Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 11-24 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.7917

## Pelabelan Jarak Tidak Teratur Titik pada Graf Persahabatan Lengkap Diperumum
Cindy Ainun Majid 1 *, Dian Eka Wijayanti 1 , Aris Thobirin 1 , Puguh Wahyu Prasetyo 2 1,2 Universitas Ahmad Dahlan; Kampus 4 UAD, Jalan Lingkar Selatan, Tamanan, Bantul, Indonesia 1 Program Studi Matematika UAD Yogyakarta, 2 Program Studi Pendidikan Matematika UAD Yogyakarta e-mail: cindyainunmajid@gmail.com
Diajukan: 31 Oktober 2020, Diperbaiki: 7 Januari 2023, Diterima: 2 Maret 2023

## Abstrak
Pelabelan graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen graf seperti titik, sisi, titik dan sisi. Pelabelan jarak tak teratur titik merupakan salah satu jenis pelabelan hasil pengembangan dari pelabelan jarak ajaib dan pelabelan jarak ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) anti-ajaib. Jika diberikan suatu graf sederhana 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) , maka bobot 𝑣𝑣 dihitung berdasarkan jumlah label dari himpunan titik tetangga  terbuka 𝑣𝑣 yaitu 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 ) . Nilai ketidakteraturan jarak pada graf 𝐺𝐺 , dinotasikan dengan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) , adalah nilai terkecil dari label terbesar 𝑘𝑘 sehingga 𝐺𝐺 memiliki 𝑘𝑘 − pelabelan jarak  tidak  teratur  titik.  Penelitian ini bertujuan  untuk mengkonstruksikan bentuk graf persahabatan lengkap diperumum ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ), menentukan fungsi pelabelan, menentukan nilai jarak ketidakteraturan,  kemudian merumuskan dan membuktikan teorema hasil pelabelan tersebut. Objek dari penelitian ini adalah pemberian label pada setiap titik pada graf persahabatan lengkap diperumum. Metode penelitian ini adalah studi pustaka  yang diperoleh melalui berbagai sumber. Berdasarkan hasil penelitian, diketahui bahwa graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 mempunyai pelabelan jarak tidak teratur titik, dengan  fungsi pelabelan 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 ) = 1, 𝜆𝜆�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 � = 𝑗𝑗 + 2( 𝑑𝑑 − 1), 𝑑𝑑 = 1, … , 𝑚𝑚 dan 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛 ,  untuk  suatu bilangan bulat m dan n , 𝑛𝑛 ≥ 3 .  Nilai ketidakteraturan titik 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) pada graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah 2( 𝑚𝑚 − 1) + 𝑛𝑛 . Kata Kunci : jarak, ketetanggaan terbuka, pelabelan jarak tidak teratur titik, nilai ketidakteraturan titik, graf persahabatan lengkap diperumum,.

## Abstract
Graph labeling is the labeling of graph elements such as vertex, edge and both. distance vertex irregular labeling is a type of labeling resulting from the development of distance magic labeling and (a, b)-distance anti-magic labeling.  Let 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) , be a simple graph.  The distance vertex irregular labeling of 𝐺𝐺 is a vertex labeling so that the weight of each vertex 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) is different. The weight of 𝑣𝑣 is calculated based on the sum of vertices  label  in  the set of neighboring vertex 𝑣𝑣 , namely 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 ). Distance vertex  irregularity  strength of 𝐺𝐺 , denoted as d 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) , is the smallest value of the largest label ( 𝑘𝑘 ) so that 𝐺𝐺 has a distance vertex irregular 𝑘𝑘 − labeling.    This study aims to construct a generalized complete friendship graph �𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � ,  determine the labeling function, determine the distance vertex irregularity strength then formulate and prove the theorem resulting from the labeling. The object of this research is to label each vertex on a generalized complete friendship graph. This research method is a literature study obtained through various sources. Based on the research results, it is known that the graph 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 has distance vertex irregular labeling. For an integer m and n, 𝑛𝑛 ≥ 3 , the  labeling  function of 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 is 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 ) = 1, 𝜆𝜆�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 � = 𝑗𝑗 + 2( 𝑑𝑑 − 1), 𝑑𝑑 = 1, … , 𝑚𝑚 and 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛 . Distance vertex  irregularity  strength of generalized complete friendship graph is 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � = 2( 𝑚𝑚 − 1) + 𝑛𝑛 .
Keywords :  distance,  open neighbors,  distance vertex irregular labeling,  distance  vertex    irregularity strength, generalized complete friendship grap

## 12

## 1 Pendahuluan
Graf merupakan suatu struktur yang terdiri dari titik yang disebut dengan vertex dan rusuk atau edge yang merupakan penghubung vertex . Graf banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan atau menyatakan suatu permasalahan tertentu seperti masalah transportasi agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan secara matematis . Permasalahan tersebut dimodelkan dalam bentuk graf 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) , dimana 𝑉𝑉 adalah sebuah himpunan berhingga tak kosong dari elemen yang disebut vertex atau titik, dan 𝐸𝐸 adalah sebuah himpunan berhingga (yang memungkinkan berupa himpunan kosong) dari pasangan tak terurut 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) yang disebut sisi. 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) disebut himpunan titik dari 𝐺𝐺 dan 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) disebut himpunan sisi dari 𝐺𝐺 . Salah satu topik teori graf yang menarik dan dapat dimanfaatkan dalam berbagai bidang ilmu adalah pelabelan graf. Pelabelan graf dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah jaringan komputasi dan pembangkitan kunci dalam kriptografi.  Pelabelan graf merupakan  suatu fungsi injektif yang memetakan unsur himpunan titik dan unsur himpunan sisi ke himpunan bilangan asli yang disebut dengan label. Jika domain fungsi adalah sebuah himpunan titik maka disebut pelabelan titik, jika domain fungsi adalah sebuah himpunan sisi maka disebut pelabelan sisi sedangkan jika domain fungsi adalah sebuah himpunan titik dan sisi maka disebut pelabelan total [1]. Pelabelan graf dapat digunakan untuk memodelkan suatu masalah yang dipresentasikan oleh titik dan sisi agar memudahkan dalam menganalisis dan mengambil Simpulan, misalnya pada masalah penjadwalan  [2].  Berdasarkan sejarah perkembangannya, pelabelan graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 1964 oleh Sedlacek, kemudian dilanjutkan tahun 1966 oleh Stewart dan pada tahun 1972 oleh Kotzig serta Rosa  [3]. Hingga kini dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf, yaitu pelabelan harmonis, pelabelan tak teratur, pelabelan graceful , pelabelan ajaib (magic labeling)  dan pelabelan anti ajaib (anti magic labeling). Pelabelan tidak teratur sendiri pertama kali dikenalkan oleh Chartrand pada tahun 1986 dan didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap elemen dalam himpunan sisi suatu graf ke himpunan {1,2, … , 𝑘𝑘 } yang menghasilkan bobot setiap titik berbeda [4]. Suatu graf sederhana 𝐺𝐺 dikatakan memiliki 𝑘𝑘 − pelabelan tidak teratur titik jika setiap dua titik berbeda 𝑥𝑥 dan 𝑢𝑢 memiliki bobot yang berbeda. Nilai ketidakteraturan graf 𝐺𝐺 dinotasikan 𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) , adalah bilangan positif terkecil sedemikian sehingga graf 𝐺𝐺 memiliki 𝑘𝑘 − pelabelan tak teratur. Pelabelan jarak yaitu pelabelan yang domainnya titik yang memperhitungkan jarak antar titik yang bertetangga. Pelabelan jarak merupakan pelabelan dengan tujuan memperhitungkan bobot suatu titik berdasarkan jumlah nilai fungsi dari titik yang bertetangga dengan titik 𝑛𝑛 tersebut. Penelitian terkait jenis-jenis pelabelan sudah banyak dilakukan, akan tetapi pelabelan yang masih jarang dikaji yaitu pelabelan berdasarkan jarak yang disebut pelabelan jarak. Pelabelan jarak juga dapat
dibagi menjadi beberapa pelabelan, salah satunya adalah pelabelan jarak tak teratur titik. Pelabelan jarak tak teratur titik yaitu pelabelan dengan memberikan nilai bilangan bulat positif (nilai yang digunakan boleh berulang) pada himpunan titik dari suatu graf. Bobot titik yang dihasilkan dari jumlahan semua label titik yang berdekatan harus mempunyai nilai yang berbeda [5]. Penelitian tentang pelabelan jarak tak teratur titik pada beberapa graf sudah banyak dilakukan misalnya oleh [5], [6], dan [7]. Meskipun banyak penelitian tentang pelabelan tak teratur, akan tetapi belum ada peneliti yang melakukan penelitian tentang pelabelan jarak tak teratur titik. Disisi lain graf persahabatan lengkap diperumum mempunyai banyak kegunaan, salah satunya sebagai alternatif desain jaringan komputer. Pada jaringan komputer yang berbentuk graf persahabatan lengkap diperumum, terdapat satu server utama yang terhubung dengan 𝑛𝑛 komputer yang saling terhubung satu sama lain. Hal inilah yang menjadi latar belakang peneliti untuk melakukan penelitian topik tersebut. Berikut ini diawali dengan definisi dari graf persahabatan sebagai berikut.
Definisi 1 [8] Graf Persahabatan (Friendship) dinotasikan 𝑓𝑓𝑚𝑚 , merupakan hasil operasi join dari graf lengkap ( 𝐾𝐾 1 ) dengan graf lintasan 𝑃𝑃 2 sebanyak m .
Untuk memperkuat konsep, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 1 [8] Berikut adalah contoh beberapa graf persahabatan dapat dilihat pada Gambar 1 di bawah ini.

## Gambar 1. Graf Persahabatan
Definisi 2 [9] Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya terhubung kesemua titik lainnya. Graf lengkap dengan 𝑛𝑛 buah titik dilambangkan dengan 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , setiap titik pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 berderajat 𝑛𝑛 − 1. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari 𝑛𝑛 titik adalah ( 𝑛𝑛 − 1) .
Contoh 2 [9]  Untuk memperkuat pemahaman Definisi 2, berikut ini merupakan contoh graf lengkap dapat dilihat pada Gambar 2.

## 14 Pelabelan Jarak Tidak Teratur Titik pada Graf Persahabatan Lengkap Diperumum
Definisi 3 [10] Graf bintang 𝑆𝑆 𝑚𝑚 adalah graf dengan 𝑚𝑚 +  1 titik, dengan satu titik berderajat 𝑚𝑚 , yang dinamakan titik pusat, dan 𝑚𝑚 titik berderajat satu, yang dinamakan daun .
Untuk memperjelas Definisi 3 akan diberikan contoh yang memberikan ilustrasi graf bintang 𝑆𝑆 𝑚𝑚 . Contoh 3 [10] Contoh dari graf bintang dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.

## Gambar 3. Graf Bintang 𝑆𝑆 𝑚𝑚
Definisi 4 [1] Pelabelan jarak tak teratur titik adalah sebuah fungsi 𝑓𝑓 ∶ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2, … , 𝑘𝑘 } sedemikian sehingga bobot dari setiap himpunan titiknya berbeda. Sehingga bobot dari titik 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) dari pelabelan 𝑓𝑓 dapat didefinisikan sebagai berikut: 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 )   = ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑢𝑢∈𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 ) dimana 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 ) adalah sebuah himpunan dari semua tetangga dari titik 𝑣𝑣 yaitu himpunan titik yang berjarak 1. Dengan kata lain bobot dari titik 𝑣𝑣 adalah jumlah semua label titik tetangga dari titik 𝑣𝑣 tersebut . Definisi 5 [11] Operasi join (joint) 𝐺𝐺 1 + 𝐺𝐺 2 masing-masing memiliki titik dan sisi, dimana setiap sisi yang berasal dari 𝐺𝐺 1 bertetangga dengan semua titik yang berasal dari 𝐺𝐺 2 . Join dari graf 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 dinotasikan sebagai 𝐺𝐺 = 𝐺𝐺 1 + 𝐺𝐺 2 adalah suatu graf 𝐺𝐺 dengan himpunan titik 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) = 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 1 ) ∪ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 2 ) dan himpunan sisi 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) = 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 1 ) ∪ 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 2 ) ∪ { 𝑢𝑢𝑣𝑣 | 𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 1 ), 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 2 ). Contoh 4 [11] Misalkan diketahui suatu graf 𝐺𝐺 1 yang terdiri dari 2 titik yang dihubungkan oleh satu sisi dan graf 𝐺𝐺 2 adalah suatu graft bintang dengan tiga titik. Ilustrasi operasi join pada suatu graf 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 adalah sebagai berikut.
Gambar 4. Operasi Join
15 Cindy Ainun Majid, Dian Eka Wijayanti, Aris Thobirin, Puguh Wahyu Prasetyo
Definisi-definisi dan contoh-contoh yang telah disebutkan pada bagian pendahuluan ini akan digunakan sebagai pengantar untuk memahami hasil penelitian yang akan disampaikan dalam paper ini pada bagian ketiga.

## 2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian dengan kajian pustaka ( Library Research ). Peneliti membaca dan mempelajari literatur-literatur pendukung  tentang pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum, kemudian menyusun simpulan dalam bentuk sebuah teori dan membuktikan teori tersebut secara matematis.

## 2.1 Pengumpulan literatur terkait
Penelitian  yang dilaksanakan  berupa studi pustaka dengan mempelajari literatur-literatur yang berhubungan dengan permasalahan yang telah disampaikan pada bagian Pendahuluan. Data yang digunakan adalah hasil-hasil penelitian yang dipublikasikan baik dalam buku, artikel ilmiah dalam prosiding maupun jurnal. Penulis mencari dan mengumpulkan literatur-literatur yang membahas tentang pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum, serta materi lain yang berhubungan dengan pokok bahasan tersebut, sehingga dapat melengkapi pengembangan teori yang akan dirumuskan.

## 2.2 Kajian Literatur
Peneliti membaca dan mempelajari literatur-literatur yang telah terkumpul tentang pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum. Kemudian peneliti merumuskan konjektur yang selanjutnya akan dibuktikan secara matematis sehingga diperoleh suatu teorema baru yang dapat memberikan kontribusi dalam perkembangan Teori Graf. Adapun hasil dalam penelitian ini diwujudkan dalam bentuk definisi, lemma, dan teorema.

## 2.3 Pengembangan
Berdasarkan kajian literatur-literatur yang bersesuaian dengan pembahasan di atas, penulis dapat melakukan pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum tersebut. Selanjutnya, penelitian dilakukan dengan membuktikan konjektur-konjektur yang telah berhasil disusun secara matematis.
2.4 Tahapan Penelitian
Adapun langkah-langkah atau tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mengonstruksikan pola pada graf persahabatan lengkap diperumum.
2. Melakukan pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum.

## 16
3. Mengamati pola-pola pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum.
4. Menyusun teorema hasil dari pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum.
5. Mencari nilai ketakteraturan jarak dari pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini dikonstruksi suatu graf yang merupakan hasil operasi join dari dua buah graf lengkap 𝐾𝐾 1 dan 𝑛𝑛 buah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Diberikan graf lengkap 𝐾𝐾 1 dengan himpunan titik 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 1 ) = { 𝑣𝑣 0 } dan graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 sebanyak 𝑚𝑚 buah. Dinotasikan 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 sebagai graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang ke −𝑑𝑑 , sehingga diperoleh:
𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 ), 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 2 ), . . . , 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 ) = { 𝑣𝑣 1 , 1 , 𝑣𝑣 1 , 2 , . . . , 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛 }, . . . , { 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , . . . , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 }
𝐸𝐸�𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 � , 𝐸𝐸�𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 2 � , . . . , 𝐸𝐸�𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 � = �𝑣𝑣 1 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 1 , 𝑗𝑗 � , . . . , � 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 , � ; 𝑑𝑑 , 𝑗𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛𝑛 }, 𝑑𝑑 ≠ 𝑗𝑗 Gabungan 𝑚𝑚 buah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 dinotasikan dengan 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 adalah sebagai berikut:
𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 ∪ 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 2 ∪ , … , ∪ 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 = ∪ 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 𝑉𝑉 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = � 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ; 𝑑𝑑 = 1, … , 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛�
𝐸𝐸 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = { 𝑣𝑣 1 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 1 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 2 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 2 , 𝑗𝑗 , . . . , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 ; 𝑑𝑑 = 1, . . . , 𝑛𝑛 , 𝑗𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ≠ 𝑗𝑗 }
maka
| 𝑉𝑉 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| = 𝑚𝑚𝑛𝑛 dan | 𝐸𝐸 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| = 𝑚𝑚 . 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 ) 2
Kontruksi di atas memotivasi adanya definisi graf persahabatan lengkap diperumum sebagai berikut.
Definisi 6 Graf persahabatan lengkap diperumum dinotasikan dengan 𝐾𝐾 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah graf hasil operasi join graf lengkap 𝐾𝐾 1 dengan 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 , yaitu 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Himpunan titik dan sisi pada graf persahabatan lengkap diperumum adalah sebagai berikut
𝑉𝑉�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � = 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 1 ) ∪ 𝑉𝑉 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = { 𝑣𝑣 0 } ∪ �𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ; 𝑑𝑑 = 1, … , 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛� dengan
�𝑉𝑉�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 �� = 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1
dan
𝐸𝐸�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � = �𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ; 𝑑𝑑 = 1, … , 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛� ∪ { 𝑣𝑣 1 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 1 , 𝑗𝑗 , 𝑣𝑣 2 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 2 , 𝑗𝑗 , … , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑗𝑗 ;
𝑑𝑑 = 1, . . . , 𝑛𝑛 , 𝑗𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑛 , 𝑑𝑑 ≠ 𝑗𝑗 } dengan
�𝐸𝐸�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 �� = | 𝐸𝐸 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 )| + | 𝐸𝐸 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) + 𝑣𝑣 0 | = 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 .
Untuk memperjelas konsep graf persahabatan yang diperumum, ilustrasi graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 , dengan 𝑛𝑛 = 4 dapat dilihat pada Gambar 5 berikut ini :
Gambar 5. Graf Persahabatan Lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 4 Lemma  7 Graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 mempunyai 1 titik dengan derajat terbesar 𝛥𝛥 = 𝑚𝑚𝑛𝑛 dan 𝑚𝑚𝑛𝑛 titik dengan derajat sama yaitu 𝑛𝑛 .
Bukti Tinjau graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 yang titik-titiknya telah diberi nama seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 6. Graf Persahabatan Lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛

## 18
Perhatikan bahwa graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 memiliki himpunan sisi 𝐸𝐸�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � = { 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 , 1 , 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 , 2 , … , 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛 , … , 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 2 , … , 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 } ∪ 𝐸𝐸 ( 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) dengan 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 0 ) = { 𝑣𝑣 1 , 1 , … , 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛 , … , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 , … , 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 } , sehingga 𝑑𝑑 ( 𝑣𝑣 0 ) = | 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 0 )| = 𝑚𝑚𝑛𝑛 , yang merupakan derajat terbesar titik pada 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 . Berdasarkan Definisi 6 diketahui bahwa 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah graf hasil operasi join graf lengkap 𝐾𝐾 1 dengan 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 , yaitu 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 , maka 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 memiliki titik yang berasal dari 𝑛𝑛 buah 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , dengan derajat titik 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ditambah 𝑣𝑣 0 maka 𝑚𝑚𝑛𝑛 titik dengan derajat sama yaitu 𝑛𝑛 .
Berdasarkan  Observasi 1 pada Slamin dalam  [5]  yang menyatakan bahwa  graf hasil konstruksi di  atas mempunyai pelabelan jarak tak teratur titik karena setiap titik dalam graf persahabatan lengkap diperumum tidak mempunyai tetangga yang sama, bagian selanjutnya akan menjelaskan pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum yaitu dengan menyelidiki nilai formula pelabelan dan nilai ketakteraturan titik pada graf tersebut.
Graf persahabatan lengkap diperumum diperoleh dari operasi join graf 𝐾𝐾 1 dengan 𝑚𝑚 buah graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Untuk 𝑛𝑛 = 1 diperoleh graf bintang 𝑆𝑆𝑚𝑚 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 1 (lihat Gambar 3). Dari Gambar 3 diketahui bahwa graf 𝑆𝑆𝑚𝑚 tidak mempunyai pelabelan jarak tak teratur titik karena setiap titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝑆𝑆 𝑚𝑚 ); 𝑑𝑑 = 1, . . ., m mempunyai tetangga yang sama yaitu 𝑣𝑣 0 . Untuk 𝑛𝑛 = 2 diperoleh graf persahabatan 𝑓𝑓𝑚𝑚 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 2 akan diperoleh graf persahabatan 𝑓𝑓𝑚𝑚 .

## Gambar 7. Graf Persahabatan
Perhatikan Gambar 7 di atas. Nilai ketakteraturan jarak pada graf 𝐺𝐺 adalah 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑓𝑓 𝑚𝑚 ) = 2 𝑛𝑛 , dapat dilihat dalam  [12]. Untuk 𝑛𝑛 = 3,4, . . . , 𝑛𝑛 nilai ketakteraturan jarak akan dibahas melalui beberapa teorema dan contoh berikut ini. Berdasarkan Lemma  7 diketahui bahwa graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 memiliki derajat terkecil 𝛿𝛿 = 𝑛𝑛 dan derajat terbesar 𝛥𝛥 = 𝑚𝑚𝑛𝑛 . Dimana jumlah keseluruhan titik �𝑉𝑉�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 �� = 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1 dan jumlah keseluruhan sisi
�𝐸𝐸�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 �� = 𝑚𝑚 . | 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 )| 2 . Selanjutnya akan dibahas pelabelan jarak tak teratur titik untuk 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 3 .
Contoh 5 Pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 5 , 4 dapat dilihat pada Gambar 8 di bawah ini.
Gambar 8. Pelabelan Jarak Tak Tertur Titik pada Graf Persahabatan Lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 Selanjutnya akan ditentukan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 5 , 4 ) . Perhatikan bahwa d engan  fungsi  pelabelan  λ  yang didefinisikan sebagai berikut:
𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 ) = 1 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ) = 𝑗𝑗 + 2( 𝑑𝑑 − 1 ) ; 𝑑𝑑 = 1,2, . . . ,5 dan 𝑗𝑗 = 1,2, . . . ,4
maka diperoleh nilai 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 5 , 4 ) = 12 , dengan bobot terbesar dimiliki oleh 𝑣𝑣 0 yaitu 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 0 ) = 130 . Teorema  berikut ini menyajikan nilai minimal 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) dari graf persahabatan lengkap diperumum ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) .
Teorema 8 Jika 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 adalah graf persahabatan lengkap diperumum maka diperoleh
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) ≥ 2 𝑚𝑚 + ⌈ 𝑛𝑛 2 ⌉ − 1
Bukti Berdasarkan Definisi 6 diketahui bahwa 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 1 + 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 dengan 𝑚𝑚𝐾𝐾 𝑛𝑛 = 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 ∪ 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 2 ∪ . . . ∪ 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑚𝑚 , 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 = 𝐾𝐾 𝑛𝑛 . Indeks 𝑑𝑑 menunjukkan graf lengkap 𝐾𝐾 𝑛𝑛 yang ke − 𝑑𝑑 , dengan 𝑑𝑑 = 1, . . . 𝑚𝑚 , dan 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 ) = 𝑛𝑛 (berdasarkan Teorema 1 dalam [5]). Dari Gambar 6 diketahui bahwa 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 adalah subgraf dari 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 . Tanpa mengurangi keumuman, namakan 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 sebagai subgraf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 yang memiliki titik dengan bobot terkecil di 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 yaitu 𝑣𝑣 . Dari observasi 2 dalam [5] diketahui bahwa
label setiap titik pada 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 ) berbeda, sehingga dengan memberi label 1 pada 𝑣𝑣 0 titik pusat 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 diperoleh:
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 ) = 1 + � 𝑗𝑗 𝑛𝑛−1 𝑗𝑗=1 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1.
Bobot terbesar di subgraf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 haruslah lebih besar atau sama dengan,
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1 + 𝑛𝑛 − 1
Karenanya bobot titik terkecil pada graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 selanjutnya haruslah lebih besar dari 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 ) 2 + 𝑛𝑛 , yaitu
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 − 1
Dan bobot terbesar pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 tersebut haruslah,
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 − 1 + 𝑛𝑛 − 1
Untuk graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 yang memiliki subgraf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 sebanyak 𝑚𝑚 . Bobot titik terbesar 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 haruslah lebih besar dari
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 )
2 + 𝑚𝑚 ( 𝑛𝑛 − 1) + ( 𝑚𝑚 − 1 )( 𝑛𝑛 − 1) = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 + 1 sehingga diperoleh
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 𝑚𝑚 ( 𝑛𝑛 − 1) + ( 𝑚𝑚 − 1 )( 𝑛𝑛 − 1) = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 2 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 + 1
Karena label adalah besarnya bobot dibagi derajat titik maka label terbesar  pada graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 haruslah lebih besar atau sama dengan,
� 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 2 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 + 1 𝑛𝑛 − 1 �
= � 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1) + 2 𝑚𝑚 ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑛𝑛 − 1 − ( 𝑛𝑛 − 1 ) 𝑛𝑛 − 1 � = � 𝑛𝑛 2 + 2 𝑚𝑚 − 1 � = 2 𝑚𝑚 + � 𝑛𝑛 2 � − 1
sehingga diperoleh,
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) ≥ 2 𝑚𝑚 + � 𝑛𝑛 2 � − 1
Selanjutnya pada teorema di bawah ini akan diberikan syarat cukup agar  diperoleh 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) = 2 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 2 .
Teorema 9 Graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 mempunyai pelabelan jarak tak teratur titik dengan nilai jarak ketakteraturan, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) = 2 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 − 2.
Bukti Diberikan graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 dengan penamaan titik seperti pada Gambar 6. Graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 memiliki 𝑚𝑚 buah graf 𝐾𝐾𝑛𝑛 sebagai subgrafnya. Pembuktian pada Observasi 2 dalam [5] yang menyatakan bahwa label setiap titik pada 𝐾𝐾 𝑛𝑛 haruslah berbeda. Lebih lanjut, d efinisikan λ , suatu fungsi pelabelan jarak tak teratur titik pada graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 sebagai berikut:
𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 )  =  1 𝜆𝜆 �𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 � = 𝑗𝑗 + 2( 𝑑𝑑 − 1 ); 𝑑𝑑 = 1, . . . 𝑚𝑚 dan 𝑗𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑛
Pelabelan pada graf ini dapat dilihat pada Gambar 9 di bawah ini dengan warna merah menunjukan label titik.
Gambar 9. Pelabelan Jarak Tak Teratur Titik pada 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 Oleh sebab itu diperoleh
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ) = 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 ) + � 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 ) 𝑣𝑣 ∈ 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 0 )   = � 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 ) 𝑣𝑣 ∈ 𝑁𝑁 ( 𝑣𝑣 0 )
Karena 𝑣𝑣 0 bertetangga dengan semua titik �𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 � , 𝑑𝑑 = 1, . . . , 𝑚𝑚 dan 𝑗𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑛 maka bobot 𝑣𝑣 0 adalah jumlahan semua label titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 pada 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 , yaitu:
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 0 ) = ∑ 𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ), 𝑑𝑑 = 1, . . . , 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑗𝑗 = 1, . . . , 𝑛𝑛 Hal ini menyebabkan titik 𝑣𝑣 0 tidak mempengaruhi besarnya 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ) . Untuk graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 1 diperoleh bobot titik, sebagai berikut:
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛 ) = 1 + 2+. . . + 𝑛𝑛 − 1 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 1 , 𝑛𝑛−1 )   =  1 + 2+. . . + 𝑛𝑛 − 2 + 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1 + 1
⋮
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 1 , 1 )  =  2 + 3+. . . + 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1
Diperoleh barisan bobot yang bersesuaian
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2, . . . , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1
Dapat dilihat pada Gambar 9 bahwa label titik 𝑣𝑣 𝑟𝑟 , 𝑘𝑘 pada graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑟𝑟 berselisih 2 dari titik 𝑣𝑣 𝑟𝑟+1 , 𝑘𝑘 , dengan 𝑟𝑟 = 1, . . . , 𝑚𝑚 , dan 𝑘𝑘 = 1, . . . , 𝑛𝑛 . Karena jika label tersebut sama, akan menghasilkan barisan bobot yang sama. Jika 𝑣𝑣 𝑟𝑟 , 𝑘𝑘 dan 𝑣𝑣 𝑟𝑟+1 , 𝑘𝑘 berselisih 1 maka 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 𝑟𝑟+1 , 𝑛𝑛 ) = 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 𝑟𝑟 , 1 ) sehingga selisih minimal setiap titik yang bersesuaian antara graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 haruslah 2.
Untuk graf 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 2 diperoleh bobot titik, yaitu:
𝑤𝑤�𝑣𝑣 2 , 𝑛𝑛 � =  3 + 4+. . . +( 𝑛𝑛 − 1 + 2 ) + 1 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1
𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 2 , 𝑛𝑛−1 ) =  3 + 4+. . . + 𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1 + 1 ⋮ 𝑤𝑤 ( 𝑣𝑣 2 , 1 ) = 4 + 5+. . . + 𝑛𝑛 + 2 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1 Diperoleh barisan bobot yang bersesuaian, yaitu:
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 )
2 + 2( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2( 𝑛𝑛 − 1 ) + 2, . . . , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 3( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1
Jika langkah-langkah ini dilakukan secara sama untuk semua subgraf K n i , maka akan diperoleh barisan bobot yang bersesuaian yaitu:
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2, … , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1,
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1) 2 + 2( 𝑛𝑛 − 1) + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 2( 𝑛𝑛 − 1 ) + 2, … , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 3( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1,
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 4( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 4( 𝑛𝑛 − 1 ) + 2 + ⋯ + 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 − 1 ) 2 + 5( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1, ⋮
𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 ) 2 + 2( 𝑚𝑚 − 1) ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1, 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 ) 2 + 2( 𝑚𝑚 − 1 ) ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 2, . . . , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−1 ) 2 + (2 𝑚𝑚 −
1 ) ( 𝑛𝑛 − 1 ) + 1
Oleh sebab itu, label terbesar dimiliki oleh titik 𝑣𝑣 𝑚𝑚 , 1 yaitu 2( 𝑚𝑚 − 1 ) + 𝑛𝑛 , dengan demikian terbukti bahwa
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 � = 2( 𝑚𝑚 − 1 ) + 𝑛𝑛 .
Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki oleh Graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 yang disajikan pada dua teorema sebelumnya, selanjutnya diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 10 Graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 tidak mempunyai pelabelan jarak tak teratur titik inklusi yaitu pelabelan jarak pada ketetanggaan tertutup..
Bukti Diberikan suatu graf 𝐾𝐾𝑓𝑓 m , n pada pelabelan jarak tak teratur titik inklusi. Bobot setiap titik 𝑣𝑣 ∈ 𝐾𝐾𝑓𝑓 m , n dihitung berdasarkan jumlahan label dari titik-titik anggota himpunan tetangga tertutup yang dinotasikan dengan 𝑁𝑁 [ 𝑣𝑣 ] .  Ambil sebarang 𝑣𝑣 i , k , 𝑣𝑣 i , l ≤ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 ) ⊂ 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾𝑓𝑓 m , n ) maka:
𝑁𝑁�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑘𝑘 � = 𝑁𝑁�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑘𝑘 � ∪ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑘𝑘 } = 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 ) 𝑁𝑁�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑙𝑙 � = 𝑁𝑁�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑙𝑙 � ∪ { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑙𝑙 } = 𝑉𝑉 ( 𝐾𝐾 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 )
Berdasarkan Lemma 1 dalam [5] diperoleh 𝑣𝑣 i , k dan 𝑣𝑣 i , l memiliki bobot yang sama. Terbukti graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 tidak mempunyai pelabelan jarak tak teratur titik inklusi.

## 4  Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan mengenai pelabelan jarak tak teratur titik pada graf persahabatan lengkap diperumum, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Konstruksi dari graf persahabatan lengkap diperumum merupakan hasil operasi join dari dua buah graf lengkap 𝐾𝐾 1 dan m buah graf lengkap 𝐾𝐾 n .
2. Fungsi pelabelan jarak tak teratur titik pada graf Kf m;n yaitu sebagai berikut:
𝜆𝜆 ( 𝑣𝑣 0 )  =  1 𝜆𝜆�𝑣𝑣 i , j � = 𝑗𝑗 +  2( 𝑑𝑑 − 1); 𝑑𝑑 =  1, … , 𝑚𝑚 dan 𝑗𝑗 =  1, . . , 𝑛𝑛
3. Graf persahabatan lengkap diperumum memiliki pelabelan jarak tak teratur titik untuk 𝑛𝑛 ≥ 3N .
4. Nilai  ketakteraturan titik 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐺𝐺 ) pada graf persahabatan lengkap diperumum 𝐾𝐾𝑓𝑓 m , n adalah 2( 𝑚𝑚 − 1) + 𝑛𝑛 .

## 5  Ucapan Terima Kasih
Ucapan terimakasih kami haturkan kepada Universitas Ahmad Dahlan yang telah menyediakan sarana maupun prasarana selama penelitian ini berlangsung termasuk penggunaan Laboratorium Terpadu Universitas Ahmad Dahlan yang terletak pada kompleks Kampus 4 Universitas Ahmad Dahlan, Jalan Lingkar Selatan, Tamanan, Bantul.

## 24

## 6  Daftar Pustaka
[1]  H. Parkhurst, “Pelabelan Total (a,d)-Sisi Anti Ajaib Super Pada Gabungan Graf Lengkap mKn,” J. Mat. UNAND , 2014, doi: 10.25077/jmu.3.4.24-27.2014.
[2]  J. A. Gallian, “A Dynamic Survey of Graph Labeling,” Electron. J. Comb. , 2009.
[3]  I. P. Sahli, “Pelabelan Total (a,d)-Titik Antiajaib Super Pada Graf Petersen Yang Diperumum P(n,3) Dengan n Ganjil, n ≥ 7,” J. Mat. UNAND , 2014, doi:
10.25077/jmu.3.1.68-77.2014.
[4]  C. Corazon Marzuki, “Nilai Total Ketakteraturan Sisi Dari m-Copy Graf Lintasan,” J. Sains Mat. dan Stat. , vol. 5, no. 1, pp. 90–98, 2019.
[5]  Slamin, “On Distance Irregular Labelling of Graphs,” Far East J. Math. Sci. , 2017, doi: 10.17654/MS102050919.
[6]  N. H. Bong, Y. Lin, and Slamin, “On Distance-Irregular Labelings of Cycles and Wheels,” Australas. J. Comb. , 2017.
[7] M. Bača, A. Semaničová - Feňovčíková, Slamin, and K. A. Sugeng, “On Inclusive Distance Vertex Irregular Labelings,” Electron. J. Graph Theory Appl. , 2018, doi:
10.5614/ejgta.2018.6.1.5.
[8]  G. A. Liza, “Dimensi Partisi Dari Graf Persahabatan,” J. Mat. UNAND , 2019, doi: 10.25077/jmu.7.3.54-58.2018.
[9]  G. Chartrand, Introductory Graph Theory . New York: Dover Publications, Inc, 1985.
[10]  D. Irawati, “Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Bintang,” J. Mat. UNAND , 2013, doi: 10.25077/jmu.2.1.85-89.2013.
[11]  G. Chartrand and L. Lesniak, Graphs & Digraphs . 2016.
[12]  T. Windartini, Slamin, and Dafik, “Nilai Ketakteraturan Jarak dari Graf Friendship dan Graf Matahari,” in Prosiding Seminar nasional Matematika 2014 , 2014, pp. 211–219.