## Jurnal Inovasi Pendidikan Matematika
Volume 1, Nomor 2, Desember 2020
Profil Kecepatan dan Temperatur Pada Aliran Konveksi Campuran Yang Melalui Bola Berpori Dengan Pengaruh Hidrodinamika Magnet
Mohamad Tafrikan 1 , Mohammad Ghani 2
Fakultas Sains dan Teknologi 1 , Universitas Islam Negeri Walisongo Semarang, Jl. Walisongo No.3-5, Tambakaji, Kec. Ngaliyan, Kota Semarang, Jawa Tengah 50185 ;tafrikan@walisongo.ac.id School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University Changchun 2 ; China, Jilin, Changchun, Nanguan District, 人民大街 5268 号 ; jian111@nenu.edu.cn

## Abstract
In this paper, free convection flow and forced convection flow have important role in mixed convection flow. In this case, the effect of pressure forces and buoyant forces are significant. Mixed convection flow can be used in reactor  reaction  technology  and  electronic  cooling.  In  this  paper,  the  boundary  layer  equation  for  mixed convection flow of viscoelastic fluid past over the porous sphere is first transformed into non-dimension form, then  transformed  into  non-similar  form  which  is  then  numerically  solved  by  using  finite  difference  method Keller-Box. The numerical results obtained include velocity profile ( 𝑓 ′ ), and temperature profile ( 𝜃 ) with the effect of maghnetohydrodynmic parameter ( 𝑀 ). Keywords : Mixed  Convection  Fluid,  Non-Newtonian  Fluid,  Viscoelastic  Parameter,  Keller-Box,  Prandtl Number, Porosity Parameter.

## Abstrak
Pada  makalah  ini,  aliran  konveksi  bebas  dan  aliran  konveksi  paksa  berperan  penting  pada  aliran  konveksi campuran. Dalam hal ini, pengaruh gaya tekanan ( pressure forces ) dan gaya apung ( buoyant forces ) pada aliran konveksi bebas menjadi signifikan. Aliran konveksi campuran dapat digunakan pada teknologi reaksi reaktor dan pendingin elektronik. Dalam makalah ini, persamaan lapisan batas ( boundary layer ) dari aliran konveksi campuran  fluida  viskoelastik  yang  melewati  permukaan  sebuah  bola  berpori  awalnya  ditransformasikan kedalam  bentuk  non-dimensi,  kemudian  ditransformasikan  kedalam  bentuk  persamaan  lapisan  batas  non- similar yang diselesaikan secara numerik menggunakan metode beda hingga Keller-Box. Hasil numerik pada makalah ini adalah profil kecepatan ( 𝑓 ′ ), dan profil temperatur ( 𝜃 ) dengan pengaruh parameter hidrodinamika magnet ( 𝑀 ).
Kata  kunci:  Aliran  Konveksi  Campuran,  Fluida  Non-Newtonian,  Parameter  Viskoelastik,  Keller-Box, Bilangan Prandtl, Parameter Poros.

## INFO ARTIKEL
ISSN     : 2733-0597 e-ISSN : 2733-0600 DOI    :  http://dx.doi.org/10.30587/postulat.v1i2.2091
Jejak Artikel
Submit Artikel:
2 Juni 2020
Submit Revisi:
1 Oktober 2020 Upload Artikel:
5 Desember 2020

## PENDAHULUAN
Perpindahan  panas  konveksi  merupakan  perpindahan  panas  dari  suatu  tempat  ke tempat lain yang disebabkan oleh pergerakan fluida. Konveksi panas secara garis besar dibagi menjadi dua, yaitu konveksi bebas ( free convection ) dan konveksi paksa ( forced convection ).
Konveksi bebas disebabkan oleh gaya apung ( buoyancy forces ) karena perbedaan temperatur pada  fluida.  Saat  fluida  dipanaskan,  perubahan  densitas  pada  lapisan  batas  menyebabkan fluida yang dipanaskan naik dan berubah menjadi fluida yang lebih dingin, sedangkan fluida paksa atau yang disebut sebagai adveksi panas disebabkan oleh gaya luar. Saat aliran gaya pada  konveksi  bebas  menjadi  signifikan,  proses  tersebut  disebut  sebagai  aliran  konveksi campuran yang merupakan gabungan antara aliran konveksi bebas dan konveksi paksa. Di dalam  makalah  ini,  pada  mulanya  persamaan  lapisan  batas  ditransformasikan  kedalam bentuk  non-dimensi,  kemudian  ditransformasikan  lagi  kedalam  bentuk  non-similar  yang diselesaikan  secara  numerik  dengan  menggunakan  metode  beda  hingga  Keller-Box  untuk permasalahan  aliran  konveksi  campuran  fluida  viskoelastik  yang  melewati  permukaan sebuah bola berpori. Permasalahan konveksi campuran atas sebuah bola berpori telah banyak dilakukan beberapa penelitian karena penerapannya yang luas dalam bidang teknik seperti mengurangi  hambatan  benda  dan  bahkan  menghasilkan  daya  angkat  yang  cukup  untuk menumpu benda pada kondisi tertentu.
Akhir – akhir ini, terdapat beberapa peneliti menyelidiki permasalahan aliran fluida yang melewati sebuah bola untuk berbagai jenis fluida. Molla, dkk (2005) meneliti tentang aliran konveksi bebas magnet dinamis pada bola dengan pembangkitan panas menggunakan metode kotak Keller. Amin, dkk (2002) meneliti aliran konveksi  campuran dalam kondisi tunak ( steady ) dari fluida viskos tak mampu-mampat ( incompressible ) yang melewati sebuah
Mohammad Tafrikhan 1 , Mohammad Ghani 2 : Profil Kecepatan dan Temperatur …..
bola  pejal  dengan  temperatur  konstan.  Akhter  dan  Alim  (2008)  meneliti  pengaruh  radiasi pada aliran konveksi bebas yang melewati sebuah bola dengan fluks panas permukaan yang seragam.  Kasim  (2014)  meneliti  tentang  aliran  konveksi  campuran  dalam  kondisi  tunak ( steady )  dari  fluida  viskoelastik  tak  mampu-mampat  ( incompressible )  yang  melewati permukaan  sebuah  bola  dengan  penyelesaian  numerik  metode  kotak  Keller.  Namun, permasalahan aliran konveksi campuran dalam kondisi tak-tunak ( steady state ) dari fluida viskoelastik  mampu-mampat  (compressible)  dengan  penyelesaian  numerik  metode  beda hingga  Keller-Box  belum  banyak  yang  meneliti.    Dalam  makalah  ini,  dianalisa  pengaruh parameter  hidrodinamika  magnet  ( 𝑀 )  pada  karakteristik  profil  kecepatan  ( 𝑓 ′ ),  dan  profil temperatur  ( 𝜃 ).  Aliran  fluida  konveksi  campuran  yang  mengalir  pada  suatu  bola  berpori membentuk suatu lapisan batas lingkaran seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, dengan 𝑎 merupakan jari – jari bola berpori.

## METODE PENELITIAN

## Gambar 1. Aliran konveksi campuran yang melewati permukaan sebuah bola berpori
Gambar 1 adalah arah aliran konveksi campuran yang melewati permukaan sebuah bola berpori secara vertikal dan lateral dengan laju fluida viskoelastik sebesar 𝑈 ∞ dan temperatur fluida viskoelastik sebesar 𝑇 ∞ . Titik 𝑂 merupakan titik stagnasi, dengan kondisi saat 𝑥̅ = 0 dan 𝑦̅ = 0 sehingga laju fluida pada permukaan sebuah bola saat kondisi tersebut adalah 𝑢̅ = 0 dan 𝑣̅ = 0 . Laju aliran fluida viskoelastik di sepanjang permukaan sebuah bola pada saat
posisi dan waktu tertentu membentuk sudut sebesar (𝑥̅/𝑎) dan 𝑟̅ , dengan 𝑟̅ merupakan jarak dari  sumbu  simetris  terhadap  permukaan  sebuah  bola.  Dalam  makalah  ini,  separasi  pada posisi dan waktu tertentu dari aliran fluida viskoelastik yang melawan gaya gesek dianalisa. Separasi  dapat  menyebabkan  momentum  aliran  fluida  viskoelastik  berkurang.  Sehingga ketika  aliran  fluida  viskoelastik  mempunyai  momentum  yang  kecil,  hal  tersebut  dapat menyebabkan  aliran  fluida  viskoelastik  berbalik  arah.  Gaya  luar  dalam  aliran  konveksi campuran menyebabkan momentum yang dihasilkan dari fluida viskoelastik semakin besar. Gaya gesek antara permukaan sebuah bola dengan aliran fluida viskoelastik menyebabkan terjadinya  perubahan  nilai  energi  yang  semakin  berkurang.  Selanjutnya,  penurunan persamaan  kontinuitas,  momentum,  dan  energi  dijelaskan  secara  detail  pada  pembahasan subbab selanjutnya.

## 1. Persamaan Kontinuitas
Laju  perubahan  terhadap  waktu  dari  massa  sistem  yang  berimpit  =  Laju  perubahan terhadap waktu dari massa dari kandungan volume atur + Laju aliran netto dari massa melalui permukaan  atur  =  0 . Sesuai  fenomena  aliran  konveksi  bebas  fluida  viskoelastik  yang melewati  permukaan  sebuah  bola  dalam  kondisi incompressible ,  dapat  dikontruksi persamaan kontinuitas dalam bentuk dimensi sebagai berikut:
𝜕 𝜕𝑥̅ (𝑟̅ 𝑢̅) + 𝜕 𝜕𝑦̅ (𝑟̅ 𝑣̅) = 0                                                        (1)
dengan 𝑟̅ = 𝑎 sin ( 𝑥 ̅ 𝑎 ) merupakan jarak radial dari bola berpori.

## 2. Persamaan Momentum
Laju  perubahan  terhadap  waktu  dari  momentum  sistem  =  Laju  perubahan  terhadap waktu dari momentum kandungan volume atur + Laju aliran netto dari momentum melewati permukaan atur = Jumlah dari gaya-gaya luar yang bekerja pada sistem . Sehingga persmaan momentum diperoleh:
𝑢̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ = 𝑣 [ 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕 2 𝑦̅ ] + 𝑔𝛽(𝑇 − 𝑇 ∞ ) sin ( 𝑥̅ 𝑎 ) − 𝑘 0 𝜌 [𝑢̅ ( 𝜕 3 𝑢̅ 𝜕𝑥̅𝜕𝑦̅ 2 ) + 𝑣̅ 𝜕 3 𝑢̅ 𝜕𝑦̅ 3 − 𝑣̅ 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ ( 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑦̅𝜕𝑥̅ ) + 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑥̅ ( 𝜕 2 𝑢̅ 𝜕𝑦̅ 2 )] − 𝜈 𝐾 ∗ 𝑢̅ − 1 𝜌 𝜎(𝑢̅ − 𝑢 𝑒 ̅̅̅)𝐵 0 2 (2) dan persamaan energy:
𝑢̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ = 𝛼𝑣̅ 𝜕 2 𝑇̅ 𝜕𝑦̅ 2 (3)
dengan kondisi batas:
Mohammad Tafrikhan 1 , Mohammad Ghani 2 : Profil Kecepatan dan Temperatur …..
𝑢̅ = 𝑣̅ = 0, 𝜕𝑇̅ 𝜕𝑦̅ = − 𝑞 𝑤 𝑘 pada 𝑦̅ = 0, 𝑢̅ = 0, 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ = 0, 𝑇 − 𝑇 ∞ , sebagai 𝑦̅ → ∞.

## 3. Model Matematika dalam Bentuk Non-Dimensi
Selanjutnya, dengan menggunakan variabel berikut ini:
𝑥 = 𝑥̅ 𝑎 , 𝑦 = 𝑅 𝑒 1 2 ( 𝑦̅ 𝑎 ) , 𝑟(𝑥) = 𝑟̅(𝑥̅) 𝑎 , 𝑢 = 𝑢 ̅ 𝑈 ∞ , 𝑣 = 𝑅 𝑒 1 2 ( 𝑣̅ 𝑈 ∞ ) , 𝜃 = 𝑅 𝑒 1 2 (𝑇−𝑇 ∞ )𝑘 𝑞 𝑤 𝑎 , 𝑢 𝑒 (𝑥) = 𝑢 𝑒 ̅̅̅(𝑥̅) 𝑈 ∞
maka persamaan (1) , (2) , dan (3) menjadi:
𝜕 𝜕𝑥̅ (𝑢𝑟) + 𝜕 𝜕𝑦̅ (𝑟𝑣) = 0                                                     (4)
𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 + 𝐾 [ 𝜕 𝜕𝑥 (𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 ) + 𝑣 𝜕 3 𝑢 𝜕𝑦 3 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 ] +𝜆𝜃 sin(𝑥) − 𝑀 ( 𝑢 − 𝑢 𝑒 ) − 𝑃𝑢       (5)
𝑢 𝜕𝜃 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝜃 𝜕𝑦 = 1 𝑃𝑟 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑦 2 (6)
dengan 𝜆 = 𝐺 𝑟
𝑅𝑒 5 2 , 𝑃 = ( 𝑘 𝑔𝛽𝑇 𝑤 ) 1 2 𝜈 𝐾 ∗ berturut-turut adalah parameter konveksi campuran dan porositas,  sedangkan kondisi batas menjadi:
𝑢 = 𝑣 = 0        𝜃 ′ = −1      pada    𝑦 = 0,
𝑢 = 0, 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑦̅ = 0, 𝜃 = 0, 𝑦 → ∞.
Persamaan (4) , (5) , dan (6) disebut sebagai model matematika dalam bentuk non -dimensi.
4. Prosedur penyederhanaan Model menggunakan Stream Function
Dengan menggunakan:
𝜓 = 𝑥𝑟(𝑥)𝑓(𝑥, 𝑦), 𝜃 = 𝜃(𝑥, 𝑦),
maka:
𝑢 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 dan     𝑣 = − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 (7)
Kemudian disubstitusikan ke model dalam bentuk non-dimensi sebelumnya, didapat:
𝜕 3 𝑓 𝜕𝑦 3 − ( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ) 2 + 9 4 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑥 + (1 + 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 ) 𝑓 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 + 𝜆𝜃 sin 𝑥 𝑥 +𝐾 [2 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕 3 𝑓 𝜕𝑦 3 − (1 + 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 ) (𝑓 𝜕 4 𝑓 𝜕𝑦 4 + ( 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 ) 2 )]
= 𝐾𝑥 [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕 4 𝑓 𝜕𝑦 4 − 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕 3 𝑓 𝜕𝑦 3 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕 4 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 3 + 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 𝜕 3 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 2 ] +𝑥 ( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 ) − 𝑃 𝜕𝑓 𝜕𝑦 + 3 2 𝑀 sin 𝑥 𝑥 − 𝑀 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ,                                     (8) 1 𝑃𝑟 𝜕 2 𝜃 𝜕𝑦 2 + (1 + 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 ) 𝑓 𝜕𝜃 𝜕𝑦 = 𝑥 ( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑥 − 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 ),                               (9)
dengan kondisi batas:
𝑓 = 0, 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 0,    𝜃 ′ = −1   𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 = 0 𝜕𝑓 𝜕𝑦 → 3 2 sin 𝑥 𝑥 , 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 = 0, 𝜃 → 0  𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 → ∞.
Pada saat x → 0 , maka model matematika menjadi:
𝑓 ′′′ + 2𝑓𝑓 ′′ − 𝑓 ′2 + 9 4 + 𝜆𝜃 + 2𝐾(𝑓 ′ 𝑓 ′′′ − 𝑓𝑓 ′′′′ − 𝑓 ′′2 ) − 𝑀 (𝑓 ′ − 3 2 ) − 𝑃𝑓′ = 0, 1 𝑃𝑟 𝜃 ′′ + 2𝑓𝜃 ′ = 0,
dengan kondisi batas:
𝑓(0) = 𝑓 ′ (0) = 0, 𝜃 ′ (0) = −1 𝑓 ′ (∞) = 3 2 , 𝑓 ′′ (∞) = 0, 𝜃(∞) = 0.

## HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Solusi  numerik  pada  aliran  konveksi  campuran  yang  melalui  bola  berongga  dengan pengaruh  hidrodinamika  magnet  dapat  diselesaikan  dengan  cara  diskritisasi  persamaan stream function menggunakan metode beda hingga Keller-Box. Hasil diskritisasi, kemudian disimulasikan  dengan  menggunakan  software  MATLAB  R2010a  dan  diperoleh  profil kecepatan fluida ( 𝑓 ), dan profil temperatur ( 𝜃 ) dengan pengaruh parameter hidrodinamika magnet ( 𝑀 ).
Algoritma Keller-Box untuk kasus aliran konveksi campuran yang melalui bola berpori dengan pengaruh hidrodinamika magnet, dapat dituliskan sebagai berikut:
input : inisialisasi nilai bilangan Prandtl ( 𝑃 𝑟 ), parameter viskoelastik ( 𝐾 ), parameter konveksi campuran ( 𝜆 ), hidrodinamika magnet ( 𝑀 ), boundary layer thickness 𝑦 , step size ℎ
Mohammad Tafrikhan 1 , Mohammad Ghani 2 : Profil Kecepatan dan Temperatur …..
procedure 𝛿𝑓 0 = 0, 𝛿𝑢 0 = 0, 𝛿𝑠 0 = 0, 𝛿𝑢 𝑁 = 0, 𝛿𝑣 𝑁 = 0, 𝛿𝑠 𝑁 = 0 𝑓(𝑗, 1) = 1.5 ∗ (𝑦(𝑗) + 𝑒 −𝑦(𝑗) − 1) 𝑢(𝑗, 1) = 1.5 ∗ (1 − 𝑒 −𝑦(𝑗) ) 𝑣(𝑗, 1) = 1.5 ∗ 𝑒 −𝑦(𝑗)
𝑤(𝑗, 1) = −1.5 ∗ 𝑒 −𝑦(𝑗) 𝑠(𝑗, 1) = 1 − ( 𝑦(𝑗) 𝑦(𝑁) )
𝑡(𝑗, 1) = − 1 𝑦(𝑁) for 𝑗 = 1 to 𝑁 do if ( 𝑗 = 1 ) do [𝛼 1 ] = [𝐴 1 ] [𝛼 𝑗 ][Γ 𝑗 ] = [𝐶 𝑗 ] [𝛼 1 ][𝑤 1 ] = [𝑟 1 ] else if ( 𝑗 = 𝑁 ) do
[𝛼 𝑗 ] = [𝐴 𝑗 ] − [𝐵 𝑗 ][Γ 𝑗−1 ] [𝛼 𝑗 ][𝑤 𝑗 ] = [𝑟 𝑗 ] − [𝐵 𝑗 ][𝑤 𝑗−1 ]
else
[𝛼 𝑗 ] = [𝐴 𝑗 ] − [𝐵 𝑗 ][Γ 𝑗−1 ] [𝛼 𝑗 ][Γ 𝑗 ] = [𝐶 𝑗 ] [𝛼 𝑗 ][𝑤 𝑗 ] = [𝑟 𝑗 ] − [𝐵 𝑗 ][𝑤 𝑗−1 ]
end if end for 𝑗 % step for update value of 𝛿 using backward sweep for 𝑗 = 1 to 𝑁 do if ( 𝑗 = 𝑁 ) [𝛿 𝑗 ] = [𝑤 𝑗 ] else [𝛿 𝑗 ] = [𝑤 𝑗 ] − [Γ 𝑗 ][𝛿 𝑗+1 ] end if end for 𝒋
% step for update value of 𝑓, 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑠 and 𝑡 for 𝑗 = 1 to 𝑁 − 1 do
𝑓(𝑗 + 1) = 𝑓(𝑗) + 𝛿𝑓(𝑗) ; 𝑢(𝑗 + 1) = 𝑢(𝑗) + 𝛿𝑢(𝑗) 𝑣(𝑗 + 1) = 𝑣(𝑗) + 𝛿𝑣(𝑗) ; 𝑤(𝑗 + 1) = 𝑤(𝑗) + 𝛿𝑤(𝑗)
𝑠(𝑗 + 1) = 𝑠(𝑗) + 𝛿𝑠(𝑗)
𝑡(𝑗 + 1) = 𝑡(𝑗) + 𝛿𝑡(𝑗)
end for 𝑗
end procedure Output : profil kecepatan ( 𝑓′ ), profil temperatur ( 𝜃 )
Selanjutnya,  stensil  metode  beda  hingga  Keller-Box  dalam  kondisi  tunak  ( steady  state ) direpresentasikan pada gambar berikut:
Gambar 2. Stensil metode beda hingga Keller-Box dengan kondisi tunak (steady state)
Gambar 2 menjelaskan stensil dari metode beda hingga Box-Keller dengan kondisi tunak ( steady state ) dengan nilai step size Δ𝑦 2 , kondisi batas bawah saat 𝑦 = 0 dan kondisi batas atas saat 𝑦 = 𝑁 , sedangkan 𝑦 adalah ketebalan lapisan batas yang terbentuk dari tegangan geser antara fluida viskoelastik dengan permukaan bola berpori.
Berdasarkan  kondisi  tersebut,  maka  persamaan stream  function yang  sudah  diperoleh sebelumnya,  terlebih  dahulu  diubah  kedalam  bentuk  ke  order  satu  seperti  yang  dituliskan sebagai berikut.
𝑓 ′ = 𝑢                                                                        (10) 𝑢 ′ = 𝑣                                                                        (11) 𝑣 ′ = 𝑤                                                                       (12) 𝑠 ′ = 𝑡                                                                         (13) 𝑤 + 2𝑓𝑣 − 𝑢 2 + 9 4 + 𝜆𝑠 + 2𝐾(𝑢𝑤 − 𝑓𝑤 ′ − 𝑣 2 ) − 𝑀 (𝑢 − 3 2 ) − 𝑃𝑢 = 0                (14)
1 𝑃 𝑟 𝑡 ′ + 2𝑓𝑡 = 0                                                               (15)
dengan 𝑠 adalah bentuk penulisan lain dari 𝜃 dan kondisi batas sebagai berikut.
𝑓(0) = 𝑢(0) = 0, 𝑡(0) = −1 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 = 0
Mohammad Tafrikhan 1 , Mohammad Ghani 2 : Profil Kecepatan dan Temperatur …..
𝑢 → 3 2 , 𝑣 = 0, 𝑠 → 0 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑦 → ∞
Selanjutnya,  persamaan  ( 10 )  –  ( 15 )  dinyatakan  dalam  bentuk  vektor  matriks,  dan diselesaikan  dengan  menggunakan  dekomposisi  LU  ( lower , upper ).  Hasil  numerik  profil kecepatan dan temperatur pada aliran konveksi campuran dengan pengaruh dengan pengaruh parameter hidrodinamika magnet ( 𝑀 ) adalah sebagai berikut:
Gambar 3. Profil kecepatan ( 𝒇′ ) dan temperatur ( 𝜽 ) dengan pengaruh hidrodinamika magnet ( 𝑴 )
Gambar  3  tampak  bahwa  semakin  meningkat  parameter  hidrodinamika  magnet  ( 𝑀 = 1, 𝑀 = 5, 𝑀 = 10, 𝑀 = 15, 𝑀 = 20 ) maka semakin besar kecepatan aliran fluida di setiap titik 𝑦 tertentu, hal ini dikarenakan pengaruh densitas dari fluida viskoelastik yang semakin menurun  seperti  yang  ditunjukkan  dengan  korelasi 𝑀 = 𝜎B 0 𝑎 𝜌𝑈 ∞ .  Densitas  yang  menurun menyebabkan  gaya  apung  yang  bekerja  semakin  besar,  sehingga  menyebabkan  kecepatan semakin besar di setiap titik 𝑦 tertentu.
Selanjutnya,  profil  temperatur  fluida  viskoelastik  ( 𝜃 )  dengan  nilai  parameter hidrodinamika  magnet (𝑀 = 1, 𝑀 = 5, 𝑀 = 10, 𝑀 = 15, 𝑀 = 20) untuk  bilangan  Prandtl 𝑃 𝑟 = 1, 𝜆 = 1 ,  dan 𝐾 = 1 .  Gambar  3  tampak  bahwa  semakin  meningkat  parameter hidrodinamika  magnet,  maka  temperatur  semakin  kecil  di  setiap  titik 𝑦 tertentu,  hal  ini dikarenakan  suatu  korelasi  antara  parameter  hidrodinamika  magnet  berbanding  terbalik dengan kecepatan fluida 𝑈 ∞ seperti yang dituliskan sebagai berikut.
𝑀 = 𝜎𝐵 0 𝑎 𝜌𝑈 ∞
Sehingga  hal  tersebut  menyebabkan  temperatur  fluida  viskoelastik  yang  melewati permukaan bola semakin kecil di setiap titik 𝑦 tertentu.

## KESIMPULAN, DISKUSI DAN REKOMENDASI
Simpulan  dari  penelitian  ini  adalah  semakin  meningkat  parameter  hidrodinamika magnet  ( 𝑀 = 1, 𝑀 = 5, 𝑀 = 10, 𝑀 = 15, 𝑀 = 20 )  maka  semakin  besar  kecepatan  aliran fluida di setiap titik 𝑦 tertentu, hal ini dikarenakan pengaruh densitas dari fluida viskoelastik yang  semakin  menurun  seperti  yang  ditunjukkan  dengan  korelasi 𝑀 = 𝜎B 0 𝑎 𝜌𝑈 ∞ .  Kemudian, semakin  meningkat  parameter  hidrodinamika  magnet,  maka  temperatur  semakin  kecil  di setiap  titik 𝑦 tertentu,  hal  ini  dikarenakan  suatu  korelasi  antara  parameter  hidrodinamika magnet berbanding terbalik dengan kecepatan fluida 𝑈 ∞ .

## DAFTAR PUSTAKA
Causon, D.M. dan Mingham, C.G. (2010). Introductory Finite Difference Methods for PDEs , Departement Of Computing and Mathematics, UK. Hakim, Imansyah I.  (2012), Fenomena Thermophoresis Dan Pemanfaatannya Sebagai Thermal Precipitator Untuk Meningkatkan Kebersihan Udara , Disertasi Doktor, Universitas Indonesia, Depok.
Hoffmann, Klaus A. dan Chiang, Steve T. (2000), Computational Fluid Dynamics,
Engeneering Education System, USA.
Kasim,  A.R.M.  (2014), Convective  Boundary  Flow  of  Viscoelastic  Fluid ,  Disertasi  Ph.D., Universiti Teknologi Malaysia, Malaysia.
Kreith, Frank. (1994), Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas, Edisi Ketiga, Erlangga, Jakarta.
Potter, Merlec C. dan Wiggert, David C. (2008). Mekanika Fluida , Erlangga, Jakarta. Salleh, M. Z. dan Nazar, R. (2010), Modeling of Free Convection Boundary Layer Flow on a Sphere with Newtonian Heating , Acta Appl. Math., 112: 263–274. Streeter,  Victor L., Wyle, E. Benjamin,  dan Prijno, Arko.  (1988), Mekanika Fluida , Edisi Delapan, Erlangga, Jakarta.
Widodo, Basuki. (2012), Pemodelan Matematika , Itspress, Surabaya.