PELABELAN TOTAL SUPER TRIMAGIC SISI PADA BEBERAPA GRAF
Robertus Heri SU 1 , Heru Tjahjana 2 , Bambang Irawanto 3 , Lucia Ratnasari 4
1,2,3,4 DepartemenMatematik a FSM Universitas Diponegoro Jalan Prof. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
Email : 1 soelistyoutomo@gmail.com, 2 heru_tjahjana@undip.ac.id, 3 b_irawanto@yahoo.co.id,
4 ratnasari.lucia@yahoo.com
Abstract. This paper is addressed to discuss the edge super trimagic  total labeling  on some graphs which are corona, double ladder, quadrilateral  snake and alternate triangula r snake. The main  results  are the edge super trimagic  total label for these graphs. Furthermore,  it was prove that corona is a graph with edge super trimagic  total labeling, a double ladder with odd ladder is graph with  edge super trimagic  total labeling, quadrilateral  snake is a graph with edge super trimagic  total labeling and finally  an alternate triangular  snake with odd ladder is graph with edge super trimagic  total labeling. Keywords: Corona graph, Double ladder, Quadrilateral  snake, Alternate  triangula r snake, Edge super trimagic  total labeling.
Abstrak. Dalam artikel ini,  dibahas pelabelan total trimagic sisi untuk  beberapa graf yaitu  graf korona, graf double ladder, graf quadrilateral snake dan graf alternate triangular snake . Hasil utama dalam artikel ini adalah hasil-hasil pelabelan total trimagic sisi untuk graf-graf tersebut. Lebih lanjut,  telah dibuktikan bahwa graf korona merupakan graf dengan pelabelan total trimagic sisi, graf double ladder dengan banyak ladder genap merupakan graf dengan pelabelan total trimagic sisi, graf quadrilateral snake merupakan graf dengan pelabelan total trimagic sisi,  dan terakhir,  graf alternate triangular snake merupakan graf pelabelan total trimagic sisi untuk  banyak triangular genap. Kata kunci: Graf Korona, Graf double ladder, Graf quadrilateral snake, Graf alternate triangular snake, Pelabelan Total Trimagic Sisi.

## I. PENDAHULUAN
Teori graf adalah salah satu cabang dari ilmu matematika  yang mempelajari tentang diagram yang berisi titik-titik  dan sisi-sisi,  dimana  setiap sisi menghubungkan tepat dua titik. Graf merupakan pasangan himpunan tak kosong V yang elemen-elemennya  disebut titik ( vertex ) dan himpunan E yang elemen-elemennya disebut sisi ( edge ). Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam teori graf. Pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memetakan himpuna n unsur-unsur  dari elemen graf (titik atau sisi atau keduanya) ke himpunan bilangan (biasanya bilangan bulat positif atau non negatif)  yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan oleh
Pelabelan titik  adalah pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan antara himpunan titik dan himpunan  sisi. Ada banyak jenis pelabelan graf yang telah dikembangkan diantaranya adalah pelabelan ajaib. Dalam pengembangan pelabelan ajaib, dikenal pula pelabelan total magic sisi.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Dalam pelabelan total magic sisi terdapat pula pelabelan  total bimagic sisi dan pelabelan  total trimagic sisi.
Kotzig and Rosa telah mendefinisikan pelabelan total magic sisidari  suatu graf dengan dan adalah suatu pemetaan  bijektif , sedemikian  sehingga  untuk  setiap sisi ,  berlaku adalah konstan [1]. J. Baskar Babuje telah memperkenalkan  pelabelan  total bimagic sisi dari suatu graf dengan dan adalah suatu pemetaan bijektif , sedemikian  sehingga  untuk  setiap sisi , berlaku adalah dua konstanta  yang berbeda dan [1].
Jayasekaran, M. Regees dan C. Davidraj  telah memperkenalkan  pelabelan  total trimagic sisi dari suatu  graf
dengan dan adalah suatu pemetaan bijektif , sedemikian  sehingga  untuk  setiap sisi , berlaku adalah tiga konstanta yang berbeda dan [1]. Pada
penelitian ini, penulis  akan melakukan kajian tentang pelabelan total super trimagic sisi pada beberapa graf. Permasalan yang akan dibahas dalam penelitian  ini adalah bagaimana menentukan pelabelan total super trimagic  sisi pada beberapa graf.

## II. PELABELAN  TOTAL SUPER TRIMAGIC SISI
2.1 Pelabelan Total Trimagic Sisi Definisi 3.1 Diberikan  graf dengan dan yang  selanjutnya ditulis . Suatu pelabelan total trimagic sisi pada graf adalah fungsi bijektif sedemikian sehingga untuk setiap sisi berlaku .
Contoh 3.1 Diberikan gambar dari graf G seperti pada gambar berikut.
Gambar 3.1 Graf
Pada Gambar 3.1, Graf memiliki dan .Graf  telah diberi label pada titik dan sisinya  dengan label sebagai berikut. Label titik pada graf tersebut adalah , , , , , . Label sisi pada graf  tersebut adalah , , , , , , . Oleh karena terdapat tiga  konstanta yang berbeda dan , maka terbukti bahwa pelabelan  pada graf memenuhi pelabelan total trimagic sisi.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## 2.2 Pelabelan Total Super Trimagic  Sisi
Definisi 3.2 Suatu pelabelan total super trimagic sisi pada graf adalah fungsi bijektif sedemikian sehingga untuk setiap sisi berlaku dan .
Contoh 3.2 Diberikan gambar dari graf G pada gambar berikut.

## Gambar 3.2 Graf
Pada Gambar 3.2, Graf  memiliki dan .Graf     telah diberi label pada titik dan sisinya  dengan label sebagai berikut. Label titik pada graf : , , , , , . Label sisi pada graf  : , , , , Oleh  karena terdapat tiga konstanta  yang berbeda dan dan himpunan  label titik dapat dinyatakan  dengan
maka terbukti bahwa pelabelan pada graf
memenuhi pelabelan total super trimagic sisi. Berikut ini dibahas teorema-teorema  mengena i pelabelan total super trimagic sisi pada graf , untuk ganjil, dan .
Gambar  3.3 Graf
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Definisi 3.3 Graf adalah graf yang diperoleh dari graf Cycle dengan menambahkan salinan graf dan menghubungkan setiap titik pada salinan ke  graf dengan sebuah sisi pada titik ke  dalam cycle.
Suatu graf memiliki titik  dan sisi. Contoh berikut mengilustrasikan suatu graf yang dibentuk  dari graf Cycle dan graf komplit.
Contoh 3.3 Diberikan  gambar graf G pada Gambar 3.3. Pada Gambar 3.3, Graf memiliki dan . Himpunan  titik  ditunjukkan  oleh dan himpunan  sisi ditunjukka n oleh dengan , , , ,  dan . Teorema 3.1 Graf merupakan graf dengan pelabelan  total super trimagic sisi. Contoh 3.4 Diberikan  suatu graf dengan adalah graf dengan pelabelan total
super trimagic sisi. Gambar 3.4 mengilustrasikan  graf
dengan dan
.
Gambar 3.4 Graf dengan dan Definisi 3.4 Cartesian Product dari graf dan adalah graf ditulis jika dan dua titik dan di bertetangga jika dan hanya jika salah satu dari dua hal berikut berlaku atau . Definisi 3.5 Hasil kali Kartesius dari path dan path disebut graf ladder dan dinotasikan dengan .Himpunan titik dari graf ladder dan himpunan sisi .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Contoh 3.5 G ambar 3.5 mengilustrasikan  Graf Ladder .
Gambar  3.5 Graf Ladder Definisi 3.6 Graf Double  ladder
adalah graf
dengan himpunan titik dari graf double ladder dan himpunan sisi . Graf memiliki titik  dan sisi. Contoh berikut mengilustrasikan suatu graf
Double Ladder.
Contoh 3.6 G ambar 3.6 mengilustrasikan  graf Double Ladder .
Gambar 3.6 Graf Double Ladder
Teorema 3.2 Graf Double  ladder merupakan graf dengan pelabelan total super trimagic sisi untuk  ganjil.
Contoh 3.7 Diberikan  suatu graf dengan
adalah graf dengan pelabelan total
super trimagic sisi. Graf Graf
diilustrasikan oleh Gambar 3.7.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Gambar 3.7 Graf dengan dan Definisi 3.5 Graf Quadrilateral snake adalah graf yang diperoleh  dari sebuah path dengan menghubungkan titik ke titik-titik baru berturut-turut dan kemudian menghubungkan titik dan . Graf memiliki titik  dan
sisi.
Teorema 3.3 Graf Quadrilateral  snake
merupakan graf dengan pelabelan  total super trimagic sisi.
Contoh 3.8 Diberikan  suatu graf dengan adalah graf dengan pelabelan total super trimagic sisi. Graf dengan dan diilustrasikan oleh Gambar 3.8. Gambar 3.8 Graf dengan dan Definisi 3.8 Graf Alternate triangular snak e
adalah graf yang diperoleh  dari suatu path dengan menghubungkan dan (alternatively) ke titik baru . Hal tersebut merupakan setiap sisi alternatif dari suatu path yang digantikan oleh .
Teorema 3.4 Graf Alternate triangular snake
merupakan graf dengan pelabelan total super trimagic sisi untuk  genap.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Contoh 3.9 Diberikan  suatu graf
dengan
adalah graf dengan pelabelan total
super trimagic sisi untuk segitiga  dimulai dari . Graf
untuk segitiga  dengan dan diilustrasikan oleh Gambar 3.9. Gambar  3.9 Graf untuk  segitiga dengan dan Teorema 3.5 Graf
merupakan graf dengan pelabelan total super trimagic sisi untuk ganjil.
Contoh 3.10 Diberikan  suatu graf
dengan adalah graf dengan pelabelan total super trimagic sisi untuk segitiga  dimulai dari  . Graf untuk segitiga  yang dimula i
dari dengan dan diilustrasikan pada Gambar 3.10. Gambar 3.10 Graf untuk  segitiga yang dimulai  dari dengan dan Contoh 3.11 Diberikan  suatu graf dengan adalah graf dengan pelabelan total
super trimagic sisi untuk segitiga  dimulai dari . Graf
untuk segitiga  yang dimula i dari dengan dan diilustrasikan pada Gambar 3.11. Gambar 3.11 Graf untuk  segitiga yang dimulai  dari dengan dan

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan definisi-definisi yang telah diberikan pada pembahasan bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa menentukan pelabelan total trimagic sisi terurut titik-a dengan memberikanlabelyang memenuhi pelabelan total trimagic sisi dimana  himpunan label titiknyadapat dinyatakan dengan
dimana
.Beberapa graf yang merupakan graf dengan pelabelan total trimagic sisi terurut titik-a, diantaranya yaitu : 1. Graf untuk 2. Graf untuk 3. Graf 4. Graf untuk genap 5. Graf 6. Graf untuk  genap 7. Graf
8. Graf untuk genap.

## REFERENSI
[1]    C. Jayasekaran,  M. Regees and C. Davidraj.  2013. Edge Trimagic  Labeling  of Some Graph. International Journal of Combinatorial Graph Theory and Applications. Vol. 6. PP. 175-186.
[2] Garry Chartrand and Ortrud R. Oellermann.  1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. Singapore : Mcgraw Hill.
[3] Frank Harary.  1969. Graph Theory . Boston : Addison Wesley.
[4] M.Regees and and C. Jayasekaran.  2013. Super Edge Trimagic  Total Labeling  of Graphs. International Journal of Mathematical Archive . 4(12). PP. 156-164.
[5] Wallis,  W. D. 2001. Magic Graphs . New York : Springer  Science.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id