## RING STABIL BERHINGGA

## Samsul Arifin
Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Surya, Tangerang Email: samsul.arifin@stkipsurya.ac.id

## ABSTRACT
Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik ring dengan sifat stabil berhingga, motivasi dan  sifat-sifatnya.  Akan  dibahas  juga  mengenai  sifat  stabil  berhingga  kuat  kanan  yang  akan  membantu dalam memahami sifat stabil berhingga, beserta sifat-sifatnya, dan tidak lupa akan dikaji juga kaitan antara keduanya.
Kata kunci : stably finite, right strong stably finite, Dedekind finite

## ABSTRACT
In this paper, we will discuss about the characterization of stably finite rings and their properties. We will also discuss about right strong stably finite rings  and their relationship, and also its characterization .
Keywords : stably finite, right strong stably finite, Dedekind finite

## PENDAHULUAN
Perlu  diasumsikan  sebelumnya  di  sini bahwa setiap ring bersifat asosiatif dengan 1 ≠ 0 , dan  setiap  modulnya  adalah  modul  unital. Berdasarkan  [6],  R  disebut  ring  stabil  berhingga jika 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah  ring  Dedekind  finite.  Di  lain pihak,  R  disebut  ring  Dedekind  finite  jika  untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 berlaku 𝑥𝑦 = 1 ⇒ 𝑦𝑥 = 1 .  Dalam tulisan  ini  akan  dibahas  kaitan  ring  stabil berhingga  dengan  ring  stabil  berhingga  kuat (kanan), modul co-Hopfian lemah dan ring dengan kondisi rank kuat kanan. Modul kanan 𝑀 𝑅 disebut modul  co-Hopfian  jika  sebarang  endomorfisma injektif dari M adalah suatu isomorfisma, dan 𝑀 𝑅 disebut  modul  co-Hopfian  lemah  jika  sebarang endomorfisma  injektif  f  dari  M  adalah  essensial, yaitu berlaku 𝑓(𝑀) ⊆ 𝑒 𝑀 .

## Ring Stabil Berhingga
Sebelum  dijelaskan  mengenai  ring  stabil berhingga,  akan  dijelaskan  terlebih  dahulu  ring Dedekind finite karena terkait satu sama lain.

## 1.1. Definisi (Ring Dedekind Finite):
Ring R dikatakan ring yang Dedekind (directly atau von  Neumann)  finite  jika  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 berlaku 𝑥𝑦 = 1 ⇒ 𝑦𝑥 = 1 .

## 1.2. Definisi (Stably Finite):
Ring R dikatakan ring yang stably-finite jika 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah ring Dedekind Finite ∀𝑛 ≥ 1 .

## 1.3. Akibat:
Ring R bersifat stably finite jika dan hanya jika ring R bersifat Dedekind finite.
Sifat-sifat  dari  ring  stabil  berhingga tertuang  dalam  proposisi  di  bawah  ini,  dimana suatu ring stabil berhingga R dapat dilihat dari sisi jumlahan  langsung R -modul  bebasnya  dengan R - modul lain, epimorfisma R -modul bebas ke dirinya sendiri dan sifat Dedekind finite.

## 1.4. Proposisi:
Pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen:
(i) Ring R adalah ring stabil berhingga.
(ii)
Untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ + , jika 𝑅 𝑛 ≅ 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 sebagai R-modul kanan maka 𝐾 = 0 . (iii) Untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ + ,  setiap epimorfisma 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 adalah isomorfisma.
(iv) End(𝑅 𝑅 ) adalah ring Dedekind finite.
Bukti:
(𝑖) ⇒ (𝑖𝑖)
Diketahui  ring R memenuhi  sifat  stabil berhingga. Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ + dengan 𝑅 𝑛 ≅ 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 sebagai R -modul  kanan.  Karena 𝑅 𝑛 ≅ 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 maka  ada  isomorfisma  modul 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 dengan  matriks  representasi [𝑓] ∈ 𝑀 𝑚×𝑛 (𝑅) dan 𝑚 = 𝑛 + 𝑥 untuk setiap m dimensi dari 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 dan x dimensi dari K . Selanjutnya ada 𝑔: 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 → 𝑅 𝑛 dengan  matriks  representasi [𝑔] ∈ 𝑀 𝑛×𝑚 (𝑅) sedemikian  hingga 𝑓 ∘ 𝑔 = 1 𝑅𝑚 dan 𝑔 ∘ 𝑓 = 1 𝑅𝑛 . Akibatnya diperoleh
[𝑓][𝑔] = 𝐼 𝑚
dan [𝑔][𝑓] = 𝐼 𝑚 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) . Berdasarkan (𝑖) , 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah  ring  Dedekind finite sehingga karena [𝑔][𝑓] = 𝐼 𝑚 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) maka berlaku [𝑓][𝑔] = 𝐼 𝑛 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) .  Di  lain  pihak [𝑓][𝑔] = 𝐼 𝑚 ∈ 𝑀 𝑚 (𝑅), 𝑚 = 𝑛 + 𝑥 atau 𝐼 𝑚 = [𝑓][𝑔] = 𝐼 𝑛 ,  sehingga  akibatnya  diperoleh 𝑥 = 0 atau 𝐾 = 0 .
(𝑖𝑖) → (𝑖𝑖𝑖)
Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ + dan epimorfisma 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 ..  Karena 𝑅 𝑛 adalah R -modul  bebas, maka f split,  akibatnya  dapat  dibentuk  barisan
0 → Ker(𝑓) ⟶ 𝑖 𝑅 𝑛 ⟶ 𝑓 𝑅 𝑛 → 0 dengan 𝑅 𝑛 = 𝑅 𝑛 ⊕ Ker (𝑓) ,  sehingga  berdasarkan (𝑖𝑖) diperoleh Ker(𝑓) = 0 yang  artinya f injektif.  Karena f surjektif  dan  injektif  sekaligus,  maka f adalah isomorfisma.
(𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖)
Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ + dan 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅)
dengan 𝑋𝑌 = 𝐼 𝑛 . Akibatnya diperoleh
𝑅 𝑛 ⟶ 𝑔 𝑅 𝑛 ⟶ 𝑓 𝑒𝑝𝑖 𝑅 𝑛 dengan matriks-matriks representasi 𝑋 = [𝑓] ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅), 𝑌 = [𝑔] ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) . Karena f adalah  epimorfisma,  maka  berdasarkan (𝑖𝑖𝑖) f adalah  isomorfisma,  yang  artinya  ada 𝑍 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) dengan 𝑍𝑋 = 𝐼 𝑛 . Perhatikan bahwa dengan mengalikan Z dari  kiri  pada  persamaan 𝑋𝑌 = 𝐼 𝑛 diperoleh:
𝑍(𝑋𝑌) = 𝑍𝐼 𝑛 ⇔ (𝑍𝑋)𝑌 = 𝑍 ⇔ 𝐼 𝑛 𝑌 = 𝑍 ⇔ 𝑌 = 𝑍
Dengan  demikian  diperoleh 𝑋𝑌 = 𝐼 𝑛 yang artinya 𝑀 𝑛 (𝑅) ring  Dedekind  finite  atau  ring R stabil berhingga.
(𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖𝑣)
Diketahui  untuk  setiap 𝑛 ∈ ℤ + ,    setiap epimorfisma 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 adalah  isomorfisma . Diambil  sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ End(𝑅 𝑅 ) dengan 𝑏 = 1 End(𝑅𝑅) .  Akibatnya  diperoleh  bahwa a surjektif, dan  berdasarkan (𝑖𝑖𝑖) diperoleh  bahwa a adalah isomorfisma,  sehingga  terdapat 𝑐 ∈ End(𝑅 𝑅 ) sedemikian  hingga 𝑎 = 1 End(𝑅𝑅) .  Perhatikan bahwa:
𝑐(𝑎𝑏) = 𝑐1 ⇔ (𝑐𝑎)𝑏 = 𝑐 ⇔ 1𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 ,
sehingga  dapat  diperoleh 𝑏𝑎 = 1 ,  dan terbukti  bahwa End(𝑅 𝑅 ) adalah  ring  Dedekind finite.
(𝑖𝑣) ⇒ (𝑖𝑖𝑖)
Diketahui End(𝑅 𝑅 ) adalah ring Dedekind finite. Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ + dan  epimorfisma 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 .  Karena 𝑅 𝑛 adalah R -modul  bebas maka f split. Jadi, terdapat 𝑔: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 dengan 𝑓 ∘ 𝑔 = 1 𝑅𝑛 .  Dari  sini  sudah  bisa  dikatakan  bahwa 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸 ,  dan  berdasarkan (𝑖𝑣) ,  dapat  diperoleh 𝑔 ∘ 𝑓 = 1 𝑅𝑛 .  Dengan  demikian  terbukti  bahwa f adalah suatu isomorfosma.
1.5. Contoh
1. Ring komutatif memiliki sifat stabil berhingga, karena  setiap  ring  komutatif  merupakan  ring Dedekind finte. Berdasarkan Akibat 2.3 di atas,
diperoleh bahwa setiap ring komutatif adalah ring stabil berhingga.
2. Dalam  [1],  dijelaskan  bahwa  ring  Noetherian adalah  ring  stabil  berhingga,  dengan  skema pembuktian sebagai berikut:

## 𝑅 noetherian
⇓ (𝑅 𝑛 ) 𝑅 noetherian ⇓ setiap epimorfisma 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 adalah isomorfisma
⇕
𝑅 stabil berhingga
Perhatikan  kembali  bahwa  jika 𝑔: 𝑅 → 𝑆 adalah  suatu  homomorfisma  ring  dengan  ring S bersifat stabil berhingga, maka belum tentu ring R juga  merupakan  ring  stabil  berhingga.  Berikut merupakan syarat pemetaan di atas agar berlaku untuk sifat stabil berhingga, yang dijelaskan dalam teorema di bawah ini.

## 1.6. Teorema:
Diberikan  R  adalah  subring  S.  Jika  ring  S  adalah bersifat  stabil  berhingga  maka  R  juga  bersifat stabil berhingga.
Bukti:
Karena R adalah  subring S maka  ada pemetaan  embedding 𝑔: 𝑅 → 𝑆 .  Selanjutnya, dengan 𝑅 = 𝑆 = 𝑔(𝑅) , maka elemen identitas e di ring R adalah elemen idempoten di ring S , dengan elemen  idempoten  komplemen 𝑓 = 1 − 𝑒 yang memenuhi 𝑅𝑓 = 𝑓𝑅 = 0 .  Kemudian  diambil sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅) dengan 𝐴𝐵 = 𝑒𝐼 𝑛 . Sebelumnya perhatikan bahwa
∀(𝐴 + 𝐹𝐼 𝑛 ), (𝐵 + 𝑓𝐼 𝑛 ) ∈ 𝑀 𝑛 (𝑆) berlaku:
(𝐴 + 𝑓𝐼 𝑛 )(𝐵 + 𝑓𝐼 𝑛 ) = 𝐴𝐵 + 𝑓 2 𝐼 𝑛 = 𝑒𝐼 𝑛 + 𝑓𝐼 𝑛 = (𝑒 + 𝑓)𝐼 𝑛 = 𝐼 𝑛
Karena diketahui bahwa ring S adalah ring stabil berhingga, maka berlaku juga:
𝐼 𝑛 = (𝐵 + 𝑓𝐼 𝑛 )(𝐴 + 𝑓𝐼 𝑛 ) = 𝐵𝐴 + 𝑓𝐼 𝑛
sehingga  diperoleh 𝐵𝐴 = 𝐼 𝑛 − 𝑓𝐼 𝑛 = (1 − 𝑒)𝐼 𝑛 = 𝑒𝐼 𝑛 .  Terbukti  bahwa 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah  ring Dedekind-finite  atau  dengan  kata  lain R adalah ring  stabil  berhingga.  Dengan  demikian  terbukti bahwa  jika R adalah  subring S dengan S adalah ring stabil berhingga, maka ring R juga merupakan ring stabil berhingga.
Selanjutnya,  untuk  suatu  ideal I di  ring R, jika  ring R adalah  ring  stabil  berhingga  maka belum tentu ring 𝑅/𝐼 adalah ring stabil berhingga.
Berikut  adalah  syarat  bagi  idealnya  agar  hal tersebut berlaku, yang dijelaskan dalam teorema di bawah ini.

## 1.7. Teorema:
Diberikan  ideal 𝐼 ⊆ rad (𝑅) .  Ring  R  adalah  ring stabil behingga jika dan hanya jika ring 𝑅/𝐼 adalah ring stabil berhingga.
Bukti:
Karena ring R adalah ring stabil berhingga, maka 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah  ring  Dedekind  finite.
Berdasarkan  [6],  diperoleh  bahwa S adalah  ring Dedekind finite jika dan hanya jika 𝑆̅ = 𝑆/𝐽 ring Dedekind finite. Untuk ring R yang diberikan dan sebarang 𝑛 ≥ 1 , jika dimisalkan 𝑆 = 𝑀 𝑛 (𝑅) maka diperoleh:
𝐽 = 𝑀 𝑛 (𝐼) ⊆ 𝑀 𝑛 (rad(𝑅)) = rad(𝑀 𝑛 (𝑅)) = rad (𝑆) , dan 𝑆/𝐽 = 𝑀 𝑛 (𝑅)/𝑀 𝑛 (𝐼) ≅ 𝑀 𝑛 (𝑅/𝐼)
Dari  sini  akan  diperoleh  bahwa  ring 𝑆 = 𝑀 𝑛 (𝑅) adalah ring Dedekind finite jika dan hanya jika 𝑆/𝐽 ≅ 𝑀 𝑛 (𝑅/𝐼) ring  Dedekind  finite.  Karena ini berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ + , maka 𝑅/𝐼 adalah ring  stabil  berhingga.  Dengan  demikian  terbukti bahwa  untuk  suatu  ideal 𝐼 ∈ rad (𝑅) , berlaku R adalah  ring  stabil  berhingga  jika  dan  hanya  jika 𝑅/𝐼 ring stabil berhingga.

## 1.8. Akibat:
Diberikan ∏ 𝑖∈𝐼 𝑅 𝑖 adalah hasil kali langsung dari 𝑅 𝑖 . ∏ 𝑖∈𝐼 𝑅 𝑖 adalah  ring  stabil  berhingga  jika  dan  hanya jika 𝑅 𝑖 untuk  setiap 𝑖 ∈ 𝐼 adalah  ring  stabil berhingga.
Bukti:
⇒ Diketahui ∏ 𝑖∈𝐼 𝑅 𝑖 adalah  ring  stabil  berhingga.
Karena  ada  pemetaan  embedding 𝜀: 𝑅 𝑖 → ∏ 𝑖∈𝐼 𝑅 𝑖 maka  berlaku 𝑅 𝑖 juga  merupakan  ring  stabil berhingga. Dengan demikian terbukti  bahwa  jika ∏ 𝑖∈𝐼 𝑅 𝑖 adalah  ring  stabil  berhingga,  maka 𝑅 𝑖 juga merupakan ring stabil berhingga.
⇐ Diketahui 𝑅 𝑖 adalah ring stabil berhingga untuk setiap 𝑖 ∈ ℤ + .  Berdasarkan  [6],  diperoleh  bahwa untuk  setiap 𝑛 ∈ ℤ + , 𝑀 𝑛 (𝑅 𝑖 ) adalah  ring  stabil berhingga  untuk  setiap 𝑖 ∈ ℤ + .  Akibatnya diperoleh  bahwa 𝑀 𝑛 (𝑅 𝑖 ) adalah  ring  Dedekind finite.  Selanjutnya  perhatikan  bahwa  untuk sebarang
(( 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏 11 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) , ⋯ ) , (( 𝑎′ 11 ⋯ 𝑎′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎′ 𝑛1 ⋯ 𝑎′ 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏′ 11 ⋯ 𝑏′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏′ 𝑛1 ⋯ 𝑏′ 𝑛𝑛 ) , ⋯ ) ∈ ∏ 𝑀 𝑛 (𝑅 𝑖 ) 𝑖∈𝐼
dengan
(( 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏 11 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) , ⋯ ) (( 𝑎′ 11 ⋯ 𝑎′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮
𝑎′ 𝑛1 ⋯ 𝑎′ 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏′ 11 ⋯ 𝑏′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏′ 𝑛1 ⋯ 𝑏′ 𝑛𝑛 ) , ⋯ ) ∈ ∏ 𝐿 𝑖 𝑖
berlaku:
( 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) ( 𝑏 11 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) = 𝐼 𝑖 = ( 𝑏 11 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮
𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) ( 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 )
untuk setiap
( 𝑎 11 ⋯ 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) ( 𝑏 11 ⋯ 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) ∈ 𝑀 𝑛 (𝑅 𝑖 ) ,
sehingga pasti berlaku
(( 𝑎′ 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎′ 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏′ 11 … 𝑏′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏′ 𝑛1 ⋯ 𝑏′ 𝑛𝑛 ) , . . . ) (( 𝑎 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏 11 … 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) , . . . ) = (( 𝑎′ 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮
𝑎′ 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) ( 𝑎 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏′ 11 … 𝑏′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏′ 𝑛1 ⋯ 𝑏′ 𝑛𝑛 ) ( 𝑏 11 … 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) , . . . ) = (( 𝑎 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) ( 𝑎′ 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎′ 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏 11 … 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 ⋯ 𝑏 𝑛𝑛 ) ( 𝑏′ 11 … 𝑏′ 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏′ 𝑛1 ⋯ 𝑏′ 𝑛𝑛 ) , . . . ) = ∏ 𝐼 𝑖 𝑖 ,
yang  artinya  bahwa ∏ 𝑀 𝑛 (𝑅𝑖) 𝑖∈𝐼 adalah  ring Dedekind  finite.  Dari  sini  diperoleh  bahwa 𝑀 𝑛 (∏ 𝑅 𝑖 𝑖∈𝐼 ) juga merupakan ring Dedekind finite, karena 𝑀 𝑛 (∏ 𝑅 𝑖 𝑖∈𝐼 ) ≅ ∏ 𝑀 𝑛 (𝑅 𝑖 ) 𝑖∈𝐼 dengan
( (𝑎 11 , 𝑏 11 , … ) … (𝑎 1𝑛 , 𝑏 1𝑛 , … ) ⋮ ⋱ ⋮ (𝑎 𝑛1 , 𝑏 𝑛1 , … ) … (𝑎 𝑛𝑛 , 𝑏 𝑛𝑛 , … ) ) ↦ (( 𝑎 11 … 𝑎 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 … 𝑎 𝑛𝑛 ) , ( 𝑏 11 … 𝑏 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑏 𝑛1 … 𝑏 𝑛𝑛 ) , … )
untuk  setiap 𝑎 𝑖 ∈ 𝐴 𝑖 ,  yang  artinya  bahwa 𝑀 𝑛 (∏ 𝑅 𝑖 𝑖∈𝐼 ) juga merupakan ring stabil berhingga. Oleh  karena  itu  diperoleh  bahwa ∏ 𝑅 𝑖 𝑖∈𝐼 adalah ring  stabil  berhingga.  Dengan  demikian  terbukti bahwa  jika 𝑅 𝑖 adalah  ring  stabil  berhingga  maka ∏ 𝑅 𝑖 𝑖∈𝐼 juga merupakan ring stabil berhingga. Sebelumnya akan dijelaskan proses konstruksi  dari  ring  matriks  triangular  formal. Dari  ring A, B , (𝐴, 𝐵) -bimodul 𝑀 dapat  dibentuk ring:
𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) = {( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑚 ∈ 𝑀}
yang  disebut  ring  matriks  triangular  formal. Operasi penjumlahan dan pergandaan pada ring T adalah sebagai berikut:
a) ( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) + ( 𝑎 ′ 0 𝑚 ′ 𝑏 ′ ) = ( 𝑎 + 𝑎 ′ 0 𝑚 + 𝑚 ′ 𝑏 + 𝑏 ′ ) b) ( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) (  𝑎′ 0 𝑚′ 𝑏′ ) = ( 𝑎𝑎′ 0 𝑚𝑎′ + 𝑏𝑚′ 𝑏𝑏′ )
untuk  setiap ( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) , (  𝑎′ 0 𝑚′ 𝑏′ ) ∈ 𝑇 .  Kemudian jika  diberikan  ring-ring  A  dan  B,  suatu  grup abelian  M  disebut (𝐴, 𝐵) –bimodul,  dinotasikan 𝑀 𝐴 𝑏 ,  jika  M  adalah  A-modul  kiri  dan  B-modul kanan serta berlaku (𝑎𝑚)𝑏 = 𝑎(𝑚𝑏) untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 , 𝑚 ∈ 𝑀 , dan 𝑏 ∈ 𝐵 .
Berikut adalah kaitan antara ring stabil berhingga dan ring matriks triangular formal.

## 1.9. Proposisi
Diberikan  ring  A,  B,  dan 𝑀 𝐵 𝐴 adalah (𝐵, 𝐴) - bimodul.  Ring 𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) adalah  ring  stabil berhingga jika dan hanya jika ring A dan B adalah ring stabil berhingga.
Bukti:
⇒ Diketahui ring 𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) adalah ring stabil berhingga.  Perhatikan  bahwa  ada  pemetaan embedding 𝜀 1 : 𝐴 → ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) dengan ( 𝑎 0 0 0 ) ↦ ( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) untuk  setiap ( 𝑎 0 0 0 ) ∈ ( 𝐴 0 0 0 ) ≅ 𝐴 ,
dan juga ada embedding 𝜀 2 : 𝐵 → ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) dengan ( 0 0 0 𝑏 ) ↦ ( 𝑎 0 𝑚 𝑏 ) untuk  setiap ( 0 0 0 𝑏 ) ∈ ( 0 0 0 𝐵 ) ≅ 𝐵 .
Akibatnya,  karena  ring 𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 )
adalah  ring  stabil  berhingga  maka  berakibat masing-masing ring A dan B juga merupakan ring stabil  berhingga.  Dengan  demikian  terbukti bahwa  jika  ring 𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) adalah  ring  stabil
berhingga maka ring A dan B juga merupakan ring stabil berhingga.
⇐ Diketahui  ring A dan B adalah  ring  stabil berhingga.  Perhatikan  kembali  bahwa  ideal 𝐼 =
( 0 0 𝑀 0 ) ⊆ 𝑇 adalah  ideal  nilpotent  dan 𝑇/𝐼 ≅
𝐴 × 𝐵 . Selanjutnya, jika diberikan 𝑛 ∈ ℤ + sebarang dan  dinotasikan  ring 𝑋 𝑛 = 𝑀 𝑛 (𝑋) ,  maka  akan diperoleh:
𝑇 𝑛 /𝐼 𝑛 = 𝑀 𝑛 (𝑇)/𝑀 𝑛 (𝐼) = 𝑀 𝑛 (( 𝐴 0 𝑀 𝐵 )) 𝑀 𝑛 (( 0 0 𝑀 0 )) ⁄ ≅ 𝑀 𝑛 (( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) ( 0 0 𝑀 0 ) ⁄ )
= 𝑀 𝑛 (𝑇/𝐼) = (𝑇/𝐼 ) 𝑛 ≅ (𝐴 × 𝐵) 𝑛
Perhatikan bahwa ring A dan B adalah ring stabil  berhingga  jika  dan  hanya  jika  ring 𝐴 × 𝐵 adalah ring stabil berhingga, sehingga ring
𝑀 𝑛 (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵) 𝑛 ≅ 𝑇 𝑛 /𝐼 𝑛 = 𝑀 𝑛 (( 𝐴 0 𝑀 𝐵 )) 𝑀 𝑛 (( 0 0 𝑀 0 )) ⁄
adalah  ring  Dedekind  finte.    Karena 𝐼 𝑛 = 𝑀 𝑛 (𝐼) adalah ideal nilpotent maka diperoleh bahwa 𝑇 𝑛 = 𝑀 𝑛 ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) adalah ring Dedekind finte, sehingga diperoleh bahwa ring 𝑇 = 𝑀 𝑛 ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) adalah ring stabil  berhingga.  Dengan  demikian  terbukti bahwa  jika A dan B adalah  ring  stabil  berhingga maka  ring 𝑇 = ( 𝐴 0 𝑀 𝐵 ) juga  merupakan  ring stabil berhingga.
Dalam [1], dijelaskan juga karakteristik lain dari  ring  stabil  berhingga,  yang  termuat  dalam skema berikut:
𝑀 𝑛 (𝑅) 𝑖𝑠 "𝑆𝐵" ⇔ 𝑅 𝑖𝑠 "𝑆𝐵" ⇔ 𝑅[𝑥] 𝑖𝑠 "𝑆𝐵" ⇕
𝑅[[𝑥]] 𝑖𝑠 "𝑆𝐵"
dengan  SB  =  Stabil  Berhingga,  serta  untuk sebarang ring tak nol berlaku:
stabil berhingga ⇒ kondisi rank ⇒ IBN.

## MODUL CO-HOPFIAN LEMAH DAN RING STABIL BERHINGGA KUAT KANAN
Sebelum  dijelaskan  mengenai  ring  stabil berhingga  kuat  kanan,  akan  dijelaskan  terlebih dahulu  mengenai  modul  co-Hopfian  (lemah) karena saling berkaitan satu sama lain.
1.10. Definisi (Modul co-Hopfian (Lemah)):
Diberikan  ring  R  dan 𝑀 𝑅 adalah  modul  kanan.  M disebut modul co-Hopfian jika sebarang endomorfisma  injektif  dari  M  adalah  suatu isomorfisma,  dan  M  disebut  modul  co-Hopfian lemah jika sebarang endomorfisma injektif f dari M adalah essensial, yaitu berlaku 𝑓(𝑀) ⊆ 𝑒 𝑀 .
Dalam  [4]  dijelaskan,  ada  teorema  yang menyatakan  bahwa  definisi  modul  co-Hopfian lemah bisa dinyatakan dalam enam kalimat, yaitu sebagai berikut:

## 1.11. Teorema
Pernyataan-pernyataan  berikut  ekuivalen  untuk suatu R-modul kanan M:
(1) 𝑀 𝑅 adalah modul co-Hopfian lemah.
(2) Untuk sebarang R-modul kanan N, jika ada R- monomorfisma 𝑀 ⊕ 𝑁 → 𝑀 maka 𝑁 = 0 .
(2’)  Untuk  sebarang  R-modul  kanan  N,  jika 𝑀 ⊕ 𝑁 → 𝑀 adalah monomorfisma essensial maka 𝑁 = 0 .
(3) M adalah modul Dedekind finite dan image dari sebarang endomorfisma injektif dari M adalah essensial atau direct summand sejati.
(4) Terdapat  suatu  submodul  essensial  invariant penuh yang bersifat co-Hopfian lemah.
(5) Endomorfisma  injektif  dari 𝑀 𝑅 memetakan submodul-submodul  essesnsial  ke  submodul- submodul essensial.
(6) Image inverse dari sebarang submodul tak nol dari  sebarang  endomorfisma  injektif  dari  M adalah tak nol.
Berikut  adalah  sifat-sifat  dari  modul  co-Hopfian lemah:

## 1.12. Akibat:
Suatu  direct  summand  dari  modul  co-Hopfian lemah juga merupakan modul co-Hopfian lemah.
Proposisi  berikut  menjelaskan  kaitan antara  modul  co-Hopfian  (lemah)  dan  modul Dedekind finite, yaitu sebagai berikut.
1.13. Proposisi :
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
(1) Untuk suatu R-modul M berlaku:
M  co-Hopfian ⇒ M  co-Hopfian  lemah ⇒ M Dedekind finite.
(2) Jika  M  adalah  modul  quasi-injektif,  maka berlaku:
a) M co-Hopfian ⇔ M co-Hopfian lemah ⇔ M Dedekind finite.
b) Jika  M  adalah  modul  co-Hopfian  lemah maka  sebarang  submodul  dan  sebarang direct  sum  berhingga  yang  memuat  M adalah modul co-Hopfian lemah.
c) Jika N adalah submodul essensial invariant penuh, maka berlaku:
N  co-Hopfian ⇔ M  co-Hopfian ⇔  𝐸(𝑀) co-Hopfian
Berikut adalah sifat-sifat modul co-Hopfian:

## 1.14. Proposisi:
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
a) Jika 𝑀 𝑅 adalah modul kanan dengan sebarang submodul  co-Hopfian  lemah,  maka  M  adalah modul co-Hopfian lemah.
b) Diberikan N adalah submodul invariant penuh yang co-Hopfian di modul kanan 𝑀 𝑅 . Jika 𝑀 𝑁 ⁄ adalah  modul  co-Hopfian  (lemah)  maka  M modul co-Hopfian (lemah).
c) Jika  submodul-submodul  nonessensial  di 𝑀 𝑅 adalah submodul Noetherian, maka M adalah modul co-Hopfian lemah.
Berikut adalah akibat dari proposisi di atas:

## 1.15. Akibat:
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
a) Suatu  modul  semisederhana  M  adalah  modul co-Hopfian lemah jika dan hanya jika sebarang komponen  homogen  di  M  dibangun  secara berhingga.
b) Jika  M  adalah  modul  Hopfian  dan  bersifat kondisi  rantai  turun,  maka  submodul- submodulnya adalah co-Hopfian.
c) Jika M memiliki sifat kondisi rantai turun pada submodul-submodul non-co-Hopfiannya, maka M adalah modul co-Hopfian.
Setelah  dijelaskan  mengenai  modul  co- Hopfian  (lemah)  dan  sifat-sifatnya,  selanjutnya akan dibahas mengenai ring stabil berhingga kuat.

## 1.16. Definisi (Right Strong Stably Finite):
Suatu  ring  R  disebut  ring  stabil  berhingga  kuat kanan  jika 𝑅 𝑅 𝑛 adalah  modul  co-Hopfian  lemah untuk setiap 𝑛 ≥ 1 .
Berikut  adalah  karakteristik  ring  stabil berhingga kuat kanan. Dalam [4] dijelaskan bahwa
ring stabil berhingga kuat kanan dapat dinyatakan dalam tiga kalimat yaitu tertuang dalam teorema berikut:

## 1.17. Teorema:
Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
(1) R adalah ring stabil berhingga kuat kanan.
(2) Untuk  sebarang 𝑛 ≥ 1 ,  jika 𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛 adalah elemen-elemen  yang  R-bebas  linear  di  dalam modul  bebas 𝑅 𝑅 𝑛 maka 𝑢 1 𝑅+. . . +𝑢 𝑛 𝑅 adalah submodul essensial.
(3) Untuk sebarang 𝑛 ≥ 1 , 𝑀 𝑛 ( 𝑅 ) adalah ring co- Hopfian kanan.

## 1.18. Definisi:
Ring R dikatakan Ore kanan jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dengan b adalah elemen regular, terdapat 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 dengan  d  adalah  elemen  regular,  sehingga berlaku 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 .
Dalam [7] dijelaskan kaitan antara ring Ore kanan dan ring stabil berhingga kuat kanan, yaitu sebagai berikut:

## 1.19. Teorema:
Jika  R  adalah  ring  dengan 𝑅[𝑥] adalah  ring  Ore kanan,  maka  R  adalah  ring  stabil  berhingga  kuat kanan.

## KAITAN ANTARA RING STABIL BERHINGGA DENGAN RING STABIL BERHINGGA KUAT KANAN
Berikut  adalah  kaitan  antara  ring  stabil berhingga  dan  ring  stabil  berhingga  kuat  kanan. Dalam  [7]  dijelaskan  kaitan  antara  ring  stabil berhingga, ring stabil berhingga kuat kanan, ring dengan  kondisi  rank  kuat  kanan  dan  ring komutatif, yaitu sebagai berikut:
𝑆𝐵 ⇑ 𝑢. dim𝑅 𝑅 < ∞ ⇒ 𝑆𝐵𝐾𝐾 ⇒ 𝐾𝑅𝐾𝐾 ⇑ 𝐾𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑓
dengan SB = Stabil Berhingga, SBKK = Stabil Berhingga Kuat Kanan dan KRKK = Kondisi Rank Kuat Kanan.

## 1.20. Proposisi:
Ring  komutatif ⇒ Ring  stabil  berhingga  kuat kanan ⇒ Ring stabil berhingga.
Proposisi berikut menjelaskan kaitan antara ring stabil  berhingga  dan  ring  stabil  berhingga  kuat kanan.

## 1.21. Proposisi:
Jika ring R adalah ring stabil berhingga kuat kanan, maka  ring  R  adalah  ring  stabil  berhingga.  Lebih lanjut, untuk suatu modul injektif 𝑅 𝑅 , ring R adalah ring  stabil  berhingga  kuat  kanan  jika  dan  hanya jika ring R adalah ring stabil berhingga.

## Bukti:
Misalkan  R  adalah  ring  stabil  berhingga kuat  kanan  dan 𝑛 ∈ ℤ + dengan 𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 ≅ 𝑅 𝑛 untuk  suatu 𝐾 ∈ 𝑀𝑜𝑑 − 𝑅 .  Berdasarkan  [4,  1.1], dapat diperoleh bahwa
𝑅 𝑛 ⊕ 𝐾 dapat diembeddingkan ke dalam 𝑅 𝑛 sehingga berakibat 𝐾 = 0 . Dengan menggunakan [6, 1.7], maka dapat dibuktikan bahwa R adalah ring stabil berhingga.
Sebaliknya,  misalkan 𝑅 𝑅 adalah  modul  injektif dan  R  adalah  ring  stabil  berhingga.  Dengan menggunakan [4, 1.4], maka diperoleh bahwa 𝑅 𝑅 adalah  modul  co-Hopfian,  sehingga  berdasarkan [4, 1.5(i)], diperoleh  bahwa 𝑅 𝑅 𝑛 adalah modul co- Hopfian, ( ∀𝑛 ∈ ℤ + ) .  Oleh  karena  itu  terbukti bahwa R adalah ring stabil berhingga kuat kanan.
Proposisi  berikut  menjelaskan  kaitan antara ring stabil berhingga kuat kanan dan  ring dengan kondisi rank kuat kanan.

## 1.22. Proposisi:
Jika  R  adalah  ring  stabil  berhingga  kuat  kanan, maka ring R bersifat kondisi rank kuat kanan. Lebih lanjut, untuk suatu daerah integral R, R adalah ring stabil  berhingga  kuat  kanan  jika  dan  hanya  jika ring R bersifat kondisi rank kuat kanan.

## Bukti:
Diasumsikan  bahwa 0 → 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑛 adalah barisan  eksak  di  dalam 𝑀𝑜𝑑 − 𝑅 dengan 𝑚 > 𝑛 . Dari sini dapat diperoleh bahwa 𝑅 𝑛 ⊕ 𝑅 𝑚−𝑛 ≅ 𝑅 𝑚 dapat  diembeddingkan  ke  dalam 𝑅 𝑛 .  Karena 𝑅 𝑛 diasumsikan  adalah  modul  co-Hopfian  lemah, maka  diperoleh  kontradiksi  dengan 𝑅 𝑚−𝑛 = 0 . Oleh  karena  itu  terbukti  bahwa  ring  R  bersifat kondisi rank kuat kanan. Sebaliknya, dari [6, 1.32] diperoleh bahwa untuk suatu daerah integral, sifat kondisi  rank  kuat  kanan  ekuivalen  dengan  sifat Ore  kanan,  sehingga  menjadi  seragam.  Ada  cara lain  untuk  untuk  membuktikan  hal  ini  yaitu: misalkan  R  adalah  daerah  integral  dengan  sifat kondisi rank kuat kanan dan 𝑁 ⊆ 𝑅 𝑘 sedemikian hingga 𝑁 ≅ 𝑅 𝑅 𝑘 . Jika N bukan submodul esensial, maka terdapat suatu submodul tak nol L di modul 𝑅 𝑘 dengan 𝑁 ∩ 𝐿 = 0 . Untuk sebarang elemen tak
nol 𝑙 ∈ 𝐿 berlaku 𝑙𝑅 ≅ 𝑅 karena R adalah daerah integral, sehingga berlaku
𝑅 𝑘 ⊕ 𝑅 ≅ 𝑁 ⊕ 𝑙𝑅 ⊆ 𝑅 𝑘 .
Hal ini kontradiksi dengan R yang bersifat kondisi rank kuat kanan. Oleh karena itu, pastilah N  adalah  submodul  esensial  sehingga  R  adalah ring stabil berhingga kuat kanan.
Selanjutnya  akan  dibahas  mengenai  sifat- sifat  ring  stabil  berhingga  kuat  kanan.  Proposisi berikut  menjelaskan  kaitan  ring  stabil  berhingga kuat  kanan  R  dan  vektor-vektor  yang  R-bebas linear pada modul bebas 𝑅 𝑅 𝑛 .

## 1.23. Proposisi:
R adalah ring stabil berhingga kuat kanan jika dan hanya jika ∀𝑛 ≥ 1 , jika 𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛 vektor-vektor yang  R-bebas  linear  di  modul 𝑅 𝑅 𝑛 ,  maka 𝑢 1 𝑅 + 𝑢 2 𝑅+. . . +𝑢 𝑛 𝑅 adalah  suatu  submodul  esensial  di modul 𝑅 𝑅 𝑛 .

## Bukti:
Misalkan  R  adalah  ring  stabil  berhingga kuat kanan dan 𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛 adalah vektor-vektor yang  R-bebas  linear  di  modul n R R .  Pemetaan 𝑓: 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑛 dengan 𝑓(𝑟 1 , 𝑟 2 , . . . , 𝑟 𝑛 ) = 𝑢 1 𝑟 1 + 𝑢 2 𝑟 2 +. . . 𝑢 𝑛 𝑟 𝑛 adalah  suatu  R-monomorfisma kanan  dengan Im(𝑓) = 𝑢 1 𝑅 + 𝑢 2 𝑅+. . . 𝑢 𝑛 𝑅 . Karena 𝑅 𝑛 adalah  modul  co-Hopfian  maka diperoleh Im(𝑓) ⊆ 𝑒 𝑅 𝑅 𝑛 .  Sebaliknya,  misalkan  g adalah  endomorfisma  injektif  dari 𝑅 𝑅 𝑛 dengan 𝑔(𝑒 𝑖 ) = 𝑢 𝑖 di mana 𝑒 𝑖 = ( 0, . . . ,1,0, . . . ,0 ) . Karena g  injektif  maka  jika 𝑢 1 𝑟 1 + 𝑢 2 𝑟 2 +. . . 𝑢 𝑛 𝑟 𝑛 = 0 akan  berakibat 𝑟 1 = 𝑟 2 =. . . = 𝑟 𝑛 = 0 .  Oleh karena  itu  diperoleh  bahwa 𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛 adalah vektor-vektor  yang  R-bebas  linear  sehingga berdasarkan  asumsi  yang  digunakan, Im(𝑔) = 𝑢 1 𝑅 + 𝑢 2 𝑅+. . . +𝑢 𝑛 𝑅 adalah submodul esensial.

## 1.24. Teorema:
Setiap ring komutatif adalah ring stabil berhingga kuat.

## Bukti:
Kita  gunakan  Proposisi  4.4  di  atas  pada kasus  suatu  ring  komutatif  R.  Misalkan 𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛 adalah  vektor-vektor  yang  R-bebas linear  di  modul 𝑅 𝑅 𝑛 dan  himpunan I = 𝑢 1 𝑅 + 𝑢 2 𝑅+. . . 𝑢 𝑛 𝑅 .  Akan  ditunjukkan  bahwa  untuk sebarang  vector  tak  nol 𝑢 𝑛+1 ∈ 𝑅 𝑛 berlaku 𝐼 ∩ 𝑢 𝑛+1 𝑅 ≠ 0 . Tulis
𝑢 𝑗 = ∑ 𝑒 𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑖 ( 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 + 1 dan 𝑖 = 1, . . . , 𝑛 )
dengan 𝑎 𝑖𝑗 ∈ 𝑅 ,  kemudian  notasikan  S sebagai  subring  dari  R  yang  dibangun  oleh elemen-elemen 𝑎 𝑖𝑗 ∈ 𝑅 dan 1 𝑅 .  Berdasarakan Teorema Basis Hilbert, S adalah ring Noetherian, sehingga  S  memiliki  dimensi  seragam  yang berhingga.  Akibatnya  S  adalah  ring  stabil berhingga
kuat.
Perhatikan bahwa
𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛+1 ∈ 𝑆 𝑛 dan 𝑢 1 , 𝑢 2 , . . . , 𝑢 𝑛 adalah  S- bebas  linear.  Oleh  karena  itu  berlaku ( 𝑢 1 𝑆 + 𝑢 2 𝑆+. . . 𝑢 𝑛 𝑆 ) ∩ 𝑢 𝑛+1 𝑆 ≠ 0 dan berdasarkan Proposisi di atas maka berlaku 𝐼 ∩ 𝑢 𝑛+1 𝑅 ≠ 0 atau 𝐼 ⊆ 𝑒 𝑅 𝑛 .
Terdapat  kaitan  yang  sangat  erat  antara ring  stabil  berhingga  kuat  kanan,  modul  co- Hopfian lemah, dan  ring yang memenuhi kondisi rank  kuat  kanan.  Hal  tersebut  dijelaskan  dalam [4], yaitu dalam proposisi berikut:

## 1.25. Proposisi:
Diberikan R adalah daerah integral. Pernyataan- pernyataan berikut ekuivalen:
(1) R R adalah modul co-Hopfian lemah
(2) R adalah ring stabil berhingga kuat kanan
(3) Ring R memenuhi kondisi rank kuat kanan
(4) Sebarang dua elemen di ring R tidak R-bebas linear kanan

## REFERENSI:
[1] Arifin,  S.,  2011, Characteristic  of  IBN,  Rank Condition and Stably Finite Rings , Proc. Of The Seams-GMU Conference, 6, 223-232.
[2] Breaz,  S.,  Calugareanu,  G.,  and  Schultz,  P., 1991, Modules With Dedekind Finite Endomorphism Rings , Babes Bolyai University, 1-13.
[3] Haghany,  A.,  Varadarajan,  K.,  2002, IBN  And
Related Properties For Rings , Acta Mathematica Hungarica, 94, 251-261.
[4] Haghany,  A.,  Vedadi,  M.R.,  2001, Modules whose Injective Endomorphisms Are Essential , Journal of Algebra, 243, 765-779
[5] Lam,  T.  Y., Exercises  in  Modules  and  Rings , 2007, Springer Verlag, New York.
[6] Lam,  T.  Y., Lectures  On  Modules  And  Rings , 1999, Springer Verlag, New York.
[7] Vedadi, M.R., 2009, Strong Stably Finite Rings and  Some  Extensions ,  Acta  Math.  Univ.
Comenianae, 1, 137-144