## SQUARE : Journal of Mathematics and Mathematics Education
Volume 2, No. 1, 2020, pp. 1-16 http://dx.doi.org/10.21580/square.2020.2.1.5149

## Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Fogging
Siti Windawati 1* , Ali Shodiqin 2 , Aurora Nur Aini 3
1,2,3 Universitas PGRI Semarang
* siti.windawati@gmail.com

## ABSTRAK
Penyakit  demam  berdarah  adalah  penyakit  infeksi  yang  disebabkan  oleh  virus  dengue  yang ditularkan  oleh  nyamuk Aedes  Aegypty melalui  gigitan  nyamuk  betina  yang  terinfeksi.  Penyakit demam  berdarah merupakan salah satu masalah kesehatan utama di Indonesia. Pencegahan utama untuk mengatasi demam berdarah adalah pengendalian nyamuk  yang merupakan  vektor  penyakit. Salah satunya adalah  pemberantasan nyamuk dengan fogging . Pada penelitian ini dibahas tentang model  matematika  penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh fogging .  Selanjutnya dari model matematika ditentukan titik ekuilibrium bebas  penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Kemudian  dilakukan  analisis  kestabilan  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium endemik  dan  simulasi  numerik  kestabilan  titik  ekuilibrium  dan  pengaruh fogging terhadap penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  menggunakan  software  Matlab.  Berdasarkan  hasil analisis, titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal jika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu dan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal jika bilangan reproduksi  dasar lebih dari  satu.  Hasil  simulasi  pengaruh fogging terhadap  penyebaran  penyakit  demam  berdarah menunjukkan dengan adanya laju fogging ,  maka rata-rata  kasus infeksi sekunder  yang dihasilkan oleh individu terinfeksi jumlahnya sedikit.
Kata kunci : demam berdarah, fogging , titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar.

## ABSTRACT
Dengue  fever  is  an  infectious  disease  caused  by  dengue  virus  that  is  transmitted  by  the  Aedes Aegypty mosquito through the bite of an infected female mosquito. Dengue fever is one of the main health problems in Indonesia. The main prevention to overcome dengue fever is mosquito control which is a vector of disease. One of them is the eradication of mosquitoes by fogging. This research discusses  the  mathematical  model  of  the  spread  of  dengue  fever  with  the  influence  of  fogging. Furthermore,  from  the  mathematical  model  determined  the  disease-free  equilibrium  point  and endemic  equilibrium  point.  Then  the  stability  of  the  disease-free  equilibrium  point  and  endemic equilibrium point stability and numerical simulation of the stability of the equilibrium point and the effect of fogging on the spread of dengue fever using Matlab software were performed. Based on the results  of  the  analysis,  the  disease-free  local  asymptotic  stable  equilibrium  point  if  the  base reproduction number is less than one and the endemic equilibrium point is stable asymptotic locally if  the  base  reproduction  number  is  more  than  one.  The  results  of  the  simulation  of  the  effect  of fogging on the spread of dengue fever show that with the rate of  fogging,  the  average number of secondary infections produced by infected individuals is small.
Keywords: dengue fever, fogging, equilibrium point, basic reproduction numbers.

## 1. PENDAHULUAN
Demam  berdarah  dengue  (DBD)  adalah  penyakit  infeksi  yang  disebabkan  oleh  virus dengue yang mengakibatkan demam akut dan ditularkan oleh nyamuk Aedes Aegypti (Arsin, 2013).  Virus  dengue  termasuk  kelompok  B  Arthropod  Borne  Virus  ( Arboviroses )  yang sekarang  dikenal  sebagai  genus  Flavivirus,  famili  Flaviviridae,  dan  mempunyai  empat  jenis serotipe, yaitu DEN-1, DEN-2, DEN-3, DEN-4 (Irianto, 2014). Infeksi oleh salah satu serotipe akan menimbulkan kekebalan terhadap serotipe yang bersangkutan tetapi tidak untuk serotipe yang lain (Masriadi, 2017).
Penyakit  demam  berdarah  masih  merupakan  salah  satu  masalah  kesehatan  masyarakat yang utama di Indonesia. Menurut data WHO, Asia Pasifik menanggung 75 persen dari beban dengue di dunia antara tahun 2004 dan 2010, sementara Indonesia dilaporkan sebagai negara ke-2 dengan kasus DBD terbesar diantara 30 negara wilayah endemis (Pusat Data dan Informasi Kementerian Kesehatan RI, 2017). Berdasarkan data Kementerian Kesehatan RI (2019) secara nasional  jumlah  kasus  demam berdarah  hingga  awal  Februari 2019  adalah  sebanyak  16.692 kasus  dengan  169  orang  meninggal  dunia.  Menurut  CNN  Indonesia  (2019)  kasus  demam berdarah  ini  mengalami  peningkatan  jumlah  dari  data  terakhir  Kemenkes  tahun  2018  yang menyebutkan bahwa ada 11.293 kasus dengan 112 orang meninggal.
Tingginya jumlah kasus demam berdarah merupakan masalah  yang  harus diselesaikan. Pencegahan  utama  untuk  mengatasi  demam  berdarah  adalah  pengendalian  nyamuk  yang merupakan vektor penyakit demam berdarah baik dalam bentuk larva maupun nyamuk dewasa (Bustamam dkk,  2018).  Pemberantasan  vektor demah  berdarah  untuk nyamuk  dewasa  dapat dilakukan dengan fogging atau penyemprotan lingkungan rumah dengan insektisida malathion serta  diikuti  dengan  aplikasi  abatisasi  untuk  mengendalikan  vektor  demam  berdarah  dalam bentuk larva (Masriadi, 2017).
Perkembangan ilmu matematika memberikan peranan dalam menganalisa permasalahan yang  muncul  di  berbagai  bidang.  Misalnya  peranan  matematika  di  bidang  kesehatan  dalam fenomena penyebaran penyakit menular dapat dianalisis dengan pemodelan matematika. Dalam beberapa  tahun  terakhir,  pemodelan  matematika  menjadi  alat  penting  untuk  memahami epidemiologi  dan  dinamika  penyakit  menular,  yang  mengarah  pada  kemajuan  besar  untuk pengendalian  penyakit,  menyediakan  alat  untuk  menilai  dampak  potensial  dari  berbagai tindakan intervensi kesehatan masyarakat (Aguiar dan Stollenwerk, 2017).
Penelitian tentang model matematika penyebaran penyakit demam berdarah sebelumnya telah banyak dilakukan diantaranya Adi-Kusumo dkk (2014), Aini dan Shodiqin (2014), dan Bustamam dkk (2018). Penelitian Aini dan Shodiqin (2014) membahas tentang pembentukan model matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengue, yang selanjutnya dianalisis kestabilan  titik  ekuilibriumnya  dan  dilakukan  simulasi  menggunakan software Matlab. Kemudian  penelitian  Adi-Kusumo  dkk  (2014)  membahas  tentang  analisis  model  demam dengue  dengan dua  infeksi  dari  serotip  yang  berbeda dengan  analisis  linear.  Penelitian  yang dilakukan  Bustamam  dkk  (2018)  membahas  tentang  model  matematika  demam  berdarah dengan berbagai intervensi seperti vaksinasi orang dewasa dan bayi baru lahir dalam populas manusia, larvasida, insektisida, dan kontrol mekanis populasi nyamuk.
Pada  artikel  ini  dibahas  mengenai  analisis  kestabilan  model  matematika  penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging. Artikel ini bertujuan untuk (1) mengetahui
model  matematika  penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh fogging ,  (2) mengetahui  analisis  kestabilan  titik  ekuilibrium  model  matematika  penyebaran  penyakit demam  berdarah  dengan  pengaruh fogging ,  (3)  mengetahui  simulasi  model  matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging .

## 2. METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Studi pustaka adalah metode pengumpulan data dengan mencari informasi lewat buku, jurnal, dan literatur lainnya yang  bertujuan  untuk  membentuk  suatu  landasan  teori.  Sumber  literatur  yang  digunakan diperoleh dari artikel, jurnal, prosiding, dan buku yang berhubungan dengan penyakit demam berdarah dan model matematika penyebaran penyakit. Selanjutnya melakukan langkah-langkah untuk  mencapai  tujuan  penelitian.  Adapun  langkah-langkah  yang  dilakukan  adalah  sebagai berikut.  (1)  Menentukan  permasalahan  dunia  nyata  yang  akan  dikaji.  (2)  Membuat  asumsi- asumsi  yang  digunakan  untuk  menyusun  model.  (3)  Membuat  diagram  transfer  model penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh fogging yang  menggambarkan penyebaran  virus dengue dalam  populasi  manusia  dan  nyamuk.  (4)  Menyusun  model matematika  penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh fogging yang  berupa sistem persamaan diferensial nonlinear. (5) Menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. (6) Melakukan linearisasi sistem di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik dengan menggunakan matriks Jacobian. (7) Membentuk persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  dari  sistem  di  sekitar  titik  ekuilibrium  bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. (8) Menentukan nilai-nilai eigen yang merupakan akar persamaan  karakteristik  dengan  memperhatikan  syarat  nilai  eigen.  (9) Menentukan  bilangan reproduksi dasar berdasarkan syarat  nilai eigen untuk  kestabilan  lokal titik ekuilibrium. (10) Menganalisis kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. (11) Melakukan simulasi model matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging menggunakan software Matlab yang mana parameter-parameter diganti dengan angka- angka yang berasal dari data yang diperoleh dari berbagai sumber. (12) Penarikan kesimpulan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini membahas tentang penyusunan model matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging , penentuan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium  endemik,  penentuan  bilangan  reproduksi  dasar,  analisis  kestabilan  lokal  titik ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium  endemik,  dan  simulasi  model  dengan menggunakan software Matlab.

## 3.1.  Formulasi  Model  Matematika  Penyebaran  Penyakit  Demam  Berdarah  dengan Pengaruh Fogging
Model  penyebaran  penyakit  demam  berdarah  dengan  pengaruh  fogging  dibuat berdasarkan fakta yang ada. Dari fakta-fakta tersebut, model yang dibentuk akan menjadi sangat kompleks.  Oleh  karena  itu,  dibuat  asumsi-asumsi  untuk  menyederhanakan  model  sebagai berikut.  (1) Hanya terdapat populasi manusia dan populasi nyamuk dalam suatu wilayah. (2)

## 4 | Siti Windawati, Ali Shodiqin, Aurora Nur Aini - Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah ....
Hanya terdapat satu serotipe virus dengue dalam suatu wilayah, sehingga individu yang sembuh tidak  dapat  terinfeksi  kembali.  (3)  Tidak  ada  migrasi  pada  populasi  manusia  dan  populasi nyamuk. (4) Individu yang lahir merupakan individu yang rentan terhadap penyakit. (5) Jumlah populasi  manusia  konstan,  sehingga  laju  kelahiran  sama  dengan  laju  kematian.  (6)  Jumlah populasi  nyamuk  konstan.  (7)  Terdapat  laju  kematian  nyamuk  karena  fogging.  (8)  Nyamuk yang terinfeksi tidak akan pernah sembuh karena umur nyamuk  yang pendek. (9) Tidak ada efek resisten pada nyamuk terhadap penggunaan fogging.
Pada model ini populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok individu rentan/ Susceptible ( S h ) yang menyatakan kelompok individu yang belum terinfeksi oleh virus dengue dan berpotensi terinfeksi oleh virus tersebut, kelompok individu terinfeksi/ Infected ( I h ) yang  menyatakan  kelompok  individu  yang  terinfeksi  oleh  virus  dengue  dan  berpotensi menularkan  virus  tersebut  ke  vektor  penular  (nyamuk),  dan  kelompok  individu sembuh/ Recovered ( R h ) yang menyatakan kelompok individu yang sembuh dari infeksi virus. Populasi  nyamuk  dibagi  menjadi  dua  kelompok  yaitu  kelompok  nyamuk  rentan  ( S v )  dan kelompok nyamuk terinfeksi ( I v ). Dari asumsi-asumsi diperoleh diagram transfer berikut.
Gambar 1. Diagram Transfer Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Fogging
Dari  diagram  transfer  pada  Gambar  1,  diperoleh  model  matematika  berupa  sistem persamaan diferensial sebagai berikut.
h h h v h h h h dS b S I A S dt N    

  h h h v h h h h dI b S I I dt N 
    
h h h h h dR I R
dt     (1)
  v v v h v v v h dS b S I A u S dt N      
  v v v h v v h dI b S I u I dt
N 
   
Deskripsi parameter-parameter:
h A : Tingkat kelahiran manusia per kapita.
v A : Jumlah rekruitmen nyamuk.
h  : Laju kelahiran manusia.
v  : Laju kematian alami nyamuk.
u : Laju kematian nyamuk karena fogging. b : Tingkat gigitan nyamuk pada manusia.
h  : Peluang penyebaran virus dari nyamuk yang terinfeksi ke individu rentan.
v  : Peluang penyebaran virus dari individu yang terinfeksi ke nyamuk rentan.
h  : Laju pemulihan individu yang terinfeksi.
h N : Jumlah populasi manusia

## 3.2. Titik Ekuilibrium
Titik  ekuilibrium diperoleh dengan  menjadikan 0 h dS dt  , 0 h dI dt  , 0 h dR dt  , 0 v dS dt  , dan 0 v dI dt  dari  sistem  persamaan  (1)  sehingga  diperoleh  dua  titik  ekuilibrium  yaitu  titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik.

## Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  adalah  suatu  keadaan  tidak  terjadi  penyebaran  penyakit menular (demam berdarah) dalam suatu populasi. Titik ekuilibrium bebas penyakit diberikan oleh   0 , , R , , ,  0,  0, ,  0 h v h h h v v h v A A E S I S I u     
   
  .

## Titik Ekuilibrium Endemik
Titik  ekuilibrium  endemik  adalah  suatu  keadaan  dimana  terjadi  infeksi  penyakit  di  dalam populasi  sehingga 0 h I  dan 0 v I  .  Titik  ekuilibrium  endemik  diberikan  oleh
  * * * * * 1 , , , , h h h v v E S I R S I 
dengan
       * 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 * 2 2 2 * 2 2 h v v h h v h h h v h h h h
h v h v h v h h h h v h v h v h h v h h h v h h v h h h h h h h h v h h v h h v h v h h v h h h h h h h h h h N u b A N u N N u N
S b b A N u N
b
A A N N u N u N
u N u N
I b b A b A N N u N u N b R                            
            
  
       
               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v h v h v h h v h h h v h h v h h h h h h h v h h h v h h v h v h h v h h h h h h h A A N N u N u N u N u N b b A b A N N u N u N
         
          
       
                
6 | Siti Windawati, Ali Shodiqin, Aurora Nur Aini - Analisis Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah ....


    2 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 h h h v h h v h v h h v h h h h h h h v h v h h v h h h v h h h h h v h v h v h h v h h h v h h v h h h h h h h
v h v v h h v h h h v h h h N b A b A N N u N u N S b b A N u N N u N
b
A A N N u N u N u N u N I b u b A N u N N u    
                                                                h N

## 3.3. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar   0 R adalah banyaknya individu rentan yang terinfeksi oleh individu lain yang terinfeksi. Jika 0 1 R  , maka penyakit akan menghilang dari populasi. Jika
0 1 R  , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan perhitungan nilai eigen dari matriks Jacobian yang dihitung pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Berikut matriks Jacobian dari sistem persamaan (1) di sekitar titik ekuilibrium bebas penyakit.
              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h h h h v v v h v v v v h v b A N b A N J f E b A u N u b A u N u                   
             

       
   

       
 (2)
Selanjutnya  melakukan  linearisasi.  Dari  matriks  (2)  dibentuk  persamaan  karakteristik
    0 0 I J f E    sehingga diperoleh nilai eigen 1 2 3 , , h h v u              dan       2 2 2 45 4 . 2 h v h v v h h v h h h v h v h h h v h b A A u u u u
u N     
                                  
Suatu titik  kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik lokal  jika semua bagian real  nilai eigen bernilai negatif. Agar 4  merupakan bagian real negatif, maka
                2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 4 4 h v h v v h h v h h h v h v h h h v h h v h v v h h h v h v h h v h h h v h h v h v
v h h h v h v h h h v h b A A u u u u u N
b A A u u u u u N b A A u u u u N                                  
            
                                                            2 v h h u         
 
      
   
    2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 0 1 h v h v h v h v h h h v h h v h v h h v h v h h v h v h h v h h v h v h v h h v h h v b A A u u u N b
A A u u N b
A A N u
u b A A
N u
u                 
      
        
                                
Berdasarkan  asumsi  nilai  eigen  yang  merupakan  bagian  real  negatif,  maka  titik ekuilibrium  bebas  penyakit.  Hal  ini  berarti  banyaknya  individu  rentan  yang  terinfeksi  yang disebabkan oleh individu terinfeksi adalah nol atau kurang dari satu. Sehingga
    2 0 2 h v h v h h v h h v b A A R N u u            . (3)

## 3.3. Analisis Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh yaitu 1 2 3 , , h h v u              , dan       2 2 2 45 4 . 2 h v h v v h h v h h h v h v h h h v h b A A u u u u u N                                        
Untuk selanjutnya 45  akan dinyatakan dalam 0 R sebagai berikut.
    
   2 45 0 1 4 1 2 v h h v h h h h v u u u R
                       .
Agar 4  dan 5  merupakan bagian real tak nol maka
      2 0 4 1 0 v h h h h v u u R
              . Jika 0 1 R  , maka   0 1 0 R   . Sehingga     0 4 1 0 h h v u R    
   . Akibatnya           2 2 0 4 1 v h h h h v v h h v h h u u R u u                            Sehingga 4 0   dan 5 0   .  Dilihat  dari  nilai  eigen  pada  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit mempunyai akar-akar bagian realnya bernilai negatif jika bilangan reproduksinya kurang dari satu. Sehingga dapat disimpulkan titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal.

## 3.4. Analisis Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium Endemik
Berikut matriks Jacobian dari sistem persamaan (1) di sekitar titik ekuilibrium endemik   1 E .
          * * * * 1 * * * * 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 h v h h h h h h v h h h h h h h h v v v h
v h h v v v h v h h b I b S N
N b I b S N
N
J f E
b S b I u N N b S
b I u N N    
          

                                          (4)
Dari  matriks  (4)  dibentuk  persamaan  karakteristik
 
  1 0 I J f E
   sehingga  diperoleh persamaan 5 4 3 2
0 A B C D E            (5)
dengan
* * * * 2 * * * * * 2 2 * * * 2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 2 3
6 6 2 2 2 h v v h h h v h h h h v h h v h v h v h v v h v v h h h h h h h h h h h v h h v v h v h h v h v h h v v h h h b I b I
A u
N N b I b I b I I b I bu I b I B N N N N N N b I b I bu I u u u u N
N N b
    
 
         
      
       
                        
* *
2
2 * * *
* 2 * * * * 2 2 2 * * 2 * * 2 2 2 2 * 2 4 4 2 2
3 6 6 2 4 4 h v h v h h v h h v h h v v h h v h v h h v h v h v h h v
h h h h h h v h h v h h h h v v h v h v h h v h h h h h h h v v S S N b I I b I bu I b I I b I bu I C
N N N N
N N
b I b I b I I u u N N N b I             
    
 
        
    
     
          * * 2 * * 2 * 2 2 * 2 * * * * 2 2 2 2 2 * * 3 2 2 2 3 6 2 3
2
2 h v v v h v h h v h v h v h v h v h h h h h v h h h v h h v v v h h v h h h v h v h h h h h h h h v h h h v h h h h h bu I b I b u I I bu I u N N
N N N
bu I b S S b I bu I u
u u N N N
N
b I b I N N          
         
  
    
 
     
 
                 * * 2 * * 2 2 * *
2 2 * * 2 * * 2 * * 2 * 2 2 2 * * 2 * * 2 2
2 2 2 4 2 v h v h v h h h v v h v h h h h v h v h h v h v h v h v h h v h h v v h h v v h h v
h h h
h h
h v v h h v h v h h v h
h h b I bu I b S S
N
N N b u S S N b I I b u I I b I bu I bu I D N N N N N b I I b u I I b N N
  
    
     
                              2 * * 2 * 2 * 2 3 v h v h v h v h h v v h v h h h h h I bu I bu I b I N N N N              
2 * * *
2 2 2 2 2
2 2 * * 2 * * 2 2 * * 2 2 2 2
2 * 2
3 3 6 3
2 2 3 4 2 2 2 2 2 v h h v h v h h v h h h h v h v h h v h h h h h v h v h v h v h h v h v h h v h v h h h h h h h h v v h h v h bu I b I bu I u u N N
N
b
S S b u S S b I I u u N N N b I bu I N  
        
                    
  
 
             * 2 * * * * 2 3 * 2 *
2 2 * * 3 3
2 2 2 2 2 * * 2 2 * * 2 2 * 2 2
2 2 2 2 2 2 h v h h h v h h v h v h h h v h h h h v h h v h h h h v h h v h v h h v h h h h h h h v h v h v
h v h h v h h v v h h h h h b I I b I bu I
N
N N
N b I b I b S S u u N N
N
b
I I b u I I b I bu E N N
N
   
      
 
             
   
       
 
            2 * 2 2 * 2 * * 2 * *
2 * * 2 2 2 * 3 * 3 * 2 * 3 2 3 2 3 2 2 v v h h v h h h v h v h h v h v h h h v h h v h v h h v h v h h h h h h h v v h v h v h h v h v h h h v h v h h h h h I bu I N
N
b
I I b u I I b I bu I N N N N bu
I b I bu I b I u u
N N N
N
b   
                
  
                         
 2 *
2 2 * * 2 2 * * 2 2 2 2 2 2 2 2 v h h h h v h v h v h v h h v h v h h v h h h h h h u I b S S b u S S u u N N N   
         
          Persamaan (5) mempunyai bagian real negatif jika 0, A  0, B  0 C  , 0 D  , dan 0 E  . Koefisien A, B, C, D, dan E bernilai positif bergantung pada nilai 0 R . Saat kondisi 0 1 R  , maka
0 A  . Jika 0 1 R  dan 0 1 R  maka 0 A  . Untuk koefisien B, C, D, dan E bernilai positif saat kondisi 0 1 R  .
Kestabilan di sekitar titik ekuilibrium endemik dianalisis menggunakan kriteria Routh- Hurwitz  dan  bilangan  reproduksi  dasar 0 ( ) R .  Hal  ini  disebabkan  karena  persamaan  yang diperoleh sulit untuk dilakukan perhitungan nilai eigen secara langsung. Berdasarkan koefisien dari persamaan (5) dapat dibentuk matriks Routh-Hurwitz berikut.
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 A C E B D
H A C E
B D A C E
    
            Sehingga diperoleh determinan Routh-Hurwitz yaitu 1 2 , ,
D A D AB C    2 2 2 2 2 2 2 3 4 , 2 D ABC AE A D C D BCD ADE BCE AB E A D C D E            , dan 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 D ABCDE ADE BCE AB E A D E C DE E        .  Akar-akar  dari  persamaan (4.25)  mempunyai  bagian  real  negatif  jika 1 0, D  2 0, D  3 0, D  4 0,
D  dan 5 0. D  Berdasarkan  kondisi 0 1 R  maka 0, A  0, B  0, C  0, D  dan 0 E  sehingga diperoleh 1 0, D  2 0, D  3 0, D  4 0, D  dan 5 0. D  Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jika 0 1 R  kriteria Routh-Hurwitz terpenuhi, maka titik ekuilibrium 1 E akan stabil jika
0 1
R  . Sehingga dapat disimpulkan titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal.

## 3.5.  Simulasi  Model  Matematika  Penyebaran  Demam  Berdarah  dengan  Pengaruh Fogging saat Bebas Penyakit
Pada  simulasi  ini,  jumlah  awal  manusia  sehat  adalah  1000  sehingga  nilai  awal  pada
manusia  rentan  adalah   0 999,97 h S  ,  nilai  awal  pada  manusia  terinfeksi  adalah
  0 0,053, h I  nilai awal manusia sembuh adalah   0 0,063. h R  Jumlah nilai awal nyamuk
rentan  adalah 262,26  sehingga  nilai  awal  nyamuk rentan  adalah
  0 262,267, v
S 
dan  nilai awal  nyamuk  terinfeksi adalah   0 0,0016 v I  . Laju rekruitmen nyamuk   v A diasumsikan sebesar 271. Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 1 dan nilai parameter laju rekruitmen nyamuk, diperoleh
    2 0 2 0,998741 1 h v h v h h v h h v b A A R N u u              .
Tabel 1. Nilai-nilai Parameter Model Penyebaran Penyakit Demam Berdarah dengan Pengaruh Fogging Keterangan Simbol Nilai Sumber Tingkat kelahiran manusia per kapita. A h 1000 65 365  Bustamam dkk (2018 Jumlah rekruitmen nyamuk. A v 300 Asumsi Laju kelahiran manusia. h  1 65 365  Bustamam dkk (2018
Laju kematian alami nyamuk. v  1
30 Bustamam dkk (2018 Laju kematian nyamuk karena fogging. u 1 Bustamam dkk (2018 Tingkat gigitan nyamuk pada manusia. b 1 Bustamam dkk (2018 Peluang penyebaran virus dari nyamuk yang terinfeksi ke individu rentan.
h  0.75 Side dkk (2018). Peluang penyebaran virus dari individu yang terinfeksi ke nyamuk rentan.
v  0.375 Side dkk (2018). Laju pemulihan individu yang terinfeksi. h  1 14
Bustamam dkk (2018 Jumlah populasi manusia h N 1000 Bustamam dkk (2018
Gambar 2. Grafik Dinamika Populasi Manusia Rentan ( S h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) Saat Bebas Penyakit
Pada  Gambar  2  terlihat  bahwa  jumlah  populasi  manusia  rentan  yang  awalnya  bernilai 999,97 mengalami penurunan di titik di bawah 999,97 dan di atas 999,965 untuk waktu yang singkat kemudian mengalami kenaikan seiring dengan bertambahnya waktu hingga mencapai titik  kesetimbangan.  Grafik  tersebut  menjelaskan  bahwa  pada  waktu  tak  terhingga  diperoleh nilai populasi manusia rentan terhadap waktu pada simulasi ini diperkirakan jumlah populasi manusia rentan dalam jangka waktu yang panjang akan berjumlah 1000 pada hari ke 120.000 lebih. Jadi pada keadaan tersebut, sistem berada pada kondisi stabil.
Gambar 3. Grafik Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi (I h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Bebas Penyakit
Gambar  3  menunjukkan  bahwa  jumlah  manusia  terinfeksi  dengan  nilai  awal  0,053 mengalami  penurunan  seiring  dengan  bertambahnya  waktu  hingga  mencapai  titik kesetimbangan. Grafik tersebut menjelaskan bahwa pada waktu tak terhingga diperoleh jumlah manusia  terinfeksi  terhadap  waktu  menuju  ke  titik  nol  pada  hari  ke  60  lebih  dan  tidak mengalami perubahan. Dengan kata lain jumlah populasi manusia yang terinfeksi dalam waktu yang panjang penyakit Demam Berdarah akan menghilang.
Gambar 4. Grafik Dinamika Populasi Manusia Sembuh ( R h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Bebas Penyakit
Pada  Gambar  4  terlihat  bahwa  jumlah  manusia  sembuh  dengan  nilai  awal  0,063 bertambah  mencapai  titik  0,12  untuk  waktu  yang  singkat.  Kemudian  mengalami  penurunan seiring bertambahnya waktu hingga mencapai titik kestimbangan. Grafik tersebut menjelaskan bahwa pada waktu tak hingga diperoleh nilai populasi manusia sembuh terhadap waktu  yaitu menuju titik nol pada hari ke 120.000 lebih. Pada kondisi tersebut sistem berada dalm kondisi stabil.
Gambar 5. Grafik Dinamika Populasi Nyamuk Rentan ( S v ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Bebas Penyakit
Gambar  5  menunjukkan  bahwa  jumlah  nyamuk  rentan  dengan  nilai  awal  262,267 berkurang  mencapai  titik  di  bawah  262,254  dan  di  atas  262,252  untuk  waktu  yang  singkat. Kemudian  mengalami  kenaikan  seiring  dengan  bertambahnya  waktu  hingga  mencapai  titik setimbang. Grafik tersebut menjelaskan bahwa pada waktu tak hingga diperoleh nilai populasi nyamuk rentan terhadap waktu yaitu menuju titik 262,258 pada hari ke 7000 lebih. Pada kondisi tersebut sistem berada dalam kondisi stabil.
Gambar 6. Grafik Dinamika Populasi Nyamuk Terinfeksi ( I v ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Bebas Penyakit
Pada Gambar 6 menunjukkan bahwa jumlah nyamuk yang terinfeksi dengan nilai awal 0,0016 mengalami penurunan  seiring bertambahnya waktu hingga mencapai titik setimbang. Grafik tersebut menjelaskan bahwa pada waktu tak hingga diperoleh jumlah populasi nyamuk terinfeksi  terhadap  waktu  menuju  titik  nol  pada  hari  ke  40  lebih  dan  tidak  mengalami perubahan. Dengan kata lain jumlah populasi nyamuk yang terinfeksi dalam waktu yang lama penyakit demam berdarah akan menghilang.

## 3.6.  Simulalsi  Model  Matematika  Penyebaran  Demam  Berdarah  dengan  Pengaruh

## Fogging saat Endemik
Pada simulasi dengan kondisi endemik ini akan dibuat perbedaan dengan menaikkan nilai parameter A v menjadi 300 dengan mengambil nilai awal S h = 904,491, I h = 0,0559, R h = 95,453 , S v = 290,3167, I v = 0,0057.  Sedangkan  untuk  nilai  parameter  yang  lain  sama  dengan  nilai parameter untuk kondisi bebas penyakit pada Tabel 1. Sehingga diperoleh
    2 0 2 1,105617092 1 h v h v h h v h h v b A A R N u u  
           .
Gambar 7. Grafik Dinamika Populasi Manusia Rentan ( S h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Endemik
Gambar  7  menjelaskan  bahwa  populasi  manusia  rentan  dengan  nilai  awal  904,491 mengalami fluktuasi sampai 200000 hari. Kemudian seiring bertambahnya waktu akan menuju titik  setimbang.  Grafik  ini  menjelaskan  bahwa  pada  waktu  tak  terhingga   t   diperoleh jumlah populasi manusia rentan terhadap waktu   h S t , menuju titik 904,4907575 pada hari ke 250000 lebih. Pada kondisi tersebut sistem dalam kondisi stabil.
Gambar 8. Grafik Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi ( I h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Endemik
Gambar  8.  menjelaskan  bahwa  populasi  manusia  terinfeksi  dengan  nilai  awal  0,0559 mengalami  flukstuasi  sampai  hari  ke  200000.  Kemudian  seiring  bertambahnya  waktu  akan menuju  titik  ketimbang.  Grafik  ini  menjelaskan  bahwa  pada  waktu  tak  terhingga   t   diperoleh  jumlah  populasi  manusia  terinfeksi  terhadap  waktu   h I t menuju  titik 0,05632627304 pada hari ke 250000 lebih. Pada kondisi tersebut sistem dalam kondisi stabil. Dengan kata lain bahwa penyakit demam berdarah tidak akan hilang dalam keadaan endemik.
Gambar 9. Grafik Dinamika Populasi Manusia Sembuh (R h ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Endemik
Gambar  9  menjelaskan  bahwa  populasi  manusia  sembuh  dengan  nilai  awal  95,453 mengalami  fluktuasi  sampai  hari  ke  200000.  Kemudian  seiring  bertambahnya  waktu  akan menuju ke titik setimbang. Grafik ini menjelaskan bahwa pada waktu tak terhingga   t   diperoleh jumlah populasi manusia sembuh terhadap waktu   h R t , munuju titik 95,45291627 pada hari ke 250000 lebih. Pada kondisi tersebut sistem dalam kondisi stabil.
Gambar 10. Grafik Dinamika Populasi Nyamuk Rentan (S v ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Endemik
Gambar  10  menjelaskan  bahwa  populasi  nyamuk  rentan  dengan  nilai  awal  290,3167 mengalami fluktuasi sampai hari ke 100000. Kemudian setelah hari ke 100000 lebih keadaan populasi  nyamuk  rentan  mengalami  naik  turun  (osilasi)  yang  konstan  di  sekitar  titik kesetimbangan. Pada populasi nyamuk rentan ini akan mencapai 290,3166463 pada saat t  dan konstan pada titik tersebut. Osilasi di sekitar titik kesetimbangan yaitu gerakan bolak balik pada lintasan tertentu disekitar titik kesetimbangan.
Gambar 11. Grafik Dinamika Populasi Nyamuk Terinfeksi (I v ) dengan Pengaruh Fogging terhadap Waktu (t) saat Endemik
Gambar  11  menjelaskan  bahwa  populasi  nyamuk  terinfeksi  dengan  nilai  awal  0,0057 mengalami kenaikan  dalam  waktu  singkat  yang  dilanjutkan  dengan  fluktuasi  sampai  hari  ke 100000. Kemudian setelah hari ke 100000 lebih keadaan populasi nyamuk rentan mengalami naik turun (osilasi) yang konstan di sekitar titik kesetimbangan. Pada populasi nyamuk rentan ini akan mencapai 0,005934358556 pada saat t  dan konstan pada titik tersebut.dengan kata lain penyakit tidak hilang dalam kondisi endemik.

## 4. SIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian analisis model penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Model matematika untuk penyebaran penyakit demam berdarah dengan pengaruh fogging berupa sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
      h h h v h h h h
h h h v h h h h h h h h h v v v h v v v
h
v v v h v v h dS b S I A S dt N dI b S I I dt N dR I R dt dS b S I A u S dt N dI b S I u I dt
N
 
  
     
  
  
 
   
  
2. Berdasarkan hasil analisis diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal jika  bilangan  reproduksi  dasar   0 R kurang  dari  satu  yaitu  0,998741.  Sedangkan  titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal jika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu yaitu 1,105617092.
3. Pada  hasil  simulasi  diperoleh  hasil  pada  kondisi  bebas  penyakit  hanya  ada  populasi manusia  rentan  dan  populasi  nyamuk  rentan  sehingga  penyakit  akan  menghilang  dari populasi.  Sedangkan  pada  keadaan  endemik  penyakit  akan  tetap  ada  dalam  populasi manusia dan nyamuk.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Adi-Kusumo, F., Aini, A. N., & Ridwan, M. (2014). Analysis of the dengue disease model with two virus strains. In AIP Conference Proceedings (Vol. 1587, No. 1, pp. 7-13). AIP.
Aguiar, M., & Stollenwerk, N.  (2017). Mathematical models of dengue fever epidemiology: multi-strain  dynamics,  immunological  aspects  associated  to  disease  severity  and vaccines. Communication in Biomathematical Sciences , 1 (1), 1-12.
Arsin, A. A. (2013). Epidemiologi Demam Berdarah Dengue (DBD) di Indonesia . Makassar: Masagena Press.
Aini, A. N., & Shodiqin, A. (2014). Analisis Kestabilan dan Simulasi Model Penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD). AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan
Matematika , 5 (2/septembe).
Bustamam, A., Aldila, D., & Yuwanda, A. (2018). Understanding dengue control for short-and long-term  intervention  with  a  mathematical  model  approach. Journal  of  Applied Mathematics , 2018 . CNN Indonesia. (2019). Kasus Meningkat Indonesia Waspada DBD. https://m.cnnindonesia.com/gaya-hidup/20190131142925-255-365417/kasus-
meningkat-indonesia-waspada-dbd/. Diakses 4 Agustus 2019 08:36.
Infodatin  Pusat  Data  dan  Informasi  Kementerian  Kesehatan  RI.  (2018).  Situasi  Penyakit Demam Berdarah di Indonesia Tahun 2017.
http://www.depkes.go.id/download.php?file=download/pusdatin/infodatin/InfoDatin-
Situasi-Demam-Berdarah-Dengue.pdf. Diakses pada 31 Juli 2019 19:45.
Irianto,  K.  (2014). Epidemiologi  Penyakit  Menular  dan  Tidak  Menular  Panduan  Klinis. Bandung: Alfabeta.
Masriadi. (2017). Epidemiologi Penyakit Menular . Depok: Rajawali Pers.
Side, S., Zaki, A., & Sari, N. (2019). Analisis Model Matematika Penyebaran Demam Berdarah Dengue  dengan  Fungsi  Lyapunov. Journal  of  Mathematics,  Computations,  and Statistics , 1 (2), 125-141.