J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 4, No. 1, May 2007, 47–58

## Perbandingan Model Black Scholes dan Brennan Schwartz untuk Menentukan Harga American Option

## Endah Rokhmati MP, Lukman Hanafi, Supriati
Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya
endahrmp@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Option adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemegang kontrak itu untuk call (membeli) atau put (menjual) suatu underlying asset (aset dasar) dengan exercise price/strike price (harga tertentu) sebelum atau saat expiration date (jangka waktu tertentu). Ada dua macam gaya melakukan exercise, yaitu European Option dan American Option. American option lebih berharga dari pada European option. Proses mendapatkan nilai pada American option termasuk free boundary value problem. Untuk menen- tukan harga American option digunakan model Black Scholes dan Brennan Schwart. Model tersebut diperoleh dengan menggunakan metode beda hing- ga. Metode beda hingga yang digunakan adalah metode eksplisit. Dari ke- dua model tersebut akan dibandingkan berdasarkan kestabilan, akurasi, dan konvergensi. Berdasarkan hasil perbandingannya, berdasarkan kestabilan, kedua model tersebut stabil, berdasarkan akurasi model pendiskritan lang- sung lebih akurat sampai 94 . 68%, sedangkan berdasrkan konvergensi model Brennan Schwartz lebih cepat konvergen.
Kata Kunci: option, American put option, Black Scholes, Brennan Schwart, eksplisit

## 1. Pendahuluan
Option adalah kontrak yang memberikan hak kepada pemegang kontrak itu untuk call (membeli) atau put (menjual) suatu underlying asset (aset dasar) dengan strike price (harga tertentu) saat expiration date (jangka waktu tertentu)[7]. Ada dua macam gaya mengexercise option, yaitu European Option dan American Option[7]. European Option, option hanya dapat diexercise tepat pada saat expi- ration date. Sedangkan American Option, option dapat diexercise sewaktu-waktu sampai batas expiration date[1]. Perbedaan itulah yang menyebabkan American Option lebih berharga dari pada European Option. Proses mendapatkan nilai pa- da American option termasuk free boundary value problem[4]. Umumnya solusi analitik tidak dapat digunakan pada American option, kecuali tipe khusus yaitu American call dengan pembayaran aset deviden[4]. Selain itu solusi analitik cen- derung lebih sulit dari pada pendekatan secara numerik dengan memakai finite difference (bedahingga)[2]. Harga American Option diperoleh dari model Black Scholes (model pendiskritan langsung) dan Brennan Schwartz. Model tersebut dis- elesaikan dengan metode eksplisit yang merupakan salah satu bagian dari metode beda hingga.

## American Option
Seperti yang dijelaskan diatas, bahwa American Option adalah option yang dapat diexercise sewaktu-waktu (early exercise) sampai expiration date. Oleh karena itu, American option lebih berharga dari pada European option. Nilai pada European option lebih kecil dari pada payoffnya[8]. Nilai pada European option lebih kecil dari pada payoffnya[8]. Hal ini tidak terjadi pada American option, misal Ameri- can put option mempunyai nilai dimana seseorang dapat memperoleh keuntungan dengan cara mengexercise secara serentak, yaitu dengan membeli aset dan put[8], sedangkan nilai American call option bernilai V am C < ( K − S ) + [2]. Hal ini tidak boleh dilakukan Sehingga pada American option berlaku
V am p ( S, t ) ≥ ( K − S ) + untuk ∀ ( S, t ) (1)
Ilustrasi tersebut jika digambarkan adalah seperti yang tersebut pada Gam- bar 1.
Pada Gambar 1 terlihat bahwa payoff American option V P ( St, t ) lebih tinggi dari pada nilai European option V EP ( St, t ). Kondisi tersebut terjadi ketika early exercise optimal[2]. Early exercise berarti nilai V dan S diserahkan dan nilai K diterima, dengan kata lain K − V − S merupakan keuntungan yang diperoleh.
Pada Persamaan 1 American option memenuhi V P ( S, t ) ≡ K − S untuk S > 0. Di sisi lain V am p ≥ ( K − S ) + . V P menjelaskan nilai S f dengan 0 < S f < K .
Gambar 1: Grafik V ( S, t ) untuk Put Option
Sehingga fungsi payoff dapat dicapai V am p ( S f , t ) = ( K − S f ) + . Nilai S f bergantung dengan t , sehingga S f = S f ( t ). Sehingga dapat ditulis
V am p ( S f , t ) > ( K − S f ) + untuk S > S f ( t ) V am p ( S f , t ) = ( K − S f ) + untuk S ≤ S f ( t )
Proses mendapatkan nilai V am p untuk S > S f ( t ) termasuk free boundary value problem[5]. Proses mendapatkan nilai V P memenuhi persamaan Black-Scholes sebagai berikut
δV δt + rS δV δS + 1 2 σ 2 S 2 δ 2 V δS 2 − rV = 0 (2)

## Model Brennan Schwartz
Model Brennan Schwartz merupakan perluasan dari persamaan Black Sholes. Di- mana model ini menggunakan transformasi log pada stock price S [5]. Mengguna- kan transformasi log pada S lebih efisien karena ketika σ konstan, standart deviasi log S adalah konstan[5]. Transformasi log pada persamaan Black Scholes sebagai berikut:
Z = ln S S = e Z W ( Z, t ) = V ( S, t )
Sehingga
δV δS = e − Z δW δZ δ 2 V δS 2 = e − Z µ δ 2 W δZ 2 − δW δZ ¶ (3)
δV δt = δW δt
Dengan mensubtitusikan Persamaan 3 pada Persamaan 2, maka persamaan Black Scholes menjadi:
δW δt + µ r − 1 2 σ 2 ¶ δW δZ + 1 2 σ 2 δ 2 W δZ 2 − rW = 0 (4)

## Metode Beda Hingga
Metode beda hingga merupakan salah satu bentuk penyelesaian numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk penyelesaian nu- merik diperoleh dari deret Taylor
f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f
0 ( x i )∆ x + O (∆ x ) 2 (5)
Node adalah pembagian media menjadi daerah-daerah kecil. Kumpulan dari node disebut node network atau mesh. Node network digunakan untuk menyele- saian persamaan beda hingga, dimana besar kecilnya jumlah node mempengaruhi ketelitian perhitungan. Titik hitungan pada bidang t − x seperti yang tersebut pada Gambar 2
Gambar 2: Node Network pada Pendekatan Beda Hingga
Dengan menggunakan titik ( i, j ) sebagai titik tinjauan, maka berdasarkan Gambar 2, maka diperoleh persamaan beda hingga sebagai berikut:
Beda maju
δf δx ≈ f i +1 ,j − f i,j ∆ x (6)
Beda mundur
δf δx ≈ f i,j − f i − 1 ,j ∆ x (7)
Beda pusat
δf δx ≈ f i +1 ,j − f i − 1 ,j 2∆ x (8)
Demikian pula diferensiasi fungsi f terhadap ∆ t , sehingga
Beda maju
δf δt ≈ f i +1 ,j +1 − f i +1 ,j ∆ t (9)
Beda mundur δf δt ≈ f i +1 ,j − f i +1 ,j − 1 ∆ t (10)
Beda pusat
δf δt ≈ f i +1 ,j +1 − f i +1 ,j − 1 2∆ t (11)
Kriteria perbandingan yang digunakan meliputi:
a. Kestabilan dengan menggunakan metode von Neumann’s,
b. Kekonsistenan dan kekonvergenan

## 2. Model Beda Hingga untuk American Option
Model yang digunakan untuk menentukan harga American put option adalah model pendiskritan langsung dan model Brennan Schwart. Model pendiskritan langsung berarti mendiskritkan persamaan Black Scholes pada Persamaan 2, se- dangkan model Brennan Schwartz berarti mendiskritkan persamaan awal Brennan Schwartz pada Persamaan 4.

## Model Pendiskritan Langsung
Metode eksplisit digunakan untuk mendapatkan model pendiskritan langsung untuk fungsi V ( t, S ) pada titik awal ( t + ∆ t, S ) dengan titik tinjauan ( t, S ) dan titik awal ( t, S ) dengan titik tinjauan ( t − ∆ t, S ).
Berdasarkan Gambar 3 dan mengacu pada Persamaan 6, 9, dan 11, maka dengan menggunakan beda maju pada titik ( t, S ) diperoleh:
δV δt | ( t,S ) = V ( t + ∆ t, S ) − V ( t, S ) ∆ t + O (∆ t ) (12)
Sedangkan dengan menggunakan beda maju pada titik ( t + ∆ t, S ) diperoleh diskritisasi untuk
δV δS | ( t,S ) dan δ 2 V δS 2 | ( t,S )
Beda tengah juga digunakan untuk mendapatkan diskritisasi pada titik ( t +∆ t, S ). Diskritisasi tersebut disubstitusikan pada persamaan Black Scholes sehingga diper-
Gambar 3: Grid Beda Maju dengan Titik Tinjauan ( t, S )
oleh
V ( t, S ) = 1 (1 + r ∆ t ) ½µ − 1 2 rS ∆ t ∆ S + 1 2 σ 2 S 2 ∆ t (∆ S ) 2 ¶ V ( t + ∆ t, S − ∆ S ) + µ 1 − σ 2 S 2 ∆ t (∆ S ) 2 ¶ V ( t + ∆ t, S ) (13) + µ 1 2 rS ∆ t ∆ S + 1 2 σ 2 S 2 ∆ t (∆ S ) 2 ¶ V ( t + ∆ t, S + ∆ S ) ¾
Dengan mengambil S = m ∆ S dan V ( t, S ) = ( n ∆ t, m ∆ S ) = v m n , maka diperoleh
v m n = a ∗ n v m − 1 n +1 + b ∗ n v m n +1 + c ∗ n v m +1 n +1 (14)
dengan:
a ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ − 1 2 rm ∆ t + 1 2 σ 2 m 2 ∆ t ¶ b ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ¡ 1 − σ 2 m 2 ∆ t ¢ c ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ 1 2 rm ∆ t + 1 2 σ 2 m 2 ∆ t ¶
dengan n = 0 , 1 , 2 , · · · , N − 1 dan m = 1 , 2 , · · · , M − 1. Jika n − ≤ n ≤ n + dengan nilai minimum n adalah n − dan maksimum n = n + , dan m − < m < m + dengan nilai minimum m adalah m − dan maksimum m = m + , maka Persamaan 14 dapat ditulis:
untuk n = n − sampai n = n + , maka
a ∗ n v m − − 1 n − +1 + b ∗ n v m − n − +1 + c ∗ n v m − +1 n − +1 = v m − n − a ∗ n v m − n − +1 + b ∗ n v m − +1 n − +1 + c ∗ n v m − +2 n − +1 = v m − +1 n − · · · · · · a ∗ n v m +1 n − +1 + b ∗ n v m + n − +1 + c ∗ n v m + +1 n − +1 = v m + n − · · · · · · a ∗ n v m − − 1 n + +1 + b
∗ n v m − n + +1 + c ∗ n v m − +1 n + +1 = v m − n + a ∗ n v m − n + +1 + b ∗ n v m − +1 n + +1 + c ∗ n v m − +2 n + +1 = v m − +1 n + · · · · · · a ∗ n v m +1 n + +1 + b ∗ n v m + n + +1 + c ∗ n v m + +1 n + +1 = v m + n +
Metode eksplisit dengan titik tinjauan ( t − ∆ t, S ) diperoleh dengan cara yang sama dan menghasilkan
v m n − 1 = a ∗ n v m − 1 n + b ∗ n v m n + c ∗ n v m +1 n (15)
dengan
a ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ − 1 2 rn ∆ t + 1 2 σ 2 n 2 ∆ t ¶ b ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ¡ 1 − σ 2 n 2 ∆ t ¢ c ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ 1 2 rn ∆ t + 1 2 σ 2 n 2 ∆ t ¶
dengan n = 1 , 2 , · · · , N − 1 dan m = 1 , 2 , · · · , M − 1.
Dari kedua model tersebut, model pendiskritan langsung dengan titik tinjauan ( t, S ) dan ( t − ∆ t, S ) boundary conditionnya (BC) adalah saat waktu T adalah max [ K − ST, 0], dimana S T adalah stock price, pada saat T . Sehingga:
V m N = max [ K − mS, 0]
N = − ∆ untuk setiap m = 0 , 1 , L, M
Nilai option adalah K pada saat harga saham nol, sehingga:
V 0 n = K, untuk setiap n = 0 , 1 , 2 , · · · , N
Sedangkan nilai option adalah nol untuk S = S max , sehingga:
V M n = 0 , untuk setiap n = 0 , 1 , 2 , · · · , N

## Model Brennan Schwart
Metode eksplisit digunakan untuk mendapatkan model Brennan Schwartz untuk fungsi W ( t, Z ) pada titik awal ( t + ∆ t, Z ) dengan titik ( t, Z ) sebagai titik tinjauan dan titik awal ( t, Z ) dengan titik tinjauan ( t − ∆ t, Z ). Model pendiskritan untuk titik ( t, Z ) sebagai titik tinjauan diperoleh
W ( t, Z ) = 1 (1 + r ∆ t ) ·½ − ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ Z ) 2 ¾ W ( t + ∆ t, Z − ∆ Z ) + µ 1 − σ 2 ∆ t (∆ Z ) 2 ¶ W ( t + ∆ t, Z ) (16) + ½ ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ Z ) 2 ¾ W ( t + ∆ t, Z + ∆ Z ) ¸
misal W ( t, Z ) = ( n ∆ t, m ∆ Z ) = w m n maka diperoleh
w m n = α ∗ n w m − 1 n +1 + β ∗ n w m n +1 + γ ∗ n w m +1 n +1 (17)
dengan
α ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ½ − ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ z ) 2 ¾ β ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ 1 − σ 2 ∆ t ( δZ ) 2 ¶ γ ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ½ ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ z ) 2 ¾
dengan n = 0 , 1 , 2 , · · · , N − 1 dan m = 1 , 2 , · · · , M − 1. Dengan cara yang sama didapat pendiskritan dengan titik tinjauan ( t − ∆ t, Z ) yaitu
w m n − 1 = α ∗ n w m − 1 n + β ∗ n w m n + γ ∗ n w m +1 n (18)
dengan
α ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ½ − ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ z ) 2 ¾ β ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) µ 1 − σ 2 ∆ t ( δZ ) 2 ¶ γ ∗ n = 1 (1 + r ∆ t ) ½ ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ + σ 2 ∆ t 2(∆ z ) 2 ¾
dengan n = 1 , 2 , · · · , N − 1 dan m = 1 , 2 , · · · , M − 1.
Dari kedua model tersebut, model Brennan Schwartz dengan titik tinjauan ( t, Z ) dan ( t − ∆ t, Z ) boundary conditionnya (BC) adalah saat waktu T adalah max [ K − Z T , 0], dimana Z T adalah stock price, pada saat T . Sehingga:
Z m N +1 = max [ K − exp { Z 0 + m (∆ Z ) } , 0] untuk setiap m = 0 , 1 , · · · , M
Nilai option adalah K pada saat harga saham nol, sehingga:
Z 0 n = K untuk setiap n = 0 , 1 , 2 , · · · , N
Sedangkan nilai option adalah nol untuk Z = Z max , sehingga:
Z M n = K untuk setiap n = 0 , 1 , 2 , · · · , N Gambar 4: Grafik Model Pendiskrit- an langsung Gambar 5: Grafik Model Brenann Schwartz

## 3. Hasil Simulasi
Model pendiskritan langsung dengan memasukkan batas n dan m , baik dengan titik tinjauan ( t, S ) maupun ( t − ∆ t, S ) menghasilkan koefisien matrik yang sama, maka untuk simulasinya digunakan persamaan hasil pendiskritan dengan titik tin- jauan ( t, S ). Hal ini juga berlaku untuk model Brennan Schwartz. Untuk memper- mudah perhitungan digunakan data. Data tersebut dibangkitkan dari MATLAB 6.5. Untuk model pendiskritan langsung datanya adalah S = 50, S max = 100, K = 55, vol = 0 . 3, r = 0 . 1, T = 5 / 12, sedangkan model Brennan Schwartz S = 50, K = 55, S max = 100, Z = log( S ), Z max = round (log( Smax )), vol = 0 . 3, r = 0 . 1, T = 5 / 12. Dari hasil runningnya dapat dilihat bahwa nilai sebenarnya baik dengan menggunakan model pendiskritan langsung maupun model Brennan Schwartz adalah 7 . 0284, sedangkan nilai pendekatan dan error dari masing-masing model seperti yang tersebut pada Tabel 1.

## Perbandingan Model Black Scholes...
Tabel 1: Nilai Pendekatan dan Error dengan Menggunakan Model Pendiskritan Langsung
Model Pendiskritan Model Brenann Schwartz Langsung dengan Metode Eksplisit dengan Metode Eksplisit Grids(n) nilai error nilai error pendekatan pendekatan 5 5.6312 1.4152 6.0194 1.2949 15 5.7235 1.3049 5.8516 1.1768 25 7.0000 0.0284 5.7605 1.2679 35 6.1997 0.8287 5.7632 1.2652 45 6.1111 0.2102 5.7424 1.2861 55 6.8182 0.2793 5.7167 1.3117 65 6.7491 0.6383 5.7312 1.2972 75 6.3902 0.2637 5.7359 1.2926 85 6.7647 0.0768 5.7331 1.2953 95 6.9516 0.3525 5.7335 1.2916 105 6.6759 0.2893 5.7377 1.2907 115 6.7391 0.0284 5.7346 1.2939 125 7.0000 0.1938 5.7297 1.2987 135 6.8346 0.3043 5.7371 1.2913 145 6.7241 0.0929 5.7294 1.2990 155 6.9355 0.0928 5.7322 1.2962 165 6.9356 0.2573 5.7272 1.3012 175 6.7711 0.1365 5.7261 1.3023 185 6.8919 0.1863 5.7287 1.2997 195 6.8421 0.1667 5.7326 1.2958 205 6.8617 0.1679 5.7338 1.0091 215 6.8605 0.4152 5.7368 1.2946
Berdasarkan Tabel 1, tampak error dari masing-masing model adalah ξ 1 = 5 . 32% error model pendiskritan langsung, tingkat akurasi 94 . 68%, dan ξ 2 = 17 . 25% error model Brennan Schwartz, dengan tingkat akurasi 82 . 25%. Karena mod- el pendikritan langsung mempunyai error lebih kecil dari pada model Brennan Schwartz, maka dapat disimpulkan bahwa model pendiskritan langsung lebih aku- rat.
Jika dibuat grafik hubungan nilai pendekatan dan pembagian grid dapat dilihat pada Gambar 4 untuk model pendiskritan langsung dan Gambar 5 untuk mo- del Brennan Schwartz maka bisa disimpulkan bahwa nilai pendekatan dari model pendiskritan langsung mendekati nilai tertentu, yaitu 6 , 86. Hal ini berarti bahwa model pendiskritan langsung konvergen pada 6 , 86. Nilai pendekatan dari model Brennan Schwartz mendekati nilai tertentu, yaitu 5 , 73. Hal ini berarti bahwa model Brennan Schwartz konvergen pada 5 , 73.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas tentang model pendiskritan langsung dan Bren- nan Schwart untuk menentukan harga American Option, dapat disimpulkan bahwa:
a. Model pendikritan langsung dengan titik tinjauan ( t, S ) dan ( t − ∆ t, S ) stabil pada 0 ≤ ξ ≤ 1 untuk − 1 < r ∆ t ≤ 0, dan
· 1 − ¡ σ 2 S 2 λ ¢ + µ σ 2 S 2 2 λ ¶¸ 2 + ·µ rS ∆ t 2∆ S ¶ 2 sin( q ∆ S ) ¸ 2 ≥ 1
b. Model Brennan Schwartz dengan titik tinjauan ( t, Z ) dan ( t − ∆ t, Z ) stabil pada 0 ≤ ξ ≤ 1 untuk − 1 < r ∆ t ≤ 0, dan · 1 − σ 2 ϕ + µ σ 2 2 ¶ 2 cos q ∆ Z ¸ 2 + · ∆ t 2∆ Z µ r − 1 2 σ 2 ¶ 2 sin( q ∆ Z ) ¸ 2 ≥ 1
c. Berdasarkan akurasi, model pendiskritan langsung lebih akurat dengan tingkat akurasi sampai 94 . 68%.
d. Berdasarakan konvergensi, model Brennan Schwartz lebih konvergen.

## Pustaka
[1] Hull, C. 2002. Option Future and Other Derivatives. Prentice Hall, New Jer- sey.
[2] Kerman, Jouni. 2002. Numerical Method for Option Pricing: Binomial and Finatte-difference Aproximation. New York.
[3] Kusumaningtyas, Khoriyati. 2007. Estimasi Harga American Put Option Tan- pa Deviden Menggunakan Metode Binomial. Tugas Akhir. ITS.
[4] Kwok, Yue-kuen. 1998. Mathematical Models of Financial Derivarives. Springer.
[5] Leveque. J, Randall. 2006. Finite Difference Methods for Differential Equa- tions.
[6] Seydel, Rudiger. 2002. Tools Computational Finance. Springer. New York.
[7] Smith, G.D. 1985. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxfor University Press. New York.
[8] Sukha, Shamer. 2001. Finite-Difference Methods for Pricing the American Put Option.