Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45

## TITIK TETAP PERSEKUTUAN EMPAT PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE

## Ainal Mawaddah, Muhammad Mahfuzh Shiddiq, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36.00 Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan Email : mawaddahainal@rocketmail.com

## ABSTRACT
I n 2006, Huang Long Guang and Zhang Xian has introduced more recent metrics called cone metrics. A non-empty set X with a metric cone d is called cone metric space. A mapping has a unique fixed point if the mapping is  contractive mapping. The concept of a fixed point of fellowship in the cone metric space must also satisfy some coincidence point, point of coincidence, and weakly compatible mapping conditions. This study examines the fixed point of fellowship for four contractive mappings in the cone metric space. The result of this study indicate that four mapping S, T, I and J have a unique fixed point of association in the cone metric space.
Keywords : cone metric space, common fixed point,contractive mapping, coincidence point, point of coincidence, weakly compatible .

## ABSTRAK
Huang Long Guang dan Zhang Xian pada tahun 2006 telah memperkenalkan metrik yang lebih baru yang disebut metrik cone . Suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi metrik cone d disebut ruang metrik cone . Suatu pemetaan memiliki titik tetap yang tunggal jika pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraktif. Konsep titik tetap persekutuan di ruang metrik cone juga harus memenuhi beberapa kondisi pemetaan yang bersifat coincidence point, point of coincidence, dan kompatibel lemah . Penelitian ini mengkaji titik tetap persekutuan untuk empat pemetaan yang kontraktif pada ruang metrik cone . Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa empat pemetaan S, T, I dan J memiliki titik tetap persekutuan yang tunggal pada ruang metrik cone.
Kata Kunci :  ruang metrik cone , titik tetap persekutuan, pemetan kontraktif, coincidence point , point of coincidence , kompatibel lemah
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu konsep yang menjadi pembahasan dalam matematika analisis adalah kajian tentang ruang metrik. Metrik adalah fungsi jarak di himpunan tak kosong 𝑋𝑋 . Himpunan 𝑋𝑋 dilengkapi dengan suatu metrik d dituliskan dengan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) disebut ruang metrik. Selanjutnya Huang Long Guang dan Zhang Xian (2006) memperkenalkan metrik yang lebih baru yang disebut metrik cone. Suatu himpunan tak kosong 𝑋𝑋 yang dilengkapi metrik cone 𝑑𝑑 disebut ruang metrik cone . Ruang metrik cone dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy pada ruang metrik cone merupakan barisan yang konvergen.
Guang dan Xian (2006) membuktikan teorema-teorema titik tetap pada ruang metrik cone . Titik tetap merupakan titik yang dipetakan ke dirinya sendiri. Keberadaan titik tetap pada suatu pemetaan  memiliki tiga kemungkinan, yaitu tunggal, lebih dari satu, atau tidak terdapat titik tetap pada pemetaan tersebut. Suatu pemetaan memiliki titik tetap yang tunggal jika pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraktif.
Selanjutnya, Abbas dan Jungck (2007),  memperkenalkan titik tetap pesekutuan. Titik tetap persekutuan merupakan suatu titik tetap yang sama dari dua pemetaan atau lebih. Konsep titik tetap persekutuan di ruang metrik cone juga harus memenuhi beberapa kondisi pemetaan yang bersifat coincidence point, point  of coincidence , dan kompatibel lemah. Pada skripsi ini, penulis akan mempelajari titik tetap persekutuan untuk empat pemetaan yang memenuhi pemetaan kontraktif pada ruang metrik cone.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Ruang Metrik
Ruang metrik merupakan himpunan  yang dilengkapi dengan metrik. Berikut ini diberikan definisi ruang metrik sebagai salah satu konsep dasar ruang metrik cone :

## Definisi 2.1.1[7]
Suatu ruang metrik adalah suatu pasangan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) , dimana 𝑋𝑋 adalh himpunantak kosong dan 𝑑𝑑 adalah suatu metrik pada 𝑋𝑋 (fungsi jarak pada 𝑋𝑋 ) yaitu fungsi yang didefinisikan pada 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 sedemikian hingga untuk semua 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 diperoleh (i) d ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≥ 0 , 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ ℝ
(ii) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 0 ⟺ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 (iii) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 ) (simetri)
(iv) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑦𝑦 ) (ketaksamaan segitiga)
Definisi 2.1.2 [3] Diberikan 𝑋𝑋 = { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } adalah barisan bilangan riil. 𝑋𝑋 dikatakan naik jika memenuhi ketaksamaan : 𝑥𝑥 1 ≤ 𝑥𝑥 2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ≤ 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ≤ ⋯ 𝑋𝑋 dikatakan turun jika memenuhi ketaksamaan : 𝑥𝑥 1 ≥ 𝑥𝑥 2 ≥ ⋯ ≥ 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ≥ 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ≥ ⋯
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Definisi 2.1.3 [3] Jika 𝐴𝐴 ⊆ ℝ , fungsi 𝑓𝑓 : 𝐴𝐴 → ℝ dikatakan naik pada 𝐴𝐴 jika 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ 𝐴𝐴 dan 𝑥𝑥 1 ≤ 𝑥𝑥 2 kemudian 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) ≤ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) . Fungsi 𝑓𝑓 dikatakan naik murni pada 𝐴𝐴 jika 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ 𝐴𝐴 dan 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 kemudian 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) < 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) . Jika 𝐴𝐴 ⊆ ℝ , fungsi 𝑔𝑔 : 𝐴𝐴 → ℝ dikatakan turun pada 𝐴𝐴 jika 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ 𝐴𝐴 dan 𝑥𝑥 1 ≤ 𝑥𝑥 2 kemudian 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 1 ) ≥ 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 2 ) . Fungsi 𝑔𝑔 dikatakan turun murni pada 𝐴𝐴 jika 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ∈ 𝐴𝐴 dan 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 kemudian 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 1 ) > 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 2 ) .
Definisi 2.1.4 [3] Diberikan 𝑋𝑋 = ℝ dan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) barisan di 𝑋𝑋 . Barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan riil 𝑀𝑀 > 0 sedemikian hingga | 𝑥𝑥 𝑛𝑛 | ≤ 𝑀𝑀 untuk semua 𝑛𝑛 ∈ ℕ .
Setelah memahami konsep barisan terbatas di bilangan riil, berikut ini diberikan definisi mengenai subbarisan:
Definisi 2.1.5 [3] Jika 𝑥𝑥 1 < 𝑥𝑥 2 < ⋯ < 𝑥𝑥 𝑛𝑛 < ⋯ suatu barisan naik murni dari bilangan asli maka ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ) yang dinyatakan
�𝑥𝑥 𝑛𝑛 1 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 2 , … , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑘𝑘 , … � disebut subbarisan dari ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛

## 1.2 Ruang Metrik Cone
Definisi 2.2.1 [7] Diberikan 𝐴𝐴 ⊆ 𝑋𝑋 . Titik 𝑝𝑝 ∈ 𝑋𝑋 dikatakan titik interior 𝐴𝐴 jika terdapat 𝜀𝜀 > 0 sedemikian hingga 𝑁𝑁 𝜀𝜀 ( 𝑝𝑝 ) ⊆ 𝐴𝐴 . Himpunan semua titik interior 𝐴𝐴 dinotasikan 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 ( 𝐴𝐴 ) . Definisi 2.2.2 [7] Misalkan 𝑋𝑋 suatu ruang vektor dengan norm dalam 𝑋𝑋 merupakan pemetaan ‖ . ‖ : 𝑋𝑋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut:
(i) ‖𝒙𝒙‖ ≥ 0, ∀ 𝒙𝒙 ∈ 𝑋𝑋 (ii) ‖𝒙𝒙‖ = 0 ⇔ 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (iii) ‖𝛼𝛼𝒙𝒙‖ = | 𝛼𝛼 | ‖𝒙𝒙‖ , ∀ 𝛼𝛼 ∈ ℝ dan 𝒙𝒙 ∈ 𝑋𝑋 (iv) ‖𝒙𝒙 + 𝒚𝒚‖ ≤ ‖𝒙𝒙‖ + ‖𝒚𝒚‖
, ∀ 𝒙𝒙 , 𝒚𝒚 ∈ 𝑋𝑋
Pasangan ( 𝑋𝑋 , ‖ . ‖ ) disebut ruang norm.
Definisi 2.2.3 [7] Diberikan ( 𝑋𝑋 , ‖ . ‖ ) suatu ruang norm.  Jika setiap barisan Cauchy di 𝑋𝑋 konvergen maka 𝑋𝑋 disebut ruang norm yang lengkap. Ruang norm yang lengkap disebut juga dengan ruang Banach.
Definisi 2.2.4 [5] Diberikan ruang Banach riil 𝐸𝐸 , 𝐶𝐶 subset E disebut suatu cone jika dan hanya jika: i. 𝐶𝐶 ≠ ∅ , 𝐶𝐶 ≠ {0} , dan ∀ 𝒙𝒙 , 𝒚𝒚 ∈ 𝐶𝐶 berlaku 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 ∈ 𝐶𝐶 ii. ∀𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ , dimana 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ≥ 0 dan 𝒙𝒙 , 𝒚𝒚 ∈ 𝐶𝐶 berlaku 𝑎𝑎𝒙𝒙 + 𝑏𝑏𝒚𝒚 ∈ 𝐶𝐶 iii. Jika 𝒙𝒙 ∈ 𝐶𝐶 dan – 𝒙𝒙 ∈ 𝐶𝐶 maka 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Definisi 2.2.5 [8] Misalkan 𝑋𝑋 suatu himpunan tak kosong. Relasi “ ≼ ” dikatakan urutan parsial pada 𝑋𝑋 jika memenuhi 1. untuk semua 𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 berlaku 𝑎𝑎 ≼ 𝑎𝑎 (refleksif)
2. untuk 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 𝑋𝑋 , jika 𝑎𝑎 ≼ 𝑏𝑏 dan b ≼ 𝑎𝑎 maka 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 (anti-simetris)
3. untuk 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 ∈ 𝑋𝑋 , jika 𝑎𝑎 ≼ 𝑏𝑏 dan b ≼ 𝑐𝑐 maka 𝑎𝑎 ≼ 𝑐𝑐 (transitif)
Definisi 2.2.6 [5] Diketahui 𝐶𝐶 ⊆ 𝐸𝐸 dengan 𝐸𝐸 suatu ruang Banach riil. Relasi " ≼ ” dikatakan urutan parsial pada 𝐶𝐶 yang didefinisikan dengan 𝑥𝑥 ≼ 𝑦𝑦 atau 𝑦𝑦 ≽ 𝑥𝑥 jika dan hanya jika 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ∈ 𝐶𝐶
Definisi 2.2.7 [2] Diberikan 𝑋𝑋 ≠ ∅ , E suatu ruang Banach riil. Pemetaan 𝑑𝑑 : 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 ⟶ ( 𝐸𝐸 , ≼ ) disebut metrik cone pada 𝑋𝑋 jika
(i) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≽ 0, ∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ;
(ii) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 ) , ∀𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 (iii) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≼ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑦𝑦 ) , ∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 .
Pasangan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) disebut ruang metrik cone.
Definisi 2.2.8 [1] Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) suatu ruang metrik cone. Barisan ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) di 𝑋𝑋 dikatakan (a) Barisan konvergen jika untuk setiap 𝒄𝒄 di 𝐸𝐸 dengan 𝟎𝟎 ≪ 𝒄𝒄 , terdapat 𝑁𝑁 sedemikian sehingga untuk semua 𝑛𝑛 > 𝑁𝑁 berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 ) ≪ 𝒄𝒄 untuk suatu titik  tetap 𝑥𝑥 di 𝑋𝑋 , (b) Barisan Cauchy jika untuk setiap 𝒄𝒄 di 𝐸𝐸 dengan 𝟎𝟎 ≪ 𝒄𝒄 , terdapat 𝑁𝑁 sedemikian sehingga untuk semua 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 > 𝑁𝑁 berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) ≪ 𝒄𝒄 .
Definisi 2.2.9 [5] Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) suatu ruang metrik cone  Jika  setiap barisan Cauchy di 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) konvergen maka ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) disebut ruang metrik cone yang lengkap.

## Definisi 2.2.10 [2]
Suatu cone 𝐶𝐶 disebut regular jika setiap barisan naik di suatu ruang Banach E yang terbatas ke atas adalah konvergen yaitu suatu barisan ( 𝒙𝒙 𝒏𝒏 ) di 𝐸𝐸 sedemikian hingga 𝒙𝒙 𝟏𝟏 ≼ 𝒙𝒙 𝟐𝟐 ≼ ⋯ ≼ 𝒙𝒙 𝒏𝒏 ≼ 𝒙𝒙 𝒏𝒏+𝟏𝟏 ≼ ⋯ ≼ 𝒚𝒚 untuk 𝒚𝒚 ∈ 𝐸𝐸 maka terdapat 𝒙𝒙 ∈ 𝐸𝐸 sedemikian hingga ‖𝒙𝒙 𝒏𝒏 − 𝒙𝒙‖ → 0 .
Definisi 2.2.11 [2] Suatu cone 𝐶𝐶 disebut normal jika terdapat bilangan 𝑘𝑘 > 0 sedemikian hingga untuk semua 𝒙𝒙 , 𝒚𝒚 ∈ 𝐸𝐸 berlaku
‖𝒙𝒙‖ ≤ 𝑘𝑘 ‖𝒚𝒚‖ dengan 𝟎𝟎 ≼ 𝒙𝒙 ≼ 𝒚𝒚 Bilangan positif terkecil 𝑘𝑘 yang memenuhi persamaan di atas disebut konstanta normal dari 𝐶𝐶 .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45

## Lemma 2.2.21 [5]
Setiap cone regular merupakan cone normal.
Berdasarkan Lemma 2.2.11, diketahui bahwa suatu cone regular juga merupakan cone normal, namun belum tentu bahwa cone normal merupakan cone regular .

## Lemma 2.2.13[4]
Diberikan (X,d) suatu ruang metrik cone dengan cone regular P. kemudian d(x,y) ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 P, untuk x, y ∈ X  dengan  x  ≠  y.  Misalkan 𝜑𝜑 : 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } → 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } adalah fungsi dengan yang memenuhi sifat sebagai berikut :
(i) 𝜑𝜑 ( 𝑖𝑖 ) = 0 𝐸𝐸 jika dan hanya jika t = 0 𝐸𝐸 ; (ii) 𝜑𝜑 ( 𝑖𝑖 ) ≪ R E t, untuk t ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ; (iii) 𝜑𝜑 ( 𝑖𝑖 ) ≤ R E 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) atau 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≤ R E 𝜑𝜑 ( 𝑖𝑖 ), untuk t ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } dan x, y ∈ X. Misalkan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } suatu barisan pada 𝑋𝑋 dengan { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 )} adalah barisan turun. Maka { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 )} konvergen ke r = 0 𝐸𝐸 atau r ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 .
Bukti Diberikan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } sebuah barisan pada 𝑋𝑋 dengan { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 )} monoton turun. Karena P cone regular dan 0 ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) ,untuk setiap n ∈ ℕ ,maka berdasarkan Definisi 2.2.7 terdapat r ∈ P sehingga 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) → 𝑟𝑟 dengan  n → ∞ Jika 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) = 0 , untuk suatu n maka bedasarkan Definisi 2.1.2 terbukti 𝑟𝑟 = 0 . Selanjutnya dapat diasumsikan d(x n , x n+1 ) ≠ 0 , untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ . Lalu, sesuai dengan yang diketahui pada Lemma, yaitu d(x n , x n+1 ) ∈ int P, untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ . Andaikan r ≠ 0 .
Karena P adalah cone regular, maka berdasarkan Lemma 2.2.10 P juga merupakan cone normal. Diberikan 𝐵𝐵 = { 𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑖𝑖 : ‖𝑖𝑖‖ < ‖𝑟𝑟‖ 𝑘𝑘 } , dimana K merupakan konstanta normal di cone P. Untuk setiap bilangan bulat positif a dengan 𝑎𝑎 < ‖𝑟𝑟‖ 𝑘𝑘 , dan 𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑖𝑖 , maka 𝑎𝑎𝑎𝑎 ‖𝑎𝑎‖ ∈ 𝐵𝐵 . Jadi B adalah himpunan tak kosong. Selanjutnya diasumsikan untuk setiap t ∈ B, berlaku
𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) , untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ .
Andaikan, terdapat t 0 ∈ B. Akibatnya terdapat bilangan postif m sehingga 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚+1 ) < 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 0 )
Karena { 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 )} monoton turun, diperoleh 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑚𝑚 , 𝑥𝑥 𝑚𝑚+1 ) < 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 0 ) , untuk setiap 𝑛𝑛 ≥ 𝑚𝑚 , yang mengakibatkan d(x n , x n+1 ) < 𝛷𝛷 (t 0 ), untuk setiap 𝑛𝑛 ≥ 𝑚𝑚 . Dimisalkan n → ∞ pada ketaksamaan diatas, diperoleh 𝑟𝑟 ≤ 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 0 ) ≪ 𝑖𝑖 0 ,
Yang mengakibatkan ‖𝑟𝑟‖ < 𝐾𝐾‖𝑖𝑖 0 ‖ , dimana K merupakan konstanta normal pada cone P .
Ketaksamaan ‖𝑖𝑖 0 ‖ ≥ ‖𝑟𝑟‖ 𝐾𝐾 , yang kontradiksi dengan asumsi bahwa 𝑖𝑖 0 ∈ 𝐵𝐵 .
Maka untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ 𝐵𝐵 , 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) ≤ 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 ) , untuk setiap 𝑛𝑛 ∈ ℕ . Untuk n → ∞ pada pertaksamaan diatas, diperoleh 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) ≤ 𝑟𝑟 .
Oleh karena itu, untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ 𝐵𝐵 ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
𝑟𝑟 − 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) ∈ 𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑦𝑦 = 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) + 𝑞𝑞 , untuk suatu 𝑞𝑞 ∈ 𝑖𝑖 .
Jadi, 0 ≤ 𝑞𝑞 ≪ 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) + 𝑞𝑞 .karena 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑖𝑖 , untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ 𝐵𝐵 . diperoleh 0 ≪ 𝛷𝛷 ( 𝑖𝑖 ) + 𝑞𝑞 ; dengan 0 ≪ 𝑟𝑟 .
Maka dapat disimpulkan bahwa r ∈ int P . ∎
Definisi 2.2.13 [5] Diberikan ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) suatu ruang metrik cone  Jika setiap barisan Cauchy di ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) konvergen maka ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) disebut ruang metrik cone yang lengkap.

## 2.3 Coincidence Point, Point of Coincidence dan Kompatibel Lemah
Konsep teorema titik tetap persekutuan di ruang metrik cone selain memenuhi cone regular atau cone normal juga memenuhi kondisi pemetaan yang bersifat kompatibel lemah. Berikut ini diberikan definisi coincidence point dan point of coincidence ,yaitu :

## Definisi 2.3.1[1]
Diberikan (X,d) suatu ruang metric cone dan f dan g self-maps pada X. jika w = fx =gx untuk suatu x ∈ 𝑋𝑋 , maka x disebut coincidence point dari f dan g sedangkan w disebut point of coincidence dari f dan g.
Berdasarkan definisi di atas,diketahui bahwa sebarang w ∈ 𝑋𝑋 sedemikian hingga berlaku w = fx =gx untuk suatu x ∈ 𝑋𝑋 maka w disebut point of coincidence dari f dan g.

## Definisi 2.3.2 [9]
Dua self-maps f dan g pada ruang metric cone X disebut kompatibel lemah jika fx= gx untuk suatu x ∈ 𝑋𝑋 34T berlaku fgx = gfx

## 2.4 Titik Tetap dan Titik Tetap Persekutuan
Definisi 2.4.1 [7]
Diberikan 𝑋𝑋 himpunan tak kosong dan pemetaan 𝑇𝑇 : 𝑋𝑋 ⟶ 𝑋𝑋 34T . 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 dikatakan titik tetap dari 𝑇𝑇 jika dan hanya jika 𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 . Selanjutnya notasi 𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥 ) yang menyatakan pemetaan 𝑇𝑇 untuk suatu 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 dapat dituliskan menjadi 𝑇𝑇𝑥𝑥 . Setelah mengetahui definisi dari kompatibel lemah dan point of coincidence berikut ini diberikan definisi titik tetap persekutuan yaitu sebagai berikut :

## Definisi 2.4.2 [1]
Diberikan f dan g self-maps kompatibel lemah dari himpunan X. jika f dan g memiliki point of coincidence w = fx = gx tunggal, maka w adalah titik tetap persekutuan tunggal dari f dan g.

## 2.5 Pemetaan kontraktif
Adapun definisi dari pemetaan kontraktif dinyatakan seperti di bawah ini:
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Definisi 2.5.1 [7] Diberikan 𝑋𝑋 = ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) suatu ruang metrik dan 𝑋𝑋 ≠ ∅ . Pemetaan 𝑇𝑇 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 dikatakan pemetaan kontraktif pada 𝑋𝑋 jika terdapat bilangan riil positif 𝛼𝛼 dengan 𝛼𝛼 < 1 sedemikian hingga
𝑑𝑑�𝑇𝑇 ( 𝑥𝑥 ), 𝑇𝑇 ( 𝑦𝑦 ) � ≤ 𝛼𝛼𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), ∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 𝜖𝜖 𝑋𝑋 .

## 3. METODE PENELITIAN
Penulisan dilakukan melalui studi literatur. Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah Membuktikan barisan ( 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) adalah barisan Cauchy pada ruang metrik cone, menunjukkan pemetaan 𝛾𝛾 dan 𝛼𝛼 mempunyai coincidence point, menunjukkan pemetaan 𝛿𝛿 dan 𝛽𝛽 mempunyai coincidence point, dan menunjukkan pemetaan 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 , 𝛾𝛾 dan 𝛿𝛿 mempunyai titik tetap persekutuan yang tunggal.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian  ini akan dibuktikan teorema titik tetap persekutuan dengan cone regular dari empat pemetaan kontraktif pada ruang metrik cone:

## 4.1 Teorema titik tetap persekutuan dengan cone regular

## Teorema 4.1
Diberikan (X,d) suatu ruang metrik cone dengan cone P
(a) Ruang metrik cone (X,d) lengkap,
(b) P adalah cone regular;
(c) 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 untuk semua x,y ∈ 𝑋𝑋 sehingga 𝑥𝑥 ≠ 𝑦𝑦 ; Diberikan suatu pemetaan 𝛽𝛽 , 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 , 𝛿𝛿 : 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 untuk setiap pasangan ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑖𝑖𝑛𝑛𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎 𝛽𝛽𝑋𝑋 ⊆ 𝛾𝛾𝑋𝑋 dan 𝛼𝛼𝑋𝑋 ⊆ 𝛿𝛿𝑋𝑋 dan
𝛷𝛷 R 1 �𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑥𝑥 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜓𝜓 1 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛿𝛿𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ) +
( 𝛿𝛿𝑦𝑦 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 )] � − 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛿𝛿𝑦𝑦 ) � (4.1)
Dimana 𝜓𝜓 R 1 : 𝑖𝑖 4 → 𝑖𝑖 dan 𝜓𝜓 R 2 : 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } → 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } adalah fungsi kontinu dengan sifat sebagai berikut :
(d) 𝜓𝜓 R 1 adalah monoton naik disemua empat variabel;
(e) 𝜙𝜙 1 ( 𝑖𝑖 ) = 𝜓𝜓 1 ( 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 ) untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖 ; (f) 𝜓𝜓 1 �𝑖𝑖 1 , 𝑖𝑖 2 , 𝑖𝑖 3 , 𝑖𝑖 4 � = 0 𝐸𝐸 jika dan hanya jika 𝜓𝜓 2 ( 𝑖𝑖 ) = 0 𝐸𝐸 jika dan hanya jika 𝑖𝑖 1 = 𝑖𝑖 2 = 𝑖𝑖 3 = 𝑖𝑖 4 = 𝑖𝑖 = 0 𝐸𝐸 ; (g) 𝜓𝜓 2 ( 𝑖𝑖 ) ≪ R E t untuk semua 𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ;
(h) 𝜓𝜓 2 ( 𝑖𝑖 ) ≤ R E 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) atau 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ≤ R E 𝜓𝜓 2 ( 𝑖𝑖 ) 𝑦𝑦𝑛𝑛𝑖𝑖𝑦𝑦𝑘𝑘 𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖 ∪ {0 𝐸𝐸 } dan 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 . Jika salah satu rentang 𝛼𝛼 X, 𝛽𝛽 X, 𝛾𝛾 X, dan 𝛿𝛿 X adalah subset tertutup dari (X,d) maka:
• Pasangan { 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 } mempunyai coincidence point;
• Pasangan { 𝛽𝛽 , 𝛿𝛿 } mempunyai coincidence point.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Jika pasangan { 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 } dan { 𝛽𝛽 , 𝛿𝛿 }kompatibel lemah, maka 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 , 𝛾𝛾 dan 𝛿𝛿 mempunyai titik persekutuan yang tunggal.
Bukti. Langkah 1 : Menunjukkan eksistensi coincidence point dari pasangan pemetaan { 𝜶𝜶 , 𝜸𝜸 } dan { 𝜷𝜷 , 𝜹𝜹 } Misalkan 𝑥𝑥 0 titik sebarang di 𝑋𝑋 . Karena 𝛽𝛽𝑋𝑋 ⊆ 𝛾𝛾𝑋𝑋 dan 𝛼𝛼𝑋𝑋 ⊆ 𝛿𝛿𝑋𝑋 , kita dapat mendefinisikan barisan { 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } dan { 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } di 𝑋𝑋 dengan 𝑦𝑦 2𝑛𝑛−1 = 𝛼𝛼𝑥𝑥 2𝑛𝑛−2 = 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛−1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛 = 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛−1 = 𝛾𝛾𝑥𝑥 2𝑛𝑛 , ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ (4.2)
• Pertama klaim bahwa { 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } adalah barisan Cauchy di ruang metrik cone ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) Andaikan bahwa terdapat 𝑝𝑝𝜖𝜖 ℕ P * sehingga 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 = 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 . Pilih 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2𝑝𝑝 dan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 dan digunakan pada fungsi Φ 1 di (4.1), diperoleh 𝜙𝜙 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 )) = 𝜙𝜙 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑥𝑥 2𝑝𝑝 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 )) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 2𝑝𝑝 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 2𝑝𝑝 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 2𝑝𝑝 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 2𝑝𝑝 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 ) + 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 2𝑝𝑝 )]) −𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 2𝑝𝑝 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑝𝑝+1 )) = 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 ), 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 ), 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 ), 1 2 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 ))                      (4.3) −𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 )) = 𝜓𝜓 1 ( 0 𝐸𝐸 , 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 ), 1 2 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 )) (4.4)
Berdasarkan poin (d) pada Teorema yaitu 𝜓𝜓 1 adalah fungsi naik kuat pada ke empat variabel, maka pada kasus khusus berlaku 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+1 , 𝑦𝑦 2𝑝𝑝+2 ) ≤ 𝐸𝐸 0 𝐸𝐸 , . selanjutnya dipilh 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 dan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2𝑛𝑛+2 dan berdasarkan persamaan (4.1), diperoleh 𝜙𝜙 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+3 )) ≤ R E 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 ), 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+3 ), 1 2 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+3 ))     (4.5)
−𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 ))
Dengan cara yang serupa, dapat disimpulkan bahwa
𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+3 ) ≤ R E 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+1 , 𝑦𝑦 2𝑛𝑛+2 ), ∀ 𝑛𝑛 ∈ ℕ (4.6)
Sekarang akan ditunjukkan, tanpa menghilangkan generalitasnya, bahwa 𝛾𝛾𝑋𝑋 adalah subset tertutup pada ruang metrik cone ( 𝑋𝑋 , 𝑑𝑑 ) . Berdasarkan persamaan (4.1), terdapat 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 sehingga 𝑧𝑧 = 𝛾𝛾𝑦𝑦 . misalkan 𝛼𝛼𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 , dari persamaan (4.1)
Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 )) (4.7) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ) + 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 )]) −𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 )).
Pada limit terbatas seperti 𝑛𝑛 → + ∞ dari fungsi kontinu 𝜓𝜓 1 , 𝜓𝜓 2 , diperoleh
Φ 1 �𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) � ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 (0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 ), 0 𝐸𝐸 , 1 2 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 )) − 𝜓𝜓 2 (0 𝐸𝐸 ) = 𝜓𝜓 1 (0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 ), 0 𝐸𝐸 , 1 2 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 )) .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Oleh karena itu, fakta bahwa 𝜓𝜓 1 naik kuat sehubungan dengan adanya variabel pertama menghasilkan
𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 ) ≤ 𝐸𝐸 0 𝐸𝐸 Akibatnya,
𝛼𝛼𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 (4.8)
Persamaan yang telah diperoleh yaitu, 𝛼𝛼𝑦𝑦 = 𝛾𝛾𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 , artinya u adalah coincidence point pada 𝛾𝛾 dan 𝛼𝛼 . Dari 𝛼𝛼𝑋𝑋 ⊂ 𝛿𝛿𝑋𝑋 dan persamaan (4.8), diperoleh 𝑧𝑧 ∈ 𝛿𝛿𝑋𝑋 . dapat disimpulkan bahwa terdapat 𝑣𝑣 ∈ 𝑋𝑋 sehingga 𝑧𝑧 = 𝛿𝛿𝑣𝑣 . misalkan 𝛽𝛽𝑣𝑣 = 𝑧𝑧 . Dari persamaan (4.1), diperoleh
Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ) = Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑣𝑣 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ) + 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 )] � − 𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 )) = 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ), 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ), 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ) + 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 )]) − 𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 )) = 𝜓𝜓 1 (0 𝐸𝐸 , 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ), 1 2 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ))
𝜓𝜓 1 naik kuat berdasarkan variabel pertama, sehingga 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ) ≤ 𝐸𝐸 0 𝐸𝐸 , yaitu 𝑇𝑇𝑣𝑣 = 𝑧𝑧 (4.9)
Diperoleh 𝛿𝛿𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝑣𝑣 = 𝑧𝑧 , sehingga v adalah coincidence point pada 𝛿𝛿 dan 𝛽𝛽 .
Langkah 2 : Menunjukkan eksistensi titik tetap persekutuan empat pemetaan Karena pasangan { 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 } kompatibel lemah , dari persamaan (4.8), diperoleh 𝛼𝛼𝑧𝑧 = 𝛼𝛼𝛾𝛾𝑦𝑦 = 𝛾𝛾𝛼𝛼𝑦𝑦 = 𝛾𝛾𝑧𝑧 . Misalkan 𝛼𝛼𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 . Dari persamaan (4.1), diperoleh Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 )) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛼𝛼𝑧𝑧 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ) , = 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ), 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ) , 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ) + 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 )]) − 𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑥𝑥 2𝑛𝑛+1 ) (4.10)
Pada limit dengan batas → + ∞ , diperoleh
Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 )) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 �𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ), 0 𝐸𝐸 , 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ) � − 𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 )) ≤ 𝐸𝐸 Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ) ) −𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 )) .
Oleh karena itu, 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 ) � ∈ 𝑖𝑖 ∩ ( −𝑖𝑖 ) = { 0 𝐸𝐸 } . Maka diperoleh 𝛼𝛼𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 = 𝛾𝛾𝑧𝑧 (4.11)
Karena pasangan { 𝛽𝛽 , 𝛿𝛿 } kompatibel lemah , dari persamaan (4.9), diperoleh 𝛽𝛽𝑧𝑧 = 𝛽𝛽𝛿𝛿𝑣𝑣 = 𝛿𝛿𝛽𝛽𝑣𝑣 = 𝛿𝛿𝑧𝑧 . Misalkan 𝛽𝛽𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 . Maka berdasarkan persamaan (4.1), diperoleh Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 )) = Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 )) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑧𝑧 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛼𝛼𝑧𝑧 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 ) + 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑧𝑧 )]) − 𝜓𝜓 2 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑧𝑧 , 𝛿𝛿𝑧𝑧 )) = 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽 𝑧𝑧 ), 0 𝐸𝐸 , 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽 𝑧𝑧 )) − 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽 𝑧𝑧 ) � ≤ 𝐸𝐸 Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 ) ) −𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 ) � . (4.12)
Akibatnnya, 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝑧𝑧 , 𝛽𝛽𝑧𝑧 ) � ∈ 𝑖𝑖 ∩ ( −𝑖𝑖 ) = { 0 𝐸𝐸 }. Maka diperoleh 𝛽𝛽𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 = 𝛿𝛿𝑧𝑧 . (4.13)
Selanjutnya, dengan menggabungkan persamaan (4.11) dan persamaan (4.13), dapat disimpulkan
𝑧𝑧 = 𝛾𝛾𝑧𝑧 = 𝛼𝛼𝑧𝑧 = 𝛽𝛽𝑧𝑧 = 𝛿𝛿𝑧𝑧 ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
Jadi z merupakan titik tetap persekutuan pada ke empat pemetaan 𝛾𝛾 , 𝛿𝛿 , 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 .
Langkah 3 : Menunjukkan ketunggalan titik tetap persekutuan empat pemetaan
Diasumsikan dengan suatu pernyataan yang bertentangan, yaitu 𝛼𝛼𝑦𝑦 = 𝛽𝛽𝑦𝑦 = 𝛾𝛾𝑦𝑦 = 𝛿𝛿𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 dan 𝛼𝛼𝑣𝑣 = 𝛽𝛽𝑣𝑣 = 𝛾𝛾𝑣𝑣 = 𝛿𝛿𝑣𝑣 = 𝑣𝑣 tetapi 𝑦𝑦 ≠ 𝑣𝑣 . Dengan asumsi tersebut, x dapat digantikan dengan u dan y dapat digantiakan dengan v pada persamaan (4.1) untuk memperoleh
Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑣𝑣 )) = Φ 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 )) ≤ 𝐸𝐸 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑣𝑣 , 𝛽𝛽𝑣𝑣 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝛾𝛾 , 𝛽𝛽𝛽𝛽 ) +𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝛾𝛾 , 𝛿𝛿𝛽𝛽 ) 2 −𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑦𝑦 , 𝛿𝛿𝑣𝑣 ) � = 𝜓𝜓 1 ( 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑣𝑣 ), 0 𝐸𝐸 , 0 𝐸𝐸 , 𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑣𝑣 )) − 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑣𝑣 ) � ≤ 𝐸𝐸 Φ 1 �𝑑𝑑 ( 𝑦𝑦 , 𝑣𝑣 ) � .
Sebuah kontradiksi, jadi 𝑦𝑦 = 𝑣𝑣 . dapat kita simpulkan bahwa 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 , 𝛾𝛾 , dan 𝛿𝛿 hanya memiliki satu titik tetap persekutuan pada X . ∎

## 5. KESIMPULAN
Dalam penelitian ini dapat disimpulkan bahwa titik tetap persekutuan dengan cone regular dari empat pemetaan 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 , 𝛾𝛾 dan 𝛿𝛿 yang memenuhi ketaksamaan
𝛷𝛷 R 1 �𝑑𝑑 ( 𝛼𝛼𝑥𝑥 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ) � ≤ 𝜓𝜓 1 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛿𝛿𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 ), 𝑑𝑑 ( 𝛿𝛿𝑦𝑦 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ), 1 2 [ 𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛽𝛽𝑦𝑦 ) +
( 𝛿𝛿𝑦𝑦 , 𝛼𝛼𝑥𝑥 )] � − 𝜓𝜓 2 �𝑑𝑑 ( 𝛾𝛾𝑥𝑥 , 𝛿𝛿𝑦𝑦 ) � dan pasangan { 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 } dan { 𝛽𝛽 , 𝛿𝛿 } pemetaan kompatibel lemah maka pemetaan 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 , 𝛾𝛾 dan 𝛿𝛿 memiliki titik tetap persekutuan yang tunggal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Abbas, M. & G. Jungck. 2007. Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications.341 : 416-420.
[2] Alimohammady, M., J. Balooee, S. Radojevic, V. Rakocevic, M. Roohi. 2011. Conditions of regularity in cone metric spaces . Applied Mathematics and ComputationElsevier . 217 : 6359-6363.
[3] Bartle, R. G., & D. R . Shelbert. 2000. Introductory to Real Analysis. Edisi ke-3. John Wiley dan Sons. Inc, New York.
[4] Binayak S. Choudhury and N Metiya, Fixed Points Of Weak Contraction in Cone Metric Spaces, Nonlinier Anal. 72(2010)1589-1593.
http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2009.08.040
[5] Guang, H.L & Z. Xian. 2006. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 332 : 1468–1476.
[6] H. Aydi, H. K. Nashine. 2012. Common Fixed Point for Generalized  Contractive Mappings in Cone Metric Space. Vol. 2012, Article ID jnaa-00133, p. 12, doi : 10.5899/2012/jnaa-00133.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 35-45
[7] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. University of Windsor, Canada
[8] Munkres, J.R. 2000. Topology . Edisi ke-2. Massachusetts Institute of Technology, United States of America
[9] Song, Guangxing, Sun, Xiaoyan, Zhao, Yian, dan Wang, Guatao. 2010. New Common Fixed Point Theorems for Maps on Cone Metric Space. Applied Mathematics Latters 23 1033-1037.