Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 1, Mei 2021, 57-70 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i1.6798

## Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Influenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Adinda Rizki Kinanti 1 , Nashrul Millah 2 , Irma Fitria 3*
Program Studi Matematika, Institut Teknologi Kalimantan, Karang Joang KM 15, Indonesia. e-mail: irma.fitria@lecturer.itk.ac.id
Diajukan:15 April 2020,  Diperbaiki: 17 Desember 2020, Diterima:31 Maret 2021

## Abstrak
Influenza H1N1 merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan dengan gejala umum yaitu demam, sakit kepala, batuk, dan nyeri tenggorokan. Influenza H1N1 memiliki beberapa strain yang diketahui pernah menginfeksi manusia, burung dan babi. Beberapa upaya yang dapat dilakukan untuk menanggulangi infeksi virus influenza  H1N1  adalah pemberian vaksin dan pengobatan. Penelitian ini membahas mengenai kendali  optimal berupa vaksinasi dan pengobatan yang  diterapkan pada model penyebaran penyakit Influenza H1N1. Metode yang digunakan untuk menyelesaian permasalahan kendali optimal ini adalah Prinsip Minimum Pontryagin dilanjutkan dengan pencarian solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta Forward-Backward Sweep .  Simulasi numerik dilakukan untuk mengetahui perbandingan penyebaran penyakit Influenza H1N1 sebelum dan sesudah diberikan upaya kendali optimal. Berdasarkan hasil simulasi ditunjukkan bahwa pemberian kendali optimal berupa vaksinasi pada individu yang rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi tiga strain  dapat menurunkan jumlah individu yang terinfeksi penyakit Influenza H1N1. Kata kunci : Influenza H1N1, Kontrol Optimal, Prinsip Minimum Pontryagin, Runge Kutta Forward- Backward Sweep .

## Abstract
H1N1 influenza is a respiratory tract infection with common symptoms, namely fever, headache, coughing, and sore throat. H1N1 influenza has several strains known to infect humans, birds, and pigs. Some efforts to overcome the infection of the H1N1 influenza virus are vaccination and treatment. This Research discusses the optimal control in the form of vaccination and treatment applied to the model H1N1 Influenza disease spread. The method used to solve this optimal control problem is the Pontryagin Minimum Principle followed by searching numerical solutions using the Runge-Kutta Forward-Backward Sweep method. Numerical simulations were conducted to compare the spread of H1N1 Influenza before and after optimal control efforts were given. Based on the simulation result, it was shown that giving optimal control in the form of vaccination to susceptible individuals and treatment in individuals infected with three strains could reduce the number of individuals infected with H1N1 Influenza disease . Keyword : Influenza H1N1, Optimal Control, Pontryagin Minimum Principle, Runge-Kutta Forward- Backward Sweep .

## 1  Pendahuluan
Influenza merupakan suatu penyakit infeksi saluran pernapasan dengan gejala  umum yaitu demam, sakit kepala, batuk, nyeri tenggorokan, dan rasa tidak nyaman. Menurut Casagrandi dkk [1], virus yang menyebabkan epidemi flu dapat dibedakan dalam tiga tipe yaitu tipe A, B, dan C.

## 58 Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Virus tipe A secara epidemologi sangat berpengaruh terhadap kehidupan manusia. Influenza tipe A dibagi dalam beberapa subtipe berdasarkan dua jenis protein pada permukaannya. Protein ini disebut sebagai Hemaglutinin (HA) dan Neuraminidase (NA). Terdapat delapan belas jenis subtipe HA dan sebelas subtipe NA, dan berbagai kombinasi dari kedua jenis protein ini. Diantara kombinasi tersebut hanya beberapa virus flu tipe A yang saat ini menyerang manusia, salah satunya yaitu H1N1 [2].
Virus Influenza subtipe H1N1 terdiri dari beberapa strain yang ditemukan dapat menyerang manusia, burung, dan babi. strain merupakan generasi baru dari virus yang berevolusi [3]. Penyakit akibat infeksi virus ini pertama kali ditemukan pada tahun 1918 di Spanyol. Saat itu sedang terjadi wabah penyakit influenza secara pandemik yang menelan korban sekitar 21 juta orang meninggal dunia  [4].  Tahun 2009 di Meksiko, WHO mengumumkan bahwa terjadi penyebaran virus Influenza subtipe H1N1 yang dengan cepat menjadi pandemik [5].
Penelitian terkait penyakit Influenza H1N1 sebelumnya telah dikaji oleh Natalia, dkk [3] menggunakan model SVIR. Penelitian tersebut, melibatkan 2 strain virus H1N1 dengan variabel kendali yaitu vaksinasi pada individu yang rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi masing-masing strain. Disamping itu, terdapat juga penelitian yang telah dilakukan oleh Baba dan Hincal  [6]  yang  menganalisis model SVIR penyebaran penyakit Influenza  tiga strain dengan melihat pengaruh vaksinasi dan kesadaran akan bahaya penyakit terhadap populasi individu yang terinfeksi 3 strain. Pengaruh vaksinasi dan kesadaran diberikan dalam bentuk parameter yang bernilai konstan.  Selanjutnya, penelitian  ini melanjutkan penelitian dari Baba dan Hincal  [6] dengan merekonstruksi model dan menambahkan variabel kendali berupa pemberian vaksinasi pada populasi individu yang rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi virus Influenza subtipe H1N1 tiga strain.

## 2  Metode Penelitian
Bagian ini membahas mengenai metode penelitian yang akan digunakan sebagai acuan teori dan penunjang dalam menyelesaikan permasalahan pada penelitian ini. Materi yang dibahas yaitu Prinsip Minimum Pontryagin, dan metode Runge-Kutta. Selanjutnya rekonstruksi model penyebaran penyakit Influenza subtipe H1N1 dengan kendali berupa vaksinasi pada individu yang rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi tiga strain virus.

## 2.1 Prinsip Minimum Pontryagin
Kendali optimal bertujuan untuk menentukan sinyal kendali yang akan menyebabkan proses (keadaan) memenuhi beberapa kendala dan pada saat yang sama mengoptimalkan fungsi tujuan
atau fungsi biaya. Variabel kendali 𝒖𝒖 yang memenuhi kondisi optimal didefinisikan sebagai ( 𝒖𝒖 ∗ ) [7].
Pada umumnya, masalah kendali optimal dalam bentuk ungkapan matematik dapat diformulasikan  seperti pada Persamaan (1) –  (3),  dengan mencari kendali 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ) yang mengoptimalkan fungsi tujuan.
min 𝐽𝐽 = 𝑆𝑆�𝒙𝒙�𝑡𝑡 𝑓𝑓 � , 𝑡𝑡 𝑓𝑓 � + � 𝑉𝑉 ( 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ), 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 0 . (1)
Fungsi tujuan yang memiliki persamaan Mayer dan persamaan Lagrange disebut dengan persamaan Bolza [7] seperti pada Persamaan (1), d engan sistem dinamik yang dinyatakan oleh 𝒙𝒙̇ ( 𝑡𝑡 ) = 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ), 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ), (2)
dan kondisi batas
𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝒙𝒙 𝟎𝟎 dan 𝒙𝒙�𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝒙𝒙 𝒇𝒇 . (3)
Penyelesaian kendali optimal dapat dilakukan dengan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin atau disebut juga sebagai metode Hamiltonian. Tahap-tahap penyelesaian kendali optimal dengan metode Prinsip Minimum Pontryagin dijelaskan sebagai berikut.
1. Membentuk fungsi Pontryagin ℋ dengan persamaan,
ℋ ( 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ), 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ), 𝝀𝝀 (t), t) = 𝑉𝑉 ( 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ), 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ), t) + 𝝀𝝀′ ( 𝑡𝑡 ) 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ( 𝑡𝑡 ), 𝒖𝒖 ( 𝑡𝑡 ), t). (4)
2. Meminimumkan ℋ terhadap 𝑢𝑢 ( 𝑡𝑡 ) dengan persamaan,
� 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝒖𝒖 � = 0 (5)
dan diperoleh
𝒖𝒖 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 𝒉𝒉 ( 𝒙𝒙 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) .
3. Subtitusikan nilai 𝒖𝒖 ∗ ( 𝑡𝑡 ) ke Persamaan (4), sehingga diperoleh optimal ℋ ∗ sebagai berikut,
ℋ ∗ ( 𝒙𝒙 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝒉𝒉 ( 𝒙𝒙 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ), 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) = ℋ ∗ ( 𝒙𝒙 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ). 4. Menentukan persamaan state dan costate dengan menyelesaikan persamaan,
• State
𝒙𝒙̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = + � 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝝀𝝀 � ∗ , (6)

## • Costate
𝝀𝝀̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝒙𝒙 � ∗ , (7)
dengan kondisi awal 𝒙𝒙 𝟎𝟎 dan kondisi akhir

## Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
�ℋ ∗ + 𝜕𝜕𝑆𝑆 𝜕𝜕𝑡𝑡� 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝛿𝛿𝑡𝑡 𝑓𝑓 + �� 𝜕𝜕𝑆𝑆 𝜕𝜕𝒙𝒙� ∗ − 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 𝑡𝑡 𝑓𝑓 , 𝛿𝛿𝒙𝒙 𝒇𝒇 = 0. (8)
Selanjutnya, untuk memperoleh kendali optimal 𝒖𝒖 ∗ ( 𝑡𝑡 ) , substitusikan nilai 𝒙𝒙 ∗ ( 𝑡𝑡 ) dan 𝝀𝝀 ∗ ( 𝑡𝑡 ) ke dalam bentuk kendali optimal 𝒖𝒖 ∗ ( 𝑡𝑡 ) [7].

## 2.2 Metode Runge Kutta Forward-Backward Sweep
Runge-Kutta digunakan dalam penyelesaian masalah yang berhubungan dengan perhitungan numerik.  Menurut Burden dan Faires [8], metode Runge-Kutta yang umum digunakan pada Persamaan  Differensial,  yaitu Runge-Kutta Orde 4,  dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal. Jika diberikan permasalahan nilai awal
𝑦𝑦̇ = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 , 𝑦𝑦 ), 𝑎𝑎 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 ( 𝑎𝑎 ) = 𝛼𝛼 , maka dapat dicari penyelesaian dengan rumus berikut,
𝑤𝑤 0 = 𝛼𝛼 ,
𝑘𝑘 1 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ), 𝑘𝑘 2 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡 𝑖𝑖 + ℎ 2 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 + 1
2 𝑘𝑘 1 � ,
𝑘𝑘 3 = ℎ𝑓𝑓 �𝑡𝑡 𝑖𝑖 + ℎ 2 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 + 1
2 𝑘𝑘 2 � ,
𝑘𝑘 4 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖+1 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 + 𝑘𝑘 3 ),
𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 = 𝑤𝑤 𝑖𝑖 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 + 2 𝑘𝑘 2 + 2 𝑘𝑘 3 + 𝑘𝑘 4 ),
dengan 𝑖𝑖 = 0,1, … , 𝑁𝑁 − 1 [9].
Menurut Lenhart dan Workman [10], jika dalam suatu sistem persamaan diferensial terdapat persamaan yang diketahui nilai awalnya dan persamaan lain yang diketahui nilai akhirnya, maka metode yang tepat untuk digunakan adalah metode Forward-Backward Sweep Runge Kutta Orde 4.
Langkah-langkah menyelesaikan masalah kendali optimal menggunakan metode Forward- Backward Sweep Runge Kutta Orde 4 sebagai berikut :
1. Menentukan nilai awal kendali optimal ( 𝒖𝒖 ) .
2. Menggunakan kondisi awal 𝒙𝒙 (0) = 𝒙𝒙 0 dan nilai awal 𝑢𝑢 untuk menyelesaikan persamaan state ( 𝒙𝒙 ) dengan langkah Forward Sweep Runge Kutta Orde 4.
3. Menggunakan kondisi transversal 𝝀𝝀�𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 0 dan nilai 𝒖𝒖 dan 𝒙𝒙 untuk menyelesaikan persamaan costate ( 𝝀𝝀 ) dengan langkah Backward Sweep Runge Kutta Orde 4.
4. Memperbarui nilai kendali 𝒖𝒖 dengan memasukkan nilai 𝒙𝒙 dan 𝝀𝝀 yang baru kedalam karakteristik kendali optimal.
Jika nilai error dari setiap variabel dalam iterasi sesudah dan sebelumnya sangat kecil maka nilai tersebut menjadi solusi. Tetapi jika nilai errornya sangat kecil maka kembali pada langkah 2.

## 2.3 Model Matematika Penyakit Influenza H1N1 Tiga Strain
Model dinamik penyebaran penyakit Influenza subtipe H1N1 berupa sistem yang melibatkan enam variabel atau kompartemen sebagai berikut:
1. Susceptible ( 𝑆𝑆 𝑡𝑡 )           :  Individu yang rentan terhadap penyakit  Influenza pada waktu t
2. Vaccinated ( 𝑉𝑉 𝑡𝑡 ) : Individu rentan yang divaksinasi terhadap virus strain 1 dan strain 2
3. Infected strain 1 ( 𝐼𝐼 𝑡𝑡1 ) : Individu yang terinfeksi penyakit Influenza strain 1 (strain virus yang menyerang manusia) pada waktu t
4. Infected strain 2 ( 𝐼𝐼 𝑡𝑡2 )  : Individu yang terinfeksi penyakit Influenza strain 2 (strain virus yang menyerang burung) pada waktu t
5. Infected strain 3 ( 𝐼𝐼 𝑡𝑡3 ) : Individu yang terinfeksi penyakit Influenza strain 3 (strain virus yang menyerang babi) pada waktu t
6. Recovered ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 ) : Individu yang telah sembuh dari penyakit Influenza,
dengan asumsi bahwa individu terinfeksi tidak menginfeksi individu lain serta individu yang sembuh tidak akan kembali rentan. Selanjutnya, model tanpa kontrol yang digunakan yaitu model pada Baba dan Hincal [6]  telah  dimodifikasi dengan menambahkan  kontrol  berupa perubahan parameter ( 𝑟𝑟 1 ) yang konstan diubah menjadi variabel kontrol berupa ( 𝑢𝑢 1 ) , serta penambahan tiga variabel kontrol yaitu pemberian pengobatan pada populasi Infected strain 1 ( 𝑢𝑢 2 ) , pemberian pengobatan pada populasi Infected strain 2 ( 𝑢𝑢 3 ) , dan pemberian pengobatan pada populasi Infected strain 3 ( 𝑢𝑢 4 ) . Model dengan kontrol dijelaskan pada diagram kompartemen Gambar 1.
Gambar 1. Model Dengan Kontrol (u 3 𝐼𝐼 1 𝜇𝜇𝐼𝐼 1 S Λ β 2 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 𝑢𝑢 1 𝑆𝑆 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝑉𝑉 k 𝐼𝐼 3 𝑉𝑉 𝜇𝜇𝑉𝑉 𝐼𝐼 2 𝜇𝜇𝐼𝐼 2 𝐼𝐼 3 𝜇𝜇𝐼𝐼 3 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝑅𝑅

## 62 Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Berdasarkan pada Gambar 1  model sistem dinamik dapat ditulis model matematisnya sebagai berikut :
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Λ − 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1 𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 − 𝑢𝑢 1 𝑆𝑆 , (9) 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 1 𝑆𝑆 − 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 𝑉𝑉 1 − 𝜇𝜇𝑉𝑉 ,
𝑑𝑑 I 1 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 1 − 𝛾𝛾 1 𝐼𝐼 1 − 𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 1 , 𝑑𝑑 I 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 2 − 𝛾𝛾 2 𝐼𝐼 2 − 𝑢𝑢 3 𝐼𝐼 2 , 𝑑𝑑 I 3 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 𝑉𝑉 + 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 3 − 𝛾𝛾 3 𝐼𝐼 3 − 𝑢𝑢 4 𝐼𝐼 3 ,
𝑑𝑑 R 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑢𝑢 2 𝐼𝐼 1 + 𝛾𝛾 1 𝐼𝐼 1 + 𝑢𝑢 3 𝐼𝐼 2 + 𝛾𝛾 2 𝐼𝐼 2 + 𝑢𝑢 4 𝐼𝐼 3 + 𝛾𝛾 3 𝐼𝐼 3 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 ,

## 3  Hasil dan Analisis
Bagian ini berisi hasil dan analisis berupa formulasi permasalahan kendali optimal yang meliputi sistem dinamik, fungsi tujuan dan kondisi batas. Permasalahan kendali tersebut kemudian diselesaikan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin dan disimulasikan secara  numerik menggunakan metode Runge Kutta Orde 4.

## 3.1 Penyelesaian Kendali Optimal
Fungsi objektif pada permasalahan kendali optimal ini adalah meminimumkan jumlah populasi individu yang terinfeksi virus H1N1 tiga strain dan meminimumkan biaya vaksinasi dan pengobatan untuk strain 1, strain 2, dan strain 3 seperti pada Persamaan (10):
Min 𝐽𝐽 = 1 2 � [ 𝐶𝐶 1 𝐼𝐼 1 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 2 𝐼𝐼 2 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 3 𝐼𝐼 3 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 4 𝑢𝑢 1 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 5 𝑢𝑢 2 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐶𝐶 6 𝑢𝑢 3 2 ( 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 0 + 𝐶𝐶 7 𝑢𝑢 4 2 ( 𝑡𝑡 )] 𝑑𝑑𝑡𝑡 , (10)
dengan 𝑡𝑡 0 adalah waktu awal dan 𝑡𝑡 𝑓𝑓 adalah waktu akhir. Parameter 𝐶𝐶 1 , 𝐶𝐶 2 , dan 𝐶𝐶 3 berturut-turut adalah parameter bobot variabel Infected , sedangkan 𝐶𝐶 4 , 𝐶𝐶 5 , 𝐶𝐶 6 , dan 𝐶𝐶 7 adalah parameter bobot untuk variabel kontrol.
State waktu awal pada penelitian ini telah ditentukan, sedangkan state waktu akhir tidak ditetapkan, sehingga tipe permasalahan dalam kondisi optimal ini yaitu fixed-final time �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � dan free-final  state �𝒙𝒙�𝑡𝑡 𝑓𝑓 �� dengan kondisi 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡 𝑓𝑓 dan diinisiasikan kondisi awal state 𝒙𝒙 0 = � 𝑆𝑆 0 , 𝑉𝑉 10 , 𝐼𝐼 10 , 𝐼𝐼 20 , 𝐼𝐼 30 , 𝑅𝑅 0 � .  Selanjutnya, fungsi objektif pada permasalahan penelitian ini tidak mengandung persamaan Meyer yang telah didefinisikan pada Persamaan (1) dengan kondisi

## Adinda Rizki Kinanti, Nashrul Millah M.Si, Irma Fitria M.Si
transversalitas, sehingga diperoleh nilai costate pada waktu akhir 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ∗ �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 0 untuk setiap 𝑖𝑖 = 1,2,3,4,5,6 .
Persamaan kendali optimal 𝑢𝑢 berdasarkan pada Persamaan (5) dapat  diperoleh sebagai berikut :
𝑢𝑢 1 ∗ = 𝜆𝜆 1 𝑆𝑆 − λ 2 𝑆𝑆 𝐶𝐶 4 ,
𝑢𝑢 2 ∗ = 𝜆𝜆 3 𝐼𝐼 1 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 1 𝐶𝐶 5 ,
𝑢𝑢 3 ∗ = 𝜆𝜆 4 𝐼𝐼 2 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 2 𝐶𝐶 6 ,
𝑢𝑢 4 ∗ = 𝜆𝜆 5 𝐼𝐼 3 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 3 𝐶𝐶 7 ,
dengan diberi batasan 0 ≤ 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ≤ 1 , sehingga dapat dituliskan menjadi :
𝑢𝑢 1
∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 1 𝑆𝑆 − 𝜆𝜆 2 𝑆𝑆 𝐶𝐶 4 �� , (11)
𝑢𝑢 2 ∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 3 𝐼𝐼 1 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 1 𝐶𝐶 5 �� , (12)
𝑢𝑢 3
∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 4 𝐼𝐼 2 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 2 𝐶𝐶 6 �� , (13)
𝑢𝑢 4
∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 5 𝐼𝐼 3 − 𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 3 𝐶𝐶 7 �� . (14)
Upaya dalam menentukan kendali optimal dengan Prinsip Minimum Pontryagin yaitu membentuk Persamaan state dan costate maka diperoleh :
• State
𝑆𝑆̇ = Λ − 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1 𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 − 𝑢𝑢 1 ∗ 𝑆𝑆 (15) 𝑉𝑉̇ = 𝑢𝑢 1 ∗ 𝑆𝑆 − 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 𝑉𝑉 − 𝜇𝜇𝑉𝑉
𝐼𝐼 1 ̇ = 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 1 − 𝛾𝛾 1 𝐼𝐼 1 − 𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 1 𝐼𝐼 2 ̇ = 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 2 − 𝛾𝛾 2 𝐼𝐼 2 − 𝑢𝑢 3 ∗ 𝐼𝐼 2
𝐼𝐼 3 ̇ = 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 𝑉𝑉 1 + 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝐼𝐼 3 − 𝛾𝛾 3 𝐼𝐼 3 − 𝑢𝑢 4 ∗ 𝐼𝐼 3
𝑅𝑅̇ = 𝑢𝑢 2 ∗ 𝐼𝐼 1 + 𝛾𝛾 1 𝐼𝐼 1 + 𝑢𝑢 3 ∗ 𝐼𝐼 2 + 𝛾𝛾 2 𝐼𝐼 2 + 𝑢𝑢 4 ∗ 𝐼𝐼 3 + 𝛾𝛾 3 𝐼𝐼 3 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 .

## Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
• Costate
𝜆𝜆̇ 1 = −𝜆𝜆 1 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1 + 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 𝜆𝜆 1 (1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 ) 2 + 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 𝜆𝜆 1 + 𝜇𝜇𝜆𝜆 1 + 𝑢𝑢 1 ∗ 𝜆𝜆 1 − 𝑢𝑢 1 ∗ 𝜆𝜆 2 − 𝜆𝜆 3 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 1
− 𝜆𝜆 4 𝛽𝛽 2 𝐼𝐼 2 (1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 ) 2 − 𝜆𝜆 5 𝛽𝛽 3 𝐼𝐼 3 (16) 𝜆𝜆̇ 2 = 𝜆𝜆 2 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 + 𝜆𝜆 2 𝜇𝜇 − 𝜆𝜆 5 𝑘𝑘𝐼𝐼 3 𝜆𝜆̇ 3 = −𝐶𝐶 1 𝐼𝐼 1 + 𝜆𝜆 1 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 − 𝜆𝜆 3 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 + 𝜇𝜇𝜆𝜆 3 + 𝜆𝜆 3 𝛾𝛾 1 + 𝑢𝑢 2 ∗ 𝜆𝜆 3 − 𝑢𝑢 2 ∗ 𝜆𝜆 6 − 𝛾𝛾 1 𝜆𝜆 6 𝜆𝜆̇ 4 = −𝐶𝐶 2 𝐼𝐼 2 + 𝜆𝜆 1 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆 (1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 ) 2 − 𝜆𝜆 4 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆 (1 + 𝛼𝛼𝑆𝑆 ) 2 + 𝜆𝜆 4 𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 2 𝜆𝜆 4 + 𝑢𝑢 3 ∗ 𝜆𝜆 4
−𝑢𝑢 3 ∗ 𝜆𝜆 6 − 𝛾𝛾 2 𝜆𝜆 6 𝜆𝜆̇ 5 = −𝐶𝐶 3 𝐼𝐼 3 + 𝜆𝜆 1 𝛽𝛽 3 𝑆𝑆 + 𝜆𝜆 2 𝑘𝑘𝑉𝑉 − 𝜆𝜆 5 𝑘𝑘𝑉𝑉 − 𝜆𝜆 5 𝛽𝛽 3 𝑆𝑆 + 𝜆𝜆 5 𝜇𝜇 + 𝜆𝜆 5 𝛾𝛾 3 + 𝑢𝑢 4 ∗ 𝜆𝜆 5 − 𝑢𝑢 4 ∗ 𝜆𝜆 6 − 𝛾𝛾 3 𝜆𝜆 6 𝜆𝜆̇ 6 = 𝜆𝜆 6 𝜇𝜇 .
Sistem Persamaan Differensial pada Persamaan  (16) diselesaikan berdasarkan kondisi transversalitas yang telah didefinisikan sebelumnya sehingga :
𝜆𝜆 𝑖𝑖 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 0 dengan 𝑖𝑖 = 1,2,3,4,5,6.
(17)
Persamaan  Differensial  pada  Persamaan  (15) dan (16) dengan syarat batas diselesaikan menggunakan metode Runge Kutta Orde-4 Forward-Backward Sweep yang mengacu  pada Subbab 2.2, yaitu sebagai berikut :
1. Menentukan nilai awal untuk 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , dan 𝑢𝑢 4 sama dengan nol.
2. Menggunakan nilai 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 awal dan nilai awal 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , dan 𝑢𝑢 4 untuk menyelesaikan state ( 𝑥𝑥 ) . Variabel 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 𝒙𝒙 = ( 𝑆𝑆 , 𝑉𝑉 , 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 , 𝑅𝑅 ) diselesaikan menggunakan metode Forward Sweep dengan nilai awal 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑆𝑆 0 , 𝑉𝑉 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑉𝑉 0 , 𝐼𝐼 1 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝐼𝐼 10 , 𝐼𝐼 2 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝐼𝐼 20 , 𝐼𝐼 3 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝐼𝐼 13 , 𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑅𝑅 0 . Nilai 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 awal sudah ditentukan diawal, sehingga dapat diperoleh nilai 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 baru yaitu
� 𝑆𝑆 ( 𝑖𝑖 + 1), 𝑉𝑉 ( 𝑖𝑖 + 1), 𝐼𝐼 1 ( 𝑖𝑖 + 1), 𝐼𝐼 2 ( 𝑖𝑖 + 1), 𝐼𝐼 3 ( 𝑖𝑖 + 1), 𝑅𝑅 ( 𝑖𝑖 + 1) �
3. Menggunakan nilai akhir 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 , nilai awal 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , dan 𝑢𝑢 4 serta nilai 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 baru pada yang dapat dilihat pada langkah 2 untuk menyelesaikan 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 ( 𝝀𝝀 ) . Variabel 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 diselesaikan dengan metode Backward sweep dengan nilai akhir 𝜆𝜆 1 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝜆𝜆 2 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝜆𝜆 3 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝜆𝜆 4 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝜆𝜆 5 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝜆𝜆 6 �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 0 . Maka dapat dihitung nilai 𝜆𝜆 1 ( 𝑘𝑘 − 1), 𝜆𝜆 2 ( 𝑘𝑘 − 1), 𝜆𝜆 3 ( 𝑘𝑘 − 1), 𝜆𝜆 4 ( 𝑘𝑘 − 1), 𝜆𝜆 5 ( 𝑘𝑘 − 1), 𝜆𝜆 6 ( 𝑘𝑘 − 1) dengan nilai 𝑘𝑘 = 𝑁𝑁 + 2 − 𝑖𝑖 dan 𝑁𝑁 merupakan banyaknya langkah.
4. Memperbarui nilai kendali 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , dan 𝑢𝑢 4 menggunakan 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 dan 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠 yang baru,
𝑢𝑢 1 ∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 1 𝑆𝑆−𝜆𝜆 2 𝑆𝑆 𝐶𝐶 4 �� ,
𝑢𝑢 2 ∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 3 𝐼𝐼 1 −𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 1 𝐶𝐶 5 �� ,
𝑢𝑢 3 ∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 4 𝐼𝐼 2 −𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 2 𝐶𝐶 6 �� ,
𝑢𝑢 4 ∗ = min � 1, maks � 0, 𝜆𝜆 5 𝐼𝐼 3 −𝜆𝜆 6 𝐼𝐼 3 𝐶𝐶 7 �� .
5. Jika nilai variabel iterasi saat ini dan iterasi sebelumnya sangat kecil maka nilai tersebut menjadi solusi. Tetapi jika tidak maka kembali pada langkah 2.
3.2 Simulasi
Bagian ini membahas  tentang  perbandingkan jumlah individu pada masing-masing subpopulasi dengan dan tanpa kendali optimal. Parameter yang digunakan untuk  simulasi ditunjukan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Parameter Model Penyebaran Penyakit
Parameter Nilai Parameter Parameter Nilai Parameter Λ 200 𝑟𝑟 1 0,60 𝜇𝜇 0.02 𝛼𝛼 0,7 𝑘𝑘 1 × 10 −4 𝐶𝐶 1 0,51 𝛽𝛽 1 5 × 10 −5 𝐶𝐶 2 0,41 𝛽𝛽 2 3 × 10 −5 𝐶𝐶 3 0,31 𝛽𝛽 3 2 × 10 −5 𝐶𝐶 4 0.85 𝛾𝛾 1 8 × 10 −2 𝐶𝐶 5 0.95 𝛾𝛾 2 9 × 10 −2 𝐶𝐶 6 0.95 𝛾𝛾 3 0,1 𝐶𝐶 7 0.95 𝑡𝑡 𝑓𝑓 40 Bulan
Nilai awal State yang telah ditetapkan pada tiap masing-masing subpopulasi sebagai berikut : 𝑆𝑆 (0) = 20000, 𝑉𝑉 1 (0) = 500, 𝐼𝐼 1 (0) = 400, 𝐼𝐼 2 (0) =  300, 𝐼𝐼 3 (0) =  400 , 𝑅𝑅 (0) =  100 .

## a. Perubahan Jumlah Individu Subpopulasi Susceptible
Gambar  2  menunjukkan bahwa  dengan pemberian kontrol jumlah populasi Susceptible menurun hingga 1.100 individu pada bulan ke-3, lalu kembali meningkat hingga mencapai 3.463 individu diwaktu akhir. Hal ini disebabkan dengan adanya tingkat kelahiran individu, sedangkan tanpa pemberian kontrol jumlah populasi Susceptible terus menurun secara bertahap hingga 1997 individu.  Hal ini  menunjukkan pengaruh kontrol vaksinasi yang mengakibatkan perpindahan populasi dari Susceptible ke Vaccinated dalam jumlah besar pada lima bulan pertama. Tanpa kendali optimal, populasi Susceptible terus menurun karena adanya infeksi dari 3 strain virus Influenza H1N1.

## Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Gambar 2. Perubahan Jumlah Individu Susceptible (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).

## b. Perubahan Jumlah Subpopulasi Vaccinated
Gambar  3  menunjukkan bahwa  dengan  pemberian kontrol, jumlah populasi individu Vaccinated bertambah drastis hingga mencapai angka tertinggi 16.985 individu pada bulan ke-3. Berbeda dengan tanpa kendali optimal, jumlah populasi Vaccinated diwaktu akhir relatif kecil yaitu paling banyak 40.14 individu.
Gambar 3. Perubahan Jumlah Individu Vaccinated (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).

## c. Perubahan Jumlah Subpopulasi Infected Strain 1
Jumlah subpopulasi pada individu Infected strain 1 pada waktu awal diasumsikan sebanyak 400. Gambar 4 menunjukkan bahwa tanpa pemberian kontrol jumlah populasi individu Infected strain 1 naik hingga mencapai 491 individu pada bulan ke-5. Individu yang terinfeksi strain 1 harus segera mendapatkan penanganan agar dapat mencegah penyebaran pada individu lain. Sedangkan dengan pemberian kontrol jumlah populasi individu Infected strain 1 menurun secara drastis hingga mencapai 1 individu diwaktu akhir.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 x 10 4 Waktu (bulan) Pen yeb ar an S uscep tib le Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 x 10 4 Waktu (bulan) Pen yeb ar an V acci nat io n Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal
Gambar 4. Perubahan Jumlah Individu Infected strain I (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).

## d. Perubahan Jumlah Subpopulasi Infected strain 2
Diasumsikan jumlah individu pada waktu awal sebanyak 500 individu. Dilihat pada Gambar 5 tanpa kendali optimal, jumlah individu Infected strain 2 dapat diketahui bahwa pada bulan ke-9 menunjukkan kenaikan sebesar 16380. Kemudian perlahan memasuki bulan ke-10 grafik infected mengalami penurunan cukup hingga pada waktu akhir mencapai 4787 individu. Sedangkan ketika diberikan kendali optimal, jumlah individu subpopulasi Infected strain 2 terus berkurang hingga 0 individu.  Hal ini menunjukkan bahwa dengan adanya pemberian kendali optimal berupa pengobatan, individu subpopulasi Infected strain 2 dapat berkurang seiring berjalannya waktu.
Gambar 5. Perubahan Jumlah Individu Infected strain 2 (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).

## e. Perubahan Jumlah Subpopulasi Infected strain 3
Diasumsikan bahwa jumlah individu pada waktu awal yaitu sebanyak 400 individu. Ketika tanpa diberi kendali optimal, jumlah Infected strain 3 pada waktu akhir yaitu sebanyak 4 individu. Penurunan ini diakibatkan seiring berkurangnya populasi yang rentan sebanding dengan tingkat kematian alami  oleh karena itu grafik mengalami penurunan yang signifikan terhadap waktu.
0 5 10 15
20 25 30 35 40 0 100 200 300 400 500 Waktu (bulan) Pen yeb ar an In fect ed S tr ai n 1 Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.5 1 1.5 2 x 10 4 Waktu (bulan) Pen yeb ar an In fect ed S tr ai n 2 Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal

## 68 Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
Sedangkan ketika diberi kontrol berupa pengobatan, jumlah individu Infected strain 3 pada waktu akhir yaitu sebanyak 0  individu  yang  ditujukan pada Gambar 6.  Pemberian kendali optimal merupakan solusi untuk mencegah dan mengurangi jumlah populasi yang terinfeksi strain 3.
Gambar 6. Perubahan Jumlah Individu Infected strain 3 (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).

## f. Perubahan Jumlah Subpopulasi Recovered
Diasumsikan bahwa jumlah individu Recovered pada waktu awal yaitu sebanyak 100 individu. Dengan kendali optimal, penyebaran penyakit Influenza strain 1, strain 2, dan strain 3 dapat ditekan sehingga jumlahnya senantiasa menurun  seperti  pada Gambar 7. Kondisi ini berpengaruh pula pada jumlah individu Recovered dimana jumlahnya tidak lebih dari 171 individu. Berbeda halnya dengan saat tanpa kontrol optimal dimana jumlah subpopulasi Recovered meningkat seiring waktu hingga mencapai 12.335 individu.
Gambar 7. Perubahan Jumlah Individu Recovered (Tanpa dan dengan Kendali Optimal).
Hal ini dikarenakan populasi individu yang sembuh bergantung pada jumlah populasi yang terinfeksi tiga strain.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Waktu (bulan) Pen yeb ar an In fect ed S tr ai n 3 Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5000 10000 15000 Waktu (bulan) popula si S em buh Dengan kendali optimal Tanpa kendali optimal
g. Kontrol Optimal
Selanjutnya, dilakukan interpretasi kendali optimal berupa vaksinasi pada individu yang rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi tiga strain.

## Gambar 8. Tingkat Pemberian Kendali Optimal
Dilihat pada Gambar 8 keempat kendali menunjukkan perilaku yang relatif sama. Diawal keempat kontrol mencapai nilai maksimal yaitu 1, lalu turun secara bertahap menuju nilai 0. Hasil ini menunjukkan bahwa upaya pemberian vaksinasi pada individu rentan dan pengobatan pada individu yang terinfeksi influenza harus dilakukan secara optimal di awal. Usaha tersebut nantinya dapat dikurangi secara bertahap jika kondisi sudah membaik.

## 4 S impulan
Rekonstruksi model penyebaran penyakit influenza H1N1 tiga strain dengan pemberian kontrol optimal pada individu yang rentan terhadap penyakit influenza H1N1 dan pengobatan pada individu yang terinfeksi influenza H1N1 tiga strain dapat diselesaikan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin, dimana pemberian kontrol optimal dapat meminimumkan jumlah individu yang terinfeksi Influenza H1N1 tiga strain secara optimal. Dengan demikian pemberian kendali harus dilakukan untuk mengurangi jumlah individu yang terinfeksi penyakit Influenza H1N1 sekaligus sebagai upaya pencegahan sebelum penyakit tersebut semakin mewabah.

## 5 Daftar Pustaka
[1] R. Casagrandi, L. Bolzoni, S. A. Levin, and V. Andreasen, “The SIRC Model and Influenza A,” Math. Biosci. , vol. 200, no. 2, pp. 152–169, 2006.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Waktu(bulan) K enda li O pt im al u1 = Vaksinasi u2 = Pengobatan Strain 1 u3 = Pengobatan Strain 2 u4 = Pengobatan Strain 3
70 Kendali Optimal Penyebaran Penyakit Inflenza H1N1 Tiga Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan
[2]  World Health Organization, “Managing Epidemics - Key Facts about Major Deadly Diseases,” 2018. https://www.who.int/emergencies/diseases/managing-epidemics/en/.
[3]  D. Natalia, T. Bakhtiar, and J. Jaharuddin, “Model Pengendalian Influenza H1N1 Dua Strain dengan Vaksinasi dan Pengobatan,” J. Math. Its Appl. , vol. 17, pp. 1–16, 2018.
[4]  T. Syafriati, “Mengenal Penyakit Influenza Babi,” Lokakarya Nas. Penyakit Zoonosis Bogor , 2014.
[5]  World Health Organization, “CDC Protocol of Realtime RTPCR for Influenza A (H1N1),” 2009.
https://www.who.int/csr/resources/publications/swineflu/realtimeptpcr/en/.
[6]  I. A. Baba and E. Hincal, “A Model for Influenza with Vaccination and Awareness,” Chaos, Solitons & Fractals , vol. 106, pp. 49–55, 2018.
[7]  D. S. Naidu, Optimal Control System . Pocatello, Idaho, USA: CRC Press, 2003.
[8]  R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis , Ninth Edit. Richard Stratton, 2010.
[9]  Supriyanto, “Runge-Kutta Orde Empat,” Dep. Fis. Univ. Indones. , 2006.
[10]  S. Lenhart and J. T. Workman, Optimal Control Applied to Biological Models . Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group, 2007.