## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857

## Solusi Numerik Model Verhulst Pada Estimasi Hasil Panen Melalui
Perkembangan Produksi Padi dan Beras dengan

## Metode Milne-Simpson
Dimas Bagus Arjuna * , Riri Syafitri Lubis
Program Studi Matematika, Fakultas Sains Dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sumatera Utara, Medan Jl. William Iskandar Ps. V, Medan Estate, Kec. Percut Sei Tuan, Kabupaten Deli Serdang, Sumatera Utara, Indonesia Email: 1,* dimas0703192029@uinsu.ac.id, 2 riri_syafitri@uinsu.ac.id Email Penulis Korespondensi: dimas0703192029@uinsu.ac.id Submitted: 21/01/2024; Accepted: 30/01/2024; Published: 31/01/2024
Abstrak− Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mengembangkan  solusi  numerik  menggunakan  model  verhulst  guna memperkirakan  produksi  padi  dan  beras  di  Sumatera  Utara.  Metode  Milne-Simpson  digunakan  dalam  penelitian  ini  untuk menyediakan pendekatan numerik yang efesien dalam menyelesaikan model tersebut, dengan tujuan meningkatkan akurasi dan keefektifan estimasi pertumbuhan tanaman padi dan produksi beras di wilayah Sumatera Utara melalui pendekatan sistematis dan komputasional. Di dalam penelitian ini, penggunaan metode Milne-Simpson untuk mengestimasi hasil produksi padi dan beras di tahun berikutnya. Hasil menunjukkan bahwa estimasi produksi padi di Provinsi Sumatera Utara yaitu pada tahun 2023 sebesar 2.086.590,76 ton  dan tahun 2024 sebesar 2.098.149 ton. Sedangkan  estimasi produksi beras di Provinsi Sumatera Utara yaitu pada tahun 2023 sebesar 1.198.678,38 ton dan tahun 2024 sebesar 1.207.384 ton. Dari hasil penelitian ini juga menunjukkan  bahwa  setiap  tahunnya  produksi  padi  mengalami  pertambahan  dengan  rata-rata 13.430 dan  produksi  beras mengalami pertambahan dengan rata-rata 8.254 . Maka dari itu, dapat dilihat bahwa estimasi produksi padi dan beras di Provinsi Sumatera Utara untuk ditahun 2023-2024 mengalami peningkatan.
Kata Kunci: Beras; Milne-Simpson; Model Verhults; Padi
Abstract −The aim of this research is to develop a numerical solution using the Verhulst model to estimate paddy and rice production in North Sumatra. The Milne-Simpson method is used in this research to provide an efficient numerical approach in  solving  the  model,  with  the  aim  of  increasing  the  accuracy  and  effectiveness  of  estimating  rice  plant  growth  and  rice production in the North Sumatra region through a systematic and computational approach. In this research, the Milne-Simpson method is used to estimate paddy and rice production results in the following year. The results show that the estimated rice production in North Sumatra Province is 2,086,590.76 tons in 2023 and 2,098,149 tons in 2024. Meanwhile, the estimated rice production in North Sumatra Province is 1,198,678.38 tons in 2023 and 1,207,384 tons in 2024. The results of this research also show that every year rice production increases by an average of 13,430 and rice production increases by an average of 8,254. Therefore, it can be seen that the estimated paddy  and rice production in North Sumatra Province for 2023-2024 has increased.
Keywords: Rice; Milne-Simpson; Verhults Model; Paddy

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu sub sektor pertanian yang paling sering diproduksi adalah pangan. Pangan merupakan kebutuhan dasar yang sangat penting bagi kehidupan setiap  insane baik secara fisiologis, psikologis, social maupun antropologis [1]. Pangan selalu terkait dengan upaya manusia untuk mempertahankan hidupnya. Padi merupakan tanaman yang sudah sangat dikenal oleh seluruh kalangan  masyarakat. Tanaman  pangan  ini  menjadi salah satu  tanaman  yang sangat dibutuhkan  sebagai  sumber  makanan  pokok  yaitu  beras. Hasil olahan dari produk pertanian  padi adalah beras. Beras adalah  komoditas  yang sangat penting karena  merupakan  kebutuhan  pokok yang setiap  saat  harus dipenuhi  [2].  Padi  merupakan  tanaman  yang  sudah  sangat  dikenal  oleh  seluruhkalanganmasyarakat.  Tanaman pangan ini menjadi salah satu tanaman yang sangat dibutuhkan sebagai sumber makanan pokok yaitu beras [3].
Padi (Bahasa latin: Oryza Sativa L.) merupakan salah satu tanaman budidaya terpenting dalam peradaban. Meskipun  terutama  mengacu pada jenis  tanaman  budidaya, padi  juga digunakan  untuk mengacu pada beberapa jenis dari marga (genus) yang sama, yang biasa disebut sebagai padi liar [4] Padi diduga berasal dari India atau Indocina dan masuk ke Indonesia dibawa oleh nenek moyang yang migrasi dari daratan Asia sekitar 1500 SM [5]. Beras  merupakan  kebutuhan  primer  dalam  bidang  pangan  bagi  sebagian  besar  masyarakat Indonesia, termasuk salah  satunya  Provinsi  Sumatera  Utara.  Setiap  tahun  konsumsi  beras  terus  meningkat  namun  tidak  diimbangi dengan  meningkatnya produksi  beras. Produksi beras Sumatera Utara terus meningkat sepanjang tahun. Jumlah tersebut dapat dipengaruhi oleh tingkat produksi dan pendapatan di wilayah atau negara tersebut [6].
Permasalahan yang terjadi dalam tahun 2017 hingga 2022 mengenai produksi padi dan beras mengalami penurunan mulai dari tahun 2017-2022 sehingga produksi dari padi dan beras tersebut juga mengalami hal yang sama. Sedangkan di tahun 2021-2022, padi dan  beras  mengalami  peningkatan dari  tahun  sebelumnya  sehingga produksi  padi dan  beras  juga  ikut  mengalami  kenaikan [6].  Pengelolaan data yang ada  dapat  dilakukan dengan memanfaatkan metode Milne Simpson. Metode ini merupakan metode numerik yang digunakan sebagai metode penyelesaian  persamaan  differensial  biasa  non  linier  [7]. Metode yang konvergen  merupakan  metode  yang  jika ukuran langkahnya semakin kecil, maka solusi yang dihasilkan akan mendekati eksak. Sedangkan dalam penelitian ini akan digunakan metode Milne orde empat. Masalah yang perlu disoroti mencakup keakuratan dan keefektifan

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
solusi numerik model Verhulst dalam mengestimasi hasil panen padi.  Keunggulan  menggunakan metode Milne Simpson ini adalah dapat menyelesaikan persamaan diferensial model Verhulst melalui dari perbandingan jumlah error-nya [1].
Matematika  merupakan salah satu komponen dari serangkaian  mata pelajaran  yang  mempunyai peranan penting dalam pendidikan. Matematika merupakan salah satu bidang studi yang mendukung perkembangan ilmu pengetahuan  dan  teknologi  [8].  Matematika  adalah  salah  satu  bidang  studi  yang  memiliki  peranan  di  dunia pendidikan. Hal tersebut dapat terlihat bahwa pelajaran matematika diajarkan kepada semua tingkat pendidikan. Akan tetapi masih banyak anak merasa takut terhadap matematika. Alasan ketakutan tersebut karena anak berpikir bahwa matematika itu sukar, pelajaran matematika yang di rasa terlalu monoton dan guru yang condong menekan siswa agar mampu dalam matematika dan guru yang galak sehingga siswa cenderung mengunci diri dalam belajar dan kurang dalam mengekspresikan diri [9].
Penelitian  mengenai  Milne-Simpson  telah  banyak  dilakukan  diantaranya  oleh  Irma  Suryani,  Aldi Suprianto,Wartono,  dan  Rahmadeni.  Pada  tahun  2023  meneliti  tentang  solusi  numerik  model  Verhulst  pada estimasi  pertumbuhan  produksi  padi  menggunakan  metode  Milne-Simpson  dan  metode  Adams-Bashforth- Moulton.  Metode  Milne-Simpson  dan  Metode  Adams-Bashforth-Moulton  akan  diterapkan  untuk  menentukan solusi model Verhulst. Model Verhulst akan diaplikasikan secara numerik untuk mengestimasi hasil panen padi berdasarkan data yang dikumpulkan. Metode Milne-Simpson dan Metode Adams-Bashforth-Moulton digunakan untuk  mengintegrasikan  solusi  numerik  model  Verhulst  [10].  Proses  ini  akan  memeriksa  keakuratan  dan kecocokan model dengan data empiris yang ada. Apabila ditemukan ketidaksesuaian, maka akan menyesuaikan parameter model atau  metode numerik untuk meningkatkan kecocokan dengan data aktual.  Bentuk solusi  yang diperoleh adalah estimasi hasil panen padi di Kabupaten Gowa dengan menggunakan persamaan model Verhulst. Persamaan  model  Verhulst  terlebih  dahulu  diselesaikan  dengan  Metode  Runge-Kutta  Orde  Empat  untuk mendapatkan solusi awal 𝑃 1 =211.990,3948205; 𝑃 2 = 222.476,1620290; dan 𝑃 3 = 233.232,7088189. Kesimpulan yang  didapatkan  bahwa  kedua  metode  tersebut  dapat  digunakan  dalam  menyelesaikan  persamaan  diferensial model Verhulst. Metode Milne-Simpson lebih akurat dalam menyelesaikan persamaan diferensial model Verhulst diketahui dari perbandingan jumlah error-nya, dan Metode Milne-Simpson lebih efisien dalam melakukan iterasi karena lebih cepat dalam menyelesaikan persamaan diferensial Model Verhulst [1].
Pada  tahun  2018  meneliti  tentang  perbandingan  metode  Adams-Bashforth  Moulton  dan  metode  Milne- Simpson  dalam  penyelesaian  persamaan  diferensial  euler  orde-8.  Penelitian  ini  dilakukan  oleh  Faranika  Latip, Dorrah azis dan Surhasono. Didapatkan sistem persamaan diferensial biasa (SPDB) orde-1 dengan nilai-nilai awal yang  kemudian  disubtitusikan  kedalam  persamaan  predictor  lalu  dikoreksi  pada  persamaan  korektor  dengan pemilihan  ukuran  yang  tepat.  Diperoleh  kesimpulan  bahwa  kedua  metode  di  atas  dapat  digunakan  dalam menyelesaikan  persamaan  diferensial  Euler  orde-8.  Metode  Adams  Bashforth-Moulton  lebih  akurat  dalam menyelesaikan  persamaan  diferensial  Euler  orde-8  diketahui  dari  perbandingan  jumlah  galatnya,  sebaliknya metode Milne-Simpson lebih efisien dalam melakukan iterasi karena lebih cepat dalam menyelesaikan persamaan diferensial Euler orde-8[11].
Pada tahun 2019 meneliti tentang pemodelan produksi biogas pada reaktorti pebatch menggunakan metode Milne-Simpson  Predictor-corrector.  Penelitian  ini  dilakukan  oleh  Mohammad  Adietya  Perdana,  Rian  Febrian Umbara  dan  Isman  Kurniawan.  Dalam  memprediksi  produksi  biogas  diperlukan  suatu  model  yaitu  Anaerobic Digestion Model 1 (ADM1) karena di dalam model ADM1 mencakup kinetika disintegrasi partikel karbohidrat, protein,  lipid,  hidrolis,  dan  asam  amino.  Untuk  mendapatkan  hasil  model  yang  memiliki  keakurasian  tinggi digunakan metode numeric Milne-Simpson Predicor-Corrector. Hasil pemodelan kandungan metana dari produksi biogas pada penelitan ini mengalami kenaikan tren pada nilai konsentrasi hingga mencapai 417,51573 gCODm-3 dan  konsentrasi  mikroba  terbesar  dari  produksi  ini  adalah  konsentrasi  mikroba  glukosa  mencapai 77,67351gCODm-3 [12].
Kebutuhan  untuk  mengeksplorasi  sejauh  mana  model  Verhulst  dengan  metode  Milne-Simpson  tersebut dapat memberikan prediksi yang akurat dalam kontek prediksi untuk perkembangan produksi padi dan beras di Sumatera Utara [13]. Penelitisn ini bertujuan untuk mengembangkan solusi numerik menggunakan model verhulst guna memperkirakan produksi padi dan beras di Sumatera Utara, dengan belum adanya faktor-faktor tertentu yang dapat  mempengaruhi  estimasi  panen  padi  maka  prediksi  akan  tetap  bisa  dilakukan  menggunakan  model  yang sesuai dengan tingkat akurasi yang tepat [14].

## 2. METODOLOGI PENELITIAN
2.1. Tahapan Penelitian
a. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan  Diferensial  Biasa  (Ordinary  Differential  Equation)  disingkat  PDB  adalah  suatu  persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas [15]. Jika y(x) adalah suatu fungsi satu variabel, maka x dinamakan  variabel  bebas dan y dinamakan variabel tak bebas [16]. Bentuk umum Persamaan Diferensial Biasa Linier adalah sebagai berikut:

## Journal of Information System Research (JOSH)
a n (t) d n x dt n + a n−1 (t) d n−1 x dt n−1 + ⋯ + a 1 (t) dx dt + a 0 (t)x = f(t); dimana a n ≠ 0 (1)
Keterangan: a n , a n−1 , … , a 0 = Koefisien Persamaan Diferensial
f(t) = Input atau Unsur Nonhomogen x(t) = Output
Jika ruas sebelah kanan f(t) bernilai nol untuk semua nilai t dalam interval yang ditinjau, maka persamaan ini dikatakan homogen, sebaliknya dikatakan non homogen [7].
b. Model Verhulst
Model pertumbuhan  logistic  diperkenalkan  pertama kali oleh  matematikawan dan  juga seorang  ahli  biologi berkebangsaan  Belanda,  yaitu  Pierre  Verhulst [14].  Pada  model  ini  jumlah  populasi  dipengaruhi  oleh  besar kecilnya daya dukung lingkungan. Laju pertumbuhan populasi terbatas karena ketersediaan makanan, tempat tinggal  dan  sumber  hidup  lainnya.  Dengan  asumsi  tersebut,  jumlah  populasi  dengan  model  ini  akan  selalu terbatas  pada  suatu  nilai  tertentu  [1].  Bentuk  yang  paling  sederhana  untuk  laju  pertumbuhan  relatif  yang menjelaskan asumsi ini adalah sebagai berikut:
1 p dP dt = r(1 − P K ) (2)
Apabila persamaan (2) dikalikan dengan P , diperoleh model untuk pertumbuhan populasi yang dikenal sebagai persamaan diferensial logistik, sebagai berikut:
dP dt = r(1 − P K ) (3)
Sehingga diperoleh:
P = P 0 e rt (4)
Hasil akhir dapat dilihat bahwa untuk nilai awal t = 0 dan P(0) = P 0 . Kemudian disubstitusikan ke persamaan (4) diperoleh c = ln ( P 0 K−P 0 ) , dan selanjutnya nilai c tersebut disubstitusikan kembali terhadap persamaan (4) .
Kemudian diperoleh bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik sebagai berikut:
P n = K 1+( K−P0 P0 )e −rt (5)
Keterangan: P n = Nilai fungsi P pada n K = Kapasitas tampung P 0 = Nilai awal untuk fungsi P pada n e = Nilai awal
r = Laju produksi beras dan padi
t = Periode waktu [17]
c. Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta orde empat dapat digunakan sebagai metode pendahuluan untuk mendapatkan nilai-nilai awal  yang  dibutuhkan  pada  metode  Adams  Bashforth  Moulton orde  empat  [18].  Metode  Runge-Kutta orde empat  adalah  proses  mencari  nilai  fungsi 𝑦 dititik 𝑥 tertentu  dengan  ukuran  langkah h yang  konstan  dan digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  dengan  nilai  awal.  Rumus  metode Runge-Kutta orde empat yang sering digunakan adalah sebagai berikut [19]:
k 1 = hf(x r , y r ) k 2 = hf (x r + 1 2 h, y r + 1 2 k 1 ) k 3 = hf (x r + 1 2 h, y r + 1 2 k 2 ) k 4 = hf(x r + h, y r + k 3 ) Untuk r = 0,1,2,3, … , n
y r+1 = y r + 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (6)
Keterangan: y r+1
= Nilai selanjutnya y r = Nilai sebelumnya k 1 , k 2 , k 3 , k 4 = Ketetapan d. Metode Milne-Simpson
Penyelesaian  persamaan  diferensial  biasa  dengan  metode Milne adalah proses  mencari  nilai  fungsi  ( 𝑥 ) pada titik 𝑥 tertentu  dari  persamaan  diferensial  biasa (x, y) yang  diketahui  dengan  melakukan  prediksi  dengan

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
persamaan prediktor dan  melakukan koreksi dengan persamaan korektor [1]. Metode prediktor-korektor lain yang  terkenal  adalah  Metode  Milne-Simpson.  Prediktor  berdasarkan  integrasi  dari f(x, y(x)) pada  interval |x n−3 , x n+1 | . Persamaan predictor Milne:
y r+1 (0) = y r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) (7)
Metode Milne merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan sistem PDB yang tergolong metode banyak  langkah  (multi-step)  [17].  Metode  Milne  merupakan  metode  prediktor-korektor.  Metode  prediktor- korektor melibatkan penggunaan satu rumus untuk membuat ramalan pertama dari nilai y k yang berikutnya, dan yang diikuti oleh pemakaian sebuah rumus pembetul yang lebih diteliti yang kemudian akan menghasilkan perbaikan-perbaikan berurutan. Beberapa metode termasuk prediktor-korektor diturunkan dari PDB orde satu berikut:
dy dx = f(x, y)
(8)
Untuk  memperoleh  persamaan  prediktor, digunakan  interpolasi  polinomial.  Karena  hasil dari setiap  metode interpolasi polinomial adalah sama atau unik, maka cukup memakai satu metode interpolasi polinomial [12]. Digunakan metode interpolasi polynomial Lagrange derajat dua untuk menghampiri  fungsi f(x, y) . Sehingga diperlukan  tiga  buah  titik  yang  berjarak  sama  yaitu: (x r−2 , f r−2 ), (x r−1 , f r−1 ), (x r , f r ) .  Untuk  persamaan korektor diperlukan titik-titik (x r−1 , f r−1 ), (x r , f r ) , dan titik baru (x r+! , f r+1 ) . Setelah didapatkan f(x, y)dx untuk prediktor f(x, y)dx diintegrasikan terhadap selang [r − 3, r + 1] , sedangkan f(x, y)dx korektor, diintegrasikan terhadap selang [r − 1, r + 1] . Sehingga didapatkan metode Milne sebagai berikut :
Prediktor: y r+1 (0) = y r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) (9)
Korektor: y r+1 = y r−1 + h 3 (f r−1 + 4f r + f r+1 ) (10)
Metode  Milne-Simpson  orde  empat dapat diselesaikan  secara  iterasi,  iterasiakan  diberhentikan  apabila  galat relatif lebih dari kriteria pemberhentiannya [20].
|y r+1 −y r+1 ∗ |
|y r+1 | < ε (11)
Keterangan: y r+1 = Nilai selanjutnya dengan ukuran langkah h.
ε = Kriteria

## 2.2. Tahapan Penelitian
1. Pengumpulan teori dan data penelitian.
Langkah awal dilakukannya penelitian ditandai dengan mengumpulkan bahan materi (studi kepustakaan) untuk keperluan refrensi, yang diperol eh melalui beragam sumber seperti jurnal, buku, artikel, maupun kepustakaan lainnya  yang  memuat  milne-simpson.  Dilanjut  dengan  memahami  materi  untuk  dibahas  dengan  identifikasi masalah,  kemudian  mengkajinya.  Data  akan  terkumpul  dengan  memperolehnya  dari  Badan  Pusat  Statistik Provinsi Sumatera Utara untuk mengestimasi hasil produksi padi dan beras di Sumatera Utara.
2. Menentukan data dan variable penelitian.
Data  penelitian  yang  digunakan  adalah  produksi  padi  dan  beras.  Adapun  variabel  penelitian  tersebut  antara lain, yakni variabel respon maupun variabel prediktor.
3. Menentukan model verhulst.
Solusi numerik model Verhulst dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (2).
4. Menghitung empat solusi awal P 0 , P 1 , P 2 dan P 3 .
Setelah  menentukan  solusi  numerik  model  verhulst,  selanjutnya  adalah  menghitung  empat  nilai  solusi  awal P 0 , P 1 , P 2 dan P 3 menggunakan metode Runge-Kutta orde empat pada persamaan (5). 5. Menentukan nilai-nilai dari f r , f r−1 , f r−2 dan f r−3 Setelah menemukan nilai solusi awal P 0 , P 1 , P 2 dan P 3 , selanjutnya, yaitu menentukan nilai-nilai dari f r , f r−1 , f r−2 dan f r−3 dengan r = 3,4 … n pada persamaan (2).
6. Menghitung solusi numerik dengan metode Milne-Simpson yaitu persamaan prediktor (6).
7. Menghitung nilai f r+1 (0) = f(t r+1 , P r+1 (0) ) dengan mensubtitusikan persamaan korektor (7). 8. Melakukan pengujian Milne-Simpson
Pengujian  Milne-Simpson  diiterasikan  pada  r  hingga  memenuhi  dalam  persamaan  (8).  Untuk ε merupakan kriteria pemberitahuan yang diinginkan.
9. Jika kriteria tidak terpenuhi, maka dilakukan analisis kriteria dengan langkah h sebagai berikut:
a. Jika 19 270 , | y r+1 −y r+1 ∗ y r+1 | > 10 −9 , maka h diganti h 2 dan kembali ke langkah (5).

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
b. Jika 19 270 , | y r+1 −y r+1 ∗ y r+1 | < 10 −10 , maka h diganti 2h kemudian kembali ke langkah (5).
c. Jika  kriteria  pemberhentian  memenuhi  maka  iterasi  dilanjutkan  dengan  kembali  kelangkah  (6)  sampai memenuhi interval yang ditentukan.
10. Penarikan kesimpulan.
Dari  pengolahan  data  yang  dilakukan  menggunakan  metode  Milne-Simpson,  maka  mendapatkan  solusi numerik model verhulst pada estimasi hasil produksi padi dan beras di Provinsi Sumatera Utara untuk tahun berikutnya.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada penelitian ini, data yang digunakan adalah data sekunder dimulai dari tahun 2017 s/d 2022 yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik yang berupa produksi padi (ton) dan produksi beras (ton). Data penelitian ini disajikan dalam bentuk tabel 1 sebagai berikut:
Tabel 1. Data Penelitian No. Tahun ProduksiPadi (ton) Produksi Beras (ton) 1 2017-2018 36.357 14.826 2 2018-2019 38.402 21.914 3 2019-2020 29.383 16.768 4 2020-2021 23.388 19.645 5 2021-2022 4.513 10.883 Rata-Rata ( 𝐱̅) 26.409 16.807
Tabel 1 adalah data produksi padi dan beras dari tahun 2017-2022 dengan rata-rata produksi padi sebesar 26.409 ton dan beras sebesar 16.807

## 3.1 Penerapan Model Verhulst
a. Padi
Kapasitas  tamping  produksi  Padi  Provinsi  Sumatera  Utara  yaitu K = 3.000.000 ,  dengan  laju  pertumbuhan produksi padi (r) sebesar 0,018 atau 1,8% , P 0 = 2.004.143 sebagai nilai awal. Pada interval [0,6]. Dengan banyak iterasi n = 6 , h = b−a n = 6−0 6 = 1 Maka ukuran langkah h = 1
Model  Verhulst  pada  produksi  Padi  Provinsi  Sumatera  Utara  diperoleh  melalui  nilai-nilai  diatas,  kemudian disubstitusikan ke persamaan (3) sebagai berikut:
dP dt = rP (1 − P K ) = 0,018P (1 − P 3.000.000 )
b. Beras
Kapasitas tamping produksi Beras Provinsi Sumatera Utara yaitu K = 2.000.000 , dengan  laju pertumbuhan produksi beras (r) sebesar 0,013 atau 1,3% , P 0 = 1.149.609 sebagai nilai awal. Pada interval [0,6]. Dengan banyak iterasi n = 6 , h = b−a n = 6−0 6 = 1
Model  Verhulst  pada  produksi  Beras  Provinsi  Sumatera  Utara  diperolehmelaluinilai-nilaidiatas,  kemudian disubstitusikan ke persamaan (3) sebagai berikut:
dP dt = rP (1 − P K ) = 0,013P (1 − P 2.000.000 )
3.2 Penerapan Metode Runge-Kutta Orde Empat
a. Padi
Metode Runge-Kutta digunakan untuk menghitung empat solusi awal P 0 , P 1 , P 2 , dan P 3 terlebih dahulu dengan diketahui dP dt = 0,018P (1 − P 3.000.000 ) dengan nilai awal P 0 = 2.004.143 . Pada interval [0,6] dengan ukuran langkah h = 1 .
Tabel 2. Solusi Awal PadiMenggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat Pada Model Verhulst
𝐡 = 𝟏
𝐫 𝐭 𝐫 𝐏 𝐫 𝐏 ′ = (𝐭, 𝐏)
= 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝐏 (𝟏 − 𝐏 𝟑. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ) 0 0 2.004.143 11.975,039

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
𝐡 = 𝟏 𝐫 𝐭
𝐫 𝐏 𝐫 𝐏 ′ = (𝐭, 𝐏) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝐏 (𝟏 −
𝐏 𝟑. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ) 1 1 2.016.081,6 11.901,9587 2 2 2.027.946,5 11.827,6348 3 3 2.039.736,47 11.752,1073 b. Beras
Metode Runge-Kutta digunakan untuk menghitung empat solusi awal P 0 , P 1 , P 2 , dan P 3 terlebih dahulu dengan diketahui dP dt = 0,013P (1 − P 2.000.000 ) dengan nilai awal P 0 = 1.149.609 . Pada interval [0,6] dengan ukuran langkah h = 1 .
Tabel 3. Solusi Awal Beras Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat Pada Model Verhulst
𝐡 = 𝟏
𝐫 𝐭 𝐫 𝐏 𝐫 𝐏 ′ = (𝐭, 𝐏) = 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝐏 (𝟏 −
𝐏 𝟐. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ) 0 0 1.149.609 6.354,51146 1 1 1.155.957,25 6.341,90266 2 2 1.162.292,64 6.328,79714 3 3 1.168.614,68 6.315,19907
3.3 Penerapan Metode Milne-Simpson
a. Padi
Nilai-nilai P 0 , P 1 , P 2 , dan P 3 serta  nilai f n (t n , P n ) yang  diperoleh  melalui  metode  Runge-Kutta  Orde  Empat disubsitusikan kepersamaan predictor Milne-Simpson pada persamaan (9) sebagai berikut:
P r+1 (0) = P r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) 1. Untuk r = 3 dan P 0 = 2.004.143
P r+1 (0) = P r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) P 3+1 (0) = P 0 + 4(1) 3 (2f 1 − f 2 + 2f 3 ) P 4 (0) = 2.004.143 + 4 3 (2(11.975,039) − (11.827,6348) + 2(11.752,1073))
P 4 (0) = 2.004.143 + 4 3 (23.950,078 − 11.827,6348 + 23.504,2146)
P 4 (0) = 2.004.143 + 4 3 (35.626,6578)
P 4 (0) = 2.004.143 + 47.502,2104 P 4 (0) = 2.051.645,21
Setelah  mendapatkan  nilai-nilai f r+1 (0) selanjutnya  di  subsitusikan  kepersamaan  korektor  Milne-Simpson pada persamaan (10) sebagai berikut:
P r+1 = P r−1 + h 3 (f r−1 + 4f r + f r+1 ) f 4 (0) (t 4 , P 4 (0) ) = f 4 (4; 2.051.645,21)
f 4 (0) = 0,018 × 2.051.645,21 (1 − 2.051.645,21 3.000.000 ) f 4 (0) = 36.929,6138(1 − 0,68388174) f 4 (0) = 36.929,6138(0,31611826) f 4 (0) = 11.674,1254 2. Untuk r = 3,  t 4 = 4,  P 2 = 2.027.946,5
P r+1 = P r−1 + h 3 (f r−1 + 4f r + f r+1 )
P 3+1 (1) = P 2 + h 3 (f 2 + 4f 3 + f 4 )
P 4 (1) = 2.027.946,5 + 1 3 (11.827,6348 + 4(11.752,1073) + 11.675,4152)

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
P 4 (1) = 2.027.946,5 + 1 3 (11.827,6348 + 47.008,4292 + 11.675,4152)
P 4 (1) = 2.027.946,5 + 1 3 (70.511,4792)
P 4 (1) = 2.027.946,5 + 23.503,8264
P 4 (1) = 2.051.450,33
Kemudian, nilai prediktor dan korektor akan digunakan untuk mencari error relatif sebagai berikut: 𝛆 = 𝟓 × 𝟏𝟎 −𝟗
| P 4 (1) −P 4 (0) P 4 (1) | = | 2.051.450,33−2.051.645,21
2.051.450,33 | = 0,95 × 10 −7
b. Beras
Nilai-nilai P 0 , P 1 , P 2 , dan P 3 serta  nilai f n (t n , P n ) yang  diperoleh  melalui  metode  Runge-Kutta  Orde  Empat disubsitusikan kepersamaan prediktor Milne-Simpson pada persamaan (9) sebagai berikut:
P r+1 (0) = P r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) 1. Untuk r = 3 dan P 0 = 1.149.609
P r+1 (0) = P r−3 + 4h 3 (2f r−2 − f r−1 + 2f r ) P 3+1 (0) = P 0 + 4(1) 3 (2f 1 − f 2 + 2f 3 ) P 4 (0) = 1.149.609 + 4 3 (2(6.341,90266) − (6.328,79714) + 2(6.315,19907))
P 4 (0) = 1.149.609 + 4 3 (12.683,8053 − 6.328,79714 + 12.630,3814
P 4 (0) = 1.149.609 + 4 3 (18.985,3896)
P 4 (0) = 1.149.609 + 25.313,8527 P 4 (0) = 1.174.922,85
Setelah mendapatkan nilai-nilai f r+1 (0) selanjutnya disubsitusikan kepersamaan korektor Milne-Simpson pada persamaan (10) sebagai berikut:
P r+1 = P r−1 + h 3 (f r−1 + 4f r + f r+1 ) f 4 (0) (t 4 , P 4 (0) ) = f 4 (4; 1.174.922,85)
f 4 (0) = 0,013 × 1.174.922,85 (1 − 1.174.922,85 2.000.000 ) f 4 (0) = 15.273,997(1 − 0,58746142)
f 4 (0) = 15.273,997(0,41253858)
f 4 (0) = 6.301,11296 2. Untuk r = 3,  t 4 = 4,  P 2 = 1.162.292,64
P r+1 = P r−1 + h 3 (f r−1 + 4f r + f r+1 ) P 3+1 (1) = P 2 + h 3 (f 2 + 4f 3 + f 4 ) P 4 (1) = 1.162.292,64 + 1 3 (6.328,79714 + 4(6.315,19907) + 6.301,11289)
P 4 (1) = 1.162.292,64 + 1 3 (6.328,79714 + 25.260,7963 + 6.301,11289)
P 4 (1) = 1.162.292,64 + 1 3 (37.890,7063) P 4 (1) = 1.162.292,64 + 12.630,2354 P 4 (1) = 1.174.922,88
Kemudian, nilai prediktor dan korektor akan digunakan untukmencari error relative sebagai berikut: 𝛆 = 𝟓 × 𝟏𝟎 −𝟗
| P 4 (1) −P 4 (0) P 4 (1) | = | 1.174.922,88−1.174.922,85 1.174.922,88
| = 0,26 × 10 −7

## 3.4 Pembahasan
Pada penelitian ini, dibahas tentang solusi  numerik  model verhulst pada estimasi hasil panen produksi padi dan beras di Provinsi Sumatera Utara dengan  menggunakan metode Milne-Simpson. Dari hasil penelitian ini, solusi numeric  dengan  ukuran  langkah h yang  dipilih  adalah  1  dengan  kriteria  pemberhentian ε = 5 × 10 −9 .  Pada

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
langkah 3 menghitung tiga solusi awal dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat terhadap produksi padi,  yakni P 1 = 2.016.081,6 ; P 2 = 2.027.946,5 dan P 3 = 2.039.736,47 .  Sedangkan,  tiga  solusi  awal  dengan menggunakan  metode  Runge-Kutta  ordeempat  terhadap  produksi  beras,  yakni P 1 = 1.155.957,25 ; P 2 = 1.162.292,64 dan P 3 = 1.168.614,68 .  Tiga solusi  awal  tersebut disubstitusikan kedalam  model  verhulst  untuk memperoleh nilai-nilai f r , f r−1 , f r−2 , f r−3 . Pada langkah 5 mengestimasi nilai P r dengan r = 3,4, … , n menggunakan metode  Milne-Simpson.  Sehinggadidapatkanjumlahestimasihasilproduksipadi  dan  beras  di  Provinsi  Sumatera Utara yang terlihat semakin meningkat setiap tahunnya. Berikut tabel 4 merupakan tabel hasil estimasi produksi padi dan di Provinsi Sumatera Utara pada Tahun 2017-2024:
Tabel 4. Estimasi Hasil Panen Produksi Padi dan Beras di Provinsi Sumatera Utara Tahun 2017-2024
No. Tahun Padi (ton) Beras (ton) 1 2017 2.004.143 1.149.609 2 2018 2.016.081,6 1.155.957,25 3 2019 2.027.946,5 1.162.292,64 4 2020 2.039.736,47 1.168.614,68 5 2021 2.051.450,33 1.174.922,88 6 2022 2.074.954,16 1.189.975,56 7 2023 2.086.590,76 1.198.678,38 6 2024 2.098.149 1.207.384
Berdasarkan Tabel 4 dapat dilihat estimasi hasil panen produksipadi dan beras di Provinsi Sumatera Utara pada tahun 2017-2024 yang didapat. Pada Tabel  4 juga terlihat estimasi  hasil panen produksi padi dan beras di Provinsi Sumatera Utara mengalami kenaikan setiap tahunnya. Berikut tabel 5 merupakan tabel pertambahan hasil panen produksi padi dan beras dari tahun 2017-2024 sebagai berikut:
Tabel 5. Pertambahan Hasil Panen Produksi Padi dan Beras di Provinsi Sumatera Utara Tahun 2017-2024
No. Tahun Padi (ton) Beras (ton) 1 2017-2018 11.939 6.348 2 2018-2019 11.865 6.335 3 2019-2020 11.790 6.322 4 2020-2021 11.714 6.308 5 2021-2022 23.504 15.053 6 2022-2023 11.637 8.703 7 2023-2024 11.558 8.706 Rata-Rata ( (𝐱̅) 13.430 8.254

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan diatas dan hasil dari penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa penggunaan model verhults dalam menentukan solusi awal padi menggunakan metode runge kuta orde 4 dengan h = 1; r = 0; t r = 0 sehingga menghasilkan P r = 2.004.143 dengan nilai P ′ = 11.975,039 . h = 1; r = 1; t r = 1 sehingga menghasilkan P r = 2.016.081,6 dengan  nilai P ′ = 11.901,9578 . h = 1; r = 2; t r = 2 sehingga  menghasilkan P r = 2.027.946,5 dengan  nilai P ′ = 11.827,6348 . h = 1; r = 3; t r = 3 sehingga  menghasilkan P r = 2.039.736,47 dengan  nilai P ′ = 11.752,1073 . Sedangkan  penggunaan  model  verhults  dalam  menentukan  solusi  awal  beras  menggunakan metode runge kuta orde 4 dengan h = 1; r = 0; t r = 0 sehingga menghasilkan P r = 1.149.609 dengan nilai P ′ = 6.354,51146 . h = 1; r = 1; t r = 1 sehingga  menghasilkan P r = 1.155.957,25 dengan  nilai P ′ = 6.341,90266 . h = 1; r = 2; t r = 2 sehingga  menghasilkan P r = 1.162.292,64 dengan  nilai P ′ = 6.328,79714h = 1; r = 3; t r = 3 sehingga menghasilkan P r = 1.168.614,68 dengan nilai P ′ = 6.315,19907 .Penggunaan metode Milne- Simpson  untuk  estimasi  produksi  padi  di  Provinsi  Sumatera  Utara  yaitu  pada  tahun  2023  mencapai  hasil sebesar 2.086.590,76 ton dan tahun 2024 sebesar 2.098.149 ton. Sedangkan penggunaan metode Milne-Simpson untuk estimasi produksi  beras di Provinsi Sumatera Utara yaitu pada tahun 2023 sebesar 1.198.678,38 ton dan tahun 2024 sebesar 1.207.384 ton Dari hasil penelitian ini juga menunjukkan bahwa setiap tahunnya hasil estimasi jumlah produksi padi dan beras di Provinsi Sumatera Utara meningkat dari tahun sebelumnya ataupun stabil.

## REFERENCES
[1]  I. Suryani, A. Suprianto, W. Wartono, and R. Rahmadeni, “Solusi Numerik Model Verhulst Pada Estimasi Pertumbuhan Produksi Padi Menggunakan Metode Milne-Simpson dan Metode Adams-Bashforth-Moulton,” Jurnal Sains Matematika dan Statistika, vol. 9, no. 1, p. 27, Jan. 2023, doi: 10.24014/jsms.v9i1.19694.
[2]  Q. A. Mahmuda, W. Sari, and  D. Agustin, “Analisis Pengendalian  Internal Persediaan Bahan Baku terhadap  Aktivitas Produksi.”, vol. 1, no. 5, 2022
[3]  Sintama,  N.“Pemberian  Berbagai  Jenis  Kompos  dan  Interval  Pemberian  Air  Terhadap  Pertumbuhan,  Produksi  dan

## Journal of Information System Research (JOSH)
Volume 5, No. 2, Januari 2024, pp 722−730 ISSN 2686-228X (media online) https://ejurnal.seminar-id.com/index.php/josh/ DOI 10.47065/josh.v5i2.4857
Perkembangan Tanaman Padi (Oryza Sativa L)”. (Doctoral dissertation, Universitas Bosowa), 2022
[4]  I.  Pratiwi  Gurning  et  al.,  “TREND  AND  ESTIMATION  OF  RICE  PRODUCTION  AND  RICE  CONSUMPTION  IN CENTRAL BORNEO PROVINCE,” vol. 14, no. 1, Feb. 2019, pp. 48-61.
[5]  Maharani, F., Batubara, S., Makharani, M., Utami, T. W., Sayuti, A., Shanty, A. M. M., & Hasibuan, L. S. “Pengantar Ekonomi”, 2022
[6]  Berita Resmi Statistik. Luas Panen dan Produksi Padi di Provinsi Sumatera Utara 2022 (Angka Tetap). No. 17/03/12/Th. XXVI, 1 Maret 2023.
[7]  D. S. O. Panggabean, E. Buulolo, and N. Silalahi, “Penerapan Data Mining Untuk Memprediksi Pemesanan Bibit Pohon Dengan  Regresi  Linear  Berganda,”  JURIKOM  (Jurnal  Riset  Komputer),  vol.  7,  no.  1,  pp.  56,  Feb.  2020,  doi: 10.30865/jurikom.v7i1.1947.
[8]  H. Cipta, “EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MODEL GRASHA-RIECHMANN TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA.” Januari. 2018.
[9]  Y. Maharani and R. Syafitri Lubis, “PROBLEMATIKA PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA PEMBELAJARAN TATAP MUKA TERBATAS (PTMT) DI SMP MUHAMMADIYAH,” vol. 2, no. 6, Desember 2022, doi: 2808-8832.
[10] I.  Pratiwi  Gurning  et  al.,  “TREND  AND  ESTIMATION  OF  RICE  PRODUCTION  AND  RICE  CONSUMPTION  IN CENTRAL BORNEO PROVINCE,” vol. 14, no. 1, Feb. 2019, pp. 48-61.
[11] Aksim, D., Pavlov, D.,"Ontheextension of Milne-Simpson methods fornumerical integration of delay differential equation and application to the moon orbit", Mathematics in Computer Science, vol. 14, pp. 103-109, 2020.
[12] S. Side, M. S. Wahyuni, and D. Arifuddin, “Solusi Numerik Model Verhulst pada Estimasi Pertumbuhan Hasil Panen Padi dengan Metode Adam Bashforth-Moulton (ABM),” vol. 2, no. 1, pp. 91-98, April 2019.
[13] A.  Wanto  et  al.,  “Epoch  Analysis  and  Accuracy  3  ANN  Algorithm  using  Consumer  Price  Index  Data  in  Indonesia,” Scitepress, May 2021, pp. 35–41. doi: 10.5220/0010037400350041.
[14] R.  Manafe  and  K.  Br  Ginting,  “ANALISIS  MODEL  VERHULTS  KAITANNYA  DENGAN  KETERSEDIAAN DOKTER UMUM DI KABUPATEN TTS,” J-ICON, vol. 7, no. 1, pp. 9–16, 2019.
[15] S. Side, M. S. Wahyuni, and D. Arifuddin, “Solusi Numerik Model Verhulst pada Estimasi Pertumbuhan Hasil Panen Padi dengan Metode Adam Bashforth-Moulton (ABM),” vol. 2, no. 1, pp. 91-98, April 2019.
[16] R. A. Samosir, M. F. Rozy, and  A. P.  Windarto, “Penerapan Algoritma Regresi Linier Berganda  dalam Mengestimasi Jumlah Perceraian di Pengadilan Agama Simalungun,” vol. 2, no. 1, pp. 16–20, Juni 2021.
[17] H.  A.  Sitompul  and  E.  W.  B.  Siahaan,  “SOLUSI  NUMERIK  PERSAMAAN  DIFERENSIAL  BIASA  ORDE  DUA DENGAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER,” JURNAL ILMIAH TEKNIK SIPIL, vol. 11, no. 2, p. 379, Aug. 2022, doi: 10.46930/tekniksipil.v11i2.2841.
[18] Aksim, D., Pavlov, D.,"Ontheextension of Milne-Simpson methods fornumerical integration of delay differential equation and application to the moon orbit", Mathematics in Computer Science, vol. 14, no. 103-109, April 2020.
[19] P.  S.  Studi  et  al.,  “HUBUNGAN  SELF  EFFICACY  DENGAN  PROBLEM  FOCUSED  COPING  PADA  PASIEN HIPERTENSI,” Jurnal Ners Widya Husada, vol. 7, no. 1.
[20] Apriani, D., Wasono, W., & Huda, M. N. “Penerapan Metode Adams- Bashforth-Moulton pada Persamaan Logistik Dalam Memprediksi Pertumbuhan Penduduk di Provinsi Kalimantan Timur”, 2022. vol. 13, no. 2, pp. 95-102.