Abstrak —Tuberkulosis  (TB)  merupakan  penyakit  menular kronis  yang  menyerang  paru-paru  yang  disebabkan  oleh bakteri Mycobacterium  tuberculosis .  Model  penyebaran penyakit  yang  digunakan  terdiri  dari  4  persamaan  yaitu subpopulasi Susceptible ,  subpopulasi Infective ,  subpopulasi Treatment dan  subpopulasi Recovery .  Untuk  mencegah penyebaran,  sistem  diberi  kontrol  berupa  terapi  pada  pasien yang terinfeksi dan vaksinasi pada individu yang rentan. Studi ini membahas tentang analisis pada model dengan menentukan bilangan reproduksi dasar, titik kesetimbangan bebas penyakit dan  endemik,  dan  kestabilan  dari  setiap  titik  kesetimbangan berdasarkan  kriteria Routh-Hurwitz .  Kemudian  dilakukan kontrol  optimal  menggunakan  Prinsip  Pontryagin  dengan pemberian  dua  kontrol  yaitu  terapi  dan  vaksinasi.  Solusi numerik  yang  diberikan  dengan  metode  Runge  Kutta  orde empat,  dan  simulasi  menggunakan  MATLAB.  Hasil  analisis menunjukkan terdapat kestabilan pada setiap titik kesetimbangan  dengan  syarat  tertentu  dan  menurunnya populasi Tuberkulosis (TB) setelah pemberian kontrol.
Kata Kunci —Model SITR, Kestabilan, Kontrol Optimal, Prinsip Pontryagin, Metode Runge-Kutta.

## I. PENDAHULUAN
UBERKULUM  Bacillus /  Tuberkulosis  (TB)  adalah penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  bakteri Mycobacterium tuberculosis . Berdasarkan data World Health Organization (WHO)  pada  tahun  2014,  menyatakan  bahwa Tuberkulosis (TB)  merupakan penyakit menular mematikan kedua  setelah Human  Immunodeficiency  Virus (HIV)/ Acquired  Immunodeficiency  Syndrome (AIDS)  di  negara- negara berkembang. Penyakit ini biasanya ditularkan melalui inhalasi  percikan  ludah  ( droplet )  dari  orang  ke  orang  yang terinfeksi  oleh Mycobacterium  tuberculosis. Bakteri  juga dapat  masuk  ke  dalam  tubuh  melalui  saluran  cerna,  ingesti susu  tercemar  yang  tidak  dipasteurisasi,  atau  melalui  lesi kulit.  Gejala  seseorang  merupakan suspect TB  antara  lain batuk-batuk  selama  3  minggu  atau  lebih,  batuk  dengan disertai darah, sakit di dada selama 3 minggu atau lebih, serta demam selama 3 minggu atau lebih [1].
Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  dengan  pengidap penyakit  TB  terbanyak  di  dunia.  Indonesia  berada  pada peringkat ketiga dunia setelah India dan China dengan sekitar 680.000  kasus  TB  yang  terjadi  pada  tahun  2013  atau diperkirakan setiap 100.000 populasi terdapat 272 penderita TB. Angka kematian akibat penyakit tuberkulosis pada tahun 2013  yakni  sekitar  64.000  jiwa  atau  diperkirakan  setiap 100.000 populasi terdapat 25 penderita TB  yang  meninggal [2].
Pencegahan  TB  dapat  dilakukan  dengan  pemberian vaksinasi  atau  imunisasi  yang  mampu  mengakibatkan
seseorang  mempunyai  ketahanan  tubuh  yang  lebih  baik, sehingga  mampu  mempertahankan  diri  terhadap  penyakit atau masuknya kuman dari luar [3]. Namun, kemampuan dari vaksin  yang  diberikan  tidak  dapat  bertahan  seumur  hidup. Seiring  bertambahnya  usia,  efektivitas  dari  vaksin  akan semakin  berkurang.  Akibatnya  tetap  diperlukan  usaha penyembuhan melalui pengobatan atau terapi bagi pasien TB [1].
Oleh  karena  itu,  untuk  mengetahui  penyebaran  penyakit TB,  diperlukan  suatu  model  matematika  yang  dapat merepresentasikan permasalahan yang terjadi guna mencegah penyebaran penyakit tersebut. Model matematika diperoleh  melalui  suatu  proses  penerjemahan  permasalahan dalam  kehidupan  sehari-hari  ke  dalam  bahasa  matematika yang  disebut  dengan  pemodelan  matematika.  Dari  model matematika tersebut akan terbentuk suatu sistem persamaan diferensial  yang  dapat  diketahui  suatu  titik  kesetimbangan dan menganalisa kestabilannya. Dan juga akan dicari kontrol optimal  dari  model  matematika  tersebut,  sehingga  dapat diketahui  pengobatan  ataupun  pencegahan  yang  dapat mengurangi penyebaran penyakit TB itu sendiri.
Model matematika penyebaran penyakit TB yang dibahas dalam  Studi  ini  adalah  model  epidemik  SITR  ( Susceptible- Infective-Treatment-Recovered) .  Model  SITR  merupakan model penyebaran penyakit yang membagi populasi menjadi empat  subpopulasi,  yaitu  subpopulasi  individu  rentan ( Susceptive ),  subpopulasi  individu  terinfeksi  ( Infective ), subpopulasi  individu  melakukan  pengobatan  ( Treatment ), dan  subpopulasi  individu  sembuh  ( Recovered ).  Model epidemik SITR merupakan suatu pengembangan dari model klasik  SIR.  Model  epidemik  SIR  mengasumsikan  bahwa individu  yang  terinfeksi  penyakit  akan  sembuh,  sedangkan model  SITR  mewakili  suatu  situasi  ketika  individu  yang terinfeksi harus melakukan pengobatan untuk sembuh [4].
Dalam Studi ini penulis merujuk pada beberapa penelitian- penelitian  sebelumnya  yang  sesuai  dengan  topik  yang diambil. Syarifuddin Side, dkk menganalisa dan mensimulasikan  model  matematika SITR untuk penyebaran Penyakit  Tuberkulosis  dengan  menggunakan  data  sekunder dari  Dinas  Kesehatan.  Dalam  penelitian  ini  diformulasikan model matematika tanpa adanya pengaruh vaksinasi. Analisa menunjukkan  bahwa  terjadi  penurunan  yang  cukup  drastis pada subpopulasi Infected dan Treatment , hal ini disebabkan adanya  individu Treatment yang  sembuh  dari  penyakit sehingga  memasuki  subpopulasi Recovered [4].  Alfensi Faruk  (2016)  yang  memformulasikan  model  penyebaran penyakit TB dengan penambahan tingkat terapi pada model SEIR.  Dalam  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  semakin besar tingkat terapi yang diberikan pada subpopulasi Infected,

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Penyebaran Tuberkulosis (TB) dengan Terapi dan Vaksinasi Menggunakan Metode Runge Kutta
Anita Puspitasari, Kamiran, dan Nur Asiyah Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : nitanitapsari@gmail.com
T
maka penurunan  jumlah  individu pada subpopulasi Infected tersebut akan semakin cepat [5].
Dalam  Studi  ini  dibahas  model  TB  dengan  memasukkan parameter kontrol  yaitu terapi pada individu  yang terinfeksi dan  vaksinasi  pada  individu  yang  rentan.  Selain  itu,  akan dilakukan  analisis  kestabilan  dan  kontrol  optimal  serta menemukan kondisi yang dibutuhkan untuk kontrol optimal penyakit menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin guna menentukan  strategi  yang  optimal  untuk  mengendalikan penyebaran  penyakit.  Setelah  itu,  akan  dilakukan  simulasi dari  penyelesaian  numerik  dengan  Metode  Runge  Kutta menggunakan MATLAB.

## II. DASAR TEORI

## A. Vaksinasi
Vaksin  adalah  suspense  kuman  atau  virus  yang  telah dilemahkan  dan  dipergunakan  untuk  mengobati  atau mencegah  suatu  penyakit  menular.  Vaksinasi  di  Indonesia secara teratur dimulai  sejak tahun 1956  [6]. Vaksinasi  yang digunakan terhadap penyakit TB yaitu vaksin BCG ( Bacillus Calmete  Guerin )  dari  galur Mycobacterium  bovis yang dilemahkan  [3].  Indonesia  telah  melaksanakan  vaksinasi BCG  sejak  tahun  1973  dan  kini  diakui  vaksinasi  BCG setidaknya  dapat  menghindarkan  terjadinya  TB  paru  berat pada  anak,  TB  miler  yang  menyebar  keseluruh  tubuh  dan Meningitis TB yang penyerang otak. Kedua penyakit ini bisa menyebabkan kematian pada anak [7].

## B. Terapi
Terapi  merupakan  salah  satu  pengobatan  yang  dapat dilakukan  untuk  menyembuhkan  penderita  TB  aktif.  Terapi yang  digunakan  adalah  dengan  pemberian  Obat  Anti  TB (OAT)  secara  berkala.  Terdapat  empat  kategori  terapi  bagi penderita  TB  aktif.  Kategori  pertama  adalah  jika  hasil  tes dahak BTA (Basik Tahan Asam) dari seorang penderita baru positif  atau  jika  tes  BTA  negatif  namun  hasil  ronsen menunjukkan  lesi  luas.  Pada  kasus  kategori  kedua,  dibagi menjadi tiga jenis yaitu terapi bagi pasien kambuh, terapi bagi pasien gagal pengobatan, dan terapi bagi pasien TB paru yang putus obat. Kategori ketiga adalah kasus baru TB paru dengan hasil uji dahak BTA negatif dan hasil ronsen memperlihatan lesi  yang  minimal.  Pada  kategori  keempat,  terapi  dibagi menjadi dua  jenis  yaitu terapi  bagi pasien kronis  dan terapi bagi  pasien  yang  resisten  obat  atau  MDR  ( Multi  Drugs Resistance )  TB.  Uji  resistensi  penyakit  dapat  dilakukan  di awal-awal  ditemukan  kasus  baru  TB,  sehingga  pada  saat mendapatkan  terapi  kategori  I  atau  III  pasien  sudah mengetahui apakah tubuhnya resisten terhadap obat anti TB atau tidak, seandainya positif maka pasien yang bersangkutan harus mendapat terapi MDR TB [5].

## C. Model Tuberkulosis
Model  matematika  penyakit  TB  berdasarkan  pada penelitian  yang  dilakukan  oleh  Syafruddin  Side,  dkk  [5] adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑁 − 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝜇𝑆 (2.1) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝛼𝐼 − 𝜇𝐼 (2.2) 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − 𝛾𝑇 − 𝜇𝑇 (2.3) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝑇 − 𝜇𝑅 (2.4)
𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑇(𝑡) + 𝑅(𝑡) (2.5) Keterangan:
S(t)  : jumlah individu kelas rentan/ susceptible pada saat t I(t)  : jumlah individu kelas terinfeksi/ infective pada saat t T(t)  : jumlah individu kelas pengobatan/ treatment pada saat t
R(t)  : jumlah individu kelas sembuh/ recovery pada saat t N(t)  : jumlah individu total pada saat t 𝑏 : angka kelahiran ( birth rate ) 𝜇 : angka kematian alami ( mortality rate ) 𝛽 : laju penyebaran 𝛼 : pemberian treatment 𝛾 : angka kesembuhan ( recovery rate ) 𝑁 : angka total populasi 𝑏𝑁 : angka jumlah populasi yang lahir dalam populasi 𝛽𝐼𝑆 : angka besarnya populasi yang terinfeksi
D. Titik Kesetimbangan
Titik  kesetimbangan  digunakan  untuk  mengetahui  nilai dari  bilangan  reproduksi  dasar.    Titik  kesetimbangan diperlukan dalam proses menganilisa penyebaran penyakit. Definisi 2.4 [8]
Diberikan  persamaan  differensial  tingkat  satu 𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)) dengan 𝑥(𝑡) ∈ ℝ 𝑛 ,  penyelesaian  dengan  keadaan awal 𝑥(0) = 𝑥 0 dinotasikan dengan 𝑥(𝑡, 𝑥 0 ) . 1. Vektor 𝑥̅ yang  memenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 disebut  suatu titik setimbang .
2. Suatu titik setimbang 𝑥̅ dikatakan stabil bila untuk setiap 𝜖 > 0 ada 𝛿 > 0 dan 𝑡 𝛿 sedemikian  hingga  bila ‖𝑥 𝑡 𝛿 − 𝑥̅‖ < 𝛿 maka ‖𝑥(𝑡, 𝑥 𝑡 𝛿 ) − 𝑥̅‖ < 𝜖 untuk  semua 𝑡 > 𝑡 𝛿 .
3. Suatu titik setimbang 𝑥̅ dikatakan stabil asimtotik bila dia stabil  dan  bila  ada 𝛿 1 > 0 sedemikian  hingga 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ ‖𝑥(𝑡, 𝑥 𝑡 𝛿 ) − 𝑥̅‖ = 0 bila ‖𝑥 𝑡 𝛿 − 𝑥̅‖ < 𝛿 1 .
4. Suatu  titik  setimbang  dikatakan takstabil bila  dia  tidak stabil.
Untuk  menganalisis  kestabilan  sistem  non  linear,  maka digunakan  analisis  transformasi  kestabilan  lokal  disekitar titik setimbangnya [8].
Pada kasus epidemiologi terdapat dua titik kesetimbangan yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah  titik  ketika  model  epidemik  berada  pada  keadaan setimbang  dengan  tidak  adanya  penyebaran  penyakit menular, sedangkan titik kesetimbangan endemik adalah titik ketika  model  epidemik  berada  pada  keadaan  setimbang dengan adanya penyebaran penyakit.

## E. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  ( R 0 )  adalah  bilangan  yang menyatakan banyaknya rata-rata individu terinfeksi sekunder akibat  tertular  individu  terinfeksi  primer  yang  berlangsung pada populasi individu rentan penyakit. Bilangan reproduksi dasar dapat ditentukan menggunakan metode next generation operator dengan  mencari  matriks  F  dan  V  dari  sistem penyebaran  Tuberkulosis  (TB). F i adalah  laju  kemunculan infeksi  baru  pada  kompartemen, V i adalah  laju  perpindahan individu  keluar  dari  kompartemen,  dan x 0 adalah  titik kesetimbangan  bebas  penyakit,  maka  bilangan  reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigenvalue terbesar dari matriks
[ 𝜕𝐹 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) ] [ 𝜕𝑉 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) ] −1 dimana 𝐹 = 𝜕𝐹 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 ) dan 𝑉 = 𝜕𝑉 𝑖 (𝑥 0 ) 𝜕(𝑥 𝑗 )
Jika  model  mempunyai  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik  kesetimbangan endemik, maka tidak terjadi endemik jika 𝑅 0 < 1 dan terjadi endemik jika 𝑅 0 > 1 [16].

## F. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria  kestabilan  Routh-Hurwitz  dapat  dipakai  untuk mengecek  langsung  kestabilan  melalui  koefisien  persamaan tanpa menghitung akar-akar dari polinomial yang ada.
Diberikan  matriks  Jacobian  dari  sistem  dengan  titik setimbang (𝑥 1 (0), 𝑥 2 (0), … . . , 𝑥 𝑛 (0)) sebagai berikut:
𝐽 = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 ⋮
𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ ⋮ … 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 𝑛 ] (𝑥 1 (0),𝑥 2 (0),…..,𝑥 𝑛 (0)) Nilai akar-akar karakteristik dari matriks J adalah akar-akar karakteristik dari polinomial 𝑞(𝑠) = 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑠 + 𝑎 0 , 𝑎 𝑛 ≠ 0
Untuk  mengecek  kestabilan  dengan  kriteria  Routh-Hurwitz maka disusun tabel sebagai berikut:
𝑠 𝑛 𝑠 𝑛−1 𝑠 𝑛−2 𝑠 𝑛−3 ⋮ 𝑠 0 | | 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑏 1 𝑐 1 ⋮ 𝑞 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−3 𝑏 2 𝑐 2 𝑎 𝑛−4 𝑎 𝑛−5 𝑏 3 𝑐 3 … … … Dimana 𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , dan 𝑞 diperoleh dari: 𝑏 1 = 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 −𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛−1 𝑏 2 = 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 −𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛−1 , … …
𝑐 1 = 𝑏 1 𝑎 𝑛−2 −𝑏 2 𝑎 𝑛−3 𝑏 1 𝑐 2 = 𝑏 1 𝑎 𝑛−2 −𝑏 2 𝑎 𝑛−3 𝑏 1 , … …
Kriteria Routh-Hurwitz menyimpulkan bahwa banyaknya perubahan  tanda  dalam  kolom  pertama  pada  tabel  Routh- Hurwitz sama dengan banyaknya akar-akar polinomial 𝑞(𝑠) yang  bagian realnya positif. Jadi  bila kolom pertama dalam tabel tidak ada perubahan tanda (semuanya  bertanda positif atau  semuanya  bertanda  negatif),  maka  semua  akar polinomial 𝑞(𝑠) bagian  realnya  adalah  tak  positif,  bila polinomial ini merupakan polinomial akar-akar karakteristik dari  matriks  A  dimana 𝑥̇(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) ,  maka  sistem  tersebut adalah  stabil.  Syarat  perlu  dan  cukup  untuk  stabil  yang pertama  yaitu  semua  koefisien  persamaan  karakteristik positif/negatif, yang kedua semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif/negatif [8].

## G. Teori Kontrol Optimal
Kontrol  optimal  digunakan  untuk  mendapatkan  kontrol yang  memenuhi  suatu  sistem  persamaan  differensial  dan dapat mengoptimalkan suatu fungsi tujuan. Langkah-langkah pada masalah kontrol optimal adalah sebagai berikut: 1. Mendeskripsikan model matematika dari proses terjadinya pengendalian
2. Spesifikasi fungsi tujuan ( Performance Index )
3. Menentukan  kondisi  batas  dan costate pada state dan kontrol

## H. Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip  Maksimum  Pontryagin  adalah  suatu  kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian optimal kontrol yang
sesuai  dengan  tujuan.  Langkah-langkah  penyelesaian masalah kontrol optimal adalah sebagai berikut [9]: 1. Bentuk Hamiltonian 𝐻(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡) + 𝜆 ′ (𝑡)  𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)
2. Memaksimalkan H terhadap 𝑢(𝑡) dengan cara:
𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0
Sehingga diperoleh kondisi stasioner 𝑢 ∗ (𝑡) = ℎ(𝑥 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) 3. Dengan menggunakan 𝑢 ∗ (𝑡) yang diperoleh dari langkah 2, akan didapatkan fungsi Hamiltonian baru yang optimal, 𝐻 ∗ (𝑡) , yaitu: 𝐻 ∗ (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) = 𝐻(𝑥 ∗ (𝑡), 𝜆 ∗ (𝑡), 𝑡) 4. Selesaikan persamaan state dan costate
𝑥(𝑡) = 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 dan 𝜆(𝑡) = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑥
Dengan  kondisi  batas  diberikan  oleh  kondisi  transversal (keadaan awal dan keadaan akhir) yaitu:
(𝐻 ∗ + 𝜕𝑆 𝜕𝑡 ) 𝑡 𝑓 𝛿𝑡 𝑓 + (( 𝜕𝑆 𝜕𝑡 ) ∗ − 𝜆 ∗ (𝑡)) 𝑡 𝑓 ′ 𝛿𝑥 𝑓 = 0
Dengan S adalah  bentuk  Mayer  dari  fungsi  tujuan J,H adalah  persamaan  Halmitonan, 𝛿 menunjukkan  variasi dan  tanda  *  menunjukkan  keadaan  saat  variabel kontrolnya stasioner
5. Substitusi  hasil-hasil  yang  diperoleh  pada  langkah  4  ke persamaan 𝑢 ∗ (𝑡) pada  langkah  2  untuk  mendapatkan kontrol yang optimal

## I. Metode Runge Kutta Orde-4
Metode Runge Kutta adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan  masalah  nilai  awal  dalam  persamaan differensial. Pada perhitungan persamaan dengan suku yang banyak  memerlukan  turunan  yang  lebih  tinggi  dari  fungsi nilai 𝑥̅(𝑡) dan untuk Δ𝑥̅(𝑡) yang kecil  membutuhkan waktu perhitungan  yang  lebih  panjang.  Metode  Runge  Kutta memberikan  ketelitian  yang  lebih  besar  dan  tidak memerlukan turunan dari fungsi. Metode Runge Kutta orde 4 banyak  digunakan  karena  memiliki  ketelitian  lebih  tinggi [10].
Misal diberikan persamaan differensial sebagai berikut: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ̅̅̅̅ = 𝑥 ′ ̅ (𝑡) = 𝑓̅(𝑡, 𝑥̅(𝑡))
Secara iterasi penyelesaian Runge Kutta untuk orde 4 adalah sebagai berikut:
𝑥̅(𝑡 + ℎ) = 𝑥̅(𝑡) + ℎ 6 (𝑘 1 ̅̅̅ + 2𝑘 2 ̅̅̅ + 2𝑘 3 ̅̅̅ + 𝑘 4 ̅̅̅) Dengan: 𝑘 1 ̅̅̅ = 𝑓̅(𝑡, 𝑥̅(𝑡))
𝑘 2 ̅̅̅ =   𝑓̅ (𝑡 + ℎ 2 , 𝑥̅(𝑡) + 𝑘 1 ̅̅̅ 2 ) 𝑘 3 ̅̅̅ =  𝑓 ̅ (𝑡 + ℎ 2 , 𝑥̅(𝑡) + 𝑘 2 ̅̅̅ 2 ) 𝑘 4 ̅̅̅ =   𝑓̅(𝑡 + ℎ, 𝑥 ̅ (𝑡) + 𝑘 3 ̅̅̅)
dimana 𝑥̅, 𝑓̅, dan 𝑘 𝑖 ̅ , 𝑖 = 1,2,3,4 adalah  vektor-vektor  yang memiliki panjang yang sama.

## III. METODE PENELITIAN

## A. Studi Literatur
Pada  tahap  ini  akan  dilakukan  identifikasi  permasalahan dan  pemahaman  teori  dengan  mencari  referensi-referensi yang  menunjang  dalam  menyelesaikan  rumusan  masalah
melalui  jurnal, buku, Proposal  Studi, paper ,  maupun artikel yang terkait.

## B. Rekonstruksi  Model  Penyebaran  Penyakit  Tuberkulosis

## (TB)
Pada  bagian  ini  dilakukan  konstruksi  atau  pembentukan model  matematika  dari  sistem  penyebaran  penyakit Tuberkulosis  (TB).  Untuk  memahami  penyebaran  penyakit Tuberkulosis (TB) disusun asumsi-asumsi tertentu  sehingga dapat  dibuat  model  kompartemen  dengan  subpopulasi Susceptible, Infective, Treatment, dan Recovered .

## C. Analisa Titik Kesetimbangan, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan
Pada  tahap  ini  akan  dicari  titik  kesetimbangan  bebas penyakit (𝐼 = 0) dan  titik  kesetimbangan  endemik (𝐼 ≠ 0) dengan  substitusi  persamaan  model.  Selanjutnya  akan ditentukan  bilangan  reproduksi  dasar  dengan  Metode Next Generation  Operator yang  kemudian  akan  dianalisis kestabilan pada titik-titik kesetimbangan.
D. Menentukan  kontrol  optimal  dengan  Prinsip  Maksimum Pontryagin
Pada tahap ini akan ditentukan kontrol yang akan dipakai untuk  mereduksi  penyebaran  Tuberkulosis  (TB)  dan menyelesaikan  masalah  kontrol  optimal  dari  model Tuberkulosis  (TB)  menggunakan  Prinsip  Maksimum Pontryagin. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah dengan  menentukan  model  kontrol  optimal,  menentukan fungsi  objektif,  membentuk  persamaan  Hamiltonian, menentukan kondisi batas yang harus dipenuhi.

## E. Penyelesaian kontrol optimal
Pada  tahap  ini  akan  ditentukan  penyelesaian  numerik kontrol optimal pada model Tuberkulosis (TB) menggunakan Metode Runge Kutta orde 4 dan akan dibandingkan simulasi sebelum dan sesudah penerapan kontrol optimal menggunakan MATLAB.

## F. Penarikan Kesimpulan dan Saran
Tahap  akhir  adalah  penarikan  kesimpulan  terhadap pembahasan  yang  telah  dilakukan  oleh  penulisan  laporan Proposal  Studi  serta  pemberian  saran  untuk  pengembangan penelitian selanjutnya.

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis  kestabilan  dan  pembahasan  model  matematika penyebaran penyakit kolera dengan kontrol optimal. Kontrol optimal  meliputi  pemberian  vaksinasi  pada  individu  yang rentan dan pengobatan dengan terapi total pada individu yang terinfeksi.  Selanjutnya,  dijelaskan  tentang  analisa  titik kesetimbangan,  bilangan  reproduksi  dasar  dan  kestabilan, selanjutnya  menentukan  kontrol  optimal,  dan  penyelesaian secara    numerik  serta  simulasi.  Dan  terakhir  penarikan kesimpulan dan saran.
A.  Rekonstruksi  Model  Penyebaran  Penyakit  Tuberkulosis dengan Kontrol Optimal
Model  matematika  penyebaran  pernyakit  Tuberkulosis direkonstruksi  dengan  menambahkan  variabel  kontrol optimal yaitu pemberian vaksin (𝑐) dan pengobatan dengan terapi  total (𝑟 0 ) . Interpretasi  model  matematika  penyebaran penyakit  Tuberkulosis  dengan  kontrol  optimal  ke  dalam diagram kompartemen seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Kompartemen Penyebaran Penyakit Tuberkulosis.
Model matematika penyebaran Tuberkulosis sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑁 − 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝑐𝑆 − 𝜇𝑆 (4.1)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 + 𝑐𝑆 + (1 − 𝑞)𝛾𝑇 − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 + 𝑟 0 + 𝛿)𝐼 (4.2)
𝑑𝑇 𝑑𝑡 = (𝛼 + 𝑟 0 )𝐼 − 𝛾𝑇 − 𝜇𝑇 (4.3) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼 + 𝑞𝛾𝑇 − 𝜇𝑅 (4.4) 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑇 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = (𝑏 − 𝜇)𝑁 − 𝜇 𝑡 𝐼
Notasi serta definisi dari variabel dan masing-masing parameter adalah sebagai berikut:
S : jumlah populasi Susceptible (rentan)
I  : jumlah populasi Infective (terinfeksi)
T : jumlah populasi Treatment (pengobatan)
R : jumlah populasi Recovery (sembuh)
N : jumlah populasi individu total b : angka kelahiran
𝜇 : angka kematian alami
𝛽 : laju penyebaran
𝑐 : tingkat vaksinasi
𝜇 𝑡 : angka kematian akibat penyakit TB 𝛼 : pemberian treatment (pengobatan)
𝑟 0 : tingkat terapi total
𝛿 : angka kesembuhan alami
𝑞 : angka kesembuhan
𝛾 : angka kesembuhan dengan terapi total

## B. Analisa Titik Kesetimbangan, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan
Untuk  menganalisa  kestabilan  pada  model  penyakit Tuberkulosis,  akan  dicari  titik  kesetimbangan  pada persamaan (4.1)-(4.4). Sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit 𝐸 0 (𝑆 0 , 𝐼 0 , 𝑇 0 , 𝑅 0 ) = ( 𝑏𝑁 𝜇 , 0,0,0) dan titik kesetimbangan endemik
𝐸 ∗ (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑇 ∗ , 𝑅 ∗ )
Dengan
𝑆 ∗ = 𝑏𝑁𝜇 𝑡 𝛽(𝑏−𝜇)−𝜇𝜇 𝑡 𝐼 ∗ = (𝑏−𝜇)𝑁 𝜇 𝑡 𝑇 ∗ = 𝛼(𝑏−𝜇)𝑁 𝜇 𝑡 (𝛾+𝜇) 𝑅 ∗ = ( 𝛿(𝑏−𝜇)𝑁+ 𝑞𝛾𝛼(𝑏−𝜇)𝑁) 𝜇𝜇 𝑡 (𝛾+𝜇)
Selanjutnya  akan  dicari  bilangan  reproduksi  dasar  pada model penyebaran Tuberkulosis (4.1)-(4.4) dengan menggunakan  metode Next  Generation  Operator .  Sehingga didapat nilai reproduksi dasar sebagai berikut:
S I T R b 𝝁 𝝁 𝝁 𝝁 𝝁 𝒕 c 𝜷 𝑰 𝑵 𝜹 𝒓 𝟎 𝜶 𝒒𝜸 (𝟏 − 𝒒)𝜸
𝑅 0 = 𝐹𝑉 −1 = 𝛽𝑏 𝜇 2 + 𝜇𝜇 𝑡 + 𝜇𝛼 + 𝜇𝛿
Sistem akan bersifat stabil jika 𝑅 0 < 1 , yang artinya tidak terjadi  penyebaran  penyakit  atau  populasi  bebas  penyakit. Dan  sistem  akan  bersifat  tidak  stabil  jika 𝑅 0 > 1 ,  artinya terjadi  endemik  atau  terjadi  penyebaran  penyakit  dalam populasi tersebut.
Terakhir  akan  dilakukan  analisis  kestabilan  berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz akan  dilakukan  linearisasi  ekspansi deret  Taylor  pada  persamaan  (4.1)-(4.4)  menjadi  deret  Mc Laurin. Dan diperoleh hasil linearisasi dalam bentuk matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 = [ − 𝛽𝐼 𝑁 − 𝜇 − 𝛽𝑆 𝑁 0 0 𝛽𝐼 𝑁 𝛽𝑆 𝑁 − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 + 𝛿) (1 − 𝑞)𝛾 0 0 𝛼 −𝛾 − 𝜇 0 0 𝛿 𝑞𝛾 −𝜇]
Lalu  dengan  mensubstitusikan  titik  kesetimbangan  bebas penyakit 𝐸 0 (𝑆 0 , 𝐼 0 , 𝑇 0 , 𝑅 0 ) kedalam matriks Jacobian, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: (−𝜇 − 𝜆)(−𝜇 − 𝜆)(𝑎 0 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 2 ) = 0 𝜆 1 = 𝜆 2 = −𝜇 Dengan 𝑎 0 = 1 > 0 𝑎 1 = 2𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛿 + 𝛾 + 𝛼 − 𝛽𝑏 𝜇 > 0 𝑎 2 = 𝜇 2 + 𝜇𝜇 𝑡 + 𝛾𝜇 − 𝛽𝑏𝛾 𝜇 + 𝜇 𝑡 𝛾 + 𝜇𝛼 − 𝛽𝑏 + 𝛿𝛾 + 𝑞𝛼𝛾 + 𝜇𝛿 > 0
Selanjutnya  untuk  mendapatkan  akar  karakteristik  (nilai eigen)  dari  polinomial  derajat  dua  dapat  digunakan  kriteria Routh-Hurwitz  untuk  menentukan  jenis  kestabilannya. Dengan  menggunakan  aturan  Routh-Hurwitz  maka  dapat dibuat tabel sebagai berikut:
𝜆 2 𝜆 𝜆 0 | 𝑎 0 𝑎 1 𝑏 1 𝑎 2 0 0 0 0 0 Dimana 𝑏 1 = 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 0 𝑎 1 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 1 = 𝑎 2
Nilai eigen yang didapat sebelumnya yaitu 𝜆 1 = 𝜆 2 = −𝜇 bertanda  negatif.  Agar  sistem  stabil,  maka  nilai-nilai  pada kolom  pertama  tabel  Routh-Hurwitz  diatas  harus  bertanda sama.  Karena 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 bernilai  positif,  maka 𝑏 1 harus bernilai positif agar sistem stabil. 𝑏 1 akan bernilai positif jika 𝑎 1 𝑎 2 > 0 .  Jadi  dapat  disimpulkan  sistem  stabil  di  titik setimbang bebas penyakit jika 𝑎 1 𝑎 2 > 0 .
Selanjutnya  akan    dilakukan  analisis  kestabilan  dengan mensubstitusikan  titik  kesetimbangan  endemik  kedalam matriks  Jacobian,  sehingga  diperoleh  persamaan  sebagai berikut:
(−𝜇 − 𝜆)(𝑎 0 𝜆 3 + 𝑎 1 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 3 ) = 0 𝜆 1 = −𝜇 Dengan 𝑎 0 = 1 > 0 𝑎 1 = 3𝜇 − 𝜇 𝑡 + 𝛿 + 𝛾 + 𝛼 − 𝛽𝑏𝜇 𝑡 𝛽𝑏−𝛽𝜇+𝜇𝜇 𝑡 + 𝛽𝜇−𝛽𝑏 𝜇 𝑡 > 0 𝑎 2 = 3𝜇 2 + 2𝜇𝜇 𝑡 + 2𝛾𝜇 + 2𝜇𝛿 + 𝜇 𝑡 𝛾 + 𝛼𝑞𝛾 + 2𝜇𝛼 + 𝛾𝛿 − 𝛽𝑏 + 𝛽𝜇 + 2𝛽 2 𝑏 2 −2𝛽 2 𝑏𝜇−2𝛽𝑏𝜇𝜇 𝑡 −𝛽𝑏𝜇 𝑡 𝛾 𝛽𝑏−𝛽𝜇+𝜇𝜇 𝑡 − 𝛽𝑏𝛼+𝛽𝜇𝛼−2𝛽𝑏𝜇+2𝛽𝜇 2 −𝛽𝑏𝛾−𝛽𝑏𝛿+𝛽𝜇𝛾+𝛽𝜇𝛿 𝜇 𝑡 > 0 𝑎 3 = 2𝛽 2 𝑏 2 𝛾−𝛽𝑏𝜇 2 𝜇 𝑡 −𝛽𝑏𝜇𝜇 𝑡 𝛾−2𝛽 2 𝑏𝜇 2 −2𝛽 2 𝑏𝛾𝜇 𝛽𝑏−𝛽𝜇+𝜇𝜇 𝑡 + 𝛽𝜇 3 −𝛽𝑏𝜇 2 −𝛽𝑏𝛾𝜇+𝛽𝜇 2 𝛾−𝛽𝑏𝜇𝛼+𝛽𝜇 2 𝛼−𝛽𝑏𝜇+𝜇𝛼𝑞𝛾 𝜇 𝑡 + 𝜇 3 + 𝜇 2 𝛾 −
𝛽𝑏𝜇 + 𝛽𝜇 2 + 𝜇 2 𝜇 𝑡 − 𝛽𝑏𝛾 + 𝛽𝜇𝛾 + 𝜇𝜇 𝑡 𝛾 + 𝜇 2 𝛼 + 𝜇 2 𝛿 + 𝜇𝛿𝛾 + 𝜇𝛼𝑞𝛾 > 0
Selanjutnya  untuk  mendapatkan  akar  karakteristik  (nilai eigen)  dari  polinomial  derajat  tiga  dapat  digunakan  kriteria Routh-Hurwitz  untuk  menentukan  jenis  kestabilannya. Dengan  menggunakan  aturan  Routh-Hurwitz  maka  dapat dibuat tabel sebagai berikut:
𝜆 3 𝜆 2 𝜆 𝜆 0 | 𝑎 0 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑎 3 0 0 0 0 0 0 Dimana 𝑏 1 = 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 𝑎 1 = 𝑎 1 𝑎 2 −1𝑎 3 𝑎 1 = 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 3 𝑎 1 𝑐 1 = 𝑏 1 𝑎 3 −0𝑎 1 𝑏 1 = 𝑏 1 𝑎 3 𝑏 1 = 𝑎 3
Nilai  eigen  yang  didapat  sebelumnya  yaitu 𝜆 1 = −𝜇 bertanda  negatif.  Agar  sistem  stabil,  maka  nilai-nilai  pada kolom  pertama  tabel  Routh-Hurwitz  diatas  harus  bertanda sama.  Karena 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 bernilai  positif,  maka 𝑏 1 dan 𝑐 1 harus  bernilai  positif  agar  sistem  stabil.  Karena 𝑎 1 > 0 , 𝑏 1 akan  bernilai  positif  jika 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 > 0 ,  atau  dengan  kata lain 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 . Jika  diasumsikan 𝑏 1 > 0 ,  maka 𝑐 1 akan  bernilai  positif jika:
𝑏 1 𝑎 3 > 0 ( 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 3 𝑎 1 ) 𝑎 3 > 0 (𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 3 )𝑎 3 𝑎 1 > 0
Karena 𝑎 1 > 0 , maka (𝑎 1 𝑎 2 − 𝑎 3 )𝑎 3 > 0 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3
Jadi  dapat  disimpulkan  sistem  stabil  di  titik  setimbang endemik jika 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 3 .

## C. Masalah Kontrol Optimal
Permasalahan  kontrol  optimal  pada  penelitian  ini diselesaikan  menggunakan  Prinsip  Maksimum  Pontyagin. Tujuannya  adalah  untuk  meminimumkan  jumlah  populasi manusia  yang  terinfeksi.  Secara  matematis,  tujuan  kontrol optimal  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  fungsi  objektif sebagai berikut:
𝐽 𝐻 = min 𝑐,𝑟 0 ∫ (𝑎𝐼 + 𝑏 1 𝑐 2 + 𝑡 𝑓 0 𝑏 2 𝑟 0 2 )𝑑𝑡 (4.5)
dimana 𝑎 : bobot populasi Infective 𝑏 1 : bobot pada kontrol vaksinasi 𝑏 2 : bobot pada kontrol terapi total 𝑎𝐼 : biaya untuk banyaknya jumlah populasi I 𝑏 1 𝑐 : biaya vaksinasi 𝑏 2 𝑟 0 : biaya terapi total
Fungsi  objektif  dalam  masalah  kontrol  optimal  ini bertujuan  untuk  meminimalkan  jumlah  biaya  dengan meminimalkan  jumlah  populasi Infective (𝐼) dan  dengan kontrol 𝑐 dan 𝑟 0 yang optimal, sehingga fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut:
𝐽 𝐻 (𝑐 ∗ , 𝑟 0 ∗ ) = min{ 𝐽 𝐻 (𝑐, 𝑟 0 )|𝑐(𝑡), 𝑟 0 (𝑡)𝜖[0,1], 𝑡𝜖[0, 𝑡 𝑓 ]}
D . Penyelesaian Kontrol Optimal
Berdasarkan  penjelasan  pada  subbab  C,  telah  diketahui model sistem dinamik pada penyebaran penyakit Tuberkulosis  dengan  kontrol  optimal,  fungsi  tujuan  serta kondisi  batas.  Selanjutnya,  permasalahan  kontrol  optimal tersebut  dapat    diselesaikan  dengan  beberapa  langkah  yaitu dengan membentuk fungsi Pontryagin. Berdasarkan persamaan (4.5) diperoleh persamaan sebagai berikut:
𝐻 𝑝𝑚 = 𝐿(𝐼, 𝑐, 𝑟 0 ) + 𝜆 1 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝜆 2 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝜆 3 𝑑𝑇 𝑑𝑡 + 𝜆 4 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑎𝐼 + 𝑏 1 𝑐 2 + 𝑏 2 𝑟 0 2 + 𝜆 1 (𝑏𝑁 − 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝑐𝑆 − 𝜇𝑆) +
𝜆 2 (𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 + 𝑐𝑆 + (1 − 𝑞)𝛾𝑇 − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 + 𝑟 0 + 𝛿)𝐼) + 𝜆 3 ((𝛼 + 𝑟 0 )𝐼 − 𝛾𝑇 − 𝜇𝑇) + 𝜆 4 (𝛿𝐼 + 𝑞𝛾𝑇 − 𝜇𝑅)
Selanjutnya  adalah  menentukan  kondisi  stasioner  dari persamaan  Hamiltonian  guna  meminimumkan  terhadap
𝑐 dan 𝑟 0 .  Berdasarkan  prinsip  optimal,  maka 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜕𝑐 =
0 dan 𝜕𝐻 𝑝𝑚 𝜕𝑟 0 = 0 ,  sehingga  diperoleh  karakteristik  kontrol optimal 𝑐 ∗ dan 𝑟 0 ∗ sebagai berikut:
𝑐 ∗ = (𝜆 1 −𝜆 2 )𝑆 2𝑏 1 𝑟 0 ∗ = (𝜆 2 −𝜆 3 )𝐼 2𝑏 2 Karena nilai kontrolnya terbatas, dimana 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑟 0 ≤ 1 , maka:
𝑐 ∗ = max {0, 𝑚𝑖𝑛 (1, (𝜆 1 −𝜆 2 )𝑆 2𝑏 1 )} 𝑟 0 ∗ = max {0, 𝑚𝑖𝑛 (1, (𝜆 2 −𝜆 3 )𝐼 2𝑏 2 )}
Selanjutnya akan  dicari persamaan state dan costate yang optimal dilakukan dengan menurunkan secara parsial fungsi Hamiltonian 𝐻 𝑝𝑚 kemudian  mensubstitusi  nilai 𝑐 ∗ dan 𝑟 0 ∗ .. sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: a. Persamaan state yang optimal
𝑆 ∗ (𝑡) = 𝑏𝑁 − 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − ( (𝜆 1 −𝜆 2 )𝑆 2𝑏 1 ) 𝑆 − 𝜇𝑆
𝐼 ∗ (𝑡) = 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 + ( (𝜆 1 −𝜆 2 )𝑆 2𝑏 1 ) 𝑆 + (1 − 𝑞)𝛾𝑇 − ( 𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 +
( (𝜆 2 −𝜆 3 )𝐼 2𝑏 2 ) + 𝛿 ) 𝐼
𝑇 ∗ (𝑡) = (𝛼 + ( (𝜆 2 −𝜆 3 )𝐼 2𝑏 2 )) 𝐼 − 𝛾𝑇 − 𝜇𝑇
𝑅 ∗ (𝑡) = 𝛿𝐼 + 𝑞𝛾𝑇 − 𝜇𝑅 b. Persamaan costate yang optimal
𝜆 1 ′ = − [𝜆 1 (−𝛽 𝐼 𝑁 − 𝑐 − 𝜇) + 𝜆 2 (𝛽 𝐼 𝑁 + 𝑐)] 𝜆 2 ′ = − [ 𝜆 1 ( − 𝛽𝑆 𝑁 ) + 𝜆 2 ( 𝛽𝑆 𝑁 − ( 𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 + 𝑟 0 + 𝛿 ) 𝐼 ) + 𝜆 3 (( 𝛼 + 𝑟 0 ) 𝐼 ) + 𝜆 4 ( 𝛿𝐼 )]
𝜆 3 ′ = −[𝜆 2 ((1 − 𝑞)𝛾𝑇) + 𝜆 3 (−𝛾 − 𝜇) + 𝜆 4 (𝑞𝛾𝑇)]
𝜆 4 ′ = −[𝜆 4 (−𝜇)]
Selanjutnya dilakukan simulasi dengan memasukkan nilai parameter  pada  setiap  populasi  menggunakan  metode numerik Runge-Kutta Orde-4.  Berikut adalah nilai parameter yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Parameter Parameter Nilai Parameter Nilai B 0,45 q 0,85 𝝁 0,1 𝛿 0,2 𝜷 0,5 a 0,25 𝜶 0,3 𝑏 1 0,5 𝜸 0,91 𝑏 2 0,5 𝝁 𝒕 0,2
Simulasi menggunakan metode numerik Runge Kutta dengan nilai awal diberikan: 𝑆(0) = 0,2921 𝐼(0) = 0,2921 𝑇(0) = 0,2921 𝑅(0) = 0,1237 dengan waktu akhir adalah 60 hari. Diasumsikan bahwa 𝑐 = 𝑟 0 = 0 sebelum pemberian kontrol pada model TB.
Kemudian  dengan  menggunakan  MATLAB  dihitung nilai  bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 sebelum  pemberian kontrol  diperoleh 𝑅 0 = 3,214 .  Karena 𝑅 0 > 1 maka  terjadi penyebaran  penyakit.  Karena  terjadi  endemik,  maka diperlukan  pemberian  kontrol  dalam  upaya  mengurangi penyebaran penyakit.
Adapun  hasil  simulasinya  seperti  yang  ditunjukkan Gambar 2.
Gambar 2. Grafik Populasi S.
Dari  Gambar  2  dapat  diamati  terjadi  penurunan  populasi 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑆) .  Ini  dikarenakan  pemberian  kontrol 𝑐 dan 𝑟 0 sehingga  individu    yang  awalnya  individu 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑆) menjadi individu 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝐼) .
Gambar 3. Grafik Populasi I .
Dari  Gambar  3  dapat  diamati  terjadi  penurunan  pada populasi 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝐼) .  Ini  berarti  pemberian  kontrol 𝑐 dan 𝑟 0 efektif  dalam  mengurangi  jumlah  infeksi  TB  pada populasi 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝐼) dalam  waktu  60  hari.  Dimana  nilai kontrol 𝑐 = 0,1429 dan 𝑟 0 = 0,8571 .
Gambar 4. Grafik Populasi T.
Dari  Gambar  4  dapat  diamati  terjadi  peningkatan  pada populasi 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝑇) . Ini dikarenakan pemberian kontrol
𝑐 dan 𝑟 0 sehingga  individu  yang  awalnya  individu 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝐼) menjadi individu 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝑇) .
Gambar 5. Grafik Populasi R.
Dari  Gambar  5  dapat  diamati  terjadi  peningkatan  pada populasi 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦 (𝑅) Ini  dikarenakan  pemberian  kontrol 𝑐 dan 𝑟 0 sehingga  individu  yang  awalnya  individu 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 (𝐼) dan  individu 𝑇𝑟𝑒𝑎𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝑇) menjadi individu 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦 (𝑅) .

## V. KESIMPULAN

## A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang diberikan pada bab  sebelumnya,  diperoleh  beberapa  kesimpulan  sebagai berikut :
1. Dalam  model penyebaran penyakit Tuberkulosis ini: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑏𝑁 − 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝜇𝑆
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽 𝐼 𝑁 𝑆 + (1 − 𝑞)𝛾𝑇 − (𝜇 + 𝜇 𝑡 + 𝛼 + 𝛿)𝐼 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − 𝛾𝑇 − 𝜇𝑇 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼 + 𝑞𝛾𝑇 − 𝜇𝑅
Terdapat dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan  bebas  penyakit 𝐸 0 (𝑆 0 , 𝐼 0 , 𝑇 0 , 𝑅 0 ) = ( 𝑏𝑁 𝜇 , 0,0,0) dan titik kesetimbangan endemik
𝐸 ∗ (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑇 ∗ , 𝑅 ∗ ) = ( 𝑏𝑁𝜇 𝑡 𝛽(𝑏−𝜇)−𝜇𝜇 𝑡 , (𝑏−𝜇)𝑁 𝜇 𝑡 , 𝛼(𝑏−𝜇)𝑁 𝜇 𝑡 (𝛾+𝜇) , ( 𝛿(𝑏−𝜇)𝑁+ 𝑞𝛾𝛼(𝑏−𝜇)𝑁) 𝜇𝜇 𝑡 (𝛾+𝜇) ). Dan dari analisa titik kesetimbangan stabil asimtotik. Dengan nilai  bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 sebelum  pemberian
kontrol  yaitu 𝑅 0 = 3,214 .  Karena 𝑅 0 > 1 maka  terjadi penyebaran  penyakit.  Karena  terjadi  endemik,  maka diperlukan  pemberian  kontrol  dalam  upaya  mengurangi penyebaran penyakit.
2. Kontrol  optimal  untuk  meminimalkan  jumlah  individu terinfeksi  dengan  menggunakan  prinsip  maksimum pontryagin  berupa 𝑐 yang  merepresentasikan  tingkat pemberian  vaksin  pada  individu  yang  rentan, 𝑟 0 yang merepresentasikan tingkat pengobatan dengan terapi total pada individu yang terinfeksi. Berdasarkan hasil simulasi, individu  yang  terinfeksi  TB  aktif  mengalami  penurunan dengan kontrol 𝑐 = 0,1429 dan 𝑟 0 = 0,8571 dengan nilai nilai J sebagai fungsi tujuan sebesar 26,8273 . 3. Simulasi  model  epidemiologi  penyebaran  penyakit  TB menggunakan  metode  numerik  Runge-Kutta  orde-4 menghasilkan  grafik  kesetimbangan  dengan  nilai ℎ = 0,06 .  Dengan  adanya  kontrol  pemberian  vaksinasi  dan kontrol  pengobatan  dengan  terapi  total  ,  maka  dapat menurunkan populasi penderita TB aktif.

## B. Saran
Adapun saran yang diberikan oleh penulis untuk penelitian berikutnya  adalah  dapat  diterapkan  metode  lain  dalam penyebaran penyakit Tuberkulosis. Dan juga dapat dilakukan pemberian pengobatan lain yang lebih baik dari yang penulis gunakan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] S. Crofton, Crofton’s Clinical Tuberculosis Third Edition . Oxford: Macmillan Publishers Limited, 2009.
[2] World Health Organization, “Global Tuberculosis Report 2014,”
2014.
[3] I. Roitt, Esential Immunology . London: Blackwell Science, 1997.
[4] S.  Side,  W.  Sanusi,  and  N.  F.  Setiawan,  “Analisis  dan  Simulasi Model  SITR  pada  Penyebaran  Penyakit  Tuberkulosis  di  Kota Makassar,” J. Sainsmat , pp. 191–204, 2016.
[5]
A.  Faruk,  “Model  Epidemik  Tuberkulosis  SEIR  dengan  Terapi pada Individu Terinfeksi,” J. Penelit. Sains , 2016.
[6]
S.  Moghadas  and  A.  B.  Gumel,  “Analysis  of  a  Model  For Transmission Dynamic of Tuberculosis,” Can. Appl. Math. Q. , vol. 10, no. 3, 2002.
[7]
Departemen  Kesehatan  RI,  “Riset  Kesehatan  Dasar,”  Jakarta,
2001. [8]
Subiono,  “Sistem  Linear  dan  Kontrol  Optimal.  Versi  2.2.1,” Surabaya, 2016.
[9] S. Naidu, Optimal Control System . USA: CRC Pres, 2002.
[10] S. Lenhart and J. Workman, Optimal Control Applied to Biological Models . New York: Taylor & Francis Group, LLC, 2007.