## IDEAL FUZZY NEAR-RING

## Saman Abdurrahman, Na’imah Hijriati, Thresye
Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru

## ABSTRAK
Dalam tulisan ini akan dibahas ideal near-ring, ideal fuzzy near-ring yang meliputi hubungan antara ideal near-ring dan ideal fuzzy near-ring.
Kata kunci: Near-ring , ideal, ideal fuzzy.

## 1. PENDAHULUAN
Near-ring  yang  dikontruksi  oleh  Pilz  (1983),  Clay  (1992)  dan  Kandasamy  (2002), merupakan  salah  satu  perluasan  dari  ring,  dimana  beberapa  aksioma  yang  ada  pada  ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama ( aditif ) pada near-ring sebarang tidak  harus  komutatif,  dan  terhadap  operasi  pertama  ( aditif )  dan  kedua  ( multiplikatif ), cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.
Seiring dengan perkembangan zaman, penelitian pada near-ring tidak hanya berkisar pada strukturnya tetapi mulai memadukan dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy  yang diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965, seperti  penelitian  yang dilakukan oleh Abou-Zaid (1991).
Abou-Zaid  (1991)  melakukan  fuzzyfikasi  pada  struktur  near-ring,  sehingga melahirkan  definisi  near-ring  fuzzy,  subnear-ring  fuzzy,  ideal  fuzzy  near-ring  yang meliputi  ideal  prima  fuzzy  dan  mendefinisikan  ideal  yang  dibangun  oleh  satu  elemen  di near-ring secara detail.
Penelitian  yang  dilakukan  oleh  Abou-Zaid,  memberikan  ide  bagi  penulis  untuk meneliti  hubungaan  antara  ideal  near-ring  dan  ideal  fuzzy  near-ring,  sehingga  buku  dan jurnal  tentang  near-ring,  ideal  near-ring,  near-ring  fuzzy,  dan  ideal  fuzzy  near-ring  yang ada pada daftar pustaka, akan di jadikan acuan utama dalam mengkaji ideal fuzzy near-ring yang meliputi hubungan antara ideal near-ring dan ideal fuzzy near-ring.

## 2.  TINJAUAN PUSTAKA
Berikut  ini,  disajikan  definisi  dan  sifat  dari  near-ring  dan  himpunan  fuzzy  yang digunakan pada pembahasan ideal fuzzy near-ring.
Definisi  2.1. Himpunan  R  tidak  kosong  dengan  dua  operasi  biner  +  dan  disebut  near ring, jika memenuhi:
(1) adalah grup ( tidak harus grup komutatif ),
(2) adalah semigrup,
(3) untuk setiap x,y,z  R berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan :
(ii).  distributif kiri
:
Selanjutnya  yang  dimaksud near-ring adalah near-ring  kiri ,  kecuali  ada  keterangan lebih lanjut, x  y adalah xy .
Pada  near-ring,  grupnya  tidak  harus  komutatif  terhadap  operasi  +,  maka  dalam mendefinisikan ideal di near-ring subgrupnya harus normal.
Definisi 2.2. Diberikan adalah near-ring . Subgrup normal   di   disebut ideal di
, jika
(1). I
(2).  untuk setiap
 dan  .
Subgrup  normal di memenuhi  kondisi disebut ideal  kiri di R, sedangkan subgrup normal di memenuhi kondisi disebut ideal kanan di .
Definisi 2.3. Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan  disebut subset fuzzy di X jika  . Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy di X dinotasikan dengan ( X ) dan Image dari  dinotasikan dengan Im(  )  {  ( x ) | x  X }.
Definisi 2.4. Diberikan sebarang  ,  ( X ) ,maka
(1)    jika dan hanya jika  ( x )   ( x ) untuk setiap x  X,
(2)   jika dan hanya jika  ( x )   ( x ) untuk setiap x  X,
(3) (   )( x )  min {  ( x ),  ( x )} untuk setiap x  X.
Definisi 2.5. Diberikan  ( X ) dan t  [0,1]. Level subset ( t-cut ) di  dinotasikan dengan  t yang didefinisikan dengan ,  t  { x  R |  ( x )  t }. Lemma 2.6. Diberikan sebarang  ,  ( X ) ,maka
(1)   maka  a  a untuk setiap a  [0,1]
(2) a  b maka  b  a untuk setiap a,b  [0,1]
(3)    jika dan hanya jika  a   a untuk setiap a  [0,1]

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  berdasarkan  studi  literatur  berupa  buku-buku  dan  jurnal- jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan near-ring, ideal near-ring, near-ring fuzzy dan ideal fuzzy near-ring.
Pada tahap awal dipelajari konsep-konsep dasar tentang near-ring, subnear-ring, ideal near-ring.  Konsep-konsep  dasar  ini  yang  nantinya  akan  banyak  membantu  untuk memahami konstruksi near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy near-ring.
Setelah  memahami  konstruksi  near-ring  fuzzy,  subnear-ring  fuzzy,  dan  ideal  fuzzy near-ring,  dibuktikan  beberapa  lemma  dan  teorema  yang  terkait  dan  ditentukan  asumsi- asumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang  mendukung pada pembahasan hubungan antara ideal near-ring dan ideal fuzzy near-ring.
Langkah  terakhir,  dengan  menggunakan  lemma-lemma  dan  teorema-teorema    yang saling terkait, maka diperoleh hubungan antara ideal near-ring dan ideal fuzzy near-ring.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. IDEAL FUZZY NEAR-RING
Definisi  4.1.1. Diberikan  near-ring    dan  .  Subset  fuzzy  disebut  subnear-ring fuzzy di   jika untuk setiap  berlaku :
(1)   min{  ,  }, dan
(2)   min{  ,  }.
Selanjutnya,  disebut  ideal  fuzzy  di    jika  adalah  subnear-ring  fuzzy  di    dan  untuk setiap  berlaku :
(3)    ,
(4)    , dan
(5) 
  .
Suatu  disebut ideal  kiri  fuzzy  di jika  memenuhi  kondisi  (1),  (2),  (3)  dan  (4), sedangkan  disebut ideal kanan fuzzy di jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (5).
Contoh 4.1.2. Diberikan
adalah near-ring seperti pada Contoh 2.1.3. Jika  dengan  ( c )   ( d )   ( b )   ( a ), maka dapat ditunjukkan  adalah ideal fuzzy di .
Contoh 4.1.3. Diberikan
adalah near-ring dengan dua operasi biner yang didefinisikan pada tabel Cayley berikut:
+ a b c d  a b c d a a b c d a a a a a b b a d c b a a a a c c d b a c a a a a d d c a b d a b c d Jika  dengan  ( c )   ( d )   ( b )   ( a ), maka dapat ditunjukkan  adalah ideal kiri fuzzy di  , tetapi bukan ideal kanan fuzzy di  , karena ada  sedemikian hingga           .
Setelah definisi subnear-ring fuzzy dan ideal fuzzy near-ring, berikut diberikan sifat dari subnear-ring fuzzy.
Lemma 4.1.4. Diberikan near-ring . Jika  adalah subnear-ring fuzzy di , maka untuk setiap 
(1)    , dan
(2)    .
Setelah  sifat  dari  subnear-ring  fuzzy,  berikut  diberikan  sifat  dari  ideal  fuzzy  near- ring.
Lemma 4.1.5. Diberikan near-ring . Jika  adalah ideal fuzzy di , maka untuk setiap

(1) 
  , dan
(2)    maka    .
Berikut  diberikan  sifat  dari  ideal  fuzzy  near-ring  yang  berhubungan  dengan  level subset ( t-cut ) dari  .
Teorema  4.1.6. Diberikan near-ring    dan  . Level  subset  t adalah  ideal di untuk setiap t  [0,1] jika dan hanya jika  adalah ideal fuzzy di . Bukti:
( )  Misalkan  dan  t ideal  di untuk  setiap  [0,1].  Akan  dibuktikan  ideal fuzzy di  .
1)  Andaikan ada  sedemikian hingga   min{  ,  }.
Misalkan  ½ [  + min{  ,  }], maka min{  ,  }  t 0    ( x 0 )  t 0   ( y 0 )  t 0   ( x 0 – y 0 )  t 0 . Berdasarkan analisa di atas, maka  dan  yang mengakibatkan 
bukan ideal  di .  Kontradiksi  dengan  t ideal  di untuk  setiap  [0,1]  sehingga pengandaian salah, seharusnya
  min{  ,  } untuk setiap  . 2) Andaikan ada  sedemikian hingga   
.
Misalkan  ½ [  +  ], maka          .
Berdasarkan  analisa  di  atas,  maka
 dan  yang mengakibatkan  bukan ideal di  . Kontradiksi dengan  t ideal di   untuk setiap  [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya
   , untuk setiap  . Andaikan ada  sedemikian hingga    . Misalkan  ½ [  +  ], maka          . Berdasarkan  analisa  di  atas,  maka  dan  yang mengakibatkan  bukan ideal di  . Kontradiksi dengan  t ideal di   untuk setiap
 [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya
   , untuk setiap  . Berdasarkan dan , maka    untuk setiap  . 3)  Andaikan ada  sedemikian hingga    . Misalkan  ½ [  +  ], maka
         .
Berdasarkan analisa di atas, maka  dan  yang mengakibatkan  bukan ideal di  . Kontradiksi dengan  t ideal di   untuk setiap  [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya    untuk setiap  . 4)  Andaikan ada  sedemikian hingga    . Misalkan  ½ [  +  ], maka  ( i 0 )     ( i 0 )     .
Berdasarkan  analisa  di  atas,  maka
 dan
 yang mengakibatkan  bukan ideal  di .  Kontradiksi  dengan  t ideal  di untuk  setiap t  [0,1] sehingga pengandaian salah, seharusnya
   , untuk setiap  .
Jadi,  ideal fuzzy di  .
( ) Misalkan  ideal fuzzy di  . Akan dibuktikan  t ideal di   untuk setiap t  [0,1] Diambil  sebarang t  [0,1],  maka  menurut  definisi  t  { x  |   t },  t yang mengakibatkan  t R dan  t  .
Mengingat  adalah ideal fuzzy di  , maka untuk setiap  dan  t berlaku:
1)   min{  ,  }  yang mengakibatkan  t , dengan kata lain (  t ,
+) adalah subgrup di .
2) 
   yang mengakibatkan
 t , dengan kata lain (  t , +) subgrup normal di .
3) 
   yang mengakibatkan  t , dengan kata lain  t  t . 4)     yang mengakibatkan  t .
Jadi,  t ideal di  . ■ Teorema  4.1.7. Diberikan  near-ring . Jika I  adalah  ideal  di , maka  untuk  setiap  (0,1], ada  ideal fuzzy di sedemikian hingga  t  I .
Bukti:
Misalkan  yang didefinisikan dengan,

##  
dengan  (0,1]. Akan dibuktikan ada  ideal fuzzy di   sedemikian hingga  t  I .
1)  Diambil sebarang  . a)  Jika  , maka   0 dan   0 sedemikian hingga   0  min{  ,  } dan   0   . b)  Jika  I , maka  I sedemikian hingga    min{  ,  } dan   t   .
c)  Jika  I dan  I, maka  ( x )  t dan  ( y )  0 sedemikian hingga   0  min{  ,  } dan   0   .
Jadi,   min{  ,  } dan 
  untuk setiap
 . 2)  Andaikan    untuk suatu
 .
Mengingat Im(  )  {0,  }, maka
  0     I   I. Di lain pihak, subgrup normal di maka  I tetapi,  I .
Kontradiksi dengan  I sehingga pengandaian salah, seharusnya
   untuk setiap  . Selanjutnya, andaikan   
untuk suatu  .
Mengingat Im(  )  {0,  }, maka
     0  I   I . Akibatnya, bukan subgrup normal di . Kontradiksi dengan subgrup normal di sehingga pengandaian salah, seharusnya    untuk setiap  . Berdasarkan analisa di atas, maka    untuk setiap  . 3)  Andaikan    untuk suatu
 .
Mengingat Im(  )  {0, }, maka
  0     I   I.
Akibatnya, I bukan ideal di  . Kontradiksi dengan I ideal di .
Jadi,    untuk setiap
 .
4)  Akan dibuktikan  t  I.
Berdasarkan definisi  , maka
 t  {  |   }  {  |     ( x )  }  {  |   }  I.
Jadi, ada  ideal fuzzy di   sedemikian hingga  t  I . ■
Selanjutnya  akan  didefinisikan  fungsi  karakteristik  dari  suatu  near-ring  yang merupakan kejadian khusus dari teorema di atas, yaitu pada saat .
Definisi  4.1.8. Diberikan  A  subset  tidak  kosong  di  near-ring dan  yang didefinisikan dengan,
untuk  setiap  .  Selanjutnya disebut  fungsi  karakteristik  dari  A,  kecuali  ada keterangan lebih lanjut.
Berikut  diberikan  sifat  dari  ideal  fuzzy  di  near-ring  ,  yang  berhubungan  dengan fungsi karakteristik dari suatu ideal di  .
Teorema 4.1.9 Diberikan I subset tidak kosong di near-ring . Fungsi karakteristik dari I adalah ideal fuzzy di   jika dan hanya jika I ideal di .
Bukti:
( ) Misalkan  adalah ideal fuzzy di   yang didefinisikan dengan,
 ( x ) 
untuk setiap  . Akan dibuktikan I adalah ideal di  . Berdasarkan  definisi  ,  maka  1  {  |   1}  {  |   1}  I, sehingga menurut Teorema 4 . 1 . 6, I adalah ideal di  .
( ) Bukti sejalan dengan Teorema 4.1.7. ■
Berikut  diberikan  sifat  kesamaan  dari  dua  level  subset  ( t-cut )  dari  suatu  subset fuzzy di near-ring R . Teorema 4.1.10. Diberikan ideal fuzzy  di near-ring . Dua level subset  dan  di  dengan t 1  t 2 adalah  sama    jika  dan  hanya  jika  tidak  ada  sedemikian  hingga  t 1 l    t 2 . Bukti:
( ) Misalkan  ideal  fuzzy di dan    dengan t 1  t 2 . Akan dibuktikan tidak ada  sedemikian hingga t 1 l  i   t 2 .
Andaikan ada  sedemikian hingga t 1    t 2 , maka
  t 1    t 2    .
Berdasarkan  analisa  di  atas,  maka   .  Kontradiksi  dengan    ,  sehingga pengandaian salah, seharusnya tidak ada  sedemikian hingga t 1 l  i   t 2 .
( ) Misalkan  ideal fuzzy di near-ring dan tidak ada  sedemikian hingga t 1 l  i   t 2 . Akan dibuktikan    dengan t 1  t 2 .
Dimbil  sebarang  ,  maka   t 2  t 1 yang  mengakibatkan  ( x )  t 1 ,  yaitu  , dengan kata lain   .
Selanjutnya,  diambil  sebarang  maka   t 1 .  Mengingat   t 1 dan  tidak  ada  sedemikian  hingga t 1    t 2 ,  maka  t 2 yang  mengakibatkan   t 2 sehingga  , dengan kata lain   .
Berdasarkan analisa di atas, maka    dengan t 1  t 2 . ■
Setelah sifat kesamaan dua level suset ( t-cut ) dari suatu subset fuzzy di near-ring  , berikut diberikan sifat dari koleksi ideal di near-ring   yang identik dengan koleksi semua level subset  di  .
Teorema  4.1.11. Diberikan ideal  fuzzy  di  near-ring  R . Jika dengan
, maka  koleksi  ideal {  |1  i  n } di adalah  koleksi  semua level subset di  .
Bukti:
Misalkan  ideal fuzzy di , dengan dan {  | 1  i  n } adalah koleksi ideal di  . Akan dibuktikan untuk setiap t  [0,1] ada i  {1,2, …, n } sedemikian hingga  t   .
Mengingat , maka t i  t i+ 1 , 1  i  sehingga menurut  Lemma 2.6,
  dalam arti   …  .
Mengingat   {  |   t 1 },  {  |  1  i  n }  adalah  koleksi  ideal  di dan   …  , maka   .
Misalkan t  [0,1] dan t  Im(  ).
1)  Jika t  t 1 , maka menurut Lemma 2.6 ,   t . Mengingat   dan   t , maka  t   .
2)  Jika t i  t  t i +1 dengan 1  i  n  1, maka menurut Lemma 2.6,   t .
Selanjutnya, diambil sebarang  t maka   t.
Andaikan  ada  sedemikian  hingga t    t i +1 ,  maka t i  t    t i +1 . Akibatnya, Im(  )  { t , t 1 , t 2 , …, t n }. Kontradiksi dengan Im(  )  { t 1 , t 2 , …, t n }. Jadi, tidak ada  sedemikian hingga t    t i +1 .
Selanjutnya,
  t dan tidak ada  R sedemikian hingga t    t i +1 , maka  t i +1 yang mengakibatkan   t i +1 , yaitu  sehingga  t  .
Mengingat   t dan  t  , maka  t   .
Jadi, untuk setiap  [0,1] ada i  {1,2, …, n } sedemikian hingga  t   .   ■

## 5.  KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  pada  penelitian  maka  dapat  diambil  kesimpulan bahwa setiap ideal di near-ring adalah ideal fuzzy near-ring dan juga sebaliknya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1].   Abou-Zaid. S, 1991, On fuzzy subnear-rings and ideals , Fuzzy Sets and Systems, vol. 44, pp. 139-146.
[2].   Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and applications , Oxford, New York.
[3].   Jun. Y.B, Sapanci. M. and  zt rk. M.A, 1998, Fuzzy ideal in gamma near-ring , Tr. J. of Math, vol. 22, no. __, pp. 449-459.
[4].   Kandasamy.  W.B.V,  2002, Smarandache  near-rings ,  American  Research  Press Rehoboth.
[5].   Kandasamy.  W.B.V,  2003, Smarandache  fuzzy  algebra ,  American  Research  Press Rehoboth.
[6].   Kim.  S.D.  and  Kim.  H.S,  1996, On  fuzzy  ideals  of  near-rings ,  Bull.  Korean  Math. Soc, vol. 33, no. 4, pp. 593-601.
[7].   Mordeson, J.N, Malik D.S and Kuroki. N, 2003, Fuzzy semigroup , Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[8].   Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group theory , Springer- Verlag, Berlin Heidelberg.
[9].   Pilz.  G,  1983, Near-ring , the  theory  and  applications 2 nd ed.,  North-Holland Mathematict Studies, vol. 23, North-Holland, Amsterdam.