## FUNGSI GREEN YANG DIKONSTRUKSI PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR TAK HOMOGEN ORDE-N

## Wahidah Alwi
Program Studi Matematika
FST - UINAM
wahidah.alwi79@gmail.com

## Wahyuni Abidin
Program Studi Matematika FST - UINAM Ratnasari Mahasiswa Program Studi Matematika FST-UINAM
Info:
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1
Edisi: Januari – Juni 2015
Artikel No.: 4
Halaman: 21 - 28 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM

## ABSTRAK
Persamaan  diferensial  ( differential  equation) merupakan  suatu  persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan persamaan  itu  juga  mungkin  melibatkan  fungsi  itu  sendiri  dan konstan.Dalam penelitian ini membahas sutatu metode untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  linier  tak  homogen  orde-n. Dikemukakan  suatu  metode  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial linier  tak  homogen  orde-n  dengan  mengkonstruksi  fungsi  Green  yaitu melalui metode Transformasi Laplace.
Mengkonstruksi  fungsi  Green  melalui  metode  Transformasi  Laplace  (1) Diberikan  persamaan  diferensial  linier  tak  homogen.  (2)  Mencari  solusi persamaan  diferensial  linier  tak  homogen  orde-n  dengan  menggunakan metode  Transformasi  Laplace.(3)  Menginverskan  Transformasi  Laplace yang telah didapatkan pada poin (2). (4) Mendapatkan Fungsi Green yaitu:
   t du u f u t g t y 0 . ) ( ) ( ) ( .
Kata  Kunci:  Persamaan  Diferensial  Biasa,  Fungsi  Green,  Transformasi Laplace

## 1. PENDAHULUAN

## Latar Belakang
Manusia diciptakan Allah Swt di dunia ini adalah sebagai khalifah.Nilai-nilai dan segala ketentuannya yang berasal dari Allah Swt harus ditegakkan  dalam  kehidupan  didunia  ini.Untuk menegakkannya,  maka  manusia  dinamakan sebagai khalifa (wakil) Allah Swt dimuka bumi ini untuk menegagkan syariat- syariatnya.Seorang khalifah atau insan biasa jika hidupnya tidak berbekal  ilmu  pengetahuan baik agama  maupun  umum,  maka  akan  mudah tersesat.  Allah  tidak  hanya  memerintahkan manusia menuntut ilmu agama yang hanya untuk kepentingan  akhirat  saja,  akan  tetapi  ilmu-ilmu yang  sifatnya  umum  juga  sangat  dibutuhkan guna  keberhasilan  di  dunia  dan  akhirat.  Ini artinya  menuntut  ilmu  yang  sifatnya  umum setara dengan menuntut ilmu yang agama.
Terkadang  ilmu  itu  terdapat  pada  akal  pikiran, terkadang  pada  ucapan,  dan  terkadang  terdapat pada  tulisan  tangan.Sehingga  ada  ilmu  yang
sifatnya  akal  pikiran,  ucapan  dan  ada  yang berupa tulisan.Di dalam tulisan terkadang unsur akal  pikiran  dan  ucapan,  tetapi  tidak  berarti sebaliknya.  Karena  itu  Allah  Swt  berfirman dalam  surah  Q.S.  Al-Mujadilah  ayat  11  yang artinya
“Hai  orang-orang  yang  beriman  apabila kamu  dikatakan  kepadamu:  "Berlapang- lapanglah dalam majlis",
Maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu. dan apabila dikatakan:  "Berdirilah  kamu",  Maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan  beberapa  derajat.  dan  Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan”.
Ayat  ini  menerangkan  tentang  perintah  untuk memberi  kelapangan  dalam  segala  hal  kepada orang lain. Ayat ini juga tidak menyebut secara tegas  bahwa  Allah  SWT  akan  meninggikan
derajat orang  yang berilmu.  Tetapi menegaskan bahwa  mereka  memiliki  derajat-derajat  yakni yang  lebih  tinggi  dari  sekadar  beriman,  tidak disebutkan kata meninggikan itu sebagai isyarat bahwa sebenarnya ilmu yang dimiliki itulah yang berperanan besar dalam ketinggian derajat  yang diperolehnya.Yang dimaksud dengan yang diberi pengetahuan  adalah  mereka  yang  beriman  dan menghiasi  diri  mereka  dengan  pengetahuan.Ini berarti ayat di atas membagi kaum beriman jadi dua, yang pertama sekadar beriman dan beramal saleh,  yang  kedua  beriman,  beramal  saleh  serta memiliki pengetahuan. Derajat kedua kelompok ini menjadi lebih tinggi, bukan saja karena nilai ilmu  yang  disandangnya,  tetapi  juga  amal  dan pengajarannya  kepada  pihak  lain  baik  secara lisan atau tulisan maupun keteladanan.Ilmu yang dimaksud  ayat  di  atas  bukan  saja  ilmu  agama. Akan tetapi ilmu apa saja yang bermanfaat.
Dengan keterbatasan manusia dalam menghitung sehingga  banyakfenomena  dalam  kehidupan sehari-hari  yang  sulit  diselesaikan  secara langsungsehingga dibutuhkan matematika sebagai  alat  bantu  dalam  menyelesaikan suatumasalah  baik  algoritma  berfikir  dari matematika, cara berhitung, ataupun hanyasebagai simbol-simbol untuk menyederhanakannya.  Karena  semakin  hari semakin  canggihnya  ilmu  pengetahuan  dan teknologi yang ada, maka hampir semua masalah tersebut  dapatdiselesaikan.Salah  satu  disiplin yang  dari  zaman  dahulu  sampai  sekarang yangmasih  unggul  digunakan  di  kalangan berbagai disiplin ilmu lainnya adalahmatematika.
Matematika merupakan ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan semua manusia dalam kehidupan  sehari-hari  baik  secara  langsung maupun  tidak  langsung  yang  dapat  digunakan sebagai  alat  bantu  dalam  menyelesaikan masalah,  seperti  cara  berhitung  ataupun  hanya sebagai simbol-simbol yang menyederhanakannya.  Akan  tetapi  seringkali juga ditemukan masalah-masalah dalam menyelesaikan model-model matematika.Beberapa  model  matematika  yang ada,  salah  satunya  adalah  tentang  persamaan diferensial.
Persamaan  diferensial  merupakan  persamaan yang berkaitan dengan turunan suatu fungsi atau memuat  suku-suku  dari  fungsi  tersebut  dan turunannya.Dengan melibatkan banyaknya variabel bebas, maka ada dua bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.Persamaan diferensial  biasa  yaitu  persamaan  yang  hanya melibatkan  satu  variabel  bebas  sedangkan persamaan  diferensial  parsial  yaitu  persamaan yang  melibatkan  lebih  dari  satu  variabel bebas.Persamaan  diferensial  yang  akan  dibahas dalam  proposalini  adalah  persamaan  diferensial biasa.
Fungsi Green merupakan suatu metode penyelesaian  yang  didalam  proses  menentukan penyelesaian  suatu  persamaan  diferensial.  Nilai fungsi green dapat ditentukan dengan menggunakan  metode  transformasi  laplace  dan metode variasi parameter. Dalam Jurnal Integral yang  berjudul  “Mengkonstruksi  Fungsi  Green Persamaan  Difrensial  Linier  Orde- n” dan  juga Dalam  skripsi  yang  berjudul  “Mendapatkan Fungsi Green yang Dikonstruksi dari Persamaan Linier dalam Bidang Fisika (Studi Kasus: Vibrasi sistem Mekanis”)  terdapat saran bahwa metode fungsi  Green  juga  dapat  diselesaikan  dengan persamaan  diferensial    linier  tak  homogen menggunakan  metode  Transformasi  Laplace. Metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  adalah metode Transformasi
Laplace.Metode Transformasi Laplace ( Laplace Transformation ) merupakan  salah  satu  metode  yang  digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.Metode ini pertama kali diperkenalkan  oleh Pierre  Simon  Marquas  De Laplace seorang  matematikawan  Prancis  dan seorang  guru  besar  di  Paris.  Keunggulan Transformasi  Laplace  adalah  bahwa  masalah nilai  awal  persamaan  diferensial    linier  dapat diselesaikan  secara  langsung  tanpa  terlebih dahulu  menentukan  solusi  umumnya  atau persamaan  diferensial  tak  homogen  dapat diselesaikan tanpa terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogennya. Sehingga  penulis  bermotivasi  untuk  mencoba menjelaskan dan menyelesaikan kepada pembaca  mengenai  metode  fungsi  green  untuk persamaan  diferensial    linier  tak  homogen
dengan  menggunakan  metode  Transformasi Laplace.
Berdasarkan  latar  belakang  tersebut,  maka penulis mengambil  judul “Mendapatkan Fungsi Green yang Dikonstruksi dariPersamaan Diferensial  Linier Tak Homogen Orde-n”.

## Rumusan Masalah
Rumusan  masalah  dalam  penelitian  ini  adalah bagaimana  mendapatkan  fungsi  Green  yang dikonstruksi dari persamaan diferensial linier tak homogen  orde-n  dengan  metode  Transformasi Laplace?

## Batasan Masalah
a. Metode yang digunakan untuk mengkostruksi  fungsi  green  adalah  metode Transformasi Laplace.
b. Fungsi Green yang dimaksud adalah fungsi Green khusus pada suatu integral transformasi  atau  substitusi  yang  dapat digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial linier tak homogen

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Persamaan Diferensial Biasa.
Pesamaan    diferensial  biasa    ( ordinary differential  equetion ),  disingkat  PDB  adalah sebuah  persamaan  diferensial  yang  melibatkan hanya satu variabel bebas.

## Contoh 1
1. 𝑥𝑦 ′ +  𝑦 = 3
2. 𝑦 ′′′ +  2 (𝑦 ′′ ) +   𝑦 ′ = cos 𝑥

## Persamaan DiferensialLinier
Suatu persamaan diferensial dikatakan linier jika tidak  ada  perkalian  antara  variabel-variabel  tak bebas  dan  derivatif-derivatifnya.  Dengan  kata lain,  semua  koefisiennya  adalah  fungsi  dari variabel-variabel bebas.
Secara umum persamaan diferensial  linier orde- n dituliskan sebagai:
𝑎 0 (𝑥)𝑦 (𝑛) +   𝑎 1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +   … +   𝑎 𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)                                                          (2.1)
di mana f(x) dan koefisien 𝑎 𝑖 (𝑥), dengan i = 0, 1, 2,  ...  , n tergantung  hanya  pada  variabel x. Dengan kata lain, persamaan-persamaan ini tidak tergantung pada y ataupun pada turunan dari y .

## Contoh 2
1. 1 +   ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 = 3 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua derajat satu.
2. 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 . 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 −   ( 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 ) 2 = 0 adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua derajat dua.
Bentuk  umum  persamaan  diferensial  orde  dua yaitu :
𝑦 ′′ + 𝑎 𝑦 ′ + 𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥)                        (2.2) jika f(x)  =  0 maka  persamaan  diferensial  di  atas persamaan diferensial homogen, sedangkan jika f(x) ≠ 0 maka dinamakan persamaan diferensial tak homogen.

## Metode Transformasi Laplace
Transformasi  Laplace  dapat  diterapkan  sebagai metode untuk penyelesaian persamaan diferensial,  baik  sebagai  masalah  nilai  awal maupun masalah nilai batas. Untuk memudahkan proses  penyelesaian  lagkah  demi  langka, disediakan  table  yang  memuat  Transformasi Laplace dan inversnya. Keunggulan Transformasi  Laplace  di  dalam  menyelesaiakan suatu masalah nilai awal secara langsung, artinya bahwa  masalah  nilai  awal  dapat  diselesaikan tanpa  terlebih  dahulu  harus  menentukan  solusi umumnya atau persamaan-persamaan tak homogen  dapat  diselesaikan  tanpa  terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogennya.
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t yang ditentukan untuk t  >  0 .  Maka  Transformasi  Laplace  dari F(t), yang dinyatakan oleh ℒ{𝐹(𝑡)} , didefinisikan sebagai
ℒ {𝑓(𝑡)} =  𝐹(𝑠) =   ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
0 (2.3)
Transformasi  Laplace  dari F(t) dikatakan  ada apabila  integral  (3)  konvergen  untuk  beberapa harga s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace-nya tidak ada.

## Contoh 3
Dengan  menggunakan  definisi,  tentukanlah transformasi  Laplace, 𝐹(𝑠) =  ℒ{𝑓} ,    dengan fungsi-fungsi berikut:
𝑓(𝑡) =   𝑒 𝑎𝑡 , dengan  𝑡
≥ 0 dan 𝛼 konstanta tak nol
Penyelesaian:
Bila 𝑓(𝑡) =   𝑒 𝑎𝑡 ,  menurut  definisi  transformasi Laplace dari 𝑒 𝑎𝑡 diberikan oleh:
ℒ {𝑒 𝑎𝑡 }       =      ∫ 𝑒 𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0
=   lim 𝑏→∞ ∫ 𝑒 𝑎𝑡 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑏
0 =    lim 𝑏→∞ [− 1 𝑠 − 𝑎 𝑒 −(𝑠−𝑎)𝑡 ] 0 𝑏 =   lim 𝑏→∞ [− 1 𝑠 − 𝑎 𝑒 −(𝑠−𝑎)𝑏 + 1 𝑠 − 𝑎 ] =     lim 𝑏→∞ 𝑒 1 (𝑠−𝑎)𝑏 + 1 𝑠 − 𝑎 = 0 + 1 𝑠−𝑎 = 1 𝑠−𝑎 No. f (t) F (s) 1. s 1 1 2. a
𝑎 𝑠 3. t 1
𝑠 2
4. 2 t 3 ! 2 s
5. 𝑒 𝑎𝑡 1 𝑠 + 𝑎
6 𝑒 −𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎 7. 𝑡𝑒 −𝑎𝑡 1 (𝑠 + 𝑎) 2 8. sin 𝜔𝑡 𝜔 𝑠 2 +   𝜔 2 9. cos 𝜔𝑡 𝑠 𝑠 2 +   𝜔 2 10. 𝑡 𝑛 𝑛! 𝑠 𝑛+1 11. 𝑡 𝑛 𝑒 −𝑎𝑡 𝑛! (𝑠 + 𝑎) 𝑛+1

## Invers Transformasi  Laplace
Jika transformasi Laplece suatu fungsi f(t) adalah F(s), yaitu ℒ {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) , maka f(t) disebut invers transformasi Laplace dari F(s) dan ditulis:
ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = 𝑓(𝑡) (2.4) (2.14)
Dengan ℒ −1 dinamakan  operator  transformasi Laplace invers.
Fungsi  invers  transformasi  Laplace  tunggal. Berikut diberikan pada teorema berikut.

## Konvolusi
Konvolusi  dari  dua  fungsi  adalah  yang  terkait dengan  perkalian  dari  fungsi-fungsi  melalui Transformasi Laplace balik. Diberikan ) ( t f dan ) ( t g kontinu pada selang interval terbatas   , , 0 t
konvolusi g f * dari f dan g adalah
. ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( * * du u t f u f t g f t g t f     (2.5)
Teorema
Jika ) ( t f dan ) ( t g sebagaimana disyaratkan di
atas dan diandaikan
  ) ( ) ( ) ( ) ( * s G s F t g t f L 
yang ekivalen dengan
  ) ( ) ( ) ( ) ( * 1 t g t f s G s F L   Bukti: Dengan menggunakan
transformasi
), ( ) ( ) ( * t g t f t h  diperoleh       0 0 ) ( ) ( ) ( t st du u t g u f dt e s H        0 0 ) ( ) ( ) ( t u t s su dt du u t g e u f e
Dengan mengubah turunan pengintegralan dari t dan u pada interval pengintegralan t u t u t          0 , 0 , 0 yang  ekivalen dengan , , 0       t u u diperoleh integrasi
       0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( du dt u t g e u f e s H u t s su Dengan menggunakan perubahan peubah , ' u t t        0 0 ' ' ) ( ) ( ) ( ' du dt t g e u f e s H st su       0 0 ' ' ) ( ) ( ' dt t g e du u f e st su
) ( ) ( s G s F 
Sifat-sifat  dasar  (aljabar)  dari  konvolusi  fungsi antara lain:
1. f g g f * *  (Komutatif)
2. h f g f h g f * * * ) (    (Distributif) 3. ) ( ) ( * * * * h g f h g f  (Asosiatif)
. 0 0 0 * *
  f f

## 3. METODE PENELITIAN

## Jenis Penelitian
Jenis  penelitian  yang  digunakan  penulis  adalah studi  pustaka  yaitu  penelitian  yang  bertujuan untuk  mengumpulakan  data  dan  informasi mengenai masalah yang akan diteliti dengan cara mengumpulkan  beberapa  materi-materi  yang terdapat  di  ruang  perpustakaan,  seperti  buku-
buku  tentang  persamaan  diferensial,  buku-buku tentang kalkulus, jurnal-jurnal dari internet, dan lain-lain.

## Sumber Data
Sumber  data  dalam  penelitian  ini  adalah  buku- buku persamaan diferensial, buku-buku kalkulus, dan  buku-buku  matematika  lainnya  yang  dapat mendukung proses penelitian.

## Prosedur Penelitian
Langkah-langkah  untuk  mengkonstruksi  fungsi green  pada  persamaan  diferensial    linier    tak homogen  orde-n  dengan  menggunakan  metode transformasi Laplace adalah sebagai berikut:
a. Diberikan  persamaan  diferensial  linier  tak homogen.
b. Mencari  solusi  persamaan  diferensial  linier tak  homogen  orde-n  dengan  menggunakan metode Transformasi Laplace.
c. Menginverskan  Transformasi  Laplace  yang telah didapatkan pada poin (b)
d. Mendapatkan fungsi Green.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil
1. Diberikan  persamaan  diferensial  linier  tak homogen .
Bentuk  umum  persamaan  diferensiallinear  tak homogen orde n yaitu sebagai berikut :                 ) 1 . 4 ( 0 ' 1 " 2 1 1 x f y x a y x a y x a y x a y x a n n n n         
Solusi  umum  persamaan  diferensial  di  atas adalah :
      x y x y x y p h  
dimana   x y h merupakan solusi umum
persamaan  diferensial  homogennya  dan   x y p merupakan  solusi  khususnya  atau  Transformasi Laplace.
2. Mencari solusi persamaan diferensial linier tak  homogen  orde-n  dengan  menggunakan metode Transformasi Laplace .
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 2015
Untuk  memperoleh  solusi  khususnya p y maka
dilakukan Transformasi Laplace terhadap persamaan  diferensial,  maka  harus  diingat terlebih dahulu bahwa:
v d du d dv u d v u d t t t .  
(4.2) . t . t dt v d du v u dt d dv u     bila transformasi laplace
adalah
, ) ( e y(t) ) ( 0 st - dt t y L s Y     maka transformasi laplace dari turunan pertama adalah
dt dt dy dt dy L                0 st - e .  Pada  persamaan  (4.2)
dimisalkan u adalah -st e dan v adalah y, maka
dt dt dy dt dy L                0 st - e     dt y s y dt dy L             0 st - 0 st - e e     (4.3) e e 0 st - 0 st - dt y s y dt dy L           
Jika  diasumsikan  bahwa  pada  saat
  t grafik ) ( t y mengalami kenaikan cukup lambat
dibanding  dengan  grafik -st e maka 0 ) ( e -st  t y untuk   t sehingga     ) 0 ( ) 0 ( 0 e 0 0 st - y y e y     
Bentuk  persamaan  (4.3)  dapat  disederhanakan menjadi
    dt y s y dt dy L            0 st - 0 st - e e (4.4) ) ( ) 0 ( s sY y dt dy L         
Dari  persamaan  (4.4),  maka  Transformasi Laplace  dari  turunan  pertama  sebuah  fungsi adalah:
) 0 ( ) ( y s sY dt dy L         atau ) 0 ( ) ( y t y sL dt dy L        
Untuk  mendapatkan  Transformasi  Laplace  dari turunan kedua sampai pada turunan ke- n sebuah fungsi  dapat  dicari  dengan  cara  yang  sama. Untuk turunan kedua:
(4.5) ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 2 2 sy dt dy s Y s dt y d L       
Sampai pada Transformasi Laplace dari turunan ke – n suatu fungsi adalah:
          ... ) 0 ( ) ( 1 1 n n n n n dt y d s Y s dt y d L
(4.6) ) 0 ( ) 0 ( 1 2 y s dt dy s n n    Atau
         ... ) 0 ( ) ( 1 y s s Y s dt y d L n n n n (4.7) ) 0 ( ) 0 ( 1 2 y s dt dy s n n   
3. Menginverskan  Transformasi  Laplace  yang telah didapatkan .
Dengan menggunakan karakteristik sifat linieritas Transformasi Laplace, Jika Transformasi Laplace dari fungsi ) ( t f dan ) ( t g adalah ) ( s F dan ) ( s G , dengan
    0 st - ) ( e ) ( ) ( dt t f t f L s F dan    
0 st - ) ( e ) ( ) ( dt t g t g L s G
Invers  Transformasi  Laplace  dari
) ( s F dan ) ( s
G adalah ) ( t f dan ) ( t g dengan ) ( ) ( 1 t f s F L   dan ) ( ) ( 1 t g s G L   .
Maka:
     0 1 ) ( ) ( t f e s F L st Dan      0 1 ) ( ) ( t g e s G L st

## 4. Mendapatkan  solusi  khususnya  yaitu  fungsi Green
Dengan teorema konvolusi sehingga di dapatkan:
dy y g e du u f s G s
F xy ) ( . ) ( ) ( ) ( 0 0                  0 0 ) ( ) ( ) ( du dy y g e u f y x s du dt u t g e u f st            0 0 ) ( ) (          0 ) ( ) ( ) ( dt du u t g u f u f t s
         t du u t g u f 0 ) ( ) (
Maka didapatkan fungsi Green adalah:
(4.8) ) ( ) ( 0    t p du u t g u f y

## 5. PENUTUP

## Kesimpulan
Berdasarkan  uraian  dari  BAB  IV  dapat disimpulkan  bahwa  untuk  mendapatkan  fungsi Green  pada  persamaan  diferensial  linier  tak homogen  orde-n  melalui  metode  Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:

##    
   t du u t g u f t y 0 ) (

## Saran
Fungsi Green yang dibahas pada tugas akhir ini  hanyalah  fungsi  Green  pada  persamaan diferensial    linier    homogen  orde-n  dengan koefisien  konstan,  dimana  untuk  medapatkan fungsi Green
menggunakan metode Transformasi Laplace. Untuk itu perlu pengembangan  lebih  lanjut,  misalnya  fungsi Green  pada  persamaan  diferensial  parsian menggunakan metode Transformasi Fourier.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Bondan,Alit.2007. Kalkulus Lanjut , Yogyakarta: Graha Ilmu Budi, NugrohoDidit. 2010. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya , Yogyakarta: Graha Ilmu
Departemen  Agama  RI.  2009. Al-Qur’an  dan
Terjemahnya, Bandung: Bandung: PT. Sigma examedia arkanleema
Degeng,  I  Wayan.  2007. Kalkulus  Lanjut Persamaan  Diferensial  dan  Aplikasinya, Yogyakarta: Graha Ilmu El-Mazni, H. Aunur Rafqi.2006. Pengantar Studi Ilmu  Al-Qur’an ,    Jakarta:  Pustaka  Al- Kausar Kartono,  2012, Persamaan  Diferensial  Biasa Model Matematika Fenomena Perubahan ,
Yogyakarta: Graha Ilmu
Mursita, Danang. 2005. Matematika Lanjut untuk Perguruan  Tinggi, Bandung:  Rekayasa Sains
Munsir,  Said,  dan  Marwan,  2009, Persamaan diferensial, Yogyakarta: Graha Ilmu
Prayudi.2007. Matematika TeknikPersamaan
diferensial, Transformasi Laplace, Deret Fourier. Yogyakarta: Graha Ilmu
Purcell,  Edwin  J.  1986. Kalkulus  dan  Geometri Analitis . Jakarta: Erlangga.
Quraish,  M.  Shihap,  2002. Tafsir  Al-Mishbah; Pesan, Kesan Dan Keserasian Al-Qur'an , Jakarta: Lentera Hati
R.  Murray,  Spiegel.  1983. Matematika  Lanjut untuk  Para  Insinyur  dan  Ilmuwan  Edisi S1 , Jakarta: Erlangga
R.  Murray,  Spiegel.1999. Teori  dan  Soal-Soal Transformasi Laplace , Jakarta: Erlangga
Setiawan, Agus.2006. Pengantar Metode Numerik, Yogyakarta: Andi
Sugiarto,  Iwan. Jurnal  Mengkonstruksi  Fungsi Green Persamaan Diferensial Non linier Orde-n. http//www.unpar.ac.id.(16  Maret
2002).
Yani,  Ahmad,2008. 160  Materi  Dakwah Pilihan Jakarta: Gema Insani