Vol. 11, No. 1,  45-55,  Juli  2014
MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI
Fauziah Baharuddin 1 , Loeky Haryanto 2 , Nurdin 3

## Abstrak
Penulisan  ini  bertujuan  untuk  mendapatkan  perumusan  banyak  cara  berbeda  dalam  masalah distribusi  bola  ke  dalam  wadah,  sesuai  ketentuan  atau  syarat  yang  diberikan  pada  cara  distribusi atau  pada  fungsi-fungsi  yang  terkait  dengan  distribusi  tersebut.  Tujuan  lainnya  adalah  memberi intreprestasi  beberapa  masalah  distribusi  bola  ke  wadah  menjadi  masalahyang  berbeda  (tetapi ekuivalen) ke dalam bahasa matematis.
Kata Kunci : Fungsi, Permutasi, Koefisien Binomial, Partisi Bilangan.

## Abstract
The goal of this paper is primarily to obtain the number of different ways in distributing n balls into k urns  subject  to  some  conditions  imposed  on  the  balls  and  the  urns  as  well  as  on  the  associated functions related to the distributions. Another goal is to find distinct interpretations, but equivalent for each distribution intomathematicallanguage.
Key Words : Functions, Permutations, BinomialCoefficient, Numbers Partition .

## 1. Pendahuluan
Dalam  kehidupan  sehari-hari  manusia  melihat  dan  mengenali  berbagai  bentuk  objek  di sekitarnya.  Sering  ada  keinginan  untuk  mengetahui  cara-cara  sekumpulan  objekdapat diklasifikasikan  berdasarkan  suatu  kriteria  sehingga  terjadi  partisi  atas  objek-objek  tersebut menjadi  beberapa  kelompok  yang  berbeda  dan  saling  lepas  satu  sama  lain.Lebih  jauh,  berbagai masalah  nyata  dalam  kehidupan  sehari-hari  ternyata  ekuivalen  dengan  masalah  menghitung banyaknya  fungsi  yang  terbentuk  berdasarkan  ukuran  dari  kelompok  yang  berlabel  sama. Masalah yang sejenis atau tidak sejenis di klasifikasi berdasarkan banyak label (yang digunakan dan tidak digunakan) dan mungkin dengan tambahan beberapa syarat atau kriteria lain.
Obyek-obyek  yang  akan  diklasifikasi  seringkali  biasa  dinyatakan  dalam  suatu  model sebagai  unsur-unsur  dari  daerah  asal  atau  daerah  hasil  suatu  fungsi(injektif,  surjektif,  dan sebagainya).  Dalam  hal  ini,  jenis  masalah  ini  dikelompokkan  ke  dalam masalah  pengisan ( occupancyproblem )  yang  merupakan  bagian  dari masalah  enumerasi dalam  teori  kombinatorik dan  matematika  diskrit.  Dalam  teori  pengisian,  unsur  di  dalam  daerah  asal  fungsi  berperan
1 Program S1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

## Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin
sebagai  bola  yang  dimasukkan  ke  dalam  wadah  yang  diperankan  oleh  unsur-unsur  di  dalam daerah hasil fungsi. 4
Dalam masalah pengisian, banyakmasalahpencacahandapatdirumuskan sebagaimenghitungjumlahdistribusibolake  dalam  wadah[5].  Himpunan  semua  fungsi  yang terbentuk sangat tergantung pada asumsi-asumsi atau syarat-syaratyang diberikan sebagai berikut:
1. Apakah masing-masing bola bisa dibedakan?
2. Apakah masing-masing wadah bisa dibedakan?
3. Apakah fungsi yang diinginkan bersifat 1-1, pada, atau sembarang?
Berdasarkan  asumsi  atau  persyaratan  ini,  masalah  yang  akan  dibahasterbagi  atas  12 submasalah yang bisa dinyatakan melalui skema berikut
Tabel 1. Submasalah untuk distribusi bola ke wadah
Dalam uraian latar belakang dapat diketahui tujuan dari penulisan sebagai berikut:
1. Mendapatkan perumusan banyak cara berbeda dalam masalah distribusi bola ke dalam wadah,  sesuai  ketentuan  atau  syarat  yang  diberikan  pada  caa  distribusi  bola  ke dalam wadah tersebut.
2. Memberi  intreprestasi  beberapa  masalah  distribusi  bola  ke  dalam  wadah  ke  bentuk masalahyang berbeda (tetapi ekuivalen).
3. Merumuskan  hubungan  antara  beberapa  konsep  matematika  yang  terkait  dengan masalah distribusi bola ke dalam wadah, sesuai dengan hasil studi literatur.
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
Kriteria untuk
n = banyak bola
k = banyak
wadah
Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto) n berlabel k berlabel Submasalah 1 (k n fungsi - fungsi) Submasalah 2 Submasalah 3 n tdk berlabel k berlabel Submasalah 4 Submasalah 5 Submasalah 6 n berlabel k tdk berlabel Submasalah 7 Submasalah 8 Submasalah 9 n tdk berlabel k tdk berlabel Submasalah 10 Submasalah 11 Submasalah 12

## Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Fungsi
Fungsi merupakan keadaan khusus dari suatu relasi. Diberikan himpunan dan . Suatu fungsi dengan  daerah  asal dan  daerah  kawan didefinisikan  sebagai  himpunan  pasangan- pasangan dimana dan yang memenuhi syarat: 1. Untuk setiap terdapat sedemikian sehingga . 2. Untuk setiap dan berlaku implikasi: jika maka
Dari  semua  pasangan  tersebut,  himpunan disebut  daerah  asal  (domain)  dan  himpunan disebut daerah kawan  (ko-domain) dari fungsi.

## 2.2 Permutasi
Dalam  matematika,  penyusunan  obyek  yang  terdiri  dari  beberapa  unsur  dengan memperhatikan  urutan  disebut  dengan  permutasi . Notasi  Permutasi k objek  dari n objek  yang berbeda dilambangkan k n P , P(n,k) , atau n k P 2.2.1 Permutasi n objek dari n objek yang berbeda
Masalah  yang  dibahas  di  sini  dapat  dipandang  sebagai  masalah  menempatkan n bola berlabel  ke  dalam n wadah  yang  juga  berlabel  dimana  setiap  wadah  hanya  bisa  diisi  tepat  1 bola.Sehingga  berdasarkan Prinsip  kaidah  perkalian, banyak  cara  mengisi  wadah    tersebut adalah
! 1 . 2 ).... 2 ).( 1 .( n n n n    2.2.2 Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n Masalah memilih diantara bola berlabel kemudian menempatkan ke dalam wadah yang juga berlabel dimana setiap wadah hanya bisa diisi tepat 1 bola. Banyak cara mengisi wadah tersebut adalah
[2]

## 2.3 Koefisien Binomial
Definisi 2.1 (Fungsi faktorial) Didefinisikan
dan untuk setiap bilangan bulat  positif  n berlaku
! ( 1)( 2)...(2)(1) n n n n    (1)

## Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin
Permutasi k dari n dengan atau P ( n , k ), didefinisikan sebagai banyaknya cara memilih k obyek  yang  berbeda  dari n obyek  yang  berbeda  dimana  urutan  obyek  sangat  diperhatikan. P ( n , k )  juga  bisa  didefinisikan  sebagai  banyaknya  pemetaan  satu-satu  yang  berbeda  dari  daerah asal X dengan | X | = k ke daerah hasil Y dengan | Y | = n . Dari definisi ini bisa dibuktikan
(2)

## Definisi 2.2 (Koefisien Binomial)
Untuk setiap bilangan bulat tak negatif dengan k dan n dengank ≤ n , bilangan-bilangan bulat.
( ) (3)
disebut koefisien binomial.
Koefisien binomial bisa digunakan untuk mencari banyaknya subhimpunan yang berbeda dengan banyak elemen k dari himpunan dengan n elemen.
Teorema 2.2 ( Binomial )
Untuk setiap , ∑ ( ) (4)
Ada  banyak  penerapan  dari  teorema  binomial.  Misalnya  untuk  menghitung  banyaknya  semua subhimpunan yang dimiliki dari himpunan dengan n elemen,
∑ ( ) ∑ ( )

## 2.4   Bilangan Stirling
Konsep  faktorial mensyaratkan k bulat  tak  negatif.  Generalisasi  terhadap  faktorial k ! dengan k bulat  tak  negatif  dilakukan  dengan  memperlonggar  persyaratan  bilangan  bulat  tak negatif k menjadi  sembarang  bilangan  real t dan  kemudian  mengelompokkan  atas  dua  jenis faktorial sebagai berikut. Untuk setiap bilangan real t dan bilangan bulat positif n ,
1. faktorial  naik  adalah  polinom  derajat n yang  didefinisikan  dan  diberi  lambang  seperti berikut
n t 
2. faktorial turun adalah polinom derajat berikut
n t    .
Dengan  faktorial  turun,  bilangan  Stirling  jenis  pertama s ( n , k )didefinisikan  sebagai koefisien dari jumlahan di ruas kanan kesamaan
   n k k n t k n s t 0 ) , (

## Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin
sedangkan bilangan Stirling jenis kedua S ( n , k )didefinisikan sebagai koefisien di ruas kanan kesamaan
0 ( , ) n n k k t S n k t   

## 2.5  Partisi Bilangan
Partisi  dari  suatu  bilangan  bulat  adalah  cara  untuk  menuliskan  bilangan  tersebut  sebagai jumlah dari bilangan bulat positif.

## Definisi 2.3:
Partisi dari bilangan n adalah sebuah barisan yang diberi lambang
dan memenuhi sifat (5)
i. , dan ii. .
Jadi, | | ∑ adalah  bilangan  asli  yang  dipartisi  menjadi  barisan .Apabila adalah partisi dari n atas jumlahan sebanyak k suku yaitu, , dikatakan adalah partisi- k Dalam hal ini     ≤ k ≤ n . (Aigner, 2007)
a dinotasikan  sebagai  himpunan  semua  partisi  dari n .  Demikian  pula  a dinotasikan sebagai himpunan semua partisi - k dari n , ukuran (banyak partisi di dalam) masing- masing himpunan  a dan   a adalah
| a | an | a | (6)

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Distribusi  Bola  yang  Berbeda  dan  Wadah  yang  Berbeda  Tanpa  Mensyaratkan  Sifat Fungsi  yang Terkait

## Teorema 3.1
Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara distribusi n bolab 1 , b 2 , ..., b n ke dalam k wadahw 1 , w 2 , ..., w k adalah sama dengan banyaknya semua fungsi f :{ b 1 , b 2 , ..., b n )  { w 1 , w 2 , ..., w k }; yaitu k n . Bukti :
Himpunan  semua  cara  distribusi  berkawan  1-1  dengan  himpunan  fungsi-fungsi f yang mengawankan  setiap b i dengan w j dengan  mendefinisikan f ( b i )  = w j jika  dan  hanya  jika  bola b i dimasukkan ke dalam wadah w j .Karena wadah untuk setiap bola  bisa bebas dipilih salah satu di antara k wadah,  ada  sebanyak k pilihan  untuk  setiap  bola.  Karena  cara  memilih  setiap  bola  saling bebas  satu  sama  lain  dan  terdapat n bola,  dengan  menggunakan  prinsip  perkalian  disimpulkan bahwa banyak cara distribusi bola yang berbeda adalah k n . ■

## 3.2 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang  Berbeda Sebagai Fungsi Injektif
Teorema 3.2
Jika   n b b b N ,..., , 2 1  dan   k w w w K ,..., , 2 1  , maka terdapat
) 1 )...( 2 )( 1 (      n k k k k k n fungsi injektif dari N  K.
Bukti :
Untuk k  n, Banyak  fungsi  injektif f  :  N  K diperoleh  dengan  prinsip  perkalian  dalam kombinatorik.Karena  terdapat k pilihan  untuk f ( b 1 ) , k  1  pilihan  untuk f ( b 2 ), k  2pilihan  untuk f ( b 3 an k – ( n – 1) = k – n + 1 pilihan  untuk f ( b n ), maka ada sebanyak n k = k ( k  k – n +  1)  cara  yang  berbeda  untuk  memilih  nilai-nilai  fungsi,  dengan  kata  lain n k fungsi  injektif yang berbeda. ■

## 3.3 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang  Berbeda Sebagai Fungsi Surjektif

## Teorema 3.3
Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara distribusi n bolab 1 , b 2 , ..., b n ke dalam k wadahw 1 , w 2 , ..., w k adalah  k ! S ( n , k )
Bukti :
Diberikan fungsi  Pertama kali didefinisikan himpunan f  1 [ w ] = { b N | f ( b ) = w }  N . Dari  definisi, f surjektif jika  dan  hanya jika  untuk  setiap w K , f  1 [ w ]  .  Padahal himpunan- himpunan f  1 [ w ] saling lepas dan gabungannya sama dengan N . Ini berarti himpunan-himpunan f  1 [ w 1 ], f  1 [ w 2 ] f  1 [ w k ]  membentuk  partisi  pada N sehingga  setiap  fungsi  surjektif bersesuaian dengan tepat satu partisi semacam. Jika unsur-unsur w 1 , w 2 w k diurutkan secara tetap, maka berdasarkan definisi bilangan Stirling jenis kedua (lihat Fifik Astuti,2013 Definisi 3.2 dan 3.3 misalnya), banyaknya partisi yang berbeda adalah S ( n , k ).  Tetapi untuk urutan w 1 , w 2 w k lain, diperoleh partisi f  1 [ w 1 ], f  1 [ w 2 ] f  1 [ w k ] yang berbeda. Karena ada k ! urutan w 1 , w 2 w k yang berbeda, maka total ada k ! S ( n , k ) partisi yang berbeda. Ini membuktikan terdapat fungsi surjektif yang berbeda. ■
3.4 Distribusi  Bola  yang  Tidak  Bisa  Dibedakan  dan  Wadah  yang    Bisa  Dibedakan  Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Teorema 3.4
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah ( yang bisa dibedakan ) adalah
        n k n 1
Bukti :
Karena  masing-masing  bola  identik  atau tidak  bisa  dibedakan  sedangkan  wadah  bisa  dibedakan maka  terdapat  asosiasi  antara  setiap  cara  disitribusi n bola  ke  dalam k wadah  dengan  sebuah untaian biner yang panjangnya n + k  1 sesuai skema berikut:
No. Wadah 1 | Wadah 2 |   | Wadah k Untaian Biner Yang Berasosiasi 1.bbb bb |          - |    - |       - 0   0
(semua n bola berada di dalam Wadah 1) 2. bbb b | b |    - |       - 0..00 ( n  1 bola di dalam Wadah 1, 1 bola di dalam Wadah 2)

## Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin
.... M. - |   - |       - | bbb ... 000..00     1 (semua n bola ke dalam Wadah k )
Untaian  biner  yang  bersesuaian  dengan  suatu  distribusi  bola  diperoleh  dengan  cara  mengganti lambang  bola b dengan  bit-1  dan  mengganti  pagar  |  (pembatas  wadah)  dengan  bit-0.  Jadi disimpulkan  bahwa  banyaknya  cara  distribusi  penempatan n bola  tak  berlabel  sama  ke  dalam sebanyak k wadah dengan banyaknya untaian biner panjangnya n  k +  1 yang memuat n bit-1. Berdasarkan rumus koefisien binomial, banyaknya untaian biner panjang n + k  1 tersebut adalah
M =         n k n 1 . ■
3.5 Distribusi  n  Bola  yang    Tidak  Bisa  Dibedakan  ke  dalam  k  Wadah  yang  Bisa  Dibedakan Dengan Syarat Paling Banyak Satu Wadah Berisi Satu Bola Sebagai Fungsi Injektif

## Teorema 3.5
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah ( yang bisa dibedakan ) dengan syarat paling banyak satu bola dalam satu wadah adalah
( )
Bukti :
Dengan  syarat  tambahan  paling  banyak  satu  wadah  berisi  satu  bola,  maka n  k .  Jika  semua k wadah, namakanwadah x 1 ,wadah x 2 , ... wadah x k disusun secara berurutan dalam bentuk
x 1 x 2 ... x k ;
kemudian lambang x i untuk wadah ke- i yang berisi bola diganti bit-1 dan wadah x j yang  kosong diganti  bit-0,  maka  terbentuk  untaian  biner  panjang k yang  banyaknya  bit-1  adalah n (banyak wadah yang berisi) dan banyaknya bit-0 adalah k  n (banyak wadah tidak terisi). Karena untaian yang  berbeda  menyatakan  distribusi  yang  berbeda,  maka  banyaknya  distribusi  yang  berbeda dalam kasus ini sama dengan banyaknya untaian biner dengan panjang k dan memuat sebanyak n  k bit 1, yaitu
( ) ■

## 3.6 Distribusi  nBola  yang  Tidak  Bisa  Dibedakan  ke  dalam  k  Wadah  yang  Bisa  Dibedakan Dengan Syarat Paling Sedikit Satu Wadah Berisi Satu Bola Sebagai Fungsi Surjektif

## Teorema 3.6
Banyak cara distribusi n bola yang tidak berlabel dengan k wadah berlabel dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadahadalah
  1 1 n k  
Bukti :
Isi  semua k wadah  dengan  satu  bola,  tersisa n  k bola  yang  akan  didistribusikan  ke  dalam k wadah. Menurut hasil 3.4, banyak cara mendistribusikan n  k bola ke dalam k wadah adalah
   
( ) ( 1) 1
1 1 n k k n k k        . ■
3.7 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau Paling Sedikit 1 bola Dalam Wadah

## Teorema 3.7
Banyak cara distribusi n bola yang berlabel dengan k wadah  yang tidak berlabel dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah
, n k S
Bukti :
Misalkan f : N  Kdan didefinisikan himpunan
f  1 [ w ] = { b N | f ( b ) = w }  N . Jelas f surjektif jika dan hanya jika untuk setiap w K , f  1 [ w ]  . Padahal himpunan-himpunan f  1 [ w ]  saling  lepas  dan  gabungannya  sama  dengan N .  Ini  berarti  himpunan-himpunan f  1 [ w ] dengan w K membentuk  partisi pada N . Jadi, banyaknya partisi yang berbeda adalah bilangan stirling jenis kedua ( , ) S n k .

## ■
3.8   Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait

## Teorema 3.8
Banyak cara distribusi n bola yang  berlabel dengan k wadah yang tidak berlabel  adalah
, 1 k n j j S        
Bukti :
Misalkan N = { b 1 , b 2 b n } dan K adalah sembarang himpunan dengan | K | = k . Setiap distribusi bola berlabel ke dalam k wadah akan menyebabkan N terpartisiatas j subhimpunan, di mana j {1, 2, ..., k } menyatakan banyak wadah yang terisi dan k  n . Misalkan j tetap. Akan dihitung banyaknya semua distribusi yang bersesuaian dengan partisi pada himpunan N atas j subhimpunan j {1, 2, ..., k } Setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan sekumpulan fungsi di mana setiap fungsi f di dalam kumpulan ini memiliki sifat: hanya terdapat j nilai yang berbeda, katakan i 1 , i 2 , ..., i j sehingga  ke- j subhimpunan  yang  saling  lepas  tersebut  adalah f  1 ( i 1 ), f  1 ( i 2 ),  ..., f  1 ( i j )dan f  1 ( i 1 ) ∪ f  1 ( i 2 ) ∪ … ∪ f  1 ( i j ) = N . Dengan kata lain, f  1 ( i 1 ), f  1 ( i 2 ), ..., f  1 ( i j )membentuk partisi pada himpunan N atas j subhimpunan.
Karena setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan satu fungsi sedangkan setiap fungsi  bersesuaian  dengan  satu  cara  distribusi,  maka  setiap  partisi  pada N atas j subhimpunan bersesuaian  dengan  satu  cara  distribusi,  padahal  berdasarkan  Teorema  2.3  tentang  bilangan Stirling  jenis  kedua,  banyak  partisi  yang  berbeda  pada  himpunan  dengan n unsur  atas j subhimpunan adalah S n , j .
Kesimpulannya, untuk suatu nilai j yang tetap, banyak distribusi yang berbeda adalah S n , j . Tetapi karena  ada  sebanyak k kemungkinan  nilai j {1,  2,  ..., k }  atau j =  min  { n , k },  maka  banyak distribusi bola tak berlabel ke dalam sebanyak k  n wadah yang berlabel adalah S n ,1 + S n ,2 + ... + S n , k . ■
3.8 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang tidak Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif atau paling banyak 1 bola dalam wadah

## Teorema 3.9
Jika n  k maka banyak cara distribusin bola yang bisa dibedakan kedalam k wadah  yang  tidak bisa dibedakanadalah 1 tetapi Jika n > k maka solusi 0 .
Bukti: Misalkan n bola berlabel b 1 , b 2 ,..., b n didistribusikan ke dalam k wadah tidak berlabel dan paling banyak  satu  bola  di  dalam  1  wadah.Jika n > k ,  maka  distribusi  bola  tidak  mungkin  terjadi  dan jika n  k , maka hanya ada satu macam distribusi:setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah.
■
3.9 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang juga Tidak Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau paling sedikit 1 bola dalam wadah

## Teorema 3.10
Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah  yang juga tidak  bisa dibedakan dengan syarat paling sedikit 1 bola dalam wadahadalah
  ; p n k Bukti : Karena  semua k wadah  terisi,  maka  banyaknya  keluarga  fungsi-fungsi  surjektif  dengan  daerah asal N dan daerah hasil K dengan kesamaan sifat: memiliki k nilai i 1 , i 2 , ..., i k yang berbeda. Setiap  distribusi  mendefinisikan  satu  partisi  terhadap  bilangan n sebagai  jumlahan k bilangan- bilangan,  katakan n =<λ 1, λ 2, ...,  λ k >artinya n λ 1 λ 2 λ k ,  (lihat  Definsi  2.3)  sebab  ada sebanyak λ 1 bola yang bernilai i 1 a a sebanyak λ 2 bola yang bernilai i 2 a a sebanyak λ k bola yang  bernilai i k .  Jadi  banyak  cara  distribusi n bola  tak  berlabel    ke  dalam k wadah  tak  berlabel dengan setiap wadah berisi paling sedikit satu bola adalah p ( n ; k ). ■
3.11  Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak

## Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait
Teorema 3.11
Banyak cara distribusin bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah  yang juga tidak  bisa dibedakanadalah
  1 ; k j p n j  
Bukti : Jika  hanya j wadah  yang  terisi,  maka  banyak  cara  distribusi n bola  tidak  berlabel  ke  dalam k wadah juga tak berlabel adalah banyaknya keluarga fungsi-fungsi dari N ke K dengan kesamaan sifat:  memiliki j nilai i 1 , i 2 ,  ..., i j yang  berbeda.  Setiap  nilaimendefinisikan  satu  partisi  terhadap bilangan n sebagai jumlahan j bilangan-bilangan, katakan n λ 1 λ 2 λ j (artinya n λ 1 λ 2 + ... +
Fauziah Baharuddin, Loeky Haryanto, Nurdin
λ j , lihat Definsi 2.3 yang berarti ada sebanyak λ 1 bola yang bernilai i 1 a a sebanyak λ 2 bola yang bernilai i 2 a a sebanyak λ j bola yang bernilai i j .
Jadi banyak cara distribusi n bola tak berlabel  ke dalam k wadah tak berlabel, hanya j  k wadah yang terisi adalah p ( n ; j ). Karena ada sebanyak k kemungkinan nilai j = 1, 2, ..., k maka banyak cara distribusi n bola tak berlabel  ke dalam k wadah tak berlabel adalah
p ( n ; 1) + p ( n ; 2) + ... + p ( n ; k ). ■
3.12    Distribusi Bola yang tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang TidakBisa Dibedakan  Sebagai Fungsi Injektif
Teorema 3.12 Jika n  k maka banyak cara distribusin bola yang tidak bisa dibedakan kedalam k wadah  yang juga tidak  bisa dibedakanadalah 1 tetapi jika n > k maka solusi 0 .
Bukti: Misalkan n bola tak berlabel didistribusikan  ke dalam k wadah tidakberlabel dan paling banyak satu bola di dalam 1 wadah. Jika n > k , maka distribusi bola tidak mungkin terjadi dan jika n  k , maka hanya ada satu macam distribusi, setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah.
■
4. Penutup

## 4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dan studi literatur terhadap analisis keterkaitan konsepdistribusi bola ke dalam wadahmaka diperoleh hasil-hasil berikut:
1. Banyak  cara  berbeda  pada  distribusi  bola  ke  dalam  wadah  bisa  dibagi  ke  dalam  12 submasalah,  sesuai  ketentuan  atau  syarat  yang  diberikan.  Solusi  setiap  masalah  bisa digambarkan oleh tabel berikut.

## Kriteria untuk
n = banyak bola k = banyak wadah Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto) n berlabel k berlabel n k n k k ! S ( n , k ) n tdk berlabel k berlabel        
n k n 1
      n k   1 1 n k  
n berlabel k tdk berlabel , 1 k n j j S   
     Banyak cara adalah 0 jika n > k dan 1 jika n  k . , n k S
n tdk berlabel k tdk berlabel
  1 ; k j p n j  
Jika n > k maka solusi 0Jika n  k ,
maka solusi 1
  ; p n k
2. Setiap  cara  distribusi  bersesuaian  dengan  satu  fungsi  atau  dengan  satu  keluarga  himpunan fungsi-fungsi  yang  saling  lepas.  Untuk  setiap  submasalah,  banyak  fungsi  atau  banyak keluarga fungsi-fungsi memiliki penafsiran dan interpretasi masing-masing.  Misalnya satu keluarga fungsi-fungsi bisa diinterpretasikan sebagai partisi terhadap sebuah bilangan bulat positif.
4.2  Saran
1. Diharapkan ada penelitian lanjutan yang lebih mendalam pada salah satu submasalah.
2. Perlu dikaji lebih jauh berbagai kemungkinan interpretasi nyata, bukan sekedar interpretasi matematis dari setiap submasalah distribusi bola ke dalam wadah.
3. Perlu  digali  lebih  jauh  hubungan  antara  banyaknya  cara  distribusi  bola  ke  dalam  wadah dengan  banyaknya  cara  mengambil  bola  dari  dalam  wadah,  dengan  hubungan  antara banyaknya cara distribusi bola dengan teori peluang.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aigner, Martin, A Course in Enumeration , Springer-Verlag, 2007
[2] Charalambides, A. Charalambides, Enumerative Combinatorics , CRC Press,2002
[3] Renzo, Sprugnoli, An Introduction to Mathematical Methods in Combinatorics, 2006. www.dsi.unifi.it/~resp/Handbook.pdf pada tanggal 2 Maret 2010
[4] Thomas, A. Dowling, Applications of Discrete Mathematics , McGraw-Hill, 1991
[5] Wagner, Carl, Basic Combinatorics , 2012.
www.math.utk.edu/~ wagner /papers/comb.pdfdiakses pada tanggal 25 September 2012.