## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 5, No. 2, 2023, pp. 88-101.

## Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal pada Hasil Operasi Amalgamasi Titik Graf Lintasan
Rafelita Faradila Sandi 1 , Arika Indah Kristiana 2 , Lioni Anka Monalisa 3 , Slamin 4 & Robiatul Adawiyah 5
1,2,3,4,5 Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Jember
2 Corresponding author Email: arika.fkip@unej.ac.id
Abstract. Definition of graph is set pair (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) where 𝑉(𝐺) is vertex set and 𝐸(𝐺) is edge set. A maping 𝐼: 𝑉(𝐺) → {1,2, … , 𝑘} as label function and weight function 𝑤: 𝑉(𝐺) → 𝑁 is desined as 𝑤(𝑢) = ∑ 𝑙(𝑣) 𝑣∈𝑁(𝑢) . The function 𝑤 is called local irregularity vertex coloring if: (i) 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 𝑚𝑖𝑛 (𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝑙 𝑖 ) ; 𝑙 𝑖 𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) dan (ii) for every 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺), 𝑤(𝑢) ≠ 𝑤(𝑣) . The chromatic number  of  local  irregularity  vertex  coloring  denoted  by 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐺) is  defined  as 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐺) = 𝑚𝑖𝑛{|𝑤(𝑉(𝐺))|; 𝑤 𝑖𝑠 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑖𝑡𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔} .  The  method  used  in  this  paper  is pattern recognition and axiomatic deductive method. In this paper, we learn local irregularity vertex coloring  of  vertex  amalgamation  of  path  graph  and  determine  the  chromatic  number  on  local irregularity  vertex  coloring  of  vertex  amalgamation  of  path  graph.  This  paper  use  vertex amalgamation of path graph (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) . The result of this study are expected to be used as basic studies and science development as well as applications related to local irregularity vertex coloring of vertex amalgamation of path graph.
Keywords: local irregularity vertex coloring, local irregularity vertex coloring of vertex amalgamation of path graph, vertex amalgamation.

## 1 Pendahuluan
Ilmu  matematika  merupakan  salah  satu  ilmu  yang  dapat  diterapkan  diberbagai  bidang ilmu dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu cabang ilmu matematika yaitu teori graf. Sebuah  graf  didefinisikan  sebagai  pasangan  himpunan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dimana 𝑉(𝐺) merupakan himpunan berhingga yang tak kosong dari elemen-elemen yang disebut titik, sedangkan 𝐸(𝐺) merupakan  sebuah  himpunan  yang  boleh  kosong  dari  pasangan  tak terurut 𝑢, 𝑣 dari titik-titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) yang disebut sisi [1]. Salah satu topik dari teori graf adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf merupakan pemberian warna yang berbeda pada titik, sisi atau wilayah pada suatu graf. Terdapat 3 jenis pewarnaan yang digunakan pada graf antara lain pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah.
Pada artikel ini akan membahas mengenai pewarnaan titik pada graf 𝐺 . Pewarnaan titik merupakan  pemberian  warna  pada  setiap  titik  pada  suatu  graf 𝐺 sedemikian  sehingga
tidak  ada  dua  titik  yang  saling  berdekatan  mempunyai  warna  yang  sama  [2].    Dalam pewarnaan  graf  terdapat  istilah  bilangan  kromatik  yang  dinotasikan  dengan 𝜒(𝐺) . Bilangan kromatik merupakan jumlah warna minimum pada graf 𝐺 sehingga dua titik, sisi  atau  wilayah  yang  bertetangga  memiliki  warna  yang  berbeda  [7].  Terdapat  kasus khusus dalam pewarnaan graf yaitu pewarnaan titik ketakteraturan lokal. Pewarnaan titik ketakteraturan  lokal  dilakukan  dengan  meminimumkan  label  titik  pada  graf  dan meminimumkan jumlah warna titik pada graf. Kristiana dkk. (2019) [3] mendefinisikan pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  pada  graf  dan  menemukan  bilangan  kromatik pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  dari  beberapa  graf  yaitu  graf  lintasan,  graf  siklus, graf  lengkap,  graf  bintang,  dan  graf  persahababatan.  Penelitian  terkait  pewarnaan  titik ketakteraturan  lokal  terus  berkembang,  tidak  hanya  pada  graf-graf  dasar  tetapi  juga menggunakan  hasil  operasi.  Penggunaan  graf  hasil  operasi  pada  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal telah dilakukan penelitian oleh Mursyidah dkk. (2021) [5] pada graf hasil operasi comb .
Operasi  graf  merupakan  cara  untuk  memperoleh  susunan  graf  baru  dengan  melakukan suatu operasi pada dua graf [8]. Pada artikel ini, akan mengkaji operasi amalgamasi titik. Operasi amalgamasi titik merupakan perolehan graf baru yang didapatkan dari beberapa hasil salinan graf tertentu dan pada setiap salinan dipilih satu titik yang akan ditempelkan pada  satu  titik  tertentu  yang  disebut  titik  tetap.  Penelitian  ini  memilih  menggunakan operasi amalgamasi titik karena susunan graf dasar yang digunakan tidak berubah ketika graf tersebut dioperasikan, hal ini membuat pola pewarnaan dari graf tersebut tidak jauh berbeda  dengan  graf  dasarnya.  Penelitian  sebelumnya  terkait  operasi  amalgamasi  titik yaitu Citra dkk. (2021) [6] meneliti bilangan kromatik pewarnaan packing hasil operasi amalgamasi titik pada keluarga graf pohon.
Tujuan dari artikel  ini yaitu untuk  menemukan bilangan kromatik dari pewarnaan titik ketakteraturan  lokal  pada  hasil  operasi  amalgamasi  graf  lintasan.  Pada  artikel  ini  juga didapatkan hubungan antara bilangan kromatik pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada graf  lintasan  dengan  bilangan  kromatik  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  pada  graf hasil operasi amalgamasi titik dari graf lintasan tersebut.
Pada artikel ini, terdapat definisi, lemma, proposisi dan observasi yang digunakan untuk memudahkan dalam menemukan pewarnaan titik ketakteraturan lokal. Definisi, lemma, proporsisi dan observasi ditunjukkan sebagai berikut:
Definisi 1. [3] Misalkan 𝐼: 𝑉(𝐺) → {1,2, … , 𝑘} merupakan fungsi label dan fungsi bobot 𝑤: 𝑉(𝐺) → 𝑁 didefinisikan  sebagai 𝑤(𝑢) = ∑ 𝑙(𝑣) 𝑣∈𝑁(𝑢) Fungsi 𝑤 disebut pewarnaan titik ketakteraturan lokal jika:
i. 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 𝑚𝑖𝑛{𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑙 𝑖 ); 𝑙 𝑖 : 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑎𝑏𝑒𝑙} ii. untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺), 𝑤(𝑢) ≠ 𝑤(𝑣)
Definisi 2. [3] Bilangan kromatik dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal dinotasikan dengan
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐺) = 𝑚𝑖𝑛{|𝑤(𝑉(𝐺))|; 𝑤 𝑝𝑒𝑤𝑎𝑟𝑛𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑒𝑡𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑙}
Lemma 1. [3] Untuk graf 𝐺 , 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐺) ≥  𝜒(𝐺)
Observasi 1. [4] Graf terubung 𝐺 , bila setiap dua titik yang berdekatan memiliki derajat yang berbeda maka 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 1
Obsevasi 2. [4] Graf terhubung 𝐺 , bila dua titik yang berdekatan memiliki derajat yang sama maka 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2
Proposisi 1. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf lintasan (𝑃 𝑛 ) dengan adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑃 𝑛 ) = { 2, 𝑛 = 2,3 3, 𝑛 ≥ 4
Observasi 3. Misalkan graf 𝐺 adalah graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) dengan 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 2 , maka bilangan kromatik 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒( 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 .

## 2 Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode pendeteksian pola dan  metode  deduktif  aksiomatik.  Metode  pendeteksian  pola  adalah  metode  yang digunakan untuk merumuskan pola dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal pada hasil operasi  amalgamasi  titik  keluarga  graf  pohon.  Sedangkan  metode  deduktif  aksiomatik adalah metode dengan menggunakan prinsip–prinsip deduktif yang telah ada pada logika matematika dengan aksioma, teorema dan lemma yang ada kemudian diterapkan dalam pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  pada  hasil  operasi  amalgamasi  titik  keluarga  graf pohon.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Teorema 1. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 = 3 dan 𝑚 ≥ 3 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Bukti. Graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) memiliki himpunan titik 𝑉(𝐺) = {𝑥 𝑗 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑣} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {𝑣𝑥 1 𝑖 , 𝑥 𝑗 𝑖 𝑥 𝑗+1 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2} .  Setiap  titik  yang  berdekatan  pada  graf
𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) memiliki  derajat  yang  berbeda.  Berdasarkan  Observasi  1,  diperoleh 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 1 .  Selanjutnya,  dibuktikan  batas  bawah  bilangan  kromatik  pewarnaan  titik ketakteraturan  lokal.  Berdasarkan  Lemma  1  dan  Observasi  3  didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 . Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 . Jika 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 , maka terdapat dua titik yang bertetangga memiliki warna yang  sama.  Hal  ini  kontradiksi  dengan  Definisi  1.  Sehingga  batas  bawah  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 3 . Selanjutnya dibuktikan batas atas dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal. Didefinisikan fungsi label 𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1} dengan 𝑙(𝑣 𝑖,𝑗 ) = 1 . Oleh karena itu, didapatkan fungsi bobot titik graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) sebagai berikut
𝑤(𝑣)    = 𝑚
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 )    = { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Berdasarkan  fungsi  bobot  diatas,  didapatkan |𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)))| = 3 .  Sehingga didapatkan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 3 .  Berdasarkan  batas  atas  dan  batas  bawah  yang  telah diperoleh,  didapatkan 3 ≤ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 3 .  Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan untuk 𝑚 ≥ 3, 𝑛 = 3 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3 . ∎
Berikut ini contoh gambar pewarnaan ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan untuk 𝑚 ≥ 3, 𝑛 = 3
Gambar 1  Pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada graf ( ) 3 , , 4 amal P v
Teorema 2. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 = 3 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Bukti. Graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) memiliki himpunan titik 𝑉(𝐺) = {𝑥 𝑗 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑣} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {𝑣𝑥 1 𝑖 , 𝑥 𝑗 𝑖 𝑥 𝑗+1 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2} . Jika  setiap 𝑥 𝑗 𝑖 ∈ 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) dilabeli dengan  1  maka  menghasilkan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 dan (𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+2 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 sehingga  titik  –  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa pada graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) titik 𝑥 𝑗 𝑖 dan 𝑥 𝑗+1 𝑖 adalah titik- titik  yang  bertetangga  sehingga  hal  tersebut  bertentangan  dengan  Definisi  1,  sehingga 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 .  Berdasarkan Lemma 1 dan Observasi 3 didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 . Selanjutnya dibuktikan bahwa nilai bilangan kromatik 2 tidak berlaku.  Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 .  Jika 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 ,  maka terdapat titik berderajat beda yang memiliki bobot titik yang sama. Andaikan bobot pada titik  berderajat  satu  sama  dengan  bobot  pada  titik  berderajat  2  dengan  kata  lain 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) . Titik yang berderajat 1, untuk titik 𝑥 𝑗 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dan  titik  yang  berderajat 2, untuk  titik 𝑥 𝑗−2 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 . Kemungkinan  bobot  titik  yang  berderajat  1  adalah 1 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≤ 2 sedangkan kemungkinan  bobot  titik  yang  berderajat  2  adalah 2 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) ≤ 4 .  Kemungkinan kedua titik tersebut memiliki bobot titik yang sama yaitu ketika bobot titiknya adalah 2 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) = 2 . Jika 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 2 , maka 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) = 2 . Selanjutnya, jika 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) = 2 , maka: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 3 2 2 2 2 0 i j i i j j i j i j w x l x l x l x l x − − − − − = + = + = =
Berdasarkan  persamaan  diatas,  didapatkan  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) = 0 .  Hal  ini  kontradiksi dengan  definisi  pelabelan  ketakteraturan  lokal  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 0 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) .  Berdasarkan  yang  telah  dijelaskan  diatas,  tidak  dapat  dipenuhi  apabila 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 , sehingga batas bawah graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 3 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal. Pembuktian batas atas dibagi menjadi 2 subkasus, yaitu saat ( ) genap, 1 mod 4 n n  dan
saat ( ) 3 mod 4 n  .
Sub  kasus  1  yaitu  saat
( ) 3, 4,    genap, 1 mod 4 m n n n =   .  Didefinisikan  fungsi  label
( ) ( ) ( )   , , 1, 2 n l V amal P v m → sebagai berikut. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, untuk 1, 1 mod 4 ,1 2, untuk 0 mod 2 , 1 mod 2  dengan    ganjil,1
2 i j j j i m l x j j j i m l v  =     =       =
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan
( ) ( ) , , n amal P v m sebagai berikut. ( ) ( ) 2, 1,1 3, untuk   genap dengan 1
2,1 4, untuk   ganjil dengan 1 2,1 i j w v m j n i m w x j j n i m j j n i m = = −     =
  −       −    Berdasarkan bobot titik diperoleh ( ) ( ) ( ) , , 3 n w V amal P v m = saat ( ) 3, 4,    genap, 1 mod 4 . m n n n =  
Subkasus  2  yaitu  saat
( ) 3, 4, 3 mod 4 m n n =   .  Didefinisikan  fungsi  label ( ) ( ) ( )   , , 1, 2 n l V amal P v m → sebagai berikut. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, untuk 1, 1 mod 4 ,1 2, untuk 0 mod 2 , 1 mod 2  dengan    ganjil,1 i j l v j j i m
l x j j j i m =  = 
   =      
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik
graf lintasan ( ) ( ) , , n amal P v m sebagai berikut. ( ) ( ) 1, 1,1 3, untuk   genap dengan 1 2,1
4, untuk   ganjil dengan 1 2,1 i j w v m
j n i m
w x
j j n i m
j j n i m = = −     =   −       −   
Berdasarkan bobot titik diperoleh
|𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)))| = 3 saat
( ) 3, 4, 3 mod 4 m n n =   .  Sehingga  dari  kedua  subkasus,  didapatkan  batas  atas  dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf
( ) , , n amal P v m adalah ( ) ( ) , , 3 lis n
amal P v m   .  Berdasarkan  batas  bawah  dan  batas  atas,  didapatkan ( ) ( ) 3 , , 3 lis n amal P v m
   .  Jadi  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf  hasil operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan ( ) ( ) , , n amal P v m untuk 3, 4 m n =  adalah ( ) ( ) , , 3. lis n amal P v m
 =
Berikut  ini  contoh  gambar  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan ( ) ( ) , , n amal P v m untuk 3, 4 m n =  . Gambar 2 Pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada graf ( ) 4 , , 3 amal P v
Teorema 3. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 6 dan 𝑚 = 4 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Bukti. Graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) memiliki himpunan titik 𝑉(𝐺) = {𝑥 𝑗 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑣} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {𝑣𝑥 1 𝑖 , 𝑥 𝑗 𝑖 𝑥 𝑗+1 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2} . Jika  setiap 𝑥 𝑗 𝑖 ∈ 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) dilabeli dengan  1  maka  menghasilkan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 dan (𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+2 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 sehingga  titik  –  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa pada graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) titik 𝑥 𝑗 𝑖 dan 𝑥 𝑗+1 𝑖 adalah titik- titik  yang  bertetangga  sehingga  hal  tersebut  bertentangan  dengan  Definisi  1,  sehingga 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 .  Berdasarkan Lemma 1 dan Observasi 3 didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 . Selanjutnya dibuktikan bahwa nilai bilangan kromatik 2 tidak berlaku.  Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 .  Jika 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 ,  maka terdapat titik berderajat beda yang memiliki bobot titik yang sama. Andaikan bobot pada
titik  berderajat  satu  sama  dengan  bobot  pada  titik  berderajat  2  dengan  kata  lain 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) . Titik yang berderajat 1, untuk titik 𝑥 𝑗 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dan  titik  yang  berderajat 2, untuk  titik 𝑥 𝑗−2 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 . Kemungkinan  bobot  titik  yang  berderajat  1  adalah 1 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≤ 2 sedangkan kemungkinan  bobot  titik  yang  berderajat  2  adalah 2 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) ≤ 4 .  Kemungkinan kedua titik tersebut memiliki bobot titik yang sama yaitu ketika bobot titiknya adalah 2 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) = 2 . Jika 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 2 , maka 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) = 2 . Selanjutnya, jika 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) = 2 , maka:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 3 3 2 2
2 2 0 i j i i j j i j i j w x l x l x l x l x − − − − − = + = + = =
Berdasarkan  persamaan  diatas,  didapatkan  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) = 0 .  Hal  ini  kontradiksi dengan  definisi  pelabelan  ketakteraturan  lokal  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 0 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) .  Berdasarkan  yang  telah  dijelaskan  diatas,  tidak  dapat  dipenuhi  apabila 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 , sehingga batas bawah graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 3 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal. Pembuktian batas atas dibagi menjadi 2 subkasus, yaitu saat 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 dan saat 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 .
Subkasus  1  yaitu  saat 𝑚 = 4, 𝑛 ≥ 6, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 .  Didefinisikan  fungsi  label 𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1,2} sebagai berikut.
𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 2, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑙(𝑣) = 2
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) sebagai berikut.
𝑤(𝑣) = 𝑚
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 1, 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 3, 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 2, 𝑗 = 𝑛 − 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Berdasarkan bobot titik diperoleh |𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)))| = 3 .
Subkasus 2 yaitu saat = 4, 𝑛 ≥ 6, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 . Didefinisikan fungsi label 𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1,2} sebagai berikut.
𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘  𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑙(𝑣) = 1
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) sebagai berikut.
𝑤(𝑣) = 𝑚
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 1, 𝑗 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
3, 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1, 𝑗 = 𝑛 − 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Berdasarkan  bobot  titik  diperoleh |𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)))| = 3 .  Sehingga  dari  kedua subkasus,  didapatkan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 3 .  Berdasarkan  batas  bawah  dan  batas atas,  didapatkan 3 ≤ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 3 .  Jadi  bilangan  kromatik  ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) untuk 𝑛 ≥ 6 dan 𝑚 = 4 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
∎
Teorema 4. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 = 4,5 dan 𝑚 = 4 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4
Bukti. Graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) memiliki himpunan titik 𝑉(𝐺) = {𝑥 𝑗 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑣} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {𝑣𝑥 1 𝑖 , 𝑥 𝑗 𝑖 𝑥 𝑗+1 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2} . Jika  setiap 𝑥 𝑗 𝑖 ∈ 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) dilabeli dengan  1  maka  menghasilkan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 dan (𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+2 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 sehingga  titik  –  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa pada graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) titik 𝑥 𝑗 𝑖 dan 𝑥 𝑗+1 𝑖 adalah titik- titik  yang  bertetangga  sehingga  hal  tersebut  bertentangan  dengan  Definisi  1,  sehingga 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 . Berdasarkan Lemma 2.1 dan Observasi 4.1.1 didapatkan
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 .  Selanjutnya  dibuktikan  bahwa  nilai bilangan  kromatik  2  tidak  berlaku.  Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3 .    Jika 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3 , maka terdapat 2 titik yang berderajat beda memiliki bobot titik yang sama. Bobot titik yang berderajat satu sama dengan bobot pada titik berderajat dua. Titik yang berderajat 1, untuk titik 𝑥 𝑗 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dan titik yang
berderajat 2, untuk titik 𝑥 𝑗−2 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 . Kemungkinan bobot titik yang  berderajat  1  adalah 1 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≤ 2 sedangkan  kemungkinan  bobot  titik  yang berderajat 2 adalah 2 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) ≤ 4 . Asumsikan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) , maka
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) =  𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) 0 = 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 )
Berdasarkan  persamaan  diatas,  didapatkan  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) = 0 .  Hal  ini  kontradiksi dengan  definisi  pelabelan  ketakteraturan  lokal  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 0 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) .  Sehingga  batas  bawah  graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 4 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal. Didefinisikan fungsi label 𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1,2} sebagai berikut.
𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘  1 ≤ 𝑗 ≤ 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 4,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
𝑙(𝑣) = 2
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) sebagai berikut.
𝑤(𝑣) = 4
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 𝑛 − 1,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 2, 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 2,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1, 𝑗 = 3,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚
Berdasarkan  bobot  titik  diperoleh |𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)))| = 4 .  Sehingga  didapatkan batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 4 .  Berdasarkan  batas  bawah  dan  batas  atas,  didapatkan 4 ≤ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 4 . Jadi bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) untuk 𝑛 = 4,5 dan 𝑚 = 4 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4
∎
Teorema 5. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 ≥ 5 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4
Bukti. Graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) memiliki himpunan titik 𝑉(𝐺) = {𝑥 𝑗 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑣} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {𝑣𝑥 1 𝑖 , 𝑥 𝑗 𝑖 𝑥 𝑗+1 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2} . Jika  setiap 𝑥 𝑗 𝑖 ∈ 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) dilabeli dengan  1  maka  menghasilkan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 dan (𝑥 𝑗+1 𝑖 ) = 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗+2 𝑖 ) = 1 + 1 = 2 sehingga  titik  –  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa pada graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) titik 𝑥 𝑗 𝑖 dan 𝑥 𝑗+1 𝑖 adalah titik- titik  yang  bertetangga  sehingga  hal  tersebut  bertentangan  dengan  Definisi  1,  sehingga 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 . Berdasarkan Lemma 2.1 dan Observasi 4.1.1 didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 2 .  Selanjutnya  dibuktikan  bahwa  nilai bilangan  kromatik  2  tidak  berlaku.  Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3 .    Jika 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3 , maka terdapat 2 titik yang berderajat beda memiliki bobot titik yang sama. Bobot titik yang berderajat satu sama dengan bobot pada titik berderajat dua. Titik yang berderajat 1, untuk titik 𝑥 𝑗 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dan titik yang berderajat 2, untuk titik 𝑥 𝑗−2 𝑖 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 . Kemungkinan bobot titik yang  berderajat  1  adalah 1 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≤ 2 sedangkan  kemungkinan  bobot  titik  yang berderajat 2 adalah 2 ≤ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) ≤ 4 . Asumsikan 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) , maka
𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) =  𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) 𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) =  𝑙(𝑥 𝑗−1 𝑖 ) + 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) 0 = 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 )
Berdasarkan  persamaan  diatas,  didapatkan  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗−3 𝑖 ) = 0 .  Hal  ini  kontradiksi dengan  definisi  pelabelan  ketakteraturan  lokal  bahwa 𝑙(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 0 sehingga 𝑤(𝑥 𝑗 𝑖 ) ≠ 𝑤(𝑥 𝑗−2 𝑖 ) .  Sehingga  batas  bawah  graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 4 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal. Pembuktian batas atas dibagi menjadi 2 subkasus, yaitu saat ( ) genap, 1 mod 4 n n  dan
saat ( ) 3 mod 4 n  . Subkasus  1  yaitu  saat ( ) 5, 4,    genap, 1 mod 4 m n n n    .  Didefinisikan  fungsi  label
𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1,2} sebagai berikut.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, untuk 1, 1 mod 4 ,1 2, untuk 0 mod 2 , 1 mod 2  dengan    ganjil,1 i j l v j j i m l x j j j i m =  = 
   =      
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) sebagai berikut.
( )
( ) 2, 1,1 3, untuk   genap dengan 1
2,1 4, untuk   ganjil dengan 1 2,1 i j w v m j n i m w x j j n i m j j n i m = = −     =
  −    
  −    Berdasarkan  fungsi  bobot  titik,  didapatkan ( ) ( ) ( ) , , 4 n w V amal P v m = saat
( ) 5, 4,    genap, 1 mod 4
m n n n    . Subkasus  2  yaitu  saat ( ) 5, 4, 3 mod 4 m n n    .  Didefinisikan  fungsi  label 𝑙: 𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) → {1,2} sebagai berikut.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, untuk 1, 1 mod 4 ,1 2, untuk 0 mod 2 , 1 mod 2  dengan    ganjil,1 i j l v j j i m
l x j j j i m =  = 
   =      
Berdasarkan  fungsi  label  tersebut  didapatkan  fungsi  bobot  titik  graf  hasil  operasi amalgamasi titik graf lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚)) sebagai berikut.
( ) ( ) 1, 1,1 3, untuk   genap dengan 1 2,1 4, untuk   ganjil dengan 1 2,1 i j w v m j n i m w x j j n i m j j n i m = = −     =
  −    
  −   
Berdasarkan bobot titik, didpatkan |𝑤 (𝑉(𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)))| = 4 . Sehingga dari kedua subkasus,  didapatkan  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃, 𝑣, 𝑚) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 4 .  Berdasarkan  batas  bawah  dan  batas atas, didapatkan 4 ≤ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≤ 4 .. Jadi  bilangan kromatik ketakteraturan lokal  graf  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) untuk 𝑛 ≥ 4, 𝑚 ≥ 5 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4 .
Berikut  ini  merupakan  contoh  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  pada  graf 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan ≥ 4, 𝑚 ≥ 5
Gambar 3 Pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada graf ( ) 4 , , 5 amal P v
Berdasarkan Proposisi 1. dan teorema yang diperoleh dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal  dari  hasil  operasi  amalgamasi  titik  graf  lintasan  diperoleh  bahwa 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑃 𝑛 ) + 1

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas, didapatkan kesimpulan:
a. Diperoleh 5 teorema baru terkait pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan. Bilangan kromatik yang diperoleh sebagai berikut Teorema 1. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 = 3 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Teorema 2. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 = 3 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Teorema 3. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 6 dan 𝑚 = 4 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 3
Teorema 4. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 = 4,5 dan 𝑚 = 4 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4
Teorema 5. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan 𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚) dengan 𝑛 ≥ 4 dan 𝑚 ≥ 5 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) = 4
b. Hubungan  antara  bilangan  kromatik  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  pada  graf lintasan dengan bilangan kromatik pewarnaan titik ketakteraturan lokal pada hasil operasi amalgamasi titik graf lintasan yaitu
𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑎𝑚𝑎𝑙(𝑃 𝑛 , 𝑣, 𝑚)) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑃 𝑛 ) + 1

## 5 Daftar Pustaka
[1] Slamin, 2009, Desain Jaringan: Pendekatan Teori Graf , Jember: Universitas Jember.
[2] Zhang, P., 2016, A Kaleidoscopic View of Graph Colorings . Kalamazo: Springer Nature.
[3] Kristiana, A.I., Dafik, Alfarisi, R., Anwar, U.A. & Citra, S.M., 2020, An inclusive local irregularity coloring of graphs , Advances in Mathematics: Scientific Journal, 9 (10), 941–
946.
[4] Kristiana, A.I., Utoyo, M.I., Dafik, Agustin, I.H., Alfarisi, R. & Waluyo, E., 2019, On the chromatic  number  local  irregularity  of  related  wheel  graph ,  Journal  of  Physics: Conference Series, 1211 (1).
[5] Mursyidah, I. L., Dafik, Adawiyah, R., Kristiana, A. I. & Agustin, I. H., 2021, On local irregularity  vertex  coloring  of  comb  product  on  star  graphs ,  Journal  of  Physics: Conference Series, 1836 (1), 1–14.
[6] Citra,  S.M.,  Kristiana,  A.I.,  Adawiyah,  R.  &  Prihandini,  R.M.,  2021, On  the  Packing Chromatic  Number  of  Vertex  Amalgamation  of  Some  Related  Tree  Graph, Journal  of Physics: Conference Series, 1836 (1).
[7] Hartsfield, N. & Ringel, G., 1990, Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction , New York: Academic Press, Inc.
[8] Harsya,  A.Y.,  Agustin,  I.K.  &  Dafik,  2014, Pewarnaan  Titik  Pada  Operasi  Graf  Sikel dengan Graf Lintasan , in Prosiding Seminar Nasional Matematika, 1 (5).