Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 13-27 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.14541
Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
Latifatul Mamnunah 1 *, Endah R.M. Putri 2 , Erna Apriliani 3 , Nuri Wahyuningsih 4 1,2,3 Departemen Matematika ITS Surabaya Indonesia 4 Departemen Aktuaria ITS Surabaya Indonesia e-mail:latifatul.mamnunah@gmail.com
Diajukan: 11 Oktober 2022, Diperbaiki: 19 Maret 2024, Diterima: 5 April 2024

## Abstrak
Sukuk merupakan salah satu instruman pasar modal yang berbasis syariah. Masalah muncul ketika krisis keuangan global 2007 hingga 2008 sehingga meningkatkan ketidakpastian sistem ekonomi di seluruh dunia yang telah menyentuh pasar sukuk yang menyebabkan volatilitas tinggi pada return sukuk. Volatilitas didefinisikan sebagai ukuran ketidakpastian pada pengembalian harga aset saat berinvestasi. Paper ini bertujuan untuk menganalisa volatilitas pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan Kalman Filter-GARCH (KF-GARCH). Model GARCH merupakan metode yang dapat digunakan untuk memodelkan data deret waktu bidang finansial yang sangat tinggi volatilitasnya. Serta penggunaan Kalman Filter yang merupakan suatu metode estimasi yang optimal akan memberikan hasil estimasi  yang lebih baik. Sehingga nantinya metode Kalman Filter ini dapat diterapkan untuk estimasi parameter model GARCH untuk memperbaiki hasil prediksi volatilitas return sukuk. Selain analisa volatilitas return sukuk, penelitian ini juga bertujuan untuk analisa estimasi risiko pada Franklin Global Sukuk Luxembourg. Metode yang digunakan untuk estimasi risiko adalah menggunakan Value at Risk (VaR). VaR merupakan besar kerugian maksimum yang diterima investor sehingga perhitungan Value at Risk (VaR) ini akan memberikan masukan dan membantu investor untuk meminimalisir kerugian dalam berinvestasi.
Model GARCH yang sesuai untuk Franklin Global Sukuk Luxembourg dari analisis data return sukuk yang dilakukan adalah GARCH(1,0), Kemudian parameter dari model GARCH(1,0)  tersebut diestimasi dengan Kalman Filter (KF-GARCH). Nilai MAPE hasil prediksi model KF-GARCH lebih kecil daripada prediksi model GARCH(1,0) yang diestimasi paremeternya menggunakan MLE. Hal ini menunjukkan bahwa estimasi menggunakan Kalman Filter menghasilkan simulasi yang lebih baik (akurat). Perhitungan estimasi risiko dengan menggunakan simulasi Monte Carlo pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH menghasilkan risiko 0.32% terhadap besar dana investasi sedangkan menggunakan model KF-GARCH adalah 0.31% terhadap besar dana investasi.
Kata Kunci : Sukuk, Volatilitas, Value at Risk, GARCH, Kalman Filter

## Abstract
Sukuk is a sharia-based capital market instrument. Problems arose when the global financial crisis of 2007 to 2008 increased uncertainty in the economic system throughout the world which touched the sukuk market, causing high volatility in sukuk returns. Volatility is defined as a measure of uncertainty in an asset's price return when investing. This paper aims to analyze volatility in the Franklin Global Sukuk Luxembourg using the GARCH and Kalman Filter-GARCH (KF-GARCH) models. The GARCH model is a method that can be used to model time series data in the financial sector which has very high volatility. And the use of the Kalman Filter, which is an optimal estimation method, will provide better estimation results. So that later the Kalman Filter method can be applied to estimate GARCH model parameters to
14 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
improve the prediction results of sukuk return volatility. Apart from analyzing the volatility of sukuk returns, this research also aims to analyze risk estimates on the Franklin Global Sukuk Luxembourg. The method used to estimate risk is Value at Risk (VaR). VaR is the maximum loss received by investors, so this Value at Risk (VaR) calculation will provide input and help investors to minimize losses in investing.
The appropriate GARCH model for Franklin Global Sukuk Luxembourg from the sukuk return data analysis carried out is GARCH(1.0). Then the parameters of the GARCH(1.0) model are estimated with the Kalman Filter (KF-GARCH). The MAPE value predicted by the KF-GARCH model is smaller than the prediction by the GARCH(1,0) model whose parameters were estimated using MLE. This shows that estimation using the Kalman Filter produces better (accurate) simulations. Risk estimation calculations using Monte Carlo simulations on the Franklin Global Sukuk Luxembourg using the GARCH model produce a risk of 0.32% of the investment fund size, while using the KF-GARCH model it is 0.31% of the investment fund size.
Keywords : Sukuk, Volatility, Value at Risk, GARCH, Kalman Filter

## 1 Pendahuluan
Sukuk adalah salah satu instrumen pasar modal berbasis syariah dimana sukuk merupakan obligasi versi syariah. Namun sukuk tidak seperti obligasi sebagai efek hutang. Menurut The Accounting and Auditing Organization for Islamic Financial Institutions (AAOIFI), sukuk diartikan sebagai sertifikat dengan nilai yang sama yang merupakan bukti kepemilikan yang tidak terbagi atas kepemilikan aset dasar, manfaat, jasa atau kegiatan investasi khusus. Jadi Sukuk berbeda dengan obligasi sebagai efek hutang [1].
Yves  Mersch (2009) mengatakan bahwa Luxembourg merupakan negara barat yang memiliki pendekatan positif terhadap keuangan Islam. Pada akhir tahun 70-an didirikan Syariah Banking System Holding Limited Luxembourg dan pada tahun 1982 didirikan perusahaan asuransi  jiwa Tafakol SA. Berdasarkan statistik terkini, tercatat 15 sukuk yang diterbitkan di Luxembourg dengan nilai gabungan 5 miliar Euro. Ada 40 Dana yang dikelola dan dipromosikan oleh perusahaan investasi global terkemuka [2]. Namun, masalah muncul selama krisis keuangan global tahun 2007 hingga 2008 ketika penurunan penerbitan sukuk meningkatkan ketidakpastian sistem ekonomi di seluruh dunia yang telah menyentuh pasar sukuk, sehingga menyebabkan pengembalian investasi sukuk yang memburuk  [1]. Pengembalian investasi yang buruk akan menyebabkan fluktuasi atau volatilitas yang tinggi pada return sukuk, serta return sukuk yang bervariasi dan tidak konstan dari waktu ke waktu.
Terdapat banyak time series dalam bidang keuangan, misalnya data time series yang memiliki variasi yang berbeda-beda setiap saat. Variasi variabel ini terjadi karena berkaitan dengan risiko yang ditanggung investor. Menurut  [3]  data deret waktu dengan varian tidak konstan disebut data deret waktu dengan heteroskedastisitas bersyarat. Saat menganalisis time series dengan kondisi heteroskedastisitas, metode least square tidak dapat digunakan karena akan memberikan informasi yang salah dan pengujian hipotesis yang tidak valid. Model GARCH

## 15
dapat memodelkan permasalahan keragaman heteroskedastisitas sehingga dapat diketahui hasil prediksi variabilitas kesalahan. Tidak hanya kekurangan metode kuadrat terkecil dapat dikoreksi, rentang kesalahan yang diprediksi juga dapat dihitung. Prediksi ini biasanya menarik, terutama dalam aplikasi keuangan  [4]. Model GARCH pertama kali diperkenalkan oleh  [5]. Model GARCH merupakan pengembangan dari model ARCH dan dapat memodelkan permasalahan keragaman heteroskedastisitas. Tujuan paper ini adalah melakukan prediksi volatilitas menggunakan model GARCH, serta penggunaan Kalman Filter yang merupakan metode estimasi yang optimal yang akan memberikan hasil estimasi yang lebih baik. Sehingga nantinya metode Kalman Filter dapat diterapkan pada model GARCH untuk meningkatkan hasil prediksi volatilitas return sukuk.
Peneliti sebelumnya telah menerapkan model GARCH dan Kalman Filter pada beberapa permasalahan diantaranya adalah penerapan model GARCH untuk analisis volatilitas pada sukuk Dow Jones oleh  [1]  dan hasilnya mendapatkan model GARCH(1,1). Kemudian, penerapan estimasi Kalman Filter pada model ARIMA untuk peramalan harga minyak mentah bulanan di Pakistan oleh [6]  yaitu dengan menggunakan hasil estimasi parameter model ARIMA sebagai nilai awal untuk proses estimasi Kalman Filter. Hasil yang didapatkan adalah model ARIMA GARCH dengan MAE 525,78  sedangkan metode Kalman Filter untuk mgestimasi parameter pada model ARIMA menghasilkan nilai MAE sebesar 421,91. Selanjutnya, penerapan model Kalman-ARIMA dan model Kalman-ARIMA-GARCH untuk prediksi deformasi struktur jembatan berdasarkan data GNSS( Global Navigation Satellite System ) oleh  [7]. Pertama, data deformasi mentah langsung diproses terlebih dahulu menggunakan Kalman Filter untuk mengurangi noise . Setelah itu, model ARIMA digunakan untuk menganalisa dan memprediksi deformasi struktur jembatan. Terakhir, model GARCH digunakan untuk lebih meningkatkan akurasi ramalan. Hasil yang didapat adalah akurasi prediksi model GARCH lebih unggul daripada model ARIMA. Analisa kesalahan prediksi dari dua model menunjukkan bahwa model GARCH memiliki keunggulan tertentu didalam kondisi heteroskedastisitas.
Salah satu aspek penting dari analisis risiko adalah perhitungan Value at Risk (VaR). VaR adalah metode yang digunakan untuk mengukur risiko. VaR merupakan estimasi kerugian maksimum yang dialami dalam jangka waktu tertentu dengan tingkat keyakinan tertentu. VaR memiliki hubungan yang erat dengan GARCH, yang sering digunakan jika terjadi heteroskedastisitas pada tingkat pengembalian dan estimasi nilai volatilitas masa depan. Ini adalah keuntungan dari metode GARCH dibandingkan dengan penaksir varians biasa [8]. Salah satu cara untuk memperkirakan nilai VaR adalah dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.

## 16 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk menganalisis volatilitas dan Value at Risk (VaR) pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH.

## 2 Metode Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah harga sukuk harian Franklin Global Sukuk Luxembourg pada tanggal 21 November 2018 hingga 23 September 2019 sebagai data insample , dan pada 24 September 2019 hingga 27 April 2020 sebagai data outsample . Data insample digunakan untuk membentuk model, sedangkan data outsample digunakan untuk mengecek keakuratan model.
2.1 Return
Berdasarkan  [9], return adalah tingkat pengembalian atas hasil yang diperoleh akibat melakukan investasi. Analisis sekuritas umumnya menggunakan geometric return . Metode geometric return diformulasikan sebagai berikut:
𝑅𝑅 𝑡𝑡 = ln 𝑠𝑠 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ) 𝑠𝑠 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖−1 ) (1)
dengan:
𝑅𝑅 𝑡𝑡 : return sukuk 𝑠𝑠 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ) : harga sukuk pada periode 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑠𝑠 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖−1 ) : harga sukuk pada periode 𝑡𝑡 𝑖𝑖−1
2.2   Model GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity )
Data time series dari sektor keuangan memiliki nilai volatilitas yang sangat tinggi. GARCH adalah model yang dapat digunakan untuk membuat model data deret waktu volatilitas tinggi di sektor keuangan. Model GARCH dikembangkan oleh  [5]. Model ini dibuat untuk menghindari orde dalam jumlah besar dalam model ARCH.  [5]  menyatakan bahwa varians bersyarat hari ini ( 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 ) tidak hanya dipengaruhi oleh kuadrat sisa masa lampau ( 𝜀𝜀 𝑡𝑡−𝑝𝑝 2 ) tetapi juga dapat dipengaruhi oleh varian sisa periode lampau ( 𝜎𝜎 𝑡𝑡−𝑞𝑞 2 ) .
Secara umum, model GARCH (p, q):
𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 = 𝛼𝛼 0 + 𝛼𝛼 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛼𝛼 𝑝𝑝 𝜀𝜀 𝑡𝑡−𝑝𝑝 2 + 𝛽𝛽 1 𝜎𝜎 𝑡𝑡−1 2 + ⋯ + 𝛽𝛽 𝑞𝑞 𝜎𝜎 𝑡𝑡−𝑞𝑞 2 (2)
2.3   Metode Kalman Filter
Kalman Filter adalah metode estimasi yang optimal. Komponen dasar dari metode Kalman Filter adalah persamaan pengukuran dan persamaan transisi. Dengan menggunakan data pengukuran untuk meningkatkan hasil estimasi. Secara umum, metode  Kalman  Filter  untuk sistem dinamis linier waktu diskrit dapat dinyatakan sebagai berikut [10]:

## 17
𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 = 𝐴𝐴𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑤𝑤 𝑘𝑘 (3)
𝑧𝑧 𝑘𝑘 = 𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑣𝑣 𝑘𝑘 (4)
Dimana 𝑥𝑥 𝑘𝑘 adalah keadaan sistem pada waktu 𝑘𝑘 yang nilai estimasi awalanya adalah 𝑥𝑥� 0 dan kovarian awal 𝑃𝑃 𝑥𝑥 0 , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 adalah noise pada model sistem, 𝑧𝑧 𝑘𝑘 adalah variabel pengukuran, 𝐻𝐻 adalah matriks pengukuran, 𝑣𝑣 𝑘𝑘 adalah noise pada model pengukuran, 𝐴𝐴 adalah matriks konstan di dalam ukuran yang berkesesuaian dengan 𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 x 𝑛𝑛 dan 𝐻𝐻 = 𝑝𝑝 x 1 . Kalman Filter menggunakan algoritma predictor-corrector untuk mengestimasi 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Algoritma predictor-corrector dari Kalman Filter
2.4 Evaluation criteria
Pemilihan model terbaik dapat dilihat dengan menggunakan perhitungan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE), yaitu ukuran kesalahan yang dihitung dengan mencari nilai tengah dari persentase absolut perbandingan kesalahan dengan data aktual. Rumus MAPE adalah sebagai berikut:
𝑀𝑀𝐴𝐴𝑃𝑃𝑀𝑀 = 1 𝑛𝑛 ∑ � 𝑌𝑌 𝑡𝑡 −𝐹𝐹 𝑡𝑡 𝑌𝑌 𝑡𝑡 � 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 100% (5)
Dimana 𝑌𝑌 𝑡𝑡 adalah nilai nilai data ke-t, 𝐹𝐹 𝑡𝑡 adalah nilai peramalan ke-t, 𝑛𝑛 adalah banyaknya data.
2.5   Estimasi VaR ( Value at Risk ) menggunakan simulasi Monte Carlo
Penggunaan simulasi Monte Carlo untuk memperkirakan risiko telah diperkenalkan oleh [11].  Dalam menghitung nilai VaR untuk satu aset dan portofolio, simulasi Monte Carlo memiliki beberapa jenis algoritma. Keunggulan simulasi Monte Carlo dibandingkan dengan metode penghitungan VaR lainnya adalah memberikan hasil penghitungan yang lebih akurat untuk semua jenis instrumen. Selain itu, simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk  semua jenis asumsi distribusi. Algoritma implementasi simulasi Monte Carlo dalam perhitungan estimasi VaR ( Value at Risk ) untuk Franklin Global Sukuk Luxembourg sebagai berikut:
Predictor 𝑥𝑥� 𝑘𝑘+1 − = 𝐴𝐴 𝑘𝑘 𝑥𝑥� 𝑘𝑘 + 𝐵𝐵 𝑘𝑘 𝑢𝑢 𝑘𝑘 𝑃𝑃� 𝑘𝑘+1 − = 𝐴𝐴 𝑘𝑘 𝑃𝑃 𝑘𝑘 𝐴𝐴 𝑘𝑘 𝑇𝑇 + 𝐺𝐺 𝑘𝑘 𝑄𝑄 𝑘𝑘 𝐺𝐺 𝑘𝑘 𝑇𝑇 Corretor 𝐾𝐾 𝑘𝑘+1 = 𝑃𝑃 𝑘𝑘+1 − 𝐻𝐻 𝑘𝑘+1 𝑇𝑇 ( 𝐻𝐻 𝑘𝑘+1 𝑃𝑃 𝑘𝑘+1 − 𝐻𝐻 𝑘𝑘+1 𝑇𝑇 + 𝑅𝑅 𝑘𝑘+1 ) −1 𝑥𝑥� 𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥� 𝑘𝑘+1 − + 𝐾𝐾 𝑘𝑘+1 ( 𝑧𝑧 𝑘𝑘+1 − 𝐻𝐻 𝑘𝑘+1 𝑥𝑥� 𝑘𝑘+1 − ) 𝑃𝑃 𝑘𝑘+1 = ( 𝐼𝐼 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘+1 𝐻𝐻 𝑘𝑘+1 ) 𝑃𝑃 𝑘𝑘+1 −
18 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
1. Mendapatkan model mean dan varian dari data return Franklin Global Sukuk Luxembourg.
2. Mensimulasikan nilai return dengan membangkitkan secara random return Franklin Global Sukuk Luxembourg sebanyak n = 365 kali. Pada langkah ini digunakan fungsi =randperm(), yang berfungsi untuk membangkitkan bilangan acak bulat positif sebanyak n. Bilangan ini nantinya digunakan untuk mengacak bilangan yang sudah ada.
3. Melakukan perhitungan nilai mean dan varian berdasarkan hasil dari langkah (2). Nilai mean dan varian tersebut digunakan untuk menghitung nilai VaR. Diasumsikan bahwa dana investasi awal ( 𝑊𝑊 0 ) adalah sebesar USD.8000, USD.8500, USD.9000, USD.9500, dan USD.10000. Perhitungan VaR tersebut berdasarkan persamaan berikut:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅 1−𝛼𝛼 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑊𝑊 0 ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 + 1.96 𝜎𝜎 𝑡𝑡 ) .
4. Mengulangi langkah (2) samapi langkah (3) sebanyak m sehingga diperoleh berbagai kemungkinan niali VaR Franklin Global Sukuk Luxembourg.
5. Menghitung rata-rata dari langkah (4) untuk menstabilkan nilai VaR.

## 3  Hasil dan Pembahasan

## 3.1   Karakteristik data penelitian
Karakteristik data yang dianalisis merupakan data return harga sukuk. Deskripsi dari harga dan return Franklin Global Sukuk Luxembourg ditampilkan dalam Tabel 1.
Tabel 1. Deskripsi data Franklin Global Sukuk Luxembourg
Sukuk N Min Max Mean Standard deviation Price 214 8.840000 9.600000 9.173832 0.217630 Return 213 -0.004515 0.006515 0.000338 0.001455

## 3.2   Pemodelan ARIMA
Langkah awal pemodelan ARIMA adalah uji kestasioneran. Untuk mengetahui data sudah stasioner, dapat dilakukan uji Augmented  Dicky Fuller (ADF).  Berikut ini merupakan uji stasioner dengan menggunakan uji ADF.
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : 𝛿𝛿 = 0 (terdapat unit root , tidak stasioner)
𝐻𝐻 1 : 𝛿𝛿 ≠ 0 (tidak terdapat unit root , stasioner)
Hasil dari uji ADF dapat dilihat pada Gambar 2.  Gambar 2 menunjukkan bahwa nilai-p yang didapatkan yaitu 0.0000 dan nilai ini lebih kecil dari alpha (0.05) maka 𝐻𝐻 0 ditolak, artinya data return Franklin Global Sukuk Luxembourg sudah stasioner. Langkah selanjutnya, setelah

## 19
data sudah stasioner adalah pembentukan  model ARIMA dengan cara mengindentifikasi orde model melalui plot ACF dan PACF. Hasil plot ACF dan PACF dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 menunjukkan bahwa tidak ada lag yang keluar. Sehingga dugaan awal model ARIMA sementara untuk data return Franklin Global Sukuk Luxembourg adalah ARIMA(1,0,1), ARIMA(1,0,0) dan ARIMA(0,0,1). Setelah diperoleh dugaan model ARIMA sementara, selanjutnya dilakukan estimasi parameter dan uji signifikan parameter untuk model sementara. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 4, Gambar 5 dan Gambar 6.
Berikut ini merupakan uji signifikan parameter terhadap ARIMA(1,0,1):
1. Menguji parameter C(konstanta) = ∅ 0
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : ∅ 0 = 0 (parameter model tidak signifikan)
𝐻𝐻 1 : ∅ 0 ≠ 0 (parameter model signifikan)
Berdasarkan Gambar 4  diperoleh bahwa (prob = 0.0011) < ( 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 ditolak, artinya parameter signifikan.
2. Menguji parameter AR(1) = ∅ 1
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : ∅ 1 = 0 (parameter model tidak signifikan)
𝐻𝐻 1 : ∅ 1 ≠ 0 (parameter model signifikan)
Berdasarkan Gambar 4  diperoleh bahwa (prob = 0.0000) < ( 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 ditolak, artinya parameter signifikan.
3. Menguji parameter MA(1) = 𝜃𝜃 1
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : 𝜃𝜃 1 = 0 (parameter model tidak signifikan)
𝐻𝐻 1 : 𝜃𝜃 1 ≠ 0 (parameter model signifikan)
Berdasarkan Gambar 4  diperoleh (prob = 0.0000) < ( 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 ditolak, artinya parameter signifikan.
Berdasarkan hasil uji signifikan parameter, model ARIMA(1,0,1) menghasilkan dugaan model ARIMA yang signifikan. Selanjutnya dilakukan uji white noise terhadap residual model ARIMA(1,0,1). Pengujian asumsi residual white noise dapat dilakukan menggunakan uji Ljung- Box.
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : 𝜌𝜌 1 = ⋯ = 𝜌𝜌 𝑘𝑘 = 0 𝐻𝐻 1 : minimal ada satu 𝜌𝜌 𝑗𝑗 ≠ 0 dengan 𝑗𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘𝑘

## 20 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
Statistik uji:
Untuk 𝑘𝑘 (lag maksimum) = 25, maka:
𝑄𝑄 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 2) ∑ 𝜌𝜌� 𝑘𝑘 2 𝑛𝑛−𝑘𝑘 25 𝑘𝑘=1 , 𝜌𝜌� 𝑘𝑘 autokorelasi residual lag- 𝑘𝑘
𝑄𝑄 = (213)(213 + 2)( ( −0 . 016 ) 2 213−1 + ( 0 . 02 ) 2 213−2 + ⋯ + ( −0 . 069 ) 2 213−25 )
𝑄𝑄 = (213)(215)(0.0004570) = 20.92607923
Tabel Distribusi Chi-square diperoleh:
𝑋𝑋 ( 0 . 05 ; 25−1−1 ) 2 = 35.17246
Diperoleh 𝑄𝑄 < 𝑋𝑋 ( 0 . 05 ; 25−1−1 ) 2 (dengan 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 diterima artinya residual bersifat white noise. Selanjutnya pengujian asumsi residual berdistribusi normal dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) untuk semua 𝑥𝑥 (berdistribusi normal)
𝐻𝐻 1 : 𝐹𝐹 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) untuk beberapa 𝑥𝑥 (tidak berdistribusi normal)
Statistik uji:
𝐷𝐷 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 = max | 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 ) − 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 )| = 0.183143577
𝐷𝐷 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 ( 𝛼𝛼 , 𝑛𝑛 ) = 𝐷𝐷 ( 0 . 05 ; 213 ) = 0.0925
Diperoleh 𝐷𝐷 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 > 𝐷𝐷 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 (dengan 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 ditolak sehingga residual model tidak berdistribusi normal. Pemilihan model ARIMA terbaik dilakukan dengan memilih model ARIMA yang memenuhi semua asumsi, yaitu parameter signifikan, residual memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal, serta memiliki nilai AIC dan SC terkecil. Hasil pengujian model ARIMA dapat dilihat pada Tabel 2.
Pada Tabel 2, terlihat bahwa ARIMA(1,0,1) memenuhi semua asumsi pengujian dan mempunyai nilai AIC dan SC terkecil sehingga model ARIMA(1,0,1) terpilih sebagai model terbaik  yang digunakan untuk memodelkan GARCH. Serta ada ketidaknormalan dari residual, Hal ini dapat mengindikasikan kondisi heteroskedastisitas yang menunjukkan adanya proses GARCH pada model ARIMA(1,0,1).
Setelah ditemukan ketidaknormalan pada residual, langkah selanjutnya dilakukan pengujian heteroskedastisitas pada model ARIMA(1,0,1). Hasil uji heteroskedastisitas dapat dilihat pada Gambar 7. Pengujian ini dilakukan untuk melihat residual kuadrat bersifat homoskedastisitas atau heteroskedastisitas.
Hipotesis:
𝐻𝐻 0 : 𝜌𝜌 1 = ⋯ = 𝜌𝜌 𝑘𝑘 = 0 (homoskedastisitas)
𝐻𝐻 1 : minimal ada satu 𝜌𝜌 𝑗𝑗 ≠ 0 dengan 𝑗𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘𝑘 (heteroskedastisitas)
Berdasarkan Gambar 7  bahwa (prob. Chi-square = 0.0082) < ( 𝛼𝛼 = 0.05 ) sehingga 𝐻𝐻 0 ditolak artinya terdapat unsur GARCH (heteroskedastisitas) pada model ARIMA(1,0,1). Sehingga berdasarkan Tabel 2  dan uji heteroskedastisitas, diperoleh model ARIMA(1,0,1) sebagai model terbaik untuk memodelkan GARCH.

## Null Hypothesis: RETURN has a unit root
Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=14)
t-Statistic   Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -15.14251  0.0000
Test critical values: 1% level -3.461178 5% level -2.874997 10% level -2.574019 *MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Gambar  4. Estimasi parameter dan uji signifikan parameter ARIMA(1,0,1)
Gambar  5. Estimasi parameter dan uji signifikan parameter ARIMA(1,0,0)
Gambar 2. Hasil uji ADF dari return Franklin Global Sukuk Luxembourg
Gambar  3. ACF and PACF  dari return Franklin Global Sukuk Luxembourg

## Tabel 2. Hasil pengujian model ARIMA Franklin Global Sukuk Luxembourg
Model Significant test parameters Residual white noise test Residual normal test AIC SC ARIMA(1,0,1) Significant White noise Not normal -10.20143 -10.13830 ARIMA(1,0,0) Not significant White noise Not normal -10.20638 -10.15904 ARIMA(0,0,1) Not significant White noise Not normal -10.20628 -10.15894

## 3.3   Pemodelan GARCH
Pada model ARIMA(1,0,1)  masih terdapat unsur heteroskedastisitas, maka diperlukan model GARCH untuk menyelesaikan masalah volatilitas didalam heteroskedastisitas. Untuk menentukan model GARCH akan dilakukan plot ACF dan PACF dari residual kuadrat untuk menentukan dugaan model yang sesuai. Berdasarkan Gambar 8 menunjukkan bahwa lag-1 yang keluar, sehingga dugaan model sementara adalah GARCH(1,1) dan GARCH(1,0).  Setelah mendapatkan dugaan model sementara, selanjutnya dilakukan estimasi parameter menggunakan metode maximum likelihood (MLE) untuk mendapatkan parameter yang signifikan untuk model varian. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar 9  dan Gambar 10.  Berdasarkan  Gambar 9  dan Gambar 10, terlihat bahwa model GARCH(1,0)  yang memenuhi uji signifikan serta  hasil overfitting memberikan nilai AIC dan SC terkecil sehingga terpilih sebagai model terbaik.
Tabel 3. Hasil model GARCH Franklin Global Sukuk Luxembourg
Model Significant test parameters AIC SC GARCH(1,1) Not significant -10.25919 -10.19606 GARCH(1,0) Significant -10.24873 -10.20139
Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 7.168792     Prob. F(1,210) 0.0080 Obs*R-squared 6.998169     Prob. Chi-Square(1) 0.0082 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares Date: 01/08/20   Time: 12:08 Sample (adjusted): 3 214 Included observations: 212 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.72E-06 3.66E-07 4.689928 0.0000 RESID^2(-1) 0.181719 0.067870 2.677460 0.0080 R-squared 0.033010     Mean dependent var 2.10E-06 Adjusted R-squared 0.028406     S.D. dependent var 4.98E-06 S.E. of regression 4.91E-06     Akaike info criterion -21.60078 Sum squared resid 5.06E-09     Schwarz criterion -21.56911 Log likelihood 2291.683     Hannan-Quinn criter. -21.58798 F-statistic 7.168792     Durbin-Watson stat 1.954684 Prob(F-statistic) 0.008005
Gambar 7. Hasil uji heteroskedastisitas Gambar  6. Estimasi parameter dan uji signifikan parameter ARIMA(0,0,1)

## 23
Model GARCH(1,0) yang didapatkan merupakan model mean ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 ) dan model varian ( 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 ) adalah sebagai berikut:
𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 0.00029605 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 = 0.0000017808 + 0.14378 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2

## 3.4 Penerapan metode Kalman Filter (KF-GARCH)
Setelah didapatkan model GARCH terbaik yaitu GARCH(1,0), selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter pada GARCH(1,0) dengan menggunakan Kalman Filter. Parameter yang akan diestimasi adalah 𝛼𝛼 0 dan 𝛼𝛼 1 . Aulgoritma Kalman Filter yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
Model sistem:
� 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 𝛼𝛼 0 𝛼𝛼 1 � 𝑡𝑡+1 = � 0 1 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2 0 1 0 0 0 1 � � 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 𝛼𝛼 0 𝛼𝛼 1 � 𝑡𝑡 Model pengukuran:
𝑧𝑧 𝑡𝑡 = [1 0 0] � 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 𝛼𝛼 0 𝛼𝛼 1 � 𝑡𝑡
Setelah diperoleh model sistem dan pengukuran, selanjutnya dilakukan inisialisasi. Nilai awala 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 diambil dari data pertama varians return Franklin Global Sukuk Luxembourg. Nilai awal 𝛼𝛼 0 dan 𝛼𝛼 1 diambil dari hasil estimasi parameter model GARCH(1,0) menggunakan MLE. Nilai awal variansi dan noise diambil Q = 1.0 dan R = 0.3. Sedangkan nilai awal 𝑥𝑥 0 dan kovarian diberikan sebagai berikut:
𝑥𝑥� 0 = � 0.00000063767 0.0000017808 0.14378 � , 𝑃𝑃 0 = � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � x 10 −8 , 𝑄𝑄 𝑘𝑘 = � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � . 𝑄𝑄 .
Untuk proses simulasi estimasi parameter menggunakan Kalman Filter dilakukan dengan bantuan software Matlab. Iterasi dilakukan sebanyak jumlah data observasi yaitu 364. Hasil estimasi paremeter model GARCH(1,0) menggunakan Kalman Filter dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil estimasi parameter GARCH menggunakan Kalman Filter
Model Parameter Coefficient GARCH(1,0) 𝑉𝑉 0 0.0000031488 𝛼𝛼 1 0.14378
Model KF-GARCH yang didapatkan adalah sebagai berikut:
𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 0.00029605 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 = 0.0000031488 + 0.14378 𝜀𝜀 𝑡𝑡−1 2

## 24 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH
Hasil prediksi volatilitas return Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model KF-GARCH dapat dilihat pada Gambar 11. Pada Gambar 11, terlihat bahwa volatilitas pada data outsample mengalami volatilitas tinggi. Hal ini karena terjadi pandemi Covid-19 pada data outsample sehingga menyebabkan krisis ekonomi yang menyebabkan volatilitas tinggi pada return Franklin Global Sukuk Luxembourg.
Simulasi model GARCH(1,0) yang diestimasi menggunakan Kalman Filter (KF-GARCH) dan metode MLE dapat dilihat pada Gambar 12 dan Gambar 13. Pada Gambar 12 dan Gambar 13, terlihat bahwa grafik KF-GARCH mendekati grafik aktual. Sehinnga, untuk mengetahui hasil  prediksi yang paling baik antara KF-GARCH dan GARCH dapat dilihat dari Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang terkecil. Nilai MAPE dari hasil prediksi kedua model dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 menunjukkan bahwa nilai MAPE hasil prediksi model KF-GARCH lebih kecil dari prediksi model GARCH yang parameternya  diestimasi menggunakan metode MLE. Hal ini menunjukkan bahwa metode estomasi menggunakan Kalman Filter menghasilkan simulasi yang lebih akurat (baik).
Gambar  8. ACF  dan  PACF  dari  residual kuadrat ARIMA(1,0,1)
Gambar  9. Estimasi Parameter GARCH(1,1)
Gambar 10. Estimasi Parameter GARCH(1,0)
Gambar 11. Prediksi volatilitas FGSL menggunakan KF-GARCH
Tabel 5. Hasil MAPE dari model GARCH dan KF-GARCH
MAPE (%) GARCH KF-GARCH MAPE data insample 26.6414% 1.0284% MAPE data outsample 37.8986% 0.1386%

## 3.5   Perhitungan Value At Risk (VaR)
Model mean ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡 ) dan model varian ( 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 ) yang didapatkan dari pemodelan GARCH(1,0) serta KF-GARCH(1,0) akan digunakan untuk melakukan perhitungan VaR. VaR merupakan besar kerugian maksimum  yang diterima para investor, sehingga bisa dijadikan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam berinvestasi. Keputusan yang diambil diharapkan dapat membantu investor sehingga terhindar dari kerugian. Perhitungan estimasi VaR pada penelitian ini menggunakan simulasi Monte Carlo.
Hasil perhitungan Value at Risk (VaR) Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan simulasi Monte Carlo dapat dilihat pada Tabel 6 dan Tabel 7. Berdasarkan Tabel 6 dan Tabel 7, estimasi risiko pada Franklin Global Sukuk Luxembourg dengan menggunakan model GARCH(1,0) yang didapat dengan 𝛼𝛼 = 5% adalah 0.32% terhadap besar dana yang diinvestasikan, ini berarti dengan investor memiliki keyakinan sebesar 95% maka kerugian tidak akan melebihi 0.32% terhadap besar dana yang duiinvestasikan dalam jangka waktu per hari kedepan. Sedangkan estimasi risiko dengan menggunakan model KF-GARCH yang didapat tidak akan melebihi 0.31% terhadap besar dana yang diinvestasikan dalam jangka waktu per hari kedepan. Hasil perhitungan estimasi risiko dengan metode VaR, didapatkan suatu angka yang menunjukkan besarnya jumlah dana potensial (capital reserve) yang harus dicadangkan untuk mengantisipasi risiko yang terjadi.
Gambar 12. Perbandingan volatilitas dari data insample
Gambar 13. Perbandingan volatilitas dari data outsample
26 Analisis Volatilitas dan Value at Risk pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH dan KF-GARCH

## Tabel 6. Estimasi risiko menggunakan model GARCH pada Franklin Global Sukuk
Luxembourg 𝑾𝑾 𝟎𝟎 (USD) VaR (USD) VaR (%) 8000 24,9037 0.32 8500 27,5226 0.32 9000 29,1416 0.32 9500 30,7606 0.32 10000 32,3796 0.32

## Tabel 7. Estimasi risiko menggunakan model KF-GARCH pada Franklin Global Sukuk
Luxembourg 𝑾𝑾 𝟎𝟎 (USD) VaR (USD) VaR (%) 8000 24,8716u 0.31 8500 26,4260 0.31 9000 27,9805 0.31 9500 29,5350 0.31 10000 31,0895 0.31

## 4  Simpulan
Pada paper ini, model GARCH yang sesuai untuk Franklin Global Sukuk Luxembourg dari analisis data return yang dilakukan  adalah GARCH(1,0). Kemudian GARCH(1,0) diestimasi dengan Kalman Filter (KF-GARCH). Nilai MAPE hasil prediksi model KF-GARCH lebih kecil dari prediksi model GARCH yang diestimasi menggunakan metode MLE. Hal ini menunjukkan bahwa metode estimasi menggunakan  Kalman Filter menghasilkan simulasi yang lebih akurat (baik). Perhitungan Estimasi risiko pada Franklin Global Sukuk Luxembourg menggunakan model GARCH menghasilkan risiko 0.32% terhadap dana investasi awal, sedangkan menggunakan model KF-GARCH menghasilkan risiko 0.31% terhadap dana investasi awal.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Kami berterima kasih kepada departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya atas dukungan dan dorongan kepada penulis. Kami ingin berterima kasih kepada staf lab departemen Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember atas bantuan teknis kepada penulis.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  S. Rahim and N. Ahmad, “Measuring Volatility Of Dow Jones Sukuk Total Return Index Using Garch Model,” Journal of Business Innovation , vol. 1, no. 1, p. 73, 2016.
[2]  A. L. A. Rauf, “Emerging role for Sukuk in the capital market,” South Asia Journal of Contemporary Business, Economics and Law , vol. 2, no. 2, pp. 41–45, 2013.
[3]  W. Enders, Applied econometrics time series . New York: John Willey and Sons, Inc. United States of Statistics, 1995.
[4]  R. Engle, “GARCH 101: The use of ARCH/GARCH models in applied econometrics,” Journal of economic perspectives , vol. 15, no. 4, pp. 157–168, 2001.
[5]  T. Bollerslev, “Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,” J Econom , vol. 31, no. 3, pp. 307–327, 1986.
[6]  M. Aamir and A. Shabri, “Modelling and forecasting monthly crude oil price of Pakistan: A comparative study of ARIMA, GARCH and ARIMA Kalman model,” in AIP conference proceedings , AIP Publishing, 2016.
[7]  J. Xin, J. Zhou, S. X. Yang, X. Li, and Y. Wang, “Bridge structure deformation prediction based on GNSS data using Kalman-ARIMA-GARCH model,” Sensors , vol. 18, no. 1, p. 298, 2018.
[8]  R. S. Tsay, Analysis of financial time series . New Jersey: John wiley & sons, 2002.
[9]  D. Ruppert and D. S. Matteson, Statistics and data analysis for financial engineering , vol. 13. Springer, 2011.
[10]  F. L. Lewis, L. Xie, and D. Popa, Optimal and robust estimation: with an introduction to stochastic control theory . London: CRC press, 2008.
[11]  P. P. Boyle, “Options: A monte carlo approach,” J financ econ , vol. 4, no. 3, pp. 323–338, 1977.