## GENERALISASI t -DERIVASI DI B -ALJABAR

## GENERALITATION OF t -DERIVATION ON B-ALGEBRA
Elsi Fitria 1§ , Sri Gemawati 2 , Amalina 3 , Reihani Jemila Nurbai 4
1 FMIPA, Universitas Riau, Kampus Bina Widya, Pekanbaru  [Email: elsifitria823@gmail.com] 2 FMIPA, Universitas Riau, Kampus Bina Widya, Pekanbaru  [Email: gemawati.sri@gmail.com]
3 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang [Email: amalina@uinib.ac.id ] 4 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang
§ Corresponding Author
Received Maret 2021; Accepted Juni 2021; Published Juni 2021;

## Abstrak
Pada  artikel  ini  didefinisikan  konsep  generalisasi left-right t -derivasi  (( l,  r ) -t -derivasi)  dan  generalisasi right-left  t -derivasi  (( r,  l )- t -derivasi)  di B -aljabar  dan  diselidiki  sifat-sifatnya.  Kemudian,  juga  diselidiki sifat-sifat  dari  suatu  generalisasi t -derivasi  yang regular di B -aljabar.  Pada  bagian  akhir,  dibahas  sifat- sifat generalisasi ( l, r )- t -derivasi dan generalisasi ( r, l )- t -derivasi di B -aljabar 0-komutatif.
Kata Kunci : ( l, r )- t -derivasi,  ( r, l )- t -derivasi,  generalisasi t -derivasi, B -aljabar

## Abstract
In this paper, the notions of generalized left-right t-derivation ((l, r)-t-derivation) and generalized right- left  t-derivation  ((r,  l)-t-derivation)  in  B-algebra  are  introduced  and  some  related  properties  are investigated.  Also,  we  consider  some  related  properties  of  regular  in  B-algebra.  Finally,  we  disscuss about  some  properties  of  generalized  (l,  r)-t-derivation  and  generalized  (r,  l)-t-derivation  in  0- commutative B-algebra.
Keywords : (l, r)-t-derivation,  (r, l)-t-derivation,  generalized t-derivation, B-algebra

## 1. Pendahuluan
Neggers  dan  Kim  dalam  [6] memperkenalkan konsep B -aljabar, yaitu suatu  himpunan  tak  kosong X dengan operasi  biner dan  konstanta  0  yang
dinotasikan  dengan ,  serta memenuhi aksioma ( 1) , ( 2) ,  dan    ( 3) untuk  setiap .
Kemudian,  Kim  dan  Kim  dalam  [4]
mengkonstruksi  generalisasi  dari B - aljabar  yang  dinamakan BG -aljabar, yang memenuhi aksioma ( B 1), ( B 2), dan
( 𝐺 ) ( x ) (0 ) =
(1) untuk setiap . Selain
generalisasinya,  Kim  dan  park  dalam [5]  juga  membahas  bentuk  khusus  dari
B -aljabar  yang  dinamakan B -aljabar  0-
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
komutatif  yang  memenuhi  aksioma
untuk  setiap . Konsep  derivasi  pertama  kali dibahas dalam kajian ring dan near ring.
Namun,  seiring  perkembangan  aljabar abstrak,  konsep  derivasi  telah  dibahas dalam  struktur  aljabar  lainnya.  Al- Shehrie  dalam  [1]  telah  membahas konsep derivasi  di B -aljabar. Hasil  yang diperoleh  adalah  mendefinisikan  ( l,r )- derivasi, ( r,l )-derivasi, dan regular di B - aljabar.  Kemudian,  juga  diperoleh  sifat- sifat  derivasi  di B -aljabar.  Kemudian,
Soleimani  dan  Jahangiri  dalam  [8] mengembangkan penelitian derivasi tersebut,  sehingga  diperoleh  konsep t - derivasi  di B -aljabar.  Penelitian  tersebut diawali  dengan  mendefinisikan  suatu self-map pada B -aljabar dengan
untuk  setiap
,  lalu  didefinisikan  konsep      ( l,
r )- t -derivasi  dan  ( r,  l )- t -derivasi  di B - aljabar.
Beberapa peneliti menemukan
definisi baru sebagai bentuk generalisasi dari derivasi. Diantaranya adalah Sugianti  dan  Gemawati  dalam  [7]  telah membahas  generalisasi  derivasi  di BM - aljabar.  Hasil  penelitiannya  adalah mendefinisikan generalisasi ( l,r )- derivasi dan generalisasi ( r,l )-derivasi di
BM -aljabar,  serta  mengkonstruksi  sifat-
sifatnya.
Pada  artikel  ini  didefinisikan konsep generalisasi ( l,r )- t -derivasi, generalisasi ( r,l )- t -derivasi, dan generalisasi derivasi di B -aljabar, sehingga  diperoleh  sifat-sifat yang dimilikinya.  Kemudian,  dibahas  sifat- sifat generalisasi ( l,r )- t -derivasi, generalisasi ( r,l )- t -derivasi, dan generalisasi derivasi  di B -aljabar  0- komutatif.
2. Landasan Teori
Pada bagian ini, diberikan beberapa definisi  yang diperlukan untuk mengkonstruksi hasil utama dari penelitian.  Dimulai  dengan  beberapa definisi  dan  teori  tentang B -aljabar  dan B -aljabar 0-komutatif, kemudian, diberikan  konsep t - derivasi  di B -aljabar dan  generalisasi  derivasi  di BM -aljabar yang telah dibahas dalam   [1, 5, 6, 8].
Definisi 2.1. [6] B-aljabar adalah suatu himpunan tak kosong X dengan konstanta  0  dan  operasi  biner yang memenuhi aksioma berikut:
( B1 ) = 0, ( B2 ) 0 = , ( B3 ) ( ) = ( (0 )),
untuk setiap , , .
Contoh 2.2. Misalkan X = {0, 1, 2, 3, 4, 5  }  suatu  himpunan  yang  didefinisikan pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1: Tabel Cayley untuk ( X ; 0)
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
0 1 2 3 4 5 0 0 2 1 3 4 5 1 1 0 2 4 5 3 2 2 1 0 5 3 4 3 3 4 5 0 2 1 4 4 5 3 1 0 2 5 5 3 4 2 1 0
Dapat  dilihat  pada  Tabel  2.1 bahwa  diagonal  utamanya  bernilai  0, sehingga berlaku x x =  0 (aksioma B1 terpenuhi)  dan  nilai  pada  kolom  kedua menyatakan  bahwa  hasil  operasi  suatu elemen  dengan  0  adalah  elemen  itu sendiri  sehingga  berlaku x 0  = x (aksioma B2 terpenuhi).  Kemudian,
misalkan , , ,  dari  Tabel  2.1 dapat dibuktikan bahwa
( x y ) = x ( (0 y )) (2)
sehingga  aksioma B3 terpenuhi.
Oleh karena itu, terbukti bahwa ( X ; , 0) adalah B - aljabar.
Lema  2.3. [6] Jika  (X  ; 0)  suatu  B-
aljabar, maka
(i) 0 (0 ) = ,
(ii)
,
(iii) (           ) ,
(iv)
( ) = ( (0 )) , (v) Jika maka = ,
(vi) Jika = 0, maka = , untuk setiap , , .
Bukti. Pembuktian  Lema  2.3  telah
diberikan pada [6].
Definisi  2.4. [5] Suatu B-aljabar  (X  ;
0) dikatakan 0-komutatif jika memenuhi untuk setiap ,
.
Contoh  2.5. Misalkan X =  {0,  1,  2} suatu himpunan yang didefinisikan pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2: Tabel Cayley untuk ( X ; 0) * 0 1 2 0 0 2 1 1 1 0 2 2 2 1 0
Berdasarkan  Tabel 2.2  dapat dibuktikan  bahwa  ( X ; ,  0)  adalah B - aljabar 0-komutatif.
Teorema  2.6. [5] Misalkan  (X  ; ,  0) adalah B-aljabar 0-komutatif, maka
(i)
(ii) , (iii) ,
(iv) ( ) ( ) = , (v) , untuk setiap , ,
.
Bukti. Pembuktian  Teorema  2.6  telah diberikan pada [5].
Konsep  derivasi  di B -aljabar  telah
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
dibahas  dalam  [1].    Misalkan  ( X ; ,  0) suatu B -aljabar,  maka  didefinisikan ∧
= ( ) untuk setiap x, y X .
Definisi  2.7. [1] Misalkan  (X; ,  0) adalah B-aljabar. Suatu pemetaan   dari X  ke  dirinya  sendiri    disebut    ( 𝑙 , )- derivasi di X jika memenuhi
( ) = ( ( ) ) ∧ ( ( )) untuk  setiap , dan  disebut ( , 𝑙 )- derivasi di X jika memenuhi
( ) = ( ( )) ∧ ( ( ) ).
Pemetaan  d  disebut  derivasi  di  X  jika  d merupakan  ( 𝑙 ,r)-derivasi  sekaligus  ( ,l)- derivasi di X.
Definisi 2.7. [1] Misalkan (X; , 0) suatu B-aljabar. Pemetaan   dari X ke dirinya sendiri dikatakan regular jika memenuhi (0)= 0.
Definisi 2.8. [8] Misalkan (X; , 0) suatu B-aljabar.  Suatu  pemetaan dari  X  ke dirinya  sendiri  untuk  sebarang
didefinisikan sebagai untuk setiap
.
Definisi  2.9. [8] Misalkan  (X; ,  0)
adalah  B-aljabar.  Suatu  pemetaan dari  X  ke  dirinya  sendiri    disebut
( 𝑙 , )-t-derivasi di X jika memenuhi
( ) = ( ( ) ) ∧ ( ( ))
untuk setiap , dan disebut ( , 𝑙 )- t - derivasi di X jika memenuhi
( ) = ( ( )) ∧ ( ( ) ).
Pemetaan disebut t-derivasi di X jika merupakan  ( 𝑙 ,r)-t-derivasi  sekaligus ( ,l)-t-derivasi di X.
Definisi  2.10. [3] BM-aljabar  adalah suatu  himpunan  tak  kosong  X  dengan konstanta  0  dan  operasi  biner sehingga  untuk  setiap , , berlaku aksioma berikut:
( A1 ) 0 = , ( A2 ) ( ) ( ) = .
Definisi  2.11. [3] Misalkan  (X; ,  0) adalah  BM-aljabar.  Suatu  pemetaan D : → disebut  generalisasi  ( 𝑙 , )- derivasi  jika  terdapat  ( 𝑙 , )-derivasi : → sehingga 𝐷 ( ) = ( 𝐷 ( ) ) ∧ ( ( ))
untuk  setiap ,
.  Jika  terdapat
( ,l)-derivasi : → sehingga
D ( ) = ( 𝐷 ( )) ∧ ( ( ) ) untuk  setiap , ,  maka 𝐷 disebut generalisasi ( , 𝑙 )-derivasi. Jika D adalah generalisasi ( 𝑙 ,r)-derivasi sekaligus generalisasi ( ,l)-derivasi maka 𝐷 disebut  generalisasi  derivasi dari X.
Contoh  2.12. Diberikan suatu  himpunan  dengan  tabel Cayley berikut:
Tabel 2.3: Tabel Cayley untuk
0 a b c 0 0 b a c a a 0 c b
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
b b c 0 a
c c a b 0
Dari  Tabel  2.3  dapat  dibuktikan bahwa X adalah BM -aljabar.
Didefinisikan  pemetaan D : X → X
dan d : X → X dengan
𝐷      {
dan
{
Dapat  dibuktikan  bahwa 𝐷 adalah generalisasi derivasi di X.

## 3. Hasil Dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  didefinisikan  konsep generalisasi ( l, r )- t -derivasi dan generalisasi ( r, l )- t -derivasi di B -aljabar dan B -aljabar 0- komutatif  dan  diberikan  sifat-sifat  yang dimilikinya.
Definisi  3.1. Misalkan  (X; ,  0)  adalah
B-aljabar. Suatu pemetaan 𝐷 dari X ke dirinya  sendiri    dikatakan  generalisasi ( 𝑙 , )-t-derivasi  di  X  jika  terdapat  suatu ( 𝑙 , )-t-derivasi di X sehingga
𝐷 ( ) = ( 𝐷 ( ) ) ∧ ( ( ))
untuk  setiap , dan 𝐷 dikatakan generalisasi ( , 𝑙 )- t - derivasi  di  X  jika terdapat  suatu  ( , l)-t-derivasi di  X sehingga
𝐷 ( ) = ( 𝐷 ( )) ∧ ( ( ) ).
Jika 𝐷 adalah  generalisasi  ( 𝑙 ,r)-t-
derivasi  sekaligus  generalisasi  ( ,l)-t- derivasi  di  X,  maka 𝐷 dikatakan generalisasi t-derivasi di X.
Berikut  ini  diberikan  sifat  yang menyatakan  eksistensi  dari  generalisasi t - derivasi di B -aljabar.
Teorema 3.2. Misalkan (X; , 0) adalah B- aljabar  dan 𝐷 adalah  suatu  pemetaan dari X ke dirinya sendiri, maka
(i) 𝐷 adalah  generalisasi  (l,r)-t- derivasi di X,
(ii) 𝐷 adalah  generalisasi  (r,l)-t- derivasi di X,
(iii) 𝐷 adalah  generalisasi  t-derivasi di X.
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar dan 𝐷 adalah  suatu  pemetaan dari X ke dirinya sendiri.
(i) Berdasarkan  aksioma B1 untuk
setiap diperoleh
𝐷
∧ 𝐷 𝐷 ∧
Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 adalah generalisasi ( l,r )- t -derivasi di X .
(ii) Berdasarkan  aksioma B1 untuk setiap diperoleh
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
𝐷 ∧

## 𝐷 𝐷 ∧
Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 adalah generalisasi ( r,l )- t -derivasi di X .
(iii) Berdasarkan  (i)  dan  (ii) terbukti bahwa 𝐷 adalah generalisasi ( l,r )- t -derivasi dan generalisasi  ( r,l )- t -derivasi  di X.
Oleh  karena  itu,  terbukti  bahwa 𝐷 adalah generalisasi t -derivasi di X .
Dengan demikian, Teorema 3.2 terbukti.  □
Selanjutnya diberikan sifat-sifat generalisasi t -derivasi di B -aljabar.
Teorema 3.3. Misalkan (X; , 0) adalah B- aljabar  dan 𝐷 adalah  generalisasi  (l,r)-t- derivasi di X.
(i) Jika adalah  fungsi  identitas,
maka 𝐷 𝐷 untuk
setiap
(ii) Jika adalah  fungsi  identitas  dan
𝐷 regular, maka 𝐷 adalah fungsi
identitas,
(iii) Jika regular,  maka 𝐷
𝐷 ∧ untuk setiap
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar dan 𝐷 adalah generalisasi (l,r)-t- derivasi di X.
(i) Karena adalah  fungsi  identitas dan dari aksioma B1 dan Lema 2.3 (i), untuk setiap diperoleh 𝐷
𝐷
𝐷 ∧ 𝐷 ∧ 𝐷 ∧
𝐷
𝐷 𝐷
Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 𝐷 untuk setiap
(ii) Karena adalah  fungsi  identitas,
maka  dari  (i)  diperoleh 𝐷
𝐷
untuk setiap
Karena 𝐷 regular maka dari Lema
2.3 (v) dan aksioma B1 diperoleh 𝐷
𝐷 𝐷
𝐷
untuk  setiap Jadi,  terbukti bahwa 𝐷 adalah fungsi identitas.
(iii) Karena regular ,  maka berdasarkan aksioma B2 diperoleh 𝐷
𝐷
𝐷 ∧
𝐷 ∧
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
𝐷 𝐷 ∧ untuk setiap Dengan demikian, Teorema 3.3 terbukti.  □
Teorema 3.4. Misalkan (X; , 0) adalah B- aljabar  dan 𝐷 adalah  generalisasi  (r,l)-t- derivasi di X.
(i) Jika adalah  fungsi  identitas,
maka 𝐷 𝐷 untuk
setiap
(ii) Jika adalah  fungsi  identitas  dan
𝐷 regular, maka 𝐷 adalah fungsi identitas,
(iii) Jika 𝐷 regular, maka 𝐷 ∧ untuk setiap
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar dan 𝐷 adalah generalisasi (r,l)-t- derivasi di
X.
(i) Karena adalah  fungsi  identitas dan dari aksioma B1 dan Lema 2.3
(i), untuk setiap diperoleh
𝐷 𝐷
𝐷 ∧ 𝐷 ∧
𝐷 ∧

## 𝐷

## 𝐷 𝐷
Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 𝐷 untuk setiap
(ii) Karena adalah  fungsi  identitas, maka  dari  (i)  diperoleh 𝐷 𝐷 untuk setiap Karena 𝐷 regular maka dari Lema 2.3 (v) dan aksioma B1 diperoleh 𝐷
𝐷
𝐷 𝐷 𝐷
𝐷
untuk  setiap
Jadi,  terbukti bahwa 𝐷 adalah fungsi identitas.
(iii) Karena 𝐷 regular ,  maka berdasarkan aksioma B2 diperoleh 𝐷
𝐷 𝐷 ∧ ∧
𝐷 ∧ untuk setiap
Dengan demikian, Teorema 3.4 terbukti.  □
Teorema 3.5. Misalkan (X; , 0) adalah B- aljabar  dan 𝐷 adalah  generalisasi  t- derivasi  di  X.  Jika adalah  fungsi identitas  dan 𝐷 regular,  maka 𝐷 adalah fungsi identitas.
B UKTI . Berdasarkan Teorema 3.3(ii) dan Teorema  3.4(ii),  maka  teorema  ini terbukti. □
Selanjutnya,  diberikan  sifat-sifat yang  diperoleh  dari  generalisasi t -derivasi di B -aljabar 0-komutatif.
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
Teorema 3.6. Misalkan (X; , 0) adalah B- aljabar 0-komutatif dan 𝐷 adalah generalisasi (r,l)-t-derivasi di X.
(i) Jika adalah  fungsi  identitas,
maka 𝐷 untuk setiap
(ii) 𝐷 regular  jika  dan  hanya  jika 𝐷
adalah fungsi identitas.
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar 0-komutatif  dan 𝐷 adalah  generalisasi (r,l)-t- derivasi di X.
(i) Karena adalah  fungsi  identitas,
dari  Teorema  3.4(i)  dan  Teorema 2.6(ii), untuk setiap diperoleh
𝐷 𝐷
𝐷 Jadi, terbukti bahwa 𝐷 untuk setiap
(ii) Karena 𝐷 regular ,  maka  dari Teorema 3.4(iii) diperoleh
𝐷 ∧
∧
𝐷 untuk  setiap
Jadi,  terbukti
bahwa 𝐷 adalah  fungsi  identitas.
Sebaliknya,  misalkan 𝐷 adalah fungsi  identitas,  maka  dari  aksioma B2 diperoleh
𝐷
𝐷
𝐷 ∧
∧ ∧ 𝐷 untuk  setiap Jadi,  terbukti
bahwa 𝐷 regular. Dengan  demikian, Teorema 3.6 terbukti.  □
Lema  3.7. Misalkan  (X; ,  0)  adalah  B- aljabar  0-komutatif  dan 𝐷 adalah  suatu pemetaan dari X ke dirinya sendiri, maka
(i) Jika 𝐷 adalah generalisasi (l,r)-t- derivasi  di  X,  maka 𝐷 𝐷 untuk setiap
(ii) Jika 𝐷 adalah generalisasi (r,l)-t- derivasi  di  X,  maka 𝐷 𝐷 untuk setiap
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar 0-komutatif  dan 𝐷 adalah  suatu  pemetaan dari X ke dirinya sendiri.
(i) Berdasarkan Teorema 2.6(ii),
untuk setiap
diperoleh
𝐷
𝐷 ∧ 𝐷

## 𝐷 𝐷
Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 𝐷 untuk setiap .
Elsi Fitria, Sri Gemawati, Amalina, Reihani Jemila Nurbai                                                            Generali sasi t -Derivasi di B - Aljabar
(ii) Berdasarkan Teorema 2.6(ii), untuk setiap diperoleh
𝐷
(    𝐷 ) ∧
(    𝐷 )
𝐷 𝐷 Jadi,  terbukti  bahwa 𝐷 𝐷 untuk setiap .
Dengan demikian,  Lema  3.7 terbukti. □
Dengan  mudah  dapat  dibuktikan  bahwa Lema 3.7 juga berlaku sebaliknya.
Teorema  3.8. Jika  (X; ,  0)  adalah  B- aljabar  0-komutatif,  maka 𝐷 adalah generalisasi (l,r)-t-derivasi di X.
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar 0-komutatif.  Berdasarkan  Teorema  2.6(v), untuk setiap diperoleh
𝐷

## 𝐷 𝐷
Berdasarkan  Lema  3.7(i),  maka  terbukti bahwa 𝐷 adalah  generalisasi (l,r)-t- derivasi di X. □
Teorema  3.9. Jika  (X; ,  0)  adalah  B- aljabar  0-komutatif  dan  asosiatif,  maka 𝐷 adalah generalisasi (r,l)-t-derivasi di X.
B UKTI . Misalkan ( X ; , 0) adalah B -aljabar 0-komutatif.  Karena X asosiatif,  maka
untuk setiap
diperoleh
𝐷

## 𝐷 𝐷
Berdasarkan  Lema  3.7(ii),  maka  terbukti bahwa 𝐷 adalah  generalisasi (r,l)-t- derivasi di X. □
Akibat  3.10. Jika  (X; ,  0)  adalah  B- aljabar  0-komutatif  dan  asosiatif,  maka 𝐷 adalah generalisasi t-derivasi di X.
B UKTI . Berdasarkan  Teorema  3.8  dan Teorema 3.9, maka Akibat 3.10 terbukti. □

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Pada  artikel  ini,  dapat  disimpulkan bahwa  secara  umum  sifat-sifat  generalisasi ( l,r)-t- derivasi berbeda  dengan  generalisasi ( r,l)-t- derivasi di B -aljabar,  dan  suatu self- map 𝐷 di B-aljabar belum tentu merupakan suatu generalisasi ( l,r)-t- derivasi ataupun generalisasi ( r,l)-t- derivasi.  Sedangkan  di B -aljabar  0- komutatif setiap 𝐷 merupakan generalisasi ( l,r)-t- derivasi dan setiap 𝐷 di B -aljabar 0- komutatif  yang  memiliki  sifat  asosiatif merupakan generalisasi ( r,l)-t- derivasi. Dengan demikian diperoleh sifat-sifat yang berbeda  antara  generalisasi  ( l,r)-t- derivasi dan generalisasi ( r,l)-t- derivasi di B -aljabar dan B -aljabar 0-komutatif.

## Daftar Pustaka
[1]  Al-shehrie  N.  O.  2010.  Derivation  of
B -algebras. Journal of King Abdulaziz University: Science , 22 (1),
p.71-82.
[2] Ganeshkumar
T, M. Chandramouleeswaran. 2013. Generalized derivation of TM - algebras. International Journal  of Algebra, 7 (6), p.251-258.
[3]  Kim  C.  B,  H.  S.  Kim.  2006.  On BM - algebras. Scientiae  Mathematicae Japonicae Online , p. 215-221.
[4]  Kim  C.  B,  H.  S.  Kim.  2008.  On BG - algebras. Demonstratio Mathematica , 41, p. 497-505.
[5]  Kim  H.  S,  H.  G.  Park.  2005.  On  0- commutative B -algebras. Scientiae Mathematicae  Japonicae  Online ,  18,
p.31-36.
[6]  Neggers  J,  H.  S.  Kim.  2002.  On B - algebras. Matematicki  Vesnik ,  54, p.21-29.
[7]  Sugianti  K,  S.  Gemawati.  2020. Generalized derivations of BM - algebras. International Journal of Contemporary
Mathematical Sciences , 15 (4), p.225-233.
[8]  Soleimani  R,  S.  Jahangiri.  2014.  A note  on t - derivations of B -algebras. Journal of Mathematics and Computer  Science ,  10,  p.138-143.