## KETERKAITAN ANTARA KONVERGEN ALMOST SURELY, KONVERGEN DALAM PROBABILITAS, KONVERGEN DALAM MEAN, DAN KONVERGEN DALAM DISTRIBUSI

## RELATIONS BETWEEN CONVERGENCE ALMOST SURELY, CONVERGENCE IN PROBABILITY, CONVERGENCE IN MEAN, AND CONVERGENCE IN DISTRIBUTIONS
Vira Agusta 1§ , Nurweni Putri 2 , Maya Sari Syahrul 3
1 Prodi Matematika, Unidha, Jl. Sawahan No.103, Padang, Indonesia [Email: agusta.vira@rocketmail.com] 2 Prodi Matematika, Unidha, Jl. Sawahan No.103, Padang, Indonesia [Email: nurweniputri@gmail.com] 3 Prodi Matematika, Unidha, Jl. Sawahan No.103, Padang, Indonesia [Email: maya@unidha.ac.id]
§ Corresponding Author

## Received 2019; Accepted 2019; Published 2019

## Abstrak
Pada penelitian ini mengkaji keterkaitan antara konvergen  almost  surely,  konvergen dalam probabilitas, konvergen dalam  mean,  dan konvergen dalam distribusi. Jika barisan variabel  random } { n X konvergen almost surely ke suatu variabel random X , maka } { n X konvergen dalam probabilitas ke variabel random ke X . Jika barisan variabel random } { n X konvergen dalam probabilitas ke variabel random X maka } { n X konvergen  dalam  mean  ke X .  Jika  barisan  variabel  random } { n X konvergen  dalam  probabilitas  ke variabel random X maka } { n X konvergen dalam distribusi ke X .
Kata  Kunci :  ruang  probabilitas,  konvergen  almost  surely,  konvergen  dalam  probabilitas,  konvergen dalam mean, konvergen dalam distribusi.

## Abstract
In  this  research  the  relations  between  convergence  almost  surely,  convergence  in  probability, convergence  in  mean,  and  convergence  in  distribution.  If  the  sequence  of  random  variables } { n X converges almost surely to a random variable X, then it converges in probability to the random variable to X. If the sequence of random variables } { n X converges in probability to a random variable X, then it converges in mean to the random variable to X. If the sequence of random variables } { n X converges in probability to a random variable X, then it converges in the distribution to the random variable to X. Keywords :  space  probability,  convergen  almost  surely,  convergen  in  probability,  convergen  in  mean, convergen in distribution

## 1. Pendahuluan
Teori  probabilitas  berkaitan  dengan  cara menentukan  hubungan  antara  sejumlah  kejadian khusus dengan sejumlah kejadian sebarang. Teori probabilitas  sudah  dikenal  matematikawan  sejak abad  17.  Pada  tahun  1709  Jaques  (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, dimana salah satu isinya adalah tentang teori probabilitas. Kajian  mengenai  teori  probabilitas  adalah  suatu kajian  dalam  matematika  yang  memungkinkan kita  untuk  menyediakan  suatu  dasar  bagi pembentukan model yang terkait dengan fenomena-fenomena  yang  mengandung  unsur ketidakpastian.  Seseorang  tidaklah  mungkin untuk memahami statistika secara sempurna tanpa memahami  apa  arti  peluang  itu  sendiri.  Oleh karena  itu,  dapatlah  dikatakan  bahwa  teori probabilitas adalah pondasi dari statistika.
Dalam  teori  probabilitas  terdapat  berbagai jenis  kekonvergenan  diantaranya  konvergen almost  surely,  konvergen  dalam  probabilitas, konvergen  dalam  mean,  dan  konvergen  dalam distribusi.  Menurut  [3],  barisan  variabel  random
} { n X dikatakan  konvergen  almost  surely  ke suatu  variabel  random X jika  untuk  setiap dan ,
. | |    / ditulis → .
Selanjutnya  barisan  variabel  random } { n X dikatakan  konvergen  dalam  probabilitas  ke  suatu variabel  random X jika  untuk  setiap dan
, berlaku :
(| |    )
atau ekuivalen dengan
(| |    )
ditulis . Selanjutnya  barisan  variabel  random } { n X dikatakan  konvergen  dalam  mean  ke r ke  suatu variabel  random X jika  untuk   n bila   0   r n X X E untuk   n .  Bila 2  r ,
maka
X X n  disebut  konvergen  dalam  mean kuadrat.
Sementara  barisan  variabel  random } { n X dikatakan  konvergen  dalam  distribusi  ke  suatu variabel random X jika untuk   n berlaku
) ( ) ( lim x X P x X P n n     
untuk setiap x dengan fungsi sebaran ) ( ) ( x X P x F   kontinu dari kanan.
Pada  berbagai  kajian  khususnya  di  bidang statistika  matematika  mengenai  teori  probabilitas dibahas adanya keterkaitan antara kekonvergenan variabel random yang satu dengan kekonvergenan variabel  random  yang  lain.  Kajian  mengenai hubungan  antara  beberapa  jenis  kekonvergenan dari  variabel  random  dalam  teori  probabilitas sangat penting untuk dibahas karena keterpakaiannya  dalam  membantu  pembuktian teorema-teorema  tertentu.  Dalam  tulisan  ini  akan dikaji  tentang  keterkaitan  antara  konvergen
almost  surely,  konvergen  dalam  probabilitas, konvergen  dalam  mean,  dan  konvergen  dalam distribusi.

## 2. Landasan Teori

## 2.1 Ruang Probabilitas
Definisi  2.1 [1] Misalkan suatu  ukuran nonnegatif pada -field dan ukuran fungsi bernilai  real  pada -field tersebut
sedemikian  sehingga  setiap  kali  himpunan kejadian membentuk koleksi
berhingga  atau  tak  berhingga  terhitung dengan
himpunan-himpunan saling asing, dengan
(⋃ )   ∑  ( )
untuk ( ) , disebut ukuran probabilitas.
Misalkan suatu  himpunan  dari  titik- titik dalam suatu ruang sampel dan suatu - field  yaitu  kumpulan  dari  subhimpunan dimana bisa dihitung probabilitasnya.
Subhimpunan  ini  dikatakan  kejadian  dan  bisa dipandang  sebagai  suatu  kemungkinan  yang bisa  terjadi.  Jika  dimisalkan suatu ukuran  pada yaitu  suatu  fungsi  yang diberikan  oleh  probabilitas  untuk  sebarang kejadian  dalam ,  maka  tripel (       ) dinamakan ruang probabilitas. [1]

## 2.2 Variabel Random
Berikut  diberikan  definisi  dan  teorema yang berhubungan dengan variabel random.
2.2.1  Definisi Variabel Random Definisi  2.2 [1] Suatu  variabel  random pada ruang  probabilitas (       ) adalah  fungsi terukur Borel dari himpunan ke bilangan riil ditulis . Definisi  2.3 [1] Fungsi  distribusi  dari  variabel random  X  adalah  fungsi  dari ke ,   - didefinisikan sebagai
( )    *    ( )    + .
Definisi 2.4 [4] Suatu variabel random disebut variabel  random  diskret  bila  jelajahnya  ( ) berhingga atau tak terhingga terhitung ( countable ) dengan  fungsi  massa  probabilitas ( fmp ) dari X adalah
( )    *     + .
Fungsi massa probabilitas ( ) memenuhi dua sifat berikut yaitu ( ) untuk setiap
dan ∑ ( ) .
Definisi 2.5 [4] Suatu variabel random disebut kontinu  bila  fungsi  distribusi  kumulatif  dari yaitu ( ) merupakan  fungsi  kontinu  untuk setiap dengan ( ) fungsi  kepadatan probabilitas ( fkp ) sedemikian  sehingga  fungsi distribusinya dinyatakan sebagai:
( )   ∫ ( ) .
Fungsi  kepadatan  probabilitas ( ) merupakan fungsi  kontinu.  Sehingga  fungsi  kepadatan probabilitas ( ) memenuhi dua sifat berikut :
1. ( )
2. ∫ ( ) .

## 2.2.2  Ekspektasi dan Variansi
Definisi  2.6 [4] Misalkan variabel  random diskret  dengan  fungsi  massa  probabilitas ( ) dan ∑ | | ( ) maka  ekspektasi  dari didefinisikan sebagai :
( )   ∑    ( )
Bila variabel  random  kontinu  dengan  fungsi kepadatan probabilitas
( ) dan
∫ | | ( ) maka  ekspektasi  dari didefinisikan sebagai :
( )   ∫   ( )
Teorema  2.7 [3] Misalkan suatu  variabel random dan misalkan dan suatu konstanta, maka  untuk  sebarang  fungsi ( ) dan ( ) ( masing-masing ekspektasinya ada ) berlaku :
, ( ) ( )    -     , ( )-
, ( )- .
Definisi  2.8 [1] Misalkan variabel  random pada  ruang  probabilitas (       ) .  Bila , bilangan ( ) dinamakan  momen  ke-k  dari variabel random , sedangkan (| | ) dinamakan  momen  absolut  ke-k  dari  variabel random .  Selanjutnya ,(     ) - disebut momen  sentral  ke-k  dan ,|     | - disebut momen sentral absolut ke-k dengan merupakan ekspektasi  dari ,  momen  sentral  didefinisikan hanya untuk ( ) berhingga.
Momen  pertama (     ) adalah ( ) sering  disebut  sebagai  mean  dari dan  momen
sentral pertama (jika ada) selalu 0. Momen sentral kedua  yaitu ,(     ) - disebut  variansi dari sering  ditulis  sebagai ( ) dan  deviasi standard  didefinisikan  sebagai  akar  positif    dari yaitu .
Teorema  2.9 [1] Misalkan suatu  variabel random  pada  ruang  probabilitas (       ) . Jika ( ) ekspektasi  dari berhingga ( yang  berarti ( ) selalu ada karena ) , maka ( )    ( ) .
Teorema  2.10 [2]  Jika   , , ~ 2 i i i N X   n i ..., , 1  menyatakan  variabel  random  normal yang saling bebas, maka
. , ~ 1 2 2 1 1              n i i i n i i i n i i i a a N X a Y  
Berikut ini akan diberikan definisi dari Ketidaksamaan Chebyshev.
Teorema  2.11 [2] Jika X  merupakan  suatu variabel  random  dengan  nilai  tengah μ dan ragam 2  , maka untuk sebarang 0  k ,   2 2        X P
atau jika   k  maka   . 1 2 k k X P     

## 2.3  Konvergensi Barisan Variabel Random
Berikut diberikan definisi dan teorema yang berkaitan  dengan  konvergensi  barisan  variabel random.
Definisi 2.12 [3] Misalkan * + barisan variabel
random  yang  didefinisikan  pada  suatu  ruang probabilitas (       ) .  Suatu  barisan  variabel random * + dikatakan  konvergen  dalam probabilitas  ke  variabel  random ,  jika  untuk setiap dan , (| |    ) atau  ekuivalen  dengan (| | ) ditulis .
Definisi  2.13 [3] Misalkan * + adalah  barisan variabel  random  yang  didefinisikan  pada  suatu ruang  probabilitas (       ) .  Suatu  barisan variabel  random * + dikatakan  konvergen hampir  pasti  (almost  surely)  ke  variabel  random
, jika untuk setiap dan
,
. | |    /
ditulis → .
Definisi 2.14 [3] Misalkan * + barisan variabel random  yang  didefinisikan  pada  suatu  ruang probabilitas (       ) .  Suatu  barisan  variabel random * + dikatakan  konvergen  dalam distribusi  ke  variabel  random untuk jika
( ) ( )
untuk  semua  titik  x  dimana  fungsi  distribusi
( ) adalah kontinu dari kanan ditulis
.
Definisi  2.15 [5] barisan  variabel  random } { n X dikatakan  konvergen  dalam  mean  ke  r  ke  suatu variabel  random  X  jika  untuk   n bila   0   r n X X E untuk   n . Bila 2  r , maka
X X n  disebut konvergen dalam mean kuadrat.
Teorema 2.16 [5] Barisan variabel random * + konvergen  hampir  pasti  (almost  surely)  ke variabel  random
jika  dan  hanya  jika
( | |    ) untuk  setiap .

## 3. Hasil Dan Pembahasan
3.1 Keterkaitan  Antara  Konvergen  Almost Surely, Konvergen dalam Probabilitas,
Konvergen  dalam  Mean,  dan  Konvergen dalam Distribusi
Teorema  3.1 [3] Jika  barisan  variabel  random * + konvergen  hampir  pasti  (almost  surely)  ke variabel  random ,  maka * + konvergen  dalam probabilitas ke X.
Bukti:
Diberikan dan sebarang,  selanjutnya → mempunyai  arti  bahwa  untuk ,
terdapat sedemikian hingga dapat dipilih
sedemikian sehingga,
( | | ) atau (⋃ ,| |
-) . Sehingga  untuk → mengakibatkan  untuk setiap dapat  dipilih (    )
sedemikian sehingga
(⋂ ,| |    - )
Selanjutnya,  karena ⋂ ,| |    - untuk
, maka untuk
diperoleh:
(,| |    -)    (⋂ ,| |    - )
yang berarti (,| |    -) untuk . Akibatnya  karena sebarang  maka  untuk diperoleh limit untuk yaitu (,| |    -) .
Hal ini berarti * + konvergen dalam probabilitas ke , yaitu
Teorema  3.2 [5] Jika  barisan  variabel  random
* + konvergen  dalam  probabilitas  ke  variabel random maka * + konvergen dalam distribusi ke .
Bukti:
Misalkan ( )    ( ) dan ( )
(     ) masing-masing adalah fungsi distribusi
dari dan . Akan ditunjukan bahwa ( ) ( ) untuk setiap ( ( )) dimana ( ( )) adalah  himpunan  fungsi ( ) yang  kontinu, selanjutnya untuk setiap diperoleh
( )    ( ) ( )    ( )
(         ) (
)
(         )    ( )
(         )    ( ) ( )
(         )    (| |    )
(     )    (| |    )
Sehingga
( ) (     )    (| |    ) dengan cara yang sama diperoleh
(     ) ( )    (| |    )

## Sehingga
(     )    (| |    ) ( ) (     ) (| |    ) karena * + konvergen  dalam  probabilitas  ke ,
maka untuk
diperoleh
(     ) ( ) (     ) Berdasarkan  asumsi,  fungsi  distribusi ( ) kontinu  pada ,  sehingga  jika maka (     ) ( ) dan (     ) ( ) . Selanjutnya untuk maka (     ) ( ) dan (     ) ( ) Sehingga diperoleh (     ) 0 ( )1 (     ) ( ) ( ) ( ) Sehingga ( ) ( ) ,  dengan  kata  lain,
( ) ( ) untuk ( ( )) artinya * + konvergen dalam distribusi ke
Teorema  3.3 [5] Jika  barisan  variabel  random * + konvergen dalam mean  ke variabel  random maka * + konvergen  dalam  probabilitas  ke variabel random .
Bukti:
Menurut ketaksamaan Markov
  0     r r n n X X E X P   Untuk setiap 0   dan   n .
Sehingga  terbukti * + konvergen  dalam  peluang ke variabel random .
Teorema  3.4 [5] Misalkan * + barisan pasangan variabel random untuk . Jika
| | dan maka
Bukti:
Diberikan sebarang.  Misalkan x titik kontinu dari fungsi distribusi kumulatif Y maka: ( )    ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )    ( ) . Kedua ruas dilimitkan untuk , diperoleh ( ) ( ) , ( ) (     )
dengan cara yang sama diperoleh
( ) ( ) atau ( ) (     )

## Sehingga
(     ) ( )
( ) (     )
karena sebarang  dan x titik  kontinu  dari fungsi  distribusi  kumulatif Y ,  maka  untuk diperoleh
( ) ( )
Selanjutnya, karena
yaitu
( ) ( ) , sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Hal ini berarti . Konvergen dalam distribusi ke atau
3.2  Ilustrasi  Keterkaitan  Antara  Konvergen Almost Surely, Konvergen dalam Probabilitas, Konvergen dalam Mean.
Misalkan ,... , 2 1 X X suatu    barisan  variabel random  yang  berdistribusi  secara  bebas  dan identik  menurut  distribusi  normal  dengan
0 ) (    i X E dan 1 ) ( 2    i X Var Misalkan juga didefinisikan dua variabel random yang baru
yaitu X=0 dan . 1
1    n i i n X n X Berdasarkan
Teorema  2.3.2.6  maka n X merupakan  variabel random normal dengan   0  n X E dan
  n X Var n 1  .  Dapat  dilihat  bahwa untuk  setiap
0   berlaku     , 1 0 lim lim      
      n n n n X P X X P artinya, n X konvergen almost surely ke variabel random X .
Dengan  menggunakan  ketaksamaan  Chebyshev, selanjutnya  akan  dibuktikan n X konvergen dalam  probabilitas  ke  variabel  random X .
Perhatikan bahwa untuk setiap , 0        X X P n       0 n X P     2 2 0     n X P   . 1 2 2   n X Var n   Karena itu, diperoleh 
          0 n n X P X X P 2 1  n         X X P n n lim 0 1 lim 2      n n
yang  berarti  bahwa n X konvergen  dalam probabilitas ke variabel random X .
Selanjutnya  akan  ditunjukkan n X konvergen dalam  mean  ke X ,  dengan  menggunakan Ketaksamaan Markov diperoleh :
  r r n n X X E X P     
r r n X E  0   0   r r n X E

Untuk  setiap 0   dan   n terbukti n X konvergen dalam mean ke X.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Kesimpulan  yang  diperoleh  dari  penelitian adalah;  Jika  barisan  variabel  random * + konvergen  almost  surely  ke  variabel  random , maka * + konvergen  dalam  probabilitas  ke  X. Jika  barisan  variabel  random * + konvergen dalam  probabilitas  ke  variabel  random maka * + konvergen  dalam  distribusi  ke .  Jika barisan  variabel  random * + konvergen  dalam mean  ke  variabel  random ,  maka * + konvergen dalam probabilitas ke X .
Adapun  saran  untuk  penelitian  selanjutnya, penulis  menyarankan  untuk  mengkaji  hubungan kekonvergenan  yang  lain  dan  teorema-teorema yang  berkaitan  dengan  kekonvergenan  variabel random tersebut

## 5. Ucapan Terima Kasih
Terima  kasih  kepada  rektor  Universitas Dharma  Andalas  (UNIDHA),  Prof.  Dr.  Deddi Prima  Putra,  Apt.  serta  kepada  LPPM Universitas  Dharma  Andalas  yang  telah memberikan  kesempatan  untuk  melakukan penelitian ini.Terima kasih juga kepada Ketua Program  Studi  Matematika  UNIDHA,  Bapak
Narwen,  M.Si  serta  rekan-rekan  dosen  Prodi Matematika  yang  telah  banyak  membantu penyelesaian  penelitian  ini.  Terimakasih  juga kepada Jurusan Matematika Universitas  Islam Nasional  Imam  Bonjol  yang  telah  membantu menerbitkan jurnal ini.

## Daftar Pustaka
[1] Ash, R.N. 1972. Real Analysis and Probability , Academic Press inc, London.
[2] Bain, L.J. and Engelhardt, Max. 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics . Duxbury Press, California.
[3] Casella, G. dan R. L. Berger. 1990. Statistical Inference . Ed. Ke-1 Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California.
[4] Subanar. 2013. Statistika Matematika, Probabilitas, Distribusi, dan Asimtotis dalam Statistika . Graha Ilmu, Yogyakarta.
[5] Subanar. 2013. Statistika Matematika. Graha Ilmu, Yogyakarta.