Metode geometris cina kuno dalam desain pembelajaran pythagoras berbasis pemecahan masalah sejarah matematika pada jiuzhang suanshu
Achmad Dhany Fachrudin 1)* , Dwi Juniati 2) , Siti Khabibah 3)
1) Pendidikan Matematika, STKIP PGRI Sidoarjo, Jawa Timur, Indonesia 2) Pendidikan Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, *email korespondensi: dh4nyy@gmail.com
( Received 19-12-2022, Reviewed 21-06-2023, Accepted 30-12-2023 )

## Abstract
This  study  examines  how  the  History  of  the  Pythagorean  theorem,  particularly  from ancient China, might serve as a source of inspiration for instructional design. Based on historical  examples  and  problem-solving  from  the  history  of  mathematics  in  Jiuzhang Shuanshu, we attempt to organize instructional assignments for seventh-grade secondary school students and its significance in enhancing students' knowledge of the Pythagorean theorem. We discuss the preliminary investigations and the teaching experiments of the three  major  phases  of  design-based  research.  The  fundamental concept  of  instructional design is to introduce historical geometric manipulation and solve the right triangle issue in Liu Hui's style (3rd century CE). The objective of teaching geometric manipulation is to  combine  students'  symbolic  algebraic  reasoning  with  their  visual  understanding  of Pythagorean Theorem. In this study, we compared the Hypothetical Learning Trajectory (HLT) to Actual Learning Trajectory (ALT) to know how the design work. The findings of this  study  indicate  that  history-based  problems  as  a  context  in  the  developed  learning design gives students the opportunity to study the Pythagorean theorem in a meaningful way.
Keywords : Design-based Research, Pythagoras, Ancient China, Jiuzhang Shanshu.

## Abstrak
Studi  ini  mengkaji  bagaimana  Sejarah  teorema  Pythagoras,  khususnya  dari  Cina  kuno, dapat berfungsi sebagai sumber inspirasi untuk desain instruksional. Berdasarkan contoh sejarah  dan  pemecahan  masalah  dari  sejarah  matematika  di Jiuzhang  Shuanshu ,  dikem- bangkan serangkaian tugas instruksional untuk siswa sekolah menengah kelas tujuh dan bagaimana  perannya  dalam  meningkatkan  pengetahuan  siswa  tentang  teorema Pythagoras.  Dalam  artikel  ini  dibahas preliminary  investigations and teaching experiments dari  tiga  fase  utama  penelitian design-based  research .  Konsep  dasar  dari desain yang dikembangkan adalah untuk memperkenalkan manipulasi geometris historis dan memecahkan masalah segitiga siku-siku menurut metode geometris Liu Hui (abad ke -3 M). Tujuan pengajaran manipulasi geometris adalah untuk menggabungkan penalaran aljabar  simbolis  siswa  dengan  pemahaman  visual  mereka  tentang  Teorema  Pythagoras. Dalam  penelitian  ini,  kami  membandingkan Hypothetical  Learning  Trajectory (HLT) dengan Actual Learning Trajectory (ALT) untuk mengetahui bagaimana peranan desain yang dikembangkan. Temuan penelitian ini menunjukkan bahwa masalah berbasis sejarah sebagai konteks dalam desain pembelajaran yang dikembangkan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mempelajari teorema Pythagoras secara bermakna.
Kata kunci : Design-based Research , Pythagoras, Cina Kuno, Jiuzhang Shanshu .
©Pendidikan Matematika Universitas Islam Negeri Raden Fatah Palembang

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136

## PENDAHULUAN
Sejarah  matematika  menyediakan  berbagai  situasi  dan  masalah  bagi  siswa  untuk mendapatkan  pengalaman  dan  pemahaman  yang  kaya  tentang  perkembangan  dan hubungan  antar  konsep  matematika.  Permasalahan  serta  proses  perkembangan  konsep matematika yang dihadapi matematikawan terdahulu, akan relevan dengan perkembangan kognitif  siswa  dalam  memahami  konsep  matematika  saat  ini  (Lispika,  2022).  Hal  ini menjadi  salah  satu  alasan  beberapa  peneliti  untuk  melakukan  integrasi  sejarah matematika dalam pembelajaran. Sebagai contoh, Abadi & Fiangga (2018) menggunakan perspektif  sejarah  untuk  merancang  kegiatan  pembelajaran  pada topik  integral.  Radford & Guérette, (2000) mengembangkan pembelajaran persamaan kuadarat yang terinspirasi oleh  Pendekatan  Babilonia  kuno.  Di  sisi  lain,  pendekatan  Babilonia  dengan  perspektif yang berbeda untuk mengembangkan desain pembelajaran (Fachrudin et al., 2018). Hasil dari  semua  studi  tersebut,  sejalan  dengan  pernyataan  Man-Keung  (2000)  yang menyebutkan  bahwa  penggunaan  sejarah  matematika  di  kelas  akan  mampu  mendorong pembelajaran  matematika  menjadi  lebih  bermakna.  Oleh  karena  itu,  kondisi  ini  akan membuat proses belajar menjadi lebih mudah dan siswa lebih termotivasi untuk belajar. Sejarah matematika juga kaya akan informasi bagi siswa untuk mendapatkan pengalaman dan pemahaman tentang pengembangan konsep-konsep matematika.
Salah  satu  topik  sejarah  matematika  yang  direkomendasikan  oleh  Katz  (2000) untuk diintegrasikan dalam pembelajaran matematika adalah topik Gou Gu atau segitiga siku-siku  pada  buku  sejarah Jiuzhang  suanshu ,  dikenal  juga  sebagai  “ Nine  Chapter ”, untuk  mempelajari  teorema  Pythagoras.  Pada  buku  tersebut  terdapat  24  pemecahan masalah  matematika  tentang  sifat-sifat  segitiga  siku-siku.  Liu  Hui,  salah  satu  tokoh sejarah matematika dari Cina pada sekitar abad III, memberikan kajian pada bab terakhir dari  “ Nine  Chapter ”  tentang  bagaimana  memahami  Pythagoras  dengan  metode manipulasi  geometris  untuk  memecahkan  berbagai  masalah  yang  berkaitan  dengan segitiga siku-siku pada Gou Gu .
Pada  konten  matematika  yang  berkenaan  dengan  penggunaan  simbol  aljabar, (Guevara-Casanova  &  Burgues-Flamarich,  2018)  menekankan  untuk  mengawalinya dengan memperkenalkan manipulasi geometri dalam mendukung penalaran visual siswa daripada  menghitung  dengan  simbol  aljabar  secara  langsung.  Di  sisi  lain,  penggunaan pemecahan  masalah  pada  “ Nine  Chapter” dapat  mendukung  pemahaman  penalaran visual  atau  geometris  siswa.  Oleh  karena  itu,  melalui  manipulasi  geometris  pada pemecahan masalah berdasarkan metode yang dikenalkan oleh Lui Hui dalam pemecahan masalah  Pythagoras  atau  segitiga  siku-siku  pada Gou  Gu ,  siswa  dapat  mengasosiasikan

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
pemikiran aljabar simbolik mereka dengan pemikiran visual pada bentuk geometris untuk membangun pemahaman mereka terkait Teorema Pythagoras.
Penggunaan  manipulasi  geometris  akan  menjadi  jembatan  bagi  siswa  dalam mengembangkan pengetahuan aljabarnya dari pengetahuan geometri yang telah dibangun sebelumnya. Studi (Guevara-Casanova & Burgues-Flamarich, 2018) menunjukkan bahwa cara  memperkenalkan  aljabar  dalam  kaitannya  dengan  interpretasi  geometri  dapat membantu  pemahaman  siswa.  Sementara  itu,  (Radford  &  Guérette,  2000)  juga berpendapat  bahwa  penggunaan  pendekatan  geometri  dari  sejarah  matematika memberikan konteks yang berguna untuk membantu siswa mengembangkan makna dari simbol-simbol aljabar dalam matematika.
Di  sisi  lain,  jika  dilihat  dari  fakta  berdasarkan Program  International  Student Assessment (PISA) siswa Indonesia pada konten space and shape atau geometri, sekitar 70%  siswa  Indonesia  berada  di  level  1  ke  bawah  (OEDC,  2019).  Hal  ini  berarti kemampuan siswa Indonesia berada pada tahap baru menerapkan keterampilan penalaran geometis yang masih sangat rendah. Oleh karena itu, melalui berbagai tugas matematika berbasis  sejarah,  khususnya  masalah Gou  Gu pada Jiuzhang  Shuanshu dan  metode manipulasi  gemtris,  peneliti  mencoba  merancang  serangkaian  tugas  instruksional  untuk mempelajari teorema Pythagoras. Mengenai manipulasi geometri, diharapkan siswa dapat mengasosiasikan  pemikiran  aljabar  simbolik  mereka  dengan  pemikiran  visual  tentang bentuk geometris untuk membangun pemahaman mereka terkait Teorema Pythagoras. Di sisi  lain,  melalui  berbagai  konteks  dan  permasalahan  yang  bersumber  dari  sejarah matematika,  siswa  memiliki  kesempatan  untuk  mengembangkan  kemampuan  literasi matematis atau numerasinya (Wahyu & Mahfudy, 2016).
Jiuzhang  suanshu atau  dikenal  dengan nine  chapter  of  mathematical  art adalah karya  matematikawan  Cina  kuno  yang  terdiri  dari  sembilan  bagian  yang  berbeda.  Pada bab  terakhir,  atau  disebut  juga  bab Gou  Gu ,  terdiri  dari  dua  puluh  empat  pemecahan masalah  tentang  sifat-sifat  segitiga  siku-siku  (Swetz  &  Kao,  1977).  Dalam  Gou  Gu dijelaskan  bahwa  sisi  terpendek  yang  berdekatan  dengan  sudut  siku-siku  disebut Gou . Sisi  yang  lebih  panjang  yang  berdekatan  dengan  sudut  siku-siku  disebut Gu .  Sisi  yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut Xien (Hipotenusa). Gou lebih pendek dari Gu , dan Gu lebih pendek dari Xien ( Gambar 1 ).

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136

## Gambar 1. Segitiga dalam Jiuzhang intepretasi dan geometris Liu
Penjelasan  yang  terdapat  pada Nine-Chapter adalah  Tambahkan  persegi  dari Gou dan Gu ,  maka  jumlahnya  adalah  sama  dengan  (persegi) Xien. Liu  Hui menjelaskan dengan  contoh  segitiga  yang  memiliki  pasangan  sisi  3,  4  dan  5  dengan  menunjukkan bahwa  jumlah  luas  persegi Gou dan Gu sama  dengan  luas  persegi Xien (Katz,  2008) ( Gambar 1 ).
Berikut  ini  adalah  pembahasan  Liu  Hui  tentang  solusi  masalah  segitiga  siku-siku yang  tersaji  pada Gou  Gu dengan  menggunakan  manipulasi  geometris.  Hal  ini menjadi bukti bahwa Cina kuno sudah mengenal teorema Pythagoras pada masa itu. Interpretasi geometris  argumen  Liu  (Katz,  2008)  yang  merupakan  bukti  teorema  Pythagoras, disajikan pada Gambar 2 .
Gambar 2. Representasi geometris Liu penyelesaian Gou Gu pada Nine chapter
Berdasarkan Gambar 1 , Liu ingin menunjukkan bahwa secara aljabar h 2 = a 2 + b 2 dan h 2 = (a - b) 2 + 2ab

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
Dengan  memperhatikan  representasi  geometris  dari  argumen  Liu,  kita  dapat menyimpulkan  bahwa  ahli  matematika  dari  Cina  kuno  telah  mengetahui  konsep  dasar dalam teorema Pythagoras dan bahkan salah satu identitas bentuk aljabar sederhana.
Di  sisi  lain,  Liu  Hui  juga  memberikan  penjelasan  manipulasi  geometris  dari masalah keenam Gou Gu pada Nine Chapter .
Gambar 3. Soal 6 dari Gou Gu (Swetz & Kao, 1977)
Untuk menyelesaikan jenis soal secara aljabar, pada dasarnya siswa membutuhkan pengetahuan  terlebih  dahulu  tentang  rumus  hasil  kali  penjumlahan  atau  selisih  aljabar yang  mungkin  dapat  dikatakan  merupakan  pengetahuan  baru  bagi  siswa  yang  belajar materi  Teorema  Pythagoras.  Namun,  untuk  memberikan  “jembatan”  yang  dapat mempermudah  pemahaman  aljabar  siswa,  daripada  menggunakan  perhitungan  simbol aljabar, metode manipulasi geometris dapat dikenalkan sehingga siswa dapat membentuk hubungan antara proses aljabar dalam Teorema Pythagoras secara geometris yang mudah dibayangkan oleh siswa sebagaimana diilustrasikan oleh Liu Hui seperti yang dijelaskan oleh (Chemla, 2012; Guevara-Casanova & Burgues-Flamarich, 2018; Katz, 2008; Swetz & Kao, 1977)
Terjemah: Tepat di tengah kolam yang berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 kaki, tumbuh pohon bambu yang puncaknya mencapai 1 kaki di atas permukaan air. Jika kita menarik pohon bambu tersebut ke arah tepian, bagian puncaknya akan tepat pada permukaan air. Tentukan kedalaman kolam dan tinggi pohon bambu tersebut? Jelaskan! 1 Chi=1 Kaki
in the center of a square pond whose side is 10 Chi (feet), grows a reed whose top reaches 1 Chi above the water level. if we pull the reed toward the bank, its top is even with the water's surface. what is the depth of the pond and the length of the plant?
1 Chi = 1 Feet

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
Gambar 4. Ilustrasi geometri dan metode untuk menemukan masalah Gou dan Xien
Dalam  hal  ini  panjang  bambu  dinyatakan  dengan Xien dan  kedalaman  kolam dengan Gu .  Karena  jumlah  luas  persegi Gou dan Gu sama  dengan  luas  persegi Xien , dengan  menempatkan Gu dalam Xien ,  kita  tahu  sisa  luas  (luas  bangun  bentuk  L  atau gnomon, lihat Gambar.4) adalah 25 chi kuadrat. Kemudian dengan melakukan manipulasi bentuk gnomon tersebut menjadi persegi panjang, dengan panjang = 25 chi dan lebar = 1 chi, akan didapatkan bahwa sisi Gu sama dengan 12 kaki ( Gambar  4 ). Oleh karena itu, diperoleh dengan mudah bahwa panjang sisi Xien adalah 13 Chi.
Berdasarkan  paparan  sebelumnya,  peneliti  tertarik  untuk  mengembangkan  desain pembelajaran  Pythagoras  berbasis  Pemecahan  Masalah  Sejarah  Matematika  pada Jiuzhang  Suanshu dengan  Metode  Geometris  Cina  Kuno.  Tujuan  penelitian  ini  adalah untuk  mendeskripsikan  bagaimana  rangkaian  tugas  instruksional  berbasis  sejarah Pythagoras  pada Jiuzhang  Shuanshu dapat  mendukung  pemahaman  siswa  pada  materi Pythagoras.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah design-based research . Tujuan utama dari penelitian ini adalah menghasilkan Local Instruction Theory (LIT) (Bakker & van Eerde, 2015) dengan melakukan pengujian Hypothetical Learning Trajectory (HLT) yang  telah  dikembangkan  dengan Actual  Learning  Trajectory (ALT)  melalui implementasi teaching experiment . Pada dasarnya desain penelitian ini dilakukan melalui tiga  fase  utama,  yaitu preparation  and  design,  teaching  experiment,  retrospective analysis . Namun,  pembahasan  kami  dalam  artikel  ini  kami  hanya  membahas  secara

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
mendalam  tentang  bagaimana  HLT  yang  dikembangkan  pada  fase preparation  and design , dan pengujian terbatas HLT tersebut pada tahapan dari teaching experiment .
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  melibatkan  17  siswa  SMP  yang  memiliki kemampuan matematika heterogen, Aalisis dilakukan dengan membandingkan HLT yang dikembangkan  dengan  ALT  pada  tahap retrospective  analysis .  Data  yang  dikumpulkan berupa  hasil  pekerjaan  siswa,  catatan  lapangan  dan  rekaman  video.  Hasil  analisis digunakan untuk melakukan penyempurnaan HLT. Analisis yang disajikan dalam artikel ini adalah kesesuaian antara HLT dan ALT secara kuantitatif serta serta analisis kualitatif yang  penting  dan  menjadi  perhatian  utama  tentang  bagaimana  konjektur  pada  HLT berjalan  dari  kondisi  aktual  pembelajaran  berdasarkan  (Bakker  &  van  Eerde,  2015).
Selain  itu,  dideskripsikan  juga  bagaimana  serangkaian  tugas  berbasis  sejarah  masalah segitiga  dari Jiuzhang  Shuansu dapat  mendukung  siswa  dalam  mengkontruksi pemahaman Pythagoras.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  awal,  akan  dijelaskan  secara  singkat  HLT  dan  konjektur  pemikiran siswa yang kami susun untuk mendukung pemahaman siswa dalam Teorema Pythagoras. Selanjutnya, kami akan membahas secara mendalam tentang bagaimana rangkaian tugas yang  kami  kembangkan  dapat  mendukung  kemampuan  penalaran  visual  dan  literasi matematika  siswa.  Berikut  penjelasan  rangkaian  tugas  pembelajaran  yang  kami kembangkan  dan  analisis  perbandingan  antara  HLT  dan Actual  Learning  Trajectories (ALT).

## Tabel 1a. HLT Desain pembelajaran pythagoras berbasis pemecahan masalah sejarah matematika pada Jiuzhang Shuanshu
Aktivitas I Deskripsi Siswa  diminta  untuk  membuktikan  aturan Gou  Gu menggunakan  pemahaman mereka tentang luas. Tujuan dari kegiatan ini adalah untuk menekankan bahwa terdapat berbagai  model  interpretasi geometri dalam  membuktikan  bahwa  luas Xien sama dengan jumlah luas Gou dan Gu (aturan Gou Gu/ pythagoras) Penugasan Buatlah sebarang segitiga siku-siku dengan persegi yang menempel pada setiap sisinya  (pada  kertas  berpetak).  Selanjutnya  tunjukkan  dan  jelaskan  bahwa aturan  pertama  pada  Nine  Chapter  yang  dijelaskan  Liu  Hui  benar,  dengan cara menggunting persegi Gou dan Gu, dan menempelkannya pada persegi Xien! Tuliskan Panjang segitiga yang kalian buat.
Gou = …. cm, Gu= …. cm, Xien = …. cm
Apakah  aturan  pertama  dalam  Gou  Gu  yang  dijelaskan  oleh  Liu  Hui  tersebut hanya  berlaku  untuk  segitiga  siku-siku  saja?  Jelaskan!  (tunjukkan  jika bukan segitiga siku-siku, aturan tersebut tidak berlaku)

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136

## Tabel 1b. HLT Desain pembelajaran pythagoras berbasis pemecahan masalah sejarah matematika pada Jiuzhang Shuanshu
Konjektur
C1.1  Siswa  membuktikan  bahwa  jumlah  luas  Gou  dan  Gu  sama  dengan  luas Xien dengan melakukan manipulasi gemetris. C1.2 Siswa memahami bahwa aturan hubungan jumlah luas Gou dan Gu sama dengan luas Xien berlaku untuk segitiga siku-siku dengan menunjukkan bahwa aturan tersebut tidak berlaku untuk segitiga lancip dan segitiga tumpul. C1.3 Siswa membangun hubungan Gou, Gu, dan Xien secara aljabar Aktivitas II Deskripsi Pada  aktivitas  II  siswa  diminta  untuk  memecahkan  masalah  berbasis  konteks yang  bersumber  dari  sejarah  Jiuzhang  (masalah  tiang  bendara  dan  pohon anggur)  yang  merupakan  penerapan  konsep  aturan  segitiga  siku-siku  dengan menggunakan  aturan Gou  Gu. Tujuan  dari  kegiatan  ini  adalah  agar  siswa mampu  memahami  metode  manipulasi  geometris  dalam  aturan  Pythagoras dalam penyelesaian masalah. Penugasan Sebuah  tali  diikat  di  atas  tiang  (lihat  gambar).  Tali  tersebut  Panjangnya  17 kaki.  Jika  kita  menarik  tali  (kencang),  ujungnya  akan  menyentuh  tanah pada jarak 8 kaki dari (pangkal) tiang. berapa tinggi tiang tersebut? Sebuah pohon dengan tinggi 20 kaki memiliki keliling lingkar batang 3 kaki. Jika  terdapat  sebuah  tumbuhan  anggur  yang  tumbuh  merambat  dan melingkari  pohon  tersebut  sebanyak  tujuh  kali  hingga  mencapai  puncak pohon, tentukanlah berapa panjang dari tanaman anggur tersebut? (sumber soal, Jiuzhang Shuansu masalah ke-5) Konjektur C2.  Siswa  dapat  menggunakan  metode  manipulasi  geometris  berdasarkan aturan  Gou  Gu  untuk  menyelesaikan  masalah  berbasis  konteks  (dari  sejarah matematika) Aktivitas III Deskripsi Pada  Aktivitas  III,  siswa  diminta  untuk  memecahkan  beberapa  masalah segitiga  siku-siku  kontekstual  dari Gou  Gu (masalah  pohon  bambu  dalam kolam).  Tugas  yang  diberikan  memiliki  tingkat  kesulitan  lebih  tinggi  dari sebelumnya,  karena  informasi  yang  diberikan  melibatkan  perbedaan  dua  sisi segitiga siku-siku. Dalam tugas ini siswa dihadapkan pada konflik kognitif jika akan  menyelesaikan  permasalahan  secara  aljabar  (siswa  belum  mengenal identitas  (a  +  b) 2 =  a 2 +  2ab  +  b 2 ),  sehingga  mereka  harus  menyelesaikan permasalahan dengan manipulasi geometris. Serupa dengan tujuan pada tugas sebelumnya,  tugas  ini  jjuga  dimaksudkan  untuk  mendukung  penalaran geometris siswa untuk menemukan solusi dari  masalah dengan  memanipulasi bentuk bangun datar dan pemahaman tentang luas. Penugasan Tepat  di  tengah  kolam  yang  berbentuk  persegi  dengan  panjang  sisi  10  kaki, tumbuh pohon bambu yang puncaknya mencapai 1 kaki di atas permukaan air.  Jika  kita  menarik  pohon  bambu  tersebut  ke  arah  tepian,  bagian puncaknya akan tepat pada permukaan air. Tentukan kedalaman kolam dan tinggi  pohon  bambu  tersebut?  Jelaskan!  (sumber  soal:  Jiuzhang  Shuansu masalah ke-6) Sebuah  tali  diikat  di  atas  tiang  (lihat  gambar).  Tali  tersebut  lebih  panjang  3 kaki  dari  tinggi  tiang.  jika  kita  menarik  tali  (kencang),  ujungnya  akan menyentuh tanah dengan jarak 8 kaki dari (pangkal) tiang. berapa panjang tali? (sumber soal: Jiuzhang Shuansu masalah ke-7)

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718
e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136

## Tabel 1c. HLT Desain pembelajaran pythagoras berbasis pemecahan masalah sejarah matematika pada Jiuzhang Shuanshu

## HLT tersebut secara ringkas dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 5. HLT pembelajaran Pythagoras dengan berbasis pemecahan masalah
Konjektur C3.  Siswa  dapat  menggunakan  metode  manipulasi  geometris  berdasarkan aturan Gou  Gu untuk  menyelesaikan  masalah  berbasis  konteks  dengan  level kognitif lebih tinggi (yang bersumber dari sejarah matematika). Aktivitas III Deskripsi Siswa  menyusun  pasangan  persegi  menjadi  segitiga  (untuk  mengetahi  bahwa hanya  tertentu  saja  yang  menjadi  sudut  siku-siku  dan  mengetahui  berbagai pasangan  sisi  segitiga  siku-siku  atau  tripel  Pythagoras.  Memperoleh pengetahuan  variasi  bilangan  triple  Pythagoras  dan  bagaimana  cara mendapatkannya. Penugasan Tentukan  sebanyak-banyaknya  pasangan  sis  segitiga  siku-siku  yang  dapat kalian  temukan  yang  memenuhi  hubungan  Teorema  Pythagoras  secara  baik secara geometris maupun aljabar. Gou/ sisi siku-siku 1 Gu/ sisi siku-siku 2 Xien/ Hipotenusa 3 satuan 4 satuan 5 satuan … … … Konjektur C4. Siswa  mampu  menyusun pasangan persegi  sehingga didapatkan  bilangan triple Pythagoras (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) dll

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718
e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
Berikut ini adalah data persentase capaian kesesuaian antara konjektur yang dibuat pada  HLT  dibandingkan  dengan  ALT  berdasarkan  tugas  yang  dapat  diselesaikan  oleh siswa.

## Gambar 6. Kesesuaian HLT dengan ALT mengacu pada persentase siswa
Berdasarkan  data  deskriptif  kuantitatif  di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa learning trajectory sebenarnya sudah berjalan sesuai dengan konjektur pada HLT, kecuali  tugas- tugas  pada  aktivitas  IV.  Konjektur  pada aktivitas  ini,  yaitu  menemukan  pasangan  tripel Pythagoras, tidak tercapai karena terdapat kesalahan ukuran media yang digunakan dalam penelitian.  Dikarenakan  dalam  rangkaian  tugas  menggunakan  ukuran  sebenarnya  dari media  atau  alat  peraga  yang  dipersiapkan,  triple  Pythagoras  yang  disusun  siswa  tidak sesuai dengan yang direncanakan. Terkait hal ini, kami tetap mempertahankan penugasan pada aktivitas IV dengan melakukan perbaikan media yang digunakan pada aktivitas IV.
Berikut  ini  akan  dipaparkan  deskripsi  singkat  tentang  bagaimana  siswa mengkonstruksi  pengetahuan  Pythagoras  dengan  cara  manipulasi  geometris  mereka melalui  desain  pembelajaran  yang  dikembangkan  yang  ditunjukkan  dengan  hasil pekerjaan yang telah dilakukan.

## Gambar 7. Contoh pekerjaan siswa pada aktivitas I

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718
e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
Pada aktivitas pertama, melalui pembuktian, siswa akan memahami berbagai model interpretasi  geometri  untuk  menunjukkan  bahwa  persegi xien sama  dengan  gabungan antara persegi Gou dan Gu . Berdasarkan Gambar 7 , kita mengetahui bahwa terdapat dua jenis  pembuktian  yang  dilakukan  oleh  siswa  yaitu  memotong Gou menggabungkannya pada Gu lalu membentuknya menjadi persegi lebih besar, maka diperoleh jumlah luasnya sama  dengan  Xien  dan  sebaliknya.  Melalui  kegiatan  ini,  siswa  diarahkan  untuk memahami  secara  aljabar  bahwa  hubungan  antar  sisi  segitiga  siku-siku  adalah Xien 2 = Gou 2 + Gu 2 atau secara aljabar dapat ditulis c 2 = a 2 + b 2 , dengan c sebagai xien atau hipotenusa.
Permasalahan pada Aktivitas III (lihat penugasan pada Aktivitas III pada Tabel  1 ), menjadi  salah  satu  kunci  bagaimana  siswa  dapat  mengkonstruksi  pemahaman  aljabar mereka  secara  geometris.  Berikut  adalah  contoh  pekerjaan  siswa  dalam  menyelesaikan permaslahan Gou Gu pada Jiuzhang tentang mencari ketinggian bambu di tengah kolam.
Gambar 8 . Manipulasi geometris siswa pada aktivitas III.
Berdasarkan Gambar  8 ,  terlihat  bahwa  langkah  pertama  yang  dilakukan  siswa adalah merumuskan masalah ke dalam bentuk geometri (bentuk matematika). Didapatkan bentuk Segitiga siku-siku dengan satu sisi diketahui (5 chi ) yang merupakan jarak bambu ke pinggiran kolam dan dua sisi tidak diketahui, dimana satu sisi adalah panjang bambu (sebagai Xien ) dan kedalaman kolam (sebagai Gu ). Siswa memisalkan kedalaman kolam sebagai x  chi ,  dan  ketinggian  bambu  sebagai x+1  chi .  Dalam  hal  ini,  siswa  menemui konflik  kognitif  jika  langsung  menggunakan  rumus  Pythagoras  (atau Gou  Gu dalam aktivitas  sebelumnya)  secara  aljabar.  Hal  ini  karea  terdapat  dua  sisi  yang  panjangnya

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
tidak  diketahui  sehingga  jika  diterapkan  rumus  pythagoras  akan  menghasilkan  bentuk persamaan kuadrat (yang belum dipelajari oleh siswa) yang harus diselesaikan.
Terkait  hal  ini,  siswa  harus  melibatkan  konsep  manipulasi  geometris  yang  telah dipelajari sebelumnya, yaitu hubungan antara luas persegi Gou , Gu , dan Xien . Langkah tersebut dilakukan dengan melakukan manipulasi persegi Gou (dengan panjang sisi 5 chi ) menjadi  bentuk gnomon (bentuk  L)  sehingga  gabungan  antara  persegi Gu dan  dan gnomon tersebut membentuk persegi baru yang memiliki luas sama dengan persegi Xien. Siswa  menganalisis  hubungan  antara  luas gnomon dan  sisi  yang  diberikan,  mereka menemukan                 atau x = 9,16 (dengan melakukan pembulatan) (lihat Gambar 5 ).
Secara umum desain yang dikembangkan, secara umum Learning trajectory yang dirumuskan  dapat  diimplementasikan  dalam  pembelajaran  yang  sesungguhnya.  Hal  ini menunjukkan bahwa sejarah matematika dapat memperkaya pembelajaran dan membantu siswa  dalam  mengkontruksi  pengetahuan  matematis  mereka,  dalam  hal  ini  konsep Teorema  Pythagoras  melalui  penekanan  pada  penalaran  secara  geometris  dan hubungannya  dengan  aljabar.  Pelibatan  penalaran  geometris  dalam  membentuk  konsep aljabar  ditekankan  oleh  beberapa  studi  seperti  (Fachrudin  et  al.,  2018)  dan  (Radford  & Guerette,  2016).  Sementara  itu,  secara  umum  pada  bidang  penggunaan History  of Mathematics (HoM) dalam pembelajaran, studi  yang dilakukan ini memperkuat dengan studi  sebelumnya  yang  telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti  yang  juga merekomendasikan pengintegrasian HoM dalam pembelajaran di kelas (Fachrudin et al., 2020; French, 2002; Man-Keung, 2000; Radford & Guerette, 2016; Radford & Guérette, 2000; Yuste, 2010). Selain itu, desain yang dikembangkan pada dasarnya menggunakan prinsip  penemuan  (konsep  matematika)  kembali  ini  sejalan  dengan  (Syutaridho,  2020) yang menggunakan model discovery learning dengan temuan bahwa prinsip penemuan kembali  pada  dasarnya  dapat  membantu  peningkatan  kompetensi  siswa  pada  materi Pythagoras..
Di  sisi  lain,  penggunaan  masalah  berbasis  sejarah  sebagai  konteks  dalam  desain pembelajaran  yang  dikembangkan  memberi  siswa  kesempatan  untuk  mempelajari teorema  Pythagoras  secara  bermakna.  Hal  ini  sejalan  dengan  pernyataan  (Freudenthal, 2006)  yang  menyatakan  bahwa  “belajar”  atau  proses  pembentukan  pengetahuan  akan terjadi ketika bermakna bagi siswa. Di sisi lain, jika dihubungkan dengan salah satu kom- petensi  penting  yang  saat  ini  menjadi  fokus  perhatian  dalam  Pendidikan  matematika  di dunisa  yaitu  Literasi Matematika melalui studi PISA OECD, dan kemampuan numerasi secara  khusus  yang  diadaptasi  oleh  kurikulum  di  Indonesia,    HoM  berperan  penting dalam  meningkatkan  kemampuan  literasi  matematis  atau  numerasi  siswa  melalui  soal-
3 1 2 55   x

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
soal  kontekstual  di  HoM  yang  diselaraskan  dengan  tantangan  dunia  nyata.  Selain  itu, pemecahan  masalah  dari  HoM  juga  mendukung  kemampuan  literasi  matematika  atau numerasi  siswa  pada  domain  kategori  proses  penyelesaian  yang  dibutuhkan  dalam menghadapi  masalaha  berbasis  konteks  (yaitu  merumuskan,  menggunakan,  dan menginterpretasikan matematika dalam berbagai konteks).

## SIMPULAN
Penelitian  ini  mengungkapkan  bahwa  Pythagoras  dari  Kuno  yang  bersumber  dari Jiuzhang  Shuanshu memiliki  kekayaan  referensi  didaktis  yang  dapat  digunakan  untuk meningkatkan  kualitas  pembelajaran  matematika,  terutama  untuk  merancang  tugas instruksional atau desain pembelajaran pada meteri teorema Pythagoras. Disamping dapat mendukung  konstruksi  pengetahuan  siswa  melalui  penalaran  geometris,  soal  berbasis konteks  yang  terdapat  dalam  HoM  juga  dapat  membuat  siswa  merasakan  pembelajaran matematika yang bermakna. Oleh karena itu, kami merekomendasikan guru atau peneliti yang  fokus  dalam  pengembangan  desain  pembelajaran  untuk  mengintegrasikan  sejarah matematika  yang  dapat  meningkatkan  kualitas  pembelajaran  matematika  di  kelas. Integrasi yang dimaksud tidak sebatas menyajikan cerita sejarah sebagai motivasi, namun lebih  jauh  dengan  menggunakan  konsep  sejarah  itu  sendiri  sebagai  bahan  yang  relevan dengan  perkembangan  konsep  matematika  siswa  sehingga  dapat  menjadi  salah  satu alternatif dalam membangun learning trajectory dalam pembelajaran.

## DAFTAR PUSTAKA
Abadi, & Fiangga, S. (2018). Using historical perspective in designing discovery learning on  Integral  for  undergraduate  students. IOP  Conference  Series:  Materials  Science and Engineering , 296 (1). https://doi.org/10.1088/1757-899X/296/1/012042
Bakker,  A.,  &  van  Eerde,  D.  (2015).  An  introduction  to  design-based  research  with  an example from statistics education. In Approaches to Qualitative Research in Mathe- matics  Education (pp.  429–466).  Springer,  Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978- 94-017-9181-6_16
Chemla, K. (2012). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. A sourcebook. Historia Mathematica , 39 (3). https://doi.org/10.1016/j.hm.2012.04.003
Fachrudin,  A.  D.,  Ekawati,  R.,  Kohar,  A.  W.,  Widadah,  S.,  Kusumawati,  I.  B.,  &  Se- tianingsih, R. (2020). The shadow reckoning problem from ancient society as con- text  for  learning  Trigonometry. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1538 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1538/1/012098
Fachrudin, A. D., Putri, R. I. I., Kohar, A. W., & Widadah, S. (2018). Developing a local instruction theory for learning the concept of solving quadratic equation using Baby- lonian  Approach. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1108 (1),  1–6. https://

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136
doi.org/10.1088/1742-6596/1108/1/012069
French,  D.  (2002). Teaching  and  learning  algebra .  Continuum. https:// doi.org/10.5040/9781350933972
Freudenthal,  H.  (2006). Revisiting  mathematics  education (9th  ed.).  Kluwer  Academic Publisher.
Guevara-Casanova, I., & Burgues-Flamarich, C. (2018). Geometry and visual reasoning. In Mathematics,  Education  and  History (ICME-13  Mo,  pp.  165–192).  Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73924-3_9
Katz, V. J. (2000). Using history to teach mathematics: An internation perspective . The Mathematical Assocuiation of America.
Katz, V. J. (2008). A history of mathematics (3rd ed.). Pearson.
Lispika, L. (2022). Sejarah perkembangan matematika dalam dunia pendidikan. Journal of Arts and Education , 2 (2). https://doi.org/10.33365/jae.v2i2.67
Man-Keung,  S.  (2000).  The  ABCD  of  using  history  of  mathematics  in  the (undergraduate) classroom. Paleontological Society Papers , 6 , 3–10.
OEDC. (2019). PISA 2018 : Insights and Interpretations . OECD.
Radford, L., & Guerette, G. (2016). Second degree equations in the classroom: A babylo- nian approach. In Using History to Teach Mathematics: An International Perspec- tive (pp. 69–75). The Mathematical Association of America.
Radford, L., & Guérette, G. (2000). Second degree equations in the classroom: A Baby- lonian Approach. Using History to Yeach Mathematics : An International Perspec- tive , 51 .
Swetz, F. J., & Kao, T. I. (1977). Was pythagoras chinese?: An examination of right tri- angle theory in Ancient China . Pennsylvania State University Press.
Syutaridho,  S.  (2020).  Peningkatan  hasil  belajar  matematika  dengan  model  discovery learning pada materi teorema pythagoras. Jurnal  Pendidikan  Matematika RAFA , 6 (2), 185–195. https://doi.org/10.19109/jpmrafa.v6i2.4367
Wahyu, K., & Mahfudy, S. (2016). Sejarah matematika: Alternatif strategi pembelajaran matematika. Beta Jurnal Tadris Matematika , 9 (1), 89–110. https://doi.org/10.20414/ betajtm.v9i1.6
Yuste, P. (2010). Learning mathematics through its history. Procedia - Social and Behav- ioral Sciences , 2 (2). https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2010.03.161

## Jurnal Pendidikan Matematika RAFA
p-ISSN :2460-8718 e-ISSN : 2460-8726
Available online at: http://jurnal.radenfatah.ac.id/index.php/jpmrafa December 2023, 8(2): 123 - 136