Vol. 2, No.2, 97-101, Januari  2006
Model Distribusi Kecelakaan Lalu Lintas Jalan Raya
Daeng Idris †

## Abstrak
Salah satu  model kecelakaan  lalu lintas jalan raya adalah  Distribusi panjang ( long )  yang diturunkan  berdasarkan  konsep  bahwa  pengemudi  sebagai  makhluk  yang  effisiensinya berubah-ubah,  pada  saat-saat  efisiensi  dari  pengemudi  rendah,  dinamakan  “SPELLS”. Pengemudi merupakan subyek SPELLS dan tidak ada kecelakaan terjadi diluar SPEELS, sedangkan  distribusi  pendek  ( short )  ditentukan  berdasarkan  kecelakaan  terjadi  di  dalam SPELLS maupun di luar SPELLS dan kecelakaan di dalam SPEELS dengan kecelakaan di luar SPELLS saling bebas.
Keywords: Fungsi pembangkit, distribusi Long, distribusi Short.

## 1. Pendahuluan
Suatu  persamaan  yang  mengandung  satu  atau  beberapa  turunan  dari  suatu  fungsi yang  tak  diketahui.  Persamaan  diferensial  berperanan  penting  di  alam,  sebab  kebanyakan fenomena  alam  dirumuskan  dalam  bentuk  persamaan  diferensial.  Persamaan  diferensial sering  digunakan  sebagai  model  matematika  dalam  bidang  sains  maupun  dalam  bidang rekayasa. Jika diperhatikan kepadatan lalu lintas jalan raya dalam suatu waktu tertentu, selalu saja ada kecelakaan.  Banyak faktor yang menyebabkan terjadinya kecelakaan, tapi pada garis besarnya dapat dibagi atas 3 faktor :
1. Faktor pengemudi (lalai, mengemudi dengan kencang dan lainnya).
2. Faktor kendaraan (rem tidak jalan, ban yang gundul, mesin kendaraan yang sudah tua dan lainnya).
3. Faktor  jalan  (jalan  yang  licin  dan  berpasir,  jalan  yang  tidak  terlalu  lebar,  kurangnya rambu-rambu lalu lintas, lampu lalu lintas yang sering mati dan lainnya).
Akan  tetapi,  pada  umumnya,  terjadinya  kecelakaan  kebanyakan  disebabkan  faktor pengemudi.  Spesswall  dan  Froggate  menganjurkan  hipotesis  yang  sesuai  dengan  distribusi kecelakaan  yakni  distribusi  panjang  ( long  distribution )  dan  distribusi  pendek  ( short distribution ).

## 2. Pembahasan
2.1. Distribusi Panjang ( Long Distribution ).
Distribusi  ini  diturunkan  berdasarkan  konsep  bahwa  pengemudi  sebagai  makhluk yang  efisiensinya  berubah-ubah,  pada  saat-saat  dimana  efisiensi  dari  pengemudi  itu  rendah, yang dinamakan Spells.  Spells dapat disebabkan oleh faktor-faktor yang sifatnya sementara, seperti  kesehatan  terganggu.    Spells    juga  membolehkan  turut  campur  tangannya  pemakai jalan lainnya sebagai penyebab kecelakaan.
† Staf pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Daeng Idris
Pandang  bahwa  pengemudi  merupakan  subyek  Spells  dan  tak  ada  kecelakaan terjadi  di  luar  Spells.    Banyaknya  Spells  dalam  perioda  yang  berbeda  saling  bebas. Selanjutnya  dipandang  bahwa  semua  pengemudi  berpeluang  sama  mendapat  Spells  dan peluang kecelakaan dalam Spells adalah konstan dan bebas dari peluang mendapat S*pells.
Misalkan  rata-rata  ( mean )  banyaknya  Spells  per  pengemudi  dalam  waktu tertentu  dan  misalkan  rata-rata  ( mean )  banyaknya  kecelakaan  per  Spells.  Fungsi pembangkit  untuk  banyaknya  kecelakaan  per  Spells  berdistribusi  Poisson  dengan  parameter
 ialah   1  s e  dan  fungsi  pembangkit  untuk  banyaknya  kecelakaan  dalam k Spells  ialah   1  s k e  .
Dari  sini  diperoleh  fungsi  pembangkit  untuk  distribusi  kecelakaan  yang  distribu- sinya berbentuk Compound Poisson . Fungsi pembangkit untuk distribusi kecelakaan ialah :
G ( s ) =     0 ! k k k e     1  s k e  (1)
=     0 k e      ! 1 k e k s    =   1   s e e e    =     1 1   s e e   (2) =     1 1     s e e e e e      =   1     e e          0 ! 1 k k s k e e    =   1     e e     k s k k e k e 1 ! 0         =   1     e e       0 ! k k k e           k m 0 m k     m k m s e   1 
=   1     e e       0 ! k k k e           k m 0 m k   m k   1      0 ! r r r sm 
=   1     e e       0 ! k k k e      0 ! r r r r s          k m 0 m k   r m k m   1
G ( s ) =   1     e e    0 ! r r r r s     k r k r k e k       0 ! 0 (3)
di mana     r r 0         k m 0 m k   r m k m   1
Distribusi  peluang P ( k )  merupakan  koefisien  dari s r dalam G ( s )  persamaan  (3), diperoleh:
P ( r )    =   1     e e      r k r r k r k 0 ! ! 0    k e    (4)
Distribusi  ini  oleh  Creswell  dan  Froggatt  dinamakan  distribusi  “Panjang”  ( Long  Distri- bution ).
P (0)  =   1     e e P (1)  =   1     e e
   e
P (2)  =   1     e e ! 2 2     e       e 1
P (3)  =   1     e e ! 3 2     e     2 3 1         e e ∶
dan seterusnya
Mean  dan  variansi  dapat  diperoleh  dari  fungsi  pembangkit G ( s )  persamaan  (2), diperoleh :
Mean( K ) =   K u ' 1 =   1 s dG s ds  =  (5)
    1  X X E =   K u ' 2 =   2 2 1 s d G s ds  =  e 2 +  2 e 2
Variansi  (K)  =         2 1 1 2 ' ' ' K u K u K u   =  (1 +  )                      (6) Dari  mean  dan  variansi  pengamatan  kita  memperoleh  parameter  dan  ,    dan  dari  sini distribusi  peluang  ataupun  distribusi  frekuensi  dapat  dihitung.  Distribusi  “Panjang”  ( Long Distribution ) ternyata sesuai sebagai distribusi kecelakaan lalu lintas jalan raya.
2.2. Distribusi “Pendek”  ( Short Distribution ).
Dalam  distribusi  “Panjang”  ( Long  Distribution )  diasumsikan  bahwa  kecelakaan hanya  terjadi  dalam  Spells,  jadi  kecelakaan  yang  tercela  saja  yang  diperhitungkan.    Jika asumsi  ini  diperlemah,  sambil  berpegangan  pada  asumsi  tambahan  yakni  kecelakaan  dapat terjadi di luar Spells untuk semua pengemudi, walaupun kejadian tersebut jarang.  Kecelakaan di luar Spells dan kecelakaan dalam Spells saling bebas,  kecelakaan di luar Spells dan Spells juga  saling  bebas.    Dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  ada  distribusi  peluang  yang  lain,  yang dinamakan distribusi “Pendek” ( Short Distribution ). Misalkan  rata-rata  ( mean )  banyaknya  kecelakaan  di  luar  Spells,  maka  fungsi pembangkit menjadi :
G ( s )   =     0 ! k k k e         1 1   s s k e e   G ( s )   =   1   s e e           0 1 ! k k s k e   =     1 1    s e e e e s     =     s e e e s e e              1 1 (7)
G ( s )   = P (0)   s e e e e s     1   , dimana P (0) =        
1 e e . Telah dibuktikan bahwa :
  1   s e e e    =    0 ! j j j j s       j k j k k 0 ! 0   k e    G ( s )  = P (0)    0 ! j j j j s       j k j k k 0 ! 0   k e         0 ! r r r s 
= P (0)    0 ! j j j j s     0 ! r r r r s       j k j k k 0 ! 0   k e    = P (0)     0 0 ! r r j j j j s    ! j r s j r j r          j k j k k 0 ! 0   k e    G ( s )  = P (0)   r r r j j r j s j r j       0 0 ! !        j k j k k 0 ! 0   k e    (8)
Distribusi peluang P ( r ) dapat diperoleh dari fungsi pembangkit  (8).
P ( r ) = P (0)                    r j j k k j k j r j e k j r j 0 0 ! 0 ! !     (9)
P (0)  =         1 e e P (1)  =         1 e e        e P (2)  =         1 e e                 2 2 2 ! 2 ! 2         e e e ∶
dan seterusnya
Mean  dan  variansi  dapat  diperoleh  dengan  mendeferensiasi  fungsi  pembangkit  (7) dengan mengambil s = 1.
Mean( K )  =   K u ' 1 =   X E =   ds s dG =    (10)
s = 1     1  X X
E =   K u ' 2 =   2 2 ds s G d = 2 2 2 2 2         s = 1
Variansi ( K ) =         2 1 1 2 ' ' '
K u K u K u
  =        1 (11)
     2 1   X X X E =    K u ' 3   3 3 1 s d G s ds  = 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3                  
Momen  sentral  ketiga ( K ) =              2 3 1 3 1 ' u X E (12)
Untuk  sampel  yang  kecil,  persamaan  (12)  tidak  berlaku  dan  sebagai  gantinya  ada hubungan ' 1 qu   ,  di  mana q merupakan  proporsi  peluang  kecelakaan  dari  semua kecelakaan.  Dari sini diperoleh hubungan :
  q u u u    1 ' ' 1 1 2  (13)
    q u   1 ' 1 (14)
Dari  mean,  variansi  dan  momen  sentral  ketiga,    diperoleh  parameter  ,  dan  .    Dari  sini distribusi  peluang  ataupun  distribusi  frekuensi  dapat  dihitung.  Ternyata  distribusi  “Pendek” juga sesuai sebagai distribusi kecelakaan lalu lintas jalan raya.

## 3. Kesimpulan
Model  kecelakaan  lalu  lintas jalan  raya  berdasarkan Spells.  Bila  diamati  kecelakaan terjadi di dalam Spells maka diperoleh Distribusi Panjang dan bila kecelakaan terjadi di dalam Spells maupun di luar Spells yang saling bebas maka diperoleh Distribusi Pendek.

## Daftar Pustaka
[1] Fisher  and  Yates.,  1953,    “ Statistical  Tables  For  Biological,    Agricultural  and Medical Research ”.  Oliver and Boyd,  London.
[2] Kendall,  M.G.,    and    Stuart,  A.,  1969,    “ The  Advanced  Theory  of    Statistics, Volume I ”. Charles Griffin & Company Limited, London.
[3] Ashton, W.D., 1966,  “ The Theory of Road Traffic Flow ”. Methuen & Co Ltd., London.