HIMPUNAN SISTEM- 𝒎𝒎 𝜷𝜷 DAN RADIKAL PRIMA- 𝜷𝜷 GABUNGAN SUATU ( 𝑹𝑹 , 𝑺𝑺 ) -MODUL
Dian Ariesta Yuwaningsih 1* , Rusmining 1 , Angga Dewanta Agastya 1 , Afifah Althafinisa 1 , Kaisar Pradipta Bhagaskara 1
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta Email: 1* dian.ariesta@pmat.uad.ac.id
Abstract. The jointly prime submodule of  ( R,S )-modules has been generalized into jointly 𝛽𝛽 -prime submodules. The primeness of an ( R,S )-module cannot be separated from its prime radical. On the other hand, prime radicals cannot be separated from their multiplicative closed sets. In this research, the definition of a multiplicative closed set on ( R,S )-modules relative to the jointly prime- 𝛽𝛽 submodule is presented, hereinafter referred to as the 𝑚𝑚 𝛽𝛽 -system set. Then we show that the 𝑚𝑚 𝛽𝛽 -system set is the complement of a jointly 𝛽𝛽 -prime ( R,S )-submodule. In addition, we also define the jointly 𝛽𝛽 -prime radical of an ( R,S )-module and present some of its properties. At the end of this study, we show that in the left multiplication ( R,S )-module, the jointly 𝛽𝛽 -prime radical of the two ( R,S )- submodule slices in 𝑀𝑀 is equal to the intersection of the two jointly 𝛽𝛽 -prime radicals of each ( R,S )-submodule. Keywords: ( R,S )-module, 𝛽𝛽 -prime submodule, jointly 𝛽𝛽 -prime submodule
Abstrak. Submodul prima gabungan pada ( R,S )-modul telah mengalami perumuman menjadi submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Keprimaan pada suatu ( R,S )-modul tidak terlepas dari radikal primanya. Di sisi lain, radikal prima tidak terlepas dari himpunan tertutup multiplikatifnya. Pada penelitian ini disajikan definisi himpunan tertutup multiplikatif pada ( R,S )-modul relatif terhadap submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan, yang selanjutnya disebut himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 . Kemudian ditunjukkan bahwa himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 merupakan komplemen dari suatu ( R,S )-submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Selain itu, didefinisikan pula radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan pada ( R,S )-modul dan beberapa sifatnya. Pada akhir penelitian ini, ditunjukkan bahwa pada ( R,S )-modul perkalian kiri 𝑀𝑀 , radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari irisan dua ( R,S )-submodul di 𝑀𝑀 sama dengan irisan dua radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari masing-masing ( R,S )-submodulnya. Kata Kunci: ( R,S )-modul, submodul prima- 𝛽𝛽 , radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan

## I. PENDAHULUAN
Pada keseluruhan tulisan ini, 𝑅𝑅 dan 𝑆𝑆 masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan tak nol dan 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul kecuali dinyatakan selain itu. Diberikan ( 𝐺𝐺 , +) merupakan suatu grup dan himpunan 𝑁𝑁 ⊆ 𝐺𝐺 . Merujuk pada paper [1] dan [2], apabila diberikan grup ( 𝐺𝐺 , +) dan himpunan bagian 𝑁𝑁 di 𝐺𝐺 , maka didefinisikan himpunan 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) = { 𝑛𝑛 ∈ 𝐺𝐺 ∣ 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 } dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) = { 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∣ 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 } . Jelas bahwa 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑁𝑁 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) . Kemudian apabila diberikan ring 𝑅𝑅 dan 𝑁𝑁 merupakan ideal di 𝑅𝑅 , maka 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) masing- masing juga merupakan ideal di ring 𝑅𝑅 . Begitu halnya apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dan
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka 𝛼𝛼 ( 𝑁𝑁 ) dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) masing-masing juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 .
Dalam papernya, [1]  mendefinisikan  submodul  prima- 𝛼𝛼 sebagai perumuman dari submodul  prima. Di paper yang lain, [2]  mendefinisikan  submodul  prima- 𝛽𝛽 sebagai perumuman dari submodul  prima. Selain itu, [1]  dan  [2]  juga mendefinisikan himpunan tertutup multiplikatif pada suatu modul, tetapi penelitiannya tidak sampai radikal primanya. Konsep submodul prima- 𝛼𝛼 pada  [1], telah dibawa ke struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul oleh  [3], yang selanjutnya disebut dengan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛼𝛼 gabungan. Kemudian, penelitian terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul  prima- 𝛼𝛼 gabungan dilanjutkan oleh [4]  hingga radikal primanya, yang selanjutnya disebut dengan radikal prima- 𝛼𝛼 gabungan. Di sisi lain, konsep submodul prima- 𝛽𝛽 juga telah dibawa ke dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, yang selanjutnya disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Namun, penelitian terkait ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan ini belum diteliti hingga radikal primanya. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan disajikan hasil tentang radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul sebagai perumuman radikal prima gabungan pada [5]. Namun sebelumnya akan disajikan terlebih dahulu definisi dari himpunan tertutup multiplikatif pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul relatif terhadap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan, yang selanjutnya disebut dengan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 . Lebih lanjut, disajikan pula beberapa sifat dari himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 , radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan, serta hubungan diantara keduanya.

## II. HIMPUNAN SISTEM- 𝒎𝒎 𝜷𝜷
Konsep radikal prima pada suatu 𝑅𝑅 -modul tidak bisa terlepas dari himpunan sistem- 𝑚𝑚 dari modul tersebut. Adapun pendefinisian himpunan sistem- 𝑚𝑚 pada 𝑅𝑅 -modul ini bergantung pada definisi keprimaan pada submodulnya [6]. Beberapa peneliti dalam membawa keprimaan di dalam struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul ke radikalnya juga melalui himpunan sistem- 𝑚𝑚 terlebih dahulu. Misalnya dalam paper [5], pendefinisian radikal prima gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul melalui himpunan  sistem- 𝑚𝑚 . Di sisi  lain, pada paper [4]  pendefinisian radikal prima- 𝛼𝛼 gabungan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul melalui himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛼𝛼 . Dengan merujuk pada penelitian-penelitian sebelumnya, sebelum membahas tentang radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, pada bagian ini akan disajikan terlebih dahulu tentang konsep himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul.
Selanjutnya apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , maka didefinisikan annihilator dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul faktor 𝑀𝑀 / 𝑁𝑁 adalah himpunan ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) = { 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 ∣ 𝑟𝑟𝑀𝑀 ⊆ 𝑁𝑁 } . Merujuk pada [7], jika ring 𝑆𝑆 memenuhi 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 maka dapat ditunjukkan bahwa himpunan ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) membentuk ideal di 𝑅𝑅 . Berikut diberikan definisi dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Definisi 1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan jika untuk setiap 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 .
Merujuk pada [7], apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan jika untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑆𝑆 ∈ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑎𝑎𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Dapat ditunjukkan bahwa setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.  Dengan demikian, ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan merupakan perumuman dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan.
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Selanjutnya, berikut diberikan suatu proposisi yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Sifat ini yang melibatkan ideal di dalam ring 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di dalam 𝑀𝑀 , dan selanjutnya akan digunakan dalam menunjukkan suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Proposisi  1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 .  Submodul 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Bukti: ( ⇒ ) Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊈ 𝑃𝑃 . Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼 dan 𝑛𝑛 ∈ 𝑁𝑁 . Diperoleh 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 ∉ 𝑃𝑃 . Karena diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan, maka 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) .  Jadi, terbukti bahwa 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) .
( ⇐ ) Diambil sebarang  elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 tetapi 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Diperhatikan bahwa karena 𝑅𝑅 komutatif dan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 maka diperoleh 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆𝑆𝑆 2 = 𝑅𝑅𝑟𝑟 ( 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆 = 𝑃𝑃 . Dari sini, diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟 + 𝑅𝑅𝑟𝑟 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari persamaan 𝑅𝑅𝑟𝑟 + 𝑅𝑅𝑟𝑟 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Oleh karena untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 + 𝑟𝑟𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , sehingga diperoleh 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, karena untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka dari 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 + 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Jadi diperoleh bahwa 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . □ Berikut disajikan suatu contoh ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Contoh 1 Diberikan ℤ sebagai ( 2ℤ , 3ℤ ) -modul. Dapat ditunjukkan bahwa 6ℤ merupakan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di ℤ . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 = (2 𝑘𝑘 ) ℤ di 2ℤ dan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚ℤ di ℤ , untuk suatu 𝑘𝑘 , 𝑚𝑚 ∈ ℕ . Apabila diketahui 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 = (2 𝑘𝑘 ) ℤ ( 𝑚𝑚ℤ ) 3ℤ = (6 𝑘𝑘𝑚𝑚 ) ℤ ⊆ 6ℤ dan 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 = 𝑚𝑚ℤ + 𝑚𝑚ℤ = 2 𝑚𝑚ℤ ⊈ 6ℤ , maka untuk berapapun nilai 𝑘𝑘 ∈ ℕ berlaku ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 = � (2 𝑘𝑘 ) ℤ + (2 𝑘𝑘 ) ℤ�ℤ ( 3ℤ ) = (4 𝑘𝑘 ) ℤℤ ( 3ℤ ) = 12 𝑘𝑘ℤ ⊆ 6ℤ . Dengan demikian, terbukti bahwa 6ℤ merupakan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di ℤ .
Selanjutnya, berikut diberikan definisi dari himpunan tertutup multiplikatif pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul 𝑀𝑀 , yang selanjutnya disebut dengan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 . Definisi  2 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Himpunan tak kosong 𝑋𝑋 ⊆ 𝑀𝑀 ∖ {0} disebut himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 apabila untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 serta untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 dan 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan sifat ( 𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ dan �𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) � ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ maka berakibat ( 𝐾𝐾 + 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ .
Contoh  2 Diberikan ℤ sebagai ( 2ℤ , 3ℤ ) -modul.  Himpunan ℤ ∖ 6ℤ merupakan himpunan sistem - 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di ℤ .
Seperti halnya pada modul dalam [6], himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 ini ternyata merupakan komplemen dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Namun sebelumnya, merujuk pada [1], apabila diberikan grup ( 𝐺𝐺 , +) serta subgrup 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 di 𝐺𝐺 maka diperoleh 𝐴𝐴 ⊆ 𝛼𝛼 ( 𝐵𝐵 ) jika dan hanya jika 𝛽𝛽 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝐵𝐵 . Sifat ini akan digunakan dalam pembuktian beberapa sifat selanjutnya.
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Proposisi  2 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan jika dan hanya jika 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 .
Bukti: ( ⇒ ) Diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Akan dibuktikan bahwa 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 dan 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan ( 𝐾𝐾 + 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ) ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ . Dari sini diperoleh 𝐾𝐾 + 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh 𝐾𝐾 ⊆ 𝑃𝑃 dan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan maka dari 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya diperoleh 𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 .  Dari sini diperoleh ( 𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ) ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ atau �𝐾𝐾 + 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) � ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 .
( ⇐ ) Diketahui 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 . Akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Dari sini, berarti diperoleh 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ . Karena diketahui 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ atau 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ . Dari sini diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan kata lain, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Berikut disajikan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan dan hubungannya dengan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 .
Proposisi  3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
a. 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 .
b. 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 . c. Untuk setiap ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan setiap elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 , jika 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 maka 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . d. Untuk setiap elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan setiap elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 , jika ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 maka 𝑟𝑟𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ .
Bukti: ( 𝑎𝑎 ⇔ 𝑏𝑏 ) Jelas dari Proposisi 4.
( 𝑏𝑏 ⇒ 𝑐𝑐 ) Diketahui 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan elemen 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 . Karena 𝑚𝑚 ∈ 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 maka diperoleh 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝛽𝛽 ( 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ) . Akibatnya, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ) ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . Karena 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 merupakan  himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 , maka diperoleh 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ .  Karena 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 maka diperoleh 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑆𝑆 . Akibatnya, diperoleh 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 , sehingga terbukti bahwa 𝐼𝐼𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . ( 𝑐𝑐 ⇒ 𝑑𝑑 ) Diambil sebarang elemen 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 dengan ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 . Karena 𝑟𝑟 ∈ 𝑟𝑟𝑅𝑅 dan ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝑅𝑅𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . Berdasarkan hipotesis, maka diperoleh 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . ( 𝑑𝑑 ⇒ 𝑎𝑎 ) Diambil sebarang 𝑟𝑟 ∈ 𝑅𝑅 dan 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 sedemikian sehingga memenuhi 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ∉ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Berarti diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊈ 𝑃𝑃 dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh ( 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ dan 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 ∉ 𝑃𝑃 . Berdasarkan hipotesis, maka diperoleh
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑟𝑟𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 ≠ ∅ . Andaikan 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ∈ 𝑃𝑃 maka dipeoroleh 𝑟𝑟𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 sehingga 𝑟𝑟𝑅𝑅𝑚𝑚𝑆𝑆 ∩ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 = ∅ . Kontradiksi, sheingga 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆 ∉ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . □
Sifat berikut ini menunjukkan suatu syarat cukup agar suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Proposisi  4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 serta himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 . Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 yang maksimal terhadap sifat 𝑃𝑃 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ , maka 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Bukti: Diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 yang maksimal terhadap sifat 𝑃𝑃 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ . Akan dibuktikan bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Andaikan 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊈ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊈ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh bahwa 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊈ 𝑃𝑃 dan 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊈ 𝑃𝑃 . Oleh karena diketahui 𝑃𝑃 maksimal terhadap sifat 𝑃𝑃 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ maka diperoleh ( 𝑃𝑃 + 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ dan ( 𝑃𝑃 + 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 )) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ . Karena 𝑋𝑋 merupakan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 di 𝑀𝑀 , maka diperoleh ( 𝑃𝑃 + 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ) ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ . Karena 𝐼𝐼𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 , maka diperoleh 𝑃𝑃 ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ . Kontradiksi dengan 𝑃𝑃 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ . Berarti pengandaian salah dan harus diingkar, sehingga haruslah 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . □ Apabila diberikan 𝑅𝑅 -modul 𝑀𝑀 dan submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , maka diperhatikan  kembali himpunan √𝑁𝑁 = { 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 ∣ ( ∀𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑀𝑀 ) 𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 ⇒ 𝑋𝑋 ∩ 𝑁𝑁 ≠ ∅ } pada paper [6]. Selanjutnya, berikut disajikan perumuman dari definisi himpunan √𝑁𝑁 pada [6] untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , yang selanjutnya dinotasikan dengan himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 .
Definisi 3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Apabila terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan yang memuat 𝑁𝑁 , maka didefinisikan himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 : = �𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 ∣ �∀𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑀𝑀�𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 ⇒ 𝑋𝑋 ∩ 𝑁𝑁 ≠ ∅� .
Apabila tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan yang memuat 𝑁𝑁 , maka didefinisikan himpunan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≔ 𝑀𝑀 .
Seperti halnya pada modul, berikut didefinisikan himpunan spectrum dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - modul, yaitu himpunan semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Definisi 4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Didefinisikan himpunan
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ): = { 𝑃𝑃 ∣ 𝑃𝑃 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑏𝑏𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑟𝑟𝑠𝑠𝑚𝑚𝑎𝑎 − 𝛽𝛽 𝑔𝑔𝑎𝑎𝑏𝑏𝑚𝑚𝑛𝑛𝑔𝑔𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑀𝑀 } dan himpunan 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ): = �𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) ∣ 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃� .
Selanjutnya, berikut diberikan suatu sifat terkait himpunan 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 .
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Proposisi  5 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . a. Jika diberikan { 𝑁𝑁 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 merupakan koleksi ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka diperoleh ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) = 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 .
b. Jika 𝑁𝑁 dan 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) ∪ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ∩ 𝐿𝐿 ) .

## Bukti:
a. Diambil sebarang 𝑃𝑃 ∈ ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 , maka 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ⊆ 𝑃𝑃 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 .  Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ⊆ 𝑃𝑃 . Jadi diperoleh 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) . Dengan demikian, diperoleh ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) ⊆ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 . Selanjutnya, diambil sebarang 𝐾𝐾 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) , maka diperoleh ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ⊆ 𝐾𝐾 . Akibatnya, diperoleh 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ⊆ 𝐾𝐾 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 , sehingga diperoleh 𝐾𝐾 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) , untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 . Dari sini, diperoleh 𝐾𝐾 ∈ ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 sehingga 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) ⊆ ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 . Dengan demikian, terbukti bahwa ⋂ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) = 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( ∑ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 .
b. Diambil sebarang 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) ∪ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝐿𝐿 ) , maka 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝐿𝐿 ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh 𝑁𝑁 ∩ 𝐿𝐿 ⊆ 𝑃𝑃 . Jadi, diperoleh 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ∩ 𝐿𝐿 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) ∪ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ∩ 𝐿𝐿 ) . □
Merujuk pada [6], diketahui bahwa himpunan √𝑁𝑁 = 𝑀𝑀 atau √𝑁𝑁 merupakan irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 yang memuat 𝑁𝑁 . Sifat ini juga berlaku pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul, seperti yang disajikan pada proposisi berikut ini.
Proposisi  6 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , maka √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀 atau
√𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≔ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) .
Bukti: Misalkan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≠ 𝑀𝑀 , berarti himpunan 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) ≠ ∅ . Diambil sebarang 𝑚𝑚 ∈ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 dan sebarang 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) . Selanjutnya, dibentuk sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑋𝑋 ≔ 𝑀𝑀 ∖ 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 . Karena 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 maka 𝑋𝑋 ∩ 𝑁𝑁 = ∅ . Akibatnya diperoleh 𝑚𝑚 ∉ 𝑋𝑋 , sehingga 𝑚𝑚 ∈ 𝑃𝑃 . Jadi, terbukti bahwa √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ⊆ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) .  Sebaliknya, diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) . Andaikan 𝑎𝑎 ∉ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 , maka terdapat sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 𝑋𝑋 sedemikian sehingga 𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 tetapi 𝑁𝑁 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ . Selanjutnya, dibentuk himpunan
ℋ = { 𝐽𝐽 ∣ 𝑁𝑁 ⊆ 𝐽𝐽 , 𝐽𝐽 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − submodul di 𝑀𝑀 dengan 𝐽𝐽 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ } .
Himpunan ℋ merupakan relasi terurut parsial dengan relasi inklusi. Dengan menggunakan Lemma Zorn, maka ℋ memiliki elemen maksimal yaitu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐾𝐾 ⊇ 𝑁𝑁 yang maksimal terhadap sifat 𝐾𝐾 ∩ 𝑋𝑋 = ∅ . Berdasarkan Proposisi 4  maka diperoleh bahwa 𝐾𝐾
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , sehingga diperoleh 𝐾𝐾 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) . Dengan demikian diperolej 𝑎𝑎 ∈ 𝐾𝐾 . Padahal 𝑎𝑎 ∈ 𝑋𝑋 , sehingga diperolej 𝐾𝐾 ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ . Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah dan harus diingkar sehingga diperoleh 𝑎𝑎 ∈ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 . Jadi terbukti bahwa ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 , sehingga terbukti √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≔ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) . □
Diberikan ring 𝑅𝑅 sebarang dan ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 . Merujuk pada [8], diketahui bahwa √𝐼𝐼 sama dengan 𝑅𝑅 atau merupakan irisan dari semua ideal prima di 𝑅𝑅 yang memuat 𝐼𝐼 . Jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , diketahui bahwa ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal di 𝑅𝑅 . Berdasarkan [8], diperoleh bahwa � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sama dengan 𝑅𝑅 atau merupakan irisan semua ideal prima di 𝑅𝑅 yang memuat ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, berikut diberikan hubungan antara himpunan � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 dengan √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 .
Proposisi  7 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 maka � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 .
Bukti: Diketahui bahwa � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) sama dengan 𝑅𝑅 atau merupakan irisan dari semua ideal prima di 𝑅𝑅 yang memuat ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Jika √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 = 𝑀𝑀 , maka karena � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ 𝑅𝑅 diperoleh � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑅𝑅𝑀𝑀𝑆𝑆 = 𝑀𝑀 = √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 . Selanjutnya, jika √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≠ 𝑀𝑀 , berarti bahwa √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 = ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) . Diambil sebarang 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) , maka 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 dengan 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 . Sehingga diperoleh ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal prima di 𝑅𝑅 . Selanjutnya, karena 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 maka diperoleh ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Karena ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) merupakan ideal prima di 𝑅𝑅 dan memuat ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , maka diperoleh � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Akibatnya, diperoleh � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena pengambilan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 𝑃𝑃 ∈ 𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) sebarang, maka diperoleh � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑉𝑉 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑁𝑁 ) = √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 . Dengan demikian, pada kedua kasus terbukti bahwa � ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ √𝑁𝑁 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 . □
III. RADIKAL PRIMA- 𝜷𝜷 GABUNGAN PADA ( 𝑹𝑹 , 𝑺𝑺 ) -MODUL
Sebelumnya telah disajikan bahwa ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan  merupakan perumuman dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima gabungan. Dengan demikian, radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dapat dipandang sebagai perumuman dari radikal prima gabungan pada [5]. Pada bagian ini akan disajikan definisi dari radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dan beberapa sifat-sifatnya.
Berikut disajikan definisi dari radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Definisi  1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 maka didefinisikan radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari 𝑀𝑀 adalah 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ≔ √ 0 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ≔ ⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑆𝑆𝑗𝑗𝑆𝑆𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) . Namun, jika tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 maka didefinisikan radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari 𝑀𝑀 adalah 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ≔ 𝑀𝑀 .
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Contoh 1 Diberikan ℤ sebagai ( 2ℤ , 3ℤ ) -modul. Dapat ditunjukkan bahwa submodul {0} merupakan ( 2ℤ , 3ℤ ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di ℤ . Oleh karena setiiap ( 2ℤ , 3ℤ ) - submodul prima- 𝛽𝛽 di ℤ memuat submodul {0} , maka radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari ( 2ℤ , 3ℤ ) - modul ℤ adalah 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 2ℤ , 3ℤ ) ( ℤ ) = {0} .
Sebelum ke sifat pertama dari radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan, berikut diberikan suatu sifat yang akan digunakan dalam pembuktian sifat selanjutnya.
Proposisi  1 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , maka 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑁𝑁 .
Bukti: Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝐿𝐿 di 𝑁𝑁 dengan 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 . Dari sini diperoleh bahwa 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑁𝑁 , maka 𝐿𝐿 juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 . Akibatnya, karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , maka dari 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑃𝑃 .  Akibatnya, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑃𝑃 .  Karena 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 dan 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 . Dari sini, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 , sehingga 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 ) . Selanjutnya, karena 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑁𝑁 , maka diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑁𝑁 . Akibatnya, diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, dari 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 berakibat 𝛽𝛽 ( 𝐼𝐼 ) ⊆ ( 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 : 𝑅𝑅 𝑁𝑁 ) atau 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 . Jadi terbukti bahwa 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑁𝑁 . □ Proposisi  2 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) .
Bukti: Diambil sebarang ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) . Jika 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Jika 𝑁𝑁 ⊈ 𝑃𝑃 , maka berdasarkan Proposisi 1, diperoleh bahwa 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑁𝑁 . Akibatnya diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑁𝑁 ∩ 𝑃𝑃 ⊆ 𝑃𝑃 . Dengan demikian, dalam kedua kasus tersebut diperoleh bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑃𝑃 . Karena pengambilan 𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) sebarang, maka terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . □
Proposisi  3 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝑀𝑀 = ⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑁𝑁 𝑖𝑖 , yakni 𝑀𝑀 merupakan hasil tambah langsung dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul 𝑁𝑁 𝑖𝑖 di 𝑀𝑀 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = ⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) . Bukti: Karena 𝑁𝑁 𝑖𝑖 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 , maka 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) , untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 . Jadi diperoleh ⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 , maka 𝑚𝑚 = ∑ 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 dengan 𝑚𝑚 𝑖𝑖 ∈ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 dan 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = 0 kecuali untuk berhingga banyak indeks 𝐼𝐼 . Misalkan 𝑚𝑚 ∉⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) , akan ditunjukkan bahwa 𝑚𝑚 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Karena 𝑚𝑚 ∉⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) , maka terdapat 𝑘𝑘 ∈ 𝐼𝐼 sehingga 𝑚𝑚 𝑘𝑘 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ) . Berarti terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ di 𝑁𝑁 𝑘𝑘 sehingga 𝑚𝑚 𝑘𝑘 ∉ 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ . Dibentuk 𝐾𝐾 = 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ ⊕ ( ⊕ 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) .  Pertama, akan dibuktikan bahwa 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Diambil sebarang ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 dengan 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Karena 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑎𝑎 = ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 dengan 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ∈ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 untuk setiap
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 dan 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 0 kecuali untuk berhingga banyak indeks 𝐼𝐼 .  Berarti diperoleh 𝐼𝐼𝑎𝑎𝑆𝑆 = 𝐼𝐼 ( ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) 𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑆𝑆 + 𝐼𝐼 ( ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 ) 𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 , sehingga 𝐼𝐼𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ . Karena 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑁𝑁 𝑘𝑘 , maka 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ⊆ 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ atau ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑁𝑁 𝑘𝑘 𝑆𝑆 ⊆ 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ . Selanjutnya, karena 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ∈ 𝑁𝑁 𝑖𝑖 untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 maka diperoleh ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 + ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 ∈⊕ 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑖𝑖 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 . Karena untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝐼𝐼 diketahui bahwa 𝑁𝑁 𝑖𝑖 merupkan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka diperoleh ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 )( ⊕ 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) 𝑆𝑆 ⊆⊕ 𝑖𝑖≠𝑘𝑘 𝑁𝑁 𝑖𝑖 . Dengan demikian, diperoleh 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 = ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 + ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∈ 𝐾𝐾 atau ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 )( ⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) 𝑆𝑆 = ( 𝐼𝐼 + 𝐼𝐼 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝐾𝐾 . Jadi, terbukti bahwa 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Selanjutnya, karena 𝑚𝑚 𝑘𝑘 ∉ 𝑁𝑁 𝑘𝑘 ∗ maka 𝑚𝑚 ∉ 𝐾𝐾 . Karena 𝐾𝐾 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , maka 𝑚𝑚 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Jadi diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ⊆⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = ⊕ 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑁𝑁 𝑖𝑖 )
. □
Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑋𝑋 di 𝑀𝑀 disebut ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal apabila 𝑋𝑋 minimal di dalam himpunan semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , yaitu tidak terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan lain di 𝑀𝑀 yang termuat di dalam 𝑋𝑋 . Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal di 𝑀𝑀 . Dengan menggunakan sifat ini, diperoleh bahwa radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan sama dengan 𝑀𝑀 atau merupakan irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal di 𝑀𝑀 . Proposisi  4 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari 𝑀𝑀 adalah 𝑀𝑀 atau merupakan irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal di 𝑀𝑀 . Bukti: Misalkan 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ≠ 𝑀𝑀 , maka 𝑀𝑀 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan sehingga diperoleh 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) ≠ ∅ . Karena setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal, maka untuk setiap 𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal 𝑃𝑃 ′ ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) sedemikian sehingga memenuhi 𝑃𝑃 ′ ∈ 𝑃𝑃 . Selanjutnya, dibentuk himpunan
℘ = �𝑃𝑃 ′ ⊆ 𝑃𝑃 ∣ 𝑃𝑃 ′ ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) − submodul prima − 𝛽𝛽 gabungan minimal & 𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) � . Akan ditunjukkan bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = ⋂ 𝑃𝑃 ′ 𝑃𝑃 ′ ∈℘ . Karena ℘ ⊆ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ⊆ ⋂ 𝑃𝑃 ′ 𝑃𝑃 ′ ∈℘ .  Sebaliknya, diambil sebarang 𝑎𝑎 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) , maka terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑃𝑃 ∈ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑠𝑠𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) sehingga memenuhi 𝑎𝑎 ∉ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 ′ ⊆ 𝑃𝑃 untuk suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal 𝑃𝑃 ′ ∈ ℘ , maka diperoleh 𝑎𝑎 ∉ 𝑃𝑃 ′ . Akibatnya, diperoleh 𝑎𝑎 ∉ ⋂ 𝑃𝑃 ′ 𝑃𝑃 ′ ∈℘ sehingga terbukti bahwa ⋂ 𝑃𝑃 ′ 𝑃𝑃 ′ ∈℘ ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) merupakan irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan minimal di 𝑀𝑀 . □ Proposisi  5 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑃𝑃 1 dan 𝑃𝑃 2 di 𝑀𝑀 .  Jika
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � dan 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � , maka
berlaku 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � = ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � .
Bukti: Diambil sebarang 𝑎𝑎� ∈ ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � , maka 𝑎𝑎� = 𝑎𝑎 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) dengan 𝑎𝑎 ∈ 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 . Berarti 𝑎𝑎 ∈ 𝑃𝑃 1 dan 𝑎𝑎 ∈ 𝑃𝑃 2 , sehingga diperoleh 𝑎𝑎� ∈ 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � dan 𝑎𝑎� ∈ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � . Dengan demikian, diperoleh bahwa 𝑎𝑎� ∈ 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩
𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � . Jadi, terbukti bahwa ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ⊆ 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � .  Selanjutnya, diambil sebarang 𝑏𝑏� ∈ 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � .
Berarti diperoleh 𝑏𝑏� ∈ 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � dan 𝑏𝑏� ∈ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � . Dengan demikian, diperoleh 𝑏𝑏� = 𝑆𝑆 1 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) dan 𝑏𝑏� = 𝑆𝑆 2 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) , untuk suatu 𝑆𝑆 1 ∈ 𝑃𝑃 1 dan 𝑆𝑆 2 ∈ 𝑃𝑃 2 . Akibatnya, diperoleh 𝑏𝑏� = 𝑆𝑆 1 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑆𝑆 2 + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) , sehingga 𝑆𝑆 1 − 𝑆𝑆 2 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Berarti terdapat 𝑘𝑘 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) sehingga memenuhi 𝑆𝑆 1 − 𝑆𝑆 2 = 𝑘𝑘 . Dengan demikian, diperoleh 𝑆𝑆 1 = 𝑆𝑆 2 + 𝑘𝑘 ∈ 𝑃𝑃 2 dan 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 1 + 𝑘𝑘 ∈ 𝑃𝑃 1 . Jadi, diperoleh 𝑏𝑏� ∈ ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � , sehingga terbukti bahwa 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩ 𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ⊆ ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 1 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � ∩
𝑃𝑃 2 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � = ( 𝑃𝑃 1 ∩ 𝑃𝑃 2 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � . □
Apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , serta ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑃𝑃 dan 𝐴𝐴 di 𝑀𝑀 dengan 𝐴𝐴 ⊂ 𝑃𝑃 , maka 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 jika dan hanya jika 𝑃𝑃 / 𝐴𝐴 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 / 𝐴𝐴 . Dengan menggunakan sifat ini, berikut ditunjukkan bahwa radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -bimodul 𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � adalah nol.
Proposisi 6 Jika diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = 0 � .
Bukti: Misalkan 𝑀𝑀 tidak memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan, berarti diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑀𝑀 . Dari sini, diperoleh ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul faktor 𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � tidak memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan, sehingga diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = 𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � = 𝑀𝑀 𝑀𝑀 � = 0 � . Selanjutnya, misalkan 𝑀𝑀 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.  Diperoleh bahwa ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul faktor 𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � juga memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Akibatnya, diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = ⋂ 𝑃𝑃�
𝑃𝑃�∈𝑆𝑆𝑗𝑗𝑆𝑆𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � . Berdasarkan Proposisi 5 diperoleh
𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = � 𝑃𝑃� 𝑃𝑃�∈𝑆𝑆𝑗𝑗𝑆𝑆𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = �⋂ 𝑃𝑃 𝑃𝑃∈𝑆𝑆𝑗𝑗𝑆𝑆𝑐𝑐 𝛽𝛽 𝑗𝑗𝑗𝑗 ( 𝑀𝑀 ) � 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � = 0 �
Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 �𝑀𝑀 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) � � = 0 � . □
Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dan ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 sedemikian sehingga 𝐼𝐼 ⊆ (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Berdasarkan [9], diketahui bahwa suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 juga merupakan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -modul dengan operasi pergandaan skalar 𝑎𝑎� ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠 = 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑠𝑠 untuk setiap 𝑎𝑎� ∈ 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀 , dan 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 . Dengan menggunakan sifat ini, berikut diberikan suatu sifat yang merupakan syarat perlu dan syarat cukup suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul membentuk ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan.
Proposisi  7 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 , untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , dan ideal 𝐼𝐼 di 𝑅𝑅 dengan 𝐼𝐼 ⊆ (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) . Submodul 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 jika dan hanya jika 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Bukti: ( ⇒ ) Diambil sebarang ideal 𝐽𝐽̅ = 𝐽𝐽 / 𝐼𝐼 ∈ 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 dan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐽𝐽̅𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑀𝑀 dapat dipandang sebagai ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -modul, maka diperoleh 𝐽𝐽̅𝑁𝑁𝑆𝑆 = 𝐽𝐽 / 𝐼𝐼 ( 𝑁𝑁 ) 𝑆𝑆 = 𝐽𝐽𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , maka berakibat 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 atau ( 𝐽𝐽 + 𝐽𝐽 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh ( 𝐽𝐽̅ + 𝐽𝐽̅ ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 = ( 𝐽𝐽 + 𝐽𝐽 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 . Jadi, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . ( ⇐ ) Diambil sebarang ideal 𝐽𝐽 di 𝑅𝑅 dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dengan 𝐽𝐽𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena 𝑀𝑀 dapat dipandang sebagai ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -modul, maka diperoleh 𝐽𝐽𝑁𝑁𝑆𝑆 = � ( 𝐽𝐽 + 𝐼𝐼 )/ 𝐼𝐼�𝑁𝑁𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 . Karena diketahui 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul  prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 , maka berakibat � ( 𝐽𝐽 + 𝐼𝐼 )/ 𝐼𝐼 + ( 𝐽𝐽 + 𝐼𝐼 )/ 𝐼𝐼�𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 . Akibatnya, diperoleh ( 𝐽𝐽 + 𝐽𝐽 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑁𝑁 + 𝑁𝑁 ⊆ 𝑃𝑃 .  Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑃𝑃 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . □ Proposisi  8 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 dengan sifat sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝐼𝐼 merupakan ideal di 𝑅𝑅 dengan sifat 𝐼𝐼 ⊆ (0: 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) , maka diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) .
Bukti: Misalkan 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑀𝑀 , berarti 𝑀𝑀 tidak memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Akibatnya, berdasarkan Proposisi 7 diperoleh bahwa 𝑀𝑀 juga tidak memuat ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) - https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Dengan demikian, diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑀𝑀 sehingga terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, misalkan 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ≠ 𝑀𝑀 , berarti 𝑀𝑀 memuat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Akibatnya, berdasarkan Proposisi 7 diperoleh bahwa 𝑀𝑀 juga memuat ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) dan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑎𝑎 ∈ 𝑃𝑃 . Berdasarkan Proposisi 7, diperoleh bahwa 𝑃𝑃 juga merupakan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Oleh karena itu, karena pengambilan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 sebarang, maka  diperoleh 𝑎𝑎 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Jadi terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Selanjutnya, diambil sebarang 𝑏𝑏 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) dan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 , maka diperoleh 𝑏𝑏 ∈ 𝑁𝑁 . Berdasarkan Proposisi 7, diketahui bahwa 𝑁𝑁 juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝑀𝑀 . Oleh karena pengambilan ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 sebarang, maka diperoleh 𝑏𝑏 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Jadi, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 / 𝐼𝐼 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) . □
Pada struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul tidak ada operasi perkalian antar submodulnya. Seperti halnya pada modul, perkalian antar submodul dapat dilakukan jika 𝑀𝑀 merupakan modul perkalian. Menurut [10], suatu modul 𝑀𝑀 disebut modul perkalian jika dan hanya jika 𝑁𝑁 = ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀 untuk setiap submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 . Definisi ini telah dibawa ke struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul oleh [7]. Suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 disebut modul perkalian kiri jika setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 di 𝑀𝑀 dapat dinyatakan dengan 𝑁𝑁 = ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑁𝑁𝑆𝑆 . Kemudian, merujuk pada [11] diketahui bahwa apabila diberikan submodul 𝑁𝑁 dan 𝐾𝐾 di 𝑀𝑀 , maka didefinisikan perkalian dari submodul 𝑁𝑁 dan 𝐾𝐾 di dalam 𝑅𝑅 -modul perkalian 𝑀𝑀 adalah himpunan 𝑁𝑁𝐾𝐾 = ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀 .  Perkalian antar submodul  pada modul perkalian ini juga telah dibawa ke struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul pada [7]. Apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑁𝑁 dan 𝐾𝐾 di ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri 𝑀𝑀 , maka didefinisikan 𝑁𝑁𝐾𝐾 = ( 𝑁𝑁 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 )( 𝐾𝐾 : 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝑀𝑀𝑆𝑆 . Keprimaan pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul dapat dikerjakan pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri. Apabila diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap elemen 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 , maka suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul sejati 𝑃𝑃 di 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan jika dan hanya jika untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑈𝑈 dan 𝑉𝑉 di 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑈𝑈𝑉𝑉 ⊆ 𝑃𝑃 maka berakibat 𝑈𝑈 ⊆ 𝑃𝑃 atau 𝑉𝑉 ⊆ 𝑃𝑃 . Selanjutnya, berikut diberikan sifat terakhir tentang radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan pada suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri.
Proposisi 9 Diberikan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri 𝑀𝑀 dengan sifat 𝑆𝑆 2 = 𝑆𝑆 dan untuk setiap 𝑎𝑎 ∈ 𝑀𝑀 memenuhi 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑆𝑆 . Jika 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka berlaku 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) ∩ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) .
Bukti: Karena 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 , maka 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul di 𝐾𝐾 dan di 𝐿𝐿 . Akibatnya, diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) dan 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) . Dari sini diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) ∩ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) .  Selanjutnya, diambil sebarang 𝑎𝑎 ∈ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) . Berarti terdapat ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) - submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan 𝑁𝑁 di 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 sedemikian sehingga 𝑎𝑎 ∉ 𝑁𝑁 . Oleh karena 𝑀𝑀 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri, maka diperoleh bahwa untuk setiap ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul 𝑈𝑈 dan 𝑉𝑉 di 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 dengan 𝑈𝑈𝑉𝑉 ⊆ 𝑁𝑁 , maka berakibat 𝑈𝑈 ⊆ 𝑁𝑁 atau 𝑉𝑉 ⊆ 𝑁𝑁 .  Karena 𝑈𝑈 dan 𝑉𝑉 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 maka 𝑈𝑈 dan 𝑉𝑉 juga merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝐾𝐾
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dan di 𝐿𝐿 . Dengan demikian, diperoleh 𝑁𝑁 merupakan ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan di 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 . Akibatnya, diperoleh 𝑎𝑎 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) dan 𝑎𝑎 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) , sehingga 𝑎𝑎 ∉ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) ∩ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) . Dengan demikian, diperoleh 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) ∩ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) ⊆ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) . Dengan demikian, terbukti bahwa 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ) = 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐾𝐾 ) ∩ 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝐿𝐿 ) . □

## IV. KESIMPULAN
Submodul prima telah mengalami perumuman menjadi submodul prima- 𝛽𝛽 . Definisi dan sifat- sifat  submodul  prima- 𝛽𝛽 telah dikembangkan ke struktur ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul menjadi submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Seperti halnya pada ring, pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul definisi keprimaan juga dibawa hingga ke radikalnya melalui himpunan tertutup multiplikatifnya. Pada penelitian ini telah didefinisikan himpunan tertutup multiplikatif dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 )-modul relatif terhadap submodul  prima- 𝛽𝛽 gabungan, yang selanjutnya disebut dengan himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 . Berdasarkan penelitian ini, diperoleh bahwa himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 ini merupakan komplemen dari suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan. Selain itu, radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan suatu ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul 𝑀𝑀 , dinotasikan dengan 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) 𝛽𝛽 ( 𝑀𝑀 ) , didefinisikan sebagai 𝑀𝑀 atau irisan dari semua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul prima- 𝛽𝛽 gabungan pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul.  Telah ditunjukkan pula hubungan antara himpunan sistem- 𝑚𝑚 𝛽𝛽 dengan radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dan beberapa sifat- sifatnya. Pada akhir penelitian ini, ditunjukkan bahwa, pada ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul perkalian kiri, radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari irisan dua ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodul di 𝑀𝑀 sama dengan irisan dua radikal prima- 𝛽𝛽 gabungan dari masing-masing ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -submodulnya. Lebih lanjut, hasil penelitian ini diharapkan dapat menjadi jembatan bagi penelitian berikutnya yang akan memperumum keprimaan di dalam ( 𝑅𝑅 , 𝑆𝑆 ) -modul beserta bentuk dualnya.
REFERENSI
[1] T. Khumprapussorn, “On α - Prime and Weakly α -Prime Submodules,” Eur. J. Pure Appl. Math. , vol. 11, no. 3, pp. 293–306, 2018.
[2] T. Khumprapussorn, “ON β -PRIME SUBMODULES,” J. Indones. Math. Soc. , vol. 25, no. 128– 138, 2019.
[3] D. A. Yuwaningsih, Rusmining, and P. W. Prasetyo, “BEBERAPA SIFAT (R,S)-SUBMODUL PRIMA- α GABUNGAN,” J. Fundam. Math. Appl. , vol. 4, no. 2, pp. 167–179, 2021.
[4] D. A. Yuwaningsih and Rusmining, “Radikal Prima- α Gabungan pada (R, S) -Modul,” J. Mat. Integr. , vol. 17, no. 2, pp. 85–97, 2021.
[5] D. A. Yuwaningsih and I. E. Wijayanti, “On Jointly Prime Radicals of (R,S)-Modules,” J. Indones. Math. Soc. , vol. 21, no. 1, pp. 25–34, 2015, doi: 10.22342/jims.21.1.199.25-34.
[6] M. Behboodi, “On the prime radical and Baer’s lower nilradical of modules,” Acta Math. Hungarica , vol. 122, no. 3, pp. 293–306, 2009, doi: 10.1007/s10474-008-8028-3.
[7] T. Khumprapussorn, S. Pianskool, and M. Hall, “( R , S ) -Modules and their Fully and Jointly Prime Submodules,” vol. 7, no. 33, pp. 1631–1643, 2012.
[8] T. Y. Lam, A First Course in Noncommutative Rings . USA: Springer-Verlag New York, Inc., 2001.
[9] W. A. Adkins, Algebra “An Approach via Module Theory.” USA: Springer-Verlag New York, Inc., 1992.
[10] Z. El-Bast and P. F. Smith, “Multiplication modules,” Commun. Algebr. , vol. 16, no. 4, pp. 755– 779, 1988.
[11] R. Ameri, “On the prime submodules of multiplication modules,” Int. J. Math. Math. Sci. , vol. 27, no. (2003), pp. 1715–1724, 2003.
https://doi.org/10.14710/jfma.v5i2.15679 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 5 NO. 2 (NOV 2022) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id