JURNAL FOURIER | April 2024, Vol. 13, No. 1, 52-64
ISSN 2252-763X
DOI: 10.14421/fourier.2024.131.52-64
E-ISSN 2541-5239
© 2024 JURNAL FOURIER
Versi online via www.fourier.or.id

## Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID- 19 dan HIV/AIDS
Joko Harianto 1 , Abraham 2 , Westy B. Kawuwung 3
1,2,3 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Cenderawasih, Jalan Kampwolker Waena, Jayapura 99358, Papua, Indonesia
Korespondensi; Joko Harianto, Email: joharijpr88@gmail.com

## Abstrak
Penularan  koinfeksi  COVID-19  dan  HIV/AIDS  merupakan  masalah  kesehatan  masyarakat  yang  menjadi  pusat perhatian  terutama  di  negara-negara  berkembang  di  dunia.  Artikel  ini  merupakan  salah  satu  kajian  untuk mempelajari kejadian penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS.  Model yang digunakan  terdiri dari delapan kompartemen antara lain: rentan, vaksinasi, COVID-19, infeksi COVID-19, infeksi HIV, AIDS, koinfeksi COVID-19 dan HIV, koinfeksi COVID-19 dan AIDS.  Analisis kestabilan titik ekuilibrium model dan kontrol optimalnya telah dibahas  sebelumnya.  Hasil  dari  analisis  tersebut  digunakan  sebagai  landasan  teori  untuk  melakukan  analisis sensitivitas parameter  modelnya. Oleh  karena itu, tujuan penelitian ini adalah  menentukan  parameter  model yang paling sensitif terhadap kasus penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS. Metode studi literatur digunakan untuk mendukung  analisis  sensitivitas  parameter  model.  Simulasi  modelnya  menggunakan  software  Maple  dengan  data sekunder.  Parameter  laju  kontak  COVID-19,  laju  kontak  HIV,  laju  kesembuhan  infeksi  COVID-19  dan  angka kematian akibat AIDS merupakan parameter yang paling sensitif terhadap kasus penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS. Parameter laju kontak COVID-19 dan laju kontak HIV adalah parameter yang paling sensitif terhadap peningkatan  kasus  penularan  koinfeksi  COVID-19  dan  HIV/AIDS  karena  nilai  indeks  sensitivitasnya  tertinggi dibandingkan  parameter  lainnya.  Sedangkan,  parameter  laju  kesembuhan  infeksi  COVID-19  dan  angka  kematian akibat AIDS memiliki nilai indeks sensitivitas terendah dibandingkan parameter lainnya. Parameter laju kesembuhan infeksi COVID-19 dan angka kematian akibat AIDS adalah parameter yang paling sensitif terhadap penurunan kasus penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS.
Kata Kunci : Koinfeksi COVID-19 HIV, Analisis sensitivitas, Bilangan reproduksi dasar

## Abstract
Transmission  of  COVID-19  and  HIV/AIDS  coinfection  is  a  public  health  problem  that  is  becoming  the  center  of attention, especially in developing countries in the world. This article is a study to study the incidence of co -infection with COVID-19 and HIV/AIDS. The model used consists of eight compartments, including: susceptible, vaccination, COVID-19, COVID-19 infection, HIV infection, AIDS, COVID-19 and HIV co-infection, COVID-19 and AIDS co- infection.  Analysis  of  the  stability  of  the  model's  equilibrium  point  and  its  optimal  control  have  been  discussed previously. The results of this analysis are used as a theoretical basis for carrying out sensitivity analysis of the model parameters. Therefore, the aim of this research is to determine the model parameters that are most sensitive to cases of co-infection with COVID-19 and HIV/AIDS. The literature study method is used to support sensitivity analysis of model parameters. The model simulation uses Maple software with secondary data. The parameters of COVID-19 contact rate, HIV contact rate, recovery rate of COVID-19 infection and death rate due to AIDS are the most sensitive parameters for cases of co-infection with COVID-19 and HIV/AIDS. The parameters of COVID-19 contact rate and HIV  contact  rate  are  the  parameters  that  are  most  sensitive  to  increasing  cases  of  COVID-19  and  HIV/AIDS  co- infection because the sensitivity index value is the highest compared to other parameters. Meanwhile, the parameters for the recovery rate of COVID-19 infection and the death rate due to AIDS have the lowest sensitivity index values compared to other parameters. The parameters of the recovery rate of COVID-19 infection and the death rate due to AIDS are the most sensitive parameters for reducing cases of co-infection with COVID-19 and HIV/AIDS.
Keywords : COVID-19 HIV co-infection, Sensitivity analysis, Basic reproduction number
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 53
www.fourier.or.id

## Pendahuluan
Penyakit  menular  adalah  penyakit  yang  terverifikasi  secara  klinis  yang  disebabkan  oleh  agen mikroba patogen seperti virus, bakteri, jamur, dan parasit [1]. COVID-19 dan HIV/AIDS adalah penyakit menular  paling  umum  yang  disebabkan  oleh  virus  [2]. Human  Immunodeficiency  Virus  (HIV)  yang ditemukan  pada  tahun  1981,  merupakan  salah  satu  virus  utama  yang  menyebabkan  kematian  dan menyebar  ke  seluruh  negara  di  dunia.  Acquired  immunodeficiency  syndrome  yang  disingkat  AIDS adalah salah satu epidemi yang paling berdampak pada komunitas sepanjang sejarah yang disebabkan oleh  HIV  dan  telah  menjadi  pandemi  global  sejak  tahun  1981  [3].  HIV/AIDS  tetap  menjadi  masalah kesehatan global yang signifikan yang mempengaruhi hampir 70 juta orang di seluruh dunia dan telah menjadi penyebab kesakitan dan kematian yang signifikan [4].
COVID-19 merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh virus corona baru (SARS-CoV-2). Penyakit ini ditemukan pertama kali pada pertengahan Desember 2019 di Tiongkok dan telah dinyatakan sebagai penyakit pernapasan akut yang sangat menular [2], [5]. Penyakit ini menyebar dengan cepat ke seluruh negara di dunia dan menyebabkan masalah kesehatan yang besar sehingga Organisasi Kesehatan Dunia (WHO) menyatakannya sebagai pandemi global pada 11 Maret 2020 [6]. Penularannya langsung dari manusia ke manusia melalui kontak langsung dengan bahan yang terkontaminasi dan penularan tidak langsung  melalui  inhalasi  droplet  udara  pernafasan  melalui  batuk  dan  bersin  [7],  [8].  Pandemi  ini memberikan  beban  tambahan  pada  sistem  kesehatan  dan  memberikan  dampak  negatif  yang  besar terhadap populasi dan perekonomian suatu negara di seluruh dunia [9]–[11].
Koinfeksi  adalah  infeksi  pada  satu  individu  dengan  dua  atau  lebih  patogen  berbeda  atau  strain berbeda  dari  patogen  yang  sama,  sehingga  menyebabkan  strain  (patogen)  hidup  berdampingan  pada tingkat populasi [12]. Koinfeksi dua atau lebih penyakit pada satu individu merupakan hal yang biasa terjadi di masyarakat saat ini [1], [13].
Berbagai peneliti telah menyelidiki bahwa tingkat infeksi COVID-19 bisa tinggi pada orang yang mengidap infeksi lain seperti TBC, HIV, dan kolera yang memiliki kekebalan lemah [14]–[16]. Infeksi HIV/AIDS  adalah  penyebab  utama  lemahnya  kekebalan  tubuh  seseorang  dan  orang  yang  mengidap HIV/AIDS  sangat rentan terhadap infeksi  oportunistik  seperti TBC, pneumonia, dan COVID-19 [12], [13].  Meskipun  tidak  ada  bukti  penuh  yang  membenarkan  observasi  tersebut  secara  konklusif,  orang yang hidup dengan HIV/AIDS lebih besar kemungkinannya untuk mendapatkan hasil medis yang positif, dan hampir 32% dan 82% lebih besar kemungkinannya untuk dirawat di rumah sakit dan memerlukan ventilasi,  masing-masing.  karena  infeksi  COVID-19  dibandingkan  mereka  yang  memiliki  hasil HIV/AIDS negatif [6]. Memodelkan dinamika penularan suatu penyakit dapat membantu peneliti dalam membuat prediksi di masa depan dan mengambil tindakan pencegahan untuk mencegah penularannya. Beberapa peneliti telah merumuskan dan menganalisis model matematika untuk menyelidiki dinamika penularan penyakit menular menggunakan pendekatan persamaan diferensial biasa seperti [7], [10], [11], [15], [17], [18], pendekatan stokastik seperti [19], dan menggunakan pendekatan turunan orde pecahan seperti [20]–[22].
Penelitian ini dilakukan dengan meninjau beberapa artikel ilmiah mengenai dinamika penularan berbagai penyakit menular terutama koinfeksi HIV/AIDS dan penyakit menular lainnya. Teklu dan Rao [13]  membangun  dan  menguji  model  koinfeksi  HIV/AIDS  dan  pneumonia  dengan  langkah-langkah pengendalian seperti vaksinasi pneumonia dan pengobatan infeksi pneumonia dan HIV/AIDS. Hezam dkk.  [15],  merumuskan  model  matematika  koinfeksi  kolera  dan  COVID  19  yang  menggambarkan dinamika penularan COVID-19 dan kolera di Yaman. Analisis model tersebut mengkaji empat tindakan kontrol  seperti  penjarakan  sosial,  lockdown,  jumlah  alat  tes  untuk  mengendalikan  wabah  COVID-19, dan jumlah individu rentan yang bisa mendapatkan CWT untuk pemurnian air.
Anwar  dkk.  [23],  membangun  model  matematika  tentang  COVID-19  dengan  tindakan  kontrol isolasi pada individu yang terinfeksi COVID-19 di seluruh komunitas. Ahmed dkk. [22] merumuskan dan menganalisis  model  koinfeksi  HIV  dan  COVID-19  dengan  pendekatan  operator  fraksional ABC untuk  menyelidiki  prediksi  epidemi  dari  model  koinfeksi  HIV-COVID-19  gabungan. Simulasi
numerik  dilakukan  untuk  membenarkan  bahwa  penyakit  ini  akan  stabil  pada  tahap  selanjutnya ketika strategi perlindungan yang cukup diambil.
Teklu  dan  Terefe  [24]  menganalisis  COVID-19  dan model  kodinamik  sifilis  untuk  menyelidiki dampak  tindakan  intervensi  terhadap  penularan  penyakit. Demikian  pula  beberapa  peneliti  telah merumuskan  dan  menganalisis  model  matematika  dengan strategi  kontrol  yang  optimal  untuk menyelidiki  dampak  tindakan  pencegahan  dan  kontrol  terhadap  HIV/AIDS,  COVID-19,  koinfeksi HIV/AIDS dan COVID-19 serta berbagai penyakit menular lainnya yang menular ke seluruh negara di dunia. Misalnya, Tchoumi dkk. [25] mengajukan dan menyelidiki kodinamika malaria dan kodinamika COVID-19  dengan  strategi  kontrol  optimal.  Hasil  simulasi  numerik  memverifikasi  analisis  kontrol optimal teoritis dan menggambarkan bahwa penggunaan tindakan perlindungan malaria dan COVID-19 secara  bersamaan  dapat  membantu  mengurangi  penularan  dibandingkan  dengan  menerapkan perlindungan infeksi tunggal.
Omame  dkk.  [26]  menyelidiki  model  matematika  dinamika  infeksi  COVID-19  untuk  menilai dampak  penyakit  penyerta  sebelumnya  terhadap  komplikasi  COVID-19 dan Infeksi  ulang  COVID-19 dengan strategi kontrol yang optimal. Para penulis merekomendasikan bahwa strategi pencegahan infeksi COVID-19  oleh  orang  yang  rentan  terhadap  penyakit  penyerta  adalah  yang  paling  hemat  biaya dibandingkan semua strategi kontrol lain untuk pencegahan COVID-19. Ringa dkk. [3] merumuskan dan menganalisis  model  matematis  koinfeksi  HIV  dan  COVID-19  dengan  strategi  kontrol  yang  optimal. Analisis yang mereka lakukan menunjukkan bahwa strategi pencegahan COVID19 saja adalah strategi yang paling efektif dan dapat mencegah sekitar 10.500 kasus koinfeksi baru. Keno dkk. [27] menyelidiki kontrol  optimal  dan  analisis  efektivitas  biaya  model  penyakit  malaria  SIRS  dengan  fakta  variabilitas suhu.  Hasilnya  menunjukkan  bahwa  kombinasi  pengobatan  pada  manusia  yang  terinfeksi  dan penyemprotan  insektisida  terbukti  menjadi  strategi  yang  paling  efisien  dan  paling  murah  untuk memberantas penyakit ini.
Keno dkk. [28]  menyelidiki  model  matematika dengan strategi  kontrol  optimal untuk penularan malaria  dengan  peran  variabilitas  iklim.  Hasil  penelitian  mereka  menunjukkan  bahwa  kombinasi kelambu  dan  pengobatan  merupakan  strategi  yang  paling  optimal  dan  berbiaya  paling  rendah  untuk meminimalkan malaria. Goudiaby dkk. [29] merumuskan dan menganalisis model kodinamika COVID- 19  dan  tuberkulosis  dengan  strategi  kontrol  yang  optimal.  Mereka  berpendapat  bahwa  pencegahan, pengobatan, dan kontrol koinfeksi COVID-19 memberikan hasil yang lebih baik dalam hal jumlah kasus COVID-19 yang dapat dicegah dengan persentase yang lebih rendah dari total biaya strategi ini.
Asamoah dkk. [30] membangun model matematika tentang COVID-19 untuk menyelidiki strategi kontrol  optimal  dan  efektivitas  biaya  yang  komprehensif.  Okosun  dkk.  [31]  merumuskan  model matematis  tentang  HIV/AIDS  untuk  menyelidiki  dampak  kontrol  optimal  terhadap  pengobatan HIV/AIDS  dan  penyaringan  terhadap  makian  yang  tidak  disadari.  Analisis  yang  mereka  lakukan merekomendasikan  kombinasi  seluruh  strategi  kontrol  merupakan  strategi  yang  paling  hemat  biaya. Selain itu, pemodelan kontrol optimal dan model analisis efektivitas biaya telah diterapkan dalam model penyakit menular terkini [27], [32].
Seperti  yang  kami  amati dari  tinjauan literatur dengan  berbagai  penulis  pakar  epidemiologi dan kedokteran, koinfeksi HIV/AIDS dan COVID-19 merupakan masalah kesehatan masyarakat terutama di negara-negara berkembang di dunia. Kami telah meninjau literatur-literatur yang telah disebutkan untuk mempelajari  model  koinfeksi  HIV/AIDS  dan  COVID-19.  Artikel-artikel  yang  telah  disebutkan umumnya  membahas  tiga  analisis,  yaitu  analisis  kestabilan  titik  ekuilibriumnya,  sensitivitas parameternya dan kontrol optimal. Tetapi, artikel yang ditulis oleh Ringa dkk [3] hanya difokuskan pada analisis  kestabilan  titik  ekuilibriumnya  dan  kontrol  optimal  tanpa  analisis  sensitivitas  parameternya. Selain itu juga, pada artikel [3] belum diberikan simulasi numerik untuk mendukung analisis kestabilan titik  ekuilibriumnya.  Hal  tersebut  memotivasi  kami  untuk  melakukan  penelitian  ini  sehingga  dapat melengkapi  pembahasan  artikel  tersebut.  Oleh  karena  itu,  tujuan  pembahasan  ini  adalah  mengetahui parameter model yang paling berpengaruh terhadap penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS.
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 55
www.fourier.or.id

## Landasan Teori
Penularan  COVID-19  dan  HIV/AIDS  terjadi  dalam  populasi  yang  beragam  secara  homogen. Populasi manusia pada saat 𝑡 dengan total 𝑁(𝑡) dikelompokkan menjadi beberapa keadaan epidemiologi tergantung pada status kesehatan individu. Populasi untuk model ini dibagi menjadi tujuh kompartemen antara  lain  kompartemen  orang-orang  yang  rentan 𝑆(𝑡) ,  yang  divaksinasi  COVID-19 𝑉(𝑡) ,  terinfeksi COVID-19 𝐶(𝑡) , sembuh dari COVID-19 𝑅(𝑡) , terinfeksi HIV 𝐻(𝑡) , penderita AIDS 𝐴(𝑡) , penderita koinfeksi COVID-19 dan HIV 𝐶 𝐻 (𝑡) dan penderita koinfeksi COVID-19 dan AIDS 𝐶 𝐴 (𝑡) . Total populasi setiap  kompartemen  merupakan  suatu  fungsi  terhadap  waktu 𝑡 .  Penularan  COVID-19  diantara  orang yang  koinfeksi diasumsikan  meningkat  karena peningkatan viral  load. Diasumsikan  kerentanan  orang yang  terinfeksi  HIV/AIDS  meningkat  terhadap  COVID-19.  Penularan  HIV  dan  AIDS  diantara  orang yang  koinfeksi  diasumsikan  meningkat  karena  peningkatan  viral  load.  Diagram  skematik  penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS ditunjukkan pada Gambar 1.
Dengan menggunakan parameter pada Tabel 1 dan asumsi-asumsi model maka diagram skematik penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS diberikan pada Gambar 1. Berdasarkan Gambar 1, model diformulasikan dari sistem persamaan diferensial non linear berikut ini [3]:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = Λ − (𝑘 2 + 𝑑 + 𝛽 + 𝑘 1 )𝑆
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 − ((1 − 𝛼)𝑘 2 + 𝑑 + 𝑘 1 )𝑉 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝑘 2 (𝑆 + (1 − 𝛼)𝑉) − (𝜑 1 + 𝑘 1 + 𝑑 + 𝛿 1 )𝐶 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜑 1 𝐶 − (𝑑 + 𝑘 1 )𝑅
𝑑𝐻
𝑑𝑡 = 𝑘 1 (𝑆 + 𝑉 + 𝑅) + 𝜑 2 𝐶 𝐻 − (𝜇 1 𝑘 2 + 𝛾 1 + 𝑑)𝐻 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝐻 + 𝜑 3 𝐶 𝐴 − (𝑑 + 𝛿 2 + 𝜇 2 𝑘 2 )𝐴 𝑑𝐶 𝐻 𝑑𝑡 = 𝑘 1 𝐶 + 𝜇 1 𝑘 2 𝐻 − (𝛾 2 + 𝑑 + 𝜑 2 + 𝛿 1 )𝐶 𝐻 𝑑𝐶 𝐴 𝑑𝑡 = 𝛾 2 𝐶 𝐻 + 𝜇 2 𝑘 2 𝐴 − (𝑑 + 𝜑 3 + 𝛿 3 )𝐶 𝐴 }
(1)
dengan 𝑘 1 = 𝜎(𝐻+𝜌(𝐴+𝐶 𝐴 +𝐶 𝐻 )) 𝑁 dan 𝑘 2 = 𝜃(𝐶+𝜂(𝐶 𝐴 +𝐶 𝐻 )) 𝑁
Model (1)  memuat dinamika penularan dua penyakit  yang berbeda,  yaitu COVID-19 dan HIV/AIDS. Oleh karena itu, analisis kestabilan titik ekuilibrium dapat dibahas secara detail dengan membagi kajian model (1) menjadi sub model COVID-19 dan sub model HIV/AIDS. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Sub Model COVID-19 Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE) sub model COVID-19, yaitu
𝐸 𝐶0 = (𝑆̅, 𝑉̅, 𝐶̅, 𝑅̅) = ( Λ 𝑑+𝛽 , βΛ 𝑑(𝑑+𝛽) , 0, 0)
Bilangan reproduksi dasar sub model COVID-19 ditentukan dengan menggunakan the next generation method dari [33] sehingga diperoleh
ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 = 𝜃𝑑 + (1 − 𝛼)𝜃𝛽 (𝑑 + 𝛽)(𝜑 1 + 𝑑 + 𝛿 1 ) Berikut ini teorema kestabilan titik ekuilibrium sub model COVID-19 yang buktinya dapat dilihat pada [3].
Teorema 1. Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE), yaitu 𝐸 𝐶0 stabil asimtotik jika ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 < 1 .
www.fourier.or.id
Teorema 2. Hanya terdapat satu titik ekuilibrium endemik yang stabil asimtotik pada Sub model COVID- 19  jika ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 > 1 .
Gambar 1. Diagram skematik penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS

## Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Sub Model HIV/AIDS
Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE) sub model HIV/AIDS, yaitu
𝐸 𝐻0 = (𝑆̂, 𝐻 ̂, 𝐴̂) = ( Λ 𝑑 , 0, 0)
Bilangan reproduksi dasar sub model HIV/AIDS ditentukan dengan menggunakan the next generation method dari [33] sehingga diperoleh
ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 = 𝜎(𝜌𝛾 1 + 𝑑 + 𝛿 2 ) (𝛾 1 + 𝑑)(𝑑 + 𝛿 2 ) Berikut ini teorema kestabilan titik ekuilibrium sub model HIV/AIDS yang buktinya dapat dilihat pada [3].
Teorema 3. Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE), yaitu 𝐸 𝐻0 stabil asimtotik jika ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 < 1 .
Teorema  4.  Hanya  terdapat  satu  titik  ekuilibrium  endemik  yang  stabil  asimtotik  pada  Sub  model HIV/AIDS jika ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 > 1 . Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS Titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE) model (1), yaitu
𝐸 0 = (𝑆 0 , 𝑉 0 , 𝐶 0 , 𝑅 0 , 𝐻 0 , 𝐴 0 , 𝐶 𝐻0 , 𝐶 𝐴0 ) = ( Λ 𝑑 + 𝛽 , βΛ 𝑑(𝑑 + 𝛽) , 0, 0)
Bilangan reproduksi dasar sub model COVID-19 dan sub model HIV/AIDS telah ditentukan sehingga bilangan reproduksi dasar model (1) diberikan sebagai berikut:
ℜ 0 = 𝑚𝑎𝑥{ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 , ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 } Berikut ini teorema kestabilan titik ekuilibrium model (1).
Teorema 5. Titik  ekuilibrium bebas penyakit  (DFE)  model (1)  stabil asimtotik lokal jika ℜ 0 < 1 dan tidak stabil jika ℜ 0 > 1 .
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 57
www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (2024) 13 52-64
Tabel 1. Deskripsi dan nilai parameter pada model koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS [3]
Parameter Deskripsi Nilai ℜ 0 < 1 ℜ 0 > 1 𝜃 Laju kontak COVID-19 0,1175 0,5 σ Laju kontak HIV 0,05 0,3425 Λ Laju rekrutmen 1692 1692 α Kemanjuran vaksin COVID-19 0,95 0,95 β Laju vaksinasi COVID-19 0,2 0,2 𝜂 Parameter modifikasi  peningkatan  penularan COVID-19  di  antara  orang  koinfeksi  akibat peningkatan viral load 1 1 𝛾 1 Tingkat perkembangan menjadi AIDS sepenuhnya setelah terinfeksi HIV, 0,15 0,15 𝛾 2 Tingkat perkembangan menjadi AIDS sepenuhnya setelah terinfeksi HIV dan COVID-19 0,15 0,15 𝑑 Laju kematian alami 0,0000427  0,0000427 𝛿 1 Angka kematian akibat COVID-19 0,15 0,01 𝛿 2 Angka kematian akibat AIDS 0,15 0,15 𝛿 3 Angka  kematian  akibat  koinfeksi  AIDS  dan COVID-19 0,15 0,15 𝜇 1 Parameter modifikasi kerentanan individu-individu terinfeksi HIV terhadap infeksi COVID-19 1,2 1,2 𝜇 2 Parameter modifikasi kerentanan individu-individu terinfeksi AIDS terhadap infeksi COVID-19 1,2 1,2 𝜌 Parameter modifikasi untuk meningkatkan transmisibilitas HIV/AIDS di antara individu yang koinfeksi  dan  penderita  AIDS  yang  parah  karena peningkatan viral load 1,1 1,1 𝜑 1 Laju kesembuhan infeksi COVID-19 0,0667 0,01 𝜑 2 Laju kesembuhan koinfeksi COVID-19 dan HIV 0,0667 0,0667 𝜑 3 Laju kesembuhan koinfeksi COVID-19 dan AIDS 0,0667 0,0667

## Hasil dan Pembahasan
Indeks sensitivitas sangat membantu untuk menyelidiki berbagai parameter yang relatif penting dalam penularan  koinfeksi  COVID-19  dan  HIV/AIDS.  Parameter  yang  paling  sensitif  mempunyai  besaran indeks sensitivitas yang lebih besar dibandingkan seluruh parameter lainnya.  Indeks sensitivitas dapat dihitung dalam tiap bilangan reproduksi dasar ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 dan ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 karena ℜ 0 = 𝑚𝑎𝑥{ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 , ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 } . Indeks sensitivitas parameter model (1) dihitung dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 1. Tabel 2 dan Tabel 3 menunjukkan indeks sensitivitas parameter model (1) yang telah dihitung.
www.fourier.or.id
Berdasarkan  Tabel  2  diperoleh ℜ 0 = 𝑚𝑎𝑥{ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 , ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 } = 𝑚𝑎𝑥{0,03, 0,7} = 0,7 < 1 dan parameter 𝜃 dan 𝜑 1 memiliki  dampak  yang  berpengaruh  kuat  terhadap  bilangan  reproduksi  dasar penularan COVID-19 dibandingkan parameter lainnya. Indeks sensitivitas parameter θ bernilai positif artinya  berbanding  lurus  dengan ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 .  Sebaliknya,  indeks  sensitivitas  parameter 𝜑 1 bernilai  negatif artinya berbanding terbalik dengan ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 . Indeks sensitivitas parameter 𝜃 sebesar 0,23 artinya nilai ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 akan  naik  sebesar  2,3%  jika  laju  kontak  COVID-19  naik  sebesar  10%.  Indeks  sensitivitas  parameter 𝜑 1 sebesar -0,12 artinya nilai ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 akan turun sebesar 1,2% jika  laju kesembuhan infeksi COVID-19 naik  sebesar 10%.  Parameter 𝜎 dan 𝛿 2 berdampak  kuat  terhadap bilangan reproduksi dasar penularan HIV/AIDS. Indeks sensitivitas parameter 𝜎 sebesar 13,99 artinya nilai ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 akan naik sebesar 139% jika laju kontak HIV naik sebesar 10%. Indeks sensitivitas parameter 𝛿 2 sebesar -2,44 artinya nilai ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 akan turun sebesar 24,4% jika angka kematian akibat AIDS naik sebesar 10%.
Tabel 2 . Indeks sensitivitas parameter model (1) dengan ℜ 0 = 0,7 . Parameter Indeks Sensitivitas 𝜃 0,23 α -0,54 β -0,0005 𝛿 1 -0,12 𝜑 1 -0,12 𝜎 13,99 𝜌 0,33 𝛾 1 -2,22 𝛿 2 -2,44
Berdasarkan  Tabel  3  diperoleh ℜ 0 = 𝑚𝑎𝑥{ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 , ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 } = 𝑚𝑎𝑥{1,25, 4,79} = 4,79 > 1 dan parameter 𝜃 dan 𝜑 1 memiliki  dampak  yang  berpengaruh  kuat  terhadap  bilangan  reproduksi  dasar penularan COVID-19 dibandingkan parameter lainnya. Indeks sensitivitas parameter θ bernilai positif artinya  berbanding  lurus  dengan ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 .  Sebaliknya,  indeks  sensitivitas  parameter 𝜑 1 bernilai  negatif artinya berbanding terbalik dengan ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 . Indeks sensitivitas parameter 𝜃 sebesar 2,5 artinya nilai ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 akan  naik  sebesar  25%  jika  laju  kontak  COVID-19  naik  sebesar  10%.  Indeks  sensitivitas  parameter 𝜑 1 sebesar -62,48 artinya nilai ℜ 0 𝑐𝑜𝑣 akan turun sebesar 624,8% jika laju kesembuhan infeksi COVID- 19 naik sebesar 10%. Parameter 𝜎 dan 𝛿 2 berdampak kuat terhadap bilangan reproduksi dasar penularan HIV/AIDS. Indeks sensitivitas parameter 𝜎 sebesar 13,99 artinya nilai ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 akan naik sebesar 139% jika laju kontak HIV naik sebesar 10%. Indeks sensitivitas parameter 𝛿 2 sebesar -16,73 artinya nilai ℜ 0 𝐻𝐼𝑉 akan turun sebesar 167,3% jika angka kematian akibat AIDS naik sebesar 10%.

## Simulasi Numerik
Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik untuk menunjukkan solusi Sistem (1) secara kualitatif. Kondisi awal jumlah setiap kompartemen nilainya non negatif. Simulasi dilakukan dengan dua kondisi yang berbeda, yaitu kondisi tanpa penularan koinfeksi dan dengan penularan koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS. Software MAPLE dan parameter pada Tabel 1 digunakan untuk membuat simulasi numerik Sistem  (1).  Nilai  awal  yang  digunakan  antara  lain, 𝑆(0) = 30.000.000, 𝑉(0) = 2.000.000, 𝐶(0) = 300, 𝑅(0) = 500, 𝐻(0) = 500, 𝐴(0) = 1000, 𝐶 𝐻 (0) = 500, 𝐶 𝐴 (0) = 500.
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 59
www.fourier.or.id
Tabel 3 .  Indeks sensitivitas parameter model (1) dengan ℜ 0 = 4,79 . Parameter Indeks Sensitivitas 𝜃 2,5 α -24,94 β -0,025 𝛿 1 -62,48 𝜑 1 -62,48 𝜎 13,99 𝜌 2,28 𝛾 1 -15,2 𝛿 2 -16,73
Gambar 2 . Dinamika solusi Sistem (1) untuk 𝐶, 𝑅, 𝐻, 𝐴, 𝐶 𝐻 dan 𝐶 𝐴 saat ℜ 0 < 1
Gambar  2  dan  3  menunjukkan  dinamika  solusi  Sistem  (1)  dari  waktu  ke  waktu  ketika  nilai ℜ 0 < 1 . Simulasi  ini  menegaskan  bukti  teoritis  pada  Teorema  5.  Bilangan  reproduksi  dasar  dihitung  dengan menggunakan parameter pada Tabel 1 diperoleh ℜ 0 = 0,7 . Gambar 2 menunjukkan bahwa setelah solusi Sistem (1) konvergen ke titik ekuilibrium bebas penyakit (DFE). Secara biologis berarti wabah penyakit koinfeksi  COVID-19  dan  HIV/AIDS  di  masyarakat  akan  dapat  diberantas  dalam  waktu  dekat.  Pada akhirnya, simulasi numerik dan analisis teori kompetibel.
Gambar 4-6 menunjukkan dinamika solusi Sistem  (1) dari waktu ke waktu ketika nilai ℜ 0 > 1 . Nilai parameter yang diberikan pada Tabel 1 membuat lintasan solusi numerik Sistem (1) tertarik ke arah titik ekuilibrium endemiknya. Hal ini menunjukkan kestabilan titik ekuilibrium endemik Sistem (1) dengan ℜ 0 = 4,79 . Dengan kata lain, titik ekuilibrium endemik Sistem (1) stabil asimtotik lokal. Secara biologis berarti bahwa wabah penyakit koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS masih eksis di masyarakat dari waktu ke waktu.
JURNAL FOURIER (2024) 13 52-64 www.fourier.or.id
Gambar 3 . Dinamika solusi Sistem (1) untuk 𝑆 dan 𝑉 saat ℜ 0 < 1 .
Gambar 4 . Dinamika solusi Sistem (1) untuk 𝑆, 𝑉, 𝐻 dan 𝐶 𝐻 saat ℜ 0 < 1
Gambar 7 menunjukkan efek dari penularan COVID-19 terhadap jumlah populasi koinfeksi COVID-19 dan  HIV.  Peningkatan  laju  kontak  COVID-19  dari  0,1  menjadi  0,5  menyebabkan  peningkatan  pada jumlah  penderita  koinfeksi  COVID-19  dan  HIV.  Akibatnya,  semakin  besar  nilai  parameter 𝜃 meningkatkan jumlah orang yang mengidap COVID-19 dan HIV di masyarakat. Begitu juga terhadap
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 61
www.fourier.or.id
jumlah penderita koinfeksi COVID-19 dan AIDS. Peningkatan laju kontak COVID-19 dari 0,1 menjadi 0,5 menyebabkan peningkatan pada jumlah penderita koinfeksi COVID-19 dan AIDS.
Gambar 5 . Dinamika solusi Sistem (1) untuk 𝐶 dan 𝐶 𝐴 saat ℜ 0 < 1
Gambar 6 . Dinamika solusi Sistem (1) untuk 𝑅 dan 𝐴 saat ℜ 0 < 1
Gambar  8  menunjukkan efek  dari  penularan  HIV  terhadap jumlah  populasi  koinfeksi  COVID-19  dan HIV. Peningkatan laju kontak HIV dari 0,1 menjadi 0,5 menyebabkan peningkatan pada jumlah penderita koinfeksi COVID-19 dan HIV. Akibatnya, semakin besar nilai parameter 𝜎 meningkatkan jumlah orang yang  mengidap  COVID-19  dan  HIV  di  masyarakat.  Begitu  juga  terhadap  jumlah  penderita  koinfeksi
www.fourier.or.id
COVID-19 dan AIDS. Peningkatan laju kontak HIV dari 0,1 menjadi 0,5 menyebabkan peningkatan pada jumlah penderita koinfeksi COVID-19 dan AIDS.
Gambar 7 . Efek parameter 𝜃 terhadap 𝐶 𝐻 dan 𝐶 𝐴
Gambar 8 . Efek parameter 𝜎 terhadap 𝐶 𝐻 dan 𝐶 𝐴
Analisis Sensitivitas Model Penularan Koinfeksi COVID-19 dan HIV/AIDS 63
www.fourier.or.id

## Kesimpulan
Analisis  sensitivitas  terhadap parameter  model  menunjukkan  bahwa  perubahan  kecil  pada  nilai parameter  model  berpengaruh  terhadap  bilangan  reproduksi  dasar.  Pengaruh  tiap  parameter  terhadap besaran bilangan reproduksi dasar berbeda-beda. Berdasarkan analisis sensitivitas diperoleh parameter paling penting yang mempengaruhi bilangan reproduksi dasar antara lain parameter laju kontak COVID- 19, laju kontak HIV, laju kesembuhan infeksi COVID-19 dan angka kematian akibat AIDS. Parameter laju kontak COVID-19 dan laju kontak HIV yang paling berpengaruh terhadap peningkatan penularan koinfeksi  COVID-19 dengan HIV  maupun AIDS karena indeks  sensitivitasnya paling tinggi diantara parameter-parameter  lainnya.  Sebaliknya,  parameter  laju  kesembuhan  infeksi  COVID-19  dan  angka kematian  akibat  AIDS  yang  paling  berpengaruh  terhadap  penurunan  penularan  koinfeksi  COVID-19 dengan HIV maupun AIDS.
Indeks  sensitivitas  parameter  laju  kesembuhan  infeksi  COVID-19  dan  angka  kematian  akibat AIDS paling rendah diantara parameter-parameter lainnya. Dengan demikian, jika nilai parameter laju kontak COVID-19 dan laju kontak HIV meningkat maka akan bertambah besar pula bilangan reproduksi dasanya. Hal ini berarti bahwa kasus penularan koinfeksi COVID-19 dengan HIV maupun AIDS tetap eksis bahkan meningkat. Sedangkan, jika nilai parameter laju kesembuhan infeksi COVID-19 dan angka kematian akibat AIDS  meningkat maka bilangan reproduksi dasar justru turun. Hal ini berarti bahwa kasus penularan koinfeksi COVID-19 dengan HIV maupun AIDS menurun.
Parameter  laju  kontak  COVID-19,  laju  kontak  HIV,  laju  kesembuhan  infeksi  COVID-19  dan angka  kematian  akibat  AIDS  mempunyai  peran  yang  efektif  dalam  meminimalisir  dan  memberantas penularan koinfeksi COVID-19 dengan HIV maupun AIDS di masyarakat. Para pemangku kepentingan harus berkonsentrasi  untuk  memaksimalkan  mekanisme  intervensi  terhadap parameter  tersebut  untuk mencegah dan mengendalikan penularan koinfeksi di masyarakat.

## Referensi
[1] M. Martcheva, An Introduction to Mathematical Epidemiology , New York: Springer, 2015.
[2] S.  W.  Teklu,  “Mathematical  analysis  of  the  transmission  dynamics  of  COVID-19  infection  in  the  presence  of  intervention strategies,” Journal of Biological Dynamics , vol. 16, no. 1, 2022.
[3] N. Ringa, M. L. Diagne, H. Rwezaura, A. Omame, S. Y. Tchoumi, and J. M. Tchuenche, “HIV and COVID-19 co-infection: A mathematical model and optimal control,” Informatics Medicine Unlocked , vol. 31, 2022.
[4] A. Babaei, H. Jafari, and A. Liya, “Mathematical models of HIV/AIDS and drug addiction in prisons,” European Physical Journal
Plus , vol. 135, no. 5, 2020.
[5] I.  M.  Wangari,  S.  Sewe,  G.  Kimathi,  M.  Wainaina,  V.  Kitetu,  and  W.  Kaluki,  “Mathematical  Modelling  of  COVID-19
Transmission  in  Kenya:  A  Model  with  Reinfection  Transmission  Mechanism,” Computational  and  Mathematical  Methods  in Medicine , vol. 2021, 2021.
[6] Y. J. Baek et al. , “A mathematical model of COVID-19 transmission in a tertiary hospital and assessment of the effects of different intervention strategies,” PLoS One , vol. 15, no. 10, 2020.
[7] S.  S.  Musa et  al. ,  “Transmission  dynamics  of  SARS-CoV-2:  A  modeling  analysis  with  high-and-moderate  risk  populations,” Results in Physics , vol. 26, 2021.
[8] L. Cirrincione et al. , “COVID-19 Pandemic: Prevention and protection measures to be adopted at the workplace,” Sustainability , vol. 12, no. 9, 2020.
[9] P. Riyapan, S. E. Shuaib, and A. Intarasit, “A mathematical model of COVID-19 pandemic: A case study of Bangkok, Thailand,”
Computational and Mathematical Methods in Medicine , vol. 2021, 2021.
[10] O. Daniel Deborah, “Mathematical Model for the Transmission of Covid-19 with Nonlinear Forces of Infection and the Need for Prevention Measure in Nigeria,” Journal Infectious Diseases and Epidemiology , vol. 6, no. 5, 2020.
[11] J.  Y.  T.  Mugisha,  J.  Ssebuliba,  J.  N.  Nakakawa,  C.  R.  Kikawa,  and  A.  Ssematimba,  “Mathematical  modeling  of  COVID-19 transmission dynamics in Uganda: Implications of complacency and early easing of lockdown,” PLoS One , vol. 16, no. 2 February,
2021.
[12] S.  W.  Teklu  and  T.  T.  Mekonnen,  “HIV/AIDS-Pneumonia  Coinfection  Model  with  Treatment  at  Each  Infection  Stage:
Commented [A1]: Paragraf terlalu panjang
www.fourier.or.id
Mathematical Analysis and Numerical Simulation,” Journal of Applied Mathematics , vol. 2021, 2021.
[13] S. W. Teklu and K. P. Rao, “HIV/AIDS-Pneumonia Codynamics Model Analysis with Vaccination and Treatment,” Computational and Mathematical Methods in Medicine , vol. 2022, 2022.
[14] S.  R.  Bandekar  and  M.  Ghosh,  “A  co-infection  model  on  TB  -  COVID-19  with  optimal  control  and  sensitivity  analysis,”
Mathematics and Computers in Simulation , vol. 200, 2022.
[15] I. M. Hezam, A. Foul, and A. Alrasheedi, “A dynamic optimal control model for COVID-19 and cholera co-infection in Yemen,”
Advances in Difference Equations , vol. 2021, no. 1, 2021.
[16] P.  Ssentongo et  al. ,  “Epidemiology  and  outcomes  of  COVID-19  in  HIV-infected  individuals:  a  systematic  review  and  meta- analysis,” Scientific Reports , vol. 11, no. 1, 2021.
[17] T.  M.  Chen,  J.  Rui,  Q.  P.  Wang,  Z.  Y.  Zhao,  J.  A.  Cui,  and  L.  Yin,  “A  mathematical  model  for  simulating  the  phase-based transmissibility of a novel coronavirus,” Infectious Diseases of Poverty , vol. 9, no. 1, 2020.
[18] D.  Sun,  X.  Long,  and J.  Liu,  “Modeling  the  COVID-19  Epidemic  With  Multi-Population  and Control  Strategies  in  the  United States,” Frontiers in Public Health , vol. 9, 2022.
[19] R. Takele, “Stochastic modelling for predicting COVID-19 prevalence in East Africa Countries,” Infectious Diseases Modelling , vol. 5, 2020.
[20] A. Tanvi, R. Aggarwal, and Y. A. Raj, “A fractional order HIV-TB co-infection model in the presence of exogenous reinfection and recurrent TB,” Nonlinear Dynamics , vol. 104, no. 4, 2021.
[21] M. Aslam et al. , “A fractional order HIV/AIDS epidemic model with Mittag-Leffler kernel,” Advances in Difference Equations , vol. 2021, no. 1, 2021.
[22] I. Ahmed, E. F. Doungmo Goufo, A. Yusuf, P. Kumam, P. Chaipanya, and K. Nonlaopon, “An epidemic prediction from analysis of a combined HIV-COVID-19 co-infection model via ABC-fractional operator,” Alexandria Engineering Journal , vol. 60, no. 3, 2021.
[23] A. Zeb, E. Alzahrani, V. S. Erturk, and G. Zaman, “Mathematical Model for Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) Containing Isolation Class,” Biomed Research International , vol. 2020, 2020.
[24] S. W. Teklu and B. B. Terefe, “COVID-19 and syphilis co-dynamic analysis using mathematical modeling approach,” Frontiers in Applied Mathematics and Statistics , vol. 8, 2023.
[25] S. Y. Tchoumi, M. L. Diagne, H. Rwezaura, and J. M. Tchuenche, “Malaria and COVID-19 co-dynamics: A mathematical model and optimal control,” Applied Mathematical Modelling , vol. 99, 2021.
[26] A.  Omame et  al. ,  “Analysis  of  COVID-19  and  comorbidity  co-infection  model  with  optimal  control,” O ptimal  Control Applications and Methods , vol. 42, no. 6, 2021.
[27] T. D. Keno, O. D. Makinde, and L. L. Obsu, “Optimal control and cost effectiveness analysis of SIRS malaria disease model with temperature variability factor,” Journal of Mathematical and Fundamental Sciences , vol. 53, no. 1, 2021.
[28] T. D. Keno, L. B. Dano, and O. D. Makinde, “Modeling and Optimal Control Analysis for Malaria Transmission with Role of Climate Variability,” Computational and Mathematical Methods , vol. 2022, 2022.
[29] M. S. Goudiaby, L. D. Gning, M. L. Diagne, B. M. Dia, H. Rwezaura, and J. M. Tchuenche, “Optimal control analysis of a COVID- 19 and tuberculosis co-dynamics model,” Informatics Medicine Unlocked , vol. 28, 2022.
[30] J. K. K. Asamoah et al. , “Optimal control and comprehensive cost-effectiveness analysis for COVID-19,” Results in Physics , vol. 33, 2022.
[31] K. O. Okosun, O. D. Makinde, and I. Takaidza, “Impact of optimal control on the treatment of HIV/AIDS and screening of unaware infectives,” Applied Mathematical Modelling , vol. 37, no. 6, 2013.
[32] M. Rabiu, R. Willie, and N. Parumasur, “Optimal Control Strategies and Sensitivity Analysis of an HIV/AIDS-Resistant Model with Behavior Change,” Acta Biotheoretica , vol. 69, no. 4, 2021.
[33] P. Van Den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,” Mathematical Biosciences , vol. 180, no. 1, pp. 29–48, 2002.