BEBERAPA METODE DALAM MENENTUKAN SOLUSI DARI SUATU FUNGSI KUBIK
Ana Muliana Musli
Jurusan Pendidikan matematika FMIPA Universitas Sulawesi Barat email: anamulianamusli@gmail.com

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk memberikan dekripsi tentang beberapa cara dalam menentukan solusi dari suatu fungsi kubik. Dimana ada beberapa metode yang dapat digunakan yaitu metode geometri dan  metode  pemfaktoran.  Metode  geometri  yang  dibahas  dalam  tulisan  ini  adalah  metode  umum dengan  menggunakan  diskriminan,  metode  dari  Jeromo  Cardan  dan  substitusi  Vieta.  Selain  itu, dibahas  juga  metode  pemfaktoran  yang  mensyaratkan  bahwa  minimal  salah  satu  akarnya  adalah bilangan rasional.Untuk menentukan solusi fungsi kubik dengan menggunakan metode Cardano dan substitusi Vieta disyaratkan bahwa fungsi kubiknya harus diubah terlebih dahulu dalam bentuk fungsi kubik  menurun.  Penentuan  solusi  dari  fungsi  kubik  ini  selain  berguna  dalam  bidang  matematika sendiri  juga  dapat  digunakan  dalam  menentukan  solusi  buffer  (larutan  penyangga)  untuk  menjaga kestabilan PH organisme dalam bidang kimia.
Kata  kunci :  diskriminan,  polinom  orde  tiga,  depression  cubic,  metode  Cardano,  substitusi  Vieta, pemfaktoran

## 1. PENDAHULUAN
Dalam matematika, fungsi kubik adalah fungsi yang berbentuk:
G H I J 9 J K J &
Dimana H L M . Fungsi kubik dikenal juga dengan nama polinom orde tiga. Dengan menetapkan G M , maka fungsi kubik akan menjadi persamaan persamaan  kubik, yaitu:
H I J 9 J K J & M
Biasanya koefisien a, b, c dan d adalah bilangan real. Akan tetapi banyak teori dari persamaan kubik dengan koefisien bil.real yang diaplikasikan ke bilangan kompleks. Menyelesaikan fungsi kubik sama halnya  dengan  menentukan  nilai  dari x untuk f ( x )  =  0.  Ada  banyak  metode  untuk  menyelesaikan persamaan kubik. Solusinya, yang biasa disebut sebagai akar dari persamaan kubik, dapat ditentukan dengan  menggunakan  metode  aljabar  (yang  juga  berlaku  untuk  persamaan  kuadrat  dan  persamaan pangkat  empat  tetapi  tidak  berlaku  untuk  persamaan  berderajat  lebih  dari  empat  menurut  teorema Abel  Ruffini)  yaitu  dengan  melakukan  proses  pemfaktoran.  Akar-akar  persamaan  kubik  dapat  juga ditentukan  secara  trigonometri,  maupun  secara  geometri.  Diantara  metode  geometri  yang  dapat
Gambar 1. Grafik persamaan kubik
digunakan  adalah  metode  yang  diperkenalkan  oleh  Omar  Khayyam,  Gerolamo  Cardano,  metode Langrange,  substitusi  Vieta,  dan  juga  metode  umum  yang  menggunakan  diskriminan.  Sedangkan untuk  metode  trigonometri,  kita  dapat  menggunakan  metode  dari  Francois  Viete.  Alternative  lain yang  dapat  digunakan  adalah  dengan  menggunakan  pendekatan  numeric,  dalam  hal  ini  metode numeric, seperti metode Newton-Raphson.
Tulisan  ini  akan  berfokus  pada  penentuan  akar-akar  persamaan  kubik  secara  analitik  maupun secara  aljabar  yaitu  dengan  menggunakan  metode  umum  yang  melibatkan  diskriminan,  metode Cardano, substitusi Vieta serta metode Pemfaktoran.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  penelitian  kepustakaan  yaitu  berupa  kajian teori  pustaka  dengan  mengumpulkan  literatur-literatur  untuk  penurunan  rumus  secara  teoritis,  dan simulasi untuk memperoleh kesesuaian teori. Berikut adalah langkah-langkah  yang dilakukan dalam penelitian  ini:  1)  mencari  referensi  yang  terkait  dengan  fungsi  kubik  dan  polinom  orde  tiga  serta metode-metode yang dapat digunakan dalam menentukan solusinya 2) memilih beberapa metode yang akan  dibahas  secara  rinci  dalam  menentukan  akar-akar  kubik  dari  beberapa  metode  yang  ada  (yaitu metode  Cardano,  substitusi  Vieta,  metode  umum  yang  melibatkan  diskriminan  dan  metode Pemfaktoran)  3)  mencari  kembali  referensi  dari  beberapa  metode  yang  telah  dipilih  tersebut  5) memahami alur pikir metode-metode tersebut dalam menentukan akar-akar suatu polinom 6) mencari refensi  mengenai  cara  menentukan  diskriminan  untuk  polinom  orde  tiga.  7)  mencari  referensi penunjang

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Ada banyak metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu fungsi kubik. Dari sekian  banyak  metode  tersebut,  tulisan  ini  akan  memfokuskan  pada  metode  geometri  dan  metode aljabar. Metode geometri yang akan dibahas adalah metode umum dengan menggunakan diskriminan, metode  Cardano  dan  substitusi  Vieta.  Disamping  itu  tulisan  ini  juga  akan  membahas  mengenai metode aljabar khususnya metode pemfaktoran yang cukup sering digunakan.
3.1. Metode Geometri
Sebelum membahas mengenai penentuan akar-akar kubik, gambar di bawah ini adalah visualisasi secara geometri dari fungsi kubik:
Titik  kritis  dari  persamaan  kubik  adalah  nilai-nilai  dari x saat  kemiringan  (slope)  sama  dengan nol. Yang diperoleh dengan menentukan derivative (turunan) dari persamaan kubik yang disamakan dengan  nol,  yaitu: G N OH J P9 J K M .  Solusi  dari  persamaan  ini  adalah  titik  kritis  dari persamaan kubik dan diberikan oleh rumus:

## 19 Q R9 1 SHK PH
yang dalam hal ini rumus tersebut akan menjadi

## 1P9 Q T P9 1 S OH K
P OH
1P9 Q TS9 1 S OHK P OH 1P9 Q PR9 1 OHK
P OH
19 Q R9 1 OHK
OH
Jika 9 1 OHK U 0  maka  fungsi  kubik  akan  mempunyai  maksimum  lokal  dan  minimum  local.  Jika 9 1 OHK M maka titik beloknya juga adalah titik kritisnya. Jika 9 1 OHK V M maka fungsi tersebut tidak  mempunyai  titik  kritis.  Pada  kasus  dimana 9 1 OHK W M maka  fungsi  kubik  tersebut  disebut monoton kuat ( strictly monotonic ).

## 3.1.1. Metode Umum
Secara umum, persamaan kubik berbentuk: H I J 9 J K J & M
;
dengan H L M . Koefisien a , b, c dan d secara umum diasumsikan adalah elemen bilangan real, tetapi banyak  dari  hasilnya  dapat  digunakan  bukan  hanya  sebatas  pada  lapangan  bilangan  real,  tetapi juga yang lainnya, termasuk bilangan kompleks.
Setiap  persamaaan  kubik  (1)  dengan  koefisien  bilangan  real  mempunyai  minimal  satu  solusi dalam bilangan real.  Yaitu :
• Jika ∆ > 0 maka persamaan kubik mempunyai 3 akar real yang berbeda
• Jika ∆ = 0 maka persamaan kubik mempunyai 3 akar real yang kembar
• Jika ∆ < 0 maka persamaan kubik mempunyai 1 akar real dan 2 akar kompleks. Dimana ∆ adalah symbol dari diskriminan dalam huruf Yunani atau dalam huruf latin biasa dituliskan dengan “D”, dimana diskriminan untuk persamaan kubik adalah:
X ;YH9K& 1 S9 I & J 9 K 1 SHK I 1 PZH & Yang mana rumus ini diperoleh dari penjabaran rumus umum untuk diskriminan yaitu:
X H [ [ \ ] 1 ] ^ _^ 1; [ [ ` H [ [ \ ] 1 ] ^
a^
3.1.1.1. Rumus Umum untuk Akar-akar Kubik
Untuk persamaan kubik secara umum:
H I J 9 J K J & M , maka akar-akarnya adalah sebagai berikut:
1 ; OH b9 J c d J X e
c df g
h i j;g Pg Ok
Gambar 2. Titik stasioner, titik belok dan maksimum/minimum local dari fungsi kubik
dimana
c ; g c 1; J lRO P g c I 1; 1 lRO P dan d mX J X 1 SX e I P n dimana X e 9 1 OHK
X P9 I 1 oH9K J PZH &
dan
X 1 SX e I 1PZH X
3.1.1.2. Kasus Khusus
Jika XL M dan X e M ,  maka  nilai  dari X 1 SX e I TX telah  dipilih  agar d L M yaitu  dengan mendefinisikan TX X tanpa memperhatikan tanda dari X Jika X M dan X e M , ketiga akar-akarnya akan sama dengan
I 1 9 OH
Jika X M dan X e L M ,  lambang  untuk  akar-akar  diatas  benar  tetapi  menyesatkan, menyembunyikan  fakta  bahwa  tidak  ada  akar  ( radical )  yang  diperlukan  untuk  mewakili  akar-akar. Pada kenyataannya, dalam kasus ini terdapat dua buah akar kembar:
oH& 1 9K PX e dan akar yang lain:
I SH9K 1 oH & 1 9 I

## HX e

## 3.1.2. Metode Cardano
Dengan  membagi  persamaan  (1)  oleh a dan  mengganti x dengan 1 p Iq (transformasi  Tschirnhaus), maka akan diperoleh
H 1 9 OH I J 9 1 9 OH J K 1 9
OH J & M
H I 1 O 9 OH J O
9 oH 1 9 I PZH I J 9 1 P 9 OH J
9 oH J K 1 9
OH J & M H I 1 OH 9 OH J OH 9 oH 1 H 9 I PZH I J 9 1 P 9 OH J 9 I oH J K 1 9K
OH J & M
H I 1 9 J 9 OH 1 9 I PZH J 9 1 P 9 OH J 9 I oH J K 1 9K OH J & M
H I J 9 OH 1 9 I PZH 1 P 9 OH J 9 I oH J K 1 9K OH J & M
H I J 9 OH J K 1 9 I PZH 1 P 9 OH J 9 I oH 1 9K
OH J & M
H I J OHK J 9 OH 1 9 I PZH 1 P 9 OH J 9 I oH 1 9K OH J & M I J OHK J 9 OH 1 9 I PZH I 1 P 9 OH J 9 I oH I 1 9K OH J & H M I J OHK J 9 OH 1 9 I PZH I 1 ;YH9 PZH I J O9 I PZH I 1 oH9K PZH I J PZH & PZH I M

## I J r OHK J 9 OH s J 1 ;YH9 PZH I J P9 I PZH I 1 oH9K PZH I J PZH & PZH I M atau I J t J u M P
dimana t OHK J 9 OH u P9 I 1 ;YH9 1 oH9K J PZH &

## PZH I
Bagian  kiri  dari  persamaan  (2)  adalah  sebuah  trinomial  monik  yang  disebut  persamaan  kubik menurun  ( depressed  cubic ).  Untuk  menentukan  akar-akar  dari  persamaan  (1)  maka  kita  dapat menggunakan  akar-akar  dari  persamaan  kubik  menurun  (2)  dengan  cara  mentransformasikan  akar- akar dari persamaan kubik menurun tersebut dengan mengganti nilai untuk p dan q dan menggunakan hubungan 1 p Iq
Dengan  demikian,  untuk  metode  Cardano  ini  kita  akan  berfokus  pada  persamaan  (2)  untuk menentukan akar-akar persamaan kubik.
Untuk itu, perhatikan persamaan kubik menurun ( depressed cubic ) berikut:
I J t J u M P
Kita memperkenalkan dua variable u dan v yang mana: u + v = t dan substitusikan persamaan ini ke persamaan kubik menurun (2) memberikan c J v I J t c J v J u M c I J v I J Oc v J Ocv J tc J tv J u M atau dengan kata lain c I J v I J Ocv J t c J v J u M
O
Pada poin ini Cardano memberikan syarat kedua untuk u dan v , yaitu Ocv J t M S
Dengan demikian persamaan (3) akan menjadi
c I J v I 1u w
dan dari persamaan (4) akan diperoleh:
Ocv 1t Ocv I 1t I PZc I v I 1t I atau c I v I 1 t I PZ x
Dengan  demikian  dengan  menggunakan  persamaan  (5)  dan  (6)  kita  dapat  membentuk  persamaan kuadrat  baru  dimana c I dan v I adalah  dua  akar-akarnya.  Persamaan  kuadrat  baru  yang  dimaksud adalah:
y J uy 1 t I
PZ M Z
Dengan menyelesaikan persamaan (7) y g 1u Q Rz P 1u Q u J St I PZ P y g 1 u P Q {u S J t I PZ
Karena saat itu istilah bilangan kompleks belum dikenal, maka saat itu Cardano menganggap bahwa akar-akar dari persamaan ini adalah bilangan real, yaitu dengan menganggap bahwa:
u S J t I PZ U M dan dengan menggunakan fakta bahwa c dan v dapat ditukar, kita memperoleh:
y c I 1 | J | } J ~ n • dan y v I 1 | 1 | } J ~ n •
Karena  rumusan  tersebut  diatas  berlaku  untuk  bilangan  real,  maka  akar-akar  kubiknya  terdefinisi, sehingga menurut metode Cardano, kita dapatkan:
c J v m1 u P J {u S J t I PZ n J m1 u P 1 {u S J t I PZ n Y
Dua  akar  kompleks  dapat  dihasilkan  dengan  mempertimbangkan  bahwa  akar-akar  kubik  adalah elemen bilangan kompleks; fakta bahwa cv adalah bilangan real, mengimplikasikan bahwa keduanya dapat  diperoleh  dengan  mengalikan  salah  satu  akar  kubik  diatas  dengan  salah  satu  dari € RI atau RI .
Jika | } J ~ n • tidak  diharuskan  positif,  maka  kita  perlu  memilih  akar  kubik  yang  sesuai  untuk c I . Demikian halnya tidak ada cara langsung untuk memilih akar kubik yang sesuai untuk v I , untuk itu kita dapat menggunakan hubungan
v 1t Oc o
yang mana memberikan
c m1 u P 1 {u S J t I PZ n ;M dan c 1 t Oc ;;
Catatan  bahwa  tanda  dari  akar  kuadrat  tidak  mempengaruhi  hasil  dari t ,  karena  nilainya  akan berganti  dengan  menukar  nilai c dan v .  Untuk  menghindari  pembagian  dengan  nol,  maka  haruslah c L M , yaitu ketika t M dan u L M ,. Dengan demikian, nilai untuk t selalu ada, kecuali ketika p = q = 0, sehingga kita akan mendapatkan bentuk 0/0. Pada kasus ini, terdapat tiga akar kembar yaitu t = 0. Catatan  juga  bahwa  dalam  beberapa  kasus,  solusinya  dapat  dinyatakan  dalam  akar  yang  lebih kecil dan juga akar pangkat tiga. Berikut ini penjelasan lengkapnya:
• Jika p = q = 0, maka dari persamaan (10) diperoleh u = 0, sehingga pada persamaan (11) kita mempunyai tiga akar real kembar t = 0
• Jika p  = 0  dan q 0  maka  dari  persamaan  (10)  kita  memperoleh c T1u n dan  dari persamaan  (9),  kita  peroleh v =  0.  Oleh  karena  itu  dari  persamaan  (11)  kita  peroleh c , sehingga tiga akar-akarnya adalah akar pangkat tiga dari • u , atau T1u n
• Jika t L M dan q = 0 maka dari persamaan (9) diperoleh
c m1M 1 {M J t I PZ n m1rt I PZs n
‚1 r t I PZs ` ƒ `I c 1 r t I PZs `I 1c t O c 1 t O
Sehingga dari persamaan (9) kita peroleh
v 1 t
O r1 tOs
1 t 1O tO
t O
Karena nilai u dan v dapat saling ditukar, maka
c ~ I dan v 1 ~ I ,
Oleh karena itu, ketiga akar-akarnya adalah c J v Mg „ c 1 t O„ c g c „ 1 „ t Oc 1T1t
dimana
„ … † I 1 ; P J RO P l • Terakhir jika St I J PZu M , dan t L M , maka terdapat dua akar kembar dan satu akar yang mungkin secara rasional dapat dinyatakan dalam bentuk p dan q, akan tetapi formula ini  tidak dapat langsung dideduksi ke dalam bentuk umum dari akar-akar:
1 I|
~ dan I I| ~
Agar  akar-akar  dari t ini  dalam  persamaan  (2)  memenuhi  rumus  umum  untuk  akar-akar   pada persamaan (1), kurangi dengan p Iq dan ganti t dan u dalam bentuk H , 9 , K , & .

## 3.1.3. Substitusi Vieta
Kita mulai dari persamaan kubik menurun ( depressed cubic ) I J t J u M P
Kita akan menggunakan substitusi berikut ini, yang dikenal dengan substitusi vieta
‡ 1 t O‡
Sehingga persamaannya akan menjadi:
‡ I J u 1 t I
PZ‡ I

## M
Kalikan  dengan ‡ I ,  sehingga  akan  menghasilkan  persamaan  sektik  dalam w ,  yang  tidak  lain adalah merupakan persamaan kuadrat dalam ‡ I . ‡ ˆ J u‡ I 1 t I

## PZ M
Dengan demikian memungkinkan bagi kita untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus untuk  persamaan  kuadrat  dalam ‡ I ,  jika ‡ , ‡ , ‡ I adalah  tiga  akar  dari  persamaan  kubik,  maka akar dari persamaan kubik menurun adalah:
‡ 1 t O‡ g ‡ 1 t O‡ g I ‡ I 1 t
O‡ I

## 3.2. Metode Pemfaktoran
Jika  persamaan  kubik H I J 9 J K J & M dengan  koefisien  bilangan  bulat  dengan  akar- akarnya  adalah  elemen  bilangan  rasional,  maka  penentuan  akar-akar  kubiknya  dapat  dilakukan dengan melakukan uji akar rasional, yaitu jika akarnya dapat direduksi dalam bentuk r = m / n , maka m adalah  factor  dari d dan n adalah  factor  dari a ,  sehingga  semua  kemungkinan  kombinasi  dari  nilai- nilai m dan n dapat  diperiksa  untuk  mengetahui  apakah  kombinasi  tersebut  memenuhi  persamaan kubik atau tidak.
Uji akar rasional mungkin juga dapat digunakan untuk persamaan kubik dengan koefisien rasional: yaitu dengan mengalikan KPK dari koefisien-koefisien, yang menghasilkan sebuah persamaan dengan koefisien bilangan bulat yang memiliki akar-akar yang kembar.
Secara  khusus,  uji  akar  rasional  berguna  ketika  terdapat  tiga  akar  real  sedangkan  solusi  secara aljabar tidak dapat menolong kita dalam menyatakan akar-akarnya dalam bentuk bilangan kompleks. Uji  akar  rasional  juga  berguna  dalam  menyajikan  akar  yang  berbentuk  satu  akar  real  dan  dua  akar kompleks karena menungkinkan semua akar-akarnya ditulis tanpa menggunakan akar-akar kubik.
Jika r adalah  sebarang  akar  kubik,  maka  kita  dapat  mengeluarkan  faktor  ( x – r )  dari  persamaan kubik dengan menggunakan pembagian polinom ( polynomial long division ) untuk menghasilkan:
1 ] H J 9 J H] J K J 9] J H] H I J 9 J K J &
Hal  ini  dilakukan  agar  memudahkan  bagi  kita  untuk  menentukan  dua  akar  lainnya  dengan menggunakan rumus kuadrat dalam menyelesaikan persamaan kuadrat
H J 9 J H] J K J 9] J H] , memberikan:
19 1 H] Q R9 1 SHK 1 PH9] 1 OH ] PH untuk dua akar lainnya.

## 4. KESIMPULAN
Dari tulisan ini ada beberapa hal yang dapat disimpulkan, yaitu:
• Ada  beberapa  metode  yang  dapat  digunakan  dalam  menyelesaikan  fungsi  kubik,  diantaranya adalah metode Geometri dan metode Pemfaktoran.
• Beberapa  metode  geometri  yang  dapat  dilakukan  adalah  metode  umum  dengan  menggunakan diskriminan, metode Cardano, dan Substitusi Vieta.
• Metode  Cardano  dan  substitusi  Vieta  mensyaratkan  bahwa  fungsi  kubik  yang  akan  diselesaikan berbentuk  fungsi  kubik  menurun  (depression  cubic)  atau  dengan  kata  lain  berbentuk  trimonial monik.
• Metode Pemfaktoran dilakukan jika minimal salah satu akarnya elemen bilangan rasional.
• Kelemahan  dari  metode  Geometri  secara  umum  adalah  penentuan  akar-akarnya  tidak  mencakup bilangan kompleks.
• Metode-metode  yang  digunakan  pada  tulisan  ini  hanya  terbatas  untuk  menentukan  solusi  fungsi kubik dengan koefisien bilangan real.

## DAFTAR PUSTAKA
Atmy,  Betty,  2008, Formula  untuk  Menentukan  Akar-akar  Persamaan  Kubik  dan  Kuartik .  Program Pasca Sarjana, Universitas Andalas, Padang.
Baker, Andrew, 2008, An Introduction to Galois Theory , http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html, diakses tanggal 17 Mei 2008
Cornell,  2000, Algebraic  Solution  of  Cubics ,  http://www.math.cornell.edu/~dwh/courses/M122-
S00/supplements/cardano.html, diakses tanggal 1 Februari 2015 Dewi, Nur, 2012, Penyelesaian Umum Persamaan Kubik . http://nounadewi.blogspot.com/2012/05/penyelesaian-umum-persamaan-kubik.html,  diakses tanggal 9 Februari 2015
Lazard,  D.,  Naderra,  Muntingh,  G.,  2014.  Discriminant. Wikipedia  The  Free  Encyclopedia, 2-5: http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant.
Lazard, D., Kast, Anton, Frietjes, Magioladitis, Dashed, 2014, Polinomial Long Division. Wikipedia The Free Encyclopedia, 2-4:  http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_long_division Lazard,  D.,  Muranov,  A., Fgnievinski,  Gualtieri,  C., Bergemann,  T.,  Murata, T.,  Joergen,  B.,  Essin,
Majewski,  A.,  2014,  Monic  Polynomial ,  Wikipedia  The  Free  Encyclopedia ,  1: http://en.wikipedia.org/wiki/Monic_polynomial
Loraof,  Denzilo,  Rjwilmsi,  Anita,  Gundam,  Standeven,  Lambiam,  Myasuda,  2015.  Abel-Ruffini
Theorem , Wikipedia The Free Encyclopedia , 1-2: http://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem.
Loraof,  Lazard,  D.,  Khrisnavedala,  Michaeljiz,  Yobot,  Stein,  T.,  SamuelRiv,  Cohengar,  Rjwilmsi, Maurice  J,  2015.  Cubic  Function. Wikipedia  The  Free  Encyclopedia, 1-9  : http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
Loraof, Eppstein, D., Watson, James B., Lazard, D., Cork, C., Niesen, J., Alba, S., 2015, Properties of
Polynomial Roots, Wikipedia the Free Encyclopedia , 1-3:
http://en.wikipedia.org/wiki/Properties_of_polynomial_roots
Nikita,  Ulf  Rehmann,  Mdoob,  2012,  Cardano  Formula ,  Encyclopedia  of  Mathematics, 1-2: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cardano_formula.
Rubin,  A.,  Jarble,  Gilliam,  Ellis.,  D.L.,  Benkovitz,  Ryazanov,  M.,  2015.  Lowest  Common
Denominator. Wikipedia The Free Encyclopedia, 1:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lowest_common_denominator
Segal, E., Finell, Bel, Oliver, August, P., Lewis, J.B., 2014. Intermediate Value Theorems. Wikipedia The Free Encyclopedia. 2: http://en.wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem.