## Volume 1 Nomor 1, Februari 2016, halaman 53-62

## SUDUT-SUDUT BERELASI DENGAN GRAFIK FUNGSI SINUS DAN COSINUS

## Tamurih
MA Negeri Karangampel, tamurih_math@ymail.com

## ABSTRAK
Trigonometri  merupakan  kelompok atas  dalam  kumpulan  materi  tersulit  di matematika,  trigonometri  termasuk  materi yang    memiliki  konsep  terbanyak  bahkan terkenal  dengan  banyaknya  rumus  atau identitas serta aplikasi dari trigonometri, hal ini  sebagai  bukti  bahwa  trigonometri merupakan  materi  yang  sangat  penting. Kenyataan  yang  terjadi,  banyak  peserta didik  yang  tidak  menyukai  dan  memiliki nilai rendah bahkan terendah jika dibandingkan dengan topik-topik lainnya di matematika. Salah satu faktor utama adalah guru dalam menyampaikan materi trigonometri  yang  kurang  inovatif  bahkan tingkat kesulitan materi trigonometri sejalan  dengan  tingkat  kesuitan  peserta didik  menerima  materi  yang  disampaikan gurunya.  Menyikapi  hal  tersebut,  penulis berusaha  menuangkan  ide  yang  bisa dijadikan alternatif pengajaran trigonometri khususnya
sudut-sudut berelasi  yang  memiliki  puluhan  relasi sudut.  Dalam  menentukan  sudut-sudut berelasi  tiap  kuadran  dapat  menggunakan grafik  fungsi  sinus  dan  cosinus,  artinya metode  grafik  dapat  dijadikan  alternatif untuk  pengajaran  trigonometri  khususnya pokok bahasan sudut-sudut berelasi.
Kata  Kunci: Sudut  berelasi,  Grafik  sinus, Grafik cosinus.

## ABSTRACT
Trigonometry is the uppermost group of the most  difficult  materials  collection  in mathematics. Trigonometry  is  belonging  to the materials that have the greatest number of concept even trigonometry is well known by  the  quantity  of  formula  or  identity  and application  from  trigonometry.  They  are establish  that  trigonometry  is  a  very important  material.  In  fact,  the  majority  of students which dislike the trigonometry and they  have  low  mark  even  the  lowest  from another  topics  in  mathematics.  The  main factor  is  the  teacher.  The  teacher  is  lack innovative in teaching trigonometry material  even  the  difficulties  degree  of trigonometry  material  same  with  the difficulties  degree  of  the  students  which receive  the  material  from  their  teacher.  In order  that,  the  writer  try  to  give  an  idea which  can  be  an  alternative  in  teaching learning  trigonometry,  especially  angles relations  which  have  tens  of  angles relations.  In  determine  the  angles  relations each  quadrant,  it  can  using  the  graph functions of sinus and cosines. It means that the  graphs  method  can  be  an  alternative  in teaching  learning  trigonometry,  especially angles relations.
Keywords: Angles  relations,  Graphic  of sinus, Graphic of cosinus.
How  to  Cite:  Tamurih.  (2016).  Sudut-sudut  Berelasi  dengan  Grafik  Fungsi Sinus dan Cosinus . Mathline:  Jurnal  Matematika  dan  Pendidikan Matematika , Vol.1, No.1, 53-62.

## PENDAHULUAN
Pendidikan merupakan kebutuhan sepanjang hayat bagi manusia. Setiap manusia membutuhkan  pendidikan  yang  tidak  terbatas  pada  ruang  dan  waktu,  karena  manusia selalu  tumbuh  dan  berkembang  sesuai  dengan  zaman.  Kebutuhan  akan  pendidikan memberikan  kemampuan,  sikap,  dan  keterampilan  sebagai  bekal  peranannya  di  masa mendatang.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  pendidikan  merupakan  faktor  yang  tidak dapat  dipisahkan  dalam  menentukan  kualitas  sumber  daya  manusia.  Untuk  mencapai kualitas sumber daya manusia yang tinggi dibutuhkan suatu pendidikan yang berkualias dan  memegang  peranan  penting  dalam  kehidupan.  Salah  satu  pendidikan  yang memegang  peranan  penting  dalam  kehidupan  manusia  adalah  pendidikan  matematika.
Hal ini tercermin dari kegiatan manusia yang setiap hari selalu terlibat dengan masalah- masalah yang berkaitan dengan matematika, mulai dari masalah yang sederhana sampai dengan masalah yang sangat kompleks.
Sesuai  dengan  tujuan  pendidikan  matematika,  yaitu  untuk  mempermudah menyelesaikan  berbagai  masalah  dalam  kehidupan  sehari–hari,  maka  pendidikan matematika dipelajari mulai dari jenjang taman kanak-kanak sampai dengan perguruan tinggi.  Oleh  karena  itu,  seluruh  siswa  dianjurkan  untuk  menguasai,  dan  memahami matematika  dengan  baik.    Seorang  peserta  didik  dikatakan  menguasai  dan  memahami matematika dalam kegitan belajar mengajar akan selalu terikat dengan hasil belajarnya. Jika  hasil  belajar  matematika  tinggi  maka  kualitas  pendidikan  matematika  tinggi, sebaliknya  jika  hasil  belajar  rendah  maka  kualitas  pendidikan  matematika  rendah. Untuk  mencapai  kualitas  pendidikan  matematika  yang  tinggi  dibutuhkan  hasil  belajar matematika  yang  tinggi  pula.  Tetapi  pada  realita  yang  ada,  hasil  belajar  matematika siswa  sangatlah  rendah.  Dari  hasil  ulangan  harian  dan  evauasi  tiap  bab  serta  ulangan tiap  semester  yang  telah  dilaksanakan,  menunjukan  rata-rata  nilai  matematika  masih dibawah  KKM  (kriteria  ketuntasan  minimum)  yang  sudah  ditetapkan.  Hasil  belajar matematika  ini  relatif  lebih  rendah  jika  dibandingkan  dengan  mata  pelajaran  lainnya yang diberikan di sekolah.
Matematika merupakan  pelajaran  yang paling banyak tidak disuka oleh peserta didik.  Banyak  peserta  didik  yang  menganggap  matematika  pelajaran  paling  sulit  jika dibandingkan  dengan  pelajaran  lainnya.  Banyaknya  materi  serta  konsep-konsep  yang harus dikuasai siswa merupakan salah satu faktor penyebab menurunnya minat terhadap matematika.  Banyaknya  metode  pengajaran  yang  berkembang  saat  ini  ternyata  masih belum  mampu  mengubah  dan  memberikan  hasil  maksimal  dalam  bidang  matematika khususnya.
Meninjau dari segi kurikulum, matematika merupakan pelajaran  yang termasuk banyak  standar  yang  harus  terpenuhi  sehingga  berdampak  banyaknya  hal  yang  mesti dicapai  oleh  siswa,  diantaranya  siswa  diharuskan  memahami  konsep  trigonometri. Trigonometri merupakan kelompok atas dalam kumpulan materi tersulit di matematika, trigonometri  sudah  diperkenalkan  di  tingkat  SLTP  namun  pada  saat  peserta  didik membahas  materi  trigonometri  di  tingkat  SLTA  banyak  siswa  yang  tidak  memahami konsep  tersebut,  padahal  trigonometri  ada  di  kelas  X,  XI  dan  XII,  artinya  termasuk materi yang  memiliki konsep terbanyak bahkan terkenal dengan banyaknya rumus atau identitas  serta  aplikasi  dari  trigonometri,  hal  ini  sebagai  bukti  bahwa  trigonometri merupakan  materi  yang  sangat  penting.  Kenyataan  yang  terjadi,  banyak  peserta  didik yang  tidak  menyukai  dan  memiliki  nilai  rendah  bahkan  terendah  jika  dibandingkan dengan  topik-topik  lainnya  di  matematika.  Hal  ini  tidak  sejalan  dengan  makna  dan tujuan  dari  pengajaran  trigonometri  itu  sendiri.  Salah  satu  faktor  utama  adalah  guru dalam  menyampaikan  materi  trigonometri  yang  kurang  inovatif  bahkan  tingkat kesulitan  materi  trigonometri  sejalan  dengan  tingkat  kesuitan  peserta  didik  menerima materi  yang  disampaikan  gurunya.  Menyikapi  hal  tersebut  di  atas,  penulis  berusaha menuangkan  ide  yang  bisa  dijadikan  alternatif  pengajaran    trigonometri  khususnya sudut-sudut  berelasi  yang  memiliki  puluhan  relasi  sudut,  sehingga  diharapkan  peserta didik  lebih  mudah  memahami  konsep  dan  mengaplikasikannya  dengan  cepat  tanpa harus menghafalkan rumus-rumusnya.
Metode  yang  akan  disajikan  berikut  merupakan  metode  yang  didasarkan  pada grafik fungsi sinus dan cosinus  yang berdasarkan pengamatan dan pengalaman penulis lebih  sederhana  dalam  mengaplikasikannya  dibandingkan  dengan  menggunakan perbandingan segitiga siku-siku di tiap kuadran.

## PEMBAHASAN
Pengkajian  rumus–rumus  perbandingan  trigonometri  untuk  sudut-sudut  yang berelasi  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  grafik  fungsi 𝑦 = sin 𝑥 dan 𝑦 = cos 𝑥 sebagaimana diperlihatkan dalam paparan berikut ini.

## 1. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟗𝟎° − 𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 4) dan (gambar 5), dapat ditentukan :
sin 𝛼° = cos(90° −  𝛼°) … … … … … … … … … … … … . . (1)
Dari grafik di atas (gambar 6) dan (gambar 7), dapat ditentukan :
cos 𝛼° = sin (90° −  𝛼°) … … … … … … … … … … … … . . (2)
2. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟗𝟎° + 𝜶°) Gambar 4 Gambar 5 𝜶 𝜶 𝟗𝟎 − 𝜶
Gambar 6 Gambar 7 𝜶 𝜶 𝟗𝟎 − 𝜶 Gambar 8 Gambar 9 𝜶 𝜶 𝟗𝟎 + 𝜶
Dari grafik di atas (gambar 8) dan (gambar 9), dapat ditentukan :
sin (90° +  𝛼°) = cos 𝛼° … … … … … … … … … … (3)
Dari grafik di atas (gambar 10) dan (gambar 11), dapat ditentukan :
cos(90° +  𝛼°) = −sin 𝛼° … … … … … … … … … . . (4)
3. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟏𝟖𝟎° − 𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 12) dapat ditentukan : sin (180° −  𝛼°) = sin 𝛼° … … … . (5)
Dari grafik di atas (gambar 13) dapat ditentukan : cos(180° −  𝛼°) = −cos 𝛼° … … (6)
Gambar 10 Gambar 11 𝜶 𝜶 𝟗𝟎 + 𝜶 Gambar 12 𝜶 𝟏𝟖𝟎 − 𝜶 𝜶 Gambar 13 𝜶 𝜶 𝟏𝟖𝟎 − 𝜶

## 4. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟏𝟖𝟎° + 𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 14) dapat ditentukan : sin (180° +  𝛼°) = −sin 𝛼° … … (7)
Dari grafik di atas (gambar 15) dapat ditentukan : cos(180° +  𝛼°) = −cos 𝛼° … … . (8)
5. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟐𝟕𝟎° − 𝜶°) Gambar 14 𝜶 𝟏𝟖𝟎 + 𝜶 𝜶 Gambar 15 𝜶 𝜶 𝟏𝟖𝟎 + 𝜶 Gambar 16 Gambar 17 𝜶 𝜶 𝟐𝟕𝟎 − 𝜶
Dari grafik di atas (gambar 16) dan (gambar 17), dapat ditentukan :
sin (270° −  𝛼°) = −cos 𝛼° … … … … … … … … … … … (9)
Dari grafik di atas (gambar 18) dan (gambar 19), dapat ditentukan :
cos(270° −  𝛼°) = −sin 𝛼° … … … … … … … … … … . . (10)
6. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟐𝟕𝟎° + 𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 20) dan (gambar 21), dapat ditentukan :
sin (270° +  𝛼°) = − cos 𝛼° … … … … … … … . . … . . (11) Gambar 18 Gambar 19 𝜶 𝜶 𝟐𝟕𝟎 − 𝜶
Gambar 20 Gambar 21 𝜶 𝜶 𝟐𝟕𝟎 + 𝜶 Gambar 22 Gambar 23 𝜶 𝜶 𝟐𝟕𝟎 + 𝜶
Dari grafik di atas (gambar 22) dan (gambar 23), dapat ditentukan :
cos (270° +  𝛼°) = sin 𝛼° … … … … … … … … … … . (12)

## 7. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟑𝟔𝟎° − 𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 24) dapat ditentukan : sin (360° −  𝛼°) = −sin 𝛼° … (13)
Dari grafik di atas (gambar 25) dapat ditentukan : cos (360° −  𝛼°) = cos 𝛼° … … (14)
8. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (𝟑𝟔𝟎° + 𝜶°) Gambar 24 𝜶 𝟑𝟔𝟎 − 𝜶 𝜶 Gambar 25 𝜶 𝟑𝟔𝟎 − 𝜶 𝜶 Gambar 26 𝜶 𝟑𝟔𝟎 + 𝜶 𝜶
Dari grafik di atas (gambar 26) dapat ditentukan : sin (360° +  𝛼°) = sin 𝛼° … … (15)
Dari grafik di atas (gambar 27) dapat ditentukan : cos (360° +  𝛼°) = cos 𝛼° … … (16)
9. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (−𝜶°)
Dari grafik di atas (gambar 28) dapat ditentukan : sin (− 𝛼°) = −sin 𝛼° … … … … … (17) Gambar 27 𝜶 𝟑𝟔𝟎 + 𝜶 𝜶 Gambar 28 𝜶 −𝜶
−𝜶 𝜶
Dari grafik di atas (gambar 29) dapat ditentukan : cos (− 𝛼°) = cos 𝛼° … … … … … … . … … … … … . (18)
Untuk menentukan rumus sudut berelasi khusus tangent, dapat menggunakan identitas;
tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 .
Beecher, Judith A. (2005:508)
Begitu juga untuk cotangent, secan dan cosecant, yaitu menggunakan identitas;
cot 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 , sec 𝛼 = 1 cos 𝛼 , cosec 𝛼 = 1 sin 𝛼 .
Beecher, Judith A. (2005:508)

## KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan:
1) Sudut  berelasi  merupakan  sudut  yang  berhubungan  dengan  sudut  lainnya,  antara di suatu kuadran dengan kuadran lainnya.
2) Dalam  penentuan  sudut  berelasi  secara  umum  dapat  menggunakan  perbandingan trigonometri segitiga siku-siku yang terbentuk dari tiap kuadran
3) Penentuan  sudut-sudut  berelasi  di  tiap  kuadran  dapat  juga  menggunakan  grafik fungsi sinus dan kosinus
4) Penentuan  sudut-sudut  berelasi  tiap  kuadran  dengan  menggunakan  grafik  fungsi sinus dan kosinus merupakan metode yang sangat sederhana dan mudah difahami jika  dibandingkan  dengan  menggunakan  perbandingan  segitiga  siku-siku  di  tiap kuadran
5) Metode  grafik  tersaji  sangat  sederhana  sehingga  dapat  dengan  mudah  diterima peserta didik
6) Metode grafik sangat menarik dalam penyajian, karena guru dapat berkreasi secara visual dalam menampilkan grafik tersebut sehingga dapat meningkatkan motivasi belajar siswa
7) Metode  grafik  sangat  efektif  dalam  penurunan  rumus-rumus  berelasi  sehingga peserta didik tidak harus menghafal rumus-rumus hasil penurunan yang jumlahnya puluhan.

## DAFTAR PUSTAKA
Beecher, Judith A. (2005). Algebra and Trigonometry. 2 nd ed. Pearson Education, Inc.