Vol. 17, No. 2,  219-222,  January, 2021 DOI: 10.20956/jmsk.v17i2.10991
 Program Studi Magister Matematika, FMIPA-UNHAS
Email : 1 yudhiyanto19@gmail.com, 2 mawardibahri@gmail.com, 3 amirkamalamir@yahoo.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Duality Property of Discrete Quaternion Fourier Transform

## Dualitas pada Transformasi Fourier Quaternion Diskrit
Yudhiyanto Supriadi 1 *, Mawardi Bahri 2 * , Amir Kamal Amir 3 *

## Abstract
We introduce the discrete quaternionic Fourier transform (QDFT), which is generalization of discrete Fourier transform. We establish the version discrete of duality property duality related to the QDFT.
Keywords: Discrete  Fourier  Transform,  Quaternion,  Discrete  Quaternion  Fourier  Transform, Duality

## Abstrak
Kami memperkenalkan Transformasi Fourier Quaternion Diskrit (TFQD) yang di mana TFQD memiliki sifat  yang  tidak  komutatif  terhadap  operasi  perkalian..  Dalam  artikel  ini  akan  memperkenalkan  salah satu sifat yaitu sifat dualitas.
Kata kunci: Transformasi Fourier Diskrit, Quaternion, Transformasi Fourier Quaternion Diskrit,
Dualitas

## 1. Pendahuluan
Quaternion merupakan kombinasi linear skalar riil dan tiga satuan imaginer ortogonal dengan koefisien riil yang dapat dituliskan sebagai
* + di  mana dan  elemen , adalah  bilangan  imajiner  dengan  memenuhi  aturan perkalian Hamilton, yaitu
, , . Untuk setiap , boleh ditulis dalam bentuk ( )    ( )

## Yudhiyanto Supriadi, Mawardi Bahri , Amir Kamal Amir Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Dalam hal ini ( ) adalah bagian scalar ( ) adalah bagian vektornya. Konyugat dari quaternion ditulis sebagai
̅
memenuhi sifat
̅̅̅ = ̅ ̅ Sebarang , berlaku sifat (     ̅) and ( ) (     ̅) .
The norma or modulus dari  quaternion dedefisikan sebagai
√  ̅   √
Invers dari suatu quarternion q didefinisikan oleh
̅
Telah diketahui bahwa transformasi Fourier telah umum digunakan untuk merubah sinyal dari domain waktu ke domain frekuensi di mana transformasi Fourier memetakan fungsi dari nilai riil ke  kompleks.  Transformasi  Fourier  dikenal  sebagai  alat  yang  handal  untuk  menganalisis  sinyal termasuk  untuk  pengolahan  citra.  Penerapan  transformasi  Fourier  quaternion  juga  dalam pengolanan cita berwarna telah dilakukan pada [5,7,8]. Berdasarkan quaternion diperoleh definisi transformasi Fourier quaternion diskrit berikut ini ( lihat, sebagai contoh, [1, 2,3,4]).
Definisi  1.  Diberikan  sebuah  sinyal  diskrit  2D  dari  ukuran dengan  komponen (    ) . Tranformasi Fourier Diskrit (TFD) dari diberikan oleh (    )   ∑ ∑  (    )     {     ( )} √ invers TFD diberikan oleh (    )   ∑ ∑  (    )    {    ( )}

## 2. Transformasi Fourier Quaternion Diskrit
Berikut  ini  diperkenalkan    tipe  lain  dari  transformasi Fourier quaternion diskrit.  Karena perkalian dari  quaternion  tidak  komutatif  diperoleh  tiga  jenis  definisi  dari    transformasi  Fourier quaternion diskrit berikut.
i.  TFQD dua sisi
(    )   ∑ ∑ (    )
ii.  TFQD sisi kiri

## Yudhiyanto Supriadi, Mawardi Bahri , Amir Kamal Amir
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
(    )   ∑ ∑ ( ) (    )
iii.  TFQD sisi kanan
(    )   ∑ ∑  (    ) ( )
Dengan invers masing-masing dari tipe TFQD yaitu : i.  ITFQD dua sisi
(    )   ∑ ∑
(    )
ii.  ITFQD sisi kiri
(    )   ∑ ∑ ( ) (    )
iii.  ITFQD sisi kanan
(    )   ∑ ∑ (    ) ( ) Dalam hal ini adalah quaternion satuan murni yang memenuhi .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Berikut ini adalah hasil utama di dalam paper ini, yaitu sifat dualitas pada transformasi Fourier quaternion diskrit  seperti ditunjukkan oleh teorema berikut (bandingkan dengan [6]).
Teorema 1.  Jika (    ) adalah tranformasi Fourier quaternion diskrit dari maka
{ (    )}    (    )

## Lebih lanjut diperoleh
(    ) { (    ) { (    ){ ̂ (    )}}}    (    )
Bukti. Dari definisi tranformasi Fourier quaternion diskrit diperoleh
(    ){ (    )}   ∑ ∑ (    ) ( )
Atau bisa dituliskan

## Yudhiyanto Supriadi, Mawardi Bahri , Amir Kamal Amir
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
(    ){ (    )}   ∑ ∑ (    ) ( )
(      )

## Ini berarti
(    ){ (      )}    (    )
Demikian pula
(    ) { (    ){ (    )}}   ∑ ∑  (      ) ( )
∑ ∑  (      ) ( )
(      )
maka
(    ) { (    ){ (    ) (    )}} (    ){ (      )}    (    )

## 4. Kesimpulan
Dalam tulisan ini telah dibukrikan teorema dualitas pada transformasi Fourier quaternion diskrit yang merupakan generalizasi dari sifat dualitas pada transformsi Fourier.

## Daftar Pustaka
[1] Bahri,  M,  &  Ashino,  R.  (2018). Duality  property  of  two-sided  quaternion  Fourier transform, International  Conference  on  Wavelet  Analysis  and  Pattern  Recognition (ICWAPR), Chendu, China
[2] Bahri,  M.,  Hitzer,  E.,  Hayashi,  A.  &  Ashino,  R.  (2008). An  uncertainty  principle  for quaternion Fourier transform, Comput. Math. Appl., vol. 15. No. 5, 2398-2410.
[3] Bahri,  M,  Azis,  M.I,  Lande,  C.  (2019).  Discrete  Double-Sided  Quaternionic  Fourier Transform and Application, J ournal of Physics: Conference Series, Vol. 1341, Issue 6.
[4] Bahri,  M,  &  Surahman.  (2013). Discrete  quaternion  Fourier  transform  and  properties, Int. Journal of Math,Analysis. Vol. 7. No. 25, 1207-1215.
[5] Chen, B., Coatrieux, G., Shu, H. (2014). Full 4-D Quaternion Discrete Fourier Transform Based Watermarking For Color Images . Digital Signal Processing. Vol. 28. 106-119.
[6] Debnath,  L.  dan  F.A.  Shah.  (2015). Wavelet  Transforms  and  Their  Applications,  second edition. 164-169.
[7] Dubey.  V.  (2014). Quaternion  Fourier  Transform  for  Colour  Images ,  International Journal of Computer Science and Information Technologies. Vol. 5(3). 4411-4416.
[8] Grigoryan,  M.A.  dan  Agaian,  S.S.  (2016). 2-D  Left-Side  Quaternion  Discrete  Fourier Transform:  Fast  Algorithm. Society  for  Imaging  Science  and  Technology.  doi: 10.2352/ISSN.2470-1173.2016.15.IPAS-192