## Simulation Study of Robust Geographically Weighted Empirical
Best Linear Unbiased Predictor on Small Area Estimation *
Simulasi Metode Prediksi Tak Bias Linier Terbaik Empiris Terboboti Geografis Kekar pada Pendugaan Area Kecil
Naima Rakhsyanda 1 , Kusman Sadik 2‡ , and Indahwati 3
1,2,3 Department of Statistics, IPB University, Indonesia
‡ corresponding author: kusmans@apps.ipb.ac.id
Copyright © 2021 Naima Rakhsyanda, Kusman Sadik, and Indahwati.  This is an open-access article distributed  under  the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
Small area estimation can be used to predict the  population parameter with small sample sizes. For some cases, the population units that are close spatially may be more related than units that are further apart. The use of spatial information like geographic coordinates  are  studied  in  this research.  Outlier  contaminations  can  affect  small  area estimations. This study was conducted using simulation methods on generated data with six  scenarios.  The  scenarios  are  the  combination  of  spatial  effects  (spatial  stationary and spatial non-stationary) with outlier contamination (no outlier, symmetric outliers, and non-symmetric outliers). The purpose of this study was to compare the geographically weighted empirical best linear unbiased predictor (GWEBLUP) and robust GWEBLUP (RGWEBLUP) with direct estimator, EBLUP,  and REBLUP using simulation data. The performance  of  the  predictors  is  evaluated  using  relative  root  mean  squared  error (RRMSE). The simulation results showed that geographically weighted predictors have the smallest RRMSE values for scenarios with spatial non-stationary, therefore offer a better  prediction.  For  scenarios  with  outliers,  robust  predictors  with  smaller  RRMSE values offer more efficiency than non-robust predictors.
Keywords :  geographically  weighted,  outlier,  small  area  estimation,  spatial  non- stationary.
* Received: Aug 2020; Reviewed: Des 2020; Published: Mar 2021

## 1.  Pendahuluan
Pada proses pengambilan contoh, suatu area dikatakan kecil jika ukuran contoh pada area tersebut tidak cukup untuk menghasilkan pendugaan  langsung dengan  presisi yang  memadai  (Rao,  2003).  Pendugaan  area  kecil  ( small  area  estimation ,  SAE) merupakan suatu metode untuk menghasilkan penduga dari parameter populasi pada area  dengan  ukuran  contoh  kecil.  Ukuran  contoh  yang  kecil  dapat  menyebabkan keragaman  pendugaan  yang  besar,  bahkan  pendugaan  mungkin  tidak  dapat dilakukan  ketika  suatu  area  tidak  terpilih  sebagai  contoh  (Sadik,  2009).  Salah  satu metode pengumpulan data yang dirancang untuk dapat menduga parameter populasi dengan mengambil sebagian anggota populasi sebagai contoh adalah survei. Survei menyajikan suatu cara yang  efisien terhadap biaya untuk mendapatkan pendugaan parameter yang diteliti, terutama pada tingkat regional yang lebih tinggi (negara atau provinsi). Pada banyak situasi, ukuran contoh yang diambil pada tingkat regional yang lebih  rendah  (kabupaten  atau  kecamatan)  tidak  cukup  besar  untuk  memberikan pendugaan langsung yang memadai (Baldermann et al., 2018). Prediksi tak bias linier terbaik empiris ( Empirical Best Linear Unbiased Prediction , EBLUP) merupakan salah satu  metode  penyelesaian  model  linier  campuran  yang  sering  digunakan  pada pendugaan area kecil.
Dalam  pendugaan  area  kecil  biasanya  diasumsikan  bahwa  unit  populasi  pada area  kecil  yang  berbeda  tidak  saling  berkorelasi.  Namun  terdapat  beberapa  kasus ketika  unit-unit  yang  dekat  secara  spasial  lebih  berkaitan  daripada  unit-unit  yang jaraknya lebih jauh, meskipun unit-unit tersebut mungkin berada pada area kecil yang berbeda (Chandra et al., 2012). Suatu metode yang belakangan ini dilakukan adalah dengan  memasukkan  informasi  spasial  seperti  titik  koordinat  dan  jarak  antara  area kecil yang  berada  pada proses pendugaan. Hal ini  didasarkan pada  asumsi bahwa area  yang  berdekatan  lebih  memiliki  kemiripan  dibandingkan  dengan  area  yang berjauhan (Baldermann et al., 2018). Beberapa penelitian (Baldermann et al., 2018; Chandra et al., 2012; Pratesi & Salvati, 2008) menunjukkan bahwa pendugaan area kecil  dengan  memanfaatkan  informasi  spasial  dapat  memberikan  keuntungan  jika dipandang dari segi efisiensi.
Heterogenitas  spasial  dapat  dikatakan  sebagai  ketidakstabilan  struktural  dalam bentuk  keragaman  galat  yang  tidak  konstan  (heteroskedastisitas).  Salah  satu pendekatan  untuk  memasukkan  heterogenitas  spasial  mengasumsikan  bahwa koefisien-koefisien  regresi  berbeda  atau  berubah-ubah  secara  spasial  sepanjang area  kecil  yang  diteliti.  Kondisi  seperti  ini  disebut  sebagai  spasial  non-stasioner (Brunsdon  et  al.,  1996;  Fotheringham  et  al.,  2003).  Sebaliknya,  kondisi  spasial stasioner adalah keadaan ketika koefisien-koefisien regresi tidak berbeda atau tidak berubah  secara  spasial  pada  area-area  yang  diteliti.  Suatu  prediksi  tak  bias  linier terbaik  empiris  terboboti  geografis  ( Geographically  Weighted  Empirical  Best  Linear Unbiased  Predictor ,  GWEBLUP)  diusulkan  oleh  Chandra  et  al.,  (2012)  untuk pendugaan  area  kecil.  GWEBLUP  didasarkan  pada  model  campuran  pada  kondisi spasial non-stasioner baik untuk  pengaruh tetap linier ( linear fixed effects ) maupun pengaruh acak area ( random area effects ). Bobot yang digunakan pada GWEBLUP adalah fungsi dari jarak antara titik-titik data contoh.
Pencilan  merupakan  observasi  dengan  nilai  yang  sangat  berbeda  jika dibandingkan  dengan  semua  contoh  secara  keseluruhan  (R.  L.  Chambers,  1986).
Menurut Draper & Smith (1998), pencilan merupakan suatu pengamatan yang nilainya menyimpang agak jauh dari pengamatan lainnya dan mungkin berada pada jarak tiga atau empat kali simpangan baku atau lebih jauh dari nilai tengahnya. Pencilan dapat menyebabkan sebaran data menjadi tidak simetris sehingga asumsi kenormalan tidak terpenuhi.  Untuk  mengatasi  keberadaan  pencilan  digunakan  suatu  metode  regresi kekar untuk memperoleh dugaan yang stabil meskipun terdapat kontaminasi pencilan pada data. Terdapat dua tipe kontaminasi pencilan yang digunakan pada penelitian ini, yaitu pencilan simetris dan pencilan non-simetris. Kontaminasi pencilan simetris disebabkan  oleh  pengambilan  contoh  dari  campuran  distribusi  dengan  nilai  tengah sama dan standar deviasi yang berbeda. Kontaminasi non-simetris disebabkan oleh pengambilan contoh dari campuran distribusi dengan nilai-nilai tengah yang berbeda (Liu & Zumbo, 2007). Sinha & Rao (2009) mengusulkan prediksi tak bias linier terbaik empiris  kekar  ( Robust  Empirical  Best  Linear  Unbiased  Predictor ,  REBLUP)  untuk mengatasi  keberadaan  pencilan  pada  pendugaan  area  kecil.  Schmid  &  Münnich (2014) serta Schmid et al. (2016) mengusulkan penduga robust projective dan robust predictive dalam kondisi pengaruh acak yang berkorelasi secara spasial. Baldermann et  al.  (2018)  mengusulkan  penduga  area  kecil  kekar  pada  kondisi  spasial  non- stasioner  dalam  model  campuran  linier  lokal  yang  disebut  prediksi  tak  bias  linier terbaik  empiris  terboboti  geografis  kekar  ( Robust  Geographical  Weighted  Empirical Best  Linear  Unbiased  Predictor ,  RGWEBLUP).  Metode  ini  diharapkan  dapat menghasilkan pendugaan dengan presisi yang baik pada data yang berdistribusi tidak normal dan memiliki pengaruh spasial.
Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  simulasi  dengan  menggunakan  data  yang dibangkitkan  dengan  menambahkan  informasi  pengaruh  spasial  dan  kontaminasi pencilan. Pendugaan nilai parameter populasi dilakukan dengan metode pendugaan langsung,  EBLUP,  REBLUP,  GWEBLUP,  dan  RGWEBLUP.  Evaluasi  model  akan dilakukan dengan menggunakan Relative Bias (RB) dan Relative Root Mean Squared Error (RRMSE).  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  mengkaji  simulasi  metode pendugaan  GWEBLUP  dan  RGWEBLUP  pada  pendugaan  area  kecil  serta membandingkan hasilnya dengan penduga langsung, EBLUP, dan REBLUP.

## 2.  Metodologi

## 2.1 Data
Simulasi pada penelitian ini dilakukan dengan merujuk kepada metode simulasi pada (Baldermann  et  al.,  2018).  Data  populasi  pada  simulasi  dibangkitkan  dengan banyaknya area kecil 𝑚 = 40 dan total populasi 𝑁 = 4000 . Peubah 𝑥 𝑖𝑗 , pengaruh acak area 𝑣 𝑖 dan galat penarikan contoh 𝑒 𝑖𝑗 dibangkitkan sesuai kondisi skenario yang akan diamati.  Terdapat  enam  rancangan  skenario  yang  merupakan  kombinasi  dari pengaruh spasial dan kontaminasi pencilan (Tabel 1).

## 2.2 Metode Penelitian
Tahapan simulasi yang dilakukan adalah sebagai berikut. 1.  Membangkitkan data populasi sebesar 𝑁 = 4000 dengan 𝑚 = 40 area kecil. Untuk semua area, ukuran populasi dan contoh ditetapkan pada 𝑁 𝑖 = 100 dan 𝑛 𝑖 = 5 ; 𝑖 = 1, … , 𝑚 .
Tabel 1: Skenario simulasi Skenario Pengaruh Spasial Kontaminasi Pencilan 1 Spasial non-stasioner Tidak terdapat pencilan 2 Spasial non-stasioner Terdapat pencilan simetris pada pengaruh acak area dan galat pengambilan contoh 3 Spasial stasioner Tidak terdapat pencilan 4 Spasial stasioner Terdapat pencilan simetris pada pengaruh acak area dan galat pengambilan contoh 5 Spasial non-stasioner Terdapat pencilan non-simetris pada pengaruh acak area dan galat pengambilan contoh 6 Spasial stasioner Terdapat pencilan non-simetris pada pengaruh acak area dan galat pengambilan contoh
2.  Membangkitkan peubah penyerta yang mengikuti sebaran lognormal dengan nilai tengah 1 dan standar deviasi 0.5 (Chambers et al., 2014). 𝑥 𝑖𝑗 ∼ 𝑙𝑜𝑔𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇 = 1, 𝜎 = 0.5)
3.  Membangkitkan peubah respon 𝑦 𝑖𝑗 berdasarkan persamaan berikut.
𝑦 𝑖𝑗 = 𝛽 0(𝑖𝑗) + 𝛽 1(𝑖𝑗) 𝑥 𝑖𝑗 + 𝑣 𝑖 + 𝑒 𝑖𝑗 (1)
dengan
𝛽 0(𝑖𝑗) = 100 + 𝑎 0 (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑖𝑗 + 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑖𝑗 ) (2)
𝛽 1(𝑖𝑗) = 5 + 𝑎 1 (𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑖𝑗 + 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑖𝑗 ) (3)
3.1. Membangkitkan koordinat-koordinat populasi ( longitude dan latitude ) sebagai suatu  kotak-kotak  persegi  ( grid )  dari  titik-titik  pada  wilayah [0, √𝑁/2] × [0, √𝑁/2] .
3.2. Menetapkan  parameter 𝑎 0 dan 𝑎 1 yang  mendefinisikan  variasi  spasial  dari koefisien  model  pada  model  populasi.  Berdasarkan  (Chandra  et  al.,  2012b), untuk skenario pada kondisi spasial stasioner ditetapkan nilai 𝑎 0 = 𝑎 1 = 0 dan untuk  skenario  pada  kondisi  heterogenitas  spasial  (spasial  non-stasioner) ditetapkan nilai 𝑎 0 = 0.1 dan 𝑎 1 = 0.2 .
4.  Mengambil contoh dari populasi dengan penarikan contoh acak sederhana tanpa pengembalian dari setiap area.
5.  Membangkitkan  pengaruh  acak  ( random  effects ) 𝑣 𝑖 dan  galat  penarikan  contoh ( individual  error ) 𝑒 𝑖𝑗 secara  independen  dalam  mekanisme  kontaminasi  pencilan yang berbeda:
(i) (0,0) – tidak ada pencilan, 𝑣 𝑖 ∼ 𝑁(0,4) dan 𝑒 𝑖𝑗 ∼ 𝑁(0,8) ;
(ii) (𝑣, 𝑒) 𝑠 –  pencilan  simetris  pada  pengaruh  acak  area  dan  galat  penarikan contoh, 𝑣 𝑖 ∼ 𝑁(0,4) untuk area 1-36 dan 𝑣 𝑖 ∼ 𝑁(0,25) untuk area 37-40; 𝑒 𝑖𝑗 ∼ 𝛿𝑁(0,8) + (1 − 𝛿)𝑁(0,160) ; 𝛿 berdistribusi Bernoulli dengan 𝑃(𝛿 = 1) = 0.95 ; (iii) (𝑣, 𝑒) 𝑛𝑠 – pencilan non-simetris pada pengaruh acak area dan galat penarikan contoh, 𝑣 𝑖 ∼ 𝑁(0,4) untuk area 1-36 dan 𝑣 𝑖 ∼ 𝑁(12,25) untuk area 37-40; 𝑒 𝑖𝑗 ∼ 𝛿𝑁(0,8) + (1 − 𝛿)𝑁(25,160) ; 𝛿 berdistribusi  Bernoulli  dengan 𝑃(𝛿 = 1) = 0.95 .
6.  Menghitung nilai pendugaan langsung untuk rata-rata peubah respon 𝑦 𝑖𝑗 .
7.  Melakukan pendugaan tidak langsung untuk menghitung rata-rata peubah 𝑦 𝑖𝑗 pada setiap  kombinasi  kondisi  spasial  dan  pencilan  dengan  menggunakan  penduga EBLUP, REBLUP, GWEBLUP, dan RGWEBLUP.
8.  Mengulangi langkah 6 dan 7 sebanyak 𝑇 = 100 kali secara independen.
9.  Mengevaluasi penduga dengan Relative Bias (RB) yang spesifik terhadap area dan Relative Root Mean Squared Error (RRMSE) yang diberikan dengan
𝑅𝐵(𝑦̅̂ 𝑖 ) = 1 𝑇 ∑ 𝑦̅̂ 𝑡𝑖 − 𝑦̅ 𝑡𝑖 𝑦̅ 𝑡𝑖 𝑇 𝑡=1 (4)
𝑅𝑅𝑀𝑆𝐸(𝑦̅̂ 𝑖 ) = √ 1 𝑇 ∑ ( 𝑦̅̂ 𝑡𝑖 − 𝑦̅ 𝑡𝑖 𝑦̅ 𝑡𝑖 ) 2 𝑇 𝑡=1 (5)

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Data Simulasi
Pembangkitan data populasi menghasilkan 4000 unit populasi dalam 40 area dengan koordinat-koordinat populasi berupa kotak-kotak persegi (Gambar 1). Pada setiap area terdapat  sekitar  100  unit.  Nilai  peubah  respon  tiap  skenario  akan  bervariasi  sesuai dengan  kondisi  pengaruh  spasial  dan  kontaminasi  pencilan  pada  setiap  skenario. Pada setiap area diambil contoh berukuran 5 yang akan digunakan untuk menghitung nilai dugaan rata-rata parameter populasi.
Gambar 1: Populasi hasil pembangkitan data simulasi

## 3.2 Pendugaan Parameter
Nilai dugaan rata-rata parameter dihitung berdasarkan pendugaan langsung, EBLUP, REBLUP, GWEBLUP, dan RGWEBLUP untuk masing-masing area pada Skenario 1 sampai  Skenario  6.  Tabel  2  menyajikan  contoh  perbandingan  nilai  parameter  yang
sesungguhnya  dengan  hasil  pendugaan  melalui  pendugaan  langsung  dan  tidak langsung pada Skenario 1.
Tabel 2: Perbandingan rataan hasil dugaan langsung dan tidak langsung pada
Skenario 1 Area  Parameter  Langsung  EBLUP  REBLUP  GWEBLUP  RGWEBLUP 1 122.514 121.593  124.229 125.191 122.664 124.419 2 121.703 122.037  122.448 123.655 122.526 122.426 3 126.668 126.333  127.478 127.847 126.274 126.155 4 124.956 125.235  125.606 125.772 125.986 126.117 5 128.859 129.184  129.239 129.272 129.092 129.188 6 135.658 136.354  135.899 135.869 135.417 135.484 ... ... 40 162.353 163.362  161.423 160.907 161.179 161.017
Gambar 2: Perbandingan hasil pendugaan langsung dan tidak langsung pada masing-masing area untuk (a) Skenario 1, (b) Skenario 2, (c) Skenario 3,
(d) Skenario 4, (e) Skenario 5, dan (f) Skenario 6
Tabel  2  memperlihatkan  bahwa  hasil  pendugaan  parameter  dengan  pendugaan langsung dan tidak langsung memberikan hasil yang berbeda-beda. Plot perbandingan hasil  pendugaan  untuk  semua  area  per  skenario  disajikan  pada  Gambar  2.  Secara eksploratif, plot hasil pendugaan baik langsung maupun tidak langsung secara umum memiliki pola yang berbeda tergantung pengaruh spasial pada setiap skenario.
Pengaruh  spasial  stasioner  dan  stasioner  pada  populasi  dapat  terlihat  pada Gambar  2.  Hasil  pendugaan  untuk  data  populasi  dengan  pengaruh  spasial  non- stasioner (Skenario 1, Skenario 2, dan Skenario 5) memiliki pola yang berbeda dengan hasil  pendugaan  untuk  populasi  dengan  kondisi  spasial  stasioner  (Skenario  3, Skenario  4,  dan  Skenario  6).  Keberadaan  pencilan  dapat  terlihat  pada  plot  hasil pendugaan pada bagian paling kanan (area 37 sampai 40).

## 3.3 Pemilihan Model Terbaik
Kebaikan model dievaluasi dengan menggunakan bias relatif ( Relative Bias/ RB ) dan galat  relatif  ( Relative  Root  Mean  Square  Error/ RRMSE ) di  setiap  area.  Tabel  3 menunjukkan  ringkasan  hasil  simulasi  yang  dilakukan  pada  enam  skenario.  Setiap penduga  dievaluasi  menggunakan  nilai  median  dari  RB  dan  RRMSE.  Penentuan penduga  yang  paling  efisien  dari  setiap  skenario  dilakukan  dengan  melihat  nilai median  RRMSE.  Nilai  RRMSE  yang  lebih  kecil  mengindikasikan  bahwa  penduga tersebut lebih efisien. Pada semua skenario, pendugaan langsung menghasilkan nilai median  RB  dan  RRMSE  yang  lebih  besar  jika  dibandingkan  dengan  penduga  area kecil (EBLUP, REBLUP, GWEBLUP, dan RGWEBLUP).
Tabel 3: Ringkasan hasil simulasi pada enam skenario data Penduga SK 1 SK 2 SK 3 SK 4 SK 5 SK 6 Nilai median dari RB (%) Langsung -0.019  -0.113  0.021  -0.025  -0.125  0.031 EBLUP 0.000  -0.073  0.004  -0.035  0.121 0.356 REBLUP 0.030  -0.026  -0.029  -0.009  -0.471  -0.586 GWEBLUP 0.118  -0.054  -0.006  -0.052  0.030 0.110 RGWEBLUP 0.123 0.012  -0.003  -0.096  -0.609  -0.631 Nilai median dari RRMSE (%) Langsung 5.840 5.792  3.277  3.312  5.910 3.814 EBLUP 1.389 1.654  0.881  1.092  2.366 1.867 REBLUP 1.386 1.472  0.888  0.977  1.819 1.171 GWEBLUP 0.824 0.991  0.900  1.123  1.449 1.720 RGWEBLUP 0.949 0.963  0.921  1.056  1.093 1.294
Skenario 1 dan Skenario 3 merupakan kondisi di mana data tidak memiliki pencilan. Pada  Skenario  1,  penduga  yang  terboboti  geografis  (GWEBLUP  dan  RGWEBLUP) memiliki nilai median RRMSE yang lebih kecil dibandingkan penduga global (EBLUP dan REBLUP). Kebalikannya, pada Skenario 3 nilai median RRMSE bagi EBLUP dan REBLUP lebih kecil daripada GWEBLUP dan RGWEBLUP. Berdasarkan hal tersebut, untuk  data  tanpa  pencilan,  jika  pada  data  terdapat  kondisi  spasial  non-stasioner (Skenario  1),  maka  penduga  terboboti  geografis  akan  lebih  efisien  dibandingkan
dengan  penduga  global  yang  tidak  memasukkan  unsur  geografis.  Pada  Skenario  1, nilai  median  RB  dan  RRMSE  pada  penduga  GWEBLUP  lebih  kecil  daripada RGWEBLUP,  sehingga  penduga  GWEBLUP  akan  menghasilkan  dugaan  yang  lebih efisien  dibandingkan  RGWEBLUP.  Jika  terdapat  kondisi  spasial  stasioner  (Skenario 3),  maka  penduga  global  akan  lebih  efisien  dibandingkan  dengan  penduga  yang terboboti geografis. Pada Skenario 3, nilai median RRMSE penduga EBLUP lebih kecil daripada  REBLUP,  sehingga  penduga  EBLUP  dapat  memberikan  hasil  yang  lebih efisien daripada REBLUP.
Pada  hasil  pendugaan  data  yang  memiliki  pencilan  simetris  (Skenario  2  dan Skenario  4),  penduga  kekar  (REBLUP  dan  RGWEBLUP)  memiliki  nilai  median RRMSE  yang  lebih  kecil  daripada  penduga  non-kekar  yang  sepadan  dengannya (EBLUP  dan  GWEBLUP).  Berdasarkan  hal  tersebut,  pada  kondisi  terdapat  pencilan simetris, penduga REBLUP lebih efisien daripada EBLUP dan penduga RGWEBLUP lebih  efisien  daripada  GWEBLUP.  Pada  kondisi  spasial  non-stasioner  (Skenario  2), penduga  yang  terboboti  geografis  lebih  efisien  dibandingkan  penduga  global.  Nilai median RRMSE RGWEBLUP lebih kecil daripada GWEBLUP, sehingga pada kondisi spasial non-stasioner dengan pencilan simetris, RGWEBLUP akan memberikan hasil dugaan yang lebih efisien dibandingkan dengan penduga lainnya. Pada kondisi spasial stasioner (Skenario 4), penduga global memiliki nilai median RRMSE yang lebih kecil daripada penduga terboboti geografis.
Pada kondisi terdapat kontaminasi pencilan non-simetris (Skenario 5 dan Skenario 6),  penduga  kekar  memiliki  nilai  median  RRMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan penduga  non-kekar.  Namun,  pada  skenario  ini  penduga  REBLUP  dan  RGWEBLUP memiliki nilai median RB yang lebih besar, baik pada kondisi spasial stasioner maupun spasial  non-stasioner.  Untuk  data  yang  memiliki  kondisi  spasial  non-stasioner (Skenario 5), penduga terboboti geografis lebih efisien dibandingkan penduga global. Penduga RGWEBLUP lebih efisien daripada GWEBLUP. Pada data dengan kondisi spasial stasioner (Skenario 6), penduga REBLUP memiliki nilai median RRMSE yang paling kecil dibandingkan penduga lainnya.
Plot perbandingan hasil RRMSE pada masing-masing area untuk setiap skenario tersaji  pada  Gambar  3.  Terlihat  bahwa  penduga  langsung (direct) memiliki  nilai RRMSE  yang  jauh  lebih  besar  daripada  penduga-penduga  lainnya,  terutama  pada skenario  dengan  pengaruh  spasial  non-stasioner  (Skenario  1,  Skenario  2,  dan Skenario 5). Secara umum, pada kasus spasial non-stasioner model GWEBLUP dan RGWEBLUP  menghasilkan  RRMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  EBLUP  dan REBLUP.
Ringkasan  penduga  dengan  nilai  RRMSE  terkecil  berdasarkan  skenario  pada simulasi  tersaji  pada  Tabel  4.  Pemilihan  metode  pendugaan  terbaik  untuk  setiap skenario simulasi didasarkan pada nilai RRMSE di mana penduga yang memiliki nilai RRMSE  terkecil  diharapkan  dapat  memberikan  hasil  pendugaan  yang  lebih  efisien dibandingkan penduga-penduga lainnya.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Gambar 3: Perbandingan hasil RRMSE pada masing-masing area untuk (a) Skenario 1, (b) Skenario 2, (c) Skenario 3, (d) Skenario 4, (e) Skenario 5, dan (f) Skenario 6
Tabel 4: Penduga dengan nilai RRMSE terkecil berdasarkan hasil simulasi
Kontaminasi pencilan Spasial stasioner Spasial non-stasioner Tidak ada pencilan EBLUP GWEBLUP Ada pencilan simetris REBLUP RGWEBLUP Ada pencilan non-simetris REBLUP RGWEBLUP

## 4.  Simpulan
Hasil simulasi menunjukkan bahwa pemilihan metode pendugaan yang sesuai dengan karakteristik  data  dapat  memberikan  hasil  dugaan  dengan  nilai  RRMSE  yang  lebih kecil. Penggunaan penduga yang terboboti geografis (GWEBLUP dan RGWEBLUP) pada  data  yang  memiliki  pengaruh  spasial  non-stasioner  memberikan  nilai  RRMSE
yang lebih kecil dari penduga langsung dan penduga global (EBLUP dan REBLUP). Pada data dengan pengaruh spasial stasioner, nilai RRMSE dari penduga global lebih kecil daripada penduga terboboti geografis. Pada data yang terkontaminasi pencilan, penduga  kekar  menghasilkan  nilai  RRMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  penduga non-kekar.

## Daftar Pustaka
Baldermann, C., Salvati, N., & Schmid, T. (2018). Robust Small Area Estimation under Spatial Non-stationarity: Robust SAE under Spatial Non-Stationarity. International Statistical Review , 86 (1): 136 –159. https://doi.org/10.1111/insr.12245
Brunsdon, C., Fotheringham, A. S., & Charlton, M. E. (1996). Geographically weighted regression: a method for exploring spatial nonstationarity. Geographical Analysis , 28 (4): 281 –298.
Chambers, R., Chandra, H., Salvati, N., & Tzavidis, N. (2014). Outlier robust small area estimation. Journal  of  the  Royal  Statistical  Society:  Series  B  (Statistical Methodology) , 76 (1): 47 –69. https://doi.org/10.1111/rssb.12019
Chambers,  R.  L.  (1986).  Outlier  robust  finite  population  estimation. Journal  of  the American Statistical Association , 81 (396): 1063 –1069.
Chandra, H., Salvati, N., Chambers, R., & Tzavidis, N. (2012a). Small area estimation under  spatial  nonstationarity. Computational  Statistics  &  Data  Analysis , 56 (10): 2875 –2888.
Chandra, H., Salvati, N., Chambers, R., & Tzavidis, N. (2012b). Small area estimation under  spatial  nonstationarity. Computational  Statistics  &  Data  Analysis , 56 (10): 2875 –2888. https://doi.org/10.1016/j.csda.2012.02.006
Draper, N. R., & Smith, H. (1998). Applied regression analysis (Vol. 326). John Wiley & Sons.
Fotheringham,  A.  S.,  Brunsdon,  C.,  &  Charlton,  M.  (2003). Geographically  weighted regression: the analysis of spatially varying relationships . John Wiley & Sons.
Liu, Y., & Zumbo, B. D. (2007). The impact of outliers on Cronbach’s coefficient alpha estimate  of  reliability:  Visual  analogue  scales. Educational  and  Psychological Measurement , 67 (4): 620 –634.
Pratesi, M., & Salvati, N. (2008). Small area estimation: the EBLUP estimator based on spatially correlated random area effects. Statistical Methods and Applications , 17 (1): 113 –141.
Rao,  J.  (2003).  Some  new  developments  in  small  area  estimation. Journal  of  The Iranian Statistical Society (JIRSS) , 2 (2): 145 –169.
Sadik, K. (2009). Metode Prediksi Tak-Bias Linear Terbaik Dan BayesBerhirarki Untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space .
Schmid, T., & Münnich, R. T. (2014). Spatial robust small area estimation. Statistical Papers , 55 (3): 653 –670.
Schmid, T., Tzavidis, N., Münnich, R., & Chambers, R. (2016). Outlier robust small- area estimation under spatial correlation. Scandinavian Journal of Statistics , 43 (3):
806 –826.
Sinha,  S.  K.,  &  Rao,  J.  (2009).  Robust  small  area  estimation. Canadian  Journal  of Statistics , 37 (3): 381 –399.