## KAJIAN TEORITIK INISIASI DAN PENJALARAN RETAK AKIBAT PEMBEBANAN KOMBINASI MODE I DAN MODE II

## Anwar Dolu

## Abstract
This study as a mean to find for extension direction and crack propagation, critical  stress  or  critical  crack  dimension  and  stability  of  the  crack  path  of subjected combination mode I and mode II loading. Model that assessed for crack characterize with mode combination that is Maximum Tangential Stress (MTS) and Strain Energy Density (SED). The models are referred applied at plate case with infinite length for initiation, crack growth, and critical stress of subjected  biaxial,  tension  and  compression  ).  Analysis  result  also  verified with result that  loading with crack angle ( has been obtained from experiment previously.
Keywords :  Fracture  Mechanics,  Mixed-Mode,  Crack  Propagation,  Model MTS & SED.

## PENDAHULUAN
Aplikasi struktur secara umum menerima berbagai macam pembebanan dan tegangan yaitu tegangan tarik  ( tension ),  tegangan  tekan  ( compression ),  juga  tegangan  geser  ( shear )    dan  tegangan  torsi ( torsion )  yang  mengakibatkan  adanya  interaksi  gabungan  mode  pembebanan  ( mixed  mode interaction ).  Hubungannya  dengan  kondisi  tegangan  di  ujung  retak  ( crack  tip )  sering  berdasarkan interaksi  gabungan  mode    I  dan  II  atau  mode  I  dan  III,  yang  menjelaskan  besar dari  tegangan pada ujung  retak  oleh  karena  pembebanan  yang  miring  terhadap  bidang  retak.  Selain  dari  pada  itu, penjalaran retak dari berbagai model struktur dan bisa diperlakukan pada berbagai kondisi gabungan gaya retak ( mixed mode fracture ).

## Anwar Dolu
Staff Pengajar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tadulako email : anwardolu@yahoo.com

## ISSN: 1907-4360
Secara  umum,  inisiasi  retak  dan  pertumbuhannya  berhubungan dengan  faktor-faktor  intensitas tegangan  dalam  kondisi  tegangan  kompleks.  Artinya  bahwa  ujung  retak  merupakan  bagian  yang  tak terpisahkan  secara  tiga  dimensi  dengan  variasi  ketebalan  dari  komponen  benda  padat  ( solid ).  Oleh karena  itu,  persamaan  medan  harus  ditentukan  dengan  konsep  kombinasi  mode  mekanika  retak ( mixed-mode  fracture  mechanics ).  Sebagai  contoh,  retak  yang  dibebani  tegangan  tarik  (tension)  dan tegangan  geser  (shear)  dapat  memperlihatkan  pencabangan  retak  ( crack  branching )  yang  dapat dikarakterisasi dengan menggunakan bentuk singular dan orde tinggi dalam analisa medan tegangan. Analisa  kombinasi  mode  dari retak  yang  bercabang  memerlukan  penentuan  faktor-faktor  intensitas tegangan untuk bagian awal dari retak ( original crack ) dan setelah terjadi penjalarannya (pencabangan retak) dalam kaitannya dengan medan tegangan di sekitar ujung retak ( crack tip ).

## 1. Mekanika Fraktur ( fracture mechanic )
Pada mekanika fraktur melihat adanya retakan pada sebuah bahan dan memperkirakan panjang retak kritis  untuk  terjadinya kegagalan.  Dalam  bentuknya  yang paling  sederhana,  mekanika  fraktur  berlaku untuk  bahan  yang  elastik  linear  dengan  hanya  pelelehan  lokal  pada  ujung  retakan. Mekanika  fraktur didasarkan  pada  pertimbangan energi  yang  diperlukan  untuk  pertumbuhan retakan.  Energi  regangan dibebaskan dari daerah tersebut, karena tidak dibebani oleh adanya retakan. Energi diperlukan untuk memecahkan ikatan atom pada ujung retakan supaya retakan kian bertambah.
Untuk  suatu  retakan  pendek  atau  tingkat  tegangan  yang  diterapkan  rendah,  energi  yang dibebaskan tidaklah cukup untuk membangkitkan pertumbuhan retak. Kalau panjang retakan tersebut cukup  (kritis),  atau  tingkat  tegangan  yang  diterapkan  cukup  tinggi,  energi  yang  dibebaskan menyebabkan retakan akan tumbuh secara cepat dan gagal, tanpa kenaikan tegangan yang diterapkan tersebut.

## 1.1. Medan Tegangan
Tiga jenis dari penjalaran retak yang dikenal : Mode I, pembukaan ( opening mode ), Mode II, geseran ( sliding mode ), dan Mode III, sobekan ( tearing mode ). Pada mode I retak disebabkan oleh tegangan tarik  dalam  arah  y  yang  tegak  lurus  pada  permukaaan  retak.  Pada  mode  II,  tegangan  geser  bekerja tegak lurus pada tepi depan retak dan dalam bidang retak itu sendiri. Untuk mode III atau model geser sejajar, tegangan geser bekerja sejajar pada tepi depan retak. Mode I merupakan mode pembebanan yang penting.
Distribusi  tegangan  pada  ujung  retak  dalam  pelat  tipis  (Gambar.1)  diberikan  pada  persamaan berikut :
x a 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r              y a 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2r              (1)
xy a 3 cos sin cos 2 2 2 2r       y x y x Px Px Py Py y y y z z x x yy xy y x Pz Pz z x yz retak retak retak
Gambar 1. Tiga Mode Pembebanan Retak
Untuk  adalah gaya nominal, Persamaan tersebut berlaku bila  a > r >  . untuk suatu titik didepan retak  = 0 maka berlaku :
x y xy a ; 0
2r        (2)
Gambar 2. (a) Lubang ellips, (b). kondisi retak (a>>b)
Menurut Irwin (Irwin, G. 1957) , Persamaan (1) menunjukan bahwa tegangan setempat dekat ujung retak tergantung pada hasil kali tegangan nominal dan akar setengah panjang retak. Hubungan ini disebut Faktor Intensitas Tegangan ( stress intensity factor ) K. Dalam kasus mode I dapat dituliskan sebagai K I
I K a    (3)
Dimensi  K I adalah  ( MPa m ,  atau ksi in )  bila  nilai  K I dimasukkan  kedalam  persaman  (1),  maka medan tegangan pada ujung retak menjadi :
I x K 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r             
I y K 3 cos 1 sin sin 2 2 2 2 r              (4)
I xy K 3 cos sin cos 2 2 2 2 r      
Persamaan  ini  menggambarkan  tegangan  setempat  pada  ujung  retak  dapat  mencapai  harga yang  sangat  tinggi  bila r 0  ,  namun  hal  ini  tidak  terjadi  karena  ada  deformasi  plastis  pada  ujung retak. Faktor K  merupakan cara yang mudah untuk membahas distribusi tegangan di sekitar retakan ( crack ).  Nilai  K  untuk  berbagai  kondisi  dapat  dihitung  dengan  teori  elastisitas.  Untuk  keadaan  umum faktor intensitas tegangan K :
I K C a   
(5)
dengan (C)  adalah  parameter  yang  tergantung  pada  geometri  benda  uji  dan  ukuran  retakan. Untuk kasus Mode II maka tegangan di sekitar retak sebagai berikut :
II x K 3 sin 2 cos cos 2 2 2 2 r             
II y K 3 sin cos cos 2 2 2 2 r             (6)
II xy K 3 sin 1 sin sin 2 2 2 2 r             
1.2. Ketangguhan Retak ( fracture toughness ) dan Desain
Ketangguhan retak adalah sifat bahan yang menyatakan tahanan bahan terhadap retak. Ketangguhan retak  bahan  diperoleh  dengan  melakukan  pengujian  pada  benda  uji  yang  telah  diberi  retak  dan dibebani sampai terjadi kegagalan. Kombinasi beban yang menyebabkan kegagalan dengan panjang retak  memberikan  harga  ketangguhan  retak  bahan.  Bahan  yang  tebal  memiliki  ketangguhan  retak rendah.  Ketangguhan  retak  bahan  tebal  disebut  Ketangguhan  Retak  Regangan  Bidang  atau  K IC , ketangguhan retak bahan tipis disebut Ketangguhan Retak Tegangan Bidang atau K C .
Nilai K C selalu lebih besar dari K IC . Ketangguhan Retak merupakan ukuran daya tahan sebuah bahan terhadap retak, dan seperti halnya Modulus Elastisitas (E) yang juga konstanta bahan. Dalam aplikasi  pada  tingkat  tegangan  yang  diterapkan  mencapai  suatu  tingkat  kritis   c  ,  retakan  akan menjalar secara katastropik, hal ini terjadi jika :
I IC K K  (7a) IC c K C a    (7b)

## 2. Medan Tegangan Retak dengan Kombinasi Mode (mixed mode)
Pada  banyak  kajian  dengan  menggunakan  prinsip  mekanika  retak  berdasarkan  desain  dengan penggunaan  dan  pengembangan  teori  mode  1,  hal  ini  dimungkinkan  karena  kegagalan  mode  1 mendominasi    bahan  yang  isotropis.  Tetapi  dalam  banyak  kasus,  pembebanan  yang  mungkin merupakan gabungan dari 3 mode pembebanan yaitu mode I, II dan mode III. Untuk perkiraan desain konservatif berdasarkan  kriteria  retak  (fracture),  diperlukan  karakteristik  retak  akibat  pembebanan dengan kombinasi mode ( mixed mode loading ).

## 2.1. Permukaan Retak ( fracture surface )
Permukaan retak adalah satu tempat dari titik – titik dalam ruang K I – K II , yang merupakan aksi kombinasi dari K I dan K II yang tergantung pada nilai kritis dari material. Untuk suatu retak dengan beban kombinasi ( mixed mode loading ), maka permukaan retak ( fracture surface ) dalam bentuk umum :
  I II IC IIC f K , K , K , K 0  (8)
dengan K I dan K II adalah faktor intensitas tegangan mode I dan Mode II, K IC dan K IIC adalah nilai kritis dari K I dan K II .
Fungsi dari permukaan retak :
a b I II Ic IIc K K 1 K K               (9)
Untuk konstanta a dan b tergantung dari material. Berdasarkan prinsip energi fungsi permukaan retak dapat diasumsikan dalam bentuk kuadratik dalam terminologi K I dan K II :
2 2 11 I 12 I II 22 II C K 2C K K C K C    (10)
C 11 ,  C 12 dan  C 22 merupakan  konstanta  material  yang  diperoleh  dari  hasil  eksperimen  dan  C  adalah konstanta  riil.  Hasil  Eksperimen  dari  Erdogan  dan  Sih  untuk  distribusinya  berbentuk  ellips.  Jenis distribusi tersebut diberikan Pers. (10).
Gambar 3. Tipical Permukaan fraktur (Kumar, 2009)
Broek mengusulkan model berikut :
2 2 I II Ic IIc K K 1 K K               (11)
Hasil observasi dari Broek bahwa permukaan retak Pers. (11) mendekati perilaku dari kombinasi mode (mixed mode) untuk banyak kasus jenis material.

## Penjalaran Retak dengan Kombinasi Mode
Tinjauan kasus  kombinasi  mode  I  dan  mode  II  diakibatkan  oleh  tegangan  tarik  (tension)  maupun tegangan  geser  (shear),  yang  masing-masing  dapat  berupa  superposisi  tegangan  tarik  maupun
tegangan geser  atau dapat  pula  hanya  dibebani  tegangan  tarik aksial  tapi  membentuk  sudut  pada bidang retak maka akan tetap terjadi aksi kombinasi mode I dan Mode II tersebut.
a. Koordinat Kartesian (x,y)
b. Koordinat Polar (r,  ) Gambar 4. Komponen Tegangan di sekitar ujung retak
Kombinasi Mode I dan Mode II dalam koordinat kartesian (Gambar. 4a)
x I II 1 3 3 K cos 1 sin sin K sin 2 cos cos 2 2 2 2 2 2 2 r                              
y I II 1 3 3 K cos 1 sin sin K sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 r                              (12)
xy I II 1 3
3 K cos cos cos K sin 1 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 r                             
Dalam bentuk koordinat polar seperti gambar 4b.
r I II 1 5 1 3 5 3 3 K cos cos K sin sin 4 2 4 2 4 2 4 2 2 r                             
2 I II 1 3 cos K cos K sin 2 2 2 2 r
             
(13)
  r I II 1 cos K sin K 3cos 1 2 2 2 r             

## 2.1.1. Tegangan Tangensial Maksimum ( Maximum Tangential Stress, MTS )
Kriteria ini diusulkan oleh Erdogan dan Sih berdasarkan asumsi bahwa permulaan retak ( crack initiates ) terjadi pada ujung arah normal dari tegangan melingkar maksimum   . Dari gbr 5 retak miring dengan sudut  terhadap arah tegangan utama yang dibebani tegangan  b dan  b. Faktor intensitas tegangan biaxial (Shah, P Surendra, 1995) adalah :
          I 1 2 1 2 II 2 1 1 1 K cos 2 a 2 2 1 K sin 2 a 2 
                           (14)
Gambar 5. Sudut Retak  dengan Tegangan Biaxial
Dengan  mengambil s 2 1 m    dari  tegangan  utama,  maka  persamaan 14 sebelumnya  dapat dituliskan sebagai berikut :
    2 I 2 s s II 2 s K a m 1 m sin K
a 1 m sin cos                 (15)
Kasus retak yang dibebani Mode I dan Mode II, maka komponen tegangan disekitar ujung retak (titik H) pada gambar 6 dengan menggunakan koordinat kutub dinyatakan sebagai :
    rr I 11 II 12 K f r, K f r,      (16a)     I 21 II 22 K f r, K f r,
      (16b)     r I 31 II 32 K f r, K f r,       (16c)
Dengan fungsi f ij ( r,  ) sesuai Persamaan 17 berikut :
            11 12 21 22 31 32 1 5 1 3
1 5 3 3 f r, cos cos ; f r, sin sin 4 2 4 2 4 2 4 2 2 r 2 r 1 3 1 3 1 3 3 3 f r, cos cos ; f r, cos cos 4 2 4 2 4 2 4 2 2 r 2 r 1 1 1 3 1 1 3 3 f r, sin sin ; f r, cos cos 4 2 4 2 4 2 4 2 2 r 2 r                                                                           17
Gambar 6. Retak dengan sudut  dibebani beban aksial
Arah perambatan retak ( crack extension direction )
0     (18a)
2 2 0      (18b) r     rr  max   rr  c  o r a o r 1 a  Gambar 7. Perpanjangan Retak Teori MTS (Kumar, 2009) Dengan subtitusi   21 f r,  dan   22 f r,  ke persamaan 16.b, maka diperoleh :
I II K
K 3 3 3cos cos sin sin 2 2 2 2 4 2 r 4 2 r                         (19)
Dengan kondisi berdasar Pers. 18.a :
I II 3 3 3 1 3 3 K sin sin 3K cos cos 0 2 2 2 2 2 2 2 2                         
Maka diperoleh :
c c c c I II 3
3
K sin sin K cos 3cos 0 2 2 2 2                     2 c c c c I II
4 cos K sin cos K 3cos 2 0 2 2 2 2                          (20)
  c I c II c 2 cos K sin K 3cos 1 0 2          
Dengan penyederhanaan maka diperoleh :
  I c II c
K sin K 3cos 1 0      (21)
Penyelesaian dari bentuk pers. (20) dalam bentuk sudut kritis (  c) :
c 0   jika K II = 0, (22a)
2 I I c II II K K 1 1 2 arctan 8 4 K 4 K                 
 jika II K 0  (22b)
Kondisi kritis
Untuk max   adalah  nilai  maksimum  dari   yang  berhubungan  dengan  arah  perpanjangan  retak, subtitusi nilai  dengan  c pada Pers. (19), maka diperoleh :
max 3 c c I II c o o K 3K cos cos sin 2 2 4 2 r 2 2 r          (23)
Perpanjangan retak terjadi ketika max   mencapai suatu nilai kritis  c dimana hanya tergantung dari material.  c dengan beban mode I dimana  c = 0 dan K I = K Ic maka :
Ic c o K 2 r   
(24)
Untuk  medapatkan  kegagalan  permukaan  (failure  surface)  yang  independen  dari  jarak  ro, dengan subtitusi Pers. (24) ke Pers. 23, maka diperoleh :
3 c c I II c Ic 3 K cos K cos sin K 2 2 2      (25)
Dengan  mengumpulkan  kembali  Pers.  (21)  dan  Pers.  (25),  serta  manipulasi aljabar membagi persamaan tersebut dengan K Ic , serta mendefinisikan KI* dan KII*
* * I II I II Ic IIc K K K K
K K   (26)
Maka diperoleh persamaan simultan berikut :
      * * I II * 2 * I II K sin K 3cos 1 0 3 K cos 2 K sin cos 2 1
2      
          (27)
Dengan menyelesaikan persamaan simultan tersebut, maka diperoleh :
    2 * I 3 3cos 2 2 K cos 2     (28a)
    * II 2 3sin 2 K cos 2    
(28b)
Berdasarkan  Persamaan (28) maka  dapat dihitung  dan dibuat grafik Fraktur Locus  (Gbr.  8)  serta hubungan sudut retak (  ) dan sudut penjalaran retak (  ) untuk kriteria MTS berdasarkan persamaan (21) sesuai Gbr.9.
Gambar 8. Fraktur locus, Kriteria MTS (Pers. 28)
Gambar 9. Hubungan sudut  dan  Kriteria MTS, variasi m s (Pers.21)
2.1.2. Kerapatan Energi Regangan ( Strain Energy Density, SED )
Berdasarkan prinsip  energi,  George  C.  Sih  mengusulkan  kriteria  Kerapatan  Energi  Regangan ( Strain Energy  Density,  SED ).  Sebuah  retakan  yang  mengalami  pembebanan  Mode  I  dan  Mode  II  seperti
3 2 o 70    o 60    o 45    o 15    o 30   
gambar 6, maka total energi regangan U dapat dituliskan dalam bentuk medan tegangan dan regangan :
  ij ij ij V 0 U d dV    
        (29)
Fungsi Kerapatan Energi Regangan ( Strain Energy Density ) W diberikan berikut :
  ij ij V dU W d dV      (30)
Pada kasus bidang maka fungsi W dapat ditulis kembali dalam terminologi tegangan :
        2 2 11 22 11 22 12 1 1 W 2 2E 4
                   (31)
Untuk  masing-masing regangan bidang dan tegangan bidang :
3 4     (32a)
    3 1       (32b)
Komponen tegangan dalam terminologi sistem koordinat kutub :
    11 I 11 II 12 K f r, K f r,     
(33a)     22 I 21 II 22 K f r, K f r,      (33b)     12 I 31 II 32 K f r, K f r,       (33c)
dengan fungsi f ij (r,  ) pada persamaan 34 berikut :
    11 12 1 3
1 3 f r, cos 1 sin sin ; f r, sin 2 cos cos 2 2 2 2 2 2 2 r 2 r                                21 22 1 3
1 3 f r, cos 1 sin sin ; f r, sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 r 2 r                    (34)
    31 32 1 3
1 3 f r, sin cos cos ; f r, cos 1 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 r 2 r                   
Subtitusi persamaan 33a, 33b, 33c ke Pers. 31, maka fungsi SED diperoleh dengan penyederhanaan dalam kaitannya dengan faktor intensitas tegangan (K) :
  2 2 11 I 12 I II 22 II 1 W g K 2g K K g K r    
(35)
Dimana :
  
              11 12 22 1 g 1 cos cos
16 1 g sin 2 cos 1 16 1 g sin 1 1 cos 1 cos 3cos 1 16 E 2 1
     
                                   
(36)
Fungsi  Kerapatan  Energi  Regangan  menunjukan  nilai  singular  ( singularity )  diujung  retak.  Sih mengusulkan Fungsi Kerapatan Energi Regangan S dalam bentuk kuadrat yang independen terhadap koordinat r yang didefinisikan sebagai :
    2 2 11 I 12 I II 22 II 1 S g K 2g K K g K      (37)
Arah perambatan retak ( crack extension direction )
Dengan  mempertimbangkan  pembebanan  kombinasi  sesuai  gambar 6, sepanjang    keliling  lingkaran dari jari – jari r o , maka kerapatan energi regangan yang diminimasi dan  berhubungan dengan fungsi sudut krits  c yang dievaluasi dengan kondisi :
S 0    (38a) 2 2 S 0    (38b)
Subtitusi pers. 37 ke persamaan 38, maka diperoleh :
        2 I I II 2 II 2 cos 1 sin K 2 2 cos 2 1 cos K K
1 6 cos sin K 0                               (39a)
      2 I I II 2 II 2 cos 2
1 cos K 2 1 sin 4sin 2 K K 1 cos 6 cos 2 K 0                               (39b)

## Kondisi kritis
Pertambahan  panjang  akan  akan  terjadi  saat  nilai  minimum  dari  fungsi  kerapatan  energi  regangan
(S min ). Kondisi kritis dalam bentuk :
min c S S  (40)
nilai kritis Sc bergantung dari material dapat diperoleh dari Pers. 37 untuk beban Mode I murni dengan  c=0 o dan K I = K IC maka :
   2 c Ic 1 1 S K 4 E      
(41)
Dari ketidaksamaan Pers. (40) dapat dinyatakan sebagai :
   2 min Ic 1 1 S K 4 E      
(42)
Berdasarkan Persamaan 39a dan Persamaan 39b dapat dihitung dan dibuat grafik hubungan KI* dan KII* seperti pada gambar 10 dengan variasi  = 0,10 ; 0,30.
Gambar 10. Hubungan KI* dan KII* Kriteria SED
Dari pers. 39a dapat dibuat hubungan sudut  dan  dengan variasi ms dan  tetap (  = 0,30) seperti pada gambar 11.
Gambar 11. Hubungan sudut  dan  Kriteria SED  (  = 0,30, Pers.39a)
o 70   o 60   o 45  
Gambar 12. Hubungan sudut  dan  Teoritik & Eksperimental
Tabel 1 Hubungan sudut  dan  (Sih, 1973, N. Perez, 2004)
Sudut Retak  Eksperimen (Sih) Pers. 21 (MTS) Pers. 38a (SED) Kriteria Griffith 0 70,53 83,62 90,00 30 62,4 60,00 63,49 60,00 40 55,6 55,65 56,66 50,00 50 51,1 50,29 49,47 40,00 60 43,1 43,22 41,49 30,00 70 30,7 33,29 31,80 20,00 80 17,3 18,91 18,49 10,00 90 0,00 0,00 0,00
Gambar 13. Hubungan Sudut  dan  (Kasus Gaya Tekan & Tarik)

## 3.2. Contoh Kasus Beban Mode I dengan sudut retak 
Pelat  dengan panjang  tak  terbatas,  panjang  retak  2a =  100  mm,  membentuk  sudut  retak  tan  =  3/4 seperti  gambar  dd.  Diketahui Ic K 54 MPa m  ,  Modulus  Elastisitas  E  =  200  GPa  dan  v  = 0.25
dengan kondisi pelat regangan bidang ( plane strain ). Komponen tegangan sehubungan dengan Mode I dan Mode II.
Beban Tekan Sudut Positif (+  c) Beban Tarik
Sudut Negatif (-  c)
' 11  ' 22  ' 2 11 o ' 2 22 o cos sin         ' 12  ' 12 o sin cos     
Gambar 14. Retak dengan sudut  dibebani beban aksial tarik
2 I o o II o o 9
12 K a sin a ; K a sin cos a 25 25               
i. Arah Penjalaran retak awal untuk tan  = 3/4.
Dengan  menggunakan  kriteria  MTS sesuai  pers.  (21),  maka  diperoleh  sudut  kritis o c 57, 096   
,dengan menggunakan kriteria SED sesuai pers. (39a),maka diperoleh sudut o c 55, 413    .
Gambar 15. Geometri retak serta arah penjalaran retak ( crack branching )

## ii. Tegangan Kritis yang berhubungan dengan awal retak
Dengan kriteria MTS sesuai dengan Persamaan (21) dan Pers. (25) maka diperoleh Tegangan kritisnya crit
0 175,803 MPa
  , sedangkan Tegangan kritis dengan kriteria SED sesuai persamaan (39a) dan
Pers. (39b) dan diperoleh crit 0 214.726 MPa   .
Gambar 16. Hubungan Tegangan Kritis  cr dan Sudut retak   

## KESIMPULAN
Kriteria Tegangan Tangensial Maksimum (Maximum Tangential Stress, MTS) didasarkan pada fungsi tegangan dan analisanya tidak tergantung pada tegangan bidang dan regangan bidang. Untuk kriteria Kerapatan Energi Regangan ( Strain Energy Density, SED ) berhubungan dengan energi regangan dan oleh  karena  itu  syarat-syarat  untuk  peramalan  arah  pertumbuhan  retak  serta  tegangan  kritis bergantung  pada  kondisi  tegangan  bidang  dan  regangan  bidang. Pada  kriteria  MTS  maupun  kriteria SED, tegangan  kritis  (  c ),  sudut  kritis  arah  penjalaran  retak  (  c )  dapat  disebabkan  tegangan  tarik murni, tegangan geser dan kombinasi keduanya, tegangan biaxial serta dapat diperluas pada tegangan tekan dengan komponen yang mempunyai retak dengan sudut retak (  ).
Pada peramalan  arah  pertumbuhan  retak  serta  tegangan  kritis  maka  kriteria  SED lebih baik untuk verifikasi terhadap hasil uji eksperimental dibandingkan kriteria MTS, hal ini karena dalam kriteria SED mengakomodir faktor pengaruh tegangan dan regangan bidang.

## DAFTAR PUSTAKA
Aliabadi,  MH,  Rooke,  DP , 1991, Numerical  Fracture  Mechanics ,  Kluwer  Academic  Publisher, Netherlands.
Anderson, TL, 1995, Fracture Mechanics, Fundamentas and Applications , CRC Press, USA.
Barsom, John M. Rolfe, Stanley T . 1999, Fracture and Fatigue Control in Structures , ASTM
Bazant,  Znedek  P.,  Jaime,  Planas , 1998, Fractures Size  Effect,  in  Concrete  and  Other  Quasibrittle Materials, CRS Press, USA.
Bazant,  Znedek  P.,  Cedolin,  Luigi , 1991, Stability  of  Structures,  Elastic,  Inelastic,  Fractures, and Damage Theories , Oxford University Press
Broek,  David. 1986, Elementary  Engineering  Fracture  Mechanics, Martinus  Nijhoff  Publishers Netherlands.
Dieter, George E, 1988, Mechanical Metallurgy , McGraw-Hill Inc, USA.
Hellan, Kare, 1985, Introduction to Fracture Mechanics , McGraw-Hill Inc, USA.
Kumar, Prasahant, 2009, Elements of Fracture Mechanics , Tata McGraw-Hill, India.
Owen,  DRJ.  Fawkes,  AJ,  1983, Engineering  Fracture  Mechanics  :  Numerical  Methods  and Applications, Pineridge Press Limited, Swansea UK.
Patricio, M., Mattheij, MM Robert , Crack Propagation Analysis
Perez, Nestor, Fracture Mechanic , 2004 Kluwer Academic Publishers
Pikey, Walter D, 2005, Formulas for Stress, Strain, and Structural Matrices , John Wiley & Sons Inc.
Rahman, MK, Hossain, MM, Rahman, SS, 2000, An Analytical Method for Mixed Mode Propagation of Pressurized Fractures in Remotely Compressed Rocks, International Journal of Fracture : 243 – 258,2000, Kluwer Academic Publishers, Netherlands.
Rajasekaran,  S, 1986, Numerical  Methods  in  Science  and  Engineering ,  A.H.  Wheeler  &  Co.  Ltd  , Allahabad, New Delhi, India.
Saouma, Victor E, 2000, Lecture Notes in : Fracture Mechanics , University of Colorado.
Sih, GC, 2008, Mechanics of Fracture Initiation and Propagation , Kluwer Academic Publisher.
Sih, GC, 2008, Multiscale Fatigue Crack Initiation and Propagation of Engineering Materials: Structural Integrity and Microstructural Worthiness , Springer Science Business Media.
Shah, P, Surendra, 1995, Fracture Mechanics of Concrete , John Wiley & Sons.
Williams, JG, 1984, Fracture Mechanics of Polymer, Ellis Horwood, England.
Young,  Warren C. 1989, Roarks Formula for Stress and Strain , Mc. Graw Hill. USA.