## SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR  MAX-PLUS FUZZY
Ari Wardayani dan Suroto Prodi Matematika, Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman
(email : ariwardayani@yahoo.co.id, suroto_80@yahoo.com)
ABSTRAK. Pada  makalah  ini  dibahas  mengenai  perluasan  aljabar  max-plus fuzzy  pada  polinomial  dengan  koefisien  bilangan  fuzzy.  Selanjutnya,  dibuktikan polinomial fuzzy tersebut merupakan semi modul atas aljabar max-plus fuzzy.
Kata kunci : aljabar max-plus fuzzy, polinomial fuzzy, semi modul
ABSTRACT .  In  this  paper,  we  discuss  the  extension  of  fuzzy  max-plus  algebra on  polynomial  with  coefficient  in  fuzzy  number.  We  also  proof  that  fuzzy polynomial  is semi modul over fuzzy max-plus algebra.
Key word : fuzzy max-plus algebra, fuzzy polynomial, semi modul

## PENDAHULUAN
Aljabar  max-plus  merupakan  struktur  aljabar ℝ max = ℝ ∪ {− ∞ } yang disertai  dengan  dua  operasi  biner  yakni  maksimum  dan  penjumlahan.  Struktur aljabar ℝ max yang disertai dengan operasi biner maksimum sebagai operasi ⊕ dan operasi  penjumlahan  sebagai  operasi ⊗ adalah  semi  lapangan  komutatif idempoten  (Bacelli,  2001).  Pada  dasarnya,  himpunan  yang  dibicarakan  dalam pembahasan konsep aljabar max-plus lebih terpusat pada himpunan bilangan real ℝ .
Namun,  dalam  perkembangan  selanjutnya  aljabar  max-plus  dapat diperluas himpunan pembicaraannya menjadi himpunan bilangan fuzzy (Rudhito, 2006). Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy dalam semesta ℝ yang memenuhi sifat  normal,  mempunyai support terbatas,  setiap  α- cut nya  merupakan  selang
JMP : Volume 3 Nomor 1, Juni 2011
tertutup, dan konveks. Untuk selanjutnya himpunan bilangan fuzzy dilambangkan dengan R. Operasi  maksimum  dan  penjumlahan  pada R dapat  didefinisikan dengan  menggunakan  prinsip  perluasan  atau  dengan  α- cut pada  himpunan  fuzzy (Zimmermann, 1991).
Teorema  dekomposisi  merupakan  landasan  kerja  pemanfaatan  prinsip perluasan  dan  α- cut pada  himpunan  fuzzy  yang  dapat  digunakan  untuk menentukan  operasi  aritmatika  pada  bilangan  fuzzy  (Susilo,  2006).  Untuk selanjutnya  aljabar  max-plus  fuzzy  dinotasikan  dengan R max ,  dengan R adalah himpunan  bilangan  fuzzy.  Pada  tahun  2007,  Rudhito  membuktikan  semi  modul bilangan  fuzzy  atas  aljabar  max-plus  fuzzy  dan  perluasannya  pada  matriks bilangan  fuzzy.  Pada  tulisan  ini,  akan  dibuktikan  bahwa  himpunan  polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

## SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY
Semi ring K merupakan suatu himpunan tak kosong yang disertai dengan dua operasi biner ⊕ dan ⊗ yang memenuhi ( K , ⊕ ) semi grup komutatif dengan elemen nol ε ,  ( K , ⊗ ) semi grup dengan elemen satuan e , elemen nol ε merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗ , dan ⊗ distributif terhadap ⊕ . Suatu  semi ring  dikatakan  idempoten  jika  operasi ⊕ bersifat  idempoten  dan  dikatakan komutatif jika operasi ⊗ bersifat komutatif.
Semi modul M atas semi ring K adalah himpunan tak kosong yang disertai operasi internal ⊕ dengan elemen nol 𝜀 , dan operasi eksternal yang didefinisikan pada K x M dengan  hasilnya  pada M yang  memenuhi  operasi ⊕  bersifat assosiatif, komutatif dan untuk setiap 𝛼, 𝛽 ∈ K dan 𝑥, 𝑦 ∈ M berlaku 𝛼(𝑥 ⊕ 𝑦) =  𝛼𝑥 ⊕ 𝛼𝑦 , (𝛼 ⊕ 𝛽)𝑥 =  𝛼𝑥 ⊕ 𝛽𝑥 , 𝛼(𝛽𝑥) = ( 𝛼𝛽)𝑥 , 𝑒𝑥 = 𝑥 dan 𝜀𝑥 = 𝜀
Misalkan  dibentuk  suatu  himpunan  yang  beranggotakan  polinomial- polinomial dengan indeterminate γ d an koefisiennya bilangan fuzzy
{ p | p = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 , 𝑎̃ 𝑖 ∈ R max }

## A. Wardayani dan Suroto                                                                           2
untuk  suatu n ∈ℕ. Untuk  selanjutnya,  himpunan  ini  di  notasikan  dengan R max [ γ ] dan  dinamakan  himpunan  polinomial  fuzzy.  Misalkan p dan q elemen  pada R max [ γ ] dengan p = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑎̃ 𝑖 ∈ R max , , q = ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏̃ 𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑏̃ 𝑖 ∈ R max .
Elemen p dan q dikatakan sama jika m = n dan 𝑎̃ 𝑖 = 𝑏̃ 𝑖 .
Untuk  menyelidiki  sifat-sifat  yang  terdapat  pada  struktur R max [ γ ]  terlebih dahulu  didefinisikan  dua  operasi  pada R max [ γ ]  yakni  operasi  internal ⊕ sebagai operasi  penjumlahan  komponen  demi  komponen  pada  polinomial,  dan  operasi eksternal pergandaan dengan skalar pada R max .
Untuk  setiap p , p ’, q , q ’ ∈ R max [ γ ]  dengan p = p ’  dan q = q ’.  Misalkan p = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑎̃ 𝑖 ∈ R max , dan p ’= ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏̃ 𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑏̃ 𝑖 ∈ R max . Karena p = p ’ , maka 𝑎̃ 𝑖 = 𝑏̃ 𝑖 diperoleh 𝑎̃ 𝑖 α = 𝑏̃ 𝑖 α untuk setiap α ∈ [0,1], i = 1, 2, ..., n dan n = m . Secara analog, misalkan q = ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐̃ 𝑖 𝛾 𝑖 untuk 𝑐̃ 𝑖 ∈ R max , dan q ’ = ⊕ 𝑖=0 𝑙 𝑑̃ _ 𝛾 𝑖 untuk 𝑑̃ 𝑖 ∈ R max . Karena q = q ’ , maka 𝑐̃ 𝑖 = 𝑑̃ 𝑖 diperoleh 𝑐̃ 𝑖 α = 𝑑̃ 𝑖 α untuk setiap α ∈ [0,1], i = 1, 2, ..., k dan k = l . Tanpa mengurangi keumuman, misalkan n ≥ k dan m ≥ l . Dengan demikian,
p ⊕ q = ( ⊕ 𝑖=0 獮 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) =  ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑡̃ 𝑖 𝛾 𝑖 , dengan 𝑡̃ 𝑖 = 𝑎̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑐̃ 𝑖
p ’ ⊕ q ’= ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑙 𝑑̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) =  ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑠̃ 𝑖 𝛾 𝑖 , dengan 𝑠̃ 𝑖 = 𝑏̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑑̃ 𝑖
Sementara itu,  𝑡̃ 𝑖 = 𝑎̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑐̃ 𝑖 merupakan himpunan fuzzy yang α -cut nya adalah interval [ 𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 , 𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 ]  untuk  setiap α ∈ [0,1]  dan  [ 𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 ,  𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 ]  =  [ 𝑎 𝛼 , 𝑎 𝛼 ]⊕ [ 𝑐 𝛼 ,𝑐 𝛼 ]. Karena 𝑎̃ 𝑖 = 𝑏̃ 𝑖 , maka α -cut nya sama, yakni 𝑎̃ 𝑖 α = 𝑏̃ 𝑖 α . Dari sini diperoleh [ 𝑎 𝛼 ,𝑎 𝛼 ]= [ 𝑏 𝛼 ,𝑏 𝛼 ], sehingga 𝑎 𝛼 = 𝑏 𝛼 , 𝑎 𝛼 = 𝑏 𝛼 dan analog untuk 𝑐 ̃ 𝑖 = 𝑑̃ 𝑖 . Disisi lain,
𝑡 ̃ 𝑖 = 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑐 ̃ 𝑖 = [ 𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 , 𝑎 𝛼 ⊕𝑐 𝛼 ] = [ 𝑎 𝛼 , 𝑎 𝛼 ] ⊕ [ 𝑐 𝛼 , 𝑐 𝛼 ] = [ 𝑏 𝛼 , 𝑏 𝛼 ] ⊕ [ 𝑑 𝛼 , 𝑑 𝛼 ] = [ 𝑏 𝛼 ⊕𝑑 𝛼 , 𝑏 𝛼 ⊕𝑑 𝛼 ]  = 𝑏 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑑 ̃ 𝑖 = 𝑠 ̃ 𝑖
Semi Modul Polinomial                                                                                      3
sehingga  berlaku p ⊕ q = p ’ ⊕ q ’.  Dengan  demikian,  operasi  internal ⊕ yang didefinisikan pada R max [ γ ] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Selanjutnya,  untuk  setiap p , p ’ ∈ R max [ γ ]  dan 𝑣 ̃ , 𝑤 ̃ ∈ R max dengan p = p ’ dan 𝑣 ̃ = 𝑤 ̃ , diperoleh
𝑣 ̃ p = 𝑣 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑥 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 dengan 𝑥 ̃ 𝑖 = 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝑤 ̃ p ’ = 𝑤 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑤 ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑦 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 dengan 𝑦 ̃ 𝑖 = 𝑤 ̃ 𝑏 ̃ 𝑖
Disini, 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 merupakan  himpunan  fuzzy  yang α -cut nya  adalah  interval  [ 𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 , 𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 ]  untuk  setiap α ∈ [0,1]  dan  [ 𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 ,  𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 ]  =  [ 𝑎 𝛼 ,  𝑎 𝛼 ]  ⊗ [ 𝑣 𝛼 ,  𝑣 𝛼 ].
Karena 𝑎 ̃ 𝑖 = 𝑏 ̃ 𝑖 , maka α -cut nya, sama yakni 𝑎 ̃ 𝑖α = 𝑏 ̃ 𝑖α . Dari sini diperoleh [ 𝑣 𝛼 , 𝑣 𝛼 ] = [ 𝑤 𝛼 , 𝑤 𝛼 ]. Akibatnya 𝑣 𝛼 = 𝑤 𝛼 dan 𝑣 𝛼 = 𝑤 𝛼 . Kemudian,
𝑥 ̃ 𝑖 = 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 = [ 𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 , 𝑎 𝛼 ⊗𝑣 𝛼 ] = [ 𝑎 α , 𝑎 α ] ⊗ [ 𝑣 𝛼 , 𝑣 𝛼 ] = [ 𝑏 𝛼 , 𝑏 𝛼 ] ⊗ [ 𝑤 𝛼 , 𝑤 𝛼 ]= [ 𝑏 𝛼 ⊗𝑤 𝛼 , 𝑏 𝛼 ⊗𝑤 𝛼 ] = 𝑤 ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 = 𝑦 ̃ 𝑖
sehingga  diperoleh 𝑣 ̃ p = 𝑤 ̃ p ’.  Dengan  demikian,  operasi  eksternal  yang didefinisikan pada R max [ γ ] merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik.
Untuk selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat yang berlaku pada operasi .  Misalkan,  untuk p , q , r ∈ R max [ γ ]  , p = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 dengan 𝑎 ̃ 𝑖 ∈ R max , q = ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 dengan 𝑏 ̃ 𝑖 ∈ R max dan r = ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 dengan 𝑐 ̃ 𝑖 ∈ R max .  Tanpa mengurangi keumuman, diambil n ≥ m ≥ k , sehingga
[ p q ] ⊕ r = [ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ] ( ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = [ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 ( 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 ) ] ( ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 [( 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑏 𝑖 ) ⊕ ̃ 𝑐 ̃ 𝑖 ] 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 [  𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ ( 𝑏 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑐 ̃ 𝑖 )] 𝛾 𝑖 = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ [ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 (𝑏 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑐 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 ) ]

## A. Wardayani dan Suroto                                                                                  4
= ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ [ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑘 𝑐 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ] = p [ q r ]
Dengan demikian, operasi bersifat assosiatif pada R max [ γ ].
Berikutnya akan diselidiki sifat komutatif operasi pada R max [ γ ]. Untuk setiap p , q ∈ R max [ γ ] berlaku
p q = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑏 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 = ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = q ⊕ p
Dengan demikian, operasi bersifat komutatif pada R max [ γ ].
Polinomial nol ε merupakan elemen pada R max [ γ ], karena ε = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 , dengan 𝑎 ̃ 𝑖 = ε adalah  himpunan  fuzzy  dengan α -cut nya  adalah  interval  [ ε,ε  ].
Untuk setiap p = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ∈ R max [ γ ] berlaku
p ε =(⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ (⊕ 𝑚=0 𝑛 𝜀 ̃ 𝛾 𝑖 )= ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝜀 ̃ ) 𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 𝑖 ̃ 𝛾 𝑖 = p
Secara  analog,  juga  berlaku ε ⊕ p = p .  Dengan  demikian, R max [ γ ]  mempunyai elemen nol yaitu polinomial nol ε.
Untuk  selanjutnya  akan  diselidiki  sifat  yang  yang  berlaku  pada  operasi pergandaan skalar. Untuk setiap 𝑣 ̃ , 𝑤 ̃ ∈ R max dan p , q ∈ R max [ γ ]
i. 𝑣 ̃ [ p q ] = 𝑣 ̃ [( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ] = 𝑣 ̃ [ ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑏 𝑖 ̃ )𝛾 𝑖 ]
= ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑣 ̃ ( 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 ( 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑣 ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 )𝛾 𝑖 = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑣 ̃ 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 )= 𝑣 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) 𝑣 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑚 𝑏 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 )
= 𝑣 ̃ p 𝑣 ̃ q
Semi Modul Polinomial                                                                                      5
ii. [ 𝑣 ̃ ⊕ ̃ 𝑤 ̃ ] p = [ 𝑣 ̃ ⊕ ̃ 𝑤 ̃ ] ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 [𝑣 ̃ ⊕ ̃ 𝑤 ̃ ] 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 [𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 ⊕ ̃ 𝑤 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 ]  𝛾 𝑖 ) = ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑣 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑤 ̃ 𝑎 ̃ 〰 𝛾 𝑖 ) = 𝑣 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ⊕   𝑤 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = 𝑣 ̃ p ⊕   𝑣̃ p
iii. 𝑣 ̃ [ 𝑤 ̃ p ] = 𝑣 ̃ [ 𝑤 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) ] = 𝑣 ̃ [ ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑤 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 ) 𝛾 𝑖 ] = [ ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑣 ̃ (𝑤 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 ) 𝛾 𝑖 ] = [ ⊕ 𝑖=0 𝑛 (𝑣 ̃ 𝑤 ̃ ) 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ] = (𝑣̃ 𝑤 ̃) [ ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ] = (𝑣̃ 𝑤 ̃) 𝑝
Selanjutnya 𝑒 ̃ p = 𝑒 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑒 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 = 𝑝 dengan 𝑒 ̃ adalah elemen satuan pada R max , yakni himpunan fuzzy dengan α -cut nya adalah interval [ e , e ]. Kemudian 𝜀 ̃ p = 𝜀 ̃ ( ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 ) = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝜀 ̃ 𝑎 ̃ 𝑖 𝛾 𝑖 = ⊕ 𝑖=0 𝑛 𝜀 ̃ 𝛾 𝑖 = 𝜀 ̃ .
Dari uraian sebelumnya, terbukti bahwa operasi internal pada R max [ γ ] dan  operasi  eksternal  pergandaan  skalar  yang  dikerjakan  pada R max [ γ ]  dan R max memenuhi ⊕ assosiatif  ,  komutatif  dan  untuk  setiap 𝑣 ̃ , 𝑤 ̃ ∈ R max ,  dan 𝑝, 𝑞 ∈ R max [ γ ] berlaku 𝑣 ̃( 𝑝 ⊕ 𝑞 ) =   𝑣 ̃ 𝑝 ⊕ 𝑣 ̃ 𝑞 , ( 𝑣 ̃ ⊕ w ̃ ) 𝑝 =   𝑣 ̃ 𝑝 ⊕ w ̃ 𝑝 , 𝑣 ̃( 𝑤 ̃ 𝑝 ) = ( 𝑣 ̃ w ̃ )𝑝 , 𝑒 ̃ 𝑝 = 𝑝 , serta 𝜀 ̃ 𝑝 = ε . Dengan demikian, memenuhi aksioma-aksioma pada semi modul atas semi ring. Jadi, R max [ γ ] merupakan semimodul atas R max . Dengan kata lain,  himpunan  polinomial  fuzzy  merupakan  semi  modul  atas  semi  ring  aljabar max-plus fuzzy.

## KESIMPULAN
Operasi  internal  pada  himpunan  polinomial  fuzzy  dan  operasi  eksternal pada himpunan polinomial fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy memenuhi aksioma- aksioma pada semi modul atas semi ring. Dengan demikian, himpunan polinomial fuzzy merupakan semi modul atas semi ring aljabar max-plus fuzzy.

## A. Wardayani dan Suroto                                                                        6

## DAFTAR PUSTAKA
Bacelli, F, et al . 2001. Synchronization and Linearity . New York : John Wiley & Sons.
Rudhito,  A,  2007. Semimodul  Bilangan  Fuzzy  atas  Aljabar  Max-Plus  Bilangan Fuzzy .  Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika,  F  MIPA  UPI&IndoMS 2007
------------ 2006. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur . Artikel Berkala MIPA
Susilo,  F.  2006. Himpunan  dan  Logika  Kabur  serta  Aplikasinya. Yogyakarta  : Graha Ilmu
Zimmermann,  H.J.    1991. Fuzzy  Set  Theory  and  Its  Applications .  Kluwer Academic   Publishers, USA
Semi Modul Polinomial                                                                                      7

## A. Wardayani dan Suroto                                                                        8