 2 𝐻 − 𝑢(1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻 − 𝜇𝐻
(5.d)
𝑑𝑅 𝐼 𝑑𝑡 = 𝑢𝜌 1 𝛾 1 𝐼 − 𝜔𝑅 𝐼 (5.e)
𝑑𝑅 𝐵 𝑑𝑡 = 𝜔𝑅 𝐼 + 𝑢𝜌 2 𝛾 2 𝐻 (5.f)
𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝑡 = 𝑢(1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼 + 𝑢(1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻 (5.g)
Variabel dan parameter yang digunakan telah diuraikan pada Subbab 2 dan Tabel 1. Dari model  tersebut  dapat  diketahui  bahwa  terdapat  penambahan  variabel  berupa  variabel kontrol 𝑢 , variabel ini berupa upaya pengobatan. Fungsi ongkos atau indeks performansi yang dapat dibentuk berdasarkan penjelasan di atas adalah sebagai berikut:
𝑀𝑖𝑛 𝐽 = ∫ (𝐼 + 𝐻 + 𝐴 2 𝑢 2 ) 𝑑𝑡 𝑡𝑓 0
dengan  koefisien 𝐴 adalah  konstanta  pembobot  berupa  biaya  yang  harus  dikeluarkan untuk  upaya  pengobatan.  Batas  kontrol  optimal  berada  pada 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 serta 𝑡 𝑓 merupakan waktu akhir.

## 5.1 Penyelesaian Kontrol Optimal
Berdasarkan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  [9,  10],  langkah  pertama  yang  dilakukan adalah membentuk fungsi Hamiltonian pada model sebagai berikut:
ℋ = 𝐼 + 𝐻 + 𝐴 2 𝑢 2 + 𝜆 𝑇 (𝑡)(𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)) (6)
dengan 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) adalah ruas kanan dari model matematika penyebaran penyakit ebola  dengan  penanganan  medis  yang  disertai  variabel  kontrol,  sedangkan 𝜆 𝑇 (𝑡) menyatakan pengali Lagrange atau variabel co-state.
Selanjutnya, agar diperoleh kondisi optimal maka fungsi Hamiltonian harus memenuhi kondisi stasioner yaitu 𝜕ℋ 𝜕𝑢 = 0 , maka didapatkan
⇔ 𝐴𝑢 − 𝜆 3 [𝜌 1 𝛾 1 𝐼 + (1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼] − 𝜆 4 [𝜌 2 𝛾 2 𝐻 + (1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻] + 𝜆 5 𝜌 1 𝛾 1 𝐼 + 𝜆 6 𝜌 2 𝛾 2 𝐻 + 𝜆 7 [(1 − 𝜌 1 )𝛾 1 𝐼 + (1 − 𝜌 2 )𝛾 2 𝐻] = 0
⇔ 𝑢 = (𝜆 3 −𝜆 7 )𝛾 1 𝐼+(𝜆 4 −𝜆 7 )𝛾 2 𝐻+(𝜆 7 −𝜆 5 )𝜌 1 𝛾 1 𝐼+(𝜆 7 −𝜆 6 )𝜌 2 𝛾 2 𝐻 𝐴 .
Oleh karena 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 , maka terdapat beberapa kemungkinan nilai untuk 𝑢 adalah sebagai berikut:
𝑢 ∗ = { 0 untuk 𝑢 ∗ ≤ 0
(𝜆 3 −𝜆 7 )𝛾 1 𝐼+(𝜆 4 −𝜆 7 )𝛾 2 𝐻+(𝜆 7 −𝜆 5 )𝜌 1 𝛾 1 𝐼+(𝜆 7 −𝜆 6 )𝜌 2 𝛾 2 𝐻 𝐴 untuk 0 < 𝑢 ∗ < 1
1
untuk 𝑢 ∗ ≥ 0
Berdasarkan  kemungkinan  diatas,  maka  diperoleh  nilai  kontrol  yang  optimal  adalah sebagai berikut
𝑢 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, (𝜆 3 −𝜆 7 )𝛾 1 𝐼+(𝜆 4 −𝜆 7 )𝛾 2 𝐻+(𝜆 7 −𝜆 5 )𝜌 1 𝛾 1 𝐼+(𝜆 7 −𝜆 6 )𝜌 2 𝛾 2 𝐻 𝐴 ))
(7)
Selanjutnya,  karena  dalam  bentuk  pengontrol 𝑢 ∗ terdapat  variabel  state  yaitu 𝑥 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝐻, 𝑅 𝐼 , 𝑅 𝐵 , 𝑅 𝑅 ) 𝑇 , maka perlu diselesaikan persamaan state dan persamaan co-state untuk  memperoleh  variabel  tersebut.  Dengan  demikian  akan  ditentukan  penyelesaian persamaan state untuk memperoleh variabel tersebut yaitu 𝑥̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝜆 .
Lebih lanjut, akan ditentukan persamaan co-state pada pengontrol 𝑢 ∗ dapat diperoleh dari 𝜆̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑥 .  Dari sini diperoleh persamaan co-state sebagai berikut:
𝜆 1 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑆 = −[𝜆 1 (−𝛽 1 𝐼 − 𝛽 2 𝑅 𝐼 − 𝛽 3 𝐻 − 𝜇) + 𝜆 2 (𝛽 1 𝐼 + 𝛽 2 𝑅 𝐼 + 𝛽 3 𝐻)] 𝜆 2 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐸 = −[𝜆 2 (−𝛿 − 𝜇) + 𝜆 3 𝛿]
𝜆 3 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐼 = −[−𝜆 1 𝛽 1 𝑆 + 𝜆 2 𝛽 1 𝑆 + 𝜆 3 (−𝑢𝜌 1 𝛾 1 − 𝑢(1 − 𝜌 1 )𝛾 1 − 𝜓 − 𝜇) + 𝜆 4 𝜓 + 𝜆 5 𝑢𝜌 1 𝛾 1 + 𝜆 7 𝑢(1 − 𝜌 1 )𝛾 1 ]
𝜆 4 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐻 = −[−𝜆 1 𝛽 3 𝑆 + 𝜆 2 𝛽 3 𝑆 + 𝜆 4 (−𝑢𝜌 2 𝛾 2 − 𝑢(1 − 𝜌 2 )𝛾 2 − 𝜇) + 𝜆 6 𝑢𝜌 2 𝛾 2 + 𝜆 7 𝑢(1 − 𝜌 2 )𝛾 2 ]
𝜆 5 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑅 𝐼 = −[−𝜆 1 𝛽 2 𝑆 + 𝜆 2 𝛽 2 𝑆 − 𝜆 5 𝜔 + 𝜆 6 𝜔]
𝜆 6 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑅 𝐵 = 0
𝜆 7 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑅 𝑅 = 0 .
Berdasarkan  penjelasan  di  atas,  untuk  memperoleh 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝐻, 𝑅 𝐼 , 𝑅 𝐵 , 𝑅 𝑅 dari  bentuk 𝑢 ∗ yang  optimal,  maka  tahap  yang  perlu  dilakukan  selanjutnya  adalah  dengan menyelesaaikan persamaan state dan co-state yang berbentuk persamaan diferensial non linear. Karena persamaan diferensial non linear sulit diselesaikan secara analitik, maka dilakukan penyelesaian secara numerik  melalui simulasi permasalahan kontrol optimal menggunakan program DOTcvp pada aplikasi MATLAB .

## 5.2 Simulasi Numerik
Simulasi ini dilakukan dengan membandingkan model matematika penyebaran penyakit ebola  dengan  penanganan  medis  tanpa  adanya  variabel  kontrol  dan  dengan  adanya variabel  kontrol.  Hal  tersebut  bertujuan  untuk  mengetahui  tingkat  keefektifan  dari pengobatan  dengan  pemberian  oralit  yang  mengandung  elektrolit  sehingga  tujuan  dari fungsi ongkos yang diberikan akan tercapai.
Kondisi  model  ini  tanpa  adanya  variabel  kontrol  terjadi  ketika  pengobatan  berupa pemberian oralit yang mengandung elektrolit (𝑢) sama dengan nol. Simulasi dilakukan untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 40 hari dengan nilai  awal  untuk  setiap kondisi  adalah 𝑆(0) = 980, 𝐸(0) = 508, 𝐼(0) = 137, 𝐻(0) = 49, 𝑅 𝐼 (0) = 122, 𝑅 𝐵 (0) = 12,  𝑅 𝑅 (0) = 3 . Nilai  parameter  yang  digunakan  sama  dengan  nilai  parameter  saat  mensimulasikan bidang  fase  untuk  titik  setimbang  endemik.  Konstanta  pembobot  untuk  pengobatan tersebut sebesar 𝐴 = 1000 .
Gambar  3  menujukkan  bahwa  terdapat  perbedaan  antara  populasi  individu  terinfeksi ( Infected )  serta  populasi  terinfeksi  dan  mendapat  penanganan  di  rumah  sakit ( Hospitalized )  pada  model  tanpa  adanya  variabel  kontrol  dan  model  dengan  adanya variabel  kontrol.  Jumlah  kedua  populasi  individu  dengan  kontrol 𝑢 cenderung  lebih sedikit dibandingkan tanpa control.
Gambar 3. Simulasi Perbandingan Populasi  terinfeksi ( Infected ) (Kiri) dan Populasi Terinfeksi dan Mendapat Penanganan di Rumah Sakit ( Hospitalized ) (Kanan)
Selanjutnya simulasi untuk profil kontrol akan disajikan pada Gambar 4. Pada Gambar 4 terlihat bahwa pemberian kontrol 𝑢 yaitu upaya pengobatan dalam jangka waktu 50 hari. Dari awal pengamatan hingga hari ke-10 upaya pengobatan terus menerus naik, pada hari ke-11 hingga hari ke-46 upaya pengobatan dilakukan secara maksimal, dan menuju akhir pengamatan upaya mengalami penurunan hingga mencapai 50%.
Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  menimimumkan  populasi  individu yang terinfeksi ( Infected ) dan populasi individu terinfeksi yang mendapat penanganan di rumah sakit ( Hospitalized ) serta biaya yang dikeluarkan upaya pengobatan maka langkah yang  pemberian  upaya  pengobatan  itu  sendiri.  Tindakan  ini  menimumkan  populasi individu  yang  terinfeksi  ( Infected )  dan  populasi  individu  terinfeksi  yang  mendapat penanganan di rumah sakit ( Hospitalized ).
Gambar 4. Grafik Kontrol 𝑢

## 6 Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pengamatan  yang  telah  diuraikan  dapat  diperoleh  kesimpulan sebagai berikut:
1. Model  matematika  penyebaran  penyakit  ebola  dengan  penanganan  medis  memiliki dua  titik  setimbang  yaitu  titik  setimbang  non  endemik (𝐸 0 ) ,  dan  titik  setimbang endemik (𝐸 1 ) .  Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika 𝑅 0 < 1 dan memenuhi beberapa kondisi. Titik setimbang endemik cenderung stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 , dengan
𝑅 0 = Λ𝛿[𝛽 3 𝜓𝜔 + (𝛾 2 + 𝜇)(𝛽 1 𝜔 + 𝛽 2 𝜌 1 𝛾 1 )] 𝜇(𝛿 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜓 + 𝜇)(𝛾 2 + 𝜇)𝜔 .
2. Berdasarkan  hasil  simulasi  secara  numerik  pada  model  matematika  penyebaran penyakit ebola dengan penanganan medis sebelum dan setelah diberi kontrol berupa upaya pengobatan, dapat meminimalkan jumlah manusia yang terinfeksi virus ebola dan  populasi  individu  terinfeksi  yang  mendapat  penanganan  di  rumah  sakit dibandingkan tanpa kontrol.
7 Daftar Pustaka
[1] World Health Organization, Ebola Virus Disease, https://www.who.int/, 13 Maret 2018.
[2] Centers  for  Disease  Control  and  Prevention,  Ebola  Hemorrhagic  Fever, https://www.cdc.gov/, 13 Maret 2018
[3] Carrroll,  S.A.,  Towner,  J.S.,  Sealy,  T.K.,  Mcmullan,  L.K.,  Khristova,  Burt,  F.J., Swanepoel,  R.,  Roliing,  P.E.,  dan  Nichol,  S.T.,  2013,  Molecular  Evolution  of Viruses of the Family Filoviridae Based on 97 Whole-Genome Sequences, Journal of Virology , 87 : 2608-2616.
[4] Do, Tae Sug dan Lee, Young S., 2016, Modeling the Spread of Ebola, Osong Public Health and Research Perspectives , 7 : 43-48.
[5] Agusto,  F.B.,  2017,  Mathematical  Model  of  Ebola  Transmission  Dynamics  with Relapse and Reinfection, Mathematical Biosciences , 283 : 48-59.
[6] Diaz,  P.,  Constantine,  P.,  Kalmbach,  K.,  Jones,  E.,  dan  Pankavich,  S.,  2018,  A Modified SEIR Model for The Spread of Ebola in Western Africa and Metrics for Resource Allocation, Applied Mathematics and Computation , 324: 141-155.
[7] van  den  Driessche  P  dan  Watmough,  J.,  2002,  Reproduction  numbers  and  sub- threshold  endemic  equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission, Mathematical Biosciences , 180 :29-48.
[8] Merkin, D. R., 1997, Introduction to The Theory of Stability , Springer, New York.
[9] Lewis, F.I., dan Syrmos, V. L., 2006, Optimal Control , Willy Interscience, Canada.
[10] Naidu, D.S., 2002, Optimal Control Systems , CRC Press LCC, New York.