## PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI FUZZY DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO
Ermawati i, Puji Rahayu ii , , Faihatus Zuhairoh iii
i Dosen Jurusan Matematika FST UIN Alauddin Makassar
ii Mahasiswa Jurusan Matematika FST UIN Alauddin Makassar
iii Dosen Jurusan Matematika YPUP
ABSTRAK ,  Integrasi numerik merupakan  metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan integral yang sulit diselesaikan secara analitis. Penelitian  ini membahas tentang perbandingan tingkat keakuratan antara metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo pada penyelesaian integral lipat dua untuk fungsi fuzzy. Perbandingan tingkat keakuratannya ditinjau dari segi galat. Beberapa contoh fungsi  integral lipat  dua dengan fungsi fuzzy disimulasikan pada program Matlab dengan menggunakan metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo untuk n =2 dan n =4.  Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan menggunakan 4 angka penting, untuk n =4,  nilai aljabar fuzzy yang dihasilkan dengan menggunakan metode Romberg  sama dengan nilai eksaknya. Sedangkan pada metode Simulasi Monte Carlo untuk iterasi n = 10000 sekalipun galat yang dihasilkan tidak lebih kecil dari galat yang dihasilkan metode Romberg.
Kata Kunci:  Integrasi numerik, Galat,  metode Romberg, Simulasi Monte Carlo, fuzzy.

## 1. PENDAHULUAN
Menghitung volume atau luasan dari suatu bidang dimensi R 2 maupun R 3 , dalam matematika dapat digunakan Teknik intergral. Jika suatu fungsi yang akan cari nilai hasil integralnya  bentuknya rumit, maka hal tersebut biasanya akan sangat sulir jika dilakukan proses integrase dengan menggunakan kaidah-kaidah kalkulus yang bersifat analitik. Solusi dari masalah tersebut, yakni model fungsi yang kompleks atau rumit, dapat dilakukan dengan bantuan komputer  dengan metode metode pendekatan yang tepat untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut secara efisien dan tepat. Metode numerik merupakan teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika, dimana penggunaan metode  ini  menghasilkan solusi hampiran yang memang tidak persis  sama dengan solusi yang sebenarnya (sejati). Akan tetapi  tingkat keakuratannya dapat  dilihat dari
galat sekecil mungkin. Operasi hitungan dalam metode numerik umumnya dilakukan dengan iterasi sehingga jumlah hitungan yang dilakukan banyak dan berulang-ulang. Oleh karena itu diperlukan bantuan program aplikasi komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut. Metode numerik yang digunakan untuk memecahkan persoalan integral disebut integrasi numerik. Integrasi numerik merupakan suatu metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian numerik sebagai hampirannya.
Penyelesaian integrasi dengan metode numerik terdiri dari tiga kelompok berdasarkan proses penurunannya yaitu metode pias, metode Gauss dan metode Newton-Cotes. Metode pias seperti metode trapesium, segi empat dan titik tengah. Metode Gauss seperti Gauss Legendre 2 titik, 3 titik dampai n titik. Sedangkan metode Newton- Cotes seperti metode trapesium, metode Simpson dan metode Boole. Metode Romberg merupakan gabungan dari rumus trapesium rekursif dan Boole Rekursif yang didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson sehingga dapat memperoleh nilai integrasi yang semakin baik. Selain itu, terdapat pula  sebuah metode yang menggunakan pembangkit bilangan acak yang disebut Simulasi Monte Carlo. Walaupun menggunakan bilangan acak, metode Simulasi Monte Carlo mempunyai akurasi yang cukup tinggi karena berdasarkan pada teori probabilitas dan statistik. Masalah yang akan di bahas dalam artikel ini berkaitan dengan perbedaan  tingkat keakuratan antara metode Romberg dan metode Simulasi Monte Carlo pada penyelesaian integral lipat dua pada fungsi aljabar, yang dimaksudkan untuk menjelaskan perbandingan tingkat keakuratan  penggunaan  metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo dalam menyelesaian integral lipat dua pada fungsi fuzzy.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Fungsi
Suatu  fungsi f merupakan  suatu aturan korespondensi  yang menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan pertama  dengan suatu nilai  tunggal 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) dari suatu himpunan kedua.
Secara  garis  besar  fungsi  dibedakan menjadi  dua  yaitu  fungsi  aljabar  dan  fungsi transenden.  Fungsi  aljabar  adalah  fungsi yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar seperti  penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan  dan  penarikan  akar. Adapun yang termasuk  fungsi  aljabar  adalah fungsi polynomial,  fungsi  rasional  dan  fungsi irasional.

## Integral
Integral  merupakan perhitungan kebalikan dari diferensial suatu fungsi (suatu fungsi asal yang diturunkan dapat kefungsi asalnya dengan cara integral).  Integral terdiri  dari integral  taktentu ( indefinite ) dan integral tentu ( definite ).
Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup [ a, b ]. Jika ada, maka dikatakan f adalah terintegrasikan pada [ a, b ].
Lebih lanjut ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥 , disebut Integral
tentu (integral Riemann) f dari a ke b, kemudian diberikan oleh
( ) 0 1 ( ) lim b n i p i a i f x dx f x x → = = ∆ ∑ ∫
Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam bentuk integral ganda dua (lipat dua) atau integral ganda tiga (lipat tiga). Integral lipat dua didefinisikan sebagai berikut:
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � �� ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑐𝑐 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝐴𝐴
= � �� ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑎𝑎 � 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑐𝑐

## IntegrasiNumerik
Integrasi numerik  adalah suatu metode yang digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian numeric sebagai hampirannya. Terdapat tiga pendekatan dalam menurunkan rumus integral numerik. Pendekatan pertama adalah berdasarkan tafsiran geometri integral tentu. Daerah integrasi dibagi atas sejumlah pias ( strip ) yang berbentuk segiempat. Luas daerah integrasi dihampiri dengan luas seluruh pias. Integrasi numerik yang diturunkan dengan pendekatan ini digolongkan kedalam metode pias. Kaidah integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adalah kaidah segiempat, kaidah trapezium dan kaidah titik tengah. Pendekatan kedua adalah berdasarkan interpolasi polinomial. Disini fungsi integran f ( x ) dihampiri dengan polinomial interpolasi p n ( x ). Selanjutnya, integrasi dilakukan terhadap p n ( x ) karena polinom lebih mudah diintegralkan daripada mengintegralkan f ( x ). Rumus integrasi numerik yang diturunkan dengan pendekatan ini digolongkan  kedalam metode Newton-Cotes, yaitu metode umum untuk menurunkan rumus integrasi numerik. Adapun beberapa kaidah integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes antara lain kaidah trapesium, kaidah Simpson 1 3 dan kaidah Simpson 3 8 . Pendekatan ketiga sama sekali tidak menggunakan titik-titik diskrit sebagaimana pada kedua pendekatan di atas. Nilai integral diperoleh dengan mengevaluasi nilai fungsi pada sejumlah titik tertentu di dalam selang [-1,1], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlahkan keseluruhan perhitungan. Pendekatan ketiga ini dinamakan Kuadratur Gauss.

## Integrasi pada Fungsi Fuzzy
Secara umum suatu sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 , dengan A adalah matriks koefisien, x adalah vector kolom dari variabel-variabel yang tidak diketahui, dan y vektor kolom dari konstanta dengan setiap unsurnya merupakan bilangan riil. Tidak semua hal dapat diketahui secara tepat atau pasti nilainya, melainkan hanya perkiraan atau interval dari nilai tersebut. Untuk
( ) 0 lim 1 p n f x x i i i → ∆ ∑ =
menyatakan ketidakpastian tersebut digunakan bilangan fuzzy.
Secara umum bilangan fuzzy terdiri dari dua bentuk, yaitu bilangan fuzzy trapesium ( trapezoidal fuzzy number ) dan bilangan fuzzy segitiga ( triangular fuzzy number ). Bilangan fuzzy segitiga dinyatakan dengan 𝑥𝑥� = ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 ) dengan a indeks fuzzy kiri, b disebut pusat ( center ) dan c indeks fuzzy kanan.
Secara umum, sistem persamaan linear fuzzy memiliki bentuk sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑥𝑥� = 𝑦𝑦�
Dengan A matriks nonsingular, 𝑥𝑥� = ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) , 𝑦𝑦� = ( 𝑦𝑦� 𝑛𝑛 ) merupakan vektor fuzzy. Definisi 2.2:
Bilangan fuzzy segitiga (triangular fuzzy number) 𝒙𝒙� = ( 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 , 𝒄𝒄 ) dengan a indeks fuzzy kiri, b pusat (center) dan c indeks fuzzy kanan. Bilangan fuzzy segitiga 𝒙𝒙� dalam bentuk standar dengan fungsi keanggotaannya dapat dituliskan sebagai berikut:
𝝁𝝁 𝒙𝒙� ( 𝒙𝒙 ) = 𝝁𝝁 𝒙𝒙� ( 𝒙𝒙 ; 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 , 𝒄𝒄 ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( 𝒙𝒙 − 𝒂𝒂 ) ( 𝒃𝒃 − 𝒂𝒂 ) , 𝒂𝒂 ≤ 𝒙𝒙 < 𝒃𝒃 ( 𝒄𝒄 − 𝒙𝒙 ) ( 𝒄𝒄 − 𝒃𝒃 ) , 𝒃𝒃 ≤ 𝒙𝒙 < 𝒄𝒄 𝟎𝟎 , 𝒙𝒙 ≤ 𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒂𝒂𝒅𝒅 𝒙𝒙 ≥ 𝒄𝒄 Definisi 2.3:
Bilangan fuzzy 𝒙𝒙� = ( 𝒂𝒂 , 𝒃𝒃 , 𝒄𝒄 ) dalam bentuk parameter direpresentasikan dengan �𝒖𝒖 ( 𝒓𝒓 ), 𝒖𝒖 ( 𝒓𝒓 ) � , yang memenuhi:
𝒖𝒖 ( 𝒓𝒓 ) adalah fungsi kontinu kiri, dan tak turun terbatas pada [ 𝟎𝟎 , 𝟏𝟏 ] 1. 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 ) adalah fungsi kontinu kiri, dan tak naik terbatas pada [0,1] 2. 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 ) ≤ 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 ), 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1
Definisi integral tentu dari fungsi fuzzy menggunakan konsep integral Riemann. 1
Definisi 2.4: (Definisi Integral Fuzzy)
1 T. Allahviranloo, Romberg Integration For Fuzzy Function, Applied Math. And Computation 168 (2005) 866-876 (Iran : Isamic Azad University, 2005)
“Diberikan  f  :  [a,b]  → 𝑬𝑬 𝟏𝟏 . Untuk masing- masing partisi 𝑷𝑷 = { 𝒕𝒕 𝟎𝟎 , 𝒕𝒕 𝟏𝟏 , … , 𝒕𝒕 𝒅𝒅 } dalam selang [a,b] dan untuk elemen 𝜺𝜺 𝒊𝒊 : 𝒕𝒕 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ≤ 𝜺𝜺 𝒊𝒊 ≤ 𝒕𝒕 𝒊𝒊 , 𝟏𝟏 ≤ 𝒊𝒊 ≤ 𝒅𝒅 , diberikan
𝑹𝑹 𝒑𝒑 = � 𝒇𝒇 ( 𝒅𝒅 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝜺𝜺 𝒊𝒊 )( 𝒕𝒕 𝒊𝒊 − 𝒕𝒕 𝒊𝒊−𝟏𝟏 ) Jika fungsi fuzzy 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ) kontinu dalam matriks D maka integral tentu nya adalah
�� 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ; 𝑟𝑟 )dt 𝑏𝑏 𝑎𝑎 � = � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ; 𝑟𝑟 )dt 𝑏𝑏 𝑎𝑎 �� 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ; 𝑟𝑟 ) dt 𝑏𝑏 𝑎𝑎 � = � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ; 𝑟𝑟 ) dt 𝑏𝑏 𝑎𝑎  Rumus trapesium
𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = ℎ 1 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ; 𝑟𝑟 ) � atau 𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = ℎ 1 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ; 𝑟𝑟 ) �  Ekstrapolasi Richardson
𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 𝑘𝑘−1 , 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 𝑘𝑘−1 � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + (2 𝑗𝑗 − 1) ℎ 𝑘𝑘 ) 2 𝑘𝑘−2
𝑗𝑗=1 � Atau
𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 𝑘𝑘−1 , 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 𝑘𝑘−1 � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + (2 𝑗𝑗 − 1) ℎ 𝑘𝑘 ) 2 𝑘𝑘−2 𝑗𝑗=1 � Dengan k = 2, 3, … , n
𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 𝑘𝑘−1 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 𝑗𝑗−1 − 1 atau 𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 𝑘𝑘 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 𝑘𝑘−1 . 𝑗𝑗−1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 𝑗𝑗−1 − 1
Dengan k = 2, 3, …, n

## Metode Romberg
Metode Romberg merupakan metode integrasi yang didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson yang dihasilkan dari aturan trapesium rekursif. Kelemahan dari metode ini adalah harus menggunakan jumlah interval yang besar guna mencapai akurasi yang diharapkan. Salah satu cara untuk meningkatkan akurasi adalah dengan membagi dua interval secara terus menerus sampai nilai integral yang dihitung dengan 2 k dan 2 k+1 konvergen pada suatu nilai. Proses penyelesaian integral dengan menggunakan metode Romberg dapat dilihat pada flow chart seperti pada gambar 1 berikut:
Gambar  1  Flowchart Penyelesaian Integral dengan Metode Romberg

## Simulasi Monte Carlo
Metode simulasi Monte Carlo merupakan salah satu metode integrasi numerik dengan cara memasukkan sejumlah N nilai fungsi x secara random dengan x berada dalam interval integral, menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara berulang-ulang dalam simulasi model. Rumusan integrasi numerik dengan metode simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut:
1 ( ) ( ) b n i a b a f x dx f xi n = − = ∑ ∫
Dengan x i adalah bilangan random yang dibangkitkan dengan harga 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 dan n adalah jumlah masukkan (pengulangan) banyak data yang diinginkan. Proses penyelesaian integral dengan menggunakan simulasi Monte Carlo dapat dilihat pada flow chart seperti pada gambar 2 berikut:
Gambar  2  Flow Chart Penyelesaian Integal dengan Simulasi Monte Carlo

## Galat
Galat atau biasa disebut error dalam metode numerik adalah selisih antara yang ditimbulkan antara nilai sebenanrnya dengan nilai yang dihasilkan dengan metode numerik.  Galat dibedakan menjadi tiga yaitu:
1. Galat Mutlak
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya terhadap nilai pendekatan yang
start ℎ = 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 𝑅𝑅 (1,1) = 𝑇𝑇 0 = ℎ 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 ) �
𝑅𝑅 ( 𝑟𝑟 , 1) = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 +1 = 𝑇𝑇 𝑘𝑘 2 + ℎ 2 𝑘𝑘 +1 � 𝑓𝑓 2 𝑟𝑟− 1 2 𝑘𝑘 𝑟𝑟 =1 ; 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 �𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 ℎ 2 𝑘𝑘 +1 � , 𝑟𝑟 ≥ 2 𝑅𝑅 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) = 4 𝑠𝑠− 1 𝑅𝑅 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 − 1) − 𝑅𝑅 ( 𝑟𝑟 − 1, 𝑠𝑠 − 1) (4 𝑠𝑠− 1 − 1) end Output I Input 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 dan n
diberikan, atau yang diperoleh dari hasil perhitungan atau pengukuran.
Kesalahan (Error) = nilai Eksak – Nilai perkiraan Jika 𝑎𝑎 ∗ adalah hampiran dari nilai eksak a maka galat mutlak dari a adalah 𝐸𝐸 =  | 𝑎𝑎 – 𝑎𝑎 ∗ | yang berarti hampiran = nilai eksak – galat 2. Galat Relatif
𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 ∗ 𝑎𝑎 = 𝐺𝐺𝑎𝑎𝐺𝐺𝑎𝑎𝑡𝑡

## 𝑁𝑁𝑥𝑥𝐺𝐺𝑎𝑎𝑥𝑥 𝐸𝐸𝑘𝑘𝑠𝑠𝑎𝑎𝑘𝑘

## 3. Persentase Galat
Persentase galat adalah 100 kali galat relatif
𝜉𝜉𝑎𝑎 = 𝑒𝑒 ∗ 100%

## 3. METODOLOGI

## Prosedur Analisis
Adapun prosedur penelitian yang digunakan penulis untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Memberikan contoh soal integral lipat dua dengan fungsi aljabar rasional untuk diselesaikan secara analitik,
2. Menyelesaikan contoh soal menggunakan metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo secara numeric dengan iterasi n = 2 dan n = 4,
3. Menghitung galat dari masing-masing metode dan membandingkan hasilnya,
4. Mensimulasikan beberapa fungsi aljabar rasional dan irrasional pada program Matlab dengan  menggunakan  metode Romberg dan
Simulasi Monte Carlo sesuai dengan flowchart pada BAB II,
5. Membandingkan hasil simulasi untuk n = 2
dan n = 4. Kemudian menganalisis galat mutlak dari kedua metode untuk mendapatkan metode yang paling akurat.

## 4. PEMBAHASAN
Diberikan contoh soal integral fuzzy sebagai berikut:
� 𝑘𝑘�𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 0 , 𝑘𝑘� = ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )
solusi eksak dari contoh di atas adalah 32 5 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) Penyelesaian secara Numerik Metode Romberg:
Untuk n = 4
ℎ 1 = 2. 𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = ℎ 1 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ; 𝑟𝑟 ) � = 2 2 �𝑓𝑓 (0; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 (2; 𝑟𝑟 ) � = 1 �𝑓𝑓 (0) + 𝑓𝑓 (2) � = 16 𝑟𝑟 ℎ 2 = 1. 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 1 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 2 ) � = 1 2 � 16 𝑟𝑟 + 2 𝑓𝑓 (0 + 1) � 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 [16 𝑟𝑟 + 2 𝑟𝑟 ] = 9 𝑟𝑟 ℎ 3 = 1 2. 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 3 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 3 ℎ 3 ) �� = 1 2 � 9 𝑟𝑟 + 1 �𝑓𝑓 � 0 + 1 2 � + 𝑓𝑓 � 0 + 3 2 ��� = 1 2 � 9 𝑟𝑟 + 1 32 𝑟𝑟 + 81 32 𝑟𝑟� = 7.0625 𝑟𝑟 ℎ 4 = 1 4. 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 [ 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 3 [ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 3 ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 5ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 7ℎ 4 )]] = 3.5312 𝑟𝑟 + 0.0010 𝑟𝑟 + 0.0791 𝑟𝑟 + 0.6104 𝑟𝑟 + 2.3447 𝑟𝑟 = 6.5664 𝑟𝑟 𝑄𝑄 2 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 − 1 = 9 𝑟𝑟 + 9 𝑟𝑟 − 12 𝑟𝑟 3 = 9 𝑟𝑟 − 2.3333 𝑟𝑟 = 6.6667 𝑟𝑟
𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 − 1 = 7.0625 𝑟𝑟 + 7.0625 𝑟𝑟 − 9 𝑟𝑟 3
= 6.4167 𝑟𝑟 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 − 1 = 6.5664 𝑟𝑟 + 6.5664 𝑟𝑟 − 7.0625 𝑟𝑟 3
= 6.4010 𝑟𝑟 𝑄𝑄 3 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟�
+ 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 2 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 16 − 1 = 6.4167 𝑟𝑟 + 6.4167 𝑟𝑟 − 6.6667 𝑟𝑟 15
= 6.4000 𝑟𝑟 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 16 − 1 = 6.4010 𝑟𝑟 + 6.4010 𝑟𝑟 − 6.4167 𝑟𝑟 15 = 6.4000 𝑟𝑟
𝑄𝑄 4 . 4 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟�
+ 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 64 − 1
𝑄𝑄 4 . 4 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 6.4000 𝑟𝑟 + 6.4000 𝑟𝑟 − 6.4000 𝑟𝑟 63 = 6.4000 𝑟𝑟 Dan
ℎ 1 = 2. 𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = ℎ 1 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ; 𝑟𝑟 ) � = 2 2 �𝑓𝑓 (0; 𝑟𝑟 ) + 𝑓𝑓 (2; 𝑟𝑟 ) � = 1 �𝑓𝑓 (0) + 𝑓𝑓 (2) � = 16 (2 − 𝑟𝑟 ) ℎ 2 = 1. 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 1 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 2 ) � = 1 2 � 16 (2 − 𝑟𝑟 ) + 2 𝑓𝑓 (0 + 1) � = 1 2 [16 (2 − 𝑟𝑟 ) + 2 (2 − 𝑟𝑟 )]
= 9 (2 − 𝑟𝑟 ) ℎ 3 = 1 2. 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 �𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 2 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 3 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 3 ℎ 3 ) �� = 1 2 � 9 (2 − 𝑟𝑟 ) + 1 �𝑓𝑓 � 0 + 1 2 � + 𝑓𝑓 � 0 + 3 2 ��� 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 � 9 (2 − 𝑟𝑟 ) + 1 32 (2 − 𝑟𝑟 ) + 81 32 (2 − 𝑟𝑟 ) � = 226 32  (2 − 𝑟𝑟 ) = 7.0625 (2 − 𝑟𝑟 ) ℎ 4 = 1 4. 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 1 2 [ 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + ℎ 3 [ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 3 ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 5 ℎ 4 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 + 7 ℎ 4 )]] = 1 2 � 7.0625 (2 − 𝑟𝑟 ) + 1 2 �𝑓𝑓 � 1 4 � + 𝑓𝑓 � 3 4 � + 𝑓𝑓 � 5 4 � + 𝑓𝑓 � 7 4 ��� = 6.5664 (2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 2 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 1 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 − 1 = 9 (2 − 𝑟𝑟 ) + 9 (2 − 𝑟𝑟 ) − 12 (2 − 𝑟𝑟 ) 3 = 6.6667 (2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 2 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟�
4 − 1 = 7.0625 (2 − 𝑟𝑟 ) + 7.0625 (2 − 𝑟𝑟 ) − 9 (2 − 𝑟𝑟 ) 3 = 6.4167 (2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 4 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 1 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 4 − 1
= 6.5664 (2 − 𝑟𝑟 ) − 0.1654 (2 − 𝑟𝑟 ) = 6.4010 (2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 3 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 2 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 16 − 1 = 6.4167(2 − 𝑟𝑟 ) − 0.0167 (2 − 𝑟𝑟 )
= 6.4000(2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 4 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 2 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 16 − 1 = 6.4010(2 − 𝑟𝑟 ) + 6.4010 (2 − 𝑟𝑟 ) − 6.4167 (2 − 𝑟𝑟 ) 15 = 6.4010 (2 − 𝑟𝑟 ) − 0.0010 (2 − 𝑟𝑟 ) = 6.4000(2 − 𝑟𝑟 ) 𝑄𝑄 4 . 4 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� = 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� + 𝑄𝑄 4 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� − 𝑄𝑄 3 . 3 �𝑓𝑓 ; 𝑟𝑟� 64 − 1 = 6.4000 (2 − 𝑟𝑟 ) − 0 (2 − 𝑟𝑟 )
= 6.4000 (2 − 𝑟𝑟 )
Jika disajikan dalam bentuk tabel akan terlihat hasilnya sebagai berikut:
Tabel 4.11 Hasil integrasi Romberg dengan fungsi fuzzy R(r,s) 1 2 3 4 1 16.0000 (r,2-r) 2 9.0000 (r,2-r) 6.6667 (r,2-r) 3 7.0625 (r,2-r) 6.4167 (r,2-r) 6.4000 (r,2-r) 4 6.5664 (r,2-r) 6.4010 (r,2-r) 6.4000 (r,2-r)  6.4000 (r,2-r)
Simulasi Monte Carlo
a. Fungsi integran yang didefinisikan
𝑘𝑘�𝑥𝑥 4 , 𝑘𝑘� = ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) b. Batas bawah daerah integrasi 𝑦𝑦 1 = 0 . batas atas daerah integrasi 𝑦𝑦 2 = 2 c. Untuk iterasi n = 4
1. Membangkitkan 4 buah data ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) dari
0 sampai 1 pada Matlab Misalkan 𝑥𝑥 𝑖𝑖 = 1.3575 1.5155 1.4863 0.7845
2. Mensubstitusikan masing- masing nilai 𝑥𝑥 𝑖𝑖 pada fungsi integran: 𝑥𝑥 1 = 𝑘𝑘� (1.3575) 4 = 3.3959 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 2 = 𝑘𝑘� (1.5155) 4 = 5.2750 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 3 = 𝑘𝑘� (1.4863) 4 = 4.8801 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 4 = 𝑘𝑘� (0.7845 ) 4 = 0.3788 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 3. Menjumlahkan nilai 𝑥𝑥 𝑖𝑖 :
� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 4
𝑖𝑖=0 = 3.3959 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) + 5.2750  ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )
+ 4.8801 ( 𝑟𝑟
, 2 − 𝑟𝑟 ) + 0.3788 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) = 13.9298 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 4. Menghitung nilai integrasi I :
𝐼𝐼 = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑛𝑛 � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 = 2 − 0 4 𝑥𝑥 13.9298 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )
= 6.9649 ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) Perhitungan Galat

## Metode Romberg
Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan diperoleh galat mutlak dari metode Romberg untuk n = 4 yaitu sebagai berikut:
𝜀𝜀 𝑅𝑅 = | 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼′ | 𝜀𝜀 𝑅𝑅 = |6.4000( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) − 6.4000( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )| = 0

## Metode Simulasi Monte Carlo
Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan diperoleh galat mutlak dari metode Simulasi Monte Carlo ntuk n = 4 yaitu sebagai berikut: 𝜀𝜀 𝑀𝑀𝑀𝑀 = | 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼′ | 𝜀𝜀 𝑀𝑀𝑀𝑀 = |6.4000( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) − 6.9649( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )| = 0.5649( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 )

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa pada penyelesaian integral, baik integral lipat dua
dengan fungsi aljabar yang berbentuk rasional dan irrasional, metode Romberg jauh lebih akurat dibandingkan dengan metode Simulasi Monte Carlo. Hal ini dibuktikan dengan nilai galat mutlak yang dihasilkan metode Romberg jauh lebih kecil dibandingkan dengan metode Simulasi Monte Carlo.
.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Ammar, Muhammad. Solusi Penyelesaian Integral Lipat Dua dengan Menggunakan Metode Romber. Makassar: UIN Alauddin. 2009. Ardi, Pujiyanta. Komputasi Numerik dengan Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu. 2007 Arhami, Muhammad dkk. Pemrograman
MATLAB . Yogyakarta: ANDI, 2012.
Away, Gunaidi Abdia. the Shorcut of Matlab Programming . Bandung: Informatika Bandung, 2006.
Elhasany, Zain. Contoh Daftar Pustaka Makalah
Dan Skripsi , Artikel Ilmiah Lengkap, diakses dari http://www.scribd.com/doc/92181730/M ETODE-NUMERIK#scribd, pada tanggal 11 Oktober 2015 pukul 21.11 Ermawati, Rahayu Puji, Zuhairo F.
Perbandingan Solusi Numerik  Integral Lipat Dua Pada Fungsi Aljabar Dengan
Metode Romberg Dan Simulasi Monte Carlo. Jurnal MSA  Vol. 5. No. 1. Makassar: UIN Alauddin Makassar. Haryono, Nugroho agus. Perhitungan Integral
Lipat Menggunakan Metode Monte
Carlo . Jurnal Informatika vol. 5 no. 2. Yogyakarta: Universitas Kristen Duta
Wacana. 2009.
Hernadi, Julan. Matematika Numerik Dengan Implementasi MATLAB . Yogyakarta: ANDI. 2012. Ilham, Muhammad. Modul 3 Integrasi Numerik .
Bandung: Institut Teknologi Bandung.
2014.
Kosasih, Buyung. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasinya. Yogyakarta: ANDI. 2006.
Munir, Rinaldi. Metode Numerik Revisi Kedua . Bandung: Informatika Bandung. 2008. Rahayu Puji, Perbandingan Solusi Numerik Metode Romberg Dan Simulasi Monte
Carlo Pada Penyelesaian Integral . Skripsi. UIN Alauddin Makassar. 2016 Sahid, Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB . Yogyakarta: ANDI. 2005. Sangadji, Metode Numerik. Yogyakarta: Graha Ilmu. 2008.
Setiawan,  Agus. Pengantar Metode Numerik . Yogyakarta: ANDI. 2006. Supangat, Andi. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis . Jakarta: Prenada Media Grup. 2006.

## Apendiks
Tabel 1. Perbandingan galat metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo pada Simulasi integral dengan fungsi fuzzy berbentuk 𝑘𝑘�𝑥𝑥 𝑚𝑚
No. Fungsi Nilai Eksak Metode Romberg Simulasi Monte Carlo n = 2 n = 4 n = 2 n = 4
1 � ( 𝑟𝑟 , 2 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 0 6.4000 ( 𝑟𝑟 ,2 − 𝑟𝑟 ) 6.6667 ( 𝑟𝑟 ,2 − 𝑟𝑟 ) 6.4000 ( 𝑟𝑟 ,2 − 𝑟𝑟 ) 8.0629 ( 𝑟𝑟 ,2 − 𝑟𝑟 ) 14 .4799 ( 𝑟𝑟 ,2 − 𝑟𝑟 ) 2 � ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 0 1 3 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 0.3333 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 0.3333 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 0.0800 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 0.4507 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 3 � ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 −2 −1 3 2 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) − 2.3333 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) − 2.3333 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) − 8.4377 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 ) − 7.9362 ( 𝑟𝑟 − 1,1 − 𝑟𝑟 )