## DIMENSI PARTISI GRAF HASIL OPERASI COMB GRAF LINGKARAN DAN GRAF LINTASAN
Faisal 1)* , Novi Mardiana 2) , Hastri Rosiyanti 3)
1) Departemen Matematika, School of Computer Science, Universitas Bina Nusantara, Jl. K. H. Syahdan No.9, Kemanggisan, Palmerah Jakarta, 11480
2) Program Studi Teknik Informatika, STMIK IKMI Cirebon, Jln Perjuangan No.10B Majasem Kota Cirebon, 45135
3) Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. KH. Ahmad Dahlan Cirendeu, 15419
* faisal@binus.edu

## Abstrak
Dimensi  partisi  adalah  perluasan  dari  konsep  dimensi  metrik.  Konsep  dimensi  partisi pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand pada tahun 1998 (Chartrand,1998). Partisi Π dari himpunan titik V(G) adalah suatu partisi pembeda  dari G, yaitu jika setiap dua verteks  yang  berbeda  dari  graf  G  dapat  dibedakan  oleh  vektor  dengan  koordinatnya adalah  jarak  terhadap  elemen-elemen  di  Π.  Dimensi  partisi  dari  graf  G,  dinotasikan pd(G)  adalah  partisi  pembeda  dari  G  dengan  kardinalitas  paling  minimum.  Pada artikel ini, graf yang dikaji adalah graf yang diperoleh dari hasil operasi comb antara dua graf terhubung yaitu graf Lingkaran C n dan Lintasan P k . Misalkan o adalah suatu titik  dari  P k .  Operasi  comb  antara  C n dan  P k adalah  graf  yang  diperoleh  dengan mengambil 1 graf C n dan |V(C n )| buah graf P k dan menempelkan titik o  dari P k pada titik ke-i dari C n . Kami menyajikan hasi bahwa dimensi partisi dari graf operasi comb antara  C n dan  P k sama  dengan  dimensi  partisi  graf  C n dimana  o  adalah  titik berderajat  1.  Disajikan  juga  konjektur  bahwa  dimensi  partisi  dari  graf  operasi  com antara graf G dan P k sama dengan dimensi partisi graf G dimana o titik berderajat 1 untuk graf  G sebarang.
Kata Kunci: Dimensi metrik, dimensi partisi, graf comb, partisi pembeda.

## PENDAHULUAN
Teori  graf  yang  berkembang  pesat hingga  saat  ini  berawal  dari  permasalahan “Tujuh Jembatan Konigsberg" yang
berhasil dipecahkan Euler melalui artikelnya "Solutio problematicas
geometriam  situs  pertinentis"  pada  tahun 1736.  Hingga  saat  ini  teori  graf  telah digunakan  dalam  studi  mengenai  jaringan elektronik (Harary, 1959), computer database (Singh,  2014),  penemuan  obat- obatan (Balaban, 1985), genetika
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019
(Yap,2003),  arsitektur  (Roth,  1988),  dan bahkan  studi  tentang computer  vision , artificial intelegent dan deep learning yang populer  saat  ini  diperkaya  dengan Graph Neural Network (Scarselli, 2009).
Dalam  teori  graf  dikenal  operasi antara dua graf atau lebih, misalnya operasi corona , kartesius, gabungan, normal, tambah,  dan comb .  Artikel  ini  mengkaji dimensi partisi dari graf hasil operasi comb atau  graf comb .  Graf comb pada  awalnya diperkenalkan  oleh  Hora  dan  Obata  (Hora, 2007).  Graf comb ini  menarik  untuk  dikaji salah satunya karena secara struktur  serupa dengan  molekul  kimia,  sehingga  dapat digunakan  untuk  memodelkan  molekul kimia  tertentu.  Graf comb adalah  bentuk khusus  dari  graf rooted (Godsil,  1978)  dan perumuman  dari  graf Lattice (Accardi, 2004).  Graf comb berdasarkan  definisinya tidak  memiliki  sifat  komutatif,  dan  tidak regular  namun  bersifat  asosiatif  (Accardi, 2004).  Sedangkan  dimensi  partisi  pertama kali  diperkenalkan  oleh  Chartrand  dkk. (Chartrand,  2000)  sebagai  variasi  dari dimensi metrik.
Konsep  mengenai  dimensi  partisi diawali  oleh  kajian  mengenai  himpunan pembeda  pada  dimensi  metrik  yang menghasilkan  pernyataan  bahwa  untuk sembarang  graf  nontrivial  terhubung berlaku  hubungan  antara  dimensi  partisi dari yang  dinotasikan
dengan
dimensi  metrik  dari yang  dinotasikan yaitu (Chartrand,
2000). Hingga saat ini telah diperoleh hasil dimensi  partisi  untuk  kelas  graf  khusus seperti  pada  graf  Cayley  berarah  (Fehr, 2006), graf circulant (Grigorius, 2014), dan graf  pohon  (Rodr ́ guez,  2014).  Selain  itu telah  dikaji  pula  dimensi  partisi  dari  graf hasil operasi misalnya graf corona (Rodr ́ guez,  2010),  graf  kartesian  (Yero,
2010) (Yero,2014),
graf strong
(Yero,2014). Sebagai tambahan, telah dikaji dimensi partisi pada graf tak terhubung oleh Haryeni dkk (Haryeni, 2017). Khusus untuk graf comb sendiri, kajian mengenai dimensi metrik telah dilakukan Suhadi dkk (Saputro,  2017)  sementara  dimensi  partisi graf comb untuk  beberapa  kasus  telah  pula diperoleh  hasil  seperti  pada  (Alfarisi, 2017a),  (Alfarisi,  2017b)  dan  (Alfarisi, 2017c).
Dalam  artikel  ini  disajikan  hasil partisi  dimensi  dari  graf comb antara  graf
Lingkaran untuk dan  graf Lintasan untuk dengan  titik pelekatan menggunakan titik berderajat satu dari . Hasil yang sama dan lebih lengkap mengenai  dimensi  partisi  hasil  operasi comb antara  graf  lingkaran  dengan  graf lintasan telah ditulis pada (Alfarisi, 2017d), namun  dalam  artikel  ini  akan  diberikan pembuktian dengan pendekatan yang berbeda dengan menggunakan partisi pembeda yang didapat dari graf lingkaran.
Misalkan adalah  graf  terhubung dengan , berturut  adalah himpunan  titik  dan  himpunan  sisi  dari .
Untuk setiap himpunan bagian dari dan  setiap  titik definisikan  jarak antara dan oleh
{       |     } Untuk  suatu -partisi terurut { } dari dan titik dari ,  representasi terhadap adalah -vektor | Partisi disebut  partisi  pembeda  jika - vektor | semuanya  berbeda  untuk setiap titik di . Minimum dari | | untuk setiap  partisi  pembeda dari disebut dimensi  partisi dari dan dinotasikan oleh (Chartrand, 2000).
Diberikan  dua  graf  terhubung dan . Operasi comb graf dan , dinotasikan oleh adalah suatu graf yang didapat
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (2), pp: 163-174.
dari  satu  buah  graf dan    graf
|    | yang isomorfik dengan dan  menempelkan  satu  titik  tetap/tempel dari di dengan titik ke- dari . Secara formal, graf dengan titik tetap di adalah  graf  dengan  himpunan  titik dimana  dua titik dan bertetangga jika : 1) dan , dan 2) dan .
Dalam  artikel  ini  akan  disajikan  hasil pembuktian  dimensi  partisi  dari  graf dengan adalah  graf  lingkaran berorde , adalah  graf  lintasan  berorde
dan adalah  titik  berderajat  1  di . Pembuktian
dimensi partisi ini
memanfaatkan  suatu  partisi  pembeda  dari
.

## METODE PENELITIAN
Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian kualitatif  yang  dilakukan  dengan  cara memeriksa  konsep  partisi  dimensi  untuk kelas  graf  khusus  yaitu  graf  hasil  operasi comb antara dua graf terhubung.
Tahapan  awal  yang  dilakukan  dalam penelitian  ini  adalah  mengkaji  literatur terkait  konsep  partisi  dimensi.  Kajian literature  ini  diperlukan  untuk  membantu proses  observasi  sifat  kelas  graf  operasi comb  dan  partisi  dimensinya.  Selanjutnya, tahapan  investigasi  penelitian  terdiri  dari diskusi  kajian  terhadap  pencarian  partisi pembeda dari kelas  graf  lingkaran dan  graf hasil  operasi comb antara  graf  lingkaran dan  graf  lintasan    sampai  pembuatan teorema  dan  penyusunan  bukti  teorema. Tahapan akhir adalah penulisan pembuktian teorema yang tersusun secara sistematis dan lengkap.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian awal artikel ini akan diberikan pembuktian  mengenai  dimensi  partisi  dari
graf  lingkaran dengan titik.  Telah diketahui  pada  Chartrand  dkk  bahwa
. Penulisan pembuktian dimensi
partisi dari dilakukan untuk mendapatkan  partisi  pembeda  dari  graf
.
Teorema  1 .  Misalkan adalah  graf lingkaran  dengan titik.    Dimensi  partisi dari adalah 3. Bukti. Misalkan  himpunan  titik  dari adalah { } dan himpunan  sisi  dari adalah { } .  Berdasarkan algoritma  pembagian  terdapat  bilangan bulat dan sehingga dengan dan .  Definisikan { } { } dan { } . Ini berarti { } adalah  suatu  partisi  dari
.  Perhatikan  gambar  partisi dari berikut.
Sekarang  asumsikan  bahwa adalah partisi terurut dari himpunan titik .  Akan ditunjukkan  bahwa adalah  suatu  partisi pembeda dari . Misalkan adalah satu
pasang  titik  yang  berbeda  dari
.  Kita
bagi  menjadi  dua  kasus  untuk  pasangan
.  Kasus  pertama:  Misalkan dan
Gambar 1. Partisi Pembeda 𝑃 dari Graf 𝐶 𝑛
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019
, dengan . Ini artinya dan
.  Jelas  bahwa |
| .
Kasus  kedua  :  Misalkan
dengan .  Diketahui . Untuk dapat diasumsikan  bahwa dan dengan .  Diketahui  bahwa . Jelas bahwa . Diketahui juga bahwa . Dapat dilihat dengan mudah bahwa
Diperoleh  bahwa | dan | . Karena ,  dapat  disimpulkan  bahwa |        | untuk . Misalkan ,  dapat  diasumsikan bahwa dan dengan Ini berarti Diperoleh | dan | .  Dapat disimpulkan  bahwa |        | jika . Untuk , misalkan dan dengan . Pada bagian ini kita bagi kasus berdasarkan kemungkinan  nilai .  Pertama,  asumsikan bahwa . Ini berarti .
Akibatnya,
Diperoleh | dan | .  Ini  artinya    dalam  kasus , jika maka |        | . Berikutnya,  asumsikan  bahwa . Hal  ini  berarti .  Perhatikan lintasan dan lintasan dengan . Diketahui bahwa
| | dan | |
. Karena , diperoleh | | | | . Akibatnya,
. Perhatikan lintasan dan lintasan dengan
.  Diketahui  bahwa | | dan | | . Karena ,
diperoleh
| |                    | | Akibatnya, .  Jadi, | dan | . Dapat disimpulkan | | untuk  setiap dalam  kasus . Kasus  terakhir,  asumsikan yang  berakibat Kita  akan menghitung  semua  kemungkinan | jika . Untuk  titik ,  perhatikan lintasan dan . Diketahui bahwa
| | dan | |
. Akibatnya, . Jadi, | .
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (2), pp: 163-174.
Untuk Titik , perhatikan lintasan dan . Diketahui bahwa | | dan | |
.
Akibatnya,
. Jadi, | . Untuk titik dengan , jelas bahwa | | dan | | . Karena ,  diperoleh  bahwa . Akibatnya, .    Selain  itu  kita miliki | | dan | | .  Karena ,  kita  peroleh .  Ini  berarti . Dapat disimpulkan  bahwa | . Jika dan dengan , maka |        | . Karena , diperoleh | | .  Jika maka | | . Untuk ,  kita  miliki  bahwa  maka | | . Jika maka | .  Hal  ini berakibat | | . Dapat disimpulkan bahwa untuk , jika maka |        | .  Jadi
adalah suatu partisi pembeda dari .
Selanjutnya,  akan  dibuktikan  bahwa tidak ada partisi pembeda dari dengan | | .  Dapat  diperiksa  dengan  mudah bahwa  kondisi  ini  terpenuhi  untuk
.
Asumsikan dan  terdapat  partisi pembeda { } dari .  Jelas  bahwa
bukan  partisi  pembeda  jika | | atau | | sama  dengan  1.  Ini  berarti | | untuk  setiap .  Misalkan adalah  lintasan terpanjang  pada ,  sehingga  semua  titik
dari berada  di .  Misalkan adalah dua titik ujung dari .  Ini berarti . Karena  derajat  dari  masing-masing  titik dan adalah dua maka keduanya memiliki masing-masing tepat dua tetangga. Berdasarkan kemaksimalan dari , tetangga dari berada  di dan  satu  tetangga lainnya  berada  di .  Dengan  alasan  yang sama memiliki  tepat  satu  tetangga  yang berada  di .  Misalkan dan berturut- turut  tetangga dan yang  berada  di . Diperoleh dan . Akibatnya, |                | . Kontradiksi
bahwa adalah  suatu  partisi  pembeda.
Terbukti bahwa dimensi partisi dari graf adalah 3.
Partisi  pembeda  dalam  Pembuktian Teorema 1 memberikan ide untuk mendapatkan  hasil  utama  artikel  ini  yaitu mencari  dimensi  partisi  dari  graf  hasil operasi comb antara graf lingkaran dan graf lintasan  dengan  menggunakan  titik  ujung lintasan sebagai titik tempel. Lebih jelasnya,  partisi  pembeda  dari dalam
Teorema  1  digunaka  sebagai  partisi  untuk titik-titik pada graf comb .
Teorema  2. Misalkan adalah  graf lingkaran dengan titik dan adalah graf lintasan  dengan titik.  Jika adalah  titik berderajat  1  dari  lintasan maka
.
Sebelum membahas pembuktian
Teorema  1,  kita  berikan  beberapa  notasi yang  dipakai  untuk  graf dan sifat-sifat  mengenai  representasi  titik-titik graf  ini  terhadap    suatu  partisi  terurut  dari himpunan titik . Misalkan { } dengan { } . Misalkan pula { }
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019
dengan { } . Dapat  diasumsikan  bahwa {( )|                        }} dengan .  Akan  ditunjukkan  bahwa partisi pembeda dari pada Teorema 1
dapat  digunakan  untuk  membuat  suatu partisi  pembeda  dari  graf .
Definisikan  3  himpunan  bagian  titik  dari
sebagai berikut : {( )|                       }
{( )| }
{( )| } Ingat  kembali  bahwa dengan dan .  Untuk setiap dengan , definisikan  himpunan  bagian dari oleh {( )|         } . Diperoleh bahwa Misalkan { } adalah partisi  terurut  dari Akan dituliskan  beberapa  sifat  dari  representasi | dengan . Notasikan untuk setiap bilangan bulat positif .
Lema  1. Misalkan adalah  partisi pembeda  dari pada  Teorema  1  dan partisi  terurut  dari .  Untuk setiap ,  berlaku ( | ) | .
Bukti. Perhatikan  bahwa  untuk
setiap berlaku ( ) .  Akibatnya ( )
untuk setiap . Terbukti.
Lema 2. Misalkan ( ) dengan dan . i) Jika maka | ( | ) . ii) Jika maka |
( | ) . iii) Jika maka | ( | ) . Bukti. Kita  hanya  membuktikan bagian  i  karena  bagian  lainnya  memiliki pembuktian yang serupa. Misalkan ( ) ,  hal  ini  berarti .
Berdasarkan  Lema  1,  Diperoleh  bahwa ( | ) | ( ) .  Diketahui  bahwa
( ) .  Jelas  bahwa
. Selain itu,
( )    ( )
( )    ( ) Akibatnya, | Diperoleh bahwa
| ( | )
( )
Terbukti.
Kita  miliki  karakterisasi  representasi untuk  setiap  titik
terhadap
partisi pembeda pada lema berikut.
Lema  3. Titik jika  dan  hanya jika | ( | )     ⃗ dengan adalah  bilangan  bulat  dan ⃗ adalah  salah satu dari atau atau .
Bukti. Syarat  cukup  dari  pernyataan Lema 3 telah dipenuhi menggunakan Lema
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (2), pp: 163-174.
2.  Sebaliknya,  misalkan dengan  .  Ini  berarti .  Kita  hanya membuktikan untuk kasus , karena kasus  lainnya  memiliki  pembuktian  yang serupa. Jika maka ( | ) | Karena maka dengan dan .  Dengan  kata  lain, | ( | ) . Akan tetapi , yang berarti ( | ) . Akibatnya,
| ( | )
(
)
Karena maka | ( | )     ⃗ . Jika
dmaka
( ) dengan dan maka
|
Akibatnya,
| ( | )
Jadi, | ( | )     ⃗ karena dan .  Jika maka dengan dan . Diperoleh bahwa | ( | ) Perhatikan  bahwa ( | ) akan sama  dengan  salah  satu  dari  representasi berikut :
. Akibatnya,  kemungkinan  dari |
adalah a) b) c) d) Dari 4 kemungkinan |
diperoleh bahwa
| ( | ) , atau | ( | )
, atau | ( | )
, atau
| ( | )
.
Untuk  dua  kasus  terakhir | ( | )     ⃗ karena dan sedangkan .  Untuk  kasus  pertama, karena maka .  Untuk kasus  kedua,  karena maka .  Dengan  alasan  yang dapat disimpulkan bahwa | ( | )     ⃗ karena  koordinat  pertama dan ketiganya berbeda tanda. Terbukti.
Sekarang kita telah siap membuktikan bahwa  partisi  terurut { } adalah partisi pembeda dari graf . Bukti Teorema 1. Misalkan dengan .  Jelas  bahwa  jika dan dengan maka | | . Jika dan dengan dan maka | ( | )           ⃗
| ( | )           ⃗
Jadi,  dalam  kasus  ini  diperoleh | | . Jika dan
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019
dengan dan
maka
| ( | )           ⃗ | ( | )           ⃗
Andaikan | | maka | ( | )           ⃗ .
Akibatnya,  didapatkan  bahwa | ( | )           ⃗ . Berdasarkan Lema 4,
dapat disimpulkan bahwa . Kontradiksi bahwa dimana .  Dengan  kata  lain,  dalam
kasus  ini | | .  Dengan demikian    telah  dibuktikan  bahwa { } adalah  partisi  pembeda  dari
.
Terakhir,  akan  dibuktikan  bahwa
tidak ada partisi pembeda dari dengan | | .  Misalkan { } adalah  partisi  pembeda  dari  graf . Ini berarti, | | untuk dan dengan . Asumsikan ,  dengan  kata  lain . Karena maka  terdapat  dua titik berbeda sehingga dan . Akibatnya, |
| .    Kontradiksi  bahwa
adalah  partisi  pembeda.  Dapat  disimpulkan
dimensi partisi dari
adalah 3.
Bagian  ini  akan  diakhiri  dengan memberikan  contoh  partisi  pembeda  dari graf , dan graf . Diberikan graf dengan { } dan { } ,  serta graf dengan { } dan { } . Perhatikan  graf dengan  titik
sebagai berikut.
Berdasarkan pembuktian pada Teorema  2,  partisi  pembeda  dari  graf adalah { } dengan
{ } ,
{ } , dan { }
Representasi  jarak  dari  setiap  titik dari  graf  ini  terhadap  partisi  pembeda dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel  1. Reresentrasi  titik  graf terhadap partisi
Titik |
Gambar  2. Partisi  Pembeda  dari  Graf
𝐶 𝑜 𝑃
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (2), pp: 163-174.
Untuk  graf dengan  titik
,  Partisi  pembeda untuk  graf  ini
dapat dilihat pada gambar  berikut.
Representasi  jarak  setiap  titik  dari graf terhadap  partisi  pembeda { } diberikan pada tabel berikut.
Tabel  2. Reresentrasi  titik  graf terhadap partisi
Titik |
Contoh  terakhir untuk  graf dengan  titik .  Partisi  pembeda
untuk  graf  ini  diberikan  dalam  gambar berikut.
Representasi  jarak  setiap  titik  dari graf terhadap  partisi  pembeda { } dapat  dilihat  pada  tabel berikut. Tabel  3. Reresentrasi  titik  graf terhadap partisi
Titik |
Gambar  3. Partisi  Pembeda  dari  Graf 𝐶 𝑜 𝑃
Gambar  4. Partisi  Pembeda  dari  Graf 𝐶 𝑜 𝑃
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019

## SIMPULAN
Telah  didapatkan  bahwa  untuk  graf operasi comb antara graf lingkaran dan graf lintasan  dimensi  partisinya  sama  dengan dimensi  partisi  dari  graf  lingkaran.  Lebih jelasnya
dengan
adalah  titik  berderajat  1.  Partisi  pembeda yang  didapat  untuk  graf  operasi antara  dua  graf  ini  merupakan  partisi pembeda yang diperoleh dari .
Berdasarkan  analisis  kasus  untuk  graf terdapat  dugaan  kuat  untuk dimensi partisi dari graf
dimana adalah graf sebarang yang terhubung dan adalah titik berderajat 1 dari . Dugaan ini dituliskan dalam konjektur berikut.
Konjektur .  Misalkan adalah  graf sebarang  yang  terhubung, adalah  graf lintasan  dengan titik  dan adalah  titik berderajat  1  dari .  Dimensi  partisi
.

## DAFTAR PUSTAKA
Accardi, L.,  dkk.  2004.  “Monotone independence,  comb  graphs  and
Bose-Einstein  condensation”.  Infinite
Dimensional Analysis, Quantum
Probability and Related Topics. Vol 7
(3), pp: 419-435.
Alfarisi,  R.  dan  Darmaji.  2017a.  “  On  the partition  dimension  of  comb  product of  path  and  complete  graph”.  AIP
Conference  Proceedings.  Vol  1867 (1).
Alfarisi,  R.,  dkk.  2017b.  “On  the  star partition  dimension  of  comb  product of  cycle  and  path”.  AIP  Conference Proceedings. Vol. 1867.
Alfarisi,  R.,  dkk.  2017c.  “On  the  star partition  dimension  of  comb  product of cycle and complete graph”. Journal of  Physics  :  Conference  Series.  Vol. 855.
Alfarisi, R. 2017d. The Partition dimension and  star  partition  dimension  of  comb product  of  two  connected  graphs .
Thesis. Surabaya: ITS.
Balaban, A. T. 1985. “Application of Graph Theory  in  Chemistry”.  Journal    of Chemical  Information  and  Computer Sciences.  Vol.  25  (3),  pp:  334-3
Chartrand,  G.,  dkk.  2000.  “The  partition dimension  of  a  graph”.  Aequationes mathematicae.  Vol  59  (1-2),  pp:  45-
54.
Chartrand, G., dkk, 1998. “On the partition dimension  of  graph”.  Congressus Numerantium. Vol 130, pp:157-168.
Fehr,  M.,  dkk.  2006.  “The  partition dimension  of  Cayley  digraphs”. Aequationes  mathematicae.  Vol  71 (1-2), pp: 1-18.
Godsil, H. D., dan Mckay, B. D. 1978. “ A new graph product and its spectrum”. Bulletin of the Australian
Mathematical Society. Vol 18 (1), pp:
21-28.
Grigorius, C., dkk. 2014. “On the partition dimension  of  a  class  of  circulant graphs”. Journal Information
Processing  Letters.  Vol  114  (7),  pp: 353-356.
Harary, F. 1959. “Graph theory and electric networks”.  IRE  Transactions  On Circuit Theory. Vol 6 (5), pp: 95-109
Haryeni, D. O., dkk. 2017. “On the partition dimension  of    disconnected  graphs”. Journal of Mathematical and Fundamental Sciences. Vol 49 (1), pp 18-32.
Hora, A., dan Obata, N. 2007. Comb graphs and  star  graphs .  In:  Quantum Probability  and  Spectral  Analysis  of Graphs.
Theoretical and
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (2), pp: 163-174.
Mathematical Physics. Berlin,
Heidelberg: Springer.
Rodr ́ guez,  A.  J.,  dkk.  2014.  “On  the partition dimension of trees”. Discrete Applied  Mathematics.  Vol  166,  pp: 204-209.
Rodr ́ guez, A. J., dkk. 2014. “The partition dimension of corona product graphs”. https://arxiv.org/abs/1010.5144 diakses pada 19 Desember 2019
Roth,  J.,  dan  Hashimshony,  R.  1988. “Algorithms in graph theory and their use for solving problems in
architectural design”. Computer-
Aided  Design.  Vol.  20  (7),  pp:  373- 381.
Singh, R. P. dan Vandana. 2014. “Application  of  Graph  Theory  in Computer  Science  and  Engineering”.
International  Journal  of  Computer Application. Vol. 104(1), pp:10-13.
Scarselli, F., dkk. 2009. “The graph Neural Network”.  IEEE  Transactions  on
Neural Networks. Vol 20 (1), pp: 61- 80.
Saputro,  S.  W.,  dkk.  2017.  The  metric dimension  of  comb  product  graphs. Matematick Vesnik.  Vol 69 (4)
Yap,  I.  V.,  dkk.  2003.  “A  Graph-Theoretic
Approach to Comparing
and Integrating  Genetic”.  Physical  and Sequence-Based  Maps.  Vol.  165  (4), pp: 2235-2247.
Yero,  I.  G.,  dkk.  2014.  “  The  partition dimension  of  strong  product  graphs and  Cartesian  product  graphs”. Discrete  Mathematics.  Vol  331, pp:43-52.
Volume 5 No. 2 Bulan Desember Tahun 2019