## PENGGUNAAN PROSEDUR REGULA-FALSI DAN INTERVAL BAGI DUA UNTUK PENCARIAN AKAR PADA FUNGSI POLINOMIAL BERDERAJAT TIGA

## USE OF RULE-FALSI AND THE INTERVAL DIVIDE BY TWO TO FIND THE ROOTS OF A PLYNOMINAL FUNCTION OF THE THIRD DEGREE
Nur Hafidz 1 , Moh Rofi 2, , Adhi Priyanto 3

## A BSTRACT
Finding the root of a function cannot always be solved analytically, namely an equation of a non-linear function, so it must be done numerically with the help of a computer to perform computations, using a certain programming language. transcendental function equations and  polynomial  function  equations.  In  the  Non  Linear  Equation  System,  among  several solution Procedures that are often used are the Newton-Raphson, the Secant, the Bisection (Dividing Interval), the False-Regulatory Procedure. In this case, the authors interested to analyzing two existing Procedures in finding the root of a non-linear function in the form of  a  three-degree  polynomial  function.  This  process  of  analysis  uses  the  Java  of programming language tool,  with  the reason  to  make it  easier  in terms  of the  algorithm analysis  of  completion  of  Procedure,  and  to  make  it  easier  in  monitoring  in  terms  of execution time and analysis of the output results. Recording to that reasion, we can clearly know what the differences are between the False-Position Procedure and Interval Bisection Procedure.
Keywords : False-Position Procedure, Interval Bisection Procedure, three-degree polynomial function

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  dunia  industri  sering  dijumpai  permasalahan  pencarian  akar  dari  suatu  fungsi  riil  yang bukan merupakan bilangan eksak, sehingga harus dicari dengan suatu prosedur numerik tertentu. Nilai x yang memenuhi persamaan suatu fungsi riil f(x) = 0 dikenal dengan akar fungsi riil f(x) tersebut. Fungs riil f(x) yang akarnya bukan merupakan bilangan eksak umumnya berupa fungsi non linear, dengan ciri khas grafiknya berupa garis bukan lurus.
Suatu  fungsi  riil  non  linear  misal  f(x)  dapat  dikelompokkan  menjadi  dua,yakni  fungsi transendental  dan  fungsi  polinomial.  Fungsi  Transendental  merupakan  suatu  fungsi  riil  yng  memuat sejumlah variabel dan konstanta, yang tidak dapat diekspresikan dengan urutan berhingga dari operasi penjumlahan,  pengurangan,  maupun  perkalian,  sedangkan  Fungsi  Polinomial  dapat  diekspresikan dengan suatu f(x), dengan persamaan.
f (x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0, (1)
dimana n merupakan derajat fungsi polinomial tersebut.
Penelitian  yang  dilakukan  ini  dimaksudkan  untuk  mengetahui  tingkat  akselerasi  hasil  iterasi pencarian  akar  dari  suatu  fungsi  polinomial  berderajat  tiga,dengan  prosedur  Interval  Bisection  dan prosedur  False-Position.  Iterasi  merupakan  pengulangan  langkah  perhitungan  yang  dapat  diperankan oleh suatu personal computer dan sejenisnya dengan suatu bahasa pemprograman. Untuk menampilkan hasil komputasi (iterasi pencarian akar) pada penelitian ini dipilih bahasa Java.
Salah  satu  penerapan  pencarian  akar  suatu  fungsi  polinomial  di  bidang  teknik  yang  pernah dilakukan  adalah  perhitungan tekanan  parsial  gas  karbon  dioksida  (CO 2 )  yang  terjadi di Mauna  Loa,
1 STMIK AKI PATI Jln Kamandowo No. 13, Pati, Jawa Tengah, Indonesia nurhafid348gmail.com
2 STMIK AKI PATI Jln. Kamandowo No 13 Pati, Jawa Tengah, Indonesia mohrofi2017@gmail.com
3 STMIK AKI PATI Jln. Kamandowo No. 13 Pati Jawa Tengah, Indonesia adhi.stmikaki@gmail.com
Hawai pada tahun 1958 sampai 2003. Fenomena yang terjadi adalah adanya tren positif dari data fungsi tekanan parsial dari kabon dioksida (CO 2 ) di atmosfer, yang mengikuti persamaan fjungsi pCO 2 terhadap tahun ( ).
pCO2 = 0,011825 (t –1980,5)2 + 1,356975 (t – 1980,5) + 339
dimana  pCO 2 =  tekanan  parsial  dari  kabon  dioksida  (CO 2 )  di  atmosfer  (ppm).  Data  yang  diperoleh menunjukkan bahwa telah terjadi peningkatan lebih dari 19 % atau pada interval 315 – 376 ppm, pada rentang interval antara tahun 1958 sampai dengan 2003 [1]
Gambar 1 . Rata-rata Tahunan Tekanan Parsial dari Gas Karbon Dioksida di Mauna Loa, Hawai
Penelitian  sebelumnya  yang  pernah  dilakukan  antara  lain  adalah  oleh  Wulan  pada  tahun  2017, dalam  rangka  pencarian  akar  persamaan  satu  fungsi  non  linear  dengan  membandingkan  penggunaan prosedur Newton-Raphson dengan prosedur Regula-Falsi, yang hasilnya adalah apabila menggunakan prosedur  Newton-Raphson  diperlukan  6  (enam)  langkah  iterasi,  sedangkan  apabila  menggunakan prosedur Regula-Falsi diperlukan 8 (delapan) langkah iterasi.
Penelitian berikutnya dilakukan oleh Patrisius Batarius pada tahun 2018, yakni membandingkan hasil  iterasi  pencarian  akar  ganda  dengan  prosedur  Newton-Raphson  termodifikasi  dengan  prosedur Secant  termodifikasi,  dihasilkan  untuk  penggunaan  prosedur  Newton-Raphson  termodifikasi  lebih efektif, yang berarti jumlah langkah itarasinya lebih sedikit.
Penelitian  selanjutnya  dilakukan  oleh  Endang  Sunandar  dan  Indrianto  pada  tahun  2020,  yang melakukan  pengujian  perbedaan  laju  iterasi  dengan  menggunakan  prosedur  Newton-Raphson  dan prosedur  Secant  untuk  pencarian  akar  suatu  persaamaan  fungsi  non  linear,  yang  menghasilkan  laju iterasi  Newton-Raphson  sebanyak  6  (enam)  langkah,  dan  laju  iterasi  dengan  menggunakan  prosedur Secant sebanyak 8 (delapan) langkah [2] .

## 2. KAJIAN PUSTAKA

## Iterasi  Numerik dengan Prosedur Bagi-Dua dan Regula-Falsi
Dalam  pencarian  akar  suatu  persamaan  fungsi  f(x),  khususnya  fungsi  non linear  dalam  bentuk polinomial  diperlukan  prosedur  aproksimasi  (pendekatan)  secara  numerik.  Prosedur  aproksimasi (pendekatan) yang umum dikenal adalah prosedur terbuka dan prosedur tertutup [1] . Prosedur Tertutup Prosedur ini meliputi Prosedur Tabel, Prosedur Biseksi (Bagi-Dua) dan Prosedur Regula-Falsi. Prosedur tertutup memiliki ciri khas sebagai berikut: 1) Iterasi pencarian akar dilakukan pada interval [x1, x2] tertentu,  2)  Pada  interval  [x1,  x2]  dapat  dipastikan  akan  ditemukan satu  akar  yang  dicari,  3) Hasil  iterasi  pencarian  akar  dipastikan  konvergen,  sehingga  sering  dikenal  dengan  nama  prosedur konvergen.

## 1. Prosedur Terbuka
Prosedur  ini  meliputi  Prosedur  Newton-Raphson  dan Prosedur  Secant.  Prosedur terbuka  memiliki ciri  khas  sebagai  berikut:  1)  Membutuhkan  masukan  nilai  awal,  2)  Nilai  xn  digunakan  untuk menghitung  nilai  xn+1  ,  3)  Nilai  xn+1  setelah  iteasi  berhenti  dimungkinkan  bersifat  konvergen menuju  bilangan  riil  tertentu  atau  divergen  menuju  0  atau  menuju  – ∞ (bilangan  riil  negatif  yang sangat besar) atau + ∞ (bilangan riil positif yang sangat besar ).

## Prosedur Biseksi (Bagi-Dua

## Gambar 2 . Grafik Pencarian Akar dengan Prosedur Interval Bagi-Dua
Metoda ini sering digunakan untuk pencarian akar suatu fungsi riil non linear. Diumpamakan kita mengetahui bahwa suatu fungsi riil f (x) memiliki satu akar pada interval [ a , b ], atau satu akar terletak di antara titik x = a dan x = b, maka f ( a ) dan f ( b )  memiliki tanda berlawanan, dengan asumsi bahwa bahwa grafik fungsi riil f (x) merupakan fungsi kontinu, artinya garis grafik tidak terputus sepanjang interval [ a , b ]. Selanjutnya akan terlihat bahwa titik c merupakan tengah-tengah yang terletak pada interval [ a , b ], atau dapat dinyatakan sebagai ara a dan b , yaitu c = ½ ( a + b ), yang selanjutnya menghasilkan nilai f ( c ). Apabila f ( c ) memiliki tanda yang sama dengan tanda f ( a ), maka posisi akarnya pada interval [ c , b ], atau kemungkinan lain posisi akarnya pada interval [ a , c ].
Langkah  berikutnya  dilakukan  pengurangan  lebar  interval  dalam  menjadi  stengah  dari  lebar interval sebelumnya, demikian seterusnya diulang secara terus menerus menjadi 4 1 , 8 1 , 16 1 , … hinggga diperoleh akar yang kita cari dengan akurasi sesuai dengan yang diinginkan [3] .
Prosedur Regula-Falsi (False-Position)
Prosedur Regula-Falsi dikenal dengan prosedur perbaikan dari prosedur Biseksi (Bagi-Dua) yang dianggap  kurang  efisien.  Salah  satu  kelemahan  metoda  Biseksi  (Bagi-Dua)  adalah  ketika  melakukan pembagian interval mulai dari lower x hingga upper x menjadi dua bagian  yang sama besar, nilai f (x 1 ) dan f (x 2 ) tidak menjadi sesuatu yang penting. Sebagai contoh apakah f (x 1 ) lebih dekat ke nol atau ke f (x n ).
Segitiga sebangun yang terbentuk dapat diperoleh taksiran perpotongan garis dan sumbu .[4]

## 3. METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini, penulis menyusun langkah-langkah perhitungan iterasi beserta flow chart (diagram  alir)  untuk  masing-masing  prosedur  yang  akan  diperbandingkan  hasilnya,  yaitu  prosedur Interval Bagi-Dua dan Regula-Falsi, dengan formulasinya masing-masing.
Langkah-langkah Iterasi Numeri dengan Prosedur Interval Bagi-Dua (Interval Bisection)  :
1.  Tentukan nilai awal 0 x dan 1 x , selanjutnya hitung nilai ) ( 0 x f dan ) ( 0 x f
2.  Cek konvergensi nilai ) ( 0 x f dan ) ( 1 x f , apabila:
a. Tanda ) ( 0 x f  tanda ) ( 1 x f , maka nilai awal 0 x dan 1 x digunakan.untuk iterasi selanjutnya (langkah 3).
b. Tanda ) ( 0 x f = tanda ) ( 1 x f , maka tentukan nilai awal 0 x dan 1 x yang baru.
3.  Hitunglah nilai t x yang pertama dengan formula: t x = ) ( 1 0 2 1 x x  , kemudian tentukan keberadaan akar persamaan, di dalam sub interval mana berada, dengan cara:
a. Jika ) ( 0 x f < 0, dan ) ( 1 x f > 0, serta ) ( t x f < 0, atau ) ( 0 x f > 0, dan ) ( 1 x f < 0, serta ) ( t x f >0,
maka akar yang dicari berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan 2 x = t x dan lanjutkan pada iterasi kedua (langkah 4).
b. Jika ) ( 0 x f < 0, dan ) ( 1 x f > 0, serta ) ( t x f > 0, atau ) ( 0 x f > 0, dan ) ( 1 x f < 0, serta ) ( t x f < 0, maka akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan 3 x = t x dan lanjutkan pada iterasi kedua (langkah 4).
4. Hitunglah nilai t x yang kedua dengan formula: t x = ) ( 3 2 2 1 x x  , kemudian tentukan keberadaan akar persamaan, di dalam sub interval mana berada, dengan cara:
a. Jika ) ( 2 x f < 0, dan ) ( 3 x f > 0, serta ) ( t x f < 0, atau ) ( 2 x f > 0, dan ) ( 3 x f < 0, serta ) ( t x f > 0,  maka  akar  persamaan  berada  pada  sub  interval  pertama,  kemudian  tetapkan 4 x = t x dan lanjutkan pada iterasi ketiga (langkah 5).
b. Jika ) ( 2 x f < 0, dan ) ( 3 x f > 0, serta ) ( t x f > 0, atau ) ( 2 x f > 0, dan ) ( 3 x f < 0, serta ) ( t x f < 0, maka akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan 5 x = t x dan lanjutkan pada iterasi ketiga (langkah 5).
5.   Ulangilah langkah 4 untuk t x = ) ( 1 2 1   n n x x ,
Ketika  taksiran  baru  sudah  dianggap  kecil  (mendekati  nol),  maka  perhitungan  iterasi  selesai,  dan nilai t x yang diperoleh merupakan hasil pencarian akar yang dimasud. Apabila belum diperoleh taksiran baru yang nilainya cukup kecil (mendekati nol), maka perhitungan iterasi diulang kembali
sebagaimana pada langkah 4. Setelah taksiran baru sudah mendekati nol, atau dengan kata lain nilai ) ( n x f . ) ( 1  n x f mendekati  0,  selanjutnya  dilakukan  perhitungan  Mutlak  Galat  Relatif,  dengan formula sebgai berikut .
1 1 1       n n n n x x x x
Dalam  setiap  langkah  iterasi  perhitungan  pencarian  akar,  nilai  Mutlak  Galat  Relatif  ini diperbandingkan dengan besaran Toleransi atau nilai Error. Apabila besar nilai Mutlak Galat Relatif tersebut  masih  melebihi  besar  nilai  Toleransi  atau  nilai Error ,  maka  proses  perhitungan  akan dilanjutkan,  sedemikian  sehingga  diperoleh  nilai  Mutlak  Galat  Relatif  lebih  kecil  daripada  nilai Toleransi Error.
Hasil  perhitungan  dari  proses  atau  iterasi  pencarian  akar  dapat  dituangkan ke  dalam  tabel  iterasi, sebagaimana ditunjukkan pada tabel 1.
Tabel 1. Formulasi Proses Iterasi dengan Prosedur Interval Bagi-Dua ( Interval Bisection )
Iterasi n x 1  n x t x ) ( n x f ) ( 1  n x f ) ( t x f   1 n x
0
1
.. .. .. .. .. .. .. .. .. … ..
Langkah-langkah Iterasi Numeri dengan Prosedur Regula-Falsi (False-Position)
1. Tentukan nilai awal 0 x dan 1 x , selanjutnya hitung nilai ) ( 0 x f dan ) ( 1 x f
2. Cek konvergensi nilai ) ( 0 x f dan ) ( 1 x f , apabila:
a. Tanda ) ( 0 x f  tanda ) ( 1 x f , maka nilai awal 0 x dan 1 x dapat digunakan.untuk tahap iterasi selanjutnya (langkah 3).
b.  Tanda ) ( 0 x f = tanda ) ( 1 x f , maka tentukan nilai awal 0 x dan 1 x yang baru.
3. Hitunglan nilai 2 x dan seterusnya dengan rumus:
)) ( ) ( ( ) ( . ) ( . 1 1 1 1 n n n n n n n x f x f x f x x f x x       
4. Hasil perhitungan dari proses pencarian akar dapat dituangkan ke dalam tabel iterasi, sebagaimana ditunjukkan pada tabel 2.
5. Apabila diperoleh nilai 1  n x mendekati nilai n x , maka proses iterasi selesai, dan 1  n x dinyatakan sebagai akar persamaan yang dicari, jika 1  n x belum mendekati nilai n x , maka proses perhitungan kembali  ke  langkah  3.  Penentuan    nilai  nilai 1  n x mendekati  nilai n x ,  ditentukan  dengan membandingkannya dengan nilai Mutlak Galat Relatif, yang besarnya adalah sebagai berikut.
1 1 1       n n n n x x x x
Pada setiap tahapan proses pencarian akar (iterasi), jika nilai Mutlak Galat Relatif  masih lebih besar dari  nilai  Toleransi Error maka  proses  atau  iterasi  pencarian  akar  dilanjutkan.  Hasil  perhitungan dari proses pencarian akar dapat dituangkan ke dalam tabel iterasi, sebagaimana ditunjukkan pada tabel 2.
Tabel 2. Formulasi Proses Iterasi dengan Prosedur Regula-Falsi
n )) ( ) ( ( ) ( . ) ( . 1 1 1 1 n n n n n n n x f x f x f x x f x x        ) ( n x f   1 n x
0 0 x = …
1 1 x = …
2 …

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada rangkaian penelitian ini, penulis memilih bahasa pemprograman Java untuk kedua prosedur yang  diambil,  baik  untuk  prosedur  Prosedur  Interval  Bagi-Dua  ( Interval Bisection )  dan  prosedur Regula-Falsi ( False-Position ), pada fungsi polinomial dengan persamaan:
16 6 3 2 ) ( 2 2     x x x x f

## Prosedur Interval Bagi-Dua
Hasil Keluaran Program Java pada Prosedur Interval Bagi-Dua run :
Pencarian akar persamaan suku banyak:  f(x)=2X^3 + 3X^2 - 6X – 16, dengan prosedur Interval Bagi- Dua. Masukan Awal: x 0 = 1, x 1 = 4; toleransi = 0,005
Tabel 3. Hasil Proses Iterasi dengan Prosedur Interval Bagi-Dua
No x n x n+1 x t f ( x n ) f ( x n+1 ) f ( x t )   1 n x 0 1 4 2,5 -17,00000 136,00000 19,00000 0,60000 1 1 2,5 1,75 -17,00000 19,00000 -6,59375 0,42857 2 1,75 2,5 2,125 -6,59375 19,00000 3,98828 0,17647 3 1,75 2,125 1,9375 -6,59375 3,98828 -1,81689 0,09677 4 1,9375 2,125 2,03125 -1,81689 3,98828 0,95221 0,04615 5 1,9375 2,03125  1,98438 -1,81689 0,95221 -0,46510 0,02362 6 1,98437  2,03125  2,00781 -0,46510 0,95221 0,23529 0,01167 7 1,98437  2,00781  1,99609 -0,46510 0,23529 -0,11696 0,00587 8 1,99609  2,00781  2,00195 -0,11696 0,23529 0,05865 0,00293 Nilai Akar Persamaan yang diperoleh : 2,00195 Total Waktu Iterasi : 0 detik x
xx x
x x xx xx xxx xxx xxx xxxx
Dari tabel 3 menunjukkan bahwa proses pencarian akar dengan menggunakan prosedur Interval Bagi-Dua,  jumlah  tahapan  iterasi  atau  langkah  penyelesaian  untuk  pencarian  akar  persamaan  adalah sebanyak 9 langkah.

## Prosedur Regula-Falsi
Program Java untuk Prosedur Regula-Falsi
Output Program Java untuk Prosedur Interval Regula-Falsi
Pencarian akar persamaan suku banyak:  f(x)=2X^3 + 3X^2 - 6X – 16, dengan Prosedur Regula-Falsi. Masukan Awal: x 0 = 1, x 1 = 4; toleransi = 0,005
Tabel 4. Hasil Proses Iterasi dengan Prosedur Regula-Falsi
n )) ( ) ( ( ) ( . ) ( . 1 1 1 1 n n n n n n n x f x f x f x x f x x        ) ( n x f
  1 n x 0 1 -17,00000 1 4 136,00000 0,75000 2 1,33333 -13,92593 2,00000 3 1,58103 -10,08319 0,15667 4 2,23097 7,75391 0,29133 5 1,94844 -1,50734 0,14501 6 1,99442 -0,16695 0,02306 7 2,00015 0,00441 0,00286 Nilai Akar Persamaan yang diperoleh : 2,00015
Total Waktu Iterasi : 0 detik
Dari tabel 4 menunjukkan bahwa proses pencarian akar dengan menggunakan prosedur Interval Regula-Falsi, jumlah tahapan iterasi atau langkah penyelesaian untuk pencarian akar persamaan adalah sebanyak 8 langkah.

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari paparan hasil penelitian di atas, yang mencoba membandingkan hasil iterasi dengan prosedur Interval Bagi-Dua  dan prosedur Regula-Falsi, ternyata  diperoleh beberapa hasil sebagai berikut :
1. Laju  proses  iterasi  untuk  mencari nilai  akar  fungsi  polinomial  berderajat  3  pada  prosedur  Interval Bagi-Dua adalah 9 langkah, sedangkan pada prosedur Regula-Falsi ada 8 langkah.
2. Nilai akar pada studi kasus untuk fungsi   dengan menggunakan prosedur Interval Bagi-Dua adalah 2,00195,  dengan  galat  sebesar  0,00293,  sedangkan  dengan  menggunakan  prosedur  Regula-Falsi 2,00015, dengan galat sebesar 0,00283,
3. Iterasi dengan prosedur Regula-Falsi menunjukkan akselerasi yang lebih baik dibandingkan iterasi dengan prosedur Interval Bagi-Dua, dengan galat relative yang lebih baik pula.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terimakasih  yang  sebesar-besarnya  saya  sampaikan  kepada  dosen  pembimbing,  para  staf administrasi STMIK AKI, BAAK dan BAAU STMIK AKI, serta para dosen STMIK AKI, khususnya kepada ketua STMIK AKI, serta kepada seluruh pihak yang telah membantu dalam kegiatan penelitian yang dilakukan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Chapra, Steven C dan Raymond P. Canale (2010). Numerical Procedures for Engineers . McGraw- Hill Companies, Inc.
[2]   Endang Sunandar, Indrianto, (2020). Perbandingan Prosedur Newton-Raphson & Prosedur Secant Untuk Mencari Akar Persamaan Dalam Sistem Persamaan Non-Linier , PETIR: Jurnal Pengkajian dan Penerapan Teknik Informatika, Vol.13, No.1, hal.72-79.
[3]   Chasnov , Jeffrey R., (2012). Introduction to Numerical Procedures Lecture notes , The Hong Kong University of Science and Technology Department of Mathematics.
[4] Wulan ER, Sukarti SM, Zulkarnaen D. (2017). Perbandingan Tingkat Kecepatan Konvergensi dari Prosedur Newton Raphson dan Prosedur Secant Setelah Mengaplikasikan Prosedur Aiken’s dalam Perhitungan Akar Pangkat Tiga . Jurnal Matematika Integratif ISSN.1412:6184.
[5]   Sahid, (2003). Analisis dan Implementasi Prosedur Newton Raphson , Jurusan Matematika Fakultas FMIPA, Universitas Negeri Yogjakarta.
[6]   Elis  Ratna  Wulan  dkk,  (2016). Perbandingan  Tingkat  Kecepatan  Konvergensi  dari  Prosedur Newton  Raphson  dan  Prosedur  Secant  Setelah  Mengaplikasikan  Prosedur  Aiken’s  dalam Perhitungan Akar Pangkat Tiga . Jurnal Matematika Integratif ,  Vol.12, No.1, pp 35–42.
[7] E. Sunandar (2019). Perbandingan Prosedur Selection Sort dan Insertion Sort Dalam Pengurutan Data Menggunakan Bahasa Program Java . petir , vol. 12, no. 2, pp. 172 - 178.