MODELISASI BIDDING BOX BRIDGE DENGAN MENGGUNAKAN KURVA BEZIER DAN INTERPOLASI LINIER
(Bidding Box Bridge Modeling Using Bezier Curves and Linear Interpolations)
Dewi Anggraeni, Bagus Juliyanto* )
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember, Jl. Kalimantan 37, Jember, Indonesia
E-mail : dewianggraeni069@gmail.com, * ) bagus.fmipa@unej.ac.id * ) penulis korespondensi
Abstract. Bidding Box is used as a place for bridge bid cards with various models. The Bidding Box is made using a technique resulting from the Bezier curves and linear  interpolations.   This  study  aims  to  produce  a  procedure  for  how  to  design various relics in the Bidding Box.  This research method is divided into several stages. First, build some basic objects as constituent components of the Bidding Box from beam  and rectangular.  Next, the  procedure  for assembling the  components  of the Bidding Box from the first procedure is on one modeling axis.
Keywords : Bidding box, deformation, Bezier curve, linear interpolation MSC2020 : 51A05
Received: 31-01-2021, accepted: 11-09-2021

## 1. Pendahuluan
Modelisasi  benda-benda  industri,  perabot  rumah  tangga,  komponen-komponen  mesin, dan  peralatan  dalam  permainan  olahraga  dapat  diperoleh  dari  persamaan  matematika. Sebagai contoh, desain bentuk badan mobil dan peralatan elektronik dengan permukaan yang kompleks [1–2]. Mengembangkan permukaan dalam bentuk lembaran plat-logam atau  kayu  lapis  sangat  penting  dilakukan  untuk  memodelkan  industri  lambung  kapal, pesawat  terbang,  dan  kereta  api  [3–6].  Perancangan  benda  dapat  dilakukan  dengan memanfaatkan persamaan parametrik maupun fungsi real yang disajikan dengan bentuk eksplisit atau implisit [7–8]. Dari sebuah kurva dapat dirumuskan banyak bentuk pipa [9–12].
Bidding box  bridge merupakan  salah  satu  contoh  dari  peralatan  permainan  olahraga Bridge yang  dapat  dibangun  dari  formula  parametrik. Bidding  box  bridge digunakan sebagai tempat kartu penawaran dalam permainan bridge . Bentuk dasar dari bidding box bridge berbentuk balok berbahan plastik. Bidding box bridge pada umumnya memiliki dua bagian yaitu bagian dalam dan luar. Bagian dalam memiliki ukuran panjang 13 cm, lebar 8,5 cm dan tinggi 3 cm sedangkan bagian luar memiliki ukuran panjang 13,5 cm, lebar 9 cm dan tinggi 3,5 cm. Bagian dalam b idding b ox bridge berfungsi sebagai tempat meletakkan kartu penawaran dan memiliki dua slot holding, masing-masing berisi satu set  kartu  penawaran  sedangkan  bagian  luarnya berfungsi  sebagai  tempat  menyimpan
kartu  penawaran  pada  saat  selesai  menggunakan  kartu  penawaran  tersebut.  Model bidding box  bridge saat  ini  masih  sederhana  yaitu  hanya  terbentuk  dari  satu  benda geometri ruang pada bagian dalam dan luar, sehingga bentuknya kurang bervariatif.
Untuk  dapat  menghasilkan  bentuk  benda  yang  bervariasi  dapat  digunakan  teknik deformasi.  Menurut  Kuang  [13],  deformasi  adalah  merubah  bentuk  dan  ukuran  suatu benda.  Deformasi  dibagi  menjadi  deformasi  sebagian  dan  deformasi  total.  Salah  satu teknik deformasi adalah memutar kurva dan interpolasi.  Kurva yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  kurva  Bezier.  Menurut  Haryono  [14],  kurva  Bezier  berderajat n dibentuk  dari n +  1  titik  kontrol.    Kurva  Bezier  dalam  menentukan  kurva  batas  dan merancang  permukaan  dengan  interpolasi  linier  telah  banyak  diterapkan  dalam modelisasi  lampu  duduk  [15],  kap  lampu  meja  [16],  piala  [17],  botol  minuman  [18], handle pintu [19], relief benda-benda industri kerajinan Onyx [20], dan desain keramik [21]. Berdasarkan hal tersebut, pada penelitian ini akan dimodelisasi bentuk bagian luar dan dalam bidding box bridge menggunakan teknik interpolasi linier dari kurva Bezier kuadratik dan kubik sehingga dihasilkan model bidding box bridge yang bervariasi.

## 2. METODOLOGI
Berdasarkan rumusan masalah dan hasil kajian tinjauan pustaka, berikut akan diuraikan langkah-langkah penelitian untuk menyelesaikan  permasalahan tersebut.
a. Menentukan  benda  dasar  dan  memodelkan  benda  dasar bidding  box dari  deformasi balok dan  persegi panjang.
b. Penggabungan  beberapa  benda  dasar  komponen bidding  box pada  satu  sumbu pemodelan.
c. Menyusunan  program  untuk  modelisasi bidding  box  bridge dengan  menggunakan sofware maple 18 .

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Modelisasi Bagian Luar Bidding Box
Modelisasi  komponen  sebagian  luar bidding  box menggunakan  deformasi  balok. Prosedur membuat relief bidding box diuraikan sebagai berikut.
a. Relief samping
(1) menentukan faktor skala α dan β pada bidang 𝑇 𝑖 ,
(2) mendilatasi bidang 𝑇 𝑖 dengan faktor skala k sehingga diperoleh 𝑇 𝑖 ′ ,
(3) membagi  segmen  garis 𝑇 1 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ menjadi  3  bagian  sehingga  menghasilkan  segmen garis 𝑇 1 𝑇 9 ̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 9 𝑇 10 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 10 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅̅ ,  dengan  titik 𝑇 9 kolinier  dengan 𝑇 5 dan 𝑇 6 , 𝑇 10
kolinier dengan 𝑇 7 dan 𝑇 8 ,
(4) menentukan 3 titik kontrol yaitu 𝑇 5 , 𝑇 8 dan 𝑇 11 pada segmen 𝑇 9 𝑇 10 ̅̅̅̅̅̅̅ dan bangun kurva Bezier n = 4 pada segmen garis 𝑇 9 𝑇 10 ̅̅̅̅̅̅̅ ,
(5) membagi  segmen  garis 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ dengan  K  = (𝐿2−𝐿1) 𝑁 dengan  K  adalah panjang  segmen 𝐿 1 = 0 cm , 𝐿 2 = 13 cm dan  N  merupakan  banyaknya  segmen yang diinginkan sehingga membagi menjadi sama panjang. Misalkan garis 𝑇 1 𝑇 2
̅̅̅̅̅̅
dibagi menjadi N = 4. Pada segmen garis 𝑇 1 𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅ menetapkan 𝑇 1 sebagai titik awal dan 𝐴 1 sebagai titik akhir, berlaku hal yang sama pada hasil segmen garis hasil bagi segmen garis 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ ,
(6) menetapkan  titik  kontrol  diluar  segmen  garis  hasil  bagi 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ dan membangun kurva Bezier,
(7) membangun  kurva  Bezier  kuadratik  pada  masing-masing  hasil  bagi  segmen garis 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ ,
(8) menggunakan kurva Bezier kubik dan kuadratik
i) untuk N genap menggunakan kurva Bezier kubik
a) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk i  genap,
b) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk i  ganjil ,
c) membangun  kurva  Bezier  kubik  pada  segmen  garis 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dengan  titik kontrol 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 ,
ii) untuk N ganjil menggunakan kurva Bezier kuadratik dan kubik
a) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk i  genap,
b) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk i  ganjil,
c) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk Untuk i = 𝑁 2 ,
d) menentukan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk i = (N+3) 2 sampai N segmen,
e) membangun kurva Bezier pada segmen garis 𝑇 1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅ dengan titik kontrol 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 untuk kurva Bezier kuadratik dan kurva Bezier kubik,
(9) menginterpolasikan  masing-masing  kurva  batas  sehingga  didapatkan  hasil interpolasi seperti (Gambar 1),
(10) mengulangi  langkah  (6)  sampai  (8)  pada  bidang 𝑇 𝑖 ′ dengan  mengubah  titik koordinat.
Gambar 1. Interpolasi relief bagian samping bidding box bridge sisi atas

## b. Relief  Depan dan Belakang Bidding Box Bridge
Membuat  realif  bagian  depan  dan  belakang bidding  box  bridge dengan  menggunakan hasil langkah pada relief samping. Langkah-langkah deformasi yang digunakan sebagai berikut:
(1) mentranslasikan 𝑇 9 , 𝑇 10 , 𝑇 11 dan 𝑇 12 sejauh k cm searah sumbu- z. Misalkan titik 𝑇 9 = (0; 0; 𝑧 1 ) ,
(2) menetapkan titik kontrol pada hasil bagi segmen garis 𝑇 2 𝑇 3 ̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 4 𝑇 1
̅̅̅̅̅̅ ,
(3) membangun kurva Bezier kuadratik pada segmen garis 𝑇 11 𝑇 12 ̅̅̅̅̅̅̅̅ dan membangun kurva Bezier n = 6 pada segmen garis 𝑇 2 𝑇 11 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 12 𝑇 3 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 1 𝑇 9 ̅̅̅̅̅̅ 𝑇 10 𝑇 4
̅̅̅̅̅̅̅ dengan menggunakan titik kontrol 𝑃 0 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 𝑃 4 𝑃 5 , 𝑃 6 ,
(4) menginterpolasikan  masing-masing  kurva  batas  sehingga  dihasilkan  bidang interpolasi pada Gambar 2,
(5) melakukan hal yang sama pada 𝑇 ′ dngan mengubah titik koordinat dan titik kontrol sehingga dihasilkan deformasi seperti terlihat pada Gambar 3.
Gambar 2. Modelisasi relief atas bidding box bridge
Gambar 3. Modelisasi relief bawah bidding box bridge

## 3.2  Komponen Bagian Dalam Bidding Box Bridge
(1) Diberikan  sebuah  balok  dengan  koordinat  pasangan  titik-titik  ujung  rusuk [ 𝑇 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ), 𝑇′(𝑥 𝑖 ′, 𝑦 𝑖 ′, 𝑧 𝑖 ′) ] dengan 𝑖 =  1, 2, 3, 4, dengan panjang 3 ≤ 𝑝 ≤ 5, lebar 8 ≤ 𝑙 ≤ 9 dan tinggi 3 ≤ 𝑡 ≤ 4,
(2) Diberikan  sebuah  persegi  panjang  dengan  titik  koordinat 𝑇 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ) dengan 𝑖 = 1, 2, 3, 4, dengan panjang 3 ≤ 𝑝 ≤ 5 dan lebar 1 ≤ 𝑙 ≤ 3 ,
(3) Diberikan  sebuah  persegi  panjang  dengan  titik  koordinat 𝑇 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 )  dengan 𝑖 = 1, 2, 3, 4, dengan  panjang 8 ≤ 𝑝 ≤ 10 dan  lebar  8 ≤ 𝑙 ≤ 9 yang  dideformasi dengan metode translasi dan kurva Bezier.
Langkah – langkah deformasi persegi yang digunakan sebagai berikut:
i) menentukan titik 𝑇 11 pada segmen 𝑇 1 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅ dan titik 𝑇 12 pada segmen garis 𝑇 2 𝑇 3 ̅̅̅̅̅̅ dengan perbandingan 1: 8 (lihat Gambar 4.10(a)),
ii) mentranslasikan 𝑇 11 𝑇 4 ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 12 𝑇 3 ̅̅̅̅̅̅̅ sejauh k cm searah sumbu- y. Misalkan titik 𝑇 11 = (0; 0; 𝑧 1 ) dan 𝑇 4 = (0; 0; 𝑧 2 ) pada  sumbu- z ditranslasikan  sejauh 𝑘 = 1 2 cm searah sumbu- y ,
iii) membangun segmen garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 2 ′𝑇 3 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ .

## 3.3  Modelisasi Bagian Dalam Bidding Box Bridge
Menggunakan  hasil  translasi  persegi  panjang  dapat  dilakukan  deformasi  pada  segmen garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 4 ′𝑇 3 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ .  Langkah-langkah  deformasi  pada  segmen  garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 4 ′𝑇 3 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ sebagai berikut.
a. Deformasi sisi samping menggunakan kurva Bezier kuadratik.
1) Membagi  segmen  garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dengan K = (𝐿 2 −𝐿 1 ) 𝑁 dengan K adalah panjang setiap segmen hasil bagi N , 𝐿 1 = 5 cm, 𝐿 2 = 13 cm dan N merupakan banyaknya segmen yang diinginkan sehingga membagi menjadi sama panjang, misalkan  segmen  garis 𝑇 1 ′𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐴 1 𝐴 2 ̅̅̅̅̅̅̅ .  .  . 𝐴 𝑖 𝑇 4 ′′ ̅̅̅̅̅̅̅ .  Pada  segmen  garis 𝑇 1 ′𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅̅ tetapkan 𝑇 1 ′ sebagai titik awal dan 𝐴 1 sebagai titik akhir, berlaku hal yang sama pada segmen garis 𝐴 𝑖 𝐴 𝑖+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐴 𝑖+1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Misalkan N = 5 maka 𝐾 = (13−5) 5 = 9 5 cm.
2) Menetapkan titik kontrol pada setiap segmen hasil bagi 𝑇 1 ′𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐴 1 𝐴 2 ̅̅̅̅̅̅̅ . . . 𝐴 𝑖 𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅ .
3) Membangun  kurva  Bezier  kuadratik  pada  segmen  garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dengan  titik kontrol 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 .
b. Deformasi menggunakan kurva Bezier kuadratik dan kubik.
1) Membagi  segmen  garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dengan 𝐾 = (𝐿 2 −𝐿 1 ) 𝑁 dengan K adalah panjang  setiap  segmen  hasil  bagi N , 𝐿 1 = 5 cm, 𝐿 2 = 13 cm  dan N merupakan banyaknya  segmen  yang  diinginkan  sehingga  membagi  menjadi  sama  panjang, misalkan  segmen  garis 𝑇 1 ′𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐴 1 𝐴 2 ̅̅̅̅̅̅̅, .  .  ., 𝐴 𝑖 𝑇 4 ′′ ̅̅̅̅̅̅̅ .  Pada  segmen  garis 𝑇 1 ′𝐴 1 ̅̅̅̅̅̅̅ ditetapkan 𝑇 1 ′ sebagai titik awal dan 𝐴 1 sebagai titik akhir, berlaku hal yang sama pada segmen garis 𝐴 𝑖 𝐴 𝑖+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , 𝐴 𝑖+1 𝑇 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Misalkan N = 5 maka 𝐾 = (13−5) 5 = 9 5 cm.
2) Menentukan titik kontrol pada setiap segmen hasil bagi 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′
̅̅̅̅̅̅̅ .
3) Membangun  kurva  Bezier  pada  segmen  garis 𝑇 1 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 3 ′𝑇 2 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ dengan  titik
kontrol 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 untuk  kurva  Bezier  kuadratik  dan 𝑃 0 , 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 untuk  kurva Bezier kubik.
4) Menginterpolasikan  masing-masing  kurva  batas  sehingga  membentuk  bidang interpolasi (Gambar 4).
Gambar 4. Interpolasi relief samping bagian dalam bidding box bridge
c. Deformasi sisi atas.
1) Membagi  segmen  garis 𝑇 3 ′𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ menjadi  tiga  bagian  sehingga  terbentuk  segmen garis 𝑇 3 ′𝑇 5 ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 5 𝑇 6 ̅̅̅̅̅̅ , 𝑇 6 𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ , dengan perbandingan 𝑇 3 ′𝑇 5 ̅̅̅̅̅̅̅ : 𝑇 5 𝑇 6 ̅̅̅̅̅̅ : 𝑇 6 𝑇 4 ′ ̅̅̅̅̅̅̅ = 1:2:1.
2) Mentranslasikan 𝑇 5 𝑇 6 ̅̅̅̅̅̅ sejauh k cm  searah sumbu- z. Misalkan titik 𝑇 5 = (0; 0; 𝑧 1 ) dan 𝑇 6 = (0; 0; 𝑧 2 ) ditranslasikan sejauh k = 1 2 cm searah sumbu- y .
3) Menetapkan titik kontrol pada hasil bagi segmen garis 𝑇 2 ′′𝑇 3 ′′
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .
4) Membangun kurva Bezier kuadratik pada segmen 𝑇 5 𝑇 6 ̅̅̅̅̅̅ .
5) Menginterpolasikan  masing-masing  kurva  batas  sehingga  membentuk  bidang interpolasi (Gambar 5).
Gambar 5. Interpolasi relief atas bagian dalam bidding box bridge

## 3.4  Merangkai Komponn Penyusun Bidding Box Bridge pada Sumbu Pemodelan
Uraian detai dari penyelesaian permasalah perangkaian komponen benda dasar bidding box bridge pada satu sumbu pemodelan dijelaskan sebagai berikut. Misalkan diberikan sumbu vertikal 𝑄𝑄′ ̅̅̅̅̅ dengan koordinat titik ujung 𝐴(0, 0, 0) dan 𝐴′(0, 0, 𝑡) dengan t = 14 cm.  Nilai  ini  diambil  agar  mendapatkan  hasil  yang  ideal.  Pada  sumbu 𝑄𝑄′ ̅̅̅̅̅ isi  bagian 𝑄𝑆 1 ̅̅̅̅̅ , 𝑄𝑆 2 ̅̅̅̅̅ , 𝑄𝑆 2 ̅̅̅̅̅ , 𝑄𝑆 2 ̅̅̅̅̅ dengan benda-benda dasar komponen bidding box bridge yang telah dihasilkan dengan langkah-langkah perangkaian sebagai berikut.
a. Pada bagian 𝑄𝑆 1 ̅̅̅̅̅ ,  dibangun bagian luar bidding box bridge dengan deformasi balok dengan pusat 𝑃(0,0, 0) dan t = 3 cm.
b. Pada  bagian 𝑄𝑆 2 ̅̅̅̅̅ ,  dibangun  bagian  dalam  bawah bidding  box  bridge dengan  balok terbuka pada salah satu bagian balok dengan pusat 𝑃(0, 0, 0) dan t = 4 cm.
c. Pada  bagian 𝑄𝑆 3 ̅̅̅̅̅ ,  dibangun  skat  bagian  dalam bidding  box  bridge dengan  persegi panjang pada dua bagian samping dengan pusat 𝑃(0, 0, 0) dan t = 4 cm.
d. Pada bagian 𝑄𝑆 4 ̅̅̅̅̅ , dibangun bagian dalam atas bidding box bridge dengan deformasi persegi panjang dengan pusat 𝑃(0, 0, 0) dan t = 9 cm.
e. Menggabungkan  keempat  bagian bidding  box  bridge pada  satu  sumbu  pemodelan (Gambar 6).
Gambar 6. Hasil penggabungan komponen bidding box bridge pada sumbu pemodelan

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian, didapatkan kesimpulan sebagai berikut.
a. Desain bagian dalam dan luar bidding box bridge dapat dilakukan dari balok. Sisi-sisi dari  balok  dideformasi  menjadi  kurva  Bezier  berderajat  dua  dan  tiga,  kemudian menginterpolasikan  masing-masing  kurva  batas  dan  mentranslasi  persegi  panjang pada salah satu sisi balok.
b. Perangkaian  komponen  penyusun bidding  box  bridge menggunakan  satu  sumbu pemodelan  dengan  prosedur  membagi  sumbu  menjadi  tiga  bagian  (sumbu  bagian dalam, luar dan relief). Kemudian, mengisi setiap bagian dengan komponen penyusun bidding  box  bridge sehingga  dihasilkan  delapan  belas bidding  box  bridge yang bervariasi.

## Daftar Pustaka
[1] Mortenson,  M.E., (1996), Geometry Modeling, New York:  John Wiley and Sons Inc.
[2] Yamaguchi, Y., (1998), Curves and Surfaces in Computer Aided Geometric Design , Berlin: Springer-Verlag.
[3] Fernández-Jambrina, L. and Pérez-Arribas, F., (2020), Developable surface patches bounded by NURBS curves,
J. Comp. Math.
38, 715-731. https://doi.org/10.4208/jcm.1904-m2018-0209
[4] Kusno,  (2020),  Modeling  of  developable  surfaces  using  Hermite  spline interpolation  curves, Advances  in  Mathematics:  Scientific  Journal 9(10) ,  8431- 8442. https://doi.org/10.37418/amsj.9.10.72
[5] Kusno,  (2020),  Fitting  a  curve,  cutting  surface,  and  adjusting  the  shapes  of developable  Hermite  patches, Mathematics  and  Statistics 8(6) ,  740-746. https://doi.org/10.13189/ms.2020.080615
[6] Kusno,  (2021),  On  the  modeling  of  developable  Hermite  patches, Journal  of Mathematical and Computational Science 11(2) , 1145-1165.
https://doi.org/10.28919/jmcs/5293
[7] Salomon, D.  2006. Curves  and  Surfaces  for  Computer  Graphics ,  New  York: Springer Science+Business Media, Inc.
[8] Gomes, A.J.P., Jorge, I.V.J., Wyvill, B., and Galbraith, C., (2009), Implicit Curves and  Surfaces:  Mathematics,  Data  Structures  and  Algorithms ,  London:  Springer- Verlag.
[9] Malaček, K. and Šibrava, Z., (2006), Blending circular pipes with a cyclic surface, Journal for Geometry and Graphics 10(1) , 99-107.
https://www.heldermann.de/JGG/JGG10/JGG101/jgg10007.htm
[10] Kusno, Prihandoko, A.C., (2018), Continuous connection of two adjacent pipe parts defined by line, Bézier and Hermit center curves, Journal of Physics Conference
Series 1008(1) , 1-7. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-
6596/1008/1/012005
[11] Kusno, (2021), Modeling pipes using pipe’s center curves of quadratic and cubic spline interpolation, AIP Conference Proceedings 2329 , 040002. https://doi.org/10.1063/5.0042248
[12] Kusno, (2019), On the modeling of cross-section and longitudinal section of pipes, Journal of Physics Conference Series 1321(2) , 1-8. https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1321/2/022068
[13] Kuang,  S.,  (1996), Geodic  Network  Analysis  and  Optimal  Design ,  New  York: Concept and Applications .
[14] Haryono, A., (2014), Studi pembentukan huruf font dengan kurva Bezier, Jurnal TEKNIKA 3(1) , 69-78. https://doi.org/10.34148/teknika.v3i1.22
[15] Rodifa,  Y.A.,  (2017),  Modelisasi  Lampu  Duduk  Dengan  Penggabungan  Hasil Deformasi Benda Geometri Ruang, Skripsi , Jember: Jurusan Matematika FMIPA
Universatas Jember.
[16] Mumtazah, F.,  (2018),  Modelisasi  Lampu  Meja Menggunakan Kurva Bezier dan Teknik  Deformasi  Benda  Geometri  Ruang, Skripsi ,  Jember:  Jurusan  Matematika FMIPA Universitas Jember.
[17] Putri, N.H., Kusno, dan Bagus, J., (2018), Modelisasi piala dengan penggabungan hasil deformasi benda geometri ruang, Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika 18(1) , 23-32. https://doi.org/10.19184/mims.v18i1.25004
[18] Triadi,  M.B.F.,  Bagus,  J.,  dan  Firdaus,  U.,  (2020),  Aplikasi  kurva  Bezier  pada desain  botol  minuman, Majalah  Ilmiah  Matematika  dan  Statistika 20(1) ,  1-8. https://doi.org/10.19184/mims.v20i1.17217
[19] Wahana, N.P., Bagus, J., dan Firdaus, U., (2020), Modelisasi handle pintu dengan penggabungan  kurva  Bezier  dan  hasil  deformasi  tabung, Majalah  Ilmiah Matematika dan Statistika 20(2) , 65-76.
https://doi.org/10.19184/mims.v20i2.19141
[20] Kusno, (2014), Pengembangan seni dan teknik desain relief benda-benda industri kerajinan  onyx  dengan  bantuan  kurva  Hermit,  Bezier,  dan  natural, Prosiding Seminar Nasional Matematika , Denpasar: 6 November 2014, 85-98.
[21] Maharani, N., (2016), Aplikasi Kurva Bezier Berderajat Lima Hasil dari Modifikasi Kurva Kuartik pada Desain Keramik, Skripsi , Malang: UIN MALIKI.