Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.9, No.2, Juli 2023, pp. 291~298
DOI:10.31605/saintifik.v9i2.409
ISSN 2622-8904 (online)

## Analysis Of Overdispersion Data Using Poisson Invers Gaussian Regression Model

## Marsono
Badan Pusat Statistik Provinsi Sulawesi Barat e-mail: marsono@bps.go.id

## Abstrak
Salah satu pelanggaran asumsi dalam model regresi Poisson pada kebanyakan data count (cacahan) adalah ditemukan kasus overdispersi, dimana varians  variabel respon lebih besar dari rata-ratanya. Untuk mengatasi kasus overdispersi, dibentuk model regresi yang merupakan perpaduan antara distribusi Poisson dengan beberapa  distribusi  lain.  Poisson  Invers  Gaussian  (PIG)  merupakan  salah  satu model  regresi  dari model campuran untuk mengatasi overdispersi. Penelitian ini membandingkan model regresi Poisson Invers Gaussian dengan model regresi Poisson bertujuan mengetahui variabel-variabel yang mempengaruhi jumlah kasus  bayi  mati  di  Provinsi  Jawa  Timur  pada  tahun  2019.  Penaksiran  parameter  regresi  PIG  dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Estimator (MLE). Berdasarkan nilai AIC paling kecil diketahui model regresi Poisson Invers Gaussian lebih baik dari model regresi Poisson.

## Kata Kunci— Overdispersi, Poisson Invers Gaussian, Model Poisson, Kematian Bayi

## 1. PENDAHULUAN
Untuk memodelkan hubungan antara suatu (satu atau lebih) variabel dependen atau respon dengan satu atau lebih  variabel  independen  atau  prediktor,  umumnya  digunakan  model  regresi  linear  klasik  atau  regresi Ordinary  Least  Square (OLS).  Dalam  regresi  OLS  terdapat  beberapa  asumsi  yang  harus  dipenuhi.  Dalam kenyataan  di  lapangan,  tidak  semua  jenis  data  bisa  memenuhi  asumsi  tersebut,  misalnya  pada  kasus  data cacahan ( count ). Pemodelan data cacahan menggunakan regresi OLS tidak dapat dilakukan karena melanggar dua  asumsi  yang  disyaratkan  dalam  regresi  OLS,  yaitu  error  mengikuti  distribusi  normal  (normalitas)  dan varians  harus  konstan  (homokedastisitas).  Perkembangan  dalam  pemodelan  data  memunculkan  pemodelan untuk data cacahan dengan Generalized Linear Models (GLMs). GMLs merupakan generalisasi dari model regresi normal klasik atau regresi OLS dari berbagai asumsi yang ketat dan menyediakan metode analisis bagi data tidak normal (De Jong dan Heller, 2008). Regresi Poisson adalah salah satu anggota keluarga dari GLMs yang  berasal  dari  distribusi  poisson.  Distribusi  poisson  merupakan  distribusi  diskrit  dengan  nilai  variabel random  berupa  bilangan  bulat  positif  sehingga  menjadi  pilihan  yang  baik  untuk  pemodelan  data  cacahan. Distribusi poisson hanya ditentukan oleh satu parameter yang mendefinisikan baik mean maupun varians dari distribusi  tersebut,  sehingga  dalam  regresi  Poisson  terdapat  asumsi  yang  harus  terpenuhi  yaitu mean dan varians variabel respon harus sama ( equidispersion ).
Namun dalam kenyataannya sering terjadi pelanggaran asumsi tersebut dimana varians lebih kecil dari mean ( underdispersion )  atau  varians  lebih  besar  dari mean ( overdispersion ).  Pada  kebanyakan  data count terkadang ditemukan kasus overdispersi (Consul dan Famoye, 1992). Dalam praktiknya, data cacahan sering menunjukkan varians yang cukup besar karena banyak mengandung nilai nol ( extra zeros ) atau sebaran yang lebih besar dari nilai-nilai pada data atau keduanya (Hu, Pavlicova dan Nunes, 2011). Data dengan jumlah nol yang banyak bisa disebabkan karena nol struktural ( structural zeros ) atau karena nol sampel ( sampling zeros ). Lebih  lanjut,  Hu,  Pavlicova  dan  Nunes  memberi  contoh  jumlah  perilaku  seksual  beresiko  tinggi  dalam membandingkan kedua hal tersebut. Nilai nol pada jumlah perilaku seksual beresiko tinggi bisa disebabkan karena seseorang yang tidak memiliki pasangan sehingga memang belum pernah melakukan hubungan seksual yang disebut nol struktural ( structural zeros ) atau bisa juga karena seseorang yang sudah memiliki pasangan dan belum pernah melakukan seksual beresiko tinggi yang disebut sebagai nol sampel ( sampling zeros ).
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Kasus overdispersi bila diabaikan bisa mengakibatkan terjadinya underestimate pada estimasi standard error , sehingga dapat mengakibatkan kesalahan pada pengambilan keputusan beberapa uji hipotesis, misalnya suatu variabel prediktor berpengaruh signifikan ketika pada kenyataan tidak berpengaruh signifikan (Hilbe, 2007).  Dalam mengatasi kasus overdispersi, dibentuk beberapa pemodelan yang merupakan perpaduan antara distribusi Poisson dengan beberapa distribusi baik diskrit maupun kontinu ( mixed poisson distribution ). Mixed poisson  distribution tersebut  merupakan  solusi  alternatif  untuk  kasus  overdispersi,  tetapi  hanya  beberapa distribusi  yang  sering  digunakan dalam  penelitian  dikarenakan  penghitungannya  yang  rumit.  Salah  satunya adalah distribusi Poisson Invers Gaussian (PIG) yang merupakan mixed poisson distribution dengan random efek yang memiliki distribusi Invers Gaussian. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Holla pada tahun 1966 (Karlis dan Nikoloulopoulos, 2005). Distribusi PIG sendiri merupakan bentuk dari distribusi Siche (SI) dengan dua parameter. SI disebut sebut sebagai model yang lebih baik dari model binomial negatif, terutama untuk data yang overdispersi yang tinggi dan cenderung menceng kanan ( highly skewed to the right ). Akan tetapi,  penghitungannya  lebih  rumit  karena  memiliki  tiga  parameter  pada  fungsi  kepadatan  peluangnya. Sebagai bentuk dari distribusi SI adalah distribusi PIG yang digunakan dalam memodelkan data cacahan yang menceng  kanan  serta  memiliki  ekor  yang  sedikit  lebih  panjang.  Distribusi  PIG  memiliki  bentuk  fungsi likelihood yang closed form dan penghitungannya lebih mudah sehingga banyak penelitian yang melibatkan data cacahan banyak yang menggunakan model ini (Stasinopoulus & Rigby, 2007).
Willmot (1987) menunjukkan potensi dari pemodelan dengan regresi poisson inverse gaussian sebagai alternatif dari regresi binomial negatif pada data klaim asuransi mobil. Enam set data klaim asuransi mobil disajikan dengan karakteristik hampir 80 persen data yang mengandung nol, dan menghasilkan kesimpulan bahwa pemodelan dengan regresi PIG merupakan model yang lebih baik dibandingkan model regresi binomial negatif. Penelitian lainnya yang menggunakan model regresi PIG adalah penelitian dari Shoukri, Asyali dan Vandorp (2004) yang menggunakan model tersebut pada data jumlah kasus penyakit mastitis pada sapi perah di Ontario Canada dan menghasilkan kesimpulan bahwa regresi PIG merupakan model yang lebih baik dari model  regresi  binomial  negatif.  Selanjutnya  dalam  beberapa  penelitian  keselamatan  di  jalan  raya  seperti pemodelan  data  kecelakaan  dan  penelitian  asuransi  motor,  model  regresi  PIG  sering  digunakan  sebagai alternatif dari model regresi binomial negatif (Deniz, Ghitany dan Gupta, 2014). Pemodelan dengan regresi PIG  juga  digunakan  pada  penelitian  Zha,  Lord  dan  Zou  (2014)  pada  kasus  jumlah  kecelakaan  motor  yang terjadi  di  dua  tempat  berbeda  yaitu  di  Texas  dan  Washington.  Dalam  penelitian  tersebut  data  jumlah kecelakaan motor menceng kanan dengan ekor yang sedikit panjang serta 37 persen data mengandung nilai nol. Dengan nilai Akaike Information Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC) yang lebih kecil,  menunjukkan  bahwa  pemodelan  dengan  regresi  PIG  lebih  baik  untuk  memodelkan  kasus  jumlah kecelakaan motor di dua tempat tersebut.
Jumlah kasus bayi mati di suatu wilayah merupakan salah satu bentuk data cacahan, sehingga dalam pemodelannya  bisa  menggunakan  regresi  Poisson.  Akan  tetapi,  data  kematian  bayi  juga  berpotensi  terjadi overdispersi,  sehingga  pemodelannya  tidak  cukup  menggunakan  regresi  Poisson.  Pada  penelitian  ini  akan dibandingkan  pemodelan  dengan  menggunakan  regresi  Poisson  dan  regresi  Poisson  Invers  Gaussian  untuk mendapatkan model terbaik dari variabel-variabel yang mempengaruhi jumlah kasus bayi mati di Jawa Timur pada tahun 2019. Data yang digunakan merupakan data sekunder yang berasal dari profil kesehatan provinsi Jawa Timur tahun 2019.

## 2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yang berasal dari profil kesehatan provinsi Jawa Timur tahun 2019. Jumlah sampel yang digunakan, yaitu sebanyak 38 kabupaten/ kota yang ada di  provinsi  Jawa  Timur.  Dengan  variabel  prediktor  yang digunakan  sebanyak  5  variabel.  Berikut  diberikan definisi masing-masing variabel respon dan prediktor.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tabel 1. Variabel Respon dan Prediktor Variabel Keterangan y Jumlah Kematian Bayi 1 x Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K1 2 x Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K4 3 x Persentase Persalinan Oleh Tenaga Kesehatan 4 x Persentase Ibu Hamil Mendapat Tablet Tambah Darah (TTD)
5 x
Persentase Komplikasi Kebidanan yang Ditangani
Langkah-langkah  untuk  menentukan  faktor-faktor  yang  mempengaruhi  jumlah  kematian  bayi  di provinsi Jawa Timur 2019 dengan model regresi Poisson Inverse Gaussian adalah sebagai berikut:
1. Melakukan pemeriksaan kasus multikolinieritas dengan menggunakan kriteria VIF.
2. Melakukan Pemodelan yang meliputi estimasi parameter dan pengujian parameter yang signifikan untuk model regresi Poisson dan regresi Poisson Inverse Gaussian.
3. Melakukan uji overdispersi
4. Melakukan  pemodelan  dengan  menggunakan  regresi  Poisson  Inverse  Gaussian  yang  meliputi  estimasi parameter dan pengujian hipotesis secara simultan dan parsial.
5. Membandingkan nilai AIC untuk mencari model terbaik.
6. Melakukan interpretasi model regresi Poisson Inverse Gaussian yang didapatkan.
7. Membuat kesimpulan dari hasil analisis.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Regresi Poisson Inverse Gaussian (PIG) merupakan regresi yang dapat diaplikasikan pada data count yang mengalami overdispersi. Pada penelitian ini, pemodelan regresi PIG diaplikasikan pada data jumlah kasus bayi  mati  di  propinsi  Jawa  Timur  pada  tahun  2019.  Sebelum  melakukan  pemodelan  regresi  PIG,  perlu dilakukan  uji  multikolinieritas.  Uji  multikolinieritas  bertujuan  untuk  mengetahui  apakah  variabel-variabel prediktor  berhubungan  secara  linier  satu  dengan  lainnya  (kolinieritas).  Kriteria  yang  digunakan  untuk memeriksa kolinieritas antar variabel-variabel prediktor, yaitu dengan melihat nilai Variance Inflation Factors (VIF) pada variabel-variabel prediktor. Berikut ini adalah nilai VIF untuk masing-masing variabel prediktor.
Tabel 2 . Nilai VIF
Nilai VIF 1 x 2 x 3 x
4 x 5 x 2.619 2.526 2.910 1.601 1.925
Nilai  VIF  masing-masing  variabel  prediktor  pada  Tabel  2  menunjukkan bahwa  nilai  kurang  dari  10, sehingga antar variabel prediktor dikatakan tidak terdapat kolinieritas. Karena tidak terdapat kolinieritas antar variabel prediktor, maka variabel-variabel prediktor dapat dimasukkan kedalam model.

## Estimasi Parameter Model Regresi Poisson dan Regresi Poisson Invers Gaussian
Dalam penelitian ini, data jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019 akan dimodelkan dengan  menggunakan  dua  metode,  yaitu  regresi  poisson  sebagai  pembanding  ketika  kasus  overdispersi diabaikan  dan  regresi  PIG  untuk  kasus  overdispersi.  Berdasarkan  hasil  analisis  data  yang  telah  dilakukan, berikut diperoleh hasil estimasi untuk masing-masing model yang ditunjukkan oleh Tabel 3 dan Tabel 4.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tabel 3. Estimasi Parameter dalam Model Regresi Poisson Parameter Nilai Parameter Standar Error Nilai t P-Value Keputusan 0 ˆ  2.267 0.456 4.575 0.000 Signifikan 1 ˆ  0.019 0.007 2.696 0.007 Signifikan 2 ˆ  -0.061 0.005 -12.541 0.000 Signifikan 3 ˆ  0.048 0.007 6.714 0.000 Signifikan 4 ˆ  0.007 0.003 1.995 0.046 Signifikan 5 ˆ  0.004 0.002 2.549 0.011 Signifikan
Berdasarkan hasil estimasi parameter yang diperoleh pada Tabel 3 dan Tabel 4, maka didapatkan hasil estimasi model untuk model regresi poisson sebagaimana persamaan (1) dan regresi PIG seperti pada persamaan (2).
( ) 1 2 3 4 5 ˆ exp 2.267 0.019 0.061 0.048 0.007 0.004 y x x x x x = + − + + + , (1)
( )
1 2 3 4 5 ˆ exp 2.451 0.049 0.078 0.045 0.002 0.001 y x x x x x = + − + − − . (2)
Tabel 4. Estimasi Parameter dalam Model Regresi PIG Parameter Nilai Parameter Standar Error Nilai t P-Value Keputusan 0 ˆ  2.451 3.014 0.813 0.422 Tidak Signifikan 1 ˆ  0.049 0.042 1.164 0.253 Tidak Signifikan 2 ˆ  -0.078 0.029 -2.704 0.011 Signifikan 3 ˆ  0.045 0.043 1.030 0.311 Tidak Signifikan 4 ˆ  -0.002 0.017 -0.103 0.919 Tidak Signifikan 5 ˆ  -0.001 0.009 -0.109 0.914 Tidak Signifikan ˆ  -0.741 0.281 -2.636 0.013 Signifikan
Nilai AIC yang dihasilkan untuk model regresi poisson adalah sebesar 1050 sedangkan nilai AIC yang dihasilkan untuk model regresi PIG  sebesar  401.68. Model terbaik yang diperoleh jika dipandang dari nilai AIC terkecil adalah model regresi PIG, akan tetapi pada model regresi PIG parameter yang signifikan hanya 2 parameter. Sedangkan, pada model regresi poisson semua parameter dalam model signifikan. Dalam penelitian ini, model yang akan dipilih adalah model dengan nilai AIC terkecil, yaitu model regresi PIG.

## Pemeriksaan Kasus Overdispersi
Pemeriksaan kasus overdispersi dilakukan untuk melihat apakah data jumlah kasus bayi mati di propinsi Jawa  Timur  pada  tahun 2019  terdapat  overdispersi  atau  tidak.  Berikut  diberikan  hipotesis  serta  statistik  uji yang digunakan.
( ) 0 : var H y  = ( ) ( ) 1 : var . . H y g   = + .
Tabel 5. Uji Overdispersi Nilai  Nilai z P-Value VT 35.73 2.53 0.006 1395.751
Dengan menggunakan package AER pada software R, diperoleh nilai 35.73  = dengan nilai p-value sebesar 0.006 kurang dari tingkat signifikansi 5% sehingga 0 H ditolak. Dapat disimpulkan bahwa terdapat
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
overdispersi pada data jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019. Dengan cara yang lain, yaitu melihat nilai VT yang diperoleh berdasarkan persamaan (8) yang lebih besar dari 1. Sehingga metode yang tepat  untuk  melakukan  pemodelan  jumlah  kematian  bayi  di  provinsi  Jawa  Timur  tahun  2019,  yaitu  regresi Poisson Inverse Gaussian (PIG).

## Estimasi Parameter Model Regresi PIG
Selanjutnya, akan dilakukan estimasi parameter dengan menggunakan metode backward untuk model regresi  PIG  guna  mendapatkan  hasil  model  terbaik.  Berikut  diperoleh  beberapa  hasil  kemungkinan  model dalam regresi PIG yang ditunjukkan oleh Tabel 6.

## Tabel 6. Estimasi Parameter Kemungkinan dalam Model Regresi PIG
Model Variabel dalam Model 0 ˆ  1 ˆ  2 ˆ  3 ˆ  4 ˆ  5 ˆ  ˆ  1 M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 2.451 0.049 -0.078 0.045 -0.002 -0.001 -0.741
2
M 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 400.208 - -0.083 0.076 0.000 0.003 -0.704
3 M 1 x , 3 x , 4 x , 5 x 0.676 0.051 - -0.008 -0.022 0.013 -0.514
4 M 1 x , 2 x , 4 x , 5 x 2.903 0.073 -0.066 - 0.000 -0.000 -0.697
5 M 1 x , 2 x , 3 x , 5 x
2.774 0.044 -0.084 0.050 - -0.001 -0.733
6
M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x 2.475 0.047 -0.076 0.044 -0.002 - -0.741
7 M 1 x , 2 x , 3 x 2.747 0.042 -0.081 0.049 - - -0.735 8 M 1 x , 2 x 2.965 0.073 -0.065 - - - -0.697
Berdarkan hasil estimasi parameter pada Tabel 6, diperoleh estimasi model regresi PIG untuk beberapa kengkinan diantaranya.
( ) 1 1 2 3 4 5
ˆ M exp 2.451 0.049 0.078 0.045 0.002 0.001 y x x x x x = = + − + − − , ( )
2 2 3 4 5
ˆ M exp 400.208 0.083 0.076 0.000 0.003 y x x x x = = + − + − − , ( )
3 1 3 4 5
ˆ M exp 0.676 0.051 0.008 0.022 0.013 y x x x x = = + − − − , ( ) 4 1 2 ˆ M exp 2.903 0.073
0.066 y x x = = + − , ( )
5 1 2 3 5
ˆ M exp 2.774 0.044 0.084 0.050 0.001 y x x x x = = + − + − , ( )
6 1 2 3 4
ˆ M exp 2.475 0.047 0.076 0.044 0.002 y x x x x = = + − + − , ( ) 7 1 2 3
ˆ M exp 2.747 0.042 0.081 0.049 y x x x = = + − + , ( ) 8 1 2 ˆ M
exp 2.965 0.073 0.065 y x x = = + − .

## Pengujian Parameter Secara Simultan
Pengujian  parameter  secara  simultan  dilakukan  untuk  masing-masing  kemungkinan  model  dalam regresi PIG. Berikut diberikan nilai statsitik uji G sebagaimana persamaan
( )
( ) ˆ 2 ln ˆ L
G
L      = −  
   ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ 2 ln ln L L  = −  . yang ditunjukkan oleh Tabel 7.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tabel 7. Pengujian Parameter Secara Simultan Model Variabel dalam Model Nilai Statistik G Derajat Bebas Nilai 2 Tabel  Keputusan 1 M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 389.67 32 46.194 Tolak 0 H 2 M 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 390.85 33 47.400 Tolak 0 H
3 M 1 x , 3 x , 4 x , 5 x 396.87 33 47.400 Tolak 0 H 4 M 1 x , 2 x , 4 x , 5 x 390.86 33 47.400 Tolak 0 H 5 M 1 x , 2 x , 3 x , 5 x 389.68 33 47.400 Tolak 0 H 6 M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x 389.68 33 47.400 Tolak 0 H 7 M 1 x , 2 x , 3 x 389.70 34 48.602 Tolak 0 H 8 M 1 x , 2 x 390.86 35 49.802 Tolak 0 H
Berdasarkan Tabel 7 di atas, dapat dilihat bahwa nilai statistik uji G untuk masing-masing model baik itu model 1 M , 2 M  sampai dengan model 8 M  menghasilkan nilai statistik uji G yang lebih besar dari nilai 2 Tabel  , sehingga dapat diambil putusan tolak 0 H . Karena 0 H , maka dapa diambil kesimpulan bahwa semua parameter signifikan secara simultan untuk semua model kemungkinan dalam regresi PIG.

## Pengujian Parameter Secara Parsial dan Pemilihan Model Terbaik
Untuk  melihat  pengaruh  masing-masing  parameter  terhadap  model  regresi  PIG,  maka  dilakukan pengujian parameter secara parsial. Pengujian parameter secara parsial hanya diberikan untuk model regresi PIG  yang  memiliki nilai  AIC  terkecil.  Nilai  AIC  terkecil  untuk  masing-masing  kemungkinan  model  dalam regresi PIG diberikan oleh Tabel 8. Dalam penelitian ini, model terbaik yang yang dipilih adalah model dengan nilai AIC terkecil. Berdasarkan Tabel 8 di atas, model dengan nilai AIC terkecil  adalah  model 8 M  dengan nilai AIC, yaitu sebesar 398.86, sehingga model terbaik yang dipilih adalah model
8 M . Selanjutnya pengujian parameter secara parsial untuk 8 M  diberikan oleh Tabel 9 dengan hipotesis pengujian.
Hipotesis untuk parameter model.
0 : 0 l H  = 1 : 0 l H   dengan 1, 2,..., l k = . Hipotesis untuk parameter dispersi.
0 : 0 H  = 1 : 0 H   .
Tabel 8. Nilai AIC untuk Masing-masing Model Model Variabel dalam Model Nilai AIC 1 M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 403.67
2 M 2 x , 3 x , 4 x , 5 x 402.85
3 M 1 x , 3 x , 4 x , 5 x 408.87
4 M 1 x , 2 x , 4 x , 5 x 402.86
5 M 1 x , 2 x , 3 x , 5 x 401.68 6 M 1 x , 2 x , 3 x , 4 x 401.68
7 M 1 x , 2 x , 3 x 399.70
8 M 1 x , 2 x 398.86
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Tabel 9. Pengujian Parameter secara Parsial 8 M Parameter Nilai Parameter Standar Error Nilai t P-Value Keputusan 0 ˆ  2.965 3.065 0.967 0.340 Gagal Tolak 0 H
1 ˆ  0.073 0.028 2.555 0.015 Tolak 0 H
2 ˆ  -0.065 0.019 -3.517 0.001 Tolak 0 H ˆ  -0.697 0.282 -2.469 0.019 Tolak 0 H
Dengan  melihat  nilai p-value pada  Tabel  9  di  atas,  maka  dapat  dilihat  bahwa  nilai p-value untuk parameter 1 ˆ  dan 2 ˆ  kurang  dari  nilai  signifikansi 5% 0.05 = yang  artinya  bahwa  varibel 1 x dan 2 x signifikan berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi di Provinsi Jawa Timur tahun 2019. Begitupula dengan parameter ˆ  yang signifikan dan berrati bahwa data jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019 mengandung overdispersi, sehingga metode yang tepat untuk pemodelan kasus tersebut adalah regresi PIG.

## Interpretasi Model
Interpretasi  model  regresi  PIG  dilakukan  dengan  melihat  masing-masing  koefien  dalam  model  yang memiliki nilai AIC terkecil, yaitu model 8 M  yang diberikan oleh persamaan (3) berikut.
( ) 8 1 2 ˆ
M exp 2.965 0.073 0.065 y x x = = + − . (3)
Berdasarkan model pada persamaan (3) di atas, maka dapat dilakukan interpretasi untuk masing-masing variabel dengan menghiting nilai ( ) ˆ exp , 1, 2 j j  = . Untuk variabel Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K1 ( ) 1 x meiliki nilai ( ) ( ) 1 ˆ exp exp 0.073 1.076  = = yang berati bahwa untuk kenaikan satu persen variabel Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K1 ( ) 1 x akan menaikan kasus jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019. Hal ini berbanding terbalik dengan teori yang sebenarnya bahwa resiko jumlah kematian bayi seharusnya menurun jika Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K1 ( ) 1 x semakin tinggi. Akan tetapi, untuk variabel Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K4 ( ) 2 x memiliki nilai ( )
( ) 1 ˆ
exp exp 0.065 1.067  = = dan koefisien bernilai negatif yang berarti bahwa setiap kenaikan satu persen Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K4 ( ) 2 x akan menurunkan kasus jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan bahwa model regresi PIG memberikan hasil model lebih baik dari model regresi Poisson dalam mengatasi data yang memiliki kasus overdispersi dengan melihat nilai AIC yang terkecil. Selanjutnya, dari beberapa kemungkinan model regresi PIG yang terbentuk, model terbaik yang diperoleh adalah model dengan nilai AIC terkecil, yaitu model
8 M .
Dengan variabel prediktor dalam model 8 M  adalah Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K1 ( ) 1 x dan Persentase Kunjungan Ibu Hamil dengan K4 ( ) 2 x . Berdasarkan model 8 M , maka dapat disimpulkan bahwa resiko jumlah kematian bayi di Provinsi Jawa Timur tahun 2019 akan mengalami kenaikan jika kunjungan ibu hamil hanya dengan K1 sedangkan jika kunjungan ibu hamil dilakukan juga untuk K4 maka akan menurunkan resiko jumlah kematian bayi di provinsi Jawa Timur tahun 2019. Ini berarti, resiko kematian bayi dipengaruhi
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
kuantitas  kunjungan  ibu  hamil  ke  posyandu. Semakin  sering  ibu  hamil  melakukan  kunjungan  ke  posyandu untuk memeriksa kehamilannya, maka resiko kematian bayi di Provinsi Jawa Timur semakin rendah.

## DAFTAR PUSTAKA
Cameron, A. C dan Trivedi, P. K. (1998), Regression Analysis of Count Data , Cambridge University Press, USA.
Consul, P. C. dan Famoye, F. (1992), “Generalized Poisson Regression Model”, Communications in Statistics - Theory and Methods , Vol. 21, No. 1, hal. 89-109.
Déniz, E. G., Ghitany, M. E. dan Gupta, R. C. (2014), “Poisson-Mixed Inverse Gaussian Regression Model and  Its  Application”, Communications  in  Statistics  -  Simulation  and  Computation ,  DOI: 10.1080/03610918.2014.925924.
Hilbe, J.M. (2007), Negative Binomial Regression , 1st edition, Cambridge University, Press., New York.
Hu, M. C., Pavlicova, M. dan Nunes, E. V. (2011), “Zero-Inflated and Hurdle Models of Count Data with Extra Zeros: Examples from an HIV-Risk Reduction Intervention Trial”, The American Journal of Drug and Alcohol Abuse, Vol. 37, hal. 367-375.
Jong,  P.  dan  Heller,  G.  Z.  (2008), Generalized  Linear  Models  for  Insurance  Data ,  1st  edition,  Cambridge University, Press., New York.
Karlis, D. dan Nikoloulopoulos, E. (2005), “Mixed Poisson  Distribution”, International  Statistical  Review , Vol. 73, No. 1, hal. 35-58.
McCullagh, P. dan Nelder, J. A. (1989), Generalized Linear Models 2nd Edition . Chapman and Hall, London.
Ozdemir, T. dan Eyduran, E. (2005), “Comparison of Chi – Square and Likelihood Ratio Chi – Square Tests: Power of Test”, Journal of Applied Sciences Research, University of Yuzuncu, Hal. 242-244.
Shoukri, M. M., Asyali, M. H., Vandorp, R. dan Kelton, R. (2004), “The Poisson Inverse Gaussian Regression Model in the Analysis of Clustered Counts Data”, Journal of Data Science , Vol. 2, No. 2, Hal. 17-32.
Stasinopoulus, D. M. dan Rigby, R. A. (2007), “Generalized Additive Models for Location Scale and Shape”, Journal of Statistical Software , Vol. 23, Hal.1-46.
Willmot,  G.  E.  (1987),  “The  Poisson-Inverse  Gaussian  Distribution  as  An  Alternative  to  the  Negative Binomial”, Scandinavian Actuarial Journal , Vol. 3, No. 4, hal. 113-127.
Zha, L., Lord, D. dan Zou, Y. (2014), “The Poisson Inverse Gaussian (PIG) Generalized Linear Regression Model  for  Analyzing  Motor  Vehicle  Crash  Data”, Journal  of  Transportation  Safety  and  Security , DOI:20.2080/19439962.2014.977502.