## Vol. 10, No. 2,  102-113,  Januari  2014
Bilangan Stirling dan Hubungannya dengan Beberapa Konsep Matematika
Fifik Astuti 1 , Loeky Haryanto 2 dan Hasmawati Basir 3

## Abstrak
Dalam  tulisan  ini  dibahas  analogi,  ekuivalensi  dan  keterkaitan  antara  bilangan-bilangan  Stirling dengan konsep matematika yang lain: himpunan, permutasi, fungsi, faktorial (turun dan naik), determinan- 1  dan  deret  Maclaurin.  Pada  khususnya  analogi  antara  diferensi  dan  turunan  bisa  diturunkan  dengan menggunakan bilangan-bilangan Stirling. Juga ekuivalensi beberapa definisi bilangan Stirling berdasarkan konsep  partisi  pada  permutasi  dan  pada  himpunan  serta  interpretasinya,  juga  disajikan.  Pada  penerapan konsep determinan-1,  diberikan dua  relasi rekurensi  yang  berbeda tetapi ekuivalen.  Relasi rekurensi  yang pertama  menghasilkan sebuah barisan eigen sedangkan relasi rekurensi  yang  kedua  menghasilkan barisan eigen yang sama, tetapi diturunkan dengan menerapkan determinan-1.
Kata Kunci : bilangan Stirling jenis pertama dan kedua, faktorial turun, partisi, relasi rekurensi, determinan-1.

## Abstract
This paper presents mathematical analogues, equivalences and other relationships between Stirling numbers  and  other  mathematical  concepts:  sets,  permutations,  functions,  (falling  or  raising)  factorial, differences, derivatives, Maclaurin series and  1-determinant. In particular an analogy between differences and derivatives can be established by means Stirling numbers. Also, some equivalent definitions of Stirling numbers  based  on  partition  over  a  permutation  and  over  a  set  together  with  their  interpretations,  are provided.  At  the  applications  of  1 - determinant,  two  different  but  equivalent  recurrence  relations  are introduced.  The  first  recurrence  relation  forms  an  eigen  sequence,  and  the  second  recurrence  relation derives the same eigen sequence, but its derivation makes use 1-determinant.
Key  Words  : Stirling’s  numbers  of  the  first  and  the  second  kind,  falling  factorial,  partitions, recurrence relations, 1-determinant.

## 1.  Pendahuluan
Salah  satu  bentuk  penelitian  di  dalam  matematika  adalah  melakukan  generalisasi terhadap  suatu  perumusan  atau  dalil  matematis  dan  membuat  analogi  terhadap  perumusan atau  dalil  matematis  tersebut.  Konsep  bilangan  Stirling  didefinisikan  berdasarkan generalisasi  terhadap  beberapa  perumusan  atau  dalil  yang  sudah  lebih  dulu  diketahui  dan dipelajari oleh banyak matematikawan.
Di  dalam  matematika  diskrit  misalnya,  salah  satu  generalisasi  dikerjakan  dengan cara memperlemah syarat bilangan bulat tak negatif n di dalam ekspresi koefisien binomial 4
1 Program S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
  n k  ! !( )! n k n k  ( 1) ( 1) ! n n n k k     (1)
menjadi bilangan real t di dalam ekspresi   t
k  ( 1) ( 1) ! t t t k k    .                                                       (2)
Dalam tulisan ini, akan dibahas bentuk generalisasi lebih jauh dari generalisasi koefisien binomial (1) dan (2) serta kaitannya dengan beberapa konsep matematika yang lain.

## 2.  Bilangan Stirling Jenis Pertama dan Kedua
Generalisasi bentuk (1) menjadi bentuk (2) membawa generalisasi permutasi P( n , k ) = n ( n  1)...( n  k + 1) ke  bentuk  yang  serupa  di  mana  syarat n sebagai  bilangan  bulat  tak  negatif  ditiadakan  dan diganti oleh syarat yang lebih lemah: sembarang bilangan real t . Jadi bentuk permutasi P( n , k ) dibawa ke bentuk yang didefinisikan dan diberi lambang t k = t ( t  1)…( t  k + 1).                                                  (3) Bentuk ini dinamakan faktorial turun (Charalambides, 2002). Dalam kasus t = k , t k = k k = k ( k  1) … (1) = k !.
Secara alamiah, selain faktorial turun didefinisikan juga konsep faktorial naik k t  t ( t + 1)…( t + k  1).                                                (4) Seperti halnya definisi faktorial nol 0! = 1, di sini juga didefinisikan
0 t = 1 = 0 . t Jika k faktor-faktor di ruas kanan (4) dibaca dengan urutan terbalik, diawali dari faktor ( t + k  1), nilai faktor-faktor tersebut menurun  sehingga diperoleh kesamaan
k t  ( t + k  1) k (5)
yang  ruas  kanannya  faktorial  turun  sedangkan  ruas  kirinya  faktorial  naik.Kesamaan  ini menyatakan  bahwa  setiap  faktorial  naik  adalah  faktorial  turun,Demikian  pula  sebaliknya, setiap  faktorial  turun  adalah  juga  faktorial  naik.  Dengan  demikian,  cukup  digunakan faktorial turun di dalam definisi berikut.

## Definisi 2.1
Bilangan Stirling jenis pertama, diberi lambang s ( n,k ) , adalah koefisien dari jumlahan di ruas kanan kesamaan
0 ( , ) n n k k t s n k t   
(6)
sedangkan bilangan Stirling jenis kedua, diberi lambang S(n,k), adalah koefisien di ruas kanan kesamaan
0 ( , ) n n k k t S n k t
  
(7)
Bilangan Stirling jenis pertama tak bertanda adalah nilai mutlak dari bilangan Stirling jenis pertama dan diberi lambang | s ( n , k )|.
Dari ekspresi (3) diturunkan t k = t ( t  1)… ( t  k + 2)( t  k + 1) = [ t ( t  1)… ( t  ( k  1) + 1)]( t  k + 1) yaitu
k t = ( t  k + 1) 1 k t  (8)
sedangkan dari ekspresi (4) diturunkan
Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
k t  t ( t + 1)… ( t + k  2)( t + k  1) = [ t ( t + 1)… ( t + ( k  1)  1)]( t + k  1). yaitu
k t  ( t + k  1) 1 k t  (9) Relasi  rekurensi  suatu  barisan  adalah  sebuah  konsep  penting  pada  pembahasan barisan yang  memiliki sifat rekursif karena relasi rekurensi bisa digunakan sebagai definisi alternatif  dari  barisan  tersebut.  Dengan  kata  lain,  dua  barisan  adalah  sama  jika  keduanya memenuhi relasi rekurensi yang sama.

## Teorema 2.1
Bilangan-bilangan Stirling jenis pertama s ( n,k ) dengan n = 0, 1, 2, … dan k = 0, 1, …, n memenuhi relasi rekurensi
) , 1 ( ) 1 ( ) 1 , 1 ( ) , ( k n s n k n s k n s       (10)
dengan nilai–nilai batas s (0,0) = 1, s ( n ,0) = 0 apabila n > 0; dan s ( n,k ) = 0 apabila n > 1 dan k > n . Bukti. Untuk n = 1, kesamaan (10) jelas benar. Jika n > 1, uraikan kedua ruas kesamaan (8) n t = ( t  n + 1) 1 n t 
kemudian dengan menggunakan (5), diperoleh 1 0 0 ( , ) ( 1) ( 1, ) n n k k k k s n k t t n s n k t          1 1 1 0 0 ( 1, ) ( 1) ( 1, ) n n k k k k s n k t n s n k t             1 1 0 ( 1, 1) ( 1) ( 1, ) n n k k k k s n k t n s n k t 
         
(setelah transformasi indeks k  k  1). Persamaan terakhir ini menyatakan
1
1 ( ,0) ( , ) ( , ) n k n k s n s n k t s n n t       1 1 1 1 ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1) ( 1, ) ( 1,0)
n n n k k k k s n n t s n k t n s n k t s n                
Dari syarat batas diperoleh s ( n ,0) = s ( n  1,0) = 0 dan mengingat s ( n , n ) adalah koefisien suku t n di dalam uraian ruas kiri dan ruas kanan ekspresi (6) maka s ( n , n ) = 1 = s ( n  1, n  1) dan
1 1 ( , ) n k k s n k t     1 1 1 1 ( 1, 1) ( 1) ( 1, ) . n n k k k k s n k t n s n k t           
Dari definisi kesamaan dua polinom, kesamaan (10) terbukti.                                          ■
Relasi  rekurensi  untuk  bilangan  Stirling  jenis  kedua  dibuktikan  dengan  bantuan  lemma berikut.
Lemma 2.2
1 0 0 ( , ) ( 1, ) n n k k k k S n k t t S n k t       
(11)
Bukti .

## Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
Ekspresi (7) untuk indeks pangkat n  1 berbentuk
t n  1 = 1 0 ( 1, ) n k k S n k t    
.
Dengan menguraikan kesamaan t n = tt n  1 , diperoleh  kesamaan (11).                               ■
Lemma 2.3
1 k tt  = 1 ( 1) k k t k t    .                                                  (1 2 )
Bukti .
Untuk k = 1 diperoleh 0 tt  1 t atau t = t .
Misalkan kesamaan ( 1 2) benar untuk indeks k  1, ini berarti
k tt = 1 ( 1) k t t k t    = 1 ( 1) k t k tt    = 1 ( 1)( ( 1) ) k k t k t k t      = 1 1 ( )( ( 1) ) ( 1) k k k k t k t k t t k t         = 1 1 [( )( ( 1) )] [ ( 1) ] k k k k
t k t k t t k t        
= 1 1 [( ) ] [( )( 1) ] [ ( 1) ] k k k k
t k t t k k t t k t          = 1 1 1 [( )( 1) ( 1) ] k k k k t t k k t k t t          = 1 1 ( 1)( 1) k k k
t k t k t t        = 1 ( 1) k k k t k t t     = 1 . k k t kt  
■
Teorema 2 .4 Bilangan-bilangan Stirling jenis kedua s ( n,k ) dengan n = 0, 1, 2, … dan k = 0, 1, …, n memenuhi relasi rekurensi ( , ) ( 1, 1) ( 1, ) S n k S n k kS n k      (13)
dengan nilai–nilai batas S (0,0) = 1, S ( n ,0) = 0 apabila n > 0; dan S ( n,k ) = 0 apabila n > 1 dan k > n . Bukti . Untuk n = 1, kesamaan (13) jelas benar. Jika n > 1, dengan menggunakan Lemma 2 dan 3 diperoleh
0 ( , ) n k k S n k t   = t 1 0 ( 1, ) n k k S n k t    
= 1 1 0 0 ( 1, ) ( 1, ) n n k k k k S n k t k S n k t          = 1 0 ( 1, 1) ( 1, ) n n k k k k S n k t k S n k t        
(setelah transformasi k  k  1 pada suku-suku jumlahan pertama).
Karena n > 1 maka S ( n , 0) = 0 = S ( n  1, 0) dan kesamaan di atas menjadi
1 1 1
( , ) ( 1, 1) ( 1, )
n n n k k k k k k
S n k t S n k t k S n k t           
sehingga diperoleh relasi rekurensi (13).                                                                         ■
Lemma 2.5 Jika diberikan n > 0 dan k = 0, 1, …, n , maka bilangan Stirling jenis pertama s ( n,k ) bernilai negatif jika dan hanya jika n  k adalah bilangan bulat ganjil. Bukti.
Dari (6) diturunkan
0 ( , ) n k k s n k t   = t n = t ( t  1)( t  2)…( t  n + 1) = ... ( ( 1))( ( 2)) ( ( 1)) t t t t n       
Jika ruas kanan yang berbentuk perkalian diuraikan atas suku-suku perpangkatan t maka diperoleh bentuk penjumlahan sehingga
0 ( , ) n k k s n k t   = ( ,1) ( 1)( 2) ( 1) s n n t     + … +
( , ) 1 2 ... ( ) ( ) ( ) s n k k n k i i i t      + … + 1 ( , ) s n n t n = ( ,1) ( 1)( 2) ( 1) s n n t     + … + ( , ) 1 2 ... ( 1) s n k n k k n k i i i t     + … + s ( n , n  1) t n  1 + t n
di  mana  penjumlahan  berjalan  pada  semua  himpunan  { i 1 , i 2 ,  ..., i n  k }  {1,  2,  …, n } berukuran n  k yang berbeda. Jadi jelas s ( n , k ) < 0 jika dan hanya jika (  1) n  k < 0 dan jika dan hanya jika n  k ganjil.                                                                                         ■
Teorema 2 .6 (Charalambides, 2002) Bilangan Stirling jenis pertama tak bertanda | s ( n,k )| adalah koefisien-koefisien polinom di ruas kanan
( t + n  1) n = 0 ( 1) ( , ) n n k k k s n k t    
,                                 (14)
di mana n = 1, 2, … .
Bukti . Ruas kiri ekspresi (14) adalah ( t + n  1) n = ( t )( t + 1) ... ( t + n  1) = (  1) n (  t )(  t  1) ... (  t  n + 1) = (  1) n (  t ) n = (  1) n 0 ( , )( ) n k k s n k t   
.
= 0 ( 1) ( , )( ) n n k k s n k t    
= 0 ( 1) ( , ) n n k k k s n k t    
Berdasarkan Lema 2.5, s ( n , k ) < 0 jika dan hanya jika n  k ganjil sehingga
(  1) n  k s ( n , k ) = | s ( n , k )|.
Sebagai akibatnya, (14) terbukti.                                                                                     ■
Salah  satu  fakta  menarik  dari  bilangan  Stirling  jenis  pertama  tak  bertanda  adalah kenyataan  bahwa  bilangan-bilangan  Stirling  jenis  pertama  tak  bertanda  bisa  didefinisikan dengan lebih dari satu cara pendefinisian.
Teorema 2.7 Bilangan Stirling jenis pertama tak bertanda | s ( n,k )|, k = 1, 2, …, n , n = 2, 3, …, nilainya adalah
| s ( n,k )| = 1 2 ... n k i i i   ,                                                  (15)
dimana indeks jumlahan  berjalan pada semua kemungkinan subhimpunan { i 1 , i 2 , ..., i n  k }  {1, 2, …, n -1} yang berbeda dan terdiri atas n  k unsur-unsur . Bukti . Pada hasil kali n faktor di ruas kiri ekpresi (14)
0
( 1)( 2)...( 1) | ( , ) | n k k t t t t n s n k t       
setiap faktor ke- i dari perkalian pada ruas paling kiri berbentuk
p i ( t ) = t + i , i = 0, 1, 2, ..., n  1 Jadi  koefisien  setiap  bentuk t k yang  terbentuk  diperoleh  dari  jumlahan  suku-suku  hasil perkalian sebanyak n  k konstanta dari k n i i i  ,..., , 2 1  {1,2, ... , n  1}, j = 1, 2, ..., n  k .
■
Contoh :
Akan ditentukan bilangan Stirling jenis pertama tak bertanda | s (5,2)|, yaitu koefisien dari monomial t k = t 2 di dalam polinom faktorial naik (3)
t ( t + 1)( t + 2)( t + 3)( t + 4)   = s ( n , 1) t + ... + | s (5, 2)| t 2 + ... + s ( n , n ) t n . Di sini n = 5 dan k = 2 sehingga dari Teorema 2.7, koefisien | s (5, 2)| dari perpangkatan t 2 dalam  polinom  ini  adalah  hasil  jumlahan  semua  hasil  kali i 1 i 2 i 3 yang  berbeda,  di  mana i 1 , i 2 , i 3  {1, 2, 3, 4}, seperti berikut:
 i 1 i 2 i 3 t 2 = (2)(3)(4) t 2 = 24 t 2 , dari skema: ( 1)( 2)( 3)( 4) t t t t t          ;  i 1 i 2 i 3 t 2 = (1)(3)(4) t 2 = 12 t 2 ,      dari skema: ( 1)( 2)( 3)( 4) t t t t t          ;
 i 1 i 2 i 3 t 2 = (1)(2)(4) t 2 =   8 t 2 ,      dari skema: ( 1)( 2)( 3)( 4) t t t t t          ;  i 1 i 2 i 3 t 2 = (1)(2)(3) t 2 =   6 t 2 , dari skema: ( 1)( 2)( 3)( 4) t t t t t          .
Jadi | s (5, 2)|  = 24 + 12 + 8 + 6 = 50 sehingga
t ( t + 1)( t + 2)( t + 3)( t + 4) = ... + 50 t 2 + ... .

## Akibat 1 Teorema 2.7
Bilangan Stirling jenis pertama s ( n,k ), k = 1, 2, …, n , n = 2, 3, …, nilainya adalah s ( n,k ) = (  1) n  k 1 2 ... n k i i i   , dimana indeks jumlahan adalah semua kemungkinan subhimpunan { i 1 , i 2 , ..., i n  k }  {1, 2, …, n -1} yang berbeda dan terdiri atas n  k unsur-unsur . Bukti .

## Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
Sebab untuk setiap k = 0, 1, 2, …, n berlaku s ( n , k ) < 0 jhj n  k ganjil sehingga
s ( n , k ) = (  1) n  k | s ( n , k )|. Setelah disubstitusi pada persamaan  ( Error! Reference source not found. ), Akibat 1 ini terbukti. ■
Akibat 2 Teorema 2.7 (Charalambides, 2002)
Bilangan-bilangan Stirling jenis pertama tak bertanda | s ( n,k )| dengan k = 1, 2, …, n dan n = 2, 3, …, memenuhi relasi rekurensi | s ( n , k )| = | s ( n  1, k  1)| + ( n  1)| s ( n  1, k )| (16) dengan nilai–nilai awal s (0,0) = 1 = s (1, 1) dan s (1,0) = 0.
Bukti .
Dalam pembuktian Teorema 2.7, koefisien | s ( n , k )| adalah koefisien untuk t k yang diperoleh dari hasil kali
t ( t + 1)( t + 2)…( t + n  1) = ... + | s ( n , k )| t k + …,
yaitu | s ( n , k )| = 1 2 ... n k i i i   di mana indeks jumlahan sesuai isi Teorema 2.7.
Sedangkan  dalam  pembuktian  Akibat 1 Teorema  2.7,  koefisien  | s ( n , k )|  adalah  koefisien untuk t k yang diperoleh dari hasil kali
t ( t  1)( t  2)…( t  n + 1) = ... + s ( n , k ) t k + … .
yaitu s ( n , k ) = (  1) n  k 1 2 ... n k i i i   . Akibatnya, nilai s ( n  1, k  1)  dan ( n  1)| s ( n  1, k ) di dalam  relasi  rekurensi  (16)  berbeda  tanda  (satu  positif  yang  lain  negatif),  sebab  indeks k keduanya  berselisih  1.  Dengan  kata  lain, s ( n  1, k  1)  dan  ( n  1) s ( n  1, k )  bertanda sama. Agar nilai mutlak dari
s ( n, k ) = s ( n  1, k  1)  ( n  1) s ( n  1, k )
sama dengan | s ( n , k )| sesuai Definisi 2.1, maka satu-satunya kemungkinan adalah
| s ( n , k )| = | s ( n  1, k  1)| + ( n  1)| s ( n  1, k )|.                               ■

## Definisi 2.2
Bilangan  Stirling  jenis  pertama  tak  bertanda | s ( n , k )| adalah  banyaknya  permutasi  n obyek yang dinyatakan sebagai hasil kali sebanyak k siklus-siklus yang saling lepas dan tidak kosong .
Dalam definisi di atas, jelas k  n .
Teorema 2 .8 (Charalambides, 2002)
Kedua  definisi  bilangan  Stirling  jenis  pertama  tak  bertanda  yang  didefinisikan  oleh Definisi 2.1 ( sebagai  nilai  mutlak  dari  s ( n , k )) dan  yang  didefinisikan  oleh  Definisi 2.2 adalah ekuivalen satu sama lain.
Bukti.
Untuk  membuktikan  bahwa  kedua  Definisi  2.1  dan  Definisi  2.2  ekuivalen  satu  sama  lain, akan ditunjukkan bahwa keduanya memenuhi relasi rekurensi yang sama dengan nilai awal yang sama. Karena jelas keduanya memenuhi | s (0, 0)| = 1 dan untuk n > 0 berlaku  | s ( n , 0)| = 0 dan | s ( n , n )| = 1, tinggal dibuktikan bahwa untuk setiap pasang bilangan asli n > 0 dan k  0, relasi rekurensi (16)
| s ( n , k )| = | s ( n  1, k  1)| + ( n  1)| s ( n  1, k )| di dalam Akibat 2 Teorema 2.7 juga bisa diturunkan melalui Definisi 2.2. Ambil sembarang permutasi s pada himpunan S = {1, 2, ..., n }. Kemudian tetapkan a  {1, 2, ..., n } dan permutasi t pada himpunan T = S – {a} sehingga | T | = n  1 . Berdasarkan Definisi  2.2, s ( n , k )  adalah  banyaknya  cara  yang  berbeda  untuk  menuliskan  permutasi s
sebagai  perkalian k siklus  (termasuk  siklus  tunggal)  yang  saling  lepas.  Ada  dua  jenis permutasi berbentuk perkalian siklus yang bisa diperoleh, masing-masing diturunkan dari:
a. Permutasi-permutasi pada S yang terdiri atas n unsur dan k siklus, salah satu siklus adalah ( a ). Jelas banyaknya permutasi sama dengan banyak permutasi t pada T yang terdiri atas n  1 unsur dan k  1 siklus (siklus ( a ) di anggap tidak ada).
b. Permutasi-permutasi  yang  diperoleh  dari  permutasi  pada T yang  terdiri  atas k siklus, tetapi  hanya  dari n  1  unsur-unsur T .  Permutasi  pada T ini  kemudian  diubah  menjadi permutasi  pada S dengan  menyisipkan a ke  sebelah  kanan  setiap  unsur T .  Sebelum disisipi a , banyak permutasi adalah s ( n  1, k ) karena ada n  1 unsur T , ada n  1 cara penyisipan  yang  menghasilkan  ( n  1) s ( n  1, k )  permutasi  berbeda  yang  diperoleh dengan cara ini.
Karena  semua  permutasi  yang  diperoleh  dari  cara a dan b berbeda  satu  sama  lain  maka banyak  cara  penyajian  berbeda  untuk  permutasi s pada S ,  yaitu  | s ( n,k )|,  adalah  banyak permutasi yang diperoleh dari cara a ditambah banyak permutasi yang diperoleh dari cara b. Berdasarkan Definisi 2.2 banyaknya permutasi yang diperoleh dari cara a adalah | s ( n  1 , k  2)|. Cara b diawali dengan memilih permutasi q pada S’ di antara k permutasi yang terbentuk dan memasukkan a ke  dalam q ,  baru  kemudian  dibentuk  permutasi  atas k siklus  yang  salah satunya  adalah  siklus  yang  memuat a .  Untuk  setiap  permutasi q ,  berdasarkan  Definisi2.2, banyak permutasi yang diperoleh dari cara ini adalah | s ( n  1 , k  1)|. Tetapi karena ada n  1 bilangan  di  dalam S’ ,  total  ada  sebanyak  ( n  1)|s( n  1 ,  k  1)|  permutasi  dalam  bentuk perkalian siklus yang berbeda. Ini membuktikan rumus rekurensi di atas:
| s ( n , k )| = | s ( n  1, k  2)| + ( n  1)| s ( n  1, k  1)|.                         ■
3. Barisan Eigen Untuk Bilangan Stirling Jenis Kedua
Determinan- n ( Janjić , 2012) adalah alat untuk menyajikan suatu relasi rekurensi dalam notasi  matriks.  Di  sini  pembicaraan  dibatasi  pada  kasus n =  1.  Persisnya,    determinan-1 adalah determinan dari matriks berukuran r  r
P = 11 12 1, 1 1, 2, 1 2, 1, 1 1, , 1 0 1 0 0 0 0 1 r r r r r r r r r r p p p p
p p
p p p       
              
.                                 (17)
Entri-entri p 21 , p 32 , ..., p r , r  1 dari P semuannya bernilai  1, sedangkan untuk setiap indeks s > t , p s +1, t = 0. Dengan nilai awal a 1 , secara rekursif didefinisikan a 2 = p 11 a 1 , a 3 = p 12 a 1 + p 22 a 2 , ... a r +1 = p 1r a 1 + p 2 r a 2 + ... + p rr a r .
Lebih jauh, didefinisikan matriks baris berukuran r  ( r + 1) B r = [ a 1 a 2 ... a r , a r +1 ]
Janjić ( 2012) membuktikan bahwa
a r +1 = a 1 det ( P ) = , 1 r i r i i p a  
(18)

## Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
Diberikan barisan ( a n )  0 . Transformasi Stirling adalah transformasi yang merubah barisan  ( a n )  0 menjadi barisan ( b n )  0 sedemikian sehingga
b n = 0 ( , ) n k k S n k a   .
Menurut Bernstein dan Sloane (1995), terdapat suatu barisan { e n } n  0 yang invariant terhadap transformasi Stirling, yaitu memenuhi relasi rekurensi
e n +1 =
0 ( , ) n k k S n k e  
(19)
untuk n = 0, 1, 2, ... . Masalah yang muncul di sini adalah menentukan barisan { e n } n  0 yang invariant tersebut (disebut barisan eigen untuk bilangan Stirling).
Karena  persamaan  (19)  adalah  bentuk  khusus  dari  persamaan  (18),  maka  dengan  subsitusi barisan  { e n }  dan  { S ( n , k )}  pada  relasi  rekurensi  (19)  menggantikan  barisan  { a n } dan  { p n,k } pada relasi rekurensi (18), nilai-nilai e n bisa diperoleh dengan substitusi determinan
e n = (0, 0) (1, 0) (2, 0) ( 2, 0) ( 1, 0) 1 (1,1) (2,1) ( 2,1) ( 1,1) 0 1 (2, 2) ( 2, 2) ( 1, 2) 0 0 0 ( 2, 2) ( 1, 2) 0 0 0 1 ( 1, 1) S S S S n S n S S S n S n
S
S n S n S n n S n n S n n  
            
menggantikan determinan-1, yaitu det ( P ); pada relasi rekurensi ( Error! Reference source not found. ).

## 4. Analogi antara Operator Diferensi dan Operator Turunan
Definisi 24 .3 Jika f adalah fungsi bernilai real dan x , h   dengan h ≠ 0, ekspresi
( ) ( ) ( ) : h f x h f x f x h    
(20)
disebut diferensi dari f di x dengan pertambahan ( increment ) h .
) ( x f h  disebut juga hasil bagi diferensi dari f di x dengan pertambahan h .
Pembahasan diferensi yang terkait dengan faktorial turun (jadi terkait dengan factorial naik dan bilangan Stirling) bisa dilakukan pada kasus h = 1. Dalam kasus ini, diferensi 1  cukup ditulis  sehingga (20) menjadi
( ) : ( 1) ( ) f x f x f x     (21)
Dalam Kalkulus, Df ( x ); fungsi turunan pertama terhadap f didefinisikan sebagai limit ( )
( ) ,
(jika limit ini ada). Walaupun tidak berbentuk limit dan hanya pada kasus h = 1, operator  memiliki beberapa sifat yang mirip sekali dengan sifat-sifat operator turunan D :
a. 0
  c , untuk setiap fungsi konstant c b. ) ( )) ( ( x f c x cf   
Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
c. ) ( ) ( )) ( ) ( ( x g x f x g x f       d. 1    n n nx x e.     1 x x n n    f. x x 2 2   . (Carl Wagner, Basic Combinatorics). Karena  hanya  sifat d dan e yang  terkait  dengan  generalisasi  yang  telah  diuraikan sebelumnya,  maka hanya  kedua sifat ini yang akan dibuktikan. Bukti sifat d diperoleh dari ( Error!  Reference  source  not  found. )  dan  ( Error!  Reference  source  not  found. )  melalui langkah-langkah berikut
n x  = ( 1) n n x x   = ( x + 1)[ x ( x  1)…
2 ( 1 1) x n x n      ]  [ x ( x  1)…( x  n + 2)]( x  n + 1) = [( x + 1)  ( x  n + 1)][ x ( x  1)…( x  n + 2) = n 1 n x   . Dari ( Error! Reference source not found. ) dan hasil terakhir ini serta sifat b diperoleh sifat e berikut:
  x n  = ( 1) ( 1)
! x x x n n     = ! n x n  = 1 ! n x n  = 1 1 ! n nx n  = 1 ( 1)! n x n   =   1 x n  .
Keterkaitan  dengan  bilangan  Stirling  diperoleh  apabila  faktorial  turun  pada  salah  satu  ruas kesamaan dari sifat d dan e diganti ekspresi (6).
Konsep diferensi adalah analogi berbentuk diskrit dari konsep turunan yang kontinyu. Jadi  penerapan  konsep  bilangan  Stirling  pada  konsep  diferensi  juga  bisa  diterapkan  pada bentuk  diskrit  turunan  di  dalam  permusan  deret  Maclaurin.  Berdasarkan  rumus  deret Maclaurin, setiap fungsi f yang terdiferensial tak hingga kali memiliki nilai fungsi di  setiap titik t di sekitar (cukup dekat dengan) titik 0
0 0 1 ( ) ( ) ! k k k t f t D f t t k     
      (22)
Jika  rumus  di  atas  diterapkan  untuk  kasus f ( t )  = t n yang  merupakan  polinom  derajat n , diperoleh
D ( n +1) ( t n ) = f ( n +2) ( t n ) = ... = 0.
(turunan dari fungsi faktorial turun yang berderajat > n selalu nol) sehingga dalam kasus ini, bentuk deret tak hingga dari (22) menjadi polinom
0 0 1 ! n n k n k k t t D t t k    
     
Dari persamaan n t = 0 ( , ) n k k s n k t   dan 0 0 1 ! n n k n k k t t D t t k           diperoleh 0 1 ( , ) , ! k n t s n k D t k         (23)
Demikian pula
0 1 ( , ) ( 1) ! k n t
s n k D t n k    
     
n = 0, 1, ...; k = 0, 1, 2, ... .
Untuk kasus diskrit, analogi dari rumus deret Maclaurin (22) untuk fungsi f pada kasus kontinyu bisa diperoleh dengan menggunakan diferensi, yaitu
          0 0 ) ( ! 1 ) ( k k t k t t f k t f .
Karena untuk k > n berlaku  k t n = 0, maka
0 0 1 , 0,1,... ! n n k n n k t t t t n k            
Dari persamaan
t n = 0 ( , ) n k k S n k t   dan 0 0 1 , 0,1,... ! n n k n n k t t t t n k             diperoleh 0 1 ( , ) ! k n t S n k t k          (24)
k = 0, 1, 2, ..., n dan n = 0, 1, 2, ... .

## 5. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan  pembahasan  dan  studi  literatur  terhadap  konsep  bilangan  Stirling, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
A. Terdapat  berbagai  ekuivalensi,  analogi  atau  perluasan  konsep  yang  diturunkan  dari konsep bilangan Stirling.
1. Ekuivalensi berbagai  definisi bilangan Stirling. Pada khususnya, bilangan Stirling jenis pertama  tak bertanda bisa ditafsirkan sebagai banyaknya permutasi pada {1, 2, ..., n } yang terdiri atas k siklus, yaitu  | s ( n , k )|.
2. Hitung  diferensi  untuk  perhitungan  secara  diskrit  adalah  analogi  dari  pencarian turunan fungsi kontinyu terdiferensial. Dengan bantuan notasi faktorial turun, bisa ditunjukkan  banyak  kasus  di  mana  konsep  diferensi  untuk  perhitungan  secara diskrit adalah analogi dari konsep turunan fungsi kontinyu (terdiferensial).
3. Faktorial  turun n x adalah  analogi  dari  bentuk  pangkat x n .  Dengan  analogi  ini, konsep  fungsi  pembangkit  faktorial  dibangun  untuk  melengkapi  konsep  fungsi pembangkit biasa.
4. Faktorial turun n x adalah generalisasi dari koefisien binomial   x n .
B. Berbagai  konsep  matematika  memerlukan  bilangan  Stirling  sebagai  alat.  Sebagai contoh,  koefisien-koefisien  dari  deret  Maclaurin  untuk  fungsi f ( t )  = t n ,  ternyata adalah bilangan-bilangan  Stirling.  Sebaliknya  bilangan  Stirling  memerlukan  konsep matematika  lain  untuk  mengembangkannya.  Pada  khususnya,  konsep  determinan-1 diperlukan  sebagai  alat  untuk  mendapatkan  cara  alternatif  menurunkan  barisan  eigen

## Fifik Astuti, Loeky Haryanto, Hasmawati Basir
untuk  bilangan  Stirling  jenis  kedua  melalui  relasi  rekurensi a r +1 = , 1 r i r i i p a   yang  bisa
bisa dihitung dengan menggunakan determinan-1.
Untuk pengembangan konsep dan aplikasi bilangan Stirling, diberikan saran dan rekomendasi sebagai berikut:
1. Diharapkan  ada  penelitian  lanjutan  yang  lebih  menekankan  pada  aspek  aljabar  dari barisan bilangan Stirling, di luar aspek kombinatoriks seperti yang ditekankan di dalam tulisan ini.
2. Perlu  menggali  lebih  jauh  berbagai  kemungkinan  keterkaitan  konsep  bilangan  Stirling dengan konsep-konsep matematika yang lain, misalnya dengan mempelajari lebih lanjut konsep barisan eigen.
3. Karena  bilangan-bilangan  Stirling  memberikan  berbagai  analogi  dan  generalisasi konsep-konsep  matematika  yang  lain,  perlu  diteliti  analogi  dan  generalisasi  terhadap aplikasi yang sudah tercatat konsep-konsep matematika tersebut.
4. Dengan metoda berbeda dari metoda yang dibahas di sini, Stirling lebih dikenal karena berhasil  menerapkan  pendekatan  nilai n !  yang  digunakan  dalam  statistik  dan  teori peluang.  Dengan  demikian,  diharapkan  ada  penelitian  lain  yang  bisa  menghubungkan metoda  pendekatan  nilai n !  tersebut  dengan  metoda  penjabaran  bilangan-bilangan Stirling jenis pertama dan kedua di dalam tulisan ini, walaupun sejauh ini tidak terlihat adanya hubungan kedua metoda.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] M. Bernstein and N.J.A. Sloane (1995), “Some Canonical Sequences of Integers”, Linear Algebra and its Applications , Vol 226-228, pages 57-72
[2] Charalambides A. Charalambides (2002), “Enumerative Combinatorics”, CRC Press.
[3] Milan Janjić (2012), “Determinants and Recurrence Sequences”, Journal of Integer Sequences , Volume 15, Article 12.3.5
[4] Renzo Sprugnoli (2006),  “An Introduction toMathematical Methods in Combinatorics”, diunduh dari www.dsi.unifi.it/~resp/Handbook.pdf pada tanggal 2 Maret 2010
[5] Carl Wagner, “Basic Combinatorics”, Diunduh dari www.math.utk.edu/~wagner/papers/comb.pdf pada tanggal 25 September 2012.