Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 21-36 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/

## ANALISIS KESTABILAN ENDEMIK MODEL EPIDEMI CVPD

## ( CITRUS VEIN PHLOEM DEGENERATION )

## PADA TANAMAN JERUK

## Tesa Nur Padilah
Universitas Singaperbangsa Karawang tesa.nurpadilah@staff.unsika.ac.id

## Najmudin Fauji

## Universitas Singaperbangsa Karawang
ABSTRACT. Orange  fruits  are  important  commodities  in  Indonesia.  However,  the efforts to increase production of oranges still have obstacles. One of them is because of CVPD  (Citrus  Vein  Phloem  Degeneration)  disease.  The  spread  of  CVPD  disease  in orange  plants  can  be  modeled  by  mathematical  model,  that  is  epidemic  model  between orange plants as a host plant and  Diaphorina Citri as a vector. In this model, predation response  follows  Holling  Type  II  response  function.  The  model  is  then  analyzed  by checking the stability of the equilibrium point and computing basic reproduction number. This model has an endemic equilibrium point. If the basic reproduction number is more than  one  then  an  endemic  equilibrium  point  is  locally  asymptotic  stable  or  epidemic which  means  that it  occurs  in  the  population.  The simulation  result of the  model  are in good agreement with the model behavior analysis.
Keywords : Basic Reproduction Number; Holling Type II; Epidemic Model; Equilibrium Point.
ABSTRAK. Jeruk  merupakan  komoditas  buah-buahan  penting  di  Indonesia.  Namun, usaha  peningkatan  produksi  jeruk  masih  mengalami  hambatan.  Salah  satunya dikarenakan  penyakit  CVPD  ( Citrus  Vein  Phloem  Degeneration ).  Penyebaran  penyakit CVPD pada jeruk dapat dimodelkan dalam suatu model matematis yaitu model epidemi antara  tanaman  jeruk  sebagai  inang  dengan  serangga  Diaphorina  Citri  (kutu  loncat) sebagai    hama  (vektor).  Pada  model  ini,  respon  pemangsaan  mengikuti  fungsi  respon Holling  Tipe  II.  Analisis  model  dilakukan  dengan  menganalisis  kestabilan  titik ekuilibrium  dan  angka  rasio  reproduksi  dasar.  Model ini  memiliki  satu  titik  ekuilibrium endemik.  Jika  angka  rasio  reproduksi  dasar  lebih  dari  satu,  maka  titik  ekuilibrium endemik  stabil  asimtotik  lokal,  yang  berarti  terjadi  epidemi  pada  populasi.  Simulasi model untuk penyakit ini sejalan dengan analisis perilaku model .
Kata  Kunci :  Angka  Rasio  Reproduksi  Dasar;  Holling  Tipe  II;  Model  Epidemi;  Titik Ekuilibrium.

## 1. PENDAHULUAN
Menurut  Rizal  et  al.  (2011),  jeruk  ( Citrus  sp )  merupakan  salah  satu komoditi  buah-buahan  yang  mempunyai  peranan  penting  di  pasaran  dunia maupun  dalam  negeri,  baik  dalam  bentuk  segar  maupun  olahannya.  Namun, produktivitas  tanaman  jeruk  akan  mengalami  penurunan  jika  terkena  serangan Diaphorina  citri (kutu  loncat).  Penyakit  menular  yang  disebabkan  serangga  ini dikenal  sebagai  penyakit  CVPD  ( Citrus  Vein  Phloem  Degeneration )  (Wijaya  et al.,  2010).  Menurut  Balai  Pengkajian  Teknologi  Pertanian  (2002),  penyakit  ini disebabkan oleh bakteri Liberobacter asiaticum yang menghambat tanaman dalam menyerap  nutrisi  karena  sel-sel phloem mengalami  degenerasi.  Selain  ditularkan oleh serangga Diaphorina citri , penyebaran penyakit ini juga ditularkan oleh bibit jeruk yang terinfeksi CVPD.
Penyebaran  penyakit  CVPD  dapat  dimodelkan  menjadi  suatu  model epidemi.  Model  epidemi  merupakan  model  matematika  yang  dapat  memberikan pemahaman  tentang  bagaimana  penyakit  menular  dapat  menyebar,  menggali prinsip-prinsip  umum  yang  mengatur  dinamika  penularan  penyakit,  dan mengidentifikasi  parameter  yang  lebih  penting  dan  sensitif  untuk  membuat prediksi  yang  dapat  diandalkan  dan  memberikan  strategi  pencegahan  serta pengendalian (Ma dan Li, 2009).
Model  epidemi  yang  paling  sederhana  adalah  model SI .  Pada  model  ini, populasi  yang  diamati  terbagi  menjadi  subpopulasi  rentan S ( susceptible )  serta subpopulasi terinfeksi dan menularkan I ( infectives ). Pada tahun 1927, Kermack- Mckendrick  memperluas  model SI dengan  menambahkan  subpopulasi  sembuh R
( recovery )  (Ma  &  Li,  2009).  Selanjutnya  Shi  et  al.  (2014)  menganalisis  model penyakit  tanaman  yang  membagi  populasi  tanaman  inang  menjadi  subpopulasi inang rentan, inang terinfeksi dan menularkan, dan inang sembuh, serta membagi populasi hama (vektor) menjadi subpopulasi hama rentan dan hama terinfeksi dan menularkan.  Laju  pemangsaan  pada  model  ini  mengikuti  laju  pemangsaan  yang sangat  umum  dimiliki  oleh  serangga  yaitu  fungsi  respon  Holling  Tipe  II  karena tingkat  pemangsaan  dipengaruhi  oleh  ketersediaan  mangsa.  Pemangsaan meningkat  seiring  dengan  meningkatnya  ketersediaan  mangsa,  tetapi  menurun
saat mendekati kenyang sehingga waktu yang diperlukan pemangsa menjadi lebih lama  (Holling,  1959).  Berdasarkan  model  yang  diperoleh,  titik  ekulibrium  bebas penyakit  dan  titik  ekulibrium  endemik  serta  angka  rasio  reproduksi  dasar kemudian ditentukan. Selanjutnya Shi et al. (2014) melakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium untuk mengetahui bagaimana perilaku model untuk jangka waktu tertentu  sehingga  dapat  diketahui  apakah  populasi  akan  bebas  dari  penyakit  atau tidak. Berdasarkan angka rasio reproduksi dasar dapat diketahui faktor-faktor apa saja  yang  dapat  menyebabkan  kasus  epidemi  pada  populasi.  Salah  satu  penyakit yang sesuai dengan model Shi et al. (2014) adalah penyakit CVPD pada tanaman jeruk.  Oleh  karena  itu,  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  kembali  model  Shi  et  al. (2014) dengan melakukan analisis kestabilan endemik model epidemi CVPD pada tanaman jeruk dengan fungsi respon Holling Tipe II.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  epidemi  CVPD  pada  tanaman  jeruk  mengikuti  fungsi  respon Holling  Tipe  II.  Fungsi  Holling  Tipe  II  untuk  interaksi  mangsa  pemangsa diberikan dalam persamaan berikut (Holling, 1959):
  , 1 ax g x hax   (1)
dengan h menyatakan  penanganan  dan  penangkapan  mangsa  oleh  pemangsa,
  g x menyatakan banyaknya mangsa yang diserang pemangsa per satuan waktu,
dan a menyatakan tingkat penangkapan mangsa oleh pemangsa.
Penelitian dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan asumsi, variabel, dan  parameter  pada  model  (Shi  et  al.,  2014).  Selanjutnya,  dilakukan  penurunan model  sesuai  dengan  asumsi,  lalu  ditentukan  angka  rasio  reproduksi  dasar  dan titik  ekuilibrium  endemik.  Nilai R 0 diperoleh  dengan  cara  menghitung  radius spektral  dari  metode  matriks  generasi  berikutnya  ( the  next  generation  matrix method )  (Brauer  et  al.,  2008).  Titik  ekuilibrium  endemik  ditentukan  dengan metode  substitusi  (Edwards  dan  Penney,  2008).  Tahapan  selanjutnya  adalah melakukan  analisis  kestabilan  di  sekitar  titik  ekuilibrium  endemik.  Analisis perilaku  model  dilakukan  dengan  terlebih  dahulu  melinierisasi  sistem  di  sekitar
24                                                                                 Tesa Nurpadilah dan Najmudin Fauji
titik  ekuilibrium  endemik  (Machowski  et  al.,  2008).  Selanjutnya,  untuk mengetahui  kestabilan  titik  ekuilibrium  endemik,  dilakukan  analisis  terhadap bagian riil  nilai  eigen dari persamaan karakteristik (Edwards dan Penney, 2008). Penentuan bagian riil nilai eigen menggunakan lemma yang berhubungan dengan second  additive  compound  matrix (Muldowney,  2008).  Lemma  ini  digunakan untuk mengecek kestabilan melalui nilai determinan dan trace matriksnya (Shi et al., 2014). Misalkan diberikan X matriks berukuran berikut:
11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a X a a a a a a    
       .
Second additive compound matrix dari matriks X yaitu
  11 12 13 11 22 23 13 2 21 22 23 32 11 33 12 31 32 33 31 21 22 33 y y y a a a a X y y y a a a a y y y a a a a  
                         .        (2)
Lemma  berikut  berhubungan  dengan second  additive  compound  matrix yang digunakan untuk mengecek bagian riil nilai eigen suatu matriks (Shi et al., 2014).
Lemma 1. Misal M matriks berukuran 3 × 3 dengan entri-entri bilangan riil. Jika ( ) , ( ) ,  dan ( [ ] ) semuanya  negatif,  maka  semua  nilai  eigen  dari matriks M mempunyai bagian riil yang negatif.
Tahapan terakhir adalah melakukan simulasi model dengan menggunakan software Maple.  Parameter-parameter  dan  variabel-variabel  yang  digunakan dalam  simulasi  ditentukan  berdasarkan  data  sekunder  yang  diperoleh  dari  Balai Pengkajian Teknologi Pertanian (2002), sedangkan parameter dan variabel lainnya dipilih berdasarkan Shi et al. (2014).
Subpopulasi  pada  model  epidemi  CVPD  dibagi  menjadi  subpopulasi tanaman  jeruk  rentan S ( susceptible ),  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan  menularkan I ( infectives ),  tanaman  jeruk  sembuh R ( recovery ), Diaphorina  citri rentan P ,  dan
Diaphorina  citri terinfeksi  dan  menularkan Y .  Asumsi-asumsi  yang  digunakan yaitu:
(1) Total jumlah tanaman jeruk konstan setiap saat.
(2) Tingkat  kelahiran  tanaman  jeruk  sama  dengan  tingkat  kematian  alami tanaman  jeruk.  Setiap  tanaman  jeruk  yang  mati  karena  penyakit  akan digantikan oleh tanaman jeruk baru dengan jumlah yang sama.
(3) Setiap tanaman jeruk baru akan menjadi tanaman jeruk rentan.
(4) Tanaman  jeruk  rentan  tidak  hanya  dapat  terinfeksi  oleh Diaphorina  citri terinfeksi  dan  menularkan,  tetapi  juga  oleh  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan menularkan.
(5) Diaphorina  citri rentan  hanya  dapat  terinfeksi  oleh  tanaman  jeruk  terinfeksi dan  menularkan,  dan  setelah  terinfeksi, Diaphorina  citri tersebut  akan  terus terinfeksi  selama  sisa  hidupnya.  Lebih  lanjut,  diasumsikan  tidak  terjadi penularan vertikal, yaitu antar serangga Diaphorina citri .
(6) Tingkat  kelahiran Diaphorina  citri konstan  dan  setiap Diaphorina  citri baru yang lahir akan menjadi Diaphorina citri rentan.
(7) Saat Diaphorina citri rentan menggigit tanaman jeruk terinfeksi, Diaphorina citri tersebut  dapat  terinfeksi  dengan  tingkat  perpindahan  mengikuti  Holling Tipe II.
(8) Ketika  tanaman  jeruk  rentan  berinteraksi  dengan  tanaman  jeruk  terinfeksi, tanaman jeruk tersebut dapat terinfeksi dengan tingkat perpindahan mengikuti Holling Tipe II.

## 2.1 Variabel dan Parameter
Variabel-variabel  yang  digunakan  bernilai  nonnegatif,  sedangkan parameter-parameternya bernilai positif, yang disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Daftar Variabel dan  Parameter
Simbol Definisi Jenis Satuan S Jumlah tanaman jeruk  rentan. Variabel Pohon I Jumlah tanaman jeruk terinfeksi dan menularkan. Variabel Pohon R Jumlah tanaman jeruk  sembuh. Variabel Pohon K Total jumlah tanaman jeruk. Variabel Pohon P Jumlah Diaphorina citri rentan. Variabel Ekor Q Jumlah Diaphorina citri terinfeksi dan menularkan. Variabel Ekor N Total jumlah Diaphorina citri . Variabel Ekor β 1 Rasio infeksi antara tanaman jeruk terinfeksi dan menularkan dengan Diaphorina citri rentan. Parameter Per  pohon per  waktu β 2 Tingkat gigitan Diaphorina citri terinfeksi dan menularkan terhadap tanaman jeruk  rentan. Parameter Per  ekor  per waktu β 3 Kejadian infeksi antara tanaman jeruk  terinfeksi dan  menularkan dengan tanaman jeruk  rentan. Parameter Per  pohon per  waktu α 1 Level  kekuatan penyerapan infeksi  antara tanaman jeruk terinfeksi dan menularkan dengan Diaphorina citri rentan. Parameter Per  pohon α 2 Level kekuatan penyerapan  infeksi Diaphorina citri terinfeksi dan menularkan terhadap tanaman jeruk  rentan. Parameter Per  pohon α 3 Level  kekuatan penyerapan infeksi  antara tanaman jeruk terinfeksi dan menularkan dengan tanaman jeruk  rentan. Parameter Per  pohon Tingkat perubahan tanaman jeruk  terinfeksi dan menularkan menjadi tanaman jeruk sembuh (tingkat kesembuhan). Parameter Per  waktu µ Tingkat kematian alami  tanaman jeruk. Parameter Per  waktu Kelahiran atau imigrasi Diaphorina citri . Parameter Ekor  per waktu m Tingkat kematian   alami Diaphorina citri . Parameter Per  waktu d Tingkat kematian tanaman jeruk karena penyakit CVPD. Parameter Per  waktu

## 2.2 Penurunan Model
Skema  penularan  penyakit  dari  model  epidemi  CVPD  adalah  sebagai berikut:
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Epidemi CVPD pada Tanaman Jeruk
Tanda  panah  pada  Gambar  1 menyatakan  penambahan  atau  pengurangan yang  terjadi  pada  masing-masing  kompartemen,  sedangkan  garis  putus-putus hanya  menyatakan  interaksi  saja.  Berdasarkan  Persamaan  (1),  fungsi  respon Holling Tipe II untuk interaksi antara hama dengan tanaman jeruk terlihat pada:
1. Perubahan  jumlah S dan  perubahan  jumlah I yang  dipengaruhi  oleh banyaknya  inang  rentan S yang  terinfeksi  akibat  berinteraksi  dengan  inang terinfeksi  dan  menularkan I dan  hama  terinfeksi  dan  menularkan Q dengan tingkat perpindahan
3 2 2 3
1 1 I Q Q I        .
2. Perubahan  kepadatan P dan  perubahan  kepadatan Q yang  dipengaruhi  oleh banyaknya hama rentan P yang terinfeksi karena menggigit inang terinfeksi dan menularkan I dengan tingkat perpindahan
1 1 1 I P I    .
Berdasarkan  Gambar  1  diperoleh  model  epidemi  CVPD  berupa  sistem persamaan diferensial nonlinier yaitu
    3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 I Q dS K S S dI dt Q I I Q dI
S d I dt Q I
dR I R dt I dP P mP dt I I dQ P mQ dt I                                                      (3)
Diperhatikan  bahwa ,  maka  dengan  menjumlahkan
persamaan pertama, kedua, dan ketiga pada Sistem (3) diperoleh
0. dK dt 
Ini  berarti,  total  jumlah  inang  untuk  setiap  saat  adalah  konstan.  Selanjutnya, karena , maka dengan menjumlahkan persamaan  keempat dan kelima pada Sistem (3) diperoleh
. dN mN
dt    Dengan  demikian,  untuk diperoleh .  Dengan  kata  lain, . Karena untuk , nilai dapat diperoleh dari ( ) dan  nilai dapat  diperoleh  dari
,  maka  Sistem  (3)  dapat
direduksi menjadi sistem berikut
  3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 I Q dS K S S dI dt Q I I Q dI S I dt Q I
I dQ Q mQ dt I m                                                (4)
dengan d       .
Diperhatikan  bahwa 0 S  , 0 I  , 0 R  , 0 P  ,  dan 0 Q  ,  sehingga 0. S I   Selanjutnya,  karena K S I R    ,  maka S I K   .  Lebih  lanjut,
S I K   terpenuhi  jika  tidak  ada  individu  di  kompartemen R .  Karena
P Q m    , maka Q m   , sehingga himpunan
  3 , , : 0 , 0
S I Q R S I K Q m              
 
adalah himpunan tertutup.
Untuk setiap ( ( )   ( )   ( )) dengan ( )    ( ) dan
( ) ,  solusi  Sistem  (4)  memenuhi ( ( )   ( )   ( )) dengan
( )    ( ) dan ( ) .  Jadi,  himpunan Ω adalah  himpunan invarian.  Karena  solusi  Sistem  (4)  memenuhi ( ( )   ( )   ( )) untuk  setiap maka  himpunan Ω adalah  himpunan  invarian  positif,  sehingga  diperoleh teorema berikut.
Teorema 1. Himpunan tertutup Ω adalah himpunan invarian positif .

## 2.3 Angka Rasio Reproduksi Dasar dan Titik Ekuilibrium Endemik
Diberikan  model  pada  Sistem  (4).  Nilai  angka  rasio  reproduksi  dasar untuk Sistem  (4)  diperoleh dengan cara menghitung radius spektral dari metode matriks  generasi  berikutnya  ( the  next  generation  matrix  method )  (Brauer  et  al.,
2008) yaitu
30                                                                                 Tesa Nurpadilah dan Najmudin Fauji
3 1 2 0 2 K K R m         .
Titik  ekuilibrium  endemik  adalah  titik  ekuilibrium  pada  saat  terdapat penyakit  dan  penyakit  tersebut  menyebabkan  epidemi  pada  populasi  (Edwards dan Penney, 2008). Titik ekuilibrium untuk model  epidemi CVPD tanaman jeruk pada  Sistem  (4)  diperoleh  jika 0. dS dI dQ
dt dt dt    Jika  dilakukan  penjumlahan
0 dS dI dt dt   , maka diperoleh
( ) (5)
Selanjutnya berdasarkan 0 dQ dt  diperoleh
  1 2 1 1 . 1 I Q m I m I        (6)
Jika Persamaan (5) dan (6) disubstitusikan ke 0 dI dt  , maka diperoleh
2 4 , 2 U U TW I T     dengan
      2 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 1 3 1 3 2 1 3 0, T m m m m                               

     
    2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 2 0 , 1 U m m m m K m m W m R
                     
               
 
dan 0 1. R  Dengan  demikian,  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik  dari  Sistem (4) yang ditulis dalam teorema berikut.
Teorema  2. Titik  ekuilibrium  endemik  dari  Sistem  (4)  yaitu   * * * 1 , , E S I Q  , dengan * * 1 , S K I    
       2 * 4 , 2 U U TW I T       * * 1 2 * * 1 1 . 1 I Q m I m I       

## 2.4 Analisis Perilaku Model
Matriks Jacobian hasil  linierisasi  model  epidemi  tanaman di  sekitar titik
ekuilibrium   * * * , , E S I Q  (Machowski et al., 2008) adalah
                  3 2 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 , , *, *, * 1 1 , 1 1 0 1 1 1 E S I Q S I Q S S G d I Q S S J G I Q Q I m I m I I    
    
        
                                  
dengan
3 2 1 2 3 , 1 1 I Q G Q I       
          3 2 2 2 3 . 1 1 I Q G Q I        
Matriks   1 E J adalah matriks Jacobian di sekitar titik   * * * 1 , , E S I Q  , yaitu             1 * * 3 2 1 2 2 * * 3 2 * * 3 2 2 2 2 * * 3 2 * * 1 1 2 * * 1 1 1 1 , 1 1 0 1 1 E S S M d I Q S S J M I Q I Q m m I I                
                                      
  dengan
* * 3 2 1 * * 2 3 . , 1 1 I Q M Q I       
          * * 3 2 2 * * 2 3 . . 1 1 I Q M Q I        
Berdasarkan  Persamaan  (2),  diperoleh second  additive  compound  matrix untuk matriks   1 E J (Muldowney, 2008) yaitu
   
        1 * * 2 2 11 2 2 * * 2 2 *
2 * 3 1 22 2 2 * * 1 3 * * 3 2 33 * * 2 3 1 1 , 1 1 0 1 1 E S S D Q Q S J Q D d m I I I Q D Q I         
                                         
dengan
    * * * 3 3 2 11 * * 2 * 2 3 3 * * * 3 2 1 22 * * * 2 3 1 * * 3 1 33 2 * * 1 3 , 1 1 1 , 1 1 1 . 1 1 I S Q D Q I I I Q I D m Q I I S I D m I I    
                 
                           
      Nilai     1 0, E tr J      1 det 0, E J  dan       1 2 det 0, E J  sehingga  berdasarkan
Lemma 1, semua nilai eigen dari matriks M mempunyai bagian riil  yang negatif.
Perhatikan  kembali  bahwa  titik  ekuilibrium  endemik 1 E diperoleh  saat 0 1 R  sehingga  diperoleh  kestabilan  titik  ekulibrium 1 E yang  ditulis  dalam  teorema berikut.
Teorema 3. Dimisalkan   * * * 1 , , E S I Q  ,  dengan * * 1 , S K I            2 * 4 , 2 U U TW I T       * * 1 2 * * 1 1 . 1 I Q m I m I       
Jika 0 1 R  , maka  titik  ekuilibrium  endemik 1 E  stabil  asimtotik lokal.
Hal ini berarti jika 0 1 R  maka penyakit akan menyebar. Dengan kata lain terjadi epidemi pada populasi.

## 2.5 Simulasi Model
Menurut Balai Pengkajian Teknologi Pertanian (2002), vektor Diaphorina citri mampu menghasilkan 9-10 generasi dalam 1 tahun, sehingga diperoleh nilai parameter
ekor per tahun. Berdasarkan pengamatan Wijaya et al. (2010), kisaran  populasi Diaphorina  citri adalah ekor  per  pohon,  sehingga
dipilih  populasi  awal Diaphorina  citri yang  terinfeksi  dan  menularkan  sebanyak 10 ekor. Nilai-nilai parameter lainnya dipilih berdasarkan jurnal Shi et al. (2014). Nilai-nilai parameter disajikan dalam tabel berikut.
Tabel  2. Nilai-nilai  Parameter Simbol Definisi Nilai Satuan β 1 Rasio  infeksi  antara  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan menularkan dengan Diaphorina citri rentan. 0,01 Per  pohon per  tahun β 2 Tingkat  gigitan Diaphorina  citri terinfeksi  dan menularkan terhadap tanaman jeruk  rentan. 0,02 Per  ekor per  tahun β 3 Kejadian  infeksi  antara  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan menularkan dengan tanaman jeruk  rentan. 0,01 Per  pohon per  tahun α 1 Level  kekuatan  penyerapan    infeksi  antara  tanaman jeruk  terinfeksi  dan  menularkan  dengan Diaphorina citri rentan. 0,1 Per  pohon α 2 Level  kekuatan  penyerapan  infeksi Diaphorina  citri terinfeksi  dan  menularkan  terhadap  tanaman  jeruk rentan. 0,2 Per  pohon α 3 Level  kekuatan  penyerapan    infeksi  antara  tanaman jeruk terinfeksi dan menularkan dengan tanaman jeruk rentan. 0,2 Per  pohon Tingkat  perubahan  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan menularkan  menjadi  tanaman  jeruk  sembuh  (tingkat kesembuhan). 0,065 Per  tahun µ Tingkat kematian alami tanaman jeruk. 0,1 Per  tahun Kelahiran atau imigrasi Diaphorina citri . 10 Ekor  per tahun m Tingkat kematian   alami Diaphorina citri . 0,3 Per  tahun d Tingkat  kematian  tanaman  jeruk  karena  penyakit CVPD. 0,1 Per  tahun dengan  nilai  awalnya  adalah   0 700 S  ,   0 200 I  ,   0 10 Q  ,  dan  total jumlah pohon  jeruk 1.000 K  .
Berdasarkan  Tabel  2,  diperoleh  nilai  angka  rasio  reproduksi  dasar  yaitu
0 121, 6 1 R   .  Karena 0 1 R  ,  maka  penyakit  akan  menyebar.  Dengan  kata  lain akan  terjadi  epidemi  pada  populasi.  Titik  ekuilibrium  endemiknya  adalah
  1 589, 249,8 E  . Hasil simulasi di titik ekuilibrium 1 E dengan menggunakan software Maple disajikan dalam gambar berikut.
Gambar 2. Grafik S , I ,  dan Q di  Titik Ekuilibrium 1 E
Berdasarkan Gambar 2,  jumlah jeruk rentan S ,  jeruk terinfeksi dan menularkan I , serta Diaphorina  citri terinfeksi dan  menularkan Q untuk jangka waktu tertentu akan  menuju  ke  titik  ekuilibrium  endemik 1 E .  Dengan  demikian,,  terjadi epidemi  pada  populasi.  Selanjutnya,  jumlah  jeruk  sembuh R lebih  kurang  162 pohon  dan  jumlah D.  citri rentan P lebih kurang 25  ekor. Jadi, berdasarkan data yang  digunakan,  penyakit  CVPD  akan  menyebar  atau  terjadi  epidemi  pada populasi jeruk.
Berdasarkan  angka  rasio  reproduksi  dasar,  faktor-faktor  yang  dapat dikendalikan agar  penyakit tidak mewabah diantaranya rasio  infeksi  antara jeruk terinfeksi  dan  menularkan  dengan Diaphorina  citri rentan  ( β 1 ),  tingkat  gigitan Diaphorina  citri terinfeksi  dan  menularkan  terhadap  jeruk  rentan  ( β 2 ),  dan kejadian infeksi  antara jeruk terinfeksi dan menularkan dengan jeruk  rentan ( β 3 ). Paramater β 1 dapat  dikendalikan  dengan  cara  pemusnahan  tanaman  sakit. Paramater β 2 dapat  dikendalikan  dengan  cara  penggunaan  pestisida  yang  dapat
mengendalikan  populasi  vektor.  Paramater β 3 dapat  dikendalikan  dengan  cara pengadaan bibit jeruk  bebas penyakit.

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Model  epidemi CVPD pada tanaman jeruk dengan fungsi  respon Holling Tipe  II  memiliki  satu  titik  ekuilibrium  endemik. Angka rasio  reproduksi dasar menunjukkan bahwa penyebaran penyakit dalam populasi dipengaruhi oleh  rasio infeksi  antara tanaman jeruk terinfeksi  dan menularkan dengan Diaphorina  citri rentan,  tingkat  gigitan Diaphorina  citri terinfeksi  dan  menularkan  terhadap tanaman  jeruk  rentan,  kejadian  infeksi  antara  tanaman  jeruk  terinfeksi  dan menularkan  dengan  tanaman  jeruk  rentan,  tingkat  perubahan  tanaman  jeruk terinfeksi dan menularkan  menjadi  tanaman  jeruk sembuh  (tingkat kesembuhan),  tingkat  kematian  alami  tanaman  jeruk,  kelahiran  atau  imigrasi Diaphorina  citri ,  tingkat  kematian  alami Diaphorina  citri ,  dan  tingkat kematian  tanaman  jeruk  karena  penyakit  CVPD.  Analisis  perilaku  model menunjukkan  bahwa  titik  ekuilibrium  endemik 1 E bersifat  stabil  asimtotik  lokal jika nilai  angka rasio  reproduksi dasar lebih dari  satu.  Ini  berarti jika nilai  angka rasio reproduksi dasar lebih dari satu maka penyakit akan mewabah. Pengendalian yang  dapat  dilakukan  agar  penyakit  CVPD  tidak  mewabah  diantaranya  dengan cara  pemusnahan tanaman sakit, penggunaan pestisida yang  dapat mengendalikan populasi  vektor, dan  pengadaan bibit jeruk  bebas penyakit.

## DAFTAR PUSTAKA
Balai  Pengkajian  Teknologi  Pertanian, Pengenalan  Penyakit  CVPD  pada Tanaman  Jeruk  dan  Upaya  Pengendaliannya ,  Sulawesi  Selatan,  2002,
http://sulsel.litbang.pertanian.go.id/ind/index.php?option=com_content&vi ew=article&id=121:pengenalan-penyakit-cvpd-pada-tanaman-jeruk-dan- upaya-pengendaliannya&catid=47:panduanpetunjuk-teknis-brosur-
&Itemid=231 , diakses pada 5 Desember 2016.
Brauer,  F., Driessche,  P.  Van  Den,  dan  Wu,  J., Mathematical  Epidemiology , Springer, Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

## 36                                                                                 Tesa Nurpadilah dan Najmudin Fauji
Edwards,  C.  H.  dan  Penney,  D.  E., Elementary  Differential  Equation ,  Edisi
Keempat, Pearson Education, New Jersey, 2008.
Holling, C. S., Some characteristics of simple types of  predation and parasitism , Entomology Journal Canada, 91 (1959), 385–398.
Ma,  Z.  dan  Li,  J., Dinamical  Modeling  and  Analysis  of  Epidemics ,  World Scientific Publisher, Singapore, 2009.
Machowski,  J.,  Bialek,  J.  W.,  dan  Bumby,  J.  R., Power  System  Dynamics: Stability and Control , Edisi Kedua, John Wiley and Sons, Inc., New York,
2008.
Muldowney, J. S., Compound matrices and ordinary differential equations , Rocky Mountain Mathematics Consortium, 20 (4) (1990), 1-16.
Olsder, G. J., Woude, J. W. van der, Maks, J. G., dan Jeltsema, D., Mathematical Systems Theory , Edisi Keempat, VSSD, Netherlands, 2011.
Rizal.  M.,  Pebriyadi,  B.,  dan  Widowati,  R., Budidaya  Jeruk  Bebas  Penyakit , Kalimantan Timur, 2011.
Shi, R., Zhao, H., dan Tang, S., Global dynamic analysis of a vector-borne plant disease model , Springer, 59 (2014), 1–16.
Wijaya, I. N., Adiartayasa, W., Sritamin, M., Ketut, D. A. N., dan Yuliadhi, A. Y. U., Dinamika  populasi  Diaphorina  citri  Kuwayama  (Homoptera :
Psyllidae)  dan  deteksi  CVPD  dengan  teknik  PCR ,  Jurnal  Entomologi Indonesia, 7 (2) (2010), 78–87.