## METODE PARTICLE SWARM OPTIMIZATION UNTUK OPTIMASI PORTOFOLIO
Rini Widia Putri Z Program Studi Informatika, Universitas Indraprasta PGRI r.widia.putri@gmail.com

## Abstrak
Saham merupakan salah satu aset keuangan yang populer diinvestasikan dewasa ini. Walau pergerakan harga  saham  tidak  tetap  namun  dapat  diprediksi  untuk  jangka  waktu  tertentu,  sehingga  keuntungan yang  akan  diperolehpun  dapat  diperkirakan.  Saham-saham  yang  dimiliki  dapat  disusun  sedemikian rupa sehingga dapat memperoleh keuntungan paling maksimal dengan resiko paling  minimal melalui portofolio.  Portofolio  juga  dapat  disusun  dengan  berbagai  kendala,  salah  satunya  kendala sector capitalization .Portofolio  dengan  kendala  ini  tidak  menghasilakan  proporsi  masing-masing  saham, tetapi  proporsi  setiap  sektor  yang  didalamnya  tergabung  berbagai  saham.  Pada  pelaksanaannya, investor akan tertarik menginvestasikan modal mereka pada saham-saham yang memiliki nilai tinggi di pasar modal. Dengan memilih berinvestasi diberbagai sektor, investor  dapat meminimalkan risiko seandainya  satu  sektor  yang  dipilih  ternyata  memperoleh  kerugian.  Optimasi  dengan  kendala  ini merupakan  masalah  optimasi  tak  linear  dengan  variabel  bilangan  bulat  dan  bilangan  real,  maka dibantu  dengan  metode Particle  Swarm  Optimization .  Hasil  optimasi  yang  diperoleh pada  artikel  ini adalah  bobot  lima  sektor  saham-saham  LQ45  secara  berurut  yaitu  0.353;  0.2465;  0.222;  0.1164; 0,0955 dengan ririko sebesar 0.0030.
Kata Kunci : Portofolio, Particle Swarm Optimization

## Abstract
Stock is one of financial assets popularly invested in the present time. In spite of its unstable movement, stock price can be predicted for  certain period of time to  estimate the profit that will be made. The owned stocks can be systematically arranged to produce a maximum profit with  minimal  risks  through  portfolio.  Portfolio  can  be  arranged  by  imposing  various constraints,  such  as  sector  capitalization.  With  this  constraint,  portfolio  does  not  create  a proportion for each stock, but for every sector containing various stocks. If implemented, the investor may be interested in investing their capital into the stocks that have the high value in the capital market. By investing in various stocks, investors can minimize the risks provided one  of  the  chosen  sectors  suffers  loss.  Optimization  with  this  constraint  is  a  non-linear optimization  problem  with  integer  and  real  numbers  with  the  help  of  Particle  Swarm Optimization method. The optimization results in this article show the consecutive weight of five sectors of LQ45 stocks are 0,353; 0,2465; 0,222; 0,1164; 0,0955 with the risk of 0,0030. Keywords: Portfolio, Particle Swarm Optimization

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  kajian  menarik  di  bidang keuangan  adalah  mengenai  portofolio. Portofolio  merupakan    pengelompokan aset  keuangan  berupa  saham  atau  obligasi yang  diperdagangkan  di  bursa  oleh investor dan dikelola oleh para profesional. Aset  keuangan  dalam  portofolio  disusun dengan tujuan untuk memperoleh portofolio  yang  efisien  yaitu  portofolio
yang  bisa  memberikan return yang maksimal dengan risiko tertentu.
Seorang  investor  dapat  memilih  satu  dari sekian banyak pilihan kumpulan portofolio efisien  berupa  portofolio  optimal  sesuai pilihan terhadap return dan risiko. Portofolio  yang  optimal  dapat  dianalisis berdasarkan  karakteristik  setiap  aset  yang dimasukkan dalam portofolio.
Karakteristik utama  yang dipertimbangkan adalah  tingkat  keuntungan  dan  risiko masing-masing aset.Secara sederhana dapat  dilakukan  dengan  mengalokasikan proporsi  yang  kecil  untuk  aset  yang memiliki  risiko  tinggi  dan  memberikan alokasi  proporsi  yang  besar  untuk  aset yang memiliki risiko yang rendah.
Teori pendukung analisis portofolio optimal  diperkenalkan  oleh  Markowitz dalam [1] yang membangun sebuah model portofolio untuk menghitung tingkat keuntungan  dengan mean dari return dan menghitung  risiko  dengan  variansi  dari portofolio.  Risiko  dinyatakan  sebagai ukuran  perbedaan  hasil  keuntungan  yang diperoleh  dengan    hasil  keuntungan  yang diharapkan ( expected return ).
Dalam  pelaksanaannya,  portofolio  yang optimal  diperoleh  dengan  menentukan bobot masing-masing saham agar memenuhi return dan risiko yang diinginkan.
Peneliti terdahulu telah banyak memanfaatkan model portofolio Markowitz untuk mengoptimasi portofolio.  Referensi  [2]  menggunakan model  ini  untuk  menyelesaikan  masalah portofolio dengan kendala buy-in threshold dan roundlot menggunakan DIRECT  yang memanfaatkan metode Quasi-Newton.
Referensi  [7]  menggunakan  model  ini untuk  menyelesaikan  masalah  portofolio dengan  kendala minimum  transaction  lots , cardinality ,  dan sector  capitalization menggunakan metode Genetic Algorithm .
Penelitian  yang  dilakukan    penulis  adalah menggunakan  metode Particle  Swarm Optimization (PSO)  untuk  menyelesaikan masalah optimasi portofolio dengan kendala sector capitalization .
Kendala sector  capitalization membahas tentang  kecenderungan  investor  untuk berinvestasi  pada  sektor  yang  memiliki nilai  lebih  tinggi  pada  pasar  modal  [7]. Modal  pada  sektor  lebih  dipertimbangkan
sebagai  kendala  untuk  pemilihan  saham daripada kelayakan dan keamanan.
Untuk  dapat  meminimalkan  risiko  dalam berinvestasi,  investor  dapat  melakukan investasi  pada  berbagai  sektor  sehingga risiko  kerugian  pada  satu  sektor  dapat ditutupi  dengan  keuntungan  pada  sektor yang lainnya.Dalam satu portofolio, investasi  itu  sendiri  dapat  dilakukan  pada beberapa sektor yang berbeda-beda.
Hubungannya  dengan  pasar  modal  adalah bobot  setiap  saham  terpilih  pada  sektor yang  berbeda  akan  dipengaruhi  modal sektor,  maksudnya  sektor  yang  memiliki banyak  modal  seharusnya  punya  proporsi yang lebih utama untuk dipilih. Oleh sebab itu,  pembatasan  dihilangkan  jika  tidak  ada saham yang terpilih dari sebuah sektor.
Metode Particle  Swarm  Optimization (PSO)  pertama  kali  dikenalkan  oleh  Dr. Eberhart  dan  Dr.  Kennedy  pada  tahun 1995  dalam  sebuah  konferensi  jaringan syaraf  di  Perth,  Australia  [6].  Metode  ini berupa sebuah optimisasi stokastik terhadap suatu populasi.Dalam sains komputasi,  PSO  adalah  metode  komputasi yang  mengoptimisasi  sebuah  masalah dengan  mencoba  meningkatkan  calon solusi  dari  masalah  tersebut  secara berulang-ulang  dengan  memperhatikan ukuran dari kualitas yang diberikan.
Menurut [4] pada mulanya PSO terinspirasi  dari  perilaku  sebuah  kawanan serangga,  seperti  semut,  rayap,  lebah,  atau burung.  Misalkan sekelompok  burung sedang  mencari  makanan  secara  acak  di suatu  daerah.  Hanya  ada  satu  potongan makanan  di  daerah  tersebut  yang  sedang dicari. Akan tetapi burung-burung tersebut tidak mengetahui dimana makanan tersebut berada  tetapi  tahu  seberapa  jauh  makanan itu  berada.  Salah  satu  cara  yang  efektif untuk  memperoleh  makanan    adalah dengan  mengikuti  burung  yang  berada paling dekat dengan makanan tersebut.

## 2. METODE PENELITIAN
Dalam  menyelesaikan  optimasi  portofolio ini, peneliti menggunakan metode Particle Swarm Optimization . Adapun dalam pelaksanaannya  penulis  melalui  beberapa tahapan :
1. Menyusun  model  matematika  untuk optimisasi  portofolio  dengan  kendala sector capitalization .
2. Memodifikasi  algoritma  PSO  sesuai kebutuhan data.
3. Uji  metode PSO.
4. Mengambil dan data saham LQ45.
5. Mengolah  data  saham.  Pertama,  data saham  yang  diperoleh  dihitung mean return nya  kemudian  dihitung  variansi dan kovariansi sahamnya.
6. Menyesuaikan program untuk menyelesaikan masalah sector capitalization .
7. Menjalankan program untuk
memperoleh  hasil  yang  paling  optimal dengan bantuan algoritma PSO.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan  suatu  portofolio  terdiri  dari n saham  dengan  bobot  masing  -  masing 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 , … , 𝑦 𝑛 memenuhi,
𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 + ⋯ + 𝑦 𝑛 = 1
Misalkan 𝑟 𝑖𝑗 menyatakan return saham i pada  periode j ,  dengan i= 1,2 ,…,n dan j  = 1,2 ,..,m maka mean return 𝑟 𝑖 untuk setiap saham i adalah
𝑟 𝑖 = 𝑟 𝑖𝑗 𝑚 𝑗 =1 𝑚
Misalkan seorang investor ingin menyusun portofolio yang terdiri dari n saham  dengan harapan memperoleh risiko sekecil mungkin, artinya menemukan nilai 𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 , … , 𝑦 𝑛 dengan  meminimumkan fungsi risiko 𝑦 𝑇 𝑄 𝑦 = 𝑉 dengan Q adalah
𝑄 = 𝜎 11 𝜎 12 … 𝜎 1𝑛 𝜎 12 ⋮ 𝜎 1𝑛 𝜎 22 … 𝜎 2𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜎 2𝑛 … 𝜎 𝑛𝑛 ,
sebuah  matriks  variansi-kovariansi.  Secara matematis  masalah  ini  dapat  ditulis  : Meminimumkan 𝑉 = 𝑦 𝑇 𝑄 𝑦 dengan kendala 𝑒 𝑇 𝑦 = 1. Selanjutnya jika diberi  target return saham  sebesar 𝑅 𝑝 , masalah menjadi :
Meminimumkan V = y T Qy dengan kendala 𝑒 𝑇 𝑦 = 1 dan 𝑟 𝑇 𝑦 = 𝑅 𝑝 ,
dapat diselesaikan dengan metode Langrange  Multiplier dengan  mengubah menjadi masalah tanpa kendala [3].
Kendala sector  capitalization membahas tentang  kecenderungan  investor  untuk berinvestasi  pada  sektor  yang  memiliki nilai lebih tinggi pada pasar modal. Modal pada sektor lebih dipertimbangkan sebagai kendala  untuk  pemilihan  saham  daripada kelayakan  dan  keamanan.Untuk  dapat meminimalkan  risiko  dalam  berinvestasi, investor  dapat  melakukan  investasi  pada berbagai  sektor  sehingga  risiko  kerugian pada  satu  sektor  dapat  ditutupi  dengan keuntungan pada sektor yang lainnya.
Untuk  menyelesaikan  masalah  ini,saham- saham dikelompokkan berdasarkan sektornya,  sektor  1  harus  memiliki  modal yang  lebih  dari  sektor  2  dan  ada  beberapa saham  di  portofolio  berasal  dari  kedua sektor  ini,  maka  total  bobot  saham  dari sektor 1 harus lebih banyak dari pada total bobot  saham  dari  sektor  2,  tetapi  jika  tak ada saham yang berasal dari saham 1 maka pembatasan dihapuskan.
Masalah  meminimumkan  risiko  dengan return sebesar 𝑅 𝑝 dengan  kendala sector capitalization adalah
Min 𝑉 =   𝑦 𝑇 𝑄 𝑦 kendala        𝑟 𝑇 𝑦 = 𝑅 𝑝 𝑒 𝑇 𝑦 = 1 𝑦 𝑖 𝑠 ≥   𝑦 𝑖 𝑠′ ∀𝑤 𝑠 , 𝑤 𝑠 ′ ≠ 0; 𝑠, 𝑠 ′
𝑖 𝑠′ 𝑖 𝑠 ∈  1,2, … . 𝑆  𝑠 < 𝑠 ′
Dimana
𝑤 𝑠 =          1 jika    𝑧 𝑖 > 0 𝑖 𝑠 0 jika 𝑧 𝑖 = 0 𝑖 𝑠 𝑖 𝑠 , 𝑖 𝑠 ′ ∈  1,2, … , 𝑁 .
Keterangan : 𝑧 𝑖 =    variabel  biner  yang  bernilai  1  jika setiap saham i terpilih dan benilai 0 jika tidak.
𝑤 𝑠 =  variabel biner yang bernilai 1 jika paling sedikit 1 saham pada sector s terpilih dan 0 jika tidak.
𝑖 𝑠 = himpunan saham yang termasuk pada sector s .
Jika tidak ada saham terpilih pada sektor s maka 𝑧 𝑖 = 0 dan 𝑤 𝑠 =0. Tetapi jika terdapat satu saham pada sektor s terpilih, maka 𝑤 𝑠 =1.
Kendala sector capitalization dibuat menjadi  sebuah  kendala  yang  harus dipenuhi yaitu:
y 1j − n 1 j=1 y 2j n 2 j=1 > 0 , y 2j − n 2 j=1 y 3j n 3 j=1 > 0, … dst,
dimana 𝑛 𝑖 =  jumlah  saham  pada  tiap-tiap sektor  yang  terpilih  masuk  portofolio untuk i = 1,2,.. s .
Metode Particle  Swarm  Optimization (PSO)  adalah  metode  komputasi  yang mengoptimisasi  sebuah  masalah  dengan mencoba  meningkatkan  calon  solusi  dari masalah  tersebut  secara  berulang-ulang dengan memperhatikan ukuran dari kualitas  yang  diberikan. Pada  mulanya PSO  terinspirasi  dari  perilaku  sebuah kawanan  serangga,  seperti  semut,  rayap, lebah,  atau  burung.  Misalkan sekelompok burung  sedang  mencari  makanan  secara acak  di  suatu  daerah.  Hanya  ada  satu potongan makanan di daerah tersebut yang sedang  dicari.  Akan  tetapi  burung-burung tersebut tidak mengetahui dimana makanan tersebut  berada  tetapi  tahu  seberapa  jauh makanan  itu  berada.  Salah  satu  cara  yang
efektif untuk memperoleh makanan adalah dengan  mengikuti  burung  yang  berada paling dekat dengan makanan tersebut.
Menurut  [5]  PSO  mengoptimisasi  sebuah masalah dengan menyiapkan suatu populasi calon  solusi  untuk masalah   yang disebut sebagai partikel-partikel dan memindahkan  partikel-partikel  tersebut melalui  ruang  pencarian  yang  ada  dengan mengikuti  partikel-partikel  optimum  yang sedang  berjalan  sesuai  posisi  partikel  dan kecepatannya. Semua partikel-partikel mempunyai nilai kecocokan ( fitness value ) yang  dievaluasi  dengan  fungsi  kecocokan ( fitness  function )  yang  akan  dioptimisasi dan mempunyai kecepatan-kecepatan yang langsung  mengarah  kepada  pergerakan partikel-partikel. Selanjutnya partikel- partikel  bergerak  melalui  ruang  masalah ( space problem ) dengan mengikuti partikel-partikel  optimum  yang  sedang berjalan.
Metode PSO diinisialisasi dengan sekelompok partikel acak kemudian mencari solusi optimal dengan memperbaharui  generasi-generasinya.Pada setiap iterasi, tiap-tiap partikel
diperbaharui  dengan  mengikuti  dua  nilai “terbaik”.  Yang  pertama  adalah  solusi terbaik (fitness )  yang  telah  dicapai  oleh partikel-partikel. Nilai ini kemudian disimpan  dan  disebut  sebagai pbest . Terbaik  kedua  yang  diikuti  oleh  PSO adalah  nilai  terbaik  yang  diperoleh sebarang  partikel  di  dalam  populasi.Nilai terbaik ini adalah terbaik globaldan disebut gbest .  Setelah  menemukan  dua  nilai terbaik,  partikel  akan  memperbaharui kecepatan dan posisinya sebagai berikut :
𝑣 𝑘+1 𝑖 = 𝑣 𝑘 𝑖 + 𝑐 1 𝑟 1 𝑝 𝑘 𝑖 − 𝑥 𝑘 𝑖 + 𝑐 2 𝑟 2 𝑝 𝑘 𝑔 − 𝑥 𝑘 𝑖 𝑥 𝑘+1 𝑖 = 𝑥 𝑘 𝑖 + 𝑣 𝑘+1 𝑖 .
Gambar 1. Flow chart PSO Adapun algoritma Particle Swarm Optimization sebagai berikut,
1. Inisialisasi  sekumpulan  partikel  ( 𝑥 𝑘 𝑖 )
secara random (setiap partikel merepresentasikan solusi yang mungkin untuk masalah optimasi).
2. Inisialisasi kecepatan dari setiap partikel  ( 𝑣 𝑘 𝑖 )  dengan  asumsi  bahwa kecepatan awal partikel = 0.
3. Evaluasi fungsi tujuan ( 𝑓 𝑘 𝑖 ).
4. Menentukan  posisi  terbaik  masing- masing  partikel  untuk  setiap  iterasi ( 𝑝 𝑘 𝑖 )  dengan  ketentuan  jika 𝑓 𝑘 𝑖 ≤ 𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑖 maka 𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑖 = 𝑓 𝑘 𝑖 , 𝑝 𝑘 𝑖 = 𝑥 𝑘 𝑖 .
5. Menentukan posisi terbaik untuk setiap populasi  ( 𝑝 𝑘 𝑔 )  dengan  ketentuan  jika 𝑓 𝑘 𝑖 ≤ 𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑔 maka 𝑓 𝑏𝑒𝑠𝑡 𝑔 = 𝑓 𝑘 𝑖 , 𝑝 𝑘 𝑔 = 𝑥 𝑘 𝑖 .
6. Memperbaharui  posisi  dan  kecepatan partikel.
7. Pemberhentian iterasi jika telah
mencapai nilai optimum atau mencapai
iterasi maksimum.
Untuk memudahkan pembahasan, algoritma  PSO  biasa  diberi  nama  PSO tipe1.  Selanjutnya  PSO  tipe  2  dan  tipe  3 adalah sebagai berikut : 1. PSO  tipe  2  yaitu Constant  inertia weight ( w k ) Modifikasi terjadi saat update kecepatan :
𝑣 𝑘+1 𝑖 = 𝑤 𝑘 𝑣 𝑘 𝑖 + 𝑐 1 𝑟 1 𝑝 𝑘 𝑖 − 𝑥 𝑘 𝑖 + 𝑐 2 𝑟 2 𝑝 𝑘 𝑔 − 𝑥 𝑘 𝑖
dengan
𝑤 𝑘 = 𝑤 𝑚𝑎𝑘𝑠 . (𝑤 𝑚𝑎𝑘𝑠 −𝑤 𝑚𝑖𝑛 ) 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖  𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 . 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠i
dengan  pemilihan 𝑤 𝑚𝑎𝑘𝑠 =  0.9  dan 𝑤 𝑚𝑖𝑛 = 0.1 2. PSO  tipe  3  yaitu Linear  Inertia Reduction Modifikasi terjadi saat update kecepatan :
𝑣 𝑘+1 𝑖 = 𝑤 𝑘 𝑣 𝑘 𝑖 + 𝑐 1 𝑟 1 𝑝 𝑘 𝑖 − 𝑥 𝑘 𝑖 + 𝑐 2 𝑟 2 𝑝 𝑘 𝑔 − 𝑥 𝑘 𝑖 𝑤 𝑘+1 = 𝛼𝑤 𝑘 , 0 < 𝛼 < 1
Pada  uji  metode  PSO  ini  digunakan  3 variasi  PSO  yaitu  PSO  tipe1,  PSO  tipe  2 , dan  PSO  tipe  3.Ketiga  variasi  tersebut digunakan untuk menghitung nilai minimum beberapa fungsi, yaitu :
1. Fungsi Sphere
𝑓 x  = x i 2 D i=1
Fungsi  ini  dievaluasi  pada  daerah  - 100 ≤ 𝑥 𝑗 ≤ 100,  j  =  1,2,…,D  yang mempunyai nilai minimum f(0,0,…,0) = 0. Adapun    input  data  yang  digunakan  untuk menghitung  nilai  fungsi  ini  menggunakan PSO adalah  D  = 10 dan  jumlah partikel = 25. Diperoleh hasil terbaik sebagai berikut:
Tabel 1. Fungsi Sphere
No PSO 1 Tipe 1 f(x) 3.8824e-016 waktu 21.870906 generasi 1043 2 Tipe 2 f(x) 4.8811e-016 waktu 12.530531 generasi 645 3 Tipe 2 f(x) 3.1714e-016 waktu 1.957926 generasi 93

## 2. Fungsi Hyper-ellipsoid
f x  = 2 i x i 2 D i=1
Gambar3.Ilustrasi Fungsi Hyper-ellipsoid
Fungsi  ini  dievaluasi  pada  daerah  - 100 ≤ 𝑥 𝑗 ≤ 100,  j  =  1,2,…,D  yang mempunyai nilai minimum f(0,0,…,0) = 0. Adapun  input  yang  digunakan  untuk menghitung  nilai  fungsi  ini  menggunakan PSO adalah  D  = 10 dan  jumlah partikel = 25. Diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel 2. Fungsi Hyper-ellipsoid
No PSO 1 Tipe 1 f(x) 2.27e-009 waktu 54.516274 generasi 968 2 Tipe 2 f(x) 2.01e-012 waktu 37.072827 generasi 648 3 Tipe 2 f(x) 1.16e-013 waktu 4.162239 generasi 78

## 3. Fungsi Schwefel
f x  = − 1 D x i sin⁡ (  x i ) D i=1
Gambar 4. Ilustrasi Fungsi Schwefel
Fungsi ini dievaluasi pada daerah
−500 ≤ x j ≤ 500 ,  j  =  1,2,…,D  yang mempunyai nilai minimum f(420.9687,…,420.9687)  =  -418.9831. Adapun  input  yang  digunakan  untuk menghitung nilai fungsi ini menggunakan PSO adalah  D  = 10 dan  jumlah partikel = 25. Diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel 3. Fungsi Schwefel No PSO 1 Tipe 1 f(x) -419.655 waktu 0.116086 generasi 1000 2 Tipe 2 f(x) -419.093 waktu 0.092382 generasi 778 3 Tipe 2 f(x) -419.726 waktu 0.040551 generasi 98
Data  yang  digunakan  adalah  saham  LQ45
(http://finance.yahoo.com/). Berikut adalah mean return dari  43 saham LQ45 :
Tabel 4. Mean Return Saham LQ45 Saham Mean Return 1 0.0025 2 0.0032 3 -0.0007 4 0.0001 5 -0.0045 6 -0.0048 7 0.0008 8 0.0024 9 0.0012 10 0.0025 11 -0.0003 12 -0.0015 13 0.0007 14 0.0025 15 0.0032 16 -0.0016 17 -0.0046 18 -0.0012 19 -0.0078 20 -0.0011 21 0.0020 22 -0.0001 23 -0.0001 24 0.0025 25 -0.0009 26 0.0022 27 -0.0032 28 -0.0002 29 0.0012 30 0.0081 31 0.0005 32 0.0096 33 -0.0033 34 -0.0031 35 0.0030 36 0.0014 37 -0.0031 38 0.0042 39 0.0041 40 0.0053 41 0.0029 42 0.0075 43 0.0017
Untuk  penyelesaian  masalah  optimasi portofolio digunakan PSO tipe 1, PSO tipe 2,  dan  PSO  tipe  3  dengan  pemilihan parameter 𝑟 1 , 𝑟 2 , 𝑐 1 , dan 𝑐 2 secara random .
Selanjutnya  untuk  menyelesaikan  masalah portofolio  dengan  kendala  ini  digunakan target return 0.001  dan  syarat  batas minimum  untuk  setiap  saham    0.01.  Hasil
terbaik  diperoleh    menggunakan  metode PSO tipe 2 setelah dijalankan sebanyak 25 kali dengan hasil terbaik sebagai berikut :
Tabel 5. Hasil Optimasi Portofolio
dengan Kendala Sector Capitalization Sektor Saham terpilih 𝒚 𝒊 𝒚𝒔 𝒊 1 BMTR 0.0445 0.353
5 JSMR 0.0829 KLBF 0.0847 SCMA 0.0956 TBIG 0.0458 2 BBCA 0.0326
0.246
5 BBNI 0.0649 BBRI 0.0545 BBTN 0.0260 BMRI 0.0685 3 CPIN 0.0508 0.222 2 LSIP 0.0203 ICBP 0.0895 INDF 0.0616 4 ANTM 0.0440 0.116 4 PTBA 0.0315 INCO 0.0410 5 ASRI 0.0164 0.095 5 PWON 0.0140 SMRA 0.0651 V 0.0030 Generasi 2088 Waktu 658.429622 detik
Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa saham- saham  yang  dengan  modal  lebih  besar memperoleh  bobot  yang  lebih  besar  dan terpilih  ke  dalam  portofolio.  Artinya  saham- saham  yang  tergabung  pada  setiap  sektor merupakan  kombinasi  saham  terbaik  untuk memperoleh return yang maksimal.

## 4. SIMPULAN
Pendekatan  metaheuristik Particle  Swarm Optimization (PSO)  merupakan  salah  satu metode  yang  baik  dalam  menyelesaikan masalah  optimasi  portofolio  untuk  data saham  yang  digunakan  pada  penelitian  ini. Waktu  yang  dibutuhkan  untuk  memperoleh hasil yang paling optimal dengan menggunakan  metode  PSO  tidak  terlalu lama.Namun,  untuk  memperoleh  hasil  yang paling  optimal  perlu  dilakukan  modifikasi pada algoritma PSO.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Badriyah, Jamaliatul. Optimasi
Portofolio  dengan  Kendala Buy-in Threshold, Cardinality , dan Roundlot Menggunakan Metode
Differential Evolution , Tesis. Institut
Teknologi Bandung. 2014.
[2]   Biggs  dkk. A  Global  Optimization Problem  in  Portofolio  Selection , Springer. 2007.
[3] Biggs, Michael
Bartholomew. Nonlinear Optimization with Finance Aplications , Kluwer Academic Publishers. 2005.
[4] Golmakani, Hamid Reza dan Mehrshad. Constrained  Portofolio
Selection  using  Particle  Swarm Optimization,  Journal  of  Science
Direct , 38, 8327-8335. 2011.
[5]      Lazinica,  Alexander. Particle  Swarm Optimization , In-Tech. 2009.
[6]    Naiborhu,  Janson  dkk. Particle Swarm  Optimization  in  the  Exact
Linearization  Technic  for  Output
Tracking  of  Non-Minimum  Phase Nonlinear Systems , Applied
Mathematical  Sciences ,  Vol.  7,  no. 109, 5427 – 5442. 2013.
[7]    Soleimani,  H  dkk. Markowitz-Based
Portofolio  Selection  with  Minimum Transaction Lots, Cardinality Constrains,  and  Regarding  Sector Capitalization Using Genetic Algorithm, Journal of Science
Direct , 36, 5058-5063. 2008.