## PERILAKU TEKUK PELAT ISOTROPIK PERSEGI OLEH BEBAN UNIAKSIAL DAN BIAKSIAL
Haryo Koco Buwono 1 , Budiman 2 , Budi Satiawan 3 dan Nur Ali Rohman 4
1 Prodi Teknik Sipil, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. Cempaka Putih Tengah 27, Jakarta, 10510 Email korespondensi: haryo.koco@umj.ac.id
2 Prodi Teknik Sipil, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. Cempaka Putih Tengah 27, Jakarta, 10510 Email : budiman30@umj.ac.id
3 Prodi Teknik Sipil, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. Cempaka Putih Tengah 27, Jakarta, 10510
Email : budi.satiawan@umj.ac.id
4 Prodi Teknik Sipil, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jl. Cempaka Putih Tengah 27, Jakarta, 10510 Email : nuralirhmn@gmail.com

## ABSTRAK
Analisa  elemen  pelat  terus  berkembang  sehubungan  dengan  semakin  kompleksnya  bentuk struktur.  Menganalisa  elemen  pelat  yang  kompleks,  peneliti  menggunakan  metode  numerik, dalam  hal  ini  metode  elemen  hingga.  Metode  elemen  hingga  sudah  banyak  digunakan  dalam menganalisa pelat elemen,  peneliti  terus berlomba dalam mengembangkan elemen pelat dan cangkang  yang  dapat  diaplikasi  dalam  berbagai  kondisi  dan  mempunyai  akurasi  yang  tinggi. Penggunaan  elemen  segitiga  menarik  perhatian  peneliti  karena  simplisitas  dan  fleksibilitas dalam  mendiskritisasi  elemen  yang  kompleks.  Elemen  segitiga  tiga  nodal  MITC3  ( Mixed Interpolation of Tensorial Components ) merupakan salah satu elemen pelat yang menggunakan elemen  segitiga  dan  merupakan  elemen  pelat  yang  terkenal  serta  banyak  digunakan  oleh perangkat lunak komersial. Penelitian tentang elemen MITC3 sudah banyak dilakukan terutama dalam kasus statik, pada penelitian ini peneliti menganalisa elemen pelat isotropik MITC3 pada kasus  tekuk  yang  diberi  beban  mekanikal  berupa  beban  in-plane  uniaksial  dan  biaksial. Penelitian ini bertujuan untuk melihat tingkat konvergensi elemen pelat isotropik MITC3 pada kasus  tekuk,  penelitian  ini  diawali  dengan  melakukan  studi  literatur,  selanjutnya  menguji kinerja  dan  perilaku  konvergensi  elemen  pelat  MITC3  pada  kasus  pelat  persegi  dengan memvariasikan  rasio  panjang  terhadap  tebalnya.  Hasil  analisa  akan  dibandingkan  dengan referensi yang ada di literatur.
Kata kunci : Analisa Tekuk; Metode Elemen Hingga; Elemen Segitiga; MITC3.

## ABSTRACT
The  analysis  of  plate  elements  continues  to  evolve  concerning  the  increasing  complexity  of  the structure. Analyzing complex plate elements, researchers use numerical methods, in this case, the finite element method. The finite element method has been widely used in analyzing plate elements, researchers  continue  to  compete  in  developing  plate  and  shell  elements  that  can  be  applied  in various conditions and have high accuracy. The use of triangular elements attracted the attention of researchers because of its simplicity and flexibility in discretizing complex elements. The MITC3 (Mixed Interpolation of Tensorial Components) three-nodal triangular element is a plate element that uses triangular elements and is a well-known plate element and is widely used by commercial software.  Research  on  the  MITC3  element  has  been  widely  carried  out,  especially  in  the  case  of static, in this study researchers analyzed MITC3 isotropic plate elements in buckling cases which were given mechanical loads in the form of uniaxial and biaxial in-plane loads. This study aims to see the convergence rate of MITC3 isotropic plate elements in the case of buckling, this study was started  by  conducting  a  literature  study,  then  examines  the  performance  and  convergence behavior  of  MITC3  plate  elements  in  the  case  of  square  plates  by  varying  the  ratio  of  length  to thickness. The results of the analysis will be compared with references in the literature.
Keywords: Buckling Analysis; Finite Element Method; Triangular Element; MITC3.

## 1. PENDAHULUAN
Metode elemen hingga merupakan alat yang banyak  digunakan  dalam  menganalisa elemen pelat. Elemen pelat yang menggunakan  pendekatan  teori  reissner- mindlin dengan kontinuitas C 0 menyebabkan  munculnya shear  locking pada  saat  rasio  panjang  terhadap  tebalnya semakin  besar,  ketergantungan  perilaku elemen  terhadap  terhadap  ketebalannya akan  memunculkan  shear  locking  yang menyebabkan  hasil  analisa  pelat  tidak akurat [1 ]. Banyak  pendekatan  yang dilakukan  peneliti  untuk  mengatasi shear locking ,  salah  satunya  dengan  pendekatan '' mixed interpolation of tensorial components ''  (MITC).  Metode  ini  telah berhasil  mengatasi shear  locking .  Namun, teknik ini bekerja dengan baik pada elemen segiempat [2] dan [3]. Dalam analisa elemen hingga  pelat  hal  utama  yang  ingin  dicapai yaitu  bagaimana  memformulasikan  suatu elemen  pelat  yang  mempunyai  akurasi  dan tingakat  konvergensi  yang  tinggi,  dapat diaplikasikan dalam berbagai kondisi, serta waktu  komputasi  yang  cepat.  Elemen segitiga  merupakan  elemen  yang  paling efisien dalam mendiskritasi elemen, terutama  elemen  yang  kompleks  yang merupakan  kelemahan  elemen  segiempat. Salah satu elemen pelat segitiga berdasarkan pendekatan MITC yaitu MITC3 (3- node  triangular  mixed  interpolation  of tensorial  components )  yang  dikembangkan oleh  Lee  dan  Bathe  [1]  .  Elemen  MITC3 mempunyai  formulasi  yang  sederhana sehingga  menghasilkan  waktu  komputasi yang  cepat,  selain  itu  juga  mempunyai konvergensi  yang  bagus  terutama  untuk pelat  tebal.  Penelitian  pelat  menggunakan elemen  MITC3  untuk  kasus  statik  sudah banyak  dilakukan,  salah  satunya  penelitian pada  [4].  Penelitian  tekuk  pada  pelat menggunakan  teori  pelat  klasik  (CPT) dijelaskan pada [5], dan menggunakan teori pelat deformasi geser orde pertama (FDST) pada  [6].  Namun,  penelitian  elemen  MITC3 pada  kasus  tekuk  belum  ada  di  literatur. Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  analisa tekuk pelat isotropik menggunakan elemen
MITC3,  pada  kasus  tekuk  ini  yang  ingin didapat  berupa  beban  tekuk  kritis  pelat MITC3  yang  dikenai  beban  in-plane uniaksial  dan  biaksial.  Referensi  tentang analisa tekuk pelat mengunakan elemen lain ataupun  hasil  eksak  akan  dibandingkan dengan hasil yang didapat dengan menggunakan elemen MITC3 untuk melihat tingkat  konvergensi  dan  kinerja  elemen MITC3.

## 2. TEORI PELAT REISSNER-MINDLIN

## Persamaan tegangan-perpindahan
Menurut  teori  pelat  deformasi  geser  orde pertama Reissner-Mindlin [7], bidang perpindahan perpindahan sebagai berikut: ( , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , )
( , , ) ( , ) x y u x y z u x y z x y
v x y z v x y z x y
w x y z w x y        (1)
Berdasarkan  bidang  perpindahan  pelat, persamaan regangan yaitu:
    ε χ
ε ε ε 2ε x y xy z   (2)

## Persamaan konstitutif
Hubungan tegangan-regangan elemen pelat dapat diasusmsikan sama dengan tegangan bidang ( plane stress ). Persamaan hubungan antara  geser out-off  plane dan  regangan geser sebagai berikut:
            H H         dan (3)
Dimana,
    x x y y                             dan (4)

## 3. FORMULASI ELEMEN MITC3
MITC3 merupakan elemen segitiga 3 nodal, mempunyai  3 degree  of  freedom untuk disetiap nodalnya yang dikembangkan oleh Lee dan Bathe yang didasarkan pada konsep MITC yang diajukan oleh Dvorkin dan Bathe [3].  Perpindahan  independen    dan  bidang rotasi  dan  sebagai berikut:
3 1 3 1 3 1 i i i i i x i x i y i y i w N w N N     
   
      
(5)

## Deformasi lentur MITC3
Hubungan  antara curvature dan  variabel nodal yaitu:
      b n B u  
  , , , , 1,2,3 0 0 0 0 0 i x b i y i y i x i N B N N N               (6)

## Deformasi geser MITC3
Berikut  ini  deformasi  geser  MITC3  yang didapatkan  dengan  menggunakan  tying points:
Gambar 1. Tying point.
    1 2 3 1 2 3 13 21 13 21 21 32 21 32 13 32 13 32 13 21 13 21 21 32 21 32 13 13 1 4 2 ( η) ( η) 2 ( ξ) ( ξ) 1 4 2 ( η) ( η) 0 ξ ξ 1 4 s s s s s s s s B j B B B B
y y B x x A x x y y x x y y y y B x x A x x y y x y
B A                                                                               13 21 13 21 21 21 13 21 13 21 0 η η 2 ( ξ) ( ξ) y y x x x y x x y y    
   
         (7)

## Matriks kekakuan MITC3
Total  kekakuan  karena  lentur  dan  geser yaitu:
      b s
k k k   (8)

## 4. ANALISA TEKUK
Pada  analisa  tekuk,  variabel  yang  ingin diketahui  berupa  nilai  beban  tekuk  kritis karena  penerapan  beban  dan  nilai  mode tekuk.  Untuk  mendapatkan  nilai  tersebut dapat diselesaikan melalui persamaan eigen [8].
          0 cr G k N k d   (9)
Dimana,
  k = Matriks kekakuan struktur
cr N = Beban tekuk kritis
  G k = Matriks kekakuan geometri
  d = bentuk mode tekuk

## Matriks kekakuan geometri
Persamaan  energi  internal  untuk  deformasi membran sebagai berikut:
   1 2 n G n u k u    (10)
Vektor perpindahan nodal yaitu:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n x y x y x y u w w
w        (11)
Matriks kekakuan geometri sebagai berikut:            0 3 0 3 0 12 12 T G w w A T x x A T y y A k h G G dA h G G dA
h G G dA                              (12)

## 5. METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian  yang  dilakukan  berupa  studi tentang  konvergenitas  elemen  MITC3  pada kasus  pelat  isotropik  terhadap  tekuk  oleh beban in-plane uniaksial  dan  biaksial. Penelitian ini dimulai dengan studi terhadap beberapa  literatur  yang  berkaitan  dengan elemen  MITC3,  pengujian  tekuk  yang dilakukan  pada  pelat  isotropik  dengan menggunakan  formulasi  elemen  MITC3. Setelah  studi  literatur  dilakukan,  dibuat programasi formulasi elemen MITC3 dengan  3  derajat  kebebasan  ( dof )  pada setiap  titik  nodalnya.  Programasi  ini  diuji konvergenitasnya  terlebih  dahulu  pada kasus  statik.  Jika  programasi  formulasi elemen  MITC3  ini  dinyatakan  konvergen, maka dapat diuji pada kasus tekuk. Analisa tekuk pada pelat isotropik dilakukan dengan memvalidasi elemen pelat MITC3 melaui uji numerik  terhadap  pelat  persegi  dengan variasi rasio panjang terhadap tebal L / h =20 dan L / h =1000.  Setelah  mendapatkan  hasil analisa, maka hasil tersebut akan dibandingkan dengan solusi referensi.

## 6. DISKUSI DAN PEMBAHASAN
Analisa  numerik  dilakukan  pada  pelat persegi  yang  ditumpu  oleh  tumpuan sederhana  yang  dimodelkan  secara  penuh, pelat  tersebut  dikenai  beban in-plane uniaksial  dan  biaksial  yang  dapat  dilihat pada  Gambar  4  dan  5.  Penelitian  ini menggunakan  variasi  panjang  terhadap
tebal  pelat  yaitu L / h =20  and L / h =1000. Analisa  dilakukan  pada  tiga  variasi  mesh yang  berbeda  yaitu  mesh  A,  B,  dan  Mesh  C seperti  pada  Gambar  3.    Menggunakan variasi ukuran mesh (2 N × N × 2) yaitu 8 × 4 × 2, 16 × 8 × 2, 32 × 16 × 2, 64 × 32 × 2, 128 × 64 × 2 yang digunakan untuk mesh A dan B,  sedangkan  ukuran  mesh  (2 N × N ×  4) digunakan  untuk  mesh  C.  Memvalidasi konvergensi  pelat  ( L / h =20)  oleh  beban uniaksial  dan  biaksial,  beban  tekuk  kritis diberikan  oleh  Mohammadi,  dkk  [5].  Hasil pelat dengan mesh 128 × 64 × 2 atau 128 × 64  ×  4  digunakan  untuk  yang  tidak mempunyai solusi referensi.
Gambar 3. Pemodelan pelat persegi dengan variasi mesh A, B, dan mesh C.
Gambar  4.  Pola  pembebanan  pelat  persegi yang dikenai beban uniaksial tekan.
Gambar  5.  Pola  pembebanan  pelat  persegi yang dikenai beban biaksial tekan.
Tabel  1.  Beban  tekuk  kritis  uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20).
2N × N × 2 Mesh A Mesh B 8 × 4× 2 45,7455 45,7455 16 × 8 × 2 39,7149 39,7149 32 × 16 × 2 38,9639 38,9639 64 × 32 × 2 38,8142 38,8142 128 × 64 × 2 38,7790 38,7790 Mohammadi, dkk [5]. 39,4784 39,4784
Tabel  2.  Beban  tekuk  kritis  uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20).
2N × N × 4 Mesh C 8 × 4 × 4 39,2874 16 × 8 × 4 38,7727 32 × 16 × 4 38,7594 64 × 32 × 4 38,7648 128 × 64 × 4 38,7667 Mohammadi, dkk [5]. 39,4784
Hasil  analisa  numerik  pada  Tabel  1  dan Tabel  2,  beban  tekuk  kritis  mode  pertama pelat  isotropik  ( L / h =20)  oleh  beban uniaksial, mesh 8 × 4 × 2 dan 8 × 4 × 4 hingga mesh  128  ×  64  ×  2  dan  128  ×  64  ×  4, perbedaan  mode  1  mesh  A  terhadap  solusi referensi  yaitu  1,772%  -  15,875%,  mesh  B yaitu 1,772% - 15,875% dan mesh C sebesar
0,484% - 1,803%. Hal tersebut menyatakan bahwa  elemen  MITC3  konvergen  terhadap solusi  referensi,  Mesh  A  dan  Mesh  B menunjukkan  tingkat  konvergensi  yang sama, dan Mesh C yang paling cepat menuju konvergensi.
Tabel 3. Beban tekuk kritis biaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20).
2N × N × 2 Mesh A Mesh B 8 × 4× 2 23,3186 23,3186 16 × 8 × 2 19,9533 19,9533 32 × 16 × 2 19,5054 19,5054 64 × 32 × 2 19,4130 19,4130 128 × 64 × 2 19.3909 19,3909 Mohammadi, dkk [5]. 19.7392 19,7392
Tabel 4. Beban tekuk kritis biaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20).
2N × N × 4 Mesh C 8 × 4 × 4 20,3701 16 × 8 × 4 19,5614 32 × 16 × 4 19,4231 64 × 32 × 4 19,3932 128 × 64 × 4 19,3861 Mohammadi, dkk [5]. 19,7392
Hasil  analisa  numerik  pada  Tabel  3  dan Tabel 4,  menunjukkan  bahwa  Mesh  C  lebih cepat  menuju  konvergensi  dibanding  mesh A  dan  B,  dan  antara  Mesh  A  dan  B mempunyai tingkat konvergensi yang sama. Pernyataan tersebut didasarkan pada beban tekuk  kritis  mode  pertama  pelat  isotropik ( L / h =20) oleh beban biaksial, mesh 8 × 4 × 2 dan 8 × 4 × 4 hingga mesh 128 × 64 × 2 dan 128  ×  64  ×  4,  perbedaan  mode  1  mesh  A terhadap  solusi  referensi  yaitu  1,765%  - 18,133%,  mesh  B  yaitu  1,765%  -  18,133% dan mesh C sebesar 1,789% - 3,196%. Dari Tabel  1  dan  2,  juga  menunjukkan  bahwa pada pelat yang dikenai oleh beban uniaksial mempunyai  beban  tekuk  kritis  yang  lebih
besar dibanding  pelat  yang  dibebani  beban biaksial.
Tabel  5.  Beban  tekuk  kritis  uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =1000).
2N × N × 4 Mesh C 8 × 4 × 4 41,7701 16 × 8 × 4 40,0322 32 × 16 × 4 39,6139 64 × 32 × 4 39,5104 128 × 64 × 4 39,4848
Tabel 6. Beban tekuk kritis biaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =1000).
2N × N × 2 Mesh A Mesh B 8 ×4 × 2 265,858 265,858 16 × 8 × 2 145,910 145,910 32 × 16 × 2 32,2907 32.2907 64 × 32 × 2 20,6402 20,6402 128 × 64 × 2 19,8016 19,8016
Pada Tabel 5 dan Tabel 6, pelat dengan rasio panjang terhadap ketebalannya ( L / h =1000) mempunyai  beban  tekuk  kritis  yang  lebih besar  dibanding  ( L / h =20).  Pada  pelat dengan  rasio  ( L / h =1000)  atau  pelat  tipis, perbedaan  beban  tekuk  kritis  antara  Mesh mesh 8 × 4 × 2 dan 8 × 4 × 4 dengan mesh 128  ×  64  ×  2  dan  128  ×  64  ×  4  lebih  besar dibanding  pada  saat  rasio  ( L / h =20)  atau pelat  tebal.  Namun,  pada  saat  pelat ( L / h =1000)  elemen  MITC3  juga  konvergen terhadap referensi.
Gambar 6. Grafik konvergensi beban tekuk kritis uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20), Mesh A dan B.
Gambar 7. Grafik konvergensi beban tekuk kritis uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20), Mesh C.
Gambar 8. Grafik konvergensi beban tekuk kritis biaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =20) Mesh A dan B.
Gambar 9. Grafik konvergensi beban tekuk kritis uniaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =1000) Mesh C.
Gambar 10. Grafik konvergensi beban tekuk kritis biaksial N cr mode pertama pelat ( L / h =1000) Mesh C.
Dari  Gambar  6-10,  elemen  MITC3 kovergen  terhadap  solusi  referensi.  Mesh  A menunjukkan tingkat konvergensi yang sama dengan  Mesh  B,  dan  Mesh  C  yang  paling cepat menuju konvergensi.

## 7. KESIMPULAN
Melakukan  analisa  tekuk  pada  pelat isotropik menggunakan elemen MITC3, dari hasil  analisa  numerik  menunjukkan  bahwa elemen  MITC3  konvergen  terhadap  solusi referensi  baik  untuk  kasus  pelat  yang dibebani  beban  uniaksial  maupun  beban biaksial,  Elemen  ini  juga  konvergen  untuk pelat  tebal  ( L / h =20)  maupun  pelat  tipis ( L / h =1000). Hasil analisa juga
menunjukkan bahwa beban tekuk kritis oleh beban uniaksial lebih besar dibanding beban tekuk kritis oleh beban biaksial.
Memvariasikan rasio I/I memberikan
pengaruh pada beban tekuk krtitis dan juga nilai  perbedaan  dengan  solusi  referensi. Penelitian  selanjutnya  dapat  melakukan  uji getaran  bebas  pada  pelat  menggunakan elemen MITC3.

## DAFTAR  PUSTAKA  (DAN  PENULISAN PUSTAKA)
[1]   P. S. Lee and K. J. Bathe, “Development of MITC isotropic triangular shell finite elements,” Comput. Struct. , vol. 82, no. 11–12, pp. 945–962, 2004.
[2]   K.  -J  Bathe  and  E.  N.  Dvorkin,  “A formulation of general shell elements—the use of mixed interpolation of tensorial components,” Int.  J.  Numer.  Methods Eng. , vol. 22, no. 3, pp. 697–722, 1986.
[3] E.  N.  Dvorkin  and  K.  J.  Bathe,  “A continuum  mechanics  based  four- node  shell  element  for  general nonlinear analysis,” Eng. Comput. , vol. 1, no. 1, pp. 77–88, 1984.
[4] A. M. Katili, I. J. Maknun, I. Wulandari, and  I.  Katili,  “Theoretical  equivalence and numerical performance of T3s and MITC3  plate  finite  elements,”  Struct. Eng. Mech., vol. 69, no. 5, pp. 527–536, 2019.
[5] M.  Mohammadi,  A.  R.  Saidi,  and  E.
Jomehzadeh, “Levy solution for buckling  analysis  of  functionally graded  rectangular  plates,” Appl.
Compos. Mater. , vol. 17, no. 2, pp. 81– 93, 2010.
[6] F.  T.  Wong,  Erwin,  A.  Richard,  and  I. Katili,  “Development  of  the  DKMQ Element  for  Buckling  Analysis  of Shear-deformable  Plate  Bending,”
Procedia  Eng. ,  vol.  171, pp.  805–812, 2017.
[7] J.  N.  Reddy,  “J.  N.  Reddy  Mechanics  of Laminated  Composite  Plates  and Shells  Theory  and  Analysis,  Second Edition 2003.” pp. 1–855, 2007.
[8] H. Nguyen-Xuan, L. V. Tran, T. Nguyen- Thoi,  and  H.  C.  Vu-Do,  “Analysis  of functionally  graded  plates  using  an
edge-based  smoothed  finite  element method,” Compos.  Struct. ,  vol.  93,  no. 11, pp. 3019–3039, 2011.