## BI-DIMENSI METRIK DARI GRAF ANTIPRISMA
( Bi-Metric Dimension of Antiprism Graph )
M. Ismail Marzuki 1) , Hendy 2)
1) Universitas Pesantren Tinggi Darul ‘ulum, Kompleks PP Darul Ulum Peterongan, Jombang E-mail: ismail_marzuki995@yahoo.com
2) Universitas Kediri, Jl Selomangleng No 1  Kediri E-mail: hendy@unik-kediri.ac.id
Abstract. Let 𝐺 = (𝑉, 𝐸) be a simple and connected graph. For each 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺), it is associated with a vector pair (𝑎, 𝑏), denoted by 𝑆 𝑥 , corresponding to subset 𝑆 = {𝑠 1 , 𝑠 2 , … , 𝑠 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺), with 𝑎 = (𝑑(𝑥, 𝑠 1 ), 𝑑(𝑥, 𝑠 2 ), … , 𝑑(𝑥, 𝑠 𝑘 )) and 𝑏 = (𝛿(𝑥, 𝑠 1 ), 𝛿(𝑥, 𝑠 2 ), … , 𝛿(𝑥, 𝑠 𝑘 )) . 𝑑(𝑣, 𝑠) is the length of shortest path from vertex 𝑣 to 𝑠 , and 𝛿(𝑣, 𝑠) is the length of the furthest path from vertex 𝑣 to 𝑠 . The set 𝑆 is called the bi-resolving set in 𝐺 if 𝑆 𝑥 ≠ 𝑆 𝑦 for any two distinct vertices 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺).
The bi- metric dimension of graph 𝐺 , denoted by 𝛽 𝑏 (𝐺), is the minimum cardinality of the bi-resolving set in graph 𝐺 . In this study we analyze bi-metric dimension in the antiprism graph (𝐴 𝑛 ) . From the analysis that has been done, it is obtained the result that bi-metric dimension of graph 𝐴 𝑛 , 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) is 3.
Keywords: Antiprism graph, bi-metric dimension, bi-resolving set.
MSC 2020: 05C12

## 1. Pendahuluan
Teori  graf  merupakan  bagian  dari  matematika  diskrit  yang  mempelajari  konfigurasi himpunan simpul  dan keterhubungan simpul yang diwakili oleh sisi. Teori graf pertama kali  digunakan  pada  permasalahan  Jembatan  Konigsberg.  Permasalahan  jembatan tersebut  dapat  dinyatakan  ke  dalam  bentuk  graf  dengan  merepresentasikan  daratan sebagai simpul ( vertex ) dan jembatan sebagai sisi ( edge ).
Teori graf semakin berkembang pesat hingga saat ini, salah satu perkembangan teori graf tentang himpunan pembeda  yaitu pada bahasan  konsep dimensi  metrik  dan bi-dimensi metrik  yang merupakan pengembangan dari dimensi metrik. Dimensi metrik pada graf diperkenalkan pertama kali oleh Slater pada tahun 1975, setelah itu diperkenalkan oleh Harary  dan  Melter  pada  tahun  1976.  Dimensi  metrik  dari  graf 𝐺, dinotasikan  dengan dim(𝐺) = β(𝐺) , adalah  kardinalitas  minimum  dari  himpunan  pembeda  pada  graf 𝐺 . Beberapa penelitian tentang dimensi metrik dapat dilihat di [1, 2, 4, 5, 6].
Pada  tahun  2014,  Raghavendra, et  al .  [6]  memperkenalkan  konsep  baru  mengenai dimensi  metrik  yaitu  Bi-dimensi  metrik.  Bi-dimensi  metrik  merupakan  kardinalitas minimum dari himpunan pembeda-bi. Penelitian tentang bi-dimensi metrik dari graf yang telah dilakukan oleh Raghavendra, menghasilkan beberapa teorema diantaranya pada graf lintasan, graf lengkap, graf 𝐾 1 ʘ𝑃 𝑛 , graf 𝑃 𝑚 ʘ𝑃 𝑛 , graf 𝑃 𝑛 𝑘 dan graf 𝐶 𝑛 𝑘 .
Sejauh  ini  penelitian  tentang  bi-dimensi  metrik  dari  graf  antiprisma  belum  dilakukan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dilakukan analisa tentang bi-dimensi metrik dari graf antiprisma.

## 2. Kajian Teori

## Graf
Sebuah graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) terdiri dari 𝑉 , himpunan tak kosong dari simpul-simpul ( vertices ) dan E, himpunan dari sisi-sisi ( edges ). Setiap sisi memiliki satu simpul atau dua simpul yang menghubungkan dengan sisi tersebut, simpul-simpul tersebut dinamakan titik ujung. Sebuah sisi dikatakan terhubung jika memiliki simpul ujung. Dua titik 𝑢 dan 𝑣 dinamakan berdekatan ( adjacent ) di 𝐺 , jika 𝑢 dan 𝑣 adalah simpul akhir dari sisi 𝑒 di 𝐺 . Demikian sebuah  sisi 𝑒 dinamakan  bersisian  ( incident )  simpul 𝑢 dan 𝑣 , 𝑒 dikatakan menghubungkan 𝑢 dan 𝑣 .
Himpunan simpul yang berdekatan dari simpul 𝑣 di 𝐺 = (𝑉, 𝐸) , dinotasikan 𝑁(𝐴) adalah tetangga (berdekatan) dari 𝑣 . Jika 𝐴 subset dari 𝑉 , dinotasikan 𝑁(𝐴) adalah himpunan simpul-simpul di 𝐺 yang berdekatan paling sedikit satu simpul di 𝐴 . Derajat ( degree ) dari sebuah  simpul  di  graf  tak-berarah  adalah  jumlah  sisi  yang  bersisian  dengan  simpul tersebut, kecuali gelang ( loop ) dalam sebuah simpul berkontribusi 2 dalam derajat simpul. Derajat dari titik 𝑣 dinotasikan dengan deg ( 𝑣 ) [7].

## Graf Antiprisma
Graf  anti-prisma dinotasikan dengan 𝐴 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 ,  yang memiliki simpul  sebanyak 2 n .  Graf  anti-prisma  terdiri  dari  sebuah  lingkaran  luar n- simpul 𝑎 1 , 𝑎 2 , … . . 𝑎 𝑛 , sebuah lingkaran dalam n -simpul 𝑏 1 , 𝑏 2 , … . . 𝑏 𝑛 , dan sebuah himpunan dari n jari-jari 𝑏 𝑖 𝑎 𝑖 dan 𝑏 𝑖+1 𝑎 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, . . , 𝑛 dimana 𝑛 + 𝑖 adalah  diambil  dari  modulo n [3].  Graf  anti-prisma termasuk keluarga graf teratur dengan memiliki derajat sebanyak 4 dari setiap simpulnya, seperti yang terlihat pada Gambar 1.

## Lintasan
Lintasan  adalah perjalanan sederhana yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal 𝑣 0 ke simpul tujuan 𝑣 𝑛 di dalam graf
G adalah  barisan  berselang-seling  simpul-simpul  dan  sisi-sisi  yang  berbentuk 𝑣 0 , 𝑒 1 , 𝑣 1 , 𝑒 2 , 𝑣 2 , … . , 𝑣 𝑛−1 , 𝑒 𝑛 , 𝑣 𝑛 sedemikian sehingga 𝑒 1 = (𝑣 0 , 𝑣 1 ) , 𝑒 2 = (𝑣 1 , 𝑣 2 ) , .... , 𝑒 𝑛 = (𝑣 𝑛−1 , 𝑣 𝑛 ) adalah sisi-sisi dari graf G [7]. Untuk setiap simpul-simpul u dan v dalam graf terhubung G , jarak d ( u, v ) adalah panjang dari lintasan terpendek antara simpul u dan simpul v pada G .  Jarak 𝛿(𝑣, 𝑠) adalah panjang lintasan terjauh dari simpul 𝑢 ke 𝑣 .
Gambar 1. Struktur graf antiprisma.

## Himpunan Pembeda-Bi
Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graf sederhana dan terhubung. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺), diasosiasikan  sebuah  pasangan  vektor (𝑎, 𝑏), dinotasikan  oleh 𝑆 𝑥 , yang  bersesuaian dengan  subset 𝑆 = {𝑠 1 , 𝑠 2 , … , 𝑠 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺), dengan 𝑎 = (𝑑(𝑥, 𝑠 1 ), 𝑑(𝑥, 𝑠 2 ), … , 𝑑(𝑥, 𝑠 𝑘 )) dan 𝑏 = (𝛿(𝑥, 𝑠 1 ), 𝛿(𝑥, 𝑠 2 ), … , 𝛿(𝑥, 𝑠 𝑘 )) ,  dimana 𝑑(𝑣, 𝑠) adalah  jarak  terpendek  dari simpul 𝑣 ke 𝑠, dan 𝛿(𝑣, 𝑠) adalah  jarak  terjauh  dari  titik 𝑣 ke 𝑠 .  Himpunan 𝑆 disebut himpunan pembeda-bi  di 𝐺 jika 𝑆 𝑥 ≠ 𝑆 𝑦 untuk sebarang dua simpul berbeda 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(𝐺).

## Bi-Dimensi Metrik
Bi-dimensi metrik dari graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝛽 𝑏 (𝐺), adalah bilangan bulat terkecil 𝑘 sehingga 𝐺 memiliki sebuah himpunan pembeda-bi dengan 𝑘 anggota. Simpul-simpul yang termuat dalam himpunan pembeda-bi 𝑆 disebut landmark dan himpunan 𝑆 disebut basis bi-metrik dari 𝐺.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada Lemma 1 berikut dipaparkan lintasan terjauh dari graf antiprisma.
Lemma 1. Misalkan 𝐴 𝑛 adalah graf antiprisma. panjang lintasan terjauh dari 𝑣 𝑖 ke 𝑣 𝑗 = 𝛿(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) dari graf 𝐴 𝑛 adalah
𝛿(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) = { 2𝑛 2𝑛 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 = 𝑗 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≠ 𝑗
Bukti.
Kasus 1. Jika 𝑖 = 𝑗 atau panjang dari dua simpul yang sama.
Graf 𝐴 𝑛 memuat sirkuit Hamilton karena terdapat lintasan yang melewati setiap simpul tepat  satu  kali  dalam  graf 𝐴 𝑛 dan  kembali  ke  simpul  awal.  Misalkan 𝑣 𝑖 = 𝑣 𝑗 = 𝑎 𝑖 . Terdapat lintasan terjauh 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖+1 , 𝑎 𝑖+1 , 𝑏 𝑖+2 , 𝑎 𝑖+2 , … ., 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … . , 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑎 𝑖 dengan panjang lintasan (𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) = 2𝑛 .
Kasus 2. Untuk sebarang dua simpul berbeda dari graf 𝐴 𝑛 .
 Untuk 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) .  Jika 𝑗 − 𝑖 = 1 atau  sebarang  dua  simpul  yang  berdekatan  di  sikel dalam  memuat  lintasan: 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … . , 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 dengan  panjang  lintasan 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) .  Jika 𝑗 − 𝑖 = 2 .  Sebarang  dua  simpul  dari  sikel  dalam  memuat lintasan: 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑏 𝑖+1 , 𝑎 𝑖+1 , 𝑎 𝑖 dengan  panjang  lintasan 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 ≥ 𝑘 dengan 3 ≤ 𝑘 ≤ ⌊ 𝑛 2 ⌋ . Sebarang dua simpul dari sikel dalam memuat lintasan: 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … . , 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑏 𝑖+1 , , . . , 𝑏 𝑗−1 , 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗−1 , . . ., 𝑎 𝑖+1 , 𝑎 𝑖 dengan panjang lintasan 𝛿(𝑎 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 = 1 atau sebarang dua simpul yang berdekatan di sikel luar memuat lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … ., 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 ,  𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 dengan panjang lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) .  Jika 𝑗 − 𝑖 = 2 .  Sebarang  dua  simpul  dari  sikel  dalam  memuat lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … ., 𝑏 𝑛−2 ,   𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑎 𝑖 , 𝑎 𝑖+1 , 𝑏 𝑖+1 , 𝑏 𝑖 dengan panjang lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 ≥ 𝑘 dengan 3 ≤ 𝑘 ≤ ⌊ 𝑛 2 ⌋ . Sebarang dua simpul dari sikel dalam  memuat  lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … . , 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑎 𝑖 , 𝑎 𝑖+1 , … , 𝑎 𝑗−1 , 𝑏 𝑗−1 , 𝑏 𝑗−2 , … , 𝑏 𝑖+1 , 𝑏 𝑖 dengan panjang lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑏 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) .  Jika 𝑖 = 𝑗 memuat  lintasan: 𝑏 𝑖 , 𝑏 𝑖+1 , 𝑎 𝑖+1 , 𝑏 𝑖+2 , 𝑎 𝑖+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑎 𝑖 dengan  panjang lintasan 𝛿(𝑏 𝑖 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 = 1 atau sebarang simpul sikel dalam dan sikel luar yang berdekatan  memuat  lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑎 𝑖 dengan  panjang  lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 = 2 . Sebarang satu simpul sikel dalam dan satu sikel luar memuat  lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … ., 𝑏 𝑖−2 , 𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 , 𝑏 𝑖+1 𝑎 𝑖+1 , 𝑎 𝑖 dengan  panjang  lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
 Untuk 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) . Jika 𝑗 − 𝑖 ≥ 𝑘 dengan 3 ≤ 𝑘 ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Sebarang satu simpul sikel dalam dan  satu  sikel  luar  memuat  lintasan: 𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑗 , 𝑏 𝑗+1 , 𝑎 𝑗+1 , 𝑏 𝑗+2 , 𝑎 𝑗+2 , … . , 𝑏 𝑛−2 , 𝑎 𝑛−2 , 𝑏 𝑛−1 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏 𝑛 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 1 , 𝑎 1 , 𝑏 2 , 𝑎 2 , … . , 𝑏 𝑖−2 ,   𝑎 𝑖−2 , 𝑏 𝑖−1 , 𝑎 𝑖−1 , 𝑏 𝑖 ,   𝑏 𝑖+1 , … , 𝑏 𝑗−1 , 𝑎 𝑗−1 , 𝑎 𝑗−2 , … , 𝑎 𝑖+1 , 𝑎 𝑖 dengan panjang lintasan 𝛿(𝑏 𝑗 , 𝑎 𝑖 ) = 2𝑛 − 1 .
Graf 𝐴 𝑛 terbukti memiliki Panjang lintasan terjauh 𝛿(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) = 2𝑛 − 1 dengan 𝑣 𝑖 ≠ 𝑣 𝑗 berlaku untuk setiap simpul di graf 𝐴 𝑛 .
Gambar 2. Lintasan 𝑎 𝑗 ke , 𝑎 𝑖 (1). Gambar 3. Lintasan 𝑎 𝑗 ke , 𝑎 𝑖 (2).
Gambar 4. Lintasan 𝑎 𝑗 ke 𝑎 𝑖 ( ≥ 3).  Gambar 5. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑏 𝑖 (1).
Gambar 6. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑏 𝑖 (2). Gambar 7. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑏 𝑖 ( ≥ 3).
Gambar 8. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑎 𝑖 (1). Gambar 9. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑎 𝑖 ( 0 ).
Gambar 10. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑎 𝑖 (2). Gambar 11. Lintasan 𝑏 𝑗 ke 𝑎 𝑖 ( ≥ 3).
Berikutnya diberikan teorema hasil mengenai bi-dimensi metrik dari graf Antiprisma.
Teorema 2. Misalkan 𝐴 𝑛 adalah graf antiprisma dengan 𝑛 ≥ 3 , maka bi-dimensi metrik dari 𝐴 𝑛 , 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 .
Bukti.
Kasus 1. Untuk 𝑛 ganjil. Perhatikan 𝑆 = {𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 } ⊆ 𝑉(𝐴 𝑛 ) . Akan ditunjukkan 𝑆 adalah himpunan pembeda-bi di graf 𝐴 𝑛 . Representasi jarak setiap simpul pada graf 𝐴 𝑛 terhadap 𝑆 adalah
𝑟(𝑎 𝑖 |𝑆) = { ((𝑖 + 1, 𝑖, 𝑖 + 1)(2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3 2
((𝑖, 𝑖, 𝑖 + 1)(2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)), 𝑖 = 𝑛 − 1
2
((𝑛 − 1 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖)(2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)), n+1
2 ≤i≤n-2 ((0,1,1)(2𝑛, 2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)), 𝑖 = 𝑛 − 1
((1,0,1)(2𝑛 − 1,2𝑛, 2𝑛 − 1)), 𝑖 = 𝑛
𝑟(𝑏 𝑖 |𝑆) = {
((𝑖 + 1, 𝑖, 𝑖) (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))                      ,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1
2
((𝑛 − 𝑖, 𝑛 + 1 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖)(2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)), n+1
2 ≤i≤n-1
((1,1,0)(2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))              , 𝑖 = 𝑛
Dari rumus di atas, dapat diuraikan representasi setiap simpul pada graf 𝐴 𝑛 terhadap 𝑆 dibawah ini:
𝑟(𝑎 1 |𝑆) = ( (2,1,2), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 2 |𝑆) = ( (3,2,3), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 3 |𝑆) = ( (4,3,4), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))
⁞
𝑟 (𝑎 𝑛−3 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 ) , (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑎 𝑛−1 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 + 1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑎 𝑛+1 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑎 𝑛+3 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 5 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 3 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞
𝑟(𝑎 𝑛−2 |𝑆) = ( (1,2,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 𝑛−1 |𝑆) = ( (0,1,1), (𝑛, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 𝑛 |𝑆) = ( (1,0,1), (2𝑛 − 1, 𝑛, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑏 1 |𝑆) = ( (2,1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟(𝑏 2 |𝑆) = ( (3,2,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞ 𝑟 (𝑏 𝑛−3 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 3 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑏 𝑛−1 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 + 1 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑏 𝑛+1 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 1 2 , 𝑛 + 1 2 , 𝑛 − 1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑏 𝑛+3 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 3 2 , 𝑛 − 1 2 , 𝑛 − 3 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞
𝑟(𝑏 𝑛−2 |𝑆) = ( (2,3,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟(𝑏 𝑛−1 |𝑆) = ( (1,2,1), (𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟(𝑏 𝑛 |𝑆) = ( (1,1,0), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 𝑛))
Dari  representasi  di  atas  menunjukan  bahwa 𝑥 ≠ 𝑦 dimana 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑉(𝐴 𝑛 ) untuk 𝑟(𝑎 𝑥 |𝑆) ≠  𝑟(𝑎 𝑦 |𝑆) sehingga  tidak  ada  dua  simpul  di  sikel  dalam  dengan  representasi yang sama. 𝑟(𝑏 𝑥 |𝑆) ≠  𝑟(𝑏 𝑦 |𝑆) dan 𝑟(𝑎 𝑥 |𝑆) ≠  𝑟(𝑏 𝑦 |𝑆) . Dari representasi tersebut tidak memiliki  representasi  yang  sama  pada  setiap  simpulnya.  Karena ∀ 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , 𝑟(𝑥|𝑆) ≠ 𝑟(𝑦|𝑆) ,  maka 𝑆 = {𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 } himpunan  pembeda-bi    di  graf 𝐴 𝑛 .  Dengan demikian 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≤ 3 . (1)
Selanjutnya akan dibuktikan 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 untuk 𝑛 ganjil. Ambil 𝑆 2 = {𝑎 𝑖 } ⊆ 𝑉(𝐴 𝑛 ) adalah himpunan  pembeda-bi  di  graf 𝐴 𝑛 .  Graf 𝐴 𝑛 bukan  graf  lintasan,  sehingga  bi-dimensi metrik dari graf 𝐴 𝑛 = 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≠ 1 .
Andaikan 𝑆 3 adalah  himpunan  pembeda-bi  dengan |𝑆 3 | = 2 .  Dengan  demikian  akan mempunyai  berbagai  kemungkinan  sebagai  berikut: 𝑆 3 adalah  himpunan  bagian  dari {𝑎 𝑖 : 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} , tanpa mengurangi keumuman bukti, di ambil satu simpul himpunan pembeda-bi adalah 𝑎 1 dan simpul yang lain adalah 𝑎 𝑖 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛−1 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1, 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 𝑖 = 𝑛+1 2 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1, 𝑛−1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑖 = 𝑛+3 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1, 𝑛−1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 𝑛+3 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1,2 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Hal ini kontradiksi dengan himpunan pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
I. 𝑆 3 adalah  himpunan  bagian  dari {𝑏 𝑖 : 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} ,  tanpa  mengurangi  keumuman bukti, di ambil satu simpul himpunan pembeda-bi adalah 𝑏 1 dan simpul yang lain adalah 𝑏 𝑖 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛−1 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑖 = 𝑛+1 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 1 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑛−1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 𝑖 = 𝑛+3 2
mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑛−1 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑛+3 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 1 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,2 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Hal  ini  kontradiksi  dengan  himpunan  pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
Satu  simpul  termasuk  dari {𝑎 𝑖 } ⊂ 𝑉(𝐴 𝑛 ) dan  simpul  yang  lain  termasuk  dari {𝑏 𝑖 } ⊂ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , tanpa mengurangi keumuman bukti, di ambil satu simpul himpunan pembeda-bi adalah 𝑎 1 dan  simpul  yang  lain  adalah 𝑏 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 𝑖 = 1 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑖 = 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 2 < 𝑖 ≤ 𝑛+1 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑖 − 2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑛+1 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Hal ini kontradiksi dengan himpunan pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
Karena ∃ 𝑥, 𝑦  ∋ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , 𝑥 ≠ 𝑦 , 𝑟(𝑥|𝑆) = 𝑟(𝑦|𝑆) ,  maka |𝑆 3 | = 2 bukan  himpunan pembeda-bi. Dengan demikian terbukti 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 .  ....................................... (2)
Dari bukti 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≤ 3 (1) dan 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 (2), maka 𝑆 dengan kardinalitas 3 merupakan himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum. Sehingga 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 untuk 𝑛 ganjil.
Kasus  (2) . Untuk 𝑛 genap.  Misalkan 𝑆 = {𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 } ,  akan  dibuktikan 𝑆 adalah himpunan pembeda. Representasi setiap simpul pada 𝐴 𝑛 terhadap 𝑆 adalah
𝑟(𝑎 𝑖 |𝑆) = { ((𝑖 + 1, 𝑖, 𝑖 + 1), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))                    ,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 2 ((𝑛 − 1 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))    , 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 ((0,1,1), (2𝑛, 2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))                     , 𝑖 = 𝑛 − 1 ((1,0,1), (2𝑛 − 1,2𝑛, 2𝑛 − 1))                     , 𝑖 = 𝑛 𝑟(𝑏 𝑖 |𝑆) =
{
((𝑖 + 1, 𝑖, 𝑖), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))                         ,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2
2 ((𝑖, 𝑖, 𝑖), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))                  , 𝑖 = 𝑛 2
((𝑛 − 𝑖, 𝑛 + 1 − 𝑖, 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛 − 1))   , 𝑛 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 − 1
((1,1,0), (2𝑛 − 1,2𝑛 − 1,2𝑛))                         , 𝑖 = 𝑛
Dari rumus di atas, dapat diuraikan representasi setiap simpul pada graf 𝐴 𝑛 terhadap 𝑆 dibawah ini: 𝑟(𝑎 1 |𝑆) = ( (2,1,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 2 |𝑆) = ( (3,2,3), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 3 |𝑆) = ( (4,3,4), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞ 𝑟 (𝑎 𝑛−2 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑎 𝑛 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑎 𝑛+2 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 4 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 2 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞
𝑟(𝑎 𝑛−2 |𝑆) = ( (1,2,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 𝑛−1 |𝑆) = ( (0,1,1), (𝑛, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑎 𝑛 |𝑆) = ( (1,0,1), (2𝑛 − 1, 𝑛, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑏 1 |𝑆) = ( (2,1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑏 2 |𝑆) = ( (3,2,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞ 𝑟 (𝑏 𝑛−2 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 , 𝑛 − 2 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑏 𝑛 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 2 , 𝑛 2 , 𝑛 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
𝑟 (𝑏 𝑛+2 2 |𝑆) = ( ( 𝑛 − 2 2 , 𝑛 2 , 𝑛 − 2 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1))
⁞
𝑟(𝑏 𝑛−2 |𝑆) = ( (2,3,2), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑏 𝑛−1 |𝑆) = ( (1,2,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) 𝑟(𝑏 𝑛 |𝑆) = ( (1,1,0), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1, 𝑛))
Dari  representasi  di  atas  menunjukan  bahwa 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , 𝑥 ≠ 𝑦 untuk 𝑟(𝑎 𝑥 |𝑆) ≠ 𝑟(𝑎 𝑦 |𝑆) , 𝑟(𝑏 𝑥 |𝑆) ≠  𝑟(𝑏 𝑦 |𝑆) dan 𝑟(𝑎 𝑥 |𝑆) ≠  𝑟(𝑏 𝑦 |𝑆) . Dari representasi tersebut tidak memiliki representasi yang sama pada setiap simpulnya.
Karena ∀ 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , 𝑥 ≠ 𝑦 , 𝑟(𝑥|𝑆) ≠ 𝑟(𝑦|𝑆) ,  maka 𝑆 = {𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 , 𝑏 𝑛 } himpunan pembeda-bi sehingga 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≤ 3 .  .................................................................... (3)
Selanjutnya akan dibuktikan 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 untuk 𝑛 genap. Ambil 𝑆 2 = {𝑎 𝑖 } ⊆ 𝑉(𝐴 𝑛 ) adalah himpunan  pembeda-bi  di  graf 𝐴 𝑛 .  Graf 𝐴 𝑛 bukan  graf  lintasan,  sehingga  bi-dimensi metrik dari graf 𝐴 𝑛 = 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≠ 1 .
Andaikan 𝑆 3 adalah himpunan pembeda-bi dengan |𝑆 3 | = 2 maka 𝑆 3 akan mempunyai berbagai kemungkinan berikut:
1. 𝑆 3 adalah  himpunan  bagian  dari {𝑎 𝑖 : 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} ,  tanpa  mengurangi  keumuman bukti,  di  ambil  satu  simpul  himpunan  pembeda-bi  adalah 𝑎 1 dan  simpul  yang  lain adalah 𝑎 𝑖 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1, 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 𝑖 = 𝑛+2 2 mempunyai representasi 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1, 𝑛 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑛+2 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai representasi  𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑎 𝑖 }) = ((1,2 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Hal ini kontradiksi dengan himpunan pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
2. 𝑆 3 adalah  himpunan  bagian  dari {𝑏 𝑖 : 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛} ,  tanpa  mengurangi  keumuman bukti,  di  ambil  satu  simpul  himpunan  pembeda-bi  adalah 𝑏 1 dan  simpul  yang  lain adalah 𝑏 𝑖 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2 mempunyai  representasi  𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk 𝑖 = 𝑛+2 2 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 1 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑛 2 ) , (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑛+2 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 1 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑏 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,2 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Hal ini kontradiksi dengan himpunan pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
3. Satu  simpul  anggota  dari {𝑎 𝑖 } ⊂ 𝑉(𝐴 𝑛 ) dan  simpul  yang  lain  anggota  dari {𝑏 𝑖 } ⊂ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , tanpa mengurangi keumuman bukti, di ambil satu simpul himpunan pembeda- bi  adalah 𝑎 1 dan  simpul  yang  lain  adalah 𝑏 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Untuk 𝑖 = 1 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 𝑖 = 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) .  Untuk 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 2 mempunyai  representasi 𝑟(𝑎 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 2 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1, 𝑖 − 1), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Untuk
𝑛 2 < 𝑖 ≤ 𝑛 mempunyai representasi 𝑟(𝑎 𝑛 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = 𝑟(𝑏 1 |{𝑎 1 , 𝑏 𝑖 }) = ((1,1 + 𝑛 − 𝑖), (2𝑛 − 1, 2𝑛 − 1)) . Hal ini kontradiksi dengan himpunan pembeda-bi |𝑆 3 | = 2 .
Karena ∃ 𝑥, 𝑦  ∋ 𝑉(𝐴 𝑛 ) , 𝑥 ≠ 𝑦 , 𝑟(𝑥|𝑆) = 𝑟(𝑦|𝑆) ,  maka |𝑆 3 | = 2 bukan  himpunan pembeda-bi. Dengan demikian terbukti 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 .  ....................................... (4)
Dari bukti 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≤ 3 (3) dan 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) ≥ 3 (4), maka 𝑆 dengan kardinalitas 3 merupakan himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum. Sehingga 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 untuk 𝑛 genap.
Karena  terbukti 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 untuk 𝑛 ganjil  dan  genap.  Dengan  demikian  bi-dimensi metrik dari graf antiprisma = 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 .

## 4. Kesimpulan
Dalam  menentukan  bi-dimensi  metrik  atau  kardinalitas  minimum  dari  himpunan pembeda-bi  dari  graf  antiprisma,  harus  menentukan  panjang  lintasan  terpendek  dan panjang lintasan terjauh. Dalam graf antiprisma, panjang lintasan terjauh dari simpul yang sama  adalah 2𝑛 ,  sedangkan  panjang  lintasan  terjauh  untuk  sebarang  dua  simpul  yang berbeda  adalah 2𝑛 − 1. Misalkan 𝐴 𝑛 adalah  graf  antiprisma  dengan 𝑛 ≥ 3 ,  maka  bi- dimensi  metrik  dari 𝐴 𝑛 , 𝛽 𝑏 (𝐴 𝑛 ) = 3 .  Dari  kesimpulan  diatas  dapat  dilihat  bahwa  bi- dimensi metrik dari graf antiprisma sama dengan dimensi metriknya.
Untuk pengembangan Penelitian selanjutnya tentang graf dapat dikembangkan pada graf generalisasi  antiprisma  atau  melakukan  pengembangan  penelitian  tentang  karakterisasi graf yang mempunyai bi-dimensi metrik = 2.

## Daftar Pustaka
[1] Ali,  M.,  Ali,  G.,  Ali,  U.,  Rahim,  M.T.,  (2012), On  Cycle  Related  Graphs  with Constant Metric Dimension . Open Journal of Discrete Mathematics, 2012, 2, 21- 23.
[2] Ali, G., Laila, R., Ali, M., (2016), Metric Dimension of Some Families of Graph . Mathematical Sciences Letters An International Journal 5, No. 1, 99-102 (2016).
[3] Hendy, (2016), The H-Super(anti)magic Decompositions of Antiprism Graphs. AIP Conference Proceedings 1707, 020007 (2016). https://doi.org/10.1063/1.4940808 .
[4] Javaid, I., Rahim, M.T., Ali, K., (2008), Families of Regular Graphs With Constant Metric  Dimension .  Utilitas  Mathematica.  School  of  Mathematical  Sciences,  GC University. (Online), ( https://www.researchgate.net/publication/264553656 , diakses 7 Maret 2017).
[5] Permana,  A.B.,  Darmaji,  (2012), Dimensi  Metrik  Graf  Pohon  Bentuk  Tertentu. Jurnal Teknik POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-4.
[6] Raghavendra,  A.  Sooryanarayana,  B.  Hedge,  C.,  (2014), Bi-Metric  dimension  of graphs . British Journal of Mathematics and Computer Science 4(18): 2699-2714.
[7] Rosen, K.H., (2012), Discrete Mathematics and Its Applications . Seventh Edition. New York. McGraw-Hill.