Mechatronics, Electrical Power, and Vehicular Technology
e-ISSN: 2088-6985 p-ISSN: 2087-3379 Accreditation Number: 432/Akred-LIPI/P2MI-LIPI/04/2012
www.mevjournal.com

## D EVELOPMENT OF S WEPT - SINE E XCITATION C ONTROL M ETHOD TO M INIMIZE THE FRF M EASUREMENT E RROR

## P ENGEMBANGAN M ETODE P ENGONTROLAN E KSITASI S WEPT - SINE UNTUK M EMINIMALISASI K ESALAHAN P ENGUKURAN FRF
Asmara Yanto a, *, Zainal Abidin b
a Teknik Mesin, Fakultas Teknologi Industri - ITP Jl Gajah Mada Kandis Nanggalo, Padang, Indonesia
b Teknik Mesin, Fakultas Teknik Mesin dan Dirgantara – ITB Jl Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia
Received 31 May 2012; received in revised form 29 August 2012; accepted 31 August 2012 Published online 18 December 2012

## Abstract
Shaker excitation in FRF (Frequency Response Function) measurement of a testing system can be controlled by using swept- sine signal source in a signal generator and it is called with swept-sine excitation. FRF’s magnitude error of the system which is obtained from the FRF measurement using swept-sine excitation depends on swept function of swept-sine signal. In this paper, swept-sinesignals using linear and S535 swept functions have been simulated to controlling swept-sine excitation in the FRF measurement of SDOF (Single Degree of Freedom) system. Linear swept is swept function of swept-sine signal which is often used in the FRF measurement and S535swept is a swept function has been developed in this paper. Based on simulation results, the FRF’s magnitude error at system’s resonant frequency which was  obtained from the FRF measurement using linear swept- sine excitation can be minimized by redoing the FRF measurement using S535 swept-sine excitation.
Key words: FRF, swept-sine, linear swept, S535 swept, magnitude.

## Abstrak
Eksitasi shaker pada pengukuran FRF (Fungsi Respon Frekuensi) dari suatu sistem uji dapat dikontrol dengan sinyal swept- sine yang bersumber dari sebuah generator sinyal dan disebut dengan eksitasi swept-sine. Kesalahan magnitudo FRF sistem yang diperoleh dari pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine bergantung kepada fungsi swept dari sinyal swept-sine. Pada makalah ini, sinyal swept-sine dengan fungsi linear swept dan S535 swept telah disimulasikan untuk mengontrol eksitasi swept- sine pada pengukuran FRF Sistem 1-DK (Satu Derajat Kebebasan). Linear swept adalah fungsi swept dari sinyal swept-sine yang sering digunakan pada pengukuran FRF dan S535 swept adalah sebuah fungsi swept yang dikembangkan pada makalah ini. Berdasarkan hasil simulasi, kesalahan magnitudo FRF pada frekuensi resonansi sistem yang diperoleh dari pengukuran FRF dengan eksitasi linear swept-sine dapat diminimalisasi dengan mengulang kembali pengukuran FRF dengan eksitasi S535 swept-sine.
Kata kunci: FRF, swept-sine,linear swept, S535 swept, magnitudo.

## I. P ENDAHULUAN
Pengukuran FRF (Fungsi Respon Frekuensi) dengan eksitasi shaker membutuhkan perangkat pengeksitasi yang terdiri atas generator sinyal, penguat daya, shaker , dan alat penghubung shaker ke sistem uji ( stinger ) [1-4]. Gaya eksitasi yang dihasilkan oleh shaker bersumber dari sinyal pengontrol eksitasi yang terdapat pada generator sinyal.
Salah satu dari beberapa sinyal pengontrol eksitasi yang sering digunakan pada pengukuran FRF adalah sinyal swept-sine . Sinyal swept-sine adalah sinyal sinusoidal dengan amplitudo tertentu dan memiliki kandungan frekuensi yang berubah terhadap waktu  [4-6]. Fungsi yang mengekspresikan hubungan frekuensi sinyal swept-sine terhadap waktu disebut dengan fungsi swept dan parameter yang menyatakan laju perubahan frekuensi sinyal swept-sine disebut dengan swept rate . Harga swept rate bergantung * Corresponding Author. Tel: +62-751-443317 E-mail: asmarayanto@yahoo.com
kepada span frekuensi dan waktu swept pada fungsi swept . Gaya eksitasi yang dihasilkan oleh shaker dengan cara mengontrolnya dengan menggunakan sinyal swept-sine disebut dengan eksitasi swept-sine . Magnitudo FRF sistem uji yang diperoleh dari pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine disebut dengan magnitudo FRF swept-sine .
Beberapa metode eksitasi swept-sine pada pengukuran FRF secara MIMO ( Multiple Input Multiple Output ) dapat dilihat pada referensi  [7- 13]. Berdasarkan referensi ini, eksitasi swept-sine diterapkan kepada sistem uji dengan menggunakan beberapa shaker . Setiap shaker menghasilkan eksitasi swept-sine dengan swept rate yang berbeda satu sama lain. Untuk memperoleh magnitudo FRF yang teliti pada frekuensi resonansi sistem yang terendah, sekurang-kurangnya satu dari beberapa eksitasi swept-sine yang diterapkan tersebut harus mengandung swept rate yang lambat.
Pembahasan mengenai pengaruh harga swept rate pada pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine secara SISO ( Single Input Single Output ) dapat dilihat pada referensi  [14-15]. Berdasarkan referensi ini, eksitasi swept sine pada pengukuran FRF sistem uji akan menghasilkan magnitudo FRF yang teliti pada frekuensi resonansi sistem apabila memiliki swept rate yang lambat. Tetapi, cara ini membutuhkan waktu swept yang panjang dan menghasilkan jumlah data yang banyak.
Berdasarkan referensi [7-15], pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine yang memiliki swept rate yang semakin cepat menghasilkan magnitudo FRF pada frekuensi resonansi sistem dengan kesalahan yang semakin besar. Oleh karena itu, pada makalah ini dikembangkan suatu
metode untuk meminimalisasi kesalahan magnitudo FRF yang diperoleh dari pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine yang memiliki swept rate yang cepat. Eksitasi swept-sine untuk span frekuensi dan waktu swept tertentu yang semula dikontrol dengan sinyal linear swept-sine , dikontrol kembali dengan sinyal S535 swept-sine . Span frekuensi dan waktu swept pada eksitasi S535 swept-sine dipertahankan sama dengan span frekuensi dan waktu swept pada eksitasi linear swept-sine .
Sinyal S535 swept-sine terdiri atas tiga fungsi swept yang saling menyambung untuk memenuhi span frekuensi eksitasi. Fungsi swept pertama adalah swept polinomial orde-5 untuk frekuensi eksitasi di bawah daerah frekuensi resonansi sistem, fungsi swept kedua adalah swept polinomial orde-3 untuk frekuensi eksitasi disekitar frekuensi resonansi sistem, dan fungsi swept ketiga adalah swept polinomial orde-5 untuk frekuensi eksitasi di atas daerah frekuensi resonansi sistem. Eksitasi swept-sine yang dikontrol dengan sinyal linear  swept-sine dan S535 swept-sine disimulasikan secara numeric pada pengukuran FRF Sistem 1-DK (Satu Derajat Kebebasan). Ketelitian magnitudo FRF sistem yang dihasilkan berdasarkan harga kesalahan magnitudo FRF swept-sine terhadap magnitudo FRF teoritik di frekuensi resonansi sistem.

## II. M ETODOLOGI
Skema pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine ditunjukkan oleh Gambar 1. Sedangkan model simulasi pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine ditunjukkan oleh Gambar 2. Simulasi pengontrolan eksitasi swept- sine pada pengukuran FRF diawali dengan proses penentuan magnitudo FRF teoritik Sistem 1-DK
dengan parameter masukan sistem berupa massa, m s (kg), peredam, c  (Ns/m), dan kekakuan, k s (N/m). Pada proses ini, harga frekuensi pribadi, f n (Hz),  dan rasio redaman, 𝜁𝜁 , dihitung terlebih dahulu masing-masing dengan:
𝑓𝑓 𝑛𝑛 = 1 2 𝜋𝜋 � 𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑠𝑠 (1) 𝜁𝜁 = 𝑐𝑐 4 𝜋𝜋𝑚𝑚𝑠𝑠𝑓𝑓𝑛𝑛 (2)
Magnitudo FRF teoritik Sistem 1-DK, |H teo (f)| (m/N), diperoleh dengan
| 𝐻𝐻 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑓𝑓 )| = 1 𝑘𝑘 1 �� 1 −� 𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑛𝑛 � 2 � 2 + � 2 𝜁𝜁 𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑛𝑛 � 2 (3)
Frekuensi resonansi, f r (Hz), diperoleh dari kurva |H teo (f)| di mana f r adalah frekuensi pada harga maksimum dari |H teo (f)|.
Proses selanjutnya adalah analisis kesalahan magnitudo FRF swept-sine . Perbedaan magnitudo FRF teoritik pada f r , |H teo (f r )|, dengan magnitudo FRF swept-sine pada f r , |H SS (f r )|, yang merupakan keluaran dari komparator dan kesalahan
magnitudo referensi, 𝜀𝜀 0 (%), merupakan masukan pada proses ini. Persentase kesalahan  |H SS (f r )| yang dinotasikan dengan 𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) diekpresikan dengan:
𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) = | 𝐻𝐻𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑓𝑓𝑟𝑟 )| − | 𝐻𝐻𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓𝑟𝑟 )| | 𝐻𝐻𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 ( 𝑓𝑓𝑟𝑟 )| 100% (4)
Pada inisiasi simulasi, |H SS (f r )| = 0 sehingga harga 𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) = 100%. Harga ( 𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 )/ 𝜀𝜀 0 )>1 merupakan indikator untuk proses simulasi pengontrolan eksitasi swept-sine pada pengukuran FRF secara iteratif.

## A. Fungsi Swept
Pengontrolan eksitasi swept-sine berawal dari proses di generator swept . Pada proses ini, parameter masukan adalah parameter swept berupa frekuensi awal, f 0 (Hz), frekuensi akhir, f e (Hz),  dan lama eksitasi atau waktu swept , T r (s).  Generator swept menghasilkan keluaran berupa fungsi swept , f(t k ) . Fungsi swept merupakan fungsi pengontrol frekuensi sinyal swept-sine .
Fungsi swept pada iterasi yang pertama adalah fungsi linear swept seperti pada Gambar 3. Fungsi ini  dinotasikan dengan f lin (t k ) (Hz).
Fungsi f lin (t k ) memiliki dua buah kondisi batas, yaitu: f lin (0) = f 0 dan f lin (T r ) = f e . Fungsi swept dengan f lin (t k ) diekspresikan dengan:
𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = 𝑓𝑓 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = ( 𝑓𝑓 𝑡𝑡 − 𝑓𝑓 0 ) � 𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝑟𝑟 � + 𝑓𝑓 0 ; 0 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≤ 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (5)
Fungsi swept pada iterasi ke-2 dan berikutnya hingga diperoleh harga ( 𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 )/ 𝜀𝜀 0 )  ≤  1  adalah fungsi S535 swept yang dinotasikan dengan f 535 (t k ) (Hz).  Fungsi ini disusun oleh tiga buah
Gambar 2. Model simulasi pengukuran FRF dengan eksitasi swept sine secara iteratif.
Gambar 3. Fungsi f lin (t k ) dengan dua buah kondisi batas.
fungsi swept seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4 dan diekspresikan dengan:
𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = 𝑓𝑓 535 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = � 𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 );  0 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 < 𝑇𝑇 𝑝𝑝 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ); 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 < ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑇𝑇 𝑐𝑐 ) 𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ); ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑇𝑇 𝑐𝑐 ) ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≤ 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (6)
Fungsi-fungsi swept yang menyusun f 535 (t k ) adalah sebagai berikut: 1.  Fungsi f pa (t k ) (Hz) dengan enam buah kondisi batas, yaitu:
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝 (0) = 𝑓𝑓 0 𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑝𝑝 (0) = 0
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝 � 𝑇𝑇 𝑝𝑝 2 � = 𝑓𝑓 1 = 𝑓𝑓 0 + ( 𝑓𝑓 𝑝𝑝 − 𝑓𝑓 0 ) 4
𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑝𝑝 � 𝑇𝑇 𝑝𝑝 2 � = ( 𝑓𝑓 𝑝𝑝 − 𝑓𝑓 0 ) 𝑇𝑇 𝑝𝑝 𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ) = 𝑓𝑓 𝑝𝑝
𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ) = 2 ( 𝑓𝑓 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 ) 𝑇𝑇 𝑐𝑐
Fungsi f pa (t k ) adalah fungsi swept untuk frekuensi eksitasi swept-sine di bawah daerah frekuensi resonansi sistem.
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = �� 𝑓𝑓 𝑝𝑝 − 𝑓𝑓 0 � �− 8 � 𝑡𝑡𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑝𝑝 � 3 + 16 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑇𝑇𝑝𝑝 2 − 10 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑇𝑇𝑝𝑝 +3+2 𝑓𝑓𝑐𝑐 − 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑐𝑐 4 𝑡𝑡𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑝𝑝 3 − 8 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑇𝑇𝑝𝑝 2+5 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑇𝑇𝑝𝑝 − 1 𝑡𝑡𝑘𝑘𝑇𝑇𝑝𝑝 2+ 𝑓𝑓 0 (7)
2.  Fungsi f cb (t k ) (Hz)  dengan empat kondisi batas, yaitu:
𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ) = 𝑓𝑓 𝑝𝑝
𝑓𝑓̇ 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 ) = 2 ( 𝑓𝑓 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 ) 𝑇𝑇 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 ) = 𝑓𝑓 𝑐𝑐 ; 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 = 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑇𝑇 𝑐𝑐
𝑓𝑓̇ 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑇𝑇 𝑐𝑐 ) = 2 ( 𝑓𝑓 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 ) 𝑇𝑇 𝑐𝑐
Fungsi f cb (t k ) adalah fungsi swept untuk frekuensi eksitasi swept-sine di sekitar frekuensi resonansi sistem.
𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = � 𝑓𝑓 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 � � 2 � 𝑡𝑡𝑘𝑘−𝑇𝑇𝑝𝑝 𝑇𝑇𝑐𝑐 � 2 −
3 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑐𝑐 +2 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝𝑇𝑇𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑝𝑝 (8)
3.  Fungsi f pc (t k ) (Hz) dengan enam buah kondisi batas, yaitu:
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 ) = 𝑓𝑓 𝑐𝑐
𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 ) = 2 ( 𝑓𝑓 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑝𝑝 ) 𝑇𝑇 𝑐𝑐
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐 �𝑇𝑇 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 2 � = 𝑓𝑓 2 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 − ( 𝑓𝑓 𝑡𝑡 − 𝑓𝑓 𝑐𝑐 ) 4
𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑐𝑐 �𝑇𝑇 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇 𝑐𝑐 2 � = ( 𝑓𝑓 𝑡𝑡 − 𝑓𝑓 𝑐𝑐 ) 𝑇𝑇 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑡𝑡 ) = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑓𝑓̇ 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑇𝑇 𝑡𝑡 ) = 0 .
Fungsi f pd (t k ) adalah fungsi swept untuk frekuensi eksitasi swept-sine di atas daerah frekuensi resonansi sistem.
𝑓𝑓 𝑝𝑝𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = �� 𝑓𝑓 𝑡𝑡 − 𝑓𝑓 𝑐𝑐 � �− 8 � 𝑡𝑡𝑘𝑘−𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑐𝑐 � 4 + 24 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 3 − 26 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 2+11 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 +2 𝑓𝑓𝑐𝑐 − 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑇𝑇𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 4 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 4 − 12 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 3+13 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 2 − 6 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 +1 𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑇𝑇𝑝𝑝 + 𝑐𝑐𝑇𝑇𝑐𝑐 + 𝑓𝑓𝑐𝑐 (9)
Swept rate rata-rata dari fungsi f(t k ) yang dinotasikan dengan r ̅ f (Hz/s) adalah
𝑟𝑟̅ 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 −𝑓𝑓 0 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (10)
dan interval waktu, ∆ t (s),  antara dua buah data f(t k ) bergantung kepada laju pencuplikan data, S r (Sample/s), pada perangkat pengakuisisi data ( DAQ Device ).
∆𝑡𝑡 = 1 𝑆𝑆 𝑟𝑟 (11)
Gambar 4. Fungsi f 535 (t k ) dengan tiga fungsi swept penyusunnya.

## B. Eksitasi Swept-Sine
Fungs i f(t k ) diproses oleh generator angular sehingga diperoleh angular , φ (t k ) (rad). Fungsi φ (t k ) di ekspresikan dengan
𝜑𝜑 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = 2 𝜋𝜋 ∫ [ 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 )] 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑘𝑘 0 ; 0 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≤ 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (12)
Selanjutnya eksitasi swept-sine dihasilkan oleh generator sinyal swept-sine dengan φ (t k ) dan amplitudo referensi, U 0 (N), sebagai masukan. Fungsi eksitasi swept-sine , u(t k ) (N), diekspresikan dengan
𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = 𝑈𝑈 0 𝑠𝑠𝑙𝑙𝑛𝑛 [ 𝜑𝜑 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 )] ; 0 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≤ 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (13)
C. Respon Sistem Model hubungan u(t k ) dengan respon sistem, y (t k ) m, ditunjukkan oleh diagram blok pada Gambar 5.  Pada Gambar 5, fungsi yang menghubungkan u(t) dengan y(t) yang dinotasikan dengan h(t) merupakan FRI (Fungsi Respon Impuls) dari Sistem 1-DK. Diagram blok dari FRI ini dapat dilihat pada Gambar 6 [16].
Keadaan dan persamaan keluaran sistem pada Gambar 6 dengan metode ruang-keadaan ( state- space )  masing-masing diekspresikan dengan Persamaan (14) dan (15) [17].
�𝑥𝑥̇ 1 𝑥𝑥̇ 2 � = � 0 1 − 𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑠𝑠 − 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑠𝑠 � � 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 � + � 0 1 𝑚𝑚 𝑠𝑠 � 𝑢𝑢
{ 𝑥𝑥̇ } = [ 𝐴𝐴 ]{ 𝑥𝑥 } + { 𝐵𝐵 } 𝑢𝑢 (14)
𝑦𝑦 = [1 0] � 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 � 𝑦𝑦 = [ 𝐶𝐶 ]{ 𝑥𝑥 } (15)
dimana {x} , y , u , [A] , {B} , dan [C] secara berturut-turut adalah vektor keadaan, vektor keluaran, vektor masukan, matriks keadaan, matriks masukan, dan matriks keluaran.
Diskritisasi Persamaan (14) dan (15) meyajikan keadaan dan persamaan keluaran sistem dalam waktu diskrit secara berturut-turut dengan Persamaan (16) dan (17) [16].
� 𝑥𝑥 1 � ( 𝑘𝑘 + 1) ∆𝑡𝑡� 𝑥𝑥 2 � ( 𝑘𝑘 + 1) ∆𝑡𝑡� � = [ 𝐺𝐺 ] �𝑥𝑥 1 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) � + { 𝐻𝐻 } 𝑢𝑢 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) (16)
𝑦𝑦 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) = [ 𝐶𝐶 ] �𝑥𝑥 1 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑘𝑘∆𝑡𝑡 ) � (17)
dimana,
k = 0, 1, 2, …
𝐺𝐺 = 𝐿𝐿 − 1 ���𝑠𝑠 0 0 𝑠𝑠� − [ 𝐴𝐴 ] � − 1 � 𝐻𝐻 = �� 𝑡𝑡 [ 𝐴𝐴 ] 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∆𝑡𝑡 0 � { 𝐵𝐵 }
dengan s adalah variabel kompleks.
Matriks [G] dan {H} pada Persamaan (16) adalah adalah matriks keadaan dan matriks masukan waktu diskrit yang secara berturut-turut dinyatakan dengan Persamaan (18) dan (19).
𝐺𝐺 = 𝑡𝑡 −𝑝𝑝∆𝑡𝑡 −𝑡𝑡 −𝑐𝑐∆𝑡𝑡 𝑐𝑐−𝑝𝑝 � 2 𝜁𝜁𝜔𝜔 𝑛𝑛 − 𝐸𝐸 1 −𝜔𝜔 𝑛𝑛 2 −𝐸𝐸� (18)
𝐻𝐻 = 1 𝑚𝑚 𝑠𝑠 ( 𝑐𝑐−𝑝𝑝 ) �− 1 𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 −𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡 − 1) + 1 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 −𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡 − 1) 𝑡𝑡 −𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 −𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡 � (19)
dimana,
𝐸𝐸 = 𝑝𝑝𝑡𝑡 −𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡 − 𝑐𝑐𝑡𝑡 −𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑡𝑡 −𝑝𝑝𝑎𝑎𝑡𝑡 − 𝑡𝑡 −𝑐𝑐𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑝𝑝 = 𝜁𝜁𝜔𝜔 𝑛𝑛 + 𝑙𝑙𝜔𝜔 𝑛𝑛 � 1 − 𝜁𝜁 2
𝑐𝑐 = 𝜁𝜁𝜔𝜔 𝑛𝑛 − 𝑙𝑙𝜔𝜔 𝑛𝑛 � 1 − 𝜁𝜁 2
𝜔𝜔 𝑛𝑛 = 2 𝜋𝜋𝑓𝑓 𝑛𝑛 dengan {x} pada kondisi awal adalah
�𝑥𝑥 1 (0) 𝑥𝑥 2 (0) � = � 0 0 �
dan C = [1 0] ,  keadaan {x(t k )} dan  persamaan keluaran y(t k ) diperoleh dengan
�𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 +1 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 +1 ) � = [ 𝐺𝐺 ] �𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 2 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) � + { 𝐻𝐻 } 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) (20)
𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) = 𝑥𝑥 1 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) ;  0 ≤ 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≤ 𝑇𝑇 𝑟𝑟 (21)
D. FRF Sistem
Data pengukuran terhadap u(t k ) dan y(t k ) merupakan data-data diskrit dalam domain waktu. Dengan mentransformasinya ke dalam domain frekuensi, kandungan frekuensi dari u(t k ) dan
Gambar 5. Model hubungan antara u(t k ) dengan y(t k ) .
Gambar 6. Diagram blok FRI (Fungsi Respon Impuls) Sistem-1DK.
y(t k ) dapat diketahui. Transformasi data-data diskrit dalam domain waktu menjadi domain frekuensi dilakukan dengan menggunakan transformasi Fourier diskrit ( Discrete Fourier Transform atau DFT)  [18]. DFT terhadap u(t k ) dan y(t k ) menghasilkan koefisien Du m dan Dy m secara berturut-turut pada Persamaan (22) dan (23).
𝐷𝐷𝑢𝑢 𝑚𝑚 = 1 𝑁𝑁 ∑ 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) 𝑡𝑡 −𝑙𝑙 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑁𝑁 𝑁𝑁− 1 𝑘𝑘 =0 (22)
𝐷𝐷𝑦𝑦 𝑚𝑚 = 1 𝑁𝑁 ∑ 𝑦𝑦 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) 𝑡𝑡 −𝑙𝑙 2 𝜋𝜋 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑘𝑘𝑠𝑠 𝑁𝑁 𝑁𝑁− 1 𝑘𝑘 =0 (23)
dimana m= 0, 1, 2, … , N-1 dan N adalah jumlah d ata u (t k ) atau y(t k ) . Koefisien  Du m dan Dy m berada pada domain frekuensi f m yang diperoleh dengan
𝑓𝑓 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑇𝑇 𝑟𝑟 ; m = 0, 1, 2, ..., N-1 (24)
Spektrum frekuensi dari u(t k ) yang dinotasikan dengan U(f m ) dan  spektrum frekuensi dari y(t k ) yang dinotasikan dengan Y(f m ) diekspresikan dengan
𝑈𝑈 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) = 𝐷𝐷𝑢𝑢 𝑚𝑚 (25)
𝑌𝑌 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) = 𝐷𝐷𝑦𝑦 𝑚𝑚 (26)
FRF sistem dengan eksitasi swept-sine adalah rasio Y(f m ) terhadap U(f m ) . FRF yang diperoleh pada pengukuran FRF dengan eksitasi swept-sine disebut dengan FRF swept-sine , H SS (f m ) , yang diekspresikan dengan
𝐻𝐻 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) = 𝑌𝑌 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) 𝑈𝑈 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) (27)
Magnitudo  FRF swept-sine ,  |H SS ( f m )|  (m/N), diperoleh dengan
| 𝐻𝐻 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 )| = � { 𝑅𝑅𝑡𝑡 [ 𝐻𝐻 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 )]} 2 + { 𝐼𝐼𝑚𝑚 [ 𝐻𝐻 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 )]} 2 (28)
dimana Re[H SS ( f m )] dan Im[H SS ( f m )] masing- masing adalah bagian real dan imaginer dari H SS ( f m ).

## E. Data-data Simulasi
Simulasi pengontrolan eksitasi swept sine terhadap Sistem 1-DK dilakukan secara numerik dengan data-data masukan simulasi pada Tabel 1. Penentuan posisi dua titik pertemuan antara dua fungsi swept yaitu titik P(T a , f a ) dan titik Q(T a +T b , f b ) pada fungsi f 535 (t k ) ditentukan secara iteratif. Harga T a divariasikan dari 0,05T r hingga 0,20T r dengan kenaikan  0,05T r , harga T b divariasikan dari  0,60T r sampai 0,95T r -T a dengan kenaikan 0,05T r , harga f a divariasikan dari 0,80f r hingga 0,95f r dengan kenaikan 0,05f r , dan harga f b divariasikan dari 1,05f r hingga 1,20f r dengan kenaikan 0,05f r .

## III. H ASIL DAN P EMBAHASAN
Kurva  |H teo (f)| yang diperoleh dari simulasi ditunjukkan oleh Gambar 7. Dari kurva |H teo (f)| diperoleh frekuensi resonansi teoritik, f r = 24 Hz, dengan harga |H teo (f r )| = 3,664x10 -3 m/N. Linear swept dan S535  swept yang diperoleh melalui simulasi secara iteratif ditunjukkan pada Gambar 8. Swept rate dari linear swept adalah 10 Hz/s. Harga swept rate ini digunakan kembali oleh S535 swept menjadi swept rate rata-rata. Parameter S535 swept selain f 0 , f e , dan T r yang diperoleh secara iteratif untuk menghasilkan |H SS (f r )| dengan ( 𝜀𝜀 𝛼𝛼 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟 )/ 𝜀𝜀 0 ) ≤ 1 dapat dilihat pada Tabel 2.
Gambar 7. Kurva |Hteo(f)| yang diperoleh dari simulasi.
Gambar 8.  Fungsi  linear swept  dan  S535 swept yang diperoleh melalui simulasi secara iteratif. Tabel 1 Data-data masukan simulasi. Parameter Harga (satuan) Massa, m s 1 (kg) Peredam, c 1,81(Ns/m) Kekakuan, k s 22.739,57(N/m) Kesalahan magnitudo referensi, ε 0 5 (%) Frekuensi awal, f 0 0 (Hz) Frekuensi akhir, f e 40 (Hz) Lama eksitasi, T r 4 (s) Amplitudo referensi, U 0 1 (N) Laju pencuplikan, S r 1600 (Sample/s)
Perbandingan eksitasi linear swept-sine ,u lin (t), dengan eksitasi S535 swept-sine , u 535 (t), ditunjukkan oleh Gambar 9(a). Kandungan frekuensi eksitasi S535 swept-sine di sekitar frekuensi resonansi sistem memiliki alokasi waktu yang lebih lama jika dibandingkan dengan eksitasi linear swept-sine sebagaimana yang ditunjukkan oleh Gambar 8. Eksitasi S535 swept- sine di sekitar frekuensi resonansi memiliki swept rate yang lambat atau berlangsung lebih lama sehingga menghasilkan respon sistem maksimum dengan amplitudo 14,670x10 -4 m. Sedangkan respon sistem maksimum terhadap eksitasi linear swept-sine mempunyai amplitudo sebesar 9,997x10 -4 m sebagaimana yang ditunjukkan Gambar 9(b).
Selain itu, dengan eksitasi S535 swept- sine, pengaruh respon transient di sekitar frekuensi resonansi hanya sedikit dan didominasi oleh respon steady-state . Respon steady-state ini sangat mempengaruhi FRF sistem karena FRF merupakan fungsi perbesaran respon steady-state
pada setiap frekuensi eksitasi [19]. Kurva |H lin (f)| dan|H 535 (f)| yang masing- masing dihasilkan pada simulasi pengukuran FRF Sistem 1-DK dengan ekitasi linear swept-sine dan S535 swept-sine memperlihatkan frekuensi resonansi sistem yang tetap sama dengan harga teoritiknya yaitu f r = 24 Hz. Harga |H lin (f)| dan |H 535 (f)|di f r menunjukkan perbedaan yang signifikan dimana harga kesalahan |H lin (f r )| terhadap |H teo (f r )|  lebih besar jika dibandingkan dengan harga kesalahan |H 535 (f r )| terhadap |H teo (f r )|. Harga kesalahan |H lin (f r )| dan |H 535 (f r )| terhadap |H teo (f r )| dapat dilihat pada Tabel 3.
Dengan demikian, pengontrolan kembali eksitasi swept-sine dengan sinyal S535 swept-sine mampu meminimalisasi kesalahan magnitudo FRF yang diperoleh dari pengontrolan eksitasi swept-sine yang sebelumnya dengan sinyal linear swept-sine . Selain itu, batas kesalahan magnitudo referensi sebesar 5% yang diinginkan dapat terpenuhi dengan pengontrolan eksitasi swept- sine dengan sinyal S535 swept-sine .
Gambar 9.  Gaya eksitasi swept-sine dan respon sistem;  (a) Perbandingan gaya eksitasi ulin(t) dengan u535(t);  (b) Perbandingan respon ylin(t) dengan y535(t).
Tabel 2 Parameter S535 swept selain f 0 , f e , dan T r yang diperoleh secara iteratif.
Parameter
Harga (satuan) Frekuensi di bawah f r , f a
22,8 (Hz)
Frekuensi di atas f r , f b
28,8 (Hz)
Waktu saat f = f a , t a
0,4 (s)
Waktu saat f = f b , t b
2,4 (s)
Tabel 3 Perbedaan harga |H lin (f)| dan|H 535 (f)| terhadap |H teo (f)| di f r . |H(f)|
|H(f r )|(m/N)
ε α (f r ) (%) |H teo (f)|
3,664x10 -3
- |H lin (f)| 2,900x10 -3 20,86 |H 535 (f)| 3,546x10 -3 3,22 Gambar 10. Perbandingan H lin (f)| dan|H 535 (f)| terhadap |H teo (f)|.

## IV. K ESIMPULAN
Pengukuran FRF Sistem 1-DK dengan m s =1 kg, c = 1,81 Ns/m, dan k s = 22.739,57 N/m secara simulasi dengan mengontrol eksitasi swept-sine yang diterapkan ke sistem dengan sinyal linear swept-sine menghasilkan kesalahan magnitude FRF di f r sebesar 20,86 % untuk span frekuensi dari f 0 = 0 Hz sampai f e = 40 Hz dan waktu swept T r = 4 s. Kesalahan ini dapat diminimalisasi sehingga menjadi 3,22% dengan mengontrol kembali eksitasi swept-sine dengan menggunakan sinyal S535 swept-sine meskipun dengan span frekuensi dan waktu swept yang sama pada sinyal linear swept-sine .
Berdasarkan hasil simulasi pengontrolan eksitasi swept-sine pada makalah ini, sinyal S535 swept-sine dapat diusulkan sebagai sinyal untuk mengontrol eksitasi swept-sine pada pengukuran FRF sistem nyata secara eksperimental.

## R EFERENSI
[1] M. A. Peres, et al., "Practical Aspects of Shaker Measurements for Modal Testing," in Proc. of ISMA 2010 , 2010, pp. 2539-2551.
[2] D. Cloutier, et al., "Shaker/Stringer Effect on Measured Frequency Response Functions," presented at the 27th International Modal Analysis Conference , Orlando, Florida, 2009.
[3] U. Füllekrug, et al., "Measurement of FRFs and Modal Identification in Case of Correlated Multi-Point Excitation," Shock and Vibration , vol. 15, pp. 435-445, 2008.
[4] K. G. McConnell, Vibration Testing: Theory and Practice . New York: John Wiley & Sons Inc., 1995.
[5] N. Haritos, "Swept Sine Wave Testing of Compliant Bottom-Pivoted Cylinders," in
Proceedings of the First (1991) International Offshore and Polar Engineering Conference Edinburgh, United Kingdom, 1991.
[6] J. Zhuge, Advanced Dynamic Signal Analysis . Santa Clara: Crystal Instruments Corporation, 2009.
[7] P. Giclais, et al., "New Excitation Signals for Aircraft Ground Vibration Testing," presented at the International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics 2011 , Munich, 2011.
[8] K.  Napolitano and D. Linehan, "Multiple Sine Sweep Excitation for Ground Test," presented at the 27th International Modal Analysis Conference , Orlando, Florida, 2009.
[9] B. Peeters, et al., "Modern Solutions for Ground Vibration Testing of Large Aircraft," presented at the 26th International Modal Analysis Conference , Orlando, Florida, 2008.
[10] S. Orlando, et al., "Improved FRF estimators for MIMO Sine Sweep Data," in Proceedings of the ISMA 2008 International Conference on Noise and Vibration Engineering , Katholieke Universiteit,
Leuven, 2008, pp. 229-241.
[11] H. Climent, "Aeroelastic and Structural Dynamics Tests at EADS CASA," in Proc. of the 18th Annual Symposium of the Society of Flight Test Engineers SFTE , Madrid, 2007.
[12] D. Göge, et al., "Ground Vibration Testing of Large Aircraft –  State-of-the-Art and Future Perspectives," presented at the 25th International Modal Analysis Conference ,
Orlando, Florida, 2007.
[13] S. Pauwels, et al., "A New MIMO Sine Testing Technique for Accelerated, High Quality FRF Measurements," presented at the 24 th International Modal Analysis Conference , St. Louis, MO, 2006.
[14] G. Gloth and M. Sinapsis, "Analysis of Swept-Sine Runs During Modal Identification," Mechanical Systems and Signal Processing , vol. 18, pp. 1421–1441, 2004.
[15] M. Sinapius and G. Gloth, "Influence and Characterisation of Weak Non-Linearities in Swept-Sine Modal Testing," Aerospace Science and Technology , vol. 8, pp. 111-120, 2004.
[16] K. Ogata, Discrete-Time Control Systems . New Jersey: Prentice-Hall Inc., 1995.
[17] K. Ogata, Modern Control Engineering . New Jersey: Prentice-Hall Inc., 2002.
[18] E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 9th Edition, 9 ed. New York:
John Wiley & Sons Inc., 2006.
[19] R. K. Mobley, Vibration Fundamentals (Plant Engineering Maintenance (Hardback) . Boston: Butterworth– Heinemann, 1999.