## PENENTUAN NILAI EKSAK DARI HARGA OPSI TIPE EROPA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL BLACK- SCHOLES

## Irwan
Dosen pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar Email: iwan_uin@yahoo.com atau iwan.uin@gmail.com
ABSTRACT  : This  writing  aims  to  analyze  model  black-scholes  in the  determination  of  the  value  of  inexact  from  the  price  of  an  option type europe as well as simulasinya. The data used is information call option and put option for closing as well as the closing price ( price ) shares barnes group inc. The first thing is done by searching volatility stock prices to call option and put option. Based on the result analysis inexact  terhadap  the  ordinal  value  from  the  price  of  call  option  and put option to use the model of black-scholes obtained the price of fair to call option is as much as $ 3.4940, on the circumstances of this the seller and buyer call option for achieving the break-even point. To put or libya option is as much as $ 0.0329, on the circumstances of it ' s called out  of  the money where a put  option zero-sum and will not  be executed. Next simulation model black-scholes in the determination of the  value  of  inexact  from  the  price  call  option  and  put  option.  The results of the simulation concluded that the longer time left to maturity hence the higher the price of an option.
Key words : Option , Model Black-Scholes, call option, put option .

## PENDAHULUAN
roduk derivatif dapat digunakan sebagai instrumen untuk mengelola risiko dan  spekulasi,  serta  untuk  mengurangi  biaya  transaksi  atau  untuk menghindari  pajak.  Salah  satu  jenis  produk  derivatif  adalah  opsi.  Aset yang mendasari opsi dapat  berupa saham,  emas,  mata uang asing, indeks saham, dan lain-lain.  Opsi  atau  biasa juga disebut option merupakan suatu jenis  kontrak yang  memberikan  hak,  bukan  kewajiban,  kepada  investor  untuk  membeli  atau menjual  suatu  aset  pada  harga  dan  waktu  yang  telah  disepakati  bersama.  Hak untuk  membeli  suatu  saham  dengan  harga  dan  waktu  yang  telah  disepakati bersama  disebut call  option .  Sedangkan  hak  untuk  menjual  suatu  saham  dengan harga dan waktu yang telah disepakati bersama disebut put option . Model Black-Scholes merupakan  model  yang  digunakan  untuk menentukan  harga  opsi  yang  telah  banyak  diterima  oleh  masyarakat  keuangan. Penggunaan  model  ini  terbatas  karena  hanya  dapat  digunakan  pada  penentuan harga opsi tipe Eropa ( European option ) yang berlaku pada waktu expiration date (jatuh  tempo)  saja.  Model  ini  tidak berlaku  untuk  opsi  tipe  Amerika  ( American option ), karena American option berlaku setiap saat sampai waktu expiration date .
P
Model Black-Scholes adalah deskripsi matematis dari pasar keuangan dan derivatif  instrumen  investasi.  Model  ini  dikembangkan  dengan  solusi  persamaan diferensial parsial. Rumus Black-Scholes secara luas digunakan dalam opsi Eropa. Model  ini  pertama  kali  ditemukan  oleh  Fisher  Black  dan  Myron  Scholes  dalam makalahnya  tahun  1973  “ The  Princing  of  Option  and  Corporate  Liabilities ”. Dasar  penelitian  Black  dan  Scholes  bergantung  pada  kerja  yang  dikembangkan oleh para ahli seperti Jack L. Treynor, Paul Samuelson, A. James Boness, Sheen T.  Kassouf  dan  Edward  O.  Thorp.  Pemahaman  mendasar  dari Black-Scholes adalah  bahwa  opsi  merupakan  harga  implisit  ketika  saham  diperdagangkan. Robert C. Merton adalah yang pertama memperluas pemahaman matematika dari model penentuan harga opsi dan menciptakan istilah-istilah model Black-Scholes untuk harga opsi, Merton dan Scholes menerima hadiah Nobel di bidang ekonomi pada tahun 1997 ( The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in  Memory of Alfred Nobel ) atas pekerjaannya.
Ada beberapa asumsi yang dimiliki model Black-Scholes untuk penentuan harga opsi sebagai berikut:
a) Suku  bunga  bebas  risiko,  hal  ini  berarti  suku  bunga  harga  saham  yang mendasari opsi tetap konstan selama periode analisis.
b) Harga mengikuti gerak Brown Geometrik dengan drift konstan dan volatilitas, dari  sini  diketahui  bahwa  keuntungan  merupakan  sebuah  distribusi  normal, kemudian  harga  yang  mendasari  merupakan  distribusi  log-normal.  Hal  ini dijelaskan dalam validitas hipotesis pasar efisien.
c) Tidak ada biaya transaksi atau pajak.
d) Saham yang mendasarinya tidak membayar dividen.
e) Tidak ada pembatasan short selling .
f) Tidak ada peluang arbitrasi.
g) Opsi yang digunakan adalah opsi tipe Eropa yang hanya dapat dieksekusi pada expired date saja.
Menurut  hipotesis  pasar  efisien  bahwa  harga  saham  merupakan  gerak random .  Hipotesis  pasar  efisien  ini  dipengaruhi  oleh  dua  faktor  yaitu  keadaan saham  pada  waktu  lalu  yang  berpengaruh  pada  harga  saham  saat  ini  dan  respon saham  terhadap  informasi  baru  tentang  saham.  Berdasarkan  kedua  asumsi  ini maka  dapat  dikatakan  bahwa  perubahan  harga  saham  mengikuti  proses  Markov. Jadi,  model  saham  menyatakan  bahwa  prediksi  harga  saham  yang  akan  datang tidak dipengaruhi oleh harga satu minggu, satu bulan atau harga saham satu tahun yang lalu. Model umum return dari aset dinyatakan dengan ds S yang dibagi dalam dua  bagian.  Bagian  pertama  adalah  bagian  deterministik  yang  dilambangkan dengan dt  .  merupakan ukuran dari rata-rata pertumbuhan harga saham  atau dikenal  sebagai drift .  diasumsikan  sebagai  tingkat  obligasi  bebas  risiko  dan merupakan fungsi dari S dan t. Bagian kedua merupakan model perubahan harga saham  secara random yang  disebabkan  oleh  faktor  eksternal.  Faktor  eksternal
22 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
 t ds dt dW
S     ( , ) ( , ) dx x t dt
x t dWt    
dilambangkan dengan  dW t Dalam rumus ini,  didefinisikan sebagai volatilitas dari saham yang digunakan untuk mengukur standar deviasi dari return dan dapat dinyatakan  sebagai  fungsi  dari S dan t . W t dalam dW t menggambarkan  gerak Brownian .  dan  dapat  diestimasi  menggunakan  harga  saham  pada  hari sebelumnya. Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial stokastik:
(1) dengan: = Nilai ekspektasi rate of return saham
 =  Volatilitas  saham  yang  merupakan  standar  deviasi  dari return
W t =  Gerak Brownian atau proses Wiener
Misalkan  bahwa  harga  dari  suatu  variabel  X  memenuhi  persamaan diferensial  stokastik  yaitu  dx  =  a(x,  t)dt  +  b(x,  t)dWt,  dengan  a(x,  t)  dan  b(x,  t) adalah fungsi deterministik dari x dan t, dan Wt menunjukkan suatu gerak brown atau proses Wiener . Variabel X mempunyai rata-rata drift a dan rata-rata variansi b 2 .  Misalkan  f  adalah  harga  sebuah  opsi  yang  tergantung  pada  x  dan  t  yang memenuhi ( , ) ( , ) dx x t dt x t dWt     . F adalah fungsi kontinu yang terdiferensialkan dua kali, maka f = f(x, t) juga merupakan proses astokastik dan berlaku
2 2 2 1 ( ) 2 t f f f f
df dt dW x t x x                (2)
Selanjutnya untuk mencari persamaan diferensial Black-Scholes digunakan rumus ito untuk  dx  =  a(x,t)dt  +  c(x.t)dW t ,  dimana  parameter  a  dan  b  adalah fungsi dari nilai variabel yang mendasari yaitu x dan t yang memenuhi persamaan berikut
Kemudian berdasarkan persamaan (2) dapat ditunjukkan bahwa:
2 2 2 1 2 f f f f
df dt dWt x t x x                      (3)
Sebuah  opsi  dan  kondisi  saham  diasumsikan  mengikuti  gerak  Brownian dengan persamaan diferensial stokastik
dS Sdt SdWt    
Misal  V(S,t)  adalah  harga  sebuah  opsi  yang  tergantung  pada  saham  S  dan  pada waktu t, maka rumus ito (3) diatas menjadi:
2 2 2 2 1 ( , ) 2 V V V V dV S t S S dt S dWt S t S S                     
Nilai portofolio π yang terdiri dari opsi V dengan perubahan  saham pada jangka pendek, yaitu:
V V S S      (4)
Portofolio  merupakan  gabungan  dari  aset-aset.  Pada  persamaan  di  atas tidak terdapat dWt  yang merupakan gerak random Brownian sehingga portofolio ini dikatakan tidak beresiko ( riskless ) pada waktu t. gerak Brownian menyebabkan adanya  perubahan  harga.  Portofolio  ini  konstan  maka  portofolio  akan  memiliki return  yang  sama  dengan  return  sekuritas  bebas  risiko  lainnya.  Jadi  persamaan yang  menunjukkan  adanya  persamaan  return  portofolio  dengan  return  sekuritas bebas resiko lainnya adalah
dπ = r π dt
(5)
sehingga  diperoleh :
2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 V V V S dt r V S dt t S S V V V S rS rV t S S                      (6)
Persamaan  di  atas  merupakan  persamaan  diferensial Black-Scholes yang digunakan untuk menentukan harga opsi.
Adapun nilai atau harga opsi dapat dituliskan sebagai berikut:
C(S, T) = maks (S – K, 0)
Persamaan di atas menunjukkan harga S tidak bergerak atau S = 0, maka persamaan  di  atas  menjadi  C  (0,  T)  =  0,  namun  ketika  S  →  ~  maka  semakin mungkin  opsi  akan  dieksekusi,  sehingga  persamaan Black-Scholes untuk menghitung call option
C  = S x N(d 1 ) + K/(e rt )N(d 2 ) (7)
Black-Scholes menggunakan  saham  tanpa  dividen  sebagai  aset  dasar.
Harga saham cenderung naik, oleh karena itu peluang kenaikan harga lebih besar
24 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
dibanding  dengan  peluang  penurunan  harga.  Kecenderungan  kenaikan  harga  ini membuat  harga  saham  pada  periode  jatuh  tempo  menyebar  lognormal.  Pada rumus Black-Scholes terdapat faktor ln (S/K) pada nilai d yang menyebar normal.
Ln (S/K) menyebar normal artinya S menyebar log normal. Lognormal artinya ln dari harga aset dasar menyebar normal.
N(z)  adalah  standar  distribusi  normal  maka  fungsi  kepadatan  peluangnya adalah
2 1 2 1 ( ) 2 z n z e dengan z         (8)
Sehingga diperoleh persamaan
S N(d 1 ) = K e -rt N(d 2 ) (9)
Dengan nilai:
2 2 ln( ) ( ) 2 S r t K d t      (10)
Dimana diketahui nilai 2 1 d d t   
Misalkan V adalah distribusi  log-normal  dan standar deviasi dari ln  V adalah w, maka maksimum ekspektasi dari selisih V dan K adalah:
E[maks(V – K0,0)] = E(V)N(d 1 ) – KN(d 2 ) (11)
Misalkan sebuah call option tanpa dividen yang jatuh tempo pada waktu T dengan strike  price K,  harga  saham  S 0 , risk  rate r,  dan  volatility  σ.  maka  harga call C adalah [ ( ,0)] rt T C e E maks S K    (12)
Dengan  S T adalah  harga  saham  pada  saat  T  dengan  asumsi  bahwa  S T
adalah  lognormal,  maka ds dt s   . Apabila  S  tumbuh  secara  kontinu  dari periode  awal  (0)  hingga  periode  t,  maka  persamaan  di  atas  dapat  diintegralkan dengan  batas    [0,  T]  diperoleh
0 t T S S e   atau 0 ( ) rT T E S S e  untuk 
merupakan parameter konstan yang dianggap r sebagai notasi bunga bebas resiko.
Berdasarkan hal tersebut diperoleh
0 1
2 ( ) ( ) rT C S N d Ke N d    (13)
Misalkan  F  adalah  distribusi  log-normal  dan  standar  deviasi  dari  ln  F adalah x. maka nilai ekspektasi dari selisih F dengan K adalah
E[maks(K – F,0)] = KN(-d 2 ) - E(F)N(-d 1 ) (14)
Misalkan sebuah put option tanpa dividen yang jatuh tempo pada waktu T dengan strike price K, harga saham  S 0 , risk rate r, dan volatility σ . maka harga
put P adalah [ ( ,0)] rt
T P e E maks K S    (15)
Dengan  S T adalah  harga  saham  pada  saat  T  dengan  asumsi  bahwa  S T adalah lognormal, maka dapat pula dituliskan
0 ( ) rT T E S S e  Sehingga diperoleh 2 0 1 ( ) ( ) rT P Ke N d S N d      (16)
Untuk mengestimasi σ secara empiris, harga saham diamati dalam interval waktu yang tetap, misalnya setiap hari, setiap minggu atau bulan.
1 1 ln( ) ln ln i i i i i S u S S S      untuk i = 1, 2, …, n.
Dimana    adalah  mean  dari  u i ,  standar  deviasi  dari  u i adalah   , dengan  kata  lain  s  dapat  mengestimasi   .  kemudian  volatilitas  σ  itu  sendiri dapat diestimasi oleh   dengan
ˆ s    , dimana 1 T   (17)

## PEMBAHASAN
Pada  tulisan  ini  menggunakan  interval  waktu  perhari  dan  analisis  data menggunakan software Minitab.  Berikut  merupakan  data  harga  penutupan ( closing  price )  saham  Barnes  Group  Inc  berdasarkan historical  price (Lampiran I), untuk call option mulai dari tanggal 26 April 2011 sampai masa expired date yaitu 17 Juni 2011, sedangkan untuk put option mulai dari tanggal 27 Desember 2010  sampai  17  Juni  2011  yang  diperoleh  dari http://www.finance.yahoo.com.\ . Lihat Lampiran 1.
Berdasarkan data Tabel 1, maka untuk mengetahui volatilias harga saham
pada call  option ,  diketahui  jumlah  pengamatan  (n)  adalah  38,  maka  S i
26 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
menggunakan  interval  i  =  1  –  38.  S i merupakan  harga  saham  pada  waktu  ke-i, estimasi  standar  deviasi  s  dapat  dihitung,  setelah  nilai  u i diketahui  maka  nilai  s dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :
2 1 1 ( ) 1 n i i s u u n      S = 0,0195932
dengan  nilai ˆ 0,120781   atau    nilai  dari  volatilitas  harga  saham  untuk call option adalah sebesar 12,07%
Berdasarkan data Tabel 2, maka  untuk mengetahui volatilias harga saham pada put  option ,  diketahui  jumlah  pengamatan  (n)  adalah  121,  maka  S i menggunakan  interval  i  =  1  –  121.  S i merupakan  harga  saham  pada  waktu  ke-i, estimasi  standar  deviasi  s  dapat  dihitung,  setelah  nilai  u i diketahui  maka  nilai  s dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :
2 1 1 ( ) 1 n i i s u u n     
S= 0,0170443
dengan volatilitas  varian  sebesar  = 0,187488 atau nilai  volatilitas harga saham untuk put option 18,7%
Selanjutnya  dengan  data  sekunder  Barnes  Group  Inc  .  Berikut  ini  secara manual  untuk  menentukan  nilai  eksak  dari  harga call  option dan put  option tipe Eropa dengan menggunakan model Black-Scholes .
Analisis penilaian call option .
Berdasarkan  informasi  opsi  (B110618C00020000)  saham  Barnes  Group Inc  (Lampiran  IV),  yang  diperdagangkan  pada  26  April  2011  dan  jatuh  tempo ( expired  date )  pada  17  Juni  2011,  maka  nilai  t  yaitu  0,1038  atau  0,1  (dengan mengambil  1 tahun = 366 hari) diperoleh harga  penyerahan ( strike ) sebesar $20, harga  saham  pada  awal  perdagangan  yaitu  pada  26  April  2011  sebesar  $23.49, tingkat  bunga  bebas  risiko  yaitu  sebesar  0.25%  (Lampiran  II),  dan  volatilitas harga  saham  sebesar  0.120781  atau  12.07%    Maka  harga call  option dapat dihitung sebagai berikut :
2 0 1 ln( ) ( ) 2 S r t K d t      2 23, 49 (0,12)
ln 0, 0025 0,1 20 2
0,12 0,1        
      
    (0,0025 0,1)
(0,00041675) (23, 49) (4,1681)
20 2, 7183 (4,1302) (23, 49 1) 20 2, 7183 (1) 23, 49 (20 0, 9998) 23, 49 19, 9950 $3, 4940
x N N x x      
 
   4,1681 0, 0379 4,1302    = 4,1681 2 1 d d t   
Berdasarkan nilai d 1 dan d 2 maka dapat diperoleh nilai N(d1) dan N(d2) yang digunakan untuk mencari nilai call option berdasarkan persamaan:
0 1 2 ( ) ( ) rt C S N d Ke N d   
Setelah dihitung berdasarkan model Black-Scholes dapat dilihat bahwa nilai eksak dari harga call option tersebut yaitu $3,4940 dan sekaligus merupakan nilai yang fair untuk opsi tersebut.
Berdasarkan historical  price dapat  dilihat  bahwa  harga  saham  pada  akhir kontrak ( expired date ) lebih besar daripada harga penyerahan ( strike ) ini berarti S > K. Pada kondisi ini sangat memungkinkan bagi investor untuk mempergunakan haknya maka investor akan untung sebesar selisih harga saham (S) dengan harga penyerahan  yaitu  $23,16  -  $20  =  $3,16.  Tetapi  apabila  pihak  pertama  dalam  hal ini  penjual  opsi  memperjualkan call  option sebesar  $3,4979  (berdasarkan  model Black-Scholes )  maka  dalam  situasi  ini    penjual  dan  pembeli call  option tersebut mencapai titik impas yaitu tidak ada yang dirugikan. Namun apabila investor tidak menggunakan  haknya  maka  investor  hanya  akan  rugi  sebesar  harga  premi  yaitu sebesar $3,4940.
Analisis penilaian put option
Berdasarkan  informasi put  option (B110618P00017500)  saham  Barnes Group  Inc  (Lampiran  III),  yang  diperdagangkan  pada  27  Desember  2010  dan jatuh tempo ( expired date ) pada 17 juni 2011, maka nilai dari t yaitu 0,33 (dimana
1  tahun  =  366)  diperoleh  harga  penyerahan  ( strike )  sebesar  $17,5,  harga  saham pada  awal  perdagangan  yaitu  pada  27  Desember  2010  sebesar  $21,11,  tingkat bunga  bebas  risiko  yaitu  sebesar  0.25%,  dan  volatilitas  harga  saham  sebesar 0,187488 atau 18,75%. Maka harga put option dapat dihitung sebagai berikut :
28 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
(0,000825) (17, 5) (2, 7183)
( 1, 7008) (21,11) ( 1,8082) (17, 5) (0, 9992) (0, 0445) (21,11) (0, 0353)
(0, 7787 0, 9992) 0, 7452 0, 7781 0, 7452 $0, 0329 x N N x x x
x     
 
 
 

2 0 1 ln( ) ( ) 2 S r t K d t      2 21,11
(0,187) ln 0, 0025 0,33 17,5 2
0,187 0,33                = 1,8082 2 1 0,33 d d    1,8082 0,1074
1, 7008
  
Berdasarkan nilai d 1 dan d 2 dapat dihitung nilai dari N(d 1 ) dan N(d 2 ) untuk menghitung nilai dari put option berdasarkan persamaan:
2 0 1 ( ) ( ) rt P Ke N d S N d    
Setelah  dihitung  berdasarkan  model Black-Scholes dapat  dilihat  bahwa nilai  eksak  untuk put  option tipe  Eropa  tersebut  yaitu  $0,0329  yang  sekaligus merupakan nilai yang fair untuk opsi put tersebut.
Berdasarkan historical price dapat dilihat bahwa harga strike lebih rendah daripada harga saham pada tanggal 27 Desember 2010 yaitu pada saat dimulainya kontrak  (S 0 )  sebesar  $21,11.  Ini  berarti  nilai put  option juga  rendah  yaitu  hanya sebesar  $0,0329.  Juga  dapat  dilihat  pada  saat expired  date yaitu  tanggal  17  Juni 2011 harga saham sebesar $23,16 lebih besar daripada harga strike yaitu sebesar $17,5,  maka put  option bernilai  nol.  Keadaan  ini  dinamakan out  of  the  Money . Investor  otomatis  tidak  akan  mempergunakan  haknya,  karena put  option bernilai nol maka investor akan rugi sebesar harga premi yaitu sebesar $0,0329.

## Simulasi Model Black-Scholes
Untuk menentukan simulasi model Black-Scholes dalam menentukan nilai eksak dari harga call option dan put option tipe Eropa digunakan software Matlab R2009a, dan hasilnya adalah sebagai berikut : European call option
0 5 10 15 20 25 30 35 40 3.49 3.491 3.492 3.493 3.494 3.495 3.496 Waktu (t) H ar ga O ps i C al l Simulasi Harga Opsi Call Call option (B110618C00020000) saham Barnes Group Inc dengan strike price senilai  $20,  harga  saham  awal  yaitu  senilai  $23,49,  tingkat  bunga  bebas risiko  0,25%  dan  volatilitas  harga  saham  sebesar  12,07%  diperdagangkan  dalam waktu  38  hari,  maka  harga call  option dapat  dihitung  dengan  menggunakan software Matlab sebagai berikut:
Gambar 1. Simulasi Harga Call Option
Setelah dihitung menggunakan software Matlab, diperoleh nilai   N(d1) = 0,99998  dan  N(d2)  =  0,99998  dan  harga call  option sebesar  $3,4952.  Pada Gambar  1  dapat  dilihat  arah  pergerakan  harga call  option semakin  hari  semakin tinggi, hal ini menunjukkan semakin lama waktu yang tersisa hingga jatuh tempo maka  semakin  tinggi  nilai call  option ,  ini  berarti  faktor  waktu  (t)  sangat memengaruhi nilai call option .

## European put option
Put  option (B110618P00017500)  saham  Barnes  Group  Inc  dengan strike price senilai $217,5, harga saham awal  yaitu senilai $21,11, tingkat bunga bebas risiko  0,25%  dan  volatilitas  harga  saham  sebesar  18,75%  diperdagangkan  dalam waktu  121  hari,  maka  harga put  option dapat  dicari  dengan  menggunakan software Matlab sebagai berikut:
30 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
0 20 40 60 80 100 120 140 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 Waktu (t) H a rg a P u t O p ti o n Simulasi harga Opsi Put Gambar  2 Simulasi Harga Put Option
Setelah perhitungan menggunakan software matlab diperoleh nilai N(d1) = 0,035836  dan  N(d2)  =  0,045191  kemudian  nilai put  option sebesar  $0,033689. Pada  Gambar  2.  dapat  dilihat  bahwa  semakin  lama  waktu  yang  tersisa  hingga jatuh tempo maka semakin tinggi harga put option .
Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa  penjualan call  option hanya akan  memberikan  keuntungan  maksimum  sebesar  harga  premi  dan  kerugian maksimum  tidak  terbatas  tergantung  dari  kenaikan  harga  saham  yang  terjadi  di pasar,  meskipun  demikian  kerugian  itu  dapat  diminimalisasi  dengan  perhitungan model Black-scholes untuk menganalisis nilai fair dari harga call option tersebut, sehingga nilai  yang keluar akan sebanding dengan selisih  harga saham  pada saat expired date dengan harga strike nya.
Pada  grafik  simulasi  harga call  option dapat  dilihat  bahwa  semakin  lama waktu  yang tersisa hingga jatuh tempo maka semakin  tinggi  nilai  dari harga call option ,  ini  menunjukkan  bahwa  faktor  waktu  (t)  sangat  mempengaruhi  nilai  dari call option . Begitupun untuk grafik simulasi harga put option , dapat dilihat faktor waktu (t) sangat mempengaruhi nilai dari harga put option .

## KESIMPULAN
Dari  hasil  perhitungan  yang  telah  dijabarkan  pada  bab  sebelumnya  maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Hasil  analisis  model Black-Scholes untuk  menentukan  nilai  eksak  dari  harga opsi tipe Eropa adalah sebagai berikut :
a. Nilai eksak harga call option saham Barnes Group Inc sebesar $3,4940, nilai ini menunjukkan bahwa penjual dan pembeli opsi berada pada titik impas.
b. Nilai eksak harga put option saham Barnes Group Inc sebesar $0,0329, nilai ini  menunjukkan  bahwa  opsi  tersebut  dalam  keadaan Out  of  the  Money dimana put option bernilai nol dan tidak akan dieksekusi.
Irwan , Penentuan Nilai Eksak dari Harga Opsi Tipe Eropa dengan Menggunakan …_ 31
2. Simulasi  model Black-Scholes dalam  menentukan  harga call  option dan put option adalah sebagai berikut:
Hasil  simulasi  model Black-Scholes dalam  menentukan  harga call option dan put option diperoleh  bahwa  semakin  lama  waktu  yang  tersisa  hingga  jatuh tempo  maka  akan  semakin  tinggi  harga  opsi  baik  untuk call  option maupun put option .

## DAFTAR RUJUKAN
Anoraga, Pandji, Pengantar Pasar Modal . Cet. III; Jakarta : Rineka Cipta, 2008.
Anita  Rahman,  “ Model  Black-Scholes  Put-Call  Parity  tipe  Eropa  dengan Pembagian  Dividen” http://p4mrihunismuh.files.wordpress.com/2008/08/ model-black-scholes-putcall-parity.pdf )  ,  diakses  tanggal  28  september 2010.
Arif  Tiro,  Muhammad, Pengantar  Teori  Peluang ,  Makassar:  Andira  Publisher,
2008.
“Black-Scholes.”  Wikipedia  The  Free  Encyclopedia. http://en.wikipedia.org/ wiki/Black-scholes (dia akses tanggal10 November 2010).
Budiantara, I Nyoman, Buku Ajar Matematika Statistika II , Surabaya: ITS, 2004.
Gita Andriani, Penentuan Hedge Ratio Untuk Opsi Call dan Opsi Put Tipe Eropa dengan  Menggunakan  Model  Black-Scholes ( http://en.wikipedia.org/ wiki/Chicago  Board  OPtion  Exchange.pdf ),  diakses  tanggal  12  Oktober 2010.
Hadi Ismail, “ Implementasi Simulasi Monte Carlo dalam Aproksimasi Nilai Opsi Put  Amerika ” www.lontar.ui.ac.id/file?file=digital/... Implementasi %20 metode-monte-carlo.c , diakses tanggal 26 Juni 2011.
Halim, Abdul, Analisis Investasi . Cet. I; Jakarta : Salemba Empat, 2005.
Hull,  J.  C., Option, Futures,  and  Other  Derivatives ,  Edisi  IV;  New  Jersey: Prentice-Hall,2000.
-------, Option, Futures,  and  Other  Derivatives .  University  of  Toronto,  USA: PEARSON Prentice Hall, 2006.
Husnan,  Suad, Dasar-Dasar  Teori  Portofolio  dan  Analisis  Sekuritas, Cet.  I; Yogyakarta : AMP YKPN, 1994.
32 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 20-32
J. Higham, Desmon, An Introduction to Financial Option Valuation , Cet. I; New York: Cambridge University Press, 2004.
Ruey, S. T., Analysis of Financial Time Series , USA: John Wiley and Sons, 2002.
Rully  Charitas  Indra  Prahmana, Penentuan  Harga  Opsi  Untuk  Model  Black-
Scholes Menggunakan Metode Beda Hingga Crank-Nicolson ( http://p4mrihunismuh.files.wordpress.com/2008/08/penentuan-harga- opsi-tipe-eropa.pdf ), diakses tanggal  5 oktober 2010.
Suhartono, Portofolio  Investasi  dan  Bursa  Efek. Cet.  I;  Yogyakarta:  UPP  STIM YKPN, 2008.
Suparmun, Haryo, Option Strategies , Jakarta: Cisera Publishing, 2006
Sharpe, William F, Gordon J. Alexander, dan Jeffery V. Bailey. Investaisi . Edisi VI; Jakarta: PT. Indeks Kelompok Gramedia, 2005.
Siahaan, Hinsa. Instrumen Derivatif . Jakarta: PT. Alex Media Komputindo, 2008
Tandelin , Eduardus, Portofolio dan Investasi, Yogyakarta: Kansius, 2010.
Walpole,  Ronald  E. Ilmu  Peluang  dan  Statistika  untuk  Insinyur  dan  Ilmuan , Bandung: ITB, 1995
Wilmott,  P., Paul  Wilmott  Introduces  Quantitative  Financ ,  New  York:  John Wiley & Sons,2001.