ISSN : 2460 – 7797 e-ISSN : 2614-8234 Website : jurnal.umj.ac.id/index.php/fbc Email : fibonacci@umj.ac.id Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika

## SEMIGRUP SMARANDACHE ( (    )   )

## Miftah Sigit Rahmawati
Program Studi Teknik Informatika, Universitas Muhammadiyah Sorong, Jalan Pendidikan No.27 Kelurahan Klabulu, Distrik Malaimsimsa, Kota Sorong, 98416
*miftah.sigit@yahoo.com

## Abstrak
Semigrup  merupakan  struktur  aljabar  yang  merupakan  perumuman  dari  grup.  Suatu semigrup  yang  memuat  suatu  subset  sejati  sedemikian  hingga  subset  tersebut  merupakan grup  terhadap  operasi  biner  yang  sama  pada  semigrup  disebut  semigrup  Smarandache. Himpunan  semua  transformasi  linear  dari  suatu  ruang  vektor ke  ruang  vektor ,  yaitu ( ) terhadap  operasi  komposisi  transformasi  linear  membentuk  suatu  semigrup.  Apabila diberikan himpunan transformasi linear dari suatu ruang vektor ke ruang vektor , yaitu (    ) maka (    ) bukan  merupakan  semigrup  terhadap  operasi  komposisi transformasi linear. Himpunan transformasi linear (    ) dapat menjadi suatu semigrup terhadap  operasi  komposisi  transformasi  linear  dengan  membantuk  semigrup  transformasi linear  yang  diperumum.  Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas  mengenai  regularitas  dan  unit- regularitas  dari  suatu  semigrup  transformasi  linear  yang  diperumum  tersebut.  Selanjutnya, juga  dibahas  mengenai  karakterisasi  dan  beberapa  sifat  dari  semigrup  Smarandache  dan hubungannya  dengan  semigrup  transformasi  linear  yang  diperumum.  Hubungan  tersebut meliputi  syarat  perlu  dan  syarat  cukup  agar  suatu  semigrup  transformasi  linear  menjadi semigrup Smarandache.
Kata Kunci: Semigrup, Semigrup Smarandache, Transformasi Linear

## PENDAHULUAN
Semigrup  merupakan  struktur  aljabar yang  merupakan  perumuman  dari  grup, yaitu syarat  eksistensi  elemen  identitas  dan eksistensi  elemen  invers  setiap  elemen dihilangkan.  Walaupun  demikian,  ada kemungkinan  bahwa  dalam  suatu  semigrup dapat  ditemukan  suatu  grup.  Dengan  kata lain,  terdapat  suatu  semigrup  yang  memuat suatu  subset  sejati  sedemikian  hingga subset  tersebut  merupakan  grup  terhadap operasi  biner  yang  sama  pada  semigrup.
Semigrup tersebut dikenal dengan semigrup Smarandache .
Himpunan semua transformasi linear  dari  suatu  ruang  vektor ke  ruang vektor ,  yaitu ( ) akan  membentuk grup terhadap operasi penjumlahan transformasi linear. Namun terhadap operasi  komposisi  transformasi  linear, himpunan  tersebut  tidak  membentuk  grup tetapi  hanya  membentuk  suatu  semigrup. Dari  sinilah  muncul  mengenai  konsep
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020
semigrup  transformasi  linear.  Apabila diberikan himpunan transformasi linear dari suatu  ruang  vektor ke  ruang  vector yaitu (    ) ,    maka (    ) bukan merupakan  semigrup  terhadap  operasi komposisi  transformasi  linear.  Tetapi,
(    ) dapat  diperumum    sehingga menjadi  suatu  semigrup  terhadap  operasi komposisi  transformasi  linear.  Semigrup tersebut  disebut  semigrup  transformasi linear yang diperumum.
Suatu  semigrup disebut  semigrup reguler  apabila  untuk  setiap terdapat
sedemikian hingga memenuhi
.  Selanjutnya,  apabila  diberikan semigrup dengan elemen satuan maka disebut  elemen  unit-reguler.  Apabila setiap  elemen  dari  semigrup merupakan elemen  unit-reguler,  maka disebut semigrup unit-reguler.
Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas mengenai  regularitas  dan  unit-regularitas dari  suatu  semigrup  transformasi  linear yang diperumum. Kemudian dibahas mengenai  karakterisasi  dan  beberapa  sifat dari  semigrup Smarandache .  Selanjutnya, dibahas  hubungan  yang  terjadi  antara semigrup transformasi linear yang diperumum dengan semigrup Smarandache yang meliputi syarat perlu dan syarat cukup agar  suatu  semigrup  transformasi  linear menjadi semigrup Smarandache .

## METODE PENELITIAN
Regularitas Dan Unit-Regularitas
Semigrup  Transformasi  Linear  Yang Diperumum ( (    )   )
Dalam  bagian  ini  akan  dibahas mengenai sifat reguler dan unit-reguler dari semigrup transformasi linear yang diperumum.  Namun,  sebelum  membahas mengenai  semigrup  transformasi  linear yang  diperumum  akan  dipaparkan  terlebih
dahulu  mengenai  semigrup  transformasi linear beserta regularitas dan unit- regularitasnya.
Diberikan suatu ruang vector dan atas division  ring  D ,  dibentuk  suatu himpunan  semua  transformasi  linear  dari ruang  vektor ke  ruang  vector ,  yang dinotasikan  dengan (    ) . (    )
terhadap  operasi  penjumlahan  transformasi linear  membentuk  suatu  grup.  Selanjutnya,
apabila ( ) dan ( ) , basis dari adalah * + dan basis  dari adalah * + maka pemetaan (    ) ( )
dengan definisi ( )   , - untuk setiap (    ) merupakan  suatu  grup isomorfisma.  Dengan  demikian  diperoleh bahwa  grup ( (    )   ) isomorfis dengan grup ( ( )   ) .
Selanjutnya, apabila diberikan himpunan  semua  transformasi  linear  dari ke ,  yaitu ( ) ,  maka  jelas  bahwa ( ( )   ) merupakan  grup.  Apabila operasi  penjumlahan  pada ( ) diubah menjadi  operasi  komposisi  transformasi linear,  ternyata ( ) tidak  membentuk suatu  grup  tetapi  hanya  membentuk  suatu semigrup.  Begitu  halnya  dengan  himpunan semua  matriks  persegi ( ) terhadap operasi  perkalian  matriks
( ) tidak membentuk  grup  tetapi  hanya  membentuk suatu  semigrup.  Lebih  lanjut,  apabila diketahui
( ) maka  diperoleh bahwa semigrup ( ( )  ) isomorfis dengan semigrup ( ( )  ) .
Berikut  diberikan  suatu  sifat  yang merupakan  syarat  perlu  dan  syarat  cukup suatu transformasi linear merupakan isomorfisma.
Sifat 2.1. Diberikan ruang vektor atas D dengan ( ) ( ) , B merupakan basis dari , dan merupakan basis dari . Transformasi linear
V
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (1), pp: 27 - 38.
merupakan isomorfisma jika dan  hanya  jika  matriks  representasi dari basis B ke  basis ,  yaitu , - , merupakan matriks invertibel atas D .
Selanjutnya,  diberikan  suatu  sifat terkait  regularitas  dan  unit  regularitas  dari semigrup ( ( )  ) dan semigrup ( ( )  ) .
Sifat 2.2. Diberikan ruang vektor atas D dengan ( ) . 1. Semigrup ( ) dan  semigrup ( ) merupakan semigrup reguler.
2. Semigrup ( ) merupakan  semigrup unit-reguler.
Berikut  diberikan  suatu syarat  perlu dan  syarat  cukup  semigrup  transformasi linear ( ) merupakan  semigrup  unit- reguler.
Sifat  2.3. Semigrup ( ) merupakan semigrup unit-reguler jika dan hanya jika merupakan ruang vektor berdimensi hingga.
Apabila diambil sebarang transformasi  linear ( ) ,  maka terdapat transformasi linear identitas
( ) sedemikian  hingga  memenuhi
. Hal inilah yang
memotivasi  munculnya  generalisasi  dari semigrup transformasi linear (    ) .
Definisi  2.4. Diberikan ruang  vektor atas D dan  transformasi  linear (    ) .  Himpunan ( (    )   ) akan membentuk  semigrup
(    ) dengan operasi  biner yang  didefinisikan  sebagai berikut ,  untuk  setiap (    ) . Selanjutnya,
apabila diambil sebarang  matriks ( ) ,  maka terdapat  matriks  identitas ( ) , sedemikian hingga memenuhi AB=AIB . Hal inilah yang memotivasi munculnya generalisasi dari semigrup ( ) . Definisi  2.5. Diberikan ( ) dan matriks ( ) . Himpunan ( ( )   ) akan  membentuk  semigrup
( ) dengan  operasi  biner yang didefinisikan sebagai berikut , untuk setiap ( ) . Lebih lanjut, semigrup ( (    )   ) dan ( ( )   ) masing- masing disebut dengan semigrup transformasi  linear  yang  diperumum  dan semigrup matriks yang diperumum. Pembahasan  selanjutnya  adalah  mengenai regularitas dan unit regularitas dari semigrup ( (    )   ) dan ( ( )   ) . Berikut diberikan suatu lemma yang merupakan syarat cukup suatu
(    ) merupakan isomorfisma.
Lemma 2.6. Diberikan ruang vektor dan atas D .  Jika merupakan  isomorfisma dari ke , maka pemetaan ( (    )   ) ( ) dengan  definisi ( ) untuk  setiap (    )
merupakan isomorfisma dari ( (    )   ) ke ( ) . Berdasarkan lemma di atas diperoleh bahwa jika merupakan isomorfisma maka ( (    )   ) isomorfis dengan ( ) . Selanjutnya, diberikan suatu teorema  yang  merupakan  syarat  perlu  dan syarat  cukup  semigrup ( (    )   ) menjadi semigrup reguler.
Teorema  2.7. Semigrup ( (    )   ) reguler    jika  dan  hanya  jika * + , * + ,  atau merupakan  isomorfisma dari W ke V .
Bukti.
( ) Apabila diketahui * + atau
* + , maka diperoleh ( (    )   )
{ ̃} dengan ̃ merupakan  transformasi linear nol dari V ke W . Karena ̃ merupakan elemen  reguler,  maka  terbukti  bahwa ( (    )   ) merupakan semigrup reguler.  Selanjutnya,  apabila merupakan isomorfisma dari W ke V , maka berdasarkan
  , D
L V W  
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020
Lemma 2.6 diperoleh
bahwa
( (    )   ) ( ) .  Karena ( )
merupakan  semigrup  reguler  maka  terbukti bahwa ( (    )   ) merupakan  semigrup reguler.
( ) Diketahui bahwa ( (    )   ) merupakan semigrup reguler. Akan dibuktikan  bahwa * + , * + ,  atau merupakan  isomorfisma  dari W ke V . Pembuktian  menggunakan  kontraposisinya. Diketahui * + , * + ,  dan bukan merupakan isomorfisma dari W ke V . Akan dibuktikan  bahwa ( (    )   ) bukan merupakan  semigrup  reguler.  Karena bukan  isomorfisma  dari W ke V ,  maka
diperoleh atau . o Kasus ( ) . Ambil sebarang dengan .
Misalkan B 1 adalah  basis  dari ( ) dan B 2 adalah  basis  dari V sedemikian hingga  memenuhi .  Karena ( ) maka .  Diambil sebarang (    ) dengan definisi berikut:
( )     {
Diperoleh bahwa ( )   〈 〉 . Karena ( )   〈 〉 dan ( ) * + , maka diperoleh ̃
(    ) . Selanjutnya, diambil sebarang (    ) maka diperoleh ̃ (    ) .  Jadi  setiap (    )
bukan  merupakan  elemen  reguler  di dalam ( (    )   ) .  Terbukti  bahwa ( (    )   ) bukan merupakan semigrup reguler.
o Kasus ( )   * + .
Diambil  sebarang ( ) dengan .  Misalkan B merupakan  basis
dari V .  Karena * + maka . Diambil sebarang (    ) dengan ( ) ,  untuk  setiap . Diperoleh ( )   〈 〉 . Karena ( ) , maka diperoleh ̃ (    ) . Selanjutnya, diambil  sebarang (    ) maka diperoleh ̃ (    ) .  Jadi  setiap (    ) bukan  merupakan  elemen  reguler  di dalam .  Terbukti  bahwa
( (    )   ) bukan merupakan semigrup reguler.
Dengan demikian terbukti bahwa jika * + , * + , dan bukan merupakan isomorfisma  dari W ke V .  Akan  dibuktikan bahwa ( (    )   ) bukan  merupakan semigrup reguler.
Berikut  diberikan  suatu  teorema yang  merupakan  syarat  perlu  dan  syarat cukup  semigrup ( (    )   ) menjadi semigrup unit-reguler.
Teorema  2.8. Semigrup ( (    )   ) merupakan  semigrup  unit-reguler  jika  dan hanya  jika * + , * + ,  atau merupakan  isomorfisma  dari W ke V dan ( ) .
Bukti.
( ) Diketahui bahwa ( (    )   ) merupakan  semigrup  unit-reguler,  maka ( (    )   ) merupakan semigrup reguler.  Berdasarkan  Teorema  2.7,  maka diperoleh * + , * + ,  atau merupakan  isomorfisma  dari W ke V . Apabila merupakan  isomorfisma  dari W ke V , maka ( (    )   ) ( ) .
Dengan  demikian,  diperoleh  bahwa ( ) merupakan semigrup unit reguler. Berdasarkan  Sifat  2.3, maka  terbuki  bahwa
( ) .
( ) Diketahui  bahwa * + , * + , atau merupakan isomorfisma dari W ke V dan ( ) .
  Im V  
    0 Ker       , , D L V W 
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (1), pp: 27 - 38.
Akan  ditunjukkan  bahwa ( (    )   ) merupakan  semigrup  unit-reguler.  Apabila diketahui * + atau * + maka diperoleh ( (    )   )   { ̂} dengan ̂ merupakan transformasi linear nol dari V ke W .  Karena ̂ merupakan  elemen  unit- reguler, maka terbukti bahwa ( (    )   ) merupakan  semigrup  unit- reguler.  Selanjutnya,  jika  diketahui merupakan isomorfisma dari W ke V , maka ( (    )   ) ( ) . Karena ( )
,  maka  berdasarkan  Sifat  2.3  diperoleh bahwa ( ) merupakan  semigrup  unit- reguler. Akibatnya, terbukti bahwa ( (    )   ) merupakan  semigrup  unit- reguler.
Setelah
membahas tentang regularitas  dan  unit  regularitas  semigrup transformasi
linear ( (    )   ) , selanjutnya  akan  dibahas  tentang  semigrup ( ( )   ) .  Berikut  diberikan  suatu lemma  yang  merupakan  syarat  perlu semigrup ( (    )   ) isomorfis  dengan semigrup ( ( )   ) . Lemma 2.9. Diberikan ruang vektor V dan W atas D dengan
( ) ,
( ) , B merupakan  basis  dari  V,
dan B’ merupakan  basis  dari W .  Apabila diambil
sebarang (    ) sedemikian  hingga , - ,  maka
pemetaan
(    ) ( ) dengan  definisi ( )   , - untuk setiap (    ) merupakan isomorfisma dari ( (    )   ) ke
( ( )   ) .
Selanjutnya, berikut diberikan suatu teorema  yang  merupakan  syarat  perlu  dan syarat  cukup  semigrup ( ( )   ) menjadi semigrup reguler.
Teorema  2.10. Semigrup ( ( )   ) reguler  jika  dan  hanya  jika
dan P
matriks invertibel atas D .
Bukti.
Misalkan  diberikan  ruang  vektor V dan W
atas  division  ring D dengan ( ) , ( ) , B merupakan  basis  dari  V, dan B’ merupakan basis dari W . Berdasarkan  Lemma  2.9  maka  diperoleh
.
.  Diketahui  bahwa
merupakan semigrup reguler, maka diperoleh  bahwa juga merupakan  semigrup  reguler  sehingga merupakan  isomorfisma  dari ke . Akibatnya,  diperoleh dan merupakan  matriks  invertibel  atas . Berdasarkan Lemma 2.9, karena maka  terbukti  bahwa merupakan matriks invertibel atas . .  Diketahui  bahwa dan matriks  invertibel  atas .  Berdasarkan Lemma  2.9,  karena maka diperoleh bahwa merupakan matriks invertibel  atas .  Akibatnya,  diperoleh bahwa merupakan  isomorfisma  dari ke .  Dengan  demikian,  berdasarkan Teorema 2.7 terbukti bahwa merupakan semigrup reguler. Karena maka terbukti  bahwa merupakan
semigrup reguler.
Terakhir  dari  tulisan  ini,  berikut diberikan  suatu  akibat  yang  menyatakan syarat  sukup  semigrup menjadi semigrup unit reguler.
Akibat  2.11. Diberikan  ruang  vektor dan atas dengan ,
, merupakan basis dari
        , , , D m n
L V W M D P          , m n M D P      , , D L V W   W V n m    ', B B  D   ', B B P   P D    n m  P D   ', B B P     ', B B  D  W V     , , D L V W          , , , D m n
L V W M D P       , m n M D P      , m n M D P  V W D   dim D V n    dim D W m  B V
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020
, dan merupakan basis dari . Diambil
sebarang sedemikian  hingga
. Apabila
merupakan  semigrup  unit-reguler  maka
merupakan  semigrup  unit
reguler.

## HASIL PENELITIAN
Semigrup Smarandache
Dalam  struktur  semigrup  dikenal beberapa  elemen  istimewa,  antara  lain: elemen  unit,  idempoten,  reguler,  reguler lengkap,  dan  sebagainya.  Beberapa  elemen tersebut sangat bermanfaat dalam
karakterisasi semigrup Smarandache . Berikut  ini  diberikan  definisi  dari  elemen- elemen istimewa tersebut.
Definisi  3.1. Diberikan  semigrup dan
.
1. Elemen disebut pembagi  kiri
jika  terdapat sedemikian  hingga
,  dan  disebut pembagi  kanan
jika  terdapat sedemikian  hingga
.
2. Suatu  elemen disebut unit  kiri
dari jika ,  dan  disebut unit kanan dari   jika . Suatu elemen disebut unit dari jika merupakan  unit  kiri  sekaligus  unit
kanan  dari .  Jika merupakan unit  dari  dirinya  sendiri,  yaitu , maka   disebut idempoten .
3. Elemen   disebut reguler jika terdapat sedemikian hingga .
4. Elemen    disebut reguler  lengkap jika
terdapat sedemikian  hingga dan . 5. Elemen disebut unit kiri reguler
dari    jika    merupakan  unit  kiri  dari
,  dan pembagi  kiri .  Elemen
disebut unit kanan reguler dari jika merupakan  unit  kanan  dari ,
dan pembagi  kanan .    Elemen disebut unit reguler dari   jika merupakan unit dari  , dan   pembagi kiri dan kanan  .
Ada  beberapa  sifat  dari  beberapa elemen  diatas  yang  sangat  bermanfaat dalam  mempelajari  karakterisasi  s emigrup Smarandache dan sifat-sifatnya. Berikut ini adalah kaitan antara elemen idempoten dan reguler lengkap.
Sifat  3.2. Setiap  elemen  idempoten  dari semigrup merupakan  elemen  reguler lengkap.
Bukti. Ambil  sebarang  elemen  idempoten , berarti . Perhatikan bahwa dan .  Jadi, terdapat sedemikian hingga dan .  Dengan  kata  lain,
merupakan elemen reguler lengkap.
Perhatikan  Sifat  3.2  di  atas,  bahwa jika merupakan  elemen  idempoten, maka  untuk  elemen tersebut bersifat .  Hal  ini  berarti
setiap  elemen  idempoten merupakan elemen unit reguler dari dirinya sendiri. Sifat  3.3. Suatu  elemen  unit  kiri  reguler dari  setiap  elemen  di  semigrup  merupakan elemen idempoten.
Bukti. Ambil  sebarang .  Misalkan elemen unit kiri reguler dari  . Akan dibuktikan merupakan elemen idempoten.  Karena elemen  unit  kiri reguler  dari ,  maka dan  terdapat sehingga .  Oleh  karena  itu,
diperoleh .
Jadi,   merupakan elemen idempoten.
Dalam  teori  grup,  telah  diketahui bahwa elemen netral/identitas tunggal. Pada
' B W   , D L W V     ', B B P       , , D L V W      , m n M D P  S a S  b S  a x S  bx a  a y S  yb a  b S  a ba a  a ab a  b S  a b a e S  2 e e  e a x S  axa a  a x S  axa a  ax xa  e S  a e
a a e e S  a e a a e e S  a e a a e S e S  2 e e  2 eee e e ee e    ee e e   x e S   exe e  ex xe  e
e S  x e S   ex xe ee e    e S  a S  e S  a e e a ea a  x S  ax e      2 e ee e ax ea x ax e     
e
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (1), pp: 27 - 38.
semigrup,  elemen  unit  reguler  dari  suatu elemen di semigrup juga dijamin ketunggalannya.  Hal  ini  akan  dijelaskan pada Sifat 3.4 berikut.
Sifat  3.4. Diberikan .  Jika dengan  masing-masing  merupakan  unit reguler dari  , maka . Bukti. Misalkan dan adalah  dua elemen unit reguler dari  . Oleh karena itu, dan merupakan  unit  dari ,  dan terdapat sedemikian  hingga dan . Akibatnya, .
Untuk lebih jelasnya, contoh darijenis-jenis  elemen  dalam  semigrup tersebut .
Contoh  3.5. Diberikan dan operasi  binner  “.”  dengan  definisi  operasi pada sebagai berikut :
Tabel 1. Definisi operasi „.‟ pada
. Himpunan yang dilengkapi dengan operasi  biner  „.‟    tersebut  merupakan semigrup  komutatif.  Diambil  himpunan
.  Perhatikan  bahwa  dengan menggunakan operasi biner yang sama pada diperoleh  hasil  operasi  pada sebagai berikut :
Tabel 2. Hasil operasi pada
.
Dari  tabel  2,  diperjelas  bahwa merupakan  grup.  Jadi, merupakan
semigrup Smarandache.
Pada semigrup , termuat
beberapa  elemen  seperti  pada  Definisi  3.1, yaitu: 1. adalah elemen idempotent pada
.
2. adalah elemen unit dari a .
3. adalah elemen unit dari c .
4. juga  merupakan  elemen  unit regular dari a .
5. juga  merupakan  elemen  unit regular dari b .
6. adalah regular lengkap di S .
Tidak  semua  semigrup  merupakan semigrup
Smarandache , sehingga diperlukan  syarat  perlu  dan  cukup  suatu semigrup
dikatakan semigrup Smarandache . Berikut merupakan teorema- teorema  yang  menunjukkan  karakteristik semigrup Smarandache .
Teorema  3.6. Diberikan  semigrup . Semigrup merupakan semigrup Smarandache jika  dan  hanya  jika memuat elemen idempoten.
Bukti. Diketahui merupakan
semigrup Smarandache ,  berarti  terdapat subset  sejati sedemikian  hingga merupakan  grup  terhadap  operasi  biner yang  sama  pada .  Karena merupakan grup,  maka  terdapat  elemen  netral dengan  sifat ,  yang  berarti merupakan elemen idempoten. Jadi, terbukti bahwa memuat elemen idempoten.
Diketahui memuat  elemen
idempoten. Ambil sebarang elemen idempoten . Dibentuk himpunan a S  1 2 , e e S  a 1 2 e e  a S  1 2 , e e S  a 1 e 2 e a 1 2 , x x S  1 1 e x a  2 2 e ax  1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 e x a x ae e e e ax ax e         , , , S e a b c  S S . e a b c
e e a b c
a a e b c b b b c b c c c b c S   , G e a S  
S G
G . e a e e a a a e
  , G    , S    , S  , e c S  S e S  c S  e S  c S  , , , e a b c S  S S S   .  S
G S  G S G e G  2 e ee e   e S   .  S e S    | elemen unit reguler dari . e G a S e a  
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020
Karena idempoten,  maka merupakan unit  reguler      dari .  Oleh  karena  itu, dan berakibat . Akan  ditunjukkan  bahwa merupakan grup  terhadap  operasi  yang  sama  pada . Ambil  sebarang ,  berarti
merupakan  elemen  unit  reguler      dari dan .  Artinya,  terdapat
sedemikian hingga .
Oleh karena itu, diperoleh
, , dan
, . Jadi,   merupakan unit reguler   dari , yang  artinya .  Karena , maka sifat asosiatif dari semigrup secara langsung  diwariskan  pada .  Jadi,
merupakan  semigrup  dengan  unit ( monoid).
Klaim  bahwa merupakan  invers  dari
.
Perhatikan bahwa
, , dan , ( ) ( ) ( )
( )
( )
Dari  sini  diperoleh  bahwa merupakan
invers  kiri  sekaligus  invers  kanan  dari dan   merupakan elemen unit reguler   dari
,  yang  berarti .  Karena pengambilan sebarang  di ,  maka
diperoleh  kesimpulan  bahwa  setiap  elemen di mempunyai  invers  di .  Jadi, merupakan  grup  terhadap  operasi
biner yang sama pada . Dengan kata lain, merupakan semigrup Smarandache .
Teorema  3.6  mengatakan  bahwa syarat  perlu  dan  cukup  suatu  semigrup merupakan  semigrup  Smarandache  adalah memuat  elemen  idempoten.  Selanjutnya akan diberikan syarat perlu dan cukup yang lain  sedemikian  hingga  suatu  semigrup merupakan  semigrup  Smarandache,  yaitu memuat elemen regular lengkap.
Teorema  3.7. Diberikan  semigrup . Semigrup merupakan semigrup
Smarandache jika  dan  hanya  jika memuat elemen reguler lengkap.
Bukti.
Diketahui merupakan  semigrup
Smarandache ,  berarti  terdapat  subset  sejati sedemikian  hingga merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada
.  Karena merupakan  grup,  maka
terdapat  elemen  netral sedemikian hingga  untuk  setiap berlaku . Jadi, terdapat sedemikian hingga dan
.  Dengan  kata  lain,
merupakan  elemen  reguler lengkap.
Diketahui memuat elemen reguler lengkap,  katakan .  Karena elemen reguler  lengkap,  maka  terdapat sedemikian  hingga dan . Misalkan ,  untuk  suatu . e e
e
e e G  e G   e G S 1 2 , e g g G  e 1 g
2 g 1 2 1 2 , , , u u v v S  1 1 2 2 1 1 2 2 , , , dan e g u e g u e v g e v g    
     1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 g g u u g g u u g eu g u e    
     2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 v v g g v v g g v eg v g e 
       1 2 1 2 1 2 g g e g g e g g       1 2 1 2 1 2 e g g eg g g g
  e 1 2 g g
1 2 e g g G  e G S  S e G e G e e G 1 eu e 1 g     1 1 1 e eu e ee u e eu e       1 1 1 eu e e eu ee eu e  
    1 1 1 1 1 1
e ee g u e g e u e g eu e    
1 eu e 1 g e 1 eu e 1 e eu e G  1 g e G e G e G e G S  S S S S S   .
 S G S  G S G e G  x G S   ex xe x   x S  ex xe    exe e xe ex e    e G S     .  S a a x S  axa a  ax xa  ax xa e   e S 
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (1), pp: 27 - 38.
Perhatikan bahwa .  Hal ini  berarti  bahwa merupakan  elemen
idempoten.    Karena memuat  elemen idempoten,  maka  menurut  Teorema  3.6 diperoleh kesimpulan merupakan semigrup Smarandache .
Teorema  3.7  mengatakan  bahwa  jika merupakan  semigrup Smarandache , maka memuat  elemen  reguler  lengkap.
Himpunan  semua  elemen  reguler  lengkap dari  semigrup Smarandache merupakan gabungan  dari  grup-grup  saling  asing  yang termuat  di  semigrup  tersebut.  Hal  ini dijelaskan pada Teorema 3.8 di bawah ini.
Teorema 3.8.
Jika semigrup Smarandache ,  maka  himpunan  semua elemen  reguler  lengkap  dari merupakan gabungan  dari  grup-grup  saling  asing  yang termuat di .
Bukti.
Diketahui semigrup Smarandache. Misalkan adalah  himpunan  semua elemen  reguler  lengkap  dari dan adalah himpunan elemen-elemen idempoten dari . Menurut Teorema 3.6 dan Teorema 3.7,  jelas  bahwa dan .  Ambil sebarang .  Karena elemen  reguler lengkap,  maka  terdapat sedemikian hingga dan .  Misalkan ,  untuk  suatu .  Perhatikan bahwa , ,  dan . Hal
ini berarti bahwa   merupakan unit dari dan juga  merupakan  elemen  idempoten.
Akibatnya  diperoleh dan . Menurut Teorema 3.6, merupakan grup.
Jadi,  untuk  setiap ,  terdapat sedemikian hingga . Dengan demikian diperoleh .                              (1) Selanjutnya akan ditunjukkan .  Ambil  sebarang , berarti untuk  suatu .  Karena merupakan  grup  dengan  unit  (elemen netral) ,  maka dan . Dengan  demikian  diperoleh  bahwa elemen reguler lengkap, yang berarti . Jadi terbukti .                            (2) Dari (1) dan (2), berakibat . Langkah  terakhir  ditunjukkan  bahwa , untuk setiap dengan .  Ambil  sebarang dengan .  Andaikan ,  berarti terdapat .  Karena , maka  diperoleh dan ,  yang
berarti e dan f masing-masing  merupakan elemen  unit  reguler  dari y .  Menurut  Sifat 3.4,  elemen  unit  reguler  dari  setiap  elemen di dijamin  tunggal.  Oleh  karena  itu berakibat e  =  f ,  dan  terjadi  kontradiksi. Jadi pengadaian salah, yang benar
. Jadi, merupakan gabungan  dari  grup-grup  saling  asing  yang termuat di . Contoh 3.9. Himpunan dengan operasi
perkalian  merupakan  semigrup.  Karena
merupakan himpunan
elemen idempoten, maka menurut Teorema
3.6, merupakan semigrup
Smarandache . Kemudian dibentuk,

##     
2 e ee ax ax axa x ax e      e S  S S S S S S S S C S H
S
H   C   c C  c x S  cxc c  cx xc  cx xc e   e S    ec cx c c     ce c xc c        2 e ee cx cx cxc x cx e      e c e e c G  e H  e G c C  e H  e c G 
e e H C G   e e H C G   e e H t G   1 e t G  1 e H 
1 e G 1 e 1 te t t  1 1 te t e t   t t C  e e H C G   e e H C G   e f G G    , e f H 
e f  , e f H  e f  e f G G    e f y G G   e f y G G   e y G  f y G  S e f G G    S S
  0,1,2,3,4,5 6  Z   0,1, 3, 4 H  6 Z  
|  elemen unit reguler dari e G r S e r  
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020
yaitu , , Menurut Teorema 3.8, merupakan grup dengan operasi  perkalian  yang  termuat  di . Selanjutnya,diperoleh bahwa dengan
Semigrup smarandache Pada  Semigrup

## Transformasi Linear yang Diperumum
Pada  bab  sebelumnya  telah  dibahas tentang semigrup Smarandache dan semigrup transformasi linear yang diperumum. Selanjutnya dalam bab ini akan bahas  kaitan  antara  kedua  semigrup tersebut, yaitu syarat cukup suatu semigrup transformasi linear yang diperumum
merupakan semigrup Smarandache. Teorema 4.1. Diberikan semigrup dengan dan
.      Jika isomorfisma  semigrup,
maka merupakan  semigrup
Smarandache .
Bukti.
Diketahui semigrup
transformasi linear yang diperumum dengan dan .  Karena dan , maka .  Diketahui  juga  bahwa isomorfisma  semigrup,  maka terdapat sedemikian sehingga ,  untuk  setiap .  Perlu  diingat  bahwa  himpunan
( (    )   ) akan  membentuk  semigrup
(    ) dengan  operasi  biner yang didefinisikan  sebagai  berikut , untuk setiap (    ) . Perhatikan bahwa untuk setiap , ( )( )   ( ) ( ( ))( ) (( )( )) ( ) Dengan  demikian  diperoleh  bahwa merupakan  elemen  idempotent  semigrup . Oleh karena itu,
berdasarkan  Teorema  3.6  , merupakan semigrup Smarandache .
Teorema  4.1  merupakan  syarat cukup  suatu  semigrup  transformasi  linear yang diperumum merupakan  semigrup  Smarandache,  namun perlu  diperhatikan  dari  syarat  cukup tersebut mengharuskan asumsi bahwa ruang vektor dan mempunyai  kardinal basis yang sama yaitu ( ) ( ) .  Jadi,  syarat  cukup  tersebut hanya berlaku untuk semigrup yang  khusus,  yaitu  dengan asumsi dan mempunyai  kardinal basis yang sama yaitu
( )
( ) .
Dari  Teorema  4.1  di  atas,  diperoleh suatu  akibat  yang  berkaitan  dengan semigrup regular dan semigrup unit reguler transformasi linear yang diperumum.
Akibat 4.2. Diberikan semigrup dengan dan .  Jika semigrup
regular,    maka merupakan semigrup Smarandache .
Bukti.
Diketahui semigrup  regular, maka  berdasarkan  Teorema  2.7  diperoleh
  0 0 G    1, 5 1 G    3 , 3 G    2, 4 4 G  0 1 3 4 , , ,  dan G G G G
S   0 1 3 4 6 0,1, 2, 3, 4, 5 G G G G   0 1 0 3 0 4 1 3 1 4 3 4 , , , , ,  dan G G G G G G G G G G G G                  
  ( , ), D L V W    ( , ), D L V W    0 V    0 W  
  ( , ), D L V W    ( , ), D L V W    0 V    0 W    0 V    0 W    ( , ), 1 D L V W     , D L W V  
1 ( , ) D L V W      1 ( ) v v     v V 
v V  1     ( , ), D L V W 
  ( , ), D L V W    ( , ), D L V W  V W   ( , ), D L V W  V W   ( , ), D L V W    0 V    0 W    ( , ), D L V W    ( , ), D L V W    ( , ), D L V W 
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (1), pp: 27 - 38.
bahwa merupakan  isomorfisma  dari ke .  Oleh  karena  itu,  berdasarkan
Teorema  4.1  berakibat
merupakan semigrup Smarandache .
Akibat 4.3. Diberikan semigrup dengan dan . Jika semigrup unit regular,    maka merupakan
semigrup Smarandache . Bukti.
Diketahui semigrup  unit
regular,  maka  berdasarkan  Teorema  2.8
diperoleh bahwa   merupakan isomorfisma
dari ke dan  dan .  Oleh
karena  itu,  berdasarkan  Teorema  4.1 berakibat
merupakan
semigrup Smarandache .

## SIMPULAN
Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas mengenai  regularitas  dan  unit-regularitas dari  suatu  semigrup  transformasi  linear yang diperumum tersebut. Selanjutnya, juga dibahas mengenai karakterisasi dan beberapa  sifat  dari  semigrup  Smarandache dan hubungannya dengan semigrup transformasi linear yang diperumum.
Hubungan  tersebut  meliputi  syarat  perlu dan  syarat  cukup  agar  suatu  semigrup transformasi linear menjadi semigrup Smarandache.

## DAFTAR PUSTAKA
Enhlich,  G.  1968.  Unit-Reguler  Rings, Portugal, Math .27.  pp: 209-212.
Hungerford, T.W.  1974. Algebra . Springer- Verlag: New York.
Kandasamy, W. B. V., 2002. Smarandache Semigroups . American Research Press, Rehoboth: USA.
Kemprasit.  2002.  Regularity  and  Unit- regularity  of  Generalized  Semigroups of Linear Transformations. J. Southeast Asian.Math .25, pp: 617-622.
Ljapin, E. S., 1974. Semigroups, Translations of Mathematical Monographs , Vol. 3. American Mathematical  Society,  Providance, Rhode Island.
Rao,  C.  S., On  Smarandache  Semigroups , Department  of  Mathematics,  DNR College, Bhimavaram, India.
Sullivan,  R.P.,  1975.  Generalized  Partial
Transformation Semigroups, J.Austral.Math.Soc. 19, pp: 470-473.  W V   ( , ), D L V W    ( , ), D L V W    0 V    0 W    ( , ), D L V W    ( , ), D L V W    ( , ), D L V W  
W V   dim V     ( , ), D L V W 
Volume 6 No. 1 Bulan Juni Tahun 2020