## RESEARCH ARTICLE
Improved  Exponential  Approach  Method  in Determining Optimum Solutions for Transportation Problems Rusli*, Sukarna, & Wahyudin
Department of Mathematics, Universitas Negeri Makassar, Makassar, Sulawesi Selatan, Indonesia
Abstract: This study describes the transportation methods that regulate and distribute resources that provide products where they are needed to achieve efficient  transportation  costs.  Solve  a  transportation  problem  in  this  thesis using  the  Improved  Exponential  Approach  method,  then  using  the  NWC (Northwest) method to test its optimization. The purpose of this research is to get more optimal results as initial consideration to increase the distribution cost savings in the Bread Company. Costs incurred by the company before the study amounted to Rp.3,218,000. The results of this study found that the application  of  the  transportation  method  using  the  Improved  Exponential Approach method is effectively used compared to the NWC method which has a comparison of transportation costs of Rp. 2,612,500 and Rp. 2,785,000, Optimization test results obtained from the Improved Exponential Approach method  amounted  to  Rp2,612,500.  And  the  Improved  Exponential Approach  method  used  by  researchers  can  be  applied  to  the  Gardenia company.
Keywords :  operation  research,  linear  program,  transportation  method,  NWC  method, Improved Exponential Approach method.

## 1. Introduction
Program  Linear  merupakan  salah  satu  alat  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah optimalisasi  suatu  model  linier  dengan  keterbatasan-keterbatasan  yang  tersedia  (Dwijanto, 2008).  Program  Linear  merupakan  metode  riset  operasi  yang  paling  banyak  digunakan dalam  membuat  keputusan  terutama  pada  hal-hal  yang  berkaitan  dengan  ekonomi  dan bisnis  (Dimyati,  1987).    Salah  satu  metode  yang  digunakan  dalam  menyelesaikan  masalah program linear adalah Metode Transportasi (Siswanto, 2007).
Ada  berbagai  macam  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah transportasi misalnya dalam mendapatkan penyelesaian awal seperti Metode NWC (North West Corner), Metode LC (Least Cost), Metode VAM (Vogel Approximation Method), dan Metode  RAM (Russel Approximation Method) (Yunistira, 2014). Setelah penyelesaian awal didapat. Maka langkah selanjutnya adalah uji optimalisasi dengan penyelesaian akhir seperti Metode  Stepping  Stone  dan  MODI  (Modified  Distribution)  untuk  mendapatkan  solusi optimum (Wijayanti, 2011).
Seiring  berjalannya  waktu,  metode-metode  baru  yang  dapat  memecahkan  permasalahan transportasi  untuk  mendapatkan  solusi  yang  optimum  pun  bermunculan.  Vannan  dan Rekha (2013), dalam jurnal berjudul “ A New Method for Obtaining an Optimal Solution for  Transportation  Problem”,  mengemukakan  Metode  Improved  Exponential  Approach,
* Corresponding author: Rusli, Department of Mathematics, Universitas Negeri Makassar, Makassar, Sulawesi Selatan, Indonesia
E-mail: rusli.siman@unm.ac.id
sebuah metode baru yang dapat memecahkan permasalahan trasportasi. Metode Improved Exponential  Approach  sendiri  memberikan  langkah-langkah  yang  sederhana  dan  cepat dalam  menyelesaikan  masalah  transportasi  untuk  mendapatkan  solusi  yang  optimum. Metode  Improved  Exponential  Approach  tidak  memerlukan  solusi  fisibel  awal  (langsung mendapatkan solusi  optimum)  atau  disebut sebagai  metode  langsung. Pengalokasian pada metode  Improved  Exponential  Approach  bergantung  pada  angka  nol  yang  muncul  pada tabel transportasi.
Objek  penelitian  dalam  penulisan  ini  adalah  perusahaan  roti  Gardenia  yang  terletak  di  Jl. Poros panciro no.18. Perusahaan ini mempunyai beberapa pabrik dan gudang yang tersebar di berbagai wilayah Indonesia yang kegiatan usahanya memproduksi makanan ringan dalam jumlah yang  besar. Dengan pendistribusian produk  makanan ringan yang  banyak  tersebut maka  sangatlah  cocok  untuk  mengukur  biaya  distribusi  dengan  menggunakan  Metode Transportasi, dan produk yang menjadi objek penelitian adalah roti Gardenia kemasan 250 ml.  Dan  biaya  transportasi  yang  dikeluarkan  oleh  Perusahaan  roti  Gardenia  sebelum penelitian dengan menggunakan perhitungan tersendiri sebesar Rp.3.218.000.

## 2. Literature Review

## 2.1. Metode Transportasi
Metode  transportasi  adalah  suatu  metode  yang  digunakan  untuk  mengatur  distribusi  dari sumber sumber yang menyediakan produk yang sama atau sejenis ke tempat tujuan secara optimal (Syarifuddin, 2011).
Tabel 1. Metode Transportasi (Hiller, 1990)
Keterangan : Pengiriman barang dari pabrik 𝒊(𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒎) Pengiriman barang ke tempat tujuan 𝒋(𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏) 𝑿 𝒊𝒋 : Jumlah barang yang dikirim dari 𝑺 𝒊 ke 𝑫 𝒋 𝑪 𝒊𝒋 : Biaya pengiriman per unit dari 𝑺 𝒊 ke 𝑫 𝒋 𝒎 : Jumlah pengiriman dari pabrik
𝒏 : Jumlah pengiriman ke gudang
𝑺 : Kapasitas pabrik
𝑫 : Kapasitas gudang

## 2.2. Metode Improved Exponential Approach
Metode Improved Exponential Approach adalah metode yang dikembangkan oleh (Vannan &  Rekha,  2013).  Metode  yang  diusulkan  ini  mudah  dipahami  dan  memiliki  perhitungan dengan sedikit iterasi. Dalam perhitungan metode ini langsung didapatkan solusi optimum tanpa  harus  mencari  solusi  fisibel  awalnya  terlebih  dahulu.  Langkah-langkah  menentukan solusi  optimum  dengan  metode  Improved  Exponential  Approach  :  (Vannan  &  Rekha, 2013)
1) Membentuk model transportasi (Tabel) dari masalah transportasi yang diberikan.
2) Mengurangi setiap entri baris dari tabel transportasi dari minimum baris masing-masing dan kemudian mengurangi setiap entri kolom  tabel transportasi dari minimum kolom masing-masing, sehingga setiap baris dan kolom akan memiliki setidaknya satu nol.
3) Memilih nol yang terdapat pada sel ij dalam tabel. Menghitung jumlah total angka nol yang  ada  (tidak  termasuk  nol  yang  dipilih)  dalam  baris  i  dan  kolom  j.  Kemudian menetapkan penalti eksponen (jumlah nol pada baris i dan kolom j tidak termasuk nol yang dipilih). Mengulangi prosedur untuk semua nol dalam tabel.
4) Memilih  nol  untuk  minimum  penalti  eksponen  yang  didapat  dari  langkah  3  dan mengalokasikan  nilai  sel  dengan  jumlah  maksimum  yang  mungkin.  Jika  terjadi  nilai penalty eksponen sama untuk setiap sel maka pertama memeriksa nilai permintaan dan persediaan, menghitung nilai rata-ratanya dan menetapkan alokasi untuk nilai rata-rata yang  terendah.  Jika  tetap  sama,  maka  memeriksa  nilai  yang  sesuai  dalam  baris  dan kolom, memilih yang minimum.
5) Menandai baris atau kolom (di mana persediaan atau permintaan menjadi (nol) untuk tidak dimasukan dalam perhitungan selanjutnya.
6) Memeriksa  apakah  tabelyang  dihasilkan  memiliki  setidaknya  satu  nol  dalam  setiap kolom dan di setiap baris. Jika tidak kembali ke step 2.
7) Mengulangi langkah 3 hingga langkah 6 sampai semua permintaan terpenuhi dan semua persediaan habis.
8) Menghitung biaya optimumnya.

## 3. Results and Discussion
Penelitian  diperoleh  dari  gambaran  umum  tentang  gudang  dan  gambaran  umum  tentang cabang  yang  dimiliki  oleh  masing-masing  gudang  tersebut, beserta  suplay  yang  di  peroleh setiap gudang dan jumlah permintaan pada setiap cabang. PT. GARDENIA mempunyai 3 gudang  di  daerah Sulawesi  selatan yaitu 1  gudang  di  daerah Panciro, 1  di  daerah Takalar, dan 1 lagi di daerah Bulukumba. Pada setiap gudang jumlah kapasitas yang dimiliki berbeda- beda  karena  disesuaikan  dengan  kebutuhan  setiap  cabang,  begitupun  setiap  cabang  juga bermacam-macam  jumlah  permintaan  karena  disesuaikan  dengan  kebutuhan  seorang konsumen.
Adapun jumlah kapasitas setiap gudang dan jumlah permintaan setiap cabang adalah :
Tabel 2. Kapasitas Gudang PT. Gardenia Gudang Suplai Gudang Gardenia Panciro 3000 bungkus/minggu Gardenia Takalar 2200 bungkus/minggu Gardenia Bulukumba 2250 bungkus/minggu Total 7750 bungkus/minggu
Berdasarkan kapasitas gudang pada Tabel 2 meliputi permintaan kebutuhan cabang : Tabel 3. Kapasitas Cabang PT. Gardenia Cabang Permintaan Cabang Gardenia Gowa 1000 bungkus/minggu Gardenia Limbung 1250 bungkus/minggu Gardenia Maros 1500 bungkus/minggu Gardenia Pangkep 2000 bungkus/minggu Gardenia Barru 2000 bungkus/minggu Total 7750 bungkus/minggu
Dalam  mendistribusikan  Roti  kesetiap  daerah  PT.  GARDENIA  menggunakan  jenis transportasi  Darat  yaitu  dengan  menggunakan  mobil  Kanvas.  Adapun  biaya  transportasi /bungkus Roti adalah :
Tabel 4. Biaya Transportasi Roti/Bungkus Jalur Distribusi Biaya/bungkus (Rp) Panciro – Gowa 50 Panciro -  Limbung 100 Panciro – Maros 150 Panciro – Pangkep 200 Panciro – Barru 250 Takalar – Gowa 100 Takalar -  Limbung 50 Takalar – Maros 200 Takalar – Pangkep 250 Takalar – Barru 300 Bulukumba – Gowa 500 Bulukumba -  Limbung 450 Bulukumba – Maros 600 Bulukumva – Pangkep 700 Bulukumba – Barru 800
Adapun  isi  setiap  mobil  Kanvas  yang  berjumlah  500  bungkus  Roti.  Jadi,  biaya transportasi/Kanvas dalam mendistribusikan Roti dari gudang ke cabang adalah :
Tabel 5. Biaya Transportasi Roti / 500 Bungkus Jalur Distribusi Biaya/bungkus (Rp) Panciro – Gowa 25000 Panciro -  Limbung 50000 Panciro – Maros 75000 Panciro – Pangkep 100000 Panciro – Barru 125000
Jalur Distribusi Biaya/bungkus (Rp) Takalar – Gowa 50000 Takalar -  Limbung 25000 Takalar – Maros 100000 Takalar – Pangkep 125000 Takalar – Barru 150000 Bulukumba – Gowa 250000 Bulukumba -  Limbung 225000 Bulukumba – Maros 300000 Bulukumva – Pangkep 350000 Bulukumba – Barru 400000
3.1. Total Biaya Minimum Distribusi Barang Pengiriman Roti PT. Gardenia dengan Metode Improved Exponential Approach
Perhitungan  total  biaya  minimum  dengan  menggunakan  metode  Improved  Exponential Approcah.  Berikut  ini  akan  dijelaskan  proses  dalam  menentukan  total  biaya  minimum distribusi  pengiriman  roti  dengan  menggunakan  metode  Improved  Exponential Approcah.isi  setiap  mobil  Kanvas  yang  berjumlah  500  bungkus  Roti.  Jadi,  biaya transportasi/Kanvas dalam mendistribusikan Roti dari gudang ke cabang adalah :
TABEL 6. Tabel Awal Metode Transportasi
Gowa Barru Maros Pangkep Barru Supply Panciro 50 100 150 200 250 3000 Takalar 100 50 200 250 300 2200 Bulukumba 500 450 600 700 800 2550 Demand 1000 1250 1500 2000 2000 7750
Dari Tabel 5 di atas, perlu di perhatikan apakan jumlah Demand ( 𝑫 𝒊 )  sama dengan jumlah Suplay ( 𝑺 𝒊 ). Untuk menentukan nilai tersebut dapat menggunakan persamaan berikut (Pangestu, 2000) :
∑ 𝑺 𝒊 𝟑 𝒊=𝟏 = 7750         ⇔ ∑ 𝑫 𝒊 𝟓 𝒊=𝟏 = 7750
Karena  jumlah  suplay  dan  demand  sama  (7750)  ,  maka  kita  tidak  perlu  menambahkan variable dummy.
Lo ka si Su m b er ( sour ces ) Lokasi Tujuan (Destination)
Adapun  hasil  pengalokasian  model  transportasi  dengan  metode  Improved  Exponential Approach berdasarkan tabel awal pada tabel 6 yaitu:
Tabel 7. Hasil Pengalokasian dengan Metode Improved Exponential Approach
Gowa Barru Maros Pangkep Barru Supply Panciro 1000 50 100
1500 150 500
200 250 3000
Takalar 100 1250 50 200 250 950 300 2200 Bulukumba 500 450 600 1500 700 1050 800 2550 Demand 1000 1250 1500 2000 2000 7750
Untuk  menghitung  biaya  optimal,  dapat  menggunakan  persamaan  fungsi  tujuan  berikut (Mulyono, 2004):
𝑍 = ∑ (∑(𝑥 𝑖𝑗 × 𝑏 𝑖𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 ) 𝑚 𝑖=1
Adapun penghitugnan biaya pendistribusian sebagai berikut:
1) Biaya pengiriman dari Panciro ke Gowa =  1000 × 50 = 50.000
2) Biaya pengiriman dari Panciro ke Maros = 1500 × 150 = 225.000
3) Biaya pengiriman dari Panciro ke Pangkep = 200 × 500 = 100.000
4) Biaya pengiriman dari Takalar ke Limbung = 1250 × 50 = 62.500
5) Biaya pengiriman dari Takalar ke Barru = 950 × 300 = 285.000
6) Biaya pengiriman dari Bulukumba ke Pangkep = 1500 × 700 = 1.050.000
7) Biaya pengiriman dari Bulukumba ke Barru = 1050 × 800 = 840.000
Jadi, total biaya transportasi untuk mendistribusikan roti dari suatu gudang ke suatu cabang yang diperoleh dengan metode Improved Exponential Approach adalah :
Z=50.000+225.000+100.000+62.500+285.000+1.050.000+840.000=Rp.2.612.500

## 3.2. Total Biaya Minimum Distribusi Barang Pengiriman Roti PT. Gardenia dengan Metode NWC
Dengan  menggunakan  nilai  awal  tabel  6  dilakukan  pengujian  solusi  optimal  dengan membanding  hasil  yang  telah  diperoleh  dengan  penelitian  yang  telah  dilakukan  peneliti
Lokasi Tujuan ( Destination) Lo ka si Su m be r (so urc es )
sebelumnya  dengan  metode  NWC  untuk  memastikan  apakah  biaya  transportasi  tersebut lebih minimum.

## Tabel 8. Hasil Pengalokasian dengan Metode NWC (Afriani, 2016)
Gowa Barru Maros Pangkep Barru Supply Panciro 1000 50 1250
100 750
150 200 250 3000 Takalar 100 50 750
200
1450 250 300 2200 Bulukumba 500 450 600 550 700 2000 800 2550 Demand 1000 1250 1500 2000 2000 7750
menghitung biaya optimal, dapat menggunakan persamaan fungsi tujuan berikut :
𝑍 = ∑ (∑(𝑥 𝑖𝑗 × 𝑏 𝑖𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 ) 𝑚 𝑖=1
Adapun penghitugnan biaya pendistribusian sebagai berikut:
1) Biaya pengiriman dari Panciro ke Gowa =  1000 × 50 = 50.000
2) Biaya pengiriman dari Panciro ke Maros = 1250 × 100 = 125.000
3) Biaya pengiriman dari Panciro ke Pangkep = 750 × 150 = 112.500
4) Biaya pengiriman dari Takalar ke Limbung = 750 × 200 = 150.000
5) Biaya pengiriman dari Takalar ke Barru = 1.450 × 250 = 362.500
6) Biaya pengiriman dari Bulukumba ke Pangkep = 550 × 700 = 385.000
7) Biaya pengiriman dari Bulukumba ke Barru = 2000 × 800 = 1.600.000
Jadi, total biaya transportasi untuk mendistribusikan roti dari suatu gudang ke suatu cabang yang diperoleh dengan metode Improved Exponential Approach adalah :
Z=50.000+125.000+112.500+150.000+362.500+385.000+1.600.000=Rp.2.785.000 Dari hasil penelitian ini perbandingan biaya transportasi yang akan dikeluarkan perusahaan ketika  menggunakan  Metode  Improved  Exponential  Approach  dan  metode  NWC  dapat dilihat pada tabel 9.
Dari tabel 9 dapat disimpulkan bahwa PT. Gardenia akan mengeluarkan biaya transportasi sebesar Rp. 2.612.500/minggu jika menggunakan metode Improved Exponential Approach dan  jika  menggunakan  metode  NWC  biaya  yang  akan  dikeluarkan  sebesar  Rp. 2.785.000/minggu.  Dilihat  dari  kedua  metode  tersebut,  ternyata  metode  Improved Exponential  Approach  lebih  optimal  atau  lebih  menguntungkan  dibandingkan  dengan
Lokasi Tujuan ( Destination) Lo ka si Su m be r (so urc es )
Rusli, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience744
metode NWC karena metode Improved Exponential Approach dapat meminimalisir biaya transportasi  sebesar  Rp.  172.500/minggu.  Jadi  metode  Improved  Exponential  Approach terbukti sudah optimal
Tabel 9. Perbandingan Metode Improved Exponential Approach dan Metode NWC
Metode Biaya Minimum Metode Improved Exponential Approach Rp. 2.612.500,- Metode NWC Rp. 2.785.000,-

## 4. Conclusion
Berdasarkan Hasil  dan Pembahasan yang  telah  dilakukan, maka  dapat disimpulkan bahwa hasil  dari  solusi  optimal  pada  kasus perusahaan roti    PT.  Gardenia  dengan menggunakan metode  Improved  Exponential  Approach  adalah  sebesar  Rp.  2.612.500  dan  biaya  yang dikeluarkan perusahaan selama ini sebesar Rp. 3.218.000. Maka dari itu telah membuktikan bahwa  perhitungan  dengan  metode  Improved  Exponential  Approach  dapat meminimumkan  biaya  transportasi  dan  dapat  memberikan  keuntungan  yang  lebih  besar pada perusahaan roti PT. Gardenia

## References
Afriani,  T.  (2016).  Penerapan  Model  Transportasi  Distribusi  pada  Perusahaan  Roti  dengan  menggunakan Metode  Pendekatan  Vogel  (VAM),  Metode  Pendekatan  Russel  (RAM),  dan  Metode  Sudut  Barat Laut (NWC). (Skripsi). Universitas Islam Negeri Makassar, Makassar.
Dimyati.  (1987).  Operation  Research:  Model-Model  Pengambilan  Keputusan.  Bamdung  :  CV. Sinar Biru
Dwijanto.  (2008).  Program  Linear  Berbantu  Komputer  :  Londo,  Lingo,  Solver..  Semarang  :  UNNES PRESS.
Hiller, F.S. (1990). Pengantar Riset Operasi. Jakarta : Erlangga.
Mulyono, S. (2004). Riset Operasi. Penerbit : Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Pangestu, S. 2000. Dasar-Dasar Operation Resarch. Yogyakarta:    BPFE Siswanto. (2007). Operation Research Jilid I. Jakarta : Erlangga.
Syarifuddin, A. (2011). Optimalisasi Masalah Tranportasi dan Aplikasinya dan Program Solver di Bagian Distribusi Nyonya Meneer Semarang.. (Skripsi): Universitas Negeri Semarang, Semarang.
Wijayanti, D. (2011). Aplikasi Metode Transportasi dengan Program Solver dalam Meminimumkan Biaya Pengiriman Produk (Skripsi): Universitas Negeri Semarang, Semarang.
Vannan,  S.E.,  &  Rekha,  S.  (2013).  A  New  Method  for  Obtaining  an  Optimal  Solution  for Transportasion Problem. International Journal of Engineering and Advanced Technology (IJEAT). 02(5), 369 - 371.
Yunistira, A. (2014). Solusi Optimum Model Transportasi pada CV. Manurindo di Makassar. (Skripsi). Universita Islam Negeri Alauddin, Makassar