JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 1, Tahun 2023, Halaman 81 - 91 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
PENGUKURAN NILAI RISIKO PORTOFOLIO SAHAM PADA INDEKS LQ45 DI BIDANG TELEKOMUNIKASI MENGUNAKAN METODE KOPULA CLAYTON
Salsabila Syifa Binsanno 1* , Sudarno 2 , Di Asih I Maruddani 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail: syifasanno@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.1.81-91
Article Info: Received: 2022-06-08 Accepted: 2022-12-12 Available Online: 2023-05-04

## Keywords:
Portofolio; Clayton Copula; ARIMA-ARCH/GARCH; Value at Risk.
Abstract: The  characteristic  of  copula  is  non  strict  on  certain distribution assumptions, can explain nonlinier relationship, and easily construct distribution through the marginals that do not need to come from the same distribution family. Copula will be useful for stock data that  has  price  charts  fluctuate  rapidly  and  risk  will  always  follow in investing.  The  relation  between  risk  and  copula  in  this  study  is  to calculate  the  risk  value  in  the  stock  portfolio  using  VaR  with  the generation of Monte Carlo simulation through Clayton copula on four companies engaged in  telecommunications sector, namely EXCL.JK (PT XL Axiata Tbk), TLKM.JK (PT Telekomunikasi Indonesia Tbk), TOWR.JK  (PT  Sarana  Menara  Nusantara  Tbk),  and  TBIG.JK  (PT Tower Bersama Infrastructure Tbk) for period  2 January 2020 to  31 December 2021. This study resulted that the selected stock portfolios are EXCL and TBIG which had the highest risk value of -0,062741 at 99%  confidence  level,  so  when  an  investor  will  invest Rp100.000.000,00 the maximum estimated risk is Rp.6.274.100 within one day.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  pada  aset  finansial  bermanfaat  untuk  mengurangi  tekanan  inflasi  dan memperoleh kehidupan yang layak di masa mendatang (Tandelilin, 2010). Investasi saham menyalurkan sumber dana yang ada saat ini dengan harapan mendapatkan laba pada masa mendatang dengan cara  membelinya berupa saham. Saham merupakan bukti kepemilikan dalam suatu perusahaan dan pemiliknya dikenal sebagai pemegang saham.  Hal yang harus dipahami oleh investor yaitu risiko yang selalu mengikuti return (Adnyana, 2020).
Analisis saham dengan membentuk portofolio merupakan cara yang dapat digunakan untuk memaksimalkan return yang diharapkan (Prihatiningsih, et al., 2020). Pembentukan portofolio  sangat  sulit  karena  dalam  membentuk  portofolio  terdapat  banyak  kesempatan (Adnyana, 2020). Investor harus memiliki strategi yang baik dalam investasi saham. Value at Risk (VaR) dapat digunakan untuk mengukur risiko secara statistik dengan memerkirakan maksimum  kerugian  yang  dapat  terjadi  dalam  portofolio  dengan  tingkat  kepercayaan tertentu  (Best,  1998).  VaR  memiliki  tiga  metode  utama  untuk  mengukur  yaitu  simulasi historis, simulasi Monte Carlo dan pendekatan varian-kovarian. Metode yang paling unggul dalam mengukur nilai risiko diantara ketiga model tersebut adalah simulasi Monte Carlo, karena dapat mengukur risiko yang berbeda-beda (Maruddani & Purbowati, 2009).
Menurut Rinadi et al. (2019), kopula tidak ketat pada asumsi sebaran data berdistribusi tertentu,  dapat  menggambarkan  hubungan  non-linier,  dan  mudah  membangun  distribusi bersama melalui marginal dari variabel acak yang tidak harus berasal dari keluarga distribusi yang sama. Sifat tersebut akan cocok dengan data saham yang memiliki grafik perubahan yang drastis dan befluktuasi secara cepat.
Terdapat tiga keluarga kopula yang paling menonjol yaitu kopula Archimedian, kopula Eliptik ( elliptical copula), dan kopula Marshall-Okin. Kopula Archimedian terdiri dari tiga kelas yaitu kopula Frank, kopula Gumbel, dan kopula Clayton. Menganalisis kasus bivariat paling  sering  digunakan  oleh  kopula  Archimedian  dikarenakan  fungsi  kopula  mudah
didefinisikan  dan  kelas  yang  terdapat  di  kopula  Archimedian  memiliki  generator  yang berbeda (Nurcahyani, et al., 2016).
Salah  satu  kelas  pada  kopula  Archimedian  adalah  kopula  Clayton,  nilai-nilai  yang rendah  diberikan  kopula  Clayton  dengan  peluang  yang  hampir  besar  sehingga  dapat diartikan  bahwa  kopula  Clayton  memiliki  kebergantungan  ekor  bawah  (Fitriawati,  et  al., 2020). Model kopula Clayton bisa didapatkan dengan pendekatan dari korelasi. Penelitian ini menggunakan korelasi Kendall tau untuk menguji hipotesis  dan mendapatkan estimasi parameter kopula.
Penelitian  ini  akan  mengukur  nilai  risiko  dengan  metode  simulasi  Monte  Carlo menggunakan pendekatan kopula Clayton dan korelasi Kendall tau pada empat perusahaan yang  termasuk  ke  dalam  bidang  telekomunikasi  yaitu  EXCL.JK  (PT  XL  Axiata  Tbk), TLKM.JK (PT Telekomunikasi Indonesia Tbk), TOWR.JK (PT Sarana Menara Nusantara Tbk), dan TBIG.JK (PT Tower Bersama Infrastructure Tbk).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Risiko  dapat  didefinisikan  sebagai return yang  diharapkan  berbeda  dengan return aktual.  Hubungan  antara  risiko  dari  investasi  dan return yang  diharapkan  merupakan hubungan  linier  satu  arah,  yang  dapat  diartikan  bahwa  ketika return yang  diharapakan semakin tinggi, maka tingkat risiko juga akan semakin tinggi (Tandelilin, 2010). Menurut Jorion (2007), terdapat dua cara dalam menghiung return yaitu return geometrik dan return aritmatik. Return secara geometrik dapat dirumuskan pada persamaan (1)
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 (1)
𝑃 𝑡 adalah harga saham pada periode t dan 𝑃 𝑡−1 adalah harga saham pada periode t-1. Data yang dikumpulkan dan diurutkan berdasarkan waktu tertentu dapat disebut data runtun waktu (Makridakis, et al., 1997). Model ARIMA ( Auto Regressive Integrated Moving Average ) merupakan salah satu model data runtun waktu yang terkenal (Juanda & Junaidi, 2011).  Menurut  Pankratz  (1983),  model  ARIMA Box-Jenkins dapat  dituliskan  pada persamaan (2)
∅ 𝑝 (𝐵) ( 1 − 𝐵 ) 𝑑 𝑌 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵) 𝑒 𝑡 (2)
dengan:
∅ = parameter autoregressive 𝜃 = parameter moving average 𝑒 𝑡 = residual acak ( white noise ) 𝐵 = operator back shift
Metode analisis runtun waktu seperti metode ARIMA, memerlukan syarat stasioneritas (Juanda & Junaidi, 2011). Menurut Handini et al. (2018), stasioneritas dalam varian dapat diujikan menggunakan uji Box-Cox dan bentuk umum transformasi Box-Cox disajikan pada persamaan (3)
𝑦 = { 𝑥 𝜆 −1 𝜆 ,   untuk 𝜆 ≠ 0
𝑙𝑛(𝑥) ,    untuk 𝜆 = 0
(3)
Menurut  Juanda  dan  Junaidi  (2011),  uji Augmented  Dickey-Fuller dapat  digunakan untuk menguji stasioner dalam mean yang mempunyai bentuk umum pada persamaan (4) ∆𝑌 𝑡 = 𝛽 1 + 𝛿𝑌 𝑡−1 + ∑ 𝛼 𝑖 ∆𝑌 𝑡−𝑖 𝑚 𝑖=1 + 𝑒 𝑡 (4)
Model ARIMA merupakan model runtun waktu yang terdiri dari model Autoregressive (AR), Differencing ,  dan  model Moving  Average (MA)  (Makridakis  et  al.,  1997).  Model diseleksi  dengan  cara  mengecek  data,  ACF,  dan  PACF  untuk  identifikasi  model  yang
potensial. Menurut Juanda dan Junaidi (2011), Pola ACF dan PACF dapat dituliskan pada Tabel 1 sebagai berikut:
Tabel 1. Pola ACF dan PACF No Model ACF PACF 1 AR( p ) Eksponensial dan sinewave Menurun drastis pada lag tertentu ( cut off ) 2 MA( q ) Menurun drastis pada lag tertentu ( cut off ) Eksponensial dan sinewave 3 ARMA( p,q ) Eksponensial dan sinewave Eksponensial dan sinewave
Autocorrelation  Function dapat  membantu  untuk  mengidentifikasi  jika  nilai sebelumnya mengandung informasi mengenai nilai berikutnya dan melihat hubungan antara pengamatan (Makridakis et al., 1997). Menurut Pankratz (1983), pendugaan nilai ACF dapat ditulis pada persamaan (5)
𝛾 𝑘 = ∑ (𝑌 𝑡 −𝑌̅)(𝑌 𝑡+𝑘 −𝑌̅) 𝑛−𝑘 𝑡=1 ∑ (𝑌 𝑡 −𝑌) ̅̅̅ 2 𝑛 𝑡=1 (5)
dengan: 𝛾 𝑘 = koefisien autokorelasi pada lag ke -k 𝑍 𝑡 = data pengamatan waktu ke- t Partial Autocorrelation  Function merupakan  ukuran  dari  korelasi  yang  digunakan untuk  menentukan  tingkat  hubungan  antara  nilai  variabel  saat  ini  dan  nilai  sebelumnya, sementara  untuk  efek  dari  waktu  lainnya  adalah tetap  (Makridakis  et  al.,  1997). Menurut Pankratz (1983), pendugaan nilai PACF dapat dituliskan pada persamaan (6)
∅ 𝑘𝑘 = 𝛾 𝑘 −∑ ∅ 𝑘−1,𝑗 𝛾 𝑘−𝑗 𝑘−1 𝑗=1 1−∑ ∅ 𝑘−1,𝑗 𝛾 𝑗 𝑘−1 𝑗=1 (6)
dengan:
∅ 𝑘𝑘 = koefisien autokorelasi parsial pada lag kk 𝛾 𝑘−𝑗 = koefisien autokorelasi pada lag ( k-j )
Model  yang  diperoleh  dari  tahap  sebelumnya  digunakan  untuk  uji  signifikansi parameter.  Menurut  Lembang  (2014),  statistik  uji  untuk  pengujian  signifikansi  parameter dituliskan pada persamaan (7) dan (8)
AR mempunyai t-hitung = ∅ ̂ 𝑆𝐸(∅ ̂ ) (7)
MA mempunyai t-hitung = 𝛳 ̂ 𝑆𝐸(𝛳 ̂) (8)
Menurut Makridakis et al. (1997), untuk melakukan uji independensi residual dapat diuji menggunakan  tes Portmanteau .  Salah  satu  tes Portmanteau adalah  tes Ljung-Box dengan rumus dituliskan pada persamaan (9)
𝑄 ∗ = 𝑛(𝑛 + 2) ∑ (𝑛 − 𝑘) −1 𝑒 𝑘 2 ℎ 𝑘=1 (9)
dengan: k = jumlah lag 𝑒 𝑘 = autokorelasi residual pada lag ke-k
Uji normalitas adalah cara yang dapat digunakan untuk mengetahui data berdistribusi normal atau tidak. Menurut Von dan Hain (2010), Uji Jarque-Bera dapat digunakan untuk menguji normalitas residual yang dapat ditulis pada persamaan (10)
𝐽𝐵 = 𝑛 ( (√𝑏 1 ) 2 6 + (𝑏 2 −3) 2 24 ) = 𝑛 6 ((√𝑏 1 ) 2 + (𝑏 2 −3) 2 4 ) (10)
dengan:
√ 𝑏 1 = skewness 𝑏 2 = kurtosis
Akaike pada tahun 1973 memperkenalkan kriteria informasi yang disebut AIC ( Akaike’s Information  Criterion )  untuk menilai  kualitas  model  yang cocok  (Wei,  2006).  AIC  dapat dituliskan pada persamaan (11)
𝐴𝐼𝐶(𝑀) = 𝑛𝑙𝑛𝜎̂ 𝑎 2 + 2𝑀
(11)
Model terbaik dibandingkan dan dipilih menggunakan nilai AIC terkecil (Makridakis et al., 1997).
Data  runtun  waktu  terutama  data  keuangan  seringkali  memiliki  volatilitas  tinggi. Pengaruh  data  dengan  volatilitas  tinggi  adalah  varian  dari  residual  tidak  konstan.  Data tersebut  dapat  diartikan  sebagai  indikasi  heteroskedastisitas  (Juanda  &  Junaidi,  2011). Heteroskedastisitas adalah sebuah kondisi yang ada ketika varian residual yang tidak konstan di seluruh kisaran nilai (Makridakis et al., 1997). Heterokedastisitas dapat diketahui dengan menguji menggunakan Uji White.
Menurut  Juanda  dan  Junaidi  (2011), model Autoregressive  Conditional Heteroscedasticity (ARCH) dapat menangani varian residual yang cepat berubah dalam data runtun waktu yang mempunyai bentuk umum dituliskan pada persamaan (12)
𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑒 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼 𝑝 𝑒 𝑡−𝑝 2 (12)
dengan: 𝜎 𝑡 2 = varian dari residual pada waktu ke- t 𝛼 0 = nilai konstanta 𝛼 𝑝 = parameter ARCH, untuk p = 1,2,..., g dan 𝛼 𝑝 > 0 𝑒 𝑡−𝑝 2 = residual pada waktu ke-( t-p )
Bollerselv  mengembangkan  model  ARCH  menjadi  GARCH  ( Generalized Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity )  dikarenakan  pada  tahun  1986,  Bollerselv berpendapat  bahwa  varian  residual  periode  sebelumnya  juga  berpengaruh  pada  varian residual. GARCH mempunyai bentuk umum pada persamaan (13)
𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑒 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼 𝑝 𝑒 𝑡−𝑝 2 + 𝜆 1 𝜎 𝑡−1 2 + ⋯ + 𝜆 𝑞 𝜎 𝑡−𝑞 2 (13)
dengan: 𝜎 𝑡−𝑞 2 = varian dari residual pada waktu ke-( t-q ) 𝜆 𝑞 = parameter GARCH, untuk q = 1,2,..., h dan 𝜆 𝑞 > 0
Kopula adalah fungsi distribusi multivariat yang marginalnya berdistribusi pada interval (0,1).  Kopula  Archimedian  pada  kasus  bivariat  dapat  dituliskan  menjadi ( 𝐶 ( 𝑢, 𝑣 )) = 𝜑 [−1] [𝜑 ( 𝑢 ) + 𝜑 ( 𝑣 ) ]( Nelsen , 2006 ) .  Menurut  Embrechts  (2001),  keluarga  kopula Archimedian  terdiri  dari  kopula  Clayton,  kopula  Frank,  dan  kopula  Gumbel  yang generatornya dapat dituliskan pada persamaan (14), (15), dan (16) Kopula Clayton
𝜑(𝑡) = 1 𝜃 (𝑡 −𝜃 − 1)     , 𝜃 > 0 (14)
Kopula Frank
𝜑(𝑡) = −log ( 𝑒 −𝜃𝑡 −1 𝑒 −𝜃 −1 ) , 𝜃 ≠ 0 (15)
Kopula Gumbel
𝜑(𝑡) = (−𝑙𝑜𝑔 𝑡) 𝜃 , 𝜃 ≥ 1
(16)
Distribusi kopula Clayton merupakan distribusi gabungan yang berasal dari dua variabel acak berdistribusi Clayton. Fungsi generator dari kopula Clayton adalah 𝜑(𝑡) = 1 𝜃 (𝑡 −𝜃 − 1)
sehingga jika diinverskan menjadi 𝜑 −1 (𝑡) = (𝛳𝑡 + 1) − 1 ϴ ( Nurcahyani , et al . , 2016 ) . Menurut Nelsen (2006),  Bentuk umum dari kopula Clayton dituliskan pada persamaan (17)
𝐶 𝜃 ( 𝑢, 𝑣 ) = 𝑚𝑎𝑥((𝑢 −𝜃 + 𝑣 −𝜃 −1) −1 𝜃 , 0) (17)
Menurut  Nurcahyani  et  al.  (2016),  Fungsi  distribusi  kopula  Archimedian  bivariat dibutuhkan untuk membentuk distribusi bersama kopula Clayton sehingga kopula Clayton bivariat dapat dibuktikan sebagai berikut:
( 𝐶 ( 𝑢 1 , 𝑢 2 )) = 𝜑 −1 [𝜑 ( 𝑢 1 ) + 𝜑 ( 𝑢 2 ) ] = 𝜑 −1 [ 1 𝜃 (𝑢 1 −𝜃 − 1) + 1 𝜃 (𝑢 2 −𝜃 − 1)] = [𝜃 ( 1 𝜃 (𝑢 1 −𝜃 − 1) + 1 𝜃 (𝑢 2 −𝜃 − 1)) + 1] − 1 𝜃 = [((𝑢 1 −𝜃 − 1) + (𝑢 2 −𝜃 − 1)) + 1] − 1 𝜃 = [𝑢 1 −𝜃 + 𝑢 2 −𝜃 − 1] − 1 𝜃
Kopula  terdapat  2  ekor  dependen  yaitu upper  tail dan lower  tail .  Kopula  Clayton memiliki ekor dependen atas yaitu 𝐿 𝑢 = 0 dan ekor dependen bawah yaitu 𝐿 𝐿 = 2 − 1 𝜃 yang memiliki pembuktian sebagai berikut:
1. Upper tail pada kopula Clayton
𝐿 𝑢 =lim 𝑢→1 1 − 2𝑢 + 𝐶 ( 𝑢, 𝑢 ) 1 − 𝑢 =lim 𝑣→0 2𝑣−1+𝐶(1−𝑣,1−𝑣) 𝑣 =lim 𝑣→0 2𝑣−1+(2(1−𝑣) −𝜃 −1) −1 𝜃 𝑣
= 𝑑(2𝑣−1+(2(1−𝑣) −𝜃 −1)) −1 𝜃 𝑑𝑣 | 𝑣=0 = 2 − 1 𝜃 (2(1 − 𝑣) −𝜃 − 1)) −1 𝜃 −1 (−2𝜃(1 − 𝑣) −𝜃−1 (−1))| 𝑣=0 = 2 − 1 𝜃 (2𝜃(1 − 𝑣) −𝜃−1 )(2(1 − 𝑣) −𝜃 − 1)) −1 𝜃 −1 | 𝑣=0 = 2 − 2(1 − 𝑣) −1−𝜃 (2(1 − 𝑣) −𝜃 − 1) −1−𝜃 𝜃 | 𝑣=0
1-v dimisalkan s
𝐿 𝑢 = 2 − 2𝑠 −1−𝜃 (2𝑠 −𝜃 − 1) −1−𝜃 𝜃 | 𝑣=0 = 2 − 2[(𝑠 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 (2𝑠 −𝜃 − 1) −1−𝜃 𝜃 ]| 𝑣=0 = 2 − 2[(2 − 𝑠 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 ]| 𝑣=0
S menjadi 1-v kembali
= 2 − 2[(2 − (1 − 𝑣) 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 ]| 𝑣=0 = 2 − 2[(2 − 1 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 = 2 − 2(1) = 0 Upper tail pada kopula Clayton adalah 𝐿 𝑢 = 0 2. Lower tail pada kopula Clayton
𝐿 𝐿 =lim 𝑢→0 𝐶 ( 𝑢, 𝑢 ) 𝑢 =lim 𝑢→0 [2𝑢 −𝜃 −1] − 1 𝜃 𝑢 = 𝑑[2𝑢 −𝜃 −1] − 1 𝜃 𝑑𝑢 | 𝑢=0 = − 1 𝜃 (2𝑢 −𝜃 − 1) − 1 𝜃 −1 (−2𝜃𝑢 −𝜃−1 )| 𝑢=0 = − 1 𝜃 (−2𝜃𝑢 −𝜃−1 )(2𝑢 −𝜃 − 1) − 1 𝜃 −1 | 𝑢=0 = 2[(𝑢 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 (2𝑢 −𝜃 − 1) −1−𝜃 𝜃 ]| 𝑢=0 = 2(2𝑢 −𝜃+𝜃 − 𝑢 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 | 𝑢=0 = 2[(2 − 𝑢 𝜃 ) −1−𝜃 𝜃 ]| 𝑢=0 = 2(2) −1 𝜃 −1 = 2(2) −1 𝜃 (2) −1 = 2 −1 𝜃
Lower tail pada kopula Clayton adalah 𝐿 𝐿 = 2 − 1 𝜃 .
Menurut Budiani et al. (2015), ketika menganalisis hubungan antar variabel acak dan kopula, perlu untuk transformasi data menjadi domain uniform [0,1] yang dimana variabel acak akan dibuatkan rank plot dengan rumus dituliskan pada persamaan (18)
(( 𝑅 1 ( 𝑖 ) 𝑛+1 ) , ( 𝑅 2 ( 𝑖 ) 𝑛+1 ) , … , ( 𝑅 𝑚 ( 𝑖 ) 𝑛+1 )) , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 (18)
𝑅 1 ( 𝑖) , 𝑅 2 ( 𝑖) , … , 𝑅 𝑚 ( 𝑖) adalah rank dari 𝑋 1 , 𝑋 2 , ... , 𝑋 𝑚 yang sebelumnya sudah diubah dalam bentuk matriks. Persamaan pada transformasi kopula menjadi seperti persamaan (19)
𝐶(𝑢 1 , … , 𝑢 𝑚 ) = 1 𝑛 ∑ 1 ( 𝑅 1 (𝑖) 𝑛+1 ≤ 𝑢 1 , … , 𝑅 1 (𝑖) 𝑛+1 ≤ 𝑢 𝑚 ) 𝑛 𝑖=1 , 𝑢 1 , … , 𝑢 𝑚 ∈ (0,1) (19)
Korelasi  Kendall  tau  memiliki  keunggulan  yaitu  kebal  terhadap  outlier  dan  dapat digunakan  walaupun  hubungan  antar  variabel  acak  tidak  linier  sehingga  dapat  digunakan untuk mengkonstruksi parameter kelas kopula Clayton (Nurcahyani et al., 2016). Menurut Nelsen  (2006), 𝐾 𝐶 menyatakan  fungsi  distribusi  dari  C(U,V)  maka  dari  itu 𝐾 𝐶 dapat didefinisikan pada persamaan (20)
𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) = 𝑡 − 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) (20)
𝜑(𝑡) adalah fungsi generator kopula dan 𝜑 ′ (𝑡) adalah turunan pertama dari generator kopula. Hubungan dari Kendall tau dengan kopula pada persamaan (21)
𝜏 𝐶 = 4𝐸 ( 𝐶 ( 𝑈, 𝑉 )) − 1 = 4 ∫ 𝑡 𝑑𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) − 1 1 0 (21)
Fungsi integral menjadi pada persamaan (22)
∫ 𝑡 𝑑𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 1 0 = 𝑡𝐾 𝐶 ( 𝑡 )| 0 1 − ∫ 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 1 0 ∫ 𝑡 𝑑𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 1 0 = 1 − ∫ 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 1 0 (22)
Hubungan dari Kendall tau dengan kopula menjadi seperti persamaan (23)
𝜏 𝐶 = 4 ( 1 − ∫ 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 1 0 ) − 1𝜏 𝐶 = 4 − 4 ∫ 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 1 0 − 1 𝜏 𝐶 = 3 − 4 ∫ 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) 𝑑𝑡 1 0 (23)
Fungsi 𝐾 𝐶 ( 𝑡 ) dimasukkan  pada persamaan di atas akan menjadi
𝜏 𝐶 = 3 − 4 ∫ [ 𝑡 − 𝜑 ( 𝑡 ) 𝜑 ′ ( 𝑡 ) ] 𝑑𝑡 1 0 = 3 − 4. 1 2 + 4 ∫ [ 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) ] 𝑑𝑡 1 0 = 3 − 2 + 4 ∫ [ 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) ] 𝑑𝑡 1 0 = 1 + 4 ∫ 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 1 0
Sehingga Hubungan dari Kendall tau dengan kopula yaitu 𝜏 𝐶 = 1 + 4 ∫ 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ ( 𝑡) 𝑑𝑡 1 0 . Nilai 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ ( 𝑡) hubungan Kendall tau dengan kopula dapat dituliskan pada persamaan (24)
𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) = 1 𝜃 (𝑡 −𝜃 −1) −𝑡 −𝜃−1 = 𝑡 −𝜃 −1 −𝜃𝑡 −𝜃−1 (24)
Menurut  Nurcahyani  et  al.  (2016),  korelasi  Kendall  tau  dapat  digunakan  untuk mengkonstruksi parameter kelas kopula Clayton. Nilai 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ ( 𝑡) disubstitusikan ke dalam fungsi distribusi Kendall tau, sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:
∫ 𝑡 −𝜃 − 1 −𝜃𝑡 −𝜃−1 1 0 𝑑𝑡 = − 1 𝜃 ∫ 𝑡 −𝜃 − 1 𝑡 −𝜃−1 1 0 𝑑𝑡 = − 1 𝜃 ∫ 𝑡 −𝜃 𝑡 −𝜃−1 − 1 𝑡 −𝜃−1 1 0 𝑑𝑡
= − 1 𝜃 ∫ (𝑡 −𝜃−(−𝜃−1) − 𝑡 −(−𝜃−1) ) 1 0 𝑑𝑡 = − 1 𝜃 ∫ (𝑡 − 𝑡 𝜃+1 ) 1 0 𝑑𝑡 = − 1 𝜃 [ 1 2 𝑡 2 − 1 𝜃+2 𝑡 𝜃+2 ]| 0 1 = − 1 𝜃 ( 1 2 (1) 2 − 1 𝜃+2 (1) 𝜃+2 ) − ( 1 2 (0) 2 − 1 𝜃+2 (0) 𝜃+2 ) = − 1 𝜃 [( 1 2 − 1 𝜃+2 ) − (0 − 0)] = − 1 𝜃 [( 1 2 − 1 𝜃+2 )] = 1 𝜃(𝜃+2) − 1

## 2𝜃
Estimasi parameter 𝜃 diperoleh dari persamaan ∫ 𝜑(𝑡) 𝜑 ′ (𝑡) 𝑑𝑡 1 0 yang akan disubtitusi dengan persamaan 1 𝜃(𝜃+2) − 1 2𝜃 ke dalam fungsi Kendall tau, sehingga diperoleh
𝜏   = 1 + 4 [ 1 𝜃(𝜃+2) − 1 2𝜃 ] = 1 + 4 𝜃(𝜃+2) − 2 𝜃 = 𝜃(𝜃 + 2) + 4 − 2(𝜃 + 2) 𝜃(𝜃 + 2)
= 𝜃 2 + 2𝜃 + 4 − 2𝜃 − 4 𝜃(𝜃 + 2) = 𝜃 2 𝜃(𝜃 + 2) = 𝜃 𝜃 + 2
Fungsi Kendall tau pada kopula Clayton menjadi 𝜏 = 𝜃 𝜃+2 . Estimasi parameter kopula Clayton dapat ditulis seperti berikut:
𝜃 = 𝜏(𝜃 + 2) 𝜃 = 𝜃𝜏 + 2𝜏
𝜃 = 2𝜏
(1−𝜏)
Sehingga estimasi parameter kopula Clayton dapat ditulis menjadi 𝜃 ̂ = 2𝜏 (1−𝜏) .
Value  at  Risk dapat  diartikan  sebagai  perkiraan  risiko  maksimal  yang  dapat  terjadi dengan tingkat kepercayaan tertentu dan dalam kurun waktu yang ditentukan (Best, 1998). Metode historis, metode varian kovarian, dan simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk menghitung  VaR (Hanafi, 2016). Salah satu metode yang dipakai dalam beberapa proyek analisis risiko yaitu simulasi Monte Carlo yang secara acak mensimulasikan sistem secara berkali-kali  dengan  memilih  nilai  untuk  setiap  variabel  dari  distribusi  (Kwak  &  Ingall, 2009). Simulasi Monte Carlo adalah metode yang paling unggul dalam mengukur VaR untuk sejauh ini  (Jorion, 2007). Menurut Hutomo et al. (2017). Simulasi Monte Carlo dibangkitkan untuk mengukur Value at Risk sehingga dapat dituliskan pada persamaan (25)
𝑉𝑎𝑅 ( 1−𝛼) ( 𝑡 ) = 𝑊 0 𝑅 ∗ √ 𝑡 (25)
dengan:
𝑊 0 = dana investasi 𝑅 ∗ = nilai kuantil ke-α dari distribusi return t     = waktu 𝛼 = taraf signifikansi

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  menggunakan  data  sekunder closing  price harian  berdasarkan  empat perusahaan  yakni  PT  XL  Axiata  Tbk  (EXCL.JK),  PT  Telekomunikasi  Indonesia  Tbk (TLKM.JK),  PT  Sarana  Menara  Nusantara  Tbk  (TOWR.JK),  dan  PT  Tower  Bersama Infrastructure  Tbk  (TBIG.JK)  dalam  periode  2  Januari  2020  sampai  31  Desember  2021 sebanyak 489 data yang diambil dari situs www.financeyahoo.com untuk menganalisis data dapat dijelaskan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengubah keempat data saham menjadi nilai return dengan cara menghitungya.
2. Menganalisis statistik deskriptif untuk keempat data return saham.
3. Memilih portofolio dengan menguji korelasi data return saham.
4. Menguji  stasioneritas  dalam  varian  menggunakan  uji  Box-Cox  dan  Menguji stasioneritas dalam mean menggunakan uji Augmented Dickey Fuller .
5. Setelah  dinyatakan  Stasioner  terhadap mean dan  varian,  maka  dilanjutkan  untuk membentuk model ARIMA dengan plot ACF dan PACF.
6. Mengujji signifikansi dan estimasi pada model ARIMA
7. Menguji  verifikasi  model  yang  terdiri  dari  tiga  uji  asumsi  yaitu  uji  independensi residual, uji normalitas residual, dan uji homoskedastisitas residual
8. Memilih permodelan ARIMA terbaik berdasarkan AIC terkecil dan menentukan model ARCH/GARCH
9. Menguji asumsi pada model ARIMA ARCH/GARCH
10. Menguji korelasi menggunakan korelasi Kendall tau
11. Mengombinasikan residual ARIMA ARCH/GARCH ke kopula Clayton
12. Melakukan estimasi VaR menggunakan kopula Clayton dengan simulasi Monte Carlo
13. Membuat analisis hasil kesimpulan berdasarkan hasil VaR

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Karakteristik  data return ( 𝑅 𝑡 )  pada  keempat  saham  yang  meliputi  EXCL,  TLKM, TOWR, dan TBIG pada periode 2 Januari 2020 sampai 31 Desember 2021 yaitu rata-rata pada 𝑅 𝑡 untuk  saham  EXCL  memiliki  nilai  negatif  yang  diperkirakan  akan  memberikan
kerugian  sedangkan  saham  TLKM,  TOWR,  dan  TBIG  memiliki  nilai  positif  yang diperkirakan  akan  memberikan  keuntungan.  Nilai  standar  deviasi  tertinggi  dimiliki  oleh saham TBIG yang berarti saham TBIG memiliki potensi risiko tertinggi untuk berinvestasi. Nilai skewness kurang dari nol dan nilai kurtosis lebih dari tiga pada 𝑅 𝑡 untuk keempat saham dapat diperkirakan bahwa tidak berdistribusi normal.
Korelasi pada portofolio untuk 𝑅 𝑡 diperlukan untuk melihat hubungan portofolio data. Korelasi pada portofolio yang baik dilihat nilai yang terkecil, nilai terkecil pada penelitian ini yaitu portofolio antara EXCL dan TBIG dengan nilai 0,27824. Data 𝑅 𝑡 perlu dilakukan transformasi  sebanyak  tiga  kali (𝑡 3 ) menggunakan  transformasi  Box-Cox  agar rounded value bernilai  mendekati  satu  sehingga  data 𝑅 𝑡 stasioner  dalam  varian.  Data 𝑡 3 dianalisis menggunakan Uji ADF dan dapat disimpulkan bahwa data 𝑅 𝑡 stasioner dalam mean.
Asumsi kestasioneran dari mean dan varian pada data 𝑡 3 untuk saham EXCL dan TBIG telah terpenuhi, selanjutnya dilakukan identifikasi model ARIMA. Saham EXCL memiliki plot ACF dengan lag yang terputus yaitu lag 3, 6, dan 24 dan plot PACF dengan lag yang terputus  yaitu lag 3,  15,  22,  dan  24.  Saham  TBIG  memiliki  plot  ACF  dengan lag yang terputus yaitu lag 2 dan 3 dan plot PACF dengan lag yang terputus yaitu lag 2 dan 16. Uji signifikansi parameter pada data 𝑡 3 menghasilkan kesimpulan bahwa terdapat 35 model yang signifikan pada saham EXCL dan terdapat 12 model yang signifikan pada saham TBIG.
Model  ARIMA  yang  signifikan  telah  diperoleh,  selanjutnya  menguji  asumsi  residual yang  dapat  diberi  kesimpulan  bahwa  data 𝑡 3 saham  EXCL  dan  TBIG  hanya  uji  asumsi independensi  residual  yang  terpenuhi  sedangkan  uji  asumsi  normalitas  residual,  dan  uji asumsi  homoskedastisitas  residual  tidak  terpenuhi.  Nilai  AIC  terkecil  dapat  diindikasikan bahwa  model  tersebut  terbaik,  pada  saham  EXCL  model  terbaik  adalah  ARIMA ([22,24],0,[3,6])  dengan  nilai  AIC  terkecil  yaitu  -4,293255  dan  pada  saham  TBIG  model terbaik adalah ARIMA (16,0,[2,3]) dengan nilai AIC terkecil yaitu -4,08918.
Model  data 𝑡 3 untuk  kedua  saham  yang  terpilih,  asumsi  homoskedastisitas  tidak terpenuhi  sehingga  dilakukan  permodelan  ARCH/GARCH.  Pemilihan  permodelan ARCH/GARCH  dipilih  berdasarkan  permodelan  ARCH/GARCH  yang  terbaik  dengan melihat nilai AIC terkecil. Model ARCH/GARCH yang terpilih dapat dilihat pada Tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Model ARCH/GARCH beserta Nilai AIC 𝒕 𝟑 Model AIC EXCL  GARCH(1,0)  -4,336131 TBIG GARCH(1,0)  -4,154221
Berdasarkan  Tabel  2,  dapat  disimpulkan  bahwa  model  saham  EXCL  terbaik  adalah model GARCH (1,0) dan model saham TBIG terbaik adalah model GARCH (1,0). Sehingga model saham EXCL yaitu ARIMA ([22,24],0,[3,6]) GARCH (1,0) dan model pada saham TBIG yaitu ARIMA ([16],0,[2,3]) GARCH (1,0).
Model  ARIMA-ARCH/GARCH  yang  dihasilkan  oleh  data 𝑡 3 untuk  kedua  saham dituliskan sebagai berikut:
a. Saham EXCL
𝑌 𝑡 = 0,093764𝑍 𝑡−22 −0,156111𝑍 𝑡−24 − 0,219344𝑎 𝑡−3 + 0,120894𝑎 𝑡−6 + 𝑒 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,000586 + 0,171429𝑒 𝑡−1 2
b. Saham TBIG
𝑌 𝑡 = −0,100930𝑍 𝑡−16 − 0,153722𝑎 𝑡−2 + 0,089673𝑎 𝑡−3 + 𝑒 𝑡 𝜎 𝑡 2 = 0,000656 + 0,171429 𝑒 𝑡−1 2
Model ARIMA-ARCH/GARCH yang terbaik telah terpilih dan dilakukan Uji asumsi residual  dengan  kesimpulan  bahwa  model  ARIMA-ARCH/GARCH  pada  data 𝑡 3 telah
memenuhi uji asumsi independensi dan homoskedastisitas namun tidak memenuhi asumsi normalitas. Selanjutnya, menguji korelasi residual data 𝑡 3 (𝑅𝑒 𝑡 3 ) untuk kedua saham dengan uji korelasi kendall-tau yang diperoleh keputusan sebagai berikut:
Tabel 3. Korelasi Kendall tau 𝑹𝒆 𝒕 𝟑 Tau Z hitung P-value Kesimpulan EXCL-TBIG  0,14822 4,7661 1,878e-06  Ada Korelasi
Berdasarkan  Tabel  3,  dapat  diberi  kesimpulan  bahwa 𝑅𝑒 𝑡 3 antara  saham  EXCL  dan TBIG memiliki nilai Korelasi sebesar 0,14822. Parameter kopula diukur menggunakan nilai korelasi Kendall tau dari 𝑅𝑒 𝑡 3 pada saham EXCL dan TBIG. hasil estimasi parameter kopula dapat ditampilkan pada Tabel 4 sebagai berikut:
Tabel 4. Estimasi Parameter Kopula Kopula  Parameter Clayton 0,348 Sehingga model kopula Clayton untuk data 𝑅𝑒 𝑡 3 pada saham EXCL dan TBIG adalah
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ; 0,348) = [𝑢 1 0,348 + 𝑢 2 0,348 − 1] 1 0,348
Estimasi  parameter 𝜃 ̂ dari  kopula  Clayton  adalah  0,348.  Nilai  risiko  pada  portofolio saham EXCL dan TBIG  dapat dihitung menggunakan Simulasi Monte Carlo. Nilai risiko dihitung  dengan  membangkitkan  463  data  bangkitan  dengan  1000  pengulangan  dengan tingkat kepercayaan 90%, 95%, 99% yang ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Perhitungan Nilai Risiko Portofolio Jumlah Perulangan Tingkat kepercayaan 90% 95% 99% 1000 -0,02820484  -0,03876736 -0,062741
Portofolio  saham  EXCL  dan  TBIG  dengan  pembangkitan  1000  perulangan memerkirakan  nilai  risiko  tertinggi  sebesar  -0,062741  pada  tingkat  kepercayaan  99% sehingga  pada  sebuah  studi  kasus  seorang  ingin  menginvestasikan  uangnya  sebesar Rp100.000.000,00  ke  dalam  portofolio  saham  EXCL  dan  TBIG  yang  menghasilkan  nilai risiko yang mungkin terjadi dapat mencapai Rp6.274.100 dalam prediksi waktu 1 hari.

## 5. KESIMPULAN
Portofolio saham yang diteliti lebih lanjut yaitu portofolio saham antara saham EXCL dan  TBIG  dikarenakan  kedua  saham  tersebut  memiliki  korelasi  terendah  yaitu  sebesar 0,27824 dengan model ARIMA-ARCH/GRACH terbaik untuk saham EXCL yaitu ARIMA ([22,24],0,[3,6]) GARCH (1,0), model ARIMA-ARCH/GARCH terbaik untuk saham TBIG yaitu ARIMA ([16],0,[2,3]) GARCH (1,0).
Model kopula Clayton untuk saham residual model pada saham EXCL dan TBIG yaitu
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ; 0,348) = [𝑢 1 0,348 + 𝑢 2 0,348 − 1] 1 0,348 dengan nilai 𝜃 ̂ sebesar 0,348 memerkirakan nilai  risiko  tertinggi  pada  pembangkitan 1000  perulangan  sebesar  -0,062741  pada  tingkat kepercayaan  99%,  sehingga  pada  sebuah  studi  kasus  seorang  ingin  menginvestasikan uangnya  sebesar  Rp100.000.000,00  ke  dalam  portofolio  saham  EXCL  dan  TBIG  yang menghasilkan nilai risiko yang mungkin terjadi dapat mencapai Rp6.274.100 dalam prediksi waktu 1 hari

## DAFTAR PUSTAKA
Adnyana, I. M. (2020). Manajemen Investasi dan Portofolio. Jakarta Selatan: LPU-UNAS. Best, P. (1998). Implementing Value at Risk. West Sussex: John Wiley & Sons.
Budiani, J. R., Sutikno, & Purhadi. (2015). Analisis Hubungan dan pemodelan Luas Panen Padi  dengan  Indikator  El-Nino  Suuthern  Oscilaation  (ENSO)  di  Kabupaten Bojonegoro Melalui Pendekatan Copula dan Regresi Robust M-Estimation. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol.4 No.2 , 2337-3520. Embrechts,  P.,  Lindskog,  F.,  &  McNeil,  A.  (2001). Modelling  Dependence  with Copulas and  Applications  to  Risk  Management. Switzerland:  Departmet  of  Mathematics ETHZ.
Fitriawati, A., Febrianti, W., Bustan, A. W. & A., 2020. Teknik Mengkonstruksi Distribusi Bivariat  Copula  Clayton  pada  Data  Marginal  Diskrit  dengan  Implikasi Kebergantungan. Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika , 8(2), pp. 227-238.
Hanafi, M. M. (2016). Manajemen Risiko Edisi Ketiga. Yogyakarta: UPP STIM YKPN.
Handini,  J.  A.,  Maruddani,  D.  I.,  &  Safitri,  D.  (2018).  Copula  Frank  pada  Value  at  Risk (VaR) Pembentukan Portofolio Bivariat. Jurnal Gaussian , 293-302. Hutomo, M. P., Dewi, A. S. & Gustyana, T. T., 2017. Analisis VaR pada Saham Perusahaan Properti  yang  Terdaftar  pada  Indeks  LQ45. e-Proceeding  of  Management  :  Vo.4, No.3 , pp. 2316-2323. Jorion, P. (2007). Value at Risk The New Benchmark for Managing Financial Risk Third Edition. New York: McGraw-Hill. Juanda, B., & Junaidi. (2011). Ekonometrika Deret Waktu Teori dan Aplikasi. Bogor: IPB Press.
Kwak,  Y.  H.,  &  Ingall,  L.  (2009).  Exploring  Monte  Carlo  Simulation  Applications  for project  Management. IEEE  ENGINEERING  MANAGEMENT  REVIEW.  Vol.37, No.2, Second Quarter , 83-91.
Lembang, F. K. (2014). Evaluasi Dampak Krisis Moneter, Bom Bali I dan II terhadap Jumlah Kunjungan  Wisatawan  ke  Bali  dengan  Regresi  Time  Series,  Regresi  Dummy  dan Intervensi. Seminar Nasional Basic Science VI F-MIPA UNPATTI , 137-150. Makridakis, S., Wheelwright, S. C., & Hyndman, R. J. (1997). Forecasting Methods and Application Third Edition. New York: Wiley.
Maruddani, D. I., & Purbowati, A. (2009). Pengukuran Value at Risk pada Aset Tunggal dan Portofoilo dengan Simulasi Monte Carlo. Media Statistika , 93-104. Nelsen, R. B. (2006). An Introduction to Copula. New York: Springer. Nurcahyani, A. W., Saputro, D. S., & Kurdhi, N. A. (2016). Korelasi Kendall untuk Estimasi Parameter  Distribusi  Clayton-copula  Bivariat. Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan Matematika UNY , MS 53-MS 58. Pankratz, A. (1983). Forecasting with Univariate Box-Jenkins Models Concepts and Cases. Canada: John Wiley & Sons. Inc.
Prihatiningsih, D. R., Maruddani, D. I., & Rahmawati, R. (2020). Value at Risk (VaR) dan Conditional  Value  at  Risk  (CVaR)  Dalam  Pembentukan  Portofolio  Bivariat Menggunakan Copula Gumbel. Jurnal Gaussian , 326-335.
Rinadi, G. A., Sasongko, L. R., & Susanto, B. (2019). Regresi Median pada Copula Bivariat. Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika , 07-14. Suyono. (2015). Analisis Regresi Untuk Penelitian. Yogyakarta: Deepublish. Tandelilin, E. (2010). Portofolio dan Investasi : Teori dan Aplikasi. Yoyakarta: Kanisius. Von, V., & Hain, J. (2010). Comparison  of common tests for normality. Germany: Julius Maximilians Universitat Wurzburg.
Wei, W. (2006). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods Second Edition. New York: Pearson Education, Inc.