## KAJIAN ESTIMASI-M IRLS MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBOBOT HUBER DAN BISQUARE TUKEY PADA DATA KETAHANAN PANGAN DI JAWA TENGAH
Elen Dwi Pradewi 1 , Sudarno 2
1 Alumni Program Studi Statistika FSM Universitas Diponegoro
2 Staf Pengajar Program Studi Statistika FSM Universitas Diponegoro

## Abstract
Ordinary  Least  Squares  (OLS)  is  one  method  of  parameter  estimation  in  regression  analysis. However, the presence of outliers can cause estimation of regression coefficients obtained are not exact.  Act  of  throwing  away  an  outlier  is  not  a  wise  move,  because  sometimes  outliers  provide significant  information. Therefore,  robust  regression methods  are  needed to  data  contain  outliers. This  paper  will  use  robust  regression  estimation  method  by  M-estimation.  This  estimation  use Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS) method with weighting function by Huber and Tukey Bisquare. IRLS is applied to the case of food security in Central Java in 2007 that is influenced by the stock of rice, harvested area, average production, price of rice and the amount of consumption. The purpose of this writing is to compare goodness of M-estimation IRLS using Huber and Tukey Bisquare  function  in  estimating  the  model  parameters  of  food  security  in  Central  Java  in  2007. Based  on  the  research  results  can  be  concluded  that  the  M-estimation  by  the  Tukey  Bisquare  is better recommended than Huber function. This can be seen by value results of Mean Square Error and determination coefficient.
Keywords: Robust  Regression,  Iteratively  Reweighted  Least  Squares,  Outlier,  Huber  Weighting Function, Tukey Bisquare Weighting Function
.

## 1. Pendahuluan
Analisis regresi merupakan salah satu teknik analisis statistika yang paling banyak digunakan. Analisis regresi baik yang linear maupun yang nonlinear. Pada kejadian sehari- hari  terdapat  hubungan  sebab  akibat  yang  muncul,  baik  yang  terjadi  pada  bidang  sains, sosial, industri maupun bisnis. Kejadian-kejadian tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk fungsi regresi. Secara umum, analisis regresi berkenaan dengan studi ketergantungan suatu variabel  dependen  (tak  bebas)  pada  satu  atau  lebih  variabel  independen  (bebas),  dengan maksud ketergantungan model itu dapat dipergunakan sebagai alat prediksi kejadian untuk waktu yang akan datang [1,3] .
Salah  satu  tujuan  dalam  analisis  regresi  adalah  mengestimasi  koefisien  regresi dalam model regresi. Model regresi merupakan suatu cara formal untuk mengekspresikan dua unsur penting suatu  hubungan statistik,  yaitu kecenderungan berubahnya variabel  tak bebas secara sistematis sejalan dengan berubahnya variabel bebas dan berpencarnya titik- titik di sekitar kurva taksiran model itu. Metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi koefisien  regresi  yaitu  metode  kuadrat  terkecil.  Namun,  metode  ini  mensyaratkan  bahwa distribusi  data  harus  memenuhi  asumsi  klasik  dari  regresi,  yaitu  linear  dalam  parameter, galat  berdistribusi  normal  dengan  rataan  nol  dan  ragam  konstan,  antar  galat  tidak berkorelasi, antar prediktor tidak bermultikolinearitas. Jika data tidak memenuhi salah satu asumsi klasik regresi, maka penduga metode kuadrat terkecil tidak lagi efisien [8] .
Pencilan  merupakan  data  yang  nilainya  atau  letaknya  berbeda  sangat  signifikan terhadap  kumpulan  data  lainnya.  Ada  banyak  cara  pendeteksiannya,  dan  penyajiannya dapat berupa grafik atau nilai. Adanya pencilan dalam data dapat mengakibatkan estimasi
koefisien regresi yang diperoleh tidak tepat. Hal ini dapat ditunjukkan dengan nilai standar error yang besar apabila menggunakan metode kuadrat terkecil. Namun demikian tindakan membuang  begitu  saja  suatu  pencilan  bukanlah  tindakan  yang  bijaksana  karena  ada kalanya  pencilan  memberikan  informasi  yang  cukup  berarti.  Oleh  karena  itu,  diperlukan suatu  estimasi  yang  bersifat robust atau  tahan  terhadap  pencilan  yang  dikenal  dengan regresi  robust.  Suatu  estimasi  yang  tahan  adalah  relatif  tidak  terpengaruh  oleh  perubahan besar pada bagian kecil data atau perubahan kecil pada bagian besar data [5,6] .
Beberapa  metode  estimasi  dalam  regresi  robust  diantaranya  adalah  estimasi-M, Least Trimmed Squares (LTS), Least Median Squares (LMS), estimasi S dan estimasi MM ( Method of Moment ) [2] . Estimasi- M merupakan suatu metode regresi  robust  yang terkenal dan paling luas digunakan daripada metode regresi robust yang lain, karena hasilnya lebih teliti.  Metode Iteratively Reweighted Least  Squares (IRLS) merupakan salah satu  metode iterasi  pada  estimasi-M  yang  memerlukan  3  fungsi  pembobot,  yaitu  metode  kuadrat terkecil,  fungsi  Huber  dan  fungsi  Bisquare  Tukey.  Fungsi  pembobot  yang  akan  dipilih adalah fungsi pembobot Huber dan fungsi pembobot Bisquare Tukey.
Masalah  yang  akan  dibahas  dalam  tulisan  ini  adalah  pengujian  ketidakpenuhan asumsi  klasik,  cara  pendeteksian  pencilan  dan  penaksiran  model  pada  data  ketahanan pangan  Jawa  Tengah  tahun  2007  menggunakan  metode  refresi  robust  hingga  didapat taksiran  model  terbaiknya.  Tujuan  dari  penulisan  ini  adalah  untuk  menggunakan  regresi robust  estimasi-M  IRLS  dengan  fungsi  pembobot  Huber  dan  Tukey  Bisquare  pada kumpulan data yang terdapat pencilan.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Cook’s Distance
Metode untuk mendeteksi adanya pencilan adalah menggunakan Cook’s Distance , yaitu
         M SE p ) ( ' )' ( D ) i ( ) i ( i b b X X b b
dengan:
b =  vektor  koefisien  regresi  dengan  semua  pengamatan  ikut  dalam pembentukan model regresi
b (i) =  vektor  koefisien  regresi  yang  tidak  mengikutsertakan  pengamatan  ke-i dalam pembentukan model regresi
X =   matriks variable predictor ukuran (n x p)
p =   banyaknya parameter
MSE  = Mean  Square  Error dari  semua  pengamatan  dalam  pembuatan  model regresi
= n e n 1 i 2 i  
Suatu  kumpulan  data  pengamatan  dikatakan  mengandung  pencilan  jika  nilai  pengamatan
n p D i  , dengan n menyatakan ukuran sampel [4] .

## 2.2 Estimasi-M IRLS
Salah  satu  kelas  estimasi robust yang  paling  penting  dan  paling  luas  digunakan adalah estimasi-M yang diperkenalkan oleh Huber. Pada prinsipnya estimasi-M merupakan estimasi yang meminimumkan suatu fungsi objektif 
                   n 1 i k 0 j j ij i n 1 i i x y min ) e ( min
Fungsi  merupakan representasi pembobot dari residual. Untuk memperoleh suatu skala invariant dari estimator ini, biasanya dilakukan dengan menyelesaikan persamaan
                         n 1 i k 0 j j ij i n 1 i i s x y min ) s e ( min dengan k 1 0 ˆ , , ˆ , ˆ     merupakan nilai estimasi-M dari
k 1 0 , , ,     yang meminimumkan
                                 n 1 i k 0 j j ij i n 1 i n 1 i i i s x y s e ) u ( (1)
dimana ) u ( i  adalah fungsi simetris dari residual atau fungsi yang memberikan kontribusi pada masing-masing residual pada fungsi objektif [2] .
Pada umumnya, suatu estimasi skala robust perlu diestimasi. Pilihan estimasi yang populer untuk s adalah   6745 , 0 | ) median(e e | median s i i  
Pemilihan  konstanta  0,6745  membuat  sedemikian  hingga s merupakan  suatu  estimator yang mendekati tak bias dari  , jika n besar dan error berdistribusi normal [4] .

## 2.3 Penyelesaian untuk Koefisien Regresi
Untuk  meminimumkan  persamaan  (1),  turunan  parsial  pertama  dari  terhadap k , , 1 , 0 j , j    ,  harus  disamakan  dengan  0.  Sehingga  akan  menghasilkan  suatu  syarat perlu untuk minimum. Ini menghasilkan sistem persamaan (2):
k , , 1 , 0 j , 0 s x y x 0 n 1 i k 0 j j ij i ij j                            (2)
dengan '    dan x ij adalah observasi ke-i pada regresor ke-j dan x i0 = 1.
Didefinisikan suatu fungsi bobot
                      k 0 j j ij i k 0 j j ij i i x y s x y ) u ( w
dan misal ) u ( w w i i  . Maka persamaan (2) dapat ditulis sebagai
k , , 1 , 0 j , 0 x y w x n 1 i k 0 j j ij i i ij               
Pada umumnya, fungsi  tidak linear dan persamaan (2) harus diselesaikan dengan metode iterasi.
Estimasi  koefisien  regresi  dengan  estimasi-M  dilakukan  dengan  estimasi  kuadrat terkecil  dengan  pembobot  iteratif.  Prosedur  estimasi  ini  membutuhkan  proses  iterasi dimana i w   akan  berubah  pada  tiap  iterasinya  sehingga  diperoleh
k 1 0 ˆ , , ˆ , ˆ     .  Prosedur tersebut  dinamakan Iteratively  Reweighted  Least  Squares (IRLS).  Untuk  menggunakan IRLS, anggap bahwa suatu estimasi awal 0 ˆ  ada dan s adalah suatu estimasi skala. Untuk parameter dengan p adalah jumlah parameter yang akan diestimasi, maka
k , , 1 , 0 j , 0 ˆ x y w x n 1 i k 0 j 0 j ij i 0 i ij               
dengan
                                          k 0 j 0 j ij i k 0 j 0 j ij i k 0 j 0 j ij i k 0 j 0 j ij i 0 i ˆ x y jika , 1 ˆ x y jika , ˆ x y s ˆ x y w (3)
Untuk  kasus  regresi  berganda  perhitungan  parameternya  dapat  diperoleh  dari  persamaan matriks
Y W X X W X 0 0 ' ˆ '   0 W adalah matriks diagonal berukuran (n x n) dari bobot dengan elemen-elemen diagonal 0 n 0 2 0 1 w , , w , w  diberikan oleh persamaan (3). Maka dari itu, estimator satu langkah adalah
Y W X X W X 0 0 ' ) ' ( ˆ 1 1   
Pada  langkah  selanjutnya,  dihitung  kembali  bobot  dari ) u ( w w i i  tetapi  menggunakan 1  ˆ sebagai pengganti 0  ˆ , dan seterusnya. Perhitungan iterasi ini dihentikan bila perubahan yang  terjadi  pada  koefisien  regresi  yaitu  selisih  antara 1   l ˆ dengan l ˆ  lebih  kecil  dari
0,1%, dengan Estimasi regresi robust dengan estimasi-M IRLS dapat ditulis     X W ' X X W ' X ˆ l l l 1 1    
Estimasi kuadrat terkecil dapat digunakan sebagai nilai permulaan, 0  ˆ . Selanjutnya, untuk
2 ˆ  dapat dituliskan sebagai berikut
Y W X X W X l 1 l 2 ' ) ' ( ˆ   

## 2.4 Fungsi Pembobot
Fungsi  pembobot  dalam  estimasi-M  bergantung  pada  residual  dan  konstanta tertentu. Fungsi pembobot yang digunakan adalah MKT, Huber dan Bisquare Tukey.
1. Fungsi pembobot Metode Kuadrat Terkecil
1 ) u ( w i LS  2. Fungsi pembobot Metode Huber
       r | u | untuk , | u | r r | u | untuk , 1 ) u ( w i i i i H 3. Metode Bisquare Tukey
                       r | u | untuk , 0 r | u | untuk , r u 1 ) u ( w i i 2 2 i i B
Pada  persamaan  di  atas u i merupakan  residual  ke-i,  sedangka  nilai r dinyatakan dengan tuning  constant. Tuning  constant dalam  regresi  robust  menentukan  kerobusan penaksir  terhadap  pencilan dan  efisiensi  penaksir  dalam  ketidakadaan  pencilan.  Jika diambil  α  =  5%,  maka  estimasi-M  Huber  akan  efektif  digunakan  bilamana r =  1,345 sedangkan pada  Bisquare  Tukey  bilaman r = 4,685. Permasalahan dalam estimasi regresi robust adalah perlu dilakukan pemilihan tuning constant agar estimasi yang diperoleh lebih spesifik dan meminimumkan jumlah kuadrat residual [4] .

## 3.   Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Sumber Data
Pada  tulisan  ini  akan  dilakukan  estimasi  regresi  robust  pada  model  rasio ketersediaan  beras  di  Jawa  Tengah  pada  tahun  2007.  Data  yang  digunakan  adalah  data sekunder  yang  bersumber  dari  Badan  Pusat  Statistik  Jawa  Tengah.  Adapun  untuk hubungan  variable  rasio  ketersediaan  beras  di  Jawa  Tengah  dipengaruhi  oleh  stok  beras, luas areal panen, rata-rata produksi padi, rata-rata harga beras, dan jumlah konsumsi beras, yang disajikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Data Ketahanan Pangan di Jawa Tengah Tahun 2007 [7] Kab/Kota Produksi (ton) Stok (ton) Luas (Ha) RataProd (ton/ha) Harga (Rp/ton) Jmlkons (ton) Rasio Cilacap 622,442  20.974.997  111.725 5,571 4.510.000 183.418 3,39 Banyumas 351,340  21.348.038 64.989 5,406 4.519.000 169.045 2,08 Purbalingga 188,644  13.006.013 35.590 5,300 4.354.000 92.871 2,03 Banjarnegara 145,025  13.902.979 27.132 5,345 3.950.000 97.648 1,49 Kebumen 360,331  16.287.499 67.959 5,302 3.981.000 136.584 2,64 Purworejo 284,618 8.192.333 52.729 5,398 4.283.000 81.291 3,50 Wonosobo 156,034  10.553.640 29.793 5,237 4.908.000 85.252 1,83 Magelang 280,093  14.826.134 53.481 5,237 4.574.000 131.224 2,13 Boyolali 225,248  11.705.054 41.717 5,399 4.827.000 105.394 2,14 Klaten 327,522  14.769.888 58.505 5,598 4.923.000 127.560 2,57 Sukoharjo 267,230 9.032.458 46.176 5,787 4.572.000 92.617 2,89 Wonogiri 269,556  10.626.106 54.622 4,935 4.748.000 110.754 2,43 Karanganyar 243,685 8.375.952 42.826 5,690 4.857.000 91.017 2,68 Sragen 493,681  10.782.643 90.833 5,435 2.562.000 96.936 5,09 Grobogan 571,485  20.731.709  101.994 5,603 4.938.000 149.884 3,81 Blora 320,851  11.108.962 63.513 5,052 5.036.000 94.005 3,41 Rembang 132,025 8.961.480 26.895 4,909 4.896.000 64.735 2,04 Pati 385,164  15.549.600 76.608 5,028 4.948.000 131.941 2,92 Kudus 127,543 4.373.232 24.992 5,103 5.652.000 87.556 1,46 Jepara 198,981 9.978.677 38.020 5,234 5.326.000 121.320 1,64 Demak 502,407  14.459.342 91.516 5,490 4.835.000 115.868 4,34 Semarang 170,787 9.225.898 32.862 5,197 5.396.000 101.747 1,68 Temanggung 177,551 7.588.949 32.624 5,442 4.643.000 79.195 2,24 Kendal 214,111 9.074.419 40.063 5,344 4.712.000 106.006 2,02 Batang 207,477 9.762.173 40.265 5,153 4.720.000 76.716 2,70 Pekalongan 223,888  11.454.328 44.457 5,036 4.841.000 95.397 2,35 Pemalang 357,467  14.188.973 70.694 5,057 4.865.000 153.561 2,33 Tegal 298,062  11.056.435 55.898 5,332 4.566.000 159.362 1,87 Brebes 458,518  28.133.467 84.696 5,414 4.299.000 200.681 2,28 Kota Magelang 2,513 848.309 484 5,192 4.640.000 14.936 0,17 Kota Surakarta 1,782 3.264.077 347 5,138 4.784.000 58.483 0,03 Kota Salatiga 7,134 1.124.184 1.385 5,151 5.121.000 19.740 0,36 Kota Semarang 24,689  10.172.117 5.046 4,893 4.711.000 168.216 0,15 Kota Pekalongan 11,835 2.819.165 2.315 5,112 4.729.000 30.887 0,38 Kota Tegal 7,135 1.964.309 1.347 5,297 4.934.000 27.104 0,26

## 3.2 Identifikasi Variabel
Berikut adalah data-data yang diperlukan dalam penelitian.
1. Variabel Tak Bebas Variabel tak bebas berupa rasio ketersediaan beras di Jawa Tengah pada tahun 2007. Nilai  rasio  diperoleh  dari  perbandingan  antara  produksi  dan  konsumsi  beras  di  tiap daerah.
2. Variabel Bebas
Beberapa  variabel  bebas  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  berupa  data  faktor- faktor yang diduga mempengaruhi rasio ketahanan pangan di Jawa Tengah, meliputi:
1. Stok beras (X 1 ) 2. Luas panen padi (X 2 ) 3. Rata-rata produksi (X 3 ) 4. Harga beras (X 4 ) 5. Jumlah konsumsi (X 5 )

## 3.3 Metode Kuadrat Terkecil
Setelah  diolah  menggunakan  bantuan Software  Minitab  14 diperoleh  taksiran model regresi dengan metode kuadrat terkecil yaitu
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000007 , 0 x 000237 , 0 x 0188 , 0 x 000048 , 0 x 000045 , 0 32 , 1 y ˆ      
Selanjutnya akan dilakukan pengujian asumsi klasik yang bertujuan untuk melihat apakah taksiran  model  yang  diperoleh  terdapat  penyimpangan  klasik  atau  tidak.  Ternyata  setelah dilakukan  uji  asumsi  klasik  yang  meliputi  uji  asumsi:  normalitas,  nonmultikolinearitas adalah  dipenuhi,  tetapi  untuk  asumsi  nonautokorelasi  dan  homoskedastisitas  tidak dipenuhi. Sehingga perlu dilakukan penanganan lebih lanjut agar diperoleh estimasi regresi yang  tepat,  yaitu  dengan  menggunakan  estimasi-M pada  regresi  robust  dengan  fungsi pembobot  Huber  dan  Bisquare  Tukey.  Hal  ini  dimungkinkan  terdapat  pencilan  pada  data tersebut.  Oleh  karena  itu,  untuk  langkah  selanjutnya  perlu  dilakukan  pendeteksian pencilan.

## 3.4 Pendeteksian Pencilan
Untuk  mendeteksi  pencilan  dari  data  dideteksi  menggunakan  metode Cook’s distance. Berdasarkan  hasil  perhitungan  didapat  hasil  bahwa  data  ke-1,yaitu  Kabupaten Cilacap,  data  ke-14,  yaitu  Kabupaten  Sragen  dan  data  ke-33  yaitu  Kota  Semarang merupakan  pencilan  karena  mempunyai  nilai  yang  lebih  besar  dari  6/35  =  0,17143,  yaitu masing-masing 0,222554; 0,220494 dan 0.400533.

## 3.5 Estimasi-M IRLS
Adanya  pencilan  pada  data  ketahanan  pangan  tahun  2007  menyebabkan  taksiran model  regresi  belum  bisa  dikatakan  baik.  Karena  terdapat  asumsi  klasik  yang  tidak dipenuhi.  Sehingga  perlu  dilakukan  alternatif  lain  untuk  mengestimasi  parameter- parameter  yang  tidak  peka  terdapat  pencilan  yaitu  dengan  metode  regresi  robust  dengan IRLS. Akan dipergunakan metode estimasi-M IRLS menggunakan fungsi pembobot Huber dan Bisquare Tukey. Prosesnya menggunakan cara iteratif.

## 3.5.1 IRLS dengan Fungsi Huber
Proses  iteratif  dimulai  dengan  menentukan  estimasi  awal  koefisien  regresi  yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Taksiran model yang diperoleh adalah
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000007 , 0 x 000237 , 0 x 0188 , 0 x 000048 , 0 x
000045 , 0 32 , 1 y ˆ       Selanjutnya,  dihitung  nilai  residual i i ) 0 ( i y ˆ y e   dengan 35 , , 2 , 1 i   ,  dan  dihitung  pula nilai s (0) dari 35 kabupaten/kota, yaitu
    44 , 0 6745 , 0 e median e median s ) 0 ( i ) 0 ( i ) 0 (   
Skala residual untuk semuanya menggunakan
35 , , 2 , 1 i , s e u ) 0 ( ) 0 ( i ) 0 ( i   
Kriteria pemberian bobot pada fungsi Huber berdasarkan nilai skala residualnya
35 , , 2 , 1 i , 345 , 1 | u | , | u | 345 , 1 345 , 1 | u | , 1 w ) 0 ( i ) 0 ( i ) 0 ( i ) 0 ( i             
Pada iterasi pertama menggunakan WLS dengan pembobot ) 0 ( i w diperoleh taksiran model regresi linear sebagai berikut:
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000007 , 0 x 000235 , 0 x 0231 , 0 x 000049 , 0 x 000048 , 0 12 , 1 y ˆ      
Nilai residual dari model iterasi 1 digunakan untuk iterasi ke-2. Itetrasi akan terus berlanjut  hingga  diperoleh  nilai  ˆ yang  konvergen  atau  sama  dengan  hasil  iterasi sebelumnya.  Ternyata  hasil  perhitungan  ˆ untuk  tiap  iterasi  berhenti  pada  iterasi  ke-8, karena nilai  ˆ yang baru sama dengan nilai  ˆ sebelumnya, seperti yang tertulis di bawah ini.
Tabel 2. Hasil Iterasi Estimasi Parameter menggunakan Fungsi Huber Iterasi Huber
0 ˆ  1 ˆ  2 ˆ  3 ˆ  4 ˆ  5 ˆ  MKT 1,32 - 0,000045 0,000048 0,0188 - 0,000237 - 0,000007 1 1,12 - 0,000048 0,000049 0,0231 - 0,000235 - 0,000007 2 1,03 - 0,000048 0,000048 0,0253 - 0,000232 - 0,000007 3 1,03 - 0,000048 0,000048 0,0261 - 0,000233 - 0,000008 4 1,08 - 0,000048 0,000048 0,0260 - 0,000234 - 0,000008 5 1,14 - 0,000047 0,000048 0,0252 - 0,000235 - 0,000008 6 1,17 - 0,000047 0,000048 0,0248 - 0,000236 - 0,000008 7 1,17 - 0,000047 0,000048 0,0247 - 0,000236 - 0,000008 8 1,17 - 0,000047 0,000048 0,0247 - 0,000236 - 0,000008
Jadi  dengan  menggunakan  estimasi-M  IRLS  memakai  fungsi  pembobot  Huber  diperoleh taksiran model regresi linier sebagai berikut
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000008 , 0 x 000236 , 0 x 0247 , 0 x 000048 , 0 x 000047 , 0 17 , 1 y ˆ      

## 3.5.2 IRLS dengan Fungsi Bisquare Tukey
Jika menggunakan metode  IRLS dengan fungsi pembobot Bisquare Tukey. Proses iteratif dimulai dengan menentukan estimasi awal koefisien regresi yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Model yang diperoleh adalah
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000007 , 0 x 000237 , 0 x 0188 , 0 x 000048 , 0 x
000045 , 0 32 , 1 y ˆ       Selanjutnya,  dihitung  nilai  residual i i ) 0 ( i y ˆ y e   dengan 35 , , 2 , 1 i   ,  dan  dihitung  pula nilai s (0) dari 35 kabupaten/kota, yaitu
    44 , 0 6745 , 0 e median e median s ) 0 ( i ) 0 ( i ) 0 (   
Skala residual untuk semuanya menggunakan
35 , , 2 , 1 i , s e u ) 0 ( ) 0 ( i ) 0 ( i   
Kriteria pemberian bobot pada fungsi Bisquare Tukey berdasarkan nilai skala residualnya
35 , , 2 , 1 i , 685 , 4 u | , 0 685 , 4 | u | , 685 , 4 u 1 w ) 0 ( i ) 0 ( i 2 2 ) 0 ( i ) 0 ( i
                               
Pada iterasi pertama menggunakan WLS dengan pembobot ) 0 ( i w diperoleh taksiran model regresi linear sebagai berikut
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000007 , 0 x 000234 , 0 x 0244 , 0 x 000048 , 0 x 000048 , 0 06 , 1 y ˆ      
Nilai  residual  dari  model  iterasi  1  akan  digunakan  untuk  iterasi  ke-2.  Iterasi  akan terus  berlanjut  hingga  diperoleh  nilai  ˆ yang  konvergen  atau  sama  dengan  hasil  iterasi sebelumnya.  Dalam  kajian  ini  hasil  perhitungan  ˆ untuk  setiap  iterasi  ternyata  berhenti pada  iterasi  ke-8,  yaitu  dengan  dihasilkannya  nilai  ˆ yang  baru  sama  dengan  nilai  ˆ sebelumnya, seperti yang tertabelkan berikut ini.
Tabel 3. Hasil Iterasi Estimasi Parameter menggunakan Fungsi Bisquare Tukey
Iterasi Bisquare Tukey
0 ˆ  1 ˆ  2 ˆ  3 ˆ  4 ˆ  5 ˆ  MKT 1,32 - 0,000045 0,000048 0,0188 - 0,000237 - 0,000007 1 1,06 - 0,000048 0,000049 0,0244 - 0,000234 - 0,000007 2 0,93 - 0,000049 0,000048 0,0269 - 0,000232 - 0,000007 3 0,91 - 0,000049 0,000048 0,0280 - 0,000232 - 0,000008 4 0,94 - 0,000049 0,000048 0,0282 - 0,000234 - 0,000008 5 0,99 - 0,000048 0,000048 0,0277 - 0,000235 - 0,000008 6 1,03 - 0,000048 0,000048 0,0270 - 0,000235 - 0,000008 7 1,04 - 0,000048 0,000048 0,0268 - 0,000236 - 0,000008 8 1,04 - 0,000048 0,000048 0,0268 - 0,000236 - 0,000008
Jadi  dengan  menggunakan  estimasi-M  IRLS  memakai  fungsi  pembobot  Bisquare  Tukey diperoleh taksiran model regresi linear
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000008 , 0 x 000236 , 0 x 0268 , 0 x 000048 , 0 x
000048 , 0 04 , 1 y ˆ      

## 3.5.3 Model Terbaik
Kriteria  yang  dipakai  untuk  menentukan  model  regresi  terbaik  adalah menggunakan 2 adjusted R dan MSE. Hasil perbandingan antara 2 adjusted R dan MSE pada fungsi pembobot Huber dan Tukey Bisquares disajikan pada Tabel 4 berikut ini
Tabel 4. Hasil Kriteria Model Berdasarkan Fungsi Pembobot
Fungsi Pembobot 2 adjusted R (%) MSE Huber 85,7 0,17 Bisquare Tukey 86,1 0,1573
Berdasarkan  hasil  di  atas,  dapat  dikatakan  bahwa  metode  yang  paling  baik  untuk mengestimasi  model  ketahanan  pangan  di  Jawa  Tengah  pada  tahun  2007  adalah menggunakan  metode  fungsi  pembobot  Bisquare  Tukey,  dengan  tingkat  kepercayaan model  sebesar  86,1  %  bahwa  rasio  ketersediaan  beras  dipengaruhi  oleh  stok  beras,  luas
panen,  rata-rata  produksi,  harga  beras,  jumlah  konsumsi.  Sedangkan  13,9%  dipengaruhi oleh faktor lain atau kesalahan yang bersifat random.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1.  Pendeteksian  pencilan  yang  dilakukan  menggunakan Cook’s  distance menduga bahwa  data  ke-1,  ke-14  dan  data  ke-33  masing-masing  sebagai  pencilan,  yaitu kabupaten Cilacap, Kabupaten Sragen dan Kota Semarang.
2.  Taksiran  model  regresi  pada  data  ketahanan  pangan  di  Jawa  Tengah  tahun  2007 adalah sebagai berikut
a) Menggunakan fungsi pembobot Huber
5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000008 , 0 x 000236 , 0 x 0247 , 0 x 000048 , 0 x 000047 , 0 17 , 1 y ˆ       b) Menggunakan fungsi pembobot Bisquare Tukey 5 i 4 i 3 i 2 i 1 i i x 000008 , 0 x 000236 , 0 x 0268 , 0 x 000048 , 0 x 000048 , 0 04 , 1 y ˆ      
3.  Berdasarkan  nilai  MSE  dan  koefisien  determinasi  dapat  dikatakan  bahwa  metode estimasi-M  IRLS  dengan  fungsi  pembobot  Bisquare  Tukey  lebih  baik  dipilih  dari pada menggunakan fungsi pembobot Huber untuk taksiran model ketahanan pangan di Jawa Tengah tahun 2007.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Bain, L.J., and Engelhart, M., Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont, California, 1992.
2. Chen, C., Robust Regression and Outlier Detection with the ROBUSTREG Procedure, Presented at Sugi No. 27, Institute Inc., Cary NC, 1992.
3. Gujarati, D., Basics Ekonometrics , McGraw-Hill, Inc., 1995.
4. Montgomery,  D.C.  and  Peck,  E.A., Introduction  to  Linier  Regression  Analysis , John Wiley and Sons, New York, 1992.
5. Sembiring, R.K., Analisis Regresi , Penerbit ITB, Bandung, 1995.
6. Soemartini, Pencilan ( Outlier ), FMIPA Universitas Padjadjaran, 2007.
7. www.bps.go.id , diakses pada tanggal 10 Mei 2011.
8. Yafee, R.A., Robust Regression Analysis: Some  Popular  Statistical Package Options , Academic Computing Services, 2002.