## PERKIRAAN SELANG KEPERCAYAAN UNTUK PARAMETER PROPORSI PADA DISTRIBUSI BINOMIAL

## Jainal, Nur Salam, Dewi Sri Susanti
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lambung Mangkurat Email: jainalj1a111071@gmail.com

## ABSTRAK
Selang kepercayaan adalah sebuah selang antara dua angka yang diperoleh dari perkiraan titik sebuah parameter.  Karena  besar nilai parameter tidak diketahui, sehingga yang  dipakai dalam perkiraan adalah sebuah peluang. Nilai parameter yang diperkirakan  adalah proporsi. Tujuan penelitian ini adalah menentukan perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial. Hasil dari penelitian ini adalah perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan menggunakan metode besaran pivot dengan ukuran sampel 𝑚𝑚 ≥ 30 dan 𝑚𝑚 < 30 .
Kata Kunci : Selang Kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) , Distribusi Binomial, Proporsi, Metode   Kemungkinan Maksimum, Metode Besaran Pivot

## 1. PENDAHULUAN
Perkiraan parameter populasi menurut Bain & Engelhardt [1] dilakukan dengan menggunakan statistik sampel dan diwujudkan dengan dua bentuk yaitu perkiraan titik dan perkiraan selang. Perkiraan titik digunakan untuk menetapkan sebuah nilai yang sesuai untuk parameter populasi berdasarkan data sampel yang diamati. Namun perkiraan titik untuk parameter populasi tidak begitu akurat karena hanya memiliki satu nilai untuk memperkirakan nilai parameter populasinya. Oleh sebab itu, dibuatlah perkiraan selang dimana perkiraan selang mempunyai cakupan rentang nilai untuk memperkirakan nilai parameter populasinya.  Dalam penentuan perkiraan selang suatu parameter populasi yang tidak diketahui, ada beberapa metode yang dapat digunakan salah satunya adalah metode besaran pivot. Metode besaran pivot digunakan untuk memperkirakan selang dari parameter yang tidak diketahui dengan menggunakan distribusi statistik sampel.
Sahoo  [3]  menjelaskan bahwa dalam pengamatan data sampel yang dilakukan pada suatu percobaan atau suatu data yang diperoleh akan menghasilkan distribusi tertentu. Variabel acak yang mencirikan banyaknya kejadian berhasil dalam n percobaan Bernoulli yang bersifat independen dan dari percobaan yang satu dengan yang lainnya memiliki nilai peluang berhasil yang sama untuk kejadiannya dikenal dengan variabel acak yang berdistribusi Binomial dengan parameter p dan n . Menurut Walpole [4]  perkiraan titik untuk parameter proporsi pada suatu percobaan Binomial diberikan oleh statistik 𝑝𝑝̂ . Dengan demikian, statistik 𝑝𝑝̂ akan digunakan sebagai nilai perkiraan titik untuk parameter proporsi tersebut. Namun, jika parameter proporsi yang tidak diketahui itu tidak terlalu dekat pada 0 atau 1, maka dapat dibuat selang kepercayaan untuk  parameter proporsinya.  Berdasarkan uraian di atas, penulis ingin mengkaji tentang selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1   Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen merupakan suatu teknik  untuk menentukan jenis distribusi peluang dari fungsi variabel acaknya yang didefinisikan sebagai berikut: Definisi  2.1.1  [3]   Jika 𝑋𝑋 adalah variabel acak, maka nilai ekspektasi dari 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 sebagai berikut:
𝑀𝑀 𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 )  = 𝐸𝐸 ( 𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑡𝑡 )                                                                                                                      (1)
Teorema 2.1.2  [3]  Misalkan 𝑋𝑋 adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit momen 𝑀𝑀 𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 ) . Jika 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ , maka 1. 𝑀𝑀 𝑡𝑡+𝑎𝑎 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑡𝑡 ∙ 𝑀𝑀 𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 ) 2. 𝑀𝑀 𝑏𝑏𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 )    = 𝑀𝑀 𝑡𝑡 ( 𝑏𝑏𝑡𝑡 )
3. 𝑀𝑀 𝑡𝑡+𝑎𝑎 𝑏𝑏 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑏𝑏 ∙ 𝑀𝑀 𝑡𝑡 � 𝑡𝑡 𝑏𝑏�
2.2  Distribusi Normal Definisi 2.2.1 [3]  Variabel acak 𝑋𝑋 dikatakan berdistribusi Normal, 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎 2 ) dengan parameter 𝜇𝜇 dan 𝜎𝜎 2 dimana −∞ < 𝜇𝜇 < ∞ dan 𝜎𝜎 2 > 0 ,  jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 𝜎𝜎√ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −12� 𝑥𝑥−𝜇𝜇 𝜎𝜎 � 2 ; −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ (2)
Teorema 2.2.2 [3]  Jika variabel acak 𝑋𝑋 berdistribusi Normal 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎 2 ) , maka fungsi pembangkit momen, rata-rata, dan variansi dari variabel acak 𝑋𝑋 tersebut secara berturut- turut adalah: 𝑀𝑀 𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒 𝜇𝜇𝑡𝑡 + 1 2 𝜎𝜎 2 𝑡𝑡 2 , 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 )    = 𝜇𝜇 , 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 ) = 𝜎𝜎 2

## 2.3  Distribusi Normal Baku
Definisi 2.3  [3]  Variabel acak 𝑋𝑋 berdistribusi  Normal 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎 2 ) disebut distribusi Normal Baku jika 𝜇𝜇 = 0 dan 𝜎𝜎 2 = 1 yang dinotasikan dengan 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 (0,1) dan fungsi kepadatan peluangnya adalah:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 √ 2 𝜋𝜋 𝑒𝑒 −12𝑥𝑥 2 ; −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ (3)
2.4   Distribusi t Teorema 2.4.1 [1] Jika Z ~ N (0,1) dan U ~ 𝜒𝜒 2 ( 𝑣𝑣 ) dengan Z dan U adalah variabel acak bebas, maka variabel acak T didefinisikan sebagai berikut:
𝑇𝑇 = 𝑍𝑍 � 𝑈𝑈 𝑣𝑣 merupakan sebuah nilai variabel acak 𝑇𝑇 yang mempunyai distribusi 𝑡𝑡 dengan 𝑣𝑣 = 𝑚𝑚 − 1 , dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 ; 𝑣𝑣 ) = Γ �𝑣𝑣 + 1 2 � √𝜋𝜋𝑣𝑣 ∙ Γ �𝑣𝑣 2 � ∙ � 1 + 𝑡𝑡 2 𝑣𝑣 � ( 𝑣𝑣+1 ) 2 − ∞ < 𝑡𝑡 < ∞ (4)
Teorema 2.4.2 [4] Jika 𝑥𝑥̅ dan 𝑠𝑠 2 adalah rata-rata dan ragam suatu sampel acak 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 berukuran 𝑚𝑚 yang diambil dari suatu populasi 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝜇𝜇 , 𝜎𝜎 2 ) , maka 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥̅−𝜇𝜇 𝑠𝑠 √𝑚𝑚 � merupakan sebuah nilai variabel acak T yang berdistribusi t dengan derajat kebebasan
𝑣𝑣 = 𝑚𝑚 − 1 .
2.5  Distribusi Binomial Definisi 2.5 [3] Variabel acak 𝑋𝑋 disebut variabel acak binomial dengan parameter p dan n, 𝑋𝑋 ~ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑁𝑁 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 ) jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = �𝑛𝑛𝑥𝑥�𝑝𝑝 𝑥𝑥 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 = 0, 1, … , 𝑛𝑛 , 1 − 𝑝𝑝 = 𝑞𝑞 (5)
Dimana 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 1 adalah peluang keberhasilan dari percobaan Binomial.

## 2.6  Perkiraan Titik
Definisi 𝟐𝟐 . 𝟔𝟔 . 𝟏𝟏 [6] Perkiraan titik dari sebuah parameter adalah sebuah nilai statistik yang digunakan untuk memperkirakan parameter.
Definisi 2.6.2 [4] Statistik 𝜃𝜃� dikatakan sebagai perkiraan tak bias untuk parameter 𝜃𝜃 bila 𝐸𝐸�𝜃𝜃�� = 𝜃𝜃 .
2.7   Perkiraan Selang Definisi 2.7.1  [6]  Selang kepercayaan adalah sebuah selang antara dua angka yang diperoleh dari perkiraan titik sebuah parameter.
Definisi 2.7.2  [1] Jika 𝑋𝑋 1 , 𝑋𝑋 2 , … , 𝑋𝑋 𝑚𝑚 mempunyai fungsi kepadatan peluang bersama 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ; 𝜃𝜃 ); 𝜃𝜃 ∈ Ω , dimana Ω merupakan ruang parameter berupa selang terbuka dalam ℝ . Dengan 𝜃𝜃� 1 = ℓ ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) merupakan batas bawah selang kepercayaan dan 𝜃𝜃� 2 = 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 ) merupakan batas atas selang kepercayaan, maka selang kepercayaan adalah jika memperoleh suatu keadaan:
P[ ℓ ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 )  < 𝜃𝜃 < 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 )] =  1 − 𝛼𝛼 P �𝜃𝜃� 1 < 𝜃𝜃 < 𝜃𝜃� 2 � =  1 − 𝛼𝛼 (6) dengan 𝛼𝛼 adalah koefisien taraf nyata (level of significance).

## 2.8   Besaran Pivot
Definisi  2.8  [1]  Jika 𝚀𝚀 = 𝜙𝜙 ( 𝑋𝑋 1 , … , 𝑋𝑋 𝑚𝑚 ; 𝜃𝜃 ) adalah suatu variabel acak yang hanya membentuk fungsi dalam 𝑋𝑋 1 , … , 𝑋𝑋 𝑚𝑚 dan 𝜃𝜃 , maka 𝚀𝚀 disebut suatu besaran pivot jika distribusinya tidak bergantung (bebas) pada 𝜃𝜃 atau parameter lain yang tidak diketahui.
2.9  Distribusi Penarikan Sampel untuk Nilai Rata-rata Teorema 2.9  Limit Pusat [4] Bila sampel acak berukuran 𝑚𝑚 ditarik dari suatu populasi yang besar atau tak hingga dengan nilai rata-rata µ dan variansi 𝜎𝜎 2 , maka nilai rata-rata sampel 𝑥𝑥̅ akan menyebar menghampiri distribusi Normal dengan nilai rata-rata 𝜇𝜇 𝑡𝑡� = 𝜇𝜇 dan simpangan baku 𝜎𝜎 𝑡𝑡� = 𝜎𝜎 √𝑚𝑚 . Dengan demikian, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥̅−𝜇𝜇 𝜎𝜎 √𝑚𝑚 � merupakan nilai variabel acak Normal baku 𝑍𝑍 .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Menurut Herrhyanto [2] untuk menentukan perkiraan selang kepercayaan untuk sebuah parameter yang tidak diketahui dari sebuah distribusi digunakan metode besaran pivot. Langkah-langkah Metode Besaran Pivot sebagai berikut:
a) Menentukan perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk parameter.
b) Menentukan distribusi dari perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk parameter tersebut.
c) Menentukan besaran pivot.
d) Menentukan distribusi dari besaran pivot tersebut.
e) Mensubstitusikan besaran pivot ke dalam bentuk umum perkiraan selang dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) , yaitu: P( 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑠𝑠𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑣𝑣𝑝𝑝𝑡𝑡 < 𝑏𝑏 ) = 1 − 𝛼𝛼 Dengan 𝑎𝑎 dan 𝑏𝑏 adalah nilai luas daerah sebelah kiri dan kanan di bawah kurva distribusinya sebesar 𝛼𝛼 2 ⁄ .
f) Melakukan perubahan bentuk pada bagian (e)  sedemikian hingga akan menghasilkan bentuk sebagai berikut:
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.10 No.2 (2016) Hal. 1-10
P( 𝑐𝑐 < 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑉𝑉 < 𝑑𝑑 ) = 1 − 𝛼𝛼 Dengan 𝑐𝑐 dan 𝑑𝑑 adalah dua buah bentuk statistik.
Berikut ini akan dijelaskan langkah-langkah tersebut:
Perkiraan  Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel 𝒎𝒎 ≥ 𝟑𝟑𝟑𝟑 .
a) Menentukan Perkiraan Titik yang Bersifat Tak Bias untuk Parameter.
Jika 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑚𝑚 adalah sampel acak berukuran 𝑚𝑚 dan bersifat independen (saling bebas) yang berasal dari variabel acak distribusi Binomial, maka fungsi kepadatan peluangnya adalah:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = �𝑛𝑛𝑥𝑥� 𝑝𝑝 𝑥𝑥 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 = 0,1, … , 𝑛𝑛 (7) Fungsi likelihood dari persamaan (7) adalah:
𝐿𝐿 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 )   = � � 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑖𝑖 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 (8)
Selanjutnya dari persamaan (8) diambil ln pada kedua ruasnya, sehingga:
ln 𝐿𝐿 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 ) = � ln � 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � + 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 �� 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 � ln 𝑝𝑝 + �𝑚𝑚𝑛𝑛 − � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 � ln(1 − 𝑝𝑝 )                                     (9)
Kemudian didiferensialkan persamaan (9) terhadap 𝑝𝑝 dan hasilnya adalah: .
𝜕𝜕 ln 𝐿𝐿 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 ) 𝜕𝜕𝑝𝑝 = 1 𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 − 1 1 − 𝑝𝑝 �𝑚𝑚𝑛𝑛 − � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 �
Perkiraan titik untuk parameter 𝑝𝑝 yang memaksimumkan fungsi ln 𝐿𝐿 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 ) dapat diperoleh pada saat turunan pertamanya bernilai nol, yaitu 𝜕𝜕 ln 𝐿𝐿 ( 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 ) 𝜕𝜕𝑝𝑝 = 0
Sehingga diperoleh:
𝑝𝑝̂ = 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛
Jadi, perkiraan titik dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum untuk 𝑝𝑝 adalah 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 Kemudian akan ditunjukkan bahwa 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 merupakan perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk 𝑝𝑝 . Jika 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 bersifat tak bias, maka akan ditunjukan sebagai berikut:
𝐸𝐸 � 𝑋𝑋� 𝑛𝑛� = � 1 𝑚𝑚𝑛𝑛� ∙ [ 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 1 ) + 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 2 ) + ⋯ + 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 𝑚𝑚 )]                                                                     (10)
Karena variabel acak 𝑋𝑋 berdistribusi Binomial dengan 𝐸𝐸 ( 𝑋𝑋 ) = 𝑛𝑛𝑝𝑝 sehingga persamaan (10) menjadi:
𝐸𝐸 � 𝑋𝑋� 𝑛𝑛� = � 1 𝑚𝑚𝑛𝑛� ∙ ( 𝑛𝑛𝑝𝑝 + 𝑛𝑛𝑝𝑝 + ⋯ + 𝑛𝑛𝑝𝑝 ) = � 1 𝑚𝑚𝑛𝑛� ∙ ( 𝑚𝑚𝑛𝑛𝑝𝑝 ) = 𝑝𝑝
Karena 𝐸𝐸 � 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 � = 𝑝𝑝 , maka 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 adalah perkiraan titik yang bersifat tak bias untuk 𝑝𝑝 .
b) Menentukan  Distribusi dari Perkiraan Titik yang Bersifat Tak Bias untuk Parameter.
Dalam hal ini akan ditentukan distribusi dari perkiraan titik 𝑝𝑝̂ = 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 dengan menggunakan pendekatan kepada distribusi Normal. Diketahui bahwa 𝑋𝑋 berdistribusi Binomial dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = �𝑛𝑛𝑥𝑥�𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ; 𝑥𝑥 = 0, 1, … , 𝑛𝑛 dimana �𝑛𝑛𝑥𝑥� = 𝑛𝑛 ! 𝑥𝑥 ! ( 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 )! (11)
Kemudian digunakan pendekatan Stirling untuk 𝑛𝑛 !, 𝑥𝑥 !, dan ( 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 )! , yaitu:
1. 𝑛𝑛 ! = (2 𝜋𝜋 ) 1 2 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛+�12�
2. 𝑥𝑥 ! = (2 𝜋𝜋 ) 1 2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥+�12�
3.   ( 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 )! = (2 𝜋𝜋 ) 1 2 𝑒𝑒 − ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) ( 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 ) ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) +�12�
Selanjutnya ketiga hasil pendekatan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (11) , sehingga menjadi:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = (2 𝜋𝜋 ) 1 2 𝑒𝑒 −𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛+�12�
(2 𝜋𝜋 ) 1
2 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥+�12� (2 𝜋𝜋 ) 1 2 𝑒𝑒 − ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) ( 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 ) ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) +�12� 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑞𝑞 𝑛𝑛−𝑥𝑥 = 1 √ 2 𝜋𝜋 ∙ 1 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ∙ � 𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥+�12� ∙ � 𝑛𝑛𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥� ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) +�12�
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = lim 𝑛𝑛→∞ � 1 √ 2 𝜋𝜋 ∙ 1 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ∙ � 𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑥𝑥 � 𝑥𝑥+�12� ∙ � 𝑛𝑛𝑞𝑞 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥� ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) +�12� � = 1 √ 2 𝜋𝜋 ∙ 1 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ∙ 1 lim 𝑛𝑛→∞ 𝑁𝑁
Dengan:
𝑁𝑁 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑝𝑝� 𝑥𝑥+�12� ∙ � 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑞𝑞 � ( 𝑛𝑛−𝑥𝑥 ) +�12�
ln 𝑁𝑁 = �𝑥𝑥 + � 1 2 �� ∙ ln � 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑝𝑝� + �𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 + 1 2 � ∙ ln � 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑞𝑞 �
Misalkan:
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝑛𝑛𝑝𝑝 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞
(i) 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛𝑝𝑝 + 𝑧𝑧�𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞
(ii) 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑝𝑝 = 1 + 𝑧𝑧� 𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑝𝑝
(iii) 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 − 𝑛𝑛𝑝𝑝 − 𝑧𝑧�𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑞𝑞 − 𝑧𝑧�𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞
(iv) 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛𝑞𝑞 = 1 − 𝑧𝑧� 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑞𝑞
Sehingga:
ln 𝑁𝑁 = �𝑛𝑛𝑝𝑝 + 𝑧𝑧�𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 + 1 2 � ∙ ln � 1 + 𝑧𝑧� 𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑝𝑝� + �𝑛𝑛𝑞𝑞 − 𝑧𝑧�𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 + 1 2 � ∙ ln � 1 − 𝑧𝑧� 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑞𝑞�
Dengan menggunakan deret Maclaurin diperoleh:
lim 𝑛𝑛→∞ ln 𝑁𝑁 = lim 𝑛𝑛→∞ � 1 2 𝑧𝑧 2 ( 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 ) − 1 6 𝑧𝑧 3 𝑞𝑞 3 2 �𝑛𝑛𝑝𝑝 + 1 2 𝑧𝑧� 𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑝𝑝 − 1 4 𝑧𝑧 2 � 𝑞𝑞 𝑛𝑛𝑝𝑝� + 1 6 𝑧𝑧 3 𝑝𝑝 3 2 �𝑛𝑛𝑞𝑞 − 1 2 𝑧𝑧� 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑞𝑞
− 1 4 𝑧𝑧 2 � 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑞𝑞��
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑁𝑁 = 𝑒𝑒 𝑧𝑧 2 2
Sehingga:
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) =
1 √ 2 𝜋𝜋 ∙ 1 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ∙ 𝑒𝑒 − 𝑧𝑧 2 2
Karena 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝑛𝑛𝑝𝑝 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 maka:
lim 𝑛𝑛→∞ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 1 � 2 𝜋𝜋 ∙ 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ∙ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �− 1 2 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ( 𝑥𝑥 − 𝑛𝑛𝑝𝑝 ) 2 � (12)
Persamaan (12) merupakan fungsi kepadatan peluang distribusi Normal dengan 𝜇𝜇 = 𝑛𝑛𝑝𝑝 dan 𝜎𝜎 2 = 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 atau dapat ditulis 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝑛𝑛𝑝𝑝 , 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 )
Kemudian menentukan distribusi dari 𝑝𝑝̂ = 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 dengan teknik  fungsi pembangkit momen, yaitu:
𝑀𝑀 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �𝑝𝑝𝑡𝑡 + 1 2 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡 2 � (13)
Persamaan (13) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan 𝜇𝜇 = 𝑝𝑝 dan 𝜎𝜎 2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 atau dapat ditulis 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 �𝑝𝑝 , 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 � .
c) Menentukan Besaran Pivot untuk Ukuran Sampel 𝒎𝒎 ≥ 𝟑𝟑𝟑𝟑 Misalkan besaran pivotnya adalah:
𝑌𝑌 = �𝑥𝑥̅ ̅ 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝�
� 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛
d) Menentukan Distribusi dari Besaran Pivot.
Untuk menentukan distribusi dari besaran pivot digunakan teknik fungsi pembangkit momen sebagai berikut:
𝑀𝑀 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ⎝ ⎛−𝑡𝑡 ∙ 𝑝𝑝 � 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎠ ⎞ ⎠ ⎟ ⎞ ∙ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ⎝ ⎛𝑝𝑝 ∙ 𝑡𝑡
� 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1 2 ∙ 𝑡𝑡 2 ⎠ ⎞ (14)
Karena 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 �𝑝𝑝 , 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 � , maka fungsi pembangkit momen dari 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 yang ditransformasi menjadi fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal Baku, 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 (0,1) adalah:
𝑀𝑀 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) = �𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 � −𝑡𝑡 ∙ 0 √ 1 �� ∙ 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 � 0 ∙ 𝑡𝑡 √ 1 + 1 2 ∙ 𝑡𝑡 2 � = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 � 𝑡𝑡 2 2 � (15)
Persamaan (15) merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Normal dengan 𝜇𝜇 = 0 dan 𝜎𝜎 2 = 1 (distribusi Normal Baku), sehingga 𝑌𝑌 = � 𝑋𝑋� 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝� � 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 (0,1).
e) Mensubstitusikan  Besaran Pivot ke Dalam Bentuk Umum Perkiraan Selang dengan Tingkat Kepercayaan ( 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 ) .
P �−𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 < 𝑌𝑌 < 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 � =  1 – 𝛼𝛼
P ⎝ ⎛−𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑝𝑝 � 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2
⎠ ⎞ =  1 – 𝛼𝛼 f) Melakukan Perubahan Bentuk pada Bagian (e).
P � 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 � 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 � 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛� = 1 − 𝛼𝛼
g) Menetapkan  Batas Bawah dan Batas Atas Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial  dengan Ukuran Sampel 𝒎𝒎 ≥ 𝟑𝟑𝟑𝟑 .
Karena nilai 𝑝𝑝 tidak diketahui, maka perkiraan titik 𝑝𝑝 adalah 𝑝𝑝̂ = 𝑥𝑥̅ 𝑛𝑛 sehingga perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 𝑚𝑚 ≥ 30 dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) adalah:
P ⎝ ⎜ ⎛𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎠ ⎟ ⎞ = 1 − 𝛼𝛼 (16)
dengan:
𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑧𝑧 𝛼𝛼 2 ⁄ �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 adalah batas bawah perkiraan 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑧𝑧 𝛼𝛼 / 2 �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � �
𝑚𝑚𝑛𝑛
adalah batas atas perkiraan
Berikutnya  adalah  Menentukan Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial dengan Ukuran Sampel 𝒎𝒎 < 𝟑𝟑𝟑𝟑 .
a. Menentukan Besaran Pivot untuk Ukuran Sampel 𝒎𝒎 < 𝟑𝟑𝟑𝟑 .
Misalkan besaran pivotnya adalah:
𝑇𝑇 = 𝑋𝑋� 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 � 𝑝𝑝̂𝑞𝑞� 𝑚𝑚𝑛𝑛
b. Menentukan Distribusi dari Besaran Pivot.
Diketahui bahwa 𝑋𝑋 adalah variabel acak yang berdistribusi Binomial, sehingga dengan pendekatan Stirling pada langkah sebelumnya diperoleh 𝑋𝑋 ~ 𝑁𝑁 ( 𝑛𝑛𝑝𝑝 , 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 ) .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑋𝑋� berdistribusi Normal
Dengan teknik fungsi pembangkit momen, maka:
𝑀𝑀 𝑡𝑡� ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 �𝑛𝑛𝑝𝑝𝑡𝑡 + 1 2 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑡𝑡 2 𝑚𝑚� (17)
Persamaan (17) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan 𝜇𝜇 = 𝑛𝑛𝑝𝑝 dan 𝜎𝜎 2 = 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚 atau dapat ditulis 𝑋𝑋� ~ 𝑁𝑁 �𝑛𝑛𝑝𝑝 , 𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚 � .
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 berdistribusi Normal.
Diketahui bahwa pada langkah sebelumnya 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 �𝑝𝑝 , 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 � .
Kemudian akan ditunjukkan bahwa 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝 juga berdistribusi Normal.
Dengan menggunakan teknik fungsi pembangkit momen, maka:
𝑀𝑀 𝑡𝑡� 𝑛𝑛−𝑝𝑝 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 ( −𝑝𝑝𝑡𝑡 ) ∙ 𝑀𝑀 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 )   = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑝𝑝 � 1 2 𝑝𝑝𝑞𝑞 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑡𝑡 2 � (18)
Persamaan (18) merupakan fungsi pembangkit momen untuk distribusi Normal dengan 𝜇𝜇 = 0 dan 𝜎𝜎 2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 atau dapat ditulis 𝑋𝑋� ~ 𝑁𝑁 � 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 � .
sehingga, 𝑋𝑋� 𝑛𝑛 −𝑝𝑝 � 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 ~ 𝑁𝑁 (0,1)
Dalam hal ini 𝑠𝑠 2 = 𝑝𝑝�𝑝𝑝� 𝑚𝑚𝑛𝑛 dan 𝜎𝜎 2 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 maka: ( 𝑚𝑚 − 1) 𝑝𝑝�𝑝𝑝� 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 ~ 𝜒𝜒 2 ( 𝑚𝑚 − 1)
Dengan demikian, 𝑇𝑇 = 𝑍𝑍 � 𝑈𝑈 𝑚𝑚−1 = �𝑋𝑋 𝑛𝑛 � −𝑝𝑝� � 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛
� ( 𝑚𝑚−1 ) 𝑝𝑝�𝑝𝑝� 𝑚𝑚𝑛𝑛 ( 𝑚𝑚−1 ) 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑋𝑋 𝑛𝑛 �−𝑝𝑝 � 𝑝𝑝�𝑝𝑝� 𝑚𝑚𝑛𝑛
c. Mensubstitusikan  Besaraan Pivot ke Dalam Bentuk Umum Perkiraan Selang dengan Tingkat Kepercayaan ( 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 ) .
P �−𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) < 𝑇𝑇 < 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) � =  1 – 𝛼𝛼
P ⎝ ⎛− 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑝𝑝 � 𝑝𝑝̂𝑞𝑞� 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) ⎠ ⎞ =  1 – 𝛼𝛼
d. Melakukan Perubahan Bentuk pada Bagian (c).
P � 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �𝑝𝑝̂𝑞𝑞� 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) � 𝑝𝑝̂𝑞𝑞� 𝑚𝑚𝑛𝑛� = 1 − 𝛼𝛼
e. Menetapkan Batas Bawah dan Batas Atas dari Perkiraan Selang Kepercayaan untuk Parameter Proporsi pada Distribusi Binomial  dengan Ukuran Sampel 𝒎𝒎 < 𝟑𝟑𝟑𝟑 .
Karena 𝑝𝑝̂ = 𝑡𝑡� 𝑛𝑛 , maka perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) untuk ukuran sampel 𝑚𝑚 < 30 adalah: P ⎝ ⎜ ⎛𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎠ ⎟ ⎞ = 1 − 𝛼𝛼 (19)
dengan:
𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛
� � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 adalah batas bawah perkiraan
𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 adalah batas atas perkiraan
Dari hasil langkah-langkah metode besaran pivot didapat bahwa perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi  Binomial dengan ukuran sampel 𝑚𝑚 ≥ 30 dan 𝑚𝑚 < 30 adalah pada persamaan (16) dan (19) .

## 4. KESIMPULAN
Perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 𝑚𝑚 ≥ 30 dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) adalah:
P ⎝ ⎜ ⎛𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑧𝑧 𝛼𝛼 2 ⁄ �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � �
𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑧𝑧 𝛼𝛼 2 ⁄ �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎠ ⎟ ⎞ = 1 − 𝛼𝛼
Perkiraan selang kepercayaan untuk parameter proporsi pada distribusi Binomial dengan ukuran sampel 𝑚𝑚 < 30 dengan tingkat kepercayaan (1 − 𝛼𝛼 ) adalah:
P ⎝ ⎜ ⎛𝑋𝑋 𝑛𝑛 � − 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � �
𝑚𝑚𝑛𝑛 < 𝑝𝑝 < 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � + 𝑡𝑡 𝛼𝛼 / 2 ( 𝑚𝑚−1 ) �� 𝑋𝑋 𝑛𝑛 � � � 1 − 𝑋𝑋𝑛𝑛 � � 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎠ ⎟ ⎞ = 1 − 𝛼𝛼

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Bain, L. J. & Max Engelhardt. 1992. Introduction To Probability and    Mathematical Statistic Second Edition . Duxbury. USA.
[2] Heryanto, Nar. 2013. Statistika Inferensial Secara Teoritis . Yrama Widya. Bandung.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.10 No.2 (2016) Hal. 1-10
[3] Sahoo, P. 2008. Probability and Mathematical Statistic. University of Louisuille. USA.
[4] Walpole, R. E. 1995. Pengantar Statistika. Edisi ke-3 . Gramedia Jakarta.
[5] Walpole, R. E., R. H. Myers, S. L. Myers, dan K. Ye. 2012. Probability & Statistics for Engineers & Scientists  9 th Edition. Boston . United States of America. Prentice Hall.
[6] Weiss, Neil A. 2012. Introductory Statistics  9 th Edition . Arizona State University. USA.