Vol.14, No. 2,  192-201,  Januari  2018

## Perbandingan Nilai Fraksi pada Rancangan
Faktorial Fraksional 2 k dengan Metode Bissell dan Aplikasinya pada Kasus Perkecambahan Kacang Hijau
Irawaty 1 , Anisa 1 , Erna Tri Herdiani 1

## Abstrak
Rancangan  Faktorial  Fraksional  (FF)  digunakan  untuk    menurunkan  jumlah  kombinasi perlakuan  yang  besar  dengan  cara  menentukan  fraksi  yang  sesuai  dan  terbaik  untuk mendapatkan  struktur  rancangan  yang  tepat.  Pada  tulisan  ini  bertujuan  untuk  menentukan bentuk  rancangan  FF dan  fraksi  yang  terbaik  yang  melibatkan  5  faktor  2  level  yang diterapkan  pada  data  perkecambahan  kacang  hijau  yang  merupakan  data  primer.  Adapun faktor  yang  dicobakan  yaitu  Media  Tumbuh,  Cahaya,  Frekuensi  Penyiramanm,  Volume Penyiraman  ( ml )  dan  Suhu  Ruangan.  Untuk  menentukan  suatu  faktor  signifikan  atau  tidak dalam  rancangan  FF  tanpa  pengulangan  pada  percobaan  tersebut  dapat  digunakan  metode Bissell sehingga diperoleh faktor yang signifikan yaitu faktor Cahaya dan fraksi yang  terbaik adalah fraksi .
Kata Kunci: Faktorial fraksional dua- level, metode  Bissell.

## 1.      Pendahuluan
Dalam suatu percobaan yang dilakukan oleh peneliti seringkali melibatkan k buah faktor dimana masing–masing faktor terdiri atas dua buah taraf, hal ini disebut rancangan faktorial ( Sauddin, 2006 ) . Namun, jika melibatkan k faktor dengan jumlah yang besar maka akan menyebabkan  jumlah  kombinasi  perlakuan  yang  besar  pula  sehingga  percobaan  tidak ekonomis  dan  efisien  untuk  dilakukan.  Untuk  menurunkan  jumlah  kombinasi  perlakuan sampai  setengah ( ) ,  seperempat ( ) dan  seperdelepan ( ) ,  maka  digunakan  rancangan faktorial  fraksional.  Rancangan  Faktorial  Frasional  diperkenalkan  oleh  Tippett  pada  tahun 1934.
Dalam  rancangan  faktorial  fraksional untuk  pengamatan  tanpa  pengulangan,  tidak terdapat  derajat  bebas  untuk  mengestimasi  varians  sehingga  tidak  ada error dalam  setiap perlakuan  sehingga  sulitnya  melakukan  interpretasi  terhadap  pengaruh  (efek)  yang dimungkinkan  berpengaruh.  Untuk  membandingkan  fraksi  yang  terbaik  dan  menaksir pengaruh  faktor  yang  signifikan  dari  rancangan  faktorial  fraksional tanpa  pengulangan telah  dikemukan  beberapa  metode,  yaitu    (1)  metode  Lenth  tahun  1989,  (2)  metode  Fang tahun 1993, dan (3) metode Bissell pada tahun 1989 dan 1992.
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: iraeritryna@gmail.com, nkalondeng@gmail.com , herdiani.erna@gmail.com

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
Adapun tujuan penulisan ini adalah untuk menentukan bentuk dari faktorial fraksional dengan  beberapa  fraksi  yang  bisa  dilakukan  serta  menentukan  fraksi  terbaik  dengan  metode Bissell yang diterapkan pada data yang digunakan.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1. Beberapa Pengertian Dasar pada Rancangan Faktorial Fraksional

## Dasar- dasar Percobaan
Percobaan adalah suatu tindakan yang dilakukan untuk menemukan beberapa prinsip atau pengaruh  yang  tidak  atau  belum  diketahui  atau  untuk  menguji,  menguatkan,  atau  menjelaskan beberapa  pendapat  atau  kebenaran  yang  diketahui  atau  diduga  sebelumnya  [6]  dimana  prinsip dasar percobaan yaitu pengulangan ( replication ), pengacakan ( randomization ), dan pengendalian lingkungan ( local control ).

## Rancangan Faktorial
Rancangan faktorial adalah kombinasi silang antar taraf dari dua atau lebih faktor. Pada rancangan  faktorial ,  banyaknya  taraf  yaitu  2  ditulis  sebagai  bilangan  pokok,  sedangkan banyaknya  faktor,  yaitu k , ditulis  sebagai  pangkat,  sehingga  menghasilkan kombinasi perlakuan , dengan k
Bentuk umum dari rancangan faktorial terdiri atas ( ) pengaruh utama, ( ) interaksi 2 faktor, ( ) interaksi 3 faktor, … ( ) interaksi k factor.

## Rancangan Faktorial Fraksional
Rancangan  faktorial  fraksional  digunakan  untuk  menurunkan  jumlah  kombinasi perlakuan  yang  besar.  Tujuan  utama  dari  rancangan  factorial  fraksional  adalah untuk Screening experiments, yakni  pada  percobaan  ini  ada  banyak  faktor  yang  harus  dipertimbangkan  dan tujuannya untuk mengidentifikasi faktor-faktor (jika ada) yang mempunyai pengaruh (efek) besar baru  kemudian  dilanjutkan  ke  percobaan  berikutnya untuk  meneliti  lebih  detail terhadap  faktor- faktor yang pengaruhnya  besar tersebut.

## Rancangan Faktorial Fraksional Dua–Level
Rancangan  faktorial  fraksional  dua  –  level  dinotasikan  dengan yang  artinya melibatkan k faktor, dua taraf, dan hanya menggunakan ⁄ , fraksi atau mengerjakan hanya sebagian  dari  percobaan  faktorial  lengkap.  Dengan  jumlah  faktor  dan  fraksi  tertentu  maka terbentu struktur racangan berbed yang ditentukan oleh generator ( generating relations ), defining relation , dan alias ( aliases ). Fraksi yang dapat digunakan pada rancangan FF dua  – level adalah fraksi dan dari rancangan .

## Rancangan Resolusi Fraksional Faktorial
Menurut Montgomery (2001), rancangan faktorial fraksional dibagi dalam beberapa jenis berdasarkan  resolusinya  yaitu  rancangan  resolusi  III,  rancangan  resolusi  IV  dan  rancangan resolusi V.

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani

## Model Linear Rancangan Faktorial Fraksional
Diberikan  variabel  respon y yang  pengamatannya  dilakukan  tanpa  pengulangan  untuk tiap  kombinasi  perlakuan,  dan
variabel  input  yang  berkaitan  dengan  faktor independen yang digambarkan dalam persamaan berikut :
dimana :
=  variabel terikat ;
variabel bebas ;
= konstanta ;
= variabel bebas ;
= error atau faktor pengganggu

## Penggunaan Metode Bissell pada Rancangan Faktorial Fraksional
Hipotesis  yang  akan  diuji  adalah dan
.  Untuk  menguji  hipotesis  tersebut  digunakan  statistik  uji  Bissell  berdistribusi  chi kuadrat, yaitu :
(     ) ( ⁄ )
Untuk menentukan apakah suatu faktor signifikan atau tidak, maka diuji hipotesis dengan kriteria ditolak  jika ( ⁄ | )          ( ⁄ | ) .

## 2.2. Perkecambahan Biji Kacang Hijau
Perkecambahan  adalah  proses  pertumbuhan  embrio  dan  komponen-komponen  biji  yang mempunyai  kemampuan  untuk  menjadi  tumbuhan  baru.  Ada  beberapa  faktor-faktor  yang mempengaruhi pertumbuhan dan perkembangan tumbuhan, dalam tulisan ini fokus pada tanaman kecambah kacang hijau, yaitu sebagai berikut.
1.   Faktor Eksternal:
a.   Suhu
Keberadaan  suhu  erat  hubungannya  dengan  kerja  enzim.  Jika  suhu  terlalu  tinggi  atau terlalu rendah, enzim akan rusak.

b.   Makanan
Makanan  merupakan  sumber  energi  dan  sumber  materi  untuk  mensintesis  berbagai komponen sel. Nutrien yang dibutuhkan tumbuhan bukan hanya karbon dioksida dan air, tetapi juga unsur-unsur lainnya.
c.   Air

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
Air  berfungsi  antara  lain  untuk  fotosintesis,  menjaga  kelembapan,  dan  membantu perkecambahan biji. Tanpa air, reaksi kimia dalam sel tidak dapat berlangsung sehingga mengakibatkan tumbuhan mati.
d.   Cahaya Tumbuhan membutuhkan cahaya. Banyaknya cahaya yang dibutuhkan tidak selalu sama pada  setiap  tumbuhan.  Umumnya,  cahaya  menghambat  pertumbuhan  meninggi  karena cahaya dapat menguraikan auksin (suatu hormon pertumbuhan).
e.   Kelembapan Pengaruh  kelembapan  udara  berbeda-beda  terhadap  berbagai  pertumbuhan.  Tanah  dan udara yang lembap berpengaruh baik bagi pertumbuhan.
f. Unsur Hara
Pertumbuhan juga dipengaruhi oleh unsur hara, misalnya nitrogen, fosfor, kalium, sulfur, kalsium, magnesium, besi, boron, mangan, tembaga, seng, molibdenum, klorin, dan nikel.
2.   Faktor Internal:
a.   Hormon Hormon  adalah  substansi  kimia  yang  sangat  aktif  dan  tersusun  atas  senyawa  protein. Hormon  tumbuhan  yang  mempengaruhi  proses  pertumbuhan  antara  lain,  auksin, giberelin,  sitokinin,  kalin  (rizokalin,  kaulokalin,  filokalin,  antokalin),  gas  etilen,  asam absisat, dan froligen.
b.   Gen
Gen  merupakan  sifat  yang  tidak  tampak  dari  luar,  terdapat  di  dalam  setiap  kromosom yang ada di dalam inti sel [5].

## 3.      Pembahasan

## 3.1. Penggunaan Rancangan Faktorial Fraksional (FF)
Penggunaan  rancangan  FF  muncul  karena  keterbatasan  dalam  melakukan  rancangan faktorial  lengkap  dan  kesulitan  dalam  menginterpretasikan  pengaruh  interaksi  orde  tinggi (interaksi  yang  memuat  lebih  dari  tiga  faktor).  Rancangan  ini  dapat  dilakukan  jika mengasumsikan  bahwa  pengaruh  faktor  interaksi  orde  tinggi  (interaksi  yang  memuat  lebih  dari tiga  faktor) dianggap  tidak  mempunyai  pengaruh  yang  kurang  penting  dalam  analisis  dan dapat diabaikan  sehingga  lebih  mengutamakan  pengaruh  faktor  utama  dan  pengaruh  interaksi  orde rendah (interaksi yang memuat dua faktor).

## 3.2. Pembentukan dan Pemilihan Struktur Rancangan FF 2 k-p
Struktur  rancangan  dibentuk  oleh  generator, defining  relation ,  alias  dan  resolusi  yang digunakan.  Rancangan memiliki p generator bebas  yang  membentuk defining  relation . Struktur generator yang  berbeda  akan  menghasilkan  struktur alias yang  berbeda,  hal  ini  akan berpengaruh  pada  pengaruh  faktor  yang  dianalisis.  Ada  dua  jenis  pemilihan  struktur  rancangan

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
yaitu  (1)  Pemilihan  struktur  rancangan  berdasarkan  kriteria  terbaik,  (2)  Pemilihan  struktur rancangan berdasarkan pengaruh faktor tertentu yang ingin diduga.

## Pembentukan Struktur Rancangan dengan Fraksi dari rancangan
Fraksi hanya  melakukan  sebagian  atau  setengah  saja  dari  faktorial  penuh,  fraksi  ini
dinotasikan dengan
. Misalkan dalam rancangan faktorial , yang melibatkan 5 faktor A, B, C,  D  dan  E  dimana  masing–masing  faktor  bertaraf  dua  yaitu  taraf  tinggi  (+)  dan  rendah  (-). Dengan menggunakan fraksi berarti hanya 16 kombinasi perlakuan yang akan dicobakan.
Untuk mendapatkan struktur rancangan yang terbaik maka akan ditentukan (1) Generator yang  merupakan  interaksi  faktor  ABCDE  sehingga  membentuk,  (2) Defining  relation dimana melibatkan  semua  faktor  yang  dicobakan  yaitu  I  =  ABCDE  sehingga  menghasilkan  faktor  – faktor yang ber- alias dan dapat menduga pengaruh faktor yang penting, (3) Rancangan resolusi dari mencapai resolusi V dengan defining relation I = ABCDE, karena defining relation dari rancangan ini terdiri dari 5 huruf.
Untuk  mendapatkan  struktur alias dapat  ditentukan  dengan  cara  mengalikan  suatu pengaruh dengan defining relation , sehingga diperoleh  pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor sebagai berikut :
Pengaruh interaksi dua faktor  :
Dari  struktur  alias  dapat  ditentukan  kombinasi  perlakuan  yang  akan  dicobakan  dan pengaruh faktor yang akan ditaksir yaitu pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor. Adapun kombinasi perlakuan yang terpilih dari 32 kombinasi perlakuan lengkap, sebagai berikut.

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
Untuk menduga (estimasi) pengaruh faktor, dapat dihitung dengan persamaan berikut :
̂ ( ) ( )
dimana  N  adalah  banyaknya  kombinasi  perlakuan  yang  terpilih.  Sehingga  diperoleh  taksiran pengaruh utama dan interaksi dua faktornya sebagai berikut
̂ (                                                                                     )
̂ (                                                                                       )
̂ (                                                                                       )

## ̂ (

## )

## Pembentukan Struktur Rancangan dengan Fraksi dari Rancangan
Rancangan  dengan  fraksi dari  rancangan yang  dinotasikan ,  memiliki    dua generator untuk membentuk defining relation dan generalized defining relation . Misalkan dipilih generator  P dan Q maka  akan  terbentuk
. Alias dari  berbagai  pengaruh  faktor dapat diperoleh dengan cara mengalikan pengaruh tersebut dengan , dan sehingga setiap pengaruh memiliki 3 alias . Sebagai contoh pada rancangan faktorial yang akan menghasilkan 8  kombinasi  perlakuan.  Dengan  memilih  I  =  ABD  sebagai P dan  I  =  ACE  sebagai Q ,  maka
Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
interaksi  dari generator P dan Q adalah  : sehingga defining relation dari rancangan ini ialah .
Dalam  pembentukan generator ,  ada  dua  syarat  yang  harus  dipenuhi  agar  mengurangi banyaknya  kemungkinan generator yang  mungkin  dibentuk  yaitu:  (1)  tidak  membentuk generator dengan  hanya  satu  huruf  yang  membentuk defining  relation, (2)  tidak  membentuk generator kedua  yang  melibatkan  faktor  pada generator pertama.  Setelah  diperoleh defining relation yang tepat maka dapat ditentukan struktur aliasnya sebagai berikut.
Adapun kombinasi perlakuan yang terpilih dari 32 kombinasi perlakuan lengkap adalah :
Dari kombinasi perlakuan yang terpilih, selanjutnya akan ditentukan taksiran dari pengaruh faktor utama dan interaksi dua faktor dengan tetap menggunakan persamaan (1) seperti berikut ini :

## ̂ (                                         )
̂ (                                          ) ̂ (                                         ) ̂ (                                         )

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani

## Penggunaan Metode Bissell pada Rancangan Faktorial Fraksional
Metode  Bissell  adalah  metode  yang  digunakan  untuk  menduga  pengaruh  faktor  yang signifikan  dari  rancangan  faktorial  fraksional
tanpa  pengulangan.  Diberikan k faktor sebagai  pengaruh  faktor  dan
rata-rata    kuadrat    dengan derajat  bebas v .  Diketahui ∑ ( ̅) berdistribusi  chi–kuadrat  dan    rata–rata
kuadrat masing–masing faktor
∑ ( ̅) sehingga diperoleh ekspektasinya ( ) dan varians ( ) ( ) .  Jika m didefinisikan  sebagai  faktor  skala  dari  distribusi  chi–kuadrat, maka :
( ) ( )
dan jika merupakan penaksir variansi dari sampel, maka :
(     )

## ( )
Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh (   ) ( ) , selanjutnya hasil tersebut dinyatakan  sebagai nilai dari statistik Bissell yaitu :
(     ) ( ) ( )
Selanjutnya,  untuk  menentukan  suatu  faktor  signifikan  atau  tidak  maka  diuji  hipotesis  dengan kriteria ditolak  jika ( ⁄ | )          ( ⁄ | ) .

## Kasus untuk Percobaan dengan Rancangan Faktorial Fraksional
Sebuah  percobaan  faktorial  fraksional  mengenai  “Perkecambahan  Tanaman  Kacang Hijau”  dengan  menggunakan  5  faktor  yaitu  Media  tumbuh  (A),  cahaya  (B),  Frekuensi Penyiraman  (C),  Volume  Penyiraman  (D)  dan  Suhu  Ruangan  (E)  dimana  tiap  faktor  ini  terdiri atas  dua  taraf.  Fraksi  yang  digunakan  pada  percobaan  ini  adalah ( ) dan ( ) dimana  masing– masing fraksi menghasilkan 16 dan 8 kombinasi perlakuan.
Secara  singkat,  langkah–langkah  untuk  mendapatkan  faktor  yang  berpengaruh  besar ( signifikan ) terhadap respon dengan menggunakan fraksi yang sesuai sebagai berikut :
(1) Menentukan generator yang tepat sehingga membentuk satu defining relation pada fraksi ( ) dan pada fraksi ( ) membentuk dua defining relation dan satu generalized defining relation .
(2) Menentukan struktur alias dari faktor–faktor yang ada melalui defining relation .
(3) Menentukan  kombinasi  perlakuan  yang  terpilih  yang  diperoleh  dari  struktur  alias  dan kontras untuk masing–masing faktor baik faktor utama maupun faktor interaksi.
(4) Mencari  nilai  estimasi  pengaruh  dari  kontras  tiap  faktor  dan  struktur  alias  berdasarkan kombinasi perlakuan yang terpilih sehingga diperoleh model liniernya.
(5) Menggunakan metode Bissell guna memperoleh faktor yang signifikan dengan cara :

## Irawaty, Anisa, Erna Tri Herdiani
(a) Menentukan rata–rata kuadrat ( Mean Square ) dari taksiran masing–masing faktor (b) Menentukan standar deviasi dari MS
(c) Menentukan  statistik  uji  dari  Metode  Bissell  ( ) dengan  menggunakan  persamaan (4).
(d) Pengujian hipotesis parameter yang dihasilkan dari metode Bissell.
Hasil  pengolahan  dari  data  primer    “Perkecambahan  Tanaman  Kacang  Hijau”  dengan menggunakan fraksi ( ) dan ( ) dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 1. Nilai Mean Square, Standar Deviasi, Statistik Bissell Menggunakan Fraksi ( ) RUN EFEK MS ̅̅̅̅ STDEV A -5.162 106.585 61.587 59.515 26.147 26.119 B 7.063 199.544 21.818 24.736 C 0.987 3.897 18.970 23.337 D -1.588 10.087 18.780 21.92 E -6.163 151.93 18.996 20.483 AB 3.863 59.691 19.236 19.023 AC 4.638 86.044 17,936 17.535 BC 1.762 12.419 18.757 16.013 AD 3.263 42.589 16.886 14.449 BD 4.837 93.586 8.401 12.833 CD -0.487 0.949 8.163 11.143 AE 2.038 16.614 8.876 9.348 BE 0.062 0.015 6.254 7.378 CE -3.762 56.611 3.749 5.024 DE 4.562 83.247 * *
Tabel 2. Nilai Mean Square, Standar Deviasi, Statistik Bissell Menggunakan Fraksi ( ) . RUN EFEK MS ̅̅̅̅ STDEV A 0.175 0.061 40.167 50.577 19.026 14.449 B 8.675 150.511 4.820 12.833 C -3.175 20.161 3.740 11.143 D 3.925 30.811 3.456 9.348 E 4.675 43.711 3.586 7.378 AB 3.475 24.151 3.918 5.024 AC 2.425 11.761 * *

## 4. Kesimpulan
Metode  Bissell  yang  menggunakan  statistik  uji  berdistribusi  chi  –  kuadrat  dapat digunakan  untuk  menemukan  faktor  yang  signifikan  dan  berdasarkan  pengujian  hipotesis  dan hasil  yang  diperoleh  dari  fraksi dan menunjukkan  bahwa  faktor  yang  berpengaruh  besar (signifikan)  terhadap  respon  di  kedua  fraksi  tersebut  adalah  sama  yaitu  pengaruh  faktor  B (Cahaya)  sehingga  kedua  fraksi  ini  memberikan  informasi  yang  sama  dan  fraksi  yang  terbaik adalah fraksi , dengan demikian percobaan menjadi efisien untuk dilakukan .

## Daftar Pustaka
[1]    Halim  C.,  1992 .  Replikasi  Fraksional  dalam  Eksperimen  Faktorial . Universitas Hasanuddin, Makassar.
[2]     Hamada M. dan Balakrishnan N., 1998. Analizyng Unreplicated Factorial Experiments: A Review with Some New Proposals . Statistics Sinica 8, pp. 1 – 41.
[3]    Matjik  A.A.  dan  Sumertajaya  I.M.,    2002. Perancangan  Percobaan  dengan  Aplikasi  SAS dan Minitab , Edisi Kedua . Institut Pertanian Bogor Press, Bogor.
[4]   Montgomery D.C., 2001. Design and Analysis of Experiments , 5 th Edition . John Wiley and Son Inc., New York.
[5]   Nurhayati N., 2008. Biologi Bilingual untuk SMA/MA Kelas XII Semester 1 dan 2 . Yrama Widya, Bandung.
[6]   Raupong dan Anisa, 2011. Bahan Ajar Mata Kuliah Perancangan Percobaan . Universitas Hasanuddin, Makassar.
[7]   Sartono  B.,  2008. Rancangan  Faktorial  Pecahan  Bagian  1  :  Rancangan  Reguler . http://bagusco.staff.ipb.ac.id/files/2011/01/FF-Design.pdf .  [Diakses  pada  tanggal  28 Februari 2013].
[8]   Sauddin  A.,  2006. Identifikasi  Faktor  Signifikan  Rancangan  Faktorial  Fraksional  Tanpa Pengulangan  dengan  Metode  Bissell,  Lenth,  dan  Fang. Tesis. Jurusan  Statistika  Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.
[9]   Syafrina  S.,  2009.  Respon  dan  Pertumbuhan  dan  Produksi  Kacang  Hijau  ( Phaseolus Radiates L ) pada Media Sub Soil Terhadap Pemberian Beberapa Jenis Bahan Organic dan Pupuk Organik Cair. Skripsi. Universitas Sumatera Utara, Medan.
[10]   Winarni  S.,  2006.  Kajian  pada  Rancangan  Faktorial  Fraksional  dan  Faktoria  Fraksional Split–Plot. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.