## SOLUSI ALIRAN DAYA UNTUK SISTEM DISTRIBUSI TAK SEIMBANG DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRUST-REGION

## Rudy Gianto dan Kho Hie Khwee
Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Tanjungpura e-mail: rudygianto@gmail.com
Abstrak —Pada penelitian ini, telah dibahas penggunaan dari metode trust-region untuk  menyelesaikan masalah  aliran  daya  pada  sistem  distribusi  tak-seimbang.  Metode  yang  diusulkan  tersebut  telah  berhasil diaplikasikan pada pada tiga buah sistem distribusi tak-seimbang yaitu: sistem 10-bus, 19-bus dan 25-bus. Hasil-hasil penelitian memperlihatkan bahwa nilai-nilai yang diperoleh melalui metode trust-region adalah sangat sesuai dengan nilai-nilai yang didapat melalui metode lain yang sebelumnya telah dipublikasikan
Kata Kunci : aliran daya, sistem distribusi, metode trust-region
Abstract —In this research, the trust-region method has been proposed for solving the power flow problem of an unbalanced distribution system. The proposed method has been successfully applied in solving the power flow problems of three unbalanced distribution networks, i.e. 10-bus, 19-bus and 25-bus systems. The results of investigation obtained by the proposed method were compared to the previously reported results and were found to be in exact agreement
Keywords : power flow, distribution system, trust-region method

## 1. PENDAHULUAN
Aliran  daya  (atau  aliran  beban)  merupakan solusi untuk kondisi operasi keadaan normal dari suatu  sistem  tenaga  listrik.  Secara  umum, perhitungan  aliran  daya  dilakukan  untuk perencanaan sistem tenaga, perencanaan operasional dan untuk operasi dan kendali sistem. Data  yang  diperoleh  dari  studi  aliran  daya digunakan  untuk  studi  operasi  normal,  analisis kontingensi, penjadwalan optimum pembangkitan  tenaga  listrik  dan  studi-studi stabilitas.
Sebelum  tahun  1929,  semua  perhitungan aliran daya dilakukan dengan tangan. Pada tahun 1929,  network  calculators  (dari  Westinghouse) atau  network  analyzers  (dari  General  Electric) digunakan  untuk  melakukan  perhitungan  aliran daya. Tulisan pertama yang menjelaskan metode digital  untuk  penyelesaian  masalah  aliran  daya dipublikasikan  pada  tahun  1954.  Namun demikian,  metode  digital  pertama  yang  sukses dikembangkan adalah oleh Ward dan Hale pada tahun 1956. Metoda iteratif yang digunakan pada awalnya didasarkan pada matriks-Y dari metoda Gauss-Seidel. Metoda ini memerlukan simpanan komputer yang minimum dan iterasi yang sedikit untuk  sistem  yang  kecil.  Namun,  bila  ukuran sistem  bertambah  besar,  jumlah  iterasi  yang
diperlukan  meningkat  secara  dramatis.  Pada beberapa  kasus,  metoda  ini  sama  sekali  tidak memberikan solusi.
Kekurangan dari metoda Gauss-Seidel diatas memicu  dikembangkannya  metoda  Newton- Raphson.  Metoda  ini  awalnya  dikembangkan oleh  Van  Ness  dan  Griffin  dan  kemudian dikembangkan  lagi  oleh  peneliti-peneliti  lain seperti Tinney  dan  Stot. Metoda  ini  didasarkan pada algoritma Newton-Raphson untuk penyelesaian persamaan kuadratik simultan dari jaringan daya.
Berlawanan dengan algoritma Gauss-Seidel, metoda  Newton-Raphson  memerlukan  waktu yang lebih panjang per-iterasinya, namun jumlah iterasinya  sedikit  dan  tidak  tergantung  pada ukuran jaringan. Oleh karenanya, masalah aliran daya  yang  tidak  dapat  diselesaikan  dengan metoda  Gauss-Seidel  dapat  diselesaikan  secara mudah dengan  metoda ini. Metode ini semakin atraktif dengan dikembangkannya teknik eliminasi  yang  sangat  efisien  oleh  Tinney  dkk. Hal  ini  sangat  meningkatkan  efisiensi  dari metode  Newton-Raphson  terutama  dalam  hal kecepatan  dan  penggunaan  memori  komputer yang digunakan sehingga memungkinkan untuk digunakan  pada  sistem  tenaga  listrik  yang berukuran besar.
Keunggulan-keunggulan dari metode
Newton-Raphson  diatas  telah  mengakibatkan metode  tersebut  digunakan  secara  luas  untuk menyelesaikan  masalah  aliran  daya  pada  suatu sistem transmisi tenaga listrik. Namun demikian, aplikasi  dari  metode  tersebut  pada  sistem distribusi  tenaga  listrik  dapat  menimbulkan masalah konvergensi sehingga solusi aliran daya menjadi  sulit  atau  tidak  bisa  diperoleh.  Hal  ini pada  gilirannya  dapat  membuat  perencanaan sistem  menjadi  tidak  dapat  dilakukan  dan pengoperasian serta pengendalian sistem menjadi terganggu.
Untuk mencegah terjadinya hal-hal seperti ini, maka  perlu  dilakukan  suatu  kajian  mengenai upaya-upaya  untuk  mengembangkan  metode solusi  aliran  daya  yang  andal  dan  efisien  yang dapat  mengatasi  masalah  diatas  sehingga perencanaan dan pengoperasian sistem menjadi mudah untuk dilaksanakan.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Beberapa  kajian  terhadap  metode  solusi masalah  aliran  daya    telah  dilakukan  oleh beberapa  peneliti  seperti  yang  dilaporkan  pada Ref.[1-5].  Para  peneliti  ini  telah  mengusulkan metode atau teknik yang didasarkan pada skema iteratif  Newton-Raphson.  Metode  ini  telah digunakan  secara  luas  dalam  menyelesaikan masalah  aliran  daya  pada  sistem-sistem transmisi  tenaga  listrik.  Namun  demikian, metode  ini  dapat  menimbulkan  masalah konvergensi  bila  diterapkan  pada  sistem distribusi  tenaga  listrik  sehingga  solusinya menjadi sulit atau tidak bisa diperoleh.
Peneliti  lain  yang  juga  telah  melakukan kajian  terhadap  metode  solusi  masalah  aliran daya adalah seperti yang dilaporkan pada Ref.[6- 10]. Para peneliti ini menggunakan metode atau teknik  yang  memanfaatkan  struktur  radial  dari sistem  distribusi  tenaga  listrik.  Teknik  ini dikenal  juga  sebagai teknik  penyapuan maju/mundur ( forward/backward  sweeping technique ) dan dalam mencari solusinya ia tidak menggunakan  skema  iteratif  Newton-Raphson. Kekurangan  dari  metode  ini  adalah  ia memerlukan teknik penomoran cabang ( branch  numbering )  dan pengurutan  bus ( bus ordering )  yang  cukup  rumit  terutama  bila sistemnya berukuran besar.
Pada metode yang diusulkan pada penelitian ini, masalah solusi aliran daya akan diselesaikan dengan  metode trust-region .  Metode trust-
region merupakan  metode  yang  cukup  populer dan  biasa  digunakan  untuk  menyelesaikan masalah-masalah optimisasi.
Akhir-akhir  ini  beberapa  peneliti  telah melakukan kajian terhadap metode trust-region untuk  diaplikasikan  pada  penyelesaian  sistem- sistem  persamaan  nonlinier  seperti  yang dilaporkan  pada  Ref.[11-14].  Hasil  kajian menunjukkan bahwa metode ini sangat potensial untuk  digunakan  sebagai  salah  satu  cara penyelesaian sistem-sistem persamaan nonlinier. Hasil kajian peneliti tersebut juga memperlihatkan  bahwa  metode trust-region dapat  mengatasi  kasus-kasus  matriks  Jacobian yang singulir.
Oleh  karena  persamaan  yang  timbul  dalam formulasi masalah aliran daya adalah persamaan-persamaan  nonlinear,  maka  sudah barang  tentu  metode  tersebut  juga  memiliki potensi  untuk  diaplikasikan  pada  penyelesaian masalah  aliran  daya  pada  sistem  distribusi tenaga listrik. Hal inilah yang akan diselidiki dan dikembangkan pada penelitian ini.

## 3. METODOLOGI ATAU TEORI

## 3.1. Formulasi Masalah Aliran Daya
Masalah  aliran  daya  dapat  didefinisikan sebagai perhitungan tegangan-tegangan bus dari suatu  sistem  tenaga  listrik  pada  kondisi  beban dan  pembangkitan  tertentu.  Setelah  tegangan- tegangan bus ini dihitung, selanjutnya kita dapat menghitung  besarnya  suplai  daya,  aliran  daya dan rugi-rugi daya pada saluran transmisi.
Dapat ditunjukkan bahwa tegangan- tegangan bus sistem dapat dihitung dengan cara menyelesaikan persamaan-persamaan berikut:
                      0 V Y V Q Q 0 V Y V P P n 1 j ij j i j ij i Li Gi n 1 j ij j i j ij i Li Gi ) sin( ) cos(       (1)
dimana:
P Gi , Q Gi :  daya  aktif,  reaktif  yang  disuplai pada bus ke- i P Li , Q Li : daya aktif, reaktif  beban pada bus ke- i i j i i e V V   : tegangan pada bus ke- i
ij j ij ij e Y
Y   :  elemen  ke- ij dari  matriks admitansi bus n :  jumlah  bus  dalam  sistem tenaga listrik
Persamaan (1) merupakan seset persamaan nonlinier  dan  menyatakan  2 n persamaan  aliran daya  untuk n bus  sistem  tenaga.  Oleh  karena studi  aliran  daya  biasanya  dilakukan  pada kondisi  beban  tertentu,  maka P Li dan Q Li akan diketahui nilainya.
Lebih lanjut, pada bus penyuplai daya (bus 1), besarnya tegangan biasanya telah ditentukan atau  dispesifikasi.  Sehingga  pada  bus  ini besaran-besaran  yang  akan  dicari  adalah  suplai daya  aktif  dan  reaktif  atau P G1 dan Q G1 . Sedangkan pada bus-bus lainnya (bus 2, 3, ...,n ), P G1 dan Q G1 adalah nol karena bus-bus ini tidak memiliki  suplai  daya.  Dengan  demikian,  pada bus-bus  ini  besaran-besaran  yang  akan  dicari adalah besar tegangan dan sudut fasanya atau V i dan  i .
Setelah  persamaan  (1)  diatas  berhasil diselesaikan,  maka  aliran  daya  dan  rugi-rugi daya pada saluran-saluran dapat dihitung.

## 3.2. Solusi  Aliran  Daya  (Metode  Newton- Raphson)
Persamaan (1) merupakan seset persamaan nonlinier  yang  dapat  diselesaikan  dengan metode  Newton-Raphson.  Dalam  mencari solusi,  metode  Newton-Raphson  menggunakan teknik  iteratif.  Dengan  teknik  iteratif  ini, pencarian  solusi  dimulai  dengan  estimasi  awal untuk  variabel  yang  ingin  dicari.  Estimasi tersebut  kemudian  diperbaiki  secara  berturutan sampai  solusi  yang  diinginkan  diperoleh. Apabila solusinya telah didapat, maka dikatakan bahwa solusinya telah konvergen.
Berikut adalah penjelasan mengenai penggunaan  metode  Newton-Raphson  pada sistem  persamaan  nonlinier  umum.  Misalkan seset  persamaan  nonlinier  dengan  jumlah persamaan n diberikan oleh:
0 x F 
         
  
) , , , ( ) , , , ( ) , , , ( ) ( n 2 1 n n 2 1 2 n 2 1 1
x x x f x x x f x x x f     (2)
dimana   T n 2 1 x x x   x adalah variabel yang akan dicari.
Langkah  iteratif  dari  metode  Newton- Raphson  dalam  mencari  solusi  adalah  dengan menyelesaikan persamaan berikut secara berurutan:
) ( ) ( ) ( k k 1 k d x x    (3)
dimana:
  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k 1 k k x F x J d    (4)
Pada  persamaan  (4), J ( x )  merupakan  Jacobian dari F ( x ) dan dihitung melalui:
       
             
                 n n 2 n 1 n n 2 2 2 1 2 n 1 2 1 1 1 x f x f x f x f x f x f x f x f x f        ) ( x J (5)
Dengan  demikian,  langkah-langkah  dari metode  Newton-Raphson  dalam  mencari  solusi adalah seperti berikut:
1. Set k = 0, tentukan estimasi awal untuk solusi
x ( k ) dan toleransi  .
2. Cek apakah: maks| F ( x ( k ) )|<  . Jika ya, stop dan solusinya adalah x ( k ) . Jika tidak, lanjutkan ke Langkah 3.
3. Hitung Jacobian J ( x ( k ) ) dan d ( k ) . 4. Hitung x ( k+1 ) melalui (3).
5. Set k = k + 1, dan kembali ke Langkah 2.
3.3. Solusi Aliran Daya (Metode Trust-Region )
Seperti  yang  telah  diuraikan  sebelumnya, metode  Newton-Raphson  dapat  gagal  dalam mendapatkan  solusi.  Hal  ini  dapat  terjadi  pada kasus  matriks  Jacobian  yang  singulir  yang mengakibatkan  faktor  koreksi  Newton d ( k ) menjadi  tidak  bisa  dihitung  karena  persamaan (4) tidak dapat diselesaikan. Hal ini dapat diatasi dengan menggunakan metode trust-region yang dapat dijelaskan secara ringkas sebagai berikut.
Seperti  yang  juga  telah  diuraikan,  pada metode  Newton-Raphson,  faktor  koreksi d ( k )
dihitung  dengan  menyelesaikan  persamaan berikut:
0 k k k   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d x J x F (6)
Dapat dibuktikan  bahwa  solusi terhadap  sistem persamaan  linier  (6)  adalah  merupakan  solusi dari masalah optimisasi berikut:
  2 k q k ) ( ) ( min d d (7)
Pada (7),   ) ( k q d didefinisikan sebagai berikut:
  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k T k k T k k k 2 1 h 2 1 q d x H d x g d x d    (8)
dimana:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k T k k F F h x x x  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k T k k F x x J x g  (9) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k T k k x J x J x H 
Oleh  karenanya,  daripada  menyelesaikan persamaan  (6)  yang  mungkin  bisa  gagal mendapatkan  solusi,  faktor  koreksi d ( k ) dapat dihitung  dengan  menyelesaikan  (7).  Untuk menghindari  ketidak-tentuan  atau  agar  proses pencarian  solusi  menjadi  teratur,  nilai ) ( k d
harus  dibatasi  atau  diberi  konstrain  pada  suatu nilai  tertentu  yang  biasa  disebut  sebagai  radius dari trust-region .  Sehingga,  faktor  koreksi d ( k ) dapat  dihitung  dengan  menyelesaikan  masalah optimisasi seperti berikut:
  ) ( ) ( ) ( : konstrain dengan min ) ( k k 2 k q k   d d d (10)
dimana  (k) > 0 adalah radius dari trust-region .
Satu hal penting dalam metode trust-region adalah  pemilihan  dari  radius trust-region  (k) pada  setiap  iterasi.  Pemilihan  ini  biasanya didasarkan pada kecocokan antara fungsi h ( x (k) ) dan q ( x ( k) ). Untuk keperluan ini, kita definisikan rasio:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k q 0 q h h r x x d x x      (11)
Numerator  pada  (11)  biasa  disebut  sebagai reduksi  aktual ( actual  reduction ),  sedangkan denominatornya  biasa  disebut  sebagai reduksi perkiraan ( predicted reduction ).
Rasio r (k) memiliki  peranan  penting  dalam penentuan  nilai  iterasi  yang  baru x (k+1) dan besarnya  radius trust-region  (k+1) .  Jika r (k) mendekati 1 (misalnya r (k) > 0,75), maka terdapat kecocokan  antara h ( x (k) )  dan q ( x ( k) )  dan  kita dapat  memperbesar  radius trust-region pada iterasi  berikutnya.  Jika r (k) mendekati  0  atau negatif  (misalnya r (k) <  0,01),  maka  kita  harus memperkecil  radius trust-region pada  iterasi berikutnya.  Dilain  pihak,  jika r (k) positif  tetapi lebih  kecil  dari  1  (misalnya  0,01  < r (k) <  0,75), maka radius trust-region pada iterasi berikutnya tidak  perlu  diubah.  Dengan  demikian,  langkah- langkah dari metode trust-region dalam mencari solusi adalah seperti berikut:
1.  Set: k =  0,  estimasi  awal  untuk  solusi x ( k ) , radius trust-region  (k) > 0, dan toleransi  . 2.  Cek  apakah: h ( x ( k ) )|<  .  Jika  ya,  stop  dan solusinya adalah x ( k ) . Jika tidak, lanjutkan ke Langkah 3.
3.  Hitung faktor koreksi d ( k ) melalui (10).
4.  Hitung  rasio r ( k ) melalui  (11),  dan  set  nilai solusi yang baru melalui:
       
0 r 0 r k k k k k 1 k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Jika ; Jika ; x d x x 5. Set radius trust-region yang baru melalui:
               75 0 r 01 0 r 25 0 75 0 r 2 k k k k k k 1 k , 0,01 Jika ; , Jika ; , , Jika ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
6. Set k = k + 1, dan kembali ke Langkah 2.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Umum
Performansi  dari  metode  yang  diusulkan pada  Subbab  3.3  akan  diselidiki  dengan  cara mengaplikasikannya  pada  tiga  buah  sistem distribusi tak-seimbang yaitu: sistem 10-bus, 19-
bus  dan  25-bus.  Perlu  juga  ditambahkan  disini bahwa  semua  perhitungan  pada  penelitian  ini dilakukan  pada  komputer  PC,  dan  algoritma perhitungan dari metode yang diusulkan tersebut diimplementasikan sebagai kode MATLAB (m- file).

## 4.2. Sistem Test
Tiga  buah  sistem  distribusi  tak-seimbang yang  digunakan  sebagai  sistem  test  untuk menyelidiki  penampilan  dari  metode  yang diusulkan adalah sebagai berikut:
4.2.1. Sistem 10-bus Sistem ini adalah sistem dengan tegangan 8,66 kV dimana diagram segarisnya diperlihatkan pada Gambar 1 [9].
Gambar 1. Diagram segaris sistem 10-bus
4.2.2. Sistem 19-bus Sistem ini adalah sistem dengan tegangan 11 kV dimana diagram segarisnya diperlihatkan pada Gambar 2 [15, 16].
Gambar 2. Diagram segaris sistem 19-bus

## 4.2.3. Sistem 25-bus
Sistem ini adalah sistem dengan tegangan
4,16 kV dimana diagram segarisnya diperlihatkan pada Gambar 3 [7, 9, 15].
Gambar 3. Diagram segaris sistem 25-bus

## 4.3. Hasil dan Pembahasan
Hasil-hasil  perhitungan  yang  diperoleh melalui  aplikasi  dari  metode  yang  diusulkan pada sistem 10-bus, 19-bus dan 25-bus berturut- turut diperlihatkan pada Tabel 1, 2 dan 3.
Tabel 1. Profil tegangan untuk sistem 10-bus
Bus Tegangan (pu) Fasa a Fasa b Fasa c 1 1,00000  0,00 0 1,00000  -120,00 0 1,00000  120,00 0
2 0,95564  -1,21 0 0,99303  -120,57 0 0,98638  119,98 0 3 0,94458  1,32 0 0,99295  -120,64 0 0,98638  119,98 0 4 0,93059  -1,96 0 0,99165  -120,75 0 0,97844  120,08 0 5 0,95564  -1,21 0 0,99063  -120,61 0 0,98423  119,89 0 6 0,91901  -1,19 0 0,99295  -120,64 0 0,98638  119,98 0 7 0,92359  -2,02 0 0,99165  -120,75 0 0,97486  120,10 0 8 0,92268  -1,10 0 0,98995  -120,82 0 0,97844  120,08 0 9 0,92359  -2,02 0 0,99165  -120,75 0 0,96710  119,94 0
10 0,92268  -1,10 0 0,98154  -120,90 0 0,97844  120,08 0
Hasil-hasil  pada  Tabel  1,  2  dan  3  tersebut memperlihatkan bahwa:
- Nilai-nilai tegangan untuk sistem distribusi 10-bus yang diperoleh melalui metode yang diusulkan  bila  dibandingkan  dengan  nilai-
nilai tegangan seperti yang dilaporkan pada Ref.[9], hasilnya adalah sangat sesuai.
- Nilai-nilai tegangan untuk sistem distribusi 19-bus yang diperoleh melalui metode yang diusulkan  bila  dibandingkan  dengan  nilai- nilai tegangan seperti yang dilaporkan pada Ref.[15, 16], hasilnya adalah sangat sesuai.
- Nilai-nilai tegangan untuk sistem distribusi 25-bus yang diperoleh melalui metode yang diusulkan  bila  dibandingkan  dengan  nilai- nilai tegangan seperti yang dilaporkan pada Ref.[15], hasilnya adalah juga sangat sesuai.

## Tabel 2. Profil tegangan untuk sistem 19-bus
Bus Tegangan (pu) Fasa a Fasa b Fasa c 1 1,00000  0,00 0 1,00000  -120,00 0 1,00000  120,00 0 2 0,98746  0,01 0 0,98910  -119,98 0 0,98798  120,05 0 3 0,98542  0,00 0 0,98869  -119,98 0 0,98633  120,08 0 4 0,98235  0,03 0 0,98390  -119,97 0 0,98301  120,07 0 5 0,98201  0,03 0 0,98366  -119,97 0 0,98283  120,07 0 6 0,97928  0,04 0 0,98078  -119,96 0 0,98005  120,07 0
7 0,97861  0,04 0 0,98029  -119,96 0 0,97956  120,08 0 8 0,97281  0,07 0 0,97381  -119,94 0 0,97347  120,08 0 9 0,96592  0,09 0 0,96598  -119,91 0 0,96575  120,09 0 10 0,95625  0,08 0 0,95549  -119,87 0 0,95500  120,10 0 11 0,95499  0,10 0 0,95429  -119,86 0 0,95330  120,11 0 12 0,95478  0,11 0 0,95377  -119,87 0 0,95358  120,10 0 13 0,95440  0,10 0 0,95344  -119,85 0 0,95210  120,11 0 14 0,95449  0,10 0 0,95388  -119,86 0 0,95282  120,11 0 15 0,95274  0,12 0 0,95122  -119,85 0 0,95126  120,10 0 16 0,95339  0,13 0 0,95147  -119,86 0 0,95217  120,10 0 17 0,95365  0,10 0 0,95377  -119,86 0 0,95232  120,12 0
18 0,95380  0,10 0 0,95319  -119,86 0
0,95209  120,11 0
19 0,95159  0,14 0 0,94976  -119,86 0 0,95047  120,10 0

## Tabel 3. Profil tegangan untuk sistem 25-bus
Bus Tegangan (pu) Fasa a Fasa b Fasa c 1 1,00000  0,00 0 1,00000  -120,00 0 1,00000  120,00 0 2 0,97020  -0,57 0 0,97110  -120,41 0 0,97545  119,31 0 3 0,96323  -0,70 0 0,96444  -120,52 0 0,96984  119,15 0 4 0,95978  -0,77 0 0,96219  -120,57 0 0,96739  119,08 0 5 0,95872  -0,76 0 0,96025  -120,57 0 0,96644  119,08 0 6 0,95948  -0,56 0 0,95587  -120,36 0 0,96148  119,29 0 7 0,94191  -0,55 0 0,94283  -120,30 0 0,94923  119,27 0 8 0,95286  -0,56 0 0,95378  -120,35 0 0,95957  119,29 0 9 0,93588  -0,55 0 0,93668  -120,28 0 0,94379  119,25 0 10 0,93149  -0,55 0 0,93186  -120,26 0 0,93953  119,25 0 11 0,92941  -0,55 0 0,92963  -120,26 0 0,93763  119,25 0 12 0,92841  -0,55 0 0,92839  -120,25 0 0,93659  119,26 0 13 0,92871  -0,55 0 0,92872  -120,26 0 0,93682  119,25 0 14 0,93594  -0,55 0 0,93699  -120,27 0 0,94338  119,26 0 15 0,93377  -0,55 0 0,93487  -120,27 0 0,94144  119,25 0 16 0,94083  -0,55 0 0,94177  -120,30 0 0,94826  119,27 0 17 0,93473  -0,55 0 0,93595  -120,27 0 0,94203  119,26 0 18 0,95732  -0,70 0 0,95864  -120,50 0 0,96432  119,15 0 19 0,95241  -0,69 0 0,95443  -120,49 0 0,95998  119,16 0 20 0,95482  -0,70 0 0,95634  -120,49 0 0,96201  119,15 0 21 0,95379  -0,69 0 0,95487  -120,49 0 0,96053  119,16 0 22 0,95184  -0,69 0 0,95246  -120,48 0 0,95852  119,17 0 23 0,95646  -0,76 0 0,95838  -120,57 0 0,96479  119,08 0 24 0,95443  -0,76 0 0,95651  -120,57 0 0,96311  119,07 0 25 0,95202  -0,76 0 0,95469  -120,57 0 0,96117  119,08 0

## 5. KESIMPULAN
Penelitian  ini  membahas  metode trust- region untuk  penyelesaian  masalah  aliran  daya pada  sistem  distribusi  tak-seimbang  Metode trust-region merupakan  metode  yang  sangat potensial untuk digunakan sebagai  cara penyelesaian sistem persamaan nonlinier.
Metode  ini  juga  dapat  digunakan  pada  kasus apabila  Jacobian  dari  sistem  persamaan  adalah singulir.
Pada  penelitian  ini,  metode trust-region telah berhasil diaplikasikan pada pada tiga buah sistem distribusi tak-seimbang yaitu: sistem 10- bus,  19-bus  dan  25-bus.  Hasil-hasil  penelitian memperlihatkan bahwa nilai-nilai yang diperoleh  melalui  metode  yang  diusulkan tersebut  adalah  sangat  sesuai  dengan  nilai-nilai yang  didapat  melalui  metode  lain  yang sebelumnya telah dipublikasikan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Tinney,  W.F.,  and  Hart,  C.E.:  ‘Power Flow  Solution  by  Newton’s  Method’, IEEE  Trans.  Power  App.  System ,  Nov. 1967, Vol. PAS-86, pp. 1449-1459.
[2] Zimmerman,  R.D.,  and  Chiang,  H.D.: ‘Fast  Decoupled  Power  Flow  for Unbalanced Radial Distribution Systems’, IEEE  Trans.  Power  System ,  Nov.  1995,
Vol. 4, No.10, pp. 2045-2052.
[3] Garcia, P.A.N. et al.: ‘Three-Phase Power Flow  Calculations  Using  the  Currents Injection  Methods’, IEEE  Trans.  Power Systems ,  May  2000,  Vol.  15,  No.  2,  pp. 508-514.
[4] Teng,  J.H.,  and  Chang,  C.Y.:  ‘A  Novel and  Fast  Three-Phase  Load  Flow  for Unbalanced Radial Distribution Systems’, IEEE  Trans.  Power  Systems ,  Nov.  2002,
Vol. 17, No. 4, pp. 1238-1244.
[5] Marinho,  J.M.T.,  and  Taranto,  G.N.:  ‘A Hybrid  Three-Phase  Single-Phase  Power Flow  Formulation’, IEEE  Trans.  Power Systems , August 2008, Vol. 23, No. 3, pp. 1063-1070.
[6] Das, D., et al.: ‘Novel Method for Solving Radial  Distribution  Network’, IEE  Proc. Gen.  Transm.  Distrib. ,  Juli  1994,  Vol. 141, No. 4.
[7] Goswami,  S.K.,  and  Basu  S.K.:  ‘Direct Solution  of  Distribution  Systems’, IEE Proc. C , Jan. 1991, Vol. 138, No. 1.
[8] Ghosh, S., and Das D.: ‘Method for Load Flow  Solution  of  Radial  Distribution Networks’, IEE  Proc.  Gen.  Transm. Distrib. , Nov. 1999, Vol. 146, No. 6, pp. 641-648.
[9] Ramos,  E.R.,  et  al.:  ‘Quasi-Coupled Three-Phase  Radial  Load  Flow’, IEEE
Trans.  Power  Systems ,  May  2004,  Vol. 19, No. 2, pp. 776-781.
[10]   Chang,  G.W.,  et  al.:  ‘An  Improved Backward/Forward  Sweep  Load  Flow Algorithm for Radial Distribution Systems’, IEEE  Trans.  Power  Systems , May 2007, Vol. 22, No. 2, pp. 882-884.
[11]   Zhang,  J.,  and  Wang  Y.:  ‘A  New  Trust Region Method for Nonlinear Equations’, Mathematical  Methods  of  Operation Research , Nov. 2003, Vol. 58, Issue 2, pp.
283-298. [12]   Grosan,  C.,  and  Abraham  A.:  ‘A  New Approach for Solving Nonlinear
Equations  Systems’, IEEE  Systems  Man and  Cybernetics-Part  A:  Systems  and Humans ,  May  2008,  Vol.  38,  No.  3,  pp. 698-714.
[13]   Fan, J.,  and  Pan, J.:  ‘An  Improved  Trust Region Algorithm for Nonlinear Equations’, Computational  Optimization and Aplications , Jan. 2011, Vol. 48, Issue 1, pp. 59-70.
[14]   Yuan, Y.: ‘Recent Advances in Numerical Methods  for  Nonlinear  Equations’, Numerical Algebra Control and
Optimization , March 2011, Vol. 1, No. 1,
pp. 15-34.
[15]   Ganesh,  V.,  Sivanagaraju,  S.,  and Ramana, T.: ‘Feeder Reconfiguration for
Loss Reduction in Unbalanced Distribution System Using Genetic Algorithm’, International  Journal  of
Computer, Electrical, Automation, Control  and  Information  Engineering , 2009, Vol.3, No.4, pp.1050-1058.
[16]   Puthireddy,  U.R.,  Sivanagaraju,  S.,  and Prabandhamkam,  S.:  ‘Power  Flow Analysis  of  Three  Phase  Unbalanced Distribution System’, International
Journal  of  Advances  in  Engineering  and Technology,  March  2012,  Vol.3,  No.1, pp.514-524.

## Biodata Penulis
Rudy Gianto , mendapatkan gelar S1, S2 dan S3 berturut-turut  dari  Universitas  Tanjungpura tahun  1991,  Institut  Teknologi  Bandung  tahun 1995 dan University of Western Australia tahun 2008.  Saat  ini  penulis  terdaftar  sebagai  dosen Teknik Elektro Universitas Tanjungpura
Pontianak.
Kho Hie Khwee , mendapatkan gelar S1 dan S2 berturut-turut  dari  Universitas  Tanjungpura tahun  1991  dan  Institut  Teknologi  Bandung tahun  1995.  Saat  ini  penulis  terdaftar  sebagai dosen  Teknik  Elektro  Universitas  Tanjungpura Pontianak.