E-ISSN 2621–086X

## Indonesian Journal of Applied Statistics
Vol. 6, No. 1, pp. 33-43, May 2023 https://jurnal.uns.ac.id/ijas/article/view/79813 https://doi.org/10.13057/ijas.v6i1.79813 Copyright   Author 2022

## Penentuan Rate Asuransi Kendaraan Bermotor Menggunakan Kredibilitas Bayesian
Rahmila Dapa * , Iut Tri Utami Program Studi Statistika, Universitas Diponegoro
*Corresponding author: rahmiladapa@gmail.com
Abstract. This paper uses Credibility to determine new rate based on data of historical claim in a motor vehicle  insurance  in  Bandung,  Indonesia.  Rate  is  formed  based  on  past  loss  through experience rating. Credibility is one of the examples of experience rating that considers group historical claims. One of the credibility methods is Bayesian credibility that considers rate as a random variable. Bayesian credibility is used based on claim frequency and claim severity from a group of policy holders in order to create new rates. In this paper, claim frequency followed the Poisson distribution while claim severity followed  the Lognormal distribution. Result of analysis showed that rate values based on claim frequency and severity are higher than the rate values that were used back in 2010.
Keywords: bayesian credibility; rate; claim frequency; claim severity

## 1. PENDAHULUAN
Penentuan  harga  premi  dasar  ( rate )  dalam  asuransi  kendaraan  bermotor  dilakukan  dengan membangun struktur tarif atau ratemaking . Hal pertama yang dipertimbangkan oleh Perusahaan asuransi atau penanggung adalah memastikan premi cukup besar untuk menutup kerugian yang dapat terjadi  [1].  Untuk  mengatasi  hal  tersebut  dalam  proses ratemaking , rate yang  dihasilkan diharapkan tersebar dengan adil kepada tertanggung [2].
Dalam mencapai rate yang adil, dilakukan klasifikasi risiko ( risk classification ). Terdapat dua tipe  variabel  klasifikasi  risiko  dalam ratemaking yaitu a  priori dan a  posteriori [2]. A  priori apabila nilai variabel klasifikasi dapat ditentukan dari pengamatan terhadap seorang pemegang polis baru misalnya jenis kelamin, pekerjaan, jenis kendaraan dan lain-lain. Ratemaking a priori tidak mencakup semua faktor penting seperti keagresifan pengemudi data menyetir. Akibatnya, tarif untuk sistem a priori tidak akan pernah homogen sepenuhnya [2].
Sehubungan dengan hal itu, maka a posteriori atau sistem experience rating diperlukan untuk re-evaluasi  premi  dengan  mempertimbangkan  klaim  tertanggung  di  masa  lalu  yang  sudah tersedia.  Hal  ini  sejalan  dengan  prinsip  dasar  bahwa  sejarah  pengajuan  klaim  di  masa  lalu merupakan prediktor terbaik untuk memprediksi jumlah klaim di masa yang akan datang.
Sistem  kredibilitas adalah  contoh  sistem experience  rating yang  mempertimbangkan  histori klaim yang muncul per risiko per kelompok. Metode ini dibutuhkan ketika data dari sekelompok kontrak sedikit dan tidak cukup untuk menghasilkan estimasi premi risiko yang reliable [3] . Oleh
karena  data  yang  didapatkan  peneliti  terbatas  yaitu  data  historis  klaim  asuransi  kendaraan bermotor  dari  tahun  2011-2013  di  sebuah  perusahaan  asuransi  di  Bandung,  maka experience rating akan dilakukan melibatkan kredibilitas. Untuk menjaga kerahasiaan data, maka perusahaan asuransi tersebut diberi nama PT ABC di penelitian ini.
Rate merupakan  variabel  acak  karena  ditentukan  berdasarkan  histori  klaim  di  masa  lalu sehingga memiliki nilai yang berubah. Diketahui nilai rate yang berlaku sebelumnya dan dapat dijadikan  sebagai  prior  (penilaian  awal).  Selain  itu,  terdapat  data  observasi  berupa  data  histori klaim sehingga kredibilitas yang cocok digunakan untuk penentuan nilai rate adalah kredibilitas Bayesian karena rate yang dihasilkan merupakan modifikasi dari prior berdasarkan data observasi [4].
Berdasarkan pemaparan tersebut, maka akan ditentukan besar rate kelompok pada tarif dengan melibatkan kredibilitas Bayesian pada asuransi kendaraan bermotor jenis roda empat di PT ABC.

## 2. LANDASAN TEORI

## 2.1. Asuransi Kendaraan Bermotor
Asuransi kendaraan bermotor merupakan perlindungan atas kerugian atau berkurangnya nilai secara finansial dan kecelakaan pada kendaraan bermotor yang disebabkan oleh tertabrak, terjatuh,  perbuatan  jahat,  kebakaran  dan  lain-lain.  Terdapat  dua  jenis  pertanggungan  asuransi kendaraan bermotor yaitu Komprehensif ( All Risk ) dan Total Loss Only (TLO) [5].

## 2.2. Kredibilitas
Kredibilitas  dalam  ilmu  aktuaria  adalah  pembobotan  yang  diberikan  pada  suatu  data dibandingkan  pembobotan  yang  diberikan  kepada  data  lainnya.  Pada  asuransi,  kerugian  yang mengakibatkan  klaim  bersifat  acak.  Melalui  teori  kredibilitas,  dapat  diestimasi  keacakan  yang terdapat di dalam data dan kemudian mengestimasi bobot yang diberikan kepada data tersebut. Menurut Sari et al.[6], terdapat tiga pendekatan kredibilitas yaitu:
a. Pendekatan Fluktuasi Terbatas
b. Pendekatan Keakuratan Terbesar
c. Pendekatan Bayesian

## 2.3. Pendekatan Fluktuasi Terbatas
Menurut pendekatan ini, rate kelompok dapat ditentukan berdasarkan data historis klaim hanya apabila data sebelumnya signifikan dan cukup stabil untuk dikatakan kredibel. Data historis klaim diberi  bobot  yang  disebut  sebagai  faktor  kredibilitas, dinotasikan  sebagai  Z  dan  bernilai antara 0 dan 1. Berikut adalah persamaan dasar dalam kredibilitas fluktuasi terbatas untuk mencari rate berdasarkan frekuensi klaim [7]:

## 𝑅𝑎𝑡𝑒 𝑘𝑒𝑙𝑜𝑚𝑝𝑜𝑘 = 𝑍 × 𝑟𝑎𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠𝑖 + (1 − 𝑍)𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢
Z merupakan faktor kredibilitas. Meskipun pendekatan fluktuasi terbatas sering digunakan dan tidak melibatkan komputasi yang rumit, pendekatan ini memiliki beberapa kelemahan yaitu mengasumsikan tidak ada variasi dalam besarnya kerugian/tingkat severitas konstan [8]. Di PT ABC, besar  klaim  yang  diajukan  pemegang  polis tiap  tahunnya  berubah  atau  dengan  kata  lain terdapat variasi dalam besarnya kerugian sehingga pendekatan ini tidak digunakan di penelitian ini.

## 2.4. Pendekatan Keakuratan Terbesar
Tujuan  dari  metode  ini  adalah  meminimumkan  akar  kuadrat  eror  antara  nilai  estimasi dengan  nilai  ekspektasi  sebenarnya  dari  kuantitas  yang  diestimasikan.  Faktor  kredibilitas Sebagian  besar  merefleksikan  derajat  keheterogenan  dari  suatu  portfolio  dan  bukanlah  derajat stabilitas dari data historis risiko sekelompok tertanggung, dengan persamaan sebagai berikut:

## 𝑍 = 𝑁 𝑁 + 𝐾
dengan N adalah jumlah observasi dan K adalah rasio antara nilai ekspektasi dari varians proses dan varians rata-rata dari hipotesis. Pendekatan ini digunakan dengan mengasumsikan parameter dari distribusi total klaim tidak berubah seiring waktu [9]. Oleh karena itu, pendekatan ini tidak digunakan karena tidak terpenuhi asumsi bahwa parameter risiko tidak berubah seiring waktu.

## 2.5. Pendekatan Bayesian
Pendekatan  Bayesian  menggunakan  pendekatan  yang  berbeda  dari  pendekatan  klasik inferensi statistika,  yaitu  menganggap  parameter  sebagai  variabel acak  dan  memiliki  distribusi peluang [4]. Misalkan 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) adalah sampel acak dari populasi yang memiliki fungsi densitas 𝑓(𝑥|𝜃) dan  ingin  diestimasi  parameter 𝜃 .  Informasi  prior  mengenai 𝜃 sebelum  adanya data  adalah  distribusi  prior 𝑓 𝜃 (𝜃) yang  merupakan  suatu  fungsi  densitas  peluang.  Informasi mengenai 𝜃 dari  sampel 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) terdapat  dalam  fungsi  likelihood 𝑓(𝑥|𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 |𝜃) 𝑛 𝑖=1 . Teorema Bayes menggabungkan informasi ini sehingga terbentuk:
𝑓 𝜃 (𝜃|𝑥) = 𝑓(𝑥|𝜃)𝑓(𝜃) ∫ 𝑓(𝑥|𝜃)𝑓(𝜃)𝑑𝜃 𝑥 𝜃 ,                                             (2.1)
yang merupakan distribusi posterior 𝑓 𝜃 (𝜃|𝑥) .
Teorema  ini  dapat  diaplikasikan  untuk  memperbaharui  premi  dan rate dari frekuensi/besar klaim pada Perusahaan asuransi berdasarkan data historis frekuensi/besar klaim dan  eksposur.  Pendekatan  ini  dapat  digunakan  walaupun  data  historis  yang  dimiliki  penulis terbatas. Data  historis yang  kecil  bisa  saja  diberi  kredibilitas  tinggi  karena  tidak  memiliki  data lainnya yang lebih akurat.
Kredibilitas  Bayesian  adalah  prosedur  untuk  mengoptimasi  keakuratan  indikasi rate (frekuensi/besar klaim) yang dibenarkan secara statistis karena menganggap rate sebagai variabel acak yang dapat dicari distribusinya.

## 3. Menentukan Rate Menggunakan Kredibilitas Bayesian

## 3.1. Objek Penelitian
Pada asuransi kendaraan bermotor di PT ABC, terdapat dua jenis asuransi yaitu jaminan Total  Loss  Only (TLO)  dan Komprehensif .  Kelompok  pemegang  polis  dibedakan  berdasarkan jenis  asuransi/jaminan  dan  nilai  pertanggungan.  Masing-masing  kelompok  pemegang  polis memiliki rate tersendiri.  Penelitian  ini  akan  membandingkan rate kelompok  yang  berlaku semenjak tahun 2010 di PT ABC dengan rate hasil perhitungan dengan kredibilitas Bayesian.

## 3.2. Distribusi Frekuensi Klaim
Dalam menentukan rate suatu kelompok menggunakan kredibilitas Bayesian, diperlukan likelihood  dari  distribusi  frekuensi  klaim  dan  distribusi  prior rate untuk  didapatkan  distribusi posterior rate berdasarkan  frekuensi  klaim.  Pada  penelitian  ini,  distribusi  frekuensi  klaim
diasumsikan  mengikuti  distribusi  Poisson  karena  bersifat  diskrit  dan  peluang  seseorang mengajukan klaim pada suatu periode waktu sangat kecil.
Suatu kelompok yang mengandung 𝑁 polis, distribusi frekuensi klaim Y adalah Poisson dengan nilai parameter 𝑁𝑟 dan dapat ditulis sebagai berikut:
𝑓(𝑌 = 𝑦|𝑅 = 𝑟) = (𝑁𝑟) 𝑦 𝑒 −(𝑁𝑟)
𝑦! ; 𝑦 > 0,                                          (3.1)
dengan 𝑅 merupakan rate frekuensi klaim. Uji chi-kuadrat digunakan untuk pengujian kecocokan distribusi.

## 3.3. Distribusi Rate Frekuensi Klaim
Menurut Hossack et al. [3], distribusi yang dapat menggambarkan ketidakpastian estimasi rate dengan  baik  adalah  distribusi  gamma.  Selain  itu,  menurut  teori  prior  konjugasi,  apabila frekuensi klaim berdistribusi Poisson, maka distribusi prior rate yang cocok mengikuti distribusi gamma.  Distribusi  ini  bernilai  positif  dengan  rentang  dari  nol  sampai  tak  hingga  dan  bersifat kontinu dengan fungsi densitas sebagai berikut:
𝑓(𝑅 = 𝑟) = 𝛽 Γ(𝛼) 𝑒 −𝑁𝑟𝛽 (𝑁𝑟) 𝛼−1 ; 𝛼, 𝛽 > 0                                       (3.2)
R merupakan rate frekuensi klaim dan 𝛼 serta 𝛽 merupakan parameter distribusi gamma. Persamaan (3.2) digunakan sebagai distribusi prior rate frekuensi klaim. Berdasarkan Hossack et al.[3], mean dan varians dari distribusi prior rate frekuensi klaim adalah sebagai berikut:
𝑚𝑒𝑎𝑛 = 𝛼 𝛽 = 𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑚𝑎;                                                     (3.3)
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 = 𝛼 𝛽 2 = ( 1 2 × 0,1 × 𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑚𝑎) 2 ;                                   (3.4)
Dengan  nilai  0,1  merupakan  penilaian  subjektif  dari  manajemen  PT  ABC  mengenai rentang dari rate lama. Nilai 𝛽 dapat ditentukan dengan persamaan berikut:
𝛽 = 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 .                                                              (3.5)
Selanjutnya, nilai 𝛼 dapat ditentukan dengan substitusi nilai 𝛽 ke persamaan (3.3).

## 3.4. Formula Kredibilitas dengan Pendekatan Bayesian untuk Rate Frekuensi Klaim
Dari  data  historis  klaim  kelompok,  didapatkan  frekuensi  klaim  sebesar 𝑌 pada  polis sebanyak 𝑁 . Pembaharuan dilakukan pada distribusi prior 𝑅 , dari persamaan (3.2), dengan data historis klaim  sehingga  didapatkan 𝑓(𝑌 = 𝑦|𝑅 = 𝑟) sebagai  fungsi  distribusi  posterior.  Hal  ini dapat  dilakukan  dengan  teorema  Bayes  dengan  distribusi  prior rate Persamaan  (3.2)  sebagai berikut:
𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑌 = 𝑦) = 𝑓(𝑅 = 𝑟)𝑓(𝑌 = 𝑦|𝑅 = 𝑟)
∫ 𝑓(𝑅 = 𝑟)𝑓(𝑌 = 𝑦|𝑅 = 𝑟)𝑑𝑟 ∞ 𝑟=0
.                             (3.6)
Substitusi Persamaan (3.1) dan (3.2) serta penyederhanaan didapatkan:
𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑌 = 𝑦) = 𝐵 Γ(𝐴) 𝑒 −𝑁𝑟𝐵 (𝑁𝑟) 𝐴−1 ,                                  (3.7)

## dengan
𝐴 = 𝛼 + 𝑦 ;                                                                    (3.8) 𝐵 = 𝛽 + 𝑁 .                                                                    (3.9)
Melalui  pendekatan  Bayes,  terlihat  bahwa  informasi  historis  klaim  berguna  untuk menaikkan  parameter 𝛼 dengan 𝑦 dan  parameter 𝛽 dengan 𝑁 .  Estimasi  untuk rate frekuensi klaim R berubah dari 𝛼/𝛽 ke 𝛼 + 𝑦/𝛽 + 𝑁 yang merupakan rata-rata dari distribusi gamma (3.7) dan dapat ditulis ke dalam bentuk baru:
𝑅 𝑓 = (1 − 𝑍) ( 𝛼 𝛽 ) + 𝑍 ( 𝑦 𝑁 ),                                                   (3.10)
dengan faktor kredibilitas diambil dari [10] sebagai berikut:
𝑍 = 𝑁 (𝛽 + 𝑁) ,                                                                 (3.11)
dengan 𝑌 adalah  jumlah  klaim  kelompok  dalam  setahun  dan 𝑁 adalah  jumlah  polis  atau tertanggung dalam satu kelompok dalam setahun.
Dari  persamaan  (3.10),  terlihat  bahwa  nilai  Z  mempengaruhi  pembobotan  peranan  data histori klaim  pada rate baru.  Apabila  nilai  Z  tinggi,  maka  data  histori  klaim  memiliki  peranan yang besar untuk penentuan nilai rate baru dan sebaliknya.

## 3.5. Distribusi Besar Klaim
Menurut Ahmad et al. [11], distribusi besar klaim yang biasa digunakan adalah distribusi Burr, Gamma, Lognormal, Pareto dan Weibull. Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa distribusi besar klaim mengikuti Lognormal. Distribusi besar klaim 𝑋 adalah Lognormal dengan parameter 𝜇, 𝜎′ dan dapat ditulis sebagai berikut:
𝑓(𝑋 = 𝑥|𝑅 = 𝑟) = 1 𝑥𝜎′√2𝜋 𝑒 −(ln(𝑥)−𝜇) 2 /2𝜎′ 2 (3.12)
dengan 𝑥 ≥ 0, −∞ < 𝜇 < ∞, 𝜎̂′ > 0. Dengan  menggunakan  metode  maximum  likelihood estimation (MLE), didapatkan nilai taksiran 𝜇 yaitu 𝑥̅ serta taksiran 𝜎′ yaitu 𝜎̂ sebagai berikut:
𝑥̅ = ∑ ln (𝑥 𝑖 ) 𝑌 𝑖=1
𝑌 ;                                                        (3.13)
𝜎̂ 2 = ∑ (ln(𝑥 𝑖 ) − 𝑥̅) 2 𝑌 𝑖=1 𝑌
,                                                  (3.14)
dengan 𝑌 adalah jumlah klaim kelompok dalam setahun.

## 3.6. Distribusi Rate Besar Klaim
Berdasarkan teori distribusi prior konjugasi, apabila besar klaim berdistribusi Lognormal, maka distribusi prior rate yang cocok mengikuti distribusi normal dengan fungsi densitas sebagai berikut:
𝑓(𝑅 = 𝑟) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 −(𝑟−𝜇) 2 /2𝜎 2 ; −∞ < 𝑟 < ∞, −∞ < 𝜇 < ∞, 𝜎 2 > 0               (3.15)
dengan 𝑅 merupakan rate besar  klaim  dan 𝜇 serta 𝜎 merupakan  parameter  disribusi  normal dimana 𝜇 bernilai sama dengan rate lama kelompok.

## 3.7. Formula Kredibilitas dengan Pendekatan Bayesian untuk Rate Besar Klaim
Dari data historis klaim kelompok, didapatkan besar klaim X dari 𝑁 polis. Pembaharuan dilakukan  pada  distribusi  prior 𝑅 ,  dari  persamaan  (3.15),  dengan  data  historis  klaim  sehingga didapatkan  nilai 𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑋 = 𝑥) sebagai  distribusi  posterior.  Hal  ini  dapat  dilakukan  dengan teorema Bayes dengan distribusi prior rate Persamaan (3.15) sebagai berikut:
𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑋 = 𝑥) =
𝑓(𝑅 = 𝑟)𝑓(𝑋 = 𝑥|𝑅 = 𝑟) ∫ 𝑓(𝑅 = 𝑟)𝑓(𝑋 = 𝑥|𝑅 = 𝑟)𝑑𝑟 ∞ 𝑟=0 .                           (3.16)
dengan substitusi Persamaan (3.15) dan (3.12) serta penyederhanaan didapatkan:
𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑋 = 𝑥) = 1
𝜎√2𝜋 𝑒 −(𝑟−𝜇) 2 /2𝜎 2 .                                      (3.17) dengan teorema bayes, didapatkan fungsi densitas posterior R yang dapat digambarkan sebagai berikut:
𝑓(𝑅 = 𝑟|𝑋 = 𝑥) ∝ 𝑓(𝑋 = 𝑥|𝑅 = 𝑟)𝑓(𝑅 = 𝑟)
atau
𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 ∝ 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑. 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
sehingga didapatkan bentuk mean dan varians sebagai berikut:
𝐸(𝑅 = 𝑟|𝑋 = 𝑥) = 𝜇 = 𝜇̂𝜎̂′ 2 + 𝜎̂ 2 𝑁𝑥̅ 𝜎̂′ 2 + 𝑁𝜎̂ 2 ;                                         (3.18)
𝜎 2 = 𝜎̂′ 2 𝜎̂ 2 𝜎̂′ 2 + 𝑁𝜎̂ 2 .                                                       (3.19)
Dengan  pendekatan  Bayes,  terlihat  bahwa  estimasi  terbaik  untuk rate besar  klaim 𝑅 berubah dari ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 ke persamaan (3.18) yang merupakan rata-rata dari distribusi normal (3.17) yang dapat ditulis ke dalam bentuk baru
𝑅 𝑏 = (1 − 𝑍)𝜇̂ + 𝑍𝑥̅ ,                                                     (3.20) dengan 𝑥̅ merupakan rata-rata besar klaim dan faktor kredibilitas yang diambil dari Herzog [7]:
𝑍 = 𝑁𝜎̂ 2 𝜎̂′ 2 + 𝑁𝜎̂ 2 = 𝑁 𝑁 + ( 𝜎̂′ 2 𝜎̂ 2 ) ,                                                (3.21)
dengan 𝜎 2 merupakan  varians  dari rate besar  klaim, 𝜎̂′ 2 merupakan  varians  dari  besar  klaim kelompok dan 𝑁 merupakan jumlah premi dari tertanggung dalam satu kelompok dalam setahun.

## 4.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang digunakan untuk penelitian ini adalah sampel dari 361 pemegang polis beserta besar klaimnya  untuk  jenis  mobil  kendaraan  pribadi  roda  empat  di  Perusahaan  PT  ABC  cabang Bandung  pada  tahun  2011-2013.  Berikut  disajikan  jumlah  pemegang  polis  yang  mengajukan klaim dari masing-masing kelompok pada Tabel 1.
Tabel 1. Data Jumlah Pemegang Polis yang Mengajukan Klaim di PT ABC
Nilai Pertanggungan TLO Komprehensif Rp 0 s/d Rp 150juta 0 177 Rp 151juta s/d Rp300juta 3 136 Rp 301juta s/d Rp 500juta 0 38 Rp 501juta s/d Rp 800juta 0 6 > Rp 800juta 0 1
Tabel 1 menunjukkan beberapa kelompok yang tidak memiliki histori klaim atau memiliki nilai 0 klaim, sehingga penentuan rate tidak dapat dilakukan pada kelompok tersebut.

## 4.1. Pengujian Distribusi Frekuensi Klaim
Dilakukan uji kecocokan distribusi frekuensi klaim tiap kelompok mengikuti distribusi Poisson menggunakan uji Chi-Kuadrat dengan hipotesis:
𝐻 0 : Data Frekuensi Klaim berdittribusi Poisson (𝜆) 𝐻 1 : Data Frekuensi Klaim tidak berdittribusi Poisson (𝜆)
Digunakan statistik uji Chi-Kuadrat sebagai berikut:
𝜒 2 = ∑ (𝑂 𝑖 − 𝐸 𝑖 ) 2 𝑘 𝑖=1 𝐸 𝑖 (4.1)
dengan 𝑂 𝑖 adalah frekuensi observasi ke-i dan 𝐸 𝑖 adalah frekuensi harapan ke-i.
Didapatkan perhitungan Statistik Uji (𝜒 2 ) pada tiap kelompok dan disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai Statistik Uji Frekuensi Klaim Kelompok Kelompok Statistik Uji (𝜒 2 ) 𝜒 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙 2 Komprehensif (0-150juta) 4,0107 13,2767 Komprehensif (151-300juta) 1,4344 13,2767 Komprehensif (301-500juta) 5,6090 13,2767 Komprehensif (501-800juta) 0,1402 9,2103 Komprehensif (>800juta) 1,6156 11,3448 TLO (151-300juta) 46,6494 6,6349
Tabel 2 menunjukkan bahwa semua kelompok kecuali TLO (151-300juta) memiliki nilai Statistik Uji (𝜒 2 ) yang lebih kecil dari 𝜒 𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙 2 yang memenuhi kriteria penerimaan hipotesis nol. Dengan  kata  lain,  frekuensi  klaim  semua  kelompok  kecuali  TLO  (151-300juta)  mengikuti distribusi Poisson.

## 4.2. Penentuan Rate Kelompok Berdasarkan Frekuensi Klaim
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  estimasi 𝛼 dan 𝛽 yang  didapatkan  melalui persamaan  (3.3)  dan  (3.4)  menggunakan rate kelompok  lama  asuransi  PT  ABC.  Didapatkan semua nilai estimasi 𝛼 dan 𝛽 pada Tabel 3.
Tabel 3. Estimasi Nilai 𝛼 dan 𝛽 Kelompok Mean = Rate Lama Varians 𝛽 𝛼 Komprehensif (0-150juta) 0,0258 1,66E-06 15503,88 400 Komprehensif (151-300juta) 0,0182 8,28E-07 21978,02 400 Komprehensif (301-500juta) 0,0162 6,56E-07 24691,36 400 Komprehensif (501-800juta) 0,0116 3,36E-07 34482,76 400 Komprehensif (>800juta) 0,01 2,5E-07 40000 400 TLO (151-300juta) 0,0056 7,84E-08 71428,57 400
Setelah  didapatkan  nilai 𝛼 dan 𝛽 ,  Langkah  selanjutnya  adalah  penentuan  faktor kredibilitas (𝑍) dan rate frekuensi  klaim (𝑅 𝑓 ) .  Misalkan  untuk  kelompok  Komprehensif  (0- 150juta)  terdapat  177  klaim  dan  351  pemegang  polis  (N).  Faktor  kredibilitas (𝑍) didapatkan menggunakan persamaan (3.11) sebagai berikut:
𝑍 = 351 15503,88 + 351 = 0,0221
Sementara itu, rate frekuensi klaim (𝑅 𝑓 ) untuk kelompok ini  menggunakan persamaan (3.10) sebagai berikut:
𝑅 𝑓 = (1 − 0,0221) ( 400 15503,88 ) + (0,0221) ( 177 351 ) = 0,0364.
Perhitungan ini dilanjukan ke kelompok lainnya sehingga didapatkan semua nilai pada Tabel 4.
Tabel 4. Rate Frekuensi Klaim Kelompok Komprehensif PT ABC Kelompok Y N 𝑍 𝑅 𝑓 Komprehensif (0-150juta) 177 351 0,0221 0,0364 Komprehensif (151-300juta) 136 278 0,0125 0,0240 Komprehensif (301-500juta) 38 68 0,0027 0,0177 Komprehensif (501-800juta) 6 19 0,0006 0,0177 Komprehensif (>800juta) 1 4 0,0001 0,0100 TLO (151-300juta) 3 14 0,00019 0,0056
Tabel  4  memberikan  hasil  dari  perhitungan  penentuan rate frekuensi  klaim  baru menggunakan  kredibilitas  Bayesian.  Misalkan  suatu  pemegang  polis  baru  dengan  harga  mobil sebesar 100 juta ingin mengikuti asuransi kendaraan Komprehensif di PT ABC, maka premi kotor yang dapat diajukan sebesar 0,0364 × 100𝑗𝑢𝑡𝑎 yaitu Rp. 3.640.000/tahun.

## 4.3. Pengujian Distribusi Besar Klaim
Pengujian  kecocokan  distribusi  besar  klaim  tiap  kelompok  mengikuti  distribusi Lognormal atau tidak menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov dengan hipotesis:
𝐻 0 : Data Besar Klaim berdistribusi Lognormal ( 𝜇, 𝜎 2 ) 𝐻 1 : Data Besar Klaim tidak berdistribusi Lognormal ( 𝜇, 𝜎 2 ) Dengan statistik uji:
𝐷 = max  |𝐹(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)|
𝐹(𝑥) adalah fungsi distribusi empiris dan 𝐹 0 (𝑥) adalah fungsi distribusi teoritis dengan taraf nyata 𝛼 = 0,01 , diperoleh nilai p-value tiap kelas pada Tabel 5.
Tabel 5. Nilai Statistik Uji dan P-value Kelompok Pemegang Polis
Kelompok Statistik Uji P-value TLO (151-300juta) 0,22014 0,82083 Komprehensif (0-150juta) 0,09836 0,02304 Komprehensif (151-300juta) 0,10732 0,02120 Komprehensif (301-500juta) 0,14392 0,17812 Komprehensif (501-800juta) 0,18559 0,93495
Tabel 5 menunjukkan bahwa semua kelompok memiliki nilai p-value yang lebih besar dari 𝛼 = 0,01 yang  memenuhi  kriteria  penerimaan  hipotesis  nol  atau  besar  klaim  semua kelompok mengikuti distribusi Lognormal.

## 4.4. Penentuan Rate Kelompok Berdasarkan Besar Klaim
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  menaksir  mean  dan  varians  dari  data  besar klaim.  Dengan  mengacu  ke  penaksiran  parameter  distribusi  Lognormal  melalui  MLE  didapat persamaan:
𝜇̂ = 1 𝑛 ∑ ln (𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 𝜎̂′ 2 = 1 𝑛 ∑ (ln(𝑥 𝑖 ) − 𝜇) 2 𝑛 𝑖=1
Misalkan untuk kelompok TLO (151-300juta) didapatkan mean data besar klaim sebagai berikut:
𝜇̂ = ln(8400) + ln(10404878) + ⋯ + ln (5000000) 7 = 15,56
Kemudian varians dari besar klaimnya adalah sebagai berikut:
𝜎̂′ 2 = (15,94 − 15,56) + (16,16 − 15,56) + ⋯ + (15,42 − 15,56) 7 − 1 = 0,125
Perhitungan  ini  dilanjukan  ke  kelompok  lain  sehingga  didapatkan  semua  nilai  yang  ada  pada Tabel 6.
Tabel 6. Estimasi Mean dan Varians Data Klaim Kelompok Mean Varians TLO (151-300juta) 15,560 0,125 Komprehensif (0-150juta) 15,530 0,323 Komprehensif (151-300juta) 15,346 0,648 Komprehensif (301-500juta) 15,387 0,720 Komprehensif (501-800juta) 15,815 1,175
Langkah  selanjutnya  adalah  penentuan faktor  kredibilitas (Z)  dan rate frekuensi  klaim (𝑅 𝑏 ) .  Misalnya  untuk  kelompok  TLO  (151-300juta)  didapatkan  faktor  kredibilitas  Z  bernilai 0,000008792 yang didapatkan melalui persamaan (2.22) sebagai berikut:
𝑍 = 14 14 + ( 0,125 7,84𝑒 − 8) = 0,000008792
dengan nilai varians rate 7,84e-8 diambil dari Tabel 3. Sementara itu, rate besar klaim 𝑅 𝑏 untuk kelompok  TLO  (151-300juta)  bernilai  0,0057.  Nilai  ini  didapatkan  melalui  persamaan  (3.20) sebagai berikut:
𝑅 𝑏 = (1 − 0,000008792)(0,0056) + (0,000008792)(15,56) = 0,0057 Perhitungan ini dilanjutkan ke kelompok lainnya sehingga didapatkan semua nilai pada Tabel 7.
Tabel 7. Rate Besar Klaim Kelompok PT ABC Kelompok 𝑍 𝑅 𝑏 TLO (151-300juta) 0,000008792 0,0057 Komprehensif (0-150juta) 0,00035 0,0537 Komprehensif (151-300juta) 0,00025 0,0236 Komprehensif (301-500juta) 6,196e-5 0,0171 Komprehensif (501-800juta) 5,435e-6 0,0116
Tabel 7 memberikan hasil dari perhitungan penetuan rate besar klaim baru menggunakan kredibilitas Bayesian. Misalkan suatu pemegang polis baru dengan harga mobil sebesar 125 juta ingin mengikuti asuransi kendaraan TLO di PT ABC, maka premi yang dikenakan adalah sebesar 0,0057 × 125 juta yaitu Rp 712.500/tahun.

## 4.5. Perbandingan Rate Frekuensi Klaim dan Rate Besar Klaim
Tabel 8. Perbandingan Rate Frekuensi Klaim, Besar Klaim dan PT ABC Kelompok Rate Frekuensi Klaim Rate Besar Klaim Rate PT ABC Komprehensif (0-150juta) 0,0364 0,0537 0,0258 Komprehensif (151-300juta) 0,0240 0,0236 0,0182 Komprehensif (301-500juta) 0,0177 0,0171 0,0162 Komprehensif (501-800juta) 0,0177 0,0116 0,0116 Komprehensif (>800juta) 0,0100 - 0,01 TLO (151-300juta) 0,0056 0,0057 0,0056
Dari Tabel 8, terlihat bahwa nilai rate hasil penelitian ini lebih besar daripada nilai rate yang berlaku pada tahun 2010 di PT ABC. Hal ini disebabkan oleh adanya penggabungan unsur rate PT ABC tahun 2010 dengan frekuensi atau besar klaim yang diajukan pemegang polis PT ABC selama tahun 2011-2013. Selain itu, semua nilai rate hasil penelitian ini berada dalam batas ketentuan OJK kecuali untuk rate besar klaim pada kelompok Komprehensif (0-150juta).
Misalkan suatu pemegang polis baru dengan harga mobil sebesar 100juta ingin mengikuti asuransi kendaraan komprehensif di PT ABC maka premi yang dikenakan menggunakan ketiga jenis rate pada Tabel 9.
Tabel 9. Contoh Premi Ketiga Jenis Rate Jenis Rate Rate Premi Rate Frekuensi Klaim 0,0364 Rp 3.640.000/tahun Rate Besar Klaim 0,0537 Rp 5.370.000/tahun Rate PT ABC 0,0258 Rp 2.580.000/tahun

## 5. KESIMPULAN
Pada  penggunaan  kredibilitas  Bayesian  didapatkan  nilai rate baru  kelompok  yang didasarkan  kepada  data  historis  klaim  yaitu  frekuensi  klaim  dan  besar  klaim  yang  diajukan pemegang  polis pada  setiap  kelompok.  Hal  ini  tentunya  bisa  dijadikan  pertimbangan  PT  ABC dalam mengevaluasi rate untuk dapat menutupi kerugian di masa yang akan datang dengan lebih baik.  Hal  ini  dikarenakan rate baru  didapatkan  untuk  kelompok  yang  memiliki  data  historis pengajuan klaim, sedangkan untuk kelompok yang tidak memiliki data historis pengajuan klaim, tidak dapat ditentukan rate baru. Distribusi Poisson cocok digunakan untuk data frekuensi klaim dan Distribusi Lognormal cocok digunakan untuk data besar klaim di data penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  P. Parodi, Pricing in general insurance, CRC Press, 2014.
[2]  A. K. and E. Valdez, "Statistical concepts of a priori and a posteriori risk classification in insurance," AStA Advances in Statistical Analysis, vol. 96, pp. 187-224, 2012.
[3]  I. Hossack, J. Pollard and B. Zehnwirth, Introductory statistics with applications in general insurance, Cambridge University Press, 1999.
[4]  J. Zahi, "Non-life insurance ratemaking techniques," International Journal of Accounting,
Finance, Auditing, Management and Economics, vol. 2, no. 1, pp. 344-361, 2021.
[5]  M.  Rahmah  and  A.  Mutaqin  ,  "Penerapan  Metode  Limited-Fluctuation  Credibility  dalam Menentukan  Premi  Murni  pada  Asuransi  Kendaraan  Bermotor  di  PT  XYZ," Indonesian Journal of Applied Statistics, vol. 4, no. 2, pp. 126-139, 2021.
[6]  T.  N.  Sari,  M.  Rasmiaty  and  D.  Anggraini  ,  Asuransi  dan  Literasi  Keuangan,  Surakarta (Solo): Penerbit Tahta Media, 2023.
[7]  W. Lynch, J. Nottage, J. Brigham and J. Gao, "Credibility Theory," Worcester Polytechnic Institute, Worcester, 2014.
[8]  T. Herzog, Introduction to credibility theory, Actex Publications, 1999.
[9]  I. Slamet  and  K.  Natalia,  "Kredibilitas dengan  Pendekatan  Bühlmann," Seminar Nasional MIPA, pp. 63-74, 2007.
[10] K. Tanaka and E. Grechnikov, " On an Application of Bayesian Estimation," 2012.
[11]  Z.  Ahmad,  E.  Mahmoudi  and  G.  Hamedani,  "  A  class  of  claim  distributions:  properties, characterizations and  applications to  insurance claim  data," Communications in  Statistics- Theory and Methods, vol. 51, no. 7, pp. 2183-2208, 2022.