Analisis Energi Osilator Harmonik Menggunakan Metode Path Integral Hypergeometry dan Operator
Fuzi Marati Sholihah 1 , Suparmi 2 , Viska Inda Variani 2
1 Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta
2 Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret Surakarta E-mail: fuzzimarati@yahoo.com
Received 22-12-2011, Revised 17-03-2012, Accepted 24-03-2012, Published 30-04-2012

## ABSTRACT
Solution of the harmonic oscillator equation has a goal to get the energy levels of particles moving  harmonic.  The  energy  spectrums  of  one  dimensional  harmonic  oscillator  are analyzed by 3 methods: path integral, hypergeometry and operator. Analysis of the energy spectrum by path integral  method is examined  with Schrodinger equation. Analysis of the energy spectrum by operator method is examined by Hamiltonian in operator. Analysis of harmonic  oscillator  energy  by  3  methods:  path  integral,  hypergeometry  and  operator  are getting same results 𝐸 = ℏ𝜔 (𝑛 + 1 2 )
Key Words : path integral, energy spectrum, hypergeometry, operator

## ABSTRAK
Penyelesaian persamaan osilator harmonik salah satu tujuannya adalah untuk  mendapatkan tingkat  energi  partikel  yang  bergerak  harmonik.  Spektrum  energi  osilator  harmonik  satu dimensi  dianalisis  menggunakan  tiga  metode  yaitu  path  integral,  hypergeometry  dan operator.  Analisis  spektrum  energi  menggunakan  metode  path  integral  ditelaah menggunakan  propagator  osilator  harmonik.  Analisis  spektrum  energi  menggunakan metode  hyergeometri  ditelaah  menggunakan  persamaan  Schrodinger.  Analisis  spektrum energi  menggunakan  metode  operator  ditelaah  melalui  hamiltonian  didalam  operator. Analisis  energi  osilator  harmonik  dengan  menggunakan  ketiga  metode  tersebut mendapatkan hasil yang sama yaitu 𝐸 = ℏ𝜔 (𝑛 + 1 2 )
Kata kunci : path integral , spektrum energi, hypergeometry , operator

## PENDAHULUAN
Fisika  yang  berkembang  sampai  akhir  abad  ke  19  dikenal  sebagai  fisika  klasik  dan mempunyai  dua  cabang  utama  yaitu  mekanika  klasik Newtonian dan  teori  medan elektromagnetik [1] .  Mekanika  klasik  dicirikan  oleh  kehadiran  partikel  sebagai  sesuatu yang  terkurung  di  dalam  ruang.  Istilah  terkurung  secara  sederhana  dapat  dikatakan adanya batas yang jelas antara materi dengan lingkungan di luar dirinya. Akhir abad ke 19  dan  awal  abad  ke  20  terjadi  krisis  dalam  fisika.  Hasil  eksperimen  menunjukkan bahwa  konsep-konsep  fisika  yang  berdasarkan  hukum-hukum Newton tidak  bisa
digunakan untuk  menjelaskan hasil  eksperimen sehingga diperlukan konsep baru  yang tidak sama dengan fisika klasik [2] .
Para ilmuwan fisika telah mengembangkan teori kuantum sejak awal abad ke 20. Fisika kuantum  muncul  dipelopori  oleh Bohr,  Heisenberg,  Schodinger dan  teori   relativitas yang diungkapkan Einstein [3] . Pada tahun 1925-1926, E.Schrodinger menyatakan bahwa perilaku  elektron,  termasuk  tingkat-tingkat  energi  elektron  yang  diskrit  dalam  atom mengikuti  suatu  persamaan  diferensial  untuk  gelombang [1] .  Persamaan  diferensial tersebut  kemudian  dikenal  dengan  persamaan  Schrodinger.  Persamaan  Schrodinger menjadi  tulang  punggung  dalam  memahami  fenomena  kuantum  secara  konsepsional dan  matematis.  Persamaan  Schrodinger  (PS)  merupakan  jantung  dalam  mekanika kuantum.  Energi  dan  fungsi  gelombang  suatu  partikel  dapat  ditentukan  dengan menyelesaian  persamaan  Schrodinger.  Energi  dan  fungsi  gelombang  digunakan  untuk mendiskripsikan perilaku sekelompok partikel [2] .
Penyelesaian  persamaan  menggunakan  mekanika  kuantum  dengan  metode  analitik bertujuan untuk mendapatkan fungsi gelombang Schrodinger dan tingkat energi partikel yang  berosilasi  harmonik.  Persamaan  gelombang  Schrodinger  osilator  harmonik  dapat diselesaikan  menggunakan  persamaan  diferensial  biasa,  deferensial  (PD)  orde  II  yang direduksi ke dalam PD orde dua fungsi Hermit, dan analitik [4] .
Aplikasi  fisika  kuantum  pada  penelitian  ini  digunakan  untuk  menyelesaikan  potensial osilator  harmonik.  Osilasi  mempunyai  karakteristik  harmonik  apabila  memiliki amplitudo yang sangat kecil [5] . Secara mekanika kuantum energi partikel yang berosilasi harmonik  tidak  boleh  sama  dengan  nol  tetapi 𝐸 = 𝐸 0 .  Untuk  mengetahui  perilaku partikel yang bergerak harmonik maka perlu dilakukan analisis energi osilator harmonik menggunakan metode path integral , hypergeometri dan operator. Metode path integral , hypergeometri dan operator mudah digunakan untuk menentukan tingkat energi osilator harmonik, karena persamaan matematis yang ada pada metode tersebut tidak rumit.
Penelitian  terdahulu  menyebutkan  energi  osilator  harmonik  ditentukan  dari  fungsi gelombang  Schrodingernya.  Cara  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan gelombang  Schrodinger  osilator  harmonik  adalah  dengan  menggunakan  fungsi pembangkit  dari  fungsi  hermit.  Disebut  sebagai  fungsi  pembangkit  karena  fungsi  ini dapat  membangkitkan  fungsi  hermit [4] .  Berdasarkan  penelitian  sebelumnya  fungsi pembangkit  hanya  digunakan  untuk  menentukan  fungsi  gelombang  saja.  Sedangkan penyelesaian tingkat energinya tetap ditentukan menggunakan metode analitik [6] .
Ada  metode  lain  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  energi  osilator  harmonik  tanpa menentukan persamaan Schrodinger terlebih dahulu. Metode itu adalah integral lintasan ( path  integral )  yang  diketemukan  oleh Feynman .  Metode  integral  lintasan  mula-mula dikembangkan oleh Feynman lewat asas penjumlahan amplitude [7] . Pergerakan partikel berakibat  pada  penambahan  lintasan  propagator.  Propagator  atau  yang  sering  disebut dengan Kernal adalah operator waktu yang dituliskan sebagai berikut [8] .
𝐾[𝑞 ′ , 𝑡 1 : 𝑞, 𝑡 0 ] = ∫ 𝐷|𝑞|𝑒𝑥𝑝 ( 𝑖 ℏ 𝑆⌈𝑞⌉) ~ −~ (1)
S  adalah  tindakan  (aksi)  dari  partikel  yang  berpindah  dari  posisi  dan  waktu (𝑞, 𝑡 0 ) sampai (𝑞 ′ , 𝑡 0 ) [6] .  Lintasan  yang  dilewati  partikel  memberikan  kontribusi  amplitudo sama dengan propagatornya [8] . Aksi dapat dituliskan sebagai berikut.
∫ 𝑑𝑡 ℒ = 𝑆 𝑡 1 𝑡 0
(2)
Analisis osilator harmonik dimulai dari persamaan lagrangian sebagai berikut [8] .
ℒ 𝐻𝑂 = 1 2 𝑚𝑞̇ 2 − 1 2 𝑚𝜔 2 𝑞 2 (3)
𝑆 = 𝑚 2 ∫ 𝑑𝑡𝑞̇ 𝑐 2 − 𝜔 2 𝑡 1 𝑡 0 𝑞 𝑐 2 + 𝛿(𝑞) 2 − 𝜔 2 (𝛿𝑞) 2 (4)
Persamaan  lagrangian  (3)  dimasukkan  dalam  persamaan  (2)  maka  aksi  S  (4)  dibagi menjadi dua bagian yaitu aksi klasikal dan aksi fluktuatif.
𝑆 𝑐 = 𝑚 2 ∫ 𝑑𝑡𝑞̇ 𝑐 2 − 𝜔 2 𝑞 𝑐 2 𝑡 1 𝑡 0 (5)
𝑆 𝑓 = 𝑚 2 ∫ 𝑑𝑡(𝛿𝑞̇) 2 − 𝜔 2 (𝛿𝑞) 2 𝑡 1 𝑡 0 (6)
Persamaan  (5)  dan  (6)  digunakan  untuk  menghitung  propagator  osilator  harmonik. berikut.
𝐾 = lim 𝑁→ ∞ ∏ 𝑑𝑞 𝑗 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑖𝑆 𝑓 ℏ ) 𝑁−1 𝑗=1 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑖𝑆 𝑐 ℏ ) (7)
Persamaan  (5)  dan  (6)  dimasukkan  dalam  persamaan  (7)  maka  akan  didapatkan propagator osilator harmoniknya.
Metode  yang  kedua  adalah  metode  hypergeometry.  Energi  osilator  harmonik  yang ditentukan  menggunakan  metode  hypergeometry  dimulai  dari  penentuan  persamaan Schrodinger potensial osilator harmonik satu dimensi [9] .
− 𝑑 2 𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 2 = 2𝑚 ℏ 2 (𝐸𝜓(𝑥) − 1 2 𝑚𝜔 2 𝑥 2 𝜓(𝑥)) (8)
Dengan memisalkan
𝑦 = 𝜆𝑥 2 → 𝐾 = 𝑘 2 2𝜆 = ℏ𝑘 2 2𝑚𝜔 = 𝐸 ℏ𝜔 (9)
Diketahui persamaan fungsi gelombang osilator harmonik satu dimensi
𝜓(𝑦) = 𝑒 − 𝑦 2 ⁄ 𝜑(𝑦) (10)
Persamaan  (10)  diturunkan  dua  kali  dan  dimasukkan  pada  pers  (8)  maka  akan membentuk persamaan Schrodinger hypergeometry
{𝑦 𝑑 2 𝜑(𝑦) 𝑑𝑦 2 + ( 1 2 − 𝑦) 𝑑𝜑(𝑦) 𝑑𝑦 + ( 𝐾 2 − 1 4 ) 𝜑(𝑦)} 𝑒 − 𝑦 2 ⁄ = 0 (11)
Persamaan (11) membentuk pola seperti persamaan di bawah ini.
𝑥 𝑑 2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2 + (𝑐 − 𝑥) 𝑑𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑎𝜑(𝑥) = 0 (12)
Persamaan  (12)  membentuk  deret  hypergeometri [10] .  Dengsn  menggunakan  persamaan (11) maka diketahui
𝑎 = − ( 𝐾 2 − 1 4 ) (13)
Persamaan (9) dan (13) dapat digunakan untuk menentukan energi osilator harmonik.
Metode  yang  ketiga  adalah  metode  operator.  Metode  operator  dimulai  dengan menentukan persamaan Hamiltonian di dalam operator [11]
( 1 ℏ𝜔 [ℏ𝜔(𝑎)] + 𝑎 − 1 2 ) = 𝐻 (14)
ℏ𝜔 (𝑎 + 𝑎 + 1 2 ) = 𝐻 (15)
Energi osilator harmonik dapat ditentukan menggunakan persamaan di bawah ini.
𝐻𝜓 𝑛 = 𝐸 𝑛 𝜓 𝑛 (16)

## METODE PENELITIAN
Penentuan energi menggunakan metode path integral ditulis dalam persamaan
𝐾[𝑞 ′ , 𝑡 1 : 𝑞, 𝑡 0 ] = ∫ 𝐷|𝑞| ∞ − ∞ 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑖 ℏ 𝑆|𝑞|) (17)
𝑍 = ∫ 𝑑𝑞𝐾 𝐸 (18)
𝐸 𝑛 = − lim 𝛽→ ∞ 1 𝛽 ln 𝑍 (19)
Penentuan energi menggunakan metode hypergeometry ditulis dalam persamaan (20).
-a = n dan-a = n + 1 2 (20)
Penentuan energi menggunakan metode operator ditulis dalam persamaan (21) dan (22).
𝐸 0 𝜓 0 = 𝐻𝜓 0 (21)
𝐸 1 𝜓 1 = 𝐻𝜓 1 (22)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penjabaran  energi  osilator  harmonik  menggunakan  metode path  integral mendapatkan hasil  yang  sama  dengan  metode  hypergeometry  dan  operator  tetapi  proses penjabarannya  lebih  rumit.  Penjabarannya  terdiri  dari  beberapa  tahapan.  Pertama dimulai  dari  penentuan  propagator  osilator  harmonik.  Propagator  dijabarkan  dari persamaan  lagrangian  osilator  harmonik.  Integral  propagator  terhadap  waktu  akan didapatkan  penjabaran  fungsi  partisi.  Limit  fungsi  pertisi  terhadap  beta  akan membentuk persamaan tingkat energi osilator harmonik. Hasil penjabaran aksi klasikal dan fluktuatif dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑆 𝑐 = 𝑚𝜔 2 sin 𝜔𝑇 [(𝑞 ′ + 𝑞)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑇 − 2𝑞 ′ 𝑞] (23)
𝐹(𝑇) = ( 𝑚𝜔
2𝜋𝑖ℏ sin 𝜔𝑇 ) 1 2 (24)
Persamaan  (23)  dan  (24)  di  masukkan  dalam  persamaan  propagator  osilator  harmonik satu dimensi akan didapatkan
𝐾[𝑞 ′ , 𝑡 1 : 𝑞, 𝑡 0 ] = ( 𝑚𝜔 2𝜋𝑖ℏ sin 𝜔𝑇 ) 1 2 𝑒𝑥𝑝 { 𝑖𝑚𝜔2𝑞 2ℏ sin 𝜔𝑇 [cos 𝜔𝑇 − 𝑞]} (25)
Persamaan  propagator  (25)  harus  diubah  dalam  bentuk euclidien supaya  dapat digunakan  untuk  menentukan  fungsi  partisinya.  Perubahan  waktu didekati  dengan yang digunakan untuk mengubah propagator dalam bentuk path euclidien .
− 1 ℏ ∫ 𝑑𝜏 [ 𝑚 2 ( 𝑑𝑞 𝑑𝜏 ) 2 + 𝑉|𝑞(𝜏)|] 𝛽ℏ 0 = − 1 ℏ 𝑆 𝐸 (26)
Persamaan  propagator  osilator  harmonik  (17)  diubah  dalam  bentuk  persamaan propagator energi osilator harmonik
𝐾 𝐸 = ∫ 𝐷𝑞(𝜏)𝑒𝑥𝑝 (− 1 ℏ 𝑆 𝐸 ) (27)
Persamaan  propagator  pada  (27)  diintegralkan  terhadap  posisi  akan  didapatkan  fungsi partisi dari osilator harmonik, dengan penjabaran sebagai berikut
𝑍 = (√(2 cos h(𝛽ℏ𝜔) − 2)) −1
𝑍 = (√𝑒 −𝛽ℏ𝜔 (𝑒 2𝛽ℏ𝜔 − 1)) −1
𝑍 = [𝑒 − 𝛽ℏ𝜔 2 (𝑒 2𝛽ℏ𝜔 2 − 1 1 2 )] −1 𝑍 = (𝑒 𝛽ℏ𝜔 2 − 𝑒 − 𝛽ℏ𝜔 2 ) −1
𝑍 = 1 𝑒 𝛽ℏ𝜔 2 −𝑒 𝛽ℏ𝜔 2 bila dikalikan dengan 𝑒 − 𝛽ℏ𝜔 2 akan diperoleh hasil
𝑍 = ∑ 𝑒 −𝛽ℏ𝜔(𝑛+ 1 2 ) (28)
Limit  tak  terhingga  persamaan  (28)  terhadap  fungsi β akan  didapatkan  tingkat  energi dari osilator harmonik.
𝐸 𝑛 = − lim 𝛽→ ∞ 1 𝛽 ln 𝑍 𝐸 𝑛 = − lim 𝛽→ ∞ 1 𝛽 ln 𝑒 −𝛽ℏ𝜔(𝑛+ 1 2 ) 𝐸 𝑛 = − lim 𝛽→ ∞ ℏ𝜔 (𝑛 + 1 2 ) 𝑒 −𝛽ℏ𝜔(𝑛+ 1 2 ) 𝐸 𝑛 = (𝑛 + 1 2 ) ℏ𝜔 (29)
Persamaan  (29)  menyatakan  tingkat  energi  dari    osilator  harmonik  yang  diselesaikan menggunakan metode path integral.
Cara kedua yang digunakan untuk menentukan energi osilator harmonik adalah dengan menentukan  persamaan  Shcrodingernya.  Sebagai  pembanding  dari  metode path integral ,  maka  akan  ditentukan  juga  energi  osilator  harmonik  menggunakan  metode hypergeometry.
Persamaan  (9)  dimasukkan  pada  persamaan  (20)  maka  akan  diperoleh  persamaan (30).Langkah pertama yang harus dilakukan dalam menjabaran energi osilator harmonik dengan metode hypergeometri yaitu dengan memisalkan – 𝑎 = 𝑛
𝐾
2 − 1 4 = 𝑛 𝐾 = 2 (𝑛 + 1 4 ) 𝐸 = (2𝑛 + 1 2 ) ℏ𝜔 (30)
Langkah kedua yaitu dengan memisalkan – 𝑎 = 𝑛 + 1 2 sehingga persamaan (20) dapat dijabarkan sebagai berikut.
𝐾 2 − 1 4 = 𝑛 + 1 2
𝐾 2 = 𝑛 + 1 2 + 1 4 𝐸 = (2𝑛 + 3 2 ) ℏ𝜔 (31)
Penggabungan  persamaan  (30)  dan  (31)  digunakan  untuk  menentukan  tingkat  energi osilator harmonik.
𝐸 𝑛 = (𝑛 + 1 2 ) ℏ𝜔 (32)
Persamaan (32) merupakan persamaan energi osilator harmonik yang ditentukan dengan menggunakan metode hypergeometri.
Metode  yang  ketiga  adalah  metode  operator.  Persamaan  (21)  dapat  digunakan  untuk menentukan energi tingkat dasar.
𝐸 0 𝜓 0 = ℏ𝜔 (𝑎 + 𝑎 + 1 2 ) 𝜓 0 𝐸 0 𝜓 0 = ℏ𝜔𝜓 0 2
E 0 = ℏω 2 (33)
Persamaan (19) dapat digunakan untuk menentukan energi tingkat pertama.
𝐸 1 𝜓 0 = 𝐻𝜓 1
𝐸 1 𝜓 1 = ℏ𝜔 (𝑎 + 𝑎 + 1 2 ) 𝑎 + 𝜓 0 𝐸 1 𝜓 1 = ℏ𝜔𝑎 + ( 𝐻 ℏ𝜔 + 1 2 ) 𝜓 0 + 1 2 ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0 𝐸 1 𝜓 1 = ℏ𝜔𝑎 + 𝐻𝜓 0 ℏ𝜔 + ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0 2 + 1 2 ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0 𝐸 1 𝜓 1 = 𝑎 + 𝐸 0 𝜓 0 + 1 2 ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0 + 1 2 ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0 𝐸 1 𝜓 1 = 𝐸 0 𝑎 + 𝜓 0 + ℏ𝜔𝑎 + 𝜓 0
𝐸 1 𝜓 1 = (𝐸 0 + ℏ𝜔)𝑎 + 𝜓 0
𝐸 1 𝜓 1 = (𝐸 0 + ℏ𝜔)𝜓 1
𝐸 1 = (𝐸 0 + ℏ𝜔)
𝐸 1 = ( ℏ𝜔 2 + ℏ𝜔) 𝐸 1 = 3ℏ𝜔 2 (34)
Energi tingkat kedua dapat dijabarkan sebagai berikut
𝐸 2 𝜓 2 = 𝐻𝜓 2
𝐸 2 𝜓 2 = ћ 𝜔 (𝑎 + 𝑎 + 1 2 ) 𝑎 + 𝜓 1 𝐸 2 𝜓 2 = ћ 𝜔𝑎 + ( 𝐻 ћ 𝜔 + 1 2 ) 𝜓 1 + 1 2 ћ 𝜔𝑎 + 𝜓 1 𝐸 2 𝜓 2 = ћ 𝜔𝑎 + (𝐸 1 𝜓 1 + 1 2 𝜓 1 ) + 1 2 ћ 𝜔𝑎 + 𝜓 1 𝐸 2 𝜓 2 = 5 ћ 𝜔 2 𝜓 2 𝐸 2 = 5 ћ 𝜔 2 (35)
Apabila persamaan (33), (34) dan (35) dibuat dalam bentuk deret maka akan diperoleh tingkat energi osilator harmonik dengan metode operator.
𝐸 𝑛 = 𝐸 0 + 𝐸 1 + 𝐸 2 + ⋯ 𝐸 𝑛 = 1 2 ћ 𝜔 + 3 2 ћ 𝜔 + 5 2 ћ 𝜔 + ⋯
𝐸 𝑛 = (𝑛 + 1 2 ) ℏ𝜔 (36)

## KESIMPULAN
Persamaan  energi  osilator  harmonik  dapat  ditentukan  dari  persamaan  propagator  dan fungsi partisi.
Keduaenergi  osilator  harmonik  dapat  ditentukan  dengan  cara  mereduksi  persamaan Schrodinger ke dalam bentuk persamaan hypergeometry.
Ketiga  energi  osilator  harmonik  dapat  ditentukan  dari  hamiltonian  di  dalam  operator.
Energi partikel yang berosilasi harmonik adalah 𝐸 𝑛 = (𝑛 + 1 2 ) ℏ𝜔

## DAFTAR PUSTAKA
1 Agus Purwanto, 2006, Fisika Kuantum ,Gava Media, Yogyakarta
2 Suparmi,  2011, Mekanika  Kuantum  I ,  Jurusan  Fisika  Fakultas  MIPA,  Universitas Sebelas Maret Surakarta
3 Beiser, A., 1992, Konsep Fisika Modern Edisi Keempat , Erlangga, Jakarta
4 Bromley, D, A, !989, Quantum Mechanics , Springer-Verlag, Berlin
5 Serway, R., A., and  John, W,  Jewett, 2004, Physics For Scientists and Engineers Sixth Edition , James Madison University
6 Bouch,  Gabriel  and  L,  Philip,  Bowers,  2007, Mathematical  Physics  electronic Journal  ISSN  1086-6655 ,  Vol  13,  Evaluating  Feynman  Path  Integrals  Via  The Polinomial Path Family
7 Winters, R, R 1996, Ann Journal of Physics , Vol 65, Continued Fractions and The Harmonics  Oscillator  Using  feynman’s  Path  Integ ral ,  Department  of  Physics, Dennison University, Graville
8 Dennis, V, 2001, Journal of Physics , Vol 21, Path Integral in Quantum Mechanics, Department of Physics, Cambridge
9 Greiner, W, 1989, Quantum Mechanics , Physics Departement, Frankfurt University 10 Arfken,  George,  B  and  Hans,  J,  Weber,  2005, Mathematical  Methods  For Physicists , Elsevier Academic Pers, USA
11 Eckmann,  B,  and  L,  Van  der,  Waerden,  1971, Practical  Quantum  Mechanics  1 , physikalisches Institut der Universitas Freiburg, Flugge, Berlin