Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 2, Juli 2023, 157-163 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i2.9078

## Pelabelan Harmonis pada Graf Tangga Segi Tiga Paku
Kurniawan Atmadja 1* , Miftahul Fikri 2
1 Jl Moh Kahfi II Srengseng Sawah Jagakarsa, Jakarta Selatan 12640 2 Jl Lingkar Luar Barat Duri Kosambi Cengkareng, Jakarta Barat 11750 1 Program Studi Matematika ISTN Jakarta Indonesia 2 Fakultas Ketenagalistrikan dan Energi Terbarukan IT-PLN Jakarta Indonesia *e-mail: kurniawan_atmadja@istn.ac.id
Diajukan: 25 April 2021, Diperbaiki: 23 Desember 2022, Diterima: 7 Maret 2023

## Abstrak
Graf 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) dapat ditulis 𝐺𝐺 , yaitu himpunan tak kosong simpul ( vertex ) 𝑉𝑉 dan himpunan sisi ( edge ) 𝐸𝐸 . Pada graf 𝐺𝐺 diketahui jumlah simpul dan jumlah sisi yang masing - masing dinotasikan dengan | 𝑉𝑉 |, dan | 𝐸𝐸 |. Graf 𝐺𝐺 yang diberi label harmonis selalu mensyaratkan jumlah simpul tidak melebihi jumlah sisi. Pelabelan harmonis adalah fungsi injektif 𝑓𝑓 dari himpunan simpul ke himpunan bilangan bulat modulo | 𝐸𝐸 | yang membangkitkan fungsi bijektif 𝑓𝑓 ⋆ dari himpunan sisi ke himpunan bilangan bulat modulo | 𝐸𝐸 | dengan 𝑓𝑓 ⋆ ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸 |) yang menghasilkan label sisi  yang berbeda. Kajian penelitian ini bertujuan  untuk  menambah koleksi graf harmonis dalam bidang Matematika kombinatorik, khususnya berkaitan dengan penelitian graf tangga segitiga paku  yang berkelanjutan. Graf tangga segitiga paku diperoleh dari hasil graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 yang mengalami tambahan satu simpul dan dua sisi. Kemudian dikonstruksi menyusun dan berbaris, sehingga mendapatkan hasil sebuah graf baru yang berbentuk seperti paku yang bersusun, terhubung dan berbaris. Lalu diberi label pada simpul dan sisi. Telah diketahui bahwa graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 adalah graf harmonis. Pada paper ini ditunjukan bahwa graf tangga segitiga paku juga merupakan graf harmonis.
Kata Kunci : graf tangga segitiga paku, fungsi bijektif, graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 , pelabelan graf, pelabelan harmonis .

## Abstract
Graphs can be written , i.e. the set of empty vertices and edge  sets. In graphs are known the number of vertices and the number of edges each notified with and Graphs labeled harmoniously always require the number of vertices not exceed the number of edges. Harmonious labeling is an injective function from a set of vertices to a set of modulo | 𝐸𝐸 | integers that evokes a bijective function from a set of edges to a set of modulo | 𝐸𝐸 | integers with which different edge  labels are generated 𝑓𝑓 ⋆ ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )( 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸 |) This  research study is  aimed at adding  to the collection of harmonious  graphs  in the field of  combinatoric mathematics,   especially  with  regard to the continuous research of triangular  ladder graphs. The nail triangle ladder graph is obtained from the graph of the triangular ladder which undergoes an additional one vertex and two edges. Then constructed composing and marching, so as to get the result of a new graph shaped like nails arranged, connected and lined. 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 Then  it is labeled  on  vertices  and edges. It is known that triangular ladder graphs are harmonious graphs. In this paper it is shown that the graph of the nail triangle ladder is also a harmonious grap 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 Keywords : nail triangle ladder graph, bijective function, triangular ladder graph 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 , graph labeling, harmonious labeling

## 158

## 1 Pendahuluan
Misalkan graf 𝐺𝐺 = ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ), dapat disingkat 𝐺𝐺 adalah graf yang terdiri dari himpunan simpul tak kosong 𝑉𝑉 , dan himpunan sisi 𝐸𝐸 . Notasi | 𝑉𝑉 | dan | 𝐸𝐸 | masing – masing menyatakan banyak simpul 𝑉𝑉 dan  banyak sisi 𝐸𝐸 . Jika pada Graf 𝐺𝐺 diberi label harmonis, dan dipenuhi syarat | 𝐸𝐸 | ≥ | 𝑉𝑉 | , maka grafnya merupakan graf harmonis . Pelabelan harmonis dikenalkan pertama kali oleh Graham dan Sloan, berawal dari kasus error-corecting code. Pelabelan harmonis didefinisikan sebagai suatu pemetaan injektif dari 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) ke ℤ | 𝐸𝐸 | yang membangkitkan fungsi bijektif 𝑓𝑓 ⋆ dari himpunan sisi ke himpunan bulat modulo | 𝐸𝐸 | , sedemikian sehingga ketika setiap sisi 𝑥𝑥𝑥𝑥 diberi label 𝑓𝑓 ⋆ ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ), menghasilkan label sisi yang berbeda. Beberapa kelas graf dari hasil temuan telah diklasifikasikan sebagai katagori graf harmonis. Di  antara temuan yang telah diperoleh, hasilnya telah dimuat dalam penelitian sebelumnya, antara lain  pelabelan graf harmonis [1], indeks harmonis dan bilangan kromatik suatu graf [2], tindakan kelompok harmonis maksimal pada graf terbatas [3], indeks harmonis operasi graf [4], invers jumlah indeg indeks graf [5], hasil baru pada graf rata-rata harmonis [6], mencapai kerataan: pelabelan graf dapat menghasilkan kata- kata madu grafis [7], pelabelan harmonis yang lemah pada graf dan multigraf [8], indeks harmonis graf garis [9], analisis harmonis pada graf terarah dan aplikasi: Dari analisis Fourier ke wavelet [10],  pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga[11],  pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga variasi, pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga ganda[12], pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga jembatan[13] , pelabelan harmonis graf tangga segiempat variasi[14]. Kini kajian berlanjut pada temuan graf terbaru, yaitu  kajian pelabelan harmonis pada graf tangga segitiga paku.  Dilekatkan sebutan paku karena bentuk temuan graf seperti paku  berbaris, dan ditunjukan sebagai graf harmonis.  Tujuan penelitian ini adalah memperkaya perbendaharaan keilmuan dalam bidang Matematika kombinatorik, khususnya berkaitan dengan pelabelan graf harmonis. Pelabelan harmonis dapat dilihat lebih lengkap melalui Gallian survei [15] .

## 2 Metode Penelitian
Graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 ≥ 2) [11],  menjadi inspirasi pada penelitian ini.  Metode penelitian meliputi langkah langkah sebagai berikut : 1. Melakukan kajian terhadap graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 . 2. Menambahkan satu simpul dan dua sisi.  3. Mengkonstruksi dengan menyusun, dan  menghubungkan berbaris 4. Melabelkan simpul dan sisi  pada  graf yang diperoleh. 5. Melakukan pembuktian formal sesuai syarat dan konsep pelabelan graf harmonis.
Definisi 1 Graf tangga segitiga paku 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) dengan himpunan simpul 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 } ∪ { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1} dan himpunan sisi 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) = { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 } ∪

## 159
{ 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1} .  Berikut dibahas teorema dan pembuktian pada hasil kajian temuan graf tangga segitiga paku di bawah ini.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Diberikan bangunan graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 ≥ 2), di mana 𝑝𝑝 = 2 𝑛𝑛 dan 𝑞𝑞 = 4 𝑛𝑛 − 3. Jika | 𝑣𝑣 | = 𝑝𝑝 dan | 𝐸𝐸 | = 𝑞𝑞 , bila  mengambil 𝑛𝑛 = 2 , maka banyak simpul 𝑝𝑝 = 4 yaitu ( 𝑢𝑢 1 , 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 3 , 𝑢𝑢 4 , ) , dan banyak sisi 𝑞𝑞 = 5 yaitu ( 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 , 𝑢𝑢 1 𝑣𝑣 1 , 𝑢𝑢 1 𝑣𝑣 2 , 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 2 , 𝑢𝑢 2 𝑣𝑣 2 ) . Lebih konkrit diberikan graf tangga segitiga untuk 𝑛𝑛 = 2 pada Gambar 1 sebagai berikut :
u 2 u 1 v 2 v 1 3 1 2 0 1 2 3 4 5

## Gambar 1. Graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛
Pada Gambar 2 di bawah ini adalah konstruksi graf tangga segitiga paku, di mana 𝑝𝑝 = 3 𝑛𝑛 − 1 dan 𝑞𝑞 = 6 𝑛𝑛 − 5 , untuk 𝑛𝑛 = 2 sebagai berikut :
w 1 v 2 v 1 4 1 2 0 1 2 3 5 6 u 1 w 2 3 4 7
Gambar 2. Graf tangga segitiga paku
Sesuai langkah – langkah pada metode penelitian ini, berikut disajikan graf tangga segitiga paku yang dikonstruksi bersusun dan berbaris. Hasil konstruksinya berikut pelabelannya dapat dilihat pada Gambar 3 di bawah ini.
w 5 v 5 u 4 w 6 v 6 u 5 u 3 w 4 v 4 w 2 v 2 w 3 v 3 u 2 v 1 u 1 w 1 13 12 20 22 23 25 11 21 24 16 14 26 27 29 30 15 28 31 14 15 17 18 9 16 19 10 8 4 2 7 6 8 10 11 13 5 9 15 0 1 2 3 5 6 3 4 7 1
Gambar 3. Graf tangga segitiga paku
Berikut dibahas teorema dan  pembuktian pada hasil kajian temuan  graf tangga segitiga paku yang terangkum di bawah ini.
Teorema 2 Graf tangga segitiga paku 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) untuk 𝑛𝑛 ≥ 2 adalah harmonis.

## 160
Bukti Misalkan himpunan simpul 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) = { 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 } ∪ { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1} , dan himpunan  sisi 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) = { 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 } ∪ { 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 , 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 1} .
Definisikan pelabelan simpul 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 → ℤ | 𝐸𝐸 | sebagai berikut :
𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) = � 3 𝑖𝑖 ; 𝑖𝑖 ganjil 3 𝑖𝑖 − 1; 𝑖𝑖 genap
𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) ∈ {3, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 23,27, … }
⊆ (3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) ∪ (5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) = 3 � ∪ 5 � (1) 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 ;  1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛
∈ {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22,25, … }
⊆ (1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) ∪ (4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) = 1 � ∪ 4 � (2) 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = � 3 𝑖𝑖 − 3 ; 𝑖𝑖 ganjil
3 𝑖𝑖 − 4; 𝑖𝑖 genap
∈ {0, 2, 6, 8, 12, 14, 18, 20,24, … }
⊆ (0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) ∪ (2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 6) = 0 � ∪ 2 � (3)
Persamaan (1) sampai dengan Persamaan (3) dapat  pula  ditulis  dengan mendaftarkan anggota dari  himpunan simpulnya sebagai berikut : 𝑓𝑓�𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) � = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, … ,3 𝑛𝑛 } . Dari daftar anggota himpunan simpul, nampak anggota    label simpul terkecil terletak pada label simpul 𝑣𝑣 1 = 0. Sedangkan untuk anggota label simpul terbesar terletak pada label simpul 𝑢𝑢 𝑛𝑛 , di mana 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑛𝑛 ) = 3 𝑛𝑛 . Keanggotaan himpunan label simpul, merupakan sekumpulan bilangan bulat.  Hal ini sesuai  definisi  pelabelan  simpul 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 → ℤ | 𝐸𝐸 | . 𝑓𝑓 adalah fungsi injektif.  Sehingga memenuhi sebuah pemetaan dari himpunan simpul ke himpunan bilangan bulat.
Pelabelan 𝑓𝑓 akan menginduksi pelabelan sisi sebagai berikut :
𝑓𝑓 ∗ ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) = 3 𝑖𝑖 + 3 𝑖𝑖 − 2 = 6 𝑖𝑖 − 2 ; 𝑖𝑖 ganjil
𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) = 3 𝑖𝑖 − 1 + 3 𝑖𝑖 − 2 = 6 𝑖𝑖 − 3  ; 𝑖𝑖 genap
∈ {4, 9, 16, 21, 28, 33, 40, 45, 52, … }
⊆ (4 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (9 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 4 � ∪ 9 � (4) 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 ) = �𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 2 = 6 𝑖𝑖 + 1 ; 𝑖𝑖 ganjil 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 1 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 2 = 6 𝑖𝑖 ; 𝑖𝑖 genap
∈ {7, 12, 19, 24, 31, 36, 43, 48, 55, … }
⊆ (7 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (0 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 7 � ∪ 0 � (5) 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = �𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 + 3 𝑖𝑖 − 3 = 6 𝑖𝑖 − 5 ; 𝑖𝑖 ganjil 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 + 3 𝑖𝑖 − 4 = 6 𝑖𝑖 − 6  ; 𝑖𝑖 genap
∈ {1, 6, 13, 18, 25, 30, 37, 42, 49, … }
⊆ (1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (6 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 1 � ∪ 6 � (6) 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 2 = 6 𝑖𝑖 − 1 ∈ {5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, … }
⊆ (5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (11 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 5 � ∪ 11 ���� (7) 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = �𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 4 = 6 𝑖𝑖 − 3 ; 𝑖𝑖 ganjil 𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 2 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 3 = 6 𝑖𝑖 − 2  ; 𝑖𝑖 genap
∈ {3, 10, 15, 22, 27, 34, 39, 46, 51, … }
⊆ (3 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (10 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 3 � ∪ 10 ���� (8) 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = �𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 3 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 4 = 6 𝑖𝑖 − 4 ; 𝑖𝑖 ganjil 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 3 𝑖𝑖 − 4 + 3( 𝑖𝑖 + 1) − 3 = 6 𝑖𝑖 − 4  ; 𝑖𝑖 genap 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖+1 ) = 6 𝑖𝑖 − 4
∈ {2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, … }
⊆ (2 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) ∪ (8 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 12) = 2 � ∪ 8 � (9)
Persamaan (4) sampai dengan (9) bisa ditulis sebagai himpunan anggota sisi 𝑓𝑓 ⋆ �𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) � = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17, … ,6 𝑛𝑛 } .  Nampak setiap anggota  sisi 𝑥𝑥𝑥𝑥 yang diberi label mengikuti pelabelan sisi 𝑓𝑓 ∗ ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 | 𝐸𝐸 | menghasilkan label sisi berbeda.  Banyak sisi | 𝐸𝐸 |, dan label sisi yang dihasilkan adalah 1,2,3,…, | 𝐸𝐸 | , menunjukan pelabelan sisi yang bijektif. Maka terbukti graf tangga segitiga paku adalah graf harmonis. Dengan demikian perbendaharaan pustaka keilmuan sub bidang graf melalui kajian penelitian ini, kian memberikan nilai tambah bagi perkembangan Pustaka  Matematika kombinatorik  ( Graf ). Melengkapi hasil dan pembahasan, pada makalah ini ditampilkan contoh graf tangga segitiga paku di mana 𝑝𝑝 = 3 𝑛𝑛 − 1 dan 𝑞𝑞 = 6 𝑛𝑛 − 5. Jika dipilih 𝑛𝑛 = 3 maka 𝑝𝑝 = 8 , dan 𝑞𝑞 = 13. Begitupun jika dipilih 𝑛𝑛 = 4 maka 𝑝𝑝 = 11, dan 𝑞𝑞 = 19. Berturut turut diberikan graf tangga segitiga paku berikut pelabelannya untuk 𝑛𝑛 = 3 , dan 𝑞𝑞 = 4 yang disajikan pada Gambar 4 berikut ini :
c c 4 2 7 6 8 10 11 13 5 9 15 0 1 2 3 5 6 3 4 7 1 14 15 17 18 9 16 19 10 8 4 2 7 6 8 10 11 13 5 9 15 0 1 2 3 5 6 3 4 7 1
Gambar 4. Graf tangga segitiga paku untuk 𝑛𝑛 = 3 dan 𝑛𝑛 = 4

## 4  Simpulan
Graf  tangga segitiga paku adalah perluasan dari hasil kajian graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 ≥ 2) . Graf tangga segitiga yang diberi label harmonis dan merupakan graf harmonis. Berdasarkan hasil kajian penelitian, dapat disimpulkan :
1. Graf tangga segitiga paku untuk 𝑛𝑛 ≥ 2 merupakan generalisasi dari graf tangga segitiga 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑛𝑛 .
2. Graf tangga segitiga paku untuk 𝑛𝑛 ≥ 2 adalah graf harmonis.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Terima kasih  kepada  ibu Dr. Kiki A Sugeng, M.Si  yang  telah  membimbing saya dalam melakukan penelitian Matematika Kombinatorik bidang pelabelan graf.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  I. Benjamini, V. Cyr, E. B. Procaccia, and R. J. Tessler, “Harmonic labeling of graphs,”
Discrete Math. , vol. 313, no. 17, pp. 1726–1745, 2013, doi: 10.1016/j.disc.2013.04.022.
[2]  H. Deng, S. Balachandran, S. K. Ayyaswamy, and Y. B. Venkatakrishnan, “On the harmonic index and the chromatic number of a graph,” Discret. Appl. Math. , vol. 161, no. 16–17, pp. 2740–2744, 2013, doi: 10.1016/j.dam.2013.04.003.
[3]  S. Corry, “Maximal harmonic group actions on finite graphs,” Discrete Math. , vol. 338, no. 5, pp. 784–792, 2015, doi: 10.1016/j.disc.2014.12.016.
[4]  R. Rasi, “On the harmonic index of bicyclic graphs,” Commun. Comb. Optim. , vol. 3, no.
2, pp. 121–142, 2018, doi: 10.22049/CCO.2018.26171.1081.
[5]  K. Pattabiraman, “Inverse sum indeg index of graphs,” AKCE Int. J. Graphs Comb. , vol. 15, no. 2, pp. 155–167, 2018, doi: 10.1016/j.akcej.2017.06.001.
[6]  S. Meena and M. Sivasakthi, “New results on harmonic mean graphs,” Malaya J. Mat. , vol. S, no. 1, pp. 482–486, 2020, doi: 10.26637/mjm0s20/0090.
[7]  Y. Tian, L. Li, H. Peng, and Y. Yang, “Achieving flatness: Graph labeling can generate graphical honeywords,” Comput. Secur. , vol. 104, p. 102212, 2021, doi:
10.1016/j.cose.2021.102212.
[8]  P. Bonucci and N. Capitelli, “Weak harmonic labeling of graphs and multigraphs,” Discrete Math. , vol. 345, no. 5, p. 112816, 2022, doi: 10.1016/j.disc.2022.112816.
[9]  T. Wang, B. Wu, and T. Wang, “Harmonic index of a line graph,” Discret. Appl. Math. , vol. 325, pp. 284–296, 2023, doi: 10.1016/j.dam.2022.10.021.
[10]  H. Sevi, G. Rilling, and P. Borgnat, “Harmonic analysis on directed graphs and applications: From Fourier analysis to wavelets,” Appl. Comput. Harmon. Anal. , vol. 62, pp. 390–440, 2023, doi: 10.1016/j.acha.2022.10.003.
[11]  Kurniawan Atmadja, K. A. Sugeng, and T. Yuniarko, “Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga,” in Konferensi Nasional Matematika XVII , 2014, pp. 1435–1440.
[12]  Kurniawan Atmadja, “Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Ganda LGn,” in Konferensi Nasional Matematika XIX-2018 , 2018, pp. 163–167.
[13]  K. Atmadja, “Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segitiga Jembatan,” in Prosiding Seminar Nasional Matematika , 2020, vol. 3, pp. 25–28.
[14]  Kurniawan Atmadja, “Pelabelan Harmonis Pada Graf Tangga Segi Empat Variasi,” in Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya , 2020, pp. 320–324.
[15]  J. A. Gallian, “A dynamic survey of graph labeling,” Electron. J. Comb. , vol. 1, no. DynamicSurveys, 2018.