Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 53-69 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.16757

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
Komang Abri Perwira Jaya Artama 1 * , Sutopo 2 1,2 Program Studi Magister Matematika Universitas Gadjah Mada Yogyakarta Kota Yogyakarta, Daerah Istimewa Yogyakarta, Indonesia e-mail : 1* k.abri.perwira@mail.ugm.ac.id
Diajukan: 13 Mei 2023, Diperbaiki: 15 Januari 2024, Diterima: 15 Maret 2024

## Abstrak
Diberikan grup 𝐺 dengan elemen satuan 𝑒 , ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dengan elemen identitas 1 𝑅 , dan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Pada artikel ini, dibahas mengenai submodul prima lemah bertingkat yang akan digunakan untuk membangun konsep modul multiplikasi kuasi bertingkat. Modul 𝑀 disebut modul multiplikasi kuasi bertingkat jika untuk setiap submodul prima lemah bertingkat 𝑁 di 𝑀 , dapat dinyatakan sebagai 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal bertingkat 𝐼 di 𝑅 . Selain itu, dibahas juga mengenai submodul 2- absorbing bertingkat yang digunakan untuk membangun konsep modul multiplikasi absorbing bertingkat.  Modul 𝑀 disebut  modul  multiplikasi absorbing bertingkat  jika  untuk  setiap  submodul  2- absorbing bertingkat 𝑁 di 𝑀 , dapat dinyatakan 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal bertingkat 𝐼 di 𝑅 . Penelitian ini sudah pernah dilakukan oleh Abu-Dawwas dkk. pada tahun 2022. Peneliti menambahkan beberapa sifat pada  submodul  prima  lemah  bertingkat  untuk  menyelidiki  kelas  modul  multiplikasi  kuasi  bertingkat kedepannya.
Kata  Kunci :  submodul  prima  lemah  bertingkat,  submodul  2- absorbing bertingkat,  modul  multiplikasi kuasi bertingkat, modul multiplikasi absorbing bertingkat.

## Abstract
Given  group 𝐺 with  unity  element 𝑒 ,  graded  ring 𝑅 tipe 𝐺 with  identiy  element 1 𝑅 ,  and  graded module 𝑀 over graded ring 𝑅 type 𝐺 . In this article, discussed about graded weakly prime submodules that will be used to build graded quasi multiplication modules concept. Module 𝑀 is said to be graded quasi multiplication modules if for every graded weakly prime submodule 𝑁 of 𝑀 , 𝑁 = 𝐼𝑀 for some graded ideal 𝐼 of 𝑅 . In addition, also discussed about graded 2-absorbing submodules that will be used to build graded absorbing  multiplication  modules  concept.  Module 𝑀 is  said  to  be  graded  absorbing  multiplication modules if for every graded 2-absorbing submodule 𝑁 of 𝑀 , 𝑁 = 𝐼𝑀 for some graded ideal 𝐼 of 𝑅 . This research has been conduced by Abu-Dawwas et.al in 2022.  The researchers added several properties to the graded weakly prime submodules to investigate the graded quasi multiplication modules class in the future.
Keyword : graded weakly prime submodules, graded 2-absorbing submodules, graded quasi multiplication modules, graded absorbing multiplication modules.

## 1 Pendahuluan
Ring  yang  digunakan  pada  keseluruhan  tulisan  ini  adalah  ring  komutatif  dengan  elemen identitas 1 𝑅 (elemen  identitas  ring 𝑅 )  dan  grup 𝐺 dengan  elemen  satuan 𝑒 .  Ring  bertingkat merupakan salah satu jenis ring bentuk khusus. Suatu ring 𝑅 disebut ring bertingkat tipe 𝐺 apabila

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
terdapat keluarga subgrup terhadap operasi penjumlahan, katakan { 𝑅 𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺 } yang memenuhi 𝑅 = ⨁ 𝑔∈𝐺 𝑅 𝑔 dan 𝑅 𝑔 𝑅 ℎ ⊆ 𝑅 𝑔ℎ untuk  setiap 𝑔, ℎ ∈ 𝐺. Elemen-elemen ℎ(𝑅) =∪ 𝑔∈𝐺 𝑅 𝑔 disebut elemen homogen ring bertingkat 𝑅 dan elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅 𝑔 disebut elemen homogen derajat 𝑔 atau  dapat  ditulis deg(𝑟) = 𝑔. Tingkatan  ( grading )  ring 𝑅 adalah  keluarga  subgrup-subgrup 𝑅 terhadap penjumlahan dengan indeks elemen grup 𝐺 yaitu {𝑅 𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺} . Subring 𝑆 disebut subring bertingkat apabila memuat semua elemen homogen penyusunnya atau 𝑆 =⊕ 𝑔∈𝐺 𝑆 ∩ 𝑅 𝑔 . Setiap subring bertingkat pasti merupakan subring, tetapi sebaliknya belum tentu berlaku. Lebih lanjut, beberapa sifat ring bertingkat ini dibahas pada [1] dan [2]
Pada modul, dikenal juga istilah modul bertingkat. Misalkan 𝑅 ring bertingkat tipe 𝐺 , modul 𝑀 atas ring 𝑅 disebut modul bertingkat tipe 𝐺 apabila terdapat keluarga subgrup terhadap operasi pejumlahan, katakan { 𝑀 𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺 } yang memenuhi 𝑀 = ⨁ 𝑔∈𝐺 𝑀 𝑔 dan 𝑅 𝑔 𝑀 ℎ ⊆ 𝑀 𝑔ℎ . Elemen- elemen ℎ(𝑀) =∪ 𝑔∈𝐺 𝑀 𝑔 disebut elemen homogen modul bertingkat 𝑀 dan elemen tak nol 𝑚 ∈ 𝑅 𝑔 disebut  elemen  homogen  derajat 𝑔 atau  dapat  ditulis deg(𝑟) = 𝑔. Setiap 𝑚 ∈ 𝑀 dapat direpresentasikan tungggal sebagai 𝑚 = ∑ 𝑔∈𝐺 𝑥 𝑔 sebanyak berhingga 𝑥 𝑔 ∈ 𝑀 𝑔 . Elemen tak nol 𝑥 𝑔 pada penjumlahan tersebut disebut komponen homogen elemen 𝑚 . Tingkatan ( grading ) modul 𝑀 adalah keluarga subgrup-subgrup 𝑀 terhadap penjumlahan dengan indeks elemen grup 𝐺 yaitu {𝑀 𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺} .  Submodul 𝑁 disebut  submodul  bertingkat  apabila  semua  komponen  homogen elemen-elemen 𝑁 atau dengan kata lain 𝑁 =⊕ 𝑔∈𝐺 𝑁 ∩ 𝑀 𝑔 . Seperti pada ring bertingkat, setiap submodul belum tentu submodul bertingkat.  Lebih lanjut, beberapa sifat pada modul bertingkat dibahas  pada  [1]  dan  [3].  Selanjutnya,  suatu  modul  bertingkat  disebut  modul  multiplikasi bertingkat  apabila setiap submodul  bertingkat 𝑁 dapat  dinyatakan sebagai 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk  suatu ideal bertingkat 𝐼 di ring 𝑅 . Sifat-sifat modul multiplikasi bertingkat lebih lanjut dibahas pada [4]. Beberapa  sifat  dapat  diamati  pada  submodul  bertingkat.  Salah  satunya  adalah  submodul prima bertingkat, suatu submodul sejati 𝑁 disebut submodul prima bertingkat apabila untuk setiap 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑅) dengan sifat 𝑟𝑚 ∈ 𝑁 berakibat 𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑟 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Pada [5], Abu- Dawwas  dan  Refai  membangun  konsep  modul  multiplikasi  lemah  bertingkat  menggunakan submodul prima bertingkat. Suatu 𝑅 -modul 𝑀 disebut modul multiplikasi lemah bertingkat apabila setiap submodul  prima bertingkat 𝑁 dapat  dinyatakan sebagai 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk  suatu ideal prima bertingkat 𝐼 di  ring 𝑅 .  Modul  multiplikasi  lemah  bertingkat  ini  merupakan  generalisasi  modul multiplikasi  bertingkat.  Berdasarkan  hal  tersebut,  dapat  diselidiki  berbagai  sifat  yang  ada  pada modul multiplikasi lemah bertingkat.
Konsep submodul prima bertingkat ini dapat diperlemah dan diperumum. Apabila submodul prima  bertingkat  ini  diperlemah  maka  akan  menghasilkan  konsep  baru  yaitu  submodul  prima lemah bertingkat yang sudah dibahas pada [6]. Sedangkan, apabila submodul prima bertingkat ini diperumum akan menghasilkan konsep submodul 2- absorbing bertingkat yang sudah dibahas pada [7], [8] dan [9]. Berdasarkan konsep-konsep baru yang muncul dari submodul prima bertingkat dengan memperlemah dan memperumum sifatnya, memunculkan ide untuk membangun konsep baru  seperti  pada  saat  membangun  konsep  modul  multiplikasi  lemah  bertingkat.  Hal  ini  yang dilakukan pada penelitian [9], namun masih ada beberapa sifat yang dapat diselidiki seperti pada Proposisi 8, Proposisi 10, dan Proposisi 12.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian studi literatur yang mengkaji generalisasi pada modul multiplikasi bertingkat. Metode penelitian ini terdiri dari tiga langkah yaitu: 1. Melakukan kajian terhadap submodul prima bertingkat. 2. Mempelajari modul multiplikasi bertingkat sebagai objek pengamatannya.  3.  Menggeneralisasi  modul  multiplikasi  bertingkat  melalui  konsep  kajian submodul prima bertingkat.

## 3 Pembahasan dan Hasil
Penelitian  ini  menyajikan  beberapa  hasil,  meliputi  beberapa  sifat  terkait  submodul  prima lemah dan beberapa hasil yang sudah diperoleh pada literatur [9].

## 3.1. Submodul Prima Lemah Bertingkat
Pada  bagian  ini,  membahas  konsep  submodul  prima  lemah  bertingkat  yang  merupakan perlemahan sifat submodul prima bertingkat. Berikut definisinya berdasarkan [6].
Definisi 1. Diberikan ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 , modul bertingkat 𝑀 atas 𝑅 , dan submodul sejati 𝑁 di 𝑀 . Submodul 𝑁 disebut submodul prima lemah bertingkat jika untuk setiap 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan sifat 0 𝑀 ≠ 𝑟𝑚 ∈ 𝑁 berakibat 𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑟 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .
Cukup  jelas  bahwa  setiap  submodul  prima  bertingkat  merupakan  submodul  prima  lemah bertingkat. Tetapi, belum tentu berlaku sebaliknya. Berikut contoh yang membahas hal tersebut. Contoh 2. Diberikan modul ℤ 12 atas ℤ . Mengunakan tingkatan trivial dapat dipandang ℤ sebagai ring bertingkat tipe ℤ dan modul bertingkat ℤ 12 atas ℤ . Cukup jelas bahwa {0̅} di ℤ 12 merupakan submodul  prima  lemah  bertingkat  berdasarkan  definisinya  tetapi  bukan  submodul  prima bertingkat. Hal ini dikarenakan terdapat 8̅ ∈ ℤ 12 dan 3 ∈ ℤ sedemikian sehingga 3 ⋅ 8̅ = 0̅ tetapi 8̅ ∉ {0̅} dan 3 ∉ ({0 ̅ }: ℤ ℤ 12 ) = 12ℤ .

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
Selanjutnya, diberikan ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan modul bertingkat 𝑀 atas 𝑅 . Didefinisikan himpunan bagian 𝑍 𝐺 (𝑀) sebagai berikut
𝑍 𝐺 (𝑀) = {𝑚 ∈ ℎ(𝑀) | 𝑟𝑚 = 0 𝑀 untuk setiap tak nol 𝑟 ∈ ℎ(𝑅)} .
Berikut beberapa hasil yang diperoleh dari [1] terkait submodul prima lemah bertingkat.
Teorema 3. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Jika 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } , maka setiap submodul prima lemah bertingkat merupakan submodul prima bertingkat .
Bukti. Diketahui 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } .  Diambil  sebarang  submodul  prima  lemah  bertingkat 𝑁 ,  akan dibuktikan 𝑁 submodul prima bertingkat. Ambil sebarang 𝑠 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan sifat 𝑠𝑚 ∈ 𝑁 .  Jika 𝑠𝑚 ≠ 0 𝑀 ,  maka  diperoleh 𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑠 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) karena 𝑁 submodul  prima lemah  bertingkat.  Jika 𝑠𝑚 = 0 𝑀 ,  maka  diperoleh  bahwa 𝑠 = 0 𝑅 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 = 0 𝑀 ∈ 𝑁 karena 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } . Jadi, 𝑁 submodul prima bertingkat. ∎
Diberikan ring bertingkat 𝑅 dan ideal maksimal bertingkat 𝑃 . Ring 𝑅 disebut ring kuasi lokal bertingkat jika hanya 𝑃 ideal maksimal di 𝑅 yang pada umumnya dinotasikan (𝑅, 𝑃) .
Teorema 4. Diberikan ring  kuasi lokal bertingkat (𝑅, 𝑃) dan modul bertingkat 𝑀 atas 𝑅 . Jika 𝑃𝑀 = {0 𝑀 } ,  maka  setiap  submodul  bertingkat  sejati  di 𝑀 merupakan  submodul  prima  lemah bertingkat.
Bukti. Diketahui 𝑃𝑀 = {0 𝑀 } .  Diambil  sebarang  submodul  bertingkat  sejati 𝑁 di 𝑀 ,  akan dibuktikan 𝑁 submodul  prima  lemah  bertingkat.  Diambil  sebarang 𝑠 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑥 ∈ ℎ(𝑀) sedemikian sehingga 0 𝑀 ≠ 𝑠𝑥 ∈ 𝑁 . Andaikan 𝑠 bukan unit di 𝑅 , karena (𝑅, 𝑃) ring kuasi lokal bertingkat berakibat 𝑠 ∈ 𝑃 . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑠𝑥 ∈ 𝑃𝑀 = {0 𝑀 } sehingga 𝑠𝑥 = 0 𝑀 dan terjadi kontradiksi. Haruslah 𝑠 unit di 𝑅 sehingga 𝑥 ∈ 𝑁 . Jadi, terbukti bahwa 𝑁 submodul prima lemah bertingkat di 𝑀 . ∎
Teorema 5. Diberikan daerah integral kuasi lokal bertingkat (𝑅, 𝑃) dan modul bertingkat 𝑀 atas 𝑅 .  Jika 𝑃 2 = {0 𝑀 } ,  maka  setiap  submodul  bertingkat  sejati  di 𝑀 merupakan  submodul  prima lemah bertingkat.
Bukti. Diketahui 𝑃 2 = {0 𝑅 } .  Diambil  sebarang  submodul  sejati 𝑁 di 𝑀 ,  akan  dibuktikan 𝑁 submodul  prima  lemah  bertingkat.  Diambil  sebarang 𝑠 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑥 ∈ ℎ(𝑀) sedemikian sehingga 0 𝑀 ≠ 𝑠𝑥 ∈ 𝑁 . Andaikan 𝑠 bukan  unit  di 𝑅 ,  karena (𝑅, 𝑃) ring  kuasi  lokal  bertingkat berakibat 𝑠 ∈ 𝑃 . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑠 2 ∈ 𝑃 2 = {0 𝑅 } sehingga 𝑠 2 = 0 𝑅 . Karena 𝑅 daerah integral, berakibat 𝑠 = 0 𝑅 . Diperoleh bahwa 𝑠𝑥 = 0 𝑀 dan terjadi kontradiksi. Haruslah 𝑠 unit di 𝑅 sehingga 𝑥 ∈ 𝑁 . Jadi, 𝑁 submodul prima lemah bertingkat. ∎
Teorema 6. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dengan 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } . Jika 𝑁 submodul prima lemah bertingkat, maka (𝑁: 𝑅 𝑀) ideal prima lemah bertingkat.

## Komang Abri Perwira Jaya Artama, Sutopo
Bukti. Diketahui 𝑁 submodul prima bertingkat. Diambil sebarang 𝑎 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) , artinya 𝑎𝑚 ∈ 𝑁 . Karena 𝑎 ∈ 𝑅 ,  artinya 𝑎 = ∑ 𝑎 𝑔 𝑔∈𝐺 .  Diambil  sebarang 𝑚 ∈ 𝑀 ,  diperhatikan  bahwa 𝑎𝑚 = 𝑎 ∑ 𝑎 𝑔 𝑔∈𝐺 ∈ 𝑁 . Karena 𝑁 submodul bertingkat, diperoleh bahwa 𝑎 𝑔 𝑚 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Dari  sini,  diperoleh  bahwa 𝑎 𝑔 𝑀 ⊆ 𝑁 untuk  setiap 𝑔 ∈ 𝐺 atau  dengan  kata  lain 𝑎 𝐺 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) untuk  setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Jadi, (𝑁: 𝑅 𝑀) ideal  bertingkat  di 𝑅 . Selanjutnya, akan dibuktikan (𝑁: 𝑅 𝑀) ideal  prima  lemah  bertingkat.  Diambil  sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℎ(𝑅) dengan  sifat 0 𝑅 ≠ 𝑎𝑏 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Diperoleh  bahwa 𝑎𝑏𝑀 ⊆ 𝑁 .  Karena 𝑁 submodul  prima  lemah  bertingkat,  artinya 𝑁 ≠ 𝑀 sedemikian  sehingga  terdapat 𝑚 ∈ 𝑀 ∖ 𝑁 dan 𝑔 ∈ 𝐺 sedemikian  sehingga 𝑚 𝑔 ∉ 𝑁 .  Perhatikan bahwa 𝑎𝑏𝑚 𝑔 ∈ 𝑎𝑏𝑀 ⊆ 𝑁 . Jika 𝑎𝑏𝑚 𝑔 = 0 𝑀 , maka 𝑚 𝑔 ∈ 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } sehingga 𝑚 𝑔 = 0 𝑀 dan kontradiksi  dengan 𝑚 𝑔 ∉ 𝑁 .  Dari  sini,  diperoleh, 0 𝑀 ≠ 𝑎𝑏𝑚 𝑔 ∈ 𝑁 .  Karena 𝑁 submodul  prima lemah bertingkat, 𝑏𝑚 𝑔 ∈ 𝑁 atau 𝑎 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Jika 𝑏𝑚 𝑔 ∈ 𝑁 , maka 𝑏 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) atau 𝑚 𝑔 ∈ 𝑁 . Karena 𝑚 𝑔 ∉ 𝑁 , diperoleh bahwa 𝑏 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Jadi, (𝑁: 𝑅 𝑀) ideal prima lemah bertingkat di ring 𝑅. ∎
Pembahasan  berikut  terkait  hasil  yang  diperoleh  pada  penelitian  ini.  Sebelumnya,  akan dibahas terkait homomorfisma bertingkat terlebih dahulu. Homomorfisma modul merupakan suatu pemetaan yang mengawetkan operasi kedua modul tersebut.  Lebih lanjut, homomorfisma modul bertingkat mengawetkan operasi kedua modul serta tingkatannya yang dikenalkan oleh Nastasecu dan Oystaeyen (1982) pada [1].
Definisi 7. Diberikan modul bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas ring 𝑅 bertipe 𝐺 dan pemetaan 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ . Pemetaan 𝑓 disebut homomorfisma modul bertingkat derajat 𝑘 apabila 𝑓 homomorfisma 𝑅 -modul dan 𝑓(𝑀 𝑔 ) ⊆ 𝑀 𝑔⋆𝑘 ′ untuk  setiap 𝑔 ∈ 𝐺 .  Lebih  lanjut,  apabila  homomorfisma  modul  bertingkat tanpa derajat maka homomorfisma modul bertingkat 𝑓 berderajat 𝑒 dengan 𝑒 elemen netral grup 𝐺 .
Hasil  yang  diperoleh  dalam  penelitian  ini  adalah  sifat  submodul  prima  lemah  masih dipertahankan pada prapetanya oleh homomorfisma bertingkat.
Proposisi  8. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas  ring 𝑅 bertipe 𝐺 dan  homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ .  Jika 𝐾′ submodul  prima  lemah  bertingkat  di 𝑀′ dan 𝑓 injektif,  maka 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) submodul prima lemah bertingkat di 𝑀 .
Bukti. Cukup jelas bahwa 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) submodul bertingkat di 𝑀 . Diambil sebarang 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan sifat 0 𝑀 ≠ 𝑟𝑚 ∈ 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑓(𝑟𝑚) ∈ 𝐾′ . Karena 𝑓 injektif  dan 𝑟𝑚 ≠ 0 𝑀 ,  diperoleh  bahwa 𝑓(𝑟𝑚) ≠ 0 𝑀′ .  Perhatikan  bahwa 𝐾 ′ submodul  prima lemah bertingkat di 𝑀′ dan berlaku 0 𝑀′ ≠ 𝑓(𝑟𝑚) = 𝑟𝑓(𝑚) ∈ 𝐾′ , sehingga diperoleh 𝑓(𝑚) ∈ 𝐾′
atau 𝑟 ∈ (𝐾′: 𝑅 𝑀 ′ ) ⊆ (𝑓 −1 (𝐾 ′ ) : 𝑅 𝑀) .  Akibatnya, 𝑚 ∈ 𝑓 −1 (𝐾′) atau 𝑟 ∈ (𝑓 −1 (𝐾 ′ ) : 𝑅 𝑀) .  Jadi, terbukti bahwa 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) merupakan submodul prima lemah bertingkat di 𝑀 . ∎
Contoh 9. Diberikan grup 𝐺 = ℤ 2 , ring 𝑅 = ℤ , dan modul 𝑀 = ℚ[𝑖], 𝑀 ′ = ℝ[𝑖] . Dapat dipandang 𝑅 -modul 𝑀 dan 𝑅 -modul 𝑀′ merupakan modul bertingkat tipe 𝐺 dengan tingkatan berikut 𝑅 0 = ℤ dan 𝑅 1 = {0} 𝑀 0 = ℚ dan 𝑀 1 = 𝑖ℚ 𝑀′ 0 = ℝ dan 𝑀′ 1 = 𝑖ℝ .
Dibentuk pemetaan 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ dengan sifat untuk setiap 𝑥 ∈  ℚ[𝑖] , berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑥 . Cukup jelas bahwa 𝑓 homomorfisma  modul  bertingkat  yang  bersifat  injektif.  Diperhatikan  bahwa 𝐾 = {0} submodul  prima  lemah  di 𝑀′ ,  berdasarkan  Proposisi  8,  diperoleh  bahwa 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) = {0} submodul prima lemah bertingkat di 𝑀 .
Proposisi  berikutnya  membahas  syarat  cukup  agar  hasil  peta  submodul  prima  lemah bertingkat oleh homomorfisma modul bertingkat merupakan submodul prima lemah bertingkat. Proposisi 10 . Diberikan modul bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas ring 𝑅 bertipe 𝐺 dan homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ .  Jika 𝑓 surjektif  dan 𝐾 submodul  prima  lemah  bertingkat  sedemikian sehingga ker (𝑓) ⊆ 𝐾 maka 𝑓(𝐾) submodul prima lemah bertingkat.
Bukti. Cukup jelas bahwa 𝑓(𝐾) merupakan submodul bertingkat di 𝑀′ . Ambil sebarang 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚′ ∈ ℎ(𝑀 ′ ) dengan sifat 0 𝑀′ ≠ 𝑟𝑚 ′ ∈ 𝑓(𝐾) . Karena 𝑓 surjektif, terdapat 𝑚 ∈ 𝑀 sedemikian sehingga 𝑓(𝑚) = 𝑚′ . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑟𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑘) untuk suatu 𝑘 ∈ 𝐾 . Perhatikan bahwa
𝑟𝑓(𝑚) = 𝑓(𝑘) ⇒ 𝑓(𝑟𝑚) = 𝑓(𝑘) ⇒ 𝑓(𝑟𝑚 − 𝑘) = 0 𝑀′ .
Akibatnya, 𝑟𝑚 − 𝑘 ∈ ker(𝑓) sehingga 𝑟𝑚 = 𝑘 + 𝑙 untuk suatu 𝑙 ∈ ker(𝑓) . Karena ker(𝑓) ⊆ 𝐾 dan 𝑘 ∈ 𝐾 , diperoleh 𝑟𝑚 ∈ 𝐾 . Misalkan 𝑟𝑚 = 0 𝑀 , akan berakibat 0 𝑀′ = 𝑓(𝑟𝑚) = 𝑟𝑓(𝑚) = 𝑟𝑚′ dan  terjadi  kontradiksi.  Dari  sini,  diperoleh 0 𝑀 ≠ 𝑟𝑚 ∈ 𝐾 .  Karena 𝐾 submodul  prima  lemah bertingkat,  diperoleh 𝑚 ∈ 𝐾 atau 𝑟 ∈ (𝐾: 𝑅 𝑀) ⊆ (𝑓(𝐾): 𝑅 𝑀 ′ ) .  Akibatnya, 𝑓(𝑚) = 𝑚′ ∈ 𝑓(𝐾) atau 𝑟 ∈ (𝑓(𝐾): 𝑅 𝑀 ′ ) . Jadi, terbukti bahwa 𝑓(𝐾) submodul prima lemah bertingkat di 𝑀′ . ∎
Contoh 11. Diberikan grup 𝐺 = ℤ 2 , ring 𝑅 = ℤ , dan modul 𝑀 = ℤ, 𝑀 ′ = ℤ 6 . Dapat dipandang 𝑅 -modul 𝑀 dan 𝑅 -modul 𝑀′ merupakan modul bertingkat tipe 𝐺 dengan tingkatan berikut 𝑅 0 = ℤ dan 𝑅 1 = {0} 𝑀 0 = ℤ dan 𝑀 1 = {0} 𝑀′ 0 = ℤ 6 dan 𝑀′ 1 = {0̅} .
Dibentuk pemetaan 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ dengan sifat untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ , berlaku 𝑓(𝑛) = 𝑛̅ . Cukup jelas bahwa 𝑓 homomorfisma modul bersifat surjektif. Perhatikan bahwa
ker(𝑓) = {𝑛 ∈ ℤ | 𝑓(𝑛) = 0̅} = 6ℤ.
Selanjutnya, 𝐾 = 3ℤ merupakan  submodul  prima  lemah  bertingkat.  Berdasarkan  Proposisi  10, karena ker(𝑓) = 6ℤ ⊆ 𝐾 = 3ℤ diperoleh  bahwa 𝑓(3ℤ) = {0̅, 3̅} merupakan  submodul  prima lemah di 𝑀 ′ = ℤ 6 .
Selanjutnya, hasil yang diperoleh ini dapat digunakan untuk menyelidiki sifat-sifat yang ada pada modul multiplikasi kuasi bertingkat kedepannya. Proposisi berikut membahas syarat cukup agar setiap submodul sejati bertingkat merupakan submodul prima lemah bertingkat.
Proposisi  12. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring 𝑅 bertipe 𝐺 .  Jika 𝐽 ideal  maksimal bertingkat  dengan 𝐽 ⊆ (0 𝑀 : 𝑅 𝑀) maka  setiap  submodul  sejati  di  modul  bertingkat 𝑀 atas 𝑅/𝐽 merupakan submodul prima lemah bertingkat.
Bukti. Perhatikan bahwa 𝑀 modul atas 𝑅 dan 𝐽 ideal maksimal di 𝑅 dengan sifat 𝐽 ⊆ (0 𝑀 : 𝑅 𝑀) , dapat didefinisikan pergandaan skalar " ∘ " sebagai berikut
∘∶ 𝑅/𝐽 × 𝑀 → 𝑀 (𝑟 + 𝐽) ∘ 𝑚 → 𝑟𝑚.
Cukup  jelas  bahwa  pergandaan  skalar " ∘ " di  atas  bersifat  tertutup.  Perhatikan  bahwa  untuk sebarang 𝑟 1 + 𝐽, 𝑟 2 + 𝐽 ∈ 𝑅/𝐽 dan 𝑚 1 , 𝑚 2 ∈ 𝑀 dengan sifat 𝑟 1 + 𝐽 =   𝑟 2 + 𝐽 dan 𝑚 1 = 𝑚 2 berlaku (𝑟 1 + 𝐽) ∘ 𝑚 1 = 𝑟 1 𝑚 1 dan (𝑟 2 + 𝐽) ∘ 𝑚 2 = 𝑟 2 𝑚 2 .
Dari sini, diperoleh bahwa 𝑟 1 𝑚 1 = 𝑟 2 𝑚 1 karena 𝑚 1 = 𝑚 2 sehingga 𝑟 1 𝑚 1 − 𝑟 2 𝑚 1 = (𝑟 1 − 𝑟 2 )𝑚 1 . Dapat  diperhatikan  bahwa (𝑟 1 − 𝑟 2 )𝑚 1 ∈ 𝐽𝑀 = {0 𝑀 } .  Akibatnya, (𝑟 1 + 𝐽) ∘ 𝑚 1 = 𝑟 1 𝑚 1 = 𝑟 2 𝑚 2 = (𝑟 2 + 𝐽) ∘ 𝑚 2 .  Jadi,  operasi  pergandaan  skalar " ∘ " well-defined sehingga  dapat dipandang modul 𝑀 atas 𝑅/𝐽 . Selain itu, menggunakan tingkatan trivial dapat dipandang 𝑀 modul bertingkat atas 𝑅/𝐽 tipe 𝐺 . Selanjutnya, akan dibuktikan setiap submodul sejati bertingkat di 𝑀 atas 𝑅/𝐽 merupakan  submodul  prima  lemah  bertingkat.  Diambil  sebarang 𝑁 submodul  sejati bertingkat di 𝑀 atas 𝑅/𝐽 , akan dibuktikan bahwa 𝑁 submodul prima lemah bertingkat. Diambil sebarang 𝑟 + 𝐽 ∈ ℎ(𝑅/𝐽) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan  sifat 0 𝑀 ≠ (𝑟 + 𝐽) ∘ 𝑚 ∈ 𝑁 .  Karena 𝐽 ideal maksimal di 𝑅 , diperoleh bahwa 𝑅/𝐽 merupakan lapangan sehingga 𝑟 + 𝐽 unit di 𝑅/𝐽 . Akibatnya, 𝑚 ∈ 𝑁 . Jadi, 𝑁 submodul prima lemah bertingkat. ∎
Contoh  13. Diberikan  grup 𝐺 = ℤ 2 ,  ring 𝑅 = ℤ ,  dan  modul 𝑀 = ℤ 5 sehingga 𝑅 -modul 𝑀 merupakan modul bertingkat tipe 𝐺 . Perhatikan bahwa 𝐽 = 5ℤ merupakan ideal maksimal di ℤ dan memenuhi 𝐽 = 5ℤ ⊆ 5ℤ = (0: 𝑅 𝑀) .  Dari  sini,  diperoleh  bahwa 𝑅/𝐽 = ℤ/5ℤ = ℤ 5 .  Berdasarkan Proposisi  12,  diperoleh  bahwa  setiap  submodul  sejati  bertingkat  di ℤ 5 atas ℤ 5 merupakan submodul prima lemah bertingkat.

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat

## 3.2. Modul Multiplikasi Kuasi Bertingkat
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai konsep modul multiplikasi kuasi bertingkat  yang merupakan perlemahan modul multiplikasi lemah bertingkat.  Konsep modul multiplikasi kuasi bertingkat ini sendiri dibangun menggunakan konsep submodul prima lemah bertingkat. Berikut definisi modul multiplikasi kuasi bertingkat secara formal menurut [9].
Definisi 14. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Modul 𝑀 disebut modul multiplikasi kuasi bertingkat jika untuk setiap submodul prima lemah 𝑁 di 𝑀 , dapat dinyatakan sebagai 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal bertingkat 𝐼 di 𝑅 .
Berikut beberapa hasil yang diperoleh pada penelitian [9].
Teorema 15 . Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Modul 𝑀 merupakan modul multiplikasi kuasi bertingkat jika dan hanya jika untuk setiap submodul prima lemah 𝑁 di 𝑀 , dapat dinyatakan sebagai 𝑁 = (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 .
Bukti. ( ⇒ ) Diketahui 𝑀 modul multiplikasi kuasi bertingkat. Diambil sebarang submodul prima lemah bertingkat 𝑁 di 𝑀 . Karena 𝑀 modul multiplikasi kuasi bertingkat, diperoleh 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal bertingkat 𝐼 di 𝑅 . Dari sini, diperoleh
𝑁 ⊆ 𝐼𝑀 ⊆ (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 ⊆ 𝑁
Sehingga 𝑁 = (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 .
( ⇐ ) Cukup jelas karena (𝑁: 𝑅 𝑀) merupakan ideal bertingkat di 𝑅 . ∎
Teorema 16. Setiap modul multiplikasi kuasi bertingkat merupakan modul multiplikasi lemah. Bukti. Misalkan 𝑀 modul  multiplikasi  kuasi  bertingkat.  Diambil  sebarang  submodul  prima bertingkat 𝑁 . Cukup jelas bahwa 𝑁 merupakan submodul prima lemah bertingkat, sehingga 𝑁 = (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 .  Karena 𝑁 submodul  prima  bertingkat, (𝑁: 𝑅 𝑀) ideal  prima  bertingkat.  Jadi, 𝑀 merupakan modul multiplikasi lemah bertingkat. ∎
Teorema  17. Diberikan  modul  multiplikasi  lemah  bertingkat 𝑀 .  Jika 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } ,  maka 𝑀 merupakan modul multiplikasi kuasi bertingkat.
Bukti. Diambil sebarang submodul prima lemah bertingkat 𝑁 di 𝑀 . Perhatikan bahwa 𝑍 𝐺 (𝑀) = {0 𝑀 } , sehingga 𝑁 submodul prima berdasarkan Teorema 3. Karena 𝑀 modul multiplikasi lemah bertingkat, artinya 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal prima bertingkat 𝐼 di 𝑅 . Jadi, 𝑀 modul multiplikasi kuasi bertingkat. ∎

## 3.3. Submodul 2- absorbing Bertingkat
Pada  bagian  ini,  akan  dibahas  mengenai  konsep  submodul  2- absorbing bertingkat  yang merupakan  perumunan  submodul  prima  bertingkat.  Berikut  definisi  submodul  2- absorbing bertingkat secara formal menurut [7], [8] dan [9].
Definisi  18. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 .  Submodul  sejati 𝑁 disebut  submodul  2-absorbing  bertingkat  jika 𝑎, 𝑏 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan 𝑎𝑏𝑚 ∈ 𝑁 berakibat 𝑎𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑏𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑎𝑏 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .
Definisi 19. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Modul  bertingkat 𝑀 disebut  modul  2-absorbing  bertingkat  jika  submodul {0 𝑀 } merupakan  submodul  2-absorbing bertingkat.
Berdasarkan  definisi  di  atas,  cukup  jelas  bahwa  setiap  submodul  prima  bertingkat merupakan  submodul  2- absorbing bertingkat.  Tetapi,  konversnya  belum  tentu  berlaku.  Berikut diberikan contohnya.
Contoh  20. Diberikan  modul  bertingkat ℤ 6 atas  ring  bertingkat ℤ 6 bertipe ℤ menggunakan tingkatan trivial.  Submodul {0̅} merupakan submodul  2- absorbing bertingkat  berdasarkan tabel berikut ini.
Tabel 1. Tabel Pembuktian ℤ 6 0̅ 1̅ 2̅ 3̅ 4̅ 5̅ ℤ 6 0̅ 0̅ 0̅ 0̅ 0̅ 0̅ 0̅ 0̅ 1̅ 0̅ 1̅ 2̅ 3̅ 4̅ 5̅ 1̅ 2̅ 0̅ 4̅ 2̅ 0̅ 4̅ 2̅ 2̅ 3̅ 0̅ 3̅ 0̅ 3̅ 0̅ 3̅ 3̅
4̅ 0̅ 4̅ 2̅ 0̅ 4̅ 2̅ 4̅
5̅ 0̅ 1̅ 2̅ 3̅ 4̅ 5̅ 5̅
Tetapi, submodul {0̅} bukan merupakan submodul prima bertingkat. Hal ini dikarenakan, terdapat 2̅ ∈ ℎ(ℤ 6 ) dan 3̅ ∈ ℎ(ℤ 6 ) dengan sifat 2̅ ⋅ 3̅ = 0̅ tetapi 3̅ ≠ 0̅ dan 2̅ ∉ ({0̅}: ℤ ℤ 6 ) .
Berikut  beberapa  hasil  yang  diperoleh  pada  penelitian  [9]  terkait  submodul  2- absorbing bertingkat.
Proposisi 21. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 , 𝐽 ideal bertingkat di 𝑅 ,  dan 𝑁 submodul  2-absorbing  bertingkat  di 𝑀 .  Jika 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) sedemikian sehingga 𝐽𝑟𝑚 ⊆ 𝑁 , maka berlaku 𝑟𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝐽𝑟 ⊆ (𝑁: 𝑅 𝑀) atau 𝐽 𝑔 𝑚 ⊆ 𝑁 untuk suatu 𝑔 ∈ 𝐺 . Bukti. Diambil sebarang 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan sifat 𝐽𝑟𝑚 ⊆ 𝑁 . Misalkan 𝑟𝑚 ∉ 𝑁 dan 𝐽𝑟 ⊈ (𝑁: 𝑅 𝑀), artinya  terdapat 𝑠 ∈ 𝐽 sedemikian  sehingga 𝑠𝑟 ∉ (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Karena 𝐽 ideal bertingkat, artinya terdapat 𝑔 ∈ 𝐺 dan 𝑠 𝑔 ∈ 𝐽 ∩ 𝑅 𝑔 sedemikian sehingga 𝑠 𝑔 𝑟 ∉ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑠 𝑔 ∈ ℎ(𝑅) sedemikian sehingga 𝑠 𝑔 𝑟𝑚 ∈ 𝑁 yang berakibat 𝑠 𝑔 𝑚 ∈ 𝑁 karena 𝑁 submodul  2- absorbing bertingkat.  Akan  dibuktikan 𝐽 𝑔 𝑚 ⊆ 𝑁 untuk  suatu 𝑔 ∈ 𝐺 .  Diambil
sebarang 𝑥 𝑔 ∈ 𝐽 𝑔 ,  cukup  jelas  bahwa 𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 ∈ 𝐽 ∩ 𝑅 𝑔 dan 𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 ∈ ℎ(𝑅) .  Perhatikan  bahwa (𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 )𝑟𝑚 ∈ 𝑁 , karena 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat diperoleh bahwa (𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 )𝑚 ∈ 𝑁 atau (𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 )𝑟 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Jika (𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 )𝑚 ∈ 𝑁 dan 𝑠 𝑔 𝑚 ∈ 𝑁 ,  maka 𝑥 𝑔 𝑚 ∈ 𝑁 .  Selanjutnya, jika (𝑠 𝑔 + 𝑥 𝑔 )𝑟 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) dan 𝑠 𝑔 𝑟 ∉ (𝑁: 𝑅 𝑀) maka 𝑥 𝑔 𝑟 ∉ (𝑁: 𝑅 𝑀) tetapi 𝑥 𝑔 𝑟𝑚 ∈ 𝑁 yang berakibat 𝑥 𝑔 𝑚 ∈ 𝑀 . Jadi, diperoleh bahwa 𝐽 𝑔 𝑚 ⊆ 𝑁 untuk suatu 𝑔 ∈ 𝐺 . ∎
Lema 22. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 , submodul bertingkat 𝐿 di 𝑀 , dan submodul 𝑁 di 𝑀 dengan sifat 𝐿 ⊆ 𝑁 . Submodul 𝑁 merupakan submodul bertingkat di 𝑀 jika dan hanya jika 𝑁/𝐿 submodul bertingkat di 𝑀/𝐿 .
Bukti. ( ⇒ ) Diketahui 𝑁 submodul bertingkat di 𝑀 . Cukup jelas bahwa 𝑁/𝐿 submodul di 𝑀/𝐿 . Diambil sebarang 𝑥 + 𝐿 ∈ 𝑁/𝐿 . Karena 𝑥 ∈ 𝑁 , artinya 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑔 𝑔∈𝐺 dengan 𝑥 𝑔 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 dan (𝑥 + 𝐿) 𝑔 ∈ 𝑁/𝐿 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Jadi, terbukti bahwa 𝑁/𝐿 submodul bertingkat di 𝑀/𝐿 .
( ⇐ ) Diketahui bahwa 𝑁/𝐿 submodul bertingkat di 𝑀/𝐿 . Ambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑁 . Karena 𝑀 modul bertingkat, diperoleh bahwa 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑔 𝑔∈𝐺 dengan 𝑥 𝑔 ∈ 𝑀 𝑔 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Dari sini, diperoleh
∑(𝑥 + 𝐿) 𝑔 𝑔∈𝐺 = ∑(𝑥 𝑔 + 𝐿) 𝑔∈𝐺 = ∑ 𝑥 𝑔 𝑔∈𝐺 + 𝐿 = 𝑥 + 𝐿 ∈ 𝑁/𝐿.
Karena 𝑁/𝐿 submodul  bertingkat,  diperoleh 𝑥 𝑔 + 𝐿 ∈ 𝑁/𝐿 untuk  setiap 𝑔 ∈ 𝐺 yang  berakibat 𝑥 𝑔 ∈ 𝑁 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 . Jadi, terbukti 𝑁 submodul bertingkat di 𝑀 . ∎
Teorema 23. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 , submodul bertingkat 𝐿 di 𝑀 , dan submodul 𝑁 di 𝑀 dengan sifat 𝐿 ⊆ 𝑁 . Submodul 𝑁 merupakan submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 jika dan hanya jika 𝑁/𝐿 submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀/𝐿 .
Bukti. ( ⇒ ) Diketahui 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat di 𝑀 . Berdasarkan Lema 22, diketahui 𝑁/𝐿 submodul bertingkat di 𝑀/𝐿 . Diambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 + 𝐿 ∈ ℎ(𝑀/𝐿) dengan sifat 𝑥𝑦(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿 . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑥𝑦𝑚 ∈ 𝑁 . Karena 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat,  maka 𝑥𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑦𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑥𝑦 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Akibatnya, 𝑥(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿 atau 𝑦(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿 atau 𝑥𝑦 ∈ (𝑁/𝐿: 𝑅 𝑀/𝐿) .  Jadi,  terbukti  bahwa 𝑁/𝐿 submodul  2- absorbing bertingkat di 𝑀/𝐿 .
( ⇐ )  Diketahui  bahwa 𝑁/𝐿 submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀/𝐿 .  Berdasarkan  Lema  22, diketahui 𝑁 submodul bertingkat di 𝑀 . Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) sedemikian sehingga 𝑥𝑦𝑚 ∈ 𝑁 .  Dari  sini,  dapat  diperoleh 𝑚 + 𝐿 ∈ ℎ(𝑀/𝐿) sehingga 𝑥𝑦(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿 . Karena 𝑁/𝐿 submodul 2- absorbing bertingkat, diperoleh 𝑥(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿 atau 𝑦(𝑚 + 𝐿) ∈ 𝑁/𝐿
atau 𝑥𝑦 ∈ (𝑁/𝐿: 𝑅 𝑀/𝐿) . Akibatnya, 𝑥𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑦𝑚 ∈ 𝑁 atau 𝑥𝑦 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Jadi, terbukti 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat di 𝑀 . ∎
Akibat 24. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan submodul bertingkat 𝐿 di 𝑀 . Submodul 𝐿 merupakan submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 jika dan hanya jika 𝑀/𝐿 modul 2-absorbing bertingkat atas 𝑅 .
Proposisi  25. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan homomorfisma  bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ .  Jika 𝐾′ submodul  2-absorbing  bertingkat  di 𝑀′ maka 𝑓 −1 (𝐾) submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 .
Bukti. Cukup  jelas  bahwa 𝑓 −1 (𝐾′) submodul  bertingkat  di 𝑀 .  Akan  dibuktikan 𝑓 −1 (𝐾′) submodul 2- absorbing bertingkat di 𝑀 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑀) dengan sifat 𝑎𝑏𝑚 ∈ 𝑓 −1 (𝐾′) .  Diperoleh 𝑓(𝑎𝑏𝑚) = 𝑎𝑏𝑓(𝑚) ∈ 𝐾′ .  Karena 𝐾′ submodul  2- absorbing bertingkat,  diperoleh 𝑎𝑓(𝑚) ∈ 𝐾′ atau 𝑏𝑓(𝑚) ∈ 𝐾′ atau 𝑎𝑏 ∈ (𝐾 ′ : 𝑅 𝑀 ′ ) .  Perhatikan  bahwa, 𝑓(𝑀) ⊆ 𝑀′ sehingga (𝐾 ′ : 𝑅 𝑀 ′ ) ⊆ (𝑓 −1 (𝐾 ′ ): R 𝑀) . Dari sini, diperoleh bahwa 𝑎𝑚 ∈ 𝑓 −1 (𝐾′) atau 𝑏𝑚 ∈ 𝑓 −1 (𝐾′) atau 𝑎𝑏 ∈ (𝑓 −1 (𝐾 ′ ): R 𝑀) . Jadi, 𝑓 −1 (𝐾 ′ ) submodul 2- absorbing bertingkat. ∎ Akibat 26. Diberikan modul bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ . Jika 𝑀′ modul 2-absorbing bertingkat maka 𝑘𝑒𝑟(𝑓) submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 .
Akibat  27. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 .  Jika 𝐿 submodul bertingkat  di 𝑀 ,  maka  setiap  submodul  2-absorbing  bertingkat 𝐾 di 𝑀 dengan  sifat 𝐿 ⊈  𝐾 berlaku 𝐾 ∩ 𝐿 submodul 2-absorbing bertingkat di 𝐿 .
Proposisi  28. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ . Jika 𝑓 surjektif dan 𝐾 submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 dengan 𝑘𝑒𝑟(𝑓) ⊆ 𝐾 , maka 𝑓(𝐾) submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀′ .
Akibat 29. Diberikan modul bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ . Jika 𝑓 surjektif dan 𝑀 modul 2-absorbing bertingkat maka 𝑀′ modul 2- absorbing bertingkat.

## 3.4. Modul Multiplikasi Absorbing Bertingkat
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai konsep modul multiplikasi absorbing bertingkat. Konsep  tersebut  dibangun  dari  konsep  submodul  2- absorbing bertingkat  dan  mengakibatkan multiplikasi absorbing bertingkat  merupakan  generalisasi  dari  modul  multiplikasi  bertingkat. Mengingat  sebarang  modul  belum  tentu  memiliki  submodul  2- absorbing bertingkat,  perlu ditambahkan syarat lagi dalam membangun konsep tersebut. Berikut definisi modul multiplikasi absorbing bertingkat secara formal menurut [9].

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
Definisi  30. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 .  Himpunan  semua submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑀 dinotasikan dengan 𝐺𝐴𝐵𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑀) .
Definisi  31. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring 𝑅 bertipe 𝐺 .  Modul 𝑀 disebut  modul multiplikasi  absorbing  bertingkat  jika 𝐺𝐴𝐵𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑀) = ∅ atau  setiap  submodul  2-absorbing bertingkat 𝑁 di 𝑀 dapat dinyatakan sebagai 𝑁 = 𝐼𝑀 untuk suatu ideal bertingkat 𝐼 di 𝑅 .
Berikut beberapa hasil yang diperoleh pada penelitian [9] ini.
Proposisi 32. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan 𝐽 ideal di 𝑅 dengan 𝐽 ⊆ ({0 𝑀 }: 𝑅 𝑀) . Modul 𝑀 merupakan modul multiplikasi absorbing bertingkat atas 𝑅 jika dan hanya jika 𝑀 modul multiplikasi bertingkat atas 𝑅/𝐽 .
Teorema 33. Diberikan 𝑀 modul multiplikasi absorbing bertingkat atas 𝑅 . Jika 𝐽 ideal di 𝑅 dan 𝐿 submodul  bertingkat  tak  nol  di 𝑀 sedemikian  sehingga 𝐽 ⊆ (𝐿: 𝑅 𝑀) ,  maka 𝑀/𝐿 modul multiplikasi absorbing bertingkat atas 𝑅/𝐽 .
Bukti. Diambil  sebarang 𝑁/𝐿 submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀/𝐿 .  Dari  sini,  diperoleh bahwa 𝑁 submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀 .  Karena 𝑀 modul  multiplikasi absorbing bertingkat atas 𝑅 , diperoleh 𝑁 = (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 . Perhatikan bahwa 𝐽 ⊆ (𝐿: 𝑅 𝑀) ⊆ (𝑁: 𝑅 𝑀) . Cukup jelas bahwa 𝑁/𝐽 = (𝐼/𝐽)(𝑀/𝐿) , karena 𝑁 = (𝑁: 𝑅 𝑀)𝑀 . Jadi, terbukti 𝑀/𝐿 modul multiplikasi absorbing bertingkat atas 𝑅/𝐽 . ∎
Akibat 34 . Diberikan 𝑀 modul multiplikasi absorbing bertingkat atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Jika 𝑀 modul absorbing bertingkat atas 𝑅 , maka 𝑀/𝐿 modul absorbing bertingkat atas 𝑅 untuk setiap submodul bertingkat 𝐿 .
Proposisi  35. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 dan 𝑀′ atas  ring  bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 dan homomorfisma bertingkat 𝑓: 𝑀 → 𝑀′ yang bersifat surjektif. Jika 𝑀 modul multiplikasi absorbing bertingkat, maka 𝑀′ merupakan modul multiplikasi absorbing bertingkat.
Bukti. Misalkan GABSpec( 𝑀′ ) ≠ ∅ .  Diambil  sebarang 𝑁′ submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀′ .  Perhatikan  bahwa 𝑓 −1 (𝑁 ′ ) submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀 .  Dari  sini,  diperoleh 𝑓 −1 (𝑁 ′ ) = 𝐼𝑀 untuk  ideal  bertingkat 𝐼 di 𝑅 .  Akibatnya, 𝑁 ′ = 𝑓(𝑓 −1 (𝑁 ′ )) = 𝑓(𝐼𝑀) = 𝐼𝑀′ karena 𝑓 surjektif.  Jadi, modul 𝑀 merupakan modul multiplikasi absorbing bertingkat. ∎
Pembahasan berikutnya terkait sifat absorbing pada modul hasil bagi bertingkat. Mengingat kembali  proses  pembentukan  modul  hasil  bagi.  Misalkan  diberikan  modul 𝑀 atas  ring 𝑅 dan himpunan multiplicatively  closed 𝑆 ⊆ 𝑅 ,  dapat  dibentuk  ring  hasil  bagi  dan  modul  hasil  bagi berikut
𝑆 −1 𝑅 = { 𝑟 𝑠 | 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆}
𝑆 −1 𝑀 = { 𝑚 𝑠 | 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ 𝑆}.
Sifat penting dalam pembentukan modul hasil bagi ini adalah sifat komutatif pada ring 𝑅 . Pada penelitian [9], dikonstruksi modul hasil bagi pada modul bertingkat dan ditambahkan tingkatan sehingga memunculkan konsep modul hasil bagi bertingkat.
Misalkan  diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring  bertingkat 𝑅 bertipe 𝐺 dan  himpunan multiplicatively closed 𝑆 ⊆ ℎ(𝑅) . Dapat dibentuk modul bertingkat 𝑆 −1 𝑀 atas ring 𝑆 −1 𝑅 bertipe 𝐺 dengan tingkatan berikut ini.
(𝑆 −1 𝑅) 𝑔 = { 𝑟 𝑠 | 𝑟 ∈ 𝑅 ℎ , 𝑠 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 ℎ𝑔 −1 } (𝑆 −1 𝑀) 𝑔 = { 𝑚 𝑠 | 𝑚 ∈ 𝑀 ℎ , 𝑠 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 ℎ𝑔 −1 }.
Tetapi,  pada  saat  peneliti  membuktikan  bahwa (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 subgrup  terhadap  penjumlahan  tidak berlaku  secara  umum.  Berikut  penjelasan  hal  tersebut.  Diambil  sebarang 𝑟 𝑠 , 𝑢 𝑡 ∈ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 , berdasarkan penjumlahan pada ring hasil bagi diperoleh
𝑟 𝑠 + 𝑢 𝑡 = 𝑟𝑡 + 𝑢𝑠 𝑠𝑡 .
Diketahui bahwa, 𝑟 ∈ 𝑅 𝛼 , 𝑠 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛼𝑔 −1 , 𝑢 ∈ 𝑅 𝛽, dan 𝑡 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛽𝑔 −1 . Dari sini, diperoleh 𝑟𝑡 ∈ 𝑅 𝛼 𝑅 𝛽𝑔 −1 ⊆ 𝑅 𝛼𝛽𝑔 −1 dan 𝑟𝑡 = 𝑡𝑟 ∈ 𝑅 𝛽𝑔 −1 𝑅 𝛼 ⊆ 𝑅 𝛽𝑔 −1 𝛼 𝑢𝑠 ∈ 𝑅 𝛽 𝑅 𝛼𝑔 −1 ⊆ 𝑅 𝛽𝛼𝑔 −1 dan 𝑢𝑠 = 𝑠𝑢 ∈ 𝑅 𝛼𝑔 −1 𝑅 𝛽 ⊆ 𝑅 𝛼𝑔 −1 𝛽
𝑠𝑡 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛼𝑔 −1 𝑅 𝛽𝑔 −1 ⊆ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛼𝑔 −1 𝛽𝑔 −1 dan 𝑠𝑡 = 𝑡𝑠 ∈ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛽𝑔 −1 𝑅 𝛼𝑔 −1 ⊆ 𝑆 ∩ 𝑅 𝛽𝑔 −1 𝛼𝑔 −1 .
Untuk membuktikan 𝑟 𝑠 + 𝑢 𝑡 = 𝑟𝑡+𝑢𝑠 𝑠𝑡 ∈ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 , diperlukan grup 𝐺 bersifat komutatif. Berdasarkan hal  tersebut,  peneliti  mengadopsi  tingkatan  pada  modul  hasil  bagi  menggunakan  [1].  Akan dijelaskan lebih lanjut oleh proposisi berikut.
Proposisi  36. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  ring 𝑅 bertipe 𝐺 .  Jika 𝑆 ⊆ ℎ(𝑅) himpunan multiplicatively closed maka 𝑆 −1 𝑀 modul bertingkat atas 𝑆 −1 𝑅 tipe 𝐺 dengan tingkatan
(𝑆 −1 𝑅) 𝑔 = { 𝑟 𝑠 | 𝑟 ∈ ℎ(𝑅), 𝑠 ∈ ℎ(𝑆), 𝑑𝑎𝑛 𝑔 = (𝑑𝑒𝑔(𝑠)) −1 𝑑𝑒𝑔(𝑟) } (𝑆 −1 𝑀) 𝑔 = { 𝑚 𝑠 | | 𝑚 ∈ ℎ(𝑀), 𝑠 ∈ ℎ(𝑆), 𝑑𝑎𝑛 𝑔 = (𝑑𝑒𝑔(𝑠)) −1 𝑑𝑒𝑔(𝑚) }.
Bukti. Cukup  jelas  bahwa  jika 𝑆 ⊆ ℎ(𝑅) himpunan multiplicatively  closed maka 𝑆 −1 𝑀 modul atas 𝑆 −1 𝑅 . Selanjutnya, akan  dibuktikan bahwa 𝑆 −1 𝑅 ring  bertingkat  tipe 𝐺 . Diambil  sebarang 𝑟 𝑠 , 𝑢 𝑡 ∈ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 , artinya 𝑔 = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑟) = (deg(𝑡)) −1 deg(𝑢) . Perhatikan bahwa
𝑟 𝑠 + 𝑢 𝑡 = 𝑟𝑡 + 𝑢𝑠 𝑠𝑡 .

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
Dari sini, diperoleh
deg(𝑟𝑡) = deg(𝑡𝑟) = deg(𝑡) deg(𝑟)
= deg(𝑡) deg(𝑠) (deg(𝑡)) −1 deg(𝑢)
= deg(𝑡𝑠) (deg(𝑡)) −1 deg(𝑢) = deg(𝑠𝑡) (deg(𝑡)) −1 deg(𝑢)
= deg(𝑠) deg(𝑡) (deg(𝑡)) −1 deg(𝑢)
= deg(𝑠) deg(𝑢)
= deg(𝑠𝑢) = deg(𝑢𝑠).
Cukup jelas bahwa 𝑟𝑡 + 𝑢𝑠 ∈ ℎ(𝑅) , 𝑠𝑡 ∈ ℎ(𝑆) , dan berlaku
(deg(𝑠𝑡)) −1 deg(𝑟𝑡 + 𝑢𝑠) = (deg(𝑠𝑡)) −1 deg(𝑟𝑡)
= (deg(𝑡𝑠)) −1 deg(𝑡𝑟) = (deg(𝑡) deg(𝑠)) −1 deg(𝑡) deg(𝑟) = (deg(𝑠)) −1 (deg(𝑡)) −1 deg(𝑡) deg(𝑟) = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑟) = 𝑔.
Berdasarkan hal tersebut, diperoleh bahwa 𝑟 𝑠 + 𝑢 𝑡 ∈ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 . Terbukti bahwa {(𝑆 −1 𝑅) 𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺} keluarga subgrup terhadap operasi penjumlahan. Selanjutnya, diambil sebarang 𝑟 𝑠 ∈ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 dan 𝑝 𝑞 ∈ (𝑆 −1 𝑅) ℎ . Artinya, 𝑔 = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑟) dan ℎ = (deg(𝑞)) −1 deg(𝑝) . Perhatikan bahwa
𝑟 𝑠 ⋅ 𝑝 𝑞 = 𝑟𝑝 𝑠𝑞 .
Cukup jelas bahwa 𝑟𝑝 ∈ ℎ(𝑅), 𝑠 ∈ ℎ(𝑆) , dan berlaku
(deg(𝑠𝑞)) −1 deg(𝑟𝑝) = (deg(𝑞𝑠)) −1 deg(𝑝𝑟)
= (deg(𝑞) deg(𝑠)) −1 deg(𝑝) deg(𝑟) = (deg(𝑠)) −1 (deg(𝑞)) −1 deg(𝑝) deg(𝑟) = (deg(𝑠)) −1 ℎ deg(𝑟) = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑥) deg(𝑟) untuk suatu 𝑥 ∈ 𝑅 ℎ = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑥𝑟) = (deg(𝑠)) −1 deg(𝑟𝑥) = (deg(𝑞)) −1 deg(𝑟) deg(𝑥)
= 𝑔ℎ.
Hal  ini  berakibat, (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 (𝑆 −1 𝑅) ℎ ⊆ (𝑆 −1 𝑅) 𝑔ℎ untuk  setiap 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 .  Cukup  jelas  bahwa ⊕ 𝑔∈𝐺 (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 ⊆ 𝑆 −1 𝑅 . Diambil sebarang 𝑟 𝑠 ∈ 𝑆 −1 𝑅 , artinya 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) dan 𝑠 ∈ ℎ(𝑆) = 𝑆 ∈ 𝑅 𝑔 . Karena 𝑅 ring bertingkat, diperoleh bahwa
𝑟 𝑠 = ∑ 𝑔∈𝐺 𝑟 𝑔 𝑠 = ∑ 𝑔∈𝐺 𝑟 𝑔 𝑠 .
Perhatikan bahwa (deg(𝑠)) −1 deg(𝑟 𝑔 ) ∈ 𝐺 , sehingga 𝑆 −1 𝑅 ⊆ ∑ 𝑔∈𝐺 (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 . Karena untuk setiap 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 berlaku (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 ∩ (𝑆 −1 𝑅) ℎ = {0 𝑅 } ,  dapat  diperoleh  bahwa 𝑆 −1 𝑅 ⊆⊕ 𝑔∈𝐺 (𝑆 −1 𝑅) 𝑔 . Jadi, ring 𝑆 −1 𝑅 merupakan ring bertingkat tipe 𝐺 . Selanjutnya, karena ring 𝑅 komutatif dengan elemen identitas maka modul kiri 𝑀 atas 𝑅 dapat dipandang sebagai modul kanan 𝑀 atas 𝑅 . Secara analog dengan langkah di atas, dapat dibuktikan bahwa 𝑆 −1 𝑀 modul bertingkat atas 𝑆 −1 𝑅 tipe 𝐺 . ∎
Contoh  37. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 = ℤ atas 𝑅 = ℤ bertipe 𝐺 = ℤ 2 dengan  tingkatan trivial berikut
𝑅 0 = ℤ dan 𝑅 1 = {0} 𝑀 0 = ℤ dan 𝑀 1 = {0} .
Perhatikan bahwa 𝑆 = ℤ ∖ {0} merupakan himpunan multiplicatively closed . Dari sini, diperoleh
𝑆 −1 𝑅 = ℚ
𝑆 −1 𝑀 = ℚ.
Berdasarkan Proposisi 34, diperoleh bahwa modul ℚ atas ℚ merupakan modul bertingkat bertipe ℤ 2 dengan tingkatan
(𝑆 −1 𝑅) 0 =  ℚ dan (𝑆 −1 𝑅) 1 = {0} (𝑆 −1 𝑀) 0 = ℚ dan (𝑆 −1 𝑀) 1 = {0}.
Modul 𝑆 −1 𝑀 atas ring 𝑆 −1 𝑅 yang terbentuk di atas kedepannya disebut modul hasil bagi bertingkat.  Berikut hasil pada penelitian [9], terkait modul hasil bagi bertingkat.
Teorema 38. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Jika 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat di 𝑀 , maka 𝑆 −1 𝑁 submodul 2-absorbing bertingkat di 𝑆 −1 𝑀 .
Bukti. Cukup jelas bahwa 𝑆 −1 𝑁 merupakan submodul bertingkat di 𝑆 −1 𝑀 karena 𝑁 submodul bertingkat  di 𝑀 .  Akan  dibuktikan 𝑆 −1 𝑁 submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑆 −1 𝑀 .  Diambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℎ(𝑆 −1 𝑅 ) dan 𝑚 ∈ ℎ(𝑆 −1 𝑀 ) dengan sifat 𝑎𝑏𝑚 ∈ 𝑆 −1 𝑁 . Dapat diperoleh 𝑎 = 𝛼 𝑠 , 𝑏 = 𝛽 𝑡 , dan 𝑚 = 𝑘 𝑟 untuk suatu 𝛼, 𝛽 ∈ ℎ(𝑅), 𝑠, 𝑡, 𝑟 ∈ 𝑆 , dan 𝑘 ∈ ℎ(𝑀) . Perhatikan bahwa 𝑎𝑏𝑚 = 𝛼𝛽𝑘 𝑠𝑡𝑟 = 𝑛 𝑢 untuk  suatu 𝑛 ∈ 𝑁 dan 𝑢 ∈ 𝑆 .  Dari  sini,  diperoleh  bahwa  terdapat 𝑣 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑣𝑢𝛼𝛽𝑘 = 𝑣𝑠𝑡𝑟𝑛 ∈ 𝑁 .  Karena 𝑁 submodul  2- absorbing bertingkat  di 𝑀 ,  diperoleh

## Generalisasi Submodul Prima Bertingkat dan Modul Multiplikasi Bertingkat
𝑣𝑢𝛼𝑘 ∈ 𝑁 atau 𝛽𝑘 ∈ 𝑁 atau 𝑣𝑢𝛼𝛽 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Hal  ini  berakibat, 𝛼𝑘 𝑠𝑟 = 𝑣𝑢𝛼𝑘 𝑣𝑢𝑠𝑡 ∈ 𝑆 −1 𝑁 atau 𝛽𝑘 𝑡𝑟 ∈ 𝑆 −1 𝑁 atau 𝑣𝑢𝛼𝛽 𝑣𝑢𝑠𝑡 𝑆 −1 (𝑁: 𝑅 𝑀) .  Sehingga  diperoleh 𝑎𝑚 ∈ 𝑆 −1 𝑁 atau 𝑏𝑚 ∈ 𝑆 −1 𝑁 atau 𝑎𝑏 ∈ 𝑆 −1 (𝑁: 𝑅 𝑀) . Selanjutnya, tinggal dibuktikan bahwa 𝑆 −1 (𝑁: 𝑅 𝑀) ⊆ (𝑆 −1 𝑁: 𝑆 −1 𝑅 𝑆 −1 𝑀) . Diambil sebarang 𝑥 𝑠 ∈ 𝑆 −1 (𝑁: 𝑅 𝑀) yang artinya 𝑥 ∈ (𝑁: 𝑅 𝑀) dan 𝑠 ∈ 𝑆 . Dari sini, diperoleh 𝑥 𝑠 ⋅ 𝑚 𝑡 ∈ 𝑆 −1 𝑁 untuk setiap 𝑚 ∈ 𝑀 dan 𝑠 ∈ 𝑆 . Akibatnya, 𝑥 𝑠 𝑆 −1 𝑀 ∈ 𝑆 −1 𝑁 . Jadi, 𝑥 𝑠 ∈ (𝑆 −1 𝑁: 𝑆 −1 𝑅 𝑆 −1 𝑀) . Hal ini berakibat 𝑆 −1 𝑁 submodul 2- absorbing bertingkat di 𝑆 −1 𝑀 .
Akibat 39. Jika 𝑀 modul 2-absorbing bertingkat atas 𝑅 , maka 𝑆 −1 𝑀 modul modul 2-absorbing bertingkat atas 𝑆 −1 𝑅 .
Berikut beberapa hasil lainnya pada penelitian [9]
Definisi 40. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring bertingkat 𝑅 tipe 𝐺 . Elemen 𝑚 ∈ 𝑀 disebut elemen torsi terhadap elemen homogen 𝑅 jika terdapat 𝑟 ∈ ℎ(𝑅) sedemikian sehingga 𝑟𝑚 = 0 𝑀 . Lebih lanjut, himpunan semua elemen torsi modul bertingkat 𝑀 atas 𝑅 dinotasikan dengan 𝐻𝑇(𝑀) = {𝑚 ∈ 𝑀 | 𝑟𝑚 = 0 𝑀 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑟 ∈ ℎ(𝑅)}.
Lema  41. Jika 𝑀 modul  bertingkat  atas  daerah  integral 𝑅 tipe 𝐺 ,  maka 𝐻𝑇(𝑀) submodul bertingkat di 𝑀 .
Lema 42. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas daerah integral 𝑅 tipe 𝐺 . Jika 𝐻𝑇(𝑀) ≠ 𝑀 , maka 𝐻𝑇(𝑀) submodul prima bertingkat di 𝑀 dengan (𝐻𝑇(𝑀): 𝑅 𝑀) = {0 𝑀 } .
Proposisi  43. Diberikan  modul  bertingkat 𝑀 atas  daerah  integral 𝑅 tipe 𝐺 .  Jika 𝑀 modul multiplikasi absorbing bertingkat, maka 𝐻𝑇(𝑀) = {0 𝑀 } atau 𝐻𝑇(𝑀) = 𝑀 .

## 4 Simpulan
Berdasarkan penjelasan di atas, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.
1. Prapeta submodul prima lemah bertingkat oleh suatu homomorfisma bertingkat merupakan submodul prima lemah bertingkat dengan syarat homomofisma bertingkat tersebut injektif. Peta submodul  prima lemah bertingkat  oleh suatu  homomorfisma bertingkat  merupakan submodul  prima  lemah  bertingkat  dengan  syarat  homomofisma  bertingkat  tersebut surjektif dan kernelnya termuat di dalam submodul prima lemah bertingkat tersebut.
2. Diberikan modul bertingkat 𝑀 atas ring 𝑅 bertipe 𝐺 dan himpunan multiplicatively closed 𝑆 ⊆ ℎ(𝑅) . Dapat dibentuk modul hasil bagi bertingkat 𝑆 −1 𝑀 atas ring 𝑆 −1 𝑅 dengan
(𝑆 −1 𝑅) 𝑔 = { 𝑟 𝑠 | 𝑟 ∈ ℎ(𝑅), 𝑠 ∈ ℎ(𝑆), dan 𝑔 = (𝑑𝑒𝑔(𝑠)) −1 𝑑𝑒𝑔(𝑟) } (𝑆 −1 𝑀) 𝑔 = { 𝑚 𝑠 | | 𝑚 ∈ ℎ(𝑀), 𝑠 ∈ ℎ(𝑆), dan 𝑔 = (𝑑𝑒𝑔(𝑠)) −1 𝑑𝑒𝑔(𝑚) }.
Sifat submodul 2- absorbing bertingkat dipertahankan pada modul hasil bagi bertingkat.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Peneliti ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang terlibat dalam penelitian ini baik secara langsung maupun tidak langsung. Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer atas saran dan masukan demi perbaikan artikel ini.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Nastasescu C, Van Oystaeyen F. Graded ring theory. New York: North-Holland Publising Company; 1982.
[2] Bland PE. Rings and their modules. New York: Walter de Gruyter; 2011.
[3] Nastasescu C, Van Oystaeyen F. Methods of graded rings. New York: Springer; 2004.
[4] Khaksari K, Jahromi FR. Multiplication graded modules. International Journal of Algebra 2013;7:17–24.
[5] Abu-Dawwas R, Refai M. Some Remarks on Graded Weak Multiplication Modules . Int J Contemp Math Sciences 2011;6:681–6.
[6] Atani SE. On graded weakly prime submodules. Int. Math. Forum, vol. 1, 2006, p. 61–6.
[7] Al-Zoubi K, Abu-Dawwas R. On graded 2-absorbing and weakly graded 2-absorbing submodules. J Math Sci Adv Appl 2014;28:45–60.
[8] Khaldoun A-Z, Rashid A-D, Çeken S. On graded 2-absorbing and graded weakly 2- absorbing ideals. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics 2019;48:724–31.
[9] Abu-Dawwas R, Saber H, Alraqad T, Jaradat R. On Generalizations of Graded Multiplication Modules. Boletim Da Sociedade Paranaensa de Matematica 2022;40:1–10.