## HUBUNGAN  MATRIKS AB DAN BA PADA STRUKTUR JORDAN  NILPOTEN
Sondang Purnamasari Pakpahan (sondang@upbjj-ut.ac.id) UPBJJ-UT Medan
Elvina Herawaty FMIPA Matematika Universitas Sumatera Utara

## ABSTRACT
In this paper,  we  give another proof about  the  relationship between  AB  and  BA with eigenvalue zero that  reduced by structure Jordan for nilpoten matrix
Keywords :  eigenvalue, nilpotent matrix, structure Jordan
Perkalian dua matriks kuadrat AB dan BA tidak selalu komutatif, tetapi bukan berarti AB dan BA tidak mempunyai hubungan satu dengan yang lainnya. Salah satu hubungan yang diperoleh melalui
trace (AB) = trace(BA)
Hubungan matriks AB dan BA yang lain diperlihatkan oleh Flander (1951), melalui  struktur Jordan AB dan BA sebagai berikut: 1.  Untuk nilai eigen tak nol, struktur Jordan AB sama dengan struktur Jordan BA
2.  Untuk nilai eigen nol jika
1 ... 2 1     q m m m dan m m m m q     ... 2 1 ukuran- ukuran blok Jordan AB dan
1 ... 2 1     p n n n dengan n n n n p     ... 2 1 ukuran- ukuran blok Jordan BA , maka 1   i i m n ; yaitu struktur Jordan keduanya akan naik sebesar satu atau relatif sama.
Hubungan matrik AB dan BA juga diperlihatkan Flander (1951) dengan menggunakan konsep pembagi nol atas lapangan secara umum, yang relatif abstrak. Thomson (1968) membuktikan pernyataan Flander dengan menggunakan konsep rank dan Parker dan Mitchell (1952) membuktikannya dengan menggunakan konsep variansi , tetapi keduanya tidak memberikan bukti yang transparan.
Dalam teori matriks, struktur Jordan dari suatu matriks nilpoten mempunyai bentuk yang khas, yaitu blok-blok Jordannya berbentuk matriks nilpoten  dengan entri satu pada superdiagonal dan entri nol pada posisi lainnya, dan matriks nilpoten mempunyai nilai eigen nol (Horn & Johnson, 1985).
Melihat pernyataan yang diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) untuk matrik nilpoten, maka timbul pertanyaan, apakah pernyataan Flender (1951) yang kedua dapat dibuktikan tanpa menggunakan konsep pembagi nol dan lebih transparan?
Tulisan ini membahas cara pembuktian yang berbeda tentang hubungan struktur Jordan antara perkalian matriks AB dan BA hanya pada matriks nilpoten.

## KONSEP DASAR
Struktur Jordan untuk matriks nilpoten  diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) sebagai berikut : Setiap matriks nilpoten L n x n berindeks k similar ke bentuk   matriks  dengan blok- blok diagonal N = diag   np n n J J J ..., , , 2 1 , yaitu ada matriks invertible P sehingga berlaku
                 p n n n J J J N P A P 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 dengan setiap blok                  0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 : : : 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1 0 i n J dan 1 ... 2 1     p n n n dengan n n n n p     ... 2 1 .
Dalam hal ini berlaku : 1.  Jumlah blok di N sebanyak n p = dim N( L ) 2.  Ukuran blok Jordan terbesar di N adalah k x k 3.  Jumlah blok yang berukuran i x i di ditentukan oleh r i-1 – 2 r i + r i+1 dengan r i = rank ( L i ) Contoh : Diberikan matriks L sebagai berikut
                                    1 0 1 1 2 3 1 1 1 1 3 5 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 3 1 1 5 1 3 1 1 1 2 1 1 L maka L adalah matriks nilpoten berindeks 3.
Banyaknya blok N adalah dim N ( L ) = 6 – rank ( L ) = 3. Dengan r 1 = rank ( L ) = 3 r 2 = rank ( L 2 ) = 1 dan r 3 = rank ( L 3 ) = 0. Banyak blok berukuran 3 x 3 = r 2 – 2 r 3 + r 4 = 1, blok berukuran 2 x 2 = r 1 – 2 r 2 + r 3 = 1, banyak blok berukuran 1 x 1 = r 0 – 2 r 1 + r 2 = 0.
Oleh karena itu blok Jordan dari L adalah N =
                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
Dari matriks nilpoten L n x n berindeks k similar ke bentuk   matriks  dengan blok- blok diagonal N = diag (   np n n J J J ..., , , 2 1 untuk 1 ... 2 1     p n n n , n n n n p     ... 2 1 diperoleh matriks invertible P . Kemudian dibuat matrik P 1m x m untuk m = n + k sebagai berikut
         kxk kxn nxk nxn I P I P P 0 0 1 Dalam hal ini matriks 1 P juga invertible dengan  ( 1 P ) – 1 =        kxk kxn nxk nxn I P 0 0 ) ( 1 .
Jika diberikan        kxk kxn mxk nxn X L D 0 0 , maka                                     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ' ( 1 1 1 1 1 1 X P J J X P P A P I P X L I P P D P p n n k k
(*)
Karena D berupa matriks nilpoten berarti similar kebentuk matriks blok Jordan, yaitu ada matriks
invertible Q sehingga Q -1 D Q =
          mq m J J 0 1 (**) Dengan 1 ... 2 1     p m m m , m m m m q     ... 2 1
Agar (*) dan (**) mempunyai bentuk yang sama diperlukan pengertian berikut 1)  Jika bentuk D sebagai berikut
             0 0 0 0 0 1 X J J D p n n dan dipilih keberadaan P =               k p n n I W W J J p 0 0 0 0 1 1 d engan i T n i X J W i  . Dalam hal ini jelas P invertibel dan berlaku                 0 0 0 0 0 1 1 1 p n n Y Y J J DP P p
dengan Y i = X i  T n n i i J J
Karena
0 1    i i i n T n n I J J maka setiap blok n i dari matriks P -1 DP mempunyai        ( n i – 1) baris pertama bernilai nol dan pada baris ke- n i entrinya sama  seperti x i .
2)   Pada langkah ini setiap blok n i ambil entri pada baris ke- i ,  kemudian bentuk matriks R , yang berarti berukuran p x k .
Matriks              pk p p k k x x x x x x x x x R ... : : : ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
Pada matriks R ini  dilakukan reduksi baris tanpa melakukan pertukaran baris dan kemudian reduksi kolom, sehingga diperoleh matriks R ‘ yang berbentuk 0-1 dengan 1 muncul paling banyak satu pada setiap baris dan kolom. Buat matriks M sebagai berikut
                           q p m m m pq p q q n n n J J J X X X X X X J J J M        2 1 2 1 0 1 2 21 1 11 3)  Pada matriks M dilakukan a) menghapus blok baris ke- i dari sebelah atas dan  blok kolom  ke- i dari sebelah kiri b) menghapus blok baris ke- j dari sebelah bawah dan blok kolom ke- j dari sebelah kanan.
Maka dari blok entri yang dihapus diperoleh matriks     j ii m j i n J X J 0 dan M i merupakan submatriks dari M setelah proses pengeliminasian.
Jika X ij = [ 0, 0, ... , 1 ] t dan 1 J J j m  maka i i j ii n n m j i n J J J J X J 1 1 1 0 1 0            Jika X ij = [ 0, 0, ... , 0 ] t maka 1 1 0 J J J X J i j ii n j i n       . Artinya  jika                 1 1 0 0 0 0 M J X J M J X J j i j ii m j i n m j i n maka M similar secara permutasi dengan
  
 
  
  1 0 0 0 M J X J j i m j i n
Dari 3 langkah observasi dapat dibuat lemma berikut
Lemma :
Jika A matriks nilopoten n x n dengan blok Jordan
1 ... 2 1     p n n n untuk
n n n n p     ... 2 1 dan  matriks  D =     0 0 X L nilpoten berukuran m x m dengan blok-blok
Jordan 1 ... 2 1     q m m m untuk m m m m q     ... 2 1 maka  q  p dan   1) Blok m i = 1 untuk q i p    1 2) 1 0    i i n m untuk i = 1, 2, … , p
Untuk memperlihatkan  hubungan struktur  Jordan matriks AB yang berukuran m x m dengan struktur Jordan BA yang berukuran n x n cukup diasumsikan
     0 0 0 I A dan      22 21 12 11 B B B B B yang dibawa kebentuk blok matriks yang bersesuaian.
diperoleh           0 0 0 21 11 12 11 B B BA dan O B B AB . Untuk      O B B AB 0 12 11 dengan det ( AB -  I) = 0  memberikan nilai eigen 0 0     atau .
Untuk 0   maka cukup diasumsikan B 11 berbentuk matriks nilpoten . Jika diaplikasikan lemma di atas , berarti  struktur Jordan AB sama dengan BA atau  naik sebesar satu .

## PENUTUP
Hubungan struktur Jordan antara perkalian matriks AB dan BA untuk nilai eigen 0 relatif sama atau berbeda sebesar satu ukuran, dapat diperlihatkan tanpa menggunakan konsep abstrak hanya pada matriks nilpoten. Untuk matriks secara umum bukti di atas tidak berlaku.

## REFERENSI
Flandes, H. (1951). Elementary divisors of AB and BA. Proc. Amer. Math. Soc, 2, 871-874 Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Matrix analysis. New York: Cambridge Univesity Press. Thompson, R.C. (1968). On the Matrices AB and BA . Linear Algebra Apl, 1, 43-58 Parker, W.V., & Mitchell (1952). Elementary divisors of certain matrices. Duke Math J , 19, 483-485