## Penerapan Flower Pollination Algorithm dengan Teknik Clustering dalam Penyelesaian Masalah Diophantine
Implementation of Flower Pollination Algorithm with Clustering Technique for Solving Diophantine Problems
Rahmat Karim 1 , Salim 2 1 Program Studi Ilmu Komputer, Universitas Sembilanbelas November Kolaka
1 Program Studi Matematika, Universitas Sembilanbelas November Kolaka
E-mail: 1 rahmatkarim.usn@gmail.com, 2 salimmath@usn.ac.id

## Abstrak
Permasalahan Diophantine adalah  suatu  permasalahan  yang  diwakili  persamaan  atau  sistem persamaan yang memerlukan bilangan bulat non-negatif sebagai solusi. Permasalahan ini banyak dijumpai  di  berbagai  bidang  termasuk Computer  engineering seperti pengelolaan  jaringan  dan sinyal.  Akan  tetapi  belum  ada  metode  umum  yang  secara  efektif  dapat  menyelesaikan permasalahan Diophantine .    Tujuan  utama  dalam  penelitian  ini  adalah  untuk  melakukan penyesuaian  metode  FPAC  agar  FPAC  tidak  hanya  dapat  digunakan  pada  permasalahan Multimodal tetapi  juga  dapat  dijadikan  sebagai  alternatif  pada  permasalahaan Diophantine . Transformasi  persamaan  ataupun  sistem  persamaan  ke  dalam  bentuk  fungsi  optimasi  dan transformasi  output  bilangan  real  ke  bilangan  bulat  pada  setiap  tahapan  algoritma  merupakan kunci  utama  FPAC  dalam  menyelesaikan  permasalahan Diophantine .  Hasil  penelitian  ini menunjukan  bahwa  FPAC  dapat  menemukan  seluruh  solusi  dari  persamaan Diophantine baik persamaan yang memiliki jumlah variabel dan pangkat yang berbeda maupun persamaan dalam bentuk  eksponensial.    FPAC  juga  dapat  menemukan  seluruh  solusi  yang  tersedia  pada  sistem persamaan Diophantine baik yang berdimensi rendah (kasus 1) maupun dimensi tinggi (kasus 2 dan  3).  Secara  umum,  FPAC  terbukti  efektif  dalam  menyelesaikan  permasalahan Diophantine baik dalam bentuk persamaan maupun sistem persamaan yang memiliki solusi tunggal maupun jamak dalam sekali running .
Kata kunci: Flower Pollination Algorithm; Teknik Clustering; Permasalahan Diophantine

## Abstract
The Diophantine problem is a problem represented by an equation or system of equations that require  a  non-negative  integer  as  a  solution.  This  problem  is  often  found  in  various  fields, including computer engineering, such as network and signal management. However, there is no general method that can effectively solve the Diophantine problem. The main objective of this research  is  to  adjust  the  FPAC  method  so  that  FPAC  can  be  used  not  only  for  multimodal problems  but  also  as an  alternative to  Diophantine  problems.  Transformation  of  equations  or systems of equations into the form of optimization functions and transformation of real output numbers  to  integers  at  each  stage  of  the  algorithm  is  the  primary  key  to  FPAC  in  solving Diophantine problems. The results of this study indicate that FPAC can find all the solutions of the  Diophantine  equation,  both  equations  that  have  a  different  number  of  variables  and exponentials, as well as equations in exponential form. FPAC can also find all available solutions to the Diophantine equation system, both low-dimensional (case 1) and high-dimensional (cases 2 and 3). FPAC has proven effective in solving Diophantine problems in equations and systems of equations with single and multiple solutions in a single run..
Keywords: Flower Pollination Algorithm; Clustering technique; The Diophantine Problem

## 1. PENDAHULUAN
Pada  dasarnya  setiap  permasalahan  rumit  di  dunia  nyata  dapat  disimplifikasi  melalui pendekatan model matematika. Akan tetapi, model matematika tersebut hanya merepresentasikan masalah tetapi tidak serta-merta menginformasikan letak titik-titik equilibrium dari model. Titik- titik equilibrium adalah representasi solusi dari model yang umumnya tidak mudah ditemukan nilainya, baik disebabkan oleh kerumitan model maupun keunikan dari solusi [1].
Salah  satu  permasalahan  yang  sering  ditemukan  dalam  bidang engineering adalah permasalahan Diophantine .  Permasalahan Diophantine memainkan  peran  yang  sangat  penting dalam  bidang-bidang  khusus  seperti  kriptografi,  faktorisasi  bilangan  bulat,  teori  bilangan, geometri  aljabar,  teori  kontrol,  analisis  ketergantungan  data  pada  super  komputer,  komunikasi dan lain-lain [2][3][4]. Permasalahan Diophantine adalah permasalahan dalam bentuk persamaan ataupun  sistem  persamaan  yang  memerlukan  bilangan  bulat  positif  sebagai  solusi  [2]. Karakteristik solusi dalam bentuk bilangan bulat positif inilah yang menempatkan permasalahan Diophantine menjadi  permasalahan  yang  menarik  dan  menantang.  Secara  matematik,  jika 𝑥 adalah  bilangan  real  yang  memenuhi  suatu  persamaan  atau  sistem  persamaan  maka 𝑥 adalah solusi  yang  dimaksud.  Akan  tetapi 𝑥 tersebut  tidak  akan  dianggap  sebagai  solusi  pada permasalahan Diophantine .
Sebenarnya  para  matematikawan  sejak  dahulu  telah  menghadapi  masalah Diophantine secara analitik dengan menggunakan Euclidean Algorithm (EA) yang bekerja secara sistematis ataupun  rekursif  [5].  Akan  tetapi  metode  tersebut  hanya  bekerja  dengan  baik  pada  keadaan- keadaan  tertentu  saja,  misalnya  pada identitas  atau  lemma  Bezout .  Disisi  lain,  permasalahan Diophantine tidak hanya dalam bentuk persamaan linear tetapi juga dapat direpresentasikan oleh persamaan  ataupun sistem persamaan non-linear bahkan eksponensial yang umumnya memiliki lebih dari satu solusi.
Pemanfaatan  algoritma  yang  berbasis stokastik adalah  hal  yang  perlu  dilakukan  untuk mengatasi masalah  yang  umum  dijumpai  jika  menggunakan algoritma  yang  berbasis gradient . Algoritma metaheuristic yang merupakan salah satu jenis dari algoritma yang berbasis stokastik memiliki  dua  karakteristik  utama  yaitu Diversifikasi dan Intensifikasi .  Diversifikasi  atau exploration bermakna bahwa algoritma menyebarkan sejumlah calon solusi yang berbeda secara acak  untuk  mengeksplorasi    daerah  pencarian  pada  skala  global,  sedangkan Intensifikasi atau exploitation bermakna  bahwa  algoritma  fokus  melakukan  pencarian  pada  skala  lokal  dengan memanfaatkan  informasi  yang  diperoleh.  Kombinasi  dari  kedua  karakteristik  tersebut  yang menjamin setiap algoritma metaheuristik baik yang bersifat trajectory-based maupun population- based untuk selalu konvergen ke solusi optimal [6] . Beberapa  Algoritma metaheuristic seperti Genetic  algorithm (GA), Differential Evolution (DE), Cuckoo  search (CS),  dan Flower  Pollination  Algorithm (FPA)  merupakan algoritma  yang  dikembangkan  khusus  untuk  menyelesaikan  permasalahan  optimasi  global. Dalam hal penerapan, algoritma tersebut telah banyak dijumpai termasuk di bidang engineering. Akan  tetapi  algoritma-algoritma  tersebut  perlu  penyesuaian  atau  pengembangan  agar  dapat diterapkan pada permasalahan Diophantine .
Sibby Abraham menggunakan Ant Colony Optimization (ACO) untuk menemukan solusi numerik  dari  persamaan Diophantine .  ACO  diterapkan  pada  persamaan Diophantine dengan jumlah pangkat dan variabel yang berbeda. Hasil eksperimen menunjukan bahwa efektivitas ACO dalam  menyelesaikan  persamaan Diophantine cukup  baik  [7].  Oscar  Peres,  menggunakan Particle  Swarm  Optimization (PSO)  untuk  menemukan  solusi  numerik  dari  sistem  persamaan Diophantine .  PSO  diterapkan  pada  sistem  persamaan Diophantine dengan  jumlah  persamaan pembentuk sistem yang berbeda. Hasil eksperimen menunjukan bahwa PSO dapat menemukan solusi dari sistem persamaan Diophantine yang diujikan [5]. Meskipun kedua pendekataan di atas dapat menemukan solusi dari Persamaan dan Sistem Persamaan Diophantine akan tetapi masih dilakukan running berulang  kali  untuk  mendapatkan  seluruh  solusi  dari  permasalahan Diophantine yang diujikan.
Dmitry  Zaitsev  menyelesaikan  sistem  persamaan Diophantine linear  dengan memanfaatkan  aplikasi ParAd. Aplikasi  tersebut  dikembangkan  untuk  mendukung  komputasi paralel yang menerapkan konsep MPI dan OpenMP. Hasil simulasi numerik menunjukan bahwa metode  yang  diusulkan  10  kali  lebih  cepat  dibandingkan  dengan  aplikasi PardAd standar  [8]. Sementara Yui-Kwong Man melakukan pendekatan Top-Down untuk menyelesaikan persamaan Diophantine linear. Metode yang diusulkan ini lebih baik dari pendekatan Bottom-Up . Selain itu juga  pendekatan Top-Down dapat  dijadikan  sebagai  salah  satu  alternatif  pada  persamaan Diophantine linear  selain Euclidean  Algorithm (EA)  ataupun Extended  Euclidean  Algorithm (EEA) yang telah diterapkan pada berbagai disiplin ilmu [9].
Berdasarkan  hasil  penelusuran  literatur  di  atas,  ditemukan  bahwa  belum  ada  metode umum yang dapat menyelesaikan persamaan ataupun sistem persamaan Diophantine baik yang linear  maupun  non-linear  dalam  sekali running .  Oleh karena  itu  penelitian ini  perlu  dilakukan sebagai  gagasan  alternatif  pada  permasalahan Diophantine .  Sebagai  algoritma  optimasi  yang berbasis  metaheuristik, Flower  Pollination  Algorithm (FPA)  telah  banyak  diterapkan  pada berbagai  disiplin  ilmu  [10][11][12].  Selain  itu  juga,  FPA  telah  dimodifikasi  dengan  Teknik Clustering dan  terbukti  efektif  menemukan  semua  solusi  dari  masing-masing benchmark permasalahan  multimodal  dalam  sekali running [13].  Oleh  karena  itu,  pada    penelitian  ini diimplementasikan  hasil  modifikasi Flower  Pollination  Algorithm dengan  Teknik Clustering (FPAC) untuk menyelesaikan permasalahan Diophantine .

## 2. METODE PENELITIAN
Secara prosedural penelitian ini dibagi atas beberapa tahap yaitu: identifikasi masalah, pengumpulan data, analisis data, pengembangan FPAC, implementasi FPAC, simulasi numerik, pembahasan  dan  kesimpulan.    Pada  tahap  identifikasi  masalah  diperoleh  informasi  bahwa masalah Diophantine banyak diterapkan diberbagai disiplin ilmu akan tetapi belum ada metode umum  untuk  menyelesaikan  permasalahan Diophantine . Pengumpulan  dan  Analisis  data dilakukan  untuk mendukung tahapan pengembangan metode FPAC agar sesuai dengan masalah Diophantine . Tahapan pengembangan FPAC perlu dilakukan karena FPAC awalnya dimodifikasi untuk melokalisir semua solusi pada permasalahan Multimodal. Permasalahan Multimodal  dalam bentuk fungsi sementara Permasalahan Diophantine dalam bentuk persamaan, sehingga perlu ada transformasi  fungsi  objektif.  Selain  itu  juga  permasalahan Diophantine memerlukan  bilangan bulat non-negatif sebagai solusi sehingga perlu ada penyesuaian pada beberapa tahapan dalam FPAC. FPAC yang telah disesuaikan dengan permasalahan Diophantine kemudian dikonstruksi dalam bentuk program untuk mendukung tahapan simulasi numerik. Tahapan simulasi numerik difokuskan pada benchmark persamaan Diophantine dan sistem persamaan Diophantine .

## 2.1 Persamaan dan Sistem Persamaan Diophantine
Dalam  sejarahnya,  nama Diophantine adalah  bentuk  apresiasi  terhadap Diophantus sebagai orang yang pertama kali mempelajari persamaan Diophantine sekaligus meletakan risalah pertama  kali  tentang  Aljabar  dalam  karya  Buku Arithmetica .  Pada  praktiknya  masalah Diophantine ternyata  banyak  ditemukan  di  kehidupan  nyata  seperti  dalam  sistem  diskrit, pengecekan model, Bahasa formal dan logika automata, pemrograman, kriptografi, jaringan dan pengolahan sinyal [8].
Secara prinsip masalah Diophantine berkaitan erat dengan solusi persamaan atau sistem persamaan  dalam  domain  bilangan  bulat  atau  bilangan  rasional.  Yang  membedakan  adalah masalah Diophantine mensyaratkan  bilangan  bulat non-negatif sebagai  solusi.  Sebagai  sebuah sistem, masalah Diophantine dapat terbentuk oleh hanya satu persamaan atau beberapa persamaan yang terdiri dari satu atau beberapa variabel.
Misalkan, persamaan (1) adalah sistem persamaan Diophantine :
ℎ 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) = 0 ℎ 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) = 0 ⋮ ℎ 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) = 0 (1)
maka persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk vektor:
𝒉(𝒙) = 0 (2) Dimana 𝒉 = (ℎ 1 , ℎ 2 , ⋯ , ℎ 𝑛 ) 𝑇 dan 𝒙 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) 𝑇 . Solusi atau akar dari sistem persamaan Diophantine (2) adalah 𝒙 ∗ = (𝑥 1 ∗ , 𝑥 2 ∗ , ⋯ , 𝑥 𝑛 ∗ ) 𝑇 yang merupakan bilangan bulat non negatif dalam domain tertentu jika memenuhi 𝒉(𝒙 ∗ ) = 0 .

## 2.2 Masalah Optimasi
Masalah optimasi secara matematis dapat dituliskan dalam bentuk
𝑚𝑎𝑥/ min           𝑓 𝑖 (𝒙) , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 ℎ 𝑗 (𝒙) = 0 , 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑚
𝑔 𝑘 (𝒙) ≤ 0 , 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑟 (3)
dimana 𝑓 𝑖 (𝒙), ℎ 𝑗 (𝒙) dan 𝑔 𝑘 (𝒙) adalah fungsi dari 𝒙 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑑 ) ∈ ℝ 𝑑 dan vektor 𝒙 adalah variabel keputusan [6].
Dengan  menggunakan  konsep  yang  dikemukakan  oleh  Aggarwal  [14]  maka  masalah sistem  persamaan Diophantine (persamaan  2)  dapat  ditransformasi  ke  dalam  bentuk    masalah optimasi.
𝐻(𝒙) = 𝐻(𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) = 1 1 + ∑ |ℎ 𝑖 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 )| 𝑛 𝑖=1 = 1 1 + ∑ |ℎ 𝑖 (𝒙)| 𝑛 𝑖=1 Jika  ditemukan 𝒙 ∗ yang  menyebabkan 𝑯(𝒙 ∗ ) = 1 ,  maka 𝒙 ∗ adalah  solusi  maksimum global dari 𝐺(𝒙) . Hal ini sekaligus memberikan informasi bahwa 𝒙 ∗ adalah solusi atau akar-akar dari  persamaan (2) yang memenuhi sistem ℎ 𝑖 (𝒙 ∗ ) = 0 untuk 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 .

## 2.3 Flower Pollination Algorithm (FPA)
Flower  pollination  Algorithm (FPA)  adalah  algoritma  metaheuristik  berbasis  populasi yang masuk  dalam  kelompok swarm  intelligence .  Seperti algoritma metaheristik lainnya,  FPA juga terinspirasi dari Alam yaitu proses penyerbukan. Algoritma ini dikembangkan Xin-She Yang pada tahun 2012 untuk menyelesaikan permasalahan optimasi global[15].
Sebagai sebuah metode yang terinspirasi dari alam, karakteristik dari FPA berasal dari empat asumsi berikut, yaitu:
(4)
1. Penyerbukan  global  ( Global  Pollination )  adalah  proses  penyerbukan  di  alam  yang  dapat terjadi  secara  biotik  atau  secara  silang  dengan  bantuan  pollinator  sebagai    agen  utama. Pergerakan pollinator diasumsikan mengikuti gerak Levy .
2. Penyerbukan lokal ( local pollination ) adalah proses penyerbukan di alam yang dapat terjadi secara abiotik atau secara sendiri.
3. Pollinator  sebagai  agen  utama  memiliki  sifat  cerdas  yang  dapat  mengenali    bunga  sejenis sehingga menjamin terjadinya reproduksi secara proporsional pada penyerbukan Global.
4. Switch  probability 𝑝 ∈ [0,1] mengatur  terjadinya  proses  penyerbukan  global  atau  proses penyerbukan lokal.
Secara matematis, penyerbukan Global dan Penyerbukan Lokal, mengikuti persamaan (5) dan (6) berikut:
𝒙 𝑖 𝑡+1 = 𝒙 𝑖 𝑡 + 𝛾𝑳(𝜆)(𝒈 ∗ − 𝒙 𝑖 𝑡 )                                                (5) 𝒙 𝑖 t+1 = 𝒙 i t + ϵ(𝐱 j t − 𝒙 k t )                                                         (6) Keterangan:
𝒙 𝑖 𝑡 : solusi ke i pada iterasi ke t 𝒈 ∗ : adalah solusi terbaik sementara pada setiap iterasi t 𝑳 : ukuran langkah pollinator (step size) yang berdistribusi Levy 𝛾 : skala yang mengatur gerak Levy λ : parameter gerak Levy ( 1 ≤ λ ≤ 2 ) 𝒙 𝑗 𝑡 : serbuk sari yang berasal dari bunga j pada tanama yang sama 𝒙 𝑘 𝑡 : serbuk sari yang berasal dari bunga k pada tanaman yang sama ϵ : random walk yang berdistribusi 𝑈(0,1 )
Misalkan  terdapat  masalah  optimasi  yang  bersesuaian  dengan  persamaan  3,  maka flowchart dari Flower Pollination Algorithm untuk permasalahan optimasi global adalah sebagai berikut:

## 2.4 Teknik Clustering
Algoritma FPA meskipun bekerja secara berkelompok dalam mencari solusi, akan tetapi tidak bisa menemukan semua solusi sekaligus dalam satu kali proses running . Artinya jika ingin mendapatkan  solusi  lain  maka  proses  pencarian  perlu  dilakukan  berulang.  Mengingat  solusi dalam sistem persamaan Diophantine tidak hanya satu maka diperlukan teknik Clustering untuk melokalisir  kluster-kluster  potensial  yang  kemungkinan  mengandung  solusi.  Pada  umumnya algoritma  metaheuristik  dikombinasikan  dengan  teknik Niching seperti Fitness  sharing , Crowding, Derating, dan Speciation [16].
Pada  penelitian  ini  ,  kami  menggunakan  teknik Clustering yang  dikembangkan  oleh Sidarto  [17].  Teknik  Clustering  adalah  proses  pengelompokan  berdasarkan  kesamaan  anggota dalam satu populasi. Pada prosesnya, teknik Clustering bertugas khusus untuk memetakan daerah potensial dalam suatu area pencarian. Daerah-daerah potensial kemudian menjadi pusat kluster yang mendukung terbentuknya sub-sub kluster. Kluster pada penelitian ini didefinisikan sebagai semua vektor-vektor 𝒚 yang memenuhi |𝒙 − 𝒚| < 𝜌 dimana 𝒙 adalah pusat kluster dan 𝜌 adalah jari-jari  kluster.  Kemampuan  teknik Clustering dalam  melokalisir  daerah  potensial    terbukti efektif untuk menemukan semua solusi fungsi multimodal baik untuk benchmark dimensi rendah maupun dimensi tinggi [13].

## 2.5 Flower Pollination Algorithm dengan Teknik Clustering untuk Permasalahan Diophantine
FPAC  dalam  [13]  tidak  dapat  langsung  digunakan  untuk  permasalahan Diophantine , karena  permasalahan  multimodal  berbentuk  fungsi,  sementara  permasalahan Diophantine berbentuk persamaan ataupun sistem persamaan baik yang linear, nonlinear. Selain itu juga, solusi yang diharapkan pada permasalahan multimodal adalah akar persamaan atau sistem persamaan yang  merupakan  bilangan  bulat non-negatif .  Oleh  karena  itu  beberapa  tahapan  pada  FPAC dikembangkan sebelum disimulasikan pada benchmark persamaan Diophantine ataupun sistem persamaan Diophantine .
Misalkan  terdapat  permasalahan Diophantine dalam  bentuk  persamaan  ataupun  sistem persamaan yang bersesuaian dengan persamaan 2, maka metode FPAC untuk menemukan semua solusi dari permasalahan Diophantine dalam sekali running adalah adalah sebagai berikut:
I. Input
𝑚 𝑑𝑖 , 𝛾 𝑑𝑖 , 𝜆 𝑑𝑖 , 𝑝 𝑑 , 𝑘 𝑑𝑖 : Parameter FPAC (diversifikasi) 𝑚 𝑖𝑛 , 𝛾 𝑖𝑛 , 𝜆 𝑖𝑛 , 𝑝 𝑖𝑛 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 : Parameter FPAC (intensifikasi) 𝜀 𝑐𝑠 (0 < 𝜀 𝑐𝑠 < 1) : Parameter FPAC (elitis: calon solusi) 𝛿 𝑠 (0 < 𝛿 𝑠 < 1) : Parameter FPAC (elitis: solusi)
II. Proses Transformasi fungsi objektif
1. Definisikan permasalahan Diophantine sesuai persamaan 4 Tahap diversifikasi
2. Bangkitkan populasi awal 𝒙 𝑖 (0) ∈ ℝ 𝑛 , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 𝑑𝑖 dalam daerah pencarian, dimana 𝐷 ⊂ ℝ 𝑛 , dan atur 𝑘 𝑑𝑖 = 0 3. Atur fitness terbaik 𝒙 ∗ = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝒙 𝑖𝑔 (0)) , 𝑖 𝑔 = arg max 𝐹(𝒙 𝑖 (0)) , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 𝑑𝑖 sebagai pusat kluster awal dengan jari-jari 𝑟 = 1 2 (𝑚𝑖𝑛|𝑏 𝑙 − 𝑎 𝑙 |) , 𝑙 = 1,2, ⋯ , 𝑛 .
4. Untuk setiap 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑚 𝑑𝑖 lakukan:
Jika 𝒙 𝑖 bukan  pusat  kluster  yang  ada,  maka  lakukan fungsi  clustering berikut  dengan 𝒙 𝑖 sebagai input. Asumsikan 𝒚 = 𝒙 𝑖 , maka pada fungsi clustering lakukan: 4.1. Temukan pusat kluster yang terdekat dengan 𝒚. Asumsikan pusat kluster tersebut adalah
𝒙 𝑐 . 4.2. Atur 𝒙 𝑚 sebagai vektor yang terletak di tengah-tengah 𝒙 𝑐 dan 𝒚
4.3. Bandingkan nilai fungsi 𝐹(𝒙 𝑚 ) , 𝐹(𝒙 𝑐 ) dan 𝐹(𝒚) :
4.3.1 Jika 𝐹(𝒙 𝑚 ) < 𝐹(𝒙 𝑐 ) dan 𝐹(𝒙 𝑚 ) < 𝐹(𝒚) maka 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝒚) adalah pusat kluster baru dengan    jari-jari 𝜌 = ‖𝒙 𝑚 − 𝒚‖ 4.3.2 Jika 𝐹(𝒙 𝑚 ) > 𝐹(𝒙 𝑐 ) dan 𝐹(𝒙 𝑚 ) > 𝐹(𝒚) maka 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝒚) adalah pusat kluster baru dengan        jari-jari 𝜌 = ‖𝒙 𝑚 − 𝒚‖ .  Lakukan  kembali fungsi  clustering (langkah  4) dengan 𝒙 𝑚 sebagai input 𝒚 = 𝒙 𝑚 .
4.3.3 Jika 𝐹(𝒚) > 𝐹(𝒙 𝑐 ) maka update pusat kluster terdekat 𝒙 𝑐 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝒚) , begitupun dengan    jari-jari 𝒙 𝑐 yaitu 𝜌 = ‖𝒙 𝑚 − 𝒚‖
5. Lakukan perubahan pada populasi awal untuk mengeksplorasi pusat kluster potensial lainnya.
for 𝑖 = 1: 𝑚 𝑑𝑖 if 𝑟𝑎𝑛𝑑 < 𝑝
𝑳(𝜆) = 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛(1, 𝑛) × [ 𝑟(1+𝜆) 𝜆𝑟(1+𝜆)/2 × 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝜆/2)
2 (𝜆−1)/2 ] 1/𝜆 |𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛(1, 𝑑)| 1/𝜆
𝒙 𝑖 𝑡+1 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑(𝒙 𝑖 𝑡 + 𝛾𝑳(𝜆)(𝒈 ∗ − 𝒙 𝑖 𝑡 )) else 𝜖~𝑈[0,1] 𝒙 𝑖 𝑡+1 = 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑 (𝒙 𝑖 𝑡 + 𝜖(𝒙 𝑗 𝑡 − 𝒙 𝑘 𝑡 ))
end if end for
6. Lakukan langkah 4-6 sebanyak 𝑘 𝑑𝑖 kali
Tahap intensifikasi 7. Bentuk kluster 𝐶 1 , 𝐶 2 , ⋯ , 𝐶 𝑛 𝑘 pada setiap pusat kluster 𝒙 𝐶 𝑖 dengan jari-jari adaptif 𝜌 𝑖 , dimana 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 𝐶
8. Lakukan  optimasi  pada  setiap  kluster  potensial 𝐶 1 , 𝐶 2 , ⋯ , 𝐶 𝑛 𝑘 dengan  menggunakan algoritma FPA dimana  setiap  vektor  hasil global  pollination ataupun local  pollination ditransformasi ke dalam bentuk bilangan bulat.
Tahap elitis
9. Simpan solusi optimum atau calon solusi (𝒙 𝑐𝑠 ) yang hanya memenuhi 1 − 𝐹(𝒙) < 𝜀 𝑐𝑠 10. Solusi dari persamaan atau sistem persamaan Diophantine adalah calon solusi pada 𝑛 𝑔 yang memenuhi ‖𝒙 𝑖 − 𝒙 𝑗 ‖ > 𝛿 𝑠 untuk 𝑖, 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛 𝑔 . Untuk keadaan dimana ‖𝒙 𝑖 − 𝒙 𝑗 ‖ < 𝛿 , maka 𝒙 𝑖 adalah solusi jika 𝐹(𝒙 𝑖 ) > 𝐹(𝒙 𝑗 ) , Jika tidak maka solusi adalah 𝒙 𝑗 . III. Output
Solusi dari persamaan atau sistem persamaan Diophantine adalah 𝒙 yang memenuhi 𝐹(𝒙) ≈ 1 atau 𝒇(𝒙) = 0 dimana 𝒙 adalah bilangan bulat.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Jenis  masalah Diophantine yang  paling  sederhana  adalah Diophantine dalam  bentuk persamaan linear dua variabel yaitu 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑥 2 = 𝑐 dimana 𝑎 , 𝑏 dan 𝑐 bilangan bulat. Solusi dari persamaan tersebut adalah pasangan bilangan bulat non-negatif yang memenuhi 𝑎𝑥 1 + 𝑏𝑥 2 = 𝑐 . Misalkan  diberikan  persamaan Diophantine linear  sederhana 3𝑥 1 + 6𝑥 2 = 18 yang memiliki  salah  satu  solusi 𝑥 1 = 4 dan 𝑥 2 = 1 dalam  daerah  pencarian {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 10} . Proses  penyelesaian  secara  bertahap  dengan  menggunakan  metode  FPAC  untuk  mendapatkan seluruh solusi yang tersedia dalam sekali running adalah sebagai berikut:
I. Input
1. Parameter diversifikasi
𝑚 𝑑𝑖 = 100 , 𝛾 𝑑𝑖 = 1 , 𝜆 𝑑𝑖 = 1.5 , 𝑝 𝑑𝑖 = 0.8 , 𝑘 𝑑𝑖 = 3 𝑚 𝑑𝑖 adalah banyaknya populasi awal yang disebar dalam daerah pencarian untuk mendapatkan  pusat  kluster  potensial. 𝜆 𝑑𝑖 adalah  parameter  dari Levy  flight sedangkan 0 ≤ 𝛾 𝑑𝑖 ≤ 1 adalah parameter dalam FPA yang mengatur besaran langkah atau skala dari Levy flight ( Global pollination ). 𝑝 𝑑𝑖 adalah switch parameter yang menentukan seberapa besar local dan global  pollination digunakan  dalam  FPA. 𝑘 𝑑𝑖 adalah  parameter  yang digunakan untuk memperbesar peluang ditemukan pusat kluster potensial lainnya dalam daerah pencarian.
2. Parameter Intensifikasi
𝑚 𝑖𝑛 = 25 , 𝛾 𝑖𝑛 = 𝛾 𝑑𝑖 , 𝜆 𝑖𝑛 = 𝜆 𝑑𝑖 , 𝑝 𝑖𝑛 = 𝑝 𝑑𝑖 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑚 𝑖𝑛 adalah  banyaknya  populasi  yang  dibentuk  dalam  setiap  kluster  potensial. 𝑘 𝑚𝑎𝑥 adalah  banyaknya  iterasi  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  solusi  optimum dalam  setiap  kluster  potensial.  Sedangkan 𝛾 𝑑𝑖 , 𝜆 𝑖𝑛 ,  dan 𝑝 𝑖𝑛 memiliki  penjelasan  yang sama dengan parameter diversifikasi .
3. Parameter elitis
𝜀 𝑒𝑙 = 10 −6 , 𝛿 𝑒𝑙 = 10 −2
𝜀 𝑒𝑙 adalah parameter yang digunakan untuk menyeleksi calon solusi karena tidak semua solusi optimum pada setiap kluster potensial adalah calon solusi yang diharapkan. Sedangkan 𝛿 𝑒𝑙 adalah parameter untuk menyeleksi solusi dari calon solusi. Parameter ini juga dapat menyeleksi solusi yang bertumpuk diposisi yang sama.
II. Proses
1. Berdasarkan  persamaan  4  maka  bentuk  fungsi  objektif  dari  persamaan Diophantine 3𝑥 1 + 6𝑥 2 = 18 yaitu:
𝑓 𝑜𝑏𝑗 = 1 1 + |3𝑥 1 + 6𝑥 2 − 18|
2. Populasi  awal  dibentuk  secara  acak  sebanyak 𝑚 𝑑𝑖 = 100 individu  dalam  daerah pencarian 𝐷 = {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 10} .
3. Individu  yang  memberikan  nilai fitness ( 𝑓 𝑜𝑏𝑗 )  terbaik  adalah  pusat  kluster  potensial pertama dalam daerah pencarian. Pada tahap ini, 1 dari 100 individu yang dibangkitkan terpilih sebagai pusat kluster potensial pertama ( 𝒙 𝑐1 ).
4. Untuk mendapatkan  pusat kluster  potensial  lainnya, dilakukan fungsi clustering sesuai langkah 4.1 - 4.3. Fungsi clustering melakukan seleksi pada 99 individu yang tersisa. Fungsi clustering secara detail dapat dijelaskan sebagai berikut:
4.1 Diantara 99 individu yang tersisa, individu yang paling dekat dengan pusat kluster yang tersedia ( 𝒙 𝑐1 ) akan terpilih sebagai calon pusat kluster potensial ( 𝒚 1 ) yang perlu diuji.
4.2 Di tengah-tengah antara pusat kluster terdekat ( 𝒙 𝑐1 ) dan calon pusat kluster potensial ( 𝒚 1 ) , dibentuk calon pusat kluster potensial lainnya ( 𝒙 𝑚1 ). 4.3 Nilai fitnes ( 𝑓 𝑜𝑏𝑗 )  dari 𝒙 𝑐1 , 𝒚 1 dan 𝒙 𝑚1 akan dibandingkan. 𝒚 1 akan terpilih sebagai pusat  kluster  potensial  baru  ( 𝒙 𝑐2 )  jika  memenuhi  kondisi  4.3.1. 𝒙 𝑚1 akan  terpilih menjadi  pusat  kluster  potensial  baru  ( 𝒙 𝑐2 )  jika  memenuhi  kondisi  4.3.2. 𝒚 1 dapat menggantikan pusat 𝒙 𝑐1 jika memenuhi kondisi 4.3.3. Setiap pusat kluster memiliki jari-jari adaptif ( 𝜌 ).
5. Untuk mendapatkan pusat kluster potensial lainnya, dilakukan perubahan populasi awal melalui skema local dan global pollination pada FPA.
6. Langkah 4-5 dilakukan sebanyak 𝑘 𝑑𝑖 = 3 kali. Banyaknya inputan 𝑘 𝑑𝑖 tergantung pada kerumitan  masalah  dan  luasnya  daerah  pencarian.  Pada  tahap  ini  diperoleh  11  pusat kluster potensial dengan jari-jari adaptif ( 𝜌 ) yang ditunjukan oleh tabel 1 (Langkah 1-6).
7. Pada setiap pusat kluster potensial dibentuk kluster dengan luas berbeda sesuai jari-jari ( 𝜌 )  dari masing-masing pusat kluster. Setiap kluster potensial yang terbentuk memiliki populasi yang sama yaitu 𝑚 𝑖𝑛 = 25 . Ukuran populasi pada kluster potensial bergantung kerumitan masalah.
8. Pada setiap kluster yang terbentuk dilakukan optimasi global sesuai algoritma FPA. Jika terdapat  11  kluster  maka  akan  menghasilkan  11  hasil  optimum  juga.  Hasil  Optimasi Global pada setiap kluster tersebut ditunjukan oleh tabel 1 (Langkah 7-8).
9. Hasil  optimasi  dengan  FPA  akan  menjadi  calon  solusi  jika  memenuhi  kondisi 1 − 𝐹(𝒙) < 𝜀 . Pada kasus ini keseluruhan hasil optimasi global memenuhi syarat untuk menjadi calon solusi. 11 calon solusi yang terpilih dapat dilihat pada tabel (Langkah 9).
10. Untuk menghindari tumpukan solusi pada posisi yang sama maka dilakukan seleksi. Pada tabel 1 (Langkah 10) dapat diketahui solusi 𝑥 1 = 4 dan 𝑥 2 = 1 dapat berasal dari kluster 1, dan 4. Solusi 𝑥 1 = 2 dan 𝑥 2 = 2 dapat berasal dari kluster 2,5,6,7,9 dan 10. Solusi 𝑥 1 = 6 dan 𝑥 2 = 0 hanya berasal dari kluster 3, dan solusi 𝑥 1 = 0 dan 𝑥 2 = 3 berasal dari kluster 8 dan 11.
III. Output
Dengan  menggunakan  metode  FPAC  maka  ditemukan  4  solusi  yang  tersedia  dalam daerah pencarian 𝐷 = {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 10} pada persamaan Diophantine 3𝑥 1 + 6𝑥 2 = 18 . Secara lebih rinci gambaran umum proses metode FPAC untuk permasalahan Diophantine ditunjukan oleh tabel 1 berikut:
Tabel 1. Tahapan metode FPAC dalam menemukan semua solusi persamaan Diophantine sederhana dalam sekali running N o Langkah 1 - 6 Langkah 7 - 8 Langkah 9 Langkah 10 Pusat Kluster Jari-Jari Kluster ( 𝜌 ) Hasil Optimasi FPA Calon Solusi Solusi 𝑥 1𝐶 𝑥 2𝐶 𝑥 1 𝑜𝑝𝑡 𝑥 2 𝑜𝑝𝑡 𝑓 𝑜𝑏𝑗 𝑥 1 𝑐𝑠 𝑥 2 𝑐𝑠 𝑓 𝑜𝑏𝑗 𝑥 1 𝑠 𝑥 2 𝑠 𝑓(𝒙) = 3𝑥 1 + 6𝑥 2 = 18 1 3.6235 1.3719 1.1221 4 1 1 4 1 1 4 1 18 2 4.0893 0.9936 1.4613 2 2 1 2 2 1 2 2 18 3 5.3274 0.3264 2.3420 6 0 1 6 0 1 6 0 18 4 4.4487 0.7811 0.3955 4 1 1 4 1 1 - - - 5 2.6641 1.6624 1.5701 2 2 1 2 2 1 - - - 6 1.8657 2.1396 4.0193 2 2 1 2 2 1 - - - 7 2.6053 1.8082 0.1571 2 2 1 2 2 1 - - - 8 0 2.9482 0.9174 0 3 1 0 3 1 0 3 18 9 1.2438 2.1797 0.6232 2 2 1 2 2 1 - - - 10 0 4.3243 1.7262 2 2 1 2 2 1 - - - 11 0 3.4069 0.0266 0 3 1 0 3 1 - - - 3.1 Simulasi Numerik
Kontribusi penelitian ini adalah terletak pada kemampuan Flower Pollination Algorithm with  Clustering (FPAC)  dalam  menemukan  semua  solusi  permasalahan Diophantine dengan sekali running .  Untuk  mengkonfirmasi  hal  tersebut  maka,  FPAC  diuji  pada  2  bentuk permasalahan Diophantine yaitu benchmark persamaan Diophantine dengan  3  kondisi:  (1) persamaan dengan jumlah variabel yang berbeda tetapi pangkatnya sama; (2) persamaan dengan besaran  pangkat  yang  berbeda  tapi  jumlah  variabelnya  sama;  (3)  persamaan  dengan  jumlah variabel  dan  pangkat  yang  berbeda  tapi  dalam  bentuk  eksponensial,  dan Benchmark Sistem Persamaan Diophantine dengan  2  kondisi:  (1)  sistem  persamaan Diophantine dimensi  rendah; dan (2) Sistem persamaan Diophantine dimensi tinggi.
3.1.1. Simulasi Numerik pada Benchmark Persamaan Diophantine
Metode FPAC sangat bergantung pada tahap diversifikasi, dimana pada  tahap tersebut pusat-pusat  kluster  potensial  akan  ditemukan  berdasarkan  sebaran  populasi  awal  yang dibangkitkan  secara  acak.  Pada  tahap  intensifikasi  juga  terdapat  tahap  pembangkitan  populasi untuk setiap pusat kluster potensial sebelum dilakukan proses optimasi dengan FPA. Oleh karena itu, penentuan parameter sangat penting dalam metode FPAC. Penggunaan parameter yang tidak
tepat  dapat  mempengaruhi  kemampuan  FPAC  dalam  menemukan  jumlah  solusi  permasalahan Diophantine .  Inputan  parameter  dalam  penelitian  ini,  diklaim  efektif  jika  FPAC  dapat menemukan seluruh solusi yang tersedia pada benchmark yang diujikan dalam sekali running . Beberapa  hal  yang  perlu  dipertimbangkan  dalam  menentukan  parameter metode FPAC  adalah luas daerah pencarian, kerumitan fungsi objektif dan efisiensi kinerja algoritma.
Dengan  menggunakan  parameter  berikut: 𝑚 𝑑𝑖 = 500 , 𝑘 𝑑𝑖 = 5 , 𝑚 𝑖𝑛 = 35 , 𝑝 𝑖𝑛 = 0.8 , 𝜆 𝑖𝑛 = 1.5 , 𝜀 𝑐𝑠 = 10 −6 , 𝛿 𝑠 = 10 −2 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 200 ,  dan  daerah  pencarian  solusi  berada  dalam rentang [1 − 30] , maka hasil simulasi numerik dari persamaan Diophantine dengan kondisi (1) dan (2) yang ditemukan oleh FPAC, dapat dilihat pada tabel 2 dan tabel 3.
Tabel  2.  Solusi  yang  ditemukan  pada benchmark persamaan Diophantine dengan  jumlah  variabel  yang berbeda menggunakan FPAC dalam sekali running (kondisi 1)
No Persamaan Diophantine Jumlah Variabel Sampel Solusi Yang Ditemukan Jumlah Solusi Yang Ditemukan 1 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 = 149
2 𝑥 1 𝑥 2 7 10 1
2 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + 𝑥 3 2 = 244
3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 6 8 12 1 3 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑥 4 2 = 295 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 3
5 6 15 1 1 2 17 3 6 9
13
5
5 7 14
1 7 7 14 10 4 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑥 6 2 = 420 6 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 3 3 6 7 11 14 2 2 4 10 10 14 1 1 7 10 10 13 1 1 2 5 10 17 1 5 5 7 8 16 > 50 5 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑥 8 2 = 590 8 𝑥 1 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑥 7 𝑥 8 2 2 3 6 7 8 10 18 1 2 4 6 8 8 9 18 1 5 7 7 7 10 11 14 1 1 2 3 9 10 13 15 1 1 5 5 10 11 11 14
> 80
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  2  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat menemukan semua solusi yang tersedia pada persamaan 1-3, dan menemukan lebih dari 50 solusi yang tersedia pada persamaan 4 serta lebih dari 80 solusi yang tersedia pada persamaan 5. Jumlah variabel yang berbeda yang membentuk persamaan Diophantine cukup mempengaruhi kemampuan  FPAC  dalam  menemukan  sebanyak  mungkin  solusi  yang  tersedia  dalam  sekali running .
Tabel  3.  Solusi  yang ditemukan  pada benchmark persamaan Diophantine dengan  besaran  pangkat  yang berbeda menggunakan FPAC dalam sekali running (kondisi 2)
No Persamaan Diophantine Besaran Pangkat Sampel Solusi Yang Ditemukan Jumlah Solusi Yang Ditemukan 1 𝑥 1 3 + 𝑥 2 3 = 1008 3 2, 10 1 2 𝑥 1 5 + 𝑥 2 5 = 19932 5 5, 7 1
3 𝑥 1 7 + 𝑥 2 7 = 4799353 7 4, 9 1 4 𝑥 1 9 + 𝑥 2 9 = 1000019683 9 3, 10 1 5 𝑥 1 10 + 𝑥 2 10 = 1356217073 10 7, 8 1
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  3  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat  menemukan  semua  solusi  yang  tersedia  pada  persamaan  1-5,  dimana  keseluruhan persamaan yang diujikan memiliki masing-masing 1 solusi. Jumlah variabel yang sama dengan besaran  pangkat  berbeda  yang  yang  membentuk  persamaan Diophantine tidak  mempengaruhi kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia dalam sekali running .
Dengan  menggunakan  parameter  berikut: 𝑚 𝑑𝑖 = 500 , 𝑘 𝑑𝑖 = 5 , 𝑚 𝑖𝑛 = 35 , 𝑝 𝑖𝑛 = 0.8 , 𝜆 𝑖𝑛 = 1.5 , 𝜀 𝑐𝑠 = 10 −6 , 𝛿 𝑠 = 10 −2 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 200 ,  dan  daerah  pencarian  solusi  berada  pada rentang [0 − 10] , maka hasil simulasi numerik dari persamaan Diophantine dengan kondisi (3) yang ditemukan FPAC, dapat dilihat pada tabel 4.
Tabel  4.  Solusi  yang  ditemukan  pada benchmark persamaan Diophantine (bentuk  eksponensial) menggunakan FPAC dalam sekali running (kondisi 3)
No Persamaan Diophantine Jumlah Variabel Sampel Solusi Yang Ditemukan Jumlah Solusi Yang Ditemukan 1 1 + 5 𝑥 1 = 3 𝑥 2 + 3 𝑥 3 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3
1
1 1 0 0 0
2
2 13 𝑥 1 + 7 𝑥 2 = 3 𝑥 3 + 5 𝑥 4 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4
0
0 0 0 1
0 2 1
0 1 1 1 3 3 5 𝑥 1 + 5 𝑥 2 = 3 𝑥 3 + 7 𝑥 4 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4
1
1 1 1 1
1 2 0
1 5 6 3 5 1 6
4 3
1 4 2
3
3 5 1 2
2 0 2
0
0 0 0
1 3 4 2 9 4 1 + 2 𝑥 1 + 7 𝑥 2 = 3 𝑥 3 + 5 𝑥 4 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4
1
0 1 0 5 0 2 2 1 2 3 2 5 2 4 0 1 1 2 0 3 0 2 0 2 0 0 1 7 5 5 𝑥 1 + 5 𝑥 2 + 3 𝑥 3 = 3 𝑥 4 4 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4
2
0 0 3 0
1 1 2
0 0 0 1 1 0 1 2 0 2 0 3 5
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  4  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat  menemukan  semua  solusi  yang  tersedia  pada  persamaan  1-5,  meskipun  masing-masing persamaan yang diujikan memiliki jumlah solusi yang berbeda. Persamaan Diophantine dalam bentuk  eksponensial  dengan  jumlah  variabel  berbeda,  tidak mempengaruhi  kemampuan  FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia dalam sekali running.

## 3.1.2. Simulasi Numerik Benchmark Sistem Persamaan Diophantine
FPAC  juga  evaluasi  efektifitasnya  melalui  permasalahan Diophantine dalam  bentuk sistem persamaan dengan ukuran dimensi yang berbeda yaitu rendah (kasus 1) dan tinggi (kasus 2 & 3).
3.1.2.1 Kasus 1: Sistem persamaan Diophantine yang  berdimensi 2𝑥3
Diberikan sebuah sistem persamaan (7) sebagai berikut:
𝑥 1 + 𝑥 2 2 − 𝑥 3 = 115 4𝑥 1 + 8𝑥 2 + 7𝑥 1 2 = 335 dimana daerah pencarian 𝐷 = {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 30} .
Metode FPAC adalah gabungan antara metode FPA dengan Teknik Clustering . Tahapan Global  dan  local pollination pada  FPA  sangat  sensitif  terhadap  parameter  karena  dapat mempengaruhi  pergerakan  individu  dalam  daerah  pencarian  [18].  Hal  yang  sama  juga  dapat terjadi pada FPAC. Pada dasarnya, semakinn rapat sebaran populasi awal pada daerah pencarian di  tahap  diversifikasi,  semakinn  besar  peluang  ditemukannya  pusat  kluster  potensial,  tetapi computational cost dari FPAC akan semakin tinggi. Oleh karena itu, pemilihan parameter FPAC pada setiap kasus dapat berbeda bergantung dengan kualitas permasalahan yang dihadapi.
Dengan  menggunakan  parameter  berikut: 𝑚 𝑑𝑖 = 500 , 𝑘 𝑑𝑖 = 5 , 𝑚 𝑖𝑛 = 35 , 𝑝 𝑖𝑛 = 0.8 , 𝜆 𝑖𝑛 = 1.5 , 𝜀 𝑐𝑠 = 10 −6 , 𝛿 𝑠 = 10 −2 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 100 ,  maka  solusi  dari  sistem  persamaan Diophantine (kasus 1) yang ditemukan oleh FPAC dapat dilihat pada tabel 5 berikut.
Tabel 5. Solusi yang ditemukan pada benchmark sistem persamaan Diophantine yang berdimensi rendah
(2x3)  menggunakan FPAC dalam sekali running
No 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑓 1 (𝒙) 𝑓 2 (𝒙) 1 20 10 5 115 335
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  5  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat menemukan semua  solusi  yang tersedia  dalam  sekali running pada  permasalahan  sistem persamaan Diophantine dimensi rendah (kasus 1). Sistem persamaan Diophantine dengan ukuran 2x3 tidak mempengaruhi kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia.
3.1.2.2 Kasus 2: Sistem persamaan Diophantine yang berdimensi 6𝑥6
Diberikan sebuah sistem persamaan (8) sebagai berikut:
5𝑥 1 + 10𝑥 2 − 5𝑥 3 + 𝑥 5 3 + 8𝑥 6 = 1772 3𝑥 1 + 18𝑥 3 − 5𝑥 5 + 17𝑥 6 = 153 6𝑥 1 + 𝑥 3 − 99𝑥 2 + 17𝑥 6 2 = 1772 −𝑥 1 + 5𝑥 2 + 8𝑥 3 − 6𝑥 4 + 15𝑥 5 + 10𝑥 6 = 277 (𝑥 1 + 𝑥 2 ) 2 − 7𝑥 3 + 5𝑥 4 + 12𝑥 5 − 8𝑥 6 = 150 𝑥 2 + 5𝑥 3 + 3𝑥 5 − 𝑥 6 = −4 dimana daerah pencarian 𝐷 = {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 30} . Dengan  menggunakan  parameter  berikut: 𝑚 𝑑𝑖 = 500 , 𝑘 𝑑𝑖 = 5 , 𝑚 𝑖𝑛 = 35 , 𝑝 𝑖𝑛 = 0.8 ,
𝜆 𝑖𝑛 = 1.5 , 𝜀 𝑐𝑠 = 10 −6 , 𝛿 𝑠 = 10 −2 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 100 ,  maka  solusi  dari  sistem  persamaan Diophantine (kasus 2) yang ditemukan oleh FPAC dapat dilihat pada tabel 6 berikut.
Tabel  6.  Solusi  yang  ditemukan  pada benchmark sistem  persamaan Diophantine yang  berdimensi  6x6 menggunakan FPAC dalam sekali running
No 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑓 1 (𝒙) 𝑓 2 (𝒙) 𝑓 3 (𝒙) 𝑓 4 (𝒙) 𝑓 5 (𝒙) 𝑓 6 (𝒙) 1 6 3 8 1 12 3 1772 153 1772 277 150 -4
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  6  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat menemukan semua  solusi  yang tersedia  dalam sekali running pada  permasalahan  sistem persamaan Diophantine dimensi tinggi (kasus 2). Sistem persamaan Diophantine dengan ukuran 6x6 tidak mempengaruhi kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia.
3.1.2.3 Kasus 3: Sistem persamaan Diophantine yang berdimensi 9𝑥10
Diberikan sebuah sistem persamaan (9) sebagai berikut: 𝑥 1 2 − 2(𝑥 2 + 𝑥 4 ) 3 + 𝑥 5 − 3𝑥 6 − 𝑥 7 + 4𝑥 9 + 15𝑥 10 = −24 2𝑥 1 + (𝑥 2 + 3𝑥 4 ) 3 + 5𝑥 7 2 − 6𝑥 8 + 𝑥 9 − 9𝑥 10 = 31 3𝑥 1 − 2𝑥 2 2 + 10𝑥 3 − 9𝑥 4 + 3𝑥 5 + 𝑥 6 − 2𝑥 7 − 8𝑥 8 + 12𝑥 9 − 5𝑥 10 = −25 5𝑥 1 + 2𝑥 2 − 8𝑥 4 − 3𝑥 5 + 4𝑥 6 + 𝑥 7 − 𝑥 9 = 23 𝑥 1 − 𝑥 3 + 2𝑥 5 − 𝑥 7 − 𝑥 9 = −3 𝑥 2 + 2𝑥 4 2 − 6𝑥 6 − 𝑥 8 + 2𝑥 10 = 8 3𝑥 1 + 2𝑥 2 − 5𝑥 3 − 𝑥 4 4 − 2𝑥 5 + 𝑥 6 + 4𝑥 7 − 10𝑥 8 + 8𝑥 9 = −9 𝑥 1 − 3𝑥 2 + 4𝑥 4 + 𝑥 6 − 6𝑥 7 + 𝑥 8 − 2𝑥 9 = −16 (2𝑥 1 + 𝑥 2 ) 2 + 3𝑥 3 − 10𝑥 5 − (𝑥 6 + 3𝑥 7 ) 3 − 𝑥 8 − 6𝑥 9 = 27 dimana daerah pencarian 𝐷 = {𝒙 ∈ Ζ|0 ≤ 𝒙 ≤ 10} .
Kasus  3  adalah  sistem  persamaan Diophantine dengan  dimensi  yang  cukup  tinggi. Penggunaan parameter yang sama seperti pada kasus 1 dan 2 tidak akan efektif bagi metode FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia. Oleh karena itu perubahan inputan parameter pada tahap diversifikasi dan intensifikasi dilakukan.
Dengan menggunakan parameter berikut: 𝑚 𝑑𝑖 = 1000 , 𝑘 𝑑𝑖 = 5 , 𝑚 𝑖𝑛 = 35 , 𝑝 𝑖𝑛 = 0.8 , 𝜆 𝑖𝑛 = 1.5 , 𝜀 𝑐𝑠 = 10 −6 , 𝛿 𝑠 = 10 −2 , 𝑘 𝑚𝑎𝑥 = 500 ,  maka  solusi  dari  sistem  persamaan Diophantine (kasus 3) yang ditemukan oleh FPAC dapat dilihat pada tabel 7 berikut.
Tabel  7.  Solusi  yang  ditemukan  pada benchmark sistem  persamaan Diophantine yang  berdimensi  9x10 menggunakan FPAC dalam sekali running
N o 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 𝑥 7 𝑥 8 𝑥 9 𝑥 10 𝑓 1 (𝒙) 𝑓 2 (𝒙) 𝑓 3 (𝒙) 𝑓 4 (𝒙) 𝑓 5 (𝒙) 𝑓 6 (𝒙) 𝑓 7 (𝒙) 𝑓 8 (𝒙) 𝑓 9 (𝒙) 1 3 4 5 0 1 1 1 2 2 6 -24 31 -25 23 -3 8 -9 -16 27
Hasil  simulasi  numerik  yang  ditunjukan  oleh  tabel  7  menginformasikan  bahwa  FPAC dapat menemukan semua  solusi  yang tersedia  dalam sekali running pada  permasalahan  sistem persamaan Diophantine dimensi tinggi (kasus 3). Sistem persamaan Diophantine dengan ukuran 9x10 tidak mempengaruhi kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia.

## 3.2 Evaluasi
Parameter  untuk  mengevaluasi  kemampuan  FPAC  dalam  penelitian  ini  adalah  jumlah
solusi yang mampu ditemukan dalam daerah pencarian. Parameter lain seperti computational cost tidak  bisa  diukur  karena  penelitian  ini  menggunakan  data  sekunder  sebagai  pembanding. Kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia pada benchmark persamaan Diophantine dibandingkan dengan hasil capaian Ant Colony Optimization (ACO) yang dilakukan oleh Siby Abraham dalam [7]. Sedangkan kemampuan FPAC dalam menemukan semua solusi yang tersedia pada benchmark sistem persamaan Diophantine dan persamaan Diophantin e dalam bentuk  eksponensial  dibandingkan  dengan  hasil  capaian Particle  Swarm  Optimization (PSO) yang dilakukan oleh Oscar Perez dalam [5].
Gambar 3. Perbandingan FPAC dan ACO dalam menemukan semua solusi pada masing-masing benchmark persamaan Diophantine (kondisi 1) dalam sekali running
Pengujian pada benchmark persamaan Diophantine yang memenuhi kondisi (1),  metode FPAC menemukan jumlah solusi yang sama dengan metode ACO khususnya pada persamaan 1 dan 2. Hal ini terjadi karena persamaan 1 dan 2 memang hanya memiliki 1 solusi. Akan tetapi pada persamaan 3, 4 dan 5 metode FPAC menemukan jumah solusi yang berbeda dengan metode ACO.  Metode  ACO  dalam  [7]  hanya  menemukan  1  solusi,  sementara  metode  FPAC  dapat menemukan  10  solusi  pada  persamaan  3  seperti  yang  terlihat  dalam  gambar  3.  Kemampuan metode  FPAC  dalam  menemukan  semua  solusi  yang  tersedia  pada  persamaan  3  dalam  sekali running merupakan kontribusi dari teknik clustering yang bekerja pada tahap diversifikasi.
(a) (b) Gambar 4. Jumlah solusi yang ditemukan metode FPAC pada persamaan 4 (gambar a) dan persamaan 5 (gambar b) (kondisi 1) dalam sekali running
Persamaan  4  dan  5  yang  memenuhi  kondisi  (1)  merupakan benchmark persamaan Diophantine dengan jumlah solusi yang belum diketahui secara pasti. Dari 10 kali percobaan pada persamaan  4  (Gambar  4a),  metode  FPAC  menemukan  jumlah  solusi  yang  berbeda-beda  pada
1 1 10 56 87 1 1 1 1 1 0 20 40 60 80 100 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 JU M L A H S O L U S I PERSAMAAN DIOPHANTINE FPAC ACO 99 67 99 55 86 75 125 87 85 126 59 46 56 39 54 53 70 53 60 72 0 20 40 60 80 100 120 140 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 JU M L A H S OL US I PERCOBAAN Kluster Solusi 93 76 93 94 68 154 85 99 94 106 85 70 83 88 63 127 78 93 86 96 0 50 100 150 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 JU M L A H S OL US I PERCOBAAN Kluster Solusi
setiap kali percobaan. Solusi terendah terjadi pada percobaan ke-2 yaitu 46 solusi yang berasal dari 67 kluster sedangkan solusi tertinggi terjadi percobaan ke-10 yaitu 72 solusi yang berasal dari  126  kluster.  Rata-rata  solusi  yang  ditemukan  metode  FPAC  pada  persamaan  4  adalah  56 solusi dalam sekali running.
Sementara pada persamaan 5 (Gambar 4b), metode FPAC juga menemukan jumlah solusi yang berbeda pada setiap kali percobaan. Dari 10 kali percobaan, jumlah solusi terendah terjadi pada  percobaan  ke-5  yaitu  63  solusi  yang  berasal  dari  68  kluster  potensial,  sedangkan  jumlah solusi  tertinggi  terjadi  pada  percobaan  ke-6  yaitu  127  solusi  yang  berasal  dari  154  kluster potensial.  Rata-rata  solusi  yang  ditemukan  metode  FPAC  pada  persamaan  5  adalah  87  solusi dalam  sekali running. Perbedaan  jumlah  solusi  pada  setiap  kali  percobaan  disebabkan  oleh karakteristik dari metode FPA yang merupakan salah satu dari algoritma metaheuristik.
Gambar 5. Perbandingan FPAC dan PSO dalam menemukan semua solusi pada masing-masing benchmark persamaan Diophantine (kondisi 3) dalam sekali running
Pengujian pada benchmark persamaan Diophantine yang memenuhi kondisi (2), metode FPAC menemukan jumlah solusi yang sama dengan metode ACO dalam [7]. Hal ini terjadi karena persamaan 1,  2, 3, 4 dan 5 memang hanya memiliki 1 solusi. Sementara pada pada benchmark persamaan Diophantine yang  memenuhi  kondisi  (3),  keseluruhan  persamaan  yang  diujikan memiliki  lebih  dari  satu  solusi.  Metode  FPAC  dapat  menemukan  seluruh  solusi  pada  setiap persamaan dalam sekali running . Hasil tersebut sama dengan hasil yang ditemukan oleh metode PSO dalam  [5] seperti yang terlihat pada gambar 5.
Kumpulan  beberapa  persamaan Diophantine yang  memenuhi  kondisi  (1),  (2)  atau  (3) dapat membentuk sebuah sistem persamaan Diophantine . Metode FPAC yang diusulkan dalam penelitian  ini  dapat  diterapkan  pada  kedua  hal  tersebut,  meskipun  persamaan  dan  sistem persamaan Diophantine memiliki  karakteristik  yang  berbeda,    Pada  kasus  1  yaitu  sistem persamaan Diophantine yang berdimensi rendah, metode FPAC dapat menemukan semua solusi yang  tersedia  dalam  sekali running .  Sementara  pada  Kasus  2  dan  3,  yaitu  sistem  persamaan Diophantine yang berdimensi tinggi, metode FPAC juga dapat  menemukan semua solusi yang tersedia dalam sekali running . Hasil tersebut sama dengan hasil yang ditemukan oleh metode PSO dalam  [5].
Berdasarkan evaluasi di atas dapat diketahui bahwa metode FPAC merupakan salah satu metode  alternatif  yang  dapat  menyelesaikan  permasalahan  persamaan Diophantine ataupun sistem persamaan Diophantine baik yang memiliki solusi tunggal maupun solusi jamak. Metode FPAC  terbukti  efektif  dalam  menemukan  semua  atau  sebanyak  mungkin  solusi  yang  tersedia dalam  daerah  pencarian  baik  pada  persamaan Diophantine maupun  sistem  persamaan Diophantine dalam sekali running .
2 3 9 7 5 2 3 9 7 5 0 2 4 6 8 10 F1 F2 F3 F4 F5 JU M L A H S O L U S I PERSAMAAN DIOPHANTINE FPAC PSO

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dapat  disimpulkan  bahwa  metode  FPAC  yang dikembangkan dalam penelitian ini dapat bekerja dengan baik untuk menyelesaikan permasalahan Diophantine .  Metode  FPAC  dapat  menemukan  seluruh  solusi  atau  akar  dari  persamaan Diophantine dalam sekali running tanpa dipengaruhi oleh perbedaan jumlah variabel dan pangkat ataupun  struktur  eksponensial  yang  membentuk  persamaan Diophantine .  FPAC  juga  dapat menemukan solusi atau akar dari sistem persamaan Diophantine tanpa dipengaruhi oleh jumlah dimensi yang membentuk sistem persamaan Diophantine .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] I. Agmour, M. Bentounsi, N. Achtaich, and Y. El Foutayeni, “Bifurcation and stability of a dynamical system with threshold prey harvesting,” Int. J. Comput. Sci. Math. , vol. 14, no. 1, pp. 36–53, 2021.
[2] V. O. Osipyan, K. I. Litvinov, R. K. Bagdasaryan, E. P. Lukashchik, S. G. Sinitsa, and A. S.  Zhuk,  “Development  of  information  security  system  mathematical  models  by  the solutions of the multigrade diophantine equation systems,” ACM  Int.  Conf.  Proceeding Ser. , pp. 1–8, 2019, doi: 10.1145/3357613.3357624.
[3] M. R. Nasiri, S. Farhangi, and J. Rodriguez, “Model Predictive Control of a Multilevel CHB STATCOM in Wind Farm Application Using Diophantine Equations,” IEEE Trans. Ind. Electron. , vol. 66, no. 2, pp. 1213–1223, 2019, doi: 10.1109/TIE.2018.2833055.
[4] R. Radha and G. Janaki, “Applications Of Diophantine Equations In Chemical Reactions And Cryptography,” vol. 12, no. 7, pp. 3175–3178, 2021.
[5] O. Pérez, I. Amaya, and R. Correa, “Numerical solution of certain exponential and non- linear Diophantine systems of equations by using a discrete particle swarm optimization algorithm,” Appl. Math. Comput. , vol. 225, pp. 737–746, 2013, doi: 10.1016/j.amc.2013.10.007.
[6] X.-S. Yang, Nature-Inspired Optimization Algorithms , Second. Academic Press, 2021.
[7] S. Abraham, S. Sanyal, and M. Sanglikar, “Finding numerical solutions of diophantine equations  using  ant  colony  optimization,” Appl.  Math.  Comput. ,  vol.  219,  no.  24,  pp. 11376–11387, 2013, doi: 10.1016/j.amc.2013.05.051.
[8] D. Zaitsev, S. Tomov, and J. Dongarra, “Solving linear diophantine systems on parallel architectures,” IEEE Trans. Parallel Distrib. Syst. , vol. 30, no. 5, pp. 1158–1169, 2018, doi: 10.1109/TPDS.2018.2873354.
[9] Y. Man, “A Top-down Approach for Solving Linear Diophantine Equation,” in Lecture Notes  in  Engineering  and  Computer  Science:  Proceedings  of  the  World  Congress  on Engineering , 2019, vol. 0958, pp. 5–7.
[10] Z.  A.  A.  Alyasseri,  A.  T.  Khader,  M.  A.  Al-Betar,  and  O.  A.  Alomari,  “Person identification  using  EEG  channel  selection  with  hybrid  flower  pollination  algorithm,” Pattern Recognit. , vol. 105, p. 107393, 2020, doi: 10.1016/j.patcog.2020.107393.
[11] P. Singh and N. Mittal, “An efficient localization approach to locate sensor nodes in 3D wireless sensor networks using adaptive flower pollination algorithm,” Wirel. Networks , vol. 27, no. 3, pp. 1999–2014, 2021, doi: 10.1007/s11276-021-02557-7.
[12] F.  B.  Ozsoydan  and  A.  Baykasoglu,  “Chaos  and  intensification  enhanced  flower pollination algorithm to solve mechanical design and unconstrained function optimization problems,” Expert  Syst.  Appl. ,  vol.  184,  no.  May,  p.  115496,  2021,  doi: 10.1016/j.eswa.2021.115496.
[13] R.  Karim,  K.  A.  Sidarto,  and  S.  Bantun,  “Optimasi  Fungsi  Multimodal  Menggunakan Flower Pollination Algorithm Dengan Teknik Clustering,” Techno.Com ,  vol. 19,  no.  2, pp. 124–134, 2020, doi: 10.33633/tc.v19i2.3216.
[14] V.  Aggarwal,  “Solving  transcendental  equations  using  Genetic  Algorithms,”  pp.  1–12, 2000.
[15] S. Katoch, S. S. Chauhan, and V. Kumar, A review on genetic algorithm: past, present, and future , vol. 80, no. 5. Multimedia Tools and Applications, 2021.
[16] X. Li, M. G. Epitropakis, K. Deb, and A. Engelbrecht, “Seeking Multiple Solutions: An Updated  Survey  on  Niching  Methods  and  Their  Applications,” IEEE  Trans.  Evol. Comput. , vol. 21, no. 4, pp. 518–538, 2017, doi: 10.1109/TEVC.2016.2638437.
[17] K.  A.  Sidarto,  A.  Kania,  and  N.  Sumarti,  “Finding  multiple  solutions  of  multimodal optimization using spiral optimization algorithm with clustering,” Mendel , vol. 23, no. 1, pp. 95–102, 2017, doi: 10.13164/mendel.2017.1.095.
[18] Y.  Jia,  S.  Wang,  L.  Liang,  Y.  Wei,  and  Y.  Wu,  “A  Flower  Pollination  Optimization Algorithm Based on Cosine,” Sensors , vol. 23, no. 2, pp. 1–19, 2023.