## FUZZY CLUSTERING MENGGUNAKAN ALGORITHM FIREFLY-

## FUZZY C-MEANS DENGAN JARAK MAHALANOBIS
Joshua Ariel Perkasa 1 , Robert Kurniawan 2
Jurusan Statistika, Politeknik Statistika STIS - Jakarta e-mail : 1 joshuaarielp@gmail.com, 2 robertk@stis.ac.id

## ABSTRAK
Fuzzy C-Means (FCM) adalah salah satu teknik clustering yang cukup sering digunakan, tetapi  memiliki  kelemahan  yaitu  mudah  terjebak  ke  dalam  local  optima.  Hal  ini dikarenakan  adanya  faktor  pengambilan  pusat  cluster  yang  awalnya  random  sehingga terjadi inkonsistensi pada saat memulai FCM. Firefly Algorithm (FA) mampu mengatasi ketidak konsistenan dari FCM. Penelitian ini bertujuan untuk melihat performa dari Firely Algorithm  Fuzzy  C-Means  (FAFCM)  dengan  pendekatan  jarak  mahalanobis dibandingkan  dengan  jarak  euclidean.  Algoritme  FAFCM  ini  dibangun  dengan  2  jenis jarak  tersebut  untuk  mengakomodir  berbagai  jenis  persebaran  data.  FAFCM  memiliki performa yang lebih baik dikarenakan sebagian besar nilai iterasi dari FAFCM lebih kecil dari  FCM.  FAFCM  Mahalanobis  sendiri  menunjukan  nilai  fungsi  objektif  paling minimum  untuk  jenis  data  hyperspherical  sehingga  dapat  disimpullkan  FAFCM Mahalanobis cocok untuk data hyperspherical.
Kata kunci : Clustering, Fuzzy C-Means, Mahalanobis, Firefly Algorithm Optimization- Fuzzy C-Means .

## PENDAHULUAN
Clustering merupakan proses pengelompokan  data  sehingga  dapat memberikan informasi yang lebih bermanfaat. Metode clustering itu sendiri memiliki  beberapa  tipe  yang  dapat diklasifikasikan
sebagai
berikut hierarchical versus partitional , exclusives versus  overlapping  versus  fuzzy ,  dan complete  versus  partial [6]. Fuzzy Clustering memiliki  keunggulan  dalam pengelompokan.
Kemunculan
fuzzy clustering
dipicu
dengan adanya
ketidakpastian  dari clustering biasa  yang dipengaruhi  oleh noise (data-data  yang terlihat sumbang atau pencilan) dan fuzzy clustering bertujuan  membuat clustering lebih alami [8].
FCM  merupakan  salah  satu  metode dari  fuzzy  clustering.  FCM  sendiri
memang cukup populer digunakan dalam berbagai bidang aplikasi seperti MRI [7], image recognition [8], dan data clustering [11]. Namun kelemahan dari FCM adalah sering  kali  terperangkap  dalam  optimum lokal
dan inkonsistensi
akibat pengambilan  matriks  keanggotaan  awal yang dilakukan secara acak. Optimasi FCM dengan firefly algorithm (FA) yang  diperkenalkan  oleh Xin-she Yang mampu mengatasi kelemahan FCM yaitu seringnya terjebak dalam  optimum  lokal.  FA  mengatasi permasalahan FCM dengan mengkonsistenkan  pengambilan  matriks keanggotaan di awal. FA sendiri merupakan  algoritme  optimasi  yang mengikuti  pergerakan  kunang-kunang menuju kunang-kunang lainnya. Pada penelitian ini peneliti
menggunakan  2  ukuran  jarak.  Ukuran
jarak yang digunakan adalah Mahalanobis dan Euclidean. Penggunaan kedua ukuran jarak  ini  digunakan  untuk  mengatasi bentuk  data  yang  memiliki  persebaran hyperellipsoidal dan hyperspherical . Dengan  adanya  kedua  ukuran  jarak  ini FAFCM mnjadi bisa lebih fleksibel dalam melakukan pengelompokkan pada berbagai jenis data.
Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan perbandingan  antara  FAFCM  dengan FCM.  Parameter  FCM  yang  digunakan sebagai  pembanding  pada  kedua  metode akan ditentukan dengan beragai percobaan.  Setelah  dilakukan  berbagai percobaan  seluruh  hasil  dan  parameter akan  dilihat  mana  yang  paling  baik dengan  menggunakan  7  indeks  validitas. Ketujuh indeks validitas ini adalah indeks Partition  Coefficient  (PC),  Modified
Partition Coefficient (MPC),
Classification  Entropy  (CE),  Partition Index (PI), Fukuyama Sugeno Index (FS), dan Xie-Beni Index (XB).

## Fuzzy C-Means
Fuzzy  C-Means (FCM)  merupakan algoritma Fuzzy Clustering yang dikembangkan  oleh  Bezdek  pada  tahun 1981 [9]. FCM merupakan
pengembangan  dari hard  c-means oleh Dunn pada tahun 1973 [10]. Ukuran jarak yang digunakan adalah Euclidean. Berikut adalah fungsi objektif yang terdapat pada fuzzy C-Means:
𝑱 𝒘 (𝑼, 𝑨, 𝑿) = ∑ ∑(𝝁 𝒊𝒌 ) 𝒘 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 ) 𝒄 𝒌=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 ∑ 𝝁 𝒊𝒌 𝒄 𝒌=𝟏 = 𝟏
𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 ) =   (𝒙 𝒊 − 𝒂 𝒌 )  .  (𝒙 𝒊 − 𝒂 𝒌 )′
Dengan ketentuan :
𝑼 𝒏×𝒄 = [ 𝝁 𝟏,𝟏 𝝁 𝟐,𝟏 𝝁 𝟐,𝟏 𝝁 2,𝟐 ⋯ 𝝁 𝟏,𝒄 ⋯ 𝝁 𝟐,𝒄 ⋮ ⋮ 𝝁 𝒏,𝟏 𝝁 𝒏,𝟐 ⋱ ⋮ ⋯ 𝝁 𝒏,𝒄 ]
𝝁 𝒊𝒌 𝝐[𝟎, 𝟏] 𝑨 𝒄×𝒎 = [ 𝒂 𝟏,𝟏 𝒂 𝟏,𝟐 … 𝒂 𝟏,𝒎 𝒂 𝟐,𝟏 𝒂 𝟐,𝟐 … 𝒂 𝟐,𝒎
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝒂 𝒄,𝟏 𝒂 𝒄,𝟐 … 𝒂 𝒄,𝒎 ] 𝑿 𝒏×𝒎 = [ 𝒙 𝟏,𝟏 𝒙 𝟐,𝟏 ⋮ 𝒙 𝒏,𝟏 𝒙 𝟏,𝟐 𝒙 𝟐,𝟐 … … 𝒙 𝟏,𝒎 𝒙 𝟐,𝒎 ⋮ ⋱ … 𝒙 𝒏,𝟐 ⋯ 𝒙 𝒏,𝒎 ] 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ; 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒎 ; 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒄
𝑱 𝒘 (𝑼, 𝑨, 𝑿) Merupakan fungsi obyektif.  Dimana  fungsi  ini  akan menunjukan  seberapa  baiknya cluster itu terbentuk. 𝑼 merupakan  matriks  yang berisikan nilai keanggotaan setiap data. 𝑨 merupakan  pusat  cluster  yang  terbentuk. 𝑿 adalah data yang akan dilakukan proses FCM. 𝝁 𝒊𝒌 pada rumus diatas menunjukan nilai keanggotaan objek 𝒙 𝒊 pada cluster 𝒌 . Simbol 𝒄 menunjukan jumlah cluster yang ingin  dibentuk.  Simbol 𝒏 menunjukan banyaknya  jumlah  objek  pada  data. Jumlah  atribut  ditunjukan  dengan  simbol 𝒎 .  Tingkat  kekaburan  disimbolkan dengan 𝒘 .  Vektor  pusat  cluster  dapat dilihat  dengan  simbol 𝒂 𝒌 .  Vektor  baris data  ke- 𝒊 dapat  dilihat  dengan 𝒙 𝒊 .  Dan jarak
dilihat dengan simbol 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 {(𝑿) 𝒊. , (𝑨) 𝒌. } .
Proses  pengelompokan  akan  berakhir saat  ditemukan  kondisi  penghentian algoritma.  Kondisi  ini  penghentian  ada dua  yaitu  berupa  iterasi  maksimal ( 𝒊𝒕𝒆𝒓 𝒎𝒂𝒙 )  dan  maksimal  tingkat error ( 𝜺 𝒎𝒂𝒙 ) yang diinginkan. Tingkat error ( 𝜺 ) dilhat  dari 𝑼 pada  iterasi  terakhir  dan iterasi sebelumnya dengan rumus ( 𝜺 𝒊𝒕𝒆𝒓 = 𝐦𝐚𝐱 |𝑼 𝒊𝒕𝒆𝒓 − 𝑼 𝒊𝒕𝒆𝒓−𝟏 | ).
Berikut  adalah  tahapan  penghitungan yang dilakukan pada algoritma FCM [11] :
1. Tentukan parameter awal pengelompokan  yaitu  jumlah cluster 𝒄 , fuzzifier 𝒘 , dan syarat kondisi
penghentian iterasi ( 𝜺 𝒎𝒂𝒙 dan/atau 𝒊𝒕𝒆𝒓 𝒎𝒂𝒙 ) .
2. Bangkitkan pusat cluster pertama sebagai  inisiasi  dengan  cara random.
3. Hitunglah  matriks  keanggotaan dengan rumus 6.
4. Perbarui  nilai  pusat  cluster dengan rumus 7
5. Hitunglah error yang dihasilkan.
6. Cek  kondisi  syarat  penghentian algoritme.  Jika belum terpenuhi, ulangi  ke langkah 3-5.  Simbol 𝒕 pada rumus 6 menunjukan iterasi yang sudah dijalankan.
𝒂 𝒌 (𝒕) = {∑[𝝁 𝒊𝒌 (𝒕 − 𝟏)] 𝒘 𝒏 𝒊=𝟏 } −𝟏 .   ∑[𝝁 𝒊𝒌 (𝒕 − 𝟏)] 𝒘 𝒏 𝒊=𝟏 .   𝒙 𝒊 𝜇 𝒊𝒌 (𝒕) = [∑ ( 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 ) 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒍 ) ) 𝟐 𝒘−𝟏 𝒄 𝒍=𝟏 ] −𝟏

## Firefly Algorithm
Algoritme Firefly merupakan optimasi yang  diperkenalkan  oleh  Xin-She  Yang pada akhir 2007 di Cambridge University . Algoritme firefly ini  mengikuti  3  dasar sifat kunang-kunang yaitu [5] :
o Semua kunang-kunang merupakan unisex yang berarti kunang-kunang  tertarik  pada kunang-kunang  lain  bukan karena perbedaan sex
o Ketertarikan  setiap  kunang- kunang akan dipengaruhi oleh intensitas cahaya yang dihasilkan dan besarnya
pergerakan  dipengaruhi  oleh jauhnya  jarak  antar  kunang- kunang. Jika intensitas cahaya tidak  ada  yang  lebih  besar maupun  kecil  maka  kunang- kunang  akan  bergerak  secara random.
o Intensitas cahaya pada algoritme  kunang-kunang  ini adalah sebuah fungsi objektif. Sesuai  penjelasan  sifat-sifat  diatas yang menyatakan attractiveness (ketertarikan) setiap kunang-kunang dipengaruhi  oleh  jarak  dan  intensitas cahaya,  rumus attractiveness adalah sebagai berikut:
𝜷 = 𝜷 𝟎 𝒆 −𝜸𝒓 𝟐
Dimana 𝜷 𝟎 adalah attractiveness pada saat 𝒓 = 𝟎 .  Simbol 𝜸 pada  rumus.17 adalah  koefisien  penyerapan  cahaya. Intensitas 𝑰 cahaya  merupakan  fungsi objektif  yang  ada  (pada  optimasi  dapat diganti  dengan  fungsi  objektif  dari algoritme  yang  akan  di  optimasi). 𝑰 𝟎 adalah intensitas pertama pada iterasi = 0.
𝑰 = 𝑰 𝟎 𝒆 −𝜸𝒓 𝟐
Jarak 𝒓 merupakan ukuran jarak antara dua kunang-kunang dan ukuran jarak yang digunakan adalah ukuran jarak Euclidean.
𝒓 𝒊𝒋 = ||𝒇𝒂 𝒊 −   𝒇𝒂 𝒋 || atau √∑ ∑ (𝒇𝒂 𝒊 − 𝒇𝒂 𝒋 ) 𝟐 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏
Dimana 𝒇𝒂 𝒊𝒋 adalah  populasi  kunang- kunang  yang  diinisiasi.  Setiap  kunang- kunang  akan  bergerak  menuju  kunang- kunang  lainnya  dengan  menggunakan rumus pergerakan dibawah ini:
𝒇𝒂 𝒊 =   𝒇𝒂 𝒊 +  𝜷 = 𝜷 𝟎 𝒆 −𝜸𝒓 𝒊𝒋 𝟐 (𝒇𝒂 𝒊 −   𝒇𝒂 𝒋 ) +  𝜶 . 𝑵 𝒊 (𝟎, 𝟏) Penginisiasian  kunang-kunang  dapat dilakukan dengan rumus dibawah ini : 𝒇𝒂 𝒊𝒋 (𝟎) = (𝒖𝒃 𝒊 −   𝒍𝒃 𝒊 ) . 𝒓𝒂𝒏𝒅(𝟎, 𝟏) +   𝒍𝒃 𝒊 Pada algoritme optimasi rumus inisiasi sendiri dapat diubah sesuai dengan inisiasi algoritme  yang  akan  dioptimasi.  Nilai 𝜶 sendiri akan berubah-ubah sesuai dengan jumlah iterasi. Berikut adalah pergerakan nilai 𝜶 :
∆ = 𝟏 − 𝟏𝟎 −𝟒 /𝟎. 𝟗 𝟏 𝑴𝑨𝑿_𝑮𝑬𝑵
𝜶 (𝒕+𝟏) = 𝟏 −   ∆ . 𝜶 (𝒕) Pada rumus perubahan diatas
𝑴𝑨𝑿_𝑮𝑬𝑵 adalah  nilai  parameter  yang diinput oleh pengguna dimana iterasi akan dibatasi jumlahnya oleh parameter ini.
Firefly  Algorithm berjalan  dengan tahapan sebagai berikut:
1. Masukan  syarat  penghentian,  nilai gamma, dan nilai Attractiveness .
2. Bangkitkan populasi kunang-
kunang.
3. Hitunglah  nilai  alpha  yang  baru dengan rumus diatas eq.()
4. Setiap  kunang-kunang  yang  ada akan  dihitung  nilai  intensitasnya dengan  fungsi  objektif  rumus  (3). Kemudian  lihat  manakah  yang paling baik nilainya dan diurutkan
5. Hitunglah pergerakan setiap
kunang-kunang  dimana  kunang- kunang  akan  bergerak  menuju cahaya  kunang-kunang  yang  lebih terang. Pergerakan ini akan dihitung dengan rumus (20). Setelah dihitung pergerakannya
maka akan didapatkan populasi kunang-kunang yang baru.
6. Lihatlah  pada  kriteria  penghentian apakah  sudah  tercapai  atau  belum. Jika  belum  maka  kembali  ke  tahap no 3.

## Index Validitas
Selain menggunakan fungsi objektivitas  kita  juga  dapat  melihat seberapa baiknya
sebuah metode pengelompokan  dengan  indeks  validitas. Pada  penelitian  ini  akan  digunakan  7 index validitas yaitu Partition Coefficient (PC), Classification Entropy (CE), Modified  Partition  Coefficient (MPC), Partition  Index (PI), Fukuyama  Sugeno (FS), Xie-Beni (XB), dan Kwon. Ketujuh index  validitas  ini  nantinya  digunakan untuk  menentukan  parameter  fuzzifier yang  digunakan  untuk  perbandingan metode.  Berikut  adalah  penjelasan  setiap index  validitas  beserta  kegunaan  setiap indeks validitas
 Partition Coefficient (PC)
PC  merupakan  indeks  validitas  yang dibuat  oleh  [9]  dimana  berfungsi  untuk tingkat  tumpang  tindih  antar- cluster . Berikut adalah rumus dari PC:
𝑷𝑪 = 𝟏 𝒏 ∑ ∑(𝝁 𝒊𝒌 ) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏
(Wu  &  Yang,  2005).  Rentang  nilai yang  dimiliki  adalah 𝟏 𝒄 ≤ 𝑷𝑪 ≤ 𝟏 . Semakin besar nilai PC maka hasil cluster yang dibentuk semakin baik
 Classification Entropy (CE)
Begitu  juga  dengan  PC,  CE  juga diperkenalkan oleh Bezdek (1981).
Fungsinya mirip dengan PC untuk melihat tingkat  tumpang  tindih  antar- cluster . Berikut adalah rumus dari CE:
𝑪𝑬 = − 𝟏 𝒏 ∑ ∑ 𝝁 𝒊𝒌 . 𝐥𝐧(𝝁 𝒊𝒌 ) 𝒏 𝒊=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏
(Wu  &  Yang,  2005).  Rentang  nilai yang  dimiliki 𝑪𝑬 adalah 𝟎 < 𝑪𝑬(𝒄) < 𝐥𝐧(𝒄) . Nilai yang semakin kecil membentuk cluster yang baik.
 Modified Partition Coefficient MPC
Dilihat  dari  rumus  PC  dan  CE  yang digunakan  dapat  dikatakan  nilai  akan menjadi  monoton  dikarenakan  tidak adanya  penimbang  jumlah cluster [4]. Maka  dibuatlah  MPC  oleh  [12].  Berikut adalah rumus MPC:
𝑴𝑷𝑪 = 𝟏 − 𝒄 𝒄 − 𝟏 (𝟏 − 𝑷𝑪)
Rentang  nilai  yang  dimiliki 𝟎 ≤ 𝑴𝑷𝑪 ≤ 𝟏 dan  semakin  besar  nilai  MPC akan  menghasilkan cluster yang  lebih baik.
 Partition Index (PI)
Indeks  ini  berfungsi  untuk  melihat rasio  antara  jumlah  kepadatan  dan pemisahan  antar- cluster [1].  PI  berguna untuk  membandingkan  beberapa  proses clustering yang  memiliki  ukuran cluster yang sama.
𝑷𝑰 = ∑ ∑ (𝝁 𝒊𝒌 ) 𝒘 . 𝒏 𝒊=𝟏 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝑎 𝒌 ) 𝒏 𝒊 .  ∑ {𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒂 𝒍 , 𝒂 𝒌 )}
𝒄 𝒍= 𝒄 𝒌=𝟏
Semakin  kecil  nilai  PI,  semakin  baik partisi cluster yang dibuat.
 Fukuyama Sugeno
Indeks ini diperkenalkan oleh
Fukuyama  dan  Sugeno  pada  tahun  1989. Fungsi  dari  indeks  validitas  FS  adalah sebagai berikut [4] :
𝑭𝑺 = 𝑱 𝒘 (𝑼, 𝑨, 𝑿) − 𝑲 𝒘 (𝑼, 𝑨, 𝑿)
𝑭𝑺
= ∑ ∑(𝝁 𝒊𝒌 ) 𝒘 {𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 )} 𝒏 𝒊=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏 − ∑ ∑(𝝁 𝒊𝒌 ) 𝒘 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒂 𝒌 , 𝒂 ̅) 𝒏 𝒊=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏 Nilai  indeks 𝑭𝑺 semakin  besar  maka menghasilkan cluster semakin baik.
 Xie-Beni
Xie-Beni menghitung  ke  validitasan
proses
clustering adalah dengan
membandingkan  antara  kepadatan  dan keterpisahan  pada  sebuah clustering berikut adalah rumus Xie-Beni [3] :
𝑿𝑩 = ∑ ∑ (𝝁 𝒊𝒌 ) 𝟐 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 ) 𝒏 𝒌=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏 𝒏 .  𝐦𝐢𝐧 𝒌𝒍 {𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒂 𝒌 , 𝒂 𝒍 )} Semakin  besar  nilai 𝑿𝑩 maka  hasil clustering semakin baik [4].
 Kwon
Indeks  ini  dikembangkan  oleh  [2]. Indeks  ini  digunakan  untuk  mengatasi kecendrungan  beberapa  indeks  validitas yang cenderung monoton turun mengikuti jumlah  banyaknya cluster dan fuzzifier . Indeks ini merupakan modifikasi dari XB dengan  adanya  pertimbangan  nilai  dari data.
𝑲𝒘𝒐𝒏
= ∑ ∑ (𝝁 𝒊𝒌 ) 𝟐 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒙 𝒊 , 𝒂 𝒌 ) 𝒏 𝒊=𝟏 𝒄 𝒌=𝟏 + 𝟏 𝒄 ∑ 𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒂 𝒌 , 𝒂 ̅) 𝒄 𝒌=𝟏 𝐦𝐢𝐧 𝒌𝒍 {𝒅𝒊𝒔𝒕 𝟐 (𝒂 𝒌 , 𝒂 𝒍 )} 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ̅ = ∑ 𝒙 𝒊 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏
Semakin kecil nilai Kwon maka semakin baik partisi cluster yang dihasilkan.

## METODE PENELITIAN
Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data  yang  digunakan  adalah  data bangkitan dengan sebaran data hyperellipsoidal  dan  Hyper  spherical. Kedua data ini diperoleh dari software R melalui  fungsi  ‘rnorm’  pada  package stat(norm{stat}) untuk data hyperellipsoidal  dan  fungsi  ‘runif’  unutk data  hyper  spherical.  Jumlah  data bangkitan yang digunakan adalah sebanyak 200 observasi dengan 2 variabel dan 4 variabel.

## Metode Analisis
Metode  yang  akan  digunakan  adalah FAFCM  dan  FCM  dengan  kedua  ukuran jarak.  Adapun  metode  FAFCM  adalah sebagai berikut:
Firefly  Algorithm  optimization  –  Fuzzy C-Means (FAFCM) FAFCM dikatakan memiliki optimisasi yang  bagus  untuk  menghindari  lokal optimum dimana seorang pengguna pasti ingin mendapatan global optimum, hal ini membuat FCM yang sering terjebak pada lokal  optima  menjadi  kekurangan  yang cukup  kerap  terjadi.  Janmenjoy  Nayak,
dkk melakukan penelitian dan mengembangkan FCM dengan melakukan  optimasi  terlebih  dahulu dengan  algoritme firefly .  Penelitian tersebut  menghasilkan  hasil  yang  baik bahkan  nilai  fungsi  obyektif  yang dihasilkan  lebih  dibandingkan  opimasi lainnya  seperti  PSO-FCM  maupun  FCM itu  sendiri  [11] . Pada  penelitian  ini  pun akan  menggunakan  algoritma  yang  telah dikembangkan  oleh  Janmenjoy  Nayak, dkk  serta  terdapat  penambahan  pada penentuan jarak. Pada penelitian ini akan ditambahkan penentuan jarak
menggunakan jarak Mahalanobis.
Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan proses penentuan titik dan jumlah centroid dengan  menggunakan  FA  dimana  hasil terbaik  ( global  best ) centroid akan digunakan sebagai titik cluster pada FCM, sehingga  FCM  tidak  akan  melakukan penentuan centroid secara  acak.  Berikut
adalah  tahapan  melakukan  analisis  data menggunakan FAFCM:
Tahapan pertama (Firefly)
1. Menginput parameter: a. Data yang
akan dilakukan pengelompokan  (data  bangkitan,
data  iris,  data single  outlayer, data Pendidikan)
b. Jumlah fireflies yang diinginkan
c. Nilai attractiveness ( 𝜷 0 ) d. Nilai Light  absorption  coefficient ( 𝜸 )
e. Kriteria  error  untuk  menghentikan proses atau jumlah iterasi maksimal
2. Membangkitkan  n firefly secara random  dengan  setiap  “C” cluster dan “d” dimensi
3. Melakukan  iterasi  hingga  kriteria error tercapai:
a. Tentukan  nilai  intensitas  cahaya dari setiap fireflies menggunakan fungsi tujuan dari FCM. 𝑰 𝒊
b. Hitung  nilai  ketertarikan  dari setiap fireflies . 𝜷 𝒓 c. Dekatkan fireflies dari firefly yang  bercahaya  lebih  redup menuju firefly dengan  cahaya lebih terang menggunakan rumus pergerakannya. Urutkan peringkat dari setiap
fireflies,  gunakan fireflies terbaik dengan nilai  error  sesuai  kriteria  dan  perbaharui nilai  intensitas  cahaya  untuk  dilakukan pengulangan selanjutnya.
Tahapan kedua (FCM)
1. Setelah mendapatkan optimum global cluster dengan metode firefly maka  dapat  kita  gunakan  centroid setiap cluster yang akan kita gunakan sebagai centroid pada FCM. (anggap ini sebagai centroid pada iterasi 𝒃 = 0)
2. Lakukan  iterasi  dibawah  ini  dan hentikan  iterasi  jika || 𝑷 (𝒃+𝟏) − 𝑷 (𝒃) || < 𝜺 FCM:
a. Hitung matriks partisi 𝑾 𝒃 b. Lakukan pembaharuan centroid 𝑷 (𝒃+𝟏)
3. Hasil akan berupa cluster. Metode Analisis
1. Melakukan pencarian parameter untuk membandingkan kedua metode dengan indeks validitas
2. Membandingkan  metode  FAFCM dan FCM

## HASIL PENELITIAN
1. Pengelompokan  data  bangkitan  200
observasi 2 variabel Pengelompokan dilakukan dengan analisis FAFCM sama seperti 20
observasi  yaitu  dilakukan  sebanyak  lima kali  untuk  setiap  parameter cluster dan fuzzifier .  Setelah  melakukan  lima  kali percobaan akan diambil nilai rata-rata dari indeks validitas.
Tabel  1. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis FAFCM beserta indeks validitas data bangkitan  200  hyperellipsoidal  sejumlah  2
variabel dengan jarak Euclidean C 2 5 5 5 m 1,5 1,5 1,6 4 PC 0,886 0,832 0,779 0,274 MPC 0,773 0,79 0,724 0,093 CE 0,199 0,334 0,442 1,458 XB 0,207 0,195 0,172 0,01 FS -13,8 -144 -133,1 -6 PI 0,414 0,091 0,086 0,005 Kwon  38,084  32,467  28,373  60,447
Tabel  2. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis FAFCM beserta indeks validitas data bangkitan  200  hyperellipsoidal  sejumlah  2 variabel dengan jarak Mahalanobis
C 2 4 5 5 5 m 1,5 1,5 1,5 2 4 PC 0,914 0,89 6 0,88 5 0,67 3 0,28 MP C 0,829 0,86 1 0,85 6 0,59 1 0,1 CE 0,155 0,20 4 0,22 3 0,68 1,44 4 XB 1,017 0,36 4 0,24 1 0,17 0,01 7 FS 147,3 5 - 102, 64 - 143, 16 - 99,3 14 - 4,78 7
PI 1,873 0,16 8 0,09 8 0,07 1 0,00 7 Kwo n 177,2 57 63,9 09 42,1 74 35,1 62 97,8 85
Tabel  3. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis FAFCM beserta indeks validitas data bangkitan  200  hyperspherical  sejumlah  2 variabel dengan jarak Euclidean C 2 5 2 2 5 m 1,5 1,5 2 4 4 PC 0,94 7 0,81 5 0,84 0,59 8 0,269 MP C 0,89 4 0,76 8 0,68 0,19 6 0,087 CE 0,09 8 0,35 8 0,27 6 0,58 9 1,458 XB 0,10 6 0,30 7 0,09 2 0,03 3 0,053 FS - 499, 6 - 810, 1 - 439, 1 - 129, 7 - 34,26 2 PI 0,21 3 0,09 7 0,18 3 0,06 5 0,005 Kwo n 20,2 48 51,3 06 18,6 01 30,3 63 319,1 45
Tabel  4 .  Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis  FAFCM  beserta  indeks  validitas  data bangkitan  200  hyperspherical  sejumlah  2 variabel dengan jarak Mahalanobis
C 2 4 5 2 5 m 1,5 1,5 1,5 1,7 4
PC 0,86 5 0,85 5 0,83 8 0,80 4 0,256 MP C 0,73 0,80 7 0,79 8 0,60 7 0,069 CE 0,22 7 0,28 8 0,32 5 0,32 1,492 XB 0,06 2 0,16 1 0,22 1 0,06 0,017 FS - 567, 6 - 887, 94 - 933, 62 - 496, 86 - 28,19 2 PI 0,25 5 0,10 9 0,10 1 0,26 1 0,006 Kwo n 10,9 05 29,1
77
40,1 69 10,7 02 101,5 62 2. Pengelompokan  data  bangkitan  200 observasi 4 variabel
Pengelompokan  dilakukan  dengan analisis  FAFCM  sama  seperti  200 observasi  dengan  2  variabel  maka penelitian  dilakukan  sebanyak  lima  kali
untuk  setiap  parameter cluster dan fuzzifier .  Setelah  melakukan  lima  kali percobaan akan diambil nilai rata-rata dari indeks  validitas  yang  dihasilkan.  Dari seluruh  nilai  indeks  validitas  yang dihasilkan  maka  akan  ditampilkan  setiap parameter  jumlah  cluster  dan  fuzzifier dengan  minimal  satu  indeks  validita adalah  yang  terbaik.  Setelah  itu  dilihat manakah  parmeter  yang  yang  memiliki nilai indeks validitas terbaik dan terbanyak.  Setelah  didapatkan  parameter tersebut maka
akan dilakukan perbadingan antar metode.
Tabel  5. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis  FAFCM  beserta  indeks  validitas  data bangkitan  200  hyperellipsoidal  sejumlah  4 variabel dengan jarak Euclidean
C 2 4 5 4 4 5 M 1,5 1,5 1,5 1,8 4 4
PC 0,8 9 0,8 61 0,8 44 0,7 13 0,29 8 0,242 MP C 0,7 79 0,8 14 0,8 05 0,6 17 0,06 4 0,052 CE 0,1 94 0,2 76 0,3 12 0,5 72 1,29 9 1,518 XB 0,3 48 0,1 68 0,2 36 0,1 49 0,02 4 0,03 FS 63, 21 - 164 - 196 - 129 - 2,75 - 2,263 PI 0,6 95 0,1 48 0,1 09 0,1 26 0,01 4 0,007 Kw on 59, 6 28, 9 39, 8 26, 41 85,6 87 169,6 97
Tabel  6. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis  FAFCM  beserta  indeks  validitas  data bangkitan  200  hyperellipsoidal  sejumlah  4 variabel dengan jarak Mahalanobis
C 2 5 5 5 W 1,5 1,5 2 4 PC 0,744 0,597 0,318 0,2 MPC  0,488 0,496 0,147 4,03E- 09 CE 0,404 0,814 1,364 1,609 XB 1,313 4,705 9,113 2,05E+0 7 FS 444,22 159,73 112,29 6,368 PI 1,032 0,341 0,279 Inf Kwo n 207,65 9 598,75 1 1830,15 7 1,03E+1 1
Tabel  7. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis  FAFCM  beserta  indeks  validitas  data bangkitan  200  hyperspherical  sejumlah  4 variabel dengan jarak Euclidean C 2 3 2 2 4 W 1,5 1,5 1,9 4 4 PC 0,96 7 0,815 0,87 0,58 2 0,291 MP C 0,93 4 0,723 0,74 0,16 5 0,055 CE 0,07 2 0,317 0,24 1 0,60 7 1,301 XB 0,10 6 1,34 0,09 8 0,03 6 4,10E+ 07 FS - 1008 , - 1276, 7 - 873, 4 - 173, 4 - 21,685 PI 0,21 3 0,192 0,19 7 0,07 3 0,009 Kw on 20,6 82 236,7 01 19,3 76 33,7 43 1,53E+ 13
Tabel  8. Parameter  cluster  dan  fuzzifier  pada analisis  FAFCM  beserta  indeks  validitas  data bangkitan 200 hyperspherical sejumlah 4 variabel dengan jarak Mahalanobis C 2 5 5 W 1,5 1,5 1,9 PC 0,731 0,587 0,348 MPC 0,461 0,483 0,185 CE 0,421 0,837 1,307 XB 0,113 0,565 0,65 FS -455,571 -852,832 -280,926 PI 0,497 0,251 0,222 Kwon 17,962 74,565 117,07
Dari seluruh percobaan diatas maka nilai parameter  fuzzifier  yang  terbaik  adalah 1,5  penelitian  akan  dilanjutkan  dengan melihat  nilai  iterasi  dan  Jm  dengan menggunakan  parameter  fuzzifier  1,5 pada  setiap  metode  dan  data  bangkitan berikutnya  akan  dilakukan  perbandingan metode antara FAFCM dan FCM berikut dengan kedua ukuran jarak yang digunakan. Perbandingan ini menggunakan  parameter  fuzzifier  1,5 sesuai  dengan  uji  coba  data  sebelumnya. Untuk parameter
cluster sendiri digunakan jumlah 2 hingga 5 cluster untuk melihat setiap nilai Jm yang terdapat pada
pembentukan  2  hingga  5  cluster  dengan parameter fuzzifier 1,5.
Tabel  9. Jm  keempat  metode  pada  data hyperellipsoidal  200  observasi  dengan  2 variabel Cluster 2 3 4 5 Jm FAFCM 113,19 0 80,97 5 57,247 5 41,788 7 Jm FCM 113,19 0 81,23 5 57,650 2 41,789 6 Jm FAFCM Mahalanob is 191,97 7 122,4 6 68,411 2 51,545 4 Jm FCMCM 33,67 22,63 6 42,445 23,929 8
Tabel  10. Iterasi  keempat  metode  pada  data hyperellipsoidal  200  observasi  dengan  2 variabel Iterasi FAFCM 14, 8 90 97, 4 10 1 Iterasi FCM 19, 2 87, 2 10 1 97, 2 Iterasi FAFCM Mahalanobis 17 40, 6 24, 6 49, 6 Iterasi FCMCM 17, 4 18 51, 8 31, 2 Tabel  11. Jm  keempat  metode  pada  data hyperspherical 200 observasi dengan 2 variabel Cluster 2 3 4 5 Jm FAFCM 393,53 0 292,00 1 219,0 79 173, 55 Jm FCM 393,53 0 296,21 2 219,0 89 173, 55 Jm FAFCM Mahalano bis 212,54 7 126,57 7 86,90 76 70,0 65 Jm FCMCM 399,54 3 291,23 8 184,7 33 145, 35 Tabel  12. Iterasi  keempat  metode  pada  data hyperspherical 200 observasi dengan 2 variabel Cluster 2 3 4 5 Iterasi FAFCM 7,8 78, 6 91, 4 51, 2 Iterasi FCM 10 79, 6 88, 2 51, 2 Iterasi FAFCM Mahalanobis 20, 4 33, 8 34, 2 73, 6 Iterasi FCMCM 26 44, 6 68, 6 54, 8
Tabel 13. Jm keempat metode pada data hyperellipsoidal 200 observasi dengan 4 variabel Cluster 2 3 4 5 Jm FAFCM 191,301 09 123,5 35 80,41 7 64,04 24 Jm FCM 191,301 09 123,5 42 80,41 7 64,04 24 Jm  FAFCM Mahalanobis 529,289 22 416,9 19 345,4 5 298,8 70 Jm FCMCM 191,301 09 123,5 35 80,41 7 64,04 24 Tabel  14. Iterasi  keempat  metode  pada  data hyperellipsoidal 200 observasi dengan 4 variabel Cluster 2 3 4 5 Iterasi FAFCM 23, 6 65, 8 35, 2 39, 2 Iterasi FCM 26, 4 78, 2 38, 8 41, 6 Iterasi FAFCM Mahalanobis 23, 8 68 84 83, 8 Iterasi FCMCM 31 81, 2 44 43, 2 Tabel 15. Jm keempat metode pada data hyperspherical 200 observasi dengan 4 variabel Cluster 2 3 4 5 Jm FAFCM 775,10 77 643, 48 522, 37 464,81 409 Jm FCM 775,10 77 643, 48 522, 37 464,81 411 Jm FAFCM Mahalano bis 533,05 42 422, 36 349, 302,74 520 Jm FCMCM 903,15 86 737, 42 638, 62 571,19 166 Tabel 16. Iterasi keempat metode pada data hyperspherical 200 observasi dengan 4 variabel Cluster 2 3 4 5 Iterasi FAFCM 6,2 62, 2 65, 4 93 Iterasi FCM 8,8 82, 4 73, 6 95, 6 Iterasi FAFCM Mahalanobis 23, 4 80, 4 82, 4 78, 8 Iterasi FCMCM 10 1 10 1 10 1 10 1
Pada  penelitian  ini  dilakukan  uji  coba pada setiap parameter jumlah cluster [2:5] dan  fuzzifier  [1,5:4  dengan  pertambahan 0,1]  dengan  mengulang  setiap  set parameter  sebanyak  5  kali  dan  merata- ratakan  nilai  indeks  validitas  dari  setiap
perulangan.  Setelah  dilakukan  uji  coba pada  seluruh  persebaran  data  bangkitan fuzzifier  yang  terbaik  digunakan  untuk persebaran  ini  adalah  1,5.  Parameter fuzzifier 1,5 selanjutnya dijadikan sebagai parameter  fuzzifier  pada  setiap  metode dengan jumlah cluster 2 hingga 5.
Secara keseluruhan iterasi yang dihasilkan  oleh  FAFCM  memiliki  iterasi yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan jumlah iterasi yang digunakan pada FCM namun  masih  terdapat  iterasi  dengan jumlah  lebih  besar  disbanding  dengan FCM.  Pada  tabel  12  iterasi  FCM  lebih kecil pada pembentukan cluster 4 namun Jm  yang  dihasilkan  oleh  FAFCM menunjukkan  nilai  yang  lebih  kecil dibandingkan  dengan  FCM.  Begitu  juga dengan  tabel  10  dimana  nilai  Iterasi FAFCM  menunjukkan  nilai  yang  lebih kecil  dibandingkan  dengan  FCM  namun memiliki  nilai  Jm  yang  lebih  baik dibandingkan  dengan  FCM.  Dengan melihat tabel-tabel diatas dapat disimpulkan  bahwa  FAFCM  mampu menemukan  global  optimum  lebih  cepat dibandingkan  dengan  FCM  dan  FAFCM mampu  menemukan  nilai  Jm  lebih  kecil yang  berarti  mampu  mendapatkan  letak global  optimum  dan  membuktikan  FCM dapat terjebak pada local optimum.
Pada  FAFCM  mahalanobis  nilai  Jm pada  data  Hyperellpsoidal  menunjukkan nilai paling besar dan nilai Jm yang paling minimum pada data Hyperspherical. Pada tabel  16  nilai  Jm  yang  dihasilkan  adalah paling  minimum  dan  begitu  juga  dengan nilai iterasinya. Penelitian ini menunjukan bhwa  FAFCM  Mahalanobis  lebih  cocok pada data  yang memiliki persebaran data Hyperspherical.  Pada  tabel  16  FAFCM Mahalanobis bahkan mampu menemukan nilai  Jm  paling  minimum  dengan  iterasi yang  paling  minimum  diantara  metode lainnya.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  penjelasan  sebelumnya dapat  disimpulkan  FAFCM  mampu menemukan  lokasi  global  optima  lebih cepat.  FAFCM  juga  mampu  menemukan nilai Jm lebih kecil dibandingkan dengan FCM  ini  menunjukan  bahwa  FAFCM mampu menemukan global optimum dan membuktikan bahwa FCM dapat terjebak pada local optima. Untuk perbedaan jarak dengan  perbedaan  persebaran  data  dapat disimpulkan bahwa FAFCM Mahalanobis menunjukkan  nilai  Jm  yang  lebih  kecil diantara  metode  lainnya  serta  memiliki iterasi  yang  cenderung  lebih  singkat dibandingkan dengan metode lainnya.

## SARAN
FAFCM memiliki pergerakan randomisasi  yang  dapat  diatur.  Pada peneilitian peneliti menggunakan pergerakan randomisasi dengan distribusi uniform. Pada bukunya Xin-She Yang mengatakan bahwa pergerakan randomisasi  pada  FAFCM  dapat  diganti dengan berbagai macam distribusi. Peneliti  menyarankan  untuk  melihat perilaku algoritme firefly terhadap perbedaan persebaran data yang disesuaikan dengan pergerakan randomisasi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Abonyi  ,  J.,  &  Feil,  B.  (2010). Cluster Analysis  for  Data  Mining  and  System Identification. Boston,  Berlin,  Jerman:
Springer. Retrieved Februari 6, 2016
[2] Kwon, S. H. (1998, Oktober 29). Cluster Validity  Index  for  Fuzzy  Clustering.
Electronics Letters , 2176–2177.
doi:10.1049/el:19981523
[3] Muranishi, M., Honda, K., & Notsu, A.
(2014).  Xie-Beni-Type  Fuzzy  Cluster Validation  in  Fuzzy  Co-clustering  of Documents  and  Keywords  . Soft
Computing  in  Artificial  Intelligence , 29-38.
[4]  Wu,  K.-L.,  &  Yang,  M.-S.  (2005).  A Cluster  Validity  Index  for  Fuzzy Clustering. Pattern Recognition Letters 26 , 1275-1291.
[5] Yang, X.-S. (2014). Cuckoo Search and Fireﬂy Algorithm. New York: Springer.
[6] Tan, P.-N., Steinbach, M., & Kumar, V. (2006).  Introduction  to  Data  Mining. London: Pearson
[7]  Rajendran,  A.,  &  Dhanasekaran,  R. (2012). Brain Tumor Segmentation on MRI  Brain  Images  with  Fuzzy Clustering and GVF Snake Model. Int J Comput Commun, 530-539.
[8] Hoppner, F., Klawonn, F., Kruse, R., & Runkler,  T.  (2000).  Fuzzy  Cluster
Analysis  :  Method  for  Classification, Data Analysis, and Image Recognition. New York: Wiley. [9] Bezdek, J. C. (1981). Pattern
Recognition  with  Fuzzy  Objective Function  Algorithm.  New  York: Plenum  Press.  doi:  10.1007/978-1- 4757-0450-1.
[10]  Liu,  H.-C.,  Jeng,  B.-C.,  Yih,  J.-M.,  &
Yu,  Y.-K.  (2009).  Fuzzy  C-Means Algorithm Based on Standard Mahalanobis  Distances.  Proceedings of  the  2009  International  Symposium on  Information  Processing  (ISIP'09) (pp. 422427). Huangshan, P. R. China: Academy Publisher. Retrieved Februari 7, 2016. [11] Nayak, J., Nanda, M., Nayak, K., Naik,
B.,  &  Behera,  H.  S.  (2014).  An Improved  Firefly  Fuzzy  C-Means (FAFCM)  Algorithm  for  Clustering Real  World  Data  Sets.  Advanced Computing and Informatics, Networking and Informatics – Volume 1 (ICACNI-2014), 354-363.
[12]  Dave,  R.N.,  1996.  Validating  Fuzzy Partition  Obtained  Through  C-Shells Clustering.  Pattern  Recognition  Lett. 17, 613-623