Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131
DOI: 10.35580/variansiunm151
1 Corresponding author.
E-mail address : rahmatwahyudi13@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

## GEOGRAPHICALLY WEIGHTED NEGATIVE BINOMIAL REGRESSION (GWNBR) IN MODELING THE RISK FACTORS OF

## PNEUMONIA DISEASE AMONG TODDLERS IN THE CENTRAL SULAWESI PROVINCE
Zakiyah Mar’ah a, , Zulkifli Rais a* , A. Sulfiana Haris a ,
(Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Makassar, Indonesia)

## Abstract
This  research  was  conducted  to  map  and  model  the  number  of  Pneumonia  cases  in  Central  Sulawesi  Province  using  the Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR) approach. The data used were Pneumonia case data in Central Sulawesi Province obtained from the Health Publication of Central Sulawesi Province in 2021. The analysis results with the GWNBR method indicated that predictor variables significantly influencing the number of Pneumonia cases in each district/city of Central Sulawesi Province were Exclusive Breastfeeding Percentage ( 𝑿 𝟏 ), Complete Basic Immunization Percentage ( 𝑿 𝟐 ), Percentage of Toddlers Receiving Vitamin A ( 𝑿 𝟑 ), and Percentage of Coverage of Toddler Services ( 𝑿 𝟓 ). Meanwhile, the variable Low Birth Weight ( 𝑿 𝟒 ) does not significantly affect the cases.
Keywords: Pneumonia, Poisson Regression, Overdispersion, Negative Binomial Regression, GWNBR.

## 1. Pendahuluan
Pneumonia merupakan kondisi yang sering terjadi pada sistem pernapasan dan menjadi penyebab utama kematian anak- anak  secara  global,  khususnya  pada  anak  usia  balita.  Popularitas  penyakit  ini  semakin  meningkat,  terutama  sejak munculnya  pandemi  Covid-19  (Kemenkes,  2020).  Pneumonia  merupakan  infeksi  pernapasan  akut  yang  menjadi penyebab utama kematian pada balita di negara-negara berkembang. Penyakit ini bisa disebabkan oleh virus, bakteri, atau jamur dan sering disebut sebagai paru-paru basah (Josefa et al., 2019).
World Health Organization (WHO) menyatakan Pneumonia sebagai penyebab kematian tertinggi pada balita melebihi penyakit  lainnya  seperti  campak,  malaria,  dan  AIDS.  Pada  tahun  2019,  Pneumonia  menyebabkan  kematian  anak dibawah 5 tahun sebesar 14% dari seluruh kematian anak dengan total kematian 740.180 jiwa. Kasus Pneumonia banyak terjadi di negara-negara berkembang seperti Asia Tenggara sebesar 39% dan Afrika sebesar 30%. WHO menyebutkan Indonesia  menduduki  peringkat  ke  8  dunia  dari  15  negara  yang  memiliki  angka  kematian  balita  dan  anak  yang diakibatkan oleh Pneumonia (WHO, 2022).
Di Indonesia, Pneumonia menduduki urutan kedua penyebab kematian pada balita setelah diare, dimana pada tahun 2019 persentase kematian akibat Pneumonia pada  balita sebesar 9,5 persen dari seluruh kematian balita (Kemenkes, 2020).  Jumlah  tersebut  turun  10,19%  dibandingkan  pada  tahun  2020  yaitu  sebanyak  309.838  kasus  (Kemenkes  RI, 2022).
Salah  satu  provinsi  dengan  tingkat  penemuan  kasus  Pneumonia  tertinggi  di  pulau  Sulawesi  yaitu  Provinsi  Sulawesi Tengah dan menduduki posisi ke-8 sebagai provinsi dengan kasus Pneumonia tertinggi di Indonesia, dengan total kasus sebesar  6.273  balita  (Kemenkes,  2022).  Namun,  cakupan  penemuan  kasus  Pneumonia  balita  di  provinsi  Sulawesi Tengah  Tahun  2022  hanya  39,8%  sedangkan  target  cakupan  penemuannya  sebesar  70%.  Jika  ditinjau  dari kabupaten/kotanya, dari 13 kabupaten/kota-nya hanya Kabupaten Banggai yang dapat mencapai target yang ditetapkan secara nasional.
Penyakit  Pneumonia  merupakan  penyakit  menular  dimana  penyebarannya  dapat  dipengaruhi  oleh  kondisi  geografis
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 119
suatu wilayah. Setiap wilayah tentunya memiliki kondisi geografis, ekonomi, dan sosial budaya yang berbeda, sehingga faktor-faktor yang mempengaruhi terjadinya Pneumonia di suatu wilayah juga akan berbeda. Salah satu cara untuk mengetahui faktor yang berpengaruh secara signifikan terhadap penyakit Pneumonia adalah analisis regresi. Analisis  regresi  merupakan  suatu  teknik  untuk  membangun  persamaan  linear  dan  menggunakan  persamaan  tersebut untuk  melakukan  estimasi  (Mar’ah  et  al.,  2023). Salah  satu  model regresi  yang  dapat  digunakan  untuk  menjelaskan hubungan antara variabel  respon yang berupa data diskrit  dengan peluang kejadian yang jarang terjadi dalam selang waktu tertentu dan variabel bebas yang berupa kontinu atau diskrit adalah regresi Poisson.
Analisi regresi Poisson adalah salah satu regresi nonlinier yang sering digunakan untuk memodelkan hubungan antara variabel respon yang berupa data diskrit dengan variabel prediktor yang berupa data diskrit atau kontinu. Pada model regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi yaitu nilai variansi yang diperoleh sama dengan nilai rataannya, keadaan ini biasa disebut equidispersi. Namun pada kenyataannya asumsi ini sangat jarang terjadi. Biasanya data count memiliki variansi lebih besar dari rataan yang disebut overdispersi atau sebaliknya yaitu rataan lebih besar dari variansi atau biasa disebut undispersi (Safrida et al., 2013). Salah satu solusi untuk mengatasi kasus overdispersi yaitu dengan regresi Binomial Negatif.
Regresi  Binomial  Negatif  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  data  Poisson  yang  mengalami  overdispersi  karena distribusi  Binomial  Negatif  merupakan  perluasan  dari  distribusi  Poisson-Gamma  yang  memuat  parameter  dispersi (Widyaningsih  et  al.,  2021).  Pada  pemodelan  data,  seringkali  ditemukan  adanya  efek  atau  pola  spasial  pada  data, sehingga perlu dilakukan uji efek spasial.
Uji  efek  spasial  meliputi  pengujian  dependensi  spasial  dan  heterogenitas  spasial.  Dependensi  spasial  menunjukkan bahwa pengamatan di suatu  lokasi bergantung pada pengamatan di lokasi lain yang letaknya berdekatan. Sedangkan heterogenitas  spasial  adalah  perbedaan  kondisi  antara  suatu  lokasi  dengan  lokasi  lainnya,  yang  ditinjau  dari  segi geografis, keadaan sosial-budaya maupun hal lain yang dapat menimbulkan kondisi heterogenitas spasial (Kurniasari &  Ariastita, 2014).  Jika suatu  data mengalami  kasus overdispersi  maka digunakan analisis regresi  Binomial Negatif untuk  mengatasinya.  Dengan  memperhatikan  efek  spasialnya,  maka  digunakan  metode Geographically  Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR). Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR) merupakan salah satu metode untuk memodelkan data cacah yang mempunyai heterogenitas spasial dan overdispersi. Model ini akan menghasilkan estimasi parameter lokal dengan masing-masing lokasi akan memiliki parameter yang berbeda (Rini, 2018).

## 2. Kajian Pustaka

## 2.1 Analisis Regresi
Secara umum, analisis regresi adalah metode yang digunakan untuk memahami hubungan antara satu atau lebih variabel prediktor (independen) dengan variabel respon (dependen). Tujuan utama dari analisis regresi adalah untuk menemukan hubungan  fungsional  antara  variabel-variabel  tersebut  sehingga  dapat  digunakan  untuk  memprediksi  nilai  variabel respon berdasarkan nilai-nilai variabel prediktor (Purba & Purba, 2022).

## 1) Regresi Linear Sederhana
Persamaan regresi linear sederhana secara umum yaitu:
𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥
Keterangan:
𝑌̂ : Respon (Variabel Terikat/ dependent ) 𝑎 : Konstanta 𝑏 : Koefisien regresi variabel independent 𝑥 : Prediktor (variabel bebas/ independent )
2) Regresi Linear Berganda
2.1
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 120
Regresi  linier  ganda  berguna  untuk  meramal  variabel dependent yang  dipengaruhi  oleh  dua  atau  lebih  variabel independent Adapun rumus yang dipakai disesuaikan dengan jumlah variabel yang diteliti, yaitu sebagai berikut:
𝑌̂ = 𝑎 + 𝑏 1 𝑋 1 + 𝑏 2 𝑋 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝑋 𝑛
Keterangan :
𝑌̂ : Respon (Variabel Terikat/ dependent )
𝑎 : Konstanta 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 : Koefisien regresi variabel independent 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 : Prediktor (variabel bebas/ independent )

## 2.2 Multikolinearitas
Multikolinearitas  adalah  suatu  kondisi  dimana  terjadi  korelasi  antara  variabel  bebas  atau  antar  variabel  bebas  tidak bersifat  saling  bebas.  Variabel 𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , … , 𝑿 𝒑 dikatakan  bersifat  saling  bebas  jika  matriks  korelasi  antar  variabel membentuk matriks indentitas. Dalam model regresi, adanya korelasi antar variabel prediktor menyebabkan taksiran parameter regresi yang dihasilkan akan memiliki error yang sangat besar.
Pendeteksian kasus multikolinearitas dapat dilihat melalui beberapa cara yaitu sebagai berikut: a. Jika koefisien korelasi pearson (𝑟 𝑖𝑗 ) antar variabel prediktor lebih dari 0,95 ( 𝑟 𝑖𝑗 > 0,95 ) maka terdapat korelasi antar variabel tersebut.
b. Nilai  VIF  ( Varian  Inflation  Factor )  lebih  besar  dari  10  menunjukkan  adanya  multikolinearitas  antarvariabel prediktor. Nilai VIF dinyatakan sebagai berikut:
𝑉𝐼𝐹 𝑗 = 1 1 − 𝑅 𝑗 2
dengan 𝑅 𝑗 2 adalah koefisien determinasi antar 𝑋 𝑗 dengan variabel prediktor lainnya (Dean & Hocking, 1997).

## 2.2 Regresi Poisson
Distribusi  Poisson  merupakan  distribusi  yang  digunakan  untuk  data  jumlah  kejadian  yang  terjadi  secara  acak  pada interval  waktu  tertentu  dengan  hasil  pengamatan  berupa  variabel  diskrit  (Cahyandari,  2014).  Regresi  Poisson merupakan  model  regresi  nonlinear  yang  sering  digunakan  untuk  menganalisis  suatu  data count  . Regresi  Poisson adalah  salah  satu  regresi  yang  digunakan  untuk  memodelkan  antara  variabel  respon  dan  variabel  prediktor  dengan mengasumsikan  variabel Y berdistribusi  Poisson.  Persamaan  model  regresi  Poisson  dapat  ditulis  sebagai  berikut (Rahmadeni Feni Fatkhuli, 2019):
𝜇̂ 𝑖 = exp (𝑿 𝑖 𝑇 𝜷) 𝜇̂ 𝑖 = exp (𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑋 𝑖𝑝 ) ln (𝜇̂ 𝑖 ) =   𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑋 𝑖𝑝 dengan 𝜇 𝑖 merupakan rata-rata jumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu tertentu.

## 2.3 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson
Estimasi parameter model regresi Poisson dilakukan dengan metode maximum likelihood estimation (MLE) yaitu dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood . Fungsi likelihood dari regresi Poisson adalah sebagai berikut (Cameron dan Trivedi, 1998):
a. Mengambil n data sampel random
b. Membentuk fungsi likelihood dari regresi Poisson, yaitu
𝑙𝑛𝐿(𝛽) = 𝑙𝑛 (∏ exp(−𝜇 𝑖 ) 𝜇 𝑖 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 ) = ∑ ln (∏ exp(−𝜇 𝑖 ) 𝜇 𝑖 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 ) 𝑛 𝑖=1
2.2 2.3 2.4
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 121
= − ∑ 𝑒 𝑥 𝑖 𝑇 𝛽 𝑛 𝑖=1 + ∑ 𝑦 𝑖 𝑥 𝑖 𝑇 𝛽 − ∑ 𝑙𝑛(𝑦 𝑖 !) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1
Kemudian persamaan di atas diturunkan terhadap 𝛽 𝑇 yang merupakan bentuk vektor, menjadi
𝜕𝑙𝑛𝐿(𝛽)
𝜕𝛽 𝑇 = − ∑ 𝑋 𝑖 exp(𝑋 𝑖 𝛽) + ∑ 𝑦 𝑖 𝑋 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1

## 2.5 Overdispersi
Regresi Poisson dikatakan overdispersi apabila nilai variansnya lebih besar dari nilai rata-ratanya. Jika pada data diskrit terjadi  overdispersi  dan  tetap  menggunakan  regresi  Poisson  sebagai  metode  penyelesaiannya,  maka  akan  diperoleh suatu  kesimpulan  yang  tidak  valid  karena  nilai standart  error menjadi under  estimate .  Hal  ini  disebabkan  karena parameter  koefisien  regresi  yang  dihasilkan  dari  regresi  Poisson  tidak  efisien  meskipun  koefisien  regresinya  tetap konsisten (Damayanti CR & Yanti, 2022).
Overdispersi dapat diketahui melalui nilai parameter dispersi yang diperoleh melalui rumus:
𝜽 = 𝑮 𝟐 𝒅𝒇 dengan 𝜽
: parameter dispersi
df : degree of freedom 𝑮 𝟐 : Nilai devians , didefinisikan sebagai
𝑮 𝟐 = 𝟐 ∑ 𝒚 𝒊 𝒍𝒏 ( 𝒚 𝒊 𝝀 𝒊 ) 𝒏 𝒊=𝟏
dimana, 𝒚 𝒊 : frekuensi observasi untuk kategori atau kelompok data ke-i 𝝀 𝒊 : frekuensi yang diharapkan untuk kelompok data ke-i Jika 𝜽 > 1 artinya terjadi overdispersi pada regresi Poisson, jika ϕ < 1 artinya terjadi underdispersi dan jika 𝜽 : 1 berarti tidak terjadi kasus over/under dispersi yang disebut dengan equidispersi (Famoye, Wulu, dan Singh, 2004).
2.6 Regresi Binomial Negative
1) Model Binomial Negatif
𝑦 𝑗 ̂ ~𝑁𝐵[𝑡 𝑗 𝑒𝑥𝑝(∑ 𝛽 𝑝 𝑥 𝑗𝑝 𝑝 ), 𝜃]; 𝑗 = 1,2,3 … , 𝑛
𝑬(𝒀) = 𝝁 dan 𝑽𝒂𝒓(𝒀) = 𝝁 + 𝜶𝝁 𝟐 dengan 𝜽 adalah  parameter  dispersi.  Kemudian  fungsi  probabilitas  Binomial Negatif dapat dinyatakan sebagai berikut (Greene, 2008):
𝒇(𝒚; 𝝁, 𝜽) = 𝚪(𝒚+ 𝟏 𝜽 ) 𝒚!𝚪( 𝟏 𝜽 ) ( 𝟏 𝟏+𝜽𝝁 ) 𝟏 𝜶 ( 𝜽𝝁 𝟏+𝜽𝝁 ) 𝒚 ;  𝒚 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 … , 𝒏
Model regresi Binomial Negatif dinyatakan sebagai berikut.
𝑦 𝑗 ̂ =  exp (𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑗 + 𝛽 2 𝑋 2𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑋 𝑝𝑗 )

## 2) Estimasi Parameter Model Regresi Binomial Negatif
Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) digunakan untuk estimasi parameter dalam regresi Binomial Negatif. Pada  estimasi  regresi  Binomial  Negatif,  untuk  memaksimumkan  fungsi likelihood maka  digunakan  metode  iterasi Newton Raphson . Fungsi likelihood dari regresi Binomial Negatif adalah sebagai berikut:
𝑳(𝜷, 𝜽) = ∏ 𝚪(𝒚+ 𝟏 𝜽 ) 𝚪( 𝟏 𝜽 )𝒚! ( 𝟏 𝟏+𝜽𝝁 𝒊 ) 𝟏 𝜽 ( 𝜽𝝁 𝒊 𝟏+𝜽𝝁 𝒊 ) 𝒚 𝒏 𝒊=𝟏 dengan
2.6 2.5 2.7 2.8 2.9 2.10
2.11 2.12
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 122
𝑳(𝜷, 𝜽) : fungsi likelihood
y : variabel acak yang mengikuti distribusi Poisson
θ : parameter distribusi Invers-Gamma
𝝁 𝒊 : adalah parameter mean dari distribusi Poisson untuk observasi ke-i.

## 3) Pengujian Parameter Model
Pengujian parameter model regresi Poissson dan Binomial Negatif  terdiri dari uji serentak dan uji parsial. Hipotesis untuk uji signifikansi secara serentak dengan Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT), yaitu: 𝑯 𝟎 ∶   𝜷 𝟏 = 𝜷 𝟐 = ⋯ = 𝜷 𝒑 = 𝟎 𝑯 𝟏 : paling sedikit ada satu 𝜷 𝒋 ≠ 𝟎; 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒑 Statistik Uji:
𝑫(𝜷 ̂) = −𝟐𝒍𝒏 ( 𝑳(𝝎 ̂ ) 𝑳(𝛀 ̂) )
dimana, 𝐥𝐧 𝑳(𝝎 ̂ ) : fungsi likelihood untuk model tanpa melibatkan variable prediktor 𝐥𝐧 𝑳(𝛀 ̂) : fungsi likelihood untuk model yang melibatkan variable prediktor
Statistik uji yang digunakan mengikuti distribusi chi-square dengan derajat bebas p dengan keputusan tolak 𝑯 𝟎 jika 𝑫(𝜷 ̂) > 𝝌 𝟐 (𝒑;𝜶) yang berarti bahwa paling sedikit ada satu parameter yang berpengaruh secara signifikan terhadap variabel respon.
Setelah dilakukan dengan uji serentak dilanjutkan dengan uji signifikansi secara  parsial untuk mengetahui parameter mana saja yang memberikan pengaruh yang signifikan terhadap model, hipotesis uji signifikansi secara parsial yaitu sebagai berikut:
𝑯 𝟎 ∶   𝜷 𝒋 = 𝟎 𝑯 𝟏 ∶ 𝜷 𝒋 ≠ 𝟎 ;  𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒑 Statistik Uji:
𝒁 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 = 𝜷 𝒋 ̂ 𝒔𝒆(𝜷 𝒋 ̂)
dimana,
𝜷 𝒋 ̂ : koefisien model variable prediktor ke-j 𝒔𝒆𝜷 𝒋 ̂ : standard error dari estimasi maximum likelihood
Tolak 𝑯 𝟎 jika statistik uji Z atau |𝒁 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 | > 𝒁 ( 𝜶 𝟐 ) atau nilai P-Value < α . Tolak 𝑯 𝟎 artinya bahwa parameter ke-j signifikan terhadap model

## 2.7 Uji Efek Spasial

## 1) Dependensi Spasial
Dependensi spasial menunjukkan bahwa pengamatan di suatu lokasi bergantung pada pengamatan di lokasi lain yang letaknya berdekatan. Pengujian dependensi spasial dapat dilakukan dengan uji Moran’s I (Anselin & Bera, 1998).
Hipotesis uji Moran’s I adalah sebagai berikut:
H 0 : 𝝁 𝒊 : 0 (tidak ada dependensi antar lokasi)
H 0 : 𝝁 𝒊 ≠ 0 (ada dependensi antar lokasi) Statistik Uji
𝒁 = 𝑰 − 𝑬(𝑰) √𝒗𝒂𝒓(𝑰) 2.13 2.14
2.15
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 123
dimana:
𝑽𝒂𝒓(𝑰) = 𝒏 𝟐 . 𝑺 𝟏 − 𝒏. 𝑺 𝟐 + 𝟑. 𝑺 𝟎 𝟐 (𝒏 𝟐 − 𝟏)𝑺 𝟎 𝟐 − [𝑬(𝑰)] 𝟐 𝑰 = 𝒏 ∑ ∑ 𝒘 𝒊𝒋 (𝒚 𝒊 − 𝒚 ̅)(𝒚 𝒋 − 𝒚 ̅) 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒔 𝟎 ∑ (𝒚 𝒊 − 𝒚 ̅) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝑺 𝟏 = 𝟏 𝟐 ∑ ∑(𝒘 𝒊𝒋 + 𝒘 𝒋𝒊 ) 𝟐 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝑬(𝑰) = − 𝟏 𝒏 − 𝟏 𝑺 𝟎 = ∑ ∑ 𝒘 𝒊𝒋 𝒏 𝒋=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 dengan: 𝒚 𝒊 : nilai pengamatan pada lokasi ke-i 𝒚 𝒋 : nilai pengamatan pada lokasi ke-i
𝒚 ̅ : rata-rata
𝒘 𝒊𝒋 : matriks pembobot terstandarisasi antara lokasi i dan j
𝒏
: Banyaknya lokasi pengamatan
Tolak H 0 , jika |𝑍 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 |   > 𝑍 𝛼 2 atau p-value < α , yang berarti terdapat dependensi spasial.

## 2) Heterogenitas Spasial
Pengujian heteroskedastisitas spasial dilakukan untuk melihat apakah terdapat kekhasan pada setiap lokasi pengamatan, sehingga  parameter  regresi  yang  dihasilkan  berbeda-beda  secara  spasial.  Pengujian  heteroskedastisitas  spasial dilakukan  menggunakan  statistik  uji Breusch-Pagan (BP)  dengan  hipotesis  sebagai  berikut  (Pratama  &  Wulandari, 2015):
𝑯 𝟎 ∶   𝝈 𝟏 𝟐 = 𝝈 𝟐 𝟐 = ⋯ = 𝝈 𝒑 𝟐 = 𝝈 𝟐 (varians antar lokasi sama)
𝑯 𝟏 : paling sedikit ada satu 𝝈 𝒊 𝟐 ≠ 𝝈 𝟐 (varians antar lokasi berbeda) Statistik uji
𝐵𝑃 = ( 1 2 ) 𝑓 𝑇 𝑍(𝑍 𝑇 𝑍) −1 𝑍 𝑇 𝑓~𝜒 (𝑝) 2
dimana,
𝒑 : banyaknya variabel prediktor
𝒇 : (𝒇 𝟏 , 𝒇 𝟐 , … , 𝒇 𝒏 ) 𝑻 dengan 𝒇 𝒊 = 𝒆 𝒊 𝟐 𝝈 𝟐 − 𝟏 𝑒 𝑖 : error untuk obvservasi ke-i
𝝈 𝟐 : variansi dari 𝒆 𝒊 𝝈 𝒊 𝟐 : variansi dari variabel prediktor ke-i 𝑍 : matriks berukuran n × (p+1) yang berisi vektor konstan
Tolak 𝐻 0 jika statistic uji 𝐵𝑃 > 𝜒 (𝑝,𝛼) 2 atau p-value < α, yang Berarti variansi antar lokasi berbeda.

## 2.8 Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR)
Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR) merupakan salah satu metode yang cukup efektif untuk  menduga  parameter  lokal  dengan  unit  amatan  berupa  wilayah  pada  data count yang  memiliki  heterogenitas spasial dan mengalami kasus overdispersi. Model GWNBR akan menghasilkan parameter lokal yang masing-masing
2.16
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 124
lokasi  memiliki  parameter  yang  berbeda-beda  (Pratama  &  Wulandari,  2015).  Model  GWNBR  dirumuskan  sebagai berikut:
ℎ 𝑗 ̂ ~𝑁𝐵[𝑡 𝑗 𝑒𝑥𝑝(∑ 𝛽 𝑘 (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 )𝑥 𝑗𝑘 𝑘 ), 𝜃(𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 )]; 𝑗 = 1, … , 𝑛
dimana,
ℎ 𝑗 ̂
: nilai observasi variabel respon ke-j 𝑡 𝑗 : offset variabel 𝑥 𝑗𝑘 : nilai observasi variabel prediktor ke-k pada pengamatan lokasi (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) 𝛽 𝑘 (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) : koefisien regresi variabel prediktor ke-k untuk setiap lokasi (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) 𝜃(𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) : parameter disperse untuk setiap lokasi (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) 𝑢 𝑗 : koordinat latitude titik pengamatan ke-j 𝑣 𝑗 : koordinat longitude titik pengamatan ke-j
Model GWNBR dapat ditulis sebagai berikut:
ℎ 𝑗 =  exp (𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑗 + 𝛽 2 𝑋 2𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑝 𝑋 𝑝𝑗 )

## 1) Estimasi Parameter Model GWNBR
Estimasi parameter model GWNBR dilakukan dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimate (MLE). Fungsi likelihood dituliskan sebagai berikut:
𝑳(𝜷 (𝒖 𝒊 ,𝒗 𝒊 ) , 𝜽 𝒊 |𝒚 𝒊 , 𝒙 𝒊 ) = ∏ (∏ (𝐫 + 𝟏 𝜽 𝒊 ) 𝒚 𝒊 −𝟏 𝒓=𝟎 ) 𝒏 𝒊=𝟏 𝟏 (𝒚 𝒊 !) ( 𝟏 𝟏+𝜽 𝒊 𝝁 𝒊 ) 𝟏 𝜽 ( 𝜽 𝒊 𝝁 𝒊 𝟏+𝜽 𝒊 𝝁 𝒊 ) 𝒚 𝒊
𝑳(𝜷, 𝜽) : fungsi likelihood 𝒚 : variabel acak yang mengikuti distribusi Poisson
𝜽 𝒊 : parameter distribusi Invers-Gamma 𝝁 𝒊 : adalah parameter mean dari distribusi Poisson untuk observasi ke-i.

## 2) Pengujian Parameter Model GWNBR
Pengujian signifikansi parameter model GWNBR terdiri dari uji serentak dan uji parsial. Uji signifikansi secara serentak dengan menggunakan Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT), dengan hipotesis sebagai berikut: 𝑯 𝟎 ∶   𝜷 𝟏 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) = 𝜷 𝟐 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) = ⋯ = 𝜷 𝒑 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) = 𝟎 𝑯 𝟏 : paling sedikit ada satu 𝜷 𝒋 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) ≠ 𝟎; 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒑 Statistik Uji:
𝑫(𝜷 ̂) = −𝟐𝒍𝒏 ( 𝑳(𝝎 ̂ ) 𝑳(𝛀 ̂) )
dimana, 𝐥𝐧 𝑳(𝝎 ̂ ) : fungsi likelihood untuk model tanpa melibatkan variable prediktor 𝐥𝐧 𝑳(𝛀 ̂) : fungsi likelihood untuk model yang melibatkan variable prediktor
Tolak 𝑯 𝟎 jika 𝑫(𝜷 ̂) > 𝝌 𝟐 (𝒑;𝜶) yang  berarti  bahwa  paling  sedikit  ada  satu  parameter  yang  berpengaruh  secara signifikan terhadap variabel respon.
Kemudian dilanjutkan dengan uji signifikansi secara parsial dengan hipotesis uji signifikansi sebagai berikut: 𝑯 𝟎 ∶   𝜷 𝒋 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) = 𝟎 𝑯 𝟏 ∶ 𝜷 𝒋 (𝒖 𝒊 , 𝒗 𝒊 ) ≠ 𝟎 ;  𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒑
Statistik Uji:
𝒁 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 = 𝜷 𝒋 ̂(𝒖 𝒊 ,𝒗 𝒊 ) 𝒔𝒆(𝜷 𝒋 ̂(𝒖 𝒊 ,𝒗 𝒊 )) 2.21 2.19
2.17 2.18
2.20
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 125
dimana,
𝜷 𝒋 ̂ : koefisien model variable prediktor ke-j 𝒔𝒆𝜷 𝒋 ̂
: standard error dari estimasi maximum likelihood
Tolak 𝑯 𝟎 jika  statistik  uji  Z  atau |𝒁 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 | > 𝒁 ( 𝜶 𝟐 ) ,  yang  Berarti  bahwa  parameter  tersebut  berpengaruh  secara signifikan terhadap variable respon di tiap lokasi.

## 2.9 Pemilihan Bandwidth dan Pembobot Optimum
Pemilihan bandwidth optimum  menjadi  sangat  penting  karena  akan  mempengaruhi  ketepatan  model  terhadap  data, yaitu  mengatur  varians  dan  bias  dari  model.  Penentuan bandwidth optimum  dilakukan  menggunakan  metode Cross Validation (CV) sebagai berikut:
𝐶𝑉(𝑘) = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ ≠𝑖 (𝑘)) 2 𝑛 𝑖=1
dengan 𝑦̂ ≠𝑖 (𝑘) merupakan nilai penaksir 𝑦 𝑖 dengan pengamatan lokasi (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) dihilangkan dari proses penaksiran.
Dalam  penaksiran  GWNBR  di  suatu  titik (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) diperlukan  adanya  pembobot  spasial.  Peran  pembobot  dalam GWNBR sangat penting karena nilai pembobot mewakili letak data observasi antara satu dengan yang lainnya. Dimana pembobot  yang  digunakan  adalah  kernel adaptive  bisquare. Fungsi  kernel adaptive  bisquare dirumuskan  sebagai berikut:
𝑤 𝑗 (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) = {(1 − ( 𝑑 𝑖𝑗 𝑘 ) 2 ) 2 0 , untuk 𝑑 𝑖𝑗 ≤  𝑘
, untuk 𝑑 𝑖𝑗 >  𝑘
dengan
𝑑 𝑖𝑗 = √(𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑗 ) 2 + (𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) 2
𝑑 𝑖𝑗 adalah  jarak Euclidean antara  lokasi (𝑢 𝑖 , 𝑣 𝑖 ) ke  lokasi (𝑢 𝑗 , 𝑣 𝑗 ) dan k adalah  nilai bandwidth yang  menunjukkan jumlah atau proporsi dari observasi untuk dimasukkan pada estimasi parameter pada lokasi pengamatan.

## 2.10 Pemilihan Model Terbaik
1) Akaike Information Criterion (AIC)
Rumus AIC adalah sebagai berikut:
𝑨𝑰𝑪 = 𝟐𝒑 − 𝟐𝒍𝒏𝑳̂(𝜽 ̂)
dimana,
𝑳̂(𝜽 ̂) : nilai likelihood yang didapat dari fungsi log likelihood model regresi 𝒑 : jumlah parameter dalam model

## 2) McFadden’s R-Squared
Pada pemodelan regresi  Poisson dan Negatif Binomial  tidak terdapat nilai R 2 . Sebagai  gantinya, metode yang dapat digunakan yaitu McFadden’s R-Squared , yang berkisar antara 0 dan 1, dengan nilai tertinggi menunjukkan kecocokan model. Adapun rumus yang digunakan yaitu:
𝑴𝒄𝑭𝒂𝒅𝒅𝒆𝒏’𝒔 𝑹 − 𝑺𝒒𝒖𝒂𝒓𝒆𝒅 = 𝟏 − ( 𝒍𝒐𝒈𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅 𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒐𝒈𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅 𝒏𝒖𝒍𝒍 )
𝒍𝒐𝒈𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅 𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍 : Nilai loglikelihood dari model yang dipasang
2.22 2.24 2.23
2.25
2.26
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 126
𝒍𝒐𝒈𝒍𝒊𝒌𝒆𝒍𝒊𝒉𝒐𝒐𝒅 𝒏𝒖𝒍𝒍 : Nilai loglikelihood dari model nol (model yang hanya melibatkan intercep)

## 3. Metode Penelitian
Adapun teknik analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut:
1. Mengambil data kasus Pneumonia pada balita di Provinsi Sulawesi Tengah yang diperoleh dari Profil Kesehatan Provinsi Sulawesi Tengah
2. Melakukan analisis deskriptif untuk melihat karakteristik variabel kasus Pneumonia dan faktor-faktor yang diduga mempengaruhinya di Provinsi Sulawesi Tengah
3. Pengujian kasus multikolinearitas dengan melihat koefisien korelasi pearson dan nilai VIF
4. Melakukan pemodelan regresi Poisson, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Penaksiran parameter model regresi Poisson menggunakan metode MLE dan menyusunnya kedalam model
b. Menguji signifikansi parameter model regresi Poisson secara serentak dan uji parsial
5. Pengujian asumsi dispersi regresi Poisson
6. Melakukan pemodelan regresi Binomial Negatif, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
a. Penaksiran parameter model regresi Poisson menggunakan metode MLE dan menyusunnya kedalam model
b. Menguji signifikansi parameter model regresi Poisson secara serentak dan uji parsial
7. Melakukan uji efek spasial
a. Menguji dependensi spasial dengan uji Moran’s I
b. Menguji heterogenitas spasial degan uji Breusch-Pagan
8. Pemodelan  GWNBR  untuk  kasus  Pneumonia  di  Provinsi  Sulawesi  Tengah,  dengan  langkah-langkah  sebagai berikut:
a. Menghitung jarak Euclidean antar lokasi pengamatan berdasarkan posisi geografis
b. Memperoleh bandwidth optimal  untuk  setiap  lokasi  pengamatan  dengan  menggunakan Cross  Validation (CV)
c. Menghitung matriks pembobot dengan menggunakan fungsi kernel Adaptive Bisquare
d. Pengujian parameter model GWNBR dengan uji signifikansi terhadap model yaitu uji serentak dan uji parsial
e. Melakukan pemodelan dan interpretasi model GWNBR
f. Pemilihan model terbaik dengan kriteria AIC dan McFadden’s R-Squared

## 4. Hasil dan Pembahasan

## 4.1 Hasil
1) Multikolinearitas
Tabel 4.1 Koefisien Korelasi antara Variabel Prediktor
𝑿 𝟏 𝑿 𝟐 𝑿 𝟑 𝑿 𝟒 𝑿 𝟐 0,2310 𝑿 𝟑 0,4805 0,3167 𝑿 𝟒 0,2057 -0,2292 0,3321 𝑿 𝟓 -0,1783 0,3219 -0,1286 -0,27665
Berdasarkan Tabel 4.1 dapat diketahui bahwa semua variabel prediktor memiliki koefisien korelasi Pearson yang kurang dari 0,95 yang artinya tidak terdapat kasus multikolinieritas.
Tabel 4.2 Nilai VIF dari Variabel Prediktor
Variabel Prediktor
VIF
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 127
𝑿 𝟏 1,3671 𝑿 𝟐 1,4914 𝑿 𝟑 1,6162 𝑿 𝟒 1,3351 𝑿 𝟓 1,2516
Berdasarkan Tabel 4.2 menunjukkan nilai VIF dari masing-masing variabel prediktor memiliki nilai yang kurang dari 10, dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat kasus multikolinieritas

## 2) Pemodelan Regresi Poisson
Tabel 4.3 Estimasi Parameter Model Regresi Poisson
Estimasi Std. Error P-Value Signifikansi (Intercept) 0,8341 0,2163 0,0001 Signifikan 𝑿 𝟏 0,0650 0,0020 < 𝟐 × 𝟏𝟎 −𝟏𝟔 Signifikan 𝑿 𝟐 -0,0158 0,0011 < 𝟐 × 𝟏𝟎 −𝟏𝟔 Signifikan 𝑿 𝟑 0,0109 0,0021 𝟐, 𝟑𝟑 × 𝟏𝟎 −𝟕 Signifikan 𝑿 𝟒 -0,0408 0,0110 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐 Signifikan 𝑿 𝟓 0,0220 0,0006 < 𝟐 × 𝟏𝟎 −𝟏𝟔 Signifikan Devians : 669,59 Df : 7 AIC : 776,65
Berdasarkan Tabel 4.3, diperoleh model regresi Poisson sebagai berikut:
𝝁 ̂ 𝑺𝒖𝒍𝒕𝒆𝒏𝒈 = 𝐞𝐱𝐩 (𝟎, 𝟖𝟑𝟒𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟎𝑿 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟓𝟖𝑿 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟗𝑿 𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟒𝟎𝟖𝑿 𝟒 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟎𝑿 𝟓 )

## 3) Pemeriksaan Overdispersi
Tabel 4.4 Parameter Dispersi Regresi Poisson
𝑫(𝜷 ̂) Df 𝜽 669,59 7 95,6557
Rasio nilai devians dengan derajat bebasnya bernilai 95,6557. Nilai tersebut lebih besar dari 1 yang artinya data jumlah kasus Penumonia mengalami kasus overdispersi.

## 4) Pemodelan Regresi Binomial Negatif
Tabel 4.5 Estimasi Parameter Model Regresi Binomial Negatif
Estimasi Std. Error P-Value Signifikansi (Intercept) 2,7305 1,4767 0,0644 Signifikan 𝑿 𝟏 0,0610 0,0170 0,0003 Signifikan 𝑿 𝟐 -0,0124 0,0084 0,1405 Tidak Signifikan 𝑿 𝟑 -0,0103 0,0195 0,5954 Tidak Signifikan 𝑿 𝟒 -0,0293 0,0815 0,7190 Tidak Signifikan 𝑿 𝟓 0,0205 0,0042 𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎 −𝟔 Signifikan Devians : 13,559 Df : 7
AIC : 175,98
Berdasarkan Tabel 4.5, diperoleh model regresi Binomial Negatif sebagai berikut:
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 128
𝑦̂ 𝑆𝑢𝑙𝑡𝑒𝑛𝑔 =  exp (2,7305 + 0,0610𝑋 1 − 0,0124𝑋 2 − 0,0103𝑋 3 − 0,0293𝑋 4 + 0,0205𝑋 5 )
Nilai  devians  ( 𝐷(𝛽̂)) pada  Tabel  4.5  dibagi  dengan  derajat  bebasnya  sebesar  1,937.  Nilai  ini jauh  lebih kecil  jika dibandingkan dengan nilai rasio  model regresi  Poisson  pada  Tabel  4.4 yaitu 95,6557.  Serta nilai AIC model regresi Binomial  Negatif  sebesar  175,98  juga  lebih  kecil  dari  nilai  AIC  model  regresi  Poisson  yaitu  776,65.  Hal  ini menunjukkan bahwa regresi Binomial Negatif dapat mengatasi kasus overdispersi pada regresi Poisson, sehingga model regresi Binomial Negatif lebih baik daripada model regresi Poisson.

## 5) Pengujian Efek Spasial
a. Uji Dependensi Spasial
Tabel 4.6 Uji Moran’s I I E(I) Var(I) P-Value -0,0928 -0,0833 0,0732 0,8966
Berdasarkan  Tabel  4.6,  diperoleh  nilai p-value sebesar  0,8966  sehingga  dengan  taraf  nyata  α  =  10%  didapatkan kesimpulan bahwa gagal tolak H 0 yang artinya tidak ada dependensi spasial
b. Uji Heterogenitas Spasial

## Tabel 4.7 Uji Breusch-Pagan
BP DF P-Value 10,675 5 0,0582
Nilai  BP  diperoleh  sebesar  10,675  dengan p-value sebesar  0,0582.  Dengan  menggunakan  taraf  nyata  α  =  10%  dan derajat  bebas  sebesar  5,  diperoleh  nilai 𝝌 (𝟓;𝟎,𝟏) 𝟐 =  9,236.  Sehingga  berdasarkan  kedua  kriteria ( p-value dan Breusch- Pagan ) dimana nilai BP = 10,675 > 𝝌 (𝟓;𝟎,𝟏) 𝟐 = 9,236 dan p-value = 0,0582 < α = 10%, dapat disimpulkan bahwa tolak H 0 dimana  variansi  antar  lokasi  berbeda  atau  terdapat  perbedaan  karakteristik  antara  satu  titik  pengamatan  dengan pengamatan lainnya.
6) Pemodelan Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR)

## a. Pengujian Parameter Model GWNBR
Tabel 4.8 Estimasi Parameter Model GWNBR Kabupaten/Kota Variabel yang Signifikan Kabupaten Banggai 𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Banggai Kepulauan
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓
Kabupaten Banggai Laut 𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Buol
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Donggala
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kota Palu
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Morowali
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Morowali Utara
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Parigi Moutong
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Poso
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Sigi
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Tojo Una Una
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓 Kabupaten Toli-toli
𝑿 𝟏 , 𝑿 𝟐 , 𝑿 𝟑 , 𝑿 𝟓
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 129
Berdasarkan  Tabel  4.8,  diperoleh  hasil  bahwa  pada  taraf  signifikansi  5%,  seluruh  variabel  berpengaruh  signifikan terhadap kasus Pneumonia di tiap Kabupaten/kota Provinsi Sulawesi Tengah kecuali variabel BBLR (𝑿 𝟒 ) .

## b. Pemilihan Model Terbaik

## Tabel 4.9 Pemilihan Model Terbaik
Model Nilai AIC Nilai McFadden’s R-Squared Regresi Poisson 776,65 77,38% Regresi Binomial Negatif 175,98 68,31% GWNBR 171,21 92,39%

## 4.2 Pembahasan
Data jumlah kasus Pneumonia di Provinsi Sulawesi Tengah merupakan data count yang mengikuti distribusi Poisson. Namun, setelah pengecekan asumsi equidispersi pada regresi Poisson, model tersebut memiliki nilai parameter dispersi (Tabel  4.4) sebesar  95,6557  >  1,  artinya  terjadi  overdispersi.  Jika  tetap  dilanjutkan  dengan  menggunakan  regresi Poisson sebagai metode penyelesaiannya, maka akan diperoleh suatu kesimpulan yang tidak valid karena nilai standart error menjadi under estimate sehingga berdampak pada suatu variabel ang bisa saja muncul sebagai parameter yang signifikan padahal variabel tersebut sebenarnya tidak signiifikan (Damayanti CR & Yanti, 2022). Oleh karena, solusi yang dapat dilakukan untuk mengatasi masalah tersebut yaitu menggunakan metode regresi Binomial Negatif. Selanjutnya  dilakukan  pengujian  efek  spasial  untuk  melihat  apakah  terdapat  perbedaan  karakteristik  pada  setiap kabupaten/kota di Provinsi Sulawesi Tengah (Heterogenitas Spasial) atau pengamatan di suatu lokasi dipengaruhi oleh pengamatan  di  lokasi  lainnya  yang  letaknya  berdekatan  (Dependensi  Spasial).  Berdasarkan  uji  dependensi  spasial, diperoleh nilai p-value (0,8966) > α (0,1), sehingga disimpulkan bahwa tidak terdapat dependensi  spasial pada data. Kemudian  dilakukan  pengujian  heterogenitas  spasial  dan  diperoleh  nilai p-value (0,0582)  <  α  (0.1),  sehingga disimpulkan bahwa terdapat perbedaan karakteristik antara satu titik pengamatan dengan pengamatan lainnya. Maka dapat dilanjutkan pada pemodelan dengan metode Geographically Weighted Negative Binomial Regression (GWNBR). Dalam  pemodelan  GWNBR  dibutuhkan  matriks pembobot,  pada  penelitian  ini,  matriks  pembobot tersebut  dihitung dengan menggunakan fungsi kernel Adaptive Bisquare. Langkah awalnya adalah menghitung jarak antar lokasi dengan rumus jarak euclidean berdasarkan koordinat lintang dan bujur. Setelah memperoleh jarak antar lokasi maka dilanjutkan dengan  menentukan bandwidth, nilai bandwidth optimum  diperoleh  sebesar  0,9999.  Nilai bandwidth ini  digunakan untuk  perhitungan  matriks  pembobot.  Perhitungan  matriks  pembobot  dilakukan  dengan  menggunakan  fungsi  kernel adaptive bisquare dan membentuk matriks pembobot.
Estimasi  parameter  model  GWNBR  pada  taraf  signifikansi  5%,  diperoleh  hasil  bahwa  seluruh  variabel  prediktor berpengaruh terhadap jumlah kasus Pneumonia di tiap kabupaten/kota Provinsi Sulawesi Tengah Tahun 2021 kecuali variabel BBLR (X 4 ) .
Pemodelan banyaknya kasus Pneumonia menggunakan metode GWNBR diharapkan memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan  dengan  menggunakan  metode  regresi  Binomial  Negatif  dan  regresi  Poisson.  Dari  ketiga  model  yang dibandingkan, model GWNBR memiliki  nilai AIC yang lebih kecil  (171,21) dan nilai McFadden’s R-Squared yang lebih besar (92,39%) dibandingkan dengan regresi Binomial Negatif dan regresi Poisson. Hal tersebut menunjukkan bahwa  model  GWNBR  lebih  baik  digunakan  dalam  memodelkan  kasus  Pneumonia  di  Provinsi  Sulawesi  Tengah dibandingkan model regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif.

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis dan pembahasan didapatkan kesimpulan sebagai berikut:
1. Provinsi Sulawesi Tengah merupakan salah satu provinsi dengan tingkat penemuan kasus Pneumonia tertinggi di pulau  Sulawesi  dan  menduduki  posisi  ke-8  sebagai  provinsi  dengan  kasus  Pneumonia  tertinggi  di  Indonesia, dengan total kasus sebesar 6.273 balita dengan rata-rata sebanyak 355 kasus.
2. Salah  satu  model  yang  didapatkan  dari  13  model  yang  terbentuk  dengan  metode  GWNBR  adalah  Kota  Palu, dengan model sebagai berikut
𝝁 ̂ 𝑷𝒂𝒍𝒖 =  𝐞𝐱𝐩 (−𝟏𝟓, 𝟖𝟎𝟔𝟗 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑𝑿 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝑿 𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝑿 𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟕𝑿 𝟓 )
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 130
3. Berdasarkan pemodelan GWNBR dengan fungsi pembobot kernel Adaptive Bisquare pada taraf signifikansi 5%, diperoleh hasil bahwa variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap jumlah kasus Pneumonia di tiap kabupaten/kota Provinsi Sulawesi Tengah Tahun 2021 yaitu variabel Persentase Pemberian ASI Eksklusif ( 𝑿 𝟏 ), Persentase Imunisasi Dasar Lengkap ( 𝑿 𝟐 ), Persentase Balita mendapat Vitamin A (𝑿 𝟑 ), dan Persentase Cakupan Pelayanan Anak Balita ( 𝑿 𝟓 ). Sedangkan variabel yang tidak berpengaruh signifikan yaitu variabel BBLR (𝑿 𝟒 ) .

## References
Alwi, W., Sauddin, A., & Islamiyah, N. I. (2022). Pemodelan Generalized Poisson Regression Pada Faktor-Faktor Yang Mempengaruhi  Kasus  Pneumonia  Pada  Balita  Di  Provinsi  Sulawesi  Selatan  2018. Jurnal  Matematika  dan Statistika serta Aplikasinya , 10 (1), 9-14.
Ambarwati, P. C., Indahwati, I., & Aidi, M. N. (2020). Kajian simulasi overdispersi pada regresi poisson dan binomial negatif  terboboti  geografis  untuk  data  balita  gizi  buruk. Indonesian  Journal  of  Statistics  and  Its Applications , 4 (3), 484-497.
Anselin, L., & Bera, A. K. (1998). Spatial Dependence in Linear Regression  Models with an Introduction to Spatial Econometrics. In A. Ullah (Ed.), Handbook of Applied Economic Statistics (pp. 237-290). CRC Press.
Cahyandari, R. (2014). Pengujian Overdispersi pada Model Regresi Poisson. Statistika , 14(2), 69–76.
Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (1998). Regression Analysis of Count  Data (P. Hammond & A. Holly (eds.); Issue 30). Cambridge University Press.
Damayanti  CR,  M.,  &  Yanti, T.  S.  (2022).  Regresi  Poisson  Invers  Gaussian  (PIG)  untuk  Pemodelan  Jumlah  Kasus Pneumonia pada Balita di Provinsi Jawa Tengah Tahun 2019. Jurnal Riset Statistika , 1(2), 143–151.
Darsyah,  M.  (2021).  Pemodelan Geographically  Weighted  Negative  Binomial  Regression (GWNBR)  Pada  Kasus Malaria di Indonesia. Jurnal Litbang Edusaintech , 2(2), 1–15. Dean, A., & Hocking, R. R. (1997). Methods and Applications of Linear Models . 2nd ed., Wiley & Sons, Canada.
Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Tengah.  (2021).  Profil  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Tengah.  Profil  Kesehatan Provinsi Sulawesi Tengah, 1–377.
Dinas  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Tengah.  (2022). Profil  Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Tengah .  Diakses  pada  23 September 2023 dari https://dinkes.sultengprov.go.id/wp-content/uploads/2023/06/Profil-KEsehatan-2022.pdf Famoye,  F.,  Wulu,  J.,  &  Singh,  K.  (2004).  On  The  Generalize  Poisson  Regression  Model  with  an  Application  to Accident Data. Journal of Data Science 2 , 287-295. Faridi,  A.,  Budiasih,  Suswandari,  Ahmad,  I.,  Furqan,  M.,  &  Susanti,  E.  (2017). Evaluasi  Metode  Penghitungan Cakupan Imunisasi Dasar Lengkap di Indonesia . 1–11.
Greene, W. (2008). Functional forms for the negative binomial model for count data. Economics Letters , 99 (3), 585– 590.
Gierke, R., Wodi, A.P. and Kobayashi, M. (2021) ‘Pinkbook: Pneumococcal Disease’, Pinkbook , pp. 255–274. Ismail,  I.  (2019). Pemodelan  Jumlah  Kematian  Bayi  Di  Provinsi  Jawa  Barat  Tahun  2017  Dengan  Pendekatan Geographically  Weighted  Negative Binomial  Regression  (GWNBR) (Doctoral  dissertation,  Muhammadiyah University, Semarang).
Josefa, R., Sovia, R., & Mandala, E. P. (2019). Sistem Pakar Diagnosa Penyakit Pneumonia Pada Anak Menggunakan Metode Case Based Reasoning. Sainteks , 6, 868–872. Kemenkes  RI.  (2020). Pneumonia  Pada  Anak  bisa  Dicegah  dan  Diobati .  Di  akses  pada  22  Juli  2023  dari https://www.kemkes.go.id/id/rilis kesehatan/pneumonia-anak-dicegah-dan-diobati
Kemenkes RI. (2022). Profil Kesehatan Indonesia 2021. In Pusdatin.Kemenkes.Go.Id. Kurniasari, M., & Ariastita, P. G. (2014). Faktor - Faktor yang Mempengaruhi Alih Fungsi Lahan Pertanian Sebagai Upaya Prediksi Perkembangan Lahan Pertaniandi Kabupaten Lamongan. Jurnal Teknik Pomits , 3 (2), 27–40. Kurniawan,  I.  (2017).  Model  Regresi  Poisson Terbaik  Menggunakan  Zero-Inflated  Poisson  (ZIP)  dan  Zero-Inflated Negative Binomial (ZINB ). Unnes Journal of Mathematics, 5(1), 1-10.
Mar’ah, Z., Ahmar, A. S., & Rais, Z. (2023). Pemodelan Regresi Data Panel pada IPM di Sulawesi Selatan. VARIANSI: Journal of Statistics and Its Application on Teaching and Research , 5 (1), 23–27.
Pratama,  W.,  &  Wulandari,  S.  P.  (2015).  Pemetaan  dan  Pemodelan  Jumlah  Kasus  Penyakit  Tuberculosis  (TBC)  di Provinsi  Jawa  Barat  dengan  Pendekatan Geographically  Weighted  Negative  Binomial  Regression . Jurnal Sains Dan Seni ITS, 4(1), 37–42..
Zakiyah et.al | VARIANSI: Journal of Statistics and Its application on Teaching and Research Vol. 5 No. 3 (2023) 118-131 131
Purba, D., & Purba, M. (2022). Aplikasi  Analisis Korelasi  dan Regresi menggunakan Pearson Product  Moment dan Simple Linear Regression. Citra Sains Teknologi , 1(2), 97–103.
Rahmadeni  Feni  Fatkhuli,  R.  J.  (2019).  Pemodelan  Generalized  Poisson  Regression  (GPR)  Pada  Kasus  Kematian Neonatal  Di  Provinsi  Riau. Jurnal  Sains Matematika Dan Statistika : Jurnal  Hasil Penelitian Matematika, Statistika, Dan Aplikasinya, 5(2), 43–50. Rini,  D.  S.  (2018). Geographically Weighted  Negative  Binomial  Regression untuk  Jumlah  Kasus  Demam  Berdarah Dengue Kabupaten/Kota Provinsi Bengkulu. PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika , 1 , 736–744. Safrida, N., D. Ispriyanti, & T. Widiharih. 2013. Aplikasi Model Regresi Poisson Tergeneralisasi Pada Kasus Angka Kematian Bayi di Jawa Tengah Tahun 2007. Jurnal Gaussian , 2(2): 361-368.
Saputri, V. A., & Purhadi, P. (2022). Pemodelan Faktor – Faktor yang Mempengaruhi Kasus Pneumonia pada Balita di Provinsi  Jawa  Barat  dengan  Metode  Geographically  Weighted  Generalized  Poisson  Regression. Inferensi , 5(2), 91. https://doi.org/10.12962/j27213862.v5i2.12619
Savitri, N., Miranda, I., Sitorus, A., Luh, N., Andini, E., Husna, N. L., & Balita, K. (2022). Determinan jumlah kematian balita akibat pneumonia di Indonesia tahun 2019 dengan pendekatan generalized poisson regression. Median , 5(1), 40–51.
WHO.  (2022). Pneumonia  in  children .  World  Health  Organization:  WHO.  Diakses  pada  23  Juli  2023  dari https://www.who.int/news-room/fact-sheets/detail/pneumonia.
Widyaningsih,  Y.,  Arum,  G. P.,  &  Prawira,  K. (2021).  Aplikasi  K-Fold  Cross  Validation  Dalam  Penentuan  Model Regresi Binomial Negatif Terbaik. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika Dan Terapan , 15 (2), 315–322. Wirawan,  I.  M.  (2016).  Pendekatan  komputasi  numerik  metode  regresi  pada  penelitian  yang  mengamati  suatu kecenderungan/trends terhadap Peningkatan Prestasi/Hasil Belajar. Tekno , 25(1), 1–14.
Yatnaningtyas, R., Latra, I. N., & Andari, S. (2016). Identifikasi Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Pneumonia pada Balita di Surabaya Menggunakan Geographically Weighted Negative Binomial Regression . Jurnal Sains Dan Seni ITS , 5(2), D283–D288. Xing, Y. et al. (2020). Vitamin A deficiency is associated with severe Mycoplasma pneumoniae pneumonia in children. Annals of Translational Medicine , 8(4), pp. 120–120