## KONPLEMEN IDEAL FUZZY DARI NEAR-RING

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru
E-mail: saman@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Dalam tulisan ini diperkenalkan konsep konplemen dari ideal fuzzy near-ring dan anti ideal fuzzy near-ring, dan hubungan antara ideal fuzzy near-ring dan konplemenya. Hasil dari penelitian ini adalah jika α adalah ideal fuzzy dari near-ring, maka α c adalah anti ideal fuzzy dari near-ring, dan juga berlaku sebaliknya
Kata kunci: ideal fuzzy, konplemen ideal fuzzy, anti ideal fuzzy

## 1. PENDAHULUAN
Penelitian terkait dengan struktur aljabar fuzzy telah banyak dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya, diantaranya Abou-Zaid [1] memperkenalkan konsep subnear -ring fuzzy .  Menurut  Satyanarayana at al [6], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa asioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring . Operasi pertama  pada near-ring sebarang tidak harus abelian , dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan.
Banyak peneliti  yang melanjutkan penelitian dari  Abou-Zaid, diantaranya:
Kim at al [4]  memperkenalkan konsep anti ideal fuzzy near-ring , dan Abdurrahman at al [2]  memperkenalkan konsep ideal fuzzy near-ring .  Pada penelitian ini, akan disajikan hasil kajian teori mengenai  konplemen  dari ideal fuzzy dan hubungan antara ideal fuzzy dan konplemenya.

## 2.  TINJAUAN PUSTAKA
Berikut ini, disajikan definisi dan sifat dari near-ring dan himpunan fuzzy yang digunakan pada pembahasan.
Definisi  2.1. [6] Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan . disebut near ring, jika memenuhi:
(1) ( R , +) adalah grup ( tidak harus grup abelian ),
(2) ( R , .) adalah semigrup,
(3) untuk setiap x,y,z ∈ R berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan : (x + y) . z = x . z + y . z
(ii).  distributif kiri :  x . (y + z) = x . y + x . z
Suatu near-ring disebut near-ring kanan jika memenuhi aksioma (1), (2), dan
(3) bagian (i), dan disebut near-ring kiri jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3)
bagian (ii).  Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-ring kiri , kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan x ⋅ y dapat juga ditulis xy .
Pada near-ring , grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal, subgrupnya harus merupakan subgrup normal.
Definisi  2.2.  [6]  Diberikan near-ring R . Subgrup normal    dari R disebut ideal dari R, jika
(1). RI ⊆ I (2). ( r + i ) s – rs ∈ I untuk setiap r, s ∈ R dan i ∈ I .
Subgrup normal I dari R , memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari R, dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari R.
Definisi  2.3. [5]  Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan α disebut subset fuzzy dari X jika α
. Selanjutnya himpunan semua
subset fuzzy dari X dinotasikan dengan ( X ) .
Definisi 2.4. [4] Diberikan α∈ ( X ) dan t ∈ [0, 1]. Himpunan
α := { x ∈ X | α ( x ) ≥ t }, dan α := { x ∈ X | α ( x ) ≤ t }
disebut upper t-level cut dari α , dan lower t-level cut dari α .
Definisi  2.5.  [3] Diberikan near-ring R dan α∈ ( R ) .  Subset fuzzy α disebut subnear-ring fuzzy dari R jika α ( x – y ) ≥ min{ α ( x ), α ( y )}, dan α ( xy ) ≥ min{ α ( x ), α ( y )} untuk setiap x,y ∈ R.
Definisi 2.6. [3] Diberikan near-ring R dan α∈ ( R ) . Subset fuzzy α disebut ideal fuzzy dari R, jika untuk setiap x, y, z ∈ R berlaku :
(1) α ( x – y ) ≥ min{ α ( x ), α ( y )},
(2) α ( x ) = α ( y + x – y ),
(3) α ( xy ) ≥ α ( y ), dan
(4) α (( x + z ) y – xy ) ≥ α ( z ).
Subset fuzzy α disebut ideal kiri fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (3), sedangkan α disebut ideal kanan fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1),
(2), dan (4).
Definisi 2.7. [4] Diberikan near-ring R dan α∈ (R) . Subset fuzzy α disebut anti subnear-ring fuzzy dari R jika untuk setiap x, y ∈ R berlaku :
(1) α (x – y) ≤ mak{ α (x), α (y)}, dan
(2) α (xy) ≤ mak{ α (x), α (y)}.
Selanjutnya, α disebut  anti  ideal fuzzy dari  R  jika α adalah  anti  subnear-ring fuzzy dari R dan untuk setiap x, y, z ∈ R berlaku :
(3) α (x) = α (y + x – y),
(4) α (xy) ≤ α (y), dan
(5) α [(x + z)y – xy] ≤ α (z).
Suatu α disebut anti ideal kiri fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2),
(3) dan (4), sedangkan α disebut anti ideal kanan fuzzy dari  R jika memenuhi kondisi (1), (2), (3) dan (5).

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur. Metodelogi yang digunakan adalah mengumpulkan bahan tulisan mengenai near-ring , ideal near- ring , near-ring fuzzy , ideal fuzzy near-ring dan anti ideal fuzzy near-ring.
Pada tahap awal dipelajari tentang  konsep  dasar  dari ideal fuzzy near-ring , dan anti ideal fuzzy near-ring. Konsep  dasar ini yang nantinya akan banyak membantu pada saat mengkonstruksi sifat konplemen dari ideal fuzzy near-ring . Selanjutnya, dibuktikan beberapa lemma/teorema yang terkait dan ditentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat-sifat baru dari ideal fuzzy near- ring yang berkaitan dengan konplemenya,  dan sifat-sifat baru tersebut akan dibuktikan atau dikaji kebenarannya pada pembahasan.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Lemma 4.1. Diberikan near-ring R. Jika α adalah subnear-ring fuzzy  dari R, maka untuk setiap x ∈ R α c (0 R ) ≤ α c (x), dan α c (–x) = α c (x).
Bukti:
Diambil sebarang x ∈ R, maka menurut Abdurrahman ([2], Lemma 4.1.4) berlaku: α c (0 R ) ≤ 1 – α (x) = α c (x), dan α c (–x) = 1 – α (–x) = α c (x). ■ Akibat 4.2. Jika α adalah subnear-ring fuzzy dari R , maka {x ∈ R| α c (x) = α c (0 R )} adalah subnear-ring dari R.
Bukti:
Misalkan A = {x ∈ R| α c (x) = α c (0 R )}, maka menurut sifat keanggotaan A, 0 R ∈ A dan A ⊆ R yang mengakibatkan A ≠ ∅ .
Diambil sebarang x, y ∈ A, maka α c (x) = α c (y) = α c (0 R ). Selajutnya: α c (x – y) = 1 – α (x – y) ≤ 1 –  min { α (x), α (y)} ≤ mak{ α (x), α (y)} = mak{ α (0 R ), α (0 R )} = α (0 R ) ⇔ α c (x – y) ≤ α (0 R ), dan α c (xy)  = 1 – α (xy) ≤ 1 –  min{ α (x), α (y)} ≤ mak{ α (x), α (y)} = mak{ α (0 R ), α (0 R )} = α (0 R ) ⇔ α c (xy) ≤ α (0 R ).
Mengingat α c (x  –  y) ≤ α (0 R ), dan α c (xy) ≤ α (0 R ), maka menurut Lemma 4.1, α c (x  –  y)  = α c (xy)  = α (0 R ), sehingga x  –  y, xy ∈ A, dengan kata lain A adalah subnear-ring dari R. ■ Lemma 4.3. Jika α adalah  subnear-ring fuzzy dari  near-ring  R , maka untuk setiap x, y ∈ R berlaku :
(1) α c (x + y) = α c (y + x), dan
(2) α c (x – y) = α c (0 R ) maka α c (x) = α c (y).
Lemma 4.4.  Diberikan α adalah ideal fuzzy dari near-ring R dan x ∈ R. Untuk setiap y ∈ R , α c (x – y) = α c (y) jika dan hanya jika α c (x) = α c (0 R ). Bukti:
( ⇒ ) Misalkan α adalah ideal fuzzy dari near-ring R, x ∈ R, dan untuk setiap y ∈ R , berlaku α c (x – y) = α c (y). Akibatnya α c (x – 0 R ) = α c (0 R ) ⇔ α c (x) = α c (0 R ). ( ⇐ )  Misalkan α adalah ideal fuzzy dari near-ring R, dan α c (x) = α c (0 R ) untuk suatu x ∈ R . Diambil sebarang y ∈ R, maka menurut Lemma 4.1, α c (x – y) = 1 – α (x – y) ≤ 1 – min{ α (x), α (y)} = min{1 – α (x), 1 – α (y)} = min{ α c (x), α c (y)} ≤ mak{ α c (x), α c (y)} = α c (y) ⇔ α c (x – y) ≤ α c (y). α c (y) = α c (0 R – y) = α c (–x + x – y) =  1 – α (–x + x – y) ≤ 1 – min{ α (–x), α (x – y)} = min{1 – α (x), 1 – α (x – y)}
= min{ α c (x), α c (x – y)} ≤ mak{ α c (x), α c (x – y)} = α c (x – y) ⇔ α c (y) ≤ α c (x – y)
Jadi, berdasarkan analisa di atas: α c (x – y) = α c (y) untuk setiap y ∈ R. ■ Teorema  4.5. Diberikan near-ring  R . Subset fuzzy α adalah ideal fuzzy dari  R jika dan hanya jika α c adalah anti ideal fuzzy dari R.
Bukti:
( ⇒ ) Mengingat α adalah ideal fuzzy dari R, maka untuk setiap x, y, z ∈ R berlaku: α c (x – y) = 1 – α (x – y) ≤ 1 – min{ µ ( α ), µ ( α )} = min{1 – α (x), 1 – α (y)}
= min{ α c (x), α c (y)} ≤ mak{ α c (x), α c (y)},
α c (y + x – y) = 1 – α (y + x – y) = 1 – α (x) = α c (x),
α c (xy) = 1 – α (xy) ≤ 1 – α (y) = α c (y), dan α c [(x + z)y – xy] = 1 – α [(x + z)y – xy] ≤ 1 – α (z) = α c (z).
Berdasarkan analisa di atas, maka α c adalah anti ideal fuzzy dari R. ( ⇐ )  Mengingat α c adalah  anti  ideal fuzzy dari R, maka untuk setiap x, y, z ∈ R berlaku:
α (x – y) = 1 – α c (x – y) ≥ 1 – mak{ α c (x), α c (y)} = mak{1 – α c (x), 1 – α c (y)}
= mak{ α (x), α (y)} ≥ min{ α (x), α (y)}, α (y + x – y) = 1 – α c (y + x – y) = 1 – α c (x) = µ (x),
α (xy) = 1 – α c (xy) ≥ 1 – α c (y) = α (y), dan α [(x + z)y – xy] = 1 – α c [(x + z)y – xy] ≥ 1 – α c (z) = α (z).
Jadi, α adalah ideal fuzzy dari R. ■ Akibat  4.6. Subset fuzzy α adalah  anti  ideal fuzzy dari  near-ring  R jika dan hanya jika α c adalah ideal fuzzy dari R.
Bukti:
Diambil sebarang x ∈ R, maka
α (x) = 1 – α c (x) = 1 – [1 – ( α c ) c (x)] ⇔ α =  ( α c ) c .
Akibatnya, menurut Teorema 4.5: α = ( α c ) c adalah anti ideal fuzzy dari R jika dan hanya jika α c adalah ideal fuzzy dari R. ■ Berikut diberikan sifat dari anti  ideal fuzzy dari suatu near-ring yang berhubungan dengan lower t-level cut dari α .
Teorema 4.7.  Subset fuzzy α adalah  anti ideal fuzzy dari near-ring  R jika dan hanya jika α c adalah ideal dari R untuk setiap t ∈ [0, 1].
Bukti:
( ⇒ )  Misalkan α adalah anti ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 4.5, α c adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat
α c = { x ∈ R | α c ( x ) ≤ t } = { x ∈ R |1 – α ( x ) ≤ t } = { x ∈ R | α ( x ) ≥ 1 – t } ⇔ α c = α c , maka menurut Abdurrahman ([2], Teorema 4.1.6), α c adalah ideal dari R untuk setiap t ∈ [0, 1].
( ⇐ ) Karena α c = α c adalah ideal dari R untuk setiap t ∈ [0, 1], maka menurut Abdurrahman  ([2],  Teorema 4.1.6) , α c adalah ideal fuzzy dari R, sehingga berdasarkan Teorema 4.5, α adalah anti ideal fuzzy dari R. ■
Teorema 4.8. Diberikan near-ring R. Jika A adalah ideal di R, maka untuk setiap t ∈ [0,1], ada anti ideal fuzzy α di R sedemikian hingga α = A .
Bukti:
Misalkan t ∈ [0,1] dan didefinisikan subset fuzzy α di R:
α (x) =
untuk setiap x ∈ R.
Diambil sebarang x, y ∈ R.
Jika x, y ∈ R – A, maka α (x) = α (y) = 1 sedemikian hingga α (x – y) ≤ 1 = mak{ α (x), α (y)} dan α (xy) ≤ 1 = α (y).
Jika x,y ∈ A , maka x – y, xy ∈ A sedemikian hingga α (x – y) = t = mak{ α (x), α (y)} dan α (xy) = t = α (y).
Jika x ∈ A dan y ∉ A, maka α ( x ) = t dan α ( y ) = 1 sedemikian hingga α (x – y) ≤ 1 = mak{ α (x), α (y)} dan α (xy) ≤ 1 = α (y).
Jadi, α (x – y) ≤ mak{ α (x), α (y)} dan α (xy) ≤ α (y) untuk setiap x, y ∈ R. Andaikan α (x) < α (y + x – y) untuk suatu x, y ∈ R , maka
α (x) = t dan α (y + x – y) = 1 ⇔ x ∈ A dan y + x – y ∉ A. Akibatnya, A bukan ideal di R. Kondisi ini kontradiksi dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah, seharusnya
α (x) ≥ α (y + x – y) untuk setiap x, y ∈ R . Selanjutnya, andaikan α (x) > α (y + x – y) untuk suatu x, y ∈ R , maka α (x) = 1 dan α (y + x – y) = t ⇔ x ∉ A dan y + x – y ∈ A. Di lain pihak, (A, +) adalah subgrup normal di (R, +) maka (x – y) + (y + x – y) – (x – y) ∈ A, tetapi
(x – y) + (y + x – y) – (x – y) = x + [(–y) + y] + [(x – y) – (x – y)] = x ∈ A. Kontradiksi dengan x ∉ A sehingga pengandaian salah, seharusnya α (x) ≤ α (y + x – y) untuk setiap x, y ∈ R . Berdasarkan analisa di atas, maka α (x) = α (y + x – y) untuk setiap x, y ∈ R . Andaikan α [(x + a)y – xy] > α (a) untuk suatu x, y, a ∈ R maka α [(x + a)y – xy] = 1 dan α (a) = t ⇔ (x + a)y – xy ∉ A dan a ∈ A. Akibatnya, A bukan ideal di R, sehingga kontradiksi dengan A ideal di R . Jadi, α [(x + a)y – xy] ≤ α (a) untuk setiap x, y, a ∈ R .
Selanjutnya, berdasarkan definisi α , maka
α = {x ∈ R | α (x) ≤ t } = {x ∈ R | µ (x) = t } = A.
Jadi, ada α ideal fuzzy di R sedemikian hingga α = A . ■
Berikut diberikan sifat kesamaan dari dua lower t-level cut dari α di near- ring R , yang merupakan bagian akhir dari tulisan ini.
Teorema 4.8.  Diberikan  anti  ideal  fuzzy α di near-ring R dan t 1 , t 2 ∈ [0, 1] dengan t 1 < t 2 . Dua lower t-level cut α dan α di µ adalah sama  jika dan hanya jika tidak ada x ∈ R sedemikian hingga t l < α (x) ≤ t 2 .
Bukti:
( ⇒ ) Misalkan α adalah anti ideal fuzzy di R dan α = α dengan t 1 < t 2 . Andaikan ada x ∈ R sedemikian hingga t l < α (x) ≤ t 2 , maka
α (x) > t 1 dan α (x) ≤ t 2 ⇔ x ∉α dan x ∈α .
Akibatnya, α ≠ α . Kondisi ini kontradiksi dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah, seharusnya tidak ada x ∈ R sedemikian hingga t l < α (x) ≤ t 2 . ( ⇐ ) Misalkan α adalah anti ideal fuzzy di R dan tidak ada x ∈ R  sedemikian hingga t l < α (x) ≤ t 2 . Dimbil sebarang x ∈α , maka α (x) ≤ t 2 . Mengingat α (x) ≤ t 2 dan tidak ada x ∈ R sedemikian hingga t 1 < α ≤ t 2 , maka α (x) t 1 yang mengakibatkan α (x) ≤ t 1 sehingga x ∈α , dengan kata lain α ⊆ α . Selanjutnya, diambil sebarang x ∈α , maka α (x) ≤ t 1 < t 2 . Akibatnya x ∈α ,  sehingga α ⊆ α . dengan kata lain α ≠ α . ■

## 5.  KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari pembahasan pada penelitian ini, maka dapat diambil kesimpulan  bahwa subset fuzzy α adalah ideal fuzzy dari near-ring R jika dan hanya jika α c adalah anti ideal fuzzy dari R.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Abou-Zaid. S. 1991.  “ On fuzzy subnear-rings and ideals” , Fuzzy Sets and Systems, vol. 44, pp. 139-146.
[2]. Abdurrahman. S, Thresye, dan Hijriati. N. 2012.  “ Ideals fuzzy near-ring” , Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, Vol. 6, No. 2, hal 13 – 19.
[3]. Kandasamy. W. B. V. 2003.  “ Smarandache fuzzy algebra ”, American Research Press Rehoboth.
[4]. Kim. K. H, Jun. Y. B, and Yon. Y. H. 2005. “ On Anti Fuzzy Ideals In Near- Ring ”. Iranian Journal of Fuzzy System. Vol. 2, No. 2, pp. 71 – 80.
[5]. Mordeson. J.N, Bhutani. K. R, and Rosenfeld. A. 2005.  “ Fuzzy group theory ”, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.
[6]. Satyanarayana. Bh, and Prasad. K. S. 2013.  “ Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory ”, Taylor and Francis Group, LLC.