INSPIRAMATIKA | Jurnal Inovasi Pendidikan dan Pembelajaran Matematika Volume 4 , Nomor 1 , Juni  2018 , ISSN 2477-278X, e-ISSN 2579-9061

## KAJIAN KESULITAN BELAJAR MAHASISWA DALAM KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS DITINJAU DARI ASPEK EPISTEMOLOGI PADA MATA KULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI
Mohammad Dadan Sundawan a , Irmawati Liliana Kusuma Dewi b , Muchamad Subali Noto c a Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Djati, Cirebon Jl. Perjuangan No. 1 Cirebon, mohammaddadansundawan@unswagati.ac.id
b Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Djati, Cirebon Jl. Perjuangan No. 1 Cirebon, muchamadsubalinoto@unswagati.ac.id c Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Djati, Cirebon Jl. Perjuangan No. 1 Cirebon, irmawatililianakd@unswagati.ac.id

## ABSTRAK
Penelitian ini secara khusus bertujuan menganalisis kemampuan pembuktian matematis, untuk menganalisis kesulitan belajar ditinjau dari epistemologi mahasiswa pada materi geometri transformasi. Manfaat  jangka  panjang  penelitian  ini  adalah  dengan  adanya  kajian  kesulitan  belajar  ditinjau  dari epistemologi  mahasiswa  terkait  pembuktian  matematis  pada  matakuliah  geometri  transformasi, diharapkan dapat memberikan dorongan kepada dosen pengampu lainnya untuk lebih mengembangkan proses  pembelajaran  ataupun  bahan  ajar  dalam  upaya  mengembangkan  kemampuan  pembuktian matematis  mahasiswa  pendidikan  matematika.  Penelitian  ini  menggunakan  metode  deskriptif, sedangkan subjek penelitian adalah 9 mahasiswa calon guru matematika Unswagati yang mengontrak mata  kuliah  geometri  transformasi.  Metode  pengumpulan  data  yang  digunakan  meliputi:  (1)  tes kemampuan  pembuktian  matematis;  (2)  observasi;  (3)  wawancara;  dan  (4)  dokumentasi.  Hasil penelitiaan  diperoleh  terdapat  5  macam  kesulitan  mahasiswa  ditinjau  dari  epistemologi  terkait  mata kuiah geometri transformasi, yaitu a) kesulitan belajar terkait kesulitan dalam menerapkan konsep; b) kesulitan  belajar  terkait  memvisualisasi  objek  geometri;  c)  kesulitan  belajar  terkait  kesulitan menentukan  prinsip;  d)  kesulitan  belajar  terkait  memahami  masalah  dan  e)  terkait  kesulitan  dalam pembuktian matematis. Khusus dalam pembuktian matematis, mahasiswa mengalami kesulitan antara lain: tidak tahu bagaimana memulai konstruksi bukti, tidak dapat menggunakan definisi (konsep) dan prinsip  yang  sudah  diketahui,  dan  cenderung  memulai  konstruksi  bukti  dengan  apa  yang  harus dibuktikan.
Kata Kunci : pembuktian matematis, kesulitan belajar, dan geometri transformasi.

## ABSTRACT
This  research  specifically  aims  to  analyze  the  ability  of  mathematical  proof,  to  analyze learning difficulties in terms of student epistemology on the material of transformation geometry. The long-term  benefit  of  this  study  is  the  study  of  learning  difficulties  in  terms  of  student  epistemology related  to  mathematical  proofing  in  the  course  of  transformation  geometry,  is  expected  to  provide encouragement  to  other  lecturers  to  further  develop  the  learning  process  or  teaching  materials  in  an effort to develop mathematical proof of mathematics students. This research uses descriptive method, while the subject of research is 9 students of Unswagati mathematics teacher candidate who contracted
the  course  of  transformation  geometry.  Methods  of  data  collection  used  include:  (1)  test  of mathematical  proof  capability;  (2)  observation;  (3)  interviews;  and  (4)  documentation.  The  research results  obtained  there  are  5  kinds  of  student  difficulties  viewed  from  epistemology  related  to  the geology  of  transformation geometry,  namely  a)  difficulty  learning  related  difficulties in  applying  the concept;  b)  learning  difficulties  related  to  visualizing  geometric  objects;  c)  learning  difficulties  with difficulty  in  determining  principles;  d)  learning  difficulties  related  to  understanding  problems  and  e) related  difficulties  in  mathematical  proofing.  Especially  in  mathematical  proofing,  students  have difficulties such as: not knowing how to start construction of evidence, unable to use known concepts and principles, and tend to start construction of evidence with what must be proven.
Keywords : mathematical proof, learning difficulties, and transformation geometry.

## PENDAHULUAN
Geometri  merupakan  bagian  yang tak terpisahkan dalam pembelajaran matematika.  Akan  tetapi,  perkembangan geometri  pada  pembelajaran  geometri  saat ini kurang berkembang. Salah satu penyebabnya  adalah  kesulitan  mahasiswa dalam  membentuk  konstruksi  nyata  secara teliti  dan  akurat,  adanya  anggapan  bahwa untuk melukis bangun geometri memerlukan  ketelitian  dalam  pengukuran dan  memerlukan  waktu  yang  lama,  serta tidak jarang mahasiswa mengalami kesulitan dalam proses pembuktian. Sementara itu, melukis memainkan peranan yang penting dalam pembelajaran geometri di sekolah  karena  lukisan  geometri menghubungkan  antara  ruang  fisik  dan teori.  Jika  dikaji  lebih  lanjut  mengenai kaitan  antara  objek-objek  geometri  yang abstrak dengan kesulitan mahasiswa dalam belajar  geometri,  maka  akan  muncul dugaan  bahwa  sesungguhnya  terdapat
masalah  dalam  pembelajaran  geometri  di sekolah  berkaitan  dengan  pembentukan konsep-konsep  yang  abstrak.  Mempelajari konsep  yang  abstrak  tidak  dapat  dilakukan hanya dengan transfer informasi saja, tetapi dibutuhkan  suatu  proses  pembentukan konsep  melalui  serangkaian  aktivitas  yang dialami langsung oleh mahasiswa. Rangkaian  aktivitas  pembentukan  konsep abstrak  tersebut  selanjutnya  disebut  proses abstraksi.
Mempelajari  matematika  berarti akan  mempelajari  juga  cabang  dari matematika  yaitu  ilmu  geometri.  Semua yang  ada  di  alam  ini  merupakan  bangun geometri,  sehingga  matematika  melalui cabangnya  ilmu  geometri  mempelajari tentang  konsep  yang  terkandung  dalam benda-benda  yang  ada  di  alam  ini  melalui konsep-konsep geometri. Sehingga, pengkajian  tentang  pembelajaran  geometri harus  terus  dikembangkan  sehingga  setiap pembelajar  geometri  mampu  menganalisis
benda-benda menjadi suatu konsep geometri  dan  dapat  mengkonstruksi  suatu pengetahuan geometri dengan pembuktian- pembuktian formal.
Akan  tetapi,  pembuktian  matematis pada  materi  geometri  akhir-akhir  ini menjadi kendala sehingga dirasakan kurang berkembang.  Kesulitan  menganalisis  sifat- sifat  geometri  yang  diwujudkan  dalam bentuk  teorema-teorema  sehingga  tercipta sebuah  konsep  banyak  dialami  oleh  para mahasiswa.
Pembuktian menjadi hal yang serius dalam  penentuan  kurikulum  sekolah  di setiap  berbagai  Negara.  Hal  inilah  yang menjadikan NCTM memasukkan penalaran dan  pembuktian  ke  dalam  salah  satu standar  prosesnya.  Artinya  dalam  setiap pembelajaran seorang guru harus memasukan unsure dalam setiap pembelajaran di kelas.
Dalam  pembelajaran  tradisional,  bukti matematis hanya digunakan sebagai sarana untuk  menghilangkan keraguan mahasiswa atas  konsep  yang  diajarkan.  Akan  tetapi bukti  tidak  digunakan  sebagai  sarana meningkatkan kemampuan matematis yang lebih  tinggi.  Seperti  halnya  diungkapkan oleh  Hana  (Christou,  2004),  bahwa  fungsi bukti  dan  pembuktian  adalah:  verifikasi,
penjelas, sistematisasi, penemuan, komunikasi,  konstruksi,  ekplorasi  dan penggabungan.  ( verification,  explanation, systematization, discovery, communication, construction, exploration, and incorporation ). Verifikasi bukti dan pembuktian  dianggap  sebagai  fungsi  yang paling  fundamental  dalam  pembuktian karena  keduanya  merupakan  produk  dari proses pengembangan pemikiran matematika yang sangat matang. Verifikasi mengacu pada kebenaran pernyataan sementara penjelasan memberikan wawasan mengapa pernyataan itu benar.
Berdasarkan permasalahan tersebut, peneliti  akan  mengkaji  kajian  kesulitan belajar ditinjau dari epistemologi mahasiswa terkait kemampuan pembuktian matematis  pada  mata  kuliah  geometri transformasi.
Berdasarkan  permasalahan  yang  telah diuraikan,  diperoleh  rumusan  masalah sebagai berikut.
1. Bagaimana  kemampuan  pembuktian matematis  mahasiswa  pada  matakuliah geometri transformasi?
2. Apa  saja  kesulitan  belajar  mahasiswa ditinjau  dari  epistemologi  mahasiswa terkait  materi  geometri  transformasi?

## KAJIAN PUSTAKA

## 1. Pembuktian Matematis
Menurut Bell (Maarif, 2015) secara
umum, sebuah pembuktian adalah sembarang  argumen  atau  presentasi  dari bukti-bukti  yang  meyakinkan  seseorang untuk menerima suatu kebenaran. Pembelajaran bukti dengan metode penemuan  (discovery)  direkomendasikan oleh  Malek  &  Hadar  (2009).  Dalam penelitiannya, mereka mengimplementasikan Transparent Pseudo-Proofs (TPP)  dalam  pembelajaran bukti matematis. TPP merupakan
pembelajaran  bukti  melalui  pemilihan contoh yang memenuhi pernyataan, sebagai jembatan kognisi untuk memberikan pemahaman lebih jelas (transparan) mengenai  bukti  yang  akan  disusun. Meskipun  pengambilan  contoh  bukan bagian  dari  struktur  bukti,  hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  implementasi  TPP menghasilkan  kemampuan  yang  lebih  baik pada  mahasiswa  dalam  mengkonstruksi bukti.
Leikin (2009) mengembangkan
Multiple  Proof  Tasks (MPT) dalam
pembelajaran  bukti.  MPT  adalah  tugas untuk  membuktikan  suatu  pernyataan
matematis  melalui  berbagai  cara  yang berbeda.
Cara berbeda yang dapat dipilih antara lain: 1. representasi  yang  berbeda  dari  konsep matematika  (misalnya  membuktikan rumus akar fungsi kuadrat menggunakan representasi grafis, menggunakan  representasi  simbolis dalam bentuk formal, atau menggunakan  representasi  simbolis dalam bentuk polinomial),
2. definisi yang berbeda,
3. teorema (sifat) yang berbeda, atau
4. teorema yang berbeda dari subyek yang berbeda.
Menurut  Knuth  (2002),  peranan bukti  dalam  pembelajaran  matematika yaitu:
1. untuk  memverifikasi  bahwa  sebuah pernyataan benar.
2. menjelaskan mengapa sebuah pernyataan dapat dikatakan benar.
3. untuk menemukan atau membuat matematika baru
4. untuk membuat sistematisasi
pernyataan dalam Sistem aksiomatik.
2. Jenis-jenis Pembuktian Matematis
Menurut Sumarmo (2004),
kemampuan  pembuktian  matematis  dibagi
menjadi  dua,  yaitu:  kemampuan  membaca bukti  dan  kemampuan  mengkonstruksi bukti. Berkaitan dengan kemampuan membaca bukti, Sumarmo (2004)
menyatakan  bahwa  seorang  pembaca dikatakan  memahami  teks  matematika misalnya  sajian  bukti  matematika,  apabila ia dapat mengemukakan gagasan matematika  yang  termuat  dalam  teks tersebut  secara  lisan  atau  tulisan  dengan bahasanya  sendiri.  Dengan  demikian,  ia
tidak  hanya  sekedar  melafalkan  uraian suatu  bukti,  melainkan  mengemukakan makna  yang  terkandung  di  dalam  bukti matematik yang bersangkutan.
Kemampuan  mengkonstruksi  bukti  adalah kemampuan menyusun suatu bukti pernyataan matematik berdasarkan definisi, prinsip,  dan  teorema,  serta  menuliskannya dalam bentuk pembuktian lengkap (pembuktian  langsung  atau  tak  langsung). Tabel 1. Kemampuan Pembuktian dan Aspek yang diukur Dimensi Aspek yang diukur Membaca Bukti 1. Kemampuan  menerapkan  tahapan-tahapan  pembuktian  pernyataan ke dalam pernyataan lain yang serupa. 2. Kemampuan menggunakan definisi sebagai dasar dalam memberikan alasan  pada  langkah  pembuktian  yang  benar  atau  perbaikan  simbol, narasi, premis pada tahap/langkah pembuktian yang kurang tepat.
3. Membandingkan  dua  definisi,  kemudian  memilih  salah  satu  definisi untuk digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan.
4. Kemampuan  menelaah  suatu  pernyataan  matematika  untuk menentukan  kebenaran  atau  untuk  menunjukkan  kesalahan pernyataan tersebut dengan menggunakan contoh penyangkalan.
5. Membuat suatu hipotesis (konjektur) berdasarkan pola dan sifat dari beberapa  pernyataan  dan  membuktikan  konjektur  yang  diperoleh tersebut secara deduktif. Meng- konstruksi Bukti 1. Kemampuan mengorganisasikan dan memanipulasi fakta-fakta, serta mengurutkan langkah-langkah bukti yang diberikan untuk mendapatkan konstruksi butir yang valid.
2. Kemampuan  membuat  kaitan  antara  fakta-fakta  yang  diketahui dalam pernyataan dengan unsur-unsur yang hendak dibuktikan.
3. Kemampuan  menggunakan  premis,  definisi,  atau  teorema-teorema yang terkait pernyataan untuk membangun suatu pembuktian.

## Tabel 2. Rubrik penskoran pembuktian menurut Malcolm (2005)
Indikator/kategori kerja Respons Siswa Siswa memerlukan instruksi yang signifikan Mahasiswa  dapat  memahami  pernyataan  umum, namun  tidak  bisa  mengujinya  dalam  kasus-kasus tertentu. Mahasiswa  hanya  dapat  mengikuti  sebagian  kecil dari bukti  yang diberikan dan tidak dapat memulai untuk mengevaluasi. Siswa membutuhkan beberapa instruksi Mahasiswa dapat memahami pernyataan umum dan dapat  memberikan  contoh  untuk  mengujinya. Contoh  yang  diajukan  kurang  tepat  sehingga  tidak dapat dijadikan untuk fondasi bukti.
Mahasiswa  dapat  mengikuti  bukti  yang  diberikan.
Mahasiswa tidak dapat memulai untuk menjelaskan bagaimana,  mengapa  atau  pada  bagian  mana kesalahan langkah bukti yang dituliskan. Siswa membutuhkan perbaikan pekerjaan bukti Siswa  dapat  memahami  sebuah  pernyataan  umum dan  dapat  mengujikannya  dengan  sebuah  contoh yang  ada.  Siswa  dapat  mengambarkan  kesimpulan yang tepat. Tetapi tidak mencoba untuk membuktikan  atau  menjustifikasi  kesimpulan tersebut secara umum.
Siswa  dapat  mengikuti  bukti  yang  diberikan  dan mengkoreksi kesalahan bukti yang diberikan. Siswa membuat  sebagian  penjelasan  dari  kesalahan  sifat- sifat  tetapi  tidak  menjelaskan  secara  signifikan sifat-sifat tersebut. Siswa membuktikan sesuai dengan bukti formal Siswa  dapat  memahami  sebuah  pernyataan  umum dan  dapat  mengujikannya  dengan  sebuah  contoh yang  ada.  Siswa  dapat  mengambarkan  kesimpulan yang tepat. Dan dapat mencoba untuk membuktikan  atau  menjustifikasi  kesimpulan tersebut secara umum.
Siswa  dapat  mengikuti  bukti  yang  diberikan  dan mengkoreksi kesalahan bukti yang diberikan. Siswa membuat  sebagian  penjelasan  dari  kesalahan  sifat- sifat dan dapat menjelaskan secara signifikan sifat- sifat tersebut.
Tujuan belajar bukti antara lain:
1. Pemahaman terhadap kemanfaatan bukti  matematis  sebagai  alat  untuk menunjukkan bahwa sesuatu itu bernilai benar/salah.
2. Bukti  merupakan  objek  dari  belajar matematika.
3. Pemahaman bukti matematis bersesuaian  dengan  umur  dan  tingkat daya pikir siswa.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  untuk menganalisis  kesulitan  belajar  mahasiswa, terutama dari segi estimologi yaitu kesulitan  mahasiswa  dilihat  dari  segi materi,  baik  yang  disajikan  dalam  bentuk bahan ajar ataupun materi yang disampaikan dalam perkuliahan.
Metode  penelitian  ini  adalah  metode deskripsi yang bertujuan untuk
mendeskripsikan  kesulitan  belajar  ditinjau dari epistemologi mahasiswa terkait pembuktian  matematis  pada  matakuliah geometri  transformasi.  Subyek  penelitian
adalah 9 mahasiswa calon guru matematika Unswagati  yang  mengontrak  mata  kuliah geometri  transformasi  yang  terdiri  dari  3 mahasiswa  dengan  pengetahuan  awal matematis  tinggi,  3  mahasiswa  dengan pengetahuan  awal  matematis  sedang  dan  3 mahasiswa  dengan  pengetahuan  awal matematis rendah . Pengetahuan awal tersebut berdasarkan perolehan indeks prestasi mahasiswa pada semester sebelumnya. Untuk kesulitan belajar mahasiswa dari segi epistemologi mahasiswa pada  materi  transformmasi  menggunakan  5 indikator  yaitu  konsep,  visualisasi,  prinsip, memahami masalah, dan pembuktian matematis.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  menghasilkan  data kuantitatif  dan  data  kualitatif,  yaitu  data kemampuan  pembuktian  matematis  dan data kesulitan belajar mahasiswa pada mata kuliah  geometri  transformasi.  Berdasarkan data  yag  diperoleh,  telah  disajikan  dalam Table 3 berikut.

## Tabel 3 Kemampuan Pembuktian Matematis (KPM)
No Siswa P1 P2 P3 P4 P5 Skor Total Kemampuan 1 S1 2 3 2 0 10 19 T 2 S2 3 0 0 0 4 7 R 3 S3 2 3 0 0 5 10 S 4 S4 1 2 2 0 5 10 S 5 S5 3 2 2 2 15 26 T 6 S6 2 0 0 0 2 4 R 7 S7 2 0 0 0 2 4 R 8 S8 2 0 0 2 8 14 T 9 S9 3 0 0 0 6 8 S
Kesulitan  belajar  siswa  dalam memahami  konsep-konsep  dalam  geometri transformasi  diatas,  maka  kesulitan  belajar dari  segi  epistemologi  dalam  mengerjakan soal  pada  geometri  transformasi  dibagi menjadi  5  jenis,  hal  ini  ditinjau  dari indikator  dalam  mengkaji  kesulitan  belajar yaitu:  a.  Kesulitan  belajar  terkait  kesulitan dalam  menerapkan  konsep;  b.  Kesulitan belajar terkait memvisualisasi objek geometri;  c.  Kesulitan  belajar  terkait kesulitan  menentukan  prinsip;  d.  Kesulitan belajar  terkait  memahami  masalah  dan  e. terkait kesulitan dalam pembuktian
matematis. a. Kesulitan Belajar Terkait Memahami dan Menerapkan Konsep
Kesulitan  belajar  ini  merupakan
kesulitan  yang  dialami  siswa  dalam memahami  dan  menerapkan  konsep  sesuai dengan  perintah  soal.  Contoh  kesulitan  ini salah  satunya  siswa  tidak  memahami konsep, mahasiswa tidak dapat menyebutkan  definisi  transformasi.  Hal  ini terjadi pada mahasiswa dengan pengetahuan awal matematis tinggi, sedang maupun rendah.
Berikut  adalah  salah  satu  contoh soal  dan  respon  siswa  yang  mengalami hambatan  belajar.  Misalnya  pada  soal berikut:  tuliskan  definisi  dari  suatu transformasi pada bidang V.
Kesulitan mahasiswa dengan pengetahuan  awal  tinggi  dideskripsikan sebagai  berikut.  S1  mengalami  kesulitan terhadap  konsep,  untuk  mendefinisikan
transformasi, mahasiswa ini tidak menuliskan  domain/kodomain  dari  suatu fungsi  yang  disebut  transformasi.  S5  dapat menuliskan  dengan  benar  dan  lengkap definisi  dari  transformasi.  S8  mengalami kesulihatn terhadap konsep, untuk mendefinisikan  transformasi,  mahasiswa ini tidak menuliskan domain/kodomain dari suatu fungsi yang disebut transformasi.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal sedang dideskripsikan sebagai berikut.
S3  mengalami  kesulitan  terhadap konsep, tidak dapat mendefinisikan transformasi  dengan  benar,  mahasiswa  ini hanya  menyebutkan  bahwa  transformasi merupakan  suatu  fungsi  yang  bijektif, tetapi  tidak  menuliskan  domain/kodomain dari fungsi tersebut. S4 dalam mendefinisikan  transformasi  hanya  dengan menyebutkan  bahwa  transformasi  adalah fungsi  yang  injektif  saja.  S9  dapat menuliskan  definisi  transformasi  dengan benar dan lengkap.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal rendah dideskripsikan sebagai berikut.
S2  tidak  mengalami  kesulitan dalam menuliskan definisi transformasi. S6 dan  S7  menuliskan  definisi  transformasi
tidak  lengkap.  Kedua  mahasiswa  tersebut tidak  menuliskan  domain/kodomain  dari fungsi  yang  merupakan  transformasi  pada bidang V. Selain itu juga S6 didapati salah dalam menuliskan notasi.
b. Kesulitan Belajar Terkait Memvisualisasikan Kesulitan belajar terkait memvisualisasi objek geometri.
Maksudnya  adalah  mahasiswa  mengalami kesulitan  dalam  hal  menggambarkan  garis hasil  transformasi.  Contoh  kesulitan  ini diantaranya  ketidakmampuan  siswa  dalam melukis  dengan  benar  dan  tepat.  Berikut adalah  salah  satu  contoh  soal  dan  respon mahasiswa  yang  mengalami  Kesulitan belajar.  Misalnya  pada  soal  nomor  2  yaitu sebagai berikut:
Lukislah  garis ) ( ' g M g h  jika  h  =  {(x,y) |y = x + 1} dan     x y y x g    , .
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal tinggi dideskripsikan sebagai berikut.
S1 mengalami kesulitan memvisualisaikan dengan benar garis g dan h sehingga  gambar  hasil  pencerminan gambar  yang  dibuat  salah.  S5  dapat memvisualisasikan sesuai dengan apa  yang diketahui  dan  ditanyakan,  tetapi  gambar masih  dibuat  tanpa  penggaris.  S8  dapat
melukiskan garis hasil pencerminan dengan tepat.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal sedang dideskripsikan sebagai berikut.
S3  mengalami  kesulitan  dalam memvisualisasikan  garis h sehingga  hasil pencerminan  yang  dilukiskan  salah.  S4 dalam melukis tidak menggunakan penggaris,  tetapi  hasil  pencerminan  yang dilukiskan  sudah  tepat.  S9  tidak  dapat melukiskan semua yang diketahui.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal rendah dideskripsikan sebagai berikut.
S2 dapat melukis hasil pencerminan dengan  benar.  S6  dan  S7  tidak  dapat melukiskan semua yang diketahui sehingga hasil  penceminan  tidak  ada,  selain  itu, kedua mahasiswa tersebut tidak
menggambar  koordinat  kartesius  sebagai langkah  awal  dalam  melukis  suatu  garis hasil pencerminan.

## c. Kesulitan belajar terkait prinsip
Kesulitan belajar ini yaitu kesulitan
yang dialami siswa dalam hal menyelesaikan masalah dengan
menentukan  prinsip-prinsip  yang  akan digunakan  dalam  penyelesaian  masalah
transformasi.  Contoh  kesulitan  ini  yaitu ketidakmampuan siswa dalam menyebutkan  sifat-sifat  isometri,  sehingga tidak dapat member alasan dari pertanyaan- pertanyaan  dalam  soal.  Berikut  adalah salah  satu  contoh  soal  dan  respon  siswa yang  mengalami  kesulitan  belajar  ini. Misalnya  pada  soal  berikut:  Diketahui:  T dan  S  isometri.  Tentukan  pernyataan- pernyataan di bawah ini Benar atau Salah? Berikan Alasanmu.
a. Jika g sebuah  garis  maka g ’  = (TS)( g ) juga sebuah garis.
b. Jika g // h dan g ’  =  (TS)( g ), h ’  = (TS)( h ) maka g ’ // h ’.
c. Jika  S  adalah  pencerminan  maka  S bersifat involutorik.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal tinggi dideskripsikan sebagai berikut.
S1  dapat  menjawab  dengan  benar, namun  alasan  yang  diutarakan  salah.  S5 dapat  menjawab  dengan  benar  beserta alasannya dengan tepat. S8 dapat menyebutkan  definisi  isometri  dengan benar,  tetapi  tidak  dapat  menjawab pertanyaan  terkait  dengan  prinsip  isometri, sehingga  alasan  yang  digunakan  tidak benar.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan
awal sedang dideskripsikan sebagai berikut.
S3 mengalami kesulitan menuliskan definisi isometric dan memberi alasan yang salah  terkait  pernyataan-pernyataan  yang diberikan.  S4  dapat  menuliskan  alasan dengan tepat tetapi masih terdapat penulisan  notasi  yang  salah.  S9  salah menuliskan  definisi  isometri,  memberikan alasan yang salah.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal rendah dideskripsikan sebagai berikut.
S2  salah  menuliskan  definisi  dan alasan  yang  diberikan  juga  salah.  S6  dan S7  salah  dalam  menuliskan  definisi  dan tidak menyertakan alasan (tidak
menjawab).

## d. Kesulitan belajar terkait memahami masalah
Kesulitan  belajar  ini  yaitu  kesulitan  yang dialami siswa dalam hal memahami masalah untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan  langkah-langkah  penyelesaian dengan  menuliskan  apa  yang  diketahui  dan ditanyakan  dari  soal.  Contoh  kesulitan  ini adalah  ketidakmampuan  mahasiswa  dalam menyelesaikan masalah sesuai dengan langkah-langkah penyelesaian. Berikut adalah  salah  satu  contoh  soal  dan  respon
siswa yang mengalami kesulitan belajar ini. Misalnya  pada  soal  berikut:  tentukan persamaan garis ) ( ' g M g h  jika h = {(x,y) |y = x + 1} dan     x y y x g    , .
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal tinggi dideskripsikan sebagai berikut.
S1 mengalami kesulitan menentukan  apa  yang  diketahui  dan prosedur  penyelesaian  masalah  masih keliru.  S5  dapat  memahami  masalah, mengetahui  apa  yang  diketahui  dan ditanyakan,  dapat  menyelesaikan  masalah sesuai  dengan  prosedur  penyelesaian.  S8 dapat memahami masalah dan menyelesaikannya sesuai prosedur.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal sedang dideskripsikan sebagai berikut.
S3  dapat  memahami  masalah  dan menyelesaikan  masalah  dengan  prosedur yang tepat, tetapi terdapat kesalahan dalam operasi  hitung.  S4  dapat  memahami masalah dan menyelesaikan masalah sesuai prosedur. S9 tidak bisa memahami masalah dan tidak dapat menyelesaikannya.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal rendah dideskripsikan sebagai berikut.
S2 dapat  memahami masalah tetapi
tidak dapat menyelesaikan dengan prosedur yang  benar.  S6  dan  S7  tidak  dapat memahami masalah dan tidak menyelesaikannya.
e. Kesulitan dalam pembuktian
matematis
Kesulitan  belajar  ini  yaitu  kesulitan yang dialami mahasiswa dalam hal mengonstruksi bukt dari soal. Berikut adalah salah  satu  contoh  soal  dan  respon  siswa yang  mengalami  kesulitan  belajar  ini.
Misalnya  pada  soal  berikut:  buktikan bahwa  pencerminan  pada  garis g adalah suatu isometri.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal tinggi dideskripsikan sebagai berikut.
S1  dapat  mengonstruksi  bukti dengan  benar  tetapi  terdapat  notasi  yang masih salah. S5 dapat mengonstruksi bukti dengan  benar.  S8  dapat  mengonstruksi bukti  sebagian,  pada  akhir  bagian  terdapat kesalahan dalam memberikan alasan.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal sedang dideskripsikan sebagai berikut.
S3 dan S4 kesulitan untuk mengonstruksi bukti, tidak dapat menggunakan  definisi  yang  sudah  ada.  S9 kesulitan  untuk  memulai  mengonstruksi
bukti.
Kesulitan  mahasiswa  dengan  pengetahuan awal rendah dideskripsikan sebagai berikut.
S2 tidak dapat menggunakan definisi untuk mengonstruksi bukti. S6 dan S7  memulai  mengkonstruksi  bukti  dengan hal  yang  akan  dibuktikan,  kesulitan  dalam memulai  konstruksi  bukti  dan  tidak  dapat menggunakan definisi untuk mengonstruksi bukti.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berikut  adalah  simpulan-simpulan yang  didapatkan  dalam  penelitian  ini.  1) rata-rata kemampuan pembuktian matematis  mahasiswa  khususnya  dalam mengonstruksi  bukti  sebesar  11,33  (skor maksimal  28)  dengan  rincaian  sebagai berikut: untuk mahasiswa dengan pengetahuan  awal  matematis  yang  tinggi memperoleh rata-rata sebesar 19,67; mahasiswa  dengan  pengetahuan  awal matematis  sedang  memperoleh  rata-rata sebesar 9,33; dan dengan pengetahuan awal matematis  rendah  memperoleh  rata-rata sebesar 5,00. 2) terdapat 5 macam kesulitan mahasiswa  ditinjau  dari  epistemology terkait  mata  kuiah  geometri  transformasi, yaitu  a)  kesulitan  belajar  terkait  kesulitan dalam  menerapkan  konsep;  b)  kesulitan belajar terkait memvisualisasi objek
geometri;  c)  kesulitan  belajar  terkait kesulitan  menentukan  prinsip;  d.  kesulitan belajar  terkait  memahami  masalah  dan  e. terkait kesulitan dalam pembuktian matematis.  Khusus  dalam  pembuktian matematis, mahasiswa mengalami kesulitan antara lain: tidak tahu bagaimana memulai  konstruksi  bukti,  tidak  dapat menggunakan definisi (konsep) dan prinsip yang  sudah  diketahui,  dan  cenderung memulai konstruksi bukti dengan apa yang harus dibuktikan.
Berikut adalah saran-saran dari peneliti.
1. Kemampuan  pembuktian  matematis mahasiswa  masih  tergolong  rendah terutama  untuk  mahasiswa  dengan pengetahuan  awal  sedang  dan  rendah. Maka  perlu  diterapkan  sebuah  model pembelajaran yang menuntun mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti.
2. Kesulitan-kesulitan tersebut dapat diatasi  dengan  membuat  bahan  ajar yang  menekankan  pada  pentingnya konsp, cara menggambar dan menuntun dalam mengkonstruksi bukti.

## DAFTAR PUSTAKA
Byer,  W.  2007. How  Mathematicians Think . New Jersey: Princeton
University Press.
Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M.,
&  Pitta-Pantazi,  D.  2004. Proofs Through  Exploration  In  Dynamic Geometry
Environments . Proceedings of the 28th Conference of  the  International  Group  for  the Psychology of Mathematics
Education, 2004 Vol 2 pp 215–222.
Hinze,  A.  dan  Reiss,  K.  (2004). Aiso Heinze,  Kristina  Reiss  Reasoning and Proof: Methodological Knowledge  as  a  Component  of Proof Competence . [Online] http://www.dm.unipi.it/~didattica/C ERME3/proceedings/Groups/ TG4/TG4 _Heinze_cerme3.pdf
diakses  pada  tanggal  18  Oktober 2015 pukul 23.00.
Jones,  K.  dan  Rodd,  M.  (2001). Geometry and  Proof.  Proceedings  of  the British  Society  for  Research  into Learning Mathematics 21(1) March 2001.
Knuth, E.J. (2002). Theachers’ Conception of  Proof  in  the  Context  of Secondary  School  Mathematics . Journal  of  Mathematics  Teacher
Education  5:  61–88,  2002.  ©  2002 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands Leikin,  R.  2009. Multiple  Proof  Tasks
Teacher  Practice  and  Teacher Education . Proceedings of the ICMI Study  19  Conference:  Proof  and Prooving in Mathematics Education,  31-35.  Conference  held
on  May  10-15,  2009  in  Taipe, Taiwan.
Maarif,  S.  2015. Pembelajaran  Geometri Berbantuan Cabri 2 Plus (Panduan Praktis Mengembangkan Kemampuan  Matematis) .  Bogor:  In Media. Malcolm Swan dan Jim Ridgway. Convincing  and  Proving'  Tasks . [online]
https://www.google.co.id/url?sa=t& rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd =2&cad=rja&uact=8&ved=0CCwQ FjABahUKEwi40KTi3YnJAhXLkp QKHSDwBEU&url=http%3A%2F %2Fwww.flaguide.org%2Fextra%2 Fdownload%2Fcat%2Fmath%2Fco nvincing%2Fconvince.rtf&usg=AF QjCNEK5FIYBotly5_CEXJT8iaZJ eqAVA&bvm=bv.107406026,d.dG o.
Malek, A & Hadar, N.M. 2009. The Art of Constucting  A  Transparent  P- Proof .  Proceedings  of  the  ICMI
Study  19  Conference:  Proof  and Prooving in Mathematics Education,  70-75.  Conference  held on  May  10-15,  2009  in  Taipe, Taiwan.
Mariotti,  M.A.  (2001). Introduction  To Proof: The Mediation Of A Dynamic Softwareenvironment . Educational Studies in Mathematics 44:  25–53,  2000.  ©  2001  Kluwer
Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
Moore,  R.  C.  1994. Making  the  Transition to  Formal  Proof.  Educational
Studies  in  Mathematics, 27,  (3),
249-266.
National
Council of Teachers of Mathematics.  2000. Principles  and
Standards  for  School  Mathematics .
Reston, VA: Author.
Reiss, K dan Renkl, A. (2001). Learning to prove:  The  idea  of  heuristic examples .  ZDM  Journal  2002  Vol.
34 (1). Sumarmo, U. 2014. Advanced Mathematical  Thinking  dan  Habits of  Mind  Mahasiswa .  Bahan  Ajar Matakuliah Kajian dan Isu Pendidikan Matematika Pascasarjana UPI dan STKIP Siliwangi  Bandung.  Dapat  diakses di: http://utari- sumarmo.dosen.stkipsiliwangi.ac.id /2015/09  /makalah-advanced-math- thinking-dan-habit-of-mind/
Suryadi,  D.  2007.  Model  Bahan  Ajar  dan
Kerangka-Kerja Pedagogis Matematika untuk Menumbuhkembangkan Kemampuan  Berpikir  Matematik Tingkat Tinggi. Laporan Penelitian: Tersedia di: http://didi- suryadi.staf.upi.edu/artikel/
Tall,  D.  1999. The  Cognitive  Development of  Proof:  Is  Mathematical  Proof For All or For Some?