## BEBERAPA KONSEP YANG BERKAITAN PADA RUANG FUZZY BERNORMA DAN RUANG FUZZY BERNORMA- n

## Mashadi
Jurusan Matematika FMIPA Univeristas Riau mash-mat@unri.ac.id
ABSTRACT. In  this  paper  we  will  discuss some  of  the  approaches  of fuzzy  normed  spaces and development on fuzzy n-normed space. The approach discussed is based on the concept of t-norm and-t conorm  and directly as well as defining the usual definition normed space. But  it  is  discussed in  more  detail in  this  paper  is  the definition  that  refers to  a generalized regular normed spaces on fuzzy 2-normed space and space and  fuzzy n-normed space.
Key words :Fuzzy Normed Space, Fuzzy 2-normed Space, Fuzzy n-normed Space, Fuzzy Point
ABSTRAK. Pada  makalah  ini  akan  dibahas  beberapa  pendekatan  dari  ruang  fuzzy bernorma  dan  pengembangannya  pada  ruang  fuzzy  bernorma-n.  Pendekatan  yang  dibahas adalah  berdasarkan  konsep  norma-t  dan  conorma-t  serta  pendefinisian  langsung  seperti pendefinisian ruang bernorma biasa. Akan tetapi yang dibahas lebih detil dalam tulisan ini adalah  pendefinisian  yang  mengacu  pada  ruang  bernormaa  biasa  yang  diperumum  pada ruang fuzzy bernorma-2 dan ruang fuzzy bernorma-n.
Kata kunci : Ruang Fuzzy Bernorma, Ruang Fuzzy Bernorma-2, Ruang Fuzzy Bernorma-n. Titik Fuzzy.

## 1. PENDAHULUAN
Teori  himpunan  fuzzy  pertama  sekali  diperkenalkan  oleh  L.  Zadeh  tahun  1965. Sampai saat  ini berkembang banyak  sekali penggunaan dari himpunan dan bilangan fuzzy tersebut, Dalam ilmu matematika perkembangannya tidak hanya dalam bidang Analisis  saja,  akan  tetapi  dalam  semua  bidang  kajian  yang  ada  dalam  matematika, termasuk dalam  bidang  Numerik, Operasi  Riset, Statistik, Aljabar dan aljabar linear (Alotaibi, 2010; Elegan, dkk, 2010; Karakus, dkk, 2008, Mashadi, 2010).
Dalam  bidang  matematika  analisis,  konsep  fuzzy  juga  sangat  berkembang, sampai  pada  masalah  fuzzy  ruang  metric-n  dan  ruang  fuzzy  bernorma- n .  Konsep ruang fuzzy bernorma dan ruang fuzzy bernorma-2 sampai ke ruang fuzzy bernorma- n ,  sebenarnya  didekati  dari  2  sisi,  yang  pertama  yaitu  ruang  fuzzy  bernorma  yang
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 1 - 21
didekati secara Intuitionistic yaitu dengan menggunakan konsep konntinu t-norm dan kontinu t-conorm (Alotaibi, 2010; Golet, 2009; Mursaleen dan Danish Lohani, 2008; Samanta  dan  Mohinta,  2011;  Surender,  2011;  Vaezpour  dan  Karini,  2008).  Dipihak lain  ada  juga  penulis  yang  memperkenalkan  konsep  ruang  fuzzy  bernorma menggunakan pendekatan fuzzy point dari himpunan fuzzy.

## 2. RUANG FUZZY BERNORMA
Seperti yang disebutkan di atas, salah satu  pendekatan ruang fuzzy bernorma adalah  secara  intuitionistic,  yaitu  konsep  ruang  fuzzy  bernorma  yang  didekati berdasarkan  konsep  kontinu t -norm  dan  kontinu t -conorm  (Alotaibi,  2010;  Golet, 2009; Mursaleen dan Danish Lohani, 2008; Samanta dan Mohinta, 2011).
Definisi 2.1 . Misalkan X himpunan tak kosong, Himpunan Fuzzy 𝐴 di X adalah suatu himpunan yang fungi keanggotaannya, 𝜇 𝐴 : X  [0, 1].
Sehingga 𝐴 dapat ditulis dalam bentuk 𝐴  =   𝑥, 𝜇 𝐴 𝑥   𝑥 ∈ 𝑋 , 0 ≤ 𝜇 𝐴 𝑥  ≤ 1
Definisi 2.2 . suatu operasi biner ✻ [0 ,1]  [0, 1]  [0, 1] dikatakan kontinu t -norm jika memenuhi kondisi berikut :
i. ✻ assiosiati dan komutatif
ii. ✻ kontinu
iii. a ✻ 1 = a untuk semua a  [0, 1]
iv. a ✻ b  c ✻ d bila a  c dan b  d untuk setiap a, b, c,d [0, 1].
Maka jelas jika didefinisikan a ✻ b = ab atau a ✻ b = { a , b }, maka ✻ merupakan kontinu t -norm.
2                                                                                                                                                  Mashadi
Definisi  2.3 .  suatu  operasi  biner ◊ :  [0,  1]  [0,  1]  [0,  1]  dikatakan  kontinu  t- conorm jika memenuhi kondisi berikut :
i. ◊ assosiatif dan komutatif
ii. ◊ kontinu
iii. a ◊ 0 = 0 untuk semua a  [0, 1]
iv. a ◊ b  c ◊ d bila a  c dan b  d untuk setiap a, b, c,d [0, 1].
Definisi 2.4 . Lima tupelo (X,  ,  , ✻, ◊ ) dikatakan Instutionistic Ruang fuzzy bernorma (disingkat IFNS), jika X adalah ruang vektor, ✻ kontinu t -norm, ◊ kontinu t -conorm dan  ,  adalah himpunan fuzzy pada X  [0,  ] yang memenuhi kondisi, untuk setiap x , y  X dan s , t > 0
(a).  ( x , t ) +  ( x , t )  1
(b).  ( x , t ) > 0
(c).  ( x , t ) = 1 jika dan hanya jika x = 0
(d). 𝜇 ∝ 𝑥, 𝑡  = 𝜇  𝑥, 𝑡 𝛼 untuk setiap   0.
(e).  ( x , t ) ✻  ( y , s )   ( x + y , t + s )
(f).  (x,.) : [0,  )  [0, 1] kontinu
(g). lim 𝑡→∞ 𝜇 𝑥, 𝑡  = 1   𝑑𝑎𝑛   lim 𝑡→0 𝜇 𝑥, 𝑡  = 0
(h).  ( x , t ) < 1,
(i).  ( x , t ) = 0 jika dan hanya jika x = 0
(j).  ∝ 𝑥, 𝑡  =  𝑥, 𝑡 𝛼 untuk setiap   0
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                     3
(k).  ( x , t ) ◊ ( y , s )  ( x + y , t + s ) (l).  ( x ,.) : [0,  )  [0, 1] kontinu
(m). lim 𝑡→∞  𝑥, 𝑡  = 0   𝑑𝑎𝑛   lim 𝑡→0  𝑥, 𝑡  = 1
Dalam hal ini  ,  dikatakan Intuitionistic Fuzzy Norma.
Beberapa penulis (Saadi dan Vaezpour, 2005; Sharma, 2002; Surender, 2011; Vaezpour  dan  Karini,  2011)  justru  mendefinisikan  ruang  fuzzy  bernorma  hanya dengan memberikan syarat yang lebih sederhana yaitu sebagai berikut.
Definisi  2.5 .  Pasangan  3-tupel    (X, V , ✻, )  dikatakan  Ruang  fuzzy  bernorma,  jika  X adalah ruang vektor, ✻ kontinu t -norm dan V adalah himpunan fuzzy pada X  [0,  ] yang memenuhi kondisi, untuk setiap x , y  V dan s , t > 0 berlaku (i). V ( x , t ) > 0 (ii). V ( x , t ) = 1 jika dan hanya jika x = 0
(iii). 𝑉 ∝ 𝑥, 𝑡  = 𝑉  𝑥, 𝑡 𝛼 untuk setiap   0.
(iv). V ( x , t ) ✻ V ( y , s )  V( x + y , t + s )
(v). V (x,.) : [0,  )  [0, 1] kontinu (vi). lim 𝑡→∞ 𝜇 𝑥, 𝑡  = 1
Akan  tetapi  ada  juga  penulis  lain  yang  mengganti  syarat  (i).  (iv)  dan  (v) sebagai berikut :
(i’). V ( x , t ) = 0 untuk setiap t  0. (sebenarnya syarat ini ekivalen dengan syarat (i)). (iv’). V (x + y, s + t)  min { V (x,s), V (y,t)}.
Syarat  (iv’)  ini  sebenarnya  juga  ekivalen  dengan  syarat  (iv),  karena  salah  satu contoh dari kontinu t -norm adalah a ✻ b = { a , b }.
(v’). V (x,.) merupakan fungsi  tak turun di  R,  yang sebenarnya juga ekivelan dengan syarat (v),
4                                                                                                                                                  Mashadi
Bila 𝑋,  . ruang  bernorma  dan  didefinisikan a ✻ b = ab atau a ✻ b = min { a , b }, kemudian definisikan
𝑉 𝑥, 𝑡  = 𝑘𝑡 𝑛 𝑘𝑡 𝑛 +𝑚  𝑥 ,     bila t > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑘, 𝑚, 𝑛  ∈   R +

## 0               𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡  ≤ 0
Maka  (X, V , ✻ )  adalah  ruang  bernormaa  fuzzy.  Khususnya  jika k = n = m =  1  akan diperoleh
𝑉 𝑥, 𝑡  = 𝑡 𝑡+ 𝑥 ,      𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡 > 0
0,            𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡  ≤ 0
Yang merupakan norma fuzzy standart yang di induksi dari norma . .
Bila 𝑋,  . ruang bernormaa dan didefinisikan a ✻ b = ab dengan
𝑉 𝑥, 𝑡  =    exp 𝑥 𝑡 −1
Untuk semua x  X dan t  (0,  ). Maka (X, V , ✻ ) adalah ruang fuzzy bernorma.
Definisi 2.6 . Misalkan (X, V , ✻ ) adalah ruang fuzzy bernorma, misalkan { x n } barisan di V ,  maka  barisan  { x n }  dikatakan  konvergen,  jika  terdapat x  V  sehingga lim 𝑛→∞ 𝑉 𝑥 𝑛 − 𝑥, 𝑡  = 1 , untuk setiap t > 0.
Definisi 2.7. Misalkan (X, V , ✻ ) adalah ruang fuzzy bernorma, misalkan { x n } barisan di V ,  maka  barisan  { x n }  dikatakan  barisan  Cauchy,  jika lim 𝑛→∞ 𝑉 𝑥 𝑛 +𝑝 − 𝑥 𝑛 , 𝑡  = 1 , untuk setiap t > 0 dan p = 1, 2, 3, . . .
Dari definisi di  atas juga akan berlaku bahwa dalam   ruang fuzzy bernorma, setiap barisan yang konvergen juga akan merupakan barisan Cauchy.
Definisi  2.8 .  Misalkan  A  X  dengan  (X, V , ✻ )  adalah  ruang  fuzzy  bernorma,  A dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat t > 0 dan 0 < r < 1 sehingga V ( x , t ) > 1 – r untuk semua x  A.
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                     5
Pendekatan lain untuk ruang fuzzy bernorma adalah sebagai berikut, dimulai dengan mendefinisikan titik fuzzy P x pada X  yaitu sebagai berikut (Iqbal dan Hemen, 2010; Karakus, dkk, 2008).
Definisi  2.9 .    Suatu  titik  fuzzy P x di  X  adalah  himpunan  fuzzy  dengan  fungsi keanggotaan
𝜇 𝑃𝑥 𝑦  =
∝ ,     𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 = 𝑥
0,   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Untuk semua y  X dengan 0 <  < 1. Kita notasikan titik fuzzy dengan x  atau ( x ,  ). Misalkan X ruang vektor atas lapangan K , dan misalkan 𝐴 himpunan fuzzy di X,  maka 𝐴 dikatakan  sub  ruang  fuzzy  di  X  jika  untuk  semua x , y  X  dan   K berlaku
i. 𝜇 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛 𝜇 𝐴 (𝑥), 𝜇 𝐴 (𝑦)
ii. 𝜇 𝐴  𝑥  𝜇 𝐴 𝑥 .
Berdasarkan konsep di atas didefinisikanlah ruang fuzzy bernorma yaitu sebagai berikut :
Definisi 2.10. Misalkan X ruang vector atas lapangan K , dan misalkan . 𝑓 : X  [0,  ), fungsi yang mengaitkan setiap titik x  di X,   (0, 1] bilangan real tak negatip
. 𝑓 sehingga :
(FN1). 𝑥 𝛼 𝑓 = 0 jika dan hanya jika x = 0
(FN2).  𝑥 𝛼 𝑓 =  𝑥 𝛼 ,  untuk semua   K.
(FN3). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 𝑓 ≤    𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 𝑓
(FN4). Jika 𝑥 𝛼 𝑓 < 𝑟 , dengan r > 0 maka terdapat 0 <    < 1 sehingga 𝑥 𝛼 𝑓 < r .
Maka . 𝑓 disebut fuzzy norma dan 𝑋.  𝐴, . 𝑓 disebut ruang fuzzy bernorma.
6                                                                                                                                                  Mashadi
Berdasarkan  Definisi  2.10  di  atas,  maka  didapat  hubungan  antara  rnorma biasa dengan fuzzy norm yaitu sebagai berikut.
Proposisi    2.11 . Misalkan 𝑋.  . ruang  bernorma  biasa,  definisikan 𝑥 𝛼 𝑓 = 1 ∝ 𝑥 untuk semua x   X dengan   (0, 1], maka 𝑋.  𝐴, . 𝑓 merupakan ruang fuzzy bernorma.
Bukti : Misalkan x  dan y   𝐴 dengan  ,   (0, 1] dan   K . maka :
(FN1). 𝑥 𝛼 𝑓 = 0  1 ∝ 𝑥  = 0  𝑥  = 0  x = 0.
(FN2).  𝑥 𝛼 𝑓 = 1 ∝  𝑥  =  ∝ 𝑥  =  .  𝑥 ∝ 𝑓 (FN3). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 𝑓 =     𝑥 + 𝑦 𝛾 𝑓 , dengan  = maks {  ,  } = 1 𝛾 𝑥 + 𝑦  ≤ 1 𝛾 𝑥  + 1 𝛾 𝑦    ≤ 1 ∝ 𝑥  + 1 𝛽 𝑦  =    𝑥 ∝ 𝑓 + 𝑦 𝛽 𝑓
(FN4).  Jika 𝑥 𝛼 𝑓 < 𝑟 , dengan r > 0, maka untuk   (0, 1] dengan    , maka berlaku :
𝑥 𝜌 ≤ 𝑥 ∝ < 𝑟 yang bermakna 𝑥 𝛼 𝑓 < r .
Sebaliknya  bila 𝑥 𝛼 𝑓 adalah  suatu  Ruang  fuzzy  bernorma,  definisikan 𝑥  =  𝑥 1 𝑓 =   𝑥, 1 𝑓 merupakan  ruang  bernorma.  Jadi  bila  kita  punya  ruang bernorma,  maka  senantiasa  bisa  kita  bentuk  ruang  fuzzy  bernorma  dan  begitu  juga sebaliknya,  dengan  kata  lain  ruang  bernorma  adalah  ekivalen  dengan  ruang  fuzzy bernorma. Sehingga semua sifat yang berlaku pada ruang bernorma juga akan berlaku pada ruang fuzzy bernorma. 
Selanjutnya (Kider, 2011a dan 2011b), mendefinisikan himpunan fuzzy buka, untuk  himpunan  fuzzy 𝐴 di  X,    himpunan  fuzzy  tutup  dan  fuzzy  kontinu    di 𝐴 didefinisikan sebagai berikut.
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                     7
Definisi  2.12 .  Misalkan 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 ruang  fuzzy  bernorma.  Diberikan 𝑥 𝛼 ∈  𝐴 dan bilangan  real r >  0.  Maka 𝐵( 𝑥 𝛼 , 𝑟) =  𝑦 𝛽 ∈  𝐴 :  𝑥 𝛼 − 𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 dikatakan  bola buka dengan jari-jari r .
Berdasarkan  Definisi  2.12  di  atas,  maka  dapatlah  didefinisikan  himpunan buka  dan  himpunan  tutup  pada  suatu  ruang  fuzzy  bernorma.  Misalkan 𝐴 himpunan fuzzy  pada  ruang  fuzzy  bernorma 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 dikatakan  buka  jika  setiap 𝑥 𝛼  𝐴 terdapat 𝐵( 𝑥 𝛼 , 𝑟)  𝐴 dan  himpunan  fuzzy 𝐵 dikatakan  tutup  jika  komplementnya buka.
Definisi  2.13 .  Misalkan 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 1 dan 𝑌.  𝐵 ,  . 𝑓 2 masing-masing  ruang  fuzzy bernorma. Pemetaan T : X  Y dikatakan fuzzy kontinu di 𝑥 𝛼 ∈  𝐴 jika untuk setiap  > 0  terdapat  > 0 sehingga 𝑇 𝑥 𝛼 − 𝑇(𝑦) 𝛽 𝑓 2 <  𝜀 untuk semua 𝑦 𝛽 ∈ 𝐵 dengan 𝑥 ∝ − 𝑦 𝛽 𝑓 1 <  𝛿 .
T  dikatakan  fuzzy  kontinu  jika  T  fuzzy  kontinu  disetiap  titik 𝑥 𝛼 ∈  𝐴 .
Selanjutnya  dengan  menggunakan  Definisi  2.13  di  atas  akan  dapat  ditunjukkan pemetaan  T  dari  ruang  fuzzy  bernorma 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 1 into  ruang  fuzzy  bernorma 𝑌.  𝐵, . 𝑓 2 adalah  fuzzy  kontinu  jika  dan  hanya  jika  setiap  inverse  image  dari sebarang himpunan fuzzy buka di 𝐵 adalah buka di X.
Selanjutnya  didefinisikan  barisan  konvergen,  himpunan  terbatas  pada  ruang fuzzy bernorma
Definisi  2.14 .  Barisan  fuzzy 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 pada  ruang  fuzzy  bernorma 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 dikatakan  konvergen 𝑥 ∝ ∈  𝐴 ,  jika lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 − 𝑥 ∝ = 0, dan 𝑥 ∝ dikatakan limit dari 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 dan ditulis lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 = 𝑥 ∝ .
8                                                                                                                                                  Mashadi
Definisi  2.15 .  Barisan  fuzzy 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 pada  ruang  fuzzy  bernorma 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 dikatakan  barisan  Cauchy  jika  untuk  setiap  >  0  terdapat  N 0 >  0  sehingga 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 −  𝑥 𝑚 , ∝ 𝑚 𝑓 < 𝜀 untuk setiap m , n > N 0 .
Berdasarkan  definisi-definisi  di  atas,  maka  teorema-teorema  yang  ada  dalam barisan  bilangan  real  akan  berlaku  untuk  barisa  pada  ruang  fuzzy  bernorma  (Kider, 2011a  dan  2011b),  misalnya  setiap  barisan  convergen  pada  ruang  linear  bernorm fuzzy adalah barisan Cauchy. Begitu juga jika Pemetaan T : X  Y pada ruang fuzzy bernorma 𝑋.  𝐴 ,  . 𝑓 1 dan 𝑌.  𝐵, . 𝑓 2 adalah fuzzy kontinu  di 𝑥 𝛼 ∈  𝐴 jika dan hanya  jika 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 →   𝑥 𝛼 menyebabkan 𝑇 𝑥 𝑛 , ∝ 𝑛 → 𝑇(𝑥) ∝ . Banyak  lagi konsep lain yang juga akan berlaku, misalnya keterbatasan, kelengkapan.

## 3. RUANG FUZZY BERNORMA-2 .
Sama  seperti  ruang  fuzzy  bernorma,  banyak  pendekatan  yang  dilakukan  untuk pendefinisian  ruang  fuzzy  bernorma-2,  akan  tetapi  dalam  tulisan  ini  konsep  ruang fuzzy bernorma-2 hanya akan diperumum dari Definisi 2.5 dan 2.10.
Definisi  3.1. Pasangan  3-tupel    (X, V , ✻, )  dikatakan  ruang  fuzzy  bernorma-2  jika  X adalah ruang vector, ✻ adalah kontinu t -norm dan V himpunan fuzzy di X  X  R dan untuk setiap x, y  X dan s, t > 0 memenuhi.
(FN-3.1). V (x,y;t) = 0 untuk semua t  R dan t  0.
(FN-3.2). V ( x , y ; t ) =  1, jika dan hanya jikax dan y bergangung linear, dengan t  R, t > 0.
(FN-3.3). V ( x , y ; t ) = V ( y , x ; t ) untuk semua x , y  X..
(FN-3.4). 𝑉  𝑥, 𝑦; 𝑡  = 𝑉  𝑥, 𝑦; 𝑡 𝛼 untuk setiap   0.
(FN-3.5). V ( x,z ; s ) ✻ V ( y,z ; t )  V ( x + y ,z; s + t )
(FN-3.6). V ( x , y ;.) : (0,  )  [0, 1] fungsi takturun untuk t  R.
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                     9
(FN-3.7). lim 𝑡→∞ 𝑉 𝑥, 𝑦; 𝑡  = 1 ,
Maka V dikatakan dikatakan norm-2 fuzzy pada X dan pasangan 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan ruang fuzzy bernorma-2.
Mengacu  pada  contoh  ruang  fuzzy  bernorma,  maka  Bila 𝑋,  ,  ruang bernorma-2, definisikan a ✻ b = ab atau a ✻ b = min {a,b} dan
𝑉 𝑥, 𝑦; 𝑡  = 𝑘𝑡 𝑛 𝑘𝑡 𝑛 +𝑚  𝑥,𝑦 bila 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑡 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑋
0,               𝑏𝑖𝑙𝑎   𝑡 ≤ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑅
Maka 𝑋, 𝑉, ✻ merupakan ruag fuzzy bernorm-2. Khusus jika k = n = m = 1 , maka diperoleh bentuk
𝑉 𝑥, 𝑦; 𝑡  = 𝑡 𝑡+ 𝑥,𝑦 bila 𝑡 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑋
0,           𝑏𝑖𝑙𝑎  𝑡 ≤ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈
Yang disebut dengan norma-2 fuzzy standart dengan norma  ,  .
Berikut  ini  diberikan  contoh  ruang  fuzzy  bernorma-2    yang  tidak  standar lainya, misalkan Bila 𝑋,  ,  ruang bernorma-2, definisikan a ✻ b = ab atau a ✻ b = min { a , b } dan definisikan :
𝑉 𝑥, 𝑦; 𝑡  = 𝑡 2 − 𝑥,𝑦 2 𝑡 2 + 𝑥,𝑦 2 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡 >    𝑥, 𝑦 0,                  𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡 <    𝑥, 𝑦
(FN-3.1). jika t  𝑥, 𝑦 dan jelas dari definisi V ( x , y ; t )  = 0, untuk setiap x , y  X. (FN-3.2).  untuk t > 0 dengan t > 𝑥, 𝑦 , misalkan V ( x , y ; t )  = 1.  𝑡 2 − 𝑥,𝑦 2 𝑡 2 + 𝑥,𝑦 2 = 1  𝑡 2 −  𝑥, 𝑦 2 = 𝑡 2 +  𝑥, 𝑦 2  𝑥, 𝑦  = 0  x dan y bergantung linear.
(FN-3.3). Jelas berlaku dari definisi 𝑥, 𝑦  =  𝑦, 𝑥
(FN-3.4). Untuk   0 dan jika t > ∝ 𝑥, 𝑦 , maka
10                                                                                                                                                 Mashadi
V ( ∝ x,y;t) = 𝑡 2 − ∝𝑥,𝑦 2 𝑡 2 + ∝𝑥,𝑦 2 = 𝑡 2 − ∝ 2 𝑥,𝑦 2 𝑡 2 + ∝ 2 𝑥,𝑦 2 = 𝑡 ∝ 2 − 𝑥,𝑦 2 𝑡 ∝ 2 + 𝑥,𝑦 2 = 𝑉  𝑥, 𝑦; 𝑡 ∝
Untuk   0 dan jika t  ∝ 𝑥, 𝑦 , maka 𝑡 ∝ ≤  𝑥, 𝑦 , jadi
V ( ∝ x , y ; t ) = 0 = 𝑉  𝑥, 𝑦; 𝑡 ∝
(FN-3.5).  Misalkan 𝑠  ≤  𝑥, 𝑧  𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑡  ≤  𝑦, 𝑧 ,  maka  jelas  ketaksamaan  dipenuhi.
Selanjutnya  misalkan 𝑠 >  𝑥, 𝑧  𝑑𝑎𝑛 𝑡 >  𝑦, 𝑧 ,  dan  tanpa  mengurangi keumuman misalkan V ( y , z ; t )  V ( x , y ; t )  maka diperoleh
𝑡 2 − 𝑦,𝑧 2 𝑡 2 + 𝑦,𝑧 2 ≥ 𝑠 2 − 𝑥,𝑧 2 𝑠 2 + 𝑥,𝑧 2  𝑡 2 𝑠 2 − 𝑠 2 𝑦, 𝑧 2 + 𝑡 2 𝑥, 𝑧 2 −  𝑥, 𝑧 2 𝑦, 𝑧 2 ≥ 𝑡 2 𝑠 2 − 𝑡 2 𝑥, 𝑧 2 + 𝑠 2 𝑦, 𝑧 2 − 𝑥, 𝑧 2 𝑦, 𝑧 2  𝑡 2 𝑥, 𝑧 2 −   𝑠 2 𝑦, 𝑧 2 ≥ 0 (i)
Selanjutnya  dari  hubungan  s  +  t  𝑥, 𝑧  +  𝑦, 𝑧    ≥  𝑥 + 𝑦, 𝑧 , diperoleh
𝑉 𝑥 + 𝑦, 𝑧; 𝑠 + 𝑡  = (𝑠+𝑡) 2 − 𝑥+𝑦,𝑧 2 (𝑠+𝑡) 2 + 𝑥+𝑦,𝑧 2 ≥ (𝑠+𝑡) 2 −  𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 (𝑠+𝑡) 2 +  𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2
Selanjutnya
(𝑠+𝑡) 2 −  𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 (𝑠+𝑡) 2 +  𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 − 𝑠 2 − 𝑥,𝑧 2 𝑠 2 + 𝑥,𝑧 2 = 𝑥,𝑧 2 𝑠+𝑡 2 −𝑠 2 𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 −𝑠 2 𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 + 𝑥,𝑧 2 𝑠+𝑡 2 𝑠+𝑡 2 +  𝑥,𝑧 + 𝑦,𝑧 2 . 𝑠 2 + 𝑥,𝑧 2
Sebut 𝐴 =   𝑠 + 𝑡 2 +   𝑥, 𝑧  +  𝑦, 𝑧 2 .  𝑠 2 +  𝑥, 𝑧 2 , maka = 2 𝐴 𝑥, 𝑧 2 𝑠 + 𝑡 2 − 𝑠 2 𝑥, 𝑧  +  𝑦, 𝑧 2 = 2 𝐴 𝑥, 𝑧 2 𝑡 2 + 2𝑠𝑡 𝑥, 𝑧 2 − 𝑠 2 𝑦, 𝑧 2 − 2𝑠 2 𝑥, 𝑧 .  𝑦, 𝑧 = 2 𝐴 𝑥, 𝑧 2 𝑡 2 − 𝑠 2 𝑦, 𝑧 2 + 2𝑠 𝑥, 𝑧  𝑡 𝑥, 𝑧  − 𝑠 𝑦, 𝑧      ≥ 0, (dari (i))
Jadi
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                   11
V ( x + y , z ; s + t )  V ( x , z ; t ) jika V ( x , z ; t )  V ( y , z ; t )
Dengan cara yang sama akan diperoleh
V ( x + y , z ; s + t )  V ( y , z ; t ) jika V ( y , z ; t )  V ( x , z ; t )
Dengan demikian
V ( x + y , z ; s + t )  min { V (x, z ; t ), V ( y , z ; t )}.
(FN-3.6).  Ambil t 1 < t 2 akan ditunjukkan V ( x , y ; t 1 )  V ( x , y ; t 2 ), untuk setiap x , y  X. Kasus 1. Misalkan t 2 > t 1  𝑥, 𝑦 , maka  perdefinisi  diperolah V ( x , y ; t 1 ) = V ( x , y ; t 2 ) = 0.
Kasus 2. Misalkan t 1 < t 2 < 𝑥, 𝑦 ,  maka berlaku : 𝑡 2 2 −  𝑥, 𝑦 2 𝑡 2 2 +  𝑥, 𝑦 2 − − 𝑥, 𝑦 2 𝑡 1 2 +  𝑥, 𝑦 2 = 𝑡 2 2 𝑥, 𝑦 2 − 𝑡 1 2 𝑥, 𝑦 2 𝑡 1 2 +  𝑥, 𝑦 2 .  𝑡 2 2 +  𝑥, 𝑦 2 = 𝑥,𝑦 2 𝑡 2 +𝑡 1 . 𝑡 2 −𝑡 1 𝑡 1 2 + 𝑥,𝑦 2 . 𝑡 2 2 + 𝑥,𝑦 2 ≥ 0
Jadi  berlaku V ( x , y ; t 2 )  - V ( x , y ; t 1
) ≥ 0 ,  ( x , y ;.)  :  (0,  )  [0,  1]  fungsi takturun untuk t  R.
(FN.3.7). Jelas lim 𝑡→∞ 𝑉 𝑥, 𝑦; 𝑡  = lim 𝑡→∞ 𝑡 2 − 𝑥,𝑦 2 𝑡 2 + 𝑥,𝑦 2 = 1 ,
Maka 𝑋, 𝑉, ✻ merupakan ruang linear bernorm-2 fuzzy.
Juga  mengacu  pada  definisi-definisi  yang  ada  pada  ruang  fuzzy  bernorma, didefinisikan berbagai definisi pada ruang fuzzy bernorm-2 sebagai berikut
Definisi  3.2 . Misalkan 𝑋, 𝑉, ✻ ruang    fuzzy  bernorm-2,  untuk t >  0  dan  unsur  tak nol z  X,  Himpunan  bagian  A  X  dikatakan  t-terbatas  jika  terdapat r  (0,  1) sehingga V( x , z ; t ) > 1 – r untuk semua x  A.
Definisi  3.3 .  Untuk t >  0  dan  unsur  tak  nol z  X.  Barisan  { x n }  pada  ruang  fuzzy bernorma-2 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan t -konvergen  ke x  X,  jika  untuk  setiap  0  <  <  1 terdapat n 0  N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V ( x n – x , z ; t ) > 1 -  , dinotasikan dengan 𝑥 𝑛 𝑡 → 𝑥 .
12                                                                                                                                                 Mashadi
Definisi  3.4 .  Untuk t >  0  dan  unsur  tak  nol z  X.  Barisan  { x n }  pada  ruang  fuzzy bernorma- n 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan t -konvergen ke x  X,  jika untuk   setiap 0 <  < 1 terdapat n 0  N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V ( x n – x k , z ; t ) > 1 -  ,
Definisi 3.5 . Misalkan 𝑋, 𝑉, ✻ ruang fuzzy bernorma-2,  untuk t > 0 dan unsur tak nol z  X, himpunan bagian A  X dikatakan  :
(i). t -tutup jika untuk setiap barisan { x n } di A konvergen ke suatu titik x  A (ii). t -kompak  setiap  barisan  { x n }  di  A  mempunyai  barisan  bagian 𝑥 𝑛 𝑘 yang t - konvergen ke x 0  A.
Mengacu  pada  pendekatan  ruang  fuzzy  bernorma  dari  (Kider,  2011a  dan 2011b),  maka bila didefinisikan untuk titik fuzzy x  + y  = ( x + y )  dengan  = maks {  ,  }, maka dapat didefinisikan ruang fuzzy bernorma-2 sebagai berikut :
Definisi 3.6. Misalkan X ruang vector atas lapangan K , dan misalkan . , . 𝑓 : X  [0,  ), fungsi yang mengaitkan setiap titik x  , y  di X,  ,   (0, 1] bilangan real tak negatip . , . 𝑓 sehingga (FN1). 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 = 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung linear.
(FN2). 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑦 𝛽 , 𝑥 ∝ 𝑓 untuk semua x  , y  di X
(FN3).  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 ,  untuk semua x  , y  di X dan semua   K.
(FN4). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 , 𝑧 𝛾 𝑓 ≤    𝑥 𝛼 , 𝑧 𝛾 𝑓
+  𝑦, 𝑧 𝛾 𝑓 untuk semua x  , y  dan z  di X (FN5). Jika 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 , dengan r >  0 maka terdapat 0 <  ,  <  ,   1
sehingga 𝑥  , 𝑦  𝑓 < r .
Maka . , . 𝑓 disebut fuzzy norm-2 dan 𝑋.  . , . 𝑓 disebut ruang fuzzy bernorma-2.
Berdasarkan Definisi 3.6 di  atas, maka didapat  hubungan antara rnorm biasa dengan fuzzy norm yaitu sebagai berikut.
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                   13
Proposisi   3.7 . Misalkan 𝑋.  . , . ruang bernorma biasa, definisikan 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 = 1 𝛿 𝑥, 𝑦 dengan  =  maks  {  ,  },untuk  semua  x  ,  y  ,  z   X  dan  ,  ,   (0,  1], maka 𝑋.  . , . 𝑓 merupakan ruang fuzzy bernorma-2.
Bukti : Misalkan x  , y   X dengan  ,   (0, 1] dan   K . maka :
(FN1). 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 = 0  1 𝛿 𝑥, 𝑦  = 0  𝑥, 𝑦  = 0  x dan y bergantung linear.
(FN2). 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 = 1 𝛿 𝑥, 𝑦  = 1 𝛿 𝑦, 𝑥  =  𝑦 𝛽 , 𝑥 ∝ 𝑓 (FN3).  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 = 1 𝛿  𝑥, 𝑦  =  𝛿 𝑥, 𝑦  =  .  𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 𝑓 (FN4). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 , 𝑧 𝛾 𝑓 ≤     𝑥 + 𝑦 𝜏 , 𝑧 𝛾 𝑓 ,     dengan  = maks {  ,  } = 1 𝜌 𝑥 + 𝑦, 𝑧  ≤ 1 𝜌 𝑥, 𝑧  + 1 𝜌 𝑦, 𝑧 , dengan  = mak s {  ,  } ≤ 1 𝜇 𝑥, 𝑧  + 1 𝜗 𝑦, 𝑧 ,     dengan  = maks {  ,  } dan  = maks {  ,  }
=     𝑥 ∝ , 𝑧 𝛾 𝑓 +    𝑦 𝛽 , 𝑧 𝛾 𝑓
(FN5).  Jika 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 , dengan r > 0,  karena  = maks {  ,  } dan     untuk  ,  (0, 1]  dengan  = maks {  ,  } sehingga    , maka berlaku :
𝑥,𝑦  ≤ 𝑥,𝑦  < 𝑟 yang bermakna 𝑥  , 𝑦  𝑓 < r .
Sebaliknya berdasarkan Definisi 3.6 bila 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 adalah suatu Ruang fuzzy bernorma-2,  definisikan 𝑥, 𝑦  =  𝑥 1 , 𝑦 𝛽 𝑓 atau 𝑥, 𝑦  =  𝑥 𝛼 , 𝑦 1 𝑓 ,  merupakan ruang bernorma-2. Jadi  berdasarkan definisi 3.6 dan proposisi 3.7 diperoleh bila kita punya  ruang  bernorma-2,  maka  senantiasa  bisa  kita  bentuk  ruang  fuzzy  bernorma-2 dan  begitu  juga  sebaliknya,  dengan  kata  lain  ruang  bernorma-2  adalah  ekivalen dengan  ruang  fuzzy  bernorma-2.  Sehingga  semua  sifat  yang  berlaku  pada  ruang bernorma juga akan berlaku pada ruang fuzzy bernorma.
Misalkan 𝑋.  . 𝑓 ruang fuzzy bernorma, definsikan
14                                                                                                                                                 Mashadi
𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 𝑓 = 0 ,           𝑗𝑖𝑘𝑎  𝑥 ∝ − 𝑦 𝛽 𝑓 = 0 𝑥 ∝ 𝑓 .  𝑦 𝛽 𝑓 , 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Maka 𝑋.  . , . 𝑓 merupakan ruang fuzzy bernorma-2.
(FN.1). Jelas dari definisi, 𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 𝑓 = 0 , jika dan hanya 𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 bergantung linear.
(FN.2).    jika 𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 bergantung  linear,  jelas 𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑦 𝛽 , 𝑥 ∝ 𝑓 ,  selanjutnya misalkan tidak bergantung linear. Maka
𝑥 ∝ , 𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑥 ∝ 𝑓 .  𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑦 𝛽 𝑓 .  𝑥 ∝ 𝑓 . =  𝑦 𝛽 , 𝑥 ∝ 𝑓 (FN.3).  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑥 ∝ 𝑓 .  𝑦 𝛽 𝑓 =  .  𝑥 ∝ 𝑓 .  𝑦 𝛽 𝑓 =  𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 (FN.4). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 , 𝑧 𝛾 𝑓 =  𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 𝑓 .  𝑧 𝛾 𝑓 ≤   𝑥 𝛼 𝑓 +  𝑦 𝛽 𝑓 .  𝑧 𝛾 𝑓 =    𝑥 𝛼 𝑓 .  𝑧 𝛾 𝑓 +  𝑦 𝛽 𝑓 .  𝑧 𝛾 𝑓 = 𝑥 𝛼 , 𝑧 𝛾 𝑓 +  𝑦 𝛽 , 𝑧 𝛾 𝑓 (FN.5). Jika 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 , dengan r > 0, maka
𝑥 𝛼 𝑓 < 𝑟 , jadi terdapat  0 <  <  < 1 sehingga 𝑥  𝑓 < 𝑟 , dan
𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 , jadi terdapat 0 <  <  < 1 sehingga 𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 .  Jadi
𝑥  , 𝑦  𝑓 =    𝑥  𝑓 .  𝑦 𝛽 𝑓 < 𝑟 2 < 𝑟 Jadi 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛽 𝑓 merupakan norm-2 fuzzy pada X dan 𝑋.  . , . 𝑓 merupakan ruang fuzzy bernorma-2.

## 4. RUANG FUZZY BERNORMA- N .
Berikut  ini  diberikan  perumuman  ruang  fuzzy  bernorma-n  berdasarkan  definisi  2.5 dan 3.1.
Definisi 4.1 . Himpunan bagian fuzzy 𝐴 pada 𝑋 𝑛 × 𝑅 dikatakan norma- n fuzzy pada X jika memenuhi :
(FN-n-1), V ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; t ) =  0, untuk semua t  R, t < 0.
(FN-n.2). V ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; t ) =  1, jika dan hanya jika x 1 , x 2 , . . ., x n bergantung linear, dengan t  R, t > 0.
(FN-n.3). 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡 invariant untuk semua permutasi dari x 1 , x 2 , . . . , x n (FN-n.4). 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝛼𝑥 𝑛 ; 𝑡  = 𝑉  𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡 𝛼 untuk setiap   0.
(FN-n.5). untuk semua s , t  R.
𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 , 𝑦 + 𝑧; 𝑠 + 𝑡  ≥ 𝑚𝑖𝑛 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 −1 , 𝑦; 𝑠 , 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 , 𝑧; 𝑡 (FN-n.6). 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡 fungsi tak turun untuk t  R.
(FN-n.7). lim 𝑡→∞ 𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡  = 1
Maka V dikatakan  dikatakan  norma- n fuzzy  pada  X  dan  pasangan 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan ruang fuzzy bernorma- n .
Mengacu  pada  contoh  ruang  fuzzy  bernorma,  maka  Bila 𝑋,  ,  , ⋯ ,  ruang bernormaa-n, definisikan a ✻ b = ab atau a ✻ b = min {a,b} dan
𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡  =
𝑘𝑡 𝑛 𝑘𝑡 𝑛 +𝑚  𝑥 1 ,𝑥 2 ,⋯,𝑥 𝑛 bila 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑡 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋

## 0,               𝑏𝑖𝑙𝑎   𝑡 ≤ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑅
Maka 𝑋, 𝑉, ✻ merupakan ruag fuzzy bernorma- n . Khusus jika k = n = m = 1, maka diperoleh bentuk
𝑉 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ; 𝑡  = 𝑡 1+ 𝑥 1 ,𝑥 2 ,⋯,𝑥 𝑛 bila  𝑡 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋
0,         𝑏𝑖𝑙𝑎   𝑡 ≤ 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑥, 𝑦  ∈ 𝑅
Definisi 4.2 . Misalkan 𝑋, 𝑉, ✻ ruang fuzzy bernorma- n ,  untuk t > 0 dan unsur tak nol  z  X,  Himpunan  bagian  A  X  dikatakan  t-terbatas  jika  terdapat r  (0,  1) sehingga V( 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 −1 ,z;t) > 1 – r untuk semua x  A.
Definisi  4.3 .  Untuk  t  > 0  dan  unsur  tak  nol    z  X.  Barisan  {x n }  pada  ruang  fuzzy bernorma- n 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan t-konvergen ke x  X,   jika untuk    setiap 0 <  < 1 terdapat n 0  N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V( 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 , x n – x,;t) > 1 -  , dinotasikan dengan 𝑥 𝑛 𝑡 → 𝑥 .
Definisi  4.4 .  Untuk  t  >  0  dan  unsur  tak  nol z  X.  Barisan  { x n }  pada  ruang  fuzzy bernorma- n 𝑋, 𝑉, ✻ dikatakan t-konvergen ke x  X,  jika untuk   setiap 0 <  < 1 terdapat n 0  N sehingga untuk semua n > n 0 berlaku V ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 , x m – x k ,; t ) > 1 -  ,
Kembali  ke  ruang  fuzzy  bernorma- n yang  merupakan  pengembangan  dari definisi 3.5, sedikit ramai notasi untuk unsur-unsur di 𝐴 , bila x 1 , x 2 , . . ., x n  X, maka fuzzy point di 𝐴 mestinya dinotasikan dengan 𝑥 1 ∝1 , 𝑥 2 ∝2 ,⋯, 𝑥 𝑛 ∝𝑛 dengan 0 <  i  1, i = 1, 2, . . . , n . Dalam tulisan ini penulisan unsur titik fuzzy disederhanakan  yaitu unsur 𝑥 1 ∝1 , 𝑥 2 ∝2 ,⋯, 𝑥 𝑛 ∝𝑛 menjadi 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 yang  bermakna  unsur x i  X berkorespondensi dengan 𝑥 𝑖 ∝𝑖 ∈ 𝐴 .
Mengacu pada Definisi 3.6, maka didefinisikan ruang linear bernorma- n fuzzy sebagai berikut :
Definisi 4.5 . Misalkan X ruang vektor atas lapangan K , dan misalkan . , ⋯ , . 𝑓 : X  [0,  ),  fungsi  yang  mengaitkan  setiap  titik 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 di 𝐴 ,  i  (0,  1] bilangan real tak negatif . , ⋯ , . 𝑓 sehingga (FN1). 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 = 0 jika dan hanya jika 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 bergantung linear (FN2). 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 invariat terhadap permutasi (FN3).  𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 =  𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 , untuk semua
𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 di X dan semua   K.
(FN4). 𝑥 𝛼 +   𝑦 𝛽 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 ≤    𝑥 𝛼 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 +  𝑦 𝛽 , 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 untuk semua x  , y  dan 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 di X
(FN5). Jika 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 < 𝑟 , dengan r > 0 maka terdapat 0 <  i <  j  1, i , j = 1, 2, . . . , n sehingga 𝑥  1 , 𝑥  2 , ⋯ , 𝑥  𝑛 𝑓 < r .
Maka . , ⋯ , . 𝑓 disebut fuzzy norm-2 dan (X, 𝐴 ,  . , ⋯ , . 𝑓 ) disebut ruang fuzzy bernorma- n .
Ekivalen  dengan  proposisi  3.7,  maka  kalau  bila 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ruang  linear bernorma- n ,  maka  kalau  didefinisikan 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 = 1 𝛿 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 dengan  = maks {  1 ,  2 , . . .,  n } maka dengan cara yang sama dengan pembuktian teorema  3.6  akan  diperoleh 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 ruang  linear  bernorma- n fuzzy.
Begitu  juga  sebaliknya  jika 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 ruang  linear  bernorma- n fuzzy, maka kalau didefinisikan 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 =    𝑥 𝑖 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 dengan i = 1 dan  j  i.  atau  dalam  notasi  lain 𝑥(𝑖), 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 dengan  j  1,  maka 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 =    𝑥(1), 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 merupakan  ruang  linear  bernorma- n .  Jadi untuk  pendefinisian  di  atas,  ruang  linear  bernorma- n adalah  ekivalen  dengan  linear fuzzy bernorma- n . Sehingga konsep yang berlaku pada ruang linear bernorma- n .juga akan berlaku pada ruang linear  fuzzy bernorma- n .
Mengacu  pada  (Gunawan  dan  Mashadi,  2001a  dan  2001b),  bahwa  kalau 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 norma- n pada  X,  maka  senantiasa  dapat  dibentuk 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 yang  merupakan  norma-( n -1)  pada  X  dan  begitu  juga  sebaliknya.  Jadi  kalau  kita punya ruang fuzzy bernorma- n , maka juga senantiasa ak/an dapat dibentuk norma-( n - 1) pada X dan begitu juga sebaliknya.
Teorma 4.6 . Misalkan 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 norma-n fuzzy pada X, kemudian bentuk
𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 𝑓 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 , 𝑎 𝛽 𝑖 𝑓 dengan 𝑎 1 , 𝑎 2 , ⋯ , 𝑎 𝑛 himpunan  yang  bebas  linear  di  X.  yang  berkorespondensi dengan  unsur 𝑎 𝛽 1 , 𝑎 𝛽 2 , ⋯ , 𝑎 𝛽 𝑛 di 𝐴 ,    Maka 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 𝑓 norm-(n-1) fuzzy pada X.
Bukti :  Bukti  (FN.1)  s/d  (FN.4)  ekivalen  dengan  bukti  teorema  2.1  pada  [7],  maka disini akan dibuktikan (FN.5) saja.
Misalkan 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 𝑓 = 𝑚𝑎𝑘𝑠  𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 , 𝑎 𝛽 𝑗 𝑓 < 𝑟 ,
dengan r >  0,  karena 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 𝑓 norma- n fuzzy,  maka  terdapat  i dan  i dengan  i <  i dan  i <  j i  =  1,2,  .  .  .  , n -1,  sehingga 𝑥  1 , 𝑥  2 , ⋯ , 𝑥  𝑛 −1 𝑓 = 𝑚𝑎𝑘𝑠  𝑥  1 , 𝑥  2 , ⋯ , 𝑥  𝑛 −1 , 𝑎  𝑗 𝑓 < 𝑟 .  Jadi 𝑥 𝛼 1 , 𝑥 𝛼 2 , ⋯ , 𝑥 ∝ 𝑛 −1 𝑓 norma-( n -1)  fuzzy pada X.


## 5. DAFTAR PUSTAKA
Alotaibi, A. M, (2010), On Statisticall Convergent Double Sequences in Intutionistic Fuzzy 2-Normed Spaces, 4 (46), 2249 – 2262.
Bag.  T  dan  Samanta.  S.K,  (2005),  Fuzzy  Bounded  Linear  Operator, Fuzzy  Set  and Sustems , 151, 513 – 547.
Elegan,  S.K,  Zayen,  E.M.W  dan  Noval,  T,  A.  (2010),    Some  Remarks  on  Series  in Fuzzy n -Normed Spaces, Int Math Forum , 5 (3), 117 – 124.
Eshaghi.  M.G,  Abbaszadeh.  S  dan  Rassias,  Th.  M,  (2009),  On  the  Mazur-Ulam Theorem In Fuzzy n-Normed Strictly Convex Spaces, Acxiv math, FA, 1 – 7.
Golet.I, (2009), On Generalized fuzzy normed spaces, Int Math Forum , 4 (25), 1237 – 1242.
Gunawan,  H  dan  Mashadi,  (2001a),  On  Finite  Dimensional  2-Normed  Spaces, Soocow J of Math , 7 (3), 321-329
Gunawan, H dan Mashadi, (2001b), On n -Normed Space, IJMMS , 27 (10), 631 – 639
Iqbal  H.  Jebril,  and  Hemen  Dutta,  (2010),  Generalization  of  n-Normed  Space, General Mathematics Notes , I (1), 8 – 19.
Karakus S, Demirki K and Duman O, (2008), Statistical Convergence on Intituinistic Fuzzy Linear Space, Chaos Solitons and Fractals , 35, 763 769.
Kider J.R,  (2011),  On Ruang fuzzy bernormas, Eng & Tech Journal, 29 (9), 1790  – 1795.
Kider  J.R,  (2011),    Completion  of  Fuzzy  Normed  Space, Eng  &  Tech  Journal , 29 (10), 2004 – 2012.
Mashadi.  (2010),  A  New  Method  for  Dual  Fully  Fuzzy  Linear  System  by  Use  LU- Factorizations of the Coefficient Matrix, JMS , 17 (3), 101 – 106.
Moghaddam.  M.A  dan  Sistani.  T,  (2011),  On  t-Best  Coapproximation  in  Fuzzy  2- Normed Spaces, 5 (9), 2241 – 2248.
Mursaleen. M  dan Danish Lohani. Q.M,(2008), Intuitionistic Fuzzy 2-Normed Space and Some Related Concepts, Chaos, Solitons and Fracta,
Saadi. R dan Vaezpour. S.M., (2005), Some Result on  Banach Spaces, J.Appl Math & Computing , 17 (no 1-2), 475 – 484.
Samanta.  T.K  and  Jebril.  I.H,  (2009),  Finite  Dimentional  Intuitunionistic  Fuzzy Normed Linear Space, Int J Open Problems Comp math , 2 (4),  574 – 591.
20                                                                                                                                                 Mashadi
Samanta. T.K dan Mohinta. S, (2011), A Note on Generalizwd Intuitionistic Fuzzy  - Normed Linear Space, Global J of Science Frontier Research , 11 (1),  1 – 13.
Sharma. S, (2002), On Fuzzy Metric Space, Southeast Asian Bull of Math , 26, 133 – 145.
Somasundaram.  R.M  dan  Beaula.  T,  (2009),  Some  Aspects  of  2-Fuzzy  2-Normed Linear Space, Bull of the Malaysian Math Scie Soc , 2, 32 (2), 211 – 221.
Surender  Teddy.  B,  (2011),  Intuitionistic  Fuzzy  2-Norm ,  Int  Journal  of  Math Analysis , 5 (14), 651 – 659.
Vaezpour.S.M  dan  Karimi.  F,  (2008),  T-Best  Approximation  in  Ruang  fuzzy bernorma, 5(2), 93 – 99.
Vilayabalaji.  S,  Natesan.  T  dan  Jun.  Y.  B,  (2007),  Intuitionistic  Fuzzy n -Normed Linear Spaces, Bull Korean Math Soc , 44 (2), 291 – 308..
Xiao.  J.  Z  dan  Zhu,  X.H.  (2003),  Ruang  fuzzy  bernorma  of  Operator  and  its Completeness, Fuzzy Set and Systems , 133 , 389 – 399.
Beberapa Konsep yang Berkaitan pada Ruang Fuzzy                                                                   21