## Kombinasi Backpropagation dan Hopfield Modifikasi untuk Persamaan Polynomial
Rina Pramitasari 1 , Imam Rofiki 2
1 Teknik Komputer, Universitas Amikom Yogyakarta, Yogyakarta, Indonesia rina.pramitasari@amikom.ac.id
2 Tadris Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim, Malang, Indonesia imam.rofiki@uin-malang.ac.id
Diterima 23 Mei 2020
Disetujui 23 Juni 2020
Abstract —Salah  satu  sistem  kriptografi  yang  bertahan di  era  komputer  quantum  adalah  kriptografi  kunci publik multivariat. Tingkat keamanan sistem
kriptografi  kunci  publik  multivariat  adalah  sulitnya menyelesaikan sistem persamaan polinomial multivariable.  Tujuan  artikel  adalah  mengkriptanalisis dengan mencari  akar menyelesaikan persamaan polinomial. Penelitian ini menggunakan metode kombinasi Backpropagarian dan  Hopfield  Modifikasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode kombinasi Backpropagarian dan  Hopfield  Modifikasi  lebih  baik dari  pada  metode  Hopfield  Modifikasi  saja.  Karena menjamin  nilai  awal  yang  diberikan  pada  Hopfield Modifikasi  selalu  dekat  dengan  nilai  solusi.  Metode kombinasi Backpropagarian dan  Hopfield  Modifikasi memberikan solusi yang akurat.
Index  Terms— Backpropagation,  Hopfield  Network Modifikasi, Persamaan Polinomial

## I. P ENDAHULUAN
Sistem  kriptografi  kunci  publik  yang  paling banyak  digunakan  adalah  RSA.  Algoritme RSA berasal dari nama akhir penemunya pada tahun 1977, yaitu  Rivest-Shamir-Adleman.  Tingkat  keamanan RSA  terletak  pada  faktorisasi  bilangan  bulat.  Kunci publik yang aman pada RSA setidaknya 1024 bits atau 2048 bits. Hal ini mengakibatkan proses enkripsi tidak efisien.  Ancaman  baru  juga  muncul  yang  bisa melemahkan  RSA  yaitu  komputer  quantum  yang sedang  berkembang.  Ada  beberapa  kandidat  sistem kriptografi  yang  mampu  bertahan  dengan  komputer quantum  yaitu Lattice-Based  Cryptography,  Code-
Based
Cryptography, Multivariate-Based
Cryptography [4], [7], [8], [11].
Pengujian  sistem  kriptografi  salah  satunya  adalah dengan  menggunakan  kriptanalisis.  Sistem  kriptografi kunci  publik  atau  sistem  kriptografi  asimetris, menggunakan dua jenis kunci, yaitu kunci publik dan kunci  rahasia.  Kunci  publik  digunakan  untuk mengenkripsi  suatu  pesan.  Kunci  publik  bersifat umum,  sehingga  dapat  dilihat  oleh  semua  orang termasuk  pihak  penyerang.  Kunci  rahasia  digunakan untuk mendekripsi suatu pesan. Kunci rahasia bersifat
dirahasiakan dan hanya orang tertentu yang boleh mengetahuinya [7].
Sistem  kriptografi  kunci  publik  multivariat didasarkan  pada  sistem  persamaan multivariable nonlinear  pada  bidang  hingga.  Tingkat  keamanan didasarkan  pada  sulitnya  penyelesaian  sebuah  sistem persamaan  polynomial  multivariable  kuadratik  yang disebut MQ-problem ( multivariate quadratic problem ) [4], [7], [8], [11].
Menyelesaikan  sistem  persamaan  nonliner  bentuk yang  sederhana  dapat  diselesaikan  dengan  metode analitik.  Sedangkan  faktanya  sering  menemukan bentuk  yang  rumit,  tidak  semua  persamaan  dapat dipecahkan  dengan  metode  analitik,  maka  solusinya dapat  dicari  dengan  metode  numerik.  Sedangkan metode numerik harus memenuhi syarat dekat dengan solusi untuk bisa konvergen. Maka untuk menyelesaikan  sistem  persamaan  tersebut  digunakan jaringan  saraf  tiruan  di  mana  sebuah  prosesor  yang terdistribusi  parallel  dan  mempunyai  kecenderungan untuk  menyimpan  pengetahuan  yang  didapatkannya dari  pengalaman  dan  membuatnya  tetap  tersedia untuk digunakan [9].
Jariangan Backpropagation diambil dari cara kerja yaitu  bahwa  gradien error unit-unit  tersembunyi diturunkan  dari  penyiaran  kembali error yang diasosiasikan  dengan  unit output .  Hal  ini  karena  nilai target untuk unit-unit tersembunyi tidak diberikan [2].
Jaringan Hopfield pertama kali diperkenalkan John Hopfield  pada  tahun  1982.  Jaringan  Hopfield  adalah pelatihantak  terbimbing  ( unsupervised  learning ). Jaringan  Hopfield  merupakan  jaringan  syaraf  tiruan yang  terhubung  penuh  ( fully  connected ),  yaitu  bahwa setiap  neuron  terhubung  dengan  neuron  lainnya  [2]. Jaringan Hopfield Modifikasi mampu untuk menyelesaikan  sistem  persamaan  nonlinear  di  dalam satu  variabel.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa jaringan  Hopfield  modifikasi  akan  selalu  konvergen terhadap  sembarang  nilai  awal,  dimana  sebaliknya metode numerik yang harus memenuhi syarat “dekat” dengan solusi [1], [6].

## ISSN 2085-4552

## II. L

## ANDASAN T EORI

## A. Persamaan Polynomial
Persoalan  mencari  solusi  persamaan  nonlinear adalah: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan.
yaitu  nilai x  =  s sedemikian  sehingga sama dengan nol [9]. Persamaan nonlinear yang melibatkan fungsi transeden, diantaranya sinus, cosinus, eksponensial,  logaritma.  Selain  itu,  persamaan nonlinear  yang  tidak  melibatkan  fungsi  transenden, yaitu persamaan polynomial. Bentuk umum persamaan polynomial satu variabel x adalah

Contohnya:
a. Satu variabel yaitu x ,
b. Dua variabel yaitu x dan y ,
Pada peneltian ini, penulis menggunakan satu variabel.

## B. Backpropagation
Backpropagation adalah  metode  yang  menurukan gradien untuk meminimkan penjumlahan erro r kuadrat output jaringan.  Nama  lain  dari Backpropagation adalah aturan delta yang digeneralisasi.
Dalam Backpropagation , setiap unit yang berbeda di lapisan input terhubung dengan setiap unit yang ada di  lapisan  tersembunyi.  Hal  serupa  berlaku  pula  pada lapisan  tersembunyi.  Setiap  unit  yang  ada  di  lapisan tersembunyi terhubung dengan setiap unit yang ada di lapisan output [3], [5], [6].
Langkah Backpropagation adalah sebagai berikut:
 Inisialisasi bobot dan bias
1. While kondisi  berhenti  tidak  terpenuhi do langkah ke-2 sampai langkah ke-9.
2. Untuk setiap pasang pola training, lakukan langkah ke-3 sampai langkah ke-8.
 Umpan Maju (Feedforward)
3. Setiap unit input , mengirimkan sinyal input ke semua unit pada lapisan tersembunyi.
4. Pada  setiap  unit  di  lapisan  tersembunyi, sinyal input  output lapisan  tersembunyi dihitung  dengan  dengan  fungis  aktivasi terhadap
penjumlahan
sinyal input berbobot.
5. Pada  setiap  unit  di  lapisan output unit, dihitung sinyal output -nya dengan
menerapkan  fungsi  aktivasi  terhadapt penjumlahan sinyal input berbobot.
 Umpan Mundur ( Backpropagation Error )
6. Pada  setiap  unit output menerima  pola target  lalu  informasi  kesalahan  lapisan output dihitung.  Dikirim  ke  lapisan  di bawahnya dan digunakan untuk menghitung besar koreksi bobot dan bias antara  lapisan  tersembunyi  dengan lapisan output .
7. Pada  setiap  unit  di  lapisan  tersembunyi dilakukan perhitungan informasi kesalahan lapisan tersembunyi. Kemudian  digunakan  untuk  menghitung besar  koreksi  bobot  dan  bias  antara lapisan input dan lapisan tersembunyi.
 Update Bobot dan Bias ( Adjustment )
8. Pada setiap unit output, dilakukan peng- update -an bias dan bobot.
9. Tes  kondisi berhenti.  Digunakan  kriteria MSE ( Mean Square Error ).

## C. Hopfield Modifikasi
Hopfield  mengembangkan  rancangan  jaringan biner  sehingga  neuron  dapat  memperhitungkan  nilai real  [3].  Pengembangan  dari  jaringan  Hopfield Kontinu  adalah  menyerupai  kerja  jaringan  diskrit, tetapi  jaringan  ini  mempunyai  kemampuan  lebih karena  arsitekturnya  lebih  komplek  dan  tidak  hanya nilai biner 0 dan 1 [1].
Hopfield Modifikasi  didasarkan  pada  prinsip Hopfield  kontinu,  karena  nilai input dan output yang diinginkan adalah real antara 0 sampai 1, tidak hanya 0 atau  1.  Jumlah  neuron  pada  jaringan  sama  dengan jumlah  variabel  persamaan.  Hubungan  antara  neuron pada  Hopfield  Modifikasi  untuk  menyelesaikan persamaan polynomial bergantung  pada  hubungan antara  variabel  persamaan  dengan  koefisien,  yang diturunkan  sebagai  bobot  pada  jaringan.  Hubungan antara  variabel  pada  persamaan polynomial adalah hubungan nonlinear, sehingga jaringan Hopfield harus dimodifikasi [1].
Langkah-langkah  Hopfield Modifikasi  adalah sebagai berikut:
1. Mengubah  persamaan polynomial menjadi bentuk fungsi energi.
2. Menurunkan persamaan fungsi energi.
3. Kemudian menyesuaikan dengan
persamaan Hopfield . 4. Menginisialisasi nilai awal
dan
.
5. Menghitung  dengan  metode  Euler  untuk memperbaiki nilai .
6. Memperbarui nilai .

## 7. Hingga syarat terpenuhi.

## III. M ETODE P ENELITIAN
Gambar  1  menunjukan flowchart penelitian. Langkah  pertama,  dengan  menggunakan  metode Backpropagation didapat  nilai output yang  optimal. Langkah  kedua,  menggunakan  nilai output untuk memberilkan  nilai  awal  pada  metode  Hopfield Modifikasi untuk menyelesaikan persamaan polynomial [10].  Hasil  penelitian  akan  dibandingkan dengan  metode  Hopfield Modifikasi  dan  metode konvensional yaitu metode numerik Newton Raphson.
Gambar 1. Flowchart penelitian
Misalkan persamaan polynomial berbentuk:
Proses Backpropagation menggunakan layer  input 3 neuron, layer  hidden 10  neuron,  dan layer  output 1 neuron.  Fungsi  aktivasi  yang  digunakan  adalah Sigmoid  Biner  dan learning  rate ( )  =  0,5. Epoch = 10000. Toleransi error yang digunakan adalah 0,000000000000001.
Proses Hopfield Modifikasi adalah: 1. Mengubah  persamaan polynomial menjadi bentuk fungsi energi.
2. Menurunkan persamaan fungsi energi.
3. Kemudian  menyesuaikan  dengan  persamaan Hopfield.
4. Menginisialisasi  nilai  awal adalah  hasil
dari Backpropagation dan adalah -0.5, 1, atau 0.01.
5. Menghitung  dengan  metode  Euler  untuk memperbaiki nilai
. 6. Memperbarui nilai
7. Hingga syarat terpenuhi.

## IV. P EMBAHASAN
Dalam  pembahasan  menggunakan  pemrograman Python .  Kemudian  menyiapkan  data  pelatihan  dan data  pengujian  dengan  merujuk  penelitian  [1],  [4], [7], [12].
Data  pelatihan  terdiri  dari  2  bentuk  persamaan yaitu Pertama berbentuk:
Jumlah  dari  data  pelatihan  terdiri  dari  10  dan  20 data. Data pengujian tersebut terdiri dari 3 persamaan yaitu:
dengan Output dengan Output dengan Output

## ISSN 2085-4552
Jaringan Backpropagation menggunakan layer input 3  neuron, layer  hidde n  10  neuron,  dan layer output 1  neuron.  Fungsi  aktivasi  yang  digunakan adalah  Sigmoid  Biner  dan learning  rate ( )  =  0,5. Epoch =  10000.  Toleransi error yang  digunakan adalah 0,000000000000001.
Kedua berbentuk:
Jumlah  dari  data  pelatihan  terdiri  dari  10  dan  20 data. Data pengujian tersebut terdiri dari 3 persamaan yaitu:
dengan Output dengan Output
dengan Output
Jaringan Backpropagation menggunakan layer input 5  neuron, layer  hidden 10  neuron,  dan layer output 1  neuron,  Fungsi  aktivasi  yang  digunakan adalah  Sigmoid  Biner  dan learning  rate ( )  =  0,5. Epoch =  10000.  Toleransi error yang  digunakan adalah 0,000000000000001.
Kemudian melakukan proses perhitungan jaringan Hopfield  Modifikasi  berdasarkan  berbedaan  nilai . Nilai yang dipilih adalah -0.5, 1, dan 0.01.
Tabel 1. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.1800000045 840 0.0 1 0.1800000045 845 0.0 0.01 0.1800000046 842 0.0 Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.1800000045 840 0.0 1 0.1800000045 845 0.0 0.01 0.1800000046 842 0.0

## Tabel 2. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.5799999999 58 0.0 1 0.5800000001 54 0.0 0.01 0.5799999999 54 0.0
Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.5799999999 58 0.0 1 0.5800000001 54 0.0 0.01 0.5799999999 54 0.0

## Tabel 3. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.979999999 218 0.0 1 0.9799999991 217 0.0 0.01 0.9799999989 216 0.0 Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.979999999 218 0.0 1 0.979999999 216 0.0 0.01 0.9799999988 215 0.0

## Tabel 4. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.1839713339 8865 0.0 1 0.1839713265 8875 0.0 0.01 0.1839713339 8870 0.0 Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.1839713339 8865 0.0 1 0.1839713265 8875 0.0 0.01 0.1839713339 8870 0.0

## Tabel 5. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.5799851742 41 0.0 1 0.5799851742 33 0.0 0.01 0.5799851742 34 0.0 Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.5799851742 41 0.0 1 0.5799851742 33 0.0 0.01 0.5799851741 32 0.0

## ISSN 2085-4552

## Tabel 6. Hasil pengujian dengan persamaan
Dengan 10 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.980001311 21 0.0 1 0.980001311 19 0.0 0.01 0.980001311 19 0.0 Dengan 20 Training Data U1 X akhir Iterasi Error -0.5 0.9800013111 20 0.0 1 0.9800013111 20 0.0 0.01 0.980001311 21 0.0
Pada  Tabel  1  sampai  6      menunjukkan  hasil  akar persamaan  polinomial  dari  jumlah  data  pelatihan  10 dan 20 dan jumlah data pengujian 0.18, 0.58, 0.98.
Tabel 7. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi

## dengan persamaan
Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 0.1800000046 852 0.0 0.11 -0.5 0.1800000045 840 0.0 1.65 -0.5 - - - -2.05 1 0.1800000045 854 0.0 0.11 1 0.1800000045 845 0.0 1.65 1 - - - -2.05 0.01 0.1800000042 857 0.0 0.11 0.01 0.1800000046 842 0.0 1.65 0.01 - - -

## Tabel 8. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi
dengan persamaan Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 0.5800000002 64 0.0 0.11 -0.5 0.5799999999 57 0.0 1.65 -0.5 0.5799999999 6514 0.0 -2.05 1 0.5800000002 65 0.0 0.11 1 0.5800000001 54 0.0 1.65 1 0.5799999999 1507 0.0 -2.05 0.01 0.5800000001 66 0.0 0.11 0.01 0.5799999999 53 0.0 1.65 0.01 0.5799999998 3938 0.0

## Tabel 9. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi
dengan persamaan Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 0.9800000012 326 0.0 0.11 -0.5 0.9799999989 217 0.0 1.65 -0.5 0.9799999989 510 0.0 -2.05 1 0.9800000013 344 0.0 0.11 1 0.979999999 216 0.0 1.65 1 0.9799999989 285 0.0 -2.05 0.01 0.980000001 335 0.0 0.11 0.01 0.9799999988 215 0.0 1.65 0.01 0.9799999991 2397 0.0

## Tabel 10. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi dengan persamaan
Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 - - - 0.11 -0.5 0.1839713339 8865 0.0 1.65 -0.5 - - - -2.05 1 - - - 0.11 1 0.1839713265 8875 0.0 1.65 1 - - - -2.05 0.01 - - - 0.11 0.01 0.1839713339 8870 0.0 1.65 0.01 - - -

## Tabel 11. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi dengan persamaan
Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 - - - 0.11 -0.5 0.5799851742 41 0.0 1.65 -0.5 - - - -2.05 1 - - - 0.11 1 0.5799851741 31 0.0 1.65 1 - - - -2.05 0.01 - - - 0.11 0.01 0.5799851742 34 0.0 1.65 0.01 - - -

## ISSN 2085-4552

## Tabel 12. Hasil pengujian Hopefield Modifikasi dengan persamaan
Metode Hopfield Modifikasi X1 U1 X akhir Iterasi Error -2.05 -0.5 - - - 0.11 -0.5 - - - 1.65 -0.5 - - - -2.05 1 - - - 0.11 1 0.9800013111 22 0.0 1.65 1 - - - -2.05 0.01 - - - 0.11 0.01 - - - 1.65 0.01 - - -
Pada  Tabel  7  sampai  12  menunjukkan  hasil pengujian dengan  metode Hopfield Modifikasi. Hasil akar  persamaan  polinomial  dari  data  pengujian  0.18, 0.58, 0.98.
Tabel 13. Hasil pengujian Newton Raphson dengan persamaan

## Metode Newton Raphson
X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 0.18 5 0.0 1.65 0.18 8 0.0

## Tabel 14. Hasil pengujian Newton Raphson dengan
persamaan Metode Newton Raphson X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 0.58 7 0.0 1.65 0.58 6 0.0

## Tabel 15. Hasil pengujian Newton Raphson dengan
persamaan Metode Newton Raphson X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 0.98 8 5.66440318e-17 1.65 0.98 5 5.66440318e-17
Tabel 16. Hasil pengujian Newton Raphson dengan persamaan
Metode Newton Raphson X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 0.18 8 -6.62617204e-15 1.65 0.18 11 -1.99055818e-15

## Tabel 17. Newton Raphson Hasil pengujian dengan persamaan
Metode Newton Raphson X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 - - - 1.65 0.58 8 2.86484918e-17

## Tabel 18. Newton Raphson Hasil pengujian dengan persamaan
Metode Newton Raphson X1 X akhir Iterasi Error -2.05 - - - 0.11 - - - 1.65 0.98 6 -1.34736562e-15
Pada  Tabel  13  sampai  18  menunjukkan  hasil pengujian  dengan  metode  Newton  Raphson.  Hasil akar  persamaan  polinomial  dari  data  pengujian  0.18, 0.58, 0.98.

## V. S IMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan metode  kombinasi Backpropagation dan  Hopfield Modifikasi  telah  berhasil  dilakukan.  Tingkat  akurasi tersebut  dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor  yaitu pemilihan  data  pelatihan,  nilai  awal  yang  diberikan pada Hopfield Modifikasi terjamin dekat dengan nilai akar data pengujian. Konvergensi metode Backpropagation dapat  terjebak  di  dalam  minimum lokal. Sehingga dikombinasi dengan metode Hopfield Modifikasi  dapat  keluar  dari  konvergensi  yang terjebak di dalam minimum lokal.
Kemudian  dibandingkan  dengan  metode  Hopfield Modifikasi saja. Hasil pengujian didapat jika diberikan nilai  awal  jauh  dari  nilai  akar  dan  kompleksnya persamaan  polynomial,  tidak  mendapatkan  hasil  yang akurat.  Kemudian  dibandingkan  dengan  metode Newton  Raphson.  Hasil  pengujian  didapat  nilai  akar akan  konvergensi  jika  dekat  dengan  nilai  solusinya.

## ISSN 2085-4552
Karena  nilai  awal  yang  diberikan  terlalu  jauh, menyebabkan terjadinya iterasi divergen.

## U CAPAN T ERIMA K ASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada Universitas Amikom Yogyakarta yang telah memberikan dana penelitian.

## D AFTAR P USTAKA
[1] D.  Mishra,  P.  K.  Kalra, Modified  Hopfield  Neural  Network Approach  for  Solving  Nonlinear  Algebraic  Equations , Engineering  Letters,  14:1,  EL_14_1_23  (Advance  online publication: 12 February 2007).
[2] D.  Puspitaningrum, Pengantar  Jaringan  Syaraf  Tiruan. Yogyakarta: Andi, 2006.
[3] D. Ratnawati, Penerapan JST dengan Metode Backpropagation  Studi  Kasus  :  Prakiraan  Cuaca  dan Kualitas  Udara  Wilayah  DKI  Jakarta , Tesis ,  Program Pascasarjana, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. 2008.
[4] J.  Ding,  J.  E.  Gower,  dan  D.  S.  Schmidt,  2006,  Multivariate Public Key Cryptosystem, Springer, USA. [13]
[5] L.  Fausett,  1994, Fundamentals  of  Neural  Networks (Architectures,  Algorithms,  and  Applications), Prentice  Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
[6] M.  M.  Gupta,  L.  Jin,  N.  Homma,  2003, Static  and  Dynamic Neural  Networks,  From  Fundamentals  to  Advanced  Theory, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
[7] M.  Z.  Riyanto,  “Sistem  Kriptografi  Kunci  Publik Multivariat”,  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan Matematika,  27  November  2010  di  Jurusan  Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
[8] O.  Billet,  and  J.  Ding,  “Overview  of  Cryptanalysis Techniques  in  Multivariate  Public  Key  Cryptography”,  DOI 10.1007/978-3-540-93806-4_15, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.
[9] R. Munir, Metode Numerik. Bandung: Informatika, 2008.
[10] U.  M.  Kaczmar,  and  T.  Switek,  “Combined  Unsupervised- Supervised  Classification  Method”,  J.D.  Vel´asquez  et  al. (Eds.): KES 2009, Part II, LNAI 5712, pp. 861–868, 2009.
[11] X.  Wang,  B.  Yang,  “ An  Improved  Signature  Model  of Multivariate  Polynomial  Public  Key  cryptosystem  Against Key  Recovery  Attack”, DOI: 10.3934/mbe.2019388 , http://www.aimspress.com/journal/MBE, 2019.
[12] Y.  Shin,  J.  Ghosh,  1991, Approximation  of  Multivariate Functions  Using  Ridge  Polynomial Networks, Department  of Electrical  and  Computer  Engineering,  The  University  of Texas at Austin, 1991.