INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## Pemodelan Regresi Nonparametrik Spline Truncated pada Data Longitudinal
(Studi Kasus: Persentase Penduduk Miskin Provinsi Papua Tahun 2016-2019)
Andrea Tri Rian Dani 1* , Ludia Ni ’matuzzahroh 2 , Vita Ratnasari 3 , dan I Nyoman Budiantara 4
1,2,3,4 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, Indonesia
*Corresponding author: andreatririandani98@gmail.com
ABSTRAK ⎯ Saat ini pendekatan regresi nonparametrik banyak mendapat perhatian dari para peneliti, dikarenakan memiliki fleksibilitas yang tinggi dan tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva regresi. Spline truncated adalah salah satu model dalam regresi  nonparametrik  yang  sering  digunakan,  karena  mampu  menangani  data  yang  perilakunya  berubah-ubah  pada  sub-sub interval tertentu. Pada analisis regresi, data yang seringkali digunakan adalah data cross-section , namun yang sebenarnya adalah analisis regresi juga dapat diterapkan pada data longitudinal, khususnya dengan menggunakan pendekatan regresi nonparametrik. Data longitudinal merupakan gabungan antara data cross-section dan time series . Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan data persentase penduduk miskin di Provinsi Papua Tahun 2016 hingga Tahun 2019 menggunakan model regresi nonparametrik spline truncated. Metode estimasi parameter yang digunakan adalah Weighted Least Squares (WLS). Banyaknya titik knot yang dicobakan adalah 1 hingga 3 titik knot. Berdasarkan hasil analisis, model regresi nonparametrik spline truncated terbaik adalah model yang menggunakan  1  titik  knot,  dengan  nilai  GCV  yang  paling  minimum  yaitu  sebesar  8,05  dan  Koefisien  Determinasi  (R 2 )  sebesar 99,98%.
Kata Kunci ⎯ Kemiskinan, Longitudinal, Spline Truncated

## I. PENDAHULUAN
Salah satu analisis dalam statistika yang dapat digunakan untuk menyelidiki pola hubungan antara satu atau lebih variabel, yaitu analisis regresi. Variabel yang digunakan dalam pemodelan regresi yaitu variabel respon dan variabel prediktor. Tujuan utama dalam melakukan analisis regresi yaitu mencari bentuk estimasi kurva regresi yang tepat [1]. Terdapat  tiga  pendekatan  dalam  melakukan  estimasi  kurva  regresi,  yaitu  pendekatan  regresi  parametrik,  regresi semiparametrik,  dan  regresi  nonparametrik.  Pendekatan  regresi  parametrik  dapat  digunakan  apabila  bentuk  kurva regresi diketahui. Pendekatan regresi semiparametrik dapat digunakan apabila bentuk kurva regresi sebagian diketahui dan  sebagian  tidak  diketahui,  sedangkan  pada  pendekatan  regresi  nonparametrik  bentuk  kurva  regresi  diasumsikan tidak  diketahui.  Dengan  demikian,  pendekatan  regresi  nonparametrik  tidak  tergantung  pada  asumsi  bentuk  kurva regresi  tertentu,  sehingga  memiliki  fleksibilitas  yang  tinggi  [2].  Pada  pemodelan  dengan  menggunakan  pendekatan regresi  nonparametrik,  terdapat  beberapa  estimator  yang telah  dikembangkan  oleh  para  peneliti,  diantaranya  adalah Spline, Kernel, dan Deret Fourier.
Salah  satu  model  regresi  nonparametrik  yang  sering  digunakan  yaitu  spline.  Kelebihan  spline  adalah  mampu mengestimasi pola data sesuai pergerakannya. Hal tesebut terjadi karena dalam regresi nonparametrik spline terdapat titik-titik knot, yaitu titik perpaduan bersama yang menunjukkan terjadinya perubahan pola perilaku data [2]. Salah satu basis  fungsi  yang  biasa  digunakan  dalam  pendekatan  spline,  yaitu  spline  truncated.  Adapun  beberapa  penelitian sebelumnya yang menggunakan pendekatan regresi nonparametrik spline truncated diantaranya [3]-[4].
Pada analisis regresi, biasanya data yang digunakan merupakan data cross-section . Namun saat ini, analisis regresi juga dapat diterapkan pada data longitudinal, khususnya dengan pendekatan regresi nonparametrik. Data longitudinal merupakan  gabungan  antara  data cross-section dengan  data  time  series  [5].  Beberapa  keuntungan  dalam  penggunaan data longitudinal yaitu dapat mengurangi kolinieritas antar variabel prediktor sehingga mampu menghasilkan estimasi yang  lebih  efisien  [6].  Penerapan  proses  estimasi  model  regresi  pada  data  longitudinal,  mampu  mengestimasi karakteristik subyek secara individu dengan memperhatikan adanya dinamika antar waktu dan masing-masing variabel dalam penelitian secara bersama-sama. Adapun beberapa penelitian sebelumnya yang menggunakan pendekatan regresi nonparametrik pada data longitudinal diantaranya [7]-[9].
Pendekatan  regresi  nonparametrik  dapat  diterapkan  di  berbagai  bidang  keilmuan,  salah  satunya  yang  berkaitan dengan masalah sosial. Salah satu masalah yang sering dijumpai yaitu tingkat pendidikan yang rendah dapat memicu timbulnya kemiskinan. Berdasarkan data BPS pada Tahun 2020, Provinsi Papua memiliki persentase penduduk miskin tertinggi di Indonesia. Badan Pusat Statistik (BPS) mendefinisikan kemiskinan sebagai ketidakmampuan individu dalam memenuhi kebutuhan dasar minimal untuk hidup layak.
Berdasarkan uraian diatas, maka pada penelitian ini akan dimodelkan persentase kemiskinan Kabupaten/Kota di Provinsi Papua dengan menggunakan regresi nonparametrik spline truncated pada data longitudinal, dimana periode
Received: 24 February 2021 Accepted: 27 March 2021
Published: 31 March 2021
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
tahun yang digunakan dimulai dari Tahun 2016 hingga Tahun 2019. Diharapkan hasil penelitian ini dapat bermanfaat dalam pengembangan ilmu statistika khususnya pada bidang regresi nonparametrik.

## II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai beberapa landasan teori yang terkait:

## A. Regresi Nonparametrik
Salah satu pendekatan dalam melakukan estimasi kurva regresi yaitu dengan menggunakan pendekatan regresi nonparametrik.  Pendekatan  regresi  nonparametrik  digunakan  apabila  bentuk  kurva  regresi  atau  pola  data  tidak diketahui.  Regresi  nonparametrik  memiliki  fleksibilitas  dalam  mencari  sendiri  bentuk  kurva  regresinya  tanpa dipengaruhi  subjektifiktas  peneliti  [2].  Secara  umum,  model  regresi  nonparametrik  dapat  dituliskan  seperti  pada Persamaan (1).
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 ;  𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 (1)
dimana: 𝑦 𝑖 : variabel respon
𝑓(𝑥 𝑖 ) : kurva regresi yang akan dihampiri 𝑥 𝑖 : variabel prediktor
𝜀 𝑖 : error random yang diasumsikan identic, independen, dan berdistribusi normal dengan mean bernilai nol dan variansi 𝜎 2 .

## B. Regresi Nonparametrik Spline Truncated pada Data Longitudinal
Spline  truncated  mampu  menangani  data  yang  memiliki  perilaku  yang  berubah-ubah  pada  sub-sub  interval tertentu dan cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data bergerak. Kelebihan dari spline truncated ini terjadi karena dalam fungsi terdapat adanya titik-titik knot, yang merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat perubahan perilaku data atau fungsi yang polanya berubah [1]. Pola perubahan pola data dapat berbentuk beraneka ragam, sebagai contoh disajikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Ilustrasi Pola Perubahan Data berdasarkan Titik Knot
Secara umum, model regresi nonparametrik spline truncated multivariabel pada data longitudinal dapat dituliskan seperti pada Persamaan (2).
𝑦 𝑖𝑗 = 𝑓(𝑥 𝑖𝑗𝑞 ) + 𝜀 𝑖𝑗 ;  𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑡 ; 𝑞 = 1, 2, … , 𝑄 (2)
dengan,
𝑓(𝑥 𝑖𝑗𝑞 ) = ∑ ( ∑ 𝜃 𝑚𝑖𝑞 𝑥 𝑖𝑗𝑞 𝑚 𝑀 𝑚=1 + ∑ 𝛿 𝑙𝑖𝑞 𝑅 𝑙=1 (𝑥 𝑖𝑗𝑞 − 𝐾 𝑙𝑖𝑞 ) + 𝑀 ) 𝑄 𝑞=1 ( 𝑥 𝑖𝑗𝑞 − 𝐾 𝑙𝑖𝑞 ) + 𝑀 = { ( 𝑥 𝑖𝑗𝑞 − 𝐾 𝑙𝑖𝑞 ) 𝑀 ; 𝑥 𝑖𝑗𝑞 ≥ 𝐾 ( 𝑙+𝑀 ) 𝑖 0 ;   𝑥 𝑖𝑗𝑞 < 𝐾 ( 𝑙+𝑀 ) 𝑖 dimana:
𝑦 𝑖𝑗
: variabel respon
𝑓(𝑥 𝑖𝑗𝑞 )
: fungsi regresi nonparametrik spline truncated
𝑥 𝑖𝑗𝑞 : variabel prediktor 𝜀 𝑖𝑗 : error random yang diasumsikan identik, independen, dan berdistribusi normal dengan mean bernilai nol dan variansi 𝜎 2
∑ 𝜃 𝑚𝑖𝑞 𝑥 𝑖𝑗𝑞 𝑚 𝑀 𝑚=1 : komponen polinomial ∑ 𝛿 𝑙𝑖 𝑅 𝑙=1 (𝑥 𝑖𝑗𝑞 − 𝐾 𝑙𝑖𝑞 ) + 𝑀 : komponen truncated
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
Persamaan (2) dapat ditulis kedalam bentuk notasi matriks sebagai berikut:
𝑦̃ = 𝑿𝛽̃ + 𝜀̃ (3)
Dimana dapat dijabarkan:
[ 𝑦 ̃ 1 𝑦 ̃ 2 ⋮ 𝑦 ̃ 𝑛 ] = [ 𝑿 𝟏 ( 𝑲 ) 0 … 0 0 𝑿 𝟐 ( 𝑲 ) … 0 ⋮ ⋮
⋱ ⋮ 0 0 … 𝑿 𝒏 ( 𝑲 ) ] [ 𝛽 ̃ 1 𝛽 ̃ 2 ⋮ 𝛽 ̃ 𝑛 ] + [ 𝜀 ̃ 1 𝜀 ̃ 2 ⋮ 𝜀 ̃ 𝑛 ]
Dengan vektor respon nya sebagai berikut:
𝑦 ̃ 1 = ( 𝑦 11 𝑦 12 … 𝑦 1𝑡 ) 𝑇 𝑦 ̃ 2 = ( 𝑦 21 𝑦 22 … 𝑦 2𝑡 ) 𝑇 ⋮ 𝑦 ̃ 𝑛 = ( 𝑦 𝑛1 𝑦 𝑛2 … 𝑦 𝑛𝑡 ) 𝑇
Kemudian matriks komponen nonparametrik spline truncated:
𝑿 𝟏 (𝑲) =
[ 𝑥 111 … 𝑥 111 𝑀 … 𝑥 11𝑄 … 𝑥 11𝑄 𝑀 (𝑥 111 − 𝐾 111
) +
𝑀 … (𝑥 111 − 𝐾 𝑅11
) + 𝑀 … (𝑥 11𝑄 − 𝐾 11𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 11𝑄 − 𝐾 𝑅1𝑄 ) + 𝑀 𝑥 121 … 𝑥 121
𝑀 … 𝑥 12𝑄 … 𝑥 12𝑄 𝑀 (𝑥 121 − 𝐾 111 ) + 𝑀 … (𝑥 121 − 𝐾 𝑅11
) + 𝑀 … (𝑥 12𝑄 − 𝐾 11𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 12𝑄 − 𝐾 𝑅1𝑄 ) + 𝑀 ⋮ ⋱ ⋮ … ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 1𝑡1 … 𝑥 1𝑡1 𝑀 … 𝑥 1𝑡𝑄 … 𝑥 1𝑡𝑄 𝑀 (𝑥 1𝑡1 − 𝐾 111 ) + 𝑀 … (𝑥 1𝑡1 − 𝐾 𝑅11 ) + 𝑀 … (𝑥 1𝑡𝑄 − 𝐾 11𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 1𝑡𝑄 − 𝐾 𝑅1𝑄 ) + 𝑀 ]
𝑿 𝟐 (𝑲) = [ 𝑥 211 … 𝑥 211 𝑀 … 𝑥 21𝑄 … 𝑥 21𝑄 𝑀 (𝑥 211 − 𝐾 121 ) + 𝑀 … (𝑥 211 − 𝐾 𝑅21 ) + 𝑀 … (𝑥 21𝑄 − 𝐾 12𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 21𝑄 − 𝐾 𝑅2𝑄 ) + 𝑀
𝑥 221 … 𝑥 221 𝑀 … 𝑥 22𝑄 … 𝑥 22𝑄 𝑀 (𝑥 221 − 𝐾 121 ) + 𝑀 … (𝑥 221 − 𝐾 𝑅21 ) + 𝑀 … (𝑥 22𝑄 − 𝐾 12𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 22𝑄 − 𝐾 𝑅2𝑄 ) + 𝑀 ⋮ ⋱ ⋮ … ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 2𝑡1 … 𝑥 2𝑡1 𝑀 … 𝑥 2𝑡𝑄 … 𝑥 2𝑡𝑄 𝑀 (𝑥 2𝑡1 − 𝐾 121 ) + 𝑀 … (𝑥 2𝑡1 − 𝐾 𝑅21 ) + 𝑀 … (𝑥 2𝑡𝑄 − 𝐾 12𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 2𝑡𝑄 − 𝐾 𝑅2𝑄 ) + 𝑀 ] ⋮
𝑿 𝒏 (𝑲) = [ 𝑥 𝑛11 … 𝑥 𝑛11 𝑀 … 𝑥 𝑛1𝑄 … 𝑥 𝑛1𝑄 𝑀 (𝑥 𝑛11 − 𝐾 1𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛11 − 𝐾 𝑅𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛1𝑄 − 𝐾 1𝑛𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛1𝑄 − 𝐾 𝑅𝑛𝑄 ) + 𝑀 𝑥 𝑛21 … 𝑥 𝑛21 𝑀 … 𝑥 𝑛2𝑄 … 𝑥 𝑛2𝑄 𝑀 (𝑥 𝑛21 − 𝐾 1𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛21 − 𝐾 𝑅𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛2𝑄 − 𝐾 1𝑛𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛2𝑄 − 𝐾 𝑅𝑛𝑄 ) + 𝑀 ⋮ ⋱ ⋮ … ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 𝑛𝑡1 … 𝑥 𝑛𝑡1 𝑀 … 𝑥 𝑛𝑡𝑄 … 𝑥 𝑛𝑡𝑄 𝑀 (𝑥 𝑛𝑡1 − 𝐾 1𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛𝑡1 − 𝐾 𝑅𝑛1 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛𝑡𝑄 − 𝐾 1𝑛𝑄 ) + 𝑀 … (𝑥 𝑛𝑡𝑄 − 𝐾 𝑅𝑛𝑄 ) + 𝑀 ]
Dan vektor parameter:
𝛽 ̃ 1 = ( 𝜃 111 … 𝜃 𝑚11 … 𝜃 11𝑄 … 𝜃 𝑚1𝑄 𝛿 111 … 𝛿 𝑅11 … 𝛿 11𝑄 … 𝛿 𝑅1𝑄 ) 𝑇 𝛽 ̃ 2 = ( 𝜃 121 … 𝜃 𝑚21 … 𝜃 12𝑄 … 𝜃 𝑚2𝑄 𝛿 121 … 𝛿 𝑅21 … 𝛿 12𝑄 … 𝛿 𝑅2𝑄 ) 𝑇 ⋮ 𝛽 ̃ 𝑛 = ( 𝜃 1𝑛1 … 𝜃 𝑚𝑛1 … 𝜃 1𝑛𝑄 … 𝜃 𝑚𝑛𝑄 𝛿 1𝑛1 … 𝛿 𝑅𝑛1 … 𝛿 1𝑛𝑄 … 𝛿 𝑅𝑛𝑄 ) 𝑇
Serta vektor errornya sebagai berikut:
𝜀 ̃ 1 = ( 𝜀 11 𝜀 12 … 𝜀 1𝑡 ) 𝑇 𝜀 ̃ 2 = ( 𝜀 21 𝜀 22 … 𝜀 2𝑡 ) 𝑇 ⋮ 𝜀 ̃ 𝑛 = ( 𝜀 𝑛1 𝜀 𝑛2 … 𝜀 𝑛𝑡 ) 𝑇
Dimana 𝑦 ̃ berupa vektor kolom berukuran 𝑛𝑡 × 1 , matriks X merupakan matriks berukuran 𝑛𝑡 × (𝑀 + 𝑅)𝑛𝑄 , 𝛽 ̃ merupakan vektor kolom berukuran (𝑀 + 𝑅)𝑛𝑄 × 1 , dan 𝜀 ̃ berupa vektor kolom berukuran 𝑛𝑡 × 1 . Metode estimasi parameter pada penelitian ini adalah Weighted Least Squares (WLS), karena metode estimasi ini mampu mengatasi  korelasi  dalam  subyek  pengamatan  yang  sama.  Berdasarkan  Persamaan  (3),  maka  estimator 𝛽 ̃ dapat diperoleh dengan menyelesaikan optimasi WLS sebagai berikut:
min 𝛽 ̃∈𝑅 (𝑀+𝑅)𝑛𝑄 {(𝑦̃ − 𝑿𝛽̃ ) 𝑇 𝑾(𝑦̃ − 𝑿𝛽̃ )} (4)
𝑾 merupakan matriks pembobot berukuran 𝑛𝑡 × 𝑛𝑡 dan berisi diagonal ( 𝑾 𝟏 , 𝑾 𝟐 , … , 𝑾 𝒏 ) . Penyelesaian optimasi pada Persamaan (4) sebagai berikut:
( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) 𝑇 𝑾 ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) = ( 𝑦 ̃ 𝑇 − 𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 ) 𝑾 ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ )
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) 𝑇 𝑾 ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) = 𝑦 ̃ 𝑇 𝑾𝑦 ̃ − 𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑦 ̃ − 𝑦 ̃ 𝑇 𝑾𝑿𝛽 ̃ + 𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽 ̃ ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) 𝑇 𝑾 ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) = 𝑦 ̃ 𝑇 𝑾𝑦 ̃ − 2𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑦 ̃ + 𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽 ̃ ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) 𝑇 𝑾 ( 𝑦 ̃ − 𝑿𝛽 ̃ ) = 𝑃 ( 𝛽 ̃)
Untuk mendapatkan estimasi 𝛽 ̃ , maka dapat melakukan derivatif parsial 𝑃(𝛽̃) terhadap 𝛽 ̃ , sehingga:
𝜕𝑃 ( 𝛽 ̃) 𝜕𝛽 ̃ = 𝜕 ( 𝑦 ̃ 𝑇 𝑾𝑦 ̃ −2𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑦 ̃ +𝛽 ̃ 𝑇 𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽 ̃) 𝜕𝛽 ̃
𝜕𝑃 ( 𝛽 ̃)
𝜕𝛽 ̃ = −2𝑿 𝑇 𝑾𝑦 ̃ + 2𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽 ̃
Kemudian penurunan secara parsial diatas disama dengankan dengan nol, sehingga dapat dituliskan:
−2𝑿 𝑇 𝑾𝑦̃ + 2𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽̃̂ = 0 (5)
Persamaan (5) dapat ditulis kedalam bentuk
𝑿 𝑇 𝑾𝑦̃ = 𝑿 𝑇 𝑾𝑿𝛽̃̂ (6)
Sehingga berdasarkan Persamaan (6), dapat diperoleh estimator 𝛽 ̃̂ sebagai berikut:
𝛽̃̂   = (𝑿 𝑇 𝑾𝑦̃) −1 𝑿 𝑇 𝑾𝑿 (7)
Dengan menggunakan matriks pembobot 𝑾 :
𝑾 = [ 𝑾 𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎 𝟎 𝑾 𝟐 ⋮ 𝟎 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝟎 𝟎 ⋮ 𝑾 𝒏 𝒕
]

## C. Pemilihan Titik Knot Optimal
Pada regresi nonparametrik spline truncated, menentukan titik knot optimal menjadi hal yang sangat penting. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat perubahan perilaku pola data pada selang yang berbeda [10]. Salah satu metode yang dikembangkan oleh peneliti, untuk menentukan titik knot yang optimal yaitu dengan menggunakan Generalized  Cross-Validation (GCV)  [11].  Fungsi  GCV  untuk  model  regresi  nonparametrik  spline truncated pada data longitudinal ditampilkan pada Persamaan (8).
𝐺𝐶𝑉(𝑘̃) = (𝑛𝑡) −1 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 [(𝑛𝑡) −1 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐈 − 𝑨(𝑘̃))] 2 (8)
Dimana:
𝐺𝐶𝑉(𝑘̃) : vektor yang memuat nilai GCV dari titik-titik knot 𝑛𝑡 : banyaknya pengamatan sebanyak 𝑛 × 𝑡 𝑨(𝑘̃ ) : matriks yang memuat titik knot 𝑘̃ = (𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘 𝑅 ) 𝑇 diperoleh 𝑿(𝑘̃)[𝑿(𝑘̃) 𝑇 𝑿(𝑘̃)] −1 𝑿(𝑘̃) 𝑇

## III. METODOLOGI PENELITIAN

## A. Variabel Penelitian
Berdasarkan penjelasan mengenai bagian kemiskinan pada bagian II, maka terdapat beberapa faktor yang diduga mempengaruhi kemiskinan. Adapun kerangka konseptual penelitian disajikan pada Gambar 2.

## Gambar 2 Kerangka Konseptual Penelitian
Variabel yang digunakan pada penelitian ini terdiri atas variabel respon dan variabel prediktor.
Variabel Respon:
Y : Persentase Penduduk Miskin
Variabel  Predik tor
Rata-Rata  Lama  Sek olah Angk a Harapan Hidup Gini Ratio Variabel  Respon Persentase  Penduduk Misk in
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
Variabel Prediktor:
X 1 : Rata-Rata Lama Sekolah
X 2 : Angka Harapan Hidup
X 3 : Gini Ratio

## B. Struktur Data Penelitian
Struktur data pada penelitian ini disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Struktur Data Penelitian dengan Data Longitudinal
Provinsi Papua terdiri dari 28 Kabupaten dan 1 Kota. Pada penelitian ini tahun yang digunakan dimulai dari Tahun 2016 hingga Tahun 2019, dengan variabel prediktor yang digunakan sebanyak 3 (X 1 hingga X 3 )

## C. Langkah-Langkah Penelitian
Untuk menyelesaikan tujuan penelitian, maka perlu disusun langkah-langkah penelitian sebagai berikut: a) Melakukan  analisis  statistika  deskriptif  mengenai  persentase  penduduk  miskin  dan  variabel  yang  diduga mempengaruhinya.
b) Membuat diagram pencar ( scatter plot ) antara variabel respon dan variabel prediktor
c) Banyaknya titik knot yang dicobakan pada penelitian ini dibatasi, yaitu 1, 2 hingga 3 titik knot.
d) Memodelkan data persentase penduduk miskin Provinsi Papua di Indonesia Tahun 2016-2019 menggunakan model regresi nonparametrik spline truncated pada data longitudinal.
e) Memilih  titik  knot  yang  optimal  menggunakan  metode Generalized  Cross-Validation (GCV).  Nilai  GCV  yang minimum akan memberikan titik knot yang optimal.
f) Menetapkan model regresi nonparametrik spline truncated pada data longitudinal yang terbaik berdasarkan kriteria GCV yang minimum.
g) Menghitung nilai Koefisien Determinasi (R 2 ) sebagai kriteria kebaikan model.
h) Membuat interpretasi model.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Statistika Deskriptif
Akan ditampilkan statistika deskriptif untuk melihat gambaran secara umum untuk masing-masing variabel yang digunakan. Data yang digunakan untuk analisis statistika deskriptif adalah data Tahun 2019.
Tabel 2 Statistika Deskriptif Variabel Definisi Variabel Minimum Maksimum Rata-Rata Standar Deviasi Y Persentase Penduduk Miskin 10,35 43,65 29,22 10,02 X 1 Rata-Rata Lama Sekolah 0,97 11,55 6,01 3,08 X 2 Angka Harapan Hidup 55,12 72,27 64,98 3,82 X 3 Gini Ratio 0,17 0,44 0,31 0,06 Kabupaten/Kota (i) Tahun (j) Y i,j X i,j,1 X i,j,2
X i,j,3 1 2016
Y 1,1
X 1,1,1 X 1,1,2 X 1,1,3 2017 Y 1,2 X 1,2,1 X 1,2,2 X 1,2,3 2018 Y 1,3 X 1,3,1 X 1,3,2 X 1,3,3 2019 Y 1,4 X 1,4,1 X 1,4,2
X 1,4,3 29 2016
Y 29,1
X 29,1,1 X 29,1,2 X 29,1,3 2017 Y 29,2 X 29,2,1 X 29,2,2 X 29,2,3 2018 Y 29,3 X 29,3,1 X 29,3,2 X 29,3,3 2019 Y 29,4 X 29,4,1 X 29,4,2 X 29,4,3
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## B. Diagram Pencar
Selanjutnya untuk melihat pola hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon dapat menggunakan diagram  pencar.  Ditampilkan  diagram  pencar  dari  persentase  penduduk  miskin  dan  variabel  yang  diduga mempengaruhinya untuk setiap tahun-nya sebagai berikut:
(a) 2016
(b) 2017
(c) 2018
(d) 2019

## Gambar 3 Diagram Pencar antara Variabel Respon dan Prediktor
Berdasarkan  gambar  diatas,  diagram  pencar  antara  persentase  penduduk  miskin  sebagai  variabel  respon  dengan masing-masing  variabel  yang  diduga  mempengaruhi  terlihat  memiliki  pola  yang  berubah-ubah  pada  sub-sub interval  tertentu.  Bentuk  pola  data  yang  demikian  merupakan  karakteristik  dari  estimator  spline  truncated, sedemikian sehingga pada penelitian ini akan di gunakan pendekatan regresi nonparametrik spline truncated untuk memodelkan permasalahan kemiskinan di Provinsi Papua.

## C. Pemodelan  Persentase  Penduduk  Miskin  dengan  Model  Regresi  Nonparametrik  Spline  Truncated  Data Longitudinal
Pada bagian ini, akan dilakukan pemodelan kasus persentase penduduk miskin Kabupaten/Kota di Provinsi Papua Tahun 2016 hingga 2019 menggunakan model regresi nonparametrik spline truncated. Metode estimasi parameter yang digunakan adalah Weighted Least Squares (WLS). Pada estimasi WLS perlu adanya matriks pembobot. Pada penelitian ini matrik pembobot yang digunakan adalah
𝑾 𝒊 = 𝑛 −1 𝑰 𝑛 𝒊 (9)
Tabel 3 Nilai GCV dengan Satu Titik Knot
Knot 𝑘 𝑙,𝑖,𝑞 ; 𝑙 = 1 ; 𝑖 = 1,2, … ,29 ; 𝑞 = 1,2,3 GCV 𝑘 1,1,1 𝑘 1,1,2 𝑘 1,29,2 𝑘 1,29,3 8,54 66,91 70,36 0,31 8,05 8,26 66,53 69,99 0,28 8,07 8,54 66,90 70,35 0,31 20,64 8,53 66,88 70,34 0,31 30,50
Bobot yang digunakan akan memberikan perlakuan yang sama untuk setiap pengamatan dalam subyek penelitian. Pada penelitian ini akan ditampilkan 4 posisi titik knot yang berbeda yang diduga merupakan titik knot yang optimal.
10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 70 65 60 55 50 40 30 20 10 0.5 0.4 0.3 0.2 50 40 30 20 10 Rata-Rata Lama Sekolah Pe rs en ta se P en du du k M is ki n Angka Harapan Hidup Gini Ratio Scatterplot of Persentase P vs Rata-Rata La, Angka Harapa, Gini Ratio 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 70 65 60 55 40 30 20 10 0.5 0.4 0.3 0.2 40 30 20 10 Rata-Rata Lama Sekolah Pe rs en ta se P en du du k M is ki n Angka Harapan Hidup Gini Ratio Scatterplot of Persentase P vs Rata-Rata La, Angka Harapa, Gini Ratio 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 70 65 60 55 40 30 20 10 0.4 0.3 0.2 40 30 20 10 Rata-Rata Lama Sekolah Pe rs en ta se P en du du k M is ki n Angka Harapan Hidup Gini Ratio Scatterplot of Persentase P vs Rata-Rata La, Angka Harapa, Gini Ratio 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 70 65 60 55 40 30 20 10 0.4 0.3 0.2 40 30 20 10 Rata-Rata Lama Sekolah Pe rs en ta se P en du du k M is ki n Angka Harapan Hidup Gini Ratio
Scatterplot of Persentase P vs Rata-Rata La, Angka Harapa, Gini Ratio
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## 1) Pemodelan Spline Truncated Data Longitudinal dengan Menggunakan 1 Titik Knot
Pada  data  longitudinal,  titik  knot  yang  dihasilkan  pada  setiap  Kabupaten/Kota  akan  berbeda  sesuai  dengan perilaku  atau  pola  data.  Nilai  GCV  terkecil  menggunakan  1  titik  knot  pada  data  persentase  penduduk  miskin Kabupaten/Kota Provinsi Papua ditampilkan pada Tabel 3.
Berdasarkan Tabel 3, diperoleh nilai GCV minimum sebesar 8,05. Model regresi nonparametrik spline truncated dengan data longitudinal yang terbentuk menggunakan 1 titik knot sebagai berikut:
𝑦̂ 𝑖,𝑗 = 𝜃̂ 1𝑖1 𝑋 𝑖𝑗1 + 𝛿̂ 1𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 1𝑖1 ) + + 𝜃̂ 1𝑖2 𝑋 𝑖𝑗2 + 𝛿̂ 1𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 1𝑖2 ) + + 𝜃̂ 1𝑖3 𝑋 𝑖𝑗3 + 𝛿̂ 1𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 1𝑖3 ) +
Dimana 𝑖 = 1,2, … ,29 dan 𝑗 = 1,2, … ,4 . Nilai koefisien determinasi (R 2 ) dari model regresi nonparametrik spline truncated 1 titik knot yang optimal yaitu sebesar 99,98%.

## 2) Pemodelan Spline Truncated Data Longitudinal dengan Menggunakan 2 Titik Knot
Nilai GCV yang minimum menggunakan 2 titik knot pada data persentase penduduk miskin Kabupaten/Kota Provinsi Papua ditampilkan pada Tabel 4.
Tabel 4 Nilai GCV dengan Dua Titik Knot
Knot 𝑘 𝑙,𝑖,𝑞 ; 𝑙 = 1,2 ; 𝑖 = 1,2, … ,29 ; 𝑞 = 1,2,3 GCV
𝑘 1,1,1 𝑘 2,1,1 𝑘 1,29,3 𝑘 2,29,3 8,26 8,56 0,28 0,32 8,07 8,54 8,56 0,31 0,32 20,61 8,53 8,56 0,31 0,32 30,50 8,53 8,54 0,31 0,31 30,51
Berdasarkan Tabel 4, diperoleh nilai GCV minimum sebesar 8,07. Model regresi nonparametrik spline truncated dengan data longitudinal yang terbentuk menggunakan 2 titik knot sebagai berikut:
𝑦̂ 𝑖,𝑗 = 𝜃̂ 1𝑖1 𝑋 𝑖𝑗1 + 𝛿̂ 1𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 1𝑖1 ) + + 𝛿̂ 2𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 2𝑖1 ) + + 𝜃̂ 1𝑖2 𝑋 𝑖𝑗2 + 𝛿̂ 1𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 1𝑖2 ) + + 𝛿̂ 2𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 2𝑖2 ) + + 𝜃̂ 1𝑖3 𝑋 𝑖𝑗3 +
𝛿̂ 1𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 1𝑖3 ) + + 𝛿̂ 2𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 2𝑖3 ) +
Dimana 𝑖 = 1,2, … ,29 dan 𝑗 = 1,2, … ,4 . Nilai koefisien determinasi (R 2 ) dari model regresi nonparametrik spline truncated 2 titik knot yang optimal yaitu sebesar 99,99%.

## 3) Pemodelan Spline Truncated Data Longitudinal dengan Menggunakan 3 Titik Knot
Nilai GCV yang minimum menggunakan 3 titik knot pada data persentase penduduk  miskin Kabupaten/Kota Provinsi Papua ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5 Nilai GCV dengan Tiga Titik Knot
Knot 𝑘 𝑙,𝑖,𝑞 ; 𝑙 = 1,2,3 ; 𝑖 = 1,2, … ,29 ; 𝑞 = 1,2,3 GCV 𝑘 1,1,1 𝑘 2,1,1 𝑘 2,29,3 𝑘 3,29,3 8,49 8,52 0,31 0,32 30,52 8,46 8,53 0,31 0,32 30,53 8,46 8,49 0,30 0,32 30,53 8,46 8,49 0,30 0,31 30,54
Berdasarkan Tabel 5, diperoleh nilai GCV minimum sebesar 30,52. Model regresi nonparametrik spline truncated dengan data longitudinal yang terbentuk menggunakan 3 titik knot sebagai berikut:
𝑦̂ 𝑖,𝑗 = 𝜃̂ 1𝑖1 𝑋 𝑖𝑗1 + 𝛿̂ 1𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 1𝑖1 ) + + 𝛿̂ 2𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 2𝑖1 ) + + 𝛿̂ 3𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 3𝑖1 ) + + 𝜃̂ 1𝑖2 𝑋 𝑖𝑗2 + 𝛿̂ 1𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 1𝑖2 ) + + 𝛿̂ 2𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 2𝑖2 ) + + 𝛿̂ 3𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 3𝑖2 ) + + 𝜃̂ 1𝑖3 𝑋 𝑖𝑗3 + 𝛿̂ 1𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 1𝑖3 ) + + 𝛿̂ 2𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 2𝑖3 ) + + 𝛿̂ 3𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 3𝑖3 ) + Dimana 𝑖 = 1,2, … ,29 dan 𝑗 = 1,2, … ,4 . Nilai koefisien determinasi (R 2 ) dari model regresi nonparametrik spline truncated 3 titik knot yang optimal yaitu sebesar 99,99%.

## 4) Pemilihan Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated Terbaik
Berikut ditampilkan hasil ringkasan model regresi nonparametrik spline truncated dalam proses pemilihan titik knot yang optimal sebagai berikut:
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
Tabel 6 Ringkasan Hasil
Titik Knot  GCV  Koefisien Determinasi (R 2 ) 1 titik knot 8.05 99,98% 2 titik knot 8.07 99,99% 3 titik knot  30.52 99,99%
Penentuan model regresi nonparametrik terbaik dilakukan dengan membandingkan nilai GCV yang minimum diantara beberapa titik knot yang dicobakan. Pada penelitian ini titik knot yang dicobakan adalah satu hingga tiga titik  knot.  Berdasarkan  Tabel  6,  dapat  diketahui  jika  model  regresi  nonparametrik  spline  truncated  pada  data longitudinal yang terbaik adalah model dengan 1 titik knot, dengan nilai GCV yang paling minimum sebesar 8,05 dan nilai R 2 sebesar 99,98%.
Secara umum, model regresi nonparametrik spline truncated pada data longitudinal dengan 1 titik knot dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑦̂ 𝑖,𝑗 = 𝜃̂ 1𝑖1 𝑋 𝑖𝑗1 + 𝛿̂ 1𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 1𝑖1 ) + + 𝜃̂ 1𝑖2 𝑋 𝑖𝑗2 + 𝛿̂ 1𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 1𝑖2 ) + + 𝜃̂ 1𝑖3 𝑋 𝑖𝑗3 + 𝛿̂ 1𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 1𝑖3 ) +
Dimana 𝑖 = 1,2, … ,29 dan 𝑗 = 1,2, … ,4 .
Model regresi nonparametrik yang terbaik, dapat dituliskan di setiap Kabupaten/Kota sebagai berikut: 1. Kabupaten Merauke
𝑦̂ 1,𝑗 = −1,50𝑋 1𝑗1 − 13,21(𝑋 1𝑗1 − 𝐾 1,1,1 ) + + 0,40𝑋 1𝑗2 − 17,61(𝑋 1𝑗2 − 𝐾 1,1,2 ) + − 10,26𝑋 1𝑗3 − 0,13(𝑋 1𝑗3 − 𝐾 1,1,3 ) +
2. Kabupaten Jayawijaya
𝑦̂ 2,𝑗 = −5,51𝑋 2𝑗1 − 14,59(𝑋 2𝑗1 − 𝐾 1,2,1 ) + + 1,23𝑋 2𝑗2 − 23,71(𝑋 2𝑗2 − 𝐾 1,2,2 ) + − 18,76𝑋 2𝑗3 + 2,68(𝑋 2𝑗3 − 𝐾 1,2,3 ) +
Hingga . .
29. Kota Jaya Pura 𝑦̂ 29,𝑗 = −2,21𝑋 29𝑗1 + 15,49(𝑋 29𝑗1 − 𝐾 1,29,1 ) + + 0,59𝑋 29𝑗2 + 14,73(𝑋 29𝑗2 − 𝐾 1,29,2 ) + − 17,21𝑋 29𝑗3 + 1,24(𝑋 29𝑗3 − 𝐾 1,29,3 ) + Selanjutnya  di  visualisasikan  nilai 𝑦 dan 𝑦̂ dari  hasil  pemodelan  regresi  nonparametrik  spline  truncated menggunakan data longitudinal untuk setiap tahunnya sebagai berikut:
(a) 2016
(b) 2017
(c) 2018
(d) 2017
Gambar 4 Visualisasi nilai 𝑦 dan 𝑦̂ dari hasil pemodelan
Terlihat pada Gambar 4, jika visualisasi nilai 𝑦 dan 𝑦̂ cenderung mengikuti data aktual.
INFERENSI , Vol. 4(1), March 2021. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## V. KESIMPULAN
Model  regresi  nonparametrik  spline  truncated  data  longitudinal  yang  diaplikasikan  pada  data  persentase penduduk miskin di Provinsi Papua, Indonesia dengan bobot 𝑾 𝒊 = 𝒏 −𝟏 𝑰 𝒏 𝒊 serta jumlah titik knot yang dicobakan adalah 1  hingga  3  titik  knot.  Model  terbaik  yang  dihasilkan  berdasarkan  kriteria  GCV  minimum  adalah  model  regresi nonparametrik spline truncated dengan 1 titik knot. Secara umum, modelnya dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑦̂ 𝑖,𝑗 = 𝜃̂ 1𝑖1 𝑋 𝑖𝑗1 + 𝛿̂ 1𝑖1 (𝑋 𝑖𝑗1 − 𝐾 1𝑖1 ) + + 𝜃̂ 1𝑖2 𝑋 𝑖𝑗2 + 𝛿̂ 1𝑖2 (𝑋 𝑖𝑗2 − 𝐾 1𝑖2 ) + + 𝜃̂ 1𝑖3 𝑋 𝑖𝑗3 + 𝛿̂ 1𝑖3 (𝑋 𝑖𝑗3 − 𝐾 1𝑖3 ) +
Dimana 𝑖 = 1,2, … ,29 dan 𝑗 = 1,2, … ,4 , dengan nilai GCV yang paling minimum sebesar 8,05 dan nilai R 2 sebesar 99,98%.

## REFERENSI
[1]  I. N. Budiantara, Regresi Nonparametrik Spline Truncated, Surabaya: ITS Press, 2019.
[2]  R. L. Eubank, Nonparametric Regression and Spline Smoothing, New York: Marcel Dekker, 1999.
[3] D.  R.  S.  Saputro,  K.  R.  Demu,  dan  P.  Widyaningsih,  “Nonparametric  Truncated  Spline  Regression  Model  on  Data  of  Human Development Index (HDI) in Indonesia,” IOP Conf. Series: Journal of Physics , vol. 1188, pp. 01-01, 2018.
[4] A.  T.  R.  Dani,  N.  Y.  Adrianingsih,  dan  A.  Ainurrochmah,  “Pengujian  Hipotesis  Simultan  Model  Regresi  Nonparametrik  Spline Truncated dalam Pemodelan Kasus Ekonomi,” JAMBURA Journal of Probability and Statistics , vol. 01, pp. 98-106, 2020.
[5]  D. N. Gujarati, Basic Econometrics, 4 th Edition, New York: McGraww-Hill Companies Inc., 2013.
[6]  C. Hsiao, Analysis of Panel Data, New York: Cambridge University Press, 2003.
[7] M. Durban, J. Harezlak, M. P. Wand, dan R. J. Carrol, “Simple Fitting of Subject -Specific C urves for Longitudinal Data,” Statistics in Medicine , pp. 01-24, 2004.
[8] L. Laome, “Model Regresi Semiparametrik Spline untuk Data Longitudinal pada Kasus Kadar CD4 Penderita HIV,” Paradigma , vol. 13, pp. 189-194, 2009.
[9] A.  Prahutama,  “Model  Regresi  Nonparametrik  Polinomial  Lokal  Birespon  pada  Data  Longitudinal,”  Tesis,  Surabaya:  Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013.
[10] W. Hardle, Applied Nonparametric Regression, Berlin: Humboldt-Universitat zu Berlin, 1994.
[11] G. Wahba, Spline Models for Observational Data, Pennyslvania: SIAM, 1990.