Interpolasi Data Berdimensi d >1 dengan Fungsi Basis Radial ( Radial Basis Function /RBF)
Oleh:
Hery Andi Sitompul 1)
dan Tambos A Sianturi 2)
Universitas Darma Agung, Medan dan Universitas HKBP Nommensen, Pematang Siantar 1,2)
E-mail:
herystpl@gmail.com 1)
tambos.sianturi73@gmail.com 2)

## ABSTRACT
Radial Basis Function (RBF) is a a function used for data applications. A radial function is a real valued function whose depends only on the distance the data input and some fixed point , called a centre point. Distance between some fixed point/centre and data input are usually  Euclidean  metric  so  that ( )    (‖ ‖) .  Commonly  types  of  Radial  Basis Function using a to indicate a shape parameter to scale the input data of the radial centre. Because  this  method  has  been  proven  effective  and  flexible  so  that  it  is  widely  used  in engineering  and  science,  this  paper  will  discuss  how  to  use  radial  bases  to  interpolate dimension 2 data. From the results of the discussion, the right method is obtained to find the right solution.
Keywords : Radial Basis Function, Gaussian, Interpolation, RMSE

## ABSTRAK
Fungsi  Basis  Radial  (RBF)  merupakan  sebuah  fungsi  yang  biasanya  digunakan  untuk aproksimasi  sebuah  fungsi  berdasarkan  informasi  data.  Fungsi  radial merupakan  sebuah fungsi bernilai ril  yang hanya tergantung pada jarak antara data input dengan beberapa titik tetap yang  disebut  sebagai  pusat.  Jarak  antara  beberapa  titik  tetap  dengan  titik  informasi biasanya berukuran Euclidean yang sedemikian hingga ( )    (‖ ‖) . Pada umumnya tipe dari fungsi basis radial menggunakan sebuah parameter untuk mengindikasikan skala
bentuk hubungan data masukan dengan pusat radial. Karena metode ini sudah terbukti efektif dan fleksibel sehingga banyak digunakan pada bidang teknik dan sains, maka dalam tulisan ini  akan  dibahas  bagaimana  menggunakan  fungsi  basis  radial  untuk  menginterpolasi  data berdimensi  2.  Dari  hasil  pembahasan  diperoleh  bahwa  metode  ini  akurat  untuk  mendekati nilai sebenarnya.
Kata Kunci : Fungsi Basis Radial, Gaussian, Interpolasi, RMSE

## 1.PENDAHULUAN
Permasalahan yang sering dihadapi dalam  ilmu  sains  dan  keteknikan  adalah bagaimana  melakukan  interpolasi  data acak.  Jika  data  yang  dihadapi  adalah  data dengan  dimensi  satu,  maka  metode  untuk menyelesaikannya  sudah  sangat  banyak tersedia  misalnya  interpolasi  polinom  dan Fourier.  Pada  umumnya  metode  ini menggunakan skema : untuk sekumpulan n data  titik { } dan  berkorespondensi dengan sekumpulan nilai { } ,
kumpulan  fungsi  basis { ( ) } dipilih sedemikian  hingga  kombinasi  linier  dari fungsi tersebut memenuhi kondisi interpolasi.  Untuk  lebih  jelas  lagi  sebuah fungsi ( ) diberikan dalam bentuk :
( )   ∑ ( )
…………(1.1)
Sedemikian hingga ( )
Kondisi  interpolasi  ini  akan  memberikan sebuah  sistem  persamaan  linier  untuk menentukan  nilai  koefisien .  Untuk setiap  sebarang  pilihan  fungsi  basis ( )
sistem linier dijamin tidak singular apapun data { } .
Jika data yang dihadapi adalah data berdimesi  lebih  dari  satu  (misalnya  data bukanlah  skalar  tapi  berupa vektor ̅   ̅ maka  pendekatan seperti  yang  dijelaskan  diatas  tidak  akan mampu menyelesaikannya.
Untuk  sekelompok  fungsi  basis { ( ̅)} (     ) akan terdapat
sekelompok  data  titik { ̅ } yang  akan dapat  mengakibatka  sistem  linier  untuk menentukan  koefisien  menjadi  singular. Keadaan  tidak  singular  tersebut  dapat dilalui  dengan  pendekatan  yang  berbeda pada fungsi interpolasi.
Metode Radial  Basis  Function melakukan  pendekatan  untuk  mengatasi masalah  singularitas  tersebut  dengan mengubah  kombinasi  linier  fungsi  basis menjadi  sebuah  fungsi  basis  tunggal  yang secara  radial  (radially)  simetris  terhadap pusat  atau  nilai  tengah  kumpulan  fungsi basis tersebut.
Dalam  bab  bab  berikut  ini  akan disajikan  apa  itu Radial  Basis  Function dan bagaiman menggunakannya.
Maksud dan Tujuan
Maksud  dari  karya  ilmiah  ini adalah  untuk  melakukan  suatu  kajian interpolasi  dari  sekelompok  data  yang berdimensi lebih dari satu dengan  metode Radial  Basis  Function (RBF),  sedangkan tujuan  dari  tulisan  ini  adalah  untuk memperlihatkan  bahwa Radial  Basis Function (RBF)  adalah  salah  satu  metode interpolasi  yang  baik    untuk  data berdimensi  lebih  dari  satu  ( Multivariate Data ).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Radial Basis Function (RBF)
Perhitungan interpolasi dengan
Radial  Basis  Function (RBF)  berfokus pada rekonstruksi sebuah fungsi yang tidak diketahui  berdasarkan  data  yang  diketahui (data informasi).
Misalkan terdapat sebuah himpunan  yang  terdiri  dari  data  acak sebanyak n yaitu : { ̅ } yang
berkorespondensi dengan sekumpulan nilai
{ } maka fungsi basis untuk interpolasi dengan RBF adalah sebagai berikut :
( ̅)   ∑ (‖ ̅
̅ ‖) ….(2.1)  dimana ( ) adalah beberapa fungsi radial, sedangkan
koefisien ekspansi dapat ditentukan dari
kondisi interpolasi ( ̅ ) yang  akan  memberikan  sistem linier simetris berikut :
[ ][ ]
[ ] …………………...(2.2)
Dimana  nilai  dari  elemen A adalah ( ‖ ̅ ̅ ‖ ) .
Seperti  yang  sudah  disebutkan  diatas bahwa ( ) pada  persamaan  (2.1) memenuhi kondisi untuk menjamin bahwa matriks A pada persamaan (2.2) adalah non singular  tanpa  syarat.  Terdapat  beberapa fungsi  yang  umum  dari ( ) yang  akan memberikan  solusi  unik  dari  persamaan (2.1) yaitu :
Tipe Fungsi Basis
( ) Pemulusan  RBF  Tak Hingga Gaussian (GA) (  )
Invers Quadratic (IQ)
(  ) Invers Multi Quadratic (IMQ) √ (  )
Multiquadratic (MQ) √ (  ) Pemulusan RBF
Bertangga
Linier Kubik
Tin Plate Spine (TPS)
Tabel  2.1.  Beberapa  Fungsi  RBF  yang umum digunakan
Parameter pada  fungsi  RBF  pemulusan tak  hingga  adalah  parameter  bebas  (bisa ditentukan  dengan  melakukan  beberapa percobaan  berkali  -  kali)  dengan  tujuan untuk  mengkontrol  bentuk  dari  fungsi, dalam  hal  ini  katakanlah  berupa  sebuah nilai tetap tk nol.
Seperti tertera pada tabel 2.1 diatas, bahwa  secara  umum  fungsi ( ) terbagi atas  dua  bagian  yaitu  bentuk  RBF pemulusan tak hingga dan RBF pemulusan bertangga.  Pada  RBF  pemulusan  tak hingga menghadirkan parameter control , yang  sedemikian  hingga  jika maka fungsi  basis  menjadi  naik  dan  berlaku untuk  ketiga  bentuk tersebut.  Untuk  kasus pemulusan  bertangga,  jika  jumlah  data pada domain naik maka fungsi RBF secara alajbar  akan  berkumpul  (berpusat)  pada fungsi yang akan diinterpolasi.
Akar  Kuadrat  Rata  –  rata  Galat  ( Root Mean Square Error/RMSE )
Metode  akar  kuadrat  rata  –  rata dari galat ( Root Mean Square
error/RMSE )  adalah  alat  yang  paling
sering digunakan untuk pengukuran ketelitian dari sebuah model yang
digunakan untuk memprediksi sebuah nilai dibandingkan dengan hasil observasi. Pada dasarnya  metode  ini  hanya  menghitung rata  –  rata  selisih  hasil  prediksi  dan observasi.
Misalkan  model  untuk  prediksi adalah ̂ dan  hasil  observasi  adalah , galat
̂ , maka : √( ∑ )
√ ∑ ( ̂ ) …..2.3
Jika nilai RMSE semakin kecil maka hasil prediksi  semakin  akurat  atau  model  yang ada sangat baik.

## 3. METODE PELAKSANAAN
Dalam  tulisan  ini  akan  dilakukan pembatasan,  yaitu  fungsi  basis  yang digunakan hanyalah Gaussian ( ) (  ) dan dimensi data adalah 2 ( ) .  Untuk  memperlihatkan  bahwa metode Radial  Basis  Function (RBF)
dapat menginterpolasi data dengan
dimensi  lebih  dari  1
,  akan
diambil  berbagai    data  titik  yang  berasal dari fungsi Franke yaitu :
(    )
⁄ ((    ) (    ) ) ⁄ (    ) ⁄ (    ) ⁄ ((    ) (    ) ) (    ) (    )
Gambar 3.1 Grafik Fungsi Franke
Adapun  langkah  –  langkah  yang ditempuh  untuk  menyelesaikan  contoh kasus ini adalah :
1. Asumsikan  bahwa  data  yang  diperoleh memenuhi  fungsi  basis  berikut  : ( )   ∑ (‖ ‖ ) ,
dimana ( ) adalah Gaussian.
2. Gunakan  kondisi  interpolasi  bahwa  :
( )    ( )
dengan demikian akan diperoleh
sistem  linier  berikut  ini  : [ ][ ] [ ]
dimana
[ (‖ ‖ )  (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ (‖ ‖ ]
[ ] dan [ ( ) ( ) ( ) ]
3. Dengan  menyelesaikan  sistem  linier pada  langkah  2  diatas  akan  diperoleh
nilai [ ] yang  akan  dapat digunakan untuk interpolasi. 4. Hitung nilai galat (error) : ( ̅ ) ( )
5. Penyelesaian  kasus  ini  dilakukan dengan  menggunakan  pemograman Matlab.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Setelah melakukan uji coba dengan pemograman  matlab  dengan  mengubah jumlah  titik  data  dan  nilai  parameter pada  setiap  uji  coba  diperoleh  hasil sebagai berikut :
1.    Interpolasi  RBF  dengan  Gaussian  dan Matriks  jarak  pada  nilai  parameter  tetap dan  berbagai  ukuran  data
Gaussian (GA) RMSE Maks.Error 1 9 3 647169e-001 1 039682e+000 2 25 3 203404e-001 9 670980e-001 3 81 2 152222e-001 8 455161e-001 4 289 7 431729e-002 7 219253e-001 5 1089 1 398297e-002 3 857234e-001 6 4225 4 890709e-004 1 940675e-002

## Tabel 4.1. Akurasi interpolsi Gaussian
Matriks Jarak RMSE Maks.Error 1 9 1 323106e-001 4 578028e-001 2 25 6 400558e-002 2 767871e-001 3 81 1 343780e-002 6 733130e-002
4 289 3 707360e-003 3 057540e-002 5 1089 1 143589e-003 1 451950e-002 6 4225 4 002749e-004 8 022336e-003
Tabel 4.2 Akurasi interpolasi Matriks jarak
4.2.  Interpolasi  RBF  dengan  Gaussian Pada Berbagai Percobaan Nilai Percobaan Beberapa Nilai RMSE Maks.Error 1 9 0,02 3 658421e-001 1 580259e+000 2 25 0.32 6 400558e-002 2 845554e+000 3 81 1.64 1 743059e-001 2 398284e+000 4 289 4.73 2 785388e-003 5 472502e-002 5 1089 10,5 4 945428e-004 1 812246e-002 6 4225 21,1 4 890709e-004 1 940675e-002

## Tabel 4.3 Akurasi RBF dengan Gussian

## Percobaan Beberapa Nilai
RMSE Maks.Error 1 9 2,23 1 118026e-001  3 450275e-001 2 25 3,64 4 032550e-002  2 996488e-001 3 81 4,28 1 090601e-002  1 579465e-001 4 289 5.46 4 610079e-004  7 978283e-003 5 1089 6,2 2 498848e-006  8 779119e-005 6 4225 6,3 4 269292e-008  8 889552e-007
Tabel 4.4 Akurasi RBF dengan Gaussian
Gambar 4.1. Grafik dari error pada bebepa percobaan dengan parameter tetap.

## 5.KESIMPULAN dan SARAN
Dari  hasil  uji  coba  berbagai  nilai parameter  dan  ukuran  data  seperti  yang ditampilkan  pada  beberapa  tabel  bagian  4 diatas dapat diambil kesimpulan bahwa :
1. Akurasi  yang  terbaik  diperoleh pada saat nilai parameter dan ukuran data
.
2. Untuk nilai parameter yang  terbaik akurasi  yang  dihasilkan matriks lebih baik daripada Gaussian.
3. Untuk  mendapatkan  interpolasi RBF  dengan  Gaussian  yang  lebih
baik maka perlu untuk menemukan nilai parameter yang optimal.
4. Jika  data  yang  diperoleh  bukan berasal  dari  sebuah  fungsi  yang diketahui  maka  akan  sangat  sulit untuk  menentukan  nilai  parameter yang  optimal  hanya  berdasarkan pengamatan  RMSE  (Root  Mean Square Error).
Adapun  saran  dari  kajian  ini  adalah bagaiman mendapatkan nilai parameter yang  optimal  tanpa  melakukan berbagai percobaan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
1. Bengt Fornberg and Natasha Flyer , Acuracy of Radial Basis
Function Interpolation and Derivative Aproximations on 1- D Infinte Grid .
2. Grady  B.Wright, Radial  Basis Function Interpolation :
Numerical and Analytical Developments , Thesis
University  of Colorado 2003.
3. Mark  J.L.Orr, Introduction  to
Radial Basis Function Networks , Centre for Cognitive Scince, University of Edinburgh, 1996
4. R Schaback, A Practical Guide to Radial Basis Function ,2007 5. Scott A. Sarra,Marshall University, US, The Matlab
Radial Basis Function Toolbox, Software Metapaper,2017.