## DETERMINAN MATRIKS CENTROSYMMETRIC BENTUK KHUSUS ORDO 𝟒𝟒 × 𝟒𝟒 BERPANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF
Ade Novia Rahma 1* , Esty Erizona 2 , Rahmawati 3
1,2,3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Email : 1 adenoviarahma_mufti@yahoo.co.id, 2 estyerizona4@gmail.com, 3 rahmawati.@uin-suska.ac.id, *penulis korespondensi
Abstract. This research aims to determine the determinant of a centrosymmetric matrix of a special shape of the order 𝟒𝟒 × 𝟒𝟒 of the rank of exponential number with positive integer exponent. First, consider the shape of the centrosymmetric matrix pattern of the special forms 𝑨𝑨 𝟒𝟒 𝟐𝟐 to 𝑨𝑨 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 so that the general shape is obtained. Second, pay attention to the shape of the determinant pattern of centrosymmetric matrices special forms 𝑨𝑨 𝟒𝟒 𝟐𝟐 to 𝑨𝑨 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 so that the general form is obtained. so that the general form of the centrosymmetric matrix form is special Proof of the general form of the matrix, determinant using the mathematical induction method and direct proof. The final results in this research obtained the general form of the matrix, determinant of the centrosymmetric matrix of special shapes  positive with 𝒏𝒏 odd and even 𝒏𝒏 .
Keywords: centrosymmetric matrix, mathematical induction,  determinant, direct proof, matrix elevation.
Abstrak. Penelitan ini bertujuan untuk menentukan determinan dari suatu matriks centrosymmetric bentuk khusus ordo 4  × 4 berpangkat bilangan bulat positif. Dalam menentukan determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus terdapat beberapa langkah yang perlu dikerjakan. Pertama perhatikan bentuk pola matriks centrosymmetric bentuk khusus 𝐴𝐴 4 2 sampai 𝐴𝐴 4 10 sehingga didapat bentuk umumnya kemudian dibuktikan dengan induksi matematika. Kedua perhatikan bentuk pola determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus 𝐴𝐴 4 2 sampai 𝐴𝐴 4 10 sehingga didapat bentuk umumnya lalu dibuktikan dengan pembuktian langsung. Hasil akhir dalam penelitian ini diperoleh bentuk umum matriks, determinan dari matriks centrosymmetric berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap.
Kata Kunci: Matriks Centrosymmetric,  Induksi Matematika, Determinan, Pembuktian Langsung, Perpangkatan Matriks.

## I. PENDAHULUAN
Menurut Nurkhasannah [4] Matriks centrosymmetric merupakan salah satu matriks yang memiliki struktur simetri pada pertengahan matriks.  Diberikan 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 adalah matriks centrosymmetric, jika 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛−𝑖𝑖+1 , 𝑛𝑛−𝑖𝑖+1 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 atau dapat ditulis

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
              = 11 21 12 22 1 2 2 22 21 1 12 11 a a a a a a a a a a a a A n n n n n         (1)
Dalam teori matriks terdapat berbagai macam operasi matriks diantaranya yaitu perkalian matriks, perpangkatan matriks, invers matriks dan determinan matriks. Dalam penelitian ini hanya membahas mengenai determinan matriks. Menurut Anton [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 , maka bilangan yang dihasilkan dari perkalian entri-entri di setiap baris atau kolom 𝐴𝐴 oleh kofaktor yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut dikatakan determinan 𝐴𝐴 . Pembahasan mengenai determinan  suatu matriks telah banyak diteliti oleh peneliti sebelumnya. Pada tahun 2016, terdapat penelitian yang membahas tentang determinan, matriks kofaktor dan invers dari matriks Teoplitz Tridiagonal [3]. Pada tahun 2018, terdapat penelitian yang membahas tentang bentuk umum determinan matrik FLDcircr menggunakan ekspansi kefaktoran, matriks kofaktor dari FLDcircr dan bentuk umum invers matriks FLDcircr menggunakan metode adjoin [8] .
Dari Persamaan (1), pada tulisan ini penulis tertarik mengulas tentang determinan matriks centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4. Dimana 𝑎𝑎 11 , 𝑎𝑎 13 , 𝑎𝑎 23 = 𝑎𝑎 dan 𝑎𝑎 12 , 𝑎𝑎 14 , 𝑎𝑎 21 , 𝑎𝑎 22 , 𝑎𝑎 24 = 0 atau dapat ditulis sebagai berikut :
            = a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 , dengan 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 .
(2)

## II. METODE DAN BAHAN PENELITIAN
Penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan menggunakan referensi seperti buku referensi, jurnal dan internet.  Adapun teori pendukung yang penulis gunakan adalah sebagai berikut:
Definisi 1 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks persegi, maka perpangkatan bilangan bulat non-negatif dari 𝐴𝐴 didefinisikan sebagai:
𝐴𝐴 0 = 𝐼𝐼 dan 𝐴𝐴 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 𝐴𝐴 … 𝐴𝐴 [ 𝑛𝑛 faktor] dan jika 𝐴𝐴 invertible, maka perpangkatan bilangan bulat negatif dari 𝐴𝐴 didefinisikan sebagai: 𝐴𝐴 −𝑛𝑛 = ( 𝐴𝐴 −1 ) 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 −1 𝐴𝐴 −1 … 𝐴𝐴 −1 [ 𝑛𝑛 faktor].
Teorema 1 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah invertible dan 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat non-negatif, maka
a) 𝐴𝐴 −1 adalah invertible dan ( 𝐴𝐴 −1 ) −1 = 𝐴𝐴 b) 𝐴𝐴 𝑛𝑛 adalah invertible dan ( 𝐴𝐴 𝑛𝑛 )
−1 = 𝐴𝐴 −𝑛𝑛 = ( 𝐴𝐴 −1 ) 𝑛𝑛
c) 𝑘𝑘𝐴𝐴 adalah invertible untuk setiap skalar 𝑘𝑘 yang bukan nol dan ( 𝑘𝑘𝐴𝐴 ) −1 = 𝑘𝑘 −1 𝐴𝐴 −1 .
Definisi 2 [9] Matriks centrosymmetric merupakan salah satu matriks yang memiliki struktur simetri pada pertengahan matriks.
Diberikan 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 ∈ 𝑅𝑅 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 adalah matriks centrosymmetric, jika 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 𝑛𝑛−𝑖𝑖+1 , 𝑛𝑛−𝑖𝑖+1 , 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛 atau dapat ditulis

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021)
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
0 ( ) ( ) ( ) lim h f a h f a f a h → + − ′ = ,
asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞ .
              = 11 21 12 22 1 2 2 22 21 1 12 11 a a a a a a a a a a a a A n n n n n         .
Definisi 3 [6] Diberikan matriks S berorde n × n. Matriks S disebut matriks centrosymmetric jika memenuhi
. = R S S
Lemma 1.
i. Jika       = a b b a S maka S adalah matriks centrosymmetric
ii. Jika
          = a c b d e d b c a S maka S adalah matriks centrosymmetric
Selanjutnya bentuk umum matriks centrosymmetric dengan ordo 4 ≥ n dibagi ke dalam 2 kasus yakni n genap dan n ganjil. Untuk kasus n genap yakni m n 2 = maka misalkan matriks S berbentuk matriks blok sebagai berikut.
      = D B C A S Dengan A,  B,  C dan D adalah matriks persegi berorde m . Matriks S harus memenuhi S S R = sehingga S SJ J n n =       =                   D B C A O J J O D B C A O J J O m m m m m m m m .     =         m m m m
m m m m J DJ J BJ A C J CJ J AJ

## B D
Dari bentuk berakhir diperoleh m m AJ J D = dan m m BJ J C = . Hasil ini diperoleh dalam lema berikut.
Lema 2. Jika S adalah matriks centrosymmetric berorde genap yakni m n 2 = maka S dapat ditulis dalam bentuk matriks blok sebagai berikut.
      = m m m m AJ J B BJ J A S
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan A dan B adalah matriks persegi berorde m.
Bentuk matriks 𝑆𝑆 pada lema diatas bukan bentuk tunggal karena matriks 𝑆𝑆 dapat ditulis dalam bentuk       = m m m m AJ J BJ J B A S atau       = m m m m AJ J BJ B J A S .
Definisi 4 [2] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks persegi, maka minor dari entri 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 dinotasikan oleh 𝑀𝑀 𝑖𝑖𝑖𝑖 dan didefinisikan menjadi determinan dari sub-matriks yang tetap setelah baris ke −𝑖𝑖 dan kolom ke −𝑗𝑗 dihapus dari 𝐴𝐴 . Bilangan ( − 1) 𝑖𝑖+𝑖𝑖 𝑀𝑀 𝑖𝑖𝑖𝑖 dinotasikan oleh 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 dan disebut kofaktor dari entri 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 .
Definisi 5 [7] Jika 𝐴𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 , maka bilangan yang dihasilkan dari perkalian entri-entri di setiap baris atau kolom 𝐴𝐴 oleh kofaktor yang bersesuaian lalu menjumlahkan hasil perkalian tersebut dikatakan determinan 𝐴𝐴 . Jumlah-jumlah dari keseluruhannya disebut ekspansi kofaktor dari 𝐴𝐴 yang dituliskan sebagai berikut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – 𝑗𝑗 : d 𝑒𝑒𝑒𝑒 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑎𝑎 1𝑖𝑖 𝐶𝐶 1𝑖𝑖 + 𝑎𝑎 2𝑖𝑖 𝐶𝐶 2𝑖𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑛𝑛𝑖𝑖 ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – 𝑖𝑖 : d 𝑒𝑒𝑒𝑒 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑎𝑎 𝑖𝑖1 𝐶𝐶 𝑖𝑖1 + 𝑎𝑎 𝑖𝑖2 𝐶𝐶 𝑖𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑛𝑛
Definisi 6 [7] Misalkan 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛 . Untuk membuktikan proposisi ini, kita hanya perlu menunjukkan.
1. 𝑝𝑝 (1) benar, dan 2. Jika 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) benar, makan 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 + 1) juga benar untuk setiap 𝑛𝑛 ≥ 1 .  Sehingga 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛 .
Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi. Lagkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 ) benar untuk semua bilangan bulat positif 𝑛𝑛 .

## III. PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan ditentukan bentuk umum determinan dari matriks centrosymmetric bentuk khusus pada Persamaan (2) berpangkat bilangan bulat positif. Langkah pertama yaitu menentukan nilai perpangkatan matriks 𝐴𝐴 4 2 sampai 𝐴𝐴 4 10 sebagai berikut:
𝐴𝐴 4 2 = 𝐴𝐴 4 . 𝐴𝐴 4
         
     
        = a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
              = 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a
Dengan cara yang sama, maka didapatkan
              = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 a a a a a a a a A ,               = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 a a a a a a a a A ,               = 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 a a a a a a a a A ,               = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 a a a a a a a a A ,               = 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 a a a a a a a a A ,               = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 a a a a a a a a A ,               = 9 9 9 9 9 9 9 9 9 4 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 a a a a a a a a A ,               = 10 10 10 10 10 10 10 10 10 4 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 a a a a a a a a A .
Selanjutnya bentuk umum matriks berpangkat n A 4 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap dinyatakan dalam teorema berikut:
Teorema 2 Diberikan
            = a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 , ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 . Maka                 − + + − = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 4 untuk 𝑛𝑛 ganjil
       
        =
n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 untuk 𝑛𝑛 genap.
Bukti : Pembuktian menggunakan induksi matematika sebagai berikut :
11 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Misalkan
                − + + − = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A n p 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 : ) ( 4 untuk 𝑛𝑛 ganjil dibuktikan sebagai berikut:
1) Untuk 𝑛𝑛 = 1 maka             = a a a a a a A p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : ) 1 ( 4 .
Dengan melihat Persamaan (2) maka 𝑝𝑝 (1) benar.
2) Asumsikan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 , 𝑝𝑝 ( 𝑘𝑘 ) benar, yaitu
                − + + − = k k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a A k p 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 : ) ( 4
Maka akan ditunjukkan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 2, 𝑝𝑝 ( 𝑘𝑘 + 2) juga benar yaitu :
                + + + + = + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1 : ) 2 ( k k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a A k p (3)
Pembuktiannya : 2 4 4 2 4 A A A k k = +                               − + + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 a a a a a a a a a a k a k a a a k a k a k k k k k k k k

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
                + + + + = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1 k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a . Dengan melihat Persamaan (3) maka ) 2 ( + k p benar.
Dari langkah (1) dan (2) sudah diperlihatkan benar. Maka terbukti
                − + + − = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 4 , untuk 𝑛𝑛 ganjil.
Selanjutnya akan dibuktikan untuk 𝑛𝑛 genap.
Misalkan
                = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A n p 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 : ) ( 4 untuk 𝑛𝑛 genap akan dibuktikan sebagai berikut:
1) Untuk 𝑛𝑛 = 2 maka 4 4 2 4 : ) 2 ( A A A p =               = 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a Dengan melihat Persamaan diatas maka 𝑝𝑝 (2) benar.
2) Asumsikan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 , 𝑝𝑝 ( 𝑘𝑘 ) benar, yaitu
     

         =
k k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a A k p 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 : ) ( 4
Maka akan ditunjukkan untuk 𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 + 2, 𝑝𝑝 ( 𝑘𝑘 + 2) juga benar yaitu :
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
                + + + + = + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 : ) 2 ( k k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a A k p (5)
Pembuktiannya : 2 4 4 2 4 A A A k k = +                               = 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 a a a a a a a a a a k a k a a a k a k a k k k k k k k k                 + + + + = + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 k k k k k k k k a a k a k a a a k a k a Dengan melihat Persamaan (5) maka ) 2 ( + k p benar.
Dari langkah (1) dan (2) sudah diperlihatkan benar. Maka terbukti
                =
n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 , untuk 𝑛𝑛 genap.
Berdasarkan pembuktian diatas, maka Teorema 2 terbukti.
Berdasarkan Teorema 2, maka didapatkan bentuk umum invers matriks centrosymmetric bentuk khusus Persamaan (2) yang diberikan dalam Teorema berikut:
Teorema 3 Diberikan
            = a a a a a a A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 , ∀𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 . Maka n n a A 4 4 − = , untuk n ganjil
n n a A 4 4 = ,untuk n genap.
Bukti :
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Akan dibuktikan n n a A 4 4 − = , untuk n ganjil sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 4.1 didapatkan bentuk umum n A 4 (untuk n bilangan ganjil)  yang akan digunakan  untuk  membuktikan  dugaan  bentuk umum perpangkatan  determinan menggunakan pembuktian langsung dengan kofaktor baris pertama sebagai berikut:
                − + + − = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 4 , maka n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a a a n a a n a a n a a n a a n a n a a a A 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 4 − + − +       + + −       − − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 0 2 1 3 − + + − − − = n n n n a n a n a a n a 4 − = Sehingga terbukti n n a A 4 4 − = , untuk n ganjil.
Selanjutnya Akan dibuktikan n n a A 4 4 = , untuk n genap sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 4.1 didapatkan bentuk umum n A 4 (untuk n bilangan genap)  yang akan digunakan  untuk  membuktikan  dugaan  bentuk umum perpangkatan  determinan  menggunakan pembuktian langsung dengan kofaktor baris pertama sebagai berikut:
                = n n n n n n n n n a a n a n a a a n a n a A 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 , maka n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a a a n a a n a a n a a n a a n a n a a a A 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 4 −       +       − = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 0 2 3 − + − = n n n n a n a n a a n a 4 = . Sehingga terbukti n n a A 4 4 = ,untuk n genap.
Berdasarkan pembuktian diatas, maka Teorema  3 terbukti.
Dari bentuk umum determinan perpangkatan matriks Centrosymmetric berlaku untuk semua n dengan matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4 × 4 berpangkat bilangan

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
bulat positif menggunakan ekspansi kofaktor, sehingga jika terdapat suatu matriks centrosimetris seperti diatas  sangat memudahkan untuk mencari determinan nya dengan Teorema 3.

## IV. KESIMPULAN
Pada artikel ini, telah diperoleh bentuk umum dari Matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4  × 4 berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap. Selain itu, telah juga diperoleh b entuk umum dari determinan Matriks Centrosymmetric bentuk khusus ordo 4  × 4 berpangkat bilangan bulat positif dengan 𝑛𝑛 ganjil dan 𝑛𝑛 genap.

## REFERENSI
[1] Anton, H., dan Chris R .” Dasar-dasar Aljabar Linear Versi Aplikasi Edisi kedelapan” , Erlangga,Jakarta. 2004.
[2] Anton, H., dan Chris. R .” Elementary Linear Algebra 11 th edition” . Wiley, Amerika.2013.
[3] Aryani, F., dan C. M. Corazon. “ Invers Of Tridiagonal Teoplitz Matrix By Adjoin Method”. Uin Suska Riau, Pekanbaru. 2016.
[4] Corazon, C., dan F. Aryani. “ Invers Matriks Teoplitz Khusus Menggunakan Metode Adjoin”. Jurnal sains matematika dan statistika . Vol 5, No. 1, halaman 58-67, Januari 2019.
[5] Khasanah, Nur, dkk. “Analisis Konvergensi dari Komputasi Invers Matriks Centrosymmetric”. Prosiding SNMPM undip. halaman 15-19, 2015.
[6] Khasanah, Nur, dkk. “The Algorithm of Determinant Centrosymmetric Matrix Based on Lower Hessenberg Form”. Conference Series . halaman 1-6, 2017.
[7] Rinaldi, Munir
. ” Matematika Diskrit”. Edisi Revisi kelima. Informatika, Bandung. 2005.
[8] Rysfan. “Menentukan Invers Matriks Fldcircr dengan Bentuk Khusus Menggunakan Metode Adjoin ”.  UIN Suska Riau, 2018.
[9] Tamasouw, Berny Pebo.”Karekteristik Matriks Centro-Simetris”. Barekeng. Vol 10, No.2, Hal. 69-76, 2016.
[10] Ulfah, Maysarah. “ Invers Matriks Tak Negatif Menggunakan Metode Adjoin”. UIN Suska Riau, 2017.
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 4 NO. 1 (JUN 2021) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id