Model Epidemi Seir dengan Insidensi Standar
Model of SEIR Epidemic with Standard Incidence

## Roni Tri Putra
Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Limau Manis Padang 25163 Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576. Email : putra_tryronny@yahoo.co.id

## Abstract
In this paper, it will be studied stability for a SEIR epidemic model with infectious force in latent, infected and immune  period  with  standard  incidence.  From  the  model  it  will  be  found  investigated  the  existence  and uniqueness  solution    of  points  its  equilibrium.  Existence  solution  of  points  equilibrium  proved  by  show  its differential  equations  system  of  equilibrium  continue,  and uniqueness  solution  of  points  equilibrium  proved  by show its differential equation system of equilibrium differentiable continue.
Key words : Existence Solution, Uniqueness Solution, Equilibrium Points, Standard Incidence

## PENDAHULUAN
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di bidang  matematika  turut memberikan peranan  penting  dalam  menggambarkan fenomena  penyebaran  penyakit.  Peranan tersebut  dituangkan  dalam  bentuk  model matematika  yang  dapat  dianalisis  sifat- sifatnya.
Pemodelan  matematika  merupakan bidang  matematika  yang  berusaha  untuk merepresentasi  dan  menjelaskan  sistem- sistem  fisik  atau  problem  pada  dunia  riil dalam  pernyataan  matematik,  sehingga diperoleh  pemahaman  dari  problem  dunia riil  menjadi  lebih  tepat.  Representasi matematika  yang  dihasilkan  dari  proses  ini dikenal  sebagai  “Model  Matematika”. Konstruksi, analisis dan penggunaan model matematika  dipandang  sebagai  salah  satu aplikasi matematika yang paling penting.
Model  matematika  digunakan  dalam banyak disiplin ilmu dan bidang studi yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika di  bidang-bidang seperti  fisika, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, problem-problem jaringan komputer, serta ilmu biologi dan kedokteran. Diantara aplikasi model matematika  pada  bidang  ilmu  biologi  dan kedokteran  adalah  model  matematika  yang
berkaitan dengan penyakit menular. Pemodelan  penyakit  menular  mendapat perhatian  besar  dalam  studi  epidemiologi. Tujuan  utama  dari  pemodelan  adalah menjawab  peran  infeksi  penyakit  dalam mengatur populasi alami,  yaitu mengurangi fluktuasi alami populasi yang terinfeksi.
Penerapan  model  matematika  dan teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical  biosciences adalah mathematical
epidemiology , yang
mempelajari tentang penyebaran dan pengendalian  penyakit.  Mempelajari  model epidemi yang didalamnya termasuk penyakit  penyebab  kematian  pada  suatu populasi total  yang berubah merupakan hal penting dalam mathematical epidemiology . Banyak  model-model  matematika yang  telah  dikembangkan,  bertujuan  untuk mempelajari  penularan  penyakit,  untuk mengevaluasi  penyebaran  dari  epidemi, dapat mencegah adanya penyakit atau untuk meminimalisir penyebaran penyakit. Dalam kurun  waktu  yang  panjang,  memahami perilaku  penyakit  akan  membantu  untuk mengetahui apakah epidemi akan menghilang  atau  tetap  berada  dalam  suatu populasi.
Epidemiology merupakan suatu cabang  ilmu  yang  mempelajari  bagaimana terjadi  epidemik  dalam  suatu  populasi makhluk  hidup.  Dengan  menggunakan pemodelan  matematika  yang  didasarkan pada  asumsi-asumsi  tertentu,  diharapkan dari model yang disusun dapat menjelaskan fenomena  dan  mengambil  tindakan  apa yang harus dilakukan jika terjadi epidemi.
Epidemi  merupakan  suatu  keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular dalam  populasi pada suatu tempat yang  melebihi  perkiraan  kejadian  normal dalam  periode  yang  singkat.  Bila  penyakit tersebut  selalu  terdapat  dalam suatu tempat begitupun dengan faktor penyebabnya maka dikatakan Endemic , kemudian bila penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran  yang sangat  luas (global) maka disebut Pandemic .
Perilaku  dinamik  dari    sistem  untuk menganalisis
dinamika
penyebaran penyakit terdapat beberapa model matematika yang sering digunakan. Model- model tersebut memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi (pembagian  kelas)  yang  menggambarkan penyebaran  penyakit  dari  masing-masing kelas.  Jadi  dalam  suatu  populasi  akan terbagi  menjadi  beberapa  kelas  dimana masing-masing  kelas  mewakili  tahapan yang  berbeda.  Kelas S ( susceptible ) digunakan untuk mewakili individu- individu yang rentan terhadap infeksi virus, kemudian  kelas I ( infectious )  digunakan untuk  mewakili  individu-individu  yang telah  terinfeksi  dan  mampu  menularkan atau  menyebarkan  penyakit  ke  individu pada  populasi  rentan,  untuk  kelas R ( recovered )  digunakan  untuk  mewakili individu-individu  terinfeksi  yang  telah sembuh  dari  penyakit  dan  memiliki kekebalan  permanen  yang  artinya  individu tersebut  tidak  akan  terinfeksi  lagi  untuk jenis  penyakit  yang  sama.  Namun  pada model  SIRS,  kelas R ( recovered )  mewakili individu-individu  yang  telah  sembuh  dan akan  terbebas  dari  infeksi  virus  kemudian akan memasuki populasi rentan ( susceptible ) kembali.
Pada  model-model  epidemik  yang memperhatikan  adanya  periode  laten(masa inkubasi)  seperti  model  SEIR,  MSEIR terdapat  kelas E ( exposed )  yang  digunakan untuk  mewakili  individu-individu  yang baru  terinfeksi  dan  memasuki  periode latent,  dalam  periode  ini  individu  tersebut tidak memiliki kemampuan untuk menularkan  penyakit  ke  individu  lain sedangkan kelas M ( Maternallyderivedimmunity ) digunakan untuk  mewakili  individu-individu  yang baru  lahir  dan  memiliki  kekebalan  pasif yang didapatkan dari ibunya, namun hal ini hanya  berlangsung  sementara  kemudian individu  pada  kelas  M  ini  akan  memasuki kelas rentan ( susceptible ). Model matematika  epidemi  diantaranya  SIR, SIRS,  SEIR,  MSEIR  dan  termasuk  model SVID.
Berbagai  macam  penyakit  epidemi seperti  campak (measles),  tubercoloses, malaria  dan Human  Immunodeficiency Virus(HIV) mempunyai  periode  laten. Periode  laten  adalah  selang  waktu  dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Adanya periode laten ini menjadi alasan  pembentukan  model  epidemi  SEIR, yakni  munculnya  kelas exposed .  Dalam tulisan  ini  hanya  akan  dibahas  model epidemi SEIR.
Dengan  berbagai  asumsi,  dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR, SIRS,  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS.  Dalam model SIR, individu yang sembuh mempunyai  kekebalan  sehingga  tidak  lagi menjadi  rentan,  sedangkan  untuk  model SIRS  individu  yang  sudah  sembuh  tidak memiliki  kekebalan  terhadap  penyakit tersebut sehingga dapat menjadi rentan lagi. Dalam  model  SEIR,  SEIRS  dan  SEIS individu  yang  rentan  melalui  masa  laten setelah terinfeksi sebelum menjadi terjangkit.
Ada  tiga  jenis  fungsi incidence yang berbeda dalam model epidemi SEIR, yaitu:
a. Mass  action  incidence ,  yaitu  laju kontak  tergantung  pada  jumlah  total populasi.  Suatu  anggota  populasi membuat  kontak  yang  cukup  untuk
menularkan  infeksi  dengan  rata-rata N  anggota  populasi  lain  per  unit
waktu,  dengan N adalah  ukuran  total populasi  dan  adalah  laju  kontak.
Karena  probabilitas  kontak  acak  oleh satu  individu infective dengan  satu individu susceptible adalah
N S , sehingga  jumlah  infeksi  baru  dalam unit  waktu  per infective adalah         N S N  ,  yang  memberikan  rata-
rata infeksi baru   SI I N S N          .
b. Standard  incidence ,  yaitu  situasi dimana  jumlah  kontak  per infective dalam  unit  waktu  adalah  konstan.
Laju  kontak  adalah  dan incidence
yang  berhubungan  adalah I
N S  .
Ketika  jumlah  total  populasi N cukup besar,  sejak  itu  jumlah  kontak  yang dibuat  satu  individu infective per  unit waktu  akan  terbatas,  atau  menurun dengan cepat seiring meningkatnya N .
c. Saturated  incidence .  Untuk  jumlah individu infective yang  cukup  besar,
jumlah kontak satu individu
susceptible per  unit  waktu  tidak selamanya meningkat bergantung linear  dengan  individu infective .  Laju kontak  tidak  selalu  linear,  berarti  laju tersebut dapat dalam bentuk nonlinear.  Hal  ini  sesuai  dengan kenyataan bahwa, seiring meningkatnya jumlah individu infective ,  maka  individu susceptible cenderung mengurangi kontak dengan individu infective . Hal ini menunjukkan adanya saturation effect dalam laju kontak seiring meningkatnya jumlah individu infective .
Dari  berbagai  literatur  belum  banyak yang  mengkaji  model  matematika  epidemi SEIR  dengan  insidensi  standar  secara sistematis.  Sejalan  dengan  masalah  yang
akan  dibahas,  penelitian  ini  mempunyai tujuan sebagai berikut :
1. Membentuk  model  matematika  epidemi SEIR  pada  populasi  manusia  dengan insidensi standar.
2. Menentukan titik-titik ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut
3. Menyelidiki  eksistensi  dan  ketunggalan solusi  titik  ekuilibrium  model  epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat : 1. Secara umum diharapkan dapat memberikan  manfaat  dan  sumbangan terhadap  ilmu  pengetahuan,  serta  untuk menambah  wawasan  khususnya  dalam bidang matematika terapan.
2. Secara khusus diharapkan dapat
memberikan gambaran tentang eksistensi dan  ketunggalan  solusi  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR dengan kemampuan  infeksi  pada  kelas  laten, infeksi  dan  sembuh  dengan  insidensi standar.

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  dengan  cara  studi  literatur  serta bahan  pustaka  sebagai  referensi  untuk mempelajari  model  epidemi  SEIR  dengan insidensi  standar.  Langkah  pertama  adalah dengan  menentukan  asumsi-asumsi  yang berkaitan  dengan  model  epidemi  SEIR sesuai  dengan  karakteristik  penyakit  yang dimodelkan,  kemudian  akan  dibuat  model matematika  epidemi  SEIR  dalam  bentuk sistem persamaan diferensial.
Selanjutnya,  menentukan  titik-titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut dengan menggunakan definisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial.  Setelah  menentukan  titik-titik ekuilibrium model tersebut, langkah selanjutnya  menyelidiki  eksistensi  dan ketunggalan  solusi  dari  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut. Eksistensi solusi dari titik ekuilibrium model epidemi SEIR
dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa
sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut kontinu,  sedangan  ketunggalan  solusi  dari titik  ekuilibrium  model  epidemi  SEIR dibuktikan  dengan  menunjukkan  bahwa sistem  persamaan  diferensial  dari  titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut diferensiabel kontinu.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  SEIR  ( Susceptible,  Exposed, infectious, recovered ) pertama kali dikembangkan oleh Kermack dan Mckendrick (1927) dengan memakai
asumsi  sederhana  tentang  laju  penyebaran dan penyembuhan penyakit. Dalam modelnya, Kermack dan Mckendrick
membagi  populasi  total  ( N )  menjadi  empat kelas,  yaitu Susceptible   ) ( t S merupakan jumlah  individu  yang  rentan  terinfeksi  dan mudah  ditulari  penyakit, Exposed   ) ( t E merupakan  jumlah  individu  yang  sudah terinfeksi tetapi belum menginfeksi,
Infectious )) ( ( t I adalah  jumlah  individu
yang  terinfeksi,  dan Recovered )) ( ( t R
menotasikan  jumlah  individu  yang  telah sembuh dari penyakit.
Model SEIR dengan standard incidence adalah:
S N SI b dt dS      ; 0  t ,   E e N SI dt dE      ; 0  t ,               (1)
  ; I eE dt dI      0  t , ; R I dt dR     0  t , 0 ) 0 ( S S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I  , dengan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t N t R t I t E t S     ,
b adalah laju rekrutmen populasi,  adalah laju kematian alami populasi,  adalah laju kontak, e adalah  laju  perubahan  individu exposed menjadi individu infectious , dan  adalah laju kesembuhan individu infectious . Diasumsikan nilai parameter bernilai
positif, 0 , , , , ,      e b ,  dan  nilai  awal
bernilai nonnegatif, 0 ) 0 ( , , , 0 0 0  R I E S .
Dengan  menjumlahkan  semua  persamaan pada Sistem (1) diperoleh
N b dt dN    .
Seperti  pada  subbab  sebelumnya, Sistem  (1)  dapat  direduksi  menjadi  sistem tiga  dimensi,  karena  variabel R tidak muncul  pada  persamaan  pertama,  kedua, dan  ketiga.  Sehingga  dalam  hal  ini, diperoleh sistem yang lebih sederhana
S N SI b dt dS      ; 0  t ,   E e N SI dt dE      ; 0  t ,                 (2)
  ; I eE dt dI      0  t .

## Titik Ekuilibrium
Sistem  (2)    mencapai  ekuilibrium  jika memenuhi:
0     S N SI b dt dS   ,
  0     E e N SI dt dE   ,                      (3)
  0     I eE dt dI   , Sebelumnya diketahui
N b dt dN    ,
sehingga  jumlah  populasi  total  pada  saat mencapai ekuilibrium adalah
0    N b dt dN   b N  
Dari persamaan ketiga Sistem (3) diperoleh:
  I e E     (4)
Jika nilai E disubstitusikan pada persamaan kedua diperoleh    0     I e e N SI         0           I e e N S     (5)
Persamaan (5) dipenuhi untuk         e e b S    atau 0  I .
Untuk 0  I ,  jika  nilai I tersebut disubstitusikan  pada  persamaan  pertama dan ketiga Sistem (3) diperoleh:
0    b S dan 0  E .
Jadi, titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (2) adalah:
          0 , 0 , , ,  b I E S Q (6)
Untuk    0          e e b S , dari
persamaan pertama diperoleh
      0                     e e b b e e Ib b     b b I e e b                        
              e b e b b I                e e b b I               1       e e b I               1      e e b I (7)
Jika nilai I disubstitusikan pada persamaan (4) diperoleh:
                1        e e e b E (8)
Dari persamaan (7) dan (8), diperoleh: 0 0    I E dan
0  I     1        e e
Selanjutnya, dimisalkan
          e e R i .                                (9)
Jadi, titik ekuilibrium endemik Sistem (2) adalah:     * * * * , , I E S Q                                       1 , 1 ,                  e e b e e e b e e b
               1 , 1 , i i i R b R e b R b      (10)
Teorema 1.
Diberikan Q , * Q , dan i R berturut-turut diberikan oleh ( 6 ), ( 9 ), dan ( 10 ). (i) Jika 1  i R ,    maka  Sistem ( 2 ) mempunyai satu titik ekuilibrium  Q .
(ii) Jika 1  i R , maka Sistem ( 2 ) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium, yaitu  Q dan * Q .

## Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada  bagian  ini  dianalisis  kestabilan lokal  dan  global  masing-masing  titik ekuilibrium dari Sistem (2).

## Theorema 2.
Diberikan nilai awal   3 0 0 0 , ,   R I E S , serta Q , * Q , dan i R berturut-turut  diberikan oleh ( 6 ), ( 9 ), dan ( 10 ). (i) Jika 1  i R , maka titik ekuilibrium  Q stabil  asimtotik  lokal  dan  stabil asimtotik global di 3  R .
(ii) Jika 1  i R , maka titik ekuilibrium * Q
stabil asimtotik lokal. Bukti (i) Diketahui    1         e e R i            e e     0         e e (11)
Kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium Q diselidiki dengan mengevaluasi linearisasi  dari  Sistem  (2)  di  titik tersebut. Sebelumnya ditentukan
matriks Jacobian
          
                  V f I f Z f V f I f Z f V f I f Z f J 3 3 3 2 2 2 1 1 1 .
Ruas  kanan  Sistem  (2)  berturut-turut merupakan 1 f , 2 f , dan 3 f , sehingga  
                  ) ( 0 ) ( 0
        e e J N S N I N S N I
. (12)
Jika titik ekuilibrium           0 , 0 , , ,  b I E S Q dan
S b N    dievaluasikan pada matriks J pada  persamaan  (12) diperoleh:
                   ) ( 0 ) ( 0 0       e e Q J
Dari  matriks   Q J diperoleh  persamaan karakteristik sebagai berikut:
      Q J I  det
      0 ) )( ( 2 2          e e e           (13)
Persamaan  (13)  dipenuhi  untuk     atau   0 ) )( ( 2 2         e e e         (14)
sehingga  diperoleh  satu  nilai  eigen  negatif. Dengan demikian, tinggal menentukan nilai eigen dari persamaan (14)  yang merupakan persamaan karakteristik dari matriks:
           ) ( ) ( 1     e e J .
Dari matriks tersebut diperoleh tr   1 J 0 ) ( 2        e dan   0 ) )( ( det 1      e e J     .
Akibatnya  semua  nilai  eigen  matriks 1 J mempunyai  bagian  real  negatif.    Jadi,  titik ekuilibrium Q stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya  kestabilan  global  titik ekuilibrium
Q dibuktikan dengan menggunakan metode Lyapunov.
Didefinisikan
} : ) , , {( 3  b I E S R I E S D       dan
R R D    3 0 :  , dengan fungsi     I e eE I E S      , , 0 .                  (15)
Akan  dibuktikan  persamaan  (15) merupakan  fungsi  Lyapunov  untuk  Sistem (2) terhadap titik Q .
a. Karena     I e eE I E S      , , 0 fungsi  linear  maka  dapat  ditunjukkan bahwa 0  fungsi  kontinu.  Selanjutnya turunan parsial fungsi 0  adalah
0 0     S , e E     0 , dan e I       0 .
Fungsi 0  mempunyai turunan parsial pertama kontinu karena bernilai  konstan.  Jadi  fungsi 0  kontinu  dan  mempunyai  derivatif parsial  yang  kontinu  pada D atau ) ( ' 0 D C   . b. Untuk sebarang D x  , dengan        0 , 0 ,  b x maka 0 ) ( 0   x .
Kemudian  untuk D b        0 , 0 ,  maka 0 0 , 0 , 0          b . Jadi fungsi 0 ) ( 0   x untuk  setiap D x  dan
       0 , 0 ,  b x ,  dan 0 ) ( 0   x untuk        0 , 0 ,  b x . c. Selanjutnya akan dibuktikan:
  I E S , , 0    I I E E S S               0 0 0
    ) )( ( ) ( I eE e E e N SI e
           
eE e eE e I e N eSI ) ( ) ( ) )( (               I e N eS           ) )( (       I e e ) )( (         (karena N S  )
I e e e ) )( ( 1 ) )( (                       I e R i ) )( ( 1        Karena 1 1  R dan 0  I , sehingga   0 , , 0   I E S  .
Dari  (a),  (b),  dan  (c)  maka 0   merupakan fungsi Lyapunov. Kemudian akan ditentukan  himpunan  yang  memenuhi  sifat   0 , , 0   I E S  .
Misal   } 0 , , : ) , , {( 0     I E S D I E S H  . Diambil H I E S  ) , , ( ,  berarti * 0 I I   . Untuk 0  I , dari persamaan kedua Sistem
(1)  dan  persamaan  keempat  Sistem  (1)
berturut-turut  diperoleh E e dt dE ) (    
dan R dt dR    ,  sehingga 0  E dan 0 
R . Karena N  b  , sehingga
 b S  .  Jadi,             0 , 0 ,  b merupakan
himpunan invarian terbesar dalam H .
Selanjutnya, karena H tidak memuat solusi kecuali titik ekuilibrium
       0 , 0 ,  b Q ,  maka  setiap  solusi  dalam D
menuju Q untuk   t . Karena 3   R D himpunan  invarian dan setiap solusi dalam D menuju Q untuk   t , maka Q stabil asimtotik global.
(ii) Kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium * Q diselidiki dengan mengevaluasi linearisasi  Sistem  (2) di  titik tersebut. Jika titik ekuilibrium * Q
dievaluasikan  pada  matriks J pada persamaan (12) diperoleh:
 
                  ) ( 0 ) ( ) 1 ( 0 *        e e R R Q J i i R i R i Dari matriks   * Q J diperoleh
persamaan karakteristik sebagai berikut.       * det Q J I                               e e R i
  0 2               i i i R e R R e     
(16)
Persamaan (16) dapat ditulis dalam bentuk:
0 3 2 2 1 3     b b b  
 dengan     i R e b          1 ,          i i R e R e e b                 2       , i R e            i i R e e R b          3                     e e R i     1     i R e    
Berdasarkan kriteria kestabilan Reouth  Hurwitz,  semua  nilai  eigen  matriks
  * Q J mempunyai  bagian  real  negatif  jika dan hanya jika 0 1 1    b ,
0 1 3 2 1 2 3 1 2      b b b b b b , dan   0 3 2 1 3 2 3 3       b b b b b . (a) Karena 0 , ,    e dan 0  i R ,
sehingga 0 1  b .
(b)               i i R e R e b b b                  3 2 1     1     i R e     i i i i i i R e R R R e R R 2 2 3 2 2 2 2 2 3 4 4 4 2                     e e R e R e R i i i        2 2 3 2 2 2     1 4 1 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3        i i i i i R R R e R R          i i i i R e R e R R e      2 2 2 1 2 1 4       Karena 0  i R , sehingga 0 3 2 1   b b b . (c) Karena 0 3  b dan 0 3 2 1   b b b , sehingga   0 3 2 1 3   b b b b .
Dari (a), (b), dan (c) maka semua nilai eigen   * Q J mempunyai  bagian  real negatif.  Jadi,  titik  ekuilibrium
* Q stabil asimtotik lokal.

## SIMPULAN
Adapun kesimpulan dari penelitian ini adalah :
1. Model  epidemi  SEIR  merupakan  model penyebaran  penyakit  yang  terjadi  pada kelompok-kelompok individu yang berbeda,  yaitu  kelas susceptible (kelas individu  yang  rentan  penyakit),  kelas exposed (kelas  individu  yang  telah terinfeksi  namun  belum  sakit  atau  masa laten),  kelas infected (kelas  individu yang telah terjangkit penyakit) dan kelas recovered (kelas  individu  yang  telah sembuh).
2. Model matematika epidemi SEIR dengan  insidensi  standar  yang  memiliki kemampuan  infeksi  pada  periode  laten,
infeksi dan sembuh adalah :
S N SI b dt dS      ; 0  t ,
  E e N SI dt dE      ; 0  t ,   ; I eE dt dI      0  t , 0, t ;    R I dt dR   0 ) 0 ( S S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I 
3. Kestabilan  titik-titik  ekuilibrium  model epidemi  SEIR  diatas  adalah  stabil asimtotik  lokal  dengan  menyelidiki linearisasi dari sistem persamaan diferensial model epidemi SEIR.
Selanjutnya titik-titik ekuilibrium tersebut  diselidiki  dengan  menggunakan metode  Lyapunov  dan  diperoleh  bahwa titik  ekuilibriumnya  stabil  asimtotik global.

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari penelitian dan tulisan ini masih  banyak  kekurangannya.  Banyak  hal yang  belum  tercakup  dalam  penelitan  ini. Perlu  dikaji  lebih  lanjut  generalisasi  untuk kestabilan  model  epidemi  lainnya  dan simulasi numeriknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton  H,  dan  Rorres,C.,2004. Aljabar Linear  Elementer  Versi  Aplikasi , Edisi  Kedelapan,  alih  bahasa  oleh Indriasari,R dan Harmaen,I., Erlangga, Jakarta. Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992, Dynamical System Differential Equation,    Maps  and  Chaotic Behaviour , Chapman & Hall Mathematic, London. Bazaraa,  M.S.,  Sheraly,  H.D,  and  Shetty, C.M., Nonlinear Programming Theory  and    Algorithms ,  John  Wiley & Sons, Inc, New York, 1993. Becerra, M.V., 2008. La Salle’s Invariant Set Theory ,
http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs99 vmb/notes/anc/lecture3.pdf
Boyd,  Stephen,  2008, Basic  Lyapunov Theory , Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363/l yap.pdf
Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic  Systems ,  Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
Chong,  K.P  and  Stainslow,  H.Z., An Introduction  to  Optimization ,  John
Wiley & Sons,  University  of  New Hampshire, 1984.
Debarre,  F., SIR  Models  of  Epidemics ,
Theoretical Biology.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of
Matrices , Chelsea Publishing Company, New York.
Hanh, Wolfgang, 1967, Stability of Motion ,
Springer – Verlag, New York.
Hirsch,  M.W.,  dan  Smith, Monotone Dynamical  Systems ,  University  of California, Berkeley, 2004.
Iwami. S, Takeuchi,  Y., dan  Liu,  X., 2007.
Avian  –  human  Influenza  Epidemic Model ,  Mathematical  Biosciences 2007, hal 1-25.
Feng  J.,  dan  Hadeler,K.P., Qualitative Behaviour  of  Some  Simple  Networks , Mathematical  Gen.  1996,  hal  5019-
5033.
Kocak,  H.  dan  Hole,  J.K.,  1991, Dynamic and  Bifurcation ,  Springer  –  Verlag, New  York.
Leon, J.S., Aljabar Linear dan Aplikasinya , Edisi Kelima, Alih bahasa olehBondan,A. Erlangga, Jakarta,
1998.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to
Dynamic  System  Theory ,  Models  &
Aplication, John Wiley  & Sons, New
York.
Ngwenga,  O., The  Role  of  Incidence Functions  on  the  Dynamics  of  SEIR
Model , African Institute for
Mathematical Science (AIMS), 2009. Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory , Delftse Uitgevers Maatschappij,  Netherlands. Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical Systems , Springer – Verlag,  New York.
Ross, S.L., Differential Equations ,  edition,
John  Wiley  &  Sons,  University  of New Hampshire, 1984.
Verhultz,  Ferdinand,  1990, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems ,    Springer –
Verlag, Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and Chaos ,  Springer – Verlag, New York