## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 5, No. 1, 2023, pp. 37-53.
Triple-Seasonal ARIMA Untuk Peramalan Data Konsumsi Beban Listrik
Nur Azizah 1 , Kartika Nugraheni 1 & Syalam Ali Wira Dinata 1,*
1 Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan, Indonesia
* Corresponding author: syalam_ali_wira_dinata@lecturer.itk.ac.id
Abstract. In life, electricity is an important and primary energy sources to meet the needs of human life, in industry, economy and technology. Along with the increasing demand for electricity from time to time, the problem faced is the power distributed quantity so that the electricity distribution to customers must be optimized according to needs. The goal is to be able to take the appropriate action  based  on  electricity  needs  and  improve  the  service  quality  to  customers.  Therefore,  an effective electric load forecasting method is needed in the future to optimized electricity demand. In this study, forecasting was carried out using  Triple SARIMA method based on sample data from Denmark for 60 minutes in Mega Watt units obtained from open source secondary data. Forecasting is conducted by taking into account seasonal factors daily, weekly, and yearly. The purpose of this study is to determine the pattern of triple-seasonal electric load data on the effect of periodic time, evaluate  the  best  triple-seasonal  model  to  get  the  minimum  error  and  subset,  multiplicative  and additive seasonal models. The result of this study was obtained from three temporary models then carried out the estimation and significance tests with Maximum likelihood and residual assumption test.  Thus, (1,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 model  is  the  best  model  with  RMSE  value 30,02746373 and MAPE 0,02298758004 . In addition, it was also found that the  multiplicative Triple SARIMA model is the best model compared with the subset and additive models where the AIC and SBC values are 489545 and 489597 , respectively.
Keywords: Triple SARIMA, ACF, PACF.

## 1 Pendahuluan
Konsumsi  listrik  merupakan  kebutuhan  pokok  manusia  yang  terus  mengalami peningkatan  setiap  tahunnya  seiring  dengan  kemajuan  yang  telah  dicapai  dalam pembangunan  di  berbagai  bidang,  baik  dalam  bidang  industri,  ekonomi,  teknologi maupun informasi. Permintaan dan jumlah konsumen yang meningkat berbanding lurus dengan  permintaan  konsumen  pengguna  listrik  yang  meningkat.  Seiring  dengan meningkatnya  permintaan  listrik  dari  waktu  ke  waktu,  persoalan  yang  dihadapi  adalah kuantitas tenaga yang disalurkan, sehingga penyaluran tenaga listrik ke konsumen harus dioptimalkan  sesuai  kebutuhan.  Oleh  karena  itu,  diperlukan  suatu  metode  peramalan beban listrik pada masa mendatang di suatu kota maupun negara.
Secara  luas, peramalan beban  listrik dapat dikategorikan ke dalam  tiga  kategori utama yaitu  peramalan  jangka  panjang,  menengah,  dan  pendek.  Peramalan  jangka  pendek berperan penting dalam real time control , dimana semakin pendek jangka peramalan yang dilakukan  maka  hasil  akan  lebih  akurat.  Saat  melakukan forecasting sebaiknya menggunakan  analisis time  series .  Metode  analisis time  series yang  baik  digunakan adalah  ARIMA.  Metode  ARIMA  memiliki  akurasi  yang  sangat  baik  untuk  peramalan jangka  pendek,  tetapi  kurang  baik  untuk  peramalan  jangka  panjang.  Hal  tersebut diperjelas  pada  masa  kini,  dimana  metode  peramalan  ARIMA  merupakan  model  yang baik  untuk  peramalan  data time  series dengan  berbagai  kondisi  pola  yang  cocok diterapkan pada setiap observasi [1].
Pola data musiman merupakan fluktuasi data yang berulang secara berkala akibat faktor musiman, seperti cuaca, hari, minggu, bulan, maupun tahun [2]. Sehingga, saat terdapat pola  musiman,  dapat  menggunakan  metode Seasonal ARIMA  (SARIMA)  yang merupakan  pengembangan  dari  metode  ARIMA.  Jika  data  mengalami  pola  musiman ganda  berulang  seperti  hari  dan  tahun,  maka  dapat  menggunakan  metode Double SARIMA  yang  merupakan  pengembangan  dari  metode  SARIMA.  Beberapa  metode peramalan  dengan  tingkat  keberhasilan  yang  bervariasi  telah  diimplementasikan  untuk peramalan  beban  listrik  termasuk  pada  penelitian  Syalam,  dkk  [2-4].  Selanjutnya, terdapat juga pengembangan dari metode Double SARIMA yaitu Triple SARIMA yang berkaitan dengan data seasonal  berulang seperti hari, bulan, dan tahun.
Penelitian  metode Double SARIMA  dilakukan  Norizan  [5]  tentang  peramalan  beban listrik  menggunakan  metode Double SARIMA.  Khusus  untuk  model  SARIMA, kebanyakan peneliti sebelumnya biasanya langsung menggunakan model multiplicative tanpa  menguji  apakah  parameter multiplicative- nya  signifikan.  Artinya,  model multiplicative SARIMA  diasumsikan  terdapat  parameter  yang  signifikan  sebagai  hasil perkalian  antara  parameter  non-musiman  dan  musiman  [6].  Salah  satu  penelitian terdahulu  yang  membahas  hal  tersebut  adalah  Suhartono  [6]  mengenai  peramalan kedatangan  turis  menggunakan  model subset , multiplicative dan additive SARIMA. Berdasarkan  hal  tersebut  akan  dilakukan  peramalan  mengenai  konsumsi  beban  listrik menggunakan metode Triple SARIMA dengan memperhatikan periode harian, mingguan dan  tahunan.  Selain  itu,  penelitian  ini  juga  mencari  model subset,  multiplicative dan additive dari model terbaik.

## 2 Peramalan (Forecasting)
Peramalan adalah  ilmu  untuk  memperkirakan  kejadian  di  masa  depan  dengan menggunakan teknik tertentu. Peramalan pada umumnya dilakukan untuk meminimalisir ketidakpastian  pada  suatu  keadaan  di  masa  depan  [7].  Peramalan  dibedakan  menjadi peramalan subjektif dan objektif. Berdasarkan jangka waktu peramalan dibagi menjadi peramalan jangka panjang, menengah dan pendek. Peramalan berdasarkan sifat ramalan terbagi menjadi peramalan kualitatif dan kuantitatif.
3 Model Triple Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (Triple-

## SARIMA)
Triple -SARIMA merupakan pengembangan dari model SARIMA yang terdapat tiga pola musiman di dalamnya, yaitu musiman harian, musiman mingguan dan musiman tahunan. Model ARIMA musiman triple multiplikasi umum ini yaitu sebagai berikut.
𝜙 𝑝 (𝐵)𝛷 𝑃1 (𝐵 𝑠 1 )𝛱 𝑃2 (𝐵 𝑠 2 )𝛺 𝑃3 (𝐵 𝑠 3 )(1 − 𝐵) 𝑑 (1 − 𝐵 𝑠 1 ) 𝐷 1 (1 − 𝐵 𝑠 2 ) 𝐷 2 (5) (1 − 𝐵 𝑠 3 ) 𝐷 3 𝑍̇ 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵)Θ 𝑄 1 (𝐵 𝑠 1 )𝛹 𝑄2 (𝐵 𝑠 2 )𝛤 𝑄 3 (𝐵 𝑠 3 )𝑎 𝑡 ,
Dimana 𝑍̇ 𝑡 adalah permintaan beban yang diubah secara tepat dalam periode 𝑡 , 𝜑 𝑃 (𝐵) dan 𝜃 𝑄 (𝐵) adalah  polinomial autoregressive  dan  moving  average reguler 𝑝 dan 𝑞 , 𝛷 𝑃1 (𝐵 𝑠 1 ), 𝛱 𝑃2 (𝐵 𝑠 2 ), 𝛺 𝑃3 (𝐵 𝑠 3 ), Θ 𝑄 1 (𝐵 𝑠 1 ), 𝛹 𝑄2 (𝐵 𝑠 2 ) , 𝛤 𝑄3 (𝐵 𝑠 3 )𝑎 𝑡 adalah  polinomial autoregressive dan moving average 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 , 𝑄 1 , 𝑄 2 dan 𝑄 3 , 𝑠 1 , 𝑠 2 dan 𝑠 3 adalah periode musiman dan 𝑑, 𝐷 1 , 𝐷 2 dan 𝐷 3 adalah perintah integrasi. Dengan:
𝜙 𝑝 (𝐵) = 1 − 𝜙 1 𝐵 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝐵 𝑝 Φ 𝑃 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Φ 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Φ 𝑝 𝐵 𝑃𝑆 Π 𝑃 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Π 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Π 𝑃 𝐵 𝑃𝑆 Ω 𝑃 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Ω 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Ω 𝑃 𝐵 𝑃𝑆 𝜃 𝑞 (𝐵) = 1 − 𝜃 1 𝐵 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝐵 𝑞 Θ 𝑄 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Θ 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Θ 𝑄 𝐵 𝑄𝑆 Ψ 𝑄 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Ψ 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Ψ 𝑄 𝐵 𝑄𝑆 Γ 𝑄 (𝐵 𝑆 ) = 1 − Γ 1 𝐵 𝑆 − ⋯ − Γ 𝑄 𝐵 𝑄𝑆
Dimana 𝑆 1 , 𝑆 2 , dan 𝑆 3 merupakan musiman harian, mingguan dan tahunan.

## 4 Identifikasi Model
Identifikasi data dilakukan dengan melihat apakah data time series sudah stasioner atau tidak  dalam mean maupun  varian.  Setelah  data  stasioner,  penentuan  model  sementara dilihat  melalui  berapa  kali differencing untuk  memprediksi  model 𝑑 dan 𝐷 pada SARIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞)(𝑃, 𝐷, 𝑄) 𝑆 .  Pada  bagian  model 𝑝, 𝑞, 𝑃, dan 𝑄 dapat  dilihat  pada  pola Autocorrelation function (ACF) dan pola Partial Autocorrelation function (PACF).

## 5 Estimasi Parameter Model
Dalam  analisis partial ,  estimasi  parameter  bertujuan  untuk  pembentukan  model  yang baik.  Estimasi  ini  berguna  untuk  mendapatkan  besaran  koefisien  pada  model.  Metode yang  dapat  digunakan  untuk  estimasi  parameter  bermacam-macam,  yaitu  metode moment, ordinary  least  square (OLS), maximum  likelihood  estimation (MLE),  atau conditional  least  square (CLS).  Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah metode maximum likelihood estimation (MLE).
6 Cek Diagnosa

## 6.1 Uji Signifikansi Parameter
Pengujian  signifikansi  parameter  digunakan  untuk  menguji  apakah  suatu  parameter model  layak  masuk  dalam  model  atau  tidak.  Secara  umum,  misalkan 𝜃 adalah  suatu parameter pada model dan θ̂ adalah nilai taksiran parameter tersebut, serta 𝑆(𝜃 ) adalah standard  error  dari  nilai  taksiran,  maka  uji  signifikan  dapat  dilakukan  dengan  tahapan sebagai berikut:
Hipotesis        : 𝐻 0 =  Parameter model tidak signifikan 𝐻 1 =  Parameter model signifikan
Statistik Uji t  : 𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝜃 ̂ 𝑆𝐸(𝜃 ̂) ̂ .
Kriteria  Penolakan:  Tolak 𝐻 0 jika |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼 2 ; 𝑑𝑓  =  𝑛 − 𝑛 𝑝 , 𝑛 𝑝 merupakan banyaknya  parameter  atau  dengan  menggunakan  nilai 𝑝  −  𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ,  yakni  tolak 𝐻 0 jika nilai −𝑝  <  𝛼 .

## 6.2 Uji Asumsi Residual

## 6.2.1 Uji Normalitas
Pada  Penelitian  ini  menggunakan  uji Kolmogorov - Smirnov yang  merupakan  uji normalitas yang umum digunakan karena dinilai lebih sederhana dan tidak menimbulkan perbedaan persepsi. Uji Kolmogorov-smirnov dilakukan dengan tingkat signifikan 0,05 . Pengambilan keputusan uji Kolmogorov-smirnov sebagai berikut Hipotesis  :
𝐻 0 : (𝑥) =   𝐹 0 (𝑥) Residual berdistribusi normal (untuk semua 𝑥 ) 𝐻 1 : (𝑥)   ≠   𝐹 0 (𝑥) Residual tidak berdistribusi normal (untuk beberapa 𝑥 ) Statistik Uji   : 𝐷 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = sup 𝑥 |(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)| .
Kriteria  Penolakan  :  Tolak 𝐻 0 jika 𝐷 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐷 𝛼,𝑛 atau 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 dengan menggunakan 𝛼  =  0.05 .

## 6.2.2 Uji White Noise
Suatu proses {𝑎 𝑡 } dinamakan white noise process (proses yang bebas dan identik) apabila data  terdiri  dari  variabel  acak  yang  berurutan  tidak  saling  berkorelasi  dan  mengikuti distribusi  tertentu.  Rata-rata 𝐸(𝑎 𝑡 )   =   𝜇 𝑎 dari  proses  ini  diasumsikan  bernilai  nol  dan mempunyai variansi yang konstan yaitu 𝑉𝑎𝑟(𝑎 𝑡 ) = 𝜎 𝛼 2 dan nilai kovariansi untuk proses ini.
𝛾 𝑘 = 𝐶𝑜𝑣(𝑎 𝑡 , 𝑎 𝑡+𝑘 )   =  0 untuk 𝑘  ≠  0 .
Pada proses white noise digunakan pengujian Ljung-Box untuk melihat apakah residual dalam proses white noise sudah memenuhi atau belum, dengan persamaan:
𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ 𝜌 𝑘 2 𝑛−𝐾 𝑘 𝑘=1 (9)
Dengan 𝑘 adalah  nilai lag ke- 𝑘 , 𝐾 adalah  maksimum lag , 𝜌 𝑘 adalah  nilai  fungsi auto korelasi 𝑙𝑎𝑔 - 𝑘 .
Hipotesis   : 𝐻 0 : residual memenuhi white noise 𝐻 1 : residual tidak memenuhi white noise
Kriteria Penolakan  :  Tolak 𝐻 0 jika 𝑄  >   𝑋 ( 𝛼 𝑑𝑓 :𝐾−𝑘) 2 (K berarti pada 𝑙𝑎𝑔 K dan k adalah jumlah parameter) atau nilai 𝑝  − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒  <  𝛼 (nilai 𝛼  =  0,05 ).
Dengan demikian, suatu deret waktu disebut white  noise jika rata-rata dan variansinya konstan dan saling bebas [8].

## 7 Model Subset, Multiplicative dan Additive SARIMA

## 7.1 Subset SARIMA
Bentuk umum model ARIMA (0,0, [1,12,13]), dimana dikenal sebagai subset SARIMA, yang dituliskan dengan
𝑍 𝑡 − 𝜇 = 𝛼 𝑡 − 𝜃 1 𝛼 𝑡−1 − 𝜃 12 𝛼 𝑡−12 − 𝜃 13 𝛼 𝑡−13 (10)
dimana 𝜃 1 , 𝜃 12 dan 𝜃 13 menunjukkan parameter MA

## 7.2 Multiplicative SARIMA
Bentuk  umum  model  ARIMA (0,0,1)(0,0,1) 12 , dimana  dikenal  sebagai multiplicative SARIMA, yang dituliskan dengan
𝑍 𝑡 − 𝜇 = 𝛼 𝑡 − 𝜃 1 𝛼 𝑡−1 − 𝜃 12 𝛼 𝑡−12 − 𝜃 1 𝜃 13 𝛼 𝑡−13 (11)
dimana masing-masing 𝜃 1 dan 𝜃 12 menunjukkan parameter ordo MA non-seasonal dan seasonal . Model ini sama dengan subset model SARIMA pada Persamaan 10 saat 𝜃 13 = −𝜃 1 𝜃 12 .

## 7.3 Additive SARIMA
Bentuk umum model ARIMA (0,0, [1,12]) , dimana dikenal sebagai additive SARIMA, yang dituliskan dengan
𝑍 𝑡 − 𝜇 = 𝛼 𝑡 − 𝜃 1 𝛼 𝑡−1 − 𝜃 12 𝛼 𝑡−12 (12)
dimana masing-masing 𝜃 1 dan 𝜃 12 menunjukkan parameter ordo MA non-seasonal dan seasonal . Model ini sama dengan model SARIMA pada Persamaan 10 saat 𝜃 13 = 0 .

## 8 Kriteria Model Terbaik

## 8.1 MAPE (Mean Absolute Percentage Error)
MAPE merupakan rata-rata diferensiasi absolut antara nilai peramalan dan aktual, yang dinyatakan sebagai persentase nilai aktual.
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛 ∑ | 𝑍 𝑡 −𝑍̇ 𝑡 𝑍 𝑡 𝑛 𝑡=1 | × 100 (13)
Dengan 𝑍 𝑡 adalah nilai pengamatan aktual pada periode 𝑡 dan 𝑍 𝑡 ̇ adalah nilai prediksi waktu ke- 𝑡 .

## 8.2 AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Scwartz’s Bayesian Criterion)
AIC  merupakan  kriteria  pemilihan  model  terbaik  menggunakan  data in-sample yang melibatkan jumlah parameter dalam model. AIC dengan nilai terkecil merupakan model terbaik. Persamaan AIC sebagai berikut:
𝐴𝐼𝐶 = 𝑛 𝑙𝑛 ( 𝑆𝑆𝐸 𝑛 ) + 2𝑓 + 𝑛 + 𝑛 ln (2𝜋)
(15)
SBC  merupakan  kriteria  pemilihan  model  terbaik  menggunakan  data in-sample berdasarkan nilai terkecil. Persamaan SBC sebagai berikut [8]:
𝑆𝐵𝐶 = 𝑛 𝑙𝑛 ( 𝑆𝑆𝐸 𝑛 ) + 𝑓 ln 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 ln (2𝜋) (16)
Dengan 𝑆𝑆𝐸 adalah Sum Square Error, 𝑛 adalah jumlah  data dan 𝑓 adalah banyaknya parameter yang digunakan dalam model.

## 9 Metodologi Penelitian

## 9.1 Data
Data  yang  digunakan  merupakan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari open  source (https://data.open-power-system-data.org/ time _series/2020-10-06). Data ini berupa data konsumsi  besar  beban  listrik  dengan  jumlah  data  50.398,  dengan  satuan  Mega  Watt (MW).

## 9.2 Diagram Alur
Berikut adalah tampilan  diagram alur penelitian.
Gambar 1 Diagram Alur Penelitian

## 10 Hasil dan Pembahasan

## 10.1 Data Beban Listrik
Data  yang  digunakan  dibagi  menjadi  dua  bagian  yaitu  data in  sample dan out  sample , dengan  perbandingan  80%  (40.318  data)  dan  20%  (10.080  data).  Data in  sample digunakan untuk membentuk dan menguji model sedangkan data out sample digunakan untuk validasi hsil peramalan model terbaik.
Gambar 2 berikut merupakan plot time series dari data yang digunakan.
Gambar 2 Plot Time Series Data Aktual
A
Estimasi parameter pada model Kelayakan model (Uji signifikansi, uji White noise dan uji normalitas) Pemilihan model terbaik (MSE dan MAPE) Forecasting beban listrik Kesimpulan Selesai Ya Tidak

## 10.2 Stasioner
Diperoleh data tidak stasioner terhadap mean dan varian karena data memiliki pola data yang  cenderung  naik  turun  secara  lambat  atau  tidak  konstan.  Kemudian,  dilakukan stasioneritas  data  terhadap  varian  menggunakan plot Box-Cox  untuk  melihat  nilai lambda.  Adapun  nilai  lambda  diperoleh  sebesar  3,9  yang  berarti  data  belum  stasioner terhadap  varian,  karena  data  dapat  dikatakan  varian  jika  lambda  bernilai  1.  Maka, dilakukan  transformasi Box-Cox kembali dan diperoleh lambda bernilai 1 yang berarti data  telah  stasioner  terhadap  varian.  Berikut  merupakan plot data  yang  telah  di transformasi.
Gambar 3 Plot Time Series Data yang Telah Ditransformasi
Data  hasil  transformasi  perlu  dilakukan  uji  stasioneritas  terhadap mean dengan menggunakan plot ACF dan PACF.
Gambar 4 ACF dan PACF load
Terlihat bahwa pola turun sangat lambat sehingga terindikasi bahwa data tidak stasioner terhadap mean, maka dilakukan differencing pada lag 1, 24, 168 dan 8736.
Gambar 5 ACF dan PACF Setelah 𝑑 = 1
Gambar 6 ACF dan PACF Setelah 𝑑 = 𝐷 1 = 1 dan 𝑆 1 = 24
Gambar 7 ACF dan PACF Setelah 𝒅 = 𝑫 𝟏 = 𝑫 𝟐 = 𝟏 𝑺 𝟏 = 𝟐𝟒 dan 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟔𝟖
Gambar 8 ACF dan PACF Setelah 𝑑 = 𝐷 1 = 𝐷 2 = 𝐷 3 = 1 , 𝑆 1 = 24 , 𝑆 2 = 168 dan 𝑆 3 = 8736
Berdasarkan plot di atas maka diperoleh asumsi model sebagai berikut.
Tabel 1 Asumsi Model Triple SARIMA Model Model Sementara Model 1 (0,1,1)(1,0,1) 24 (1,0,1) 168 (0,0,1) 8736 Model 2 (0,1,1)(1,0,1) 24 (1,0,1) 168 (0,0,1) 8736 Model 3 (0,1,1)(1,0,1) 24 (1,0,1) 168 (0,0,1) 8736

## 10.3 Estimasi dan Uji Signifikansi Model
Pada penelitian ini menggunakan Maximum Likelihood , maka dilakukan hipotesis sebagai berikut.
𝐻 0 ∶ Parameter model tidak signifikan 𝐻 1 ∶ Parameter model signifikan
Tingkat signifikansi (𝛼): 0,05
Daerah kritis : Jika |𝒕 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 | > 𝒕 𝜶/𝟐 ; 𝒅𝒇 = 𝒏 − 𝒏 𝒑 , 𝒏 𝒑 = jumlah  parameter  atau  menggunakan 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 yaitu 𝑯 𝟎 ditolak jika nilai 𝒑 − 𝒗𝒂𝒍𝒖𝒆 < 𝜶 , maka diperoleh tabel berikut.
Tabel 2 Nilai Estimasi dan Uji Signifikansi Sementara
Model Triple SARIMA Parameter Nilai Parameter 𝒕 -value Keterangan (0,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 Φ −0,49138 -113,2508 Signifikan Π −0,50528 -23508,15 Signifikan 𝜃 −0,08853 -3583,245 Signifikan Θ 0,93912 548,651 Signifikan
Model Triple SARIMA Parameter Nilai Parameter 𝒕 -value Keterangan Ψ 0,99999 44804,23 Signifikan Γ 0.81366 248,7281 Signifikan (1,1,0)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 𝜙 0,03217 6,462709 Signifikan Φ −0,49177 −22756,7 Signifikan Π −0,50535 −23512,5 Signifikan Θ 0,93089 511,521 Signifikan Ψ 0,99997 25867,3 Signifikan Γ 0,80722 243,034 Signifikan (1,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 𝜙 0,03217 6,462709 Signifikan Φ −0,4917 −22756,7 Signifikan Π −0,5053 −23512,5 Signifikan 𝜃 −0,0885 −17,8458 Signifikan Θ 0,9391 548,651 Signifikan Ψ 0,9999 44804,2 Signifikan Γ 0,8136 248,728 Signifikan

## 10.4 Uji Asumsi Residual
Dilakukan  uji  asumsi  residual  yaitu  uji white  noise dan  uji  distribusi  normal.  Maka dilakukan hipotesis sebagai berikut.
𝐻 0 ∶ Residual memenuhi white noise 𝐻 1 ∶ Residual tidak memenuhi white noise Tingkat signifikansi (𝛼): 0,05 Daerah kritis :
Jika 𝑸 > 𝑿 𝟐 ( 𝜶 𝒅𝒇 ; 𝑲 − 𝒌), dengan 𝑲 = lag 𝑲 dan 𝒌 = jumlah  parameter,  maka 𝑯 𝟎 ditolak. Berdasarkan hasil komputasi diperoleh nilai uji asumsi residual berikut.
Tabel 3 Nilai Uji Asumsi Residual White Noise Triple SARIMA Model Triple SARIMA Lag 𝑸 𝑿 𝟐 Keterangan (0,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 12 30847,35 12,5915 Tidak White noise 24 1013108,64 28,86929 Tidak White noise 36 1105148,9 43,77297 Tidak White noise 48 1142060,39 58,12403 Tidak White noise (1,1,0)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 12 52476,31 12,59158 Tidak White noise 24 1668399,072 28,86929 Tidak White noise 36 1807177,695 43,77297 Tidak White noise 48 1861261,666 58,12403 Tidak White noise
Model Triple SARIMA Lag 𝑸 𝑿 𝟐 Keterangan (1,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 12 10061,50 11,07049 Tidak White noise 24 328007,02 27,58711 Tidak White noise 36 336115,52 42,5569 Tidak White noise 48 340804,68 56,94238 Tidak White noise
Selanjutnya dilakukan uji distribusi dengan hipotesis sebagai berikut.
𝐻 0 ∶ Residual berdistribusi normal 𝐻 1 ∶ Residual tidak berdistribusi normal
Tingkat signifikansi (𝛼): 0,05 Daerah kritis: Jika 𝐷 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐷 𝛼 , 𝑛 maka tolak 𝐻 0 . Sehingga diperoleh g berikut:
Tabel 4 Nilai Uji Distribusi Normal Triple SARIMA

## 10.5 Pemilihan Model terbaik
Model Triple Seasonal ARIMA terbaik yaitu (𝟏, 𝟏, 𝟏)(𝟏, 𝟏, 𝟏) 𝟐𝟒 (𝟏, 𝟏, 𝟏) 𝟏𝟔𝟖 (𝟎, 𝟏, 𝟏) 𝟖𝟕𝟑𝟔
Dari model tersebut diperoleh RMSE sebagai berikut:
√ ∑ 𝑒 𝑡 2 𝑛 1 𝑛 = 30,02746373 (17)
Selain itu, diperoleh MAPE dari 48530 sampai 48574 sebagai berikut:
∑ | 𝑍 𝑡 −𝑍 𝑡 ̇ 𝑍 𝑡 | 48574
48530 × 100% = 0,02298758004 (18)
Model Triple SARIMA 𝑺𝒖𝒑|𝑺 − 𝑭 𝟎 (𝒙)| 𝑫 𝜶,𝒏 Keterangan (0,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 0,9966775 0,0067233 Tidak Berdistribusi Normal (1,1,0)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 0,9955985 0,0067233 Tidak Berdistribusi Normal (1,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 0,9955985 0,0067233 Tidak Berdistribusi Normal
Tabel 5 Nilai RMSE dan MAPE Model Triple SARIMA Model RMSE MAPE (0,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 (1,1,0)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736
(𝟏, 𝟏, 𝟏)(𝟏, 𝟏, 𝟏) 𝟐𝟒 (𝟏, 𝟏, 𝟏) 𝟏𝟔𝟖 (𝟎, 𝟏, 𝟏) 𝟖𝟕𝟑𝟔 332541,1 1915707,073 30,02746373 6264,81% 40812,05% 2,298758% 10.6 Model Subset, Multiplicative dan Additive
Model (1,1,1)(1,1,1) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736
𝜙 𝑝 (𝐵)Φ 𝑃 1 (𝐵 𝑆 1 )Π 𝑃 2 (𝐵 𝑆 1 )(1 − 𝐵) 𝑑 (1 − 𝐵) 𝐷 1 (1 − 𝐵) 𝐷 2 (1 − 𝐵) 𝐷 3 𝑍 𝑡 (19) = 𝜃 𝑞 (𝐵)Θ 𝑄 1 (𝐵 𝑆 1 )Ψ 𝑄 2 (𝐵 𝑆 2 )Γ 𝑄 3 (𝐵 𝑆 3 )𝑒 𝑡
Sehingga, dibentuk model sebagai berikut:
(1 − 𝜙 1 𝐵)(1 − Φ 24 𝐵 24 )(1 − Π 168 𝐵 168 )(1 − 𝐵)(1 − 𝐵) 24 (20)
(1 − 𝐵) 168 (1 − 𝐵) 8736 𝑍 𝑡 = (1 − 𝜃 1 𝐵)(1 − Θ 24 𝐵 24 )(1 − Ψ 168 𝐵 168 )(1 −   Γ 8736 𝐵 8736 )𝑒 𝑡
Penjelasan teoritis tentang ACF untuk ketiga model difokuskan pada orde non- seasonal dan seasonal MA, yaitu model (𝟎, 𝟎, 𝟏)(𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟐𝟒 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟏𝟔𝟖 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟖𝟕𝟑𝟔 .
𝐀𝐑𝐈𝐌𝐀(𝟎, 𝟎, [𝟏, 𝟐𝟒, 𝟏𝟔𝟖, 𝟖𝟕𝟑𝟔]), 𝐀𝐑𝐈𝐌𝐀(𝟎, 𝟎, 𝟏)(𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟐𝟒 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟏𝟔𝟖 (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝟖𝟕𝟑𝟔 , 𝐝𝐚𝐧 𝐀𝐑𝐈𝐌𝐀(𝟎, 𝟎, [𝟏, 𝟐𝟒, 𝟏𝟔𝟖, 𝟖𝟕𝟑𝟔])
masing-masing untuk model subset , multiplicative dan additive .

## 10.6.1 Model Subset SARIMA
Bentuk umum orde MA dari model subset Triple SARIMA ini dituliskan sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 − 𝜃 1 𝑍 𝑡−1 − Θ 24 𝑍 𝑡−24 − θ 1 Θ 24 𝑍 𝑡−25 − Ψ 168 𝑍 𝑡−168 (21) −θ 1 Ψ 168 𝑍 𝑡−169 − Γ 8736 𝑍 𝑡−8736 − θ 1 Γ 8736 𝑍 𝑡−8737
Kemudian,  substitusi  nilai  parameter  MA 𝜃 = −0,08853, Θ = 0,93912, Ψ = 0,99999 dan Γ = 0,81366 . Sehingga, diperoleh sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 + 0,08853𝑍 𝑡−1 + 0,93912𝑍 𝑡−24 + 0,08314𝑍 𝑡−25 − (22)
0,99999𝑍 𝑡−168 + 0,08852𝑍 𝑡−169 − 0,81366𝑍 𝑡−8736 +
0,07203𝑍 𝑡−8737

## 10.6.2 Model Multiplicative SARIMA
Bentuk umum orde MA dari model multiplicative Triple SARIMA ini dituliskan sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 − 𝜃 1 𝑍 𝑡−1 − Θ 24 𝑍 𝑡−24 + 𝜃 1 Θ 24 𝑍 𝑡−25 − Ψ 168 𝑍 𝑡−168 + (23)
𝜃 1 Ψ 168 𝑍 𝑡−169 − Θ 24 Ψ 168 𝑍 𝑡−192 − 𝜃 1 Θ 24 Ψ 168 𝑍 𝑡−193 − Γ 8736 𝑍 𝑡−8736 + 𝜃 1 Γ 8736 𝑍 𝑡−8737 + Θ 24 Γ 8736 𝑍 𝑡−8760 − 𝜃 1 Θ 24 Γ 8736 𝑍 𝑡−8761 + Ψ 168 Γ 8736 𝑍 𝑡−8904 − 𝜃 1 Ψ 168 Γ 8736 𝑍 𝑡−8905 − Θ 24 Ψ 168 Γ 8736 𝑍 𝑡−8928 +
𝜃 1 Θ 24 Ψ 168 Γ 8736 𝑍 𝑡−8929
Kemudian,  substitusi  nilai  parameter  MA 𝜃 = −0,08853, Θ = 0,93912, Ψ = 0,99999 dan Γ = 0,81366 . Sehingga, diperoleh sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 + 0,08853𝑍 𝑡−1 + 0,08853𝑍 𝑡−24 − 0,08314𝑍 𝑡−25 − (24)
0,99999𝑍 𝑡−168 − 0,08852𝑍 𝑡−169 − 0,93911𝑍 𝑡−192 + 0,08313𝑍 𝑡−193 −
0,81366𝑍 𝑡−8736 − 0,07203𝑍 𝑡−8737 + 0,76412𝑍 𝑡−8760 + 0,0676𝑍 𝑡−8761 + 0,81365𝑍 𝑡−8904 + 0,07203𝑍 𝑡−8905 − 0,76411𝑍 𝑡−8928 − 0,0676𝑍 𝑡−8929

## 10.6.3 Model Additive SARIMA
Bentuk  umum  orde  MA  dari  model additive Triple SARIMA  ini  dituliskan  sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 − 𝜃 1 𝑍 𝑡−1 − Θ 24 𝑍 𝑡−24 − Ψ 168 𝑍 𝑡−168 − Γ 8736 𝑍 𝑡−8736 (25)
Kemudian,  substitusi  nilai  parameter  MA 𝜃 = −0,08853, Θ = 0,93912, Ψ = 0,99999 dan Γ = 0,81366 . Sehingga, diperoleh sebagai berikut:
𝑍 𝑡 ̇ = 𝑍 𝑡 + 0,08853𝑍 𝑡−1 − 0,93912𝑍 𝑡−24 − 0,99999𝑍 𝑡−168 − (26) 0,81366𝑍 𝑡−8736
Model  ini  sama  dengan  model subset Triple SARIMA  saat 𝜽 𝟏 𝚯 𝟐𝟒 = 𝛉 𝟏 𝚿 𝟏𝟔𝟖 = 𝛉 𝟏 𝚪 𝟖𝟕𝟑𝟔 = 𝟎 . Sehingga, dapat disimpulkan bahwa model additive juga merupakan bagian dari model subset Persamaan 21. Selain itu, model additive ini juga dapat dilihat sebagai model subset dengan  orde  bawah.  Kemudian  diperoleh  nilai  AIC  dan  SBC  sebagai berikut.

## Tabel 6 Nilai AIC dan SBC
Hasil  evaluasi  menunjukkan  bahwa  model multiplicative merupakan  model  yang  lebih baik dibandingkan dengan model subset dan additive karena menghasilkan AIC dan SBC yang lebih rendah.
11 Kesimpulan dan Saran

## 11.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan mengenai prediksi beban listrik di Negara Denmark, diperoleh kesimpulan  data beban listrik yang digunakan memiliki pola seasonal dalam periode harian ( 𝑆 1 = 24 jam ) , mingguan (𝑆 2 = 168 jam ) dan tahunan ( 𝑆 3 = 8736 jam ) . Pada  evaluasi  model  sementara,  diperoleh  model Triple SARIMA  terbaik  yaitu  model (1,1,1)(1,1,1, ) 24 (1,1,1) 168 (0,1,1) 8736 , dimana memiliki nilai RMSE dan MAPE yang paling rendah dan bahwa model multiplicative Triple SARIMA pada data ini merupakan model terbaik, karena memiliki nilai AIC dan SBC terkecil.

## 11.2 Saran
Berdasarkan hasil penelitian, penulis memberi saran bahwa diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode lain seperti metode SARFIMA   yang merupakan pengembangan dari metode ARIMA, dimana metode SARFIMA dapat menjelaskan data jangka  pendek  maupun  panjang  dengan differencing (𝑑) bernilai  riil,  serta  dapat menggunakan data beban listrik yang berada di Indonesia.

## 12 Daftar Pustaka
[1] Yuanti, A.D., 2016, Perbandingan Model Partial Seasonal ARIMA (SARIMA) dan Seasonal ARFIMA (SARFIMA) pada Data Beban Konsumsi Listrik Jangka Pendek di Jawa Timur, Universitas Airlangga.
[2] Giovani, M., I Anggriani, SAWD Simatupang, 2012, COMPARISON IN PREDICTING THE SHORT-TERM USING THE SARIMA, DSARIMA AND TSARIMA METHODS, BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan 16
(4) , 1487-1496.
[3] Dinata, SAW., M Azka, M Faisal, Suhartono, R Yendra, MDH Gamal  2020, Short-Term load forecasting double seasonal ARIMA methods: An evaluation based on Mahakam-East Kalimantan data, AIP: AIP Conference Proceedings
2268 (1), 020004.
[4] Dinata, SAW., M Azka, P Hasanah, S Suhartono, MDH Gamal., 2021, Comparison of Short-Term Load Forecasting Based on Kalimantan, Indonesian Journal of Statistics and Its Applications 5 (2), 243-259.
[5] Prahesti, D.D., E. Puspita & F. Agustina, 2016, Peramalan Curah Hujan Kota Bandung Menggunakan Model Fungsi Transfer Multivariat Pada Deret Berkala Musiman , Eureka Matika, 4(1), 104-118.
[6] Heizer, J. & Render, B., 2014, Operations Management: Sustainability and Supply Chain Management Eleventh Edition, New Jersey: Pearson Eddison Wesley.
[7] Subagyo, P., 2000, Forecasting Konsep dan Aplikasi Edisi Kedua, Yogyakarta: BPFE.
[8] Aswi & Sukarna, 2006, Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi, Makasar:
Andira Publisher.