JMP : Vol. 8 No. 2, Des. 2016, hal. 33-40                ISSN 2085-1456
ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED : STUDI SIMULASI

## Novita Eka Chandra
Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan novitaekachandra@gmail.com

## Masriani Mahyuddin
Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan
Siti Alfiatur Rohmaniah

## Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan
ABSTRACT. Kernel adjusted density estimation is a modification of the regular kernel density estimation. The modification is applied to a kernel function. This kernel function is  derived  from  the  location-scale  transformation.  Simulation  study  shows  that  this estimation  have  better  results  than  the  regular  estimation  because  it  has  smaller  MSE value. In addition, if normal kernel is used as a kernel function then the curve estimation will  be  smoother  than  other  kernel  function  such  as  uniform  kernel  and  Epachenikov kernel.
Keywords : estimation, density, kernel, location-scale transformation.
ABSTRAK. Estimasi  densitas  kernel adjusted merupakan  modifikasi  dari  estimasi densitas  kernel  biasa.  Modifikasi  dari  estimasi  ini  dilakukan  pada  fungsi  kernelnya. Fungsi  kernel  yang  digunakan  berasal  dari  transformasi  skala-lokasi.  Berdasarkan simulasi, estimasi ini memberikan hasil yang lebih baik dari estimasi densitas kernel yang biasa,  karena  mempunyai  nilai  MSE  yang  lebih  kecil.  Selain  itu,  jika  kernel  yang digunakan  kernel  normal maka  hasil  kurva  estimasinya  lebih halus  dibandingkan  kernel lainnya seperti kernel uniform dan kernel Epachenikov.
Kata Kunci : estimasi, densitas, kernel, transformasi skala-lokasi.

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  data  bertujuan  untuk  memperoleh  informasi  dari  suatu  data, seperti  pola  sebaran  data,  maupun  penyajian  data  supaya  mudah  dipahami.  Pola sebaran  data  dapat  diperiksa  melalui  bentuk  fungsi  densitasnya.  Dalam prakteknya,  bentuk  suatu  fungsi  denstitas  biasanya  belum  diketahui.  Untuk mengestimasi  fungsi  densitas  tersebut,  digunakan  pendekatan  nonparametrik, yaitu dengan fungsi kernel (Wand dan Jones, 1995).
34                                                                                               Novita Eka Chandra d.k.k.
Menurut Hardle (1991), pemilihan bandwidth ( ) h dan kernel ( ) K sangat penting dalam estimasi densitas kernel. Akan tetapi, pemilihan kernel tidak begitu berpengaruh  dalam  estimasi.  Oleh  sebab  itu,  Srihera  dan  Stute  (2011) memodifikasi  estimasi  tersebut  pada  bentuk  kernelnya  dengan  menggunakan transformasi  skala-lokasi,  dan  selanjutnya  disebut  estimasi  densitas  kernel adjusted .  Suatu  estimasi  yang  baik  dapat  dilihat  berdasarkan  nilai Mean  Square Error (MSE)  yang  minimum.  Pada  tulisan  ini  akan  dibandingkan  estimasi densitas kernel dengan estimasi densitas kernel adjusted berdasarkan nilai MSE.

## 2. ESTIMASI DENSITAS KERNEL
Diberikan  data  pengamatan  dari  variabel  random , 1, 2,..., i X i n 
berdistribusi  independen  identik  ( i.i.d )  dengan  densitas f .  Estimasi  densitas kernel tergantung pada parameter bandwidth ( ) h dan kernel ( ) K . Semakin besar nilai bandwidth ,  maka  semakin  halus  kurva  estimasi  yang  dihasilkan.  Secara umum, definisi kernel K adalah
1 ( ) h x K x K h h        .
Definisi  2.1 (Hardle,  1991)  Estimator  densitas  kernel  untuk  fungsi  densitas f didefinisikan
  1 1 ˆ ( ) n h h i i f x K x X n     .                                     (1)
Berikut  sifat  tak  bias  asimtotik  dari  ˆ ( ) h f x .  Karena , 1, 2,..., i X i n  i.i.d , maka
  1 1 ˆ ( ) n h h i i E f x E K x X n      
          h E K x u      
( ) ( ) K s f x sh ds
   .                                  (2) Dengan  menggunakan  perluasan  deret  Taylor  untuk ( ), f x sh  persamaan  (2) menjadi
2 2 2 ˆ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2 h h E f x f x f x K o h 
        (3)
dengan 2 2 ( ) ( ) K s K s ds    .  Untuk h konvergen  ke  nol,  maka
ˆ ( ) h E f x    
konvergen  ke ( ) f x .  Artinya,  estimator  densitas  kernel  tak  bias  asimtotik    (Bain dan Engelhardt, 1992).
Selanjutnya, dari persamaan (3), diperoleh bias dari  ˆ ( ) h f x sebagai berikut ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) h h
Bias f x E f x f x           2 2 2 ( ) ( ) ( ), 0 2 h f x K o h h      .
Dari  hasil  tersebut  terlihat  bahwa  bias  merupakan  fungsi  kuadrat  dalam h . Dengan  demikian,  untuk  mengurangi  bias  dipilih  nilai h yang  kecil.  Karena
, 1, 2,..., i X i n  i.i.d , maka
  2 1 1 ˆ ( ) n h h i i
Var f x
Var K x X n               1 h Var K x u n                 2 2 1 h h E K x u E K x u n           2 2 1 1 ( ) , 0, K f x o h nh nh nh           
dengan 2 2 2 ( ) K K s ds   . Terlihat bahwa bila nh naik, maka variansi berkurang.
Hal  ini  kontradiksi  dengan  bias.  Untuk  mengatasi  hal  tersebut  digunakan  MSE yang merupakan kombinasi dari variansi dan bias kuadrat dari  ˆ ( ) h f x ,
    4 2 2 4 2 2 1 1 ˆ ( ) ( )
( ) ( ) , 0, . 4 h h MSE f x f x K f x K o o h h nh nh nh   
               
Nilai  MSE  tersebut  akan  konvergen  ke  nol  jika 0, h nh    .  Hal  ini  berarti estimator densitas kernel konsisten, yaitu  ˆ ( )
( ) p
h f x f x   (Bain dan Engelhardt, 1992).
36                                                                                               Novita Eka Chandra d.k.k.
Selanjutnya, nilai bandwidth optimal, op h , diperoleh dari turunan pertama ˆ ( ) h
MSE f x     terhadap h sama dengan nol, yaitu
  1/5 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) op
f x K h n f x K            .

## 3. ESTIMASI DENSITAS KERNEL ADJUSTED
Pada  tahun  2011,  Srihera  dan  Stute  memodifikasi  bentuk  kernel menggunakan transformasi skala-lokasi yang berkaitan dengan estimator densitas kernel (Chandra, dkk, 2015). Bentuk kernelnya menjadi
  * ˆ ( ) h
K x f x      (4)
dengan   parameter lokasi dan 0   parameter skala. Dengan menggunakan bentuk  kernel  baru  Persamaan  4,  maka  diperoleh  estimator  densitas  kernel adjusted berikut
2 2 2 1 1 ˆ ( ) n n i j ha
j i x X h hX f x K n h h                

.                   (5)
Teorema  3.  1 ( Srihera  dan  Stute,  2011)  Diberikan  bahwa K merupakan  fungsi yang  simetris  dan f terdiferensial  dua  kali  secara  kontinu  pada  x ,  serta   2 E X   . Selanjutnya, jika n   dan 0, h  sedemikian sehingga , nh   maka untuk   dan 0,   2 2 2 2 2 ( ) ( ) ˆ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 ha f x h f x h Bias f x f y y dy f y y dy o h    
             dan
2 ˆ ( ) ( ) ( ) (1) ha nhVar f x f x f y dy o         .
Bukti: Dengan menggunakan persamaan (5), diperoleh
2 2 ˆ ( ) ha x z h hy E f x E K h h                        
2 ( ) ( ) h hy uh K u f y f x dydu      
        .
Karena K simetris, maka dengan menggunakan perluasan deret Taylor, diperoleh
2 2 2 2 ( ) ( ) ˆ ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) 2 ha hf x h f x E f x f x f y y dy f y y dy o h    
              .
Estimator densitas kernel adjusted tak bias asimtotik apabila h konvergen ke nol. Untuk menentukan bias dari estimator densitas kernel adjusted, diperoleh dengan selisih antara harga harapannya dengan estimator tersebut. Dengan demikian,
2 2 2 2 ( ) ( ) ˆ ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 ha hf x h f x Bias f x f y y dy f y y dy o h    
             .
Selanjutnya, nilai variansinya diperoleh dengan cara berikut.
2 3 4 2 1 ˆ ( ) n i ha i x X h hy
Var f x Var n h h                           .
Dengan  menggunakan  definisi  variansi,
2 2 ( ) ( ) ( ( )) Var X E X E X   (Bain  dan
Engelhardt, 1991), diperoleh
  2 1 1 1 1 2 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ha h hy h u Var f x K u K v f y f y uh hv f x dy dvdu nh f x o h n       
           
   2 ( ) 1 ( ) , 0 f x f y dy o h nh nh            .                                       ( q.e.d )
Selanjutnya,  berdasarkan  Teorema  3.1,  nilai  MSE  dari  estimator  densitas kernel adjusted diperoleh sebagai berikut.
2 2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 ( ), 0, . ha f x hf x h f x MSE f x f y dy f y y dy f y y dy nh o o h h nh nh                                    
Estimator  densitas  kernel adjusted konsisten  untuk 0, h nh    ,  karena
MSEnya  konvergen  ke  nol.  Dengan  demikian,  dapat  ditulis  ˆ ( )
( ) p ha f x f x  
38                                                                                               Novita Eka Chandra d.k.k.
(Bain dan Engelhardt,  1991). Dengan mengambil  nilai ( ) E X   , nilai  MSEnya menjadi
2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( )
2 ha f x h f x Var X MSE f x f y dy nh                 .                (6) Selanjutnya, diambil h a   , akibatnya persamaan (6) menjadi 2 2 2 ( ) ( ) ( )
ˆ ( ) ( ) 2 ha f x
a f x Var X MSE f x f y dy na               . (7)
Dengan melakukan turunan pertama pada persamaan (7) terhadap a sama dengan nol, diperoleh nilai bandwidth optimal dan  optimal berikut
1/5 opt h n     1/5 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) opt f x Var X f x f y dy              .

## 4. SIMULASI
Simulasi  dilakukan  untuk  melihat  kinerja  suatu  estimator,  yaitu  dengan membandingkan  nilai  MSE  antara  estimator  densitas  kernel  dengan  estimator densitas  kernel adjusted .  Estimator  yang  memiliki  nilai  MSE  lebih  minimum merupakan estimator terbaik. Dalam simulasi ini, penulis menggunakan data acak yang  berdistribusi  Normal,  dan  tiga  jenis  kernel  yaitu  kernel  Uniform, Epachnenikov,  serta  Normal  (Gaussian).  Selain  itu,  digunakan  pula  nilai
1/5 optimal h n   ,  mean dari data adalah  , dan standar deviasi dari data adalah  . 
Hasil simulasi ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1 . Perbandingan Nilai MSE dari ˆ ( ) h f x dan ˆ ( ) ha f x dengan Kernel Berbeda Jumlah Data Kernel ˆ ( ) h MSE f x     ˆ ( ) ha MSE f x    
20 n  Uniform 0,9526722 0,9379001 Epachnenikov 0,9569618 0,9429582 Normal 0,9421523 0,9365913 50 n  Uniform 1,192391 1,177564 Epachnenikov 1,192018 1,176661
Normal 1,179788 1,175789 100 n  Uniform 0,7387496 0,7373932 Epachnenikov 0,7409351 0,7371 Normal 0,7372438 0,7367734
Dari  Tabel  1  terlihat  bahwa  nilai  MSE  untuk  estimator  densitas  kernel adjusted lebih  kecil  dibandingkan  nilai  estimator  densitas  kernel.  Lebih  lanjut, kernel  normal  menghasilkan  nilai  MSE  lebih  kecil  dibandingkan  kernel  uniform dan Epachnenikov.
Selain  itu,  berikut  ini  ditampilkan  kurva  estimasi  densitas  dari  masing- masing  kernel  untuk 20 n  (kiri:  estimasi  densitas  kernel  dan  kanan:  estimasi densitas kernel adjusted ).
Gambar 1 . Kurva Estimasi Densitas untuk 20 n 
Dari  Gambar  1  terlihat  bahwa  estimator  densitas  kernel adjusted memberikan kurva estimasi yang lebih halus dibandingkan kurva  estimasi densitas kernel. Selain itu, dengan kernel Normal, kurva estimasi yang dihasilkan lebih halus dibandingkan dengan menggunakan kernel lainnya.

## 5. KESIMPULAN
Estimator  densitas  kernel adjusted merupakan  estimator  yang  diperoleh  dengan memodifikasi estimator densitas kernel biasa. Estimator ini dapat direpresentasikan  pada persamaan  (5).  Dari  hasil  simulasi  untuk  sampel  sebanyak  20,  50,  dan  100, diperoleh
40                                                                                               Novita Eka Chandra d.k.k.
bahwa  estimator  densitas  kernel adjusted lebih  baik  dari estimator  densitas  kernel biasa karena  mempunyai  nilai  MSE  yang  lebih  kecil.  Hasil  simulasi  juga menunjukkan  bahwa  penggunaan  kernel  normal  dapat  memberikan  hasil  yang lebih baik dibanding kernel lainnya seperti kernel uniform dan kernel Epachenikov.

## DAFTAR PUSTAKA
Bain,  L.  J.  dan  Englehardt,  M., Introduction  to  Probability  and  Mathematical Statistics , Duxbury Press, 1992.
Chandra,  N.  E.,  Haryatmi,  S.  dan  Zulaela, Regresi  Nonparametrik  Kernel Adjusted ,  Jurnal  Ilmiah  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika, 7 (1) (2015), 1 – 10.
Hardle,  W., Smoothing  Techniques  with  Implementation  in  S ,  Springer-Verlage, 1991.
Srihera,  R.  dan  Stute,  W., Kernel  Adjusted  Density  Estimation ,  Statistics  and Probability Letters, 81 (2011), 571 – 579.
Wand, M. P. dan Jones, M. C., Kernel Smoothing , Chapman and Hall, 1995.