## ESTIMASI NONLINEAR LEAST TRIMMED SQUARES (NLTS) PADA MODEL REGRESI NONLINIER YANG DIKENAI OUTLIER
Nur Laili Arofah 1 , Sri Harini 2
1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 2 Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: Arofah2206@gmail.com 1 , sriharini21@yahoo.co.id 2

## ABSTRAK
Fungsi produksi Constant Elasticity of Substitution (CES) adalah model regresi nonlinier intrinsik yang sering  digunakan  untuk  mengestimasi  suatu  data  dalam  sebuah  industri.  Model  regresi  nonlinier  intrinsik merupakan  suatu  bentuk  regresi  nonlinier  yang  tidak  dapat  dilinierkan,  sehingga  untuk  mengestimasi parameter  model  statistik  nonlinier  yang  digunakan  adalah Nonlinear  Least  Square (NLS)  dengan pendekatan deret taylor orde satu yang digunakan dalam iterasi Gauss Newton . Salah  satu  masalah  yang  sering  ditemui  dalam  analisis  data  adalah outlier, keberadaan outlier dalam analisis data sangat mempengaruhi hasil analisis sehingga kurang tepat dan sifat estimasi menjadi bias. Salah satu metode regresi yang kebal terhadap outlier adalah metode Nonlinear Least Trimmed Squares . Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  bagaimana  sifat-sifat  parameter  fungsi  produksi  CES  yang dikenai outlier .  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  parameter  fungsi  produksi  CES  yang  dikenai outlier bersifat  bias,  tidak  konsisten.  Sehingga  fungsi  produksi  CES  yang  tidak  dikenai outlier lebih  baik  dari  pada yang dikenai outlier .
Kata Kunci : Model Statistik Nonlinier, Estimasi Parameter, Fungsi produksi Constant Elasticity of Substitution (CES), Outlier , Metode Nonlinear Least Trimmed Squares (NLTS), Iterasi Gauss Newton .

## ABSTRACT
Constant  Elasticity  of  Substitution  (CES)  production  function  is  the  intrinsic  nonlinear  regression models that are often used to estimate the data in an industry. Intrinsic nonlinear regression model is a kind of nonlinear regression that can not be linearized, so as to estimate the  parameters nonlinear statistical model used was Nonlinear Least Squares  (NLS) using a first order taylor series approach used in the Gauss Newton iteration.
One of the problems often encountered in the analysis of data is an outlier , the presence of outlier s in the  data  analysis  greatly  influence  the  results  of  the  analysis  so  it  becomes  less  valid  and  the  estimation become biased. One method that is resistant to outlier s regression is a method of Nonlinear Least Trimmed Squares.
This  research  aims  to  determine  the  characteristics  of  parameter  CES  production  function  which contains outlier . The result shows that parameter of the production function CES which contains outlier s are bias, inconsistent. So the CES production function which does not contain outlier s better than the are contains outlier s.
Keywords: Nonlinear  Statistical  Model,  Parameter  Estimation,  Constant  Elasticity  of  Substitution  (CES) production  function, Outlier s,  Nonlinear  Least  Trimmed  Square (NLTS)  Method,  Gauss Newton Iteration.

## PENDAHULUAN
Fungsi  produksi Constant  Elasticity  of Substitution (CES) adalah salah satu bentuk model regresi  nonlinier  intrinsik  dan  tidak  dapat
dilinierkan, fungsi produksi CES banyak diaplikasikan  dalam  bidang  industri  untuk menganalis data dan mengambil kesimpulan.
Namun  dalam  menganalis  data  sering ditemukan  data  pencilan  ( outlier ), outlier
merupakan  data  yang  memiliki  nilai  residu  lebih besar  disbanding  dengan  data  yang  lainnya. Keberadaan data outlier ini sangat mempengaruhi terhadap hasil kesimpulan.
Jika  keberadaan outlier pada  suatu  data tidak ditangani dengan benar maka dimungkinkan hasil kesimpulannya kurang tepat. Oleh karena itu, diperlukan  suatu  metode  yang  dapat  mengatasi serta  mendeteksi  terhadap  model  yang  dikenai outlier . Metode tersebut harus mampu memberikan  hasil  yang  baik  sehingga outlier tersebut  tidak  lagi  berpengaruh  buruk  terhadap pendugaan  parameter  dan  diharapkan  mampu menghasilkan model yang cocok untuk menganalisis data.
Pada penelitian terdahulu diketahui metode robust    yang  digunakan  untuk  mendeteksi outlier adalah    metode Least  Trimmed  Squares ,  metode Least  Trimmed  Squares merupakan  metode  yang mampu  mengatasi outlier yang  timbul  baik  dari variabel terikat (dependent) maupun dari variabel bebas  (independent)  dengan  baik  pada  model regresi linier.
Namun  pada  penelitian  ini,  model  regresi yang  diteliti  adalah  model  regresi  nonlinier  yang dikenai outlier ,  sehingga  metode  Least  Trimmed Squares  tidak  dapat  diterapkan,  sehingga  pada penelitian  ini  penulis  menggunakan  metode Nonlinear  Least  Trimmed  Squares .  Sifat  dari metode  ini  hampir  sama  dengan  metode  Least Trimmed Squares yaitu mengatasi outlier dengan cara  meminimumkan  jumlah  kuadrat  residu    dari h  pengamatan,  penduga  yang  dihasilkan  oleh metode  ini  tidak  terpengaruh  oleh  keberadaan outlier .  Analisis  sifat  penduga  Nonlinear  Least Trimmed  Squares  (NLTS)  dilakukan  dengan melihat  nilai  bias,  ragam,  dan  Mean  Square  Error (MSE).

## TINJAUAN PUSTAKA

## Regresi Nonlinier
Model nonlinier merupakan bentuk hubungan  antara  peubah  respon  dengan  peubah penjelas  yang  tidak  linier  dalam  parameter. Menurut  [1],  model  umum  regresi  nonlinier adalah:
𝑌 𝑖 = 𝑓(𝑋 𝑖𝑗 , 𝛽 𝑖𝑗 ) + 𝑒 𝑖 dengan: 𝑌 𝑖 : nilai respon ke -i =1,2,…, n 𝑋 𝑖𝑗 : nilai prediktor ke- j pengamatan ke- i 𝛽 𝑖𝑗 : nilai parameter ke- u ; u =1,2,…, k ( k=p+1 )
𝑒 𝑖 : nilai sisaan ke- i ; n : ukuran contoh k : banyaknya parameter p : banyaknya peubah prediktor 𝑓(𝑋 𝑖𝑗 , 𝛽 𝑖𝑗 ) : fungsi regresi nonlinier Menurut  [1],  model  regresi  nonlinier diklasifikasikan  menjadi  linier  intrinsik  dan nonlinier  intrinsik.  Model  linier  intrinsik  dapat ditransformasikan menjadi bentuk linier, sedangkan  model  nonlinier  intrinsik  tidak  dapat ditransformasikan menjadi bentuk linier.

## Fungsi Produksi Constant Elasticity Of Substitution (Ces)
Fungsi  produksi  adalah  suatu  hubungan matematis  yang  menggambarkan  suatu  cara dengan  jumlah  dari  hasil  produksi  tertentu tergantung  dari  jumlah  input  tertentu  yang digunakan [2].
Menurut  Joesron  dan  Fathorrozi  dalam  [3], terdapat  beberapa  bentuk  fungsi  produksi  antara lain  fungsi  produksi  Cobb-Douglas,  fungsi produksi Constant  Elasticity  of  Substitution (CES) dan fungsi produksi Leontief.
Fungsi Constant  Elasticity  of  Substitution (CES)  dikembangkan  oleh  Arrow,  Chenery, Minhan,  dan  Solow  pada  tahun  1961.  Bentuk fungsi  produksi Constant  Elasticity  Of  Subtitution (CES):
𝑄 𝑡 = 𝛽 1 [𝛽 2 𝐿 𝑡 𝛽 3 + (1 − 𝛽 2 )𝐾 𝑡 𝛽 3 ] 𝛽 4 𝛽 2 + 𝑒 𝑡 dimana 𝑄 𝑡 adalah hasil keluaran (output) produksi pada  saat t sebagai  nilai  respon, 𝐿 𝑡 adalah  tenaga kerja (labor) pada saat t sebagai variabel pertama, 𝐾 𝑡 adalah  modal  (capital)  pada  saat t sebagai variabel kedua. Parameter-parameter 𝛽
berhubungan secara tak linier dengan variabelnya [4].

## Sifat-Sifat Estimasi Parameter
[5]  menyatakan  suatu  penaksiran  dinilai baik apabila memenuhi kriteria unbias, efisien dan konsisten.
Estimator Tak Bias ( Unbiased Estimator )
Estimator  dikatakan  tidak  bias  jika  mean distribusi  sampel  adalah  sama  dengan  mean parameter 𝛽 yang tidak diketahui.
𝐸[𝛽̂] = 𝛽
dimana 𝛽 merupakan parameter yang diestimasikan, dan 𝛽̂ sebagai estimator titik.

## Efisien
Jika 𝛽̂ adalah estimator 𝛽 tak bias, dan tidak ada  estimator  tak  bias  lainnya  yang  memilki varian  yang  lebih  kecil,  maka 𝛽̂ dikatakan  paling efisien  atau minimum variance unbiased estimator 𝛽 . 𝛽̂ 1 dan 𝛽̂ 2 adalah 2 estimator tak bias, maka 𝛽̂ 1 dikatakan lebih efisien dari 𝛽̂ 2 jika 𝑉𝑎𝑟 (𝛽̂ 1 ) < 𝑉𝑎𝑟 (𝛽̂ 2 ) .

## Konsisten
Suatu  penduga 𝛽̂ dikatakan  konsisten apabila  semakin  mendekati  parameter  yang diduga.  Secara  matematis  dapat  dituliskan 𝛽̂ penduga  yang  konsisten  karena 𝛽̂ → 𝛽 dengan 𝑛 → ∞ atau  dengan  pernyataan  peluang, lim 𝑛→∞ 𝑃(|𝛽̂ − 𝛽| < 𝜀) = 1 .

## Iterasi Gauss Newton
Menurut  [6],  iterasi Gauss  Newton merupakan proses iterasi yang akan menghasilkan solusi  untuk  permasalahan  regresi  nonlinier. Iterasi  Gauss  Newton  menggunakan  deret  taylor untuk  mendekati  model  regresi  nonlinier  dengan persamaan  linier  dan  pada  semua  proses  iterasi dibutuhkan penduga awal.
Myers dalam [7] menjelaskan penduga awal dapat  ditentukan  lewat  informasi. Kegagalan  nilai awalan  dalam  menaksir  dapat  dikarenakan penduga awal terlalu dekat, terlalu kecil. Penduga awal  yang  baik  dapat  membuat  penduga konvergen jauh lebih cepat [1]

## Outlier
Secara  umum outlier dapat  diartikan  data yang tidak mengikuti pola umum pada model atau data  yang  keluar  dari  model  dan  tidak  berada dalam daerah selang kepercayaan [8].
Keberadaan Outlier akan  menimbulkan beberapa  masalah,  diantaranya outlier akan mengubah  atau  mengaburkan  kesimpulan  yang dibuat  oleh  peneliti  karena  nilai  penduga parameternya bersifat bias [1].
Menurut [9] metode yang digunakan untuk mengidentifikasi adanya outlier yang berpengaruh
dalam  koefisien  regresi  antara  lain  identifikasi dengan  grafis,  dengan  metode laverage  value dan the difference in fit statistics .

## Nonlinear Least Trimmes Squares (NLTS)
Rousseuw  (1997)  dalam  [10]  menyatakan salah  satu  metode  pendugaan  parameter  model regresi  terhadap  data  yang  mengandung outlier (pencilan) adalah metode penduga Least Trimmed Square (LTS).  Metode  ini  merupakan  salah  satu metode pendugaan parameter pada regresi robust yang  kekar  terhadap  keberadaan outlier (pencilan).  Metode Least  Trimmed  Square (LTS) mempunyai  prinsip  pendugaan  parameter  yang sama  dengan  Metode  Kuadrat  Terkecil,  yaitu meminimumkan  jumlah  kuadrat  galat. Hanya  saja pada metode Least Trimmed Square (LTS), jumlah kuadrat  galat  yang  diminimumkan  adalah  jumlah kuadrat  galat  dari h pengamatan  yang  dianggap bukan outlier (pencilan). Menurut  [11]  metode  penduga Least Trimmed  Square (LTS)  memiliki  beberapa kekurangan,  yaitu  ketika  metode  ini  diterapkan pada  regresi  nonlinier,  maka  hasil  estimasinya kurang  maksimal.  Sehingga  ditemukan  metode penduga  parameter  regresi  robust  untuk  regresi nonlinier terhadap data yang mengandung outlier yaitu  metode Nonlinear  Least  Trimmed  Squares . Cizek  dalam  [12]  menjelaskan  bahwa  penduga parameter Nonlinear Least Trimmed Squares dapat diselesaikan  dengan  metode nonlinier  least squares untuk h pengamatan  yang  terletak  dalam interval 𝑛 2 ≤ ℎ ≤ 𝑛 .  Penduga Nonlinear  Least Trimmed Squares didefinisikan sebagai berikut:
𝛽̂ (𝑁𝐿𝑇𝑆,ℎ) = arg 𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∈ 𝑅 𝑘 ∑ 𝑒 [𝑖] 2 ℎ 𝑖=1 = arg 𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∈ 𝑅 𝑘 ∑{𝑌 𝑖 − 𝑓(𝑋 𝑖𝑗 , 𝛽 𝑖1 )} 2 ℎ 𝑖=1 dimana: Arg : argument
min
: minimum
𝑅 𝑘 1         : ruang Euclidis berdimensi k ( k = p+1 ) h : konstanta pemotongan ( Trimming constant)
𝑒 [𝑖] 2 : statistik peringkat ke-i untuk 𝑒 𝑖 2 (𝑒 [1] 2 ≤ 𝑒 [2] 2 ≤ ⋯ 𝑒 [𝑛] 2 ) Nilai h yang digunakan ketika jumlah data lebih besar atau sama dengan 30 maka untuk mendapatkan nilai h adalah sebagai berikut:

## Nur Laili Arofah
ℎ = [ 𝑛 2 ] + [ 𝑝 + 1 2 ]  𝑎𝑡𝑎𝑢 ℎ = [ 𝑛 2 ] + [ 𝑝 + 2 2 ]
Sejumlah h pengamatan  yang  memiliki kuadrat  sisaan 𝑒 [1] 2 ≤ 𝑒 [2] 2 ≤ ⋯ 𝑒 [𝑛] 2 digunakan untuk  menduga  parameter Nonlinear  Least Trimmed Squares .

## METODOLOGI PENELITIAN

## Data penelitian
Data  dalam  penelitian  ini  berupa  data sekunder yang bersumber dari buku Ekonometrika  Teori  dan  Praktik  Eksperimen dengan  MATLAB  [4].  Variabel  yang  diteliti  yaitu variabel y adalah output dan labor ( 1 x ), capital (
2 x ).

## Tahap Penelitian
1. Estimasi  Parameter  Fungsi  Produksi Constant  Elasticity  of  Substitution (CES) dengan  Metode Nonlinear  Least  Trimmed Squares (NLTS)
a. Membentuk model fungsi produksi CES
b. Estimasi parameter model fungsi produksi CES dengan menggunakan NLS
c. Model fungsi produksi CES dikenai outlier
d. Estimasi parameter model fungsi produksi  CES  dikenai outlier dengan menggunakan NLS.
e. Menentukan Sifat-Sifat Estimasi Parameter (tak bias, efisien , konsisten) 2. Aplikasi Fungsi Produksi Constant Elasticity  of  Substitution (CES)  pada  Data Pengaruh  Labor  dan  Capital  terhadap
Output Produksi
1. Estimasi parameter regresi robust menggunakan Nonlinear  Least  Trimmed
Squares (NLTS), dengan: A. Deteksi outlier
a. Boxplot
b. Leverage Value
c. The  Difference  in  Fit  Statistics (DFITS)
B. Menghitung nilai h
C. Membuat urutan data ke- i untuk 𝑒 𝑖 2
D. Urutkan  hasil  kuadrat  residu  dari yang terkecil ke yang terbesar
E. Mengurutkan ℎ(𝑋 𝑖,𝑗 , 𝑌 𝑖 ) berdasarkan 𝑒 [𝑖] 2
F. Melakukan  estimasi  parameter  pada model  fungsi  produksi  CES  dengan menggunakan Iterasi Gauss Newton
a. Estimasi  parameter  pada  data sebelum data outlier dibuang
b. Estimasi  parameter  pada  data setelah data outlier dibuang
G. Pembahasan hasil analisis.
H. kesimpulan.

## PEMBAHASAN
Estimasi  Parameter  Fungsi  Produksi Constant Elasticity  of  Substitution (CES)  dengan  Metode Nonlinear Least Trimmed Squares (NLTS) Bentuk fungsi produksi Constant Elasticity of Substitution (CES) adalah sebagai berikut:
𝑄 𝑡 = 𝛽 1 [𝛽 2 𝐿 𝑡 𝛽 3 + (1 − 𝛽 2 )𝐾 𝑡 𝛽 3 ] 𝛽4 𝛽2 + 𝑒 𝑡 (1)
dengan
[𝐿, 𝐾] = 𝑋
maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi:
𝑄 = 𝑓(𝑋, 𝛽) (2) persamaan (1) dapat ditulis menjadi:
𝑦 = 𝑄 + 𝑒 atau 𝑦 = 𝑓(𝑋, 𝛽) + 𝑒 (3) Dimana  persamaan  (3)  merupakan  bentuk  fungsi produksi CES yang tidak dikenai outlier . Untuk  menentukan  penduga  parameter dari fungsi produksi CES yang tidak dikenai outlier menggunakan bentuk regresi nonlinier dari fungsi produksi  CES  dengan  menggunakan  persamaan (3). Menurut [13]metode Nonlinear Least Trimmed Squares mengestimasi parameter dengan meminimumkan nilai residual.
Setelah diminimumkan, hasil nilai residual  untuk  penaksiran  parameter 𝛽 pada regresi  nonlinier  intrinsik  ini  dilakukan  dengan proses  iterasi.  Sehingga  diperoleh  bentuk  umum taksiran modelnya sebagai berikut:
𝛽 𝑛+1 = 𝛽 𝑛 + (𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 𝑍(𝛽 𝑛 )) −1 𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 (𝑦 − 𝑓(𝑋, 𝛽 𝑛 ))
Untuk  fungsi  produksi  CES  yang  dikenai outlier , bentuk persamaannya sebagai berikut:
𝑦 = 𝑓(𝑋𝜑, 𝛽𝜑) + 𝑒 dimana 𝜑 merupakan outlier. Bentuk  umum taksiran modelnya sebagai berikut:
(𝛽𝜑) 𝑛+1 = (𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) −1 ) −1 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 (𝑦 − 𝑓(𝑋𝜑, (𝛽𝜑) 𝑛 )) + 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 )(𝛽𝜑) 𝑛

## Menentukan Sifat-Sifat Estimasi Parameter
Suatu parameter dikatakan parameter yang baik  jika  memenuhi  sifat  tak  bias,  efisien,  dan konsisten.
a. Sifat tak bias
Estimator  dikatakan  tidak  bias  jika  mean distribusi  sampel  adalah  sama  dengan  mean parameter 𝛽 yang tidak diketahui.
Estimasi  parameter  fungsi  produksi  CES yang  tidak  dikenai outlier bersifat  tak  bias  jika 𝐸[𝛽̂ 𝑛+1 ] = 𝛽 , dengan melakukan ekspeksi terhadap 𝛽 yang tidak dikenai outlier didapatkan: 𝐸[𝛽̂ 𝑛+1 ] = 𝐸 [𝛽 𝑛 + (𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 𝑍(𝛽 𝑛 )) −1 𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 ] + 𝐸[𝑒]
Sehingga 𝛽̂ 𝑛+1 merupakan  penduga  yang tak  bias  bagi 𝛽 yang  tidak  dikenai outlier .  Namun pada 𝛽 yang  dikenai outlier bersifat  bias  karena 𝐸[(𝛽𝜑) 𝑛+1 ] ≠ 𝛽𝜑 b. Efisien Penduga yang efisien adalah suatu penduga yang  memiliki  nilai  variansi  minimum.  Akan dibandingkan  nilai  varian 𝛽 yang  tidak  dikenai outlier dengan nilai varian 𝛽 yang dikenai outlier . Estimasi  parameter  fungsi  produksi  CES yang  tidak  dikenai outlier memiliki  nilai  varian 𝑉𝑎𝑟(𝛽̂ 𝑛+1 ) = 𝝈 2 𝑫𝑫 𝑻 ,
Dengan 𝑫 = (𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 𝑍(𝛽 𝑛 )) −1 𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 .
Sedangkan  estimasi  parameter  fungsi  produksi CES  yang  dikenai outlier memiliki  nilai  varian 𝑉𝑎𝑟 ((𝛽̂𝜑) 𝑛+1 ) = 𝝈 2 𝑪𝑪 𝑻 , dengan
𝑪 = (𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 )) −1 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 + 𝑍(𝛽𝜑) 𝑛
Sehingga  diperoleh 𝑉𝑎𝑟(𝛽̂ 𝑛+1 ) lebih  evisien disbanding 𝑉𝑎𝑟 ((𝛽̂𝜑) 𝑛+1 ) ,  karena 𝑉𝑎𝑟(𝛽̂ 𝑛+1 ) <
𝑉𝑎𝑟 ((𝛽̂𝜑) 𝑛+1 ) .
c. Konsisten Suatu  estimasi  disebut  konsisten  jika
𝐸[(𝛽̂ − 𝐸[𝛽̂])] 2 → 0 jika 𝑛 → ∞ .
Estimasi  parameter  fungsi  produksi  CES yang tidak dikenai outlier adalah:
𝐸[(𝛽̂ 𝑛+1 − 𝐸[𝛽̂ 𝑛+1 ])(𝛽̂ 𝑛+1 − 𝐸[𝛽̂ 𝑛+1 ])] = 0 Sedangkan Estimasi parameter fungsi produksi CES yang dikenai outlier adalah:
𝐸 [((𝛽̂𝜑) 𝑛+1 − 𝐸 [(𝛽̂𝜑) 𝑛+1 ]) ((𝛽̂𝜑) 𝑛+1 − 𝐸 [(𝛽̂𝜑) 𝑛+1 ])] = 𝐸[(𝛽𝜑) 𝑛 (𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 )(𝛽𝜑) 𝑛 − 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 )(𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 ]
Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa 𝛽̂ 𝑛+1 lebih konsisten dibandingkan dengan (𝛽̂𝜑) 𝑛+1 .
Aplikasi Fungsi Produksi Constant Elasticity of Substitution (CES) pada Data.
a. Estimasi  Parameter  pada  Model  Fungsi Produksi Constant Elasticity of Substitution (CES)  dengan  Menggunakan  Iterasi Gauss Newton Sebelum  melakukan  estimasi  parameter, terlebih  dahulu  dideteksi  keberadaan outlier , metode  yang  lebih  akurat  untuk  deteksi outlier adalah laverage  value dan  didapatkan data  yang  merupakan  outlie  adalah  data  ke- 12,  ke-17,  ke-18,  ke-21,  ke-22,  ke-25  dan  ke- 30.  Langkah  selanjutnya  yaitu  memotoh sebesar  13  data  yang  memiliki  nilai  residu besar. Estimasi parameter dilakukan menggunakan data sebanyak 17, dimana data tersebut  merupakan  data  setelah outlier dibuang.  Hasil  estimasi  parameter  sebelum data outlier dibuang sebagai berikut:
𝑄 = 𝐴 + [𝐵𝐿 𝑐 + (1 − 𝐵)𝐾 𝑐 ] 𝐷 𝐵 Dengan: 𝐴 = 1.372418099933 𝐵 = 0.389438365935 𝐶 = 0.309978135216 𝐷 = 0.986867727926 sedangkan  hasil  estimasi  parameter  setelah outlier dibuang adalah:
𝑆 = 𝑀 + [𝑁𝐿 𝑐 + (1 − 𝑁)𝐾 𝑃 ] 𝑅 𝑁 𝑀 = 1.372418099933 𝑁 = 0.389438365935 𝑃 = 0.309978135216 𝑅 = 0.986867727926
dari  ke-2  hasil  estimasi  diatas,  estimasi  pada data  setelah outlier dikeluarkan  lebih  baik dibanding sebelum outlier dikeluarkan.

## PENUTUP

## Kesimpulan
1. Untuk  mendeteksi  keberadaan outlier pada fungsi  produksi Constant  Elasticity  of substitution (CES) adalah dengan melihat nilai Leverage  Value,  The  Difference in  Fit  Statistics (DFITS)  atau  dengan Boxplot .  Kemudian dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan metode Nonlinear Least Trimmed Squares, yang menghasilkan estimasi parameter sebagai berikut:

## Nur Laili Arofah
a. Estimasi  parameter  pada  model Constant
Elasticity  of  Substitution (CES)  yang  tidak dikenai outlier 𝛽 𝑛+1 = 𝛽 𝑛 + (𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 𝑍(𝛽 𝑛 )) −1 𝑍(𝛽 𝑛 ) 𝑇 (𝑦 − 𝑓(𝑋, 𝛽 𝑛 )) b. Estimasi  parameter  pada  model Constant Elasticity  of  Subsitution yang  dikenai outlier (𝛽𝜑) 𝑛+1 = (𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) −1 ) −1 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 ) 𝑇 (𝑦 − 𝑓(𝑋𝜑, (𝛽𝜑) 𝑛 )) + 𝑍((𝛽𝜑) 𝑛 )(𝛽𝜑) 𝑛
2. Sifat-sifat  estimasi  parameter  pada  model Constant  Elasticity  of  Subsitution (CES) yang tidak dikenai outlier lebih baik dibandingkan dengan  sifat-sifat  estimasi  parameter  yang dikenai outlier ,  hal  ini  terbukti  bahwa  pada model  yang  tidak  memut outlier sifa-sifat estimasi  yaitu unbias, konsisten  dan  efisien terpenuhi,  sedangkan  pada  model  yang dikenai outlier sifat-sifat  estimasi  tidak terpenuhi.

## Saran
Pada penelitian ini, model yang digunakan adalah  fungsi  produksi Constant  Elasticity  of Substitution (CES)  yang  dikenai outlier dan  yang tidak  dikenai outlier dan  untuk  mengestimasi parameter  pada  fungsi  produksi  ini  digunakan metode Nonlinear  Least  Trimmed  Squares (NLTS) . Bagi  pembaca  yang  ingin  melakukan  penelitian serupa,  maka  disarankan  menggunkan  model nonlinier  intrinsik  yang  lainnya  seperti  fungsi produksi Leontief.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] N. Draper dan H. Smith, analsis regresi terapan, jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama, 1992.
[2]   F. Purniawati, Aplikasi Fungsi Produksi Cobb- Douglas dalam Menestimasi Pendapatan Pajak Hotel Kota Surakarta Berdasarkan Jumlah Tenaga Kerja dan Pengunjung Hotel, Surakarta: Skripsi tidak dipublikasi, 2009.
[3]   H. Wibisono, Analisis Efisiensi Usaha Tani Kubis, Diponegoro: Skripsi tidak dipublikasi, 2011.
[4]   A. Aziz, Ekonometrika Teori & Praktik Eksperimen dengan MATLAB, Malang: UIN Maliki Press, 2010.
[5]   S. Adiningsih, Statistik Edisi Pertama,
Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta, 2009.
[6]   J. N. N. Kutner C.H, Applier Linier Regression Models, New York: Mc Graw Hill, 2004.
[7]   D. Permatasari, Pemodelan Kurva Imbal Hasil Obligasi Korporasi Rating AA dan A dengan Nelson Siegel Svensson dan Cubic Spline Smoothing, surakarta: Skripsi tidak dipublikasikan, 2009.
[8]   R. Sembiring, Analisis Regresi, Bandung: ITB, 1995.
[9]   Soemartini, Pencilan (Outlier), Bandung: Universitas Padjajaran, 2007.
[10]  A. Azizah, Analisis Sifat Penduga Least Trimmed Squares (LTS) pada Regresi Linier Berganda yang Mengandung Pencilan dengan Berbagai Ukuran Contoh, Malang: Skripsi tidak dipublikasikan, 2013.
[11]  P. Cizek, “Nonlinear Least Trimmed,” JCMF 2002, pp. 78-86, 2002.
[12]  R. Sundyni, Sifat Penduga Nonlinear Least Square (NLS) dan Nonlinear Least Trimmed Square (NLTS) Akibat Pertambahan Banyaknya Pencilan dan Ukuran Contoh, Malang: Skripsi tidak dipublikasi, 2014.
[13]  C. Chen, “Robust Regression and Outlier Detection with Robustreg Procedur,” Proceedings, pp. 27-65, 2002.