## DEKOMPOSISI GRAF HELM
Risti Dwi Rahayu 1 , Yemi Kuswardi 2
1,2 Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, UNS
Abstract: Decomposition of graph G is a collection of {Hi} from sub graph G until Hi = 〈 Ei 〉 for Ei subset E (G) and {Ei} is partitions of E (G). If {Hi} is a decomposition of  G,  it  can  be  written  as  the  addition  of  the  sides 𝑯 𝟏 ⊕ 𝑯 𝟐 ⊕ 𝑯 𝟑 ⊕ 𝑯 𝟒 ⊕ … ⊕ 𝑯 𝒏 and  G  is  decomposed  into  sub  graphs 𝑯 𝟏 , 𝑯 𝟐 , 𝑯 𝟑 , 𝑯 𝟒 , … , 𝑯 𝒏 where  n  =  |{Hi}|.  In other  words, 𝑮 = 𝑯 𝟏 ⊕ 𝑯 𝟐 ⊕ 𝑯 𝟑 ⊕ 𝑯 𝟒 ⊕ … ⊕ 𝑯 𝒏 is  the  decomposition  of  graph  G. Helm  Hn  graph  with  n  ≥  3  and  n  is  even  number  which  can  be  partitioned  into  sub
graph 𝑨 𝒊 =  𝑬 𝒊 which  is  in  the  form  of  2K 2 ,  where  Hn  = 𝑯 𝒏 = 𝑨 𝟏 ⊕ 𝑨 𝟐 ⊕ 𝑨 𝟑 ⊕ 𝑨 𝟒 ⊕ … ⊕ 𝑨 𝟑
𝟐𝒏 . So,  helmet  Hn  graph  with  n  ≥  3  and  n  is  an  even  number  of  2K 2 - decomposition. The Hn helm graph with n > 3 can be partitioned into sub graph Ai = 〈 Ei 〉 which is in the form of 3K 2 , where 𝑯 𝒏 = 𝑨 𝟏 ⊕ 𝑨 𝟐 ⊕ 𝑨 𝟑 ⊕ 𝑨 𝟒 ⊕ … ⊕ 𝑨 𝒏 . So that the Hn helm graph with n > 3 is 3K 2 -decomposition. Keywords: Decomposition, Helm Graph.

## PENDAHULUAN
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah lama berkembang dan memiliki banyak  terapan  sampai  saat  ini.  Masalah  jembatan  Konigsberg  adalah  masalah  yang pertama  kali  diselesaikan  menggunakan  graf.  Pada  tahun  1736, seorang  matematikawan Swiss,  Leonard  Euler  berhasil  menemukan  jawaban  atas  permasalahan  jembatan Konigsberg  melalui  pembuktian  sederhana  dengan  memodelkan  masalah  tersebut  ke dalam graf.
Graf  didefinisikan  sebagai  pasangan  himpunan  (V,  E),  dimana  V  adalah himpunan  tak  kosong  dari  elemen-elemen  yang  disebut  titik  ( vertices atau node )  dan  E adalah himpunan yang mungkin kosong dari elemen-elemen yang disebut sisi ( edges atau arcs ),  sedemikian  sehingga  setiap  elemen  dalam  E  menghubungkan  sepasang vertex (Munir, 2012: 356) . Seiring perkembangan jaman dan teknologi, teori graf sudah banyak digunakan  untuk  memecahkan  masalah  yang  ada  di  kehidupan  sehari-hari,  seperti masalah komunikasi, transportasi, penjadwalan, dan sebagainya.
Dalam perkembangannya, banyak sekali bermunculan kajian-kajian tentang teori graf,  salah  satunya  adalah  tentang  dekomposisi  graf.  Dekomposisi  dari  graf  G  adalah koleksi   i H dari  subgraf  G  sedemikian  sehingga i i H E  untuk  suatu i E subset
( ) E G dan   i E adalah  partisi  dari ( ) E G .  Jika   i H adalah  sebuah  dekomposisi  dari  G, maka G dapat ditulis sebagai penjumlahan sisi 1 2 ... n H H H    , dimana   | | i n H  (Chartrand dan Lesniak, 1986: 239).
Kemunculan  jurnal  yang  disusun  oleh  Nur  Rahmawati  dan  Budi  Rahajeng dengan  judul  “Dekomposisi  Graf  Sikel,  Graf  Roda,  Graf  Gir,  dan  Graf  Persahabatan” telah berhasil menemukan dan membuktikan beberapa teorema dekomposisi yang berlaku pada  masing-masing  graf  tersebut.  Hasil  kajiannya  antara  lain:  (1)  misalkan | m n ,
, n m N  , m n  ,  graf  sikel n C merupakan 2 mK –dekomposisi,  (2)  graf  roda n W , 3 n  merupakan 2 2 K –dekomposisi,  (3)  graf  gir n G , 3 n  merupakan
2 3 K –dekomposisi,  (4) graf  persahabatan n F , 2 n  merupakan 3 C –dekomposisi.  Sebelumnya,  juga  sudah  ada skripsi  yang  membahas  tentang  dekomposisi  graf  dengan  judul  “Dekomposisi  Graf Komplit” oleh Rina Munawaroh dari UIN Malang (2009).
Banyaknya  jenis  graf  yang  berkembang  hingga  saat  ini,  membuat  pembahasan tentang dekomposisi graf masih dapat dilanjutkan pada dekomposisi graf yang lain, salah satunya adalah graf helm. Sidiq (dalam Wallis, 2001) menjelaskan bahwa graf helm ( n H ) merupakan graf yang dibentuk dari graf roda 𝑊 𝑛 dengan menambahkan n titik dengan derajat  1  (satu)  yang adjacent (terhubung  langsung)  dengan  setiap  titik  terminalnya.
Berdasarkan hal tersebut, maka pada makalah ini akan dibahas mengenai “Dekomposisi Graf Helm”.

## METODE PENELITIAN

## Definisi 1
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V(G), E(G)), ditulis dengan notasi G = (V(G),  E(G)),  dimana  V(G)  adalah  himpunan  tak  kosong  dari  elemen-elemen  yang disebut titik  ( vertices atau node )  dan  E(G)  adalah  himpunan  yang  mungkin  kosong  dari elemen-elemen  yang  disebut  sisi  ( edges atau arcs ),  sedemikian  sehingga  setiap  elemen dalam E(G) menghubungkan sepasang vertex .
(Rinaldi Munir, 2012: 356)

## Definisi 2
Dua buah vertex pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung oleh sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika ( , ) ( , ) u v v u 
adalah sebuah sisi pada graf G.
(Rinaldi Munir, 2012: 365) Definisi 3 Untuk  sembarang  sisi ( , ) ( , ) e u v v u   ,  sisi  e  dikatakan  bersisian  dengan vertexu dan vertexv .
(Rinaldi Munir, 2012: 365)

## Definisi 4
Derajat  suatu vertex pada  graf  tak  berarah  adalah  jumlah  sisi  yang  bersisian  dengan simpul tersebut. Derajat vertex v dapat dinotasikan dengan d ( v ).
(Rinaldi Munir, 2012: 366)

## Definisi 5
Sebuah  graf  H  disebut  subgraf  dari  graf  G  jika  tiap-tiap vertex dalam  H  merupakan anggota himpunan V(G) dan tiap-tiap sisi dalam H merupakan anggota himpunan E(G). Atau  dapat  ditulis  V(H) ⊆ V(G)  dan  E(H) ⊆ E(G).  Subgraf  H  =  (V(H),  E(H))  disebut subgraf  merentang  dari  graf  G  =  (V(G),  E(G)),  apabila  V(H)  =  V(G),  yaitu  H mengandung semua vertex dari G.
(Rinaldi Munir, 2012: 372 & 374)

## Definisi 6
Graf  beraturan  adalah  graf  yang  setiap vertex -nya  mempunyai  derajat  yang  sama.  Jika derajat  setiap vertex pada  suatu  graf  adalah  r,  maka  graf  tersebut  disebut  sebagai  graf beraturan-r.
(Rinaldi Munir, 2012: 378)

## Definisi 7
Graf  sikel  ( Cycle  graph )  merupakan  sebuah  graf  sederhana  yang  setiap vertex -nya berderajat dua. Banyaknya vertex minimal pada graf sikel adalah 3. Graf sikel dengan n vertex dilambangkan dengan n C . Banyaknya sisi sebuah graf sikel yang memiliki n buah vertex adalah n .
(Rahmawati dan Rahajeng, 2014: 65)
Definisi 8
Graf roda n W ( Wheels graph ) merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu vertex baru  pada  graf  sikel n C ,  sedemikian  hingga  setiap vertex pada  graf  sikel n C berhubungan  langsung  dengan vertex baru  tersebut.  Banyaknya vertex pada  graf  roda adalah 1 n  , sedangkan banyak sisinya adalah 2 n (Rahmawati dan Rahajeng, 2014: 65). Dalam  makalah  ini,  aturan  pemberian  nama vertex pada  graf  roda  adalah  dimulai  dari salah  satu vertex terminalnya  yaitu  dari 1 v ,  kemudian 2 v , 3 v , 4 v ,  dan  seterusnya  hingga
n v , dengan aturan searah jarum jam. Kemudian untuk vertex pusatnya diberi nama 1 n v  .

## Definisi 9
Sidiq (dalam Wallis, 2001) menjelaskan bahwa graf helm n H adalah graf yang dibentuk dari  graf  roda n W dengan  menambahkan  n vertex dengan  derajat  1  (satu)  yang  adjacent
(terhubung  langsung)  ke  setiap vertex terminalnya.  Graf  helm n H mempunyai | ( ) | 2 1 n V H n   dan | ( ) | 3 n E H n  ,  dengan 3 n  .  Dalam  makalah  ini,  aturan pemberian nama vertex pada graf helm adalah dimulai dari salah satu vertex terminalnya yaitu dari 1 v , kemudian 2 v , 3 v , 4 v , dan seterusnya hingga n v , dengan aturan searah jarum jam. Kemudian dilanjutkan pada vertex terluar (yaitu vertex yang ditambahkan pada graf roda sehingga menjadi graf helm), dimulai dari 1 n v  dimana 1 n v  merupakan vertex yang adjacent  dengan 1 v ,  selanjutnya 2 n v  dimana 2 n v  merupakan vertex yang  adjacent dengan 2 v ,  dan  seterusnya  hingga 2 n v dimana 2 n v merupakan vertex yang  adjacent dengan n v . Sedangkan untuk vertex pusat diberi nama 2 1 n v  .
Definisi 10
Graf 1 G dan 2 G dikatakan  isomorfis  ( 1 2 G G  ),  jika  terdapat  korespondensi  satu-satu antara titik-titik pada 1 G dan titik-titik pada 2 G , serta antara sisi-sisi pada 1 G dan sisi-sisi pada 2 G , sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan titik u dan v di 1 G , maka sisi ' e yang berkorespondensi di 2 G juga harus bersisian dengan titik ' u dan ' v di 2 G .
(Rinaldi Munir, 2012: 386)

## Definisi 11
Graf G dikatakan dapat difaktorkan ke dalam faktor-faktor 1 2 3 , , ,..., n G G G G jika faktor- faktor  tersebut  merupakan  sisi  yang  saling  lepas  untuk  setiap  pasangan  sisi  dan
𝐸 𝐺ᵢ  = 𝐸(𝐺) 𝑛 𝑖=1 .  Jika G difaktorkan  ke  dalam 1 2 3 , , ,..., n G G G G maka  dituliskan dengan 1 2 3 ... n G G G G G      ,  dimana ⨁ adalah  penjumlahan  sisi.  Sehingga, dapat  dikatakan  bahwa G adalah  penjumlahan  sisi  dari  faktor 1 2 3 , , ,..., n G G G G . Penjumlahan  sisi  ini  disebut  faktorisasi  dari G ke  dalam  faktor 1 2 3 ,
, ,..., n G G G G .  Jika terdapat faktorisasi dari graf G sedemikian sehingga untuk setiap faktor adalah k-faktor (k-faktor adalah graf bagian rentang beraturan  – k), maka G dikatakan k-faktor. Jika G
adalah  graf  k-faktor,  maka G adalah  graf  beraturan-r  untuk  bilangan  bulat  r  yang merupakan kelipatan k.
Jika  graf G dapat  difaktorkan  ke  dalam 1 2 3 , , ,..., n G G G G ,  dimana i G H  untuk sebuah graf H dan untuk setiap bilangan bulat (1 ) i i n   , maka dapat dikatakan bahwa G adalah terfaktorisasi- H dan G memiliki faktor yang isomorfik dengan H . Contoh :
Gambar 1. Graf G Bentuk faktorisasi graf G adalah sebagai berikut.
Gambar 2 Faktorisasi Graf G
Dari  Gambar  2  dapat  dilihat  bahwa  faktorisasi  graf G membentuk  1-faktor.  Jika
1 2 3
G G G G    , maka G adalah faktorisasi.
(Rahmawati dan Rahajeng, 2014: 65)

## Definisi 12
Dekomposisi  dari  graf G adalah  koleksi   i H dari  subgraf G sedemikian  sehingga
i i
H E  untuk  suatu i E subset ( ) E G dan   i E adalah  partisi  dari ( ) E G .  Jika   i H adalah  sebuah  dekomposisi  dari G maka G dapat  ditulis  sebagai  penjumlahan  sisi
1 2 3 ... n H H H H     (sama  pada  faktorisasi)  dan G didekomposisikan  ke  dalam subgraf
1 2 3 , , ,..., n H H H H , dimana   | | i n H  . Dengan kata lain
1 2 3 ... n G H H H H      adalah dekomposisi dari graf G .
Jika   i H adalah dekomposisi graf G sedemikian hingga i H H  untuk sebuah graf H dan  untuk  setiap (1 ) i i n   ,  maka G dikatakan H -dekomposisi.  Jika G merupakan  graf H -dekomposisi,  maka  dinotasikan  H│G  sehingga H dapat  dikatakan
pembagi  banyaknya  sisi  di G dan G merupakan  kelipatan  dari H dan  untuk  setiap  graf
(tak kosong dan terhubung) merupakan 2 K -dekomposisi.
Contoh :
Gambar 3. Graf G
Partisi sisi-sisi dari graf komplit G ditunjukkan sebagai berikut.

## Gambar 4. Partisi dari Graf G
Dari  gambar  tersebut,  dapat  dilihat  bahwa  diperoleh  5  partisi  dengan  masing-masing terdiri  dari  2  sisi.  Jika 1 2 3 4 5 G H H H H H      maka  graf G dapat  di dekomposisi. Karena subgraf
2 2 i H K  , maka graf G adalah 2 2 K - dekomposisi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebuah graf G dapat di dekomposisikan ke dalam subgraf 1 2 3 , , ,..., n A A A A , jika
setiap  subgraf 1 2 3 , , ,..., n A A A A tidak  mempunyai  sisi-sisi  yang  sama  dan  setiap
subgrafnya  tersebut  saling  isomorfis  serta  penjumlahan  sisi  semua  subgraf
1 2 3 , , ,..., n A A A A adalah graf G atau dapat ditulis 1 2 3 ... n G A A A A      . Graf  helm n H adalah  graf  yang  dibentuk  dari  graf  roda n W dengan menambahkan  n vertex dengan  derajat  1  (satu)  yang adjacent (terhubung  langsung)  ke setiap vertex terminalnya.  Graf  helm n H mempunyai | ( ) | 2 1 n V H n   dan
| ( ) | 3 n E H n  ,  dengan 3 n  .  Dalam  penelitiannya  Rahmawati  dan  Rahajeng mengatakan  bahwa Misalkan  diambil  graf  roda n W dengan 3 n  ,  kemudian  graf  roda
n W dipartisi  menjadi  subgraf i A yang  berupa 2 2 K ,  maka  diperoleh  teorema  sebagai berikut :Graf roda n W , dengan 3 n  dan 1 2 3 4 ... n n W A A A A A       merupakan 2K 2 - dekomposisi.
Misalkan  diambil  graf  helm n H dengan 3 n  dan  n  adalah  bilangan  genap,
kemudian graf helm n H dipartisi menjadi subgraf i A berupa 2 2 K .
Tabel 1. Dekomposisi dari graf helm H n , untuk n adalah bilangan genap Graf Helm Dekomposisi A- dekomposisi Banyaknya titik dan sisi 4 H 4 1 2 3 4 5 6
H A A A A A A
      (6 partisi)
2 2 i A K  | ( ) | 4 | ( ) | 2 i i V A E A   6 H 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 H A A A A A A A A A         
(9 partisi) 2 2 i A K  | ( ) | 4 | ( ) | 2 i i V A E A   8 H 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 ...
H A A A A A A A A A A          

(12 partisi) 2 2 i A K  | ( ) | 4 | ( ) | 2 i i V A E A   10 H 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 ...
H A A A A A A A A A A          

(15 partisi) 2 2 i A K  | ( ) | 4 | ( ) | 2 i i V A E A  
: : : : : : : :
Graf Helm Dekomposisi A- dekomposisi Banyaknya titik dan sisi n H 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 ... n n H A A A A A A A A A A            ( 3 2 n partisi)
2 2 i A K  | ( ) | 4 | ( ) | 2 i i V A E A  
Berdasarkan Tabel 1 maka diperoleh sifat sebagai berikut:
Sifat 1:
Graf  helm n H ,  dengan 3 n  dan  n  adalah  bilangan  genap,  dimana
1 2 3 4 3 2 ... n n H A A A A A       merupakan 2 2 K - dekomposisi.
Partisi graf helm n H adalah sebagai berikut :
Untuk 1, 2,3,..., i n  . Subgraf   1 2 2 1 ( , ), ( , ) i i i i n A v v v v     , dimana setiap 1, 2 i i n    . Jika 1, 2 i i n
   , maka 1 i  , 2 i  dinyatakan sebagai bilangan bulat 1,2,3,...,n(mod n)
Sedangkan untuk i j n   , dengan 1 1, 2, 3,..., 2 j n  Subgraf 1 3 2 2 ( , ), ( , )
j n j j n j n j n
A v v v v            .
Contoh :
Diberikan graf helm n H , dengan n = 12
Graf helm 12 H dapat digambarkan sebagai berikut :
Gambar 5.  Graf Helm 12 H Vertex-vertex dari graf helm 12 H adalah
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 25 { , , , , , , , , , ,..., , } v v v v v v v v v v v v Berdasarkan  Sifat1  maka  graf  helm 12 H
dapat di partisi menjadi subgraf i i A E  yang berupa 2 2 K dengan
1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,...,17,18 i  .
Jadi,  partisi  dari  graf  helm 12 H adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 18 , , , , , , , , ,..., , A A A A A A A A A A A , dimana 12 1 2 3 4 18 ... H A A A A A       . Subgraf i A untuk 1, 2,3, 4,5,6,...,18 i  dapat ditulis sebagai berikut:   1 1 2 3 25 ( , ), ( , ) A v v v v    2 2 3 4 25 ( , ), ( , ) A v v v v    3 3 4 5 25 ( , ), ( , ) A v v v v    4 4 5 6 25 ( , ), ( , ) A v v v v    5 5 6 7 25 ( , ), ( , ) A v v v v    6 6 7 8 25 ( , ), ( , ) A v v v v    7 7 8 9 25 ( , ), ( , ) A v v v v    8 8 9 10 25 ( , ), ( , ) A v v v v    9 9 10 11 25 ( , ), ( , ) A v v v v    10 10 11 12 25 ( , ), ( , ) A v v v v    11 11 12 1 25 ( , ), ( , ) A v v v v    12 12 1 2 25 ( , ), ( , ) A v v v v    13 1 13 7 19 ( , ), ( , ) A v v v v    14 2 14 8 20 ( , ), ( , ) A v v v v    15 3 15 9 21 ( , ), ( , ) A v v v v    16 4 16 10 22 ( , ), ( , ) A v v v v    17 5 17 11 23 ( , ), ( , ) A v v v v    18 6 18 12 24 ( , ), ( , ) A v v v v

## 
Sehingga dekomposisi dari graf helm 12 H adalah sebagai berikut :
Gambar 6. Dekomposisi Graf Helm 12 H Karena 12 1 2 3 18 ... H A A A A      dimana setiap subgraf i A ≅ 2 2 K , maka graf helm
12 H merupakan 2 2 K -dekomposisi.
Misalkan  diambil  graf  helm n H dengan 3 n  ,  kemudian  graf  helm n H dipartisi menjadi subgraf i A berupa 2 3 K .
Tabel 2. Dekomposisi dari graf helm n H Graf Helm Dekomposisi A- dekomposisi Banyaknya titik dan sisi 3 H 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 H A A A A A A A A A          (9 partisi) 2 i A K  | ( ) | 2 | ( ) | 1 i i V A E A  
4 H 4 1 2 3 4 H A A A A     (4 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A   5 H 5 1 2 3 4 5 H A A A A A      (5 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A   6 H 6 1 2 3 4 5 6
H A A A A A A      
(6 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A   7 H 7 1 2 3 4 5 6 7
H A A A A A A A        (7 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A   8 H 8 1 2 3 4 5 6 7 8
H A A A A A A A A        
(8 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A   9 H 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
H A A A A A A A A A         
(9 partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A  
: : : : : : : : n H (untuk 3 n  ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... n n H A A A A A A A A A A          

(n partisi) 2 3 i A K  | ( ) | 6 | ( ) | 3 i i V A E A  
Berdasarkan Tabel 2 maka diperoleh teorema sebagai berikut :
Teorema:
Graf  helm n H ,  dengan 3 n  dan
1 2 3 ... n n H A A A A      merupakan 2 3 K - dekomposisi.
Bukti
Ambil sebarang graf helm n H
Misal   1 2 3 2 1 2 2 1 ( ) , , ,..., , , n n n n V H v v v v v v   
  1 2 3 3 1 3 ( ) , , ,..., , n n n E H e e e e e  
Partisi  graf  helm n H menjadi  subgraf i i A E  yang  berupa 2 3 K ,  dimana i j  maka
i j A A    .
Misalkan 1 2 3 ... n n H A A A A      .
Partisi graf helm n H sebagai berikut :
Untuk 1, 2,3,..., i n  . Subgraf   1 2 2 1 3 3 ( , ), ( , ), ( , ) i i i i n i i n A v v v v v v        ,  dimana  setiap 1, 2, 3 i i i n    
dan 3 2 i n n    .
Jika 1, 2, 3 i i i n     , maka 1 i  , 2 i  , dan 3 i  dinyatakan sebagai bilangan bulat 1, 2,3,..., (mod ) n n ,  serta  jika 3 2 i n n    maka 3 i n   dinyatakan  sebagai
3 i  .
Akan ditunjukkan bahwa setiap subgraf tersebut saling lepas.
Setiap  subgraf  dikatakan  saling  lepas  jika i j  maka i j A A    ,  dimana 1, 2,3,..., i n  dan 1, 2,3,..., j n  .
Akan dibuktikan melalui kontraposisinya.
Pernyataan  jika i j  maka i j A A    ekuivalen  dengan  mengatakan  jika
i j A A    maka i j  , dimana 1, 2,3,..., i n  dan 1, 2,3,..., j n  .
Diketahui i j A A    , maka , k i j e A A k N     . Hal ini berarti bahwa k i e A  dan k j e A  .
Berdasarkan  definisi,  jika k i e A  maka   1 , k i i e v v   atau   2 1 , i n v v   atau
  3 3 , k i i n e v v     .
Begitu pula jika k j e A  maka   1 , k j j e v v   atau   2 1 , j n v v   atau   3 3 , k j j n e v v     .
Akibatnya,   1 , i i v v  =   1 , j j v v  ,   2 1 , i n v v   =   2 1 , j n v v   ,  dan   3 3 , i i n v v    =
  3 3 , j j n v v    .
Sehingga diperoleh i j  .
Jadi,  terbukti  bahwa  jika i j A A    maka i j  ,  dimana 1, 2,3,..., i n  dan 1, 2,3,..., j n  .
Hal  ini  juga  membuktikkan  bahwa,  pernyataan  jika i j  maka i j A A    ,  dimana
1, 2,3,..., i n  dan 1, 2,3,..., j n  bernilai benar.
Karena dapat dibuktikan jika i j  maka i j A A    , berarti tidak ada sisi yang sama pada setiap subgraf.
Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap 1, 2,3,..., i n  , dan
1 2 3 ... n n H A A A A      , maka graf n H merupakan 2 3 K - dekomposisi.
Contoh :
Diberikan graf helm n H , dengan n = 11
Graf helm 11 H dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 7.  Graf Helm 11 H
Vertex-vertex dari graf helm 11 H adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 23 { , , , , , , , , ,..., , } v v v v v v v v v v v
Berdasarkan  Teorema  3.1  maka  graf  helm 11 H dapat  di  partisi  menjadi  subgraf
i i
A E  yang berupa 2 3 K dengan 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11 i  .
Jadi, partisi dari graf helm 11 H adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 , , , , , , , , , ,
A A A A A A A A A A A , dimana
11 1 2 3 4 11 ... H A A A A A       . Subgraf i A untuk 1, 2,3, 4,5,6,...,11 i  dapat ditulis dengan   1 2 2 1 3 3 ( , ), ( , ), ( , )
i i i i n i i n
A v v v v v v        dimana setiap 1, 2, 3 i i i n     dan
3 2 i n n    .  Jika 1, 2, 3 i i i n     ,  maka 1 i  , 2 i  ,  dan 3 i  dinyatakan  sebagai
bilangan  bulat 1, 2,3,..., (mod ) n n ,  serta  jika 3 2 i n n    maka 3 i n   dinyatakan sebagai 3 i  .
Berdasarkan aturan tersebut, maka subgraf 1 2 3 4 5 11 , , , , ,..., A A A A A A adalah :
1 1 2 3 23 4 15 {( , ), ( , ), ( , )}
A v v v v v v  2 2 3 4 23 5 16 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  3 3 4 5 23 6 17 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  4 4 5 6 23 7 18 {( , ), ( , ), ( , )}
A v v v v v v 
5 5 6 7 23 8 19 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  6 6 7 8 23 9 20 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  7 7 8 9 23 10 21 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v 
8 8 9 10 23 11 22 {( , ), ( , ), ( , )}
A v v v v v v  9 9 10 11 23 12 23 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  ,  karena 3 i n   maka  untuk vertex 12 v
yaitu  bilangan  12  diambil  sebagai  1( mod 11),  kemudian  karena 3 2 i n n    maka
untuk vertex 23 v yaitu  bilangan  23  diambil  sebagai 3 9 3 12 i     ,  sehingga:
9 9 10 11 23 1 12 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v 
Dengan cara yang sama diperoleh :
10 10 11 1 23 2 13 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v  11 11 1 2 23 3 14 {( , ), ( , ), ( , )} A v v v v v v 
Sehingga dekomposisi dari graf helm 11 H adalah sebagai berikut :
Karena 11 1 2 3 4 11 ... H A A A A A       dimana  setiap  subgraf i A ≅ 2 3 K ,  maka graf helm 11 H merupakan 2 3 K -dekomposisi.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan  diatas,  maka  dapat  diambil  kesimpulan  sebagai berikut :
1. Graf  helm n H , 3 n  dan  n  adalah  bilangan  genap  dapat  di  partisi  menjadi  subgraf
i i A E  berupa 2 2 K dimana 1 2 3 3 2 ... n n H A A A A
     .  Sehingga  graf  helm n H
dengan 3 n  dan n adalah bilangan genap merupakan 2 2 K - dekomposisi.
2. Graf helm n H , 3 n  , dapat di partisi menjadi subgraf i i A E  berupa 2 3 K dengan
1 2 3 ... n n H A A A A      Sehingga  graf  helm n H dengan 3 n  merupakan 2 3 K - dekomposisi.

## DAFTAR PUSTAKA
Chartrand,  Gery  dan  Lesniak,  Linda.  (1986). Graphs  and  Digraphs  Second  Edition . California: a Division of Wadsworth, Inc.
Munawaroh,  Rina.  (2009). Dekomposisi  Graf  Komplit .  Dalam  http://etheses.uin- malang.ac.id/6393/1/04510046.pdf. Diunduh pada tanggal 25 Februari 2018.
Munir, Rinaldi. (2012). Matematika Diskrit . Bandung: Informatika Bandung.
Rahmawati, Nur dan Rahajeng, Budi.  (2014). Dekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Gir, dan Graf Persahabatan . Dalam http://jurnalmahasiswa.unesa.ac. id/index.php/mathunesa/article/view/9365/12427.  Diunduh  pada  tanggal  25 Februari 2018.
Sidiq, Muhamad. (2014). Pemberian Nomor Vertex Pada Topologi Jaringan Graf Wheel, Graf  Helm  Dan  Graf  Lollipop .  UNS  Surakarta:  Skripsi,  tidak  diterbitkan.