## Menentukan Keandalan Komponen Mesin Produksi Pada Model Stress Strength yang Berdistribusi Gamma
Muh Nurcahyo Utomo dan Farida Agustini Widjajati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 e-mail : farida@matematika.its.ac.id
Abstrak ―Dalam  dunia  perindustrian,  produk  yang dihasilkan  oleh  suatu  perusahaan  akan  sangat  diperhatikan. Kualitas dari suatu produk akan sangat ditentukan oleh tingkat keandalan  komponen  mesin  produksinya.  Salah  satu  aplikasi dari  distribusi  Gamma  adalah  tentang  keandalan  komponen. Dalam  menentukan  fungsi  keandalan  pada  Model Stress Strength digunakan kurva interferensi dari Stress-Strength . Jika Stress-Strength berdistribusi  Gamma,  didapatkan  fungsi keandalan yang berupa fungsi beta tak lengkap,
. Dengan
batas
integrasi    0  sampai  0,5,  saat  parameter  skala  1  dan  batas integrasi    0  sampai saat  parameter  skala  selain  1  dimana
. Perhitungan dari studi kasus pada mesin pembuat pupuk di PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk menggunakan fungsi keandalan  dengan  bantuan sofware Matlab,  didapat  hasil bahwa masing-masing mesin bekerja dalam kondisi prima, dan laju kerusakan tergolong konstan.
Kata Kunci― Model Stress-Strength , Interferensi, Distribusi Gamma, Fungsi Beta Tak Lengkap .

## I. PENDAHULUAN
ALAM  dunia  perindustrian  di  Indonesia,  produk  yang dihasilkan oleh suatu industri akan sangat diperhatikan. Segala  aspek  bisa  dijadikan  pertimbangan  untuk memilih suatu produk. Tetapi, hanya satu aspek yang benar- benar  mencerminkan  produk  tersebut  yaitu  dari  tingkat keandalan.Kualitas  atau  keandalan  dari  suatu  produk  dapat dinilai  dari  komponen  yang  menyusun  produk  tersebut  dan bagaimana  komponen-komponen  tersebut  disusun  menjadi produk yang baik.
PT  Petrokimia  Gresik  merupakan  perusahaan  milik negara  dan  produsen  pupuk  terlengkap  di  Indonesia  yang memproduksi berbagai macam pupuk, seperti: Urea, ZA, SP- 36,  NPK  Phonska,  DAP,  NPK  Kebomas,  ZK  dan  pupuk
organik  yaitu  Petroganik.  PT  Petrokimia  Gresik  juga  telah memproduksi  produk non  pupuk  seperti  Asam  Sulfat,  Asam fosfat,  Amoniak,  Dry  Ice,  Aluminum  Fluoride,  Cement Retarder, dll. Keberadaan PT Petrokimia Gresik adalah untuk mendukung  program  Pemerintah  meningkatkan  produksi pertanian  nasional  [1].  Sebagai  perusahaan  yang  besar  dan mendukung  program  pemerintah,  sudah  seharusnya  PT Petrokimia  Gresik  menjaga  kualitas  dari  produk-produknya. Kualitas  suatu  produk  sangat  ditentukan  dari  mesin pembuatnya.  Suatu  produk  akan  berkualitas  baik  apabila mesin produksinya andal.
Kesalahan  dalam  pembuatan  suatu  produk  dapat mengurangi keandalan dari produk tersebut dan mengakibatkan  menurunnya  minat  konsumen  akan  produk tersebut.    Keandalan  komponen  sangat  berpengaruh  dalam hal  perindustrian,  terutama  saat  membuat  produk  tertentu dalam skala besar.
Keandalan  komponen  menentukan  kualitas  dari  suatu barang  yang  dapat  menentukan  kepuasan  konsumen  akan produk  tersebut.  Keandalan  suatu  mesin  sangat  dipengaruhi oleh  cara  perawatan  mesin  itu  sendiri.  Keandalan  suatu komponen  sering  diartikan  sebagai  peluang  komponen  akan berfungsi  dengan  baik  jika  dioperasikan  dalam  kondisi tertentu. Artinya daya tahan atau tingkat kekuatan (Strength) komponen  dalam  menghadapi  gaya  atau  tekanan (Stress) yang  membebani  komponen  tersebut.  Keandalan  seperti probabilitas, yaitu memiliki nilai 0-1 [2].
Pada  penelitian  sebelumnya  sudah  ada  yang membahas  tentang  teori  keandalan,  yang  berjudul  “Teori Keandalan  Sebagai  Aplikasi  dari  Distribusi  Eksponensial”. Penelitian  ini  dikerjakan  oleh  Melati  Budiana  Putri, mahasiswa  Teknik  Elektro  ITB.Dan  pada  tugas  akhir  ini, dikembangkan dengan menggunakan distribusi gamma.
D

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Distribusi Gamma
Distribusi  gamma  adalah  distribusi  peluang  kontinu. Fungsi gamma didefinisikan sebagai berikut:
Peubah  acak  kontinu X berdistribusi  gamma  dengan parameter   dan  , jika fungsi padat peluangnya berbentuk:
dengan dan [4].
Mean  dan  variansi  dari  distribusi  gamma  adalah sebagai berikut:

## B. Distribusi Eksponensial
Distribusi  eksponensial  adalah  distribusi  khusus  dari distribusi  gamma  dengan ,  peubah  acak  kontinu X mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter  , jika fungsi padat peluangnya berbentuk [3]:
dengan .
Mean dan variansi dari distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:

## C. Keandalan (Reliability)
Andal dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia memiliki dua arti. Pertama, andal berarti dapat dipercaya. Kedua, andal juga  dapat  berarti  memberikan  hasil  yang  sama  pada percobaan yangberulang.
Keandalan suatu produk seperti sebuah probabilitasyang  bernilai  0-1.  Terdapat  tiga  faktor  yang menentukan  keandalan  suatu  mesin,  yaitu:  fungsi  mesin, keadaantertentu  (batasan  mesin),  dan  masa  pakai  mesin tersebut.
Fungsi  mesin  adalah  faktor  utama  yang  menentukan keandalan  suatu  mesin.  Suatu  mesin  dapat  dikatakanandal apabila  mesin  tersebut  bisa  melakukan  kerja  sesuai  fungsi mesin  itu  sendiri.  Sebaliknya,  apabila  mesintersebut  tidak bisa  menjalankan  fungsi  sebagaimanamestinya,  mesin tersebut bisa dikatakan tidak andal.
Keadaan  tertentu  atau  yang  sering  disebut  sebagai batasan  mesin  adalah  keadaan  dimana  mesin  dapat  bekerja secara  optimal.Batasan-batasan  itu  seperti  temperatur, tegangan,  dll.Batasan-batasan  ini  tertera  pada  spesifikasi mesin  tersebut.  Apabila  mesin  dipaksakan  untuk  bekerja  di luar  batasan  itu,  mesin  akan  berujung  pada  kerusakan  dan keandalannya akan mencapai titik terendah. Keandalan suatu mesin  akan  menurun  secara  signifikan  apabila  dipekerjakan di luar batasan yang mesin tersebut miliki.
Masa  pakai  mesin  adalah  jangka  waktu  pemakaian suatu mesin yang apabila dalam jangka waktu tersebut, mesin dapat  bekerja  optimal.Semua  produk  memiliki  tingkat kejenuhan  yang  berbeda-beda.  Suatu  mesin  yang  sudah digunakan  selama  jangka  waktu  tertentu  akan  menunjukkan suatu  penurunan  kinerja  yang  mengakibatkan  penurunan keandalan.
Contoh  ukuran  keandalan  dari  suatu  mesin  yaitu seberapa  banyak  produk  yang  dihasilkan  mesin  tersebut dalam satu hari, seberapa sering mesin harus diberi pelumas, setelah  mesin  dimatikan  dan  dinyalakan  kembali,  berapa waktu  yang  dibutuhkan  supaya  mesin  dapat  bekerja  optimal [2].

## 1. Laju Kerusakan
Dalam  jangka  waktu  pemakaiannya,  mesin  akan mengalami  kerusakan.  Baik  kerusakan  kecil  maupun kerusakan  berat.Kerusakan  itu  mengakibatkan  menurunnnya kinerja  mesin  tersebut.Kerusakan  bukan  merupakan  fungsi yang  tetap.Kerusakan  dapat  berubah-ubah  terhadap  waktu. Keandalan (reliability) suatu mesin berhubungan dengan laju kerusakan  tiap  waktunya.Kurva  laju  kerusakan  terhadap waktu bisa dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 1. Kurva Laju Kerusakan Terhadap Waktu.
Sumbu  X  merepresentasikan  waktu  dan  sumbu  Y merepresentasikan  laju  kerusakan.  Kurva  di  atas  dibagi menjadi 3 daerah yaitu : burn in , useful life , dan wear out [2]. 1. Burn in : pada daerah ini, mesin dan komponen-komponen pada  mesin  baru  bekerja  pertama  kali.  Keandalannya 100%.  Pada  kurva  tersebut,  laju  kerusakan  menurun dalam  jangka  waktu  tertentu.  Kerusakan  yang  ada biasanya dikarenakan kesalahan manufaktur dan kesalahan dalam memproduksi mesin tersebut.
2. Useful  life :  pada  daerah  ini  laju  kerusakan  tergolong konstan.  Pada  fase  ini,  mesin  bekerja  dalam  kondisi paling  prima.  Pada  fase  ini,  persamaan  keandalannya adalah
. dengan:
: keandalan (%)
: laju kerusakan
: waktu
3. Wear out : pada daerah ini, mesin sudah digunakan dalam jangka  waktu  yang  cukup  lama.  Akan  terjadi  beberapa kerusakan  di  sana  sini.  Itu  yang  menyebabkan  laju kerusakan meningkat dari waktu ke waktu.

## 2. Analisis Keandalan
Keandalan  suatu  mesin  dapat  diketahui  dan  dinilai dari data yang didapat dari analisis keandalan. Dalam analisis keandalan,  suatu  mesin  memiliki  dua  keadaan  ( state )  yaitu, keadaan baik dan keadaan buruk. Keadaan baik dilambangkan  dengan  angka  1,  dan  keadaan  buruk dilambangkan  dengan  angka  0.  Misalkan  X  adalah  variabel yang menggambarkan kondisi mesin, dan x(t) adalah kondisi mesin terhadap waktu.   = 1 (mesin dalam kondisi baik).   = 0  (mesin  dalam  kondisi  buruk). =  1  (kondisi  mesin dalam  keadaan  baik  pada  saat  ). =  0  (kondisi  mesin dalam keadaan buruk pada saat  ).
Model  yang digunakan untuk menganalisis keandalan suatu  mesin  adalah  Model Stress  Strength .  Analisis Stress Strength adalah  salah  satu  model  yang  menganalisis  suatu mesin dengan memfokuskan pada aspek Stress dan Strength . Analisis  ini  adalah  analisis  yang  sering  digunakan. Strength yaitu  kekuatan  material  penyusun  mesin  tersebut  dan Stress adalah  batasan-batasan  yang  dimiliki  oleh  mesin  tersebut (apabila di luar batasan, kerja mesin akan menurun).
Nilai  keandalan  pada  Model Stress  Strength dapat dihitung jika fungsi densitas (pdf) variabel random Stress dan Strength diketahui.  Misalkan  fungsi  densitas  untuk Strength ( S ) dinotasikan dengan dan fungsi densitas untuk Stress ( s ) dinotasikan dengan dimana posisi distribusi variabel Stress dan variabel Strength disajikan dalam Gambar 2.2 [4]:
Gambar 2. Kurva Interferensi Stress-Strength .
Daerah  yang  diarsir  merupakan  daerah  dimana kerusakan  terjadi  (daerah  kegagalan).Kerusakan  terjadi apabila Stress > Strength .Bisa dikatakan, semakin kecil daerah kegagalan, maka semakin andal mesin tersebut.
3. Fungsi Keandalan
Dengan:
Nilai R seperti probabilitas memiliki nilai dalam range
: keandalan mesin saat  .
: 1 menyatakan bahwa mesin bekerja dengan baik.
: 0 menyatakan bahwa mesin bekerja dengan buruk.
Fungsi  keandalan  adalah  fungsi  yang  berhubungan dengan  waktu  (waktu  pengoperasian  mesin).Pada  Gambar 2.3 disajikan kurva keandalan terhadap waktu.
Kurva keandalan [5]:
Gambar 3.: Kurva Keandalan Terhadap Waktu.
Fungsi keandalan memiliki beberapa sifat:
1. .
2. Kurva tidak monoton naik. 3. .

## III. PEMBAHASAN DAN HASIL
A. Menentukan Fungsi Keandalan Komponen Pada Model Stress Strength
Keandalan  pada  model Stress-strength merupakan peluang  bahwa Strength lebih  besar  dari Stress. Keandalan dapat  dihitung  jika  fungsi  kepadatan  peluang  (pdf)  variabel random Stress dan Strength diketahui.  Misalkan  fungsi kepadatan peluang untuk Strength ( S ) dinotasikan oleh
dan  fungsi  kepadatan  peluang  untuk Stress ( s )  dinotasikan dengan .
Keandalan didefinisikan sebagai peluang bahwa Stress lebih  kecil  dari Strength .  Jika  ditulis  dalam  persamaan matematika menjadi [6]:
dengan  adalah keandalan komponen.
Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut [6]:
Selanjutnya  akan  ditentukan  persamaan  untuk ketidakandalan  yang  menyatakan  peluang  bahwa  komponen akan gagal yaitu:
Dengan  mensubstitusikan R dari  persamaan  (2) diperoleh:
Diberikan  sebuah  variabel  baru
,  sehingga
keandalan komponen dapat didefinisikan sebagai berikut:
dan  diasumsikan  bahwa S dan s variabel  acak  yang  lebih besar atau sama dengan 0, maka fungsi densitas dari variabel y adalah:
Didapatkan persamaan ketidakandalan sebagai berikut:
Dan persamaan keandalan komponen dinyatakan dengan:
B. Menentukan Fungsi Keandalan Komponen bila Stress dan Strength Berditribusi Gamma
Diketahui pdf Distribusi Gamma sebagai berikut:
dengan   sebagai  parameter  skala  dan    sebagai  parameter bentuk.
Untuk kasus , persamaan (4) menjadi: 1. Pdf Strength Berdistribusi Gamma 2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma dengan  menggunakan  persamaan  (3),  dimana diperoleh:
Maka diperoleh:
Misal . Maka . Sehingga diperoleh:
Karena itu:
Diketahui fungsi gamma sebagai berikut:
Maka,
Sehingga didapatkan:
Dengan memisalkan:
Sehingga didapatkan:
Integral  pada  persamaan  (5)  merupakan  fungsi  Beta  yang tidak lengkap, sehingga didapatkan fungsi keandalan,
Untuk kasus
, persamaan (4) menjadi:
1.
Pdf Strength Berdistribusi Gamma
2. Pdf Stress Berdistribusi Gamma dengan  menggunakan  persamaan  (3),  dimana diperoleh:
Misal . Maka . Sehingga diperoleh:
Karena itu:
Diketahui fungsi gamma sebagai berikut: Maka: Maka: Dengan , maka: Dengan memisalkan: Sehingga didapatkan:
Integral pada persamaan (6) merupakan fungsi Beta yang tidak lengkap, sehingga didapatkan fungsi keandalan,

## C. Studi  Kasus  Keandalan  Komponen  pada  Mesin Pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk
Untuk  mengetahui  tingkat  keandalan  komponen masing-masing mesin, akan  dilakukan  perhitungan  dari  data mesin menggunakan fungsi keandalan yang sudah didapatkan pada  persamaan  (7).  Dengan  kekuatan  komponen  sebagai ( ,  tekanan  beban  sebagai  ( ),  dinamo  sebagai  ( ),  dan perputaran mesin sebagai ( )[6].
Perhitungan dilakukan dengan menggunakan software Matlab, dan hasil dari perhitungan menggunakan GUI Matlab bisa dilihat pada Tabel 1, Tabel 2, Tabel 3, dan Tabel 4.
Tabel 1. Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 1 November 2013. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 98,61% Pan Granulator 98,09% Pengering 95,88% Pendingin 90,71%
Tabel 2. Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 8 November 2013. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 97,11% Pan Granulator 97,69% Pengering 95,40% Pendingin 89,95% Tabel 3. Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 15 November 2013. Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 96,64% Pan Granulator 96,14% Pengering 94,47% Pendingin 88,81% Tabel 4. Hasil Perhitungan Tingkat Keandalan Mesin Pada Tanggal 22 November 2013 . Mesin Tingkat Keandalan Penghalus 97,80% Pan Granulator 97,00% Pengering 94,69% Pendingin 91,30%

## IV. KESIMPULAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan  keseluruhan  hasil  analisa  yang  telah dilakukan, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Dalam menentukan fungsi keandalan pada Model Stress
Strength digunakan kurva interferensi dari StressStrength tersebut. Dan didapatkan fungsi keandalan sebagai berikut:
2. Fungsi  keandalan  yang  didapat  bila Stress dan Strength berdistribusi  Gamma  adalah  fungsi  beta  yang  tidak lengkap.
Untuk kasus , didapatkan:
Untuk kasus , didapatkan:
3. Dari hasil perhitungan studi kasus pada mesin pupuk PT Petrokimia Gresik Cabang Nganjuk menggunakan fungsi keandalan dengan bantuan sofware Matlab, didapat hasil bahwa  masing-masing  mesin  bekerja  dalam  kondisi prima,  dan  laju  kerusakan  tergolong  konstan.  Hal  ini disebabkan  karena  di  PT  Petrokimia  Gresik  Cabang Nganjuk selalu dilakukan perawatan rutin untuk masing- masing mesin, yaitu seminggu sekali setiap hari Jum’at.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] http://www.petrokimia-gresik.com/ (diakses  pada  tanggal  28 Agustus 2013 pukul 14.38).
[2] Budiana  Putri,  Melati.  (2010).  “Teori  Keandalan  sebagai  Aplikasi Distribusi  Eksponensial”. Program  Studi  Sistem  dan  Teknologi Informasi  Sekolah  Teknik  Elektro  dan  Informatika  Institut Teknologi Bandung , Hal 1-5.
[3] Walpole,  dkk.  (2007).  “Probability  &  Statistics  for  Engineers  & Scientists”. Pearson Education International , Hal 194-195.
[4] http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/1870/1/matematikar osman.pdf (diakses pada tanggal 28 Agustus 2013 pukul 18.33).
[5] Hines,  William W,    Montgomery, Douglas C. (1990). “Probabilita dan  Statistik  dalam    Ilmu  Rekayasa  dan  Manajemen”. Universitas Indonesia , Hal 593-599.
[6] Dhillon,  Balbir  S.  (1979).  “Stress-Strength  Reliability  Models”. University of Ottawa , Hal 513.