Kaitan Antara Ruang 𝑾 𝒎,𝒑 (𝛀) Sobolev dan Ruang 𝑳 𝒑 (𝛀) Lebesgue

## Pipit Pratiwi Rahayu
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: pipitprahayu@yahoo.com

## Abstrak
Ruang fungsi terukur dengan bentuk integral sebagai normnya telah banyak dikenal, salah satunya adalah ruang Lebesgue  dan  ruang  Sobolev.  Dalam  aplikasi  Matematika  misalkan  seperti  mencari  solusi  dari  suatu  persamaan diferensial parsial, dua ruang tersebut sangat terasa kegunaannya, sehingga itulah alasan pentingnya mempelajai ruang-ruang fungsi terukur seperti ruang Lebesgue dan ruang Sobolev. Ruang Sobolev merupakan subset dari ruang Lebesgue, itu artinya setiap fungsi yang merupakan anggota ruang Sobolev juga merupakan anggota ruang Lebesgue. Kebalikan dari kondisi tersebut adalah belum tentu berlaku. Pada penelitian ini ditunjukkan sebuah contoh fungsi yang menerangkan bahwa  fungsi tersebut merupakan  anggota ruang  Lebesgue tetapi bukan merupakan  anggota ruang Sobolev. Dengan kata lain, ruang Sobolev merupakan subset sejati dari ruang Lebesgue.
Keywords

## Abstract
Measureable function space and its norm with integral form has been known, one of which is Lebegsue Space and Sobolev Space. In applied Mathematics like in finding solution of partial differential equations, that two spaces is soo usefulness. Sobolev space is subset of Lebesgue space, its mean if we have a function that element of Sobolev Space then its element of Lebesgue space. But the converse of this condition is not applicable. In this research, we will give an example to shows that there is a function element of Lebesgue space but not element of Sobolev space.
Keywords

## Pendahuluan
Dalam Analisis telah banyak dibahas mengenai ruang dan sifat-sifatnya, misalnya ruang fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral. Ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue dan ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev termasuk ruang yang dibangun dari fungsi-fungsi terukur dan norma yang didefinisikan dengan integral.
Kegunaan  ruang  yang  dibangun  dari  fungsi-fungsi  terukur  dalam  bidang  terapan  misalnya  pada penyelesaian persamaan diferensial parsial dan beberapa bidang lainnya mengakibatkan ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue dan ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev sangat penting untuk dipelajari dan dibahas. Pada tulisan ini, pembahasan dimulai dengan penyajian definisi kedua ruang tersebut beserta sifat- sifatnya dan pada akhirnya juga disajikan contoh sebuah fungsi yang merupakan anggota ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue tetapi bukanlah anggota ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev.
Ruang 𝑳 𝒑 (𝛀) Lebesgue
Definisi  1  [2].  Diberikan Ω ⊂ 𝑖 𝑛 .  Untuk 1 ≤ 𝑝 < ∞ ,  ruang 𝐿 𝑝 (Ω) didefinisikan  sebagai  himpunan 𝐿 𝑝 (Ω) = {𝑓|𝑓: Ω → 𝑖 ,  f  terukur  dan ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 < ∞} Ω .  Norm 𝐿 𝑝 (Ω) didefinisikan  dengan
‖𝑓‖ 𝐿 𝑝 (Ω) = (∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 Ω ) 1 𝑝 . Bilangan real M disebut batas essensial fungsi f, jika |𝑓(𝑥)| ≤ M hampir dimana-mana pada Ω . Fungsi f dikatakan terbatas essensial jika f memiliki batas essensial. Supremum essensial fungsi f pada Ω didefinisikan sebagai 𝑒𝑠𝑠 𝑥∈Ω sup 𝑓(𝑥) = inf{𝑀|𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 pada Ω} . Untuk 𝑝 = ∞ , 𝐿 ∞ (Ω) merupakan himpunan semua fungsi terukur yang terbatas essensial pada Ω atau ditulis 𝐿 ∞ (Ω) = 𝑓|𝑓: Ω → 𝑖 ,f  terukur  dan 𝑒𝑠𝑠 𝑥∈Ω sup|𝑓(𝑥)| < ∞} .  Norm 𝐿 ∞ (Ω) didefinisikan  dengan ‖𝑓‖ 𝐿 ∞ (Ω) = 𝑒𝑠𝑠 𝑥∈Ω sup|𝑓(𝑥)| .
Teorema 2 (Pertidaksamaan Hőlder pada 𝑳 𝒑 (𝛀) ) [2]
(i) Jika 1 < 𝑝 < ∞, 𝑓 ∈ 𝐿 ∞ (Ω) , dan 𝑔 ∈ 𝐿 ∞ ( Ω ) , 1 𝑝 + 1 𝑞 = 1 , maka |∫ 𝑓𝑔 𝑑𝑥 Ω | ≤ ∫ |𝑓𝑔|𝑑𝑥 Ω ≤
‖𝑓‖ 𝐿 𝑝 (Ω) . ‖𝑔‖ 𝐿 𝑞 (Ω) .
(ii) Jika 𝑓 ∈ 𝐿 1 (Ω) dan 𝑔 ∈ 𝐿 ∞ ( Ω ) , maka |∫ 𝑓𝑔 𝑑𝑥 Ω | ≤ ∫ |𝑓𝑔|𝑑𝑥 Ω ≤ ‖𝑓‖ 𝐿 1 (Ω) . ‖𝑔‖ 𝐿 ∞ (Ω) .
Teorema 3 [2]. Diberikan Ω ⊂ 𝑖 𝑛 , Ω terbatas. Jika 1 ≤ 𝑝 < 𝑞 ≤ ∞ ,  maka 𝐿 𝑞 (Ω) ⊂ 𝐿 𝑝 (Ω) .
Bukti.  Diketahui 1 ≤ 𝑝 < 𝑞 ≤ ∞ .  Ambil  sebarang 𝑓 ∈ 𝐿 𝑞 (Ω) ,  yaitu 𝑓: Ω → 𝑖 , f  terukur,  dan ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑞 𝑑𝑥 < Ω ∞ .  Akan  dibuktikan 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) ,  yaitu 𝑓: Ω → 𝑖 , f  terukur,  dan ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 < Ω ∞ . Dengan menggunakan Pertidaksamaan Hőlder diperoleh
∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝
Ω 𝑑𝑥  ≤   |∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝
Ω . 1 𝑑𝑥| ≤ ‖|𝑓(𝑥)| 𝑝 ‖ 𝐿 𝑎 (Ω) ‖1‖ 𝐿 𝑏 (Ω) , dengan 1 𝑎 + 1 𝑏 = 1 = (∫ ||𝑓(𝑥)| 𝑝 | 𝑎 𝑑𝑥 Ω ) 1 𝑎 (∫ 1𝑑𝑥 Ω ) 1 𝑏 = (∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝.𝑎 Ω 𝑑𝑥) 1 𝑎 (∫ 1𝑑𝑥 Ω ) 1 𝑏
Oleh  karena ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑞 𝑑𝑥 < Ω ∞ maka  diambil 𝑎 = 𝑞 𝑝 dan 1 𝑏 = 1 − 𝑝 𝑞 sehingga  pernyataan  di  atas menjadi
(∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝. 𝑞 𝑝
Ω 𝑑𝑥) 𝑝 𝑞 (∫ 1𝑑𝑥 Ω ) 1− 𝑝 𝑞 = (∫ |𝑓(𝑥)| 𝑞 Ω 𝑑𝑥) 𝑝 𝑞 (∫ 1𝑑𝑥 Ω ) 1− 𝑝 𝑞 = ( (∫ |𝑓(𝑥)| 𝑞 Ω 𝑑𝑥) 1 𝑞 ) 𝑝 (∫ 1𝑑𝑥
Ω ) 1− 𝑝 𝑞 < ∞
Jadi terbukti bahwa ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 < Ω ∞ . Dengan kata lain 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) .
Kaitan Antara Ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (𝛺) Sobolev dan Ruang 𝐿 𝑝 (𝛺) Lebesgue 23
Jika 𝑓 ∈ 𝐿 ∞ (Ω) maka  berlaku ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥  ≤ Ω 𝑒𝑠𝑠 Ω sup|𝑓(𝑥)| (∫ 1𝑑𝑥
Ω ) < ∞ .  Jadi  terbukti  juga bahwa ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 < Ω ∞ . Dengan kata lain 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) . 
Ruang 𝑾 𝒎,𝒑 (𝛀) Sobolev
Ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev  merupakan  suatu  subset  dari  ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue  karena  pada  ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev  berisi  fungsi-fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) yang  memenuhi  kondisi  tertentu.  Definisi  ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev menggunakan fungsi terintegral lokal dan weak derivatives, oleh karena itu berikut akan dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi terintegral lokal dan weak derivatives.
Definisi 4 [8]. Diberikan Ω ⊂ 𝑖 𝑛 , Ω terbatas . Fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) dikatakan terintegral lokal jika nilai dari ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑝 𝑑𝑥 𝐾 ada  untuk  setiap  himpunan  kompak 𝐾 ⊂ Ω .  Fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) yang  terintegral lokal dapat ditulis ∈ 𝐿 𝑙𝑜𝑐 𝑝 (Ω) .
Berikut akan dibahas derivatif lemah ( weak derivatives) dalam 𝐿 𝑝 (Ω) .
Definisi 5 [8].
(i) Support fungsi ∅: 𝑖 𝑛 → 𝑖 ditulis 𝑠𝑢𝑝𝑝 ∅ didefinisikan sebagai 𝑠𝑢𝑝𝑝 ∅ ≔ 𝑐𝑙{𝑥 ∈ 𝑖 𝑛 : ∅(𝑥) ≠ 0} . (ii) Himpunan 𝐶 0 ∞ (𝑖 𝑛 ) didefinisikan sebagai himpunan semua fungsi ∅ ∈ 𝐶 ∞ (𝑖 𝑛 ) dengan 𝑠𝑢𝑝𝑝 ∅ kompak atau 𝐶 0 ∞ (𝑖 𝑛 ) = {∅ ∈ 𝐶 ∞ (𝑖 𝑛 ): 𝑠𝑢𝑝𝑝 ∅ kompak} . Selanjutnya, fungsi ∅ ∈ 𝐶 0 ∞ (𝑖 𝑛 ) disebut fungsi tes pada 𝑖 𝑛 . Untuk mempersingkat penulisan, himpunan 𝐶 0 ∞ (𝑖 𝑛 ) ditulis dengan 𝐷(𝑖 𝑛 ) .
Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh berikut.
Contoh 6. Untuk 𝑛 = 2 , fungsi ∅: 𝑖 2 → 𝑖 dengan
∅(𝑥) = ∅(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = {𝑒 (𝑥 1 2 +𝑥 2 2 −1) −1 , 𝑥 1 2 + 𝑥 2 2 < 1 0, 𝑥 yang lain
merupakan fungsi tes.
Definisi  7  [8].  Diberikan Ω ⊂ 𝑖 𝑛 , Ω terbatas.  Fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑙𝑜𝑐 𝑝 (Ω) dikatakan  mempunyai  derivative lemah  order 𝛼 pada Ω jika  terdapat  fungsi 𝑔 ∈ 𝐿 𝑙𝑜𝑐 𝑝 (Ω) sehingga  berlaku ∫ 𝑔 Ω ∅𝑑𝑥 = (−1) |𝛼| ∫ 𝑓 Ω 𝐷 𝛼 ∅𝑑𝑥 , untuk setiap fungsi tes ∅ ∈ 𝐷(Ω) . Fungsi 𝑔 merupakan derivative lemah order 𝛼 dari fungsi 𝑓 . Selanjutnya, derivative lemah order 𝛼 dari fungsi 𝑓 dapat ditulis sebagai 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 dan 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 = 𝑔 .
Hubungan antara derivatif sesungguhnya dengan derivatif lemah adalah sebagai berikut. Teorema  8  [8].  Diberikan  fungsi 𝑓: Ω ⊂ 𝑖 𝑛 → 𝑖 .  Jika  fungsi 𝑓 mempunyai  derivative  pada Ω maka fungsi 𝑓 mempunyai derivative lemah pada Ω .
Bukti. Diketahui fungsi 𝑓 mempunyai derivatif pada Ω maka fungsi 𝑓 mempunyai derivatif di setiap titik 𝑥 ∈ Ω , sehingga derivatif parsial dari fungsi 𝑓 atau 𝐷 𝛼 𝑓 ada, yaitu
𝐷 𝛼 𝑓 = 𝑔 (1)
Jika Persamaan (1) dikalikan dengan sebarang fungsi tes ∅ ∈ 𝐷(Ω) maka
𝐷 𝛼 𝑓. ∅ = 𝑔. ∅ (2)
Jika Persamaan (2) diintegralkan pada Ω , maka
∫ 𝐷 𝛼 𝑓. ∅ Ω 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔. ∅ Ω 𝑑𝑥 (3)
Perhatikan  ruas  kiri  pada  (3).  Oleh  karena ∅ ∈ 𝐷(Ω) ,  integral  parsial  pada  ruas  kiri  (3)  menjadi ∫ 𝐷 𝛼 𝑓. ∅ Ω 𝑑𝑥 = (−1) |𝛼| ∫ 𝑓 Ω 𝐷 𝛼 ∅𝑑𝑥 , sehingga didapat
∫ 𝑔. ∅ Ω 𝑑𝑥 = (−1) |𝛼| ∫ 𝑓. 𝐷 𝛼 ∅ Ω 𝑑𝑥 (4)
Persamaan (4) mengatakan bahwa fungsi 𝑓 mempunyai derivatif lemah order 𝛼 yaitu 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 = 𝑔 .  Sebaliknya dari Teorema 8 belum tentu berlaku, berikut diberikan contoh penyangkal. Contoh 9. Misal 𝑛 = 1, Ω = [−1,1] dan 𝑓(𝑥) = 1 − |𝑥| . Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓: Ω → 𝑖 dengan
𝑔(𝑥) = { 1, −1 ≤ 𝑥 < 0 −1, 0 < 𝑥 ≤ 1
merupakan derivatif  lemah order 1 dari fungsi 𝑓 .
Harus ditunjukkan bahwa berlaku
          1 1 1 1 1 g x x dx f x D x dx         , yaitu                                                   1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 ' ' 1 1 .1 1 . 1 f x D x dx f x D x dx f x D x dx f x x x f x dx f x x x f x dx
x x x dx x x x dx   
 
                               
  
             
                                   0 1 1 0 1 1 .1 . 1 . x dx x dx x g x dx            
Pada  Akibat  berikut  dijelaskan  bahwa  fungsi 𝑓 ∈ 𝐶 𝑚 (Ω) yang  mempunyai  derivatif  lemah  yang bernilai sama dengan derivatif sesungguhnya.
Akibat 10. Diberikan Ω ⊂ 𝑖 𝑛 terbatas dan Ω ≠ ∅ . Jika 𝑓 ∈ 𝐶 𝑚 (Ω) dan 𝛼 multi indeks dengan |𝛼| ≤ 𝑚 maka derivatif lemah 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 ada dan 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 = 𝐷 𝛼 𝑓 , hampir dimana-mana di dalam Ω .
Kaitan Antara Ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (𝛺) Sobolev dan Ruang 𝐿 𝑝 (𝛺) Lebesgue 25

## Ruang
𝑾 𝒎,𝒑 (𝛀) Sobolev dan kaitannya dengan ruang 𝑳 𝒑 (𝛀) Lebesgue
Ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev merupakan subset dari ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue karena pada ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev  berisi  fungsi-fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) yang  memenuhi  kondisi  tertentu.  Berikut  definisi  lebih lengkapnya:
Definisi 11 [8]. Diberikan 𝑚 ∈ 𝑖 , Ω ⊂ 𝑖 𝑛 terbatas dan fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 𝑝 (Ω) dengan 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 ada, untuk setiap 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 . Ruang Sobolev didefinisikan sebagai berikut:
        , | , , 1 m p p p w W f L
D f L m p
               .
Jelas bahwa 𝑊 0,𝑝 (Ω) = 𝐿 𝑝 (Ω) . Norm Sobolev didefinisikan dengan
      , 1 1 : , 1 , x x m p p p p p p w w W L m m f D f
D f d p
            
                   
dan untuk p   ,       , : sup x m w w W L m m f D f ess D f
 
             .
Selanjutnya dinotasikan 𝐻 𝑚 (Ω) = 𝑊 𝑚,2 (Ω) .
Contoh  12.  Diberikan Ω ≔ (𝑥 1 , 𝑥 2 ) .  Ruang 𝑊 2,3 (Ω) adalah  himpunan  fungsi 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ Ω dengan 𝐷 𝑤 𝛼 𝑓 ∈ 𝐿 3 (Ω) untuk |𝛼| ≤ 2 . Norm Sobolev fungsi 𝑢 adalah
  2 2 , 3 1 1 3 3 3 2 3 2 x W x du d u u u dx dx dx                     
Menurut Definisi 11 di atas, terlihat jelas bahwa ruang Sobolev 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) merupakan subset dari ruang 𝐿 𝑝 (Ω) atau dengan kata lain setiap fungsi yang merupakan anggota ruang Sobolev 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) maka  fungsi  tersebut  juga  anggota  ruang 𝐿 𝑝 (Ω) .  Namun  sebaliknya  beum  tentu  berlaku.  Berikut diberikan contoh sebuah fungsi yang merupakan anggota ruang 𝐿 𝑝 (Ω) tetapi bukan merupakan anggota ruang Sobolev 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) .
Contoh 13. Misal 𝑛 = 1, Ω = (0,1) dan 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 . Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓 ∈ 𝐿 2 (Ω) tetapi 𝑓 ∉ 𝑊 1,2 (Ω) . Harus ditunjukkan bahwa ∫ |𝑓(𝑥)| 2 1 0 𝑑𝑥 < ∞ ,   1 1 2 2 0 0 1 0 1 2 0 ( ) 2 4 2 2 f x dx x dx x dx
x  
    
Jelas bahwa fungsi 𝑓 ∈ 𝐶 1 (Ω) maka 𝐷 𝑤 1 𝑓 = 𝐷 1 𝑓 = 1 √𝑥 sehingga
2 1 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 ( ) 1 ln .....(*) w D f x dx dx x dx x x              
   
Pada persamaan (*) di atas terlihat bahwa nilai ∫ |𝐷 𝑤 1 𝑓(𝑥)| 2 1 0 𝑑𝑥 tidak ada atau dengan kata lain 𝐷 𝑤 1 𝑓(𝑥) ∉ 𝐿 2 (Ω) . Jadi 𝑓 ∉ 𝑊 1,2 (Ω) .

## Kesimpulan
Ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev merupakan subset sejati dari ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue artinya setiap fungsi yang merupakan  anggota  ruang 𝑊 𝑚,𝑝 (Ω) Sobolev  maka  juga  merupakan  anggota  ruang 𝐿 𝑝 (Ω) Lebesgue tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.

## Referensi
[1]  Budhi, W.S., 2001, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya , Penerbit ITB Bandung, Bandung.
[2]  Darmawijaya,  S.,  2006, Pengantar  Analisis  Real ,  Jurusan  Matematika  Fakultas  MIPA  Universitas  Gadjah  Mada, Yogyakarta.
[3]  Darmawijaya,  S.,  2007, Pengantar  Analisis  Abstrak ,  Jurusan  Matematika  Fakultas  MIPA  Universitas  Gadjah  Mada, Yogyakarta.
[4]  Debnath, L., and Mikusinski, P., 1999, Introduction to Hilbert Spaces with Applications , Second Edition, Academic Press, United States of America.
[5]  Fife P.C., 1988 , Dynamics of Intenal Layers and Diffusive Interfaces, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, 53, Philadelphia.
[6]  Friedman, A., 1982, Variational Principles and Free Boundary Problems, John Wiley & Sons, Inc., United States of America.
[7]  Milan  Miklavcic,  1998, Applied  Functional  Analysis  and  Partial  Differential  Equations, World  Scientific  Publishing Co.pte.Ltd., Singapore.
[8]  Oden, J., T., and Reddy, J., N., 1976, An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements , John Wiley & Sons, Inc., United States of America.
[9]  Parzynski, W.R., and Zipse, P.W., 1982, Introduction to Mathematical Analysis , McGraw-Hill, United States of America.
[10]  Schwartz, A., 1960, Analytic Geometry and Calculus, Holt, Rinehart and Winston, Inc., United States of America.