## ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI PARETO
Maria Fransiska Muda 1* ,  Maria A. Kleden 1 , Keristina Br. Ginting 1
1. Program studi Matematika,Fakultas Sains dan Teknik,  Universitas Nusa Cendana
Jl. Adisucipto, Penfui Kupang
*Penulis korespondensi: riskamuda1@gmail.com

## ABSTRAK
Distribusi pareto (Generalized Pareto Distribution/GPD) diperkenalkan pertama kali oleh Pickands pada tahun 1975. Distribusi pareto lebih sering digunakan untuk pemodelan data  ekstrim  seperti  hidrologi,  klimatologi,  dan  udara.  Distribusi  Pareto  mempunyai dua  parameter  yaitu  parameter  skala  (  )  dan  parameter  bentuk  (  ).  Hasil  estimasi
parameter menggunakan metode maximum likelihood (MLE) adalah
2 1 0 1 1 ˆ n i i n n i i i i n s x x n x          
dan ˆ x   .
Kata kunci:  ditribusi Pareto, Metode maximum likelihood

## 1. PENDAHULUAN
Distribusi pareto (Generalized Pareto Distribution/GPD) diperkenalkan pertama kali oleh  Pickands  pada  tahun  1975.  Distribusi  pareto  lebih  sering  digunakan  untuk pemodelan  data  ekstrim  seperti  hidrologi,  klimatologi,  dan  udara.  Fungsi  distribusi kumulatif dari distribusi GPD didekati menggunakan metode Blok Maksimal. Distribusi pareto (Generalized Pareto Distribution/GPD) mempunyai dua parameter yaitu parameter skala (  ) dan parameter bentuk (  ).
Fungsi kepadatan peluang dari distribusi pareto adalah sebagai berikut:
1 1 1 (1 ) , 0 1 exp , 0 ( , ) x x f x                          
Parameter  didefinisikan  sebagai  hasil  pengukuran  yang  menggambarkan karakteristik dari suatu populasi. Disisi lain karakteristik sampel didefinisikan sebagai statistik. Sebagai contoh adalah rata-rata populasi (population mean) 𝜇 , variansi populasi
(population variance) 𝜎 2 , dan koefisien korelasi populasi (population correlation coefficient) 𝜌 . Dalam distribusi Pareto, semakin besar nilai  parameter  mengakibatkan semakin panjang  semakin  panjang  ekor.    Hal  ini  berdampak  pada  peluang  terjadinya  nilai ekstrim semakin besar[1].
Parameter  biasanya  tidak  diketahui  dan  dengan  statistik  maka  harga-harga parameter  itu  bisa  diduga  atau  diestimasi.  Sebagai  contoh  adalah  rata-rata  sampel 𝑥̅ digunakan untuk menaksir rata-rata populasi 𝜇 yang tidak diketahui dari pengambilan sampel suatu populasi. Dalam statistik non-parametrik, parameter yang cukup menarik untuk  dikaji  adalah  median  populasi.  Parameter  ini  sering  digunakan  untuk  analisis statistik  non-parametrik  untuk  mengganti  rata-rata  populasi    sebagai  ukuran  untuk lokasi  yang lebih disukai [2]
Menduga  (estimasi)  adalah  proses  yang  menggunakan  sampel  statistik  untuk menaksir  hubungan  atau  nilai  parameter  populasi  yang  tidak  diketahui.  Pendugaan merupakan  suatu  pernyataan  mengenai  parameter  populasi  yang  diketahui berdasarkan  populasi  dari  sampel,  dalam  hal  ini  sampel  random,  yang  diambil  dari populasi yang bersangkutan, jadi dengan penduga-penduga ini keadaan populasi dapat diketahui.
Misalkan terdapat sebuah peubah acak 𝑋 yang mengikuti sebaran tertentu dengan nilai yang diamati 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 jika nilai-nilai pengamatan mempunyai peluang yang sama untuk diperoleh, maka nilai tengahnya :
𝑋̅ = 1 1 n i i X n  
= 1 n i i x n  
𝑋̅ merupakan suatu penduga titik (point estimate) dan nilai tengah populasi 𝜇 Penduga titik ini dinotasikan dengan 𝜇̂́ karena merupakan penduga dari 𝜇.

## Metode Maksimum Likelihood
1. Fungsi Likelihood
Fungsi Likelihood dari n variabel acak 1 2 , ,........, n x x x didefenisikan sebagai fungsi kepadatan  bersama  dari  n  variabel  random.  Fungsi  kepadatan  bersama 𝑓 𝑥 1,…,𝑥𝑛 (𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛 ; 𝜃 ),  yang  mempertimbangkan  fungsi  dari  .  Jika 1 2 , ,......., n x x x merupakan sampel acak berukuran n dari fungsi kepadatan peluang   ; f x  maka fungsi Likelihoodnya adalah       1 2 ; ; ,......, ; n f x f x f x    .
2. Estimasi Maksimum Likelihood
Suatu  penduga  bersifat  tak  bias,efisien  dan  konsisten  dapat  diketahui  dengan menggunakan  suatu  metode  yaitu  metode  maksimum  likelihood.  Metode  ini  sering memberikan hasil (penaksir) yang baik.
Definisi :
Misalkan 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 peubah acak dengan fungsi distribusi (𝐹(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 |𝜃) dengan 𝜃𝜖 Ω yang tidak diketahui,maka fungsi likelihoodnya adalah :    
1 2 ( , , , |  ; n L f x x x Jika F mempunyai fungsi padat f    
Untuk  setiap 𝜃̂ = 𝜃̂ 𝑛 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 )𝜖 Ω,sehingga 𝐿 ( 𝜃̂ )  = (𝐿(𝜃): 𝜃𝜖𝛺) disebut  maksimum likelihood estimation.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian kajian pustaka. Melalui kajian dari berbagai  referensi untuk  mengestimasi  parameter  menggunakan  metode  maksimum  likelihood..  Salah  satu metode  untuk  mengestimasi  parameter  Generalized  Pareto  Distriutioni  (GPD)  adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE). Cara kerja metode ini adalah memaksimumkan fungsi  Likelihood  yang  merupakan  fungsi  peluang  bersama  dari 1 2 , ,... n X X X yang mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
1 1 1 (1 ) , 0 1 exp , 0 ( , ) x x f x                      

##    
Tahapan  metode  maksimum  Likelihood  adalah  membentuk  fungsi  likelihood; membentuk  fungsi  log  likelihood;  menurunkan  fungsi  log  likelihood;  dan  menyelesaikan turunan pertama sama dengan nol.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Salah  satu  metode  untuk  mengestimasi  parameter  Generalized  Pareto  Distriutioni (GPD)  adalah  Maximum  Likelihood  Estimation  (MLE).  Cara  kerja  metode  ini  adalah memaksimumkan  fungsi  Likelihood  yang  merupakan  fungsi  peluang  bersama  dari
1 2 , ,... n X X X 1 1 1 (1 ) , 0 1 exp , 0 ( , ) x x f x                          
Fungsi Likelihood dari probability density Generalized Pareto Distriutioni (GPD) untuk 0   adalah sebagai berikut :
1 2 1 ( , | , ,... ) ( ) n n i L x x x f x      1 1 1 2 1 1 ( , | , ,... ) 1 n n i x L x x x                         1 1 1 2 1 ( , | , ,... ) 1 n n i n i x L x x x                         
Selanjutnya  fungsi Likelihood dilogaritmakan  dengan rumus
1 2 ln( , | , ,.... ) n x x x   = 1 1 1 ln 1 n n i i x                         
       1 1 ln 1 ln 1 n i i x n         
             
Setelah diperoleh fungsi log likelihood, selanjutnya mencari nilai maksimum dari
fungsi dengan menurunkan fungsi
1 2 ln( , | , ,.... ) n x x x   terhadap masing-masing
paremeter.
Turunan
1 2 ln( , | , ,.... ) n x x x   terhadap  : 2 1 1 ln 1 1 ln 1 1 n n i i i i i x x L x     
    
            
       ln 0 L     2 1 1 1 1 0 ln 1 1 n n i i i i i x x x    
                       2 1 1 ln 1 n i i n i i i x x x                     1 1 ln 1 (1 ) n i i n i i i x x x    
        
       1 1 ˆ ln 1 ˆ ˆ ˆ (1 ) ˆ ˆ n i i n i i i x x x                    
Turunan
1 2 ln( , | , ,.... ) n x x x   terhadap  :
  1 1 ln 1 n i i i x L n x                
     ln 0 L       1 1 0 1 n i i i x n x                     1 2 ˆ ˆ 1 ˆ n i i n x n        
Persamaan  belum  dapat  memberikan  penyelesaian  karena  bentuknya  yang  tidak closed  from.  Closed  from  artinya  persamaan  yang  tidak  lagi  mengandung  parameter
didalamnya.  Terlihat  bahawa  persamaan
  1 2 ˆ ˆ 1 ˆ n i i n x n    
   
masih  terdapat
parameter  di  dalam  persamaannya.  Untuk  itu  perlu  dilakukan    analisi  lebih  lanjut untuk  mendapatkan  persamaan  yang  closed  from  .  Salah  satu  penyelesaian  untuk persamaan yang tidak closed from adalah metode Newton Raphson.
Penggunaan  metode  Newton  Raphson  dilakukan  dengan  menggunakan  iterasi- iterasi  hingga didapatkan  hasil yang  konvergen.  Persamaan  umum Newton  Raphson sebagai berikut:
    1 1 l l l l g H           ln ln L L g         
       2 2 2 2 2 2 ln ln ln ln L L H L L                              
Turunan kedua dari fungsi ln likelihood sebagai berikut:
2 2 3 2 2 1 1 1 ln 1 2 ln 1 1 ( ) n n n i i i i i i i i x x x L x x                  
             
                2 2 2 2 1 (2 ) ln 1 n i i i i x x L n x              
             2 1 1 2 1 1 ln (1 ) n n i i i i i i x x L
x x                               
2 1 0 1 1 ˆ n i i n n i i i i n s x x n x          
Selanjutnya dengan cara yang sama untuk fungsi
1 ( , | ) exp , 0 x f x               1 2 1 ( , , ,..... ) exp n x f x x x            
  1 2 1 1 , , ,..... exp n n i x L x x x
                1 1 2 , , ,..... n i i x n n L x x x e        
Selanjutnya  logaritmakan perasamaan   1 1 2 , , ,..... n i i x n n L x x x e         .
Diperoleh :
1 1 ln ln n i i L n x       
Seperti proses pada Metode Maksimum Likelihood, dicari turunan pertama dari fungsi log likelihood  yaitu:
2 1 ln 1 n i i L n x           Ag ln 0 L     maka diperoleh: 2 1 1 0 n i i n x        1 2 1 1 n i i x n      ˆ x   2 1 1 n i i n x     

## 4 SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  dilakukan  maka diperoleh  kesimpulan  sebagai  berikut  Estimasi  parameter  distribusi  Pareto menggunakan metode maximum likelihood untuk 0   diperoleh parameter bentuk:
2
1 0 1 1 ˆ n i i n n i i i i n s x x n x           untuk 0   mendapatkan parameter skala: ˆ x  

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  P.  Ringganis,  A.  Rusgiono,  and  A.  Prahutama,  “Aplikasi  Metode  Momen Probabilitas Terboboti Untuk Estimasi Parameter Distribusi Pareto Terampat Pada Data Curah Hujan (Studi Kasus : Data Curah Hujan di Kota Semarang Tahun 2004- 2013),” vol. 3, no. 4, pp. 821–830, 2014.
[2]  S. Jaffarus, S. Setiawan, and S. Sutikno, “Pengukuran Risiko pada Klaim Asuransi ‘X’ dengan Menggunakan Metode Generalized Extreme Value dan Generalized Pareto Distribution,” vol. 1, no. 1, pp. 75–80, 2012.