PENALARAN MATEMATIS MAHASISWA DALAM MEMECAHKAN MASALAH ANALISIS REAL BERDASARKAN KEMAMPUAN BERPIKIR INTUITIF
Fatriya Adamura 1 , Vera Dewi Susanti 2
1,2 Universitas PGRI Madiun
Abstract: Mathematical reasoning ability is needed by students both in the process of understanding mathematics and in everyday life context. In fact, Indonesian students’ ability  in the  field of  mathematics  is still  very  low. Referring to the fact, this study  is attempted  to  determine  students'  mathematical  reasoning  in  solving  real  analysis problems  based  on  their  ability  to  think  intuitively.  This  study  is  a  qualitative descriptive  research.  The  data  sources  in  this  study  are  college  students.  Data  are collected through written tests and interview. Data analysis in this study is carried out by stages of data reduction, data presentation, and conclusion. The results show that (1) Students  with  high  intuitive  thinking  skills  in  real  analysis  problem  solving  have  a tendency  to  implement  mathematical  reasoning  perfectly.  They  are  able  to  carry  out mathematical  reasoning  at  each  stage  of  solving  real  analysis  problems.  (2)  Students with medium intuitive thinking ability in solving real analysis problem have a tendency to  implement  mathematical  reasoning  less  perfectly.  They  are  not  able  to  carry  out mathematical  reasoning  at  the  stage  of  solving  problems  according  to  plan  and  re- checking it again. (3) Students with low intuitive thinking skill in solving real analysis problem  have a tendency to implement  mathematical reasoning  imperfectly. They are unable  to  carry  out  mathematical  reasoning  at  the  stage  of  planning  solution  and solving problem.
Keywords: mathematical reasoning, solving problem, intuitive.

## PENDAHULUAN
Salah  satu  materi  yang  dipelajari  di  jenjang  sekolah  mulai  dari  jenjang  dasar sampai atas adalah materi Matematika. Materi matematika merupakan materi yang sangat penting  dalam  kehidupan.  Matematika  sangat  dibutuhkan  di  berbagai  jenis  kegiatan ataupun  pekerjaan.  Hal  ini  sejalan  dengan  pendapat  Marsigit  (2012)  yang  memandang bahwa  matematika  merupakan  pemecahan  masalah.  Matematika  selalu  dibutuhkan  oleh manusia dalam setiap pemecahan masalah yang dilakukan.
Erman Suherman, dkk (dalam Wulandari, 2011) menyatakan bahwa matematika juga  memiliki  peran  penting  dalam  pemenuhan  kebutuhan  praktis  dan  memecahkan masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari  misalnya  mengumpulkan,  mengolah,  menyajikan, dan menafsirkan data, menghitung isi dan berat. Bagi siswa, matematika dipelajari untuk memahami  bidang  ilmu  lain  seperti  fisika,  kimia,  arsitektur,  farmasi,  geografi,  dan ekonomi.  Hal  tersebut  menunjukkan  betapa  pentingnya  matematika,  sehingga  harus dipelajari di setiap jenjang pendidikan.
Matematika  yang  dipelajari  di  jenjang  sekolah  disebut  matematika  sekolah (Erman  Suherman  dkk  dalam  Wulandari,  2011).  Matematika  yang  dipelajari  di  jenjang sekolah  disesuaikan  dengan  perkembangan  kognitif,  afektif,  dan  psikomotorik  siswa.
Penyelenggaraan  pendidikan  matematika  di  sekolah  Indonesia  saat  ini  diatur  dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). KTSP mengamanatkan bahwa salah satu aspek  penting  dalam  pembelajaran  matematika  sekolah  adalah  pengembangan kemampuan penalaran siswa. Hal ini ditunjukkan dengan salah satu tujuan mata pelajaran Matematika adalah agar siswa memiliki kemampuan untuk menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti,  atau  menjelaskan  gagasan  dan  pernyataan  matematika  (http://www.puskur.net /download/si/smp/Matematika.pdf).
Penalaran  merupakan  proses  berpikir  dalam  menarik  kesimpulan  yang  berupa pengetahuan untuk memperoleh kebenaran (Marsigit, 2012).  Penalaran merupakan salah satu karakteristik dari manusia. Karakteristik manusia yang lain adalah merasa, bersikap, dan  bertindak.  Penalaran  yang  dilakukan  seseorang  untuk  memperoleh  kebenaran merupakan gabungan dari penalaran deduktif dan induktif. Penalaran deduktif merupakan penalaran yang dilakukan dari umum ke khusus, sedangkan penalaran induktif merupakan penalaran yang dilakukan dari khusus ke umum.
Penalaran  adalah  suatu  proses  atau  suatu  aktivitas  berpikir  untuk  menarik  suatu kesimpulan atau proses berpikir dalam rangka membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan  pada  beberapa  pernyataan  yang  kebenarannya  telah  dibuktikan  atau diasumsikan  sebelumnya.  Materi  matematika  dan  penalaran  matematika  merupakan  dua hal  yang  tidak  dapat  dipisahkan.  Materi  matematika  dipahami  melalui  penalaran,  dan penalaran dipahami dan dilatihkan melalui belajar matematika
Kemampuan penalaran matematis diperlukan siswa baik dalam proses memahami matematika  maupun  dalam  kehidupan  sehari-hari.  Dalam  pembelajaran  matematika, kemampuan penalaran berperan baik dalam pemahaman konsep dan pemecahan masalah. Dalam  kehidupan  sehari-hari,  kemampuan  bernalar  berguna  pada  saat  menyelesaikan permasalahan-permasalahan  yang  terjadi  baik  dalam  lingkup  pribadi,  masyarakat  dan institusi-institusi sosial lain yang lebih luas.
Pada  kenyataannya,  kemampuan  Indonesia  di  dunia  pendidikan  dalam  bidang matematika masih sangat rendah. Hal ini didukung oleh fakta dari hasil tes TIMSS 2003 yang  menunjukkan  bahwa  siswa  Indonesia  berada  pada  peringkat  35  dari  46  negara khususnya  pada  penalaran  matematikanya  (Rustandi,  2013).    Hasil  penelitian  Priatna (dalam  Rustandi,  2013)  menyatakan  bahwa  kualitas  kemampuan  penalaran  dan pemahaman  matematika  siswa  SMP  Negeri  di  kota  Bandung  masih  belum  memuaskan yaitu masing-masing sekitar 49% dan 50% dari skor ideal.
Salah satu mata kuliah yang dipelajari di jenjang Pendidikan Matematika adalah Analisis  Real.  Berdasarkan  pengalaman  dosen  Analisis  Real,  kemampuan  mahasiswa dalam  mempelajari  Analisis  Real  masih  kurang.  Rata-rata  nilai  akhir  mahasiswa  pada mata  kuliah  Analisis  Real  juga  kurang.  Mahasiswa  selalu  menyampaikan  bahwa mahasiswa  sulit  memahami  materi  Analisis  Real.  Kemampuan  berpikir  intuitif  juga sangat penting untuk dimiliki mahasiswa (Nasution, 2006).
Fakta  yang  telah  diuraikan  menunjukkan  bahwa  kemampuan  penalaran matematika  mahasiswa  di  Indonesia  masih  rendah.  Hal  tersebut  tentunya  tidak  sesuai dengan  kodisi  yang  diharapkan,  yaitu  kemampuan  penalaran  matematika  mahasiswa tinggi.  Masalah  tersebut  harus  dicarikan  solusinya.  Solusi  dari  masalah  yang  telah diuraikan  adalah  dengan  menggunakan  pembelajaran  yang  memfasilitasi  mahasiswa untuk  melakukan  penalaran  matematika.  Di  sisi  lain,  kemampuan  mahasiswa  dalam memahami  materi  Analisis  Real  juga  rendah.  Dan  kemampuan  berpikir  intuitif mahasiswa  penting  untuk  diketahui.  Hal  ini  karena  kemampuan  berpikir  intuitif diperlukan untuk mempelajari matematika tingkat tinggi.
Pengembangan  kemampuan  penalaran  matematis  siswa  berkaitan  dengan pendekatan  pembelajaran  yang  diterapkan  (Wulandari,  2011).  Pengembangan kemampuan  penalaran  memerlukan  pembelajaran  yang  memfasilitasi  proses  berfikir, proses  bernalar,  sikap  kritis  siswa  dan  bertanya.  Pembelajaran  yang  dilakukan  untuk mengembangkan  penalaran  matematis  siswa  dirancang  sesuai  dengan  kemampuan penalaran siswa. Berdasarkan  hal tersebut, maka seorang guru yang ingin melaksanakan pembelajaran yang memfasilitasi siswa untuk melaksanakan penalaran matematika harus mengetahui kemampuan penalaran matematika siswa yang diajar.
Mulis (Suyadi dalam Rustandi, 2013) menyampaikan bahwa berdasarkan laporan hasil  studi  TIMSS  1999  yang  dilakukan  di  38  negara  (termasuk  Indonesia),  antara  lain menjelaskan  bahwa  sebagian  besar  pembelajaran  matematika  belum  berfokus  pada pengembangan  penalaran  matematis  siswa.  Paradigma  mengajar  di  Indonesia  memiliki ciri-ciri antara lain: guru aktif sedangkan siswa pasif, pembelajaran berpusat kepada guru, guru  mentransfer  pengetahuan  ke  pikiran  siswa,  Marpaung  (Qodariah  dalam  Rustandi, 2013). Penalaran  matematis  juga  harus  dimiliki  oleh  mahasiswa  calon  guru  matematika. Uraian  tersebut  mendorong  peneliti  untuk  mendeskripsikan  penalaran  matematis mahasiswa  dalam  memecahkan  masalah  Analisis  Real  berdasarkan  kemampuan  berpikir intuitif.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  maka  masalah  dalam  penelitian  ini  adalah: Bagaimana  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam  memecahkan  masalah  Analisis  Real
berdasarkan  kemampuan  berpikir  intuitif?  Berdasarkan  rumusan  masalah  tersebut,  maka penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam memecahkan  masalah  analisis  real  berdasarkan  kemampuan  berpikir  intuitif.  Penelitian ini  diharapkan  dapat  bermanfaat  untuk  mengembangkan  penelitian-penelitian  yang menyangkut  penalaran  matematis  mahasiswa.  Selain  itu,  juga  dapat  digunakan  sebagai acuan untuk melakukan penelitian yang relevan pada masa yang akan datang.

## METODE PENELITIAN
Pendekatan  penelitian  yang  digunakan  oleh  peneliti  adalah  metode  penelitian kualitatif. Metode ini digunakan untuk meneliti kondisi objek yang alamiah. Pengambilan sampel sumber data dilakukan secara purposive, teknik pengumpulan dengan triangulasi, analisis  data  bersifat  induktif/kualitatif,  dan  hasil  penelitian  kualitatif  lebih  menekankan makna  daripada  generalisasi  (Moleong,  2012).  Jenis  penelitian  yang  digunakan  adalah penelitian  kualitatif  deskriptif.  Penelitian  deskriptif  melakukan  analisis  hanya  sampai pada taraf deskripsi, yaitu menganalisis dan menyajikan data secara sistematik, sehingga dapat  lebih  mudah  untuk  dipahami  dan  disimpulkan.  Penelitian  dilakukan  untuk mengetahui  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam  memecahkan  masalah  Analisis  Real ditinjau dari kemampuan mahasiswa dalam berpikir intuitif.
Pada  penelitian  ini,  data  secara  langsung  diperoleh  dari  mahasiswa  Prodi Pendidikan Matematika FKIP UNIPMA yang sudah menerima mata kuliah Analisis Real pada  semester  genap  tahun  akademik  2017/2018.  Mahasiswa  yang  dijadikan  subyek penelitian adalah mahasiswa kelas VI A. Mahasiswa kelas VI A diambil subyek sebanyak 6  mahasiswa  kemudian  diberi  tes  kemampuan  berpikir  intuitif  dan  diwawancarai.  6 mahasiswa yang dipilih adalah 2 mahasiswa dengan kemampuan berpikir intuitif tinggi, 2 mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  sedang,  dan  2  mahasiswa  dengan kemampuan  berpikir  intuitif  rendah.  Teknik  pengumpulan  data  yang  digunakan  oleh peneliti  adalah  metode  tes,  interview  (wawancara),  dokumentasi  dan  observasi (Sugiyono, 2013).
Teknik pemeriksaan keabsahan data dilakukan dengan teknik triangulasi. Teknik triangulasi  adalah  teknik  pemeriksaan  keabsahan  data  yang  memanfaatkan  sesuatu  yang lain.  Triangulasi  yang  dilakukan  oleh  peneliti  pada  penelitian  ini,  adalah:  triangulasi metode. Analisis dilakukan secara berkelanjutan dan meliputi tiga macam kegiatan, yaitu: reduksi  data  (data  reduction),  penayangan  data  (data  display),  dan  verifikasi  data  (data verification)(Miles and Huberman dalam Sunarto, 2001).
Berikut  ini  disajikan  tabel  deskriptor  dan  indikator  penalaran  matematis mahasiswa dalam memecahkan masalah.
Tabel 1. Deskriptor Dan Indikator Penalaran Matematis Mahasiswa
DalamMemecahkan Masalah Kemampuan Penalaran Matematis Deskriptor Langkah Pemecahan Masalah A. Kemampuan menyajikan pernyataan matematika  secara  lisan, tertulis, gambar, dan diagram 1. Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan Memahami masalah 2. Menyampaikan  apa  yang diketahui  dan  yang  ditanyakan secara lisan 3. Menggambarkan apa yang diketahui dan yang ditanyakan dalam bentuk diagram B. Kemampuan mengajukan dugaan ( conjectures ) 1. Mengajukan dugaan tentang penyelesaian suatu masalah Merencanakan penyelesaian C. Kemampuan melakukan manipulasi matematika 1. Melakukan manipulasi aljabar pada penyelesaian masalah matematika Menyelesaikan masalah sesuai rencana D. Kemampuan menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan  alasan  atau bukti  terhadap  beberapa solusi 1. Menyusun bukti atas masalah matematika 2. Memberikan  alasan  atau bukti terhadap beberapa solusi E. Kemampuan menarik  kesimpulan  dari pernyataan 1. Menarik  kesimpulan  dari pernyataan Melakukan pengecekan kembali F. Kemampuan memeriksa kesahihan suatu argumen 1. Memeriksa  jawaban  yang telah didapatkan G. Kemampuan menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi 1. Menemukan  pola  atau sifat  dari  gejala  matematis untuk membuat generalisasi

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan nilai tes soal kemampuan berpikir intuitif pada mata kuliah analisis real,  maka  dipilih  6  subjek  yang  terdiri  dari  2  mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir intuitif tinggi, 2 mahasiswa dengan kemampuan berpikir intuitif sedang, dan 2 mahasiswa dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  rendah.  Untuk  selanjutnya  akan  disebut  subjek  I, subjek II, subjek III, subjek IV, subjek V, dan subjek VI. Adapun hasil penentuan subjek penelitian dapat dilihat pada Tabel 2.

## Tabel 2. Hasil Penentuan Subjek Penelitian
No Nama Mahasiswa Inisial Subjek Tingkat Kemampuan Berpikir Intuitif 1 Meylani Yunita MY KBIT Tinggi 2 Puput Mey Indrawati PM Tinggi 3 Ika Sukristini IS KBIS Sedang 4 Agung Budi Prasetyo AB Sedang 5 Rahmatul Maghfiroh RM KBIR Rendah 6 Rofi’ Afif Nurwidianto RA Rendah
Data  penelitian  dianalisis  untuk  memperoleh  deskripsi  penalaran  matematis mahasiswa  dalam  memecahkan  masalah  analisis  real  ditinjau  dari  kemampuan  berpikir intuitif.  Pembahasan  ini  meliputi  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam:  (1)  memahami masalah, (2) merencanakan penyelesaian, (3) menyelesaikan masalah sesuai rencana, (4) melakukan pengecekan kembali.
A. Analisis Data Subjek dengan Kemampuan Berpikir Intuitif Tinggi (Subjek KBIT)
1. Memahami masalah
Subjek  KBIT  dalam  memahami  masalah  menuliskan  hal  yang  diketahui  dan  yang ditanyakan. Subjek KBIT dapat menuliskan bahwa yang diketahui adalah a, b, c, d  ∈ ℝ , a < 𝑏 dan c ≤ d .  Sedangkan  pada  yang  ditanyakan,  subjek KBIT  dapat  menuliskan  bahwa  yang  ditanyakan − a + b  =  −a  +  −b ,  jika a < 𝑏 dan c ≤ d , maka a + c < 𝑏 + 𝑑 , dan apakah kedua pernyataan berlaku untuk semua  anggota  himpunan  bilangan  Real.  Hal  tersebut  sesuai  dengan  jawaban  dari subjek KBIT sebagai berikut.

## Gambar 1. Jawaban Subjek KBIT
Subjek  KBIT  juga  dapat  menentukan  hal-hal  yang  diketahui  sudah  dapat digunakan untuk menjawab permasalahan yang ditanyakan pada soal. Hal ini dapat dilihat  dari  pekerjaan  tertulis  subjek  KBIT  yang  mampu  menyusun  langkah- langkah  pemecahan  masalah  dan  melaksanakannya  sehingga  diperoleh  hal  yang ditanyakan,  yaitu  bukti  dari  dua  pernyataan,  yaitu − a + b  =  −a  +  −b dan jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  subjek KBIT mampu menuliskan apa  yang diketahui dan  yang ditanyakan, sehingga bisa dikatakan  bahwa  subjek  KBIT  mampu  menyajikan  pernyataan  matematika  secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram.
2. Merencanakan penyelesaian
Dari  hasil  pekerjaan  tertulis  subjek  KBIT,  peneliti  merangkum  langkah-langkah pemecahan  masalah  yang  dilakukan,  yaitu  membuktikan  bahwa − a + b  = −a  +  −b dan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Untuk  membuktikan bahwa − a + b  =  −a  +  −b ,  subjek  KBIT  mampu  membuat  kaitan  dari  hal- hal yang diketahui, yaitu konsep a, b ∈ ℝ dengan sifat anggota himpunan bilangan Real.  Subjek  KBIT  mampu  menuliskan − a + b sebagai −1  a + b ,  kemudian menerapkan  sifat  distributif  perkalian  terhadap  penjumlahan,  dan  menerapkan kembali  sifat −1  a  = −a .  Subjek  KBIT  juga  bisa  membuktikan  bahwa
−1  a  = −a secara lengkap beserta buktinya.
Untuk  membuktikan  bahwa  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 , subjek KBIT mengambil dua kasus. Kasus yang pertama adalah jika c = d . Subjek KBIT  mampu  mengaitkan  hal  yang  diketahui  dengan  yang  akan  dibuktikan,  yaitu jika a < 𝑏 dan c = d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Kasus  yang  kedua  adalah  jika c < 𝑑 . Pada kasus yang kedua ini, subjek KBIT mampu mengaitkan antara yang diketahui dengan  yang  akan  dibuktikan.  Untuk  membuktikan a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  subjek  KBIT terlebih  dahulu  menuliskan  bahwa a + c < 𝑏 + 𝑐 ,  kemudian a + c < 𝑏 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 . Uraian tersebut menunjukkan bahwa subjek KBIT mampu mengajukan dugaan tentang  penyelesaian  suatu  masalah,  sehingga  bisa  dikatakan  bahwa  subjek  KBIT mampu mengajukan dugaan.
3. Menyelesaikan masalah sesuai rencana
Subjek  KBIT  dapat  menyelesaikan  masalah  sesuai  rencana  yang  telah  dibuat dengan lancar meskipun pada beberapa bagian terjadi kesalahan. Langkah-langkah yang ditempuh subjek KBIT dalam melaksanakan penyelesaian masalah yang telah direncanakan dapat dijelaskan sebagai berikut.
Subjek  KBIT  dapat  menguraikan  langkah-langkah  yang  ditempuh  untuk membuktikan − a + b  =  −a  +  −b . Untuk membuktikan − a + b  =  −a  +
−b ,  subjek  KBIT  menggunakan  konsep  sifat-sifat  anggota  himpunan  bilangan Real.  Subjek  KBIT  terlebih  dahulu  menuliskan − a + b sebagai −1  a + b , kemudian −1 a +  −1 b dan −a  + (−b) . Hal ini terlihat dari pekerjaan tertulis subjek KBIT berikut.
Uraian  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek  KBIT  mampu  melakukan manipulasi  aljabar  pada  penyelesaian  masalah  matematika  sehingga  dapat dikatakan bahwa subjek KBIT mampu melakukan manipulasi matematika.
Selain  itu,  subjek  KBIT  juga  mampu  membuktikan  bahwa −1 a = −a . Dalam membuktikan −1 a = −a , subjek KBIT menggunakan konsep sifat aljabar pada himpunan bilangan Real.

## Gambar 3. Jawaban Subjek KBIT
Dalam  pembuktian  yang  telah  diuraikan,  yaitu  pembuktian − 𝑎 + 𝑏  = −𝑎  +  −𝑏 dan −1 𝑎 = −𝑎 ,  terlihat  bahwa  subjek  KBIT  selalu  memberi alasan pada setiap langkah pembuktian yang dilakukan.
Selanjutnya,  subjek  KBIT  dapat  menguraikan  langkah-langkah  yang ditempuh  untuk  membuktikan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Dalam membuktikan jika a < 𝑏 dan c ≤ d , maka a + c < 𝑏 + 𝑑 , subjek KBIT mengambil dua kasus. Kasus yang pertama adalah c = d . Pada kasus yang pertama ini, subjek KBIT  mampu  menuliskan  bahwa  jika a < 𝑏 dan c = d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 . Subjek KBIT mampu mengaitkan  yang diketahui dengan  yang dibuktikan. Subjek KBIT mampu membuktikan pernyataan jika a < 𝑏 dan c = d , maka a + c < 𝑏 + 𝑑 meskipun  bukti  yang  dituliskan  kurang  benar.  Hal  ini  bisa  dilihat  dari  hasil pengerjaan subjek KBIT berikut.

## Gambar 4. Jawaban Subjek KBIT
Kasus  yang  kedua  adalah c < 𝑑 .  Pada  kasus  yang  kedua  ini,  subjek  KBIT mampu  menuliskan  bahwa  jika a < 𝑏 dan c < 𝑑 ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Subjek KBIT  mampu  mengaitkan  yang  diketahui  dengan  yang  dibuktikan.  Subjek  KBIT mampu  menuliskan  bahwa  jika a < 𝑏 dan c < 𝑑 ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑐 ,  kemudian subjek  KBIT  menuliskan a + c < 𝑏 + 𝑐 kemudian a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Subjek  KBIT belum  mampu  membuktikan  pernyataan  jika a < 𝑏 dan c < 𝑑 ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 . Hal ini bisa dilihat dari hasil pengerjaan subjek KBIT berikut.

## Gambar 5. Jawaban Subjek KBIT
Hasil  pembuktian  dari  subjek  KBIT  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek KBIT  belum  mampu  menyusun  bukti  atas  masalah  matematika  secara  sempurna. Hal ini dapat disimpulkan dari ketidakmampuan subjek KBIT dalam membuktikan pernyataan  jika a < 𝑏 dan c < 𝑑 ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Hal  tersebut  juga menunjukkan  bahwa  subjek  KBIT  juga  belum  mampu  memberikan  alasan  atau bukti  terhadap  beberapa  solusi  secara  sempurna.  Subjek  KBIT  dikatakan  kurang mampu  menarik  kesimpulan,  menyusun  bukti,  memberikan  alasan  atau  bukti terhadap beberapa solusi.
4. Melakukan pengecekan kembali
Pada  tahap  melakukan  pengecekan  kembali,  subjek  KBIT  mampu  menarik kesimpulan dari pernyataan. Subjek KBIT mampu menarik kesimpulan dari setiap pernyataan  yang  ada  pada  soal  tes.  Hal  ini  terlihat  pada  hasil  pengerjaan  subjek KBIT sebagai berikut.

## Gambar 6. Jawaban Subjek KBIT

## Gambar 7. Jawaban Subjek KBIT
Subjek  KBIT  memeriksa  jawaban  yang  telah  didapatkan.  Hal  ini  terlihat dari  hasil  pengerjaan  soal  tes  penalaran  matematis  oleh  subjek  KBIT  yang  benar dan  teliti,  yaitu  tidak  ditemukan  adanya  kesalahan  jawaban.  Hal  tersebut menunjukkan  bahwa  subjek  KBIT  mampu  memeriksa  kesahihan  suatu  argumen. Subjek  KBIT  mampu  menemukan  pola  atau  sifat  dari  gejala  matematis  untuk membuat  generalisasi.  Hal  tersebut  ditunjukkan  oleh  hasil  pengerjaan  secara tertulis dari subjek KBIT sebagai berikut.

## Gambar 8. Jawaban Subjek KBIT
B. Analisis Data Subjek dengan Kemampuan Berpikir Intuitif Sedang (Subjek KBIS)
1. Memahami masalah
Subjek  KBIS  dapat  memahami  masalah  yang  diberikan  dengan  menuliskan  apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal. Subjek KBIS dapat menuliskan
bahwa  yang  diketahui  adalah a, b, c, d  ∈ ℝ , a < 𝑏 dan c ≤ d .  Subjek  KBIS  juga dapat  menuliskan  bahwa  yang  ditanyakan − a + b  =  −a  +  −b ,  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  dan  apakah  kedua  pernyataan  berlaku  untuk semua  anggota  himpunan  bilangan  Real.  Hal  tersebut  sesuai  dengan  jawaban  dari subjek KBIS sebagai berikut.

## Gambar 9. Jawaban Subjek KBIS
Subjek KBIS dapat menentukan bahwa hal-hal yang diketahui sudah cukup untuk menjawab permasalahan yang ditanyakan pada soal. Hal ini dapat dilihat dari pekerjaan  tertulis  subjek  KBIS  yang  mampu  menyusun  langkah-langkah pemecahan masalah dan melaksanakannya sehingga diperoleh hal yang ditanyakan. Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  subjek  KBIS  mampu  menuliskan  apa  yang diketahui  dan  yang  ditanyakan,  sehingga  bisa  dikatakan  bahwa  subjek  KBIS mampu  menyajikan  pernyataan  matematika  secara  lisan,  tertulis,  gambar,  dan diagram.
2. Merencanakan penyelesaian
Dalam  merencanakan  penyelesaian  masalah,  yaitu  membuktikan  bahwa − a + b  =  −a  +  −b dan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  subjek  KBIS mampu mengaitkan yang diketahui dengan yang ditanyakan dalam soal.
Untuk  membuktikan  bahwa − a + b  =  −a  +  −b ,  subjek  KBIS memulai  pembuktian  dengan  menuliskan − a + b sebagai −1  a + b , kemudian  menerapkan  sifat  distributif  perkalian  terhadap  penjumlahan,  dan menerapkan  kembali  sifat −1  a  = −a .  Subjek  KBIS  mampu  menyimpulkan bahwa  karena  pernyataan −1  a  = −a belum  ada  pada  aksioma  himpunan bilangan real, maka subjek KBIS harus membuktikan bahwa −1  a  = −a . Bukti bahwa −1  a  = −a dituliskan  secara  lengkap  oleh  subjek  KBIS.  Subjek  KBIS juga  mampu  menyimpulkan  bahwa  pada  bukti −1  a  = −a terdapat  pernyataan bahwa a. 0 = 0 .  Subjek  KBIS  juga  mampu  membuktikan  bahwa a. 0 = 0 dengan benar karena pernyataan a. 0 = 0 belum ada pada aksioma himpunan bilangan real.
Pada  pembuktian  yang  kedua,  yaitu  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  subjek  KBIS  membagi c ≤ d menjadi  dua  kasus  meskipun  belum  terlihat
secara  jelas.  Kasus  yang  pertama  adalah  jika c = d .  Pada  kasus  yang  pertama  ini, subjek  KBIS  menuliskan  bahwa  jika a < 𝑏 dan c = d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑. Kasus yang  kedua  adalah  jika c < 𝑑 .  Pada  kasus  yang  kedua  ini,  subjek  KBIS  mampu menuliskan a + c < 𝑏 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 .  Uraian  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek KBIS  mampu  mengajukan  dugaan  tentang  penyelesaian  suatu  masalah,  sehingga bisa dikatakan bahwa subjek KBIS mampu mengajukan dugaan.
3. Menyelesaikan masalah sesuai rencana
Berdasarkan  rencana  penyelesaian  yang  telah  disusun,  langkah  pertama  yang dilakukan  subjek  KBIS  dalam  membuktikan − a + b  =  −a  +  −b adalah dengan  menuliskan − a + b sebagai −1  a + b ,  kemudian  subjek  KBIS menerapkan  sifat  distributif  perkalian  terhadap  penjumlahan  sehingga  didapat −1 a +  −1 b dan −a  + (−b) .  Pekerjaan  tertulis  subjek  KBIS  tersebut  adalah sebagai berikut.

## Gambar 10. Jawaban Subjek KBIS
Jawaban  subjek  KBIS  seperti  yang  telah  diuraikan  di  atas  menunjukkan bahwa  subjek  KBIS  belum  mampu  melakukan  manipulasi  aljabar  pada penyelesaian masalah matematika. Subjek KBIS belum mampu menuliskan alasan dari  setiap  pembuktian  yang  dilakukan.  Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek KBIS  belum  mampu  melakukan  manipulasi  matematika.  Berikut  ini  adalah  hasil pengerjaan tertulis dari subjek KBIS.
Pada  pembuktian  yang  kedua,  yaitu  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  subjek  KBIS  membagi c ≤ d menjadi  dua  kasus,  yaitu c = d dan c < 𝑑 . Pada kasus yang pertama, c = d , subjek KBIS menuliskan bahwa jika a < 𝑏 , maka b − a ∈ ℙ , b + a  −  a + c  = b − a ∈ ℙ sehingga a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Subjek  KBIS telah mampu mengaitkan antara yang diketahui dengan yang dibuktikan meskipun belum  benar.  Hal  ini  terlihat  dari  pernyataan  bahwa b + a  −  a + c  = b − a ∈ ℙ . Jawaban subjek KBIS tersebut adalah sebagai berikut.

## Gambar 11. Jawaban Subjek KBIS
Pada  kasus  yang  kedua,  yaitu c < 𝑑 ,  subjek  KBIS  menuliskan  bahwa a + c < 𝑏 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 sehingga a + c < 𝑏 + 𝑑 . Pembuktian yang kedua ini masih
belum  sempurna  karena  subjek  KBIS  belum  menuliskan  alasan  dari  pembuktian yang dilakukan.

## Gambar 12. Jawaban Subjek KBIS
Jawaban  tertulis  subjek  KBIS  menunjukkan  bahwa  subjek  KBIS  belum mampu  menyusun  bukti  atas  masalah  matematika  secara  sempurna.  Subjek  KBIS belum  mampu  memberikan  alasan  atau  bukti  terhadap  beberapa  solusi.  Hal  ini dapat  disimpulkan  dari  ketidakmampuan  subjek  KBIS  dalam  menerapkan  sifat urutan  pada  himpunan  bilangan  Real  pada  pembuktian  pernyataan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Subjek  KBIS  dikatakan  belum  mampu  menarik kesimpulan,  menyusun  bukti,  memberikan  alasan  atau  bukti  terhadap  beberapa solusi.
4. Melakukan pengecekan kembali
Pada  tahap  melakukan  pengecekan  kembali,  subjek  KBIS  belum  mampu  menarik kesimpulan  dari  pernyataan  dengan  sempurna.  Subjek  KBIS  mampu  menarik kesimpulan  dari  pembuktian  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  tetapi subjek  IV  tidak  menarik  kesimpulan  dari  pembuktian − a + b  =  −a  +  −b .
Hal ini terlihat pada hasil pengerjaan subjek IV sebagai berikut.

## Gambar 13. Jawaban Subjek KBIS
Subjek  KBIS  tidak  memeriksa  jawaban  yang  telah  didapatkan.  Hal  ini terlihat dari hasil pengerjaan soal tes penalaran matematis oleh  subjek  KBIS yang masih belum benar yaitu ditemukan adanya kesalahan jawaban.

## Gambar 14. Jawaban Subjek KBIS
Hal  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek  KBIS  belum  mampu  memeriksa kesahihan  suatu  argumen.  Subjek  KBIS  mampu  menemukan  pola  atau  sifat  dari gejala  matematis  untuk  membuat  generalisasi.  Hal  tersebut  ditunjukkan  oleh  hasil pengerjaan secara tertulis dari subjek KBIS sebagai berikut.

## Gambar 15. Jawaban Subjek KBIS
C. Analisis Data Subjek dengan Kemampuan Berpikir Intuitif Rendah (KBIR)
1. Memahami masalah
Pada  tahap  memahami  masalah,  subjek  KBIR  menuliskan  hal  yang  diketahui  dan yang  ditanyakan  dari  masalah.  Subjek  KBIR  dapat  menuliskan  bahwa  yang diketahui adalah a, b, c, d  ∈ ℝ , a < 𝑏 dan c ≤ d . Sedangkan pada yang ditanyakan, subjek KBIR dapat menuliskan bahwa yang ditanyakan − a + b  =  −a  +  −b , jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  dan  apakah  kedua  pernyataan  berlaku untuk semua anggota himpunan bilangan real. Hal tersebut sesuai dengan jawaban dari subjek KBIR sebagai berikut.

## Gambar 16. Jawaban Subjek KBIR
Subjek  KBIR  juga  dapat  menentukan  bahwa  hal-hal  yang  diketahui  sudah cukup  untuk  menjawab  permasalahan  yang  ditanyakan  pada  soal.  Hal  ini  dapat dilihat  dari  pekerjaan  tertulis  subjek  KBIR  yang  mampu  menyusun  langkah- langkah  pemecahan  masalah  dan  melaksanakannya  sehingga  diperoleh  hal  yang ditanyakan,  yaitu  bukti  dari  dua  pernyataan,  yaitu − a + b  =  −a  +  −b dan jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  subjek KBIR mampu menuliskan apa  yang diketahui dan yang ditanyakan, sehingga bisa dikatakan  bahwa  subjek  KBIR  mampu  menyajikan  pernyataan  matematika  secara lisan, tertulis, gambar, dan diagram.
2. Merencanakan penyelesaian
Subjek  KBIR  merencanakan  penyelesaian  terhadap  dua  masalah,  yaitu membuktikan  bahwa –  a + b  =  −a  +  −b dan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Dalam  pembuktian –  a + b  =  −a  +  −b ,  subjek  KBIR memulai  perencanaan  penyelesaian  dengan  menuliskan  bahwa –  a + b  = −1  a + b kemudian menerapkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan  menjadi −1  a  +  −1  b , dan  menerapkan  kembali  sifat −1  a  = −a .  Pada  pembuktian  ini,  subjek  KBIR  juga  membuktikan  bahwa −1  a  = −a .  Pembuktian  ini  dilakukan  karena −1  a  = −a tidak  ada  pada aksioma  himpunan  bilangan  real.  Subjek  KBIR  telah  mampu  mengaitkan  antara yang diketahui dengan yang dibuktikan meskipun belum benar.
Dalam  pembuktian  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 ,  subjek KBIR membagi c ≤ d menjadi dua kasus, yaitu c = d dan c < 𝑑 . Pada kasus  yang
pertama, c = d ,  subjek  KBIR  menuliskan  bahwa  jika a < 𝑏 ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 . Subjek  KBIR  telah  mampu  mengaitkan  antara  yang  diketahui  dengan  yang dibuktikan.  Pada  kasus  yang  kedua, c < 𝑑 ,  subjek  KBIR  mampu  menuliskan bahwa a + c < 𝑏 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 sehingga a + c < 𝑏 + 𝑑 . Pembuktian tersebut masih belum  sempurna  karena  subjek  KBIR  belum  menuliskan  alasan  dari  pembuktian yang dilakukan. Uraian tersebut menunjukkan bahwa subjek KBIR belum mampu mengajukan  dugaan  tentang  penyelesaian  suatu  masalah  dengan  sempurna, sehingga bisa dikatakan bahwa subjek KBIR belum mampu mengajukan dugaan.
3. Menyelesaikan masalah sesuai rencana
Subjek  KBIR  mampu  menyelesaikan  masalah  sesuai  rencana  yang  telah  dibuat pada  tahap  sebelumnya.  Dua  masalah  yang  harus  diselesaikan  adalah  pembuktian − a + b  =  −a  +  −b dan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Pada pembuktian − a + b  =  −a  +  −b ,  subjek  KBIR  memulai  pembuktian  dengan menuliskan − a + b sebagai −1  a + b ,  kemudian  subjek  KBIR  menerapkan sifat  distributif  perkalian  terhadap  penjumlahan  sehingga  didapat −1 a +  −1 b.
Subjek  KBIR  menerapkan  lagi  sifat −1 a = −a sehingga  didapat −a  + (−b) .
Hal tersebut dapat dilihat pada pekerjaan tertulis subjek KBIR sebagai berikut.

## Gambar 17. Jawaban Subjek KBIR
Jawaban  tertulis  subjek  KBIR  seperti  yang  telah  diuraikan  di  atas menunjukkan  bahwa  subjek  KBIR  belum  mampu  melakukan  manipulasi  aljabar pada  penyelesaian  masalah  matematika.  Hal  ini  terlihat  dari  ketidakmampuan subjek KBIR dalam menuliskan alasan dari setiap pembuktian yang dilakukan. Hal tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek  KBIR  belum  mampu  melakukan  manipulasi matematika.
Pembuktian  yang  kedua  adalah  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 . Pada pembuktian yang kedua ini subjek KBIR membagi c ≤ d menjadi dua kasus, yaitu c = d dan c < 𝑑 .  Pada  kasus  yang  pertama, c = d ,  subjek  KBIR  menuliskan bahwa  jika c = d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Berikut  ini  adalah  hasil  pekerjaan  tertulis subjek KBIR.
Gambar 18. Jawaban Subjek KBIR
Pada kasus yang kedua, c < 𝑑 , subjek KBIR menuliskan bahwa a + c < 𝑏 + 𝑑 .

## Gambar 19. Jawaban Subjek KBIR
Hasil  pekerjaan  tertulis  subjek  KBIR  tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek KBIR  belum  mampu  menyusun  bukti  atas  masalah  matematika  secara  sempurna. Subjek KBIR juga belum mampu memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa solusi.  Hal  ini  dapat  disimpulkan  dari  ketidakmampuan  subjek  KBIR  dalam menerapkan  sifat  urutan  pada  himpunan  bilangan  Real  pada  pembuktian pernyataan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d ,  maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Subjek  KBIR  dikatakan belum  mampu  menarik  kesimpulan,  menyusun  bukti,  memberikan  alasan  atau bukti terhadap beberapa solusi.
4. Melakukan pengecekan kembali
Pada  tahap  melakukan  pengecekan  kembali,  subjek  KBIR  mampu  menarik kesimpulan  dari  pernyataan  dengan  sempurna.  Subjek  KBIR  mampu  menarik kesimpulan  dari  pembuktian − a + b  =  −a  +  −b dan  jika a < 𝑏 dan c ≤ d , maka a + c < 𝑏 + 𝑑 .  Hal  ini  terlihat  pada  hasil  pengerjaan  subjek  KBIR  sebagai berikut.

## Gambar 20. Jawaban Subjek KBIR

## Gambar 21. Jawaban Subjek KBIR
Subjek  KBIR  memeriksa  jawaban  yang  telah  didapatkan  pada  tahap melakukan  pengecekan  kembali  ini.  Hal  ini  terlihat  dari  hasil  pengerjaan  soal  tes penalaran matematis oleh subjek KBIR yang benar dan teliti, yaitu tidak ditemukan adanya  kesalahan  jawaban,  meskipun  pada  pembuktian  pernyataan  yang  kedua, subjek  KBIR  belum  mampu  membuktikan  dengan  sempurna.  Hal  tersebut menunjukkan  bahwa  subjek  KBIR  mampu  memeriksa  kesahihan  suatu  argumen. Subjek  KBIR  mampu  menemukan  pola  atau  sifat  dari  gejala  matematis  untuk membuat  generalisasi.  Hal  tersebut  ditunjukkan  oleh  hasil  pengerjaan  secara tertulis dari subjek KBIR sebagai berikut.

## Gambar 22. Jawaban Subjek KBIR

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang diperoleh dapat diambil suatu kesimpulan  penalaran  matematis  mahasiswa  dalam  memecahkan  masalah  analisis  real ditinjau dari kemampuan berpikir intuitif sebagai berikut.
1. Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  tinggi  pada  pemecahan  masalah analisis  real  memiliki  kecenderungan  melaksanakan  penalaran  matematis  dengan sempurna.  Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  tinggi  mampu melaksanakan  penalaran  matematis  pada  setiap  tahap  pemecahan  masalah  analisis real.
2. Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  sedang  pada  pemecahan  masalah analisis  real  memiliki  kecenderungan  melaksanakan  penalaran  matematis  dengan kurang  sempurna.  Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  sedang  tidak mampu  melaksanakan  penalaran  matematis  pada  tahap  pemecahan  masalah menyelesaikan masalah sesuai rencana dan melakukan pengecekan kembali.
3. Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  rendah  pada  pemecahan  masalah analisis  real  memiliki  kecenderungan  melaksanakan  penalaran  matematis  dengan tidak  sempurna.  Mahasiswa  dengan  kemampuan  berpikir  intuitif  rendah  tidak mampu  melaksanakan  penalaran  matematis  pada  tahap  pemecahan  masalah merencanakan penyelesaian dan menyelesaikan masalah sesuai rencana.
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  sebagaimana  yang  telah disimpulkan di atas, peneliti menyarankan bagi penelitilain yang berminat dapat mencoba untuk menggali lebih lanjut dari penelitian ini atau dapat melakukannya pada tingkat dan materi  yang  berbeda  dengan  sudut  pandang  peninjauan  yang  sama  atau  sudut  pandang peninjauan  yang  lain  mengenai  penalaran  matematis  mahasiswa.Hasil  penelitian  ini jugadapat  digunakan  untuk  melakukan  penelitian  pengembangan  berdasarkan  temuan- temuan yang diperoleh dalam penelitian.

## DAFTAR PUSTAKA
Marsigit.  2012.  Kajian  Peneltian  (Review  Jurnal  Internasional)  Pendidikan  Matematika. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Marsigit,%20Dr.,%20M.A. /Kajian%20Penelitian%20(Review%20Jurnal%20Internasional)%20Pendidikan %20Matematika_Matrikulasi%20S2%20Dikmat.pdf.  diakses  tanggal  12  Mei 2017
Moleong,  Lexy  J.  2012. Metodologi  Penelitian  Kualitatif .  Bandung:  PT  Remaja Rosdakarya
Nasution, S. 2006. Berbagai Pendekatan dalam Proses Belajar Mengajar . Jakarta: Bumi Aksara
Rustandi,  Ino.  2013.  Pembelajaran  Matematika  dengan  Menggunakan  Model  Reciprocal Teaching  untuk  Meningkatkan  Kemampuan  Penalaran  Matematis  Siswa  SMP. http://repository.upi.edu/4331/4/S_MTK_054251_Chapter1.pdf  Diakses  tanggal 13 Juni 2107
Sugiyono.  2013. Metode  Penelitian  Pendidikan:  Pendekatan  Kuantitatif,  Kualitatif  dan R&D . Bandung: Alfabeta
Sunarto. 2001. Metodologi Penelitian Ilmu-ilmu Sosial dan Pendidikan . Surabaya. Unesa University Press
Wulandari, Enika. 2011. Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa melalui Pendekatan  Problem  Posing  di  Kelas  VIII  A  SMP  Negeri  2  Yogyakarta. http://eprints.uny.ac.id/1709/1/Enika_Wulandari.pdf. diakses tanggal 6 Mei 2017