## Kestabilan Model Epidemi Dengan Laju Insidensi Jenuh
Stability of a Epidemic Model with Saturated Incidence
Roni Tri Putra 1) & Quinoza Guvil 2)
1) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576. Email : putra_tryronny@yahoo.co.id
2) Jurusan Teknik Geodesi, Institut Teknologi Padang, Telp 0751-7055202. Email : quinozaguvil@gmail.com

## Abstract
In this paper, it will be studied stability for a SEIR epidemic model with infectious force in latent, infected and immune  period  with  saturated  incidence.  From  the  model  it  will  be  found  investigated  the  existence  and uniqueness  solution    of  points  its  equilibrium.  Existence  solution  of  points  equilibrium  proved  by  show  its differential  equations  system  of  equilibrium  continue,  and uniqueness  solution  of  points  equilibrium  proved  by show its differential equation system of equilibrium differentiable continue.

## Keywords : stability, equilibrium points, saturated incidence

## PENDAHULUAN
Penerapan  model  matematika  dan teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical  biosciences adalah mathematical epidemiology , yang mempelajari tentang penyebaran dan pengendalian  penyakit.  Mempelajari  model epidemi yang didalamnya termasuk penyakit  penyebab  kematian  pada  suatu populasi  total  yang berubah merupakan hal penting dalam mathematical epidemiology . Epidemik  merupakan  suatu  keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular  dalam  populasi  pada  suatu  tempat yang  melebihi  perkiraan  kejadian  normal dalam  periode  yang  singkat.  Bila  penyakit tersebut  selalu  terdapat  dalam suatu tempat begitupun dengan factor penyebabnya maka dikatakan Endemic , kemudian bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran  yang sangat  luas (global) maka disebut Pandemic .  Model  epidemik  adalah model  matematika  yang  digunakan  untuk mengetahui  penyebaran  penyakit  menular, khususnya menyangkut terjadi atau tidaknya  keadaan  epidemik  serta  pengaruh yang ditimbulkan.
Perilaku  dinamik  dari    sistem  untuk menganalisis
dinamika penyebaran
penyakit terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model- model tersebut memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi (pembagian  kelas)  yang  menggambarkan penyebaran  penyakit  dari  masing-masing kelas.  Jadi  dalam  suatu  populasi  akan terbagi  menjadi  beberapa  kelas  dimana masing-masing  kelas  mewakili  tahapan yang  berbeda.  Kelas S ( susceptible ) digunakan untuk mewakili individu- individu yang rentan terhadap infeksi virus, kemudian  kelas I ( infectious )  digunakan untuk  mewakili  individu-individu  yang telah  terinfeksi  dan  mampu  menularkan atau  menyebarkan  penyakit  ke  individu pada  populasi  rentan,  untuk  kelas R ( recovered )  digunakan  untuk  mewakili individu-individu  terinfeksi  yang  telah sembuh  dari  penyakit  dan  memiliki kekebalan  permanen  yang  artinya  individu tersebut  tidak  akan  terinfeksi  lagi  untuk jenis  penyakit  yang  sama.  Namun  pada model  SIRS,  kelas R ( recovered )  mewakili individu-individu  yang  telah  sembuh  dan akan  terbebas  dari  infeksi  virus  kemudian akan memasuki populasi rentan
( susceptible )  kembali.  Pada  model-model epidemik  yang  memperhatikan  adanya periode  laten(masa  inkubasi)  seperti  model SEIR,  MSEIR  terdapat  kelas E ( exposed ) yang  digunakan  untuk  mewakili  individu- individu yang baru terinfeksi dan memasuki periode  latent,  dalam  periode  ini  individu tersebut  tidak  memiliki  kemampuan  untuk menularkan  penyakit  ke  individu  lain sedangkan
kelas
M
( Maternallyderivedimmunity ) digunakan untuk  mewakili  individu-individu  yang baru  lahir  dan  memiliki  kekebalan  pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya  berlangsung  sementara  kemudian individu  pada  kelas  M  ini  akan  memasuki kelas rentan ( susceptible ).
Berbagai  macam  penyakit  epidemi seperti  campak (measles),  tubercoloses, malaria  dan Human  Immunodeficiency Virus(HIV) mempunyai  periode  laten. Periode  laten  adalah  selang  waktu  dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Adanya periode laten  ini menjadi alasan  pembentukan  model  epidemi  SEIR, yakni  munculnya  kelas exposed .  Dalam tulisan  ini  hanya  akan  dibahas  model epidemi SEIR.
Dengan berbagai asumsi, dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR, SIRS,  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS.  Dalam model SIR, individu yang sembuh mempunyai  kekebalan  sehingga  tidak  lagi menjadi  rentan,  sedangkan  untuk  model SIRS  individu  yang  sudah  sembuh  tidak memiliki  kekebalan  terhadap  penyakit tersebut sehingga dapat menjadi rentan lagi. Dalam  model  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS individu  yang  rentan  melalui  masa  laten setelah terinfeksi sebelum menjadi terjangkit.
Ada  tiga  jenis  fungsi incidence yang berbeda dalam model epidemi SEIR, yaitu:
a. Mass  action  incidence ,  yaitu  laju kontak  tergantung  pada  jumlah  total populasi.  Suatu  anggota  populasi membuat  kontak  yang  cukup  untuk menularkan  infeksi  dengan  rata-rata
N  anggota  populasi  lain  per  unit waktu,  dengan N adalah  ukuran  total populasi  dan  adalah  laju  kontak. Karena  probabilitas  kontak  acak  oleh satu  individu infective dengan  satu individu susceptible adalah
N S , sehingga  jumlah  infeksi  baru  dalam unit  waktu  per infective adalah         N S N  ,  yang  memberikan  rata-
rata infeksi baru   SI I N S N          .
b. Standard  incidence ,  yaitu  situasi dimana  jumlah  kontak  per infective dalam  unit  waktu  adalah  konstan. Laju  kontak  adalah  dan incidence yang  berhubungan  adalah I N S  .
Ketika  jumlah  total  populasi N cukup besar,  sejak  itu  jumlah  kontak  yang dibuat  satu  individu infective per  unit waktu  akan  terbatas,  atau  menurun dengan cepat seiring meningkatnya N . c. Saturated  incidence .  Untuk  jumlah individu infective yang  cukup  besar, jumlah kontak satu individu susceptible per  unit  waktu  tidak selamanya meningkat bergantung linear  dengan  individu infective .  Laju kontak  tidak  selalu  linear,  berarti  laju tersebut dapat dalam bentuk nonlinear.  Hal  ini  sesuai  dengan kenyataan bahwa, seiring meningkatnya jumlah individu
infective ,  maka  individu susceptible cenderung mengurangi kontak dengan individu infective . Hal ini menunjukkan adanya saturation effect dalam laju kontak seiring meningkatnya jumlah individu infective .
Dari  berbagai  literatur  belum  banyak yang  mengkaji  model  matematika  epidemi SEIR  dengan  laju  insidensi  jenuh  secara sistematis.  Sejalan  dengan  masalah  yang
akan  dibahas,  penelitian  ini  mempunyai tujuan sebagai berikut :
1. Membentuk  model  matematika  epidemi SEIR pada populasi manusia dengan laju insidensi jenuh.
2. Menentukan titik-titik ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut
3. Menyelidiki  eksistensi  dan  ketunggalan solusi  titik  ekuilibrium  model  epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat : 1. Secara umum diharapkan dapat memberikan  manfaat  dan  sumbangan terhadap  ilmu  pengetahuan,  serta  untuk menambah  wawasan  khususnya  dalam bidang matematika terapan.
2. Secara khusus diharapkan dapat
memberikan gambaran tentang eksistensi dan  ketunggalan  solusi  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR dengan kemampuan  infeksi  pada  kelas  laten, infeksi  dan  sembuh  dengan  laju  kontak jenuh.
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  dengan  cara  studi  literatur  serta bahan  pustaka  sebagai  referensi  untuk mempelajari  model  epidemi  SEIR  dengan laju  insidensi  jenuh.  Langkah  pertama adalah  dengan  menentukan  asumsi-asumsi yang berkaitan dengan model epidemi SEIR sesuai  dengan  karakteristik  penyakit  yang dimodelkan,  kemudian  akan  dibuat  model matematika  epidemi  SEIR  dalam  bentuk sistem persamaan diferensial.
Selanjutnya,  menentukan  titik-titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut dengan menggunakan definisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial.  Setelah  menentukan  titik-titik ekuilibrium model tersebut, langkah selanjutnya  menyelidiki  eksistensi  dan ketunggalan  solusi  dari  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut.
Eksistensi solusi
dari titik ekuilibrium model epidemi SEIR dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut kontinu,  sedangan  ketunggalan  solusi  dari
titik  ekuilibrium  model  epidemi  SEIR dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut diferensiabel kontinu.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  SEIR  ( Susceptible,  Exposed, infectious, recovered ) pertama kali dikembangkan oleh Kermack dan Mckendrick (1927) dengan memakai asumsi  sederhana  tentang  laju  penyebaran dan penyembuhan penyakit. Dalam modelnya, Kermack dan Mckendrick membagi  populasi  total  ( N )  menjadi  empat kelas,  yaitu Susceptible   ) ( t S merupakan jumlah  individu  yang  rentan  terinfeksi  dan mudah  ditulari  penyakit, Exposed   ) ( t E merupakan  jumlah  individu  yang  sudah terinfeksi tetapi belum menginfeksi, Infectious )) ( ( t I adalah  jumlah  individu yang  terinfeksi,  dan Recovered )) ( ( t R menotasikan  jumlah  individu  yang  telah sembuh dari penyakit.
Diberikan  rata-rata saturated  incidence S I g ) ( dengan ) ( I g cenderung  menuju suatu  titik  jenuh  ( saturation  level )ketika I cukup besar.  Diasumsikan
2 1 ) ( I I I g     (1)
Dengan I  menunjukkan  ukuran  kekuatan infeksi  dari  penyakit  dan   2 1 1 I   merupakan ukuran ketahanan infeksi ( inhibition effect ) yang berasal dari perubahan  perilaku  individu susceptible ketika jumlah individu infective mengalamai peningkatan. Dalam  makalah  ini ) ( I g adalah fungsi nonmonoton sebagai interpretasi dari pengaruh  psikologi  terhadap  peningkatan infective dalam  populasi.  Untuk    individu infective dalam  jumlah  sangat  besar, kekuatan  infeksi  mengalami  penurunan seiring  meningkatnya  jumlah  individu infective .  Hal  ini  sesuai  dengan  kenyataan bahwa  dengan  adanya  individu infective dalam jumlah besar, menyebabkan populasi
cenderung  melakukan  penurunan  jumlah kontak  per  unit  waktu,  misalnya  dengan adanya  karantina  individu infective atau sikap proteksi individu susceptible . Beberapa  contoh  pengaruh  psikologi  di masyarakan secara umum adalah menghindari  jabat  tangan  dalam  kasus kolera,  serta  pemakaian  masker  wajah, karantina, dan isolasi dalam kasus SARS.
Sebelumnya diasumsikan ketika terjadi  kontak  dengan  individu infectious , individu susceptible menjadi infected pada
rata-rata saturated incidence 2 1 I SI    ,
dengan  dan  bernilai  positif. Berdasarkan  asumsi  tersebut,  model  SEIR dengan insidensi jenuh adalah:
S I SI b dt dS        2 1 ; 0  t ,   0 ; 1 2      t E e I SI dt dE    (2)   ; I eE dt dI      0  t ,
; R I dt dR     0  t ,
0 ) 0 ( S
S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I  , dengan b adalah  laju  rekrutmen  populasi,
 adalah  laju  kematian  alami  populasi,  adalah  laju  kontak,  adalah  laju kesembuhan  individu infective ,  dan  adalah parameter yang menunjukkan ukuran pengaruh psikologi atau pertahanan. Diasumsikan nilai parameter bernilai positif, 0 , , , , ,      e b ,  dan  nilai  awal bernilai nonnegatif, 0 ) 0 ( , , , 0 0 0  R I E S . Karena  variabel R tidak  mempengaruhi tiga  persamaan  pertama  Sistem  (2.32), sehingga  Sistem  tersebut  dapat  direduksi menjadi Sistem yang lebih sederhana.
S I SI b dt dS        2 1 ; 0  t ,   0 ; 1 2      t E e I SI dt dE    ;
(3)   ; I eE dt dI      0  t ,
Kepositifan Solusi
Untuk  mempelajari  dinamika  Sistem (2), pertama diberikan lemma berikut ini.
Lemma  1. Bidang  b R I E S    
merupakan  invariant  manifold  dari  Sistem ( 2 ).

## Bukti
Pertama,dari
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t R t I t E t S t N     pada Sistem (2) diperoleh
) ( R I E S dt d          I eE I eE E e I SI S I SI b                         2 2 1 1 . ) ( N b R I E S b          Oleh karena itu,
N b dt dN    .                                     (4)
 b t N  ) ( adalah  solusi  (4)  dan  untuk 0 ) ( 0  t N , solusi umum dari (4) adalah :
    t t N t N dt N b dN 0 0 ) (     0 ) ( 0 ln 1 t t N b N t N                  0 0 t t e t N b b N      .
Sehingga,
 b t N t    ) ( lim (5)
Oleh karena itu, himpunan limit Sistem  (2) berada  pada  bidang  b R I E S     .
Dengan demikian, himpunan
} : ) , , , {( 4  b R I E S R R I E S D       
adalah invarian positif model (2).

## Titik Ekuilibrium
Pada  bagian  ini  akan  dicari  titik ekuilibrium  Sistem  (3).  Sistem  tersebut mencapai ekuilibrium jika memenuhi
0 1 2      S I SI b dt dS    ,
  0 1 2      E e I SI dt dE   
(6)
  0     I eE dt dI   . Dari persamaan ketiga Sistem (6) diperoleh   I e E     (7)
Jika nilai E disubstitusikan pada persamaan kedua diperoleh    0 1 2      I e e I SI          0 1 2            I e e I S      (8)
Persamaan (2.38) dipenuhi untuk
     2 1 I e e S          atau 0  I .
Untuk 0  I ,  jika  nilai I tersebut disubstitusikan  pada  persamaan  pertama dan ketiga Sistem (6) diperoleh :
0    b
S dan 0  E .
Jadi, titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (3) adalah :
          0 , 0 , , ,  b I E S T . (9)
Untuk      0 1 2      I e e S      ,  dari
persamaan pertama diperoleh :           0 1 1 1 2 2 2                       I e e I e e I I b             
         0 1 2         b I e e I e e
                     0 2
          b e e I e e I e e
         
     (10)
Persamaan (10) dapat ditulis dalam bentuk:
0 0 1 2 2    c I c I c dengan    e e c         2 ,
   e e c         1 ,    b e e c          0
                                              e eb eb e b eb e b 1 1 Nilai 0 , 2 1  c c dan    1 0 0           e eb c . Dengan
demikian, solusi dari (10) adalah :
          0 2 2 1 1 2 1 4 2 1 c c c c c I dan           0 2 2 1 1 2 2 4 2 1 c c c c c I .
Terdapat dua kasus, yaitu:
Kasus 1 .   Jika    1         e eb ,  maka 0 0  c dan 0 , 2 1  c c ,  sehingga per-samaan  (9) mempunyai satu akar  real  positif  dan  satu  akar real  negatif,  yaitu  berturut-turut
1 I dan 2 I .  Dengan  kata  lain, terdapat  satu  titik  ekuilibrium endemik.
Kasus 2 .   Jika    1         e eb ,  maka 0 , , 2 1 0  c c c ,
sehingga persamaan    (9)  mempunyai  dua akar  negatif.  Dengan  kata  lain, tidak ada titik ekuilibrium endemik.
Berdasarkan  kedua  kasus  di  atas  dan I bermakna  secara  biologi  untuk,  maka diambil
          0 2 2 1 1 2 4 2 1 c c c c c I .          (11)
Jika nilai I disubstitusikan pada persamaan
(7) diperoleh :
                   0 2 2 1 1 2 4 2 1 c c c c c e E   . (12)
Dari persamaan (11) dan (12), diperoleh :
0 0    I E dan 0  I     1         e eb
Selanjutnya, dimisalkan
           e eb R 0 .                           (13)
Jadi, titik ekuilibrium endemik Sistem (6) adalah :
                     * * 2 * * * * * , , 1 , , I I e I e e I E S T       
(14)
dengan * I adalah  akar  positif  dari persamaan kuadrat
  0 1 : ) ( 0 0 * 0 2 * 0 *      R R b I R b I R b I q   
(15)
Teorema    1. Diberikan T , * T , dan
0 R berturut-turut  diberikan  oleh ( 9 ),  (1 4 ), dan (1 3 ). (i) Jika 1 0  R ,    maka  Sistem ( 3 ) mempunyai satu titik ekuilibrium T .
(ii) Jika 1 0  R , maka Sistem ( 3 ) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium, yaitu T dan * T .

## Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada  bagian  ini  dianalisis  kestabilan lokal  masing-masing  titik  ekuilibrium  dari Sistem (3).
Theorema 2. Diberikan nilai awal   3 0 0 0 , ,   R I E S , serta T , * T , dan
0 R berturut-turut  diberikan  oleh ( 9 ),  (13), dan (14).
(i) Jika 1 0  R , maka  titik  ekuilibrium
T stabil asimtotik lokal .
(ii) Jika 1 0  R , maka titik ekuilibrium * T stabil asimtotik lokal.
Bukti
(i) Diketahui
   1 0          e eb R
            e eb     0          e eb (16)
Kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium T diselidiki  dengan  mengevaluasi  linearisasi dari Sistem (3) di titik tersebut. Sebelumnya ditentukan matriks Jacobian
                             V f I f Z f V f I f Z f V f I f Z f J 3 3 3 2 2 2 1 1 1 .
Ruas kanan Sistem (3) berturut- turutmerupakan 1 f , 2 f , dan 3 f , sehingga                                     ) ( 0 ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1    
          e e J
I I S I I I I S I I .
(17)
Jika titik ekuilibrium           0 , 0 , , ,  b I E S T dievaluasikan pada matriks J pada persamaan (6) diperoleh :
                   ) ( 0 ) ( 0 0         e e T J b b
.
Dari  matriks   T J diperoleh  persamaan karakteristik sebagai berikut :
      T J I  det     0 ) )( ( 2 2                           eb e e (18)
Persamaan  (18)  dipenuhi  untuk     atau   0 ) )( ( 2 2                  eb e e (19)
sehingga  diperoleh  satu  nilai  eigen  negatif. Dengan demikian, tinggal menentukan nilai eigen dari persamaan (19)  yang merupakan persamaan karakteristik dari matriks :
           ) ( ) ( 1      e e J b .
Dari matriks tersebut diperoleh: tr   1 J = ) ( ) (        e 0 ) ( 2        e dan   0 ) )( ( det 1           eb e J .
Akibatnya  semua  nilai  eigen  matriks 1 J mempunyai  bagian  real  negatif.    Jadi,  titik ekuilibrium T stabil asimtotik lokal.
(ii) Kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium * T diselidiki  berdasarkan  teori  umum center  manifold .  Untuk  menjelaskan hal  ini,  diberikan  sistem  umum persamaan diferensial dengan parameter  :
   , x f dt dx  , n n R R R f   : , (20)
dengan   R R C f n   2 . Tanpa mengurangi keumuman,  diasumsikan  bahwa  0  adalah titik  ekuilibrium  Sistem  (20)  untuk  semua nilai parameter  , yaitu   0 , 0   f ,
untuk setiap 
(21)
Teorema  3. Diberikan
    j i x f x f D J     0 , 0
adalah  matriks  linearisasi  Sistem ( 2.50 ) di sekitar  titik  ekuilibrium  0  dengan  dievaluasikan di  0.
(i) Nol  adalah  nilai  eigen  sederhana  dari matriks  J    dan  semua  nilai  eigen  lain dari  matriks  J  mempunyai  bagian  real negatif.
(ii) Matriks  J  mempunyai  sebuah  vektor eigen kanan nonnegatif w  dan sebuah vektor  eigen  kiri  v   yang  bersesuaian dengan nilai eigen nol.
Diambil k f adalah  komponen  ke- k dari f dan
  , 0 , 0 1 , , 2       n j i k j i k j i k x x f w w v a
(22)   . 0 , 0 1 , 2       n i k i k i k x f w v c 
(23)
Dinamik  lokal  dari  Sistem  (20)  di  sekitar titik  0  sepenuhnya  ditentukan  oleh  nilai a
dan c .
(1) 0 ,  c a . Jika 0   dengan 1   ,
maka  0  stabil  asimtotik  lokal,  dan terdapat  sebuah  titik  ekuilibrium positif tidak stabil; Jika 1 0    , 0 tidak  stabil  dan  terdapat  sebuah  titik ekuilibrium  negatif  stabil  asimtotik lokal.
(2) 0 ,  c a . Jika 0   dengan 1   ,
maka 0 tidak stabil; Jika 1 0    , 0  stabil  asimtotik  lokal  dan  terdapat sebuah titik ekuilibrium positif tidak stabil.
(3) 0  a dan 0  c . Jika 0   dengan
1   ,  maka  0  tidak  stabil  dan terdapat  sebuah  titik  ekuilibrium negatif  stabil  asimtotik  lokal;  Jika 1 0    ,  0  stabil  dan  terdapat suatu  titik  ekuilibrium  positif  tidak stabil.
(4) 0  a dan 0  c .  Jika  berubah dari  negatif  menjadi  positif,  maka kestabilan  0  berubah  dari  stabil menjadi  tidak  stabil,  dan  titik ekuilibrium  negatif  tidak  stabil menjadi  titik  ekuilibrium  positif stabil asimtotik lokal.
Sekarang diambil    sebagai parameter bifurkasi,  sedemikian  sehingga 1  s R untuk 0   dan 1  s R untuk 0   , sedemikian  sehingga 0 x adalah  titik ekuilibrium  bebas  penyakit  untuk  semua nilai  . Diberikan sistem:   , ,  x f x   dengan f diferensiabel  kontinu  paling sedikit  dua  kali  terhadap x dan  .  Titik ekuilibrium  bebas  penyakit  adalah  garis    , 0 x dan kestabilan lokal titik ekuilibrium bebas  penyakit  berubah  di  titik    , 0 x . Sekarang  akan  ditunjukkan  bahwa  terdapat
titik  ekuilibrium  nontrivial  di  dekat  titik bifurkasi   0 , 0 x . Dengan  transformasi 1 x S  , 2 x E  , 3 x I  , dan 4 x R  , Sistem (2) menjadi :
, : 1 1 1 2 3 3 1 1 f x x x x b dt dx           2 2 2 3 3 1 2 : 1 f x e x x x dt dx        
,                (24)   3 3 2 3 : f x ex dt dx       , 4 4 3 4 : f x x
dt dx      . Dengan mengambil 1  s R , diperoleh            e eb R s 
           e eb 1
    eb e         (25)
 adalah parameter bifurkasi.
Dengan  mensubstitusi  dalam   T J diperoleh
                             ) ( 0 ) ( 0 0
           e e J e e e e .
Nol  adalah  nilai  eigen  sederhana  dari matriks    J ,  sehingga  dapat  digunakan teori center manifold .
Vektor  eigen  kiri   3 2 1 , , v v v v  dicari  dari persamaan matriks
        0 ) ( 0 ) ( 0 0 , , 3 2 1                                e e v v v e e e e Sehinggadiperoleh 0 1   v  ,   0 3 2
    ev v e  ,                            (26)         0 3 2 1          v v e e v e e        
Sistem persamaan (26) dipenuhi untuk :
0 1  v dan 2 3 v e e v         
dengan 2 v dapat  diambil  nilai  sebarang. Untuk 1 2  v , maka vektor eigen kiri adalah   e e v    , , 0 . Selanjutnya, vektor eigen kanan   3 2 1 , , w w w w  dicari dari persamaan       0 ) ( 0 ) ( 0 0 3 2 1                               
w w w e e e e e e          
sehingga diperoleh    0 3 1      w e e w     ,      0 3 2       w e e w e     (27)   0 3 2    w ew   .
Sistem persamaan (27) dipenuhi untuk:
   e e w         1 , e w     2 , dan 1 3  w .
Oleh karena itu, vektor eigen kanan adalah :
                   e e        .
Dengan  mengevaluasi  turunan  parsial  di titik ekuilibrium bebas penyakit, diperoleh
     3 1 2 x x f ,      1 3 2 x x f , 0 1 2      x f ,   b x f     3 2 .
Sekarang dicari nilai a dan c , yaitu
    1 3 2 3 1 2 2 1 w w v w w v a      0      e e     dan          b w v w v c 3 2 1 2 0 0    b
Karena 0  a dan 0  c ,  maka  terdapat bifurkasi  yang  mengakibatkan  jika 1 0  R maka  titik  ekuilibrium  endemik  stabil asimtotik lokal, tapi hanya untuk 0 R cukup dekat dengan 1.

## SIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  penelitian ini adalah :
1. Model  epidemi  SEIR  merupakan  model penyebaran  penyakit  yang  terjadi  pada kelompok-kelompok individu yang berbeda,  yaitu  kelas susceptible (kelas individu  yang  rentan  penyakit),  kelas exposed (kelas  individu  yang  telah terinfeksi  namun  belum  sakit  atau  masa laten),  kelas infected (kelas  individu yang telah terjangkit penyakit) dan kelas recovered (kelas  individu  yang  telah sembuh).
2. Model matematika epidemi SEIR dengan  laju  insidensi  jenuh  yang memiliki  kemampuan  infeksi  pada periode laten, infeksi dan sembuh adalah
:
S
I SI b dt dS        2 1 ; 0  t ,   E e I SI dt dE        2 1 ; 0  t ,   ; I eE dt dI      0  t , ; R I dt dR     0  t , 0 ) 0 ( S S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I  ,
3. Kestabilan  titik-titik  ekuilibrium  model epidemi  SEIR  diatas  adalah  stabil asimtotik  lokal  dengan  menyelidiki linearisasi dari sistem persamaan diferensial model epidemi SEIR. Selanjutnya titik-titik ekuilibrium tersebut  diselidiki  dengan  menggunakan metode  Lyapunov  dan  diperoleh  bahwa titik  ekuilibriumnya  stabil  asimtotik lokal.

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari penelitian dan tulisan ini masih  banyak  kekurangannya.  Banyak  hal yang  belum  tercakup  dalam  penelitan  ini. Perlu  dikaji  lebih  lanjut  generalisasi  untuk kestabilan  model  epidemi  lainnya  dan simulasi numeriknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton  H,  dan  Rorres,C.,2004. Aljabar Linear  Elementer  Versi  Aplikasi , Edisi  Kedelapan,  alih  bahasa  oleh Indriasari,R dan Harmaen,I., Erlangga, Jakarta. Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992, Dynamical System Differential Equation,    Maps  and  Chaotic Behaviour , Chapman & Hall
Mathematic, London. Bazaraa,  M.S.,  Sheraly,  H.D,  and  Shetty, C.M., Nonlinear Programming
Theory  and    Algorithms ,  John  Wiley
& Sons, Inc, New York, 1993.
Becerra,  M.V.,  2008. La  Salle’s  Invariant Set Theory , http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs99 vmb/notes/anc/lecture3.pdf
Boyd,  Stephen,  2008, Basic  Lyapunov Theory , Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363/l yap.pdf
Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic  Systems ,  Springer-Verlag,
Heidelberg, 2008.
Chong,  K.P  and  Stainslow,  H.Z., An Introduction  to  Optimization ,  John Wiley & Sons,  University  of  New Hampshire, 1984.
Debarre,  F., SIR  Models  of  Epidemics ,
Theoretical Biology.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices , Chelsea Publishing Company, New York. Hanh, Wolfgang, 1967, Stability of Motion , Springer – Verlag, New York.
Hirsch,  M.W.,  dan  Smith, Monotone Dynamical  Systems ,  University  of California, Berkeley, 2004.
Iwami. S, Takeuchi,  Y., dan  Liu,  X., 2007. Avian  –  human  Influenza  Epidemic Model ,  Mathematical  Biosciences 2007, hal 1-25.
Feng  J.,  dan  Hadeler,K.P., Qualitative Behaviour  of  Some  Simple  Networks ,
Mathematical  Gen.  1996,  hal  5019- 5033.
Kocak,  H.  dan  Hole,  J.K.,  1991, Dynamic and  Bifurcation ,  Springer  –  Verlag, New  York.
Leon, J.S., Aljabar Linear dan Aplikasinya , Edisi Kelima, Alih bahasa olehBondan,A. Erlangga, Jakarta,
1998.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to
Dynamic  System  Theory ,  Models  &
Aplication, John Wiley  & Sons, New York. Ngwenga, O., The Role of IncidenceFunctions  on  the  Dynamics of  SEIR  Model ,  African  Institute  for Mathematical Science (AIMS), 2009.
Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory , Delftse Uitgevers Maatschappij,  Netherlands.
Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical Systems , Springer –
Verlag,  New York.
Ross, S.L., Differential Equations ,  edition,
John  Wiley  &  Sons,  University  of
New Hampshire, 1984.
Verhultz,  Ferdinand,  1990, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems ,    Springer – Verlag, Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and Chaos ,  Springer – Verlag, New York