LOGISTIC MODEL DEVELOPMENT OF COVID-19 SPREAD WITH PHYSICAL DISTANCING INTERVENTION
Okky Widya Arditya 1 , Widowati Widowati 2* , Sutimin Sutimin 3 , R. Heru Tjahjana 4 , Eka Triyana 5
1,2,3,4,5 Department of Mathematics, Faculty of Sciences and Mathematics, Diponegoro University, Indonesia
* Corresponding author email: widowati@lecturer.undip.ac.id
Abstract. In early 2020, covid-19 spread fast in the worldwide and cause the high death. The disease started from the Asian region which resulted in a viral pandemic in 2020. In order  to  anticipate  the  increasing  of  the  cases,  a  strategy  is  needed  to  inhibit  its transmission.    The  mathematical  model  approach  is  important  tool  for  predicting  of covid-19  spread  in  populations.  In  this  paper  we  propose  and  analyze  the  dynamical behaviour of a developed logistic model by considering the effect of the contact patterns in  reducing  the  covid-19  spread  process.    To  verify  the  developed  logistic  model, numerical simulation was given with case study of covid-19 spread for patients under supervision  in  Central  Java  Province,  Indonesia.    Based  on  simulation  results,  it  was found that physical distancing can reduce the growth of the covid-19 spread for patient under supervision. It can be seen from the number of covid-19 spread for patients under supervision with physical distancing intervention smaller compared to without physical distancing intervention.
Keywords: Covid-19, logistic model, physical distancing, stability

## I. PENDAHULUAN
Coronavirus  merupakan  virus  jenis  baru  yang  ditemukan  pada  manusia  yang  telah bermutasi,  keluarga  besar  virus  ini  dapat  menyebabkan  penyakit  pada  manusia  dan  hewan. Pada  manusia  penyakit  ini  dapat  menyerang  saluran  pernafasan,  mulai  flu  biasa  hingga penyakit serius seperti  Middle East Respiratory Syndrome (MERS) dan sindrom pernafasan akut  berat/  Servere  Acute  Respiratory  Syndrome  (SARS).  Virus  ini  pertama  kali  muncul  di Wuhan  Cina,  pada  Desember  2019  kemudian  diberi  nama  Servere  Acute  Respiratory Syndrome Coronavirus  2 (SARS-COV2) sehingga megakibatkan Coronavirus Disease-2019 (COVID-19). Gejala yang ditimbulakan hamper sama dengan SARS yang muncul pada tahun 2003  di  Guangdong  Cina.  Namun  angka  kematian  SARS  (9,6%)  lebih  tinggi  dibanding COVID-19 (kurang dari 5%), walaupun jumlah kasus COVID-19 jauh lebih banyak dibanding SARS.
Model  matematika  menjadi  alat  yang  esensial  dalam  mendiskripsikan  dan  menganalisis sistem dinamik [1] yang digunakan untuk memahami perilaku infeksi virus terhadap manusia dan  untuk  pengambilan  kebijakan  [2].  KermackMcKendrick  membagi  populasi  total  (N) menjadi empat kelas yaitu Susceptible(S(t)) merupakan jumlah individu yang mudah terinfeksi

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
96 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
dan  mudah  ditulari  penyakit,  Exposed  (E(t))  yang  artinya  individu  yang  terpapar  virus, Infectious  (I(t))  adalah  jumlah  individu  yang  terinfeksi  dan  Recovered  (R(t))  menotasikan jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit .
Pada  tahun  1838  Verhulst  memperkenalkan  model  pertumbuhan  logistik  untuk menggambarkan  pertumbuhan  dalam  suatu  populasi  yang  ada  batasnya  [3]  [4] . Model  ini mengasumsikan  bahwa  pada  waktu  tertentu  jumlah  populasi  akan  mendekati  titik kesetimbangan.  Pada  titik  jumlah  kelahiran  dan  kematian  dianggap  sama  sehingga  grafik fungsi  akan  mendekati  konstan  [5]. Konstruksi  model  pertumbuhan  logistik  dapat menunjukkan pertumbuhan dan penurunan jumlah kasus. Jika pada tahap awal kurva logistik konvergen  maka  pandemic  dapat  dikendalikan  dan  sebaliknya  [6]. Pertumbuhan  logistik menggunakan parameter yang diestimasi dengan metode non-linear least squares (NLS) untuk memodelkan dan menganalisis data time-series [7]
Model  logistik yang dipengaruhi oleh awal  jumlah populasi, laju pertumbuhan, dan daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi maksimum yang dapat ditampung oleh suatu  lingkungan  tertentu  tanpa  ada  pertambahan  atau  penurunan  ukuran  populasi  selama periode  waktu  relatif  lama.  Daya  tampung  yang  disimbolkan  dengan 𝑝 , 𝑞 adalah  ciri lingkungan, dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu ( 𝑡 ) dan ruang dengan berkelimpahan  sumberdaya  yang  terbatas.  Laju  pertumbuhan  penduduk  akan  terbatas  akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya.
Pertumbuhan  logistik  digunakan  untuk  memprediksi  pertumbuhan  jumlah  total  kasus positif, peningkatan harian, dan tingkat pertumbuhan harian yang dikonfirmasi positif. Untuk mengantisipasi  peningkatan  kasus,  diperlukan  strategi  untuk  menghambat  pertumbuhan  dan penyebarannya. Pendekatan model sistem dinamis sangat penting untuk memprediksi kondisi masa depan dari hasil simulasi serta skenario yang dapat dipilih. Tujuan dari p ini adalah untuk memodifikasi model matematis dengan mempertimbangkan orang dalam pemantauan, pasien dalam  pengawasan  di  karantina  menjadi  variabel.  Selain  itu  juga  untuk  mengevaluasi  dan menganalisis perilaku jumlah maksimal kasus infeksi Covid-19 dengan intervensi jarak fisik, sehingga  dapat  dijadikan  sebagai  rekomendasi  kepada  pemerintah  untuk  pencegahan penyebaran infeksi Covid-19.

## II. REVIEW MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK
Model pertumbuhan logistik atau disebut dengan model Verhulst atau kurva pertumbuhan logistik. Dalam model ini digunakan kaidah logistik untuk mengasumsikan bahwa pada masa tertentu  banyaknya  populasi  akan  mendekati  titik  kesetimbangan  [8].  Model  ini  dapat memodelkan fenomena perubahan banyaknya populasi dalam persamaan diferensial, sehingga dianggap tepat untuk menggambarkan pertumbuhan jumlah kasus COVID-19 [9]. Berawal dari model pertumbuhan logistik klasik [10] [11], yang mempunyai bentuk persamaan diferensial sebagai berikut
1 dN N rN dt K   = −     (1)
dengan N adalah banyaknya populasi, K adalah carrying capacity yaitu ukuran maksimum dari populasi. Nilai r yaitu parameter yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
97 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Solusi persamaan logistik dapat diperoleh melalui langkah sebagai berikut:
1 1 dN rdt N N K dN rdt N N K =   −     =   −       1 2 1 1 A dN A N N N N K K = +    
− −        
(2)
Diperoleh 1 1 A = dan 2 1 A K = dengan  mensubstitusikan  ke  persamaan  (2)  dan mengintegralkannya didapat
1 ln ln 1 N N rt C K K − − = + (3)
Persamaan (3) memiliki syarat awal 𝑁(0) = 𝑁 0 , sehingga didapat
0 0 1 ln ln 1 N C N K K = − − (4)
Substitusi (4) ke (3) diperoleh
0 0 0 0 1 1 ln ln 1 ln ln 1 1 1 ln ln 1 N N N rt N K K K K N N K rt N N K K − − = + − − − + = −
Solusi khusus dari model logistik klasik adalah sebagai berikut:
( ) ( ) 0 0 0 rt KN N t N K N e − = + −
Perkembangan  berikutnya,  berkaitan  dengan  model  pertumbuhan  logistik  adalah  model Ricards [12] yang secara umum  dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (5),
1 dN N rN dt K      = −           (5)
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 C r C r r N t Ke re      − − − − −   =   − +  
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
98 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
(5)
dengan 𝛽 merupakan koefisien penentu influksi dan 𝛽 > 0 , 𝑁 adalah banyaknya populasi, 𝑟 adalah laju pertumbuhan, dan 𝐾 mempresentasikan carrying capacity. Telah diperoleh bahwa solusi khusus dari model pertumbuhan Richard [12] adalah
1 1 1 r t dN N K e dt K    − − −       = − −                 dengan syarat awal 𝑁(0) = 𝑁 0 .

## III. PEMBAHASAN DAN HASIL

## 3.1 Pengembangan Model logistik Richard
Berikut  diberikan  pengembangan  dari  model  logistik  Richard  (5)  yang  merupakan kebaharuan  dari  model  yang  dikemukakan.  Model  ini  merupakan  pengembangan  model logistik  Richard  dengan  penambahan  parameter  yang  berkaitan  dengan  intervensi physical distancing dengan persamaan seperti berikut.
1 dN N rN N dt K       = − −  
        syarat awal 𝑁(0) = 𝑁 0 (6)
dengan ( ) 0; , , 0 N t r     . N menyatakan  banyak  individu  yang  terinfeksi, 𝛾 merupakan parameter yang berkaitan dengan intervensi physical distancing .
Dapat diperoleh solusi umum dari persamaan (6) sebagai berikut:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 t C r t C r r N t Ke re      − − − − − −   =   − +   (7)
Subtitusikan syarat awal ke solusi umum sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 1 C r C r C r C r r N Ke N re r Ke N re    
      − − − − − − − − −   = =   − +   −   =   − + 


## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
99 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ln ln C r C r C r C r C r C r C r C r C r C r r K e N re
K e r N N re rK e K e N re N e rK K N r N N
e rK K N r N e rK K N r    
       
                      
            − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − = − + − = − + − − = − − − = −
− = − −   −   = 
 − −     Dalam rangka penyederhanaan penulisan, misalkan ( ) ( ) ( ) 0 0 N rK K N r       − = − − , maka
( ) ( ) ( ) ln ln ln ln C r e C r C r          − − = − − =   = −   −   (8)
Selanjutnya  dapat  diperoleh  solusi  khusus  dengan  mensubstitusikan  persamaan  (8)  ke persamaan (7):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 ln . 1 t r r t r r r N t K e re                   + −     −           + −       −         −   =     −   (9)
Selanjutnya  dapat  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan  dari  persamaan  (6)  yaitu * 1 0 N = (non
endemik) dan
1 * 2 r N K r   −   =     (endemik)

## 3.2 Analisis kestabilan
Pada  subbagian  ini  dipaparkan  analisis  kestabilan  dari  titik  kestimbangan  endemik 1
* 2 r N K r   −   =     .  Proses  linearisasi  pada  titik  kestimbangan
1 * 2 r N K r   −   =     dengan

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
100 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
menggunakan  deret  Taylor  orde  satu,  dari  persamaan  (6),
1 N F rN N K       = − −          
dipersekitaran titik kesetimbangan * 2 N sebagai berikut:
( ) ( ) * 2 * 2 dF N d N F N N dt dt = + dengan * N N N = −
Pada keadaan ini selalu berlaku ( ) * 2 0 F N = , sehingga diperoleh
( ) * 2 dF N d N N dt dt = (10)
dan didapat bentuk linier dari persamaan (10) yaitu
* * 2 2 1 N N d N r r N dt K K  
              = − − −                 (11)
Selanjutnya  diselidiki  kestabilan  dari  model  logistik  (11)  disekitar  titik  kesetimbangan 1
* 2 r N K r   − +   =     sebagai berikut
( ) * * * 2 2 2 1 dF N N N r r dN K K             = − − −             , dengan 1 * 2 r N K r   − +   =     (12)
( ) ( ) * 2 dF N r dN   = − ( ) * 2 0 dF N dN  jika r   dan ( ) * 2 0 dF N dN  jika r  
Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  bentuk  linier  pada  persamaan  (11)  pada  titik  kestimbangan
1 * 2 r N K r   − +   =     akan stabil jika r   . Hal ini berarti solusi/trayektory dari persamaan linier akan menuju ke titik kestimbangan * 2 N .

## 3.3 Simulasi Numerik
Pada bagian ini diberikan simulasi numerik sebagai verifikasi dari model persamaan logistik yang  telah  dikembangkan.  Simulasi  model  berdasarkan  data  dari  Dinas  Kesehatan  Provinsi Jawa Tengah pada bulan 27 Januari 2020 sampai dengan 6 April 2020. Data yg cukup banyak tersedia berkatian dengan   banyaknya pasien dalam pengawasan (PDP), sedangkan yang data banyaknya individu terinfeksi masih relative sedikit. Oleh karena itu dengan tidak mengurangi keumuman  model  logistic  yang  dikembangkan,  berikut  diberikan  simulasi  numerik  dengan menggunakan data banyaknya PDP. Untuk penerapan model dengan data banyaknya individu terinfeksi  dapat  dilakukan  dengna  cara  yang  sama.    Berikut  diberikan  simulasi  numerik

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
101 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
pertumbuhan  banyaknya  pasien  dalam  pengawasan  yang  tidak  melaksanakan physical distancing (tidak ada intervensi) dibandingkan dengan banyaknya pasien dalam pengawasan dengan  intervensi physical  distancing (diberi  treatment),  diperoleh  persamaan  diferensial sebagai berikut:
0.15 1 1 1 0.027 1 1500 dN N N dt     = −           (13)
0.8 2 2 2 2 0.19 1 0.005 1250 dN N N N dt     = − −           (14)
dengan
1 N : pasien dalam pengawasan yang tidak melaksanakan physical distancing dan
2 N : banyaknya pasien dalam pengawasan yang melaksanakan physical distancing.
Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  menggunakan  software  Maple,  untuk  mengetahui adanya pengaruh intervensi physical distanching terhadap penyebaran covid-19.
Dari Gambar 1 terlihat  bahwa pertumbuhan pasien dalam pengawasan antara individu  yang menerapkan  treatment  ( physical  distanching) dan  non-treatment.      Hal  ini  mengindikasikan bahwa perumbuhan pasien dalam pengawasan tanpa treatment akan  bertambah seiring dengan bertambahnya  waktu.  Sedangkan  pertumbuhan  pasien  dalam  pengawasan  dengan  treatment akan  mengalami  penurunan  mulai  hari  50  dibandingkan  dengan  banyaknya  pasien  dalam pengawasan tanpa intervensi physical distanching.

## IV. KESIMPULAN
Pengembangan  model  logistik  Richard  yang  merepresentasikan  penyebaran  covid-19 dengan  intervensi physical  distancing telah  dikemukakan.  Jika  turunan  pertama  dari  model yang  dikembangkan  pada  titik  kestimbangan  kurang  dari  nol,  maka  titik  kesetimbangan tersebut stabil, artinya banyaknya pasien dalam pengawasan semakin lama semakin berkurang menuju titik kestimbangan. Dari hasil simulasi numerik diperoleh bahwa penerapan physical
Gambar 1. Pertumbuhan banyaknya pasien dalam pengawasan
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
102 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
distancing  efektif untuk  mengurangi  penyebaran  covid-19,  hal  ini  terlihat  dari  banyaknya pasien  dalam  pengawasan  dengan  intervensi physical  distancing ,  laju  pertumbuhannya mengalami  penurunan  dibandingkan  dengan  pasien  dalam  pengawasan  yang  tidak melaksanakan physical distanching .

## ACKNOWLEDGMENT
The authors would like to thank Diponegoro University for funding this research through RPI Research Grant for the year 2020-2021.

## REFERENCES
[1]   M. Adimy, A. Chekroun and C. P. Ferreira, "Global dynamics of a differential- difference system: a case of Kermack-McKendrick SIR model with age-structured protection phase," Mathematical Biosciences and Engineering, vol. 17, no. 2, p. 1329– 1354, 2020.
[2]   A. Zeb, E. Alzahrani, V. S. Erturk and G. Zaman, "‘’Mathematical Model for Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) Containing Isolation Class’’Hindawi l Volume 2020, Article ID 345240," BioMed Research Internationa, vol. 2020, 2020.
[3]   Kartono, Widowati, R. S. Utomo and R. H. Tjahjana, "Model Pertumbuhan Logistik Dengan Kontrol Optimal Penyebaran Demam Berdarah Dengue," Jurnal Matematika , vol. 18, no. 1, p. 7 – 12, 2015 .
[4]   T. N. Padilah, "Model Epidemi Sirs Dengan Pertumbuhan Logistik," Jurnal Silogisme: Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya, vol. 2, no. 1, 2017.
[5]   Abraham and Mahmudi, "Pemodelan Matematika Untuk Mensimulasikan Efek Populasi Karantina Terhadap Penyebaran Penyakit Hiv/Aids Di Papua," in Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY , Yogyakarta, 9 November 2013.
[6]   P. K. B. P. K. R. K. Minni Jain, "Modelling Logistic Growth Model for COVID-19 Pandemic in India," in Proceedings of the Fifth International Conference on Communication and Electronics Systems (ICCES 2020) I , Coimbatore, India, 2020.
[7]   C. Y. Shen, "Logistic growth modelling of COVID-19 proliferation in China and its international implications," International Journal of Infectious Diseases, vol. 96, p. 582–589 , 2020.
[8]   H. M. Timuneno, R. H. S. Utomo and Widowati, "Model Pertumbuhan Logistik Dengan Waktu Tunda," Jurnal Matematika , vol. 11, no. 1, pp. 43-51, 2008.
[9]   E. Pelinovskya, A. Kurkina, O. Kurkinaa, M. Kokoulinaa and A. Epifanovaa, "Logistic equation and COVID-19," Chaos, Solitons and Fractals, vol. 140, 2020.
[10]  Widowati and sutimin, Pemodelan Matematika Analisis dan Aplikasinya, Semarang: Undip press, 2013.
[11]  Mukhsa, "Modifikasi Persamaan Logistik Pada Simulasi Laju Pertumbuhan Nyamuk Aedes Aegypti," Jurnal Ilmiah Matematika Terapan, vol. 6, no. 1, pp. 20-32, 2009.
[12]  A. Tsoularis, "Analysis of Logistic Growth Models," Research Letters in the Information and Mathematical Sciences,, vol. 2, pp. 23-46, 2002.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
103 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035