## KAJIAN KEADAAN TERMODINAMIK GAS ARGON MODEL GAS IDEAL, VAN DER WAALS, SONG MASON, DAN BEATTIE BRIDGEMAN BERDASARKAN KOMPUTASI NEWTON RAPHSON

## Kartika Dwi Putri, Ali Warsito, dan Andreas Ch Louk
Jurusan Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana, Jl. Adisucipto Penfui, Kupang, Nusa Tenggara Timur, 85001, Indonesia E-mail: ali.warsito@staf.undana.ac.id

## Abstrak
Telah dilakukan kajian komputasi keadaan termodinamik gas argon berdasarkan variasi P,V dan T dengan  tujuan  memperoleh  formulasi  komputasi  numerik  Newton  Raphson  terhadap  model  Gas Ideal, Van Der Waals, Song Mason dan Beattie Bridgeman, mendapatkan pola perubahan keadaan termodinamika didasarkan pada terapan keempat model  serta memperoleh tingkat akurasi solusi dari implementasi metode Newton Raphson didasarkan pada solusi analitik. Solusi dari keempat persamaan keadaan tersebut secara analitik bisa saja dilakukan, namun akan membutuhkan waktu yang lebih lama dan cukup sulit sehingga digunakan metode komputasi Newton Raphson sebagai solusi alternatif. Hasil penelitian menunjukkan penggunaan keempat model untuk perhitungan nilai tekanan, volume dan temperatur (P-V-T) dengan memberikan asumsi nilai massa untuk senyawa Argon m = 3 kg, dengan P = 744 kPa, V = 0,2 m3 dan T= 250 memberikan solusi yang akurat. Konvergensi metode Newton Raphson menuju solusi cepat dengan hasil yang didapat sesuai dengan perhitungan  secara  analitik.  Error  relatif  maksimum  metode  analitik  maupun  metode  numerik, 𝐸𝑟  =  0,052069085 pada toleransi error 𝐸𝑟  =  1 × 10 −04
Kata  kunci : Argon;  Gas  Ideal;  Van  der  Waals;  Song  Mason;  Beattie  Bridgeman;  komputasi numerik; metode Newton Raphson.

## Abstract
A computational study of the thermodynamic state of argon gas based on variations of P, V and T has been carried out with the aim of obtaining a numerical computational formulation of Newton Raphson on the Ideal Gas, Van Der Waals, Song Mason and Beattie Bridgeman models, obtaining a pattern of changes in the thermodynamic state based on the application of the four models and obtaining The solution accuracy level of the Newton Raphson method implementation is based on analytical solutions. The solution of the four equations of state is analytically possible, but it will take a longer time and is quite difficult, so Newton Raphson's computational method is used as an alternative solution. The results showed that the use of the four models for calculating the value of pressure, volume and temperature (P-V-T) by assuming the mass value for Argon compounds m = 3 kg, with P = 744 kPa, V = 0.2 m3 and T = 250 gave an accurate solution. . The convergence of the Newton Raphson method towards a fast solution with the results obtained in accordance with analytical  calculations.  The  maximum  relative  error  of  analytical  and  numerical  methods,  Er  = 0.052069085 at error tolerance 𝐸𝑟  =  1 × 10 −04 .
Keywords : Argon;  Ideal  Gases;  Van  der  Waals;  Song  Masons;  Beattie  Bridgeman;  numerical computing; Newton Raphson's method.

## PENDAHULUAN
Persamaan  gas  ideal  yang  diperoleh secara  empirik  dari  hasil  pengamatan  Boyle, Gay  Lussac  serta  yang  lainnya  ternyata  hanya sesuai untuk keadaan gas pada temperatur agak tinggi  dan  tekanan  rendah.  Pada  percobaan untuk meneliti hubungan termodinamika yakni tekanan,  volume  dan  juga  temperatur  (P-V-T)
suatu gas ditemukan bahwa ia menyimpang dari keadaan ideal. Hal ini dikarenakan adanya gaya tarik-menarik  antarmolekul  (terutama  pada tekanan tinggi) dan volum molekul-molekulnya tidak  dapat  diabaikan  begitu  saja.  Jenis persamaan  keadaan  yang  dapat  digunakan untuk  mengkaji  suatu  kasus  gas  nyata  (non- ideal)  yakni  persamaan  keadaan  Van  Der
Waals,  Song  Mason,  dan  Beattie  Bridgeman. Ketiga  persamaan  keadaan  ini  merupakan persamaan  nonlinear  dengan  permodelan matematika  yang  muncul  dalam  bentuk  yang tidak ideal.[1]
Solusi fisis secara analitik bisa dilakukan,  namun  tidak  efektif  dan  efisien. Tuntutan  aspek  akurasi  dan  presisi  dalam perhitungan sifat gas terhadap hasil instrumentasi  eksperimental  telah  mendorong pemanfaatan    metode  perhitungan  numerik dengan  bantuan  teknologi  komputer  atau metode komputasi numerik. Komputasi
(computation)  atau  sains  komputasi  adalah bagian integral sains modern dengan kemampuan  ekploitasi  “kekuatan”  komputer secara efektif didalam aktivitas seorang saintis, memadukan intuisi fisika, metode numerik dan pemrograman  komputer  [2].  Penyelesaian solusi  untuk  ketiga  persamaan  keadaan termodinamika gas nyata berbentuk model non linear diatas dapat diselesaikan dengan metode numerik Newton Raphson.
Sudut  pandang  termodinamika  yang penting dari argon terletak pada kesederhanaan molukel.  Saat  molukel  adalah  monoatomik, nonpolar  dan  benar-benar  bulat,  cairan  argon umumnya digunakan sebagai referensi menguji pendekatan molukeler untuk memprediksi sifat termodinamika  dan  untuk  mengkalibrasi  data baru untuk pengukuran termodinamika [3].

## MATERI DAN METODE Gas Ideal dan Gas Nyata
Gas ideal adalah gas teoritis yang terdiri dari partikel-partikel titik yang bergerak secara acak dan tidak saling berinteraksi. Secara umum gas  berperilaku  seperti  gas  ideal  pada temperatur  tinggi  dan  tekanan  rendah,  karena kerja  yang  melawan  gaya  intermolekuler menjadi  jauh  lebih  kecil  bila  dibandingkan dengan  energi  kinetik  partikel,  dan  ukuran molekul  juga  menjadi  jauh  lebih  kecil  bila dibandingkan  dengan  ruang  kosong  antar molekul. Formulasi untuk persamaan Gas Ideal adalah sebagai berikut:
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (1)
Oleh  karena  gas  secara  nyata  tidak memenuhi  gas  ideal,  para  peneliti  melakukan pendekatan persamaan keadaan  gas yang lebih sesuai  untuk  keadaan  gas  nyata  (real  gas). Dalam gas nyata, molekul gas berinteraksi satu sama lain sehingga pada kompresi dan ekspansi terjadi  perubahan  energi  kinetik  gas.  Faktor
kompresi  digunakan  sebagai  perbandingan antara  gas  ideal  dan  gas  nyata  digambarkan melalui grafik pada Gambar 1
Gambar 1. Perbandingan kompresi gas nyata terhadap gas ideal [4]
Berdasarkan  Gambar  1,  gas  nyata memiliki  sifat  sebagaimana  gas  ideal  pada tekanan  sangat  kecil  ( ≅ 0 𝑎𝑡𝑚) dan  pada kenaikan tekanan kompresi mengalami perubahan sesuai karakteristik gas [4].

## Model Persamaan Van der Waals
Johannes  Diderik  van  der  Waals  adalah seorang fisikawan asal Belanda yang mengusulkan  persamaan  keadaan  gas  nyata dengan  modifikasi  persamaan  gas  ideal  yang dilakukan dengan dua cara, yaitu cara pertama menambahkan  koreksi  pada  tekanan  (P)  untuk mencakup  interaksi  antarmolekul  dan  cara kedua  dengan  mengurangi  Volume  (V)  yang menjelaskan  volume  nyata  molekul  gas. Formulasi  untuk  persamaan  Van  der  Waals adalah sebagai berikut:
(𝑃 + 𝑛 2 𝑎 𝑉 2 ) (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 (2)

## Model Persamaan Song Mason
Song  dan  Mason  memperoleh  persamaan analitis  keadaan  untuk convex-molucule  fluids berdasarkan  statistik  mekanis  teori  perturbasi, yaitu:
𝑃 𝜌𝑘𝑇 = 1 +   𝐵 2 (𝑇)𝜌 +  𝛼(𝑇)𝜌[𝐺(𝜂) − 1] (3)

## Model Persamaan Beattie Bridgeman
Persamaan  keadaan  Beattie-Bridgeman digunakan  untuk  mengembangkan  persamaan beberapa sifat termodinamika dan proses aliran faktor  koreksi  untuk  gas.  Kenaikan kalor  jenis karena  getaran  molekul  diatomik  dimasukkan dengan  mengasumsikan  molekul  menjadi osilator  harmonik  sempurna.  Termodinamika dan  persamaan  proses  aliran  secara  teoritis dikembangkan.  Khusus  proses  aliran  yang
diselidiki adalah ekspansi isentropik dan aliran melalui  gelombang  kejut  biasa  [5].  Persamaan keadaan  Beattie-Bridgeman  untuk  gas  tidak sempurna adalah sebagai berikut:
𝑃 = 𝑅𝑇 𝑣 2 (1 − 𝑐 𝑣𝑇 3 ) [𝑣 + 𝐵 𝑜 (1 − 𝑏 𝑣 )] − 𝐴 𝑜 𝑣 2 (1 − 𝑎 𝑣 ) (4)

## Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson adalah metode iterasi  lain  untuk  memecahkan  persamaan f(x)=0,  dengan  f  diasumsikan  mempunyai turunan  kontinu  f’.  Dengan  menggunakan suatu  nilai  x i sebagai  tebakan  awal  yang diperoleh  dengan  melokalisasi  akar-akar  dari f(x)  terlebih  dahulu,  kemudian  ditentukan  x i+1 sebagai  titik  potong  antara  sumbu  x  dan  garis singgung pada kurva f di titik (x i ,f(x i ). Prosedur yang sama diulang, menggunakan nilai terbaru sebagai nilai coba untuk iterasi seterusnya.
Gambar  2.  Ilustrasi  geometris  metode  Newton Raphson [2,6]
Langkah-langkah  metode  Newton-Raphson untuk mencari akar persamaan 𝑓(𝑥) = 0 yakni:
1. Evaluasi 𝑓′(𝑥) secara simbolis
2. Gunakan tebakan awal akar, 𝑥 𝑖 , untuk memperkirakan nilai baru dari akar, 𝑥 𝑖+1 , dengan menggunakan persamaan 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓(𝑥 𝑖 ) 𝑓′(𝑥 𝑖 ) (5)
3. Temukan kesalahan perkiraan relatif absolut |∈ 𝑎 | sebagai
|∈ 𝑎 | = | 𝑥 𝑖+1 −𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 | × 100 (6)
4. Bandingkan  kesalahan  perkiraan  relatif absolut dengan relatif yang telah ditentukan sebelumnya
toleransi kesalahan, ∈ 𝑠 . Jika |∈ 𝑎 | >∈ 𝑠 , lanjutkan ke Langkah 2, jika tidak, hentikan algoritma.
Dan  juga,  periksa  apakah  jumlah  iterasi telah  melebihi  jumlah  iterasi  maksimum yang diperbolehkan [6].

## METODE
Penelitian dilakukan dengan cara menentukan  nilai  Tekanan,  Volume  dan Temperatur secara komputasi dengan menggunakan  empat  model  yaitu  persamaan gas  ideal,  persamaan  keadaan  Van  der  Waals, persamaan keadaan Song Mason dan persamaan  keadaan  Beattie  Bridgeman  untuk Argon  yang  diimplementasikan  ke  dalam Metode  Newton  Raphson.  Masing-masing persamaan  keadaan  yang  telah  diformulasikan ke  dalam  metode  Newton  Raphson  tersebut dimasukkan  ke  dalam  program  menggunakan
Software Python. Python  dipilih  karena  menjadi    bahasa pemrograman interpretatif yang luas penggunaannya, mudah dipelajari serta
berfokus pada keterbacaan kode dan multiplatform. [6] Penentuan tekanan, volume dan temperature  memuat  implemetasi  Newton Raphson  dalam  kode  Python  didasarkan  pada diagram alir pada gambar 3, 4 dan 5.
1. Penentuan Tekanan
Berdasarkan  dari  persamaan  (1),  (2),  (3),  dan (4)  berturut-turut  didapat  nilai  f(P)  dan  f’(P) untuk penentuan tekanan untuk masing-masing model adalah sebagai berikut:
 𝑓(𝑃) = 𝑃 − 𝑛𝑅𝑇 𝑉 (7)
𝑓 ′ (𝑃) = 1 (8)  𝑓(𝑃) = (𝑃 + 𝑎 𝑣 2 ) (𝑣 − 𝑏) − 𝑅𝑇 (9)
𝑓 ′ (𝑃) = 𝑣 − 𝑏 (10)  𝑓(𝑃) = 𝑃 𝜌𝑘𝑇 − 1 −  𝐵 2 ( 𝑇)𝜌 − 𝛼(𝑇)𝜌 [( 1−𝛾 1 𝜂+𝛾 2 𝜂 2 (1−𝜂) 3 ) − 1] (11)
𝑓 ′ (𝑃) = 𝑃 𝜌𝑘𝑇 (12)  𝑓(𝑃) = 𝑃 − 𝑅𝑇 𝑣 2 (1 − 𝑐 𝑣𝑇 3 ) [𝑣 + 𝐵 𝑜 (1 − 𝑏 𝑣 )] + 𝐴 𝑜 𝑣 2 (1 − 𝑎 𝑣 ) (13)
𝑓 ′ (𝑃) = 1 (14)
Gambar 3. Flowchart Metode Numerik Newton
Raphson untuk Perhitungan Tekanan
2. Penentuan Volume
Berdasarkan  dari  persamaan  (1),  (2),  (3),  dan (4)  berturut-turut  didapat  nilai  f(V)  dan  f’(V) untuk penentuan volume untuk masing-masing model adalah sebagai berikut:
 𝑓(𝑉) = 𝑃 − 𝑛𝑅𝑇
𝑉
(15)
𝑓 ′ (𝑉) = 𝑛𝑅𝑇 𝑉 2 (16)
 𝑓(𝑉) = (𝑃 + 𝑎 𝑣 2 ) (𝑣 − 𝑏) − 𝑅𝑇
(17)
𝑓 ′ (𝑉) = 𝑃 − 𝑎 𝑣 2 + 2𝑎𝑏 𝑣 3 (19)
 𝑓(𝑉) = 𝑃 − 𝑅𝑇 𝑣 2 (1 − 𝑐 𝑣𝑇 3 ) [𝑣 + 𝐵 𝑜 (1 − 𝑏 𝑣 )] + 𝐴 𝑜 𝑣 2 (1 − 𝑎 𝑣 ) (20)
𝑓 ′ (𝑉) = − 2𝑅𝑇 𝑣 3 + 2𝑅𝑇𝑐 𝑣 3 𝑇 3 + 3𝑅𝑇𝑐𝐵 𝑜 𝑣 4 𝑇 3 − 4𝑅𝑇𝑏𝑐𝐵 𝑜 𝑣 5 𝑇 3 + 2𝐴 𝑜 𝑣 3 − 3𝐴 𝑜 𝑎 𝑣 4 (21)
3. Penentuan Temperatur
Berdasarkan  dari  persamaan  (1),  (2),  (3),  dan (4)  berturut-turut  didapat  nilai  f(T)  dan  f’(T) untuk  penentuan  temperatur  untuk  masing- masing model adalah sebagai berikut:
 𝑓(𝑃) = 𝑃 − 𝑛𝑅𝑇 𝑉 (22)
𝑓 ′ (𝑃) = − 𝑛𝑅 𝑉 (23)
 𝑓(𝑃) = (𝑃 + 𝑎 𝑣2 ) (𝑣 − 𝑏) − 𝑅𝑇 (24) 𝑓 ′ (𝑃) = −𝑅 (25)
 𝑓(𝑃) = 𝑃 𝜌𝑘𝑇 − 1 −   𝐵 2 (𝑇)𝜌 − 𝛼(𝑇)𝜌 [( 1−𝛾 1 𝜂+𝛾 2 𝜂 2 (1−𝜂) 3 ) − 1] (26)
𝑓 ′ (𝑃) = 𝑃 𝜌𝑘𝑇 2 (27)
 𝑓(𝑃) = 𝑃 − 𝑅𝑇 𝑣 2 (1 − 𝑐 𝑣𝑇 3 ) [𝑣 + 𝐵 𝑜 (1 − 𝑏 𝑣 )] + 𝐴 𝑜 𝑣 2 (1 − 𝑎 𝑣 ) (28)
𝑓 ′ (𝑃) = − 𝑅 𝑣 − 𝑅𝐵 𝑜 𝑣 2 + 𝑅𝐵 𝑜 𝑏 𝑣 3 − 2𝑅𝑐 𝑣 2 𝑇 3 − 2𝑅𝑐𝐵 𝑜 𝑣 3 𝑇 3 − 2𝑅𝑏𝑐𝐵 𝑜 𝑣 4 𝑇 3 (29)
Gambar 4. Flowchart Metode Numerik Newton
Raphson untuk Perhitungan Volume Gambar 5. Flowchart Metode Numerik Newton Raphson untuk Perhitungan Temperatur

## HASIL DAN PEMBAHASAN Analisa Solusi Analitik
Dalam  penginterpretasian  dan  analisis kasus  penentuan  nilai  tekanan,  volume  dan temperatur  (P-V-T)  termodinamika  dilakukan dengan  cara  memberikan  nilai  variasi  awal yakni 𝑃  =  744 𝑘𝑃𝑎 , 𝑉  =  0,2 𝑚 2 ,  dan 𝑇  = 250 𝐾 untuk  setiap  persamaan  keadaan  yang akan  dianalisis  solusinya.  Hasil  perhitungan secara analitik untuk penentuan  nilai Tekanan, Volume,  dan  Temperatur  (P-V-T)  pada senyawa  Argon  menggunakan  persamaan keadaan yang terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Perhitungan Metode Analitik Model Tekanan Volume Temperatur (a) 779,4375000 0,209526210 238,6336300 (b) 789,8749021 0,212259599 235,4837993 (c) 744,7831612 - 249,7371177 (d) 772,6117649 0,209840971 229,0688640
(a)Gas ideal, (b) Van der Waals, (c) Song Mason, (d) Beattie Bridgman
Dari hasil menunjukkan bahwa nilai dari keempat  persamaan  memiliki  solusi  untuk tekanan,  volume  dan  temperatur  yang  saling mendekati satu sama lainnya. Kemudian untuk solusi pada persamaan Song Mason menunjukkan hasil yang paling mendekati nilai pada  asumsi  yang  ditetapkan  namun  untuk perhitungan  volume  tidak  dilakukan  karena tidak  terdapat  parameter  volume  (V)  dalam perumusannya.

## Analisa Solusi Numerik
a. Persamaan Gas Ideal
Pada persamaan Gas Ideal diberikan nilai input  dalam  formulasi  Newton  Raphson  yakni nilai  volume 𝑉  =  0,2 𝑚 3 ,  suhu 𝑇  =  250 𝐾 , 𝑅  =  8,314 𝐽 𝑚𝑜𝑙 −1 𝐾 −1 .  Untuk  nilai 𝑀 = 39,94 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙 maka 𝑛 = 0,075 , dimana nilai tebakan  awal  untuk 𝑃 0 = 0,2 .  Cuplikan  kode program  Python  implementasi  persamaan  Gas Ideal  kedalam  Newton  Raphson  berdasarkan persamaan (7) dan (8) sebagai berikut:
1. fp=p-((0.075*8.314*250)/0.2)
2. …
3. Dfp=1 4. … 5. #Proses Looping
6. while abs(fpo)>e:
7. pi=po-(fpo/Dfpo)
8. po=pi
…
b. Persamaan keadaan Van der Waals
Pada persamaan keadaan Van der Waals diberikan  nilai  input  dalam  formulasi  Newton Raphson yakni nilai volume 𝑉  =  0,2 𝑚 3 , suhu 𝑇  =  250 𝐾 , 𝑅  =  8,314 𝐽/(𝑚𝑜𝑙 𝐾) .  Untuk volume spesifik molal adalah 𝑣 = 𝑉 𝑀 𝑚 (dengan 𝑚 = 3𝑘𝑔 dan 𝑀 = 39,94 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙 ) maka 𝑣 = 2,663 𝑚 3 /𝑘𝑚𝑜𝑙 . Kemudian
konstanta persamaan  Van  der  Waals  untuk  gas Ar yakni nilai 𝑎  =  1,34 dan nilai 𝑏  =  0,0322 . dimana nilai  tebakan  awal  untuk 𝑃 0 = 0,2 .  Cuplikan kode program Python implementasi persamaan Van  der  Waals  kedalam  Newton  Raphson berdasarkan  persamaan  (9)  dan  (10)  sebagai berikut:
9. fp=(p+1.34/2.663**2)*(2.663- 0.0322)-8.314*250 10. … 11. Dfp=2.663-0.0322 12. … 13. #Proses Looping 14. while abs(fpo)>e: 15. pi=po-(fpo/Dfpo) 16. po=pi
…
c. Persamaan keadaan Song dan Mason Pada  persamaan  keadaan  Song  dan
Mason diberikan nilai input dalam formulasi  Newton  Raphson  yakni  nilai input  awal  sebagai  pegujian  validasi program  yaitu  dengan  memberikan  nilai suhu 𝑇  =  250 𝐾 untuk 𝜋 = 3,14 , 𝑁 𝐴 = 6,0221 × 10 23 ,  Untuk  gas Ar nilai 𝜀 = 198,73 K , 𝛾 = 1 dan nilai 𝜎 = 3,41 × 10 −10 𝑚 , 𝛽 = 2,89708 × 10 20 /𝐽 , nilai Massa  Jenis 𝜌 = 1,784 𝑔/𝐿 , 𝑘 = 1,67 . Dimana nilai tebakan awal untuk 𝑃 0 = 0,2 .
Cuplikan  kode  program  Python  implementasi persamaan  Van  der  Waals  kedalam  Newton Raphson berdasarkan persamaan (11)  dan (12) sebagai berikut:
17. fp=(p/(1.784*1.67*250))-1- ((-2.77258*10**-5)*1.784)-
((-9.8416858*10**-
5)*1.784)*(((1- (0.5*(3.15281593*10**- 5))+(0.09*(3.15281593*10**- 5)**2))/(1-(3.15281593*10**- 5)**3))-1) 18. … 19. Dfp=1/(1.784*1.67*250) 20. … 21. #Proses Looping 22. while abs(fpo)>e: 23. pi=po-(fpo/Dfpo)
24. po=pi … d. Persamaan keadaan Beattie Bridgeman
Pada persamaan keadaan Beattie
Bridgeman  diberikan  nilai  input  dalam formulasi Newton Raphson yakni  memberikan nilai  input  awal  sebagai  pegujian  validasi program  yaitu  dengan  memberikan  nilai volume 𝑉  =  0,2 𝑚 3 ,  suhu 𝑇  =  250 𝐾 , 𝑅  = 8,314 𝐽/(𝑚𝑜𝑙 𝐾). Untuk  volume  spesifik molal  adalah 𝑣 = 𝑉 𝑀 𝑚 (dengan 𝑚 = 3 𝑘𝑔 dan 𝑀 = 39,94 𝑘𝑔/𝑘𝑚𝑜𝑙 )  maka 𝑣 = 2,663 𝑚 3 / 𝑘𝑚𝑜𝑙 .  Kemudian  untuk  konstanta  persamaan Beattie  Bridgeman  untuk  gas Ar yakni nilai 𝐴 𝑜 = 130,7802 , nilai 𝐵 𝑜 = 0,03931 , nilai 𝑎 = 0,0233 ,  nilai 𝑏 = 0,00 dan  nilai 𝑐 = 5,99 × 10 4 .  Dimana  nilai  tebakan  awal  untuk 𝑃 0 = 0,2 . Cuplikan kode program Python implementasi  persamaan  Van  der  Waals kedalam Newton Raphson berdasarkan persamaan (13) dan (14) sebagai berikut:
25. fp=p- ((8.314*250)/(2.663**2))*(1- ((5.99*10**4)/(2.663*(250**3)) ))*(2.663+(0.03931*(1- (0/2.663))))+(130.7802/(2.663* *2))*(1-(0.0233/2.663)) 26. …
27. Dfp=1 28. … 29. #Proses Looping 30. while abs(fpo)>e: 31. pi=po-(fpo/Dfpo) 32. po=pi
…
Hasil  perhitungan  yang  dihitung  secara numerik menggunakan Metode Newton Raphson untuk penentuan nilai tekanan, volume dan  temperature  (P-V-T)  pada  senyawa  Argon menggunakan  persamaan  keadaan  diatas  yang ditinjau melalui serangkaian proses perhitungan dapat dilihat dalam tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Hasil Perhitungan Secara Numerik
Model Tekanan Volume Temperatur (a) 779,4375 0,209526097 238,63363 (b) 789,8749022  0,212212261 235,4837993
(c) 744,7831612  - 249,7366201
(d) 772,6117649  0,207795332 240,9962702
(a)Gas ideal, (b) Van der Waals, (c) Song Mason, (d) Beattie Bridgman
Dari hasil perhitungan untuk menggunakan metode numerik Newton
Raphson  persamaan  keadaan  untuk  penentuan nilai tekanan, volume, dan temperature dengan nilai  tebakan  awal  Po  =  0,2  pada  penggunaan persamaan keadaan diperoleh hasil perhitungan pada  metode  numerik  memiliki  hasil  yang saling  mendekati satu sama lainnya. Dari hasil menunjukkan bahwa nilai dari ketiga persamaan  yakni  persamaan  Gas  Ideal, persamaan  keadaan  Van  der  Waals  dan persamaan keadaan Beattie-Bridgeman memiliki nilai yang saling mendekati satu sama lain  dan  untuk  persamaan  keadaan  Song  dan Mason  menunjukkan  hasil  untuk  nilai  yang paling mendekati asumsi awal.
Analisa Pola Perubahan Keadaan Termodinamika berdasarkan Variasi P-V-T Proses penggambaran hubungan
Tekanan,  Volume,  dan  Temperatur  dalam menelisik pola perubahan keadaan termodinamika  dilakukan  dengan  memberikan nilai variasi untuk masing-masing nilai P-V-T.
Pada  proses  tinjauan  Tekanan  terhadap Temperatur,  nilai  Volume  konstan 𝑉  = 0,2 𝑚 2 dan nilai Temperatur yang divariasikan yaitu 𝑇 1 = 150 𝐾 , 𝑇 2 = 250 𝐾 ,  dan 𝑇 3 = 300 𝐾 .
Gambar  6.  Grafik  Perbandingan  Tekanan berdasarkan  Variasi  Temperatur dengan  Volume  konstan  untuk Gas Ideal
Gambar  7.  Grafik  Perbandingan  Tekanan berdasarkan  Variasi  Temperatur dengan  Volume  konstan  untuk
Van der Waals
Gambar  8.  Grafik  Perbandingan  Tekanan berdasarkan  Variasi  Temperatur dengan  Volume  konstan  untuk
Persamaan Song Mason
Gambar  9.  Grafik  Perbandingan  Tekanan berdasarkan  Variasi  Temperatur dengan  Volume  konstan  untuk
Persamaan Beattie Bridgeman
Berdasarkan Gambar 6 sampai Gambar 9 untuk  titik  warna  oranye  merupakan  solusi analitik  dan  titik  berwarna  hitam  adalah  solusi numerik  nya.  Untuk  volume  konstan,  dengan nilai  temperatur  kecil  memiliki  nilai  solusi Tekanan  (P)  yang  juga  kecil  dimana  untuk temperatur yang dimasukkan mulai dari T=150 K sampai T=300K menghasilkan nilai tekanan untuk  masing-masing  persamaan  yakni 𝑃  = 446,869 𝑘𝑃𝑎 sampai dengan 𝑃  =
893,739 𝑘𝑃𝑎 .  Artinya  semakin  besar  nilai Temperatur  maka  nilai  tekanan  nya  juga  akan semakin besar atau dengan kata lain temperatur berbanding  lurus  dengan  nilai  tekanan. Perhitungan secara analitik  maupun  komputasi diperoleh data seperti pada tabel 5.1 (Lampiran 2).  Grafik  dari  data  tersebut  ditunjukkan  pada Gambar  6  sampai  Gambar  9  dimana  nilai Tekanan  yang semakin  besar  seiring  dengan besarnya nilai temperatur.
Analisa  Tingkat  Akurasi  Hasil  Dari  Solusi Numerik  Menggunakan  Metode  Newton Raphson Didasarkan Pada Solusi Analitik
Analisa hasil error atau kesalahan realatif (Er)  menggunakan  persamaan  (6)  untuk  solusi
metode numerik menggunakan Newton Raphson  terhadap  metode  analitik  untuk keempat  formulasi  persamaan  keadaan  dengan variasi  variabel  P-V-T  dapat  dilihat  pada  tabel (3) diperoleh hasil sebagai berikut:
Tabel 3. Perhitungan Nilai Error Relatif (Er) Model Tekanan Volume Temperatur (a) 1,28E-14 5,40E-07 9,07E-11 (b) 1,06E-10 0,000223019 5,13E-11 (c) 5,57E-11 - 1,99E-06 (d) 5,05E-11 0,009748518 0,052069085
(a)Gas ideal, (b) Van der Waals, (c) Song Mason, (d) Beattie Bridgman
Berdasarkan hasil tersebut, dapat dianalisa  keakuratan  hasil  perhitungan  yang didapat untuk setiap persamaan baik persamaan Gas Ideal maupun persamaan keadaan Gas Riil menampilkan  hasil  yang  baik.  Hasil  yang didapat  baik  menggunakan  metode  analitik maupun metode numerik menunujukkan solusi yang  saling  mendekati  dan  tidak  menyimpang terlalu  jauh.  Namun,  untuk  perhitungan  secara analitis membutuhkan cukup banyak waktu dan tenaga  untuk  menyelesaikannya  dibandingkan dengan  perhitungan  menggunakan  metode komputasi  Newton  Raphson.  Dari  hasil  juga menunjukkan  bahwa  penggunaan  metode Newton Raphson menghasilkan hasil perhitungan  untuk  mencapai  solusi  dengan lebih  efisien  dibandingkan  dengan  metode analitik.  Hal  ini  didasarkan  pada  solusi  yang didapat pada tabel 2 yang menunjukkan bahwa metode  Newton  Raphson  mampu  memberikan solusi yang semakin teliti secara komputasi.

## KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Penelitian ini telah berhasil memodelkan keempat  formulasi  Gas  Ideal,  Van  der  Waals, Song  Mason  dan  Beattie-Bridgeman  kdalam bentuk  Newton  Raphson  untuk  Penentuan Tekanan,  Volume  dan  Temperatur,  Solusi  dari keempat  persamaan  keadaan  tersebut  secara analitik  bisa  saja  dilakukan,  namun  akan membutuhkan  waktu  yang  lebih  lama  dan cukup  sulit  sehingga  digunakan  metode
komputasi  Newton  Raphson  sebagai  solusi alternatif.
Hasil penelitian menunjukkan penggunaan keempat model untuk perhitungan nilai  tekanan,  volume  dan  temperatur  (P-V-T) dengan  memberikan  asumsi  nilai  massa  untuk senyawa Argon m = 3 kg, dengan P = 744 kPa, V = 0,2 m3 dan T= 250 memberikan solusi yang akurat.  Konvergensi  metode  Newton  Raphson menuju solusi cepat dengan  hasil yang didapat sesuai dengan perhitungan secara analitik. Error relatif  maksimum  metode  analitik  maupun metode  numerik, 𝐸𝑟  =  0,052069085 pada toleransi error 𝐸𝑟  =  1 × 10 −04

## Saran
Dalam  penelitian  ini  terdapat  sekitar  11 konsol  yang  harus  dibuka  dalam  Python sehingga  disarankan  agar  dapat  dilakukan kajian  lebih  lanjut  dengan  meninjau  parameter P-V-T  yang  mempengaruhi  sistem  dengan dibuat dalam satu menu program python.

## DAFTAR PUSTAKA
1 Sumarna  DM.  Gas  Nyata.  Dalam  A.  S, Sifat-sifat  Gas.  Universitas  Terbuka, Tanggerang Selatan. 2009.
2 Warsito  A.  Fisika  Komputasi.  Buku Ajar Prodi Fisika FST Undana, Kupang. 2009.
3 Lewerissa  YJ.  2020.  Kajian  Persamaan Termodinamika  Dari  Song  Dan  Mason Pada  Argon  Dibandingkan  Dengan Persamaan  Termodinamika  Gas  Ideal, Beattie-  Bridgeman  Dan  Van  Der Waals. J. Voering. 5 (1): 22.
4 Fatimah  I.  Kimia  Fisika.  Deepublish, Yogyakarta. 2017.
5 Randall RE. Thermodynamic Properties Of Gases: Equations Derived From The Beattie-Bridgeman  Equation  Of  State Assuming  Variable  Specific  Heats.
Arnold Engineering Development
Center, United States. 1957.
6 Kaw  A.  Newton-Raphson  Method  of Solving  a  Nonlinear  Equation.  Special Journals. 2009.