JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 217-226 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## PEMODELAN WAVELET NEURAL NETWORK UNTUK PREDIKSI NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AS
Tri  Yani Elisabeth Nababan 1 , Budi Warsito 2 , Agus Rusgiyono 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : budiwrst2@gmail.com

## ABSTRACT
Each country has its own currency that is used as a tool of exchange rate valid in the transaction process. In the process  of transaction between countries  often  experience problems in terms  of  payment because of the difference in the value of money prevailing in each country. The price movement of the exchange rate or the value of foreign currencies that fluctuate from time to time it encou raged predictions of the value of the rupiah exchange rate against the U.S. dollar. Wavelet Neural Network (WNN) is a combination of methods between wavelet transforms and Neural networks. WNN modeling begins with wavelet decomposition resulting in wavelet coefficients and scale coefficients. Selection of inputs is based on PACF plots and divides into training data and testing data. To determine the final output by calculating the value of MAPE in data testing. The best architecture on WNN model for prediction of the value of the rupiah exchange rate against the U.S. dollar is a model with sigmoid logistic activation function, 2 neurons in the input layer, 10 neurons in the hidden layer, and 1 neuron in the output layer. The MAPE value is obtained at 0.2221%.
Keywords  : maximal  overlap discrete transform (MODWT), neural network wavelet, prediction, exchange rates

## 1. PENDAHULUAN
Pergerakan harga kurs atau nilai  mata uang asing selalu  berubah-ubah  dari waktu ke waktu sesuai  dengan  hukum  permintaan  dan penawaran. Pergerakan kurs  yang  cenderung mengalami  fluktuatif  menyebabkan  pihak-pihak  yang  berkepentingan  kesulitan  dalam mengambil  keputusan. Transaksi valas di pasar valas tidak terlepas dari proses memprediksi atau  menganalisa  terlebih  dahulu.  Prediksi  dilakukan  untuk  menentukan  arah  pergerakan mata  uang  tersebut.  Prediksi  kurs  ini  penting  dilakukan  untuk  menghindari  kerugian  dan bahkan mendapat keuntungan  dari pergerakan kurs.
Salah satu metode peramalan yang berkembang saat ini  adalah menggunakan Neural Network . Neural network adalah  paradigma  pengolahan  informasi  yang  terinspirasi  oleh sistem  saraf scara biologis,  seperti  proses  informasi  pada  otak  manusia. Feed fordward neural network (FFNN) salah satu jenis  dari NN dimana neuron pada suatu layer hanya bisa berkoneksi  dengan neuron yang  berada pada layer yang  berbeda.  Beberapa tulisan  yang berkaitan dengan pemodelan  NN pada time series lebih  banyak difokuskan  pada pemodelan FFNN . Dengan berbagai  keunggulan  yang dimilikinya  model  ini  mampu  membuat  prediksi dengan baik,  lebih  baik  daripada model  linier  ARIMA.
Metode neural network memiliki  beberapa keterbatasan yang menjadi  kendala untuk mendapat hasil  prediksi  yang lebih  baik. Praktisi matematika dan pasar modal  menggunakan metode  wavelet transform untuk  meningkatkan  kemampuan neural  network dalam melakukan  prediksi  data time  series .  Penerapan    wavelet transform untuk  membentuk masukan pada pelatihan neural network terbukti meningkatkan  kemampuan  jaringan  dalam mengenali  data yang belum pernah ditemui  pada data pelatihan  (Haikal,  2011). Transformasi wavelet  terdapat  dua  macam  yaitu Discrete Wavelet  Transform (DWT)  dan Continous Wavelet Transform (CWT).  Pada DWT  hanya  diberlakukan  aturan  dimana  DWT  hanya dapat  dilakukan  pada  ukuran  sampel  2 j untuk  suatu  bilangan  bulat  positif  j,  sedangkan MODWT  memiliki  keunggulan  yaitu  dapat  diberlakukan  untuk  setiap  ukuran  sampel  N (Percival dan Walden,  2000).
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Prediksi  data time series  dapat  digunakan  sebagai  bahan  pertimbangan  dalam pengambilan  keputusan. Neural Network merupakan metode  yang baik  untuk  memprediksi data time series, akan tetapi sulit  dihindari  karena adanya epoch (iterasi) yang banyak selama pelatihan.  Sedangkan  wavelet dapat dipakai  untuk  mendekomposisi  dan merekontruksi  data sehingga  dapat mengurangi  banyaknya epoch . Dari keunggulan  model  Wavelet dan Neural Network tersebut,  kedua model  akan digabungkan  untuk  mendapatkan  hasil  prediksi  yang lebih  akurat.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Wavelet
Fungsi  wavelet adalah suatu fungsi  matematika  yang mempunyai  sifat-sifat tertentu diantaranya berosilasi  di sekitar nol (seperti fungsi sinus dan cosinus) dan terlokalisasi  dalam domain  waktu,  artinya  pada  saat  nilai  domain  relatif  besar,  fungsi  wavelet  berharga  nol (Warsito  dkk,  2013).  Fungsi  wavelet dibedakan  atas dua jenis,  yaitu  wavelet ayah ( 𝜙) dan wavelet ibu  ( 𝜓) . Fungsi  wavelet mempunyai  sifat;
∫ 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 = 0 ∞ − ∞ dan  ∫ 𝜙(𝑡)𝑑𝑡 = 1 ∞ −∞ (1)
Dengan  dilatasi  diadik  dan  translasi  integer,  wavelet  ayah  dan  wavelet  ibu melahirkan  keluarga  wavelet yaitu:
𝜙 𝑗,𝑘 (𝑡) = 2 𝑗 2 ⁄ 𝜙(2 𝑗 𝑡 − 𝑘) ((2)
𝜓 𝑗,𝑘 (𝑡) = 2 𝑗 2 ⁄ 𝜓(2 𝑗 𝑡 − 𝑘) ((3)

## 2.1.1 Transformasi Wavelet Diskrit (DWT)
Transformasi  wavelet  adalah  sebuah  fungsi  konversi  yang  dapat  digunakan  untuk membagi  suatu  fungsi  atau  sinyal  ke  dalam  komponen  frekuensi  yang  berbeda,  yang selanjutnya  komponen-komponen  tersebut  dapat  dipelajari  sesuai  dengan  skalanya. Transformasi  wavelet terdiri  atas Transformasi Wavelet Kontinu  atau Countinuous  Wavelet Transform  (CWT)  dan  Transformasi  Wavelet  Diskrit  atau  Discrete  Wavelet  Transform (DWT). CWT digunakan  untuk  sebuah fungsi  yang  berdomain  bilangan  real atas sumbu x dan DWT digunakan  untuk sebuah fungsi  atas domain  bilangan  bulat.
Pada DWT hanya  diberlakukan  aturan  dimana  DWT  hanya  dapat  dilakukan  pada ukuran  sampel 2 j untuk  suatu bilangan  bulat  positif  j. Terdapat dua filter  pembangun  DWT yaitu  filter  wavelet (h) dan filter  skala (g). Menurut  Pecival dan Walden  (2000),  suatu filter wavelet harus memenuhi  persamaan (4).
∑ ℎ 𝑙 𝐿−1 𝑙=0 = 0 , ∑ ℎ 𝑙 2 𝐿−1 𝑙=0 = 1  dan   ∑ ℎ 𝑙 ℎ 𝑙+2𝑚 𝐿−1 𝑙=0 = 0 ((4)
dan filter  skala harus memenuhi  persamaan (5).
∑ 𝑔 𝑙 𝐿−1 𝑙=0 = √2 atau ∑ 𝑔 𝑙 𝐿−1
𝑙=0 = −√2  , ∑ 𝑔 𝑙 2 𝐿−1 𝑙=0 = 1 dan  ∑ 𝑔 𝑙 𝑔 𝑙+2𝑛 = 0 𝐿−1 𝑙=0 (5)
untuk  semua bilangan  bulat  n bukan  nol.
Secara matematis DWT dapat dituliskan  seperti pada persamaan (6).
𝑾 = 𝒲𝑿 (6)
dengan W =hasil  DWT dan 𝒲 = matriks  transformasi  berukuran nxn.
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Matriks  transformasi 𝒲 dibentuk  dengan  translasi  dan  dilatasi  filter h dan g yang diberikan  dengan  tetap mempertahankan  sifat-sifat  filter  pada setiap  operasi  translasi  dan dilatasi.  Misalkan  untuk  level  pertama,  diketahui L =  4 dan N > 4,  maka  matriks 𝑊 1 dan 𝑉 1 dapat dilihat  sebagai berikut:
𝑊 1 = [ ℎ 1 ℎ 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 ℎ 3 ℎ 2 ℎ 3 ℎ 2 ℎ 1 ℎ 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 … 0 ℎ 3 ℎ 2 ℎ 1 ℎ 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 ℎ 3 ℎ 2 ℎ 1 ℎ 0 ] 𝑉̃ 1 disusun  berdasarkan dimana  strukturnya  sama dengan 𝑊 ̃ 1 namun ℎ̃ 𝑙 diganti  dengan 𝑔̃ 𝑙 . Matriks filter  skala dapat dilihat  dengan struktur  sebagai berikut:
𝑉 1 = [ 𝑔 1 𝑔 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 𝑔 3 𝑔 2 𝑔 3 𝑔 2 𝑔 1 𝑔 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0 0 0 0 0 … 0 𝑔 3 𝑔 2 𝑔 1 𝑔 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 𝑔 3 𝑔 2 𝑔 1 𝑔 0 ] Sehingga  langkah  pertama dari DWT dapat ditulis  pada persamaan berikut  ini,
𝒫 1 𝑿 = [ 𝒲 1 𝒱 1 ] 𝑿 = [ 𝒲 1 𝑿 𝒱 1 𝑿 ] = [ 𝑊 1 𝑉 1 ]
dimana 𝒫 1 adalah matriks  orthonormal.  Dengan demikian  untuk  merekontruksi  data 𝑿 dari koefisien  DWT jika  dekomposisi  dilakukan  pada level  pertama yaitu:
𝑿 = 𝒫 1 𝑇 [ 𝑊 1 𝑉 1 ] = [𝒲 1 𝑇 𝒱 1 𝑇 ][ 𝑊 1 𝑉 1 ] = 𝒲 1 𝑇 𝑊 1 + 𝒱 1 𝑇 𝑉 1

## 2.1.2 Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT)
Maximal  Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT) adalah bentuk modifikasi dari transformasi wavelet diskrit.  MODWT memiliki  kelebihan  yaitu  dapat digunakan  untuk setiap ukuran  sampel N . Maka dalam  MODWT terdapat N koefisien  wavelet dan koefisien skala pada setiap level MODWT (Percival dan Walden,  2000). Filter wavelet dan filter skala pada  MODWT  dapat  ditentukan  berdasarkan  filter  wavelet  dan  filter  skala  pada  DWT. Untuk  menjelaskan  hubungan  filter  wavelet dan filter  skala antara DWT dengan MODWT, dapat didefinisikan  filter  wavelet MODWT { ℎ̃ 𝑙 } terbentuk dari ℎ̃ 𝑙 ≡ ℎ 𝑙 √2 ⁄ dan filter  skala MODWT { 𝑔̃ 𝑙 } terbentuk  dari 𝑔̃ 𝑙 ≡ 𝑔 𝑙 √2 ⁄ . Sehingga  syarat suatu wavelet  MODWT harus memenuhi  persamaan (7).
∑ ℎ̃ 𝑙 𝐿−1 𝑙=0 = 0 , ∑ ℎ̃ 𝑙 2 𝐿−1 𝑙=0 = 1 2 dan   ∑ ℎ̃ 𝑙 ℎ̃ 𝑙+2𝑚 𝐿−1 𝑙=0 = 0 ( (7)
dan filter  skala MODWT harus memenuhi  persamaan (8).
∑ 𝑔̃ 𝑙 𝐿−1 𝑙=0 = 1 , ∑ 𝑔̃ 𝑙 2 𝐿−1 𝑙=0 = 1 2 dan  ∑ 𝑔̃ 𝑙 𝑔̃ 𝑙+2𝑚 𝐿−1
𝑙=0 (8)
dimana 𝑚 = 1,2, …, (𝐿 2) − 1 ⁄ .  Masing-masing  filter  MODWT  memiliki  lebar 𝐿 𝑗 ≡ (2 𝑗 − 1)(𝐿 − 1) + 1 .
Dengan mendefinisikan 𝑉̃ yang merupakan matriks N×N yang berisikan  filter 𝑔̃ dan 𝑊 ̃ yang merupakan  matriks N×N yang  berisikan  filter ℎ̃ .Misalkan  untuk  level  pertama, diketahui L = 4 dan N > 4, maka matriks 𝑊 ̃ 1 dan 𝑉̃ 1 dapat dilihat  sebagai berikut:
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
𝑊 ̃ 1 = [ ℎ ̃ 0 0 0 … 0 0 0 0 0 ℎ̃ 3 ℎ̃ 2 ℎ̃ 1 ℎ̃ 1 ℎ̃ 0 0 … 0 0 0 0 0 0 ℎ̃ 3 ℎ̃ 2 ℎ̃ 2 ℎ̃ 1 ℎ̃ 0 … 0 0 0 0 0 0 0 ℎ̃ 3 ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 0 0 ℎ̃ 3 ℎ̃ 2 ℎ̃ 1 ℎ̃ 0 0 0
0 0 0 … 0 0 0 ℎ̃ 3 ℎ̃ 2 ℎ̃ 1 ℎ̃ 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 ℎ̃ 3 ℎ̃ 2 ℎ̃ 1 ℎ̃ 0 ] 𝑉̃ 1 disusun  berdasarkan dimana  strukturnya  sama dengan 𝑊 ̃ 1 namun ℎ̃ 𝑙 diganti  dengan 𝑔̃ 𝑙 . Matriks filter  skala dapat dilihat  dengan struktur  sebagai berikut:
𝑉̃ 1 = [ 𝑔̃ 0 0 0 … 0 0 0 0 0 𝑔̃ 3 𝑔̃ 2 𝑔̃ 1 𝑔̃ 1 𝑔̃ 0 0 … 0 0 0 0 0 0 𝑔̃ 3 𝑔̃ 2
𝑔̃ 2 𝑔̃ 1 𝑔̃ 0 … 0 0 0 0 0 0 0 𝑔̃ 3 ⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 0 0 𝑔̃ 3 𝑔̃ 2 𝑔̃ 1 𝑔̃ 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 𝑔̃ 3 𝑔̃ 2 𝑔̃ 1 𝑔̃ 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 𝑔̃ 3 𝑔̃ 2 𝑔̃ 1 𝑔̃ 0 ]

## 2.1.3 Wavelet Haar
Wavelet  Haar merupakan  wavelet paling  tua dan sederhana. Haar wavelet pertama kalinya  ditemukan  oleh  Alfred  Haar  pada  tahun  1910  (Suparti,  2016).  Wavelet  Haar mempunyai  rumus sebagai berikut:
𝜙(𝑥) = { 1     ,    0 ≤ 𝑥 < 1 0      , 𝑥 yang lain (9)
dan
𝜓(𝑥) = { 1   ,    0 ≤ 𝑥 < 1 2 ⁄ −1  ,    1 2 ⁄ ≤ 𝑥 < 1 0    ,    𝑥 yang lain
(10)
Wavelet  Haar level 𝑗 = 1 memiliki 𝐿 𝑗 = 𝐿 = 2 . Dengan  menghitung  filter  wavelet dan  filter  skala  wavelet  Haar MODWT  level  1  sesuai  pada  persamaan (7)  dan  (8)  maka diperoleh  filter  wavelet  yaitu ℎ̃ 0 = 1 2 , ℎ̃ 1 = − 1 2 dan filter skala yaitu 𝑔̃ 0 = 1 2 , 𝑔̃ 1 = − 1 2 .

## 2.2. Neural Network
Neural network pertama kali  diperkenalkan  oleh  McCulloch  dan  Pitts  pada  tahun 1943  yaitu  berupa  suatu  model  sederhana  dari  suatu  syaraf  nyata  dalam  otak  manusia . Menurut  Warsito  (2009),  prinsip  dari  pemodelan neural  network dikembangkan  dari karakteristik  cara kerja  otak  manusia,  dimana  dalam  memproses  informasi  otak  manusia terdiri  dari  sejumlah neuron yang  melakukan  tugas  sederhana.  Karena  adanya keterhubungan  antar neuron , maka otak manusia  dapat melakukan  fungsi  pemrosesan yang sangat kompleks.
Seperti halnya  otak manusia, neural network juga terdiri  dari beberapa neuron  yang saling  terhubung.  Neuron-neuron  tersebut  akan    mentransformasikan  informasi  yang diterima  melalui  sambungan  keluarnya  menuju  ke neuron-neuron  pada lapisan  berikutnya. Pada neural network ini dikenal dengan nama bobot.
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Gambar  1. Struktur neuron jaringan  syaraf tiruan
Setiap  neuon  mempunya  tingkat  aktivasi  yang  merupakan  fungsi  dari input yang masuk padanya. Aktivasi  yang dikirim  dari suatu neuron ke neuron  yang lain  berupa sinyal dan  hanya  dapat  mengirim  sekali  dalam  satu waktu,  meskipun  sinyal  tersebut disebarkan pada  beberapa  neuron  lainnya.  Misalkan  sebuah  neuron  Y  menerima input dari  neuron- neuron 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 dengan  aktivasi  masing-masing 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 dan  bobot  koneksi 𝑤 1 , 𝑤 2 , …, 𝑤 𝑛 . Input jaringan  pada neuron ke- j adalah:
𝑦 𝑖𝑛𝑗 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑤 𝑖𝑗 𝑛 𝑖=1 (11)
dalam hal ini 𝑤 𝑖𝑗 adalah bobot yang menghubungkan input ke- i menuju  neuron ke- j dan 𝑦 𝑖𝑛𝑗 menyatakan jumlah  sinyal  input  berbobot  pada lapisan  tersembunyi  pada neuron  ke- j . Menurut  Suyanto  (2008),  fungsi  aktivasi  akan menentukan  nilai output dari sebuah neuron pada suatu level aktivasi  tertentu berdasarkan nilai output dari pengombinasi  linier. Pemilihan  fungsi  aktivasi  disesuaikan  dengan permasalahan yang akan digunakan.
Fungsi  aktivasi  sigmoid  biner  digunakan  untuk  jaringan  syaraf tiruan  yang dilatih dengan menggunakan  metode backpropagation . Fungsi sigmoid  biner memiliki  nilai  pada range 0 sampai  1. Secara sistematis,  fungsi  sigmoid  biner  dituliskan  sebagai berikut:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 1 + 𝑒 −𝜎𝑥 (12)
dengan: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝜎𝑓(𝑥)[1 − 𝑓(𝑥)]
Gambar  2. Fungsi  aktivasi  sigmoid  biner

## 2.2.1. Model Feed Forward Neural Network
Feed forward neural network (FFNN) merupakan salah satu model neural network yang  dipakai  dalam  berbagai  bidang.  Arsitektur  model  FFNN terdiri  atas satu lapis input , satu atau lebih  lapis  tersembunyi,  dan satu lapis output . Kompleksitas  dari arsitektur  FFNN tergantung  pada jumlah  lapis  tersembunyi  dan jumlah neuron pada masing-masing  lapis.
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Gambar  3  adalah  arsitektur feed  forward neural network dengan n buah  input (ditambah  sebuah bias), sebuah hidden  layer yang terdiri  dari p unit  (ditambah  sebuah bias), serta m buah unit  output.
Gambar  3. Arsitektur feedforward neural network
Menurut Kusumadewi  (2014),  algoritma backpropagation disebut sebagai propagasi balik  karena  ketika  jaringan  diberikan  pola  masukan  sebagai  pola  pelatihan  maka  pola tersebut menuju  ke unit-unit  pada lapisan  tersembunyi  untuk  diteruskan  ke unit-unit  lapisan output.  Selanjutnya,  unit-unit  lapisan  output  memberikan  tanggapan  yang  disebut  sebagai keluaran jaringan.  Saat keluaran jaringan  tidak sama dengan keluaran yang diharapkan  maka keluaran  akan menyebar  mundur  ( backward ) pada lapisan  tersembunyi  diteruskan  ke unit pada  lapisan  input.  Oleh  karenanya  mekanisme pelatihan  tersebut  dinamakan backpropagation .

## 2.2.2. Model Wavelet Neural Network Untuk Time Series
Wavelet neural network (WNN) adalah kombinasi  dari analisis  wavelet dan jaringan syaraf tiruan,  yang  memiliki  frekuensi  wavelet  lokal  frekuensi-frekuensi  dan  kemampuan pemetaan  non  linier  dari  jaringan  syaraf  tiruan.  Menurut  Warsito  (2017),  ide  dasar  dari model  wavelet  neural  network  adalah  menggunakan  koefisien-koefisien  yang  didapatkan dari  hasil  dekomposisi  untuk  mendapatkan  ramalan  nilai 𝑋 𝑡 dengan suatu  arsitektur  neural network  tertentu.  Secara  umum  input  untuk  prediksi  data  time  series  adalah  koefisien wavelet dan koefisien  skala yang dihasilkan  dari transformasi MODWT. Pada kenyataannya tidak  semua lag dari  vektor koefisien  wavelet maupun  koefisien  skala dijadikan  input.  Jika pada  setiap  level  dekomposisi j lag  yang  dipilih  menjadi  input  adalah  1  sampai 𝐴 𝑗 maka estimasi  untuk 𝑋 𝑡 dapat dituliskan  dengan:
𝑋̂ 𝑡 = ∑ ∑(𝑎̂ 𝑗,𝑘 𝑤 𝑗,𝑡−𝑘 + 𝑎̂ 𝑗,𝑘 𝑣 𝑗,𝑡−𝑘 ) 𝐴 𝑗 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 (13)
Simbol 𝐽 mennyatakan  level  dekomposisi  sedangkan 𝐴 𝑗 menjelaskan  banyaknya koefisien  pada setiap level.  Jika banyaknya  lag  pada setiap level  sama, yaitu 𝐴 𝑗 = 𝐴 , untuk setiap level 𝑗 , maka banyaknya  variabel  yang menjadi  kandidat  input  adalah 2 𝐴 𝑗 . Lalu  lag koefisien  skala  yang dimasukkan  ke dalam  model  hanya  pada level  ke- 𝐽 ( 𝑣 𝑗,𝑡−𝑘 ) sehingga persamaan (13) menjadi:
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
𝑋̂ 𝑡 = ∑ ∑ 𝑎̂ 𝑗,𝑘 𝑤 𝑗,𝑡−𝑘 𝐴 𝑗 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 + ∑ 𝑎̂ 𝐽+1,𝑘 𝑣 𝐽,𝑡−𝑘 𝐴 𝐽+1 𝑘=1 (14)
Tahap selanjutnya  adalah pembentukan  model  WNN. Misalkan  diberikan  himpunan training  dengan 𝑡 elemen, 𝑋 = (𝑋 0 , 𝑋 1 , …, 𝑋 𝑡−1 ) dan diasumsikan  bahwa 𝑋 𝑡 akan diprediksi. Ide  dasar dari  model  WNN  adalah  menggunakan  koefisien-koefisien  yang  diperoleh  dari dekomposisi  seperti pada persamaan (42) untuk  mendapatkan  prediksi 𝑋 𝑡 dengan arsitektur NN tertentu.  Model  WNN dengan  arsitekturr  FFNN untuk  memproses  koefisien-koefis ien wavelet yang terdiri  dari satu hidden layer dengan P neuron dapat dituliskan dengan:
𝑋̂ 𝑡 = ∑ 𝑏̂ 𝑝 𝑓 ℎ (∑ ∑ 𝑎̂ 𝑗,𝑘,𝑝 𝑤 𝑗,𝑡−𝑘 + 𝐴 𝑗 𝑘=1 ∑ 𝑎̂ 𝐽+1,𝑘,𝑝 𝑣 𝐽,𝑡−𝑘 𝐴 𝐽+1 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 ) 𝑃 𝑝=1 (15) dengan :
𝑋̂ 𝑡+1 . = nilai  ramalannya 𝑓 ℎ = fungsi  aktivasi  pada lapisan  tersembunyi 𝑗 = level  dekomposisi  ( 𝑗 = 1,2, … , 𝐽 ) 𝐴 𝑗 = banyaknya  koefisien  yang  terpilih  pada setiap level  dekomposisi ( 𝑘 = 1,2, …, 𝐴 𝑗 ) 𝑤 𝑗,𝑡−2 𝐽 (𝑘−1) = nilai  koefisien  wavelet pada waktu t+1 𝑣 𝑗,𝑡−2 𝐽 (𝑘−1) = nilai  koefisien  skala pada waktu t+1 𝑎̂ 𝑗,𝑘 = nilai  koefisien  MAR

## 2.3.     Kriteria Pemilihan Model Peramalan Terbaik
Kesalahan  peramalan  dapat  dihitung  dengan  menggunakan  selisih  antara nilai  asli dengan  nilai  peralamannya,  yang  umumnya  disebut  error  atau  galat.  Pada penelitian  ini kriteria  pemilihan  podel peramalan terbaik menggunakan Mean Absolute Percentage Errors (MAPE).
Nilai  MAPE  memberikan  petunjuk  seberapa  besar  rata-rata  kesalahan  absolut peramalan dibandingkan  dengan nilai  sebenarnya, dengan rumus:
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛 ∑ | 𝑒 𝑡 𝑋 𝑡 | 𝑛 𝑡=1 × 100% (16)
dengan n adalah  jumlah  data, 𝑒 𝑡 adalah   nilai  dari  kesalahan  ramalan  yang  diperoleh  dari 𝑋 𝑡 − 𝑋̂ 𝑡 dimana 𝑋 𝑡 merupakan nilai  data aktual dan 𝑋̂ 𝑡 merupakan nilai  ramalannya.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Proses Wavelet
Data nilai  harian  kurs jual  rupiah  terhadap dolar  AS periode  3 Januari  2017  sampai 31  Oktober  2018  menunjukkan  pola  runtun  waktu  yang  ditunjukkan  pada plot time series data dengan menggunakan software Minitab 17 sebagai berikut:
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Gambar  4 . Plot time series nilai  kurs jual  rupiah  terhadap dolar AS
Berdasarkan grafik plot time series pada Gambar 4 menunjukkan  ketidakstasioneran dari  data.  Proses  selanjutnya  yaitu  dengan  melakukan  transformasi  wavelet  dengan mendekomposisikan  data sebenarnya menjadi  data koefisien  skala (𝑣) dan  data koefisien wavelet (𝑤) dengan menggunakan  MODWT Haar level 1.

## 3.2. Proses Neural Network
Data  input ditentukan  dengan menggunakan plot  fungsi autokorelasi  parsial  (PACF)   dari hasi  MODWT.  Banyak  lag  yang  keluar  atau  melebihi  batas  garis  signifikansi  menunjukkan banyaknya variabel yang akan digunakan dalam membangun model.
Gambar 5. Plot PACF hasil dekomposisi koefisien wavelet dan koefisien skala
Berdasarkan Gambar 5, lag yang keluar ada pada lag ke-1 dan 2 pada data hasil dekomposisi koefisien    skala  sehingga  model  yang  akan  dibangun  menggunakan  2  variabel  input. Input yang diperoleh adalah 𝑣 1 ,𝑣 2 dengan target output 𝑦 𝑖 . Pasangaan input-output sebanyak 441 data yang telah dipilih.  Setelah komponen input terpilih, data dibagi menjadi 80% untuk data pelatihan ( traning) dan 20%  untuk  data  pengujian  ( testing). Pembelajaran Backpropagation dilakukan  dengan menentukan  banyaknya neuron pada  lapis  tersembunyi  Model  yang  terbaik  dipilih berdasarkan nilai  MAPE yang terkecil .
Tabel 1 . Nilai MAPE dari Setiap Neuron Lapisan Tersembunyi.
Neuron Tersembunyi Training  Testing
Neuron Tersembunyi Training Testing MAPE (%) MAPE (%) MAPE (%) MAPE (%) 1 0,1783 0,2643 6 0,1722 0,2259 2 0,1747 0,2554 7 0,1707 0,2367 3 0,1820 0,2633 8 0,1772 0,3033 4 0,1893 0,2291 9 0,1807 0,2721 5 0,1802 0,2526 10* 0,1745 0,2221
440 396 352 308 264 220 176 132 88 44 1 15500 15000 14500 14000 13500 13000 Index D at a K ur s Time Series Plot of Data Kurs 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia l A ut oc or re la ti on Partial Autocorrelation Function for MODW1 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag Pa rt ia l A ut oc or re la ti on Partial Autocorrelation Function for Approximation (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Berdasarkan Tabel  1 diperoleh  nilai  MAPE testing terkecil  yaitu  10 neuron lapisan hidden sebesar 0,2221%.  Sehingga  jaringan  terbaik  untuk model  rata-rata adalah jaringan  dengan  2 neuron lapisan input , 10 neuron lapisan hidden, dan 1 neuron lapisan output .
Gambar  6. Grafik perbandingan  target dan output  pada data training dan testing
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  hasil  perbandingan  ketepatan  ramalan  pada  data testing .  Evaluasi  perbandingan  akan  dilakukan  dengan  model Neural Network dengan jumlah  neuron  input,  hidden  dan output  yang sama.
Tabel 2. Hasil Perbandingan  Ketepatan Ramalan pada Data Testing .
Metode Jumlah Neuron Lapisan  MAPE WNN 2-10-1 0,2221% NN 2-10-1 0,2445%
Nilai  MAPE pada WNN yaitu  sebesar 0,2221%  lebih  kecil  dibanding  dengan  nilai MAPE pada NN yaitu  sebesar 0,2445%.  Hal ini  menunjukkan  bahwa pemodelan  Wavelet Neural Network lebih  optimal  digunakan  untuk  prediksi  data time series .

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil  pembahasan pemodelan  prediksi  nilai  tukar rupiah  terhadap dolar AS  menggunakan  model  Wavelet  Neural  Network,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  dengan menggunakan  model  jaringan  dengan  2 neuron lapisan input , 10 neuron lapisan hidden, dan 1 neuron lapisan output memberikan  nilai  MAPE  pada  data testing yang  lebih  kecil dibanding  dengan  model  Neural  Network  yaitu  0,2221%  <  0,2445%.  Sehingga  dapat disimpulkan  untuk  studi  kasus  nilai  kurs  jual  rupiah  terhadap  dolar  AS periode  3  Januari 2017  sampai 31 Oktober 2018 metode Wavelet Neural Network lebih  optimal.

## DAFTAR PUSTAKA
Indrabayu dkk. 2011. Prediksi Hujan di Wilayah Makassar Menggunakan Metode Wavelet- Neural Network . Jurnal Ilmiah  Elektrikal  Enjiniring  UNHAS, Volume  9, Nomor 2, 50- 58.
Kusumadewi,  F.  2014. Peramalan  Harga  Emas  Menggunakan Feed  Forward  Neural Network dengan Algoritma Backpropagation . Skripsi. Universitas Negeri Yogyakarta. Percival,  D.B.  and  Walden,  A.T.  2000. Wavelet  Methods  for  Time  Series  Analysis. Cambridge  University  Press. Cambridge,  United Kingdom.
Setiaji,  A. 2014. Aplikasi Model Wavelet-Neuro-Fuzzy Untuk Memprediksi Nilai Tukar Euro Terhadap Dollar Amerika . Jurnal  Matematika  Universitas  Negeri Yogyakarta,  Edisi V, Volume  III.
JURNAL GAUSSIAN, Volume 9, Nomor 2,  Tahun 2020, Halaman 228-237 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /
Septiarini,  T. W., Abadi,  A., & Taufik,  M. R. (2016). Application of Wavelet Fuzzy Model to Forecast the Exchange Rate IDR of USD . International  Journal  of  Modeling  and Optimization,  Volume  6, Nomor 1 , 66-70.
Simorangkir,  I.  dan  Suseno.  2004. Sistem  dan  Kebijakan Nilai  Tukar . Jakarta:  Pusat Pendidikan  dan Studi  Kebanksentralan  (PPSK) Bank Indonesia.
Subanar dan Suhartono. 2009. Wavelet Neural Networks Untuk Peramalan Data Time Series Finansial . Tesis. Universitas Gadjah  Mada Yogyakarta. Triyono.  2008. Analisis Perubahan Kurs Rupiah Terhadap Dollar Amerika. Jurnal Ekonomi Pembangunan,  Volume  9, Nomor 2, 156-167.
Utomo,  D. B.  2007. Wavelet-Jaringan  Syaraf Tiruan Untuk Prediksi Data Time  Series . Jurnal Math and Its Appl,  Volume  4, Nomor 2, 53-64.
Wahyuningrum,  S.,  Suparti,  Mukid,  M.  A.  2014. Analisis  Pajak Kendaraan Bermotor Menggunakan Model Multiscale Autoregressive dengan Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform . Jurnal Gaussian, Volume  3, Nomor 1, 131-140. Warsito,  B.  2009. Kapita  Selekta  Statistika  Neural  Network .  Semarang:  BP  UNDIP Semarang.
Warsito,  B. 2006. Perbandingan Model Feed Forward Neural Network dan Generelaized Regression Neural Network Pada Data Nilai Tukar Yen Terhadap Dolar AS . Prosiding SPMIPA, Hal 127-131.
Warsito,  B.,  Subanar  dan  Abdurakhman.  2013. Pemodelan Time  Series dengan Maximal Overlap  Discrete  Wavelet  Transform .  Prosiding  Seminar  Nasional  Statistika . Universitas  Diponegoro.
Wiliansa,  G. dan Kusumawati,  R. 2017. Optimasi Fuzzy Backpropagation Neural Network dengan Algoritma Genetika untuk Memprediksi Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dollar Amerika . 10 Jurnal Matematika,  Volume  6,  Nomor  3.