Empiricism Journal https://journal-center.litpam.com/index.php/empiricism email: empiric.journal@gmail.com
pp. 32-41

## Analisis Kemampuan Abstraksi Reflektif Siswa dalam
Merekonstruksi Konsep Limit Fungsi ditinjau dari Perbedaan Jenis Kelamin
* Helmi Rahmawati, Moh. Supratman
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Qamarul Huda Badaruddin Bagu, Indonesia
*Email Korespondensi: helmirahmawati18@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk mengungkap  dan  menggambarkan  kemampuan  abstraksi  reflektif  siswa  dalam merekonstruksi konsep limit fungsi ditinjau dari perbedaan jenis kelamin. Penelitian ini adalah penelitian kualitatif dengan  subjek  penelitian  yang  terdiri  terdiri  dari  dua  siswa  (laki-laki  and  perempuan)  kelas  XI  MIPA  MA  Darul Mahmudien  NW  Montonggamang  dengan  kemampuan  matematika  tinggi.  Data  dalam  penelitian  ini  diperoleh melalui tes dan wawancara. Penelitian ini menggunakan struktur mental teori APOS (Aksi, Proses, Objek, Skema) untuk menggambarkan mekanisme mental interiorisasi, enkapsulasi, dan tematisasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pada setiap tahap, (1) Siswa Laki-laki (SL) mampu menghubungkan pengetahuan matematika yang dimiliki yang terkait dengan materi limit fungsi untuk menemukan jawaban (aksi), (2) menjelaskan bagaimana menemukan jawaban  (proses),  (3)  belum  dapat  menjelaskan  aturan  yang  digunakan  (objek),  dan  (4)  belum  dapat menyelesaikan soal yang lebih kompleks (skema). Di pihak lain, Siswa Perempuan (SP) hanya mencapai tahap aksi.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  kemampuan  abstraksi  reflektif  SL  lebih  baik  dari  pada  SP  dalam merekonstruksi konsep limit fungsi.
Kata kunci: Kemampuan abstraksi reflektif; rekonstruksi konsep; limit fungsi; jenis kelamin

## Analysis of Students' Reflective Abstraction Ability in Reconstructing the Concept of Function Limits in terms of Gender Differences

## Abstract
This study aims to reveal and describe students' reflective abstraction skills in reconstructing the concept of limit function in terms of gender differences. This research is qualitative research with research subjects consisting of two students (male and female) class XI MIPA MA Darul Mahmudien NW Montonggamang with high mathematical ability. The data in this study were obtained through tests and interviews. This study uses the mental structure of APOS  theory  (Action,  Process,  Object,  Schema)  to  describe  the  cognitive  mechanisms  of  interiorization, encapsulation, and thematization. The results showed that at each stage, (1) male students (SL) were able to relate their mathematical knowledge related to the limit function material to find answers (action), (2) explain how to find answers (process), (3 ) has not been able to explain the rules used (objects), and (4) have not been able to solve more complex problems (schemas). On the other hand, female students (SP) only reached the action stage. So it can be concluded that the reflective abstraction ability of SL is better than SP in reconstructing the concept of limit function.
Keywords: Reflective abstraction ability; concept reconstruction; function limit; gender
How  to  Cite: Rahmawati,  H.,  &  Supratman,  M.  (2022).  Analisis  Kemampuan  Abstraksi  Reflektif  Siswa  dalam Merekonstruksi  Konsep  Limit  Fungsi  ditinjau  dari  Perbedaan  Jenis  Kelamin. Empiricism  Journal , 3 (1),  32 –41. https://doi.org/10.36312/ej.v3i1.768
https://doi.org/10.36312/ej.v3i1.768
Copyright © 2022, Rahmawati & Supratman
This is an open-access article under the CC-BY-SA License.

## PENDAHULUAN
Matematika merupakan mata pelajaran eksak yang banyak dibutuhkan dalam ilmu lain seperti  fisika,  biologi  dan  lainnya.  Matematika  diajarkan  sejak  sekolah  dasar  sampai perguruan tinggi. Karena sudah ditanamkan sejak dini seharusnnya siswa dapat menguasai
matematika dasar. Namun, pada kenyataannya prestasi belajar matematika siswa Indonesia masih sangat rendah. Hal ini sesuai dengan data dari Programme for International Student Assessment (PISA) tahun 2018, Indonesia  menduduki peringkat   ke 72 dari 78 dengan rata- rata nilai 379 dan rata-rata skor dunia untuk matematika adalah 489 (OECD, 2019). Hal ini menunjukan  bahwa  prestasi  belajar  matematika  siswa  Indonesia  masih  sangat  rendah (Ompusunggu, 2022). Dalam tes Programe for International Student Assesment (PISA) ada 4 kemampuan matematika yang dinilai, yaitu kemampuan pemahaman, pemecahan masalah (problem  solving),  kemampuan  penalaran  (reasoning)  dan  kemampuan  komunikasi (communication).  NCTM  pada tahun  2000  menetapkan  5 kemampuan matematis, meliputi: penalaran matematis, representasi matematis, koneksi matematis, komunikasi matematis dan pemecahan masalah matematis (National Council of Teachers of Mathematics, 2000).
Kemampuan  pemahaman  konsep  matematika  sangat  penting  untuk  dikuasai  siswa. Memahami    konsep  matematika  akan  menjadi  modal  awal  dalam  memahami  konsep matematika lainnya. Salah satu upaya dalam membangun konsep matematika adalah melalui abstraksi (Rahmawati et al., 2018). Terdapat tiga jenis abstraksi, diantaranya adalah abstraksi empiris  ( empirical  abstraction )  dimana  fokusnya  pada  kekayaan  objek  dan  pengetahuan tentang objek itu berasal dari kekayaannya sendiri; abstraksi empiris semu ( pseudo-empirical abstraction ) dimana fokusnya adalah pada tindakan yang menghilangkan sifat-sifat yang telah dikenalkan  subjek  ke  dalam  objek,  dan  abstraksi  reflektif  ( reflective  abstraction )  dimana konstruksi  selanjutnya  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  struktur  yang  ada  untuk membangun struktur baru. Cetin dan Dubinsky (2017) menyatakan abstraksi reflektif sebagai mekanisme mental dimana siswa dapat membangun semua konsep matematis pada semua tingkat  yang  terdiri  dari  sistem  tindakan  atau  operasi  pada  tingkat  yang  lebih  rendah  serta karakteristik tertentu yang refleksi pada tindakan atau operasi pada tingkat yang lebih tinggi yang  dilanjutkan  dengan  rekonstruksi  dalam  mengintegrasikan  konstruksi  sebelumnya. Dengan kata lain, abstraksi reflektif memiliki dua komponen yaitu mencerminkan operasi pada tingkat yang lebih rendah dan merekonstruksi, kemudian mengintegrasikannya pada tingkat yang lebih tinggi (Rahmawati et al., 2018).
Kalkulus  adalah  mata  kuliah  awal  menuju  matematika  lanjutan  yang  diambil  oleh mahasiswa sarjana di sebagian besar departemen sains dan teknik eksak. Salah satu konsep dasar kalkulus adalah limit (Oktaviyanthi et al., 2018). Caifen et al. (2018) menyatakan bahwa konsep  limit  adalah  salah  satu  ide  yang  paling  mendasar  tidak  hanya  dalam  memahami kalkulus tetapi juga dalam mengembangkan pemikiran matematis di luar kalkulus dan dalam mengejar kekakuan matematika. Banyak konsep matematika didasarkan pada konsep limit: turunan, integral, kontinuitas, dan jumlah deret tak hingga. Lebih lanjut dijelaskan bahwa limit adalah konsep matematika pertama yang siswa temui dimana seseorang tidak menemukan hasilnya dengan perhitungan matematis langsung. Di pihak lain, Szydlik (2000) menyatakan bahwa limit sebagai tak terjangkau, limit sebagai gerak, dan limit sebagai batas yang tidak dapat  menyebrang.  Hasil  studi  pendahuluan  menemukan  bahwa  kesulitan  sebagian  besar siswa dalam mengevaluasi limit dengan bentuk formal berkaitan dengan pemahaman konsep definisi formal limit (Oktaviyanthi et al., 2018).
Permasalahan  serupa  juga  ditemukan  pada  tempat  penelitian.  Siswa  kelas  XII Madrasah  Aliyah  Darul  Mahmudien  NW  Lombok  Tengah  cenderung  mengalami  kesulitan pada  proses  evaluasi  limit  bentuk  formal.  Berdasarkan  permasalahan  tersebut,  penelitian dengan tujuan mengungkap dan menggambarkan kemampuan abstraksi reflektif siswa dalam merekonstruksi konsep limit fungsi ditinjau dari perbedaan jenis kelamin penting dilakukan. Identifikasi  kencenderungan  siswa  berdasarkan  karakteristik  tertentu  penting  dilakukan termasuk perbedaan jenis kelamin (Asy’ari & da Rosa, 2022) untuk dapat mengoptimalkan kemampuan  siswa  dalam  belajar.  Abstraksi  reflektif  yang  dimaksud  dalam  penelitian  ini meliputi  aksi,  interiorisasi  dan  proses,  enkapsulasi  dan  objek,  tematisasi  dan  skema (Rahmawati et al., 2018).

## METODE
Jenis  peneltian  ini  adalah  penelitian  kualitatif  yang  bertujuan  untuk  mendeskripsikan bagaimana kemampuan abstraksi reflektif siswa berdasarkan perbedaan jenis kelamin pada materi limit fungsi. Subjek penelitian ini adalah satu siswa laki-laki dan satu siswa perempuan kelas  XII  Madrasah  Aliyah  Darul  Mahmudien  NW  Lombok  Tengah  dengan  kemampuan matematika  tinggi.  Subjek  dipilih  berdasarkan  hasil  tes  lmit  fungsi  yang  diberikan  untuk mengetahui kemampuan matematika siswa. Peneliti juga membandingkan dari hasil Ulangan Tengah Semester Genap. Siswa laki-laki dan perempuan yang mendapat nilai  tertinggi pada tes limit fungsi dan Ulangan Tengah Semester dipilih untukdijadikan subjek penelitian. Data penelitian ini tentang kemampuan abstraksi siswa yang didapatkan dari pemberian tes dan wawancara  hasil  tes  rekonstruksi  konsep  limit  fungsi  guna  mendapatkan  hasil  yang  lebih mendalam. Data dianalisis berdasarkan kemampuan abstraksi reflektif.
Abstraksi reflektif dalam penelitian ini adalah abstraksi yang melibatkan refleksi, dalam arti menyadari  dan merenungi  operasi  yang  dilakukan  dari  tingkat kognitif  atau  tahap  yang lebih rendah ke tahap yang lebih tinggi yang mengacu pada struktur mental teori APOS yaitu: aksi,  proses,  objek  dan  skema  yang  memiliki  tujuan  untuk  menggambarkan  mekanisme mental  interiorisasi,  enkapsulasi  dan  tematisasi  siswa  dalam  merekonstruksi  konsep matematika. Berikut adalah indikator abstraksi reflektif pada penelitian ini yang dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Indikator Abstraksi Reflektif (Rahmawati et al., 2018)
ABSTRAKSI REFLEKTIF TAHAPAN INDIKATOR Aksi - Menghubungkan pengetahuan matematika yang dimiliki yang terkait dengan materi limit fungsi untuk menemukan jawaban. Interiorisasi dan Proses
- Menghubungkan  lebih  banyak  lagi  pengetahuan  matematika  yang terkait dengan materi limit fungsi untuk menemukan jawaban.
- Pada tahap ini, siswa dapat menjelaskan bagaimana dia memperoleh jawaban, tetapi belum dapat menjelaskan mengapa langkah-langkah penyelesaian tersebut dilakukan. Enkapsulasi dan Objek - Menghubungkan pengetahuan matematika dengan pengetahuan limit fungsi yang dimiliki secara utuh, yaitu sadar akan proses total dalam arti menyadari transformasi yang dilakukan serta mampu menjelaskan aturan-aturan  yang  digunakan  pada  setiap  langkah  penyelesaian yang dilakukan. Tematisasi dan Skema - Menghubungkan  aksi,  proses,  dan  objek,  sehingga  membentuk skema limit fungsi.
- Menggunakan skema yang telah terbentuk melalui aksi, proses, objek yang telah ada dalam pikiran untuk membentuk objek baru yang dapat digunakan dalam menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Kemampuan Abstraksi Reflektif Siswa Laki-laki (SL)
Berdasarkan  Gambar  1,  siswa  laki-laki  dapat  menentukan  nilai  limit  yang  diminta dengan benar. Pada langkah pertama SL mengalikan dengan akar sekawan. Selanjutnya SL mengalikan  pembilang  dengan  pembilang  dan  mengalikan  penyebut  dengan  penyebut. Kemudian pada lngkah ketiga SL menerapkan hukum kanselasi dengan mencoret 𝑥 2 pada bagian pembilang dan penyebut. Kemudian SL memasukkan limit 𝑥 → 0 dan mendapatkan nilai limit mendekati −2 .
Gambar 1. Jawaban Siswa Laki-laki (SL)
Pada  tahap  aksi,  SL  dapat  menghubungkan  pengetahuan  yang  dimiliki  sebelumnya untuk menemukan jawaban.  Di mana SL dapat melakukan operaasi perkalian, pembagian, penjumlahan,  dan  pengurangan  yang  dilakukan  berdasarkan  penggalaman  sebelumnya. Bansilal et al. (2017) menyebutkan bahwa suatu transformasi pertama kali dipahami sebagai suatu Aksi , ketika  itu  merupakan  sebuah reaksi  terhadap  rangsangan  yang  dirasakan  oleh siswa sebagai eksternal yang terdiri dalam mengikuti instruksi eksternal atau internal tertentu, dan kebutuhan untuk melakukan setiap langkah transformasi secara eksplisit SL juga dapat membaca soal limit dengan benar.
Pada  tahap  proses,  SL  dapat  menjelasakan  langkah  demi  langkah  pada  setiap penyelesaian yang dilakukan. Pada tahap ini Siswa Laki-laki (SL) tidak melakukan langkah secara  rinci,  ada  beberapa  langkah  yang  tidak  ia  jabarkan  seperti  ketika  mengalikan (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) ia  langsung  menulis  hasil  akhirnya  tanpa  dijabarkan.  Hal  ini sesuai dengan pendapat Maharaj (2013) yang mengatakan bahwa ketika individu mengulangi dan merefleksikan pada suatu aksi, itu dapat diinteriorisasikan ke dalam mental proses. Suatu proses adalah struktur mental dalam melakukan operasi yang sama dengan tindakan, tetapi sepenuhnya  dalam  pikiran  siswa.  Secara  khusus,  siswa  dapat  membayangkan  melakukan transformasi  tanpa  harus  mengeksekusi  setiap  langkah  secara  eksplisit.  Sehingga  dapat dikatakan bahwa SL dapat menginteriorisasi aksi menjadi proses.
Pada tahap objek, SL belum sadar secara utuh terhadap penyelesaian yang dilakuakan. Hal  ini  ditunjukkan  ketika  Siswa  ditanya  perkalian  bentuk  akar,  Siswa  Laki-laki  (SL)  belum dapat menjawab dengan benar. Siswa Laki-laki (SL) menulis (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) = 1 − (1 + 𝑥 2 ) .  SL  tidak  tahu  aturan  yang  digunakan.  SL  hanya  mengatakan  itu  adalah  cara yang diajarkan oleh gurunya. Jika diperhatikan SL menerapkan aturan (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 2 − 𝑏 2 .  Sehingga  SL  belum  dapat  mengenkapsulasi  proses  menjadi  objek.  Arnon  (2014) menyatakan bahwa jika siswa menyadari proses itu sebagai keseluruhan, menyadari bahwa transformasi  dapat  bertindak  berdasarkan  totalitas  itu  dan  benar-benar  dapat  membangun transformasi semacam itu (secara eksplisit atau dalam  imajinasi siswa), maka kita katakan bahwa siswa tersebut telah mengenkapsulasi proses tersebut menjadi objek kognitif.  Pada tahap  skema  SL  tidak  dapat  menyelesaiakan  soal  yang  lebih  kompleks.  SL  belum  dapat mentematisasi  objek  menjadi  skema.  Berikut  adalah  transkrip  wawancara  Siswa  Laki-laki (SL).

## Tahap Aksi
P: Limit itu apa sih?
SL: Batas
P: kalau limit fungsi maksudnya apa?
SL: Batas fungsi P: Bagaimana cara membaca lim 𝑥→1 𝑥−3 𝑥 2 −6𝑥+9 ?
SL: limit 𝑥 mendekati 1 untuk 𝑥 kurang 3 dibagi 𝑥 kuadrat kurang 6𝑥 tambah 9 P: itu kan limit suatu fungsi ketika 𝑥 mendekati 1, kalau misalkan hasilnya 1 2 , nilai limitnya 1 2 atau mendekati 1 2 ?
SL: Mendekati 1 2 P:
Kenapa?
SL: Karena 𝑥 nya mendekati 1 P:
Jadi, limit fungsi itu apa dong?
SL: nilai yang mendekati suatu bilangan tetapi tidak akan sama dengan bilanga itu.

## Tahap Proses
P: Coba jelaskan langkah  penyelesaian yang kamu lakukan
SL: Pertama,  saya  kalikan  dengan  penyebutnya  tapi  tandanya  diubah,  kalau  tanda dipenyebutnya (– ) kita ubah jadi (+) dan sebaliknya. Terus kita kalikan penyebut dengan penyebut, pembilang dengan pembilang, kalau sudah ketemu hasil kalinya kita masukkan nilai limit 𝑥 → 0

## Tahap Objek
P: Pada langkah pertma apa yang kamu lakukan?
SL: Mengalikan dengan akar sekawan P:
Maksudnya?
SL: tandanya, kalau (– ) kita ubah jadi (+)
P: Kenapa (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) bisa menjadi 1 − (1 + 𝑥 2 ) ? SL: Saya hilangkan akarnya P: Loh, kok bisa begitu?
SL: Coba-coba aja bu, kemarin diajarkan seperti itu.
P: Kalau (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = ? SL: (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 6 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 P: Kalau (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) =? SL: Saya ndak kalikan seperti ini karena ada akarnya, hehe
P: Ya, coba dikalikan seperti kamu mengalikan (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) tadi.
SL: (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) = 1 + √1 + 𝑥 2 − √1 + 𝑥 2 − ?
Kalau √1 + 𝑥 2 dikali √1 + 𝑥 2 berapa ya bu? P: √2 ∙ √2 =? SL: √4 P: √4 = ? SL: 2 P: √3 ∙ √3 =? SL: √9 P: √9 =? SL: 3 P: √2 ∙ √2 = 2 , √3 ∙ √3 = 3 , berarti √1 + 𝑥 2 ∙ √1 + 𝑥 2 =? SL: 1 + 𝑥 2
P: Jadi, (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) =? SL: 1 − (1 + 𝑥 2 )

## Tahap Skema

## P: Kalau saya kasih soal
Tentukan nilai limit dari lim 𝑥→0 √2+√𝑥−√2−√𝑥 𝑥 = ⋯ ?
SL:

## Kemampuan Abstraksi Reflektif Siswa Perempuan (SP)
Berdasarkan Gambar  2,  siswa  Perempuan  (SP) belum  dapat menjawab soal  dengan benar.  Pada  langkah  pertama,  Siswa  Perempuan  (SP)  menggunakan  metode  mengalikan dengan faktor sekawan. Selanjutnya pada langkah kedua Siswa Perempuan (SP) mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Pada langkah ketiga, Siswa Perempuan  (SP)  menghitung  bahwa (1 − √1 + 𝑥 2 ) dikali (1 − √1 + 𝑥 2 ) sama  dengan 1 − √1 + 𝑥 2 dan Siswa Perempuan (SP) melanjutkan perhitungannya bahwa 1 − √1 + 𝑥 2 = √𝑥 2 . Kemudian  Siswa  Perempuan  (SP)  menganggap  bahwa 𝑥 2 dibagi √𝑥 2 sama  dengan  1 sehingga  tersisa 1 + √1 + 𝑥 2 .  Kemudian  pada  langkah  terakhir  Siswa  Perempuan  (SP) memasukan limit 𝑥 → 0 dan mendapatkan nilai limit mendekati 2.
Gambar 2. Jawaban Siswa Perempuan (SP)
Pada  tahap  aksi,  SP  dapat  menghubungkan  pengetahuan  yang  dimiliki  sebelumnya untuk  menemukan  jawaban.  Dimana  SP  dapat  melakukan  operasi  hitung.  SP  juga  dapat membaca soal limit dengan benar. Parraguez dan Oktaç (2010) menyatakan bahwa konsepsi aksi dari sebuah konsep adalah ketika siswa dapat melakukan perhitungan dan transformasi objek matematika sebagai hasil dari rangsangan eksternal, seperti memasukkan angka untuk variabel  dalam  formula.  Pada  tahap  proses,  SP  dapat  menjelaskan  bagaimana  dia memperoleh  jawaban,  tetapi  belum  dapat  menjelaskan  mengapa  langkah-langkah penyelesaian  tersebut  dilakukan.  Seperti  pada  menghiung 1 − √1 + 𝑥 2 .  SP  mengurangi
langsung  1  di  luar  akar  dengan  1  di  dalam  akar  tanpa  melihat  penjumlah  1  yaitu 𝑥 2 . SP menganggap bahwa 1 pada √1 + 𝑥 2 dapat dikeluarkan sehingga menghasilkan √𝑥 2 . SP juga menganggap 𝑥 2 √𝑥 2 = 1 . Sehingga dapat disimpulkan bahwa SP belum dapat menginteriorisasi aksi  menjadi  proses.  Burns-Childers  dan  Vidakovic  (2018)  menyatakan  bahwa  pada  tahap proses, siswa mampu merefleksikan dan mengutarakan setiap langkah dalam  transformasi yang dilakukan tanpa melakukannya secara langsung.
Pada tahap objek, SP belum sadar secara utuh terhadap penyelesaian yang dilakuakan. SP  belum  dapat  mengenkapsulasi  proses  menjadi  objek.  García-Martínez  dan  Parraguez (2017)  menyatakan  bahwa  ketika  siswa  mempertimbangkan  sebuah  proses  secara keseluruhan, melakukan dan membangun transformasi di atasnya, dikatakan bahwa proses tersebut  telah  dienkapsulasi  menjadi  objek.  Pada  tahap  skema  SP  tidak  dapat menyelesaiakan  soal  yang  lebih  kompleks  sehingga  SP  belum  dapat  mentematisasi  objek menjadi  skema.  Sebagaimana  proses-proses  dienkapsulasi,  suatu  objek  diperoleh  ketika skema  ditematisasikan  menjadi  objek  dengan  bentuk  lain,  yang  juga  dapat  dilakukan  de- tematisasi untuk mendapatkan konten asli dari skema tersebut (Dubinsky & Yiparaki, 2001). Berikut adalah transkrip wawancara Siswa Perempuan (SP).

## Tahap Aksi
P: Limit itu apa sih?
SP: Limit adalah fungsi yang dimasukkan nilai 𝑥 P: Maksudnya? SP: Misalnya ada fungsi 𝑓(𝑥) , nah kita masukkan nilai limit 𝑥 ke dalam fungsi itu
P: Bagaimana cara membaca lim 𝑥→1 𝑥−3 𝑥 2 −6𝑥+9 ?
SP: limit 𝑥 mendekati 1 𝑥 min 3 dibagi 𝑥 kuadrat min 6𝑥 tambah 9 P: itu  kan  limit  suatu  fungsi  ketika 𝑥 mendekati  1,  kalau  misalkan  hasilnya 2 ,  nilai limitnya 2 atau mendekati 2 ? SP: Mendekati 2 P: Kenapa? SP: Karena 𝑥 nya mendekati 1 P: Jadi, limit fungsi itu apa dong?
SP: Nilai fungsi yang mendekati bilangan tertentu.

## Tahap Proses
P: Coba jelaskan langkah  penyelesaian yang kamu lakukan
SP: Pertama,  kita  kalikan  dengan  akar  sekawannya,  kemudian  kita  kalikan 𝑥 2 dengan (1 + √1 + 𝑥 2 ) dan (1 − √1 + 𝑥 2 ) dengan (1 + √1 + 𝑥 2 ) . Yang di atas kita tulis ulang (pembilang)  lalu (1 − √1 + 𝑥 2 ) dikali (1 + √1 + 𝑥 2 ) sama  dengan 1 − √1 + 𝑥 2 . 1 − √1 + 𝑥 2 sama  dengan √𝑥 2 . 𝑥 2 dibagi √𝑥 2 habis,  sehingga  sisanya 1 + √1 + 𝑥 2 . Selanjutnya kita masukkan nilai limitnya.

## Tahap Objek
P: Pada langkah pertma apa yang kamu lakukan?
SP: Mengalikan dengan akar sekawan P:
Maksudnya?
SP: tandanya, kalau di soal tandanya (– ) kita ubah jadi (+) P: Kenapa (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) bisa jadi 1 − √1 + 𝑥 2 ? SP: Itu dah buk, hehe
P: Coba kalikan ini (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) = ? SP: (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
= 𝑥 2 − 3𝑥 + 2𝑥 − 6 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6
P: Kalau (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) =? SP: (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) = 1 + √1 + 𝑥 2 − √1 + 𝑥 2 − ?
√1 + 𝑥 2 dikali √1 + 𝑥 2 berapa bu? P: √2 ∙ √2 =? SP: √4 P: √4 = ? SP: 2 P: √3 ∙ √3 =? SP: √9 P: √9 =?
SP: 3
P:
√2 ∙ √2 = 2 , √3 ∙ √3 = 3 , berarti √1 + 𝑥 2 ∙ √1 + 𝑥 2 =? SP: 1 + 𝑥 2 ya bu? P: Coba lihat bilangan yang di dalam akar, sama kan?
SP: Iya bu P: Kalau bilangan di dalam akar sama jika dikalikan akan menghasilkan apa?? SP: Bilangan itu sendiri bu, ooh iya ibu ngerti. P:
Jadi, (1 − √1 + 𝑥 2 )(1 + √1 + 𝑥 2 ) =? SP: 1 − (1 + 𝑥 2 )
P:
Terus kenapa 1 − √1 + 𝑥 2 = √𝑥 2
SP: Karena kan √1 = 1 P: Tapi di sana kan 1 dijumlahkan dengan 𝑥 2 SP: Oh iya ya, astaga salah dong P: Tadi kamu juga bilang kalau 𝑥 2 dibagi √𝑥 2 habis, kok bisa? SP: Kan sama sama 𝑥 2 bu P: Tapi kan penyebutnya ada akarnya SP: Hehe, iya salah bu

## Tahap Skema

## P: Kalau saya kasih soal
Tentukan nilai limit dari lim 𝑥→0 √2+√𝑥−√2−√𝑥 𝑥 = ⋯ ?
SP:

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan diskusi di atas, kemampuan abstraksi reflektif Siswa Laki-laki (SL)  lebih  baik  dibandingkan  Siswa  Perempuan  (SP)  dalam  merekonstruksi  konsep  limit fungsi.  Dimana  Siswa  Laki-laki  mampu  menginteriorisasi  aksi  menjadi  proses.  Sedangkan
Siswa Perempuan hanya dapat melakukan aksi saja. Hal ini dibuktikan dengan hasil jawaban Siswa Perempuan (SP) salah. Sedangkan Siswa Laki-laki (SL) menjawab soal dengan benar. Siswa  Laki-laki  (SL)  mampu  menjelaskan  langkah-langkah  penyelesaian  yang  dilakukan namun  belum  dapat  menjelaskan  mengapa  langkah-langkah  penyelesaian  tersebut dilakukan.  Siswa  Perempuan  (SP)  maupun  Siswa  Laki-laki  (SL)  belum  dapat mengenkapsulasi proses menjadi objek, dimana kedua subjek penelitian belum sadar akan proses  total  dalam  arti  menyadari  transformasi  yang  dilakukan  serta  mampu  menjelaskan aturan-aturan  yang  digunakan  pada  setiap  langkah  penyelesaian  yang  dilakukan.  Siswa Perempuan (SP) maupun Siswa Laki-laki (SL) juga belum dapat mentematisasi objek menjadi skema,  hal  ini  ditunjukkan  ketika  Siswa  Perempuan  (SP)  maupun  Siswa  Laki-laki  (SL) diberikan soal yang lebih kompleks keduanya tidak dapat menjawab soal dengan benar.

## REKOMENDASI
Penelitian  ini  diharapkan  dapat  menjadi  rekomendasi  untuk  lebih  memahami karakteristik siswa dan dipertimbangkan untuk penyesuaian model dan strategi pembelajaran matematika.  Penelitian  lanjutan  dengan  memperhatikan  karakteristik  siswa  lainnya  seperti gaya kognitif, problem-solving, dan metakognisi perlu dilakukan di masa mendatang

## UCAPAN TERIMAKASIH
Trimakasih kami ucapkan kepada pihak sekolah yang telah memfasilitasi penelitian ini. Selain  itu,  ucapan  terimakasih  juga  peneliti  sampaikan  kepada  siswa  yang  terlibat  dalam mengikuti penelitian ini sehingga dapat diselesaikan.

## DAFTAR PUSTAKA
Arnon, I. (Ed.). (2014). APOS theory: A framework for research and curriculum development in mathematics education . Springer-Verlag.
Asy’ari, M., & da Rosa, C. T. W. (2022). Prospective Teachers’ Metacognitive Awareness in Remote  Learning:  Analytical  Study  Viewed  from  Cognitive  Style  and  Gender. International  Journal  of  Essential  Competencies  in  Education , 1 (1),  18 –26. https://doi.org/10.36312/ijece.v1i1.731
Bansilal,  S.,  Brijlall,  D.,  &  Trigueros,  M.  (2017).  An  APOS  study  on  pre- service  teachers’ understanding of injections and surjections. The Journal of Mathematical Behavior , 48 , 22 –37. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2017.08.002
Burns-Childers, A., & Vida kovic, D. (2018). Calculus students’ understanding of the vertex of the quadratic function in relation to the concept of derivative. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 49 (5), 660 –679. https://doi.org/10.1080/0020739X.2017.1409367
Caifen,  W.,  Hailun,  F.,  &  Rongrong,  C.  (2018).  The  Research  on  Graduate  Students’
Understanding  of  Three  Basic  Limit  Concepts. American  Journal  of  Education  and Learning , 3 (2), 100 –107. https://doi.org/10.20448/804.3.2.100.107
Cetin, I., & Dubinsky, E. (2017). Reflective abstraction in computational thinking. The Journal of Mathematical Behavior , 47 , 70 –80. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2017.06.004
Dubinsky,  E.,  &  Yiparaki,  O.  (2001). Predicate  Calculus  and  the  Mathematical  Thinking  of Students .
García-Martínez, I., & Parraguez, M. (2017). The basis step in the construction of the principle of  mathematical  induction  based  on  APOS  theory. The  Journal  of  Mathematical Behavior , 46 , 128 –143. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2017.04.001 Mahara j,  A.  (2013).  An  APOS  analysis  of  natural  science  students’  understanding  of derivatives. South African Journal of Education , 33 (1), 1 –19. https://doi.org/10.15700/saje.v33n1a458
National  Council  of  Teachers  of  Mathematics  (Ed.).  (2000). Principles  and  standards  for school mathematics . National Council of Teachers of Mathematics. OECD (Ed.). (2019). What students know and can do . OECD Publishing.
Oktaviyanthi,  R.,  Herman,  T.,  &  Dahlan,  J.  A.  (2018).  How  Does  Pre-Service  Mathematics Teacher Prove the Limit of a Function by Formal Definition? Journal on Mathematics Education , 9 (2), 195 –212.
Ompusunggu,  V.  D.  K.  (2022).  Analisis  Proses  Jawaban  Siswa  Terkait  Kemampuan Komunikasi  Matematis  Siswa  SMP  Negeri  1  Paranginan. JURNAL  CURERE , 6 (1), 133 –139. https://doi.org/10.36764/jc.v6i1.694
Parraguez,  M.,  &  Oktaç,  A.  (2010).  Construction  of  the  vector  space  concept  from  the viewpoint  of  APOS  theory. Linear  Algebra  and  Its  Applications , 432 (8),  2112 –2124. https://doi.org/10.1016/j.laa.2009.06.034
Rahmawati, H., Budayasa, I. K., & Ekawati, R. (2018). Reflective Abstraction of Junior High School  Students  in  Reconstructing  The  Factorization  Concept. Proceedings  of  the Mathematics, Informatics, Science, and Education International Conference (MISEIC 2018) .  Mathematics,  Informatics,  Science,  and  Education  International  Conference (MISEIC 2018), Surabaya, Indonesia. https://doi.org/10.2991/miseic-18.2018.50 Szydlik, J. E. (2000). Mathematical Beliefs and Conceptual Understanding of the Limit of a Function. Journal  for  Research  in  Mathematics  Education , 31 (3),  258 –276. https://doi.org/10.2307/749807