J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 1, Maret 2018, 17-29
Perbandingan Metode Kalman Filter, Extended Kalman Filter, dan Ensemble Kalman Filter pada Model Penyebaran Virus

## HIV/AIDS
Agus N. A. Syarifudin 1 , Dian A. Merdekawati 2 , Erna Apriliani 3
1,2,3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
1,2,3 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia agusnuras2011@gmail.com 1 merdekawati.dianayu@gmail.com 2 aprilmath12@gmail.com 3

## Abstrak
Pada paper ini akan dibahas mengenai perbandingan metode estimasi antara Kalman Filter,  Extended  Kalman  Filter  dan  Ensemble  Kalman  Filter  untuk  mengestimasi  tingkat penyebaran  virus  HIV/AIDS  pada  Gay.  Digunakan  persamaan 𝑆, 𝑆 𝑔 , 𝐼, 𝐼 𝑔 , dan 𝐴 pada persamaan untuk mengetahui tingkat penyebaran virus HIV pada orang yang rentan normal, rentan gay, terinfeksi normal, terinfeksi gay, dan populasi AIDS-nya. Dari beberapa simulasi yang dilakukan, dapat didapatkan hasil bahwa Metode Extended Kalman Filter juah lebih baik dibandingkan dengan kedua metode lainnya.
Kata Kunci : Kalman Filter, Extended Kalman Filter, Ensemble Kalman Filter, HIV/AIDS

## Abstract
This paper presents a performance comparison of Kalman Filtering methods, such as Kalman Filter, Extended Kalman Filter, and Ensemble Kalman Filter to estimate HIV/AIDS’ spreading  level  on  gay  population  by  denoting 𝑆, 𝑆 𝑔 , 𝐼, 𝐼 𝑔 , 𝐴 as  normal  susceptible,  gay susceptible, normal infected, gay infected, and AIDS population, respectively. The results of numerical experiments provide that Extended Kalman Filter is the best estimator among the others.
Keywords : Kalman Filter, Extended Kalman Filter, Ensemble Kalman Filter, HIV/AIDS

## 1 Pendahuluan
Kalman Filter adalah suatu metode yang digunakan untuk melakukan estimasi suatu nilai. Kalman  Filter  atau Linier  Least  Mean  Squares  Estimator  (LLSME) ini  digunakan  untuk meminimumkan  error  estimasi  mean  squared  pada  liniear  stokastik  menggunakan noisy  linear sensors .  Selain  itu  metode  ini  juga  sering  disebut Linear  Quadratic  Estimator  (LQE) karena
meminimumkan  fungsi  kuadratik  dari  error  estimasi  pada  sebuah  sistem  dinamis  linear  dengan white measurement dan disturbance noise [1].
Kalman Filter ditujukan bagi permasalahan umum estimasi pada suatu keadaan dari proses kontrol  diskit  yang  dibangun  dari  penurunan  persamaan  stokastik  linier.  Namun  pada kenyataannya sering dijumpai berbagai keadaan ketika relasi pengukuran dari proses adalah non- linier.  Metode  Kalman  Filter  pun  mengalami  perluasan  menjadi  suatu  metode  yang  disebut Extended Kalman Filter. Metode ini akan dijelaskan lebih lanjut pada Bagian 2.
Ensemble Kalman Filter (EnKF) pertama kali diperkenalkan oleh G. Evensen pada tahun 1994 dalam pengimplementasian metode EKF untuk suatu model pada asimilasi data. Linierisasi dalam  metode  EKF  ternyata  menyebabkan  kovariansi  errornya  membesar  menuju  tak-hingga sehingga Evensen telah memperkenalkan ide penggunaan sejumlah ensemble untuk mengestimasi kovariansi  error pada tahap  peramalan pada masalah  yang sama  [2]. Untuk alasan inilah EnKF dikembangkan. EnKF mewakili distribusi keadaan sistem dengan menggunakan kumpulan vektor keadaan, yang disebut ensemble, dan mengganti matriks kovariansi dengan sampel kovarians yang dihitung dari ensemble.
Pada paper ini akan dilakukan perbandingan pada ketiga metode diatas untuk pengaplikasian ke dalam model tingkat penyebaran virus HIV/AIDS yang dibangun oleh [3].

## 2 Metode Estimasi

## 2.1 Kalman Filter
Kalman  Filter  membahas  masalah  umum  untuk  memperkirakan  keadaan  proses  waktu diskrit terkontrol yang diatur oleh persamaan linier stokastik:
𝑥 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘−1 + 𝐷𝑢 𝑘 + 𝑤 𝑘 (1)
pada waktu ke- 𝑘 , dengan 𝑥 𝑘−1 menyatakan vektor keadaan dan 𝑢 𝑘 sebagai vektor dengan model pengukuran 𝑧 ∈ ℜ 𝑚 yang mana
𝑧 𝑘 = 𝐻𝑥 𝑘 + 𝑣 𝑘 (2)
Variabel  acak 𝑤 𝑘 dan 𝑣 𝑘 menyatakan  proses  dan  pengukuran noise .  Masing-masing diasumsikan independen dan memiliki probabilitas distribusi normal. Dalam praktiknya, matriks kovarian noise dapat berubah pada setiap kali pengukuran, namun dalam hal ini noise diasumsikan konstan. 𝐶 , 𝐷 , dan 𝐻 masing-masing merupakan matriks-matriks yang elemennya adalah koefisien dari komponen masing-masing vektor.
Kalman  Filter  mengestimasi  suatu  proses  dengan  menggunakan  suatu  bentuk  kontrol feedback yang berulang. Persamaan pada Kalman Filter dibagi dalam dua tahap yaitu persamaan pembaruan  waktu  ( time  update )  dan  persamaan  pembaruan  pengukuran  ( measurement  update ).
Persamaan pembaharuan waktu yang ada akan digunakan untuk memproyeksikan (dalam waktu) keadaan saat ini dan estimasi kovarians errornya untuk mendapatkan estimasi priori untuk langkah selanjutnya.  Selanjutnya  persamaan  pengukuran  yang  diperbarui  akan  digunakan  untuk  umpan balik,  seperti  halnya  menggabungkan  pengukuran  baru  ke  dalam  estimasi apriori untuk mendapatkan peningkatan estimasi priori. Persamaan pembaruan waktu juga dapat disebut sebagai prediksi, sedangkan persamaan pembaruan pengukuran sebagai koreksi.
Persamaan Kalman Filter untuk tahapan prediksi disajikan dalam persamaan (3) dan (4).
𝑥̂ 𝑘 − = 𝐶𝑥̂ 𝑘−1 + 𝐷𝑢 𝑘 (3) 𝑃 𝑘 − = 𝐶𝑃 𝑘−1 +𝐶 𝑇 + 𝑄 (4)
dimana 𝑥̂ 𝑘 − merupakan vektor prediksi dan 𝑃 𝑘 − sebagai matriks kovarian prediksi.
Dari tahap prediksi, data hasil pengukuran awal akan digunakan untuk memprediksi variabel keadaan.  Selanjutnya  variabel  keadaan  yang  diperoleh  sebelumnya  akan  diperbaharui  atau dikoreksi.  Persamaan  Kalman  Filter  untuk  pembaruan  pengukuran  (koreksi)  adalah  sebagai berikut:
𝐾 𝑘 = 𝑃 𝑘 − 𝐻 𝑇 (𝐻𝑃 𝑘 − 𝐻 𝑇 + 𝑅) −1 (5)
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  melakukan  perhitungan  Kalman  gain, 𝐾 𝑘 .  Selanjutnya dilakukan pembaruan prediksi dengan pengukuran 𝑧 𝑘 :
𝑥̂ 𝑘 = 𝑥̂ 𝑘 − + 𝐾 𝑘 (𝑧 𝑘 − 𝐻𝑥̂ 𝑘 − ) (6)
Kemudian dilakukan pembaruan kovarians error:
𝑃 𝑘 = (𝐼 − 𝐾 𝑘 𝐻)𝑃 𝑘 − (7)
Variabel keadaan  yang telah diperbaharui tersebut  akan digunakan untuk  prediksi pada kondisi selanjutnya. Proses tahapan tersebut akan dilakukan secara berulang sebanyak diskritisasi waktu yang diperlukan.

## 2.2 Extended Kalman Filter
Diasumsikan  bahwa  proses  yang  digunakan  merupakan  vektor  keadaan 𝑥 ∈ ℜ 𝑛 ,  tetapi dalam prosesnya persamaan dibangun dengan penurunan persamaan stokastik non-linier 𝑥 𝑘 = 𝑓(𝑥 𝑘−1 , 𝑢 𝑘 , 𝑤 𝑘 ) (8)
dengan pengukuran 𝑧 ∈ ℜ 𝑛 yang mana
𝑧 𝑘 = ℎ(𝑥 𝑘 , 𝑣 𝑘 ) (9)
dimana variabel acak wk dan vk masing-masing merupakan proses dan pengukuran noise seperti pada  persamaan  (1)  dan  (2).  Dalam  hal  ini  fungsi non-linier 𝑓 dalam  penurunan  persamaan  (8) berhubungan  dengan  keadaan  pada  tahap  waktu  sebelumnya 𝑘 − 1 kepada  keadaan  tiap  satuan waktu 𝑘 . Fungsi tersebut termasuk sebagai parameter yang mengarah kepada fungsi 𝑢 𝑘 dan noise
proses zero-mean 𝑤 𝑘 .  Fungsi  nonlinier ℎ pada  persamaan  pengukuran  (9)  berhubungan  dengan keadaan 𝑥 𝑘 kepada  pengukuran 𝑧 𝑘 .  Dalam  praktiknya,  tidak  diketahui  nilai  masing-masing  dari noise 𝑣 𝑘 dan 𝑤 𝑘 pada setiap tahapan. Namun, dapat diperkirakan keadaan dan vektor pengukuran tanpa memperhatikannya. Pada tahapan prediksi, pandang:
𝑥 𝑘 = 𝑓(𝑥 𝑘−1 , 𝑢 𝑘 , 0) (10)
𝑃 𝑘 − = 𝐶 𝑘 𝑃 𝑘−1 𝐶 𝑘 𝑇 + 𝑊 𝑘 𝑄 𝑘−1 𝑊 𝑘 𝑇 (11)
dimana 𝑥̂ 𝑘 adalah suatu estimasi posteriori keadaan (dari tahap waktu k sebelumnya). 𝐶 𝑘 dan 𝑊 𝑘 adalah proses Jacobian pada tahap 𝑘 , dan 𝑄 𝑘 adalah proses persamaan kovarians error pada tahap 𝑘 . Selanjutnya untuk tahapan pembaruan waktu (koreksi) dilakukan perhitungan Kalman gain, 𝐾 𝑘 yaitu:
𝐾 𝑘 = 𝑃 𝑘 − 𝐻 𝑘 𝑇 (𝐻𝑃 𝑘 − 𝐻 𝑇 + 𝑉 𝑘 𝑅 𝑘 𝑉 𝑘 ) −1 (12)
Kemudian dilakukan pembaruan estimasi dengan pengukuran 𝑧 𝑘 dan pembaruan kovarians error: 𝑥̂ 𝑘 = 𝑥̂ 𝑘 − + 𝐾 𝑘 (𝑧 𝑘 − ℎ(𝑥̂ 𝑘 − , 0)) (13)
𝑃 𝑘 = (𝐼 − 𝐾 𝑘 𝐻)𝑃 𝑘 − (14)
Sama  seperti  halnya  pada  Kalman  Filter,  variabel  keadaan  yang  telah  diperbaharui  akan digunakan untuk prediksi pada kondisi selanjutnya. Proses tahapan tersebut akan dilakukan secara berulang sebanyak diskritisasi waktu yang diperlukan.

## 2.3 Ensemble Kalman Filter
Secara  umum  algoritma  metode  EnKF  juga  terdiri  dari  dua  tahap  yaitu  tahap  pembaruan waktu (prediksi) dan tahap pembaruan pengukuran (koreksi). Sebelum masuk ke tahap prediksi, terlebih dahulu dilakukan penghitungan terhadap dihitung mean  ensemblenya. Algoritma EnKF dapat dilihat lebih jelas melalui Tabel 1.
Didefinisikan
𝑁 𝜖 : Banyaknya ensemble yang dibangkitkan
𝑥 0,𝑖 : Mean ensemble.
𝑥̂ 𝑘,𝑖 − : Estimasi untuk tahap prediksi.
𝑥̂ 𝑘,𝑖 : Estimasi untuk tahap koreksi.
Tabel 1. Algoritma EnKF [4]

## 3 Model Matematika Penyebaran HIV/AIDS
Model  yang  digunakan  adalah  model  penyebaran  virus  HIV/AIDS  pada  Gay.  Model  ini dibangun berdasarkan interaksi antara individu rentan dan individu terinfeksi [3]. Model dibangun berdasarkan  kompartemen  SIR.  Secara  umum  model  penyebaran  infeksi  HIV/AIDS  diberikan sebagai berikan:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜑 1 − 𝑆(𝛼 1 𝐼 𝑔 𝑁 + 𝜇 1 ) (15) 𝑑𝑆 𝑔 𝑑𝑡 = 𝜑 2 − 𝑆 𝑔 (𝛼 1 𝐼 𝑔 𝑁 + 𝜇 1 ) (16) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛼 1 𝑆 𝐼 𝑔 𝑁 − 𝐼(𝜇 2 + 𝛽) (17)
𝑑𝐼 𝑔 𝑑𝑡 = 𝛼 1 𝑆 𝐼 𝑔 𝑁 − 𝐼 𝑔 (𝜇 2 + 𝛽) (18) 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛽𝐼 + 𝛽𝐼 𝑔 −𝜇 2 𝐴 (19)
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑑𝑆 𝑔 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑔 𝑑𝑡 + 𝑑𝐴 𝑑𝑡
dengan
𝑆 = jumlah populasi individu rentan
𝑆 𝑔 = jumlah populasi individu gay rentan
𝐼 = jumlah populasi individu normal terinfeksi
𝐼 𝑔 = jumlah populasi individu gay terinfeksi
𝐴 = jumlah populasi terinfeksi AIDS
𝑁 = total jumlah populasi seluruh individu
𝜑 1 = tingkat perekrutan individu rentan normal 𝜑 2 = tingkat penginfeksian individu rentan gay
𝛼 ! = tingkat penginfeksian individu normal oleh individu gay
𝛼 2 = tingkat penginfeksian antar populasi gay
𝛽 = tingkat perpindahan individu terinfeksi menjadi AIDS
𝜇 1 = tingkat kematian pada kelompok rentan
𝜇 2 = tingkat kematian pada kelompok yang terinfeksi
Pada persamaan model, akan digunakan nilai-nilai parameter seperti yang tertera pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai awal untuk tiap Subpopulasi [3] Parameter Komputasi Nilai 𝑆(0) 104.811 𝑆 𝑔 (0) 631 𝐼(0) 296 𝐼 𝑔 (0) 432 𝐴(0) 100 Tabel 3. Parameter Komputasi [3] Parameter Nilai 𝜑 1 63 𝜑 2 3081 𝛼 1 0,95 𝛼 2 2,85 𝛽 0,06 𝜇 1 0,00267 𝜇 2 0,3333
Selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  dengan  program  MATLAB.  Adapun  pada  paper  ini simulasi perbandingan yang dilakukan adalah menggunakan Program MATLAB 2013a.

## 4 Hasil dan Pembahasan
Sebelum melakukan simulasi, hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa persamaan diatas adalah  bentuk  persamaan  non-linear.  Metode  Kalman  Filter  sendiri  bersifat  linier,  sedangkan untuk Extended  Kalman  Filter merupakan  estimasi  bersifat  non-linier.  Sehingga  diperlukan adanya linierisasi dengan menggunakan matriks Jacobian. Selain itu perlu juga dilakukan adanya diskritisasi.  Diskritisasi  sendiri  bertujuan untuk  mendapatkan bentuk  persamaan dalam keadaan diskrit. Hal ini dikarenakan metode KF, EKF, EnKF merupakan model sistem yang menggunakan pengukuran dan model sistem waktu diskrit. Sehingga dalam hal ini akan terlebih dahulu dilakukan pendiskritan terhadap model matematika.
Persamaan-persamaan (15) – (19) yang merupakan sistem orde satu yang selanjutnya akan didiskritisasi.  Diskritisasi  dilakukan  untuk  mendapatkan  bentuk  matriks 𝐴 yang  selanjutnya diaplikasikan metode estimasi KF, EKF dan EnKF. Secara umum, Penerapan beda maju terhadap 𝜕 𝑢 𝜕 𝑡 di titik 𝑘 , diperoleh
𝜕 𝑢 𝜕 𝑡 = 𝑢 𝑘+1 − 𝑢 𝑘
Δ𝑡
sehingga hasil diskritisasi dari sistem orde satu diperoleh persamaan berikut:
𝑆(𝑘 + 1) = 𝑆(𝑘) − (𝜑 1 − 𝑆(𝑘) (𝛼 1 𝐼(𝑘) 𝜇 + 𝜇 1 )) 𝑑𝑡 𝑆 𝑔 (𝑘 + 1) = 𝑆(𝑘) − (𝜑 2 − 𝑆(𝑘) (𝛼 1 𝐼 𝑔 (𝑘) 𝜇 + 𝜇 1 )) 𝑑𝑡
𝐼(𝑘 + 1) = 𝐼(𝑘) − (𝛼 1 − 𝑆(𝑘) 𝐼 𝑔 (𝑘) 𝜇 − 𝐼(𝑘)(𝜇 2 + 𝛽) 𝑑𝑡
𝐼 𝑔 (𝑘 + 1) = 𝐼 𝑔 (𝑘) − (𝛼 1 − 𝑆(𝑘) 𝐼 𝑔 (𝑘) 𝜇 − 𝐼 𝑔 (𝑘)(𝜇 2 + 𝛽) 𝑑𝑡
𝐴(𝑘 + 1) = 𝐴(𝑘) − 𝛽𝐼(𝑘) + 𝛽𝐼 𝑔 (𝑘) − 𝜇 2 𝐴(𝑘)𝑑𝑡
Selanjutnya,  diperoleh  matriks  A  yang  digunakan  untuk  estimasi  dengan  KF,  EKF,  dan  EnKF berdasarkan matriks Jacobian yang dibentuk dari persamaan-persamaan sebelumnya.
Dalam simulasi akan digunakan matriks 𝐴 yang diperoleh dengan matriks Jacobian. Hasil dari simulasi akan disajikan dalam dua cara yaitu dengan hasil angka pada tabel dan grafik. Dalam
simulasi  dipilih  dua  keadaan.  Pertama  keadaan  ketika  nilai 𝑄 < 1 dan  ketika 𝑄 > 1. Dalam penyajian  hasil  pada  tabel  dipilih  keadaan  untuk 𝑄 sekecil  mungkin,  dimana 𝑄 < 1 ,  dengan demikian 𝑃 0 = 𝑄 0 = 𝑅 0 = 10 −2 . 𝐼 5×5 𝑒𝑖𝑔 = 𝑟𝑎𝑛𝑑(5,1) ,  dan  nilai  iterasi 𝑇 = 1000. Disini diberikan banyaknya nilai untuk membangkitkan ensemble berbeda-beda yaitu 𝑁 𝜖 = 10,100, dan 200 , hal ini dilakukan karena adanya nilai matriks yang random, sehingga hal ini perlu dilakukan untuk  melihat  perbandingan  hasil  nilai  kemudian.  Sedangkan  pada  gambar,  kedua  keadaan disajikan.  Hal  ini  dilakukan  untuk  melihat  pengaruh 𝑄 ,  juga 𝑃 pada  perbandingan  hasil  yang diberikan.
Pertama-tama dilihat hasil yang disajikan dalam tabel, dengan masing-masing nilai iterasi, dan metode yang diberikan berbeda-beda:
Tabel 4. Hasil simulasi untuk nilai Ensemble (𝑁 𝜖 ) berbeda pada EnKF
Dari Tabel 4 dapat dilihat bagaimana nilai ensemble (𝑁) memberikan pengaruh pada nilai estimasi. Dapat terlihat bahwa dari seluruh hasil, ketika nilai 𝑁 semakin besar maka nilai estimasi EnKF untuk  tiap  persamaan  justru  semakin  kecil.  Dari  sini  dapat  dilihat  bahwa  semakin  besar  nilai ensemble yang diberikan maka semakin mendekati nilai state .
Dalam memberikan suatu estimasi, tentu saja tebakan yang ada tidak akan sempurna, tetapi memuat  noise.  Dapat  terjadi  ketika  kemungkinan  seseorang  memberikan  suatu  estimasi  yang terlalu  besar  atau  estimasi  yang  terlalu  kecil.  Seperti  yang  telah  disebutkan  sebelumnya,  pada
simulasi perbandingan dengan gambar grafik, akan dilakukan perbandingan dengan memberikan dua keadaan pada kovarians  error sistem ( 𝑄 ),  yaitu ketika 𝑄  >  1 dan 𝑄  <  1 . Pemberian  nilai estimasi  yang  sesuai  dapat  bergantung  pada  tingkat  kemampuan  dan  pengetahuan  pemberi estimasi terhadap hal yang akan di estimasi. Selanjutnya untuk nilai 𝑃 dan 𝑅 masing-masing akan mengikuti  asumsi  yang  sudah  diberikan  sebelumnya  yaitu 𝑃 0 = 𝑄 0 = 𝑅 0 .  Gambar  grafik perbandingan hasil metode KF, EKF, dan EnKF pada tiga persamaan yang berbeda dapat terlihat pada Gambar 1-10.
Gambar 1 . (a) Grafik tingkat individu normal yang rentan ( 𝑆 ) untuk 𝑄 > 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 2 (a) Grafik tingkat individu normal yang rentan ( 𝑆 ) untuk 𝑄 < 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 3 (a) Grafik tingkat individu gay yang rentan ( 𝑆 𝑔 ) untuk 𝑄 > 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 4 (a) Grafik tingkat individu gay yang rentan ( 𝑆 𝑔 ) untuk 𝑄 < 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 5 (a) Grafik individu normal yang terinfeksi ( 𝐼 ) untuk 𝑄 > 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 6 (a) Grafik individu normal yang terinfeksi ( 𝐼 ) untuk 𝑄 < 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 7 (a) Grafik tingkat individu gay yang terinfeksi ( 𝐼 𝑔 ) untuk 𝑄 > 1
(b)  dan (c) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 8 (a) Grafik tingkat individu gay yang terinfeksi ( 𝐼 𝑔 ) untuk 𝑄 < 1
(b)  dan (c) Grafik dilihat secara dekat.
Gambar 9 (a) Grafik tingkat penyebaran virus AIDS ( 𝐴 ) untuk 𝑄 > 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar 10 (a) Grafik tingkat penyebaran virus AIDS ( 𝐴 ) untuk 𝑄 < 1
(b) Grafik dilihat secara dekat
Gambar  1  dan  2  menunjukkan  bahwa  estimator  terbaik  bagi 𝑆 adalah  EKF  karena  nilai  yang dihasilkan mendekati dengan nilai real sedangkan EnKF memberikan nilai estimasi yang cukup bagus  namun  masih  berada  di  bawah  EKF.  Pada  Gambar  3-10  juga  tampak  bahwa  metode Extended Kalman Filter lebih baik dibandingkan metode lainnya. Sedangkan hasil yang diberikan oleh  KF  tidak  sebaik  dari  kedua  estimator  tersebut.  Adapun  untuk 𝑆 𝑔 𝐼, 𝐼 𝑔 maupun 𝐴 hasil  yang diberikan oleh estimator EKF lebih baik dibandingkan dengan estimator EnKF maupun KF.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  hasil  simulasi  program  MATLAB  didapatkan  beberapa  kesimpulan, diantaranya:
• Pemberian pembangkitan nilai ensemble 𝑁 𝜖 pada metode EnKF akan mempengaruhi baik buruknya nilai estimasi. Untuk nilai 𝑁 yang semakin besar, waktu running program yang diperlukan juga semakin lama.
• Pemberian  nilai 𝑃 (Inisialisasi  awal), 𝑄 (kovarian  error  sistem),  dan 𝑅 (kovarian  error pengukuran) akan sangat berpengaruh pada hasil estimasi.
• Metode estimasi yang terbaik untuk seluruh persamaan, 𝑆, 𝑆𝑔, 𝐼, 𝐼𝑔, dan 𝐴 adalah metode Extended Kalman  Filter  (EKF). Hal  ini sangat dimungkinkan, karena EKF merupakan metode  pengembangan  KF  untuk  estimasi  persamaan  non-linier,  yang  sesuai  dengan persamaan yang kita gunakan pada paper ini.
• Pemberian  nilai 𝑃 dan 𝑄 yang  tepat  memberikan  pengaruh  pada  semakin  baiknya  nilai estimasi yang akan didapatkan. Untuk persamaan pertumbuhan populasi virus HIV/AIDS yang digunakan pada paper ini, estimasi EKF dengan nilai 𝑄  >  1 memberikan hasil yang relatif  lebih  mendekati  nilai  real  dibandingkan  untuk  keadaan  ketika 𝑄  <  10 .  Hal  ini
terlihat  dari  besarnya  jarak  yang  terlihat  antara  pada  beberapa  grafik  seperti  pada persamaan 𝐼 𝑔 dan 𝐴 untuk 𝑄  <  1.
• Estimasi  yang paling buruk atau memberikan  nilai  paling jauh  adalah estimasi  dengan metode  Kalman  Filter  (KF),  hal  ini  terjadi  karena  KF  merupakan  estimasi  untuk persamaan linier.

## 5 Daftar Pustaka
[1] M. Grewal and A. Andrews, Kalman filtering: theory and practice using MATLAB , vol. 5. 2011.
[2] K. D. Purnomo and E. Apriliani, “Estimasi Populasi Plankton dengan Ensemble Kalman Filter Estimation of Plankton Population Using Ensemble Kalman Filter,” pp. 38–44, 1994.
[3] R. Setiawaty, R. Ratianingsih, and A. I. Jaya, “Analisis Kestabilan pada Model Penyebaran HIV / AIDS,” vol. 10, no. 1, pp. 74–82, 2013.
[4] E. Apriliani, Subchan, F. Yunaini, and S. Hartini, Estimation and control design of mobile robot position , vol. 77, no. 1. 2013.