## KAJIAN AWAL PENERAPAN KONSEP MEKANIKA PADA GERAK ROBOT DENGAN ANALISIS ALJABAR
Luh Putu Budi Yasmini 1 , I Gede Aris Gunadi 2
1,2 Jurusan Pendidikan Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Pendidikan Ganesha Singaraja, Indonesia
e-mail: budi.yasmini2@yahoo.co.id, aria_sukaat@yahoo.com

## Abstrak
Gerak screw adalah  gerak  dasar  sebuah  robot  yang  dapat  dianalisis dengan  menerapkan  konsep  gerak  benda  tegar.  Gerak  benda  tegar  terdiri  dari gerak  rotasi  terhadap  suatu  garis  lurus  dan  diikuti  dengan  gerak  translasi  pada garis  lurus  tersebut.  Dalam  penelitian  ini  dikaji  kembali  mengenai  konsep  dasar dari  gerak  robot  dengan  menggunakan  koordinat  eksponensial  (koordinat twist ), serta  persamaan  kecepatan  gerak  robot  sebagai  fungsi  waktu  dengan menggunakan analisis aljabar. Gerak robot dengan model ball joints digambarkan oleh  dua  persamaan  kecepatan  koordinat  spatial  dan body, yakni: 𝑉 𝑎𝑏 𝑠 dan 𝑉 𝑎𝑏 𝑏 yang  menggambarkan  kecepatan  sistem  sebagai  fungsi  sudut  rotasi  terhadap sumbu- x (  ), sumbu- y (  ) dan sumbu- z ( α ) yang merupakan fungsi dari  .
Kata kunci : robot, screw , dan twist

## Abstract
Screw motion is the basic movement of a robot which can be analyzed by using  rigid  body  concept.  There  are  two  kinds  of  rigid  body  movements,  rotation and  translation  movements.  In  this  research,  the  basic  concepts  of  robot’s movement are analyzed by using exponential coordinates ( twist coordinates), and also  found  the  formula  of  velocity  as  the  function  of  time.  Ball  joints  are  taken  to analyze  in  this  research  as  the  application. These  joints  are  described  by  two velocity equations which are spatial and body coordinates, 𝑉 𝑎𝑏 𝑠 and 𝑉 𝑎𝑏 𝑏
Keywords : robot, screw , and twist

## PENDAHULUAN
Gerak  benda  tegar  merupakan konsep  yang  paling  mendasar  dalam mempelajari  gerak  robot  (kinematika  dan dinamika),  serta  sistem  pengkontrolan  robot (Murray,  1994;  Lee,  2010;  Grassia,  1998; Nightingale,  2008).  Secara  umum,  gerak benda tegar terdiri dari gerak rotasi terhadap suatu  garis  lurus  dan  diikuti  dengan  gerak translasi  pada  garis  lurus  tersebut.  Gerak benda  tegar  pada  umumnya  disebut  gerak sekrup  ( screw  motion )  dan twist .  Terdapat banyak  penelitian  internasional  mengenai keterkaitan  konsep  mekanika  (gerak  benda tegar)  dengan  konsep  gerak  robot  dalam ranah teoretik. Duindam (2007), menyatakan bahwa  untuk  analisis,  disain,  dan  kontrol mengenai  robot  ataupun  sistem  mekanik yang  kompleks  diperlukan  model  matematis untuk  menggambarkan  sistem  geraknya. Nightingale  (2008)  menggunakan  analisis geometri  untuk  menggambarkan  sistem mekanik  dengan  mengasumsikan  bahwa kerangka  kerja  pemodelan,  analisis,  dan kontrol sistem tersebut merupakan distribusi pada sebuah keragaman Riemannian
( Riemannian  manifold )  dengan  koneksi affine  ( affine  connections ).  Sedangkan perkembangan  robot  di  Indonesia  baru mulai  memasuki  ranah  disain  dan  kontrol, belum  terdapat  artikel  berbahasa  Indonesia mengenai  analisis  teoretik  gerak  robot sejauh penelusuran peneliti selama ini.
Berdasarkan  hal  tersebut  di  atas, dalam  penelitian  ini  akan  dikaji  kembali mengenai  konsep  dasar  dari  gerak  robot dengan
menggunakan koordinat
eksponensial  (atau  disebut  koordinat twist ) dalam  gerak  robot  yang  disebut  gerak screw ,  serta  persamaan  kecepatan  gerak robot sebagai fungsi waktu dengan
menggunakan  analisis  aljabar.  Selanjutnya, peneliti mengaplikasikan persamaan tersebut untuk gerak robot sederhana (robot dengan model ball joints ) dan mensimulasikan hasil yang diperoleh.

## METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan
merupakan  suatu  telaah  teoretis-matematis.
Sebagai  penelitian  yang  bersifat  telaah teoretis-matematis,  maka  dilakukan  tinjauan terhadap literatur mengenai prosedur-
prosedur yang telah dikembangkan sebelumnya serta perhitungan matematis.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Ball  joints merupakan  salah  satu jenis joints yang ternyata banyak digunakan pada  rangkaian  kinematik  robot  maupun pada  tubuh  manusia. Ball  joints merupakan joints dengan  3  DoF  yang  memungkinkan dapat  melakukan  rotasi  pada  segala  arah. Twist yang  terkait  dengan ball  joints didefinisikan sebagai:
𝜉 = 𝑣 𝜔  = −𝜔 × 𝑞 𝜔
,
Sumbu  rotasi  tidak  konstan,  tetapi merupakan  suatu  parameter  bebas.  Tiga buah  sudut  rotasi  terhadap  tiga  sumbu koordinat  1 ,  2 , dan  3 yang tidak diketahui digantikan  dengan  suatu  variabel  sumbu rotasi  .
Kasus : 𝜑 ≠ 𝛽 ≠ 𝛼 = 𝑓(𝜃(𝑡)) , dan 𝑅 𝑎𝑏 = 𝑅 𝑥 (𝜑)𝑅 𝑦 (𝛽)𝑅 𝑧 (𝛼) ,
dengan 𝑅 𝑎𝑏 = 𝜃 𝑅 11 𝑅 12 𝑅 13 𝑅 21 𝑅 22 𝑅 23 𝑅 31 𝑅 32 𝑅 33 , dimana komponen matrik 𝑅 𝑎𝑏 terdiri atas:
𝑅 11 = − sin 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 − cos 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 ;
𝑅 21 =  − sin 𝜑 sin 𝛼 + cos 𝜑 sin 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 +  cos 𝜑 cos 𝛼 − sin 𝜑 sin 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝜑 cos 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 31 =  cos 𝜑 sin 𝛼 + sin 𝜑 sin 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 +  sin 𝜑 cos 𝛼 + cos 𝜑 sin 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 − cos 𝜑 cos 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 12 = sin 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 − cos 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 ;
𝑅 22 =
− sin 𝜑 cos 𝛼 − cos 𝜑 sin 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 +  − cos 𝜑 sin 𝛼 − sin 𝜑 sin 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 − sin 𝜑 cos 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 32 =  cos 𝜑 cos 𝛼 − sin 𝜑 sin 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 +  − sin 𝜑 sin 𝛼 + cos 𝜑 sin 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + cos 𝜑 cos 𝛽 sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 13 = cos 𝛽 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 23 = −cos φ cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝜑 sin 𝛽 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
𝑅 33 = −sin 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 − cos 𝜑 sin 𝛽 𝜕𝛽 𝜕𝜃 ;
Maka, diperoleh:
𝑉 𝑎𝑏 𝑠 = 𝜃 0 cos 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 sin 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 − cos 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 0
− cos 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 − sin 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 0 1 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 0
− sin 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + cos 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 −(1 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 ) 0
0 0 0 0 0 , pers.(4.1)
atau persamaan (4.10) dapat pula dinyatakan berdasarkan persamaan (2.23) sebagai berikut:
𝑉 𝑎𝑏 𝑠 = 𝑣 𝑎𝑏 𝑠 𝜔 𝑎𝑏 𝑠 , pers.(4.2)
dengan
𝑣 𝑎𝑏 𝑠 = 0 0 0 , dan
𝜔 𝑎𝑏 𝑠 =
1 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃
− sin 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + cos 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 cos 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 .
Tampak terlihat bahwa kecepatan sudut spatial ( 𝜔 𝑎𝑏 𝑠 ) sistem pada kasus ini bergantung pada besarnya  sudut  rotasi  terhadap  sumbu- x (  ),  sumbu- y (  )  dan  sumbu- z ( α )  yang  merupakan fungsi dari  . Koordinat twist dari sistem tersebut adalah
𝜉 = 𝑣 𝜔  = 0 0 0 1 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 − sin 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + cos 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 cos 𝜑 cos 𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝜑 𝜕𝛽 𝜕𝜃 . pers.(4.3)
Berikut  ditampilkan  grafik  yang  menggambarkan  hubungan  antara  masing-masing komponen kecepatan sudut spatial (  1 ,  2,  3 ) dan besar sudut rotasi:
Gambar 4.1 Kecepatan Sudut Spatial dengan  ≠  ≠ α
Gambar 4.1  menunjukkan bahwa dengan iterasi yang sama dan  ≠  ≠ α : kecepatan sudut  spatial  pada  sumbu- x (  1 )  sebagai  fungsi  menggambarkan  kurva sinusoidal yang memiliki rentangan kecepatan sudut = [0, 2] rad/s ; kecepatan sudut spatial pada sumbu- y (  2 ) sebagai fungsi  ( garis yang dihubungkan dengan titik ) dan fungsi  ( garis lurus ) menunjukkan kurva  dengan  pola  yang  sama  yakni  kurva  yang  berfluktuasi  dengan  rentangan  kecepatan sudut  =  [-1,  1] rad/s ;  dan  kecepatan  sudut  spatial  pada  sumbu- z (  3 )  sebagai  fungsi  ( garis yang dihubungkan dengan titik ) dan fungsi  ( garis lurus ) serta menunjukkan kurva dengan pola yang sama yakni kurva yang berfluktuasi dengan rentangan kecepatan sudut = [-1, 1] rad/s . Sedangkan, kecepatan body sistem tersebut diperoleh:
𝑉 𝑎𝑏 𝑏 = 𝑔 𝑎𝑏 −1 𝑔 𝑎𝑏 =  𝑅 𝑎𝑏 𝑇 𝑅 𝑎𝑏 𝑅 𝑎𝑏 𝑇 𝑝 𝑎𝑏 0 0 𝑉 𝑎𝑏 𝑏 =
𝜃 0 1 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 sin 𝛼 cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 − cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 0 −  1 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 0 cos 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃
0 − sin 𝛼 cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 − cos 𝛼 cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 − sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 0 0
0 0 0 0 ,
pers.(4.4)
atau,
𝑉 𝑎𝑏 𝑏 = 𝑣 𝑎𝑏 𝑏 𝜔 𝑎𝑏 𝑏 , pers.(4.5)
dengan
𝑣 𝑎𝑏 𝑏 = 0 0
0 , dan
𝜔 𝑎𝑏 𝑏 = cos 𝛽 cos 𝛼 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + sin 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 − sin 𝛼 cos 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 + cos 𝛼 𝜕𝛽 𝜕𝜃 1 𝜕𝛼 𝜕𝜃 + sin 𝛽 𝜕𝜑 𝜕𝜃 .
Berdasarkan  persamaan  (4.5)  kecepatan  sudut body ( 𝜔 𝑎𝑏 𝑏 )  sistem  pada  kasus  ini bergantung  pada  besarnya  sudut  rotasi  terhadap  sumbu- x (  ),  sumbu- y (  )  dan  sumbu- z ( α ) yang merupakan fungsi dari  .
Berikut  ditampilkan  grafik  yang  menggambarkan  hubungan  antara  masing-masing komponen kecepatan sudut spatial (  1 ,  2,  3 ) dan besar sudut rotasi:
Gambar 4.2 Kecepatan Sudut Body dengan  ≠  ≠ α
Berdasarkan  gambar  4.2  tampak  bahwa dengan  iterasi  yang  sama  dan  ≠  ≠  α : kecepatan  sudut body pada  sumbu- x (  1 ) sebagai  sebagai  fungsi α ( garis  yang terputus-putus )  dan  fungsi  ( garis  lurus ) menunjukkan kurva dengan pola yang sama yakni  kurva  yang  berfluktuasi  dengan rentangan  kecepatan  sudut  =  [-1,  1] rad/s .; kecepatan  sudut  spatial  pada  sumbu- y (  2 ) sebagai  fungsi  ( garis  yang  dihubungkan dengan  titik )  dan  fungsi  ( garis  lurus ) menunjukkan kurva dengan pola yang sama yakni  kurva  yang  berfluktuasi  dengan rentangan  kecepatan  sudut  =  [-1,  1] rad/s ; dan  kecepatan  sudut  spatial  pada  sumbu- z (  3 ) sebagai fungsi  menggambarkan kurva sinusoidal yang memiliki rentangan
kecepatan sudut = [0, 2] rad/s .

## SIMPULAN DAN SARAN
Gerak  robot  dengan  model ball joints digambarkan  oleh  dua  persamaan kecepatan koordinat spatial dan body, yakni: 𝑉 𝑎𝑏 𝑠 dan 𝑉 𝑎𝑏 𝑏 Yang menggambarkan kecepatan  sistem  sebagai  fungsi  sudut rotasi  terhadap  sumbu- x (  ),  sumbu- y (  ) dan  sumbu- z ( α )  yang  merupakan  fungsi dari  .
Penelitiam  ini  merupakan  kajian awal  mengenai  konsep  gerak  robot  dengan model ball joints , yang masih sangat banyak memiliki keterbatasan. Selanjtnya, diharapkan penelitian ini dapat dikembangkan  pada  kajian  yang  lebih mendalam terkait dengan konsep gaya yang terkait dengan gerak robot, serta pengaplikasian  konsep  gerak  robot  pada berbagai jenis joints .

## DAFTAR PUSTAKA
Arhami, M. & Desiani, A. 2005.
Pemrograman  MATLAB.  Yogyakarta: Andi.
Arya,  A.  P.  1990. Introduction  to  Classical Mechanics . USA. Allyn and Bacon.
Duindam,  V.  &  Stramigioli,  S.  2007.
Lagrangian dynamics of open
multibody  systems  with  generalized holonomic and nonholonomic joints, in Proceedings  of  the  2007  IEEE/RSJ International
Conference
on
Intelegent  Robots  and  Systems, San Diego, USA, Oct 29 – Nov 2. Grassia, F.S. 1998. Practical Parameterization  of  Rotations  Using the  Exponential  Map. The  Journal  of Graphics Tools, volume 3(3) . Lee,  T.,  Leok,  M.,  &  McClamroch,  N.  H.
2010. Computational Geometric Optimal  Control  of  Connected  Rigid Bodies in a Perfect Fluid, in American Control Conference . Marriott
Waterfront, USA. June 30-July 02. Moll,  G.P.  &  Rosenhahn,  B. Ball  Joints  for Marker-less  Human  Motion  Capture . Germany. Murray,  R.M.,  Li,  Z.,  &  Sastry,  S.S.  1994. A Mathematical  Introduction  to  Robotic Manipulation . CRC Press. Nakahara,  M.,  1998. Geometry,  Topology and Physics . Bristol and Philadelphia. Institute of Physics Publishing. Nightingale,  J.,  Hind,  R.,  &  Goodwine,  B. 2008. Geometrical Analysis of a Class of  Constrained  Mechanical  Control Systems  in  the  Nonzero  Velocity Setting, in  Proceedings  of  the  17th World  Congress,  The  Internatonal Federation  of  Automatic  Control , Seoul, Korea, July 6-11. Santyasa,  I  Wayan.  2009. Matriks  dan Ruang Vektor . Universitas Pendidikan Ganesha. Singaraja.
Sutojo,  T.,  Bowo,  Erna,  Astuti,  S.,  Yuniarsih R.,  &  Mulyanto,  E.  2010.  Teori  dan Aplikasi  Aljabar  Linier  dan  Matriks dengan  Implementasi  Aljabar  Linier dan  Matriks  Menggunakan  Matlab. Yogyakarta: Andi.