## JEPIN
(Jurnal Edukasi dan Penelitian Informatika)
ISSN(e): 2548-9364 / ISSN(p) : 2460-0741

## Optimalisasi Kecepatan Sistem Aliran Fluida Metoda Linear Quadratic Regulator
Hilda #1 , Ade Elbani *2
# Jurusan Teknik Elektro, Jurusan Teknik Elektro Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H.Hadari Nawawi Pontianak 78124
1 hilda.judiarto@ee.untan.ac.id
* Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H.Hadari Nawawi Pontianak 78124
2 penulis.kedua@kedua.com
Abstrak — Penelitian  ini  membahas  penerapan  metode Regulator  Kuadratik  Linier  (LQR)  pada  sistem  kendali optimal. LQR menggunakan kombinasi linier dari state plant untuk  melakukan  proses  kontrol,  sehingga  memerlukan semua  state  dalam  sistem  yang  tersedia  untuk  diukur  atau diakses. Namun, jika beberapa state tidak dapat diukur, LQR dapat  mengestimasi  state-state  tersebut  berdasarkan  model sistem dan keluaran sistem yang dapat diukur. Penelitian ini berfokus pada perancangan model pengendali optimal untuk meningkatkan  kecepatan  proses  dalam  sistem  industri. Simulasi  dilakukan  menggunakan  software  Matlab  R2020 untuk  menunjukkan  respons  dari  pengendalian  kecepatan secara  optimal.  Hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa pemasangan  kendali  optimal  dapat  mempercepat  waktu stabilisasi  gambar-gambar,  tergantung  pada  pemilihan matriks bobot Q dan R yang tepat.
Kata Kunci :  State, Optimal, Linear Quadratic Regulator

## I. P ENDAHULUAN
Desain  sistem  kendali  mengacu  pada  proses  memilih perolehan umpan balik untuk memenuhi spesifikasi desain sistem kendali loop tertutup [1]–[4]. Implementasi sistem kendali optimal  sudah diterapkan ke berbagai bidang baik industri jasa maupun industri manufaktur [5]–[8]. Optimasi tentu  saja  menginginkan  kinerja  suatu  proses  dapat meningkat lebih baik dari segi sistem produksi maupun dari sistem produknya.
Teori  Kendali  Optimal  berkaitan  dengan  masalah bagaimana  mengatur  sistem  [9].  Tujuannya  untuk menentukan  tindakan  terbaik  dimana  suatu  sistem  dapat mencapai  atau  mempertahankan  keadaan  spesifik,  ini merupakan    tindakan  kontrol  yang  diajukan  ke  kondisi tertentu yang disebut "kendala" [10], [11].
Permasalahan  dalam  sistem  kendali  optimal  adalah menentukan  aksi  kendali  berdasarkan  masukan  kemudian mengukur  indeks  kinerja  atau  performansi serta mendapatkan solusi atau kriteria untuk mencapai nilai atau keadaan  tertentu  [12]–[15].  Untuk  mengendalikan  suatu
sistem, akan melibatkan kemampuan sistem tersebut dalam memulai,  mengatur,  menghentikan  suatu  proses  yang merupakan  hasil  pemilihan  keputusan  dari  pengawasan atau  pengukuran  variabel  proses  dengan  maksud  untuk mencapai hasil keluaran yang diinginkan [16]
Dalam  penelitian  ini  adalah  merancang  suatu  model pengendali  optimal  dari  kondisi  tertentu  sistem  industri. Perhatian  dalam  perancangan  model  ini  lebih  mengarah kepada  optimisasi  kecepatan  proses  yang  secara  umum menyangkut unjuk kerja beberapa komponen seperti proses pengadukan dalam tangki, proses aliran tangki, Motor DC, Pompa lem, Conveyor, serta Katup.
Dalam model pengendalian, data fisik dan bahan-bahan yang diproses mengacu pada data dari industri  kemudian dikembangkan dan diteliti untuk memberikan unjuk kerja yang optimal dari model rancangan[17].
Perancangan  model  difokuskan  pada  pengendalian posisi katup yang dikendalikan dengan motor arus searah dengan  menggunakan  teori  kendali  optimal  dimana merupakan    teori  pencarian  solusi  berdasarkan  usaha meminimumkan suatu fungsi indeks kerja serta fungsi dari beberapa  variabel  sistem  yang  ingin  diminimasi  nilainya [18], [19].

## II. P ERANCANGAN M ODEL K ENDALI O PTIMAL
Metoda  perancangan  sistem  kendali  optimal  yang dilakukan  yaitu  membuat  simulasi  model  menggunakan Program  Matlabs  6.0  for  Windows.  Dengan  program  ini kita  dapat  melihat  bagaimana  respon  waktu  dari  sistem yang  dirancang.[20]  Dari  model  dinamik  proses,  unsur yang dapat dikendalikan dapat ditulis: [21]
x(t) = A x (t) + B u (t) , x(0) = x(t 0 ) (1)
y(t) = C x (t) (2)
dengan
x(t)  =
vektor keadaan (x ε Rnxn)
u(t)  = vektor masukan(u ε Rm) y(t)  = vektor Keluaran(y ε Rn) A = Matriks koefisien keadaan (A ε Rnxn) B = Matriks koefisien masukan (B ε Rnxm)
C = Matriks koefisien keluaran (C ε Rrxn)
Jika peralatan kendali dianggap sempurna artinya fungsi transfer  sama  dengan  satu,  maka  diagram  blok  Regulator Kuadratik  Linier  untuk  pengendalian  optimal  kecepatan proses dapat digambarkan seperti Gambar 1[12], [21] :
Gambar 1. Diagram Blok Struktur Pengendalian Optimal [12]
dengan K  =  Penguat Regulator
u  =   Sinyal Kontrol
y  =  Keluaran
Dalam  gambar  1.    K  adalah  matriks  penguat  dari  vektor kontrol  optimal,    dimana  dalam  hukum  kontrol  optimal dapat dinyatakan sebagai berikut:
u(t)  =  -Kx(t) (3)
dengan
K    =   R -1 B P(t) (4)
Persamaan  ini  biasa  disebut  kaidah  kontrol  linier kuadrati, sedangkan K(1)  adalah matrik penguat regulator optimal  bergantung  waktu.  Indeks  Performasi  Kuadratik sistem linier adalah  :
J     = 𝑥 𝑡 𝑡 𝑄 𝑥 𝑡 + 𝑢 𝑇 𝑡 𝑅 𝑢 ( 𝑡 ) 𝑡𝑎 𝑡 0 𝑑𝑡 (5)
Jika elemen-  elemen matriks K yang tidak diketahui,  maka dapat ditentukan sedemikian rupa sehingga meminimumkan  indeks    performansi.  Dengan  demikian persamaan (5) optimal untuk setiap syarat awal x(0).
Jika ta  → ∞  mengakibatkan x(t a ) →0 dan P(t a ) = 0 maka Persamaan (5) menjadi :
J     = { 𝑥 𝑇 ∞ 0 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢 𝑇 𝑅 𝑢 ( 𝑡 )} 𝑑𝑡 ( 6)
dengan
Q  =  Matriks bobot keadaan(semi definit positif) R  =  Matriks bobot masukan(definit positif) t 0 =   Keadaan awal t a =  Keadaan akhir
Dalam  persamaan  (5)  suku  kedua  dari  ruas  kanan menyatakan kebutuhan energi dari sinyal kontrol.  Matriks Q dan R menentukan kepentingan relatif dari kesalahan dan keutuhan energi.
Perancangan ini diasumsikan bahwa vektor kendali u(t) adalah  tanpa  kendala.  Untuk  persoalan  optimasi persamaan(3)    disubstitusikan  kedalam  persamaan  (1), sehingga diperoleh
x  =  A x – B Kx     =     (A – BK) x (7)
dengan  matriks(A  –  BK)  diasumsikan  stabil  atau  eigen value dari(A –BK) merupakan bagi nyata negatif.
Dengan  mensubstitusikan  persamaan  (3)    ke  dalam persamaan (6)  diperoleh :
J     = { 𝑥 𝑇 ∞ 0 𝑄𝑥 + 𝑥 𝑇 𝐾 𝑅𝐾 𝑇 𝑥 } 𝑑𝑡
atau
J     = { 𝑥 𝑇 ∞ 0 ( 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 ) } 𝑥 𝑑𝑡 (8)
J adalah integral dari norm kuadrat Euclidium pembobotan dari x(t) dan akan terbatas untuk ta →∞ .  Jika Q adalah definit  positif  dan  sistem  linier  dan  sistem  linier  tersebut dapat  dikendalikan,    maka  x(t)    dijamin  stabil  asimtotis global.[22]  Karena J terbatas sehingga x(t) → 0 dan t a → ∞,  serta jika Q > 0 untuk seluruh interval t 0 < t < ta,  maka kendali linier kuadratik dijamin asimtotis global.
Persoalan  optimasi  -    parameter  dapat  diselesaikan dengan  metoda  kedua  Lyapunov  sehingga  ruas  kanan persamaan(8)  dapat ditulis sebagai berikut  [21]:
x T (Q+K T RK ) }  x = - d/dt(x T Px) (9)
atau
x T (Q+K T RK )} x = -x T P x- x T Px (10)
dengan  substitusi  persamaan  (7)    ke  dalam  persamaan (10)  diperoleh
x T ( Q + K T RK ) } x =  - x T {(A-BK) T Px + P (A-BK)}x
(11)
dengan  membandingkan  kedua  ruas  persamaan  (11)    dan mengingat bahwa persamaan ini harus berlaku untuk setiap x,  sehingga persamaan menjadi :
A-BK T Px + P (A-BK) =  -(Q+K T RK ) (12)
Berdasarkan  (Ogata)  dalam  [16]  pada  metoda  kedua Lyapunov,  jika (A-BK) merupakan matriks stabil,  maka ada  matriks  definit  positif    P  yang  memenuhi  persamaan (12).  Selanjutnya,    dengan  mengingat  bahwa  x  (∞)  =  0 indeks performansi dapat ditulis sebagai berikut :
J     = { 𝑥 𝑇 0 𝑃𝑥 (0) (13)
Langkah perancangan dapat dinyatakan sebagai berikut. 1. Menentukan matriks P yang memenuhi persamaan(12)  sebagai fungsi dari K.
2. Mensubstitusikan matriks P kedalam persamaan(13), selanjutnya  indeks  performansi  menjadi  fungsi dari K.
3. Menentukan  elemen  -  elemen  dari  K  sedemikian rupa  sehingga  indeks  performansi  J  diminim Minimisasi  J  terhadap  elemen  Kij  dari  K  dapat dilakukan  dengan  menyamakan  ∂J  /  ∂K_ij,  dengan nol  dan  memyelesaikan  persamaan  tersebut  untuk mendapatkan harga optimal dari Kij.
Dalam  pendekatan  desain  sistem  kontrol  optimal,    R dianggap  sebagai  matrik  semi  definit  positif,    dapat dituliskan sebagai berikut :
R   =   T T T
(14) dengan T  =  Matriks nonsingular
Selanjutnya persamaan (12)  dapat ditulis sebagai berikut :
(A –BK)TPx + P(A –BK) +(Q + K T T TK)  =  0 (15) atau P + PA + {TK –(T T)-1 BT P}T { TK –(T T)-1 BT P}
-PBR -1 B T P + Q  =  0 (16)
Minimisasi  dari  J  terhadap  K  memerlukan  minimisasi dari persamaan dibawah ini terhadap K :
x T {TK –(T T)-1 B T P} { TK –(T T)-1 B T P} x (17)
Karena  harga  ini  selalu  positif,    harga  minimummya adalah nol,  atau jika,
TK   =   (T T)-1 B T PT (18)
Dengan demikian,
K    =    T -1 (T T ) -1 B T P  =  R -1 B T P (19)
Pernyataan  (19)    menyatakan  matriks  optimal  K. Matriks dalam persamaan (19)  harus memenuhi persamaan (12)  atau persamaan tereduksi sebagai berikut :
A T P + PA – P B R -1 B T P +  Q  =   0 (20)

## Gambar 2. Diagram Alir Simulasi
Proses kerja pengedali itu sendiri secara beruntun dapat dijelaskan sebagai berikut.
a) Memberikan bentuk persamaan indeks kinerja yang diinginkan kedalam program dan dipilih persamaan kuadratis,  dengan  alasan  pengaruh  fungsi  kuadratis akan  terlihat  (bilamana  besar  akan  menjadi  lebih besar dan jika kecil maka akan menjadi lebih kecil ). Dari persamaan indeks performansi , matriks bobot Q dan R mempunyai arti penting sebagai pengaruh pada  state  terhadap  tingkah  laku  sistem  secara menyeluruh.  Matriks  bobot  ini  diberikan  beberapa nilai  yang  berbeda,  sehingga  dapat  dilihat  tingkah laku  sistem  sesuai  dengan  matrik  bobot  yang diberikan.  Sehingga  didapatkan  tingkah  laku  yang sesuai dengan yang diinginkan. [22]
b) Masukan data-data yang dikendalikan, yaitu berupa persamaan gerak motor dan persamaan gerak katup. Selanjutnya data-data yang telah dimasukkan diolah oleh pengendali optimal melalui program komputer.
c) Program  Matlab  memeriksa  apakah  sistem  tersebut dapat  memenuhi  kriteria  persyaratan  untuk  dapat dikendalikan secara optimal yaitu memenuhi kriteria terkontrol dan kriteria teramati.
d) Apabila  memenuhi  persyaratan  maka  model  sistem dapat dikerjakan dengan sistem kendali optimal yang
selanjutnya dapat dilihat pada bagian diagram  pada
Gambar 2 ;
Untuk mengetahui kinerja ( performance ) serta keandalan  sistem  perancangan,    dan  diagram  blok  pada gambar  1,  perlu  dilakukan  simulasi  dari  model  yang dirancang.  Simulasi  dari  model  ini  akan  memperlihatkan hasil  yang  didapat  dari  pemrograman  MATLAB  6.0.  Hal ini dilakukan dengan menentukan model sistem yang ideal sesuai  dengan  tujuan  rancangan  dari  model  proses sesungguhnya, sehingga dapat ditentukan strategi pengendali  yang  tepat  agar  proses  beserta  pengendalinya dapat  bekerja  sesuai  dengan  model  sistem  yang dikehendaki [23]–[26].
Adapun tujuan simulasi untuk melihat tanggapan sistem pengendalian  posisi  katup  untuk  mendapatkan  kecepatan aliran lem setelah diberi kendali optimal. Langkah simulasi dapat  terlihat  dalam  diagram  alir  pada  Gambar  2.  Data diambil  dari  kondisi  sebenarnya  diindustri  untuk disimulasikan sehingga mendapatkan hasil yang diinginkan. Data parameter dapat dilihat pada Tabel I.
TABEL I
DATA PARAMETER No Data Parameter Nilai / satuan 1. Laju aliran massa 0.4398 Kg/detik 2. Resistansi Aliran 1.2733 3. Radius pipa 2 inch 4. Diameter Pipa 2 -inch 2.02.10 -3 m 2 5. Densitas Glue 1090 Kg/  m 3 6. Viscositas Glue 50 - 200 cps 7. Tinggi Fluida 0.56 m 8. Panjang Pipa 28 m 9. Koefisien Katup 5,6 10. Diameter Tangki 0,785 m2 11. Faktor Konversi Gravitasi 9,8665 Newton 12. Konfraksi Pipa 168,75 13. Laju Aliran Fluida 0,035 m /s 14. Daya Pompa 2906,422 J/Kg 15. Tekanan Pompa 15 Psi 16. Konstanta Penguatan Motor(K m ) 0,72
17. Konstanta  Waktu  Motor( m ) 0,13 18. Tegangan terpasang(E a ) 220 Volt 19. Tahanan kumparan jangkar(Ra) 0,2 Ohm 20. Kontanta Torsi Motor(K) 6 x 10 -5 N-m/amp 21. Konstanta  Gaya Gerak Listrik Balik 5.5 x 10 -2 v-det/rd Sumber : PT. DRM

## III. H ASIL DAN P EMBAHASAN
Dari  simulasi  data  untuk  perhitungan  matrik  dimulai dengan  mencari  solusi  persamaan  Riccati  (P)    terlebih dahulu dan menentukan matrik bobot Q dan R didapatkan nilai matrik yang diujikan sebagai berikut :
Q   = 1000 0 0 0 . 07 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0167
R  = 10 0 0 10 K  = 1 . 0000 𝑒 + 001 1 . 3937 𝑒 + 000 − 2 . 6723 𝑒 − 035
1 . 2410 𝑒 − 031 3 . 4315 𝑒 − 061 2 . 9988 𝑒 − 001 3 . 6595 𝑒 − 020
4 . 9852 𝑒 − 002
A = 0 1 0 0 − 3 . 33 0 0 0
0 0 0 0 0 − 10 . 3 1 − 0 . 9989 A-B*K  =
0 1 . 0000 𝑒 + 000 0
− 5 . 5380 𝑒 + 001 − 1 . 1048 𝑒 + 001 1 . 4799 𝑒 − 034 0
− 2 . 0267 𝑒 − 019 0 0 0 − 7 . 6138 𝑒 − 029 − 2 . 1053 𝑒 − 013 − 1 . 9429 𝑒 + 002 1 . 0000 𝑒 + 000 − 3 . 1584 𝑒 + 001
B  = 0 0 5 . 538 0 0 0
0 613 . 52
Simulasi  yang  dilakukan  dengan  program  Matlab meperlihatkan respon  pada 3 kondisi Respon waktu posisi katup, Respon  waktu kecepatan aliran  dan Respon waktu percepatan aliran memperlihatkan grafik sebagai berikut :
Gambar  3.  Hasil  Simulasi  Respon  Waktu  Posisi  Katup  (a)  Sebelum dikendalikan (b) Sesudah dikendalikan
Dalam Gambar 3 diatas  memperlihatkan respon waktu posisi  katup,  sebelum  dan  sesudah  dikendalikan.  Posisi katup pada saat membuka dan menutup akan memberikan respon waktu yang optimal apabila posisi katup terbuka 45̊ secara setengah penuh. Setelah melihat respon posisi katup sebelum  dikendalikan  selanjutnya  dicoba  secara  trial  dan
error  untuk  mendapatkan  respon  yang  diinginkan  dengan memasukkan  persamaan  keadaannya  kedalam  persamaan optimal.  Berdasarkan  hasil  perhitungan  dengan  program matlab didapat harga matriks bobot Q yang memperlihatkan ketidakstabilan respon tersebut. Pengubahan matriks bobot Q secara trial dan error dengan memperhatikan  batasan  kriteria  matriks  Q,  sehingga didapatkan bahwa perubahan matrik bobot Q yang cukup besar akan memperlihatkan respon waktu posisi katup yang mengarah lebih stabil.
Gambar 4. Hasil Simulasi Respon Waktu Kecepatan Aliran (a) Sebelum dikendalikan (b) Sesudah dikendalikan
Gambar 4 memperlihatkan   Respon Waktu  Kecepatan Aliran sebelum dan sesudah dikendalikan. Pada kecepatan aliran  apabila  selisih  atau  perbedaan  yang  terjadi  antara tekanan sebelum katup dan sesudah katup semakin besar, maka  respon  kecepatan  aliran  akan  semakin  lama mendekati titik kestabilan  karena pembukaan posisi katup akan lebih cepat juga. Apabila terjadi tekanan yang besar maka  motor  akan  semakin  cepat  berputar  untuk menggerakan katup sehingga kecepatan pembukaan katup akan  tidak  stabil  akibatnya  respon  kecepatan  aliran  akan berosilasi.  Setelah  dipasang  kendali  optimal  perubahan kecepatan  katup  hanya  menimbulkan  simpangan  waktu yang  kecil,  apabila  terjadi  gangguan  maka  respon kecepatan  aliran  akan  menuju  ke  titik  kestabilan  dalam waktu singkat.
Gambar 5. Hasil Simulasi Respon Waktu Percepatan Aliran (a) Sebelum dikendalikan (b) Sesudah dikendalikan
Gambar  5  memperlihatkan  grafik  simulasi  Respon Waktu Percepatan Aliran sebelum dan sesudah dikendalikan.  Apabila  terjadi  friksi  berupa  besarnya  nilai gesekan  atara  fluida  dan  pipa  maka  respon  yang diperlihatkan  akan  lebih  lambat.  kepekaan  lem  yang mengalir  juga  akan  berpengaruh  pada  kecepatan  aliran, karena  aliran  fluida  akan  menghambat  posisi  katup membuka  dan  menutup.  Dengan  pemasangan  kendali optimal  maka  semakin  kecil  perbedaan  tekanan  respon percepatan aliran akan semakin optimal dalam mendekati titik stabil.

## IV. K ESIMPULAN
1.    Dalam  menurunkan  model  sistem  untuk  dikendalikan yang lebih penting adalah ketergantungan yang sangat kuat pada titik operasinya.
2.  Perhitungan  matriks  penguat  optimal  berdasarkan pemilihan  komponen  sistem  untuk  dikendalikan, ditetapkan berdasarkan pengetahuan akan kondisi yang diharapkan sistem untuk diperbaiki.
3.  Dari  hasil  simulasi  diperoleh  bahwa  respon  waktu posisi  katup  akan  optimal  apabila  gangguan,  yaitu selisih  tekanan  tidak  terlalu  besar  sehingga  tidak mengganggu kecepatan buka-tutup katup, karena akan mempengaruhi  kinerja  motor  dalam  mengubah  posisi dari katup.
4.  Berdasarkan  hasil  simulasi  pemasangan  kendali optimal terlihat bahwa respon dari gambar-gambar akan lebih  cepat  menjadi  stabil  apabila  pemilihan  matriks bobot Q dan R digunakan tepat.
5.  Pemilihan  jenis  katup  dan  tipe  pembukaannya  akan menentukan respon kecepatan aliran tetap seperti yang diinginkan,  begitu  juga  pemilihan  motor  yang dianjurkan untuk mengendalikan katup.
6  Dengan  mengaplikasikan  kendali  optimal  pada pemodelam  proses  ini,  dapat  memperbaiki  kinerja proses dalam segi kecepatan maupun waktu.

## REFERENSI
[1] N. S. Nise, Control systems engineering . John Wiley & Sons, 2020.
[2] K. J. Åström and R. M. Murray, Feedback systems: an introduction for scientists and engineers . Princeton university press, 2021.
[3] L.  Wang, PID  control  system  design  and  automatic  tuning  using MATLAB/Simulink . John Wiley & Sons, 2020.
[4] A.-T. Nguyen, T. Taniguchi, L. Eciolaza, V. Campos, R. Palhares, and M. Sugeno, “Fuzzy Control Systems: Past, Present and Future,” IEEE Comput Intell Mag , vol. 14, no. 1, pp. 56–68, Feb. 2019, doi: 10.1109/MCI.2018.2881644.
[5] R. Nian, J. Liu, and B. Huang, “A review on reinforcement learning: Introduction  and  applications  in  industrial  process  control,” Comput Chem Eng , vol. 139, p. 106886, 2020.
[6] C. Cimini, F. Pirola, R. Pinto, and S. Cavalieri, “A human-in-the- loop manufacturing control architecture for the next generation of production systems,” J Manuf Syst , vol. 54, pp. 258–271, Jan. 2020, doi: 10.1016/j.jmsy.2020.01.002.
[7] S. Phuyal, D. Bista, and R. Bista, “Challenges, Opportunities and Future Directions of Smart Manufacturing: A State of Art Review,”
Sustainable Futures , vol. 2, p. 100023, 2020, doi: 10.1016/j.sftr.2020.100023.
[8] F.  Tao et  al. ,  “Digital  twin  and  blockchain  enhanced  smart manufacturing  service  collaboration  and  management,” J  Manuf Syst , vol. 62, pp. 903–914, Jan. 2022, doi: 10.1016/j.jmsy.2020.11.008.
[9] Y.  Wu,  X.-M.  Sun,  X.  Zhao,  and  T.  Shen,  “Optimal  control  of Boolean  control  networks  with  average  cost:  A  policy  iteration approach,” Automatica ,  vol.  100,  pp.  378–387,  Feb.  2019,  doi: 10.1016/j.automatica.2018.11.036.
[10]  S. He, H. Fang, M. Zhang, F. Liu, and Z. Ding, “Adaptive Optimal Control  for  a  Class  of  Nonlinear  Systems:  The  Online  Policy Iteration Approach,” IEEE Trans Neural Netw Learn Syst , vol. 31, no. 2, pp. 549–558, Feb. 2020, doi: 10.1109/TNNLS.2019.2905715. [11]  C.  Chen,  H.  Modares,  K.  Xie,  F.  L.  Lewis,  Y.  Wan,  and  S.  Xie, “Reinforcement  learning-based  adaptive  optimal  exponential tracking control of linear systems with unknown dynamics,” IEEE Trans Automat Contr , vol. 64, no. 11, pp. 4423–4438, 2019.
[12]  F. L. Lewis, D. Vrabie, and V. L. Syrmos, Optimal control . John Wiley & Sons, 2012.
[13]  I.  A.  Zamfirache,  R.-E.  Precup,  R.-C.  Roman,  and  E.  M.  Petriu, “Reinforcement  Learning-based  control  using  Q-learning  and gravitational  search  algorithm  with  experimental  validation  on  a nonlinear servo system,” Inf Sci (N Y) , vol. 583, pp. 99–120, Jan. 2022, doi: 10.1016/j.ins.2021.10.070.
[14]  B. Y. Khodiev, S. I. Mustafakulov, B. O. Tursunov, Y. I. Sigidov, and K. S. Khavrova, “Methods for control efficiency evaluation of the production capacities application at the textile enterprises and the mechanism for optimal control,” Astra Salvensis , vol. 7, no. S1, p. 499, 2019.
[15]  S. Ekinci, B. Hekimoğlu, and D. Izci, “Opposition based Henry gas solubility optimization as a novel algorithm for PID control of DC motor,” Engineering  Science  and  Technology,  an  International Journal ,  vol.  24,  no.  2,  pp.  331–342,  Apr.  2021,  doi: 10.1016/j.jestch.2020.08.011.
[16]  S.  P.  Boyd  and  C.  H.  Barratt, Linear  controller  design:  limits  of performance , vol. 7. Citeseer, 1991.
[17]  R. F. Stengel, Optimal control and estimation . Courier Corporation, 1994.
[18]  R.  B.  Vinter  and  R.  B.  Vinter, Optimal  control ,  vol.  2,  no.  1. Springer, 2010.
[19]  B.  D.  O.  Anderson  and  J.  B.  Moore, Optimal  control:  linear quadratic methods . Courier Corporation, 2007.
[20]  C.  H.  Houpis,  S.  N.  Sheldon,  and  J.  J.  D’Azzo, Linear  Control System  Analysis  and  Design:  Revised  and  Expanded .  Crc  Press, 2003.
[21]  P.  N.  Paraskevopoulos, Modern  control  engineering .  CRC  Press, 2017.
[22]  Gwo-Ruey  Yu,  Ming-Hung  Tseng,  and  Yuan-Kai  Lin,  “Optimal positioning control of a DC servo motor using sliding mode,” in Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Control
Applications,
2004. , pp. 272–277.
doi: 10.1109/CCA.2004.1387223.
[23]  Y.  Cherruault  and  J.  Gallego,  “Introduction  to  optimal  control theory,” Kybernetes , vol. 14, no. 3, pp. 151–156, 1985.
[24]  B.  D.  O.  Anderson  and  J.  B.  Moore, Optimal  control:  linear quadratic methods . Courier Corporation, 2007.
[25]  F. Mustofa and M. R. Hidayat, “Sistem Kendali Mesin Emulsifying Mixer Menggunakan Fuzzy Logic Tipe Mamdani,” JTERA (Jurnal Teknologi Rekayasa) , vol. 5, no. 1, p. 93, 2020.
[26]  C. J. Geankoplis, “Transport Processes and Separation,” in Process Principles , Prentice Hall NJ, 2003.