Nanang Yulianto Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)

## Vaksinasi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Nanang Yulianto MAN 1 Gunungkidul e-Mail: nanangyuliantogundul@gmail.com

## Abstract
In  this research  it will be  formed  a  mathematical model  from  a  vaccination  on 𝑆𝐼 epidemic  model,  with  individual  class  that  is  susceptible  follows  the  logistic development model. From the model it will be found investigated the existence and its stability of points its equilibrium. The qualitative behavior around equilibrium is investigated  analytically  by  the  different  value  parameter,  and  form  transcritical bifurcation. Then, it will be drawn a phase portrait around equilibrium. At the early model,  it  will  be  given diffusion,  so  that  it  is  formed  the  travelling wave  equation, and then searched the solution.
Keywords: Vaccination, Epidemic Model, Logistic Model, Equilibrium

## Abstrak
Di  dalam  penelitian  ini  akan  dibentuk  suatu  model  matematika  dari  vaksinasi pada model penyebaran penyakit (epidemi) 𝑆𝐼 , kelas 𝑆 (rentan) menyatakan kelas individu  yang  rentan  terjangkit  penyakit  dan  kelas 𝐼 (sakit)  menyatakan  kelas individu  yang  sudah  terjangkit  penyakit  dan  memiliki  kemampuan  menularkan penyakit  ke  kelas 𝑆 ,  dengan  kelas  individu  yang  rentan  mengikuti  model pertumbuhan  logistik.  Dari  model  yang  diperoleh  diselidiki  eksistensi  dan kestabilan  titik-titik  ekuilibriumnya.  Perilaku  kualitatif  di  sekitar  titik ekuilibrium diselidiki secara analitik dengan nilai parameter yang berbeda-beda, membentuk bifurkasi transkritis. Selanjutnya digambar potret fase di sekitar titik ekuilibrium.  Pada  model  awal  diberikan  difusi,  kemudian  dibentuk  persamaan gelombang berjalan dan dicari solusinya
Kata Kunci : Vaccination, Epidemic Model, Logistic Model, Equilibrium

## Pendahuluan
Penerapan  model  matematika  dan  teknik  matematika  untuk  mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Dengan semakin berkembangnya mathematical  biosciences teknik  matematika  tidak  hanya digunakan terbatas pada masalah biologi dan medis saja, tetapi juga berkembang pada  metode  matematika  untuk  menyelesaikan  masalah  fisika,  kimia,  ekonomi dan  lainnya.  Salah  satu  cabang mathematical  biosciences adalah mathematical epidemiology ,  yang  mempelajari  tentang  penyebaran  dan  pengendalian  wabah penyakit.  Mempelajari  model  epidemi  yang  di  dalamnya  termasuk  penyakit

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
penyebab  kematian  pada  suatu  populasi  total  yang  berubah  merupakan  hal penting dalam mathematical epidemiology . Hal ini dipelopori oleh Anderson dan May (Li dkk,).
Salah  satu  usaha  dalam  mengontrol  penyebaran  wabah  penyakit  adalah dengan vaksinasi. Vaksinasi adalah pemberian vaksin ke dalam tubuh seseorang untuk memberikan kekebalan terhadap penyakit tersebut. Kata vaksinasi berasal dari  bahasa  Latin vacca yang  berarti  sapi,  diistilahkan  demikian  karena  vaksin pertama  kali  berasal  dari  virus  yang  menginfeksi  sapi  (cacar  sapi).  Vaksinasi sering  juga  disebut  dengan  imunisasi.  Vaksin  pertama  kali  ditemukan  oleh Edward Jenner tahun 1796. Vaksin  adalah bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh  organisme alami atau liar.  Vaksin dapat berupa  galur  virus  atau  bakteri  yang  telah  dilemahkan  sehingga  tidak menimbulkan penyakit. Vaksin dapat juga berupa organisme mati atau hasil-hasil pemurniannya  (protein,  peptida,  partikel  serupa  virus,  dsb.).  Vaksin  akan mempersiapkan sistem kekebalan manusia atau hewan untuk bertahan terhadap serangan patogen tertentu, terutama bakteri, virus, atau toksin. Vaksin juga bisa membantu sistem kekebalan untuk melawan sel-sel degeneratif (kanker).
Dalam penelitian ini populasi dibagi menjadi 2 kelas yaitu kelas 𝑆 (rentan) menyatakan  kelas  individu  yang  rentan  terjangkit  penyakit  dan  kelas 𝐼 (sakit) menyatakan  kelas  individu  yang  sudah  terjangkit  penyakit  dan  memiliki kemampuan menularkan penyakit ke kelas 𝑆 . Vaksinasi diberikan untuk menjaga jumlah yang rentan dan yang sakit agar tidak berubah dan tertentu dalam waktu yang lama.
Dalam model ini disertakan pertumbuhan logistik dari yang rentan, yang mana lebih realistis. Diingatkan kembali bahwa dalam model pertumbuhan satu spesies  diasumsikan  area  dan  fasilitas  hidup  terbatas,  dan  populasi  dianggap tersebar  secara  merata  ( uniform )  di  seluruh  daerah.  Beberapa  eksperimen menunjukkan  bahwa  populasi  tidak  selamanya  naik  atau  turun  secara eksponensial,  tetapi  dapat  terjadi  jika  populasi  naik  maka  angka  pertumbuhan cenderung  turun.  Bahkan  untuk  populasi  yang  cukup  besar,  bukan  mustahil angka  pertumbuhan  negatif.  Fenomena  ini  disebabkan  area  dan  fasilitas  hidup terbatas.
Penelitian ini bertujuan untuk:
1. Membentuk model matematika dari vaksinasi pada model epidemi,
2. Menentukan titik-titik ekuilibrium dan jenis kestabilannya,
3. Menginterpretasikan  kestabilan  di  sekitar  titik  ekuilibrium  dengan  masalah nyata,
4. Menentukan bifurkasi di sekitar titik ekuilibrium,
5. Menggambar potret fase,
6. Menentukan difusi pada model awal,
7. Menentukan solusi gelombang berjalan.

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Penelitian  ini  diharapkan  dapat  memberi  manfaat  dan  sumbangan terhadap  pengembangan  ilmu  pengetahuan  dan  untuk  menambah  wawasan dalam terapan matematika, khususnya pemodelan matematika tentang vaksinasi pada model epidemi.
Kermack  dan  McKendrick  (1927)  telah  memperkenalkan  model  epidemi. Dalam  penelitian  ini  dipertimbangkan  dua  kelas  populasi  yaitu  kelas 𝑆 (rentan) dan  kelas 𝐼 (sakit),  kelas  rentan  mengikuti  model  pertumbuhan  logistik  karena lebih  realistis.  Anderson  (1979)  mempertimbangkan  masalah  ini  dalam  suatu tikus-tikus  percobaan.  Verhulst  (1830),  Pearl  dan  Reed  (1920)  memperkenalkan model pertumbuhan logistik.
Perko  (1991)  menjelaskan  pengertian  titik  ekuilibrium  pada  sistem persamaan  diferensial  dan  menjelaskan  definisi  sifat  kestabilan  pada  titik ekuilibrium.  Anton  H.  (1995)  menjelaskan  definisi  nilai  eigen  dan  vektor  eigen. Arrowsmith (1992) menjelaskan transformasi dengan Matriks Jordan pada sistem persamaan  diferensial  linear  dengan  matriks  berukuran 2 × 2 .  Finizio  (1998) menjelaskan  pengertian  macam-macam  potret  fase.  Selanjutnya  Kocak  (1991) menjelaskan  Matriks  Jacobian  suatu  fungsi  dari  sistem  non  linear.  Perko  (1991) juga menjelaskan tentang linearisasi sistem non linear.
Pada  bukunya,  Olsder  (1994)  memberikan  penjelasan  tentang  kestabilan titik  ekuilibrium  ditinjau  dari  nilai  Eigen  Matriks  Jacobian.  Pease  (1965) membahas  tentang  kriteria  Routh-Hurwitz.  Verhulst  (1990)  membahas  tentang bifurkasi  transkritis  serta first  integral dan manifold  integral .  Dalam  bukunya Nicholas (2003) membahas tentang difusi dan solusi gelombang berjalan.

## Metode Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah dengan mempelajari jurnal-jurnal dan buku-buku  yang  berhubungan  dengan  vaksinasi  pada  model  penyebaran penyakit  (epidemi),  khususnya  model 𝑆𝐼 .  Oleh  karenanya  materi  yang  diteliti sebagian  besar  bersumber  dari  hasil  karya  ilmiah  para  pakar  matematika  dalam bentuk  buku.  Prosedur  penelitian  diawali  dengan  permisalan,  menentukan asumsi, menentukan parameter model, dan menggambar diagram transfer maka dapat  dibentuk  suatu  model  matematika  dari  vaksinasi  pada  model  epidemi. Kemudian  ditindak  lanjuti  dengan  mengoleksi  konsep  dalam  bentuk  definisi, lemma dan teorema yang mengarah pada pembahasan masalah.

## Hasil Penelitian dan Pembahasan
Populasi  dibagi  menjadi  2  kelas  yaitu  kelas 𝑆 (rentan)  menyatakan  kelas individu  yang  rentan  terjangkit  penyakit  dan  kelas 𝐼 (sakit)  menyatakan  kelas individu  yang  sudah  terjangkit  penyakit  dan  memiliki  kemampuan  menularkan penyakit ke kelas 𝑆 . Vaksinasi diberikan untuk menjaga jumlah yang rentan dan yang sakit agar tidak barubah dan tertentu dalam waktu yang lama. Dalam model ini juga menyertakan pertumbuhan logistik dari individu yang rentan, yang mana lebih realistis. Jika diasumsikan:

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
1. Kelas rentan tumbuh secara logistik.
2. Kelahiran hanya terjadi pada kelas rentan.
3. Individu yang sudah divaksinasi kebal terhadap penyakit.
4. Laju vaksinasi 𝑣 konstan 𝑣 > 0 .
5. Laju kematian perkapita kelas 𝑆 sama dengan laju kelahiran perkapita kelas 𝑆 .
6. Laju kelahiran perkapita kelas 𝑆 sebesar 𝑎 , dengan 𝑎 > 0 , dan laju kematian perkapita kelas 𝐼 sebesar 𝑏 , dengan 0 < 𝑏 < 1 .
Laju  kematian  perkapita  kelas 𝑆 merupakan  laju  kematian  alami,  artinya kematian  yang  disebabkan  bukan  oleh  penyakit  yang  sedang  dibicarakan,  misalnya individu mati karena dipotong.
Parameter Model:
𝑎 Menyatakan laju kelahiran dan kematian perkapita kelas 𝑆 .
𝑏
Menyatakan laju kematian perkapita kelas 𝐼 .
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, diperoleh diagram transfer:
Berdasarkan diagram transfer di atas, maka diperoleh model:
2 ( ) , . dS a v S SI aS dt dI bI SI dt        (1)
dengan 𝑆(𝑡) menyatakan banyaknya individu dari kelas rentan pada saat 𝑡 , 𝐼(𝑡) menyatakan banyaknya individu dari kelas yang sakit dan menularkan pada saat 𝑡 , 𝑣(𝑡) menyatakan laju vaksinasi individu rentan pada saat 𝑡 , 𝑎 menyatakan laju kelahiran dan kematian perkapita kelas 𝑆 , dan 𝑏 menyatakan laju kematian perkapita kelas 𝐼 .
S I aS a v l b

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Pada sistem (1) didefinisikan sebagai:
2 1 2 1 2 ( , ) ( ) , ( , ) , ( , ). f S I a v S SI aS f S I bI SI f f f         (2)
Dari sistem (2) diperoleh tiga titik ekuilibrium berikut:

## Lemma 1
Sistem  (2)  mempunyai  titik  ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) , 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) dengan 𝑣 𝑎 < 1 , dan 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 ) dengan 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) .
Diperhatikan  titik-titik  ekuilibrium  di  atas,  maka  diperoleh  berbagai kemungkinan berikut:
1. Jika 𝐸 1 = ( 0,0 ) , maka  artinya populasi telah punah.
2. Jika 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) ,  maka  artinya  dengan  adanya  vaksinasi,  populasi bebas penyakit, kasus ini mungkin pada masalah nyata.
3. Jika 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 ) ,  maka  artinya  kemungkinan  penyakit  itu  ada, dan  dalam  kaitannya  dengan  vaksinasi,  populasi  pada  suatu  keadaan setimbang  dari  individu  yang  rentan  dan  terinfeksi.  Tentu  saja  kasus  ini mungkin terjadi.
Dari sistem (2) diperoleh matriks Jacobian berikut

## Lemma 2
Matriks Jacobian fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , 𝑓 2 ) pada sistem (2) di titik (𝑆, 𝐼) yaitu
𝐽𝑓(𝑆, 𝐼) = [ 𝑎 − 𝑣 − 𝐼 − 2𝑎𝑆 −𝑆 𝐼
−𝑏 + 𝑆 ] .
Analisa kestabilan di tiga titik ekuilibrium di atas sebagai berikut:

## Teorema 3
1. Jika 𝑣 > 𝑎 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) stabil asimtotik.
2. Jika 𝑣 < 𝑎 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) tidak stabil.

## Nanang Yulianto

## Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)

## Teorema 4
1. Jika 1 − 𝑏 < 𝑣 𝑎 < 1 , maka titik ekuilibrium 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) stabil asimtotik.
2. Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) , maka titik ekuilibrium 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) tidak stabil.

## Teorema 5
1. Jika 𝑣 ≤ 𝑎(1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) stabil asimtotik.
2. Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) stabil asimtotik spiral.
3. Jika 𝑣 > 𝑎(1 − 𝑏) , maka titik ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) tidak stabil.
Berikut ini akan digambarkan grafik parameter 𝑎, 𝑣 dengan 𝑏 = 1 2
Grafik 1. Gambar grafik parameter 𝒂 dan 𝒗
Secara garis besar hasil analisa kestabilan di sekitar tiga titik ekuilibrim di atas,  dengan  parameter  yang  berubah-ubah (𝑎 = 1, 𝑏 = 1 2 , dan 𝑣 = 1 4 ) ,  sebagai berikut:
𝑣 = 𝑎
𝑣 = 1 2 𝑎
𝑣 = 1 2 𝑎 (1 − 1 4 𝑎) 1 ½ 3/8 1/4 IV III II I 𝑎 𝑣 0 1 2 3 4
Nanang Yulianto

## Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Tabel 2. Perilaku Kualitatif di Sekitar Tiga Titik Ekuilibrium
No Parameter Titik ekuilibrium E 1 = (0,0) E 2 = (1 − v a , 0) E 3 = (b, a − ab − v) 1. 𝑣 < 𝑎 (1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) , dipilih 𝑣 = 1 4
Tidak stabil
Tidak stabil
Stabil asimtotik spiral 2. 𝑣 = 𝑎 (1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) , dipilih 𝑣 = 3 8 Tidak stabil Tidak stabil Stabil asimtotik 3. 𝑎 (1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) < 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏)
dipilih 𝑣 = 7 16 Tidak stabil Tidak stabil Stabil asimtotik 4. 𝑣 = 𝑎(1 − 𝑏) , dipilih 𝑣 = 1 2 Tidak stabil - - 5. 𝑎(1 − 𝑏) < 𝑣 < 𝑎 , dipilih 𝑣 = 3 4
Tidak stabil Stabil asimtotik Tidak stabil 6. 𝑣 = 𝑎 , dipilih 𝑣 = 1 - - Tidak stabil 7. 𝑣 > 𝑎 , dipilih 𝑣 = 3 2 Stabil asimtotik Tidak stabil Tidak stabil
Tabel 3.2 digambar dalam variabel 𝑆 terhadap parameter 𝑣 , dengan 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 1 2 berikut:
Grafik 3. Grafik parameter dengan ekuilibriumnya 1 1 1/2 0 3/8 1/2 1 4 𝑣 𝑆

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)

## Keterangan gambar:
Titik ekuilibrium 𝐸 1 tidak stabil
Titik ekuilibrium 𝐸 1 stabil asimtotik
Titik ekuilibrium 𝐸 2 tidak stabil Titik ekuilibrium 𝐸 2 stabil asimtotik
Titik ekuilibrium 𝐸 3 tidak stabil Titik ekuilibrium 𝐸 3 stabil asimtotik
Titik ekuilibrium 𝐸 3 stabil asimtotik spiral
Potret  fase  di  tiga  titik  ekuilibrium  di  atas,  secara  berturut-turut  adalah sebagai berikut:
Gambar 4. Potret fase di sekitar titik ekuilibrium 𝑬 𝟏
Gambar 5. Potret fase di sekitar titik ekuilibrium 𝑬 𝟐
Gambar 6. Potret fase di sekitar titik ekuilibrium 𝑬 𝟑

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Pada  sistem  (1)  diberi  difusi  sederhana,  yaitu 𝑑 1 dan 𝑑 2 secara  berturut- turut  sebagai  koefisien  difusi  dari  yang  rentan  dan  terinfeksi.  Sistem  (1)  diubah menjadi:
2 1 2 ( ) , , S a v S SI aS d S t I bI SI d I t       
        (3)
dengan 𝑆 = 𝑆(𝑥, 𝑡) dan 𝐼 = 𝐼(𝑥, 𝑡) , sedangkan ∆𝑆 = 𝜕 2 𝑆 𝜕𝑥 2 dan ∆𝐼 = 𝜕 2 𝐼 𝜕𝑥 2 secara berturut-turut menyatakan difusi dari  kepadatan kelas rentan dan terinfeksi.

## Kemudian akan dicari solusi gelombang berjalan sistem (3) berbentuk:
𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑆̃(𝑧), 𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼̃(𝑧), 𝑧 = 𝑥 − 𝑐𝑡 .
(4)
Dari persamaan (4) diperoleh:
2 2 2 2 . , . , , . , . , , S dS z S dS z S cS S S t dz t x dz x x I dI z I dI z I cI I I t dz t x dz x x                                       (5)
dengan " ′ " ∶= 𝑑 𝑑𝑧 , " ′′ " ∶= 𝑑 2 𝑑𝑧 2 dan 𝑐 merupakan kecepatan gelombang yang harus  ditentukan.  Jika  persamaan  (4)  dan  (5)  disubstitusikan  ke  persamaan  (3) maka diperoleh:
2 1 2 ( ) , . cS v a S SI aS d S cI bI SI d I      
     (6)
Dalam  penelitian  ini  diasumsikan 𝑑 1 = 0 dan 𝐼 ̃ ′ = 𝑇 ̃ ,  maka  sistem  (6) dapat ditulis kembali menjadi tiga persamaan diferensial biasa berikut:
2
2 ( ) , ,
. aS SI v a S S c I T cT bI SI T d             (7)

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Sistem (7) didefinisikan sebagai:
2 1 2 3 2 1 2 3 ( ) ( , , )
,
( , , ) , ( , , ) , ( , , ). aS SI v a S f S I T c f S I T T cT bI SI f S I T d f f f f           (8)
Dari sistem (8) diperoleh tiga titik ekuilibrium berikut:

## Lemma 6
Sistem  (8)  mempunyai  titik  ekuilibrium 𝐸 1 = (0,0,0) , 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) dan 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0) .
Tiga  titik  ekuilibrium  di  atas  dianalisa  dengan  program  MATLAB,  hasil running programnya adalah gambar berikut:
Gambar 7. Gambar Potret Fase dari Ketiga Titik Ekuilibrium
Dari analisa gambar di atas, diperoleh solusi gelombang berjalan dari titik ekuilibrium 𝐸 1 = (0,0,0) menuju  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0) dan dari  titik  ekuilibrium 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) menuju  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0) . Oleh karena itu harus dicari solusi ( 𝑆 ̃( 𝑧 ) , 𝐼 ̃ (𝑧) ) dari sistem (7) dengan kondisi-kondisi batas berikut ini:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Nanang Yulianto Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi) 𝑆̃(−∞) = 0, 𝐼̃(−∞) = 0, 𝑆̃(∞) = 𝑏, 𝐼̃(∞) = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 . (9) 𝑆̃(−∞) = 1 − 𝑣 𝑎 , 𝐼̃(−∞) = 0, 𝑆̃(∞) = 𝑏, 𝐼̃(∞) = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 . (10)
Pertama dianalisa (7) dengan (10), dan untuk analisa (7) dengan (9) adalah dapat  dianalogkan.  Sekarang  (7)  dilinearisasi  di  sekitar  titik  ekuilibrium 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) ,  yaitu 𝑆 ̃ = 1 − 𝑣 𝑎 dan 𝐼 ̃ = 0 dengan 𝑧 → −∞ ,  dengan  terlebih  dahulu ditentukan matriks Jacobian pada sistem (8) sebagai berikut:

## Lemma 7
Matriks Jacobian fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , 𝑓 3 ) pada sistem (8) yaitu:
𝐽𝑓(𝑆̃, 𝐼̃, 𝑇̃) = [ 2𝑎𝑆̃+𝐼̃+𝑣−𝑎
𝑐 𝑆̃ 𝑐 0 0 0 1 −𝐼̃ 𝑑 2 𝑏−𝑆̃ 𝑑 2 −𝑐 𝑑 2 ] .
Teorema 8
Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) dan 𝑐 ≥ 2 (𝑑 2 − 𝑏𝑑 2 − 𝑣𝑑 2 𝑎 ) 1 2 ⁄ ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) tidak stabil.
Sekarang  sistem  (7)  dilinearisasi  disekitar  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 𝑜) , yaitu 𝑆 ̃ = 𝑏 dan 𝐼 ̃ = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 dengan 𝑧 → ∞
Teorema 9
Jika 𝑑 2 < 0 dan 𝑐 𝑑 2 − 𝑎𝑏 𝑐 > 0, 𝑎𝑏−𝑏𝑣−𝑎𝑏 2 𝑐𝑑 2 > 0, 𝑎𝑏 𝑑 2 ( 𝑐 𝑑 2 − 𝑎𝑏 𝑐 ) + 𝑎𝑏−𝑏𝑣−𝑎𝑏 2 𝑐𝑑 2 < 0 ,
maka titik ekuilibrium 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0 ) adalah stabil.
Kemudian  dianalisa  (7)  dengan  (9),  linearisasi  (7)  disekitar  titik 𝐸 1 = (0,0,0) yaitu 𝑆 ̃ = 0 dan 𝐼 ̃ = 0 , dengan 𝑧 → −∞ .

## Teorema 10
Jika 𝑑 2 < 0 dan 𝑐 > 2(−𝑏𝑑 2 ) 1 2 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0,0 ) tidak stabil.

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)

## Simpulan
Terlihat dari hasil pembahasan di atas, dengan asumsi-asumsi yang  telah ditentukan, maka diperoleh model matematika berikut:
2 ( ) , . dS a v S SI aS dt dI bI SI
dt        (1)
dengan 𝑆(𝑡) menyatakan  jumlah  individu  kelas  rentan  pada  saat 𝑡 , 𝐼(𝑡) menyatakan  jumlah  individu  kelas  sakit  dan  menularkan  pada  saat 𝑡 , 𝑣 menyatakan  laju  vaksinasi  individu  rentan  pada  saat 𝑡 , 𝑎 menyatakan  laju kelahiran  dan  kematian  perkapita  kelas 𝑆 ,  dan 𝑏 menyatakan  laju  kematian perkapita kelas 𝐼 . Dari sistem (1) diperoleh tiga titik ekuilibrium yaitu;
𝐸 1 = ( 0,0 ) , 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) dengan 𝑣 𝑎 < 1 ,  dan 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 ) dengan 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) .  Analisa  kestabilan  tiga  titik  ekuilibrium  tersebut  sebagai berikut:
1. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) , a. Jika 𝑣 > 𝑎 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) stabil asimtotik.
b. Jika 𝑣 < 𝑎 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0 ) tidak stabil.
2. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) , a. Jika 1 − 𝑏 < 𝑣 𝑎 < 1 ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) stabil asimtotik.
b. Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) , maka titik ekuilibrium 𝐸 2 = ( 1 − 𝑣 𝑎 , 0 ) tidak stabil.
3. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 ) ,
a. Jika 𝑣 ≤ 𝑎(1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) stabil asimtotik.
b. Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) stabil asimtotik spiral.
c. Jika 𝑣 > 𝑎(1 − 𝑏) ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣) tidak stabil.
Interpretasi  dari  analisa  tiga  titik  ekuilibrium  tersebut  yaitu;  Jika  laju kelahiran individu yang rentan 𝑎 sangat kecil dan jauh lebih kecil dibanding laju vaksinasinya,  maka  populasi  akan  punah.  Jika 1 − 𝑏 < 𝑣 𝑎 < 1 artinya  bahwa vaksinasi mempunyai suatu efek yang sangat kuat dalam populasi, maka penyakit akan  hilang.  Diharapkan  bahwa  hasil  yang  paling  realistis  yaitu  jika 𝑣 ≤ 𝑎 (1 − 𝑏 − 𝑎𝑏 4 ) ,  ini  memberi  kita  suatu  perkiraan  atas  tingkat  vaksinasi  yang

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
seharusnya  digunakan  dalam  rangka  menanggulangi  penyakit  dan  menjaga populasi pada suatu keadaan stabil dari yang rentan dan terinfeksi, dengan begitu dapat dikendalikan jumlah yang terinfeksi dalam populasi.
Berikutnya  akan  dianalisa  perilaku  kualitatif  di  sekitar  tiga  titik ekuilibrium di atas dengan parameter yang berubah-ubah, dari gambar grafiknya diperoleh bifurkasi  transkritis .  Dapat  pula  digambar  potret  fase  di  sekitar  tiga titik ekuilibrium diatas, secara berturut-turut jenis potret fasenya adalah saddle , saddle dan spiral .  Dari sistem (1) diberikan difusi yaitu 𝑑 1 dan 𝑑 2 secara berturut- turut menjadi koefisien difusi dari yang rentan dan terinfeksi, sehingga diperoleh sistem berikut:
2 1 2 ( ) , , S a v S SI aS d S t I bI SI d I t       
        (2)
dengan 𝑆 = 𝑆(𝑥, 𝑡) dan 𝐼 = 𝐼(𝑥, 𝑡) , sedangkan ∆𝑆 = 𝜕 2 𝑆 𝜕𝑥 2 dan ∆𝐼 = 𝜕 2 𝐼 𝜕𝑥 2 secara berturut-turut menyatakan difusi dari  kepadatan yang rentan dan terinfeksi.
Selanjutnya akan dicari solusi gelombang berjalan sistem (2) berbentuk:
𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑆̃(𝑧), 𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼̃(𝑧), 𝑧 = 𝑥 − 𝑐𝑡 . (3)
Diasumsikan  bahwa 𝑑 1 = 0 ,  sehingga  dari  sistem  (2)  dan  sistem  (3) diperoleh:
𝑆 ̃ ′ = 𝑎𝑆 ̃ 2 +𝑆 ̃ 𝐼 ̃ + ( 𝑣−𝑎 ) 𝑆 ̃ 𝑐 , 𝐼 ̃ ′ = 𝑇 ̃ , (4) 𝑇 ̃ ′ = −𝑐𝑇 ̃ +𝑏𝐼 ̃ −𝑆 ̃ 𝐼 ̃ 𝑑 2 .
Dari  sistem  (4),  diperoleh  tiga  titik  ekuilibrium  yaitu; 𝐸 1 = (0,0,0) , 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) dan 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0) .  Analisa  tiga  titik  ekuilibrium  di  atas dengan  program  MATLAB,  terlihat  sistem  (4)  mempunyai  solusi  gelombang berjalan  dari  titik  ekuilibium 𝐸 1 menuju  titik  ekuilibrium 𝐸 3 ,  dan  dari  titik ekuilibrium 𝐸 2 menuju  titik  ekuilibrium 𝐸 3 .  Oleh  karena  itu  akan  dicari  solusi ( 𝑆 ̃( 𝑧 ) , 𝐼 ̃ (𝑧) ) dari sistem (4) dengan kondisi-kondisi batas berikut:
𝑆 ̃( −∞ ) = 0, 𝐼 ̃( −∞ ) = 0, 𝑆 ̃( ∞ ) = 𝑏, 𝐼 ̃( ∞ ) = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 . (5)
𝑆 ̃( −∞ ) = 1 − 𝑣 𝑎 , 𝐼 ̃( −∞ ) = 0, 𝑆 ̃( ∞ ) = 𝑏, 𝐼 ̃( ∞ ) = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣 .   (6)

## Nanang Yulianto
Vaksiansi pada Model Penyebaran Penyakit (Epidemi)
Pertama dianalisa (4) dengan (6), dan untuk analisa (4) dengan (5) adalah dapat dianalogkan.
Sedangkan  hasil  analisa  kestabilan  tiga  titik  ekuilibrium  di  atas  adalah sebagai berikut:
1. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 1 = (0,0,0)
Jika 𝑑 2 < 0 dan 𝑐 > 2(−𝑏𝑑 2 ) 1 2 ,  maka  titik  ekuilibrium 𝐸 1 = ( 0,0,0 ) tidak stabil.
2. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0)
Jika 𝑣 < 𝑎(1 − 𝑏) dan 𝑐 ≥ 2 (𝑑 2 − 𝑏𝑑 2 − 𝑣𝑑 2 𝑎 ) 1 2 ⁄ , maka titik
ekuilibrium 𝐸 2 = (1 − 𝑣 𝑎 , 0,0) tidak stabil.
3. Untuk titik ekuilibrium 𝐸 3 = (𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0)
Jika 𝑑 2 < 0 dan 𝑐 𝑑 2 − 𝑎𝑏 𝑐 > 0, 𝑎𝑏−𝑏𝑣−𝑎𝑏 2 𝑐𝑑 2 > 0, 𝑎𝑏 𝑑 2 ( 𝑐 𝑑 2 − 𝑎𝑏 𝑐 ) + 𝑎𝑏−𝑏𝑣−𝑎𝑏 2 𝑐𝑑 2 < 0 ,
maka titik ekuilibrium 𝐸 3 = ( 𝑏, 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑣, 0 ) adalah stabil.

## Daftar Pustaka
Anton,  H., Elementary  Linier  Algebra 7 th ed,  Jhon  Wiley  &  Sons,  Inc,  New  York, 1994
Arrowsmith,  D.  K.  and  Place,  C.  M., Dynamical  System  Differential  Equations,
Maps and Chaotic Behaviour , Chapman & Hall, London, 1992
Chavez,  Carlos  Castilo,  Fred  Brauer, Mathematical  Models  in  Population  Biology and Epidemiology , New York: Springer. 2001
Ferdinand  Verhulst, Nonlinear  Differential  Equation  and  Dynamical  System, Springer-Verlag, New York, 1990
Luenberger,  Davis,  G., Introduction  to  dynamical  system  theory,  models,  and applications , John Wiley & Sons, Inc., 1979
Wiggins,  S., Introduction  to  applied  nonlinear  dynamical  system  and  chaos ,  New York, 1990