## NULLITAS MAKSIMUM MATRIKS HERMITIAN DIGAMBARKAN OLEH GRAF G

## THE MAXIMUM NULL OF HERMITIAN MATRICES DESCRIBED BY A GRAPH
Mohamad Syafi’i 1§ , Darvi Mailisa Putri 2 , Alfit Rahman 3
1 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang [Email: mohamadsyafii@uinib.ac.id]
2 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang [Email: darvimailisa@uinib.ac.id]
3 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang
§ Corresponding Author
Received Mei 2021; Accepted Juni 2021; Published Juni 2021;

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan untuk  mendapatkan  sebuah pola  matriks  Hermitian  yang  digambarkan  graf 𝐺 . Tentunya  banyak  kemungkinan  matriks  Hermitian  yang  didapatkan.  Dengan  berbantuan  program Matlab,  peneliti  merumuskan  pola  matriks  Hermitian  yang  didapatkan  dengan  tujuan  memperoleh nullitas  maksimum.  Pada  penilitian  ini  nullitas  terbesar  (maksimum)  dari  matriks  Hermitian  yang digambarkan  graf 𝐺 dapat  dituliskan  dengan 𝐺           𝑙𝑙           𝐺          𝐺 .  Adapun graf yang digunakan pada penelitian  adalah graf komplit, graf lintasan,  graf sikel, graf bipartisi komplit, dan  graf  star.    Teorema  pendukung  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  untuk  menentukan 𝐺 adalah 𝐺       𝐺     𝐺 ,  dengan 𝐺 adalah  minimum  rank  dari  matriks  Hermite  yang digambarkan  oleh  graf 𝐺 dan 𝐺 adalah  order  dari 𝐺 atau  banyaknya  sisi  pada  Graf 𝐺 .  Adapun  hasil pada penelitian ini adalah:
1. ( ) dan 4. ( ) 2. ( ) dan
5. ( ) 3. ( ) dan
Kata Kunci : Graf, Nullitas Maksimum, Matriks Hermitian, Minimum Rank

## Abstract
The  Purpose  of  this  research  to  obtain  a  Hermitian  matrices  pattern  described  by  a  graph 𝐺 .  Many possible  Hermitian  matrices  to  be  obtained.  With  the  help  of  the  Matlab  program,  the  researcher formulated  the  Hermitian  matrices  pattern  which  was  obtained  with  the  aim  of  obtaining  maximum nullity. In this research, the largest (maximum) nullity of the Hermitian matrix described by the graph 𝐺 can  be  written  as 𝐺           𝑙𝑙           𝐺          𝐺 .  The  graphs  used  in  this  study  are complete  graphs,  path  graphs,  cycle  graphs,  complete  bipartition  graphs,  and  star  graphs.  The supporting  theorem used in  this  study to  determine 𝐺 is 𝐺       𝐺     𝐺 , where 𝐺 is  the minimum rank of the Hermite matrix represented by the graphs G and 𝐺 is the order of G or the number of edges on Graph G. The results in this research are:
1. ( ) and 4. ( ) 2. ( ) and
5. ( ) 3. ( ) and
Keywords : Graph, The Maximum Nullity, Hermitian Matrices, Rank Minimum
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …

## 1. Pendahuluan
Perkembangan  keilmuan  matematika  pada saat  ini  mengalami  perkembangan  pesat,  salah satunya  terkait  penerapan  teori  Graf  dalam bidang  keilmuan  Aljabar.  Pada  penelitian  ini, peneliti  membahas  tentang  pengembangan representasi  graf  dalam  matriks.  Misalkan terdapat  suatu  graf 𝐺 ,  dari  graf  tersebut dibentuk  dalam  matriks adjacency atau  matriks keterhubungan.  Matriks adjacency suatu  graf 𝐺 adalah  matriks  simetri  dengan  unsur  nol  dan satu,  memuat  nol  pada  diagonal  utamanya. Bernilai  satu  jika  antara  titik  satu  dengan  titik lainnya  terhubung  langsung,  sedangkan  bernilai nol  jika  titik  satu  dengan  titik  lainnya  tidak terhubung langsung.
Matriks adjacency merupakan matriks simetri.
Jika  dari  matriks adjacency dirubah  menjadi matriks  Hermite,  yang  mana  unsur-unsurnya adalah  bilangan  kompleks  taknol  jika  antar  titik dalam graf tersebut terhubung langsung dan nol jika  antar  titik  graf  tersebut  tidak  terhubung langsung,  sedangkan    unsur  diagonalnya diabaikan.  Setelah  dibentuk  menjadi  beberapa matriks  Hermite,  maka  dapat  dicari  nullitas  dari matriks  Hermite  tersebut,  karena  pemberian unsur-unsur bilangan kompleks bersifat random , maka  dapat  diperoleh  nullitas  maksimum  dari matriks Hermite yang digambarkan graf 𝐺 .
Penelitian  sebelumnya  adalah  menentukan rank minimum matriks Hermite yang
digambarkan  graf 𝐺 ,  pada  penelitian  ini dilanjutkan dengan menentukan nullitas maksimum  matriks  Hermite  yang  digambarkan graf 𝐺 .  Adapun  jenis  graf  yang  digunakan  pada penelitian  ini  adalah  graf  komplit,  graf path (lintasan),  graf  sikel,  graf  bipartisi  komplit  dan graf star .

## 2. Landasan Teori
Graf Definisi 2.1 Graf 𝐺 adalah pasangan himpunan dengan
adalah  himpunan  tidak  kosong  dan  berhingga dari obyek-obyek yang disebut sebagai titik dan adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan  dari  titik-titik  yang  berbeda  di 𝐺 yang disebut sebagai sisi[1].
Definisi 2.2 Misal 𝐺 graf. Order dari  graf 𝐺 adalah banyaknya titik ( vertices ) pada suatu graf 𝐺 [2]. Definis 2.3
Misalkan dan adalah  dua  titik  di 𝐺 dan adalah  sebuah  sisi  di 𝐺 ,  Graf terhubung 𝐺 adalah  graf  tidak  berarah 𝐺 jika untuk  setiap  pasang  simpul dan dalam himpunan terdapat lintasan dari ke dan jika tidak,  maka 𝐺 disebut  sebagai  graf  tidak terhubung [3].

## 2.1 Jenis-jenis Graf Graf Komplit
Graf 𝐺 adalah  komplit  jika  setiap  titik terhubung langsung ke setiap titik yang lain. Graf  komplit  dengan titik  dinyatakan dengan [4].

## Graf Lintasan
Graf  berbentuk  lintasan  dengan  titik sebanyak dinamakan graf lintasan order dan ditulis dengan [5].

## Graf Sikel
Graf  berbentuk  sikel  dengan  titik  sebanyak
,
,  disebut  graf  sikel  dan  ditulis
dengan [5].

## Graf Bipartisi Komplit
Graf  bipartisi  adalah  graf  yang  himpunan titiknya  dapat  dipisahkan  menjadi  dua himpunan  tak  kosong dan sehingga masing-masing sisi graf tersebut menghubungkan satu titik di dan satu titik di ; dan disebut himpunan partisi [6].
Suatu Graf 𝐺 disebut bipartisi komplit jika 𝐺 adalah  bipartisi  dan  masing-masing  titik pada  suatu  partisi  terhubung  langsung dengan  semua  titik  pada  partisi  yang  lain.
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …
Graf  bipartisi  komplit  dengan titik  pada salah  satu  partisi  dan titik  pada  partisi yang lain, dapat ditulis dengan [5].

## Graf Bintang
Graf  star  (bintang)  disebut  dengan  graf bipartisi  komplit ,  mempunyai  order
,  ukuran dan  dinotasikan  dengan
[7].

## 2.2 Matriks Simetri
Suatu  matriks  bujur  sangkar disebut matriks  simetri  jika  matriks  tersebut  sama dengan transposenya [8].

## 2.3 Matriks Hermite
Jika merupakan  matriks  dengan  unsur kompleks,  maka  tranpose  sekawan ,  yang dinyatakan  oleh
,  dapat  didefinisikan sebagai
̅
Matriks  bujur  sangkar  dengan  unsur kompleks disebut Hertmite , jika
[8].

## 2.4 Matriks Adjacency
Matriks  Adjacency  dari  suatu  graf  adalah matriks [ ] berukuran
yang
didefinisikan sebagai berikut:
{ 𝑙
𝑙
[9].
2.5 Nullitas
Kernel  dari  matriks ,  dinotasikan  dengan
,  adalah  himpunan  dari  semua  solusi
persamaan  homogen .  Kernel  dari matriks disebut  juga  dengan  ruang  null
dari dan dimensinya disebut nulitas dari , dan dinotasikan dengan 𝑙𝑙 [10].

## 2.6 Rank
Dimensi  umum  dari  ruang  baris  dan  ruang kolom dari suatu matriks disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai [8].

## 2.7 Hubungan Matriks dan Graf
Misal 𝐺 graf  dengan  order dan ukuran serta  himpunan  semua  titik 𝐺 .
Matriks  keterhubungan  (Matriks Adjaceny ) dari  graf 𝐺 ,  dinotasikan  dengan 𝐺 . Matriks Adjacency dapat  ditulis  sebagai berikut:

## dengan
{ 𝑙 𝑙
Contoh:
Gambar 1. Graf dan Matriks Adjacency
Dengan  melihat  adanya  keterhubungan antara  matriks  dan  graf,  maka  dapat dikembangkan dengan mensubtitusi elemen dari  matriks Adjacency dengan  elemen bilangan  kompleks  yang  memenuhi  matriks Hermite. Adapun langkah-langkahnya
sebagai berikut:
1. Diketahui graf 𝐺
2. Membentuk  matriks Adjacency dari  graf tersebut.
3. Membentuk matriks Hermite dari matriks Adjacency ,  dengan aturan sebagai berikut:
a. Elemen diagonal diabaikan nilainya
b. Unsur nol selain di diagonal utamanya harus nol.
c. Unsur  tak  nol  pada  matriks  dirubah dengan  unsur  tak  nol  dengan semesta  bilangan  komplek  dan
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …

## diberikan secara random [11]
Berdasarkan  langkah-langkah  diatas  maka terdapat banyak kemungkinan matriks Hermite  yang  didapatkan.  Matriks-matriks tersebut  tentunya  memiliki  nullitas  masing- masing.  Sehingga    dapat  ditentukan  nullitas maksimal  yang  dapat  didefinisikan  sebagai berikut:
Nullitas  maksimum  dari  matriks  Hermite yang digambarkan graf 𝐺 dapat
didefinisikan:
𝑙𝑙
[12].
Adapun teorema-teorema yang mendukung penelitian ini adalah:
Teorema 2.1 Untuk graf 𝐺 dengan order , maka berlaku 𝐺       𝐺     𝐺 Dengan 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 atau banyaknya titik pada suatu graf 𝐺 [13].
Teorema 2.2 Jika graf  Komplit  dengan titik  dimana dan maka ( ) [11]
Teorema 2.3
Jika graf  Lintasan  dengan titik  dimana dan
maka ( ) [11].
Teorema 2.4
Jika
graf  Sikel  dengan titik  dimana
dan maka ( ) [11].

## Teorema 2.5
Jika graf  Bipartisi  Komplit  dengan titik  dimana maka ( )
[11].
Teorema 2.6 Jika
graf  Bintang  dengan
maka ( ) [11].

## 3. Metode Penelitian
Pada  penelitian  ini  penulis  menggunakan jenis/pendekatan  penelitian  yang  berupa  Studi
Kepustakaan ( Library
Research ).
Studi kepustakaan  merupakan  suatu  studi  yang
digunakan dalam mengeumpulkan informasi dan data  dengan  bantuan  berbagai  macam  material yang  ada  di  perpustakaan  seperti  dokumen, buku,  majalah,  kisah-kisah  sejarah,  dsb.  Studi kepustakaan  juga  berarti  teknik  pengumpulan data  dengan  melakukan  penelaahan  terhadap buku,  literatur,  catatan,  serta  berbagai  laporan yang  berkaitan  dengan  masalah  yang  ingin dipecahkan [14].
Melalui studi kepustakaan ini penulis melakukan  pengamatan  dan  menganalisa  pada buku  referensi,  artikel,  dan  jurnal  penelitian sebelumnya  yang berkaitan  nulllitas  maksimum pada  matriks  yang digambarkan  Graf  G  untuk digunakan sebagai  dasar  teori.  Adapun  jenis  graf yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  graf komplit,  graf  lintasan,  graf  sikel,  graf  bipartisi komplit, dan graf star (bintang).

## 4. Hasil dan Pembahasan
Pada  penelitian  ini  konsep  nullitas  maksimal pada  matriks  Hermite  yang  digambarkan  graf 𝐺 , diterapkan  pada  graf  komplit,  graf  lintasan,  graf sikel, graf bipartisi komplit dan graf star. Adapun salah  satu  contoh  penerapan  pada  penelitian  ini, diambil graf yang merupakan contoh dari graf komplit dengan 5 titik
Gambar 2. Graf
Adapun matriks Adjacency dari adalah
[ ]
Setelah  dibentuk  matriks Adjacency ,  matriks tersebut  dibentuk  dalam  matriks  Hermite  sesuai dengan  langkah-langkah  yang  terdapat  pada landasan  teori.  Berdasarkan  arah  penelitian  ini,
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …
dimana  akan  ditentukan  nullitas  maksimum, maka  kemungkinan  matriks  Hermite  yang terbentuk  sangat  banyak,  oleh  karena  itu  perlu adanya pola matriks Hermite sehingga didapatkan nullitas maksimum.
Berdasarkan matriks Adjacency dapat dikembangkan  matriks-matriks  Hermite  dari serta  diperoleh  rank  dan  nullitasnya,  Adapun beberapa  kemungkinan  matriks  Hermite  yang terbentuk adalah sebagai berikut:
1.
[ ]
Dengan dan 𝑙𝑙

## 2.
[ ] Dengan
𝑙𝑙
3.
[ ] Dengan 𝑙𝑙 Berdasarkan semua kemungkinan matriks Hermite  yang  didapatkan,  diperoleh  nullitas maksimal  dari  Graf adalah  4.  Berdasarkan contoh di atas peneliti mengembangkan penelitian untuk nullitas maksimal matriks Hermite yang di gambarkan graf diperoleh:

## Teorema 4.1
Jika merupakan  graf  komplit,    dengan
dan merupakan  banyaknya  titik dan   pada graf . Maka .

## Bukti
Diketahui  untuk  graf  komplit
dengan dan  matriks Adjacendy yang  dapat dibentuk  dari  graf  komplit adalah  sebagai berikut:
[ ]

## Akan dibuktikan bahwa Berdasarkan teorema 2.1
𝐺       𝐺     𝐺 Dimana 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 dari order dari graf , maka diperoleh ( )     ( )
Berdasarkan teorema 2.2 diperoleh
( ) Sehingga di peroleh ( ) ( ) Untuk lebih menegaskan bahwa
( )
Ambil  matriks  hermite  dengan  pola  sebagai berikut:
[ ]
Dengan dan √ Dengan  bantuan  matlab  diperoleh  nullitas  dari matriks .
Berdasarkan  teorema  2.1,  teorema  2.2,  dan  pola matriks yang sudah didapatkan maka terbukti
bahwa ( ) .
Selain  menentukan ,  nullitas  maksimal juga diterapkan pada graf lain, yaitu graf lintasan, graf  sikel,  graf  bipartisi  komplit  dan  graf  star. Adapun  nullitas  maksinal 𝐺 masing-masing graf tersebut adalah sebagai berikut:
Teorema 4.2 Jika merupakan  graf  lintasan,    dengan dan merupakan  banyaknya  titik dan   pada graf . Maka .

## Bukti
Diketahui  untuk  graf  lintasan dengan dan  matriks Adjacendy yang  dapat dibentuk  dari  graf  lintasan adalah  sebagai berikut:
[ ]
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …

## Akan dibuktikan bahwa
Berdasarkan teorema 2.1

## 𝐺       𝐺     𝐺
Dimana 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 dari order dari graf
, maka diperoleh ( )     ( )
Berdasarkan teorema 2.3 diperoleh ( )
Sehingga di peroleh
( )
( )
( )
Untuk lebih menegaskan bahwa ( )
Ambil  matriks  hermite  dengan  pola  sebagai berikut:
[ ] Dengan dan √
Dengan  bantuan  matlab  diperoleh  nullitas  dari matriks
.
Berdasarkan  teorema  2.1,  teorema  2.3,  dan  pola matriks yang sudah didapatkan maka terbukti
bahwa ( ) .
Contoh:
Gambar 3. Graf
Adapun matriks adjacency dari graf adalah
* + Berdasarkan matriks Adjacency
dapat dikembangkan  matriks-matriks  Hermite  dari serta  diperoleh  rank  dan  nullitasnya.  Salah  satu kemungkinan    matriks  Hermite  yang  terbentuk dari graf adalah sebagai berikut:
* +
Diperoleh ( ) dan ( ) .
Teorema 4.3 Jika merupakan graf sikel,  dengan dan merupakan  banyaknya  titik  dan      pada graf . Maka .

## Bukti
Diketahui  untuk  graf  sikel dengan dan  matriks Adjacendy yang  dapat  dibentuk dari graf sikel adalah sebagai berikut:
[ ]

## Akan dibuktikan bahwa Berdasarkan teorema 2.1

## 𝐺       𝐺     𝐺
Dimana 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 dari order dari graf , maka diperoleh ( )     ( )
Berdasarkan teorema 2.4 diperoleh ( )
Sehingga di peroleh ( ) ( )
( )
Untuk lebih menegaskan bahwa
( )
Ambil  matriks  hermite  dengan  pola  sebagai berikut: 1. Untuk graf sama  dengan  graf , sehingga ( ) 2. Untuk , pilih . 3. Untuk , pilih . 4. Untuk , pilih . 5. Untuk , pilih . Dengan menggunakan program  Matlab diperoleh ( )
Berdasarkan  teorema  2.1,  teorema  2.4,  dan  pola matriks yang sudah didapatkan maka terbukti bahwa ( ) .
Contoh:
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …

## Gambar 4. Graf
Adapun matriks adjacency dari graf adalah
* + Berdasarkan matriks
Adjacency
dapat dikembangkan  matriks-matriks  Hermite  dari serta  diperoleh  rank  dan  nullitasnya.  Salah  satu kemungkinan    matriks  Hermite  yang  terbentuk dari graf adalah sebagai berikut:
* +
Dengan √ ,  diperoleh ( ) dan ( ) .
Teorema 4.4 Jika merupakan  graf  bipartisi  komplit, dengan dan merupakan banyaknya titik dan   pada graf . Maka ( ) .

## Bukti
Diketahui  untuk  graf  bipartisi  komplit dengan titik dan , sehinggamatriks Adjacendy yang  dapat  dibentuk dari  graf  bipartisi  komplit adalah  sebagai
berikut: Akan dibuktikan bahwa ( )

## Berdasarkan teorema 2.1
𝐺       𝐺     𝐺 Dimana 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 dari order dari graf , maka diperoleh ( )     ( )
Berdasarkan teorema 2.5 diperoleh
( )
Sehingga di peroleh
( )
( )

## Untuk lebih menegaskan bahwa
( )
Ambil  matriks  hermite  dengan  pola  sebagai berikut:
[ ] Dengan dan √ Dengan  bantuan  matlab  diperoleh  nullitas  dari matriks . Berdasarkan  teorema  2.1,  teorema  2.5,  dan  pola matriks yang  sudah  didapatkan  maka terbukti bahwa ( ) . Contoh:

## Gambar 5. Graf
Adapun matriks adjacency dari graf adalah
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …
[ ] Berdasarkan matriks Adjacency dapat dikembangkan matriks-matriks Hermite dari
serta  diperoleh  rank  dan  nullitasnya.  Salah  satu kemungkinan    matriks  Hermite  yang  terbentuk dari graf adalah sebagai berikut:
[ ]
Diperoleh ( ) dan ( ) .

## Teorema 10
Graf merupakan  graf  yang  berbentuk  graf ,  Jika merupakan  graf  bintang  (star), dengan dan merupakan  banyaknya titik dan   pada graf . Maka . Bukti Diketahui  untuk  graf  star dengan titik dan ,  sehingga  matriks Adjacendy yang dapat  dibentuk  dari  graf  bipartisi  komplit adalah sebagai berikut:
[
]

## Akan dibuktikan bahwa Berdasarkan teorema 2.1

## 𝐺       𝐺     𝐺
Dimana 𝐺 merupakan  order  dari  graf 𝐺 dari order dari graf , maka diperoleh ( )     ( )
Berdasarkan teorema 2.6 diperoleh
( )
Sehingga di peroleh
( ) ( )

## Untuk lebih menegaskan bahwa
( )
Ambil  matriks  hermite  dengan  pola  sebagai berikut:
[ ] Dengan dan √ Dengan  bantuan  matlab  diperoleh  nullitas  dari matriks . Berdasarkan  teorema  2.1,  teorema  2.6,  dan  pola matriks yang  sudah  didapatkan  maka terbukti bahwa ( ) .
Contoh:

## Gambar 6. Graf
Adapun matriks adjacency dari graf adalah
[ ] Berdasarkan matriks Adjacency dapat dikembangkan  matriks-matriks  Hermite  dari serta  diperoleh  rank  dan  nullitasnya.  Salah  satu kemungkinan    matriks  Hermite  yang  terbentuk dari graf adalah sebagai berikut:
[ ]
Diperoleh ( ) dan ( ) .

## 5. Kesimpulan
Adapun  kesimpulan  yang  didapatkan  pada penelitian ini adalah:
1. Nullitas  maksimum  matriks  Hermite  yang
Mohamad Syafi’i, Darvi Mailisa Putri, Alfit Rahman                                                   Nullitas Maksimum Matriks Hermitian …
digambarkan  graf adalah atau ( ) ;
2. Nullitas  maksimum  matriks  Hermite  yang digambarkan  graf adalah
atau
( ) ; 3. Nullitas  maksimum  matriks  Hermite  yang digambarkan  graf adalah atau
( ) ;
4. Nullitas  maksimum  matriks  Hermite  yang digambarkan  graf adalah atau ( ) ; 5. Nullitas  maksimum  matriks  Hermite  yang digambarkan  graf adalah atau
( ) ;

## 6. Daftar Pustaka
[1] G. Chartrand and L. Lesniak, Graphs and Digraphs , Second Edi. California: a Division of Wadsworth Inc, 1986.
[2] S. Fallat and L. Hogben, “The Minimum Rank of Symmetric Matrices Described by a Graph,” A Surv. Linear Algebr. Its Appl. , vol. 462, no. 2–3, pp. 558–582, 2007, doi: 10.1016/j.laa.2007.05.036.
[3] R. A. M. Makalew, C. E. J. C. Montolalu, and M. L. Mananohas, “Lintasan Hamiltonian pada Graf 4-Connected,” d’CARTESIAN , vol. 9, no. 2, p. 181, 2021, doi: 10.35799/dc.9.2.2020.29735.
[4] S. Lipschutz and M. L. Lipson, Matematika Diskrit . Jakarta: Penerbit Salemba Teknika, 2002.
[5] Abdussakir, N. N. Azizah, and F. F. Nofandika, Teori Graf . Malang: UIN-
Malang Press, 2009.
[6] R. J. Wilson and J. J. Walkins, Graphs an Intoductory Approach: A First Course in Discrete Mathematic . New York: John Wiley & Sons Inc, 1990.
[7] Z. Amri et al. , “Pelabelan harmonis ganjil pada graf 2Sn(C4,n),” vol. 4, no. 1, pp. 87– 91, 2018, doi:
https://doi.org/10.30596/edutech.v4i1.1952
.
[8] H. Anton and C. Rorres, Aljabar Linier Elementer . Jakarta: Erlangga, 2004.
[9] N. Selvia, “Sifat Nilai Eigen Matriks Anti Adjacency Dari Graf Simetrik,” vol. 10, no. 2, pp. 154–161, 2017, doi: http://dx.doi.org/10.30998/faktorexacta.v1 0i2.1284.
[10]  L. Hogben, Handbook of Linier Algebra . Boca Raton: Chapman & hall/CRC Taylor & Francis Group, 2007.
[11]  M. Syafi’i, “Rank Minimum Matriks Hermite,” Fibonacci J. Pendidik. Mat. dan Mat. , vol. 4, no. 2, pp. 97–104, 2018, doi: 10.24853/fbc.4.2.97-104.
[12]  F. Barioli et al. , “On the minimum rank of not necessarily symmetric matrices: A preliminary study,” Electron. J. Linear Algebr. , vol. 18, no. February, pp. 126– 145, 2009, doi: 10.13001/1081-3810.1300.
[13]  E. Vatandoost and K. Nozari, “Maximum nullity and zero forcing number of graphs with rank at most 4,” Cogent Math. Stat. , vol. 5, no. 1, p. 1437668, 2018, doi: 10.1080/23311835.2018.1437668.
[14]  A. T. Mirzaqon and B. Purwoko, “Studi Kepustakaan Mengenai Landasan Teori Dan Praktik Konseling Expressive Writing Library,” J. BK UNESA , vol. 8, no. 1, pp. 1–8, 2017.