Vol. 12, No. 1,  9-18,  Juli  2015

## PENAKSIRAN RATAAN DAN VARIANSPOPULASI PADA SAMPEL ACAK TERSTRATIFIKA DENGAN

## AUXILIARY VARIABLE
Raupong, M. Saleh AF, Hasruni Satya Taruma

## Abstrak
Penaksiran  rataan  dan  variansi  suatu  populasi  dilakukan  melalui  sampel  yang  diharapkan  hasilnya  dapat mewakili  karakteristik populasi tersebut.  Teknik pengambilan sampel  yang baik akan  memberikan hasil penelitian yang baik pula. Kebanyakan peneliti menggunakan teknik pengambilan sampel acak tetapi hasil penaksiran  dengan  teknik  ini  masih  menghasilkan  variansi  yang  besar  dan  tidak  sesuai  untuk  jumlah sampel  yang  besar  sehingga  dibutuhkan  teknik  pengambilan  sampel  lain,  salah  satunya  adalah pengambilan  sampel  acak  terstratifikasi.  Teknik  ini  masih  lebih  baik  dibandingkan  dengan  sampel  acak sederhana karena menghasilkan variansi yang lebih minimum dan sesuai untuk jumlah sampel yang besar. Tetapi  dengan  hanya  mengandalkan  teknik  pengambilan  sampel,  masih  tidak  menjamin  hasil  penaksiran akan  lebih  baik  sehingga  dalam  penelitian  ini  ditambahkan  beberapa  teknik  lain  seperti  penambahan auxiliary  variable dan  alokasi  optimum  dalam  penentuan  jumlah  sampel . Adanya  penggabungan  antara teknik  pengambilan  sampel  yang  distratifikasi,  penambahan auxiliary  variable, serta  alokasi  optimum memperlihatkan    hasil  penaksiran  yang  lebih  baik  dalam  menggambarkan  karakterisrik  populasi  melalui sampel.
Kata  kunci: Sampel  acak  sederhana,  sampel  acak  terstratifikasi, auxiliary  variable, alokasi optimum.

## 1. Pendahuluan
Dalam  kehidupan  kita  sehari-hari  tidak  terlepas  dari  statistika.  Pada  dasarnya  statistika berhubungan dengan data, fakta, dan informasi. Salah satu kegiatan yang utama dalam statistika adalah pengumpulan data. Pelaksanaan pengumpulan data selalu berhadapan dengan objek yang diteliti atau yang diselidiki. Meskipun penelitian hanya mengambil sebagian dari seluruh objek yang diteliti, tetapi hasilnya dapat mewakili atau mencakup seluruh objek yang diteliti.
Pengambilan  sampel  penelitian  ini  diterapkan  suatu  cara  atau  teknik-teknik  tertentu, sehingga  sampel  tersebut  sedapat  mungkin  mewakili  populasinya.  Teknik  ini  biasa  disebut “teknik  sampling”.  Dalam  penelitian  survei,  teknik  sampling  ini  sangat  penting  dan  perlu diperhatikan dengan seksama sebab teknik pengambilan sampel yang baik akan mempengaruhi validitas hasil penelitian tersebut. Salah satu teknik pengambilan sampel yang biasa orang pakai adalah  pengambilan  sampel  acak  terstratifikasi  ( stratified  random  sampling). Teknik  ini digunakan  apabila  peneliti  berpendapat  bahwa  ada  perbedaan  ciri,  atau  karakteristik  antara strata-strata  yang  ada,  dan  perbedaan  strata  tersebut  mempengaruhi  variabel.  Apabila  anggota populasi  terbagi  atas  tingkat-tingkat  atau  strata  maka  pengambilan  sampel  tidak  boleh mengabaikan adanya strata dan setiap strata harus diwakili sebagai sampel.
Tujuan utama kita mengambil sampel dari suatu populasi adalah memperoleh informasi mengenai parameter populasi atau singkatnya untuk mengetahui parameter populasi itu. Dalam statistika  inferensia,  jika  parameter  populasi  tidak  diketahui,  maka  untuk  mengetahuinya
dilakukan  penaksiran  dari  statistik  suatu  sampel  dan  diharapkan  hasilnya  mendekati  apa  yang sebenarnya terjadi pada populasi. 1
Dalam  melakukan  penaksiran,  tentunya  terdapat  bias  pada  hasil  akhir  dan  diharapkan bias  tersebut  memiliki  hasil  yang  sangat  minimum  karena  setiap  peneliti  pastinya  mempunyai harapan agar hasil penelitiannya menghasilkan penaksiran yang baik.
Salah  satu  cara  dalam  meminimumkan  bias  penaksiran  adalah  dengan  menambahkan suatu variabel dan variabel tersebut biasa disebut dengan auxiliary variable . Auxiliary variable adalah  variabel  tambahan  yang  biasanya  para  peneliti  ingin  menggunakannya  dalam  metode estimasi untuk memperoleh penaksir yang paling baik.
Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan penaksiran rataan dan variansi pada sampel acak terstratifikasi, membandingkan hasil penaksiran rataan dan variansi sederhana dengan hasil penaksiran dengan auxiliary variable dan alokasi optimum pada sampel acak terstratifikasi serta Menentukan hasil penaksiran variansi menggunakan Mean Square Error.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Populasi dan Sampel
Populasi adalah keseluruhan subjek penelitian. Apabila seseorang ingin meneliti semua elemen  yang  ada  dalam  wilayah  penelitian,  maka  penelitiannya  merupakan  penelitian  populasi atau disebut studi populasi, atau juga studi sensus. Penelitian populasi dilakukan apabila peneliti ingin  melihat  semua  atribut  yang  terdapat  di  dalam  populasi.  Oleh  karena  semua  subjeknya meliputi semua yang terdapat dalam populasi maka juga disebut sensus.
Sampel  adalah  anggota  dari  populasi.  Sampel  dapat  dipilih  berdasarkan  random,  strata atau wilayah tetapi didasarkan atas adanya tujuan tertentu.

## 2.2 Beberapa Metode Sampling
Pengambilan sampel harus dilakukan sedemikian rupa sehingga diperoleh sampel yang benar-benar dapat menggambarkan keadaan populasi yang sebenarnya atau representative .
Dari  beberapa  cara  pengambilan  sampel  yang  telah  dipaparkan  tetapi  hanya  dua  yang akan  dibahas  pada  penulisan  kali  ini  yaitu  Pengambilan  Sampel  Acak  Sederhana (Simple Random Sampling) dan Pengambilan Sampel Terstratifikasi (Stratified Sampling).

## 2.2.1 Pengambilan Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling)
Pengambilan sampel acak sederhana adalah sebuah metode untuk memilih n unit dari N sehingga setiap elemen dari N C n sampel yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih.  Dalam  praktek,  penarikan  sampel  acak  sederhana  dipilih  unit  per unit. Unit-unit  dalam populasi  diberi  nomor  dari  1  sampai N .  Serangkaian  bilangan  acak  1  dan N kemudian  dipilih, dengan  cara  menggunakan  sebuah  tabel  bilangan  acak  atau  dengan  cara  menggunakan  sebuah program  komputer  yang  menghasilkan  tabel  bilangan  acak.  Pada setiap  penarikan,  proses  yang digunakan  harus  memberikan  kesempatan  terpilih  yang  sama  untuk  setiap  bilangan  dalam populasi. Unit-unit yang terpilih ini sebanyak n merupakan sampel.
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
2.2.2 Pengambilan Sampel Terstratifikasi (Stratified Sampling)
 Uraian
Dalam penarikan sampel berlapis populasi N unitnya pertama-tama dibagi ke dalam subpopulasi, masing-masing unit. Subpopulasi ini tidak boleh tumpang-tindih dan bila seluruh subpopulasi dijumlahkan, maka diperoleh
Subpopulasi disebut lapisan (strata) . Untuk memperoleh keuntungan yang maksimal dari pelapisan (stratification), nilai N h harus diketahui. Bila lapisan telah ditentukan, sebuah sampel  diambil  dari  masing-masing  lapisan,  pengambilan  dilakukan  secara  acak  untuk setiap  lapisan.  Ukuran  sampel  lapisannya  dinotasikan  dengan dan adalah nilai dalam sampel ke- h pada pengamatan ke -i .
Jika  sebuah  sampel  acak  sederhana  diambil  dari  setiap  lapisan,  seluruh  prosedur digambarkan sebagai penarikan sampel acak terstratifikasi (berlapis).
 Notasi
Akhiran h menunjukkan  lapisan  dan i unit  di  dalam  lapisan  tersebut.  Notasinya merupakan  perluasan  dari  yang  digunakan  sebelumnya.  Seluruh  simbol-simbol  berikut menunjukkan pada lapisan ke- .
Jumlah unit lapisan yang terpilih Jumlah unit dalam sampel pada lapisan terpilih Nilai yang diperoleh untuk unit ke- i Bobot lapisan
Fraksi penarikan sampel di dalam lapisan
̅ ∑ Rata-rata populasi (rata-rata sebenarnya) ̅ ∑ Rata-rata sampel ∑ ( ̅ )
Varians pada lapisan ke- h yang terpilih
 Sifat-sifat Penaksiran
Penaksiran yang digunakan dalam penarikan sampel berlapis adalah ̅ di mana
̅ ∑ ̅ ∑ ̅ (1) dengan Rata –rata sampel, ̅ dapat ditulis sebagai berikut ̅ ∑ ̅
(2)
Pembuktian telah memperlihatkan bahwa ̅ adalah penaksiran tak bias dari rata-rata populasi ̅ maka dapat dituliskan
( ̅ )    ̅   ∑ ̅ (3)
Sehingga  variansi  dari  penaksiran ̅ untuk  penarikan  sampel  acak  terstratifikasi adalah
( ̅ ) ∑ ( ) ∑ ( ) (4)
[1]

## 2.3 Variabel Tambahan (Auxiliary Variabel)
Selain variabel penelitian y i , satu atau lebih variabel tambahan x i dapat berhubungan dengan  unit i dari  populasi.  Misalnya,  jika  variabel  penelitian  adalah  volume  pohon, diameter  payudara  atau  "bola  mata"  penaksiran  volume  dapat  berfungsi  sebagai  variabel tambahan.
Informasi tambahan dapat digunakan baik dalam desain sampling atau estimasi. Pada  tahap  estimasi,  hubungan  antara y i dan x i kadang-kadang  dapat  dimanfaatkan untuk menghasilkan penaksiran yang lebih tepat daripada yang dapat diperoleh dari data y saja.  Rasio  dan  penduga  regresi  adalah  contoh  dari  penggunaan  variabel  tambahan  dalam penaksiran [6].

## 2.4 Mean Square Error
Untuk  membandingkan  sebuah  penaksir  bias  dengan  penaksir  tidak  bias,  atau  dua penaksir dengan jumlah bias yang berbeda, maka suatu kriteria yang berguna adalah dengan menghitung rata-rata kuadrat galat (mean square error) pada penaksir yang diukur dari nilai populasi yang ditaksirkan. Secara umum,
( ̅)    ( ̅    ̅) ( ̅ ̅ ̅    ̅ )
( ̅ )    ( ̅ )     ( ̅ ̅)
( ̅)   (    ( ̅))

## 2.5 Alokasi Optimum (Optimum Alocation)
Dalam  penarikan  sampel  acak  terstratifikasi,  nilai  dari  ukuran  sampel dalam masing-masing  strata  dipilih  oleh  pengambil  sampel,  alasannya  mungkin  memilih  untuk meminimumkan ( ̅ ) dengan  biaya  tertentu.  Biaya  dalam  setiap  stratum adalah proporsional dengan ukuran sampel [1].
Alokasi optimum strata ini menghasilkan alokasi penaksiran dengan varians terkecil yang mungkin untuk total biaya survei. Hal-hal yang perlu diketahui sebelum menentukan alokasi optimum untuk adalah tiap sampel telah terbagi ke dalam masing-masing strata, rata-rata biaya per unit , standar deviasi dan bobot .
Maka alokasi yang memberikan ( ̅ ) minimum  adalah √ ⁄ ∑ √ ⁄ (5)
Alokasi  optimum  memberikan  nilai baru  yang  kemudian  akan  digunakan  untuk lebih meminimumkan ( ̅ ) .

## 2.6 Penaksir Regresi untuk Sampel Acak Sederhana
Misalkan  terdapat  populasi  terbatas  berukuran N dimana s sampel  berukuran n diambil secara acak sederhana tanpa penggantian. Kita misalkan bahwa dan masing- masing  adalah  variabel  penelitian  dan  variabel  tambahan  yang  diperoleh  untuk  setiap  unit dalam  sampel  dimana dan  rata-rata  populasi ̅ dari diketahui  maka penaksiran regresi linear ̅ dari rata-rata populasi , adalah
̅ ̅    ( ̅    ̅) (6)
dimana notasi lr menyatakan regresi linear dan z adalah suatu koefisien penaksiran dari perubahan dalam y bila x meningkat.
Perhitungan z menggunakan  metode  penaksiran  kuadrat  terkecil  dari Z  (koefisien regresi populasi), maka
∑ ( ̅)( ̅) ∑ ( ̅) (7)
Teorema 7.3 dalam [1] Bila z adalah penaksiran kuadrat terkecil dari Z dan,
̅ ̅    ( ̅    ̅) (8)
kemudian dalam sampel acak sederhana berukuran n , dengan n besar,
( ̅ ) (   ) ( ) (9) dimana ⁄ adalah korelasi populasi antara y dan x , maka didapatkan
( ̅ ̅) ( ̅ ) (   ) ( ) (10) [1] Bukti  bahwa z dapat  meminimumkan  variansi  adalah  karena adalah  koefisien regresi linear dari y pada x dalam populasi terbatas. B tidak tergantung pada sifat dari setiap sampel yang diambil dan secara teoritis dapat ditentukan lebih dulu.

## 2.7 Penaksir  Regresi untuk Sampel Acak Terstratifikasi
Terdapat dua jenis penaksiran regresi dalam pengambilan sampel acak  terstratifikasi. Penaksiran pertama yaitu penaksiran regresi terpisah ̅ (huruf s berarti terpisah) dihitung untuk setiap rata-rata lapisan, yaitu
̅ ̅ ( ̅ ̅ ) (11) Kemudian, dengan ⁄ , ̅ ∑ ̅ (12)
Penaksiran ini mempertimbangkan bahwa koefisien regresi bervariasi dari lapisan ke  lapisan.  Varians  minimum  dari ̅ didapatkan  bila ,  koefisien  regresi
sebenarnya dalam lapisan h , sehingga dapat dituliskan sebagai berikut ( ̅ )   ∑ ( ) ( )
(13)
Penaksiran regresi yang kedua adalah ̅ (huruf c berarti gabungan). Penaksiran ini menganggap sama untuk seluruh lapisan.
̅ ̅ ( ̅    ̅ ) (14) Sedangkan penaksiran dari ( ̅ ) adalah sebagai berikut ( ̅ )   ∑ ( )
( ) ∑ [( ̅ ) ( ̅ )] (15) [1]

## 3. Hasil dan Pembahasan
4.1 Penaksiran  Parameter  Rataan ̅ dan  Variansi  Populasi ( ̅ ) pada
Sampel Acak Sederhana 4.1.1 Penaksiran rataan ̅
Rataan sampel ̅ adalah penaksiran tak bias dari  rataan populasi ̅ . Bukti:
( ̅) (     ) (     )  (     ) (     ) ( )
̅ Sama hal nya dengan ̅    ̅

## 4.1.2 Penaksiran
Penaksiran sebagai  koefisien  regresi  pada  pers.regresi ̅ ( ̅) ditaksir dengan metode kuadrat terkecil.
Bukti:
̅    ( ̅)
∑ ∑( ̅    ( ̅))
∑( ̅    ( ̅))( ( ̅)) ∑ ( ̅) ( ̅) ∑ ( ̅) 4.1.3 Penaksiran variansi populasi ( ̅ )
Sebelum membuktikan Penaksiran variansi ( ̅ ) terlebih dahulu persamaan varians dari rataan ̅ untuk sampel acak sederhana yang akan dibuktikan yaitu
( ̅)    ( ̅    ̅) (     ) , di mana adalah variansi populasi
Bukti:
( ̅    ̅)   ( ̅)   ( ̅)       ( ̅) (11.1) [( ̅) ( ̅) ( ̅) ] [( ̅) ( ̅) ( ̅) ] [( ̅)( ̅)   ( ̅)( ̅)       ( ̅)( ̅)] (     ) (     ) [( ̅)( ̅)   ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)] Kuadratkan pers.(11.1) kemudian dikalikan dengan diperoleh
{( ̅) ( ̅) ( ̅)
(     )
(     ) [( ̅)( ̅)   ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)]} {( ̅) ( ̅) (     ) (     ) ( ̅)( ̅) ( ̅)( ̅)} Karena ∑
̅ , maka {( (     )   (     ) (     ) ) (∑( ̅) ) (     ) (     ) [  ̅     ̅] } ( ̅    ̅) {( ) ∑ ( ̅) } (11.2) Setelah dibagi dengan ( ̅    ̅) ( ) ∑ ( ̅) (11.3) Karena ⁄ , maka ( ̅) (     )

## Raupong, M. Saleh AF, Hasruni Satya Taruma
Pers.(11) merupakan pengembangan dari ( ̅) (     ) dengan penambahan sebagai konstanta yang ditentukan dari sampel, berikut adalah pembuktiannya
( ̅ ) (     ) ∑ [( ̅) ( ̅)] (     ) ( ) Nilai yang meminimumkan ( ̅ ) adalah ∑ ( ̅) ( ̅) ( ̅) (     ) ( ) Dimana , maka ( ̅ ) (     ) ( ) 4.2 Penaksiran  Parameter  Rataan ̅ dan  Variansi ( ̅ ) Populasi pada Sampel Acak Terstratifikasi (Penaksiran Terpisah)
4.2.1 Penaksiran rataan populasi ̅
Penaksiran  ini  sama  halnya  dengan  penaksiran  sampel  acak  sederhana  karena penaksiran dilakukan per strata dan sampelnya dipilih secara acak kemudian hasil penaksiran rataan masing-masing strata digabungkan untuk menghasilkan
̅ ∑ ̅ ̅
Bukti:
( ̅ )      (∑ ̅ )   ∑ ( ( ̅ ))
∑ ̅ 4.2.2 Penaksiran variansi populasi ( ̅ )
Penaksiran  ini  berdasarkan  pers.  (11.3)  dengan  penggantian  langsung  variabel- variabelnya, berikut adalah pembuktiannya.
( ̅ ̅) ∑ ( ̅ ̅) di mana , sehingga ( ) Persamaan  di  atas  mengalami  pengembangan  dengan  penambahan .  Nilai yang meminimumkan variansi adalah ∑ ( ̅ )( ̅ ) ∑ ( ̅ ) , sehingga
( ̅ ) ( ) ∑ [( ̅ ) ( ̅ )] ( ) ( ) 4.3 Penaksiran  Parameter  Rataan ̅ dan  Variansi ( ̅ ) Populasi  pada
Sampel Acak Terstratifikasi (Penaksiran Gabungan) 4.3.1 Penaksiran rataan ̅ ̅ ̅ ( ̅    ̅ ) ( ̅ )      (∑ ̅ )
∑
̅ ∑ ̅ 4.3.2 Penaksiran variansi ( ̅ ) Penaksiran variansi gabungan ini sama dengan penaksiran variansi terpisah yaitu ( ̅ ̅) ( )
tetapi  yang  membedakan  adalah  koefisien
regresi .  Di  mana didapatkan  dari  penaksiran  kuadrat  terkecil  dari  persamaan regresi
̅ ̅ ( ̅    ̅ ) dan didapatkan
∑ ( ) ∑ ( ) ⁄ ∑ ( ) ( ) ∑( ̅ )( ̅ ) ∑ ( ) ( ) ⁄ ∑( ̅ ) Kemudian  subtitusi  nilai ke  persamaan  variansi ( ̅ ̅) ( ) sehingga didapatkan persamaan
( ̅ ) ( ) ( ) ∑[( ̅ ) ( ̅ )]
4.4 Pembuktian persamaan MSE
( ̅    ̅) ( ̅ ̅ ̅    ̅ )
( ̅ )     ( ̅)( ̅)    ( ̅ )
Diketahui
( ̅)    ( ̅ )   ( ( ̅))
( ̅ )    ( ̅)    ( ( ̅)) sehingga
( ̅) ( ̅)
3.2. Aplikasi pada Data

## Raupong, M. Saleh AF, Hasruni Satya Taruma
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yakni  data  primer  mengenai  mahasiswa FMIPA  UNHAS  khususnya  angkatan  2011  di  mana  grade  SNMPTN jurusan  sebagai  pembeda strata.
Jumlah sampel tiap jurusan pada sampel acak terstratifikasi adalah
 Jur.Fisika = 49 orang
 Jur. Matematika  = 47 orang  Jur.Biologi = 42 orang  Jur.Kimia = 48 orang
IPK  mahasiswa  sebagai  variabel  penelitian Y dan  penghasilan  orang  tua  per  bulan sebagai auxiliary variable X.
Berdasarkan  pada  hasil  penaksiran  rataan  dan  variansi  minimum  yang  telah  dijelaskan sebelumnya, maka didapatkan hasil sebagai berikut:
Tabel. 1 Perbandingan jumlah secara persentase dan alokasi optimum Jurusan secara persentase secara alokasi optimum Fisika 111 58 49 Matematika 110 57 47 Biologi 97 47 42 Kimia 68 24 48 Tabel 2. Perbandingan Hasil Taksiran Rataan dan Variansi Taksiran Metode Rataan Variansi Acak sederhana Terstratifikasi Terpisah Gabungan Mean Square Error Terpisah - Gabungan - Alokasi optimum -

## 5. Kesimpulan dan Saran

## 5.1. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  yang  telah  dilakukan  beserta  penjelasan  yang dipaparkan, maka kesimpulan yang dapat ditarik adalah sebagai berikut:
1. Besarnya  penghasilan  orang  tua  mahasiswa  tidak  mempengaruhi  tinggi  atau  rendahnya nilai IPK seorang mahasiswa.
2. Penaksiran  variansi  menggunakan  teknik  sampel  acak  terstratifikasi  lebih  baik dibandingkan  dengan  teknik  sampel  acak  sederhana  karena  teknik  tersebut  membagi populasi  ke  dalam  strata-strata  yang  variansinya  lebih  kecil  sehingga  membuat keragaman dalam populasi juga menjadi kecil.
3. Penambahan auxiliary  variable ternyata  lebih  meminimumkan  variansi  populasi dibandingkan  dengan  hanya  menggunakan  variabel  penelitian  saja  karena auxiliary
Raupong, M. Saleh AF, Hasruni Satya Taruma
variable ini memberikan  informasi lebih mengenai variabel penelitian sehingga variabel ini banyak dimanfaatkan untuk menghasilkan penaksiran yang lebih tepat.
4. Penaksiran  variansi  pada  sampel  acak  terstratifikasi  secara  terpisah  lebih  menghasilkan penaksiran  yang  lebih  baik  dibandingkan  dengan  penaksiran  gabungan  karena  dalam kasus ini keragaman dalam strata lebih kecil sedangkan antar strata keragamannya besar.
5. Penambahan  alokasi  optimum  lebih  meminimumkan  hasil  penaksiran  variansi  galat karena  alokasi  optimum  memberikan  jumlah  sampel  yang  lebih  memperlihatkan karakteristik dari populasi.

## 5.1 Saran
Pada  penelitian  ini  membahas  mengenai  penambahan auxiliary  variable dalam  meminimumkan  hasil  penaksiran  rataan  dan  variansi  pada  variabel  penelitian dan berikut adalah saran yang dapat diberikan oleh penulis:
1. Penelitian ini hanya melibatkan satu auxiliary variable yang hasilnya cukup efisien dalam  menghasilkan  variansi  minimum  tetapi  diharapkan  pada  penelitian selanjutnya  dapat  melibatkan  dua  atau  lebih auxiliary  variable yang  berkorelasi dengan variabel penelitian agar hasil penaksiran yang dihasilkan juga semakin baik.
2. Penelitian ini  menggunakan  penaksir  regresi  sehingga  penelitian  selanjutnya  dapat memakai penaksir rasio untuk metode penaksirannya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Cochran,  W.  G.  1991. Sampling  Techniques  Third  Edition  (Terjemahan). Jakarta:  UI- Press.
[2] Kadilar,  C.  dan  Cingi,  H,.  2003.  “Ratio  Estimators  in  Stratified  Random  Sampling ”. Biometrical Journal 45 (2003) 2,218-225 . Turkey.
[3] Koyuncu,  Nursel  dan  Kadilar,  Cem.  2010. On  Improvement  in  Estimating  Population Mean in Stratified Random Sampling. Taylor & Francis: Turkey.
[4] Singh  Rajesh,  dkk.  2008.  “Ratio  Estimators  in  Simple  Random  Sampling  Using Information  on  Auxiliary  Attribute ”.  Pak.j.stat.oper.res.Vol.IV    No.1  2008 pp47-53. India.
[5] Sisodia,  B.V.S.  and  Dwivedi,V.  K.  1981.  “A  Modified  Ratio  Estimator  Using Coefficient  of Variation  of  Auxiliary  Variable”. Journal  of  Indian Society  Agricultural Statistics 33,1318.
[6] Tompson, Steven K. 1992. Sampling. New York: John Wiley & Sons, Inc.
[7] Upadhyaya,L.N.  and  Singh,H.P.,  1999:  “Use  of  Transformed  Auxiliary  Variable  in Estimating the Finite Population Mean”. Biometrical Journal 41, 5, 627636.