## 56
Two of the five goals mandated by SBC to be achieved in the learning of mathematics in schools is to develop the ability to reason and solve problems. In addition to SBC also emphasizes math learning focus on solving problems. Reasoning and problem solving competence is a two occupying a central position in their respective roles. Reasoning ability is the main weapon to solve the problem while solving the problem is the main occupation in doing-math. For that it is a usual school curriculum models adopted to design and make room for math learning approach that promotes growth and blossoms both capacities. This paper highlights the importance of foster both competence is developed through the learning process in order to contribute to efforts to achieve national education goals. RUANG KONFIGURASI SUATU SISTEM

## Rahmawati Pane
Abstract.  A  system  in  addition  to  having  properties  -  properties  also  have  any configuration  needed  -  time  operation  system  or  process.  A  configuration  based on the properties  -  properties that will be raised  and the purposes of the  system. This paper proposes a system configuration based on the uniformity properties of woven and aid group obtained a mathematical model rather than the system.
Keywords : Space, configuration, grill, model

## PENDAHULUAN
Suatu sistem, seperti komputer, robot, mobil,  manusia,  alam  dan  sebagainya  terdiri dari  kumpulan  objek  –  objek  (disebut komponen)    yang  saling  bekerjasama  satu dengan  yang  lain  dalam  suatu  tatanan mengikuti  aturan  tertentu  untuk  mencapai tujuan. Oleh sebab itu dapat dikatakan bahwa suatu sistem adalah sesuatu yang terorganisasi  adalah  suatu  sistem.  Setiap komponen daripada sistem mempunyai fungsi masing  –  masing  secara  berbeda  dan  tujuan akan dapat dicapai apabila sistem mempunyai konfigurasi  untuk  mengatur  hubungan  dan kegunaan  antara  satu  komponen  dengan komponen lain.
Konfigurasi  sistem  akan  digunakan untuk  menentukan  batasan  tugas  masing  – masing  komponen  akan  disimpan  pada  suatu lokasi  didalam  sistem  atau  sudah  terdefenisi didalam  sistem  itu  melalui  komponen  yang lain.  Lokasi  ini  disebut  ruang  konfigurasi. Suatu  sistem  akan  bekerja  dengan  apabila semua  komponen  sudah  berkonfigurasi, adanya  suatu  sistem  akan  bekerja  secara optimal  apabila  konfigurasi  optimal  pula.
Untuk menentukan optimalnya suatu konfigurasi  sistem  mestilah  mengukur  dan melakukan enumerasi terhadap setiap kemampuan dan fungsi komponen – komponen sistem, tetapi pengukuran tentunya harus  disesuaikan  dengan  model  sistem  yang dibuat.  Pada  suatu  sisi  pengukuran  ini memerlukan suatu teknologi berkaitan dengan teori  optimisasi,  seperti  melakukan  lintasan terpendek, program matematika dan sebagainya,  tetapi  pada  sisi  lain  suatu pengukuran  optimisasi  memerlukan  kaedah penentuan  kesamaan  dengan  sistem  lain sehingga  diperoleh  sifat  rampatasi.  Kaedah ini disebut dengan teori keseragaman.
Keseragaman  (invariant)  suatu  sistem dengan  sistem  lain  dapat  ditentukan  dengan menentukan struktur sistemnya, yaitu melalui bantun  aljabar.  Perkembangan  aljabar  seperti toeri  grup,  ring  dan  sebagainya  telah membuka wacana baru dalam pemikiran teori keseragaman, apalagi dengan penerapan yang tidak  tanggung  –  tanggung  terhadap  suatu simpul  dan  anyaman  dengan  bantuan  teori graph,  menyebabkan  teori  keseragaman menjadi  titik  penentu  dalam  menentukan
57
optimalitas  suatu  sistem.  Tulisan  ini  akan mengkaji beberapa hal tentang ruang konfigurasi  dengan  bantuan  grup  anyaman dalam rangka optimisasi kinerja suatu sistem.

## LANDASAN TEORI
Asumsikan  suatu  pribadi  diwakili  oleh  suatu titik  pada  suatu  landasan  ruang  kerja  X. Himpunan X O  mewakili semua rintangan yang dihindari. Ruang konfigurasi C :         O X O X x O X C      (1)
andaikan C g  menandakan  konfigurasi tujuan  yang  diinginkan.  Agar  terjadi  suatu skema  kendali  yang  rill  terhadap  tujuan  ini secara  aman,  cukuplah  dibangunkan  medan vektor g X pada  C  dengan  (1)  mempunyai  g sebanyak sink bersama suatu model atraksinya.  Pasangan  titik  pada  -graf  – pohon   memiliki  tiga  edge   3 1 1 e bertemu pada  suatu  verteks  tunggal  bervalensi3,vo.
Andaikan     2 C menandakan ruang konfigurasi dari dua titik pada   .
Lema  1  : Ruang  konfigurasi     2 C adalah homomorfik  dengan  2  –  kompleks  yang dilekatkan
Andaikan  x  dan  y  menandakan  titik  berbeda pada   dan andaikan   2 2 C D   menandakan  daerah  dimana  x  dan  y  terletak pada  edge  yang  berbeda  daripada   .  Maka
D ,  closure  daripada  D  didalam     2 C dengan  mudah  diperlihatkan  berupa  2  – manifold  dengan  sepadan  sebagai  berikut  : jika  x  dan  y  pada  verteks  pusat,  maka  y terletak  didalam  satu  daripada  tiga  edge,  dan lingkungan  didalam D memperkenankan  x berpindah pada dua edge yang lain, dua edge bersama  menjadi  homomorfik  dengan  suatu selang.  Terdapat  dua  titik  dan  tiga  selang D memiliki  suatu  penguraian  alamiah  kedalam enan sel, masing – masing homorfik dengan           0 , 0 / 1 , 0 x 1 , 0 dan
digabungkan sepanjang  edge  (0,1]0}  dan  {0}x  (1]  dalam
suatu  fashion  siklik.  Suatu  komputasi karakteristik  euler  digabungkan  dengan pemeliharaan jejak daripada sepadan menampakkan  bahwa D adalah  homomorfik dengan  suatu  cakram  berlobang.  Pelengkap dari  pada D di  dalam     2 C terdiri  dari enam  sirip,  masing  –  masing  homomorfik dengan     1 y x , 0 x : R y , x 2     .  Semua sirip  dicantelkan  dengan D sepanjang  edge (0,1]0} dan {0,1}x {0} didalam setiap sel [2]. Perhatikan bahwa ruang ini mempunyai suatu penguraian perkalian sebagai  perkalian  cartesian  daripada  (0,1] dengan  graf  diberikan  oleh  enam  edge  radia yang  dicantelkan  ke  suatu  lingkaran.  Faktor (0,1]  adalah  fungsi  pada     2 C yang mengukur  jarak  antara  x  dan  y.  Misalkan  sebagai suatu pohon yang mempunyai verteks berbeda  P.  Andaikan  V  menandakan  jumlah verteks  didalam  ,  jumlah  verteks  daripada valensi  lebih  besar  daripada  dua  ruang konfigurasi  dengan  N    titik  berbeda  pada  ditulis    N C .  Ruang  ini  dapat  dianaliasa dengan mempertimbangkan himpunan bagian satu dimensi
    n , 1 p x : C x : n N       (2)
yang  memisahkan  kedalam  N  komponen  tak gayut (tak terhubung)
    p x : C x : n N     
(3)
Asumsikan bahwa pada p terdapat K > 2 edge insiden didalam y , maka       N 1 N 1 N j k jk 1 1 j y xC x C      
       (4)
Dengan  menggunakan  himpunan  bagian
n  diuraikan    N C menyertakan basis untuk argumen induksi [1].
Pandang kasus dimana  adalah suatu pohon yang mempunyai suatu verteks p pada sempadannya.  Andaikan  e  menandakan  edge tunggal  yang  menguhubungkan  p  dengan
58
suatu  verteks  q  daripada  dan  ditulis dengan 1  , pohon  bagian  diberikan  dengan
1 ; 1 y ; e :      mengandung  titik  q  tetapi tidak e maupun p. Selanjutnya dinyatakan n  menjadi  himpunan  konfigurasi  pada  ’ yang mempunyai  titik  x n pada  q , karena  itu     p x : C x : n N      . Perhatikan n

homomorfik dengan
  y C 1 n  .
Berdasarkan  ini  dapat  dibuktikan  lema  2.
Lema 2 : Ruang   y C N homomorfik dengan
:                N n ' n n 1 N N n 0 1 , 0 x C
C         (6)
untuk ruang        0 x 1 , 0 ' n n    ditempelkan terhadap c N (  ’) sepanjang    1 n 0 x melalui uraian terdahulu didapat pula
Lema  3  : Untuk  sembarang  pohon  dan verteks  p,  ketermasukan  daripada  ke dalam c N (  ) adalah 1  - injektif Bukti  terhadap  teorema  berikut dapat disempurnakan melalui lema 4.
Teorema 4 : Diberikan ruang konfigurasi c N (  ) dari suatu pohon y dan himpunan bagian dihubungkan     N C K , jika  homomorfis           n 1 1 C k : i induksikan dan ketermasukan  adalah  trivial.  Maka  K  adalah homotopik null dalam c N (  )
Untuk  suatu graf sebidang ketermasukan N R : i   menginduksikan suatu  pemetaan  pada  tingkat  grup  –  grup anyaman  [5].  Akan  tetapi,  catat  bahwa pemetaan ini bukan injektif maupun subjektif. Berdasarkan  itu  dapat  diturunkan  bukti terhadap  teorema  berikut  barkaitan  dengan grup fundamental     1 , X 1  [3].
Teorema 5 : Untuk sembarang pohon  dan sembarang  N  >  0,  grup  fundamental       N 1 C adalah torsien – bebas
Penyelesaian terhadap sempadan pada dimensi ruang tergantung kuncupan deformasi didasrkan atas teorema berikut [6]
Teorema 6 : Untuk sembarang pohon  dan sembarang  N  >  0,  ruang  konfigurasi      N C menguncup  deformasi  ke  sub  komples  V dimensi, dimana p adalah jumlah verteks dari

## 
Kuncupan  deformasi  ini  cukup  sederhana untuk merincikan suatu bidang vektor kendali pada ruang konfigurasi.
Ruang Konfigurasi
Pilih  P  :=   N 1 1 P adalah  kumpulan  titik  pada himpunan  edge  daripada  sedemikian hinggan  -P  adalah  pohon  terhubung terbuka.  Misalkan  menandakan  graf diperoleh  dari  -P  dengan  menambahkan titik  –  titik  ujung  berbeda,  karena  itu  setiap titik P p 1  dipisahkan  kedalam  dua  titik  1 P dan  1 P dalam  .  Ruang  konfigurasi     2 C diuraikan sebagai C N (y) dengan pasangan  pengenal  ujung  –  ujung  tertentu. Khususnya, graf  memiliki 2M ujung sesuai dengan  titik  1 P .  Untuk  setiap  ujung  dari  demikian, ruang konfigurasi C N (  ) mempunyai  N  ujung  yang  berasal  dari persamaan  (6)  karena  itu  ruang  konfigurasi C N (  ) mempunyai 2 MN ujung.
Teorema  7  : Ruang  Konfigurasi  C N (  ) adalah K   1 ,  Bukti.  Ruang  konfigurasi  diuraikan  dengan memisahkan sepanjang himpunan P,
diperoleh  suatu  representatif
    N k C S : f dari  pada k  .  diketahui  bahwa f harus memotong  ujung  –  ujung  terjepit  tak  trival karena ruang konfigurasi C N (  ) adalah ruang Eilenberg  –  Macline  berjenis   1 , K  yaitu     1 K , 0 C N K      {[4].  Akan  tetapi berdasarkan  lema  3  telah  diwakili  dalam konteks  pengkerutan  suatu  gelung  didalam ujung  perkalian  daripada  pohon,  karena  itu
59
ketermasukan ujung – ujung daripada C N (  ) kedalam  C N (  )  adalah 1  -  injektif,  dan bersama  teorema  4  juga  dibuktikan  pandapat berikut.
Pendapat  8. Grup  anyaman  murni  adalah suatu graf yang merupakan torsian -  bebas Teorema  9  : Untuk  sembarang  tidak homomorfik  dengan  suatu  lingkaran  Ruang konfigurasi  C N (  )  menguncup  deformasi  ke subkompleks  V-dimensi,  dimana  V  adalah jumlah verteks didalam  Bukti : Dalam kuncupan defomasi berdasarkan  teorema  6,  deformasi  dapar selalu diselesaikan berkaitan dengan ujung  kecuali  apabila  pohon  adalah  potongan  garis trivial  dengan  satu  titik  padanya.  Karena  itu boleh  menguncupkan  deformasi  bahwa  porsi daripada C N (  ) yang  sesuai  dengan C N (  -P) turun  ke  sub  kompleks  berdimensi  V.  Maka, bagian  ruang  konfigurasi  boleh  dikuncup deformasi  dengan  menginduksikan  pada jumlah titik seperti teorema 4.

## PENUTUP
Misalkan N K C menandakan  ruang  konfigurasi daripada  N  titik  untuk  pohon  dengan  K Percabangan,  yaitu  K  edge  pada  verteks pusat.  Sesuai  dengan  teorema  6. N K C menguncup  deformasi  ke  graf  berdimensi satu, karena itu jenis homotopi daripada suatu graf ditentukan dengan karakteristik euler.
Berdasarkan  persamaan  (6),  dapat diturunkan suatu relasi rekursi untuk karakteristik euler :         E C N C C 1 N K N 1 K N K        
(11)
Untuk E sebagai jumlah komponen terhubung dari   1 i    . Masing – masing komponen

## DAFTAR PUSTAKA
Bozer  ,  Y.  and  M.  Srinivasan,  Tandern
Configuration for Automated
Guided  Vehicle  systems  and  the analysis  of  single  vehicle  loops,
HE Transactions 23(1), 1991 72  – 82 Christ, R and D. Koclistchek, Safe Cooperative  robot  dynamics  via dinamics on graphs , procedings of the einght international
symposium  on  robotics  research,
1997
Hansen,  V, Baralds  and  Coverings  selected topics , Cambirdge University Press, Cambirdge 1991
mengkontribusikan satu edge untuk menguncup  deformasi  ruang  dan  karena  itu mengkontribusikan  -1  ke  nilai  daripada   N K C  . Argumen kambinatorik memperlihatkan bahwa :
               k 1 i ! 2 K ! 3 K N 2 i N E
Relasi  Rekursi  untuk N K C adalah  homorfik dengan  pohon  yang  menjadi  dasarnya  adalah trivial secara homomorvik dan dan persamaan (11)        ! 1 K ! 2 K N 1 k N 2 NK C N K         
Jadi,  Grup  dan  anyaman   N K 1 C  adalah isomorfik  dengan  grup  bebas  pada  Q pembangkit, dimana :
Q : =      ! 1 K ! 2 K N 1 K N 2 NK 1       
Yang  berarti  bahwa  ruang  konfigurasi homotopik  dengan  irisan  daripada  1  –  lingkaran
Latombe J.C. Robot Mation Planning, kluwer Academic  Press ,  Boston,  MA, 1991 Mahyuddin, Hubungan  grup  ayaman  dengan grup  bebas ,  kumpulan  makalah seminar PPD Lampung, 2000 Scott, P and T, Wall, Topological methods in grup  theory,  in Homological  grup theory ,  number  36  in  London Mathematics Society Lactures Notes,  137  –  203,  Cambridge
60
University Press, Cambridge,