Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2019) Hal. 13-23

## BEBERAPA KOMBINASI RUNGE-KUTTA UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL WAKTU TUNDA
Rahma Qudsi 1 , Agus Dahlia 2
1,2 Pendidikan Matematika, Universitas Islam Riau, Indonesia Jl. Kaharuddin Nasution No. 113 Perhentian Marpoyan email : rahma.qudsi@edu.uir.ac.id email : agus.dahlia@edu.uir.ac.id

## ABSTRACT
Delay  Differential  Equation  (DDE)  have  been  applied  to    many  area.  While,  we  rarely  get  the analytic  solutions  of  DDE.  Many  researchers  have  found  many  methods  to  find  it  for  instance Runge-Kutta Method. The purpose of this paper is to accumulate the combinations of Runge-Kutta method which is used to find the solutions of DDE.
Keywords : Delay Differential Equation,  Interpolation, Runge-Kutta Method.

## ABSTRAK
Persamaan  diferensial  waktu  tunda  adalah  sebuah  persamaan  di  dalam  matematika  yang  telah digunakan  diberbagai  bidang.  Beberapa  peneliti  telah  menemukan  metode  untuk  menemukan solusi  persamaan  tersebut  salah  satunya  metode  Runge-Kutta.  Artikel  ini  merangkum  beberapa kombinasi dari metode Runge-Kutta.
Kata kunci: Persamaan Diferensial Waktu Tunda, Interpolasi, Metode Runge-Kutta,

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial waktu tunda adalah persamaan diferensial yang memiliki variabel  dengan  waktu  tunda.  Waktu  tunda  adalah  suatu  keadaan  atau  kejadian yang  terjadi  berdasarkan  informasi  pada  keadaan  sebelumnya.  Seperti  penelitian model infeksi virus dengan waktu tunda akibat adanya tindakan pengobatan pada penderita  yang  dilakukan  oleh  [8].  Batzel  &  Tran  [3]  melakukan  penelitian mengenai  karakteristik  stabilitas  dari  sistem  kontrol  umpan  balik  dari  lima persamaan  diferensial  dengan  waktu  tunda  untuk  pemodelan  sistem  pernapasan manusia. Selanjutnya Balachandran B. [12] meneliti tentang osilasi nonlinier pada pertambangan  yang  model  matematikanya  non-linier,  non-homogen,  dan merupakan  sistem delay-differential dengan  koefisien time-periodic .  Selain digunakan  pada  pertambangan  sistem  persamaan  diferensial  waktu  tunda  juga digunakan oleh Smith [16] untuk menghasilkan sebuah sistem semidinamik pada fungsi  kontinu  ruang    pada  interval  tunda.  Karena  kegunaan  dari  persamaan
diferensial  waktu  tunda  ini  maka  menentukan  solusi  persamaan  waktu  tunda merupakan hal yang utama dalam bidang numerik.
Beberapa  peneliti  melakukan  penelitian  untuk  menentukan  solusi  persamaan waktu  tunda  diantaranya  Karacog  &  Bereketoglu  [5]  menggunakan  metode transformasi diferensial untuk menentukan solusi DDE. Selanjutnya Alomari, dkk [1]  menggunakan  metode  rata-rata  homotopy.  Beberapa  penelitian  lainnya  yang membahas  tentang  solusi  DDE  dengan  berbagai  metode  numerik  seperti  metode spectral [7], metode multistep block [18], dan metode Predictor-Corrector [17].
Selain  itu,  beberapa  penelitian  menggunakan  metode  Runge-Kutta  untuk mendapatkan  penyelesaian  persamaan  waktu  tunda.  Metode  Runge-Kutta  adalah salah satu metode yang sangat populer yang digunakan untuk menentukan solusi dari  persamaan  diferensial  biasa.  Hal  ini  menyebabkan  ketertarikan  beberapa peneliti  melakukan  penelitian  untuk  melihat  kesesuaian  metode  ini  untuk persamaan  diferensial  waktu  tunda.  Pada  artikel  ini  akan  dibahas  beberapa penelitian-penelitian  yang  menggunakan  metode Runge-Kutta untuk menemukan solusi persamaan diferensial waktu tunda.
2. TINJAUAN PUSTAKA

## a. Delay Differential Equation (DDE)
Bentuk umum dari Delay Differential Equation (DDE)  ([16] hal. 126) adalah
(1) dimana adalah  fungsi  yang  didefenisikan  untuk fungsi potongan yang kontinu dengan dan    adalah sebuah
konstanta positif ℎ ≥ 0 .
b. Metode Runge-Kutta Orde Lima
Metode Runge-Kutta orde Lima ([13] hal. 735) adalah
(2)
dengan
Metode Runge-Kutta (RK4) untuk persamaan differensial waktu tunda adalah
(3)
dengan

## c. Metode Nakashima’s 2 Stages 4th Order Pseudo-Runge-Kutta
Metode Nakashima’s 2 Stages 4th Order Pseudo-Runge-Kutta [9] adalah
(4)
Jika  metode  Nakashima’s  2  Stages  4th  Order  Pseudo-Runge-Kutta diaplikasikan  untuk  persamaan  differensial  waktu  tunda  maka  persamaan  (4) menjadi
(5)

## 3. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini merupakan studi literatur dengan terlebih dahulu mengkaji tentang persamaan diferensial waktu tunda dan metode- metode  untuk  menentukan  solusi  dari  persamaan  tersebut.  Kemudian  membahas berbagai  kombinasi  penyelesaian  dari  penggunaan  metode  Runge-Kutta  untuk menyelesaikan persamaan ini.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode-metode  langkah dan  modifikasi  metode untuk ODE dapat digunakan untuk  menyelesaikannya  DDE,  salah  satunya  adalah  metode  Runge-Kutta  yang sangat  populer.  Dalam  tulisan  ini  hanya  beberapa  modifikasi  Runge-Kutta  yang akan  dibahas.  Runge-Kutta  eksplisit  merupakan  salah  satu  cara  efektif  untuk menyelesaikan  DDE.  Akan  tetapi,  terdapat  beberapa  kesulitan  untuk menggunakan secara langsung Runge-Kutta untuk DDE, kesulitan pertama adalah bahwa  dalam  mengambil  langkah,  fungsi 𝑓 harus  dievaluasi  pada  waktu  tunda (𝑡 𝑛 + 𝛼 𝑗 ℎ 𝑛 ) − 𝜏 𝑚 ,  yang  merupakan delayed  argument dari  DDE,  yang membutuhkan  nilai  solusi  sebelum 𝑡 𝑛 [15].  Untuk  menyelesaikan  ini,  beberapa metode dilakukan untuk mengaproksimasi waktu tunda dalam DDE, berikut akan dijabarkan beberapa metode tersebut.
Saat  ini,  kode  berdasarkan  rumus  Runge-Kutta  menggunakan  ekstensi  terus- menerus dari rumus dasar yang melengkapi evaluasi fungsi yang dibentuk dalam mengambil langkah untuk mendapatkan perkiraan yang akurat di seluruh [𝑡 𝑛 , 𝑡 𝑛+1 ] .
a. Metode Rung-Kutta dengan metode two step linier
Dalam metode ini, Bartoszewski dan Jackiewicz [2] menggunakan metode Runge- Kutta dua langkah, dimana didefinisikan sebagai berikut :
𝐾 𝑛+1 𝑟 = 𝑓 (𝑡 𝑖 + 𝑐 𝑗 ℎ, 𝑢 𝑗 𝑦 ℎ (𝑡 𝑖−1 ) + (1 − 𝑢 𝑗 )𝑦 ℎ (𝑡 𝑖 )
+ ℎ ∑(𝑎 𝑗𝑠 𝐾 𝑖 𝑠 + 𝑏 𝑗𝑠 𝐾 𝑖+1 𝑠 ), 𝑦 ℎ (𝑡 𝑖 + 𝑐 𝑗 ℎ − 𝜏) 𝑣 𝑠=1 ),
𝑦 ℎ (𝑡 𝑖 + 𝜉ℎ) = 𝜂(𝜉)𝑦 ℎ (𝑡 𝑖−1 )
+ (1 − 𝜂(𝜉)𝑦 ℎ (𝑡 𝑖 )
+ ℎ ∑(𝑣 𝑠 (𝜉)𝐾 𝑖 𝑠 + 𝑤 𝑠 (𝜉)𝐾 𝑖+1 𝑠 ) 𝑣 𝑠=1
)                                                       (6)
𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 1 , 𝜉 ∈ (0,1] , 𝑛ℎ = 𝑇 − 𝑡 0 , 𝑡 𝑖 = 𝑡 0 − 𝑖ℎ . dengan  mengasumsikan  bahwa ℎ = τ 𝑚 untuk 𝑚 bilangan  bulat  positif,  maka delayed arguments dapat diaproksimasi dengan
𝑦 ℎ (𝑡 𝑖−𝑚 + 𝑐 𝑗 ℎ) = 𝜂(𝑐 𝑗 )𝑦 ℎ (𝑡 𝑖−𝑚−1 ) + (1 − 𝜂(𝑐 𝑗 )𝑦 ℎ (𝑡 𝑖−𝑚 ) + ℎ ∑(𝑣 𝑠 (𝑐 𝑗 )𝐾 𝑖−𝑚 𝑠 + 𝑤 𝑠 (𝑐 𝑗 )𝐾 𝑖−𝑚+1 𝑠 ) 𝑣 𝑠=1 ),
disubtitusi ke persamaan (6) dengan 𝜉 = 1 , diperoleh
𝐾 𝑛+1 𝑟 = 𝑓 (𝑡 𝑖 + 𝑐 𝑗 ℎ, 𝑢 𝑗 𝑦 𝑖−1 (𝑡 𝑖−𝑚−1 ) + (1 − 𝑢 𝑗 )𝑦 𝑖 (𝑡 𝑖 )
+ ℎ ∑(𝑎 𝑗𝑠 𝐾 𝑖 𝑠 + 𝑏 𝑗𝑠 𝐾 𝑖+1 𝑠 ), 𝑦 ℎ (𝑡 𝑖 + 𝑐 𝑗 ℎ − 𝜏) 𝑣 𝑠=1
)                                (7)
Metode  multistep  linier  sangat  menarik  dan  sangat  terkenal  karena  memiliki interpolant alami yang memberikan solusi perkiraan akurat antara mesh point .
b. Metode Runge-Kutta dengan Interpolasi Hermite
Interpolasi  Hermite  dapat  digunakan  juga  untuk  mengaproksimasi delay argument .  Namun,  meskipun  secara  formal  benar  karena  ukuran  langkahnya menjadi  nol,  pendekatan  tersebut  tidak  bekerja  dengan  baik  dengan  metode Runge-Kutta.  Hal  ini  dikarenakan  metode  ini  menghabiskan  banyak  biaya  untuk membentuk  perkiraan  yang  akurat  pada  akhir  langkah  dan  sebagai  akibat  wajar, ukuran langkah efisien sering terlalu besar untuk hasil yang akurat dari interpolasi langsung dan turunan pertama pada beberapa langkah sebelumnya. Ketika metode Runge-Kutta dikombinasikan dengan Interpolasi Hermite [6] untuk
menyelesaikan persamaan differensial waktu tunda maka persamaannya menjadi
dimana 𝐻 dan 𝐻 adalah koefisien dari interpolasi Hermite.
c. Nakashima’s 2 Stages 4th Order Pseudo-Runge-Kutta Method
Metode  yang  dikembangkan  oleh  Sabri  [11]  adalah  metode  yang menggabungkan  metode  Nakashima’s  2  stages  4th  order  Pseudo-Runge-Kutta method (PRK) dengan interpolasi Hermite. Interpolasi digunakan untuk mentaksir delay argument pada persamaan (5)  sehingga diperoleh
dengan
Pada  metode  ini  untuk  mendapatkan  solusi  dari  persamaan  diferensial waktu  tunda  hanya  memerlukan  perhitungan  sampai  dengan 𝑘 2 sedangkan  jika menggunakan  RK4  memerlukan  perhitungan  sampai  dengan 𝑘 4 . Hal  ini menunjukkan  bahwa  metode  PRK  dapat  menjadi  salah  satu  alternatif  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  waktu  tunda  dengan  jumlah  perhitungan yang lebih sedikit dan keakuratan yang hampir sebanding dengan RK4.
d. Mono-Implicit Runge-Kutta Method for Delay Differential Equations
Doha  dkk  [4]  mengganti delay  argument 𝑦(𝑡 − 𝜏) dengan  aproksimasi kontinu,  dimana  DDE  diubah  menjadi  bentuk  ODE  secara  lokal  di  setiap subintervalnya  sehingga  dapat  diselesaikan.  Mereka  mengadopsi Mono-Implicit Runge-Kutta (MIRK) dengan 𝑠 − 𝑠𝑡𝑒𝑝 untuk DDE. 𝑠 − 𝑠𝑡𝑒𝑝 MIRK untuk solusi DDE untuk setiap mesh 𝛥 = { 𝑡 0 < 𝑡 1 <. . . < 𝑡 𝑛 } , 𝑚 ∈ 𝑁 didefinisikan dengan
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + ℎ 𝑛 ∑ 𝑏 𝑟 𝐾 𝑛+1 𝑗 𝑠 𝑟=1 ,                                        (8)
dengan
𝐾 𝑛+1 𝑟 = 𝑓(𝑡 𝑛 + 𝑐 𝑟 ℎ, (1 − 𝑣 𝑟 )𝑦 𝑛 + 𝑣 𝑟 𝑦 𝑛+1 ) + ℎ 𝑛 ∑ 𝑥 𝑟𝑗 𝐾 𝑛=1 𝑗 𝑟−1 𝑗=1 , 𝑦(𝑡 𝑛 + 𝑐 𝑟 ℎ 𝑛 − 𝜏)                                                 (9)
Untuk  mendapatkan  aproksimasi delay  argument 𝑦(𝑡 − 𝜏) ,  solusi  suatu pendekatan kontinu antara mesh points haruslah tersedia. Hal  ini dapat diperoleh dengan menggunakan Continuous Mono-Implisit Runge-Kutta (CMIRK). Dengan menggunakan CMIRK,  diperoleh delay argument yang didefinisikan
𝑢(𝑡 𝑛 + 𝜃ℎ 𝑛 ) = 𝑦 𝑛 + ℎ 𝑛 ∑ 𝑏 𝑟 (𝜃)𝐾 𝑛+1 𝑟 𝑠 ∗ 𝑟=1 (10)
dengan
𝐾 𝑛+1 𝑟 = 𝜆 {(1 − 𝑣 𝑟 )𝑦 𝑛 + 𝑣 𝑟 𝑦 𝑛+1 + ℎ 𝑛 ∑ 𝑥 𝑟𝑗 𝐾 𝑛+1 𝑗 𝑟−1 𝑗=1 }
+ 𝜇 {𝑦 𝑛−𝑚 + ℎ 𝑛−𝑚 ∑ 𝑏 𝑖 (𝑐 𝑟 )𝐾 𝑛−𝑚+1 𝑠 𝑠 𝑖=𝑗
}                                        (11)
Metode ini menggabungkan keakuratan metode implisit dan implementasi yang  efisien.  Hasil  numerik  menunjukkan  bahwa,  dalam  kasus  metode  eksplisit masalah  linear  jauh  lebih  efisien  karena  biaya  komputasinya  lebih  rendah  dan mereka  memberikan  hasil  yang  baik.  Untuk  masalah  nonlinear,  metode  eksplisit masih berfungsi tetapi masih perlu menggunakan toleransi yang lebih tinggi untuk mendapatkan  hasil  yang  memuaskan.  Metode  implisit  lebih  baik  di  bawah toleransi  yang  sama.  Dalam  kasus stiff  problem ,  metode  eksplisit  menjadi  tidak efisien secara komputasi dengan akurasi rendah dan bahkan mungkin tidak dapat bekerja.

## e. Metode Aproksimasi Garis ( MOL Approximation ) [10]
Rattenburry  mengenalkan  Almost  Runge-Kutta  (ARK)  Orde  5  untuk menyelesaikan  masalah  DDE.  Nilai  dari  parameter  bebas  yang  digunakannya adalah 𝑐 = [ 1 4 , 1 2 , 3 4 , 1,1] 𝑇 , 𝐿 = 1 5 , 𝐾 = 1 120 , Φ = 4 dan 𝑎 43 = 8 7 . Sehingga matriksnya dapat didefinisikan sebagai berikut
(12)
dengan matriks stabilitasnya
Salah satu keuntungan utama dari metode ARK adalah kemampuan untuk melakukan  interpolasi  tanpa  diperlukan  evaluasi  fungsi  tambahan.  Rangkaian percobaan ini memungkinkan untuk menguji tidak hanya metode itu sendiri, tetapi juga  interpolator.  Metode  ini  telah  diujikan  pada  suatu  DDE  menggunakan variable stepsize , dengan 𝑇𝑂𝐿 = 10 −𝑖 , 𝑖 = 3, … ,13 .

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  ingin  memberikan  ucapan  terima  kasih  atas  dukungan    dari Kementrian  Riset,  Teknologi  dan  Pendidikan  Tinggi  (KEMENRISTEK  DIKTI) Republik  Indonesia,  LLDIKTI  Wilayah  X  dan  Lembaga  Penelitian  dan Pengabdian Masyarakat (LPPM) Universitas Islam Riau.

## REFERENSI
[1]. Alomari,  A.  K.,  Noorani,  M.R.N.  dan  Nazar,  R . 2009. S olution  of  Delay Differential Equation by Means . Acta Appl Math . Vol. 108. pp 395–412.
[2]. Bartoszewski,  Z.  and  Jackiewicz,  Z.2002.Stability  Analysis  of  Two-Step Runge-Kutta  Methods  for  Delay  Differential  Equations. Computers  and Mathematics with Applications No.44 . pp 83-93 [3]. Batzel,  J.J  dan  Tran,  H.T.  2000.  Stability  of  The  Human  Respiratory Control System Part I : Analysis of a Two-Dimensional Delay State-Space Model. J. Mathemat. Bil. Vol. 41, pp 45-79.
[4]. Doha, H. Eid, Rihan,  A.  Fathalla, Hassan, I. Mohamed I, and  Kamel,  M. Noha.  2009.  Mono-Implicit  Runge-Kutta  Method  for  Delay  Di®erential Equations. J. Egypt Math. Soc . Vol. 17(2).pp 213-232.
[5]. F.  Karakoç  &  H.  Bereketoğlu.  2009.  Solutions  of  delay  differential equations by using differential transform method. International Journal of
Computer Mathematics , Vol. 86(5). pp. 914-923, DOI:
10.1080/00207160701750575
[6]. Faudziah Ismail and Raed Ali Al-Khasawneh. 2002. Numerical Treatment of  Delay  Differential  Equations  by  Runge-Kutta  Method  Using  Hermite Interpolation. Matematika . Vol. 18. pp. 79-90.
[7]. Ishtiaq  Ali,  Brunner,  Hermann  dan  Tang,  Tao.  2009.  A  Spectral  Method for  Pantograph-Type  Delay  Differential  Equations  and  its  Convergen Anlysis . Journal Computational of Mathematics. Vol. 27. pp. 254-265.
[8]. Lidia  Veronica,  T  dan  Lasker  P.  Sinaga.  2018.  Prilaku  Solusi  Sistem Persamaan  Diferensial  Waktu  Tunda  Dinamika  Virus  HIV  Dalam  Sel Tubuh. Jurnal Sains Indonesia. Vol. 42(1), pp 12-16.
[9]. Nakashima,  Masaharu.  1982.  On  Pseudo-Runge-  Kutta  Methods  with  2 and 3 Stages. RIMS Publications . Vol.18 (3). pp. 895-909.
[10]. Rattenbury,  Nicolette.  2004. Almost  Runge-Kutta  Methods  for  Stiff  and Non-Stiff  Problems (Thesis).  Doctor  of  Philosophy,  The  University  of Auckland . https://pdfs.semanticscholar.org/022f/e53156cd5db1403a2e77e
34f1efc711fb09a.pdf (diunduh : 14 September 2019, 7:50 PM)
[11]. Sabri,  Nur  Ain  Ayunni.  2014.  Solving  Delay  Differential  Equations (DDEs)  using  Nakashima’s  2  Stages  4th  Order  Pseudo-Runge-Kutta Method. World Applied Sciences Journal . Vol. 21. pp. 181-186.
[12]. Balachandran,  Balakumar,  Kalmar,  Tamas  dan  Gilsinn,  Nagy  David  E. 2009. Delay Differential Equations. Springer, New York.
[13]. Chapra, Steven C. and Canale, Raymond P. 2010. Numerical Methods for Engineers . McGraw-Hill Companies. New York.
[14]. Krasovskii,  N.  N.  1963. Stability  of  Motion  . Stanford  University  Press. Stanford.
[15]. Shampine,  Larry  F.  and  Thompson,  Sylvester.  2009. Delay  Differential Equations .  Springer Science+Business Media. New York.
[16]. Smith,  Hal . 2010. An  Introduction  to  Delay  Differential  Equation  with Application to The Life Sciences. Springer Science + Business Media. New York.
[17]. Hoo,  Yann  Seong  dan  Majid,  Zanariah  Abdul. 2015. Solving  delay differential equations of pantograph type using predictor-corrector method. s.l.  :  AIP  Conference  Proceedings  1660,  050059 .  American  Institute  of Physics. 1-4.
[18]. Seong, Hoo Yan dan Majid, Zanariah Abdul. 2015. Solving neutral delay differential equations of pantograph type by using multistep block method. 7th  International  Conference  On  Research  And  Educations  In Mathematics (ICREM7) . Malaysia, 57-60.