Abstrak —Suatu  ruang  metrik dikatakan  ruang ultrametrik  jika  metrik memiliki  sifat  ketaksamaan  segitiga kuat; .
Jika  setiap  koleksi  penyusutan  dari  bola  pada X  memiliki  irisan tak  kosong,  maka  ruang  ultrametrik
disebut  ruang ultrametrik bola lengkap. Dalam tugas akhir ini dikaji mengenai teorema  titik  tetap  pemetaan  di ruang  ultrametrik  bola  lengkap khususnya  pada  ruang  ultrametrik  diskrit.  Teorema  ini menunjukkan  bahwa  titik  tetap  dari  pemetaan  satu-satu  pada ruang ultrametrik itu ada dan tunggal.
Kata  Kunci― Titik  Tetap,  Bola  Lengkap,  Ruang  Metrik, Ruang Ultrametrik

## I. PENDAHULUAN
EIRING  dengan  perkembangan  zaman,  banyak  sekali topik  matematika  khususnya  dalam  bidang  analisis fungsional  yang  mengalami  perluasan,  seperti  ruang vektor, ruang norm, ruang metrik dan sebagainya.
Perluasan  analisis  fungsional  pada  konsep  ruang  metrik sudah banyak dikembangkan seperti ruang metrik, ruang quasi metrik,  ruang  pseudo  metrik,  ruang    ultrametrik  dan  lain sebagainya.  Pada umumnya perkembangan tersebut mengacu pada masing – masing konsep ruang yang digunakan.
Salah satu perluasan dari konsep ruang metrik adalah ruang ultrametrik.  Suatu  ruang  metrik
dikatakan  ruang ultrametrik  (atau  ruang  metrik  non-archimedean),  jika d sebagai metrik memiliki  sifat ketaksamaan segitiga kuat yaitu
Dalam  matematika,  teorema  titik  tetap  atau  yang  juga dikenal sebagai  teorema pemetaan kontraktif  merupakan hal yang  penting  dalam  konsep  ruang  ultrametrik.  Teorema  ini menunjukkan  bahwa  titik  tetap  dari  pemetaan  satu-satu  pada ruang  ultrametrik  itu  ada  dan  tunggal,  serta  memberikan metode  konstruktif  untuk  menemukan  titik-titik  tetap. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Stefan Banach pada tahun 1920 [2].
Pada  tugas  akhir  ini  dikaji  mengenai  teorema  titik  tetap pada pemetaan ruang ultrametrik bola lengkap khususnya pada ultrametrik  diskrit.  Untuk  membuktikan  teorema  titik  tetap untuk  suatu  pemetaan  harus  menunjukkan  kekontinuan  dari pemetaan tersebut dan ruang metrik kompak. Sedangkan pada
ruang ultrametrik bola lengkap, kekontinuan dari pemetaannya tidak diperlukan.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Ruang Metrik
Sebelum membahas mengenai ruang ultrametrik, terlebih dahulu perlu dijelaskan mengenai pengertian ruang metrik. Berikut definisi dari ruang metrik:
Definisi  1.  [3] Diberikan  X  suatu  himpunan  tak  kosong. Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real   : yang memenuhi sifat-sifat berikut: Untuk setiap berlaku:
(M1)
jika dan hanya jika (M3) (M4)
Jika   metrik  di ,  maka  pasangan disebut  ruang metrik.
Contoh  2.  [4] Himpunan  bilangan  real    merupakan  ruang metrik terhadap ρ, dengan ρ:
adalah
Untuk setiap x,y .

## B. Ruang Ultrametrik
Seperti  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  pada  bab pendahuluan  bahwa  ruang  ultrametrik  adalah  merupakan pengembangan  dari  konsep  ruang  metrik  dimana  ruang ultrametrik  memiliki  sifat  ketaksamaan  segitiga  kuat Sedangkan  sifat-sifat  lainnya  dari  ruang  metrik  terdapat  pula pada ruang ultrametrik.
Definisi  3.  [5] Diberikan  X  suatu  himpunan  tak  kosong. Didefinisikan  ultrametrik  sebagai  fungsi  bernilai  real
: yang memenuhi sifat-sifat berikut:
Untuk setiap berlaku:
(UM1)

## Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit
Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : djidon@matematika.its.ac.id
S
jika dan hanya jika (UM3) (UM4) (UM5) Jika ultrametrik  di ,  maka  pasangan disebut ruang ultrametrik.
Pada  umumnya,  untuk  membuktikan  teorema  titik  tetap atau  teorema  titik  tetap  umum  untuk  suatu  pemetaan  harus menunjukkan kekontinuan dari pemetaan tersebut. Sedangkan pada  ruang  ultrametrik  bola  lengkap,  kekontinuan  dari pemetaannya  tidak  diperlukan  untuk  mendapatkan  titik  tetap. Selanjutnya ruang ultrametrik yang dikaji disini adalah ruang ultrametrik  bola  lengkap.  Berikut  ini  adalah  definisi  dan lemma dari ruang ultrametrik bola lengkap.
Definisi  4.  [6] Ruang  ultrametrik dikatakan  bola lengkap  jika  setiap  koleksi  penyusutan  dari  bola  pada memiliki irisan tak kosong
Lemma  5.  [7] Misal merupakan  ruang  ultrametrik bola  lengkap  dan  misal adalah  keluarga  dari  bola pada  sehingga untuk setiap dan , maka .

## C. Titik Tetap
Titik  tetap  adalah  suatu  pemetaan  yang mengaitkan  setiap titik  pada  domain  tepat  satu  titik  di  kodomain  sehingga menghasilkan  daerah  hasil  atau  range.  Berikut  definisi  dari titik tetap
Definisi 6. [8] (Titik Tetap). Diberikan  suatu himpunan tak kosong dan  pemetaan . Titik disebut  titik tetap untuk     jika .
Selanjutnya,  diberikan  contoh  sederhana  mengenai  titik  tetap sebagai berikut
Contoh 7. [8] Misalkan fungsi dengan
untuk setiap , maka     merupakan titik tetap dari .

## D. Lemma Zorn
Lemma Zorn dibutuhkan untuk membuktikan teorema titik tetap  pada  ruang  ultrametrik.  Berikut  ini  adalah  definisi  dari LemmaZorn.
Teorema  8.  [9]  (Lemma  Zorn) Dimisalkan adalah himpunan  terurut  parsial.  Jika  setiap  subhimpunan  terurut total dari memiliki batas atas, maka   memiliki elemen maksimal .

## E. Coincidentally Commuting
C oincidentally  Commuting digunakan pada  pembahasan titik  tetap  umum  tunggal  untuk  dua  pemetaan  pada  satu
himpunan X tak  kosong.  Berikut  ini  definisi  dari coincidentally commuting
Definisi  9.  [10] Dua  pemetaan dikatakan coincidentally  commuting  atau  coincidence  preserving  jika komutatif pada pertukaran  titiknya.
Untuk lebih memahami  definisi tersebut, diberikan  contoh sederhana mengenai coincidentally commuting
Contoh  10.  [10] Misalkan dan  didefinisikan dengan dan untuk .
Sehingga disana terdapat dua pertukaran titik untuk pemetaan pada ℝ ,  yaitu .  Pemetaan
kommutatif pada 0 sedemikian  hingga
, Tetapi . Jadi bukan coincidentally commuting pada

## III. PEMBAHASAN

## A. Teorema Titik Tetap Ruang Ultrametrik Pada Suatu Pemetaan
Berikut ini adalah teorema titik tetap yang berlaku pada ruang ultrametrik untuk suatu pemetaan    pada
Teorema 1.  [11] Misal , ) sebagai ruang ultrametrik bola lengkap. Jika T: X→ X adalah pemetaan, sedemikian hingga
(Tx
(3.1)
maka T mempunyai titik tetap tunggal pada X.
Pada tugas akhir ini diambil kasus mengenai teorema titik tetap  pada  ultrametrik  diskrit.  Sebelum  membahas  teorema titik  tetap  ruang  ultrametrik  diskrit,  berikut  ini  diberikan terlebih dahulu mengenai teorema ruang ultrametrik dan ruang ultrametrik  bola lengkap.
Teorema  2. Misalkan ,  ultrametrik didefinisikan pada   dengan = maka merupakan  ultrametrik  pada dan  dinamakan
ultrametrik  diskrit.  Sedangkan adalah  ruang ultrametrik diskrit.
Bukti. Diambil sebarang
(UM1) Untuk x = y, maka dan untuk , maka .
Karena untuk dan telah terpenuhi, maka
dapat disimpulkan bahwa :
. (UM2) Jika sudah jelas bahwa Jika sudah jelas bahwa (UM3)  Untuk , maka Sehingga diperoleh Sedangkan untuk x ≠ y , maka . Jadi diperoleh . (UM4)  Diberikan sebarang , sehingga terdapat lima
kasus sebagai berikut:
(i)  Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (ii)  Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (iii) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (iv) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (v) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, .
Sehingga, dari kasus (i), (ii), (iii), (iv) dan (v) terlihat bahwa
, . (UM5)  Diberikan  sebarang ,  sehingga  terdapat  lima
kasus sebagai berikut:
(i)  Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (ii)  Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (iii) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (iv) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . (v) Untuk dan maka , sehingga , dan . Jadi, . Dari kelima kasus tersebut terlihat bahwa . Jadi terbukti bahwa adalah ultrametrik dan pasangan
( , adalah ruang ultrametrik. Ruang ultrametrik ini disebut ruang ultrametrik diskrit.
Teorema 3. Diberikan ruang ultrametrik diskrit, jika setiap koleksi penyusutan dari bola pada   memiliki irisan tak kosong  maka
merupakan  ruang  ultrametrik  bola lengkap.
Bukti. Misalkan merupakan  bola tertutup  pada dan merupakan  pusat  bola tersebut. Sehingga dapat didefinisikan bahwa dengan merupakan  jari-jari  bola.  Akan dibuktikan  bahwa  barisan konvergen.  Untuk membuktikannya  digunakan yang  merupakan
jari-jari  bola,  karena konvergen  ke  suatu  titik  dan dimisalkan  , maka
1. Untuk
maka untuk setiap  , berakibat
2. Sedangkan untuk
maka untuk setiap   berakibat

## Terlihat bahwa untuk
=
merupakan  suatu  bola  yang  konvergen  ke  suatu  bola  terkecil yang  tak  kosong.  Sehingga merupakan  ultrametrik  bola lengkap  dan  pasangan merupakan  ruang  ultrametrik bola lengkap.
Selanjutnya,  dibawah  ini  merupakan  teorema  titik  tetap dari ruang ultrametrik diskrit pada suatu pemetaan
Teorema  4. Misalkan
merupakan  ruang  ultrametrik diskrit. Didefinisikan pemetaan T: dengan dan , identitas karena merupakan  ruang  ultrametrik  bola  lengkap sedemikian hingga
(Tx
. maka   mempunyai titik tetap tunggal.
Bukti. Untuk membuktikan teorema tersebut harus dibuktikan terlebih  dahulu  bahwa    memiliki  titik  tetap  dan  selanjutnya dibuktikan bahwa jika   titik tetap dari  , maka    adalah titik tetap tunggal dari  .
(i) Akan dibuktikan bahwa T memiliki titik tetap.
T memiliki titik tetap jika memenuhi ketaksamaan (3.1)
(Tx
.
Untuk  membuktikan  ketaksamaan  (3.1)  yaitu  dengan membuktikan ruas kiri dan ruas kanan. Seperti yang telah diketahui bahwa dengan

## =
Sehingga ruas kiri dapat dituliskan sebagai berikut:
 Karena dan maka sehingga
dan ruas kanan dituliskan sebagai berikut:

Karena maka
Sehingga,
. Karena
maka terbukti bahwa
Sehingga ketaksamaan (3.1) terbukti, yaitu

## (
Karena ketaksamaan (3.1) terbukti, maka   memiliki titik tetap.
(ii)    Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa    merupakan  titik tetap tunggal dari  .
Jika  terdapat merupakan  titik  tetap  yang  lain dengan , maka  didapatkan dari pembuktian  tersebut, maka yang kontradiksi dengan . Terbukti bahwa merupakan titik tetap tunggal dari

## B. Teorema  Titik  Tetap  Ruang  Ultrametrik  Pada  Dua Pemetaan
Berikut  ini  adalah  teorema  titik  tetap  ruang  ultrametrik pada   dua pemetaan menurut K.P.R Rao dan G.N.V. Kishore
Teorema 5. [11] Ambil (X, ) sebagai ruang ultrametrik bola lengkap.  Jika  f  dan  T  adalah  pemetaan  diri  sendiri  pada  X, dengan :
(3.2) dan (3.3) maka terdapat sedemikian hingga . Kemudian
jika f dan T coincidentally commuting  pada z, maka z adalah titik tetap tunggal dari f dan T.
Selanjutnya,  untuk  kasus  pada ,
teorema titik tetap yang berlaku pada ruang ultrametrik diskrit untuk dua pemetaan
adalah sebagai berikut
Teorema 6. Misalkan ruang ultrametrik diskrit Didefinisikan pemetaan : , dengan
serta
. Sedemikian hingga dan
maka  terdapat sedemikian  hingga Kemudian
jika f dan T coincidentally commuting  pada z, maka z adalah titik tetap tunggal dari f dan T.
Bukti. Untuk membuktikan teorema tersebut harus dibuktikan terlebih dahulu bahwa
memenuhi ketaksamaan
dan
dan  yang  terakhir  dibuktikan  bahwa adalah  titik  tetap tunggal dari .
(i) Akan  dibuktikan  bahwa  pemetaan    memiliki  titik  tetap, yaitu dengan membuktikan ketaksamaan (3.2)
dan ketaksamaan (3.3)
(a) Pembuktian ketaksamaan (3.2) dengan
dan . Untuk membuktikan bahwa
Dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa,  untuk setiap elemen  di maka  dia  juga  berada  di .
Sehingga  untuk ,harus  ditunjukkan  bahwa . Sehingga Jadi, terbukti bahwa . (b) Pembuktian ketaksamaan (3.3)  Pembuktian ruas kiri: Karena dan , maka karena ,
maka
 Pembuktian ruas kanan: Karena maka , sehingga .
Karena maka jelas bahwa .
Karena  ketaksamaan  (3.2)  dan  (3.3)  telah  terpenuhi maka pemetaan T dan f memiliki titik tetap .
(ii)  Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa    adalah  titik tetap tunggal pada T dan f .
Untuk  membuktikan  bahwa adalah  titik  tetap tunggal pada T dan f , yaitu dengan dibuktikan bahwa pemetaan adalah coincidentally  commuting dan memenuhi persamaan
Sesuai  dengan  definisi  2.17,
dikatakan
coincidentally  commuting jika kommutatif pada pertukaran titiknya (a) Pembuktian yaitu . Selanjutnya jika terdapat titik tetap yang lain dengan , maka didapatkan maka  diperoleh yang  kontradiksi dengan .  Sehingga  terbukti  bahwa
merupakan  satu-satunya    titik  tetap  atau  titik tetap tunggal pada pemetaan .
(b) Dari  pembuktian  (a)  dapat  dikatakan  bahwa
pertukaran  titik  untuk  pemetaan yaitu
pada  titik .  Selanjutnya  akan  dibuktikan
bahwa    dan coincidentally  commuting ,  yaitu jika dan kommutatif  pada  pertukaran
titiknya,  sedangkan  dari  definisi  2.14, dikatakan  kommutatif jika
Dengan .
Sehingga,
Jadi, jelas bahwa kommutatif pada
. Sehingga coincidentally
commuting.
Dari pembuktian (a) dan (b) maka jelas bahwa pemetaan memiliki titik tetap tunggal. ■
DAFTAR PUSTAKA
[1] Murtagh,  F.N.  2013. Thinking  Ultrametrically. School  of Computer  Science,  Queen’s  University  Belfast  ,  Belfast BT7 LNN, Nothern Ireland, UK
[2] Kreyzig,  E.  1989. Introdutory  Functional  Analysis  with
Applications . Newyork John Wiley
[3] Gajic, L.J. 2001. On ultrametric spaces . University of Novi
Sad J.Math, Yugoslavia. [4] Rynne, B.P. and  Youngson,  M.A. 2008. Linear Functional Analysis . Springer, SUMS.
[5] Rao,  K.P.R  and  Kishore,  G.N.V,  2008. Common  Fixed Point  Theorems  in  Ultrametric  Spaces .  Journal  of mathematics Acharya Nagarjuna University. [6] Adams,  C.  2012. Introduction  to  Topology:  Pure  and Applied 1st edition. Pearson [7] Peter, S,. 2005. Nonarchimedean Functional Analysis [8] Joe, G. Fixed Points . Lawrence University, www2.lawrence.edu
[9] Jean. Partial Orders, Equivalence Relations, Lattices . University of Pennsylvania USA
[10] Dhage  B.  C.  1999. On  Common  Fixed  Points  of  Pairs  of Coincidentally  Commuting  Mappings  In  D-Metric  Spaces . Indian J. Pure Appl Math 30 (4) :395-406.
[11] Van  Hassel,  R.R..  2009. Own  Lecture  Notes  Functional Analysis . Win.tue.nl