.llertrlrcrtittrbrtrtgkon Logiktt (_-1de ll t I
Mempertimbangl<an  Logika Himpunan Kabur Masul< Dalam Kurikulum Matematika Sekolah
Ade Mirza Pend id i kan  lVlatenratika,  FK I p U n i versitas Tan i unepura
Abstral<
Logika klasik/tradisional atair logika tegas yang dipela.iari selarra ini cii sekolalr clan di awal  nlasuk universitas.  nrernpnnyai nilai kebenaran  1.ang dibagi secara tlikotomi  (benar/ya  atau salal.r/tidak). Logika tegas ini ternyata belupr nrencakul.r {'enonlena sehari-hari  datt alanr pikiran r-nar-rusia- Banyak  hal lang nrep,iadi  tidak rva.iar bila dinilai derrgan  kebenararr  y'ang lresifat dikotonri teriebrir.  I(aiena" pacla kenyataannva  f'enornena kelriclLrpan cenderung Iebih banl,ak vang berlsilat kontinunr.  sehingga  batas vang tegas rreniadi sLratLr yrng iidnk -iela--s. Logika hitllllunan kabr'rr  nrerupakan  konsep  clasar untLrk teori kabLri  (1'r:zz1,theo;1,) 1-arg hadir LrntLrk nreletlqliapi/nrenl'enrpirrnakan logika klasili. Jr-rlisan ini nrernberikan belret'apa teori dasiir sistettt  kabur dan gognro,., urenqenai perlr-rnra Iogika Itirllpt'ttlatl  kabrrr  dinrasul<lian  dalanr kLrrikulunr ilatenratika-sekolah.
Kata kunci: logiko, himptrrtcrrt, tcgu.\, kctbtrr

## Pend:rhuluan
I-linrpunan dan Logika nrerupakan salah satu ntateri dasar )'ang  sangat penting dalanr rnenrpela.jari rnatentatika  Iebih lanjLrt. Logika adalah kendaraan berpikir dalani rnatenratilta ltlaupLln dalant keltidupan  sehari-hari. Maternalika .iuga dipandang sebagai bahasa.
Bahasa nlatentatika  diakLri sebagai
bahasa vang r_rniversal. Sebagai baha-sa tentu ntet'npunyai struktur. Strukur dari bahasa nratertratika adalah logika lnarentatika. pentingnya Iogika ini sebagai kendaraan atau saralta berpikir. ntentang  sangat terasa ketika kita mempelajari nrateri
rlatertatika tertrtanta dalarr
nremaharni konteks  defrnisi, teorenla. dan se.ienisnl a.  Apalagi bila
dihadapkan dengan rnasalalr pertrbuktian. lvlelalui logika orang akan dapat  berpikir secara kritis clan celnrat. Balrkan. ada fllosof varlg nrengatakan bahu,a Lrntr:k  ntenguasai dr-rnia. nraka  kuasailalt logil<a. Selanta ini.  logika ),ang dipela.lari di sekolah dan tingkar srrata satLr di pergurllalt  tinggi di Indonesia unlLlltll-)va adalah Iogika Logika tradisional/kl asi k/tegas. tradisional/klasil</tegas ini hanya mernbagi rrilai secara dikototli. Padahal"  dalanr  kenyataan sehari-hari. banyak haI yang ter.ladi .iustrur tidal< secara dikotonti. rlisalnya .sictng  clan malum. kita tidak bisa nrenentukan  di rrrana batasnya. Kuttt  dan lemuh, juga tidak.ielas di ntana  batasnya,  dan lain- lain. Akibatnya. seringkal i
pembicaraan sehari-hari tidak terjamah  oleh logika tegas  tersebut. Logika  kabur (Fuzzy Logic) pertanra kali dikenalkan oleli Lotfl A. Zadeh.  seorang guru besar ilmu konrputer  pada universitas  California di Berkeley  pada tahun 1965. pada dasarnya, logika kabur tersebLrt nrerupakan logika multi nilai. yang memberikan nilai antara untuk didefinisikan sebagai  nilai di antara penilaian konvensional seperti benar/salah, yaltidak. tinggi/rendah. dan sebagainya. Sisteni logika kabur mentberi kemungkinan bahwa sesuatlr nilai bernilai benar dan  salah secara bersanraan.  Sebaliknya. nilai benar dan salah secara terpisah/tegas .iuga tercakup di dalantnva. pendellnisian nilai antara tersebut rnc'nrungkirrkan dugaan  seperti agak tinggi. ataupun sanqat  cepat dan lainnl,a ,\,ang serLlpa dapat diforrriulasikan atau  dinrnruskan secara ntatentatis  dan diproses dengan kolnpLlter" agar berlaku sLtatu celra lrerpikir 1'ang lebilr nrarrusiaui clalani progrant  kornputer.
Sistenr  kabur  nrerupakan suatu alternatif  untuk nrenduga  keanggotaan hinrpunan  dan  logil<a  traciisional 1,ang berasal dari lllsafat  yunani nlori lanrpau. Ketepatan  ntatentatika ntasa lanrpau.  sebagian besar merupakan upaya Aristotles dan ahli fllsafat sebelumnya dalanr  memikirkan suatur teori rirrgkas mengenai logika dan niatematika di kenrudian hari ).altg disebut "hukunr-hukunr berpikirr' (/orr,.r of thought). salah sarun\ a adalali "hukunr nrengel uarkan  tengair" (Lav, o.f the Excludecl  Micldle)  t,ang menyatakan bahwa setiap pern\.ataan atau dalil (preposisi) yang ntanapun harus menjadi Benar atau Salah. Padahal, ketika hlrkurn ini versi pertama kali dia.iukan oleh
2 Jrtrnal Penclidikan llcrte matika  don 1p..1 l.ol 3. .\o 2 luli 2012'l-l I
Pamrinedes (sekitar 400  SM), di sana telah terjadi keberatan dan penolakan langsung  yang  sangat kuat antara lain oleh Heraclitus. Heraclitr-rs ntenyatakan bahwa hal itu dapat serentak nteniadi Benar dan Tidak benar. Plato adalah  orang yang meletakkan fondasi mengenai apa yang disebr"rt logika kabur saat ini dengan menandai  bahwa  ada daerah ke-tiga (di luar Benar dan Salah).  Hal ini berlawanan  dengarr  apa  yang  telah disampaikan. Selaniutnya. banyak ahli filsafat nrodern nterasa tergerak seperti Hegel. Marx. dan Engels. Tetapi LLrkasier,,,icz adalah orang pertanta ),ang niengusulkan Suatu alternatif sisterlatis  urrtuk lo_eika clua nilai  dari Aristotles (Hellniann,
!1p:,r/ f ir zz.r - I o gierffU,Xlf4tto n. pcl I ) Logika kabur telah rnuncul sebagai suatlr  alat yang rrrerrguntungkan untuk nrerrgontrol dan nrengatur sistenr dan peurbuatarr barang industri ),altg kompleks, seperti  peralatan elektronik. peralatan runrah tangga dan hiburan. sistem pakar dan aplikasi lainn5,a. Bahkan prinsip logika kabur relali nteranrbah dalam dunia periklanan, sehingga proniosi terhaclap suatLl procluk nreniadi sangat beragam. Untuk itu. perriahanran mengenai logika kabur ini perlu dikembangkan se.iak dini, paling tidak di nrulai dari tingkat sekolah menengah ataupun mahasiswa tingkat awal.
Perbedaan Himpunan Kabur dan Ilimpunan Tegas
Hal yang paling dasar dalam sistem kabur (fuzzy system) adalah stratu hintpunan  kabur (fuzzy  set). Di dalanr  matematika klasik. kita telah
terbiasa dengan apa )/ang disebut dengan ltirrpunan klasik atau himpunan teeas (crisp sets). Hinrpunan  tegas adalalt hirnpunan dengan hatasan r anu .ielas  (\\'ang.
I 997 ). Sebagai cr.rnroh Hintptrnalr tegas A adalah hintpunan bilansan real ) ang lebih dari 6. lJinrpunan tersebut dapat dinratakan sebagai A = ir .\ > 1801. Di sini ranrpak ada kr'ielasan. batas 6 tidak arnbigLr.  .lika x bilangan rang lehih dari 6. .lelas x anssota A. Sebaliknva. telttLl r tidak ternrasuk dalant  A.
It lesk ipun
.\lenrytertimbungkon Logika  0lcle 11)  3 Bila nilai ke[renaran secara tegas dinyatakan dengan 0  : salah/tidak dan I : benar/ya ntaka dalam sistem logika kabr"rr mencakup nilai dari 0 sanrpai dengan l. Bila direpresentasikan nilai kebenaran logika tegas dan logika kabr,rr dalam bentuk grafik, maka  dapat dilihat pada gantbar I dan gambar 2 berikLrt. (Diadaptasi dari Wang.  1997; dan Zinrmermann. I 991 ).
Bila sunrbu  clatar (X) adalah  tinggi badan  clan suntbu teeak (Y) adalah nilai kebenaran.  nraka  pada  ganrbar l. "orang tinggi'' dengan ukuran lebih dari ataLr sarra  dengan  180 cnt aclalah L.renar (Y -- 1). clan sebaliknra salali (Y = 0 ) bila ukuran tinggi kurang dari 180 cr.n. Sedangkan pada garlbar 2, ukuran tinggi antara 0 dan i 80 lureulplurvai nilai berrar dan salah secara bersanraan. Nanrun. seberapa L"resar kebenaran dan kesalahannl,a. tergantung pada karakteristik atau bobot keanggotaanl,a. Densan deniikian. berbeda dengan hinrpunan klasik/tegas. l.rirr-rpunan kabur adalah himpunan 1,ang tidak menriliki batas )/ang .ielas, sesuai uamanva (himpunan kabur). Peralihan dari suatu arrggota himpunan ke bukan anggota  secara berieniang ) ang dikarakterisasi atalr  dicirikan oleh f r-rngsi keanggotaa n (ntentber.ship
./irnction).
Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan  suatu  unsur x dalam suatu hinipunarr A. yang  sering ditulis
hinrpr.rnan rf 1", tegaslkiasik cocok untuk benlacanr- nlacant aplikasi. dan telah terbLrkti nrenjacli aIat pentin-u bagi n-ratenratiha clan pL'ngctahuol.t korrrplrter. ltallLlll
hinrltrrrran klasik tiiiak nreneganrbarl<an lionsep clan alat-r-r piliiran n-ranr,rsia ) ang cenclerirng nrenjadi  abstrak dan tidak tc'liti. Sebagai illLrstrasi. kita dapat rlenueksl;resiliau  secara ntaten-latika hirtrpulran "nrarrusiri tinggi'^ sebagai hinrpunan orang vang ntenriliki  tinggi badarr lebih dari 180 crl. I{inrpr:nan ini clapat dituniukkan seperti hinrpunan A tadi. .lelas brahwa kita nrenrisalkan A : "orang tinggi". dan  x : "tinggi". Ilal ini bukanlah  cara yang alanriah.  bahkan cara \ ang tidak sanra untuk n-reu,akili konsep  biasa  manusia tinggi. Perlbagian dua alam/nilai pada hinrpunan klasik akan  mernbagi atar_r mengelonrpokkan  seseorang yang tingginya I 80,1 cn.] sebagai oraltg yang tinggi.  tetapi  bukan orang tinggi bila tingginya 179,9  crn. Perbedaan ini secara intuitif tidak ntasr-rk akal. Selisilt atau kekurangan tersebut nrenyebabkan ter.ladinl,a peralihan yang  drastis antara merladi anggota dan tidak nten jadi anggota dalam himpunan.
4 Jtrrnctl Pendidikun.llatemcrrikcr  dttrt lP.l l oi -l \o I Jtrii )0 l2  t-ll
dengan ptA[x]. nlentiliki 2 Definisi 1: (HinrpLrnan kaburr) .lika X adalah koleksi obl ek-obyek )'ang dinvatakar-r secata umunl (generic) oleh x. nraka hinipunan kabur .{ di X clidefinisikan sebagai hirrtpunarr pasangarl terurut
A:[(x, tte!))lx e x]. Di sini. pa@)
disebut tirnssi keanggotaan (ntenrbership flunction) atau  disingkat \lF untLrk hinrpunan kabur A. MF nremetakan setiap unsur x ke nilai/dera.iat  keangotaan  antara 0 dan l. (.lanu. 1997).
.lelas bahna ciefinisi [rirrpunan kabur nrenrpakan perluasan dari himpunan klasik/tegas )'ang r.nenrbolehkan lirngsi karakteristik  nrenrpunl,ai nilai antara 0 clan l. .lilta MF terbatas pada saluh satlr nilai 0 atar-r 1. maka A dircdLrksi ke lrinrpunan ktasik. IJiasanr a X rrerLr juk pada semesta penrbicaraitn  (sentesta)  clan ltonsisten rur.rtuk obvek-ob1,ek diskrit (terr-rrut atau tak terurut) atau ruarrg kontinu.
[-rntLrli rnentahanri hirnpLrnan kabLrr ini dapat diielaskan  rrelalr-ri contoh be-rikut.
Contoh 2. lv{isall<an.
1. A : HinrpLrnan banl,aknya arrak vang  ideal dari suatu kelLrarga 2. B : Llsia sekitar  50 tahr-ur
3. N4isalkan X {Pontianak, .lakarta, Ban jarntasin ) ntenyatakan hirlpunan kota-kota
1,ang dipilih salah  satu  untuk di
tinggali. Bila C "kota yang diinginkan  sebagai tempat tinggal" yang diseskripsikan sebagai C {(Pontianak,0,8), (.lakarta. 0,9), (Banf armasin.
0,6))
.lelas  bahrva  senlesta  pembicaraan (X) dari himpunan C tersebut adalah
kernr"u, gkinan, yaitu: l. satu (1). yang berarti bahn,a  suatu itent meniadi anggota. dalant suatu hintpllnalt. atau 2. nol (0)- lang berarti bahua suaru , itenl tidak nreniadi anqsr)rA dalartr  suatu hinrpunan.
Contoh l:
.lika  diketahui:
S = [. 2. 3. 4. 5. 6] aclalah sentesra pembicaraan. A: {1.2.3) B: {3.4. _s}
Dapat dikatakan  bahri a: l. Nilai keanggotaan ? pada hinrpunan A. prA[?]: I . hale  na 1- { -E:/\. 2. Nilai keanggotaan i pacla
hinrpunan A. pA[i]: l - l<arena 3e A.
3. Nilai keanggotaan 4 lracla hinrpLrnan A. pt.\[1]:-0. karcna 4eA.
4. Nilai keanggotaan 2 pada
hinrpunan B. pB[2]:0. karena
2eB. 5" Nilai kear.rggotaan 3 . pada hintpurtan B. pBf 3]: I - 'kare'1a i €ll.
'I'ern, inologi l-Iimpunan Kabur dan Implementasinya
Berbeda dengan hinrpunan klasik/tegas, himpunan kabur mengekspresikar-r  dera.iat  Lrnsur yang teruruat dalant sllatu hintpunan. Fungsi keanggotaan ataLl fungsi karakteristik himpunan kabur nrembolehkan nlempllnyai nilai antara
0 hirrgga  1 yang menyatakan dera.iat keanggotaan suatu unsur dalant himpunan  yang diberikan.
diskrit dan mernuat obyek  yang tak terurut. Dalam kasus ini dera.iat keanggotaanya sangat subyektif-.
Siapa sa.ia dapat rnenga.iukan nilai yang berbeda. Sedangkan  semesta A adalah himpunan kabr"rr dengan semesta diskrit terurut. Deskripsi  A dapat diberikan seperti berikr"rt.
Misalkar-r X : {0,1.2.3.4.5.6} sebagai himpunan banyaknya anak dalan-r suatu keluarga. Maka himpunan  kabur
A "banyaknya anak )1ang ideal dalam suatu keluarga" akan
dideskripsikan sebagai  beLikut.
A : {(0. 0.1). (1. 0.3). (2. 0.7).
li. I t. (3. 0.7). (-s. (.t.i ). (6. 0 l)l
Selanf r"rtny,a. sentesta urrtuk Il adalah Itorttinu. Misalkan X -- R" nrenvatakar-r Itirnpr-rnan usia 1,ang  urunshir-r dalaur kehidupan. I{inr;tutar.i kabur B = ''usia sekitar 50 tahur-r" clapat diekspresikan sebagai Il {(x,{tu(x))lx e X} Di sini dipilih
t-tnG): -*;u 1.larrg. l9q7).
1+l - ./ Fr-rngsi  keanggotaan (N,lF) dari himpunan  kabur A dapat ditunjukkan seperti ganrbar 3 dan hirnpunan B ditunlukkan pacla  gambqp  4.
I ol 0l 1 tii 0al 0t
,\lentpertinrbongAon l.oqiku r.1de .\l t 5
keanggotaannya dapat berr-naca- macam dari individr-r yang berbeda.
Misalnl'a. "banyak anak vang ideal pada suatLr kelLrarga" dapat dirraknai berbeda-beda oleh sc-tiap indir idu.
Sr.rbl ektii'itas tersebLrt berasal dari perbedaan incJir idu dalartt  nrenanr:kap atau nrengungkap  konsc-p abstrak. SLrbr,ektivitas ini sangat kecil kaitanny'a  clengan peluang (keacakan ). Sr.rbl,ektivitas dan ketidakacakan merupakan  perbedaan ) ang paling Lltama antara  bela.iar hiurpunan katrur dan teori probabilitas - ) ang menrperlakukan  perlakLran oblektif dari  fbnonrena  acak.  (Janc,. 1997). Notasi scderh;.rrlr (*) irnttrk ntenvatakiin  hir-nplrnan kallrr A adalali sebagai beriliut.
If ,,,,'  ,  . ,iri.,i.Yl:oirl:-<r crrriorreirriisi:rri
| /-. '
,-l' t,
I  I,,,,' i;ln.\':ii'ttt,lcrtlirttt(l'lrt:.nrt-trlRrrrl)
Tanda sigrla diin intesral pada notasi  sederhana A di atas nrenrpakan gabungan pasansan (x,ltoQ)). sehingga tidak nrenuniukkan penlumlahan dan pengintegralan. denrikian pr"rla tanda "f ' bukanlah rurenurr.i ukkan 1-rcnrhrg iau.

## Ekspresi
Alternatif Mernperhatikan notasi sederhana (*) tadi, kita dapat menulis kenrbali  suatu himpunan  kabur dari contoh  2 sebagai  berikut.
A : 0.1/0 + 0.3/l + 0.712 +
1.0/j + 0.714 r 0.3/5 + 0.1/6 B - l,- -i_;* tr '" t + 11--,
C
O.S/Porrtiarrak -F
0.9/Jakarta + 0.6/8aniarmasin
Dalant praktek. bila semesta X adalah nlang kontir.rr-r (garis bilangar"r real atalr liinrpunan  bagiannya), mal<a
I i l I L 0 .lt .ltl rllllll o . , un'roin., nun, ' s1fr
Berdasarkan  uraian di atas. jelas
bahsa hinrpunan  kabLrr bergantung pada dua hal, yaitLr mengidentifikasi senresta  yarrg cocok dan menentukan Iungsi keanggotaan yang sesuai. Penentuan f r"rngsi keanggotaan sif-atnya sangat sLrbyektil. artinya tuntuk  konsep yang santa f-ungsi
6 'rttrnar  pendidikan rr'rtntarika tran rp.4 r'or. 3. Ao. 2. Juri 20r2. r-rt
biasanya kita menrbagi X ke dalam beberapa himpunan  kabur yan;Mi_
nya melipLrri X kurang lebih dlngan cara seragatn.
Hinrpunan kabLrr biasanya nlempllnyai nanta_nama sesuai dengan sifat_sifat pernakaian buhr;u'X:f;r:?]l'ff1 [X1: "besar". "sedang,,. atall ,,k;;;i nlsalnya. disebut nilai bahasa atau label-label bahasa. Karena itr-; semesra dari X acapkali disebLri
:_u,:u?.1 bahasa (r,ariabet li,rg;;;rik):
Definisi  fbrmal  ;;;;i bahasa/linguistik dan ,.rrri,r"i""i lai,,-va 1,ang rerkait ,f upri- Ji;;;;:;
::bSt berikLrr. 1.rang. t9e7: wrng.
l99T, Zinulernrann. I99l). -"s' Delrnisi 2. (Variabel bahasa/linguistik
1l,1],:.,l1,',:logi lainrr1,a vang rerkair) varrahcl balrasa/linguistik clicirikarr
3].lls:,llp:l (quintuple) 1,aitu i;. i:ill X. G. M) dinrana .  x :adalah,',,ariabel. .  T(x)  : hinrpunan (ternr set) clari .x hinrpunan dari nilai
x. atau istilah  linguistk dari x Andaikan X - ,.Ltsia,,, maka kita dapat mendefinisikan  himpunan [rUu '.11uda",'.parobaya'.. drn Jliru,,'iun, dikarakterisasikan oleh furngsi keanggoraan (MF) b"rupu-" : H^uao(x)- ilparobayaQ). dan l-rtro(x). .lika usio diinrerpretasikan sebagai variabel bahasa, nru[, i.n'irL hinrpunan  T(tt.sio) dapar Ji,;),;;'r,, sebagai:
TQt.sia) : {muda, titlcrk  ruudct, .tongat ntudu. tidoksungcrt  nttrdtt,  . . ., -".- ut?tur n?e ne ngoh/paro bcr1,u, ttnttrr tidak purohoyo, . . .,
Itrct, liclctk ltt0, .\,ctt1g0l ltta, kiro-kiro ttrct. tidcrk  .tong(.tt ,,rr,1" ""
ticlak .s.ctttget tuct r.lcrn tidcrk .tqtlgul nttrdu,....1
Di sini. seriap istilah dalanr T(Lrsia) nrerrcirikan hinrpurran tnU,,.'-Jrlli
:,11t], ser))esla  perrrbicaraarr X= t0 tUOJ seperri diturr jrrkkan  pada gu,,.lbu,: 5. Biasarrl.a kita ntens_qunakan  kata "usia nruda" untuk nr.ni:o,ut r,-r ,;;;; dari nilai bahasa  ..muda., t',,rrrt variabel bahasa  ..usia... S.b.lii.;;);. bila usia diinterpretasikan  ,.Uouui rariabel nunrerik,'kita rnengilfi;; ekspresi  ..usia=20.. clari paOa'i;,;;;;;;; "20" untuk ntenyatakan urriuU.i rrunrerik usia. Aturan ,i;;"k;ik nrenuniuk  pada nilai bahasa ;;i;;;
hinrpunan istilalr T(usia) ,.r,,
dibangkirkan. S.Aungi.u,,-' ,,;;; senranrik nrenctef.inisikan i;Gi keanggotaan dari seriap nifai Uaf,aI
L istilalr - -r,a it Lr
Iinguisrik istilah- o  f, :semestapenibicaraan o  Q :aturaltsintaktifyans nrenrbenruk isrilah aulunl i(^i r  \zf : atLlran sernantik yarrg mengasosiasikan .t.ncu,; seriap nilai linguistik - a dengan nraknan_\.a I\{(A). dinrana
M(A) nrenr.atakan hirnpunan kabur dalanr X.

## Untuk  menrbantu memahanri deflnisi
2 tersebut. berikut diberikan ;;,*; nlengenai variabel bahasa lruriuU.i lingusitik) dan nilai builu;-ffi;; Iinguistik).
tr :,,, \'rsrr
Garrrbor j Tilr \lJ dari Hitrrprrrrnrr Istilalt T(usid) pada hinrpunan istilah tersebut.
Pada contoh variabel bahasa tersebut. kita dapat  nielihat bahwa hinrpunan istilah itu terdiri dari beberapa istilah dasar (prinrary ternrs). r akni: rluda. probaya, dar-r tua. Selaniutn\  A dinrodiflkasi dengarr negasi (rrol liduk). dan atau penegas
1lr,-'duc-s ) seperti:  .\utlgut. kiru-kira,
ck.rtrint. dan lain-lain. Kemudian dihuL'ungkan densan kata hubung seperti: d(tn. uluu. .salah salu, lidok .tultrlttut- dan sebagainva. Akibatnl,a. kita rnenrperlakukan kutu htrbrrng, patlcgils. clan ircga.r sebagai operator \ ang nrengganti nrakna dari
oprerasinr  a dalam  satu ketentuan.
Beberapa hal dasar vang perlu cliperhatilian .iuga dalanr hontelts sistenr ka[rtrr.  c1iberikan clalam cle1lnisi sebagai berilir-rt.
Deflrrisi 3. Strpltot'| (PendLrkLrng) Support dari hinrpunan kabr-rr B adalah hinrpunan dari senrua titik x di X sehingga firngsi kearrggotaan B positif (yu!) > 0) Support (ll) : txltto(x)>0)
l)eflnisi .X. Corc (lnti)
Clore dari hirlpunan kabur B adalah hinrpunarr senrLra titik x di X sehingga pBU) = 1. Core (B) : {x I pr(x) :
1)
Defi nisi 5. I,'lormal ity (Norrnalitas)
Himpunan kabr-rr B adalah norntaljika core-nya tidak kosong. Derrgan  kata lain. kita dapat merrcari x anggota X selrirrgga FnG) = 1,
Definisi 6. Crct.s.sover point (-litik silarrg)
Crossover point  dari hintpunan kabr"rr
B adalah titik x anggota X sederlikian hirrgga ltaQ) = 0.5.  Crossover poir.rt (B) = {x I prQ): 0.5}
,\ lempcrt  i nrbrtttgkttn  Logika f rlde,\,t1 7
Deflnisi 7. Fuzz1,  .s'ingleton (Titik tunggal)
Himpunan kabr-rr yang supporl-r"rya adalah titik tur-rggal di  X dengan Fs(x) -  1. disebr-rt titik tr-rnggal
(fuzzy singleton)
Deflnisi 8.
cut kuat
a.-cTlt,danq-
q - cut atau hirnpunan  a - level ciari himpr:nan  kabr"rr B adalah hinrpurnan klasik  yang didefinisikan oleh Ao : {x I trr(r) > ai. Sedangkan untuk u - cut kuat dinyatakan sebagai txl t,r(x) > ai.
A'o =
Menrperhatikan notasi clefinisi ini nraka dapat diperoleli sLrpport dan Core clari suatu hinrllllnan  kabur B sebagai berikut. Support (B) : ,4i, dan
Core (B) = ,4',
Defi nisi 9. C'orrlc"rit-1' (Konveksitas) I-lirnpunart kabr"rr B adalah kon'n,eks .fika dan hanva.iika LrntLrk sebarang x1,x2 e X dan y e [0,11. ps(yxr + (1 - y)x) >-
min  I pr(xt), t"ta@)]
Deflnisi 10. FvzzS r.rr.u.nber (Bilangan kabur)
Bilangan kabur A adalah himpunan kabur di dalanr garis real (R) 1,ang tnerlenuhi korrdisi kenormalan dan kekonveksan. Bilangan kabr-rr  yarlg banl'ak digunakan di berbagai br-rku literatur adalah ) ang nremenuhi kondisi  kekonreksan dan kenornralan. sehingga bilangan kabr.rr merupakan tipe himpr,rnan kabur t-ang paling dasar.
Deflrrisi 1 7. Bondy' itlths Untr-rk hinrpunan kabur nornral dan koveks. bandu,idths atall lebar
8 .ltrrnul Pentlidiktttt  lltttetttotiko  tlurt lp.l I o/ -l \ o. l.
didefinisikan sebagai .jarak antara dua titik crossover tLlnggal.
Lebar (B)  : lx, -  xrl. disini ps?)= pa(rr)=0.5 Deflnisi I l. Sr rr..rrr r Sirnetri ) Hinrpunan  kabur t] dikatakarr sinrerri jika NIF-rrr a sinretris rerhadap sLralLr
titik
c. -rairur ,r,rs(c + _r-) = ttrG - r), unruk senn{o _r: € X
Dellnisi 13. Open und
C.lo.sad (TerbLrka dan  rerlurup) Hirnpunan kabul terbLrka kiri .iika linrr--*#nQ)=7
darr limr*+- pr6 (x) = g.
Terbuka kanan -iilia lirn.r-- _- ltn(x) = 0 dan limr-1- #oG) = 1. clap I'erlLrtup .iika linr.r__- us(x): Iint-r*+.- pr(x) = 0
Dellrisi l.+.
('artlirtulitt,
(Kardinalitas)
I'linrpuiran kabur ljnite. kar.dinalitas  B dide llnisikan  scbagai l/, | = Zre x lte(x).
Seclangkan untuk iBl = LLL disebtrt karclirraliras  relatil'
lxt dari B
Fungsi Keanggotaan  (Nlcmbership Function)
Fungsi  Keanggotan (N4F)  rnerupakan hal  yang sangat menentukan ketepatan nilai dari suatu variabel pada sentesta pembicaraan. Hal ini sangat  ditetntr-rkan oleh subyektivitas
individu itu  sendiri. Fungsi Keanggotaarr  adalah suatu kurva yang menuniukkan  pernetaan  titik-titik variabel data inpr"rt dari sentesta X ke nilai keanggotaannya (sering jLrga disebut dengan dera.iat  keanggotaan) yang r.rlenliliki interval dari 0 sanrpai dengan l. . Salah satu cara  yang  dapat
.ltli l0l)  l-II
digunakan untuk mendapatkan  nilai keanggotaan adalah dengan nrenranfaatkan l'urrgsi. Ada beberapa firngsi vang  bisa  digLrnakan  dan cukup
terkenal LlntLlk dirnensi satLl antara lain  adalah:
MF linier. rnisalnya
-a) a b) Representasi NlF ltun,a segitiga
ga (x; a, b, c)
0 xlaataux) - a)/(h -  cr) a < x < h -x)/(c-h) b<x<c c) Representasi  I\4[j trapesoid a) Representasi p(x) (0 = l(, - a)/(b (r xla <x<b x> b trapesoid (x; cr, b, c, cl)
( 0 xluutaux _)f*-u)/(b-a) a<x<b :{- l I b<x<c \(rl-x)/(d-c) c<x--ct se g iti = {,* (i. >d d) Representasi MIr Gauss
gCIuss (x;c,o)  = r:(Tf .
dengan  c ntenentukan pusat N4F dan o menentukan  lebar MF.
e) lLepresentasi MF Bell
bell (x; a, b, c) =
t +lL=1'?b 0 Representasi MF Sigmoid
sig(x; e, c) = 1. 1* expf-a(x - c))2 Bebelapa fungsi keanggotaan (MF) yang telah diLrraikan di aras dapat diinrplenrentasikan dalant
menyelesaikan  permasalahan sehari hari. Ketepatan  penggunaan M F tersebr:t  bergantung pada konteks masalah dan subyektifitas individu dalam  mencermati dan nrenganalisis masalahnya.
Operator Dasar  Dalam l{impunan Kabur
Seperti  halnya  pada himpunan klasik. maka  Zadell nrenciptakan 3 buah operator dasar  dalarrr  hinrpunan kabur. y,akni subset. onrl, or. dan nol.
Operator-operator ini dideflnisi
sebagai berikut.
Definisi l-5. Srr6.rct
Ketern-uratan  (subset) pada hinrpunan kabr,rr clidefinisikan sebagai:
I-liurpunan kabr,rr A terrnunt  himpunan lJ (hirrpLrnarr bagian/sLrbset). atau A kurung  cluri utctu suma dengral B.iika clan  lranva -iika pa(r) S ys!) untuk senrlrit x. Secara simbolik dapat dittrlis:  A c B * Ue(x) 3 pne).
Defirrisi 16. Operator  ctntl (don)
Operator ini berhubungan dengarr operasi irisar-r seperti  pada hinrpunarr klasik.
Irisan dua hinrpunan  kabur A dan B adalah himpunan kabr,rr C. yakrri C : A  or  B. dengan  MF-n1'a adalah pc7) = min(pa (x), pu(r)) =
ttaQ) ^ pBQ)
Deflnisi 17. Operator or (atou)
Operator ini berhubungan dengan operasi union  seperti  pada himpunan klasik.
Gabungan dr"ra himpunau kabur A clan B adalah hinrpunan  kabur C, yakni C :  A or B. derrgan MF-nya adalah ttcU) - max(ta (x), ttn(r)) = tta?) v pBQ)
\ Ie nrpcrr i n hrr ttgl.Lttt Logi ku t.1tle .\ t I 9
Definisi 18. Operator not (negasi)
Operator ini berhubungan dengan operasi  nesasi sepeni pada himpunan klasik.
Negasi clari hinrpunan kabur A (negasi dari hinrpunan kahr-rr  A). dinratakan  dengan notasi:
rot A : -A =.1. )ang didelinisikan sebagai pa(.r) - 1 - p;(x)
Bebe rapa uraian di atas mer-ntrerikan dasar bagi upa)'a penraharlan logika dan hinrpunan kabur serta  penrahanran sistern kabLrr lebih Ian.iLrt. Lrntuk itLr. bagi penrula
) ang alian rrcnrpela.iari rnengenai teori atau s isteni kabu r. lrerlu nrerrpelr.iari  terlebih clahLrlu apa )'ar.)g telalr  diLrraikan clalani tulisan ini sr'r1a dibantu  dengan nrenrbaca literatr-rr lain vang nren jacli sunrber Lrtan.rartva.
Pcrlukah Logil<a Ilirnpunan I(abur i\Iasuli Kuriliulurn l\Iaternatika?
I\4ernperhatikan kenr ataan dar-r f-enonrena ),'ang terjadi clalanr kehidr-rpan sehari-hari. tentr-r tidak bisa clipLrngkiri bahu'a banl'ak hal ) ang dihadapi tenr\ata tidak selalu bersifat dikotonri. KehidLrpan manusia itLr sendiri lebih han."-ak nrenghadapi persoalan yang -ir.rstrr-r bersifat kontinurn. Pola pikir n-ranr"rsia  .iuga lebih masuk akal bila dipengaruhi oleh sitLrasi yang bersifat  kontinutn. Namun demikian. bukan berarti silat dikotomi rr-renjadi tidak penting,  tetapi perlLr ada penyempurnaan untuk melengkapi kekLrrangannya.  Sebagai contoh. kita nrengerral siang dan ntalam (secara dikotomi). namurn bila kita cermati batas antara keduanya ternyata tidak jelas. Sementara proses teriadinya perubahan dari siang meniadi malum atau sebaliknya
l0 Jttrncrl  Petttliclikcrn ,\.lurencttiko dan lp.1  t ol -l
ternyata tidak secara meltdadak. Tucr dan muda adalah sebutan yang biasa didengar sehari-hari, baik Lrntuk Lu.nLrr nranusia nraLlpun r_rntuk istilah lain seperti untuk warna, buah-buahan. dan lain-lain. Untuk konteks ini. perrrbalran dari tttLt ke nrtrcltr -iuga tidak terjadi secara tiba-tiba. Batas yang tegas dari contoh tersebut jelas tidak dapat ditentukan dan hai ini realitas yang terf adi secara alarniah. Contoh lain. terkait dengan Lrpaya nrempenganrhi penrikiran rnanusia secara psikologis. iklan tul-ttuk ntemprontosil<an  suatLr prodLrk nrisalr-r1,a telah menqalarli
perkembangan. Semnla produk iklarr rrenggunakan logika tegas, seperti: "prodr"rk ini ltoulor  siltLl''. nteurbuat persaingan antar prodLrh .r,altg san.ul nten jadi "kLrrang sehat". dan lidali realistis Larena tidak nrLrngkin acla penrilik prodLrlt yang menrprontosikan produknva nrenjacli .'nonlor dua'. dan seterllsn\ a.  Bila suatu proclLrk rtrengatakan "nontor satll cli hrdonesia".  prodLrk lain nrungkin
nteniadi "nontor satu cli Dunia...
Narnun. bila ada prodr_rk Iain lagi 1,an_u serupa.  tentLl ticlak ntungkin lagi tuntuk nrenvatakan sebagai prod Lik ''ltonror satLr di Akhirat''. Hal ini nrenfadi persoalan dan sekaligLrs kelenrahan bila hanya berpikir ,..u.u tegas (dikotorni).
Iladirnva teori kabur (fuzz1, tltcorr') dari Zadelt. memberikali nuansa dan pekembangan  baru yang sansat pesar dalartr kehidupan sehari- hari. I\lunculnl a teori dan sistent kabur  ini  telah mentberikan sunibangan )'ang sansat besar  dalam perkentbangan iln-rr-r pengetahuan dan teknologi. bail< clalam bidang elektronik. kedokterarr. hibLrrari nraupun berbagai biclang pakar.  Iklan
\o 2 Jrrli lAl2.l-tl
sLrdah berkenibang prontosinya menjadi  produk yang ,,sangat kuat.-.
"lLlar biasa". ..tanpa tandins".. "uyarnan". dan lain sebagain_r.a. Hal ini terasa lebih nrasuk akal dalanr pikiran manusia.
Kenyataan ini nternberikan alasan yang kLrat bagi kita Lntruk memiliki pengetahuan dan kemampuan ),ang nrenradai unluk dapat melakLrkan analisis t-lan penalaran ),ang sesuai densarr kenyataan clan kebutuhan hijup, sehari-hari. Logika sebasai  kendaraair berpikir. sarana berpikir kritis. analitis.  dart rasional. perlu clipela.iari dan dikuasai  densan seLraik-baik. I-ogika klasik/tegas ),ang clipela.iari selanra ini tanrpaltnva  nrasih bclunr cukLrp  r-rntuk nrengakonrodir pe rsoalan viing bersifat l<ontinur-r-r seperti  contoh di atas.  Untr-rlt itu tcori kabr,rr (logika himpunan kabur) \,ang telah dikemukakan oleh Zadel^t sr-rclah saatn\a perlu clipela.f ari dan  dipahartri se.fak anal (sekolah  rnenensah atau nrahasisu,a tingkat p.r,un.,J). Agar proses pentbela.iarannya berjalan dengan baik" sangat penting rlenrasukltan  nrateri  logika hin-rpunan kabr"rr ini dalant  kurikulur.n. I,lal ini br-rkan berati ntenghilangkan atau mengganti logika hintpunan klasik/tegas.  retapi lebih pada i,pryu melengkapi pengetaltuan tentang logika  dan hinrpunan klasik/tegas. Dengan kata  Iain. nrateri togit<a himpunan  kabur perlu  diint"gruriku,l dalanr  pelajaran matematika mengenai logika  dan hinrpunan yang telah dipela.iari selama irri sebagai bagian yang tidak terpisah ataupun sebagai tarnbahan.
Penutup Logika himpunan klasik/tradisional atau biasa .iLrga disebut  dengan logika hirnpunan tcras. \lenuingat dalanr logika hinrpunan tegas ),ang dipela.iari selanra ini nrer-nbagi nilai suatu rariabel  dalam dua kutub secara tegas (dikotomi). 1'akni YA dan  TIDAK.
BENAR dan SALAIJ, dan yang seienisnl'a. maka banyak hal atau lbnonrena dalanr kehidupan sehari- liari 1'ang ternyata tidak dapat dicakup olelinva.  Kelenrahan  dalanr teori ini akhinrva dapat dilengkapi dengan liadirnya teori 1'zing dikenal dengan r-lanra logika liinrpr"rnan kabur. atau
secarA LlurLmr dikenal .iuga clengan nanra teori kabr"rr  (firz.z1, theory).
Perribicaraan mengenai teori kabLrr  atar-t sislenr kabur. khusr.rsnva
1'ang nieniacii c.lasarnva atjalah logika hinrpunan kabr-rr. tern)'ata nremberikan  cakupau  ),ang lLlas dan
sesuai clengan alam pikiran nranusia sehari-hiiri.  Dengan  deniikian. dapat dikatakan  bahw'a segala f'enomena
-rang terjadi dalam  kehidupan sehari- hari dapat terlingkLrpi oleh teori kaburr. Dalanr teori kabLrr ini telalr tercakup pula fenornena yang teriadi secara  tegas.
Sehubur-rgan dengan itu, penguasaan mengenai teori kabLrr. terutanla logika himpunan  kabur  perlu mendapat perhatian dan dipikirkan
untuk dikembangkan dan diberikan bagi siswa  dan mahsiswa se.iak dini. Bagi orang )i ang belum mengenal teori kabur ini, mungkin nrateri ini tampak  sukar" rumit, bahkarr tidak menyenangkan. Narrur-r, bila orang mengenal dan menyadari kaitannya dengan kel-ridr"rpan sel"rari-hari besar kemungkinan orang akan merr.jadi
ltIentpertintbtrttgLan Logiku  (,1tle ,\LI II
tertarik  untuk men-rpela.iarinya lebih lanjut. Mudah-rnudahan tr.rlisar-r sirrgkat ini dapat memberikan pencerahan bagi kita semua,  terutama yang berkecinrpr:ng  dalan.r bidang matenratika dan materratika Daftar Pust:rka pendidikan
Dubois. D., and Prade. H. (1980). Fuzzl: Set.s ancl Sy'stem,s. Theorl' anc{ Appliccrt ions. London:
Academic Press. Inc.
.lans.  J.S. Roger. et.al.  (1997). l'leuro lrtr:21, und So/i ('ontltuting. Nerv .lerser,: Prentice I Iall.
Hellnrann, N4. (tt) [:uz-zy'  Logic
I n t rod r-r ct i o n. l:1t2.tiltlz.Zl*! og1 q _ i n1 t'od Lrc_t  i o n. pd f'.
Diakses
tanggal 29 Septenrber 20i2.
\\1arrg. L. X. ( 1997). A C'otrrse in Fuzzl' .S.r,.r/cri^r unt{ ('ctnlrol. Nerv Jersey: Prentice-l-lall.
Errglenood Cliflf's.
Zinrnrernrann ll..l. (1991) Fuzq, $e1t Theorl' und lr.s' Applicatiorts. Second  Edition. Boston:
Klur.r'er.