Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 374-390 DOI: 10.20956/j.v19i2.23989

## Optimal Control of the Dynamics of the Spread of Covid-19 With Quarantine and Vaccination

## Kontrol Optimal Dinamika Penyebaran Covid-19 Dengan Karantina Dan Vaksinasi
Sulma 1* , Muhammad Rifki Nisardi 2* , Suriani 3* , Hukmah 4* , Harianto 5* , Dian Firmayasari S. 6*
* Program Studi Ilmu Aktuaria, Fakultas Sains, Universitas Muhammadiyah Bulukumba, Indonesia E-mail: sulma@umbulukumba.ac.id 1 ,   muhammadrifkinisardi@umbulukumba.ac.id 2 suriani@umbulukumba.ac.id 3 ,hukmah@umbulukumba.ac.id, 4 harianto@umbulukumba.ac.id 5 , dianfirmayasari@umbulukmba.ac.id 6
Received: 13 November 2022; Accepted: 30 November 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
Vaccination  and  quarantine  are  effective  ways  to  control  the  spread  of  disease.  Vaccination  helps susceptible  individuals  to  boost  immunity.  Additionally,  quarantine  helps  reduce interactions  which  will reduce the infection rate. This study proposed the SEIR mathematical model to describe the dynamics of the  spread  of  COVID-19  by  providing  control  in  the  form  of  vaccination  and  quarantine.  Based  on Pontryagin's  minimum  principle,  the  optimal  system  for  optimal  control  problems  is  derived  and solved numerically using the Fourth Order Runge-Kutta scheme with the Forward-Backward Sweep approach. A numerical simulation of the optimal problem showed that the spread of disease is eradicated more quickly by  vaccination  and  quarantine.  Vaccination  in  large  numbers  is  needed  earlier  if  the  rate  of  contact transmission reaches 𝛽 = 0.44 .  The  provision  of  quarantine  control  is  required  from  the beginning  until no longer to be applied. A large proportion of quarantine at the beginning of time can suppress the spread of disease in the population.
Keywords: SEIR Model, Minimum Pontryagin Principle, Fourth Runge-Kutta

## Abstrak
Vaksinasi  dan  Karantina  merupakan  cara  yang  efektif  untuk  mengendalikan  penyebaran  penyakit. Vaksinasi membantu individu yang rentan untuk meningkatkan kekebalan tubuh dan karantina membantu mengurangi interaksi sehingga laju penyebaran penyakit dapat berkurang. Dalam penelitian ini diberikan model  matematika  SEIR  untuk  menggambarkan  dinamika  penyebaran  COVID-19  dengan  memberikan kontrol  berupa  vaksinasi  dan  karantina.  Berdasarkan  prinsip  minimum  Pontryagin  sistem  optimalitas untuk masalah kontrol optimal diturunkan dan diselesaikan secara numerik menggunakan skema Runge-

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Kutta Orde Empat dengan pendekatan Forward-Backward Sweep. Simulasi numerik dari masalah optimal menunjukkan  bahwa  dengan  pemberian  vaksinasi  dan  karantina  maka  penyebaran  penyakit  lebih  cepat diberantas. Vaksinasi dalam jumlah besar perlu dilakukan sejak awal jika laju transmisi kontak mencapai 𝛽 = 0.44 .  Pemberian  kontrol  karantina  dalam  jumlah  besar  perlu  dilakukan  sejak  awal  kemudian proporsinya  dikurangi  sampai  waktu  tertentu  tidak  perlu  lagi  diberikan.  Dengan  pemberian  proporsi karantina yang besar di awal waktu mampu menekan terjadinya penyebaran penyakit dalam populasi.
Kata kunci: Model SEIR, Prinsip Minimum Pontryagin, Runge-Kutta Orde Empat .

## 1. PENDAHULUAN
Penyakit Coronavirus (Covid-19) yang mewabah hampir diseluruh dunia disebabkan oleh suatu mutasi baru dari virus corona Sars-Cov-2 [3]. Virus ini dapat bertransmisi dari manusia ke manusia, diketahui pertama kali ditemukan di Cina tepatnya di kota Wuhan pada bulan Desember 2019. Virus ini akan menyebar ketika seseorang yang terinfeksi berbicara dengan jarak yang cukup dekat, bersin, dan  batuk.  Pada  tanggal  12  Maret  2020,  World  Health  Organization  (WHO)  menyatakan  bahwa Covid-19  adalah  pandemi,  hingga  16  Mei  2020  terdapat  sebanyak  4.338.658  kasus  dan  297.119 meninggal dunia. Pada 13 Mei 2020, tercatat sebanyak 17.025 kasus positif dan 1.089 meninggal di Indonesia  [1].  Pada  penelitian  Annas  dkk.,  [2],  telah  dibangun  model  matematika  SEIR  dengan mempertimbangkan  faktor  vaksinasi  dan  isolasi,  kemudian  penelitian  Azzahra  dkk.,  [3]  mengkaji dari  segi  bentuk  kontrol  optimal  dengan  melakukan  testing  sebagai  salah  satu  upaya  untuk mengontrol penyebaran Covid-19.
Sebagai  bentuk  tindakan  pencegahan,  berbagai  upaya  intervensi  dasar  telah  dilakukan  oleh Indonesia  sejak  awal  diantaranya  kebijakan  untuk  membatasi  interaksi  antara  individu  (PSBB  dan PPKM),  isolasi  kasus  yang  dikonfirmasi,  dan  penggunaan  masker  di  depan  umum.  Secara  umum, diyakini bahwa penggunaan vaksin diperlukan secara efektif dalam mengurangi penyebaran Covid- 19 pada populasi manusia [4].
Beberapa model matematika mengenai penyebaran penyakit seperti SIR, SIRS, SEIR dan SEIRS telah  banyak  digunakan  untuk  membantu  menjelaskan  berbagai  macam  jenis  penyebaran  penyakit yang  disertai  dengan  asumsi  yang  didasarkan  pada  epidemiologi  penyakit  tersebut.  Model matematika penyebaran penyakit yang menyebabkan pandemi diantaranya meningitis dan Covid-19 telah dikaji [5-11]. Pada penelitian Seda İğret Araz [5], dikaji kontrol optimal pada Covid-19 dengan empat  kompartemen  diantaranya 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) ,  dan 𝑈(𝑡) secara  berturut-turut  menyatakan populasi  rentan,  terinfeksi  tanpa  gejala,  infeksi  dengan  gejala  yang  tidak  dilaporkan,  dan  individu terinfeksi  dengan  gejala  yang  dilaporkan  oleh  layanan  kesehatan  dengan  menggunakan  kontrol lockdown ,  karantina,  dan  isolasi.  Konsep  kontrol  optimal  dapat  diterapkan  pada  berbagai  model biologi, khususnya model penyebaran penyakit [6]. Model matematika penyebaran penyakit Covid- 19  dibagi  menjadi  tujuh  kompartemen  yaitu Susceptibles (𝑆) , Exposed (𝐸) , Infectious (𝐼) , Recovered (𝑅) , Quarantined  Susceptibles (𝑄 𝑠 ) , Quarantined  Exposed (𝑄 𝐸 ) ,  dan Quarantined Infected (𝑄 𝐼 ) dengan  mempertimbangkan  kontrol  berupa  tindakan  preventif  dengan  pemberian karantina  kemudian  menggunakan  prinsip  minimum  Pontryagin  untuk  memperoleh  solusi  kontrol optimal.  Hasil  penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa  dengan  pemberian  karantina  pada  tiga kompartemen mampu mengurangi penyebaran penyakit dalam populasi [7].
Kontrol  optimal  dengan  menggunakan  vaksinasi  dan  pengobatan  pada  model  SEIR menunjukkan  bahwa  dengan  memberikan  vaksinasi  pada  populasi  rentan  dan  pengobatan  pada populasi  terinfeksi  dapat  mengontrol  penyebaran  virus  Covid-19  [8].  Model  matematika  mengenai dinamika penyebaran dalam populasi Covid-19 juga telah banyak dikaji oleh peneliti [9-13].

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.

## 2. FORMULASI MODEL MATEMATIKA
Pada  penelitian  ini,  model  yang  digunakan  adalah  model  matematika  SEIR  dengan mempertimbangkan kontrol berupa vaksinasi (𝑢 1 ) dan karantina (𝑢 2 ) sebagai bentuk upaya dalam mengurangi  penyebaran  Covid-19  dalam  populasi.  Setiap  kompartemen  merepresentasikan  status kesehatan yang berbeda-beda yaitu individu rentan terhadap infeksi Susceptibles (𝑆) ; individu yang berada dalam masa inkubasi Exposed (𝐸) ; individu yang terinfeksi Infectious (𝐼) ; dan individu yang dinyatakan sembuh dari Covid-19 Recovered (𝑅) .
Individu  yang  berada  dalam  kompartemen 𝑆 akan  bertambah  dikarenakan  adanya  kelahiran alami  sebesar 𝜋 dalam  hal  ini 𝜋 = 𝜇𝑁 ,  berkurang  dengan  pemberian  vaksinasi (𝑢 1 ) sehingga berpindah ke kompartemen 𝑅 . Individu pada kompartemen 𝑆 yang memperoleh vaksinasi memiliki pengurangan resiko sebesar (1 − 𝜀) dengan 𝜀 adalah tingkat efikasi vaksin dan proporsi kegagalan karantina (1 − 𝑢 2 ) ,  transmisi  kontak  sebesar 𝛽 antara  populasi  rentan  dan  terinfeksi  menyebabkan individu berpindah ke kompartemen 𝐸 . Kompartemen Exposed (𝐸) akan bertambah karena adanya perpindahan dari kompartemen 𝑆 kemudian akan berkurang dengan pemberian karantina (𝑢 2 ) serta tingkat  perpindahan  dari  masa  inkubasi  ke  terinfeksi  sebesar 𝜎 .  Kompartemen Infectious (𝐼) akan bertambah  jika  individu  pada  populasi 𝐸 telah  selesai  menjalani  masa  inkubasi,  akan  berkurang dengan pemberian proporsi karantina sebesar 𝑢 2 baik secara mandiri maupun di fasilitas kesehatan yang  telah  disediakan.  Selain  itu,  individu  terinfeksi  yang  tidak  menjalani  karantina  akan  menjadi individu yang menyebabkan infeksi baru dan diasumsikan akan sembuh secara alami dengan tingkat 𝛾 . Diasumsikan bahwa laju kelahiran alami hanya terdapat pada kompartemen 𝑆 , dikarenakan setiap individu yang baru lahir dianggap rentan terhadap penyakit Covid-19 serta tidak langsung terpapar atau  terinfeksi.  Kemudian,  juga  diasumsikan  bahwa  setiap  kompartemen  memiliki  laju  kematian alami sebesar 𝜇 .
Model  matematika  penyebaran  penyakit  Covid-19  menggunakan  empat  kompartemen  dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi dan karantina diberikan oleh persamaan (2.1)
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜋 − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − (𝑢 1 + 𝜇)𝑆 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝐸 − 𝑢 2 𝐸 − 𝜎𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =  𝜎𝐸 − 𝑢 2 𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑢 1 𝑆 + 𝑢 2 𝐸 + 𝑢 2 𝐼 + 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 (2.1)
Dengan  total  populasi 𝑁 = 𝑆 + 𝐸 + 𝐼 + 𝑅 .  Diasumsikan  bahwa  kondisi  awal  memenuhi 𝑆(0) > 0, 𝐸(0) ≥ 0, 𝐼(0) ≥ 0 dan 𝑅 ≥ 0 dengan 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 berturut-turut  menyatakan  laju  perubahan jumlah populasi rentan, ekspose, terinfeksi, dan populasi sembuh terhadap waktu. Setiap parameter dalam persamaan (2.1) diasumsikan positif.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Gambar 2.1 Diagram kompartemen model penyebaran penyakit COVID-19 dengan pemberian vaksinasi (𝑢 1 ) dan karantina (𝑢 2 )

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Titik Kesetimbangan Model
Tinjau  kembali  model  matematika  yang  diberikan  pada  persamaan  (2.1).  Kesetimbangan  sistem  pada persamaan tersebut diperoleh jika memenuhi syarat berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0.
Dalam  model  penyebaran  Covid-19  yang  diberikan  pada  persamaan  (2.1)  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  endemik.  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  adalah  keadaan saat  penyakit  tidak  menyebar  dalam  populasi  terjadi  saat 𝐼 = 0 ,  yang  bermakna  bahwa  tidak  ada  individu terinfeksi yang menularkan penyakit kepada orang lain. Dengan mengasumsikan 𝐼 = 0 lalu mensubstitusi nilai tersebut ke persamaan (2.1), diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit
(𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑅 0 ) = ( 𝜋 ( 𝑢 1 + 𝜇 ) , 0,0, 1 𝜇 ( 𝑢 1 𝜋 𝑢 1 + 𝜇 )) (3.1)
Selain  kondisi  bebas  penyakit  (non  endemik),  terdapat  kondisi  endemik  yang  terjadi  saat 𝐼 ≠ 0 yang  berarti bahwa terdapat populasi terinfeksi yang dapat menyebarkan virus dalam populasi. Adapun titik kesetimbangan endemik untuk model (2.1) yaitu
𝑆 ∗ = 𝑁(𝛾𝜇 − 𝛾𝜎 + 𝛾𝑢 2 + 𝜇 2 − 𝜇𝜎 + 2𝜇𝑢 2 − 𝜎𝑢 2 + 𝑢 2 2 ) 𝛽𝜎(𝜀𝑢 2 − 𝜀 − 𝑢 2 + 1)
𝐸 ∗ = −(− 𝜋𝛽𝜀𝜎𝑢 2 + 𝑁 𝛾 𝜇 2 − 𝑁 𝛾 𝜇𝜎 + 𝑁 𝛾 𝜇 ( 𝑢 1 + 𝑢 2 ) − 𝑁 𝛾 𝜎𝑢 1 + 𝑁 𝛾 𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝜇 3 − 𝑁𝜇 2 𝜎 + 𝑁𝜇 2 𝑢 1 + 2𝑁 𝜇 2 𝑢 2 − 𝑁𝜇𝜎 ( 𝑢 1 + 𝑢 2 ) + 2𝑁𝜇𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝜇𝑢 2 2 − 𝑁𝜎𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝑢 1 𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝜎 ( 𝜀 + 𝑢 2 ) − 𝛽𝜋𝜎 )/(𝜎( 𝜀𝜇𝑢 2 − 𝜀𝜎𝑢 2 + 𝜀𝑢 2 2 − 𝜀𝜇 + 𝜀𝜎 − 𝜀𝑢 2 − 𝜇𝑢 2 + 𝜎𝑢 2 − 𝑢 2 2 + 𝜇 − 𝜎 + 𝑢 2 )𝛽) 𝜇𝐶 𝜋 𝜇𝑆 𝑢 2 𝐼 𝛾𝐼 𝜇𝐼 𝜇𝑅 𝜎𝐸 𝑆 𝐸 𝐼 𝑅 𝑢 2 𝐸 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 𝑢 1 𝑆

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
𝐼 ∗ = −(−𝜋𝛽𝜀𝜎𝑢 2 + 𝑁𝛾𝜇 2 − 𝑁𝛾𝜇𝜎 + 𝑁𝛾𝜇(𝑢 1 + 𝑢 2 ) − 𝑁𝛾𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝜇 3 − 𝑁𝜇 2 𝜎 + 𝑁𝜇 2 𝑢 1
+ 2𝑁𝜇 2 𝑢 2 − 𝑁𝜇𝜎𝑢 1 − 𝑁𝜇𝜎𝑢 2 + 2𝑁𝜇 𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝜇𝑢 2 2 − 𝑁𝜎𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝑢 1 𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝜎𝑢 2 − 𝜋𝛽𝜎 ) /(𝛽(𝜀𝛾𝜇𝑢 2 − 𝜀𝛾𝜎𝑢 2 + 𝜀𝛾𝑢 2 2 + 𝜀𝜇 2 𝑢 2 − 𝜀𝜇𝜎𝑢 2 + 2𝜀𝜇𝑢 2 2 + 𝜀𝜎𝑢 2 2 + 𝜀𝑢 2 3 − 𝜀𝛾𝜇 + 𝜀𝛾𝜎 − 𝜀𝛾𝑢 2 − 𝜀𝜇 2 + 𝜀𝜇𝜎 − 2𝜀𝜇𝑢 2 + 𝜀𝜎𝑢 2 − 𝜀𝑢 2 2 − 𝛾𝜇𝑢 2 + 𝛾𝜎𝑢 2 − 𝛾𝑢 2 2 − 𝜇 2 𝑢 2 + 𝜇𝜎𝑢 2 − 2𝜇𝑢 2 2 + 𝜎𝑢 2 2 − 𝑢 2 3 + 𝛾𝜇 − 𝛾𝜎 + 𝛾𝑢 2 + 𝜇 2 − 𝜇𝜎 + 2𝜇𝑢 2 − 𝜎𝑢 2 + 𝑢 2 2 )),
𝑅 ∗ = −(−𝜋𝛽𝜀𝛾𝜎 2 𝑢 2 − 𝜋𝛽𝜀𝛾𝜎𝑢 2 2 − 𝜋𝛽𝜀𝜇𝜎𝑢 2 2 − 𝜋𝛽𝜀𝜎 2 𝑢 2 − 𝜋𝛽𝜀𝜎𝑢 2 3 + 𝑁𝛾 2 𝜇 2 𝜎 − 𝑁𝛾 2 𝜇 2 𝑢 1
+ 𝑁𝛾 2 𝜇 2 𝑢 2 − 𝑁𝛾 2 𝜇𝜎 2 + 3𝑁𝛾 2 𝜇𝜎𝑢 1 − 𝑁𝛾 2 𝜇𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝛾 2 𝜇𝑢 2 2 − 2𝑁𝛾 2 𝜎 2 𝑢 1 + 2𝑁𝛾 2 𝜎𝑢 1 𝑢 2 + 𝑁𝛾𝜇 3 𝜎 − 2𝑁𝛾𝜇 3 𝑢 1 + 2𝑁𝛾𝜇 3 𝑢 2 − 𝑁𝛾𝜇 2 𝜎 2 + 5𝑁𝛾𝜇 2 𝜎𝑢 1
+ 𝑁𝛾𝜇 2 𝜎𝑢 2 − 4𝑁𝛾𝜇 2 𝑢 1 𝑢 2 + 4𝑁𝛾𝜇 2 𝑢 2 2 − 3𝑁𝛾𝜇𝜎 2 𝑢 1 − 2𝑁𝛾𝜇𝜎 2 𝑢 2 + 9𝑁𝛾𝜇𝜎𝑢 1 𝑢 2 − 2𝑁𝛾𝜇𝑢 1 𝑢 2 2 + 2𝑁𝛾𝜇𝑢 2 3 − 4𝑁𝛾𝜎 2 𝑢 1 𝑢 2 + 4𝑁𝛾𝑢 1 𝑢 2 2 − 𝑁𝜇 4 𝑢 1 + 𝑁𝜇 4 𝑢 2 + 2𝑁𝜇 3 𝜎𝑢 1 − 3𝑁𝜇 3 𝑢 1 𝑢 2 + 3𝑁𝜇 3 𝑢 2 2 + 𝑁𝜇 2 𝜎 2 𝑢 1 + 𝑁𝜇 2 𝜎 2 𝑢 2 + 6𝑁𝜇 2 𝜎𝑢 1 𝑢 2 − 3𝑁𝜇 2 𝑢 1 𝑢 2 2 + 3𝑁𝜇 2 𝑢 2 3 − 3𝑁𝜇𝜎 2 𝑢 1 𝑢 2 − 𝑁𝜇𝜎 2 𝑢 2 2 + 6𝑁𝜇𝜎𝑢 1 𝑢 2 2 − 𝑁𝜇𝑢 1 𝑢 2 3 + 𝑁𝜇𝑢 2 4 − 2𝑁𝜎 2 𝑢 1 𝑢 2 2 + 2𝑁𝜎𝑢 1 𝑢 2 3 + 𝜋𝛽𝜀𝛾𝜎 2 + 𝜋𝛽𝜀𝛾𝜎𝑢 2 + 𝜋𝛽𝜀𝜇𝜎𝑢 2 + 𝜋𝛽𝜀𝜎 2 𝑢 2 + 𝜋𝛽𝜀𝜎𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝛾𝜎 2 𝑢 2 + 𝜋𝛽𝛾𝜎𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝜇𝜎𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝜎 2 𝑢 2 2 + 𝜋𝛽𝜎𝑢 2 3 − 𝜋𝛽𝛾𝜎 2 − 𝜋𝛽𝛾𝜎𝑢 2 − 𝜋𝛽𝜇𝜎𝑢 2 − 𝜋𝛽𝜎 2 𝑢 2
− 𝜋𝛽𝜎𝑢 2 2 ) /(𝜎𝜇(𝜀𝑢 2 − 𝜀 − 𝑢 2 + 1)(𝛾𝜇 − 𝛾𝜎 + 𝛾𝑢 2 + 𝜇 2 − 𝜇𝜎 + 2𝜇𝑢 2 − 𝜎𝑢 2 + 𝑢 2 2 )𝛽)

## 3.2. Bilangan Reproduksi Dasar
Pada  bagian  ini  diberikan  definisi  yang  akan  digunakan  dalam  analisis  sensitivitas  pada  hasil penelitian ini.
Definisi  3.1 Normalisasi  indeks  sensitivitas  diperoleh  dengan  normalisasi  dari  variabel  V  yang terdiferensial pada parameter p, didefinisikan sebagai berikut:
𝐶 𝑝 𝑉 = 𝜕𝑉 𝜕𝑝 × 𝑝 𝑉 ,
dimana V adalah variabel yang akan dianalisis dengan p adalah parameter.
Bilangan  reproduksi  dasar  akan  dihitung  dengan  menggunakan  metode Next  Generation  Matrix (NGM).  Misalkan 𝐹 𝑖 (𝑥) adalah  laju  penambahan  infeksi  baru  dan 𝑉 𝑖 (𝑥) adalah  laju  perpindahan indvidu, sehingga diperoleh 𝐹 𝑖 (𝑥) dan 𝑉 𝑖 (𝑥) sebagai berikut

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
𝐹 𝑖 = ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 0 ), (3.2)
𝑉 𝑖 = ( 𝜇𝐸 + 𝑢 2 𝐸 + 𝜎𝐸 −𝜎𝐸 + 𝑢 2 𝐼 + 𝜇𝐼 + 𝛾𝐼 ). (3.3)
Kemudian, diperoleh matriks 𝐹 dan 𝑉 sebagai berikut
𝐹 = 𝜕𝐹 𝑖 𝜕(𝐸, 𝐼) = ( 𝜕𝐹 1 𝜕𝐸 𝜕𝐹 1 𝜕𝐼 𝜕𝐹 2 𝜕𝐸 𝜕𝐹 2 𝜕𝐼 ) = (0 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆 𝑁
0 0 ) 𝑆=𝑆 0 , 𝐹 = (0 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋 𝑁(𝑢 1 + 𝜇) 0 0 ) 𝑉 = 𝜕𝑉 𝑖 𝜕(𝐸, 𝐼) = ( 𝜕𝑉 1 𝜕𝐸 𝜕𝑉 1 𝜕𝐼 𝜕𝑉 2 𝜕𝐸 𝜕𝑉 2 𝜕𝐼 ) = ( 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 0 −𝜎 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 ) 𝑉 −1 = 1 (𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ( 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 0 𝜎 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 ) 𝑉 −1 = ( 1 (𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎) 0 𝜎 (𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 1 (𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾))
Dari matriks 𝐹 dan 𝑉 −1 yang telah didapatkan, diperoleh matriks
𝐹𝑉 −1 = ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 0 0 )
Matriks 𝐹𝑉 −1 tersebut merupakan matriks generasi yang memiliki persamaan karakteristik sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐹𝑉 −1 ) = 0
|𝜆 − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 0 𝜆 | = 0 (𝜆 − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ) 𝜆 = 0 (3.4)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Dari persamaan karakteristik (3.4), diperoleh akar-akar karakteristik yaitu 𝜆 1 = 𝛽(1−𝜀)(1−𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 +𝜇)(𝜇+𝑢 2 +𝜎)(𝑢 2 +𝜇+𝛾) , 𝜆 2 = 0. Karena nilai bilangan reproduksi dasar adalah radius spectral dari 𝐹𝑉 −1 atau dengan kata lain 𝑅 0 = max (𝜆 𝑖 ) , maka diperoleh nilai bilangan reproduksi dasar
𝑅 0 = 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) . (3.5)

## 3.3. Analisis Sensitivitas Parameter Terhadap 𝑹 𝟎
Analisis  sensitivitas  bilangan  reproduksi  dasar  dilakukan  untuk  mengetahui  pengaruh  suatu parameter terhadap 𝑅 0 . Akan  dianalisis efek dari beberapa parameter terhadap bilangan reproduksi dasar sebagai berikut
1) Parameter 𝛽 terhadap 𝑅 0
𝐶 𝛽 𝑅 0 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝛽 × 𝛽 𝑅 0 𝐶 𝛽 𝑅 0 = 𝜕 𝜕𝛽 ( 𝛽 ( 1 − 𝜀 )( 1 − 𝑢 2 ) 𝜋𝜎 𝑁 ( 𝑢 1 + 𝜇 )( 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 )( 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 ) ) × 𝛽 𝛽 ( 1 − 𝜀 )( 1 − 𝑢 2 ) 𝜋𝜎 𝑁 ( 𝑢 1 + 𝜇 )( 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 )( 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 ) 𝐶 𝛽 𝑅 0 = ( 1 − 𝜀 )( 1 − 𝑢 2 ) 𝜋𝜎 𝑁 ( 𝑢 1 + 𝜇 )( 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 )( 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 ) × 𝛽 𝑁 ( 𝑢 1 + 𝜇 )( 𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎 )( 𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾 ) 𝛽 ( 1 − 𝜀 )( 1 − 𝑢 2 ) 𝜋𝜎 = 1
Analisis  sensitivitas  parameter 𝛽 terhadap 𝑅 0 menunjukkan  nilai  positif  yang  berarti  peningkatan parameter 𝛽 berbanding  lurus  dengan  peningkatan 𝑅 0 .  Index  sensitivitas  sebesar  1  menunjukkan bahwa kenaikan nilai 𝛽 100% akan mengakibatkan kenaikan nilai 𝑅 0 sebesar 100% .
2) Parameter 𝜀 terhadap 𝑅 0
𝐶 𝜀 𝑅 0 = 𝜕 𝜕𝜀 ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ) × 𝜀 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾)
𝐶 𝜀 𝑅 0 = − 𝛽(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) × 𝜀𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝐶 𝜀 𝑅 0 = − 𝜀 (1 − 𝜀) < 0
Analisis  sensitivitas  parameter 𝜀 terhadap 𝑅 0 menunjukkan  nilai  yang  negatif,  artinya  hubungan antara  perubahan  nilai  parameter 𝜀 dan 𝑅 0 berbanding  terbalik.  Peningkatan  nilai  parameter 𝜀 mengakibatkan penurunan nilai terhadap 𝑅 0 dan sebaliknya.
3) Parameter 𝑢 1 terhadap 𝑅 0
𝐶 𝑢 1 𝑅 0 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝑢 1 × 𝑢 1 𝑅 0 𝐶 𝑢 1 𝑅 0 = 𝜕 𝜕𝑢 1 ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ) × 𝑢 1
𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎
𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
𝐶 𝑢 1 𝑅 0 = − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑢 1 2 𝑁(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) × 𝑢 1 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎
𝐶 𝑢 1 𝑅 0 = − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇) 2 (𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) × 𝑢 1 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎
𝐶 𝑢 1 𝑅 0 = − 𝑢 1 (𝑢 1 + 𝜇) < 0
Analisis sensitivitas parameter 𝑢 1 terhadap 𝑅 0 menunjukkan nilai yang negatif, artinya peningkatan nilai parameter 𝑢 1 mengakibatkan penurunan nilai terhadap 𝑅 0 dan sebaliknya.
4) Parameter 𝑢 2 terhadap 𝑅 0
𝐶 𝑢 2 𝑅 0 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝑢 2 × 𝑢 2 𝑅 0 𝐶 𝑢 2 𝑅 0 = 𝜕 𝜕𝑢 2 ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ) × 𝑢 2 𝑁(𝑢 1 + 𝜇)(𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎)(𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝜋𝜎
𝐶 𝑢 2 𝑅 0 = − ( 𝑢 2 (1 − 𝑢 2 ) + 𝑢 2 (𝜇 + 𝑢 2 + 𝜎) + 𝑢 2 (𝑢 2 + 𝜇 + 𝛾) ) < 0
Analisis sensitivitas parameter 𝑢 2 terhadap 𝑅 0 menunjukkan nilai yang negatif, artinya peningkatan nilai  parameter 𝑢 2 mengakibatkan  penurunan  nilai  terhadap 𝑅 0 dan  sebaliknya.  Adapun  grafik analisis sensitivitas parameter terhadap 𝑅 0 diberikan pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Grafik analisis sensitivitas parameter terhadap 𝑅 0

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.

## 3.4. Formulasi Model Kontrol Optimal
Fungsi  kontrol 𝑢 1 (𝑡) terdefinisi  pada  daerah 0 ≤ 𝑢 1 (𝑡) ≤ 1 .  Individu  yang  telah  mendapatkan vaksin,  memiliki pengurangan resiko sebesar (1 − 𝜀) dengan 𝜀 adalah tingkat efikasi vaksin yang digunakan.  Fungsi  kontrol 𝑢 2 (𝑡) terdifinisi  pada  daerah 0 ≤ 𝑢 2 (𝑡) ≤ 1 ,  yang  merupakan  proporsi individu  yang  menjalani  karantina.  Fungsi  kontrol  yang  didefinisikan  pada  daerah  yang  ditetapkan yaitu:
𝑈 = {(𝑢 1 (𝑡), 𝑢 2 (𝑡))|0 ≤ 𝑢 1 ≤ 1,0 ≤ 𝑢 2 ≤ 1, ∈ [𝑡 0 , 𝑡 𝑓 ]}
Pada  penelitian  ini  tujuan  umum  yang  akan  dicapai  adalah  meminimumkan  jumlah  individu  yang berada dalam masa inkubasi COVID-19 (𝐸) dan terinfeksi (𝐼) dengan biaya minimum pula. Secara matematis, fungsi tujuan tersebut diberikan pada persamaan (3.6).
𝐽 = min (𝑢 𝟏 ,𝑢 𝟐 ) ∫ [𝐴 1 𝐸(𝑡) + 𝐴 2 𝐼(𝑡) + 𝐴 3 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐴 4 𝑢 2 2 (𝑡)] 𝑑𝑡 𝑡 𝑓 𝑡 0 (3.6)
dengan 𝐴 𝑖 , 𝑖 = 1, … ,4 merupakan  bobot  dari  masing-masing  tujuan  yang  akan  diminimumkan. Dengan  kata  lain  persamaan  (2)  merepsentasikan  pencarian  fungsi  kontrol (𝑢 1 ∗ , 𝑢 2 ∗ ) ∈ 𝑈 sedemikian sehingga 𝐽(𝑢 1 ∗ , 𝑢 2 ∗ ) ≤ 𝐽(𝑢 1 , 𝑢 2 ) untuk setiap (𝑢 1 , 𝑢 2 ) ∈ 𝑈 .
3.5. Pembentukan persamaan state, costate, dan syarat kestasioneran
Pada persamaan (3.6) diberikan masalah optimasi, kemudian akan ditentukan kontrol optimal 𝒖 ∗ yang  memenuhi 𝐽(𝒖 ∗ ) = min{𝐽(𝑢): 𝒖 ∈ 𝑈} .  Pencarian  kontrol  optimal 𝒖 ∗ dengan  menggunakan prinsip minimum Pontryagin yaitu menentukan fungsi Hamiltonian dari fungsi tujuan. Bentuk umum dari fungsi Hamilton adalah
𝐻(𝑡, 𝒙, 𝑢, 𝝀) = 𝑓(𝑡, 𝒙, 𝑢) + 𝝀 𝑻 (𝑡)𝒈(𝑡, 𝒙, 𝑢) (3.7)
dengan
𝑓(𝑡, 𝒙, 𝑢) = 𝐴 1 𝐸(𝑡) + 𝐴 2 𝐼(𝑡) + 𝐴 3 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐴 4 𝑢 2 2 (𝑡)
didefinisikan pengali Lagrange dari persamaan (3.7)
𝝀 = (𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 ) 𝑻
maka diperoleh fungsi Hamiltonian
𝐻 = 𝐴 1 𝐸(𝑡) + 𝐴 2 𝐼(𝑡) + 𝐴 3 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐴 4 𝑢 2 2 (𝑡) + 𝜆 1 (𝜋 − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − (𝑢 1 + 𝜇)𝑆) +𝜆 2 ( 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝐸 − 𝑢 2 𝐸 − 𝜎𝐸) + 𝜆 3 (𝜎𝐸 − 𝑢 2 𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼)
+𝜆 4 (𝑢 1 𝑆 + 𝑢 2 𝐸 + 𝑢 2 𝐼 + 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅)
diperoleh persamaan state
𝒙̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝝀 = ( 𝜕𝐻 𝜕𝜆 1 𝜕𝐻 𝜕𝜆 2 𝜕𝐻 𝜕𝜆 3 𝜕𝐻 𝜕𝜆 4 ) 𝑇 𝒙̇ = ( 𝑆 𝐸 𝐼̇ 𝑅̇ ̇ ̇ ) = ( 𝜋 − 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − (𝑢 1 + 𝜇)𝑆
𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝐸 − 𝑢 2 𝐸 − 𝜎𝐸 𝜎𝐸 − 𝑢 2 𝐼 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼 𝑢 1 𝑆 + 𝑢 2 𝐸 + 𝑢 2 𝐼 + 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 ) (3.8)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
persamaan costate
𝝀̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝒙 = (− 𝜕𝐻 𝜕𝑆 − 𝜕𝐻 𝜕𝐸 − 𝜕𝐻 𝜕𝐼 − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 ) 𝑇 = (𝜆̇ 1 𝜆̇ 2 𝜆̇ 3 𝜆̇ 4 ) 𝑇
𝜆̇ 1 = (𝜆 1 − 𝜆 2 ) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝐼 𝑁 + (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝑢 1 + 𝜆 1 𝜇 (3.9)
𝜆̇ 2 = −𝐴 1 + (𝜆 2 − 𝜆 4 )𝑢 2 + (𝜆 2 − 𝜆 3 )𝜎 + 𝜆 2 𝜇
𝜆̇ 3 = −𝐴 2 + (𝜆 1 − 𝜆 2 ) 𝛽(1 − 𝜀)(1 − 𝑢 2 )𝑆 𝑁 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝑢 2 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝛾 + 𝜆 3 𝜇 𝜆̇ 4 = 𝜆 4 𝜇 dengan menggunakan syarat stasioner
𝜕𝐻 𝜕𝒖 = ( 𝜕𝐻 𝜕𝑢 1 𝜕𝐻 𝜕𝑢 2 ) 𝑇 = (0 0) 𝑇
dari syarat stasioner diperoleh 𝑢 1 , 𝑢 2 dan 𝑢 3 𝑢 1 = (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝑆 2𝐴 3 𝑢 2 = (𝜆 2 − 𝜆 1 ) 𝛽(1 − 𝜀)𝑆𝐼 𝑁 + (𝜆 2 − 𝜆 4 )𝐸 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝐼
2𝐴 4
Sehingga diperoleh kontrol optimal 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ = min {1, max {0, (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝑆 2𝐴 3 }} 𝑢 2 ∗ = min {1, max {0, (𝜆 2 − 𝜆 1 ) 𝛽(1 − 𝜀)𝑆𝐼 𝑁 + (𝜆 2 − 𝜆 4 )𝐸 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝐼 2𝐴 4 }}

## 3.1. Simulasi Numerik
Pada bagian ini, dilakukan simulasi numerik untuk mendapatkan solusi optimal sistem. Metode numerik  yang  digunakan  adalah  metode forward-backward  sweep .  Metode  ini  merupakan  metode iteratif yang akan digunakan untuk mengaproksimasi solusi optimal 𝑢 ∗ menggunakan tebakan awal yang  diberikan  untuk 𝑢 diawal  iterasi.  Interval  waktu [𝑡 0 , 𝑡 𝑓 ] dibagi  dalam  beberapa  bagian  yaitu 𝑡 0 = 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑁 , 𝑏 𝑁+1 = 𝑡 𝑓 dan kontrol 𝑢 𝑖 = (𝑢 1 , … , 𝑢 𝑁+1 ) dengan 𝑢 𝑖𝑗 ≈ 𝑢 𝑖 (𝑏 𝑗 ), 𝑖 = 1,2 dan 𝑗 = 1, … , 𝑛 .  Metode Forward  Runge  Kutta orde  4  digunakan  untuk  mendapatkan  solusi 𝑥(𝑡) dengan kondisi awal yaitu state pada persamaan (3.8) kemudian diberikan step size yaitu ℎ , pendekatannya melalui 𝑥(𝑡 + ℎ) dan 𝑥(ℎ) yaitu:
𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
dengan 𝑘 1 = 𝑓(𝑡, 𝑥(𝑡)) , 𝑘 2 = 𝑓(𝑡 + ℎ 2 , 𝑥(𝑡) + ℎ 2 𝑘 1 ) , 𝑘 3 = 𝑓(𝑡 + ℎ 2 , 𝑥(𝑡) + ℎ 2 𝑘 2 ) ,  dan 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 + ℎ, 𝑥(𝑡) + ℎ𝑘 3 ) . Sedangkan metode Backward Runge Kutta orde 4 diberikan pada kondisi akhir yaitu costate pada persamaan (3.9) kemudian diberikan step size ℎ , pendekatannya melalui 𝜆(𝑡 − ℎ) yaitu:
𝜆(𝑡 − ℎ) = 𝜆(𝑡) − ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )
dengan 𝑘 1 = 𝑓(𝑡, 𝜆(𝑡)) , 𝑘 2 = 𝑓(𝑡 − ℎ 2 , 𝜆(𝑡) − ℎ 2 𝑘 1 ) , 𝑘 3 = 𝑓(𝑡 − ℎ 2 , 𝜆(𝑡) − ℎ 2 𝑘 2 ) ,  dan 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 − ℎ, 𝜆(𝑡) − ℎ𝑘 3 ) .  Sedangkan  nilai 𝑢 diperbaharui  disetiap  iterasi  menggunakan  kombinasi  konveks antara  nilai 𝑢 yang  lama  dengan  yang  baru  yaitu 𝑢 = (𝑢 𝑎𝑤𝑎𝑙 +𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑢 ) 2 ,  dengan 𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑢 diperoleh  dari

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
syarat  keoptimalan 𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0 .  Iterasi  akan  berhenti  ketika  syarat  konvergensinya  telah  dipenuhi diantaranya ‖𝑢−𝑢 𝑙𝑎𝑚𝑎 ‖ ‖𝑢‖ ≤ 𝛿 ,  dengan 𝛿 merupakan  besar  toleransi  yang  diperkenankan.  Data mengenai nilai awal populasi yang digunakan pda Tabel 3.1 bersumber dari situs covid19.go.id yang menggambarkan  keadaan  Covid-19  di  Indonesia  per  2  November  2022.  Nilai-nilai  dari  parameter yang digunakan diberikan pada Tabel 3.2 merujuk pada penelitian sebelumnya.
Tabel 3.1 Nilai Awal Setiap Kompartemen Covid-19 Kompartemen Nilai Awal Sumber 𝑵 275.361.267 Asumsi 𝑺 𝟎 269.003.380 Asumsi 𝑬 𝟎 13923 Asumsi 𝑰 𝟎 30053 Asumsi 𝑹 𝟎 6313911 Asumsi Tabel 3.2 Nilai Parameter Model Penyebaran Covid-19 Parameter Nilai Sumber 𝝁 0.0000397 [10] 𝝅 10931 [10] 𝜺 0.65 [10] 𝜷 1.44 × 10 −7 [1] 𝝈 0.2021 [10] 𝜸 0.1196 [10]
Diasumsikan  nilai  awal  dari  masing-masing  populasi  adalah 𝑆(0) = 269003380 , 𝐸(0) = 13923 , 𝐼(0) = 30053 ,  dan 𝑅(0) = 6313911 .  Dengan  nilai  parameter  pada  Tabel  3.2  diperoleh  hasil simulasi pada Gambar 3.2 untuk populasi 𝑆 . Hasil simulasi menunjukkan bahwa untuk kasus dengan kontrol optimal, semakin tinggi laju interaksi 𝛽 maka populasi 𝑆 akan semakin cepat berkurang. Hal tersebut  bersesuaian  dengan  lintasan  fungsi  kontrol,  yaitu  semakin  tinggi  nilai 𝛽 maka  proporsi vaksinasi  juga  semakin  bertambah  agar  individu  mendapatkan  proteksi  vaksin  dan  berpindah kekompartemen 𝑅 , tetapi karantina harus dioptimalkan sejak awal yang tujuannya untuk mengontrol peningkatan jumlah terinfeksi. Sedangkan tanpa kontrol menunjukkan bahwa populasi rentan tidak berkurang,  artinya  tidak  ada  individu  yang  mendapatkan  proteksi  vaksin.  Pada  Gambar  3.3 menunjukkan  perbedaan  yang  signifikan  antara  solusi  dengan  kontrol  dan  solusi  tanpa  kontrol. Terlihat  bahwa  pemberian  kontrol  mengakibatkan  populasi 𝐸 dapat  ditekan,  hal  ini  terlihat  pada simulasi untuk nilai 𝛽 yang berbeda sehinggga mengalami pengurangan populasi untuk waktu yang semakin  bertambah.  Berbeda  dengan  lintasan  solusi  tanpa  kontrol,  yang  menunjukkan  bahwa populasi 𝐸 akan semakin membesar seiring bertambahnya laju transmisi kontak.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Gambar 3.2. Perubahan populasi Susceptibles (𝑆) terhadap waktu dengan nilai parameter laju interaksi 𝛽 yang berbeda
Gambar 3.3. Perubahan populasi Eksposed (𝐸) terhadap waktu dengan nilai parameter laju interaksi 𝛽 yang berbeda
( 𝑎 ) ( 𝑏 ) ( 𝑐 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Gambar 3.4. Perubahan populasi Infected (𝐼) terhadap waktu dengan nilai parameter laju interaksi 𝛽 yang berbeda Gambar  3.4  menunjukkan  bahwa  tanpa  adanya  tindakan  kontrol  berupa  vaksinasi  dan  karantina, akibatnya  populasi  terinfeksi  mengalami  peningkatan  yang  cukup  besar  disekitar  140.000  orang untuk  interval  waktu  90  hari  jika  nilai 𝛽 = 0.44 .  Sedangkan  dengan  kontrol,  populasi  terinfeksi dapat  dikurangi  sejak  awal  sehingga  tidak  mengalami  perubahan  sampai  pada  waktu  akhir. Selanjutnya,  pada  Gambar  3.5  menunjukkan  bahwa  dengan  kontrol  maka  jumlah  populasi  yang sembuh terus bertambah sejak awal, dengan bertambahnya laju transmisi kontak akibatnya proporsi yang  mendapatkan  karantina  semakin  banyak.  Sehingga  diasumsikan  bahwa  populasi 𝑅 akan  terus bertambah  seiring  peningkatan  laju  kesembuhan  sebagai  efek  dari  pemberian  karantina  dan vaksinasi.
( 𝑎 ) ( 𝑏 ) ( 𝑐 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Gambar 3.5. Perubahan populasi Recovered (𝑅) terhadap waktu dengan nilai parameter laju interaksi 𝛽 yang berbeda Gambar 3.6 memberikan ilustrasi perubahan fungsi kontrol vaksinasi dan karantina terhadap waktu. Berdasarkan  lintasan  fungsi  kontrol  untuk  nilai 𝛽 yang  berbeda,  mengindikasikan  bahwa  proporsi vaksinasi seharusnya dinaikkan jika laju transmisi kontak semakin bertambah hal tersebut bertujuan untuk  menekan  jumlah  individu  yang  terpapar  dan  populasi  rentan  mendapatkan  proteksi  vaksin. Adapun proporsi karantina dioptimalkan sejak awal waktu kemudian dikurangi disekitar 𝑡 = 10 hari yang  bersesuaian  dengan  berkurangnya  populasi 𝐸 dan 𝐼 ,  sehingga  tindakan  kontrol  tidak  perlu diberikan lagi. Dengan demikian penyebaran penyakit dalam populasi dapat diberantas.
( 𝑎 )
( 𝑏 ) ( 𝑐 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Gambar 3.6. Grafik perubahan fungsi kontrol vaksinasi ( 𝑢 1 (𝑡) ) dan karantina ( 𝑢 2 (𝑡) )

## 4. KESIMPULAN
Model matematika penyebaran Covid-19 menggunakan empat kompartemen yaitu Susceptibles (𝑆) , Exposed (𝐸) , Infected (𝐼) ,  dan Recovered (𝑅) dengan  menambahkan  efek  vaksinasi  dan karantina sehingga penyebaran penyakit lebih mudah diberantas, diperoleh dua bentuk kontrol optimal yaitu:
𝑢 1 ∗ = min {1, max {0, (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝑆 2𝐴 3 }} 𝑢 2 ∗ = min {1, max {0, (𝜆 2 − 𝜆 1 ) 𝛽(1 − 𝜀)𝑆𝐼 𝑁 + (𝜆 2 − 𝜆 4 )𝐸 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝐼 2𝐴 4 }}
( 𝑎 ) ( 𝑏 ) ( 𝑐 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
Berdasarkan  hasil  simulasi  numerik  diperoleh  bahwa  pemberian  proporsi  kontrol  vaksinasi  lebih sedikit jika dibandingkan karantina. Penggunaan kontrol karantina mencapai titik optimal yaitu 𝑢 2 = 1 sejak  awal  interval  waktu  hingga  disekitar 𝑡 = 10 hari  kemudian  proporsinya  dikurangi,  artinya sejak awal seluruh populasi perlu dikarantina untuk mengurangi laju interaksi antara populasi rentan dengan  individu  terpapar  dan  terinfeksi.  Berbeda  dengan  penggunaan  kontrol  vaksinasi  yang menunjukkan  bahwa 𝑢 1 = 1 ,  jika  nilai 𝛽 = 0.44 artinya  bahwa  seluruh  populasi  perlu  diberikan vaksinasi jika laju interaksi antara populasi rentan dan terinfeksi mencapai nilai 𝛽 tersebut.
Adapun  mengenai  permintaan  revisi  agar  ditambahkan  penjelasan  ketika  hanya  vaksin  saja  atau hanya karantina saja. Dalam hal ini, model matematika untuk kontrol optimal dengan vaksinasi dan karantina  diberikan  sebagai  satu  kesatuan  sejak  awal  pembentukan  model  kemudian  vaksinasi  dan karantina akan dicari bentuk lintasannya (karena dianggap fungsi terhadap waktu) yang bersesuaian dengan fungsi tujuan yang diberikan yaitu meminimumkan populasi terpapar dan terinfeksi dengan meminimumkan vaksin dan kampanye pula.artinya bahwa lintasan pada Gambar 3.6 adalah bentuk yang optimal untuk model yang diberikan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aldila,  D.,  Khoshnaw,  S.  H.  A.,  Safitri,  E.,  Anwar,  Y.  R.,  Bakry,  A.  R.  Q.,  Samiadji,  B.  M., Anugerah, D. A., Gh, M. F. A., Ayulani, I. D., Salim, S. N., 2020. A mathematical study on the spread of COVID-19 considering social distancing and rapid assessment: The case of Jakarta,
Indonesia. Chaos, Solitons & Fractals , 139 , 110042.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110042
[2] Annas,  S.,  Isbar  Pratama,  Muh.,  Rifandi,  Muh.,  Sanusi,  W.,  Side,  S.,  2020.  Stability  analysis and numerical simulation of SEIR model for pandemic COVID-19 spread in Indonesia. Chaos, Solitons & Fractals , 139 , 110072. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110072
[3] Azzahra,  N.  F.,  Hariyanto,  H.,  Mardlijah,  M.,  2022.  Kontrol  Optimal  Penyebaran  COVID-19 Model SEIR di Jakarta. Jurnal Sains dan Seni ITS , 11 (2), A64–A69. https://doi.org/10.12962/j23373520.v11i2.76998
[4] Iboi,  E.  A.,  Ngonghala,  C.  N.,  &  Gumel,  A.  B.,  2020.  Will  an  imperfect  vaccine  curtail  the COVID-19  pandemic  in  the  U.S.? Infectious  Disease  Modelling , 5 ,  510–524. https://doi.org/10.1016/j.idm.2020.07.006
[5] İğret Araz, S., 2021. Analysis of a Covid-19 model: Optimal control, stability and simulations. Alexandria Engineering Journal , 60 (1), 647–658. https://doi.org/10.1016/j.aej.2020.09.058
[6] Lenhart, S., & John T. Workman, 2007. Optimal Control Applied to Biological Models . CRC Press, Taylor and Francis Group.
[7] Mahardika, D., Tjahjana, R. H., & Sunarsih, S., 2020. Optimal Control Modelling of Covid-19 Outbreak in Semarang City Indonesia. Journal of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA) , 3 (2), 158–169. https://doi.org/10.14710/jfma.v3i2.8546
[8] Mahardika,  Y.  D.,  2021.  Dynamical  Modeling  of  COVID-19  and  Use  of  Optimal  Control  to Reduce  the  Infected  Population  and  Minimize  the  Cost  of  Vaccination  and  Treatment. ComTech:  Computer,  Mathematics  and  Engineering  Applications , 12 (2),  65–73. https://doi.org/10.21512/comtech.v12i2.6466
[9] Mwalili,  S.,  Kimathi,  M.,  Ojiambo,  V.,  Gathungu,  D.,  &  Mbogo,  R.,  2020.  SEIR  model  for COVID-19  dynamics  incorporating  the  environment  and  social  distancing. BMC  Research Notes , 13 (1), 352. https://doi.org/10.1186/s13104-020-05192-1
[10] Nisardi, M. R., 2022. Model Matematika Penyebaran Covid-19 Orde Fraksional dengan Skema Vaksinasi . Universitas Hasanuddin.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Sulma , Muhammad Rifki Nisardi , Suriani, Hukmah, Harianto, Dian Firmayasari S.
[11] Resmawan,  Eka,  M.,  Nurwan,    Achmad,  N.,  2020.  Analisis  Kontrol  Optimal  Pada  Model Matematika Penyebaran Pengguna Narkoba Dengan Faktor Edukasi. Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan , 17 (2), 238–248. https://doi.org/10.22487/2540766X.2020.v17.i2.15201
[12] Sulma, Toaha, S., & Kasbawati, 2020. Stability Analysis of Mathematical Models of Meningitis Transmission  dynamics  with  the  Effects  of  Vaccination,  Campaign,  and  Treatment . 17 ,  11. https://doi.org/10.20956/jmsk.%vi%i.10031
[13] Yang,  Z.,  Zeng,  Z.,  Wang,  K.,  Wong,  S.-S.,  Liang,  W.,  Zanin,  M.,  Liu,  P.,  Cao,  X.,  Gao,  Z., Mai, Z., Liang, J., Liu, X., Li, S., Li, Y., Ye, F., Guan, W., Yang, Y., Li, F., Luo, S., … He, J., 2020. Modified  SEIR  and AI  prediction  of the  epidemics  trend  of  COVID-19  in  China  under public health interventions. Journal of Thoracic Disease , 12 (3), 165–174. https://doi.org/10.21037/jtd.2020.02.64