## KETAKSAMAAN HERMITE-HADAMARD TERHADAP INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES

## Denny Ivanal Hakim
Departemen Matematika Institut Teknologi Bandung Bandung 40132, Indonesia dnny_hkm@yahoo.com

## Hendra Gunawan
Departemen Matematika Institut Teknologi Bandung Bandung 40132, Indonesia hgunawan@math.itb.ac.id
ABSTRACT . The  Hermite-Hadamard  inequality  is  an  inequality  for  convex  functions that  gives  an  estimate  for  the  integral  mean  value  of  a  convex  function  on  a  closed interval  by  its  value  at  the  middle  of  interval  and  the  average  of  its  values  at  the endpoints. The Hermite-Hadamard inequality can be generalized by using the Riemann- Stieltjes  integral  mean  value.    An  application  of  the Hermite-Hadamard  inequality  with respect to  Riemann-Stieltjes  integral    for  estimating  the  power  mean  of 𝑛 positive  real numbers by the aritmethic mean is given at the end of discussion.
Keywords : Convex function, Hermite-Hadamard inequality, Riemann-Stieltjes integral mean value
ABSTRAK . Ketaksamaan  Hermite-Hadamard  adalah  ketaksamaan  untuk  fungsi konveks  yang  memberikan  taksiran  nilai  rata-rata  integral  suatu  fungsi  konveks  pada interval  tutup  dengan  nilai  fungsi  di  titik  tengah  interval  dan  nilai  rata-rata  fungsi  di kedua  ujung  interval.  Ketaksamaan  Hermite-Hadamard  dapat  diperumum  dengan menggunakan  nilai  rata-rata  integral  Riemann  Stieltjes.  Suatu  aplikasi  ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap integral Riemann-Stieltjes untuk penaksiran rataan pangkat dari 𝑛 bilangan  real  positif  dengan  rataan  aritmatika  diberikan  pada  bagian  akhir pembahasan.
Kata kunci : Fungsi konveks, ketaksamaaan Hermite-Hadamard,  nilai rata-rata integral Riemann-Stieltjes

## 1. PENDAHULUAN
Misalkan 𝐼 adalah interval bilangan real. Fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ disebut fungsi konveks jika
𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 dan 𝜆 ∈ [0,1] .
Fungsi  konveks  mempunyai  tafsiran  geometris  bahwa  grafik  fungsi  dari  semua titik pada interval (𝑥, 𝑦) selalu berada di  bawah tali  busur  yang menghubungkan titik (𝑥, 𝑓(𝑥)) dan (𝑦, 𝑓(𝑦)) .  Secara  formal,  hal  ini  dinyatakan  dalam  lema berikut:
Lema  1.1 Misalkan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi  konveks.  Maka  untuk  setiap 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ∈ [𝑎, 𝑏] yang memenuhi 𝑥 1 < 𝑥 2 < 𝑥 3 berlaku
𝑓(𝑥 2 ) ≤ 𝑓(𝑥 1 ) + 𝑓(𝑥 3 ) − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥 3 − 𝑥 1 (𝑥 2 − 𝑥 1 ) (1)
Dengan mengatur ulang suku-suku ketaksamaan (1) dapat diperoleh
𝑓(𝑥 2 ) − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥 2 − 𝑥 1 ≤ 𝑓(𝑥 3 ) − 𝑓(𝑥 1 ) 𝑥 3 − 𝑥 1 ≤ 𝑓(𝑥 3 ) − 𝑓(𝑥 2 ) 𝑥 3 − 𝑥 2 (2)
Pembuktian ketaksamaan (1) dan (2) dapat dilihat di (Roberts dan Varberg, 1975). Ketaksamaan  lain  yang  dapat  dibuktikan  secara  langsung  dari  definisi  fungsi konveks  dapat  dilihat  di  (Mitrinovic,  dkk,  1993).  Dari  ketaksamaan  (2)  dapat diperoleh salah satu sifat penting dari fungsi konveks yaitu untuk suatu titik pada kurva  fungsi  konveks,  gradien  tali  busur  yang  menghubungkan  titik  tersebut dengan  titik  lain  pada  kurva  selalu  monoton  naik.  Hal  ini  dinyatakan  dalam teorema berikut:
Teorema  1.2 . Misalkan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi  konveks  dan 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] .
Definisikan fungsi 𝑠 𝑐 (𝑥): [𝑎, 𝑏]\{𝑐} → ℝ dengan aturan 𝑠 𝑐 (𝑥) = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐 . Maka fungsi 𝑠 𝑐 (𝑥) monoton naik pada [𝑎, 𝑏]\{𝑐} .
Sebagai  akibat  dari  teorema  ini  adalah  fungsi 𝑓 memiliki  turunan  sepihak  pada (𝑎, 𝑏) dan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ (𝑎, 𝑏) yang memenuhi 𝑥 < 𝑦 berlaku
𝑓 − ′ (𝑥) ≤ 𝑓 + ′ (𝑥) ≤ 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥) 𝑦 − 𝑥 ≤    𝑓 − ′ (𝑦) ≤ 𝑓 + ′ (𝑦) (3)
Pembuktian  Teorema  1.2  dan  ketaksamaan  (3)  dapat  dilihat  di  (Roberts  dan Varberg,  1975).  Akibat  dari  eksistensi  turunan  sepihak  fungsi  konveks 𝑓 pada ( 𝑎, 𝑏) adalah fungsi 𝑓 kontinu pada (𝑎, 𝑏) . Lebih jauh, nilai 𝑓 pada kedua ujung
60                                                                            Denny Ivanal Hakim dan Hendra Gunawan
interval [𝑎, 𝑏] dapat  dimodifikasi  sehingga 𝑓 kontinu  pada [𝑎, 𝑏] yang  berakibat keterintegralan 𝑓 pada [𝑎, 𝑏] . Salah satu ketaksamaan fungsi konveks yang terkait dengan  integralnya  adalah  ketaksamaan  Hermite-Hadamard.  Ketaksamaan  ini memberikan  taksiran  nilai  rata-rata  integral  suatu  fungsi  konveks  dengan  nilai fungsi  di  titik  tengah  interval  dan  nilai  rata-rata  fungsi  di  kedua  ujung  interval.
Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema 1.3 . Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah fungsi konveks, maka
𝑓 ( 𝑎 + 𝑏 2 ) ≤ 1 𝑏 − 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 2 (4)
Pembuktian  Teorema  1.3  dapat  dilihat  di  (Niculescu  dan  Persson,  2006). Ekuivalensi  ketaksamaan  Hermite-Hadamard  dan  ketaksamaan  Chebyshev dibahas  dalam  (Niculescu  dan  Pecaric,  2010).  Titik 𝑥  = 𝑎+𝑏 2 dapat  dipandang sebagai  nilai  rata-rata  integral  fungsi ℎ (𝑥)   =  𝑥 pada  selang [𝑎, 𝑏] .  Ternyata dengan meninjau nilai rata-rata integral Riemann-Stieltjes terhadap fungsi g yang monoton  naik  pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑔 (𝑏) − 𝑔 (𝑎)   =  1 ,  ketaksamaan  (4)  dapat diperumum menjadi ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap integral Riemann- Stieltjes.

## 2. PEMBAHASAN
2.1   Nilai rata-rata Integral Riemann-Stieltjes.
Berikut ini diberikan definisi nilai rata-rata integral Riemann-Stieltjes:
Definisi  2.1 .  Misalkan 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi  monoton  naik  dan  memenuhi 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) > 0 .  Misalkan  fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ terintegralkan  Riemann- Stieltjes terhadap fungsi 𝑔 . Nilai rata-rata integral Riemann-Stieltjes 𝑓 terhadap 𝑔 didefinisikan sebagai
𝑀(𝑓) = 1 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑔(𝑥)
Jika 𝑔(𝑥) = 𝑥 ,  maka 𝑀(𝑓) = 1 𝑏−𝑎 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎
𝑑𝑥 yaitu  nilai  rata-rata  integral
Riemann  yang biasa dikenal.  Khususnya, untuk 𝑓(𝑥) = 𝑥 diperoleh 𝑀(𝑓) = 𝑎+𝑏 2
yang merupakan titik tengah interval [𝑎, 𝑏] .
Ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap Integral Riemann-Stieltjes                           61
Dari  fungsi 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ yang  monoton  naik  dan  memenuhi 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 1 selalu dapat didefinisikan suatu fungsi 𝑢 yang bergantung dari 𝑔 dan bernilai tak negatif pada [𝑎, 𝑏] . Hal ini dinyatakan dalam lema berikut:
Lema  2.2 . Misalkan 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi  monoton  naik  dan  memenuhi
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 1 .  Definisikan 𝑢: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan aturan
𝑢(𝑥) = [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) + [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡)
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] . Maka, 𝑢(𝑥) ≥ 0 pada [𝑎, 𝑏] .
Bukti : Ambil 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] sebarang.  Karena ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑎) = 0 dan ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑏) = 0 ,
maka
𝑢(𝑥) = [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] [∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) − ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑎)]
+[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] [∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡) − ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑏)]
= [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)) +[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑏))
Dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh
𝑢(𝑥) =
[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] [[𝑡(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))] 𝑎 𝑥 − ∫ (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))𝑑𝑡 𝑥
𝑎 ]
+[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] [[𝑡(𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑏))] 𝑥 𝑏 − ∫ (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑏))𝑑𝑡 𝑏
𝑥 ]
= [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥)] ∫ (𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎))𝑑𝑡 𝑥 𝑎 +[𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] ∫ (𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑡))𝑑𝑡 𝑏 𝑥
Karena  fungsi 𝑔 monoton  naik  pada [𝑎, 𝑏] ,  maka  untuk  setiap 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎) ≥ 0
dan 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑥) ≥ 0 .  Akibatnya,  berdasarkan  sifat  positif  integral  dapat disimpulkan bahwa 𝑢(𝑥) ≥ 0 pada [𝑎, 𝑏] . ∎
Kekontinuan  suatu  fungsi  menjamin  eksistensi  integral  Riemann-Stieltjes  dari fungsi tersebut terhadap fungsi 𝑢 yang didefinisikan pada lema sebelumnya. Lebih jauh,  integral  fungsi  tersebut  terhadap 𝑢 dapat  dinyatakan  sebagai  integral terhadap fungsi 𝑔 . Hal ini dinyatakan dalam lema berikut:
Lema  2.3. Misalkan 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi  monoton  naik  dengan 𝑔(𝑏) −
𝑔(𝑎) = 1 dan 𝑢(𝑥) = [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) + [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡)
untuk  setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .  Misalkan 𝑥 𝑔 = ∫ 𝑥𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 dan 𝑣: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah fungsi yang kontinu, maka
∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥) 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑣(𝑥)(𝑥 𝑔 − 𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑔(𝑥)
Bukti : Ambil 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] sebarang, maka
𝑢(𝑥) = (𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏) + 𝑔(𝑎) − 𝑔(𝑎)) ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) + (𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)) ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡)
= [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] [∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) + ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡)] − [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡)
= (∫ 𝑑𝑔(𝑡) 𝑥 𝑎 ) (∫ 𝑠𝑑𝑔(𝑠) 𝑏 𝑎 ) − (∫ 𝑑𝑔(𝑠) 𝑏 𝑎 ) (∫ 𝑡𝑑𝑔(𝑡) 𝑥 𝑎 )
= ∫ ∫ (𝑠 − 𝑡)𝑑𝑔(𝑠)𝑑𝑔(𝑡) 𝑏 𝑎 𝑥 𝑎 Akibatnya, ∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥) 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑣(𝑥) ∫ (𝑠 − 𝑥)𝑑𝑔(𝑠)𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑣(𝑥)(𝑥 𝑔 − 𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑔(𝑥)     ∎
Selanjutnya  Lema  2.2  dan  2.3  ini  digunakan  untuk  pembuktian  ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap integral Riemann-Stieltjes .

## 2.2 Ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap Integral Riemann-Stieltjes.
Ketaksamaan  Hermite-Hadamard  terhadap  integral  Riemann-Stieltjes  dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema 2.4. Misalkan 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah fungsi monoton naik dan memenuhi
Ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap Integral Riemann-Stieltjes                           63
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = 1 .  Misalkan 𝑥 𝑔 = ∫ 𝑥𝑑𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 dan 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ adalah  fungsi konveks, maka
𝑓(𝑥 𝑔 ) ≤ 𝑀(𝑓) ≤ 𝑏−𝑥 𝑔 𝑏−𝑎 𝑓(𝑎) + 𝑥 𝑔 −𝑎 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏) (5)
Bukti :  Tanpa  mengurangi  keumuman,  asumsikan 𝑓 terdiferensialkan  pada (𝑎, 𝑏)
(Argumen  mengenai  asumsi  ini  dapat  dilihat  di  (Cerone  dan  Dragomir,  2011) halaman  59).  Karena 𝑓 adalah  fungsi  konveks,  maka  berdasarkan  lema  2,  untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] berlaku
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎)
Dengan mengintegralkan kedua ruas ketaksamaan di atas dan membaginya dengan 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) diperoleh
𝑀(𝑓) ≤ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 (𝑥 𝑔 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑥 𝑔 𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑎) + 𝑥 𝑔 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑏)
Definisikan fungsi 𝑢: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan aturan
𝑢(𝑥) = [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑏)] ∫ 𝑡 𝑥 𝑎 𝑑𝑔(𝑡) + [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)] ∫ 𝑡 𝑏 𝑥 𝑑𝑔(𝑡)
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] . Berdasarkan lema 6 , 𝑢(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] .
Definisikan fungsi 𝑣: [𝑎, 𝑏] → ℝ dengan aturan
𝑣(𝑥) = { 𝑓 ′ (𝑥 𝑔 )               jika 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 𝑔 ) 𝑥 − 𝑥 𝑔 jika 𝑥 ≠ 𝑥 𝑔
Karena 𝑓 terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) , maka
lim 𝑥→𝑥 𝑔 𝑣(𝑥) = lim 𝑥→𝑥 𝑔 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 𝑔 ) 𝑥 − 𝑥 𝑔 = 𝑓 ′ (𝑥 𝑔 ) = 𝑣(𝑥 𝑔 )
Akibatnya, 𝑣 kontinu  pada [𝑎, 𝑏] .  Oleh  karena  itu, 𝑢 terintegralkan  Riemann-
Stieltjes  terhadap 𝑣 .  Dengan  menggunakan  teknik  integral  parsial  diperoleh
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 = [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)] 𝑎 𝑏 − ∫ 𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑢(𝑥)
Karena 𝑢(𝑎) = 0 dan 𝑢(𝑏) = 0 , maka ∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 = − ∫ 𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑢(𝑥) .
Berdasarkan lema 7, ∫ 𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑢(𝑥) = ∫ 𝑣(𝑥)(𝑥 𝑔 − 𝑥) 𝑏 𝑎
𝑑𝑔(𝑥) sehingga
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 𝑔 )𝑑𝑔(𝑥) = 𝑀(𝑓) − 𝑓(𝑥 𝑔 )
𝑏 𝑎
Karena 𝑢(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan 𝑣 adalah fungsi monoton naik, maka
∫ 𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥) 𝑏 𝑎 ≥ 0 . Akibatnya, 𝑀(𝑓) − 𝑓(𝑥 𝑔 ) ≥ 0 .
Jadi, terbukti bahwa 𝑓(𝑥 𝑔 ) ≤ 𝑀(𝑓) ≤ 𝑏−𝑥 𝑔 𝑏−𝑎 𝑓(𝑎) + 𝑥 𝑔 −𝑎 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏) ∎
Perhatikan  bahwa  ketaksamaan  (4)  dapat  diperoleh  dengan  substitusi  fungsi 𝑔(𝑥) = 𝑥 pada ketaksamaan (5) sehingga ketaksamaan (5) merupakan perumuman ketaksamaan  (4).  Pemilihan  fungsi 𝑔 yang  tepat  dapat  digunakan  untuk menghitung  nilai  rata-rata  integral  fungsi  konveks  yang  terkait  dengan  rataan tertentu.  Aplikasi  ketaksamaan  (5)  dengan  pemilihan  fungsi 𝑔 tertentu  diberikan pada bagian selanjutnya.

## 2.3  Aplikasi  Ketaksamaan  Hermite-Hadamard  terhadap  Integral  Riemann
Stieltjes.
Salah  satu  contoh  aplikasi  penaksiran  ketaksamaan  Hermite-Hadamard  terhadap integral  Riemann-Stieltjes  adalah  penaksiran  rataan  pangkat  dari 𝑛 buah  bilangan real  positif  dengan  rataan  aritmatikanya  yaitu 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ,  beserta  nilai maksimum dan minimumya. Hal ini diberikan dalam teorema berikut:
Teorema  8 Misalkan (𝑥 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 adalah  barisan 𝑛 buah  bilangan  real  positif  dengan rataan  aritmatikanya  adalah 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 .  Untuk 𝑝 ∈ ℝ dan 𝑝 ≥ 1 definisikan rataan pangkat dari (𝑥 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 sebagai ( 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 1/𝑝 .
Misalkan 𝑚 = min{𝑥 𝑖 : 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛} dan 𝑀 = maks{𝑥 𝑖 : 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛} , maka
𝑥̅ ≤ ( 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 1/𝑝 ≤ ( 𝑀 − 𝑥̅ 𝑀 − 𝑚 𝑚 𝑝 + 𝑥̅ − 𝑚 𝑀 − 𝑚 𝑀 𝑝 ) 1/𝑝 (6)
Bukti: Misalkan  semua  bilangan  yang  berbeda  dalam  barisan (𝑥 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 diurutkan dari  nilai  yang  terkecil  ke  nilai  yang  terbesar  dan  dinotasikan  sebagai  barisan
(𝑦 𝑗 ) 𝑗=1 𝑘 . Misalkan banyaknya bilangan bernilai 𝑦 𝑗 pada barisan (𝑥 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 adalah 𝑛 𝑗 .
Ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap Integral Riemann-Stieltjes                           65
Untuk setiap 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 , definisikan 𝑠 𝑗 = ∑ 𝑛 ℎ 𝑗 ℎ=1 .
Kemudian, definisikan fungsi 𝑔: [𝑦 1 , 𝑦 𝑘 ] → ℝ dengan aturan
𝑔(𝑥) = { 0        jika 𝑥 = 𝑦 1 𝑠 𝑗 𝑛 jika 𝑦 𝑗 < 𝑥 ≤ 𝑦 𝑗+1 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 − 2
𝑠 𝑘−1 𝑛 jika 𝑦 𝑘−1 < 𝑥 < 𝑦 𝑘 1     jika 𝑥 = 𝑦 𝑘
Karena fungsi 𝑔 memiliki 𝑚 buah diskontinu loncat pada [𝑦 1 , 𝑦 𝑘 ] yaitu di titik 𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑘 , maka
𝑥 𝑔 = ∫ 𝑥𝑑𝑔(𝑥) 𝑦 𝑘 𝑦 1 = 𝑦 1 ( lim 𝑥→𝑦 1 + 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦 1 )) + ∑ 𝑦 𝑗 ( lim 𝑥→𝑦 𝑗 + 𝑔(𝑥) − lim 𝑥→𝑦 𝑗 − 𝑔(𝑥)) 𝑘−1
𝑗=2 +𝑦 𝑘 (𝑔(𝑦 𝑘 ) − lim 𝑥→𝑦 𝑛 − 𝑔(𝑥)) = 𝑦 1 𝑠 1 𝑛 + ∑ 𝑦 𝑗 ( 𝑠 𝑗 𝑛 − 𝑠 𝑗−1 𝑛 ) 𝑘−1 𝑗=2 + 𝑦 𝑘 (1 − 𝑠 𝑘−1 𝑛 ) = 1 𝑛 ∑ 𝑦 𝑗 𝑛 𝑗 𝑘 𝑗=1 = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑥̅
Definisikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑝 pada [𝑦 1 , 𝑦 𝑛 ] , maka
𝑀(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑔(𝑥) 𝑦 𝑘 𝑦 1 = 𝑓(𝑦 1 ) ( lim 𝑥→𝑦 1 + 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦 1 )) + ∑ 𝑓(𝑦 𝑗 ) ( lim 𝑥→𝑦 𝑗 + 𝑔(𝑥) − lim 𝑥→𝑦 𝑗 − 𝑔(𝑥)) 𝑘−1 𝑗=2
+𝑓(𝑦 𝑘 ) (𝑔(𝑦 𝑘 ) − lim 𝑥→𝑦 𝑛 − 𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑦 1 ) 𝑠 1 𝑛 + ∑ 𝑓(𝑦 𝑗 ) ( 𝑠 𝑗 𝑛 − 𝑠 𝑗−1 𝑛 ) 𝑘−1 𝑗=2 + 𝑓(𝑦 𝑘 ) (1 − 𝑠 𝑘−1 𝑛 ) = 1 𝑛 ∑ 𝑓(𝑦 𝑗 )𝑛 𝑗 𝑘 𝑗=1 = 1 𝑛 ∑ 𝑓(𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑝 𝑛 𝑖=1
Karena fungsi 𝑓 dan 𝑔 memenuhi hipotesis teorema 7, maka
𝑥 𝑔 𝑝 ≤ 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑝 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑦 𝑘 − 𝑥 𝑔 𝑦 𝑘 − 𝑦 1 𝑦 1 𝑝 + 𝑥 𝑔 − 𝑦 1 𝑦 𝑘 − 𝑦 1 𝑦 𝑘 𝑝 (7)
Dengan mengambil akar pangkat 𝑝 dari setiap ruas ketaksamaan (7) dan kemudian substitusi 𝑥 𝑔 = 𝑥̅ , 𝑦 1 = 𝑚 ,  dan 𝑦 𝑘 = 𝑀 ke  ketaksamaan  (7)  diperoleh ketaksamaan (6). ∎

## 3. KESIMPULAN
Dengan menggunakan konsep integral Riemann-Stieltjes dapat didefinisikan nilai rata-rata  integral  Riemann-Stieltjes  terhadap  sebarang  fungsi  yang  monoton  naik dan  selisih  nilai  di  kedua  ujung  intervalnya  positif  .  Dengan  menggunakan  nilai rata-rata  integral  Riemann-Stieltjes  dapat  dibuktikan  suatu  perumuman ketaksamaan  Hermite-Hadamard  yaitu  ketaksamaan  Hermite-Hadamard  terhadap integral  Riemann-Stieltjes.  Salah  satu  manfaatnya  adalah  nilai  rata-rata  integral fungsi  konveks    dapat  ditaksir  dengan  nilai  fungsi  di  titik  yang  tidak  hanya  titik tengah  interval.  Salah  satu  contoh  aplikasi  langsung  ketaksamaan  (5)  adalah penaksiran  rataan  pangkat  dari 𝑛 bilangan  real  positif  dengan  rataan aritmatikanya. Agar diperoleh aplikasi yang lebih luas, sebaiknya syarat fungsi 𝑔 pada teorema 7 perlu diperlemah tetapi ketaksamaan (5) tetap berlaku.

## DAFTAR PUSTAKA
Cerone P. dan Dragomir S.S, (2011), Mathematical Inequalities: A Perspective ,
Taylor and Francis Group, LLC.
Mitrinovic  D.  S.  ,  Pecaric  J.  E.  dan  Fink  A.  M.  (1993), Classical  and  New Inequalities in Analysis , Kluwer, Dordrecht.
Niculescu  C.  P.  dan  Pecaric  J.  E.,  (2010),  The  equivalence  of  Chebyshev's inequality with the Hermite-Hadamard inequality. Math. Reports , 12 (62),
No. 2, 2010, pp. 145-156
Ketaksamaan Hermite-Hadamard terhadap Integral Riemann-Stieltjes                           67
Niculescu  C.  P.  dan  Persson  L.-E.  (2006), Convex  Functions  and  their Applications. A Contemporary Approach , CMS Books in Mathematics vol.
23, Springer-Verlag, New York.
Roberts A.W. and Varberg D.E. (1975), Convex Function , Academic Press, New York.
68                                                                            Denny Ivanal Hakim dan Hendra Gunawan