## Analisis Penalaran Matematis Mahasiswa Menyelesaikan Soal Matriks Proyeksi Ortogonal Pada Matakuliah Aljabar Linear
Rahman Cahyadi 1) , Naning Sutriningsih 2)
1,2) Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Pringsewu Email : 1) rahmancahyadi@umpri.ac.id 2) sutriningsihnaning024@umpri.ac.id
Abstrak Dalam  menyelesaikan  soal  matriks  proyeksi  orthogonal,  mahasiswa  dituntut agar mampu melakukan analisis penalaran matematis. Selama proses analisis, kemampuan  penalaran  sangat  diperlukan.  Sebelum  kegiatan  analisis dilakukan,  maka  mahasiswa  harus  mampu  mengajukan  dugaan.  Dengan demikian  kemampuan  mengajukan  dugaan  merupakan  salah  satu  indikator dari  kemampuan  penalaran.  Kemampuan  penalaran  juga  sangat  diperlukan dalam memahami suatu konsep materi, tanpa adanya kemampuan penalaran, maka  mahasiswa  akan  mengalami  kesulitan  dalam  menyelesaikan  suatu permasalahan  yang  diberikan.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui kemampuan  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam  menyelesaikan  soal matriks  proyeksi  ortogonal.    Jenis    penelitian  deskriptif.  Hasil  penelitian  ini adalah  rata-rata  mahasiswa  masih  belum  mampu  melakukan  manipulasi matematis  tentang  konsep  dasar  notasi  pembentuk  himpunan  untuk menemukan  basis  orthonormal.  Terlihat  bahwa  20  mahasiswa  atau  80%  yang mencapai indikator mengajukan dugaan, 0 mahasiswa atau 0% yang mencapai indikator  melakukan  manipulasi  matematis,  20  mahasiswa  atau  80%  yang mencapai  indikator  menemukan  pola  atau  sifat  dari  gejala  matematis  untuk membuat  generalisasi,  20  mahasiswa  atau  80%  yang  mencapai  indikator menyusun  bukti,  dan    20  mahasiswa  atau  80%    yang  mencapai  indikator menarik kesimpulan dari pernyataan.
Kata kunci: Penalaran Matematis, Manipulasi Matematika

## PENDAHULUAN
Menurut Badan Standar Nasional Pendidikan (Muharom, 2014:2) Peserta didik dari mulai sekolah dasar perlu dibekali dengan kemampuan berpikir logis, analitis,  sistematis,  kritis,  kreatif,  dan  kemampuan  bekerja  sama”.  Selain  itu dikemukan  juga  oleh National  Council  of  Teacher  of  Mathematics/NCTM (Ratnaningsih,  2008:4)  “terdapat  lima  proses  standar  bagi  peserta  didik  dalam memperoleh  dan  menggunakan  pengetahuan  matematik  yaitu:  pemecahan masalah  ( problem  solving),  penalaran  dan  pembuktian  (reasoning  and  proof), komunikasi  ( communication),  koneksi  (connection),  dan  representasi ( representation)”.  Memperhatikan  hal  tersebut,  maka  perlu  dikembangkan proses  berpikir  dan  bernalar  peserta  didik  dalam  pembelajaran  matematika untuk pengembangan diri peserta didik  di masa datang. Melalui pembelajaran matematika  cara  berpikir  peserta  didik  diharapkan  dapat  berkembang  dengan baik karena matematika memiliki struktur dan keterkaitan yang kuat dan jelas antara  konsep-konsep  yang  ada  serta  memungkinkan  dapat  meningkatkan
kemampuan  penalaran.  Kemampuan  bernalar  mahasiswa  selama  proses pembelajaran sangat diperlukan guna mencapai keberhasilan.
Mahasiswa merupakan peserta didik yang dituntut untuk memiliki kemampuan penalaran  yang  didalamnya  meliputi:  Kemampuan  mengajukan  dugaan, melakukan  manipulasi  matematika,  menyusun  bukti,  memberikan  alasan terhadap  kebenaran  solusi,  menarik  kesimpulan  dari  suatu  pernyataan, memeriksa kesahihan dari suatu pendapat, dan menemukan pola dan sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi.
Hasil  analisis  pekerjaan  mahasiswa  pra  penelitian  diperoleh  masih  banyak mahasiwa  yang  belum  mampu  melakukan  kemampuan  penalaran  matematis diantaranya  kemampuan  mengajukan  dugaan,  melakukan  manipulasi matematika, menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi,  menyusun  bukti  memberikan  alasan  atau  bukti  terhadap kebenaran  solusi,  menarik  kesimpulan  dari  pernyataan,  serta  memeriksa kesahihan suatu argumen. Berdasarkan hasil observasi yang dilakukan peneliti didapat data Hasil Penilaian Akhir Semester (PAS) Mata Kuliah Aljabar Linier Tahun Akademik 2020/2021 sebagai berikut:

## Sumber: Dosen Pengampu Aljabar Linier
Dari  data  diatas  peneliti  tertarik  untuk  meneliti  penalaran  matematis mahasiswa  menyelesaikan  soal  matriks  proyeksi  ortogonal  pada  mata  kuliah Aljabar  Linier.  Dalam  menyelesaikan  soal  matriks  proyeksi  orthogonal, mahasiswa  dituntut  agar  mampu  melakukan  penalaran  analisis  dalam menyelesaikan  soal.  Selama  proses  analisis,  kemampuan  penalaran  sangat diperlukan.  Sebelum  kegiatan  analisis  dilakukan,  maka  mahasiswa  harus mampu  mengajukan  dugaan.  Dengan  demikian  kemampuan  mengajukan dugaan  merupakan  salah  satu  indikator  dari  kemampuan  penalaran. Kemampuan penalaran juga sangat diperlukan dalam memahami suatu konsep materi,  tanpa  adanya  kemampuan  penalaran,  maka  mahasiswa  akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan suatu permasalahan yang diberikan.
Analisis  jawaban  soal  matriks  proyeksi  ortogonal  dibawah  ini,  sebagian mahasiswa masih mengalami kesalahan. Perhatikan contoh soal berikut:
0 2 4 6 8 10 12 14 Frekuensi

## Gambar 1. Jawaban Tes
Dari  penyelesaian  diatas  terlihat  bahwa  mahasiswa  melakukan  kesalahan dan  belum  mampu  dalam  melakukan  manipulasi  soal  dengan  benar  untuk mendapatkan  basis  ruang  vektor.  Berdasarkan  temuan  masalah  diatas,  maka dapat  dikatakan  bahwa  mahasiswa  belum  memahami  sehingga  tidak  bisa menyelesaikan soal secara benar. Hal ini diduga karena rendahnya kemampuan penalaran matematis mahasiswa yang salah satu indikatornya yaitu manipulasi matematis,  memberikan  alasan  atau  bukti  terhadap  kebenaran  solusi.  Oleh karena itu, penalaran matematis perlu mendapat perhatian serius dari pendidik karena dapat membantu mahasiswa dalam mengembangkan kemampuaanya.
Penalaran  dijelaskan  oleh  Keraf  (dalam  Fadjar  Shadiq,  2007:42)  sebagai: “proses  berpikir  yang  berusaha  menghubung-hubungkan  fakta-fakta  atau evidensi-evidensi  yang  diketahui  menuju  kepada  suatu  kesimpulan”.  Oleh karena  itu,  kemampuan  penalaran  matematis  sangat  penting  untuk  dimiliki oleh  mahasiswa  karena  akan  sangat  membantu  mahasiswa  dalam menyelesaikan masalah matematika. Penelitian ini dilakukan pada matakuliah aljabar linier pada materi transformasi linier dalam menyelesaikan soal matriks proyeksi  ortogonal.  Dari  hasil  analisis  pekerjaan  mahasiswa  dalam menyelesaikan  soal,  ditemukan  sebagian  besar  mahasiswa  mengalami kesalahan pada saat melakukan manipulasi matematika, sehingga hasil belajar yang  di  peroleh  tidak  maksimal.  Seperti  hal  nya  penelitian  sebelumnya  oleh pandu  dkk  (2021)  yang  menyatakan  bahwa  rata  rata  ketercapaian  indikator penalaran  matematis  masih  rendah  dibawah  40%    yaitu indikator  manipulasi matematika,  menemukan  pola  atau  ciri-ciri  gejala  matematika  untuk  digeneralisasi, menyusun  bukti  yang  memberikan  alasan  atau  bukti  kebenaran.  solusi,  menarik kesimpulan dari pernyataan, dan memeriksa validitas argumen .
Kemampuan    penalaran  matematis  ini  tentunya  tidak  terlepas  dari  dalam diri mahasiswa itu sendiri, bagaimana sikap siswa terhadap belajar, konsentrasi belajar  dan  kebiasaan  belajar.  Hal  ini  sejalan  dengan  penelitian  yang  sudah dilakukan  oleh  cahyadi  (2018)  yang  menyatakan  bahwa  perilaku  prokrastinasi akademik  yang  berasal  dari  dalam  diri  mahasiswa    atau  faktor  internal prokrastinasi  lebih  dominan  sebagai  faktor  prokrastinasi  akademik  yang mengakibatkan  hasil  belajarnya  rendah.    Penelitian  ini  bertujuan  untuk mendeskripsikan  kemampuan  penalaran  matematis  mahasiswa  pada  materi tranformasi  linier  dalam  menyelesaikan  soal  matriks  proyeksi  ortogonal. Kemampuan penalaran matematis yang dimaksud adalah kemampuan berpikir
menurut alur kerangka berpikir tertentu berdasarkan konsep atau pemahaman yang  telah  didapat  sebelumnya.  Kemudian  konsep  atau  pemahaman  tersebut saling  berhubungan  satu  sama  lain  dan  diterapkan  dalam  permasalahan  baru sehingga didapatkan keputusan baru yang logis dan dapat dipertanggungjawabkan atau dibuktikan kebenarannya.

## METODE
Subjek penelitian ini adalah mahasiswa pendidikan matematika angkatan 2020  sebanyak  25  mahasiswa.  Penelitian  ini  dilakukan  di    Universitas Muhammadiyah  Pringsewu  Lampung  pada  program  studi  pendidikan matematika  mata  kuliah  aljabar  linier.  Penelitian  ini  merupakan  penelitian deskriptif,  dan  untuk  mendapatkan  data  dalam  penelitian  ini,  peneliti menggunakan soal tes dan pedoman wawancara yang sebelumnya dilakukan uji validitas  dan  reliabilitas  instrument  agar  layak  untuk  digunakan.  Teknik analisis data yang digunakan yaitu menggunakan rumus persentase ketuntasan belajar  yang  kemudian  dikembangkan  untuk  dapat  mengukur  persentase banyaknya  mahasiswa  tentang  kemampuan  penalaran  matematis  pada  setiap indikatornya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  sebagian  besar  mahasiswa  masih belum mampu menyelesaikan soal matriks proyeksi ortogonal secara benar. Hal ini ditunjukkan 25 mahasiswa atau 100% yang mencapai indicator mengajukan dugaan, 0 mahasiswa atau 0% yang mencapai indicator melakukan manipulasi matematis, 20 mahasiswa atau 80% yang mencapai indicator menemukan pola atau  sifat  dari  gejala  matematis  untuk  membuat  generalisasi,  20  mahasiswa atau  80%  yang  mencapai  indicator  menyusun  bukti  memberikan  alasan  atau bukti  terhadap  kebenaran  solusi,    20  mahasiswa  atau  80%    yang  mencapai indicator menarik kesimpulan dari pernyataan, dan 0 mahasiswa atau 0% yang mencapai indicator memeriksa kesahihan suatu argumen, menurut Asmar Bani (2011:13)  menyatakan  bahwa  materi  matematika  dan  penalaran  matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Materi matematika dipahami melalui penalaran, dan penalaran yang dipahami dan dilatihkan melalui belajar matematika.  Dari  hasil  perhitungan  dapat  kita  lihat  bahwa  indikator melakukan  manipulasi  hanya  mencapai  presentase  0%  atau  tidak  ada mahasiswa  yang  bisa  melakukan  manipulasi  matematis  dan  begitu  pula mahasiswa  belum  bisa  memeriksa  kembali  kesahihan  suatu  argumen.  Hal  ini disebabkan  karena  lemahnya  pengetahuan  mahasiswa  atau  belum  begitu memahami  konsep  dasar  bagaimana  menjabarkan  suatu  notasi  pembentuk himpunan (set builder) agar diperoleh basis orthonormal.
Berdasarkan  dari  hasil  analisis  data  setiap  indikator  penalaran matematis  dalam  menyelesaikan  soal  matriks  proyeksi  orthogonal  baik  dilihat dari  hasil  jawaban  mahasiswa  maupun  dari  hasil  wawancara,  sehingga  dapat kita jabarkan beberapa indikator penalaran matematis  diantaranya yaitu:
1) Indikator  mengajukan  dugaan,  pada  tahap  ini  mahasiswa  secara keseluruhan sudah mampu menuliskan apa saja yang di ketahui pada soal dan apa  yang  di  tanyakan,  pada  saat  dilakukan  wawancara  mahasiswa  juga  dapat menjelaskan apa saja yang diketahui soal dan mahasiswa mampu menjabarkan apa  saja  yang  di  tanyakan.  2)Indikator  manipulasi  matematis,  pada  tahap  ini baik  dilihat  dari  jawaban  maupun  dari  hasil  wawancara  dengan  mahasiswa, diperoleh  informasi  bahwa  seluruh  mahasiswa  belum  mampu  memahami bagaimana  cara  memanipulasi  soal  dengan  benar  untuk  memperoleh  atau mencari basis dari ruang vektor yang nantinya basis ruang vektor tersebut akan digunakan  pada  proses  penyelesaian  ke  tahap  berikutnya.  3)  Indikator menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi, pada tahap ini 80% mahasiswa dapat menemukan pola dalam langkah langkah menjawab  soal,  namun  jawaban  mereka  belum  tepat  karena  pada  tahap memanipulasi  matematis  masih  melakukan  kesalahan.  4)  Indikator  menyusun bukti memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi, pada tahap ini baik  dilihat  dari  jawaban  mahasiswa  dalam  mengerjakan  soal  maupun  dari hasil  wawancara,  sebanyak  20  mahasiswa  atau  80%  mampu  menyusun  bukti dengan benar, mahasiswa dapat menuliskan langkah langkah secara berurutan dan mampu menyusun bukti di setiap langkahnya, meskipun hasil akhir yang di peroleh  belum  benar.  5)  Indikator  menarik  kesimpulan,  pada  tahap  ini mahasiswa  sudah  mampu  membuat  kesimpulan  dari  hasil  pekerajaan  yang dilakukan,  meskipun  kesimpulan  yang  di  peroleh  belum  benar.  6)  Indikator memeriksa  kesahihan  suatu  argumen,  pada  tahap  ini  baik  dilihat  dari  hasil jawaban  mahasiswa  atau  dari  hasil  wawancara  seluruh  mahasiswa  belum mampu memeriksa kembali kesahihan atau kebenaran dalam meyelesaikan soal yang  telah  dilakukan,  hal  ini  menyebabkan  mahasiswa  tidak  mampu memahami dimana letak kesalahan yang di lakukan dalam menyelesaikan soal, sehingga hasil atau nilai yang diperolehnya belum maksimal.

## SIMPULAN DAN SARAN
Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  sebagian  besar  mahasiswa  masih belum mampu menyelesaikan soal matriks proyeksi ortogonal secara benar. Dari hasil  perhitungan  dapat  kita  lihat  bahwa  indikator  melakukan  manipulasi hanya  mencapai  presentase  sebesar  0%  atau  tidak  ada    mahasiswa  yang  bisa melakukan  manipulasi  matematis  dan  begitu  pula  mahasiswa  belum  bisa memeriksa  kembali  kesahihan  suatu  argumen.  Hal  ini    disebabkan  karena lemahnya  pengetahuan  mahasiswa  atau  mahasiswa  belum  begitu  memahami konsep  dasar  tentang  notasi  pembentuk  himpunan  (set  builder) agar  diperoleh basis  orthonormal.  Padahal  materi  tentang  notasi  pembentuk  himpunan  (set builder) ini, merupakan materi pada mata kuliah prasyarat yang sudah pernah di  ajarkan  pada  mata  kuliah  aljabar  dasar.  Oleh  karena  itu  perlu  sekali memberikan  penguatan  kembali    terkait  mata  kuliah  prasyarat  sebelum melanjutkan  ke  materi  tentang  matriks  proyeksi  orthogonal  dengan memberikan pertanyaan pertanyaan  atau soal soal.

## REFERENSI
Bani, A. (2011). “Meningkatkan Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematika Sekolah Menengah Pertama Melalui Pembelajaran Penemuan Terbimbing”. Edisi Khusus (1). 12-20.
Cahyadi,  R  (2018).  “Prokrastinasi  akademik  Mahasiswa  Pada  Mata  kuliah  Aljabar
Linier”. Jurnal e-dumath. Vol.4 46-57
https://ejournal.umpri.ac.id/index.php/edumath/article/view/587
Depdiknas (2004). Dokumen Peraturan Ditjen Dikdasmen. Jakarta : Bumi Aksara
Muharom.  (2014).  “  Pengaruh  PembelajaranDengan  Model  Kooperatif  Tipe  STAD Terhadap  kemampuan  Penalaran  dan  Komunikasi  Matematik  Peserta  didik  di SMK  Negeri  Manonjaya  Tasikmalaya.Jurnal  Pendidikan  dan  Keguruan  Vo.I, 2014, artikel 1
NTCM (2000). Principle and Standards for School Mathematics.: USA.
Ratnaningsih.  (2008).  Berbagai  Ketamprilan  Berpikir  Matematik.  Makalah  disajikan dalamAcara  Seminar  Pendidikan  Matematika  di  Universitas  Siliwangi Tasikmalaya pada tanggal 8 maret 2008. Tasikmalaya.
Santoso,  PE, Hendrowati,  TY,  Cahyadi,  R  (2021).”Analisis  Penalaran  Matematis  Pada Operasi  Baris  Elementer  untuk  Menyelesaikan  Persamaan  Linier”.  Jurnal  e- dumath.
Vol.7. 11-17 .
https://scholar.google.com/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=Q7Y0WZ MAAAAJ&citation_for_view=Q7Y0WZMAAAAJ:W7OEmFMy1HYC
Sidiq,  F.  (2007).  Penalaran  atau  Reasoning  perlu  di  pelajari  para  siswa  Yogyakarta. PPPPTK Yogyakarta
.