Vol.16, No. 1, 85-96, July 2019 doi: 10.20956/jmsk.v%vi%i.5802
* Program Stusdi Pascasarjana (S2) Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245 Email. amrullahambhunk@gmail,.com /amrullahmath4477@gmail.com

## PEMODELAN PEMROGRAMAN LINIER
DENGAN KOEFISIEN FUNGSI OBJEKTIF,

## FUNGSI KENDALA DAN VARIABEL KEPUTUSAN BERBENTUK BILANGAN KABUR BESERTA APLIKASINYA
Muhammad Amrullah *

## Abstract
. In  this  paper  author  shall  propose  an  algorithm  for  solving  fuzzy  linear  programming problems with trapezoidal numbers using a simplex method. In particular, an application of this  theory  in  decision  making  problems  is  fuzzy  linear  programming  with  a  new  method for  solving  fuzzy  linear  programming  problems,  by  use  of  rank  function.  Basically,  our method  is  similar  to  simplex  method  that  was  used  for  solving  linear  programming problems in crisp environment before.
Keywords: Fuzzy linier programming, rank function, simplex method .

## Abstrak
Dalam  makalah  ini  penulis  akan  mengusulkan  algoritma  untuk  memodelkan  masalah pemrograman  linear  kabur  dengan  bilangan  kabur  trapesium  menggunakan  metode simpleks.  Secara  khusus  dalam  aplikasi  teori  ini  adalah  masalah  pengambilan  keputusan pemrograman linear kabur dengan  menyajikan  metode baru untuk  menyelesaikan  masalah pemrograman  linier  kabur  dengan  menggunakan  fungsi  ranking.  Pada  dasarnya,  langkah- langkah dalam metode penelitian ini sama dengan dengan metode simpleks yang digunakan untuk memecahkan masalah pemrograman linier tegas.
Kata kunci: Fuzzy linear programming, fungsi ranking, metode simpleks .

## 1. Pendahuluan
Logika  kabur  adalah  konsep  matematis  yang  mendasari  penalaran  kabur  yang sangat  sederhana,  didasarkan  pada  bahasa  alami,  memiliki  toleransi  terhadap  data-data yang  tepat,  fleksibel  dan  mampu  bekerja  sama  dengan  teknik-teknik  kendali  secara konvensional  sehingga  mudah  dimengerti.  Selain  itu  logika    kabur  mampu  memodelkan fungsi-fungsi  non  linier  yang  sangat  kompleks  serta  dapat  membangun  dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses  pelatihan.  Maka  logika  kabur  merupakan  salah  satu  cara  yang  tepat  untuk memetakan suatu ruang input ke dalam suatu ruang output [7]. Logika kabur pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965[15], penelitian-penelitian tentang logika kabur dan himpunan kabur berkembang dengan pesat hingga sekarang [1][2][4][5][6][8][11][13][14].  Perkembangan  tersebut  meliputi  aspek  teori  sampai  aspek penerapannya [. Salah satu penerapan himpunan kabur dalam riset operasi adalah masalah pemrograman  linier.  Masalah  pemrograman  linier  yaitu  mencari  solusi  optimum  pada

## Muhammad Amrullah
sasaran linier dengan cara menentukan nilai peubah-peubah yang tak diketahui dari batasan liner. Kajian  teoritis  tentang Fuzzy  Linear  Programming (FLP)  telah  banyak  dilakukan, diantaranya  Stanojevic  [12]  membahas  tentang  solusi Fuzzy  Linear  Programming (FLP) dengan  bilangan  kabur  trapesium.  Nasseri  pada  tahun  2007[9]  membahas  tentang penggunaan  metode  simplex  untuk  menemukan  solusi  pemrograman  linier  dengan kendala, koefisien fungsi objektif, dan koefisien fungsi tujuan bernilai kabur. Pandian dan Jayalakshmi  pada  tahun  2010[10]  membahas  tentang  solusi  pemrograman  linier  dengan variable  bersifat  kabur,    Ebrahimnejad  pada  tahu  2010  [3]  menjelasakan  tentang  bukti konstruktif  dari  teori  dasar  untuk Fuzzy  Linear  Programming (FLP)  dengan  variable bersifat kabur.

## 2. Bahan dan Metode
Kurva  trapesium  pada  dasarnya  seperti  bentuk  segitiga,  tetapi  ada  beberapa  titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
0

## a                      b               c                       d
Gambar 2.1 Kurva bilangan kabur trapesium
Definisi II.3
Menurut Salim dan Molani (2014), semua bilangan kabur A adalah himpunan bagian dari R, yang fungsi keanggotaannya memenuhi kondisi berikut :
(i) pemetaan dari R ke interval tertutup [ ] adalah kontiniu. (ii) , untuk semua -    , (iii) naik pada interval      ,
(iv) , pada interval      , dimana   konstan dan (v) turun pada interval      , (vi) , untuk semua ,
dimana         bilangan Real sedemikian sehingga              .
A. Operasi Bilangan Kabur Trapesium

## A.1 Penjumlahan Bilangan Kabur Trapesium
Sifat A.1 Jika ̃ dan ̃ , maka adalah bentuk bilangan kabur dari ̃ ̃ . Bukti: dengan  transformasi ,  fungsi  keanggotaan  bilangan  kabur  dapat ditulis ̃ ̃
̃ dengan  menggunakan  metode  potongan      Potongan     sisi  kiri dari ̃ u tu            adalah - dan potongan   sisi kanan dari ̃ u tu            adalah - ( - ) dapat ditulis [ ( - ) - ( - )] ,
kemudian, potongan   sisi kiri dari
̃ u tu             adalah - , potongan   sisi kanan dari ̃ u tu             adalah - ( - ) dapat ditulis [ - - ( - )] ,
sehingga,

## Muhammad Amrullah
* (( - ) ( - )) - (( - ) ( - ))+ . (1)
Dari persamaan (1) dapat ditulis
( - - - - ) (2) dan
( - - - ) (3) dari (2) dan (3) diperoleh fungsi keanggotaan ̃ ̃ ̃ sebagai berikut: ̃ { ( - - - - )
( - - - ) (4)
berdasarkan  batasan  interval  dari  fungsi  keanggotan  (4),  terbukti  bahwa
̃ ̃ . A.2 Pengurangan Bilangan Kabur Trapesium Sifat A.2: Jika ̃ dan ̃ , maka ( - - - - ) adalah bentuk bilangan kabur dari ̃ - ̃ .
Bukti  : dengan  transformasi - ,  fungsi  keanggotaan  bilangan  kabur  dapat ditulis ̃ ̃ - ̃ dengan menggunakan metode potongan    Potongan   sisi kiri dari
̃ u tu             adalah - ,  potongan     sisi  kanan  dari ̃ u tu             adalah - ( - )
dapat ditulis [ ( - ) - ( - )] , kemudian, potongan sisi  kiri  dari ̃ u tu                adalah - ,  potongan     sisi  kanan  dari
̃ u tu                adalah
- ( - ) dapat ditulis [ - - ( - )] ,
sehingga, - - (( - ) ( - ))
- - (( - ) ( - )) (5)
dari persamaan (5) dapat ditulis
( - - - ) - - (6) dan ( - - - - ) - - (7)
dari (6) dan (7) diperoleh fungsi keanggotaan
̃ ̃ - ̃ sebagai berikut: ̃
{ ( - - - ) - - - - ( - - - - ) - - (8)
berdasarkan  batasan  interval  dari  fungsi  keanggotan  (8)  maka  terbukti ̃ - ̃ ( - - - - ) .
A.3 Perkalian Bilangan Kabur
Sifat  A.3: Jika ̃ dan ̃ ,  maka adalah bentuk bilangan kabur dari ̃ ̃

## Muhammad Amrullah
Bukti: dengan tranformasi , fungsi keanggotaan bilangan kabur dapat ditulis
̃ ̃ ̃ e g   me ggu      meto e poto g
Poto g     s s    r    r ̃ u tu             adalah - , potongan- s s          r ̃ u tu             adalah - ( - ) dapat ditulis [ ( - ) - ( - )] , kemudian, potongan sisi kiri dari ̃ u tu               adalah - poto g       s s            r ̃ u tu              adalah - ( - ) dapat ditulis [ - - ( - )] , sehingga,
( - )( - ) ( ( - ) ( - )) ( - )( - ) - ( ( - ) ( - )) ( 9)
dari persamaan (9) dapat ditulis
( - √ - ) (10)
dan
( - √ - ) (11)
dari (10) dan (11) diperoleh fungsi keanggotaan ̃ ̃ ̃ sebagai berikut
{ ( - √ - ) ( - √ - )
(12)
dimana { }
berdasarkan batasan interval dari fungsi keanggotan (12), terbukti bahwa ̃ ̃ = .
A.4 Perkalian Skalar Pada Bilangan Kabur Sifat A.4: (a)  Jika ̃ dan             maka adalah  bilangan kabur dari ̃ ̃ . (b)  Jika ̃ dan             maka adalah  bilangan kabur dari ̃ ̃ . Bukti:
(a)  Jika     ,  dengan  transformasi     u,  dapat  ditulis  dalam  fungsi  keanggotaan himpunan kabur    u ̃ e g   me ggu      meto e poto g      Poto g     sisi kiri dari  u ̃ u tu             adalah u u -u ,  potongan     sisi  kanan  dari

## Muhammad Amrullah
u ̃ u tu            adalah u -  u -u , dapat ditulis u [ u ( u -u ) u -  u -u ] , kemudian u [ u ( u - u ) u -   u - u ] , sehingga
( - u u - u ) u u (13)
dan
( u - u - u ) u u . (14) Dari (13) dan (14) diperoleh fungsi keanggotaan ̃ u ̃ sebagai berikut ̃
{ ( - u u - u ) u u u u ( u - u - u ) u u (15)
(b) Dengan cara yang sama, jika    u      maka
̃
{ ( u - u - u ) u u u u ( - u u - u ) u u (16)
berdasarkan batasan interval dari fungsi keanggotan (15) dan (16), terbukti bahwa (a)  u ̃ = u u u u , dan (b)  u ̃ = u u u u
A.5 Pembagian Bilangan Kabur
Sifat A.5: Jika ̃ dan ̃ , maka adalah bentuk bilangan kabur dari ̃ ̃
Bukti: dengan  transformasi ,  dapat  ditulis  dalam  fungsi  keanggotaan
himpunan kabur ̃ ̃ ̃ e g   meto e poto g Potongan   sisi kiri dari ̃ u tu             adalah - , potongan sisi kanan dari ̃ u tu             adalah - ( - ) dapat ditulis [ ( - ) - ( - )] ,
kemudian, potongan   sisi kiri dari ̃ u tu              adalah - , potongan- sisi kanan dari ̃ u tu              adalah - ( - ) dapat ditulis [ - - ( - )] , kemudian, [ ( - ) - ( - )]
[ ( - ) - ( - )] [ ( - ) - ( - ) - ( - ) ( - ) ] (17)
sehingga
( - ( - ) - ) (18)
dan
( - ( - ) - ) (19) dari (18) dan (19) diperoleh fungsi keanggotaan  dari ̃ ̃ ̃ sebagai berikut
{ ( - ( - ) - )
( - ( - ) - ) (20)
berdasarkan  batasan  interval  dari  fungsi  keanggotan  (20),  maka  terbukti  bahwa ̃ ̃ .

## B. Fungsi Ranking Bilangan Kabur Trapesium
Sifat A6. Jika R ( ̃) ∫ ( ̃ ̃ ) adalah bentuk tegas dari bilangan  kabur ̃ ,  maka  berlaku  R ( ̃) - ,
dimana m 1 = b, m 2 = c, -   dan –  .
Bukti :  misalkan ̃ - adalah  sisi  kiri  dari  bilangan  kabur  trapesium, sup ̃ - adalah  sisi  kanan  bilangan  kabur  dan ̃ adalah bentuk umum
bilangan
kabur trapesium, dapat ditulis - - - ( - ) dan - - - ( - ) , sehingga R ( ̃) ∫ ( ̃ sup ̃ ) ∫ (( - ) ( - ) ) (( | ( | ) (( ) ( )) ( ) (( ) ( )) ( ( )) m - sehingga terbukti R ( ̃) ∫ ( ̃ sup ̃ ) m - .

## 3. HASIL PENELITIAN
Diberikan fungsi kendala dan fungsi obyektif sebagai berikut: Max ̃ = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 )(x 11 , x 12 , x 13 , x 14 )+ (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 )(x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) dengan kendala,
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )(x 11 , x 12 , x 13 , x 14 ) + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )(x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 )(x 11 , x 12 , x 13 , x 14 ) + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 )(x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ).
Diasumsikan variabel keputusan (x 11 , x 12 , x 13 , x 14 ) dan (x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) adalah variabel yang bersifat kabur, dimana  R(x 11 , x 12 , x 13 , x 14 ) dan R(x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) adalah

## Muhammad Amrullah
bentuk tegas dari keduanya, maka berlaku ̃ = R(x 11 , x 12 , x 13 , x 14 ) dan ̃ = R(x 21 , x 22 , x 23 , x 24 ) sehingga fungsi kendala dan fungsi obyektif dapat ditulis sebagai berikut: Max ̃ = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) ̃ + (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) ̃ Dengan kendala,
(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ̃ + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ̃ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ̃ + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) ̃ r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) berdasarkan sifat A.4, maka fungsi kendala dan fungsi obyektif menjadi :
Max
= (u 1 ) ̃ + (v 1 ) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ̃ + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ̃ (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (21)
(p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ̃ + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) ̃ r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) Max = (u 2 ) ̃ + (v 2 ) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ̃ + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ̃ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (22)
(p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ̃ + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) ̃ r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) Max = (u 3 ) ̃ + (v 3 ) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ̃ + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ̃ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (23)
(p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ̃ + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) ̃ r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) Max = (u 4 ) ̃ + (v 4 ) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ̃ + (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ̃ z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) (24)
(p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) ̃ + (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) ̃ r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ), dari  (21),  (22),  (23)  dan  (24)  kemudian  diselesaikan  menggunakan  metode  simplex dengan langkah-langkah sebagai berikut :

## Langkah 1
Menentukan    pemecahan    dasar    awal    yang    layak    dengan    menggunakan bentuk standar (dengan sisi kanan semua non negatif) Sehingga menjadi:
Tabel 4.1 Bentuk Awal 1 ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n -(u n ) -(v n ) (0) (0) (0) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) dimana n = 1, 2, 3 dan 4

## Langkah 2
Menentukan  variabel  kolom  kunci  (variabel non dasar  dengan  koefisien yang paling negatif), yang mana variabel sekolomnya akan menjadi kolom kunci.
Misalkan nilai (-v n ) merupakan variabel yang memiliki koefisien paling negatif, sehingga kolom ̃ 2 menjadi kolom kunci.
Tabel 4.2 Kolom Kunci 1 ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n -(u n ) -(v n ) (0) (0) (0) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 )
̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 )

## Langkah 3
Menentukan  elemen  pivot  pada  tabel  simplex  dengan  menggunakan pendekatan  aturan  fungsi  ranking,  sehingga  penentuan  besar  atau  kecilnya  suatu bilangan trapesium dengan bilangan trapesium lainnya pada tabel simplex lebih akurat. Menentukan  variabel  baris  kunci  (variabel    yang  memiliki  rasio  atau  titik  potong terkecil  positif  selain  nol),  dengan  ditemukannya  kolom  kunci  dan  baris  kuncinya, maka    titik    potong    dari    keduanya    akan    secara    otomatis    menjadi    elemen    pivot.

## Kolom kunci

## Muhammad Amrullah
Elemen pivot
Baris kunci yang menjadi persamaan pivot lama
Variabel  sebarisnya  akan menjadi  persamaan  pivot  lama,  dan  variabel  dari  baris  yang lainnya akan menjadi persamaan lama.
̃ 3 = z z z z = ( z , z , z , z ) (memenuhi kriteria)
̃ 4 = r r r r q q q q = ( r q , r q , r q , r q ) (memenuhi kriteria)
Z n = - u -u -u -u = (0,0,0,0) (tidak memenuhi kriteria karena hasilnya 0)
R( z z z z ) = R( z , z , z , z ) = (( z ) ( z )) ((( z ) ( z )) - (( z ) ( z ))) ,
dan
R( r r r r q q q q ) = R( r q , r q , r q , r q ) = (( r q ) ( r q )) ((( r q ) ( r q )) - (( r q ) ( r q ))) .
Dari perhitungan di atas, misalkan hasil dari ̃ 4 memiliki rasio atau titik potong terkecil  positif  maka  variabel  sebarisnya  menjadi  baris  kunci,  dan  titik  potong antara  baris  kunci    dan    kolom    kunci    tersebut  menghasilkan    elemen    pivot    dengan koordinat baris 2 kolom 2 sesuai tabel berikut:
Tabel 4.3 Pivot 1 ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n -(u n ) -(v n ) (0) (0) (0) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 )

## Langkah 4
Menghitung persamaan pivot baru dengan persamaan lainnya. Untuk persamaan pivot:
Persamaan pivot baru = pers m    p vot   m e eme  p vot Untuk persamaan selain pivot: Persamaan baru = (persamaan lama) - (koefisien kolom kunci) x (persamaan pivot baru). Karena ̃ 4 merupakan  baris  kunci  dan  barisnya  menjadi  persamaan  pivot  lama,  maka persamaan pivot barunya sebagai berikut :
̃ 1 = p p p p q q q q = ( p q , p q , p q , p q ) (A.1)
̃ 2 = q q q q q q q q = ( q q , q q , q q , q q ) (A.2)
̃ 3 = q q q q = (0,0,0,0) (A.3)
̃ 4 = q q q q = ( q , q , q , q ) (A.4)
NK = r r r r q q q q = ( r q , r q , r q , r q ) (A.5)
sehingga dari perhitungan di atas, dapat ditulis pada tabel berikut :
Tabel 4.4 Persamaan baru ̃ menjadi ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n ̃ ̃ (A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5)

## Muhammad Amrullah
sedangkan persamaan lainnya yaitu persamaan Z n dan ̃ yang menjadi persamaan lama, persamaan barunya yaitu: untuk persamaan Z n di antaranya:
̃ = (–u n ) – (–v n ) x (A.1)
= (–u n ) – (–v n ) x ( p q , p q , p q , p q ) = (–u n ) –  (–v n ( p q ), –v n ( p q ), –v n ( p q ), –v n ( p q )) = (–u n ) – R(–v n ( p q ), –v n ( p q ), –v n ( p q ), –v n ( p q )) B.1
̃ = (–v n ) – ((–v n )) x (A.2)) = (–v n ) – ((–v n )) x (( q q , q q , q q , q q ))) = (–v n ) – (–v n ( q q ), –v n (, q q ), –v n ( q q ), –v n ( q q )) = (–v n ) – R (–v n ( q q ), –v n (, q q ), –v n ( q q ), –v n ( q q )) B.2
̃ = (0) – ((–v n ) x (A.3)) = (0) – R((–v n ) x (A.3)) B.3 ̃ = (0) – ((–v 4, –v 3 , –v 2 , –v 1 ) x (A.4)) = (0) – ((–v 4, –v 3 , –v 2 , –v 1 ) x ( q , q , q , q )) = 0 –  R((– v 4 ) q , – (– v 3 ) q , – (– v 2 ) q , – (–v 1 ) q ) B.4
NK = (0) – ((–v 4, –v 3 , –v 2 , –v 1 ) x (A.5)) = (0) – ((–v 4, –v 3 , –v 2 , –v 1 ) x ( r q , r q , r q , r q ) = (0) – R((–v 4 ) r q , (–v 3 ) r q , (–v 2 ) r q , (–v 1 ) r q ) B.5
Untuk persamaan ̃ , diantaranya:
̃ = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x (A.1))
= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x ( p q , p q , p q , p q )) = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) – ((y 1 ) p q , (y 2 ) p q , (y 3 ) p q , (y 4 ) p q ) = (x 1 – (y 4 ) p q , x 2 – (y 3 ) p q , x 3 – (y 2 ) p q , x 4 – (y 1 ) p q ) C.1
̃ = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x (A.2)) = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x ( q q , q q , q q , q q )) = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) – (y 1 ( q q ), y 2 ( q q ), y 3 ( q q ), y 4 ( q q ) ) C.2
̃ = (1,1,1,1) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )  x (A.3)) = (1,1,1,1) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )  x (0,0,0,0) = (1,1,1,1) C.3 ̃ = (0,0,0,0) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )  x (A.4)) = (0,0,0,0) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 )  x ( q , q , q , q )) = (0,0,0,0) – (y 1 ( q ), y 2 ( q ), y 3 ( q ), y 4 ( q )) = (– y 4 ( q ), – y 3 ( q ), – y 2 ( q ), – (y 1 ( q )) C.4
NK = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x (A.5)) = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) – ((y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) x ( r q , r q , r q , r q )) = (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) – (y 1 ( r q ), y 2 ( r q ), y 3 ( r q ), y 4 ( r q )) = (z 1 –y 4 ( r q , z 2 – y 3 ( r q ), z 3 – y 2 ( r q ), z 4 – y 1 ( r q ))) C.5

## Muhammad Amrullah
sehingga dari perhitungan di atas, hasil iterasi pertama dapat ditulis sesuai tabel berikut: Tabel 4.5 Persamaan baru Z n dan ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n (B.1) (B.2) (B.3) (B.4) (B.5) ̃ (C.1) (C.2) (C.3) (C.4) (C.5) ̃ (A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5)
karena  pada  operasi  bilangan  kabur  trapesium  hasil  perhitungan  dari  operasinya semakin    melebar    yaitu    yang    positif    semakin    positif    dan    yang    negatif    semakin negatif  jika  iterasi  diteruskan,  maka  selanjutnya dilakukan defuzyfikasi untuk setiap elemen  dalam  tabel  simplex  untuk  bisa  dilanjutkan  iterasi  berikutnya.  Pada  iterasi pertama diperoleh solusi untuk ̃ dan Z n yaitu:
̃ = A.5 = ( r q , r q , r q , r q ) Z n = (B.5) = (0) – R((–v 4 ) r q , (–v 3 ) r q , (–v 2 ) r q , (–v 1 ) r q ).
Hasil  ini  berlaku  untuk  kasus  yang  elemen  pivotnya  terletak  pada  perpotongan  antara kolom ̃ dengan baris ̃ (Tabel 4.3).
Untuk  kasus  lain  dengan  cara  yang  sama  jika  elemen  pivotnya  terletak  pada perpotongan antara kolom ̃ dengan baris ̃ (Tabel 4.6), maka niali maksimum untuk ̃ dan Z n sesuai tabel berikut:
Tabel 4.6 pivot 2 ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n (-u n ) (-v n ) (0) (0) (0) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) ̃ = ( z , z , z , z ) Z n = (0) – ((–v n ) x ( z , z , z , z ) = (0) – R((–v 4 ) z , (–v 3 ) z , (–v 2 ) z , (–v 1 ) , z ).
Untuk  kasus  lain  dengan  cara  yang  sama  jika  elemen  pivotnya  terletak  pada perpotongan antara kolom ̃ dengan baris ̃ (Tabel 4.7), maka nilai maksimum untuk ̃ dan Z n yaitu:
Tabel 4.7 Pivot 3
̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n (-u n ) (-v n ) (0) (0) (0)
̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) ̃ = z , z , z , z
Z n = (0) – ((–u 4, –u 3 , –u 2 , –u 1 ) x ( z , z , z , z )
Muhammad Amrullah
= (0) –R((–u 4 ) z , (–u 3 ) z , (–u 2 ) z , (–u 1 ) z ).
Untuk  kasus  lain  dengan  cara  yang  sama  jika  elemen  pivotnya  terletak  pada perpotongan antara kolom ̃ dengan baris ̃ (Tabel 4.8), maka nilai maksimum untuk ̃ dan Z n yaitu:
Tabel 4.8 Pivot 4 ̃ ̃ ̃ ̃ NK Z n (-u n ) (-v n ) (0) (0) (0) ̃ (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 0) (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ) ̃ (p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) (0, 0, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 ) ̃ = ( r p , r p , r p , r p )
̃ = (0) – ((–u 4, –u 3 , –u 2 , –u 1 ) x ( r p , r p , r p , r p ) = (0) –R((–u 4 ) r p , (–u 3 ) r p , (–u 2 ) r p , (–u 1 ) r p ).

## Langkah 5
Langkah  selanjutnya  adalah  Proses  defuzyfikasi  semua  elemen  pada  tabel simplex  pada  iterasi  pertama  (Tabel  4.5).  Jika  solusi  optimum  telah  ditemukan  pada iterasi  pertama  maka  iterasi  dihentikan,  tapi  jika  belum  memenuhi,  maka  selanjutnya dilakukan iterasi kedua sesuai tabel berikut :
Tabel 4.9 Tabel awal setelah defuzyfikasi ̃ ̃ ̃ ̃ NK ̃ R (B.1) R (B.2) R (B.3) R (B.4) R (B.5) ̃ R (C.1) R (C.2) R (C.3) R (C.4) R (C.5) ̃ R (A.1) R (A.2) R (A.3) R (A.4) R (A.5)
Setelah dilakukan tahapan-tahapan diatas, akan didapatkan solusi optimum ̃ = (Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 ) dari variabel ̃ , ̃ .

## 4.   Kesimpulan
1. Memodelkan suatu masalah optimasi dengan keseluruhan unsurnya bernilai kabur dapat  diselesaikan  menggunakan  pemrograman  linier  dengan  metode  simplex, dengan  terlebih  dahulu  mengidentifikasi  apakah  masalah  tersebut  dapat dimodelkan kedalam model umum pemrogaraman linier kabur.
2. Pemrograman linier dengan koefisien fungsi objektif, fungsi kendala dan variabel keputusan  berbentuk  bilangan  kabur dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan metode  simpleks  pada  iterasi  pertama  dengan  metode  langsung  tanpa  terlebih dahulu mengubahnya menjadi pemrograman linier tegas.
3. Pemrograman linier dengan koefisien fungsi objektif, fungsi kendala dan variabel keputusan  berbentuk  bilangan  kabur dapat  diselesaikan  dengan  mengaplikasikan fungsi  ranking  :  R ( ̃) m - untuk ̃ m dimana
atau

## Daftar Pustaka
[1]  Asikin, M.,2003. Mencermati berbagai jenis permasalahan dalam program linear kabur, J urnal matematika dan komputer , 2, 86-96.
[2]  Allahviranloo, T., 2009. Solving a fully fuzzy linear programming using lexicography method and fuzzy approximate solution, Appl. Math. Model . 33.
[3]  Ebrahimnejad,  A.,  Nasseri,  S.  H.,  Lotfi  F.  H.,    dan  Soltanifar,  M.,  2010.  A  primal- dual method for linear programming problems with fuzzy variables, Eur. J. Ind. Eng . 4, 189-209.
[4] Hosseinzadeh,  A.,  dan  Edalatpanah,  S.  A.,  2016.  A  new  approach  for  solving  fully

## Muhammad Amrullah
fuzzy linear programming by using the lexicography method. Journal of fuzzy linear programming .
[5]  Kumar,  A.,  Kaur,  J.,  Singh,  P.,  2010.  Fuzzy  optimal  solution  of  fully  fuzzy  linear programming  problems  with  inequality  constraints, International  journal  of  applied mathematics and computer sciences 6, 37-41.
[6]  Kumar, A., dan Kaur, J., 2011. A new method for solving fuzzy linear programs with tapezoidal fuzzy numbers, Journal of fuzzy linear programming , Vol.102.
[7]  Kusumadewi., 2010. Aplikasi logika kabur untuk pendukung keputusan. Yogyakarta: Graha Ilmu.
[8]  Maleki,  H.  R.,  2002.  Ranking  functions  and  their  applications  to  fuzzy  linear programming, Journal of Fuzzy Linear Programming, Far East J. Appl. Math . 4, 283– 301.
[9]  Nasseri,  S.H.,  Ardil,  E.,  Yazdani,  A.,  dan  Zaefarian,  R.,  2007.  Simplex  method  for solving  linear  programming  problems  with  fuzzy  numbers, Journal  of  fuzzy  linear programming , Vol:12, No.10, 2007.
[10]  Pandian, P., dan Jayalakshmi, M., 2010. A new for solving integer linear programming problems with fuzzy variabels, Applied mathematical sciences , vol : 4, No. 20, 997-1004.
[11]  Salim, R.dan Molani, M.,2014. Representation of trapezoidal fuzzy numbers with shape function, Annals of fuzzy mathematics and informatics , volume 8, No. 1.
[12]  Stanojevic,  B.  dan    Stanojevic,  M.,  2009.  Penalty    method  for  fuzzy  linear programming with trapezoidal numbers, Journal of operations research , 1, 149-156.
[13]  Wang, L.X., 1997. A course in fuzzy systems and control, prentice-hall Int., London.
[14]  Winston,  W.L.,  2003. Operations  research:  applications  and  algorithms ,  edisi-4, International Thomson Publishing, Belmont, California.
[15]  Zadeh, L.A.,1965. Fuzzy Set . Information and control, 8: 338-353. California.
[16]  Zimmermann, H.J., 1978. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions , Fuzzy Sets and Systems.