## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Simulasi numerik model matematika untuk menganalisis relasi antara korupsi dan dinamika penyebaran penyakit menular

## Julieta B. A. Radja and Meksianis Z. Ndii
Volume 3, Issue 1, Pages 12–16, June 2022
Received 1 May 2022, Accepted 14 June 2022, Published Online 28 June 2022 To Cite this Article : J. B. A. Radja and M.Z. Ndii,“Simulasi numerik model matematika untuk menganalisis relasi antara korupsi dan dinamika penyebaran penyakit menular”, Jambura J. Biomath , vol. 3, no. 1, pp. 12–16, 2022, https://doi.org/10.34312/jjbm.v3i1.14187
© 2022 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF BIOMATHEMATICS
S Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/JJBM/index ǚ Journal Abbreviation : Jambura J. Biomath. Ѓ Frequency : Biannual (June and December) Ŕ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.34312/jjbm ʀ Online ISSN : 2723-0317 Ǜ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ŗ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ź Country : Indonesia ̎ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjbm/oai  Google Scholar ID : XzYgeKQAAAAJ ͐ Email : editorial.jjbm@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Mathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi

## Simulasi numerik model matematika untuk menganalisis relasi antara korupsi dan dinamika penyebaran penyakit menular
Julieta B. A. Radja 1 dan Meksianis Z. Ndii 2 , ∗ 
1 , 2 Program Studi Matematika, Universitas Nusa Cendana, Kupang-NTT 85361, Indonesia
ABSTRAK. Model matematika telah banyak digunakan untuk memahami fenomena kompleks dalam bi- ologi, sosial, dan politik. Sejumlah model matematika telah dirumuskan untuk memahami penyakit menular atau fenomena korupsi. Namun, belum banyak model matematika diformulasi untuk menganalisis hubungan antara korupsi dan dinamika penularan penyakit menular. Dalam artikel ini, model deterministik dalam ben- tuk sistem persamaan diferensial diformulasi untuk mempelajari hubungan antara korupsi dan dinamika penularan penyakit menular. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan adanya korupsi jumlah infeksi lebih tinggi dibandingkan dengan tanpa korupsi. Meskipun strategi atau intervensi kesehatan masyarakat dapat menurunkan angka infeksi, namun kehadiran korupsi dapat meningkatkan kejadian penyakit. Ini berarti bahwa korupsi berpotensi menghambat upaya pemberantasan penyakit. Simulasi numerik menun- jukkan bahwa dengan tidak adanya korupsi, tingkat keefektifan intervensi kesehatan masyarakat dapat me- ngurangi jumlah infeksi. Simulasi numerik dari model menunjukkan bahwa tingkat keefektifan 80% dapat mengeliminasi penyakit menular, yang tidak dapat dicapai dengan adanya korupsi. Hasil penelitian menun- jukkan bahwa korupsi harus diminimalkan untuk mencapai eliminasi penyakit. Model ini merupakan kajian teoritis oleh karena itu apabila tersedia data model dapat divalidasi terhadap data.
ABSTRACT. A mathematical model has been widely used to understand complex phenomena in biology, social, and politics. A number of mathematical model has been formulated to understand infectious diseases or corruption phenomena. However, to the best of our knowledge, none of the work has has been conducted to investigate the relation of corruption and transmission dynamics of infectious diseases. In this work, a structured model in the form of system of differential equations has been formulated to investigate the relation between corruption and transmission dynamics of infectious diseases. In this work, a novel mathematical model has been formulated to investigate the relation between corruption and the transmission dynamics of infectious diseases. The results showed that in the presence of corruption the number of infections is higher compared to that in the absence of corruption. Although the implementation of public health intervention can reduce the number of infections, the presence of corruption can increase the disease incidence. This implies that corruption potentially hinder the effort for disease elimination. Numerical simulations showed that in the absence of corruption, the level of efficacy of public health intervention can reduce the number of infections. It showed that 80% efficacy level can eliminate the disease cases, which cannot be achieved in the presence of corruption. The results suggest that the corruption should be minimized in order to achieve disease elimination. When data becomes available, the model would be validated against the data.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJBM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96119, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Korupsi merupakan salah satu permasalahan yang di- hadapi negara-negara berkembang. Korupsi merupakan tin- dakan penyalagunaan kekuasaan untuk kepentingan pribadi. Tin- dakan Korupsi ini bukan hanya terfokuskan pada masalah peja- bat yang menyalahgunakan posisi mereka, tetapi semua orang yang menyalahgunakan posisi mereka untuk mendapatkan keun- tungan pribadi. Perilaku korupsi yang terjadi selama ini bersi- fat endemik dan meluas [1] . Permasalahan korupsi dapat dite- mukan di banyak negara berkembang. Korupsi ini berdampak buruk pada kehidupan berbangsa. Efeknya tidak hanya mem-
∗ Corresponding Author.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Received 1 May 2022 Accepted 14 June 2022 Published 28 June 2022

## KEYWORDS
Mathematical Model Corruption Numerical Simulation
pengaruhi satu aspek kehidupan, tetapi banyak aspek lain. As- pek ini termasuk profitabilitas, politik, ketahanan, sosial bu- daya, hukum, pemerintahan, agama. Insiden korupsi yang terjadi menimbulkan ancaman semakin tinggi tingkat kesejahteraan dan stabilitas sosialnya.
Korupsi juga dapat berdampak pada upaya penanganan penyebaran penyakit menular. Apalagi daerah-daerah endemis penyakit menular, apabila tingkat korupsi tinggi, secara khusus korupsi pada alokasi sumber daya yang diperuntukkan untuk penanganan penyebaran penyakit menular, maka upaya pena- nganan penyakit menular akan terhambat. Hal ini dapat saja berdampak pada tingginya kasus penyakit menular di suatu daerah. Sebagai contoh, Nusa Tenggara Timur (NTT) merupakan
Email : meksianis.ndii@staf.undana.ac.id (M.Z. Ndii) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/JJBM/index / E-ISSN : 2723-0317 © 2022 by the Author(s).
daerah endemis beberapa penyakit menular. Menurut data Dinas Kesehatan Provinsi NTT per 2020 yaitu jumlah kasus individu ter- infeksi TB paru sebanyak 5.361 kasus, ISPA/Pneumonia sebanyak 2.779 kasus. Adapun penyakit menular lainnya yaitu kusta se- banyak 294 kasus, penyakit Filariasis juga tercatat sebanyak 52 kasus [2] . Penyebaran COVID-19 yang juga berdampak pada adanya ko-infeksi antara COVID dan beberapa penyakit menu- lar lainnya dapat memperparah situasi dan upaya penanganan penyebaran penyakit menular. Oleh karena itu, perlu dianalisis relasi antara korupsi dan upaya penanganan penyebaran penyakit menular. Yang menjadi pertanyaan adalah “Bagaimana dampak korupsi terhadap dinamika penyebaran penyakit?”. Ini meru- pakan pertanyaan sentral dari artikel ini.
Pemodelan matematika merupakan salah satu teknik yang dapat digunakan untuk memahami fenomena kompleks seperti pada permaslaahan ekologi [3, 4] , penyebaran penyakit [5] atau korupsi [6–10] . Model yang diformulasi pada umumnya membagi populasi kedalam sub-kelompok sesuai dengan karakteristiknya terhadap fenomena dimaksud. Misalnya, dalam permasalahan penyebaran penyakit, populasi manusia dapat dibagi kedalam kelompok rentan, kelompok terinfeksi dan kelompok sembuh. Sepengetahuan penulis, belum ada pendekatan atau model ma- tematika yang menganalisis relasi antara korupsi dan dinamika penyebaran penyakit. Dalam artikel ini, kedua fenomena ini akan dianalisis dalam satu sistem persamaan matematika.
Model matematika penyebaran korupsi telah diformulasi. Model tersebut membagi kelompok kedalam sub-kelompok yang berbeda-beda. Kolokoltsov dkk. [8] menggunakan pendekatan teori permaianan untuk menganalisis dinamika penyebaran ko- rupsi. Mereka menemukan bahwa adanya interaksi akan mem- pengaruhi penyebaran korupsi. Fantaye dan Birhanu [10] mem- bangun model matematika penyebaran korupsi untuk mengkaji penyebaran korupsi dan menemukan bahwa pencegahan dan pun- ishment merupakan strategi yang tepat untuk mencegah penye- baran korupsi. Namum, model matematika yang telah dikem- bangkan belum mengkaji relasi antara korupsi dan penyebaran penyakit menular. Dalam artikel ini, akan dibahas mengenai re- lasi antara korupsi dan dinamika penyebaran penyakit menular. Fokus dari analisis ini adalah pada solusi numerik sehingga kajian analitik tidak dibahas.

## 2. Model Matematika

## 2.1. Model Penyebaran Penyakit
Pada bagian ini akan dipaparkan model sederhana penye- baran penyakit yakni model SIR . Model matematika tersebut dalam bentuk sistem persamaan diferensial di mana populasi dibagi kedalam sub kelompok/populasi sesuai dengan statusnya terhadap penyakit. Model penyebaran penyakit yang sederhana berbasis model SIR di mana populasi dibagi kedalam kelompok rentan yang disimbolkan dengan S , kelompok terinfeksi yang di- simbolkan dengan I dan kelompok sembuh yang disimbolkan de- ngan R .
Individu rentan berpotensi untuk terinfeksi penyakit menu- lar apabila berinteraksi dengan individu terinfeksi yang secara matematika ditulis dengan βSI / N di mana β adalah laju penu- laran dan S × I / N interaksi antara individu rentan S dan pro- porsi individu terinfeksi I / N . Individu terinfeksi dalam kurun waktu tertentu akan sembuh dari penyakit dengan laju γ . In-
dividu yang telah sembuh ini dalam kurun waktu tertentu akan kembali rentan terhadap penyakit menular sehingga statusnya yang saat ini berada pada kelompok sembuh R akan berpindah ke kelompok S dengan laju q . Diagram dari model dimaksud diberikan pada Gambar 1 .
Fenomena penyebaran penyakit tersebut dapat ditulis kedalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut
dS dt = Λ − βSI N − µS + qR, dI dt = β SI N − ( γ + µ ) I, dR dt = γI − µR − qR. (1)
di mana Λ adalah laju kelahiran, β adalah laju penularan, γ adalah laju kesembuhan dan q adalah waning immunity atau individu sem- buh kembali rentan terhadap penyakit. Total populasi adalah
N ( t ) = S + I + R.
Persamaan diatas ( N ) merupakan jumlah total individu yang hidup pada waktu t .

## 2.2. Model Matematika Penyebaran Korupsi
Konsep dalam pemodelan matematika untuk penyebaran penyakit diadopsi untuk memodelkan dan menganalisis masalah penyebaran korupsi di mana populasi dibagi kedalam kelompok sesuai dengan statusnya terhadap korupsi.
Individu ketika masuk bekerja pada sebuah lembaga dia- sumsikan rentan terhadap perbuatan korupsi. Kelompok rentan ini disimbolkan dengan S c . Kelompok rentan ini apabila berin- teraksi dengan individu yang sudah melakukan perbuatan ko- rupsi maka berpotensi untuk berubah sikap dan melakukan ko- rupsi. Kelompok individu ini disimbolkan dengan I c . Dalam durasi waktu tertentu, oleh karena kesadaran individu terinfeksi berpotensi untuk berhenti dari perbuatan ini dan disimbolkan de- ngan R c . Diagram dari model penyebaran korupsi berikan pada Gambar 2 .
Dinamika penyebaran korupsi ini secara matematika dapat ditulis kedalam sistem persamaan diferensial berikut.
S c dt = Λ c − β c S c I c N c − µ c S c , I c dt = β c S c I c N c − ( γ c + µ c ) I c , R c dt = γ c I c − µ c R c . (2)
Parameter Λ c merupakan laju masuk populasi rentan melalui perekrutan tenanga kerja baru, β c adalah laju penularan, µ c adalah laju keluar dari grup S c , I c dan R c dalam konteks ini adalah masa pensiun.

## 2.3. Relasi antara model penyebaran korupsi dan penyakit
Pada bagian ini diformulasi model matematika dengan menghubungkan antara model (1) dan model (2) . Pada konteks ini, laju penularan penyakit sangat bergantung pada jumlah indi- vidu yang melakukan korupsi.
Misalkan parameter u adalah keefektifan pengntrolan (strategi pencegahan) dan parameter k adalah faktor pengali
.
Gambar 1. Diagram Model Penyebaran Penyakit SIR .
Gambar 2. Diagram Model Penyebaran Korupsi.
.
yang mengakomidir faktor-faktor lain yang mempengaruhi ko- rupsi dengan demikian k > 0 . Selanjutnya, pengaruh korupsi diasumsikan mengikuti fungsi eksponensial dan secara matema- tika dapat ditulis sebagai e aIc N . Ini berarti bahwa ketika nilai I c mendekati total populasi N , maka e aIc N akan semakin besar. Ini dapat diinterpretasikan bahwa pengaruh korupsi semakin besar.
Secara matematika, permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk
dS dt = Λ − (1 − u ) ke aIc N βSI N − µ S , dI dt = (1 − u ) ke aIc N βSI N − γI − µI, dR dt = γI − µI, dS c dt = Λ c − β c S c I c N c − µ c S c , dI c dt = β c S c I c N c − ( γ c + µ c ) I c , dR c dt = γ c I c − µ c R c . (3)
Apabila nilai I C N makin dekat dengan 1 maka nilai maka laju penu- laran akan semakin besar. Apabila nilai u semakin dekat dengan satu maka laju penularan semakin kecil. Model ini kemudian dise- lesaikan secara numerik dan diinterpretasikan hasilnya dan hasil- nya dipresentasikan pada dua sub-bab berikutnya.

## 3. Simulasi Numerik
Pada bagian ini akan dipaparkan simulasi numerik tanpa dan dengan adanya korupsi.

## 3.1. Solusi Model Tanpa Adanya Korupsi
Solusi numerik tanpa adanya korupsi adalah untuk melihat kondisi normal penyebaran penyakit tanpa adanya pengaruh ko-
rupsi. Pada bagian ini akan disimulasikan model dengan tingkat keefektifan intervensi kesehatan yang berbeda-beda. Tingkat keefektifan yang dimaksud adalah pengobatan atau pencegahan penyakit. Dalam model tingkat keefektifan di notasikan dengan u yang nilainya berkisar antara nol sampai 1. Jika tingkat keefekti- fannya sempurna mana nilai u = 1 . Dalam simulasi, nilai parame- ter yang digunakan adalah sebagai berikut Λ = (1/65) × 403000 , β = 35 , γ = 365/14 , µ = 1/65 , k = 2 , β c =5, γ c = 1/30 , u = 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 6 , 0 . 8 Λ c = 1/30 × 100000 , µ c = 1/30 , a = 15 dengan kondisi awal S (0) = 403000 , I (0) = 10 , R (0) = 0 , S c (0) =
100000 , I c (0) = 10 , R c (0) = 0 .
Gambar 4 menunjukkan bahwa dengan tingkat keefekti- fan yang berbeda-beda, jumlah individu terinfeksi akan berbeda. Apabila tingkat keefektifan sekitar 30% ( u = 0 . 3 ) maka jumlah individu terinfeksi lebih tinggi dibandingkan tingkat keefektifan- nya adalah 40% ( u = 0 . 4 ). Tingkat keefektifan 80% akan mem- buat total individu terinfeksi dalam populasi menjadi kecil. Hal ini mengindikasikan bahwa jika tingkat keefektifan tinggi maka jumlah individu terinfeksi akan dapat diminimalkan. Analisis lan- jutan akan dilakukan untuk melihat pengaruh korupsi terhadap jumlah individu terinfeksi. Dalam analisis tersebut akan dibahas untuk tingkat keefektifan intervensi 30% dan 40%.

## 3.2. Solusi Numerik Model Dengan Adanya Korupsi
Gambar 5 menunjukkan hasil simulasi numerik atau so- lusi dari model dengan adanya korupsi untuk tingkat keefekti- fan kontrol yang berbeda-beda. Dari gambar tersebut terlihat bahwa dengan adanya korupsi jumlah individu terinfeksi lebih tinggi dibandingkan tanpa adanya korupsi. Ini menunjukkan bahwa korupsi dapat memperparah upaya penanganan penye- baran penyakit di suatu wilayah.
Gambar 3. Diagram Model Penyebaran Penyakit dan kaitannya dengan korupsi.
0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 2 4 6 8 10 12 Total populasi terinfeksi u=0.6 u=0.8 0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Total populasi terinfeksi u=0.3 u=0.4
Gambar 4. Solusi numerik jumlah individu terinfeksi tanpa adanya korupsi dengan tingkat keefektifan intervensi kesehatan yang berbeda- beda

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN

## 4.1. Kesimpulan
Dari hasil analisis dapat disimpulkan beberapa poin berikut • Model matematik yang dikembangkan merupakan pen- dekatan baru yang sepengetahuan penulis belum pernah
ada sebelumnya dan solusi dari model tersebut dapat mem- berikan gambaran tentang dinamika pengaruh korupsi ter- hadap dinamika penyebaran penyakit
• Tingkat keefektifan dari intervensi kesehatan masyarakat da- pat menurunkan jumlah individu terinfeksi. Namun, apabila
0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 50 100 150 200 Total populasi terinfeksi u=0.3, tanpa korupsi 0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 20 40 60 Total populasi terinfeksi u=0.4, tanpa korupsi 0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 1 2 3 4 Total populasi terinfeksi 10 5 u=0.3, dengan korupsi 0 1 2 3 4 5 Waktu (Tahun) 0 1 2 3 4 Total populasi terinfeksi 10 5 u=0.4, dengan korupsi
Gambar 5. Solusi numerik jumlah individu terinfeksi dengan dan tidak adanya korupsi dengan tingkat keefektifan intervensi u = 0 . 3 dan u = 0 . 4 .
tingkat korupsi terlalu tinggi, maka upaya penurunan jum- lah individu terinfeksi akan mengalami hambatan. Adanya korupsi dapat berpotensi meningkatkan jumlah individu ter- infeksi.
• Pendekatan secara numerik dengan menggunakan nilai-nilai parameter yang tersedia pada literatur menunjukkan bahwa karaketeristik dari model ini baik dan realistik.

## 4.2. Saran
Model ini masih menggunakan nilai parameter dari liter- ature dan belum spesifik untuk daerah tertentu. Apabila data tersedia, maka model ini akan divalidasi terhadap data sesuai de- ngan daerah tertentu sehingga model ini bisa memberikan hasil yang lebih spesifik untuk daerah yang mana datanya divalidasi terhadap model. Ini merupakan saran penelitian lanjutan yang dapat dikerjakan.

## References
[1] C. G. N. Nathan Oigo Mokaya, Haileyesus Tessema Alemmeh and G. G. Muthuri, “Mathematical modelling and analysis of corruption of morals amongst adolescents with control measures in kenya,” Discrete Dynam- ics in Nature and Society , vol. 2021, no. 6662185, p. 16, 2021. DOI: 10.1155/2021/6662185
[2] D. Kesehatan, https://dinkes-kotakupang.web.id/cgi-sys/suspendedpage.cgi, 2021, [Online; accessed 11-Maret-2022].
[3] H. S. Panigoro, E. Rahmi, N. Achmad, and S. L. Mahmud, “The Influence of Additive Allee Effect and Periodic Harvesting to the Dynamics of Leslie- Gower Predator-Prey Model,” Jambura Journal of Mathematics , vol. 2, no. 2, pp. 87–96, 2020. DOI: 10.34312/jjom.v2i2.4566
[4] H. S. Panigoro, A. Suryanto, W. M. Kusumawinahyu, and I. Darti, “Dynamics of an Eco-Epidemic Predator–Prey Model Involving Fractional Derivatives with Power-Law and Mittag–Leffler Kernel,” Symmetry , vol. 13, no. 5, p. 785, 2021. DOI: 10.3390/sym13050785
[5] M. Z. Ndii, Pemodelan Matematika . Penerbit NEM, 2022. ISBN 9786234231144
[6] S. Athithan, M. Ghosh, and X.-Z. Li, “Mathematical modeling and opti- mal control of corruption dynamics,” Asian-European Journal of Mathematics , vol. 11, no. 06, p. 1850090, 2018. DOI: 10.1142/S1793557118500900
[7] K. Y. Lim, “Modelling the dynamics of corruption and unemployment with heterogeneous labour,” Economic Modelling , vol. 79, pp. 98–117, 2019. DOI: 10.1016/j.econmod.2018.10.004
[8] V. N. Kolokoltsov and O. A. Malafeyev, “Mean-Field-Game Model of Corrup- tion,” Dynamic Games and Applications , vol. 7, no. 1, pp. 34–47, 2017. DOI: 10.1007/s13235-015-0175-x
[9] S. Brianzoni, R. Coppier, , and E. Michetti, “Complex dynamics in a growth model with corruption in public procurement,” Discrete Dynamics in Nature and Society , vol. 2011, p. 27, 2011. DOI: 101155/2011/862396
[10] A. K. Fantaye and Z. K. Birhanu, “Mathematical model and analysis of cor- ruption dynamics with optimal control,” Journal of Applied Mathematics , vol. 2022, no. 8073877, pp. 1–16, 2022. DOI: 10.1155/2022/8073877