## Jurnal APLIKASI ISSN.1907-753X

## Studi Letaratur Koreksi Model Matematis Aliran di Lengkung Sungai
Kuntjoro 1) , Didik H 2) , Pudiastuti 3) , Saptarita 4) 1,2,3,4) Staft Pengajar Diploma Teknik Sipil ITS e-mail : kuntjoro@ce.its.ac.id

## ABSTRAK
Pada  umumnya  dalam  segmen  sungai  dengan  bentuk  lengkung  struktur  alirannya  akan rumit  karena  adanya  ketidak-seragaman  aliran  ke  arah  samping  (lateral).  Analisis  dapat dilakukan dengan menggunakan rata-rata vertikal pada Persamaan– persamaan yang masih mengandung  variasi  aliran  lateral. Hasil  analisis sebelumnya  tidak  betul–betul  valid mendekati  tebing  sungai.  Koreksi  telah  dilakukan  oleh  Ananyan  (1953),  Rozovskii,  1957) yang  harus  diterapkan  pada  kecepatan  radial  yang  telah  ditemukan.  Koreksi  hanya berpengaruh pada posisi dekat tebing dalam kasus di mana lebar saluran besar dibanding dengan kedalamannya. Teori Rozovskii dan Ananyan telah diperiksa dengan sangat seksama oleh de Fried (1975) untuk aliran laminar atau untuk aliran turbulen dengan viskositas eddy konstan.
Kata Kunci: aliran, lengkung sungai

## 1. PENDAHULUAN
Sungai  dalam  kondisi  alamiah  hampir dipastikan  tidak  mungkin  mengalir  dalam aliran  yang  lurus  sempurna.  Tuntutan  debit dan  kondisi  topografi  akan  membentuk aliran  sungai  berbentuk  lengkung.  Pada umumnya  dalam  segmen  sungai  dengan bentuk  lengkung  struktur  alirannya  akan rumit  karena  adanya  ketidak-seragaman aliran  ke  arah  samping  (lateral).  Analisis dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  rata- rata  vertikal  pada  Persamaan– persamaan yang  masih  mengandung  variasi  aliran lateral[4].  Ini  juga  bisa  diterapkan  untuk aliran yang meluap di bantaran sungai, dll.
Penyelesaian secara umum harus menggunakan  persamaan  secara  utuh,  yang mana hal ini akan memerlukan penghitungan yang  rumit  yang  bisa  diselesaikan  dengan bantuan metode numerik.
Untuk mendapatkan informasi  tentang  pokok bahasan ini, bisa dilakukan penyederhanaan misalnya  dengan  mengasumsikan  bahwa kedalaman  air  h  yang  besarnya  ditentukan mendekati  konstan  dan  1,  2,  3 =  1.  Kondisi yang  demikian  ini  berarti  aliran  merupakan aliran tunak (steady)[7].

## 2. RUMUSAN MASALAH
Aliran  dalam  lengkung  sungai  merupakan permasalahan  yang  rumit  untuk  dibentuk sebagai  perumusan  matematis.  Rumusan masalah aliran aliran dalam lengkung sungai adalah : Bagaimana bentuk umum perumusan  matematis  profil  aliran  dalam lengkung sungai.

## 3. PENURUNAN PERSAMAAN UNTUK PENYELESAIAN MASALAH ALIRAN PADA LENGKUNG SUNGAI

## 3.1. Aliran Tunak
Dengan  menganggap  bahwa  aliran  dalam kondisi  tunak,  maka  aliran  bisa  dituliskan dengan persamaan:
0       y v x u 0           h x z g y u v x u u xb w   (1) 0           h y z g y u v x u u vb w  

## Jurnal APLIKASI
ISSN.1907-753X
Dimana persamaan kontinuitas telah diterapkan untuk
menyederhanakan persyaratan  konvektif  dalam  persamaan momentum[9]. Jika gesekan dasar diabaikan dan aliran dianggap irasional, yaitu
0       y v x u (2)
Komponen  kecepatan  dapat  diturunkan  dari
fungsi potensial y v x u       / , / :    .
Dari  persamaan  kontinuitas,  maka  dapat ditunjukkan  bahwa  memenuhi  potensi persamaan Laplace :
0 2 2 2 2       y x   (3)
yang  menggambarkan  aliran  potensial.  Hal ini  menunjukkan  bahwa  variasi  kecepatan lateral  diatur  oleh  persamaan  elips  dan bahwa dalam kasus-kasus sederhana berlaku teori  aliran  potental.  Sistem  yang  umum persamaan  (dengan  kedalaman  air  tidak konstan,  dengan  gesekan  dan  dengan rotasi), meskipun tidak sederhana, memiliki karakter matematika yang sama.
Satu  penerapan  yang  menarik  dari persamaan  pendekatan  (2)  dalam  kasus lengkung  di  tikungan  sungai.  Jika  aliran seragam  sepanjang  lengkung,  persamaan dapat ditulis
0 1 2 2       r r r  
di  mana r adalah  koordinat  radial.  Dengan mengintegralkan  persamaan  ini  didapatkan bahwa :
   r r 
1 konstanta
Konstanta  harus  nol,  sebagai  komponen kecepatan  radial r   /  menghilang  di dekat  tebing  sungai. Yang  mana  adalah hanya fungsi  dari  posisi  sudut  .  Karena kondisi  seragam  maka  diasumsikan  harus fungsi linear:
d c    
( c dan d konstanta).  Kemudian  komponen kecepatan tangensial u menunjukkan :
r c r u      

## 1
yang  berarti  bahwa  kecepatan  berbanding terbalik  dengan  jari-jari  lengkung  lintasan aliran.  Pengukuran  yang  dilaporkan  oleh Kondrat'ev  dkk.  (1959)  dan  Rozovskii (1957)[8], menunjukkan bahwa hal ini hanya berlaku  di  sekitar  saat  akan  masuk lengkungan. Di saat akan keluar lengkungan kecepatan  maksimum  bergeser  ke  tanggul luar  dan  mengakibatkan  aliran  tidak seragam.  Pembahasan  lebih  lanjut  tentang distribusi aliran lateral ini masih merupakan pokok bahasan dari tulisan ini, seperti yang disebut  Rozovskii  (1957)  dan  de  Vriend (1976)[6].

## 3.2. Aliran Dalam Koordinat Silinder
Dalam  lengkung  sungai  struktur  aliran  yang sebenarnya  merupakan  aliran  tiga  dimensi, karena  adanya  percepatan  sentripetal. Semua  partikel  air  mengalami  gradien tekanan  vertikal  lateral  (radial)  yang  sama. Percepatan  sentripetal  diperlukan  untuk menjaga  partikel  dalam  lintasan  melingkar, yang mana lebih besar dekat ke permukaan daripada  di  dekat  bagian  dasar.  Hal  ini disebabkan oleh adanya perbedaan kecepatan[1].
Partikel  air  dekat  permukaan  cenderung bergerak  ke  luar  dan  lebih  dekat  ke  dasar saluran seperti yang terlihat pada Gambar 1 terjadi  aliran  heliks.  Mendekati  tanggul menghasilkan  kompensasi  komponen – komponen  kecepatan  vertikal,  di  dekat tebing dalam mengarah ke atas dan di dekat tebing luar mengarah ke bawah.
Gambar 1: Aliran  Helik  Pada  Lengkung Sungai

## Jurnal APLIKASI ISSN.1907-753X
Perkiraan  kecepatan  radial  dapat  diperoleh dengan teori – teori yang relatif sederhana, yang  dikembangkan  antara  lain  oleh Rozovskii  (1957)  dan  van  Bendegom  (1947). Untuk tujuan ini persamaan gerak ditransformasi ke dalam koordinat silinder s,
r, z (lihat Gambar 1) dengan pusat lengkung sungai setempat.
Yang menunjukkan komponen-komponen kecepatan yang sesuai dengan  u,  v,  w  (sementara), untuk  aliran tunak maka, [5]
0 1       z s z g sz w   (3) 0 1 2         z r z g r u rz w   (4)
dimana  dalam  persamaan  pertama  istilah enersia  konvectif  telah  diabaikan.  Oleh karena  itu,  sebagaimana  dalam  saluran lurus,  komponen  tegangan  tangensial  sz bervariasi  dari  permukaan  ke  dasar  secara linear.  Bisa  diasumsikan  bahwa  tegangan geser  berperilaku  sesuai  dengan  hipotesis panjang  pencampurandan  selain  itu  sesuai dengan  arah  gradien  vertikal  dari  vektor kecepatan:
2 / 1 2 2 2        
                    z v z u z u l sz   2 / 1 2 2 2                             z v z u z v l rz  
Sebagaimana komponen radial dan vertikal v dan w akan menjadi relatif kecil terhadap u , pendekatan hubungan menjadi :
z u z u l sz      2   z u z v l rz      2  
Dari  hubungan  yang  pertama  dan  distribusi tegangan  linier  dapat  disimpulkan  bahwa komponen  kecepatan  tangensial  u  memiliki distrubution yang sama sebagaimana komponen  longitudinal  pada  saluran  lurus, yaitu tergantung  pada  pilihan  panjang pencampuran. Dengan memasukkan panjang pencampuran,  bersamaan  dengan  ekspresi dari  rz ,,  ke  dalam  persamaan (4) dan pengobservasian      terlepas  dari  z,  hal  ini memungkinkan  untuk  mengintegrasikan  dua kali  persamaan  ke  arah  z,  sehingga mendapatkan komponen kecepatan radial v.
Setelah  itu  komponen  vertikal  w  dapat dicari dengan persamaan kontinuitas.
Mulai  dari  bentuk  hukum  energi  (van Benegom,
1947)[3] prosedur ini, mengasumsikan  bahwa v habis/menghilang setelah  mencapai  dasar sungai,  sehingga memberikan persamaan menjadi :
           n d n n r h n u r z gh u v n n n w / 1
0 2 4 2 / 1 2 * * 1 1 2       
dimana  =  z/h. Bentuk  persamaan  Van Bendegom  juga  berisi  kontribusi  dari percepatan geostropik, yang signifikan pada lengkung – lengkung yang  sangat tumpul[6].
Kemiringan  lateral  r z w   / masih  tak dapat  ditentukan.  Yang  ini  diturunkan dengan  pengamatan  bahwa  tidak  ada aliran yang benar – benar radial, yaitu :
0 1 0    vd
yang memberikan persamaan :
      d d n n n r h u r z gh n n n w            / 1
0 2 1 0 2 2 2 * 1 1 2 ) 1 (
dengan integrasi parsial didapat :
            n n n n r h d n n n r h u r z gh
n w / 1
0 2 2 2 2 2 2 * 3 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 (      atau dengan  * 2 1 u n n U   gr U n n n r z w 2 2 3 ) 3 ( ) 1 (      (5)
Satu  hasil  yang  sama  dapat  diperoleh dengan  mengintegrasikan  persamaan (4), namun gesekan dasar radial harus diketahui . Koeffesien ( n +  1) 3 n -2 ( n +  3) -1 selalu  lebih dari satu, bervariasi dari 1,12 (n = 4) melalui 1,06  (n  =  6) sampai 1,03  (n  =  9)[2]. Komponen kecepatan radial, setelah beberapa transformasi sekarang menjadi
                         d n n n n n n U v h r n n n n / 1 0 2 2 / 1 2 2 1 1 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( 1
................................................(6)

## Jurnal APLIKASI
ISSN.1907-753X Rozovskii  (1957)  menerapkan  metode  yang sama untuk distribusi kecepatan logarithmic. Dengan asumsi kedua
komponen  u  dan  v  kecepatan  lenyap  pada level z  =  zo hasil  yang  didapatkan  adalah, dalam  bentuk  sedikit  disederhanakan sepadan dengan Boumeester (1972)
       
                      ln 1 2 2 2 ) ( ) ( 1 2 2 2 1 2 C g C g C g F C g F U v h r ………………… ............................... (7)
dimana
      d F    0 1 ln 2 ) ( 1
dan
      d F    0 1 ln ) ( 2 2
Komponen – komponen  radial  rb dari tegangan  dasar,  dalam  Persamaan (6) dan (7) berturut – turut adalah :
           ) 3 )( 2 ( ) 1 ( 2 2 2 2 n n n n n r U h rb   dan            C g r h rb    1 2 2
sedangkan  komponen  tangensial  dalam kedua kasus adalah   sb =  g U 2 /C 2 . Sudut  antara tegangan  dasar  resultan  dan  as sungai dinyatakan berturut–turut dengan :
) 3 )( 2 ( 2 tan 2 2     n n n r h   dan ) 3 )( 2 ( 2 tan 2 2     n n n r h   Untuk  kasus  logaritma  kemiringan  lateral yang didapatkan menjadi
gr U C g C g r z w                              3 2 2 3 1  

## 4. HASIL PERHITUNGAN DAN KOREKSI
Untuk C  =  55m 1/2 s -1 ini  memberikan 1.06U 2 (gr) -1 agak lebih tinggi dari nilai dari persamaan (2.5) dengan n  =  8 ( terkait dengan  nilai C). Perbedaan  yang  sama terlihat  pada  bentuk  kecepatan  teoritis, ditunjukkan  dalam  Gambar 2, dibandingkan dengan  pengukuran–pengukuran  Rozovskii, yang  diambil  dari  Kondrat'ev  dkk.  (1959). Kedua  teori  kembali  menghasilkan  data cukup  baik  untuk  nilai C dan n yang  tidak cukup  sesuai  satu  sama  lain.  Data  yang memadai  untuk  membedakan  antara  nilai- nilai  ini  tampaknya  tidak  akan  tersedia. Sebuah studi sejenis yang  dilakukan oleh  E. Becker
(1955)
juga mengarah ke korespondensi  wajar  antara  teori  dan eksperimen. Walaupun bagaimanapun semua studi  selalu  terkait  dengan  aliran  aksial seragam  yang    tidak  terjadi  di  sebagian besar kasus-kasus praktis.
Gambar 2: Bentuk Grafik Kecepatan Teoritis dan Eksperimen untuk Aliran Lateral di Lengkung Sungai (setelah Kondrat’ev, 1959)
EXPERIMENT THEORITICAL POWER LAW PROFILE (n*B) THEORITICAL LOGARTHMIC PROFILE
(c.44m 1/2 s -1 )

## Jurnal APLIKASI
ISSN.1907-753X
Gambar 3 : Faktor Koreksi untuk Aliran Radial

## 5. PEMBAHASAN
Hasil  analisis  sebelumnya  tidak  betul–betul valid mendekati tebing sungai. Pembetulan/koreksi  telah dilakukan  oleh Ananyan  (1953), Rozovskii,  1957)[8] yang harus diterapkan pada kecepatan radial yang telah  ditemukan  di  atas  (lihat  Gambar 3). Hal  ini  terlihat  bahwa  koreksi  hanya berpengaruh pada posisi dekat tebing dalam kasus di mana lebar saluran besar dibanding dengan kedalamannya . Teori Rozovskii dan Ananyan telah diperiksa dengan  sangat  seksama  oleh  de Vriend (1973)[11] untuk  aliran  laminar  atau aliran turbulen dengan viskositas eddy konstan.

## 6. KESIMPULAN
Model  ini  tidak  bisa digunakan  untuk perencanaan saluran  alam  misalnya  sungai alam,  namun  baik  digunakan  untuk perencanaan  saluran  dengan  dasar  dan tebing yang dihaluskanseperti tail race PLTA atau saluran – saluran belakang lainnya.

## 7. SARAN
Penggunaan untuk  saluran  alam  disarankan agar  dilakukan  asumsi – asumsi  idealisasi aliran dalam saluran tersebut.

## 8. DAFTAR PUSTAKA
[1]. H.J.  OVERBEEK,  Revier  Engineering and Flood Protection, ASIAN INSTITUT OF  TECKNOLOGY,  Bangkok,  January, 1978.
[2]. Harrell,  C.,  B.K.  Ghosh  and  R.O.
Bowden, Jr., Simulation Using Promodel,  2nd  ed.,  McGraw-Hill, Singapore, 2003.
[3]. HSIEH  WEN  SHEN  :  River  Mechanics volume  I,  H.  W  Shen  Book  Company, Colorado,
[4]. INDRATMO  SOEKARNO,  Morfologi  dan Hidraulika  Sungai,  Kelompok  Bidang studi Keahlian Teknik Sumberdaya Air, Jurusan  Teknik  Sipil,  ITB  Bandung, 1997.
[5]. Jennifer  G.  Duan,  2005,  Numerical Simulation of the Inception of Channel Meandering,  Earth  Surf.  Proces Landform 30,1093–1110 (2005, Publish online  in  Wiley Science.  DOI:
10.1002/esp.1264.
[6]. Nils Reider B. Olsen, 2007, Numerical Modeling  and  Hydraulics,  1st  edition, ISBN 82-7598-074-7
[7]. P.Ph.  JANSEN,  L.  Van  BENDEGOM,  J van den BERG, M de VRIES, A ZANEN : Principles  of  River  Engineering  The non – tidal  alluvial  river,  Pitman Publishing Limited, London, 1979.
[8]. Rozovskii, I. L. (1957), Flow of Water in  Bend  of  Open  Channels,  Acad.  Of Science of the Ukrainan U.S.S.R, Inst. of Hydrology and Hydraulic Eng., Kiev.
[9]. Scarborough,  Jance  B,  Numerical
Mathematical  analysis,  First  edition, Oxfort  &  IBH  Publishing  Co,  New Delhi, 1973
[10]. VEN  TE  CHOW,  PhD  :  Open  Channel
Hydraulics, Mc GRAW-HILL KOGAKUSHA, LTD, Tokyo, 1959.
[11]. Vriend  ,  H.  D. de  (1973),  Theory  of viscous  flow  in  curved  shallow channels.  Delf  Univ.  of  Technol., Dept.  of  Civil  Eng.  Lab.  For  Fluid
Mech., Report No. 72 – 1.