## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Jambura J. Math. Vol. 2, No. 1, pp. 39-48, January 2020
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v2i1.2407
Modifikasi Varian Metode Abbasbandy dengan Orde Konvergensi Tujuh Tanpa Turunan Kedua
Tuti Adawiyah 1* , Muhammad Nizam Muhaijir 2
1,2 Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau, Jl. HR. Soebrantas Panam Km. 15 No. 155 , Kota Pekanbaru 28293 , Riau, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: tutiadawiyah27@gmail.com

## ABSTRAK 1
Varian metode Abbasbandy tanpa turunan kedua merupakan salah satu metode iterasi yang memiliki orde konvergensi empat yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Penelitian ini memodifikasi varian Abbasbandy menjadi metode iterasi tiga langkah. Turunan yang terdapat pada metode  iterasi  tersebut  diaproksimasi  menggunakan  interpolasi  polinomial,  interpolasi Hermit orde dua dan interpolasi Lagrange orde tiga. Secara analitik, metode baru ini mempunyai konvergensi orde tujuh dengan melibatkan empat evaluasi fungsi sehingga indeks eﬁsiensi 7 1/4 ≈ 1,6265 .  Simulasi numerik dilakukan menggunakan beberapa fungsi untuk membandingkan metode ini  dengan  beberapa  metode  lain  seperti    metode  Newton,  metode    Abbasbandy,  metode  Halley, metode Arif-Muhaijir, dan metode Wartono-Rosela untuk menunjukkan performa metode iterasi yang ditemukan.
Kata Kunci: Metode Newton; Metode Abbasbandy; Metode Halley; Interpolasi

## ABSTRACT
The variant of the Abbasbandy method without the second derivative is an iterative method that has a four-convergence order used to solve nonlinear equations. This research , modified the Abbasbandy variant one-step method being threestep method . The derivatives in the iteration method are approximated using polynomial  interpolation,  second  order  Hermit  interpolation  and  third  order  Lagrange  interpolation. Analytically, this new method has 7th order convergence involving four evaluation functions so that the efficiency  index  is 7 1/4 ≈ 1,6265 .  Numerical  simulations  are  carried  out  using  several  functions  to compare this method with several other methods such as Newton method, Abbasbandy method, Halley method, Arif-Muhaijir method and Wartono-Rosela method, to use the analysis method found. Keywords: Newton Method; Abbasbandy Method; Halley Method; Interpolation

## Format Sitasi:
T.  Adawiyah  and  M.  N.  Muhaijir ,  “ Modifikasi  Varian  Metode  Abbasbandy  dengan  Orde Konvergensi Tujuh Tanpa Turunan Kedua ,” Jambura J. Math. , vol. 2, no. 1, pp.39-48, 2020
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2020 T. Adawiyah, M.N. Muhaijir | Under the license CC BY-NC 4.0
Diterima: 06 Juli 2019 | Disetujui: 13 Desember 2019 | Online: 31 Januari 2020

## 1.  Pendahuluan
Di  bidang  matematika  sering  ditemui  persoalan  bagaimana  menemukan  solusi  suatu persamaan nonlinear dalam bentuk
𝑓(𝑥) = 0.                                                                               (1)
Permasalahan yang sering muncul ketika menyelesaikan  Persamaan (1) adalah tidak dapat digunakan  metode  analitik  dalam  menyelesaikannya.  Alternatif  lain  untuk  menyelesaikan Persamaan  (1)  adalah  menggunakan  metode  numerik  dengan  hitungan  komputasi  yang bersifat perulangan atau yang sering dikenal dengan metode iterasi.
Banyak metode iterasi yang dapat digunakan, salah satunya yaitu metode Newton dengan menggunakan  satu  tebakan  awal  dalam  menemukan  akar  hampiran  dari  Persamaan  (1). Bentuk iterasinya dinyatakan dalam bentuk
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) , 𝑛 = 1, 2, 3, … , dan 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) ≠ 0.                                 (2)
Metode Newton memiliki orde konvergensi kuadratik [1] dengan dua evaluasi fungsi. Metode ini telah dikembangkan dan dibahas dalam beberapa penelitian seperti pada [2] yang  memiliki  orde  konvergensi  tujuh,  lima  dan  empat  dan  [3]  yang  memiliki  orde konvergensi tujuh.
Metode iterasi lain yang sering digunakan untuk menyelesaikan Persamaan (1) adalah metode Halley yang memiliki orde konvergensi kubik [4][5] dengan bentuk iterasi yaitu
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 2 − 𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓 ′′ (𝑥 𝑛 ) , 𝑛 = 1, 2, 3, …                              (3)
Abbasbandy mengerjakan metode iterasi yang diperoleh dari pengembangan metode dekomposisi Adomian dengan bentuk iterasi,
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) − (𝑓(𝑥 𝑛 )) 2 𝑓"(𝑥 𝑛 ) 2(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )) 3 − (𝑓(𝑥 𝑛 )) 3 (𝑓"(𝑥 𝑛 )) 2 2(𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )) 5 (4)
dengan  orde  konvergensi  tiga  [6].  Muhaijir  dan  Aljarizi  mengembangkan  metode Abbasbandy tanpa turunan kedua dengan orde konvergensi empat [7], dengan bentuk iterasi,
𝑥 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 − (1 + 2𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) ) 𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) , 𝑛 = 1, 2, 3, …                                     (5)
Penelitian ini mengembangkan metode iterasi tiga langkah dengan mengombinasikan Persamaan  (2)  sebagai  langkah  pertama,  Persamaan  (5)  sebagai  langkah  kedua,  dan Persamaan  (3)  sebagai  langkah  ketiga.  Selanjutnya,  orde  konvergensi  metode  iterasi yang  diperoleh  ditunjukkan  secara  analitik  menggunakan  deret  Taylor.  Terakhir,  uji komputasi dilakukan pada metode iterasi baru untuk melihat orde konvergensi secara numerik  serta  untuk  melihat  keunggulan  metode  dengan  beberapa  metode  yang digunakan sebagai pembanding.

## 2.  Metode
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  merupakan  studi  literatur  dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1.  Mendefinisikan  kembali  metode  pada  Persamaan  (2)  sebagai  langkah  pertama, Persamaan  (5)  sebagai  langkah  kedua,  dan  Persamaan  (3)  sebagai  langkah  ketiga dengan mengganti 𝑥 𝑛 menjadi 𝑧 𝑛 . 2. Selanjutnya, Persamaan (3) didefiniskan kembali dengan mengganti 𝑓 ′′ (𝑧 𝑛 ) menjadi 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) seperti yang dilakukan oleh Syakir dkk. [8]. 3.  Fungsi 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) ditaksir  seperti  yang  dilakukan  oleh  Noor  dkk.  [9]  karena  taksiran 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) masih  memuat 𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) untuk  mengurangi  fungsi  maka  dilakukan  lagi penyetaraan seperti yang dilakukan oleh Muhaijir dan Aljarizi [7]. Kemudian, fungsi 𝑓 ′ (𝑧 𝑛 ) pada langkah ketiga ditaksir menggunakan metode penyetaraan seperti yang dilakukan oleh Wartono dan Rasela [2] sehingga diperoleh metode iterasi baru tiga langkah tanpa turunan kedua.
4.  Menentukan  orde  konvergensi  dan  indeks  efisiensi  untuk  metode  iterasi  yang diperoleh serta melakukan simulasi numerik menggunakan program Maple 13.
Selanjutnya disajikan  beberapa  deﬁnisi  dasar  untuk  pembahasan dan  proses terbentuknya metode iterasi baru.
Definisi  1  (Orde  Konvergensi) [10] Sebuah  barisan    iterasi {𝑥 𝑛 |𝑛 ≥ 0} dikatakan konvergen dengan orde 𝑝 ≥ 1 ke 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) jika
|𝛼 − 𝑥 𝑛+1 | ≤ 𝑐|𝛼 − 𝑥 𝑛 | 𝑝 , 𝑛 ≥ 0,
untuk suatu konstanta 𝑐 > 0 . Jika 𝑝 = 1 , maka barisan disebut konvergen linear ke 𝛼 .
Definisi 2 (COC) [11][12]  Misalkan 𝛼 adalah akar persamaan nonlinear 𝑓(𝑥 𝑛 ) dan andaikan 𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 , dan 𝑥 𝑛+1 adalah  tiga  iterasi  berturut-turut  yang  cukup  dekat  ke  akar 𝛼 .  Maka computational order of convergence ( COC ) dapat diaproksimasi menggunakan rumus:
𝐶𝑂𝐶 ≈ 𝑙𝑛 | (𝑥 𝑛+1 − 𝛼)/(𝑥 𝑛 − 𝛼)| 𝑙𝑛 | (𝑥 𝑛 − 𝛼)/(𝑥 𝑛−1 − 𝛼)| .
Definisi 3 (Indeks Efisiensi) [13]  Misalkan 𝑞 adalah banyak evaluasi fungsi yang dibutuhkan oleh suatu metode iterasi. Eﬁsiensi dari metode tersebut dihitung dengan indeks eﬁsiensi yang dideﬁnisikan sebagai 𝑝 1 𝑞 ⁄ , dengan 𝑝 adalah orde konvergensi dari metode tersebut.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini, metode iterasi tiga langkah pada Persamaan (2), (3), dan (5) dikembangkan sebagai berikut:
. ) ( ' ' ) ( ) ( ' 2 ) ( ' ) ( 2 , ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 1 , ) ( ' ) ( 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n z f z f z f z f z f z x x f y f x f y f y z x f x f x y − − =       + − = − = + (6)
Syakir dkk. [8] memperkenalkan metode iterasi dengan mengubah perhitungan fungsi 𝑓 ′′ (𝑧 𝑛 ) pada Persamaan (6) menjadi 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) yang kembali dalam bentuk
. ) ( ' ' ) ( ) ( ' 2 ) ( ' ) ( 2 , ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 1 , ) ( ' ) ( 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n y f z f z f z f z f z x x f y f x f y f y z x f x f x y − − =       + − = − = +
(7)
Fungsi turunan kedua 𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) pada bagian ketiga Persamaan (7) diaproksimasi menggunakan polinomial yang diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor seperti  yang  dilakukan oleh Noor dkk. [9], yaitu
𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) ≈ 2 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 (2𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) − 3 𝑓(𝑦 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 ).                            (8)
Kemudian, 𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) pada Persamaan (8) diaproksimasi dengan mempertimbangkan interpolasi Hermit orde dua seperti yang dilakukan oleh Muhaijir dan Aljarizi [7], dengan bentuk
𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) ≈ 2 ( 𝑓(𝑦 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 ) − 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ).                                                              (9)
Jika Persamaan (9) disubstitusikan ke Persamaan (8), maka diperoleh
𝑓 ′′ (𝑦 𝑛 ) ≈ 2 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 ( 𝑓(𝑦 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 − 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )) = 𝑇 1 .                                     (10)
Selanjutnya  fungsi 𝑓 ′ (𝑧 𝑛 ) pada  langkah  ketiga  Persamaan  (7)  juga  diaproksimasi  dengan menggunakan interpolasi Lagrange orde tiga sebagaimana yang telah dilakukan oleh Wartono dan Rosela [2], yaitu
𝑓 ′ (𝑧 𝑛 ) ≈ 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 + 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑧 𝑛 − 𝑦 𝑛 − 𝑓(𝑦 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 , = 𝑓[𝑧 𝑛 , 𝑥 𝑛 ] + 𝑓[𝑧 𝑛 , 𝑦 𝑛 ] − 𝑓[𝑦 𝑛 , 𝑥 𝑛 ],                                                   (11)
= 𝑇 2 .
Persamaan (10) dan (11) disubstitusikan ke (7) sehingga diperoleh
. ) ( 2 ) ( 2 , ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 1 , ) ( ' ) ( 1 2 2 2 1 T z f T T z f z x x f y f x f y f y z x f x f x y n n n n n n n n n n n n n n − − =       + − = − = +
(12)
Persamaan  (12)  adalah  metode  iterasi  baru  tiga  langkah  yang  merupakan  kombinasi  dari Persamaan  (2),  (3), dan  (5)  tanpa  turunan kedua. Berikut  ini ditunjukkan  orde konvergensi metode iterasi Persamaan (12) yang disajikan pada Teorema 1.
Teorema 1 (Kekonvergenan Metode Iterasi) Misalkan 𝑓: 𝐼 ⊂ 𝑅 → 𝑅 fungsi yang mempunyai turunan pada interval terbuka 𝐼 . Selanjutnya asumsikan bahwa 𝛼 adalah akar sederhana dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0 . Misalkan diberikan tebakan awal 𝑥 0 cukup dekat ke 𝛼 , maka metode iterasi Persamaan (12) mempunyai orde konvergensi tujuh dan memenuhi persamaan error :
𝑒 𝑛+1 = (2𝑐 3 2 𝑐 2 2 − 15𝑐 4 𝑐 2 4 + 25𝑐 2 6 )𝑒 𝑛 7 + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ),                                         (13)
dengan 𝑐 𝑗 = 𝑓 (𝑗) (𝛼) 𝑗!𝑓 ′ (𝛼) , 𝑗 ≥ 1 dan 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝛼.
Bukti. Untuk  menganalisis  konvergensi  Persamaan  (12),  misalkan 𝛼 adalah  akar sederhana dari Persamaan (1) dan 𝑒 𝑛 adalah error pada iterasi ke -n , maka 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝛼 dan 𝑓(𝛼) = 0 .  Dengan  menggunakan  ekspansi  Taylor  untuk 𝑓(𝑥 𝑛 ) di  sekitar 𝑥 𝑛 = 𝛼 , sehingga diperoleh
𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(𝑒 𝑛 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 )).                                   (14)
Selanjutnya, fungsi 𝑓′(𝑥 𝑛 ) diekspansi menggunakan deret Taylor di sekitar 𝛼 diperoleh
𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)(1 + 2𝑐 2 𝑒 𝑛 + 3𝑐 3 𝑒 𝑛 2 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )).                                  (15)
Jika Persamaan (14) dibagi dengan Persamaan (15) maka diperoleh
𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) = 𝑒 𝑛 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 2(𝑐 2 2 − 𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                      (16)
Persamaan  (16)  disubstitusikan  ke  langkah  pertama  Persamaan  (12)  dan 𝑥 𝑛 = 𝛼 + 𝑒 𝑛 diperoleh
𝑦 𝑛 = 𝛼 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 2(𝑐 3 − 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                        (17)
Menggunakan Persamaan (17) dan menerapkan ekspansi deret Taylor dari 𝑦 dengan 𝑦 = 𝛼 , maka 𝑦 dievaluasi di 𝑦 = 𝑦 𝑛 . Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh
𝑓(𝑦 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼) (𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + 2(𝑐 3 − 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 )).                               (18)
Berdasarkan  Persamaan  (18)  dan  (14)  dengan  melakukan  perhitungan  untuk 2𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) setelah dilakukan penyederhanaan, diperoleh
2𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 2𝑐 2 𝑒 𝑛 + (4𝑐 3 − 6𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 2 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                          (19)
Selanjutnya, Persamaan (18) dibagi dengan Persamaan (15) diperoleh
𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) = 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (2𝑐 3 − 4𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ). (20)
Persamaan  (17),  (19)  dan  (20)  disubstitusikan  ke  langkah  kedua  Persamaan  (12) menghasilkan
𝑧 𝑛 = 𝛼 + (5𝑐 2 3 − 𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                                 (21)
Menggunakan Persamaan (21) dan menerapkan ekspansi deret Taylor dari 𝑓(𝑧) dengan 𝑧 = 𝑧 𝑛 , maka 𝑓(𝑧) dievaluasi di 𝑧 = 𝑧 𝑛 setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh
𝑓(𝑧 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼) ((5𝑐 2 3 − 𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 )). (22)
Selanjutnya, T 1 pada persaman (10) dilakukan perhitungan dengan menyubstitusikan (14) dan (18) ke (10) diperoleh
𝑇 1 = − 2𝑐 1 𝑒 𝑛 − 4𝑐 2 + (−6𝑐 3 − 2𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                            (23)
Perhitungan 𝑇 2 pada Persamaan (11) dilakukan dengan menyubstitusikan Persamaan (14), (18), dan (22) ke Persamaan (11) menghasilkan
𝑇 2 = 𝑐 1 − 𝑐 2 𝑐 3 𝑒 𝑛 3 + (10𝑐 2 4 − 2𝑐 3 3 − 𝑐 2 𝑐 4 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ). (24)
Berdasarkan  Persamaan  (22)  dan  (24)  untuk  perhitungan 2𝑓(𝑧 𝑛 )𝑇 2 setelah  dilakukan penyederhanaan diperoleh
2𝑓(𝑧 𝑛 )𝑇 2 = (10𝑐 2 3 − 2𝑐 2 𝑐 3 )𝑒 𝑛 4 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                                    (25)
Perhitungan 2𝑇 2 2 − 𝑓(𝑧 𝑛 )𝑇 1 dari Persamaan (22), (23), dan (24) menghasilkan
2𝑇 2 2 − 𝑓(𝑧 𝑛 )𝑇 1 = −2𝑐 1 2 + (2𝑐 2 𝑐 3 + 10 𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 3 + ⋯ + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                       (26)
Selanjutnya, Persamaan (25) dan (26) disubstitusikan ke Persamaan (12) langkah ketiga, dan setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh
𝑥 𝑛+1 = 𝛼 + (2𝑐 3 2 𝑐 2 2 − 15𝑐 4 𝑐 2 4 + 25𝑐 2 6 )𝑒 𝑛 7 + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                  (27)
Karena, 𝑒 𝑛+1 = 𝑥 𝑛+1 − 𝛼 sehingga
𝑒 𝑛+1 = (2𝑐 3 2 𝑐 2 2 − 15𝑐 4 𝑐 2 4 + 25𝑐 2 6 )𝑒 𝑛 7 + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ).                                         (28)
Berdasarkan  definisi  orde  konvergensi  [11]  diperoleh  metode  iterasi  tiga  langkah kombinasi Persamaan (2), (3), dan (5) memiliki orde konvergensi tujuh, maka Teorema 1 terbukti.
Metode iterasi tiga langkah memiliki kekonvergenan orde tujuh dengan empat evaluasi fungsi 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓(𝑦 𝑛 ) , 𝑓(𝑧 𝑛 ) ,  dan 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) .  Berdasarkan  definisi  indeks  efisiensi  [13], diperoleh indeks efisiensi sebesar 7 1/4 ≈ 1,6265 .
Selanjutnya,  simulasi  numerik  dilakukan  untuk  membandingkan  beberapa  metode dengan  metode  iterasi  tiga  langkah.  Perbandingan  ini  dilakukan  pada  persamaan nonlinear sebagai berikut
𝑓 1 (𝑥) = (𝑥 − 1) 3 − 1, 𝛼 = 2,0000000000 𝑓 2 (𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥 − 0,1, 𝛼 = 0,1118325591 𝑓 3 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) − 𝑥, 𝛼 = 0,7390851332 𝑓 4 (𝑥) = 𝑥 3 − 10, 𝛼 = 2,5144346900 𝑓 5 (𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10, 𝛼 = 1,3652300134
Solusi numerik dari ke lima persamaan nonlinear di atas, dilakukan dengan dua buah tebakan awal 𝑥 0 yang berbeda.  Hal ini diperlukan karena  tebakan awal berpengaruh terhadap keberhasilan dalam menghampiri akar dan juga terhadap jumlah iterasi yang dihasilkan.  Perbandingan  dilakukan  dengan  beberapa  metode  yaitu  metode  Newton (MN), metode Abbasbandy (MA), metode Halley (MH), metode Arif-Muhaijir (MAM), dan metode Wartono-Rosela (MWR). Hasil komputasi dari perbandingan ke lima metode untuk empat fungsi di atas menggunakan program komputer Maple 13.
Tabel 1. Perbandingan komputasi beberapa metode untuk fungsi 𝑓 1 (𝑥) = (𝑥 − 1) 3 − 1 x 0 Metode n COC | f ( x n+1 ) |  | x n+1 – x n | 1,5 MN 10 2,0000 9,19365e-180  1,75059e-90 MA 9 3,0000 1,98212e-168  1,25615e-56 MH 6 3,0000 5,35493e-214  6,44527e-72 MAM 21 6,0000 5,54916e-212  3,20360e-36 MWR 3 7,0000 7,45358e-177  1,13381e-25 MIB 8 7,0000 8,55042e-518  7,55847e-75 2,5 MN 8 2,0000 8,43306e-112  1,67661e-56 MA 5 3,0000 8,98123e-152  4,47829e-51 MH 5 3,0000 5,90953e-121  6,66051e-41 MAM 4 6,0000 1,13684e-368  2,45971e-62 MWR 3 7,0000 2,95989e-328  2,66572e-47 MIB 4 7,0000 4,08453e-672  6,80141e-97 
Tabel 2. Perbandingan komputasi beberapa metode untuk fungsi 𝑓 2 (𝑥) = 𝑥𝑒 −𝑥 − 0,1 x 0 Metode n COC | f ( x n+1 ) |  | x n+1 – x n | -0,1 MN 8 2,0000 1,81145e-179  4,63225e-90 MA 5 3,0000 9,21714e-274  1,28894e-91 MH 5 3,0000 3,29629e-201  1,91836e-67 MAM 3 6,0000 7,99998e-111  2,78487e-19 MWR 3 7,0000 2,91464e-273  1,39331e-39 MIB 3 7,0000 1,42088e-178  2,53840e-26 2,0 MN 8 2,0000 1,14861e-134  7,21828e-67 MA 5 3,0000 2,74795e-128  2,17005e-42 MH 6 3,0000 6,33669e-274  5,38570e-91 MAM 4 6,0000 1,02099e-424  5,63108e-71 MWR 3 7,0000 1,01740e-180  9,53720e-26 MIB 3 7,0000 5,35359e-119  3,34460e-17
Tabel 3. Perbandingan komputasi beberapa metode untuk fungsi 𝑓 3 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) − 𝑥 x 0 Metode n COC | f ( x n+1 ) |  | x n+1 – x n | 2,0 MN 7 2,0000 1,17199e-191  5,63158e-96 MA 5 3,0000 7,16544e-120  3,99633e-40 MH 5 3,0000 6,29918e-106  1,48113e-35 MAM 3 6,0000 5,81719e-161  3,52915e-27 MWR 3 7,0000 8,01295e-346  1,43675e-49 MIB 3 7,0000 6,57862e-322  2,54221e-46 -0,6 MN 9 2,0000 2,15929e-106  2,41726e-53 MA * * * * MH 6 3,0000 5,33979e-167  6,50640e-56 MAM * * * * MWR 4 7,0000 1,97318e-568  2,27064e-81 MIB 8 7,0000 3,18760e-213  8,54450e-31
Tabel 4. Perbandingan komputasi beberapa metode untuk fungsi 𝑓 4 (𝑥) = 𝑥 3 − 10 x 0 Metode n COC | f ( x n+1 ) |  | x n+1 – x n | 1,5 MN 8 2,0000 1,41188e-109  1,47799e-55 MA 6 3,0000 1,62241e-228  1,17504e-76 MH 5 3,0000 4,26756e-131  2,77364e-44 MAM 4 6,0000 1,03223e-156  7,65414e-27 MWR 3 7,0000 7,45358e-177  1,13381e-25 MIB 4 7,0000 4,09799e-401  5,46468e-58 2,6 MN 8 2,0000 2,04504e-189  1,77879e-95 MA 5 3,0000 3,67310e-251  3,32413e-84 MH 5 3,0000 7,22831e-198  1,53463e-66 MAM 3 6,0000 7,65414e-270  2,93246e-20 MWR 3 7,0000 6,89900e-296  1,12136e-42 MIB 3 7,0000 1,29451e-190  6,44061e-28
Tabel 5. Perbandingan komputasi beberapa metode untuk fungsi 𝑓 5 (𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10 x 0 Metode n COC | f ( x n+1 ) |  | x n+1 – x n | 1,5 MN 7 2,0000 6,11007e-153  2,74724e-77 MA 4 3,0000 2,15934e-157  5,99939e-53 MH 4 3,0000 2,44576e-101  2,01963e-34 MAM 3 6,0000 8,77170e-209  1,48072e-35 MWR 3 7,0000 1,94082e-455  1,72209e-65 MIB 3 7,0000 5,40767e-340  2,72120e-49 2,0 MN 8 2,0000 6,11007e-153  2,74724e-77 MA 5 3,0000 5,08214e-201  1,71929e-67 MH 5 3,0000 6,67188e-158  2,82196e-53 MAM 4 6,0000 1,38269e-543  2,34466e-91 MWR 3 7,0000 7,48382e-263  5,60223e-38 MIB 3 7,0000 2,30306e-145  1,73358e-21
Berdasarkan  Tabel  1-5,  dapat  disimpulkan  bahwa  jumlah  iterasi  metode  iterasi  baru lebih sedikit dibandingkan dengan metode iterasi lainnya dan dilihat dari metode yang memiliki orde konvergensi yang sama yaitu metode MWR memberikan jumlah iterasi yang hampir sama. Selain itu, Tabel 1-5 juga memberikan informasi bahwa nilai fungsi yang  dihasilkan  sebagai  salah  satu  kriteria  pemberhentian  iterasi,  MIB  secara keseluruhan memiliki nilai fungsi yang lebih kecil dibandingkan metode MN, MA, dan MH dan nilai COC dari MIB menunjukkan angka tujuh, hal ini lebih menguatkan hasil orde konvergensi yang dihasilkan dari ekspansi deret Taylor.

## 4.  Kesimpulan
Metode Iterasi Baru (MIB) yang didiskusikan memiliki orde konvergensi tujuh dengan melibatkan  empat  evaluasi  fungsi  yaitu 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓(𝑦 𝑛 ) , 𝑓(𝑧 𝑛 ) ,  dan 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) .  Metode  ini memiliki indeks efisiensi 7 1/4 ≈ 1,6265 lebih besar nilainya jika dibandingan metode Newton 2 1/2 ≈  1,4142 , metode Abbasbandy 3 1/3 ≈ 1,4422 dan metode Halley 3 1/3 ≈ 1,4422 . Hasil numerik juga menunjukkan bahwa metode baru lebih baik dibandingkan dengan metode lainnya.

## Referensi
[1] K. E. Atkinson and W. Han, Elementary Numerical Analysis , 3rd ed. New York: John Wiley and Sons Inc, 1989.
[2] Wartono  and  R.  Rasela,  “Modifikasi  Varian  Metode  Newton  dengan  Orde Konvergensi Tujuh,” J. Sains Mat. dan Stat. , vol. 2, no. 2, pp. 32 – 38, 2016.
[3] W.  Nazeer,  A.  Naseem,  S.  M.  Kang,  and  Y.  C.  Kwun,  “Generalized  Newton Raph son’s method free from second derivative,” J. Nonlinear Sci. Appl. , vol. 9, no. 1, pp. 2823 – 2831, 2016.
[4] E. Halley, “A New Exact and Easy Method for Finding the Roots on Any Questions Generally without any Previous Reduction,” Philos. Trans. R. Sociaty London , vol. 18, pp. 136 – 148, 1694.
[5] A. Melman, “Geometry and Convergence of Euler’s and Halley’s Method,” SIAM Rev. , vol. 39, no. 4, pp. 726 – 735, 1997.
[6] S.  Abbasbandy,  “Improving  Newton -Raphson  Method  for  Solving  Nonlinear Equations  by  Modified  Adomian  Deco mposition  Method,” Appl.  Math.  Comput. , vol. 145, pp. 887 – 893, 2003.
[7] M.  N.  Muhaijir and  Aljarizi,  “Metode  Iterasi  Tiga  Langkah  dengan  Konvergensi Orde Enam untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear,” J. Sains Mat. dan Stat ., vol. 4, no. 1, pp. 1 – 8, 2018.
[8] A.  Syakir,  M.  Imran,  and  M.  D.  H.  Gamal,  “Combination  of  Newton -Halley- Chebyshev  Iterative  Methods  Without  Second  Derivatives,” Int.  J.  Theor.  Appl. Math ., vol. 3, no. 3, pp. 106 – 109, 2017.
[9] M.  A.  Noor,  W.  A.  Khan,  K.  I.  Noor,  and  E.  Al- said,  “Higher -Order  Iterative Methods Free from Second Derivative for Solving Nonlinear Equations,” Int. J. Phys. Sci. , vol. 6, no. 6, pp. 1887 – 1893, 2011.
[10] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis , 2nd ed. New York: John Wiley and Son Inc., 1989.
[11] L.  Tornhei m,  “Convergence  of  Multipoint  Iterative  Methods,” J.  Assoc.  Comput. Mach ., vol. 11, no. 2, pp. 210 – 220, 1964.
[12] D. D. Wall, “The Order of an Iteration Formula,” Math. Comput. , vol. 10, no. 1, pp. 167 – 168, 1956.
[13] W. Gautschi, Numerical Analysis , 2nd ed. New York: Birkhauser, 2012.