## ANALISA KOMPUTASI PERGERAKAN ORBIT BUMI TERHADAP MATAHARI BERDASARKAN HUKUM KEPLER MEMANFAATKAN WOLFRAM MATHEMATICA
Leonia M.F.B. Da Silva, Ali Warsito, Andreas Ch. Louk Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana,
Maulafa, Kota Kupang, Kode Pos 85141, Indonesia E-mail: leoniadasilva1008@gmail.com

## Abstrak
Sebuah  simulasi  yang  menggambarkan  lintasan  orbit  benda  langit  telah  dilakukan  dengan menggunakan  Wolfram  Mathematica  versi  10.3.  Penyelesaian    persamaan  diferensial  dalam  kasus orbit  bumi  terhadap  matahari  yang  bergerak  mengikuti  gerak  elipsoidal  diselesaikan  dengan persamaan  Euler-Lagrange.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  membuktikan  hukum  Kepler  II  dalam kasus  orbit  benda  langit  berbentuk  elips  yang  meliputi  kecepatan  dan  posisi  setiap  saat.  Dari  hasil simulasi metode Euler yang telah dilakukan dapat dilihat pada notebook mathematica berupa grafik orbit  bumi  berbentuk  elips  pada  setiap  percepatan  saat  nilai 𝑣̇ 𝑦 = 1,25 𝑚/𝑠 2 ,  sehingga  dapat dikatakan memenuhi hukum Kepler I. Dari simulasi ini juga diperoleh nilai eksentrisitas ( 𝜀 ) sebesar 0,562437, energi total ( 𝐸 ) sebesar -0,21875 kg m 2 /s 2 dan -0.218758  kg m 2 /s 2 dan  nilai periode ( 𝑇 ) sebesar 21,7112 s dan 21,7114 s.
Kata Kunci : orbit, simulasi gerak elipsoidal, Euler-Lagrange, Hukum Kepler.

## Abstract
A  simulation  that  describes  the  trajectory  of  the  orbit  of  a  celestial  bodies  has  been  done  by  using Wolfram  Mathematica  software  version  10.3.  differential  equations  in  the  case  of  the  earth’s  orbit around  the  Sun  that  moves  along  the  ellipsoidal  are  solved  by  the  Euler-Lagrange  equation.  This research  aimed  to  proved  the  law  of  Kepler  II  in  the  case  of  the  orbit  an  elliptical  celestial  bodies which includes velocity and position at any time. From the results of the Euler  method simulation that has  been  carried  out,  it  can  be  seen  on  the  Mathematica  notebook  in  the  form  of  graphs  of  earth’s elliptical orbit trajectories in each acceleration when the value of 𝑣̇ 𝑦 = 1,25 𝑚/𝑠 2 , so that it can be said  to  fulfill  Kepler’s  I  law.  From  this  simulation  also  obtained    the  value  of  eccentricity  ( 𝜀 )  : 0,562437,  total  energy  (E)  :  -0,21875  kg  m 2 /s 2 and  E:  -0,218758 kg  m 2 /s 2 and  value  of  period  (T)  : 21,7112 s and T: 21,7114 s.
Keywords: orbit, Ellipsoidal motion simulation, Euler-Lagrange, Kepler’s Law.

## PENDAHULUAN
Orang-orang  zaman  dahulu  menganut teori geosentris dimana bumi merupakan pusat alam  semesta.  Namun  seiring  berjalannya waktu  dan  berkembangnya  ilmu  pengetahuan dan  teknologi  barulah  diketahui  bahwa  bumi dan  planet-planet  lainnya  bergerak  mengitari matahari [1].
Awal  perkembangan  ilmu  astronomi  di mulai  pada  tahun  140  SM,  muncul  teori tentang benda langit yang bergerak melingkari sebuah  titik,  dan  lintasan  benda  ini  disebut lingkaran  ( epicycle ).  Teori  ini  dikemukakan oleh  seorang  astronom  bernama  Claudius Ptolomeus  yang  berasal  dari  Alexandria  di
Mesir.  Nicolaus  Copernicus  (1473  –  1543) pada  abad  ke-15,  muncul  dengan  teorinya tentang  tata  surya  yaitu  semua  benda  langit termasuk  bumi,  bergerak  mengitari  matahari dalam  orbit  yang  berbentuk  lingkaran  atau disebut model heliosentris [2–4].
Seorang  matematikawan  yang  juga merupakan  seorang  astronom  Jerman  bernama Johannes  Kepler  (1571  –  1630),  muncul dengan  merumuskan  tiga  hukum-hukumnya secara  empiris  didasarkan  pada  data  hasil pengamatan  yang  dilakukan  bersama  Tycho Brahe seorang astronom dari Denmark dengan menggunakan  hipotesis  teori  Heliosentris Copernicus  [5].  Penjelasan  ketiga  hukum  ini
yaitu  hukum  pertama  Kepler  mengatakan mengenai  apa  bentuk  orbit  planet  dan  posisi matahari.  Hukum  kedua  Kepler  menyatakan bagaimana  kecepatan  sudut  planet  di  orbit bervariasi  dengan  jaraknya  dari  matahari. Hukum ketiga Kepler berkaitan dengan ukuran yang  berbeda  dari  orbit  dalam  sistem  untuk periode revolusi planet-planet di orbit [6]. Pada abad ke-17 Newton berhasil memberikan penjelasan  fisis  terhadap  hukum  Kepler  yang diturunkan  secara  empiris.  Dalam  hukum gravitasi,  Newton  memperoleh  persamaan irisan  kerucut.  Suatu  irisan  kerucut  dapat berupa lingkaran, elips, parabola, atau hiperbola.  Karena  elips  adalah  juga  salah  satu bentuk  irisan  kerucut,  hasil  ini  membuktikan kebenaran  hukum  Kepler  tentang  bentuk  orbit planet-planet mengitari Matahari. Dengan kata lain,  Newton  mampu  menunjukkan,  hukum Kepler merupakan akibat dari hukum gravitasi, dimana  hukum  gravitasi  Newton  menyatakan bahwa  gaya  gravitasi  antara  dua  benda bermassa  sebanding  dengan  hasil  kali  massa kedua  benda  dan  berbanding  terbalik  dengan kuadrat  jarak  antara  kedua  benda  tersebut. Matahari  dan  planet-planet  yang  mengitarinya memiliki  massa  yang  berbeda-beda,  sehingga matahari  dan  juga  planet-planet  mengalami tarik menarik satu sama yang lain [7].
Berdasarkan  kajian  latar  belakang  yang dibahas  diatas,  pergerakan  orbit  benda  langit akan  lebih  mudah  dipelajari  melalui  suatu simulasi  yang  dapat  memberikan  gambaran secara  visual.  Pembuatan  simulasi  ini  telah banyak dilakukan untuk menunjang pemahaman  konsep  terkait  pergerakan  orbit benda  langit  yang  bergerak  mengikuti  gerak elipsoidal, sehingga penulis terdorong mengerjakan penelitian dengan judul “Analisa Komputasi Pergerakan Orbit Bumi
Terhadap  Matahari  Berdasarkan  Hukum Kepler  Dengan  Memanfaatkan  Wolfram Mathematica”.

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa  Cendana  dan  Pemukiman  Masyarakat. Waktu  penelitian  yaitu  mulai  dari  bulan Desember 2017 sampai bulan Desember 2018. Alat  dan  Bahan  yang  akan  digunakan  dalam penelitian  ini  yaitu  sebuah  perangkat  keras komputer dan software yang digunakan adalah Wolfram Mathematica 10.3.

## Prosedur Penelitian
Untuk memperoleh hasil penelitian yang akurat  dalam  penelitian  ini,  maka  dilakukan beberapa  tahapan  proses  penelitian  yaitu sebagai berikut:

## Metode pelaksanaan
Gambar 1 Langkah-langkah Penelitian
Penyelesaian dengan Metode Euler-

## Lagrange
Euler-Lagrange  merupakan  salah  satu  metode untuk menghasilan model dynamic pada sistem mekanik  [8,9]. Metode Euler  Lagrange pernah digunakan dalam penelitian tentang pemodelan  hidrodinamik  dan  turbulensi pada sebuah bubble column [10].
Persamaan energi kinetik adalah:
𝑇 = 1 2 𝑚𝑣 2 ( 1 ) Dimana nilai 𝑣 2 = 𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2
pada  persamaan  (1),  Persamaan  potensial gravitasi adalah:
𝑉(𝑟) = − 𝐺𝑀𝑚
𝑟
Dengan  r  merupakan  jarak  antara  benda bermassa ke suatu titik ( 𝑥, 𝑦 ) dimana nilai 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2
Persamaan  gerak  bumi  mengelilingi  matahari dapat dirumuskan dengan menggunakan Lagrangian sebagai berikut:
𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 1 2 𝑚𝑣 2 + 𝐺𝑀𝑚 𝑟 𝐿 = 1 2 𝑚(𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 ) + 𝐺𝑀𝑚 √𝑥 2 + 𝑦 2 ( 2 )
Persamaan umum Euler-Lagrange:
𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑞̇ − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 = 0                               (3)
Persamaan  Euler-Lagrange  untuk  kasus  ini dapat diturunkan sebagai berikut:
𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑥̇ − 𝜕𝐿 𝜕𝑥 = 0 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕𝑦̇ − 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 0
dari persamaan ini diperoleh: Diasumsikan massa orbit diabaikan maka persamaan menjadi:
𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = −𝑥 (√𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3 ( 4 ) 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = −𝑦 (√𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3 ( 5 )
Kemudian  persamaan  (4)  dan  (5)  diubah  ke persamaan  diferensial  orde  pertama  sebagai berikut:
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑥 ( i )
𝑑𝑣 𝑥 𝑑𝑡 = −𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3/2 ( ii )
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑦 ( iii )
𝑑𝑣 𝑦 𝑑𝑡 = −𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 3/2 ( iv )

## Perancangan Program
Simulasi pergerakan orbit bumi terhadap matahari  menggunakan  bahasa  pemrograman Wolfram  Mathematica  10.3.    Wolfram Mathematica  merupakan  perangkat  lunak komputasi matematik simbolik yang menyediakan dukungan mendalam pada pemrosesan  dan  analisis  citra.  Keunggulan perangkat  lunak  ini  adalah  ia  menggunakan bahasa  Wolfram  Language  yang  telah  dikenal luas  sebagai  bahasa  pemrograman  yang  relatif sederhana dan mudah dipahami [11–13]
Adapun  proses  perancangan  program penelitian  ini  dirancang  melalui  tahapan- tahapan sebagai berikut:
a. Perancangan  diagram  alir  ( flowchart )  dan algoritma simulasi
penyelesaian
persamaan pergerakan orbit bumi
terhadap  matahari  dengan  metode  Euler- Lagrange.
b. Pembuatan program berdasarkan rancangan  diagram  alir  dan  algoritma dengan mengunakan Wolfram
Mathematica 10.3.
Perancangan Diagram Alir (Flowchart)
Gambar 2. Flowchart Metode Euler Lagrange
Penjelasan Gambar 2:
a. Input Nilai
Program  dimulai  dengan  memberikan data-data input terlebih dahulu.
Nilai-nilai  yang  diinput  pada  simulasi  ini yaitu kecepatan awal dan percepatan awal 𝑥̇ (𝑡) , 𝑣𝑥̇ (𝑡) , 𝑦̇ (𝑡) dan 𝑣𝑦̇ (𝑡) . b. Pendefinisian  variabel-variabel  metode Euler-Lagrange
Variabel-variabel  metode  Euler-Lagrange didefenisikan sesuai dengan persamaan pada flowchart blok II.
c. Membaca pemilihan tampilan Program  membaca  pemilihan  tampilan yang  diinginkan,  jika  tampilan  yang diinginkan  adalah  grafik  lintasan  orbit planet  bumi  (revolusi  bumi),  maka  plot yang  di  tampilkan  adalah  plot  kecepatan dan  percepatan  seperti  yang  diharapkan.
Apabila tampilan grafik tidak sesuai yang
diinginkan maka program akan diulang.Gambar  3 Flowchart Metode Analitik Penjelasan Gambar 3:
a. Input Variabel Program  dimulai  dengan  memberikan input variabel terlebih dahulu.
Variabel-variabel  yang  diinput  yaitu variabel 𝑣 (kecepatan), 𝑚 (massa  bumi), 𝑀 (  massa  matahari), 𝑎 (sumbu  semi mayor), 𝑏 (sumbu  semi  minor), 𝐺 (konstanta  gravitasi), 𝑟 (jarak  bumi- matahari).
b. Menghitung nilai
Program  kemudian  menghitung  nilai sumbu  semi  mayor  ( 𝑎 )  ,  sumbu  semi mayor  ( 𝑏 ),  energi  total  planet  bumi  ( 𝐸 ), eksentrisitas (𝜀) ,  dan  periode  ( 𝑇 )  lalu ditampilkan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam  penelitian  ini  pergerakan  orbit Bumi  terhadap  Matahari  diselesaikan  dengan menggunakan metode komputasi yakni metode Euler-Lagrange.  Dalam  penelitian  ini  masalah yang dikaji yaitu posisi dan kecepatan lintasan bumi terhadap matahari setiap saat, menggambarkan lintasan benda langit, eksentrisitas  dan  periode  dari  planet  bumi, energi total dari planet bumi, dan obyek ruang angkasa  di  orbit  bumi  dapat  melepaskan  diri
dari  sistem  tata  surya.  Satuan  yang  digunakan untuk  menggambarkan  lintasan  orbit  bumi yaitu Satuan Internasional (SI) untuk mempermudah perhitungan. Gambar 4 dibawah  ini  menampilkan  hasil  pengujian simulasi  dengan  menggunakan  metode  Euler-
Lagrange,  dimana  terlebih  dahulu  sudah ditentukan nilai kecepatan dan percepatan awal dalam arah 𝑥 dan 𝑦 yang digunakan  yaitu 𝑥̇ = 1 𝑚/𝑠 , 𝑣̇ 𝑥 = 0 , 𝑦̇ = 0 , dan 𝑣̇ 𝑦 = 1 𝑚/𝑠 2 . Nilai awal  yang  ditentukan  apabila  saat  keadaan pada  sumbu 𝑥 bernilai  1  untuk  menghasilkan orbit  elips  maka  percepatan  dalam  arah 𝑦 bernilai 1.
Gambar 4  Grafik kecepatan dan percepatan lintasan orbit planet bumi
Pada  tampilan  hasil  simulasi  dapat  dilihat bahwa  orbit  bumi  yang  diperoleh  tidak menutup  dan  malah  berbentuk  spiral  ditandai dengan  terlihatnya  pergesaran  yang  terjadi pada  sumbu 𝑥 dan  akan  terjadi  pengulangan apabila  waktunya  diperbesar  menjadi  2200 sekon.  Hal  ini  menunjukkan  ketidaksesuaian dengan Hukum Kepler I karena bentuk lintasan orbit planet bumi tidak berbentuk elips.
Gambar 5. Grafik lintasan dari orbit planet bumi
Sama  seperti  sebelumnya  namun  diubah parameter percepatan gerak bumi  mengelilingi matahari  dalam  arah y (m/s 2 )  menampilkan grafik  lintasan  dari  orbit  planet  bumi  terhadap matahari  seperti  berikut  yaitu  yaitu 𝑥̇ = 1 𝑚/𝑠 , 𝑣̇ 𝑥 = 0, 𝑦̇ = 0 ,  dan 𝑣̇ 𝑦 = 1,25 𝑚/𝑠 2 . Hasil  simulasi  yang  diperoleh  yaitu  grafik lintasan  dari  orbit  planet  berbentuk  elips  yaitu dapat  dilihat  dari  jaraknya  yang  tidak  sama
3 2 1 1 2 1 1 2 (sinkron)  pada  setiap  posisi,  sehingga  dapat dikatakan memenuhi Hukum Kepler I.
Gambar 6.  Animasi orbit bumi pada plot grafik yang sama
Dari animasi ini dapat dilihat bahwa ada garis  yang  lebih  panjang  saat  mendekati matahari  dan  ada  yang  lebih  pendek  saat menjauhi matahari yang artinya semakin dekat jarak  bumi  dari  matahari  maka  kecepatannya semakin tinggi, begitu pula semakin jauh jarak bumi  dari  matahari  maka  kecepatannya  akan semakin  rendah.  Oleh  karena  itu,  kecepatan bumi  di  titik perihelion lebih  besar  dari  titik aphelion .
Dalam  menentukan  nilai  eksentrisitas, periode  dan  energi  total  maka  terlebih  dahulu harus  diketahui  nilai  sumbu  semi  mayor  ( 𝑎 ) dan  sumbu  semi  minor  ( 𝑏 ).  Nilai  tersebut diperoleh  dengan  fungsi  posisi  terhadap kecepatan  bila  kecepatan  pada  arah 𝑥 dan 𝑦 adalah  nol.  Nilai  sumbu  semi  mayor  yang diperoleh adalah 𝑎 = 2,28563 m dan nilai sumbu  semi  minor  adalah 𝑏 = 1,88985 m .
Untuk  mendapatkan  hasil  demikian  yaitu dengan  menggunakan  fungsi  interpolasi  data yang  bertujuan  untuk  menentukan  nilai pendekatan  terhadap  fungsi  aslinya  pada  titik diantara  data  yang  telah  diketahui  yaitu  titik ( 𝑥 0 , 𝑉𝑥 0 )  dan  ( 𝑦 0 , 𝑉𝑦 0 ).  Energi  total  dapat dihitung  apabila  diketahui  kecepatan  pada awalnya yaitu sebesar 1,25 kali dari kecepatan awal  bumi,  sehingga  energi  total  dengan  yang diperoleh  sebesar 𝐸 = −0,21875 kg  m 2 s 2 ⁄ dan  sebesar 𝐸 = −0,218758 kg  m 2 s 2 ⁄ ,  jadi perbandingan  energi  yang  diperoleh  dengan rumus  pertama  dan  kedua  tidak  jauh  berbeda. Tanda  negatif  pada  nilai  energi  total  yang dihasilkan  tersebut  mengisyaratkan  bahwa planet  terikat  kuat  oleh  matahari  dan  tidak akan keluar dari lintasan orbit apabila tidak ada energi  luar  yang  masuk  ke  planet.  Nilai
eksentrisitas diperoleh dari 𝜀 = √1 − 𝑏 2 𝑎 2 sehingga  nilai  eksentrisitas  yang  didapatkan sebesar 𝜀 = 0.562437 .  Nilai  eksentrisitas tersebut  menandakan  bahwa  ketika  terjadi perubahan  jarak  antara  bumi-matahari  ketika revolusi  terjadi.  Perubahan  jarak  antara  bumi- matahari  tersebut  menyebabkan  munculnya titik terdekat bumi dengan matahari ( perihelion ), dan titik terjauh bumi ke matahari ( aphelion ). Dilihat dari nilai eksentrisitas yang diperoleh  maka  dapat  disimpulkan  bahwa lintasan  orbit  bumi  mengelilingi  matahari berupa elips. Untuk mencari periode ( 𝑇 ) maka kecepatan  dalam  arah 𝑥 adalah  nol.  Periode planet  bumi  yang  didapatkan  adalah 𝑇 = 21,7114 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛.
Sebuah  obyek  ruang  angkasa  dapat meloloskan  atau  melepaskan  diri  dari  sistem tata surya maka akumulasi energi kinetik ( 𝐸𝐾 ) dan  energi  potensial  ( 𝐸𝑃 )  harus  bernilai  nol atau  dengan  kata  lain  nilai  energi  kinetik  dan energi potensial adalah sama. Untuk memberikan  energi  total  nol  maka  perlu kecepatan  awal  bernilai  nol.  Maka  akan diperoleh  hasil  simulasi  seperti  pada  Gambar 7.
Gambar 7. Grafik kecepatan planet meloloskan diri dari sistem tata surya
Grafik  diatas  menjelaskan  apabila  sebuah obyek  ruang  angkasa  atau  satelit    meloloskan diri  secara  total  dari  gravitasi  bumi  jika kecepatannya diperbesar √2 kalinya (1,4142135624)  maka  satelit  tersebut  dapat meloloskan  diri  dari  tarikan  gravitasi  bumi sehingga disebut sebagai kecepatan lolos.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Kecepatan  dan  percepatan  lintasan  orbit bumi terhadap matahari mengalami perubahan secara periodik. Dengan lintasan  elips,  maka  jarak  planet  bumi  ke
matahari  tidaklah  tetap,  demikian  juga dengan kecepatan orbit planet bumi dalam lintasannya tidak konstan.
2. Metode  Euler-Lagrange  yang  digunakan untuk  menganalisis  gambaran  lintasan orbit  bumi  terhadap  matahari  yaitu lintasan  dari  orbit  planet  berbentuk  elips yaitu  dapat  dilihat  dari  jaraknya  yang tidak sama (sinkron) pada setiap posisi.
3. Berdasarkan hasil perhitungan nilai eksentrisitas  yang  diperoleh  sebesar 𝜀 =
0,562437 dan  periode  planet  bumi sebesar 𝑇 = 21,7114 𝑠.
4. Hasil  perhitungan  dari  energi  total  planet bumi yaitu sebesar 𝐸 =
−0,21875 kg  m 2 s 2 ⁄ dan 𝐸 = −0,218758 kg  m 2 s 2 . ⁄ 5. Sebuah  obyek  ruang  angkasa  atau  satelit meloloskan  diri  secara  total  dari  gravitasi bumi  jika  kecepatannya  diperbesar √2 kalinya  (1,4142135624)  maka  satelit tersebut dapat meloloskan diri dari tarikan gravitasi  bumi  sehingga  disebut  sebagai kecepatan lolos.

## SARAN
Permasalahan  dalam  penelitian  ini adalah  pergerakan  orbit  Bumi  terhadap Matahari  diselesaikan  dengan  menggunakan metode  komputasi  yakni  metode  Euler- Lagrange,  sehingga  penelitian  ini  dapat dilanjutkan  dengan  diselesaikan  menggunakan metode komputasi lainnya untuk mensimulasikan  gerak  orbit  planet-planet lainnya  dalam  sistem  tata  surya  dengan menambah  beberapa  variabel  yang  ingin dikaji.

## DAFTAR PUSTAKA
1 Hartanto  CFB,  Pamungkas  A.  Ilmu Pelayaran  Astronomi  Untuk  ANT- III Dan IV. Leutikaprio, Yogyakarta. 2016.
2 Admiranto  AG.  Menjelajahi  Tata Surya.  Penerbit  Kanisius  (Anggota IKAPI)., Yogyakarta. 2009.
3 Hambali  S.  2016.  Astronomi  Islam Dan  Teori  Heliocentris  Nicolaus Copernicus. Al-Ahkam. 23 (2): 225.
4 Firdaus  T,  Sinensis  AR.  2017.
Perdebatan Paradigma Teori Revolusi:  Matahari  Atau  Bumi Sebagai  Pusat  Tata  Surya ?  Titian
Ilmu:  Jurnal  Ilmiah  Multi  Sciences. 9 (1): 23.
5 Darmawan  D.  Pengantar  Mekanika Benda  Langit.  Universitas  Negeri Yogyakarta, Yogyakarta. 2013.
6 E.A  CD  And  R.  Astronomy
Principles And Practice. Institute Of Physics Publishing, London. 2003. 7 Erwin D. Epistemologi Dan
Keterbatasan  Teori  Gravitasi.  Sps UPI, Bandung. 2017.
8 Pambudi  W,  Pelawi  J.  2016. Simulasi  Folding  Machine  Dengan Pid  ,  P  ,  Pi  ,  Pd  Dan  Fuzzy  –  Pd  ( Proportional  Differential  ).  Jurnal Sains Dan Teknologi. 1 (June 2015):
2. 9 Mulyono. 2016. Konferensi Nasional Penelitian Matematika Dan  Pembelajarannya  (KNPMP  I) Universitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016 591. 591. 10 S. La N, D. Br Der, M. Sommerfeld And  MFG  Za.  2002.  Modelling Hydrodynamics  And  Turbulence  In A  Bubble  Column  Using  The  Euler –  Lagrange  Procedure.  Int.  J.
Multiph. Flow. 28 (8): Pp. 1381.
11 Wolfram  S.  The  Mathematica
Book. Wolfram Media, USA. 2003. 12 Kesireddy SM And A. Metallographic  Image  Processing Tools Using Mathematica Manipulate,"  In  Innovations  And Advances In Computing, Informatics, System Sciences, Networking And Engineering. Springer  International  Publishing. 2015. 13 Sholahudin
U. Pemanfaatan
Perangkat  Lunak  M  Athematica Dalam  Perkuliahan Kalkulus  Materi Limit  Fungsi  Seminar  Nasional Riset  Terapan  2017  (SENASSET 2017). Pp 247–50.