Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 12 No. 1, Juni 2020, hal. 1-13 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PEMECAHAN MASALAH KINEMATIKA KE DEPAN
PADA TANGAN ROBOT n -SEGMEN

## Bambang Hendriya Guswanto
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Jenderal Soedirman bambang.guswanto@unsoed.ac.id

## Alisya Masturoh
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Jenderal Soedirman
Triyani
Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This article discusses a forward kinematics space for a robot’s hand with n arms  in  two  dimensional  Euclid  space.  The  kinematics  space  of  the  robot’s  hand  is obtained  by  employing  some  geometrical  transformations,  those  are  rotation  and dilatation. The solution of this problem is represented by a function corresponding a set of pairs of hinge configuration with a set of pairs of robot’s position and hand endpoint direction.
Keywords :  Geometry  Transformations,  Robot’s  Hand  n-arms,  Forward  Kinematic Problem.
ABSTRAK. Artikel ini membahas tentang ruang gerak kinematik ke depan tangan robot dengan n lengan  pada  ruang  Euclid  berdimensi  dua. Ruang  kinematika  tangan  robot  ini diperoleh  dengan  menggunakan  beberapa  tranformasi  geometri  yaitu  rotasi  dan  dilatasi. Penyelesaian  masalah  kinematika  ini  direpresentasikan  oleh  suatu  fungsi  yang mengaitkan  antara  himpunan  pasangan  pengaturan  sendi  dan  himpunan  pasangan  posisi dan arah ujung tangan robot.
Kata  Kunci  : Transformasi  Geometri,  Tangan  Robot n- lengan,  Permasalahan  Gerak Kinematik ke Depan.

## 1. PENDAHULUAN
Artikel ini membahas tentang ruang gerak kinematik tangan robot dengan n lengan.  Tangan  robot  ini  terdiri  dari  satu  ujung  tangan  dan  lengan-lengan  atau disebut segmen, yang terhubung satu sama lain oleh suatu sendi. Jenis sendi yang ada  pada  tangan  robot  yang  menjadi  perhatian  dalam  artikel  ini  terdiri  dari  dua macam sendi yaitu sendi planar putar dan sendi prismatik. Jenis sendi planar putar memungkinkan  pergerakan  segmen  secara  memutar,  sementara  jenis  sendi
prismatik memungkinkan gerakan pemanjangan dan pemendekan segmen. Bentuk pergerakan  ini  dapat  direpresentasikan  secara  geometri  melalui  koordinat kartesius dengan titik pusat berada di sendinya. Gerak pada tangan robot ini dapat dipandang  sebagai  gerak  kinematik.  Salah  satu  permasalahan  dalam  gerak kinematik  adalah  permasalahan  gerak  kinematik  ke  depan,  yaitu  untuk menentukan  posisi  dan  arah  ujung  tangan  robot  agar  sesuai  dengan  pengaturan- pengaturan sendi yang ada.
Penelitian  mengenai  permasalahan  kinematika  pada  tangan  robot  pernah dilakukan  oleh  Natarajan,  dkk  [2].  Penelitian  tersebut  menganalisis  kinematika tangan robot dengan tiga jari dengan menggunakan metode grafik. Adapun dalam artikel  ini,  pendekatan  sistematis  dengan  menggunakan  transformasi  geometri khususnya rotasi dan dilatasi akan dilakukan untuk mendeskripsikan ruang gerak yang  mungkin  untuk  tangan  robot  dengan -segmen  tersebut.  Pendekatan  ini nantinya  akan  digunakan  untuk  memecahkan  pemasalahan  gerak  kinematik  ke depan sebagai salah satu aplikasi dalam kajian Geometri Aljabar (lihat [1]).

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  menyelesaikan  permasalahan kinematika tangan robot dengan -segmen ini :
1. mendeskripsikan  bentuk  dan  cara  kerja  sendi  pada  lengan  robot  sebagai berikut:
a. sendi  planar  putar  memungkinkan  gerakan  memutar  antara  dua  segmen yang berhubungan;
b. sendi  prismatik  memungkinkan  gerakan  perpanjangan  dan  pemendekan suatu segmen;
c. satu tangan robot terdiri dari beberapa segmen, dengan setiap dua segmen yang berurutan terhubung dengan satu jenis sendi;
d. posisi dan arah segmen pertama tetap, sementara posisi dan arah segmen lain dapat berubah dengan rotasi dan translasi.
2. merepresentasikan tangan robot dalam bentuk geometri pada sistem koordinat kartesius dengan ketentuan sebagai berikut:
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen 3
a. pusat koordinat berada di setiap sendi planar putar pada lengan robot;
b. merupakan sistem koordinat global;
c. untuk ,
merupakan  sistem  koordinat  lokal  dengan  pusat  di
sendi ke- dan sumbu- searah dengan arah lengan ke- .
3. mendeskripsikan  gerak  sendi  melalui  rotasi  dan  translasi  (pembahasan lengkap tentang transformasi geometri ini bisa melihat Wallace dan West [2] atau Schwatrz [3]);
4. mendefinisikan  gerak  sendi  dengan  suatu  pemetaan  polinomial dengan kriteria sebagai berikut:
a. himpunan merupakan himpunan pengaturan sendi-sendi yang memungkinkan atau ruang sendi dan merupakan himpunan posisi dan arah koordinat yang memungkinkan atau ruang konfigurasi;
b. himpunan didapatkan  dari  hasil  perkalian  kartesian  semua kemungkinan pengaturan sendi-sendi planar putar dan semua pengaturan sendi-sendi prismatik;
c. pada  suatu  sendi  planar  putar,  pengaturan  sendi  antara  segmen  ke- dengan segmen ke- dideskripsikan dengan mengitung besar sudut yang  terbentuk  antara  kedua  segmen  tersebut  secara  berlawanan  arah jarum jam;
d. keseluruhan  kemungkinan  pengaturan  suatu  sendi  planar  putar diparameterkan oleh lingkaran satuan atau interval ;
e. pada  sendi  prismatik,  pengaturan  sendi  dideskripsikan  dengan menghitung  panjang  segmen  yang  dihasilkan  oleh  sendi  yang bersangkutan;
f. keseluruhan  pengaturan  suatu  sendi  prismatik  yang  memungkinkan diparameterkan  oleh  suatu  interval  bilangan  asli ,  dengan
merupakan  panjang  minimum  segmen  dan merupakan  panjang maksimum segmen;
g. himpunan didapatkan  dari  hasil  perkalian  kartesian dari  himpunan posisi ujung tangan dan himpunan arah ujung tangan.
h. posisi  ujung  tangan  diparameterkan  oleh  pasangan  terurut
yang merupakan suatu titik pada sistem koordinat ;
i. arah  ujung  tangan  diparamaterkan  oleh  suatu  vektor  satuan  yang  sejajar dengan bentuk spesifik ujung tangan;
Setiap  tangan  robot  memiliki  segmen  pertama  yang  posisinya  tetap.    Dalam hal ini,  sistem koordinat global   1 1 , x y yang merupakan  sistem  koordinat utama tangan  robot  memiliki  titik  pusat  yang  berada  pada  sendi  planar  putar  pertama.
Selain sistem koordinat global, terdapat juga sistem koordinat lokal   , i i x y yang memiliki  titik  pusat  pada  sendi  planar  putar  ke- ( 1) i  dengan  sumbu- i x searah dengan lengan segmen ke- i .
Gambar 2.1 Sistem koordinat pada tangan robot

## 2.1 Hubungan antar koordinat
Misalkan  terdapat  dua  segmen  yang  bersangkutan  yaitu  segmen  ke- i dan segmen  ke- ( 1) i  .  Penggambaran  sistem  koordinat   , i i x y dan  sistem  koordinat
  1 1 , i i x y   digambarkan dalam Gambar 2.1.
Gambar 2.2 Sistem koordinat   , i i x y dan sistem koordinat   1 1 , i i x y  
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen 5 Sistem  koordinat   , i i x y dan  sistem  koordinat   1 1 , i i x y   dihubungkan  oleh pengaturan  sendi  planar  putar  ke- i dan  juga  sendi  prismatik  pada  segmen  ke- i
(jika  ada).  Misalkan  arah  pengaturan  sendi  planar  putar  ke- i sebesar i  dan panjang sendi prismatik ke- i sebesar
Misalkan juga posisi ujung tangan dalam sistem koordinat   1 1 , i i x y   adalah
  1 1 , i i a b   . Posisi ujung tangan dalam sistem koordinat   , i i x y yaitu   , i i a b akan
ditentukan.  Untuk  mencarinya,  transformasikan  sistem  koordinat   , i i x y agar memiliki posisi yang sama persis dengan sistem koordinat   1 1 , i i x y   .
Pertama, rotasikan sistem koordinat   , i i x y sebesar i  terhadap sumbu rotasi   0, 0 pada  sistem  koordinat   1 1 , i i x y   .  Kedua,  translasikan  sistem  koordinat
  , i i x y terhadap vektor , 0 i l agar memiliki titik pusat yang sama.
Gambar 2.3 Hasil translasi dan rotasi sistem koordinat   , i i x y

## 2.2 Transformasi sistem koordinat
Misalkan   , i i a b merupakan  titik  pada  sistem  koordinat   , i i x y .  Rotasi sebesar i  dirumuskan dalam persamaan matriks
' 1 1 1 ' 1 1 1 cos sin cos sin
sin cos sin cos i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b
b a b b      
       
                              .
Selanjutnya, translasi terhadap vektor ,0 i l dirumuskan dalam persamaan matriks
1 1 1 1 1 1 1 1 cos sin cos sin sin cos sin cos 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a b a b l l b a b a b                                                 .
Sehingga,  sembarang  titik   1 1 , i i a b   dalam  sistem  koodinat   , i i x y akan
memiliki nilai
  
 1 1 1 1 , cos sin , sin cos i i i i i i i i i i i a b a b l a b             . Hasil ini juga dapat dituliskan dalam bentuk matriks  3 1  , yaitu 1 1 1 1 1
1 cos sin cos sin sin cos sin cos 0 . 1 1 1 0 0 1
i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a b l l a b a b b           
                                           
Jadi,  untuk  mencari  koordinat  titik   1 1 , i i a b   dalam  sistem  koordinat
  , i i x y , matriks  3 3  yang digunakan adalah
cos sin sin cos 0 .
1 0 0 i i i i i l      
        
Selanjutnya,  matriks  ini  disebut  matriks i A ,  yaitu  matriks  yang  menghubungkan sistem koordinat   , i i x y dengan sistem koordinat   1 1 , i i x y   .
Perhatikan bahwa pengaturan antara  sistem  koordinat global   1 1 , x y dengan dengan sistem koordinat   2 2 , x y dipisahkan dengan rotasi saja. Dengan kata lain, translasinya adalah   0, 0 . Jadi,
1 1 1 1 1 cos sin 0 sin cos 0 .
1 0 0 A           
    

## 2.3 Tangan robot n -segmen
Misalkan  terdapat  suatu  tangan  robot  bersegmen dengan sendi  planar putar  dan sendi  prismatik.  Apabila  ujung  tangan  menempel  pada  suatu  lengan sepanjang n l tanpa  ada  sekat  sendi  planat  putar,  maka  dianggap  sebagai  satu kesatuan  segmen  dengan  satu  ujung  tangan  dan  satu  lengan  dengan  panjang n l .
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen 7
Apabila  terdapat  sendi  planar  putar,  maka  ujung  tangan  ini  tetap  dianggaap  satu segmen dengan satu ujung tangan dan satu lengan dengan panjang 0.
Gambar 2.4 Ilustrasi ujung lengan
Apabila  pada i l terdapat  sendi  prismatik,  maka  nilai bergantung  pada pengaturan  sendi  prismatiknya.  Sebaliknya,  apabila  pada tidak  terdapat  sendi prismatik, maka nilai tetap dan dapat diketahui sejak awal. Jika pada terdapat lebih dari satu sendi prismatik yang berturut-turut tanpa disekat oleh sendi planar putar,  maka dianggap  sebagai  satu  kesatuan  lengan  atau  segmen.  Karena  itu, untuk  tangan  dengan n segmen  akan  memiliki 1 n  sendi  planar  putar.  Hal  ini menyebabkan banyaknya sistem koordinat pada suatu tangan robot bersegmen- n adalah n .
Misalkan   , i i a b merupakan  sebuah  titik  pada  sistem  koordinat   , i i x y .
Transformasi  dari  sistem  koordinat   2 2 , x y ke  sistem  koordinat   1 1 , x y memerlukan matriks 1 A yang  secara matematis dirumuskan sebagai
1 2 1 1 2 1 1 a a b A b
                     .
Titik   2 2 , a b didapatkan  melalui  transformasi  dari  sistem  koordinat   3 3 , x y ke
sistem koordinat   2 2 , x y , sehingga 3 1 1 1 2 3 1 1 a a b A A b    
                 .
Dengan  cara  yang  sama,   3 3 , a b didapatkan  melalui  transformasi  dari  sistem koordinat   4 4 , x y ke  sistem  koordinat   3 3 , x y .  Jika  proses  ini  terus  dilanjutkan maka
1 1 1 2 1 1 1 n n n a a b A A A b                       ,
dengan
cos sin sin cos 0 1 0 0 i i i i i i l A      
          .
Selanjutnya, perhatikan bahwa
        1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0 sin cos 0 sin cos sin 1 1 0 0 0 0 1 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i l l l l A A
l                       

       
                                 ,        
      1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 cos sin cos cos sin cos sin sin 0 0 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i l l l A A A A A A l l                         
           
                         ,
     
          3 3 3 1 2 2 1 1 1 2 3 3 3 3 1 2 2 1 1 cos sin cos cos cos sin cos sin sin sin 0 0 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i l l l l A A A A l l l                            
          

                              , dan seterusnya. Jadi,
            2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 2 2 cos cos sin sin cos sin
0
0 1 n i i i i n n n n n n i i i l l A A A
l                         
                          
  .
Akibatnya,
   
          2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin
sin cos sin 0 0 1 n i i i n n n n n n n i i i l A A A A A A A A l                         
                           
 
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen 9 Selanjutnya, misalkan (n) 1 2 3 1 n A A A A
A   . Akan dibuktikan bahwa matriks (n) A
yang  menunjukan  matriks  transformasi  dari  sistem  koordinat  ( , ) n n x y ke  sistem koordinat
1 1 ( , ) x y untuk  tangan  robot  bersegmen- dengan  sembarang  bilangan asli
adalah             2 1 1 1 1 1 1 1
2 (n) 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin sin cos sin 0 0 1 n i i i n n n n n i i i l A
l                
     
                           

 .

## Diketahui bahwa
        1 1 1 1 1 cos sin 0 sin cos 0 1 0 0 A                 dan
        cos sin sin cos 0 1 0 0 i i i i i i l A      
          . Pertama, untuk 3,         1 2 1 2 2 1
(3) 1 2 1 2 1 2 2 1 cos sin cos
sin cos sin 1 0 0
l
A A A l       
                                3 2 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 2 1 3 1 1 3 1 1 1 1 cos cos sin sin cos sin 0 0 1 i i i i i i l l  
                    
                          
 
Andaikan, untuk n s  ,
            2 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin
sin cos sin
0 0 1 s i i i s s s s s s s i i i l A A A A A
l                  
                                    .
Akan dibuktikan bahwa, untuk
1 n s   ,
            1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 3 1 1 1 1 1 cos cos sin sin cos sin 0 0 1 s i i i s s s s s s s i i i l A
A A A A l                                                  
Perhatikan bahwa
  ( ) 1 2 3 1 2 3 1 s s s s
A A A A A A A A A A                2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos 0
1 0 0 0 0 1 s i i i s s s s s s s s i i s s i l l l                                                               
              1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos
sin sin cos sin 0 0 1 s i i i s s s s s i i i l l                                              
  .
Jadi,  terbukti  bahwa  matriks ( 1) n A  untuk  sembarang  tangan  robot  bersegmen- adalah
            2 1 1 1 1 1 1 1 2 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin sin cos sin 0 0 1 n i i i n n n n n n i i i l A
l                                                   
  .
Didapatkan  bahwa  posisi  ujung  tangan  robot  dalam  sistem  koordinat  global adalah
            2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin sin cos sin , 1 1 0 0 1 n i i i n n n n n n i i n i l a a b l b                          
                                           
 
dengan  titik   , n n a b merupakan  posisi  ujung  tangan  robot  bersegmen- n dalam sistem koordinat   , n n x y .
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen
Gambar 2.5 Posisi ujung tangan dalam sistem koordinat   , n n x y
Berdasarkan  pengaturan  sistem  koordinat,  posisi  ujung  tangan  terhadap  koordiat
  , n n x y adalah   , 0 n l dengan n l adalah panjang lengan ke n  . Jadi, nilai   1 1 , a b adalah
                2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos cos sin sin cos sin 0 sin . 1 1 0 0 1 1 n n i i i i i i n n n n n n n i i i i i i l l l a b l l                         
                                                                         
   
Dengan kata lain,
    1 1 2 1 1 1 1 2 cos sin .
1 1 n i i i n i i i l a b l            
                          
Arah  ujung  tangan  direpresentasikan  dalam  vektor  satuan.  Selain  itu,  arah  ujung tangan  dapat  juga  dituliskan  dalam  bentuk  sudut.  Misalkan  merupakan  arah ujung  tangan  dalam  sistem  koordinat  global.  Pada  tangan  robot  dengan  dua segmen,  besar  sudut  sama  dengan  besar  sudut 1  .  Selanjutnya  untuk  tangan robot dengan tiga segmen, besar sudut  sama dengan besar sudut 1 2    .
Gambar 2.6 Sudut tangan robot tiga segmen
Oleh  karena  itu,  untuk  tangan  robot  dengan n segmen,  arah  ujung  tangan  robot adalah
1 2 1 n          .
Jadi, posisi dan arah ujung tangan robot dalam sistem koordinat global adalah
 
  1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 cos sin n i i i n i i i n i i l a b l                
                            .
Berdasarkan Persamaan (2.1), dapat disimpulkan bahwa posisi dan arah ujung tangan  dalam  sistem  koordinat  global  bergantung  pada  nilai 1 1 2 , , , , n n l l   
atau dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi : f J C  dengan
      1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 cos , , , , sin n i i i n n n i i i n i i l f l l l  
               
                  ,
dengan J merupakan himpunan pasangan pengaturan sendi atau ruang sendi dan C merupakan  himpunan  pasangan  posisi  dan  arah  ujung  tangan  atau  ruang konfigurasi.

## 3 KESIMPULAN DAN SARAN
Posisi dan arah ujung tangan robot n  segmen dalam sistem koordinat global bergantung  pada  nilai 1 1 2 , , , , n n l l    atau  dapat  dinyatakan  sebagai  suatu fungsi : f J C        1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 cos , , , , sin n i i i n n n i i i n i i l a f l l b l                   
                       
     ,
dengan J merupakan himpunan pasangan pengaturan sendi atau ruang sendi dan C merupakan  himpunan  pasangan  posisi  dan  arah  ujung  tangan  atau  ruang konfigurasi.
(2.1)
Masalah Kinematika ke Depan pada Tangan Robot n segmen

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Cox,  D.,  Little,  J.,  dan  O’Shea,  D., Ideals,  Varieties,  and  Algorithms  :  An
Introduction to Computational Algebraic Geometry and Comutative Algebra ,
Springer, New York, 2007.
[2]  Natarajan,  Elango,  Dhar,  L., Kinematic  Analysis  of  Three  Fingered  Robot Hand  Using  Graphical  Method ,  International  Journal  of  Engineering  and Technology, 5 (4) (2013), 518-522.
[3] Schwatrz, A., Analytic Geometry and Calculus , Hat, Rinehart, and Witson Inc, USA, 1960.
[4] Wallace, E.C. dan West, S.F., Road to Geometry , Waveland Press, Inc., USA,
2004.