Penerapan Model Predictive Control (MPC) pada Desain Pengendalian Robot Mobil Beroda Empat
Dimas Avian Maulana 1
1 Universitas Negeri Surabaya email: dimasmaulana@unesa.ac.id

## ABSTRAK
Robot mobil adalah salah satu contoh dari wahana nir awak (WaNA) yang dapat  dikendalikan dari jauh atau memiliki  sistem  pengendali  otomatis  untuk  bergerak  dan  berpindah  haluan.  Robot  mobil  menjadi  salah  satu sarana yang digunakan oleh pihak militer untuk untuk melakukan pengintaian, penjelajahan, dan pengawasan ke tempat-tempat  yang  berbahaya  bagi  manusia.  Pada  penerapannya  ada  beberapa  lintasan  yang  dianggap berbahaya untuk dilalui, didefinisikan suatu lintasan terlebih dahulu agar robot mobil bergerak sesuai lintasan tersebut.  Robot  mobil  tidak  bisa  mengikuti  lintasan  dengan  baik  tanpa  diberi  perintah  terlebih  dahulu  dan dikendalikan.  Untuk  itu,  diperlukan  suatu  metode  untuk  mengendalikan  robot  mobil  agar  dapat  bergerak mengikuti  lintasan  dalam  misinya  untuk  melakukan  pengintaian,  penjelajajahan  dan  pengawasan.  Dari  hasil simulasi diperoleh bahwa dengan mengambil horizon prediksi 𝑁 = 3 , waktu sampling 𝑡 = 1𝑠 dan iterasi sebanyak 10 kali diperoleh nilai 𝑥(𝑘) yang mendekati dengan nilai 𝑥 (𝑘)
Kata Kunci: robot mobil, mpc linear, desain pengendalian

## 1. PENDAHULUAN
Robot mobil (mobile robot) adalah sebuah mesin otomatis  yang  mampu  bergerak  pada  suatu  kondisi tertentu.  Robot  mobil  diklasifikasikan  menjadi  dua, yaitu  menurut  lingkungan  tempat  robot  tersebut bekerja  dan  alat  yang  digunakan  untuk  bergerak. Berdasarkan  lingkungan  tempat  robot  tersebut bekerja, robot mobil terbagi menjadi empat macam: robot  yang  bekerja  di  atas  permukaan  tanah  (land robot),  robot  udara  yang  biasa  disebut unmanned aerial  vehicle (UAV), autonomous  underwater vehicles (AUVs),  dan  Robot  yang  bekerja  pada lingkungan kutub—robot yang berkerja pada kondisi permukaan  tanah  yang  dilapisi  es  (polar  robots). Sedangkan  berdasarkan  alat  yang  digunakan  untuk bergerak,  robot  mobil  terbagi  menjadi  robot berlengan atau berkaki—lengan atau kaki menyerupai manusia (android) ataupun hewan, robot beroda— Wheeled Mobile Robot (WMR).
Robot  mobil  tersebut  merupakan  Wahana  Nir Awak (WaNA) yang telah menjadi sarana yang sering digunakan  oleh  pihak  militer  maupun  pihak  sipil untuk  melakukan  pengintaian,  penjelajahan,  dan pengawasan  ke  tempat-tempat  yang  berbahaya  bagi manusia.  Kemampuannya  yang  dapat  dikontrolkan dari jauh atau bahkan dirancang agar dapat bergerak sendiri  sesuai  dengan  lintasan  tertentu  akan  sangat menguntungkan bagi manusia. Beberapa keuntungan yang  dapat  diperoleh  antara  lain  meminimalisasi resiko, meminimalisasi objektif, dan lain sebagainya (Hartini, 2011).
Kemajuan  teknologi  khususnya  dalam  bidang navigasi  berpengaruh  besar  terhadap  kemajuan teknologi  militer.  Jika  dahulu  navigasi  robot  mobil masih dilakukan dengan sistem manual menggunakan peta, kini sistem navigasi berbasis GPS telah banyak
digunakan  pada  robot  mobil  sehingga  memudahkan pengendalian  dan  pelacakan  robot  mobil  tersebut. Agar  dapat  mengikuti  lintasan  dengan  tepat, diperlukan suatu metode untuk mengendalikan robot mobil agar tetap berada pada lintasan.
Ada  berbagai  macam  sistem  pengendali  yang sering digunakan untuk mengendalikan suatu sistem, diantaranya Proportional-Integral  Derivative (PID), Model  Predictive  Control (MPC),  dan  sebagainya. Pada  umumnya,  PID  tidak  dirancang  untuk  sistem nonlinear dengan banyak ketidakpastian ( uncertainties ) dan tidak didesain untuk menghadapi beban yang cepat berubah. Model predictive control tampaknya  menjadi  pendekatan  yang  menarik  dan menjanjikan  untuk  menyelesaikan  masalah-masalah tersebut (da Silva Jr., Kühne, & Lages, 2005).

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Kinematika Robot Mobil
Robot mobil yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah  robot  mobil  yang  bergerak  di  darat  dan menggunakan  empat  roda  dengan  dua  roda  depan yang  dapat  berbelok  untuk  berpindah  tempat.  Pada (Hartini,  2011),  dimensi  fisik  robot  mobil  akan tampak seperti gambar berikut:
Gambar 1 Dimensi fisik robot mobil
Gambar 2 Sistem kemudi robot mobil
Dengan  mengasumsikan  bahwa  robot  bergerak lurus  berarturan  dan  penguraian  gaya-gaya  yang bekerja  pada  robot  mobil,  dapat  diperoleh 𝑥̇ dan 𝑦̇ dimana:
𝑥̇ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑣 cos 𝜃 𝑦̇ = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑣 sin 𝜃 (1)
Gambar 2 Sistem kemudi robot mobil (sumber:
Sotelo, 2003)
Dari  gambar  3,  dengan  mengasumsikan  bahwa kedua roda depan robot mobil berubah sedikit demi sedikit  secara  diferensial,  maka  pusat  rotasi  sesaat dapat  dihitung.  Dengan  menganggap  κ(t)  adalah kelengkungan sesaat lintasan, maka
𝜅(𝑡) = 1 𝑅(𝑡) 𝜅(𝑡) = tan 𝜙(𝑡) 𝐿 𝜅(𝑡) = 𝑑𝜃 𝑑𝑠
(2)
Dimana 𝑅 adalah jari-jari kelengkungan, 𝐿 jarak sumbu  roda, 𝛼 sudut  kemudi, 𝑠 posisi  robot,  dan 𝜃 adalah orientasi robot pada koordinat secara umum. Maka dapat diperoleh persamaan berikut:
𝜃̇ = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝜃̇ = 𝜅(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)
𝜃̇ = 𝑣 tan 𝜙 𝐿 (3)
Dari  persamaan  (1),  (2),  dan  (3) dapat  dibentuk
suatu sistem: 𝑥̇ = 𝑣 cos 𝜃 𝑦̇ = 𝑣 sin 𝜃 𝜃̇ = 𝑣 𝐿 tan 𝜙 (4)
dengan 𝑥, 𝑦 : posisi robot mobil 𝜃 : posisi sudut robot mobil 𝑣 : kecepatan robot mobil
𝜙 : sudut kemudi robot mobil 𝐿 : jarak antara sumbu roda depan dan belakang
dengan  memisalkan 𝑥 = 𝑥 , 𝑦 = 𝑥 ,  dan 𝜃 = 𝑥 , maka:
𝑥̇ = 𝑣 cos 𝜃
𝑥̇ = 𝑣 sin 𝜃
𝑥̇ = 𝑣 𝐿 tan 𝜙 (5)
atau dalam bentuk yang lebih kompak menjadi 𝐱̇ = 𝑓(𝐱, 𝐮) (6) dimana
𝐱 ≜ 𝑥 𝑥 𝑥 𝐮 ≜ 𝑣 𝜙 2.2 Model Predictive Controller
Model Predictive Contol atau MPC adalah suatu metode  proses  kontrol  lanjutan  yang  banyak diterapkan  pada  proses  industri.  MPC  adalah algoritma  pengendali  peubah  banyak.  Gambar  4 berikut adalah skema MPC.
𝐿 (𝑥, 𝑦) roda depan roda belakang 𝜃 𝜙 𝑋 𝑌
Gambar  4  Skema  MPC  (Bordons  &  Camacho, 1999).
Dalam MPC linear, model prediksi diperoleh dari kinematika  sistem  dinamik  robot  mobil  yang  telah dilinearkan, fungsi objektif menggunakan dinyatakan dalam fungsi objektif kuadratik dengan kendala linear yang akan diselesaikan dengan quadratic programming .  Sedangakan  untuk  aturan  kontrol, didefinisikan sebagai berikut:
𝐱(𝑘) = 𝐱(𝑘) − 𝐱 (𝑘) → 0 (7)

## 2.3 Algoritma trayektori lintasan dengan menggunakan MPC
Secara  sederhana,  algoritma  trayektori  lintasan dapat dijelaskan melalui skema berikut ini:

## Gambar 3 Algoritma trayektori lintasan
Step 0 Input kontrol referensi 𝐱 (0) , 𝐮 (0) dan 𝐱(0) . 𝐱 (0) adalah  posisi  awal referensi  lintasan  robot  mobil, 𝐮 (0) adalah  kontrol  awal  robot  mobil,  dan 𝐱(0) adalah  posisi  dan  orientasi  awal robot mobil.
Step1 Bila kondisi STOP belum terpenuhi,
kerjakan  step 2-5 Step  2 Mendapatkan nilai error
posisi  untuk  iterasi 𝑘 dari persamaan 𝐱(𝑘) = 𝐱(𝑘) − 𝐱 (𝑘) Step  3 Mendapatkan  prediksi  nilai kontrol optimal untuk
sampling pada  saat 𝑘 , 𝑘 + 1 , dan 𝑘 + 2 .
Step 4 Dapatkan  nilai error kontrol untuk iterasi 𝑘 dari persamaan 𝐮 ∗ (𝑘) = 𝐮 ∗ (𝑘) − 𝐮 (𝑘) Step 5 Mendapatkan posisi sebenarnya  robot  mobil  pada saat 𝑘 + 1 Step 6 Tes kondisi STOP
Step 7 Mendapatkan nilai referensi lintasan pada saat 𝑘 hingga 𝑘 + 10
Step 8 Plot  grafik  referensi  lintasan  robot mobil Step  9 Mendapatkan  nilai  posisi  dan  orientasi robot mobil pada saat 𝑘 hingga 𝑘 + 10 Step 10 Plot  grafik  posisi  sebenarnya  robot mobil Step 11 Mendapatkan error pada saat 𝑘 hingga 𝑘 + 10 Step 12 Plot state 𝑥 , 𝑦 , dan 𝜃
Algortima ini  memenuhi  kondisi  STOP jika telah dilakukan iterasi sebanyak 10 kali

## 2.4 Optimasi dalam MPC
Metode  pengendalian  optimal  yang  digunakan  pada MPC  linear  ini  adalah quadratic  programming. Didefinisikan fungsi objektif
𝐽(𝑘) = 𝐱 (𝑘 + 𝑗|𝑘)𝓠𝐱(𝑘 + 𝑗|𝑘) + 𝐮 (𝑘 + 𝑗 − 1|𝑘)𝓡𝐮(𝑘 + 𝑗 − 1|𝑘) (8) Dengan :  𝑁 : horizon prediksi  𝒬 : matriks pembobot state-space  ℛ : matriks pembobot kontrol  𝑎(𝑚|𝑛) menyatakan  nilai 𝑎 pada  saat 𝑚 yang diprediksi pada saat 𝑛
Masalah  optimasi  dapat  ditulis  kembali  dalam bentuk  QP  secara  umum.  Didefinisikan  vektor- vektor berikut ini:
𝐱(𝑘 + 1) ≜ 𝐱(𝑘 + 1|𝑘) 𝐱(𝑘 + 2|𝑘)
⋮ 𝐱(𝑘 + 𝑁|𝑘)
𝐮(𝑘) ≜ 𝐮(𝑘|𝑘) 𝐮(𝑘 + 1|𝑘) ⋮ 𝐮(𝑘 + 𝑁 − 1|𝑘)
Sehingga dapat ditulis kembali fungsi objektif (8) sebagai berikut:
𝐽(𝑘) = 𝐱 (𝑘 + 1)𝓠𝐱(𝑘 + 1) + 𝐮 (𝑘)𝓡𝐮(𝑘) (9)
Dengan:
𝓠 ≜ 𝓠 0 ⋯ 0
0 𝓠 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝓠 𝓡 ≜ 𝓡 0 ⋯ 0 0 𝓡 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝓡
Dari vektor-vektor 𝐱(𝑘 + 1) dan 𝐮(𝑘) , dapat ditulis persamaan 𝐱(𝑘 + 1) sebagai:
𝐱(𝑘 + 1) = 𝐀(𝑘)𝐱(𝑘|𝑘) + 𝐁(𝑘)𝐮(𝑘) (10) Dengan: 𝐀(𝑘) ≜ 𝐀(𝑘|𝑘) 𝐀(𝑘|𝑘)𝐀(𝑘 + 1|𝑘) ⋮ 𝛼(𝑘, 0) 𝐁(𝑘) ≜
𝐁(𝑘|𝑘) 0 … 0 𝐀(𝑘 + 1|𝑘)𝐁(𝑘|𝑘) 𝐁(𝑘 + 1|𝑘) … 0 ⋮ ⋮ ⋱
⋮ 𝛼(𝑘, 1)𝐁(𝑘|𝑘) 𝛼(𝑘, 2)𝐁(𝑘 + 1|𝑘) … 𝐁(𝑘 + 𝑁 − 1|𝑘)
𝛼(𝑘, 𝑗) didefinisikan sebagai:
𝛼(𝑘, 𝑗) = 𝐀(𝑘 + 𝑖|𝑘)
Dari persamaan (9) dan (10), fungsi  objektif (8) dapat  ditulis  kembali  dalam  bentuk  kuadratik standar sebagai berikut:
𝐽̅(𝑘) = 1 2 𝐮 (𝑘)𝐇(𝑘)𝐮(𝑘) + 𝐟 (𝑘)𝐮(𝑘) + 𝐝(𝑘) (11)
Dengan:
𝐇(𝑘) ≜ 2(𝐁 (𝑘)𝓠𝐁(𝑘) + 𝓡) 𝐟(𝑘) ≜ 2𝐁 (𝑘)𝓠𝐀(𝑘)𝐱(𝑘|𝑘) 𝐝(𝑘) ≜ 𝐱 (𝑘|𝑘)𝐀 (𝑘)𝓠𝐀(𝑘)𝐱(𝑘|𝑘)
Matriks 𝐇 adalah  Matriks Hessian ,  definit positif  yang  mendeskripsikan bagian  kuadratik dari  fungsi  objektif  tersebut.  Sedangkan 𝐟 mendeskripsikan  bagian  linear. 𝐝 tidak bergantung pada 𝒖 dan tidak berpengaruh pada penentuan  nilai 𝒖 ∗ .  Sehingga  didefinisikan persamaan
𝐽̅′(𝑘) = 1 2 𝐮 (𝑘)𝐇(𝑘)𝐮(𝑘) + 𝐟 (𝑘)𝐮(𝑘) (12)
yang  merupakan  pernyataan  standar  yang digunakan dalam masalah
quadratic programming dan  masalah  optimasi  yang diselesaikan  pada  waktu sampling dinyatakan sebagai:
𝐮 ∗ = 𝑎𝑟𝑔 min 𝐮 {𝐽̅′(𝑘)} (13)
dengan kendala:
𝐷𝑢(𝑘 + 𝑗|𝑘) ≤ 𝑑; 𝑗 ∈ [0, 𝑁 − 1] (14)

## 3. METODE PENELITIAN
Dalam paper ini dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
• Mengkaji kinematika robot mobil dan MPC
• Membentuk desain pengendalian
• Simulasi permasalahan dengan menggunakan MPC linear
• Analisis dan Pembahasan
• Penyimpulan Hasil dan Pemberian Saran
4. HASIL PENELITIAN
4.1. Referensi Lintasan Dari kinematika robot mobil akan  diperoleh suatu  referensi  lintasan  dengan  mendiskritkan kinematika  robot  mobil  dengan  menggunakan beda hingga maju dan mengambil nilai 𝐿 = 4/5 . maka persamaan (4) menjadi :
𝑥 (𝑘 + 1) = 𝑥 (𝑘)
+ 𝑣 (𝑘)∆𝑡 cos 𝑥 (𝑘) 𝑥 (𝑘 + 1) = 𝑥 (𝑘) + 𝑣 (𝑘)∆𝑡 sin 𝑥 (𝑘) 𝑥 (𝑘 + 1) = 𝑥 (𝑘)
+ 5 4 𝑣 (𝑘)∆𝑡 tan 𝜙 (𝑘)
(1515)

## 4.2. Linearisasi Model Robot Mobil
Dari  kinematika  robot  mobil—persamaan  (4), dilakukan  linearisasi  terlebih  dahulu  sebelum mencari  nilai 𝑥 , 𝑦 , dan 𝜃 . Sebuah model linear diperoleh dari penghitungan sebuah model error yang berhubungan dengan referensi robot mobil. Didefinisikan  referensi  robot  mobil  sebagai berikut:
𝐱̇ = 𝑓(𝐱 , 𝐮 ) (1616)
𝐱 ≜ 𝑥 𝑥 𝑥 𝐮 ≜ 𝑣 𝜙
Dengan  mengekspansikan  persamaan  (10) disekitar  titik (𝐱 , 𝐮 ) dan  menghilangkan turunan tingkat tinggi akan diperoleh:
𝑑𝐱 𝑑𝑡 ≈ 𝑓(𝐱 , 𝐮 ) + 𝜕𝑓(𝐱, 𝐮)
𝜕𝐱 𝐱 𝐱 𝐫 𝐮 𝐮 𝐫 (𝐱 − 𝐱 ) + 𝜕𝑓(𝐱, 𝐮) 𝜕𝐮 𝐱 𝐱 𝐫 𝐮 𝐮 𝐫 (𝐮 − 𝐮 ) (17)
atau
𝐱̇ = 𝑓(𝐱 , 𝐮 ) + 𝑓 𝐱, (𝐱 − 𝐱 ) + 𝑓 𝐮, (𝐮 − 𝐮 ) (1817) Kemudian,
dengan mengurangkan persamaan (1616) dan (1817) menghasilkan:
𝐱̇ = 𝑓 𝐱, 𝐱 + 𝑓 𝐮, 𝐮 (1918)
Dengan mengambil waktu sampling ∆𝑡 = 1𝑠 diperoleh suatu model prediksi sebagai berikut:
𝑥 (𝑘 + 1) 𝑥 (𝑘 + 1) 𝑥 (𝑘 + 1)
= 1 0 −𝑣 (𝑘) 0 1 𝑣 (𝑘) 0 0 1 𝑥 (𝑘) 𝑥 (𝑘) 𝑥 (𝑘) + 𝑥 (𝑘) 0 𝑥 (𝑘) 0 5 4 tan 𝜙 (𝑘) 5 4 𝑣 sec 𝜙 (𝑘)
𝑣(𝑘) 𝜙(𝑘) (19)
Dapat ditulis sebagai:
𝐱(𝑘 + 1) = 𝐀(𝑘)𝐱(𝑘) + 𝐁(𝑘)𝐮(𝑘) (20) dengan 𝐀(𝑘) = 1 0 −𝑣 (𝑘) sin 𝑥 (𝑘) 0 1 𝑣 (𝑘) cos 𝑥 (𝑘) 0 0 1 𝐁(𝑘) = cos 𝑥 (𝑘) 0 sin 𝑥 (𝑘) 0 5 4 tan 𝜙 (𝑘) 5 4 𝑣 (𝑘) sec 𝜙 (𝑘)
4.3. Simulasi dengan Menggunakan MATLAB
Desain  pengendalian  pada subbab 4.3 akan disimulasikan  dengan  menggunakan  bantuan software  MATLAB.  Robot  mobil  diasumsikan bergerak pada lintasan yang bebas hambatan, dan hanya  bergerak  maju.  Diberikan  suatu  batasan pada  kontrol  sudut  kemudi  yaitu − 𝜋 6 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 6 .  Tanda  negatif  menyatakan  robot  mobil sedang  melakukan  pergerakan  ke  kanan  (belok ke  kanan),  sedangkan tanda positif  menyatakan hal yang sebaliknya (belok ke kiri) dengan acuan
0° terletak  pada  sumbu- 𝑥 positif  sesuai  dengan koordinat  kartesius. 𝜃 menyatakan posisi mobil terhadap  sumbu- 𝑥 positif  pada  koordinat kartesius dan 𝜃 menentukan arah gerak pertama robot mobil tersebut.
Simulasi desain pengendalian ini dilakukan dengan  memberikan  nilai  matriks  pembobot state-space 𝒬 = 0,01 ∗ 𝑒𝑦𝑒(9) dan  matriks pembobot  kontrol ℛ = 0,01 ∗ 𝑒𝑦𝑒(6) .  Dalam simulasi tugas akhir ini, source code dikerjakan dalam  kondisi  statis,  dimana  variabel-variabel yang diperlukan didefinisikan terlebih dahulu.
Dengan  mengambil  Posisi  awal  referensi lintasan  robot  mobil 𝑥 , 𝑦 , 𝜃 = (0,0,0) ,
Kontrol referensi (𝑣 , 𝜙 ) = 0.8, 𝜋 12 , Posisi awal robot mobil
(𝑥 , 𝑦 , 𝜃 ) = 0,0, 𝜋 18 dan iterasi sebanyak 10 kali, diperoleh:
Gambar  6  Pergerakan  robot  mobil  untuk 𝜙 = 𝜋 12
Jika  ditabelkan,  maka  diperoleh  nilai (𝑥, 𝑦, 𝜃) pada setiap iterasi pada Tabel 2 sebagai berikut :

## Tabel  2:  Posisi  Referensi  dan  Posisi
Sebenarnya Itera si Referensi Sebenarnya 𝑥 𝑦 𝜃 𝑥 𝑦 𝜃 1 0,0000 0,0000 0,1745 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,8000 0,0000 0,0029 0,8000 0,0000 0.0029
3 1,6000 0,0023 0,0058 1,6000 0.0023 0.0058
4 2,4000 0,0070 0,0088 2,4000 0.0070 0.0088
5 3,2000 0,0140 0,0117 3,2000 0.0140 0.0117
6 4,0000 0,0234 0,0146 3,9999 0.0234 0.0146
7 4,8000 0,0351 0,0175 4,7998 0.0351 0.0175
8 5.6000 0,0491 0,0205 5,5997 0.0491 0.0205
9 6.4000 0,0655 0,0234 6,3995 0.0655 0.0234
10  7,2000 0,0842 0,0263 7,1993 0.0842 0.0263
0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 Grafik Posisi Robot Mobil posisi-x (meter) po si si -y ( m et er ) Posisi Referensi Posisi Sebenarnya
Gambar  7 State 𝑥, 𝑦, dan 𝜃 untuk (𝑥 , 𝑦 , 𝜃 ) =
0,0, 𝜋 18
Error untuk  setiap iterasi (𝑥, 𝑦, 𝜃) ditabelkan sebagai berikut:
Tabel 3: Error Iterasi Error 𝑥 𝑦 𝜃 1 0,0000 0,0000 0,1745 2 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0000 0,0000 0,0000 4 0,0000 0,0000 0,0000 5 0,0000 0,0000 0,0000 6 0,0001 0,0000 0,0000 7 0,0002 0,0000 0,0000 8 0,0003 0,0000 0,0000 9 0,0005 0,0000 0,0000 10 0,0007 0,0000 0,0000
Terlihat bahwa error terbesar berada pada posisi sudut  robot  mobil 𝜃 pada  iterasi  pertama  sebesar 0,1745

## 5. KESIMPULAN
Dari pembahasan yang telah dilakukan dalam menerapkan MPC untuk mendesain pengendalian pada  robot  mobil  beroda  empat  diperoleh kesimpulan bahwa MPC linear memberikan hasil yang cukup baik untuk memberikan prediksi nilai kontrol optimal dengan menghasilkan error yang paling besar pada posisi sudut 𝜃 sebesar 0,1745.

## DAFTAR PUSTAKA
Bordons,  C.,  &  Camacho,  E.  F.  (1999). Model Predictive  Control. Sevilla:  Springer-Verlag London Limited.
da Silva Jr., J. M., Kühne, F., & Lages, W. F. (2005).
Mobile Robot Trajectory Tracking Using Model Predictive  Control. VII  SBAI  /  II  IEEE  Latin America Robotics Symposium , 1-7.
Hartini,  S.  (2011).  Implementasi  Metode  Ensemble Kalman  Filter  (EnKF)  Untuk  Mengestimasi Posisi  Robot  Mobil. Tugas  Akhir  Jurusan Matematika .  Surabaya,  Jawa  Timur,  Indonesia: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Orukpe,  P.  E.  (2005).  Basics  of  Model  Predictive Control. ICM,  EEE-CAP (hal.  1-27).  London: Imperial College.
Sotelo,  M.  A.  (2003).  Lateral  Control  Strategy  for
Autonomous Steering of Ackerman-like
Vehicles. Robotics and Autonomous Systems 45 ,
223-233.
Wang,  L.  (2009). Model  Predictive  Control  System Design  and  Implementation  using  MATLAB. Melbourne: Springer.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2 4 6 8 Posisi pada sumbu-x waktu (sekon) po si si -x ( m et er ) Posisi Referensi Posisi Sebenarnya 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 Posisi pada sumbu-y waktu (sekon) po si si -y ( m et er ) Posisi Referensi Posisi Sebenarnya 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Posisi Sudut waktu (sekon) po si si s ud ut ( ra di an ) Posisi Referensi Posisi Sebenarnya