Abstract — Diagram  kontrol  multivarian  akan  efektif ketika  jumlah  karakteristik  kualitas  yang  terlibat  tidak terlalu besar. Sejumlah besar karakteristik kualitas dapat mengurangi  kemampuan  untuk  mendeteksi  setiap perubahan  dalam  suatu  proses  dan  juga  menyebabkan masalah multikolinieritas. Untuk mengatasi masalah ini, integrasi  Principal  component  analysis  (PCA)  dan diagram  kontrol  digunakan.  PCA  adalah  metode  yang dapat  mengubah  sejumlah  besar  variabel  berkorelasi menjadi  beberapa  komponen  utama  yang  tidak berkorelasi  tanpa  kehilangan  informasi.  Paper  ini  akan fokus  untuk  mengevaluasi  kinerja  diagram  kontrol multivariat berdasarkan Independen PCA menggunakan Average  Run  Length (ARL) melalui studi  simulasi. Dari proses  simulasi  dapat  dilihat  bahwa  Independen  PCA memiliki  probabilitas  kinerja  yang  mirip  untuk mendeteksi  false  alarm  untuk  semua  jenis  korelasi  dan jumlah  karakteristik.  Namun,  kemampuan  untuk mendeteksi pergeseran menurun ketika terjadi peningkatan korelasi dan jumlah karakteristik kualitas.
Keywords: Multivariate Control Chart, Principal Component Analysis, Average Run Length

## I. PENDAHULUAN
Stasitictical Process Control (SPC) adalah teknik yang banyak  digunakan  untuk  kontrol  kualitas.  Teknik  yang paling populer dalam SPC adalah diagram kontrol. Diagram Kontrol dapat digunakan untuk memantau suatu proses dan mendeteksi penyimpangan dari operasi. Awalnya, diagram kontrol  hanya  fokus  pada  diagram  kontrol  univariat, diagram  kontrol  ini  dapat  memonitor  satu  variabel  untuk menentukan  kondisi  proses.  Namun,  dengan  kemajuan teknologi dan kompleksitas proses industri, sebagian besar proses modern membutuhkan pemantauan tidak hanya satu variabel  tetapi  beberapa  variabel.  Diagram  kontrol multivariat telah banyak digunakan di banyak industri untuk memantau dan mengidentifikasi proses  yang ditandai  oleh sejumlah besar karakteristik kualitas. Karakteristik kualitas ini sangat berkorelasi satu sama lain [1].
Keefektifan  diagram  kontrol  multivariat  konvensional akan  maksimal  ketika  jumlah  karakteristik  kualitas  kecil. Sejumlah  besar  karakteristik  kualitas  dapat  mengurangi kemampuan  untuk  mendeteksi  setiap  perubahan  dalam suatu proses dan juga menyebabkan masalah multikolinieritas  [2].  Sejumlah  besar  karakteristik  kualitas yang sangat berkorelasi satu sama lain sering terjadi dalam proses  industri  modern.  Realitas  ini  dapat  mempengaruhi perhitungan  statistik T 2 karena  matriks  kovarians  dapat tunggal  dan  dengan  demikian  tidak  dapat  diinverskan  [3].
Proses  perhitungan  statistik T 2 melibatkan  kebalikan  dari matriks  kovarians.  Ketika  sejumlah  besar  karakteristik proses  sangat  berkorelasi,  matriks  kovarians  menjadi matriks yang hampir singular, yang sulit untuk diinverskan [4].  Principal  Componenr  Analysis  (PCA)  adalah  teknik analisis  multivariat  yang  mengekstraksi  serangkaian variabel  baru  dengan  memproyeksikan  variabel  asli  ke ruang  komponen  utama.  Variabel  yang  diekstraksi,  yang disebut Principal Component (PC), adalah kombinasi linear dari variabel asli di mana koefisien kombinasi linear dapat diperoleh  dari  eigen-vektor  dari  matriks  kovarians  (atau korelasi)  dari  data  asli  [5].  PCA  mengambil  data  dimensi tinggi,  dan  menggunakan  dependensi  antara  variabel- variabel  untuk  mewakilinya  dalam  bentuk  dimensi-lebih rendah  yang  dapat  ditelusuri,  tanpa  kehilangan  informasi. Sementara itu, karakteristik kualitas dapat berkorelasi satu sama  lain,  PC  didefinisikan  sedemikian  rupa  sehingga mereka  ortogonal,  atau  independen  satu  sama  lain,  yang diperlukan  untuk  analisis.  Integrasi  teknik  PCA  dan diagram  kontrol  dapat  meningkatkan  kemampuan  untuk mendeteksi kesalahan lebih awal dan mendeteksi perubahan dalam struktur kovarian dari variabel proses [3].
Saat  ini,  ada  tiga  jenis  peta  kendali  berdasarkan  PCA yang dikembangkan. Pertama, teknik PCA untuk konstruksi diagram T 2 disajikan  menggunakan  Principal  Component (PC) yang pertama [6]. Selanjutnya, diagram  Q adalah versi lain  dari  bagan  kendali  yang  didasarkan  pada  PCA  yang dapat dibangun dengan menggunakan residu yang diperoleh dari set p -k PC yang tersisa [5], dan diagram kontrol untuk setiap skor PC yang disebut Diagram Independen PCA [7].
Paper  ini  akan  fokus  untuk  mengevaluasi  kinerja diagram  kontrol  multivariat  berbasis  PCA  menggunakan Average Run Length (ARL) terutama untuk diagram PCA berbasis  Independen  PC.  Pada  proses  simulasi,  data dibangkitkan  dengan  berbagai  karakteristik  kualitas p dan koefisien korelasi.

## II. DIAGRAM KONTROL INDEPENDEN PCA
Analisis  komponen  utama  (PCA)  adalah  metode untuk  mengubah  pengamatan  dalam  dataset  menjadi pengamatan baru yang tidak berkorelasi satu sama lain dan memperhitungkan  penurunan  proporsi  total  varian  dari variabel asli. Setiap pengamatan baru merupakan kombinasi linear dari pengamatan asli.
Untuk  melakukan  PCA  langkah  pertama  yang dilakukan adalah melakukan estimasi kovarians matriks C yang berukuran p p  dari data:

## Evaluasi Performa dari Diagram Kontrol Multivariat berbasis Independen Principal Component Analysis (PCA)
Muhammad Ahsan dan Hidayatul Khusna
Statistics Department, Faculty of Mathematics, Computing, and Data Science Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Email: ahsan4th@gmail.com
1 , 1,...., , , n p j j j j j n      x x x 0 ℝ yang didefinisikan sebagai berikut 1 1 . n T j j j x x n    C
Dalam  notasi  matriks  persamaan  diatas  dapat  dituliskan sebagai berikut:
1 . T n  C X X
Standarisasi  data  sering  lebih  ketika  variabel  dalam  unit yang berbeda atau ketika varians dari kolom yang berbeda dari  data  yang  substansial.  PCA  dilakukan  dengan mengaplikasikan metode eigen-dekomposisi dari matrix C , sehingga
, T  C VΛV dimana 1 ( ,...., ) p  V v v adalah p p  matriks eigenvector 1 ( ,..., ) p diag    Λ adalah  diagonal  matriks  dari eigenvalue .
Nilai-nilai  dari eigenvalue tersebut  merupakan  varians yang  dapat  dijelaskan  oleh  masing-masing principal component  scores (PCs).  Untuk  menghitung  matriks principal component Y digunakan persamaan:
1 ( ,..., ) , T p y y   Y XV
atau jika menggunakan matiks korelasi Koordinat baru dimana data direpresentasikan dinamakan principal  component dimana  variansi  data  mencapai maksimum.
Skor  dari  principal  components i y dapat  dibuat menjadi  diagam  untuk  memonitor  proces  dalam  bentuk diagram  kontrol  univariat  untuk  setiap  i.  Dengan  asusmsi conﬁdence  interval yang  diinginkan  adalah  99.7%  maka upper  control  limit (UCL),  the center  line (CL),  dan  the lower  control  limit (LCL)  diperoleh  dengan  cara  sebagai berikut:
3 , i UCL   0, CL  3 , i LCL   
dengan i  merukapan eigenvalue yang  berkorespondesi dengan PC ke i .

## III. AVERAGE RUN LENGTH
Average  run  length (ARL)  adalah  alat  populer  yang banyak  digunakan  oleh  para  peneliti  untuk  mengukur kinerja dari diagram kontrol. Performa dari diagram kontrol dinilai  oleh  dua  tipe  ARL  yaitu,  ARL 0 dan  ARL 1 .  ARL 0 adalah  jumlah  yang  diharapkan  dari  sampel  sebelum  titik yang  pertama  kali  keluar dari batas  kontrol terdeteksi saat proses  sebenarnya  dalam  kendali.  ARL 1 jumlah  yang diharapkan  dari  sampel  sebelum  sinyal  keluar  dari  batas kendali  diterima  saat  proses  sebenarnya  dalam  keadaan diluar  kendali.  Untuk  nilai  ARL 0 yang  tetap,  diagram kontrol diaggap lebih efektif jika memiliki ARL 1 yang lebih kecil [8].

## Saat proses terkendali:
0 1 . ARL   Jika proses diluar kendali: 1 1 . 1 ARL   
dimana adalah  peluang  suatu  diagram  kontrol memberikan  sinyal out  of  control padahal  sebenarnya berada  dalam  keadaan in  control .  Sedangkan adalah peluang  suatu  diagram  kontrol  memberikan  sinyal in control padahal  sebenarnya  berada  dalam  keadaan out  of control .  Dengan  demikian  suatu  diagram  kontrol diharapkan  memiliki  ARL 0 sebesar  mungkin  dan  ARL 1 yang sangat kecil. Equation Chapter (Next) Section 1

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A. Setup Studi Simulasi
Proses simulasi akan digunakan dalam makalah ini untuk mengevaluasi  kinerja  diagram  kontrol  Independen  PCA untuk  sejumlah  karakteristik  kualitas  yang  berbeda. Evaluasi  untuk  diagram  kontrol  Independen  PCA  hanya melibatkan  komponen  pertama. Data  akan  dibangkitkan mengikuti  distribusi  Normal  Multivariat  dengan  korelasi yang  berbeda.  Jumlah  karakteristik  kualitas  akan  dibagi menjadi lima kategori, yaitu 3, 5, 10, 20 dan 50. Akhirnya, kinerja dari masing-masing diagram kontrol akan dievaluasi menggunakan Average  Run  Length  untuk  semua  kategori dengan pergeseran rata-rata δ adalah 0,1 dengan α = 0,0027 mengacu  pada  tiga  sigma.  Jumlah run untuk  simulasi  ini adalah 30 dengan 1000 kali menghasilkan data untuk setiap run.

## B. Hasil Studi Simulasi
Hasil  simulasi  untuk  diagram  kontrol  Independen  PCA disajikan oleh tabel dan gambar di bawah ini. Simulasi ini menggunakan komponen pertama karena paling variabilitas pada  data  yang  ditangkap  oleh  komponen  pertama. Berdasarkan  hasil  simulasi,  nilai ARL 0 untuk  semua  jenis korelasi  dan  jumlah  karakteristik  sekitar  370  yang  sesuai dengan ARL 0 untuk tiga sigma. Dengan demikian, diagram kontrol  kepala  sekolah  independen  memiliki  kinerja  yang sama ketika proses ini mengendalikan semua jenis korelasi dan jumlah karakteristik.
Tabel 1 Performa diagram untuk ρ=0
Number of Quality Characteristics p
δ
2 3 4 5 10 20 50 0 341.8 332.82 349.95 344.67 352.68 352.89 344.85 0.1 234.37 226.09 226.98 232.96 230.52 230.07 227.73 0.2 161.89 161.69 161.86 159.28 158.51 155.72 156.05 0.3 114.75 116.23 120.77 115.99 115.8 113.99 114.56 0.4 86.17 87.57 89.06 89.29 86.89 87.55 90.66 0.5 69.56 68.85 70.57 69.54 72.41 68.14 68.98 0.6 54.85 55.66 57.92 55.21 56.79 55.68 57.91 0.7 44.62 46.48 47.05 46.62 46.23 46.53 46.04 0.8 39.47 38.38 39.61 40.83 39.48 38.67 39.66 0.9 32.57 33.92 33.24 33.24 32.89 33.73 34.11
Tabel 2 Performa diagram untuk ρ=0.3 Number of Quality Characteristics p δ 2 3 4 5 10 20 50 0 342.8 342.5 341.5 352.9 350.8 341.9 345.2 0.1 258.9 271.8 278.2 294.8 313.5 322.1 331.4 0.2 190.4 206.9 231.7 241.4 283.3 309.7 325.5 0.3 147.9 167.2 183.6 203.9 247.8 292.4 324.9 0.4 117.7 137.4 152.5 174.1 216.8 271.1 311.9 0.5 93.39 116.4 130.7 148.1 205.7 258 308.4 0.6 75.37 94.31 110.9 128.7 183.6 241.3 298.2 0.7 63.14 81.02 97.22 110.5 168.5 224.3 277.6 0.8 55.17 72.6 83.6 96.55 148.7 209.8 292.6 0.9 45.89 63.42 72.48 86.28 143.9 201.4 277.6 Tabel 3 Performa diagram untuk ρ=0.5 Number of Quality Characteristics p δ 2 3 4 5 10 20 50 0 349.8 344.62 342.25 342.97 344.37 353.95 345.7
0.1 269.31 285.1 305.89 303.04 324.62 327.8 336.97 0.2 205.83 236.31 252.78 268.53 294.9 320.19 343.61 0.3 162.51 196.98 216.88 230.76 275.7 304.85 324.92 0.4 136.64 155.08 186.21 209.44 257.3 292.83 334.69 0.5 106.33 132 160.61 178.93 240.06 285.38 327.32 0.6 86.72 120.42 146.82 159.7 227.12 269.29 323.45 0.7 73.3 102.54 122.84 146.59 206.46 263.02 297.49 0.8 64.18 88.7 110.89 131.25 196.79 255.33 302.99 0.9 57.84 78.26 98.86 118.09 184.2 237.2 296.31 Tabel 4 Performa diagram untuk ρ=0.7
Number of Quality Characteristics p δ 2 3
4 5 10
20 50 0 347.7 343.1 346.2 348.3 350.2 348.6 353.8
0.1 278.4 283 301.4 312.3 330.4 332.2 347.2
0.2 214.8 246.1 270.5 277.6 306.1 324.9 344.2
0.3 180.4 215.3 232.4 245.8 297.5 316 339.9 0.4 139.2 180.2 211.1 233 276.5 308.6 339.8 0.5 118.9 157.3 181.1 206.3 268.5 302.1 333.8 0.6 100.7 136.7 167 182.1 248.1 298.8 320.2 0.7 84.83 120.6 151.5 165.3 242.2 288.5 317.6 0.8 75.45 104.6 132.3 152.2 218.4 267.6 313.1 0.9 67.07 93.51 120.4 145.3 212.8 264.1 312.4
Tabel  1  menunjukkan  ARL 1 yang  dihasilkan  dari proses  simulasi  ketika  ρ  =  0.  Untuk  setiap  jumlah karakteristik  kualitas,  hasil  simulasi  menghasilkan  nilai ARL 1 hampir  sama  yang  menunjukkan  kesamaan  kinerja diagram  kontrol  ketika  tidak  ada  korelasi  terjadi.  Nilai ARL 1 mulai meningkat ketika jumlah karakteristik kualitas meningkat ditunjukkan oleh Tabel 2. Nilai ARL 1 yang lebih besar ditunjukkan pada Tabel 3 dengan ρ = 0,3. Dalam hal ini,  ARL 1 memiliki  pola  yang  sama  dengan  kasus sebelumnya, namun nilainya sedikit lebih besar. Tabel 4 dan Tabel  5  mengilustrasikan  ARL 1 tetap  menghasilkan kenaikan  nilai  seiring  dengan  meningkatnya  jumlah karakteristik kualitas. Dari hasil ini dapat disimpulkan, nilai ARL 1 untuk  diagram  kontrol  independen  PCA  akan meningkat ketika sejumlah besar karakteristik kualitas dan korelasi tinggi terjadi. Ini terjadi karena batas kontrol akan menjadi  lebih  luas  ketika  jumlah  karakteristik  kualitas meningkat dan korelasi menjadi lebih tinggi. Batas kontrol dari diagram kontrol independen PCA tergantung pada nilai eigen  masing-masing  komponen.  Namun,  karena  jumlah karakteristik kualitas dan korelasi meningkatkan nilai-nilai
eigen  dari  komponen  pertama  yang  digunakan  untuk simulasi  ini  menjadi  lebih  besar.  Akibatnya,  batas  kontrol yang  lebih  besar  dapat  mengurangi  kemampuan  kontrol mendeteksi hingga bergeser dalam rata-rata.
Tabel 5 Performa diagram untuk ρ=0.9
Number of Quality Characteristics p δ 2 3 4 5 10 20 50 0 350.08 351.66 349.35 350.8 342.93 352.22 342.79 0.1 288.94 297.86 307.05 313.34 328.58 336.9 343.76 0.2 232.91 252.42 279.28 287.67 315.01 328.89 342.62 0.3 189.93 226.06 253.6 272.36 303.55 323.53 332 0.4 154.39 201.99 227.36 243.26 291.46 320.24 330.59 0.5 132.01 178.24 203.67 222.76 281.24 307.98 336.94 0.6 110.53 153.23 183.26 214.24 253.84 302.39 330.92 0.7 97.08 141.5 171.91 185.86 248.01 293.36 323.83 0.8 88.01 123.96 151.38 180.38 241.47 286.46 326.11 0.9 76.55 111.71 142.19 164.1 237.09 278.59 324.14
Gambar  1.a  menunjukkan  grafik  ARL  untuk  ρ  =  0, ARL  dari  semua  jumlah  karakteristik  kualitas  yang ditumpuk menjadi satu garis. Hasil ini menunjukkan kinerja identik dari diagram  kontrol komponen  utama  independen ketika korelasi antara kualitas karakteristik adalah 0. Hasil ini  mengungkapkan  bahwa  kemampuan  grafik  kontrol komponen  utama  independen  adalah  sama  dalam  kasus tidak ada korelasi. Di sisi lain, kemampuan diagram kontrol komponen utama independen untuk mendeteksi pergeseran dalam  proses  menjadi  lebih  lambat  ketika  ada  korelasi antara  variabel  yang  dikonfirmasi  pada  Gambar  1.b. Kemampuan untuk mendeteksi shift akan berkurang dengan meningkatnya  jumlah  karakteristik  kualitas.  Gambar  1.c menggambarkan  pola  yang  sama  dengan  nilai  ARL  yang lebih besar yang membuat plot menjadi lebih rata. Plot yang lebih  datar  menunjukkan  kemampuan  untuk  mendeteksi pergeseran  akan  berkurang  ketika  jumlah  karakteristik kualitas  yang  terlibat  dan  meningkat.  Kemampuan  untuk mendeteksi  shift  akan  berkurang  selama  peningkatan korelasi  yang  dikonfirmasi  pada  Gambar  1.d  dan  1.e.  Itu bisa dilihat dari plot yang menjadi lebih rata.

## V.  KESIMPULAN
Dalam  paper  ini,  studi  Simulasi  digunakan  untuk mengevaluasi kinerja diagram kontrol Multivariat
berdasarkan
PCA. Simulasi dilakukn dengan mengggunakan  berbagai  skenario  dan  pendekatan.  Hasil simulasi  menunjukkan  bahwa  grafik  kontrol  Independen PCA  memiliki  probabilitas  kinerja  yang  sama  untuk mendeteksi false  alarm untuk  semua  jenis  korelasi  dan jumlah  karakteristik.  ARL 1 dari  diagram  kontrol Independen PCA akan terus meningkat seiring meningkatnya  jumlah  karakteristik  kualitas.  Kemampuan dari  diagram  kontrol  Independen  PCA  dalam  mendeteksi pergeseran akan berkurang selama peningkatan korelasi dan jumlah karakteristik kualitas.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] P. Phaladiganon,  S.  B. Kim,  V. C. P. Chen, and W. Jiang, “Principal  component  analysis-based  control  charts  for multivariate nonnormal distributions,” Expert Systems with Applications , vol. 40, no. 8, pp. 3044–3054, 2013.
[2] D. Montgomery, Introduction to statistical quality control . New York, 2009.
[3] T. Kourti, “Application of latent variable methods to process control  and  multivariate  statistical  process  control  in
industry,” International  Journal  of  Adaptive  Control  and Signal Processing , vol. 19, no. 4, pp. 213–246, 2005.
[4] R.  L.  Mason  and  J.  C.  Young, Multivariate  Statistical Process  Control  with  Industrial  Application ,  1st  ed. Philadelpia:  American  Statistical  Association  and  Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
[5] J. E. Jackson and G. S. Mudholkar, “Control Procedures for Residuals Associated with Principal Component Analysis,”
Technometrics , vol. 21, no. 3, pp. 341–349, 1979.
[6] J. E. Jackson, “Quality Control Methods for Several Related
Variables,” Technometrics , vol. 1, no. 4, pp. 359–377, 1959.
[7] J. E. Jackson, A user’s guide to principal components , vol. 587. John Wiley & Sons, 2005.
[8] Z. Wu, J. Jiao, M. Yang, Y. Liu, and Z. Wang, “An enhanced adaptive CUSUM control chart,” IIE Transactions (Institute of Industrial Engineers) , vol. 41, no. 7, pp. 642–653, 2009.
Gambar 1 Grafik ARL untuk: a) ρ=0, b) ρ=0.3, c) ρ=0.5, d) ρ=0.7, e) ρ=0.9
a) b) c) d) e)