E-ISSN 2621–086X

## Indonesian Journal of Applied Statistics
Vol. 6, No. 1, pp. 85-95, May 2023 https://jurnal.uns.ac.id/ijas/article/view/ 79231 https://doi.org/10.13057/ijas.v6i1.79231 Copyright   Author 2022

## K-Medoids Clustering dan Mean-Value at Risk untuk Optimasi Portofolio Saham Jakarta Islamic Index
Eka Sri Puspaningsih, Di Asih I Maruddani * , Tarno Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro
*Corresponding author : maruddani@live.undip.ac.id
Abstract.  The  problem  of  the  portfolio  is  how  to choose  stocks  and  determine  their  weights  in  order  to generate maximum returns with minimal risk. Portfolios are formed by selecting stocks that have different characteristics. K-Medoids Clustering can be used to group data sets that contain outliers. Validate cluster results  using  the  Davies  Bouldin  Index  to  determine  the  best number  of  clusters.  Portfolio  weighting  is determined using the Mean-VaR method by taking into account the expected return value and minimizing the VaR risk value. Stocks are grouped based on Return on Assets, Return on Equity, Debt to Asset Ratio, and Debt to Equity Ratio. The results of cluster formation on the Jakarta Islamic Index stocks obtained six portfolio  constituent  stocks  based  on  the  highest  expected  return  value  from  each  cluster,  consisting  of PTBA,  ADRO,  AKRA,  EXCL,  PTPP,  and  UNVR.  The  results  of  calculating  the  weight  of  the  optimal portfolio with Mean-VaR obtained a weight for PTBA of 0.46536; AKRA of 0.24018; EXCL of 0.25421; and UNVR of 0.25392. ADRO and PTPP stocks have a negative weight value of  -0,07775 and -0,13593 this  indicates  the  occurrence  of  short  selling  in  the  weighting.  At  the  95%  confidence  level,  the  VaR portfolio value is 5.06%.
Keywords: Clustering; K-Medoids; Daveis Bouldin Index; Portfolio; Mean-VaR

## 1. PENDAHULUAN
Investasi adalah kegiatan penanaman dana saat ini untuk mendapatkan keuntungan di masa depan [1]. Berinvestasi saham di pasar modal adalah salah satu investasi yang dapat  dilakukan oleh investor. Pada perdagangan efek pasar modal, Bursa Efek Indonesia (BEI) telah menerbitkan berbagai macam indeks saham. Salah satunya yaitu Jakarta Islamic Index (JII) yang merupakan indeks dari 30 saham syariah dengan kinerja keuangan yang baik dan likuiditas transaksi yang tinggi [2]. Investor dalam berinvestasi tentunya ingin memperoleh imbal hasil ( return ) yang tinggi dengan  risiko  sekecil  mungkin.  Sebagai  seorang  investor  perlu  mengetahui  kinerja  keuangan suatu  perusahaan  sebelum  melakukan  investasi.  Kinerja  keuangan  perusahaan  dapat  dilihat berdasarkan rasio profitabilitas dan rasio solvabiltas.
Permasalahan portofolio adalah bagaimana memilih dan membentuk portofolio saham agar menghasilkan return maksimum dengan risiko yang minimum. Pemilihan saham untuk menyusun portofolio  dapat  dilakukan  dengan  metode K-Medoids Clustering .  Metode  ini  menggunakan medoid  sebagai  pusat cluster ,  objek  yang  terpilih  sebagai  perwakilan  dari  setiap cluster yang disebut sebagai medoid [3]. Pada pembentukan cluster perlu dilakukan validasi hasil cluster yang
digunakan untuk menentukan banyaknya cluster optimal. Validasi hasil cluster dapat dilakukan dengan  menggunakan  Davies-Bouldin- Index (DBI).  Pada  pembentukan  portofolio  optimal, seorang  investor  perlu  menentukan  bobot  portofolio  untuk  mengivestasikan  dana  pada  setiap saham yang tersedia. Mean-Value at Risk ( Mean -VaR) digunakan dalam proses optimasi terhadap bobot portofolio dengan memperhatikan nilai mean return tertentu dan meminimalkan nilai risiko Value at Risk (VaR). Kerugian maksimum dari suatu portofolio aset pada periode waktu tertentu dengan suatu tingkat kepercayaan tertentu disebut sebagai VaR. Kerugian maksimum dari suatu portofolio  aset  pada  periode  waktu  tertentu  dengan  suatu  tingkat  kepercayaan  tertentu  disebut sebagai VaR [4].
Pada  penelitian  ini  dilakukan  pengelompokan  saham  berdasarkan  rasio  profitabilitas dan rasio  solvabilitas  pada  saham  JII  dengan  algoritme  K- Medoids Clustering .  Validasi cluster optimal  dilakukan  dengan  Davies-Bouldin Index (DBI).  Pembentukan  portofolio  dilakukan dengan  memilih  satu  saham  berdasarkan  nilai expected  return tertinggi  dari  tiap-tiap  anggota cluster . Pengukuran risiko portofolio yang terbentuk dilakukan berdasarkan metode Mean -VaR.

## 2. KAJIAN PUSTAKA
Investasi didefinisikan sebagai kegiatan dengan memanfaatkan modal atau aset pada masa kini untuk mendapatkan keuntungan di masa depan [5]. Tujuan dalam melakukan investasi yaitu untuk  menambah  dana  atau  mendapatkan  keuntungan  di  depan.  Bukti  kepemilikan seseorang/badan dalam suatu perusahaan disebut dengan saham [6].
Investor  dapat  menganalisis  rasio  keuangan  suatu  perusahaan  untuk  mengukur  apakah perusahaan atau institusi tersebut aman bagi investor untuk berinvestasi dan seberapa potensial investasi tersebut akan menghasilkan keuntungan.
Rasio keuangan merupakan alat analisis keuangan perusahaan untuk menilai kinerja suatu perusahaan berdasarkan perbandingan data keuangan yang terdapat pada pos laporan keuangan. Kinerja keuangan perusahaan dapat dilihat berdasarkan rasio profitabilitas dan rasio solvabiltas. Rasio profitabilitas merupakan rasio yang digunakan untuk mengetahui kemampuan perusahaan dalam  menghasilkan  laba  selama  periode  tertentu.  Rasio  solvabilitas  merupakan  rasio  yang digunakan untuk mengukur kemampuan perusahaan untuk membayar seluruh kewajibannya [7].

## 2.1. K-Medoids Clustering untuk Pembentukan Portofolio
Analisis cluster digunakan  untuk  mengelompokkan  kumpulan  objek  menjadi  beberapa cluster dengan objek di suatu cluster memiliki kesamaan yang tinggi, namun memiliki perbedaan yang  tinggi  dengan  objek  pada cluster lainnya  [8].  Analisis cluster terdapat  dua  asumsi  yaitu asumsi kecukupan sampel untuk mewakili populasi ( representativeness of the sample ) dan asumsi non multikolinieritas [9].
Metode K-Medoids Clustering adalah  salah  satu  metode clustering partisi  yang mengelompokkan  sekumpulan  objek  menjadi K cluster .  Setiap cluster direpresentasikan  oleh objek  dalam cluster yang  terpilih  sebagai  perwakilan  dari  setiap cluster disebut medoid [3]. Medoid adalah  objek  perwakilan  dari cluster dalam  kumpulan  data  yang  jumlah ketidaksamaannya terhadap semua objek dalam cluster adalah minimal. Medoid memiliki konsep yang mirip dengan mean atau centroid , tetapi medoid dibatasi merupakan anggota cluster [10].
Penggunaan medoid sebagai pusat cluster bertujuan untuk mengurangi sensitivitas partisi yang  dihasilkan  terhadap  pencilan  pada  suatu  kumpulan  data  [11].  Berikut  adalah  tahapan perhitungan algoritma K - Medoids : a.  Menentukan pusat cluster (medoid) sebanyak K . b.  Mengalokasikan  tiap  objek  ke cluster terdekat  dengan euclidian  distance seperti  pada persamaan (1).
𝑑 (𝑥 𝑖 ,𝑥 𝑗 ) = √∑ (𝑥 𝑖𝑝 − 𝑥 𝑗𝑝 ) 2 𝑚 𝑝=1 (1)
dengan 𝑚 :  banyaknya  variabel; 𝑥 𝑖𝑝 :  objek  ke- 𝑖 pada  variabel  ke- 𝑝 ; 𝑥 𝑗𝑝 :  objek  ke- 𝑗 pada variabel ke- 𝑝 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 , 𝑛 adalah banyaknya data pada tiap-tiap variabel.
c.  Memilih objek secara acak pada tiap-tiap cluster sebagai kandidat medoid baru. d.  Menghitung jarak setiap objek pada tiap-tiap cluster dengan kandidat medoid baru. e.  Menghitung nilai simpangan ( 𝑆 ) yaitu selisih antara total jarak baru dengan total jarak lama.
Apabila 𝑆 < 0 , menukar objek dengan data cluster sebagai K objek baru ( medoid ). f.  Mengulangi langkah a-f hingga tidak ada perubahan medoid maka diperoleh cluster beserta anggota cluster .
Davies-Bouldin Index (DBI)  digunakan  untuk  mengevaluasi  hasil cluster ing  dalam menentukan jumlah cluster optimal. Pengujian DBI bertujuan untuk meminimumkan jarak antar objek dalam sebuah cluster sekaligus memaksimumkan jarak antara cluster satu dengan cluster yang lain [12]. Hasil cluster semakin optimal ketika nilai DBI semakin rendah [13]. Nilai DBI dihitung dengan tahapan sebagai berikut [14]:
1. Menghitung S yaitu jarak intra-cluster atau jarak antara objek ke medoid.
𝑆 𝑖 = [ 1 𝑚 𝑖 ∑ 𝑑 2 (𝑥 𝑗 , 𝑐 𝑖 ) 𝑚 𝑖 𝑗=1 ] 1/2 , 𝑑 2 (𝑥 𝑗 , 𝑐 𝑖 ) = (𝑑(𝑥 𝑗 , 𝑐 𝑖 )) 2 (2)
dengan 𝑚 𝑖 : banyaknya objek dalam cluster ke- 𝑖 ; 𝑥 𝑗 : objek cluster ke- 𝑗 ; 𝑐 𝑖 : medoid cluster ke- 𝑖 ; 𝑑(𝑥 𝑗 , 𝑐 𝑖 ) : jarak tiap objek ke medoid
2. Menghitung 𝑑 merupakan  jarak inter-cluster atau  jarak  antar cluster satu  dengan cluster lainnya.
𝑑 𝑖,𝑗 = 𝑑(𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) (3)
dengan 𝑑(𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) : jarak antar medoid
3. Menghitung nilai rasio cluster ke- 𝑖 dengan cluster ke- 𝑗 .
𝑅 𝑖,𝑗 = 𝑆 𝑖 + 𝑆 𝑗 𝑑 𝑖,𝑗 (4)
dengan 𝑅 𝑖,𝑗 : rasio antar cluster
4. Menghitung nilai DBI.
𝐷𝐵𝐼 = 1 𝐾 ∑ 𝑚𝑎𝑥 𝑖≠𝑗 (𝑅 𝑖,𝑗 ) 𝐾 𝑖=1 (5)
dengan 𝐾 : banyaknya cluster ; 𝑚𝑎𝑥 : rasio antar cluster terbesar; 𝑅 𝑖,𝑗 : rasio antar cluster .
2.2. Pengukuran Risiko dengan Mean-Value at Risk.
Return diartikan  sebagai  tingkat  pengembalian  atau  hasil  yang  didapatkan  dari  kegiatan investasi [15].  Perhitungan  nilai return dapat  dilakukan menggunakan  persamaan continuously compound return pada persamaan (6) [16].
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 (6)
dengan 𝑅 𝑡 : return pada  waktu  ke- 𝑡 ; 𝑃 𝑡 :  harga  saham  periode  sekarang  (periode  ke- 𝑡 ); 𝑃 𝑡−1 : harga saham periode sebelumnya (periode ke- 𝑡 − 1 )
Risiko pada sektor keuangan, dikaitkan dengan volatilitas/penyimpangan dari keuntungan yang diharapkan dengan hasil investasi yang diterima [17]. Biasanya, standar deviasi dari return saham  digunakan  untuk  menghitung  risiko  saham.  Standar  deviasi  adalah  akar  dari  variansi. Variansi dihitung dengan persamaan (7).
𝜎 2 = ∑ (𝑅 𝑡 − 𝑅 𝑡 ̅̅̅) 𝑁 𝑡=1 2 𝑁 − 1 (7)
dengan 𝜎 2 : variansi; 𝑅 𝑡 : return saham pada waktu ke- 𝑡 ; 𝑅 𝑡 ̅̅̅ : mean return saham pada waktu ke- 𝑡 ; 𝑁 : banyaknya pengamatan.
Portofolio merupakan gabungan beberapa saham yang dipilih oleh investor sebagai sasaran investasi  dalam  suatu  ketentuan  tertentu  dengan  periode  waktu  tertentu,  seperti  menentukan proporsi  pendistribusian  dana  yang  akan  dialokasikan  [15]. Return portofolio  ditulis  dengan persamaan (8).
𝑅 𝑝 = 𝑤 1 𝑅 1 +   𝑤 2 𝑅 2 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑅 𝑛 = ∑ 𝑤 𝑖 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1 (8)
dengan 𝑅 𝑝 : return portofolio; 𝑤 𝑖 : bobot saham ke- 𝑖 ; 𝑅 𝑖 : return saham ke- 𝑖 ; 𝑛 : banyaknya saham; dan ∑ 𝑤 𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 .
Berikut  merupakan  persamaan expected return portofolio.  Nilai expected return portofolio dihitung berdasarkan nilai expected dari return saham:
𝐸(𝑅 𝑝 ) = 𝑤 1 𝐸(𝑅 1 ) +  𝑤 2 𝐸(𝑅 2 ) + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝐸(𝑅 𝑛 ) = ∑ 𝑤 𝑖 𝐸(𝑅 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 (9)
dengan 𝐸(𝑅 𝑝 ) :  nilai expected return portofolio; 𝑤 𝑖 :  bobot  saham  ke- 𝑖 ; 𝐸(𝑅 𝑖 ) :  nilai expected return saham ke- 𝑖 .
Variansi  dari return saham  pembentuk  portofolio  disebut  sebagai  risiko  porofolio.
Persamaan (10) merupakan persamaan rumus variansi return portofolio.
𝑉𝑎𝑟(𝑅 𝑝 ) = 𝜎 𝑝 2 = ∑ 𝑤 𝑖 2 𝜎 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 + 2 ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝑖 , 𝑅 𝑗 ) 𝑛 𝑖,𝑗=1,𝑖≠𝑗 (10)
dengan 𝜎 𝑝 2 : variansi return portofolio; 𝜎 𝑖 2 : variansi return saham ke-i; 𝐶𝑜𝑣(𝑅 𝑖 , 𝑅 𝑗 ) : kovarian antara return saham ke-i dan ke-j.
Pengujian  normalitas  multivariat  digunakan  untuk  mendeteksi  apakah  sebaran  data  pada sekumpulan  data  berdistribusi  normal  multivariat.  Tahapan  uji  Kolmogorov-Smirnov  sebagai pengujian normalitas multivariat:
a. Hipotesis
H 0 : Data berdistribusi normal multivariat H 1 : Data tidak berdistribusi normal multivariat
b. Taraf Signifikansi: 𝛼
c. Statistik Uji
𝐷 = sup  |𝑆(𝑑 𝑡 2 ) − 𝐹 0 (𝑑 𝑡 2 )| dengan 𝑆(𝑑 𝑡 2 ) adalah proporsi jarak mahalanobis yang lebih kecil atau sama dengan 𝑑 𝑡 2 ; 𝑑 𝑡 2 = (𝑿 𝒕 − 𝑿 ̅) 𝑇 𝑺 −1 (𝑿 𝒕 − 𝑿 ̅), 𝑡 = 1,2, … , 𝑁 ;  dan 𝐹 0 (𝑑 𝑡 2 ) adalah  fungsi  distribusi  kumulatif  dari distribusi Chi-kuadrat derajat bebas p.
d. Kriteria Uji
Tolak 𝐻 0 jika 𝐷 > 𝐷 𝛼 ∗ atau p-value ≤ 𝛼 , dengan 𝐷 𝛼 ∗ yaitu nilai yang didapatkan berdasarkan tabel Kolmogorov-Smirnov.
Value at Risk (VaR) portofolio merupakan kerugian terbesar dari suatu portofolio aset pada suatu  tingkat  kepercayaan  tertentu  dengan  periode  waktu  tertentu  [15].  Perhitungan  VaR portofolio dilakukan dengan metode varian-kovarian dengan asumsi return saham atau portofolio berdistribusi  normal.  Perhitungan  VaR  portofolio  menggunakan  metode  Varian-Kovarian dihitung dengan persamaan:
𝑉𝑎𝑅 𝑝 = 𝑍 𝛼 𝜎 𝑝 − 𝜇 𝑝 (11)
dengan 𝑍 𝛼 :  nilai  Z  pada  distribusi  normal  dengan  tingkat  kepercayaan (1 − 𝛼)% ; 𝜎 𝑝 :  standar deviasi return portofolio; 𝜇 𝑝 : expected return portofolio.
Metode Mean-Value  at  Risk ( Mean- VaR ) merupakan  pengembangan  dari  model Makrowitz  dengan Mean-Variance menjadi Mean- VaR  untuk  membentuk  portofolio  optimal dengan  risiko  yang  diukur  dengan  VaR. Mean -VaR  digunakan  dalam  proses  optimasi  dengan meminimalkan  nilai  risiko  VaR.  Pada  pembentukan  portofolio,  investor  perlu  menentukan proporsi atau  bobot  portofolio  untuk  mengalokasikan  dana  yang  dimiliki  pada  berbagai  saham yang  tersedia.  Penentuan  bobot  portofolio  dilakukan  dengan  metode Mean- VaR  dengan memperhatikan nilai mean return tertentu dan meminimalkan nilai risiko VaR [4].
Misalkan 𝑤 𝑖 merupakan  bobot/proporsi  dana  yang  akan  diinvestasikan  pada  saham  ke-i, diasumsikan semua dana akan dialokasikan sebesar 100%. Dengan 𝒘 𝑻 adalah vektor bobot dari saham 𝒘 𝑻 = [𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑛 ] dan 𝒆 adalah  vektor  dengan  entri  1,  maka  asumsi  tersebut  dapat ditulis sebagai berikut:
∑ 𝑤 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝒘 𝑻 𝒆 = 1
Berdasarkan  asumsi  tersebut,  dengan 𝜇 𝑝 = 𝒘 𝑻 𝝁 dan 𝜎 𝑝 2 = 𝒘 𝑻 𝚺𝒘 maka  VaR  portofolio  ditulis sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 𝑝 = 𝑍 𝛼 𝜎 𝑝 − 𝜇 𝑝 = 𝑍 𝛼 (𝒘 𝑻 𝚺𝒘) 1/2 − 𝒘 𝑻 𝝁 (12)
Portofolio yang efisien dapat diperoleh dengan memaksimumkan:
2𝜏𝜇 𝑝 − 𝑉𝑎𝑅 𝑝 , 𝜏 ≥ 0 dengan 𝜏 adalah toleransi risiko (tingkat risiko yang bersedia diambil oleh investor).
Menurut  [18]  portofolio  p*  atau Mean -VaR  dikatakan  efisien  jika  tidak  ada  portofolio  p dengan 𝜇 𝑝 ≥ 𝜇 𝑝∗ dan 𝑉𝑎𝑅 𝑝 < 𝑉𝑎𝑅 𝑝∗ .  Dengan  demikian,  jika  risiko  suatu  portofolio  investasi diukur  dengan  VaR,  maka  berdasarkan  teori  portofolio  Markowitz,  permasalahan  optimasi portofolio diselesaikan dengan persoalan optimasi berikut:
max{2𝜏𝜇 𝑝 − 𝑉𝑎𝑅 𝑝 }
dengan 𝜇 𝑝 = 𝒘 𝑻 𝝁 dan 𝑉𝑎𝑅 𝑝 = 𝑍 𝛼 (𝒘 𝑻 𝚺𝒘) 1/2 − 𝒘 𝑻 𝝁 maka ditulis menjadi:
max{(2𝜏 + 1)𝒘 𝑻 𝝁 − 𝑍 𝛼 (𝒘 𝑻 𝚺𝒘) 1 2 } (13)
dengan kendala 𝒘 𝑻 𝒆 = 1
Permasalahan  tersebut  merupakan  masalah  optimasi  dengan  kendala  maka  digunakan fungsi Lagrange untuk menentukan bobot portofolio optimal dengan persamaan berikut:
𝐿(𝒘, 𝜆) = (2𝜏 + 1)𝒘 𝑻 𝝁 − 𝑍 𝛼 (𝒘 𝑻 𝚺𝒘) 1 2 + 𝜆(𝒘 𝑻 𝒆 − 1) (14)
dengan 𝜆 adalah  pengali  Lagrange,  sehingga  dengan  fungsi  Lagrange  tersebut,  nilai  bobot portofolio dihitung dengan persamaan (15).
𝒘 = (2𝜏 + 1)𝚺 −𝟏 𝝁 + 𝜆𝚺 −𝟏 𝒆 (2𝜏 + 1)𝒆 𝑻 𝚺 −𝟏 𝝁 + 𝜆𝒆 𝑻 𝚺 −𝟏 𝒆 (15)
𝒘 adalah  bobot  portofolio  dengan 𝜏 ≥ 0 ,  dengan 𝜆 (pengali  Lagrange)  diperoleh  menggunakan persamaan rumus ABC yaitu,
𝜆 = −𝐵 ± √𝐵 2 − 4𝐴𝐶 2𝐴 (16)
dengan:
𝐴 = 𝒆 𝑻 𝚺 −𝟏 𝒆 (16)
𝐵 = (2𝜏 + 1)(𝝁 𝑻 𝚺 −𝟏 𝒆 + 𝒆 𝑻 𝚺 −𝟏 𝝁) 𝐶 = (2𝜏 + 1) 2 𝝁 𝑻 𝚺 −𝟏 𝝁 − 𝑍 𝛼 2
dengan 𝒆 adalah  vektor  kolom  dengan  entri  1, 𝚺 adalah  matriks  varian-kovarian, 𝚺 −𝟏 adalah invers dari matriks varian-kovarian, 𝝁 adalah expected return saham, dan 𝜏 adalah nilai toleransi risiko dari investor.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diambil dari website Bursa Efek Indonesia (idx.co.id)  dan  situs  penyedia  data  historis  (finance.yahoo.com).  Data  yang  diambil  yaitu  data laporan  keuangan  tahunan  2021  pada  saham  yang  terdaftar  pada  Jakarta Islamic  Index (JII) periode Agustus 2021 – November 2021 serta data closing price saham mingguan dari Januari 2021  –  April  2022. Variabel  penelitian  yang  digunakan untuk  pembentukan cluster yaitu  rasio keuangan berupa rasio profitabilitas ( Return on Asset (ROA) dan Return on Equity (ROE)) dan rasio  solvabilitas  ( Debt  to  Asset  Ratio (DAR)  dan Debt  to  Equity  Ratio (DER))  yang  diolah berdasarkan  parameter-parameter  pada  laporan  keuangan  saham  Jakarta Islamic  Index (JII) tahunan  2021.  Pada  pembentukan  portofolio  menggunakan  data return masing-masing  saham Jakarta Islamic Index (JII) dari Januari 2021 – April 2022.
Pengolahan data dilakukan dengan bantuan software R dan Ms. Excel . Berikut merupakan tahapan-tahapan dalam penelitian yang dilakukan:
1. Mempersiapkan  data  ROA,  ROE,  DAR  dan  DER  yang  diolah  berdasarkan  parameter- parameter berdasarkan data laporan keuangan tahunan 2021.
2. Melakukan pengujian asumsi non multikolinieritas.
3. Melakukan pembentukan cluster dengan K-Medoids Clustering.
4. Melakukan validasi dengan menggunakan Davies-Bouldin Index pada cluster yang terbentuk untuk menentukan cluster terbaik.
5. Menghitung return saham dari tiap-tiap cluster .
6. Memilih satu saham dari masing-masing cluster berdasarkan nilai expected return tertinggi untuk dibentuk sebuah portofolio.
7. Melakukan pengujian asumsi normalitas multivariat terhadap return saham pada portofolio.
8. Menghitung nilai expected return , varian dan kovarian return saham pada portofolio.
9. Menentukan bobot portofolio dengan optimasi Mean- VaR.
10. Mengukur nilai VaR portofolio menggunakan metode Varian-Kovarian.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Proses clustering menggunakan algoritma K-Medoids dilakukan pada data variabel ROA, ROE,  DAR,  dan  DER  berdasarkan  parameter-parameter  berdasarkan  data  laporan  keuangan tahunan  2021  pada  saham  JII  periode  Agustus  2021  –  November  2021.  Pada  analisis cluster terdapat asumsi yang harus diuji yaitu:
1. Asumsi Kecukupan Sampel untuk Mewakili Populasi
Pada  penelitian  ini,  asumsi  kecukupan  sampel  untuk  mewakili  populasi  dengan  pengujian KMO tidak dilakukan karena data yang digunakan sudah merupakan data populasi yaitu data saham-saham yang terdaftar pada JII yaitu sebanyak 30 saham.
2. Asumsi Non Multikolinieritas
Multikolinieritas pada data dapat diketahui dengan menganalisis nilai VIF ( Variance Inflation Factor ) pada tiap-tiap variabel. Asumsi non multikolnieritas terpenuhi apabila nilai VIF < 10. Nilai VIF tiap variabel disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai VIF Variabel VIF ROA 5,9488 ROE 6,0314 DAR 2,9753 DER 3,4447
Tabel 1 menunjukkan bahwa nilai VIF variabel ROA, ROE, DAR, dan DER kurang dari 10  maka  dapat  diartikan  bahwa  tidak  terjadi  multikolinieritas  antar  variabel  atau  asumsi  non multikolinieritas terpenuhi. Proses pengelompokan saham Jakarta Islamic Index (JII) dengan K- Medoids  Clustering menggunakan  bantuan software R  dengan K =  3,  4,  5,  6,  7,  8.  Nilai  DBI (Davies-Bouldin Index ) terkecil digunakan sebagai acuan dalam menentukan banyaknya cluster terbaik. Hasil perhitungan nilai DBI pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai DBI K DBI 3 0,7421613 4 0,7774567 5 0,7964705 6 0,4652356 7 0,4699349 8 0,6038833
Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai DBI terkecil terdapat pada banyaknya cluster ( K ) adalah 6, maka banyaknya cluster terbaik dari K-Medoids Clustering yang dapat dibentuk yaitu sebanyak 6 cluster . Tabel 3 menunjukkan hasil clustering dengan 6 cluster beserta anggota cluster . Pada Tabel 3 diketahui bahwa cluster 1 memiliki jumlah anggota sebanyak 8 saham yaitu saham ACES, CPIN,  INCO,  INTP,  KLBF,  MIKA,  MNCN,  dan  PTBA. Cluster 2  memiliki  jumlah  anggota sebanyak 11 saham yaitu saham ADRO, ANTM, ERAA, INKP, MDKA, PWON, SMGR, TKIM, TLKM, TPIA, dan UNTR. Cluster 3 memiliki jumlah anggota sebanyak 5 anggota saham yaitu saham AKRA, ICBP, INDF, JPFA, dan PGAS. Cluster 4 memiliki jumlah anggota sebanyak 3 saham  yaitu  saham  BRIS,  BRPT,  dan  EXCL. Cluster 5  memiliki  jumlah  anggota  sebanyak  2 saham yaitu saham PTPP dan WIKA sedangkan cluster 6 memiliki jumlah anggota sebanyak 1 saham  yaitu  saham  UNVR.  Tabel  4  menunjukkan  nilai  rata-rata  variabel  dari  masing-masing cluster .
Tabel 3. Anggota Cluster Cluster Anggota 1 ACES, CPIN, INCO, INTP, KLBF, MIKA, MNCN, PTBA 2 ADRO, ANTM, ERAA, INKP, MDKA, PWON, SMGR, TKIM, TLKM, TPIA, UNTR 3 AKRA, ICBP, INDF, JPFA, PGAS 4 BRIS, BRPT, EXCL
5
PTPP, WIKA 6 UNVR Tabel 4. Nilai Rata-Rata Variabel Tiap Cluster Cluster ROA ROE DAR DER 1 0,121 0,163 0,210 0,282 2 0,065 0,121 0,414 0,767 3 0,051 0,150 0,535 1,607 4 0,014 0,083 0,498 2,647 5 0,003 0,017 0,745 3,891 6 0,302 1,333 0,773 3,413
Tabel  4  menunjukkan  bahwa cluster 1  memiliki  nilai  rata-rata  DAR  dan  DER  terendah dibandingkan cluster lainnya. Jika dibandingkan cluster lainnya, cluster 5 memiliki nilai rata-rata ROA dan ROE yang terendah serta nilai rata-rata DER yang tertinggi. C luster 6 memiliki nilai rata-rata ROA, ROE dan DAR tertinggi dibandingkan cluster lainnya.
Setelah  proses clustering yang  dilakukan  dapat  diketahui  bahwa  jumlah cluster terbaik yaitu  sebanyak  6 cluster maka  akan  dibentuk  sebuah  portofolio  yang  terdiri  dari  6  saham. Penentuan  saham-saham  penyusun  portofolio  yaitu  dengan  memilih  satu  saham  dari  masing- masing cluster yang terbentuk berdasarkan nilai expected return saham tertinggi berdasarkan data closing price mingguan saham JII dari Januari 2021 – April 2022.
Tabel 5. Nilai Expected Return Tertinggi Cluster Saham Expected Return 1 PTBA 0,00440 2 ADRO 0,01255 3 AKRA 0,00653 4 EXCL 0,00226 5 PTPP -0,01152 6 UNVR -0,00892
Tabel  5  menunjukkan  bahwa expected  return saham  PTBA,  ADRO,  AKRA,  dan  EXCL bernilai positif sedangkan expected return saham PTPP dan UNVR bernilai negatif. Pada Tabel 5, dapat diketahui bahwa saham-saham yang terpilih berdasarkan nilai expected return tertinggi dari  masing-masing cluster adalah  saham  PTBA,  ADRO,  AKRA,  EXCL,  PTPP,  dan  UNVR. Enam saham tersebut menjadi saham penyusun portofolio efisien yang selanjutnya akan dijadikan portofolio optimal menggunakan optimasi Mean -VaR dan dihitung risikonya.
Pengujian normalitas multivariat return penyusun portofolio dilakukan untuk mendeteksi apakah return saham penyusun portofolio berdistribusi normal multivariat. Berdasarkan output software R pengujian normalitas multivariat dengan taraf signifikansi 𝛼 = 5% , diperoleh nilai p- value sebesar 0,08974. Kesimpulan yang diambil adalah return saham PTBA, ADRO, AKRA, EXCL, PTPP, dan UNVR penyusun portofolio berdistribusi normal multivariat.
Pada  pembentukan  portofolio,  investor  perlu  menentukan  proporsi  atau  bobot  portofolio untuk mengalokasikan dana yang dimiliki pada berbagai saham yang tersedia. Penentuan bobot portofolio  dilakukan  dengan  metode Mean- VaR  dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  proses optimasi dengan fungsi Lagrange pada persamaan (14). Dari saham-saham penyusun portofolio, diperoleh nilai bobot saham PTBA, ADRO, AKRA, EXCL, PTPP, dan UNVR.
Tabel 6. Bobot Saham Penyusun Portofolio Saham Bobot Saham PTBA 0,46536 ADRO -0,07775 AKRA 0,24018 EXCL 0,25421 PTPP -0,13593 UNVR 0,25392
Tabel  6  menunjukkan  bobot  optimal  portofolio  berdasarkan  proses optimasi Mean -VaR, diketahui bobot saham ADRO dan PTPP bernilai negatif yaitu sebesar  -0,07775 dan -0,13593. Hal  ini  menunjukkan  terjadinya short  selling dalam  pembobotan. Short  selling merupakan penjualan saham yaitu investor tidak memiliki saham tersebut, investor meminjam saham ke suatu perusahaan  dan  menjualnya  di  pasar  dengan  rencana  membeli  kembali  saham  tersebut  ketika harganya turun dan mengembalikannya dengan nilai yang lebih rendah. Nilai bobot untuk saham PTBA  sebesar  0,46536;  saham  AKRA  sebesar  0,24018;  saham  EXCL  sebesar  0,25421;  dan saham UNVR sebesar 0,25392.
Berdasarkan perhitungan nilai VaR portofolio pada tingkat kepercayaan 95% dan periode satu minggu untuk portofolio yang terdiri dari saham PTBA, ADRO, AKRA, EXCL, PTPP, dan UNVR  adalah  sebesar  5,06%.  Hal  ini  dapat  diartikan  dalam  jangka  waktu  satu  minggu kemungkinan  kerugian  yang  akan  ditanggung  oleh  investor  tidak  akan  melampaui  5,06%  dari modal awal investasi.

## 5. KESIMPULAN
Validasi  hasil  pembentukan cluster berdasarkan  nilai  Davies-Bouldin Index pada  saham Jakarta Islamic  Index (JII)  dengan K-Medoids  Clustering diperoleh  banyaknya cluster terbaik yaitu 6 cluster sehingga diperoleh 6 saham penyusun portofolio berdasarkan nilai expected return tertinggi  dari  masing-masing cluster yaitu  saham  PTBA,  ADRO,  AKRA,  EXCL,  PTPP,  dan UNVR.
Hasil perhitungan bobot optimal saham penyusun portofolio dengan Mean -VaR, diperoleh bobot untuk saham PTBA sebesar 0,46536; saham AKRA sebesar 0,24018; saham EXCL sebesar 0,25421; dan saham UNVR sebesar 0,25392. Nilai bobot saham ADRO dan PTPP bernilai negatif yaitu  yaitu  sebesar  -0,07775  dan  -0,13593  yang  menunjukkan  terjadinya short  selling dalam pembobotan.
Nilai  VaR  portofolio  pada  tingkat  kepercayaan  95%  dan  periode  satu  minggu  untuk portofolio  yang  terdiri  dari  saham  PTBA,  ADRO,  AKRA,  EXCL,  PTPP,  dan  UNVR  adalah sebesar 5,06%. Hal ini dapat diartikan dalam jangka waktu satu minggu kemungkinan kerugian yang akan ditanggung oleh investor tidak akan melampaui 5,06% dari modal awal investasi.

## ACKNOWLEDGEMENTS
Penelitian  ini  diibiayai  oleh  Fakultas  Sains  dan  Matematika  Universitas  Diponegoro Sesuai  dengan  Surat  Penugasan  Pelaksanaan  Penelitian  Sumber  Dana  Selain  APBN  Tahun Anggaran 2023 Nomor: 23.A/UN7.F8/PP/II/2023 Tanggal Satu Bulan Februari Tahun 2023.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  I.M.  Andyana,  Manajemen  Investasi  dan  Portofolio.  Jakarta:  Lembaga  Penerbitan Universitas Nasional. 2020.
[2]  BEI,  Indeks Saham, 2022. https://www.idx.co.id/produk/indeks/. (accessed September 28, 2022).
[3]  L. Gubu, D. Rosadi, dan A. Abdurakhman, “Pembentukan Portofolio Saham Menggunakan Klastering Time  Series  K-Medoid dengan  Ukuran  Jarak Dynamic  Time  Warping ”,  Jurnal Aplikasi Statistika & Komputasi Statistik, vol. 13, no. 2, pp. 35-46, 2021.
[4]  C.  A.  Chairunnisa,  H.  Yozza,  dan  D.  Devianto,  “Pengukuran  Nilai  Risiko  Portofolio Berdasarkan Mean-VaR”, Jurnal Matematika UNAND, vol. 7, no. 4, pp. 24-32, 2018.
[5]  F.  P.  P.  Abi,  Semakin  Dekat  Dengan  Pasar  Modal  Indonesia.  Yogyakarta:  Deepublish Publisher, 2016.
[6]  A.  P.  Harahap  dan  D.  Saraswati,  Bank  dan  Lembaga  Keuangan  Lainnya.  Surabaya:  CV. Jakad Media Publishing, 2020.
[7]  T. R. Mayes dan T. M. Shank, Financial Analysis. South Western: Thomson.
[8]   S. Santoso, Statistik Multivariat. Jakarta: PT Alex Media Komputindo, 2010.
[9]   J. F. Hair, W. C. Black, B. J. Babin, dan R. E. Anderson, Multivariate Data Analysis Seventh Edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2010.
[10]  A.  Struyf,  M.  Hubert,  P.  Rousseeuw,  “Clustering  in  an  Object-Oriented  Environment”, Journal of Statistical Software, vol. 1, no. 4, pp. 1–30, 1997.
[11]  C.  Vercellis,  Business  Intelligence:  Data  Mining  and  Optimization  for  Decision  Making. Italy: Wiley, 2009.
[12] A. Badruttamam, S. Sudarno, dan D. A. I. Maruddani, “Penerapan Analisis Klaster K-Modes dengan Validasi Davies Bouldin Index dalam Menentukan Karakteristik Kanal Youtube di Indonesia”, Jurnal Gaussian, vol. 9, no. 3, pp. 263-272, 2020.
[13]  D. A. I. C. Dewi dan D. A. K. Pramita, “Analisis Perbandingan Metode Elbow dan Sillhoutte pada  Algoritma Clustering  K-Medoids dalam  Pengelompokan  Produksi  Kerajinan  Bali”, Jurnal Matrix, vol. 9, no. 3, pp. 102-109, 2019.
[14]  M.  N.  Hilmi,  Y.  Wilandari,  H.  dan  Yasin,  “Pemetaan  Referensi  Mahasiswa  Baru  dalam Memilih  Jurusan  Menggunakan Artificial  Neural  Network (ANN)  dengan  Algoritma Self Organizing Maps (SOM)”, Jurnal Gaussian, vol. 4, no. 1, pp. 53-60, 2015.
[15]  D.  A.  I.  Maruddani, Value  at  Risk Untuk  Pengukuran  Risiko  Investasi  Saham:  Aplikasi dengan Program R. Ponorogo: Wade Group, 2019.
[16] R. S. Tsay, Analysis of Financial Time Series. Canada: John Wiley and Sons, Inc., 2005.
[17]  D. A.I. Maruddani, dan A. Purbowati, “Pengukuran Value at Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo”, Media Statistika Vol. 2, No. 2, 93-104. 2009.
[18]  Sukono, P. Sidi, A. Talib, dan S. Supian, “Modeling of Mean-VaR Portofolio Optimization by Risk Tolerance When the Utility Function is Quadratic”. Statistics and Applications. AIP Conference Proceedings. AIP Publishing: 30 Maret 2017. 2017.