## ESTIMASI BILANGAN REPRODUKSI DASAR PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DI KABUPATEN BIMA TAHUN 2022
Ariyanto 1,* , Rapmaida M. Pangaribuan 1

## 1. Program Studi Matematika, FST, Universitas Nusa Cendana, Kupang, NTT
*Penulis korespondensi:aryanto@staf.undana.ac.id

## ABSTRAK
Telah dilakukan penelitian untuk mencari nilai estimasi bilangan reproduksi dasar penyebaran  penyakit  tuberkulosis  di  Kabupaten  Bima  dengan  menggunakan    model matematika  SEIR.  Penyebaran  penyakit  tuberkulosis  di  Kabupaten  Bima    dari  bulan November  tahun  2021  sampai  dengan April  tahun 2022  mengalami  trend  penurunan kasus  yang  sangat  signifikan.  Berdasarkan  hasil  analisis  data  lapangan  dari  Dinas Kesehatan Kabupaten Bima diperoleh nilai estimasi bilangan reproduksi dasar sebesar ℛ 0 = 0.085 .  Karena  nilai  bilangan  reproduksi  dasar  lebih  kecil  dari  satu,  penyebaran penyakit  tuberkulosis  pada  durasi  waktu  tersebut  di  atas  akan  hilang  dari  populasi Kabupaten Bima.
Kata kunci : Tuberkulosis, Model Matematika, Bilangan Reproduksi Dasar
.

## 1. PENDAHULUAN
Penyakit tuberkulosis tetap merupakan penyakit menular sangat mematikan sampai dengan saat ini. Laporan WHO tahun 2022 mencatat setiap hari  terdapat  1.400 orang meninggal dunia karena penyakit tuberkulosis dan hampir 2.800 orang setiap hari juga terpapar  oleh  penyakit  ini,  dan  pada  tahun  2021  tercatat  ada  total  97.000  orang kehilangan  nyawa  karena  penyakit  tuberculosis  [1].    Menurut  rilis  Kementerian Kesehatan  pada  tahun  2022    diduga  ada  sekitar  824.000  kasus  penyebaran  penyakit tuberkulosis  di  Indonesia,  dan  diusakan  pada  tahun  2024  sekitar  90%  sudah  mampu dideteksi [1]. Pada rentang waktu  dari Januari 2020 hingga Mei 2022 ditemukan 1.245 total kasus tuberculosis di Kabupaten Bima. Oleh karena itu Kabupaten Bima termasuk kategori darurat tuberkulosis. Pandemi Covid-19 lebih kurang dua tahun terakhir juga telah  memberi  dampak  cukup  signifikan  pada  temuan  penurunan  kasus  TB  di Kabupaten  Bima  [2].  Salah  satu  alat analisis  yang  efektif  dalam memahami dinamika penyebaran  penyakit  pada  suatu  populasi  adalah  model  matematika  [3],  [4].  Elemen yang  penting  dalam  mengkaji  model  matematika  adalah  bilangan  reproduksi  dasar (ℛ 0 ) dimana    bilangan  reproduksi  dasar    tersebut  merupakan  ambang  batas  dalam menentukan keendemikan suatu penyakit  [5]. Pada tulisan ini nilai bilangan reproduksi
dasar  diestimasi  berdasarkan  data  real  yang  tersedia  dilapangan,  dan  teknik perhitungan  estimasi  nilai ℛ 0 merujuk  pada  tulisan    [6]–[8].  Penelitian  penyebaran penyakit  tuberkulosis  di  Kabupaten  Bima  dengan  metode  model  matematika  belum dilakukan oleh peneliti lain. Oleh karena itu tulisan ini menjawab pertanyaan berikut ini, berapa nilai estimasi bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bima pada rentang waktu bulan november 2021 hingga april 2021. Nilai estimasi  bilangan  reproduksi  dasar  pada  penelitian  ini  sangat  bermanfaat  bagi pengambil kebijakan dalam menangani penyakit tuberkulosis.

## 2. METODE

## 2.1 Formulasi Model Matematika
Model  matematika SEIR menjadi  rujukan  pada  tulisan  ini  merupakan  model  umum yang  sudah  banyak  dikaji  dan  tersaji  dalam  berbagai  literatur.  Formulasi  Model matematika  pada  tulisan  ini  berdasarkan  referensi  dari  [9].  Keorisinilan  tulisan  ini terletak  pada  perhitungan  nilai  estimasi  parameter  model  bersumber  dari  data  real tersedia dilapangan . Model matematika kami  bagi  menjadi  empat  sub  populasi yaitu susceptible (𝑆) merupakan  orang  sehat  yang  rentan  terhadap  penyakit  tuberkulosis, exposed (𝐸) yakni  orang  yang  sudah  memiliki  kuman  bakteri  tuberkulosis  di  tubuh tetapi belum  aktif, infected (𝐼) yaitu orang telah mejadi penderita tuberkulosis aktif dan bisa  menularkan  tuberkulosis  ke  orang  lain,  dan  recovered (𝑅) adalah  orang  telah sembuh  dari  penyakit  karena  perawatan  yang  baik  dan  benar.  Pada  model  ini diasumsikan  bahwa  orang  yang  telah  sembuh  dari  penyakit  tuberkulosis  dapat berpindah kembali ke kelompok rentan. Oleh karena itu diagram transmisi model SEIR tersaji berikut ini.
Gambar 2.1. Skema  model SEIR matematika penyakit Tuberkulosis
Berdasarkan skema gambar 2.1 di atas maka model matematika penyebaran penyakit Tuberkulosis  di  Kabupaten  Bima  disajikan  dalam  sistem  persamaan  diferensial  non linear sebagai berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 =  Λ − 𝛽 𝑆 𝐼 𝑁 − 𝜇 𝑆 + 𝜀 𝑅
𝑆 𝐸 𝐼 𝑅
Λ
𝜇𝑆 𝜇𝐸 𝜇𝐼 𝜇𝑅 𝛽 𝛾 𝜏 𝜀
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆 𝐼 𝑁 − 𝛾 𝐸 − 𝜇 𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾 𝐸 − 𝜏 𝐼 − 𝜇 𝐼
(1)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜏 𝐼 − 𝜇 𝑅 − 𝜀 𝑅
dimana  : Λ  ∶ laju rec 𝛽  ∶ laju transmisi penyakit tuberkulosis 𝜀  ∶ laju perpindahan dari 𝑅 ke 𝑆 𝛾  ∶ laju perpindahan 𝐸 ke 𝐼 𝜏  ∶ laju perpindahan 𝐼 ke 𝑅 (atau laju kesembuhan penyakit)
𝑁  ∶ jumlah total populasi
Model Persamaan  (1)  di atas memiliki titik tetap bebas penyakit   yakni
𝐸 0 = (𝑁 , 0 , 0 , 0)
(2)

## 2.2 Formula Bilangan Reproduksi Dasar
The  Next  Generation  Matrix  (NGM)  akan  dicari  berdasarkan  kelas  terinfeksi  pada persamaan (1) di atas yakni
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆 𝐼 𝑁 − 𝛾 𝐸 − 𝜇 𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛾 𝐸 − 𝜏 𝐼 − 𝜇 𝐼 (3)
Dari  Persamaan  (3)  maka  diperoleh  matriks  transmisi 𝑇 dan    Σ    masing-masing disajikan sebagai berikut
𝑇 =   [0 𝛽 𝑆 𝑁 0 0 ] dan Σ =   [ 𝛾  + 𝜇 0 𝛾 −𝜏  − 𝜇 ] (4)
Substitusi  persamaan  (2)  ke persamaan (4)  maka diperoleh
𝑇 =   [ 0 𝛽 0 0 ] dan Σ =   [ 𝛾  + 𝜇 0 𝛾 −𝜏  − 𝜇 ] (5)
Selanjutnya, dicari invers  dari   Σ   kemudian  dikalikan  dengan 𝑇 sehingga  diperoleh NGM   sebagai berikut  :
NGM  = [ 𝛽𝛾 (𝜏+𝜇) (𝛾+𝜇) − 𝛽 (𝜏+𝜇) 0 0 ] (6)
Dari Persamaan  (6) akan diperoleh nilai eigen terbesar sebagai kandidat ℛ 0 sehingga nilai bilangan reproduksi dasar adalah
ℛ 0 = 𝛽 𝛾 (𝜏+𝜇) (𝛾+𝜇) (7)

## 2.3  Formulasi Estimasi Bilangan Reproduksi Dasar
Penurunan rumus ℛ 0 dalam tulisan ini berdasarkan asumsi bahwa pertumbuhan awal manusia terinfeksi tumbuh secara eksponensial  [10] yakni 𝐸(𝑡) =   𝐸 0 𝑒 𝜆𝑡
𝐼(𝑡) =   𝐼 0 𝑒 𝜆𝑡 (8) dimana 𝐸 0 , 𝐼 0 konstan dan 𝜆 take-off rate pada kenaikan awal infeksi.
Lakukan derivatif terhadap persamaan (8) kemudian substitusi ke Persamaan (3)  maka diperolah nilai estimasi bilangan reproduksi dasar sebagai berikut :
ℛ 0 estimasi = (1 + 𝜆 𝜏+𝜇 ) (1 + 𝜆 𝛾+𝜇 ) (9)
Menurut  Ndii  [4]  interpretasi  nilai ℛ 0 ada  tiga  kemungkinan  yaitu  :  (i)  bila ℛ 0 < 1 maka  penyakit  akan  menghilang  dari  populasi, ℛ 0 = 1 maka  penyakit  akan menetap, dan jika ℛ 0 > 1 maka penyakit terus meningkat menjadi wabah.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data kasus kejadian TB di Kabupaten Bima dari Januari 2020 hingga Mei 2022 disajikan dalam Gambar  berikut ini.
Gambar  3.1. Data kasus TB di Kabupaten Bima dari Januari 2020 sampai Mei 2022.
Berdasarkan plot data pada gambar 3.1 di atas maka terlihat bahwa terjadi penurunan kasus penyebaran penyakit tuberkulosis di Kabupaten Bima dari bulan november tahun 2021 hingga bulan april tahun 2022. Oleh karena itu tulisan ini akan mengkaji lebih kritis kasus  penurunan  penyakit  tuberkulosis  pada  rentang  waktu  tersebut  agar  diperoleh informasi yang lebih akurat bagi pengambil kebijakan. Setelah melalui proses tahapan analisis    maka  diperoleh  data  penurunan  kasus  warna  hitam  yang  telah  melalui
0 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 60 70 Waktu (Bulan) In d iv id u Te ri n fe k s i TB
perhitungan  interpolasi pada tiga titik data agar berpola eksponensial sesuai asumsi, dan  data  fitting    warna  merah  dengan  persamaan 𝑰(𝒕) = 𝟕𝟎 exp(−𝟎. 𝟏𝟐𝒕) seperti disajikan pada gambar  berikut ini.
Gambar 3.2. Data penurunan kasus versus data fitting
Berdasarkan analisis numerik maka diproleh nilai kesalahan relatif antara data penurunan kasus  dengan data fitting pada gambar 3.2  di atas dengan nilainya sebesar 𝟖. 𝟒% dan nilai  take-off rate  adalah 𝝀 =   −𝟎. 𝟏𝟐 .
Selanjutnya,  deskripsi  dan  nilai  dari  setiap  parameter    model  matematika  diberikan dalam tabel sebagai berikut.

## Tabel  3.1. Deskripsi Parameter Model Matematika
Parameter Deskripsi Parameter Nilai Sumber 𝜸 Laju Perpindahan 𝑬 ke 𝑰 𝟎. 𝟔 𝟏 bulan Dikes Kab.Bima 𝝉 Laju kesembuhan penyakit 𝟎. 𝟏𝟑𝟑 𝟏 bulan Dikes Kab.Bima 𝝁 Laju kematian alamiah 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟓𝟑 𝟏 bulan BPS Kab.Bima 𝝀 Take-off rate −𝟎. 𝟏𝟐 Estimasi data
Dari  nilai-nilai  parameter  pada  tabel 3.1  di  atas  setelah  disubstitusi ke  persamaan  (7) dan  (9)  maka diperoleh    nilai 𝓡 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟓 dan 𝜷 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟏 . Karena  nilai sebesar 𝓡 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟖𝟓 yang  lebih  kecil  dari  satu  maka    dapat  disimpulkan  bahwa  penyakit tuberkulosis akan hilang dari populasi Kabupaten Bima dengan efektivitas peluang satu orang untuk menginfeksi orang lain dalam durasi satu bulan hanya sebesar 𝟏. 𝟏 % . Jadi, pada  rentang  waktu  dari  november  tahun  2021  hingga  bulan  april  tahun  2022  kasus penyebaran tuberkulosis di Kabupaten akan hilang dari populasi.
.

## 4.   SIMPULAN
Dari  hasil  pembahasan  di  atas  maka  disimpulkan  bahwa  penyebaran  penyakit Tuberkulosis di Kabupaten Bima dari bulan november tahun 2021 hingga bulan april
0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 in fe ksi tu ru n mo no to n waktu (bulan) infeksi turun monoton data fitting
tahun 2022 akan hilang dari populasi karena nilai 𝓡 𝟎 = 0.085 < 1 . Oleh karena itu bagi pengambil  kebijakan  momentum  penurunan  kasus  ini  wajib  dipertahankan  dengan kebijakan  terencana  dan  terukur  dalam  hal  testing,  tracing  dan  pengobatan  penyakit tuberkulosis.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penelitian ini dibiayai oleh dana penelitian dari Fakultas Sains dan Teknik Tahun 2022.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  WHO, “World Tuberculosis Day 2022.”
https://www.who.int/indonesia/news/campaign/tb-day-2022  (accessed  Nov.  21, 2022).
[2]  Dinas Kesehatan Kabupaten Bima, “Kasus Terinfeksi TBC Tahun 2020-2022.” Dinas Kesehatan Kabupaten Bima, 2022.
[3]  M.  Z.  Ndii,  Pemodelan  Matematika.  Penerbit  NEM,  2022.  [Online].  Available: https://books.google.co.id/books?id=7ExhEAAAQBAJ
[4]  M. Z. Ndii,  Pemodelan Matematika Dinamika Populasi Dan Penyebaran Penyakit Teori, Aplikasi, Dan Numerik.
Deepublish,
2018. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=gaCHDwAAQBAJ
[5]  M. Z. Ndii, L. K. Beay, N. Anggriani, K. N. Nukul, and B. S. Djahi, “Estimating the Time Reproduction Number in Kupang City Indonesia, 2016–2020, and Assessing the Effects of Vaccination and Different Wolbachia Strains on Dengue Transmission Dynamics,” Mathematics, vol. 10, no. 12, 2022, doi: 10.3390/math10122075.
[6]  A. Ariyanto, “Analisis Perbandingan Bilangan Reproduksi Dasar COVID-19 Pada Bulan Agustus dan September tahun 2021 Di Kota Kupang,” Jurnal Diferensial, vol. 3, no. 2, pp. 29–40, 2021.
[7]  A.  Ariyanto,  G.  L.  Putra,  and  M.  Z.  Ndii,  “Estimasi  Bilangan  Reproduksi  Dasar Penyebaran  Penyakit  Demam Berdarah Denguedi  Kota  Bima  Tahun  2018  -2020,” Jurnal Komputer dan Informatika (JICON), vol. 9, no. 2, pp. 176–181, 2021.
[8] G.  Chowell  et  al.,  “Estimation  of  the  reproduction  number  of  dengue  fever  from spatial  epidemic  data,”  Math.  Biosci.,  vol.  208,  no.  2,  pp.  571–589,  Aug.  2007,  doi: 10.1016/j.mbs.2006.11.011.
[9]  A.  Puspitasari,  K.  Kamiran,  and  N.  Asiyah,  “Analisis  Kestabilan  dan  Kontrol Optimal  Model  Penyebaran  Tuberklosis  (TB)  dengan  terapi  dan  Vaksinisasi Menggunakan Metode Runge Kutta,” Jurnal Sains dan Seni, vol. 8, no. 2, pp. 2337– 3520, 2019.
[10] Jafaruddin,  S.  W.  Indratno,  N.  Nuraini,  A.  K.  Supriatna,  and  E.  Soewono, “Estimation of the Basic Reproductive Ratio for Dengue Fever at the Take-Off Period of Dengue Infection,” Comput. Math. Methods Med., vol. 2015, p. 206131, Aug. 2015, doi: 10.1155/2015/206131.