## PEMODELAN INVENTORY DENGAN DUA GUDANG PENYIMPANAN UNTUK BARANG YANG MENGALAMI PENYUSUTAN

## DENGAN BACKLOG SHORTAGE SEBAGIAN DAN LEAD TIME FUZZY

## Dwi Ertiningsih, Widodo
Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University
dwi_ertiningsih@ugm.ac.id, widodo_math@ugm.ac.id

## Abstrak
Adanya  kebijakan  optimalisasi inventory yang  diambil  sebuah  perusahaan  atau retailer  untuk  barang  yang  mengalami  penyusutan  dengan  ketidakpastian  waktu  tunggu ( lead  time )  sampai  barang  selesai  diproduksi  atau  pesanan  datang,  adanya Backlog Shortage sebagian  atau  penuh,  dan  tingkat  permintaan  bergantung  harga  dikembangkan dalam  sistem  dua  gudang  yang  masing-masing  sebagai  gudang  penjualan  ( display )  atau tempat  transaksi  barang  dan  gudang  tempat  penyimpanan  jika  barang  yang  diproduksi atau dibeli tidak cukup ditempatkan di gudang penjualan. Tujuan perusahaan atau retailer mempunyai  dua  gudang  penyimpanan  adalah  untuk  mengoptimalkan  keuntungan  rata- rata jika memproduksi atau membeli barang dalam jumlah besar. Perusahaan atau retailer mempunyai  satu  gudang  dengan  kapasitas  terbatas  yang  letaknya  di  lokasi  strategis sebagai tempat penjualan, yang disebut sebagai gudang milik ( own warehouse , OW) dan gudang  yang  lain  dengan  kapasitas  cukup  luas  disesuaikan  dengan  kebutuhan  yang lokasinya berbeda  dengan tempat penjualan atau transaksi, yang disebut sebagai gudang sewa  ( rented  warehouse ,  RW).  Biaya  penyimpanan  barang  di  RW  menurun  dengan bertambahnya  jarak  dari  RW  ke  OW.  Hal  ini  disebabkan  oleh  biaya  sewa  gudang  dan upah tenaga kerja yang lebih murah dibandingkan di lokasi OW. Barang dikirim dari RW ke OW dalam jumlah yang telah ditentukan ( fixed ) berdasarkan pola tertentu.
Dalam  penelitian  ini  dikembangkan  model inventory dengan Backlog  Shortage sebagian.  Untuk  memperoleh  penyelesaian  digunakan  metode  pendekatan  interval terdekat  untuk  fungsi  single  objektif  yang  memaksimalkan  keuntungan  rata-rata  dalam fuzzy  ( defuzzified )  dan  ditransformasikan  dalam  fungsi  multi  objektif  crisp  yang selanjutnya  diselesaikan  dengan  metode  kriteria  global  ( global  criterion  method )  untuk memperoleh solusi optimal Pareto.
Kata kunci : Dua Gudang Penyimpanan, Backlog Shortage , Waktu Tunggu Fuzzy.

## PENDAHULUAN Latar Belakang
Dari  sudut  pandang  keuangan,  persediaan  barang  menyatakan  modal  yang berhubungan  dengan  aset  lain  termasuk  modal  terbatas  perusahaan.  Masalah inventory
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
klasik telah diformulasikan dengan mempertimbangkan faktor-faktor dalam kondisi real, seperti  penyusutan  barang  persediaan  dan  tingkat  penjualan.  Meskipun  masalah pengambilan  keputusan  multi  objektif  ( multi-objective  decision  making  problems , MODMP)  telah  diaplikasikan  dalam  beberapa  area  yang  berbeda  tetapi  masih  sedikit penelitian tentang MODMP dalam bidang kontrol optimal persediaan barang dengan dua gudang  penyimpanan.  Model inventory klasik  suatu  perusahaan  atau  retailer  selama  ini dikembangkan  dengan  tempat  penyimpanan  tunggal  (OW).  Tetapi  kenyataan  dalam manajemen inventory , ketika pembelian atau produksi barang dalam jumlah besar maka tidak  dapat  disimpan  di  tempat  penyimpanan  yang  ada  (OW)  dikarenakan  terbatasnya kapasitas  sehingga  kelebihan  barang  di  OW  disimpan  di  RW  yang  lokasinya  berbeda dengan OW. RW mempunyai kapasitas cukup luas yang disesuaikan dengan kebutuhan. Dalam  prakteknya,  retailer  membeli  barang  dalam  jumlah  besar  pada  suatu  waktu  jika memperoleh  harga  discount  untuk  sejumlah  pembelian  atau  biaya  pengambilan  barang ( acquisition )  hanya  untuk  mengisi  kapasitas  di  OW  pada  suatu  waktu  lebih  tinggi dibandingkan  biaya  penyimpanan  di  RW  sehingga  untuk  memaksimalkan  keuntungan rata-rata diperlukan tempat penyimpanan  kelebihan barang setelah diisikan di OW.

## Perumusan Masalah
Dalam  penelitian  ini  diformulasikan  model inventory dalam  sistem  dua  gudang penyimpanan  dengan Backlog  Shortage sebagian  untuk  barang  yang  mengalami penyusutan  dan  ketidakpastian  waktu  tunggu  ( lead  time )  dan  suatu  kebijakan inventory dikembangkan  untuk  memaksimalkan  keuntungan  rata-rata.  Permintaan  konsumen diasumsikan  bergantung  harga  penjualan.  Retailer  mempunyai  dua  gudang,  yaitu  OW dengan kapasitas terbatas dan RW dengan kapasitas cukup luas yang disesuaikan dengan kebutuhan. OW ditempatkan di pusat penjualan dan RW lokasinya berbeda dengan OW. Barang  yang dipesan, pertama kali diisikan di OW berdasarkan kapasitas maksimal dan kelebihan barang disimpan di RW. Permintaan barang hanya dilayani di OW dan selama penjualan  OW  diisi  sesuai  dengan  kapasitas  maksimal  dari  RW  dalam  jumlah  tertentu mengikuti  pola  yang  ditentukan  pada  suatu  interval  waktu  sampai  persediaan  barang  di RW  kosong.  Karena  lokasi  RW  berbeda  dengan  OW  maka  biaya  penyimpanan  di  RW dan  biaya  transportasi  dari  RW  ke  OW  bergantung  pada  jarak  RW  dan  OW. Backlog
Shortage sebagian dan Backlog Shortage penuh di OW diijinkan. Terdapat selang waktu antara  waktu  pemesanan  dan  penerimaan  pesanan  sebagai  ketidakpastian  ( imprecise ). Ketidakpastian  waktu  tunggu  ( lead  time )  tersebut  direpresentasikan  dengan  bilangan fuzzy  kemudian  ditransformasikan  dengan  interval  aritmatika  sehingga  fungsi single objective yang memaksimalkan keuntungan rata-rata diubah dalam fungsi multi objektif. Secara  analitik  akan  ditunjukkan  bahwa  model  dengan Backlog  Shortage sebagian mempunyai penyelesaian optimal pareto.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Formulasi Masalah Multi Objektif
Secara  umum,  masalah  optimisasi  dengan  beberapa  parameter  bernilai  interval diberikan sebagai berikut :
Memaksimalkan :
∏ ∑ = = = n j j k i i ij x C x Z 1 1 ) ( α
Dengan kendala :
     = ≥ = ≤ ∑ = ) ,..., 2 , 1 ( 0 ,..., 2 , 1 , 1 n j x k i B x A j i n j j ij ij β (1)
dengan
] , [ dan , ] , [ , ] , [ Ri Li i Rij Lij ij Ri Li i b b B a a A c c C = = = adalah  bilangan-bilangan interval dimana Li Lij Li b a c , , adalah limit-limit kiri dan
Ri Rij Ri b a c , , adalah limit-limit kanan sedangkan , ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 , , n j k i ij ij = = β α adalah  konstanta-konstanta  real.  Jelas bahwa formulasi masalah (1) merupakan suatu masalah multi objektif nonlinear.
Dari  persamaan  (1),  limit  kiri ) ( x z L ,  limit  kanan ) ( x z R ,  dan  center ) ( x z C dari fungsi tujuan ) ( x Z diberikan sebagai berikut :
∏ ∑ = = = n j j k i Li L ij x C x z 1 1 ) ( α (2)
∏ ∑ = = = n j j k i Ri R ij x C x z 1 1 ) ( α (3)
[ ] ) ( ) ( 2 1 ) ( x z x z x z R L
C + = (4)
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
Menggunakan  analisis  interval,
) ( x Z ekuivalen  dengan ] , [ R L Z Z dimana
dan R L Z Z dapat  diinterpretasikan  sebagai  keuntungan  pesimistis  dan  optimistis. Menurut  Ishibuchi  dan  Tanaka  (1990),  masalah  memaksimalkan  (1)  dikonversi  dalam masalah  multi  objektif  (dua  tujuan),  yaitu  :  memaksimalkan  keuntungan  terendah  dan center  dari  interval  fungsi  tujuan.  Dua  tujuan  tersebut  dapat  dinyatakan  sebagai memaksimalkan  kasus  terburuk  dan  kasus  rata-rata.  Oleh  sebab  itu,  masalah  (1) ditransformasikan sebagai berikut :
Memaksimalkan : { } C L z z ,
Dengan kendala :
         = ≥ = ≤ ≤ ∑ ∑ = = ) ,..., 2 , 1 ( 0 ,..., 2 , 1 , 1 1 n j x k i B x a B x a j Li n j j Rij Ri n j j Lij ij ij β β (5)
dengan Lij a dan Rij a adalah sumber minimum dan maksimum yang dibutuhkan oleh satu unit barang ke- j dan ) , ( Ri Li b b adalah nilai-nilai pesimistis dan optimistis dari total sumber yang tersedia. Kendala-kendala di atas dirumuskan mengikuti interval matematika.

## Asumsi dan Notasi

## Asumsi
1) Single  item dan  tidak  ada  perbaikan/  penggantian  untuk  unit  yang  mengalami penyusutan
2) Biaya penyimpanan barang diterapkan hanya pada unit-unit yang bagus
3) Waktu tak berhingga
4) Shortage diijinkan  dan  kekecewaan  konsumen  akibat  kekosongan  barang  di backlog sebagian.
5) Waktu transportasi dari RW ke OW diabaikan
6) Biaya transportasi bergantung pada jarak dari RW ke OW
7) Kapasitas  dari  OW  terbatas  sementara  kapasitas  di  RW  cukup  luas  yang disesuaikan dengan kebutuhan
8) Biaya  penyimpanan  di  OW  tetap  sementara  biaya  penyimpanan  di  RW
bergantung jarak lokasi RW dari tempat penjualan yaitu biaya menurun terhadap bertambahnya jarak dari OW.

## Notasi
p : biaya pembelian/ produksi per unit barang
s : harga penjualan per unit barang dengan
) 1 ( > = m mp s ) ( s D :  tingkat  permintaan  per  bulan  yang  bergantung  pada  harga  penjualan    dengan β α − = s s D ) ( , 0 , > β α ,  dimana α adalah  skala  parameter  dan β adalah  bentuk parameter  dari  kurva  permintaan.  Karena 0 ) ( 1 < − = − − β αβ s s D ds d untuk 0 > s , maka tingkat permintaan ) ( s D turun dengan naiknya s .
x : jarak dari RW ke OW
t ′ : waktu pemesanan/ produksi
L : waktu tunggu untuk menerima pesanan
T : waktu perputaran barang dengan
L t T + ′ =
H : biaya penyimpanan per unit barang di OW
) ( x F : biaya penyimpanan per unit barang di RW dengan 0 , , , ) ( > = − µ λ λ µ x x x F s c : biaya shortage per unit barang per bulan
g c : biaya opportunity akibat kehilangan penjualan per unit barang per bulan
) ( x c t : biaya transportasi dari RW ke OW per unit barang dengan
0 , , ) ( > = ψ ω ω ψ x x c t d
Q : total jumlah penyusutan di RW dan OW
b Q : jumlah permintaan akibat kekosongan barang yang akan dipenuhi ketika
Barang  pesanan  datang  dengan ] , [ br bl b Q Q Q = dimana br bl Q Q , masing-masing adalah batas bawah dan batas atas dari bilangan interval b Q
ls Q : jumlah kehilangan penjualan
Q : jumlah barang yang dikirim dari RW ke OW pada setiap pengiriman
j Q : tingkat persediaan di RW setelah pengiriman ke- j , n j ,..., 2 , 1 =
n : banyaknya pengiriman yang diperlukan dari RW ke OW
1 t : interval waktu antara dua pengiriman dari RW ke OW
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
) ( 0 t q : tingkat persediaan di OW di setiap t , [ ] ) , ( ) , 0 ( 2 1 1 t nt nt t ∪ ∈ ) ( t q r : tingkat persediaan di RW di setiap t , n j jt t j t ,..., 2 , 1 , ) , ) 1 ( 1 1 = − ∈ ) ( t q b : tingkat backlog di setiap t , ] , [ 2 T t t ∈
δ : kehilangan penjualan akibat kekurangan barang yang di backlog , 1 0 ≤ < δ
d c : biaya penyusutan per unit barang
S : total tingkat persediaan barang awal di RW dan OW pada awal putaran
W : kapasitas penyimpanan di OW (tetap) dan S W <
2 1 , θ θ : tingkat penyusutan di RW dan OW, 1 , 0 2 1 ≤ ≤ θ θ ) ( L A :biaya  pemesanan  per  putaran  dengan
0 , , , ) ( > − = γ γ b a bL a L A dimana ) ( L A
turun dengan naiknya nilai L , yaitu : 0 1 < − = − γ γ bL dl dA R L ∏ ∏ , : Limit kiri dan limit kanan dari rata-rata interval fungsi keuntungan
Deskripsi Model Backlog Shortage Sebagian
Retailer memperoleh barang dari supplier dan pertama kali menyimpannya di OW sedangkan  kelebihan  unit  disimpan  di  RW.  Permintaan  konsumen  dilayani  di  OW  dan kekosongan  barang  di  OW  diisi  maksimal  dengan  transfer  unit  dari  RW  ke  OW  pada suatu interval waktu tertentu 1 t . Awalnya sejumlah S unit dibeli dimana W unit disimpan di OW dan ) ( W S − unit disimpan di RW. Persediaan di OW menurun akibat permintaan konsumen dan penyusutan barang. Setelah waktu 1 t , Q unit dari RW dipindahkan ke OW sedemikian  hingga  tingkat  persediaan  di  OW  kembali  menjadi  W  yang  mengisi  penuh kekosongan  tempat  di  OW.  Proses  tersebut  berlanjut  sampai n pengiriman.  Berdasarkan asumsi awal, setelah pengiriman ke- n tidak ada unit barang yang tersisa di RW ) 0 ( = n Q . Sisa  W  unit  di  OW  digunakan  dan  berkurang  akibat  dari  permintaan  konsumen  dan penyusutan  barang.  Pada  saat 2 t t = ,  persediaan  di  OW  mencapai  nol  dan  kehabisan persediaan  barang  mulai  dihitung  dan  sampai T t = saat  sejumlah  barang  yang  dipesan tiba.  Dalam  kasus  ini  tingkat  persediaan  berdasarkan  perumusan  di  atas  diberikan  pada gambar  berikut :
Gambar 1.   Model inventory dua gudang.
Jika total shortage yang dihitung di backlog sebagian, maka kehilangan penjualan terjadi.  Oleh  karena  itu  terdapat  biaya  tambahan  ( opportunity  cost )  karena  kehilangan penjualan.

## Gudang Sewa (RW/ Rented Warehouse)
Unit-unit  yang  dikirim  dari  RW  ke  OW  berdasarkan  pola  tertentu,  tingkat inventory di  RW  berkurang  secara  diskrit  pada  suatu  interval  waktu  tertentu,  yaitu  pada suatu  titik  waktu  tetap.  Tetapi  selama  interval  waktu  tersebut,  persediaan  di  RW berkurang  secara  kontinu  yang  hanya  diakibatkan  oleh  penyusutan  unit  barang.  Oleh karena itu, tingkat inventory ) ( t q r di RW pada setiap t selama n j jt t t j ,..., 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 = < ≤ − memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut:
) ( ) ( 1 t q t q dt d r r θ − = , n j jt t t j ,..., 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 = < ≤ − (6)
Selanjutnya  di  setiap  interval  waktu n j jt t t j ,..., 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 = < ≤ − , ) ( t q r adalah fungsi  turun  secara  kontinu  dari  tingkat
)] 1 ( [ 1 1 t j q Q r j − = − tetapi  diskontinu  dari  kiri  di
1 jt karena dari deskripsi model jelas bahwa :
) ( ) ( lim 1 1 jt q Q Q Q t q r j j r jt t = ≠ + = → .
Berdasarkan  hal  tersebut,  penyelesaian  dari  persamaan  diferensial  (6)  diberikan sebagai berikut :
n j e Q Q t q t jt j r ,..., 2 , 1 , ) ( ) ( ) ( 1 1 = + = − θ (7)
Karena ) 1 ( 1 1 t j q Q r j
− = − , maka dari persamaan (7) diperoleh : 1 1 ) ( 1 t j j e Q Q Q θ + = −
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
Jadi, ) 1 ( ,..., 2 , 1 − = ∀ n j berlaku :       = ∑ − = j n s t s j e Q Q 1 1 1 θ j Q merupakan  deret  geometri  berhingga  dengan  suku  awal 1 1 t e a θ = dan  rasio 1 1 t e r θ =
sehingga diperoleh : ( ) 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( = − − = − n t t j n t j Q e e Qe Q θ θ θ
(8)
Pada awal putaran,
( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 − − = − = t t n t e e Qe W S Q θ θ θ (9)
Karena  fungsi ) ( t q r adalah  fungsi  kontinu  sepotong-sepotong  pada  interval ] , 0 [ 1 nt , maka total inventory di RW pada interval waktu tersebut adalah :
∑ ∫ = − = n j jt t j r dt t q G 1 ) 1 ( 1 1 1 ) ( ( )         − − − + −       = n e e e e Q t t n t t 1 1 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ (10)
Gudang Milik (OW/ Own Warehouse )
Berkurangnya  persediaan  barang  di  OW  selama  interval ] , 0 [ 2 t akibat  dari permintaan konsumen dan penyusutan barang. Selanjutnya tingakt inventory menjadi nol dan shortage mulai  dihitung  selama ] , [ 2 T t yang  di backlog sebagian.  Persamaan diferensial  yang menyatakan tingkat inventory ) ( t q o selama interval ] , 0 [ 2 t dan Backlog Shortage ) ( t q b selama ] , [ 2 T t di OW diberikan sebagai berikut
) ( ) ( ) ( 0 2 t q s D t q dt d o θ − − = , n j jt t t j ,..., 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 = < ≤ − (11)
dengan syarat
1 ) 1 ( di ) ( t j t W t q o − = = dan ) ( ) ( ) ( 0 2 t q s D t q dt d o θ − − = , 2 1 t t nt ≤ ≤ (12)
dengan syarat 0 ) ( 2 = t q o .
Sedangkan, ) ( ) ( ) ( t q s D t q dt d
b b δ − − = , T t t ≤ ≤ 2 (13)
dengan syarat 0 ) ( 2 = t q b .
Penyelesaian dari persaman diferensial (11)-(13) adalah sebagai berikut :
) 1 ( 2 2 1 2 ) ( t j t o e D W D t q − − −       + + − = θ θ θ untuk n j jt t t j ,..., 2 , 1 , ) 1 ( 1 1 = < ≤ − (14a)
( ) 1 ) ( ) ( 2 2 2 − = − t t o e D t q θ θ , 2 1 t t nt ≤ ≤ (14b)
( ) ) ( 2 1 ) ( t t b e D t q − − − − = δ δ , T t t < ≤ 2 (15) Fungsi ) ( t q o diskontinu dari kiri di 1 jt . Dari gambar jelas bahwa n j ,..., 2 , 1 = ∀ 1 ) ( ) ( lim 1 jt t o o jt q W Q W t q → = ≠ − = (16)
Ambil limit kiri dari ) ( t q o pada persamaan (14a), maka diperoleh :
( ) 1 2 1 2 t e D W
Q θ θ − −       + = (17)
Fungsi ) ( t q o juga  kontinu  sepotong-potong  pada ] , 0 [ ] nt sehingga  total inventory pada gudang OW selama ] , 0 [ ] nt diberikan sebagai berikut :
∑ ∫ = − = n j jt t j o dt t q G 1 ) 1 ( 2 1 1 ) ( ( )
        − −       + = − 1 2 2 1 2 1 Dt e D W n t θ θ θ (18)
Dari persamaan (14) dan (16) diperoleh :
( ) 1 ) ( 2 1 2 2 − = − nt t e D W θ θ (19)
Total inventory di gudang OW pada interval ] . [ 2 1 t nt adalah ∫ = 2 1 ) ( 3 t nt o dt t q
G ( )     − − −       = − 1 1 2 2 ) ( 2 2 1 2 2 nt t e D nt t θ θ θ (20)
Menggunakan persamaan (15) sejumlah barang yang di backlog selama periode T t t ≤ ≤ 2 adalah :
∫ = T t b b dt t q Q 2 ) ( ( ) ( ) ) ( 1 2 ) ( 2 2 t T e D t T − − − = − − δ δ δ (21)
Oleh karena itu, jumlah kehilangan penjualan selama ] , [ 2 T t adalah :
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
∫ ∑ ∫ ∑ ∫ + + = = − = − 2 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 1 t nt o n j jt t j o n j jt t j r d dt t q dt t q dt t q Q θ θ θ ( ) 2 3 2 1 1 θ θ G G G + + = (22)
Fungsi tujuan ) ; , , ( 1 1 n x t t ′ ∏ memuat elemen-elemen sebagai berikut :
i. Biaya pemesanan = γ bL a L A − = ) ( ii. Biaya penyimpanan = ( ) H G G x F G 3 2 1 ) ( + +
iii. Biaya shortage = s b c Q
iv. Biaya opportunity akibat dari kehilangan penjualan = g ls c Q v. Biaya transportasi = ) ( x c nQ t vi. Biaya penyusutan barang = d d c Q
vii. Biaya pembelian = ( )     − + − − ) ( 2 1 t T e D S p δ δ
viii.
Pendapatan penjualan =
( )     − + − − ) ( 2 2 1 t T e D t D mp δ δ
Jadi, total keuntungan dapat dirumuskan sebagai berikut :
) ; , , ( 1 n x t t ′ ∏ = Pendapatan penjualan – (biaya pembelian + biaya penyimpanan + biaya pemesanan + biaya shortage + biaya opportunity + biaya transportasi + biaya penyusutan)
= ( )     − + − − ) ( 2 2 1 t T e D t D mp δ δ - ( )     − + − − ) ( 2 1 t T e D S p δ δ - ( ) H G G x F G 3 2 1 ) ( + − - ) ( L A - s b c Q - g ls c Q - ) ( x c nQ t - d d c Q (23)
Oleh karena itu, rata-rata keuntungan pada interval waktu ] , 0 [ T adalah :
) ; , , ( 1 ) ; , , ( 1 1 n x t t T n x t t ′ ∏ = ′ ∏ (24)
Diasumsikan  bahwa  waktu  tunggu ) ~ ( L sebagai  bilangan fuzzy  trapezoida yang diaproksimasi  oleh  suatu  bilangan  interval  crisp.  Untuk ) , , , ( ~ 4 3 2 1 l l l l L = dengan  metode interval terdekat diperoleh limit kiri dan limit kanan dari interval terdekat ke ) ~ ( L adalah : ) ( 2 1 2 1 l l L L + = dan ) ( 4 3 2 1 l l L R + =
Selanjutnya dengan menggunakan interval aritmatika, fungsi tujuan pada persamaan (24) menjadi :
[ ] ) ; , , ( ), ; , , ( ) ; , , ( 1 1 1 n x t t n x t t n x t t R L ′ ∏ ′ ∏ = ′ ∏ dengan :
) ; , , ( 1 ) ; , , ( 1 1 n x t t t L n x t t L R L ′ ∏ ′ + = ′ ∏ dan ) ; , , ( 1 ) ; , , ( 1 1 n x t t t L n x t t R L R ′ ∏ ′ + = ′ ∏
Selanjutnya  model  di  atas  ditransformasikan  dalam  masalah  program  multi  objektif nonlinear bilangan bulat sebagai berikut :
{ } ) ; , , ( ), ; , , ( max 1 1 n x t t n x t t C L ′ ∏ ′ ∏ (25)
dengan ( ) ) ; , , ( ) ; , , ( 2 1 ) ; , , ( 1 1 1 n x t t n x t t n x t t R L C ′ ∏ + ′ ∏ = ′ ∏ adalah  center  dari  fungsi keuntungan.

## Metode Penyelesaian
Model  di  atas  adalah  model  multi  objektif  yang  diselesaikan  dengan  metode kriteria global.  Dengan metode kriteria global, masalah program multi objektif nonlinear bilangan bulat dikonversi dalam masalah single objektif. Berikut algoritma penyelesaian yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program multi objektif integer nonlinear : Tahap  1    :  Untuk n bilangan  bulat,  selesaikan  masalah  program  multi  objektif  di  atas sebagai  masalah  single  objektif  menggunakan  satu  fungsi  objektif  pada  suatu  waktu dengan mengabaikan fungsi objektif yang lain.
Tahap  2    :  Dari  hasil  tahap  1,  tentukan  vektor  objektif  ideal  misalkan ( ) 0 0 , C L π π .  Vektor objektif ideal digunakan sebagai titik referensi sehingga masalah di atas menjadi :
p
C L j p j j j n x t t GC / 1 , 0 0 1 ) , , , ( min ) ( min
                ∏ ∏ − ′ ∏ = ∑ = , ∞ < ≤ p 1 . (26)

## KESIMPULAN
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  prosedur  penyelesaian  dari  suatu masalah inventory dua  gudang  dengan  harga  penjualan  bergantung  tingkat  permintaan dan  penyusutan  barang. Shortage diperbolehkan  dan  di backlog sebagian.  Dalam  kasus
Vol. 5, No. 1, Juni 2009: 61-72
real,  biaya  pemesanan  menurun  terhadap  bertambahnya  waktu  tunggu/ lead  time . Lead time ditentukan  sebagai  ketidakpastian  dalam  fuzzy  yang  dinyatakan  dengan  fungsi keanggotaan  linear  selanjutnya  diaproksimasi  ke  suatu  bilangan  interval.  Kemudian masalah tersebut dikonversi dalam masalah inventory multi objektif dimana fungsi-fungsi objektifnya direpresentasikan oleh limit kiri dan center dari fungsi-fungsi interval. Untuk memperoleh  penyelesaian  dari  masalah inventory multi  objektif  tersebut  digunakan metode kriteria global.

## DAFTAR PUSTAKA
Chiang,  J.,  Yao,  J.-S.,  &  Lee,  H.-M.  2005.  Fuzzy inventory with  backorder defuzzification  by  signed  distance  method, Journal  of  Information  Science  and Engineering 21, 673–694.
Debdulal  Panda  &  Samarjit  Kar.  2005.  Multi-item  Stochastic  and  Fuzzy-Stochastic Inventory Models Under Imprecise Goal and Chance Constraints. AMO - Advanced Modeling and Optimization , Volume 7, Number 1.
Dey,  J.K.,  Kar,  S.,  &  Maiti,  M.  2005.  An  interactive  method  for inventory control  with fuzzy  lead-time  and  dynamic  demand, European  Journal  of  Operational Research 167, 381–397.
Ishibuchi,  H.  &  Tanaka,  H.  1990.  Multiobjective  programming  in  optimization  of  the interval  objective  function. European  Journal  of  Operational  Research ,  48:  219- 225.
K.  Maity  &  M.  Maiti.  2007.  A  numerical  approach  to  a  multi-objective  optimal  control problem  for  deteriorating  multi-item  under  fuzzy  inflation  and  discounting. Computers and Mathematics with Applications .
Lee, C.C. & Ma, C.Y. 2000. Optimal Inventory  policy  for deteriorating items with two- warehouse  and  time  dependent  demands. Production  Planning  &  Control 11  (7), 689–696.
S.  Papachristos  &  K.  Skouri.  2003.  An  inventory  model  of  deteriorating  items,  quantity discount,  pricing  and  time-dependent  partial  backlogging. International  Journal  of Production Economics 83, 247-256.