© 2017 IAIN Imam Bonjol Padang. All rights reserved.

## Hubungan antara Keterobservasian dan Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu Bergantung Waktu

## Ezhari Asfa’ani
Tadris matematika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, IAIN Imam Bonjol Padang, Indonesia Email: ezhariasfa@gmail.com
Received: March 2017; Accepted: May 2017; Published: June 2017

## Abstrak
Sistem linier kontinu bergantung waktu merupakan suatu model yang banyak  dijumpai dalam aplikasi.  Penelitian  ini  mengkaji  hubungan  antara  keterobservasian  dan  keterkonstruksian  sistem linier kontinu bergantung waktu. Dengan menggunakan metode aljabar, dalam tulisan ini dibuktikan beberapa  teorema  yang mengkaji  hubungan  antara  keterobservasian dan  keterkonstruksian sistem linier  kontinu  bergantung  waktu.  Selain  itu,  diberikan  beberapa  contoh  sebagai  ilustrasi  untuk memperkuat keberlakuan teorema-teorema yang telah dibuktikan.

## Kata kunci: keterobservasian, keterkonstruksian, sistem linier kontinu bergantung waktu

## Abstract
Continuous time-varying linier system is a model which many peoples to find in any applications. This paper to teaching connection of observability and constructibility for continuous time-varying lin- ear system. With algebra method we can proof any theorems to result connection of observability and constructibility for continuous time-varying linear system. Futhermore, we gave any examples for illus- tration to be valid this theorems and this proof.
Keywords: observability, constructability , continuous time-varying linier system

## PENDAHULUAN
Diberikan  suatu  sistem  linier  kontinu bergantung terhadap waktu berikut:
. 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t A t t B t t t t t t C t t D t t       x x u y x u (1)
dengan . d dt  x x .  Dalam  sistem  (1), ( ) n t  x
menyatakan  vektor  keadaan, ( ) m t  u menya-
takan  vektor  input  dan ( ) p t  y menyatakan
vektor  output.  Semua  entri  pada  matriks
( ) ,   ( ) ,   ( ) n n n m p n
A t B t C t       dan ( ) p m D t   berupa  fungsi-fungsi  bernilai  riil.
Notasi n menyatakan  himpunan  vektor  riil berdimensi n , dan n m  menyatakan himpunan matriks  riil  berukuran n m  .  Jika  entri-entri  dari matriks A dan B bergantung terhadap  waktu, maka  sistem  pada  persamaan  (1)  disebut time- varying .  Sebaliknya,  jika  entri-entri  dari  matriks
J u rn al   Mat e mat i ka  d an  P e n d id i kan   Mat e mat i ka Email: mej.uinibpadang@gmail.com
A dan B tidak  bergantung  terhadap  waktu, maka  sistem  (1)  disebut time-invariant .  Solusi persamaan pertama dalam (1) adalah
0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , t t t t t t t B d          x x u (2)
dimana
0 ( , ) t t  menyatakan  matriks  transisi keadaan  untuk  persamaan  tersebut.  Dengan demikian:
0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( ). t t t C t t t t C t t B d D t t           y x u u (3)
Hal yang menarik untuk dikaji dari sistem linier kontinu  bergantung terhadap waktu ada- lah  masalah  keterobservasian  dan  keter- konstruksian. Secara umum, sistem (1) dikatakan  terobservasi  keadaan  jika  keadaan awal 0 0 ( ) t  x x dapat  ditentukan  dengan mengetahui  output  dan  input  sekarang  dan akan datang. Selain itu, sistem (1) dikatakan ter- konstruksi  jika  keadaan  awal 0 0 ( ) t  x x dapat ditentukan  dengan  mengetahui  output  dan  in- put sekarang dan masa lalu.
Makalah  ini  mengkaji  kembali  hubungan antara  keterobservasian  dan  keterkonstruksian dari sistem (1).

## LANDASAN TEORI
Sistem  Linier  Kontinu  Bergantung  terhadap

## Waktu
Diberikan sistem  linier bergantung wak-
tu sebagai berikut:
. 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),  ( ) , t A t t B t t t    x x u x x (4)
dimana ( ) n n A t   , ( ) n m B t   adalah  matriks riil bergantung waktu.
Asumsikan ( ) B t  0 ,  maka  (4)  dapat  di- tulis menjadi
. 0 0 ( ) ( ) ( ),  ( ) , t A t t t   x x x x (5)
yang merupakan sistem linier homogen bergan- tung waktu.
Misalkan n n   adalah matriks dengan n kolomnya  berupa n solusi  bebas linier  dari  (5).  Matriks  dikatakan  sebagai matriks fundamental dari (5).
Definisi  1. Jika  adalah  matriks  fundamental dari (5), maka  yang didefinisikan sebagai
1 0 0 0 ( , ) ( ) ( ), , ( , ) t t t t untuk t t       
dikatakan matriks transisi keadaan dari (5)
Teorema  2. Misalkan 0 ( , ) t    dan 0 ( , ) t t 
adalah  matriks  transisi  keadaan  dari  (5)  untuk
( , ) t    maka pernyataan berikut benar:
1. 0 ( , ) t t  merupakan  solusi  tunggal  dari  per- samaan diferensial matriks
0 0 ( , ) ( ) ( , ), d t t A t t t dt    (6)
dengan 0 0 ( , ) . t t I   2. Untuk setiap , , ( , ) t s     , berlaku ( , ) ( , ) ( , ). t t s s      
3. Untuk setiap , ( , ) t     , berlaku ( , ) t   tak
singular dan
1 ( , ) ( , ). t t      
Bukti.
1. Misalkan  matriks  fundamental  dari  (5).
Dengan  menggunakan  Definisi  1  diperoleh
1 0 0 ( , ) ( ) ( ) t t t t      . Oleh karena itu,
0 0 ( , ) ( ) ( , ), t t A t t t   
dan
0 0 ( , ) . t t I  
2. Misalkan  matriks  fundamental  dan 
matriks transisi dari (1).
Dengan menggunakan Definisi 1 diperoleh
( , ) ( , ) ( , ), t t s s      
dengan , , ( , ) t s     .
3. Misalkan  matriks  fundamental,  maka
( ( )) 0 det t   untuk setiap ( , ) t    .
Oleh karena itu
( ( , )) 0. det t   
Dengan  demikian,  dapat  dibuktikan  bahwa
( , ) t   tak singular dan 1 ( , ) ( , ) t t       .
Teorema 3. Jika untuk setiap 0 t dan t berlaku
0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), t t t t A t A d A d A t                   
maka
0 0 ( , ) exp ( ) . t t t t A d           
Persamaan (3) disebut respon total, yang terdiri  dari  penjumlahan  dua  komponen  yaitu respon  input-nol  dan  respon  keadaan  nol.  Re- spon input-nol diberikan oleh
0 0 0 0 ( , , , 0) ( ) ( , ) , t t C t t t    x x
sedangkan respon keadaan-nol diberikan oleh
0 0 ( , , 0, ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ). t t t t C t t B d D t t          u u u

## METODE PENELITIAN
Cara  penelitian  yang digunakan  adalah studi  literatur  mengenai  teori-teori  tentang matriks,  ruang  vektor,  transformasi  linier,  hasil
kali  dalam,  norm,  dan sistem  linier  kontinu  ber- gantung terhadap waktu.
Makalah  ini  mengkaji  kembali  hub- ungan  antara  keterobservasian  dan  ket- erkonstruksian  dari  sistem  (1),  serta  mem- berikan  beberapa  contoh  yang  berkaitan dengan hubungan tersebut.

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Telah diketahui bahwa  output untuk  sis- tem (1) diberikan oleh
0 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t C t t t t C t t B d D t t        
  y x u u (7)
untuk 0 , ( , ) t t    ,  dimana ( , ) t   menyatakan matriks  transisi  keadaan  dari  sistem  (1).  Selan- jutnya, misalkan
0 0 ( ) ( ) ( , ) t C t t t   y x (8)
dimana
0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
dan ( ) t t t t C t t B d D t t t                y y u u x x (9)
Keterobservasian Sistem Linier Kontinu
Definisi  4. Suatu  keadaan x dikatakan  tak terobservasi pada waktu 0 t jika respon input-nol dari  sistem  adalah  nol  untuk  setiap 0 t t  ,  yaitu jika
0 0 ( ) ( , ) .
C t t t untuk setiap t t    x 0 (10)
Misalkan 0 t o  menyatakan  himpunan semua  keadaan  tak  terobsercvasi  pada 0 = t t , atau secara simbolis dapat ditulis
0
0 { tak terobservasi pada } t o t t    x x ∣ (11)
Definisi  5. Sistem  (1)  dikatakan  terobservasi keadaan  pada 0 t ,  jika    keadaan  yang tak  terob- servasi  pada 0 t hanyalah  keadaan  nol,  x 0 , yaitu jika 0 { } t o   0 .
Teorema  6. Suatu  keadaan x adalah tak  terob- servasi pada 0 t jika dan hanya jika
0 1 ( ( , )) o ker W t t  x (12)
untuk setiap 1 0 t t  , dimana 1 0 0 1 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) t T T o t
W t t t C C t d         (13)
adalah matriks simetris untuk setiap 1 0 t t  .
Dari  Teorema  6,  jelas  bahwa  keadaan x terob- servasi  pada 0 t jika  dan  hanya  jika  terdapat
1 0 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( , ) o W t t  x 0 .
Bukti.
(  ) Misalkan 0 1 ( ( , )) o ker W t t  x maka
0 1 ( , ) o W t t  x 0 untuk  setiap 1 0 t t  .  Akan  di- tunjukkan  bahwa  keadaan x tak  terobservasi pada 0 t . Karena 0 1 ( , ) o W t t  x 0 maka 0 1 ( , ) 0 T o W t t  x x untuk setiap 1 0 t t  . Karena
1 0 2 0 ( ) ( , ) = 0 t t C t d      x
maka haruslah
0 0 ( ) ( , ) untuk setiap . C t t  
    x 0
Jadi keadaan x tak terobservasi pada 0 t .
(  )Misalkan keadaan x tak terobservasi pada
0 t , akan ditunjukkan bahwa
0 1 ( ( , )) o ker W t t  x
untuk setiap 1 0 t t  . Karena keadaan x tak
terobservasi pada 0 t ,  maka 0 ( ) ( , ) C t t t   x 0
untuk setiap 0 t t  . Akibatnya 0 1 ( , ) o W t t  x 0
Jadi 0 1 ( ( , )) o ker W t t  x untuk setiap 1 0 t t  .
Dari Teorema 6, jelas bahwa keadaan x terobservasi pada 0 t jika dan hanya jika terdapat
1 0 t t  sedemikian sehingga 0 1 ( , ) o W t t  x 0 .
Akibat 7. Sistem (1) adalah terobservasi keadaan pada 0 t jika dan hanya jika terdapat suatu waktu berhingga 1 0 t t  sedemikian sehingga
0 0 1 ( ( , )) . rank W t t n  (14)
Jika sistem terobservasi, maka keadaan 0 x pada
0 t adalah
1 0 1 0 0 1 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) . t T T o t W t t t C d               x y (15)
Bukti.
(  ) Misalkan sistem (1) terobservasi keadaan pada 0 t . Akan dicari suatu waktu berhingga
1 0 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) . o rank W t t n 
Karena (1) terobservasi keadaan pada 0 t , maka keadaan yang tak terobservasi pada 0 t hanyalah keadaan nol, yaitu  x 0 . Berdasarkan Teorema 6, terdapat 1 0 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) { }. o ker W t t  0
Telah diketahui bahwa
0 1 ( ( , )) 0. o null W t t 
Karena 0 1 ( , ) o W t t adalah matriks n n  , dan
0 1 0 1 ( ( , )) ( ( , )) , o o rank W t t null W t t n  
0 1 ( ( , )) . o rank W t t n 
(  ) Misalkan terdapat suatu waktu berhingga
1 0 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) . o rank W t t n 
Akan ditunjukkan bahwa sistem (1) terobservasi keadaan pada 0 t . Karena
0 1 ( ( , )) o rank W t t n  un-
tuk suatu waktu berhingga 1 0 t t  , maka 0 1 ( ( , )) 0. o null W t t  Akibatnya 0 1 ( ( , )) { } o ker W t t  0 yang bermakna bahwa keadaan yang tak terobservasi pada 0 t
hanyalah keadaan nol,  x 0 . Berdasarkan
Definisi 5, maka sistem (1) adalah terobservasi keadaan pada 0 t . Selanjutnya, dari persamaan
(13) dan (8) diperoleh
1 0 0 1 0 0 ( , ) ( , ) ( ) t T T o t W t t t C d       x y (16)
Dengan mengalikan kedua ruas (16) dengan
1 0 1 ( , ) o W t t  diperoleh 1 0 1 0 0 1 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) . t T T o t W t t t C d               x y
(17)
Keterkonstruksian Sistem Linier Kontinu
Definisi  8. Suatu  keadaan x dikatakan  tak  ter- konstruksi pada waktu 1 t jika untuk setiap waktu berhingga 1 t t  , respon input-nol dari sistem ada- lah nol untuk semua t , yaitu,
0 1 ( ) ( , ) .
C t t t untuk setiap t t    x 0
Misalkan 1 t cn  menyatakan himpunan semua keadaan tak terkonstruksi pada 1 t t  , atau secara simbolis dapat ditulis
1 1 { tak terkonstruksi pada } t cn t t    x x ∣
Definisi 9. Sistem (1) dikatakan terkonstruksi keadaan pada 1 t , jika  keadaan yang tak ter- konstruksi pada 1 t hanyalah keadaan nol,  x 0 , yaitu jika 1 { } t cn   0 .
Teorema 10. Suatu keadaan x adalah tak terob- servasi pada 1 t jika dan hanya jika
0 1 ( ( , )) cn ker W t t  x untuk setiap 0 1 t t  , dimana
1 0 0 1 1 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) t T T cn t W t t t C C t d         (18)
adalah matriks simetris untuk setiap 0 1 t t  .
Bukti.
(  ) Misalkan 0 1 ( ( , )) cn ker W t t  x maka
0 1 ( , ) cn W t t  x 0 untuk setiap 0 1 t t  . Akan di- tunjukkan bahwa keadaan x tak terkonstruksi pada 1 t . Karena 0 1 ( , ) cn W t t  x 0 maka 0 1 ( , ) 0 T cn W t t  x x untuk setiap 0 1 t t  . Karena 1 0 2 1 ( ) ( , ) 0 t t C t d       x
maka haruslah
1 1 ( ) ( , ) untuk setiap . C t t       x 0
Jadi keadaan x tak terkonstruksi pada 1 t . (  )Misalkan keadaan x tak terkonstruksi pada
1 t , akan ditunjukkan bahwa
0 1 ( ( , )) cn ker W t t  x
untuk setiap 0 1 t t  . Karena keadaan x tak ter- konstruksi pada 1 t , maka 1 ( ) ( , ) C t t t   x 0 untuk setiap 1 t t  . Akibatnya
0 1 ( , ) cn W t t  x 0 Jadi 0 1 ( ( , )) cn ker W t t  x untuk setiap 0 1 . t t 
Akibat  11. Sistem  (1)  adalah  terkonstruksi keadaan  pada 1 t jika  dan  hanya  jika  terdapat suatu  waktu  berhingga 0 1 t t  sedemikian  se- hingga
0 1 ( ( , )) . cn rank W t t n  (19)
Bukti.
(  ) Misalkan  sistem  (1)  terkonstruksi  keadaan pada 1 t . Akan  dicari  suatu  waktu  berhingga
0 1 t t  sedemikian sehingga
0 1 rank(W (t ,t )) = n. cn
Karena (1) terkonstruksi keadaan pada 1 t , maka keadaan  yang  tak  terkonstruksi  pada 1 t hanya- lah  keadaan  nol,  yaitu .  x 0 Berdasarkan  Te- orema 6, terdapat 0 1 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) { }. cn ker W t t  0
Telah diketahui bahwa
0 1 null(W (t ,t ))=0. cn
Karena   0 1 , cn W t t adalah matriks n n  , dan     0 1 0 1
rank( )+null( )=n , , , cn cn W t t W t t
maka dapat disimpulkan bahwa
  0 1 rank( )=n , . cn W t t
(  ) Misalkan  terdapat  suatu  waktu  berhingga
0 1 < t t sedemikian sehingga
  0 1 rank( )=n , . cn W t t
Akan  ditunjukkan  bahwa  sistem  (1)  ter- konstruksi keadaan pada 1 t . Karena     0 1 , cn rank W t t n  untuk suatu waktu berhingga 0 1 < t t maka
0 1 null(W (t ,t ))=0.
cn
Akibatnya 0 1 ( ( , )) { } cn ker W t t  0 yang  bermakna bahwa  keadaan  yang  tak  terkonstruksi  pada 1 t hanyalah keadaan nol,  x 0 . Berdasarkan defin- isi  9,  maka  sistem  (1)  adalah  terkonstruksi keadaan pada 1 t .
Hubungan  Antara  Keterobservasian  dan  Ket- erkonstruksian Sistem Linier Kontinu
Teorema  berikut  memperlihatkan  hub- ungan  antara  keterobservasian  dan  ket- erkonstruksian sistem (1).
Teorema  12. Jika  sistem  (1)  terobservasi keadaan  pada 0 t ,  maka  sistem  tersebut  ter- konstruksi  keadaan  pada  suatu 1 0 t t  .  Selanjut- nya,  jika  sistem  (1)  terkonstruksi  keadaan  pada
1 t ,  maka  sistem  tersebut  terobservasi  keadaan pada suatu 0 1 t t  .

## Bukti.
Misalkan  sistem  (1)  terboservasi  keadaan  pada
0 t , akan  dibuktikan  bahwa  sistem  tersebut  ter- konstruksi  keadaan  pada 1 t . Karena  sistem  (1) terobservasi  keadaan  pada 0 t , maka  terdapat suatu  waktu  berhingga 1 0 t t  sedemikian  se- hingga
0 1 ( ( , )) . o rank W t t n  Perhatikan  matriks 0 1 ( , ) cn W t t pada  per- samaan  (19)  .  Dengan  mengalikan  matriks
0 1 ( , ) cn W t t dari  kiri  dengan 1 0 ( , ) T t t  dan  dari
kanan dengan
1 0 ( , ) t t  , diperoleh
1 0 0 1 1 0 0 1 ( , ) ( , ) = ( , ( , ). ) T cn o t t W t t t W t t t   Karena 1 0 ( , ) t t  adalah  matriks  tak  singular  un- tuk setiap 0 t dan 1 t , maka
1 0 ( ( , )) . rank t t n  
Karena
0 1 ( ( , )) o rank W t t n  dan
1 0 ( ( , )) rank t t n   , maka mestilah
0 1 ( ( , )) cn rank W t t n  untuk setiap 1 t yang menun- jukkan bahwa sistem terkonstruksi keadaan.
Misalkan sistem (1) terkonstruksi keadaan  pada,  akan  dibuktikan  bahwa  sistem tersebut  terobservasi  keadaan  pada 0 t . Karena sistem  (1)  terkonstruksi  pada 1 t , maka  terdapat suatu  waktu  berhingga 0 1 t t  sedemikian  se- hingga
0 1 ( ( , )) . cn rank W t t n 
Perhatikan  matriks 0 1 ( , ) o W t t pada  per- samaan  (13).  Dengan  mengalikan  matriks
0 1 ( , ) o W t t dari  kiri  dengan 1 1 0 ( ( , )) T t t   dan  dari
kanan dengan 1 1 0 ( ( , )) t t   diperoleh 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ( ( , )) ( , )( ( , ))
( ( , )) ( , ) ( ) ( ) ( , )
( ( , ))
T o t T T T t t t W t t t t t t t C C t d
t t             
         
Karena 1 0 ( , ) t t  matriks  transisi  keadaan,  maka
1 1 0 0 1 ( ( , )) ( , ) T T t t t t     dan 1 1 0 0 1 ( ( , )) ( , ) t t t t     . Akibatnya
1 0 1 0 1 1 0 0 1 ( ( , )) ( , )( ( , = )) ( , ) T o cn t t W t t t t W t t   
Karena 1 0 ( , ) t t  adalah  matriks  tak  singular  un- tuk  setiap 0 t dan 1 t ,  maka
1 0 ( ( , )) rank t t n   .
Selanjutnya,  karena
0 1 ( ( , )) cn rank W t t n  dan
1 0 ( ( , )) rank t t n   , maka mestilah 0 1 ( )) ( , o W t r t ank n  untuk  setiap 1 t yang menun- jukkan bahwa sistem terobservasi keadaan.
Berikut  disajikan  beberapa  contoh  yang memperlihatkan hasil-hasil diatas.
Contoh  1. Diketahui , t x x y e x    .  Akan diper- lihatkan  bahwa  sistem  ini  terobservasi  keadaan dengan  menentukan  keadaan 0 x .  Matriks  tran- sisi keadaan untuk sistem ini adalah
( ) ( , ) t t e       dan
0 0 ( ) 0 ( ) ( , ) . t t C t e e e         
Sehingga
1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 ( , ) ( ). t t t o t t W t t e e d e t t      Diberikan 0 0 0 ( ) ( ) t t t e    y y ,  maka 0 x dapat ditentukan menggunakan (12), yaitu
0 1 0 0 0 2 0 1 0 ( ) ( ) . t t t t t e x e e d t t                    
Contoh 2. Diketahui sistem . ( ) , A t  x x ( ) C t  y x dimana 2 1 ( ) 0 1 t e A t          dan ( ) 0 t C t e       .
Akan  diperlihatkan  bahwa  sistem  ini  tak  terob- servasi keadaan.
Karena
0 0 0 2 2 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t t e e t t e A t A d t t A d A t      
                  
        
maka matriks transisi keadaan dapat ditentukan dengan rumus
0 0 ( , ) exp ( ) t t t t A d            Selanjutnya, 0 0 0 0 0 2 2 0 0
0 ( ) 3 ( ) 1 ( ) ( ) ( , ) exp 2 0 ( ) 1 ( ) 2 0 t t t t t t t t t t t t e e t t t t e e e e         
                      
dan
0 0 0 0 0 ( ) 3 0 ( ) 2 1 [ ] ( ) ( , )
0 2 0 0 . t t t t t t t t t t e e e C t e e e                 
               
Sehingga 1 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 2 4 4 0 ( , ) 0 0 0 1 . 0 4 t t o t t t t t W t t e d e e e e                               Karena 0 1 ( ( , )) 1 2 o rank W t t n    ,  maka  sistem tak terobservasi.
Contoh .
1. Diketahui sistem
. ( ) , ( ) A t C t   x x y x di-
mana 0 1 ( ) 0 0 A t        dan   ( ) 1 0 C t  .  Akan
diperlihatkan  bahwa  sistem  ini  terobservasi keadaan  dengan  menentukan  keadaan 0 x .
Terlebih  dahulu  akan  ditentukan  matriks transisi keadaan dari sistem tersebut.
Dengan  menggunakan,  akan  ditunjukkan
bahwa Karena 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) t t t t A t A d A d A t                           ,
maka  matriks  transisi  keadaan  dapat  diten- tukan dengan rumus
0 0 ( , ) exp ( ) t t t t A d           
Selanjutnya,
0 0 1 ( ) ( , ) 0 1 t t t t         
dan   0 0 ( ) ( , ) 1 ( ) C t t      
Diberikan   0 0 ( ) ( ) t t      y ,  maka 0 x
dapat ditentukan menggunakan (12), yaitu
  1 0 1 0 0 1 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0 . 0 t T T o t W t t t C t d                     x
2. Jika 0 1 ( ) 0 0 A t        sama  seperti  contoh sebelumnya,  tetapi   ( ) 0 1 C t  .  Akan  di- perlihatkan  bahwa  sistem  ini  tidak  terob- servasi keadaan. Karena A sama seperti con- toh  sebelumnya,  maka  matriks  transisi keadaan
0 0 1 ( ) ( , ) 0 1 t t t t 
 
     
dan
    0 0 1 ( ) ( ) ( , ) 0 1 0 1
0 1 t C t              .
Sehingga
  1 0 0 1 1 0 0 ( , ) 0 1 1 0 0 . 0 ( ) t o t W t t d t t                  Karena 0 1 ( ( , )) 1 2 o rank W t t n    ,  maka  sis- tem tak terobservasi.
Contoh 4. Diberikan sistem . ( ) , A t  x x ( ) C t  y x
dimana 2 1 ( ) 0 1 t e A t          dan ( ) 0 t C t e       .
Sistem  ini  terobservasi  keadaan  pada 0 t .  Akan diperlihatkan  bahwa  sistem  ini  terkontruksi
keadaan  pada 0 t .  Karena  sistem  terobservasi keadaan  pada 0 t ,  maka  terdapat  suatu  waktu berhingga 1 0 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) 2. o rank W t t  Telah diperoleh 1 1 1 1 ( ) 3 1 ( ) 1 ( ) ( , ) 2 0 t t t t t t t t e e e t t e                  
dan
1 1 1 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) . 2 t t t C t e e e               Sehingga 0 1 1 0 1 0 1 1 2 2 2 1 0 0 1 2 2 2 1 ( ) (1 ) 2
( , ) .
1 1 (1 ) ( ) 2 4 t t t cn t t t t t e t t e
W t t
e e e                 
   
Karena 0 1 ( ( , )) cn rank W t t n  ,  maka  sistem  ter- konstruksi.
Contoh  3.3.5. Diberikan  sistem . ( ) , A t  x x
( ) C t  y x dimana 2 1 ( ) 0 1 t e A t          dan ( ) 0 t C t e
 
    . Sistem ini terkonstruksi
keadaan  pada 1 t .  Akan diperlihatkan  bahwa  sis- tem  ini  terobservasi  keadaan  pada 0 t .  Karena sistem terkonstruksi keadaan pada 1 t , maka ter- dapat suatu waktu berhingga
0 1 t t  sedemikian sehingga
0 1 ( ( , )) 2. cn rank W t t 
Telah diperoleh
0 0 0 0 ( ) 3 0 ( ) 1 [ ] ( , ) 2 0 t t t t t t t t e e e t t e                  
dan
0 0 0 (2 ) 2 3
0 1 ( ) ( , ) ( ) . 2 t t t C t e e e                  Sehinga 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 (2 ) 2 (2 ) 2 3 2 3 (4 2 ) 2 (2 2 ) 4 4
(2 2 ) 4 4 2 3 2 ( , ) 1 ( ) 1 2 ( ) 2 1 ( ) 2 .
1 1 ( ) ( ) 2 4 o t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t W t t e e e e e d e e e e e e e e e e             
            
                                     Karena 0 0 1 ( ( , )) 2 rank W t t  , maka sistem terob- servasi.

## SIMPULAN DAN SARAN

## Simpulan
Berdasarkan uraian  di atas,  dapat  diberi- kan kesimpulan sebagai berikut:
1. Syarat  cukup  dan perlu  untuk  keterobserva- sian dari sistem (1) adalah
0 1 ( ( , )) , o rank W t t n 
2. Syarat  cukup  dan  perlu  untuk  ket- erkonstruksian dari sistem (1) adalah
0 1 ( ( , )) , cn rank W t t n 
3. Jika sistem (1) terobservasi keadaan pada 0 t , maka sistem tersebut terkons-truksi keadaan pada suatu 1 0 t t  . Selain itu, jika sis- tem  tersebut  terkons-truksi  keadaan  pada
1 t ,  maka  sistem  tersebut  terobservasi keadaan pada suatu 0 1 t t  .

## Saran
Untuk  penelitian  selanjutnya,  penulis menyarankan  untuk  membahas  tentang  hub- ungan  antara  keterobservasian  dan  ket- erkonstruksian  sistem  diskret  bergantung  wak- tu.

## REFERENSI
Anton,  H.  (1991). Aljabar  Linier  Elementer  Edisi
Lima . Jakarta: Erlangga.
Antsaklis,  P.J.  and  A.N.  Michel.  (2006). Linear
Systems . Boston: Birkhäuser.
Antsaklis,  P.J.  and  A.N.  Michel.  (2007). A  Linear
Systems Primer . Boston: Birkhäuser.
Cullen,  C.G.  (1966). Matrices  and  Linear  Trans- formation .  Pittburg-Pennsylvania:  Addi- son Wesley Publising.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra . New York: W.H Freeman and Company.
Laub,  A.J.  (2005). Matrix  Analysis  for  Scientists and Engineers . USA: SIAM.