Vol 3 No 2 April 2021

## Zukrianto, et al

## PENGEMBANGAN TITIK MIQUEL DALAM PADA SEBARANG SEGILIMA
Zukrianto 1 , Okta Dinata 2 , Mohammad Soleh 3 , Ade Novia Rahma 4 , Rahmawati 5 1,2,3,4,5 Program Studi Matematika, UIN Sultan Syarif Kasim Riau zukrianto@uin-suska.ac.id
ABSTRACT The Miquel theorem is a theorem that applies to a triangle, namely the inner Miquel theorem and the outer Miquel theorem triangles—then developed on the quadrilateral. As of this writing, it is developed in any of the pentagons. Miquel's theorem development in any pentagon is divided into two cases, namely in the convex and non-convex pentagons. This process  begins  with  the  construction  of  the  inner  Miquel  point  in  any  triangle  using  the GeoGebra application. While proving the internal Miquel theorem for any pentagon uses a simple  concept,  namely  the  concept  of  circles  and  cyclic  rectangles  so  that  five  circles intersect at a point called the inner Miquel point at any pentagon.
Keywords : Convex pentagon, Non-convex pentagon, Miquel
ABSTRAK Teorema  Miquel  pada  dasarnya  merupakan  suatu  teorema  yang  berlaku  pada sebuah segitiga yakni teorema Miquel dalam dan teorema Miquel luar segitiga. Kemudian dikembangkan pada segiempat. Pada tulisan ini, dikembangkan pada sebarang segilima. Pengembangan teorema Miquel dalam pada sebarang segilima dibagi menjadi dua kasus, yaitu  pada  segilima  konveks  dan  segilima  tidak  konveks.  Proses  ini  dimulai  dengan pengkontruksian titik Miquel dalam pada sebarang segilima dengan menggunakan aplikasi geogebra ,  sedangkan  untuk  pembuktian  teorema  Miquel  dalam  pada  sebarang  segilima menggunakan  konsep  sederhana  yaitu  konsep  lingkaran  dan  segiempat  siklik  sehingga ditemukan lima buah lingkaran berpotongan di satu titik yang disebut titik Miquel dalam pada sebarang segilima.
Kata-kata Kunci : Segilima koveks, Segilima non konveks, Teorema Miquel.

## PENDAHULUAN
Geometri menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (Departemen Pendidikan Nasional, 2008), adalah cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang dan ruang. Salah satu objek kajian Geometri adalah segitiga. Segitiga merupakan suatu bangun datar yang mempunyai tiga buah sisi dan tiga buah sudut (Mashadi, 2012). Kemudian Iswadji dan Mukhlisin (2010) menyatakan bahwa jika terdapat tiga buah  titik  yang  tidak  segaris,  dua-dua  dihubungkan  oleh  sebuah  ruas  garis,  maka terdapat  tiga  buah  ruas  garis.  Gabungan  tiga  buah  ruas  garis  ini  disebut  segitiga. Ketiga buah ruas garis itu disebut sisi. Ketiga buah titik itu disebut titik sudut. Jumlah panjang ketiga sisi itu disebut keliling segitiga. Pada sebuah segitiga juga terdapat garis-garis istimewa dalam segitiga yaitu: garis tinggi, garis berat, garis bagi dan garis sumbu.
Vol 3 No 2 April 2021
Dalam bidang geometri, terdapat suatu teorema yang membahas tentang segitiga yaitu Teorema Miquel. Teorema ini pada awalnya diterapkan pada bangun datar segitiga yang dibahas oleh Walles pada tahun 1799 dan kemudian dibuktikan oleh Miquel pada tahun 1838 (Villier, 2014). Posamentier dan Lehmann (2012) menyatakan Teorema Miquel dikontruksi pada sebarang segitiga kemudian dipilih sebarang titik pada  setiap  sisinya,  maka  lingkaran  yang  melalui  setiap  vertex  dan  titik-titik  yang berada pada sisi yang berdekatan berpotongan di satu titik yang disebut titik Miquel.
Hasil  penelitian  Lydia  Afritalia,  dkk  (2017)  membahas  tentang  pengembangan  titik Miquel Luar pada sebarang segiempat. Penelitian tersebut membahas bagaimana mengkontruksi  titik  Miquel  Luar  pada  segiempat  konveks,  tidak  konveks  dan  cara pembuktiannya  seperti  yang  terlihat  pada  Gambar  1.  Lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # dan 𝑙 $ berpotongan di titik 𝑀.

## Gambar 1. Titik Miquel Luar Segiempat Konveks
Selanjutnya  Pengembangan  titik  Miquel  Dalam  pada  sebarang  segiempat  oleh Delisa Pratiwi, dkk (2018). Penelitian tersebut membahas bagaimana mengkontruksi titik Miquel dalam pada segiempat konveks, tidak konveks dan cara pembuktiannya. Seperti yang terlihat pada Gambar 2. lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # dan 𝑙 $ berpotongan di titik 𝑀.
Gambar 2. Titik Miquel Dalam Segiempat Tidak Konveks
Vol 3 No 2 April 2021
Zukrianto, et al
Berdasarkan  hasil-hasil  penelitian  yang  telah  diuraikan,  maka  pada  penelitian  ini membahas  lebih  lanjut  mengenai  pengembangan  titik  Miquel  pada  sebarang segilima.  Segilima  merupakan  salah  satu  objek  kajian  Geometri.  Segilima  adalah gabungan lima ruas garis yang sepasang-sepasang bertemu pada ujung-ujung ruas garis  tersebut  dan  setiap  ruas  garis  pasti  bertemu  dengan  dua  ruas  garis  yang berbeda.  Ruas-ruas  garis  tersebut  disebut  sisi-sisi  segilima  dan  sudut-sudut  yang dibentuk  oleh  pasangan-pasangan  sisi-sisi  tersebut  disebut  sudut-sudut  segilima (Situmorang dan Lestari, 2014).

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  yaitu  studi  literatur  dan  metode  eksperimen dengan  aplikasi  Geogebra.  Geogebra    dikembangkan  oleh  Markus  Hohenwarter. Menurut  Hohenwarter  (2008),  Geogebra  adalah  program  komputer  untuk membelajarkan matematika khususnya geometri dan aljabar. Pembuktian titik Miquel dalam  pada  segilima  konveks  dan  segilima  tidak  konveks  dengan  menggunakan pendekatan lingkaran dan segiempat siklik. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak  sama  terhadap  suatu  titik  tertentu  yang  disebut  titik  pusat  lingkaran (Mashadi,  2015).  Pada  sebuah  lingkaran  dapat  dikontruksi  garis  yang menghubungkan dua titik pada kelengkungan lingkaran yang disebut dengan tali busur  (Mukarromah,  2014).  Kemudian  menurut  Samsumarlin  (2017)  segiempat  siklik atau  disebut  juga  dengan  segiempat  tali  busur  jika  dan  hanya  jika  setiap  titik sudutnya  terletak  pada  satu  lingkaran.  Selanjutnya  diberikan  langkah-langkah pengembangan teorema Miquel dalam segilima konveks dan segilima tidak konveks yang  terbagi  dalam  dua  bagian,  yakni  mengkontruksi  Titik  Miquel  dalam  pada segilima konveks dengan cara:
1. Diberikan sebuah segilima konveks, pilih sebarang titik sudut/ vertex dan 2 buah titik yang terletak pada sisi yang berdekatan dengan vertex . Konstruksi lingkaran yang melalui vertex dan kedua titik yang dipilih.
2. Kemudian konstruksi lingkaran dari vertex , salah satu titik yang berdekatan  maka kedua lingkaran akan berpotongan di dua titik. Sehingga diperoleh sebuah titik pada sisi segilima konveks lainnya.
3. Konstruksi lagi lingkaran dari vertex , salah satu titik berdekatan dan perpotongan dua  lingkaran  sebelumnya.  Sehingga  diperoleh  sebuah  titik  lainnya  pada segilima.
4. Konstruksi lagi lingkaran dari vertex , salah satu titik berdekatan dan perpotongan lingkaran sebelumnya. Sehingga diperoleh sebuah titik lainnya pada segilima.
5. Kontruksikan lagi lingkaran dari vertex dan titik yang berdekatan sehingga kelima lingkaran berpotongan di satu titik yang disebut dengan titik Miquel.
Kemudian dilanjutkan dengan mengkontruksi Titik Miquel dalam pada segilima tidak konveks dengan cara:
Vol 3 No 2 April 2021
1. Diberikan sebuah segilima tidak konveks, pilih sebarang titik sudut/ vertex dan 2 buah  titik  yang  terletak  pada  sisi  yang  berdekatan  dengan vertex .  Konstruksi lingkaran yang melalui vertex dan kedua titik yang dipilih.
2. Kemudian konstruksi lingkaran dari vertex , salah satu  titik yang berdekatan  maka kedua lingkaran akan berpotongan di dua titik. Sehingga diperoleh sebuah titik lainnya pada perpanjangan sisi segilima tidak konveks lainnya.
3. Konstruksi lagi lingkaran dari vertex , salah satu titik berdekatan dan perpotongan dua  lingkaran  sebelumnya.  Sehingga  diperoleh  sebuah  titik  lainnya  pada perpanjangan sisi segilima.
4. Konstruksi lagi lingkaran dari vertex , salah satu titik berdekatan dan perpotongan lingkaran  sebelumnya.  Sehingga  diperoleh  sebuah  titik  lainnya  pada perpanjangan sisi segilima.
5. Kontruksikan lagi lingkaran dari vertex dan titik yang berdekatan sehingga kelima lingkaran berpotongan di satu titik yang disebut dengan titik Miquel.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  dibahas  mengenai  bagaimana  cara  mengkontruksi  titik  Miquel dalam pada segilima konveks dengan menggunakan aplikasi geogebra dan cara pembuktiannya  serta  cara  mengkontruksi  titik  Miquel  dalam  pada  segilima  tidak konveks dengan menggunakan aplikasi geogebra dan cara pembuktiannya.

## Mengkontruksi Titik Miquel Dalam Pada Segilima Konveks
Teorema 1. Diberikan sebarang segilima konveks 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸. Pilih berturut-turut sebarang titik 𝐹, 𝐺, 𝐻, dan 𝐼 masing-masing pada sisi 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, dan 𝐷𝐸 . Jika 𝑀 adalah titik potong lingkaran luar △ 𝐵𝐹𝐺, lingkaran luar △ 𝐶𝐺𝐻 , lingkaran luar △ 𝐷𝐻𝐼 dan lingkaran luar △ 𝐸𝐼𝐽 , maka lingkaran luar △ 𝐴𝐹𝐽 juga melalui titik 𝑀 .

## Gambar 3. Titik Miquel Dalam Segilima Konveks
Bukti . Perhatikan Gambar 3. Titik 𝑀 merupakan titik perpotongan lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # dan 𝑙 $ . Kontruksi garis 𝐹𝑀, 𝐺𝑀, 𝐻𝑀, dan 𝐼𝑀 maka 𝐵𝐹𝑀𝐺, 𝐶𝐺𝑀𝐻, 𝐷𝐻𝑀𝐼 dan 𝐸𝐼𝑀𝐽 adalah siklik. Akan ditunjukkan bahwa segiempat 𝐴𝐽𝑀𝐹 juga siklik.
𝐵𝐹𝑀𝐺 adalah segiempat siklik, maka:
Vol 3 No 2 April 2021 Zukrianto, et al ∠𝐹𝑀𝐺 = 180 % − ∠𝐹𝐵𝐺 (1)
𝐶𝐺𝑀𝐻 adalah segiempat siklik, maka: ∠𝐺𝑀𝐻 = 180 % − ∠𝐺𝐶𝐻 (2)
𝐷𝐻𝑀𝐼 adalah segiempat siklik, maka: ∠𝐻𝑀𝐼 = 180 % − ∠𝐻𝐷𝐼 (3)
𝐸𝐼𝑀𝐽 adalah segiempat siklik, maka:
∠𝐼𝑀𝐽 = 180 % − ∠𝐼𝐸𝐽
(4)
Dengan  menjumlahkan  persamaan  (1),  persamaan  (2),  persamaan  (3),  dan persamaan (4) diperoleh:
∠𝐹𝑀𝐺 + ∠𝐺𝑀𝐻 + ∠𝐻𝑀𝐼 + ∠𝐼𝑀𝐽 = (180 % − ∠𝐹𝐵𝐺) + (180 % − ∠𝐺𝐶𝐻) + ( 180 % − ∠𝐻𝐷𝐼 ) + (180 % − ∠𝐼𝐸𝐽) ∠𝐹𝑀𝐺 + ∠𝐺𝑀𝐻 + ∠𝐻𝑀𝐼 + ∠𝐼𝑀𝐽 = 720 % − (∠𝐹𝐵𝐺 + ∠𝐺𝐶𝐻 + ∠𝐻𝐷𝐼 + ∠𝐼𝐸𝐽)
Jumlah sudut pusat lingkaran adalah 360 % , sehingga:
∠𝐽𝑀𝐹 + ∠𝐹𝑀𝐺 + ∠𝐺𝑀𝐻 + ∠𝐻𝑀𝐼 + 𝐼𝑀𝐽 = 360 %
∠𝐽𝑀𝐹 = 360 % − ∠𝐹𝑀𝐺 − ∠𝐺𝑀𝐻 − ∠𝐻𝑀𝐼 − ∠𝐼𝑀𝐽 ∠𝐽𝑀𝐹 = 360 % − (∠𝐹𝑀𝐺 + ∠𝐺𝑀𝐻 + ∠𝐻𝑀𝐼 + ∠𝐼𝑀𝐽) = 360 % − (720 % − (∠𝐹𝐵𝐺 + ∠𝐺𝐶𝐻 + ∠𝐻𝐷𝐼 + ∠𝐼𝐸𝐽))
= 360 % − 720 % + ∠𝐹𝐵𝐺 + ∠𝐺𝐶𝐻 + ∠𝐻𝐷𝐼 + ∠𝐼𝐸𝐽 ∠𝐽𝑀𝐹 = −360 % + ∠𝐹𝐵𝐺 + ∠𝐺𝐶𝐻 + ∠𝐻𝐷𝐼 + ∠𝐼𝐸𝐽
(5)
Pada sebuah segilima 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 , berlaku:
∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝐶𝐷𝐸 + ∠𝐷𝐸𝐴 + ∠𝐸𝐴𝐵 = 540 %
∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐷 + ∠𝐶𝐷𝐸 + ∠𝐷𝐸𝐴 = 540 % − ∠𝐸𝐴𝐵 ∠𝐹𝐵𝐺 + ∠𝐺𝐶𝐻 + ∠𝐻𝐷𝐼 + ∠𝐼𝐸𝐽    = 540 % − ∠𝐽𝐴𝐹 (6)
Maka dari persamaan (4.5) dan (4.6), diperoleh:
∠𝐽𝑀𝐹 = −360 % + 540 % − ∠𝐸𝐴𝐵
= 180 % − ∠𝐸𝐴𝐵
∠𝐽𝑀𝐹 + ∠𝐸𝐴𝐵 = 180 %
Terbukti 𝐴𝐽𝑀𝐹 juga merupakan segiempat siklik. Sehingga lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # , 𝑙 $ dan 𝑙 & berpotongan pada titik 𝑀 atau titik Miquel.

## Mengkontruksi Titik Miquel Dalam Pada Segilima Tidak Konveks
Teorema  2.  Diberikan  sebarang  segilima  tidak  konveks 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 .  Pilih  berturut-turut sebarang titik 𝑃, 𝑄, 𝑅 dan 𝑆 masing-masing pada sisi 𝐴𝐸 , sisi 𝐸𝐷 , perpanjangan sisi 𝐷𝐶 dan pepanjangan sisi 𝐶𝐵 . Jika 𝑀 adalah titik potong lingkaran luar △ 𝐸𝑃𝑄 , lingkaran luar △ 𝐷𝑄𝑅 , lingkaran luar △ 𝐶𝑆𝑅 dan lingkaran luar △ 𝐵𝑆𝑇 , maka lingkaran luar △ 𝐴𝑃𝑇 juga melalui titik 𝑀 .

## Gambar 4. Titik Miquel Dalam Segilima Tidak Konveks
Bukti: Perhatikan Gambar 4. Titik 𝑀 merupakan perpotongan lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # dan 𝑙 $ . Kontruksi  garis 𝑄𝑀, 𝑅𝑀, 𝑆𝑀, dan 𝑇𝑀 ,  maka 𝐸𝑃𝑀𝑄, 𝐷𝑄𝑀𝑅, 𝐶𝑆𝑀𝑅 dan 𝐵𝑆𝑀𝑇 adalah segiempat siklik. Akan ditunjukkan bahwa segiempat 𝐴𝑇𝑀𝑃 juga siklik. 𝐸𝑃𝑀𝑄 adalah segiempat siklik, maka:
∠𝑃𝑀𝑄 = 180 % − ∠𝑃𝐸𝑄 (7) 𝐷𝑄𝑀𝑅 adalah segiempat siklik, maka:
∠𝑄𝑀𝑅 = 180 % − ∠𝑄𝐷𝑅 (8)
𝐶𝑆𝑀𝑅 adalah segiempat siklik, maka:
∠𝑆𝑀𝑅 = 180 % − ∠𝑆𝐶𝑅 (9)
𝐵𝑆𝑀𝑇 adalah segiempat siklik, maka:
∠𝑆𝑀𝑇 = 180 % − 𝑆𝐵𝑇
(10)
Dengan  menjumlahkan  persamaan  (7),  persamaan  (8),  persamaan  (9),  dan persamaan (10) diperoleh:
∠𝑃𝑀𝑄 + ∠𝑄𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑇 = (180 % − ∠𝑃𝐸𝑄) + (180 % − ∠𝑄𝐷𝑅) + ( 180 % − ∠𝑆𝐶𝑅 ) + (180 % − ∠𝑆𝐵𝑇)
∠𝑃𝑀𝑄 + ∠𝑄𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑇 = 720 % − (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇)
Perhatikan Gambar 4.12, diperoleh:
∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇 + ∠𝑃𝐴𝑇 = 540 %
∠𝑃𝐴𝑇 = 540 % − (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇) (11)
dan
∠𝑇𝑀𝑃 + ∠𝑃𝑀𝑄 + ∠𝑄𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑅 + ∠𝑆𝑀𝑇 = 360 %
∠𝑇𝑀𝑃 = 360 % − ∠𝑃𝑀𝑄 − ∠𝑄𝑀𝑅 − ∠𝑆𝑀𝑅 − ∠𝑆𝑀𝑇 = 360 % − (720 % − (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇))
= 360 % − 720 % + ∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇
= (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇) − 360 %
∠𝑇𝑀𝑃 = (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇) − 360 % (12)
Vol 3 No 2 April 2021
Zukrianto, et al
Dengan menjumlahkan persamaan (4.11) dan persamaan (4.12), diperoleh: ∠𝑃𝐴𝑇 + ∠𝑇𝑀𝑃 = 540 % − (∠𝑃𝐸𝑄 + 𝑄𝐷𝑅 + 𝑆𝐶𝑅 + 𝑆𝐵𝑇) + (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇) − 360 %
= (540 % − 360 % ) − (∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇)
+(∠𝑃𝐸𝑄 + ∠𝑄𝐷𝑅 + ∠𝑆𝐶𝑅 + ∠𝑆𝐵𝑇) = 180 % ∠𝑃𝐴𝑇 + ∠𝑇𝑀𝑃 = 180 %
Terbukti 𝐴𝑃𝑀𝑇 juga merupakan segiempat siklik. Sehingga lingkaran 𝑙 ! , 𝑙 " , 𝑙 # , 𝑙 $ dan 𝑙 & berpotongan pada titik 𝑀 atau titik Miquel.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  disimpulkan  bahwa  titik  miquel  yang berlaku pada sebuah segitiga, ternyata dapat dikembangkan pada sebuah segilima yang  diawali  dengan  pengkontruksian  titik  Miquel  dalam  dengan  menggunakan aplikasi  geogebra  sehingga  ditemukan  kelima  lingkaran  berpotongan  di  satu  titik yang disebut titik Miquel dan diakhiri dengan teorema Miquel dalam pada segilima konveks dan segilima tidak konveks. Pembuktian teorema ini menggunakan konsep lingkaran dan segiempat siklik.

## DAFTAR PUSTAKA
Astuti, E. P., Ipa, M., Wahono, T., & Ruliansyah, A. (2014). Analisis Perilaku Masyarakat Terhadap Kepatuhan Minum Obat Filariasis di Tiga Desa Kecamatan Majalaya Kabupaten  Bandung  Tahun  2013. Media  Penelitian  Dan  Pengembangan Kesehatan , 24(4), 199–208.
Afritalia, L., Mashadi., & Gemawati, S. (2017). Pengembangan Titik Miquel Luar Pada Sebarang Segiempat. Karismatika Vol. 3 No. 2.
Departemen Pendidikan Nasional. (2008). Kamus Besar Bahasa Indonesia . Jakarta.
Hohenwarter, M., et al. (2008). Teaching and learning Calculus WITH Free Dynamic Mathematics  Software  Geogebra.  Tersedia. http://www.publications.uni.lu/ record/2718/files/ICME11TSG16.pdf . diakses 6 januari 2021.
Iswadji, D., & Mukhlisin, M. (2010). Geometri . Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta. Mashadi. (2015). Geometri (edisi kedua) .Unri Press, Pekanbaru.
Mashadi. (2012). Geometri . Pusbangdik Unri, Pekanbaru.
Mukaromah, S. (2014). Analisis Kemampuan Penalaran Siswa Kelas VIII MTs Qoidatul Marom Kauman Tulungagung Pada Materi Lingkaran Tahun Ajaran 2013/2014. http://repo.iain-tulungagung.ac.id/697/ diakses 6 Januari 2021
Samsumarlin.  (2017).  Segitiga  dan  Segiempat  pada  Geometri  Datar  Euclid  Cevian Segitiga dan Segiempat Siklik. Edumaspul , Vol. 1, No. 1, pp. 15-22.
Posamentier, A. S., & Lehmann, I. (2012). The Secreet of Triangle . Prometheus Books, New York.
Pratiwi, D., Mashadi., & Gemawati, S. (2018). Pengembangan Titik Miquel Dalam Pada Sebarang Segiempat. Jurnal Eulid , Vol. 5, No.1, pp.1-133.
Vol 3 No 2 April 2021
Situmorang, E., & Lestari, H.P. (2016). Jenis-jenis Segilima Bola dan Sifat-sifatnya. Jurnal Matematika-S1 . Vol. 5, No. 5.
Villier  M.  D.  (2014). A  Variation  of  Miquel  Theoreme  and  its  generalization .  The Mathematical Gazzete, 334-339.