Vol.14, No. 2,  143-148,  Januari  2018
Distribusi Normal Multivariat
Husty Serviana Husain 1

## Abstrak
Pada  pengendalian  proses  univariat  berdasarkan  variabel,  biasanya  digunakan  model distribusi normal untuk mengamati kualitas proses dari waktu ke waktu. Fungsi kepadatan peluangnya (fkp)  adalah
2 2 1 1 ( ) exp , 2 2 x f x x                 ,
dimana  adalah  meannya  dan 2  adalah  variansinya.  Dalam  kenyataannya,  seringkali kualitas proses ditentukan oleh lebih dari satu karakteristik yang saling berkorelasi. Dalam hal ini kita bisa saja melakukan pengendalian terhadap masing-masing karakteristik satu-persatu. Akan  tetapi  hal  ini  akan  menimbulkan  banyak  sekali  kesalahan  seperti  dikemukakan Montgomery [4]. Oleh karena itu pengendalian proses  harus  melibatkan semua  karakteristik sekaligus.  Untuk  itu  digunakan  distribusi  normal  mulitivariat.  Distribusi  ini  dan  beberapa sifatnya merupakan topik bahasan dalam tulisan ini.
Kata Kunci: Distribusi Normal Bivariat , Statistical Proces Control .

## 1. Pendahuluan
Pengendalian  proses  secara  statistik  ( Statistical  Proces  Control atau  disingkat  SPC),  dibagi  ke dalam  dua  jenis  yaitu  SPC  univariat  dan  SPC  mulitivariat.  Dalam  SPC  univariat  hanya  satu  variabel karakteristik  mutu  yang  dikaji.  Kenyataannya,  banyak  sekali  proses  yang  ditentukan  oleh  sejumlah karateristik  mutu  yang  terpadu,  yang  satu  sama  lainnya  berkorelasi.  Dalam  hal  ini,  digunakan  SPC multivariat. Dengan asumsi bahwa proses memiliki ditribusi normal multivariat. Sehingga tulisan ini akan fokus pada teori distribusi normal multivariat, sebagai distribusi yang digunakan dalam SPC multivariat.

## 2.    Distribusi Normal Multivariat

## 2.1. Definisi Distribusi Normal Multivariat
Vektor random yang terdiri atas p komponen
1 2 ( , ,..., ) t p X X X X  dikatakan berdistribusi normal multivariat dengan vektor mean  dan matriks variansi-kovariansi  yang definit positif, jika fungsi kepadatan peluang bersama 1 2 , ,..., p X X X adalah:
1 1 2 2 1 1 ( ) exp ( ) ( ) 2 (2 ) t p f x x x  
             
(1)
1 Universitas Pendidikan Indonesia, email : chery_husty@yahoo.com
Husty Serviana Husain
dengan   1 2 , ,..., t p x x x x  di p R .  Untuk  selanjutnya  vektor  random X yang berdistribusi  normal p -variat  tersebut  diberi  lambang ~ ( , ) p X N   .  Berikut  ini dikemukakan fungsi pembangkit momen dari X yang akan digunakan dalam pengkajian distribusi normal multivariat selanjutnya.

## 2.2. Teorema 1 Distribusi Normal Multivariat
Jika ~ ( , ) p X N   , maka fungsi pembangkit momen dari X , ditulis   X M t , dengan   1 2 , ,..., t p t t t t  adalah   1 exp 2 t t X M t t t t           .
Bukti.
  1 exp 2 t t X M t t t t           .
Karena ~ ( , ) p X N   , maka
      1 2 1 2 2 1 1 ... exp ... 2 2 t p p X M t t x x dx dx dx      
                1 1 1 1
1 1 ... .exp 2 2 t t t t t t k t x x x x x t t                               ;      1 2 ... t t t t p t t t t t t dx dx dx         dimana   1 2 2 1 2 p k     1 1 1 1 1 ... .exp 2 t t t t k x x x x t x                              1 2 1 ... 2 t t t t t t t t p t t x t t t t t t t dx dx dx                       1 1 2
1 1 ... .exp 2 ... 2 2 t t t p
k x t x t t t t dx dx dx   
 

                           1 1 2 1
1 ... .exp 2 ... 2 2 t t t p k t t t x t x t dx dx dx   
 

                 
      1 1 2 1 1 ... .exp exp ... 2 2 t t t p k t t t x t x t dx dx dx   
 
                                 1 1 2 1 2 2 1
1 1 exp ... exp ... 2 2 2
t t t p p t t t x t x t dx dx dx                                
 

## Husty Serviana Husain
Integral  di  ruas  kanan  bernilai  1,  sebab  integrannya  merupakan  fungsi  kepadatan  peluang  dari vektor  random  yang  berdistribusi     , p N t     .  Oleh  karena  itu  fungsi  pembangkit
momen dari X adalah  
1 exp 2 t t t x M t t t t           .

## 2.3. Teorema 2 Distribusi Normal Multivariat
Diketahui ~ ( , ) p X N   dengan  definit positif. Jika pxp C suatu matriks non singular dan a suatu vektor skalar di p R , maka       ~ , t p Y C X a N C a C C      .
Bukti.
Karena ~ ( , ) p X N   , maka PDF dari X adalah
        1 2 1 1 exp , 2 2 t p p f x x x x R                  Karena pxp C non  singular,  maka
1 X C Y a    .  Dengan  demikian,  PDF  dari Y adalah         mod g y f x y J  ,  dengan   mod J adalah  nilai  mutlak  dari  deterrminan  Jacobian transformasi J. Jadi,
1 1 1 1 2 11 12 1 2 2 2 21 22 2 1 2 1 1 2 1 2 . . . . . . . .
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p p p p p p pp p p p p x x x y y y C C C x x x C C C y y y
J
C C
C C C x x x y y y
                      
Akibatnya,
    1 1 mod
g y f C y a C           
        1 1 1 2 1 1 1 exp
mod 2 2 t p
C y a C y a C                            
Husty Serviana Husain
          1 1 1 2 1 1 1 exp
mod 2 2 t p C y a C y a C                           
             1 1 1 2 1 1
1
exp mod 2 2 t p C y C a C y C a C                            
            1 1 1 2 1 1 1 exp
mod 2
2 t t
p y C a C C y C a C                           
             1 2 1 1 1 exp 2
2 t t p y C a C C y C a C C 
                                   1 ' 2 1 1 1 exp 2
2 t t p y C a C C y C a C C                                      1 2 1 1 exp , 2
2 t t p p t y C a C C y C a y R C C                   
Ini adalah PDF dari vektor acak berdistribusi
    , t p N C a C C    . Dengan demikian
      ~ , t p
Y C X a N C a C C      .

## 2.4. Teorema 3 Distribusi Normal Multivariat
Misalkan ~ ( , ) p X N   dengan  non  singulir  dan X merupakan  super  posisi  
  1 2 X X X    
  
  dimana   1 X dan   2 X berturut-turut berdimensi q dan p – q . Maka vektor random
  1 X dan   2 X independen jika  dan hanya jika  matriks  kovariansi antara   1 X dan   2 X adalah
12 0   (matriks nol).
Bukti. Kita tuliskan   1 2 1 . . q X X X
X      
           dan   1 2 2 . . q q p X X X X      
 
    
   
  .

## Husty Serviana Husain
(i) Misalkan   1 X dan   2 X independen.  Jadi  untuk  setiap k =  1,2,..., q dan  setiap m = 1,2,...,( p-q ), variabel-variabel
random k X dan q m X  adalah
      k k q m q m k q m E X X                  k k q m q m E X E X     
         
= 0
Karena ini berlaku untuk setiap k dan m , maka
       
    1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 12 1 2 . . 0 0 . . 0 . . 0 0 . . 0 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 0 0 . . 0 . . p q q p q q qp q q q q      
                                           
  Jadi 12  adalah matriks nol
(ii) Misalkan 12 0   . Maka matriks variansi-kovariansi dari vektor random X , yakni  , dapat dituliskan sebagai berikut.
11 12 11 21 22 22 0 0                      dimana   21 12 0 t     . Karena 1 1 11 1 22 0 0      
       ,  maka  bentuk  kuadrat     1 t Q X X        dapat
pula ditulis sebagai berikut.
                1 1 1 1 1 11 1 1 2 1 2 22 0 0 t x x Q x x          
                        
                    1 1 1 1 1 2 2 11 1 1 2 22 0 0 t t x x x x                           
    
                        1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 11 22 t t x x x x      
       
1 2 Q Q  
dimana 1 Q dan 2 Q berturut-turut  menyatakan  suku  pertama  dan  kedua.  Selanjutnya
karena 11 22     , maka f.k.p dari X dapat ditulis sebagai berikut.
    1 2 2 1 1 exp 2
2 p f x Q               1 2 1 1 2 2 2 2 11 22 1 1
1 1 exp exp 2 2 2
2 p p q Q Q
                                  
Sedangkan fungsi yang di dalam tanda kurawal pertama dan kedua berturut-turut merupakan f.k.p dari   1 X dan dari   2 X . Jadi,           1 2 1 2 f x f x f x  dengan 1 f dan 2 f adalah f.k.p marginal dari   1 X dan dari   2 X . Ini berarti   1 X dan   2 X independen.

## 3.   Kesimpulan
Tulisan  ini  hanya  membahas  beberapa  teori  mengenai  distribusi  normal  multivariat  dan pembuktiannya,  yang  akan  banyak  digunakan  sebagai  distribusi  dalam  pengendalian  kualitas proses statistik secara multivariat (SPC multivariat).

## Daftar Pustaka
[1] Anderson T.W., 1958. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Son, New York, NY.
[2] Djauhari  M.A.,  1987. Pengantar  Statiska  Matematika  II .  Departemen  Pendidikan  dan Kebudayaan, Universitas Terbuka.
[3] Hoong  R.V.,  and  Craig  T.A.,  1995. Introduction  to  Mathematical  Statistics, 5 th edition. Prentice Hall, Inc., New Jersey.
[4] Montgomery D.C., 2001. Introduction to Statical Qualtiy Control, 4 th edition. John Wiley & Son, New York, NY.