## EduMatSains
Jurnal Pendidikan, Matematika dan Sains http://ejournal.uki.ac.id/index.php/edumatsains

## PENENTUAN RUMUS BILANGAN REPRODUKSI DASAR PADA MODEL MATEMATIKA COVID-19 DARI MODEL SIR YANG DIMODIFIKASI
Anna Angela Sitinjak 1*
1 Politeknik Teknologi Kimia Industri, Sumatera Utara
Diterima: 26 Oktober 2020     Direvisi: 27 Desember 2020     Diterbitkan : 10 Januari 2021

## ABSTRACT
The  spread  of  COVID-19  has  occurred  and  is  unsettling  many  countries,  not  only  the  number  of  patients  is increasing but also the economy is disrupted. Mathematical models can be used to assist in making decisions by describing both exposed and infected conditions. From the mathematical model, especially infectious diseases, the basic reproduction number can be seen. Therefore, this study aims to find the basic reproduction number of the mathematical model COVID-19 modified with various approaches using parameters close to daily life. The basic reproduction number, R 0 , will be free from disease if     R 0 <1 and endemic if R 0 > 1. The method used is modifying  the  Mathematical  Model  SIR    to  become  the  Mathematical  Model  COVID-19  by  considering  the isolation that is currently done to reduce the spread of COVID-19, then looking for the disease-free equilibrium point and analyzed its stability by determining the eigenvalues of the Jacobian matrix. From the eigenvalues, the study result is obtained, namely Basic Reproduction Number, .
Keywords: Mathematical Model, COVID-19, Basic Reproduction Number.

## PENDAHULUAN
Pertumbuhan  suatu  populasi  tidak  lepas  dari pengaruh  kelahiran  dan  kematian.  Ada berbagai faktor yang menyebabkan kematian,  salah  satunya  adalah  penyakit termasuk  yang  diakibatkan  oleh  virus.  Virus Corona  tipe  baru  yang  dikenal  dengan Covid-19  telah  mengakibatkan  kematian pada  berbagai  negara  karena  penyebaran virus  ini  yang  cepat.  Di  Indonesia, penyebaran Covid-19 mengakibatkan kematian  hampir3,7  persen.  Jenis  virus  ini pertama kali dilaporkan oleh daerah Wuhan, Cina dan dalam  waktu  yang singkat (kurang
lebih 14 hari) dapat  menyebabkan kematian. Penyebaran Covid-19 terjadi dari manusia ke manusia  melalui  air  liur  yang  masuk  ke pernapasan  (Cao,  et  al.,  2020).  Covid-19 menggugah  semua  pihak  untuk  melakukan tindakan  dan  menemukan  pengobatan  yang terbaik.
Model  matematika  dapat  membantu untuk memahami pada kondisi apa penyebaran berlanjut atau berhenti. Penelitian – penelitian mengenai penyebaran covid-19 dengan menggunakan model matematika dilakukan. Batista (2020) meneliti  mengenai  estimasi  penyebaran
Virus  Covid-19  dengan  Model  Regresi Logistik.  Anirudh  (2020)  menggunakan berbagai  model  matematika  covid-19  untuk menggambarkan perilaku dinamis dan adanya  penelitian  lain  yang  memprediksi kasus  Covid-19  di  berbagai  negara  seperti negara  cina  (Sun,et  al.,  2020)  dan  Jepang (Kuniya, 2020).
Penyebaran  virus  ini  terjadi  diantara manusia  dengan  gejala  yang  mirip  influenza namun  ditambah  dengan  adanya  sesak  nafas yang  mengakibatkan  pasien  sulit  bernafas (kekurangan oksigen). Hal ini mengakibatkan terbentuknya kelompok yang rentan,  terpapar,  terinfeksi  dan  sembuh. Karena  penyebarannya  yang  sangat  cepat dan  belum  ditemukannya  obat  yang  tepat, maka  yang  dapat  dilakukan  saat  ini  adalah melakukan  isolasi  yang  diharapkan  dapat mengurangi  kontak  secara  langsung  dengan kelompk  terinfeksi,  sehingga  ditambah kelompok yang melakukan isolasi.
Untuk  mengetahui  tingkat  penyebaran apakah  ada  peningkatan  atau  penurunan jumlah  individu  yang  terinfeksi  diperlukan parameter Basic Reproduction Number (R 0 ).
R 0 >  1  menyatakan  terjadi  epidemik sedangkan  R 0 <  1  menyatakan  bebas penyakit  (Driessche  dan  Watmough,  1945). Penentuan  bilangan  reproduksi  dasar  telah banyak  dilakukan  peneliti  dalam  melihat penyebaran suatu penyakit epidemik. Resmawan dan Nurwan (2017) mengkonstruksi  bilangan  reproduksi  pada
model  epidemic  SEIRS-SEI  untuk  melihat penyebaran  malaria.  Windawati,  dkk  (2020) meneliti penyebaran penyakit demam berdarah  dengan  menganalisa  kestabilan model matematika berdasarkan nilai bilangan reproduksi  yaitu  agar  bebas  penyakit  nilai bilangan reproduksi dasar R 0 < 1 dan dengan simulasi diperoleh R 0 = 0,998741.
Bilangan  reproduksi  dasar  memiliki peranan dalam melihat penyebaran penyakit, namun ada baiknya diketahui terlebih dahulu rumus  bilangan  reproduksi  dasar  dari  model matematika  yang  digunakan.  Karena  itu, pada  jurnal  ini  akan  ditentukan  rumus bilangan  reproduksi  dasar  pada  Model Matematika Covid-19 yang dimodifikasi dari Model SIR.

## KAJIAN LITERATUR

## 1. Eigenvalues
Nilai  eigen  suatu  matriks  perlu  diketahui untuk  menentukan  apakah  titik  setimbang stabil atau tidak. Misalkan Ax = λx dengan A adalah matriks bujur sangkar, Vektor tak-nol x di dalam R n adalah vektor eigen dari A dan λ adalah nilai eigen.
Menurut Anton (1987),         Ax = λx adalah  ekuivalen  dengan  Ax  =  λIx  atau  (A- λI)x  =  0  dengan  I  matriks  identitas. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian non-trivial  (tak-nol)  jika  dan  hanya  jika det (A- λI) = 0. Nilai eigen matriks Jacobian mempunyai  bagian  real  negatif  yang  artinya titik kesetimbangan stabil (Perko, 2001).

## 2. Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 )
Salah  satu  parameter  yang  dapat  digunakan untuk  melihat  tingkat  penyebaran  suatu penyakit adalah dengan menggunakan Bilangan  Reproduksi  Dasar.  Apabila  nilai dari Bilangan Reproduksi Dasar tinggi maka tingkat  penyebaran  penyakit  juga  tinggi dalam  hal  ini  terjadi  endemik.  Agar kemungkinan  indvidu  terinfeksi  tidak  ada lagi  maka  dilihat                    R 0 <  1  yang menunjukkan  apakah  satu  individu  itu menginfeksi kurang dari satu individu rentan (penyebaran tidak ada).
Tetapi, jika Bilangan Reproduksi dasar lebih  dari  satu                  (R 0 >  1)  maka  terjadi penyebaran  (satu  individu  menginfeksi  lebih dari satu individu rentan. Bilangan Reproduksi  Dasar  (R 0 )  <  1  jika  dan  hanya jika  semua  nilai  eigen  mempunyai  bagian real negatif ( Brauer & Castillo, 2011).

## METODE PENELITIAN
Model  matematika  SIR  telah  banyak digunakan  dalam  menganalisis  kondisi penyakit menular. Pada model ini diasumsikan  bahwa  penyakit  yang  diteliti tidak  termasuk  penyakit  turunan,  status sosial,  pekerjaan,  gender  dan  umur  tidak mempengaruhi  penyebaran  penyakit  serta laju pertumbuhan populasi dianggap konstan, dengan  model  matematika  SIR  sebagai berikut:
Jika  suatu  populasi  dikarakteristikan dengan laju kematian   dan laju kelahiran  , serta  adanya  penularan  penyakit,  model  SIR dimodifikasi (Setiawan, 2017) menjadi:
-
-
Dalam  beberapa  kasus,  populasi  yang rentan  belum  sepenuhnya  terinfeksi  atau dikenal  adanya  populasi  terpapar.  Namun laju kelahiran diasumsikan sama dengan laju kematian,  adapun    sebagai  parameter  laju populasi  terpapar  yang  menjadi  populasi infeksi,  maka  Model  SIR  menjadi  Model SEIR (Suspected, Exposed, Infected, Recoverd)    (Sulistioningtias  &  Lestari, 2018):
+
–
Pada  masalah  penyakit  Covid-19, untuk  mengurangi  penyebarannya,  pasien yang  memiliki  gejala  (terpapar)  dilakukan isolasi hingga diketahui dengan pasti apakah positif  covid-19  atau  tidak,  serta  yang
terinfeksi  juga  dilakukan  isolasi.  Model
Matematika Covid-19 dengan
mempertimbangkan  kelompok  isolasi  adalah
sebagai berikut: (1) + – Tabel 1. Keterangan Parameter
Simbol
Parameter Keterangan c Laju kelahiran N Total Populasi Laju Kematian Laju populasi rentan yang dapat menjadi terpapar dan terinfeksi S Populasi rentan E Populasi yang terpapar I Populasi yang terinfeksi (positif covid-19) Q Populasi yang isolasi R Populasi sembuh
Laju populasi terpapar yang diisolasi
Laju populasi terpapar yang dinyatakan positif covid-19 (terinfeksi) Laju populasi terinfeksi yang isolasi
Laju populasi terisolasi yang sembuh
Karena  yang  dibutuhkan  pada  saat kondisi  bagaimana  agar  bebas  dari  penyakit Covid-19, maka akan dicari titik kesetimbangan  bebas  penyakit  (E 0 )  dari Model Matematika Covid-19 tersebut, kemudian dianalisis dengan matriks Jacobian
dan  diperoleh  nilai  eigen  dengan  ketentuan kestabilan titik  tetap  yaitu nilai  eigen , yang  pada  akhirnya  dari  nilai  eigen  akan ditemukan  formula  atau  rumus  bilangan reproduksi dasar (R 0 ).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bilangan  reproduksi dasar, R 0, dapat
dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam
melihat atau memprediksi tingkat
penyebaran  penyakit  Covid-19,  dengan syarat  R 0 >  1  menyatakan  terjadi  epidemik sedangkan  R 0 <  1  menyatakan  bebas penyakit.  Karena  itu  perlu  diketahui  rumus Bilangan  Reproduksi  Dasar  agar  nantinya pada  penelitian  selanjutnya  dapat  dilakukan simulasi  untuk  memperoleh  angka  atau  nilai bilangan  reproduksi  dasar.  Sehingga  pada jurnal  ini,  hanya  bertujuan  pada  penentuan rumus  Bilangan  Reproduksi  Dasar  dari Model  Matematika  Covid-19  yang  telah dimodifikasi (Persamaan 2):
+
– (2)
Titik kesetimbangan diperoleh pada saat
dengan kondisi awal S(0) ≥ 0, E(0) ≥ 0, I(0) ≥ 0, Q(0) ≥ 0.
Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit (Eo) yang artinya kondisi pada saat populasi terinfeksi sudah tidak ada lagi atau nol  yang akibatnya  populasi  terpapar  dan  isolasi  juga nol (E=I=Q=0).
= 0 = 0
Karena  itu,  titik  tetap  bebas  penyakit, E 0 =  { ,  0,  0,  0}.  Untuk  menganalisis kestabilan  titik  tetap  bebas  penyakit,  E 0 , ditentukan nilai  eigen dari matriks Jacobian:
Pelinearan disekitar titik tetap E 0 :
det (JE 0 – λI) = 0; dengan I adalah matriks identitas, maka:
det( -λI) = 0 = 0
dengan eigen values:
Agar  titik  tetap  bebas  penyakit,  Eo,  stabil maka  eigenvalues  bernilai  negatif,  untuk dan telah  diperoleh  bernilai  negatif,  serta untuk agar  bernilai  negatif  maka .    Kita  ambil untuk  menentukan syarat agar bernilai negatif:
< 0
diperoleh:
.
Ini  artinya,  sistem  (Persamaan  2)  stabil  jika
dan  tidak  stabil  jika . Dari  perhitungan  di  atas,  diperoleh  rumus Bilangan Reproduksi Dasar,
.

## KESIMPULAN
Penyebaran  Covid-19  sangat  mengejutkan, selain  penyebarannya  yang  cepat  diantara manusia  melalui  saluran  pernafasan  yang merupakan  alat  vital  sangat  penting  bagi manusia,  juga  tingkat  kematiannya  yang tinggi.  Berbagai  upaya  telah  dilakukan termasuk melalui penelitian untuk mengurangi  penyebaran  Covid-19,  salah satunya  dengan  karantina  (isolasi).  Dengan memasukkan  asumsi-asumsi  (pendekatan) maka suatu populasi dikelompokkan menjadi lima  kelompok,  yaitu  kelompok  rentan, kelompok  terpapar,  kelompok  terinfeksi, kelompok  isolasi  dan  kelompok  sembuh. Melalui  pendekatan  tersebut,  terbentuk Model Matematika Covid-19 yang dimodifikasi  dari  Model  SIR  dengan  rumus
Bilangan
Reproduksi
Dasar,
.

## DAFTAR PUSTAKA
Anirudh, A. (2020). Mathematical Modelling and  the  Transmission  Dynamics  in Predicting  the  Covid-19-What  Next  in Combating  the  Pandemic. Infectious Disease Modelling , 5, 366-374. https://doi.org/10.1016/j.idm.2020.06.0 02
Anton,  Howard  and  Chris  Rorres.  (2005).
Elementary  Linar  lgebra  Application Version . John Waley & Sons: U.S.
Batista,  Milan.  (2020).  Estimation  of  Final Size of the Coronavirus  Epidemic by the  Logistic  Model  (update  4). https://www.researchgate.net/publicat ion/339240777
Brauer, F. and C. Castillo. (2011).
Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2 th Edition . New York: Springer.
Cao,J., X. Hu, W. Cheng, L.Yu, W.J. Tu and Q.  Liu.  (2020).Clinical  Features  and Short-Term  Outcomes  of  18  patients with  Coona  Virus  Disease  19  in Intensive  Care  Unit. Intensive  Care Medicine , 46(5), 851-853.
https://doi.org/10.1007/s00134-020-
05987-7
Driessche,  P.  and  J.  Watmough.  (1945).
Further Notes on the Basic Reproduction  Number.  Mathematical Epidemiology , Victoria: Springer.
Kuniya,  Toshikazu.  (2020).  Prediction  of theEpidemic  Peak  of  Coronavirus Disease  in  Japan. Journal  of  Clinical
Medicine , 9(3), 789, https://doi.org/10.3390/jcm9030789 Perko, Lawrence. (2001. Differential Equations:  Third  Edition .  New  York: Springer.
Resmawan,  Nurwan.  (2017).  Konstruksi Bilangan  Reproduksi  pada  Model Epidemik SEIRS-SEI Penyebaran
Malaria dengan Vaksinasi dan Pengobatan.
Jurnal Matematika
Integratif , 13 (2), 105-114, https://doi.org/10.24198/jmi.v13.n2.12 332.105-114
Setiawan,  Nur  Fajar.  (2017).  Analisis  dan
Simulasi Model SITR pada Penyebaran  Penyakit  Tuberkulosis  di Kota  Makassar .  Skripsi ,  Makassar: Universitas Negeri Makassar.
Sulistioningtias,  Eko  Saputro  dan  Dwi Lestari. (2018). Pemodelan Matematika Penyebaran  Penyakit  Malaria  dengan Model SEIR. Journal student uny . 7(5), http://journal.student.uny.ac.id/ojs/inde x.php/math/article/view/12444
Sun,  H.,  Y.  Qiu,  H.  Yan,  Y.  Huang,  Y.  Zhu and  S.X.Chen.  (2020).  Tracking  and Predicting  Covid-19  Epidemic  in
China
Mainland. medRxiv. https://doi.org/10.1101/2020.02.17.202
4257
Susanti,  Novita  Dwi.  (2016).  Analisa
Perhitungan Bilangan Reproduksi
Dasar  (R 0 )  pada  Model  Matematika
Dinamika Malaria Host-Vector.
Skripsi ,  Malang:  UIN  Maulana  Malik
Ibrahim.
Teguh,  Rony,  Abertun  Sigit  Sahay  dan Fengky  F  Adji.  (2020).  Pemodelan Penyebaran  Infeksi  COVID-19  di
Kalimantan
2020. https://www.researchgate.net/publicatio
n/341709835
Windawati,  Siti,  Ali  Shodiqin  dan  Aurora Nur  Aini.  (2020).  Analisis  Kestabilan Model Matematika Penyebaran Penyakit  Demam  Berdarah  Pengaruh Fogging. Square: Journal of Mathematics and Mathematics Education . 2(1), 1-16, http://dx.doi.org/10.21580/square.2020. 2.1.5149