## Distribusi Probabilitas Weibull Dan Aplikasinya
( Pada Persoalan Keandalan (Reliability) Dan Analisis Rawatan (Mantainability )

## Lian  G. Otaya

## Institut Agama Islam Negeri Sultan Amai Gorontalo

## Abstrak
Distribusi  Weibull  adalah    distribusi  yang  memiliki  peranan  yang  penting  terutama  pada persoalan  keandalan  (reliability)  dan  analisis  rawatan  (mantainability).  Distribusi  Weibull  sering dipakai  sebagai  pendekatan  untuk  mengetahui  karakteristik  fungsi  kerusakan  karena  perubahan  nilai akan  mengakibatkan  distribusi  Weibull  mempunyai  sifat  tertentu  ataupun  ekuivalen  dengan  distribusi tertentu. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis lain dari  distribusi,  berdasarkan  nilai  dari  bentuk  parameter.  Oleh  karenanya, Weibull  menjadi  sangat berguna terutama karena fleksibilitasnya mulai dari data yang sangat tidak simetris sampai data yang mendekati distribusi normal (simetris).
Kata Kunci: Distribusi, Probabilitas, Weibull, Aplikasi
A. Pendahuluan
Setiap peristiwa  akan mempunyai peluang masing-masing, dan peluang terjadinya peristiwa  tersebut  akan  mempunyai  penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang disebut dengan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas adalah bagaimana nilai probabilitas didistribusikan  pada  data.  Ada  dua  jenis distribusi  sesuai  dengan  variabel  acaknya  yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu.
Ada  berbagai  macam  distribusi  yang termasuk  sebagai  distribusi  teoritis  variabel acak  diskrit  dan  kontinu.  Yang  termasuk  pada distribusi teoritis variabel acak diskrit diantaranya adalah percobaan bernoulli, distribusi binomial, distribusi binomial negative (Pascal), distribusi geometris, distribusi hipergeometrik, dan distribusi poisson.
Sedangkan  yang  termasuk  pada  distribusi teoritis variabel acak kontinu diantaranya adalah distribusi  normal  (Gaussian),  distribusi  gamma, distribusi  eksponensial,  distribusi  chi-kuadrat, dan distribusi weibull.
Hal  yang  tidak  dapat  dipisahkan  dari pengkajian  distribusi  adalah  mengenai  estimasi parameter. Teori estimasi sering dipakai sebagai prosedur  untuk  mencari  parameter  dari  sebuah model  yang  paling  cocok  pada  suatu  data pengamatan yang ada. Dalam analisis keandalan
atau  reliabilitas,  estimasi  parameter  digunakan untuk  mencari  parameter  dari  distribusi  yang berkaitan  dengan  data  yang  dimiliki.  Distribusi yang  sering  digunakan  untuk  menyelesaikan berbagai permasalahan mengenai reliabilitas ini adalah distribusi weibull.
Distribusi  Weibull  diperkenalkan  oleh fisikawan  swedia  Waloddi  Weibull  pada  tahun 1939.  Distribusi  weibull  merupakan  salah  satu distribusi  teoritis  variabel  acak  kontinu  yang sering  digunakan  untuk  menganalisis  suatu keandalan  suatu  item.  Sama  seperti  distribusi gamma  dan  eksponensial  yang  menangani masalah  keandalan,  tetapi  distribusi  weibull yang paling sering digunakan.
Distribusi  Weibull  terkenal  dengan distribusi yang fleksibel. Salah satu fleksibilitasnya  dapat  dilihat  dari  perubahan distribusi  ini  menjadi  distribusi  lainnya  seperti distribusi  eksponensial  bergantung  dengan perubahan  parameter  skala  dan  bentuknya. Sama halnya dengan distribusi probabilitas pada umumnya,  distribusi  inipun  memiliki  sifat-sifat antara  lain  fungsi  distribusi  kumulatif,  mean, variansi dan fungsi pembangkit momen.
Distribusi  Weibull  adalah    distribusi yang  memiliki  peranan  yang  penting  terutama pada  persoalan  keandalan  ( reliability )  dan analisis  rawatan  ( mantainability ).  Mengingat pada kenyataannya, banyak data yang
penyebarannya tidak selalu mengikuti distribusi normal, misalnya data waktu tunggu kegagalan. Data  ini  memiliki  kemencengan  tertentu, sehingga  distribusi  normal  kurang  tepat  jika tetap  digunakan  untuk  memodelkan  data tersebut, tentunya mengakomodir ketidaknormalan data. Dapat disimpulkan bahwa data yang tidak berdistribusi normal jika dianalisis dengan menggunakan distribusi normal  ternyata  akan  menghasilkan  error  yang cukup  besar.  Salah  satu  error  yang  diperoleh yaitu rentang yang cukup besar. Hal ini tentunya akan sangat mempengaruhi kesimpulan terhadap data yang dianalisis.

## B. Sejarah Distribusi Weibull
Distribusi  Weibull    diperkenalkan  oleh Fisikawan  Swedia  yaitu  Waloddi  Weibull  pada tahun  1939. 1 Waloddi  Weibull (1887-1979) adalah seorang profesor di Highschool Teknis di Stockholm 1924-1953. 2
Distribusi ini dinamai Waloddi Weibull yang  pertama  untuk  mempromosikan  kegunaan ini  untuk  model  data  set  karakter  yang  sangat berbeda.  Pada  tahun  1939  Swedia  insinyur WALODDI  WEIBULL19  menerbitkan  dua laporan pada kekuatan material dalam serangkaian diedit oleh Royal Swedish Institute for  Engineering  Research.  Dalam  "Statistik Teori  Kekuatan  Material"  (1939a)  fungsi distribusi diperkenalkan, secara empiris berdasarkan  pengamatan  eksperimental  yang diperoleh  dari  tarik,  lentur  dan  tes  torsi  pada batang.  Dalam  Fenomena  Putusnya  padatan "(1939b)  terdapat  satu  kesalahan  momen distribusi  ini  bersama  dengan  alat  bantu  grafis dan  tabular  untuk  estimasi  parameter.  Seperti ROSIN / Rammler / SPERLINGS ini mendekati penalaran  WEIBULL  bagian  yang  menentukan
1 Walpole,  Ronal  E  &  Myers,  Raymond  H, Ilmu  Peluang  Statistika  Untuk  Insinyur  dan Ilmuwan , Edisi ke-4, (Bandung: ITB, 1995), h. 195.
2 Walck, Christian, Hand-book on Statistical Distributions  for  experimentalists .  (University  of Stockholm:  Particle  Physics  Group  Fysikum,  2007), h. 152.
dari  makalahnya  adalah  empiris  dan  heuristik dan tidak memiliki argumentasi teoritis. 3
Sebuah  studi  berikutnya  dalam  bahasa Inggris (Weibull 1951) adalah karya monumentalnya  dimana  dia  menjadi  model  set data  dari  berbagai  disiplin  ilmu  yang  berbeda dan dipromosikan fleksibilitas dari model dalam hal  aplikasi  dalam  berbagai  disiplin  ilmu. 4 Meskipun  pertama  kali  diidentifikasi  oleh Frechet (1972) dan diterapkan pertama kali oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan ukuran distribusi partikel. Waloddi
Weibull menyampaikan makalah yang telah disahkan persoalannya pada tahun 1951. Ia menyatakan bahwa distribusinya, atau lebih khusus rumpun distribusi, diterapkan untuk  berbagai  macam  masalah.  Reaksi  awal untuk  makalahnya  di  tahun  1950  dan  bahkan awal  1960-an  adalah  negatif,  bervariasi  dari skeptisisme  penolakan  langsung.  Hanya  setelah pelopor  di  lapangan  bereksperimen  dengan metode  dan  melakukannya  dengan  diverifikasi aplikasi  yang  luas  menjadi  populer.  Metode khusus  harus  dikembangkan  untuk menerapkan distribusi  Weibull.  Berikut  ini  adalah  contoh dari  masalah  yang  dapat  diselesaikan  dengan analisis Weibull: 5
1. Seorang  insinyur  proyek  melaporkan  tiga kegagalan  komponen  dalam  operasi  jasa diperiode  6  minggu.  Pertanyaan  yang diajukan  oleh  Manajer  Program,  “Berapa banyak  kegagalan  diperkirakan  untuk  tiga bulan  ke  depan,  enam  bulan  dan  satu tahun?".
2. Untuk memesan suku cadang yang mungkin memiliki  waktu  pemakaian  2-3  tahun, bagaimana mungkin jumlah mesin yang akan kembali  ke  gudang  menjadi  ramalan  tiga sampai lima tahun dari bulan ke bulan?
3 Rinne,  Horst, The  Weibull  Distribution:  A Handbook . (London: CRC Press, 2009),                 h. 12.
4 Murthy, D. N. Prabhakar, Min Xie, Renyan Jiang, Weibull  Models .  (Canada:  A  John  Wiley  & Sons, Inc., Publication, 2004), h. 10.
5 Waloddi, Weibull, A Statistical Distibution Function  of  Wide  Applicability .  Joural  of  Applied fechanicu, 1951 pg. 293-297.
3. Apa efek pada biaya dukungan pemeliharaan akan  penambahan  fitur  kompresor  baru kejadian  harus  relatif  terhadap  kejadian penuh? 4. Jika Rekayasa Perubahan baru menghilangkan kegagalan yang ada, bagaimana  banyak  unit  harus  diuji  untuk berapa jam tanpa kegagalan untuk menunjukkan dengan keyakinan 90% bahwa itu baik. "Dieliminasi atau meningkat secara signifikan?"
Sebuah  model  yang  sama  diusulkan sebelumnya  oleh  Rosen  dan  Rammler  (1933) dalam  konteks  pemodelan  variabilitas  dalam diameter  partikel  bubuk  yang  lebih  besar.  dari ukuran tertentu. Publikasi awal dikenal berurusan  dengan  distribusi  Weibull  adalah karya  Fisher  dan  Tippet  (1928)  dimana distribusi  ini  diperoleh  sebagai  distribusi membatasi  ekstrem  terkecil  dalam  sampel. Gumbel  (1958)  mengacu  pada  distribusi Weibull  sebagai  distribusi  asimtotik  ketiga ekstrem terkecil.
Meskipun Weibull bukan orang pertama yang mengusulkan distribusi, ia berperan dalam promosi  dengan  berbagai  penerapan  dari berbagai  model  yang  berguna  dan  serbaguna. Sebuah  laporan  oleh  Weibull  (Weibull,  1977) berisi  lebih  dari  1000  referensi  untuk  aplikasi dari model Weibull dasar, dan pencarian   baru- baru ini berbagai database menunjukkan bahwa ini  telah  meningkat  dengan  faktor  3  sampai  4 selama 30 tahun terakhir.
Distribusi  Weibull  selama  bertahun- tahun  menjadi  salah  satu  model  data  statistik yang  memiliki  jangkauan  luas  dari  aplikasi dalam  uji  hidup  dan  teori  reliabilitas  dengan kelebihan utamanya adalah menyajikan keakuratan  kegagalan  dengan  sampel  yang sangat kecil.
Berbagai perluasan dari distribusi weibull  telah  banyak  dilakukan  oleh  para peneliti.  Perluasan  dari  distribusi  weibull dilakukan dengan memodifikasi ataupun menambah parameter baru. Salah satu perluasan dari  distribusi  weibull  adalah exponentiated weibull  distribution yang  diperkenalkan  oleh
Mudholkar dan Srivastava dan dikaji ulang oleh M.Pal Ali J. Woo pada tahun 2006.

## C. Definisi Distribusi Weibull
Distribusi  Weibull  adalah    distribusi yang  memiliki  peranan  yang  penting  terutama pada  persoalan  keandalan  ( reliability )  dan analisis  rawatan  ( mantainability ).  Distribusi Weibull  sering  dipakai  sebagai  pendekatan untuk mengetahui karakteristik fungsi kerusakan karena perubahan nilai akan mengakibatkan  distribusi  Weibull  mempunyai sifat tertentu ataupun ekuivalen dengan distribusi tertentu. Distribusi ini adalah distribusi  serbaguna  yang  dapat  mengambil karakteristik  dari  jenis  lain  dari  distribusi, berdasarkan nilai dari bentuk parameter.
Weibull  telah  diakui  sebagai  model yang  tepat  dalam  studi  keandalan  dan  masalah pengujian  kehidupan  seperti  waktu  untuk kegagalan  atau  panjang  umur  komponen  atau produk. Selama bertahun-tahun, estimasi bentuk dan skala parameter untuk fungsi distribusi telah didekati melalui metode kemungkinan maksimum (MLM), metode linear, dan beberapa  versi  dari  analisis  regresi.  Dalam beberapa tahun terakhir, distribusi Weibull telah menjadi  salah  satu  yang  paling  umum digunakan, diterima, dianjurkan untuk menentukan  potensi  energi  angin  dan  juga digunakan  sebagai  distribusi  referensi  untuk software energi angin. distribusi Weibull adalah model  penting  terutama  untuk  keandalan  dan analisis rawatan. 6
Distribusi  Weibull  dapat  digunakan untuk memodelkan distribusi kecepatan angin di tempat  kejadian  tertentu  dan  karenanya,  dapat membantu  dalam  penilaian  sumber  daya  angin dari  tempat  kejadian.  Untuk  menghitung  dua parameter  (bentuk  dan  skala)  untuk  distribusi Weibull  kurva  frekuensi  kecepatan angin  untuk tempat  kejadian  dapat  dibuat  (Prasad  et  al., 2009)  dan  kunci  untuk  melakukan  turbin  angin
6 Ahmed,  Salahaddin  A, Comparative  study of  four  methods  for  estimating  Weibull  parameters for  Halabja,  Iraq (International  Journal  of  Physical Sciences Vol. 8(5), pp. 186-192, 9 February), h. 186
dan  perhitungan  energi  angin  pertanian. Beberapa metode telah diusulkan untuk memperkirakan  parameter  Weibull  (Marks, 2005; Rider, 1961; Kao, 1959; Pang et al, 2001;. Pandey et al, 2011;. Seguro dan Lambert, 2000; Stevens  dan  Smulders,  1979;  Bhattacharya  dan Bhattacharjee,  2010).  Dalam  literatur  tentang energi angin, metode ini dibandingkan beberapa kali  dan  dalam  cara  yang  berbeda  (Akdag  dan Ali,  2009;.  Silva  et  al,  2004;  Yilmaz  et  al, 2005;.  Gupta,  1986;.  Rahman  et  al,  1994;  Lei, 2008; Kantar dan Senoglu, 2007). Namun, hasil dan  kesimpulan  dari  penelitian  sebelumnya yang berbeda. Beberapa tes fit digunakan dalam literatur.  Sebuah  metode  untuk  memperkirakan parameter dari distribusi campuran menggunakan  momen  sampel  telah  digariskan oleh  Paul  (1961)  yang  dianggap  senyawa Poisson,  binomial,  dan  kasus  khusus  dari distribusi  Weibull  campuran.  Sebuah  grafis metode untuk memperkirakan parameter Weibull  campuran  dalam  pengujian  kehidupan tabung  elektron  diusulkan  oleh  John  (1959). Untuk  alasan  ini,  menurut  hasil  penelitian, mungkin disimpulkan bahwa kesesuaian metode mungkin bervariasi dengan ukuran data sampel, distribusi  sampel  data,  sampel  format  data  dan uji kesesuaian (Akdag dan Ali, 2009). 7
Dalam  teori  probabilitas  dan  statistik, distribusi  Weibull  adalah  salah  satu  distribusi kontinu  yang  pertama  kali  diperkenalkan  oleh fisikawan  Swedia  bernama  Waloddi  Weibull pada tahun 1939 8 . Distribusi Weibull merupakan  salah  satu  model  data  statistik  yang memiliki jangkauan luas dari aplikasi dalam uji hidup  dan  teori  reliabilitas  dengan  kelebihan utamanya adalah menyajikan keakuratan kegagalan meskipun dengan sampel yang sangat kecil. 9 .
7 Ibid, h. 186-187.
8 Hazhiah, Indria T, Sugianto & Rahmawati, Rita, Estimasi  Parameter  Distribusi  Weibull  Dua Parameter  Menggunakan  Metode  Bayes .  Jurnal Media Statistika, 2012. pg. 27-35.
9 Hossain,  Anwar  &  Zimmer,  William. (2003). Comparison  of  Estimation  Methods  for Weibull  Parameters:  Complete  and  Censored
Analisis  data  waktu  hidup  merupakan salah  satu  teknik  statistika  yang  berguna  untuk melakukan  pengujian  tentang  ketahanan  atau keandalan komponen dan analisa tersebut dapat dilakukan dengan Distribusi Weibull 10 . Distribusi  Weibul  adalah  distribusi  probabilitas penting  yang  digunakan  dalam  mencirikan perilaku  probabilistik  dari  sejumlah  besar fenomena  dunia  nyata.  Distribusi  ini  berguna sebagai  model  kegagalan  dalam  menganalisis keandalan berbagai jenis sistem. 11
Ada  beberapa  fungsi  yang  benar-benar menentukan distribusi dari variabel acak. Dalam konteks uji hidup, enam fungsi matematis setara telah berevolusi yaitu: 12
Samples .  Journal  of  Statistical  Computation  and Simulation. pg. 145-153.
10 Ni’ma,  Roudlotin  &  Agoestanto,  Arief.
(2014). Estimasi  Bayes  untuk  Rata-Rata  Hidup  dari Distribusi  Rayleigh  Pada  Data  Disensor  Tipe  II . UNNES Journal of Mathematics. pg. 1-8.
11 Qiao, Hongzhi & Tsokos, Chris P. (1994).
Parameter  Estimation  of  the  Weibull  Probability Distribution . Journal Mathematics and Computers in Simulation. pg. 47-55.
12 Rinne, Horst, The  Weibull Distribution: A Handbook . (London: CRC Press, 2009), h. 27.
1. Kegagalan Kepadatan ( the failure density );
Fungsi kepadatan (disingkat dengan DF)
:
Disebut kegagalan kepadatan dan memberikan kesempatan unit gagal atau mati pada  usia  x.  Probabilitas  bersyarat  dari  unit
yang  baru  lahir  atau  baru  diproduksi  mati atau gagal sekitar usia x diberikan oleh
Probabilitas bersyarat mencapai usia antara kali xℓ dan xu, xℓ <xu, adalah diberikan oleh:
Biasanya kepadatan kegagalan miring ke kanan.
2. Kegagalan Distribusi ( the failure distribution );
Fungsi distribusi kumulatif (CDF) disebut distribusi hidup atau kegagalan distribusi:
memberikan probabilitas gagal sampai waktu x atau memiliki masa hidup paling . adalah fungsi non-peningkatan memuaskan.
3. Fungsi Keandalan ( the reliability function );
Fungsi  distribusi  kumulatif  komplementer  (CCDF)  disebut  fungsi  survival  (survivor)  atau  fungsi keandalan:
R ( ) adalah probabilitas bertahan usia x. R( ) adalah non-penurunan fungsi dari memuaskan
4. Tingkat Resiko ( the hazard rate );
Tingkat resiko atau tingkat kegagalan sesaat (HR; juga dikenal sebagai fungsi tingkat atau fungsi intensitas) didefinisikan sebagai
dan terpenuhi
Dalam  kehandalan  kerja  h  ( )  adalah populer karena memiliki interpretasi intuitif  sebagai  jumlah  risiko  yang  terkait dengan  item  yang  memiliki  selamat  ke waktu . Dalam  demografi  dan  ilmu aktuaria  h  (x)  dikenal  sebagai  kekuatan
untuk  kematian.  1  Di  tabel  hidup  h  ( )
didekati dengan probabilitas bahwa seseorang  usia akan  mati  dalam  tahun berikutnya.  Beberapa  pengertian  penuaan mengacu HR:
5. Tingkat Resiko Kumulatif ( the cumulative hazard rate );
CHR adalah fungsi non-menurun dari x memuaskan H (0) = 0 dan limx → ∞H ( ) = ∞. H ( ) tidak dinormalisasi  ke  unit  interval  [0,  1].  Karena  H  ( )  =  -ln  [R  ( )],  H  (x)  memiliki  distribusi eksponensial  dengan rata-rata satu. Jadi  H-1  [-ln  (1  -  Y)]  menghasilkan  nomor acak  untuk  simulasi Monte Carlo ketika Y terdistribusi secara seragam pada [0, 1].
6. Rata-rata fungsi sisa umur ( the mean residual life function );
adalah rata-rata residual hidup (MRL) dari x-selamat atau kehidupan yang diharapkan tambahan item berusia x. Brikut ini terpenuhi tiga kondisi yang diberikan oleh Swartz (1973):
Kemungkinan kehidupan atau total perkiraan umur dari item setelah selamat  ke x diberikan oleh + ( ). Terutama, adalah usia rata-rata item baru.
Berdasarkan beberapa pendapat
tersebut,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa Distribusi  Weibull  adalah  model  data  statistik dalam teori probabilitas statistik yang digunakan  dalam  menganalisis  data  waktu hidup  atau  jangkauan  untuk  menyajikan informasi  tentang  keakuratan  dan  kegagalan suatu produk. Distribusi Weibull ini merupakan metode statistika yang cukup populer digunakan karena  memiliki  keunggulan  utama  yaitu  dapat digunakan meskipun pada kasus sampel kecil.

## D. Rumus Distribusi Weibull
Distribusi Weibull pertama kali
diperkenalkan  oleh  Weibull  pada  tahun  1936 dengan  3  (tiga)  parameter,  yang  kemudian seiring perkembangan konsep Distribusi
Weibull  tersebut  terdapat  juga  distribusi Weibull dengan dua dan satu parameter, dengan
masing-masing distribusinya dikemukakan sebagai berikut. 13

## 1. Distribusi Weibull 3 Parameter
Distribusi  Weibull  3  Parameter merupakan  metode  analisis  Weibull  yang memuat  tiga  parameter  secara  simultan yaitu  parameter lokasi (a), parameter  skala (b),  dan  parameter  bentuk  (c).  Rumus Distribusi Weibull 3 parameter dikemukakan sebagai berikut. 14
13 Rinne, Horst, The Weibull Distribution: A Handbook . London: CRC Press, 2009
14 Ibid.
| ( ) {  ( ) } dimana, a : parameter lokasi
b : parameter skala c : parameter bentuk

## 2. Distribusi Weibull 2 Parameter
Berbeda dengan Distribusi Weibull 3
Parameter,  pada  model  2  parameter  hanya
dua parameter yangdigunakan secara simultan.  Distribusi  Weibull  2  Parameter dikelompokkan  menjadi  tiga  versi  yaitu: versi skala bentuk, versi lokasi bentuk, dan versi  pergeseran  skala.  Rumus  dari  ketiga versi tersebut dikemukakan sebagai berikut.
a. Distribusi versi skala bentuk.
| ( ) {  ( ) } b. Distribusi versi lokasi bentuk
| { }
c. Distribusi versi pergeseran skala | {  ( ) }

## 3. Distribusi Weibull 1 Parameter
Distribusi  Weibull  1  Parameter merupakan  model  Weibull  yang  hanya menggunakan satu parameter dalam
formula  analisisnya.  Distribusi  ini  terbagi ke  dalam  tiga  versi  yang  terpusat  di  setiap parameter. Rumus distribusi tersebut sebagai berikut.
a. | { }
b. | {  ( ) }
c. |             { }
Perhatikan  bahwa  dalam  perumusan  1- parameter  Weibull,  kita  mengasumsikan  bahwa parameter bentuk diketahui apriori dari pengalaman  masa  lalu  dengan  produk  yang identik  atau  mirip.  Keuntungan  melakukan  hal ini  adalah  bahwa  data  set  dengan  sedikit  atau tidak ada kegagalan dapat dianalisis.
Menurut  Walpole  &  Myers  bahwa peubah  acak  kontinyu  X  berdistribusi  Weibull, dengan parameter α dan β jika fungsi padatnya berbentuk: 15
15 Walpole,  Ronal  E  &  Myers,  Raymond  H. Ilmu  Peluang  Statistika  Untuk  Insinyur  dan Ilmuwan ., h. 195-198.

## , x>0

## Untuk x lainnya
Dengan α=1 dan β>0
Untuk menggunakan  distribusi Weibull dalam  teori  keandalan,  perlu  didefinisikan terlebih dahulu keandalan suatu komponen atau alat  sebagai  peluang  bahwa  komponen  tersebut akan  berfungsi  sebagaimana  mestinya  selama,
paling  sedikit,  sampai  jangka  waktu  tertentu dalam keandalan percobaan yang telah tertentu. Jadi  R(t)  menyatakan  keandalan  komponen tersebut pada waktu t maka ditulis:
Jika F(t) menyatakan distribusi tumpukan  T.  Peluang  bersyarat  bahwa  suatu komponen  akan  gagal  dalam  selang  waktu  T=t
sampai T=t+ t, bila diketahui berfungsi dengan baik sampai waktu t, diberikan oleh:
Bila  nisbah  ini  dibagi  dengan t  dan diambil dengan membuat t 0 maka diperoleh tingkat kegagalan, dinyatakan dengan Z(t). Jadi:
Yang menggambarkan tingkat kegagalan dinyatakan  dalam  distribusi  waktu  sampai gagal.  Dari  kenyataaan  bahwa  R(t)=1-F(t)  dan
kemudian  R ' (t)= ^(t)  maka  dapat  ditulis persamaan diferensial:
Dan kemudian dicari jawabannya Atau Dengan  c  memenuhi  syarat  permulaan  bahwa R(0)=1  atau  F(0)=1 Jadi  bila  salah satu  dari  fungsi  padat ataupun  tingkat kegagalan diketahui,  maka  yang  lainnya dapat ditentukan secara tunggal.

## E. Ciri-Ciri Distribusi Probabilitas Weibull
Pada  dasarnya  distribusi  probabilitas Weibull  dicirikan  dengan  ketiga  parameternya. Parameter  yang  dimaksud  adalah  parameter bentuk,  parameter  skala,  dan  parameter  lokasi.
Ketiga parameter ciri tersebut diuraikan sebagai berikut.
1. Parameter Bentuk ( c / β) Parameter bentuk juga dikenal sebagai  lereng  Weibull.  Hal  ini  karena  nilai parameter  bentuk c  / β  sama  dengan
      x e fx    1 , 0 ) ( ) ( t T P t R   dt t f t    ) ( ) ( 1 t F   ) ( ) ( ) ( t R t F t t F    ) ( 1 ) ( ) ( lim 0 t R t t t F t Z t      
' ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t F t f t R t f t R t F       dt t R d t R t R t Z ) ( ln ) ( ) ( ) ( '         c dt t Z t R ln ) ( ) ( ln    dt t z ce t R ) ( ) (
kemiringan  garis  dalam  plot  probabilitas. Nilai  yang  berbeda  dari  parameter  bentuk dapat  memiliki  efek  pada  distribusi  data. Bahkan,  beberapa  nilai  dari  parameter bentuk akan menyebabkan persamaan distribusi yang berbeda. Misalnya, ketika β = 1,  model  tiga  parameter  Weibull  menjadi
model  dua  parameter.  Gambar  berikut  ini menunjukkan  efek  dari  nilai-nilai  yang berbeda  dari  parameter  bentuk,  β,  pada bentuk probability  density  function /  pdf (dengan  a  /  γ  konstan).  Berikut  ini  contoh plot dengan variasi nilai parameter bentuk.

## Gambar 1. Plot PDF dengan Variasi Nilai Parameter Bentuk
Gambar  tersebut  menunjukkan  pengaruh  parameter  bentuk  ( c  / β)  terhadap probability density  function .  Nilai  parameter  bentuk    yang  berbeda  akan  berpengaruh  pada  bentuk  lereng  plot atau kemiringan kurva.
2. Parameter Skala (b / η) Parameter skala (b / η) menunjukkan skala  absis.  Perubahan  parameter  skala,  (b  / η)  memiliki  efek  pada  distribusi  sebagai perubahan dari skala absis. Peningkatan nilai parameter skala (b / η) dengan mengontrol (c /  β)  konstan  memiliki  efek  peregangan
keluar  pada probability  density  function (pdf).  Karena  daerah  di  bawah  kurva  pdf adalah  nilai  konstan  satu,  "puncak"  dari kurva  pdf  juga  akan  menurun  dengan meningkatnya parameter skala (b / η), seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

## Gambar 2. Plot PDF dengan Variasi Nilai Parameter Skala
Gambar tersebut menunjukkan pengaruh  parameter  skala  ( b  / η)  terhadap probability  density  function .  Jika  parameter bentuk  ( b  / η)  meningkat,  sementara  (c  /  β) dan  (a  /  γ)  dikontrol  sama,  distribusi  akan mengulurkan  ke  kanan  dan  tingginya menurun,  sambil  mempertahankan  bentuk dan lokasi.        Jika  parameter  bentuk  ( b  / η) menurun,  sedangkan  (c  /  β)  dan  (a  /  γ) dikontrol  sama,  distribusi  akan  didorong  ke
arah  kiri (yaitu,  menuju awal  atau  menuju  0 atau γ), dan tinggi meningkat.
3. Parameter Lokasi (a / γ)
Parameter  lokasi  (a  /  γ)  seperti namanya, menempatkan distribusi sepanjang absis.  Mengubah  nilai  parameter  lokasi  (a  /
γ) memiliki efek geser pada distribusi. Kurva berikut  diberi  gambaran  parameter  lokasi yang berbeda.
Gambar 3. Plot PDF dengan Variasi Nilai Parameter Lokasi
Gambar
tersebut menunjukkan pengaruh  parameter  lokasi  ( a  / γ)  terhadap probability  density  function .    Ketika  γ  =  0 distribusi dimulai pada t = 0 atau asal. Jika γ > 0 distribusi  dimulai  pada  lokasi  y  ke  kanan  asal. Jika  γ  <  0,  distribusi  dimulai  pada  lokasi  γ  di sebelah  kiri  asal.  γ  memberikan  perkiraan waktu-ke-kegagalan  awal  dari  unit  tersebut. Kehidupan  periode  0  hingga  +  γ  adalah kegagalan  masa  operasi  bebas.  Parameter  γ memberikan  perkiraan  waktu  awal  kegagalan dapat  diamati.  Sebuah  γ  negatif  dapat menunjukkan  bahwa  kegagalan  telah  terjadi sebelum  awal  tes,  yaitu  selama  produksi, penyimpanan,  transit,  selama checkout sebelum dimulainya  misi,  atau  sebelum  penggunaan aktual.  γ  memiliki  satuan  yang  sama  dengan  t, seperti jam, mil, siklus, aktuasi, dll.
Distribusi  Weibull  ditandai  oleh  dua parameter,  satu  adalah  skala  parameter  c  (m/s) dan  yang  lainnya  adalah  parameter  bentuk  k (berdimensi).  Dalam  distribusi  Weibull,  variasi kecepatan  angin  ditandai  dengan  dua  fungsi
yang  merupakan  fungsi  kepadatan  probabilitas (PDF)  dan  fungsi  distribusi  kumulatif  (CDF). PDF f,v,k,c menunjukkan  peluang  waktu  (atau probabilitas) yang angin pada kecepatan tertentu V.  Hal  ini  diberikan  oleh    Bhattacharjee (2010) 16 dan Weisser (2003). 17
16 Bhattacharya P, Bhattacharjee R (2010). A study  on  Weibull  distribution  for  estimating  the parameters . Journal of Applied Quantitative Methods 5(2):234-241
17 Weisser DA (2003). Wind energy analysis of  Grenada,  an  estimation  using  Weibull  density function . Renew. Energy 28:1803-1812
Di mana ν> 0, dan k, c> 0 CDF dari kecepatan V memberikan peluang waktu (atau probabilitas)  bahwa  kecepatan  angin  sama  atau
lebih  rendah  dari  V,  dengan  demikian,  adalah integral  dari  PDF,  diberikan  oleh  distribusi kumulatif f,v,k,c diberikan oleh:
Kecepatan angin rata-rata dapat dinyatakan sebagai:
Ini dapat disusun kembali: Menggunakan: Persamaan 5 dapat disederhanakan sebagai:
Ini adalah bentuk fungsi gamma standar, yang diberikan oleh:
Dari  Persamaan 7 dan 8,                    kecepatan rata-rata dapat dinyatakan sebagai:
Standar deviasi dari kecepatan angin V diberikan oleh:
Menggunakan:
Menyamakan dengan:
dan  menempatkan
,  maka  persamaan  berikut  dapat  diperoleh.  Oleh  karena  itu,
mendapatkan standar deviasi: 18
atau:
Tetapi fungsi distribusi kumulatif ditransformasikan ke fungsi linear seperti di bawah:

## Persamaan (14) dapat ditulis sebagai

## Dimana:
Distribusi  Weibull  adalah  model  distribusi  probabilitas  yang  sangat  fleksibel  dengan  dua parameter.  Memiliki  CDF  dan  PDF  tergantung  pada  nilai  γ  parameter  bentuk,  model  Weibull  secara empiris dapat memuat berbagai bentuk data yang histogram. Hal ini ditunjukkan oleh PDF contoh kurva di bawah ini. 19
Dari  model  sudut  pandang  tingkat  kegagalan,  distribusi  Weibull  adalah  perluasan  alami  dari tingkat  kegagalan  Model  eksponensial  konstan  sejak  Weibull  memiliki  tingkat  kegagalan  polinomial dengan eksponen {γ-1}. Hal ini membuat semua kurva tingkat kegagalan yang ditampilkan dalam plot berikut mungkin.
18 Ahmed,  Salahaddin  A., Comparative  study  of  four  methods  for  estimating  Weibull  parameters  for Halabja, Iraq ., h. 187.
19 Nist/Sematech  e-Handbook  of  Statistical  Methods ,  http://www.itl.nist.gov/div898/  handbook/, date.(Links to specific pages can also be referenced this way, if suitable.)
Berdasarkan  ciri-ciri  distribusi  Weibull yang  dikemukakan  di  atas,  dapat  disimpulkan bahwa  pada  dasarnya  distribusi  Weibull dicirikan  dengan  ketiga  parameternya  yaitu parameter bentuk, parameter skala, dan parameter  lokasi  yang  digunakan  dalam menganalisis  data  waktu  hidup  atau  jangkauan untuk menyajikan informasi tentang keakuratan dan kemampuan  untuk  model  berbagai  tingkat kegagalan yang fleksibel .

## F. Aplikasi Distribusi Probabilitas Weibull
Seperti  telah  dijelaskan  di  atas  bahwa distribusi Weibull termasuk salah satu distribusi yang fleksibel. Fleksibilitas ini dapat dilihat dari banyaknya bidang yang mengaplikasikan distribusi ini dalam analisis datanya. Khususnya dalam masalah data reliabilitas, distribusi inipun memiliki fleksibilitas diantaranya dapat digunakan  untuk  menganalisis  data  dengan tingkat kegagalan yang tidak selalu konstan.
Penggunaan  Model  Distribusi  Weibull: (1)  Distribusi  Weibull  telah  berhasil  digunakan dalam  banyak  aplikasi  sebagai  model  empiris murni,  karena  bentuk  dan  kemampuan  untuk model berbagai tingkat kegagalan yang fleksibel;  (2)  Model  Weibull  dapat  diturunkan secara  teoritis  sebagai  bentuk  Nilai  Ekstrim Distribusi, yang mengatur waktu untuk terjadinya  "hubungan  terlemah"  dari  banyak proses  kegagalan  berlawanan.  Hal  ini  mungkin menjelaskan mengapa hal itu telah begitu sukses dalam  aplikasi  seperti  kapasitor,  bantalan  bola, penggantian dan kegagalan kekuatan bahan; (3) khusus  kasus lain  dari  Weibull  terjadi  ketika bentuk  parameter  adalah  2.  Distribusi  disebut Distribusi Rayleigh dan ternyata menjadi model probabilitas  teoritis  untuk  besarnya  kesalahan
radial  ketika  koordinat  x  dan  y  kesalahan  yang normals  independen  dengan  0  berarti  dan standar  deviasi  yang  sama. 20 Misalnya: dihasilkan 100 Weibull variabel acak menggunakan T = 1000, γ = 1,5 dan α = 5000. Untuk  melihat  seberapa  baik  ini  titik  data random  sebenarnya  cocok  dengan  distribusi Weibull,  menghasilkan  plot  probabilitas  yang ditunjukkan  di  bawah.  Catatan  skala  log  yang digunakan adalah
basis 10.
20 NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical  Methods ,  http://www.itl.nist.gov/div898/ handbook/, date.(Links to specific pages can also be referenced this way, if suitable.)
Jika data mengikuti distribusi Weibull, poin harus mengikuti garis lurus. Kita bisa comput PDF dan  nilai-nilai  CDF  untuk  waktu  kegagalan T  =  1000,  dengan  menggunakan  contoh  distribusi Weibull dengan γ = 1,5 dan α = 5000. Nilai PDF adalah 0,000123 dan nilai CDF adalah 0,08556. Fungsi untuk menghitung Weibull nilai PDF, nilai CDF, dan untuk memproduksi plot probabilitas, yang ditemukan di kedua kode dan R dataplot kode.
Aplikasinya  lainnya  dari  distribusi  Weibull  dijelaskan  bahwa  model  ini  banyak  dipergunakan untuk  sebaran  fungsinya  berupa  fungsi  tidak  linier  terhadap  waktu  t.  Fungsi  padat  peluang  dari  model distribusi Weibull adalah: 21
dengan  parameter  θ  dan  γ  adalah  bernilai  positif.  Parameter  θ  merupakan  parameter  skala  merupakan karakteristik  umur,  yang  menggambarkan  sifat  umur  produk.  Sedangkan  parameter  γ  merupakan parameter bentuk, yang menggambarkan macam-macam  bentuk distribusinya, jika nilainya bervariabel. Jika nilai γ dilakukan simulasi pada fungsi padat peluang Weibull, maka akan didapat distribusi seperti pada tabel  berikut.
Tabel  1. Hasil Simulasi Nilai γ terhadap Distribusi
Selanjutnya, fungsi distribusi kumulatif Weibull diberikan dengan:
Fungsi reliabilitas Weibull adalah:
Berikut  ini  disajikan  plot  dari  fungsi  reliabilitas  Weibull  untuk  bermacam-macam  nilai  γ  (atau g), untuk suatu θ diambil konstan.
21 Sudarno.  (2009). Karakteristik  Umur  Produk  Pada  Model  Weibull .  (Media  Statistika,  Vol.  2,  No.  2, Desember), h. 105-110.

## Gambar 4 Plot Fungsi Reliabilitas Weibull terhadap Waktu
Berdasarkan  gambar  di  atas,  diperoleh    kesimpulan  bahwa  untuk  nilai  θ  konstan,  fungsi reliabilitasnya adalah makin kecil, jika nilai γ makin besar  terhadap waktu. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi reliabilitas Weibull kurang sensitive untuk nilai γ yang besar, dimana nilai θ dianggap konstan. Juga, fungsi tingkat risiko Weibull diberikan dengan:
Jika dilakukan simulasi secara umum terhadap nilai γ  dengan θ dianggap konstan  pada fungsi tingkat risiko Weibull didapat keputusan fungsi seperti pada tabel  berikut ini.
Tabel 2. Hubungan antara γ dengan Fungsi
γ Fungsi >1 Monoton Naik = 1 Konstan < 1 Monoton Turun
Di bawah ini ditampilkan plot dari fungsi tingkat risiko Weibull untuk suatu θ konstan dengan bermacam-macam nilai γ (atau g).

## Gambar 5. Plot Fungsi Tingkat Risiko Weibull terhadap Waktu
Berdasarkan gambar di atas, untuk nilai θ konstan dapat dikatakan bahwa pada γ = 1, maka h(1) merupakan  fungsi  konstan.  Sedangkan  pada  γ  lebih  dari  1,  nilai  awal  h(γ)  lebih  kecil  dari  h(1)  tetapi akhirnya  lebih  besar  darinya,  yang  mana  makin  besar  nilai  γ  nilai  fungsi  h(γ)  akan  cepat  besar. Sebaliknya, pada γ kurang dari 1, nilai awal h(γ) lebih besar dari h(1) tetapi akhirnya lebih kecil darinya,
0 , ) ( 5 01 , 0    t e t R t
yang  mana  makin  kecil  nilai  γ  nilai  fungsi  h(γ)  akan  cepat  mengecil.      Misalkan  suatu  produk diasumsikan bahwa  waktu  kegagalannya adalah berdistribusi Weibull dengan parameter θ = 100 dan γ = 5. Maka reliabilitas untuk waktu sesudah  t  adalah
Sehingga untuk t =  1,5  tahun  didapat   R(1,5) = 0,9269. Sedangkan tingkat risiko pada waktu t adalah ,pada t = 1,5 tahun tingkat risikonya adalah 0,2531 kegagalan per tahun.
Selanjutnya  aplikasi  distribusi  Weibull  untuk  mengetahui  mengetahui  rataan  waktu  gagal. Rataan waktu gagal merupakan taksiran waktu antar dua kegagalan yang berturutan pada produk  yang sekali  pakai.  Misal  terdapat  n  produk  yang  sekali  pakai  dan  diamati  kapan  waktu  kegagalannya. Andaikan  waktu  kegagalannya  masing-masing  dinyatakan  dengan  t 1 ,  t 2 ,  .....  t n .  Taksiran  rataan  waktu gagal adalah .  Karena  t i merupakan  variabel  acak,  maka  secara  umum  variabel  acak  ini  dapat diganti  dengan  variabel  acak  T,  yang  menyatakan  waktu  kegagalan.  Sehingga    taksiran  nilainya  dapat dinyatakan dengan:
Telah diketahui bahwa dan .Sehingga persamaan (5) menjadi:
Karena                    dan R(0)=1 Selanjutnya  menentukan rataan waktu gagal untuk distribusi Weibull. Berdasarkan Persamaan (3) dan (6), maka: Dengan mensubstitusi
, maka Persamaan (7)
menjadi:
yang dapat dipergunakan untuk menentukan umur produk. Sedangkan ragam waktu gagal dari distribusi Weibull yaitu:
dengan        merupakan fungsi gamma, yaitu:
Misal  suatu  produk  diasumsikan  bahwa  waktu    kegagalannya  adalah  berdistribusi Weibull  dengan  parameter  θ  =  100  dan  γ  =  5.  Maka    taksiran    umur  produk  dapat  dicari menggunakan rataan waktu gagal, yaitu 100 0,4 . Oleh karena itu simpangan bakunya adalah 0,5283 tahun.
Selain  untuk  mengetahui  rataan  waktu  gagal,  distribusi  Weibull  dapat  diaplikasikan  untuk mengetahui rataan sisa umur L(t). Fungsi ini didefinisikan sebagai berikut:
Maka fungsi rataan sisa umur adalah taksiran sisa umur, T – t, yang diberikan produk yang telah hidup sampai waktu t. Jika fungsi densitas peluang bersyarat untuk sembarang waktu adalah:
4 05 , 0 ) ( t t h    n i i t n 1 1 ) ( 1 ) ( t F t R   dt t dR dt t dF t f ) ( ) ( ) (   
0 ) (   R   y t  ) ( n      2791 , 0 ) 2 , 1 ( ) 4 , 1 ( 2     t  
Maka ekspektasi bersyarat dari fungsi yang diberikan dalam Persamaan (11) adalah:
Berdasarkan Persamaan (10), (11), dan (12), diperoleh rataan sisa umur berikut ini
Karena
Andaikan    suatu  produk  dianggap  bahwa  waktu    kegagalannya  adalah  berdistribusi Weibull dengan parameter θ = 100 dan γ = 5. Maka  akan mempunyai fungsi densitas peluang `````.Sehingga didapat fungsi distribusi kumulatifnya .
Karena R(t)=1 - F(t), maka  reliabilitas untuk waktu sesudah  t adalah: Sedangkan tingkat risiko pada waktu  t  adalah Jika  produk  telah  hidup  selama  1,5  tahun  atau  18  bulan,  maka  diperoleh  R(1,5)  =  0,9269. Sehingga rataan sisa umur produk tersebut adalah
(14) Jadi  taksiran  sisa  umur  produk  tersebut adalah  kira-kira  10,7  bulan  lagi  baru mati. Gambar untuk sebaran fungsi dari karakteristik  produk  pembahasan  di atas, diberikan di bawah ini.
Gambar 6. Plot Fungsi Reliabilitas, Distribusi dan Tingkat Risiko
Weibull terhadap Waktu
Berdasarkan  gambar  plot  di  atas,  untuk parameter  θ  dan γ  konstan dapat disimpulkan bahwa  untuk  perubahan  waktu  yang  semakin besar,  fungsi  reliabilitasnya  nilainya  akan semakin  kecil,  pada  kira-kira  3,5  tahun reliabilitasnya  sudah  bernilai  nol.  Sedangkan pada  fungsi distribusi dan tingkat risiko dengan bertambahnya  waktu,  nilainya  akan  semakin bertambah  besar.  Setelah  lebih  dari  setengah tahun baru muncul resiko kegagalan.
Sementara  aplikasi  distribusi  Weibull dalam  teori  keandalan,  dapat  dilihat  dalam contoh berikut:
Contoh:  Tunjukkanlah  bahwa  fungsi  tingkat kegagalan diberikan oleh:
0 , 05 , 0 ) ( 5 01 , 0 4    t e t t f t 0 , 1 ) ( 5 01 , 0     t e t F t 5 0 , 0 ) ( lt e t R   4 05 , 0 ) ( t t h  tahun dt e t
L t 8927 , 0 5 , 1
9269 , 0 05 , 0 ) 5 , 1 ( 5 01 . 0 5           t d f t R   ) ( ) ( , ) ( 1     t t Z
Jika dan hanya jika distribusi waktu sampai adalah distribusi Weibull t > 0,
Jawab: Misalkan bahwa
t > 0, maka dapat ditulis
dengan
Dari persyaratan bahwa R(0)=1 diperoleh c=1 jadi
R(t)=   t e 
dan
, t > 0
Sekarang Z(t) menjadi tertentu bila ditulis:
dengan
sehingga
Contoh  di  atas,  terlihat  bahwa  tingkat kegagalan  menurun  sejalan  waktu  bila β <1, naik sejalan waktu β >1, dan tidak berubah  bila  β  =1.  Jadi  mudah  terlihat bahwa  untuk  tingkat  kegagalan  yang tetap  dipenuhi  oleh  bentuk  yang  lebih sederhana,  yaitu  distribusi  eksponensial (melalui proses Poisson).
Selanjutya  berikut  ini  disajikan  contoh aplikasi  sederhana  probabilitas  weibull  melalui Program  R  melalui  data  simulasi.  Adapun langkah-langkah  untuk  menganalisis  Weibull pada program R sebagai berikut.
1. Buka/klik  Program  R  pada  komputer. Komputer  yang  digunakan  harus  terinstal Program R dengan package MASS dan car. Akan  muncul  jendela  program  R  sebagai berikut.
, ) ( 1     t e t t f   , ) ( 1     t t Z ), ( ) ( ) ( t R t Z t f      t t dt t Z ce ce ce t R d t          1 ) ( ) (
    t e t t f    1 ) ( ' ) ( ) ( ) ( t R t f t Z         t x dx e t F t R 0 1 1 ) ( 1 ) (         t x de 0 1     t e 
 0 , ) ( 1 1        t t e e t t Z t at       
2. Pilih file – new script hingga muncul R editor. Langkah ini bertujuan untuk bekerja pada script baru.
3. Jalankan (run) library MASS dan car dengan mengetikkan, library(MASS)
library(car)
4. Input data yang akan anda analisis. Data bisa berupa file SPSS, exel, dan txt. Namun pada bahasan ini data  yang  digunakan  adalah  data  simulasi  dari  program  R.  melalui  kode  script DATA  <- rweibull(1000, scale=1, shape=1.5)
Perlu  diketahui  bahwa  cara  tersebut  merupakan  cara  yang  digunakan  untuk  membangkitkan  data simulasi (bukan data real) dengan N = 1000 parameter skala diset = 1 dan parameter bentuk diset = 1.5.  data hasil bangkitan tersebut sebagai berikut.
5. Setelah  data  terbaca/terinput  kita  dapat  mulai  menganalisisnya  dengan  menampilkan probability density function (pdf) melalui kode script berikut.
plot(density(DATA, bw=0.5, cut=0), las=1, lwd=3, xlim=c(0,5),col="steelblue")
Data hasil bangkitan N = 1000
6. Setelah menjalankan (run) kode tersebut maka plot hasil analisis akan muncul sebagai berikut.
Hasil  tersebut  menggambarkan  kurva distribusi weibull untuk data simulasi dengan N = 1000.
Berdasarkan beberapa contoh aplikasi distribusi weibull  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa distribusi  Weibull    dapat    dipergunakan  untuk memprediksi waktu kegagalan yang sebarannya  bercorak  tidak  linier.  Dengan melakukan  simulasi  untuk  nilai  parameter bentuk  tertentu,  dapat  dihasilkan  distribusi eksponensial,  Rayleigh,  atau  bahkan  normal. Untuk  niliai  θ  konstan,  fungsi  reliabilitasnya adalah  makin  kecil,  jika  nilai  γ  makin  besar terhadap waktu. Tetapi, pada γ = 1, maka fungsi tingkat  risikonya  merupakan  fungsi  konstan. Sedangkan  pada  γ  lebih  dari  1,    fungsi  tingkat risikonya  merupakan  fungsi  monoton  naik  dan pada  γ kurang dari 1,  fungsi tingkat risikonya
merupakan fungsi monoton turun. Rataan waktu gagal  adalah  bergantung  pada  parameternya. Sedangkan rataan sisa umur berbanding terbalik terhadap reliabilitasnya.

## G. Penutup
Berdasarkan  hasil  pembahasan  yang telah  dilakukan  tentang  distribusi  Weibull, dapat    diperoleh  beberapa  kesimpulan  sebagai berikut.
1. Sejarah  distribusi  Weibull  diperkenalkan oleh  Fisikawan  Swedia  yaitu  Waloddi Weibull  pada  tahun  1939.  Distribusi Weibull  selama  bertahun-tahun  menjadi salah  satu  model  data  statistik  yang memiliki  jangkauan  luas  dari  aplikasi dalam  uji  hidup  dan  teori  reliabilitas dengan kelebihan utamanya adalah
menyajikan  keakuratan  kegagalan  dengan sampel yang sangat kecil.
2. Distribusi  Weibull  adalah  distribusi  yang memiliki  peranan  yang  penting  terutama pada  persoalan  keandalan  ( reliability )  dan analisis rawatan ( mantainability ).
Distribusi  Weibull  sering  dipakai  sebagai pendekatan untuk mengetahui karakteristik
fungsi  kerusakan  karena  perubahan  nilai akan  mengakibatkan  distribusi  Weibull mempunyai sifat tertentu ataupun ekuivalen dengan distribusi tertentu.
Distribusi  ini  adalah  distribusi  serbaguna yang  dapat  mengambil  karakteristik  dari jenis  lain  dari  distribusi,  berdasarkan  nilai dari bentuk parameter.
3. Rumus distribusi Weibull secara umum adalah:
| ( ) {  ( ) } Dimana: a : Parameter Lokasi
b : Parameter Skala
c : Parameter Bentuk
4. Pada  dasarnya  distribusi  Weibull  dicirikan dengan ketiga parameternya yaitu parameter  bentuk,  parameter  skala,  dan parameter  lokasi  yang  digunakan  dalam menganalisis data uji hidup atau jangkauan untuk menyajikan informasi tentang keakuratan  dan kemampuan  untuk  model berbagai tingkat kegagalan yang fleksibel.
5. Aplikasi dari distribusi probabilitas
Weibull distribusi Weibull dapat dipergunakan  untuk  memprediksi    waktu kegagalan  yang  sebarannya  bercorak  tidak linier.  Dengan  melakukan  simulasi  untuk nilai  parameter  bentuk  tertentu,  dapat dihasilkan distribusi eksponensial,
Rayleigh,  atau  bahkan  normal.    Untuk niliai  θ  konstan,  fungsi  reliabilitasnya adalah makin kecil, jika nilai γ makin besar terhadap  waktu.  Tetapi,  pada  γ  =  1,  maka fungsi  tingkat  risikonya  merupakan  fungsi konstan.  Sedangkan  pada  γ  lebih  dari  1, fungsi  tingkat  risikonya  merupakan  fungsi monoton  naik  dan  pada    γ  kurang  dari  1, fungsi  tingkat  risikonya  merupakan  fungsi monoton turun. Rataan waktu gagal adalah bergantung  pada  parameternya.  Sedangkan rataan  sisa  umur  berbanding  terbalik
terhadap reliabilitasnya. Distribusi probabilitas Weibull dapat diterapkan pada Program  R  melalui package  MASS dan package car .
Berdasarkan  kesimpulan  yang  telah dikemukakan,  penulis  menyarankan  beberapa hal sebagai berikut.
1. Distribusi  Weibull  memiliki  beberapa  sifat terkenal  antara  lain  fungsi  distribusi kumulatif,  mean,  variansi  serta  fungsi pembangkit  momen  yang  merupakan perkembangan  dari  momen.  Oleh  karena itu,  perlu  membahas  lebih  dalam  tentang distribusi Weibull misalnya dengan membahas fungsi distribusi Weibull dengan tiga variabel atau distribusi Weibull yang dipangkatkan, dan sebagainya.
2. Penerapan  distribusi  Weibull  menjadi sangat berguna terutama karena fleksibilitasnya mulai dari data yang sangat tidak  simetris sampai  data yang  mendekati distribusi  normal  (simetris).  Oleh  karena itu,  hendaknya  perlu  melakukan  studi kepustakaan  terhadap  berbagai  referensi yang berkaitan dengan distribusi weibull.

## Daftar Pustaka
Bhattacharya  P,  Bhattacharjee  R.  (2010). A study  on  Weibull  distribution  for estimating  the  parameters .  Journal  of Applied Quantitative Methods 5(2).
Christian  Walck.  (2007). Hand-book  on Statistical Distributions for experimentalists . University of Stockholm:  Particle  Physics  Group
Fysikum.
D.  N.  Prabhakar,  Murthy,  Min  Xie,  Renyan Jiang. (2004). Weibull Models . (Canada:
A John Wiley & Sons, Inc., Publication.
Hazhiah, Indria T, Sugianto & Rahmawati, Rita. (2012). Estimasi  Parameter  Distribusi Weibull  Dua  Parameter  Menggunakan Metode Bayes . Jurnal Media Statistika.
Hossain,  Anwar  &  Zimmer,  William.  (2003).
Comparison  of  Estimation  Methods  for Weibull  Parameters:  Complete  and
Censored Samples . Journal of Statistical
Computation and Simulation.
Ni’ma, Roudlotin & Agoestanto, Arief. (2014).
Estimasi  Bayes  untuk  Rata-Rata  Hidup dari  Distribusi  Rayleigh  Pada  Data Disensor  Tipe  II .  UNNES  Journal  of Mathematics. pg.
Nist/Sematech . e-Handbook of Statistical Methods , http://www.itl.nist.gov/ div898/handbook/, date.(Links to
specific  pages  can  also  be  referenced
this way, if suitable.)
Qiao,  Hongzhi  &  Tsokos,  Chris  P.  (1994).
Parameter  Estimation  of  the  Weibull Probability Distribution. Journal Mathematics and Computers in
Simulation.
Rinne, Horst. (2009). The Weibull Distribution :
A Handbook. London: CRC Press.
Ronal  E,  Walpole,    &  Raymond  H,  Myers.,
(1995). Ilmu  Peluang  Statistika  Untuk Insinyur  dan  Ilmuwan ,  Edisi  ke-4,
Bandung: ITB.
Salahaddin  A.  Ahmed.  (2013). Comparative study  of  four  methods  for  estimating Weibull  parameters  for  Halabja,  Iraq (International Journal of Physical Sciences Vol. 8(5), 9 February
Sudarno.  (2009). Karakteristik  Umur  Produk Pada Model Weibull . (Media Statistika,
Vol. 2, No. 2, Desember 2009.
Weibull, Waloddi. (1951). A Statistical Distibution Function of Wide Applicability . Joural of Applied fechanicu.
Weisser  DA  (2003). Wind  energy  analysis  of Grenada,  an  estimation  using  Weibull density function . Renew. Energy 28.