## SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN JARINGAN FUNGSI RADIAL BASIS PADA KOORDINAT POLAR
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: fatma.mufida@gmail.com, m.jamhuri@live.com

## ABSTRAK
Persamaan Poisson dalam koordinat polar atau lingkaran merupakan persamaan diferensial parsial linier orde dua tipe eliptis. Persamaan ini merupakan bentuk non homogen dari persamaan Laplace. Persamaan Poisson pada koordinat polar disini menggambarkan distribusi panas dalam ruang, yang dalam hal ini berbentuk lingkaran. Solusi  numerik  persamaan  Poisson  diperoleh  dengan  metode  jaringan  fungsi  radial  basis.  Dengan  metode  ini, setiap  fungsi  dan  turunannya  dapat  didekati  secara  langsung  dengan  sebuah  fungsi  basis.  Fungsi  basis  yang digunakan adalah  fungsi  basis  jenis multiquadrics . Solusi  numerik  menggunakan  metode jaringan  fungsi radial basis khususnya metode langsung yang diperoleh dari penelitian ini menunjukkan keakuratan yang t inggi dengan diperolehnya galat yang relatif kecil. Dengan galat mutlak maksimum terkecil yaitu 0,00088 , dengan pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45 .  Ini  menunjukkan  bahwa  metode  jaringan  fungsi  radial  basis  cukup  efektif  dalam mengaproksimasi persamaan Poisson dengan domain lingkaran.
Kata kunci: Solusi Numerik, Persamaan Poisson, Jaringan Fungsi Radial Basis, Koordinat Polar.

## ABSTRACT
Poisson  equation  on  the  polar  coordinate  is  one  of  the  second  order  partial  differential  equations  of elliptic  type.  This  equation  is  also  a  special  case  of  Laplace  equation  and  inhomogeneous  version  of  Laplace equation. Poisson equation here describes heat conduction on the polar region. Here, we solve Poisson equation using  radial  basis  function  networks  with  multiquadrics  as  a  basis  function.  Numerical  experiments  show  that radial basis function network achieves great accuracy. The smallest maximum absolute errors is 0,00088 with ∆𝑟 = 0,1 and ∆𝜃 = 𝜋 45 . From this result, it can be concluded that radial basis function networks method is effective to approximate Poisson equation on the polar coordinate.
Keywords : Numerical Solution, Poisson Equation, Radial Basis Function Networks, Polar Coordinate .

## PENDAHULUAN
Persamaan  Poisson  merupakan  persamaan diferensial  parsial  orde  dua  tipe  eliptis  yang implementasinya  banyak  digunakan  dalam  teknik elektro, teknik  mesin, dan  fisika teori. Dinamai dari nama  belakang  seorang  matematikawan  Perancis yang  juga  seorang  ahli  fisika  dan  geometri  Sim é on Denis Poisson. Dalam fisika teori, persamaan Poisson menggambarkan distribusi panas dalam ruang. Salah  satu  metode  numerik  yang  digunakan  dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial adalah jaringan  fungsi  radial  basis  ( Radial  Basis  Function Networks ).  Dengan  metode  ini,  setiap  fungsi  dan turunannya  dapat  didekati  secara  langsung  dengan sebuah fungsi basis. Jaringan fungsi radial basis telah lama  dikenal  dalam  bidang  rekayasa  dan  teknik sebagai  jaringan  syaraf  tiruan  yang  menggunakan fungsi  basis  sebagai  fungsi  pengaktif.  Gagasan jaringan  fungsi  radial  basis  diperoleh  dari  teori aproksimasi  fungsi.  Mengaproksimasi  suatu  fungsi adalah  menghampiri  fungsi  tersebut  dengan  fungsi lainnya.
Jaringan  fungsi  radial  basis  merupakan pemetaan dari suatu vektor input dengan p -dimensi ke vektor output yang  hanya  1  dimensi.  Secara  aljabar disimbolkan  dengan f:R p → R 1 .  Fungsi f terdiri  dari himpunan bobot {𝑤 𝑗 } 𝑗=1 𝑚 dan himpunan  fungsi  basis
{ϕ(𝑥 𝑖 , 𝑐 𝑗 )} 𝑗=1 𝑚 , dengan {𝑥 𝑖 } 𝑖=1 𝑛 . Secara umum, fungsi basis dapat ditulis dengan ϕ(𝑥 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) = √(𝑥 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 + α 2 , α = var(𝑥) . 𝑥 𝑖 adalah vektor input dan 𝑐 𝑗 adalah titik center dari 𝑥 ke- 𝑖 [3].
Koordinat Cartesius bukan merupakan satu- satunya  jalan  untuk  menunjukkan  kedudukan  suatu titik  pada  bidang.  Karena  bentuk  geometris  di  alam tidak selalu berupa kotak-kotak atau persegi panjang, namun  adakalanya  berbentuk  lingkaran.  Sehingga sistem koordinat Cartesius menjadi terbatas penggunaannya. Cara lain ialah menggunakan sistem koordinat polar.

## KAJIAN PUSTAKA

## 1.   Persamaan Poisson
Strauss  [6]  menyatakan  bahwa  jika  sebuah persamaan  difusi  atau  persamaan  gelombang  tidak bergantung pada waktu ( 𝑡 ), yaitu 𝑢 𝑡 = 0 dan 𝑢 𝑡𝑡 = 0 , maka  persamaan  difusi  dan  persamaan  gelombang tersebut menghasilkan persamaan Laplace. Persamaan Poisson merupakan bentuk non homogen dari persamaan Laplace.
∇ 2 𝑢 = 𝑓 (1)
Dengan 𝑓 adalah sebuah fungsi yang diberikan, maka disebut persamaan Poisson.
Bentuk umum persamaan Poisson dalam dua dimensi dalam koordinat Cartesius yaitu:
𝝏 𝟐 𝒖(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒖(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚 𝟐 = 𝒇(𝒙, 𝒚) (2)
Pada domain 𝒙 𝒂 < 𝒙 < 𝒙 𝒃 , 𝒚 𝒂 < 𝒚 < 𝒚 𝒃 .
Boyce dan DiPrima  [1]  menyatakan bahwa  masalah kondisi  batas  untuk  persamaan  Poisson  2  dimensi (𝒙, 𝒚) dalam sistem koordinat Cartesius adalah: 𝒖(𝒙 𝒂 , 𝒚) = 𝒇 𝟏 (𝒚) 𝒖(𝒙 𝒃 , 𝒚) = 𝒇 𝟐 (𝒚) 𝒖(𝒙, 𝒚 𝒂 ) = 𝒇 𝟑 (𝒙) 𝒖(𝒙, 𝒚 𝒃 ) = 𝒇 𝟒 (𝒙) (3)
Dengan 𝒇 𝟏 (𝒚), 𝒇 𝟐 (𝒚), 𝒇 𝟑 (𝒙), 𝒇 𝟒 (𝒙) adalah  fungsi- fungsi  yang  menyatakan  kondisi  pada  batas-batas tersebut.
Persamaan  Poisson  pada  sistem  koordinat polar (𝒓, 𝜽) , dengan 𝒖(𝒓, 𝜽) adalah:
𝝏 𝟐 𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝒓 𝟐 + 𝟏 𝒓 𝝏𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝜽 𝟐 = 𝒇(𝒓, 𝜽) (4)
Dengan domain 𝟎 < 𝒓 < 𝒂 dan 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝒃 . Masalah kondisi  batas  untuk  persamaan  Poisson  yang domainnya  berupa  lingkaran (𝒓, 𝜽) ,  kondisi  batas harus  berupa  kondisi  pada  tepi  dan  pusat  lingkaran yaitu:
𝒖(𝒂, 𝜽) = 𝒇(𝜽) 𝒖(𝟎, 𝜽) = 𝒇(𝜽) (5)
Dengan 𝑎 adalah jari-jari lingkaran dan 𝑓(𝜃) adalah fungsi yang menyatakan kondisi pada batas tersebut.
Gambar 1 Kondisi Batas pada Koordinat Polar

## 2.   Sistem Koordinat Polar
Pada  sistem  koordinat  polar,  sepasang koordinat  polar  suatu  titik  ditulis  dengan  ( 𝑟, 𝜃 ). Sebagai  ilustrasi  sistem  koordinat  polar,  kita  mulai dengan  menggambar  sebuah  setengah  garis  tetap yang dinamakan sumbu polar  yang berpangkal pada sebuah titik pusat O . Titik ini disebut polar atau titik asal. Biasanya sumbu polar ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sistem koordinat Cartesius . Setiap  titik P adalah  perpotongan  antara sebuah  lingkaran  tunggal  yang  berpusat  di O dan sebuah  sinar  tunggal  yang  memancar  dari O .  Jika r adalah jari- jari ingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu polar. Maka yang dinamakan sepasang  koordinat  polar  dari  titik P dan  ditulis dengan P ( r , θ ) adalah (𝑟, 𝜃) [7].

## Gambar 2 Sistem Koordinat Polar
Purcell dan Varberg [7] menyatakan  bahwa andaikan  sumbu  polar  berimpit  dengan  sumbu x positif  pada  sistem  koordinat Cartesius .  Maka koordinat  polar  ( r , θ )  sebuah  titik P dan  koordinat Cartesius (𝒙, 𝒚) titik  itu  dihubungkan  oleh persamaan:
𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
(6)
𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
(7 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 (8)
𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝒚 𝒙 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧 𝒚 𝒙 (9)

## 3.   Jaringan Fungsi Radial Basis
Jaringan  fungsi  radial  basis  mulai  dikenal pertama kali sejak D. S. Broomhead dan David Lowe menyampaikan  makalahnya  yang  berjudul Radial basis
functions, Multi-variable functional interpolation and adaptive network s pada tahun 1988 [2].  Jaringan  fungsi  radial  basis  merepresentasikan sebuah pemetaan dari vektor input dengan p -dimensi ke  vektor output yang  hanya  1-dimensi.  Secara matematis jaringan fungsi radial basis ditulis dengan f:R p → R 1 [5]. Fungsi f pada f:R p → R 1 terdiri dari himpunan bobot {𝑤 𝑗 } 𝑗=1 𝑚 dan  himpunan  fungsi  basis
{ϕ(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 )} 𝑖=1 𝑛 ,  dengan {𝑟 𝑖 } 𝑖=1 𝑛 dan {𝜃 𝑖 } 𝑖=1 𝑛 .  Secara umum,  fungsi  basis  dapat  ditulis  dengan
ϕ(𝑟 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) = √(𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 + α , α = var(𝑟 𝑖 ) . 𝑟 𝑖 adalah vektor input dan 𝑐 𝑗 adalah  titik center dari 𝑟 ke- 𝑖 [3]. Fungsi basis untuk 2 variabel (𝑟, 𝜃) : 𝛟(𝒓 𝒊 , 𝜽 𝒊 , 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) = √(𝒓 𝒊 − 𝒄 𝒋 ) 𝟐 + (𝜽 𝒊 − 𝒅 𝒋 ) 𝟐 + 𝛃 (10) β = var(𝑟 𝑖 ) +  var(𝜃 𝑖 ) 2 𝑟 𝑖 = vektor input ke- 𝑖 𝜃 𝑖 = vektor input ke- 𝑖 𝑐 𝑗 = titik center dari 𝑟 ke- 𝑖 𝑑 𝑗 = titik center dari 𝜃 ke- 𝑖 α = nilai parameter width untuk 1 variabel β = nilai parameter width untuk 2 variabel

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam
menyelesaikan  secara  numerik  persamaan  Poisson pada koordinat polar adalah menggunakan pendekatan  studi  literatur  atau library  research . Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
a) Mentransformasi persamaan Poisson beserta kondisi batasnya dari koordinat Cartesius ke koordinat polar.
b) Menurunkan fungsi basis multiquadrics terhadap variabel-variabel bebasnya (𝒓, 𝜽) hingga turunan kedua.
c) Mendiskritisasi persamaan Poisson pada koordinat polar menggunakan jaringan fungsi radial basis serta kondisi batasnya.
d) Mensubstitukan nilai-nilai input (𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) dan 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) ke dalam persamaan Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi radial basis yang telah diperoleh.
e) Menghitung nilai bobot 𝑤 𝑗 .
f) Menghitung solusi persamaan Poisson pada koordinat polar dengan mengalikan nilai bobot 𝑤 𝑗 yang telah diperoleh dan fungsi basis multiquadrics yang tanpa diturunkan.
g) Melakukan simulasi, menggambarkan grafik, serta menganalisis galat.
h) Memberikan kesimpulan atas hasil penelitian yang telah diperoleh serta saran untuk penelitian selanjutnya.

## PEMBAHASAN

## 1.   Transformasi Persamaan Poisson
Transformasi  persamaan  Poisson dari koordinat Cartesius ke  koordinat  polar,  dengan
kaidah rantai ( chain rule ) diperoleh turunan pertama 𝑢(𝑥, 𝑦) persamaan (2) terhadap 𝑥 dan 𝑦 .
𝝏𝒖 𝝏𝒙 = 𝝏𝒖 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒙 + 𝝏𝒖 𝝏𝜽 𝝏𝜽 𝝏𝒙 (11)
𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝝏𝒖 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒚 + 𝝏𝒖 𝝏𝜽 𝝏𝜽 𝝏𝒚 (12)
Kemudian  turunan  kedua 𝑢(𝑥, 𝑦) persamaan  (2) terhadap 𝑥 dan 𝑦 diperoleh:
𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒓 𝟐 − 𝟐 𝒙𝒚 𝒓 𝟑 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽𝝏𝒓 + 𝒚 𝟐 𝒓 𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒚 𝟒 𝒓 𝟒 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽 𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 𝒓 𝟒 𝝏𝒖 𝝏𝜽 (13)
𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒚 𝟐 = 𝒚 𝟐 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒓 𝟐 + 𝟐 𝒙𝒚 𝒓 𝟑 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽𝝏𝒓 + 𝒙 𝟐 𝒓 𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒙 𝟒 𝒓 𝟒 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽 𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 𝒓 𝟒 𝝏𝒖 𝝏𝜽 (14)
Substitusi  persamaan  (13)  dan  (14)  ke  dalam persamaan (2):
𝝏 𝟐 𝒖(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 𝟐 + 𝝏 𝟐 𝒖(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚 𝟐 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝒇(𝒓, 𝜽) 𝒚𝟐 𝒓𝟐 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒓𝟐 +𝟐 𝒙𝒚 𝒓𝟑 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝜽𝝏𝒓 + 𝒙𝟐 𝒓𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒙𝟐 𝒓𝟒 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝜽𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 𝒓𝟒 𝝏𝒖 𝝏𝜽 𝒙𝟐 𝒓𝟐 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒓𝟐 −𝟐 𝒙𝒚 𝒓𝟑 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝜽𝝏𝒓 + 𝒚𝟐 𝒓𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒚𝟐 𝒓𝟒 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝜽𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 𝒓𝟒 𝝏𝒖 𝝏𝜽 + 𝒙 𝟐 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒓 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒓 𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒚 𝟐 𝒓 𝟒 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝒓 𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒓 𝟑 𝝏𝒖 𝝏𝒓 + 𝒙 𝟐 𝒓 𝟒 𝝏 𝟐 𝒖 𝝏𝜽 𝟐 = 𝒇(𝒓, 𝜽) ( 𝑥 2 𝑟 2 + 𝑦 2 𝑟 2 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑟 2 + ( 𝑦 2 𝑟 3 + 𝑥 2 𝑟 3 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + ( 𝑥 2 𝑟 4 + 𝑦 2 𝑟 4 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜃 2 = 𝑓(𝑟, 𝜃) ( 𝑥 2 +𝑦 2 𝑟 2 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑟 2 + ( 𝑥 2 +𝑦 2 𝑟 3 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + ( 𝑥 2 +𝑦 2 𝑟 4 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜃 2 = 𝑓(𝑟, 𝜃) ( 𝑟 2 𝑟 2 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑟 2 + ( 𝑟 2 𝑟 3 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + ( 𝑟 2 𝑟 4 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜃 2 = 𝑓(𝑟, 𝜃) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑟 2 + ( 1 𝑟 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑟 + ( 1 𝑟 2 ) 𝜕 2 𝑢 𝜕𝜃 2 = 𝑓(𝑟, 𝜃)
Sehingga,  persamaan  Poisson  dalam  koordinat polar  diperoleh  persamaan  (4).  Dengan  domain 0 < 𝑟 < 𝑎 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏 .  Dan  kondisi  batas persamaan (5).

## 2.   Solusi Numerik Persaaan Poisson
Langkah  pertama  untuk  menghitung  solusi numerik  persamaan  Poisson  (4)  menggunakan jaringan  fungsi  radial  basis  adalah  mendiskritisasi persamaan  Poisson  (4).  Karena  persamaan  Poisson (4) melibatkan turunan kedua 𝒖(𝒓, 𝜽) terhadap 𝒓 dan 𝜽 ,  maka  untuk  menghampiri  fungsi 𝒖(𝒓, 𝜽) pada persamaan  Poisson  (4),  fungsi  basisnya  diturunkan dua  kali  terhadap 𝒓 dan 𝜽 .  Karena  menggunakan metode langsung, sehingga fungsi basisnya diturunkan terhadap variabel bebasnya.
𝑢 𝑟 (𝑟, 𝜃) , 𝑢 𝑟𝑟 (𝑟, 𝜃), dan 𝑢 𝜃𝜃 (𝑟, 𝜃) digunakan untuk menghampiri fungsi 𝑢(𝑟, 𝜃) pada persamaan  Poisson  (4).  Fungsi  basis  yang digunakan adalah jenis multiquadrics .
𝑢(𝑟, 𝜃) = ∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 ϕ(𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) (15)
𝒖 𝒓 (𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘 𝒋 𝒎 𝒋=𝟏 𝛟 𝒓 (𝒓, 𝜽, 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) (16)
𝒖 𝒓𝒓 (𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘 𝒋 𝒎 𝒋=𝟏 𝛟 𝒓𝒓 (𝒓, 𝜽, 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) (17)
𝒖 𝜽 (𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘 𝒋 𝒎 𝒋=𝟏 𝛟 𝜽 (𝒓, 𝜽, 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) (18)
𝒖 𝜽𝜽 (𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘 𝒋 𝒎 𝒋=𝟏 𝛟 𝜽𝜽 (𝒓, 𝜽, 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) (19)
Dengan ϕ(𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) diketahui  pada  persamaan (10),  maka ϕ 𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) , ϕ 𝑟𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ), ϕ 𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) dan ϕ 𝜃𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) diperoleh:
ϕ 𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = 𝑟−𝑐 𝑗 √(𝑟−𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃−𝑑 𝑗 ) 2 +𝛽 (20) ϕ 𝑟𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = (𝜃−𝑑 𝑗 ) 2 +𝛽 ((𝑟−𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃−𝑑 𝑗 ) 2 +𝛽) 3 2 (21) ϕ 𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = 𝜃−𝑑 𝑗 √(𝑟−𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃−𝑑 𝑗 ) 2 +𝛽 (22) ϕ 𝜃𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = (𝑟−𝑐 𝑗 ) 2 +𝛽
((𝑟−𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃−𝑑 𝑗 ) 2 +𝛽) 3 2 (23)
Untuk  mengaproksimasi  persamaan Poisson  dalam  koordinat  polar  menggunakan jaringan fungsi radial basis digunakan persamaan Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi radial  basis.  Dengan  substitusi  persamaan  (16), (17), dan (18) ke dalam persamaan (4), maka:
𝜕 2 𝑢(𝑟,𝜃)
𝜕𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝑢(𝑟,𝜃) 𝜕𝑟 + 1 𝑟 2 𝜕 2 𝑢(𝑟,𝜃) 𝜕𝜃 2 = 𝑓(𝑟, 𝜃)
∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 ϕ 𝑟𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) + 1 𝑟 ∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 ϕ 𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) + 1 𝑟 2 ∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 ϕ 𝜃𝜃 (𝑟, 𝜃, 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = 𝑓(𝑟, 𝜃)
∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 [ϕ 𝑟𝑟 (𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) + 1 𝑟 𝑖 ϕ 𝑟 (𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) + 1 𝑟 𝑖 2 ϕ 𝜃𝜃 (𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 )] = 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 )
Dengan mensubstitusi persamaan (20), (21), (23) maka diperoleh persamaan Poisson dalam bentuk persamaan  jaringan  fungsi  radial  basis  yaitu persamaan (24).
∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 [ (𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽 ((𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽) 3 2 + 1 𝑟 𝑖 𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 √(𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽 + (24)
1 𝑟 𝑖 2 (𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 + 𝛽 ((𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽) 3 2 ]
= 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 )
Pada  domain 0 < 𝑟 < 𝑎 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏 .  Dengan kondisi  batas  pada  persamaan  (5).  Dimana 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝛽 = 𝑣𝑎𝑟(𝑟 𝑖 )+𝑣𝑎𝑟(𝜃 𝑖 ) 2 .
Langkah  selanjutnya  yaitu  menghitung niai  bobot 𝑤 𝑗 .  Persamaan  (24)  akan  digunakan untuk menghitung nilai bobot 𝑤 𝑗 .
Misal
𝑨(𝒓 𝒊 , 𝜽 𝒊 , 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) = (𝜽 𝒊 −𝒅 𝒋 ) 𝟐 +𝜷 ((𝒓 𝒊 −𝒄 𝒋 ) 𝟐 +(𝜽 𝒊 −𝒅 𝒋 ) 𝟐 +𝜷) 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝒓 𝒊 𝒓 𝒊 −𝒄 𝒋 √(𝒓 𝒊 −𝒄 𝒋 ) 𝟐 +(𝜽 𝒊 −𝒅 𝒋 ) 𝟐 +𝜷 + 𝟏 𝒓 𝒊 𝟐 (𝒓 𝒊 −𝒄 𝒋 ) 𝟐 +𝜷 ((𝒓 𝒊 −𝒄 𝒋 ) 𝟐 +(𝜽 𝒊 −𝒅 𝒋 ) 𝟐 +𝜷) 𝟑 𝟐 Maka persamaan (24) menjadi:
∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 𝐴(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) = 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 )
Sehingga,  nilai  bobot 𝑤 𝑗 dapat  diperoleh  dengan perhitungan:
𝑤 𝑗 = 𝐴(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) −1 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) (25)
Dengan  mensubstitusi  nilai-nilai input (𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) ke persamaan  (25)  dan 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) yang  didefinisikan dari  persamaan  Poisson  pada  koordinat  polar yang diaproksimasi, dapat dihitung nilai bobot 𝑤 𝑗 . Langkah  selanjutnya  yaitu  menghitung solusi  numerik  persamaan  Poisson  dengan  cara mengalikan  nilai  bobot 𝑤 𝑗 dengan  fungsi  basis multiquadrics 2  variabel  yang  tanpa  diturunkan. Fungsi  basis  yang  digunakan  adalah  fungsi  basis pada  persamaan  (10).  Sehingga,  solusi  numerik persamaan Poisson (4) adalah:
𝑢̂(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) = ∑ 𝑤 𝑗 𝑚 𝑗=1 ϕ(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) (26)
Perhitungan galat 𝜀 𝑖 diperoleh dengan:
[ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ] = | 𝑢(𝑟 1 , 𝜃 1 ) 𝑢(𝑟 2 , 𝜃 2 ) ⋮ 𝑢(𝑟 𝑛 , 𝜃 𝑛 ) − 𝑢̂(𝑟 1 , 𝜃 1 ) 𝑢̂(𝑟 2 , 𝜃 2 ) ⋮ 𝑢̂(𝑟 𝑛 , 𝜃 𝑛 ) | (27)
Besarnya  galat  menunjukkan  seberapa  dekat solusi eksak dengan solusi numeriknya.

## 3.   Simulasi
Untuk  lebih  memahami  cara  kerja  metode jaringan  fungsi  radial  basis,  akan  ditunjukkan simulasi  solusi  numerik  persamaan  Poisson  pada koordinat  polar.  Persamaan  Poisson  pada  koordinat polar yang akan diselesaikan adalah:
𝝏 𝟐 𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝒓 𝟐 + 𝟏 𝒓 𝝏𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓 𝟐 𝝏 𝟐 𝒖(𝒓,𝜽) 𝝏𝜽 𝟐 = −𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝜽,
𝟎 < 𝒓 < 𝟏 dan 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅
(28) Dengan kondisi batas 𝑢(1, 𝜃) = 0 𝑢(0, 𝜃) = 0 (29)
Domain  pada  persamaan  (28)  kemudian  dipartisi menjadi beberapa data diskrit, dengan ∆ 𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 12 .
Langkah  pertama  untuk  menghitung  solusi numerik  persamaan  Poisson  (28)  dengan  kondisi batas (29) menggunakan jaringan fungsi radial basis adalah  diskritisasi  domain.  Domain  persamaan Poisson  kemudian  dipartisi  dengan  ∆ 𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 12 . 𝜃 𝑖 tersebut masih dalam satuan derajat (°), sehingga  dirubah  terlebih  dahulu  ke  dalam  satuan radian supaya dapat dioperasikan dengan 𝑟 𝑖 . Setelah memperoleh 𝑟 𝑖 dan 𝜃 𝑖 yang telah sama penyebutnya, maka  domain  pada  persamaan  Poisson  dapat digambarkan dengan gambar 3 berikut:

## Gambar 3 Diskritisasi Domain Persamaan Poisson
Setelah membagi domain menjadi beberapa titik diskrit, kemudian  persamaan Poisson (28) akan dirubah  menjadi  persamaan  jaringan  fungsi  radial basis, yaitu pada persamaan (30):
∑ 𝑤 𝑗 525 𝑗=1 [ (𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽 ((𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽) 3 2 + 1 𝑟 𝑖 𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 √(𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽 + 1 𝑟 𝑖 2 (𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 + 𝛽 ((𝑟 𝑖 − 𝑐 𝑗 ) 2 +(𝜃 𝑖 − 𝑑 𝑗 ) 2 + 𝛽) 3 2 ] = −3 cos 𝜃 𝑖 (30)
Dengan  kondisi  batas  pada  persamaan  (29)  yaitu 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0 .  Artinya,  ketika 𝑟 𝑖 = 0,00 dan 𝑟 𝑖 = 1,00 maka ruas kanan pada persamaan
(30) sama dengan 0 atau 𝑓(0, 𝜃 𝑖 ) = 0 dan 𝑓(1, 𝜃 𝑖 ) = 0 .
Langkah selanjutnya, yaitu menghitung nilai bobot 𝑤 𝑗 . Nilai bobot 𝑤 𝑗 dihitung dengan persamaan (25):
𝑤 𝑗 = 𝐴(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) −1 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 )
Dengan 𝑖 = 1,2, ⋯ , 525 dan 𝑗 = 1,2, ⋯ , 525 .
Himpunan fungsi basis 𝐴(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ) yang berbentuk  matriks 525 ×525  dan  himpunan 𝑓(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) yang  berbentuk  matriks 525 ×1  diperoleh  dengan mensubstitusikan  nilai-nilai input 𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 , 𝑐 𝑗 , 𝑑 𝑗 ke dalam  persamaan  (25).  Kemudian  diperoleh  nilai- nilai bobot 𝑤 𝑗 yang berbentuk matriks 525 ×1. Solusi  numerik  persamaan  Poisson  (28) dapat dihitung dengan persamaan (31) berikut:
𝒖 ̂(𝒓 𝒊 , 𝜽 𝒊 ) = ∑ 𝒘 𝒋 𝟓𝟐𝟓 𝒋=𝟏 𝛟(𝒓 𝒊 , 𝜽 𝒊 , 𝒄 𝒋 , 𝒅 𝒋 ) (31)
Hasil simulasi solusi numerik persamaan (28) dengan kondisi  batas  (29)  kemudian  diperoleh 𝑢̂(𝑟 𝑖 , 𝜃 𝑖 ) seperti dalam gambar 4 berikut:
Gambar 4 Solusi Numerik Persamaan Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 12
Simulasi solusi numerik persamaan Poisson tersebut dilakukan dengan program Matlab 2008R.
Persamaan  Poisson  pada  koordinat  polar (𝑟, 𝜃) ,  domainnya  berbentuk  lingkaran.  Persamaan ini menggambarkan distribusi panas atau penyebaran panas dalam suatu ruang dengan keadaan steady state atau tetap. Panas dalam  suatu ruang yang berbentuk lingkaran menyebar tanpa ada pengaruh waktu, atau dapat dikatakan waktu=konstan.
Gambar  4  mendeskripsikan  bahwa  panas menyebar  pada  seluruh  ruang/  domain  yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1. Kondisi pada batas  persamaan  ini  adalah  untuk 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan untuk 𝑢(0, 𝜃) = 0 . Artinya, pada saat 𝑟 𝑖 = 1 dan 𝑟 𝑖 = 0 , suhu/ panas ruang adalah sebesar 1 satuan panas.
Gambar  4  juga  menjelaskan  bahwa  panas menyebar  dari 𝑟 = 0 ke 𝑟 = 1 .  Dan  pada  saat tertentu, panas dalam keadaan meningkat/ suhu naik yaitu pada saat 𝑟 = 0,3 sampai 𝑟 = 0,7 . Dari gambar tersebut  terlihat  bahwa  suhu  tertinggi  ketika  grafik berwarna  coklat  tua  yaitu  pada 𝑟 = 0,3 .  Suhu terendah terlihat ketika grafik berwarna biru tua yaitu 𝑟 = −0,3 sampai 𝑟 = −0,7 .  Dengan  kondisi  batas yang diketahui adalah 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0 ,
artinya  suhu  di  pusat  lingkaran/  pusat  ruang  sama dengan suhu di batas/ tepi ruang yang pada kasus ini berbentuk lingkaran.
Perhitungan galat dilakukan untuk mengetahui seberapa dekat solusi analitik atau solusi eksak dengan solusi numeriknya. Galat diperoleh dari selisih  antara  solusi  eksak  dan  solusi  numeriknya. Solusi eksak dari persamaan Poisson pada koordinat polar 𝜕 2 𝑢(𝑟,𝜃)
𝜕𝑟 2 + 1 𝑟 𝜕𝑢(𝑟,𝜃) 𝜕𝑟 + 1 𝑟 2 𝜕 2 𝑢(𝑟,𝜃) 𝜕𝜃 2 = −3 cos 𝜃
dengan  domain 0 < 𝑟 < 1 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 pada kondisi  batas 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0 tersebut diketahui dalam artikel yang ditulis oleh R. C. Mittal dan S. Gahlaut [4]: 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟(1 − 𝑟) cos 𝜃 = (𝑟 − 𝑟 2 ) ∙ cos 𝜃 = (𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 2 cos 𝜃) 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟 2 cos 𝜃 (32) Solusi eksak persamaan Poisson (28) dengan kondisi batas (29) dapat dilihat pada gambar 5 berikut:

## Gambar 5 Solusi Eksak Persamaan Poisson Persamaan
Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 12
Galat  solusi  numerik  persamaan  Poisson (3.37)  menggunakan  metode  jaringan  fungsi  radial basis dihitung dari persamaan (3.43) berikut:
[ 𝜺 𝟏 𝜺 𝟐 ⋮ 𝜺 𝟓𝟐𝟓 ] = | 𝒖(𝒓 𝟏 , 𝜽 𝟏 ) 𝒖(𝒓 𝟐 , 𝜽 𝟐 ) ⋮ 𝒖(𝒓 𝟓𝟐𝟓 , 𝜽 𝟓𝟐𝟓 ) − 𝒖 ̂(𝒓 𝟏 , 𝜽 𝟏 ) 𝒖 ̂(𝒓 𝟐 , 𝜽 𝟐 ) ⋮ 𝒖 ̂(𝒓 𝟓𝟐𝟓 , 𝜽 𝟓𝟐𝟓 ) | (3.43)
Dan hasil perhitungannya dapat dilihat pada gambar 6 berikut:
Gambar 6 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 12
Galat  mutlak  maksimum  diketahui  dari  program matlab yaitu 0,0012 .
Menganalisis  galat  metode  jaringan  fungsi radial  basis  pada  solusi  numerik  persamaan  Poisson pada  domain  lingkaran  (28)  dilakukan  beberapa simulasi lagi dengan memperbesar dan memperkecil ∆𝑟 serta ∆𝜃 .  Simulasi  kedua  dilakukan  dengan memperbesar ∆𝑟 dan ∆𝜃 . Solusi numerik persamaan Poisson  (28)  dengan  kondisi  batas  (29)  untuk ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 6 dilakukan  dengan  program  Matlab. Gambar  solusi  numerik,  solusi  eksak,  dan  galatnya dapat dilihat pada gambar 7, 8, dan 9 berikut:
Gambar 7 Solusi Numerik Persamaan Poisson Persamaan Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0 , 1
dan ∆𝜃 = 𝜋 6
Gambar 8 Solusi Eksak Persamaan Poisson Persamaan Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0 , 1 dan ∆𝜃 = 𝜋 6
Gambar 9 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 6
Galat  mutlak  maksimum  diketahui  dari  program matlab yaitu 0,0219 .
Simulasi ketiga dilakukan dengan memperkecil ∆𝜃 . Solusi numerik persamaan Poisson
(28) dengan kondisi batas (29) untuk ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 = 𝜋 45 dilakukan dengan program Matlab. Gambar solusi  numerik,  solusi  eksak,  dan  galatnya  dapat dilihat pada gambar 10, 11, dan12 berikut:
Gambar 10 Solusi Numerik Persamaan Poisson dengan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45
Gambar 11 Solusi Eksak Persamaan Poisson dengan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45 Gambar 12 Galat Metode Jaringan Fungsi Radial Basis ketika ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45
Galat  mutlak  maksimum  diketahui  dari  program matlab yaitu 0,00088 . Kemudian dilakukan beberapa simulasi  lagi  untuk  mengetahui  hasil  galat  yang diperoleh. Dengan pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 yang berbeda-beda,  diperoleh  hasil trial  error dari beberapa simulasi yang telah dilakukan pada gambar 13 diatas.
Hasil-hasil trial
error
tersebut,
menunjukkan bahwa besarnya galat mutlak maksimum belum tentu dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. Semakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan ∆𝑟 dan ∆𝜃 yang kecil, belum tentu  menghasilkan  galat  mutlak  maksimum  yang kecil.  Begitu  pula  sebaliknya.  Namun  dari  simulasi yang  telah  dilakukan,  dapat  disimpulkan  bahwa metode  jaringan  fungsi  radial  basis  cukup  efektif dalam  mengaproksimasi  persamaan  Poisson  pada koordinat  polar  (28)  dengan  kondisi  batas  (29) dengan  galat  mutlak  maksimum  terkecil  yang diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45 .

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan,  dapat  diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
Solusi  numerik  persamaan  Poisson  pada  koordinat polar yang diperoleh dalam penelitian ini menunjukkan  hasil  yang  cukup  dekat  dengan  solusi eksaknya  galat  mutlak  maksimum  terkecil  yang diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 = 𝜋 45 .
Besarnya  galat  mutlak  maksimum  belum  tentu dipengaruhi  oleh  banyaknya  iterasi  yang  dilakukan. Semakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan ∆𝑟 dan ∆𝜃 yang  kecil,  belum  tentu  menghasilkan galat  mutlak  maksimum  yang  kecil.  Begitu  pula sebaliknya.

## REFERENSI
[1] W.E. Boyce, R.C. DiPrima, C.W. Haines, Elementary differential equations and boundary value problems, Wiley New York, 1992.
[2] D.S. Broomhead, D. Lowe, Radial basis functions, multi-variable functional interpolation and adaptive networks, DTIC Document, 1988.
[3] N. Mai-Duy, T. Tran-Cong, Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks, Appl. Math.
Model. 27 (2003) 197–220.
[4] R.C. MITTAL, S. GaHLAUT, A BOUNDARY

## INTEGRAL FORMULATION FOR
POISSON’S EQUATION IN POLAR COORDINATES, Indian J. Pure Appi. Math.
18 (1987) 965–972.
[5] V. Olej, P. Hajek, Municipal creditworthiness modelling by radial basis function neural networks and sensitive analysis of their input parameters, in: Artif. Neural Networks– ICANN 2009, Springer, 2009: pp. 505– 514.
[6] W.A. Strauss, Partial differential equations: An introduction, New York.
(1992).
[7] D. Varberg, E.J. Purcell, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Jakarta
Erlangga..(1999). Kalkulus Dan Geom. Anal. Jilid. 1 (1994).