## Jurnal Kajian Pembelajaran Matematika
VOLUME 4 NOMOR 2, OKTOBER 2020 ISSN: 2549 – 8584 (online). http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm

## PROFIL FOLDING BACK SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA
Mamluatus Sa’adah 1 , Susiswo 2 , I Nengah Parta 3
1 SMA Al Hikmah Surabaya
2,3 Jurusan Matematika Universitas Negeri Malang
Email : mamluatus_saadah01@yahoo.com , susiswo.fmipa@um.ac.id , nengah.parta.fmipa@um.ac.id

## Abstract
The purpose of this study was to analyze and describe student folding backs in solving linear program problems based on Polya's steps. This research use desciptive qualitative approach. The subjects of this study consisted of 3 subjects, namely S1, S2, and S3 indicated that they were doing folding back. The results of this study indicate that the S1 folding back occurs. S1 is a subject who has problems when defining variables but already knows the steps to work well. Folding back is done by S1 in defining variables. Folding back is also carried out by S1 to determine the point of intersection between two lines. The intercept obtained by S1 is algebraically and geometrically different. S2 is a subject that has not been able to plan completion. Folding back is carried out by S1 in defining variables and formulating constraints. S2 writes constraints in two forms, namely equations and inequalities. Folding back is also carried out by S2 in determining the coordinates of the intersection point, drawing a graphic sketch of the inequality, determining the coordinates of the extreme points, and determining the optimum value. S3 is a subject that has been able to carry out the plan but has less accuracy.  This  folding  back  is  done  by  S3 in  writing  the  coordinates of  a  point,  determining  the  point  of  intersection between two lines (because it is not careful in calculations), and when drawing inequality graphs (because it does not draw a complete graphic sketch).
Keywords : folding back, problem
Submit :Mei 2020 , Publish: Oktober 2020

## PENDAHULUAN
Pemahaman  merupakan  kemampuan  dasar  yang  harus  dimiliki  oleh  para  siswa  agar  mereka  dapat memahami  materi  matematika  pada  jenjang  pendidikan  yang  lebih  tinggi  (NCTM,  2000).  Belajar  dengan pemahaman  penting  untuk  memungkinkan  siswa  memecahkan  jenis  baru  dari  masalah  mereka  pasti  akan menghadapi di masa depan (NCTM, 2000). Hiebert dan Carpenter (1992) menyatakan bahwa salah satu ide yang  diterima  secara  luas  dalam  pendidikan  matematika  adalah  siswa  harus  memahami  matematika. Pentingnya  pemahaman  dalam  dunia  pendidikan  membuat  beberapa  ahli  mencoba  mendefinisikan pemahaman. Salah satunya adalah Pirie dan Kieren .
Pirie dan Kieren (1994) menyatakan bahwa pemahaman merupakan sebuah proses pertumbuhan yang utuh, berlapis tetapi tidak linear, dan tidak pernah berakhir. Pemahaman juga merupakan proses yang dinamis dan terorganisir. Siswa dalam proses menumbuhkan pemahamannya akan berada pada level tertentu dan akan terus  berjalan  sesuai  dengan  tingkatan  pertumbuhan  pemahamannya.  Siswa  yang  satu  dengan  siswa  yang lainnya dapat berada pada level pemahaman yang berbeda ketika mempelajari materi yang sama.
Pirie dan Kieren (1994) mengemukakan model pertumbuhan pemahaman mempunyai delapan level. Delapan level pertumbuhan pemahaman tersebut yaitu: primitive knowing (PK), image making (IM), image having (IH), property noticing (PN), formalising (F), observing (O), structuring (S), dan inventising(I) .  Model pertumbuhan pemahaman tersebut seperti gambar 2.1 berikut:
Gambar 1. Level Pertumbuhan Pemahaman matematis Model Pirie-Kieren
Piere dan Kieren (1994) menyatakan bahwa salah satu inti dari teori pertumbuhan pemahaman adalah folding  back .  Seseorang  sering  kembali  ke  level  pemahaman  sebelumnya  untuk  maju  ke  level  pemahaman selanjutnya.  Proses  kembali  pada  level  yang  lebih  dalam  ( inner  levels )  dari  level  tertentu  di  dalam  teori pemahaman Pirie Kieren disebut folding back .
Folding back dapat terjadi ketika siswa dihadapkan pada sebuah  masalah pada level tertentu tetapi tidak dapat dengan cepat untuk memecahkannya sehingga harus kembali pada sebuah level yang lebih dalam (inner levels). Folding back yang dikemukakan oleh Pirie dan Kieren (1994) sejalan dengan pemikiran yang diungkapkan oleh Piaget.
Penelitian yang berkaitan dengan folding back diantaranya dilakukan oleh: Martin dan Pirie (2000) meneliti  peran folding  back dalam  pemahaman  matematika.  Hasil  penelitiannya  menyatakan  bahwa  siswa perlu mengingat kembali pemahaman pada beberapa lapisan yang lebih dalam ( inner layer ) sehingga dapat mengonsolidasikannya dengan lapisan yang lebih luar untuk mendapatkan pemahaman yang lebih formal dari sebelumnya. Slaten (2011) meneliti tentang keefektifan folding back . Hasil penelitiannya adalah refleksi yang dilakukan siswa terhadap suatu materi matematika memberikan pemahaman pada mereka dan mengakibatkan pertumbuhan  pemahaman  matematika  semakin  berkembang.  Susiswo  (2014)  meneliti  tentang folding  back mahasiswa dalam menyelesaikan masalah limit. Hasil yang diperoleh adalah folding back berdasarkan jenis pengetahuan meliputi: pengetahuan konseptual, pengetahuan konseptual semu, pengetahuan prosedural, dan pengetahuan prosedural semu.
Polya  (1973)  mengartikan  pemecahan  masalah  sebagai  suatu  usaha  mencari  jalan  keluar  dari  satu kesulitan agar mencapai suatu tujuan yang tidak mudah untuk dicapai. Polya mengajukan empat langkah fase penyelesaian  masalah  yaitu  (1)  memahami  masalah,  (2)  merencanakan  penyelesaian,  (3)  menyelesaikan masalah, dan (4) melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan . Pemaparan di atas menyatakan bahwa folding back merupakan hal yang penting diketahui oleh guru agar pertumbuhan pemahaman yang dilalui oleh siswa sesuai dengan tujuan. Salah satu cara untuk mengetahui pertumbuhan pemahaman siswa adalah dengan diberikan soal melalui langkah Polya. Berdasarkan uraian yang dikemukakan  dalam  latar  belakang  masalah,  maka  pertanyaan  penelitian  dalam  penelitian  ini  adalah: “Bagaimana folding back siswa dalam menyelesaikan masalah program Linear berdasarkan langkah Polya?”.

## METODE
Penelitian  ini  akan  mendeskripsikan folding  back siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika menggunakan  langkah  Polya. Folding  back siswa  diamati  dengan  mencermati  hasil  kerja  siswa  dan  hasil wawancara berupa ungkapan verbal. Peneliti melibatkan diri dalam wawancara untuk mengetahui folding back siswa, sehingga pendekatan penelitian ini merupakan penelitian kualitatif jenis deskriptif-eksploratif.
Penelitian ini dilaksanakan di SMA Al Hikmah Surabaya pada semester ganjil tahun ajaran 2016-2017. Subjek penelitian dipilih 2 orang siswa kelas XI MIA, yaitu siswa yang mempelajari materi program linier. Subjek  dipilih  berdasarkan  hasil  pengerjaan  soal  yang  dilakukan  siswa  yang  dilakukan  pada  saat  studi
IM PK IH PN F O S I
pendahuluan terdapat beberapa tipe pengerjaan serta rekomendasi guru pengajar dan wali kelas yaitu siswa yang lancar berkomunikasi secara verbal.
Instrumen dalam penelitian ini adalah lembar tes dan wawancara. Jawaban tes siswa diperkuat dengan wawancara dipergunakan untuk mengetahui folding back siswa. Teknik analisis data yang digunakan adalah melakukan  reduksi  data,  menyajikan  data,  dan  penarikan  kesimpulan.  Reduksi  data  adalah  kegiatan menyeleksi,  memfokuskan  dan  menyederhanakan  data  mentah  yang  telah  diperoleh.  Penyajian  data merupakan penyusunan informasi secara naratif dan hasil reduksi data digunakan untuk penarikan kesimpulan.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil
Penelitian ini dilaksanakan di SMA Al Hikmah Surabaya di kelas XI MIA 2 yang terdiri dari 23 siswa. Langkah awal adalah pemberian tes pada siswa yang dilaksanakan pada tanggal 23 September 2016. Lembar tes diberikan kepada siswa dengan waktu pengerjaan selama 30 menit. Langkah selanjutnya adalah peneliti melihat hasil dari pengerjaan siswa yang kemudian memilah dari jawaban siswa yang terindikasi mengalami folding back . Peneliti memperoleh beberapa tipe jawaban siswa. Tipe jawaban siswa tersebut sesuai dengan hasil penelitian pendahuluan yang telah dilakukan oleh peneliti. Pada penelitian ini terdapat 3 tipe jawaban siswa dan masing-masing tipe diambil satu siswa untuk menjadi subjek penelitian. Tipe jawaban siswa tersebut adalah  jawaban  tipe  A,  B.  Jawaban  tipe  A  adalah  jawaban  siswa  yang  mempunyai  masalah  pada  saat mendefinisikan  variabel  tetapi  siswa  mengetahui  langkah  pengerjaan  dengan  baik.  Jawaban  tipe  B  adalah jawaban siswa yang belum dapat merencanakan penyelesaian. Langkah selanjutnya adalah peneliti melakukan wawancara dengan subjek penelitian. Wawancara dilakukan pada tanggal 3 oktober 2016.
Subjek yang pertama adalah S1 adalah subjek yang mempunyai jawaban tipe A. S1 telah memahami sistem persamaan linear dua variabel (menentukan koordinat titik potong antara dua garis). S1 juga telah dapat menggambar daerah himpunan pertidaksamaan linear dua variabel (menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat, titik potong antara dua garis, menggambar grafik). Sehingga, S1 berada pada level primitive knowing (PK).
S1  melihat  hubungan  antar  informasi  yang  telah  disediakan.  S1  membuat  tabel  dari  hubungan informasi yang dilihat. Proses S1 dapat melihat hubungan antar informasi yang disediakan adalah proses level pertumbuhan  pemahaman  S1  bergerak  dari primitive  knowing (PK)  menuju  level image  making (IM).  S1 membuat tabel sebanyak dua kali. Tabel pertama S1 coret, kemudian S1 membuat tabel yang kedua. Pada tabel pertama S1 memisalkan x adalah fosfor dan y adalah nitrogen. S1 membuat tabel dengan menuliskan x dan y secara horizontal . Kemudian S1 menyilang tabel pertama dan membuat tabel yang baru dengan menuliskan x dan y secara vertikal. Tetapi, x tetap mewakili fosfor dan y mewakili nitrogen. S1 menganggap bahwa kedua tabel yang telah S1 buat adalah berbeda, padahal variabel yang S1 tuliskan mewakili hal yang sama.
Pertumbuhan pemahaman S1 akan bergerak dari level image making (IM) ke image having (IH). S1 berusaha mengonstruk gambaran yang terdapat pada tabel yang telah S1 buat. S1 melihat hubungan beberapa variabel.  Dari  beberapa  variabel  tersebut  maka  didapatkan  beberapa  persamaan.  Dari  persamaan  diperoleh beberapa  kendala.  S1  menuliskan  kendala  dari  tabel  yang  telah  S1  buat  pada  jawaban  no.2.  Tetapi  S1 mempunyai  masalah  dalam  mendefinisikan  variabel  sehingga  S1  menuliskan  dua  kendala  yang  berbeda. Peneliti  ingin  mengetahui  terlebih  dahulu  definisi  dari  variabel  sebelum  menanyakan  maksud  dari  kendala yang telah dituliskan oleh S1.
Peneliti  meminta  S1  mengaitkan  antara  fungsi  tujuan  dengan  variabel  yang  telah  S1  definisikan sebelumnya. S1 menyadari bahwa variabel yang telah didefinisikan tidak ada kaitan dengan fungsi tujuan yang telah  S1  tuliskan,  sehingga  pada  saat  peneliti  menanyakan  hal  tersebut  S1  menyadari  kalau  ada  kesalahan dalam mendefinisikan variabelnya. Pada akhirnya, S1 mendefinisikan bahwa x adalah pupuk I dan y adalah pupuk II. S1 menuliskan kembali tabel dan kendala pada saat wawancara. S1 mendefinisikan variabel x adalah pupuk I dan variabel y adalah pupuk II. Sedangkan kendalanya adalah 30𝑥  +  20𝑦  ≤  600, 30𝑥  +  40𝑦  ≤  720, 𝑥  ≥  0 dan     𝑦  ≥  0.
Gambar 2. Jawaban Tes S1 dalam Mendefinisikan Kendala
Dua  tipe kendala yang berbeda
Peneliti melakukan wawancara untuk menggali folding back yang dilakukan S1. Hasil wawancaranya adalah:
P :”oh gitu. Sebelum jauh kesana, ustdh mau tanya yang kamu misalkan x dan y itu siapa sih” S1:” fosfor sebagai x dan nitrogennya y.”
P :” Kamu tadi menuliskan fungsi tujuannya 17500x + 14500y.  berarti menurut kamu adakah kaitan antara variabel dengan fungsi tujuan yang kamu tuliskan.”
S1 :”harusnya ada”
P :” Coba kamu cermati kembali variabel dan fungsi tujuan yang sudah kamu tuliskan.” S1:” Kalau saya benarkan nggak papa ya ustdh. (sambil membaca soal kembali trus menuliskan kembali pada kertas yang lain). Ok. Jadi saya menyusun ada pergantian variabelnya. Jadi x adalah pupuk I dan y adalah pupuk II.
S1 telah dapat membuat hubungan antar informasi yang ada. S1 sudah dapat mendefinisikan variabel, menetapkan  kendala  dan  menetapkan  fungsi  tujuan.  Proses  tersebut  membuat  S1  bergerak  dari  level pertumbuhan  pemahaman primitive  knowing (PK)  ke image  having (IH).  S1  akhirnya  memutuskan menggunakan  kendala  tipe  pertama  untuk  melanjutkan  pengerjaannya.  Pada  saat  level  pertumbuhan pemahaman S1akan bergerak dari level image having karena tidak dapat membuat dugaan dari pengetahuan sebelumnya. S1 memutuskan untuk memilih kendala pertama untuk melanjutkan pengerjaannya. Sehingga, S1 mengalami folding back dari level image having (IH) ke level property noticing (PN).
S1 menggunakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) untuk menentukan titik potong antara dua  garis,  tetapi  S1  tidak  dapat  menggunakan  SPLDV  dengan  baik.  S1  tidak  teliti  dalam  pengerjaannya. Sehingga, titik potong antara dua garis secara aljabar dengan koordinat titik potong antara kedua garis secara geometri (sketsa grafik) terdapat perbedaan. Jawaban S1 secara aljabar adalah (28, -8). Tetapi jawaban dengan cara geometri titiknya berada di  kuadran I, artinya x dan  y bernilai positif. Proses yang dilalui S1 tersebut menyebabkan S1 harus melakukan fold back ke level primitive knowing (PK).
Gambar 3. Jawaban Tes S1 No.3
Proses folding back ini terjadi pada level property noticing (PN) ke primitive knowing (PK) . Jawaban S1 tersebut menunjukkan bahwa ia tidak  memahami soal pada lembar tes, sehingga S1 menuliskan hal-hal yang ia rasakan saja dan tidak berhubungan dengan materi program linear. S1 berpendapat bahwa soal bentuk seperti ini harus sering dipelajari karena materinya menyambung. Pada saat S1 ditanya tentang kesimpulan yang dapat ia berikan pada saat belajar materi program linear, ia hanya menjawab kalau kita tekun belajar kita pasti bisa karena materinya kontinu. Hal tersebut manyatakan bahwa S1 tidak dapat naik ke level pertumbuhan pemahaman yang lebih tinggi.Lintasan folding back yang dialami oleh S1 adalah PK → IM  → PK → IH → PK → PN.
Subjek yang kedua adalah S2 dalam penelitian ini adalah siswa yang mempunyai jawaban dengan tipe B. Berikut ini akan diuraikan hasil pengerjaan siswa pada lembar tes. S2 telah memahami sistem persamaan linear dua variabel, sehingga S2 berada pada level primitive knowing (PK). Berikut akan diuraikan langkah yang dilakukan oleh S2 dalam pengerjaan tes.
S2  melihat  hubungan  antar  informasi  yang  telah  disediakan.  S2  membuat  tabel  dari  hubungan informasi yang dilihat. Proses S2 dapat melihat hubungan antar informasi yang disediakan adalah proses level pertumbuhan  pemahaman  S2  bergerak  dari primitive  knowing (PK)  menuju  level image  making (IM).  S2
koordinat berbeda
menuliskan  untuk  1  pemupukan  =  600  gr  fosfor  dan  720  gr  nitrogen.  Sedangkan  informasi  yang  lainnya dimasukkan dalam tabel.
S2  menjelaskan  bahwa  tabel  yang  S2  buat  dengan  informasi  yang  ada  pada  lembar  tes  terdapat kaitannya  yaitu  tabel  berisi  informasi  yang  terdapat  pada  lembar  tes.  S2  menyatakan  bahwa  setiap  kali pemupukan  dibutuhkan  sekurang-kurangnya  600  gr  fosfor  dan  720  gr  nitrogen,  sedangkan  pupuk  I mengandung 30 gr fosfor dan 30 gr nitrogen serta pupuk II mengandung 20 gr fosfor dan 40 gr nitrogen. S2 juga menjelaskan bahwa harga dari pupuk I adalah Rp 17.500,- dan pupuk II harganya Rp 14.500,-.
Pertumbuhan Pemahaman S2 akan bergerak dari level image making (IM) ke image having (IH), S2 mengalami  masalah.  S2  berusaha  mengonstruk  gambaran  yang  terdapat  pada  tabel  yang  telah  S2  buat. S2 melihat hubungan beberapa variabel. Dari beberapa variabel tersebut maka didapatkan beberapa persamaan. Dari  persamaan  diperoleh  beberapa  kendala.  S2  menuliskan  kendala  dalam  dua  bentuk  yaitu:  bentuk persamaan (30gr + 30gr = 17.500, 20 gr + 40gr = 14.500), dan pertidaksamaan (𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0) . S2 mengalami masalah pada saat ia mendefinisikan variabel. Pada kendala pertama S2 menuliskan 30gr + 30gr = 17.500, sedangkan  pada  kendala  yang  lain  S2  menuliskan 𝑥  ≥  0 .  S2  belum  konsisten  dengan  variabel  yang    S2 tuliskan.

## Gambar 4. Jawaban Tes S2 dalam Menuliskan Kendala
Peneliti ingin mengetahui penggunaan variabel x dan y pada kendala yang ada. Peneliti menanyakan karena S2 tidak konsisten dalam penggunaan variabel. Peneliti  menanyakan tentang penggunaan variabel x dan y.
Pada awalnya S2 tidak mengetahui definisi variabel x dan y. Pada saat peneliti menanyakan tentang definisi variabel x dan y, S2 menjawab S2 hanya mengingat bahwa bentuk kendala terdapat x dan y. peneliti menanyakan kembali definisi variabel x dan y kepada S2. Pada awalnya, S2 menjawab x mewakili fosfor dan y mewakili nitrogen. Beberapa saat kemudian S2 meralat jawaban tersebut dan menyatakan kalau x mewakili pupuk  I  dan  y  mewakili  pupuk  II.  Peneliti  meminta  S2  menuliskan  jawabannya  agar S2  konsisten  dengan definisi dari variabel. Proses tersebut menggambarkan bahwa S2 bergerak dari level primitive knowing (PK) ke level image having (IH).
S2 masih belum dapat membuat hubungan antar informasi yang ada. Peneliti menanyakan hubungan antara bahan yang S2  maksudkan  dengan  harga pada sebuah persamaan.  S2 menyatakan bahwa pada saat menuliskan  kendala  tersebut  S2  masih  salah  dalam  mendefinisikan  variabel.  S2  membuat  kendala  kembali setelah  medefinisikan variabel dengan tepat. Proses yang dilalui oleh S2 tersebut  membuat S2 berada pada level image  having (IH).  S2  tidak  dapat  membuat  dugaan  dari  pengetahuan  sebelumnya.  S2  tidak  dapat melaksanakan  rencana  dengan  baik,  hal  ini  dikarenakan  pada  saat  merencanakan  penyelesaian  S2  masih mengalami masalah. S2 mengalami masalah juga pada saat akan beranjak ke level property noticing (PN). S2 tidak mengetahui terhadap hal yang akan dilakukannya. Pada awal wawancara S2 tidak mengetahui langkah bagaimana cara menentukan nilai optimum dari sebuah permasalahan program linear. S2 menganggap nilai optimum dari permasalahan tersebut tidak ada. Tetapi, S2 menyadari kalau nilai minimumnya ada. Pada saat peneliti menanyakan asal dari nilai minimum, S2 menyatakan bahwa S2 harus menentukan dahulu x dan y dari pertidaksamaan. Proses yang dilalui oleh S2 menggambarkan kalau S2 mengalami folding back dari level image having (IH) ke primitive knowing (PN).
Wawancara  tersebut  dapat  menggambarkan  bahwa  S2  dapat  membuat  dugaan  dari  pengetahuan sebelumnya.  S2  dapat  menggambarkan  bagaimana  dapat  menentukan  koordinat  titik  potong.  S2  juga menyatakan tentang bagaimana memperoleh titik potong antara dua garis. S2 menyatakan bahwa titik potong tersebut diperoleh dengan cara mengeliminasi dua persamaan yang ada. Proses tersebut membuat pertumbuhan pemahaman S2 bergerak dari level primitive knowing (PK) ke level property noticing (PN).
Jawaban  tersebut  menunjukkan  bahwa  S2  dapat  mendefinisikan  tujuan  dari  mempelajari  materi program  linear,  tetapi  S2  tidak  dapat  menjabarkan  lebih  terperinci.  S2  menyatakan  bahwa  materi  program
linear  digunakan  untuk  mengetahui  biaya  minimum  dan  maksimum  dari  suatu  masalah.  Jawaban  tersebut diperkuat dari wawancara. Lintasan folding back yang dialami oleh S2 adalah PK→IM→PK→IH→PK→PN→F.

## Pembahasan
S1 adalah subjek yang mempunyai masalah pada saat pertumbuhan pemahaman akan bergerak ke level image having (IH) dan property noticing (PN). Berikut ini akan dijabarkan satu persatu. S1 telah memahami sistem persamaan linear dua variabel (menentukan koordinat titik potong antara dua garis). S1 juga telah dapat menggambar daerah himpunan pertidaksamaan linear dua variabel (menentukan koordinat titik potong dengan sumbu koordinat, titik potong antara dua garis, menggambar grafik). Sehingga, S1 berada pada level primitive knowing (PK). Langkah selanjutnya adalah S1 membuat tabel yang berisi informasi yang terdapat pada soal (level Image making ). S1 membuat tabel sebanyak dua kali. S1 menduga jawaban yang telah dituliskannya adalah dua hal yang berbeda.
S1  mengalami  masalah  dalam  mendefinisikan  variabel  (Farida,  2015)  pada  saat  pertumbuhan pemahaman S1 akan bergerak dari level image making (IM) menuju level image having (IH). Masalah tersebut mengakibatkan S1 juga salah dalam merumuskan kendala dan fungsi optimum. Hal ini terlihat pada saat S1 menuliskan kendala dengan dua tipe. Setelah diberi pertanyaan, S1 memeriksa kembali definisi variabel yang telah ditetapkannya. S1 mulai menyadari kesalahannya. Setelah itu, S1 melakukan folding back untuk dapat mendefinisikan  variabel  (Martin,  2008). Folding  back terjadi  dari  level  pertumbuhan  pemahaman image making (IM)  ke  level primitive  knowing (PK). S1  berusaha  untuk  mendefinisikan  variabel  meskipun  harus mencoba beberapa kali. Pada akhirnya, S1 dapat mendefinisikan variabel, merumuskan  kendala dan fungsi optimum  dengan  benar.  Proses  tersebut,  menyebabkan  level  pertumbuhan  S1  bergerak  dari  level primitive knowing (PK) ke level image having (IH).
S1  mengalami  masalah  dalam  menentukan  titik  potong  antara  dua  garis  (Suwanti,  2016)  pada  saat pertumbuhan  pemahaman  S1  akan  bergerak  menuju  level property  noticing (PN).  S1  mengalami  masalah, karena titik potong yang telah diperoleh secara aljabar dengan geometri berbeda. S1 juga mengalami masalah dalam menentukan nilai optimum dari soal program linear. Setelah diberi pertanyaan, S1 memeriksa kembali jawaban yang dituliskannya. S1 mulai menyadari kesalahan yang dilakukannya. S1 melakukan folding back dari property noticing (PN) ke level primitive knowing (PK). S1 berusaha untuk mengerjakan kembali jawaban yang salah tersebut. Pada akhirnya S1 dapat mengerjakan dengan benar. Proses yang dialami membuat level pertumbuhan pemahaman S1 bergerak dari level primitive kowing (PK) ke level property noticing (PN). Level pertumbuhan pemahaman S1 dapat digambarkan sebagai berikut:

## Gambar 5. Level Pemahaman S1
S2 adalah subjek yang mempunyai masalah pada saat level pertumbuhan pemahaman bergerak menuju image having (IH) dan property noticing (PN). Berikut ini akan dijelaskan masalah yang dihadapi oleh S2. S2 telah memahami sistem persamaan linear dua variabel, sehingga S2 berada pada level primitive knowing (PK). Langkah selanjutnya adalah S2 membuat tabel yang berisi informasi yang terdapat pada soal. Proses tersebut membuat S2 berada pada level image making (IM).
S2 mengalami masalah dalam mendefinisikan variabel (Manibuy dkk, 2014) pada saat pertumbuhan pemahaman S2 akan bergerak dari level image making (IM) menuju level image having (IH). Hal ini terlihat pada saat S2 menuliskan kendala dalam dua bentuk, yaitu bentuk persamaan dan pertidaksamaan. Pada kendala yang  berbentuk  persamaan  S2  menuliskannya  dalam  bentuk  gr,  sedangkan  kendala  dalam  bentuk pertidaksamaan dituliskan dalam bentuk x dan y. Setelah diberi pertanyaan, S2 memeriksa kembali definisi variabel yang telah ditetapkannya. S2 mulai menyadari kesalahannya. Setelah itu, S2 melakukan folding back untuk dapat mendefinisikan variabel (Martin, 2008). Folding back terjadi dari level pertumbuhan pemahaman image  making (IM)  ke  level primitive  knowing (PK).  S2  berusaha  untuk  mendefinisikan  variabel.  Pada akhirnya, S2 dapat mendefinisikan variabel, merumuskan kendala dan fungsi optimum dengan baik. Proses tersebut,  menyebabkan  level  pertumbuhan  S2  bergerak  dari  level primitive  knowing (PK)  ke  level image having (IH).
S2 mengalami masalah dalam menentukan koordinat titik potong antara dua garis, menggambar sketsa grafik pertidaksamaan, menentukan koordinat titik ekstim, serta menentukan nilai optimum. Proses tersebut terjadi  pada  saat  pertumbuhan  pemahaman  S2  akan  bergerak  dari  level image  having (IH)  menuju  level property  noticing (PN). S2  tidak  mengetahui  langkah  dalam  mengerjakan  soal  tersebut,  sehingga  S2  tidak

## PK→IM→PK→IH→PK→PN
dapat mengerjakan soal dengan benar. Setelah diberi pertanyaan, S2 memeriksa kembali langkah pengerjaan yang telah dilakukannya. S2 mulai menyadari kesalahannya. Setelah itu, S2 melakukan folding back (Martin, 2008). Folding back terjadi dari level pertumbuhan pemahaman image having (IH) ke level primitive knowing (PK). S2 berusaha untuk mendefinisikan variabel, merumuskan  kendala dan fungsi optimum  dengan benar. Proses tersebut menyebabkan level pertumbuhan pemahaman S2 bergerak dari level primitive knowing (PK) ke level image having (IH).
S2 mengalami masalah dalam menentukan koordinat titik potong antara dua garis, menggambar sketsa daerah himpunan pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan koordinat titik ekstrim, serta menentukan nilai  optimum.  S2  tidak  mengetahui  langkah  dalam  mengerjakan  soal  tersebut,  sehingga  S2  tidak  dapat mengerjakan  soal  dengan  benar.  Masalah  tersebut  muncul  pada  saat  pertumbuhan  pemahaman  S2  akan bergerak  dari  level  image  having  (IH)  menuju  level  property  noticing  (PN).  Setelah  diberi  pertanyaan,  S2 memeriksa kembali langkah pengerjaan yang telah dilakukannya. S2 mulai menyadari kesalahannya. Setelah itu, S2 melakukan folding back (Martin, 2008). S2 berusaha untuk  mengerjakan soal dengan langkah  yang benar. S2 mulai mengerjakan soal dengan menentukan koordinat titik potong antara dua garis, menggambar sketsa daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan koordinat titik ekstim, serta menentukan nilai optimum satu persatu. Pada akhirnya, S2 dapat mengerjakan langkah tersebut dengan benar.  Proses  tersebut,  menyebabkan  level  pertumbuhan  S2  bergerak  dari  level primitive  knowing (PK)  ke level property noticing (PN).
S2 juga dapat menentukan biaya minimum pemupukan yang harus dikelaurkan oleh petani dalam satu kali pemupukan. Proses tersebut berada di level formalizing (F). sehingga, level pertumbuhan pemahaman S2 bergerak dari level property noticing (PN) menuju level formalizing (F). Level pertumbuhan pemahaman S2 dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 6. Level Pemahaman S2
Subjek  mengalami  pertumbuhan  pemahaman  yang  berbeda  antara  satu  dengan  yang  lainnya  (Pirie-Kieren, 1994).

## PENUTUP
Berdasarkan rumusan masalah penelitian dan analisis data yang telah dilakukan oleh peneliti tentang folding  back siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  program  linear  berdasarkan  langkah  Polya,  maka  dapat disimpulkan sebagai berikut:
S1 adalah subjek yang mempunyai masalah pada saat mendefinisikan variabel tetapi sudah mengetahui langkah pengerjaan dengan baik. Level pertumbuhan pemahaman S1 bergerak dari PK→IM→PK→IH→PK→PN. Folding back dilakukan oleh S1 sebanyak dua kali. Pertama terjadi pada saat pertumbuhan  pemahaman  bergerak  menuju  level image  having (IH). Folding  back ini  dilakukan  S1  dalam mendefinisikan variabel. Kedua, S1 melakukan folding back juga pada saat pertumbuhan pemahaman bergerak menuju level property noticing (PN). Folding back dilakukan S1 untuk menentukan titik potong antara dua garis. Titik potong yang diperoleh S1 secara aljabar dan geometri berbeda.
S2 adalah subjek yang belum dapat merencanakan penyelesaian. Level pertumbuhan pemahaman S2 bergerak  dari  PK→IM→PK→IH→PK→PN. Folding  back yang  dilakukan  oleh  S2  terjadi  pada  saat pertumbuhan pemahaman bergerak menuju level image having (IH). Folding back S1 dalam mendefinisikan variabel,  dan  merumuskan  kendala.  S2  menuliskan  kendala  dalam  dua  bentuk  yaitu  persamaan  dan pertidaksamaan. S2 melakukan folding back juga pada saat pertumbuhan pemahaman bergerak menuju level property noticing (PN). Folding back dilakukan S2 untuk  menentukan koordinat titik potong, menggambar sketsa grafik pertidaksamaan, menentukan koordinat titik ekstim, serta menentukan nilai optimum.
S3 adalah subjek yang sudah dapat melaksanakan rencana tetapi mempunyai ketelitian yang kurang. Level pertumbuhan pemahaman S3 bergerak dari PK→IM→IH→PK→PN →F. Folding back yang dilakukan oleh S2 terjadi pada saat pertumbuhan pemahaman bergerak  menuju  level property noticing (PN). Folding back ini  dilakukan  S3  dalam  menuliskan  koordinat  sebuah  titik,  menentukan  titik  potong  antara  dua  garis (karena tidak teliti dalam perhitungan), serta pada saat menggambar sketsa grafik pertidaksamaan (karena tidak menggambar sketsa grafik secara utuh).
Dari temuan hasil penelitian ini, adapun beberapa saran yang dapat dibuat peneliti berkaitan dengan folding back siswa diantaranya adalah sebagai bagi guru, sebelum pembelajaran materi yang baru sebaiknya memastikan  pengetahuan  pada  level  bawah  (materi  prasyarat)  telah  dikuasai  siswa  karena  materi  saling berkaitan satu dengan yang lainnya.

## PK→IM→PK→IH→PK→PN→F

## DAFTAR RUJUKAN
Boddy, N., dkk, (2003). Atrial of The Five Es: A Referent Model for Constructivist Teaching and Learning . Reseach in Science Education, 33, 27 – 42. Dantzig, G B. (1963). Linear Programming and Extensions . California: Princeton Univercity Press Depdiknas, (2006). Permendiknas Nomor 22 Tahun 2006 tentang Standar Isi Sekolah Menengah Atas . Jakarta: Depdiknas. Endang, S. (2009). Pembelajaran Matematika dalam Pemecahan masalah . Yogyakarta: UIN Press Fauziyah, A. (2010). Peningkatan Kemampuan Pemahaman dan Pemecahan Masalah Matematik Siswa SMP melalui Strategi React . Forum Kependidikan, Volume 30, Nomor 1, JUNI 2010
Hiebert, J. & Carpenter, Th. P. (1992). Learning and Teaching with Understanding. In: D. W. Grouws (Ed), Handbook of Research in Teaching and Learning of Mathematics (pp. 65 – 97). New York: Macmilan Karim,  A.  (2011). Penerapan  Metode  Penemuan  Terbimbing  dalam  Pembelajaran  Matematika  untuk Meningkatkan Pemehaman Konsep dan Kemampuan Berpikir Kritis Siswa Sekolah Dasar . ISSN 1412- 565X Edisi Khusus No. 1, Agustus 2011
Kastberg. (2002). Understanding Mathematical Concepts: The Case of the Logarithmic Function . Georgia: Disertasi of the University of Georgia in Partial Kennedy, L.M, dkk. (2008). Guiding Children’s Learning of Mathematics . USA: Thomson Higher Education Kemendikbud. (2013). Kurikulum 2013 . Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan. Leung, D. Y. P. & Kember, D. (2008). The Relationship between Approaches to Learning and Reflection Upon Practice. Educational Psychology, 23(1), 61 – 71 Mairy, Du. (2003). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi . Yogyakarta: PT. PBFE. Martin, dkk. (2005). Folding back and Growth of Mathematical Understanding in Workplace Training . ALM International Journal, Volume 1(1), pg. 19-35 Martin, Pirie. (2000). The Role of Collecting in the Growth of Mathematical Understanding . Mathemathics Education Reseach Journal, Vol.12, No. 2, 127 – 146. Meel, E. (2003). Model and Theories of Mathematical Understanding: Comparing Pirie-Kieren‟s Model of the  Growth  of  Mathematical  Understanding  and  APOS  Theory .  CBMS  Issues  in  Mathematics Education . Volume 12. Moleong. (2007). Metodologi Penelitian Kualitatif . Bandung: Remaja Rosda Karya Mousley, J. (2005). What Does mathematics Understanding Look Like?. Makalah disajikan pada the Annual Conference held at RMIT, Melbourne, 7 – 9 Juli 2005 NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics . United States of America: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Pegg, J. dan Tall, D. (2005). Using Theory to Advance Our Understandings of Student Cognitive Development . Proceedings of PME 29. Pirie, S. dan Kieren, T. (1994). Growth in Mathematical Understanding: How We Can Characterize it and How We can Represent it . Educational Studies in Mathematics, Volume 9: 160–190. Pirie S, Kieren T. (2011). Formalising in Mathematical Understanding within Constructivist Environments . FLM Publishing Association Polya, G. (1973). How to Solve it . United State of America: Princeto Univercity press. Ratumanan, T. G. (2010). Belajar dan Pembelajaran. Surabaya: Unesa University Press Sartati, S.B. (2015). Proses Berpikir Siswa Memahami Equal Sign dalam Menyelesaikan Tugas matematika . Malang: Universitas negeri Malang. Siswanto. (2014). Matematika 2A . Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. Slaten, M. K. (2011). Effective Folding Back via Student Reseach of the History of Mathematics. Proceedings of the 13th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education Styliandes,  G and A.  (2007). Learning  mathematics with  Understanding: A Critical Consideration  of  The Learning Principle in the Principles and Standards for School Mathematics . The Montana Mathematics Enthusiast, ISSN 1551-3440, Vol. 4, no.1, pp. 103-114 Sudirman, Sutawijaya A. (2005). Program Linear . Malang: UM Press Susiswo. (2014). Folding Back Mahasiswa dalam Menyelesaikan Masalah Limit . Malang: Disertasi Universitas  Negeri  Malang.  (2010). Pedoman  Penulisan  Karya  Ilmiah:  Skripsi,  Tesis,  Disertasi,  Makalah, Laporan penelitian, Edisi Kelima . Malang: Universitas Negeri Malang.