## PEMANFAATAN METODE ITERATED FUNCTION

## SYSTEM (IFS) PADA PEMBANGKITAN KURVA NAGA
( Iterated Function System Method in Dragon Curve Generation )

## Vian Hafid Suny, Kosala Dwidja Purnomo, Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember
Jl. Kalimantan 37 Jember 68121 Indonesia E-mail: vianhafidsuny1234@gmail.com, kosala.fmipa@unej.ac.id, firdaus_u@yahoo.com
Abstract. Fractals  have  two  types,  namely  fractals  sets  (artificial  fractals)  and natural fractals. Each type of fractal has a variety of fractal objects. One of the fractal objects is the Dragon Curve. Fractal objects can be generated through two methods, namely the Lindenmayer System (L-System) and the Iterated Function System (IFS). In  previous  studies,  the  Dragon  curve  can  be  generated  through  the  L-System approach.  The  method  is  to  start  from  determining  the  rotation  angle,  then determining the initial string, and the last one, which is determining the production rules.  In  this  study,  the  Dragon  curve  is  generated  using  IFS  with  Affine Transformation. The Affine transformation used in this study is dilation and rotation. Some variation is given on the scale of dilation and rotation angle. The variation is using a fixed angle with a variety of scale and using a fixed scale with a variation of angle.  Each  variation  gives  a  different  effect.  This  influence  results  in  a  varied visualization of the Naga curve. If the scale and angle that is varied approach a scale of one and an angle of 90° then the fractal formed approaches the Dragon curve of a scale of one with an angle of 90°. Conversely, if the scale and angle are varied away from one scale and angle of 90°, the fractal formed away from the Dragon curve of scale one with an angle of 90°.
Keywords: Affine transformation, dragon curve, IFS method.
MSC 2020: 03D78

## 1. Pendahuluan
Fraktal  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu  matematika  yang  mempelajari  kesamaan bentuk,  baik  bentuk–bentuk  geometri  dalam  matematika  maupun  bentuk-bentuk  yang terdapat  di  alam.  Terdapat  dua  jenis  fraktal,  yaitu  himpunan-himpunan  fraktal ( fractalsets ) atau dapat disebut sebagai fractal buatan dan fractal alami ( natural fractal ). Contoh  dari fractal  sets yaitu  himpunan  Cantor  dan  kurva  Naga.  Contoh  dari natural fractal yaitu bentuk daun dan cabang pohon. Objek-objek fractal seperti kurva Naga dapat dibangkitkan  dengan  menggunakan Iterated  Function  System (IFS)  dan Lindenmayer System ( L-system ).
Peneliti  sebelumnya  menyebutkan  bahwa  pembangkitan  kurva  Naga  dapat  didekati  dengan metode L-systems .  Adapun  pembentukannya  dimulai  dari  menentukan  sudut.  Kemudian menentukan string awal dan yang terakhir adalah menentukan aturan produksi. Topik penelitian tentang pemanfaatan iterated function system (IFS) untuk membangkitkan motif anyaman ukuran n x n menggunakan IFS sebagai metode untuk membangkitkan motif anyaman yang menyerupai karpet  Sierpinski  [7].  Topik  penelitian  yang  lain  yaitu  tentang  pembangkitan  fractal  pohon Pythagoras menggunakan iterated  function  system membangkitkan  fractal  pohon Pythagoras menggunakan IFS melalui beberapa transformasi Affin [9].
Peneliti tertarik untuk melakukan penelitian dengan objek Dragon Curve atau yang biasa dikenal sebagai  kurva  Naga.  Kurva  Naga  dibangkitkan  menggunakan  metode  IFS  melalui  beberapa transformasi Affin. Adapun transformasi Affin yang digunakan oleh peneliti adalah dilatasi dan rotasi. Variasi yang dilakukan oleh peneliti terletak pada skala dilatasi dan sudut rotasi.

## 2. Tinjauan Pustaka

## Fraktal
Istilah fraktal pertama kali diperkenalkan oleh Mandelbrot pada tahun 1975, dari bahasa latin  yaitu fractus yang  berarti  pecah.  Fraktal  memiliki  sesuatu  yang  khas  atau karakteristik, yaitu self-similarity dan infinite detail . Self-similarity yaitu suatu objek yang dibangun  secara  berulang  dan  perulangan  dari  bangun  tersebut  memiliki  ukuran  yang lebih kecil dari bangun asalnya. Infinite detail yaitu objek fraktal yang bentuk dasarnya apabila diperhatikan secara seksama, memiliki  pola atau bentuk  dasar  yang tak hingga [10].  Terdapat  dua  jenis  fraktal,  yaitu  himpunan-himpunan  fraktal  atau  dapat  disebut sebagai himpunan fraktal ( fractal sets ) dan fraktal alami ( natural fractal ). Contoh fraktal yang termasuk dalam fractal sets diantaranya adalah karpet Sierspinski , Koch snowflake , himpunan  Cantor,  himpunan  Julia,  dan  himpunan  Mandelbrot.  Contoh  dari natural fractal adalah bentuk daun, cabang-cabang pohon, garis-garis pantai, dan berbagai bentuk pegunungan [6].

## Kurva Naga
Pada  tahun  1966,  seorang  fisikawan  NASA  bernama  John  Heighway  bersama  kedua temannya  yaitu  Bruce    Banks  dan  William  Harter  sedang  melipat  kertas  satu  dolar amerika.  Hasil lipatan tersebut memiliki bentuk yang unik dan indah. Akhirnya mereka melakukan hal tersebut ke media kertas yang lebih besar [4]. Kurva Naga adalah sebuah kurva pengisian ruang dengan dimensi 2 yang awalnya berasal dari lipatan kertas bergaris panjang dengan arah yang sama. Setelah melihat kertas, kertas kemudian dibuka dengan setiap segmen kertas yang berdekatan membentuk sudut yang tepat. Gambar kurva Naga dapat  ditunjukkan  pada  Gambar  1  [2].  Kurva  Naga  oleh  Heighway  dan  Harter didefinisikan sebagai pembukaan berulang dari salinan dirinya sendiri yang dimulai dari sebuah  segmen  garis  atau  dapat  diartikan  sebagai  ekspansi  dari  setiap  segmen  garis. Segmen garis pertama merupakan perulangan ke-0 [3].

## Gambar 1. Kurva Naga iterasi ke-15
Pembangkitan Kurva Naga melalui L-System
Cara membentuk kurva Naga dapat didekati menggunakan metode Lindenmayer system ( L-Systems ). Adapun caranya adalah sebagai berikut.
a. Menentukan sudut α = 90 o .
b. Menggunakan string awal FX .
c. String aturan produksi X → X + YF +
Y → -FX - Y dengan ‘ F ’ : berarti maju
‘+’ : berarti berputar ke kanan sejauh α ‘-‘ : berarti berputar ke kiri sejauh α Simbol  ‘ F ’  pada  kurva  Naga  hanya  memproduksi  dirinya  sendiri,  sedangkan X dan Y diganti  berdasarkan  aturan  produksinya.  Secara  spesifik,  simbol-simbol  tersebut  dapat diartikan  untuk  tujuan  penggambaran  dengan  aturan  setiap  simbol X dan Y diabaikan, sebagaimana F , + dan - diartikan sebelumnya [8].

## Iterated Function System (IFS)
Iterated Function System atau yang lebih dikenal sebagai IFS adalah suatu fungsi iterasi yang tersusun dari suatu citra untuk membangun satu atau beberapa objek fraktal. Metode IFS  bersifat self-similarity .  Berdasarkan  sifat  tersebut  IFS  dapat  menghasilkan  fraktal yang  sama  dengan  objek  penyusun  aslinya.  IFS  membangun  fraktal  dengan  cara mengulang transformasi berkali-kali untuk sebarang pola. Pola awal yang ditransformasi menjadi suatu pola berulang dengan struktur yang sama pada detail tertentu [14].

## TransformasiAffin
Transformasi  Affin  adalah  suatu  transformasi  yang  menggunakan  matriks  dalam menghitung  posisi  objek  yang  baru.  Kelebihan  dan  keuntungan  menggunakan  matriks adalah transformasi yang berbeda-beda dapat digabungkan dengan mengalikan matriks- matriks tersebut sehingga diperoleh satu matriks transformasi [11].
a. Dilatasi
Dilatasi adalah bentuk transformasi yang memperbesar atau memperkecil objek tanpa mengubah bentuk objek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Jika skala > 1 maka bentuk objek diperbesar dan jika skala  <  1  maka  objek  diperkecil  [12].  Berdasarkan  titik  pusatnya,  dilatasi  terbagi menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
1. Dilatasi dengan pusat O (0, 0) faktor skala k ditulis [0, k ]
                   y x k k y x 0 0 ' '
2. Dilatasi dengan pusat A ( a , b ) faktor skala k ditulis [ A ( a , b ), k ]
                            b a b y a x k k y x 0 0 ' ' (lihat [1]).
b. Rotasi
Rotasi  merupakan  bentuk  transformasi  geometri  untuk  memindahkan  objek  dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi [12].  Jika T:R 2 → R 2 adalah suatu transformasi yang memetakan titik ( x , y ) ke titik ' ( x , ) ' y dan misalkan  adalah sebuah sudut tetap maka persamaan rotasi melalui pusat P ( a , b ) dengan arah rotasi berlawanan arah jarum jam adalah
                             b a b y a x y x     cos sin sin cos ' '
dan persamaan rotasi dengan arah rotasi searah jarum jam adalah
                             b a b y a x y x     cos sin sin cos ' ' (lihat [5]).
c. Translasi
Transalasi merupakan suatu titik atau sistem yang mengalami pergeseran namun tidak merubah  bentuk,  karena  setiap  penyusun  sistem  mengalami  pergeseran  yang  sama [13].  Translasi  merupakan  transformasi  yang  memetakan  titik  ( x , y )  ke  titik ' ( x , ) ' y yaitu bergeser sejauh p satuan searah sumbu x dan q satuan searah sumbu y , sehingga diperoleh persamaan:
                             q y p x q p y x y x ' ' (lihat [5]).

## 3. Metodologi
Langkah-langkah  yang  dilakukan  oleh  peneliti  yaitu  yang  pertama  adalah  melakukan kajian  materi-materi  yang  dapat  menunjang  terselesainya  penelitian  ini.  Kemudian membangkitkan kurva Naga. Adapun cara pembangkitan kurva Naga yaitu:

## 1. Menentukan segmen garis
Penentuan letak segmen garis awal dilakukan secara acak dan digambar pada bidang kartesius. Masing-masing titik diberi nama secara bebas. Gambar 2 merupakan segmen garis.
Gambar 2. Segmen garis 𝐴𝐵 ̅̅̅̅
2. Merotasi segmen garis
Kemudian ditentukan titik tumpu atau titik acuan. Titik tumpu dipilih dari salah satu titik (bebas). Setelah itu, dilakukan rotasi. Sudut yang digunakan adalah 45 o . Segmen garis diputar secara searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Pada penelitian ini, garis dirotasi searah jarum jam. Gambar 3 merupakan segmen garis AB dirotasi 45 o searah jarum jam.
Gambar 3. Segmen garis AB dirotasi 45 o searah jarum jam
3. Dilatasi segmen garis
Sebelum  melakukan  dilatasi,  segmen  garis  diduplikasi  terlebih  dahulu.  Sehingga segmen garis baru diperoleh.  Setelah segmen garis baru diperoleh, selanjutnya dipilih kembali  titik  tumpu  (segmen  garis  baru)  yang  akan  menjadi  acuan  untuk  didilatasi. Gambar 4 merupakan segmen garis AB didilatasi.
Gambar 4. Segmen garis AB didilatasi
4. Merotasi segmen garis baru
Segmen  garis  baru  yang  telah  diperoleh  sebagai  hasil  didilatasi,  kemudian  dirotasi sejauh  . Rotasi dapat diputar dengan arah yang berlawanan jarum jam atau searah jarum  jam.  Pada  penelitian  ini,  segmen  garis  baru  diputar  searah  jarum  jam.  Titik
tumpu  untuk  merotasi  segmen  garis  baru  dipilih  dari  titik-titik  yang  terdapat  pada segmen garis baru. Gambar 5 merupakan segmen garis BC dirotasi.
Gambar 5. Segmen garis AB dirotasi

## 5. Kurva Naga iterasi ke- n
Untuk iterasi selanjutnya dilakukan dengan cara yang sama dimulai dari poin 2 sampai dengan  poin  4.  Namun  pada  poin  2 tidak  lagi  membuat  segmen  garis  baru,  tetapi menggunakan bentuk iterasi terakhir yang terbentuk pada poin 4.  Pada poin 4 yang menjadi titik tumpu untuk rotasi adalah titik terakhir pada iterasi ke- n .
Setelah  membangkitkan  kurva  Naga,  langkah  berikutnya  adalah  melakukan  simulasi program. Simulasi prgram dilakukan pada program MATLAB 2015B (32 bit). Langkah yang terakhir yaitu melakukan analisis hasil. Analisis hasil dilakukan terhadap visualisasi hasil dari simulasi program.

## 4. Hasil dan Pembahasan

## Hasil
Berdasarkan  langkah-langkah  pembangkitan  kurva  Naga  pada  metode  penelitian, diperoleh  iterasi  ke-1  dengan  variasi  sudut  90 o dengan  skala  1.  Iterasi  ke-1  digunakan untuk membangkitkan iterasi berikutnya. Iterasi kedua diperoleh dengan cara yang sama. Guna mendapatkan iterasi ke-2, iterasi ke-1 digunakan pada langkah yang terdapat pada metode  penelitian.  Iterasi  ke-1  dirotasi  sejauh  45 o searah  jarum  jam.  Titik  pusat  rotasi yang dipilih harus salah satu dari titik-titik yang ada. Pada penelitian ini, peneliti memilih titik  A  sebagai  titik  rotasi  (ditetapkan  untuk  iterasi-iterasi  berikutnya).  Gambar  6 merupakan iterasi ke-1 yang dirotasi sejauh 45 o searah jarum jam.
Gambar 6. Iterasi ke-1 yang dirotasi sejauh 45 o
Setelah dirotasi, kemudian dilakukan duplikasi pada semua segmen garis yang ada. Pada penelitian ini, peneliti menduplikasi segmen garis AB dan BC . Sehingga menghasilkan segmen garis baru. Segmen garis baru tersebut  oleh peneliti diberi  nama segmen garis CD dan DE . Proses selanjutnya adalah dilatasi. Sebelum melakukan dilatasi, ditentukan terlebih dahulu titik acuan dilatasi. Titik acuan dilatasi harus dipilih dari salah satu titik- titik yang ada. Peneliti menggunakan titik C (titik paling ujung pada iterasi sebelumnya) sebagai pusat dilatasi. Nilai skala dilatasinya adalah satu (sama seperti iterasi ke-1 dan akan digunakan untuk  iterasi-iterasi  selanjutnya). Gambar 7 merupakan hasil duplikasi dan dilatasi dari iterasi ke-1.
Gambar 7. Segmen garis CD dan DE 𝐷𝐸 ̅̅̅̅
Setelah didilatasi, segmen garis CD dan DE kemudian dirotasi kembali sejauh 90 o (sama seperti  iterasi  ke-1  dan  akan  digunakan  untuk  iterasi-iterasi  selanjutnya).  Sebelum dirotasi, ditentukan terlebih dahulu titik pusat rotasi, titik pusat rotasi yang dipilih harus dari  salah  satu  dari  titik-titik  yang  ada  dan  sama  dengan  titik  pusat  dilatasi.  Peneliti memilih titik C. Gambar 8 merupakan hasil rotasi dari segmen garis yang baru atau bisa disebut sebagai iterasi ke-2.

## Gambar 8. Kurva Naga iterasi ke-2
Pada variasi-variasi berikutnya beserta iterasinya, iterasi ke-( n- 1) digunakan untuk iterasi selanjutnya atau iterasi ke- n . Setelah diperoleh iterasi ke-( n- 1), iterasi ke-( n- 1) digunakan untuk  membangkitkan  iterasi  berikutnya  (iterasi  ke- n ).  Dengan  cara  yang  sama,  dari iterasi ke-( n- 1) dirotasi sejauh 45 o terlebih dahulu dengan titik tumpu titik A (seperti pada langkah  pertama,  namun  tidak  membuat  segmen  garis  baru  dan  titik  ini  dipilih  secara tetap  serta  berlaku  untuk  variasi  yang  lain).  Selanjutnya,  menduplikasi  iterasi  ke-( n- 1) dengan  skala k .  Berdasarkan  hasil  duplikasi  iterasi  ke-( n- 1),  kemudian  ditentukan  titik
acuan  untuk  mendilatasi  segmen  garis  hasil  duplikasi.  Berikutnya  menentukan  pusat rotasi. Penentuan titik pusat rotasi sama dengan titik acuan dilatasi. Setelah itu diperoleh iterasi  ke- n .  Langkah-langkah  yang  telah  dijelaskan,  berlaku  untuk  variasi  yang lain.Simulasi  program  untuk  membangkitkan  kurva  Naga  menggunakan  program MATLAB 2015B (32 bit). Peneliti menampilkan hasil penelitian dengan memanfaatkan tampilan  GUI  yang  terdapat  pada    MATLAB  2015B  (32  bit).  Gambar  9  merupakan tampilan GUI untuk membangkitkan kurva Naga.
Gambar 9. Tampilan GUI kurva Naga

## Pembahasan
Variasi  yang  pertama  adalah  sudut  90 o dengan  variasi  skala.  Pada  variasi  ini,  peneliti menggunakan sudut tetap yaitu 90 o dengan skala yang divariasikan. Variasi skala yang digunakan memberikan pengaruh yang berbeda-beda. Skala 0,2 sudah membentuk fraktal dan bentuknya berbedajauhdengankurva Naga skala 1 dan sudut 90 o serta sifat fraktalnya masih  lemah.  Skala  0,4  hingga  0,8  sudah  membentuk  fraktal  namun  bentuknya  masih berbeda  dengan  kurva  Naga  skala  1  dan  sudut  90 o .  Bentuk  pada  skala  1  menyerupai fraktal kurva Naga yang didefinisikan oleh John Heighway. Pada skala 1,2 hingga 3 kurva Naga yang terbentuk mulai menjauhi kurva Naga dengan skala 1 dan sudut 90 o serta sifat fraktalnya  semakin  berkurang.  Gambar  10  merupakan  visualisasi  kurva  Naga  dengan sudut 90 o serta variasi skala.
Variasi  yang  kedua  peneliti  menggunakan  sudut  tetap  yaitu  100 o dengan  skala  yang divariasikan.  Skala  yang  divariasikan  sama  dengan  skala  pada  Gambar  11.  Visualisasi pada sudut ini menghasilkan visualisasi yang berbeda dengan sudut 90 o . Skala 0,2 masih belum  membentuk  fraktal  dan  bentuknya  berbeda  jauhdengankurva  Naga  skala  1  dan sudut  90 o .  Skala  0,4  hingga  0,8  sudah  membentuk  fraktal  namun  bentuknya  masih berbeda dengan kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o . Skala 1 membentuk fraktal yang mirip dengan dengan kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o . Pada skala 1,2 hingga 3 kurva Naga yang terbentuk mulai menjauhi kurva Naga dengan skala 1 dan sudut 90 o serta sifat fraktalnya semakin berkurang.
(a) (b)
(c) (d) (e) (f)
(g) (h)
(a) Skala 0,2; (b) Skala 0,4; (c) Skala 0,6; (d) Skala 0,8; (e) Skala 1; (f) Skala 1,2; (g) Skala 2; (h) Skala 3 Gambar 10. Gambar kurva Naga Sudut 90 o dengan variasi skala
(a) (b) (c)
(d) (e)
(f)
(g) (h)
(a) Skala 0,2; (b) Skala 0,4; (c) Skala 0,6; (d) Skala 0,8; (e) Skala 1;
(f) Skala 1,2; (g) Skala 2; (h) Skala 3
Gambar 11. Gambar kurva Naga Sudut 100 o dengan variasi skala
Variasi  yang  ketiga,  peneliti  menggunakan  skala  1  dengan  sudut  yang  divariasikan. Variasi sudut yang digunakan secara berturut-turut sesuai dengan Gambar 12 yaitu 20 o , 40 o , 80 o , 85 o , 40 o , 100 o , 150 o dan 170 o . Variasi pada sudut menghasilkan visualisasi yang berbeda. Pada sudut 20 o , 40 o dan 80 o tidak membentuk fraktal dan bentuknya menjauhi dari  kurva  Naga  skala  1  dan  sudut  90 o .  Sudut  85 o dan  100 o membentuk  fraktal  dan mendekati kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o . Pada sudut 130 o hingga 150 o kurva Naga yang  terbentuk  mulai  menjauhi  kurva  Naga  dengan  skala  1  dan  sudut  90 o serta  sifat
fraktalnya  semakin  berkurang,  bahkan  bentuknya  mendekati  garis  lurus.  Gambar  12 merupakan visualisasi kurva Naga skala 1 dengan variasi sudut.
(a) (b) (c) (d)
(e) (f) (g)
(h) (a) Sudut 20 o ; (b) Sudut 40 o ; (c) Sudut 80 o ; (d) Sudut 85 o ; (e) Sudut 100 o ;
(f) Sudut 130 o ; (g) Sudut 150 o ; (h) Sudut 170 o 170°
Gambar 12. Gambar kurva Naga Skala 1 dengan variasi sudut
Variasi  terakhir  yang  digunakan  oleh  peneliti  yaitu  skala  0,5  dengan  sudut  yang divariasikan. Variasi sudut yang digunakan secara berturut-turut sesuai dengan gambar 13 yaitu 50 o , 80 o , 90 o , 100 o , 110 o , 130 o , 170 o dan 180 o . Pada variasi sudut 50 o dan 80 o belum  membentuk  fraktal  dan  bentuknya  menjauhi  dari  kurva  Naga  skala  1  dan  sudut 90 o . Variasi sudut 90 o hingga 130 o sudah membentuk fraktal namun tidak menyerupai kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o . Pada variasi  sudut 170 o dan 180 o tidak membentuk fraktal dan bentuknya menjauhi dari kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o , bahkan mendekati bentuk garis lurus. Gambar 13 merupakan visualisasi kurva Naga skala 0,5 dengan variasi sudut.
Berdasarkan uraian diatas, dapat diketahui bahwa variasi skala dilatasi dan sudut rotasi dengan iterasi yang sama atau tetap memiliki pengaruh masing-masing terhadap bentuk kurva Naga. Pemberian sudut yang tetap atau tertentu dengan variasi skala dan skala yang tetap atau tertentu dengan variasi sudut dapat membentuk suatu fraktal yang mendekati atau menjauhi kurva Naga skala 1 dan sudut 90 o . Selain itu, terdapat variasi tertentu yang tidak membentuk fraktal dan terdapat pula variasi yang membentuk garis lurus.
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
(h) (a) Sudut 50 o ; (b) Sudut 80 o ; (c) Sudut 90 o ; (d) Sudut 100 o ; (e) Sudut 110 o ;
(f) Sudut 130 o ; (g) Sudut 170 o ; (h) Sudut 180 o
Gambar 13. Gambar kurva Naga Skala 0,5 dengan variasi sudut

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Pembangkitan kurva Naga dapat dibangkitkan menggunakan metode iterated function system (IFS)  melalui  transformasi  Affin.  Transformasi  Affin  yang  digunakan  yaitu rotasi dan dilatasi. Variasi yang diberikan yaitu skala dilatasi dan sudut rotasi.
2. Jika sudut rotasi  dan skala dilatasi k telah ditentukan serta nilainya secara berturut- turut mendekati nilai sudut 90 o dan skala 1 maka dapat membentuk suatu fraktal yang mendekati kurva Naga sudut 90 o dan skala 1. 3. Jika sudut rotasi  dan skala dilatasi k telah ditentukan serta nilainya secara berturut- turut menjauhi nilai sudut 90 o dan skala 1 maka dapat membentuk suatu fraktal yang menjauhi kurva Naga sudut 90 o dan skala 1.

## Daftar Pustaka
[1] Anton, H dan Rorres, C., (2010), Elementary Linear Algebra 10th Edition . Jakarta: Erlangga.
[2] Crilly,  A.  J.,  Earnshaw,  R.A., Jones,  H.,  (1991), Fractal  and  Chaos ,  New  York: Springer-Verlag.
[3] Gardner, M., (1967), Mathematical Games. Column, Scientific American.
[4] Knuth, D., (2011), Selected papers on fun & games. CSLI Publications, Stanford, CA, pp. 571–614.
[5] Kusno, (2003), Geometri Rancang Bangun Studi Surfas Putar Transformasi Titik dan Proyeksi . Jember: Fakultas MIPA Universitas Jember.
[6] Mandelbrot,  B.,  (1983), The  Fractal  Geometry  of  Nature .  New  York:  W.H. Freemanand Company.
[7] Maris,  I.,  (2019),  Pemanfaatan  Iterated  Function  System  (IFS)  Untuk Membangkitkan  Motif  Anyaman  Ukuran  n  x  n . Skripsi .  Jember:  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.
[8] Puspasari, B. D., Zuniawan, F., Fitri N. L., (2012), Pembangkitan Pola Batik Secara Acak Menggunakan Metode Fraktal . Malang: STT Atlas Nusantara.
[9] Sundusia,  J.K.,  (2019),  Pembangkitan  Fraktal  Pohon  Pythgoras  Menggunakan Iterated  Function  System. Skripsi .  Jember:  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember.
[10] Santoso, P. I., (1994), Grafika Komputer dan Antarmuka Grafis Teknik Penyusunan Program Aplikasi Berbasis Grafis yang Profesional . Yogyakarta: Andi Offset.
[11] Sulastri,  (2007),  Transformasi  Bangun  Ruang  Tiga  Dimensi  Menggunakan Visual  Basic  6.0. Jurnal  Teknologi  Informasi  DINAMIK  Volume  XII,  No. 1:88-100 . Fakultas Teknologi Informasi Universitas Stikubank Semarang.
[12] Sanjoyo,  B.A.,  (2008), Matematika  Bisnis  dan  Manajemen .  Bandung:  Direktorat Pembinaan.
[13] TOFI,  (2008), Transformasi  Geometri .  http//www.tofi.or.id/download_file/ Transformasi%20geometri kul 2 web.ppt.[8 Oktober 2019]
[14] Utomo, B., (2011), Fraktal dan Invers Fraktal. JurnalMatematika 2(1): 28-37.