## MODEL MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN NAMA HARI PADA SIKLUS TUJUH, LIMA DAN TIGAPULUH LIMA HARI PADA KALENDER GREGORIAN DI INDONESIA
Agung Prabowo 1) Sukono 2)
Mustafa Mamat 3)
1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman
2) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran
3) Fakulti Informatik dan Komputeran, Universiti Sultan Zainal Abidin, Malaysia e-mail: agung.prabowo@unsoed.ac.id

## ABSTRACT
In the Javanese calendar (Anno Javanica) there are two types of day names, namely saptawara and pancawara. Pancawara is a five-day cycle (Legi, Paing, Pon, Wage and Kliwon). Saptawara is a seven day cycle, like the weekly cycle on the Gregorian Calendar (Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday and Sunday). The Gregorian calendar does not recognize the pancawara cycle. However, the use of the Gregorian Calendar in Indonesia combines a seven-day cycle with a five-day cycle so that there are names for Monday-Legi, Tuesday-Paing and so on. The result is a 35- day combination called selapanan. With the literature review method, a mathematical model will be built to determine the names of saptawara, pancawara and selapanan days for certain dates on the Gregorian calendar. Furthermore, these mathematical models will be called the saptawara model (four models), the pancawara and the selapanan model (two models respectively).
Keywords: gregorian calendar, pancawara, saptawara, selapanan.

## ABSTRAK
Dalam Kalender Jawa ( Anno Javanica ) terdapat dua jenis nama hari yaitu hari saptawara dan pancawara . Pancawara merupakan siklus lima hari sekali ( Legi, Paing, Pon, Wage dan Kliwon ). Saptawara merupakan siklus tujuh hari sekali, seperti siklus mingguan pada Kalender Gregorian (Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu dan Minggu). Kalender Gregorian tidak mengenal siklus pancawara . Namun, penggunaan Kalender Gregorian di Indonesia menggabungkan siklus tujuh hari dengan siklus lima hari sehingga terdapat nama hari Senin- Legi , Selasa- Paing dan seterusnya. Kombinasi ini menghasilkan tigapuluh lima buah nama hari yang disebut selapanan . Dengan metode kajian pustaka, dibangun model matematika untuk menentukan nama hari saptawara , pancawara dan selapanan untuk tanggal tertentu pada Kalender Gregorian. Selanjutnya, model-model matematika tersebut akan dinamakan model saptawara (sebanyak empat buah model), model pancawara dan model selapanan (masing-masing sejumlah dua buah model).
Kata kunci: Kalendar Gregorian, pancawara, saptawara, selapanan .
Matematika, khususnya Teori Bilangan banyak membantu dalam hal penelusuran nama hari pada suatu tanggal tertentu. Apabila diberikan suatu tanggal pada kalender Masehi, maka nama hari pada tanggal tersebut dapat ditentukan dengan cara membangun persamaan-persamaan matematika. Rosen (1986) dan Burton (2007) memberikan dasar-dasar Teori Bilangan yang dapat digunakan untuk membangun model matematika penentuan nama hari.
Penelitian tentang model matematika untuk menentukan nama hari pada kalender Masehi- Gregorian telah banyak dilakukan sejak waktu yang sangat lama. Model pertama dapat dilacak pada karya Christian Zeller pada tahun 1882 dan 1885 (Sivaraman, 2020). Upsensky dan Heaslet (1939) membahas model serupa dalam bukunya “ Elementary Number Theory ”. Sementara itu, Rickey (1985) membuat model matematika terkait penentuan nama hari pada kalender Masehi. Pembuatan model matematika tersebut perlu mempertimbangkan perubahan dari kalender Julian ke kalender Gregorian (Moyer, 1982 dan Dutka, 1988).
Model-model yang dihasilkan oleh Zeller, Upsensky dan Heaslet, dan Rickey terbatas pada penentuan nama hari pada siklus tujuh harian dalam kalender Masehi-Gregorian. Sementara itu, di Indonesia penggunaan kalender Masehi-Gregorian menyertakan juga siklus lima harian dan tigapuluh-lima harian. Model matematika untuk menentukan nama hari pada siklus lima harian dan tigapuluh-lima harian sangat khas Indonesia, dan terbilang masih sedikit periset yang membuat model matematika tersebut.
Penggunaan kalender Masehi di Indonesia mencakup hitungan siklus waktu yang lebih luas, antara lain siklus wuku yang di dalamnya mengandung siklus lima harian dan tigapuluh-lima harian. Model matematika untuk penentuan nama wuku telah dibuat oleh Prabowo, dkk. (2015) dan Prabowo, dkk. (2017b).
Model matematika yang dibangun dengan Teori Bilangan juga dapat digunakan untuk membantu menemukan digit yang hilang pada suatu angka tahun. Prabowo dan Sukono (2021) menggunakan beberapa model matematika untuk tujuan tersebut.
Prabowo (2021) secara khusus membangun model matematika yang salah satunya dapat digunakan dalam penentuan nama hari pada kalender Aboge ( Alip-Rebo-Wage ). Masih dalam konteks kalender Aboge, Prabowo, dkk. (2020b) menggunakan algoritma Brute Force untuk mengonversi kalender Aboge yang digunakan masyarakat di Desa Cikakak menjadi kalender Masehi.
Model matematika juga dapat dibuat untuk menentukan saat dilakukannya perayaan hari-hari kematian dalam tradisi Jawa. Prabowo, dkk. (2020a) telah menghasilkan suatu model matematika yang dapat menentukan waktu pelaksanaan peringatan kematian.
Dalam penggunaan kalender Masehi di Indonesia, nama hari tidak hanya berupa nama- nama hari dalam seminggu (siklus tujuh harian/ saptawara ), namun juga mencakup hari pasaran (siklus lima harian/ pancawara ) dan hari selapanan (siklus tigapuluh lima harian).
Riset-riset yang telah dilakukan Rosen (1986), Kurnia, dkk. (2015), Prabowo, dkk. (2017a) dan Sivaraman (2020) merumuskan model matematika untuk menentukan nama hari pancawara dan saptawara . Terdapat empat model matematika untuk siklus hari pancawara yang dihasilkan oleh Kurnia, dkk. (2015) dan Prabowo, dkk. (2017a) dan satu model matematika untuk siklus hari saptawara yang dihasilkan oleh Rosen (1986). Kombinasi siklus pancawara dan saptawara menghasilkan siklus selapanan . Untuk mengonfirmasi kebenaran siklus pancawara dan saptawara dilakukan dengan membangun model matematika untuk siklus selapanan . Tujuan penelitian ini adalah memperoleh model matematika untuk menentukan nama hari pada siklus tigapuluh-lima
harian ( selapanan ). Selain itu, dalam artikel ini juga dibangun satu model matematika tambahan untuk siklus tujuh harian ( saptawara ).
Rosen (1986: 134-137) telah menghasilkan formula/model matematika untuk menentukan nama hari dalam siklus tujuh harian (Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat dan Sabtu) pada tanggal, bulan dan tahun berapapun dalam Kalender Masehi Gregorian. Model matematika yang dimaksud diberikan pada persamaan (1) dan terbatas penggunaannya hanya sejak 1 Maret 1600 Masehi. Selanjutnya, Persamaan (1) disebut sebagai model saptawara 1.
            ( ) 7 4 4 2 2 0 6 2 mod / C / Y C Y , m , k w + + − + −  +  (1)
dengan
w : nama hari pada siklus tujuh harian ( 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = w berturut-turut untuk Minggu, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat dan Sabtu).
Prabowo, dkk. (2017a) telah membangun model matematika untuk penentuan nama hari pasaran . Sedangkan Kurnia, dkk. (2015) memperoleh model matematika untuk menentukan nama hari dalam siklus lima harian ( pancawara ) pada tanggal, bulan dan tahun berapapun pada kalender Gregorian. Hasilnya dituliskan sebagai persamaan (2) dan disebut sebagai model pancawara 1, disimbolkan dengan . w p 1             ( ) 5 3 4 4 4 8 1 6 0 1 mod / C / Y C , m , k w p − + + + +  +  (2)
Prabowo, dkk. (2017a) mengembangkan formula/model matematika untuk menentukan nama hari dalam siklus lima harian ( pancawara ), dinamakan model pancawara 2 pada Persamaan (3) dan disimbolkan dengan . w p 2             ( ) 5 1 4 4 4 2 0 6 0 2 mod / C / Y C , m , k w p − + + + −  +  (3)
Prabowo, dkk. (2017a) juga mengembangkan  model pancawara 3 dan 4 yang diberikan pada persamaan (4) dan (5) dan dan disimbolkan 3 p w dan . w p 4             ( ) 5 2 4 4 4 2 0 6 0 3 mod / C / Y C , m , k w p + + + + −  + 
(4)
            ( ) 5 4 4 4 8 1 6 0 4 mod / C / Y C , m , k w p + + + +  +  (5)
dengan
2 1 p p w w = : nama hari pada siklus lima harian ( 4 3 2 1 0 1 , , , , w p = berturut-turut untuk
Legi, Paing, Pon, Wage dan Kliwon ).
4 3 p p w w = : nama hari pada siklus lima harian ( 4 3 2 1 0 3 , , , , w p = berturut-turut untuk
Pon, Wage, Kliwon, Legi, dan Paing ).
k : tanggal pada kalender Gregorian m : nomor urut bulan pada kalender Gregorian ( 12 11, 10, 9, 8, 7, , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = m berturut-turut untuk Maret, April,
Mei, ...., Desember, Januari, dan Februari).
N : angka tahun pada kalender Gregorian dengan Y C N + = 100 C
: bilangan abad dengan 20
16   Y
Y : bilangan setelah bilangan abad dengan 99 0   Y
Simbol-simbol , k , m , C , N dan Y akan digunakan pada bagian selanjutnya dengan pemaknaan yang sama.

## METODE
Penelitian ini diselesaikan dengan metodologi penelitian berupa kajian pustaka (studi literatur). Dengan mengikuti langkah-langkah yang ditempuh Rosen (1986) dalam memperoleh persamaan (1), dibangun model matematika saptawara dan selapanan berturut-turut untuk penentuan nama hari dalam siklus tujuh dan tigapuluh-lima harian. Berikut ini langkah-langkah dalam perumusan model matematika untuk penentuan nama hari saptawara dan selapanan :
1. modifikasi urutan bulan dengan Maret menjadi bulan pertama sedangkan Januari dan Februari menjadi bulan ke-11 dan 12;
2. menyatakan angka tahun pada kalender Masehi menjadi penjumlahan angka tahun abad ditambah angka tahun sisanya;
3. menjadikan 1 Maret sebagai basis untuk model yang dibuat;
4. menentukan banyaknya tahun kabisat;
5. menentukan nama hari untuk tanggal 1 Maret;
6. menentukan nama hari pertama pada setiap bulan; dan
7. menentukan nama hari pada tanggal tertentu setiap bulan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN Model Matematika Saptawara
Pada bagian ini dibangun model matematika untuk menentukan nama hari dalam satu minggu untuk setiap tanggal pada kalender Masehi Gregorian. Di Jawa, siklus dengan panjang tujuh hari disebut saptawara ( sapta = tujuh dan wara = hari). Oleh karena hari-hari dalam satu minggu merupakan siklus tujuh harian, digunakan kekongruenan modulo 7 dengan Senin = 0, Selasa = 1, Rabu = 2, Kamis = 3, Jumat = 4, Sabtu = 5 dan Selasa = 6.
Pada model ini dilakukan penyesuaian terkait adanya penambahan hari yang dilakukan pada akhir bulan Februari untuk tahun kabisat. Untuk itu, bulan-bulan dalam satu tahun dilakukan penomoran ulang. Setiap tahun dimulai dengan Maret sebagai bulan pertama. Bulan Januari dan Februari dijadikan sebagai bagian dari tahun sebelumnya sebagai bulan ke-11 dan 12. Sebagai contoh, bulan Februari tahun 1984 dijadikan sebagai bulan ke-12 dari tahun 1983 dan Mei 1984 adalah bulan ke-3 untuk tahun 1984. Dengan aturan ini, misalkan k adalah tanggal untuk suatu bulan, m adalah nomor bulan, dan N adalah tahun, dengan Y C N + = 100 , C menyatakan abad dan Y menyatakan bagian tahun untuk abad tersebut. Sebagai contoh, untuk 16 Juli 1965 menghasilkan k = 16, m = 5, N =1965, C = 19 dan Y = 65. Contoh lain, 23 Februari 1971 memberikan k = 23, m = 12, N =1970, C = 19 dan Y = 70.
Tanggal 1 Maret untuk tiap-tiap tahun dijadikan sebagai basis dari model yang dibuat. Diberikan N d menyatakan nama hari pada tanggal 1 Maret tahun . N Angka tahun dimulai dengan tahun 1600 dan akan ditentukan nama hari untuk tanggal 1 Maret untuk setiap tahun yang diberikan. Jumlah hari antara 1 Maret tahun 1 − N sampai dengan 1 Maret tahun , N jika N bukan tahun kabisat adalah 365 hari, dan karena ( ) , mod 7 1 365  maka ( ) 7 1 1 mod d d N N +  − , sedangkan jika N adalah tahun kabisat, karena terdapat tambahan satu hari maka ( ) 7 2 1 mod d d N N +  − . Oleh karena itu, untuk menentukan N d dari 1600 d , perlu diketahui berapa banyak tahun kabisat yang terjadi  pada ]. 1600 ( N ,
Merujuk pada pengertian tahun kabisat, banyaknya tahun antara 1600 and N yang habis dibagi 4, 100 dan 400 berturut-turut adalah ( )     4 / 1600 − N
, ( )     100 / 1600 − N dan
( )     400 / 1600 − N . Misalkan banyaknya tahun kabisat antara tahun 1600 dan N
disimbolkan dengan L , maka
L = ( )     4 / 1600 − N − ( )     100 / 1600 − N + ( )     400 / 1600 − N =     4 / N −     100 / N +     400 / N − 388 Dalam model ini, digunakan proposisi untuk ,   x maka     x x x   − 1 . Misalkan C dan Y adalah angka-angka yang membentuk Y C N + = 100 . Dengan proposisi tersebut diperoleh 1 100 /  Y dan ( ) ( )         4 400 4 / C / Y / C = + karena 4 / 1 400 /  Y . Akibatnya, banyaknya
tahun kabisat antara tahun 1600 dan N adalah ( )     ( )     ( ) ( )             388 4 / 4 / 25 388 400 / 4 / 100 / 4 / 25 − + − + = − + + + − + = C C Y C Y C Y C Y C L
Banyaknya tahun kabisat antara 1600 dan N dapat disederhanakan menjadi persamaan (6):
        ( ) 7 3 4 4 3 mod / Y / C C L − + +  (6) Misalkan N , s d menyatakan nama hari saptawara pada tanggal 1 Maret tahun . N Akan ditentukan nama hari N , s d sejak 1600 d dengan menggeser 1600 d hari demi hari untuk setiap tahun yang dilalui, ditambah ekstra 1 hari untuk setiap tahun kabisat antara tahun 1600 dan N pada persamaan (6). Aturan ini menghasilkan
L d d N , s tambahan hari 1600 + + = ( )         ( ) 7 3 4 4 3 1600 100 1600 mod / Y / C C Y C d d N , s − + + + − + +  (7)
Apabila disederhanakan, diperoleh persamaan (8):         7 4 4 2 1600 mod / Y / C Y C d d N , s + + + −  (8)
Persamaan (8) merupakan persamaan yang mengaitkan antara nama hari untuk tanggal 1 Maret pada sebarang tahun dengan nama hari pada tanggal 1 Maret tahun 1600. Pada kalender Masehi Gregorian, tanggal 1 Maret 1949 jatuh hari Selasa. Dengan menggunakan persamaan (8), dapat ditentukan nama hari untuk tanggal 1 Maret 1600. Untuk N =1949, maka C = 19, dan Y = 49, dan karena 1 1949 = d , berdasarkan persamaan (8) diperoleh         7 6 4 49 4 19 49 38 1 1600 1600 mod d / / d + = + + + −  Perhitungan terakhir memberikan 2 1600 = d , sehingga tanggal 1 Maret 1600 adalah Rabu. Apabila nilai 2 1600 , = s d disubstitusikan pada persamaan (8) dihasilkan persamaan (9):
        7 4 4 2 2 mod / Y / C Y C d N , s + + + −  (9)
Persamaan (9) dapat digunakan untuk menentukan nama hari untuk tanggal 1 pada setiap bulan pada tahun N . Pergeseran antar bulan dinyatakan dengan kenaikan. Bulan dengan jumlah hari 30 dinyatakan dengan 2 kenaikan, karena
( ) 7 2 30 mod  , dan bulan dengan 31 hari dinyatakan dengan 3 kenaikan, karena ( ) . mod 7 3 31  Tabel 1 memberikan daftar kenaikan untuk masing- masing bulan.

## Tabel 1. Kenaikan antar bulan dalam Kalender Masehi
Periode Bulan Jumlah Hari Modulo 7 Banyaknya Kenaikan 1 Maret – 1April 31 31 mod 7 3 1 April – 1 Mei 30 30 mod 7 2 1 Mei – 1 Jun1 31 31 mod 7 3 1 Jun1 – 1 Juli 30 30 mod 7 2 1 Juli – 1 Agustus 31 31 mod 7 3 1 Agustus – 1 September 31 31 mod 7 3 1 September – 1 Oktober 30 30 mod 7 2 1 Oktober 1 – 1 November 31 31 mod 7 3 1 November – 1 Desember 30 30 mod 7 2 1 Desember – 1 Januari 31 31 mod 7 3 1 Januari – 1 Februari 31 31 mod 7 3 Misalkan m menyatakan nomor bulan dengan 12. ..., 2, 1 , m = Banyaknya kenaikan pada Tabel 1
dapat dimodelkan dengan sebuah fungsi yang menyatakan banyaknya bulan yaitu     b a m i I + −  = , dengan . , / i 6 2 11 29 = =
Fungsi tersebut bernilai 0 apabila 1 = m (Tabel 2).
Perhatikan Tabel 2, dari baris untuk 1 = m dapat dipilih 0 = b . Dengan menetapkan 0 = b , maka interval untuk nilai a dapat ditentukan. Dari seluruh interval nilai , a nilai maksimum pada sisi kiri adalah 2 dan nilai minimum pada sisi kanan adalah 2,2. Nilai a yang memenuhi seluruh interval adalah . , a 2 2 2   Selanjutnya dipilih 2 2 , a = sehingga dihasilkan persamaan (10) untuk menyatakan banyaknya bulan:
    2 2 6 2 , m , I −  =
(10)
Tabel 2. Proses Inspeksi untuk Mendapatkan Nilai a Bulan
m Banyaknya Bulan     a m , I −  = 6 2
Banyaknya Kenaikan Nilai Interval a 1     0 6 2 = − a , 0 6 2 6 1 , a ,   2     3 2 5 = − a , 3 2 2 2 1 , a ,   3     5 8 7 = − a , 2 8 2 8 1 , a ,   4     8 4 10 = − a , 3 4 2 4 1 , a ,   5     10 0 13 = − a , 2 3 2   a 6     13 6 15 = − a , 3 6 2 6 1 , a ,   7     16 2 18 = − a , 3 2 2 2 1 , a ,   8     18 8 20 = − a , 2 8 2 8 1 , a ,   9     21 4 23 = − a , 3 4 2 4 1 , a ,   10     23 0 26 =
− a , 2 3 2   a 11     26 6 28 = − a , 3 6 2 6 1 , a ,   12     29 2 31 = − a , 3 2 2 2 1 , a ,  
Dengan mensubstitusikan persamaan (10) pada persamaan (9), diperoleh model matematika untuk menentukan nama hari pertama pada setiap bulan m pada tahun N . Model tersebut berupa persamaan yang diberikan sebagai persamaan (11) yang memberikan sisa positif terkecil dari hasil perhitungannya: ( ) 7 mod I d d N , s N , m , s + =     ( ) 7 2 2 6 2 mod , m , d d N , s N , m , s −  + =             ( ) 7 2 2 6 2 4 4 2 2 mod , m , / Y / C C d N , m , s −  + + + − = (11)
Nama hari pada tanggal k bulan m tahun N akan disimbolkan dengan N , m . k , s s w w = . Persamaan untuk memperoleh s w dilakukan dengan menambahkan 1 − k pada persamaan (11).
Hasil yang diperoleh diberikan pada persamaan (12) dan disebut model saptawara 2.
( ) 1 − + = = k d w w N , m , s N , m . k , s s             ( ) 7 1 4 4 2 2 2 6 2 mod / Y / C Y C , m , k w s + + + + − − +  (12)
dengan
s w : nama hari pada siklus tujuh harian ( 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 = w berturut-turut untuk Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu dan Minggu).

## Contoh 1
Dengan persamaan (12) atau model saptawara 2, hari Kemerdekaan Republik Indonesia pada tanggal 17 Agustus 1945 jatuh pada hari Jumat.
            ( )             ( ) ( ) ( ) 4 7 53 7 1 11 4 45 38 13 17 7 1 4 45 4 19 45 19 2 2 2 6 6 2 17 7 1 4 4 2 2 2 6 2 = = + + + + − + = + + + +  − −  + = + + + + − − +  mod mod mod / / , , mod / Y / C Y C , m , k w s
Dari perhitungan tersebut diperoleh sisa 4, atau s w = 4 yang menunjukkan hari Jumat.
Hasil tersebut tepat sama apabila digunkana model saptawara 1 pada persamaan (1)
            ( )             ( ) ( ) ( ) 5 7 54 7 4 11 38 45 13 7 7 4 19 4 45 19 2 45 2 0 6 6 2 7 7 4 4 2 2 0 6 2 = = + + − + + = + +  − + −  + = + + − + −  +  mod mod mod / / , , mod / C / Y C Y , m , k w
Pada persamaan (1), sisa 5 menyatakan hari Jumat.

## Model Matematika Selapanan
Nama hari selapanan merupakan gabungan antara hari saptawara dan pancawara . Penyebutan nama hari selapanan didahului dengan menyebut nama hari saptawara . Banyaknya hari dalam siklus selapanan adalah banyaknya hari saptawara dikalikan banyaknya hari pancawara , atau 35 5 7 =  hari. Model matematika untuk menentukan nama hari selapanan dibangun dengan menggunakan basis 35.
(i) Dengan basis perhitungan 1 Maret 1600 M, misalkan N , l d menyatakan nama hari selapanan pada tanggal 1 Maret tahun N . Antara 1 Maret 1600 sampai dengan 1 Maret tahun N berlaku (1) jika N bukan tahun kabisat maka 35 15 1 mod d d N , l N , l +  − , dan (2) jika N tahun kabisat maka 35 16 1 mod d d N , l N , l +  −
.
(ii) Dalam penentuan model, tanggal 1 Maret masih dijadikan sebagai basis perhitungan. Misalkan N , l d nama hari selapanan untuk tanggal 1 Maret tahun . N Perhitungan dimulai tahun 1600 dan akan ditentukan nama hari selapanan pada tanggal 1 Maret untuk setiap tahun yang diberikan. Antara 1 Maret tahun 1 − N dan 1 Maret 1 tahun , N jika N bukan tahun kabisat maka banyaknya hari adalah 365 hari, dan karena ( ) , mod 35 15 365  maka
35. 15 1 mod d d N , l N , l +  − Sedangkan apabila N adalah tahun kabisat, karena ada tambahan 1 hari, maka 35 16 1 mod d d N , l N , l +  − .
(iii) Banyaknya tahun kabisat antara tahun 1600 dan tahun N disimbolkan L dengan
L = ( )     4 / 1600 − N - ( )     100 / 1600 − N + ( )     400 / 1600 − N =     4 / N -     100 / N +     400 / N - 388 (iv) Apabila L ditulis dalam simbol C dan Y dengan Y C N + = 100 diperoleh         ( ) 35 3 4 4 24 mod / Y / C C L − + + = (v) Nama hari selapanan pada 1 Maret tahun , N dihitung sejak 1 Maret 1600 adalah
, L d d , l N , l tahun banyaknya 1600 + + = diberikan pada persaman (13):         ( ) 35 28 4 4 124 1600 mod / Y / C Y C d d , l N , l − + + + + = (13)
(vi) Tanggal 1 Maret 1949 yang jatuh pada hari selapanan Selasa- Pon dengan = V 16 (Tabel 3) digunakan untuk menentukan hari selapanan untuk tanggal 1 Maret 1600. Dalam hal ini akan digunakan Minggu- Paing = 0, ....., Sabtu- Legi = 34 sesuai nilai V pada Tabel 3.
Tabel 3. Nama-nama hari dalam siklus 35-harian ( selapanan ) Paing Pon Wage Kliwon Legi Minggu Radite = V 0 Minggu Paing = V 21 Minggu Pon = V 7 Minggu Wage
= V 28 Minggu Kliwon =
V 14
Minggu Legi
Senin Soma = V 15
Senin Paing = V 1 Senin Pon = V 22 Senin Wage = V 8 Senin Kliwon = V 29
Senin Legi
Selasa Anggara = V 30
Selasa Paing = V 16 Selasa Pon = V 2 Selasa
Wage = V 23 Selasa Kliwon = V 9 Selasa Legi
Rabu Buda = V 10 Rabu Paing =
V 31 Rabu Pon =
V 17 Rabu Wage =
V 3 Rabu Kliwon = V 24 Rabu Legi
Kamis Respati = V 25 Kamis
Paing = V 11 Kamis Pon = V 32 Kamis Wage = V 18 Kamis Kliwon = V 4 Kamis Legi
Jumat
Sukra = V 5 Jumat Paing
= V 26 Jumat Pon =
V 12 Jumat Wage = V 33 Jumat Kliwon
= V 19 Jumat Legi
Sabtu Tumpak/ Saniscara = V 20 Sabtu Paing = V 6 Sabtu Pon = V 27 Sabtu Wage = V 13 Sabtu Kliwon = V 34 Sabtu
Legi
Misalkan 1949 , l N , l d d = menyatakan nama hari selapanan pada tanggal 1 Maret 1949 dan
1600 , l d menyatakan nama hari selapanan pada tanggal 1 Maret 1600. Hubungan keduanya:
5 3 13 tahun banyaknya 30 1600 1600 1949 N mod d L d d d , l , l , l , l + = + + = = = Dengan demikian diperoleh 17, 1600 = , l d artinya 1 Maret 1600 jatuh pada hari selapanan Rabu- Wage . Hasil ini bersesuaian dengan (Rosen, 1986: 134-37) yang menyatakan bahwa 1 Maret 1600 jatuh pada hari Rabu. Oleh karena 17 1600 = , l d maka Persamaan (13) dapat dinyatakan dengan
        ( ) 35 11 4 4 124 mod / Y / C Y C d N , l − + + + = (14)
Formula (14) dapat digunakan untuk menentukan nama hari selapanan pada setiap tanggal 1 Maret tahun , N 2000 1600   N atau selama 400 tahun. Selanjutnya akan ditentukan formula untuk menentukan nama hari selapanan pada setiap tanggal 1 bulan apapun tahun N (tahun berapapun) dengan 2000 1600   N .
Misalkan m adalah nomor urut bulan dengan . m 12 1   Bulan Maret mempunyai nomor urut 1 = m dan seterusnya, sehingga nomor urut bulan Januari dan Februari adalah 11 dan 12.
Dalam Kalender Masehi, jumlah hari tiap bulan adalah 30 atau 31, kecuali Februari yang berumur 28 atau 29 hari. Dalam modulo 35, 35 30 30 mod  dan . 35 31 31 mod  Selisih atau kenaikan antar bulan mulai 1 Maret – 1 April, 1 April – 1 Mei, ...., 1 Desember – 1 Januari dan 1
Januari – 1 Februari berturut-turut adalah 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31, dan 31. Rata-rata kenaikan adalah 63 30 11 377 , / = = 30,6. Dengan menggunakan inspeksi dapat diperoleh     2 , 30 6 , 30 1 −  = m I (15)
atau     32 8 , 1 6 , 30 2 − +  = m I (16)
Nama hari selapanan pada tanggal 1 bulan m tahun N adalah residu (sisa) positif terkecil dari ( ) 5 3 1 1 mod I d d N , l N , m , l ; + = atau ( ) , mod I d d N , l N , m , l ; 5 3 2 2 + = diperoleh             ( ) 5 3 11 2 30 6 30 4 4 124 1 mod , m , / Y / C Y C d N , m , l ; − −  + + + + = (17)             ( ) 5 3 8 8 1 6 30 4 4 124 2 mod , m , / Y / C Y C d N , m , l ; − +  + + + + = (18)
Selanjutnya, nama hari selapanan pada tanggal k bulan m tahun N disimbolkan dengan N , m , k , l V V = diperoleh dengan menambahkan ( ) 1 − k pada Persamaan (17) atau (18) sehingga
diperoleh Persamaan (19) dan (20)             ( ) 35 12 4 4 124 2 30 6 30 1 mod / C / Y Y C , m , k V − + + + + −  +  (19)             ( ) 35 9 4 4 124 8 1 6 30 2 mod / C / Y Y C , m , k V − + + + + +  + 
(20)
dengan
1 V , 2 V : nama hari pada siklus tigapuluh-lima harian (lihat Tabel 3).
Penyimbolan 1 V dan 2 V hanya untuk membedakan adanya dua rumus . V Jadi, V V V = = 2 1 pada Tabel 3.
Contoh 2
Dengan model selapanan 1 (Persamaan (19)) atau model selapanan 2 (Persamaan (20)) akan ditentukan nama hari selapanan pada saat Indonesia merdeka tanggal 17 Agustus 1945.
            ( ) ) - Jumat (hari 19 35 2574 35 12 4 4 124 2 30 6 30 1 Legi selapanan mod mod / C / Y Y C , m , k V V = = − + + + + −  +  =             ( ) ) - Jumat (hari 19 35 2609 35 9 4 4 124 8 1 6 30 2 Legi selapanan mod mod / C / Y Y C , m , k V V = = − + + + + +  +  =
Gambar 1 memberikan bukti bahwa tanggal 17 Agustus 1945 jatuh pada hari Jumat – Legi ( sweet – Friday ).
Gambar 1. Tanggal 17 Agustus 1945 jatuh pada hari Jumat - Legi ( Sweet - Friday ) http://www.bing.com/images/search?view=detailV2&ccid=04rbgmyI&id
Penggunaan Kalender Gregorian di Indonesia memadukan saptawara dan pancawara . Kombinasi tersebut menghasilkan 35 nama hari dan membentuk siklus 35-harian yang disebut selapanan . Penyebutan nama hari pada siklus 35-harian ( selapanan ) adalah dengan mendahulukan nama hari saptawara , diikuti nama hari pancawara . Nama-nama hari dalam siklus 35-harian tersebut diberikan pada tabel 3. Nilai = V 0 sampai dengan = V 34 menyatakan sisa dalam modulo 35, dengan merujuk pada Tabel 3.

## Contoh 3
Tabel 4 mendaftarkan nama-nama hari saptawara untuk beberapa tanggal yang dipilih: 8 Juli 1633 (Dimulainya penggunaan Kalender Jawa), 1 Juni 1945 (Hari Lahir Pancasila), 17 Agustus 1945 (Kemerdekaan RI), dan tanggal-tanggal lainnya. Pada Tabel 4, digunakan model saptawara 1 (Persamaan (1)) untuk menetukan nama hari dalam 1 minggu dengan Minggu, Senin, Selasa, Rabu,
Kamis, Jumat dan Sabtu (kolom (2)), dan model saptawara 2 (Persamaan (12)) untuk menentukan nama hari dalam 1 minggu dengan
6 5 4 3 2 1 0 , , , , , , w s = menyatakan Senin, Selasa, Rabu, Kamis,
Jumat, Sabtu dan Minggu (kolom (3)). Kedua model saptawara memberikan hasil yang sama.
Tabel 4. Nama-nama hari dalam siklus 7, 5, dan 35-harian
Tanggal pada Kalender Gregorian Model Saptawara Model Pancawara Model Selapanan Model 1 Eq. (1) Model 2 Eq. (12) Model 2 Eq. (2) Model 2 Eq. (3) Model 3 Eq.  (4) Model 4 Eq. (5) Model 1 Eq. (19) Model 2 Eq. (20) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Maret 1600 -25 = 3 Rabu -26 = 2 Rabu 68 = 3 Wage 68 = 3 Wage 71 = 1 Wage 71 = 1 Wage 1.977=17 Rabu Wage 2.012=17 Rabu Wage 8 Juli 1633 33 = 5 Jumat 32 = 4 Jumat 85 = 0 Legi 85 = 0 Legi 88 = 3 Legi 88 = 3 Legi 2.147=12 Jumat Wage 2.182=12 Jumat Wage 1 Jun1 1945 33 = 5 Jumat 32 = 4 Jumat 93 = 3 Wage 93 = 3 Wage 96 = 1 Wage 96 = 1 Wage 2497=12 Jumat Wage 2.532=12 Jumat Wage 17 Agustus 1945 54 = 5 Jumat 53 = 4 Jumat 110 = 0 Legi 110 = 0 Legi 113 = 3 Legi 113 = 3 Legi 2.574 = 19 Jumat Legi 2 609 = 19 Jumat Legi 1 Maret 1949 30 = 2 Selasa 29 = 1 Selasa 92 = 2 Pon 92 = 2 Pon 95 = 0 Pon 95 = 0 Pon 2.410=30 Selasa Paing 2.445=30 Selasa Paing 1 Januari 1900 120 = 2 Selasa 119 = 1 Selasa 86=1 Paing 86=1 Paing 89-4 Paing 89=4 Paing 2.655=30 Selasa Paing 2.690=30 Selasa Paing 1 Maret 1982 71 = 1 Senin 70 = 0 Senin 100 = 0 Legi 100 = 0 Legi 103 = 3 Legi 103 = 3 Legi 2.451=1 Senin Pon 2.485=1 Senin Pon
Tabel 4 meringkas semua hasil yang telah diperoleh sebelumnya dengan menggunakan semua model yang diperoleh. Dapat dilihat bahwa nama hari selapanan untuk setiap tanggal merupakan kombinasi antara nama hari saptawara dan pancawara .
Untuk setiap tanggal yang dipilih, model saptawara memberikan hasil yang sama. Demikian juga keempat model pancawara , juga memberikan hasil yang sama. Hasil yang sama juga diberikan oleh kedua model selapanan . Model selapanan pada Tabel 4 berhasil mengonfirmasi kebenaran nama hari saptawara . Namun, pada beberapa kasus, model selapanan gagal mengonfimrasi kebenaran nama hari pancawara . Terdapat beberapa hasil yang berbeda. Misalkan 8 Juli 1633, 1 Maret 1949 dan 1 Maret 1982. Hipotesis yang dapat diajukan adalah adanya perubahan kuruf dalam Kalender Jawa sehingga perlu penyesuaian urutan hari-hari pasaran .

## Contoh 4
Tabel 5 memberikan nama-nama hari saptawara, pancawara dan selapanan untuk beberapa peristiwa penting di dunia dan Indonesia. Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa nama hari selapanan sesuai dengan kombinasi nama hari saptawara dan pancawara . Dalam Contoh 4 digunakan model saptawara 1 (Persamaan (1)), model pancawara 3 (Persamaan (4)), dan model selapanan 2 (Persamaan (20)).
Tabel 5 memberikan petunjuk bahwa model selapanan berhasil dengan tepat mengonfirmasi model saptawara dan pancawara . Hal ini ditunjukkan dengan hasil yang tepat sama antara ketiga model tersebut.
Namun, hasil dari Tabel 5 memberikan perbedaan dengan data yang diperoleh dari Prasasti Pakubuwono X. Data yang terpahat pada Prasasti Pakubuwono X mencatat waktu berjalan lebih cepat 7 hari. Dengan formula yang diperoleh, 28 September 1938 jatuh pada hari Senin- Paing ( V = 15). Sedangkan Prasasti Pakubuwono X yang mencatat tanggal 28 September 1938 jatuh pada Senin- Wage ( V = 22). Hipotesis yang dapat diajukan adalah adanya perubahan kuruf dalam Kalender Jawa. Hal ini memerlukan analisis lebih lanjut.
Tabel 5. Nama hari saptawara, pancawara dan selapanan untuk beberapa tanggal pada kalender Gregorian Tanggal dan Peristiwa k, m, C, Y Sapta Wara Eq. (1) Panca Wara Eq. (5) Selapanan Eq. (19) DUNIA 6 Mei 1692 Peter Minuit membeli Manhattan dari penduduk pribumi Indian 6, 3, 16, 92 100=2 Selasa 107=2 Kliwon 2.158=23 Selasa- Kliwon 15 Juni 1752 Benyamin Franklin berinvestasi pada lightening road 15, 4, 17, 52 60=4 Kamis 66=1 Wage 2.272=32 Kamis- Wage 4 Juli 1776 Kemerdekaan Amerika Serikat 4, 5, 17, 76 81=4 Kamis 85=0 Pon 2.321=11 Kamis- Pon 30 Maret 1867 Amerika membeli Alaska dari Rusia 30, 1, 18, 67 83=6 Sabtu 96=1 Wage 2.337=7 Sabtu- Wage 17 Maret 1888 Great blizzard di bagian timur Amerika Serikat 17, 1, 18, 88 97=6 Sabtu 110=0 Pon 2.351=6 Sabtu- Pon 15 Februari 1898 Penyerangan Teluk Harbour 15, 12, 18, 97 135=2 Selasa 126=1 Wage 2.697=2 Selasa- Wage 1 Januari 1900 Hari pertama abad ke-20 1, 11, 18, 99 120=1 Senin 113=5 Legi 2.654=29 Senin- Legi 2 Juli 1925 2, 5, 19, 25 11=4 Kamis 17=2 Kliwon 2.503=18 Kamis- Kliwon 16 Juli 1945 16, 5, 19, 45 50=1 56=1 2.542=22
Bom atom pertama diledakan Senin Wage Senin-Wage 20 Juli 1969 Pendaratan manusia di bulan 20, 5, 19, 69 84: 0 Minggu 90=0 Pon 2.576=21 Minggu-Pon 9 Agustus 1974 Nixon Resign 9, 6, 19, 74 82=5 Jumat 86=1 Wage 2.602=12 Jumat-Wage 28 Maret 1979 Three miles island 28, 3, 19, 79 94=3 Rabu 108=3 Legi 2.474=24 Rabu-Legi INDONESIA 26 September 1938 Prasasti Pakubuwono X 26, 7, 19, 38 57=1 Senin 59=4 Paing 2.640=15 Senin- Paing 23 Februari 1971 Hari lahir penulis pertama 23, 12, 19, 70 107=2 Selasa 99=4 Paing 2.795=30 Selasa- Paing SIMPULAN
Dalam artikel ini dihasilkan sebuah formula matematika untuk penentuan nama hari pada siklus tujuh harian ( saptawara ) dan dua buah formula matematika untuk penentuan nama hari pada siklus tiga-puluh-lima harian ( selapanan ). Sebelumnya, telah diperoleh empat buah formula matematika untuk penentuan nama hari pada siklus lima harian ( pancawara ) dan sebuah formula matematika untuk penentuan nama hari pada siklus tujuh harian ( saptawara ). Hasil penelitian menunjukkan bahwa nama hari selapanan merupakan kombinasi antara nama hari saptawara dengan pancawara . Namun, terdapat hasil yang menyimpang dari ketentuan tersebut. Hipotesis yang dapat diajukan adalah adanya perubahan kuruf dalam Kalender Jawa. Dengan demikian, hal ini memerlukan analisis lebih lanjut.
REFERENSI Burton, D.M. (2007). Elementary Number Theory . 6 th Ed. Boston: Mc. Graw-Hill. Dutka, J. (1988). On the Gregorian Revision of the Julian Calendar. Math. Intelligencer , 10: 56-64. Kurnia, A.D., Jauhara, L.K., Sugandha, A., Prabowo, A., dan Tripena, A. (2015). Aplikasi Teori Kekongruenan untuk Mengkonversikan Hari Saptawara dan Pancawara pada Kalender Masehi. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Diponegoro Tahun 2015, dalam Puspita, N.P., (eds.), UNDIP, Semarang: 20-24. Moyer, G. (1982). The Gregorian Calendar. Sci. Amer ., 246(5): 144-152.
Prabowo, A dan Sukono. (2021). Determination of Missing Digit on the Year Number of Prasasti Sirah Keting. International Journal of Ethno-Sciences and Education Research , 1 (1): 25-35. Prabowo, A. (2021). Tinjauan Matematis terhadap Kalender Aboge . Purwokerto: Penerbit Unsoed Press.
Prabowo, A. Sugianto, and Triwahyuni, I. (2015). Tiga Cara Menentukan Nama Wuku dalam Pawukon Saka. Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 7 (1): 30-47. Prabowo, A. Sukono, Mamat, M., Wahyudin, and Budiono, R. (2020a). Mathematical Model for Commemoration of Death in Javanese Tradition. International Journal of Advanced Science and Technology . 29 (5): 162-168.
Prabowo, A., Mamat, M., Sukono, and Napitupulu, H. (2017a). The Mathematical Formula for Determining the Name of the Pancawara Day on the Masehi Calendar. International Journal of Mathematics Trends and Technology , 51 (2): 162-166.
Prabowo, A., Mamat, M., Sukono, Sidi, P. and Wahyudin. (2020b). Ethnomodelling: Aboge Cikakak Calendar Convertion into Gregorian Calendar using Brute Force Algorithm. International Journal of Advanced Science and Technology , 29 (7): 1633-1646. Prabowo, A., Sidi, P., Mamat, M., and Sukono. (2017b). Mathematical Model for Determining of Wuku Name in Javanese Culture in Indonesia. Journal of Engineering and Applied Science , 12 (18): 4613-4616.
Rickey, V.F. (1985). Mathematics of the Gregorian Calendar . Math. Intelligencer , 7: 53-56.
Rosen, K.H. (1986). Elementary Number Theory and Its Applications . Massachuset: Addison-Wesley Publishing Company.
Sivaraman, R. (2020). Determining Day of Given Date Mathematically. Mathematics and Statistics , 8(5): 590-595.
Upsensky, J.V. dan Heaslet, M.A. (1939). Elementary Number Theory. New York: McGraw-Hill.