## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler

## MODEL EPIDEMIK SEIR PADA KASUS PENYAKIT JANTUNG KORONER PADA PENDERITA KOLESTROL
A.F. Akadji 1 *, K.A. Mamonto 2 , A.F.D. Hubu 3 , M.S. Ismail 4
1,2,3,4 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: farhanah.akadji@gmail.com

## Abstrak
Penyakit janting koroner (PJK) disebabkan oleh berbagai macam sebab. Salah satu penyebab utama penyakit jantung koroner adalah kolestrol. Kolestrol datang dari dua sumber yaitu, yang diproduksi oleh  hati  dan  melalui  makanan  yang  dikonsumsi.  Dalam  artikel  ini  dibahas  model  atematika penyakit jantung koroner yang mengacu pada model SEI (Susceptible-exposed-infected), dengan modifikasi berupa penambahan variabel recovered ( R) dan parameter berupa pola hidup sehat dan operasi.  Selanjutnya  model  ini  disebut  model SEIR  (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered). Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memokdelkan  masalah    penyakit  jantung  koroner  pada  penderita kolestrol  dan  menganalisis  pengaruh  parameter  operasi  dan  pola  hidup  sehat  terhadap penyembuhan penderita, Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh, seakin tinggi laju perubahan karena pola hidup sehat dan penambahan parameter operasi mengakibatkan nila peluang inividu recovered (R) lebih tinggi dibandingkan dengan nilai peluang pada kelopok yang lain. Dan nilai peluang  individu infected jauh  lebih  rendah  dibandingkan  dengan  kelompok  lain.  Hal  ini menunjukan bahwa peluang sembuh bagi penderita penyakit jantung koroner dengan jalur operasi tinggi.
Kata Kunci: Model SEIR; Jantung Koroner; Kolestrol

## Abstract
Coronary heart disease (CHD) is caused by various reasons. One of the main causes of coronary heart disease is cholesterol. Cholesterol comes from two sources, namely, that which is produced by  the  liver  and  through  the  food  consumed.  This  article  discusses  the  mathematical  model  of coronary  heart  disease  which  refers  to  the  SEI  (Susceptible-exposed-infected)  model,  with modifications in the form of the addition of the recovered (R) variable and parameters in the form of a healthy lifestyle and surgery. Hereinafter this model is called the SEIR (Susceptible-Exposed- Infected-Recovered) model. This study aims to determine the problem of coronary heart disease in cholesterol sufferers and to analyze the effect of operating parameters and a healthy lifestyle on the  patient's  healing  (R)  is  higher  than  the  opportunity  value  of  the  other  groups.  And  the opportunity value of an infected individual is much lower than that of other groups. This shows that the chances of recovery for people with coronary heart disease with a high operating route.
Keywords: SEIR Model; Coronary Heart; Cholesterol

## 1. Pendahuluan
Pemodelan matematika merupakan salah satu teknik dalam matematika yang mempresentasikan fenomena-fenomena  nyata  ke  dalam  bentuk  matematika.  Model  matematika  banyak  diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu, salah satunya bidang kesehatan. Kesehatan merupakan hal yang sangat penting  namun  banyak  orang  yang  tidak  mempedulikan  hal  tersebut.  Efek  yang  ditimbul  dari ketidakpedulian ini sangat beragam, salah satunya dapat menimbulkan penyakit mematikan seperti jantung koroner [1][2].
Data World  Health  Organization (WHO)  tahun  2012  menunjukkan  17,5  juta  orang  di  dunia meninggal akibat penyakit kardiovaskuler atau 31% dari 56,5 juta kematian di seluruh dunia. Lebih
dari ¾ kematian akibat penyakit kardiovaskuler terjadi di negara berkembang yang berpenghasilan rendah  sampai  sedang.  Dari  seluruh  kematian  akibat  penyakit  kardiovaskuler  7,4  juta  (42,3%) diantaranya disebabkan oleh oleh Penyakit Jantung Koroner (PJK) dan 6,7 juta (38,3%) disebabkan oleh stroke [3].
Persoalan akan timbul bila oleh sesuatu sebab terdapat halangan atau kelainan di arteri koroner, sehingga  tidak  cukup  suplai  darah,  yang  berarti  juga  kurangnya  suplai  oksigen  dan  nutrisi  untuk menggerakkan  jantung  secara  normal.  Keadaan  diatas  dikenal  sebagai  penyakit  jantung  koroner (PJK) [4].
Salah  satu  faktor  tertinggi  yang  menyebabkan  penyakit  jantung  koroner  adalah  kolesterol. Kolesterol  merupakan  senyawa  dengan  sifat  mirip  lemak  yang  hidup  secara  alami  dalam  hampir setiap bagian tubuh seperti otak, saraf, oto, usus, hati, dan jantung. Kolesterol datang dari dua sumber yaitu, yang diproduksi oleh hati dan melalui makanan yang dikonsumsi.
Kolesterol  terbagi  atas  dua  yaitu  kolesterol  baik  atau  High  Density  Lipoprotein  (HDL)  dan kolesterol jahat atau Low Density Lipoprotein (LDL). HDL bertugas untuk menghalau dan mencegah penimbunan kolesterol jahat dalam arteri dengan mengangkut kolesterol dari jaringan tubuh ke hati untuk dibuang. Sedangkan LDL bertugas membawa kolesterol ke jaringan tubuh atau ke hati untuk diedarkan kembali. LDL berjumlah 60% - 70% dari total kadar kolesterol dalam tubuh sehingga LDL bisa menumpuk dalam arteri dan menyebabkan berbagai macam penyakit termasuk penyaakit jantung koroner [5].
Sebelumnya  masalah  penyakit  jantung  koroner  telah  dibahas  dalam  [1]  dengan  menggunakan model  SEI  dengan  populasi  yang  mempertimbangkan  4  faktor  yaitu  kolesterol,  diabetes  melitus, hipertensi,  dan  perokok.  Namun  pada  penelitian  ini  kami  menggunakan  model  SEIR  dengan menambahkan  parameter  operasi  dan  pola  hidup  sehat  dimana  populasi  yang  digunakan  hanya penderita  kolesterol.  Dengan  memodelkan  populasi  penderita  kolesterol  dengan  parameter  operasi dan  pola  hidup  sehat  kedalam  bentuk  model  matematika  dan  merumuskan  strategi  untuk mengendalikan laju peningkatan jumlah penyakit jantung koroner, maka diharapkan dapat membantu untuk  memprediksi  jumlah  penderita  penyakit  jantung  koroner.  Penelitian  ini  dilakukan  dengan tujuan  untuk  menerapkan  model SEIR pada  penyakit  jantung  koroner  dan  menganalisis  pengaruh parameter operasi dan pola hidup sehat terhadap penyembuhan penderita.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode penelitian studi literatur (library research). Pada penelitian ini  dilakukan  kajian  terhadap  buku,  textbook,  jurnal,  dan  artikel-artikel  ilmiah  mengenai  penyakit jantung koroner pada penderita kolesterol dan mengkaji model SEIR.
Pada penelitian ini, adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah
1) Memodelkan dan memodifikasi masalah kedalam model SEIR,
2) Menentukan titik tetap,
3) Menentukan matriks jacobi,
4) Menganalisis kestabilan titik tetap, dan
5) Simulasi. Pembahasan

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Model Matematika
Model yang akan dibahas  adalah model SEIR penyakit jantung koroner pada penderita kolesterol. Terdapat 4 populasi pada model ini, yaitu: Susceptible (populasi rentan), Exposed (populasi terpapar/ bergejala  PJK), Infected (populasi  sakit),  dan Recovered (populasi  sembuh).  Adapun  parameter- parameter yang digunakan,  disajikan pada Tabel 1, dengan asumsi-asumsi  yang digunakan, antara lain:
1. Jumlah kelahiran selalu konstan.
2. Kelompok Susceptible merupakan populasi yang menderita Kolesterol. Kelompok Exposed merupakan populasi terpapar atau sudah memiliki gejala PJK. Kelompok Infected merupakan populasi positif PJK. Dan kelompok Recovered merupakan populasi yang sembuh dari PJK dan terhindar dari kolesterol LDL tinggi selama menjaga pola hidup sehat.
3. Ada individu  didalam  kelompok Susceptible dan  Exposed yang memiliki pola hidup  yang buruk.
4. Laju kematian alami setiap populasi beda.
5. Ada Individu pada kelompok Infected merubah pola hidup.
6. Ada individu yang sembuh total.
7. Faktor genetik diabaikan.
Tabel 1 . Keterangan parameter Pernyataan Simbol Penambahan individu secara konstan pertahun ξ Laju  perubahan  kelompok susceptible ke exposed karena pola hidup tidak sehat Α Kematian alami untuk kelompok susceptible 𝛿 1 Kematian alami untuk kelompok exposed 𝛿 2 Kematian alami untuk kelompok infected 𝛿 3 Kematian alami untuk kelompok recovered 𝛿 4 Laju perubahan kelompok exposed ke infected 𝜃 1 Laju perubahan kelompok infected ke exposed 𝜃 2 Kematian akibat penyakit jantung koroner 𝜙 Laju perubahan kelompok infected ke recovered melalui operasi Β
Secara  sekamatis,  kasus  ini  dapat  digambarkan  dalam  bentuk  diagram  kompartmen  pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram kompartemen model SEIR
Berdasarkan Gambar 1, diperoleh model dari permasalahan ini, yaitu:
𝛽 𝛼 ξ 𝛿 1
𝛿 2 𝛿 3 𝛿 4 1- 𝛼 𝜃 1 S E I R 𝜙 𝜃 2
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜉 − (𝛿 1 + α + (1 − 𝛼))𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼S + 𝜃 2 𝐼 − (𝜃 1 + 𝛿 2 )𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜃 1 E − (𝛿 3 + 𝛽 + 𝜃 2 + 𝜙)𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽I + (1 − 𝛼)𝑆 − 𝛿 4 𝑅 (1) (2)
(3) (4)

## 3.2. Penentuan Titik Tetap
Titik tetap model matematika dinamika populasi penderita penyakit jantung koroner bagi peng idap kolesterol diperoleh dengan menetapkan persamaan-persamaan pada sistem persamaan menjadi konstan  terhadap  waktu  atau 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 0 , 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 0 ,  dan 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 0 sehingga  sistem  persamaan  dapat ditulis sebagai berikut:
{ 𝜉 − (𝛿 1 + 1)𝑠 = 0 𝛼𝑠 − (𝛿 2 + 𝜃 1 )𝑒 + 𝜃 2 𝑖 = 0 𝜃 1 𝑒 − (𝛿 3 + 𝛽 + 𝜃 2 + 𝜙)𝑖 = 0 𝛽𝑖 − 𝛿 4 𝑟 + (1 − 𝛼)𝑠 = 0 (5)
Dari hasil analisis dan bantuan software Maple pada persamaan (5) di dapat satu jenis titik tetap yaitu titik tetap endemik. Titik tetap endemik untuk penyakit jantung koroner dapat dinyatakan dalam bentuk E 1 = (s, e, i, r) , dimana
𝑠 = 𝜉 𝛿 1 +1 𝑒 = (𝛿 3 +𝛽+𝜃 2 +𝜙)𝛼𝜉 (𝛿 1 +1)(𝛽𝛿 2 +𝛽𝜃 1 +𝛿 2 𝛿 3 +𝜃 1 𝛿 3 +𝜙𝛿 2 +𝜃 2 𝛿 2 +𝜃 1 𝜙) 𝑖 = 𝛼𝜉𝜃 1 (𝛿 1 +1)(𝛽𝛿 2 +𝛽𝜃 1 +𝛿 2 𝛿 3 +𝜃 1 𝛿 3 +𝜙𝛿 2 +𝜃 2 𝛿 2 +𝜃 1 𝜙) 𝑟 = −(𝜉(𝛼𝛽𝛿 2 +𝛼𝛿 2 𝛿 3 +𝛼𝜃 1 𝛿 3 +𝛼𝜙𝛿 2 +𝛼𝜃 2 𝛿 2 +𝛼𝜃 1 𝜙−𝛽𝛿 2 −𝛽𝜃 1 −𝛿 2 𝛿 3 −𝜃 1 𝛿 3 −𝜙𝛿 2 −𝜃 2 𝛿 2 −𝜃 1 𝜙)) (𝛽𝛿 2 +𝛽𝜃 1 +𝛿 2 𝛿 3 +𝜃 1 𝛿 3 +𝜙𝛿 2 +𝜃 2 𝛿 2 +𝜃 1 𝜙)𝛿 4 (𝛿 1 +1)

## 3.3. Analisis Kestabilan Titik Tetap
Model  matematika  penyakit  jantung  koroner  untuk  pengidap  penyakit  kolesterol  merupakan sistem  persamaan  diferensial  linear.  Untuk  menganalisis  kestabilan  titik  tetap  suatu  persamaan diferensial linear, tidak diperlukan pelinearan persamaan diferensialnya[6][7][8]. Analisis kestabilan titik tetap dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian sistem. Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik 𝐸 1 sehingga diperoleh matriks Jacobian dengan program Maple sebagai berikut:
𝐸 1 = ( −𝛿 1 − 1 0 0 𝛼 −𝜃 1 − 𝛿 2 0 0 1 − 𝛼 𝜃 1 0 −𝛽 − 𝛿 3 − 𝜙 − 𝜃 2 𝛽 0 0 0 −𝛿 4 )                                         (6)
Suatu  titik  tetap  dikatakan  stabil  jika  semua  nilai  eigen  dari  matriks  jacobiannya  bernilai  negatif. Untuk  mencari  nilai  eigen  dapat  dilakukan  dengan  menyelesaikan  persamaan  (6)  menggunakan persamaan karakteristik,
det(𝜆𝐼 − 𝛽) = 0 (7) sehingga diperoleh nilai-nilai eigen, yaitu:
𝜆 1 = −𝛿 1 − 1 𝜆 2 = −𝜃 1 − 𝛿 2 𝜆 3 = −𝛽 − 𝛿 3 − 𝜙 − 𝜃 2 𝜆 4 =   −𝛿 4
Karena 𝜆 1 < 0 , 𝜆 2 < 0 , 𝜆 3 < 0 , dan 𝜆 4 < 0 , maka dikatakan sistem ini stabil.

## 3.4. Simulasi
Selanjutnya akan dilakukan simulasi nilai-nilai parameter yang terdapat di dalam model dengan populasi  awal  s  (0)  =  100,  e  (0)  =  70,  i  (0)  =  21,  r  (0)  =  10.  Adapun  nilai  parameter  yang  akan digunakan pada simulasi pertama dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai parameter simulasi pertama Parameter Notasi Nilai Penambahan individu secara konstan pertahun ξ 100 Laju  perubahan  kelompok susceptible ke exposed karena  pola  hidup tidak sehat α 0,7 Kematian alami untuk kelompok susceptible 𝛿 1 0,05 Kematian alami untuk kelompok exposed 𝛿 2 0,04 Kematian alami untuk kelompok infected 𝛿 3 0,02 Kematian alami untuk kelompok recovered 𝛿 4 0,03 Laju perubahan kelompok exposed ke infected 𝜃 1 0,3 Laju perubahan kelompok infected ke exposed 𝜃 2 0,1 Kematian akibat penyakit jantung koroner Φ 0,04 Laju perubahan kelompok infected ke recovered melalui operasi β 0,5
Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 2, diperoleh dinamika yang dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Plot simulasi pertama
Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa pada sepuluh tahun pertama jumlah populasi kelompok S menurun  sedangkan  jumlah  populasi  kelompok  E  dan  I  terus  mengalami  peningkatan.  Dan  dapat dilihat, setelah sepuluh tahun jumlah populasi kelompok I lebih banyak dibanding kelompok S.
Selain itu, peningkatan jumlah populasi kelompok E dan I menyebabkan peningkatan drastis pada kelompok R. Dan dapat dilihat, setelah t=100, grafik konstan menuju titik ekuilibrium endemik pada 𝐸 1 =  (s,  e,  i,  r)  =  (95.238,226.34,102.88,2667.06).  Pada  simulasi  kedua,  dignakan  nilai-nilai parameter pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai parameter simulasi kedua Parameter Notasi Nilai Penambahan individu secara konstan pertahun ξ 100 Laju perubahan kelompok susceptible ke exposed karena pola hidup tidak sehat α 0,5 Kematian alami untuk kelompok susceptible 𝛿 1 0,05 Kematian alami untuk kelompok exposed 𝛿 2 0,04 Kematian alami untuk kelompok infected 𝛿 3 0,02 Kematian alami untuk kelompok recovered 𝛿 4 0,03 Laju perubahan kelompok exposed ke infected 𝜃 1 0,3 Laju perubahan kelompok infected ke exposed 𝜃 2 0,5 Kematian akibat penyakit jantung koroner Φ 0,031 Laju  perubahan  kelompok infected ke recovered melalui operasi β 0,5
Dengan menggunakan nilai-nilai parameter pada Tabel 3, diperoleh Gambar 3.
Gambar 3. Plot simulasi kedua
Dari grafik pada Gambar 3. jumlah populasi kelompok S mengalami sedikit penurunan. Dan kelompok E dan I mengalami peningkatan. Pada tiga tahun pertama, jumlah populasi kelompok E lebih banyak dari kelompok S, namun jumlah populasi kelompok I tidak lebih banyak dari kelompok E dan S.  Selain itu, peningkatan jumlah populasi kelompok E dan I menyebabkan peningkatan juga pada kelompok R. Dan dapat dilihat, setelah t=100, grafik konstan menuju titik ekuilibrium endemik 𝐸 1 =(s,e,i,r)=(95.238,120.69,34.45,2955.119).
Dan  untuk  simulasi  ketiga,  adapun  nilai  parameter  yang  akan  digunakan  dapat  dilihat  pada Tabel  4  dan  diperoleh  plot  pada  Gambar  4.  Grafik  pada  Gambar  4.  jumlah  populasi  kelompok  S mengalami sedikit penurunan. Dan kelompok E dan I mengalami peningkatan. Pada lima belas tahun pertama,  jumlah  populasi  kelompok  S  sedikit  lebih  banyak  daripada  kelompok  I.    Selain  itu, peningkatan jumlah populasi terjadi pada kelompok E dan R. Dapat dilihat, setelah t=50, populasi S dan  I  hampir  sama.  Dan  setelah  t=100,  grafik  konstan  menuju  titik  ekuilibrium  endemik E 1 =(s,e,i,r)=(95.238,414.348,92.764,2498.454).
Gambar 4. Plot simulasi ketiga
Tabel 4. Nilai parameter simulasi ketiga
Parameter Notasi Nilai Penambahan individu secara konstan pertahun ξ 100
Laju  perubahan  kelompok susceptible ke exposed karena  pola hidup tidak sehat Α 0,25 Kematian alami untuk kelompok susceptible 𝛿 1 0,05 Kematian alami untuk kelompok exposed 𝛿 2 0,04 Kematian alami untuk kelompok infected 𝛿 3 0,02 Kematian alami untuk kelompok recovered 𝛿 4 0,03 Laju perubahan kelompok exposed ke infected 𝜃 1 0,30 Laju perubahan kelompok infected ke exposed 𝜃 2 0,80 Kematian akibat penyakit jantung koroner Φ 0,02
Laju perubahan kelompok infected ke recovered melalui operasi β 0,50
Dari hasil pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa untuk model SEIR penyakit jantung koroner  bagi  penderita  kolesterol,  jumlah  populasi  kelompok  S  hanya  akan  mengalami  sedikit penurunan,  dan  berbanding  terbalik  dengan  jumlah  populasi  kelompok  R  yang  terus  meningkat. Perubahan selisih jumlah populasi antara kelompok S dan I terjadi apabila nilai parameter θ 2 dan Φ mengalami  perubahan.  Pada  simulasi  pertama,  nilai  parameter θ 2 =0.1  dan  Φ  =  0.04  yang menghasilkan jumlah populasi kelompok I lebih besar daripada kelompok I pada simulasi kedua dan ketiga.  Sedangkan  pada  simulasi  ketiga,  nilai  parameter θ 2 =0.8 dan Φ  = 0.02 yang menghasilkan jumlah  populasi  kelompok  I  lebih  kecil  daripada  kelompok  I  pada  simulasi  pertama  dan  kedua. Perubahan  pada  nilai  parameter  α  memberikan  pengaruh  pada  jumlah  populasi  kelompok  E,  dan juga.perubahan yang signifikan pada kelompok I terjadi ketika nilai α diubah dari 0.7 menjadi 0.25. Dan parameter operasi (β) yang merupakan satu-satunya jalur penyembuhan kelompok I menjadi R, memiliki peranan penting dalam peningkatan jumlah populasi kelompok R.

## 4. Kesimpulan
Untuk  memperkecil  jumlah  populasi  kelompok  infected  (I),  disarankan  kepada  penderita kolesterol agar dapat menjaga pola hidup menjadi lebih sehat. Dan pengidap penyakit jantung koroner dapat melakukan penyembuhan dengan cara operasi agar populasi kelompok recovered (R) semakin meningkat. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa nilai parameter laju perubahan karena pola hidup tidak sehat (α) dan operasi (β) sangat mempengaruhi jumlah populasi kelompok recovered (R).

## Referensi
[1]  W.  Jannah  and  S.  M.  Yuni,  “Pemodelan  Penyakit  Jantung  Koroner  Dengan  Menggunakan Modifikasi Model SEI,” J. Konvergensi, vol. 51, pp. 1–7, 2015.
[2]  W. Jannah, “Modifikasi Model Susceptible-Exposed-Infected (SEI) Untuk Pemodelan Penyakit Jantung Koroner,” ETD Unsyiah, 2016. [Online]. Available:
http://etd.unsyiah.ac.id/index.php?p=show_detail&id=19798. [Accessed: 18-Sep-2018].
[3]  Kemenkes,  “Lingkungan  Sehat,  Jantung  Sehat,”  Depkes,  2014.  [Online].  Available: http://www.depkes.go.id/article/view/201410080002/lingkungan-sehat-jantung-sehat.html. [Accessed: 18-Sep-2018].
[4]  I. Soeharto, Penyakit Jantung Koroner dan Serangan Jantung. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama, 2004.
[5]  K. Lorig, 50 Cara Menurunkan Kolesterol Anda. Jakarta: Prestasi Pustaka, 2004.
[6]  H. Anton, Elementary Linear Algebra, 8th Edition. USA: Lehigh Press inc, 2000.
[7]  S.  Farlow,  An  Introduction  To  Differential  Equation  And  Their  Applications.  New  York: McGraw Hill, 1994.
[8]  W.  E.  Boyce  and  R.  C.  Diprima,  Elementery  Differential  Equation  and  Boundary  Value Problems, 9th Edition. USA: John Wiley and Sons inc, 2009.