Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati

## PEMODELAN DATA DERET WAKTU DENGAN AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE DAN LOGISTIC SMOOTHING TRANSITION AUTOREGRESSIVE
Gusti Ayu Made Arna Putri 1 , Ni Putu Nanik Hendayanti 2 , Maulida Nurhidayati 3 , STMIK STIKOM Bali 1,2
Institut Agama Islam Negeri Ponorogo 3
1 gustiayu.arna@gmail.com, 2 nanik@stikom-bali.ac.id, 3 nurhidayatimaulida@gmail.com

## Abstract
Time series analysis is a statistical analysis that can be applied on data related to time. Modeling of time series  data  is  widely  associated  with  the  process  of  forecastinga  certain  characteristics  in  the  coming period.  Most  inflation  data  modeling  is  done  using  a  linear  time  series  models  such  as  Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). In fact only the ARIMA model can be applied to models of linear time series data. Models of ARIMA hasn't been able to give good results when the data being analyzed is a nonlinear time series data. The inflation data, data that has a tendency to form patterns of nonlinear data so the application of nonlinear time series models can be done on the inflation data. Logistic model Smooting  Threshold  Autoregressive  (LSTAR)  is  a  time  series  model  can  be  applied  to  data  that  follow nonlinearmodel.  LSTAR  then  developed  on  data-financial  and  economic  data  such  as  inflation.  If  the inflation data are modelled with expected LSTAR approach can get a better result because already done smoothing in it.  This  research  aims to know the best model that  can  be  used to perform  data  modeling inflation. The results showed that the results of the comparison of the MSE and the RMSE for the model of  ARIMA  and  LSTAR.  Based  on these  results  it  is  known  that  the  model MSE has  a  value  and  LSTAR RMSE smaller compared to ARIMA. So the model more appropriate LSTAR is used to model the data of inflation
Key Words: ARIMA, LSTAR, Inflation

## Abstrak
Analisis  deret  waktu adalah  suatu analisis  statistika  yang  dapat  diterapkan pada data  yang  berhubungan dengan  waktu.  Pemodelan  dari  data  deret  waktu  ini  banyak dikaitkan  dengan  proses  peramalan  suatu karakteristik  tertentu  pada  periode  mendatang.  Pemodelan  data  inflasi  kebanyakan  dilakukan  dengan menggunakan  model  deret  waktu  linier  seperti Autoregressive  Integrated  Moving  Average  (ARIMA). Pada  kenyataannya  model  ARIMA  hanya  dapat  diterapkan  pada  model-model  data  deret  waktu  linier. Model ARIMA belum mampu memberikan hasil yang baik ketika data yang dianalisis merupakan suatu data deret waktu nonlinier. Data inflasi, merupakan suatu data yang memiliki kecenderungan membentuk pola  data  yang  nonlinier  sehingga  penerapan  model  deret  waktu  nonlinier  dapat  dilakukan  pada  data inflasi tersebut. Model Logistic Smooting Threshold Autoregressive (LSTAR) adalah model deret waktu yang dapat diterapkan pada data yang mengikuti model nonlinier. LSTAR kemudian dikembangkan pada data-data ekonomi dan keuangan seperti inflasi. Jika data inflasi dimodelkan dengan pendekatan LSTAR diharapkan  bisa  mendapatkan  hasil  yang  lebih  baik  karena  sudah  dilakukan  penghalusan  didalamnya. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  model  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk  melakukan pemodelan data inflasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa hasil perbandingan MSE dan RMSE untuk model  ARIMA  dan  LSTAR.  Berdasarkan  hasil  tersebut  diketahui  bahwa  model LSTAR  memiliki  nilai MSE  dan  RMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  ARIMA.  Sehingga  model  LSTAR  lebih  sesuai digunakan untuk memodelkan data inflasi.
Kata Kunci: ARIMA, LSTAR, Inflasi
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati

## I. PENDAHULUAN
Runtun waktu (Time Series) adalah serangkaian  pengamatan  terhadap  suatu  variabel yang  diambil  dari  waktu  ke  waktu  dan  dicatat secara  berurutan  menurut  urutan  kejadiannya dengan interval waktu yang tetap [1]. Analisis deret waktu  pada  dasarnya  digunakan untuk  melakukan analisis  data  yang  mempertimbangkan  pengaruh waktu. Analisis deret waktu dapat dilakukan untuk membantu  dalam  menyusun  perencanaan  kedepan. Pemodelan  dari  data  deret  waktu  ini  banyak dikaitkan dengan proses peramalan suatu karakteristik  tertentu  pada  periode  mendatang. Peramalan sendiri merupakan suatu pendugaan atau perkiraan suatu keadaan di masa yang akan datang berdasarkan  keadaan  masa  lalu  dan  sekarang  yang diperlukan untuk menetapkan kapan suatu peristiwa akan terjadi, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan
Pada kebanyakan peramalan data deret waktu, metode  yang  paling  sering  digunakan  adalah exponential  smoothing,  Autoregressive  Integrated Moving  Average  (ARIMA)  atau  regresi.  Beberapa pendekatan  tersebut  banyak  digunakan  pada  data- data  deret  waktu  yang  mengikuti  suatu  pola  yang linier  dan  menunjukkan  hasil  yang  kurang memuaskan  ketika  data  yang  dianalisis  merupakan suatu  data  yang  mengalami  gangguan noise atau data-data yang berfluktuasi secara ekstrim. Adanya data  ekstrim  pada  suatu  data  time  series mengakibatkan  analisis  yang  dilakukan  seringkali menjadi  bias,  atau  tidak  mencerminkan  fenomena yang sebenarnya.
Pada  kenyataannya  model  ARIMA  hanya dapat  diterapkan  pada  model-model  data  deret waktu  linier.  Model  ARIMA  belum  mampu memberikan  hasil  yang  baik  ketika  data  yang dianalisis  merupakan  suatu  data  deret  waktu nonlinier.  Data  inflasi,  merupakan  suatu  data  yang memiliki  kecenderungan  membentuk  pola  data yang nonlinier  sehingga  penerapan  model  deret waktu  nonlinier  dapat  dilakukan  pada  data  inflasi tersebut.
Model Logistic Smoothing Transition Autoregressive (LSTAR) adalah model deret waktu yang  dapat  diterapkan  pada  data  yang  mengikuti model  nonlinier. LSTAR kemudian  dikembangkan pada  data-data  ekonomi  dan  keuangan  seperti
inflasi.  Jika  data  inflasi  dimodelkan  dengan pendekatan  LSTAR  diharapkan  bisa  mendapatkan hasil  yang  lebih  baik  karena  sudah  dilakukan penghalusan didalamnya.
Pada  tahun  2011 [2] melakukan  penelitian tentang SETAR untuk pemodelan data deret waktu yang  nonlinier. [3] menerapkan  metode LSTAR untuk  data-data  yang  mengikuti  data  deret  waktu nonlinier  untuk  menentukan  suatu  estimasi  yang robust.  Pada  tahun  2011, [4] menggunakan  model deret  waktu nonlinier  LSTAR  untuk  memodelkan data  nilai  tukar  dan  melakukan  peramalan berdasarkan model yang diperoleh.
Membandingkan performa  tiga  model  (AR, ESTAR  dan  LSTAR)  untuk  peramalan return saham  Malaysia Airlines (MA)  dan  mendapatkan model  LSTAR  sebagai  model  terbaik  dengan  nilai terendah dan nilai statistik LM yang lebih tinggi dari kedua model lainnya [5].
Inflasi  adalah  proses  meningkatnya  harga- harga.  Definisi  lain  mengatakan  bahwa  inflasi adalah terjadinya kenaikan tingkat harga konsumen dan/atau  menurunnya  nilai  uang. Angka  inflasi diperoleh  dari  perubahan  indeks  harga  konsumen (IHK).  Untuk  menghitung  IHK  saat  ini  774 komoditas  atas  dasar  survey  biaya  hidup  tahun 2007  yang  dilakukan  di  66  kota. Dampak  besaran angka  inflasi  akan  bergantung  pada  struktur konsumsi  dan  kualitas  barang  yang  dikonsumsi oleh suatu rumah tangga.
Inflasi memiliki dampak positif dan negative tergantung  pada  besar  kecilnya  nilai  inflasi. Apabila inflasi itu ringan (kecil), justru mempunyai pengaruh  yang  positif  dalam arti  dapat  mendorong perekonomian menjadi lebih baik, yaitu meningkatnya  pendapatan  nasional  yang  membuat orang  bergairah  untuk  bekerja,  menabung,  dan mengadakan  investasi.  Sebaliknya,  inflasi  yang parah(besar) yaitu pada saat terjadi inflasi yang tak terkendali,  keadaan  ekonomi  menjadi  kacau  dan lesu.
Inflasi sangat penting untuk diketahui secara lebih  spesifik  karena  akan  berpengaruh  terhadap perekonomian.  Perkiraan  nilai  inflasi  ini  akan memberikan gambaran bagaimana keadaan perekonomian  pada  masa  yang akan  datang sehingga  pengambilan  kebijakan  untuk  stabilitas ekonomi dapat dilakukan.
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
Berdasarkan  paparan  diatas  dan  pentingnya mengetahui prediksi dari inflasi, pada penelitian ini dilakukan pemodelan data inflasi dengan menggunakan model ARIMA dan LSTAR sehingga diperoleh model yang memiliki error yang kecil.

## A. Analisi Deret Waktu
Data  deret  waktu  adalah  sebuah  kumpulan observasi  terhadap  nilai-nilai  sebuah  variabel  dari beberapa  periode  yang  reguler,  seperti  harian, mingguan,  bulanan,  kuartalan,  tahunan, dll.  Data deret  waktu  yang  merupakan  data  harian  dapat berupa  data  harga  saham,  dan  laporan  cuaca.  Data mingguan  dapat  berupa  informasi  uang  yang beredar.  Data  kuartalan  dapat  berupa  data  PDRB dan  data  tahunan  dapat  berupa  data  anggaran pemerintah.
Suatu data  yang  dimodelkan  dengan analisis deret waktu dapat diasumsikan bahwa data tersebut  dalam  keadaan  stasioner.  Artinya  tidak terjadi  trend  dalam  mean  dan  varian.  Dalam analisis  deret  waktu,  data  diharapkan  mengikuti proses stokastik yaitu suatu proses yang dinyatakan dalam  suatu  variabel  random dinotasikan
dengan yang  mempunyai  fungsi  kepadatan . Artinya data deret waktu pada mempunyai  nilai secara  acak  dari suatu distribusi probabilitas . B. Fungsi Autokovarian dan Fungsi

## Autokorelasi
Suatu  proses  yang  stasioner {Z } t memiliki
mean
( ) t E Z   dan varian 2 2 ( ) ( ) t t Var Z E Z      yang  masing-masing merupakan  suatu  konstanta  kemudian  covarian
( , ) t s Cov Z Z merupakan suatu fungsi dari perbedaan  waktu .  Covarian  antara dan didefinisikan sebagai berikut:
( , ) ( )( ) k t t k t t k Cov Z Z
E Z Z          (1)
Korelasi antara t Z dan t k Z  adalah
0 ( , ) ( ) ( ) t t k k k t t k Cov Z Z Var Z Var Z        (2) dengan
0 (Z ) (Z ) .
t t k Var Var    
Untuk  suatu  proses  yang  stasioner,  fungsi autokovarian
dan  fungsi  autokorelasi
memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. 0 0 ( ); 1. t Var Z     2. 0 ; 1. k k      k k k k dan     
   untuk semua k. k k dan   adalah  fungsi  genap  yang  simetris  pada  lag  k=0. Berdasarkan  sifat  tersebut,  fungsi  autokorelasi selalu  digambarkan  pada  lag  yang  tidak  negatif yang selanjutnya disebut sebagai correlogram [1].

## C. Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur  korelasi antara dan setelah
menghilangkan atau memisahkan dependensi linier pada  variabel 1 2 1 Z , Z ,..., Z t t t k     terhadap Z t k  dan dinyatakan sebagai:
1 2 1 (Z , Z | Z , Z ,..., Z ) t t k t t t k
Corr      (3)
Autokorelasi  parsial  dapat  diperoleh  berdasarkan model  regresi  dengan  variabel  dependen  adalah Z t k  dan variabel independen adalah
1 2 Z , Z ... Z t k t k t
      sehingga  model  yang terbentuk adalah
1 1 2 2 Z Z Z ... Z t k k t k k t k kk t t k e               (4)

## D. Proses Autoregressive (AR)
Proses autoregressive digunakan untuk menggambarkan  suatu  kondisi  dimana  nilai sekarang  dari  suatu  deret  waktu  bergantung  pada nilai  sebelumnya  ditambah  dengan random  stock. Menurut [1] bentuk umum dari model autoregressive orde p adalah
1 1 2 2 t t t p t p t Z Z Z Z a    
          (5)
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
atau   p t t B Z a    (6)
dengan
    2 1 2 1 p p p t t B B B B Z Z         
  

## E. Proses Autoregressive Moving Average
Model  ARIMA  merupakan  gabungan  antara model Autoregressive(AR)  dan Moving  Average (MA)  serta  proses differencing (orde  d  untuk  non musiman,  dan  D  untuk  musiman)  terhadap  data time series.
Secara  umum,  model  ARIMA  non  musiman dapat ditulis sebagai ARIMA (p,d,q) dengan bentuk umum adalah sebagai berikut [1].
     0 1 d p t q t B B Z B a       (7)
dengan (p,d,q) : orde AR(p), orde differencing (d), dan orde MA (q)
  p B  : koefisien komponen AR orde p   q B  : koefisien komponen MA orde q
0
 : koefisien tren deterministic
t a : nilai residual pada saat t
Identifikasi  model  ARIMA  dapat  dilakukan dengan  meilihat  plot time  series,  plot  ACF,  dan PACF.  Plot  ACF  dan  PACF  digunakan  untuk menentukan orde p dan orde q dari model ARIMA non  musiman. Secara  teoritis,  bentuk-bentuk  plot ACF  dan  PACF  dari  model  ARIMA  ditunjukkan pada Tabel 1 berikut [1].

## Tabel 1. Bentuk ACF dan PACF teoritis ARIMA
Model ACF PACF AR(p) Turun cepat secara eksponensial (dies down) Terputus setalah lag p MA(q) Terputus setelah lag q Turun cepat secara eksponensial (dies down) ARMA(p,q) Turun cepat secara eksponensial Turun cepat secara eksponensial menuju nol
menuju nol Metode estimasi parameter model ARIMA menggunakan  metode least  square  estimation. Untuk  model  AR(1),  model  ini  dapat  dilihat sebagai model regresi. Metode LS merupakan suatu metode  yang  dilakukan  dengan  cara  mencari  nilai parameter  yang  meminimumkan  jumlah  kuadrat kesalahan  (selisih  antara  nilai  actual  dan  ramalan) yang dinyatakan dalam persamaan berikut.
      2 2 2 1 2 , n t t n t t t S a Y Y                   
(8) Berdasarkan prinsip dari metode LS, penaksiran  dan  dilakukan dengan meminimkum   , S   .  Hal  ini  dilakukan  dengan menurunkan   , S   terhadap  dan  kemudian disamadengankan  nol.  Meminimkum   , S   terhadap  menghasilkan
        1 2 , 2 1 0 n t t t S Y Y  
                     (9)
Sehingga  diperoleh  nilai  taksiran  parameter  untuk dari model AR(1) sebagai berikut
   1 2 2 1 1 n n t t t t Y Y n              (10)
Untuk n besar, dapat ditulis sebagai berikut
    1 2 2 1 1 n n t t t t Y Y Y n n          (11)
Berdasarkan  persamaan  (11)  bentuk  persamaan (10) dapat dituliskan seperti persamaan (12) berikut
     1 2 2 1 1 1 1 1 n n t t t t Y Y n Y Y Y Y                         (12)
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
Dengan  cara  yang  sama,  persamaan  (8) diturunkan terhadap  menghasilkan bentuk persamaan (13).
        1 1 2 , 2 0 n t t t t S
Y Y Y Y Y Y                     (13)
Sehingga  diperoleh  nilai  taksiran  parameter  untuk dari model AR(1) sebagai berikut
     1 2 2 1 2 n t t t n t t Y Y Y Y
Y Y             (14)

## F. Uji Stasioneritas
Asumsi  stasioneritas  data  merupakan  sifat yang  penting.  Pada  model  stasioner,  sifat-sifat statistic  di  masa  yang  akan  datang  dapat diramalkan  berdasarkan  data  historis  yang  telah terjadi  dimasa  yang  lalu.  Pengujian  statsioneritas dari  suatu  data time series dapat  dilakukan  dengan beberapa cara. Antara lain [6]:
1. Pendeteksian ketidakstasioneran data dalam  mean  dapat  dilakukan  dengan menggunakan  plot  dari  data time  series, plot PACF, dan plot ACF.
2. Pendeteksian ketidakstasioneran data dalam  varian  dapat  menggunakan  plot ACF/PACF dari residual kuadratnya.
3. Pendeteksian ketidakstasioneran data dilakukan  dengan  menggunakan  uji  akar
unit. Pengujian dengan menggunakan akar unit  dilakukan  untuk  mengamati  apakah data time  series memiliki  komponen  tren berupa random  walk dalam  data. Salah satu  metode  yang  dapat  digunakan  adalah Augmented  Dickey  Fuller. Pengujian dengan ADF dilakukan dengan menggunakan            H 0 :  ρ=0  (terdapat  akar unit) dengan persamaan regresinya adalah
1 1 k t t j t j t j
Z t Z Z a      
       (15)
Hipotesis  nol  tersebut  ditolak  jika  nilai statistic  uji  ADF  memiliki  nilai  kurang dari  nilai  daerah  kritisnya.  Jika  hipotesis nol ditolak, dapat disimpulkan bahwa data stasioner (tidak mengandung akar unit). Di  dalam  mengaplikasikan  uji  ADF, pertama-tama harus menentukan
banyaknya  lag  dari  komponen  deferens yang  akan  dimasukkan  ke  dalam  model. Dalam  praktik,  biasanya  dipilih  k  yang dapat  menghapus  korelasi  serial  dari residual,  yang  dapat  dilihat  dengan  lag yang  masih  signifikan  dalam  model regresi ADF. Selanjutnya perlu dispesifikasikan  apakah  dalam  model harus  dimasukkan  komponen  konstanta, konstanta  diambah  komponen  tren,  atau memasukkan keduanya. Salah satu pendekatan  yang  mungkin  dilakukan adalah  memasukkan  kedua  komponen konstanta  dan  tren  dalam  model  karena kedua  keadaan  lain  adalah  kasus  khusus dari keadaan ini[6].

## G. Proses deret Waktu Nonlinier
Menurut [1] proses  deret  waktu  dapat dituliskan sebagai berikut
, , , 0 0 0 0 0 0 ... t i t i i j t i t j i j k t i t j t k i i j i j k Z a a a a a a                             (16)
Jika  proses t Z pada  persamaan    (16) hanya  terdiri  dari  suku  pertama  maka  proses  yang terjadi  adalah  proses  linier.  Jika  proses t Z pada persamaan (16)  terdiri dari suku pertama dan suku yang  lain  maka  proses  yang  terjadi  adalah  proses nonlinier [1].

## H. Uji Nonlinier
Uji  nonlinieritas  dilakukan  untuk  mengetahui apakah  suatu  data  mengikuti  pola  linier  atau nonlinier.  Beberapa  uji  nonlinieritas  yaitu  uji terasvirta  dan  uji  white.  Kedua  uji  tersebut termasuk uji nonlinieritas yang tidak mensyaratkan suatu model nonlinieritas tertentu.
1. Uji Terasvirta
Uji nonlinieritas yang termasuk uji kelompok Lagrange
Multiplier
yang dikembangkan  dari  model neural  network. Prosedur untuk mendapatkan nilai statistik uji F adalah sebagai berikut [7]:
a) Meregresikan
t Z dengan
1, 2 1, ,..., t t t p Z Z Z    dan menghitung
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
residual t a  serta  menghitung  jumlah
kuadrat residual.
2 0 1 T t t SSR a     (8)
b) Meregresikan t a  dengan 1, 2
1, ,..., t t t p Z Z Z    dan m prediktor tambahan yang merupakan suku kubik atau kuadratik yang merupakan hasil pendekatan  ekspansi  Taylor.  Menghitung residual t v  serta  menghitung  jumlah
kuadrat residual.
2 1 T t t SSR v     (9)
c) Menghitung nilai F
  0 /
/ ( 1 ) SSR SSR m
F SSR N p m      (17)
dengan N adalah jumlah pengamatan Dibawah hipotesis linieritas dalam mean, nilai F didekati  dengan  distribusi  F  dengan  derajat  bebas m dan 1 N p m    .

## 2. Uji White
Uji  white  adalah  salah  satu  uji  nonlinier yang [8] . Uji  tersebut  didasarkan  pada  teknik pemodelan neural  network dan  merupakan  uji dalam  kelompok Lagrange  Multiplier(LM) dengan menambahkan  unit  tersembunyi  (hidden  units) untuk jaringan linier. Prosedur untuk mendapatkan nilai statistik uji F adalah sebagai berikut
a) Meregresikan
t Z
dengan
1, 2 1, ,..., t t t p Z Z Z    dan menghitung residual
t a  serta  menghitung  jumlah  kuadrat
residual.
2 0 1 T t t SSR a     (18)
b) Meregresikan t a  dengan 1, 2 1, ,..., t t t p Z Z Z    dan m prediktor
tambahan  yang  merupakan  nilai  dari  fungsi distribusi kumulatif dari logistik
yaitu
  1 ' 1 ( ' ) 1 2 t w t w e         .
Menghitung  residual t v  serta  menghitung jumlah kuadrat residual.
2 1 T t t SSR v     (19)
c) Menghitung nilai F
  0 / / ( 1 ) SSR SSR m F SSR N p m      (20)
dengan N adalah jumlah pengamatan.
.
Dibawah  hipotesis  linieritas  dalam  mean,  nilai  F didekati  dengan  distribusi  F  dengan  derajat  bebas m dan 1 N p m    .

## I. Model Threshold Autoregressive (TAR)
TAR  adalah  alternatif  model  untuk mendeskripsikan  deret  waktu  periodik.  Model  ini dimotivasi  oleh  beberapa  karakteristik  nonlinier yang biasa ditemukan dalam  kehidupan sehari-hari seperti  adanya  asimetri  dalam  pola  turun  dan  naik suatu  proses,  fenomena  lompatan,  serta  frekuensi ketergantungan  amplitudo  yang tidak  dapat ditangkap oleh model deret waktu linier. Model ini mengunakan threshold untuk meningkatkan pendekatan linier.
Model  TAR  dapat  dituliskan  sebagai berikut:
0 0 1 1 p p t d t i t i i t i t i i Z Z Z Z I a                               
(21)
dengan t Z : data deret waktu d : parameter delay
 : parameter lokasi (threshold)
 : parameter skala
(.) I : fungsi penghalus yang dapat berupa suatu fungsi logistik, eksponensial, maupun suatu fungsi indikator.

## J. Logistic Smoothing Transition Autoregressive (LSTAR)
Smooth  Transition  Autoregressive  (STAR) adalah model regime swiching mirip dengan model SETAR  namun  memungkinkan  untuk  kelancaran
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
transisi  antara  rezime.  Telah  dikenalkan  secara rinci misalnya [7]. Umumnya sebuah proses STAR orde p didefinisikan oleh
      (1) (2) 1 ; , t t t t t t
Y X G Z X G S c a        (22)
Dua  pilihan  popular  untuk  fungsi Smooth Transition  Autoregressive  (STAR) adalah  fungsi logistik  dan  fungsi  eksponensial.  Kedua  pilihan tersebut  memiliki  bentuk  perbedaan  dalam  bentuk fungsi  transisi  penghalus  yang  digunakan.  Fungsi Logistic  Smoothing  Transition  Autoregressive dijelaskan pada persamaan berikut:
  ( ) 1 ; , , 0 1 t t Z c G S c e         (23)

## K. Uji Signifikansi Parameter
Model deret waktu dibangun dengan melakukan identifikasi dan estimasi parameter dari model.  Misalkan i   adalah  estimasi  dari i  .  Uji signifikan  parameter  dapat  dilakukan  dengan tahapan berikut
1. Menetapkan hipotesis
0 0 : 0 : 0 , dengan 1, 2,..., i i H H i k     
2. Statistik uji i i t Var     
Dengan derajat bebas=N-M, N  adalah  banyaknya  pengamatan  dan  M adalah banyaknya parameter dalam model.
3. Kriteria penolakan 0 H
Tolak 0 H jika , | | df t t   dengan df=N-M, N adalah banyaknya pengamatan dan M adalah banyaknya parameter dalam model.

## L. Kriteria Pemilihan Model Terbaik
Akaike’s  Information  Criteria (AIC) adalah suatu  kriteria  pemilihan  model  terbaik  yang diperkenalkan oleh Akaike dengan mempertimbangkan  banyaknya  parameter  dalam model.  Semakin  kecil  nilai  AIC  yang  diperoleh semakin baik  model yang  digunakan. Kriteria AIC dapat dirumuskan sebagai berikut:
 
( ) 2 ln 2 ln 2 AIC M maksimum likelihood M SSE
N M N            (24)
dengan SSE : sum square error
M : banyak parameter dalam model

## II. METODOLOGI PENELITIAN
Pada  penelitian  ini,  data  yang  digunakan adalah  data  sekunder  yang  merupakan  data time series bulanan inflasi nasional periode Januari 2001 hingga  Desember  2016. Analisis  data  dilakukan dalam 2 tahap yaitu pemodelan data inflasi dengan menggunakan  model  linier  ARIMA  dan  model nonlinier  LSTAR.  Setelah  diperoleh  model  dari data  tersebut  selanjutnya  dibandingkan  dengan menggunakan  kriteria  AIC  minimium  untuk memperoleh  model  yang  memberikan  hasil meminimumkan  error. Analisis  dilakukan  dengan software R  dengan Package tsDyn,  tseries, dan forecast.
Langkah-langkah  pemodelan  data  inflasi nasional  dengan  model linier ARIMA  dan model nonlinier LSTAR dijabarkan sebagai berikut 1. Plot time series.
2. Pengujian stasioneritas data.
3. Pemodelan dengan ARIMA.
- Plot ACF dan PACF.
- Menentukan orde p, d, dan q.
- Mencari model ARMA terbaik.
- Estimasi parameter model.
4. Pemodelan dengan LSTAR -Pengujian nonlinieritas dengan white test.
- Plot ACF dan PACF.
-Menentukan orde LSTAR. -Menentukan rentang delay.
-Mencari model LSTAR terbaik -Estimasi parameter model.
5. Pemilihan  model  terbaik  (Perbandingan MSE antara ARIMA dan LSTAR).
6. Interpretasi model.
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
-2 0 2 4 6 8 10 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 INF LAS I

## Gambar 1 Inflasi Nasional 2001-2016
Gambar  1  menunjukkan  perkembangan inflasi nasional Indonesia dari Januari 2001 hingga Desember 2016. Inflasi nasional Indonesia mengalami perubahan dari waktu ke waktu. Inflasi tertingi  terjadi  pada  bulan  Oktober  2005  yaitu sebesar  8,70  dan  berbeda  dengan  inflasi  pada bulan-bulan  sebelumnya.  Hal  ini  dapat  berakibat data  deret  waktu  yang  terbentuk  merupakan  data deret  waktu  yang  tidak  linier  (nonlinier).  Untuk membuktikan  secara  statistic  dilakukan  pengujian nonlinieritas  dengan  metode  White  test  dan Terasvirta untuk melihat bagaimana pola data deret waktu yang terbentuk.

## Tabel 2. Pengujian Nonlinieritas
Metode X 2 p-val White Test 7,6467 0,02185 Terasvirta 7,4622 0,02397
Tabel  2 menunjukkan  hasil  pengujian nonlinieritas dari data inflasi dengan menggunakan metode  White  test  dan  Terasvirta.  Berdasarkan hasil  yang  diperoleh  diketahui  bahwa  masing- masing  metode  memiliki  nilai  p-val  yang  kurang dari  0,05  sehingga  data  inflasi  nasional  periode 2001-2016 meminili pola nonlinier.
Tabel 3. Pengujian Stasioneritas Variabel Nilai ADF p-val Inflasi -5,5995 0,01
Untuk  dapat  melakukan  analisis  lebih  lanjut perlu  dilakukan pengujian  stasioneritas  untuk mengetahui  apakah  data  stasioner.  Karena  data
yang  stasioner  dibutuhkan  untuk  melakukan analisis  dan  menghasilkan  hasil  yang  lebih  sesuai. Pengujian stasioneritas dilakukan dengan menggunakan  metode  ADF  (Augmented  Dickey- Fuller  Test).  Hasil  pengujian  dengan  ADF  dapat dilihat  pada  Tabel  3.  Hasil  yang  diperoleh menunjukkan bahwa inflasi nasional telah stasioner dalam  mean  karena  nilai  p-val  yang  diperoleh kurang dari 0,05.
1. Pemodelan data inflasi dengan ARIMA Untuk  memodelkan  data  dengan  ARIMA perlu  ditentukan  terlebih  dahulu  orde  p,d,dan  q. orde  ini  ditentukan  berdasarkan  ACF  dan  PACF. Grafik ACF dan PACF ditunjukan pada Gambar 2 dan Gambar 3.
45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Au to co rr el at io n Autocorrelation Function for inflasi (with 5% significance limits for the autocorrelations) Gambar 2 Plot ACF 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia lA ut oc or re la tio n Partial Autocorrelation Function for inflasi (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)

## Gambar 3 Plot PACF
Berdasarkan  Gambar  2  dan  Gambar  3  dapat diduga bahwa orde untuk p=1, q=1, dan d=0 karena data  inflasi  telah  stasioner.  Selanjutnya  dilakakan pemilihan  model  terbaik  dan  diperoleh  model terbaik  adalah  ARIMA (0,0,1).  Hasil  estimasi parameter  mode  ARIMA (0,0,1)  ditunjukkan  pada Tabel 4.
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati

## Tabel 4. Estimasi Parameter Model ARIMA
Estimate Std. Error t value Pr(>|z|) MA(1) -0.271 0.070 -3.880 0.000 Const 0.587 0.073 8.000 0.000 Berdasarkan  Tabel 4 diketahui  bahwa estimasi  parameter  MA (1)  sebesar -0,271  dan konstanta  sebesar  0,587.  Nilai  p-value  dari  kedua perameter  tersebut  bernilai  kurang  dari  0,05 sehingga  parameter  tersebut  signifikan  terhadap model.  Sehingga  model  ARIMA  yang  terbentuk adalah sebagai berikut
1 0, 271 0, 587 t t t y a a     (25)
2. Pemodelan data inflasi dengan LSTAR Untuk memodelkan data dengan LSTAR perlu ditentukan  terlebih  dahulu  orde  m.  orde  ini ditentukan berdasarkan PACF. Berdasarkan Gambar  3  diketahui  bahwa  orde  m=1.  Sehingga estimasi  parameter  model  LSTAR  diduga  dengan menggunakan  m=1.  Hasil  estimasi  parameter model LSTAR ditunjukkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Estimasi Parameter Model LSTAR
Estimate Std. Error t value Pr(>|z|) const.L 0.268 0.090 2.973 0.003 phiL.1 0.993 0.249 3.991 0.000 const.H 0.346 0.184 1.880 0.060 phiH.1 -0.881 0.265 -3.322 0.001 gamma 100.00 102.423 0.976 0.329 th 0.732 0.039 18.976 2.2e- 16
Hasil  estimasi  parameter  menunjukkan bahwa  parameter delay=1  dengan  2  transisi. Berdasarkan  Tabel 5 diketahui  bahwa  parameter dari model LSTAR memiliki nilai p-val kurang dari 0,05  yang  berarti  model  signifikan tetapi  gamma tidak  signifikan.  Model  LSTAR  dapat  ditunjukkan pada persamaan 2 berikut
    1 1 1 100( 0,732) 1 100( 0,732) 1 0, 268 0, 993 1 1 1 0, 346 0,881 1 t t t t y t t y y y e y a e                            
3. Perbandingan Model ARIMA dan LSTAR
Untuk  mengetahui  model  yang  paling  baik dilakukan  dengan  menggunakan  kriteria  MSE  dan RMSE.  Hasil  perbandingan  model  ditunjukkan pada Tabel 6 berikut.
Tabel 6. Estimasi Parameter Model LSTAR
Model Kriteria Kebaikan Model MSE RMSE ARIMA 0,633 0,796 LSTAR 0,608 0,780
Tabel  6 menunjukkan  hasil  perbandingan MSE  dan  RMSE  untuk  model  ARIMA  dan LSTAR.  Berdasarkan  hasil  tersebut  diketahui bahwa  model  LSTAR  memiliki  nilai  MSE  dan RMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan ARIMA.  Sehingga  model  LSTAR  lebih  sesuai digunakan untuk memodelkan data inflasi.

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah dilakukan diperoleh kesimpulan hasil perbandingan MSE  dan  RMSE  untuk  model  ARIMA  dan LSTAR.  Berdasarkan  hasil  tersebut  diketahui bahwa  model  LSTAR  memiliki  nilai  MSE  dan RMSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan ARIMA.  Sehingga  model  LSTAR  lebih  sesuai digunakan untuk memodelkan data inflasi.

## V. DAFTAR PUSTAKA
[1] W. W. S. Wei, Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. New York:
Pearson, 2006.
[2] J. Li, “Bootstrap Prediction Intervals for SE TAR models,” Int. J. Forecast., hal. 320 – 332, 2011.
[3] S. Bekiros, “A robust Algorithm for Parameter Estimation in Smooth Transition
Autoregressive Models,” Econ. Lett., hal. 36 – 38, 2009.
[4] J. B. Lin, C. . Liang, dan M. . Yeh, “Examining Nonlinier Dynamics of Exchange rates and Forecasting Performance based on the
Exchange rate parity of four Asian Economies,” Jpn. World Econ., hal. 79 – 85,
2011.
[5] S. Rohani, F. Yusof, dan I. L. Kane, “Nonlinear Smooth Transition Auotoregressive (STAR)-Type Modelling and Forecasting on
Pemodelan Data Deret Waktu Dengan Autoregressive Integrated Moving Average Dan Logistic Smoothing Transition Autoregressive
Gusti Ayu Made Arna Putri, Ni Putu Nanik Hendayanti, Maulida Nurhidayati
Malaysia Airlines (MAS) Stock Returns,” J. Teknol., vol. 11, hal. 137 – 145, 2015.
[6] D. Rosadi, Analisis Ekonometrika dan Runtun Waktu Terapan dengan R. Yogyakarta: ANDI, 2011.
[7] T. Terasvirta, C. . Lin, dan C. Granger, “Power of The Neu ral Network Linearity Test,” J.
Time Ser. Anal., hal. 209 – 220, 1993.
[8] T. H. Lee, H. White, dan C. Granger, “Testing for Neglected Nonlinearity in Time Series Model,” J. Econom., hal. 269 – 290, 1993.