## Bilangan Pembeda tanpa Titik Terisolasi Graf Cycle Books

## Wahyuni Abidin
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, wahyuniabidin@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) adalah  graf terhubung  dan  berhingga.  Misalkan  himpunan  terurut 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } merupakan subhimpunan dari 𝑉(𝐺) . Representasi  titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊 didefinisikan sebagai 𝑟(𝑣|𝑊) = 𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 ) de- ngan 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑖 ) menyatakan jarak 𝑣 dan 𝑤 𝑖 . Himpunan 𝑊 dikatakan himpunan pembeda dari 𝐺 , jika setiap titik dari 𝐺 mempunyai representasi yang berbeda. Suatu himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut basis dari 𝐺 .  Lebih  lanjut,  banyaknya  titik  dalam  basis 𝐺 didefinisikan  sebagai  dimensi  metrik  dari 𝐺 yang dinotasikan  dengan dim (𝐺) .  Himpunan  pembeda 𝑊 disebut  himpunan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi,  jika subgraf  yang  diinduksi ⟨𝑊⟩ tidak  mempunyai  titik terisolasi.  Suatu  himpunan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi dari 𝐺 dengan kardinalitas minimum disebut himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 .  Kardinalitas  dari  himpunan- 𝑛𝑟 disebut  bilangan pembeda  tanpa  titik  terisolasi  yang  dinotasikan  dengan 𝑛𝑟(𝐺) .  Graf  cycle  books 𝐵 𝐶𝑛,𝑚 adalah  graf  yang  terdiri salinan Cycle 𝐶 𝑛 dengan common path 𝑃 2 . Pada makalah ini, ditentukan bilangan pembeda tanpa titik terisolasi dari graf cycle books 𝐵 𝐶𝑛,𝑚 dengan 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2 . Kata  Kunci :  bilangan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi, dimensi  metrik,  graf  cycle  books,  himpunan  pembeda, himpunan pembeda tanpa titik terisolasi

## 1. PENDAHULUAN
Gagasan  himpunan  pembeda  pada  suatu graf diperkenalkan pertama kali oleh Slater[12], serta  oleh  Harary  dan  Melter[8],  namun menggunakan  istilah  yang  berbeda.  Slater menggunakan  istilah  himpunan  lokasi  yang disebut sebagai himpunan pembeda oleh Harary dan  Melter.  Suatu  himpunan  pembeda  dengan kardinalitas  terkecil  disebut  sebagai  himpunan pembeda minimum. Kardinalitas suatu himpunan  pembeda  minimum  disebut  sebagai bilangan  lokasi  oleh  Slater,  sedangkan  Harary dan Melter menggunakan istilah dimensi metrik. Selanjutnya,  dalam  disertasi  ini  digunakan terminologi yang diperkenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun 1976.
Dimensi  metrik  dapat  diaplikasikan untuk  menyelesaikan  masalah  di  beberapa bidang, di antaranya untuk optimasi kombinatorik[11],  untuk  navigasi  robot  pada jaringan[9],  untuk  optimasi  penempatan  sensor
pendeteksi ancaman[6], dan untuk mengidentifikasi senyawa kimia[5].
Pada  tahun  2015,  Citra  dan  Arumugam memperkenalkan  konsep  bilangan  pembeda tanpa titik terisolasi. Untuk suatu graf terhubung 𝐺 ,  Citra  dan  Arumugam  menentukan  bilangan pembeda  tanpa  titik  terisolasi  pada  beberapa kelas  graf,  seperti  graf  lengkap,  graf  bipartit lengkap,  graf  lintasan,  dan  graf  persahabatan. Mereka  juga  menunjukkan  bahwa  untuk  graf terhubung 𝐺 yang  berorde 𝑛 berlaku  jika 𝑛𝑟(𝐺) = 2dim (𝐺) ,  maka  setiap  basis 𝑆 di 𝐺 adalah  independen  dan  tidak  ada  dua  titik  yang mempunyai tetangga bersama di 𝐺 . Selanjutnya, untuk sebarang dua bilangan bulat positif 𝑘 dan 𝑛 dengan 𝑘 ∈ {2,3, … , 𝑛 − 1} ,  terdapat  graf 𝐺 berorde 𝑛 dengan 𝑛𝑟(𝐺) = 𝑘 . Selain itu, mereka menentukan  bilangan  pembeda  tanpa  titik terisolasi  graf  lengkap  dikurangi  satu  sisi.  Pada makalah  yang  sama,  mereka  juga  menentukan bilangan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi  graf lengkap 𝐾 2𝑛 dikurangi dengan perfect matching . Selanjutnya, misalkan 𝑇 merupakan pohon yang bukan lintasan dan 𝑠 menyatakan banyak titik 𝑣 di 𝑇 dengan 𝑙 𝑣 > 1 ,  maka  bilangan  pembeda tanpa titik terisolasi 𝑇 sama dengan 𝑑𝑖𝑚(𝑇) + 𝑠 . Mereka juga memberikan suatu batas atas untuk sebarang  graf  terhubung 𝐺 .  Lebih  jauh,  mereka mengkarakterisasi graf terhubung 𝐺 berorde 𝑛 ≤ 3 yang  memiliki 𝑛𝑟(𝐺) = 𝑛 − 1 ,  yakni  hanya dipenuhi oleh graf lengkap 𝐾 𝑛 atau graf bintang 𝐾 1,𝑛−1 [7].  Pada  tahun  2018,  Avadayappan  dkk. menentukan  bilangan  pembeda  tanpa  titik terisolasi  graf  split  beberapa  graf,  di  antaranya graf  bintang,  lengkap,  graf  siklus,  dan  graf lintasan[2].

## 2. KAJIAN TEORI
Pada bagian ini diberikan definisi, notasi- notasi,  dan  istilah  dalam  teori  graf  yang diperlukan pada penelitian ini. Adapun definisi, notasi-notasi, dan istilah yang digunakan dikutip dari  Diestel[3],  Abidin  W  dkk[1],  Chitra  dan Arumugam[7].

## Graf dan Jenis-Jenis Graf
Graf adalah  pasangan  terurut 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) yang terdiri dari himpunan V(G) ≠ ∅ dan 𝐸(𝐺) = { u, v}|u, v ∈  V(G) dengan u ≠ v} . Himpunan V(G) disebut himpunan titik di 𝐺 dan himpunan 𝐸(𝐺) disebut himpunan sisi di 𝐺 . Suatu titik 𝑣 dikatakan terkait dengan suatu sisi 𝑒 , jika 𝑣 ∈ 𝑒 . Untuk menyederhanakan penulisan sisi {𝑢, 𝑣} ditulis 𝑢𝑣 .  Dua  titik 𝑢 dan 𝑣 pada 𝐺 dikatakan bertetangga, jika 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) . Banyaknya titik pada suatu graf 𝐺 disebut orde, dinotasikan dengan |𝑉(𝐺)| . Suatu graf dikatakan berhingga jika ordenya berhingga.
Graf  yang  berorde  1  disebut  graf  trivial. Derajat  titik 𝑢 ∈ 𝐺 ,  dinotasikan  dengan 𝑑(𝑢) , adalah banyaknya sisi yang terkait pada 𝑢 . Suatu titik  dikatakan  titik  terisolasi,  jika  derajatnya  0. Titik ujung adalah titik yang berderajat 1.
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik sebarang 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 , terdapat lintasan yang menghubungkan 𝑢 dan 𝑣 . Misalkan 𝐺 adalah suatu graf. Jarak antara dua titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 ,  dinotasikan  dengan 𝑑 𝐺 (𝑢, 𝑣) adalah panjang
lintasan terpendek yang menghubungkan  kedua  titik  tersebut  di 𝐺 . Maksimum  dari  himpunan  jarak  sebarang  dua titik di 𝐺 disebut diameter 𝐺 , dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺).
Ada beberapa jenis-jenis graf, di antaranya graf lengkap, graf bipartite lengkap, graf lintasan, graf  bintang,  dan  graf  pohon.  Graf  lengkap, dinotasikan  dengan 𝐾 𝑛 ,  adalah  graf  terhubung yang setiap dua titiknya saling bertetangga. Graf bipartite  lengkap,  dinotasikan  dengan 𝐾 𝑚,𝑛 , adalah  graf  yang  himpunan  titiknya  dapat dipartisi  menjadi  2  himpunan  independen sehingga setiap dua titik di partisi berbeda saling bertetangga. Graf lintasan berorde 𝑛 dinotasikan dengan 𝑃 𝑛 ,  adalah  suatu  graf  yang  titik-titiknya dapat  dinamai  dengan 𝑣 1 , 𝑣 2 … , 𝑣 𝑛 sehingga 𝐸(𝑃 𝑛 ) = 𝑣 1 𝑣 2 , 𝑣 2 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛−1 𝑣 𝑛 . Graf siklus berorde 𝑛 ≥ 3 ,  dinotasikan  dengan 𝐶 𝑛 ,  adalah graf  terhubung  teratur-2.  Graf  bintang  berorde 𝑛 + 1 ,  dinotasikan  dengan 𝑆 𝑛 ,  adalah  graf terhubung  yang  mempunyai  satu  titik  yang berderajat 𝑛 dan 𝑛 titik berderajat 1. Graf pohon berorde 𝑛 ,  dinotasikan  dengan 𝑇 𝑛 ,  adalah  graf terhubung yang tidak memuat siklus.

## Dimensi Metrik Graf
Misalkan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } adalah subhimpunan  terurut  titik-titik  pada  graf 𝐺 . Representasi titik 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊 , adalah 𝑟(𝑢|𝑊) = (𝑑(𝑢, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑢, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑢, 𝑤 𝑘 ) de- ngan 𝑑(𝑢, 𝑤 𝑖 ) untuk 𝑖 ∈ [1, 𝑘] adalah jarak dari titik 𝑢 ke  titik 𝑤 𝑖 .  Himpunan 𝑊 disebut himpunan pembeda pada 𝐺 jika untuk setiap titik 𝑢, 𝑣 pada 𝐺 dengan 𝑢 ≠ 𝑣 mengakibatkan 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊) .  Suatu  himpunan  pembeda dengan  kardinalitas  minimum  dari 𝐺 disebut sebagai  basis 𝐺 .  Bilangan  bulat  terkecil 𝑘 sehingga 𝐺 mempunyai  suatu  himpunan pembeda  dengan 𝑘 anggota  disebut  dimensi metrik dari 𝐺 dan dinotasikan dengan dim(𝐺).

## Bilangan Pembeda Tanpa Titik Terisolasi
Chitra  dan  Arumugam  memperkenalkan bilangan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi  pada tahun  2015.  Bilangan  pembeda  tanpa  titik terisolasi dari graf 𝐺 disimbolkan dengan 𝑛𝑟(𝐺). Adapun  definisi  bilangan  pembeda  tanpa  titik terisolasi sebagai berikut.
Definisi 1.
Himpunan  pembeda 𝑊 dari  graf 𝐺 dikatakan sebagai himpunan pembeda tanpa titik terisolasi, jika ⟨𝑊⟩ subgraf 𝐺 yang diinduksi oleh 𝑊 tidak memiliki  titik  terisolasi.  Kardinalitas  dari himpunan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi  yang minimum dari 𝐺 disebut bilangan pembeda tanpa titik terisolasi dan dinotasikan 𝑛𝑟(𝐺) .
Gambar 2.1. Graf 𝐻
Sebagai ilustrasi, perhatikan graf 𝐻 , seperti pada Gambar 1. Misalkan 𝑊 1 = {𝑣 1 , 𝑣 3 , 𝑣 7 } . Representasi 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻) terhadap 𝑊 1 ,  yaitu 𝑟(𝑣 2 |𝑊 1 ) = (1,1,1) , 𝑟(𝑣 4 |𝑊 1 ) = (3,1,3) , 𝑟(𝑣 5 |𝑊 1 ) = (2,2,2) , 𝑟(𝑣 6 |𝑊 1 ) = (1,3,3) dan 𝑟(𝑣 8 |𝑊 1 ) = (3,3,1) .  Karena itu, 𝑊 1 merupakan himpunan  pembeda  dari  graf 𝐻 karena  semua
titik di 𝐻 mempunyai representasi yang berbeda. Akan tetapi, 𝑊 1 bukan himpunan pembeda tanpa titik terisolasi karena 𝑊 1 memuat titik terisolasi. Muncul suatu pertanyaan, apakah ada himpunan pembeda tanpa titik terisolasi dengan kardinalitas 3 . Misalkan dipilih 𝑊 2 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } atau 𝑊 3 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 6 } .  Dalam  pemilihan  ini  ternyata 𝑊 2 atau 𝑊 3 bukan  himpunan  pembeda  tanpa  titik terisolasi  karena 𝑟(𝑣 5 |𝑊 2 ) = 𝑟(𝑣 7 |𝑊 2 ) atau 𝑟(𝑣 5 |𝑊 3 ) = 𝑟(𝑣 7 |𝑊 3 ) . Oleh karena itu, tidak ada himpunan pembeda tanpa titik terisolasi dengan kardinalitas 2 .  Jadi  diperlukan  menambah minimal 1 anggota pada himpunan pembeda 𝑊 1 , yaitu 𝑊 4 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 7 } .  Himpunan 𝑊 4 merupakan himpunan- 𝑛𝑟 di 𝐻 . Jadi, 𝑛𝑟(𝐻) = 4 .

## 3. METODOLOGI PENELITIAN
Untuk mencapai tujuan penelitian, penelitian pada setiap tahun dilakukan dalam dua tahap sebagai berikut.
1. Tahap Pendahuluan
Penilitian  ini  diawali  dengan  menelaah literatur  yang terkait dengan dimensi metrik dan  bilangan  pembeda  tanpa  titik  terisolasi. Hal  ini  dilakukan  untuk  memastikan  hasil peneliti  lain  pada  topik  ini  sehingga  dapat diyakini kebaruan masalah yang akan dikaji. 2. Tahap Penelitian Pada  tahapan  ini,  kegiatan  penelitian difokuskan pada penentukan bilangan pembeda  tanpa  titik  terisolasi  graf  cycle books.  Pembuktian  dibagi  ke  dalam  dua kasus.
a. Penentuan batas bawah Untuk menentukan batas bawah bilangan pembeda tanpa titik tersisolasi dilakukan dengan menggunakan metode kontradiksi karakter  graf  cycle  books,  dan  dimensi graf.
b. Penentuan batas atas Pertama  yang  dilakukan  pendefinisian himpunan  titik  dan  himpunan  sisi  pada graf cycle books. Kemudian, dikonstruksi calon  himpunan  pembeda  tanpa  titik terisolasi. Diupayakan kardinalitas himpunan  tersebut  sama  dengan  batas bawah  yang  sudah  diperoleh.  Kemudian dilakukan pengecekan representasi
semua titik pada graf sehingga setiap titik memiliki representasi yang unik.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini, dikaji bilangan pembeda tanpa titik terisolasi graf cycle books 𝐵 𝐶 3 ,𝑚 , 𝐵 𝐶 4 ,𝑚 , 𝐵 𝐶 5 ,𝑚 , dan 𝐵 𝐶 𝑛 ,𝑚 dengan 𝑛 ≥ 6, 𝑚 ≥ 2.
Graf cycle books 𝐵 𝐶 𝑛 ,𝑚 adalah graf yang terdiri dari m salinan (copies) Cycle 𝐶 𝑛 dengan common path 𝑃 2 [10].
Bilangan  Pembeda  Tanpa  Titik  Terisolasi Graf Cycle Books 𝑩 𝑪 𝟑 ,𝒎
Pada bagian ini akan ditunjukkan bilangan pembeda  tanpa  titik  terisolasi  dari  graf  cycle books 𝐵 𝐶 3 ,𝑚 .  Bilangan  pembada  tanpa  titik terisolasi dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 1.
Untuk 𝑚 ≥ 2, misalkan 𝐺 adalah  graf  cycle books 𝐵 𝐶 3 ,𝑚 , maka 𝑛𝑟(𝐺) = 𝑚                         (3.1) Bukti:
Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑚 , 𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑐2 } dan 𝐸(𝐺) = {𝑣 𝑐1 𝑣 𝑐2 , 𝑣 𝑐2 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 𝑣 𝑐1 } dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚. Definisikan 𝑊 = {𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1}. Karena 𝑣 𝑐1 𝑣 𝑖 ∈ 𝐸(𝐺), jelas  bahwa 𝑊 tidak memuat  titik  terisolasi.  Selanjutnya,  akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≤ 𝑚 .  Representasi  setiap titik di 𝑉(𝐺) − 𝑊 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣 𝑐1 |𝑊) = (1,1, … ,1 ⏟ 𝑚 ) 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊) = (1,2, … ,2 ⏟
𝑚−1 ),      𝑖 = 𝑚
Kemudian,  akan  ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≥ 𝑚 . Dengan  menggunakan  kontradiksi,  asumsikan 𝑛𝑟(𝐺) < 𝑚 . Misalkan 𝑊′ adalah himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 dengan |𝑊 ′ | < 𝑚 .  Jika 𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑐2 ∉ 𝑊 ′ , maka 𝑊 ′ memuat  titik  terisolasi.  Jika 𝑣 𝑐1 ∈ 𝑊 ′ atau 𝑣 𝑐2 ∈ 𝑊 ′ ,  maka  terdapat  paling sedikit  dua  titik  yang  memiliki  representasi sama,  yaitu 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊 ′ ) = 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊 ′ ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚.
Bilangan  Pembeda  Tanpa  Titik  Terisolasi Graf Cycle Books
Pada  bagian  ini  akan  ditunjukkan bilangan pembeda tanpa titik terisolasi dari graf cycle  books 𝐵 𝐶 4 ,𝑚 dan 𝐵 𝐶 5 ,𝑚 .  Didefinisikan 𝑉(𝐵 𝐶 4 ,𝑚 ) = {𝑣 𝑖,1 , 𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑐2 } dan 𝐸(𝐵 𝐶 4 ,𝑚 ) =
{𝑣 𝑐1 𝑣 𝑖,1 , 𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑐2 , 𝑣 𝑐2 𝑣 𝑐1 } dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 . Sedangkan 𝑉(𝐵 𝐶 5 ,𝑚 ) = {𝑣 𝑖,1 ,    𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑖,3 , 𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑐2 } dan 𝐸(𝐵 𝐶 4 ,𝑚 ) = {𝑣 𝑐1 𝑣 𝑖,1 , 𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑖,3 , 𝑣 𝑖,3 𝑣 𝑐2 , 𝑣 𝑐2 𝑣 𝑐1 } dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 . Bilangan pembada tanpa titik terisolasi graf 𝐵 𝐶 4 ,𝑚 dan 𝐵 𝐶 5 ,𝑚 dapat dilihat pada teorema berikut.
Teorema 2. Untuk 𝑚 ≥ 2, misalkan 𝐺 adalah  graf  cycle books 𝐵 𝐶 4 ,𝑚 atau 𝐵 𝐶 5 ,𝑚 maka
𝑛𝑟(𝐺) = { 𝑚,          jika 𝑚 = 2 𝑚 + 1, jika 𝑚 ≥ 3 (3.2)
Bukti:
Pandang dua kasus berikut. Kasus 1. 𝑚 = 2 Definisikan 𝑊 = {𝑣 1,1 , 𝑣 1,2 }. Karena 𝑣 1,1 𝑣 1,2 ∈ 𝐸(𝐺), jelas  bahwa 𝑊 tidak  memuat  titik terisolasi. Selanjutnya, akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≤ 𝑚 .  Untuk  graf 𝐵 𝐶 4 ,2 , representasi setiap titik di 𝑉(𝐺) − 𝑊 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣 𝑐1 |𝑊) = (1,2) , 𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊) = (2,1), 𝑟(𝑣 2,1 |𝑊) = (2,3) , 𝑟(𝑣 2,2 |𝑊) = (3,2) . Untuk  graf 𝐵 𝐶 5 ,2 , representasi  setiap  titik  di 𝑉(𝐺) − 𝑊 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣 𝑐1 |𝑊) = (1,2) , 𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊) = (2,2) , 𝑟(𝑣 1,3 |𝑊) = (2,1) , 𝑟(𝑣 2,1 |𝑊) = (2,3), 𝑟(𝑣 2,2 |𝑊) = (3,4) , 𝑟(𝑣 2,3 |𝑊) = (3,3) . Terakhir, akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≥ 𝑚 . Misalkan 𝑊′ adalah  himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 dengan |𝑊 ′ | < 𝑚 . Dengan  menggunakan kontradiksi,  andaikan 𝑛𝑟(𝐺) < 𝑚 .  Akibatnya, 𝑊 ′ memuat titik terisolasi.
Kasus 2. 𝑚 ≥ 3 Definisikan 𝑊 = {𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑖,1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}. Karena 𝑣 𝑐1 𝑣 𝑖,1 ∈ 𝐸(𝐺) untuk  setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, jelas bahwa 𝑊 tidak  memuat  titik  terisolasi.
Selanjutnya,  akan  ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≤ 𝑚 + 1 . Representasi  setiap  titik  di 𝑉(𝐺) − 𝑊 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊) = (1, 2,2 … ,2 ⏟ 𝑚−1 ) 𝑟(𝑣 𝑖,2 |𝑊) = (2, 3, … ,3 ⏟ 𝑖−1 , 1, 3, … ,3, ⏟ 𝑚−𝑖 ), 1 ≤  𝑖 ≤ 𝑚
𝑟(𝑣 𝑖,3 |𝑊) = (2, 3, … ,3 ⏟ 𝑖−1 , 2, 3, … ,3, ⏟ 𝑚−𝑖 ), 1 ≤  𝑖 ≤ 𝑚
Terakhir,  akan  ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≥ 𝑚 + 1 . Misalkan 𝑊′ adalah  himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 dengan |𝑊 ′ | < 𝑚 + 1 . Dengan  menggunakan kontradiksi,  asumsikan 𝑛𝑟(𝐺) < 𝑚 + 1 . Jika 𝑣 𝑐1 , 𝑣 𝑐2 ∉ 𝑊 ′ , maka  terdapat  paling  sedikit dua  titik  yang  memiliki  representasi  sama, yaitu 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊 ′ ) = 𝑟(𝑣 𝑗 |𝑊 ′ ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚. Jika 𝑣 𝑐1 ∈ 𝑊 ′ atau 𝑣 𝑐2 ∈ 𝑊 ′ ,  misal 𝑣 𝑐1 ∈ 𝑊 ′ maka  terdapat  paling sedikit  dua  titik  yang  memiliki  representasi sama, yaitu 𝑟(𝑣 𝑖 |𝑊 ′ ) = 𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊 ′ ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤.
Bilangan  Pembeda  Tanpa  Titik  Terisolasi Graf  Cycle  Books 𝑩 𝑪 𝒏 ,𝒎 dengan 𝒏 ≥ 𝟔 , dan 𝒎 ≥ 𝟐.
Pada  bagian  ini  akan  ditunjukkan bilangan pembeda tanpa titik terisolasi dari graf cycle  books 𝐵 𝐶 𝑛 ,𝑚 dengan 𝑛 ≥ 6 dan 𝑚 ≥ 2.
Bilangan  pembada  tanpa  titik  terisolasi  dapat dilihat pada teorema berikut.
Teorema 3.
Untuk 𝑛 ≥ 6 dan 𝑚 ≥ 2, misalkan 𝐺 adalah graf cycle books 𝐵 𝐶 𝑛 ,𝑚 , maka
𝑛𝑟(𝐺) = 2(𝑚 − 1)                (3.3)
Bukti:
Kasus 1. Untuk 𝑛 Genap Didefinisikan 𝑊 = {𝑣 𝑖,𝑗 , 𝑣 𝑖,𝑗+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 −
1, 𝑗 = 𝑛−2 2 }. Karena 𝑣 𝑖,𝑗 𝑣 𝑖,𝑗+1 ∈ 𝐸(𝐺) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 dan  𝑗 = 𝑛−2 2 , jelas  bahwa 𝑊 tidak memuat  titik  terisolasi.    Selanjutnya,  akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≤ 2(𝑚 − 1) .  Representasi setiap titik di 𝑉(𝐺) − 𝑊 terhadap 𝑊 adalah
𝑟(𝑣 𝑐1 |𝑊) = ( 𝑛 − 2 2 , … , 𝑛 − 2 2 ⏟ 𝑚−1 ,
𝑛 − 2 2 + 1, … , 𝑛 − 2 2 + 1 ⏟ 𝑚−1 ) 𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊) = ( 𝑛 − 2 2 + 1, … , 𝑛 − 2 2 ⏟ + 1 𝑚−1 , 𝑛 − 2 2 , … , 𝑛 − 2 2 ⏟ 𝑚−1 )
Representasi  setiap  titik 𝑣 𝑖,𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) − 𝑊 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 terhadap 𝑊 sebagai berikut:
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 2
2 + 𝑗, … , 𝑛 − 1 2 + 𝑗 ⏟ 𝑖−1 , 𝑛 − 2 2 − 𝑗, 𝑛 − 2 2 + 𝑗, … , 𝑛 − 2 2 + 𝑗 ⏟ 𝑚−𝑖−1 𝑛 − 2 2 + (𝑗 + 1), … , 𝑛 − 2 2 + (𝑗 + 1) ⏟ 𝑖−1 𝑛 − 2 2 − (𝑗 − 1), 𝑛−2 2 + (𝑗 + 1), … , 𝑛−2 2 + (𝑗 + 1) ⏟ 𝑚−𝑖−1 ) , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2 2 − 1 𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1), … , 𝑛 − 2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1) ⏟ 𝑖−1 , (𝑗 − 1) − 𝑛 − 2 2 , 𝑛−2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1), … , 𝑛−2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1) ⏟ 𝑚−2 , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑖−1 ,
𝑗 − 𝑛 − 2 2 , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑚−𝑖−1 ) ,
dengan 𝑛−2 2 + 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2 .
Representasi  setiap  titik 𝑣 𝑖,𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) dengan 𝑖 = 𝑚 terhadap 𝑊 sebagai berikut:
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 2 2 + 𝑗, … , 𝑛 − 2 2 + 𝑗 ⏟ 𝑚−1 ,
𝑛−2 2 + (𝑗 + 1), … , 𝑛−2 2 + (𝑗 + 1) ⏟ 𝑚−1 ) ,
dengan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛−2 2 .
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1)), … , 𝑛 − 2 2 + 𝑛 − (𝑗 − 1) ⏟ 𝑚−1 , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−2 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑚−1 ) , dengan
𝑛−2
2 + 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2 .
Terakhir,  akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≥ 2(𝑚 − 1) . Misalkan 𝑊′ adalah  himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 dengan
|𝑊 ′ | < 2(𝑚 − 1) . Dengan menggunakan kontradiksi, jika 𝑛𝑟(𝐺) < 𝑚 + 1 , maka  terdapat  paling  sedikit  dua  titik  yang memiliki representasi sama, yaitu 𝑟(𝑣 𝑝,𝑞 |𝑊 ′ ) = 𝑟(𝑣 𝑟,𝑠 |𝑊 ′ ) dengan 𝑝 ≠ 𝑟 ,  dan 𝑝, 𝑟 ∈ {1,2, … , 𝑚} serta 𝑞, 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑛 − 2}.
Kasus 2. Untuk 𝑛 Ganjil Didefinisikan 𝑊 = {𝑣 𝑖,𝑗 , 𝑣 𝑖,𝑗+1 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1,     𝑗 = 𝑛−3 2 }. Karena 𝑣 𝑖,𝑗 𝑣 𝑖,𝑗+1 ∈ 𝐸(𝐺) untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 dan  𝑗 = 𝑛−3 2 , jelas  bahwa 𝑊 tidak memuat titik terisolasi.
𝑟(𝑣 𝑐1 |𝑊) = ( 𝑛 − 3 2 , … , 𝑛 − 3 2 ⏟ 𝑚−1 ,
𝑛 − 3 2 + 1, … , 𝑛 − 3 2 + 1 ⏟ 𝑚−1 )
𝑟(𝑣 𝑐2 |𝑊) = ( 𝑛 − 3 2 + 1, … , 𝑛 − 3 2 ⏟ + 1
2(𝑚−1) )
Representasi  setiap  titik 𝑣 𝑖,𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) − 𝑊 dengan 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 − 1 terhadap 𝑊 sebagai berikut:
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 1 2 + (𝑗 − 1), … , 𝑛 − 1 2 + (𝑗 − 1) ⏟
𝑖−1 ,
𝑛 − 1 2 − (𝑗 + 1), 𝑛 − 1 2 + (𝑗 − 1), … , 𝑛 − 1 2 + (𝑗 − 1) ⏟ 𝑚−𝑖−1 𝑛 − 1 2 + 𝑗, … , 𝑛 − 1 2 + 𝑗 ⏟ 𝑖−1
𝑛 − 1
2 − 𝑗, 𝑛−1 2 + 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑗 ⏟ 𝑚−𝑖−1 ) , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛−1 2 − 2 𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑖−1 , 𝑗 − 𝑛 − 1 2 , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑚−2 , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑖−1 ,
(𝑗 − 1) − 𝑛 − 1 2 , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑚−𝑖−1 ) , dengan 𝑛−1 2 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2 .
Representasi  setiap  titik 𝑣 𝑖,𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) dengan 𝑖 = 𝑚 terhadap 𝑊 sebagai berikut:
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛−1 2 + (𝑗 − 1), … , 𝑛−1 2 + (𝑗 − 1) ⏟ 𝑚−1 ,
𝑛 − 1 2 + 𝑗, … , 𝑛 − 1 2 + 𝑗 ⏟ 𝑚−1 , 𝑛−1 2 + 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑗 ⏟ 𝑚−1 ) , dengan
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛−1 2 . 𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − (𝑗 + 1), … , 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − (𝑗 + 1) ⏟ 𝑚−1 , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛−1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 𝑚−1 ) , dengan
𝑗 = 𝑛−1 2 +1.
𝑟(𝑣 𝑖,𝑗 |𝑊) = ( 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 𝑗, … , 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 𝑗 ⏟ 2(𝑚−1) )
dengan 𝑛−1 2 + 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2 .
Terakhir,  akan ditunjukkan 𝑛𝑟(𝐺) ≥ 2(𝑚 − 1) . Misalkan 𝑊′ adalah  himpunan- 𝑛𝑟 dari 𝐺 dengan |𝑊 ′ | < 2(𝑚 − 1) .
Dengan menggunakan kontradiksi, jika 𝑛𝑟(𝐺) < 𝑚 + 1 , maka  terdapat  paling  sedikit  dua  titik  yang memiliki representasi sama, yaitu:
𝑟(𝑣 𝑝,𝑞 |𝑊 ′ ) = 𝑟(𝑣 𝑟,𝑠 |𝑊 ′ ) dengan 𝑝 ≠ 𝑟 ,  dan 𝑝, 𝑟 ∈ {1,2, … , 𝑚} serta 𝑞, 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑛 − 2}.

## 5. KESIMPULAN
Dari  hasil  pembahasan  bilangan  pembeda tanpa titik terisolasi dari graf cycle books 𝐵 𝑛 , 𝑚 dengan 𝒏 ≥ 3, 𝒎 ≥ 𝟐, diperoleh  kesimpulan sebagai berikut.
𝑛𝑟(𝐵 𝑛 , 𝑚) = { 𝑚,          𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥ 2 , 𝑛 ∈ {4,5}, 𝑚 = 2 𝑚 + 1,           𝑛 ∈ {4,5}, 𝑛 ∈ {4,5}, 𝑚 ≥ 3
2(𝑚 − 1),                           𝑛 ≥ 6, 𝑚 ≥ 2

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Abidin,  W.  (2021):  Bilangan  Pembeda
Tanpa Titik Terisolasi Graf Hasil Operasi Korona  dan  Hasil  Operasi  Sisir  Titik, Disertasi Program Doktor, InstitutTeknologi Bandung. [2] Avadayappan, S., Bhuvaneshwari, M. dan Chitra,  P.  J.  B.  (2018):  Non-isolated resolving  number  for  some  splitting graphs, International Journal of Mathematical Combinatorics, 9–18.
[3] Diestel, R. (2005): Graph Theory, Springer Book, New York.
[4] Harary,  F.  dan  Melter,  R.  A.  (1976).  On themetric  dimension  of  graph,  Ars Combinatoria, 2, 191–195.
[5] Chartrand,  G.,  Eroh,  L.,  Johnson,  M.  A. dan Oellermann,
O. R. (2000):
Resolvability  in  graphs  and  the  metric dimension  of  a  graph,  Discrete  Applied Mathematics, 105, 99–113.
[6] Chartrand,  G.  dan  Zhang,  P.  (2003):  The theory  and  application  of  resolvability  in graphs,  Congressus  Numerantium,  160, 47–68.
[7] Chitra, P. J. B. dan Arumugam, S. (2015): Resolving  Sets  without  Isolated  Vertices, Procedia Computer Science, 74, 38–42.
[8] Harary, F. dan Melter, R. A. (1976): On the metric dimension of graph, Ars
Combinatoria, 2, 191–195.
[9] Khuller,  S.,  Raghavachari, B.  dan Rosenfield,  A.  (1996):  Landmarks  in graphs, Discrete Applied Mathematics, 70, 217–229.
[10] Santoso,  J  and  Darmaji.  (2018):  The partition dimension of cycle books graph, doi :10.1088/1742-6596/974/1/012070.
[11] Seb ö , A. dan Tannier, E. (2004): On metric generators  of  graphs,  Mathematics  of Operations Research, 29, 383–393.
[12] Slater,  P.J.  (1975).  Leaves  of  trees, Proceeding  of  the  6 Th Southeastern Conference  on  Combinatorics,  Graph Theory  and  Computing,  Congressus Numerantium, 14, 549-559.