http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika

## PERAMALAN DATA PENUMPANG KERETA API JANUARI 2013-NOVEMBER 2018 DENGAN MENGGUNAKAN
MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM- RECURRENT NEURAL NETWORK (MODWT-RNN)

## Mira Andriyani, Subanar
Departemen Matematika, FMIPA Universitas Gadjah Mada
e-mail : miraandriyani1993@gmail.com
DOI: 10.14710/medstat.12.2.164-174

## Article Info:
Received: 26 June 2019 Accepted: 21 December 2019
Available Online: 30 December 2019 Keywords: MODWT, RNN, Train Passengers
Abstract: The  train  is  one  of  the  public  transportation that  is  very  popular  because  it  is  affordable  and  free  of congestion. There is often a buildup of train passengers at the station so that it sometimes causes an accumulation of passengers  at  the  station  and  makes  the  situation  at  the station to be not conducive. In order to avoid a buildup of passengers,  forecasting  the  number  of  passengers  can  be done. Forecasting is determined based on data in previous times.  Data  of  train  passengers  in  Java  (excluding Jabodetabek)  forms  a  non-stationary  and  contains nonlinear  relationships  between  the  lags.  One  of  the nonlinear  models  that  can  be  used  is  Recurrent  Neural Network  (RNN).  Before  RNN  modeling,  Maximal Overlap  Wavelet  Transform  (MODWT)  was  used  to make  data  more  stationary.  Forecasting  model  of  train passengers  in  Java  excluding  Jabodetabek,  Indonesia using  MODWT-RNN  results  forecasting  with  RMSE  is 252.85,  while  RMSE  of  SARIMA  and  RNN  are  434.97 and  320.48.  These  results  indicate  that  the  MODWT- RNN  model  gives  a  more  accurate  result  than  SARIMA and RNN.

## 1. PENDAHULUAN
Alat  transportasi  merupakan salah satu  kebutuhan penting manusia.  Dari  beberapa alat  transportasi,  kereta  api  merupakan  salah  satu  angkutan  umum  yang  sangat  diminati masyarakat  karena  terjangkau  dan  bebas  dari  kemacetan.  Tingginya  animo  masyarakat untuk  menggunakan  kereta  api  menimbulkan  permasalahan  baru.  Terdapat  dua permasalahan  pokok  yang  muncul  yaitu,  kapasitas  kereta  dan  frekuensi  penyediaan layanan. Pada waktu tertentu seperti saat mendekati hari besar atau hari libur, sering terjadi penumpukan  penumpang  di  stasiun.  Penumpukan  penumpang  tersebut  menyebabkan situasi  di  stasiun  menjadi  tidak  kondusif,  kotor,  dan  dimungkinkan  terjadinya  berbagai tindak  kriminal.  Pengaturan  yang  tepat  tentang  jadwal  keberangkatan  dan  kedatangan kereta  serta  penyediaan  banyak  armada  kereta  api  yang  cukup  dapat  menjadi  cara  untuk
mengatasi penumpukan penumpang. Sebagai contoh jadwal yang tepat misalnya tidak ada kedatangan  kereta  dengan  jumlah  penumpang  banyak  ketika  di  stasiun  ada  banyak penumpang yang sedang menunggu keberangkatan. Penyediaan banyaknya kereta api juga harus  tepat  agar  tidak  merugikan  penyedia  layanan.  Jadwal  dan  banyak  kereta  api  dapat ditentukan  dengan  tepat  salah  satunya  dengan  memprediksi  banyaknya  penumpang  di waktu  mendatang  menggunakan  metode  peramalan.  Peramalan  ditentukan  berdasar  data- data di waktu-waktu sebelumnya.
Data banyaknya penumpang kereta api di Jawa yang digunakan dalam makalah ini merupakan  data  runtun  waktu  (periode  bulanan).  Setelah  dilakukan  uji  kestasioneran  dan dibuat  grafik  datanya,  data  tersebut  bersifat  tidak  stasioner  dan  berpola  musiman. Pemodelan Seasonal  Autoregressive  Integrated  Moving  Average (SARIMA)  merupakan salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  data  yang  bersifat  tidak stasioner dan memuat pola musiman (Jeong, Koo, dan Hong, 2014). Pemodelan SARIMA tersebut  yang  sering  digunakan  untuk  memodelkan  peramalan  dengan  sifat-sifat  tersebut seperti  yang  dilakukan  Kafara,  Rumlawang,  dan  Sinay  (2017)  dan  referensi  yang  dapat digunakan antara lain Wei (2006). Namun, jika dilakukan pengecekan lebih lanjut terhadap sifat  kelinieran  data,  metode  SARIMA  hanya  tepat  untuk  data  yang  bersifat  linier. Ketepatan  tersebut  dapat  dilihat  dari  bentuk  hubungan  antar  lag  pada  rumusan  model SARIMA  yang  menunjukkan  hubungan  linier  antar  lag-nya.  Oleh  karena  itu,  jika hubungan  antar  lag  bersifat  nonlinier  maka  model  SARIMA  tidaklah  tepat.  Setelah dilakukan pengecekan terhadap data penumpang kereta api yang dibahas pada makalah ini, data bersifat nonlinier sehingga model SARIMA kurang tepat jika digunakan. Pemodelan yang hasilnya lebih tepat adalah pemodelan nonlinier.
Salah  satu  bentuk  pemodelan  nonlinier  adalah  dengan  menggunakan Neural Network (NN). NN tidak memerlukan asumsi awal (Alexandridis dan Zaprans, 2013) dan dapat  mendekati  sebarang  fungsi  kontinu  (Zhang,  2012).  Pada  NN,  setiap  lapisan  terdiri dari satu  atau lebih banyaknya neuron. Setiap neuron (kecuali neuron pada lapisan input ) diaktivasi  dengan  suatu  fungsi  aktivasi  yang  biasanya  merupakan  fungsi  nonlinier.  Oleh karena  fungsi  aktivasi  nonlinier  tersebut,  NN  termasuk  ke  dalam  pemodelan  nonlinier. Banyak tipe  NN berdasar arsitekturnya  yang dikembangkan untuk masalah-masalah  yang berbeda  dan Recurrent  Neural  Network (RNN)  salah  satu  diantaranya.  RNN  merupakan NN  dengan  arsitektur  terdiri  atas  satu  lapisan input ,  setidaknya  satu  lapisan  tersembunyi, lapisan recurrent , dan satu lapisan output .
Salah  satu  bentuk  RNN  adalah  RNN  Elman  (Elman,  1990).  Pada  RNN  Elman, lapisan tambahan ( recurrent ) merupakan lapisan  yang input -nya dari lapisan tersembunyi dan output -nya juga menuju lapisan tersembunyi. Lapisan recurrent menyimpan informasi dari iterasi sebelumnya untuk menjadi input di lapisan tersembunyi pada iterasi berikutnya. Artinya, iterasi pada RNN menyimpan informasi masa lalu.
Input pada  NN  memiliki  peranan  penting  karena  pola  atau  model  yang  terbentuk bergantung  padanya.  Pada input RNN  untuk  peramalan time  series adalah  lag-lag  data. Penentuan  banyak input dan  lag-lag  yang  digunakan  menjadi  salah  satu  masalah  dalam NN.  Menurut  Giovanis  (2010),  lag  untuk input dapat  dipilih  berdasar  metode  ARIMA terbaik. ARIMA terbaik dapat ditentukan dengan nilai Root Mean Squared Error (RMSE).
Seperti  teknik  pemodelan  pada  umumnya,  persiapan  data  pada  NN  juga  memiliki peranan  yang  cukup  penting  terutama  untuk  data  yang  memuat  pola  tren  dan  musiman. Zhang  dan  Qi  (2005)  menyatakan  bahwa differencing dan  deseasonalisasi  dapat memperbaiki hasil NN. Tidak hanya dengan differencing dan deseasonalisasi, dekomposisi
data  sebelum  proses  NN  juga  dapat  meningkatkan  keakuratan  hasil  peramalan  (Reis  dan Silva  (2005),  Liang  dan  Liang  (2006),  Zhang,  Gencay,  dan  Yazgan  (2017)).    Hasil penelitian  tersebut  menyebabkan  munculnya hybrid NN  dan  salah  satunya  adalah hybrid antara transformasi wavelet dan NN. Salah satu tipe transformasi wavelet adalah Discrete Wavelet  Transform (Daubechies,  1992).  Huang  dan  Wang  (2018)  menggunakan Discrete Wavelet  Transform (DWT)  untuk  mendekomposisi  data  menjadi  beberapa  subbarisan kemudian  setiap  subbarisan  hasil  dekomposisi  tersebut  dilakukan Stochastic  Recurrent Wavelet  Neural  Network (SRWNN).  Hasil  penelitiannya  menyatakan  bahwa  metode DWT-SRWNN mampu memberikan akurasi prediksi global energy price yang lebih baik dibanding  metode Backpropagation  Neural  Network (BPNN), Wavelet  Neural  Network (WNN), SRWNN, dan Long Short-Term Memory (LSTM).
Discrete Wavelet Transform (DWT) terbatas hanya pada data dengan banyak , bilangan  bulat  positif.  Untuk  mengatasi  kelemahan  DWT  dapat  digunakan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) (Zhu, Wang, dan Fan, 2014) dan terbukti bahwa  MODWT  memberikan  hasil  peramalan  yang  lebih  baik.  Oleh  karena  data  yang dibahas banyaknya bukan kelipatan dua, berbeda dengan yang dilakukan Huang dan Wang (2018) yang menggunakan DWT, dalam makalah ini akan digunakan MODWT. MODWT digunakan untuk pemrosesan awal data dan selanjutnya hasil MODWT dimodelkan dengan menggunakan  RNN  sebagai  model  nonlinier.  Penggabungan  MODWT  dan  metode  RNN pada  makalah  ini  disebut  MODWT-RNN.  Pemodelan  menggunakan  SARIMA  dan  RNN juga akan dilakukan untuk mendukung pernyataan bahwa pemodelan MODWT-RNN lebih akurat dibandingkan kedua metode tersebut untuk data tidak stasioner dan nonlinier.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT)
MODWT merupakan salah satu bentuk modikasi dari DWT. Berbeda dengan DWT yang mensyaratkan data harus memenuhi kelipatan dua, MODWT dapat digunakan untuk sebarang  ukuran  sampel N. Oleh  karena  itu  MODWT  memiliki  kelebihan  yaitu  mampu menghindari  pengurangan  data  ( downsampling ).  Dalam  MODWT  ada  sebanyak N koefisien wavelet dan koefisien skala pada masing-masing levelnya (Percival dan Walden, 2000).
Filter wavelet MODWT * ̃ + dengan ̃ √ dan filter skala MODWT adalah * ̃ + dengan ̃ √ . dan masing-masing  adalah  filter  wavelet  dan  filter  skala pada DWT. Filter wavelet MODWT harus memenuhi sifat berikut:
∑ ̃ , ∑ ̃ , dan ∑ ̃ ̃ (1)
Filter skala MODWT harus memenuhi sifat:
∑ ̃ , ∑ ̃ , dan ∑ ̃ ̃ (2)
untuk setiap bilangan bulat berlaku
∑ ̃ ̃ (3)
Didefnisikan matriks berukuran
berisi  filter ̃ dan matriks ukuran berisi  filter ̃ .  Matriks dan adalah  matriks  MODWT  level .  Suatu  filter { ̃ } dengan lebar
(     )
mempunyai deret
̃ ̃ ̃ ̃
(nol  diantara  dua  filter  tak  nol  sebanyak ) seperti pada Subanar dan Suhartono (2009). Tabel 1 menunjukkan banyak nol pada selang dua nilai filter tak nol.
Tabel 1 Penentuan Banyak Selang Nol Level ( ) 1 0 2 2 3 3
Berdasar  Tabel  1,  untuk  level  dua  ada  sebuah  nol  di  antara  dua  filter  tak  nol. Berpedoman pada Tabel 1 juga dapat diturunkan matriks dan untuk berbagai level , ukuran ,  dan  ukuran .  Dengan dan ,  transformasi  MODWT  dari ̃ ke ̃ dan ̃ dapat dinyatakan sebagai berikut:
[ ̃ ̃ ] ̃ [ ] ̃ (4)
dengan [ ] , ̃ dapat diperoleh kembali dengan
̃ [ ̃ ̃ ]   [ ] [ ̃ ̃ ] ̃ ̃ (5)
Selanjutnya ̃ ,  maka  dengan  mengaplikasikan  tahap-tahap  seperti  di  atas  sampai level , dapat ditemukan kembali dari MODWT melalui:
̃
̃ ̃
̃ ( ̃ ̃ ) (6)
̃ ̃ ̃ ̃ ̃
Dari persamaan tersebut, sinyal detail dan smooth pada MODWT level ke- dapat dinyatakan sebagai:
̃ (7) ̃ (8)
sehingga dapat dinyatakan ∑ (9)
disebut wavelet detail dan disebut wavelet smooth MODWT.
2.2. Recurrent Neural Network (RNN) Elman
RNN  merupakan  NN  dengan feedback .  Gambar  1  menunjukkan  arsitektur  RNN Elman  dengan neuron  (misalkan ; ; ; )  di  lapisan input , neuron  di lapisan tersembunyi, dan satu neuron di lapisan output , dengan
menunjukkan indeks neuron di lapisan input.
menunjukkan indeks neuron di lapisan tersembunyi.
bobot bias neuron ke-j pada lapisan tersembunyi.
bobot  yang  menghubungkan  neuron input ke ( ) dengan  neuron lapisan tersembunyi ke
.
Hasil aktivasi dengan fungsi aktivasi di lapisan tersembunyi.
( ) dengan merupakan fungsi aktivasi.
neuron lapisan tersembunyi ke
Gambar 1 Arsitektur RNN Elman
neuron lapisan recurrent ke .
bobot  yang  menghubungkan  neuron  lapisan  tersembunyi  ke dengan neuron lapisan recurrent ke .
bobot bias neuron pada lapisan output . bobot  yang  menghubungkan  neuron  hasil  aktivasi  ke pada  lapisan tersembunyi dengan neuron output.
̃ neuron output (hasil)
Berdasarkan arsitektur pada Gambar 1 dapat diperoleh:
∑ ∑ (10) ( ) (11) ̃ ∑ (12)
dengan menyatakan fungsi aktivasi pada lapisan tersembunyi.
Estimasi  bobot  model  RNN  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Gradient Descent dengan  momentum  dan adaptive  learning  rate .  Momentum  digunakan  untuk mengatasi  perubahan  yang  drastis  antara  galat  ke dengan  galat  ke dengan peredaman  (Moller,  1997). Adaptive  learning  rate digunakan  untuk  meningkatkan kecepatan pembelajaran dan menjaga agar pembelajaran tetap stabil  (Utomo, D., Pujiono, dan  Soeleman,  M.  A.,  2017).  Tujuan  akhir  dari  metode Gradient  Descent dengan momentum  dan adaptive  learning  rate adalah  untuk  meminimumkan (seperti  pada persamaan  (13))  yaitu  hingga  nilainya  kurang  dari  galat  yang  ditetapkan  sebagai  batas minimum.
∑ ( ̃ ) (13)
Pembelajaran RNN dapat dilakukan dengan memperbarui (meng- update ) bobot hubungan dan .  Berdasar  aturan  pembaharuan  bobot,  gradien  dari  bobot  hubungan adalah
( ) (   ) (14)
Sehingga persamaan yang digunakan untuk perbaikan bobot-bobot dalam RNN adalah:
(   )
( ) ( ) ( ) (   ) ∑ ( ̃ ) ( ) (15)
Perbaikan  bobot  dilakukan  sampai  galat  mencapai  nilai  yang  ditetapkan  atau  banyaknya iterasi telah mencapai batas maksimum yang ditentukan.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Data
Data  yang  digunakan  adalah  data  penumpang  kereta  api  di  Pulau  Jawa  (kecuali Jabodetabek) dari Januari 2013 hingga November 2018 yang diperoleh dari bps.go.id. Data tersebut  merupakan  data  runtun  waktu  bulanan.  Penentuan  model  ramalan  menggunakan data banyak penumpang Januari 2013-September 2017 dan data Oktober 2017-November 2018 digunakan sebagai testing data.

## 3.2.   Langkah Analisis
Langkah  awal  yang  dilakukan  adalah  menganalisis  karakteristik  data  yang meliputi sifat kestasioneran, pola data, dan sifat nonlinier.

## Gambar 2 Grafik ACF Data Penumpang Kereta di Pulau Api Jawa
Berdasarkan  Gambar  2,  data  penumpang  kereta  api  Jawa  Januari  2013-September 2018 bersifat tidak stasioner dilihat dari plot ACF setelah lag 0 yang turun perlahan.

## Gambar 3 Grafik Data Penumpang Kereta Api di Pulau Jawa
Terlihat  dari  Gambar  3  bahwa  data  bersifat  musiman  ditandai  banyaknya penumpang di setiap Bulan Januari di atas sementara Februari selalu di bawah, begitu juga bulan  lainnya  memiliki  pola  yang  hampir  sama  setiap  tahunnya.  Oleh  karena  itu,  data termasuk memuat pola musiman.
Setelah  mengetahui  sifat  kestasioneran  dan  pola  data,  langkah  berikutnya  adalah menentukan  model  ARIMA  terbaik  untuk  mengetahui  lag  yang  signifikan  berpengaruh. Kemudian  dilakukan  Uji  Terasvirta  untuk  mengetahui  apakah  data  memuat  hubungan nonlinier diantara lag-lag yang signifikan berpengaruh.
Tabel  2  menunjukkan  bahwa  lag  1  bersifat  linier  ( )  terhadap data ke- sedangkan lag- dan lag- bersifat nonlinier.
Tabel 2 Hasil Uji Terasvirta Lag-1, Lag-12, dan Lag-13 Lag ke- X-squared df p-value
Setelah  diketahui  bahwa  data  bersifat  tidak  stasioner  dan  nonlinier,  selanjutnya akan  dilakukan  pemodelan  ramalan  dengan  MODWT-RNN.  MODWT  merupakan  tahap awal  untuk  mengurangi  ketidakstasioneran  data  sebelum  dilakukan  pemodelan  RNN. MODWT-RNN  merupakan  RNN  dengan  neuron-neuron input -nya  adalah  sinyal  hasil MODWT.  Pada  arsitektur  RNN  pada  Gambar  1,  neuron input adalah , sedangkan  pada  MODWT-RNN  masing-masing  neuron input tersebut  ditransformasi
MODWT level
1 terlebih dahulu sehingga dihasilkan
(     ) (     ) (     ) (     ) .
Hasil  MODWT  kemudian  dijadikan input pada  RNN.  Sinyal-sinyal  yang  sejenis hasil  MODWT  (misal (     ) (     ) (     ) )  dikelompokkan  kemudian masing-masing kelompok sinyal dimodelkan dengan RNN. Pada kelompok sinyal juga dilakukan RNN sehingga  diperoleh output ̃ . Output akhir peramalan dengan MODWT- RNN adalah penjumlahan dari ̃ dan ̃ . Tahapan  yang dilakukan setelah  diperoleh lag- lag yang akan digunakan sebagai input (misalkan diperoleh lag yang signifikan adalah lag- 1, lag-2, dan lag-3) adalah sebagai berikut:
a. MODWT untuk setiap lag yang signifikan dengan filter Haar level 1 sehingga diperoleh dua kelompok sinyal (sinyal detail ( ) dan sinyal smooth ( )).
b. Melakukan  pemodelan  RNN  untuk  setiap  kelompok  sinyal  sehingga  dihasilkan ̃ dan ̃ . RNN menggunakan (     ) (     ) (     ) sebagai input sedangkan ( ) sebagai  target.  Begitu  juga  dengan  RNN menggunakan (     ) (     ) dan (     ) sebagai input sedangkan ( ) sebagai target.
c. Hasil pemodelan MODWT-RNN adalah
̃ ̃ ̃ dengan
̃ ̃ ∑ ̃ ̃ dan ̃ ̃ ∑ ̃ ̃ dengan ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ adalah bobot-bobot  yang  diperoleh  pada  iterasi  terakhir.  Sedangkan ̃ ( ̃ ) , ̃ ̃ ∑ ̃ (     )   ∑ ̃ ,  dan ( ̃ ) ̃ ̃ .    Sementara ̃
( ̃ ) , ̃ ̃ ∑ ̃ (     )   ∑ ̃ dan ( ̃ ) ̃ ̃ .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Model SARIMA, RNN, dan MODWT-RNN Terbaik
Tujuan  dari  makalah  ini  adalah  untuk  menunjukkan  bahwa  peramalan  dengan MODWT-RNN lebih akurat untuk data tidak stasioner dan nonlinier dibandingkan metode yang  pernah  ada  (SARIMA  dan  RNN).  Berdasarkan  analisis  plot  ACF/PACF  diperoleh beberapa  model  SARIMA  yang  mungkin  dan  dari  beberapa  model  tersebut  dipilih  yang menghasilkan  RMSE  terkecil  sebagai  pemodelan  SARIMA  terbaik.  ARIMA
(0,1,1)(1,0,0)[12]  adalah  pemodelan  SARIMA  terbaik  untuk  data  banyak  penumpang kereta,  dan  dari  model  tersebut  diperoleh  bahwa  lag  yang  signifikan  berpengaruh  adalah lag-1,  lag-12,  dan  lag-13.  Hasil  uji  Terasvirta  terhadap  ketiga  lag  tersebut  menunjukkan bahwa terhadap lag-1 data memiliki hubungan linier, sedangkan terhadap lag-12 dan lag- 13  hubungannya  nonlinier.  Penentuan  model  RNN  terbaik  dilakukan  dengan  cara  coba- coba  dan  dipilih  arsitektur  RNN  yang  menghasilkan  RMSE  terkecil.  RNN  (3,2,1)  adalah arsitektur terbaik untuk data ini dan selanjutnya juga dilakukan pemodelan MODWT-RNN (3,2,1).

## 4.2. RMSE Model SARIMA, RNN, dan MODWT-RNN
Kriteria kebaikan model peramalan yang digunakan pada penelitian ini adalah nilai RMSE. Semakin kecil nilai RMSE suatu model, semakin akurat hasil peramalan. Tabel 2 menunjukkan  perbandingan  nilai  RMSE  ketiga  model  yang  telah  digunakan  untuk memodelkan data banyak penumpang kereta api.

## Tabel 3 Perbandingan RMSE Peramalan Penumpang Kereta Api
Model RMSE Training Testing SARIMA (0,1,1)(1,0,0)[12] 434,97 527,31 RNN (3,2,1) 320,48 602,05 MODWT-RNN (3,2,1) 252,85 454,70
Berdasarkan  Tabel  2  diperoleh  bahwa  pemodelan  MODWT-RNN  merupakan pemodelan  terbaik  untuk  data  banyak  penumpang  kereta  api  karena  nilai  RMSE  terkecil. Pemodelan  nonlinier  RNN  memberikan  hasil  yang  lebih  baik  dibanding  model  SARIMA pada  data  training.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  untuk  data  yang  memuat  hubungan nonlinier  (diantara  lag-nya),  pemodelan  linier  (SARIMA)  memberikan  hasil  yang  kurang akurat.  Suatu  pilihan  yang  tepat  jika  pemodelan  nonlinier  seperti  RNN  yang  digunakan untuk memodelkan ramalan data yang memuat hubungan nolinier.
Data  penumpang  kereta  yang  digunakan  juga  merupakan  data  yang  bersifat  tidak stasioner. Tujuan MODWT pada penelitian ini adalah untuk  membuat  data menjadi  lebih stasioner sehingga data lebih mudah dianalisis. Berdasarkan hasil pemodelan data banyak penumpang  kereta  api  tersebut  terbukti  bahwa  ketika  dilakukan  MODWT  sebelum dilakukan  pemodelan  nonlinier  RNN  hasilnya  lebih  baik  dibandingkan  pemodelan  tanpa MODWT  terlebih  dulu.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  untuk  data  yang  bersifat  stasioner, proses  awal  untuk  membuat  data  lebih  stasioner  sebelum  dilakukan  pemodelan  adalah pilihan terbaik agar hasil peramalan lebih akurat.
4.3. Perbandingan Hasil Peramalan Model SARIMA, RNN, dan MODWT-RNN
Hasil  peramalan  ketiga  model  yang  digunakan  juga  terlihat  dari  Gambar  4. Berdasarkan  Gambar  5,  garis  hijau  paling  dekat  dengan  garis  hitam  (data  asli).  Hasil  ini menunjukkan bahwa peramalan banyak penumpang kereta api di Jawa dengan MODWT- RNN adalah pemodelan yang terbaik dibandingkan model SARIMA maupun RNN.
Gambar 5. Grafik Data Banyak Penumpang Kereta dan Hasil Peramalan Model ARIMA, RNN, dan MODWT-RNN

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  nilai  RMSE,  model  MODWT-RNN  merupakan  model  terbaik  dalam meramalkan  banyaknya  penumpang  kereta  di  Jawa  (kecuali  Jabodetabek)  dibandingkan model  ARIMA  dan  RNN.  Peneliti  lain  dapat  mengembangkan  penelitian  ini  dengan menggunakan filter dan  level  lain. Selain itu, juga dapat  dilakukan pemodelan MODWT- RNN  dengan  menggunakan  Uji  Wald  atau  Uji  F  untuk  menentukan  banyaknya  neuron tersembunyi.

## DAFTAR PUSTAKA
Alexandridis,  A.  K.  dan  Zapranis,  A.  D.  2013.  Wavelet  Neural  Network:  A  practical Guide, Neural Networks . Vol. 42, hal. 1–27.
Daubechies, I. 1992. Ten Lectures of Wavelets . New York: Springer Verlag.
Elman, J. L. 1990. Finding Structure in Time. Cognitive Science 14 , hal. 179–211.
Giovanis, E. 2010. Application of Feed-Forward Neural Networks Autoregressive Models with Genetic Algorithm in Gross Domestic Product Prediction, World Academy of Science, Engineering and Technology . 64.
Huang,  L.  dan  Wang,  J.  2018.  Forecasting  Energy  Fluctuation  Model  by  Wavelet Decomposition and Stochastic Recurrent Wavelet Neural Network, Neurocomputing . 309 (2018), hal. 70–82.
Jeong, K., Koo, C., dan Hong, T. 2014. An Estimation Model for Determining the Annual Energy  Cost  Budget  in  Educational  Facilities  using  SARIMA  (Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average) and ANN (Artificial Neural Network). Energy . Vol. 71, hal. 71–79. https://doi.org/10.1016/j.energy.2014.04.027
Kafara,  Z.,  Rumlawang,  F.  Y.,  dan  Sinay,  L.  J.  2017.  Peramalan  Curah  Hujan  dengan Pendekatan Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA) (Studi Kasus  :  Curah  Hujan  Bulanan  Di  Kota  Ambon,  Provinsi  Maluku). Jurnal  Ilmu Matematika dan Terapan, Vol. 11, No. 1, hal. 63–74.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 Ban yak Penu m p an g Waktu SARIMA RNN MODWT-RNN Asli
Liang,  Y.  dan  Liang,  X.  2006.  Improving  Signal  Prediction  Performance  of  Neural Networks  Through  Multiresolution  Learning  Approach. IEEE  Transactions  on Systems, Man, and Cybernetics-Part B: Cybernetics , Vol. 36, No. 2.
Moller, M. 1997. Thesis: Efficient Training of Feed-Forward Neural Networks. Computer Science Department, Aarhus University.
Percival, D. B. dan Walden, A. T. 2000. Wavelet Methods for Time Series Analysis . New York: Cambridge University Press.
Reis, A. J. R. dan Silva, A. P. A. 2005. Feature Extraction via Multiresolution Analysis for Short-Term Load Forecasting. IEEE Transactions on Power Systems , Vol. 20, No. 1.
Subanar  dan  Suhartono.  2009. Wavelet  Neural  Networks  untuk  Peramalan  Data  Time Series Finansial , Program Penelitian Ilmu Dasar Perguruan Tinggi, FMIPA UGM, Yogyakarta.
Utomo,  D.,  Pujiono,  dan  Soeleman,  M.  A.  2017.  Stock  Price  Prediction  Using  Back Propagation  Neural  Network  Based  On  Gradient  Descent  With  Momentum  and Adaptive Learning Rate. Journal Of Internet Banking and Commerce , vol 22, No. 3.
Wei, W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, 2nd edition . Boston. Addison Wesley.
Zhang,  G.  P.  2012.  Neural  Network  for  Time  Series  Forecasting. Handbook  of  Neural Computing . Springer, Germany, hal. 461–477.
Zhang, G. P. dan Qi, M. 2005. Neural Network Forecasting for Seasonal and Trend Time Series, European Journal of Operational Reserch . 160, hal. 501–514.
Zhang, K., Gencay, R., dan Yazgan, M. E. 2017. Application of Wavelet Decomposition in Time-Series Forecasting, Economics Letters . 158, hal. 41–46.
Zhu, L., Wang, Y., dan Fan, Q. 2014. MODWT-ARMA Model for Time Series Prediction, Applied Mathematical Modelling , 38 (2014), hal. 1859–1865.