## Penerapan Persamaan Diferensial Verhulst dalam Menentukan Proyeksi Penduduk di Kabupaten Tulungagung

## Dewi Anggreini
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Tulungagung, Jl. Mayor Sujadi Timur No.7 Plosokandang Kedungwaru Tulungagung Jawa Timur, Indonesia
Korespondensi; Email: anggreini_004@yahoo.com

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan menentukan proyeksi pertumbuhan penduduk di Kabupaten Tulungagung provinsi Jawa Timur dengan model persamaan diferensial Verhulst berdasarkan laju pertumbuhan dan daya tampung ( carrying capacity). Target khusus dari hasil penelitian ini adalah model pertumbuhan logistik bisa digunakan sebagai alat untuk mengetahui proyeksi pertumbuhan penduduk berdasarkan laju pertumbuhan dan daya tampung dibeberapa daerah di Indonesia. Metode riset yang digunakan pada tahap pertama adalah menentukan subjek penelitian dan tahap Kedua adalah (1) mengumpulkan data penelitian (2) analisis data dan terakhir menarik kesimpulan. Data penelitian  ini  diperoleh  dari  BPS  Kabupaten  Tulungagung  yaitu  jumlah  penduduk  dari  tahun  2010-2016.  Hasil Penelitian  menunjukkan  bahwa:  1)  Besarnya  nilai carrying  capacity  yang  membatasi  penduduk  di  Kabupaten Tulungagung  adalah  sebesar  1.089.103,3.  2)  Laju  pertumbuhan  intrinsik  penduduk  di  kabupaten  Tulungagung dengan menggunakan Model pertumbuhan logistik adalah sebesar r = 0,07480. 3) Jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung  pada  tahun  2025  dari  hasil  estimasi  menggunakan  model  pertumbuhan  logistik  adalah  sebesar 1.055.578 jiwa. 4) Proyeksi jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung lebih tepat menggunakan model logistik I dengan  persamaannya 𝑵 = 𝟏.𝟎𝟖𝟗.𝟏𝟎𝟑,𝟑 (𝟎,𝟎𝟗𝟕𝟓𝟒)𝒆 −(𝟎,𝟎𝟕𝟒𝟖𝟎)𝒕 +𝟏 .  Penelitian  ini  diharapkan  dapat  bermanfaat  bagi  semua  pihak khususnya pada bidang matematika terapan serta metode dalam menghitung pertumbuhan populasi di suatu daerah pada periode yang akan datang.
Kata Kunci carrying capacity ; laju pertumbuhan; model logistik

## Abstract
This study aims to determine the projected population growth in Tulungagung Regency of East Java province with a model of Verhulst differential equations based on growth rate and carrying capacity. The specific target of this research is logistic growth model can be used as a tool to know the projection of population growth based on growth rate and capacity in some regions in Indonesia. Research methods used in the first stage is to determine the subject of research and the second stage is (1) collect research data (2) data analysis and last draw conclusions. The data of this research is obtained from BPS of Tulungagung Regency that is population from 2010-2016. The results showed that: 1) The amount of carrying capacity that limits the population in Tulungagung Regency is equal 1.089.103,3. 2) The intrinsic growth rate of the population in Tulungagung district using the logistic growth model is r = 0,07480 3) The population in Tulungagung District in 2025 from the estimation using the logistic growth model is 1.055.578 soul, 4) The projection of population in Tulungagung is more appropriate using the logistic model I with the equation 𝐍 = 𝟏.𝟎𝟖𝟗.𝟏𝟎𝟑,𝟑 (𝟎,𝟎𝟗𝟕𝟓𝟒)𝐞 −(𝟎,𝟎𝟕𝟒𝟖𝟎)𝐭 +𝟏 .  This study is expected to be useful for all parties, especially in the field of applied mathematics and methods in calculating population growth in an area in the period to come.
Keywords carrying capacity ; growth rate; logistic models

## Pendahuluan
Proyeksi  kependudukan  sejak  lama  telah  menjadi  masalah  penting  di  dunia.  Populasi  ukuran  dan pertumbuhan  di  suatu  negara  secara  langsung  mempengaruhi  situasi  ekonomi,  kebijakan,  budaya,
pendidikan  dan  biaya  sumber  daya  alam.  Proyeksi  penduduk  bukan  merupakan  ramalan  jumlah penduduk tetapi suatu perhitungan ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan  penduduk,  yaitu  kelahiran,  kematian,  dan  perpindahan.  Ketiga  komponen  inilah  yang menentukan besarnya jumlah penduduk dan struktur umur penduduk di masa yang akan datang. Untuk menentukan masing-masing asumsi diperlukan data yang menggambarkan tren di masa lampau hingga saat  ini,  faktor-faktor  yang  mempengaruhi  komponen-komponen  itu,  dan  hubungan  antara  satu komponen dengan yang lain serta target yang diharapkan tercapai pada masa yang akan datang.
Tulungagung adalah sebuah Kabupaten yang sangat terkenal dengan sebutan kota marmer. Dengan jumlah penduduk sebanyak 1.026.101 jiwa (data BPS tahun 2016) dan kepadatan penduduk sejumlah 972 jiwa/km2. Luas Wilayah Kabupaten Tulungagung sebesar 1.055,65 Km 2 [1]. Dari beberapa informasi di atas alasan peneliti memilih Kabupaten Tulungagung tersebut adalah: pertama, dikarenakan belum adanya  penelitian  sebelumnya  yang  membahas  tentang  pertumbuhan  dan  proyeksi  penduduk  di Kabupaten  Tulungagung  dengan  menggunakan  persamaan  logistik.  Alasan  kedua  yaitu  Kabupaten Tulungagung memiliki daerah yang tidak luas dibandingkan Kabupaten disekitarnya akan tetapi, jumlah penduduknya jauh lebih banyak dibandingkan dengan jumlah penduduk di Kabupaten sekitarnya. Dari hal tersebut sangat menarik peneliti untuk dilakukan penelitian lebih lanjut.
Model-model pertumbuhan  populasi yang  dijelaskan  terdahulu bersifat hipotetik (proses kelahiran murni) dengan asumsi yang tidak realistis antara lain bahwa makanan yang tersedia tidak terbatas dan individu yang dilahirkan tidak pernah mati. Asumsi-asumsi ini diperbaiki dengan memasuki keadaan yang  lebih  realistis.  Model  pertumbuhan  populasi  klasik  mengasumsikan  bahwa  laju  pertumbuhan populasi  terhadap  waktu  berbanding  lurus  dengan  jumlah  populasi  yang  ada  [12].  Pertumbuhan populasi merupakan salah satu contoh penerapan persamaan diferensial dalam bidang Biologi. Dalam Ekologi pertumbuhan populasi sering disebut sebagai,  dinamika populasi . [12].
Model  pertumbuhan  logistik  adalah  model  pertumbuhan  yang  dibatasi  oleh  suatu  faktor penghambat. Tujuan penelitian ini yaitu menghitung carrying capacity, laju pertumbuhan penduduk, jumlah  penduduk  kemudian  dicari  proyeksi  jumlah  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  dan Trenggalek  Provinsi  Jawa  Timur  untuk  waktu  yang  akan  datang  menggunakan  program  Excel  dan MAPLE. Berdasarkan penjelasan-penjelasan di atas, maka dari itu dipilih judul penelitian, “Penerapan Persamaan Diferensial Verhulst dalam Menentukan Proyeksi Penduduk di Kabupaten Tulungagung”. Dari  pemaparan  di  atas  peneliti  mengambil  rumusan  masalah  sebagai  berikut  1)  Bagaimana menentukan besarnya nilai carrying capacity yang membatasi penduduk di Kabupaten Tulungagung ? 2)  Bagaimana  menentukan  laju  pertumbuhan  penduduk  dengan  menggunakan  Model  pertumbuhan logistik? 3) Bagaimana menghitung jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025 dari hasil estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik? 4) Bagaimana menentukan proyeksi jumlah penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  menggunakan  model  pertumbuhan  logistik?.  Dari  rumusan masalah tersebut dapat dijadikan dasar tujuan penelitian diantaranya 1) menentukan laju pertumbuhan penduduk  dengan  menggunakan  model  pertumbuhan  logistik.  2)  Menentukan  jumlah  penduduk  di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025 dari hasil estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik. 3)  Menentukan  proyeksi  jumlah  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  menggunakan  model pertumbuhan logistik.

## Landasan Teori

## Model Pertumbuhan Logistik
Pada  model  pertumbuhan  logistik  diasumsikan  bahwa  rata-rata  total  pertumbuhan  tergantung  pada ukuran populasi (model linear) atau sama dengan laju pertumbuhan perkapita [2]. Model pertumbuhan logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik berupa ketersediaan makanan dan  ruang  hidup.  Model  ini  mengasumsikan  bahwa  pada  waktu  tertentu  jumlah  populasi  akan mendekati titik kesetimbangan ( equilibrium).
Persamaan logistik disusun berdasarkan asumsi asumsi yaitu populasi akan mencari keseimbangan dengan  lingkungan  sehingga  memiliki  sebaran  umur  stabil  ( stable  age  distribution)  [12].  Populasi memiliki laju pertumbuhan yang secara berangsur-angsur menurut secara tetap dengan konstanta 𝑟 . Pengaruh 𝑟 terhadap peningkatan kerapatan karena bertumbuhnya populasi merupakan respon yang instaneous atau seketika itu juga dan tidak terdapat penundaan atau senjang waktu (time lag). Sepanjang
waktu  pertumbuhan  keadaan  lingkungan  tidak  berubah.  Pengaruh  kerapatan  adalah  sama  tehadap semua tingkat umur populasi. Peluang untuk berkembang biak tidak dipengaruhi oleh kerapatan. Sesuai dengan penurunan rumus menentukan carrying capacity. Model logistik yang digunakan pada penelitian ini adalah
𝑁(𝑡) = 𝐾 𝑒 −𝑟𝑡 ( 𝐾 𝑁 0 − 1) + 1
dengan 𝐾 diperoleh dari
lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 2 𝑁 1 − 𝑁 0 𝑁 1 ) 𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 1 2
Fungsi
Definisi 1 [11] Diketahui 𝑅 relasi dari 𝐴 ke 𝐵 . Apabila setiap 𝑥 ∈ 𝐴 berelasi 𝑅 dengan tepat satu 𝑦 ∈ 𝐵 maka 𝑅 disebut fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 . Jadi, relasi 𝑅 dari 𝐴 ke 𝐵 disebut fungsi jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 terdapat tepat satu 𝑦 ∈ 𝐵 sehingga 𝑏 = 𝑅(𝑎) . Selanjutnya apabila 𝑓 merupakan fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 , maka dituliskan 𝑓: 𝐴 → 𝐵 . Dalam hal ini himpunan 𝐴 dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan 𝐵 dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi 𝑓 . Limit
Definisi 2.a [11] Limit 𝑓(𝑥) 𝑥 mendekati 𝑐 sama dengan 𝐿 , ditulis:
lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿
Jika untuk setiap 𝑥 yang cukup dekat dengan 𝑐 , tetapi 𝑥 ≠ 𝑐, maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 .
Secara matematis definisi diatas dapat ditulis sebagai berikut: lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika untuk setiap bilangan 𝜖 > 0 yang  diberikan  (berapapun  kecilnya)  terdapat  bilangan 𝛿 > 0 sehingga  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 dengan 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 berlaku |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 .
Definisi 2.b [9] lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 , dikatakan “ limit dari 𝑓(𝑥) , ketika 𝑥 mendekati 𝑎 , sama dengan 𝐿 ” jika kita dapat membuat nilai dari 𝑓(𝑥) secara sembarang mendekati 𝐿 (sedekat yang kita inginkan) dengan mengambil nilai 𝑥 cukup dekat dengan 𝑎 (pada kedua sisi 𝑎 ), tetapi tidak sama dengan 𝑎 .
Turunan
Definisi 3 [9] Diberikan fungsi 𝑓 dan 𝑎 ∈ 𝐷 𝑓 . Turunan fungsi 𝑓 di 𝑎 , dinyatakan dengan 𝑓 ′ (𝑎) dan didefinisikan dengan:
𝑓 ′ (𝑎) = lim ℎ→0 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Asalkan limit ini ada.
Berdasarkan  definisi  3  diatas  jika  ditulis 𝑥 = 𝑎 + ℎ maka 𝑥 mendekati 𝑎 jika  dan  hanya  jika mendekati 0. Oleh karena itu dapat pula ditulis:
𝑓 ′ (𝑎) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎
Jika 𝑓 ′ (𝑎) ada maka 𝑓 dikatakan mempunyai turunan atau diferensiabel di 𝑎 .

## Persamaan Diferensial
Definisi 4.a [8]
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari suatu fungsi yang tak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang berorde 𝑛 dapat ditulis dalam bentuk:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) = 0 (1)
Dengan 𝑦 (𝑛) melambangkan  turunan  ke 𝑛 dari 𝑦 terhadap 𝑥 .  Kasus  khusus  apabila 𝐹 suatu  fungsi linear dari 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) .
Definisi 4.b [8] Persamaan Diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk
𝑎 0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑎 1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝐹(𝑥)
Dengan 𝑎 0 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 dan 𝐹 fungsi-fungsi dari 𝑥 saja dan 𝑎 0 (𝑥) ≠ 0 dinamakan persamaan diferensial linear orde 𝑛 . Persamaan tersebut linear dalam 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , . . . , 𝑦 (𝑛) .
Definisi 4.c [4] Suatu persamaan diferensial biasa orde 𝑛 adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk
𝑦 (𝑛) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) )
dimana 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛) semua ditentukan nilainya oleh 𝑥 .
Persamaan diferensial Linear Orde Satu
Persamaan diferensial dengan bentuk 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃𝑦 = 𝑄 (Purcell, 1987: 434) dengan 𝑃 dan 𝑄 adalah fungsi 𝑥 saja, disebut persamaan Diferensial Orde Satu.Suatu persamaan jenis ini dalam prinsip selalu dapat diselesaikan.  Pertama  mengalikan  kedua  ruas  dengan  faktor  integral 𝑆 . 𝑆 = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ,  yang menghasilkan 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 .  Kemudian  kenali  ruas  kiri  sebagai turunan dari 𝑦𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 , sehingga persamaan membentuk 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ) = 𝑄(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 .
Pengintegralan kedua ruas menghasilkan 𝑦𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑄(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 )𝑑𝑥 . Sehingga 𝑦 = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫(𝑄(𝑥)𝑒 ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 )𝑑𝑥 .
Turunan 𝒆 𝒙 [5] Dikarenakan 𝑒𝑥𝑝 dan  ln  adalah  fungsi-fungsi  balikkan,  maka  fungsi exp 𝑥 = 𝑒 𝑥 dapat  diturunkan. Andaikan 𝑦 = 𝑒 𝑥 , maka: 𝑥 = ln 𝑦 .  Ruas kanan dan kiri diturunkan menurut x, diperoleh 1 = 1 𝑦 𝐷 𝑥 𝑦 (aturan  rantai).  Sehingga 𝐷 𝑥 𝑦 = 𝑦 = 𝑒 𝑥 .  Turunan 𝑒 𝑥 adalah  juga 𝑒 𝑥 . Jadi 𝐷 𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 .  Apabila 𝑢 = 𝑓(𝑥) ,  dapat  diturunkan,  maka  menurut  aturan  rantai: 𝐷 𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝐷 𝑥 𝑢 .  Rumus 𝐷 𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 dapat menghasilkan  rumus ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐, atau  apabila 𝑥 diganti  dengan  u  maka  diperoleh: ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐.

## Metode Penelitian
Tahapan Penelitian
Metode  riset  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  yaitu:  Tahap  pertama  adalah  menentukan  subjek penelitian, adapun subjek penelitiannya adalah jumlah penduduk mulai tahun 2010 sampai tahun 2016 di  Kabupaten  Tulungagung  Provinsi  Jawa  Timur  dan  Tahap  Kedua  adalah  (1)  mengumpulkan  data penelitian, adapun pengumpulan data penelitian didapatkan dari data sekunder di Badan Pusat Statistik Kabupaten Tulungagung Provinsi Jawa Timur (2) analisis data dan terakhir menarik kesimpulan.
Lokasi Penelitian
Lokasi penelitian ini adalah Badan Pusat Statistik (BPS) Kabupaten Tulungagung Provinsi Jawa Timur.

## Peubah yang diamati
Peubah  yang  diamati  dalam  penelitian  ini  adalah  laju  pertumbuhan  intrinsik  dan    jumlah  populasi penduduk  pada  waktu  t.  Laju  pertumbuhan  intrinsik  atau intrinsic  growth  rate  adalah  nilai  yang menggambarkan  daya  tumbuh  suatu  populasi.  Dapat  dikatakan  bahwa  laju  pertumbuhan  intrinsik adalah  kemampuan  tumbuh  populasi  yang  disebabkan  oleh  daya  dukung  lingkungan  sehingga merupakan fungsi terhadap waktu.Dalam hal ini diasumsikan laju pertumbuhan intrinsik bernilai positif ( 𝑟 > 0 ), yaitu mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak. Model pertumbuhan dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi: (a) laju pertumbuhan populasi 1 𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝑡 pada saat 𝑁 = 0 adalah 𝑟 (b) laju pertumbuhan ini menurun secara linear  dan bernilai 0 saat 𝑁 = 𝐾 .

## Model yang digunakan
Pada Model pertumbuhan logistik ( logistic growth model) menggunakan kaidah logistik (logistic law) bahwa persediaan logistik ada batasnya. Model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu jumlah populasi  akan  mendekati  titik  kesetimbangan  ( equilibrium)  [6].  Pada  titik  ini  jumlah  kelahiran  dan kematian  dianggap  sama,  sehingga  grafiknya  akan  mendekati  konstan  ( zero  growth).  Dari  asumsi tersebut dapat diturunkan suatu model pertumbuhan populasi yang disebut sebagai model pertumbuhan logistik.  Dari asumsi tersebut  diturunkan  sebuah model pertumbuhan populasi yang  disebut sebagai model pertumbuhan logistik, yaitu: 1 𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟 − 𝑟 𝐾 𝑁 atau 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(1 − 𝑁 𝐾 ) .

## Rancangan Penelitian
Pendekatan  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  pendekatan  kualitatif.  Metode  penelitian kualitatif adalah metode penelitian yang berlandaskan pada filsafat postpositivisme, digunakan untuk meneliti  pada  kondisi  objek  yang  alamiah,  dimana  peneliti  sebagai  instrument  kunci,  teknik pengumpulan data dilakukan secara triangulasi (gabungan), analisis data bersifat induktif/kualitatif, dan hasil  penelitian  kualitatif  lebih  menekankan  makna  daripada  generalisasi  [10].  Penelitian  kualitatif adalah penelitian yang bermaksud untuk memahami fenomena tentang apa yang dialami oleh subjek penelitian  [7].  Jenis  penelitian  ini  termasuk  penelitian  Deskriptif.  Sedangkan  bentuk  rancangan penelitian ini adalah studi kasus.
Rancangan  studi  kasus  merupakan  salah  satu  jenis  pendekatan  kualitatif  yang  menelaah  sebuah kasus”tertentu dalam konteks atau setting kehidupan nyata kontemporer [3]. Kasus kasus dibatasi oleh waktu  dan  aktivitas,  dan  peneliti  mengumpulkan  informasi  secara  lengkap  dengan  menggunakan berbagai prosedur pengumpulan data berdasarkan waktu yang telah ditentukan. Perlakuan yang akan diberikan terhadap data yaitu penerapan persamaan differensial Verhulst/logistik berdasarkan carrying capacity menggunakan Aplikasi Microsoft Excel dan MAPLE.

## Teknik Pengumpulan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini hanya ada satu jenis, yaitu data sekunder. Data sekunder dikumpulkan  dari  beberapa  sumber,  diantaranya  adalah  data  jumlah  penduduk  diambil  dari  Badan Pusat Statistik (BPS) Kabupaten Tulungagung mulai tahun 2010 sampai tahun 2016. Adapun kenapa dipilih mulai dari tahun 2010, dikarenakan sesuai dengan laporan data BPS Pusat Jakarta bahwa mulai tahun 2010 jumlah penduduk Indonesia masuk dalam jumlah penduduk terbesar ke 4 di dunia. Adapun
untuk tahun 2016 dikarenakan data sekunder tersebut merupakan data yang paling baru disajikan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) di Kabupaten Tulungagung.

## Teknik Analisis Data
Tehnik yang digunakan dalam menganalisis bentuk dan model penelitian ini adalah sebagai berikut: a)  Mengkonstruksi  model  persamaan  diferensial  verhulst/logistik.  b)  Mencari  solusi  dari  persamaan diferensial 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ). c) Menentukan waktu yang diukur dan jumlah populasi awal serta populasi pada tahun selanjutnya dimisalkan saat 𝑡 = 0 yaitu 𝑁 0 , saat 𝑡 = 1 yaitu 𝑁 1 dan saat 𝑡 = 2 yaitu 𝑁 2 . d) Menentukan kapasitas tampung ( carrying capacity). e) Mencari laju pertumbuhan penduduk yaitu ratau  intrinsic  growth  rate  menggunakan  solusi  model  persamaan  logistik.  f)  Menghitumg  jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung dengan solusi persamaan logistik. g) Menentukan proyeksi jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung menggunakan model pertumbuhan logistik yang nilainya cukup mendekati hasil sensus. h) Menentukan proyeksi penduduk di Kabupaten Tulungagung dengan aplikasi Microsoft Excel dan MAPLE.

## Hasil dan Pembahasan

## Model Pertumbuhan Eksponensial
Beberapa asumsi yang digunakan dalam pendugaan pertumbuhan penduduk secara eksponensial, yaitu: Laju kelahiran dan kematian konstan, Tidak ada struktur genetik, Tidak ada struktur perbedaan umur dan ukuran, Tidak ada waktu tunda. Pada model ini diasumsikan bahwa populasi bertambah dengan laju  pertumbuhan  populasi  yang  sebanding  dengan  besarnya  populasi.  Misalkan 𝑁(𝑡) menyatakan jumlah  populasi  pada  saat 𝑡 (waktu),  dan 𝑘 menyatakan  laju  pertumbuhan  populasi  maka  model populasi eksponensial dinyatakan dalam bentuk: [13]
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) atau 𝑑𝑁 𝑡 𝑁 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) (2)
Dimana:
𝑁 𝑡 : Kerapatan populasi atau banyaknya populasi pada waktu 𝑡 jam 𝑁 0 : Kerapatan populasi atau banyaknya populasi mula-mula 𝑟 : Laju pertumbuhan populasi
𝑡 : Waktu ke 𝑡 (jam)
Persamaan  logistik  disusun  berdasarkan  asumsi-asumsi  antara  lain:  1)  Populasi  akan  mencapai keseimbangan dengan lingkungan sehingga memiliki sebaran umur stabil ( stable age distribution). 2) Populasi  memiliki  laju  pertumbuhan  yang  secara  berangsur-angsur  menurun  secara  tetap  dengan konstanta 𝑟 . 3) Pengaruh 𝑟 terhadap peningkatan kerapatan karena bertumbuhnya populasi merupakan respon yang instantaneous atau seketika itu juga dan tidak terdapat penundaan atau senjang waktu ( time lag) sepanjang waktu pertumbuhan keadaan lingkungan tidak berubah. 4) Pengaruh kerapatan adalah  sama  terhadap  semua  tingkat  umur  populasi.  5)  Peluang  untuk  berkembang  biak  tidak dipengaruhi oleh kerapatan [12].
Dengan  perjalanan  waktu, 𝑁 tumbuh  semakin  besar  sehingga  persaingan  antar  individu  dalam populasi (ruang, makanan, dan sebagainya) semakin meningkat pula dan pertumbuhan populasi semakin terhambat. Hal ini mengakibatkan 𝑑𝑁 𝑑𝑡 semakin menurun dan berhenti tumbuh ( 𝑟 = 0 ) pada saat daya dukung dicapai. Untuk mengakomodasi faktor berkurangnya daya dukung akibat pertumbuhan, model Malthus 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) perlu dimodifikasi. Modifikasi model Malthus dilakukan karena Model Malthus yang  naik  terus  itu  jelas  tidak  sesuai  bila  diambil  cukup  besar.  Bila 𝑁 menjadi  besar  tempatnya terbatas  maka  timbul  hambatan  karena  padatnya  populasi  yang  akan  mengurangi  populasinya. Diasumsikan bahwa 𝑓(𝑁) adalah fungsi linear  dimana a merupakan faktor penurunan proporsional [12].
𝑓(𝑁) = 𝑟 − 𝑎𝑁, 𝑟, 𝑎 > 0, 𝑁 > 0

## 𝑑𝑁 𝑁𝑑𝑡 = 𝑟 − 𝑎𝑁
Persamaan ini disebut sebagai model logistik atau model Verhulst-pearl. Model persamaan diferensial 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁(𝑡) merupakan persamaan diferensial separabel, sehingga kita dapat mencari solusi umumnya sebagai berikut:
∫ 𝑑𝑁 𝑁 = ∫ 𝑟  𝑑𝑡 𝑒 ln 𝑁(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡+𝑐 𝑁(𝑡) = 𝑒 𝑟 𝑡+𝑐 (3)
Jika diberikan kondisi awal 𝑡 = 0 dan 𝑁(0) = 𝑁 0 maka diperoleh nilai 𝑐 = ln 𝑁 0 sehingga bila nilai 𝑐 disubstitusikan ke dalam (3) akan menghasilkan,
𝑁(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡+ln N 0
𝑁(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 𝑒 ln N 0 𝑁(𝑡) = 𝑁 0 𝑒 𝑟𝑡 (4)
Persamaan  (4)  merupakan  bentuk  solusi  khusus  dari  model  pertumbuhan  eksponensial.  Dari persamaan tersebut dapat dilihat jika nilai 𝑟 positif maka populasi akan meningkat secara eksponensial, sebaliknya jika nilai 𝑟 negatif maka populasi akan semakin punah.

## Model Pertumbuhan Logistik
Model ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dan juga seorang ahli biologi berkebangsaan Belanda, yaitu Pierre Francois Verhulst pada tahun 1838, hal ini diakibatkan karena model pertumbuhan alami tidak cukup tepat untuk populasi yang cukup besar dan tempatnya terbatas sehinggga timbul hambatan karenanya padatnya populasi yang akan mengurangi populasi itu sendiri. Perubahan jumlah populasi  setiap  waktu  merupakan  salah  satu  penanda  terjadinya  pertumbuhan  populasi  yang dipengaruhi oleh jumlah kelahiran, kematian dan migrasi. Salah satu model pertumbuhan adalah model pertumbuhan  kontinu  khususnya  model  logistik.  Model  ini  merupakan  pengembangan  dari  model pertumbuhan eksponensial yang pertama kali dicetuskan oleh Maltus. [6]. Model pertumbuhan populasi logistik ini merupakan penyempurnaan dari model pertumbuhan eksponensial di atas. Model logistik digunakan  karena  pada  kenyataan  di  alam  bahwa  besar  kecilnya  populasi  bergantung  pada kerapatannya,  sehingga  laju  kelahiran  dan  laju  kematian  tidak  konstan  [6].  Bentuk  yang  paling sederhana untuk laju pertumbuhan relatif yang mengakomodasi asumsi ini adalah:
1 𝑁 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑘 (1 − 𝑁 𝐾 ) (5)
Kedua  ruas  dikalikan  dengan 𝑁 ,  maka  diperoleh  model  untuk  pertumbuhan  populasi  yang  dikenal persamaan diferensial logistic;
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ) (6)
Perhatikan dari persamaan (6) bahwa jika 𝑁 kecil dibandingkan dengan 𝐾 , maka 𝑁/𝐾 mendekati 0 dan 𝑑𝑁/𝑑𝑡   𝑟𝑁 . Namun, jika 𝑁 𝐾 (populasi mendekati kapasitas tampungnya), maka 𝑁/𝐾 → 1 ,
sehingga 𝑑𝑁 𝑑𝑡 → 1 .  Jika  populasi 𝑁 berada  diantara 0 dan 𝐾 ,  maka  ruas  kanan  persamaan  di  atas bernilai  positif,  sehingga 𝑑𝑁 𝑑𝑡 → 1 dan  populasi  naik.  Tetapi  jika  populasi  melampaui  kapasitas tampungnya (𝑁 > 𝐾) ,  maka 1 − 𝑁 𝐾 negatif,  sehingga 𝑑𝑁 𝑑𝑡 < 0 dan  populasi  turun.  Solusi  persamaan logistik dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut ini:
𝑑𝑁 𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ) = 𝑟 𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑁 𝑁 (1 − 𝑁 𝐾 ) = ∫ 𝑟 𝑑𝑡
ln 𝑁 − ln(𝐾 − 𝑁) = 𝑟 𝑡 + 𝑐
𝑁  = 𝐾𝑒 𝑟𝑡+𝑐 1+𝑒 𝑟𝑡+𝑐 (7)
Dari persamaan (7) jika kita memberikan nilai awal 𝑡 = 0 dan 𝑁(0) = 𝑁 0 kemudian disubstitusikan ke dalam (7) maka akan diperoleh nilai 𝑐 = ln(𝑁 0 /𝐾 − 𝑁 0 ) selanjutnya nilai 𝑐 tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan (7), sehingga diperoleh solusi khusus dari model logistik seperti berikut,
𝑁 = 𝐾𝑒 𝑟𝑡+ln ( 𝑁 0 𝐾−𝑁 0 ) 1 + 𝑒 𝑟𝑡+ln ( 𝑁 0 𝐾−𝑁 0 ) 𝑁 = 𝐾 ( 𝐾 𝑁 0 𝑒 −𝑟𝑡 − 𝑒 −𝑟𝑡 + 1) 𝑁 = 𝐾 𝑒 −𝑟𝑡 ( 𝐾 𝑁0 −1)+1 (8)
Keterangan;
𝑁 : Jumlah populasi pada saat 𝑡 𝑁 0 : Jumlah populasi awal saat 𝑡 = 0 .
𝐾 : Daya tampung ( carrying capacity) dari suatu daerah untuk populasi.
𝑟 : Laju pertumbuhan per kapita populasi.
𝑡 : Waktu.
Persamaan (8) merupakan bentuk sederhana dari solusi khusus model logistik yang akan digunakan dalam  melakukan  proyeksi  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  dan  Trenggalek.  Menurut  Lukman dan Kwardiniya penentuan nilai 𝐾 atau nilai carrying capacity diperoleh dari nilai limit dari 𝑁(𝑡) yaitu:
𝑁(𝑡) 𝑚𝑎𝑥 = lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 2 𝑁 1 − 𝑁 0 𝑁 1 ) 𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 1 2

## Formulasi Model
Pada tahun 1798, Thomas Malthus membuat sebuah model pertumbuhan penduduk dasar dengan 𝑁(𝑡) menunjukkan populasi suatu spesies pada waktu dan dimisalkan 𝑟 = 𝑎 merupakan laju pertumbuhan penduduk. Dari  persamaan  (2)  diperoleh  model: 𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎𝑁(𝑡) persamaan  ini  adalah  linear  orde persamaan diferensial non-homogen yang dikenal sebagai hukum Malthus pertumbuhan penduduk. Dari persamaan (4) solusi dari persamaan di atas adalah 𝑁(𝑡) = 𝑁 0 𝑒 𝑎𝑡 .
Laju  pertumbuhan  penduduk  yang  terus  meningkat  dapat  diperkecil  dengan  adanya  faktor penghambat. Model pertumbuhan logistik adalah model pertumbuhan yang dibatasi oleh suatu faktor penghambat. Diturunkan model persamaan sebagai berikut:
𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎𝑁(𝑡) (1 − 𝑁(𝑡) 𝑀 )
Jika 𝑀 = 𝑎 𝑏 ⁄ , maka diperoleh
𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎𝑁(𝑡) − 𝑏𝑁 2 (𝑡) (9)
Dengan cara memisahkan variabel dan mengintegrasikan persamaan (9) diperoleh
1 𝑎 (𝑙𝑛𝑁(𝑡) − ln (𝑎 − 𝑏𝑁(𝑡))) = 𝑡 + 𝐶 (10)
Jika diberikan syarat 𝑡 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑁(0) =  𝑁 0 diperoleh
𝐶 = 1 𝑎 (𝑙𝑛 𝑁 0 − ln (𝑎 − 𝑏 𝑁 0 ))

## Oleh karena itu persamaan (10) menjadi
1 𝑎 (𝑙𝑛𝑁(𝑡) − ln(𝑎 − 𝑏𝑁(𝑡))) = 𝑡 + 1 𝑎 (𝑙𝑛 𝑁 0 − ln (𝑎 − 𝑏 𝑁 0 )) (11)
Didapatkan nilai 𝑁(𝑡) sebagai berikut [13]
𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 ⁄ 1+( 𝑎 𝑏 ⁄ 𝑁0 −1)𝑒 −𝑎𝑡 (12)
Misalkan pada saat 𝑡 = 1 dan 𝑡 = 2 dari persamaan (12) diperoleh
𝑁 1 = 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −𝑎 )   = 1 𝑁 1 − 𝑒 −𝑎 𝑁 0 dan 𝑁 2 = 𝑏 𝑎 (1 − 𝑒 −2𝑎 )   = 1 𝑁 2 − 𝑒 −2𝑎 𝑁 0 (13)
Dari persamaan (13) diperoleh
(1 + 𝑒 −𝑎 ) = 1 𝑁2 − 𝑒−2𝑎 𝑁𝑜 1 𝑁1 − 𝑒−𝑎 𝑁0 (14)
Sehingga
𝑒 −𝑎 = 𝑁 𝑜 (𝑁 1 −𝑁 2 ) 𝑁 2 (𝑁 0 −𝑁 1 ) (15)
Persamaan (15) disubstitusikan ke dalam persamaan (13) sehingga didapatkan
𝑏 𝑎 = 𝑁 𝑜 𝑁 2 − 𝑁 1 2 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 2 𝑁 1 − 𝑁 0 𝑁 1 )
Dengan demikian nilai 𝐾 atau carrying capacity diperoleh dari nilai limit dari 𝑁(𝑡) adalah
𝑁(𝑡) 𝑚𝑎𝑥 =   lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 −𝑁 2 𝑁 1 −𝑁 0 𝑁 1 ) 𝑁 0 𝑁 2 −𝑁 1 2 (16)
Data Jumlah Penduduk di Kabupaten Tulungagung Dan Trenggalek Untuk melakukan proyeksi penduduk di Kabupaten Tulungagung perlu dilakukan analisis perhitungan terlebih  dahulu  terhadap  data  jumlah  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  dan  tahun-tahun sebelumnya. Hal ini dimaksudkan agar kita dapat mengetahui kecenderungan dan arah dari data yang kita gunakan. Jumlah data yang digunakan turut mempengaruhi keakuratan model dalam memprediksi keadaan populasi secara menyeluruh.
Dalam penelitian ini, data jumlah penduduk yang digunakan adalah data jumlah penduduk hasil sensus penduduk di Kabupaten Tulungagung dari tahun 2010 sampai tahun 2016 yang bersumber dari Badan Pusat Statistik (BPS) di Kabupaten Tulungagung. Berikut ini adalah tabel 1 yang menyatakan jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung dari tahun 2010-2016:
Tabel 1. Data jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung.
Tahun Jumlah Penduduk 2010 992.317 2011 998.707 2012 1.004.711 2013 1.009.411 2014 1.015.974 2015 1.021.190 2016 1.026.101
Sumber: BPS Kabupaten Tulungagung.
Dari  tabel  1  di  atas  terlihat  bahwa  sejak  tahun  2010  -  2016  jumlah  penduduk  di  Kabupaten Tulungagung mengalami kenaikan. Secara umum jika kita bandingkan jumlah penduduk pada awal tahun  dan  akhir  tahun  maka  telah  terjadi  kenaikan  jumlah  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung Provinsi Jawa Timur.
Penyelesaian Model Logistik Pertumbuhan Penduduk di Kabupaten Tulungagung Untuk menentukan model logistik dari data jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tabel 1 di atas, sebelumnya diasumsikan terlebih dahulu bahwa waktu (𝑡) yang diukur dalam tahun dan dimisalkan 𝑡 = 0 pada  tahun  2010  maka  syarat  awal  adalah 𝑁(0) = 992.317 .  Selanjutnya  adalah menentukan nilai carrying capacity atau kapasitas tampung yaitu 𝐾 .
𝑁(𝑡) 𝑀𝑎𝑥 = lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 2 𝑁 1 − 𝑁 0 𝑁 1 ) 𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 1 2
Dari tabel 1 diperoleh 𝑡 = 0,1,2 tahun 2010, 2011, 2012 dengan nilai 𝑁 0 , 𝑁 1, 𝑁 2 masing-masing adalah
𝑁 0 = 992318, 𝑁 1 = 9987072, 𝑁 2 = 1004711
Nilai 𝑁 0 , 𝑁 1, 𝑁 2 disubstitusikan kepersamaan untuk mencari nilai Carrying Capacity sehingga diperoleh
nilai  yang  membatasi  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  Provinsi  Jawa  Timur  yaitu (𝑡) = 𝑎 𝑏 , Selanjutnya perhitungannya adalah sebagai berikut:
𝑁(𝑡) 𝑚𝑎𝑥 =   lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 𝑎 𝑏 = 𝑁 1 (2𝑁 0 𝑁 2 − 𝑁 2 𝑁 1 − 𝑁 0 𝑁 1 ) 𝑁 0 𝑁 2 −𝑁 1 2 = 998.707 (2 𝑥 992.317 𝑥 1.004.711 − 1.004.711 𝑥 998.707 − 992.317 𝑥 998.707)
992.317 𝑥 1004.711 − (998.707) 2

## 𝐾 = 1.089.103,3
Nilai 𝐾 dan 𝑁 0 didistribusikan ke solusi model logistik (8) sehingga diperoleh
𝑁 = 𝐾 𝑒 −𝑟𝑡 ( 𝑘 𝑁 0 − 1) + 1 𝑁 = 1.089.103,3 𝑒 −𝑟𝑡 ( 1.089.103,3 992.313 − 1) + 1 𝑁 = 1.089.103,3 𝑒 −𝑟𝑡 ( 0,09754)+1 (17)
Selanjutnya  dari  persamaan  (17)  akan  dicari  model  logistik  yang  dapat  mewakili  laju  pertumbuhan penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  untuk 𝑡 = 1 pada  tahun  2011  maka 𝑁(1) = 998.707 ,  jika didistribusikan ke persamaan (17) diperoleh
998.707 = 1.089.103,3 𝑒 −𝑟 (0,09754) + 1
𝑒 −𝑟 (0,09754) = 1.089.103,3 −  998.707 998.707
𝑟 = 0,07480
Nilai 𝑟 yang diperoleh didistribusikan kembali pada (17) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07480)𝑡 +1 (Model I)
Untuk 𝑡 = 2 pada  tahun  2012  maka 𝑁(2) = 1.004.711 ,  jika  disubstitusikan  ke  persamaan  (17) diperoleh
1.004.711 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −2𝑟 + 1 (0,09754)𝑒 −2𝑟 = 1.089.103,3 − 1.004.711
1.004.711
𝑟 = 0,07472
Jika nilai 𝑟 yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (5.16) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07472)𝑡 +1 (Model II)
Untuk 𝑡 = 3 pada  tahun  2013  maka 𝑁(3) = 1.009.411 ,  jika  disubstitusikan  ke  persamaan  (17) diperoleh
1.009.411 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −3𝑟 + 1
−3𝑟 = −0,21145
𝑟 = 0,07048
Jika nilai 𝑟 yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (7) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07048)𝑡 +1 (Model III)
Untuk 𝑡 = 4 pada  tahun  2014  maka 𝑁(4) = 1.015.974 ,  jika  disubstitusikan  ke  persamaan  (17) diperoleh
1.015.974 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −4𝑟 + 1
(0,09754)𝑒 −4𝑟 = 1.089.103,3 − 1.015.974
1.015.974
𝑟 = 0,07597
Jika nilai 𝑟 yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (17) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07597)𝑡 +1 (Model IV)
Untuk 𝑡 = 5 pada  tahun  2015  maka 𝑁(5) = 1.021.190 ,  jika  disubstitusikan  ke  persamaan  (17) diperoleh,
1.021.190 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −5𝑟 + 1 (0,09754)𝑒 −5𝑟 = 1.089.103,3 − 1.021.190
1.021.190
𝑟 = 0,07661
Jika nilai 𝑟 yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (17) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07661)𝑡 +1 (Model V)
Untuk 𝑡 = 6 pada  tahun  2016  maka 𝑁(6) = 1.026.101 ,  jika  disubstitusikan  ke  persamaan  (17) diperoleh
1.026.101 = 1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −6𝑟 + 1
(0,09754)𝑒 −6𝑟 = 1.089.103,3 − 1.026.101
1.026.101
𝑟 = 0,07717
Jika nilai 𝑟 yang diperoleh disubstitusikan kembali pada (17) maka menghasilkan
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07717)𝑡 +1 (Model VI)
Dari hasil perhitungan diatas diperoleh hasil model logistik sebagai berikut:
1. Model Logistik I, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,5%
2. Model Logistik II, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,5%
3. Model Logistik III, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,05%
4. Model Logistik IV, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,6%
5. Model Logistik V, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,7%
6. Model Logistik VI, dengan laju pertumbuhan relatifnya per tahun sekitar 7,7%
Selanjutnya akan dihitung jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung dari tahun 2010-2016 yang dihasilkan dari keenam model di atas,
1. Model Logistik I bentuk persamaannya 𝑁 = 1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −(0,07480)𝑡 +1
2. Model Logistik II bentuk persamaannya 𝑁 =
1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −(0,07472)𝑡 +1
3. Model Logistik III bentuk persamaannya 𝑁 =
1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −(0,07048)𝑡 +1
4. Model Logistik IV bentuk persamaannya 𝑁 =
1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −(0,07597)𝑡 +1
5. Model Logistik V bentuk persamaannya 𝑁 =
1.089.103,3
(0,09754)𝑒 −(0,07661)𝑡 +1
6. Model Logistik VI bentuk persamaannya 𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07717)𝑡 +1
Berikut ini dalam tabel 2 memuat hasil jumlah penduduk berdasarkan lima model logistik di atas dari tahun 2010-2016.
Tabel 2. Perbandingan jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung antara hasil sensus dan hasil model.
Tahun Sensus Model I Model II Model III Model IV Model V Model VI 2010 992.317 992.313 992.313 992.313 992.313 992.313 992.313 2011 998.707 998.710 998.700 998.353 998.810 998.856 998.856 2012 1.004.711 1.004.717 1.004.700 1.004.040 1.004.902 1.005.004 1.005.004 2013 1.009.411 1.010.365 1.010.346 1.009.410 1.010.618 1.010.759 1.010.759 2014 1.015.974 1.015.651 1.015.632 1.014.459 1.015.973 1.016.144 1.016.144 2015 1.021.190 1.020.610 1.020.591 1.019.215 1.020.992 1.021.193 1.021.193 2016 1.026.101 1.025.269 1.025.241 1.023.689 1.025.685 1.025.917 1.026.120
Hasil yang diperoleh kemudian akan dibandingkan dengan data jumlah penduduk dari hasil sensus Kabupaten Tulungagung. Model terbaik adalah model yang menghasilkan data-data cukup dekat dengan data sebenarnya atau jika ditampilkan dalam bentuk grafik maka model terbaik adalah model grafik yang paling mendekati dengan grafik yang dihasilkan dari data sebenarnya. Dari tabel 2 dapat dilihat bahwa model I yang memiliki nilai paling mendekati dengan nilai sensus yang sebenarnya. Sehingga model I yang akan digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025.
Jika perbandingan jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung antara hasil sensus dan hasil model pada tabel 2 ditampilkan dalam bentuk diagram batang, maka akan terlihat seperti di bawah ini.
Gambar 1. Diagram batang jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung berdasarkan hasil sensus dan hasil model.
Gambar 2. Diagram garis jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung berdasarkan hasil sensus dan hasil model.
Berdasarkan  jumlah  penduduk  yang  dihasilkan  oleh  keenam  model  di  atas,  model  logistik  I memberikan hasil yang cukup mendekati hasil sensus dibandingkan model logistik II, III, IV, V dan VI. Selain itu keakuratan model logistik I cukup baik, hal ini dapat dilihat dari hasil jumlah penduduk di  Kabupaten  Tulungagung  pada  tahun  2010-2016  yang  dihasilkan  model  logistik  I  hampir  sama dengan hasil sensus penduduk 2010-2016. Dengan demikian dipilih model logistik I sebagai model final  yang  akan  digunakan  untuk  memprediksi  jumlah  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  pada sensus penduduk 2025.
Prediksi Jumlah Penduduk di Kabupaten Tulungagung Tahun 2025 Karena model logistik I digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025, maka persamaan modelnya adalah:
𝑁 = 1.089.103,3 (0,09754)𝑒 −(0,07480)𝑡 + 1
990.000 993.000 996.000 999.000 1.002.000 1.005.000 1.008.000 1.011.000 1.014.000 1.017.000 1.020.000 1.023.000 1.026.000 1.029.000 Hasil Sensus Model I Model II Model III
Model IV Model V Model VI 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 990.000 994.000 998.000 1.002.000 1.006.000 1.010.000 1.014.000 1.018.000 1.022.000 1.026.000 2010 2011 2012 2013
2014 2015 2016 Hasil Sensus Model I Model II Model III Model IV Model V Model VI
Dari model di atas laju pertumbuhan relatif penduduk di Kabupaten Tulungagung adalah 7,48% per  tahun.  Selanjutnya  untuk  memprediksi  jumlah  penduduk  pada  tahun  2025  diambil 𝑡 = 15 disubstitusikan ke dalam model logistik 1 diatas peroleh:
𝑁 = 1.089.103,3

## 1,03176
= 1.055.578
Dari hasil perhitungan di atas diperoleh jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025 yang dihasilkan model logistik adalah 1.055.578 jiwa.
Proyeksi Penduduk di Kabupaten Tulungagung dengan MAPLE Berikut  ini  akan  diberikan  gambar  proyeksi  untuk  jangka  waktu  yang  akan  datang  penduduk  di Kabupaten  Tulungagung  menggunakan  model  logistik  dengan  pengambilan 𝑡 = 0. .15 .  Dari  grafik pertumbuhan dapat dilihat bahwa jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung dari tahun ke tahun terus mengalami kenaikan.
Gambar 3. Grafik pertumbuhan verhulst ( 𝑡 = 0. .15 ).
Berikutnya akan diberikan proyeksi pertumbuhan penduduk dengan pengambilan waktu 𝑡 = 0. .200 . Dari  grafik  dapat  dilihat  bahwa  untuk  jangka  waktu  yang  akan  datang  penduduk  di  Kabupaten Tulungagung  tidak  akan  melebihi  kapasitas  tampung  ( carring  capacity)  tetapi  mendekati  kapasitas tampungnya.
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑁1, 𝑡 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑦);  lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = 1.089103x10 6
Gambar 4. Grafik pertumbuhan verhulst ( 𝑡 = 0. .200 ).

## Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya maka dapat disimpulkan beberapa hal: 1. Besarnya  nilai carrying  capacity  yang  membatasi  penduduk  di  Kabupaten  Tulungagung  adalah sebesar 1.089.103,3 jiwa.
2. Laju  pertumbuhan  intrinsik  penduduk  di  kabupaten  Tulungagung  dengan  menggunakan  Model pertumbuhan logistik adalah sebesar 𝑟 = 0,07480 .
3. Jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung pada tahun 2025 dari hasil estimasi menggunakan model pertumbuhan logistik adalah sebesar 1.055.578 jiwa.
4. Proyeksi jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung lebih tepat menggunakan model logistik I karena  nilainya  yang  mendekati  hasil  sensus.  Berdasarkan  grafik  menggunakan  MAPLE  maka jumlah penduduk di Kabupaten Tulungagung tidak akan melebihi nilai kapasitasnya pada jangka waktu yang akan datang akan tetapi mendekati nilai kapasitas tampung ( 𝐾 ).

## Referensi
[1] Badan Pusat Statistik. 2013. Proyeksi Penduduk Indonesia (Indonesian Population Projection) 2010-2035, Jakarta.
[2] Brauer & Chavez, Castillo. 2001. Mathematical Models In Population Biology and Epidemiology. Springer
[3] Creswell, J. W. (2010). Research design: pendekatan kualitatif, kuantitatif, dan mixed. Yogjakarta: PT Pustaka Pelajar.
[4] Finizio, N. dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Erlangga. Bandung.
[5] Hathout, D. 2013. Modeling Population Growth: Exponential and Hyperbolic Modeling. Applied Mathematics, 4(2), pp: 299-304
[6] J. Purcell,  Edwin  & Varberg, Dale.  1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, jilid 2, edisi kelima. Penerbit Erlangga, Jakarta.
[7] Miles, B. Mathew dan Michael Huberman. 1992. Analisis Data Kualitatif Buku Sumber Tentang Metode-metode Baru. Jakarta: UIP.
[8] Moleong, L. 2014. Metodologi Penelitian Kualitatif. Edisi Revisi. Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
[9] Ofori.T, Ephraim.L dan Nyarko.F. 2013. Mathematical Model of Ghana’s Population Growth. International Journal of Modern Management Sciences, 2(2), pp: 57-66
[10] Rahardi,  Rustanto,  dkk.  2003. Persamaan Diferensial  Biasa.  Jurusan  Matematika,  fakultas  MIPA, Universitas Negeri Malang.
[11] Stewart, James. 2009. Kalkulus. Penerbit Salemba Teknika. Jakarta.
[12] Sugiyono. 2011. Metode Penelitian Kualitatif, Kuantitatif, dan R&D, Bandung: Alfabeta.
[13] Supama, dkk. 2003. Kalkulus 1. Fakultas Matematika dan ilmu pengethuan alam. Universitas Gadjah Mada.
[14] Tarumingkeng, R. C. 1994. Dinamika Populasi (Kajian Ekologi Kuantitatif), Pustaka Sinar Harapan, Jakarta.