## ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF MENGGUNAKAN METODE INFERENSI BAYESIAN
Laura E. Laidat 1* , Keristina Br Ginting 1 , Ganesha Lapenangga Putra 1
1. Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa
Cendana
* Penulis korespondensi: lauraerlindalaidat@gmail.com

## ABSTRAK
Estimasi  parameter  merupakan  salah  satu  bentuk  dari  statistik  inferensial.  Estimasi parameter  terdiri  atas  estimasi  parameter  titik  dan  estimasi  parameter  interval.  Pada penelitian  ini  akan  dilakukan  estimasi  parameter  titik  dan  interval  dari  distribusi Binomial  Negatif  dengan  metode  Bayes.  Metode  Bayes  dalam  penelitian  ini memanfaatkan distribusi Beta selaku prior konjugat, distribusi Uniform selaku prior non- konjugat, dan metode Jeffrey selaku prior non-informatif. Untuk mengevaluasi penduga terbaik,  metode  yang  digunkan  ialah  dengan  melihat  nilai  yang  terkecil  dari  varian posterior  dan  lebar  credible  interval  bayes.  Dalam  studi  simulasi  menggunakan pemrograman  R,  diperoleh  penduga  terbaik ialah  prior  konjugat  Beta,  sebab  memiliki nilai  varian  posterior  yang  terkecil  dan  lebar  credible  interval  Bayes  yang  terkecil dibandingkan dengan prior non-konjugat Uniform dan prior non-informatif Jeffrey.
Kata Kunci: Credible Interval Bayes, Distribusi Beta, Distribusi Binomial Negatif, Distribusi Uniform,
Metode Jeffrey.

## 1. PENDAHULUAN
Statistika  merupakan  salah  satu  ilmu  dalam  matematika  yang  secara  khusus membahas  mengenai  cara-cara  untuk  dapat  mengumpulkan,  menganalisis,  serta menginterpretasikan  data  hingga  akhirnya  dapat  diambil  suatu  kesimpulan berdasarkan data yang terkumpul tersebut. Dalam statistika terdapat dua metode utama yang  dapat  digunakan  yakni  statistik  deskriptif  dan  statistik  inferensial.  Statistika deskriptif merupakan suatu metode statistika yang menggambarkan dan menganalisis suatu penelitian namun tidak generalisasi. Sedangkan statistik inferensial  merupakan metode  statistik  yang  menganalisis  suatu  data  dan  kesimpulannya  ditujukan  secara
generalisasi.  Statistika  Inferensial  sendiri  dibagi  atas  2,  yakni  pendugaan  (estimasi) parameter dan pengujian hipotesis [1].
Estimasi  parameter  terbagi  atas  estimasi  parameter  titik  dan  estimasi  parameter interval. Untuk mengestimasi titik dari suatu parameter dapat dilakukan dengan metode klasik dan metode Bayes. Metode Bayes ialah metode yang memanfaatkan data sampel juga  menggunakan  distribusi  awal  atau  distribusi  prior.  Distribusi  prior  merupakan distribusi subjektif yang didasarkan pada keyakinan sang peneliti [2].
Terdapat  beberapa  jenis  distribusi  prior,  yakni  prior  konjugat,  prior  non-konjugat, dan  prior  non-informatif  [3]–[5].  Dikatakan  sebagai  prior  konjugat  jika  pola  distribusi prior  memiliki  bentuk  konjugat  dengan  fungsi  densitas  pembangun  likelihoodnya, dikatakan prior non-konjugat jika pemberian prior tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi  likelihoodnya,  serta  dikatakan  sebagai  prior  non-informatif  jika  distribusi  prior tidak mengandung informasi parameter θ [3], [4].
Sebelumnya telah dilakukan penelitian oleh Musana, T.A. [6]. Pada penelitian ini penulis  akan  mengkaji  lebih  lanjut  dalam  mengenai  estimasi  parameter  distribusi Binomial Negatif dengan prior konjugat Beta, prior non-konjugat Uniform, dan prior non- informatif Jeffrey. Serta, menentukan estimator terbaik dengan melihat nilai varians dan lebar credible interval yang terkecil melalui pengaplikasian pada Program R.

## 2. METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi literatur, yaitu mengkaji dan mempelajari berbagai sumber baik buku, skripsi, maupun berbagai jurnal yang  berkaitan  dengan  metode  Bayesian  dalam  mengestimasi  parameter  distribusi Binomial Negatif. Penelitian ini juga menggunakan studi simulasi dengan Program R.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Estimasi Titik untuk Parameter θ dari Distribusi Binomial Negatif dengan
Metode Bayes
3.1.1 Fungsi Likelihood dari Distribusi Binomial Negatif
Misalkan X 1 , X 2 , …,X n merupakan suatu peubah acak berdistribusi Binomial Negatif dengan parameter θ, fungsi kepekatan peluangnya adalah:
𝑓(𝑥; 𝜃)        = Г (𝑥 + 𝑘) Г (𝑥 + 1) Г (𝑘) 𝜃 𝑘 (1 − 𝜃) 𝑥 3.1
Sehingga, fungsi likelihood-nya dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝐿(𝜃) = 𝑓(𝑥|𝜃) = 𝜃 𝑘𝑛 (1 − 𝜃) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ( Г (𝑘)) 𝑛 ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝑛 𝑖=1
3.2
3.1.2 Estimasi Parameter Titik Distribusi Binomial Negatif dengan Prior Konjugat
Beta
Telah ditentukan pada 3.1 fkp distribusi Binomial Negatif dan pada 3.2 fungsi likelihood.
Misalkan  X 1 ,  X 2 ,  …,X n merupakan  suatu  peubah  acak  berdistribusi  Binomial  Negatif dengan parameter θ. Penentuan distribusi posterior ialah:
𝑓(𝑥, 𝜃) = 𝜃 𝑘𝑛+𝛼−1 (1 − 𝜃) 𝛽+∑ 𝑥 𝑖 −1 𝑛 𝑖=1 1 ( Г (𝑘)) 𝑛 Г (𝛼 + 𝛽) Г (𝛼) Г (𝛽) ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝑛 𝑖=1
Serta,
𝑓(𝑥)    = 1 ( Г (𝑘)) 𝑛 Г (𝛼 + 𝛽) Г (𝛼) Г (𝛽) ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝐵 (𝑘𝑛 + 𝛼, 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 𝑖=1
Maka, distribusi posterior:
𝑓(𝜃|𝑥)    = 𝑓(𝑥, 𝜃) 𝑓(𝑥) = 𝜃 𝑘𝑛+𝛼−1 (1 − 𝜃) 𝛽+∑ 𝑥 𝑖 −1 𝑛 𝑖=1
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑘𝑛 + 𝛼, 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 3.3
Sehingga, distribusi posterior dengan prior konjugat Beta yang diperoleh merupakan distribusi 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼 ′ , 𝛽 ′ ) dimana 𝛼 ′ = 𝑘𝑛 + 𝛼 dan 𝛽 ′ = 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1
Selanjutnya, mean dan varians posterior untuk θ dari prior konjugat Beta adalah:
𝐸(𝜃 1 )   = 𝑘𝑛 + 𝛼
𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1
3.4
𝑉𝑎𝑟(𝜃 1 )   =
(𝑘𝑛 + 𝛼)(𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )
(𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1)(𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2 3.5

## 3.1.3 Estimasi Parameter Titik Distribusi Binomial Negatif dengan Prior Non- Konjugat Uniform
Dengan menggunakan distribusi Uniform 𝜃~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1) sebagai prior non- konjugat serta fungsi likelihood dari distribusi Binomial Negatif pada persamaan 3.2, maka distribusi posterior dari θ dapat dinyatakan:
𝑓(𝑥, 𝜃)    = 𝜃 𝑘𝑛 (1 − 𝜃) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 1 ( Г (𝑘)) 𝑛 ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝑛 𝑖=1
Serta,
𝑓(𝑥)    = 1 ( Г (𝑘)) 𝑛 ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝑛 𝑖=1 𝐵𝑒𝑡𝑎 (𝑘𝑛 + 1, ∑ 𝑥 𝑖 + 1 𝑛 𝑖=1 )
Maka, distribusi posterior:
𝑓(𝜃|𝑥)     = 𝑓(𝑥, 𝜃) 𝑓(𝑥) = 𝜃 𝑘𝑛+1−1 (1 − 𝜃) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 +1−1 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑘𝑛 + 1, ∑ 𝑥 𝑖 + 1 𝑛 𝑖=1 ) 3.6
Sehingga, distribusi posterior dengan prior konjugat Beta yang diperoleh merupakan distribusi 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽) dimana 𝛼 = 𝑘𝑛 + 1 dan 𝛽 = ∑ 𝑥 𝑖 + 1 𝑛 𝑖=1 .
Selanjutnya, mean dan varians posterior untuk θ dari prior non-konjugat Uniform adalah:
𝐸(𝜃 2 )       = 𝑘𝑛 + 1 𝑘𝑛 + 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1
3.7
𝑉𝑎𝑟(𝜃 2 )     =
(𝑘𝑛 + 1)(∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1)
(𝑘𝑛 + 3 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )(𝑘𝑛 + 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2 3.8

## 3.1.4 Estimasi Parameter Titik Distribusi Binomial Negatif dengan Prior Non- Informatif
Untuk menduga parameter θ dengan pendekatan prior non-informatif salah satu metode yang dapat digunakan ialah metode Jeffrey. Tentukan dahulu Informasi Fisher:
I(𝜃) = −𝐸 [ 𝜕 2 𝜕(𝜃) 2 log 𝑓(𝑥; 𝜃)]   = 𝑘 𝜃 2 (1 − 𝜃)
Berdasarkan aturan Jeffrey maka diperoleh:
𝑓 (𝜃) ∝ √ I(𝜃) ∝ 1
𝜃(1 − 𝜃) 1 2
Selanjutnya, ditentukan distribusi posterior  sebagai berikut:
𝑓(𝑥, 𝜃)   = 𝜃 𝑘𝑛−1 (1 − 𝜃) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 −1 2 ⁄ ∏ Г (𝑥 𝑖 + 𝑘) Г (𝑥 𝑖 + 1) 𝑛 𝑖=1 ( Г (𝑘)) 𝑛
Serta, 𝑓(𝑥) = ∏ Г (𝑥𝑖+𝑘) Г (𝑥𝑖+1) 𝑛 𝑖=1 ( Г (𝑘)) 𝑛 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑘𝑛, ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 )
Maka, distribusi posterior-nya dapat dirumuskan sebagai:
𝑓(𝜃|𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝜃) 𝑓(𝑥) = 𝜃 𝑘𝑛−1 (1 − 𝜃) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 +1 2 ⁄ −1
𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑘𝑛, ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 ) 3.9
Sehingga,  distribusi  posterior  dengan  prior  non-informatif  yang  diperoleh merupakan distribusi 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝛼, 𝛽) dengan 𝛼 = 𝑘𝑛 dan 𝛽 = ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 .
Selanjutnya, mean dan varians posterior untuk θ dari prior non-informatif  Jeffrey ialah:
𝐸(𝜃 3 )   = 𝑘𝑛 𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 3.10
𝑉𝑎𝑟(𝜃 3 )    = 𝑘𝑛 (∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 ) (𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 3 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 )(𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 ) 2 3.11

## 3.2 Estimasi Interval dengan Menggunakan Credible Interval Bayes
Credible Interval Bayes dengan mean bagi penduga θ ialah 𝜃̂ 𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 dan variansnya ialah 𝑉𝑎𝑟(𝜃) ,  serta  simpangan  baku  dari  penduga  Bayesnya  ialah √𝑉𝑎𝑟(𝜃) = 𝜎 𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 . Maka selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk θ dapat ditulis sebagai:
𝜃̂ 𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 − 𝑧 𝛼 2 ⁄ 𝜎 1𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 < 𝜃 < 𝜃̂ 𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 + 𝑧 𝛼 2 ⁄ 𝜎 1𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 3.12

## 3.3 Studi Simulasi
Data  bangkitan  berdistribusi  Binomial  Negatif  diperoleh  pada  program  R sebanyak 100 data yaitu: 51, 102, 75, 53, 33, 36, 127, 28, 87, 70, 69, 64, 64, 61, 86, 58, 59, 54, 57, 22, 75, 80, 54, 35, 33, 107,35, 24, 66, 42, 94, 126, 62, 100, 64, 38, 95, 45, 86, 101, 73, 59, 112, 77, 116, 140, 61, 71, 88, 49, 49, 44, 111, 103, 44, 55, 127, 67, 53, 46, 83, 30,71, 36, 50,29, 51, 56, 29, 125, 70, 27, 55, 47, 57, 67, 87, 103,75, 15, 68, 115, 55,36, 73, 42, 83, 68, 68,104, 28,92,  65,  59,  21,32,  55,  35,  64,  36.  Dari  lampiran  data  maka  diperoleh ∑ 𝑥 𝑖 = 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 = 6545 100 𝑖=1 .
3.3.1 Estimasi Parameter θ pada Distribusi Binomial Negatif dengan Prior
Konjugat Beta
3.3.1.1 Estimasi Titik untuk Parameter θ
Berdasarkan 3.2, maka diperoleh nilai dari 𝛼 = 𝑘𝑛 + 1 = 7(100) + 1 = 701 dan nilai 𝛽 = ∑ 𝑥 𝑖 + 1 = 6545 + 1 = 6546 100 𝑖=1 .  Selanjutnya,  berdasarkan  3.3  distribusi posterior dengan prior konjugat Beta berdistribusi Beta dengan 𝛼 ′ = 𝑘𝑛 + 𝛼 = 7(100) + 701 = 1401 dan 𝛽 ′ = 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 6546 + 6545 = 13091. Maka berdasarkan 3.4 dan 3.5, nilai mean dan varians posterior dari prior konjugat Beta ialah:
𝜃̂ 1 = 0.09667403  dan  𝑉𝑎𝑟(𝜃 1 ) = 0.000006025541
Simpangan baku posterior ialah:
𝜎 1𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 = 0.002454698

## 3.3.1.2 Selang Kepercayaan untuk Parameter θ
Berdasarkan persamaaan  3.12, credible  interval Bayes dari distribusi posterior 𝜃 1 ialah:
0.09186282 < 𝜃 1 < 0.10148524 3.3.2 Estimasi Parameter θ pada Distribusi Binomial Negatif dengan Prior Non-

## Konjugat Uniform
3.3.2.1 Estimasi Titik untuk Parameter θ
Berdasarkan distribusi posterior pada 3.6, maka nilai dari 𝛼 = 𝑘𝑛 + 1 = 7(100) + 1 = 701 dan nilai 𝛽 = ∑ 𝑥 𝑖 + 1 = 6545 + 1 = 6546 100 𝑖=1 . Sehingga, berdasarkan 3.7 dan 3.8, nilai mean dan varians posterior dari prior non-konjugat Uniform ialah:
𝜃̂ 2 = 0.09672968  dan 𝑉𝑎𝑟(𝜃 2 ) = 0.00001205478 Simpangan baku posterior ialah:
𝜎 2𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 = 0.003471999

## 3.3.2.2 Selang Kepercayaan untuk Parameter θ
Berdasarkan persamaaan 3.12, credible interval Bayes dari distribusi  posterior 𝜃 2 ialah: 0.08992456 < 𝜃 2 < 0.1035348
3.3.3 Estimasi  Parameter  θ  pada  Distribusi  Binomial  Negatif  dengan  Prior  Non- Informatif

## 3.3.3.1 Estimasi Titik untuk Parameter θ
Pada  persamaan  3.9  diperoleh  bahwa  distribusi  posterior  dengan  prior  non- informatif  berdistribusi  Beta  dengan  nilai  dari 𝛼 = 𝑘𝑛 = 7(100) = 700 dan  nilai 𝛽 = ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ = 6545 + 0.5 = 6545.5 . 100 𝑖=1 Sehingga  berdasarkan  3.10  dan  3.11,  nilai  mean dan varians posterior dari prior non- informatif Jeffrey ialah:
𝜃̂ 3 = 0.09661169  dan  𝑉𝑎𝑟(𝜃 3 ) = 0.00001204414
Simpangan baku posterior ialah:
𝜎 3𝑏𝑎𝑦𝑒𝑠 = 0.003470467

## 3.3.3.2 Selang Kepercayaan untuk Parameter θ
Berdasarkan persamaaan 3.12, credible interval Bayes dari distribusi  posterior 𝜃 3 ialah:
0.08980958 < 𝜃 3 < 0.10341381
Lakukan langkah perhitungan yang sama dengan 𝑛 = 100 dan 𝑘 = 7 , untuk 𝜃 = 0.2, 𝜃 = 0.3, 𝜃 = 0.4, 𝜃 = 0.5, 𝜃 = 0.6, 𝜃 = 0.7, 𝜃 = 0.8, dan 𝜃 = 0.9.
Hasil  simulasi  menggunakan  Program  R  disajikan  dalam  bentuk  tabel  sebagai berikut:
Tabel 3.1.  Hasil Perhitungan Estimasi Titik untuk parameter θ dari Distribusi
Binomial Negatif Peluang (θ) Distribusi Prior Posterior Mean ( 𝜽 ̂ ) Posterior Varians 0.1 Beta 0.09667403 0.000006025541 Uniform 0.09672968 0.00001205478 Jeffrey 0.09661169 0.00001204414 0.2 Beta 0.20922939 0.00002470546 Uniform 0.20931621 0.00004940386 Jeffrey 0.20911128 0.0000493904 0.3 Beta 0.30576168 0.00004631714 Uniform 0.30584642 0.00009258805 Jeffrey 0.30561013 0.00009260859 0.4 Beta 0.3964346 0.00006768719 Uniform 0.3964932 0.0001352664 Jeffrey 0.3962638 0.0001353543 0.5 Beta 0.5286792 0.00009399378 Uniform 0.5286576 0.000187776 Jeffrey 0.5285013 0.0001879952 Beta 0.6128609 0.000103744
0.6 Uniform 0.6127622 0.0002072355 Jeffrey 0.6126915 0.0002075213 0.7 Beta 0.6867647 0.0001053988 Uniform 0.6865818 0.000210555 Jeffrey 0.6866111 0.0002108538 0.8 Beta 0.7723264 0.00009688064 Uniform 0.7720264 0.0001936211 Jeffrey 0.7722008 0.0001938366 0.9 Beta 0.9050388 0.00005548328 Uniform 0.9045161 0.0001112973 Jeffrey 0.9049774 0.0001110308
Berdasarkan hasil perhitungan estimasi titik pada Tabel 3.1., maka diketahui bahwa untuk 𝑛 = 100 , distribusi prior Beta dengan 𝜃 = 0.1 sampai dengan 𝜃 = 0.9 menghasilkan nilai posterior mean yang mendekati nilai yang ditetapkan. Serta, nilai varians posterior yang terkecil dibandingkan nilai varians posterior pada prior lainnya.
Tabel 3.2  Hasil Perhitungan Credible Interval Bayes, Lebar Credible Interval  Bayes
Pendugaan Parameter Distribusi Binomial Negatif Peluang (θ) Distribusi Prior Credible Interval Bayes Lebar Credible Interval Bayes 0.1 Beta 0.09186282 < 𝜃 < 0.10148524 0.00962242 Uniform 0.08992456 < 𝜃 < 0.1035348 0.01361024 Jeffrey 0.08980957 < 𝜃 < 0.10341381 0.01360423 0.2 Beta 0.19948729 < 𝜃 < 0.21897149 0.0194842 Uniform 0.19553979 < 𝜃 < 0.22309264 0.02755285 Jeffrey 0.19533673 < 𝜃 < 0.22288582 0.02754909 0.3 Beta 0.29242256 < 𝜃 < 0.31910079 0.02667823 Uniform 0.28698678 < 𝜃 < 0.32470607 0.03771929 Jeffrey 0.28674839 < 𝜃 < 0.32447187 0.03772348 0.4 Beta 0.38030928 < 𝜃 < 0.41255999 0.03225071 Uniform 0.37369761 < 𝜃 < 0.41928882 0.04559121 Jeffrey 0.37346079 < 𝜃 < 0.41906681 0.04560602 0.5 Beta 0.50967697 < 𝜃 < 0.54768152 0.03800455 Uniform 0.50179947 < 𝜃 < 0.55551577 0.0537163 Jeffrey 0.5016275 < 𝜃 < 0.55537515 0.05374765 0.6 Beta 0.59289736 < 𝜃 < 0.63282443 0.03992707 Uniform 0.58454671 < 𝜃 < 0.64097777 0.05643106 Jeffrey 0.58445649 < 𝜃 < 0.64092644 0.05646995 0.7 Beta 0.66664257 < 𝜃 < 0.70688683 0.04024426 Uniform 0.65814117 < 𝜃 < 0.71502239 0.05688122 Jeffrey 0.6581503 < 𝜃 < 0.71507186 0.05692156 Beta 0.75303447 < 𝜃 < 0.79161823 0.03858376
0.8 Uniform 0.74475346 < 𝜃 < 0.7992994 0.05454594 Jeffrey 0.74491263 < 𝜃 < 0.79948892 0.05457629 0.9 Beta 0.89043929 < 𝜃 < 0.91963823 0.02919894 Uniform 0.88383861 < 𝜃 < 0.92519364 0.04135503 Jeffrey 0.88432463 < 𝜃 < 0.92563012 0.04130549 Dari Tabel 3. 2 diperoleh bahwa pada 𝑛  =  100 , dengan 𝜃 = 0.1 sampai dengan 𝜃 = 0.9 hasil  perhitungan  Credible  Interval  Bayes  untuk  distribusi  prior  Beta menghasilkan lebar Credible Interval Bayes yang lebih kecil dibandingkan dengan lebar interval pada prior Uniform dan prior Jeffrey.

## 4. SIMPULAN
1. Mean dan varians posterior dari prior konjugat Beta:
𝐸(𝜃 1 )   = 𝑘𝑛 + 𝛼 𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝜃 1 ) = (𝑘𝑛 + 𝛼)(𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )
(𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1)(𝑘𝑛 + 𝛼 + 𝛽 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2
2. Mean dan varians posterior dari prior non-konjugat Uniform:
𝐸(𝜃 2 )   = 𝑘𝑛 + 1 𝑘𝑛 + 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 dan  𝑉𝑎𝑟(𝜃 2 ) = (𝑘𝑛 + 1)(∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1) (𝑘𝑛 + 3 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )(𝑘𝑛 + 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2
3. Mean dan varians posterior dari prior non-informatif Jeffrey:
𝐸(𝜃 3 )   = 𝑘𝑛 𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 dan  𝑉𝑎𝑟(𝜃 3 )
= 𝑘𝑛 (∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 )
(𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 3 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 )(𝑘𝑛  + ∑ 𝑥 𝑖 + 1 2 ⁄ 𝑛 𝑖=1 ) 2
4. Berdasarkan  studi  simulasi,  diketahui  distribusi  Beta  merupakan  distribusi  prior konjugat  terbaik karena memiliki  nilai  pendugaan  titik  yang mendekati  nilai yang ditetapkan,  memiliki  nilai  varians  terkecil,  serta  nilai  Credible  Interval  Bayes  yang terkecil bila dibandingkan dengan distribusi prior lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  M.  P.  M.  T.  Dr.  Eng.  Yeri  Sutopo,  M.  S.  Prof.  Dr.  Achmad  Slamet,  and  A.  Offset,
Statistik Inferensial. Penerbit Andi. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=jVJLDwAAQBAJ
[2]  R.  E.  Walpole,  R.  H.  Myers,  S.  L.  Myers,  and  K.  Ye,  Probability  and  Statistics  for
Engineers and Scientists.
Pearson,
2017. [Online]. Available:
https://books.google.co.id/books?id=aOKHrgEACAAJ
[3]  W.  M.  Bolstad  and  J.  M.  Curran,  Introduction  to  Bayesian  Statistics.  Wiley,  2016. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=UeT3DAAAQBAJ
[4]  G.  E.  P.  Box  and  G.  C.  Tiao,  Bayesian  Inference  in  Statistical  Analysis.  Wiley,  2011. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=T8Askeyk1k4C
[5]  L. Held and D. S. Bové, Likelihood and Bayesian Inference: With Applications in Biology and Medicine. Springer Berlin Heidelberg, 2020. [Online]. Available: https://books.google.co.id/books?id=pb-YywEACAAJ
[6]  A. T. Musana, F. Yanuar, and Y. Asdi, “Identifikasi Distribusi Jumlah Kecelakaan Lalu Lintas Di Depok Dan Pendugaan Parameternya Menggunakan Metode Bayes,” Jurnal Matematika UNAND, vol. 8, no. 4, pp. 1–7, 2019.