Opsi
e-ISSN 2686-2352
Fuzzy  EPQ  Model  Considering  Demand  Uncertainty,  Imperfect Quality, and Backorder: A Case Study in a Goat Milk SMEs
Model  EPQ  Fuzzy  yang  Mempertimbangkan  Ketidakpastian Permintaan,  Kualitas  Produk,  dan  Backorder  pada  UMKM Pengolahan Susu Kambing
Puryani 1 , Laila Nafisah 1* , Nuansa Indriya Pramasthi 1 , Apriani Soepardi 1 , Mohammad Chaeron 1
email: laila@upnyk.ac.id doi: https://doi.org/10.31315/opsi.v15i2.7574
Received: 10 th August 2022; Revised: 23 rd December 2022; Accepted: 25 th December 2022; Available online: 30 th December 2022; Published regularly: December 2022

## ABSTRACT
Goat milk powder is one of the perishable processed products. The decreasing quality of goat milk powder can cause financial losses to the company if not regulated properly . So far, the company is also faced with the problem of  consumer demand  uncertainty.  When  demand  for  powdered  goat's  milk  is  high,  the  company  experiences stockout but can be overcome by backorder. When demand is low, there will be overstock. Overstock conditions, in addition to causing high holding costs, are also at risk of product quality degradation or expiration. In this study, an inventory model of g oat milk powder was developed that considers the uncertainty of demand, product quality, and backorder to determine the optimal production quantity so that the total inventory cost incurred is minimum. The basic model used is economic production quantity. Uncertainty in demand and the percentage of products declining in quality is approached using a triangular fuzzy. While the defuzzification technique used is signed distance.

## Keywords: inventory model, fuzzy logic, quality, backorder

## ABSTRAK
Susu bubuk kambing merupakan salah satu produk olahan yang mudah rusak. Penurunan kualitas susu kambing bubuk dapat menimbulkan kerugian bagi perusahaan jika tidak diatur dengan tepat. Selama ini, perusahaan juga dihadapkan pada masalah ketidakpastian permintaan konsumen. Ketika permintaan susu kambing bubuk tinggi perusahaan mengalami stockout, namun dapat diatasi secara backorder. Sebaliknya  ketika permintaan rendah, makan akan terjadi overstock.  Ketika kondisi overstock  selain menimbulkan biaya simpan tinggi juga  berisiko produk  akan  mengalami  penurunan  kualitas  atau  kedaluwarsa  Pada  penelitian  ini  dikembangkan  model persediaan  susu  bubuk  kambing  yang  mempertimbangkan  ketidakpastian  permintaan,  kualitas  produk,  dan backorder  dengan  tujuan  untuk  menentukan  kuantitas  produksi  optimal  agar  total  biaya  persediaan  yang ditimbulkan  minimum.  Model  dasar  yang  digunakan  adalah  economic  production  quantity.  Ketidakpastian permintaan  dan persentase produk yang menurun kualitasnya didekati dengan menggunakan triangular fuzzy. Sedangkan teknik defuzzifikasi yang digunakan adalah signed distance.
Kata Kunci: model persediaan, logika fuzzy, kualitas, backorder

## 1. PENDAHULUAN
Kambing  etawa  adalah  kambing  yang didatangkan dari India yang juga disebut sebagai kambing  jamnapari.  Kambing  etawa  mampu
menghasilkan  susu  hingga  3  liter  per  hari. Keturunan  silangan  (hibrida)  kambing  etawa dengan kambing lokal dikenal sebagai kambing “Peranakan  Etawa”  atau  “PE”.  Kambing  PE berukuran  hampir  sama  dengan  etawa  namun
1 Department of Industrial Engineering, Faculty of Industrial Engineering Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Yogyakarta, Jl. Babarsari No. 2 Tambakbayan Yogyakarta, Indonesia, 55282
Opsi
lebih  adaptif  terhadap  lingkungan  lokal Indonesia.  Kambing  Peranakan  Etawa  (PE) merupakan  salah  satu  kambing  perah  yang cukup  potensial  sebagai  penyedia  protein hewani  (Widodo  et  al.,  2012).  Produksi  susu kambing  PE  berkisar  antara  0,5-0,7  liter/ ekor/hari  (Zurriyati  et  al.,  2011).  Peternakan kambing  PE  di  Yogyakarta  berpusat  di  daerah Girikerto,  Turi,  Sleman.  Di  daerah  tersebut terdapat  lebih  dari  100  peternak  kambing  PE. Setiap harinya para peternak memerah susu dan mengirimkannya ke beberapa tempat pengolahan susu kambing etawa terdekat.
Etawa  Agro  Prima  adalah  salah  satu UMKM  yang  bergerak  di  bidang  pengolahan susu kambing Etawa segar menjadi susu bubuk. Susu kambing bubuk yang dihasilkan memiliki aneka  rasa  seperti  rasa  stroberi,  vanila,  coklat, serta  jahe.  Etawa  Agro  Prima  telah  berhasil memasarkan produknya ke berbagai daerah dan memiliki  beberapa  agen  di  Indonesia.  Daerah pemasarannya  meliputi  Jakarta,  Semarang, Surabaya, Bali, hingga Sumatera.
Kebijakan  yang  digunakan  oleh  Etawa Agro Prima yaitu menerima berapapun volume pasokan susu kambing segar dari para peternak. Berdasarkan  hasil  penelitian  derajat  asam  dan total  bakteri E.  coli yang  dilakukan  oleh Manuama  dkk  (2014),  menunjukkan  bahwa susu  kambing  segar Peranakan  Etawa  hanya dapat bertahan pada jam ke-2 pada penyimpanan suhu ruang. Oleh karena itu, untuk menghindari terjadinya penurunan kualitas yang dikarenakan susu  kambing  segar  bersifat  mudah  rusak ( perishable ),  maka  berapapun  volume  susu kambing  segar  yang  dipasok  akan  langsung diproses menjadi susu bubuk. Volume pasokan susu  kambing  segar  dari  para  peternak  tidak dapat  dipastikan,  terkadang  sedikit  terkadang cukup  melimpah.  Sehingga  berdampak  pada tidak pastinya tingkat ketersediaan produk susu bubuk yang dihasilkan.
Di  sisi  lain  permintaan  terhadap  susu kambing  bubuk  produksi  Etawa  Agro  Prima bersifat  fluktuatif.  Ketika  permintaan  tinggi, seringkali terjadi kekurangan persediaan ( stockout ),  sedangkan  ketika  permintaan  turun seringkali  terdapat  sisa  produk  yang  cukup banyak ( overstock ). Adanya faktor
ketidakpastian  bahan  baku  susu  segar  dan permintaan  produk  susu  bubuk  menyebabkan permasalahan menjadi cukup kompleks,
Pada saat status produk stockout , permintaan  akan  dipenuhi  secara backorder , sedangkan  pada  kondisi overstock selain menimbulkan  biaya  simpan  yang  tinggi  juga akan  berisiko  produk  mengalami  penurunan kualitas  atau  kedaluwarsa.  Selama  ini,  susu bubuk  yang  kualitasnya  kurang  baik  akan dimanfaatkan  untuk  bahan  campuran  produk lainnya atau dibuang, dan pasti akan menimbulkan kerugian bagi Etawa Agro Prima. Jika  permasalahan  ini  terus  saja  terjadi  dan dibiarkan,  maka  dikhawatirkan  akan  semakin besar kerugian yang dialami pihak Etawa Agro Prima.  Oleh  karena  itu  perlu  dicarikan  solusi mengenai  kebijakan  pengendalian  persediaan produk  susu  kambing  bubuk  di  Etawa  Agro Prima  yang  optimal  agar  biaya  dan  risiko kerugian yang mungkin timbul dapat diminimasi dan  tetap  menjaga  ketersediaan  produk  untuk memenuhi permintaan pelanggan.
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan  untuk  menentukan  berapa  kuantitas produksi  optimal  dalam  suatu  sistem  produksi adalah  model economic  production  quantity (EPQ). Model EPQ dipilih karena kesederhanaannya.  Sebagian  besar  industri hingga  saat  ini  masih  menerapkan  model  ini. Banyak para peneliti yang melakukan pengembangan  model  EPQ  untuk  kasus-kasus yang  lebih  kompleks  (Jawla  &  Singh,  2016). Pengembangan  model EPQ begitu luas mencakup  kondisi  produk  multi  item,  adanya kebijakan backorder backorder,  berkaitan dengan  produk  yang  terdeteriorasi,  adanya produk  cacat,  hingga  kegiatan rework rework (Oktavia dkk, 2017).
Beberapa peneliti yang telah mengembangkan  model  EPQ  diantaranya adalah  Oktavia  dkk  (2017),  yang  meneliti tentang  model  EPQ  untuk  menentukan  ukuran lot  produksi  dan  frekuensi  pengiriman  optimal dengan  mempertimbangkan demand yang memiliki  tipe  kontinu  dan  diskrit  secara simultan.  Penelitian  ini  membahas  pada perusahaan  yang  memiliki  dua  tipe demand yaitu demand kontinu  yang  pemenuhannya dilakukan  setiap  saat  per  satuan  waktu  dan demand diskrit  yang  pemenuhannya  dilakukan dalam suatu rentang waktu tertentu.
Atas dasar bahwa Model EPQ klasik belum mempertimbangkan  biaya  pemesanan  dan penyimpanan  bahan  baku,  padahal  secara
Opsi
signifikan  biaya  tersebut  akan  berdampak  pada ukuran  lot  produksi  yang  optimal  dari  produk jadi,  sehingga  Velazqueza  &  Barron  (2016), mengembangkan model EPQ dengan mempertimbangkan  biaya  bahan  baku  dan backorder .  Sedangkan  pada  penelitiannya Alimohamadi  dkk  (2011),  telah  diteliti  model EPQ  untuk  menentukan  ukuran  lot  produksi yang optimal dan memilih kebijakan pemeliharaan mesin dengan mempertimbangkan kegagalan  mesin, imperfect  product , stockout , dan persediaan work in process .
Dalam  EPQ  klasik,  parameter-parameter yang  terlibat  diasumsikan  tetap,  padahal  pada sistem nyata tidaklah selalu tetap dan seringkali berfluktuasi  dari  satu  siklus  ke  siklus  lainnya. Biasanya,  teknik  stokastik  dan  metode  statistik telah  digunakan  untuk  memperoleh  distribusi probabilitas dari analisis data masa lalu. Namun, data sebelumnya tidak selalu tersedia atau tidak dapat diandalkan dan nilainya tidak cukup untuk mencerminkan  terjadinya  ketidakpastian  biaya. Dengan demikian, possibility theory seperti teori fuzzy lebih  cocok  untuk  memodelkan  masalah persediaan yang tidak pasti daripada probability theory (Wang  &  Tang,  2009). Fuzzy number dapat merepresentasikan parameter input untuk mengakomodasi  ketidakpastian  dalam  proses pengambilan  keputusan  dalam  persediaan (Ganesan & Uthayakumar, 2022).
Terdapat beberapa peneliti yang memanfaatkan  teori fuzzy dalam  memodelkan masalah persediaan. Hadiguna (2009), mengembangkan  model  persediaan  minyak sawit  kasar  menggunakan  logika fuzzy untuk menentukan  ukuran  pasokan  ekonomis  agar dapat  menjaga  persediaan  pada  tingkat  biaya yang optimal. Wang & Tang (2009)
mengembangkan  model fuzzy EPQ  dengan mempertimbangkan backorder dimana  biaya set-up ,  biaya  simpan,  dan  biaya backorder didekati variabel fuzzy .
Model fuzzy EPQ untuk item kualitas tidak sempurna dengan mempertimbangkan kekurangan  persediaan  juga  telah  diteliti  oleh Ritha  &  Jeyakumari  (2013).  Parameter  biaya tetap, biaya penyimpanan, dan biaya kekurangan persediaan dalam penelitian ini dipertimbangkan sebagai variabel fuzzy . Adapun dalam  penelitiannya  Ganesan  &  Uthayakumar (2022),  diteliti  tentang  model  EPQ  fuzzy  yang
berkelanjutan  dalam  rangka  meminimasi  emisi karbon dan maksimasi keuntungan.
Penelitian ini bertujuan untuk mengendalikan persediaan susu kambing bubuk yang  optimal  dengan  pendekatan  EPQ  yang mempertimbangkan  ketidakpastian  permintaan, kualitas dan backorder . Ketidakpastian permintaan  dan  persentase  produk  yang menurun kualitasnya didekati dengan menggunakan  triangular fuzzy .  Sedangkan teknik  defuzzifikasi  yang  digunakan  adalah signed distance .
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah  dapat  menghasilkan  model  kebijakan pengendalian persediaan susu kambing bubuk di Etawa  Agro  Prima  dalam  menentukan  waktu dan  jumlah  produksi  yang  optimal  agar overstock maupun stockout dapat  dihindari sehingga  pada  akhirnya  kerugian  perusahaan dapat diminimasi.

## 2. METODE
Penelitian  ini  dilaksanakan  di  tempat pengolahan  susu  kambing  Etawa  Agro  Prima daerah  Girikerto,  Turi,  Sleman.  Obyek  yang diteliti  adalah  produksi  susu  kambing  etawa bubuk. Data  yang  dibutuhkan  dalam  penelitian ini diperoleh melalui observasi, wawancara, dan studi  Pustaka.  Data-data  tersebut  diantaranya adalah  data  produksi,  permintaan,  dan  biaya- biaya produksi lainnya. Pendekatan pemecahan masalah  yang  digunakan  untuk  mencari  solusi permasalahan  yang  ada  di  Etawa  Agro  Prima melalui  pemodelan  sistem  secara  matematis. Adapun  diagram  alir  dalam  pemodelan  sistem yang digunakan dapat dilihat pada Gambar 1.

## 2.1  Model EPQ
Model  EPQ  merupakan  model  penentuan ukuran  lot  produksi  yang  dapat  meminimasi total  biaya  produksi  per  tahun.  Model  ini merupakan  pengembangan  dari  model  EOQ klasik,  dimana  pada  model  EOQ  pengadaan barang  dilakukan  dengan  cara  memesan  ke supplier, sedangkan pada model EPQ pengadaan barangnya dilakukan dengan cara memproduksi sendiri.
Opsi
Gambar 1. Diagram alir pemodelan sistem
Model  EPQ  mempertimbangkan  adanya laju produksi atau laju kedatangan barang secara uniform  atau  seragam,  seperti  yang  biasanya terjadi di dalam sistem manufaktur di mana hasil produksi  suatu  stasiun  kerja  akan  menjadi masukkan bagi stasiun kerja yang lain (Tersine, 1994).
Beberapa  asumsi  yang  digunakan  dalam model EPQ ini adalah (a) Laju permintaan ( d ) konstan (b) Laju produksi ( p ) konstan
(c) Kedatangan  barang  tidak  serentak,  tetapi secara  bertahap  dan uniform (seragam)
dengan kecepatan p dimana p > d (d) Tidak ada kekurangan persediaan
(e) Kapasitas  produksi  mencukupi  untuk memproduksi  item  dalam  memenuhi permintaan
(f) Secara bersamaan hasil produksi dikonsumsi hingga persediaan habis
(g) Kualitas produksi sempurna (tdk ada yang cacat)
Model  EPQ  klasik  yang  dijadikan  dasar pengembangan  model  adalah  sebagai  berikut (Elsayed, 1995):
𝑇𝐶 = 𝑐𝐷 + 𝐾𝐷 𝑄 + ℎ𝑄(𝑝 − 𝑑)
2𝑝 (1)
𝑄 ∗ = √ 2𝐴𝐷𝑝 ℎ(𝑝 − 𝑑) (2)
Persamaan (1) adalah total biaya persediaan yang  merupakan  fungsi  dari  kuantitas  lot produksi,  sedangkan  persamaan  (2)  adalah kuantitas lot produksi optimal.

## 2.2  Teori fuzzy dan defuzzifikasi
Logika Fuzzy adalah  peningkatan  dari logika Boolean yang berhadapan dengan konsep kebenaran sebagian. Saat logika klasik menyata- kan bahwa segala hal dapat diekspresikan dalam istilah biner (0 atau 1, hitam atau putih, ya atau tidak),  logika fuzzy menggantikan  kebenaran boolean  dengan  tingkat  kebenaran  (Hadiguna, 2009).
Sebuah himpunan fuzzy 𝑎̃ pada R = (-∞,∞) disebut  titik fuzzy jika  fungsi  keanggotaannya adalah
𝜇 𝑎̃ (𝑥) = { 1,    𝑥 = 𝑎 0,    𝑥 ≠ 𝑎 (3)
Titik 𝑎 adalah penunjang. Bila anggota dari semua fuzzy point ( 𝐹 𝑝 ) adalah 𝐹 𝑝 = {𝑎̃|∀𝑎 ∈ 𝑅}
Titik 𝑎 adalah bilangan real atau 𝑎 ∈ 𝑅 dan titik 𝑎̃ adalah anggota dari titik fuzzy atau 𝑎̃ ∈ 𝐹 𝑝 F p didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu.
Pemodelan  persediaan  ini  menggunakan metode  defuzzifikasi signed  distance. Metode signed  distance merujuk  pada  penjelasan  Yao dan Chiang (2003) untuk fuzzy number segitiga (triangular).  Secara  umum  definisi signed distance dari  0  ke  interval  [ A L (α), A R (α)]  atau dari  level 𝛼 pada  interval fuzzy [𝐴 𝐿 (𝛼), 𝐴 𝑅 (𝛼)] ke 0 (aksis y ) adalah
𝑑 0 ([𝐴 𝐿 (𝛼) 𝛼 , 𝐴 𝑅 (𝛼) 𝛼 ], 0) = 1 2 [𝑑 0 (𝐴 𝐿 (𝛼), 0) + 𝑑 0 (𝐴 𝑅 (𝛼), 0)] = 1 2 [𝐴 𝐿 (𝛼) + 𝐴 𝑅 (𝛼)] = 1 2 [𝑎 + 𝑐 + (2𝑏 − 𝑎 − 𝑐)𝛼] (4)
Jika 𝐴̃ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝐹 𝑁 , signed distance dari 𝐴̃ ke 0̃ adalah
Opsi
Vol 15 No 2 Desember 2022
𝑑(𝐴̃, 0̃) = ∫ 𝑑([𝐴 𝐿 (𝛼) 𝛼 , 𝐴 𝑅 (𝛼)], 0̃)𝑑𝛼 1 0 = 1 4 (2𝑏 + 𝑎 + 𝑐) (5)

## 3. PENGEMBANGAN MODEL

## 3.1  Pendefinisian masalah
Permasalahan  yang  dihadapi  oleh  Etawa Agro  Prima  sebagai  tempat  pengolahan  susu kambing  bubuk  adalah  ketidakpastian  jumlah permintaan  konsumen.  Pada  saat  jumlah permintaan  menurun,  jumlah  persediaan  di gudang  meningkat  yang  berakibat  pada peningkatan  biaya  simpan  dan  menurunnya kualitas susu kambing bubuk. Pada saat jumlah permintaan meningkat perusahaan sering menghadapi  kondisi  kekurangan  persediaan ( stockout ).  Namun,  sebagian  besar  konsumen bersedia menunggu dan kekurangan jumlah susu kambing  bubuk  akan  dipenuhi  pada  periode berikutnya  ( backorder ).  Oleh  karena  itu,  perlu dikembangkan model persediaan yang mempertimbangkan  permintaan  yang  tidak pasti, kualitas dan backorder . Tujuan dari model ini adalah untuk menentukan kuantitas produksi optimal  agar  total  biaya  yang  ditimbulkan minimum.

## 3.2  Karakteristik sistem
Berikut  ini  beberapa  notasi  parameter  dan variabel  keputusan  yang  digunakan  dalam model ini:
𝐾 : biaya set-up (Rp/set-up) 𝐷 : permintaan produk (unit/tahun)
𝑑 : laju permintaan (unit/hari)
𝑝 : laju produksi (unit/hari)
𝑐 : biaya produksi (Rp/unit)
ℎ : biaya simpan (Rp/unit/tahun)
𝑄 : kuantitas produksi optimal (unit)
𝑇𝐶 : biaya total persediaan per tahun (Rp/tahun) 𝑣 : presentase produk imperfect
𝛿 : biaya kerugian yang ditimbulkan (Rp/unit) 𝑏 : biaya backorder (Rp/unit/ tahun) 𝐵 : jumlah backorder (unit)
T : waktu siklus produksi (tahun)
Sedangkan  asumsi  yang  digunakan  dalam model ini adalah sebagai berikut:
1. Kekurangan  persediaan  diatasi  secara backorder
2. Laju produksi dan laju permintaan deterministik dan konstan
3. Laju  produksi  lebih  besar  daripada  laju demand
4. Jenis  produk  yang  diteliti  adalah  susu kambing etawa bubuk rasa vanila.
5. Susu kambing bubuk yang telah mengalami kedaluwarsa dibuang.
6. Biaya produk kurang bermutu adalah linear terhadap jumlah susu kambing bubuk yang diproduksi

## 3.3  Pemodelan matematis
Pada  penelitian  ini  akan  dikembangkan model  pengendalian  persediaan  susu  kambing bubuk yang optimal dengan mempertimbangkan ketidakpastian permintaan, kualitas dan backorder yang  berbasis  pada  studi  kasus  di pengolahan  susu  kambing  Etawa  Agro  Prima. Model  dasar  yang  digunakan  adalah  model economic production quantity (EPQ). Sedangkan  untuk  mengakomodasi  kondisi ketidakpastian permintaan menggunakan pendekatan teori fuzzy .
Model  acuan  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  model  Hadiguna  (2009), Wang & Tang (2009) , dan Chiang et al. (2005). Modelnya  Hadiguna  (2009)  membahas  tentang model EPQ fuzzy untuk persediaan minyak sawit dengan  memperhitungkan  kualitas.  Sedangkan dalam  modelnya  Wang  &  Tang  (2009)  dan Chiang  et  al.  (2005)  membahas  tentang  EOQ fuzzy untuk  mempertimbangkan backorder. Pada  penelitian  ini  akan  dikembangkan  model usulan  yang  mengkolaborasikan  ketiga  model tersebut sedemikian rupa sehingga menghasilkan  model  usulan  yang  dapat mengakomodasi  kondisi  nyata  di  Etawa  Agro Prima.
Model yang diusulkan mempertimbangkan kondisi  ketidakpastian,  formulasi  matematik pada pengendalian persediaan akan menggunakan  teknik fuzzy .  Teknik fuzzy digunakan untuk mengakomodir kondisi permintaan  susu  kambing  etawa  bubuk  yaitu rendah,  sedang,  dan  tinggi.  Unsur fuzzy direpresentasikan  dengan  fungsi  keanggotaan segitiga ( triangular ). Teknik defuzzifikasi yang digunakan adalah signed distance .
Fungsi  tujuan  dari  model  ini  adalah  untuk meminimalkan  total  biaya  persediaan  (TC) tahunan.  Komponen  biaya  total  persediaan
Opsi
tahunan  terdiri  dari  biaya  produksi  per  tahun, biaya set-up per tahun, biaya simpan per tahun, biaya  kekurangan  persediaan  per  tahun,  dan biaya kerugian per tahun.
Adapun perilaku sistem dalam pengendalian  persediaan  dan  proses  produksi dapat ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Perilaku pengendalian persediaan dan proses produksi (Wang & Tang, 2009)

## Biaya produksi per tahun
Biaya produksi per tahun adalah perkalian antara  biaya  produksi  per  unit  dengan  jumlah unit yang diproduksi per tahun
𝑃𝐶 = 𝑐. 𝐷
(6)

## Biaya set-up per tahun
Biaya  set-up  per  tahun  adalah  perkalian antara  biaya  set-up  per  sekali  set-up  dengan frekuensi set-up per tahun
𝑂𝐶 = 𝐾. 𝑓 (7)
dimana 𝑓 = 𝐷 𝑄 𝑂𝐶 = 𝐾𝐷 𝑄 (8)

## Biaya simpan per tahun
Biaya  penyimpanan  per  tahun  tergantung pada biaya penyimpanan unit per tahun ( ℎ ), rata- rata  di  tingkat  persediaan  per  siklus  ( 𝑚 )  dan jumlah siklus per tahun ( 𝑓 ).
𝐻𝐶 = ℎ. 𝐼 𝑚𝑎𝑥 . 𝑓 2 (9)
Dari  Gambar  1,  tingkat  persediaan maksimum 𝐼 𝑚𝑎𝑥 dapat ditulis sebagai
𝐼 𝑚𝑎𝑥 = (𝑄 − 𝐵). 𝑇 ℎ (10)
Jika interval waktu antar produksi sebesar
𝑇 = 𝑇 ℎ + 𝑇 𝑠 (11)
dimana,
𝑇 ℎ = (𝑄 − 𝐵) 𝐷 (12)
Maka, 𝐼 𝑚𝑎𝑥 per siklus sebesar
𝐼 𝑚𝑎𝑥 = (𝑄 − 𝐵) 2 𝐷 (13)
Besarnya  rata-rata  di  tingkat  persediaan  per siklus adalah
𝑚 = 𝐼 𝑚𝑎𝑥 2 (14)
Jika 𝑓 = 𝐷 𝑄 ,  maka  besarnya  biaya  simpan  per tahun
𝐻𝐶 = ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2𝑄 (15)

## Biaya kekurangan persediaan per tahun
Biaya  kekurangan  persediaan  per  tahun tergantung  pada  biaya backorder per  unit  per tahun  ( 𝑏 ),  rata-rata stockout ,    dan  frekuensi terjadinya stockout per tahun.
𝑆𝐶 = 𝑏. 𝐵. 𝑇 𝑠 . 𝑓 2 (16)
dimana
𝑇 𝑠 = 𝐵 𝐷 (17)
Jika 𝑓 = 𝐷 𝑄 maka  besarnya  biaya  kekurangan persediaan per tahun adalah
𝑆𝐶 = 𝑏. 𝐵 2 2𝑄 (18)

## Biaya kerugian per tahun
Biaya  kerugian  per  tahun  tergantung  pada biaya kerugian per unit, persentase produk yang mengalami  penurunan  kualitas,  dan  jumlah produk yang diproduksi.
𝐿𝐶 = 𝛿. 𝑣. 𝑄 (19)
Opsi
Jika  seluruh  susu  kambing  bubuk  yang dipasok ke gudang bermutu baik, maka v = 0 dan tidak menimbulkan biaya kerugian atau LC = 0.
Maka total biaya persediaan per tahun sebesar
𝑇𝐶 = 𝑐𝐷 + 𝐾𝐷 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2𝑄 + 𝛿. 𝑣. 𝑄 (20)
Jika  persamaan  (20)  diubah  dalam  bentuk fuzzy , maka akan menjadi
𝑇𝐶(𝑄) = 𝑐𝐷 ̃ + 𝐾𝐷 ̃ 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2𝑄 + 𝛿. 𝑣̃. 𝑄 (21)
dimana bentuk fuzzy number segitiga dari 𝐷 ̃ dan 𝑣̃ adalah
𝐷 ̃ = (𝐷 − ∆ 1 , 𝐷, 𝐷 + ∆ 2 ) (22)
𝑣̃ = (𝑣 − ∆ 3 , 𝑣, 𝑣 + ∆ 4 ) (23)
dimana, ∆ 1 dan ∆ 2 masing-masing  merupakan selisih  antara  rata-rata  permintaan  dengan  nilai terkecil  dan  terbesarnya.  Sedangkan ∆ 3 dan ∆ 4 masing-masing  merupakan  selisih  antara  rata- rata  persentase  produk imperfect dengan  nilai terkecil dan terbesarnya.
Persamaan (21) adalah total biaya persediaan bentuk fuzzy dimana 𝑇𝐶(𝑄) dibentuk dari 𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃) , dan dapat dituliskan sebagai
𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃) = (𝐻 1 , 𝐻 2 , 𝐻 3 ) 𝐻 2 > 𝐻 1 dan 𝐻 3 > 𝐻 2
Nilai 𝐻 1 , 𝐻 2 ,  dan 𝐻 3 dapat  diformulasikan sebagai berikut:
𝐻 1 = 𝑐 (𝐷 − ∆ 1 ) + 𝐾 (𝐷 − ∆ 1 ) 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2 𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2 𝑄 + 𝛿𝑄 (𝑣 − ∆ 3 ) (24)
𝐻 1 = 𝑐𝐷 − 𝑐∆ 1 + 𝐾𝐷 𝑄 − 𝐾∆ 1 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2 𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2 𝑄 + 𝛿𝑄𝑣 − 𝛿𝑄∆ 3 𝐻 1 = 𝑇𝐶(𝑄) − 𝑐∆ 1 + 𝐾∆ 1 𝑄 − 𝛿𝑄∆ 3 (25)
𝐻 2 = 𝑇𝐶(𝑄) (26)
𝐻 3 = 𝑐 (𝐷 + ∆ 2 ) + 𝐾 (𝐷 + ∆ 2 ) 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2 𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2 𝑄 +𝛿𝑄 (𝑣 + ∆ 4 ) (27)
𝐻 3 = 𝑐𝐷 + 𝑐∆ 2 + 𝐾𝐷 𝑄 + 𝐾∆ 2 𝑄 + ℎ. (𝑄 − 𝐵) 2 2 𝑄 + 𝑏. 𝐵 2 2 𝑄 + 𝛿𝑄𝑣 +𝛿𝑄∆ 4 𝐻 3 = 𝑇𝐶(𝑄) + 𝑐∆ 2 + 𝐾∆ 2 𝑄 + 𝛿𝑄∆ 4 (28)
Fuzzy number segitiga dari 𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃) dapat dijabarkan  dengan  metode  defuzzifikasi signed distance (Yao  dan  Chiang  2003).  Hasil  dari defuzzifikasi adalah sebagai berikut :
𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0 ) = 1 4 (2 𝐻 2 + 𝐻 1 + 𝐻 3 ) (29)
𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0 ) = 1 4 {2 𝑇𝐶(𝑄) + 𝑇𝐶(𝑄) − 𝑐∆ 1 + 𝐾∆ 1 𝑄 − 𝛿𝑄∆ 3 } + 1 4 {𝑇𝐶(𝑄) + 𝑐∆ 2 + 𝐾∆ 2 𝑄 + 𝛿𝑄∆ 4 } 𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0 ) = 1 4 {4 𝑇𝐶(𝑄) + 𝑐 (∆ 2 − ∆ 1 )} + 1 4 { 𝐾 (∆ 2 − ∆ 1 ) 𝑄 + 𝛿𝑄(∆ 4 − ∆ 3 )} 𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0 ) =  𝑇𝐶(𝑄) + 1 4 {𝑐 (∆ 2 − ∆ 1 )} + 1 4 { 𝐾 (∆ 2 − ∆ 1 ) 𝑄 + 𝛿𝑄 (∆ 4 − ∆ 3 )} (30)
Untuk  menentukan  kuantitas  produksi optimal, 𝑄 ∗ , maka persamaan (30) dideferensialkan  terhadap 𝑄 dan  disamakan dengan nol.
Opsi
Vol 15 No 2 Desember 2022
𝜕[𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0)]
𝜕𝑄 = 0
Sehingga diperoleh kuantitas  produksi optimal, 𝑄 ∗ sebesar
𝑄 ∗ = √ 𝐾𝐷  + 1 2  𝐵 2 (ℎ +  𝑏) − 1 4  𝐾 (∆ 1 −  ∆ 2 ) 1 2 ℎ  +  𝛿 [4𝑣 + (∆ 4 − ∆ 3 )] (31)
Sedangkan  untuk  menentukan  besarnya jumlah stockout yang  diatasi  secara backorder optimal, 𝐵 ∗ , maka persamaan (30) dideferensialkan  terhadap 𝐵 dan  disamakan dengan nol.
𝜕[𝑑(𝐻 𝑄 (𝐷, ̃ 𝑣̃), 0)]
𝜕𝐵 = 0
Maka kuantitas backorder optimal, 𝐵 ∗ sebesar
𝐵 ∗ = ℎ 𝑄 ∗ ℎ + 𝑏 (32)
atau
𝑄 ∗ = (ℎ + 𝑏)𝐵 ∗ ℎ (33)

## 3.4  Metode solusi model
Prosedur  penyelesaian  model  yang  yang dikembangkan adalah sebagai berikut:
1) Menentukan  rata-rata  permintaan  per periode.
2) Menentukan  rata-rata  persentase  produk imperfect per periode.
3) Menentukan nilai ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3 dan ∆ 4 .
4) Menentukan  kuantitas  produksi  optimal,
𝑄 ∗ dengan menggunakan persamaan (31).
5) Menentukan  kuantitas  produksi  optimal, 𝑄 ∗ dengan menggunakan persamaan (32).
6) Melakukan trial-error sedemikian  rupa sehingga  nilai 𝑄 ∗ yang  diperoleh  pada langkah  4)  sama  dengan  nilai 𝑄 ∗ yang diperoleh  pada  langkah  5)  sehingga diperoleh nilai 𝐵 ∗
7) Menentukan  nilai 𝑄 ∗ berdasarkan  nilai 𝐵 ∗ yang diperoleh pada Langkah 6).
8) Menentukan total biaya persediaan pertahun menggunakan persamaan (21)

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dilakukan perhitungan secara  numerik  untuk  validasi  model  usulan berdasarkan  data  empiris  yang  ada  pada  Etawa Agro  Prima.  Tujuannya  adalah  untuk  melihat seberapa  sesuai  model  yang  diusulkan  dapat digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan yang berkaitan dengan pengendalian persediaan susu  kambing  bubuk  di  Etawa  Agro  Prima. Selain  itu  contoh  perhitungan numerik  ini  juga digunakan  untuk  mengilustrasikan  algoritma penyelesaian modelnya.
Data-data  yang  dibutuhkan  dalam  validasi model yang diusulkan adalah sebagai berikut:
𝐷 = 23300 unit/tahun  (1  unit  =  400  gram); 𝐾 = Rp 6550 /set-up; 𝑏 = Rp 4500 /unit/tahun; ℎ = Rp 5000 unit/tahun; 𝛿 = Rp 75 unit; 𝑐 = Rp 30000 unit.
Tabel  1  menunjukkan  bahwa  jumlah permintaan  produk  susu  kambing  bubuk  dan besarnya  persentase  produk imperfect pada setiap  bulan  mengalami  fluktuasi  dengan  rata- rata  masing-masing  sebesar  1941  unit  dan 0,181%.  Akibat  fluktuasi  tersebut,  perusahaan berusaha memproduksi dengan jumlah produksi yang  berbeda-beda  di  setiap  bulannya  dengan harapan  dapat  memenuhi  permintaan  secara maskimal.  Namun  tetap  saja  masih  mengalami stockout ataupun overstock .  Secara  akumulasi dalam  satu  tahun  persediaan  masih  mengalami stockout sebesar  140  unit  dengan  total  biaya persediaan  yang  ditimbulkan  pada  12  periode tersebut sebesar Rp 731.096.600.
Tabel 1. Data permintaan produk dan produksi
Periode Demand
(400 gr) Produksi (400 gr) Stockout/ Overstock (400 gr) ṽ (gr) % ṽ 1 2110 1900 -210 1270  0,167 2 1590 1800 210 1180  0,164 3 1650 1850 200 1360  0,184 4 1050 1800 750 1420  0,197 5 2130 1850 -280 1535  0,207 6 1760 2000 240 1435  0,179 7 2430 2100 -330 1640  0,195 8 3750 1950 -1800 1470  0,188 9 1740 1850 110 1340  0,181 10 1570 2000 430 1550  0,194 11 1430 1950 520 1320  0,169 12 1880 1900 20 1120  0,147 Jumlah 23300 23090 -140 16640  2,172 Rata-rata 1941 1924 0,181
Opsi
Berdasarkan  data  tersebut,  perhitungan dilakukan  dengan  menggunakan  model  yang diusulkan, dan diperoleh sebagai berikut: Nilai ∆ 1 = 1941 − 1050 = 891 unit,  yang berarti bahwa perusahaan mengalami kelebihan produksi sebesar 891 unit.
Sedangkan, ∆ 2 = 1941 − 3750 = −1809 unit, yang  berarti  bahwa  perusahaan  kekurangan persediaan sebesar 1809 unit. Tanda minus tidak mempengaruhi  perhitungan,  karena  tanda tersebut  hanya  menunjukkan  kondisi stockout . Demikian  juga  dengan  jumlah  susu  kambing bubuk  yang imperfect ( 𝑣̃ )  diperoleh  nilai ∆ 3 = 0,181 − 0,147 = 0,034 %  dan ∆ 4 = 0,181 − 0,207 = −0,026 %.
Untuk memperoleh jumlah produksi optimal  mempertimbangkan  adanya backorder dan  produk  yang imperfect ,  maka  digunakan persamaan (31), dan diperoleh jumlah produksi optimal  setiap  kali  produksi  sebesar 𝑄 ∗ = 384 unit,  jumlah backorder optimal  sebesar 𝐵 ∗ = 50 unit,  dan  waktu  siklus  antar  produksinya sebesar 𝑇 ∗ = 6 hari  atau  5  kali  produksi  per bulan.  Sehingga  setiap  bulannya  memproduksi sebesar 1920 unit. Implementasi dengan model usulan ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil perhitungan dengan model usulan Periode  Demand (400 gr) Produksi (400 gr) Stockout/ Overstock (400 gr) ṽ (gr) % ṽ 1 2110 1920 -190 1270 0,165 2 1590 1920 330 1180 0,154 3 1650 1920 270 1360 0,177 4 1050 1920 870 1420 0,185 5 2130 1920 -210 1535 0,200 6 1760 1920 160 1435 0,187 7 2430 1920 -510 1640 0,214 8 3750 1920 -1830 1470 0,191 9 1740 1920 180 1340 0,174 10 1570 1920 350 1550 0,202 11 1430 1920 490 1320 0,172 12 1880 1920 40 1120 0,146 Jumlah 23300 23040 -50 16640 2,167 Rata-rata 1941 1920 0,181
Berdasarkan  hasil  perhitungan  dengan model  usulan  yang  ditunjukkan  pada  Tabel  2, terlihat  bahwa  dengan  jumlah  produksi  tetap sebesar  1920  unit  per  bulan  ternyata  masih terjadi stockout maupun overstock .  Namun demikian,  secara  akumulasi  jumlah stockout yang  diatasi  secara backorder mengalami penurunan  sebesar  50  unit  dengan  total  biaya persediaan  yang  ditimbulkan  sebesar  Rp
700.138.700  per  tahun  atau  terjadi  penurunan sebesar Rp 30.957.900. Penghematan total biaya pertahun yang dihasilkan sebesar 4,23%.

## 4.   KESIMPULAN
Pada  makalah  ini  telah  dikembangkan model  pengendalian  persediaan  susu  kambing bubuk  yang  mempertimbangkan  ketidakpastian permintaan, imperfect  product dan backorder yang  berbasis  pada  studi  kasus  di  pengolahan susu  kambing Etawa  Agro Prima.  Model dasar yang digunakan adalah model EPQ. Sedangkan untuk  mengakomodasi  kondisi  ketidakpastian permintaan  menggunakan  pendekatan  teori fuzzy .  Melalui  model  ini  pihak  Etawa  Agro Prima  dapat  menentukan  kuantitas  produksi yang optimal, kuantitas backorder yang optimal, dan  waktu  antar  produksi  agar  total  biaya persediaan  per  tahun  yang  ditimbulkan  dapat diminimasi.  Meskipun  hasil  yang  diperoleh menggunakan  model  usulan  masih  terdapat adanya overstock dan stockout ,  namun  mampu menurunkan  total  biaya  persediaan  sebesar  Rp 30.957.900 atau penghematan sebesar 4,23%. Model  ini  merupakan  model  yang  masih sederhana dalam merefleksikan kondisi nyata di Etawa  Agro  Prima.  Sehingga  dalam  model  ini masih  banyak  kelemahannya.  Pengembangan untuk penelitian lanjutan
dapat mempertimbangkan beberapa aspek,
diantaranya  adalah  mempertimbangkan  laju kedaluwarsa, multi item, laju produksi dipengaruhi  oleh  tingkat supply susu  kambing segar, stockout diatasi  secara  kombinasi  antara backorder dan lostsales , dan lain sebagainya.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga  Penelitian  dan  Pengabdian  kepada Masyarakat Universitas Pembangunan Nasional Veteran  Yogyakarta  Indonesia  yang  telah memberikan  dukungan  dana  untuk  penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Ali  mohamadi,  M.,  Sajadi,  S.M.,  &  Tabatabei, S.A.N.  (2011).  A  New  EPQ  Model  with Considering  Preventive  Maintenance, Imperfect Product, Stockout and Work in
Process Inventory. Interdisciplinary
Opsi
Vol 15 No 2 Desember 2022 e-ISSN 2686-2352
Journal  of  Contemporary  Research  in Business , 3(8), 822-832.
Chen,  S.H.,  Wang,  C.C.,  and  Chang,  S.M. (2007),  Fuzzy  Economic  Production Quantity Model for Items with Imperfect Quality. International Journal of
Innovative  Computing,  Information  and
Control , 3(1), 85-95.
Chiang, J., Yao, J.S., & Lee, H.M. (2005). Fuzzy Inventory with Backorder Defuzzification by  Signed  Distance  Method, Journal  of Information Science and Engineering , 21, 673-694.
Chiu,  H.N.,  1995,  A  Heuristic  (R,  T)  Periodic Review Perishable Inventory Model with Lead  Times, International  Journal  of Production Economics , 42, 1-15. Widodo,  V.,  R.  Afina,  &  I.  G.  S.  Budisatria. (2012).  Produksi  dan  Evaluasi  Kualitas Susu  Bubuk  Asal  Kambing  Peranakan Etawa  (PE). J.  Teknol.  dan  Industri Pangan , 23(2), 132-139.
Hadiguna,  R.A.  (2009).  Model  Persediaan Minyak  Sawit  Kasar  di  Tangki  Timbun Pelabuhan. Jurnal Teknik Industri , 11(2),
111-121.
Elsayed,  E.  A.  (1994). Analysis  and  control  of production  systems (2nd  ed.).  Upper Sadle River, NJ.: Prentice-Hall.
Ganesan,  S.  &  Uthayakumar,  R.  (2022). Optimisation of A Sustainable Fuzzy EPQ Inventory  Model  using  Sextic  Equation , European Journal of Industrial
Engineering , 16(4) , 442-478.
Jawlaa,  P.  &  Singh,  S.R.  (2016).  Multi-Item Economic  Production  Quantity  Model with  Multiple  Production  Setups  and Rework under The Effect of Preservation Technology  and  Learning  Environment.
International Journal of Industrial Engineering Computations , 7, 1-14. DOI: 10.5267/j.ijiec.2016.2.003
Kusumadewi,  S.,  dan  Purnomo,  H.  (2010),
Aplikasi  Logika  Fuzzy ,  Graha  Ilmu, Yogyakarta. Lee,  H.M.  &  Chiang,  J.  (2007).  Fuzzy
Production  Inventory  Based  on  Signed Distance. Journal of Information Science And Engineering, 23, 1939-1953.
Manuama, M.Y., Suada I.K., & Sampurna, I.P. (2014).  Mutu  Susu  Kambing  Peranakan Etawa yang Disimpan pada Suhu Ruang.
Indonesia  Medicus Veterinus, 2014 3(3), 169-175. Meerschaert,  M.M.  (2013). Mathematical Modeling , (4 th edition). Academic Press is an imprint of Elsevier.
Oktavia,  N.,  Henmaidi,  &  Jonrinaldi.  (2017).
Pengembangan Model
Economic
Production  Quantity  (EPQ)  dengan Sinkronisasi Demand Kontinu dan Diskrit Secara Simultan. Jurnal Optimasi Sistem Industri , 15(1), 78-86. DOI:
10.25077/josi.v16.n1.p001-009.2017 Ritha,  W.  &  Jeyakumari,  S.R.  (2013).  Fuzzy Inventory  Model  for  Imperfect  Quality Items with Stockouts. Annals of Pure and Applied Mathematics, 4(2), 127-137.
Tersine, R. J. (1994). Principles of Inventory and  Materials  Management .  New Jersey: Prentice Hall.
Velazqueza,  E.A.P.  &  Barron,  L.E.C.  (2016).
An Economic Production  Quantity Inventory Model with Backorders
Considering  the  Raw  Material  Costs. Scientia Iranica , 23(2), 736-746.
Wang,  X.  &  Tang,  W.  (2009).  Fuzzy  EPQ Inventory Models with Backorder,
Journal of Systems Science and
Complexity , 22, 313–323.
Yao,  J.S.,  &  Chiang,  J.  (2003).  Inventory Without Backorder with Fuzzy Total Cost and  Fuzzy  Storing  Cost  Defuzzied  by centroid  and  Signed  Distance. European Journal  of  Operational  Research ,  148,
401-409.
Zurriyati, Y., Noor, R. R., Maheswari, R. R. A. 2011.  Analisis  Molekuler  Genotipe Kappa Kasein (Κ-Kasein) dan Komposisi Susu Kambing Peranakan Etawa, Saanen dan  Persilangannya. Jurnal  Ilmu  Ternak dan Veteriner , 16(1), 61-70.