JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 3, Tahun 2021, Halaman 435 - 444 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## ANALISIS METODE BAYESIAN PADA KINERJA SISTEM ANTREAN
INSTALASI RAWAT JALAN RSUP DR. KARIADI (Studi Kasus: Poliklinik Mata, Poliklinik THT, Laboratorium, dan Pendaftaran)
Eny Sulistyowati 1* , Sugito 2 , Di Asih I Maruddani 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : enysulistyowati910@gmail.com

## ABSTRACT
Indonesian people’s awareness of the importance of health has increased significantly so that it has a positive impact  on  the  development  of  the  health  sector  in  Indonesia.  The  largest  service  facility  in  Central  Java Province is RSUP Dr. Kariadi. The number of patients who came for an examination at Dr. Kariadi’s arrival rate is unpredictable. This can cause the service system to be busy and result in queues. The purpose of this study  was  to  find  out  how  the  service  system  in  Dr.  Kariadi  especially  eye  polyclinic,  ENT  polyclinic, laboratory, and registration. Queue theory has random arrivals and services. Bayesian method is used to analyze the queue system, that has been running for a long time by combining the prior and likelihood distribution of samples. Prior distribution  is obtained from previous research, namely the Poisson distribution. Meanwhile, the  likelihood  of  the  sample  obtained  from  the  current  study  is  the  Poisson  distribution  and  the  Negative Binomial  distribution.  The  resulting  queue  models  for the  eye  polyclinic  are  (GAMM/BETA/4):(GD/∞/∞), ENT  polyclinic  (GAMM/GAMM/2):(GD/∞/∞),  laboratory  (GAMM/GAMM/4):(GD/∞/∞),  and  registration (GAMM/GAMM/3):(GD/∞/∞). Based on the results of the study, it was found that the patient care system at the eye polyclinic, ENT polyclinic, laboratory, and registration met steady state condition, meaning that the service system was running well. The value of the unemployment rate at the eye polyclinic  is 96,36%; ENT polyclinic 31,86%; laboratory 34,87% and registration 32.85%. Thus, at the eye polyclinic, the unemployment rate is greater than the busy level. Meanwhile, in ENT polyclinics, laboratories, and registration is the opposite occurs.
Key Word : Bayesian Method, Steady State, Unemployment Rate, Prior Distribution, Posterior Distribution

## 1. PENDAHULUAN
Rumah  sakit  terbesar  di  Provinsi  Jawa  Tengah  adalah  Rumah  Sakit  Umum  Pusat (RSUP)  Dr.  Kariadi  yang  terletak  di  Kota  Semarang  (rskariadi.co.id).  Berkaitan  dengan rumah  sakit  terbesar  dan  menjadi  rumah  sakit  rujukan  bagi  rumah  sakit  daerah  lainnya, rumah  sakit  ini  selalu  ramai  oleh  pasien  yang  datang  untuk  melakukan  pemeriksaan. Fenomena antrean dalam rumah sakit khususnya instalasi rawat jalan yaitu keadaan dimana pasien mengantre dalam melakukan pendaftaran rawat jalan, mendapatkan pelayanan dokter saat di poliklinik, maupun mendapatkan pelayanan laboran saat uji laboratorium.
Jumlah  pasien  yang  datang  setiap  harinya  untuk  melakukan  pemeriksaan  tidak  bisa diprediksi. Kedatangan pasien dalam waktu yang random mengakibatkan fasilitas pelayanan rumah sakit membutuhkan waktu untuk mempersiapkan pelayanan bagi pasien selanjutnya, sehingga pasien tidak dapat segera dilayani dan harus menunggu untuk dilayani. Akibatnya, waktu menunggu yang lama menimbulkan ketidaknyamanan bagi pasien. Jika hal ini tidak ditangani, maka akan mempengaruhi kepuasan pasien tersebut dalam memperoleh layanan kesehatan.
Pada penelitian sebelumnya oleh Wahyuningtias (2013) dan Rachmawati (2013) telah didapat model dan ukuran kinerja sistem yang tepat. Adanya perubahan dalam jumlah pasien dan  pelayanan  maka  akan  dicari  model  dan  ukuran  kinerja  sistem  penelitian  saat  ini menggunakan  pertimbangan  data  sebelumnya.  Metode  Bayesian  merupakan  metode  yang dapat digunakan untuk mendapatkan informasi baru dari gabungan penelitian sebelumnya
dan  penelitian  yang  baru.  Teorema  Bayes  menggunakan  informasi  awal  yang  dinyatakan dengan  distribusi  prior  dan  informasi  sampel  yang  dinyatakan  dengan  fungsi  likelihood dikombinasikan untuk membentuk distribusi posterior (Soejoeti dan Soebanar, 1988).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Profil Umum RSUP Dr. Kariadi
RSUP  Dr.  Kariadi  Semarang  merupakan  rumah  sakit  terbesar  sekaligus  berfungsi sebagai rumah sakit rujukan bagi wilayah Jawa Tengah. Saat ini RSUP Dr. Kariadi adalah rumah sakit kelas A pendidikan dan berfungsi sebagai rumah sakit pendidikan bagi dokter, dokter spesialis, dan sub spesialis dari FK Undip, dan institusi pendidikan lain serta tenaga kesehatan  lainnya.  Tugas  pokok  RSUP  Dr.  Kariadi  adalah  menyelenggarakan  upaya penyembuhan  dan  pemulihan  yang  dilaksanakan  secara  serasi,  terpadu,  dan berkesinambungan  dengan  upaya  peningkatan  kesehatan  dan  pencegahan  serta melaksanakan upaya rujukan dan upaya lain sesuai kebutuhan.

## 2.2. Ukuran Steady State
Steady state merupakan kondisi untuk menjamin supaya sistem tetap berjalan optimal. Menurut  Taha  (1996)  Misalnya, 𝜆 adalah  rata-rata  kedatangan  pelanggan  ke  tempat pelayanan  per  satuan  waktu,  μ  adalah  rata-rata  pelanggan  yang  telah  dilayani  per  satuan waktu,  dan  c  merupakan  banyaknya  fasilitas  pelayanan  ( server ),  maka ρ didefinisikan sebagai perbandingan antara rata-rata pelanggan yang datang ( 𝜆 ) dengan rata- rata pelanggan yang telah dilayani per satuan waktu (μ), atau dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜌 = 𝜆 𝑐𝜇
dengan c merupakan jumlah fasilitas pelayanan yang tersedia. Ketika kondisi steady state , diharapkan bahwa rata-rata pelanggan yang datang tidak melebihi rata-rata pelanggan yang telah dilayani ( 𝜆 < cμ), sehingga jika ρ < 1 maka dapat diartikan memenuhi kondisi steady state .

## 2.3. Proses Poisson dan Distribusi Poisson
Proses Poisson adalah kejadian dalam suatu interval waktu tertentu. Menurut Praptono (1986)  proses  Poisson  adalah  proses cacah  yang  mempunyai  batasan  tertentu  diantaranya N(t) mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 𝜆 t. Beberapa asumsi untuk proses Poisson diantaranya:
1. Independen
N(t)  independen  terhadap  banyaknya  kejadian  yang  terjadi  didalam  selang  waktu yang lalu. Artinya N(t) tidak tergantung pada kejadian sebelumnya.
2. Homogenitas dalam waktu Homogenitas dalam waktu P n (t) hanya tergantung pada panjang t atau panjang selang waktu, tetapi tidak tergantung dimana selang waktu berada.
3. Regularitas
Regularitas  yaitu dalam suatu interval kecil (Δt), probabilitas bahwa satu kejadian terjadi adalah 𝜆 (Δt)+ ο(Δt) dan probabilitas bahwa banyaknya kejadian terjadi lebih dari sekali adalah ο(Δt) dalam interval Δt, sedangkan dimbol ο(Δt) digunakan untuk menyatakan  fungsi  Δt  yang  mendekati  0  lebih  cepat  dari  Δt  sendiri  mendekati  0,
artinya 𝑓(∆𝑡) 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝜊(∆𝑡) ↔ lim ∆𝑡→0 𝑓(∆𝑡) ∆𝑡 = 0
Distribusi  Poisson  merupakan  suatu  distribusi  peluang  dari  suatu  kejadian,  dimana kejadian tergantung pada selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Selang waktu
tersebut dapat berupa beberapa panjangnya, misalnya semenit, sehari, seminggu, sebulan, atau  bahkan  setahun  (Walpole,  2013).  Berikut  adalah  pdf  ( probability  density  function ) distribusi Poisson:
𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! dinotasikan dengan X~Poisson( 𝜆 ).

## 2.4. Uji Kecocokan Distribusi
Uji kecocokan disrtibusi yang digunakan adalah Uji Kolmogorov Smirnov.  Menurut Daniel  (1989),  asumsi  dalam  uji  Kolmogorov  Smirnov  adalah  data  terdiri  atas  hasil pengamatan bebas x 1 , x 2 , …, x i , yang merupakan sebuah sampel acak berukuran i dari suatu fungsi distribusi yang belum diketahui dan dinyatakan dengan.
Adapun langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov sebagai berikut:
a. Menentukan hipotesis
H 0 : Distribusi sampel mengikuti distribusi yang diterapkan H 1 : Distribusi sampel tidak mengikuti distribusi yang diterapkan
b. Menentukan taraf signifikansi
Taraf signifikansi yang digunakan adalah α = 5%
c. Statistik uji
𝐷 = max (max(|𝑆(𝑥 𝑖 ) − 𝐹 0 (𝑥 𝑖 )|, |𝑆(𝑥 𝑖−1 ) − 𝐹 0 (𝑥 𝑖 )|)
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 dengan: S(x i ) : fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel F 0 (x i ) : fungsi distribusi yang dihipotesiskan (fungsi peluang kumulatif) r : banyaknya nilai x yang berbeda
d. Kriteria uji
Tolak H 0 jika pada taraf signifikansi α jika nilai D > nilai D tabel (α) atau jika nilai sig < nilai α. D tabel (α) adalah nilai kritis yang diperoleh dari tabel Kolmogorov Smirnov.
Distribusi-distribusi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Distribusi Binomial Negatif Menurut Bain dan Engelhardt (1992), dalam uji coba Bernoulli independen berulang, misalkan x menunjukkan jumlah uji coba yang diperlukan untuk memperoleh r kejadian sukses dan p adalah peluang sukses. Maka distribusi Binomial Negatif memiliki bentuk pdf ( probability density function ) sebagai berikut: 𝑓(𝑥; 𝑟, 𝑝) = (𝑥 − 1 𝑟 − 1 ) 𝑝 𝑟 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑟 𝑥 = 𝑟, 𝑟 + 1, …
dinotasikan dengan X~BN(r,p)
2. Distribusi Gamma Menurut Bain dan Engelhardt (1992), sebuah variabel random kontinu X berdistribusi Gamma dengan parameter k > 0 dan θ > 0 memiliki bentuk pdf sebagai berikut:
𝑓(𝑥; 𝜃, 𝑘) = 1 𝜃 𝑘 Γ(𝑘) 𝑥 𝑘−1 𝑒 −𝑥/𝜃 , 𝑥 > 0
Dinotasikan dengan X~GAM(θ,k)
3. Distribusi Beta Menurut  Spiegel, et  al. (2013),  suatu  variabel  random  dikatakan  memiliki  distribusi Beta dengan parameter 𝑎 dan 𝑏 , maka distribusi Beta dapat didefinisikan oleh fungsi kepadatan:
𝑓(𝑥)   = { 𝛤(𝑎 + 𝑏) 𝛤(𝑎)𝛤(𝑏) 𝑥 𝑎−1 (1 − 𝑥) 𝑏−1 ,0 < 𝑥 < 1
0                                                   , 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
Dinotasikan dengan X~Beta( a , b )

## 2.5. Model Antrean (G/G/c): (GD /∞/∞)
Menurut  Gross  dan  Harris  (2008),  pada  model  (G/G/c):  (GD/∞/∞)  adalah  model antrean  dengan  pola  kedatangan  berdistribusi  umum  ( general )  dan  pola  pelayanan berdistribusi umum ( general ) dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c, c = 1, 2, 3, … . Disiplin antrean  yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu  FIFO ( Fisrt  In First  Out ),  kapasitas  maksimum  yang  diperbolehkan  dalam  sistem  adalah  tak  hingga  dan memiliki  sumber  pemanggilan  tak  hingga.  Untuk  penghitungan  jumlah  pelanggan diperkirakan dalam antrean (Lq) didasarkan pada ukuran kinerja model (M/M/c): (GD/∞/∞). Rumus untuk mencari ukuran-ukuran kinerja pada model (G/G/c): (GD/∞/∞) adalah sebagai berikut:
a. Jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam antrean
𝐿𝑞 = ( 𝜌𝑟 𝑐 𝑐!(1−𝜌) 2 ) 𝑃 0 𝜇 2 𝑣(𝑡)+𝑣(𝑡 ′ )𝜆 2 2 dengan :
𝑃 0 = {∑ 𝑟 𝑛 𝑛! + 𝑟 𝑐 𝑐! 1 (1−𝜌) 𝑐−1 𝑛=0 } −1 ; 𝑟 𝑐 = 𝜌 < 1 𝑣(𝑡) = ( 1 (𝜇 2 ) ) 2 𝑣(𝑡′) = ( 1 (𝜆 2 ) ) 2
b. Jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam sistem 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 + 𝑟
c. Waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrean
𝑊𝑞 = 𝐿𝑞 𝜆
d. Waktu menunggu yang diperkirakan dalam sistem
𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 + 1 𝜇

## 2.6. Metode Bayesian
Pendekatan  Bayes  dalam  mengestimasi  estimator  dari  parameter  menggabungkan informasi dari sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya (Soejoeti dan Soebanar, 1988). Informasi sebelumnya didapat dari distribusi prior dan informasi sampel didapat  dari  likelihood.  Distribusi  prior  merupakan  distribusi  awal  yang  harus  ditentukan sebelum  merumuskan  distribusi  posteriornya,  dan  didapat  dari  penelitian  terdahulu. Permasalahan utama dalam metode Bayes adalah bagaimana memilih distribusi prior 𝑓(λ) menunjukkan  ketidakpastian tentang  parameter 𝜆 yang  tidak  diketahui.  Salah  satu bentuk pendekatan  dari  non-informatif  prior  adalah  dengan  menggunakan  metode  Jeffrey’s. Menurut  Nugraeni  (2020),  Berikut  adalah  distribusi  prior  dari  distribusi  Poisson menggunakan metode Jeffrey’s:
𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥; 𝜆) = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! ) = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝜆 − 𝑙𝑜𝑔𝑥! − 𝜆
𝜕𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥;𝜆) 𝜕𝜆 = 𝑥 𝜆 − 1 𝜕 2 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥;𝜆) 𝜕𝜆 2 = − 𝑥 𝜆 2 𝐼(𝜆) = −𝐸 𝜆 [− 𝑥 𝜆 2 ] = 1 𝜆 2 𝐸 𝜆 (𝑥) = 1 𝜆 2 (𝜆) = 1 𝜆 𝑓(𝜆) = √ 1 𝜆 = 1 √𝜆
Sehingga distribusi priornya adalah 𝑓(𝜆) = 1 √𝜆
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari n variabel random X 1 , X 2 , …, X n dan dinyatakan dalam bentuk 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ; 𝜆). Jika 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ditetapkan,  maka  fungsi likelihood adalah  fungsi  dari  parameter 𝜆 dan dinotasikan dengan L( 𝜆 ). Jika X 1 , X 2 , …, X n menyatakan suatu sampel random dari 𝑓(𝑥; 𝜆) maka: 𝐿(𝜆) = 𝑓(𝑥 1 ; 𝜆)𝑓(𝑥 2 ; 𝜆) … 𝑓(𝑥 𝑛 ; 𝜆) 𝐿(𝜆) = ∏ 𝑓(𝑥 𝑖 ; 𝜆) 𝑛 𝑖=1
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi densitas posterior dapat dituliskan:
𝑓(𝜆|𝑥) = 𝑓(𝜆)𝐿(𝜆)
∫ 𝑓(𝜆)𝐿(𝜆) 𝑑𝜆
dengan 𝑓(𝜆) : Distribusi Prior 𝐿(𝜆) : Likelihood Sampel

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Pada penelitian ini data yang digunakan adalah data primer dengan pengamatan secara langsung mencatat mulai dari pasien datang, pasien dilayani, hingga pasien selesai dilayani. Penelitian  ini  dilakukan  10  hari  yaitu  Poliklinik  Mata  2  hari,  Poliklinik  THT  2  hari, Laboratorium 3 hari, dan Pendaftaran 3 hari dengan asumsi pelayanan yang di hari lain sama dan  tidak  berubah,  serta  data  prior  penelitian  sebelumnya  yaitu  penelitian  Wahyuningtias (2013) dan Rachmawati (2013).

## 3.2. Variabel Penelitian
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
a. Data jumlah pasien yang datang dan jumlah pasien yang dilayani di bagian poliklinik mata, poliklinik THT, laboratorium, dan pendaftaran di Instalasi Rawat Jalan Merpati RSUD Dr. Kariadi Semarang.
b. Data jumlah pasien yang datang dan jumlah pasien yang dilayani di bagian poliklinik mata. Poliklinik THT, laboratorium, dan pendaftaran di Instalasi Rawat Jalan Merpati RSUD Dr. Kariadi Semarang pada penelitian sebelumnya sebagai data prior.

## 3.3. Langkah-langkah Analisis
Adapun  langkah-langkah  dalam  pelaksanaan  penelitian  dan  analisis  data  adalah sebagai berikut:
1. Melakukan  penelitian  di  Instalasi  Rawat  Jalan  Merpati  RSUP  Dr.  Kariadi  Semarang untuk mendapatkan data jumlah pasien yang datang, dan jumlah pasien yang dilayani persatuan waktu.
2. Melakukan uji kondisi steady state dan harus terpenuhi.
3. Melakukan uji kecocokan distribusi yang tepat untuk jumlah kedatangan pelanggan dan pelanggan yang dilayani dengan uji Kolmogorov Smirnov.
4. Menentukan likelihood dari distribusi sampel.
5. Menentukan distribusi posterior.
6. Membangkitkan data menggunakan software Minitab.
7. Menentukan model antrean yang sesuai.
8. Menentukan ukuran kinerja sistem.
9. Membuat  kesimpulan  mengenai  pelayanan  pada  Instalasi  Rawat  Jalan  RSUP  Dr. Kariadi  Semarang  bagian  poliklinik  mata,  poliklinik  THT,  laboratorium,  dan pendaftaran.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Steady State dan Uji Keocokan Distribusi
Pada  poliklinik  pasien  datang  lalu  melakukan  administrasi  ulang  pada  bagian resepsionis poliklinik, kemudian menunggu dipanggil untuk mendapatkan pelayanan dokter. Pada  bagian  laborat,  pasien  datang  langsung  memberikan barcode kepada  resepsionis laborat, kemudian menunggu dipanggil untuk mendapatkan pelayanan laboran. Sedangkan, pada bagian pendaftaran pasien datang lalu melakukan pengambilan nomor sesuai antrean yang  diperlukan  A,  B  atau  C  lalu  menunggu  dipanggil  untuk  mendapatkan  pelayanan petugas bagian pendaftaran. Untuk gambaran lebih jelas gambaran sistem antreannya dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Gambaran Umum Sistem Antrean RSUP Dr. Kariadi
Nilai steady  state dilambangkan  dengan  simbol  ρ  dimana  ρ  <  1  artinya  bahwa  laju kedatangan  pasien  tidak  boleh  lebih  dari  laju  pelayanan  pelanggan.  Berikut  adalah perhitungan dari steady state masing-masing lokasi dengan interval waktu 30 menit.
Tabel 1. Analisis Steady State Lokasi c 𝜆 μ ρ = 𝜆 / (c μ) Poliklinik Mata 4 10,40 10,40 0,25 Poliklinik THT 2 2,22 2,22 0,5 Laboratorium 4 10 10 0,25 Pendaftaran 3 16,60 16,60 0,3333 Pelayan 1 Pelayan 2 … Sumber Pasien Antrean Pelayan n Pasien Keluar
Berdasarkan Tabel 1 dapat diketahui bahwa nilai tingkat kegunaan fasilitas pelayanan (ρ) keempat lokasi kurang dari satu. Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem antrean di RSUP Dr. Kariadi Semarang sudah memenuhi kondisi steady state . Setelah melakukan uji steady state, dilakukan uji kecocokan distribusi. Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data laju kedatangan dan data laju pelayanan pasien adalah  uji  kecocokan  distribusi  Kolmogorov  Smirnov.  Pada  uji  tersebut  diketahui apakah data laju kedatangan dan laju pelayanan pasien mengikuti distribusi Poisson atau tidak.
Berikut ini adalah hasil uji distribusi data jumlah kedatangan pasien untuk keempat lokasi:
Tabel 2. Uji Distribusi Data Jumlah Kedatangan Lokasi Dhitung  Dtabel p-value Keputusan Kesimpulan Poliklinik Mata 0,25049 0,294 0,1625  H 0 diterima Berdistribusi Poisson Poliklinik THT 0,23807   0,309 0,2594   H 0 diterima Berdistribusi Poisson Laboratorium 0,21052   0,254 0,1825   H 0 diterima Berdistribusi Poisson Pendaftaran 0,20139   0,242 0,1753   H 0 diterima Berdistribusi Poisson
Berdasarkan Tabel 2 dapat disimpulkan bahwa pada taraf signifikansi 5% didapatkan hasil data jumlah kedatangan pasien pada poliklinik mata, poliklinik THT, laboratorium, dan pendaftaran berdistribusi Poisson.
Kemudian uji distribusi untuk data pelayanan.  Berikut ini adalah hasil uji distribusi data jumlah pelayanan pasien untuk keempat lokasi:
Tabel 3. Uji Distribusi Data Jumlah Pelayanan Lokasi Dhitung  Dtabel p-value Keputusan Kesimpulan Poliklinik Mata 0,29661 0,294 0,04692 H 0 ditolak Tidak berdistribusi Poisson Poliklinik THT 0,25941 0,309 0,1733 H 0 diterima Berdistribusi Poisson Laboratorium 0,21052   0,254 0,1825   H 0 diterima Berdistribusi Poisson Pendaftaran 0,1828 0,242 0,2687 H 0 diterima Berdistribusi Poisson
Berdasarkan Tabel 3 dapat disimpulkan bahwa pada taraf signifikansi 5% didapatkan hasil  data  jumlah  pelayanan  pasien  pada  poliklinik  THT,  laboratorium,  dan  pendaftaran berdistribusi Poisson. Sedangkan, pada poliklinik mata berdistribusi General. Selanjutnya, untuk  mengetahui  distribusi  sebenarnya,  dilakukan  pengujian  distribusi  Binomial  Negatif menggunakan software Easy Fit .
Tabel 4. Uji Distribusi Hasil Easy Fit Lokasi Dhitung  Dtabel p-value Keputusan Kesimpulan Poliklinik Mata 0,19656 0,294 0,37316  H 0 diterima Berdistribusi Binomial Negatif
Berdasarkan Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa pada taraf signifikansi 5% didapatkan hasil  bahwa  data  jumlah  kedatangan  pasien  pada  poliklinik  mata  berdistribusi  Binomial Negatif.

## 4.2. Metode Bayesian dan Ukuran Kinerja Sistem
Metode Bayesian dilakukan dengan cara menggabungkan informasi prior dan likelihood sampel. Pertama, mencari distribusi prior. Berdasarkan penelitian sebelumnya yaitu penelitian Wahyuningtias (2013) dan Rachmawati (2013) di Instalasi Rawat Jalan RSUP Dr. Kariadi didapatkan bahwa laju kedatangan dan laju pelayanan pada poliklinik
mata, poliklinik THT, laboratorium, dan pendaftaran berdistribusi Poisson. Pada BAB 2 diperoleh parameter distribusi prior Poisson:

## 𝑓(𝜆) = 1 √𝜆
Selanjutnya, mencari likelihood sampel. Berdasarkan hasil penelitian untuk data laju kedatangan poliklinik mata beridstribusi Binomial Negatif, laju pelayanan  poliklinik mata berdistribusi Poisson. Sedangkan, laju kedatangan dan laju pelayanan pada poliklinik THT, laboratorium, dan pendaftaran berdistribusi Poisson.
a. Likelihood Distribusi Poisson
𝐿(𝜆) = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∏ 𝑥 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1
b. Likelihood Distirbusi Binomial Negatif
𝐿(𝑝) = ∏ (𝑥 𝑖 − 1 𝑟 − 1 ) 𝑝 𝑟 (1 − 𝑝) 𝑥 𝑖 −𝑟 𝑛 𝑖=1
Setelah menemukan distribusi prior dan likelihood sampel. Selanjutnya, mencari distribusi posterior.
a. Distribusi Prior Poisson dan Likelihood Poisson
𝑓(𝜆|𝑥) = 𝑓(𝜆)𝐿(𝜆) ∫ 𝑓(𝜆)𝐿(𝜆)𝑑𝜆 𝑓(𝜆|𝑥) = 𝑒−𝑛𝜆𝜆 − 1 2+∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∏ 𝑥𝑖! 𝑛 𝑖=1 1 ∏ 𝑥𝑖! 𝑛 𝑖=1 Γ( 1 2 +∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )(𝑛 −1 ) ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 +1 2 = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖+ 1 2 𝑛 𝑖=1 Γ( 1 2 +∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 )(𝑛 −1 ) ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 +1 2
Distribusi  posterior  yang  didapat  adalah  distribusi  Gamma  dengan  parameter ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 1 2 dan 1 𝑛 atau X~GAM ( 1 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ; 1 𝑛 ) .
b. Distribusi Prior Poisson dan Likelihood Binomial Negatif
𝑓(𝑝|𝑥) = 𝑓(𝑝)𝐿(𝑝) ∫ 𝑓(𝑝)𝐿(𝑝) 𝑑𝜆 𝑓(𝑝|𝑥) = 1 𝑝 1 2 ∏ (𝑥−1 𝑟−1 )𝑝 𝑟 (1−𝑝) 𝑥−𝑟 𝑛 𝑖=1 ∫ 1 𝑝 1 2 ∏ (𝑥−1 𝑟−1 )𝑝 𝑟 (1−𝑝) 𝑥−𝑟 𝑛 𝑖=1 1 0 = 𝛤(∑ 𝑥 𝑖 + 3 2 ) 𝑛 𝑖=1 𝛤(𝑛𝑟+ 1 2 )𝛤(∑ 𝑥 𝑖 −𝑛𝑟+1) 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑛𝑟− 1 2 (1 − 𝑝) ∑ 𝑥 𝑖 −𝑛𝑟 𝑛 𝑖=1
Distribusi posterior yang didapat adalah distribusi Beta dengan parameter 𝑛𝑟 + 1 2 dan ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑛𝑟 + 1 atau X~Beta (𝑛𝑟 + 1 2 ; ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑛𝑟 + 1) .
Sesuai  dengan  analisis  uji  kecocokan  distribusi  dan  distribusi  posterior  maka didapatkan tabel distribusi laju kedatangan dan distribusi laju pelayanan pada Tabel 5.
Tabel 5. Model Antrean Bayesian
Lokasi Distribusi Kedatangan Distribusi Pelayanan Model Poliklinik Mata Gamma Beta (GAMM/BETA/4):(GD/∞/∞) Poliklinik THT Gamma Gamma (GAMM/GAMM/2):(GD/∞/∞) Laboratorium Gamma Gamma (GAMM/GAMM/4):(GD/∞/∞) Pendaftaran Gamma Gamma (GAMM/GAMM/3):(GD/∞/∞)
Setelah mendapatkan model dari distribusi posterior, maka dilakukan pembangkitan data sesuai dengan distribusi posterior. Selanjutnya, data ini digunakan untuk menghitung ukuran  kinerja  sistem  menggunakan  GUI  Matlab.  Tabel  6  merupakan  output  dari  GUI Matlab.
Tabel 6. Ukuran Kinerja Sistem Lokasi Lq Ls Wq Ws P 0 Poliklinik Mata  4,31568 x10 -11 0,0371256  1,49194 x10 -11 0,0128345  0,963555 Poliklinik THT  0,0015862 0,95281 1,29638 x10 -4 0,0778721  0,318638 Laboratorium 8,81114 x10 -4 1,00808 3,17774 x10 -4 0,363565 0,348704 Pendaftaran 0,0100616 1,00505 0,00505581 0,505022 0,328546

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  disimpulkan  bahwa  sistem  pelayanan pelanggan dalam antrean masing-masing lokasi memenuhi kondisi steady state . Selanjutnya, model  antrean  menggunakan  metode  Bayesian  pada  poliklinik  mata  adalah (GAMM/BETA/4):(GD/∞/∞), poliklinik
THT (GAMM/GAMM/2):(GD/∞/∞), laboratorium (GAMM/GAMM/4):(GD/∞/∞), dan
pendaftaran (GAMM/GAMM/3):(GD/∞/∞).  Disiplin  pelayananya  adalah first  in  first  out atau  artinya pelanggan  yang  pertama  datang  adalah  pelanggan  yang  pertama  dilayani  dengan  jumlah kapasitas pelanggan dan sumber pemanggilan tidak terbatas. Kemudian, tingkat kesibukan pada poliklinik mata  lebih rendah dibandingkan tingkat menganggurnya (P 0 ). Sedangkan, pada poliklinik THT, laborat, dan pendaftaran tingkat kesibukan lebih tinggi dibandingkan tingkat menganggurnya (P 0 ) atau saat tidak ada pasien.

## DAFTAR PUSTAKA
Bain, L.J dan M. Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition Edition . California. Duxbury Press. Daniel,  W.W.(1989). Statistik  Nonparametrik  Terapan  (Terjemahan). Jakarta:  PT Gramedia.
Gross, D., Shortle, J. F., & Harris, C.M. (2008). Fundamentals of Queueing Theory Fourth Edition. New York: John Wiley and sons.
Nugraeni,  L. (2020).  Analisis Sistem Pelayanan Kereta Api di Stasiun Semarang Tawang Menggunakan Proses Bayesian. Jurnal Gaussian , 495-504. Praptono. (1986). Pengantar Proses Stokhastik I. Jakarta: Karunika. Rachmawati,  V.  (2013).  Analisis  Antrian  Rawat  Jalan  Poliklinik  Lantai  1,  Lantai  3  dan Pendaftaran RSUP Dr. Kariadi Semarang. Jurnal Gaussian , 415-424. RSUP.  Dr.  Kariadi  Semarang .  (2021,  April  1).  Retrieved  from  rskariadi.co.id: https://rskariadi.co.id.
Soejoeti, Z. dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Jakarta: Karunika.
Spiegel, M.R.,  Schiller,  J  J  dan  Srinivasan, R.A.  (2013). Schaum's  Outline  of  Probability Fourth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies Inc. Taha, H.A. (1996). Riset Operasi. Jakarta: Binarupa Aksara.
Wahyuningtias.  (2013).  Analisis  Antrian  Pasien  Instalasi  Rawat  Jalan  RSUP  Dr.  Kariadi Bagian Poliklinik, Laboratorium, dan Apotek. Jurnal Gaussian , 369-374. Walpole, Ronald E. and R. H.  Myers. (2012). Terjemahan R.K. Sembiring, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan . Bandung. Penerbit ITB.