Vol. 11, No. 1,  63-70,  Juli  2014
Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Indramayanti Syam 1,* , Nur Erawaty 2 , Muhammad Zakir 3

## ABSTRAK
Teori  bilangan  adalah  cabang  ilmu  Matematika  yang  mempelajari  sifat-sifat  keterbagian bilangan bulat. Sebagaimana pada bilangan bulat, matriks polinomial dapat dicari pembagi bersama terbesarnya.  Untuk  itu  perlu  diketahui  syarat  yang  harus  dipenuhi.  Karena  perkalian  matriks  tidak komutatif,  maka pembagi bersama untuk matriks  didefinisikan pembagi kiri bersama dan pembagi kanan bersama. Jika dua buah matriks polinomial memiliki jumlah baris yang sama, maka terdapat pembagi bersama kiri terbesar. Begitupun jika dua buah matriks polinomial memiliki jumlah kolom yang sama,  maka terdapat pembagi bersama kanan terbesar. Dalam  menentukan pembagi bersama terbesar dua matriks polinomial bisa dilihat dari matriks struktur kiri/kanannya.
Kata  Kunci: Bentuk  Smith  matriks  polinomial,  matriks  polinomial,  matriks  struktur, Pembagi bersama terbesar.

## ABSTRACT
Numerical  theory  is  one  of  mathematics  that  learn  about  properties  of  integer’s divisibility. As the integers, we can find the greatest common divisor of polynomial matrix. So that, we must know the requirements that must be met. Because of matrix multiplication is not  commutative,  the  common  divisors  for  matrix  defined  as  the  left  or  right  common divisors. If two polynomial matrices have the same number of rows, then there is a greatest common left divisor. On the other hands, if two polynomial matrices have the same number of columns, then there is greatest common right divisors. In determining the greatest common divisor of two matrix polynomial can be seen from the left structure matrix or right structure matrix .
Keywords: Smith  form  of  a  polynomial  matrix,  polynomial  matrices,  structure matrices, greatest common divisors.

## 1. PENDAHULUAN 
Konsep keterbagian bilangan bulat, yaitu jika diberikan bilangan bulat dan , , dikatakan habis dibagi oleh jika terdapat bilangan bulat sehingga
atau (karena
berlaku  sifat  komutatif  pada  perkalian  bilangan  bulat),  ditulis
.  Pembagi  bersama  terbesar
(atau  dikenal  dengan  istilah )  dari dan adalah  bilangan  bulat  terbesar sedemikian sehingga dan . Jika ada pembagi bersama dan , maka . Dalam hal ini dinyatakan dengan
. 1
 Penulis koresponden.
Alamat E-mail: Indramayantisyam@yahoo.co.id 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Indramayanti Syam, Nur Erawaty, Muhammad Zakir
Berbeda  halnya  dalam  bilangan  bulat,  pada  matriks  tidak  berlaku  sifat  komutatif perkalian, yaitu (secara umum). Misalkan diberikan tiga buah matriks sehingga membentuk  persamaan ,  secara  umum  ini  berarti .  Dalam  sistem  ini, disebut pembagi kiri dari dan disebut pembagi kanan dari .
Pada  umumnya  analisis  yang  dilakukan  hanya  terbatas  pada  matriks  konstan  (matriks yang  elemen-elemennya  bilangan  konstan).  Namun  pada  kenyataannya  terdapat  juga  masalah yang memunculkan sebuah matriks polinomial (matriks yang elemen-elemennya polinomial).
Untuk sembarang matriks polinomial
dengan rank ekivalen dengan suatu matriks diagonal Smith dengan sifat-sifatnya. Berangkat dari bentuk Smith ini, matriks polinomial dapat  difaktorkaan  dengan  suatu  matriks  struktur  sehingga  terdapat  suatu  matriks polinomial pembagi bersama.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Untuk  mendapatkan  pembagi  bersama  terbesar  matriks  polinomial,  diperlukan  matriks struktur kiri/kanan yang diperoleh dari bentuk Smith matriks polinomial.

## 2.1. Polinomial dan Matriks Polinomial
Polinomial dengan  koefisien  dalam variabel ( bilangan  real)  adalah  sebuah bentuk penjumlahan
disingkat dengan ∑
di mana adalah koefisien dari .
Jika
∑
dan
∑
maka untuk penjumlahan polinomial, diperoleh
∑ ∑ ∑
dan untuk perkalian polinomial, diperoleh
∑ ∑ ∑ Teorema 1 : Jika dan dengan {    }    {    } ,  maka  terdapat polinomial-polinomial
dan yang unik, sedemikian sehingga dengan
atau {    }    {    } .
Definisi 2 :

## Indramayanti Syam, Nur Erawaty, Muhammad Zakir
Matriks  polinomial  adalah  sebuah  matriks  dengan  entri  polinomial. disimbolkan
sebagai himpunan matriks polinomial berukuran
.
Misalkan matriks [ ] matriks tersebut merupakan matriks polinomial, karena , . Definisi 3 : Misal maka zero dari di didefinisikan sebagai pembuat nol polinomial pembilangnya. Sedangkan pole didefinisikan sebagai pembuat nol penyebutnya.
Definisi 4 :
Suatu  matriks  polinomial disebut unimodular ,  jika  terdapat  suatu  matriks ̂ sedemikian  sehingga ̂       ̂ ,  ekivalen  jika
,
.
Definisi 5 : Derajat  matriks  polinomial
ditulis dan  didefinisikan  sebagai  derajat maksimum dari semua derajat maksimum minor-minornya.

## 2.2. Bentuk Smith
Teorema 6 : Setiap matriks polinomial dengan rank , {    } , maka matriks ekivalen dengan suatu matriks diagonal bentuk kanonik Smith yang berbentuk [ ] di mana setiap adalah monik dan membagi untuk . Definisi 7 : Jika , rank , maka bentuk kanonik Smith jika [ ]
maka yang memenuhi kondisi ini disebut unimodular kanan . Dan jika
[ ]
[ ]
maka yang memenuhi kondisi ini disebut unimodular kiri .

## Indramayanti Syam, Nur Erawaty, Muhammad Zakir
Teorema 8 : Jika merupakan suatu perkalian dari sejumlah perkalian berhingga matriks elementer, maka unimodular.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Matriks Struktur
Teorema 9 :
Setiap matriks polinomial dengan rank dapat difaktorkan sebagai atau sebagai ̂ di mana adalah unimodular kanan dan ̂ unimodular kiri. Misalkan dan bentuk  Smith  dari ,  sehingga  terdapat  matriks unimodular , sedemikian sehingga dan partisi sebagai [ ] di mana , yang merupakan unimodular kanan, maka [ ] [ ] [ ] dengan [ ] . Dan dengan cara yang sama dapat diperoleh . Definisi 10 : disebut matriks struktur kiri dari dan disebut matriks struktur kanan dari .

## 3.2. Pembagi Bersama Matriks Polinomial
Teorema 11 : Misalkan diberikan , dengan ,  dan adalah  matriks  struktur  dari .  Maka merupakan  pembagi  kiri  bersama  terbesar  dari dan . Misalkan  dibentuk  matriks ,  di  mana ,
. Dengan melakukan operasi baris (kolom) elementer untuk memperoleh bentuk Smith, diperoleh
(1) di mana , Misalkan adalah  matriks  unimodular  kanan,  maka  berdasarkan  definisi, struktur , dan diperoleh (2) di  mana .  Kemudian  definisikan ̂ dengan ̂ sebagai : ̂      [ ] dengan , , , . [ ] di mana adalah unimodular kanan dan terlihat adalah matriks struktur kiri dari . dan Artinya adalah pembagi kiri bersama dari dan . Definisikan sebagai [ ]
Kemudian dari persamaan (2) diperoleh
[ ]
maka
(3) Misalkan ̅ sebagai  pembagi  kiri  bersama  yang  lain  dari dan , sehingga ̅ dan ̅ (4) di mana , . Kemudian dari persamaan (3) dan (4) diperoleh ̅ ̅ ̅ Terlihat bahwa merupakan kelipatan dari pembagi kiri bersama yang lain ( ̅ ). Hal ini berarti adalah pembagi kiri bersama terbesar dari dan .
Dan dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk pembagi kanan bersama terbesar. Dari uraian di atas, diperoleh teorema berikut
Teorema 12 : Jika merupakan  pembagi  kiri  bersama  terbesar  dari dan ,  maka  setiap pembagi kiri bersama terbesar lainnya ̅ merupakan kelipatan dari , yaitu ̅
Indramayanti Syam, Nur Erawaty, Muhammad Zakir
di mana adalah unimodular. Definisi 13 : dan dengan rank disebut coprime kiri jika pembagi kiri bersama terbesarnya adalah unimodular. Begitupun juga dan dengan [ ] disebut coprime  kanan jika  pembagi kanan bersama terbesarnya adalah unimodular.
Teorema 14 :
Misalkan dan dengan . Maka pernyataan berikut ekivalen : (1) dan adalah coprime kiri. (2) Matriks polinomial tidak mempunyai zero di . (3) Terdapat suatu matriks unimodular ̅ sedemikian sehingga ̅ di mana merupakan bentuk Smith dari . (4) Terdapat , sedemikian sehingga . (5) Terdapat , sedemikian sehingga [ ] unimodular.

## 3.3. Contoh
Contoh  ini  memperlihatkan  bagaimana  penggunaan  matriks  struktur  kiri  dan  pembagi  kiri bersama  terbesar  dari  2  buah  matriks  polinomial  yang  memiliki  jumlah  baris  yang  sama,  yaitu
dan
.
[ ] , [ ]
Maka
[ ]
Dengan  melakukan  operasi  baris  atau  operasi  kolom  elementer,  diperoleh  bentuk  Smith  dari , yaitu :
[ ] Dengan matriks elementer dari operasi baris, [ ] dan matriks elementer dari operasi kolom, [ ] sedemikian sehingga . Berdasarkan teorema 9 , matriks struktur dari dan adalah :
 [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] Sehingga dari teorema 11 , pembagi bersama terbesar dari dan adalah [ ]
yang merupakan pembagi kiri bersama terbesar.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka disimpulkan beberapa hal, sebagai berikut : 1. Jika dengan , maka  matriks struktur kiri didefinisikan sebagai [ ] di  mana adalah  invers  dari  operasi perkalian dari sejumlah baris elementer . 2. Jika dengan ,  maka  matriks  struktur  kanan didefinisikan  sebagai di  mana adalah invers dari operasi kolom elementer . 3. Misalkan , dibentuk  menjadi dengan ,  maka  pembagi  bersama  terbesar  dari dan adalah suatu matriks struktur kiri dari yang berbentuk . 4. Misalkan , dibentuk menjadi [ ] dengan , maka pembagi bersama terbesar dari dan adalah suatu matriks struktur kanan dari yang berbentuk . 5. Langkah – langkah mencari pembagi bersama terbesar dua matriks polinomial: a. Jika  kedua  matriks
memiliki  jumlah  baris  yang  sama,  maka  bentuk
menjadi . Dan jika kedua matriks memiliki jumlah kolom yang sama, bentuk matriks [ ] .
b. Operasikan matriks atau [ ] hingga memperoleh bentuk Smith.
c. Dengan  menggunakan  bentuk  Smithnya,  akan  dicari  matriks  struktur  untuk atau [ ] seperti pada bagian (1) dan (2).

## Indramayanti Syam, Nur Erawaty, Muhammad Zakir
Dari  matriks  struktur  tersebut,  pembagi  bersama  terbesar  dari  matriks adalah  matriks  struktur  kirinya.  Dan  pembagi  bersama  terbesar  untuk [ ] adalah  matriks struktur kanannya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Adawiyah, Robiatul. 2004. “ Bentuk Kanonik Smith Atas Gelanggang Polinomial ”. Skripsi Jurusan Matematika. Universitas Hasanuddin. Makassar.
[2] Anton, Howard dan Chris Rorres. 2005. Elementary Linear Algebra Ninth Edition . United States of America : John Wiley & Sons, Inc.
[3] Ayres,  Frank  Jr.PhD.  1992. Seri  Buku  Schaum:  Teori  dan  Soal-soal  Matriks  (versi S1/Metrik) . Jakarta : Erlangga.
[4] Erawati,  N.  2000.  “ Pemanfaatan  Bentuk  Smith-McMillan  untuk  Parameterisasi Komporisator  yang  Menstabilkan  Plant  Proper ”.  Tesis  Pascasarjana  Matematika.  ITB. Bandung.
[5] Fraleigh, John B. 1993. A First Course in Abstract Algebra Fifth Edition . Addison Wasley Publishing Company.
[6] Lang,  Serge.  1987. Linear  Algebra  Third  Edition .  Departement  of  Mathematics  Yale University. New Haven: Springer.
[7] Skorobogatov.  Prof.Alexei  dkk, M2P4  Ring  and  Fields .  London  :  Mathematics  Imperial College.
[8] Vardulakis, Antonis I.G. 1991. Linear Multivariable Control: Algebraic Analysis and Synthesis Method . Belanda : John Wiley & Sons, Inc