## PROSES ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN POLA PELAYANAN BERDISTRIBUSI  GENERAL
Sugito 1 , Abdul Hoyyi 2
1 Staf  Pengajar Jurusan Statistika FSM UNDIP
2 Staf  Pengajar Jurusan Statistika FSM UNDIP

## Abstract
In  the  queuing  process,      the  distribution  testing  is  performed  to  obtain  the  distribution  of  arrival and service distributions. Customer arrival distribution is obtained based on the number of arrivals or inter-arrival time. Service distribution is obtained based on the number of arrivals or inter-arrival time.  In  this  paper  we  will  discuss  the  process  in  queuing  with  the  arrival  of  the  Poisson distribution and the general pattern of service distribution
Keywords : Queuing,  Arrival Distribution, Service Distribution

## 1. Pendahuluan
Antrian  merupakan  sesuatu  yang  biasa  kita  jumpai  di  tempat-tempat  pelayanan umum,  misalnya  antrian  di  stasiun  kereta  api,  antrian  di  terminal  bis,  antrian  di  restoran cepat saji, antrian di kantor pos, antrian di swalayan, dan masih banyak lagi. Hal ini terjadi karena  pelanggan  yang  membutuhkan  pelayanan  tidak  sebanding  dengan  fasilitas pelayanan yang tersedia. Antrian yang terlalu panjang akan merugikan pelanggan maupun pengelola  tempat  pelayanan,  karena  banyak  pelanggan  yang  akan  keluar  dari  antrian  dan meninggalkan  tempat  tersebut.  Karena  merupakan  sesuatu  yang  wajar  apabila  kita menginginkan  pelayanan  yang  cepat,  sehingga  sedapat  mungkin  menghindari  antrian. Kalaupun mengantri, hanya memerlukan waktu tunggu sesingkat mungkin.
Situasi  antrian  juga  merupakan  bagian  dari  keadaan  yang  terjadi  dalam  rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas layanan. Pengguna fasilitas atau  pelanggan  datang  dengan  waktu  yang  acak,  tidak  teratur  dan  tidak  dapat  segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama. Oleh karena itu, penyedia layanan diharapkan  dapat  memberikan  pelayanan  dengan  baik  kepada  pelanggannya  agar  para pelanggan tidak harus menunggu cukup lama untuk memperoleh pelayanan.
Untuk  mempertahankan  pelanggan,  sebuah  sistem  selalu  berusaha  untuk memberikan  pelayanan  yang  terbaik.  Pelayanan  yang  terbaik  tersebut  diantaranya  adalah memberikan  pelayanan  yang  cepat  sehingga  pelanggan  tidak  dibiarkan  menunggu  terlalu lama.  Dalam  mengurangi  waktu  tunggu  tambahan  fasilitas  pelayanan  dapat  diberikan untuk  mengurangi  antrian  atau  menghindari  antrian  yang  terus  membesar.  Untuk memberikan  tambahan  fasilitas  pelayanan  maka  sistem  akan  mengeluarkan  biaya tambahan  yang  akan  menimbulkan  pengurangan  keuntungan,  dan  mungkin  sampai  di bawah  tingkat  yang  dapat  diterima.  Sebaliknya,  sering  timbulnya  antrian  yang  panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan atau nasabah.
Pada  tulisan  ini  akan  dibahas  proses  antrian  dengan  kedatangan  berdistribusi poisson  dan  pola  pelayanan  berdistribusi  umum.  Meliputi  Proses  antrian  dengan kedatangan berdistribusi poisson dan pola pelayanan berdistribusi umum untuk pelayanan tunggal dan pelayanan lebih dari satu (majemuk).

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1. Deskripsi Antrian
Teori antrian dikemukakan oleh A.K Erlang seorang insinyur Denmark pada tahun 1909.  Proses  antrian  merupakan  sebuah  proses  yang  berhubungan  dengan  kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan. Kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) untuk mendapatkan pelayanan.Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan  suatu  aturan  yang  mengatur  kedatangan  para  pelanggan  dan  pelayanannya.  Sebuah sistem  antrian  adalah  suatu  proses  kelahiran-kematian  dengan  suatu  populasi  yang  terdiri atas  para  pelanggan  yang  sedang  menunggu  mendapatkan  pelayanan  atau  yang  sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan dan apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian [2] .

## 2.2. Unsur Dasar Antrian
Menurut [5] dalam  proses  antrian  terdapat  enam  unsur    penting  yang  terkait  erat dengan sistem antrian tersebut, yaitu :
1. Distribusi kedatangan pelanggan
2. Distribusi Waktu pelayanan
3. Fasilitas pelayanan
4. Disiplin pelayanan
5. Ukuran sistem  antrian
6. Sumber pemanggilan

## 2.3.Distribusi Kedatangan
Distribusi  kedatangan  pelanggan  biasanya  diperhitungkan  melalui  waktu  antar kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung  pada  jumlah  pelanggan  yang  berada  dalam  sistem  ataupun  tidak  bergantung pada  keadaan  sistem  tersebut.  Bila  bentuk  kedatangan  ini  tidak  disebut  secara  khusus, maka  dianggap  bahwa  pelanggan  tiba  satu  per  satu.  Asumsinya  adalah  kedatangan pelanggan  mengikuti  suatu  proses  dengan  distribusi  probabilitas  tertentu.  Distribusi  yang sering digunakan adalah distribusi poisson. Asumsi distribusi poisson menunjukkan bahwa kedatangan  pelanggan  sifatnya  acak  dan  mempunyai  rata-rata  kedatangan  sebesar lambda (λ).
Situasi  antrian  di  mana  kedatangan  dan  keberangkatan  (kejadian)  yang  timbul selama interval waktu di kendalikan dengan kondisi berikut:
Kondisi 1 : Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan atau keberangkatan) yang timbul antara t dan t  +  s bergantung  hanya  pada  panjang s ,  yang  berarti  bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t ).
Kondisi  2  : Probabilitas  kejadian  yang  timbul  selama  interval  waktu  yang  sangat  kecil adalah positif tapi kurang dari satu.
Kondisi 3 : Paling  banyak satu kejadian dapat timbul  selama  interval waktu yang  sangat kecil.
Dari  ketiga  kondisi  diatas  menjabarkan  sebuah  proses  di  mana  jumlah  kejadian selama satu interval waktu yang diberikan adalah Poisson, dan oleh karena itu waktu antara beberapa  kejadian  yang  berturut-turut  adalah  eksponensial.  Maka  dari  permasalahan  itu dapat dikatakan bahwa ketiga kondisi tersebut mewakili proses Poisson [7] .

## 2.4. Distribusi Waktu Pelayanan
Distribusi  waktu  pelayanan  berkaitan  dengan  berapa  banyak  fasilitas  pelayanan yang dapat disediakan. Distribusi waktu pelayanan terbagi menjadi dua komponen penting, yaitu:
1. Pelayanan secara individual ( single service )
2. Pelayanan secara kelompok ( bulk service )
Bentuk pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan,  yaitu waktu  yang dibutuhkan untuk  melayani  pelanggan  pada  fasilitas  pelayanan.  Besaran  ini  dapat  tergantung  pada jumlah pelanggan yang telah berada didalam fasilitas pelayanan ataupun tidak bergantung pada  fasilitas  tersebut.  Waktu  pelayanan  dapat  bersifat  deterministik  atau  berupa  suatu variabel acak yang distribusi probabilitasnya dianggap telah diketahui.
Pada  suatu  fasilitas  pelayanan,  pelanggan  akan  masuk  dalam  suatu  tempat pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak disebutkan secara khusus, pada bentuk pelayanan  ini,  maka dianggap bahwa satu pelayanan dapat melayani secara tuntas satu pelanggan.

## 2.5. Fasilitas Pelayanan
Fasilitas pelayanan berkaitan erat dengan baris antrian yang akan dibentuk. Desain fasilitas pelayanan ini terbagi dalam tiga bentuk, yaitu:
1. Bentuk series, dalam satu garis lurus ataupun garis melingkar
2. Bentuk  paralel,  dalam  beberapa  garis  lurus  yang  antara  yang  satu  dengan  yang  lain paralel.
3. Bentuk network  station, yang  dapat  didesain  secara  seri  dengan  pelayanan  lebih  dari satu  pada  setiap  stasiun.  Bentuk  dapat  juga  dilakukan  secara  parelel  dengan  stasiun yang berbeda-beda.
Adapun desain sistem antrian dapat dilihat sebagai berikut :
1. Sistem  antrian  jalur  tunggal  (single  channel  single  phase),  di  mana  dalam  sistem antrian  tersebut  hanya  terdapat  satu  pemberi  layanan  serta  satu  jenis  layanan  yang diberikan.

## Gambar 1. Sistem antrian jalur tunggal
2. Sistem  antrian  jalur  tunggal  tahapan  berganda  (single  channel  multi  server),  di  mana dalam  sistem  antrian  tersebut  terdapat  lebih  dari  satu  jenis  layanan  yang  diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Gambar 2. Sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda
3. Sistem  antrian  jalur berganda satu tahap (multi channel single server), di  mana dalam sistem antrian terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut, namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan.

## Gambar 3. Sistem antrian jalur berganda satu tahap
4. Sistem antrian jalur berganda tahapan berganda (multi channel, multi server), di mana terdapat  lebih  dari  satu  jenis  layanan  dan  terdapat  lebih  dari  satu    pemberi  layanan dalam setiap jenis layanan.
Gambar 4. Sistem antrian jalur berganda tahapan berganda

## 2.6 Disiplin Pelayanan
Disiplin Pelayanan dalam antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani [5] . Aturan ini dapat didasarkan pada :
1. Pertama Masuk Pertama Keluar ( FIFO). FIFO  ( First  In  First  Out )  merupakan  suatu  peraturan  di  mana  yang  dilayani  terlebih dahulu adalah yang pertama kali datang.
2. Terakhir Masuk Pertama Keluar (LIFO). LIFO  ( Last  In  First  Out )  merupakan  suatu  peraturan  di  mana  yang  paling  terakhir datang adalah yang dilayani paling awal.
3. Pelayanan Acak ( SIRO ).
SIRO  ( Service  In  Random  Order )  merupakan  suatu  peraturan  di  mana  pelayanan dilakukan secara acak.
4. Pelayanan Berdasarkan Prioritas (PRI).
PRI merupakan suatu peraturan di mana pelayanan didasarkan pada prioritas khusus.

## 2.7 Sumber Pemanggilan
Suatu  karakteristik  yang  perlu  diketahui  dari  sumber  pemanggilan  ini  adalah ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan dari waktu ke waktu  atau  disebut  jumlah  total  pelanggan  potensial.  Ini  bisa  dianggap  terbatas  ataupun tidak  terbatas.  Untuk  jumlah  pelanggan  yang  terbatas  jumlah  unit  dalam  sistem  antrian akan mempengaruhi jumlah pelanggan potensial di luar sistem pada setiap waktu.
Tingkah laku pemanggilan populasi
Ada  tiga  istilah  yang  biasa  digunakan  dalam  antrian  untuk  menggambarkan  tingkah  laku pemanggilan populasi [1] :
1. Jika  mengikuti (renege),  yakni  bila seseorang  bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya.
2. Menolak (balking), berarti serta-merta tidak mau bergabung.
3. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi di mana kedatangan terjadi secara bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut menyerobot ke depan. Bila tidak disebutkan  secara khusus,  maka anggapan standarnya adalah  bahwa  semua pelanggan tiba satu per satu dan juga bahwa tidak terjadi penolakan dan pembatalan.

## 2.8. Notasi Kendall
Notasi Kendall digunakan untuk merinci ciri dari suatu antrian. Notasi yang sesuai untuk  meringkaskan  karakteristik  utama  dari  antrian  paralel  telah  secara  universal dibakukan dalam format berikut : [7] ( a / b / c ) : ( d / e / f  )
a  :   Distribusi kedatangan
b  :  Distribusi waktu pelayanan
c  :  Fasilitas  pelayanan  atau  banyaknya  tempat  service  (stasiun  serial  paralel  atau jaringan)
d  :  Disiplin pelayanan (FIFO, LIFO, SIRO) dan prioritas pelayanan. E  :  55suran sistem dalam antrian (terhingga atau tak terhingga)
f  :  Sumber pemanggilan (terhingga atau tak terhingga)

## 2.9. Model (M/G/1) : (GD/ ) /  
Suatu  sistem  di  mana  pelanggan  telah  selesai  dilayani  dan  pelayanan  itu  dimulai lagi  untuk  pelayanan  berikutnya  dalam  antrian,  maka  waktu  pelayanan  tersebut berdistribusi  random.  Fungsi  distribusi  kumulatif  (CDF)  dari  waktu  pelayanan  tersebut ditunjukkan dengan F(t) dan fungsi densitasnya dengan f(t) jika ada. Proses kedatangan ini dinamakan Poisson, di mana peristiwa dari kedatangan para pelanggan dapat terjadi lebih dari satu kali pada selang waktu atau ruang dengan parameter  [4] .
Proses  antrian  saluran  tunggal  dengan  kedatangan  Poisson  dan  pelayanan  umum dapat digambarkan sebagai berikut [5] :
Gambar 2.1
Sistem Antrian (P-K) gambar (2.1) gambar (2.1)
Gambar 5. Proses antrian saluran tunggal dan pelayanan umum
dimana:
n = jumlah pelanggan dalam sistem
t = waktu untuk melayani pelanggan
k = jumlah pelanggan yang baru datang n’ = jumlah pelanggan setelah dilayani.
Simbol yang digunakan pada Gambar 5, menunjukkkan bahwa:
1. t  mewakili  waktu  ketika  j  pelanggan  berangkat  dan  ( ) t t   mewakili  waktu  ketika pelanggan selanjutnya (j + 1) berangkat.
2. Notasi j, j + 1, j + 2, ... tidak harus diartikan bahwa pelanggan masuk dengan disiplin antrian  pelayanan  FCFS.  Tetapi,  hal  itu  hanya  untuk  memperkenalkan  perbedaan keberangkatan  pelanggan  pada  sistem.  Hasil  dari  model  ini  dapat  digunakan  untuk beberapa disiplin antrian, yaitu FCFS, LCFS, SIRO.
Dari Gambar 1 memperlihatkan bahwa:
        0 n untuk , k 0 n untuk , k 1 n ' n (1)
Dari Persamaan (1), jika dalam sistem n = 0, maka sistem kosong atau tidak ada pelanggan dalam antrian dan tidak ada yang dilayani. Berarti jumlah pelanggan yang akan dilayani hanya akan sama dengan k (jumlah pelanggan yang baru datang).
Berdasarkan  pengertian  di  atas,  untuk  mengetahui  besar  peluang  atau probabilitas dari k kedatangan, maka:
   0 ) t ( dF } t | k Pr{ } k Pr{ (2)
Karena  kedatangan  yang  terjadi  mengikuti  distribusi  Poisson  dan  berdasarkan persamaan (2), maka peluang kedatangan k pada saat t adalah:
! k ) t ( e } t | k Pr{ k t     (3)
Misalkan  jumlah  pelanggan  setelah  dilayani  n`  sama  dengan  j  dan  jumlah pelanggan dalam sistem n, yaitu pelanggan yang belum dilayani dan yang sedang dilayani sama dengan i, maka dari Persamaan (2) menjadi:
                      1 i 1, - i j untuk , 0 1 i 1, - i j untuk ), t ( dF )! 1 i j ( ) t ( e } 1 i j k Pr{ 0 1 i j t
(4)

## 2.10. Model (M/G/c) : (GD/ ) /  
Proses  antrian  dengan  kedatangan  berdistribusi  poisson  dan  pola  pelayanan berdistribusi umum dengan pelayanan lebih dari satu adalah menggunakan model (M/G/c) :  (GD/ ) /   .  Untuk  model  (M/G/c)  :  (GD/ ) /   [4] ,  hasil  utama  yang  bisa  diperoleh adalah probabilitas dari waktu tunggu dalam sistem yang diberikan pada persamaan
Ws L s   (5)
dan  untuk  waktu  tunggu  dalam  antrian  model  (M/G/c)  didapat  dari  persamaan
          0 q t n q n ) t ( dW e t ! n 1 tan} keberangka setelah antrian dalam n Pr{ (6)
dengan  panjang  antrian  rata-rata  pada  titik  waktu  kedatangan,  yaitu q L   adalah:
           1 n 0 q q q n q W ) t ( tdW n L (7)
W q dapat dicari dengan [6] :
                     1 c 0 n c n 2 1 c 2 c q ]) t [ E c ( )! 1 c ( ]) t [ E ( ! n ]) t [ E ( ]) t ([ E c ( )! 1 c ( 2 ]) t [ E ]( t [ E W
dimana W q = ekspektasi waktu tunggu dalam antrian

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Formula Pollaczek – Khintchine
Model (M/G/1):(GD/ ) /   atau disebut juga dengan (P–K) adalah suatu formula di mana  akan  diperoleh  pada  situasi  pelayanan  tunggal  yang  memenuhi  tiga  asumsi berikut [3] : 1. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan 
2. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan  ekspektasi rata-rata pelayanan var[t] dan varian 1 ] t [ E   3. Keadaan steady state di mana 1      .
Selanjutnya, Persamaan (1) akan dibawa ke bentuk formula P-K, yaitu:
k n ` n     (8)
dengan  didefinisikan sebagai:
      0 n untuk , 0 0 n untuk , 1  (9)
dengan  n  adalah  jumlah  pelanggan  dalam  sistem  dan  adalah  fungsi  yang  memetakan setiap n ke  bilangan riil,  yaitu  jika n = 0 (dalam  sistem tidak ada pelanggan), maka tidak ada  yang  dilayani  dan  apabila  dalam  sistem  ada  n  >  0  pelanggan,  maka  ada  pelanggan yang ditunjukkan dengan nilai 1.
Dengan  mengasumsikan  bahwa  solusi  steady  state,  yaitu  bahwa  rata-rata  waktu pelayanan lebih tinggi daripada rata-rata laju kedatangan dan menganggap bahwa nilai dari jumlah pelanggan dalam sistem n, serta jumlah pelanggan sesudah dilayani n` dinotasikan sama sebagai L s yang mewakili jumlah pelanggan, maka dapat diambil nilai ekspektasi dari variabel random, yaitu E[n] = E[n`] = L s dan E[n 2 ] = E[(n`) 2 ].
Dengan mengambil nilai ekpektasi dari kedua sisi dari Persamaan (8), diperoleh:
E[n`] = E[n] – E[  ] + E[k] (10)
Sehingga Persamaan (10) menjadi
] k [ E ] [ E L L s s     ] k [ E ] [ E   (11)
Dengan mengkuadratkan Persamaan (8), diperoleh:
2 2 ) k n ( `) n (        k 2 n 2 nk 2 k n 2 2 2       (12)
Karena    2 dan n n   , maka Persamaan (12) menjadi:
   k 2 n 2 nk 2 k n `) n ( 2 2 2 2               k 2 n 2 nk 2 k n 2 2
) 1 k 2 ( ) 1 k ( n 2 k n 2 2        - ) 1 k 2 ( k `) n ( n ) 1 k ( n 2 2 2 2        ) 1 ( 2 ) 1 2 ( ) ' ( 2 2 2        k k k n n n  2 2 ) 1 2 ( ) ' ( 2 2 2       k k k n n  ) k 1 ( 2 ) 1 k 2 ( k `) n ( n n 2 2 2      

Dengan mengambil ekspektasi dari kedua sisi, maka:
]) k [ E 1 ( 2 )] 1 k 2 ( [ E ] k [ E ] `) n [( E ] n [ E ] n [ E 2 2 2        ]) k [ E 1 ( 2 ] [ E ] k [ E 2 ] k [ E 0 ] n [ E 2       
Dengan mensubsitusikan ] k [ E ] [ E   dari Persamaan (11), maka:
(13)
Sekarang,  E[k]  dan  E[k 2 ]  diperlukan  untuk  menentukan  E[n].  Karena kedatangan yang terjadi menurut distribusi Poisson, maka Dari bentuk:
    0 k k kP ] t | k [ E dimana P k adalah probabilita kedatangan dari k pelanggan.
Maka, k )! 1 k ( k ) t ( e ! k ) t ( ke ] t | k [ E k 1 k t k 0 k t                                  1 k 1 k ) 1 k ( t k t )! 1 k ( ) t ( e t )! 1 k ( ) t ( e                1 k t t ) 1 k ( t e te )! 1 k ( ) t ( te t  
dan,
           0 k 0 k 2 k t k 2 2 k ! k ) t ( e P k ] t | k [ E                   1 k 1 k k t 2 k t ) 1 k ( k )! 2 k ( ) t ( e ) 1 k ( k k )! 2 k ( ) t ( e                 1 k k t 1 k 1 1 )! 2 k ( ) t ( e                 
1 k k t 1 k k t )! 2 k )( 1 k ( ) t ( e )! 2 k ( ) t ( e                     1 k 1 k t 1 k 2 k t 2 )! 1 k ( ) t ( e t )! 2 k ( ) t ( e ) t ( t ) t ( 2     ]) k [ E 1 ( 2 ]) k [ E ( 2 ] k [ E ] k [ E ] n [ E 2 2    
Sehingga diperoleh:
t ) t ( ] t | E[k dan t ] t | k [ E 2 2       Dari harga harapan suatu mean maka; , ]) t [ E ( ] E[t dan var(t) dt ) t ( f t ] t [ E 2 2 0             0 0 dt ) t ( f t dt ) t ( f ] t | k [ E ] k [ E ] t [ E ] k [ E   (14)
dan
           0 0 2 2 2 dt ) t ( f t ) t ( dt ) t ( f ] t | k [ E ] k [ E               0 0 2 2 2 2 2 ] t [ E ]) t [ E ( ] t var[ dt ) t ( tf dt ) t ( f t ] t [ E ] t var[ ]) t [ E ( ] k [ E 2 2 2 2       (15)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (14) dan (15) ke Persamaan (13), maka :
]) k [ E 1 ( 2 ] k [ E 2 ] k [ E ] k [ E ] n [ E 2 2     ]) t [ E 1 ( 2 ]) t [ E ( 2 ] t [ E ] t [ E ] t var[ ]) t [ E ( 2 2 2 2 2             ]) t [ E 1 ( 2 ]) t [ E 1 ]( t [ E 2 ]) t [ E 1 ( 2 ] t var[ ]) t [ E ( 2 2 2             ] t [ E ]) t [ E 1 ( 2 ] t var[ ]) t [ E ( 2 2 2         ]) t [ E 1 ( 2 ] t var[ ]) t [ E ( ] t [ E L 2 2 2 s         dengan maka , dan 1 ] t [ E       ) 1 ( 2 ) var( 2 2         t L s (16)
Persamaan (16) dikenal sebagai formula P-K, dimana: L s = jumlah atau banyaknya pelanggan dalam sistem  = rata-rata kedatangan pelanggan E[t] = ekspektasi waktu pelayanan.
Diasumsikan  bahwa n  adalah konstan untuk semua n , sehingga cukup ditulis  . Maka dalam proses antrian yang steady state didapat [3] : W L  
dimana:
L = jumlah pelanggan dalam sistem W = waktu menunggu dalam sistem dan
q q W L  
dimana:
L q = jumlah pelanggan dalam antrian W q = waktu menunggu dalam antrian.
Kemudian  asumsikan  bahwa  pelayanan  rata-rata  konstan  untuk  semua 1 n  , sehingga  cukup  ditulis  dengan  1 .  Dengan  memberikan  adalah  rata-rata  pelayanan,
maka ekspektasi waktu pelayanan adalah  1 sehingga:
W s = waktu menunggu dalam sistem W s = waktu tunggu dalam antrian + waktu pelayanan
   1 W W q s
Dikalikan dengan  , didapatkan:
      q s W W .

## 4. Kesimpulan.
Formula  Pollaczek  –  Khintchine    untuk  Model  (M/G/1):(GD/ ) /   adalah
) 1 ( 2 ) var( 2 2         t L s

## DAFTAR PUSTAKA
1.  Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi , Erlangga, Jakarta, 2005.
2.  Bronson, R., Teori dan Soal-Soal Operation Reserch , PT Gelora  Aksara Pratama,1991. 3.   Dimyati,  A., Operations Research Model-Model  Pengambilan  Keputusan , Sinar Baru, Bandung, 1987.
4.  Gross,  D  and  Haris,  C.  M., Fundamental  of  Queueing  Theory, Third  Edition,  John Willey and Sons, Inc., New York, 1998.
5.  Kakiay, T. J., Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata , ANDI, Yogyakarta, 2004. 6.  Ross,  S.  M., Introduction  to  Probability  Models ,  Sixth  Edition,  Academy  Press,  New York, 1997.
7. Taha, H. A., Riset Operasi , Jilid 2, Binarupa Aksara, Jakarta, 1996.