## Solusi Numerik Model Penyebaran Penyakit Covid-19 Di Sulawesi Selatan Dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat

## Hikmawati Pathuddin
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, hikmawati.pathuddin@uin-alauddin.ac.id

## Risnawati Ibnas
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, risnawati.ibnas@uin-alauddin.ac.id

## Rismayanti
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ismaarisma22@gmail.com
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas  mengenai  solusi numerik  pada  model  SIR  dari  penyakit  Covid-19  dengan menggunakan metode runge-kutta orde empat untuk angka kasus covid-19 yang akan datang. Model SIR  merupakan model  yang  terdiri  dari  tiga  kompartemen,  yaitu Susceptible  (Populasi  yang  rentan  terkena  Covid-19), Infected  (Populasi  yang  terinfeksi  atau  positif  penyakit Covid-19),  dan  Recovered  (populasi  yang  sembuh  dari penyakit  Covid-19).  Model  SIR  yang  diperoleh diselesaikan dengan metode runge-kutta orde empat. Hasil perhitungan  yang  diperoleh  dengan  menggunakan  dapat pada  tanggal  10  Januari  2021  yaitu  untuk  nilai  awal S_0=11.339,  I_0=31.047,  dan  R_0=26.816  dengan parameter  β=0,0000003149686,μ=0,000000115033,  dan γ=0,0000001331827. Untuk hari selanjutnya di 20 Januari 2021,  diperoleh  solusi  numerik  yaitu  S=9.250,907, I=33.131,74, dan R=26.816,0853.  Jumlah kasus terinfeksi Covid-19 meningkat dari hari ke hari.
Kata  Kunci:  Covid-19,  Model  SIR,  Runge-Kutta  Orde Empat

## 1. PENDAHULUAN
Munculnya  virus  corona  yang  berawal  di Wuhan,  China  mengakibatkan  seluruh  dunia berada dalam kondisi yang sangat mengkhawatirkan.  WHO  sejak  Januari  2020 telah menyatakan bahwa covid-19 telah menjadi pandemi  di  seluruh  dunia.  Terhitung  sejak tanggal  8  Februari  2021,  sebanyak  1.157.837 orang positif covid-19, dengan rincian sebanyak 949.990  orang  sembuh  dan  31.556  orang meninggal  [1]  dan  Provinsi  Sulawesi  Selatan merupakan  salah  satu  provinsi  dengan  kasus covid-19 terbanyak di Indonesia.
Penyebaran  penyakit  covid-19  dapat dirumuskan  dalam  bentuk  model  matematika. Salah satunya adalah model SIR, dimana model SIR  adalah  model  dasar  dalam  pemodelan epidemiologi penyakit menular di suatu populasi. Pada  model  ini  populasi  dibagi  menjadi  tiga bagian  subpopulasi  yaitu  subpopulasi  yang
rentan terhadap penyakit (susceptible), subpopulasi  yang  terinfeksi  penyakit  (infected), dan subpopulasi yang telah sembuh dari penyakit (recovered).  Dari  model  tersebut,  akan  dicari solusi numeriknya dengan menggunakan metode runge-kutta orde ke-empat karena metode runge- kutta  orde  empat,  dinilai  dapat  memperoleh akurasi deret Taylor tanpa memerlukan diferensiasi orde yang lebih tinggi.
Penelitian  terkait  model  matematika  telah banyak dilakukan. Beberapa diantaranya adalah penelitian  dengan  menggunakan  model  SIR untuk  penyebaran  Covid-19.  Penelitian  ini menunjukkan  bahwa  penyebaran  covid-19  pada semua  provinsi  di  Pulau  Kalimantan  menyebar pada tanggal 18 Maret 2020 yakni di Kalimantan Barat dan Kalimantan Timur. Dari berbagai bukti menunjukkan  bahwa  sumber  infeksi  penyakit covid-19  berasal  dari  hewan  liar.  Jumlah  kasus covid-19 dilaporkan secara mingguan mengalami peningkatan dari hari ke hari [2].
Penelitian lainnya adalah penelitian tentang  virus  Ebola  menggunakan  model  SIR yang  menunjukkan  bahwa  model  matematika sangat  membantu  dalam  memahami  dinamika penyebaran  penyakit  menular  [3].  Selanjutnya, Penelitian  yang  dilakukan  oleh  Handayanto (2020)  meneliti  tentang  efektivitas  pembatasan sosial  berskala  besar  dalam  mengatasi  covid-19 dengan menggunakan model SIR [4]. Penelitian yang  tentang  analisis  dinamis  berdasarkan  data model  SIR  pada  wabah  covid-19  di  Indonesia juga  telah  dilakukan  dan  menunjukkan  bahwa penyebaran  covid-19  di  Indonesia  menyebar dengan cepat berdasarkan kasus yang terkonfirmasi [5], [6].
Berdasarkan uraian pada latar belakang di atas,  maka  peneliti  akan  melakukan  penelitian
dengan  model  SIR  untuk  mengetahui  laju penyebaran  penyakit  virus  covid-19.  Kemudian kasus  tersebut  akan  diselesaikan  dengan  cara menggunakan metode Runge-Kutta orde Empat. Maka,  peneliti  mengambil  judul  “Solusi Numerik  Model  Penyebaran  Penyakit  Covid-19 di  Sulawesi  Selatan  dengan  Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat”.

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## Model Epidemik SIR
Model SIR diperkenalkan oleh Kermack dan  McKendrik  pada  tahun  1929.  Model  SIR membagi  data  sebaran  menjadi  tiga  populasi yang  berpotensi  rentan  ( susceptible ),  populasi terinfeksi  ( infected ),  dan  populasi  sembuh ( recovered ). 1
Berdasarkan alur penyebarannya, susceptible yaitu  sekelompok  individu  yang sehat  tetapi  mudah  terserang  penyakit.  Untuk individu pada kelompok ini memiliki kemungkinan mudah terinfeksi dan berpindah ke kelompok infected melalui kontak langsung atau perantara  lainnya. Infected yaitu  sekelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat pulih serta  berpindah  ke  kelompok Recovered. Recovered yaitu sekelompok individu yang telah berhasil sembuh dari penyakit.
Gambar 2.1. Alur penyebaran penyakit menggunakan SIR
Adapun asumsi yang digunakan untuk menggambarkan dinamika penyebaran  covid-19 adalah :
1. Tidak ada kematian secara alami (tidak ada kematian tanpa penyakit covid-19).
2. Populasinya konstan (tetap).
3. Belum ada vaksin untuk mencegah penyebaran covid-19.
4. Individu  yang  terinfeksi  dapat  sembuh  dari covid-19.
5. Individu  yang  telah  sembuh  dari  covid-19, tidak akan terinfeksi kembali.
Berdasarkan  alur  penyebaran  dan  asumsi- asumsi  diatas,  dapat  diketahui  bahwa  populasi rentan  akan  berkurang  jika  adanya  interaksi antara  kelompok  yang  rentan  dengan  kelompok yang  terinfeksi.  Populasi  terinfeksi  disebabkan karena  adanya  interaksi  dari  kelompok  rentan dengan  kelompok  infeksi,  maka  kelompok infeksi  bertambah.  Namun  akan  berkurang karena  adanya  kasus  kematian  akibat  covid-19 dan  meningkatnya  jumlah  kematian  karena covid-19,  sedangkan  populasi  sembuh  hanya dipengaruhi  oleh  kelompok  yang  sembuh  dari covid-19 [7].
Selanjutnya,  model  matematika  yang diperoleh adalah sebagai berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = −𝛽𝑆𝐼
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼 (2.1) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 dimana: 𝛽 = Laju  penularan  penyakit  dari  yang  rentan menuju terinfeksi
𝜇 = Tingkat  kematian  individu  yang  terinfeksi Covid-19
𝛾 = Laju  kesembuhan  dari  yang  terinfeksi menjadi sembuh
𝑆 = Jumlah individu yang rentan terkena Covid- 19
𝐼 = Jumlah individu yang terinfeksi Covid-19 𝑅 = Jumlah individu yang sembuh dari Covid-19

## Metode Runge-Kutta
Penyelesaian  PDB  dengan  menggunakan deret  Taylor  tidak  praktis  karena  metode  ini membutuhkan perhitungan turunan f(x,y) . Selain itu,  tidak  semua  fungsi  mudah  dihitung turunannya, terutama bagi fungsi yang bentuknya  rumit.  Semakin  tinggi  orde  metode deret Taylor, semakin tinggi turunan fungsi yang harus  dihitung.  Metode  Runge-Kutta  adalah alternatif lain dari metode deret taylor dan tidak membutuhkan  perhitungan  turunan.  Metode  ini berusaha  mendapatkan  derajat  ketelitian  yang lebih tinggi.
Metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat umum :
1. Metodenya  satu  langkah:  untuk  mencapai
𝑦 𝑛+1 hanya  diperlukan  keterangan  yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu 𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 . 2. Mendekati  ketelitian  deret  Taylor  sampai suku dalam ℎ 𝑝 ,dimana nilai p berbeda untuk metode  yang  berbeda,  dan p ini  disebut derajat dari metode.
3. Tidak  memerlukan  perhitungan  turunan f(x,y) tetapi  hanya  memerlukan  fungsi  itu sendiri.
Bentuk  umum  metode  Runge-Kutta  orde n adalah:
∅ = 𝑎 1 𝑘 1 + 𝑎 2 𝑘 2 + ... + 𝑎 𝑛 𝑘 𝑛 (2.2)
Dengan a adalah tetapan dan k adalah : 𝑘 1 = hf ( 𝑥 𝑟, 𝑦 𝑟 ) 𝑘 2 = ℎ𝑓 ( 𝑥 𝑟 + 𝑝 1 h , 𝑦 𝑖 + 𝑞 11 𝑘 1 ) 𝑘 3 = ℎ𝑓 ( 𝑥 𝑟 + 𝑝 2 h , 𝑦 𝑖 + 𝑞 21 𝑘 1 + 𝑞 22 𝑘 2 ) ⋮ 𝑘 𝑛 = hf ( 𝑥 𝑟 + 𝑝 𝑛−1 h, 𝑦 𝑟 + 𝑞 𝑛−1,1 𝑘 1 + 𝑞 𝑛−1,2 𝑘 1 + ...+ 𝑞 𝑛−1,𝑛−1 𝑘 𝑛−1 )

## Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode runge-kutta orde empat merupakan metode  yang  paling  teliti  dibandingkan  dengan metode runge-kutta orde dua dan orde tiga. Oleh karena itu, metode runge-kutta orde empat sering digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan  diferensial.  Rumus  metode  Runge- Kutta Orde 4 yaitu :
𝑦 𝑟+1 = 𝑦 𝑟 + ( 1 6 𝑘 1 + 1 3 𝑘 2 + 1 3 𝑘 3 + 1 6 𝑘 4 ) ℎ = 𝑦 𝑟 + 1 6 ℎ(𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) (2.3)
Dengan : 𝑘 1 = 𝑓(𝑡 𝑟 , 𝑦 𝑟 ) 𝑘 2 = 𝑓(𝑡 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑟 + 1 2 𝑘 1 ℎ) 𝑘 3 = 𝑓(𝑡 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑟 + 1 2 𝑘 2 ℎ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 𝑟 + ℎ, 𝑦 𝑟 + 𝑘 3 ℎ) 2 (2.4)
Pada  persamaan  (1)  dan  (2)  diperoleh penurunan  dari  bentuk  umum  runge-kutta  orde empat dengan n = 4. Bentuk umum runge-kutta orde empat seperti pada persamaan (2.5). 𝑦 𝑟+1 = 𝑦 𝑟 + (𝑎 1 𝑘 1 + 𝑎 2 𝑘 2 + 𝑎 3 𝑘 3 + 𝑎 4 𝑘 4 ) (2.5)
Dengan 𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑟 , 𝑦 𝑟 ) 𝑘 2 = 𝑓(𝑥 𝑟 + 𝑝 1 ℎ, 𝑦 𝑟 + 𝑞 11 𝑘 1 ℎ) 𝑘 3 = 𝑓(𝑥 𝑟 + 𝑝 2 ℎ, 𝑦 𝑟 + 𝑞 21 𝑘 1 ℎ + 𝑞 22 𝑘 2 ℎ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑥 𝑟 + 𝑝 3 ℎ, 𝑦 𝑟 + 𝑞 31 𝑘 1 ℎ + 𝑞 32 𝑘 2 ℎ + 𝑞 33 𝑘 3 ℎ) 3. METODOLOGI
Penelitian ini merupakan penelitian terapan. Penelitian terapan merupakan salah satu jenis penelitian yang bertujuan untuk memberikan  solusi  atas  permasalahan  tertentu secara  praktis.  Data  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yang diperoleh dari Dinas Kesehatan.
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
S  =  Jumlah  Individu  yang  rentan  terkena
penyakit Covid-19
I  =  Jumlah  Individu  yang  terkena  penyakit Covid-19
R =   Jumlah Individu yang sembuh dari penyakit Covid-19
Adapun langkah-langkah penelitian adalah sebagai berikut:
a.  Mengambil  data  sekunder  untuk  data susceptible, infected, dan recovered.
b.    Mencari  parameter  dari  model  yang  telah diperoleh.
c.  Memasukkan  parameter  dalam  model berdasarkan  data  susceptible,  infected  dan recovered.
d.      Menyelesaikan  model  SIR  dengan  Runge- Kutta orde empat.
e.    Menarik  kesimpulan  pada  solusi  numerik model  SIR  menggunakan  runge-kutta  orde empat.
4. PEMBAHASAN

## Hasil Penelitian
Data Penelitian Berikut data Susceptible ( 𝑆 0 ), Infected ( 𝐼 0 ) , dan Recovered (𝑅 0 ) yang akan digunakan dalam penelitian ini. Data diambil dari jumlah individu yang rentan terhadap Covid-19, terinfeksi Covid- 19,  dan  individu  yang  sembuh  dari  Covid-19 mulai dari bulan Maret-Desember 2020.
Tabel 4.1. Data Susceptible, Infected, dan Recovered Variabel Nilai Keterangan 𝑆 0 11.339 Data jumlah individu yang rentan terkena Covid-19 di Sulawesi Selatan pada Maret- Desember 2020 𝐼 0 31.047 Data jumlah individu yang terinfeksi (positif) Covid-19 di Sulawesi Selatan pada Maret- Desember 2020 𝑅 0 26.816 Data jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit Covid-19 di Sulawesi Selatan pada Maret-Desember 2020
Dari  data  diatas,  dapat  dilihat  bahwa sebanyak 11.339 yang rentan terhadap penyakit Covid-19,  sebanyak  31.047  orang  yang  terkena penyakit  Covid-19,  dan  sebanyak  26.816  orang yang sembuh dari penyakit Covid-19.
Adapun parameter yang digunakan dalam model  Susceptible,  Infected  dan  Recovered  ini adalah sebagai berikut.
Tabel 4.2. Tabel Parameter model SIR
Par am eter
Definisi Formulasi 𝛽 Laju penularan penyakit dari yang  rentan menjadi terinfeksi
𝛽 = 1 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛  × 280 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛽 = 1 11.339 × 280 = 0,0000003149686 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢/ℎ𝑎𝑟𝑖
𝜇 Laju kematian individu yang terinfeksi (positif) penyakit
Covid-19
𝜇 = 1 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 × 280 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜇 = 1 594 × 280 = 0,00000601251 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢/ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 Laju kesembuhan dari yang terinfeksi menjadi sembuh
𝛾 = 1
𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑢ℎ × 280ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 = 1 26816 × 280
= 0,0000001331827 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢/ℎ𝑎𝑟𝑖

## Model Epidemik SIR
Dari  nilai  parameter  yang  telah  diperoleh pada table 2 di atas, diperoleh model matematika sebagai berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = −0,0000003149686𝑆𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0,0000003149686𝑆𝐼 − 0,00000601251𝐼 −
0,0000001331827𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 0,0000001331827𝐼

## Solusi Numerik
Model SIR yang didapatkan pada persamaan  (4.1),  (4.2)  dan  (4.3)  disubstitusikan pada persamaan runge-kutta orde empat sehingga diperoleh :
𝑆 𝑟+1 = 𝑆 𝑟 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) 𝐼 𝑟+1 = 𝐼 𝑟 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 ) 𝑅 𝑟+1 = 𝑅 𝑟 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 )
Dengan :
𝑘 1 = ∆𝑡(−𝛽𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 ) 𝑙 1 = ∆𝑡(𝛽𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 − 𝜇𝐼 𝑟 − 𝛾𝐼 𝑟 ) 𝑚 1 = ∆𝑡(𝛾𝐼 𝑟 ) 𝑘 2 = ∆𝑡 (−𝛽(𝑆 𝑟 + 𝑘 1 1 2 )(𝐼 𝑟 + 𝑙 1 1 2 )) 𝑙 2 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 1 1 2 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝛾 (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 1 2 )) 𝑚 2 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 𝑟 + 𝑙 1 1 2 )) 𝑘 3 = ∆𝑡 (−𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 1 2 )) 𝑙 3 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 𝑟 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝛾(𝐼 𝑟 + 𝑙 2 1 2 )) 𝑚 3 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 𝑟 + 𝑙 2 1 2 )) 𝑘 4 = ∆𝑡(−𝛽(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 )(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 )) 𝑙 4 = ∆𝑡(𝛽(𝑆 𝑟 + 𝑘 3 )(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ) − 𝜇(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ) − 𝛾(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 )) 𝑚 4 = ∆𝑡(𝛾(𝐼 𝑟 + 𝑙 3 ))
Waktu  interval  atau  jarak  langkah  yang digunakan adalah ∆𝑡 = 10 hari dengan mengambil nilai awal yaitu untuk 𝑆 0 = 11.339 , 𝐼 0 = 31.047, dan  untuk 𝑅 0 = 26.816 sehingga diperoleh  hasil  solusi  numerik  model  penyakit
Covid-19 menggunakan metode runge-kutta orde empat sebagai berikut.
Iterasi pertama 𝑘 1 = ∆𝑡(−𝛽𝑆 0 𝐼 0 ) = 10(−0,0000003149686 × 11.339 × 31.047) = −1108,821 𝑙 1 = ∆𝑡(𝛽𝑆 0 𝐼 0 − 𝜇𝐼 0 − 𝛾𝐼 0 ) = 10((−0,0000003149686 × 11.339 × 31.047) − (0,00000601251 × 31.047) − (0,0000001331827 × 31.047)) = 1108,6306 𝑚 1 = ∆𝑡(𝛾𝐼 0 )
= 10(0,0000001331827 × 31.047) = 0,0413492
𝑘 2 = ∆𝑡 (−𝛽(𝑆 0 + 𝑘 1 1 2 )(𝐼 0 + 𝑙 1 1 2 )) = 10 (−0,0000003149686 (11.339 + (−1108,821 × 1 2 ) (31.047 + (1108,6306 ×
1 2 )))) = −1073,436 𝑙 2 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 0 + 𝑘 1 1 2 ) (𝐼 0 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 0 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝛾 (𝐼 0 + 𝑙 1 1 2 )) = 10 (0,0000003149686 (11.339 + (−1108,821 × 1 2 )) (31.047 + (1108,6306 × 1 2 )) − (0,00000601251 (31.047 +
(1108,6306 × 1 2 ))) − (0,0000001331827 (31.047 + (1108,6306 × 1 2 )))) = 1071,4935 𝑚 2 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 0 + 𝑙 1 1 2 ))
= 10 (0,0000001331827 (31.047 +
(1108,6306 × 1 2 ))) = 0,0420875 𝑘 3 = ∆𝑡 (−𝛽 (𝑆 0 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 0 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (−0,0000001331827 (11.339 + (−11073,436 × 1 2 )) (31.047 + (1071,4935 × 1 2 ))) = −1074,565 𝑙 3 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 0 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 0 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 0 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝛾(𝐼 0 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (0,0000003149686 (11.339 + (−1073,436 × 1 2 )) (31.047 + (1071,4935 × 1 2 )) −
(0,00000601251 (31.047 +
(1071,4935 ×
1 2 ))) (0,0000001331827 (31.047 +
(1071,4935 × 1 2 )))) = 1072,62387 𝑚 3 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 0 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (0,0000001331827 (31.047 + (1071,4935 × 1 2 ))) = 0,0420628 𝑘 4 = ∆𝑡(−𝛽(𝑆 0 + 𝑘 3 )(𝐼 0 + 𝑙 3 )) = 10 (−0,0000003149686(31.047 +
(−1074,565))(31.047 + (1072,62387)))
= −1074,528
𝑙 4 = ∆𝑡(𝛽(𝑆 0 + 𝑘 3 )(𝐼 0 + 𝑙 3 ) − 𝜇(𝐼 0 + 𝑙 3 ) − 𝛾(𝐼 0 + 𝑙 3 ))
= 10 (0,0000003149686(11.339 + (−1074,565))(31.047 + (1072,62387)) − 0,00000601251(31.047 + (1072,62387)) − 0,0000001331827(31.047 + (1072,62387))) = 1072,5869 𝑚 4 = ∆𝑡(𝛾(𝐼 0 + 𝑙 3 )) = 10(0,0000001331827(31.047 + 1072,62387)) = 0,0420635 Kemudian dengan mensubstitusi nilai k 1 sampai k 4 , l 1 sampai l 4 ,  dan m 1 sampai m 4 ke  dalam persamaan maka :
𝑆 1 = 𝑆 0 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) = 11.339 + 1 6 ((−1108,821) + 2(−1073,436) + 2(−1074,565) + (−1074,528)) = 10259,108
𝐼 1 = 𝐼 0 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 ) = 31.047 + 1 6 (1108,6306 + 2(1071,4935) + 2(1072,62387) + 1072,5869) = 32125,24
𝑅 1 = 𝑅 0 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 ) = 26.816 + 1 6 (0,0413492 +
2(0,0420875) + 2(0,0420628) + 0,0420636) = 26816,04195 Iterasi kedua 𝑘 1 = ∆𝑡(−𝛽𝑆 1 𝐼 1 ) = 10(−0,0000003149686 × 10259,108 × 32125,24) = −1038,062 𝑙 1 = ∆𝑡(𝛽𝑆 1 𝐼 1 − 𝜇𝐼 1 − 𝛾𝐼 1 ) = 10((−0,0000003149686 × 10259,108 × 32125,24) − (0,00000601251 × 32125,24) − (0,0000001331827 × 32125,24)) = 1037,8644 𝑚 1 = ∆𝑡(𝛾𝐼 1 )
= 10(0,0000001331827 × 32125,24) = 0,0413492
𝑘 2 = ∆𝑡 (−𝛽(𝑆 1 + 𝑘 1 1 2 )(𝐼 1 + 𝑙 1 1 2 ))
= 10 (−0,0000003149686 (10259,108 +
(−1038,062 × 1 2 ) (32125,24 + (1037,8644 × 1 2 )))) = −1001,464 𝑙 2 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 1 + 𝑘 1 1 2 ) (𝐼 1 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 1 + 𝑙 1 1 2 ) − 𝛾 (𝐼 1 + 𝑙 1 1 2 ))
= 10 (0,0000003149686 (10259,108 +
(−1038,062 × 1 2 )) (32125,24 + (1037,8644 × 1 2 )) −
(0,00000601251 (32125,24 + (1037,8644 ×
1 2 ))) − (0,0000001331827 (32125,24 +
(1037,8644 × 1 2 )))) = 999,45771 𝑚 2 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 1 + 𝑙 1 1 2 )) = 10 (0,0000001331827 (32125,24 + (1037,8644 × 1 2 ))) = 0,0434764 𝑘 3 = ∆𝑡 (−𝛽 (𝑆 1 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 1 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (−0,0000001331827 (10259,108 + (−1001,464 × 1 2 )) (32125,24 + (1037,8644 × 1 2 ))) =   −1002,755
𝑙 3 = ∆𝑡 (𝛽 (𝑆 1 + 𝑘 2 1 2 ) (𝐼 1 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝜇 (𝐼 1 + 𝑙 2 1 2 ) − 𝛾(𝐼 1 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (0,0000003149686 (10259,108 + (−1001,464 × 1 2 )) (32125,24 + (999,45771 × 1 2 )) − (0,00000601251 (32125,24 +
(999,45771 ×
1 2 ))) (0,0000001331827 (32125,24 +
(999,45771 × 1 2 )))) = 1000,75014 𝑚 3 = ∆𝑡 (𝛾 (𝐼 1 + 𝑙 2 1 2 )) = 10 (0,0000001331827 (32125,24 + (999,45771 × 1 2 ))) = 0,0434508 𝑘 4 = ∆𝑡(−𝛽(𝑆 1 + 𝑘 3 )(𝐼 1 + 𝑙 3 )) = 10 (−0,0000003149686(32125,24 +
(−1002,755))(32125,24 + (1000,75014))) =   −1002,709 𝑙 4 = ∆𝑡(𝛽(𝑆 1 + 𝑘 3 )(𝐼 1 + 𝑙 3 ) − 𝜇(𝐼 1 + 𝑙 3 ) − 𝛾(𝐼 1 + 𝑙 3 ))
= 10 (0,0000003149686(10259,108 + (−1002,755))(32125,24 + (1000,75014)) −
0,00000601251(32125,24 +
(1000,75014)) −
0,0000001331827(32125,24 +
(1000,75014)))
= 1000,7036 𝑚 4 = ∆𝑡(𝛾(𝐼 1 + 𝑙 3 ))
= 10(0,0000001331827(32125,24 + 1000,75014)) = 0,0434517 Kemudian dengan mensubstitusi nilai k 1 sampai k 4 , l 1 sampai l 4 ,  dan m 1 sampai m 4 ke  dalam persamaan maka :
𝑆 2 = 𝑆 1 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 ) = 10259,108 + 1 6 ((−1038,062) + 2(−1001,464) + 2(−1002,755) + (−1002,709))
= 9250,9068
𝐼 2 = 𝐼 1 + 1 6 (𝑙 1 + 2𝑙 2 + 2𝑙 3 + 𝑙 4 ) = 32125,24 + 1 6 (1037,8644 + 2(999,45771) + 2(1000,75014) + 1000,7036)
= 33131,74
𝑅 2 = 𝑅 1 + 1 6 (𝑚 1 + 2𝑚 2 + 2𝑚 3 + 𝑚 4 ) = 26816,04195 + 1 6 (0,0427853 + 2(0,0434764) + 2(0,0434508) + 0,0434517) = 26.816,0853
Adapun  untuk  iterasi  selanjutnya  dapat  dilihat dalam tabel 4.3 berikut.
Tabel 4.3. Tabel Hasil Solusi Numerik Penyakit Covid-19 Menggunakan Runge-Kutta Orde Empat
Tanggal S r I r R r 10-Jan-21 10259.11 32125.24 26816.042 20-Jan-21 9250.907 33131.74 26816.0853 30-Jan-21 8315.7 34065.19 26816.1299 9-Feb-21 7453.396 34925.69 26816.1758 19-Feb-21 6662.71 35714.53 26816.2228 1-Mar-21 5941.379 36433.98 26816.2707 11-Mar-21 5286.373 37087.07 26816.3196 21-Mar-21 4694.106 37677.38 26816.3693 31-Mar-21 4160.616 38208.89 26816.4198 10-Apr-21 3681.726 38685.77 26816.471 20-Apr-21 3253.181 39112.28 26816.5227 30-Apr-21 2870.751 39492.66 26816.575 10-May-21 2530.321 39831.02 26816.6278 20-May-21 2227.946 40131.31 26816.6811 30-May-21 1959.899 40397.25 26816.7346 9-Jun-21 1722.696 40632.34 26816.7886
19-Jun-21 1513.111 40839.79 26816.8428 29-Jun-21 1328.181 41022.58 26816.8973 9-Jul-21 1165.2 41183.42 26816.952 19-Jul-21 1021.716 41324.75 26817.007 29-Jul-21 895.514 41448.79 26817.0621 8-Aug-21 784.6025 41557.53 26817.1173 18-Aug-21 687.1992 41652.76 26817.1727 28-Aug-21 601.7129 41736.07 26817.2283 7-Sep-21 526.7269 41808.87 26817.2839 17-Sep-21 460.9833 41872.43 26817.3396 27-Sep-21 403.3672 41927.86 26817.3954 7-Oct-21 352.8926 41976.14 26817.4513 17-Oct-21 308.6887 42018.15 26817.5072 27-Oct-21 269.9872 42054.66 26817.5632 6-Nov-21 236.1116 42086.34 26817.6192 16-Nov-21 206.4665 42113.78 26817.6753 26-Nov-21 180.5285 42137.52 26817.7314 6-Dec-21 157.8376 42158.01 26817.7875 16-Dec-21 137.9901 42175.65 26817.8437 26-Dec-21 120.632 42190.81 26817.8998
Dapat dilihat pada tabel diatas, penambahan  kasus  dari  yang  rentan  menjadi terinfeksi  dari  hari  ke  hari  mengalami peningkatan.  Pada  tanggal 10 Januari  2021, diperoleh  nilai 𝑆 = 10.259,11 ,  nilai 𝐼 = 32.125,24 dan nilai 𝑅 = 26.816,042 . Perubahan yang terjadi dari tanggal 31 Desember sampai  10  Januari  untuk  nilai 𝑆 mengalami penurunan  sebesar  1.079  orang,  untuk  nilai 𝐼 mengalami peningkatan sebesar 1.078 orang dan nilai 𝑅 tidak  mengalami  perubahan.  Untuk tanggal  20  Januari  2021  diperoleh  nilai 𝑆 = 9.250,907 ,  nilai 𝐼 = 33.131,74 dan  nilai 𝑅 = 26.816,0853 .  Dari  tanggal  10  Januari  ke  20 Januari  nilai 𝑆 mengalami  penurunan  yaitu sebesar  1.008  orang,  sedangkan  untuk  nilai 𝐼 mengalami  kenaikan  sebesar  1.006  orang  dan nilai 𝑅 tidak  mengalami  perubahan.  Untuk selanjutnya dapat dilihat dalam tabel 4.3
Jumlah  kasus  individu  yang Susceptible mengalami  penurunan  setiap  harinya,  namun kasus  individu  yang  terinfeksi  mengalami kenaikan.  Kasus  yang  sembuh (Recovered) hanya  mengalami  perubahan  kecil  dikarenakan nilai  dari  laju  parameternya  mendekati  nilai  0 yaitu 0,0000001331827.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Satuan  Tugas  Penanganan  Covid-19, “Data Sebaran Covid-19,” https://covid19.go.id/ . [2] R.  Teguh,  A.  S.  Sahay,  and  F.  F.  Adji,
“Pemodelan Penyebaran Infeksi Covid-19 Di  Kalimantan,  2020,” Jurnal  Teknologi Informasi: Jurnal Keilmuan dan Aplikasi Bidang Teknik Informatika , vol. 14, no. 2, pp. 171–178, 2020.
[3] M.  T.  Hossain,  M.  M.  Miah,  and  M.  B. Hossain,  “Numerical  study  of  kermack- mckendrik  SIR  model  to  predict  the outbreak  of  ebola  virus  diseases  using euler  and  fourth  order  runge-kutta methods,” American  Academic  Scientific Research Journal for Engineering, Technology, and Sciences , vol. 37, no. 1, pp. 1–21, 2017.
[4] R.  T.  Handayanto  and  H.  Herlawati, “Efektifitas  Pembatasan  Sosial  Berskala Besar  (PSBB)  di  Kota  Bekasi  Dalam Mengatasi  COVID-19  dengan  Model Susceptible-Infected-Recovered  (SIR),” Jurnal Kajian Ilmiah , vol. 20, no. 2, 2020.
[5] M.  Irwan,  H.  Pathuddin,  E.  Jalil,  and  A. Mariani, “Model epidemik SIR pada kasus
COVID-19  di  Indonesia,” Jurnal  MSA (Matematika dan Statistika serta
Aplikasinya) ,  vol.  8,  no.  2,  pp.  83–87, 2020.
[6] A.  Sulaiman,  “On  dynamical  analysis  of the  data-driven  sir  model  (covid-19 outbreak in indonesia),” medRxiv , 2020.
[7] F. Adi-Kusumo, N. Susyanto, I. Endrayanto,  and  A.  Meliala,  “Model berbasis  SIR  dalam  prediksi  awal penyebaran  covid-19  di  daerah  istimewa Yogyakarta  (DIY),” Jurnal  Matematika Thales , vol. 2, no. 1, 2020.