Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 13 No. 2, Desember 2021, hal. 105-112 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PENYELESAIAN PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPI PERTUBASI

## Mashuri
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman mashuri@unsoed.ac.id

## Sulistiowati Nur Rahmi
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman

## Marwah Daud Wijayanti
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman
Alviana Pratama Putri
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT . In this paper, we discuss the solution of the Poisson equation
with the initial condition (    ) . We use the homotopy pertubation method to get  the  solution..  The  homotopy  pertubation  method  is  a  combination  of  the  homotopy method and the pertubation method. The solution of the equation is assumed to be in the form of a power series. The result is  by using the homotopy pertubation method for the diffution equation, the solution  is the same with the exact solution.
Keywords. Poisson equation , Pertubation Homotopy method , power series.
ABSTRAK . Dalam makalah ini dibahas tentang penyelesaian persamaan Poisson
dengan  syarat  awalnya  adalah (    ) ,  menggunakan  metode  homotopi pertubasi. Metoda homotopi pertubasi merupakan gabungan antara metode homotopi dan metode pertubasi. Solusi persamaan diasumsikan dalam bentuk deret  pangkat. Hasilnya diperoleh  bahwa  dengan  menggunakan  metode  homotopi  pertubasi  untuk  persamaan Poisson, solusi yang diperoleh  sama dengan solusi eksaknya.
Kata kunci. Persamaan Poisson, metode homotopi pertubasi, deret pangkat .

## 1. PENDAHULUAN
Pemodelan Matematika menjadi salah satu cara untuk memahami berbagai fenomena  di  alam  ini.  Salah  satu  model  matematika  yang  banyak  bermanfaat untuk  menganalisa  perilaku  fenomena  alam  adalah  model  matematika  dalam
bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan  satu  variabel  tak  bebas  dan  turunannya  terhadap  satu  atau  lebih variabel bebas. Persamaan diferensial dibagi menjadi dua bagian, yaitu persamaan diferensial  biasa  dan  persamaan  diferensial  parsial.  Kedua  persamaan  tersebut dibedakan  pada  jumlah  variable  takbebasnya.  Bila  varibel  bebasnya  hanya  ada sebuah,  maka  persamaan  diferensialnya  merupakan  persamaan  diferensial  biasa, namun bila jumlah variabel bebasnya lebih dari satu maka persamaan diferensial adalah  persamaan  diferensial  parsial.  Berbagai  metoda  digunakan  untuk  mencari penyelesaian persamaan diferensial ini. Salah satu diantara metode tersebut adalah metode  pertubasi.  Metode  perturbasi  digunakan  untuk  mencari  penyelesaian persamaan  diferensial  melalui  pendekatan  di  mana  solusi  dari  persamaan diferensial diasumsikan sebagai sebuah fungsi dalam bentuk deret pangkat. Dalam metode pertubasi mensyaratkan deretnya konvergen.   Metode ini digunakan baik untuk  mencari  penyelesaian  persamaan  differensial  linier  ataupun  non  linier. Dalam  menyelesaikan  masalah  taklinear,  (Nayfeh,  2004)  menggunakan  metode pertubasi  di  mana  faktor  taklinearnya  diperlemah  dengan  memperkenalkan parameter kecil. Sementara itu, JiHuan He (1999) menggabungkan antara metode pertubasi dan metode homotopi yang terlebih dahulu dikenalkan oleh Liao (1992). Metode  tersebut  kemudian  dikenal  dengan  metode  homotopi  pertubasi  dengan mengenalkan parameter embedding pada deret pangkat tersebut. Metode ini cukup ampuh  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  linier  maupun  nonlinier.  Hal ini dikarenakan pemilihan parameter tidak hanya parameter yang kecil saja, akan tetapi  boleh  sama  dengan  1.  Dalam  penelitian,  ini  metode  homotopi  pertubasi akan  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  Poisson  dengan  rincian penulisan  sebagai  berikut.  Pada  bagian  dua  dari  paper  ini  dibahas  tentang  ide dasar metode homotopi pertubasi. Bagian berikutnya dibahas tentang penyelesaian persamaan  Poisson  menggunakan  metode  homotopi  pertubasi.  Paper  ini  diakhiri dengan kesimpulan.

## 2.  IDE DASAR METODE HOMOTOPI PERTUBASI
Sampai  saat  ini,  penerapan  metode  homotopi  pertubasi  dalam  masalah nonlinier  menjadi  perhatian  khusus  para  ilmuwan  dan  insinyur,  karena  dengan metode  ini  seseorang  dapat  secara  terus  menerus  merubah  bentuk  masalah  yang rumit  menjadi  masalah  sederhana  yang  mudah  dipecahkan.  Pengenalan  dan interpretasi dasar dari metode ini diberikan oleh Akbarzade dkk(2011), Andrianov dkk(2006),  Bayat  dkk(2010),  Bel´endez  (2009),nBel´endez  dkk(2009).  Metoda homotopi  pertubasi  dapat  memecahkan  kelas  besar  masalah  nonlinier  dengan aproksimasi yang konvergen secara cepatdan akurat ke solusi.  Metode ini sangat efektif dan baik digunakan untuk persamaan nonlinier lemah maupun kuat.
Untuk  mengilustrasikan  ide  dasar  dari  metode  ini,  diberikan  persamaan diferensial tak linear berikut:
[ ( )]    ( ) (1)
atau
[ ( )]    ( ) (1 * ) dengan kondisi batasnya adalah
( ( ) ( ) ) (2)
dengan A operator turunan tak linier, B operator batas ( ) fungsi yang diketahui, adalah domain fungsi f , adalah batas dari domain , dan ( ) adalah fungsi yang akan ditentukan yang bergantung pada . Operator A dapat dipisahkan dalam dua bagian yaitu dan , dengan adalah operator linear dan adalah operator tak linear, sehingga persamaan (1 * ) dapat ditulis sebagai berikut
[ ( )]    [ ( )]    ( ) (3)
Dalam metode homotopi, dikonstruksikan suatu homotopi berikut :
(    )       [   ]
yang memenuhi persamaan berikut :
( (    )   )   (     )[ ( )    ( )]    [ ( )    ( )] (4) atau
( (    )   )    ( )    ( )     ( )     ( )    ( ( )    ( )) (4 * ) dengan adalah  fungsi  pertubasi  homotopi, [   ] adalah    parameter embedding , dan adalah pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (1) yang memenuhi kondisi awal. Jelas bahwa :
( (    )   )    ( (    ))    ( ( )) (5) ( (    )   )    ( (    ))    ( ) (6)
Berdasarkan persamaan (4), maka penyelesaian persamaan ( (    )   ) dan ( (    )   ) masing-masing adalah
(    ) ( )
dan
(    )    ( ) .
Proses peningkatan nilai dari 0 ke 1 yang mengakibatkan perubahan (    ) dari ( ) ke ( ) disebut  deformasi.  Bentuk ( (    ))    ( ( )) dan ( (    ))    ( ) disebut  sebagai  homotopi  dalam  topologi  untuk  parameter ; dengan p dalam  interval disebut  parameter  kecil  yang  digunakan dalam  pertubasi  klasik.Dengan  menggunakan  metode  pertubasi  kita  asumsikan solusi persamaan (5) dan (6)  dalam bentuk deret kuasa dalam , yaitu :
(7)
Jika p mendekati , maka diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan (4) sebagai berikut :
( ) (8)
Kombinasi dari metode pertubasi dan metode homotopi disebut metode pertubasi homotopi.

## 3. PENYELESAIAN PERSAMAAN  POISSON
Pada  bagian  ini,  akan  diselesaikan  persaaan  diferensial  sebagai  berikut berikut :
(9)
dengan syarat awal
(    ) (10)
Persamaan  diferensial  (9)  dikenal  sebagai  persamaan  Poisson.  Persamaan  ini banyak ditemui dalam aplikasinya di dunia nyata. Ririn, dkk (2013) menggunakan persamaan ini pada saat mengkaji aliran fluida melalui medium berpori dan proses penghantaran panas sebagai dasar dari model matematika sistem panas bumi pasa tunggal.
Penyelesaian eksak persamaan ini adalah adalah
(    ) (11) Dalam  bentuk  deret  Taylor  penyelesaian  eksak  (11)  dapat  dituliskan  kembali sebagai
(    )   [ ( )] )     (12)
Berikut  ini  akan  digunakan  metode  pertubasi  homotopi  untuk  menyelesaikan masalah  nilai  awal  persamaan  (9)  dan  (10).  Didefinisikan  operator sebagai berikut :
[ ]
dan operator sebagai berikut :

## [ ]
sehingga berdasarkan persamaan (4), diperoleh persamaan berikut :
(     ) [ ]     [ ] (13)
Diasumsikan penyelesaian dari persamaan (13) dinyatakan sebagai deret pangkat dalam p ,
(    ) (    ) (    ) (    ) (    ) (14)
Jika  persamaan  (14)  disubtitusikan  ke  dalam  persamaan  (13),  kemudian dipisahkan  berdasarkan  derajat  kepangkatan ,  maka  diperoleh  persamaan berikut:
(15)
Dengan  memilih  pendekatan  awal (    )    (    ) ,  maka  diperoleh penyelesaian persamaan (15) sebagai berikut :

## ( )
Jadi  penyelesaian  masalah  nilai  awal  (9)  dan  (10)  dengan  metode  pertubasi homotopi diperoleh sebagai berikut :
(    )
+ ( )
Solusi  yang  diperoleh  ini  sama  dengan  solusi  eksak  dalam  deret  Taylor  pada persamaan (12).

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Dalam  paper  ini  telah  diselesaikan  persamaan  Poisson  menggunakan metoda  homotopi  pertubasi  dimana  solusi  yang  diperoleh  sama  dengan  solusi eksak  dalam  bentuk  deret  taylor.    Konstruksi  fungsi  homotopi  dalam  persamaan ini  lebih  mudah  karena  persamaan  Poisson  yang  diselesaikan  merupakan persamaan differensial linier.

## DAFTAR PUSTAKA
Nayfeh, A. H., 2004. Perturbation Methods. Germany: Wiley-VCH.
Liao,  S.,  2012. Homotopy  Analysos  Method  in  Nonlinier  Differensial  Equation.
Beijing: Higher Education Press.
He,  J.  H., Homotopy  perturbation  technique ,  Computer  Methods  In  Applied Mechanics and Engineering, 178 (3) 1999, 257–262.
Ririn,  S.,  Widowati,  Solusi  numeric  persamaan  difusi  dengan  menggunakan Metoda beda Hingga,Jurnal Sains dan Matematika, 21 (3) (20130,68-74. Akbarzade, M., Langari, J., Ganji, D., A Coupled Homotopy-Variational Method and  Variational  Formulation  Applied  to  Nonlinear  Oscillators  with  and without Discontinuities , Journal of Vibration and Acoustics, (133) (2011), 44-50.
Andrianov, I. V., Awrejcewicz, J., Chernetskyy, V., Analysis Of Natural in-Plane Vibration of Rectangular Plates Using Homotopy Perturbation Approach , Mathematical Problems in Engineering, (133) 2006.
Bayat,  M.,  Shahidi,  M.,  Barari,  A.,  Domairry,  G., The  approximate  analysis  of nonlinear  behavior  of  structure  under  harmonic  loading ,  International Journal of the Physical Sciences, 5 (7) 2010, 1074 –1080.
Bel´endez,  A., Homotopy  Perturbation  Method  for  A  Conservative  x1/3  Force Nonlinear  Oscillator ,  Computers  &  Mathematics  with  Applications, 58 (11-12) (2009), 2267–2273.
Bel´endez,  A.,  Hernandez,  A.,  Bel´endez,  T.,  Neipp,  C.,  Marquez,  A.,  Higher Accuracy  Analytical  Approximations  to  A  Nonlinear  Oscillator  with Discontinuity by He’s Homotopy Perturbation Method, Physics Letters A , 372 (12) (2008), 2010–2016.
Bel´endez, A., Bel´endez, T., Neipp, C., Hernandez, A., lvarez, M., Approximate Solutions  of  A  Nonlinear  Oscillator  Typified  as  A  Mass  Attached  to  A Stretched  Elastic  Wire  by  The  Homotopy  Perturbation  Method ,  Chaos, Solitons &Fractals, 39 (2) 2009, 746–764.
Bel´endez,  A.,  Pascual,  C.,  Bel´endez,  T.,  Hernndez,  A., Solution  for  An  Anti- Symmetric Quadratic Nonlinear Oscillator by A Modified He’s Homotopy Perturbation Method , Nonlinear Analysis, Real World Applications, 10 (1) (2009), 416–427.