Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 103-115 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.19581
Dekomposisi H-Super Anti Ajaib Atas Graf 𝑪 𝒏 ⊳ 𝒐 𝑺 𝒏
Aditya Putra Pratama 1 *, Winarni 2 , Tiara Uni Raudyna 3 1,2,3 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan
e-mail: adityapp@lecturer.itk.ac.id, winarni@lecturer.itk.ac.id, 02191028@student.itk.ac.id
Diajukan: 21 Desember 2023, Diperbaiki: 29 Maret 2024, Diterima: 4 April 2024

## Abstrak
Konsep  dekomposisi  H-Ajaib  atas  suatu  graf 𝐺 dibentuk  berdasarkan  konsep  dekomposisi  dan konsep  pelabelan  pada  suatu  graf.  Himpunan 𝐴 = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } subgraf-subgraf  dari  graf 𝐺 adalah dekomposisi dari 𝐺 jika ⋃ 𝐻 𝑖 1≤𝑖≤𝑘 = 𝐺 dan 𝐸(𝐻 𝑖 ) ∩ 𝐸(𝐻 𝑗 ) = ∅ untuk 𝑖 ≠ 𝑗 . Jika setiap subgraf 𝐻 𝑖 yang merupakan hasil dekomposisi dari graf 𝐺 isomorfis ke suatu subgraf 𝐻 dari 𝐺 , maka 𝐴 = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } adalah 𝐻 -dekomposisi  dari 𝐺 .  Graf 𝐺 dikatakan  dekomposisi 𝐻 -Ajaib,  jika  terdapat  pemetaan  bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} sedemikian sehingga total bobot label dari verteks dan sisi untuk masing-masing subgraf 𝐻 𝑖 konstan. Apabila total label dari verteks dan sisi untuk masing-masing subgraf 𝐻 𝑖 membentuk barisan aritmatika dengan beda satu, maka graf 𝐺 dikatakan dekomposisi 𝐻 -Anti Ajaib. Di penelitian ini, diselidiki mengenai dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib atas graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . Terlebih dahulu,  diselidiki  karakteristik  mengenai  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 beserta  subgraf  yang  dipilih.  Selanjutnya, berdasarkan subgraf yang dipilih, dibentuk pola pelabelan pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 sedemikian sehingga total bobot  dari  masing-masing  subgraf  nya  membentuk  barisan  aritmatika  dengan  beda  satu.  Dari  pola pelabelan, dibentuk suatu fungsi pelabelan bijektif dengan menggunakan pendekatan barisan aritmatika. Berdasarkan fungsi pelabelan tersebut, ditunjukkan bahwa subgraf-subgraf dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 merupakan suatu 𝐻 -dekomposisi dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . Hasil akhir dari penelitian ini adalah graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 memuat dekomposisi 𝐻 -Super  Anti  Ajaib  dengan  konstanta  ajaib 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖 untuk 1  ≤ 𝑖 < 𝑛 , dan 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 ≥ 3 , 𝑛 ∈ ℕ .
Kata Kunci : dekomposisi, graf, H-(super)Anti Ajaib, pelabelan, subgraf

## Abstract
The  concept  of  an 𝐻 -Magic  decomposition  of  a  graph 𝐺 is  formed  based  on  the  concept  of decomposition and the concept of labeling a graph. The set 𝐴 = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } subgraphs of graph 𝐺 is a decomposition of 𝐺 if ⋃ 𝐻 𝑖 1≤𝑖≤𝑘 = 𝐺 and 𝐸(𝐻 𝑖 ) ∩ 𝐸(𝐻 𝑗 ) = ∅ for 𝑖 ≠ 𝑗 . If every subgraph 𝐻 𝑖 which is the result of the decomposition of graph 𝐺 is isomorphic to a subgraph 𝐻 of 𝐺 , then = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } is an 𝐻 -decomposition of 𝐺 . Graph 𝐺 is said to be 𝐻 -Magic decomposition, if there is a bijective mapping : 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} such that the total weight of the vertices and edges for each subgraph 𝐻 𝑖 is constant. If the total labels of vertices and edges for each subgraph 𝐻 𝑖 form an arithmetic progression with a difference of each weight of subgraph is one, then graph 𝐺 is said to be 𝐻 -Anti Magic decomposition. In this study, the 𝐻 -Super Anti Magic decomposition of the graph 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 is investigated. First, we investigate the characteristics of the graph 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 along with the selected subgraphs. Next, based on the selected subgraph, a labeling pattern is formed on the graph 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 such that the total weight of each subgraph forms an arithmetic sequence with the difference is one. From the labeling pattern, a  bijective  labeling  function  is  formed  using  an  arithmetic  sequence  approach.  Based  on  the  labeling function, it is shown that the subgraphs of 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 are an H-decomposition of 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . The final result of  this  research  is  the  graph 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 contains  the  H-Super  Anti  Magic  decomposition  with  magic
Dekomposisi H-Super Anti Ajaib Atas Graf C_n ⊳ _o S_n
constant 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖 for 1  ≤ 𝑖 < 𝑛 , and 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 for 𝑖 = 𝑛 , where 𝑛 ≥ 3 , 𝑛 ∈ ℕ .
Keywords : decomposition, graph, H-(super)Anti Magic, labelling, subgraph

## 1 Pendahuluan
Teori  graf  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Leonhard  Euler  pada  tahun  1736  melalui penyelesaian dari permasalahan mengenai jembatan Königsberg [1],[3]. Sejak saat itu, konsep dari graf  mengalami  perkembangan  yang  pesat  dan  banyak  digunakan  untuk  menyelesaikan permasalahan  di  beberapa  bidang,  contohnya:  bidang  transportasi,  bidang  distribusi,  dan  lain sebagainya.  Konsep  dekomposisi  H-Ajaib  atas  suatu  graf 𝐺 dibentuk  berdasarkan  konsep dekomposisi dan konsep pelabelan pada suatu graf [4]. Himpunan 𝐴 = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } subgraf- subgraf dari graf 𝐺 adalah dekomposisi dari 𝐺 jika ⋃ 𝐻 𝑖 1≤𝑖≤𝑘 = 𝐺 dan 𝐸(𝐻 𝑖 ) ∩ 𝐸(𝐻 𝑗 ) = ∅ untuk 𝑖 ≠ 𝑗 . Jika setiap subgraf 𝐻 𝑖 yang merupakan hasil dekomposisi dari graf 𝐺 isomorfis  ke suatu subgraf 𝐻 dari 𝐺 ,  maka 𝐴 = {𝐻 1 , 𝐻 2 , … , 𝐻 𝑘 } adalah 𝐻 -dekomposisi  dari 𝐺 .  Graf 𝐺 dikatakan dekomposisi 𝐻 -Ajaib,  jika  terdapat  pemetaan  bijektif 𝑓: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|} sedemikian sehingga total bobot label dari verteks dan sisi untuk masing-masing subgraf 𝐻 𝑖 konstan. Apabila total label dari verteks dan sisi untuk masing-masing subgraf 𝐻 𝑖 membentuk barisan aritmatika dengan beda satu, maka graf 𝐺 dikatakan dekomposisi 𝐻 -Anti Ajaib. Graf 𝐺 dikatakan dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib, apabila label  terkecil  diberikan di  verteks terlebih dahulu dan 𝐺 juga memenuhi 𝐻 -Anti Ajaib.
Beberapa penelitian yang mengangkat permasalahan mengenai dekomposisi 𝐻 -Anti Ajaib atas  suatu  graf  diantaranya  dilakukan  oleh  Hendy  dkk.  [4]  dan  [5].  Pada  penelitian  Hendy  [4] dibahas mengenai dekomposisi 𝐻 -Super Anti  Ajaib dari graf anti prisma.  Hasil dari penelitian tersebut, antara lain: graf anti prisma 𝐴 𝑛 , 𝑛 ≥ 3 bersifat 𝐻 -dekomposabel dimana 𝐻 isomorfik ke graf matahari 𝑆(𝐶 𝑛 ) , 𝐶 3 dengan sebuah pendant , dan 𝑃 2 . Lebih lanjut, graf anti prisma 𝐴 𝑛 , 𝑛 ≥ 3 memuat super anti ajaib (8𝑛 2 + 2𝑛, 4𝑛 2 ) − 𝑆(𝐶 𝑛 ) − dekomposisi. Selain itu, Hendy dkk. di [5] membahas mengenai dekomposisi 𝐻 -Anti Ajaib dari grid toroidal dan triangulasi toroidal. Pada penelitian tersebut diselidiki mengenai eksistensi dari pelabelan pada grid toroidal dan triangulasi toroidal sehingga menjamin adanya dekomposisi 𝐻 -Anti Ajaib. Graf siklus 𝐶 𝑛 adalah suatu graf dengan 𝑛 verteks dan memiliki lintasan tertutup yang melalui tiap verteks nya. Graf bintang 𝑆 𝑛 adalah  graf  sederhana  yang  memiliki 𝑛 + 1 titik  dan n sisi,  serta  memiliki  titik  pusat  yang berderajat n ,  sedangkan  titik  yang  lain  berderajat  1  [2].  Di  penelitian  ini,  kami  menyelidiki mengenai dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib atas graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . Graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 merupakan hasil dari operasi “ ⊳ 𝑜 ” terhadap graf siklus 𝐶 𝑛 dan graf bintang 𝑆 𝑛 . O perasi “ ⊳ 𝑜 ” dapat ditinjau di

## Aditya Putra Pratama, Winarni, Tiara Uni Raudyna
penelitian  [6].  Tahapan  penelitian  yang  kami  lakukan,  pertama  ditentukan  terlebih  dahulu  Graf dan  Subgraf  yang  akan  diteliti.  Pada  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 ,  diselidiki  mengenai  kardinalitas  dari himpunan verteks dan kardinalitas dari himpunan sisi. Setelah itu, dipilih subgraf dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 sedemikian  sehingga  membentuk 𝐻 -dekomposisi.  Selanjutnya,  akan  dibentuk  pola  pelabelan dengan memperhatikan subgraf yang dipilih agar nantinya membentuk dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib. Hasil dari pembentukan pola pelabelan pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 adalah fungsi pelabelan. Dari fungsi pelabelan ini, ditunjukkan secara matematis bahwa 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 membentuk 𝐻 -dekomposisi. Hasil  akhir  diuraikan  mengenai  suatu  teorema  yang  menjamin  bahwa  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 memuat dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib.

## 2 Metode Penelitian
Prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan penelitian ini adalah.

## 2.1 Penentuan Graf dan Subgraf
Pada tahap ini dilakukan pembentukan graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 dan subgraf yang bersesuaian untuk bisa  dibentuk  suatu  dekomposisi 𝐻 -Super  Anti  Ajaib  atas  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 .  Di  tahap  ini  juga diberikan uraian mengenai karakteristik dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 , yaitu mengenai jumlah verteks dan sisi yang dimiliki graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 dan di masing-masing subgraf nya.

## 2.2  Penentuan Pola Pelabelan pada Graf
Berdasarkan  subgraf  yang  dipilih  pada  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 ,  dibentuk  suatu  pola  pelabelan sedemikian sehingga total bobot dari masing-masing subgraf nya membentuk barisan aritmatika dengan  beda  satu,  untuk  setiap 𝑛 ≥ 3 , 𝑛 ∈ ℕ . Setelah  pola  pelabelan  diperoleh,  dibentuk  suatu fungsi  pelabelan  berdasarkan  pola  pelabelan  graf  yang  diperoleh  tersebut.  Dalam  hal  ini, ditunjukkan juga bahwa fungsi pelabelan tersebut bijektif.

## 2.3 Konstruksi Teorema
Berdasarkan  hasil  sebelumnya,  telah  diperoleh  fungsi  pelabelan  yang  bijektif  untuk  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 .  Selanjutnya,  dalam  hal  ini  secara  matematis  ditunjukkan  bahwa  berdasarkan  fungsi pelabelan tersebut, subgraf-subgraf dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 merupakan suatu 𝐻 -dekomposisi dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . Lebih lanjut, berdasarkan beberapa hasil sebelumnya, dibentuklah suatu teorema yang menjamin adanya  dekomposisi 𝐻 -Super  Anti  Ajaib  atas  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 berdasarkan  subgraf  dan  fungsi pelabelan yang ditunjuk.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Hal yang pertama dilakukan adalah membentuk graf hasil operasi comb dari graf siklus 𝐶 𝑛 dan  graf  bintang 𝑆 𝑛 ,  yang  dinotasikan  dengan 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 , 𝑛 ∈ ℕ .  Berikut  contoh gambaran graf dari hasil operasi comb , ditunjukkan pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1 . (a) Graf siklus 𝐶 3 , (b) Graf bintang 𝑆 3 , (c) Graf 𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3
Gambar  1(a)  merupakan  graf  siklus  dengan 3 buah  titik  yang  dapat  dilambangkan  dengan 𝐶 3 , dengan |𝑉(𝐶 3 )| = 3 dan |𝐸(𝐶 3 )| = 3, sedangkan untuk Gambar 1(b) adalah graf bintang  yang dinotasikan dengan 𝑆 3 , yang mana memiliki 4 titik dan 3 sisi dengan satu titik sebagai pusat dari graf bintang. Kemudian untuk Gambar 1(c) merupakan graf 𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3 yang menunjukkan bahwa terdapat 3 salinan 𝑆 3 dan setiap titik graf 𝐶 3 yang terhubung ke salah satu titik di graf 𝑆 3 . Selain itu, |𝑉(𝐶 3 )| = 3, |𝑉(𝑆 3 )| = 4, dan |𝑉(𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3 )| = 12, kemudian |𝐸(𝐶 3 )| = 3, |𝐸(𝑆 3 )| = 3, dan |𝐸(𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3 )| = 12 . Ditunjukkan graf hasil operasi comb yaitu graf 𝐶 4 ⊳ 𝑜 𝑆 4 pada Gambar 2  sebagai berikut.
Gambar 2 . (a) Graf siklus 𝐶 4 , (b) Graf bintang 𝑆 4 , (c) Graf 𝐶 4 ⊳ 𝑜 𝑆 4
Gambar 2(a) merupakan graf siklus dengan 4 buah titik yang dilambangkan dengan 𝐶 4 , dengan |𝑉(𝐶 4 )| = 4 dan |𝐸(𝐶 4 )| = 4, sedangkan  untuk  Gambar  2(b)  adalah  graf  bintang  yang dinotasikan dengan 𝑆 4 serta memiliki 5 titik dan 4 sisi, dengan satu titik sebagai pusat dari graf
(a) (b)
(a) (b) (c) (c)

## Aditya Putra Pratama, Winarni, Tiara Uni Raudyna
bintang.  Kemudian  untuk  Gambar  2(c)  merupakan  graf 𝐶 4 ⊳ 𝑜 𝑆 4 yang  menunjukkan  bahwa terdapat 4 salinan 𝑆 4 dan setiap titik di graf 𝐶 4 yang terhubung ke salah satu titik di graf 𝑆 4 . Selain itu, |𝑉(𝐶 4 )| = 4, |𝑉(𝑆 4 )| = 5, dan |𝑉(𝐶 4 ⊳ 𝑜 𝑆 4 )| = 20, kemudian |𝐸(𝐶 4 )| = 4, |𝐸(𝑆 4 )| = 4, dan |𝐸(𝐶 4 ⊳ 𝑜 𝑆 4 )| = 20 .
Berdasarkan  beberapa  ilustrasi  diatas,  diperoleh  beberapa  karakteristik  dari 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 yaitu: |𝑉(𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 𝑛 2 + 𝑛 , dan |𝐸(𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 𝑛 2 + 𝑛 .
Langkah  selanjutnya  adalah  pembentukan  pola  pelabelan  untuk  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 .    Hal  ini dimulai  dengan  memberikan  label  di  semua  titik  dan  sisi  pada  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 .  Pemberian  label dimulai dari pemberian label titik pada graf siklus kemudian dilanjutkan dengan pemberian label titik pada graf bintang. Setelah semua titik pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 diberi label, kemudian semua sisi diberi  label  dimulai  dari  graf  bintang  kemudian  pelabelan  pada  graf  siklusnya.  Pola  pelabelan untuk graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 yang digunakan di penelitian ini bisa dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Pola Pelabelan graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛
Berdasarkan pola pelabelan yang digunakan, diperoleh fungsi pelabelan total pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 sebagaimana yang dituliskan pada Lemma 1 berikut.
Lemma 1 . Jika didefinisikan suatu fungsi pelabelan total pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 sebagai berikut :
ℎ: 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) → {1,2, … , |𝑉(𝐺)| + |𝐸(𝐺)|}
dengan 𝑉(𝐺) → {1,2, … , 𝑛 2 + 𝑛}, dan 𝐸(𝐺) → { 𝑛 2 + 𝑛 + 1, 𝑛 2 + 𝑛 + 2, … ,2( 𝑛 2 + 𝑛)}, dan
𝑣 𝑛,2 𝑣 𝑛,𝑗 𝑣 𝑛,𝑛 𝑣 𝑛 𝑣 𝑛,1 𝑣 2,1 𝑣 2,2 𝑣 2,𝑛 𝑣 2,𝑗 𝑣 2 𝑣 1,2 𝑣 1,𝑗 𝑣 1,𝑛 𝑣 1,1 𝑣 1 𝑣 𝑖 𝑣 𝑖,1 𝑣 𝑖,𝑗 𝑣 𝑖,2 𝑣 𝑖,𝑛 𝑒 1,𝑛 𝑒 1,𝑗 𝑒 1,𝑗−1 𝑒 2,𝑗 𝑒 1,1 𝑒 2,𝑗−1 𝑒 2,1 𝑒 2,𝑛 𝑒 𝑖,𝑗−1 𝑒 𝑖,1 𝑒 𝑖,𝑗 𝑒 𝑖,𝑛 𝑒 𝑖 𝑒 𝑛,1 𝑒 𝑛,𝑛 𝑒 𝑛,𝑗−1 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 𝑛 𝑒 𝑛,𝑗
ℎ(𝑥) =
{ 𝑖 , 𝑥 =   𝑣 𝑖 𝑛𝑗 + 𝑖 𝑥 = 𝑣 𝑖,𝑘 dengan  𝑘 genap 𝑛𝑗 + 𝑛 + 1 − 𝑖, 𝑥 = 𝑣 𝑖,𝑘 dengan  𝑘 ganjil 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖, 𝑥 = 𝑒 𝑖 𝑛 2 + 𝑛𝑗 + 𝑖, 𝑥 = 𝑒 𝑖,𝑘 dengan 𝑛 dan 𝑘 ganjil atau genap 𝑛 2 + 𝑛𝑗 + 𝑛 + 1 − 𝑖, 𝑥 = 𝑒 𝑖,𝑘 dengan 𝑛 ganjil dan 𝑘 genap atau sebaliknya ,
dengan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺) , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑛 , maka fungsi ℎ adalah fungsi bijektif. ∎
Pembahasan  selanjutnya  adalah  mengenai  bagaimana  membentuk  subgraf  sedemikian sehingga membentuk 𝐻 -dekomposisi dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . Berikut adalah contoh subgraf-subgraf yang dibentuk yang mana memenuhi 𝐻 -dekomposisi dari graf 𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3 berdasarkan Gambar 1(c).
Gambar 4. 𝐻 -Dekomposisi pada graf 𝐶 3 ⊳ 𝑜 𝑆 3
Berikut diberikan suatu proposisi yang menjamin secara umum bahwa hal tersebut berlaku.
Proposisi 2 . Jika ℋ = {𝐻 1 , 𝐻 2 , . . . , 𝐻 𝑛 } adalah himpunan dari subgraf-subgraf dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 dengan ⋃ 𝐻 𝑖 1≤𝑖≤𝑛 = 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 serta 𝐻 𝑖 ⋂𝐻 𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖  = 1, 2, 3, . . . , 𝑛 ; 𝑗 = 1, 2, 3, . . . , 𝑛 dan didefinisikan suatu fungsi pelabelan titik sebagai berikut:
𝑔 𝑖 : 𝑉(𝐻 𝑛 ) → 𝑉(𝐻 𝑖 );  dengan 1 ≤ 𝑖 < 𝑛
dengan
𝑔 𝑖 (𝑥) = { 𝑣 𝑖 ,                                  𝑥 =   𝑣 𝑛 𝑣 𝑖+1 ,                               𝑥 =   𝑣 1 𝑣 𝑖,𝑗 ,                                 𝑥 = 𝑣 𝑛,𝑗 , E(𝐻 𝑖 ) =   {(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 ), (𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖,2 ), (𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑖,𝑗 ) 𝑗≠2 },
dan
E(𝐻 𝑛 ) =   {(𝑣 𝑛 , 𝑣 1 ), (𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑛,2 ), (𝑣 𝑛,2 , 𝑣 𝑛,𝑗 ) 𝑗≠2 },
dengan 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 𝑛 ) , maka ℋ adalah 𝐻 − dekomposisi dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 . ∎ 𝑣 2,3 𝑣 1,2 𝑣 2 𝑣 1 𝑒 1 𝑣 1,1 𝑒 1,1 𝑒 1,2 𝑣 1,3 𝑒 1,3 𝑒 2 𝑣 2 𝑣 3 𝑒 2,3 𝑣 2,1 𝑣 2,2 𝑒 2,1 𝑒 2,2 𝑣 3 𝑒 3 𝑣 1 𝑒 3,3 𝑣 3,1 𝑒 3,1 𝑣 3,2 𝑒 3,2 𝑣 3,3
Selanjutnya,  langkah  terakhir  yang  dilakukan  adalah  membentuk  teorema  yang  berkaitan dengan tujuan utama dari penelitian ini.
Teorema  3. Misalkan 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 adalah  graf  yang  diperoleh  dari  operasi comb (⊳) antara sembarang  graf  siklus 𝐶 𝑛 dengan  graf  bintang 𝑆 𝑛 .  Jika ℋ adalah  suatu  himpunan  subgraf sebagaimana yang terdefinisi pada Proposisi 2 dan fungsi pelabelan yang terdefinisi pada Lemma 1,  maka 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 memuat  dekomposisi 𝐻 -Super  Anti  Ajaib,  dengan  konstanta  ajaib  sebagai berikut:
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = { 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖,          1 ≤  𝑖 < 𝑛 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2,                  𝑖 = 𝑛 .

## Bukti:
Dari Proposisi 2 telah ditunjukkan bahwa graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 dapat dibentuk sebagai H -dekomposisi. Selanjutnya, misalkan 𝑓 adalah fungsi bijektif seperti yang telah didefinisikan pada Lemma 1 yang memetakan unsur-unsur pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 ke bilangan bulat positif seperti pelabelan dibawah ini:
Pelabelan titik pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 :
𝑓(𝑣 𝑖 ) = 𝑖
𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) = 𝑛𝑗 + 𝑖, dengan j genap
𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) = 𝑛𝑗 + 𝑛 + 1 − 𝑖, dengan j ganjil
Pelabelan sisi pada graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛
𝑓(𝑒 𝑖 ) = 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖,
𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) = 𝑛 2 + 𝑛𝑗 + 𝑖, dengan n dan j ganjil atau genap
𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) = 𝑛 2 + 𝑛𝑗 + 𝑛 + 1 − 𝑖, dengan n ganjil dan j genap atau sebaliknya
Selanjutnya,  dengan  menggunakan  fungsi  pelabelan  yang  telah  didefinisikan,  diperoleh persamaan sebagai berikut.
a) Untuk 1 ≤  𝑖 < 𝑛 , dengan 𝑛 ganjil
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 𝑓(𝑣 𝑖 ) + 𝑓(𝑣 𝑖+1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) + 𝑛 𝑗=1 𝑓(𝑒 𝑖 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1
Karena 𝑛 ganjil,  sehingga ∃𝑚 ∈ ℤ yang  memenuhi 𝑛 = 2𝑚 + 1. Oleh  karena  itu,  untuk
⌊ 𝑛 2 ⌋ = 𝑚 dan ⌈ 𝑛 2 ⌉ = 𝑚 + 1. Dilakukan  perhitungan  fungsi  pelabelan  titik  yang  telah didefinisikan pada Lemma 1.
𝑓(𝑣 𝑖 ) + 𝑓(𝑣 𝑖+1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) 𝑛
𝑗=1
Dekomposisi H-Super Anti Ajaib Atas Graf C_n ⊳ _o S_n
=  2𝑖 + 1 + (∑ 2𝑛(𝑘) + 𝑖 ⌊ 𝑛 2 ⌋ 𝑘=1 ) + (∑ 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑖 ⌈ 𝑛 2 ⌉ 𝑘=1 ),
=  2𝑖 + 1 + (∑ 2𝑛(𝑘) + 𝑖 𝑚 𝑘=1 ) + ( ∑ 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑖 𝑚+1 𝑘=1 ),
=  2𝑖 + 1 + (∑ 2𝑛(𝑘) + 𝑖 𝑚 𝑘=1 ) + ( ∑ 2𝑛(𝑘) + 1 − 𝑖 𝑚+1 𝑘=1 ), =  2𝑖 + 1 + 2𝑛 (∑ 𝑘 𝑚 𝑘=1 ) + (∑ 𝑖 𝑚 𝑘=1 ) + 2𝑛 ( ∑ 𝑘 𝑚+1 𝑘=1 ) + ( ∑ 1 𝑚+1 𝑘=1 ) − ( ∑ 𝑖 𝑚+1 𝑘=1 ), = 2𝑖 + 1 + 2𝑛. 𝑚 2 (𝑚 + 1) + 𝑚𝑖 + 2𝑛 𝑚 + 1
2 (𝑚 + 1 + 1) + (𝑚 + 1) − (𝑚 + 1)𝑖,
= 2𝑖 + 1 + 𝑛𝑚(𝑚 + 1) + 𝑛(𝑚 + 1)(𝑚 + 2) + (𝑚 + 1) + 𝑚𝑖 − (𝑚 + 1)𝑖,
= 2𝑖 + 1 − 𝑖 + (𝑚 + 1)(𝑛𝑚 + 𝑛(𝑚 + 2) + 1),
= 𝑖 + 1 + (𝑚 + 1)(𝑛 (𝑚 + 𝑚 + 2) + 1),
= 𝑖 + 1 + (𝑚 + 1)(𝑛 (2𝑚 + 1 + 1) + 1),
= 𝑖 + 1 + (𝑚 + 1)(𝑛(𝑛 + 1) + 1).
(1)
Selanjutnya, dilakukan perhitungan dengan fungsi pelabelan sisi yang telah didefinisikan pada Lemma 1.
𝑓(𝑒 𝑖 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1
= 2𝑛
2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖 + ∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑖 ⌊ 𝑛 2 ⌋ 𝑘=1 + ∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑖 ⌈ 𝑛 2 ⌉
𝑘=1 ,
= 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖 + (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑖 𝑚 𝑘=1 ) + ( ∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑖 𝑚+1
𝑘=1 ),
= 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖 + (∑ 𝑛 2 𝑚 𝑘=1 ) + 2𝑛  (∑ 𝑘 𝑚 𝑘=1 ) + (𝑛 + 1 − 𝑖) (∑ 1 𝑚 𝑘=1 ) + 2𝑛 ( ∑ 𝑘 𝑚+1 𝑘=1 ) + (𝑛 2 − 𝑛 + 𝑖) ( ∑ 1 𝑚+1 𝑘=1 ) + 2𝑛 ( ∑ 𝑘 𝑚+1 𝑘=1 ), = 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖 + 𝑛 2 𝑚 + 2𝑛. 𝑚 2 (𝑚 + 1) + (𝑛 + 1 + 𝑖)𝑚 + (𝑛 2 − 𝑛 − 𝑖)(𝑚 + 1) + 2𝑛. 𝑚 + 1
2 (𝑚 + 1 + 1),
= 2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖 + 𝑛 2 𝑚 + 𝑛𝑚(𝑚 + 1) + (𝑛 + 1 + 𝑖)𝑚 + (𝑛 2 − 𝑛 − 𝑖)(𝑚 + 1) + 𝑛(𝑚 + 1)(𝑚 + 2),
= 2𝑛 2 + 2𝑛 − 𝑖 + 𝑛 2 (𝑚 + 𝑚 + 1) + (𝑛 + 𝑖)(𝑚 − (𝑚 + 1)) + (𝑚 + 1)(𝑛𝑚 + 𝑛(𝑚 + 2)
+ 1),
=   𝑛 3 − 𝑛 − 𝑖 + (𝑚 + 1)(𝑛(𝑛 + 1) + 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 − 𝑖. (2)
Berdasarkan  perhitungan  fungsi  pelabelan  titik  dan  sisi  pada  Persamaan  (1)  dan  (2),  maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 𝑓(𝑣 𝑖 ) + 𝑓(𝑣 𝑖+1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) + 𝑛 𝑗=1 𝑓(𝑒 𝑖 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1
= 𝑖 + 1 + (𝑚 + 1)(𝑛(𝑛 + 1) + 1 + 𝑛 3 − 𝑛 − 𝑖 + (𝑚 + 1)(𝑛(𝑛 + 1) + 1 + 2𝑛 2 + 2𝑛 − 𝑖, = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖. (3)
Berdasarkan perhitungan fungsi pelabelan titik dan sisi di atas, maka diperoleh konstanta ajaib 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖, untuk 1 ≤  𝑖 < 𝑛, dengan 𝑛 ganjil.
b) Untuk 1 ≤  𝑖 < 𝑛 , dengan 𝑛 genap
Selanjutnya, untuk 1 ≤  𝑖 < 𝑛, dengan 𝑛 genap diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut.
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 𝑓(𝑣 𝑖 ) + 𝑓(𝑣 𝑖+1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑖,𝑗 ) + 𝑛 𝑗=1 𝑓(𝑒 𝑖 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 =  2𝑖 + 1 + (∑ 2𝑛(𝑘) + 𝑖 𝑛 2 𝑘=1 ) + (∑ 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑖 𝑛 2 𝑘=1 ) + (2𝑛 2 + 2𝑛 + 1 − 𝑖) + (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑖 𝑛 2 𝑘=1 ) + (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑖 𝑛 2 𝑘=1 ), =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑖 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) 4 + 𝑛𝑖 2 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) 4 + 𝑛 − 𝑛𝑖 2 + 3𝑛 3 + 4𝑛 2 − 2𝑛𝑖 + 2𝑛 4 + 3𝑛 3 + 2𝑛𝑖 4 , =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑖 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) + 𝑛 2 + 𝑛(3𝑛 2 + 2𝑛 + 1) 2 , =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑖 + 𝑛(2𝑛 2 + 2𝑛 + 1),
=   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑖 + 2𝑛 3 + 2𝑛 2 + 𝑛,
Dekomposisi H-Super Anti Ajaib Atas Graf C_n ⊳ _o S_n
= 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖. (4)
Berdasarkan perhitungan fungsi pelabelan titik dan sisi di atas, maka diperoleh konstanta ajaib 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖, untuk 1 ≤  𝑖 < 𝑛, dengan 𝑛 genap.
c) Untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 ganjil
Selanjutnya, untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 ganjil diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut.
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑛 ) = 𝑓(𝑣 𝑛 ) + 𝑓(𝑣 1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑛,𝑗 ) + 𝑛 𝑗=1 𝑓(𝑒 𝑛 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑛,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 = 𝑛 + 1 + (∑ 𝑛(2𝑘) + 𝑛 ⌊ 𝑛 2 ⌋
𝑘=1 ) + (∑ 𝑛(2𝑘 − 1) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑛 ⌈ 𝑛 2 ⌉ 𝑘=1 ) + (2𝑛 2 + 2𝑛
+ 1 − 𝑛) + (∑ 𝑛 2 + 𝑛(2𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑛 ⌊ 𝑛 2 ⌋
𝑘=1 ) + (∑ 𝑛 2 + 𝑛(2𝑘 − 1) + 𝑛 ⌈ 𝑛 2 ⌉
𝑘=1 ), = 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + (∑ 𝑛(2𝑘) + 𝑛 ⌊ 𝑛 2 ⌋
𝑘=1 ) + (∑ 𝑛(2𝑘 − 1) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑛 ⌈ 𝑛 2 ⌉
𝑘=1 ) + (∑ 𝑛 2 + 𝑛(2𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑛 ⌊ 𝑛 2 ⌋ 𝑘=1 ) + (∑ 𝑛 2 + 𝑛(2𝑘 − 1) + 𝑛 ⌈ 𝑛 2 ⌉
𝑘=1 ), = 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(2𝑘) + 𝑛 + 1 ⌊ 𝑛 2 ⌋
𝑘=1 )
+ (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(2𝑘 − 1) + 𝑛 + 1 ⌈ 𝑛 2 ⌉
𝑘=1 ), = 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + (𝑛 2 + 𝑛 + 1) (∑ 1 𝑚 𝑘=1 ) + 4𝑛 (∑ 𝑘 𝑚
𝑘=1 ) + (𝑛 2 + 𝑛 + 1 − 2𝑛) ( ∑ 1 𝑚+1 𝑘=1 ) + 4𝑛 (∑ 𝑘 𝑚 𝑘=1 ),
= 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + (𝑛 2 + 𝑛 + 1)𝑚 + 4𝑚. 𝑚 2 (𝑚 + 1) + (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(𝑚 + 1) − 2𝑛(𝑚 + 1) + 4𝑛. 𝑚 + 1 2 (𝑚 + 1 + 1), = 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(𝑚 + 𝑚 + 1) + 2𝑛𝑚(𝑚 + 1) + 2𝑛(𝑚 + 1)(𝑚 + 2) − 2𝑛(𝑚 + 1),
= 2(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + 𝑛(𝑛 2 + 𝑛 + 1) + 𝑛(𝑚 + 1)(2𝑚 + 2(𝑚 + 2)) − 2𝑛(𝑚 + 1),
= (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(2 + 𝑛) + 𝑛(𝑚 + 1)(2𝑚 + 2𝑚 + 4 − 2),
= (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(2 + 𝑛) + 𝑛(𝑚 + 1)((2𝑚 + 1)(2𝑚 + 1)),
= (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(2 + 𝑛) + 𝑛(𝑚 + 1)(2𝑛),
= (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(2 + 𝑛) + 𝑛 2 (2𝑚 + 1 + 1),
= (𝑛 2 + 𝑛 + 1)(2 + 𝑛) + 𝑛 2 (𝑛 + 1),
= 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2. (5)
Berdasarkan perhitungan fungsi pelabelan titik dan sisi di atas, maka diperoleh konstanta ajaib 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑛 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 , untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 ganjil.
d) Untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 genap
Selanjutnya, untuk 𝑖 = 𝑛 , dengan 𝑛 genap diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut.
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑛 ) = 𝑓(𝑣 𝑛 ) + 𝑓(𝑣 1 ) + ∑ 𝑓(𝑣 𝑛,𝑗 ) + 𝑛 𝑗=1 𝑓(𝑒 𝑛 ) + ∑ 𝑓(𝑒 𝑛,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 =  𝑛 + 1 + (∑ 2𝑛(𝑘) + 𝑖 𝑛 2 𝑘=1 ) + (∑ 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑛 + 1 − 𝑛 𝑛 2 𝑘=1 ) + (2𝑛 2 + 2𝑛
+ 1 − 𝑛) + (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) + 𝑛 + 1 − 𝑛 𝑛 2 𝑘=1 )
+ (∑ 𝑛 2 + 2𝑛(𝑘) − 𝑛 + 𝑛 𝑛 2 𝑘=1 ), =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) 4 + 𝑛𝑖 2 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) 4 + 𝑛 − 𝑛𝑖 2 + 3𝑛 3 + 4𝑛 2 − 2𝑛𝑖 + 2𝑛 4 + 3𝑛 3 + 2𝑛𝑖 4 , =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑛 2 (𝑛 + 2) + 𝑛 2 + 𝑛(3𝑛 2 + 2𝑛 + 1) 2 , =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 𝑛(2𝑛 2 + 2𝑛 + 1), =   2𝑛 2 + 2𝑛 + 2 + 2𝑛 3 + 2𝑛 2 + 𝑛, = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2. (6)

## Dekomposisi H-Super Anti Ajaib Atas Graf C_n ⊳ _o S_n
Berdasarkan perhitungan fungsi pelasbelan titik dan sisi di atas, maka diperoleh konstanta ajaib 𝑤 𝑛 (𝐻 𝑛 ) = 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2, untuk 𝑖 = 𝑛, dengan 𝑛 genap.
Dari Persamaan  (3), (4), (5) dan (6) telah diperoleh konstanta ajaib sebagai berikut.
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = { 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖,          1 ≤  𝑖 < 𝑛 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2,                  𝑖 = 𝑛 ∎
Contoh 4 Diberikan graf 𝐶 12 ⊳ 𝑜 𝑆 12 sebagaimana terlihat pada gambar berikut:
Gambar 5. Pelabelan graf 𝐶 12 ⊳ 𝑜 𝑆 12
a) Dengan menggunakan perhitungan manual sebagaimana pelabelan yang terdefinisi pada graf tersebut, diperoleh konstanta ajaib dari masing-masing subgraf sebagaimana berikut.
𝑤 12 (𝐻 1 ) = 4071 ; 𝑤 12 (𝐻 2 ) = 4072 ; 𝑤 12 (𝐻 3 ) = 4073 𝑤 12 (𝐻 4 ) = 4074 ; 𝑤 12 (𝐻 5 ) = 4075 ; 𝑤 12 (𝐻 6 ) = 4076 𝑤 12 (𝐻 7 ) = 4077 ; 𝑤 12 (𝐻 8 ) = 4078 ; 𝑤 12 (𝐻 9 ) = 4079 𝑤 12 (𝐻 10 ) = 4080 ; 𝑤 12 (𝐻 11 ) = 4081 ; 𝑤 12 (𝐻 12 ) = 4070
b) Dengan menggunakan Teorema 3, diperoleh konstanta ajaib yang sama sebagaimana pada perhitungan manual sebelumnya.
𝑒 12,3 𝑒 12,2 𝑒 12,5 𝑒 12,8 𝑒 12,10 𝑒 12,11 𝑣 12,2 𝑒 12,4 𝑒 12,7 𝑒 12,9 𝑣 12,1 𝑒 12,6 𝑒 12,1 𝑣 12,11 𝑣 12,12 𝑒 12,12 𝑣 12,3 𝑣 12,4 𝑣 12,5 𝑣 2,10 𝑣 2,11 𝑒 2,10 𝑒 2,7 𝑣 2,2 𝑒 2,5 𝑒 2,3 𝑒 2,1 𝑣 2,12 𝑣 2,5 𝑣 2,3 𝑣 2,9 𝑣 2,7 𝑣 2,6 𝑣 2,4 𝑣 1,1 𝑣 2,8 𝑒 2,12 𝑒 2,4 𝑒 2,2 𝑒 2,8 𝑒 2,6 𝑒 2,11 𝑒 2,9 𝑣 12,9 𝑣 12,10 𝑣 12,6 𝑣 12,7 𝑣 1 𝑣 2 𝑣 3 𝑣 12 𝑣 11 𝑣 10 𝑣 5 𝑣 4 𝑣 9 𝑣 6 𝑣 8 𝑣 7 𝑒 1 𝑒 12 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑒 5 𝑒 9 𝑒 10 𝑒 11 𝑒 6 𝑒 7 𝑒 8 𝑣 1,10 𝑣 1,11 𝑒 1,10 𝑒 1,7 𝑣 1,2 𝑒 1,5 𝑒 1,3 𝑒 1,1 𝑣 1,12 𝑣 1,5 𝑣 1,3 𝑣 1,9 𝑣 1,7 𝑣 1,6 𝑣 1,4 𝑣 1,1 𝑣 1,8 𝑒 1,12 𝑒 1,4 𝑒 1,2 𝑒 1,8 𝑒 1,6 𝑒 1,11 𝑒 1,9 𝑣 4,5 𝑣 4,4 𝑣 4,3 𝑣 4,7 𝑣 4,11 𝑣 4,10 𝑣 4,9 𝑣 4,8 𝑣 4,6 𝑣 4,12 𝑣 4,1 𝑣 4,2 𝑒 4,12 𝑒 4,1 𝑒 4,2 𝑒 4,3 𝑒 4,4 𝑒 4,5 𝑒 4,6 𝑒 4,8 𝑒 4,7 𝑒 4,9 𝑒 4,10 𝑒 4,11 𝑣 3,1 𝑣 3,2 𝑣 3,3 𝑣 3,4 𝑣 3,5 𝑣 3,6 𝑣 3,7 𝑣 3,8 𝑣 3,9 𝑣 3,10 𝑣 3,11 𝑣 3,12 𝑒 3,1 𝑒 3,2 𝑒 3,3 𝑒 3,4 𝑒 3,5 𝑒 3,6 𝑒 3,7 𝑒 3,8 𝑒 3,9 𝑒 3,10 𝑒 3,11 𝑒 3,12 𝑣 5,1 𝑣 5,2 𝑣 5,3 𝑣 5,4 𝑣 5,5 𝑣 5,6 𝑣 5,7 𝑣 5,8 𝑣 5,9 𝑣 5,10 𝑣 5,11 𝑣 5,12 𝑒 5,1 𝑒 5,2 𝑒 5,3 𝑒 5,4 𝑒 5,5 𝑒 5,6 𝑒 5,8 𝑒 5,7 𝑒 5,9 𝑒 5,10 𝑒 5,11 𝑒 5,12 𝑣 6,2 𝑣 6,6 𝑣 6,7 𝑣 6,1 𝑣 6,3 𝑣 6,4 𝑣 6,8 𝑣 6,5 𝑣 6,10 𝑣 6,9 𝑒 6,1 𝑒 6,2 𝑒 6,3 𝑒 6,4 𝑒 6,5 𝑒 6,6 𝑒 6,7 𝑒 6,9 𝑒 6,8 𝑒 6,10 𝑒 6,11 𝑒 6,12 𝑣 7,7 𝑣 7,2 𝑣 7,1 𝑣 7,4 𝑣 7,5 𝑣 7,8 𝑣 7,6 𝑣 7,3 𝑣 7,9 𝑣 7,10 𝑣 7,11 𝑣 7,12 𝑒 7,1 𝑒 7,2 𝑒 7,6 𝑒 7,7 𝑒 7,8 𝑒 7,9 𝑒 7,10 𝑒 7,4 𝑒 7,5 𝑒 7,11 𝑒 7,12 𝑣 8,1 𝑣 8,11 𝑣 8,12 𝑒 8,11 𝑣 8,2 𝑣 8,3 𝑣 8,4 𝑣 8,5 𝑣 8,6 𝑣 8,7 𝑣 8,8 𝑣 8,9 𝑣 8,10 𝑒 8,10 𝑒 8,12 𝑒 8,1 𝑒 8,2 𝑒 8,3 𝑒 8,4 𝑒 8,5 𝑒 8,8 𝑒 8,9 𝑒 8,6 𝑒 8,7 𝑣 9,2 𝑣 9,1 𝑣 9,3 𝑣 9,4 𝑣 9,5 𝑣 9,6 𝑣 9,7 𝑣 9,8 𝑣 9,9 𝑣 9,10 𝑣 9,11 𝑣 9,12 𝑒 9,1 𝑒 9,2 𝑒 9,3 𝑒 9,4 𝑒 9,5 𝑒 9,6 𝑒 9,7 𝑒 9,8 𝑒 9,9 𝑒 9,10 𝑒 9,11 𝑒 9,12 𝑣 10,2 𝑣 10,11 𝑣 10,10 𝑣 10,9 𝑣 10,8 𝑣 10,7 𝑣 10,6 𝑣 10,5 𝑣 10,4 𝑣 10,3 𝑣 10,1 𝑣 10,12 𝑒 10,3 𝑒 10,1 𝑒 10,8 𝑒 10,7 𝑒 10,6 𝑒 10,5 𝑒 10,4 𝑒 10,9 𝑒 10,10 𝑒 10,11 𝑒 10,12 𝑒 10,2 𝑣 11,2 𝑣 11,1 𝑣 11,3 𝑣 11,4 𝑣 11,5 𝑣 11,6 𝑣 11,7 𝑣 11,8 𝑣 11,9 𝑣 11,10 𝑣 11,11 𝑣 11,12 𝑒 11,1 𝑒 11,2 𝑒 11,3 𝑒 11,4 𝑒 11,5 𝑒 11,6 𝑒 11,7 𝑒 11,8 𝑒 11,9 𝑒 11,10 𝑒 11,11 𝑒 11,12 𝑣 12,8 𝑣 6,11 𝑣 6,12 𝑒 7,3
𝑤 12 (𝐻 𝑖 ) = { 470 + 𝑖,          1 ≤  𝑖 < 12
470,                  𝑖 = 12
∎

## 4 Simpulan
Beberapa hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Pola  pelabelan  dari  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 dinyatakan  dalam  bentuk  fungsi  pelabelan sebagaimana pada Lemma 1.
2. Berdasarkan fungsi pelabelan yang telah dibentuk, diperoleh Proposisi 2 yang menjamin bahwa subgraf-subgraf dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 membentuk 𝐻 -dekomposisi.
3. Hasil utama dari penelitian ini, yaitu: graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑛 memuat dekomposisi 𝐻 -Super Anti Ajaib, dengan konstantan ajaib:
𝑤 𝑛 (𝐻 𝑖 ) = { 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2 + 𝑖,          1 ≤  𝑖 < 𝑛 2𝑛 3 + 4𝑛 2 + 3𝑛 + 2,                  𝑖 = 𝑛 .

## Open Problem
Pada penelitian selanjutnya, akan diselidiki mengenai eksistensi dari 𝐻 -dekomposisi ajaib ataupun 𝐻 -dekomposisi  anti  ajaib  dari  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑚 ,  yang  mana  hasil  yang  diharapkan  mampu memperumum hasil di penelitian ini. Lebih lanjut, subgraf 𝐻 sedemikian sehingga eksistensi dari 𝐻 -dekomposisi ajaib ataupun 𝐻 -dekomposisi anti ajaib dari graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑜 𝑆 𝑚 dijamin ada, kira-kira akan memiliki bentuk seperti apa.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Balakrishnan, M., dan Ranganathan, K. (2012), A Textbook of Graph Theory Second Edition, Spinger, New York.
[2] Bhavanari, S., Devanaboina, S., Bhavanari, M. (2016), “Star Number of A Graph”, Research Journal of Science and IT Management, Vol. 5, No. 11, hal. 18-22.
[3] Chartrand, G., & Zhang, P. (2019). Chromatic graph theory. CRC press.
[4] Hendy, H. (2016, February). The H-super (anti) magic decompositions of antiprism graphs. In AIP Conference Proceedings (Vol. 1707, No. 1). AIP Publishing.
[5] Hendy, Mudholifah, A.N., Sugeng, K.A., Bača, M. and Semaničová-Feňovčíková, A., 2020. On H-antimagic decomposition of toroidal grids and triangulations. AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics , 17 (3), pp.761-770.
[6] Saputro, S.W., Mardiana, N., dan Purwasi, I.A. (2013), “The Metric Dimension of Comb Product Graph”, Graph Theory Conference in Honor of Egawa 60th Birthday.