BERKALA SAINSTEK 2022 10(3): 133-139 doi: 10.19184/bst.v10i3.24183 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/BST/article/view/24183

## RESEARCH   ARTICLE
On The Modification of Chaos Game Rules on A Square
(Modifikasi Aturan Chaos Game Pada Persegi)
Kosala Dwidja Purnomo * , Anindita Setya Mawarni, Firdaus Ubaidillah Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jember,
Jl. Kalimantan No.37, Jember, Indonesia

## ABSTRACT
Fractal is a collection of geometric patterns found in nature and can also be a mathematical model visualization in which the pattern is repeated on a different scale. The formation of a fractal object can be done with a rule called chaos games. Chaos games explain a dot that moves erratically. On this research there will be random and non-random modification of the chaos game rules on a square. The purpose of this research is to make modifications and get visual results from modifications of the rules random and non-random  chaos  game.  Depictions  of  random  and  non-random  chaos  game  are  carried  out  using  MATLAB  programs. Visualization of the random chaos game rule modification is a new fractal object that has self-similarity. Whereas modifications of the non-random rules by giving a particular sequence in selection a square point result in convergent points at specific coordinates. This is demonstrated by showing the value of the limit from the distance between points that produced by non-random chaos game is zero.
Fraktal adalah kumpulan pola geometris yang terdapat di alam dan dapat juga berupa visualisasi model matematis yang mana pola tersebut diulang dengan skala berbeda. Pembentukan sebuah objek fraktal dapat dilakukan dengan sebuah aturan yang disebut chaos game. Chaos game menjelaskan tentang suatu titik yang bergerak secara tidak teratur. Pada penelitian ini akan dilakukan modifikasi aturan chaos game baik secara random maupun non-random pada bidang persegi. Tujuan penelitian ini adalah untuk melakukan modifikasi dan mendapatkan hasil visual dari modifikasi aturan random maupun non-random chaos game. Penggambaran hasil algoritma random maupun non-random chaos game dilakukan dengan menggunakan program MATLAB. Visualisasi dari modifikasi aturan random chaos game adalah sebuah objek fraktal baru yang memiliki self-similarity. Sedangkan modifikasi aturan non-random dengan memberikan urutan tertentu pada pemilihan titik sudut persegi menghasilkan titik-titik yang konvergen pada suatu koordinat tertentu. Hal ini dibuktikan dengan menunjukkan nilai limit dari jarak antar titik hasil bentukan non-random chaos game adalah nol.
Keywords: Fractal, Chaos Game, Random, Non-random .

## PENDAHULUAN
Fraktal  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Benoit Mandelbrot  pada  tahun  1975,  fraktal  berasal  dari bahasa  latin  “ fractus ”  yang  memiliki  arti  patah,  rusak atau tidak beraturan. Terdapat beberapa contoh objek fraktal  yaitu:  segitiga  Sierpinski, Dragon  curve , Koch snowflake , kurva Hilbert, himpunan Cantor, himpunan Mandelbrot dan Julia [2]. Purnomo [4] memanfaatkan transformasi  affine  pada  segitiga  untuk  membangun segitiga Sierpinski yang merupakan fraktal linier  dan memiliki  sifat self-similarity .  Segitiga  Sierpinski  juga dapat dibangun dengan menggunakan sebuah metode yang disebut chaos game atau permainan acak. Metode ini  dilakukan  dengan  memilih  secara  acak  titik  awal
pada  sebuah  bidang  kemudian  tandai  titik  tengah antara titik awal dengan titik sudut. Langkah tersebut diulangi  sampai  iterasi  tertentu  sehingga  akan dihasilkan  sebaran  titik  pada  bidang.  Visualisasi  dari sebaran titik yang dihasilkan oleh chaos game tersebut dapat digunakan untuk menentukan apakah terbentuk suatu objek fraktal atau tidak. Penggunaan aturan chaos game yang diterapkan pada sebuah segitiga dengan tiga titik  sudut  dan  dilakukan  dengan  beberapa  ribu  kali iterasi  dengan  jarak  titik  hasil  bentukan chaos  game adalah  setengah  dari  titik  sudut,  akan  menghasilkan sebuah  pola  yaitu  segitiga  Sierpinski.  Motif   serupa dengan  segitiga  Sierpinski  yang  terlihat  pada  sebuah persegi  hasil  dari  pengembangan Cantor  set disebut dengan karpet Sierpinski [6].
*) Corresponding author: Kosala Dwidja Purnomo E-mail: kosala.fmipa@unej.ac.id
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …
Menurut Armana [5] agar segitiga Sierpinski dapat dibangun  menggunakan chaos  game ,  jarak  titik  baru hasil  bentukan  metode chaos  game haruslah  setengah dari titik sudut segitiga. Apabila jarak tersebut diubah menjadi  1/3  dari  titik  sudut  segitiga  maka  yang terbentuk  adalah  sebuah  segi  lima  di  bagian  dalam segitiga.  Pola  yang  berbeda  akan  didapatkan  jika mengubah  bidang  yang  diteliti,  namun  tetap menggunakan  aturan chaos  game untuk  pembentukan segitiga  Sierpinski  yakni  dengan  menggunakan pengambilan  jarak  setengah  dari  titik  sudut  yang digunakan  sebagai  titik  acuan.  Devaney  [1] memodifikasi  aturan chaos  game dengan  memberikan enam  titik  awal  yang  membentuk  hexagon  dan mengubah  jarak  antara  titik  sudut  dengan  titik  awal menjadi sepertiga dari titik semula, yang menghasilkan sebuah bentuk fraktal Sierpinski hexagon.
Menurut Yunaning [7] aturan non-random chaos game pada  segitiga  menghasilkan  kumpulan  titik  yang konvergen di titik koordinat tertentu pada titik sudut yang sama. Kekonvergenan titik ditunjukkan dengan melakukan  perhitungan  numerik  dan  perhitungan analitik pada titik-titik yang dihasilkan dari aturan non- random chaos game. Pada penelitian Yunaning dikatakan bahwa objek yang dihasilkan dari penggunaan aturan non-random  chaos  game tidak  membentuk  fraktal. Sedangkan Jeffrey [2], penggambaran aturan chaos game pada empat titik dengan memanfaatkan urutan DNA sebagai  aturan  pemilihan  titik  acuan  menghasilkan sebuah persegi yang diisi dengan banyak titik.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penulis  tertarik  untuk melakukan  penelitian  lebih  lanjut  mengenai  aturan chaos  game .  Penelitian  ini  akan  membahas  modifikasi aturan random dan non-random chaos game pada persegi, serta visualisasi dengan menggunakan MATLAB.

## METODE PENELITIAN
Adapun  langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk menyelesaikan penelitian ini dapat dibagi menjadi dua yaitu  modifikasi  aturan random  chaos  game dan modifikasi  aturan non-random  chaos  game .  Berikut  ini merupakan  algoritma  modifikasi  aturan random  chaos game dengan  tidak  memilih  titik  terakhir  yang  sudah dipilih:
a. Membuat  sebuah  persegi  sebagai  dasarnya  dan memberi label keempat titik sudut persegi.
b. Menentukan sebuah titik di luar, di dalam, maupun pada persegi sebagai titik awal.
c. Menentukan sebuah titik sudut dari persegi yang digunakan sebagai titik acuan pertama dan dicari titik tengah dari titik awal ke titik sudut atau titik acuan tersebut.
d. Ditandai sebuah titik baru yang berjarak setengah dari titik acuan.
e. Ulangi langkah d dengan titik awal adalah titik baru yang  didapat  dari  iterasi  sebelumnya  namun  titik acuan atau titik sudut yang digunakan tidak boleh sama  dengan  titik  sudut  yang  digunakan sebelumnya.
Bagian selanjutnya menjelaskan tentang algoritma non-random chaos game sebagai berikut:
a. Membuat  sebuah  persegi  sebagai  dasarnya  dan memberi  label  keempat  titik  sudut  persegi, misalkan  diberi  label  setiap  titik  sudutnya  secara berurutan  (T 0 ,T 1 ,T 2 ,T 3 ).  Titik  sudut  persegi digunakan sebagai titik acuan.
b. Menentukan sebuah titik di luar, di dalam, maupun pada persegi sebagai titik awal.
c. Menentukan  urutan  titik  sudut  persegi  untuk memulai proses non-random chaos game.
d. Ditentukan  sebuah  titik  baru  yang  berjarak setengah dari titik acuan pertama atau titik sudut pertama dengan titik awal.
e. Ulangi langkah d dengan titik awal adalah titik baru yang  didapat  dari  iterasi  sebelumnya  namun  titik acuan yang digunakan harus sesuai dengan urutan yang  telah  ditentukan.  Misalkan  titik  acuan  awal yang  digunakan  adalah  titik  T 0 ,  kemudian  titik acuan  selanjutnya  dipilih  sesuai  dengan  urutan, yaitu T 1 , kemudian dipilih titik acuan T 2 dan yang terakhir T 3 , kemudian akan berulang kembali lagi pada  titik  acuan  T 0 dan  berjalan  sesuai  dengan urutan hingga iterasi berakhir.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1.  Simulasi  Program  Modifikasi Random  Chaos Game
Pada  Gambar  1,  Gambar  2  dan  Gambar  3 ditunjukkan  hasil  simulasi  aturan random  chaos  game dengan memvariasikan letak titik awal dan titik acuan yang  digunakan  dalam  percobaan.  Iterasi  yang dilakukan  untuk  setiap  percobaan  adalah  sama  yaitu sebanyak  3000  iterasi,  hal  ini  dilakukan  untuk
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …
mempermudah  dalam  membandingkan  hasil  dari setiap percobaan pada iterasi yang sama.
Gambar 1. Titik awal dalam persegi dengan titik sudut T 0 sebagai titik acuan
Gambar 2. Titik awal pada persegi dengan titik sudut T 1 sebagai titik acuan
Gambar 3. Titik awal di luar persegi dengan titik sudut T 2 sebagai titik acuan Melalui hasil simulasi aturan random pada Gambar 1, Gambar 2 dan Gambar 3  ditunjukkan bahwa letak titik awal dan pemilihan titik sudut mana pun sebagai titik acuan pertama tidak memengaruhi titik baru yang dihasilkan  oleh  aturan random  chaos  game. Setiap  titik baru yang dihasilkan oleh aturan random chaos game akan cenderung  berkumpul  dan  berdekatan  terhadap  titik acuan  masing-masing  meskipun  titik  awal  dan  titik acuannya berbeda. Gambar 1 menunjukkan kumpulan titik  hasil  aturan random  chaos  game yang  dibedakan berdasarkan  warna  untuk  masing-masing  titik  sudut sebagai  titik  acuan.  Dapat  terlihat  kumpulan  titik untuk masing-masing titik acuan dari 𝑇 0 , 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 jika dibagi  menjadi  empat  bagian  sesuai  titik  sudutnya, memiliki bentuk atau pola yang sama yang menyerupai sayap  kupu-kupu.  Selain  itu,  pada  setiap  pola  di masing-masing  titik  sudut  terlihat  pola  yang  sama dengan  pola  pada  keseluruhan  persegi 𝑇 0 , 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 dengan perbedaan skala yang lebih besar dari masing- masing  titik  sudut.  Sehingga  dapat  dikatakan  aturan modifikasi random chaos game dengan tidak memilih titik terakhir  yang  sudah  dipilih  menunjukkan  sebuah bentuk fraktal dengan sifat kesamaan dirinya atau self- similarity.
2.  Simulasi  Program  Aturan non-random  Chaos Game
Hasil penggunaan aturan non-random chaos game pada program  Matlab  ditunjukkan  oleh  Gambar  4  dan Gambar 5.
Gambar 4. Titik acuan berurutan 𝑇 0 , 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 dengan titik awal di dalam persegi, iterasi ke-500
Gambar 5. Titik acuan urutan 𝑇 1 , 𝑇 0 , 𝑇 2 , 𝑇 3 dengan titik awal di dalam persegi, iterasi ke-500
Gambar  4  dan  Gambar  5  merupakan  hasil  dari percobaan non-random  chaos  game dengan  perbedaan urutan  titik  acuan  namun  memiliki  iterasi  sama  dan letak titik awal yang sama. Dengan kedua percobaan yang ditunjukkan oleh Gambar 4 dan Gambar 5, dapat dilihat bahwa meskipun pada urutan pengambilan titik acuan  untuk  aturan non-random  chaos  game berbeda tetapi  tetap  memiliki  urutan  yang  telah  ditentukan dengan jelas, hasil yang ditunjukkan adalah sama yaitu kumpulan  titik-titik  yang  saling  berdekatan.  Pada percobaan non-random  chaos  game tidak  dihasilkan sebuah  bentuk  fraktal.  Melalui  beberapa  percobaan yang telah dilakukan, akan didapatkan koordinat titik hasil  dari non-random  chaos  game dengan  urutan  titik acuan  yang  diawali  dari 𝑇 0 kemudian  ke 𝑇 1 , 𝑇 2 , 𝑇 3 . Selanjutnya  akan  diukur  jarak  antar  titik  yang dihasilkan  oleh non-random  chaos  game sesuai  dengan urutan  titik  sudut  sebagai  titik  acuan  yang  telah ditentukan.  Jarak  masing-masing  titik  hasil  bentukan non-random chaos game yang diukur dari titik 𝐴 𝑛 menuju 𝐴 𝑛+4 , dengan titik acuan 𝑇 0 berlaku 𝑛 = 1,5,9,13, … 𝑚 0 , untuk titik acuan 𝑇 1 berlaku 𝑛 = 2,6,10,14, … 𝑚 1 ,
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …
pada  titik  acuan 𝑇 2 berlaku 𝑛 =  3,7,11,15,  … 𝑚 2 , sedangkan pada titik acuan 𝑇 3 berlaku 𝑛 = 4,8,12,16, …
𝑚 3 .  Dalam  hal  ini 𝑛 menyatakan  bilangan  asli  dan 𝑚 𝑖 (𝑖 = 0,1,2,3) adalah  suatu  bilangan  asli  yang memenuhi rumus barisan n pada titik acuan 𝑇 𝑖 . Jarak antara kedua titik tersebut ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1 menunjukkan hasil perhitungan jarak antar titik hasil bentukan non-random chaos game pada masing- masing titik acuan. Pada Tabel 1. ditunjukkan semakin banyak iterasi yang dilakukan pada aturan non-random chaos  game ,  jarak  antar  titik  pada  masing-masing  titik sudut atau titik acuan semakin mendekati 0.

## Tabel 1. Hasil perhitungan jarak
Jarak dua titik di Masing-masing Pemilihan Titik Acuan (Titik Sudut) Titik Acuan
𝐓 𝟎 Titik Acuan 𝐓 𝟏 Titik Acuan 𝐓 𝟐
Titik Acuan 𝐓 𝟑 0.864916 0.432456 0.216229 0.108114 0.054057 0.027029 0.013514 0.006757 0.003379 0.001689 0.000845 0.000422 0.000211 0.000106 0.000053 0.000026 0.000013 0.000007 0.000003 0.000002 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0,000000 0,000000 0.000000 0,000000 0,000000 0,000000 0.000000 0,000000 0,000000 0,000000 0.000000 0,000000
Koordinat  titik  tengah  untuk  masing-masing  titik hasil  dari  non-random  chaos  game  pada  masing- masing titik sudut ditentukan dengan memanfaatkan rumus ( 𝑥 2 +𝑥 1 2 , 𝑦 2 +𝑦 1 2 ) .  Koordinat  titik  tengah bentukan  non-random  chaos  game  akan  digunakan untuk  menentukan  rumus  koordinat  dari  masing-
masing  titik  di  masing-masing  titik  sudut  yang didapatkan sebagai berikut:
1. Titik sudut 𝑇 0 , 𝑛 = 4𝑚 + 1 : 𝑥 𝐴 4𝑚+1 = 𝑥 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 𝑥 1 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+1 𝑦 𝐴 4𝑚+1 = 𝑦 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 𝑦 1 + (2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+1 2. Titik sudut 𝑇 1 , 𝑛 = 4𝑚 + 2 : 𝑥 𝐴 4𝑚+2 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 + (2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+2 𝑦 𝐴 4𝑚+2 = 𝑦 0 + (𝑦 1 + 2𝑦 2 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 + (2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+2 3. Titik sudut 𝑇 2 , 𝑛 = 4𝑚 + 3 :
𝑥 𝐴 4𝑚+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + 2 3 𝑥 4 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 𝑚 𝑖=0 2 4𝑚+3
𝑦 𝐴 4𝑚+3 = 𝑦 0 + (𝑦 1 + 2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 + 2 3 𝑦 4 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+3 4. Titik sudut 𝑇 3 , 𝑛 = 4𝑚 + 4 :
𝑥 𝐴4𝑚+4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 2 4𝑚+4 𝑦 𝐴4𝑚+4 = 𝑦 0 + (𝑦 1 + 2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 2 4𝑚+4
Keempat rumus koordinat titik hasil bentukan non- random  chaos  game pada  masing-masing  titik  sudut dibuktikan  benar  dengan  menggunakan  induksi matematika.  Berikut  akan  dibuktikan  dengan menggunakan  induksi  matematika.  Karena  nilai koordinat 𝑥 dan 𝑦 sama, maka akan dilakukan induksi matematika pada salah satu koordinat yaitu koordinat 𝑥 .
1. Dibuktikan benar untuk 𝑚 = 0 berlaku
a. Titik sudut 𝑇 0 , 𝑛 = 4𝑚 + 1
𝑥 𝐴4𝑚+1 = 𝑥 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 𝑥 1 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑚−1 𝑖=0 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+1
𝑥 𝐴1 = 𝑥 0 + 𝑥 1 2
b. Titik sudut
𝑇 1 , 𝑛 = 4𝑚 + 2
𝑥 𝐴4𝑚+2 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 + ∑ 2 4𝑖+2 𝑚−1 𝑖=0 𝑥 3 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑚−1 𝑖=0 2 4𝑚+2
𝑥 𝐴2 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) 2 2
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …

## c. Titik sudut 𝑇 2 , 𝑛 = 4𝑚 + 3
𝑥 𝐴4𝑚+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑚−1 𝑖=0 𝑚 𝑖=0 2 4𝑚+3
𝑥 𝐴3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 )
2 3 d. Titik sudut 𝑇 3 , 𝑛 = 4𝑚 + 4
𝑥 𝐴4𝑚+4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑚 𝑖=0 2 4𝑚
𝑥 𝐴4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) 2 4 2. Untuk
𝑚 = 𝑎 a. Titik sudut pada 𝑇 0 , 𝑛 = 4𝑎 + 1
𝑥 𝐴4𝑎+1 = 𝑥 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 𝑥 1 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎−1 𝑖=0 𝑎−1 𝑖=0 2 4𝑎+1 b. Titik sudut 𝑇 1 , 𝑛 = 4𝑎 + 2
𝑥 𝐴4𝑎+2 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 + ∑ 2 4𝑖+2 𝑎−1 𝑖=0 𝑥 3 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎−1 𝑖=0 2 4𝑎+2 c. Titik sudut 𝑇 2 , 𝑛 = 4𝑎 + 3
𝑥 𝐴4𝑎+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎−1 𝑖=0 𝑎 𝑖=0 2 4𝑎+3 d. Titik sudut 𝑇 3 , 𝑛 = 4𝑎 + 4
𝑥 𝐴4𝑎+4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 2 4𝑎 3. Untuk 𝑚 = 𝑎 + 1
a. Titik sudut pada 𝑇 0 , 𝑛 = 4(𝑎 + 1) + 1
𝑥 𝐴4(𝑎+1)+1 = 𝑥 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 𝑥 1 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎+1−1 𝑖=0 𝑎+1−1 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+1 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+1 = 𝑥 0 + ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 𝑥 1 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + 2 3 𝑥 4 ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 𝑎 𝑖=0 2 4𝑎+4+1 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+1 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 + 2 4𝑎+4 𝑥 1 𝑎 𝑖=0 2.2 4𝑎+4
𝑥 𝐴1 = 𝑥 1 + 𝑥 𝐴4𝑎+4 2
b. Titik sudut 𝑇 1 , 𝑛 = 4(𝑎 + 1) + 2
𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + ∑ 2 4𝑖+2 𝑎+1−1 𝑖=0 𝑥 3 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎+1−1 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+2 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 0 + 𝑥 1 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + 2𝑥 2 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + ∑ 2 4𝑖+2 𝑎 𝑖=0 𝑥 3 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+2 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 0 + 𝑥 1 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + 2𝑥 2 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + ∑ 2 4𝑖+2 𝑎 𝑖=0 𝑥 3 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+2 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 0 + 𝑥 1 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 + 2 4𝑎+5 𝑥 2 2 4(𝑎+1)+2
𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 0 + 𝑥 1 ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 + (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎 𝑖=0 + 2 4𝑎+5 𝑥 2 (2 4𝑎+5 ). 2 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 = 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+1 + 𝑥 2 2
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …

## c. Titik sudut 𝑇 2 , 𝑛 = 4(𝑎 + 1) + 3
𝑥 𝐴4(𝑎+1)+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎+1−1 𝑖=0 𝑎+1 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+3 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + ∑ 2 4𝑖+3 𝑥 4 𝑎 𝑖=0 𝑎+1 𝑖=0 2 4𝑎+4+3 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+3 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 ) ∑ +2 4𝑖 (2 3 𝑥 4 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + 2 2 . 2 4𝑎+4 𝑥 3 𝑎 𝑖=0 𝑎+1 𝑖=0 2 4𝑎+4+3 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+3 = 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+2 + 𝑥 3 2
d. Titik sudut 𝑇 3 , 𝑛 = 4(𝑎 + 1) + 4
𝑥 𝐴4(𝑎+1)+4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) ∑ 2 4𝑖 𝑎+1 𝑖=0 2 4(𝑎+1)+4 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+4 = 𝑥 0 + (𝑥 1 + 2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 ) ∑ 2 4𝑖 + 2 3 𝑥 4 ∑ 2 4𝑖 + 2 3 . 2 4𝑎+4 𝑥 4 𝑎 𝑖=0 𝑎+1 𝑖=0 2 4𝑎+4+4 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+4 = 𝑥 𝐴4(𝑎+1)+3 + 𝑥 4 2
Dengan demikian, terbukti bahwa rumus koordinat 𝑥 untuk titik hasil bentukan non-random chaos game pada masing-masing  titik  sudut  adalah  benar.  Didapatkan pula  bukti  rumus  koordinat 𝑦 karena  nilai 𝑥 dan 𝑦 sama. Setelah terbukti rumus koordinat 𝑥 dan 𝑦 untuk titik hasil bentukan non-random chaos game pada masing- masing  titik  sudut  adalah  benar,  maka  kemudian dibuktikan kekonvergenan kumpulan titik yang saling berdekatan  pada  masing-masing  titik  sudut  dengan menentukan rumus jarak antar titik .
Titik  sudut 𝑇 0 , 𝑛 = 4𝑚 + 1 ,  rumus  jarak  yang didapat:
|𝐴 4(𝑚−1)+1 𝐴 4𝑚+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅| = √(𝑥 𝐴 4𝑚+1 − 𝑥 𝐴 4(𝑚−1)+1 ) 2 +   (𝑦 𝐴 4𝑚+1 − 𝑦 𝐴 4(𝑚−1)+1 ) 2 = √ ( (1 − 16)𝑥 0 + (2 4𝑚 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 )𝑥 1 +(2 4𝑚−4 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1−1 𝑖=0 )(2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) 2 4𝑚+1 ) 2 + (
(1 − 16)𝑦 0 + (2 4𝑚 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 )𝑦 1 +(2 4𝑚−4 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1−1 𝑖=0 )(2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 ) 2 4𝑚+1 ) 2 Karena (2 4𝑚 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 ) = 1 dan (2 4𝑚−4 −
15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1−1 𝑖=0 ) = 1
yang didapatkan setelah melakukan  pembuktian  menggunakan  induksi matematika. Dalam hal ini akan dibuktikan persamaan yang pertama, yaitu
(2 4𝑚 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 ) = 1 .
Untuk
𝑚 = 2 maka berlaku
(2 4𝑚 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑚−1 𝑖=0 ) =   (2 4(2) − 15 ∑ 2 4𝑖 2−1 𝑖=0 ) = 2 8 − 15 ∑ 2 4𝑖 1 𝑖=0 = 256 − 15(1 + 2 4 ) = 1
Asumsikan  benar  untuk 𝑚 = 𝑘 > 2 ,  yaitu (2 4𝑘 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑘−1 𝑖=0 ) = 1 ,  maka  harus  dibuktikan  juga  benar untuk 𝑚 = 𝑘 + 1 > 2 .
(2 4(𝑘+1) − 15 ∑ 2 4𝑖 (𝑘+1)−1 𝑖=0 ) = (2 4 . 2 4𝑘 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑘−1 𝑖=0 − 15. 2 4𝑘 )
Bagian ruas kanan persamaan terakhir adalah sama dengan (2 4𝑘 − 15 ∑ 2 4𝑖 𝑘−1 𝑖=0 ) dan bernilai 1.
Oleh karena itu, didapat rumus jarak antar titik hasil bentukan non-random chaos game pada titik acuan yaitu titik sudut T 0 adalah:
|𝐴 4(𝑚−1)+1 𝐴 4𝑚+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅| = √ ( (1 − 16)𝑥 0 + 𝑥 1 +   (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 ) 2 4𝑚+1 ) 2 + ( (1 − 16)𝑦 0 + 𝑦 1 +   (2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 ) 2 4𝑚+1 ) 2
Rumus jarak di atas kemudian dicari nilai limitnya untuk menunjukkan bahwa kumpulan titik pada titik sudut 𝑇 0 sebagai  titik  acuan  adalah  konvergen. Berdasarkan teorema kekonvergenan barisan didapat:
Purnomo, On The Modification of Chaos Game …
lim
𝑚→∞ | 𝐴 4 ( 𝑚−1 ) +1 𝐴 4𝑚+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅| = lim 𝑚→∞ 1 √(2 4𝑚+1 ) 2 √ ((1 − 16)𝑥 0 + 𝑥 1 +   (2𝑥 2 + 2 2 𝑥 3 + 2 3 𝑥 4 )) 2 + ((1 − 16)𝑦 0 + 𝑦 1 +   (2𝑦 2 + 2 2 𝑦 3 + 2 3 𝑦 4 )) 2
Dibuktikan lim 𝑚→∞ 1 √(2 4𝑚+1 ) 2 konvergen  berdasarkan Akibat dari teorema kekonvergenan barisan, sehingga
1 √(2 4𝑚+1 ) 2 = 1 (2 4𝑚+1 ) = 1 (2 4𝑚 ) ( 1 2 )

## Sehingga
lim 𝑚→∞ 1 (2 4𝑚 ) =   lim 𝑚→∞ (( 1 2 ) 𝑚 ) 4 = 0
Didapat  nilai lim 𝑚→∞ |𝐴 4(𝑚−1)+1 𝐴 4𝑚+1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅| adalah  0, maka  rumus  tersebut  dapat  dinyatakan  konvergen. Sehingga  benar  bahwa  kumpulan  titik  yang merupakan hasil dari non-random chaos game dengan titik  sudut 𝑇 0 sebagai  titik  acuan  akan  konvergen  di suatu koordinat tertentu. Untuk jarak antar titik hasil bentukan  non-random  chaos  game  pada  masing- masing titik sudut dilakukan langkah pembuktian yang sama

## KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan  bahwa  penggunaan  aturan non-random chaos  game dengan  memberikan  urutan  tertentu  pada titik  sudut  sebagai  titik  acuan  yang  digunakan  pada persegi  tidak  menunjukkan  suatu  bentuk  fraktal, namun  menghasilkan  kumpulan  titik  pada  masing- masing titik sudut sebagai titik acuan yang konvergen ke suatu koordinat tertentu. Modifikasi aturan random chaos  game dengan  tidak  memilih  titik  sudut  terakhir yang telah dipilih sebagai titik acuan selanjutnya dalam persegi  menunjukkan  sebuah  bentuk  fraktal  dengan sifat self-similarity atau  kesamaan  diri  yang  telah diperlihatkan oleh program MATLAB.
Modifikasi aturan random dan non-random chaos game dengan  memanfaatkan  keempat  titik  sudut  pada persegi serta aturan pemilihan titik sudut sebagai titik acuan  telah  dilakukan  dengan  didapatkan  salah  satu aturan  yang  diterapkan  menunjukkan  bentuk  fraktal. Penelitian  selanjutnya diharapkan dapat menemukan suatu  bentuk  fraktal  menggunakan chaos  game pada persegi  dengan  mengubah  jarak  antara  titik  acuan dengan  titik  awal  atau  dengan  mengubah  aturan pemilihan titik sudut.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  R.L.  Devaney,  Fractal  Patterns  and  Chaos  Game .
Boston:  Department  of   Mathematics  Boston University, 2003.
[2]  H.J  Jeffrey,  Chaos  Game  Representation  of   Gene Structure . USA:  Nothern  Illinois  University,  Vol.  18 No. 8, 1990.
[3]  B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of  Nature . New York: W.H. Freeman and Company, 1983.
[4]  K.D.  Purnomo,  Algoritma  Pembangkitan  Segitiga Sierpinski dengan L-System. Prosiding Seminar Nasional Matematika,  Jurusan  Matematika  FMIPA  Universitas Jember, 2014.
[5]  K.D.  Purnomo,  R.F.  Armana,  and  Kusno.  Kajian Pembentukan Segitiga Sierpinski Pada Masalah Chaos Game dengan  Memanfatkan  Transformasi  Affine. Jurnal  Matematika. Jember:  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Udayana, 2016.
[6]  J. Sampurno, and D. F. Irfana, Metode Analisis Fraktal. Yogyakarta: Deepublish, 2016.
[7]  F. Yunaning, K.D. Purnomo, and F. Ubaidillah. Aturan Non-Random  Chaos  Game pada  Segitiga.  Jember: Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Jember, 2018.