Vol. 17, No. 3,  339-348,  May, 2021

## DOI: 10.20956/j.v17i3.12467
* Program Studi Magister Matematika, FMIPA-UNHAS Email : 1 anggrianita93@gmail.com, 2 syamsuddint@yahoo.com, 3 kasbawati@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Optimal Control of Mathematical Models on The Dynamics Spread of Drug Abuse
Kontrol Optimal Model Matematika Terhadap Dinamika Penyebaran Penyalahgunaan Narkoba
Nita Anggriani 1* , Syamsuddin Toaha 2* , Kasbawati 3*

## Abstract
This  article  examines  the  optimal  control  of  a  mathematical  model  of  the  spread  of  drug  abuse. This model consists of five population classes, namely susceptible to using drugs (S), light-grade drugs (A), heavy-grade drugs (H), medicated drugs (T), and Recovery from drugs (R). The system is  solved  using  the  Pontryagin  minimum  principle  and  numerically  by  the  forward-backward sweep method . Numerical simulations of the optimal problem show that with the implementation of  anti-drug  campaigns  and  strengthening  of  self-psychology  through  counseling,  the  spread  of drug abuse can be eradicated more quickly. The implementation of campaigns and strengthening of self-psychology through large amounts of counseling needs to be done from the beginning then the proportion can be reduced until a certain time does not need to be given anymore. The use of control  in  the  form  of  strengthening  efforts  to  self-psychology  through  counseling  means  that  it needs to be done in a longer time to prevent the spread of drug abuse.
Keywords: The Drug  Abuse,  Mathematical  Model,  Pontryagin  Minimum  Principles, Forward-Backward Sweep, Optimal Control.

## Abstrak
Artikel  ini  membahas  tentang  kontrol  optimal  model  matematika  dinamika  penyebaran penyalahgunaan  narkoba.  Model  ini  terdiri  dari  lima  kelas  populasi,  yaitu  rentan  menggunakan narkoba  atau Susceptible  (S), penyalahgunaan  narkoba  tingkat  ringan  atau Lighter  Users  (A), penyalahgunaan narkoba  tingkat berat atau Heavy Users (H), penyalahgunaan narkoba melakukan pengobatan atau Treatment (T), dan penyalahgunaan narkoba  sembuh dan  mengalami pemulihan atau Recovery  (R). Sistem  diselesaikan  dengan  menggunakan  prinsip  minimum  Pontryagin  dan secara numerik dengan metode forward-backward sweep . Simulasi numerik dari masalah optimal menunjukkan  bahwa  dengan  adanya  upaya  penerapan  kampanye  anti  narkoba  dan  penguatan
terhadap  psikologi  diri  lewat  konseling  maka  penyebaran  penyalahgunaan  narkoba  dapat  lebih cepat  diberantas.  Penerapan  kampanye  dan  penguatan  terhadap  psikologi  diri  lewat  konseling dalam  jumlah  besar  perlu  dilakukan  sejak  awal  kemudian  proporsinya  dapat  dikurangi  sampai waktu  tertentu  tidak  perlu  lagi  diberikan.  Penggunaan  kontrol  berupa  upaya  penguatan  terhadap psikologi  diri  lewat  konseling  perlu  dilakukan  dalam  waktu  yang  lebih  lama  untuk  mencegah terjadinya penyebaran penyalahgunaan narkoba.
Kata  Kunci: Penyalahgunaan  Narkoba,  Model  Matematika,  Prinsip  Minimum Pontryagin, Forward-Backward Sweep , Kontrol Optimal.

## 1. Pendahuluan
Narkotika  adalah  zat  atau  obat  yang  bersifat  alamiah,  sintetis,  maupun  semi  sintetis  yang menimbulkan  efek  penurunan  kesadaran,  halusinasi,  serta  daya  rangsang.  Manfaat  dari penggunaan zat tersebut adalah sebagai obat penghilang rasa nyeri serta memberikan ketenangan. Obat-obatan  tersebut jika  pemakaiannya  berlebihan akan  menimbulkan  kecanduan.    Kandungan yang terdapat pada narkoba  memberikan  dampak buruk bagi kesehatan jika disalahgunakan [1]. Penyebaran dan penyalahgunaan narkoba di Indonesia adalah suatu pola perilaku seseorang yang menggunakan  obat-obatan  golongan  narkotika,  psikotropika,  dan  zat  adiktif  tidak  sesuai fungsinya.  Penyalahgunaan  narkoba  umumnya  terjadi  pada  beberapa  faktor  terutama  karena adanya  rasa  ingin  tahu  yang  tinggi,  kemudian  menjadi  kebiasaan.  Selain  itu,  penyalahgunaan narkoba  pada  diri  seseorang  diakibatkan  juga  karena  terdapat  masalah  dalam  hidupnya  dan berteman  dengan  pecandu  narkoba  [2].  Penyalahgunaan  narkoba  memiliki  dampak  negatif terhadap  kesehatan,  ekonomi,  sosial  bahkan  menimbulkan  kriminalitas.  Bukan  hanya  berakibat kepada  penggunanya  saja,  namun  keluarga  juga  turut  menjadi  korban  dari  penyalahgunaan narkoba  dalam  skala  besar  sehingga  dapat  merugikan  masyarakat,  bangsa,  dan negara.  Masalah narkotika bukan hanya tentang penanganan, tapi juga pemberdayaan masyarakat, rehabilitasi, dan paling penting adalah pencegahaan.
Dinamika  perubahan  populasi  merupakan  salah  satu  kajian  dalam  pemodelan  matematika yang  mencoba  mendeskripsikan  fenomena  dari  sudut  pandang  matematika.  Fenomena ditransformasikan ke dalam persamaan atau sistem persamaan, misalnya dalam populasi dinamis [3,  4,  5]  dan  di  bidang  epidemiologi  [6,  7,  8].  Dengan  asumsi  bahwa  penyalahgunaan  narkoba dapat  menyebar  dari  satu  sama  lain,  dinamika  penyebaran  penyalahgunaan  narkoba  juga  dapat dipertimbangkan  dalam  pemodelan  matematis.  Beberapa  penelitian  sebelumnya  telah memodelkan  masalah  yang  berkaitan  dengan  dinamika  penyebaran  penyalahgunaan  narkoba. Seperti contoh model matematika penyebaran penyalahgunaan narkoba yang dikembangkan pada tahun  2019  oleh  Fikri  L,  dkk  [9]  yang  membahas  tentang  efek  penyalahgunaan  narkoba  pada masyarakat dengan model matematika SLHT ( Susceptible, Lighter users, Heavy users, Treatment ) dan peneliti Joan K, dkk [10] membahas tentang efek penyalahgunaan zat (obat) oleh pengemudi komersial  dengan  model  matematika SDAR ( Susceptible,  Lighter  users,  Heavy  users, Rehabilitasi ) dimana jurnal yang ditulis mengenai penyalahgunaan narkoba yang telah mengikuti rehabilitasi  kembali  menjadi lighter  users .  Oleh  sebab  itu,  pada  penelitian  ini  berdasarkan fenomena  yang  disebutkan  sebelumnya  akan  dilakukan  modifikasi  model  dengan  topik  yang
sama  dari  peneliti  sebelumnya  dalam  sudut  pandang  matematika.  Peneliti  akan  melakukan modifikasi  dengan  cara  mengembangkan  model  perilaku  narkoba  menurut  Fikri  L,  dkk  [9] dengan  menambahkan  kelas  populasi Recover  (R) dan  beberapa  kontrol  optimal  untuk meminimalisir terjadinya penyebaran penyalahgunaan narkoba. Peneliti akan mengkaji dinamika penyebaran penyalahgunaan narkoba dengan kontrol optimal.

## 2. Model Dinamika Penyebaran Penyalahgunaan Narkoba
Pengembangan  model  dalam  penelitian  ini  merupakan  pengembangan  dari  model  dinamika penyebaran  penyalahgunaan  narkoba  menurut  Fikri  L,  dkk  [9],  kemudian  diselesaikan  dengan teori  kontrol  optimal.  Hasil  pengembangan  model  yang  diperoleh  adalah  lima  kelas  populasi, yaitu Susceptible  (S),  Lighter  Users  (A),  Heavy  Users  (H),  Treatment  (T), dan Recovery  (R). Pengembangan  model  dilakukan  dengan  menambahkan  kelas Recovery  (R) dan  beberapa  faktor dalam upaya mengatasi masalah penyebaran penyalahgunaan narkoba.
Adapun asumsi yang dibentuk sebagai berikut:
1) Individu  rentan  yang  beresiko  menyalahgunakan  narkoba  dengan  laju  konstan  sebesar . Individu  rentan  melakukan  interaksi  terhadap  penyalahgunaan  narkoba  tingkat  ringan  dan berat  dari  beberapa  faktor  sehingga  berpindah  ke  kelas  penyalahgunaan  narkoba  tingkat ringan  dengan  laju ( ) (     ) . Setiap  kelas  populasi  mengalami  kematian  alami dan  hanya  kelas  populasi  penyalahgunaan  narkoba  tingkat  berat  saja  yang  mengalami kematian yang diakibatkan oleh penyalahgunaan narkoba.
2) Individu penyalahgunaan narkoba dalam tingkatan ringan bertambah karena adanya interaksi antara penyalahgunaan narkoba yang rentan dengan penyalahgunaan narkoba tingkat ringan dan  berat  dengan  laju ( ) (     ) . Penyalahgunaan  narkoba  berpindah  ke penyalahgunaan  narkoba  tingkat  berat  atau  pecandu  dengan  laju  konstan  sebesar . Individu  penyalahgunaan  narkoba  tingkatan  ringan  berkurang  karena  adanya  keinginan berhenti dari narkoba, sehingga berpindah ke kelas treatment dengan laju .
3) Individu penyalahgunaan narkoba tingkat berat jika mendapatkan penanganan untuk berhenti dari narkoba maka akan berpindah ke kelas populasi treatment dengan laju .
4) Pada  tahap treatment terdapat  individu  yang  gagal  menjalani  pengobatan  atau treatment sehingga  kembali  menjadi  individu  penyalahgunaan  narkoba  tingkatan  berat  dengan  laju ,  sedangkan  pecandu  yang  berhasil  menjalankan treatment berpindah  ke  kelas recovery dengan laju .
5) Individu  penyalahgunaan  narkoba  yang  telah  dinyatakan  sembuh    dan  sedang  mengalami masa  pemulihan  atau recovery dapat  kembali  ke  kelas  populasi  rentan  menyalahgunakan narkoba  yang  disebabkan  oleh  beberapa  faktor  dengan  laju
dan  berpindah  ke  kelas penyalahgunaan narkoba tingkatan ringan dengan laju ( ) .
Diagram  skematik  dari  lima  kelas  populasi  dalam  model  dengan  asumsi–asumsi  di  atas diberikan sebagai berikut:
Gambar 2.1. Diagram Kompartemen Model Matematika Dinamika Penyebaran Penyalahgunaan Narkoba
Dari diagram kompartemen model tersebut, didapatkan sistem persamaan diferensial berikut:
( ) ( ) (     )
( ) ( ) (     ) ( )    (         )
( ) (         )
( ) ( )
( ) ( )                                                                            }
(   )
Dengan total populasi:
. Diasumsikan kondisi awal sistem memenuhi:
( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ,
Dengan
Keterangan variabel dan parameter yang digunakan dijelaskan pada tabel berikut.
Tabel 2.1. Daftar Variabel dan Parameter Model Dinamika Penyebaran Penyalahgunaan Narkoba
Simbol  Keterangan Syarat Satuan ( ) Total populasi pada suatu waktu ( ) Orang ( ) Total populasi yang rentan atau susceptible mengunakan narkoba pada suatu waktu t ( ) Orang
( ) Total populasi penyalahgunaan narkoba tingkat ringan atau lighter users pada suatu waktu t ( ) Orang ( ) Total populasi penyalahgunaan narkoba tingkat berat atau heavy users pada suatu waktu t ( ) Orang ( ) Total populasi penyalahgunaan narkoba melakukan pengobatan atau treatment pada suatu waktu t ( ) Orang ( ) Total populasi individu sembuh dan mengalami masa pemulihan atau recovery pada suatu waktu t ( ) Orang Laju recruitment individu ke dalam kelas rentan dengan usia 6 tahun ke atas Orang /tahun Laju kematian alami individu 1/ tahun Laju interaksi penyalahgunaan narkoba rentan dengan penyalahgunaan narkoba tingkat ringan dan tingkat berat 1/ tahun Laju perpindahan populasi penyalahgunaan narkoba dari tingkat ringan ke tingkat berat 1/ tahun Laju kematian akibat penyalahgunaan narkoba tingkat berat 1/ tahun Laju perpindahan populasi penyalahgunaan dari tingkat berat ke treatment 1/ tahun Laju populasi penyalahgunaan narkoba dari treatment ke tingkat berat 1/ tahun Laju populasi penyalahgunaan narkoba dari treatment ke recovery 1/ tahun Laju populasi penyalahgunaan narkoba tingkatan ringan ke treatment 1/ tahun Laju perpindahan pengguna narkoba dari recovery ke pengguna tingkatan ringan 1/ tahun Proporsi efek  penerapan kampanye anti narkoba - Proporsi efek penerapan penguatan terhadap psikologi diri lewat konseling -

## 3. Masalah Kontrol Optimal
Pada  penelitian  ini  permasalahan  akan  diselesaikan  menggunakan  kontrol  optimal  dengan tujuan untuk meminimumkan jumlah individu penyebaran penyalahgunaan narkoba dengan biaya
penerapan  kontrol dan yang  minimum.  Fungsi  tujuan  yang  akan  diminimumkan didefinisikan sebagai berikut:
( ) ( ) ∫ ( ( ) ( ) ( ) ( )) (   ) dimana batas kontrol optimal berada pada , serta merupakan waktu akhir  pengontrolan.  Koefisien merupakan  nilai  bobot  tujuan  untuk  mengurangi  jumlah individu  penyalahgunaan  narkoba  tingkat  ringan,  koefisien merupakan  nilai  bobot  tujuan untuk  mengurangi  jumlah  individu  penyalahgunaan  narkoba  tingkat  berat,  koefisien merupakan nilai bobot dari fungsi kontrol yaitu upaya kampanye anti narkoba, dan koefisien merupakan nilai bobot tujuan dari fungsi kontrol yaitu upaya penyadaran penyalahgunaan narkoba  dengan  peguatan  psikologi  melalui  konseling.  Merepresentasikan persamaan  (3.1) pencarian  fungsi  kontrol ( ) sedemikian  sehingga ( )    ( ) untuk setiap ( ) .
4. Pembentukan Persamaan State, Costate, dan Syarat Kestasioneran Pada persamaan (   ) diberikan masalah optimasi, kemudian akan ditentukan kontrol optimal yang  memenuhi ( )      * ( )       + .  Berdasarkan  prinsip  minimum  Pontryagin langkah pertama membentuk fungsi Hamilton terlebih dahulu untuk menyelesaikan fungsi tujuan pada persamaan (   ) dengan kendala pada persamaan (   ) . Dari persamaan (3.1) diperoleh:
(       ) ( ) ( ) ( ) ( )
Misalkan pengali Lagrange dari persamaan (   ) yaitu dan adalah transpose dari sehingga dapat dituliskan
( )
maka fungsi Hamilton dapat diuraikan seperti berikut:
(          )    (       ) ( ) (       )
(          )
(     ( ( )) (     ) ( ) ) ( ( ( )) (     ) ( ( ))    (         ) ) (     (         ) ) (          ( ) ) (     ( ) )                                                                                                      (   ) Dari  persamaan (   ) akan  ditentukan  persamaan state,costate, dan  syarat  stasioner  sebagai berikut:
 Persamaan state :
̇ ( )
diperoleh
̇ ( ( )) (     ) ( ) ̇ ( ( )) (     ) ( ( ))    (         ) ̇ (         ) ̇ ( ) ̇ ( )
 Persamaan costate ̇ ( ) diperoleh: ̇ ( ) ( ( ( ))(     )) ̇ ( )( ( ( )) )   ( )    ( ) ̇ ( )( ( ( )) )   ( ) (     ) ̇ ( ) ( ) ̇ ( )( ( ))   ( )( )
 Syarat stasioner
Bentuk dan yang optimal diperoleh dengan menggunakan syarat stasioner diberikan oleh:
̇ ( ) dari syarat stasioner diperoleh: ( )(  (     )) ( )( ) sehingga diperoleh kontrol optimal dan
sebagai berikut:
{    { ( )(  (     )) }    } {    { ( )( ) }    }

## 5. Simulasi Numerik
Penggunaan  narkoba  tetap  menjadi  ancaman  bagi  kesehatan  masyarakat  bagi  Negara  maju dan  berkembang.  Peneliti Mushadzesa,  dkk  menggunakan  strategi  intervensi  ketergantungan  waktu dimana  setelah  14  tahun  memungkinkan  efektif  pengurangan  penggunaan  narkoba  [9]. Pada  bagian  ini dilakukan simulasi numerik untuk mendapatkan solusi optimal sistem.dengan menggunakan nilai yang  diperoleh  dari  [5,  7,  9]  dan  beberapa  asumsi  untuk  simulasi  diberikan  nilai  awal  dari masing-masing  populasi  adalah ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,  dan ( ) ,  nilai  bobot  yang  digunakan dan  nilai parameter  yang  digunakan dan Metode  numerik  yang  digunakan  adalah  metode forward- backward sweep . Interval waktu [ ] yaitu dan waktu akhir tahun, begitu pula dengan  fungsi  kontrol ( ) dengan ( ) dan .  Solusi
( ) dan ( ) dicari  dengan  menggunakan  metode forward-backward Runge-Kutta  orde  4.
Sedangkan nilai diperbaharui dari setiap iterasi menggunakan ( ) , dengan diperoleh dari syarat keoptimalan [11].
Pada  pemaparan  sebelumnya,  telah  dijelaskan  bahwa  terdapat  dua  macam  kontrol  dalam model  penyebaran  perilaku  penyalahgunaan  narkoba  ini,  yaitu  kontrol ( ) merupakan  upaya penerapan  kampanye  anti  narkoba  dan  kontrol ( ) merupakan  upaya  penerapan  penguatan psikologi  diri  lewat  konseling.  Adapun  bentuk  grafik  yang  optimal  dari ( ) dan ( ) dapat dilihat pada gambar berikut.
Grafik 5.1. Grafik Perbandingan Fungsi Kontrol Optimal ( ) dan ( ) Pada  Gambar  5.1,  terlihat  bahwa  pada  awal  waktu  sampai  waktu tahun,  nilai ( )
dan ( ) memiliki nilai konstan yang sama yaitu bernilai 1. Hal ini menunjukkan bahwa upaya penerapan  kampanye  anti  narkoba  dan  penguatan  terhadap  psikologi  diri  lewat  konseling  perlu dilakukan  dengan  maksimal  secara  bersamaan  diawal  waktu  sampai tahun.  Dari  gambar tersebut  juga  dapat  dilihat  adanya  kondisi  nilai ( ) dan ( ) terus  mengalami  penurunan
seiring dengan berjalannnya waktu, dimana kondisi nilai ( ) mengalami penurunan lebih awal pada saat
tahun, dibandingkan dengan nilai
( ) yang mengalami penurunan saat tahun.  Penurunan  nilai ( ) lebih  awal  dibandingkan  dengan ( ) disebabkan  bobot  biaya untuk  upaya  penerapan  kampanye  anti  narkoba ( ( )) lebih  besar  dibandingkan  dengan penguatan  terhadap  psikologi  diri  lewat  konseling ( ( )) .  Penurunan  dari  grafik ( ) dan ( ) juga  menunjukkan  bahwa  saat  kondisi  individu  yang  menyalahgunakan  narkoba  sudah mulai  berkurang,  maka  upaya  penerapan  kampanye  anti  narkoba  dan  penguatan  terhadap psikologi diri lewat konseling harus pula dikurangi.

## 6. Kesimpulan
Model  matematika  dinamika  penyebaran  penyalahgunaan  narkoba  dikembangkan  dengan lima  kompartemen  yaitu  rentan  menggunakan  narkoba  atau Susceptible  (S), penyalahgunaan narkoba  tingkat  ringan  atau Lighter  Users  (A), tingkat  berat  atau Heavy  Users  (H), penyalahgunaan  narkoba  melakukan  pengobatan  atau Treatment  (T), dan  penyalahgunaan narkoba  yang  sembuh  dan  mengalami  masa  pemulihan  atau Recovery  (R) dengan  pemberian penerapan kontrol optimal berupa efek penerapan kampanye anti narkoba dan penguatan terhadap psikologi  diri  lewat  konseling  sehingga  dapat  meminimalkan  terjadinya  penyebaran penyalahgunaan narkoba. Diperoleh dua bentuk kontrol optimal yaitu:
{    { ( )(  (     )) }    } {    { ( )( ) }    }
Berdasarkan hasil simulasi numerik, diperoleh bahwa penerapan kontrol optimal berupa efek penerapan  kampanye  anti  narkoba  berkurang  lebih  cepat  jika  dibandingkan  dengan    penerapan penguatan terhadap psikologi diri lewat konseling. Penerapan kontrol tersebut artinya masyarakat perlu diberikan edukasi lebih lama.

## Daftar Pustaka
[1] Alodokter., 2018. www.alodokter.com/penyalahgunaan-napza . [10 Juli 2020]
[2] Badan  Narkotika  Nasional.,  2019. https://bnn.go.id/penggunaan-narkotika-kalangan- remaja-meningkat/ . [ 10 Juli 2020]
[3] Beay L. K., Kasbawati & Toaha S., 2017. Effects Of Human And Mosquito Migrations On The  Dynamical  Behavior  Of  The  Spread  Of  Malaria. AIP  Conference  Proceedings Vol 1825, 020006 (2017). doi.org/10.1063/1.4978975.
[4] Hartati,  H.,  Toaha,  S.  & Kasbawati., 2019.  Stability  Analysis  of  SEISEIR-SEI  Modelling on The Dynamics of Spread Dengue Fever with Vaccination and Insecticide J. Phys.: Conf. Ser. 1341 062033. doi:10.1088/1742-6596/1341/6/062033.
[5] Kavuti,  Joan  K.,  Shaibu  Osman  &  Mary  Wainaina.,  2018. Mathematical  Modelling  of Substance  Abuse  by  Commercial  Drivers .  Dapertment  Of  Mathematics  and  Actuarial Science, Catholic University of Eastern Africa.
[6] Lenhart,  S.  &  Workman,  J.  T.,  2007. Optimal  Control  Applied  to  Biological  Models. London: Taylor & Francis Group.
[7] Lucas,  Fikiri  M.  &  Dmitry  Kuznetsov.,  2019. Mathematical  Modelling  on  the  Effects  of Drug  Abuse  to  the  Societies .  Dapertment  of  Applied  Mathematics  The  Nelson  Mandela Africa Institute of Science and Technology Arusha, Tanzania.
[8] Muin, R. M., Toaha, S. & Kasbawati., 2019. Effect of Vaccination and Treatment on The MSEICR  Model  Of  The  Transmission  Of  Hepatitis  B  Virus  J.  Phys.:  Conf.  Ser . 1341 062031. doi:10.1088/1742-6596/1341/6/062031.
[9] Mushadzesa,  S.  &  Tapedzesa,  G.  2015.  Modelling  Illcit  Drug  Use  Dynamics  and  Its Optimal  Control  Analysis. Computational  and  Mathematical  Method  in  Medicine ,  Vol 2015
[10] Toaha  S,  Kusuma  J,  Khaeruddin  &  Bahri  M.,  2014.  Stability  Analysis  and  Optimal Harvesting  Policy  of  Prey-Predator  Model  with  Stage  Structure  for  Predator. Applied Mathematical Sciences, 8 (159), 7923-7934.
[11] Toaha, S. & Rustam., 2017. Optimal Harvesting Policy of Predator-Prey Model with Free Fishing and Reserve Zones. AIP Conference Proceedings Vol. 1825 02002.
[12] Toaha, S. & Azis, M.I., 2018. Stability and Optimal Harvesting of Modified Leslie-Gower Predator-Prey Model IOP . Conf. Series: Journal of Physics Vol. 979, No.1, 12069.