## PERSAMAAN GERAK VERTIKAL KE BAWAH DIPENGARUHI GAYA GESEK UDARA MENGGUNAKAN THEOREMA LAGRANGE
Bambang Supriadi 1* , Haniyah Alivia 2 , Ratih Wahyudianti 3 , Amar Ma’ruf Al Bawani 4 Program Studi Pendidikan Fisika, FKIP, Universitas Jember, Indonesia 1,2,3,4
bambangsupriadi.fkip@unej.ac.id
Submitted June 8, 2023; Revised November 6, 2023; Accepted November 21,2023

## Abstrak
Banyak  konsep  fisika  yang  masih  belum  dijelaskan  menggunakan  persamaan  mekanika,  seperti Newtonian  dan  Lagrangian,  khususnya  dalam  konteks  gerak  vertikal  ke  bawah.  Penelitian  ini menginvestigasi aspek gerak vertikal ke bawah yang dapat terpengaruh oleh gaya gesekan udara atau tidak.  Untuk  mengkaji  fenomena  ini,  kami  merinci  dan  membandingkan  persamaan  Newtonian  dan Lagrangian. Selain itu perlunya studi literatur yang luas tentang mekanika klasik, termasuk teori-teori tersebut  (Newtonian,  Lagrangian,  dan  Hamiltonian).  Metode  yang  digunakan  pada  kajian  ini  yaitu kajian  teoritis  matematis  dengan  melakukan  perhitungan  persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah menggunakan persamaan diferensial parsial dari persamaan Lagrangian untuk  memperoleh persamaan gerak  vertikal  ke  bawah  yang  dipengaruhi  oleh  gaya  gesekan  udara.  Hasil  penelitian  ini mengungkapkan  tiga  persamaan  Lagrange,  yaitu  pada  persamaan  percepatan,  kecepatan,  dan  posisi dalam konteks gerak vertikal yang dipengaruhi gaya gesek udara.
Kata Kunci : Gerak vertikal ke bawah, lagrangian, gaya gesek udara

## Abstract
Many  physics  concepts  are  still  not  explained  using  mechanical  equations,  such  as  Newtonian  and Lagrangian,  especially  in  the  context  of  downwardly  vertical  motion.  This  research  investigates aspects of downwardly vertical motion that may or may not be affected by air friction. To examine this phenomenon,  the  researchers  detail  and  compare  the  Newtonian  and  Lagrangian  equations.  Apart from  that,  there  is  a  need  for  extensive  literature  studies  on  classical  mechanics,  including  these theories (Newtonian, Lagrangian, and Hamiltonian). The method used in this study is a mathematical theoretical study by calculating the equation of downwardly  vertical motion using partial differential equations from the Lagrangian equation to obtain the equation of downwardly vertical motion which is influenced by air friction. The results of this research reveal three Lagrange equations, namely the equations for acceleration, speed and position in the context of vertical motion which are influenced by air friction.
Keywords : Downwardly vertical motion, lagrangian, air friction
1. PENDAHULUAN
Fisika merupakan ilmu pengetahuan dengan  bahasan  mengenai  gejala  atau berbagai  fenomena  alam  secara  nyata maupun bebagai interaksi yang terjadi pada lingkupnya. Salah satu cabang kajian fisika adalah  mekanika  yang  mengkaji  gerak pada  suatu  objek  atau  benda  yang  terbagi menjadi  dua bahasan  yaitu kinematika dan dinamika [1]. Kinematika merupakan studi yang  membahas  gerak  dan  sistem  benda meliputi  posisi,  kecepatan,  dan  percepatan tanpa  mengkaji  penyebab  benda  tersebut
bergerak [2]. Sedangkan dinamika merupakan studi yang membahas mengenai penyebab benda bergerak meliputi  gaya-gaya  yang  mempengaruhi gerak  benda  dan  sistem  yang  bergerak seperti  perubahan  arah,  perubahan  bentuk, dan  perubahan  kecepatan  [3].  Kinematika digunakan sebagai dasar sebelum mempelajari  dinamika,  adapun  kajian dalam kinematika membahas tentang gerak lurus  beraturan  (GLB)  dan  gerak  lurus berubah beraturan (GLBB) [4].
Gerak vertikal ke  bawah  merupakan gerak benda  secara  vertikal  yang  dipengaruhi oleh  percepatan  gravitasi  bumi  dengan kecepatan  awal  v 0 =0  m/s  [5].  Gerak vertikal  ke  bawah  merupakan  salah  satu kajian kinematika. Benda dikatakan mengalami gerak vertikal ke bawah apabila benda  tersebut  dilepaskan  dari  suatu ketinggian  tertentu  terhadap  tanah  dengan adanya  kecepatan  awal  ( ).  Benda  yang bergerak  vertikal  ke  bawah  dalam  kajian fisika  klasik  dimana  keseluruhan  dalam pergerakannya,  maka  pada  benda  tersebut mengalami  percepatan konstan  harus  sama dengan percepatan gravitasinya [5].
Namun,  pada  permasalahan-permasalahan olimpiade  fisika  dan  di  kehidupan  nyata, benda  yang  bergerak  vertikal  ke  bawah tidak hanya dipengaruhi oleh gaya gravitasi  saja,  melainkan  juga  dipengaruhi oleh gaya gesekan udara yang bekerja pada sistem gerak vertikal ke bawah.
Pada  gerak  vertikal  ke  bawah,  pecepatan yang  konstan  dikenal  dengan  percepatan akibat  faktor  gravitasi  dan  dilambangkan dengan  simbol  g,  sebab  g  ialah  magnitude daripada  besaran  vector  yang  selalu bernilai positif (+). Pada suatu benda  yang dilemparkan  vertical  ke  bawah  dengan kecepatan  awal  akan  dipengaruhi  dengan adanya  percepatan.  Sehingga,  jika  gerak vertical ke bawah diformulasikan ke dalam rumus dapat ditulis sebagai berikut:
Sedangkan  untuk  menentukan  ketinggian dengan  menggunakan  rumus  gerak vertikal ke bawah adalah sebagai berikut:
Jika  ingin  mengetahui  kecepatan  suatu benda  yang  bergerak  vertical  ke  bawah dari  ketinggian  tertentu,  maka  rumus  yang digunakan adalah sebagai berikut:
Persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah  yang dipengaruhi  gaya  gesek  udara  dapat  dikaji menggunakan persamaan Lagrange. Kajian gerak  vertikal  ke  bawah  menggunakan persamaan  Lagrange  penting  digunakan pada  bahan  ajar  SMA  terutama  ketika menganalisis jumlah gaya yang banyak dan memiliki  arah  yang  berubah-ubah  dalam suatu  sistem  [7].  Persamaan  Lagrange merupakan pengembangan formulasi mekanika  klasik  yang  diperkenalkan  oleh Joseph  Louis  Lagrange  pada  tahun  1788 [8].  Persamaan  Lagrange  meninjau  sistem dari aspek energi total, yaitu energi kinetik dan  energi  potensial  [9].  Fungsi  Lagrange dapat dituliskan sebagai berikut:
Sehingga  persamaan  Langrange  sebagai berikut [10]
( ̇ )
Penelitian ini guna menganalisis persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah  yang dipengaruhi dan tidaknya gaya gesek udara menggunakan thorema lagrangian.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  pada  kajian  ini menggunakan  studi  literatur  yang  luas tentang mekanika klasik dengan pendekatan  teoritis  matematis  melalui perhitungan  persamaan  gerak  vertikal  ke bawah menggunakan persamaan
diferensial parsial dari persamaan Lagrangian  untuk  memperoleh  persamaan gerak  vertikal  ke  bawah  yang  dipengaruhi oleh  gaya  gesekan  udara  dan  tidak dipengaruhi  gaya  gesekan  udara.  Ilustrasi gerak  vertikel  ke  bawah  ditunjukkan  pada Gambar 1 di bawah ini.
(1) (2) (3)
(4) (5)

## Gambar 1. Konsep Sederhana Gerak Vertikal ke Bawah
Pada  sistem  gerak  vertikal  ke  bawah Gambar  1.  di  atas,  dengan  menggunakan persamaan  lagrangian  berlaku  perubahan energi  yaitu energi kinetik  menjadi energi potensial,  maka  diperoleh  persamaan  (6) dan (7) sebagai berikut.
Keterangan: = Energi Kinetik (Joule) = Energi Potensial (Joule)
= massa benda (kg)
= Kecepatan benda = gaya gravitasi = Posisi benda

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan  sistem  gerak  vertikal  ke bawah  di  atas,  pada  keadaan  I  kecepatan benda , dengan substitusi
persamaan  (1)  dan  (2),  fungsi  Lagrange pada keadaan I sebagai berikut:
Pada keadaan II besar energi kinetik sama dnegan  besar  energi  potensial , sehingga fungsi Lagrange pada keadaan II sebagai berikut:
Pada keadaan III ketinggian benda ,  sehingga  energi  potensial  pada keadaan dasar V=0 berubah menjadi energi
kinetik,  fungsi  Lagrange  pada  keaadan  III sebagai berikut:
Jadi,  persamaan  Lagrange  pada  gerak vertikal  ke  bawah  dari  tiga  keadaan tersebut, dapat dinyatakan sebagai berikut:
a) Gerak vertikal ke bawah tanpa gaya gesek udara
Persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah  pada persamaan Langrange:

## ̇
Selanjutnya  gunakan  persamaan  (5)  yaitu
( ̇ ) dimana  jika  tanpa  adanya gaya gesek udara, maka:
( ̇ ) = 0 ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ( ̇ )) ( ̇ ) ̇ ( ̇ ) ̇ ( ̇ )     ̈
Sehingga dapat disubtitusikan menjadi:
( ̇ ) = 0 ̈

## ̈
Maka, diperoleh:
1) Percepatan gerak vertikal ke bawah
̈
2) Kecepatan gerak vertikal ke bawah
Keadaan I
Keadaan II Keadaan III (6) (7) (8)
(9)
(10) (10)
(11)

## ̇
3) Posisi gerak vertikal ke bawah
b) Gerak vertikal ke bawah dengan gaya gesek udara
Pada gerak vertikal ke bawah dengan gaya gesek  udara,  dapat  diilustrasikan  pada gambar berikut:
Gambar 2. Komponen gaya gesek udara pada gerak vertikal ke bawah
Sehingga, dari Hukum II Newton, didapatkan:
∑
Jika,  persamaan  tersebut  direpresentasikan ke dalam fungsi Lagrange ̈ menjadi: ̇     ̈
̈ ̇
Sedangkan,  jika  menggunakan  persamaan Langrange pada gerak vertikal ke bawah:

## ̇

## Selanjutnya gunakan persamaan diferensial
( ̇ ) dengan adanya pengaruh gaya gesek udara maka:
( ̇ ) = ̇ ̇ ̇
( ̇ )      ̈
Sehingga diperoleh:
̈           ̇ ̈           ̇ ̈ ̇
Maka, diperoleh:
1) Percepatan gerak vertikal ke bawah ̈ ̇ 2) Kecepatan gerak vertikal ke bawah ̇        ( )
3) Posisi gerak vertikal ke bawah

## 4. SIMPULAN
Berdasarkan  pada  pembahasan  yang  telah dikaji,  persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah tanpa  adanya  pengaruh  gaya  gesek  udara dan  persamaan  gerak  vertikal  ke  bawah yang  dipengaruhi  gaya  gesek  udara  dapat diperoleh
menggunakan persamaan
Lagrangian.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] F.Y.H.  Suharsono,  W.  Kusuma,  F. Ummah,  E.  B.  Ramadhan,  B. Supriadi,  "Metode  Magic  Number untuk  Penyelesaian  Soal  -  Soal
Energi Kinetik Relativistik," Science and  Physics  Education  Journal (SPEJ) ,  vol.  5,  no.  2,  pp.  40-46,
2022, doi:10.31539/spej.v5i2.3853
[2] H.  Ruspitasari,  S.  Supeno,  and  Y. Yushardi, “Kajian Kinematika Gerak pada Gerak Kendaraan Bermotor di Jalan Kabupaten Ngawi sebagai  Sumber  Belajar  Fisika,” (12) (13) (14) (15)
(16)
(17)
ORBITA  J.  Kajian,  Inov.  dan  Apl. Pendidik.  Fis. ,  vol. 8, no. 2,  p. 282, 2022, doi:
10.31764/orbita.v8i2.9035.
[3] Azhari  and  H.  A.  Sianturi, Buku
Ajar  Fisika  Dasar  Bagian  1 . Pekalongan: Nasya Expanding Management, 2021. [Online]. Available: https://www.google.co.id/books/edit
ion/Buku_Ajar_Fisika_Dasar/IG5L
EAAAQBAJ?hl=id&gbpv=1
[4] I.  D.  Handayani,  S.  Bektiarso,  and S. Astutik, “Kajian Kinematika Jalur
Wisata  Gunung  Bromo  Melalui Senduro-  Lumajang  sebagai  E- Suplemen Bahan Ajar Fisika SMA.,” FKIP  e-PROCEEDING,
2019  -  J.  unej ,  vol.  4,  no.  1,  pp. 146–151, 2019.
[5] N.  Yuningsih  and  Y.  C.  Dewi, “Gaya  Gesekan  Udara  Terhadap
Benda yang  Bergerak Vertikal
Tanpa  Kecepatan  Awal,” Pros.  Ind. Res.  … ,  pp.  13–14,  2022,  [Online]. Available: https://jurnal.polban.ac.id/ojs- 3.1.2/proceeding/article/view/4337 %0Ahttps://jurnal.polban.ac.id/ojs- 3.1.2/proceeding/article/view/4337/ 2899
[6] I. T. Emor, A. H. Mandolang, and J.
Lolowang. ''Penggunaan  Kinemaster dan  Quizziz  dalam  Pembelajaran Fisika  untuk  Meningkatkan  Hasil Belajar Siswa," Charm Sains: Jurnal  Pendidikan  Fisika ,  vol.3, no.2, pp. 54-59, 2022, doi:10.53682/charmsains.v3i2.158
[7] A. Muzakki, I. N. Ramadhanti, I. N. Alifiyan,  and  T.  S.  Ayu,  “Kajian Model  Pembelajaran  Fisika  SMA pada  Topik Kinematika  Gerak
Lurus,” Mitra  Pilar  J.  Pendidikan,
Inovasi,  dan  Terap.  Teknol. ,  vol.  1, no.  2,  pp.  85–98,  2022,  doi:
10.58797/pilar.0102.04. [8] Y.  Ariyanti,  P.  Subekti,  and  H. Syahropi, “Studi Literatur : Mekanika Lagrange,” vol. 15, no. 1, pp. 55–58, 2022. [9] M.  Ariska.  "Penyelesaian  Dinamika Pesawat  Atwood  dengan  Persamaan Eular-Lagrange  Sebagai  Alternatif Persamaan  Newton  pada  Fisika SMA," Jurnal Inovasi dan Pembelajaran  Fisika  (JIPF) ,  vol.
06,  no.  1,  pp.  62-69,  2019, doi:10.36706/jipf.v6i1.7816
[10]  S.S.  Zahra,  I.  H.  Syahbana,  M.  O.
Wiyadnyana,  and  F.  Anggraini, "Analisis Ayunan Pendulum Menggunakan Aplikasi Phypox
pada  Materi  Fisika  Kelas  X," Mitra Pijar:  Jurnal  Pendidikan,  Inovasi, dan  Terapan  Teknologi ,  vol.  1,  no. 2, pp. 43-64, 2022, doi:10.58797/pilar.0102.02