## ANALISIS DIGRAPH DARI TABEL CAYLEY GRUP DIHEDRAL
Wahyuni Abidin
Dosen Pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar
Abstract: Graph  theory  is  a  part  of  mathematics,  in  which  there  are explanations of digraphs. This research, purposed to show a table based on Cayley digraphs depiction dihedral group. A digraph can be described from a  group,  one  of  which  is  the  operation  of  the  Cayley  table  of  the  dihedral group.  Dihedral  group  is  the  group  of  the  set  of  symmetries  n-terms  of regular, denoted D2n, for each positive integer n, n  3. This, the dihedral group will be divided into two subsets, namely:
1. x = {1, r, ,...
} or known with subsets rotation;
2. v = {s, sr, ,... } or known with subsets reflection. Based  on  the  analysis  of  this  research  showed  that,  to  obtain  a  connected digraphs, the depiction of these digraphs, dihedral group can be formed on the  element  generator,  generator  (r,  s),  and  the  generator  (s,  sr)  to  form  a composite image with elements digraphs elements x and y. on the operation of the Cayley table dihedral group, which contained depictions digrap shekel same cannot be combined. From the results of the operation of the rotation and  reflection  on  the  dihedral  group  D6  Cayley  table  which  is  a  group  of abstract forms, latin squares, which can be described by a digraph elements of the generator it.
Keyword :  Eulerian  digraph,  Hamilton  digraph,  Cayley  Table,  Dihedral group, Reflection, Rotation.

## PENDAHULUAN
atematika  merupakan  penelaah  tentang  bilangan-bilangan,  bentuk- bentuk  dan  lambang-lambang.  Berkaitan  dengan  definisi  tersebut, matematika  seringkali  dibagi  menjadi  tiga  cabang,  yaitu  aljabar, analisis dan geometri. Aljabar membahas tentang bilangan dan pengabstrakannya, analisis  membahas  kekonvergenan  dan  limit,  sedangkan  geometri  membahas tentang bentuk dan konsep-konsep yang berkaitan dengan matematika itu sendiri. Dengan demikian, sebagai pengarah dalam penelitian ini, akan digunakan sebagai momen atau sarana untuk mengembangkan dan memperluas pengetahuan tentang ilmu  yang  telah  diperoleh,  baik  sebagai  bahan  pustaka,  pembelajaran,  dibidang ilmu  matematika,  khususnya  yang  berkaitan  denga  metode  graf  maupun  grup. Pada perkembangan selanjutnya, cabang matematika menjadi semakin banyak dan
M
salah  satunya  adalah  teori  graf.  Teori  graf  dalam  perkembangannya  dapat disejajarkan dengan aljabar yang lebih dahulu berkembang. Graf merupakan suatu himpunan  tak  kosong  dari  elemen-elemen  yang  disebut  titik  dan  himpunan  sisi yang  menghubungkan  titik-titik  tersebut.  Gambaran  dari  graph  adalah  dengan menyatakan  objek  dengan  titik  atau vertex ,  sedangkan  hubungan  antara  objek dinyatakan dengan garis atau edge .
Graf digunakan untuk menggambarkan objek-objek diskrit sehingga dapat menghubungkan  antara  objek-  objek  tersebut.  ( I  Ketut  Budayasa, Teori  Graf  dan Aplikasinya (Penerbit Unesa University Press – 2007),  h. 1 ).
Penggunaan  istilah  dalam  teori  graf  belum  sepenuhnya  bersifat  baku. Misalkan  untuk  menyatakan  suatu  titik  digunakan  istilah node ,  dan  untuk menyatakan suatu sisi  digunakan istilah sisi  atau  garis.  Istilah-istilah dalam  teori graf  dapat  diterima  jika  digunakan  secara  konsisten.  Teori  graf  mempunyai banyak  manfaat,  karena  teori-teorinya  terdapat  diterapkan  untuk  memecahkan masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari.  Permasalahan  yang  dirumuskan dengan teori  graf  dibuat  sederhana,  yaitu  diambil  aspek-aspek  yang  diperlukan  dan dibuang  aspek-aspek  lainnya  yang  tidak  diperlukan.  Kesederhanaan  bahasannya menyebabkan teori graf dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang ilmu. Teori  graf  dapat  diaplikasikan  dalam  bidang  kimia,  biologi,  ilmu  sosial,
musik  dan  masih  banyak  bidang  ilmu  yang  lain.  Teori  graf  juga  dapat diaplikasikan  pada  beberapa  cabang  ilmu  matematika  yang  lain,  salah  satunya adalah  aplikasi  teori  graf  pada  aljabar  abstrak  khususnya  yang  berkaitan  dengan grup.  Dalam  pembahasan  teori  graf  menjelaskan  suatu  graf  berarah  ( digraph ) yang  dapat  digambarkan  dari  suatu  grup  berdasarkan  tabel  Cayley,  sehingga dalam tabel tersebut akan dibahas tentang grup dihedral
. Oleh karena itu, teori graf  menurut  definisinya  adalah  himpunan  tidak  kosong  yang  memuat  elemen- elemen yang disebut titik, dan suatu daftar pasangan tidak terurut elemen itu yang disebut sisi.
Penulis  karya  ilmiah  ini  bertujuan  untuk  menunjukkan  penggambaran
digraph , berdasarkan pengoperasian Tabel Cayley grup dihedral.

## DEFINISI GRAPH
Sebuah  graf G adalah berisikan dua himpunan  yaitu himpunan berhingga tidak  kosong V(G) dari  objek-objek  yang  disebut  titik  dan  himpunan  berhingga (mungkin  kosong) E(G) yang  elemen-elemennya  disebut  sisi  sedemikian  hingga setiap  elemen  e  dalam E(G) merupakan  pasangan  tak  berurutan  dari  titik-titik V(G) .  Himpunan V(G) disebut  himpunan  titik  G,  dan  himpunan E(G) disebut himpunan  sisi  G.  ( I  Ketut  Budayasa, Teori  Graph  dan  Aplikasinya (Penerbit:  Unesa University    Press-2007),    h.  1  –  2. ).  Sebuah  graf  G  dapat  dipresentasikan  dalam bentuk  diagram  (gambar)  dimana  setiap  titik  G  digambarkan  dengan  sebuah noktah dan  setiap  sisi  yang  menghubungkan  dua  titik  di  G  digambarkan  dengan sebuah kurva  sederhana  (ruas  garis) dengan  titik-titik  akhir  disebuah  titik tersebuat.
130_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127
Misalkan Graf G dengan V(G) = {u, v, w, x} dan E(G) = { , , , , } dimana = uv, = vw, wx, = ux,
uw, dapat dipresentasikan dalam bentuk diagram. seperti tampak pada Gambar 2.1
Contoh
u v
G:
x w
Gambar 2.1 Graf G dengan 4 titik dan 5 sisi.

## DIGRAPH
Sebuah  graf  berarah  D  adalah  suatu  graf  yang  setiap  sisinya  diberikan orientasi  arah.  (Rinaldi  Munir, Matematika  Diskrit  Edisi  ketiga (Penerbit Impormatika Bandung, 2009), Copyright 2005, h. 358.). Jika sebuah titik
dan adalah dua titik pada  graf berarah  D dan e =  ( ) sebuah sisi  D, maka e disebut sisi-keluar dari titik dan e disebut sisi menuju titik
. Untuk efesiensi
sisi e = ( ) sering dirulis ( i, j ).
Contoh : Pada digraph H = (V(H), Γ (H)) dengan V(H) = {
} dan Γ (H) = { } dan Γ (H) = {( ), ( ), ( ), ( ), ( )} dapat
dipresentasikan seperti tampak pada Gambar 2.4.
Gambar 2.4 H digraph terhubung
Konsep jalan,  jejak,  lintasan,  sirkuit,  dan  sikel serupa  dengan  konsep jalan, jejek, lintasan, sirkuit, dan sikel pada graf tak berarah hanya saja sisi pada graf diganti dengan sisi pada graf berarah. Misalnya, pada Gambar digraph H
= ( , , , ,) adalah sikel berarah dengan panjang 3 pada graf berarah D.
Sikel pada gambar H = ( , , , , ,) memuat semua titik H, maka pada  gambar  H  adalah  sebuah  sikel  berarah-  Hamilton  pada  gambar  berarah  H. Dengan demikian, H adalah digraph Hamilton.

## GRUP
Suatu  grupoida  (G, * )  dengan  operasi  biner * membentuk  suatu  grup  jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:
1. Operasi * pada G bersifat asosiatif ; yaitu untuk setiap a, b, c, G berlaku (a *
b) * c = a * (b * c). 2. G terhadap  operasi  biner  *  mempunyai elemen  identitas ,  yaitu  ada  i G sedemikian sehingga a * i = i * a = a untuk setiap a  G 
3. Setiap  elemen  G,  mempunyai  invers  terhadap  operasi  biner * dalam  G  yaitu untuk setiap a G ada G sedemikian hingga a * = * a = i, i adalah elemen identitas dari G.
( Suharti Soebagio A. dan Sukirman Materi pokok Struktur Aljabar (Jakarta, Universitas Terbuka, Dekdigbud 1993), h. 142. ). Dari definisi tersebut, mengaitkan grup dengan grupoida,  yang  berarti  sudah  memenuhi  sifat  tertutup.  Dengan  perkataan  lain suatu  grup  adalah  gupoida  yang  memenuhi  sifat  asosiatif,  mempunyai  elemen identitas  dan  setiap  anggotanya  mempunyai  invers.  Apabila  dikaitkan  dengan semigrup dan monoida, akan menjadi sebagai berikut: Grup adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas dan setiap anggotanya mempunyai invers.

## Contoh :
Himpunan  bilangan  bulat  B  =  {…,-2,  -1,  0,  1,  2,…}  terhadap  operasi  biner penjumlahan.
a. Sifat  tertutup  dipenuhi,  yaitu  penjumlahan  bilangan  bulat  menghasilkan bilangan bulat.
b. Sifat  asosiatif  dipenuhi  yaitu  penjumlahan  bilangan-bilangan  bulat  bersifat asosiatif.
c. B terhadap operasi + mempunyai elemen identitas yaitu 0, sebab untuk setiap a B maka a + 0 = 0 + a = a.
d. Setiap  anggota  B  mempunyai  invers  terhadap  operasi  +,    yaitu  setiap  a B
ada = -a B sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0.
Jadi B dengan operasi + merupakan suatu grup dan ditulis (B; +) suatu grup.
e. Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap a, b B maka a + b = b + a. Jadi (B, +) grup komutatif.

## TABEL CAYLEY
Tabel Cayley ,  adalah  merupakan  salah  satu  cara  untuk  mendefinisikan operasi biner pada himpunan, khususnya himpunan berhingga. (Suharti Soebagio A.  dan  Sukirman Materi  pokok  Struktur  Aljabar (Jakarta,  Universitas  Terbuka,
Dekdigbud  1993),  h.  111-112).  Apabila  G  =  {i,  a,  b,  c,  …}  dengan  i,  a,  b  … elemen  yang  tidak  didefinisikan  pada  objek  tertentu  dan  dilengkapi  oleh  suatu operasi  biner  *,  yang memenuhi semua  sifat  grup, maka  (G,*) adalah  grup  abstrak. Grup ini merupakan pola bagi grup lainnya, dan abstrak dari elemen-elemen dan operasi tertentu. Elaman identitas dalam grup abstrak tersebut dinyatakan dengan i. Operasi biner pada grup abstrak didefinisikan dengan Tabel Cayley .
132_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127

## Contoh :
Misalkan Sifat-sifat grup dapat dilihat dalam Tabel dengan cara sebagai berikut: a. Jika dalam kolom semua elemen adalah anggota G maka (G,*) memenuhi sifat tertutup.
b. Sifat asosiatif dapat dicoba satu per satu.
c. Baris dan kolom yang urutan anggotanya sama dengan urutan baris dan kolom paling luar menunjukkan elemen identitas yaitu i.
d. Apabila  i  muncul  pada  baris  dan  kolom  yang  sama  berarti  anggota  tersebut mempunyai invers dirinya sendiri. Jadi invers i adalah i dan invers a adalah a. Apabila i muncul pada baris ke-2 kolom ke-3 dan muncul pula pada baris ke-3 klom ke-2 maka kedua anggota tersebut saling invers. Jadi = c dan
= b. Apabila tidak demikian berarti anggota tersebut tidak mempunyai invers.
e. Persamaan a x = b mempunyai penyelesaian tunggal apabila setiap baris dalam kotak  semua  anggota  berlainan.  Persamaan  y  a  =  b  mempunyai  penyelesain tunggal apabila setiap kolom dalam kotak semua anggota berlainan.
f. Apabila letak anggota dalam kotak simetris terdapat diagonal utama maka sifat komutatif dipenuhi.
Apabila  G  =  {i,  a,  b,  c,  d},  (G,  *)  disebut  grup  abstrak  ordo  5.  dengan operasi biner * dalam table Caylay adalah sebagai berikut:
Tabel 2.1 Tabel Cayley (G,*) grup. *     i a     b     c d i i a     b     c d a    a b     c    d i b    b c    d i a c    c d i a b d    d i a     b c
Pada Tabel tersebut, setiap anggota hanya muncul satu kali pada tiap baris dan tiap kolom dan memenuhi sifat grup.

## GRUP DIHEDRAL
Grup  dihedral  adalah  grup  dari  himpunan  simetri-simetri  dari  segi- n beraturan,  dinotasikan
,  untuk  setiap n N, n 3.  Dengan  operasi
komposisi  “  *  ”  yang  memenuhi  aksioma-aksioma  grup.  (Grup_dihedral http://anrusmath. files.pdf (15 Januari 2012)). Sifat-sifat pada grup dihedral- berlaku:
a. 1 , r, ,…, semua berbeda dan = 1 sehingga | r | = n b. | s | = 2
c. s untuk sebarang i .
d. untuk semua 0
i, j n – 1 dengan i j , sehingga = { 1 , r, ,…, , s, sr, ,..., }, yaitu, tiap-tiap elemen dapat di tulis
secara tunggal dengan bentuk untuk setiap k = 0 atau 1 dan 0 = i n – 1.
e. rs = .
f. s = , untuk semua 0 i n.

## FUNGSI PEMBANGKIT
Misalkan G suatu  grup  dan  misalkan A subset  dari G dengan A adalah himpunan  berhingga  { , ,…, }  akan  ditulis  ( , ,…, )  dari sehingga untuk  grup  yang  di  bangkitkan  oleh , ,…, ,    maka A disebut generator (pembangkit).
Contoh : Diberikan  S  adalah  generator  dengan  S  =  ( r , s ).  Maka  S  adalah  subset  dari . Tunjukkan bahwa dapat dibangkitkan oleh S dengan operasi komposisi *. Jawab :
adalah  himpunan  simetri-simetri  dari  segitiga  yaitu  {1, r, ,  s,  sr, }. Maka akan ditunjukkan dapat dibangkitkan oleh S = ( r , s ). 1. r * r =
2. * r = 1
3. 1 * r = r
4. r * s =
5. . * s = sr
6. 1 * s = s Dari  hasil  generator  S  =  ( r , s ) yang  dioperasikan  dengan  komposisi  *  maka diperoleh {1, r, , s, sr, }. Jadi
dapat dibangkitkan oleh S = ( r , s ).

## PROSEDUR PENELITIAN
Adapun Langkah-langkah dalam menunjukkan digraph yang digambarkan berdasarkan Tabel Cayley grup dihedral adalah sebagai berikut:
a. Menggambarkan  setiap  elemen  dari  grup  dihedral sebagai  titik  dan  sisi pada digraph , dengan cara memperhatikan operasinya, yaitu jika a, b, c ,
maka: a * b = c , yaitu a : adalah elaman yang  mengoperasikan, b : elemen yang dioperasikan, dan c : adalah elemen hasil operasi.
b. Pada  penggambaran digraph maka a dan c digambarkan  sebagai  titik, sedangkan b digambarkan  sebagai  sisi  berarah  dari a ke c ,  kemudian digabungkan  dua digraph masing-masing  pasangan,  elemen x denga y pada fungsi pembangkit generator S = ( r, s ), dengan fungsi keanggotaan r * dan s , untuk memperoleh suatu digraph terhubung.
c. Pada  penggambaran digraph ,  elemen  yang  terdapat  Sikel  yang  sama  maka digraph tersebut  tidak  termasuk  suatu digraph terhubung,  penggambaran tersebut tidak digabungkan.
134_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127

## HASIL PENELITIAN
Tabel Cayley dengan operasi grup dihedral dari hasil generator S = ( r, s ), yang di operasikan dengan komposisi *, sehingga dapat di peroleh {1, r, , s,
sr, }. Sebagai berikut:
Tabel 2.2. Tabel Cayley grup dihedral * 1 r s sr 1 1 r s sr r r 1 sr s 1 r s sr s s sr 1 r sr sr s r 1 s sr 1 r
Berdasarkan hasil penelitian, pada  pengoperasian grup dihedral maka dapat di peroleh suatu gambar digraph , yaitu sebagai berikut: a. Digraph grup  dihedral dengan  fungsi  keanggotaan  { r  * },  pada
generator < r, s > Misal  dinotasikan sebagai grup dehidral
. Di mana grup dehidral adalah  himpunan  simetri-simetri  dari  segi  tiga  yaitu  = {1, r, ,  s,  sr, }.
Untuk  pasangan  generator  yang  dapat  membangkitkan  grup  dehidral diantaranya  { r,  s },  { ,  sr },  { s,  sr },  { s, },  akan  tetapi  dalam  pembahasan mengenai Tabel Cayley grup dehidral generator yang dipilih hanya pasangan generator  { r,  s }.  Pada  bagian  ini  dipilih  generator  ∆  =  { s,  r }.  Sebagaimana penjelasan sebelumnya himpunan titik dari digraph grup dihedral  adalah  (  )
atau adalah  himpunan  dari  elemen  grup  .  Oleh  karena  itu  (  ) mempunyai  order  |  |,  sedangkan r dan s adalah  elemen  hasil  operasi  gabungan dengan anggota dari himpunan  Maka jika  1 dioperasikan dengan r , maka hasil operasinya adalah r , begitupun dengan pengoperasian yang lain. Sesuai dengan prosedur penelitian bahwa, hasil operasi pada Tabel Cayley grup dihedral = {1, r , , s , sr , } maka akan dioperasikan berdasarkan fungsi  keanggotaan  pada  generator  S  =  ( r,  s )  dimana  akan  di  operasikan  dalam bentuk digraph terhubung.  Hal  tersebut  dijelaskan  bahwa  operasi  1  * tidak digambarkan  karena  1  adalah  awal  dari  pengoperasian  yang  akan  di  operasikan dari hasil operasi tersebut, adalah sebagai berikut:
1. 1 * r = r 4. s * r = sr 2. r * r = 5. sr * r = 3. * r = 1         6. * r = s
G :
Gambar 4.1 Digraph Sikel 3 Hasil operasi r * . 1. 1 * = 4. s * = 2. r * = 1        5. sr * = s 3. * = r 6. * = sr
G :
Gambar 4.2 Digraph Sikel 3. Hasil operasi * . Pada  Gambar  4.1 Digraph G,  Sikel  3  Hasil  operasi r  * .  Operasi komposisi  untuk  setiap r , x dengan menghasilkan  suatu digraph tak terhubung yang masing-masing memuat subdigraph sikel 3. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa, himpunan yang beranggotakan (1 * r = r ), ( r * r = ), (
* r  = 1),  karena  terdapat  Sikel  3  pada  masing-masing  elemen  maka pengnggambaran r dengan s terpisah, yaitu beranggotakan ( s * r = sr ), ( sr * r =
2 r 1 s rs 2 r r r r r r r r 2 r 2 r 2 sr 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r s sr 1 r
136_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127
), ( * r = s ). Maka hal tersebut tidak boleh di gabungkan karena masing- masing  memuat  sikel  3.  Begitupun  dengan  Gambar  4.2 Digraph ,  Sikel  3.  Hasil operasi * .
b. Digraph grup  dihedral dengan  fungsi  keanggotaan  { s  * },  Pada
generator < s, sr > 1. 1 * s = s 2. r * s = sr 3. * s = 4. s * s = 1 5. sr * s = r
6. * s =
G:
Gambar 4.3 Digraph hasil Operasi s *
Pada  Gambar  4.3 Digraph hasil  operasi s  * . Adalah digraph beraturan-2  sehingga  pada digraph tersebut  dihubungkan  antara  sebuah  sisi dengan  titik  pada  dirinya  sendiri,  yaitu digraph yang  mempunyai  sisi  rangkap, yang beranggotakan (1 * s = s ), ( r * s = sr ), ( * s = ). Hal tersebut dapat digabungkan dengan elemen x karena hasil operasi grup dihedral s * adalah pengoperasian yang memiliki sisi ganda beratutan-2.
1. 1 * sr = sr
2. r * sr =
3. * sr = s
4. s * sr = r
5. sr * sr =
6. * sr = 1 1 r s s s s sr sr 2 r 2

## G:
Gambar 4.4 Digraph hasil Operasi sr * 1. 1 * = 2. r * = s
3. * = sr
4. s * =
5. sr * = 1 6. * = r G :
Gambar 4.5 Digraph hasil Operasi
* Pada Gambar 4.4 Digraph hasil operasi sr * , merupakan hasil operasi Trail  Euler,  sehingga digraph tersebut  tidak  termasuk  sifat digraph beraturan-2, karena  terdapat digraph Sikel  3  yang  memuat    6  Trail  tertutp,  maka digraph tersebut  tidak  dapat  digabungkan  antara digraph satu  dengan digraph yang  lain. Karena  semua  titik  dan  sisi  yang  terdapat  di  dalamnya  memuat  Sikel,  yaitu  jika (1 * sr = sr ), ( sr * sr = ), ( * sr = s ), ( s * sr = r ), ( r * sr = ). Begitupun dengan Gambar 4.5 Digraph hasil operasi * .
r 2 sr 2 r s 1 sr sr sr sr sr sr sr sr r 2 s 1 r sr 2 sr 2 sr 2 sr 2 sr 2
sr 2 sr 2
138_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127
c. Digraph grup dihedral
, hasil operasi gabungan x dengan y a. 1 * r = r a.   1 * s = s
b. r * r = b. r * s = sr
c. * r = 1                          c. * s = d. s * r = sr d. s * s = 1 e. sr * r = e. sr * s = r f. * r = s f. * s =

## G:
Gambar 4.6 Digraph Gabungan. Hasil operasi r * dan s *
a. 1 * = a.   1 * s = s
b. r * = 1
b. r * s = sr
c. * = r c. * s =
d. s * = d. s * s = 1 e. sr * = s e. sr * s = r
f. * = sr f. * s = r 2 r r r r 1 r r s s s s sr 2 r sr
G :
Gambar 4.7 Digraph Gabungan. Hasil operasi * . Dan s *
Setelah  semua  hasil  operasi  tersebut  telah  digambarkan  berdasarkan pengoperasian  Tabel Cayley grup  dihedral ,  maka  akan  digabungkan  antara
elemen x dengan  elemen y pada  masing-masing  pasangan digraph untuk memperoleh digraph terhubung. Pada penggambaran digraph tersebut, akan lihat pada  Gambar  4.6 Digraph gabungan  hasil  operasi  antara  elemen r  * dengan
hasil operasi s  * maka terlihat  bahwa  gambar digraph sesuai  dengan elemen titik  yang  telah  ditunjukkan  berdasarkan  pengoperasian  Tabel Cayley grup dihedral ,  kerena  terdapat digraph Sikel  3  dan digraph beratupan-2  yang memiliki  sisi  rangkap.  Begitupun  dengan  Gambar  4.7 Digraph gabungan  hasil operasi  antara  elemen * dengan  hasil  operasi s  * ,  terdapat digraph
Sikel  3  dan digraph beraturan-2  yang  memiliki  sisi  rangkap,  sehingga  dapat digabungkan  antara digraph yang  satu  dengan digraph yang  lainNya.    Hal tersebut  di  jelaskan bahwa penggambara digraph hasil operasi  grup dihedral adalah pada Gambar 4.6 yaitu (1 * r = r ) di katakan bahwa elemen hasil operasi terdapat  gabungan  dengan s ,  yaitu  ( r  *  s  =  sr ),  atau  sebaliknya  ( sr  *  s  =  r ),  hal tersebut di jelaskan yang sama dengan gabungan antara (1 * s = s ), kemudian (
* s = ). Begitupun dengan sebaliknya. Hal tersebut sama halnya dengan hasil operasi  pada  penggabungan  penggambaran digraph Gambar  4.7.  Lain  halnya dengan  elemen y pada  hasil  pengoperasian sr dan ,  dimana  hasil
pengoperasian  ini  adalah  terdapat  Trail  Euler,  sehingga digraph tersebut  tidak memenuhi  sifat  beraturan-2,  sehingga  terdapat digraph Sikel  3  yang  memuat  6 Trail tertutup, maka tidak dapat dihubungkan antara digraph satu sama lain.

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  penelitian  dalam  penulisan  ini,  maka  disimpulkan bahwa;  pada  pengoperasian  grup  dihedral ,  =  {1, r , , s , sr , }, digraph dapat  digambarkan  berdasarkan  Tabel Cayley grup  dihedral ,  hasil
1 r s s s sr r 2 sr 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 s
140_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 120-127
pengoperasian pada Tabel Cayley tersebut, terdapat sifat-sifat grup itu sendiri. Di sini grup dihedral akan dibagi menjadi dua himpunan bagian yaitu:
1. x =    { 1 , r , ,  …, }    atau  yang  dikenal  dengan  himpunan  bagian
rotasi;
2. y =  { s , sr , ,  …, }  atau  yang  dikenal  dengan  himpunan  bagian refleksi atau dapat dituliskan sebagai x  dan y  .
Pada  penggambaran digraph tersebut,  grup  dihedral  dapat  dibentuk  pada unsur  pembangkit,  generator  < r,  s >,  dan  generator  < s,  sr >  sehingga  terbentuk suatu  Gambar  gabungan digraph dengan  elemen x dan  elemen y. Pada pengoperasian Tabel Cayley grup dihedral, penggambaran digraph yang terdapat Sikel  yang  sama  tidak  dapat  di  gabungkan.  Dari  hasil  pengoperasian  rotasi  dan refleksi  pada  grup  dihedral
Tabel Cayley yang  merupakan  bentuk  grup abstrak,  Bujursangkar  Latin,  sehingga  dapat  digambarkan  suatu digraph berdasarkan unsur pembangkit generator tersebut.

## DAFTAR RUJUKAN
Budayasa  I  Ketut,. Teori  Graph  dan  Aplikasinya .  Penerbit:  Unesa  University
Press – 2007.  Viii, 252 hal.,lllus, 21. (15 – Januari - 2012).
Cayley,  Arthur.  http://www..  "On  the  theory  of  groups,  as  depending  on  the symbolic  equation θ n =  1", Philosophical  Magazine ,  Vol.  7  (1854),  pp.
40–47. Available on-line at  Google Books  as part  of his  collected works.
(15 – Januari - 2012).
Cayley,  Arthur.  http://www.  "On  the  Theory  of  Groups", American  Journal  of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp. 139–157. Available on-line at JSTOR.
Darminto Priyo Bambang. Grup Permutasi, Grup Dihedral. Diakses Tanggal (13- 11-2012).
Davids  Dummid,    dan  Richad  M  Foote. Abstrak  Al-Gebra ,  (Dihedral  Group Second  Edition lnc),
Departemen  Agama.  R.I,  1995. Al  Qur’an  dan Tafsirnya .  Yogyakarta:  PT  Dana Bakti.
Departemen  Agama.  R.I. Al-Quran  dan  terjemahannya ,  (Penerbit  C.V.  Jaya Sakti, Surabaya) Edisi Baru, 1984.
Dihedral_Grup.http://anrusmath.files.wordpress.com/2008/07/dihedralgrouph.pdf.
Diakses  (15 – Januari - 2012).
Gallian A. Joseph. Abstract Algera . (1912-1975) D. C. Heath and company University of Minesota, Duluth Contemporary.
Graph Anjacent dan Incident .,  http://repository.unand.ac.id/15351/1/Skripsi.pdf  , Chaiful Khasanah. Diakses tanggal (5-5-2011).
Hollands    Roy  1981. Kamus  Matematika .  Penerbit  Erlangga.  PT.  Gelora  Aksara Pratama.
Munir Rinaldi, Matematika Diskrit  Edisi ketiga . Penerbit  Impormatika  Bandung, 2009. Copyright 2005.
Purwanto Heri, Indriani Gina. Dayanti Erlina. Matematika Diskrit (PT. Ercontara Rajawali,STC  Senayan  It.  3  –  169,  Jl.  Asia  Afrika,  Pintu  IX  Geloga Senayan  Jakarta  Pusat  10270),  Bekerja  sama  dengan  WIT  Web Information Technology.
Soebagio  A.  Suharti.  dan  Sukirman.  1993, Materi  pokok  Struktur  Aljabar. Universitas Terbuka, Depdikbud.