## PROFIL BERPIKIR VISUAL MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI DEFINISI FORMAL BARISAN KONVERGEN BERDASARKAN PERBEDAAN GENDER

## Darmadi
FP MIPA, IKIP PGRI Madiun

## Abstract
The  aim  of  this  study  was  to  get  profile  of  visual  thinking  of  prospective  teachers  of mathematics  in  understanding  formal  definitions  of  convergent  sequences  based  on  gender differences.
This study focused more on the process than the results. The results of the study are presented in the form of descriptions based on empirical data. Therefore, it used descriptive-exploratory study with a qualitative approach. To get the depth of the data, it selected one male subject and one female subject. Method of task-based interviews with semi-structured format was used to collect the data. The time triangulation is used to validate the data. Reduction, categorization, synthesis, and inferences are used to analyze the data.
The results showed that: 1) The male student does four stages or activities to understand the formal definition of convergent sequences, that is: to recognize, to imagine, to show, and to conclude. The activity to show can be categorized into two sub-activities; namely: to show a picture of convergent sequences and to show a picture attribute of the definition. The sequence of activities to understand was  carried  out  by  the  male  student  in  not  a  linear  fashion.  Profile  of  visual  thinking  of  male prospective teacher of mathematics in understanding formal definitions of convergent sequences is obtained from on the information processing activities that involve mental imagery. Mental imagery processing is done through three stages, namely: to construct mental imagery, to processing mental imagery, and to utilize mental imagery. The stages of processing mental imagery can be categorized into two sub-stages; namely: to determine mental imagery and to refine mental imagery. 2) The female student does four stages or activities to understand the formal definition of convergent sequences, namely: to recognize, to imagine, to show, and to conclude. The activity to show can be categorized into two sub-activities; namely: to show a picture of convergent sequence and to show a picture attribute of the definition. To understand the sequence of activities was performed by female student in a linear fashion.  Profile  of  visual  thinking  of  female  prospective  teacher  of  mathematics  in  understanding formal definitions of convergent sequences is obtained from the information processing activities that involve mental imagery. Mental imagery processing is done through three stages namely: to construct mental imagery, to processing mental imagery, and to utilize  mental imagery. The stages of processing mental imagery can be categorized into two sub-stages; namely: to determine mental imagery and to refine mental imagery. 3) Regardless of the differences in the representation and processing sequence as well as the activities and the use of mental imagery, there are similarities in the understanding of the formal  definition  of  convergent  sequences.  To  understand  the  formal  definition  of  convergent sequences, students do four phases of activities, namely: to recognize, to imagine, to show, and to conclude. The activity to show can be categorized into two sub-activities; namely: to show a picture of convergent sequences and to show a picture attribute of the definition. Mental imagery processing is done through three stages, namely: to construct mental imagery, to processing mental imagery, and to utilize  mental imagery.
Keywords: visual thinking, understanding, formal definition, convergent sequences, prospective teachers of mathematics, gender
darmadi7868482@yahoo.com

## 1. PENDAHULUAN
Shapiro (2000:140) mengatakan bahwa banyak aktivitas berkenaan dengan matematika yang terdiri dari manipulasi simbol-simbol sesuai
aturan tertentu. Hal ini lebih tampak pada aliran formalisme.  Shapiro  (2000:142)  menjelaskan bahwa  istilah  formalitas  memandang  bahwa matematika  adalah  tentang  karakter-karakter
atau  simbol-simbol  yaitu  sistem-sistem  angka- angka dan simbol-simbol bahasa lain. Beberapa pembelajaran  matematika  sering  terpaku  pada formalitas. Tall  (2005a:14)  mengatakan  bahwa hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  pelajar yang  pandai  cenderung  lebih  fokus  pada penggunaan simbol-simbol daripada visualisasi, seperti matematikawan yang lebih mengutama- kan  penggunaan  simbol  dalam  latihan-latihan dan  kurang  memberikan  pengembangan  ke visualisasi.  Akibatnya,  beberapa  mahasiswa tidak  biasa  berpikir  visual.  Schunk  (2012:305) menjelaskan  bahwa  orang  dewasa  seperti mahasiswa lebih lambat dalam merespon untuk melakukan pencitraan atau pembayangan mental dan tidak secara eksplisit berusaha untuk mem- pertajam pencitraan atau pembayangan mental.
Nemirovsky  &  Noblemany  (1997:1) mengatakan  bahwa  beberapa  penelitian menunjukkan  pentingnya  visualisasi  dan penalaran visual untuk belajar matematika. Tall (1991:2) menjelaskan bahwa bukti matematika merupakan tahap akhir dari proses. Sebelum bisa dibuktikan, harus ada gambaran tentang apakah teorema dapat dibuktikan, atau apakah teorema benar. Tahap eksplorasi ini menggunakan pemi- kiran matematis dengan membangun gambaran hubungan keseluruhan dan gambar tersebut bisa mendapatkan  keuntungan  dari  visualisasi. Suharnan  (2005:91)  menjelaskan  bahwa  salah satu  cara  untuk  meningkatkan  kinerja  ingatan adalah dengan menggunakan imajeri visual atau pembayangan mental. Cara ini dianggap paling efektif dibandingkan dengan cara-cara yang lain. Selain  itu,  visualisasi  dapat  digunakan  untuk meningkatkan  kreativitas  berpikir.  Suharnan (2005:113)  menjelaskan  bahwa  imajeri  atau pembayangan  mental  dapat  digunakan  untuk meningkatkan  kemampuan  berpikir  kreatif. S e b a b ,   k e m u d a h a n   m e m b e n t u k   a t a u membayangkan  kembali  objek-objek  atau peristiwa-peristiwa  konkret  merupakan  suatu kemampuan intelektual yang sering dibutuhkan ketika ingin menghasilkan gagasan baru.
Pendidik  sering  memberikan  pengeta- huan  sebanyak-banyaknya,  sementara  peserta didik  tidak  memahami  maksud,  kegunaannya, dan  maknanya.  Sehingga,  salah  satu  dan  yang pertama  dari  tujuan  pelajaran  matematika menurut  Permendiknas  No.  22  (Depdiknas, 2006)  tentang  standar  isi,  adalah:  memahami konsep  matematika,  menjelaskan  keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma,  secara  luwes,  akurat,  efisien,  dan tepat,  dalam  pemecahan  masalah.  Memahami merupakan hal yang penting karena mendasari
proses kognitif yang lain. Santrock (2009:150) memberikan  enam  kategori  dimensi  proses kognitif  Bloom,  yaitu:  mengingat,  memahami, menerapkan,  menganalisis,  mengevaluasi,  dan mencipta.  Memahami  merupakan  dasar  untuk menerapkan,  menganalisis,  mengevaluasi,  dan mencipta.  Menurut  Suparman  (2012:135)  dan Anderson & Krathwohl (2007:105), pemahaman paling  banyak  digunakan  pada  jenjang perguruan  tinggi  maupun  jenjang  dibawahnya karena  jenjang  pemahaman  merupakan  dasar yang sangat menentukan untuk mempelajari dan menguasai jenjang-jenjang taksonomi diatasnya seperti penerapan, analisis, sistesis, dan evaluasi atau bentuk yang lebih terintegrasi seperti peme- cahan  masalah.  Oleh  karena  itu,  dibutuhkan cara-cara yang efisien untuk memahami.
Hasil studi menunjukkan bahwa materi matematika  tingkat  tinggi,  umumnya,  dimulai dari aksioma atau definisi. Untuk meningkatkan pemaha-man  terhadap  definisi  diberikutnya, diberikan  contoh-contoh,  lemma,  teorema,  dan akibat  disertai  dengan  pembuktian  secara deduktif.  Beberapa  mahasiswa  mempunyai masalah  dalam  hal  memahami  definisi. Permasalahan tersebut harus segera dipecahkan supaya  dapat  belajar  pada  tahap  berikutnya. Suharnan  (2005:281)  mengatakan  bahwa  agar diperoleh suatu pemecahan masalah yang benar, seseorang harus terlebih dahulu memahami dan menge-nali  gambaran  pokok  persoalan  secara jelas.  Memahami  definisi  merupakan  bagian awal dan sangat penting. Definisi yang dibentuk pada  taraf  formal  disebut  definisi  formal. Suharnan  (2005:147)  menjelaskan  bahwa konsep atau definisi pada taraf formal diperoleh ketika  individu  mencapai  taraf  formal;  yaitu: dapat  memberi  nama  suatu  konsep  baik  nama intrinsiknya  maupun  atribut-atribut  yang  dapat diterima,  secara  tepat  dapat  memberi  contoh- contoh  objek  yang  memiliki  atribut-atribut tersebut,  dan  dapat  menyatakan  alasan  yang menjadi dasar dari pendefinisian. Suatu definisi dikatakan  definisi  formal  jika  menggunakan simbol,  istilah,  atau  atribut  matematis  untuk menjelaskan  konsep.  Jika  suatu  definisi  belum menggunakan  simbol  atau  istilah  matematis, maka belum bisa disebut definisi formal.
Beberapa ganjalan mental dapat meng- halangi  individu  dalam  memahami  definisi formal.  Suharnan  (2005:316-319)  menjelaskan tiga  ganjalan  mental  yang  dapat  menghalangi dalam proses pemecahan masalah untuk mema- hami  definisi;  yaitu  keterpakuan  fungsional (functional fixedness), keajegan mental (mental set), dan  penambahan  bingkai  perseptual (per-

## JURNAL LPPM Vol. 3 No. 1 Januari 2015
ceptual  added  frame) .  Keterpakuan  fungsional dalam  memahami  definisi  formal  merupakan kecenderungan  untuk  beranggapan  bahwa fungsi dan kegunaan definisi adalah tetap sesuai rancangan  dan  keinginan  pembuat.  Keajegan mental menunjukkan pada kecenderungan untuk mempertahankan  aktivitas  mental  secara berulang-ulang. Penambahan bingkai perseptual terjadi  ketika  individu  seolah-olah  melihat bingkai  tersamar  sehingga  membatasi  gerak- langkah  dalam  memahami  definisi  formal. Perkembangan  kognitif  dapat  mempengaruhi individu dalam memahami definisi formal. Tall (1994:1, 1995a:3) menjelaskan bahwa perkem- bangan  kognitif  untuk  membangun  atau memahami matematika tingkat formal dari tahap enaktive, dapat dibangun melalui visual-platonik maupun numerik-simbolik. Untuk memperjelas, Tall (2005a:3) mengembangkan bahwa Berpikir matematis  melibatkan  tiga  dunia  pemikiran matematika yang terhubung, yaitu: 1) berdasar- kan objek konsep yang mengikuti (conceptual- embodied world) yang didasarkan pada makna hasil  pengamatan,  pendeskripsian,  pendefini- sian,  dan  penurunan  sifat-sifat  secara  deduktif yang  dibangun  dari  pengalaman  berpikir  ke pembuktian  Euclide  (berkaitan  dengan gambar/visual); 2) berdasarkan aksi penggunaan simbol-simbol (proceptual-symbolic  world) yang  diperoleh  dari  skema-aksi  menjadi terpikirkan opersi konsep gabungan proses dan konsep (procept); dan  3)  berdasarkan  sifat formal dan aksiomatik (formal-axiomatic world) yang  lebih  fokus  pada  pengembangan  sistem aksiomatik berdasarkan pada definisi formal dan pembuktian himpunan-teoritis. Tugas atau bentuk definisi  dapat  mempengaruhi  individu  dalam memahami  definisi  formal.  Suharnan  (2005: 148)  mengatakan  bahwa  tugas  atau  definisi dapat  mempengaruhi  individu  dalam  belajar konsep atau memahami definisi. Faktor dari tugas atau  definisi  meliputi  ruang  lingkup,  simbol- simbol,  istilah-istilah,  proposisi-proposisi,  dan contoh-contoh  yang  ada.  Simbol-simbol  dan istilah-istilah  yang  telah  dikenal  memberikan kemudahan  untuk  mengenali  definisi,  simbol- simbol  dan  istilah-istilah  yang  belum  dikenal memberikan kesulitan untuk mengenali definisi. Simbol-simbol  dan  istilah-istilah  pada  definisi merupakan  atribut-atribut  definisi  yang  saling berhubungan  yang  disajikan  dalam  bentuk proposisi  yang  jelas  sehingga  bermakna  dan membentuk  atau  menjelaskan  konsep  dari definisi. Karakteristik definisi dapat mempenga- ruhi pemrosesan pembayangan mental individu dalam  memahami  definisi  formal.  Faktor individu dapat mempengaruhi dalam memahami
definisi  formal.  Suharnan  (2005:152) mengatakan  bahwa  perbedaan  individu  dapat mempengaruhi  individu  dalam  belajar  konsep atau  memahami  definisi.  Faktor  dari  individu yang  dapat  mempengaruhi  dalam  memahami meliputi  pengetahuan,  usia,  intelegensi, pengalaman, dan gender. Usia berkenaan dengan kematangan  psikologis  individu  memproses informasi. Semakin tinggi usia atau kematangan individu,  maka  semakin  matang  individu tersebut  untuk  memproses  informasi  visual. Intelegensi  berkenaan  dengan  kepandaian  atau kecakapan  individu  memproses  informasi. Semakin  tinggi  intelegensi  individu,  maka semakin  cakap  individu  tersebut  memproses informasi.  Karakteristik  individu  perlu  diper- hatikan  karena  dapat  mempengaruhi  pemro- sesan pembayangan mental atau berpikir visual dalam  memahami  definisi  formal.  Santrock (2009:352)  menegaskan  bahwa  faktor  biologis maupun  pengalaman  berkontribusi  dalam pertumbuhan sumber kognitif. Sumber kognitif yang dimaksud adalah kapasitas dan kecepatan pemrosesan  informasi.  Faktor  biologis berkenaan  dengan  gender.  Perbedaan  gender muncul  karena  adanya  perbedaan  tuntutan masyarakat  terhadap  individu.  Tuntutan masyarakat  dapat  mempengaruhi  pengetahuan individu.  Pengetahuan  berkenaan  dengan kekayaan  atau  kemudahan  individu  untuk memperoleh  informasi  untuk  diproses  lebih lanjut.  Semakin  banyak  pengetahuan  visual individu, maka semakin mudah individu untuk memperoleh  informasi  visual.  Pengalaman berkenaan  dengan  frekuensi  atau  kecepatan individu memproses informasi. Semakin banyak pengalaman  individu  memproses  informasi visual, maka semakin cepat individu memproses informasi visual.
Perbedaan gender dapat mempengaruhi pemrosesan pembayangan mental untuk berpikir visual dalam memahami definisi formal. Jensen (2008:147) menjelaskan bahwa perbedaan fisik antara  otak  laki-laki  dan  perempuan  dapat menjadi  faktor  yang  membedakan  perilaku, perkembangan, dan pemrosesan kognitif. Jensen (2008:149)  dan  Santrock  (2009:222-223) menuliskan bahwa anak laki-laki melebihi anak perempuan dalam tugas-tugas spasial, dan anak perempuan  melebihi  anak  laki-laki  dalam ketrampilan  verbal  dan  membaca  pada  awal- awal kehidupan mereka.
Tahapan atau kegiatan memahami suatu definisi  dapat  berbeda  dengan  memahami sekumpulan  definisi.  Studi  awal  untuk  men- dapatkan profil berpikir mahasiswa calon guru matematika  dalam  memahami  definisi  formal
barisan  konvergen  berdasarkan  gender dilakukan  melalui  tiga  tahapan  pengumpulan data.  Tahap  pertama  untuk  mengetahui  profil berpikir  visual  dalam  memahami  satu  definisi dengan sembilan topik dan empat tipe atau total 36 tugas. Tahap kedua untuk mengetahui profil berpikir  visual  dalam  memahami  sekelompok definisi  setipe  beda  topik  atau  total  12  tugas. Tahap  ketiga  untuk  mengetahui  profil  berpikir visual dalam memamahmi sekelompok definisi dengan  sembilan  tipe  satu  topik  atau  total  9 tugas.  Hasil  studi  menunjukkan  bahwa  maha- siswa  laki-laki  maupun  perempuan  memahami definisi-definisi  formal  barisan  bilangan  real dengan  beberapa  tahapan,  yaitu:  mengenali, memvisualisasi (membayangkan, memperlihat- kan,  memperdalam),  dan  menyimpulkan. Cakupan  penelitian  ini  dinilai  terlalu  luas, kurang tajam, dan kurang valid sehingga perlu lebih  fokus  pada  salah  satu  definisi,  yaitu: definisi formal barisan konvergen.
Goldberg  (1976:33),  Bartle  &  Sherbet (1982:72), dan Wasan & Prakash (hal:22) men- definisikan  barisan  konvergen.  Berdasarkan definisi-definisi barisan konvergen tersebut, di- peroleh suatu definisi formal barisan konvergen sebagai berikut.
Barisan { a } dikatakan  konvergen  jika n ( n ³ 1) dan hanya jika terdapat a Î R sehingga untuk setiap e > 0 terdapat n  ( e ) N sehingga untuk 0 n ³ n  ( e ) berlaku |a -a|< e 0 n
Tiap  buku  acuan  dapat  mempunyai  cara penyajian,  notasi,  simbol,  dan  istilah  yang berbeda. Berdasarkan studi awal terhadap materi diperoleh kesimpulan bahwa memahami konsep atau definisi formal barisan konvergen penting untuk  mempelajari  konsep  atau  definisi  lain, seperti:  barisan  Cauchy,  barisan  menyusut, barisan terbatas di atas, terbatas di bawah, dan terbatas,  barisan  divergen,  divergen  ke ¥ ,  dan divergen ke - ¥ , konsep limit, dan kekontinuan fungsi. Selain itu, tidak kalah pentingnya adalah kebermaknaan. Jensen (2008:436) menjelaskan bahwa  pembelajaran  yang  autentik  dan bermakna  menuntut  pada  siswa  untuk memproses informasi dengan caranya sendiri.
Pertanyaan  untuk  penelitian  ini  adalah bagaimanakah profil berpikir visual mahasiswa calon  guru  matematika  dalam  memahami definisi  formal  barisan  konvergen  berdasarkan perbedaan  gender.  Untuk  lebih  rinciannya, pertanyaan  dari  penelitian  ini  dapat  diuraikan menjadi  bagaimana  profil  berpikir  visual mahasiswa  laki-laki  calon  guru  matematika dalam  memahami  definisi  formal  barisan
Î
konvergen dan bagaimana profil berpikir visual mahasiswa  perempuan  calon  guru  matematika dalam  memahami  definisi  formal  barisan konvergen.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk mendapatkan tahapan pemrosesan informasi dan untuk  mendapatkan  tahapan  pemrosesan pembayangan mental serta untuk mendapatkan tingkatan  pemrosesan  pembayangan  mental mahasiswa laki-laki dan perempuan calon guru matematika  dalam  memahami  definisi  formal barisan konvergen.
Profil  adalah  deskripsi  atau  gambaran tentang  sesuatu.  Berpikir  berarti  pemrosesan informasi  dalam  pikiran  untuk  tujuan  tertentu. Berpikir  visual  adalah  pemrosesan  pemba- yangan  mental  dalam  pikiran  untuk  tujuan tertentu.  Pembayangan  mental  merupakan representasi mental yang dapat disajikan dalam bentuk  gambar/grafik,  ungkapan  lisan,  dan gerakan anggota badan dengan indikator sebagai berikut:  1)  Terdapat  kegiatan  memunculkan pembayangan  mental  yaitu  kegiatan  dengan aktivitas  mengingat  atau  membuat  pemba- yangan  mental.  Terdapat  kegiatan  menentukan pembayangan  mental  yaitu  kegiatan  dengan aktivitas  mengumpulkan  dan  memilih pembayangan  mental;  2)  Terdapat  kegiatan menyempurnakan  pembayangan  mental  yaitu kegiatan  dengan  aktivitas  membenarkan  atau melengkapi  pembayangan  mental.  Terdapat kegiatan  memanfaatkan  pembayangan  mental yaitu  kegiatan  dengan  aktivitas  menggunakan atau  merepresentasikan  pembayangan  mental. Indikator  adanya  kegiatan-kegiatan  atau aktivitas-aktivitas  pemrosesan  pembayangan diperoleh dari wawancara yang mendalam.
Definisi  adalah  suatu  pernyataan  yang membatasi  konsep.  Konsep  merupakan  ide abstrak  untuk  mengklasifikasikan  objek. Definisi  formal  barisan  konvergen  adalah definisi  yang  menggunakan  atribut-atribut matematis  untuk  menjelaskan  konsep  barisan konvergen.  Memahami  adalah  usaha  individu membentuk pengetahuan baru atau pengetahuan yang  lebih  bermakna.  Memahami  definisi formal  barisan  konvergen  adalah  serangkaian tahapan  atau  kegiatan  pemrosesan  informasi untuk  membentuk  pengetahuan  baru  atau pengetahuan  yang  lebih  bermakna  tentang definisi  formal  barisan  konvergen  dengan indikator sebagai berikut: 1) Terdapat kegiatan mengenali  yaitu  kegiatan  dengan  aktivitas membuat  ringkasan  atau  rangkuman  dan menjabarkan yang perlu dijabarkan; 2) Terdapat kegiatan  membayangkan  yaitu  kegiatan memunculkan,  mengolah,  dan  memanfaatkan pembayangan  mental;  3)  Terdapat  kegiatan
memperlihatkan  gambaran  definisi  yaitu kegiatan  dengan  aktivitas  menentukan  rumus sebagai  contoh,  mendaftar  atau  membuat  tabel bantu, dan mengeplotkan; 4) Terdapat kegiatan memperlihatkan  atribut  definisi  yaitu  kegiatan dengan  aktivitas  menentukan  nilai  dan merepresentasikannya  pada  gambar/grafik; 5)  Terdapat  kegiatan  menyimpulkan  yaitu kegiatan dengan aktivitas memperhatikan bagian tertentu,  mencocokkan  dengan  pengetahuan yang telah dimiliki, dan membentuk kesimpulan Indikator-indikator  pemrosesan  informasi diperoleh  dari  respon,  aktivitas,  atau  kegiatan selama  wawancara  dalam  memahami  definisi formal barisan konvergen.
Tingkatan  pemrosesan  pembayangan mental  mengacu  pada  kedalaman  pemrosesan pembayangan  mental.  Tingkatan  pemrosesan pembayangan  mental  dapat  dikategorikan menjadi: sangat sederhana, sederhana, dan tidak sederhana. Tingkatan pemrosesan pembayangan mental  dikatakan  sangat  sederhana  jika diperlukan  sedikit  aktivitas  pada  tahap mengolah  pembayangan  mental  sehingga individu cenderung tidak menyadari. Tingkatan pemrosesan  pembayangan  mental  dikatakan sederhana  jika  diperlukan  beberapa  aktivitas pada  tahap  mengolah  pembayangan  mental sehingga individu cenderung kadang menyadari atau  tidak  menyadari.  Tingkatan  pemrosesan pembayangan mental dikatakan tidak sederhana jika  diperlukan  banyak  aktivitas  pada  tahap mengolah  pembayangan  mental  sehingga  indi- vidu cenderung menyadari. Indikator tingkatan pemrosesan pembayangan mental sangat relatif tergantung  pada  tingkat  kesadaran  dan kemampuan individu.

## 2. METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini digunakan penelitian deskriptif-eksploratif dengan pendekatan kuali- tatif. Untuk mendapatkan kedalaman informasi, dipilih satu mahasiswa laki-laki sebagai subjek penelitian.  Mahasiswa  diambil  dari  program studi  pendidikan  matematika  FP  MIPA  IKIP PGRI Madiun semester genap tahun akademik 2012/2013  dengan  kriteria:  baru  mengambil matakuliah analisis real, mempunyai IPK di atas 2,75,  nilai  kalkulus  dan  pengantar  dasar  mate- matika  minimal  B,  komunikatif  dan  bersedia menjadi subjek penelitian.
Instrumen  utama  pada  penelitian  ini adalah  peneliti  sendiri.  Peneliti  dituntut  untuk: memiliki  sifat  responsif,  adaptif,  dan  holistik, sadar pada konteks tak terkatakan, dan mampu segera memproses, mengklarifikasi, meringkas, menjelajahi dan memahami jawaban. Instrumen
pendukung  penelitian  ini  adalah  pedoman  wa- wancara  berbasis  tugas.  Wawancara  ditujukan untuk  mengetahui  profil  berpikir  visual  subjek dalam  memahami  definisi  formal  barisan konvergen dalam tugas. Tugas diberikan dengan menggunakan lembar tugas. Lembar tugas berisi definisi  formal  barisan  konvergen  yang  telah divalidasi oleh pakar.
Pengumpulan  data  dilakukan  secara alami  dengan  wawancara  berbasis  tugas. Wawancara dilakukan secara mendalam dengan format semi-terstruktur. Format ini dipilih untuk mengetahui  kejujuran  dan  keterbukaan  subjek dalam  menyampaikan  informasi.  Subjek  yang sedang  diwawancarai  diberi  kebebasan  untuk mengikuti  kecenderungan  pikiran  mereka sendiri termasuk dalam menentukan arah topik perbicangan  sehingga  membentuk  fokus pembicaraan.  Semua  aktivitas  wawancara direkam  dengan  handycam  untuk  penyusunan transkrip data.
Data-data hasil wawancara selanjutnya ditriangulasi  dan  divalidasi  sehingga  diperoleh data  yang  sah  dan  valid.  Keabsahan  data  pada penelitian ini lebih ditekankan pada uji validitas internal atau uji kredibilitas yang diperoleh dari memperpanjang  pengamatan,  meningkatkan ketekunan,  triangulasi,  analisis  kasus  negatif, dan  membercheck.  Sementara  uji  validitas eksternal  atau  uji  transferabiliti,  uji  reliabilitas atau uji kebergantungan, dan uji objektivitas atau uji  konfirmabilitas  dinilai  oleh  validator.  Jika data belum valid, maka perlu dilakukan wawan- cara kembali dan data-data yang ada selanjutnya ditriangulasi dan divalidasi kembali. Demikian, sampai  diperoleh  data  yang  valid.  Langkah- langkah  analisis  data  meliputi:  reduksi,  kate- gorisasi, sintesisasi, dan penarikan kesimpulan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Aktivitas-aktivitas subjek laki-laki
Setelah membaca definisi, subjek laki- laki  membuat  rumus  barisan  umum  dengan memperhatikan petunjuk, memperhatikan pada notasi  barisan  yang  diberikan,  dan  menuliskan kembali  rumus  barisan  umum  tersebut  sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan untuk membuat gambaran umum dan sangat  penting  sebagai  dasar  gambar  khusus. Subjek mengatakan bahwa jika tidak melakukan aktivitas ini akan mengalami kesulitan membuat gambaran umum  barisan konverge. Aktivitas ini
cenderung  dipertahankan  untuk  mendapatkan gambaran umum barisan konvergen.
Setelah membuat rumus barisan umum, subjek  laki-laki  membuat  tabel  bantu  dengan membuat tempat tabel bantu, mensubstitusikan anggota  domain,  dan  melanjutkan  substitusi sehingga diperoleh tabel bantu  sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  mempermudah  mencari, mendaftar anggota, dan menggambarkan barisan umum.  Subjek  menilai  aktivitas  ini  cukup penting  karena  sangat  membantu  dalam menggambar  dan  melihat  tanpa  mencari  lagi. Tabel  bantu  barisan  umum  membantu  subjek mendapatkan  gambaran  umum  barisan konvergen.  Aktivitas  ini  cenderung  diper- tahankan untuk mendapatkan gambaran umum.
Setelah  membuat  tabel  bantu,  subjek l a k i - l a k i   m e r i n g k a s   d e f i n i s i   d e n g a n memperhatikan  bagian-bagian  definisi, menyajikan  tiap  bagian  definisi  dalam  bentuk lambang atau notasi matematika, dan merangkai menjadi ringkasan definisi sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  meringkas  definisi.  Subjek menilai  aktivitas  ini  cukup  penting  karena ringkasan  nilainya  sama  dengan  definisi. Aktivitas  ini  cenderung  dipertahankan  untuk mengenali definisi.
Setelah meringkas definisi, subjek laki- laki  menjabarkan  bagian  definisi  yang  perlu dijabarkan  dengan  memperhatikan  bagian- bagian  ringkasan,  mencari  bagian  ringkasan yang  belum  jelas  sehingga  perlu  dijabarkan, mengoperasikan  atau  menjabarkan  bagian tersebut sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  memperjelas  dan  mengetahui maksudnya. Subjek menilai aktivitas ini sangat penting untuk mengerti syaratnya. Aktivitas ini
cenderung  dipertahankan  untuk  mengenali definisi.
Setelah  menjabarkan,  subjek  laki-laki menggambarkan  gambaran  umum  dengan mengingat  tentang  konvergen,  membayangkan bentuk  umum  barisan  konvergen,  membuat sumbu  koordinat  dan  mengeplotkan  anggota barisan umum sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  menggambar,  mencari,  dan petunjuk  membuat  contoh  khusus.  Subjek menilai aktivitas ini penting sebagai dasar dalam mencari fungsi khusus. Reperesentasi gambaran umus  barisan  barisan  konvergen  membantu subjek  mengingat  gambaran  umum  barisan konvergen. Aktivitas ini cenderung dipertahan- kan  untuk  mendapatkan  gambaran  umum definisi.
Setelah  membuat  gambaran  umum, subjek laki-laki membuat rumus barisan khusus dengan  memperhatikan  gambaran  barisan umum,  membayangkan  fungsinya,  dan mempertimbangkan  dan  menentukan  rumus barisan khusus sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini  dila- kukan untuk memperlihatkan bahwa gambaran umum  merupakan  barisan  konvergen.  Subjek menilai aktivitas ini sangat penting. Aktivitas ini cenderung dipertahankan untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah membuat rumus contoh barisan khusus,  subjek  laki-laki  membuat  tabel  bantu dengan  membuat  tempat  tabel  bantu, mensubstitusikan  anggota  domain,  dan melanjutkan substitusi sehingga diperoleh tabel bantu sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  contoh  barisan  khusus  untuk lebih mudah menggambarkan grafiknya. Subjek menilai aktivitas ini penting. Tabel bantu mem-
bantu subjek memperlihatkan gambaran barisan konvergen. Aktivitas ini cenderung dipertahan- kan untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah  membuat  tabel  bantu,  subjek laki-laki mengeplotkan dengan memperhatikan tabel bantu yaitu anggota barisan, mengeplotkan sesuai  urutan  dan  pasangan,  dan  melakukan secara berulang sehingga diperoleh plot barisan. Subjek  merepresentasikan  plot  barisan  khusus yang diperoleh sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini  dila- kukan untuk menentukan e , a , dan n  ( e ) . Subjek 0 menilai aktivitas ini sangat penting sebagai dasar untuk menentukan e , a , dan n  ( e ) sesuai tujuan 0 untuk  mengetahui  kekonvergenan  suatu  fungsi atau  barisan.  Plot  barisan  khusus  membantu subjek  memperlihatkan  gambaran  barisan konvergen. Aktivitas ini cenderung dipertahan- kan untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah  mengeplot,  subjek  laki-laki menentukan nilai a dengan memperhatikan plot barisan  pada  gambar/grafik,  membayangkan kelanjutan plot barisan, dan menentukan nilai a sebagai berikut.
Setelah menentukan nilai a , subjek menentukan nilai e dengan  memperhatikan  atribut    pada ringkasan/definisi,  mempertimbangkan  atau membayangkan nilai-nilai e yang mungkin, dan menentukan nilai e sebagai berikut.
Setelah menentukan nilai e , subjek menentukan nilai n  ( e ) dengan memperhatikan nilai a dan e , 0 mensubstitusikan ke hasil penjabaran, kemudian menentukan nilai n  ( e ) sebagai berikut.
e
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan  untuk  mengetahui  kekonvergenan barisan  khusus  berdasarkan a, e , dan n ( e ) . 0 Subjek  menilai  aktivitas  ini  sangat  penting karena  untuk  mengetahui  kekonvergenan barisan berdasarkan a, e , dan n ( e ) . Nilai a, e , dan 0 n ( e ) merupakan nilai-nilai untuk atribut definisi. 0 Aktivitas  ini  cenderung  dipertahankan  untuk memperlihatkan atribut-atribut definisi.
Setelah menentukan nilai n ( e ) , subjek 0 laki-laki  menggambar  garis n ( e ) dengan 0 memperhatikan  nilai n ( e ) ,  memperhatikan 0 gambar/grafik  khusus,  dan  menggambarkan garis n ( e ) sebagai berikut.
0
Setelah  menggambar  garis n ( e ) ,  subjek 0 menggambar  garis e dengan  memperhatikan nilai e ,  memperhatikan  gambar/grafik  khusus, dan menggambarkan garis e sebagai berikut.
Subjek  menjelaskan  bahwa  aktivitas  ini dilakukan agar lebih tampak gambaran e , , dan a -nya.  Subjek  menilai  aktivitas  ini  sangat n penting untuk memperjelas kesesuaian gambar dengan  syaratnya.  Aktivitas  ini  cenderung dipertahankan  untuk  memperlihatkan  atribut definisi.
Setelah menggambarkan garis e , subjek laki-laki  mencocokkan  dengan  definisi  dengan memperhatikan  gambaran  yang  sudah  ada, memperhatikan  definisi  kembali,  dan  men- cocokkan gambaran yang sudah dibuat dengan definisi. Subjek menjelaskan bahwa aktivitas ini dilakukan  untuk  mengecek  kesesuaian  antara grafik dengan definisi. Subjek menilai aktivitas ini sangat penting untuk lebih teliti menentukan kesimpulan. Aktivitas ini cenderung dipertahan- kan untuk mendapatkan kesimpulan.
Setelah  mecocokkan  dengan  definisi, subjek    laki-laki  menyimpulkan  dengan memperhatikan  contoh  barisan  yang  sudah  di buat,  memperhatikan  hasil  mencocokkan,  dan menyimpulkan. Subjek tidak merepresentasikan kesimpulannya  dalam  bentuk  tulisan.  Subjek menilai aktivitas ini penting sebagai ujung akhir- nya dalam memahami. Aktivitas ini cenderung dipertahankan untuk mendapatkan kesimpulan.
Skema  aktivitas-aktivitas  subjek  laki- laki  dalam  memahami  dapat  digambarkan sebagai berikut.

## Gambar 1 Skema Aktivitas Subjek Laki-Laki Dalam Memahami
Aktivitas-aktivitas  subjek  cenderung dipertahankan.  Tahapan  dalam  memahami definisi  formal  barisan  konvergen,  yaitu: mengenali,  membayangkan,  memperlihatkan barisan  definisi,  memperlihatkan  atribut definisi, dan menyimpulkan.
n ( e ) 0

## 2. Aktivitas-aktivitas subjek perempuan
Setelah  membaca  definisi,  subjek perempuan  membuat  rangkuman  dengan memperhatikan  definisi,  menyajikan  dalam bentuk  yang  lebih  sederhana  atau  bentuk matematis,  dan  menyajikan  dalam  bentuk rangkuman definisi  sebagai berikut.
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk  mempermudah  dan  menghemat  waktu supaya  tidak  membaca  berulang-ulang. Rangkuman  merupakan  bentuk  ringkas  dari definisi. Aktivitas ini cenderung dipertahankan untuk mengenali definisi.
Setelah  membuat  rangkuman,  subjek perempuan  menentukan  kata  kunci  dengan memperhatikan  bagian-bagian  rangkuman, pertimbangkan  berdasarkan  'ke-kompleks-an', dan memilih kata kunci sebagai berikut.
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk  lebih  memfokuskan  dan  mempermudah perhatian  ketika  harus  memperhatikan rangkuman  definisi.  Aktivitas  ini  cenderung dipertahankan untuk lebih mengenali definisi.
Setelah menentukan kata kunci, subjek perempuan  menjabarkan  kata  kunci  dengan memperhatikan  kata  kunci,  mengingat  sifat harga  mutlak,  dan  menjumlahkan  ketiga  ruas dengan a sehingga  diperoleh  hasil  sebagai berikut.
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk memudahkan memberi makna kata kunci. Dengan demikian, jika diperlukan, subjek tidak perlu  berpikir  ulang  untuk  memahami  bentuk | a -a | < e . Aktivitas ini cenderung dipertahankan n untuk lebih mengenali definisi.
Setelah menjabarkan kata kunci, subjek perempuan  mengingat  tentang  konvergen dengan  memperhatikan  istilah  konvergen  pada rangkuman definisi, membayangkan grafik yang memusat, dan merepresentasikan dalam bentuk catatan  bahwa  konvergen  itu  memusat  seperti berikut.
Aktivitas ini dinilai sangat penting oleh subjek supaya dapat melanjutkan ke tahap berikutnya. Jika  aktivitas  ini  tidak  dilakukan,  subjek mengalami  kesulitan  menggambarkan  atau bahkan  akan  berhenti  sampai  penjabaran  kata kunci.  Aktivitas  ini  cenderung  dipertahankan dalam membayangkan.
Setelah  mengingat  tentang  konvergen, subjek  perempuan  membuat  sumbu  koordinat dengan  memperhatikan  bayangan  tentang konvergen,  mencoba  memunculkan  gambaran untuk  contoh  dengan  menggambarkan  sumbu koordinat seperti berikut.
Aktivitas ini dinilai berguna untuk merangsang pemikiran  sehingga  dapat  memunculkan pembayangan  mental.  Aktivitas  ini  cenderung dipertahankan untuk membayangkan.
Setelah  membuat  sumbu  koordinat, subjek  perempuan  membuat  contoh  barisan dengan membayangkan beberapa grafik beserta fungsinya, memilih pembayangan mental yang sesuai dengan bayangan barisan konvergen, dan merepresentasikan  rumus  barisan  sebagai berikut.
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk  mengambil  atau  memvisualisasikan atribut e , a , n ( e )  sesuai  definisi. Aktivitas  ini 0 cenderung dipertahankan untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah membuat contoh barisan, subjek perempuan  mendaftar  anggota  barisannya dengan  memperhatikan  rumus  contoh  barisan, mensubstitusikan  tiap  anggota  domain  secara berurutan pada rumus contoh barisan sehingga diperoleh  daftar  anggota  barisannya  sebagai berikut.
Aktivitas  ini  bisa  hanya  dipikirkan  untuk mempermudah  mengeplotkan.  Jika  tidak melakukan aktivitas ini, subjek kesulitan untuk mengeplotkan.  Aktivitas  ini  cenderung  diper- tahankan  untuk  memperlihatkan  gambaran definisi.
Setelah  mendaftar  anggota  barisan,
kemudian subjek perempuan mengeplot anggota barisan  dengan  memperhatikan  daftar  anggota barisan,  menyajikan  dalam  bentuk  plot, melanjutkan  plot  titik-titik  secara  berurutan sesuai pasangan sebagai berikut.
Aktivitas ini dinilai sangat penting oleh subjek untuk  mengetahui  gambar/grafik  dari  barisan yang  telah  dibuat  sehingga  dapat  menerapkan nilai-nilai e , a , dan n ( e ). Aktivitas ini cenderung 0 dipertahankan untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah  mengeplot  anggota  barisan, subjek menentukan nilai e dan a dengan mem- perhatikan  atribut e pada  rangkuman/definisi dan gambar/grafik, mempertimbangkan nilai e , sehingga dapat menemukan nilai e dan a sebagai berikut.
Profil Berpikir Visual Mahasiswa Calon Guru Matematika .....
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk  memahami  definisi.  Notasi e dan a terdapat  pada  definisi.  Setelah  mengetahui adanya  notasi e dan a pada  definisi,  subjek mengaplikasikan dengan memberi nilai ? dan a. Aktivitas  ini  cenderung  dipertahankan  untuk memperlihatkan gambaran definisi.
Setelah menentukan nilai e dan a , subjek perempuan  menjabarkannya  dengan  memper- hatikan  nilai e dan a ,  mensubstitusikan  nilai e dan a pada hasil penjabaran kata kunci, sehingga diperoleh hasil penjabaran sebagai berikut.
Aktivitas ini dinilai berguna oleh subjek untuk menemukan nilai a - e dan a + e . Aktivitas ini cenderung dipertahankan untuk memperlihatkan atribut definisi.
Setelah  menjabarkan  nilai e dan a , subjek  perempuan  memberi  garis a ± e pada gambar dengan memperhatikan nilai a - e , a + e , serta  gambar/grafik,  merepresentasikan  dalam bentuk garis horisontal sebagai berikut.
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek untuk mengetahui visualisasi a - e dan a + e pada gambar/grafik. Jika aktivitas ini tidak dilakukan, maka tidak akan diperoleh visualisasi dari garis a - e dan a + e . Aktivitas ini cenderung diper- tahankan untuk memperlihatkan atribut definisi.
Setelah  memberi  garis a ± e ,  subjek menentukan nilai n  ( e ) dengan memperhatikan 0 garis a ± e pada gambar/grafik dan juga memper- hatikan  atribut n   ( e ) pada  rangkuman/definisi, 0 mempertimbangkan  yang  paling  'dekat'. menentukan nilai n  ( e ) . sebagai berikut.
0
Aktivitas ini dinilai berguna oleh subjek untuk memahami atribut n  ( e ) . Aktivitas ini cenderung 0 dipertahankan  untuk  memperlihatkan  atribut definisi.
Setelah menentukan nilai n  ( e ) , subjek 0 perempuan  memberi  garis n   ( e ) dengan 0 memperhatikan  nilai n   ( e ) ,  membayangkan 0 nilai-nilai n   ( e ) yang  bisa  diambil  untuk 0 menentukan nilai n  ( e ) , dan merepresentasikan 0 garis n  ( e ) sebagai berikut. 0
Aktivitas  ini  dinilai  penting  sekali  oleh  subjek agar tahu hubungan antara n  ( e ) dengan a dan e . 0 Aktivitas  ini  cenderung  dipertahankan  untuk memperlihatkan atribut definisi.
Setelah  memberi  garis n   ( e ) ,  subjek 0 perempuan  menyimpulkan.  Untuk  membuat simpulan  pertama,  subjek  memperhatikan catatan  pada  rangkuman  bahwa  konvergen  itu memusat,  mencocokkan  dengan  pemahaman visualnya, dan merepresentasikan dalam bentuk tulisan sebagai berikut.
Untuk  membuat  simpulan  kedua,  subjek memperhatikan rumus barisan  umum dan hasil penjabaran  kata  kunci,  mencocokkan  dengan pemahaman,  dan  menyajikan  dalam  bentuk tulisan sebagai berikut.
Untuk  membuat  simpulan  ketiga,  subjek memperhatikan contoh barisan yang telah dibuat
{1/n} , mencocokkan dengan pemahamannya, n ³ 1 dan  merepresentasikan  dalam  bentuk  tulisan sebagai berikut.
Aktivitas ini dinilai berguna oleh subjek untuk memperjelas  kembali  terhadap  yang  sudah dilakukan.  Aktivitas  ini  dilakukan  untuk  me- ngambil  pelajaran  dari  yang  sudah  dikerjakan. Aktivitas  ini  cenderung  dipertahan-kan  untuk menyatakan pemahaman.
Skema aktivitas-aktivitas subjek perem- puan dalam memahami definisi formal barisan konvergen sebagai berikut.

## Gambar 2 Skema Aktivitas Subjek Perempuan Dalam Memahami
Aktivitas-aktivitas  subjek  perempuan  dalam memahami dapat dikategorikan dalam beberapa kegiatan,  yaitu:  mengenali,  membayangkan, memperlihatkan  gambaran  definisi,  memper- lihatkan  gambaran  atribut  definisi,  dan menyimpulkan.

## 3. Pemrosesan  Informasi  pada  tahap mengenali
Tahap pertama untuk memahami adalah mengenali. Input tahap ini adalah informasi dari definisi,  tugas,  atau  petunjuk  yang  diberikan. Output  pemrosesan  informasi  pada  tahap  ini adalah input-input visual. Pada tahap ini terjadi pemindaian,  transformasi,  dan  manipulasi informasi.  Pemindaian  informasi  dilakukan untuk  menjaring  informasi-informasi  yang penting dari definisi, tugas, atau petunjuk yang diberikan.  Pemindaian  informasi  dapat  dilaku- kan  secara  berulang-ulang  sesuai  kemampuan individu  mengenali.  Manipulasi  informasi dilakukan  untuk  mendapatkan  informasi  yang lebih bermakna. Transformasi informasi dilaku-
kan untuk menyimpan informasi-informasi yang diperoleh  sehingga  perlu  direpresentasikan dalam bentuk tulisan atau gambar/grafik.

## 4. Pemrosesan  informasi  pada  tahap  mem- bayangkan
Setelah  mengenali,  subjek  laki-laki maupun  perempuan  membayangkan.    Input tahap ini adalah input visual istilah konvergen. Output  tahap  ini  adalah  pembayangan  mental yang  dapat  direpresentasikan  dalam  bentuk gambaran  umum  atau  bagiannya.  Penjaringan informasi  dilakukan  untuk  mendapatkan  input visual  sehingga  dapat  membayangkan. Transformasi informasi terjadi dari input visual istilah konvergen menjadi pembayangan mental barisan konvergen. Transformasi informasi dari pembayangan  mental  menjadi  gambar/grafik atau  bagiannya  dilakukan  untuk  memper- lihatkan  atau  memperjelas  pembayangan mental.

## 5. Pemrosesan  informasi  pada  tahap memperlihatkan gambaran definisi
Setelah  membayangkan,  subjek  laki- laki maupun subjek perempuan memperlihatkan contoh gambaran definisi. Pemindaian informasi dilakukan untuk mendapatkan input-input visual yang  dibutuhkan  sehingga  dapat  memperlihat- kan gambaran definisi. Transformasi informasi dari input visual menjadi pembayangan mental dilakukan  untuk  memunculkan  pembayangan mental  dalam  pikiran.  Transformasi  informasi dari  pembayangan  mental  menjadi  gambar/ grafik  dilakukan  untuk  memperlihatkan gambaran definisi. Input tahap ini adalah input visual dan pembayangan mental. Hasil tahap ini adalah gambaran definisi.

## 6. Pemrosesan  informasi  pada  tahap memperlihatkan atribut definisi
Setelah  memperlihatkan  gambaran definisi,  subjek  laki-laki  maupun  perempuan memperlihatkan hubungan atribut definisi. Input tahap  ini  adalah  input-input  visual,  yaitu: a , e , n ( e ) dan gambaran barisan konvergen. Output 0 tahap ini adalah gambaran dan hubungan antar antribut-atribut  definisi.  Pemindaian  dilakukan untuk  mendapatkan  input-input  visual.  Mani- pulasi informasi dilakukan untuk mendapatkan informasi  yang  lebih  bermakna.  Transformasi informasi  non  visual  menjadi  visual  dilakukan untuk  mendapatkan  pembayangan  mental. Transformasi  informasi  visual  menjadi  non visual dilakukan untuk mendapatkan informasi yang  dibutuhkan,  seperti:  untuk  menentukan
nilai a dari  gambar/grafik  atau  pembayangan mental plot barisan.

## 7. Pemrosesan  informasi  pada  tahap menyimpulkan
Tahap terakhir untuk memahami adalah menyimpulkan.  Tiap  individu  dapat  merepre- sentasikan aktivitas pemrosesan informasi pada tahap menyimpulkan dengan cara berbeda. Input tahap  ini  adalah  pengetahuan  baru  hasil aktivitas-aktivitas  sebelumnya.  Hasil  tahap  ini adalah kesimpulan yang dapat direpresentasikan dalam  bentuk  lisan  atau  tulisan.  Pemindaian informasi  dilakukan  untuk  mendapatkan informasi yang menarik perhatian. Asimilasi dan akomodasi  dilakukan  untuk  mencocokkan informasi  yang  menarik  perhatian  dengan pengetahuan yang sudah dimiliki. Transformasi informasi  dari  pengetahuan  yang  diperoleh dalam bentuk respon dilakukan untuk memper- jelas kesimpulan secara lisan atau tulisan.
8. Pemrosesan  informasi  pada  tahap  me- munculkan pembayangan mental
Tahap  pertama  pemrosesan  pemba- y a n g a n   m e n t a l   a d a l a h   m e m u n c u l k a n pembayangan  mental.  Tahap  memunculkan pembayangan  mental  dilakukan  dengan aktivitas memanggil pembayangan mental atau membuat  pembayangan  mental.  Representasi pembayangan  mental  hasil  tahap  ini  dapat disajikan sebagai berikut.

## Gambar 3 Representasi Hasil Tahap Memunculkan Pembayangan Mental
Input  tahap  ini  adalah  suatu  input  visual  hasil pemindaian  informasi  dari  ringkasan  atau rangkuman. Output tahap ini adalah (prototipe) pembayangan  mental.  Tahap  ini  penting  untuk mendapatkan  pembayangan  mental.  Tahap  ini dilakukan  dengan  mengingat  pembayangan mental  dan  membuat  pembayangan  mental. Input aktivitas mengingat pembayangan mental dan  membuat  pembayangan  mental  adalah input-input  visual.  Output  aktivitas  mengingat pembayangan  mental  dan  membuat  pemba- yangan mental adalah kumpulan pembayangan mental.
9. Pemrosesan  informasi  pada  tahap  me- ngolah  (menentukan  dan  menyempurna- kan) pembayangan mental
Tahap  mengolah  pembayangan  mental terdiri  dari  menentukan  dan  menyempurnakan pembayangan  mental.  Untuk  beberapa  kasus tahap  menentukan  dilakukan  sebelum menyempurnakan  pembayangan  mental. Namun.  Pada  beberapa  kasus  lain  tahap menentukan  dilakukan  setelah  menyempurna- kan pembayangan mental.
Tahap  menentukan  pembayangan mental merupakan kegiatan mengumpulkan dan memilih  pembayangan  mental.  Illustrasi pemrosesan pembayangan mental pada tahap ini dapat disajikan sebagai berikut.

## Gambar 4 Illustrasi Menentukan Pembayangan Mental
Input  tahap  ini  adalah  pembayangan- pembayangan  mental.  Output  tahap  ini  adalah pembayangan mental terpilih. Tahap ini penting untuk mendapatkan pembayangan mental yang mewakili  pembayangan-pembayangan  mental lain  dan  mempertahankan  informasi  dalam kondisi  aktif.  Tahap  ini  dilakukan  dengan mengumpulkan  pembayangan  mental  dan memilih  pembayangan  mental.  Input  aktivitas mengumpulkan  pembayangan  mental  adalah pembayangan-pembayangan  mental.  Input aktivitas  memilih  pembayangan  mental  adalah kumpulan  pembayangan  mental.  Output aktivitas  mengumpulkan  pembayangan  mental adalah kumpulan pembayangan mental. Output aktivitas  memilih  pembayangan  mental  adalah pembanyangan mental terpilih.
Tahap menyempurnakan pembayangan mental merupakan kegiatan membenarkan atau melengkapi  pembayangan  mental.  Tahap  ini dapat  dilakukan  sesudah  atau  sebelum  tahap menentukan  pembayangan  mental.  Berikut representasi  proses  membenarkan  dan melengkapi pembayangan mental sesudah tahap menentukan pembayangan mental.

## Gambar 5 Illustrasi Menyempurnakan Setelah Menentukan Pembayangan Mental
Berikut  representasi  proses  membenarkan  dan melengkapi pembayangan mental sebelum tahap menentukan pembayangan mental.

## Gambar 6 Illustrasi Menyempurnakan Sebelum Menentukan Pembayangan Mental
Proses  membenarkan  pembayangan  mental  di- lakukan  sebelum  proses  melengkapi  pemba- yangan  mental.  Namun,  proses  membenarkan pembayangan  mental  juga  dapat  dilakukan setelah  proses  melengkapi  pembayangan mental. Berikut representasi proses melengkapi dan  membenarkan  pembayangan  mental sebelum  tahap  menentukan  pembayangan mental.

## Gambar 7 Illustrasi Melengkapi Sebelum Membenarkan Pembayangan Mental
Input tahap ini adalah pembayangan mental yang kurang  atau  tidak  sempurna.  Output  tahap  ini adalah  pembayangan  mental  yang  sempurna. Tahap  ini  penting  untuk  mendapatkan pembayangan  mental  yang  benar  dan  lengkap. Tahap ini dilakukan dengan membenarkan atau melengkapi  pembayangan  mental.  Input aktivitas  membenarkan  pembayangan  mental adalah  pembayangan  mental  yang  kurang  atau tidak  benar.  Input  aktivitas  melengkapi  pem- bayangan mental adalah pembanyangan mental yang kurang atau tidak lengkap. Output aktivitas membenarkan  pembayangan  mental  adalah pembayangan mental yang benar (sesuai dengan yang seharusnya). Output aktivitas melengkapi pembayangan  mental  adalah  pembayangan
mental  yang  lengkap  (memberikan  informasi yang diperlukan).

## 10. Pemrosesan  informasi  pada  tahap memanfaatkan pembayangan mental
Tahap  terakhir  pemrosesan  pem- bayangan  mental  adalah  memanfaatkan pembayangan  mental.  Illustrasi  pemanfaatan pembayangan  mental  dapat  digambarkan sebagai berikut.

## Gambar 8 Illustrasi Menggunakan dan Merepresentasika Pembayangan Mental
Prinsip kesederhaan atau kemudahan digunakan pada  tahap  ini.  Input  tahap  ini  adalah pembayangan  mental.  Output  tahap  ini  adalah informasi  nonvisual  (seperti  nilai  atribut definisi)  atau  visual  (seperti  garis  atau gambar/grafik).  Tahap  ini  penting  untuk mendapatkan informasi nonvisual (nilai atribut definisi)  atau  visual  (garis,  gambar/grafik)  dan memperingan  kinerja  ingatan.  Tahap  ini dilakukan dengan menggunakan atau merepre- sentasikan  pembayangan  mental.  Input  kedua aktivitas  adalah  pembayangan  mental.  Output aktivitas  menggunakan  pembayangan  mental adalah  informasi  nonvisual  (nilai  atribut definisi).  Output  aktivitas  merepresentasikan pembayangan  mental  adalah  informasi  visual (garis, gambar/grafik).

## 4. KESIMPULAN
Terdapat kesamaan profil berpikir visual mahasiswa laki-laki dan perempuan calon guru matematika  dalam  memahami  definisi  formal barisan  konvergen.  Profil  tersebut  diperoleh
Contoh pembayangan mental Dapat digunakan - Menentukan nilai a - Menentukan contoh rumus barisan {1/n} n ³ 1 Dapat direpresentasikan atau
Profil Berpikir Visual Mahasiswa Calon Guru Matematika .....
berdasarkan pemrosesan informasi yang terjadi, yaitu:  Tahapan  pemrosesan  informasi  dalam memahami  definisi  formal  barisan  konvergen, yaitu:  mengenali,  membayangkan,  memper- lihatkan  (memperlihatkan  gambaran  definisi, memperlihatkan atribut definisi), dan menyim- pulkan.  Tahapan  pemrosesan  pembayangan mental dalam memahami definisi formal barisan konvergen,  yaitu:  memunculkan  pembayangan mental,  mengolah  pembayangan  mental  (me- nentukan pembayangan mental, menyempurna- kan  pembayangan  mental),  dan  memanfaatkan pembayangan  mental.  Tingkatan  pemrosesan pembayangan mental dalam memahami definisi formal  barisan  konvergen,  yaitu:  sangat sederhana,  sederhana,  dan  tidak  sederhana. Perbedaan  individu  menyebabkan  terjadinya perbedaan  representasi  aktivitas-aktivitas pemrosesan informasi. Perbedaan karena gender yang  tampak  adalah  mahasiswa  laki-laki  lebih teorientasi pada tugas dibandingkan mahasiswa perempuan.

## 5. REFERENSI
Alfeld.  (2000). Understanding  Mathematics  a Study  Guide. Department  of  Mathe- matics. College of Science. University of Ultah. Download 5 Januari 2007
Anderson  &  Krathwohl.  (2007). Kerangka L a n d a s a n   U n t u k   P e m b e l a j a r a n , Pengajaran, dan Asesmen .
Atkinson  &  Shiffrin.  (1968).
.
diakses tanggal 5 Juni 2012
Bartle & Sherbert. (1982). Introduction to Real Analisis. University  of  Illinois:  Urbana- Champaign. Illinois. John Wiley & Sons. Inc
Depdiknas,  (2006). Kurikulum  Tingkat  Satuan Pendidikan (KTSP) . Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Diene. (1971). Building up Mathematics: Diene th on  the  Learning  of  Mathematics. 4 edition.  London:  Hutchinson  Education Ltd. Ch. 2 pp: 18-40
Ernest. The  Philosophy  of  Mathematics Education:  Studies  in  Mathematics Education. Routledge: Falmer
Goldberg. (1976). Methods of Real Analysis. The University  of  Lowa.  United  State  of America. John Wiley & Sons, Inc
http://chiron. valdosta.edu/whuitt/edpsyint.html
Hartono. (2010). Mental Imagery: Tinjauan dari Segi  Filsafat,  Ilmu-Ilmu  Kognitif  dan N e u ro l o g i s .   S u r a b a y a :   U N E S A University Press
Hulse, dkk. (1981). The Psychology of Learning (International student edition). New York: McGraw-Hill  International  Book Company
Iswono. (2011). Matematika Membangun Insan Kritis dan Kreatif . Makalah diseminarkan pada  seminar  nasional  matematika  dan pendidikan  matematika  2011.  Surabaya: Sabtu, 22 Oktober 2011
Jensen. (2008). Brain-Based Learning: The New Science  of  Teaching  &  Training  (Pem- belajaran  Berbasis  Kemampuan  Otak: Cara  Baru  dalam  Pengajaran  dan Pelatihan). Edisi  Revisi.  Terjemahan Narulita  Yusron.  Yogyakarta.  Pustaka Pelajar
Johnson-Laird. (1983). Mental Models: Towards a  cognitive  science  of  language, inference,  and  consciousness. Harvard U n i v e r s i t y   P r e s s :   C a m b r i d g e ,
Massachusetts
K e m p .   ( 1 9 9 4 ) . P ro s e s   P e r a n c a n g a n Pengajaran. (Terjemahan oleh Marjohan Asril). Bandung. ITB Press
Kolh. (1984). Experiential Learning. New York: Prentice-Hall
Lieb.  (1991). Principles  of  Adult  Learning. Senior  Technical  Writer  and  Planner, Arizona  Department  of  Health  Services and part-time Instructor, South Mountain Community College
Yusuf.  (2013). Pembayangan  Mental ( Mental Imagey ).  Posting:  02  Dec  2013. Alamat w e b :
. Diakses: 6 Juli 2014.
Nemirovsky  &  Noblemany.  (1997). On Mathematical  Visualization  and  The Place  Where  We  Live . Educational Studies in Mathematics 33: 99–131, 1997.
©  1997 Kluwer  Academic  Publishers. Printed in The Netherlands
Pinto  & Tall.  (1999). Student  Constructions  of Formal  Theory:  Giving  and  Extracting Meaning . Published in Proceedings of the 23rd  Conference  of  PME,  Haifa,  Israel ,
(1999), 3, 281–288
h t t p : / / m . k o m p a s i a n a . c o m / post/read/pembayangan-mental-mental- imagey.html

## JURNAL LPPM Vol. 3 No. 1 Januari 2015
Polya.  (1973). A  New  Aspect  of  Matematical Method. Second edition. Princeton, New Jersey: Princeton University Press
Roam.  (2011). The  Magic  of  Picture . Diterjemahkan dari The Back of Napkin. Jakarta  selatan:  Ufuk  Press,  PT.  Ufuk Publishing House
Rose & Nicholl. (2006). Accelerated Learning th for  the  21   Century. Penterjemah:  Dedy Ahimsa. Bandung. Penerbit Nuansa
Santrock.  (2009). Psikologi  Pendidikan . Educational Psychology. Edisi 3. Buku 1. Jakarta: Salemba
Schunk.  (2012). Learning  Theories  an Edycational  Perspective. Teori-Teori Pembelajaran:  Perspektif  Pendidikan. Edisi keenam. Penerjemah: Eva Hamdiah, Rahmat  Fajar.  Yogyakarta:  Pustaka Pelajar
Shapiro. (2000). Thingking about Mathematics: the  philosophy  of  mathematics. New York: Oxford University Press
Siswono.  (2011).  “Pembelajaran  Matematika Berbasis  Pengajuan  dan  Pemecahan Masalah  (JUCAMA)  untuk  Meningkat- kan Kemampuan Berpikir Kreatif Siswa”. Makalah disajikan pada Seminar Nasional UNESA, Surabaya, 22 Oktober 2011
Solso,  Maclin,  &  Maclin.  (2007). Psikologi Kognitif .  8ed.  Alih  Bahasa  Mikael Rahardanto  dan  Kristianto  Batuadji. Editor:  Wibi  Hardani.  Jakarta:  Penerbit Erlangga
Sternberg.  (2008). Psikologi  Kognitif .  .Judul Asli:  Cognitif  Psychology.  Penerjemah: Yudi  Santoso.  Penyuting:  Saiful  Zuhri Qudsy. Yogyakarta: Pustaka Pelajar
Suharnan. (2005). Psikologi Kognitif . Surabaya: Srikandi
Suparman.  (2012). Panduan  Para  Pengajar  & Inovator:  Pendidikan  Desain  Instruk- sional Modern. Jakarta: Erlangga.
Sutiarso.  (2000). Problem  Posing:  Strategi Efektif  Meningkatkan  Aktivitas  Siswa dalam  Pembelajaran  Matematika.
P r o s i d i n g   K o n p e r e n s i   N a s i o n a l Matematika X. ITB, 17-20 Juli 2000
Tall.  (1988).  “Concept  Image  and  Concept D e f i n i t i o n ” . S e n i o r   S e c o n d a r y Mathematics  Education ,  (ed.  Jan  de Lange,  Michiel  Doorman),  OW&OC Utrecht, 37–41.
Tall. (1991). “Intuition And Rigour : The Role of Vis u alizatio n   in   Th e  C alcu lu s ”. Visualization  in  Mathematics (ed. Zimmermann  &  Cunningham),  M.A.A., Notes No. 19, 105–119
Tall.  (1994).  “A  Versatile  Theory  of Visualisation  and  Symbolisation  in Mathematics” . Plenary Presentation at the Commission  Internationale  pour  l'Étude et  l'Amélioration  de  l'Ensignement  des Mathématiques ,  Toulouse,  France,  July 1994
Tall.  (1995a).  “Cognitive  Development, Representations  and  Proof”.  This  paper was  prepared  for  the Conference  on Justifying  and  Proving  in  School. Mathematics,  Institute  of  Education , London, December 1995, pp. 27–38.
Tall.  (1995b).  “Visual  Organizers  for  Formal Mathematics”. Exploiting  Mental Imagery with Computers in Mathematics Education. Springer-Verlag:  Berlin,  pp.
52-70
Tall.  (2005a).  “A  Theory  of  Mathematical G r o w t h   t h r o u g h   E m b o d i m e n t , Symbolism  and  Proof”.  Written  for  the International  Colloquium  on  Mathe- matical  Learning  from  Early  Childhood to Adulthood , organised by the Centre de Recherche  sur  l'Enseignement  des Mathématiques,  Nivelles,  Belgium,  5-7
July 2005.
Tall.  (2005b).  “ The  Transition  from  Embodied Thought  Experiment  and  Symbolic Manipulation  to  Formal  Proof ”.  This article is written for the Delta Conference , on  Frazer  Island,  Australia,  November 2005.
Uno.  (2007). Model  Pembelajaran .  Jakarta: Bumi Aksara
Wasan  &  Prakash.  Ramjas  College: Real Analysis. University  of  Delhi;  Rajdhani College. University of Delhi. New Delhi: Tata  McGraw-Hill  Publising  Company Limited
JURNAL LPPM Vol. 3 No. 1 Januari 2015
Wiludjeng,  Habsjah,  &  Wibawa.  (2005).
Dampak  Pembakuan  Peran  Gender Terhadap  Perempuan  Kelas  Bawah  di
Jakarta .  Pusat  Kajian  Pembangunan Masyarakat Unika Atmajaya Jakarta.
Woolfolk.  (2009). Educational  Psychology: Active Learning Edition. Edisi kesepuluh bagian  kedua.  Yogyakarta:  Pustaka Pelajar.