Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 113-129 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.14724
Analisis dan Kontrol Optimal pada Model Dinamik Penyebaran Virus Zika
Suhud Wahyudi 1 *, Nurani Dwi Pangestuti 2 , Kamiran 3
1,2,3 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia e-mail: suhudwahyudi60@gmail.com
Diajukan: 31 Oktober 2022, Diperbaiki: 16 Januari 2023, Diterima: 2 Maret 2023

## Abstrak
Virus zika adalah sejenis virus dari keluarga flaviviridae dan genus flavivirus yang disebarkan oleh nyamuk Aedes Aegypti yang dapat menyebabkan masalah serius seperti penyakit Guillain Barre Syndrome (GBS) dan mikrosefalus. Dalam makalah ini, digunakan   model penyebaran virus zika yang terdiri dari dua populasi  yang dibagi menjadi beberapa sub-populasi antara lain sub-populasi  manusia Susceptible, sub- populasi  manusia  Asymtomatic  Infected,  sub-populasi  manusia  Symtomatic  Infected,  sub-populasi manusia  Recovered,  sub-populasi  nyamuk  Susceptible,  dan  sub-populasi  nyamuk  Infected.  Model dianalisis dengan menentukan bilangan reproduksi dasar, titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik, serta kestabilan dari setiap titik kesetimbangan. Kemudian dilakukan kontrol optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin yang disimulasikan secara numerik menggunakan metode Range-Kutta. Hasil simulasi menunjukkan  menurunnya  sub-populasi  manusia  yang  terinfeksi  virus  zika  dan  menurunnya  populasi nyamuk  setelah adanya  pemberian  kontrol  berupa  penggunaan  kondom,  pengobatan, dan  penyemprotan insektisida.
Kata Kunci : Model  penyebaran  virus  zika,  Kestabilan,  Kontrol Optimal, Prinsip Maksimum Pontryagin.

## Abstract
Zika is a virus from flaviviridae family and flavivirus genus that spread by Aedes Aegypti mosquito and that can cause serious problem disease such as Guillain Barre Syndrome (GBS) and mikrosefalus. In this  paper  used  spreading dynamic zika  virus  model that  consists  of two  population  and divided  to sub population  Susceptible  humans,  sub-population  Asymtomatic  Infected  humans,  sub-population  Infected humans, sub-population Recovered humans, sub-population Susceptible mosquitoes, and sub-population Infected  mosquitoes.  The  model  that  anlysis  by  determine  the  basic  reproduction  number,  the  point  of disease free and endemic equilibrium, and the stability of each point of equilibrium. Then, do the optimal control using Pontryagin principle with numerical solution given by Range-Kutta method. The simulation results  show  the  decreasing  sub-population  of  infected  humans,  asymptomatic  infected  human,  and population  of  mosquitoes after  given  controls  such  using condom,  treatment,  and  using indoor residual spray.
Keywords :  Spreading  dynamic  zika  virus  model,  Stability,  Optimal  Control,  Pontryagin  Maximum Principle.

## 1 Pendahuluan
Virus  zika  adalah  sejenis  virus  dari  keluarga flaviviridae dan  genus flavivirus yang disebarkan oleh nyamuk Aedes Aegypti sehingga virus zika termasuk dalam garis virus yang sama dengan virus dengue penyebab penyakit demam berdarah. Dalam hal ini gejala yang ditimbulkan
oleh virus zika berbeda dengan virus dengue ,   dimana secara umum infeksi virus zika pada orang dewasa hanya menampakkan gejala ringan pada 20% pasien  yang terinfeksi. Bahkan pada 80% pasien  yang  terinfeksi  tidak  menunjukkan  gejala  apapun  pada  tahap  awal  infeksi  [1].  Laporan terbaru  menyebutkan  terjadi  adanya  masalah  penyakit Guillain  Barre  Syndrome (GBS)  dan mikrosefalus  yang  terkait  dengan  wabah  virus  zika.  GBS  adalah  sebuah  sindrom  langka  yang disebabkan  oleh  sistem  imun  yang  menyerang  sebagian  sistem  saraf  periferal.  Kondisi  ini  bisa membuat  saraf  meradang  dan  mengakibatkan  kelumpuhan  atau  kelemahan  otot.  Sedangkan mikrosefalus adalah kelainan otak  dengan ukuran kepala lebih kecil dari ukuran normal[2]. Kedua penyakit tersebut dapat dikaitkan dengan berbagai faktor penyebab diantaranya infeksi intrauterin, faktor genetik,  paparan toksin dan lain sebagainya. Penelitian epidemiologi menemukan hubungan peningkatan kedua penyakit tersebut setelah terjadinya wabah virus zika.
Peningkatan  penyebaran  virus  zika  ini  tidak  diiringi  dengan  peningkatan  kesadaran masyarakat terhadap ancaman serius dari virus zika. Penyebaran virus zika bukan hanya  melalui gigitan  nyamuk,  tetapi  juga  dapat  dengan  interaksi  antar  individual  yang  terinfeksi  virus  zika tersebut. Sampai saat ini masih belum ditemukan vaksin atau pengobatan yang spesifik terhadap infeksi  virus  zika.  Pengobatan  yang  disarankan  sejauh  ini  hanya  berupa  terapi  terhadap gejala, serta  langkah-langkah  pencegahan  untuk  dapat  terhindar  dari  gigitan  nyamuk  yang  dapat menginfeksi virus zika [3].
Melihat  fenomena  tersebut,  perlu  adanya  model  matematika  penyebaran  virus  zika  untuk dapat  dianalisis  penyebaran  virus  zika  dan  perlu  adanya  kontrol  untuk   dapat  meminimumkan penginfeksian virus zika. Model dinamik penyebaran virus zika telah dikaji oleh beberapa peneliti. Pada makalahnya, Ebenezer Bonyah dan Kazeem Oare Okosun [4] menganalisis model dinamik penyebaran  virus  zika  dan  membuat  model  kontrol  baru  untuk  dapat  meminimumkan  jumlah individu yang terinfeksi dengan variabel kontrol pencegahan dan pengobatan virus zika. Selain itu Gao, D., dkk. [5]  membuat model kontrol penyebaran virus zika dengan mengembangkan model Mosquito-Borne  yang  telah  ada  sebelumnya  ditambahkan  model  transmisi  virus  zika  melalui hubungan  seks.  Selanjutnya  Kurcharski,  A.J.,  dkk.  [6]  membuat  model  transmisi  dinamik penyebaran  virus  zika  di  Polynesia  dari  tahun  2013  hingga  tahun  2014  dengan  mengumpulkan data  yang  ada. Setelah itu, dianalisis modelnya sehingga menghasilkan beberapa individu  yang sehat dan terbebas dari infeksi virus zika untuk beberapa tahun yang akan datang.
Dalam makalah ini dikembangkan model dinamik penyebaran virus zika oleh A. A. Momoh dan  A.  Fügenschuh  [7]  dengan  menambahkan  kontrol  penggunaan  kondom,  pengobatan,  dan penyemprotan  insektisida  yang  dikaji  dan  dianalisis  kestabilan  titik  kesetimbangan pada  model penyebaran  virus  zika  tersebut.  Setelah  itu  untuk  dapat  meminimumkan  jumlah  manusia  yang

## Suhud Wahyudi, Nurani Dwi Pangestuti, Kamiran
terinfeksi  virus  zika  diperlukan  kontrol  yang  optimal  dengan  menggunakan  Prinsip  Maksimum Pontryagin  lalu disimulasikan secara numerik dengan metode Range-Kutta Orde 4.

## 2 Proses Pemodelan
Model dinamik penyebaran virus zika yang dibahas pada makalah ini adalah model dinamik yang  digunakan  A.  A.  Momoh  dan  A.  Fügenschuh  [7]yang  dikontruksi  kembali  sedemikian hingga  mempunyai   asumsi – asumsi sebagai berikut:
1. Model dibangun oleh dua populasi yaitu populasi manusia ( 𝑁 𝐻 ) dan populasi nyamuk ( 𝑁 𝑉 ). Kedua populasi tersebut dibagi menjadi beberapa sub – populasi dengan rincian sebagai berikut:
Untuk populasi manusia ( 𝑵 𝑯 )
𝑆 𝐻 : jumlah populasi manusia Susceptible (kumpulan individu rentan terhadap virus zika)
𝐴 𝐻 : jumlah populasi manusia Asymptomatic Infected (terinfeksi virus zika, namun tidak tahu jika sedang terinfeksi)
𝐼 𝐻 : jumlah  populasi  manusia Infected (terinfeksi virus zika)
𝑅 𝐻 : jumlah populasi manusia Recovered (masa penyembuhan)
dan  untuk  jumlah  populasi  manusia  dinyatakan  dengan
𝑁 𝐻 (𝑡) = 𝑆 𝐻 (𝑡) + 𝐴 𝐻 (𝑡) + 𝐼 𝐻 (𝑡) + 𝑅 𝐻 (𝑡)
Untuk populasi nyamuk ( 𝑵 𝑽 )
𝑆 𝑉 : jumlah populasi nyamuk Susceptible (rentan terhadap virus zika)
𝐼 𝑉 : jumlah  populasi  nyamuk Infected (terinfeksi virus zika)
dan untuk jumlah populasi nyamuk dinyatakan dengan 𝑁 𝑉 (𝑡) = 𝑆 𝑉 (𝑡) + 𝐼 𝑉 (𝑡)
2. Parameter-parameter yang ada pada model dinamik didefinisikan sebagai berikut:
Λ 𝐻 : laju  penambahan  individu  manusia yang akan menjadi populasi manusia susceptible
𝜇 𝐻 : laju kematian alami manusia
𝜑 𝐻 : rata-rata individu manusia recovered karena sistem imun
𝜙 : rata-rata spontanitas individu manusia untuk recovery
𝑣 : rate penyembuhan individu manusia akibat imun sementara
𝛼 𝐻 : laju perubahan individu exposed menjadi infected
𝛿 𝐻 : laju kematian individu manusia akibat virus
𝑐 : rata-rata relatif kontak individu manusia asymptomatic infected
𝑘 : rata-rata relatif kontak individu manusia infected
𝛽 𝑎 : peluang transmisi virus dari individu manusia asymptomatic infected melalui hubungan seksualitas
𝛽 𝑆 : peluang transmisi virus dari individu manusia infected melalui
hubungan seksualitas
𝛽 1 : peluang transmisi virus dari individu nyamuk infected
𝛽 2 : peluang transmisi virus dari individu manusia infected
𝜀 : rata – rata per kapital terkena gigitan nyamuk
𝜌 : rata – rata kontak nyamuk dengan manusia
Λ 𝑉 : laju penambahan individu nyamuk yang akan menjadi populasi nyamuk susceptible
𝜇 𝑉 : laju kematian nyamuk
𝜃 : rata-rata konstan penyemprotan insektisida
3. Kontrol yang digunakan pada model dinamik didefinisikan sebagai berikut:
𝑢 1 :  kontrol  terhadap  penggunaan  alat kontrasepsi
𝑢 2 : kontrol  terhadap  pengobatan  untuk     individu manusia yang terinfeksi 𝑢 3 : kontrol terhadap penyemprotan insektisida
Berdasarkan mekanisme penyebaran virus zika dan asumsi-asumsi yang telah disebutkan, dapat digambarkan diagram kompartemen model dinamik penyebaran virus zika, seperti pada Gambar 1

## Suhud Wahyudi, Nurani Dwi Pangestuti, Kamiran
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Dinamik Transmisi Virus Zika
Dari diagram kompartemen pada Gambar 1 dapat dituliskan persamaan-persamaan model matematika penyebaran virus zika sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝐻 𝑑𝑡 = Λ 𝐻 + 𝜑 𝐻 𝑅 𝐻 + (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 𝑑𝐴 𝐻 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝐴 𝐻 𝑑𝐼 𝐻 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 ) 𝐼 𝐻 𝑑𝑅 𝐻 𝑑𝑡 = (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝜙 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑅 𝐻 (1) 𝑑𝑆 𝑉 𝑑𝑡 = Λ 𝑉 − 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝑆 𝑉 𝑑𝐼 𝑉 𝑑𝑡 = 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝐼 𝑉
Selanjutnya  dilakukan  analisis  model  matematika  penyebaran  virus  zika  sistem  Persamaan  (1). Analisis  yang  pertama  adalah  menentukan  titik  kesetimbangan  dan  bilangan  reproduksi  dasar. Analisis  yang  kedua  adalah  menentukan  kontrol  optimal  menggunakan  prinsip  Maksimum

## 118
Pontryagin.
A. Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar
Titik  kesetimbangan  sistem  dinamis  dinyatakan  oleh  suatu  persamaan  differensial  biasa yang  merupakan  solusi  dari  sistem  yang  tidak  berubah  terhadap  waktu.  Misal  diberikan  suatu persamaan differensial
𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)), 𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥(0)
dengan 𝑥(𝑡) 𝜖 ℝ 𝑛 , vektor 𝑥̅ memenuhi 𝑓(𝑥̅ ) = 0̅
Definisi 1 [8] Titik 𝑥̅𝜖 ℝ 𝑛 disebut titik kesetimbangan dari suatu sistem jika 𝑓(𝑥̅) = 0̅
Untuk titik kesetimbangan diperoleh pada laju masing-masing kompartemen sama dengan nol. Untuk titik kesetimbangan bebas penyakit sub-populasi manusia yang terinfeksi virus sama dengan nol ( 𝐼 𝐻 = 0 ) dan juga sub-populasi nyamuk yang terinfeksi virus sama dengan nol ( 𝐼 𝑉 = 0 ). Sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu
𝐸 0 = ( Λ 𝐻 𝜇 𝐻 , 0, 0, 0, Λ 𝑉 𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 , 0)
Untuk titik kesetimbangan endemik sub-populasi manusia yang terinfeksi virus tidak sama dengan nol ( 𝐼 𝐻 ≠ 0 ) dan juga sub-populasi nyamuk yang terinfeksi virus tidak sama dengan nol ( 𝐼 𝑉 ≠ 0 ). Diperoleh titik kesetimbangan endemik
𝐸 = (𝑆 𝐻 ∗ , 𝐴 𝐻 ∗ , 𝐼 𝐻 ∗ , 𝑅 𝐻 ∗ , 𝑆 𝑉 ∗ , 𝐼 𝑉 ∗ )
dengan
𝑆 𝐻 ∗ = Λ 𝐻 (Λ 𝐻 + 𝜑 𝐻 𝑅 𝐻 ∗ + (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )(1 − 𝑣)𝐼 𝐻 ∗ ) 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝜇 𝐻 𝐼 𝑉 ∗ + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝜇 𝐻 𝐴 𝐻 ∗ + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝜇 𝐻 𝐼 𝐻 ∗ + 𝜇 𝐻 Λ 𝐻 𝐴 𝐻 ∗ = 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝜇 𝐻 𝐼 𝑉 ∗ 𝑆 𝐻 ∗ + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝜇 𝐻 𝐼 𝐻 ∗ 𝑆 𝐻 ∗ 𝛼 𝐻 Λ 𝐻 + 𝜇 𝐻 Λ 𝐻 −𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 𝐼 𝐻 ∗ = 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 ∗ 𝜙 + 𝜏 𝑢 2 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 𝑅 𝐻 ∗ = (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 ∗ 𝜑 𝐻 + 𝜇 𝐻 𝑆 𝑉 ∗ = Λ 𝑉 Λ 𝐻 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝜇 𝐻 𝐼 𝐻 ∗ + Λ 𝐻 (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 ) 𝐼 𝑉 ∗ = 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝜇 𝐻 𝐼 𝐻 ∗ 𝑆 𝑉 ∗ Λ 𝐻 (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )
Untuk  bilangan  reproduksi  dasar  ( 𝑅 0 )  diperoleh  dengan  menggunakan  metode Next Generation Matrix dengan mencari matriks F dan V dari sistem penyebaran virus zika. 𝐹 𝑖 adalah laju kemunculan infeksi baru pada kompartemen. Jika 𝑉 𝑖 adalah laju perpindahan individu keluar dari kompartemen dan 𝑥 0 adalah titik kesetimbangan bebas penyakit, maka bilangan reproduksi
dasar diperoleh dari nilai eigen terbesar dari matriks [𝐹][𝑉] −1 dimana 𝐹 = 𝜕𝐹 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) dan 𝑉 = 𝜕𝑉 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) [9]sehingga didapatkan
𝑅 0 = ( 𝐿 1 𝐾 1 + 𝛼 𝐻 𝐿 2 𝐾 1 𝐾 2 ) + √( 𝐿 1 𝐾 1 + 𝛼 𝐻 𝐿 2 𝐾 1 𝐾 2 ) 2 + 4 ( 𝛼 𝐻 𝐿 3 𝐿 4 𝐾 1 𝐾 2 𝐾 3 ) 2
dengan
𝐿 1 = 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 ) 𝐾 1 = 𝛼 𝐻 + 𝜇 𝐻
𝐿 2 = 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )
𝐾 1 = ∅ + 𝜏𝑢 2 + 𝛿 𝐻 + 𝜇 𝐻
𝐿 3 = 𝛽 1 𝜀𝜌 𝐾 3 = 𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3
𝐿 4 = 𝛽 2 𝜀𝜌Λ 𝑉 𝜇 𝐻

## Analisis Kestabilan
Model  matematika  penyebaran  virus  zika  merupakan  sistem  persamaan  diferensial autonomous  yang tak linier. Oleh karena itu untuk  mendapatkan kestabilan lokal dari titik-titik setimbang, perlu dilakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian. Untuk menganalisis kestabilan lokal pada setiap titik kesetimbangan perlu dilakukan linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian.
Definisi 2 [8] Diberikan fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , ⋯ , 𝑓 𝑛 ) pada sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dengan 𝑓 𝑖 ∈ 𝐶(𝐸), 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛. 𝐸 ⊆ ℝ 𝑛 dan 𝐸 himpunan terbuka. Matriks
𝐽(𝑓(𝑥̅) =
( 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 ⋯ 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 ⋯ 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 ⋮            ⋮           ⋱         ⋮
𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 ⋯ 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 )
dinamakan  matriks Jacobian dari 𝑓 di titik 𝑥̅
Matriks  Jacobian 𝐽(𝑓(𝑥̅)) dapat  digunakan  untuk  mengidentifikasi  sifat  kestabilan  sistem nonlinier  disekitar  titik  setimbang 𝑥̅ dimana  titik  setimbang  tersebut  disubtitusikan  ke  dalam persamaan  matriks  Jacobian  sehingga  diperoleh  nilai-nilai  eigennya  ( 𝜆 )  dari  persamaan karakteristik |𝐴 − 𝜆𝐼| = 0 .
Matriks Jacobian sistem Persamaan (1) dapat diuraikan sebagai berikut:
Misalkan:
𝑓 1 = 𝑑𝑆 𝐻 𝑑𝑡 = Λ 𝐻 + 𝜑 𝐻 𝑅 𝐻 + (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻
120
𝑓 2 = 𝑑𝐴 𝐻 𝑑𝑡 = 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝐴 𝐻 𝑓 3 = 𝑑𝐼 𝐻 𝑑𝑡 = 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 ) 𝐼 𝐻 𝑓 4 = 𝑑𝑅 𝐻 𝑑𝑡 = (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝜙 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑅 𝐻 𝑓 5 = 𝑑𝑆 𝑉 𝑑𝑡 = Λ 𝑉 − 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝑆 𝑉 𝑓 6 = 𝑑𝐼 𝑉 𝑑𝑡 = 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝐼 𝑉
Matriks Jacobian dari sistem Persamaan (1) adalah:
𝐽 = ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝐻 𝜕𝑓 1 𝜕𝐴 𝐻 ⋯ 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 𝑉 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝐻 𝜕𝑓 2 𝜕𝐴 𝐻 ⋯ 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 𝑉 ⋮             ⋮       ⋱         ⋮ 𝜕𝑓 6 𝜕𝑆 𝐻 𝜕𝑓 6 𝜕𝐴 𝐻 ⋯ 𝜕𝑓 6 𝜕𝐼 𝑉 ) 𝐽 = ( −𝑎 1 − 𝑎 2 − 𝑎 3 − 𝜇 𝐻 −𝑎 4 𝑎 5 − 𝑎 6 − 𝑎 7 𝜑 𝐻 0 −𝑎 8 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 𝑎 4 − 𝛼 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑎 7 0 0 𝑎 8 0 𝛼 𝐻 −𝑎 5 − 𝑎 9 0 0 0 0 0 𝑎 6 −𝜑 𝐻 − 𝜇 𝐻 0 0 0 0 −𝑎 10 0 −𝑎 11 − 𝑎 12 0 0 0 𝑎 10 0 𝑎 11 −𝑎 12 ) dengan
𝑎 1 = 𝛽 1 𝜀𝜌𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 ; 𝑎 2 = 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 3 = 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 4 = 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 5 = 𝜙 + 𝜏𝑢 2 ; 𝑎 6 = (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣; 𝑎 7 = 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 8 = 𝛽 1 𝜀𝜌𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 9 = 𝛿 𝐻 + 𝜇 𝐻 ; 𝑎 10 = 𝛽 2 𝜀𝜌𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 ; 𝑎 11 = 𝛽 1 𝜀𝜌𝐼 𝐻 𝑁 𝐻 ; 𝑎 12 = 𝜇 𝑣 + 𝜃𝑢 3
Untuk  menentukan  kestabilan  tiap  titik  setimbang,  dievaluasi  terlebih  dahulu  titik  setimbang tersebut dengan mensubtitusikan nilai titik setimbang ke matriks Jacobian yang telah didapatkan.
Untuk titik setimbang bebas penyakit 𝐸 0 = ( Λ 𝐻 𝜇 𝐻 , 0, 0, 0, Λ 𝑉 𝜇 𝑉 +𝜃𝑢 3 , 0) diperoleh
𝐽 𝐸 0 = ( −𝜇 𝐻 −𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 ) (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )(1 − 𝑣) − 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 ) 𝜑 𝐻 0 −𝛽 1 𝜀𝜌 0 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 ) − 𝛼 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 ) 0 0 𝛽 1 𝜀𝜌 0 𝛼 𝐻 −(𝜙 + 𝜏𝑢 2 ) − (𝛿 𝐻 + 𝜇 𝐻 ) 0 0 0 0 0 (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣 −𝜑 𝐻 − 𝜇 𝐻 0 0 0 0 −𝛽 2 𝜀𝜌 0 −(𝜇 𝑣 + 𝜃𝑢 3 ) 0 0 0 𝛽 2 𝜀𝜌 0 𝑎 11 −(𝜇 𝑣 + 𝜃𝑢 3 ))
Titik setimbang bebas penyakit ( 𝐸 0 ) stabil secara lokal jika semua nilai eigen dari |𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 0 | = 0 bernilai real negatif. Nilai eigen dari |𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 0 | = 0 semua bernilai real negatif jika 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 ) < 𝛼 𝐻 + 𝜇 𝐻 dan 𝑅 0 < 1 . Sedangkan untuk titik setimbang endemik (𝐸) nilai Jacobian 𝐽 𝐸 diperoleh dengan memasukkan titik setimbang endemik 𝐸 = (𝑆 𝐻 ∗ , 𝐴 𝐻 ∗ , 𝐼 𝐻 ∗ , 𝑅 𝐻 ∗ , 𝑆 𝑉 ∗ , 𝐼 𝑉 ∗ )
pada matriks Jacobian J yang stabil secara lokal atau terjadi endemik jika 𝑅 0 > 1

## B. Analisis Kontrol Optimal Model Penyebaran Virus Zika
Dalam  menyelesaikan  permasalahan  kontrol  optimal,  salah  satu  metode  yang  dapat digunakan adalah prinsip Maksimum Pontryagin. Prinsip Maksimum Pontryagin merupakan suatu kondisi  sehingga  dapat  diperoleh  penyelesaian  kontrol  optimal  yang  sesuai  dengan  tujuan (memaksimalkan indeks performansi) [10].
Pada masalah kontrol optimal model penyebaran virus zika, tujuan yang akan dicapai adalah meminimumkan  penyebaran  terinfeksinya  virus  zika  dengan  diberikan  tindakan  kontrol 𝑢 1 (𝑡) , 𝑢 2 (𝑡) ,  dan 𝑢 3 (𝑡) .  Kontrol 𝑢 1 (𝑡) yaitu  kontrol  penggunaan  kondom  untuk  dapat  mencegah penularan virus zika antar individu yang terinfeksi. Kontrol 𝑢 2 (𝑡) yaitu kontrol untuk pengobatan individu  yang  sudah  terinfeksi.  Kontrol 𝑢 3 (𝑡) yaitu  kontrol  terhadap  penyemprotan  insektisida untuk dapat meminimumkan jumlah populasi nyamuk.
Penyelesaian  kontrol  optimal  model  penyebaran  virus  zika  menggunakan  Prinsip Maksimum Pontryagin dan fungsi objektif untuk model diberikan:
𝐽 = min 𝑢 1 ,𝑢 2 ,𝑢 3 ∫ (𝐼 𝐻 (𝑡) + 1 2 (𝐶 1 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐶 2 𝑢 2 2 (𝑡) 𝑇 𝑓 0 + 𝐶 3 𝑢 3 2 (𝑡)) 𝑑𝑡
dengan kendala
0 ≤ 𝑇 ≤ 𝑇 𝑓 ;   0 ≤ 𝑢 1 ≤ 1;   0 ≤ 𝑢 2 ≤ 1;   0 ≤ 𝑢 3 ≤ 1
dengan
𝐶 1 : bobot pada kontrol penggunaan kondom
𝐶 2 : bobot pada kontrol pengobatan individu terinfeksi
𝐶 3 : bobot pada kontrol penyemprotan insektisida
Untuk  menyelesaikan  kontrol  optimal,  harus  ditentukan  fungsi  Lagrangian  dan  fungsi Hamiltonian. Fungsi Lagrangian dari masalah kontrol ini adalah:
𝐿 = 𝐼 𝐻 + 1 2 (𝐶 1 𝑢 1 2 + 𝐶 2 𝑢 2 2 + 𝐶 3 𝑢 3 2 )
Fungsi Hamiltonian ( 𝐻 ) dari masalah kontrol ini adalah:
𝐻 = 𝐿(𝐼 𝐻 , 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ) + 𝜆 𝑆 𝐻 𝑑𝑆 𝐻 𝑑𝑡 + 𝜆 𝐴 𝐻 𝑑𝐴 𝐻 𝑑𝑡 + 𝜆 𝐼 𝐻 𝑑𝐼 𝐻 𝑑𝑡 + 𝜆 𝑅 𝐻 𝑑𝑅 𝐻 𝑑𝑡 + 𝜆 𝑆 𝑉 𝑑𝑆 𝑉 𝑑𝑡 + 𝜆 𝐼 𝑉 𝑑𝐼 𝑉 𝑑𝑡 𝐻 = 𝐼 𝐻 + 1 2 (𝐶 1 𝑢 1 2 + 𝐶 2 𝑢 2 2 + 𝐶 3 𝑢 3 2 ) + 𝜆 𝑆 𝐻 (Λ 𝐻 + 𝜑 𝐻 𝑅 𝐻 + (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 ) + 𝜆 𝐴 𝐻 ( 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝐴 𝐻 ) + 𝜆 𝐼 𝐻 (𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 ) 𝐼 𝐻 ) + 𝜆 𝑅 𝐻 ((𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝜙 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑅 𝐻 ) + 𝜆 𝑆 𝑉 (Λ 𝑉 − 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝑆 𝑉 ) + 𝜆 𝐼 𝑉 ( 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝐼 𝑉 )
Untuk  mendapatkan  persamaan  state  dan  costate  yang  optimal  dilakukan  dengan menurunkan persamaan parsial fungsi Hamiltonian ( H ) seperti berikut:
Untuk persamaan state yang optimal:
𝑆̇ 𝐻 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝑆 𝐻 = Λ 𝐻 + 𝜑 𝐻 𝑅 𝐻 + (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜙 + 𝜏𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 𝐴̇ 𝐻 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝐴 𝐻 = 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 − 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝐴 𝐻
𝐼̇ 𝐻 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝐼 𝐻 = 𝛼 𝐻 𝐴 𝐻 − (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 ) 𝐼 𝐻 𝑅̇ 𝐻 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝑅 𝐻 = (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣𝐼 𝐻 − 𝜙 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑅 𝐻 𝑆̇ 𝑉 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝑆 𝑉 = Λ 𝑉 − 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝑆 𝑉
𝐼̇ 𝑉 ∗ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 𝐼 𝑉 = 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )𝐼 𝑉
Untuk persamaan costate yang optimal:
𝜆 𝑆 𝐻 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑆 𝐻 = (𝜆 𝑆 𝐻 − 𝜆 𝐴 𝐻 ) [ 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝐴 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝐼 𝐻 𝑁 𝐻 ] + 𝜆 𝑆 𝐻 𝜇 𝐻 𝜆 𝐴 𝐻 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝐴 𝐻 = (𝜆 𝑆 𝐻 − 𝜆 𝐴 𝐻 ) 𝛽 𝑎 𝑐(1 − 𝑢 1 )𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛼 𝐻 (𝜆 𝐴 𝐻 − 𝜆 𝐼 𝐻 ) + 𝜆 𝐴 𝐻 𝜇 𝐻 𝜆 𝐼 𝐻 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝐼 𝐻 = (𝜆 𝑆 𝐻 − 𝜆 𝐴 𝐻 ) 𝛽 𝑆 𝑘(1 − 𝑢 1 )𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + (𝜆 𝑆 𝑉 − 𝜆 𝐼 𝑉 ) 𝛽 2 𝜀 𝜌𝑆 𝑉 𝑁 𝐻 − 𝜆 𝑆 𝐻 (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )(1 − 𝑣)
+ 𝜆 𝐼 𝐻 (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 +𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 ) − 𝜆 𝑅 𝐻 (𝜙 + 𝜏 𝑢 2 )𝑣 𝜆 𝑅 𝐻 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 𝐻 = (𝜆 𝑅 𝐻 − 𝜆 𝑆 𝐻 )𝜑 𝐻 + 𝜆 𝑅 𝐻 𝜇 𝐻 𝜆 𝑆 𝑉 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑆 𝑉 = (𝜆 𝑆 𝑉 − 𝜆 𝐼 𝑉 ) 𝛽 2 𝜀 𝜌 𝐼 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝜆 𝑆 𝑉 (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 ) 𝜆 𝐼 𝑉 ′ = − 𝜕𝐻 𝜕𝐼 𝑉 = (𝜆 𝑆 𝐻 − 𝜆 𝐴 𝐻 ) 𝛽 1 𝜀 𝜌 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝜆 𝐼 𝑉 (𝜇 𝑉 + 𝜃𝑢 3 )
Kondisi  optimal  dicapai  dengan  cara  menurunkan  fungsi  Hamiltonian  terhadap 𝑢 1 , 𝑢 2 , dan 𝑢 3 . Berdasarkan prinsip optimal, maka
𝜕𝐻 𝜕𝑢 1 = 𝜕𝐻 𝜕𝑢 2 = 𝜕𝐻 𝜕𝑢 3 = 0
sehingga diperoleh kontrol optimal sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ = max {0, min ( (𝜆 𝐴 𝐻 − 𝜆 𝑆 𝐻 ) [ 𝛽 𝑎 𝑐𝐴 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 + 𝛽 𝑆 𝑘𝐼 𝐻 𝑆 𝐻 𝑁 𝐻 ] 𝐶 1 )}
𝑢 2 ∗ = max {0, min ( 𝐼 𝐻 (𝜏[(𝜆 𝐼 𝐻 − 𝜆 𝑆 𝐻 ) + (𝜆 𝑆 𝐻 − 𝜆 𝑅 𝐻 )𝑣]) 𝐶 2 )} 𝑢 3 ∗ = max {0, min ( 𝜃(𝜆 𝑆 𝑉 𝑆 𝑉 − 𝜆 𝐼 𝑉 𝐼 𝑉 𝐶 3 )}

## 3 Hasil dan Pembahasan
Penyelesaian kontrol optimal sulit diselesaikan secara analitik sehingga pada penyelesaian kontrol  optimal  ini  diselesaikan  secara  numerik.  Hal  ini  dilakukan  dengan  mensimulasikan permasalahan kontrol optimal menggunakan metode Range-Kutta Orde 4 untuk menentukan sifat
kestabilan dari titik setimbang endemik dengan nilai awal dan parameter seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1. Nilai Awal Sub-Populasi untuk Simulasi Numerik Kontrol Optimal
Sub-Populasi Nilai Awal Sumber 𝑆 𝐻 750 [7] 𝐴 𝐻 250 [7] 𝐼 𝐻 10 [7] 𝑅 𝐻 20 [7] 𝑆 𝑉 10000 [7] 𝐼 𝑉 500 [7]

## Tabel 2. Nilai Parameter untuk Simulasi Numerik Kontrol Optimal
Parameter Nilai Parameter Sumber Λ 𝐻 0.000011 [7] 𝜙 0.05 [7] 𝜏 0.15 [7] 𝑣 0.023 [7] 𝜑 𝐻 0.02 [7] 𝜀 0.5 [7] 𝜌 0.1 [7] 𝑐 0.05 [7] 𝑘 0.05 [7] 𝛽 1 0.4 [7]
𝛽 𝑎 0.6 [7]
𝛽 𝑆 0.3 [7]
𝜇 𝐻 0.000046 [7]
𝛼 𝐻 0.2 [7]
𝛿 𝐻 0.0003 [7]
Λ 𝑉 0.071 [7]
𝛽 2 0.5 [7]
𝜇 𝑉 0.071 [7] 𝜃 0.15 [11] 𝐶 1 1 Asumsi 𝐶 2 2 Asumsi 𝐶 3 1,5 Asumsi

## Suhud Wahyudi, Nurani Dwi Pangestuti, Kamiran
Berdasarkan  nilai  parameter  yang  diberikan  pada  Tabel  2  diperoleh  bilangan  reproduksi dasar sebelum pemberian kontrol adalah 𝑅 0 = 1.061 Karena 𝑅 0 > 1 , maka dapat dikatakan terjadi penyebaran  virus  zika  pada  kedua  populasi,  sehingga  perlu  adanya  kontrol  untuk  dapat mengurangi  penyebaran  virus  zika  tersebut.  Dengan  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) yaitu  kontrol penggunaan kondom untuk dapat mencegah penularan virus zika antar individu yang terinfeksi, kontrol 𝑢 2 (𝑡) yaitu kontrol untuk pengobatan individu yang sudah terinfeksi, dan kontrol 𝑢 3 (𝑡) yaitu  kontrol  terhadap  penyemprotan  insektisida  untuk  dapat  meminimumkan  jumlah  populasi nyamuk, didapatkan hasil simulasi seperti ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafik Sub-populasi Manusia Asymtomatic Infected Sebelum dan Sesudah

## dikontrol
Gambar  2 menunjukkan  perbedaan  jumlah  sub-populasi  manusia Asymtomatic  Infected sebelum dan sesudah dikontrol. Sub-populasi manusia Asymtomatic Infected sebelum di kontrol dengan kondisi awal 𝐴 𝐻 (0) = 250 meningkat akibat terinfeksi virus zika pada saat kurang lebih 5 hari sehingga jumlah manusia Asymtomatic Infected menjadi 330 orang, kemudian menurun lalu stabil pada saat kurang lebih hari ke- 45 dengan jumlah manusia Asymtomatic Infected 80 orang. Sedangkan ketika sub-populasi manusia Asymtomatic Infected tersebut  diberikan  kontrol 𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡) , dan 𝑢 3 (𝑡) terjadi penurunan lebih cepat sejak hari pertama hingga pada hari ke-70 jumlah manusia Asymtomatic  Infected setelah  dikontrol  mendekati  nol.  Ini  berarti  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡),  𝑢 2 (𝑡) ,  dan 𝑢 3 (𝑡) efektif  dalam  mengurangi  jumlah  sub-populasi  manusia  yang  telah terinfeksi virus zika namun gejala yang ditimbulkan   belum tampak.
Gambar 3. Grafik Sub-populasi Manusia Symtomatic Infected Sebelum dan Sesudah dikontrol
Gambar  3  menunjukkan  perbedaan  jumlah  sub-populasi  manusia  Symtomatic  Infected sebelum dan sesudah dikontrol.  Sub-populasi manusia Symtomatic  Infected sebelum di  kontrol dengan kondisi awal 𝐼 𝐻 = 10 meningkat pada saat kurang lebih 15 hari akibat terinfeksi virus zika sehingga jumlah manusia Symtomatic Infected menjadi 505 orang, kemudian menurun sampai hari ke-100  sehingga  jumlah  manusia Symtomatic  Infected tersebut  menjadi  305  orang.  Sedangkan, ketika  sub-populasi  manusia Symtomatic  Infected tersebut  diberikan  kontrol 𝑢 1 (𝑡),  𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) pertumbuhan jumlah sub-populasi tersebut tidak lebih tinggi dari pertumbuhan jumlah sub- populasi  sebelum  dikontrol.  Sampai  hari  ke-100  jumlah  sub-populasi  manusia  Symtomatic Infected setelah dikontrol menjadi 12 orang. Ini berarti pemberian kontrol 𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) efektif dalam mengurangi jumlah sub-populasi manusia yang telah terinfeksi virus zika.
Gambar 4. Grafik Sub-populasi Nyamuk Susceptible Sebelum dan Sesudah dikontrol Gambar 4 menunjukkan perbedaan jumlah sub- populasi nyamuk Susceptible sebelum dan sesudah  dikontrol.  Sub-populasi  nyamuk Susceptible sebelum  di  kontrol  dengan  kondisi  awal 𝑆 𝑉 (0) = 10000 menurun pada saat kurang lebih  selama  25 hari akibat terinfeksinya virus zika
sehingga jumlah  nyamuk Susceptible menjadi 9200 dan kemudian meningkat sampai hari ke-100 hingga  jumlah  nyamuk Susceptible menjadi 9500.  Sedangkan,  ketika  sub-populasi  nyamuk Susceptible tersebut  diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) terjadi  penurunan lebih cepat dari hari ke-10 sampai hari ke-50 hingga jumlah nyamuk Susceptible mendekati nol. Jadi, jumlah sub- populasi nyamuk Susceptible tersebut berkurang daripada tanpa  adanya  pengontrolan.  Ini  berarti pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡),  𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) efektif  dalam  mengurangi  jumlah  sub-  populasi nyamuk sehat atau rentan dalam penyebaran virus zika.
Gambar 5. Grafik Sub-populasi Nyamuk Infected Sebelum dan Sesudah dikontrol
Gambar  5  menunjukkan  perbedaan  jumlah  sub-populasi  nyamuk Infected .  Sub-populasi nyamuk Infected sebelum  di  kontrol  dengan  kondisi  awal 𝐼 𝑉 (0) = 500 meningkat  pada  saat kurang  lebih  selama  29  hari  akibat  terinfeksinya  virus  zika  sehingga  jumlah  nyamuk Infected menjadi 1275 dan kemudian menurun sampai hari ke-100 hingga jumlah nyamuk Infected menjadi 1020. Sedangkan, ketika sub-populasi nyamuk Infected tersebut diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) terjadi  penurunan  lebih  cepat  dari  hari  pertama  hingga  jumlah  nyamuk Infected mendekati nol pada hari ke-40. Jadi, sub-populasi nyamuk Infected tersebut berkurang daripada tanpa adanya pengontrolan. Ini berarti pemberian kontrol 𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡), dan 𝑢 3 (𝑡) efektif dalam mengurangi jumlah sub-populasi nyamuk yang terinfeksi dalam penyebaran virus zika.
Dari  hasil  simulasi,  didapatkan nilai  fungsi  objektif ( 𝐽 )  dengan  dan  tanpa  kontrol  adalah sebagai berikut:
Simulasi Hasil Fungsi Objektif Simulasi tanpa kontrol 344.4906 Simulasi dengan kontrol 1.0586
Dari hasil perhitungan fungsi objektif dapat diamati bahwa simulasi dengan kontrol memiliki
nilai  fungsi  objektif  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  simulasi  tanpa  kontrol.  Ini  berarti pemberian  kontrol  yang  dilakukan  dapat  meminimumkan  fungsi  objektif  sehingga  dapat meminimumkan penyebaran virus zika.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  dibahas,  maka  diperoleh  kesimpulan sebagai berikut:
1. Pada  kestabilan  model  dinamik  penyebaran  virus  zika,  sistem  akan  stabil  ketika  bilangan reproduksi dasar kurang dari satu, dimana kondisi tersebut setiap individu manusia maupun nyamuk yang terinfeksi virus zika dapat menularkan virus rata-rata kurang dari satu individu baru atau dengan kata lain tidak terjadi penyebaran virus. Sebaliknya, jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu, maka setiap individu manusia maupun nyamuk yang terinfeksi virus zika dapat  menularkan  virus  rata-rata  lebih  dari  satu  individu  baru  atau  dengan  kata  lain  terjadi penyebaran virus (endemik).
2.  Dengan pemberian kontrol penggunaan kondom, kontrol pengobatan individu terinfeksi, dan kontrol  penyemprotan  insektisida  didapatkan  dinamika  jumlah  sub-populasi  manusia  yang terinfeksi virus zika dan jumlah populasi nyamuk yang menurun dibandingkan dengan sebelum diberikan kontrol. Selain itu juga, didapatkan nilai fungsi objektif dengan adanya kontrol yang lebih kecil dibandingkan dengan nilai fungsi objektif tanpa adanya kontrol. Ini mempunyai arti bahwa pemberian kontrol dapat meminimumkan penyebaran virus zika.

## 5 Daftar Pustaka
[1] A. D. Haddow, A.J. Schuh, C.Y. Yasuda, et al. , “Genetic characterization of zika virus strains: Geographic expansion of the asian lineage,” PLoS Negl Trop Dis , vol. 6, no. 2, Feb. 2012, doi: 10.1371/journal.pntd.0001477.
[2] “ZIKA SITUATION REPORT 5 FEBRUARY 2016 SUMMARY.” [Online]. Available: http://governor.hawaii.gov/newsroom/doh-news-release-hawaii-department-of-health- receives-confirmation-of-zika-, diakses 20 Agustus 2022
[3] “Morbidity and Mortality Weekly Report.” [Online]. Available:
http://www.cdc.gov/mmwr, diakses 20 Agustus 2022
[4] E. Bonyah and K. O. Okosun, “Mathematical modeling of Zika virus,” Asian Pac J Trop Dis , vol. 6, no. 9, pp. 673–679, Sep. 2016, doi: 10.1016/S2222-1808(16)61108-8.
[5] D. Gao, Lou. Y, H. Daihai, C. P. Trafis, Kuang. Y, C. Gerardo, R. Shiguan, “Prevention and Control of Zika as a Mosquito-Borne and Sexually Transmitted Disease: A
Mathematical Modeling Analysis,” Sci Rep , vol. 6, Jun. 2016, doi: 10.1038/srep28070.
[6] A. J. Kucharski, S. Funk, R. M. Eggo, H. P. Mallet, W. J. Edmunds, and E. J. Nilles, “Transmission Dynamics of Zika Virus in Island Populations: A Modelling Analysis of the 2013–14 French Polynesia Outbreak,” PLoS Negl Trop Dis , vol. 10, no. 5, 2016, doi: 10.1371/journal.pntd.0004726.
[7] A. A. Momoh, “Optimal Control of Intervention Strategies and Cost Effectiveness Analysis for a Zika Virus Model.” Operations Research for Health Care, vol. 18, pp: 99- 111, 2018
[8] L. Perko, “Texts in Applied Mathematics 7 Differential Equations and Dynamical Systems Springer.”
[9] P. Van Den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission.” Mathematical Biosciences , vol. 180, no. 1, pp: 29-48, 2002
[10]  D. Subbaram, “SINGULAR PERTURBATIONS AND TIME SCALES IN CONTROL
THEORY AND APPLICATIONS: AN OVERVIEW 1,” 2002.