Vol.14, No. 2,  180-186,  Januari  2018
Solusi Problem Dirichlet pada Daerah Persegi dengan Metode Pemisahan Variabel
M. Saleh AF 
Abstrak
Dalam  keadaan  distribusi  temperatur  setimbang  (tidak  tergantung  pada  waktu)  pada  daearah persegi
,  pandang  persamaan .  Persamaan  ini
dikenal sebagai persamaan Laplace dalam dua variabel, yang diperoleh dari persamaan panas dengan  membuat  turunan  terhadap  waktu  sama  dengan  nol.    Persamaan  Laplace  dalam  dua variabel beserta syarat-syarat batas yang diberikan, disebut  masalah Dirichlet daerah Persegi. Dalam tulisan ini akan diuraikan pemecahan masalah yang didasarkan pada metode pemisahan variabel,  dengan  asumsi  solusi  berbentuk (    )    ( ) ( ) .  Penyelesaian  masalah Dirichlet  di  bagi  ke  dalam  empat  sub-bagian  yang  masing-masing  memiliki  satu  syarat  tak homogen. Solusi yang diperoleh merupakan jumlah dari ke empat solusi sub-bagian.
Kata  Kunci: Masalah  Dirichlet,  persamaan  Laplace,  metode  pemisahan  variabel, nilai batas persegi.

## 1. Pendahuluan
Pandanglah  konduksi panas dalam keadaan mantap pada daerah dua dimensi. Dalam hal ini temperatur diasumsikan setimbang ( steady-state ) dalam bidang persegi ( ) dimana  temperatur  merupakan  fungsi  dari  posisi  (tidak  tergantung  pada  waktu)  pada  batas- batas yang diberikan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Dalam  keadaan  temperatur  setimbang  maka (    ) memenuhi  persamaan  Laplace dengan syarat-syarat batas berikut:
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, Tamalanrea, Makassar.
Gambar 1. Problem Dirichlet pada Daerah Persegi.
𝑓 2 (𝑥) 𝑓 1 (𝑥) 𝑔 2 (𝑦) 𝑔 1 (𝑦) ∇ 2 𝑢 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑂

## M. Saleh AF
2 (    ) (    ) (1)
dengan syarat-syarat batas:
(    ) 1 ( ) ; (    ) 2 ( ) (2)
(    ) 1 ( ) ; (    ) 2 ( )
dimana 1 2 adalah  fungsi-fungsi  dalam x dan 1 2 adalah  fungsi-fungsi  dalam y yang diberikan.
Persamaan  Laplace  dua  dimensi  beserta  syarat-syarat  batas  yang  diberikan,  di  sebut problem Dirichlet pada  daerah  bidang  persegi.  Untuk  menyelesaikan  masalah  ini,  problem Dirichlet dibagi atas empat sub-bagian Dirichlet seperti pada Gambar 2, masing-masing memiliki satu syarat non-homogen. Solusi yang diperoleh merupakan jumlah dari empat sub-bagian, yang berbentuk:
(    ) 1 (    ) 2 (    ) 3 (    ) 4 (    ) (3)
dimana  setiap (    ) memenuhi  persamaan  Laplace  dengan  satu  syarat  batas  tak homogen dan tiga syarat batas homogen. Metode penyelesaian untuk setiap (    ) adalah sama,
yaitu metode variabel terpisah dengan detail yang berbeda.
Gambar 2. Dekomposisi Problem Dirichlet ke Dalam Empat Sub-Bagian.
Bentuk persamaan dan syarat-syarat batas dari ke empat masalah ini adalah
(i) ∇ 2 (    ) atau (    ) (    )
dengan syarat batas: (    ) 1 ( )     (    )        (    )         (    )
(ii) (    ) (    )
dengan syarat batas: (    ) 2 ( )    (    )     (    )   (    ) .
(iii) (    ) (    )
dengan syarat batas: (    ) 1 ( )  (    )     (    )     (    ) . (iv) (    )
(    ) ,
dengan syarat batas: (    )     (    )    (    )       (    ) 2 ( ) .

## 2. Pencarian Solusi dengan Metode Pemisahan Variabel
Pertama-tama,  akan  diselesaikan  salah  satu  bagian,  yaitu  dimulai  dengan  sub  bagian  II, yaitu
(    ) (    ) , (4)
dengan satu syarat batas tak homogen dan tiga syarat batas homogeny, yaitu
(    ) 2 ( ) dan (    )     (    )     (    ) . (5)

## Pandang solusi dalam bentuk perkalian
(    )    ( ) ( ) , (6)
yang merupakan perkalian dua fungsi, masing-masing  hanya tergantung pada satu variabel x dan y . Persamaan (6) diturunkan secara parsial dua kali, diperoleh:
(    )     ( )  ( ) dan (    )     ( ) ( y ). (7)
Subtitusi  (7)  ke  (4),  diperoleh ( )  ( ) ( )  ( ) .  Selanjutnya,  kedua  ruas  dibagi dengan X ( x ) Y ( y ) menjadi,
atau . (8)
Ekspresi  di  ruas  kiri  dan  ruas  kanan  masing-masing  hanya  tergantung  dari  satu  variabel,  maka kedua ekspresi tersebut haruslah sama dengan sebuah konstanta k , dan diperoleh dua persamaan differensial parsial orde dua:
(9)
yang memenuhi syarat-syarat batas dengan syarat-syarat batas (5). Tinjau persamaan berikut:
 . Jika ,  solusi  trivial.  Untuk katakanlah 2 ,  persamaan  differensial tersebut berbentuk 2 dan persamaan karakteristiknya 2 2 , dengan akar- akar karakteristik dan , sehingga solusi  persamaan tersebut adalah ( ) (                 )    (                 ) (     )          (       ) 1 2 (10)  . Jika 2 ,  persamaan  karakteristiknya  adalah 2 2 ,  dengan  akar-akar karakteristik dan , sehingga solusi persamaan tersebut adalah ( ) 1 2 (11)

## M. Saleh AF
( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 )     ( 2 ) .
Aplikasikan syarat-syarat batas (5) ke dalam solusi (6), yaitu:
 (    )    ( ) ( ) . Jelas  bahwa  jika ( ) ,  maka
,  hal  ini  tidak  menarik  (karena  masalah  selesai sampai disini saja atau solusi menjadi trivial). Jadi pilih ( ) , akibatnya ( ) .
 (    )    ( ) ( ) . Dengan  alasan  serupa,  jika ( ) ,  masalah  selesai,  jadi  pilih ( ) ,  akibatnya ( ) .
 (    )    ( ) ( ) , dimana ( ) ,  akibatnya ( ) . Jadi   syarat-syarat   batas untuk X ( x ) dan Y ( y ) adalah:
( )       ( )            ( ) (12)
Aplikasikan syarat-syarat batas (12) ke dalam solusi (10) dan (11), yaitu
( ) 1 2 , memenuhi syarat-syarat batas:  ( ) 1 2 , 1 .  ( ) 1 2 , karena 1 2 . Agar   solusi tak trivial, haruslah 2 .  Akibatnya , tetapi , maka sehingga . Jadi solusi untuk X ( x ) adalah:
( ) 2 . (13)
Dengan cara serupa, ( ) , memenuhi syarat batas (12).
 ( ) , sehingga solusi untuk ( ) adalah ( ) . (14)
Karena diinginkan  solusi  dalam  bentuk  perkalian  maka  berdasarkan  persamaan  (6),  (13),  dan (14), diperoleh:
(    ) 2 ( ) , (15)
yang merupakan fungsi dari x saja, dengan konstanta 2 . Berdasarkan prinsip superposisi, solusi  umum  dari  sub  II  atau  persamaan  (4)  yang  memenuhi  syarat-syarat  batas  (5),  dapat dituliskan sebagai:
2 ( ) 2 (    )   ∑ 2 (    )   ∑ 1 1 (16)
dengan
2 ∫ 2 ( ) (17)

## M. Saleh AF
yang disebut koefisien deret Fourier. Perhitungannya koefisien dilakukan sebagai berikut.
Kalikan , ( m bilangan bulat positif) pada kedua ruas persamaan (16) kemudian integralkan dari 0 sampai a :
∫ 2 ( ) ∫ ∑ ( ) 1 ∑ 1 ∫ .
Dengan mengaplikasikan rumus jumlah sudut trigonometri:
1 2 [   (     )        (     )  ] ,
maka
∫ 2 ( ) ∑ 1 ∫ 1 2 *    ( )        ( ) + ∑ 1 2 1 *∫     ( )        ∫    ( ) +
dimana  integral    kedua  di ruas  kanan  bernilai  nol,  sedangkan  integral  pertama  ruas  kanan  juga bernilai nol ketika , dan bernilai a jika , . Pilih , integral pertama di ruas kanan menjadi ∫     ( ) ∫            ∫ ,
dan diperoleh
∫ 2 ( )    ( ) ( ) ( )      ( ) Untuk , (syarat batas tak homogen (    ) 2 ( ) ) diperoleh
2 ∫ 2 ( ) .

## Perhitungan Solusi Masalah Dirichlet Sub-Bagian III

## Tinjau masalah untuk sub bagian III, yaitu
(    ) (    ) , (18)
dengan syarat batas:
(    ) 1 ( )       (    )     (    )    (    ) . (19)

## Bentuk solusi yang diinginkan adalah
(    )    ( ) ( ) . (20)
Setelah didifferensialkan secara parsial dua kali dan disubtitusi pada problem (18), diperoleh dua persamaan diferensial parsial orde 2:
2 2 , (21)
dengan solusi ( ) . Dan

## M. Saleh AF
2 2 , (22) dengan  solusi ( ) 1
2 .  Kedua  solusi  terakhir  ini  memenuhi  syarat-syarat batas:
(a) (    )    ( ) ( )        ( )
(b) (    )    ( ) ( )        ( )
(c) (    )    ( ) ( )        ( )
Aplikasikan syarat-syarat batas ini pada solusi X ( x ) dan Y ( y ), yaitu
(a) ( ) 1 2 1 (b) ( ) 1 2 ,  karena 1 ,  maka 2
.  Agar  solusi  tak
singulir,  haruslah 2 , akibatnya, ,  akan  tetapi ,  maka atau , sehingga  solusi ( ) 2 .
(c) ( ) sehingga solusi (20) menjadi (    )   ( ) 2 , 2
Dengan menerapkan rumus jumlah sudut fungsi hiperbolik, diperoleh
(    ) 2 ( (     ) (     )) ,
dengan a bilangan tertentu, yang memenuhi syarat batas (    ) , yaitu
(    )   ( (     ) (     )) ( ) .
Jadi solusi persamaan (18) yang memenuhi syarat-syarat batas (19) adalah
1 ( ) 3 (    ) (     ) ,
atau berdasar prinsip superposisi menjadi:
1 ( ) 3 (    )   ∑ (     ) 1 (23)
dengan
2 ∫ 1 ( ) (24)
Penurunan rumus untuk sub-bagian (i) dan (iv) diperoleh dengan cara serupa, terutama untuk sub bagian (iv), hanya mempertukarkan a dan b serta x dan y , sehingga diperoleh solusi (iv) dan (i) masing-masing adalah :
4 (    ) 2 ( )   ∑ 1 , (25)
dengan
2 ∫ 2 ( ) , 1 (    ) 1 ( )   ∑ (     ) 1 , (26)
dengan
2 ∫ 1 ( ) .
Jadi  solusi  komplit  dari  masalah  Dirichlet  pada  Gambar  1  adalah  jumlah  dari  solusi  sub-sub bagian yaitu:
(    ) 1 (    ) 2 (    ) 3 (    ) 4 (    ) (27)
∑ (     ) 1 ∑ 1 ∑ (     ) 1 ∑ 1
dengan  koefisin-koefisien
∫ 1 ( ) ∫ 2 ( ) ∫ 1 ( ) ∫ 2 ( )

## Daftar Pustaka
Kreyszig, E., 1983. Advanced Enggineering Mathematics . John Wiley & Sons Inc., New York.
Asmar, N., 2004. Partial Differential Equation with Fourier Series . Pearson-Prentice Hall, USA.
Kartono, 2001. Maple untuk Persamaan Differensial . J & J  Learning, Yogyakarta.