## HASIL PERBANDINGAN METODE IMPROVED NEWTON-RAPHSON BERBASIS DEKOMPOSISI
ADOMIAN DAN BEBERAPA METODE KLASIK PADA MASALAH PERSAMAAN NON-LINIER
Indah Jumawanti 1 , Sutrisno 2 , Bayu Surarso 3
1,2,3 Departemen Matematik a FSM Universitas Diponegoro, Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Tembalang, Semarang Email  : 1 jumawantie@gmail.co m, 2 tresno.math@live.undip.ac.id, 3 bayusurarso@yahoo.com
Abstract. In this paper, we work with ten nonlinear  equations  to compare a new method in nonlinear  equation  solving,  Improved  Newton-Raphson based on Adomian Decomposition  method  (INR-ADM) that consisting  of two types called INR-ADM 1 and INR-ADM 2. The difference  between INR-ADM 1 and INR-ADM 2 is on the iteratio n formula  form. From our results,  it was showed that INR-ADM 1 and INR-ADM 2 are not always better than classic  Newton-Raphson method in term of the iteration number. However, if INR-ADM 1 and INR-ADM 2 are compared to Regula  False method  and Secant method, they are always  better i.e. they had fewer number of iteration.  The INR- ADM 1 and INR-ADM 2 had shorter computational time  than Regula  False method. Furthermore,  the computational time of INR-ADM 1 and INR-ADM 2 cannot be claimed that they had shorter or longer if they are compared to Newton-Raphson  method and Secant method.
Keywords: Improved Newton-Raphson, Adomian Decomposition, Nonlinear Equation.
Abstrak. Pada artikel ini,  kami bekerja dengan sepuluh buah persamaan nonlinier  untuk membandingkan hasil dalam penyelesaian persamaan nonlinier  dari suatu metode baru bernama Improved Newton-Raphson berbasis dekomposisi Adomian (INR-ADM) yang memuat  dua tipe yang disebut INR-ADM 1 dan INR-ADM 2. Perbedaan antara INR- ADM 1 dan INR-ADM 2 terdapat pada bentuk rumus  iterasi yang digunaka n. Berdasarkan hasil-hasil yang didapatkan, diperoleh bahwa INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 adalah tidak selalu lebih baik dibanding Newton-Raphson klasik jika dipandang dari banyak iterasi.  Akan tetapi, jika INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 dibandingkan  dengan metode Regula  Falsi dan metode Secant, mereka selalu lebih baik, yaitu banyak iterasinya  selalu lebih sedikit.  INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 memiliki  waktu komputasi lebih singkat dibanding Regula  Falsi. Lebih lanjut, waktu komputasi INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 tidak dapat diklaim apakah mereka selalu lebih singkat  atau lebih lama jika dibandingkan dengan Newton Raphson dan Secant.
Kata kunci: Improved Newton-Raphson, Dekomposisi Adomian, Persamaan Nonlinie r.

## I. PENDAHULUAN
Sejak permulaan  tahun 1980-an, metode Dekomposisi Adomian sudah digunakan  untuk menyelesaikan permasalahan  persamaan fungsional [1], [2], [3]. Metode dekomposisi adomian menyajikan solusi berdasarkan jumlahan dari bilangan tak hingga  yang terkonvergen dengan cepat ke solusi sesungguhnya [4]. Seiring  berkembangnya  zaman,  metode dekomposisi
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Adomian tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan persamaan fungsional saja tetapi juga digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan nonlinier  [4], [5]. Vahidi, dkk telah menerapkan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier [6]. Konvergensi dari metode dekomposisi Adomian sudah diteliti oleh banyak penulis [4], [7], [8], [9]. Selain digunakan untuk menyelesaikan persamaan fungsional dan persamaan nonlinier, metode dekomposisi Adomian juga dapat digunakan untuk memperbaiki formula s i metode Newton-Raphson [10]. Hasil perbaikan metode Newton-Raphson tersebut disebut dengan metode INR-ADM. Formulasi metode dan analisis konvergensinya  sudah dituliska n dan dibuktikan  oleh Kang Shin Min, dkk [10]. Dalam artikel ini, metode INR-ADM yang terdiri dari dua tipe yaitu INR-ADM 1 dan INR-ADM 2, dianalisis performansinya  dari segi banyaknya  iterasi dan waktu komputasi jika dibandingkan  dengan metode Regula  Falsi, metode Newton-Raphson,  dan metode Secant . Pada artikel ini,  akan dikaji hasil perbandinga n metode improved Newton-Raphson berbasis dekomposisi adomian dan beberapa metode klasik pada masalah persamaan non-linier.  Perbandingan dilakukan dengan menganalisis hasil-has i l solusi dan komputasi pada sepuluh permasalahan persamaan non-linier.

## II. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diberikan 10 permasalahan persamaan nonlinier yang masing- masing diselesaikan dengan menggunakan  INR-ADM 1, INR-ADM 2, metode Regula  Falsi, metode Newton-Raphson, dan metode Secant . Toleransi kesalahan yang diberikan  adalah sama untuk  masing-ma s ing penyelesaian yaitu 11 10 .
Tabel 2.1 Banyaknya Iterasi No  Persamaan Banyak Iterasi RF  NR Secant INR-ADM 1 INR-ADM 2 1 3 10 0 x 7  5 5 4 3 2 2 2 sin 1 0 x x 10  5 6 4 3 3 3 2 2 0 x x 23  6 9 4 4 4 2 5 0 x e x 19  5 8 4 4 5 log 0 x x 18  5 7 4 3 6 0.04 0.7 6 0 x e 5 16  5 6 4 3 7 3 2 3 15 0 x x 42  6 11 5 4 8 98 0.7 1 35 0 x x e 18  5 7 4 3 9 4 8 2 1.671 10
9.7215 10 x x 11 3 14 4 9.583 10 1.952 10 x x 0.20597 0 31  4 7 5 5 10
5 7 2 1.575701 10
6.642308 10
273.15
273.15 x x
10 11
3 4 1.2348 10 8.621949 10 273.15 273.15 x x 141.6467 0 16  5 6 4 3
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Semua permasalahan diselesaikan  dengan menggunakan  bantuan software komputasi MATLAB.  Pada metode Newton-Raphson,  metode INR-ADM 1, dan metode INR-ADM 2 digunakan nilai tebakan awal yang sama untuk masing- masing permasalahan sedangkan dua nilai  tebakan awal metode Secant adalah sama dengan interval awal yang diambil untuk metode Regula Falsi. Banyaknya  iterasi yang dibutuhkan untuk mencapai solusi hampiran disajikan dalam Tabel 2.1.

## Tabel 2.2
Waktu Komputasi No Persamaan Waktu Komputasi (detik) RF NR Secant INR-ADM 1  INR-ADM 2 1 3 10 0 x 0.6396  0.1092  0.1248 0.1560 0.1248 2 2 2 sin 1 0 x x 0.3276  0.1560  0.1716 0.1716 0.1872 3 3 2 2 0 x x 0.0938  0.0312  0.0625 0.0625 0.0469 4 2 5 0 x e x 0.1562  0.0312  0.0312 0.0469 0.0625 5 log 0 x x 0.125 0  0.0625 0.0156 0.0312 6 0.04 0.7 6 0 x e 5 0.2031  0.0312  0.0312 0.0312 0.0625 7 3 2 3 15 0 x x 12.547  0.0625  0.0625 0.125 0.0625 8 98 0.7 1 35 0 x x e 2.1719  0.0312  0.0625 0.0625 0.0625 9 4 1.671 10 x 8 2
9.7215 10 x
11 3
9.583 10 x
14 4
1.952 10 x 0.20597 0 0.3938  0.0312  0.0938 0.0625 0.125 10
5 1.575701 10 273.15 x 7 2 6.642308 10 273.15 x 10 3 1.2348 10 273.15 x 11 4 8.621949 10 273.15 x
141.6467 0 0.1875  0.0156  0.0625 0.0781 0.1406
Berdasarkan Tabel 2.1 dapat lihat  bahwa banyaknya iterasi yang dibutuhkan oleh metode INR-ADM 1 dan metode INR-ADM 2 selalu lebih sedikit  jika dibandingkan  dengan metode Regula  Falsi dan metode Secant . Akan tetapi jika dibandingkan  dengan metode Newton- Raphson, metode INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 mempunyai  banyak iterasi yang lebih sedikit
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
hanya untuk 9 permasalahan  saja. Sehingga  berdasarkan 10 permasalahan  yang diberikan, dapat diamati bahwa dalam segi banyaknya iterasi,  metode INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 selalu lebih baik jika dibandingkan dengan metode Regula  Falsi dan metode Secant tetapi tidak selalu lebih baik jika dibandingkan metode Newton-Raphson. Selanjutnya  akan dianalis is waktu komputasi yang diperlukan untuk mencapai solusi hampiran. Waktu komputasi yang diperlukan untuk mencapai solusi hampiran disajikan dalam Tabel 2.2.
Tabel 2.3 Nilai Akar Hampiran No Persamaan Nilai Akar Hampiran RF NR Secant INR-ADM 1 INR-ADM 2 1 3 10 0 x 2.1544  2.1544  2.1544 2.1544 2.1544 2 2 2 sin 1 0 x x 1.4045  1.4045  1.4045 1.4045 1.4045 3 3 2 2 0 x x 1 1 1 1 1 4 2 5 0 x e x 0.6053  0.6053  0.6053 0.6053 0.6053 5 log 0 x x 0.5671  0.5671  0.5671 0.5671 0.5671 6 0.04 0.7 6 0 x e 53.711  53.711  53.711 53.711 53.711 7 3 2 3 15 0 x x -1.0816  -1.0816  -1.0816 -1.0816 -1.0816 8 98 0.7 1 35 0 x x e 63.6497 63.6497 63.6497 63.6497 63.6497 9 4 1.671 10 x 8 2
9.7215 10 x
11 3 9.583 10 x
14 4
1.952 10 x 0.20597 0 1126.01 1126.01 1126.01 1126.01 1126.01 10
5 1.575701 10 273.15 x 7 2 6.642308 10 273.15 x 10 3 1.2348 10 273.15 x 11 4 8.621949 10 273.15 x
141.6467 0 15.388  15.388  15.388 15.388 15.388
Berdasarkan Tabel 2.2 dapat dilihat  bahwa waktu komputasi yang dibutuhkan oleh metode INR-ADM 1 dan metode INR-ADM 2 selalu lebih sedikit jika dibandingkan dengan waktu komputasi metode Regula  Falsi. Akan tetapi waktu komputasi metode INR-ADM 1 dan INR- ADM 2 tidak tentu untuk masing-masing permasalahan  dibandingkan dengan waktu komputasi metode Newton-Raphson dan metode Secant . Adakalanya  metode INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 mempunyai  waktu komputasi yang lebih singkat, lebih lambat, atau sama dengan waktu komputasi  metode Newton-Raphson  dan metode Secant . Sehingga  tidak  dapat ditarik

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
kesimpulan  bahwa waktu komputasi INR-ADM 1 dan metode INR-ADM 2 lebih singkat atau lebih lambat jika dibandingkan dengan metode Newton-Raphson  dan metode Secant . Selanjutnya  akar hampiran dari masing- masing persamaan nonlinier disajikan pada Tabel 2.3. Kelima  metode menghasilkan akar hampiran  yang sama untuk masing- masing persamaan. Semua akar yang dihasilkan merupakan akar hampiran  kecuali untuk akar hampiran dari persamaan ke-3. Akar hampiran  yang dihasilkan  dari persamaan ke-3 merupakan akar eksak dari persamaan tersebut. Semakin kecil toleransi kesalahan yang diberikan maka nilai hampiran yang dihasilkan akan semakin dekat dengan nilai eksaknya.

## III. KESIMPULAN
Lima metode yang digunakan untuk  menyelesaikan sepuluh  persamaan nonlinier menghasilkan nilai akar hampiran yang sama untuk masing-masing permasalahan.  Banyaknya iterasi yang dibutuhkan  oleh metode INR-ADM 1 dan metode IN-ADM 2 selalu  lebih sedikit jika dibandingkan metode Regula Falsi dan metode Secant tetapi tidak selalu lebih sedikit jika dibandingkan dengan metode Newton-Raphson.  Waktu iterasi yang diperlukan oleh metode INR-ADM 1 dan metode INR-ADM 2 selalu lebih singkat  jika dibandingkan dengan metod e Regula  Falsi. Akan tetapi jika dibandingkan  dengan metode Newton-Raphson dan metode Secant, waktu komputasi metode INR-ADM 1 dan metode INR-ADM 2 tidak tentu sehingga tidak dapat ditarik  kesimpulan  apakah waktu komputasi  INR-ADM 1 dan INR-ADM 2 lebih lambat atau lebih singkat dibandingkan metode Newton-Raphson dan metode Secant.

## REFERENSI
[1]   G. Adomian, Nonlinear  Stochastic  Systems and Applications  to Physics, Dorerecht: Kluwer Academic Publishers,  1989.
[2]   G. Adomian, Solving Frontier Problems of Physics : The Decomposition  Method, Dorerecht: Kluwer Academic Publishers,  1994.
[3] J. Math. Anal. Appl., vol.  105, pp. 141-166, 1985.
[4]
Applied Mathematics and Computation, vol. 132, pp. 167-172,
2002.
[5] -linear Applied Mathematics and Computation, vol. 20, pp. 69-73, 1994.
[6] decomposi
Applied Mathematics and Computation, vol.  150, pp. 847-854,
2004.
[7] Comput. Math. Appl., vol. 29, pp. 103-108, 1995.
[8] Math. Comput. Modelling, vol. 14, pp. 83-86, 1990.
[9]
Math. Comput. Modelling , vol.  18, pp. 103-106, 1993.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
[10] K.
-Raphson Using Adomian Decomposition Method International Journal of Mathematical Analysis, pp. 1919-1928, 2015.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id