## Model Matriks Leslie dengan Strategi Pemanenan pada Kelompok Umur Termuda pada Angka Kesuburan dan Harapan Hidup Populasi Domba Betina

## Dewi Anggreini
Program Studi Matematika; STKIP PGRI Tulungagung, Jl. Mayor Sujadi Timur No.7 Plosokandang, Tulungagung, Jawa Timur Indonesia
Korespondensi; Email: anggreini_004@yahoo.com

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  Menentukan  nilai  eigen  positif  dan  vektor  eigen  pada  matriks  Leslie  dengan pemanenan  pada  kelompok  umur  termuda  ( Harvesting  the  youngest  class )  dan  Mengetahui  kebijaksanaan pemanenan dari masing-masing kelompok umur populasi domba betina saat pemanenan tiap tahun. Metode riset yang  digunakan    pada  Tahap  pertama  adalah  menentukan  subjek  penelitian  dan  Tahap  Kedua  adalah  (1) mengumpulkan data penelitian (2) analisis data menggunakan apliaksi MAPLE dan terakhir menarik kesimpulan. Data penelitian ini diperoleh dari sekunder yaitu pertumbuhan populasi domba betina dalam periode 1 tahun yang populasinya dibagi menjadi 12 interval umur berdasarkan angka kesuburan dan harapan hidup.  Parameter yang digunakan adalah nilai eigen dan vektor eigen matriks Leslie dengan pemanenan pada kelompok umur termuda. Hasil  peneltian  menunjukkan  bahwa  Nilai  eigen  positif  pada  matriks  Leslie  dengan  pemanenan  berdasarkan perhitungan aplikasi MAPLE adalah sebesar 𝝀 𝟏 = 1,177., Diperoleh Vektor eigen matriks Leslie dengan pemanenan pada kelompok umur termuda pada masing-masing interval umur. Kebijaksanaan pemanenan dari masing-masing kelompok  umur  populasi  domba  betina  saat  pemanenan  tiap  tahun  adalah  sebesar  17,9%.  Jadi,  kebijaksanaan pemanenan kelompok umur yang termuda adalah sebesar 17,9% yaitu 179 ekor setiap tahun dari 1000 populasi domba betina.
Kata Kunci Model pemanenan matriks Leslie; nilai eigen; vektor eigen; tingkat kesuburan; harapan hidup

## Abstract
This study aims to determine the positive eigenvalues and eigenvectors of Leslie matrix by harvesting in the youngest age group (Harvesting the youngest class) and know the harvesting policy of each age group of sheep population at harvest each year. The research method used in the first phase is to determine the subject of research and Phase Two is (1) to collect research data (2) data analysis using MAPLE application and last draw conclusion. The data of this  study  were  obtained  from  the  secondary  growth  of  female  sheep  population  in  a  period  of  1  year  whose population was divided into 12 age intervals based on fertility rate and life expectancy. The parameters used were eigenvalues and eigenvectors of Leslie matrix with harvesting in the youngest age group. The result of the research shows that the positive eigenvalue of Leslie matrix by harvesting based on MAPLE application calculation is equal to 𝝀 𝟏 = 1,177, obtained by Leslie matrix eigenvector by harvesting in the youngest age group at each age interval. The harvesting policy of each age group of female sheep population at harvesting each year is 17.9%. Thus, the policy of harvesting the youngest age group is 17.9% of 179 tails per year from 1000 female sheep populations.
Keywords Leslie matrix model; eigen values; eigen vectors; fertility rate; life expectancy

## Pendahuluan
Salah  satu  model  yang  digunakan  oleh  para  ahli  kependudukan  untuk  menjelaskan  pertumbuhan populasi  adalah  model  Leslie.  Dimana  model  tersebut  menggunakan  pendekatan  matematika  yaitu matriks. Populasi betina merupakan populasi yang digunakan dalam perhitungan matriks Leslie. Faktor- faktor  yang  digunakan  pada  perhitungan  dengan  matriks  Leslie  adalah  tingkat  kesuburan,  harapan hidup dan batas hidup populasi betina.
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia real dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia real ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai “Model Matematika. Secara sederhana Candra (2012, hal.14) menjelaskan model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu konstruksi matematis yang didesain untuk mempelajari suatu fenomena tertentu di dunia nyata.
Dalam penelitian ini matriks Leslie diaplikasikan dalam bidang peternakan yaitu untuk menghitung pemanenan populasi hewan yaitu populasi domba betina ( Ovis aries betina). Pemanenan (Harvesting) dalam penelitian ini adalah tidak diartikan sebagai “pemotongan hewan”, tetapi pengambilan hewan dari populasi domba betina. Pemanenan populasi domba betina mengacu dengan yang disebut sebagai kebijaksanaan  pemanenan  yang  dapat  dibenarkan  ( sustainable  harvesting  policies).  Kebijaksanaan pemanenan  sangat  penting  dalam  bidang  peternakan  populasi  domba  yaitu  dapat  memberikan keuntungan maksimum dan berkelanjutan (tidak terjadi kepunahan dari populasi domba betina yang dipanen).
Dalam penelitian ini strategi pemanenan yang digunakan adalah pemanenan pada kelompok umur termuda  ( Harvesting  the  youngest  class)  karena  diterapkan  pada  populasi  domba  betina  di  suatu peternakan yang mudah dibedakan berdasarkan spesifikasi umur dalam menangkapnya. Sehingga hanya kelompok umur termuda saja yang akan diambil atau digunakan dalam setiap panen untuk menghindari kepunahan hewan. Domba dipelihara untuk diambil daging, susu dan bulunya. Dalam hal pembenihan, peternak lebih memilih domba yang masih muda daripada domba dewasa. Domba muda lebih murah dan mudah dalam perawatannya. Hal ini yang mendasari para peternak untuk mengambil sebagian dari populasi termuda untuk dipanen (dijual) sebagai benih.
Rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana menentukan nilai eigen positif dan vektor eigen  pada  matriks  Leslie  dengan  pemanenan  pada  kelompok  umur  termuda  serta  bagaimana mengetahui kebijaksanaan pemanenan dari masing-masing kelompok umur populasi domba betina saat pemanenan tiap tahun. Adapun tujuan penelitian ini adalah pertama, menentukan nilai eigen positif pada matriks Leslie dengan pemanenan. Kedua, menentukan vektor eigen dari nilai eigen positif pada matriks Leslie dengan pemanenan pada kelompok umur termuda. Ketiga, mengetahui kebijaksanaan pemanenan dari masing-masing kelompok umur populasi domba betina saat pemanenan tiap tahun.

## Landasan Teori
Terdapat  beberapa  penelitian  tentang  matriks  Leslie  yaitu  penelitian  Lestari  (2009).  Hasil  penelitian adalah model populasi berdasar kelompok umur merupakan model untuk memprediksi jumlah populasi diwaktu yang akan datang berdasarkan kelompok umur. Penelitian Corazon, Nurul, H dan Yusienta, M  (2016),  diperoleh  hasil  jumlah  populasi  perempuan  di  Provinsi  Riau  cenderung  mengalami peningkatan. Hasil penelitian Pratama, Prihandono dan Kusumastuti (2013) menggunakan matrik Leslie untuk mencari nilai eigen yang dominan dengan beberapa faktor yang berpengaruh dalam pertumbuhan populasi. Hasil penelitian Yuliani, Selvia, B.V, Rahayu, dan Mashuri (2012) yaitu untuk mendapatkan bibit  ungggul  pada  tanaman  dan  hewan  ternak,  perlu  dilakukan  seleksi  genetik,  sifat-sifat  yang diinginkan pada varietas unggul diseleksi dari beberapa generasi.

## Matriks
Kariadinata  (2013,  hal.11)  menjelaskan  matriks  adalah  susunan  sekelompok  bilangan  dalam  suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom, dan diletakkan diantara dua tanda kurung. Sedangkan menurut Anton (2004, hal.23) sebuah matriks dengan 𝑛 baris dan 𝑛 kolom dinamakan matriks kuadrat berorde 𝑛 ( square matriks of orde n), dan entri-entri 𝑎 11 , 𝑎 22 , … , 𝑎 𝑛𝑛 dikatakan berada pada diagonal utama dari 𝐴 .

## Invers Matriks
Menurut Kariadinata (2013, hal.115) jika 𝐴 adalah suatu matriks bujur sangkar (matriks kuadrat) dan kita dapat mencari matriks 𝐵 sehingga 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴 = 𝐼 , maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan 𝐵 dinamakan invers dari 𝐴 .

## Matriks Elementer
Menurut Anton (2004, hal.56) suatu matriks 𝑛 × 𝑛 dinamakan matriks elementer ( elementary matrix) jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) 𝐼 𝑛 𝑛  ×  𝑛 dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya juga merupakan matriks elementer.
Determinan Menurut  Kariadinata  (2014,  hal.  146)  misalkan 𝐴 adalah  matriks  bujur  sangkar.  Fungsi  determinan dinyatakan dengan det dan det(𝐴) didefinisikan sebaagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda 𝐴. Angka det (𝐴) disebut determinan 𝐴.

## Kombinasi Linear
Definisi Anton (2004, hal.145) menyebutkan sebuah vektor 𝒘 dinamakan kombinasi linear dari vektor- vektor 𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐 , . . . , 𝒗 𝒓 jika  vektor  tersebut  dapat  diungkapkan  dalam  bentuk 𝒘 = 𝒌 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒌 𝟐 𝒗 𝟐 + . . . + 𝒌 𝒓 𝒗 𝒓 , dengan 𝑘 1 , 𝑘 2 , . . . , 𝑘 𝑟 adalah skalar.
Definisi 2.3 (Anton, 2004, hal.146) Jika 𝑣 1 , 𝑣 2 , . . . , 𝑣 𝑟 adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-masing vektor pada 𝑉 dapat  dinyatakan  sebagai  kombinasi  linear 𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐 , . . . , 𝒗 𝒓 maka  dikatakan  bahwa  vektor-vektor  ini merentang 𝑉 .
Kebebasan Linear Definisi 2.4 (Anton, 2004, hal.249) Jika 𝑆 = {𝒗 𝟏 , 𝒗 𝟐 , . . . , 𝒗 𝒓 } adalah himpunan takkosong vektor-vektor, maka persamaan vektor 𝒌 𝟏 𝒗 𝟏 + 𝒌 𝟐 𝒗 𝟐 + . . . + 𝒌 𝒓 𝒗 𝒓 =  0 mempunyai paling sedikit satu solusi, yakni 𝑘 1 = 0, 𝑘 2 = 0, . . . , 𝑘 𝑟 = 0 . Jika ini adalah satu-satunya solusi, maka 𝑆 dinamakan himpunan bebas linear ( linearly independent). Jika terdapat solusi-solusi lain, maka 𝑆 disebut sebagai himpunan tak bebas linear ( linearly dependent).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Menurut Kariadinata (2013, hal.209) jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 , maka vektor tak nol x pada 𝑅 𝑛 dinamakan vektor eigen ( eigenvector) dari 𝐴 jika 𝐴𝐱 adalah kelipatan skalar dari x; yakni, 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 untuk skalar sebarang 𝜆 . Skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen ( eigenvalue) dari 𝐴 dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 . Untuk mencari nilai eigen matriks 𝐴 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 maka 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 dapat ditulis ulang sebagai 𝐴𝐱 = 𝜆𝐼𝐱 atau ekuivalen dengan (𝜆𝐼 − 𝐴)x = 0 . Agar  menjadi nilai eigen, harus ada solusi tak nol dari persamaan (𝜆𝐼 − 𝐴)x = 0 , yang diperoleh jika dan hanya jika 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 .

## Bahan dan Metode
Rancangan Penelitian Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif. Menurut Sugiyono (2017, hal.9)  metode  penelitian  kualitatif  adalah  metode  penelitian  yang  berlandaskan  pada  filsafat postpositivisme, digunakan untuk meneliti pada kondisi objek yang alamiah, dimana peneliti sebagai instrument  kunci,  teknik  pengumpulan  data  dilakukan  secara  triangulasi  (gabungan),  analisis  data bersifat induktif/kualitatif, dan hasil penelitian kualitatif lebih menekankan makna daripada generalisasi. Jenis penelitian ini termasuk penelitian Deskriptif. Sedangkan bentuk rancangan penelitian ini adalah Grounded Theory (teoretisasi data). Creswell (2017, hal.19) menyebutkan grounded theory merupakan rancangan penelitian yang didalamnya peneliti memperoleh teori umum dan abstrak dari suatu proses, aksi, atau interaksi, tertentu yang berasal dari pandangan-pandangan partisipan. Perlakuan yang akan diberikan terhadap data yaitu penerapan teori matrik Leslie dengan pemanenan pada kelompok umur termuda  ( harvesting  the  youngest  class)  pada  populasi  domba  betina  berbasis  sistem  aplikasi menggunakan MAPLE.

## Sampel Sumber Data dan Sampling Penelitian
Adapun sampel dalam penelitian ini adalah populasi domba peliharaan ( Ovis aries betina) berdasarkan interval  kesuburan  dan  harapan  hidup.  Dalam  mengambil  data  penelitian  menggunakan  teknik purposive sampling. Moleong (2014, hal.224) menjelaskan pada penelitian kualitatif tidak ada sampel acak, tetapi sampel bertujuan ( purposive sample) yang bertujuan untuk merinci kekhususan yang ada dalam ramuan konteks yang unik dan menggali informasi yang akan menjadi dasar dari rancangan dan teori yang muncul.

## Tahapan Penelitian
Metode  riset  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  yaitu:  Tahap  pertama  adalah  menentukan  subjek penelitian,  adapun  subjek  penelitiannya  adalah  populasi  domba  peliharaan  ( Ovis  aries  betina)  dan Tahap  Kedua  adalah  (1)  mengumpulkan  data  penelitian  (2)  analisis  data  dan  terakhir  menarik kesimpulan.
a) Tahap Persiapan
Menyusun  metode  penelitian  meliputi:  1)  Menentukan  subjek  penelitian  (periode  pertumbuhan populasi  domba  betina  pada  angka  Kesuburan  dan  harapan  hidup  selama  satu  tahun)  2) Mengumpulkan data penelitian (data sekunder dari buku-buku, jurnal dan hasil penelitian yang relevan). 3) Analisis data dan terakhir menarik kesimpulan.
b) Teknik Pengumpulan Data
Data yang  digunakan dalam penelitian adalah data sekunder.  Data sekunder dikumpulkan dari berbagai sumber tertulis seperti buku-buku Aljabar Linear dan teori matriks beserta penerapannya, jurnal  penelitian,  dokumen-dokumen  pendukung  dan  laporan  penelitian  yang  relevan  dengan penelitian ini.
c) Tahap Analisis dan Pelaporan
Langkah-langkah  yang  digunakan  dalam  menganalisis  bentuk  dan  model  penelitian  ini  adalah sebagai  berikut: pertama,  Pengecekan ulang data  yang  telah terkumpul (kelengkapan &validitas data). Kedua, Data direduksi untuk dipilah yang akan dijadikan fokus analisis. Ketiga, Melakukan analisis data dengan mensubstitusikan nilai ai dan bi untuk membentuk matriks Leslie. Keempat, Data yang telah terkumpul di- entry (input process) ke dalam komputer. Kelima, menyusun laporan penelitian dan olahan data melalui aplikasi MAPLE 16.

## Rencana Pengujian Keabsahan Data
Dalam  penelitian  ini  pengujian  kredibilitas  data  menggunakan  peningkatan  ketekunan.  Ketekunan pengamatan bermaksud menemukan ciri-ciri dan unsur-unsur dalam situasi yang sangat relevan dengan persoalan atau isu yang sedang dicari dan kemudian memusatkan diri pada hal-hal tersebut secara rinci. Meningkatkan ketekunan dalam penelitian ini adalah dengan cara membaca referensi buku yang berkaitan dengan matriks dan buku pemodelan matematika. Jurnal-jurnal yang berkaitan dengan matriks leslie yang relevan serta dokumentasi-dokumentasi yang terkait dengan temuan yang diteliti.
Teknik Analisis Data Teknik analisis data dalam penelitian ini yaitu pertama, Mensubtitusikan nilai ai (tingkat kesuburan populasi domba betina) dan 𝑏 𝑖 (angka harapan hidup populasi domba betina) kedalam model matriks Leslie. Kedua, mencari nilai eigen 𝜆 1 yang positif pada model matriks Leslie. Menentukan vektor eigen 𝑥 1 dari  nilai  eigen  yang  positif.  Ketiga,  Menentukan  banyaknya  bagian  pemanenan  populasi  domba betina dengan rumus ℎ = 1 − ( 1 𝜆 1 ) . Selanjutnya, diketahui banyaknya populasi domba betina betina untuk jangka waktu yang akan datang dan vektor distribusi umur populasi setelah pemanenan.

## Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai pertumbuhan populasi menurut kelompok umur.

## Model Matriks Leslie Dalam Pertumbuhan Populasi
Dalam  model  Leslie,  betina  atau  betina  dibagi  atas  kelompok  umur  yang  kurun  waktunya    sama. Secara  spesifik,  misalkan  umur  maksimum  yang  dicapai  oleh  sebarang  betina  atau  betina  didalam populasi itu adalah 𝑀 tahun (atau dinyatakan dalam satuan waktu yang lain) dan kemudian populasi itu dibagi atas 𝑛 kelompok umur. Maka kurun waktu dalam setiap kelompok 𝑀/𝑛 tahun. Misalnya  diketahui  banyaknya  betina  dalam  setiap  kelompok  dari  ke- n  kelompok  tersebut  pada waktu 𝑡 = 0 . Khususnya, misalkan, ada 𝑥 1 (0) betina dalam kelompok pertama, 𝑥 2 (0) betina didalam kelopok  kedua, 𝑥 3 (0) betina  di  dalam  kelompok  ketiga,  dan  seterusnya.  Dengan  bilangan  ke- n  ini akan dibentuk sebuah vektor kolom 𝐱 (0) yaitu:
𝐱 (0) = [ 𝑥 1 (0) 𝑥 2 (0) ⋮ 𝑥 𝑛 (0) ]
vektor ini dinamakan vektor distribusi umur mula-mula ( initial age distribution vektor).

## Parameter Dalam Model Matriks Leslie
Proses kelahiran dan proses kematian diantara dua waktu pengamatan yang berturutan dapat dijelaskan dengan menggunakan parameter-parameter demografis berikut:
Tabel 1. Parameter dalam model Matriks Leslie.
𝑎 𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Jumlah rata-rata dari anak perempuan yang dilahirkan oleh seorang betina selama dia berada dalam kelompok umur ke- 𝑖 .
𝑏 𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 2 Banyaknya betina dalam  kelompok  umur  ke- 𝑖 yang  dapat diharapkan  masih  hidup dan sampai ke kelompok umur ke- (𝑖 + 1) .
Berdasarkan definisinya, maka akan diperoleh bahwa (i) 𝑎 𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan (ii) 0 < 𝑏 𝑖 . Setiap kelompok umur di mana nilai 𝑎 𝑖 yang bersangkutan adalah positif dinamakan kelompok umur subur  ( fertile  age  class).  Selanjutnya  akan  didefinisikan  vektor  distribusi  umur 𝐱 (𝑘) pada  waktu 𝑡 𝑘 dengan
𝐱 (𝑘) = [ 𝑥 1 (𝑘) 𝑥 2 (𝑘) ⋮ 𝑥 𝑛 (𝑘) ]
di mana 𝑥 1 (𝑘) adalah banyaknya betina atau betina dalam kelompok umur ke- 𝑖 pada waktu 𝑡 𝑘 . Pada waktu 𝑡 𝑘 ,  betina-betina  dalam  kelompok  umur pertama  adalah  puteri  dari  betina-betina  yang  lahir diantara waktu 𝑡 𝑘−1 dan waktu 𝑡 𝑘 . Secara matematis ditulis
𝑥 1 (𝑘) = 𝑎 1 𝑥 1 ( 𝑘−1 ) + 𝑎 2 𝑥 2 ( 𝑘−1 ) + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ( 𝑘−1 ) (1)
Banyaknya  betina  dalam  kelompok  umur  ke- (𝑖 + 1) (𝑖 = 1, 2, . . . , 1  n ) pada  waktu 𝑡 𝑘 adalah betina dalam kelompok ke- 𝑖 pada waktu 𝑡 𝑘−1 yang masih hidup pada waktu 𝑡 𝑘 . secara matematis,
𝑥 𝑖+1 (𝑘) = 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 (𝑘−1) , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1 (2)
Dengan menggunakan notasi matriks, persamaan (1) dan (2) dapat dituliskan dalam bentuk
[ 𝑥 1 (𝑘) 𝑥 2 (𝑘) 𝑥 3 (𝑘) ⋮ 𝑥 𝑛 (𝑘) ] = [ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 𝑏 1 0 0 ⋯ 0 0 0 𝑏 2 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑛−1 0 ] [ 𝑥 1 (𝑘−1) 𝑥 2 (𝑘−1) 𝑥 3 (𝑘−1) ⋮ 𝑥 𝑛 (𝑘−1) ]
Secara lebih ringkas
𝐱 (𝑘) = 𝐿𝐱 (𝑘−1) , dengan 𝑘 = 1,2, … (3)
Di mana 𝐿 adalah matriks Leslie .
Akan diberikan teorema-teorema yang berkaitan dengan matriks Leslie, sebagai berikut:
Teorema 1. Sebuah matriks Leslie 𝐿 mempunyai sebuah nilai eigen positif yang unik 𝜆 1 . Nilai eigen ini mempunyai multiplisitas 1 dan mempunyai sebuah vektor eigen 𝐱 1 yang semua entrinya adalah positif.
Teorema 2. Jika 𝜆 1 adalah nilai eigen positif yang unik dari sebuah matriks Leslie 𝐿 dan jika 𝜆 𝑖 adalah sebarang nilai eigen riil atau kompleks dari 𝐿 , maka |𝜆 𝑘 | ≤ 𝜆 1 .
Teorema 3. Jika dua entri yang berturutan 𝑎 𝑖 dan 𝑎 𝑖+1 dalam baris pertama dari sebuah matriks Leslie 𝐿 tidak sama dengan nol maka nilai eigen positif dari 𝐿 adalah dominan. Disebut nilai eigen yang dominan jika |𝜆 𝑘 | < 𝜆 1 tidak boleh |𝜆 𝑘 | = 𝜆 1 .
Model Pemanenan Populasi Hewan ( Harvesting of Animal Population Models) Dalam penelitian ini pemanenan ( harvesting) adalah pengambilan hewan dari suatu populasi. Penelitian ini  dibatasi  dengan  yang  dinamakan  kebijaksanaan  pemanenan  yang  dapat  dibenarkan  ( sustainable harvesting policies). Dalam penelitian yang dimaksudkan adalah sebagai berikut:
Definisi  1.  Suatu  kebijaksanaan  pemanenan  didalam  mana  suatu  populasi  hewan  secara  periodik dipanen  dikatakan  sebagai  yang  dapat  dibenarkan  jika  hasil  dari  setiap  panen  adalah  sama  dan distribusi umur dari populasi yang masih tersisa setelah setiap panen adalah sama. Jadi populasi hewan itu tidak akan habis oleh kebijaksanaan pemanenan yang dapat dibenarkan hanya pertumbuhan yang lebih yang akan dimanfaatkan.
Model Pemanenan
Populasi  domba  betina  mengalami  periode  pertumbuhan  yang  akan  dijelaskan  oleh  matriks  Leslie. Untuk menjelaskan model pemanenan ini secara matematis, misalkan
x = [ 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 ]
Adalah vektor distribusi umur dari populasi pada  permulaan periode  pertumbuhan tersebut. Jadi 𝑥 𝑖 adalah banyaknya betina dalam kelompok ke- 𝑖 yang dibiarkan tak dipanen. Misalnya, jika populasi itu dipanen sekali setahun, maka populasi itu harus dibagi atas kelompok-kelompok umur satu tahun. Jika 𝐿 adalah  matriks  Leslie  yang  menjelaskan  pertumbuhan  populasi  itu,  maka  vektor 𝐿𝑥 adalah vektor  distribusi  umur  dari  populasi  itu  pada  akhir  periode  pertumbuhan,  segera  sebelum  panen
periodik tersebut. Misalkan hi, untuk 𝑖 = 1,2, … . , 𝑛 adalah banyaknya bagian betina dari kelompok 𝑖 yang dipanen. Bilangan ke 𝑛 ini digunakan untuk membentuk matriks diagonal 𝑛  ×  𝑛
𝐻 = [ ℎ 1 0 0 ⋯ 0 0 ℎ 2 0 ⋯ 0 0 0 ℎ 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ ℎ 𝑛 ]
Yang dinamakan matriks pemanenan ( harvesting matrix). Menurut definisi diperoleh 0 ≤ ℎ𝑖 ≤ 1,   𝑖 = 1,2, … , 𝑛 .
Jika tidak dapat memanen apapun (ℎ𝑖 = 0) jika dapat memanen semuanya maka (ℎ𝑖 = 1) , jika dapat memanen sejumlah bagian tertentu (0 < ℎ𝑖 < 1) dari setiap kelompok dari ke-n kelompok tersebut. Karena banyaknya betina dalam kelas ke- 𝑖 segera sebelum setiap panen adalah entri ke- 𝑖 dari vektor 𝐿𝑥 , yakni (𝐿𝑥) 𝑖 maka dapat dilihat bahwa entri ke- 𝑖 dari vektor kolom
𝐻𝐿x = [ ℎ 1 (𝐿𝑥) 1 ℎ 1 (𝐿𝑥) 2 ⋮ ℎ 1 (𝐿𝑥) 𝑛 ]
Adalah banyaknya betina yang dipanen dari kelompok ke- 𝑖 . Dari definisi kebijaksanaan pemanenan yang dapat dibenarkan, maka diperoleh
[ distribusi umur pada akhir
periode pertumbuhan ] − [panen] = [ distribusi umur pada permulaan periode pertumbuhan ]
Atau secara matematis,
𝐿𝑥 − 𝐻𝐿𝑥 = 𝑥 (4) Persamaan (4) dapat ditulis dalam bentuk (1 − 𝐻)𝐿𝐱 = 𝐱 (5)
Dapat dilihat bahwa 𝑥 harus merupakan sebuah vektor eigen dari matriks (1 − 𝐻)𝐿 yang bersesuaian dengan nilai eigen satu. Persamaan ini menempatkan kendala tersebut pada nilai ℎ𝑖 dan nilai x. Misalkan matriks Leslie dari populasi itu adalah
𝐿 = [ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 ⋯ 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛 𝑏 1 0 0 ⋯ 0 0 0 𝑏 2 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 𝑏 𝑛−1 0 ]
(𝐼 − ℎ)𝐿 =
[ (1 − ℎ 1 )𝑎 1 (1 − ℎ 1 )𝑎 2 (1 − ℎ 1 )𝑎 3 ⋯ (1 − ℎ 1 )𝑎 𝑛−1 (1 − ℎ 1 )𝑎 𝑛
(1 − ℎ 2 )𝑏 1 0 0 ⋯ 0 0 0 (1 − ℎ 3 )𝑏 2 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ (1 − ℎ 𝑛 )𝑏 𝑛−1 0 ]
Jadi (1 − ℎ)𝐿 adalah matriks yang mempunyai bentuk yang sama seperti matriks Leslie. Syarat perlu dan cukup supaya matriks Leslie mempunyai nilai eigen sebesar satu adalah bahwa laju reproduksi netttonya adalah juga sebesar satu. Selanjutnya akan dihittung laju reproduksi nettonya dari (1 − ℎ)𝐿 . Nilai eigen dari (1 − ℎ)𝐿 adalah akar-akar dari persamaan karakteristik 𝑟(𝜆) = 0 . 𝑟(𝜆) = |𝜆𝐼 − (𝐼 − ℎ)𝐿|
𝑟(𝜆) =
[ 𝜆𝐼 − (1 − ℎ 1 )𝑎 1 −(1 − ℎ 1 )𝑎 2 ⋯ −(1 − ℎ 1 )𝑎 𝑛−1 −(1 − ℎ 1 )𝑎 𝑛 −(1 − ℎ 2 )𝑏 1 𝜆 ⋯ 0 0 0 −(1 − ℎ 3 )𝑏 2 ⋯ 0 0
⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ −(1 − ℎ 𝑛 )𝑏 𝑛−1 𝜆 ]
Laju reproduksi netto dari ( 𝐼 − ℎ)𝐿 adalah
(1 − ℎ 1 )[𝑎 1 + 𝑎 2 𝑏 1 (1 − ℎ 2 ) +   𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 (1 − ℎ 2 )(1 − ℎ 3 ) + ⋯  + 𝑎 𝑛 𝑏 1 𝑏 2 ⋯     𝑏 𝑛−1 (1 − ℎ 2 ) ⋯ (1 − ℎ 𝑛 )] = 1 (6)
Persamaan (6) menempatkan sebuah kendala pada banyaknya bagian pemanenan yang diperbolehkan, dimana hanya nilai-nilai ℎ 1 , ℎ 2 , … . ℎ 𝑛 yang memenuhi persamaan (6) dan terletak dalam interval [0,1] yang  dapat  menghasilkan  hasil  yang  dapat  dibenarkan,  jika ℎ 1 , ℎ 2 , … . ℎ 𝑛 memenuhi  persamaan  (6) maka matriks (𝐼 − ℎ)𝐿 akan mempunyai nilai eigen 𝜆 1 = 1 . Karena 𝜆 1 = 1 maka
𝑥 1 = [ 1 𝑏 1 (1 − ℎ 2 ) 𝑏 1 𝑏 2 (1 − ℎ 2 )(1 − ℎ 3 ) ⋮ 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛−1 (1 − ℎ 2 )(1 − ℎ 3 ) … (1 − ℎ 𝑛 )]
Vektor 𝑥 𝑖 akan menentukan peluang betina yang dibiarkan atau tidak dipanen dalam suatu pemanenan.
Pemanenan Yang Merata ( Uniform Harvesting)
Dengan banyaknya populasi maka akan sukar membedakan mana yang umurnya spesifik. Jika hewan dipanen secara  acak,  maka  secara  acak dapat  dianggap bahwa  banyaknya  bagian yang  sama  dari setiap kelompok umur telah dipanen. Oleh karena itu ditetapkan bahwa ℎ = ℎ 1 = ℎ 2 = ⋯ = ℎ 𝑛 . Akan direduksi persamaan (1 − ℎ)𝐿𝐱 = 𝐱 . Karena ℎ = ℎ 1 maka 𝐿𝐱 = ( 1 1−ℎ ) 𝐱 . Jadi 1 1−ℎ harus merupakan nilai  eigen  positif 𝜆 1 yang  tunggal  dari  matriks  pertumbuhan  Leslie L  tersebut  yaitu 𝜆 1 = 1 1−ℎ .
Selanjutnya akan diselesaikan untuk mendapatlan peluang pemanenan ℎ
(1 − ℎ 1 )𝜆 1 = 1 sehingga ℎ = 1 − 1 𝜆1
Vektor 𝑥 1 adalah sama seperti vektor eigen dari L yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆 1 .
𝑥 1 = [ 1 𝑏 1 𝜆 1 ⁄ 𝑏 1 𝑏 2 𝜆 1 2 ⁄ ⋮ 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛−1 𝜆 1 𝑛−1 ⁄ ]
Berikut ini adalah contoh periode pertumbuhan domba disuatu daerah dengan periode pertumbuhan selama 1 tahun per 1000 kelahiran domba. 𝑎 𝑖 menunjukkan angka kesuburan dan bi menunjukkan angka harapan hidup domba betina selama 1 tahun. Domba ini mempunyai umur maksimal 12 tahun sehingga populasinya terbagi atas 12 kelompok umur.
Tabel 2. Angka Kesuburan Dan Harapan Hidup Populasi Domba Betina.
𝑰 𝒂 𝒊 𝒃 𝒊 0-1 0,000 0,846 1-2 0,046 0,976 2-3 0,392 0,966 3-4 0,473 0,951 4-5 0,485 0,927 5-6 0,547 0,896 6-7 0,544 0,851 7-8 0,503 0,787 8-9 0,469 0,692 9-10 0,460 0,562 10-11 0,434 0,371 11-12 0,422 -------
Matriks Leslie untuk Tabel 2. di atas adalah
                  
                    0 0.371 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.562 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.692 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.787 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.851 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.896 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.927 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.951 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.966 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.976 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.846 0.422 0.434 0.460
0.469 0.503 0.544 0.547 0,485 0.473 0.392 0.046 0.000 L
Dari perhitungan menggunakan MAPLE diperoleh Nilai eigen positif dari matriks Leslie yang tunggal, yaitu 𝜆 1 = 1,177 .
Berdasarkan  persamaan  yaitu ℎ = 1 − 1 𝜆 1 ,  maka  banyaknya  bagian  pemanenan ℎ adalah ℎ = 1 − ( 1 𝜆 1 ) = 1 − ( 1 1,177 ) =  0,150 . Berdasarkan perhitungan dengan MAPLE diperoleh
𝐱 1 = [
1 0,719
0,596 0,489 0,395 0,311 0,237 0,171 0,114 0,067 0,032 0,010] ,      𝐿𝐱 1 =
[ 1,177 0,846 0,701 0,576 0,465 0,366 0,279 0,201 0,135 0,079 0,038 0,012] ,       ℎ𝐿𝐱 1 =
[
1,177 0,127 0,105 0,087 0,070 0,055 0,042 0,030 0,020 0,012 0,006 0,002]
Jadi  kebijaksanaan  pemanenan  yang  merata  adalah  kebijaksanaan  dimana  15%  dari  domba  setiap kelompok  dalam  ke-12  kelompok  umur  tersebut  dipanen  tiap  tahun.  Dari ℎ𝐿x1 dapat  ditentukan bahwa untuk  1000 domba  kelompok umur antara  0 dan 1 tahun dipanen sebanyak  177 ekor dan untuk domba kelompok umur antara 1 dan 2 tahun dipanen sebanyak 127 ekor, domba kelompok umur antara 2 dan 3 tahun dipanen sebanyak 105 ekor dan seterusnya. Sehingga secara keseluruhan domba yang dipanen adalah 733 ekor.

## Pemanenan Kelompok Umur Yang Termuda
Dalam  beberapa  populasi,  hanya  populasi  betina  termuda  saja  yang  mempunyai  nilai  ekonomis, sehingga pemanen hanya ingin memanen betina dari kelompok umur yang termuda. Berdasarkan hal tersebut maka ℎ 1 = ℎ ; ℎ 2 = ℎ 3 = ⋯ = ℎ 𝑛 = 0 . Persamaan (6) direduksi menjadi
(1 − ℎ)(𝑎 1 + 𝑎 2 𝑏 1 + 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 +. . +𝑎 𝑛 𝑏 1 𝑏 2 . . 𝑏 𝑛−1 ) = 1 atau
(1 − ℎ)𝑅 = 1
Diana 𝑅 adalah  laju  reproduksi  netto  dari  populasi  tersebut.  Dengan  memecahkannya  untuk ℎ diperoleh
ℎ  =  1 − ( 1 𝑅 ) (7)
Dari  persamaan  (7)  kita  perhatikan  bahwa  kebijaksanaan  pemanen  yang  dapat  dibernarkan  akan mungkin hanya jika 𝑅 > 1 . Hal ini adalah wajar karena populasi itu akan bertambah hanya jika 𝑅 > 1. Dari persamaan
𝑥 1 = [ 1 𝑏 1 (1 − ℎ 2 ) 𝑏 1 𝑏 2 (1 − ℎ 2 )(1 − ℎ 3 ) ⋮ 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛−1 (1 − ℎ 2 )(1 − ℎ 3 ) … (1 − ℎ 𝑛 )]
Vektor distribusi umur setelah setiap panen adalah vektor
𝑥 1 = [ 1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛−1 ] (8)

## Contoh
Marilah  kita  terapkan  jenis  kebijaksanaan  yang  dapat  dibenarkan  ini  kepada  populasi  domba berdasarkan dalam tabel 5.3 yaitu pertumbuhan populasi domba selama 1 tahun. Untuk laju reproduksi netto dari populasi tersebut, kita dapatkan:
𝑅 =   𝑎 1 +   𝑎 2 𝑏 1 + 𝑎 3 𝑏 1 𝑏 2 + …+ 𝑎 𝑛 𝑏 1 𝑏 2 … 𝑏 𝑛−1 𝑅 = 2,533944242 (dibulatkan 2,534)
Dari persamaan (5.22), maka peluang kelompok umur pertama yang dipanen adalah
ℎ  =  1 − ( 1 𝑅 ) = 1 − ( 1 2,534 ) = 0.605
Dari persamaan (5.23), maka distribusi umur dari populasi domba itu setelah panen adalah sebanding dengan vektor.
𝐱 1 = [ 1 0,846
0,826 0,798 0,759 0,703 0,630 0,536 0,422 0,292 0,164 0,061]
, Vektor 𝐿𝐱 1 =
[ 2,534 0,846 0,826 0,798 0,759 0,703 0,630 0,536 0,422 0,292 0,164 0,061]
Vektor 𝐿𝐱 1 Adalah vektor distribusi umur segera sebelum panen.
Jumlah seluruh  entri  dalam 𝐿𝐱 1 = 8,571, sehingga  entri pertama,  yakni 2,534  adalah 29.6  % dari jumlah seluruh entri 𝐿𝐱 1 tersebut. Hal ini dapat diartikan bahwa segera sebelum setiap panen 29,6% dari populasinya berada dalam kelompok umur yang termuda. Sehingga keseluruhan populasi domba yang dipanen setiap tahun adalah sebesar 17,9% (= 60,5% dari 29,6%). Jadi, kebijaksanaan pemanenan kelompok umur yang termuda adalah 17,9% dari seluruh populasi domba dipanen atau untuk 1000 domba dipanen 179 ekor setiap tahunnya.

## Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya maka dapat disimpulkan beberapa hal yaitu nilai  eigen  positif  pada  matriks  Leslie  dengan  pemanenan  berdasarkan  perhitungan  aplikasi  MAPLE adalah sebesar 𝜆 1 = 1,177 . Vektor eigen pada matriks Leslie dengan pemanenan pada kelompok umur termuda ( Harvestingthe youngest class) adalah sebesar
𝐱 1 = [
1
0,846
0,826 0,798 0,759 0,703 0,630 0,536 0,422 0,292 0,164 0,061]
Kebijaksanaan  pemanenan  dari  masing-masing  kelompok  umur  populasi  domba  betina  saat pemanenan tiap tahun adalah sebesar 17,9%. Jadi, kebijaksanaan pemanenan kelompok umur yang termuda adalah sebesar 17,9% yaitu 179 ekor setiap tahun dari 1000 populasi domba betina.

## Referensi
Buku:
[1] Anton, H. & Rorres, C. 1988. Penerapan Aljabar Linear. Jakarta: Erlangga.
[2] Anton, H. & Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer (versi Aplikasi) . Jakarta: Erlangga.
[3] Emlen, J.Merriit. 1973. Ecology An Evolutionary Approach . New York: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
[4] Kariadinata, Rahayu. 2013. Aljabar Matriks Elementer . Bandung: CV PustakaSetia.
[5] Moleong, L. 2014. Metodologi Penelitian Kualitatif . Edisi Revisi. Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
[6] Sugiyono. 2011. Metode Penelitian Kualitatif, Kuantitatif, dan R&D, Bandung : Alfabeta.
Jurnal:
[7] Corazon,  C.M,  Nurul,  H  &  Yusienta,  M.  2016. Aplikasi  Matriks  Leslie  Untuk  Memprediksi  Jumlah  Dan  Laju Pertumbuhan Perempuan Di Provinsi Riau Pada Tahun 2017 . Jurnal Sains Matematika dan Statistika (JSMS), 2 (3),1- 11.
[8] Lestari,  Dwi.  2009. Penerapan  Diagonalisasi  Matriks  Dan  Matriks  Leslie  Dalam  Memproyeksikan  Jumlah  Populasi Perempuan , Pythagoras, 5(1), 45-53.
[9] Yuliani, S., Rahayu & Mashuri., Penerapan Diagonalisasi Matriks Dan Matriks LeslieDalam Memproyeksikan Jumlah Populasi Perempuan , Unnes Journal of Mathematich (UJM), 1(1), 62-70.
[10] Pratama, Yudi, dkk. 2013. Aplikasi Matriks Leslie Untuk Memprediksi Jumlah Dan Laju Pertumbuhan Suatu Populasi . Bimaster: Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya, 2(3), 163-172.