Vol. 6, No.1, 20-28,  Juli  2009

## Aplikasi Spline Kuadrat Terkecil dalam Pemodelan Pertumbuhan Anak  Berdasarkan Indeks Antropometri
Wahidah Sanusi 

## Abstrak
Penelitian  ini  dilakukan  untuk  mengestimasi  model  pertumbuhan  anak  berdasarkan  indeks antropometri. Data yang digunakan adalah data berat badan (kg) dan tinggi badan (cm) siswa SDN  Parangtambung II Makassar pada tahun 2008. Pengambilan data dilakukan pada seluruh siswa yang berjumlah 192 orang yang terdiri atas 113 anak laki-laki dan 79 anak perempuan. Hasil  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  model  pertumbuhan  anak  yang  terbaik  berdasarkan indeks  antropometri  adalah  indeks  berat  badan  ( Y )  menurut  tinggi  badan  ( X ),  baik  jenis kelamin  laki-laki  maupun  jenis  kelamin  perempuan.  Model  untuk  jenis  kelamin  laki-laki dengan umur 6–14 tahun adalah
2 2 ) 15 , 122 ( 29 , 0 ) 75 , 119 ( 24 , 0 42 , 26 ˆ       
X X Y ,
dengan R 2 sebesar  66,6%  dan  MSE  sebesar  0,36.  Model  untuk  jenis  kelamin  perempuan dengan umur 6–15 tahun adalah
2 2 2 ) 555 , 146 ( 203 , 0 ) 112 , 137 ( 06 , 0 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56 = Y ˆ           X X X X dengan R 2 sebesar 82,87% dan MSE sebesar 0,19.
Kata Kunci: Spline kuadrat terkecil, pertumbuhan anak, indeks antropometri.

## 1. Pendahuluan
Kurva  regresi  adalah  suatu  kurva  yang  menjelaskan  hubungan  antara  suatu  variabel penjelas  (prediktor)  dengan  variabel  respon.  Permasalahan  dalam  analisis  regresi  adalah menentukan  bentuk  estimasi  dari  kurva  regresi.  Pendekatan  yang  sering  digunakan  untuk mengestimasi  kurva  regresi  adalah  pendekatan  parametrik  dimana  diasumsikan  bahwa  bentuk fungsional  dari  kurva  regresi  tersebut  dapat  digambarkan  secara  lengkap  oleh  sekumpulan parameter  dan  memenuhi  bentuk  kurva  tertentu.  Asumsi  pendekatan  parametrik  adalah  kurva regresi  dapat  diwakili  oleh  model  parametrik  (Hardle,  1990),  sehingga  dapat  dikatakan  bahwa mengestimasi  kurva  regresi  dengan  pendekatan  parametrik  ekuivalen  dengan  mengestimasi parameter dimana hasil estimasi tersebut mengikuti model tertentu. Jika model yang diasumsikan ini benar, maka pendekatan parametrik sangat efisien, tetapi jika tidak, maka akan menyebabkan interpretasi  data  yang  menyesatkan  (Siminoff,  1996).  Selain  itu,  model  parametrik  mempunyai keterbatasan dalam mengestimasi pergerakan data yang tidak diharapkan.
Pendekatan  lain  yang  dapat  digunakan  untuk  mengestimasi  kurva  regresi  adalah pendekatan  regresi  nonparametrik.  Pendekatan  ini  tidak  memberikan  asumsi  terhadap  bentuk kurva regresi, sehingga memberikan fleksibilitas yang lebih besar, dalam hal ini data yang lebih banyak  memberikan  informasi  tentang  kurvanya.  Dalam  pendekatan  regresi  nonparametrik, umumnya fungsi regresi hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi tertentu. Pemilihan
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar, Makassar
Email: w_sanusi@yahoo.com

## Wahidah Sanusi
ruang  fungsi  ini  dimotivasi  oleh  sifat  kehalusan  ( smoothness )  yang  diasumsikan  dimiliki  oleh fungsi regresi tersebut.
Misalkan  model  regresi  adalah y i = f ( t i )  +  i , i =  1,  2,  …, n ,  dengan y i adalah  variabel respon, t i adalah variabel prediktor, f ( t i ) adalah kurva regresi yang akan diestimasi dan  i adalah galat  acak  yang  saling  independen  dan  berdistribusi  normal  dengan  mean  nol  dan  variansi  2 . Spline  merupakan  salah  satu  metode  regresi  nonparametrik  yang  dapat  digunakan  untuk mengestimasi  kurva  regresi  tersebut.  Estimator  spline  ini  diperoleh  dengan  meminimumkan penalized  least  square ,  yaitu  kriteria  estimasi  yang  menggabungkan  kesesuaian  kurva  terhadap data ( goodness of fit ), dalam hal ini n -1   n i 1 ( y i – f ( t i )) 2 dan kehalusan kurva ( smoothness ), dalam hal
ini  b a ( f ( m ) ( t )) 2 dt dengan  a,b  bilangan  riil  serta f ( m ) ( t )  adalah  turunan  ke- m fungsi f ( t ) terhadap t . Keseimbangan antara kesesuaian kurva terhadap data dengan kehalusan kurva tersebut diatur oleh suatu parameter penghalus (Eubank, 1998). Dalam Wahba (1990) ditunjukkan bahwa spline  memiliki  sifat-sifat  statistik  yang  berguna  dan  perlu  dipertimbangkan  sebagai  salah  satu metode  untuk  menganalisis  hubungan  regresi  (Moussa  &  Cheema,  1992).  Salah  satu  estimator Spline yang biasa digunakan adalah estimator Spline Kuadrat Terkecil.
Dalam  penelitian  ini  akan digunakan  spline  kuadrat  terkecil  dalam  mengestimasi  model pertumbuhan  anak  berdasarkan  indeks  antropometri.  Pertumbuhan  anak  memperlihatkan  status gizi  anak.  Status  gizi  didefinisikan  sebagai  tanda-tanda  yang  diakibatkan  oleh  keseimbangan antara  pemasukan  gizi  dan  pengeluaran  organisme  atau  keadaan  tubuh  yang  diakibatkan  oleh konsumsi,  penyerapan  dan  penggunaan  makanan.  Penilaian  status  gizi  dapat  dilakukan  melalui penilaian  klinis,  biokimia  dan  secara  antropometri.  Ada  tiga  macam  indeks  antropometri  yang sering digunakan, yaitu
1. Berat badan menurut umur (BB/U).
2. Tinggi badan menurut umur (TB/U).
3. Berat badan menurut tinggi badan (BB/TB).

## 2. Metode Penelitian

## 2.1. Sumber Data
Data  yang  digunakan  adalah  data  berat  badan  (kg)  dan  tinggi  badan  (cm)  siswa  SDN Parangtambung II Makassar mulai umur 79 sampai 164 bulan untuk anak laki-laki dan umur 81 sampai 173 bulan untuk anak perempuan. Pengambilan data dilakukan pada  seluruh siswa SDN Parangtambung  II  Makassar  yang  berjumlah  192  siswa,  dimana  terdapat  113  siswa  berjenis kelamin laki-laki dan 79 siswi yang berjenis kelamin perempuan.

## 2.2. Variabel Penelitian
Dalam  penelitian  ini  model  pertumbuhan  anak  akan  diestimasi  berdasarkan  Indeks antropometri tersebut untuk masing-masing jenis kelamin. Model tersebut adalah (1) Berat badan menurut umur, dimana berat badan sebagai variabel respon ( Y ) dan umur sebagai variabel prediktor ( X ), dan
(2) Berat badan menurut tinggi badan, dimana berat badan sebagai variabel respon ( Y ) dan tinggi badan ( X ) sebagai variabel prediktor.

## 2.3. Langkah-langkah Analisis
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, sebagai berikut:
1. Mengurutkan data berat badan dan tinggi badan anak laki-laki maupun perempuan dari yang terkecil  hingga  terbesar  untuk  masing-masing  golongan  umur.  Setiap  golongan  umur  terdiri atas satu atau lebih berat badan dan tinggi badan anak laki-laki maupun perempuan.
2. Mengambil  data  berat  badan  dan  tinggi  badan  anak  laki-laki  dan  perempuan  pada  persentil ke-90. Hal ini dilakukan karena standar gizi seorang anak dikatakan baik jika nilai gizi anak tersebut lebih dari atau sama dengan 90% .
3. Menentukan  letak  titik  knot  (  i)  untuk  masing-masing  model,  lalu  dihitung  skor  GCV ( Generalized Cross-Validation ) dan dipilih titik knot yang meminimumkan GCV.
4. Mendefinisikan matriks X , yaitu: x 1 ( t ) = 1, x 2 ( t ) = t ,  x m ( t ) = t m -1 , x m +1 ( t ) = ( t –  1 1 m )   ,  x m+k ( t ) = ( t –  k 1 m )   .
dimana m menyatakan orde ke- m , k menyatakan banyaknya titik knot.
5. Model yang diestimasi berbentuk f  =    k m j 1   j x j . Kemudian dicari estimasi dari   = (   1 , …,
  , m+k ) T dengan   = [ X (  ) T X (  )] -1 X (  ) T Y .
6. Melakukan analisis diagnostik terhadap galat/residual.
7. Melakukan pengujian signifikansi koefisien regresi secara simultan dan individu.
8. Mengestimasi  model  pertumbuhan  anak  berdasarkan  model  regresi  nonparametrik  yang diperoleh.

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1.  Penaksiran  Model  Pertumbuhan  Anak  Laki-laki  Berdasarkan  Indeks  Berat Badan Menurut Umur
Dalam analisis data ini, variabel respon ( Y ) adalah data berat badan (kg) anak laki-laki, sedang variabel prediktornya ( X ) adalah data umur anak laki-laki (bulan) pada persentil ke-90. Berdasarkan nilai GCV diperoleh tiga titik knot yang meminimumkan GCV, yaitu  1 = 91,  2 = 119, dan  3 = 136 dengan nilai GCV = 30,45706.
Wahidah Sanusi
. Umur B e ra t B a d a n 80 100 120 140 160 20 25 30 35 40 45 SPLINE KUADRAT TERKECIL Umur B e ra t. B a d a n 80 100 120 140 160 10 20 30 40
Gambar 1. Kurva spline kuadrat berat badan menurut umur anak laki-laki.
Penggunaan  taraf  nyata  α  =  0,05  diperoleh  kesimpulan  bahwa  modelnya  signifikan dengan R 2 =48,82% dan nilai MSE sebesar 0,57. Estimasi modelnya, sebagai berikut:
Y  = 2 2 2 ) 136 ( 048 , 0 ) 91 ( 111 , 0 104 , 0 55 , 18 51 , 839         X X X X . Model ini ekuivalen dengan  Y  = 2 104 , 0 55 , 18 51 , 839 X X   , untuk 79  X < 91.
 Y  = 2 2 ) 91 ( 111 , 0 104 , 0 55 , 18 51 , 839     X X X ,  untuk 91  X < 136.  Y  =
2 2 2 ) 136 ( 048 , 0 ) 91 ( 111 , 0 104 , 0 55 , 18 51 , 839       X X X X , untuk 136  X <164.
Berdasarkan  Gambar  1  dan  model  yang  diperoleh,  nampak  bahwa  pada  umur  sekitar  91  bulan proses  pertumbuhan  (pertambahan  berat  badan)  anak  laki-laki  berlangsung  sangat  cepat  dan mulai menurun pada umur sekitar 130 bulan dan kembali terjadi peningkatan pada umur sekitar 136 bulan.

## 3.2.  Penaksiran  Model  Pertumbuhan  Anak  Laki-laki  Berdasarkan  Indeks  Berat Badan Menurut Tinggi Badan
Dalam penaksiran model ini, variabel respon ( Y ) digunakan data berat badan dan variabel prediktor ( X ) digunakan data tinggi badan pada persentil ke-90. Berdasarkan nilai GCV diperoleh dua titik knot yang meminimumkan GCV, yaitu  1 = – 0,9 dan  2 = – 0,65 dengan nilai GCV = 0,3981603.
T inggi.Badan B e ra t. B a d a n -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 SPLINE KUADRAT TERKECIL T inggi.Badan B e ra t. B a d a n 110 120 130 140 150 10 20 30 40
Gambar 2.  Kurva spline kuadrat berat badan menurut tinggi badan anak laki-laki.
Penggunaan  taraf  nyata α =  0,05  diperoleh  kesimpulan  bahwa  modelnya  signifikan dengan R 2 = 66,6% dan nilai MSE sebesar 0,36. Estimasi modelnya, sebagai berikut:
Y  = 2 2 ) 15 , 122 ( 29 , 0 ) 75 , 119 ( 24 , 0 42 , 26       X X , yang ekuivalen dengan  Y  = 42 , 26 , untuk 107  X < 119,75.
 Y  = 2 ) 75 , 119 ( 24 , 0 42 , 26   X , untuk 119,75  X < 122,15.  Y  = 2 2 ) 15 , 122 ( 29 , 0 ) 75 , 119 ( 24 , 0 42 , 26    
X X ,
untuk 122,15  X < 151.
Berdasarkan Gambar 2 dan model yang diperoleh, nampak bahwa pada tinggi badan sekitar 120 cm proses pertumbuhan (pertambahan berat badan) anak laki-laki berlangsung sangat cepat.

## 3.3.  Penaksiran Model Pertumbuhan Anak Perempuan Berdasarkan Indeks Berat Badan Menurut Umur
Dalam penaksiran model ini, variabel respon ( Y ) digunakan data berat badan dan variabel prediktor  ( X )  digunakan  data  umur.  Berdasarkan  nilai  GCV  diperoleh  dua  titik  knot  yang meminimumkan GCV, yaitu  1 =  0,8 dan  2 =  1,25 dengan nilai GCV = 0,5143789. Penggunaan  taraf  nyata  α  =  0,05  diperoleh  kesimpulan  bahwa  modelnya  signifikan dengan R 2 = 58,85% dan nilai MSE sebesar 0,45. Estimasi modelnya, sebagai berikut:
Y ˆ = 2 2 ) 65 , 141 ( 051 , 0 ) 462 , 131 ( 034 , 0 238 , 0 835 , 1        
X X X .
Model ini ekuivalen dengan
 Y ˆ = X 238 , 0 835 , 1  
, untuk 81  X < 131,42.
 Y ˆ = 2 ) 462 , 131 ( 034 , 0 238 , 0 835 , 1     X X , untuk
131,42  X < 141,65.
Wahidah Sanusi
 Y ˆ = 2 2 ) 65 , 141 ( 051 , 0 ) 462 , 131 ( 034 , 0 238 , 0 835 , 1       X X X ,
untuk 141,65  X < 173. Umur B e ra t. B a d a n 80 100 120 140 160 20 25 30 35 40 SPLINE KUADRAT TERKECIL Umur B e ra t. B a d a n 80 100 120 140 160 20 25 30 35 40
Gambar 3. Kurva spline kuadrat berat badan menurut umur anak perempuan.
Berdasarkan  Gambar  3  dan  model  yang  diperoleh,  nampak  bahwa  pada  umur  sekitar  97  bulan proses  pertumbuhan  (pertambahan  berat  badan)  anak  perempuan  berlangsung  sangat  cepat  dan mulai menurun pada umur sekitar 137 bulan dan kembali terjadi peningkatan pada umur sekitar 145 bulan.

## 3.4.  Penaksiran Model Pertumbuhan Anak Perempuan Berdasarkan Indeks Berat Badan Menurut Tinggi Badan
Dalam penaksiran model ini, variabel respon ( Y ) digunakan data berat badan dan variabel prediktor ( X ) digunakan data tinggi badan pada persentil ke-90. Berdasarkan nilai GCV diperoleh dua titik knot yang meminimumkan GCV, yaitu  1 = 0,8 dan  2 =  1,75 dengan nilai GCV = 0,2141346.
Wahidah Sanusi
T inggi.Badan B e ra t. B a d a n 110 120 130 140 150 20 25 30 35 40 SPLINE KUADRAT TERKECIL T inggi.Badan B e ra t. B a d a n 110 120 130 140 150 20 25 30 35 40
Gambar 4.  Kurva spline kuadrat berat badan menurut tinggi badan anak perempuan.
Penggunaan taraf nyata α=0,05 diperoleh kesimpulan bahwa modelnya signifikan dengan R 2 = 82,87% dan nilai MSE sebesar 0,19. Estimasi modelnya, sebagai berikut:
2 2 2 ) 555 , 146 ( 203 , 0 ) 112 , 137 ( 06 , 0 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56 ˆ            X X X X Y Model ini ekuivalen dengan
 Y ˆ = 2 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56     X X , untuk 107  X <137,112.
 Y ˆ = 2 2 ) 112 , 137 ( 06 , 0 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56
      X X X ,
untuk 137,112  X < 146,555.
 2 2 2 ) 555 , 146 ( 203 , 0 ) 112 , 137 ( 06 , 0 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56 ˆ          X X X X Y
untuk 146,555  X < 153.
Berdasarkan Gambar 4 dan model yang diperoleh, nampak bahwa pada tinggi badan sekitar  123 cm  proses  pertumbuhan  (pertambahan  berat  badan)  anak  perempuan  berlangsung  sangat  cepat dan  mulai  terjadi  sedikit  penurunan  pada  tinggi  badan  sekitar  145  cm  dan  kembali  terjadi peningkatan pada tinggi badan sekitar 147 cm.

## 4. Kesimpulan dan Saran

## 4.1. Kesimpulan
Berdasarkan  beberapa  model  yang  diperoleh  dalam  penelitian  ini,  maka  model pertumbuhan  anak  berdasarkan  indeks  antropometri  yang  terbaik  adalah  model  berat  badan  ( Y ) menurut tinggi badan ( X ) baik jenis kelamin laki-laki maupun jenis  kelamin perempuan, masing- masing modelnya sebagai berikut:
1. Untuk jenis kelamin laki-laki dengan umur 6–14 tahun:
Y  = 2 2 ) 15 , 122 ( 29 , 0 ) 75 , 119 ( 24 , 0 42 , 26       X X
2. Uuntuk jenis kelamin perempuan dengan umur 6–15 tahun:
2 ) 16 , 129 ( 013 , 0 624 , 0 115 , 56 ˆ      X X Y 2 ) 112 , 137 ( 06 , 0    X 2 ) 555 , 146 ( 203 , 0    X

## 4.2. Saran
Perlu  dikembangkan  penelitian  lebih  lanjut  mengenai  model  pertumbuhan  anak berdasarkan faktor-faktor lain selain faktor indeks antropometri dengan menggunakan pendekatan spline atau analisis regresi nonparametrik lainnya.

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini terlaksana atas kerjasama dari berbagai pihak, khususnya pihak Lembaga Penelitian UNM Makassar dan pihak Ditjen Dikti Depdiknas Jakarta.  Oleh karena itu, kami  mengucapkan terima kasih yang setinggi-tingginya kepada:
1.  DP2M Ditjen Dikti Depdiknas Jakarta.
2.  Bapak Ketua Lembaga Penelitian UNM Makassar beserta stafnya.
3.  Bapak  Dekan  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas  Negeri Makassar.
4.  Ibu Kepala sekolah SDN Parangtambung II Makassar.
5.  Bapak dan Ibu Tim Reviewer Universitas Negeri Makassar.

## Daftar Pustaka
[1] Budiantara,  I.N.,  2001,  Estimasi  Parametrik  dan  Nonparametrik  untuk  Pendekatan  Kurva Regresi, Proceeding Seminar Nasional Statistika V , ITS Surabaya.
[2] Craven, P., Wahba, G., 1979, Smoothing Noisy Data with Spline Functions, Numer. Math., 31, 377 – 390.
[3] Eubank,  R.L.,  1988, Spline  Smoothing  and  Nonparametric  Regression, Marcell  Dekker Inc., New York.
[4] Green,  P.J.,  Silverman,  B.,  1994, Nonparametric  Regression  and  Generalized  Linear Models ( a roughness penalty approach ) , Chapman and Hall, New York.
[5] Hardle,  W.,  1990, Applied  Nonparametric  Regression, Cambridge  University  Press,  New York.
[6] Moussa,  M.A.A.,  Cheema,  1992,  Nonparametric  Regression  in  Curve  Fitting ,  The Statisticians , 41, 209 – 225.
[7] Santoso, S., Ranti, L.A., 1999, Kesehatan dan Gizi , Rineka Cipta, Jakarta.
[8] Seber, G.A.F, 1977, Linear Regression Analysis, John Wiley and Sons, New York.
[9] Sediaoetama, A. D., 1993, Ilmu Gizi , Dian Rakyat, Jakarta.
[10] Siminoff, 1996, Smoothing Methods in Statistics , Springer Verlag, New York.
[11] Speckman,  P.,  1985,  Spline  Smoothing  and  Optimal  Rates  of  Convergence  in Nonparametric Regression Models, Annal Statist , 13, 970-983.
[12] Wahba, G., 1990, Spline Models for Observational Data, Society for Industrial and Applied Mathematics , Pennsylvania Philadelphia.
[13] Sanusi,  W.,  2006,  Perbandingan  Sifat  Asimtotik  Estimasi  Kurva  Spline  Reinsch  dengan Spline  Speckman, Jurnal  Transformasi ,  Vol.  Edisi  Khusus,  Pebruari  2006,  hal.  11  –  19, ISSN 0854 – 7874, FMIPA UNM Makassar.
[14] Sanusi,  W.,  2006,  Perbandingan  Sifat  Asimtotik  Estimasi  Variansi  Galat  Spline Reinsch dengan Spline Speckman, Jurnal  MIPA dan Pembelajarannya , Vol. Edisi Khusus, Nopember 2006, ISSN 1907 – 1926, IKA FMIPA UNM Makassar.