JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 2, Tahun 2018, Halaman 175 - 186 Online di: http://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian

## PENGUKURAN PROBABILITAS KEBANGKRUTAN OBLIGASI KORPORASI DENGAN SUKU BUNGA COX INGERSOLL ROSS MODEL MERTON
(Studi Kasus Obligasi PT Indosat, Tbk)
Muhammad Akhir Siregar 1 , Mustafid 2 , Rukun Santoso. 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro makhirsir@gmail.com

## ABSTRACT
Nowadays bonds become one of the many securities products that are being prefered by investors. Observing the level of the company's rating which good enough or in the criteria of investment grade can’t be a handle of investors. Investing  in  long-term period investors should understand the risks to be faced, one of investment credit  risk  on  bonds  is default  risk ,  this  risk  is  related  to  the  possibility  that  the  issuer  fails  to  fulfill  its obligations to the investor in due date. The measurement of the probability of default failure by the structural method approach introduced first by Black-Scholes (1973) than developed by Merton (1974).  In Bankruptcy model, merton’s model assumed the company get default (bankrupt) when the company can’t pay the coupon or face value in the due date. Interest rates on the Merton model assumed to be constant values replaced by Cox Ingersoll Ross (CIR) rates. The CIR rate is the fluctuating interest rate in each period and the change is a stochastic process. The empirical study was conducted on PT Indosat, Tbk's bonds issued in 2017 with a face value of 511 Billion in payment of obligations by the issuer for 10 years. Based on simulation results done with R  software  obtained  probability  of  default  value  equal  to  7,416132E-215  Indicates  that  PT  Indosat  Tbk  is deemed to be able to fulfill its obligation payment at the end of the bond maturity in 2027.
Keywords: Bond, CIR Rate, Merton Model, Ekuity, Probability of default

## 1. PENDAHULUAN
Obligasi merupakan  surat utang dalam jangka panjang  yang diterbitkan oleh suatu lembaga  dengan  nilai  nominal  dan  waktu    jatuh  tempo  tertentu  (Astuti,  2003).  Obligasi memberikan  peranan  yang  cukup  besar  dalam  perkembangan    perekonomian  perusahaan, penerbitan obligasi yang dinilai cukup efektif sebagai sumber pembiayaan bagi perusahaan dalam  menjalankan  ekspansi  bisnis,  memenuhi  kebutuhan  keuangan  perusahaan,  serta pengembalian modal terhadap investor dengan jangka waktu yang panjang.
Selain  mendapatkan  keuntungan,  dalam  melakukan  investasi  obligasi  juga  dapat memberikan tingkat potensi risiko investasi. Risiko ini disebut credit risk yaitu potensi risiko yang akan timbul bagi investor jika pihak penerbit obligasi (emiten) gagal membayar pokok obligasi atau kupon pada saat jatuh tempo.
Kegagalan  pembayaran  merupakan  permasalahan  kredit.  Jorion  (2009)  mengatakan bahwa risiko gagal bayar adalah penggerak utama risiko kredit. Hal ini ditunjukan sebagai probabilitas kegagalan pembayaran. Pengukuran risiko kredit korporasi dimulai dari Merton (1974)  dengan  mengembangkan  Model  Black  Scholes  (Longstaff,  1995).  Merton menggambarkan suatu perusahaan dikatakan bangkrut ketika pada saat jatuh tempo nilai aset perusahaan  lebih  kecil  daripada  nilai  utang  perusahaan,  dengan  asumsi  perusahaan  hanya menerbitkan satu obligasi berkupon nol ( zero coupon bond ).
Pada dunia ekonomi, tingkat suku bunga berpengaruh penting dalam penentuan harga suatu  sekuritas,  seperti  pada  penentuan  harga  obligasi.  Asumsi  model  Merton  yang menyatakan  bahwa  tingkat  suku  bunga  selalu  bernilai  konstan  dianggap  kurang  realistis, pada  kenyataannya  suku  bunga  selalu  bergerak  pada  setiap  waktunya  mengikuti  proses stokastik.
Suku  bunga  Model  Cox  Ingersoll  Ross  (CIR)  merupakan  suku  bunga  stokastik diperkenalkan pertama kali oleh Cox, Ingersoll, dan Ross pada tahun 1985 (Damir, 2009). Model CIR menjamin tingkat suku bunga bernilai positif dan memiliki sifat mean reversion
yakni  suatu  keadaan  ketika  pergerakan  tingkat  bunga  memiliki  kecenderungan  untuk kembali ke tingkat normal, sehingga tingkat bunga hanya bergerak pada range yang terbatas. Suku bunga CIR yang merupakan suku bunga stokastik akan menggantikan nilai suku bunga yang sebelumnya konstan pada asumsi dan perhitungan risiko kredit model Merton.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Obligasi
Surat  berharga  obligasi  merupakan instrumen  utang  bagi  perusahaan  yang  hendak memperoleh modal. Perusahaan yang menerbitkan obligasi hanya mengakui utang kepada investor  sebesar  nilai  pokok  obligasi  yang  dimilikinya.  Dalam  struktur modal  perusahaan obligasi  dimasukkan  dalam  modal  asing  atau  utang  jangka  panjang.  Perusahaan  tersebut mempunyai kewajiban untuk membayar  utang dan pokok pinjaman sesuai dengan  jangka waktu yang telah ditetapkan (Kasmir, 2012).

## 2.2. Teori Tingkat Suku Bunga
Suku  bunga  adalah  harga  yang  dibayar  peminjam  (debitur)  kepada  pihak  yang meminjamkan  (kreditur)  untuk  pemakaian  sumber  daya  selama  interval  waktu  tertentu. Investor  dapat  menentukan  suku  bunga  yang  dapat  dijadikan  patokan  sebelum  membeli obligasi.  Suku  bunga  yang  dapat  dijadikan benchmark terdiri  atas  berbagai  jenis,  salah satunya adalah suku bunga Sertifikat Bank Indonesia (SBI) dan BI rate . Pergerakan tingkat suku bunga SBI sangat berpengaruh terhadap efek pendapatan tetap.

## 2.4. Konsep Dasar Statistik

## 2.4.1.  Probabilitas
Pada sebuah eksperimen, 𝑆 dinotasikan sebagai ruang sampel, yaitu himpunan dari semua kejadian yang mungkin pada suatu eksperimen dan 𝐴 , 𝐴 1 , 𝐴 2 ,.... merepresentasikan sebagai  kejadian  yang  mungkin  muncul. 𝑃(𝐴) disebut  sebagai  probabilitas  dari 𝐴 jika memenuhi sifat-sifat (Walpole, 1995) :
a. 𝑃(𝑆) = 1
b. 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
c. 𝑃(∅) = 0

## 2.4.2. Variabel Random
Variabel random adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel random biasanya menggunakan lambang  huruf besar seperti  X,  Y,  atau  Z.  Ada  dua  jenis  variabel  random  yaitu  variabel  random  diskrit  dan variabel random kontinu (Walpole dan Raymon, 1995).

## 2.4.3. Distribusi Normal
Sebuah  variabel  random  kontinu  X  berdistribusi  normal jika  bergantung  pada  dua parameter mean 𝜇 dan variansi 𝜎 2 , dinyatakan 𝑋~𝑁 (𝜇, 𝜎 2 ). Fungsi densitas probabilitas :
𝑓(𝑥; 𝜇, 𝜎) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 −12( 𝑥−𝜇 𝜎 ) 2
Dengan
𝜇
: mean dari 𝑥 𝜎 : standar deviasi 𝑥 Untuk (−∞ < 𝑥 < ∞) dengan (−∞ < 𝜇 < ∞)
dan (0 < 𝜎 < ∞) (Bain dan Engelhardt,1992).
2.4.4. Distribusi Lognormal
Variabel  random  Y  dikatakan  mempunyai  distribusi  lognormal  jika  logaritma naturalnya 𝑋 = ln  (𝑌) mengikuti distribusi Normal.
𝑋 = ln  (𝑌) ↔ 𝑌 = 𝑒 𝑥
Variabel  random  Y  berdistribusi  lognormal  dengan  mean 𝜇 dan  variansi 𝜎 2 atau 𝑌~𝐿𝑂𝐺𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) (Montgomery, 1990). Fungsi densitas dari Y adalah :
𝑓 = { 1 𝑦𝜎√2𝜋 𝑒 −12( ln 𝑦−𝜇 𝜎 ) 2 , 𝑦 > 0 0 , 𝑦 ≤ 0
Untuk (−∞ < 𝜇 < ∞) dan (0 < 𝜎 < ∞)
Sehingga variabel random Y mempunyai mean dan variansi :
𝐸(𝑌) = 𝑒 𝜇+12𝜎 2
𝑉𝑎𝑟 (𝑌) = 𝑒 2𝜇+12𝜎 2 (𝑒 𝜎 2 − 1)
2.4.5. Proses Stokastik
Proses  stokastik  adalah  himpunan  variabel  random {𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇} dengan 𝑡 menyatakan waktu dan 𝑋(𝑡) menyatakan proses pada waktu 𝑡 , dan 𝑋(𝑡) disetiap pergerakan waktu t memiliki nilai probability masing-masing.  Himpunan 𝑇 disebut himpunan indeks dari  suatu  proses  stokastik.  Jika  himpunan 𝑇 adalah  himpunan  terhitung 𝑡 ∈ [0, 𝑇], maka proses  stokastik  dikatakan  sebagai  proses  stokastik  waktu  diskrit  dan  dinyatakan  dalam bentuk {𝑋(𝑛); 𝑛 = 0,1,2, … }. Jika himpunan 𝑇 adalah suatu interval waktu 𝑡 ∈ [0, ∞], maka proses  stokastik  dikatakan  sebagai  proses  stokastik  waktu  kontinu  dan  dinyatakan  dalam bentuk {𝑋(𝑡); 𝑡 ≥ 0}. (Taylor dan Karlin, 1998).
a. Gerak Brown
1. Gerak Brown (Proses Wiener)
Gerak  Brown  dinotasikan  dengan 𝑊 𝑡 ,  Suatu  proses  stokastik {𝑊 𝑡 ; 𝑡 > 0} disebut Gerak Brown jika memenuhi sifat –sifat berikut :
a. 𝑊 𝑡 adalah fungsi kontinu dalam t b. 𝑊 0 = 0
c. Setiap perubahan 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 adalah berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians 𝜎 2 (𝑡 − 𝑠) untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇
d. Untuk  setiap 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 dan 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇 ; 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 dan 𝑊 𝑣 − 𝑊 𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas.
2. Gerak Brown Standar
Suatu  Gerak  Brown  dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎 2 = 1 ,  disebut  gerak  brown  standar (baku).  Suatu  proses  stokastik {𝑊 𝑡 ; 𝑡 > 0} disebut  Gerak  Brown  Standar  jika memenuhi sifat –sifat berikut :
a. 𝑊 𝑡 adalah fungsi kontinu dalam t
b. 𝑊 0 = 0
c. Setiap perubahan 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 adalah berdistribusi normal dengan mean 0 dan varians (𝑡 − 𝑠) untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 , atau secara ekuivalen 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 ~√𝑡 − 𝑠 𝑁(0,1).
d. Untuk  setiap 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 dan 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ≤ 𝑇 ; 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 dan 𝑊 𝑣 − 𝑊 𝑢 adalah variabel acak yang saling bebas.
3. Gerak Brown dengan suku drift Gerak Brown dengan suku drift mempunyai persamaan sebagai berikut : 𝐵(𝑡) = 𝜇(𝑡) + 𝜎𝑊(𝑡) (2.1)
dengan 𝜇(𝑡) nilai  rata-rata  dan 𝜎 adalah  nilai  standar  deviasi  proses 𝑡 . 𝑊(𝑡) = 𝑍√𝑡 , 𝑍 adalah bilangan random dari distribusi Normal standar (Dmouj, 2006).
4. Gerak Brown Geometri
Menurut  Dmouj  (2006)  Jika  diberikan  model  Gerak  Brown  dengan  suku drift 𝐵(𝑡) = 𝜇 ∗ (𝑡) + 𝜎𝑊(𝑡) ; 𝑡 ≥ 0 dengan  parameter  drift 𝜇 ∗ = 𝜇 − 1 2 𝜎 2 , parameter variansi 𝜎 2 , dan 𝑊(𝑡) adalah proses Gerak Brown yang dimulai pada 𝑊(0) = 0. Pada pergerakan harga aset, proses stokastik {𝑉(𝑡); 𝑡 ≥ 0} disebut Gerak Brown Geometri jika 𝐵(𝑡) = ln 𝑉(𝑡) 𝑉(𝑡−1) , dengan 𝐵(𝑡) merupakan return aset pada waktu ke 𝑡 .
b. Persamaan Diferensial Stokastik
1. Lemma Ito
Jika  terdapat  variabel 𝑋(𝑡) yang  mengikuti  proses Ito dengan  Persamaan Diferensial Stokastik: 𝑑𝑋(𝑡) = 𝜇(𝑋, 𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎(𝑋, 𝑡)𝑑𝑊(𝑡) (2.2) Dimana 𝑊(𝑡) adalah  Gerak  Brown  serta 𝜇 dan 𝜎 adalah  parameter  dari 𝑋 dan 𝑡, Teorema  Ito  menyebutkan  bahwa,  jika  terdapat  fungsi 𝐹 = 𝐹(𝑋, 𝑡), maka  fungsi 𝐹 akan mengikuti persamaan berikut (Hull, 2003) :
𝑑𝐹 = ( 𝛿𝐹 𝛿𝑋(𝑡) 𝜇 + 𝛿𝐹 𝛿𝑡 + 1 2 𝛿 2 𝐹 𝛿𝑋(𝑡) 2 𝜎 2 ) 𝑑𝑡 + 𝛿𝐹 𝛿𝑋(𝑡) 𝜎 𝑑𝑊(𝑡) (2.3)
2. Integral Ito
Integral  stokastik Ito ∫ 𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) 𝑇 0
dari  proses  sederhana  deterministik, didefenisikan  sebagai ∫ 𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) 𝑇 0 = ∑ 𝑐 𝑙 [𝑊(𝑡 𝑖+1 ) − 𝑊(𝑡 1 )]. 𝑛−1 𝑖=0 Terdapat  sifat- sifat dari Integral stokastik Ito untuk proses sederhana sebagai berikut:
a. Linear,  Misalkan 𝑋(𝑡) dan 𝑌(𝑡) adalah  proses  sederhana  dan 𝜇, 𝜎 merupakan konstanta, maka: ∫ (𝜇𝑋(𝑡) + 𝜎𝑌(𝑡) ) 𝑇 0 𝑑𝑊(𝑡) = 𝜇 ∫ 𝑋(𝑡) 𝑇
0 𝑑𝑊(𝑡) + 𝜎 ∫ 𝑌(𝑡) 𝑇 0 𝑑𝑊(𝑡) (2.4)
b. Ekspektasi dari Integral stokastik Ito adalah nol, yaitu:
𝐸 [∫ 𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) 𝑇 0 ] = 0 (2.5) c. Integral stokastik memenuhi sifat isometrik, yaitu:
𝐸 [(∫ 𝑋(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) 𝑇 0 ) 2 ] = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)]𝑑𝑡, untuk 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.6)
2.4.6. Ordinary Least Square (OLS)
Ordinary  Least  Square (OLS)  (Drapper  dan  Smith,  1992)  adalah  metode  estimasi didalam  ilmu  stastistika  yang  meminimalkan  jumlahan  kuadrat  dari  error.  Dalam  OLS errornya  diasumsikan  identik,  independen  dan  berdistribusi  normal  dengan  mean nol  dan varian konstan. Misalkan diberi suatu model:
𝑌 𝑡 = 𝜃𝑋 𝑡 + 𝑒 𝑡 ,            𝑡 = 1,2, … , 𝑛 (2.7)
Dengan 𝑒 𝑡 adalah  bagian  error  dan  nilai  ekspektasinya  adalah  nol. 𝐸[𝑒 𝑡 ] = 0. Maka Estimator untuk koefisien 𝜃 Pada Persamaan (2.5) adalah:
𝜃̂ = ∑ 𝑋 𝑡 𝑌 𝑡 𝑛 𝑡=1 ∑ 𝑋 𝑡 2 𝑛 𝑡=1 (2.8)

## 2.5. Model Merton
Model Merton mengadopsi asumsi struktur modal sederhana suatu perusahaan yaitu liabilitas  dan  ekuitas.  Asumsi  penting  dari  model  Merton  adalah  perusahaan  hanya mempunyai  satu  obligasi  kupon  nol  dalam  periode  obligasi.  Model  Merton  adalah  suatu
model  yang  digunakan  untuk  menilai  utang  korporasi  dengan  nilai  pasar  ekuitas  dan probability  of  default .  Dengan mengasumsikan  bahwa  obligasi  memiliki  kupon  nol  ( Zero Coupon  Bond )  dan  perusahaan  penerbit  obligasi  tidak  memiliki  utang  yang  lain,  Merton menunjukkan kemungkinan gagal bayar terjadi pada saat jatuh tempo.
Menurut (Kulkarni dan Jigisha, 2006) asumsi yang mendasari model Merton adalah sebagai berikut:
1. Dinamik nilai total aset perusahaan mengikuti persamaan diferensial stokastik :
𝑑𝑉 𝑡 = 𝜇𝑉 𝑡 𝑑 𝑡 + 𝜎𝑉 𝑡 𝑑𝑊 𝑡
dimana 𝑉 𝑡 : Nilai total aset perusahaan pada waktu 𝑡 𝜇 : Drift atau harga harapan dari return dalam perusahaan per unit waktu
𝜎 : Volatilitas dari 𝑉 𝑡 𝑊 𝑡 :  Proses  Wiener  standar  yang  merupakan  gerak  brown  dengan  rataan  0 dan varian 1.
2. Dinamik suku bunga mengikuti suku bunga CIR, diberikan : 𝑑𝑟(𝑡) = 𝛼(𝛽 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑡)
dimana 𝑑𝑟(𝑡) : Perubahan tingkat suku bunga pada interval waktu yang pendek
𝛼 : Kecepatan dari mean reversion 𝛽 : Menyatakan rata-rata tingkat bunga dalam jangka waktu panjang
𝑟(𝑡) : Tingkat suku bunga pada waktu t 𝜎 : Menyatakan variansi dari perubahan tingkat bunga persatuan waktu {𝑊(𝑡), 𝑡 ≥ 0} : Proses Wiener atau Gerak Brown standar
3. Kewajiban  dari  perusahaan  hanya  terdiri dari  utang  tunggal  dengan  suatu  nilai  utang muka ( face value ), utang diasumsikan tidak memiliki kupon.
4. Proses  nilai  total aset  perusahaan  mengikuti  distribusi  log  normal  atau  Gerak  Brown Geometrik.
5. Kebangkrutan hanya dapat terjadi saat jatuh tempo.
6. Prioritas mutlak dari klaim didahulukan ketika perusahaan mengalami default .
7. Tidak ada biaya transaksi, pajak atau permasalahan dengan aset.
8. Dimungkingkan terjadinya short selling setiap waktu.
2.6. Suku Bunga Model Cox, Ingersoll, dan Ross (CIR)
Model tingkat suku bunga CIR mempunyai bentuk model yang mengikuti persamaan diferensial stokastik. Model CIR menjamin tingkat suku bunga bernilai positif dan memiliki sifat mean reversion atau mempunyai kecendrungan kembali menuju rata-rata. Bentuk dari model CIR adalah:
𝑑𝑟(𝑡) = 𝛼(𝛽 − 𝑟(𝑡))𝑑𝑡 + 𝜎√𝑟(𝑡)𝑑𝑊(𝑡) (2.9) Nilai ekspektasi suku bunga CIR diperoleh dengan algoritma sebagai berikut:
1. Menentukan estimator CIR dari 𝛼 menggunakan persamaan 𝑎̂ = − 1 ∆𝑡 𝑙𝑛 ( ∑ (𝑟 𝑡 −𝑟̅ 𝑡 ) 𝑛 𝑡=1 (𝑟 𝑡−1 −𝑟̅ 𝑡−1 ) ∑ (𝑟 𝑡−1 −𝑟̅ 𝑡−1 ) 2 𝑛 𝑡=1 ) (2.10)
2. Menentukan estimator CIR dari 𝛽 menggunakan persamaan
𝛽̂ = 𝑟̅ 𝑡 −𝑒 −𝛼∆𝑡 𝑟̅ 𝑡−1 1−𝑒 −𝛼∆𝑡 (2.11)
3. Setelah  diperoleh  masing-masing  estimator  dari  CIR  dan  diketahui 𝑟 0 kemudian menghitung 𝑟 1 menggunakan persamaan
𝐸 𝜃 [𝑟 𝑡 |𝑟 𝑡−1 = 𝑟] =   𝑟 𝑐 = 𝛾 0 + 𝛾 1 𝑟 𝑡−1 (2.12)
dengan 𝛾 0 =  𝛽(1 − 𝑒 −𝛼∆𝑡 ) dan 𝛾 1 = 𝑒 −𝛼∆𝑡
4. Untuk  menentukan  variansi  tingkat  suku  bunga  CIR 𝜎 dengan  menggunakan persamaan
𝜎̂ 2 = 1 𝑛 ∑ [(𝜂̂ 0 +𝜂̂ 1 𝑟 𝑡−1 )(𝑟 𝑘 −(𝛾 0 +𝛾 1 𝑟 𝑡−1 )) 2 ] 𝑛 𝑡=1 1 𝑛 ∑ (𝜂̂ 0 +𝜂̂ 1 𝑟 𝑡−1 ) 2 𝑛 𝑡=1 (2.13)
kemudian nilai 𝜎̂ 2 disubstitusikan ke persamaan untuk mencari nilai varian:
𝑉𝑎𝑟(𝑟(𝑡)) = 𝜎 2 (𝜂 0 + 𝜂 1 𝑟(0)) (2.14)
dengan 𝜂 0 = 𝛽 2𝛼 (1 − 𝑒 −𝛼∆𝑡 ) 2 , 𝜂 1 = 1 𝛼 𝑒 −𝛼∆𝑡 (1 − 𝑒 −𝛼∆𝑡 ).

## 2.7. Risiko Kredit Korporasi
Risiko kredit adalah risiko kerugian yang berhubungan dengan peluang counterparty gagal  memenuhi  kewajibannya  pada  saat  jatuh  tempo  (Ghozali,  2007).  Sedangkan  risiko kredit  korporasi  meliputi  risiko  gagal  bayar  pada  utang  yang  diterbitkan  oleh  suatu perusahaan/korporasi. Pada kondisi terburuk, perusahaan akan dilikuidasi untuk membayar utangnya. Dari hasil analisis akan dilihat kecendrungan kinerja ke depan yang berguna dalam pengambilan keputusan pemberian kredit.

## 2.8. Volatilitas
Volatilitas adalah besarnya nilai fluktuasi sebuah asset (Maruddani dan Purbowati, 2009).  Jika  terdapat  n  (jumlah  observasi) return ,  maka  nilai  ekspektasi return dapat diestimasi dengan rata-rata sampel (sampel mean) return :
ln 𝑅 𝑡 = ln ( 𝑉 𝑡 𝑉 𝑡−1 ) ln 𝑅 𝑡 ̅̅̅̅̅̅ = 1 𝑛 ∑ ln 𝑅 𝑡 𝑛 𝑡=1
nilai rata-rata log return digunakan untuk mengestimasi variansi tiap periode yaitu: 𝑠 2 = 𝜎̂ 2 = 1 𝑛−1 ∑ (ln 𝑅 𝑡 − ln 𝑅 𝑡 ̅̅̅̅̅̅) 2 𝑛 𝑡=1 (2.15)
akar variansi (standar deviasi) merupakan estimasi nilai volatilitas harga aset.

## 2.9. Nilai Aset Perusahaan
Perhitungan  modal  atau  aset  suatu  perusahaan  model  Merton  dimasa  yang  akan dating, nilainya dapat diperkirakan dengan persamaaan:
𝑉 𝑇 = 𝑉 𝑡 exp {(𝜇 − 1 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) + 𝜎𝜀√(𝑇 − 𝑡)} , 𝑊 𝑡 = 𝜀√(𝑇 − 𝑡) (2.16)

## 2.10. Penentuan Nilai Pasar Ekuitas
Didefenisikan bahwa 𝐸(𝑉 𝑇 , 0) sebagai nilai pasar ekuitas perusahaan hari ini (waktu ke-t) dan 𝑉 0 sebagai aset/nilai perusahaan pada saat 𝑡 = 0. Misal 𝐸 𝑇 dan 𝑉 𝑇 merupakan nilai masing-masing  pada  saat  jatuh  tempo 𝑇 ,  ketika  utang  dengan  nilai  utang  muka 𝐾 harus dibayarkan, maka nilai pasar ekuitas perusahaan adalah:
Tabel 1. Payoff atau Ekuitas pada Saat Jatuh Tempo Keadaan Aset Obligasi Ekuitas Tidak Bangkrut 𝑉 𝑇 ≥ 𝐾 𝐾 𝑉 𝑇 − 𝐾 Bangkrut 𝑉 𝑇 < 𝐾 𝑉 𝑇 0
Sumber : A.Longstaff dan S.Schwartz (1995)
Apabila ditulis secara umum, nilai pasar ekuitas model Merton adalah :
𝐸 𝑇 {𝑉 𝑇 − 𝐾 jika 𝑉 𝑇 ≥ 𝐾 0           jika  𝑉 𝑇 < 𝐾
atau 𝐸 𝑇 = max[ 𝑉 𝑇 − 𝐾, 0]
Jika nilai ekuitas perusahaan dengan nilai utang ( face value ). 𝐾, adalah
𝐸 𝑚𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛 = exp(−𝑟 𝑐 (𝑇 − 𝑡))𝐸[max[𝑉 𝑇 − 𝐾, 0]] (2.17)
Jika 𝑉 𝑇 berdistribusi  Log  Normal,  maka 𝑋 = 𝑙𝑛(𝑉 𝑇 ) berdistribusi  Normal,  maka 𝑋 = 𝑙𝑛(𝑉 𝑇 )~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) sehingga 𝑉 𝑇 ~𝐿𝑁(𝜇 𝑙 , 𝜎 𝑙 2 ), dengan 𝜇 𝑙 adalah  nilai  harapan  dari  ln 𝑉 𝑇 , 𝜎 𝑙 2 adalah  variansi  dari  ln 𝑉 𝑇 ,  dan 𝑙 adalah  index  yang  menyatakan  bahwa  variabel berdistribusi Lognormal. Maka nilai pasar ekuitas adalah:
𝐸 𝑚𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛 = 𝑉 𝑡 Φ(𝑑 1 ) − 𝐾 exp(−𝑟 𝑐 (𝑇 − 𝑡)) Φ(𝑑 2 ) (2.18)
dengan :
𝑑 1 = ln ( 𝑉 𝑡 𝐾) + (𝑟 𝑐 + 12𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√(𝑇 − 𝑡)
𝑑 2 = ln ( 𝑉 𝑡 𝐾) + (𝑟 𝑐 − 12 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√(𝑇 − 𝑡)
dimana 𝐸 𝑚𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛 : Nilai ekuitas perusahaan model Merton 𝑉 𝑡 : Nilai total aset perusahaan pada waktu ke – 𝑡 𝑉 𝑇 : Nilai total aset perusahaan pada waktu ke – 𝑇 𝐾 : Nilai utang ( face value ) atau nilai obligasi 𝑟 𝑐
: Suku bunga CIR
Φ (∙) : Fungsi distribusi normal standar kumulatif
(𝑇 − 𝑡)
: Waktu hingga jatuh tempo
𝜎 : Volatilitas dari 𝑉 𝑡

## 2.11. Penentuan Nilai Liabilitas
Liabilitas  adalah  hak  dari  pemberi  hutang  (kreditor)  terhadap  kekayaan  perushaan (Darsono dan ashari, 2005). Penentuan Liabilitas diperoleh dari persamaan modal sederhana:
𝑉 𝑇 = 𝐹(𝑉 𝑇 , 𝑇) + 𝐸(𝑉 𝑇 , 𝑇) 𝐹(𝑉 𝑇 , 𝑇) = 𝑉 𝑇 −  𝐸(𝑉 𝑇 , 𝑇) (2.19)
dengan : 𝑉 𝑇 = Nilai total aset perusahaan pada waktu 𝑇
𝐹(𝑉 𝑇 , 𝑇) = Liabilitas perusahaan dalam waktu 𝑇
𝐸(𝑉 𝑇 , 𝑇) = Nilai Ekuitas perusahaan pada waktu 𝑇

## 2.12. Probabilitas Kebangkrutan
Probabilitas  kebangkrutan  adalah  propabilitas  dimana  nilai  total  aset  perusahaan kurang dari nilai utang muka ( face value ) pada saat jatuh tempo (Crosbie and Bohn, 2003). Jika diberikan bahwa perubahan nilai total aset perusahaan mengikuti persamaan diferensial stokastik:
𝑑𝑉 𝑡 = 𝜇𝑉 𝑡 𝑑𝜏 + 𝜎𝑉 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 dimana
𝑉 𝑡 : Nilai total aset perusahaan pada waktu 𝑡 𝜇 : Drift atau harga harapan return aset perusahaan per unit waktu
𝜎
: Volatilitas dari 𝑉 𝑡 𝑊 𝑡 : Proses Wiener Standar
Jika diasumsikan bahwa perubahan aset mengikuti proses Wiener Standar, maka nilai total aset perusahaan pada periode 𝜏 adalah:
𝑉 𝑇 = 𝑉 𝑡 exp {(𝜇 − 1 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) + 𝜎𝜀√(𝑇 − 𝑡)} , 𝑊 𝑡 = 𝜀√(𝑇 − 𝑡)
atau
ln 𝑉 𝑇 = ln 𝑉 𝑡 + {(𝜇 − 1 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) + 𝜎𝜀√(𝑇 − 𝑡)} (2.20)
dengan 𝜀 = sampel random berdistribusi normal 𝜀~𝑁(0,1)
sehingga probabilitas kebangkrutannya (PD) adalah (Maruddani dkk, 2015)
𝑃𝐷 = 𝑃[𝑉 𝑇 < 𝐾] = Φ [− ln 𝑉 𝑡 𝐾 + (𝜇 − 1 2 𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√(𝑇 − 𝑡) ]
pada salah satu sifat gerak Brown, diasumsikan bahwa sampel berdistribusi normal dengan mean  nol  dan  variansi  satu , Sehingga  bisa  ditetapkan  probabilitas kebangkrutan  erat hubungannya dengan distribusi normal kumulatif dalam risk neutral probability . Harga drift adalah harga pada risk free rate dengan demikian harga drift 𝜇 dapat diganti oleh suku bunga 𝑟 𝑐 (Kulkarni, 2006).

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder,  yaitu  data  suku bunga  Bank  Indonesia  mulai  bulan  Januari  2006  –  Desember  2017  dari  website www.bi.go.id .  Data  obligasi  PT  Indosat,  Tbk  dengan  kode  obligasi  ISAT02ECN2  yang diperoleh dari www.ibpa.co.id . Data aset perusahaan PT Indosat, Tbk mulai bulan Maret 2006 – September 2017 diperoleh dari www.assets.indosatooredoo.com .
3.2. Langkah Analisis Data
1. Memilih data obligasi perusahaan.
2. Menghitung nilai ln return aset perusahaan dan uji kenormalan data ln return aset dengan uji normalitas Kolmogorof-Smirnov.
3. Menghitung nilai volatilitas aset perusahaan.
4. Menentukan estimasi parameter 𝛼̂ , 𝛽̂ , dan 𝜎̂ 2 untuk dinamik suku bunga CIR.
5. Menentukan suku bunga short rate pada waktu ke- 𝑡 + 1 (𝑟 𝑐 ).
6. Menghitung nilai pasar ekuitas dan liabilitas perusahaan.
7. Menghitung probabilitas kebangkrutan dengan menggunakan model Merton.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Uji Normalitas Data ln Return
Hasil uji normalitas data ln return aset PT Indosat, Tbk adalah: Hipotesis:
𝐻 0 : Data ln return aset berdistribusi normal 𝐻 1 : Data ln return aset tidak berdistibusi normal
Statistik Uji:
𝐷 = sup|𝐹 0 (𝑥) −  𝐹(𝑥)| 𝑥 𝐷 = 0,11468 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,5226
Pada  taraf  signifikansi 𝛼 =  5% 𝐻 0 diterima,  karena  nilai 𝐷 = 0.11468  dengan p-value = 0,5226 > 𝛼 = 0,05. Dapat disimpulkan bahwa data ln return aset berdistribusi Normal.
4.2. Volatilitas Aset
Nilai  volatilitas  aset  perusahaan  merupakan  gambaran  dari  tingkat  fuktuasi pergerakan harga aset yang tidak menentu (naik turunnya harga aset yang tidak beraturan) yang terjadi pada perusahaan. Volatilitas aset dapat dihitung dari estimasi standar deviasi data  ln return aset  perusahaan.  Nilai  volatilitas  aset  yang  diperoleh  dengan  program  R sebesar 0,04582381 atau 4,58 % Hal ini menunjukkan nilai volatilitas aset PT Indosat, Tbk tergolong  kecil  atau  tingkat  fluktuasinya  rendah,  sehingga  mengindikasikan  bahwa kemungkinan untuk bangkrut juga kecil atau rendah.
4.3. Estimasi Nilai Suku Bunga Cox Ingersoll Ross (CIR) 𝑟 𝑡 = 𝛾 0 + 𝛾 1 𝑟 𝑡−1 + 𝜀 𝑡
Hasil  prediksi BI  rate untuk  tahun  2027 adalah sebesar 0,070152827 atau 7,015 %
.  Nilai  tersebut  merupakan  hasil  prediksi nilai  suku  bunga  pada  akhir  periode habisnya jangka waktu obligasi. Nilai suku bunga hasil prediksi pada tahun 2027 akan digunakan  sebagai  suku  bunga  CIR
𝑟 𝑐 pada pembahasan model Merton.
4.4. Pasar Ekuitas Model Merton
𝐸 𝑚𝑒𝑟𝑡𝑜𝑛 = 𝑉 𝑡 Φ(𝑑 1 ) − 𝐾 exp(−𝑟 𝑐 (𝑇 − 𝑡)) Φ(𝑑 2 ) dengan :
𝑑 1 = ln( 𝑉𝑡 𝐾 )+(𝑟 𝑐 + 1 2 𝜎 2 )(𝑇−𝑡) 𝜎√(𝑇−𝑡) dan 𝑑 2 = ln( 𝑉𝑡 𝐾 )+(𝑟 𝑐 − 1 2 𝜎 2 )(𝑇−𝑡) 𝜎√(𝑇−𝑡)
Tahun (𝒕) 𝒓 𝒕+𝟏 𝒓 𝒄 𝒅 𝟏 𝒅 𝟐 Nilai Ekuitas (𝑬 𝒕 ) 2017 𝑟 1 0,0425 31,26179 31,26179 Rp 46.870.325.000.000 2018 𝑟 2 0,056394326 31,2629 31,26275 Rp 46.898.344.990.730 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2026 𝑟 10 0,070126644 31,26455 31,26315 Rp 47.109.480.613.211 2027 𝒓 𝟏𝟏 0,070152827 31,2646 31,2631 Rp 47.127.957.420.359 Tahun (𝒕) 𝒓 𝒕+𝟏 Suku Bunga CIR 2017 𝑟 1 0,0425 2018 𝑟 2 0,056394326 ⋮ ⋮ ⋮ 2026 𝑟 10 0,070126644 2027 𝑟 11 0,070152827
diperoleh estimasi nilai pasar ekuitas model Merton pada tahun berakhirnya jangka waktu  obligasi    dengan  menggunakan  suku  bunga  CIR 𝑟 11 = 0,070152827  senilai  Rp. 47.127.957.420.359.
4.5. Liabilitas
𝐹(𝑉 𝑇 , 𝑇) = 𝑉 𝑇 −  𝐸(𝑉 𝑇 , 𝑇)
Tahun (𝒕) 𝑽 𝒕 Total Aset 𝑬 𝒕 Ekuitas 𝑭 𝒕 Liabilitas 2017 Rp 47.381.325.000.000 Rp. 46.870.325.000.000 Rp 511.000.000.000 2018 Rp 47.415.739.882.965 Rp. 46.898.344.990.730 Rp 517.394.892.235 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 2026 Rp 43.875.691.100.310 Rp. 47.109.480.613.211 Rp -3.233.789.512.900 2027 Rp 56.061.242.515.914 Rp. 47.127.957.420.359 Rp 8.933.285.095.555
estimasi nilai ekuitas untuk setiap tahunnya selalu lebih besar dari pada nilai liabilitas perusahaan meskipun sempat mengalami penurunan nilai aset pada beberapa tahun. dengan melihat  pergerakan  kedua  nilai  tersebut  PT  Indosat,  Tbk  tidak  akan  mengalami kebangkrutan.  Sehingga  pada  waktu  berakhirnya  obligasi,  nilai face  value sebesar  Rp. 511.000.000.000 yang ditawarkan pada penerbitan obligasi dapat dilunasi oleh PT Indosat, Tbk.
4.6. Probabilitas Kebangkrutan ( Probability of Default )
𝑃𝐷 = 𝑃[𝑉 𝑇 < 𝐾] = Φ [− ln 𝑉 𝑡 𝐾 + (𝑟 𝑐 − 12𝜎 2 ) (𝑇 − 𝑡) 𝜎√(𝑇 − 𝑡) ] = Φ[−𝑑 2 ]
dengan diketahui nilai 𝑑 2 = 31,2631 diperoleh, 𝑃𝐷 = Φ[−𝑑 2 ] 𝑃𝐷 = 1- Φ[𝑑 2 ]
= 1-1 = 0 perhitungan  digunakan  fungsi  NORMDIST  pada software Excel  lampiran  7,  dan menggunakan  program  R  diperoleh  nilai  probabilitas  sebesar  7,416132E-215 ≈ 0.  Nilai probabilitas kebangkrutan PT Indosat, Tbk sebesar 7,416132E-215 yang menunjukkan PT Indosat, Tbk untuk mengalami kebangkrutan adalah sangat kecil.

## 5. KESIMPULAN
Pemodelan suku bunga BI rate menggunakan suku bunga CIR dapat menghasilkan estimasi prediksi suku bunga yang diasumsikan bebas risiko. Nilai suku bunga model  CIR yang didapatkan dari perhitungan BI rate adalah sebesar 7,015 % pada tahun 2027. Dari uji normalitas Kolmogorov-Smirnov, didapatkan hasil bahwa data ln return aset PT  Inodasat, Tbk berdistribusi normal karena nilai p-value= 0,5226 > 𝛼 = 0,05. Volatilitas PT Indosat, Tbk sebesar 4,58% dinilai sangat kecil, hal ini berarti bahwa tingkat fluktuasi aset rendah dan kemungkinan untuk bangkrut juga kecil.
Didapatkan  nilai  probabilitas  kebangkrutan  yang  sangat  kecil  yaitu  sebesar 7,416132E-215 ≈ 0.  Dengan  perkiraan  nilai  pasar  ekuitas  pada  masa  jatuh  tempo  obligasi sebesar  Rp.  47.127.957.420.359,00 PT  Indosat,  Tbk  dianggap  masih  mampu  untuk membayar nilai pokok obligasi ( face value ) senilai Rp. 511.000.000.000,00 karena masih memiliki modal dan kekayaan yang cukup, dengan kata lain risiko kredit yang dihadapi para
investor  juga  sangat  kecil.  Sehingga  didapatkan  kesimpulan  bahwa  PT  Indosat,  Tbk mempunyai kinerja perusahaan yang sangat bagus sesuai dengan rating kredit yang cukup bagus dan tidak adanya peluang untuk bangkrut jika dihitung dengan pemodelan risiko kredit model Merton.

## DAFTAR PUSTAKA
Astuti, S. 2003, “ Pengaruh Laporan Keuangan Terhadap Peringkat Hutang (Bond Rating) Studi empiris Pada Perusahaan di Bursa Efek Jakarta ”, Wahana, Vol. 6 No. 2, p. 105-112.
Bain, L.J dan M. Engelhardt. 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics 2nd Edition. California. Duxbury Press.
Bank Indonesia. Suku Bunga Bank Indonesia, BI Rate . www.bi.go.id. Diakses:        18 januari 2018.
Conover.W.J. 1980. Practical Nonparametric Statistics . Newyork; John Wiley and Sons.
Cox  J.C.,  Ingersoll  J.E.,  and  Ross  S.A  .1985, A  Theory  of  the  Term  Structure  of  Interest Rates, Econometrica , Vol. 53, Issue 2, 385-406
Crosbie,  P  and  J.  Bohn.  2003. Modelling  Default  Risk .  Moody's  KMV  Company.  South America.
Darsono  dan  Ashari.  2005. Pedoman  Praktis  Memahami  Laporan  Keuangan. Jakarta: Salemba Empat
Departemen Keuangan RI. 1990. Salinan Kementrian Keuangan No:1548/KMK.013/1990 Tentang Pasar Modal Pasal 1 Ayat 34. www.depkeu.go.id. Diakses: 18 Januari 2018
Dmouj, A. 2006. Stock Price Modelling : Theory and Practice. Amsterdam : BMI Paper.
Draper,  N.R,  dan  Smith,  H.  1998. Applied  Regression  Analysis ,  (3ed).  New  York:  John Wiley and Sons.
Elizalde, A. 2005. Credit Risk II: Structural Models. Madrid. CMEFI. Emery, Douglas R., John D. Finnerty, dan John D. Stowe. 2004. Corporate Financial Management. 2nd Edition. Pearson education Inc. New Jersey.
Filipovic, Damir, 2009, Term-Structure Models, Springer-Verlag, New York
Ghozali,  I.  2007. Manajemen  Risiko  Perbankan. Badan  Penerbit  Universitas  Diponegoro. Semarang.
Hull, John. 2003. Options, Futures & Other Derivative Securities Fifth Edition. Prentice- Hall. New Jersey.
Indosat  ooredoo.  Laporan  Keuangan  PT  Indosat,  Tbk.  www.assets.indosatooredoo.com. Diakses: 15 Januari 2018.
[IBPA].  Indonesia  Bond  Pricing  Agency.  Data  Pasar  Surat  Utang,  Obligasi  dan  Sukuk Korporasi www.ibpa.co.id. Diakses: 15 Januari 2018.
Jorion, P. 2009. Financial Risk Manager Handbook FRM PART I / PART II . (6th ed.) The United State of America: Willey Finance.
Kasmir. 2012. Bank dan Lembaga Keuangan Lainnya . PT Raja Grafindo Persada. Jakarta.
Klimko,L.A. and P.I, Nelson. 1978. On Conditional Least Square Estimastion for Stochastic Process , Annals of Statistics 6, 629-642
Kulkarni, Kumar M. and Jigisha T. 2006. How Good Is Merton Model at Assessing Credit Risk ? Evidence From India, National Institute of Bank Management. India.
Longstaff,  F.A and E.S. Schwartz. 1995. The Journal of Finance : A Simple Approach to Valuting  Risk  Fixed  and  Floating  Rate  Debt .  American  Finance  Association, Washington DC.
Manurung, A.H. 2006. Dasar-Dasar Investasi Obligasi . Elex Medai Komputindo. Jakarta.
Maruddani, D.A.I. dan Purbowati, A. 2009. Pengukuran Value At Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo . Media Statistika. Vol 2 (2), 93-104
Maruddani, D.A.I, D.Rosadi, Gunardi and Abdurakhman, Valuation of One Period Coupon Bond Based on Default TIme and Empirical Study in Indonesian Bond Data, Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS), Vol. 98, 2015, pp. 57-53
Montgomery,  D.C.  dan  W.W.  Hines.  1990.  Edisi  Kedua,  Terjemahan  Rudiansyah, Probabilitas dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa Manajemen . Jakarta. UI Press.
Overback, L. dan Ryden, T., 1997, Estimation In The Cox-Ingersoll-Ross Model , Cambridge University Press, Cambridge.
Rahardjo, S. 2003. Panduan Investasi Obligasi . PT gramedia Pustaka Utama. Jakarta.
Taylor, Howard M. and Karlin, Samuel. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling 3rd edition. Academic Press, USA.
Walpole,  R.E  dan  R.H  Myears.1995. Ilmu  Peluang  dan  Statistika  untuk  Insinyur  dan Ilmuwan . Institut Teknologi Bandung. Bandung.