## TEOREMA AMPLOP DAN DUALITAS
The Structure of Economics, Silberberg
Tony S. Chendrawan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa tony@untirta.ac.id

## Abstrak
Economic model is a theoretical construction or economic analysis framework consisting of a set of  concepts,  definitions,  assumptions,  equations,  similarities  (identities)  and  inequalities  from which  conclusions  will  be  derived.  Duality  theory  is  one  of  the  important  and  interesting concepts of linear programs in terms of theory and practice, the background is that every linear problem  of  programming,  always  has  a  second  problem  which  is  always  related  to  the  first problem.  The  first  problem  is  called  Primal  and  the  second  problem  is  called  Dual.  The  two problems  are  always  related  in  such  a  way  that  the  optimal  solution  to  the  first  problem  will provide complete information about the optimal solution to the second problem. The relationship between the original model problem (called the "primal form") and its dual form is very useful for  various  things,  especially  its  economic  interpretation.  The  dual  form  of  the  dual  form  is  a primal  form,  the  following  will  be  discussed  the  benefits,  general  comparative  static  analysis, dual-primal analysis, and interpretation of the lagrangian multiplier.
Keyword: Advantages Function; General Static Comparative Analysis;  Dual-Primal Analysis

## PENDAHULUAN

## SEJARAH PERMASALAHAN
Pada  awal  tahun  1930-an  seorang  ekonom  terkenal,  Jacob  Viner,  menganalisis perilaku  perusahaan  dalam  jangka  pendek  dan  jangka  panjang.    Viner  mendefinisikan “jangka  pendek”  sebagai  periode  waktu  dimana  satu  faktor  produksi,  misalnya  kapital, adalah  tetap  sedangkan  faktor  lain,  misalnya  tenagakerja,  adalah  variabel.    Dia menggambarkan suatu seri kurva-kuva biaya jangka pendek yang memiliki titik minimum (berurutan  dari  input  tetap  terkecil  sampai  terbesar)  pada  awalnya  akan  turun  dan kemudian  naik.  Viner beralasan  jika kedua  input  variabel, biaya rata-rata  jangka panjang akan  selalu  lebih  kecil  atau  sama  dengan  biaya  rata-rata  jangka  pendek.    Oleh  karena  itu dia  berkesimpulan  bahwa  kurva  biaya  rata-rata  jangka  panjang  digambarkan  sebagai “amplop” untuk semua kurva biaya rata-rata jangka pendek.  Pada akhirnya kurva amplop digambarkan seperti pada Gambar sebagai berikut :
Gambar 1 .   Diagram Viner-Wong modern memperlihatkan kurva biaya rata-rata jangka  panjang  sebagai  kurva  amplop  terhadap  kurva-kurva  biaya  rata-rata jangka pendek.
Walaupun  demikian,  Viner  merasa  kebingungan  dengan  fakta  bahwa  kurva  biaya rata-rata  jangka  panjang  tidak  melewati  titik  minimum  kurva  biaya  rata-rata  jangka pendek, padahal pengurangan biaya akan meningkatkan keuntungan.  Lebih jauh, pada titik singgung  kedua  kurva,  kemiringan  kurva  biaya  rata-rata  jangka  panjang  dan  kurva  biaya rata-rata  jangka  pendek  adalah  sama,  yang  berarti  biaya  rata-rata  akan  turun  (atau  naik) dengan besaran yang sama terlepas dari salah satu input (kapital) dianggap tetap atau tidak. Viner  kemudian  meminta  pada  juru  gambarnya,  Wong,  untuk  menggambar  kurva  biaya rata-rata jangka panjang sebagai kurva yang melewati titik-titik minimum dari kurva-kurva biaya  rata-rata  jangka  pendek.    Ketika  Wong  menerangkan  kemustahilan  untuk  gambar tersebut,  Viner  memilih  untuk  menggambar  kurva  biaya  rata-rata  jangka  panjang  yang melewati  titk-titik  minimum  dari  kurva-kurva  biaya  rata-rata  jangka  pendek  daripada menggambarkannya  sebagai  kurva  amplop.    Keputusan  ini  kemudian  memicu  ego  dari banyak ekonom.
Masalah  tersebut  kemudian  segera  dianalisis  secara  aljabar  oleh  Paul  Samuelson, yang  membuktikan  kebenaran  mengenai  kemiringan  yang  sama  antara  kurva  biaya  rata- rata  jangka  panjang  dan  jangka  pendek.    Walaupun  demikian,  penjelasan  tersebut  masih menyisakan kebingungan mengenai tingkat perubahan yang sama dari fungsi biaya dimana salah satu input dianggap konstan pada fungsi biaya jangka pendek dan dianggap variabel pada  fungsi  biaya  jangka  panjang.    Mungkin  sangat  mengejutkan,  ketika  para  ekonom meneliti  masalah  ini  lebih  jauh,  ditemukan  bahwa  hubungan  yang  mendasari  “teorema
C(y)
SRAC 1 SRAC 2 SRAC 3 O LRAC y
amplop”    merupakan  teori  dasar  tentang  adanya  teorema  komparatif  statik  yang  dapat ditolak ( refutable ).  Ini adalah isu besar yang akan kita bahas.

## FUNGSI KEUNTUNGAN
Samuelson  memulai  analisisnya  dengan  sebuah  model  maksimisasi  dengan  dua variabel keputusan yaitu x 1 dan x 2 dan satu paramenter yaitu  :
y = f (x 1 , x 2 ,  )
Syarat  kondisi  order  pertama  adalah  : f 1 = f 2 =  0.    Jika  diasumsikan  syarat  kondisi  order kedua  terpernuhi  maka  fungsi  eksplisit  dari  x  adalah  :  x i =  x i *(  )  yang  diturunkan  dari penyelesaian  persamaan  kondisi  order  pertama.    Jika  x i dimasukan  kedalam  persamaan fungsi objektif maka diperoleh :
 (  ) = f [x 1 *(  ), x 2 *(  ), (  )]
Fungsi  (  ) adalah nilai dari fungsi objektif f dimana x i memaksimumkan f (untuk nilai  tertentu).  Oleh karena itu  (  ) merepresentasikan nilai maksimum dari f untuk setiap nilai  .  Kita menyebut  (  ) sebagai fungsi objektif indirect .
Bagaimana variasi  (dibandingkan dengan f ) ketika  bervariasi? Besarnya adalah hasil diferensiasi terhadap  :
  (  ) = f 1 d x 1 *  + f 2 d x 2 *  + f  d  d 
Karena  syarat  dari  kondisi  order  pertama f 1 = f 2 =  0  maka  dua  suku  pertama  sisi  kanan persamaan menjadi hilang sehingga :
  (  )  = f 
Persamaan (2) menunjukan bahwa jika  berubah, tingkat perubahan dari nilai maksimum f ,  dimana  x 1 dan  x 2 bervariasi  pada  tingkat  optimalnya  seiring  dengan  variasi  ,  sama dengan  tingkat  perubahan f seiring  dengan  variasi  ketika  x 1 dan  x 2 konstan.    Hasil  ini membingungkan banyak ekonom dalam jangka lama setelah publikasi artikel Viner.
Sebelum  kita  mempelajari  geometri  persamaan  (2),  mari  kita  verifikasi  model maksimisasi keuntungan.  Fungsi permintaan faktor yang memaksimumkan  = p f (x 1 ,x 2 ) – w 1 x 1 – w 2 x 2 adalah  : x 1 = x 1 * (w 1 , w 2 , p), x 2 = x 2 * (w 1 , w 2 , p).  Jika tingkat  input  yang memaksimumkan  keuntungan  tersebut  disubstitusikan  pada  fungsi  objektif,  maka  tingkat
keuntungan,  menurut  definisi,  berada  pada  tingkat  maksimum  pada  tingkat  penggunaan input dan harga tersebut.  Secara matematik ditulis :
 * (w 1 , w 2 , p) = p f (x 1 *, x 2 *) – w 1 x 1 * – w 2 x 2 * …………………(3) Fungsi  *(w 1 ,  w 2 ,  p)  disebut  fungsi  keuntungan,  yang  merupakan  fungsi  objektif indirect untuk  model  tersebut.    Nilainya  akan  selalu  merupakan  nilai  maksimum keuntungan pada tingkat w 1 , w 2 dan p tertentu.
Bagaimana  variasi  keuntungan  ketika,  misalnya  w 1 ,  berubah?  Maka  dapat dilakukan diferensiasi fungsi objektif terhadap w 1 , dengan meperlakukan tidak hanya harga tetapi input x 1 dan x 2 tetap.  Pada kasus ini diperoleh :
d  =  –x i d w 1
Tidak  ada  asumsi  keuntungan  diberlakukan  disini.    Hubungan  ini  menyatakan,  misalnya, jika  perusahaan  mempekerjakan  100  pekerja  dan  jika  upah  naik  misalnya  $  1,  maka keuntungan  akan  mulai  menurun    sebesar  $  100  (100  pekerja  dikali  $1).    Walaupun demikian,  untuk  maksimisasi  keuntungan  perusahaan  akan  mulai  mengu-rangi  jumlah tenagakerja jika upah naik.  Jika kita ingin mengevaluasi bagaimana variasi  keuntungan  maksimum  ketika  w 1 berubah,  kita  harus  mendiferensiasi    fungsi keuntungan indirect. Diferensiasi persamaan (3) terhadap w 1 adalah :
1 * 2 1 * 1 1 * 1 1 1 * 2 2 1 * 1 1 1 w x w x w x w w x f w x f p w   − −   −         +   =    
Kombinasi  x i */  w 1 dan seterusnya menghasilkan :
d  *  =  (p f 1 –  w 1 ) d x 1 *     +   (p f 2 –  w 2 ) d x 2 *    –  x 1 * d w 1 d w 1 d w 1
Karena parameter pada sisi kanan persamaan bernilai nol saat keuntungan maksimum pada nilai x 1 dan x 2 , sehingga :
1 * 1 1 w x x w   = − =     ……………………………..….(4)
dimana  suku  terakhir  harus  dievaluasi  sebagai  x 1 *.    Persamaan  (4)  menunjukan  bahwa pada tingkat penggunaan  input tertentu,  tingkat perubahan instantaneous dari  keuntungan terhadap  perubahan  harga  faktor  adalah  sama  baik  ketika  faktor  dianggap  tetap  atau variabel.    Lebih  jauh,  tingkat  perubahan instantaneous bernilai  negatif  dalam  fungsi
permintaan  faktor  untuk  x 1 ,  x 1 =  x 1 *(w 1 ,  w 2 ,  p),  pada  harga  disaat  tingkat  peng-gunaan input memaksimumkan keuntungan.
Kita  dapat  memperoleh  pemahaman  yang  lebih  baik  mengenai  apa  yang  terjadi dengan mempertimbangkan gambar geometri lebih detil.  Anggap faktor dan harga output berada pada nilai tertentu yaitu w 1 0 , w 2 0 , p 0 .  Maka nilai x 1 * dan x 2 * adalah : x 1 0 = x 1 * (w 1 0 , w 2 0 , p 0 ),     x 2 0 = x 2 * (w 1 0 , w 2 0 , p 0 )
Mari kita perlakukan w 1 bervariasi, sementara w 2 dan p tetap, dan amati bagaimana variasi keuntungan.    Disisi  lain  kita  juga  menganggap  x 1 dan  x 2 tetap  pada  tingkat  x 1 0 dan  x 2 0 . Dalam Gambar 2, fungsi keuntungan terkendala adalah :
 (w 1 , w 2 0 , p 0 , x 1 0 , x 2 0 )  = p 0 f (x 1 0 , x 2 0 ) – w 1 x 1 0 – w 2 0 x 2 0 ………. (5) memperlihatkan  tingkat  keuntungan  ketika  w 1 berubah,  sementara  variabel  lain  dianggap konstan.  Juga catat bahwa  (w 1 , w 2 0 , p 0 , x 1 0 , x 2 0 ) adalah fungsi linier terhadap w 1 dengan kemiringan d  / d w 1 = –x 1 0
Sekarang  pertimbangkan  hubungan  fungsi  keuntungan  1 *(w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 )  dengan fungsi  keuntungan  diatas.    Karena  1 *(w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 )  menurut  definisi  adalah  keuntungan maksimum  untuk  tingkat  penggunaan  faktor  dan  harga  output  tertentu,  maka  seharusnya kurvanya  digambarkan  diatas  kurva  keuntungan  (w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 ,  x 1 0 , x 2 0 ).    Bagaimanapun pada  saat  w 1 =  w 1 0 ,  penggunaan  input  berada  pada  tingkat  yang  memaksimumkan keuntungan  karena  x 1 0 dan x 2 0 didefinisikan  sebagai  tingkat  penggunaan  input  yang memaksimumkan keuntungan pada saat w 1 = w 1 0 sehingga  pada w 1 = w 1 0 ,  *(w 1 , w 2 0 , p 0 ) =  (w 1 , w 2 0 , p 0 , x 1 0 , x 2 0 ).  Dan jika w 1  w 1 0 , tingkat penggunaan input x 1 0 dan x 2 0 menjadi tidak  optimum  karena  sekarang  tidak  memaksimumkan  keuntungan.    Dengan  demikian  *(w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 )  >  (w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 ,  x 1 0 , x 2 0 )  pada  kedua  sisi  dari  w 1 0 .    Bentuk  geometrisnya terlihat pada Gambar 2.  Dengan mengasumsikan  * dan  dapat didiferensiasi,  * dan  harus bersinggungan  pada  saat  w 1 0 .    Persinggungan  tersebut  menunjukan  kedua  kurva  memiliki kemiringan yang sama pada w 1 0 .  Kondisi ini digambarkan oleh persamaan (4) yaitu d  */ d w 1 = d  / d w 1 =  –x 1 *.
Gambar 2     Fungsi keuntungan  *(w 1 , w 2 0 , p 0 ) dan fungsi keuntungan  (w 1 0 , w 2 0 , p 0 , x 1 0 , x 2 0 ) dimana x 1 0 dan x 2 0 adalah tingkat penggunaan  input  yang memberikan keuntungan maksimum pada saat w 1 = w 1 0 .
Mari kita bahas kondisi pada nilai w 1 yang lain misalnya w 1 1 .  Pada kasus ini kita memperlakukan x 1 dan x 2 tetap  yang merupakan  tingkat penggunaan  input  optimum pada saat  w 1 1 yaitu  :    x 1 1 =  x 1 *(w 1 1 ,  w 2 0 ,  p 0 )  dan  x 2 1 =  x 2 *(w 1 1 ,  w 2 0 ,  p 0 ).    Hasil  maksimisasi keuntungan  terkendala  menghasilkan  persinggungan  dengan  *  pada  nilai  w 1 yang berbeda,  kemiringan  pada  titik  tersebut  adalah  :  –x 1 *(w 1 1 ,  w 2 0 ,  p 0 ).    Kita  dapat  melihat alasan dari nama teorema “amplop” : fungsi keuntungan  *(w 1 , w 2 , p) merupakan amplop bagi semua kurva-kurva keuntungan terkendala yang mungkin ketika w 1 bervariasi.
Bagaimanapun, kita memiliki lebih banyak informasi dari sekedar kemiringan yang sama antara  dan  *.  Karena  * terletak diatas  di kedua sisi w 1 0 , maka  *(w 1 , w 2 0 , p 0 ) seharusnya  lebih convex (atau  kurang concave )  daripada  (w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 ,  x 1 0 , x 2 0 ).    Tetapi dalam  model  ini,  adalah  linear  sehingga  *(w 1 ,  w 2 0 ,  p 0 )  harus convex di  w 1 seperti terlihat  pada  Gambar  2.    Fakta  bahwa  fungsi indirect adalah convex memberikan konsekuensi  besar  dalam  komparatif  statik  model  ini.    Conveksitas  dalam  w 1 berarti d 2  */ d w 1 2  0.    Tetapi  dari  persamaan  (4), d 2  */ d w 1 2 =  –x 1 *  (w 1 ,  w 2 ,  p).    Diferensiasi kedua sisi persamaan tersebut menghasilkan :
d 2  *   =   – d x 1 *  0  ………………………….. (6)
d w 1 2 d w 1
Karena  fungsi  permintaan  faktor  x 1 *(w 1 ,  w 2 ,  p)  yang  merupakan  turunan  parsial pertama dari  (w 1 , w 2 , p) terhadap w 1 bernilai negatif,  maka kemiringan fungsi permintaan faktor  (turunan  pertama  persamaan  tersebut  terhadap  w 1 )  yang  merupakan  turunan  kedua
0 2 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2 1 ) ( ) ( x w x w x x f x x w w − −   =       ) ( 0 0 2 1      w w ) ( 0 0 2 0 1      w w 0 1 w 0 2 w 0  
dari  *  terhadap  w 1 bernilai  negatif.    Jika  turunan  kedua  dari  *  bernilai  positif (nonegatif),  kemiringan  fungsi  permintaan  faktor  harus  negatif.    Oleh  karena  itu,  bentuk kurva  dari  fungsi  objektif indirect (fungsi  keuntungan)  kemudian  menghasilkan  konsep komparatif statik yang penting.
By  symmetry,  hal  ini  diikuti  oleh  *(w 1 ,  w 2 ,  p)  yang convex pada  w 2 ,  yang menghasilkan  komparatif  statik  yang  sama  untuk  faktor  tersebut.    Kondisi  ini  juga menyebabkan  *(w 1 , w 2 , p) convex terhadap harga output p sehingga d 2  */ d p 2 = d y*/ d p  0.  Bukti dan penjelasan geometris mengenai hal ini ditinggalkan untuk latihan siswa.  Kini kita  kembali  untuk  menguji  model  maksimisasi  umum.    Dapatkah  penjelasan  diperoleh tanpa membahas geometri visual ?

## ANALISIS UMUM KOMPARATAIF STATIK : MODEL TANPA KENDALA
Sekarang analisis maksimisasi  y  = f (x 1 , x 2 ,  ) dilakukan dengan  menganggap  x 1 dan x 2 sebagai variabel pilihan dan  sebagai kendala.  Kondisi order pertama adalah f 1 = f 2 = 0.  Dengan membuat penyelesaian secara simultan terhadap syarat kondisi order pertama maka diperoleh x 1 = x 1 *(  ) dan x 2 = x 2 *(  ).   Lagi-lagi,  ada proposisi  yang dapat ditolak sebagai implikasi dari maksimisasi yaitu mengenai arah perubahan beberapa atau semua x i jika  berubah.   Fungsi objektif indirect adalah :  (  ) = f [x 1 *(  ), x 2 *(  ), (  )].  Menurut definisi,  (  )  memberikan  nilai  maksimum  bagi f untuk  tertentu.    Bagaimana  variasi  (  ) dan f (x,  ) jika  berubah ?
Gambar 3   Fungsi objektif indirect  (  ) adalah kurva amplop bagi fungsi objektif direct untuk berbagai variasi  .
f   0  1   ) ( 0 2 0 1    x x f ) ( 1 2 1 1    x x f ) (  
Pada Gambar 3,  (  ) diplot untuk berbagai variasi  .  Untuk nilai  0 yang berubah- ubah  diperoleh  beberapa  nilai  x 1 0 =  x 1 *(  0 )  dan  x 2 0 =  x 2 *(  0 ).    Kini  pertim-bangkan perilaku f (x 1 ,  x 2 ,  )  ketika  x 1 dan  x 2 dianggap  konstan  pada  tingkat  x 1 0 dan x 2 0 sebagai kebalikan  dari  kondisi  disaat  x 1 dan  x 2 dianggap  variabel.    Karena  (  )  memberika  nilai maksimum bagi f untuk  tertentu maka dapat ditulis f   .  Ketika  =  0 maka diperoleh nilai  x i dan  juga f (x 1 ,  x 2 ,  )  pada  tingkat  tersebut.    Disisi  lain  pada  nilai  0 lainnya diperoleh  nilai  x 1 yang  “salah”  (karena  bukan  maksimisasi),  dan  menurut  definisi, f (x 1 0 , x 2 0 ,  ) <  (  ) di sekitar nilai  0 .  Kecuali jika f tidak terdiferensiasi pada  0 ,  dan f akan bersinggungan  pada  0 ,  dan  lebih  jauh, f harus  lebih concave atau  kurang convex dibandingkan  .    Karena  nilai  berubah-ubah,  maka  persinggungan  harus  terjadi  pada nilai  lainnya    Pada  diagram  3  terlihat  bahwa  (  )  merupakan  amplop  bagi f (x 1 ,  x 2 ,  ) untuk setiap tingkat  .  Bagaimana kita menurunkan keadaan ini secara aljabar ?
Pertimbangkan  sebuah  fungsi  baru  yaitu  perbedaan  antara  nilai  aktual  dan  nilai maksimum dari f untuk  tertentu :
F(x 1 , x 2 ,  )  = f (x 1 , x 2 ,  ) –  (  )
Persamaan diatas disebut fungsi objektif primal-dual.  Karena f   untuk x  x* dan f =  untuk x i = x i *, maka F memiliki nilai maksimum ketika x i = x i *(  ).  Lebih jauh kita dapat mempertimbangkan F(x 1 , x 2 ,  ) sebagai fungsi dari tiga variabel bebas x 1 , x 2 , dan  .  Maka akan diperoleh : untuk  tertentu akan terdapat nilai x 1 dan x 2 yang memaksimumkan f dan untuk  nilai  x 1 dan  x 2 tertentu,  terdapat  beberapa  nilai  yang  membuat  nilai  x i benar (karena menyebabkan maksimisasi).  Sebagai contoh, pada tingkat penggunaan kapital dan tenagakerja tertentu, terdapat beberapa set penggunaan faktor dan harga output yang akan menghasilkan keuntungan maksimum.
Posisi  maksimum  dari  F(x 1 ,  x 2 ,  )  dapat  digambarkan,  seperti  biasanya,  dengan memenuhi  kondisi  order pertama dan  kondisi  order  kedua.  Kondisi  order pertama adalah turunan parsial dari f (x 1 , x 2 ,  ) –  (  ) terhadap x 1 , x 2 dan  bernilai nol :
F i = f i =  0     i=1,2 …………………………… (7) dan
F  = f  –   =  0 …………………………….. (8)
Persamaan 7 adalah kondisi maksimum orijinal.  Sedangkan persamaan 8 adalah hasil dari “amplop” dimana   = f  .  Kondisi order pertama terjpenuhi ketika x i = x i *(  ), i=1,2.
Kondisi order kedua mensyaratkan bahwa matriks Hessian hasil turunan kedua dari F(x 1 , x 2 ,  ) (terhadap x 1 , x 2 dan  ) memiliki definit negatif.  Dengan membuat F 11 = f 11 dan seterusnya, dan F  = f  –   maka :
F 11 F 12 F 1  f 11 f 12 f 1  H   =       F 21 F 22 F 2  = f 21 f 22 f 2  ……………………… (9)
F  1 F  2 F  f  1 f  2 f  –  
Syarat  kondisi  order  kedua  adalah f 11 <  0, f 11 f 22 – f 2 12 >  0.    Tambahannya,  syarat kondisi  order  kedua  juga  harus  memenuhi  : F  <  0 atau  f  –   < 0.   Lebih  jauh, dari hasil ketidaksamaan tersebut nilai-nilai komparatif statik (dalam model maksimisasi) akan muncul.
Syarat kondisi amplop  order pertama dari persamaan 8 adalah  :   (  )  f  [x 1 *(  ), x 2 *(  ),  ].  Diferensiasi kedua sisi persamaan tersebut terhadap  mengha-silkan :
   f  x1 d x 1 *   + f  x2 d x 2 * + f  d  d 
Dari kondisi order kedua, dengan menggunakan teorema Young’s diperoleh :   – f  = f 1  d x 1 *   + f 2  d x 2 *   >   0 d  d 
Analisis diatas digeneralisasi untuk seluruh n variabel akan menghasilkan kondisi :
 f i  d x i *   >   0 …………………………..  (10) d 
Persamaan (10) merupakan persamaan umum dan fundamental dari komparatif statik untuk semua  model  maksimisasi  tanpa  kendala.    Seperti  terlihat  dari  bentuknya,  persamaan tersebut terlalu umum untuk banyak penggunaan.  Untuk model yang memiiliki implikasi dapat ditolak ( refutabel ), model harus mengandung lebih banyak struktur daripada sekedar masalah  maksimisasi  umum.    Oleh  karena  itu  anggap  beberapa  variabel  masuk  dalam kondisi order pertama f i = 0, f i  = 0 untuk j  i.  Kemudian persamaan 10 dikurangi oleh satu suku :
f i  d x i *   >   0 …………………………... (11) d 
Hasil  ini  adalah  conjugate  pairs  Samuelson  yang  terkenal.    Pada  model  maksimasi,  jika beberapa  parameter  α  hanya  pada  persamaan  turunan  pertama  (FOC)  yang  ke  i,  sebagai respon dari i pilihan variable xi terhdap perubahan pada parameter itu.
Significansi teori ini diletakkan pada aplikasinya terhadap beberapa model penting. Contoh, pada model meksimasi laba, parameter w 1 dimasukkan hanya persamaan pertama FOC: π = pf 1 – w 1 = 0, sehingga: δπ 1 /δw 1 = – 1. Dengan demikian teori pasangan conjugate menyatakan bahwa respon  1 x terhadap kenaikan w 1 bersifat negative, demikian pula untuk  2 x .
Pada  kasus  yang  lebih  umum  dimana    x  adalah  suatu  vector  variable  keputusan (x 1 ... xn), dan α adalah vector parameter α = (α 1 … α m ), SOC untuk memaksimumkan F (x, α) = f (x- α) – Ф(α) dengan perubahan terhadap α matrik Fαα = fαα – Фαα. Pilihan tanda (sign) diperoleh dari prinsip minor pada fαα – Фαα.
Teori  kurva  amlpop  juga  menyatakan  syarat  resiprokal  non-intuisi  yang memaksimumkan model. Kembali ke model maksimisasi laba, kita menurunkan δ  1 x /δw 2 = δ  2 x /δw 1 .  Hasil  ini  menjadi  lebih  jelas  dengan  mencatat  setiap  permintaan  factor  dengan menunjukkan turunan parsial  negative dari π*  terhadap factor  harga. Jadi  1  = –  1 x (w 1, w 2, p) ; * 2  = –  2 x (w 1, w 2, p). Penerapan Teori Young invariant parsial silang terhadap π*
(w 1, w 2, p) menghasilkan * 12  = – δ  1 x /δw 2 =  – δ  2 x / δw 1 = * 21  .
Semua  teorema  reciprocal  pada  kenyataannya  merupakan  aplikasi  sederhana  dari Teori Young terhadap fungsi obyektif secara  tidak langsung. Andaikan ada dua variavel α dan β dalam model, maka menjadi maksimasi y = f (x 1, x 2, α, β). Imlpikasi fungsi pilihan menjadi  x i  = * i x (α,  β),  i  =  1,  2,  dan  fungsi  obyektif  tidak  langsung  adalah    Ф  (α,β)  =  f [  1 x (α,β)],  2 x (α,β).
Selanjutnya ditulis bahwa Ф (α,β) = fα.
Maka:
Ф α,β (α,β) = f α1   * 1 x +  f α2   * 2 x + f α,β
Ф βα (α,β) = f β1   * 1 x + f β2   * 2 x + f ,βα
Karena: Ф α,β = Ф βα maka menjadi persamaan (12):
f α1   * 1 x +  f α2   * 2 x = f β1   * 1 x + f β2   * 2 x
Secara umum jika terdapat n variable keputusan, maka persamaan menjadi (13):
Σ f iα   * i x = Σ f iβ 
 * i x
Hubungan  ini  menjadi  sangat  penting  bilamana  setiap  parameter  yang  dimasukkan  satu persamaan  FOC.  Pada  kasus  persamaan  (13)  mereduksi  terhadap  satu  bagian  pada  setiap satu sisi persamaan, sama halnya pada model maksimisasi laba.

## MODEL DENGAN KENDALA
Sebagian  besar  model  pada  ekonomi  mencakup  satu  atau  lebih  kendala.  Suatu  model penting yang biasa ditemukan, misalnya adalah:
Minimisasi:
C = Σ w i x i Dengan kendala:
f (x 1 , …, x n ) = y o
Jika  f  adalah  suatu  fungsi  produksi  dari  n  input,  x 1 ,  …,  x n dan  w i adalah  harga  factor, maka  hal  ini  menggambarkan  pencapaian  tujuan  pada  level  output  y o pada  biaya  yang mimimum.
Pengembangan  model  maksimisasi  dari  model  tanpa-kendala  kepada  model  dengan  satu atau  lebih  kendala,  sangat  tergantung  pada  dimasukkannya  parameter  ke  dalam  fungsi obyektif  atau  dimasukkannya  kendala.  Dapat  dicatat  bahwa  model  minimasi  biaya sebelumnya, harga dimasukkan hanya pada fungsi obyektif, dimana tingkat output tertentu merupakan  kendalanya.    Kini  akan  ditunjukkan  bahwa  jika  parameter  yang  dimasukkan hanya  pada  fungsi  obyektif,  perbandingan  static (comparative  static) yang  dihasilkan adalah sama halnya untuk model tanpa-kendala.   Bagaimanapun juga, jika parameter yang dimasukkan adalah suatu  kendala, sebagai  yang mengubah parameter,  maka  kendala  juga berubah, yang akan mengubah hubungan  Ф αα > f αα .
Derivasi  tradisional  dari  teorema  kurva  amplop  untuk  model  dengan  satu  kendala, prosesnya sebagai berikut.
Maksimisasi:
f (x 1 , …, x n, α) = y
Dengan kendala:
g (x 1 , …, x n, α) = y
Lagrangian adalah L = f +  g
Turunan pertama parsial terhadap L = 0,
Menghasilkan persamaan (14),
L i = fi +  gi = 0 → i = 1, …, n Dan persamaan (15).
L λ = g = 0
Penyelesaian kedua persamaan ini:
xi = * i x (α) → i = 1, …, n
λ = λ * (α)
Didefinisikan menjadi persamaan (16):
y* = f (  1 x , …, * n x , α) = Ф(α)
Dalam hal ini, Ф(α) adalah nilai maksimum y untuk α dan x i yang memenuhi kendala. Lalu bagaimana mungkin Ф(α) berubah  ketika  α berubah? Hal demikian  karena mendefresiasi persamaan (16) terhadap α. Dan menghasilkan persamaan (17):
    =  Σ f i    * i x + f α
Dimana f i ≠ 0, dan turunan terhadap kendala: g = [  1 x (α), …, * n x (α).α] ≡ 0 Turunan terhadap α menghasilkan persamaan (18):
Σ g i    * i x + g α ≡ 0
Selanjutnya  persamaan  (18)  dikalikan  dengan  λ,  lalu  tambahkan  dengan  persamaan  (17), sehingga:
    =  Σ f i   
* i x + f α +  Σ λg i    * i x + λg α =  Σ (f i + λg i )    * i x + f α + λg α
Dengan menggunakan FOC diperoleh persamaan (19):
    = f α + λg α = L α
Dimana L α adalah  turunan  parsial  dari  fungsi  Lagrangian  terhadap  α,  dengan  berpegang bahwa  x i adalah  tetap.  Selanjutnya  dalam  mengevaluasi  respon  dari  fungsi  obyektif  tidak langsung  terhadap  suatu  perubahan  pada  parameter  dalam  model  maksimisasi  terkendala, peran fungsi Lagrangian analog terhadap fungsi obyektif pada model tanpa-kendala.
Kita dapat menurunkan teorema  kurva amplop untuk model  maksimisasi terkendala  lebih khusus  dengan  menggunakan analisa  dual-primal .    Hal  ini  tetap  berlaku  pada  kasus model ini, bahwa Ф(α) ≥ f (x1, …, xn, α), tetapi pada kasus ini variable-variablenya harus tetap memenuhi kendala. Karenyanya model dual-primal:
Maksimisasi:
f (x 1 , …, x n, α) – Ф(α)
Dengan kendala:
g (x 1 , …, x n, α) = 0
dengan  memperlakukan  α  sebagai  suatu  (vector  dari)  variable  keputusan  sebagaimana halnya x i .
Lagrangian untuk masalah dual-primal adalah:
L = f (x 1 , …, x n, α) – Ф(α) + λg (x 1 , …, x n, α)
Turunan  partial  pertama  (FOC)  dari L didudukkan  terhadap  x i dan  λ  =  0  untuk menghasilkan  persamaan  turunan  pertama  biasa  untuk  suatu  maksimisasi  terkendala. Turunan  pertama  dari L terhadap  α  =  0  menghasilkan  hubungan  (kurva)  amplop  (seperti persamaan 19) di atas.

## Perbandingan Statics: Analisis Dual-Primal
Saatnya  kini  untuk  memeriksa  penggunaan  analisis  dual  –  primal,  yang  dirujuk  dari perbandingan static tulisan Silberberg (1974) untuk hasil umum.  Dapat ditunjukkan hasil yang lebih berguna dengan memakai model berikut.
Maksimisasi:
f (x 1 , x 2, α) = y
Dengan kendala:
g (x 1 , x 2, β) = 0
Pada  model  ini,  parameter  tunggal  α  dimasukkan  hanya  pada  fungsi  obyektif,  dan kemudian  parameter  β  ke  fungsi  kendala  saja.  Menggunakan  teknik  Lagrangian, menyelesaikan persamaan FOC untuk mengeksplisitkan persamaan:
x 1 =  1 x (α, β) x 2 =  2 x (α, β)
Substitusikan  solusi  ini  ke  dalam  hasil  fungsi  obyektif  nilai  maksimum  dari  f  (x 1 ,  x 2, α) untuk α dan β yang tertentu, untuk x 1 , x 2 yang memenuhi kendala, yaitu:
Ф (α, β) = f [  1 x (α, β),  2 x (α, β), α]
Karena Ф (α, β) adalah nilai maksimum dari f untuk α dan β tertentu, maka Ф (α, β) > f (x 1 , x 2, α). Untuk x i yang memenuhi kendala.
Selanjutnya  F  (x 1 ,  x 2, α,  β)  =  f  (x 1 ,  x 2, α)  –  Ф  (α,  β)  adalah  maksimum  untuk * i x yang memenuhi kendala. Bagaimanapun F (x 1 , x 2, α, β) merupakan fungsi dari4 variabel bebas, salah satunya, α tidak masuk dalam kendala.
Selanjutnya,  dimulai  dengan  nilai  x 1 ,  x 2, dan  β  yang  memenuhi  kendala,  dan mempertahankan  nilai  variable-variabel  itu  tetap,  lebih  jauh  kendala  tidak  akan menetapkan pada pilihan α yang memaksimumkan F (x 1 , x 2, α, β). Kendala mempengaruhi nilai x 1 dan  x 2 yang dapat dipilih, akan tetapi tidak memaksimumkan nilai α.
Lagrangian untuk masalah dual-primal ini adalah:
L = f (x 1 , …, x n, α) – Ф(α, β) + λg (x 1 , …, x n, β)
Hubungan  amplop  diperoleh  dengan  turunan  pertama  dari L terhadap    α  dan  β  =  0, menghasilkan persamaaan (20a dan 20b):
f α – Ф α = 0
– Ф α + λg β = 0
Persamaan (20a) adalah sama dengan persamaan (8), hubungan sama amplop untuk model tanpa-kendala. Labih dari itu, model dual-primal ini adalah suatu maksimum tanpa-kendala pada α, mengasumsi SSOC F αα = f αα – Ф αα < 0.
Perbandingan static mendasar menghasilkan persamaan (10) sebelumnya, sebagai:
f 1α   * 1 x + f 2α   * 2 x > 0
Jika  α  merefresentasikan  suatu  vector  parameter  yang  dimasukkan  hanya  pada  fungsi obyektif,  kemudian  matrik  dari  (f αα –  Ф αα )  harus  menjadi  semi-definit  negative,  dan persamaan (10) berikutnya dari elemen diagonal non-positip.
Pada kasus dimana β adalah suatu vector dengan dua atau lebih parameter (β 1 , . . . , β m ), ini adalah  memungkinkan  untuk  x 1 ,  x 2 dan  α  tetap  konstan  dan  mencirikan  β j yang menyelesaikan  masalah  dual-primal.  Fungsi  obyektif  semula  tidak  berisikan  nilai  β j , masalah dual-primal direduksi untuk:
Maksimisasi β:
– Ф(α, β)
Dengan kendala:
g (α , β) = 0
dimana  x  =  (x 1 ,  x 2 ).  Tentunya,  memaksimumkan  –  Ф(α,  β)  adalah  sam  seperti meminimumkan  Ф(α,  β),  dan  pada  kasus  ini,  fungsi  obyektif  tidak    langsung  adalah cembung (convex) pada parameter β, yang merupakan kendala. Bila kendala adalah linear pada  β j maka  fungsi  obyektif  tidak  langsung  harus  merupakan quasi-convex pada parameter ini (linearitas bukan merupakan persyaratan perlu untuk convexitas quasi).

## Contoh.
Pada model penting  konsumen,  kegunaan barang adalah dimaksimumkan dengan  kendala garis anggaran. Maka,
Maksimisasi:
U (x 1 , x 2 )
Kendalanya:
p 1 x 1 + p 2 x 2 = M
Dengan  menggunakan  metode  Lagrangian,  implikasi  fungsi  pilihan  adalah  permintaan Marshallian x = * i x (p 1, p 2, M), i = 1, 2. substitusikan  fungsi  ini  ke dalam  fungsi  obyektif yang menghasilkan fungsi kegunaan tidak langsung:
U* ( p 1, p 2, M) = U [  1 x (p 1, p 2, M),  2 x (p 1, p 2, M)]
Dengan demikian masalah dual-primal adalah:
Maksimisasi:
U (x 1 , x 2 ) – U* (p 1, p 2, M)
Kendalanya:
p 1 x 1 + p 2 x 2 = M
dimana  maksimisasi  mencari  x 1, x 2 dan  parameter    p 1, p 2 dan  M.  Oleh  karena  semua parameter  adalah  kendala  yang  bersifat  eksklusif,  maka  masalah  maksimisasi  terhadap harga dan pendapatan, disederhanakan menjadi:
Maksimisasi:
– U* (p 1, p 2, M)
Kendalanya:
p 1 x 1 + p 2 x 2 = M
Hal  ini  dikatakan  bahwa  pemilihan  barang    x 1 dan  x 2 sedemikian  yang  memaksimumkan adalah  sama  halnya  dengan  memilih  harga  dan  pendapatan  uang  yang  meminimumkan fungsi  keegunaan  tidak  langsung,  juga  tentunya  dengan  kendala  anggaran.  Oleh  karena kendala  anggaran  adalah  linear  pada  harga  dan  pendapatan,  maka  implikasinya  bahwa fungsi kepuasan tidak langsung adalah convex pada harga dan pendapatan.
Hubungan yang bersifat resiprocal dapat diturunkan pada model ini dengan menggunakan hubungan  amplop  (persamaan  20).  Menuliskan  hubungan  ini  sebagai  identitas  dan menunjukkan fungsi ketergantungan dipakai fungsi pilihan eksplisit, didapatkan persamaan (21a dan 21b):
Ф α (α, β) ≡ f α [  1 x (α, β),  2 x (α, β), α ] Ф β (α, β) ≡ λ* (α, β) g β [  1 x (α, β),  2 x (α, β), β ]
Identitas  (21a)  sama  halnya  pada  kasus  model  tanpa-kendala,  karena  parameter  α dimasukkan  hanya  pada  fungsi  obyektif.  Untuk  dua  parameter  demikian,  α 1 dan  α 2 ,  kita derivasi  persyaratan  resiprokal  yang  diperlihatkan  pada  persamaan  (12)  dan  persamaan (13) dengan cara  yang sama seperti sebelumnya. Sebagai  tambahan,  karena  Ф αβ ≡  Ф βα , kita  derivasi  menggunakan  produk  sama  seperti  aturan  berantai (chain  rule) pada  sisi kanan persamaan (21b), maka diperoleh persamaan (22):
f 1α   * 1 x +  f 2α   * 2 x = λ* [g 1β   * 1 x + g 2β   * 2 x ] + g β    *
Suatu tambahan pada hubungan set resiprokal dapat tersedia pada kasus dua  parameter β 1 dan  β 2 yang  keduanya  dimasukkan  hanya  pada  kendala,  hubungan  ini  perlu  mencakup derivasi parsial dari λ*, sebagaimana dicatat pada persamaan (21b).

## Interpretasi Multiplier Lagrangian
Multiplier  Lagrangian  λ  telah  lama  diterima  dan  secara  prinsip  sebagai  suatu  cara  yang cocok dari keadaan FOC dan SSOC unuk maksimisasi. Kenyataannya, alas an utama untuk penggunaan teknik Lagrangian pada ilmu ekonomi (dan juga ilmu lainnya) adalah bahwa λ seringkali  memiliki  suatu  interpretasi  menarik  dari  yang  dikandungnya.    Dihubungkan dengan model maksimisasi terkendala:
Maksimisasi:
f (x 1 , x 2 ) = y
Kendalanya:
g (x 1 , x 2 ) = k
Biasanya  dibuat  persamaan  kendala  =  0,  disini,  beberapa  persamaannya  nilai  acak k.Dengan  adanya  keadaan  kendala  pada  cara  ini,  kita  akan  menghubungkan  perubahan parameter pada nilai dari fungsi g. Menggunakan Lagrangian:
L = f (x 1 , x 2 )  +  [k – g (x 1 , x 2 )]
Persamaan turunan pertama adalah (25a, 25b, dan 25c):
L 1 = f 1 (x 1 , x 2 )  –  g 1 (x 1 , x 2 ) = 0 L 2 = f 2 (x 1 , x 2 )  –  g 2 (x 1 , x 2 ) = 0
L λ = k – g (x 1 , x 2 ) = 0
Gabungan persamaan (25a) dan (25b) diperoleh persamaan (26):
λ = 1 1 g f = 2 2 g f
Bagaimanapun, ekspresi membantu untuk λ dapat diperoleh dengan menggunakan teorema amplop.  Dengan  menggunakan  persamaan  (25)  secara  simultan,  diperoleh  fungsi  pilihan eksplisit  1 x (k),  2 x (k)  dan  λ*  (k).  Substitusikan  solusi  ini  ke  dalam  f  (x 1 ,  x 2 )  yang menghasilkan fungsi obyektif tak langsung.
Ф (k) = f [  1 x (k),  2 x (k)]
Dengan  teorema  amplop  untuk  penyelesaian  model  maksimisasi  terkendala  pada persamaan (19), dihasilkan persamaan (27):

## Ф (k) = k   L = λ* (k)
Ini  berarti  bahwa,  multiplier  lagrangian  λ  =  tingkat  perubahan  nilai  maksimum  (atau minimum) dari fungsi obyektif terhadap perubahan parameter pada nilai konstan.
Sekali lagi, dihubungkan dengan persamaan (19), Ф α (α) = f α + λg α . Kita dapat memahami hubungan  ini  dengan  menggunakan  persamaan  (27).  Penafsiran  dari  persamaan  (19) sebagai:
    =    f + g f   .    g
Bilamana suatu parameter yang dimasukkan baik pada fungsi obyektif maupun perubahan kendala,  parameter  itu  menghasilkan  dua  pengaruh  terpisah. Pertama, fungsi  obyektif terpengaruh secara langsung, oleh    f .  Sebagai tambahan, nilai dari kendala terpengaruh oleh  jumlah    g . Hal  ini merupakan pengkonversian terhadap unit dari  fungsi  obyektif  f
oleh  pengalian  (multiplier)  λ  (= g f   ).  Jumlah  pengaruh  dari  keduanya  adalah  suatu dampak keseluruhan dari perubahan pada  α kepada nilai y maksimum.
Penerapan  umum  dari  perhatian  model  persamaan  (27)  pada  fungsi  obyektif  adalah berbagai  besaran  nilai  dari  fungsi  output,  yang  memaksimumkan  kendala  terhadap  suatu sumberdaya  terbatas  untuk  beberapa  tingkat  k.  Jika  suatu  increament  tambahan  dari sumberdaya, Δ k,  yang  tersedia,  output akan meningkat sejumlah Δ  y* ≈ λ*Δ  k. Dengan kata  lain,  λ*  adalah  nilai  marginal  dari  sumberdaya  itu.  Pada  perekonomian  kompetitif, kesediaan  membayar (willing  to  pay) perusahaan  menjadi  λ*  untuk  setiap  tambahan (increament) pada sumberdaya. Pada literature pemograman secara matematik, λ* disebut harga  bayangan  (shadow  price) dari  sumberdaya.  Pada  model  dimana  output  social adalah  memaksimumkan  kendala  dari  parameter  tenaga  kerja  dan  kendala  modal, multiplier  Lagrangian  dihubungkan  dengan  atribut  kendala  harga  bayangan  factor  ini, misalnya upah dan tingkat rent terhadap tenaga kerja dan modal.
Sekali lagi dihubungkan dengan model:
Maksimisasi:
f (x 1 , x 2 ) = y
Kendalanya:
g (x 1 , x 2 ) = k
Oleh karena parameter k masuk dalam kendala, yang kita kenal pada umumnya, tanda dari δλ*  /  δk  adalah  tidak  ditentukan.  Bagaimanapun,  pada  beberapa  model  penting,  tersedia asumsi tambahan suatu tanda untuk bagian ini.
Mendefresiasikan persamaan (25) terhadap k, didapatkan persamaan (28):
          0 g - g - g g 2 1 2 1 22 21 12 11 L L L L                   k k x k x       * * 2 * 1 =           − 1 0 0
Penyelesaian untuk δλ* / δk, adalah:
k   * = H H 33 −
Dimana H adalah pembatasan determinan Hessian dari Lagrangian L . Dari SSOC, H > 0. Sekarang andaikan bahwa f dan g adalah fungsi peningkatan secara ketat sehingga λ* > 0. Selanjutnya  bahwa  f  adalah  cekung (concave) dan  g  adalah  suatu  fungsi  yang  cembung. Maka  –  g  harus  cekung,  dan  karenanya L adalah  cekung.      Pada  kasus  ini  maka, H 33 = L 11 L 22 – 2 12 L ≥  0,  dan  berikutnya  δλ*  /  δk  <  0.  Jika  g  merupakan  linear,  persyaratan  ini mendapatkan sepanjang f adalah cekung. Hal ini juga menunjukkan, melalui metode dual- primal, bahwa jika δλ* / δk < 0, L seharusnya merupakan fungsi cembung yang kaku.
Hasil  generalisasi  ini  secara  mendasar  untuk  model  maksimisasi  dengan  pengganda kendala.
Maksimisasi:
f (x) = y
Kendalanya:
g (x) < k
dimana x = (x 1 , . . . , x n ), g(x) = g j (x 1 , . . . , x n ), dan k = (k 1 , . . . , k m ), j = 1, …, m.  Fungsi pilihan  x  =  x*  (k)  dan  pengganda  Lagrangian  λ*  (k)  model  ini  dihasilkan  oleh  solusi simultan  dari  FOC  Lagrangian,  dengan  menahan  asumsi  SSOC.        Fungsi  obyektif  tak langsung  adalah  Ф  (k)  =  f  {x*(k)}.  Oleh  teorema  amplop,  persamaan  menjadi  λ j *  (k)  = δФ/δk j , nilai marginal dari kj sumberdaya ke j yang longgar, diukur oleh peningkatan hasil pada nilai fungsi obyektif. Jika f (x) concave dan g j (x) adalah convex untuk j = 1, …, m, Ф (k) adalah concave pada k, dan kemudian Ф kk = (δλ* / δk) adalah semi-definit negative. Oleh  karena  elemen  diagonal  dari  (Ф kk )  akan  menjadi  non-positip,  hal  ini mengimplikasikan bahwa (δλ* / δk) < 0. Pada beberapa model penting, kendalanya adalah linear, seperti pencirian syarat kepuasan dari teori ini.
Pembuktian kembali diletakkan pada definisi dari fungsi cekung dan cembung.  Misalkan k 1 dan  k 2 merupakan  dua  nilai  yang  acak  dari  vector  k,  dan  mengindikasikan  implikasi vector pilihan sebagai x 1 = x*(k 1 ), x 2 = x*(k 2 ). Berikut k t = k 1 t + (1 – t) k 2 , x t = t x 1 + (1-t) x 2 ,  0  <   1 < 1. Kecembungan kendala adalah:
g (x 1 )  <  tg (x 1 ) + (1 – t) g (x 2 )  <  t k 1 + (1 – t) k 2 = k t
x 1 adalah suatu pilihan yang layak untuk atau solusi untuk model ini, dan yang memenuhi kendala bilamana k = k 1 .
Oleh  karena f (x) adalah cekung (concave) , maka f (x 1 )  ≥  tf (x 1 ) + (1 – t) f (x 2 )  =  t Ф (k 1 ) + (1 – t) Ф (k 2 ) mengingat definisi dari Ф, Ф (k 1 ) ≥  f (x 1 ), sehingga:
Ф (k 1 ) ≥  t Ф (k 1 ) + (1 – t) Ф (k 2 )
Oleh karena itu, Ф (k)  adalah concave pada k. Penggunaan asumsi diferensialitas, matrik Hessian  Ф kk adalah  semi-definit  negative,  yang  menghasilkan  perbandingan  static  biasa pada  kasus-kasus  demikian.  Suatu  penerapan  penting  dari  hasil  ini  pada  model  “Negara kecil”  dari  perdagangan  internasional,  dimana  output  total  suatu  perekonomian  adalah memaksimumkan  kendala  yang  ada  di  dalam (endowmwnt). Jika  fungsi  produksinya adalah concave (cekung) teori ini mengimplikasikan bahwa suatu peningkatan pada factor endowment (dari  dalam)  dari  beberapa  factor  adalah  tidak  mungkin  dapat  meningkatkan harga factor.

## Pengaruh Le Châtelier
Kita  kini  makan  menghubungkan  respon  variable  (yang  menentukan)  keputusan  terhadap perubahan  pada  beberapa  parameter  bilaman  sutau  kendala  penawaran/yang  diperlukan (binding  constraint) ditambahkan  ke  dalam  model.  Ditunjukkan  pada  model  bahwa  bila satu  factor  dipegang  tetap  konstan  pada  level  laba  maksimumnya,  lalu  terdapat  suatu bagian  yang  mengalami  keseimbangan (equilibrium) maka  permintaan  factor  menjadi kurang  elastis.  Dikaitkan  dengan  model  yang  lebih  umum,  kita  sangat  tertarik  pada penemuan  struktur  model  yang  dapat  menghasilkan  prediksi  berbeda  pada  tanggapan (respon) dari variable pilihan terhadap parameter perubahan bilamana kendala penawaran/ yang dibutuhkan (binding-constrain) ditambahkan.    Diskusi terhadap model dibatasi pada beberapa  parameter,  α  dimasukkan  hanya  pada  fungsi  obyektif  dan  parameter  β  pada kendala, dan akan memakai notasi vector pada bahasan.
Maksimisasi:
y  =  f (x,α)
Kendalanya:
g (x,β)  =  0
dimana x = (x1, . . . , xn) dan  α maupun β adalah vector dari parameter yang dikembangkan  haya  pada  fungsi  obyektif  dan  kendala.  Persyaratan  FOC  dan  SSOC  tetap dipegang,  kita  akan  menurunkan  fungsi  pilihan  eksplisit  x*(  α,  β)  dan  λ*(  α,  β).    Fungsi tidak  langsung    Ф*(  α,  β)  =    f  [x*(  α,  β),  α].  Oleh  karena  f  (x,  α)  –  Ф(  α,  β)  adalah memaksimumkan unconstraint pada    α,  kita  dapat  menurunkan  hasil  perbandingan  static umum untuk beberapa scalar α, pada persamaan (10).
   i i i x f  ≥  0
Kini  andaikan  suatu  tambahan  kendala,  h  (x)  =  0,  yang  konsisten  dengan  keseimbangan awal  merupakan  tambahan  terhadap  model.  Ini  adalah  berarti  x o =  x*  (  α o , β o ),  yang  kita perlukan  adalah  h  (x o )  =  0.  Kendala  ini  dapat  disebut binding (diperlukan),  karena  tidak akan  mengganggu  posisi  maksimasi  awal.  Bagaimanapun  hal  ini  akan  mempengaruhi tingkat perubahan dari  variable  keputusan  sebagai akiba perubahan parameter. Kita dapat mencatat fungsi pilihan baru, yang merupakan solusi terhadap FOC dan h (x) = 0, seperti x s ( α, β), jangka pendek, dan fungsi obyektif tak langsung yang baru sebagai Ф s ( α, β), yang diperlihatkan pada gambar. 4.
GAMBAR 4
Penggambarannya, dimana α = α o dan β = β o ,  Ф = Ф s , tetapi α ≠ α o dan β ≠ β o ,  Ф > Ф s . Secara ekuivalen, fungsi F (α o , β o ) = Ф – Ф s memiliki suatu nilai minimum tak terkendala (dari  nol)  di  (α o ,  β o )    baik  terhadap  α  maupun  β  sepanjang  parameter  ini  mendukung kendala.   Mengasumsikan kemampuan penurunan fungsi tersebut,  ini berarti bahwa  Ф s relative  lebih cekung dari pada  Ф.      Implikasi FOC  –  nya  adalah persamaan  (29a  dan 29b):
F α =  Ф α – Ф sα = 0 ……………………………………………….(29a) F β =  Ф β – Ф sβ = 0 ……………………………………………….(29b) SSOC adalah matrik F αβ turunan keduanya terhadap α dan β adalah semi-definite positip. Persyaratan ini mengakibatkan bagian matrik F αα dan F ββ adalah semi-definite positip, dan elemen diagonal  matrik  ini adalah  non-negatif. Dengan demikian untuk beberapa besaran (scalar) khusus parameter α, adalah menjadi persamaan (30):
F αα =  Ф αα – Ф sαα ≥ 0 ……………………………………………. (30)
Menggunakan analisis lanjut persamaan (10), menghasilkan persamaan (31):
 = n i 1 f iα   
   −     s i i x x * ≥ 0 ……………………………………….(31)
Meskipun persamaan ringkasan (31) perbandingan  static  Le Châtelier dapat  menyediakan hasil  untuk  parameter  α,  hasil  yang  lebih  berguna  terjadi  bilamana  persyaratan  teori pasangan conjugate tetap dipegang, misalnya kalau beberapa α khusus hanya memasukkan ke  i  pada  persamaan  FOC.  Pada  kasus  ini,  persamaan  (31)  merupakan  reduksi  terhadap satu bagian, yang menghasilkan persamaan (32)
f iα    * i x ≥ f iα   s i x ≥ 0 …………………………………………..(32)
Oleh  karena  f iα dapat  bernilai  negatip,  kita  tidak  dapat  menunda  penyederhanaan penyelesaian bagian  ini. Bagaimanapun, dengan δx i * /  δα  dan  δ  x i s / δα memiliki  tanda yang sama seperti  f iα , respon dari x i terhadap perubahan pada α adalah selalu  lebih besar pada nilai absolute dalam membantu kendala, sehingga persamaannya (33):
   * i x ≥   s i x …………………………………………………. (33)
Hasil  Le  Châtelier  biasanya  merupakan  gambaran  bagian  dari  pengaruh  satu  variable pilihan  konstan  yang  dipegang.      Kita  melihat  bahwa  hal  ini  merupakan  ketidak-pastian yang tidak penting.
Parameter  β  umumnya  tidak  memberikan  hasil  yang  sederhana  seperti  persamaan  (32), mengingat  ekspresi  pada  pengganda  Lagrangian  selalu  ada.  Berkaitan  dengan  itu,  kasus khusus  penting  dari  model,  mengambil  bentuk  kendala  g  (x)  =  k.  Definisi  Lagrangian untuk model  ini adalah L = f (x,α) + λ [k – g (x)] menjadi fungsi obyektif tak langsung. Dari  persamaan  (27),  Ф k =  λ*  (α,k).  Kita  tahu  dari  analisis  perbandingan  static  umum bahwa δ λ* / δk > 0 atau δ λ* / δk < 0.

## DAFTAR PUSTAKA
Chiang,  A.  C.  and  Wainwright,  K.,,  Fundamental  Methods  of  Mathematical  Economics, 4th ed, McGraw-Hill
Eugene Silberberg.2002, Principles of Microeconomics, Third Edition, October 28th 2002 by Pearson
Silberberg, E., and Suen, W, The Strucuttre Of Economics : A Mathematical Analysis, 3rd. ed, Mcgraw-Hill
Sydsater,  K.,  Hammond,  P,  Seierstad,  A.,  Strom,  A.,  urther  Mathematics  for  Economic Analysis, FT- PrenticeHall
Ranshaw,Geoff, Math for Economics, Oxford