## PERSAMAAN NEURONIK DENGAN TUNDAAN BERGANTUNG WAKTU
Sariyasa Universitas Pendidikan Ganesha, Singaraja email: sariyasa64@yahoo.com

## Abstrak
Paper  ini  mendeskripsikan  penurunan  model  diskrit  dari  model  kontinu  jaringan saraf  dengan  tundaan  bergantung  waktu.  Diskritisasi  dilakukan  dengan aproksimasi  model  kontinu  oleh  persamaan  diferensial  biasa  dengan piecewise constant  argument (PCA).  Dengan  menerapkan  skema  semi  implisit  Euler,  dari persamaan dengan PCA ini diturunkan model diskrit untuk model  kontinu jaringan saraf  dengan  tundaan  bergantung  waktu.  Melalui  simulasi  numerik  ditunjukkan bahwa model diskrit secara dinamik ekivalen dengan model kontinu.
Kata  kunci : model  diskrit,  model  komputasi,  model  jaringan  saraf,  tundaan bergantung waktu

## Abstract
This  paper  described  formulation  of  a  discrete  model  from  a  continuous  neural network  model  with  time  dependent  delay.  Discretization  was  carried  out  by approximating  the  continuous  model  with  ordinary  differential  equation  with piecewise  constant  argument, from  which  a  discrete  model  was  obtained  after employing Euler semi-implicit scheme. It is shown, using numerical simulation, that the discrete model is dynamically equivalent with the continuous model.
Keywords: discrete  model,  computational  model,  neural  network  model,  time dependent delay

## PENDAHULUAN
Matematika  menyediakan  banyak jenis persamaan dengan beragam tingkat  kompleksitas    untuk  pemodelan dan  analisis  dinamik  suatu  fenomena. Penggunaan persamaan diferensial biasa  dan  parsial  untuk  memodelkan sistem biologi mempunyai sejarah panjang  dimulai  dari  periode  Malthus, Verhulst,  Lotka  dan  Volterra.  Dalam penerapan  model-model  matematika untuk  memahami  lebih  baik  fenomena yang makin kompleks, semakin disadari bahwa model-model yang paling sederhana tidak mampu
merepresentasikan  variasi  yang  sangat kaya  dari  dinamik  yang  teramati  dalam sistem  alam.  Hal  ini  terjadi  karena tingkat  kompleksitas  dari  fenomena yang  teramati  semakin  tinggi.  Ada sejumlah kemungkinan pendekatan untuk mengatasi kompleksitas ini. Salah satu  pendekatan  adalah  membangun sistem persamaan diferensial biasa atau parsial  yang  lebih  besar,  yakni  sistem dengan lebih banyak persamaan diferensial.  Sistem ini dapat merupakan hampiran yang cukup baik bagi perilaku yang  teramati,  tetapi  sistem  ini  memuat
banyak  parameter  yang  sering  tidak dapat ditentukan melalui eksperimen.
Pendekatan  lain  yang  semakin banyak  diadopsi  adalah  memasukkan time delay (selanjutnya disebut tundaan) dalam  persamaan  diferensial  sehingga diperoleh delay  differential  equation (persamaan  diferensial  tundaan/PDT). Tundaan  merupakan  komponen  alami dari  proses  dinamik  dalam  biologi, ekologi, fisiologi, ekonomi, epidemiologi, dan mekanik. Tundaan ini dapat merepresentasikan  waktu  kehamilan, periode inkubasi, waktu untuk hantaran, atau  waktu  yang  diperlukan  neuron untuk merespon.
Kalau    persamaan  diferensial biasa  memodelkan  masalah  dimana variabel  bereaksi  terhadap  kondisi  saat ini,  persamaan  diferensial  tundaan memodelkan  masalah  dimana  terdapat after-effect yang  mempengaruhi  paling sedikit satu variabel.
Persamaan  diferensial  tundaan muncul dalam berbagai bidang pemodelan matematika, misalnya dinamik populasi (dengan memperhitungkan  waktu  kehamilan), penyakit  menular  (melibatkan  periode inkubasi),  kinetika  fisiologis  dan  farmasi (misalnya  memodelkan  reaksi  tubuh terhadap CO 2 dalam  sirkulasi  darah), kinetika  kimia  (seperti  pencampuran reaktan),  kendali  navigasi  untuk  kapal dan  pesawat,  dan masih  banyak lainnya.
Model  dengan  tundaan  semakin umum digunakan, muncul dalam pemodelan  banyak  cabang  biologi. Model  dengan  tundaan  telah  digunakan untuk  mendeskripsikan  beberapa  aspek dari  dinamik  penyakit  menular,  terapi obat    (Nelson,  et  al.,  2000)  dan  respon kekebalan  (Cooke,  et  al.,  1998).  Model
semacam  ini  juga  muncul  dalam  studi tentang  model-model  kemostat  (Zhao, 1995),  detak  jantung  (Smolen,  et  al., 2002),  epidemiologi  (Cooke,  et  al., 1999),  sistem  pernapasan  (Vielle  dan Chauvet,  1998),  pertumbuhan  tumor (Villasana  dan  Radunskaya,  2003)  dan jaringan  saraf  (lihat  misalnya  Chen, 2001;  van  den  Driessche,  et  al.,  2001; van  den  Driessche  dan  Zhou,  1998; Sariyasa, 2005).
Beberapa ahli pemodelan mengabaikan  pengaruh  tundaan  dan menggunakan  persamaan  diferensial biasa  sebagai  pengganti  persamaan diferensial tundaan. Kuang (1993)
mengemukakan  bahwa  terdapat    resiko yang  dihadapi  bila  tundaan  diabaikan, sekecil  apapun  tundaan  tersebut.  Lebih jauh  Kuang  (1993)  menyatakan  bahwa mengabaikan  tundaan  sama  artinya dengan mengabaikan  realitas.  Ada  pula ahli  pemodelan  yang    mengganti persamaan  diferensial  tundaan    skalar dengan  sistem  persamaan  diferensial biasa  dengan memperkenalkan  variabel bantu  untuk  mensimulasikan  fenomena yang sesungguhnya lebih sesuai dimodelkan  oleh  persamaan  diferensial tundaan.  Namun,  menurut  Baker,  et  al. (1994), strategi penggantian ini mempunyai  resiko  karena  terdapat perbedaan kualitatif yang melekat (eksistensi solusi yang berosilasi, munculnya chaos ,  pengaruh  tundaan terhadap  sistem  konservatif  dan  sistem yang  stabil  atau  tak  stabil)  antara persamaan  diferensial  tundaan  dan sistem  persamaan  diferensial  biasa. (Baker, et al., 1994) .
Tidak seperti persamaan diferensial  biasa,  untuk  persamaan diferensial  tundaan  (bahkan  yang  linier sekalipun)  tidak  terdapat  metode  umum
untuk mendapatkan solusi dalam bentuk eksplisit.  Oleh  karena  itu,  metode numerik  untuk  persamaan  diferensial tundaan  menjadi  sesuatu  yang  sangat penting.  Di  samping  itu,  penerapan metode  numerik  yang  ekstensif  tidak dapat dihindari dalam analisis kestabilan dan  bifurkasi  untuk  tujuan  praktis (Seydel, 1988).
Metode  numerik  untuk  persamaan diferensial  biasa  tidak  begitu  saja  dapat diterapkan  untuk  persamaan  diferensial tundaan  sebab  dalam  penerapannya sifat kestabilan dan akurasi dari metode tersebut  tidak  dapat  dipertahankan  lagi (Bellen  dan  Zennaro,  2003).  Lebih  jauh (Bellen dan Zennaro, 2003) menyatakan bahwa    mengintegralkan  persamaan diferensial tundaan sesungguhnya menuntut  penggunaan  metode  yang dirancang khusus sesuai dengan karakteristik  persamaan  dan  perilaku solusi  (Bellen  dan  Zennaro,  2003). Dengan  demikian,  perlu  dikembangkan suatu  skema  numerik  yang  dapat diterapkan  untuk  sebagian  besar  kelas persamaan  diferensial  tundaan  yang berbeda. Adanya skema numerik
semacam ini sangat bermanfaat terutama bagi non-matematikawan yang memerlukan persamaan diferensial tundaan  dalam  kerjanya;  juga    dapat memperluas  keterpakaian  persamaan diferensial  tundaan  pada  bidang-bidang di luar matematika.
Skema  numerik  yang  digunakan untuk  menghampiri  solusi  persamaan diferensial  tundaan  akan  menghasilkan model  diskrit.  Tentu  saja  model  diskrit, yang merupakan hampiran numerik dari model kontinu, diinginkan dapat
‖mewarisi‖  karakteristik  dinamik  dari model  kontinunya.  Dengan  demikian model  diskrit  dapat  diterapkan  sebagai
model komputasi dengan tetap mempertahankan karakteristik  fisik atau biologi yang dimiliki oleh model kontinu. Dalam  Stewart  (1992),  Stuart  dan Humphries  (1996),  dan Broomhead  dan Iserles  (1992)  dikaji  pentingnya  model diskrit  ‖mewarisi‖  karakteristik  dinamik dari model kontinunya.
Pendekatan yang sering digunakan  untuk  memformulasi  model diskrit  adalah  dengan  mendiskritisasi model  kontinu.  Terdapat  banyak  skema numerik  (antara  lain  skema  Euler, Runge-Kutta)  yang  dapat  digunakan untuk  mendiskritkan  model  kontinu. Namun  proses  diskritisasi  semacam  ini sering menghasilkan model diskrit dengan  dinamik  yang  tidak  sejalan dengan dinamik induknya (model
kontinu).  Beberapa  studi  (Devaney, 1989;  Iserles,  1990;  Mickens,    1994; Prufer,  1985;  Ushiki,  1982;  Yee,  et  al., 1991) menunjukkan bahwa dinamik dari sistem  yang  diperoleh    dari  diskritisasi model  kontinu    mempunyai  karakteristik dinamik  yang  berbeda  secara  signifikan dari  dinamik  model  kontinunya.  Stutzer (1980) menekankan bahwa ‖ the discrete-time  analog  of  a  continuous- time system cannot reliably be assumed to be found by replacing derivatives with first  differences ‖. Terkait  dengan  hal  ini, model  logistik  merupakan  ilustrasi  yang sangat  baik.  Dalam  bentuk  kontinu, model logistik mempunyai dinamik yang ‖baik‖,  yakni  konvergen  monoton.  Akan tetapi, diskritisasi  model logistik kontinu dengan  skema  Euler  menghasilkan model  diskrit  dengan  perilaku chaotic . Jelas,  konvergen  monoton  dan chaotic merupakan  dua  dinamik  yang    saling bertolak belakang.
Berikut ini diberikan ilustrasi penyimpangan  dinamik  sebagai  akibat
diskritisasi  model  kontinu.  Ilustrasi  ini diambil dari Mohamad (2000). Perhatikan persamaan diferensial . 0 ), ( ) (    t t y dt t dy (1)
Solusi dari persamaan (1) diberikan oleh
0 ), 0 ( ) (    t y e t y t .        (2)
Jika  persamaan  (1)  didiskritkan  dengan skema diskritisasi Euler diperoleh model diskrit dalam bentuk y ( n +1) = (1 – h ) y ( n ), n = 0, 1, 2, 3, ...
(3) dengan h >  0  menyatakan  ukuran diskritisasi  dan y ( n )  menyatakan  nilai dari y ( t )  untuk t = nh .  Solusi  dari  (3) diberikan oleh y ( n ) = (1 – h ) n y (0), n = 0, 1, 2, 3, ...
(4) Dengan  mudah  dapat  ditunjukkan bahwa y ( t ) pada (2) memenuhi y ( t )  0 untuk t 
∞  dan  ini  berarti kekonvergenan dari y ( t ) adalah monoton.  Di  lain  pihak, y ( n )  pada  (4) mempunyai  perilaku  yang  bergantung pada nilai h sebagai berikut. a.  Untuk 0 < h < 1, y ( n )  0 untuk n  ∞ (konvergensi monoton). b.  Untuk h =  1, y ( n )  =  0  untuk semua n dan untuk semua y (0). c.  Untuk  1  < h <  2, y ( n )  berosilasi dengan | y ( n )|  0 untuk n  ∞ (konvergensi berosilasi). d.  Untuk h =  2, y ( n )  periodik dengan periode 2. e.  Untuk h > 2, y ( n ) berosilasi dan | y ( n )|  ∞  untuk n  ∞ (divergen).
Membandingkan  model  kontinu  (1)  dan model  diskrit  (3)  pada  contoh  ini,  jelas bahwa model kontinu hanya mempunyai satu  dinamik  yakni konvergen  monoton. Sedangkan model diskrit yang diturunkan
dari model kontinu
mempunyai  dinamik  yang  bervariasi tergantung pada nilai h . Parameter h > 0 dalam  (3)  yang  muncul  sebagai  akibat proses diskritisasi mempunyai pengaruh terhadap  dinamik  dari  (4).  Contoh  ini menunjukkan bahwa diskritisasi menghasilkan  model  diskrit  dengan dinamik  yang  tidak  dimiliki  oleh  model kontinunya.
Perbedaan  dinamik  ini  selanjutnya dijelaskan oleh Mohamad (2000) bahwa karakteristik yang menyimpang ini dapat terjadi  bila  unit  diskritisasi  (yakni h ) dibuat tetap sementara parameter model  kontinu  dibuat  bervariasi  dalam ruang  parameter  asimtotik  dari  model kontinu  atau  sebaliknya.  Akibatnya, harus ada pembatasan pada nilai h atau pada  parameter  semula  sehingga  tidak ada  penyimpangan  pada  model  diskrit. Dengan  pembatasan  ini,  kemampuan komputasi  dari  model  kontinu  tidak dapat  dicapai  secara  maksimal  oleh model diskrit.
Oleh  karena  itu  permasalahan utama  dalam  penelitian  ini  adalah bagaimana  mengonstruksi  model  diskrit yang  diturunkan  dari  model  kontinu sehingga  model  diskrit  mempunyai dinamik  yang  ekivaken  dengan  model kontinunya.  Untuk  keperluan  ini,  perlu dikembangkan teknik diskritisasi nonstandar  sehingga  diperoleh  skema numerik  yang  bisa  menghasilkan  model diskrit yang mewarisi karakteristik model kontinu darimana model diskrit diturunkan. Dengan demikian, tujuan penelitian ini adalah untuk
mengembangkan  skema  numerik  yang dapat  digunakan  untuk  mendiskritisasi model  kontinu  sedemikian  sehingga model  diskrit  mempunyai  karakteristik
dinamik  yang  ekivalen  dengan  model kontinunya.
Skema  numerik  yang  dihasilkan selanjutnya  diterapkan  pada  model kontinu    jaringan  saraf  tipe  Hopfield yang telah diketahui dinamiknya
sehingga  ketercapaian  tujuan  penelitian ini dapat  diukur. Persamaan diferensial dengan tundaan adalah persamaan dalam bentuk
) ))), ( , ( 2 ( ))), ( , ( 1 ( ), ( , ( ) (  t y t t y t y t t y t y t f t y       dengan  i , i =  1,2,...  menyatakan tundaan  yang  bisa  berupa  konstanta, atau  bisa  berupa  fungsi  dalam t atau bisa  merupakan  fungsi  dalam t dan y .
Persamaan diferensial tundaan merupakan generalisasi dari persamaan diferensial biasa )) ( , ( ) ( t x t g t x   ( l l R R R g     : ) , ( ) bila ) ( t x  dari suatu proses  juga  bergantung  pada  kondisi sebelumnya. Teori umum dari persamaan  diferensial  tundaan  telah banyak  dipaparkan  dalam  beberapa literatur antara lain dalam Driver (1977), El’sgol’ts dan Norkin (1973), Gopalsamy (1992) serta Kuang (1993).
Pandang persamaan
) 1 sin( cos )) 1 ( (          t e t t t e t x dt dx (5)
untuk t ≥  0.  Dalam  persamaan  (5),
tundaan merupakan fungsi yang berubah terhadap waktu, yaitu
 ( t ) = e  t + 1. Jika fungsi awal diambil x ( t ) = sin t , −2 ≤ t ≤ 0,         (6) maka  dengan  substitusi langsung  dapat ditunjukkan  bahwa  fungsi x ( t )  =  sin t , t >  0,  merupakan  solusi  dari  masalah nilai awal (5)  dan (6). 
Persamaan  (5)  merupakan  contoh persamaan  diferensial  dengan  tundaan yang berubah terhadap waktu.
Meskipun  mempunyai  kemiripan bentuk    dengan  persamaan  diferensial biasa,  persamaan  diferensial  tundaan mempunyai beberapa fitur yang menyebabkan analisis terhadap persamaan  diferensial  tundaan  lebih rumit. Masalah nilai awal dalam persamaan diferensial tundaan memerlukan  lebih  banyak  informasi dibandingkan dengan masalah nilai awal dalam  sistem  tanpa  tundaan.  Untuk sistem  persamaan  diferensial  biasa, solusi tunggal ditentukan oleh nilai awal dalam  ruang  Euclid  pada  saat  awal t 0.
Untuk sistem dengan tundaan, diperlukan informasi pada seluruh interval  [ t 0 −  , t 0 ].  Jelas  bahwa  untuk mengetahui  laju  perubahan  pada t 0 , diperlukan x ( t 0 )  dan x ( t 0 −  )  dan  untuk ) ( 0   t x  diperlukan x ( t 0 +  ε)  dan
x ( t 0 +  ε  −  ).    Jadi,  untuk  membuat masalah nilai awal bermakna,
diperlukan  fungsi  awal  atau  awal  nilai x ( t )  pada  interval  [−  ,  0].  Setiap  fungsi awal  menentukan  solusi  tunggal  bagi persamaan  diferensial  tundaan.  Jika diinginkan  fungsi  awal  kontinu,  maka ruang  solusi  mempunyai  dimensi  yang sama dengan C([ t 0 −  , t 0 ], R ).
Teori  persamaan  diferensial  biasa mempunyai  banyak  kesamaan  dengan teori  persamaan  diferensial  tundaan. Beberapa metode analitis untuk persamaan  diferensial  biasa  dapat diperluas untuk diterapkan pada persamaan diferensial tundaan sepanjang memungkinkan. Namun, perbedaan di antara keduanya memerlukan  pendekatan  baru.  Jika pada persamaan diferensial biasa diasumsikan  bahwa  efek  perubahan
pada sistem terjadi seketika, maka pada persamaan  diferensial  tundaan  efek perubahan  pada  sistem  tidak  terjadi seketika.  Dalam  hal  ini  riwayat  sistem pada masa lampau perlu diperhitungkan. Perbedaan lainnya adalah  persamaan  diferensial  biasa memerlukan nilai awal tetapi persamaan diferensial tundaan memerlukan fungsi awal. Formulasi model matematika sebagai persamaan diferensial fungsional, yang mencakup semua PDT, memungkinkan nilai fungsi dan turunannya  untuk  masa  sekarang  dan masa lampau dapat dipergunakan untuk menentukan  keadaan  sistem  di  masa mendatang.  Hal  ini  memberikan    model yang  lebih  baik  dan  lebih  realistis  bagi suatu  proses  atau  sistem  sebab  " an increase  in  the  complexity  of  the mathematical  models  can  lead  to  a better  quantitative  consistency  with  real data "  tetapi  ada  "harga"  yang  harus dibayar (Baker, 1999).
Model persamaan diferensial tundaan merupakan alternatif bagi model  persamaan  diferensial  biasa dalam  berbagai  aplikasi.    Potensi aplikasi  persaman  diferensial  tundaan yang luas telah diungkap dalam berbagai  literatur.  Baker,  et  al.  (1999) melaporkan  penggunaan  persamaan diferensial  tundaan  untuk  pemodelan numerik  dalam  biosains  dan  mencakup penerapan dalam epidemilogi, imunologi,  ekologi,  dan  dalam  studi tentang  HIV.  Persamaan  diferensial tundaan juga digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti fisika,
viskoelastisitas, biologi, kedokteran,
ekonomi,  mekanik.  Kuang  (1993)  dan Gopalsamy (1992) menekankan
penerapan  pada  dinamik  populasi.
Beberapa bidang aplikasi menggunakan kelas  persamaan  diferensial  tundaan tertentu, misalnya persamaan diferensial tundaan  terdistribusi  digunakan  dalam model infeksi HIV, biomodelling;
persamaan diferensial tundaan stokastik menemukan  penerapan  dalam pupil light  reflex , immune  response ,  dan produksi sel darah (Baker, 1999).
Solusi Numerik Persamaan

## Diferensial Tundaan
Tidak seperti persamaan
diferensial  biasa,  untuk  persamaan diferensial  tundaan  (bahkan  yang  linier sekalipun ) tidak terdapat metode umum untuk mendapatkan solusi dalam bentuk eksplisit.  Meskipun  demikian,  untuk persamaan  diferensial  tundaan  dengan koefisien konstan, masih memungkinkan menerapkan    beberapa  pendekatan untuk menentukan solusi analitik, misalnya method  of  steps ,  penentuan solusi  eksponensial,  dan  transformasi Laplace.    Keterbatasan  penerapan pendekatan  ini  mendorong  penggunaan metode  numerik  untuk  menentukan solusi persamaan diferensial tundaan.
Untuk  persamaan  skalar  dengan tundaan  konstan,  relatif  sederhana untuk  mendapatkan  solusi  numerik dengan  menggunakan  skema  numerik untuk  persamaan  diferensial  biasa, namun  teknik  ini  menjadi  mahal  dari segi komputasi sejalan dengan meningkatnya ukuran sistem persamaan diferensial  biasa.  Selain  itu,  penerapan metode numerik untuk persamaan diferensial biasa pada persamaan diferensial  tundaan    tidak  begitu  saja dapat  dilakukan  sebab  hal  ini  dapat merusak  sifat  kestabilan  dan  akurasi dari  metode  tersebut.  (Bellen  dan Zennaro, 2003).
Pendekatan yang lebih baik adalah memanfaatkan metode langkah ( method of  steps ).  Ide  ini  sangat  sederhana  dan dapat  diuraikan  sebagai  berikut.  Pada interval [ t 0 , t 0 +  ], persamaan diferensial tundaan
menjadi )) ( ), ( , ( ) (      t t y t f t y yang merupakan persamaan diferensial biasa dengan  solusi 1 ~ y yang  didefinisikan pada  interval  [ t 0 , t 0 +  ].    Pada  interval [ t 0 +  , t 0 +  2  ],  persamaan  diferensial tundaan menjadi )) ( ~ ), ( , ( ) ( 1     t y t y t f t y yang  dapat diselesaikan dengan pemecah persamaan diferensial biasa untuk menghasilkan fungsi 2 ~ y yang didefinisikan pada interval [ t 0 +  , t 0 +  2  ].  Prosedur  yang  sama diterapkan pada interval [ t 0 + k  , t 0 + ( k + 1)  ], k = 2,3,  dengan menyelesaikan  persamaan  diferensial biasa )) ( ~ ), ( , ( ) (     t y t y t f t y k pada
setiap  interval.  Perhatikan  bahwa  solusi eksak y ( t )  analitik  pada  setiap  interval [ t 0 + k  , t 0 + ( k + 1)  ].

## Solusi Hampiran Persamaan Diferensial Tundaan dengan

## Piecewise Constant Argument
Paparan  berikut  ini  diadopsi  dari  Györi (1991).  Pandang  persamaan  diferensial tundaan
0 1 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0         t m i i t x t i p t x t p dt dx (7) dimana H1. untuk i = 1,2, …, m ,  i adalah bilangan riil positif dan
m i i      1 max
H2. Untuk i = 1,2,…, m , fungsi p i : R +  R kontinu.
Persamaan (7) dilengkapi dengan kondisi awal dalam bentuk x ( s ) =  ( s ),   s  0,
  C ([  ,  0], R ).         (8) Dengan    hipotesis  H1  dan  H2,  masalah nilai  awal  (7)  dan  (8)  mempunyai  solusi tunggal  yang  kontinu  pada  interval [  ,  )  dan  terdiferensialkan  secara kontinu pada  [0,  ). Solusi dari (7) dan (8)  dinyatakan  oleh x (  )( t ).    Misal k  1 bilangan bulat tetap dan ambil
k h   .                    (9)
Dengan  menggunakan h ,  didefinisikan tiga  persamaan  diferensial  tundaan dengan piecewise  constant  argument , yakni
                       m i t h h h t u t i p t u t p dt t du i 1 0 , 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( (10)                                  m i t h h h t v t i p h h t v t p dt t dv i 1 0 , 0 ) ( ) ( 0 ) (
(11)
       
   
                    
                      m i t h h h t w h h t i p h h t w h h t p dt t dw i 1 0 , 0 0 ) ( (12)
Persamaan ini dilengkapi dengan kondisi awal berikut
u ( jh ) =  ( jh ), j =  k , …, 0    (13) v ( jh ) =  ( jh ), j =  k , …, 0     (14)
w ( jh ) =  ( jh ), j =  k , …, 0     (15) dengan   C .
Yang  dimaksud  solusi  dari  (10) dan  (13)  adalah  fungsi u h (  )( t )    yang terdefinisi pada himpunan {  k ,…,  0}  (0,  )  dan  memenuhi  sifat berikut
a. u h (  )( t ) kontinu pada [0,  ) b.  turunan  dari u h (  )( t )  ada  pada setiap  titik t  [0,  )  dengan pengecualian titik t = nh , n  N ,  dimana  turunan  satu
arah ada
c.  fungsi u ( t )  = u h (  )( t )  memenuhi (7) pada setiap interval [ nh , ( n + 1) h ] untuk n  N .
Definisi  solusi v h (  )( t )  dan w h (  )( t )  dari masalah  nilai  awal  (11)  dan  (14)  serta (12)  dan  (15)  analog.  Persamaan  (10), (11),  dan  (12)  sangat  terkait  dengan persamaan diferensi.  Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema  1 . Asumsikan  hipotesis  H1 dan  H2  terpenuhi  dan  k  1 adalah bilangan bulat. Ambil k h   dan
     h k i i untuk  semua i =  1,  2,  …, m .
Maka a. solusi u h (  )( t ) dari (10) dan (13)
diberikan oleh
             m i t nh i k n a ds dr r p e s i p ds s p e ds s p e n a t h u s t t nh 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( 0 0 0 0 0 untuk  semua nh  t  ( n +  1) h dan n  0  dimana  [ a ( n )]  adalah barisan yang memenuhi persamaan diferensi
                 m i h n nh n i k n a ds dr r p e s i p ds s p e ds s p e n a n a s nh h n nh 1 ) 1 ( 0 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 0 0 0 0 ) 1 ( 0
dengan a ( n )  =  ( nh ), n =  k ,  …, 0. b.  solusi v h (  )( t ) dari (11) dan (14) diberikan oleh
                  
m i t nh i k n b du u i p n b t nh du u p t h v 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 ) )( (
untuk  semua nh  t  ( n +  1) h dan n  0  dimana  [ b ( n )]  adalah barisan yang memenuhi persamaan diferensi
           
m i h n nh n i k n b ds s i p h n nh n b du u p n b 1 ) 1 ( 0 , 0 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 0 ) (
dengan b ( n )  =  ( nh ), n =  k ,  …, 0. c.  solusi w h (  )( t ) dari (12) dan (15) diberikan oleh
        m i i i h nh t k n c nh p n c nh p n c t w 1 0 ))( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )( (
untuk  semua nh  t  ( n +  1) h dan n  0  dimana  [ c (n)]  adalah barisan yang memenuhi persamaan diferensi
        m i n i k n c nh i p h n c nh hp n c 1 0 0 0 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
dengan c ( n )  =  ( nh ), n =  k ,  …,
0.

## METODE
Penelitian ini dilaksanakan dengan melakukan kaji pustaka. Analisis dilakukan menggunakan teori persamaan  diferensial  dengan  tundaan.
Secara  garis  besar,  kegiatan  yang dilakukan dalam penelitian ini adalah 1.  mengembangkan formulasi skema  numerik  berdasarkan teknik piecewise constant arguments yang  digabungkan dengan  metode  semi-implisit Euler; 2.  menerapkan  skema  numerik tersebut pada model matematika  jaringan  saraf  tipe
Hopfield  yang  telah  diketahui dinamiknya; 3.  menggunakan model diskrit yang  diperoleh  sebagai  model komputasi untuk keperluan simulasi numerik.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penurunan model diskrit didasarkan atas teknik yang dikembangkan  oleh  Györi  (1991)  dan teknik  ini    telah  digunakan  oleh Gopalsamy dan Mohamad (2002).
Paparan  berikut  didasarkan  atas  hasil karya  dari  Gopalsamy  dan  Mohamad (2002).  Pandang  persamaan  diferensial tundaan
        m i i i t t x t p t x t p dt dx 1 0 0 ), ( ) ( ) ( ) ( (16)
Pandang  interval  domain    (  ,  ) sebagai  gabungan  saling  lepas  dari interval dalam bentuk [ jh , ( j + 1) h ), j  Z dengan Z menyatakan himpunan bilangan bulat dan h adalah bilangan riil tetap  yang  menyatakan  ukuran  langkah diskritisasi.  Persamaan  (16)  selanjutnya dihampiri    oleh  persamaan  diferensial dengan piecewise  constant  arguments dalam bentuk
                                        h h h h t x h t p t x h h t p dt t dx i m i i 1 0 ) ( ) ( (17)
untuk t  [ nh , ( n + 1) h ), n = 0, 1, 2, … , h >  0  adalah  bilangan  riil  tetap  yang menyatakan  ukuran  langkah  diskritisasi serta  [  ]  menyatakan  bilangan  bulat terbesar  dalam  R dengan R adalah
himpunan bilangan riil. Berikutnya digunakan  skema  semi  implisit  Euler pada persamaan (17) sehingga diperoleh                                                                            h h h h t x m i h t i p h h h t x h h t p h h h t x h h h t x i 1 0 (18)
untuk t  [ nh , ( n +  1) h ), n = 0, 1, 2, …. Misalkan   m h   .  Dari  (18)  dan  dengan menggunakan  notasi x ( n )  = x ( nh ), didapat  model  diskrit  yang  analog dengan  model  kontinu  (16)  dalam bentuk
        m i i i m n x n p h n p h h n p n x n x 1 0 0 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 (
(19)
untuk n = 0, 1, 2, ... Sistem (19) adalah sistem diskrit analog dari (16).
Persamaan Neuronik dengan Tundaan Bergantung Waktu Selanjutnya diskritisasi nonstandar dengan  teknik piecewise  constants arguments diterapkan pada model jaringan  saraf  tipe  Hopfield.  Model  ini diambil  dari  Gopalsamy  dan  Sariyasa (2002).  Pandang  persamaan  neuronik dengan  tundaan  bergantung  waktu  dan fungsi aktifasi tanh( x ) dalam bentuk
) ( ))) ( ( tanh( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t f t t x t b t x t a t d t dx       (20)
dengan a (  ), b (  ), f (  ) menyatakan fungsi bernilai riil  kontinu yang terdefinisi pada (  ,  )  serta  periodik  dengan  periode  >  0  (Gopalsamy  dan  Sariyasa,  2002). Tundaan  ( t )  terdefinisi  pada  (  ,  ) serta  diasumsikan  kontinu  dan  periodik dengan periode  > 0 yang memenuhi
, 0 ) (   t , 0 ) (    t t , 0 * *           ) ( t t untuk   t dimana ) ( inf * t
R t     dan ) ( sup * t R t     .
Persamaan  (20)  dilengkapi  dengan kondisi awal dalam bentuk
] 0 , [ ], 0 , [ ), ( ) ( * *          C s s s x dengan C [  * ,  0]  menyatakan  ruang fungsi bernilai riil kontinu yang terdefinisi pada  [  * ,  0].  Ruang  ini  dilengkapi dengan norm supremum  yang
didefinisikan oleh | ) ( | sup ) ( ] 0 , [ * s t x t x s     
Dalam  Gopalsamy  dan  Sariyasa  (2002) telah dirumuskan dan dibuktikan teorema berikut yang menjamin eksistensi solusi periodik dengan
periode  yang stabil global.
Teorema 2 . Misal a (  ), b (  ), f (  ), dan  (  ) kontinu  dan  periodic  dalam  t  R dengan periode  > 0. Misalkan a ( t )  a * >  0. Misalkan pula  (  ) terdiferensialkan dan memenuhi
        
               t t t t t R t dt t d R t t jika ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( , , ) ( 0 * *
(21)
Misalkan | b ( t )|  b * untuk t  R . Jika
1 ) ( 1 exp 1 1 0 1 * * * * * * * * * * * * *              
   
       
                    a a a e b a e b e b a (22)
Maka (1.20) mempunyai  solusi  periodik dengan periode  yang stabil global.
Dalam Teorema 2,
) ( max 0 * t a a t     , | ) ( | max 0 * t b b t    
, ) ( sup * t R t     .

## Model Diskrit Persamaan Neuronik
Formulasi  model  diskrit  didasarkan  atas teknik  yang  dikembangkan  oleh  Gy ö ri (1991)  dan  menggunakan  hasil-hasil yang  diperoleh  oleh  Gopalsamy  dan
Mohamad (2002). Dengan proses diskritisasi  menggunakan  persamaan (17)  (19)  didapat    model  diskrit  yang analog  dengan  model  kontinu  (20) dalam bentuk
h n a h n f n k n x h n a h n b h n a n x n x ) ( ) ( )) ( ( tanh( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (         1 1 1 1 (23) untuk n = 0, 1, 2, ...
Untuk  keperluan  simulasi,  dipilih parameter a ( t )  dan b ( t )  serta  stimulus eksternal f ( t ) sebagai berikut:
                                 3 3 3 2 01 0 3 8 0 1 t t t f t t b t t a cos sin ) ( cos , ) ( sin , ) ( (24)
dan  ( t ) diberikan oleh
          3 5 0 5 2 t t cos , , ) (
Dapat  diverifikasi  bahwa  untuk t  R , 0   ( t )   * =  3  dan d  ( t )/ dt   /6  <    1. Juga t   ( t )   jika t   dan t   ( t )  > 0 untuk t > 2,2. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa kondisi kestabilan  dalam  Teorema  2  terpenuhi sehingga  sistem  (20)  mempunyai  solusi periodik  dengan  periode  4  yang  stabil global. Dalam bentuk diskrit, (24)
menjadi
                                 3 3 3 2 01 0 3 8 0 1 n n n f n n b n n a cos sin ) ( cos , ) ( sin , ) ( (25)
untuk n = 0, 1, 2,  . Sedangkan bentuk diskrit dari  ( t ) diberikan oleh
          3 5 0 5 2 n n cos , , ) ( (26) Simulasi numerik diperoleh menggunakan  (23),  (25),  dan  (26). Hasilnya  disajikan  pada  Gambar  1 berikut.
Gambar 1. Dua solusi periodik dari (20).Grafik putus-putus

## adalah stimulus eksternal

## SIMPULAN DAN SARAN
Dengan mengunakan teknik piecewise  constant  argument ,  telah diformulasikan  skema  numerik  untuk hampiran  solusi  dari    persamaan diferensial  tundaan.  Skema  numerik  ini mendiskritisasi  model  kontinu  dengan tetap mempertahankan karakterisitik dinamiknya.  Akibatnya,  model  diskrit sebagai  hasil  diskritisasi  model  kontinu mempunyai  dinamik  yang  ekivalen dengan  dinamik  model  kontinunya. Model  diskrit  ini  merupakan  model komputasi  yang  dapat  digunakan  untuk simulasi numerik model kontinu. Simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa secara  dinamik,  model  diskrit  ekivalen dengan model kontinu. Meskipun simulasi
numerik menunjukkan bahwa model diskrit secara  dinamik  ekivalen  dengan  model kontinu,  namun  perlu  ada  kajian  secara analitis  deduktif  untuk  menunjukkan bahwa  karakteristik  dinamik  kedua model  ekivalen.  Hal  ini  perlu  menjadi kajian di masa mendatang.

## DAFTAR PUSTAKA
Baker,  C.  T.  H.,  Bocharov,  G.    A.,  dan
Rihan, F. A. (1999). A Report on the  Use  of  Delay  Differential Equations in Numerical Modelling  in  the  Biosciences. Numerical  Analysis  Report  No 343. Manchester University.
Bellen  dan  Zennaro.  (2003). Numerical methods  for  delay  differential equations .  Oxford:  Clarendon Press. Broomhead,  D.  S.  dan  Iserles,  A. (1992). The dynamics of numerics  and  the  numerics  of dynamics .  Oxford:  Clarendon Press.
Devaney,  R.  L.  (1989). An  introduction to  chaotic  dynamical  systems , 2nd Edition. New York: Addison- Wesley  Publishing  Company, Inc.
Driver, R. D. (1977). Ordinary and delay differential equations . New York : Springer-Verlag.
El’sgol’ts, L. E. dan Norkin, S. B. (1973).
An introduction to the theory and application of differential equations with deviating arguments . New York: Academic Press.
Gopalsamy,  K  dan  Sariyasa.  (2002). Time delays and stimulus- dependent  pattern  formation  in periodic environments in isolated neurons. IEEE  Trans.  Neural Netwoks 13: 551 –563.
Gopalsamy, K dan Mohamad, S. (2002). Neuronal dynamics under periodic stimuli. International Journal  of  Neural  Systems 12:
137 –148. Gopalsamy,  K.  (1992).  Stability  and oscillations  in  delay  differential equations of population dynamics. Kluwer Academic Publisher. Dordrecht. Gyori, I. (1991). On approximation of the solutions  of  delay  differential equations  by  using  piecewise constant  arguments. Internat.  J. Math. & Math. Sci. 14: 111 –126.
Iserles,  A.  (1990).    Stability  and dynamics  of  numerical  methods for  nonlinear  ordinary  differential equations. IMA  J.  Numer.  Anal. 10 , 1-30.
Kuang,  Y.  (1993).  Delay  Differential Equations    with  Applications  in Population  Dynamics.  Academic
Press, Inc. Boston. Mickens,    R.  E.  (1994). Nonstandard finite difference models of differential equations . Singapore:
World Scientific.
Mohamad,  S.  (2000).  Continuous  and discrete  dynamical  systems  with applications. (dissertation). Flinders University.
Nelson,  P.  W.,  Murray,  J.    D.  dan
Perelson,  A.  S.  L.  (2000). A model  of  HIV-1  pathogenesis that  includes  an  intracellular delay. Math.  Biosci. , 163 :  201 –
215.
Prufer,    M.  (1985).  Turbulence  in multisteps  methods  for  initial value  problems. SIAM  J.  Appl.
Math. 45 , 32-69.
Sariyasa.  (2005).  ―On  the  stability  of neural networks in periodic environment‖  dalam Proceeding of  the  International  Conference on Applied Mathematics . Bandung : ITB. Seydel,  R.  (1988). From  equilibrium  to chaos:  practical  bifurcation  and stability  analysis. New  York:
Elsevier.
Smolen,  P.,  Baxter,  D.,  dan  Byrne,  J.
(2002). A reduced model clarifies the  role  of  feedback  loops  and
time  delays  in  the  Drosophila circadian  oscillator. Biophys.  J . 83 , 2349 –2359.
Stewart,  I.  (1992).  Warning –  Handle with care. Nature 355 , 16-17.
Stuart,    A.  M.  dan  Humphries,  A.  R.
(1996). Dynamical  systems  and numerical  analysis .  Cambridge: Cambridge University Press.
Stutzer,  M.  J.  (1980).  Chaotic  dynamics and  bifurcation  in  a  macro model. Jour.  Econ.  Dyn.  and Control 2 , 353 —376.
Turchin,  P.  (1990).  Rarity  of  density dependence or population regulation with lags. Nature , 344 ,
660 –663.
Turchin,  P.  dan  Taylor,  A.  D.  (1992). Complex  dynamics  in  ecological time  series. Ecology , 73 ,  289 –
305.
Ushiki,  S.  (1982).  Central  difference scheme and chaos. Physica D 4 ,
407-424.
Villasana,  M.  dan  Radunskaya,  A.
(2003). A delay differential equation model for tumor growth.
J. Math. Biol. , 47 , 270 –294.
Yee,  H.C.,  Sweby,  P.  K.,  dan  Griffiths,
D. F. (1991). Dynamical approach  study  of  spurious steady-state  numerical  solutions of nonlinear differential equations.  I.  The  dynamics  of time discretization and its implications for algorithm development  in  computational fluid dynamics. J. Comput. Phys.
97 , 249  310.