Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 53-67 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.11419
Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
Patrick Louis Lucin 1 , Farah Kristiani 2 *, Benny Yong 3
1,2,3 Universitas Katolik Parahyangan, Jl. Ciumbuleuit 94 Bandung 40141 1,2,3 Departemen Matematika UNPAR Bandung Indonesia e-mail:farah @ unpar.ac.id
Diajukan: 26 Mei 2021, Diperbaiki: 23 Mei 2022, Diterima: 12 September 2022

## Abstrak
Penentuan manfaat asuransi kesehatan dan kematian yang sesuai dengan kebutuhan pemegang polis sangat penting untuk ditentukan sejak awal pembuatan suatu polis asuransi, khususnya untuk asuransi yang mengambil  alih  risiko  terinfeksi  virus  COVID-19.  Beberapa  faktor  yang  harus  diperhitungkan  dalam penentuan  besaran  manfaat  dan  premi  akibat  COVID-19  ini  adalah  faktor  populasi  manusia  rentan ( susceptible ), terinfeksi ( infected ) dan kematian ( death ) pada model penyebaran penyakit menular SIDRS. Pada penelitian ini, ditelaah lebih dalam mengenai pengaruh dari ketiga faktor tersebut pada perhitungan aktuaria sehingga dapat menghasilkan formula penentuan premi yang tepat dengan memperhitungkan dua skema  pembayaran  secara  sekaligus  dan  secara  anuitas.  Dari  hasil  simulasi  dengan  menerapkan  data penderita COVID-19 di Indonesia pada penentuan parameter model SIDRS, diperoleh kesimpulan bahwa besar premi dengan skema pembayaran manfaat secara anuitas lebih kecil dibanding dengan premi dengan skema manfaat dibayarkan sekaligus. Berikutnya, disimpulkan juga bahwa jika populasi pemegang polis semakin banyak, maka harga premi juga akan semakin rendah.
Kata Kunci : Model SIDRS, aktuaria, manfaat, premi, COVID-19

## Abstract
Determination  of  health  and  death  insurance  benefits  according  to  the  needs  of policyholders is very important to determine from the beginning of making an insurance policy, especially for insurance that takes over the risk of being infected with the COVID-19 virus. Several factors that must be taken into account in determining the amount of benefits and premiums due to COVID-19 are the human population factor that is susceptible, infected and death in the SIDRS infectious  disease  spread  model.  In  this  study,  the  influence  of  these  three  factors  on  actuarial calculations is examined in more depth to produce an appropriate premium determination formula by taking into account two payment schemes in lump sum and annuity. From the simulation results by  applying  data  on  COVID-19  cases  in  Indonesia  to  determine  the  parameters  of  the  SIDRS model, it is concluded that the premium with an annuity benefit payment scheme is smaller than the  premium  with  a  lump  sum  benefit  scheme.  Furthermore,  it  is  also  concluded  that  if  the population of policyholders increases, the premium price will also be lower.
Keywords : SIDRS Model, actuary, benefit, premium, COVID-19
54 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS

## 1 Pendahuluan
Penyakit  COVID-19  telah  membawa  banyak  kerugian  bagi  penderitanya.  Beberapa  yang bergejala parah harus dirawat di rumah sakit dan tidak sedikit yang akhirnya meninggal. Dari sejak awal  tercatat  adanya  warga  Indonesia  yang  terjangkit  penyakit  ini  pada  awal  Maret  2020  [1]. Sampai  dengan  saat  ini  telah  tercatat  sebanyak  4.099.857  penderita  di  Indonesia   dan  yang meninggal  sebanyak  143.698  orang  [2].  Dari  sekian  banyak  pasien  penderita  COVID-19  yang harus  dirawat  inap  di  rumah  sakit,  terdapat  penderita  yang  ternyata  harus  membiayai  sendiri pengeluaran rawat inapnya. Tentu saja hal ini menimbulkan kerugian yang tidak sedikit meliputi biaya pengobatan, biaya  rawat  inap, kehilangan pendapatan karena tidak bisa bekerja, dan juga kerugian  bagi  para  pihak  yang  terlibat  dalam  perawatan  penderita  tersebut  [3],  [4].  Karena  itu sangat penting bagi masyarakat untuk mempunyai polis asuransi kesehatan  yang bisa menutupi biaya rawat inap maupun asuransi jiwa jika terjadi risiko kematian akibat terinfeksi COVID-19.
Penelitian ini melengkapi penelitian yang telah dilakukan oleh [5], dimana formula manfaat dan  premi  asuransinya  belum  memperhitungkan  faktor  dinamika  penyebaran  suatu  penyakit. Faktor  dinamika  penyebaran  penyakit  ini  sangat  penting  untuk  diperhitungkan  karena  manfaat yang ditentukan harus bisa menutupi alokasi pengeluaran yang dibutuhkan [6].
Untuk menghitung premi asuransi akibat penyakit menular, terdapat berbagai faktor  yang mempengaruhi  antara  lain  banyaknya  manusia  yang  rentan  tertular,  banyaknya  penderita  yang terinfeksi  COVID-19  dan  juga  penderita  yang  akhirnya  meninggal.  Ketiga  faktor  tersebut  akan diperhitungkan  pengaruhnya  dalam  penelitian  ini  sehingga  pengaruh  epidemiologi  penyakit COVID-19  ini  dapat  diterapkan  dalam  analisis  aktuaria.  Model  ini  sudah  banyak  diterapkan  di negara-negara  selain  Indonesia,  yaitu  Hong  Kong,  London  dan  Sri  Lanka,  untuk  jenis  asuransi jiwa dan kesehatan, pada penyakit SARS, Pes dan Demam Dengue [6], [7].
Model penyebaran penyakit yang digunakan adalah model penyebaran penyakit Susceptible, Infected,  Deceased,  Recovered,  and  Susceptible (SIDRS)  yang  diinisiasi  oleh  [7],  [8]  dan diterapkan pada kasus penyakit Tuberculosis. Model SIDRS yang digunakan dalam penelitian ini adalah  pengembangan  dari  penelitian  sebelumnya  yang  dilakukan  pada  [9].  Pada  penelitian tersebut,  digunakan  pendekatan  perhitungan  premi  secara  diskrit  untuk  kasus  infeksi  penyakit secara umum dan hanya memperhitungkan faktor banyaknya manusia rentan dan terinfeksi saja sehingga hanya dapat menghitung besarnya premi asuransi kesehatan.
Pengembangan  model  tersebut  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  menerapkannya  pada kasus penderita COVID-19 dengan menggunakan nilai-nilai parameter yang disesuaikan dengan data  kasus  penderita  COVID-19  di  Indonesia  sejak  Maret  2020  -  Juli  2021  dengan  data  yang diambil dari [2] sehingga hasil simulasinya bisa lebih sesuai dengan kondisi di Indonesia.
Lebih  lanjutnya,  hasil  simulasi  dari  model  SIDRS  ini  akan  digunakan  untuk  menghitung premi  asuransi  kesehatan  dan  jiwa  untuk  tertanggung  yang  terinfeksi  COVID-19.  Metode perhitungan  premi  yang  digunakan  adalah  metode  Prinsip  Ekuivalensi  Fundamental  dengan menerapkan  prinsip  anuitas  secara  diskrit.  Selain  itu,  dengan  melibatkan  simulasi  banyaknya populasi manusia rentan yang berbeda-beda, dapat diperoleh hasil analisis pengaruhnya terhadap perubahan  harga  preminya.  Diharapkan  dari  penelitian  ini,  dapat  dihasilkan  beberapa kemungkinan  penentuan  harga  premi  yang  paling  sesuai  untuk  menutupi  kerugian  para tertanggung, namun masih terjangkau oleh kalangan masyarakat secara luas.

## 2 Metode Penelitian

## 2.1. Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
Pemodelan penyebaran penyakit COVID-19 yang akan dibahas pada paper ini mengacu pada model Susceptible,  Infected,  Deceased,  Recovered,  and  Susceptible (SIDRS)  [7],  [8].  Diagram kompartemen  yang digunakan dalam menggambarkan sistem penyebaran penyakit menularnya, dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Model Kompartemen SIDRS
Dari model kompartemen tersebut, notasi 𝑁(𝑡) , 𝑆(𝑡) , 𝐼(𝑡) , 𝐷(𝑡) , dan 𝑅(𝑡) secara berurutan menyatakan  total  populasi  manusia,  banyaknya  manusia  rentan  terhadap  penyakit,  banyaknya manusia  yang  terinfeksi  suatu  penyakit,  banyaknya  manusia  yang  meninggal  akibat  suatu penyakit,  dan  banyaknya  manusia  terinfeksi  yang  telah  sembuh  dari  penyakit  tersebut,  yang dihitung pada saat 𝑡 . Penjelasan parameter yang memengaruhinya adalah 𝜇(𝑡) yang menyatakan proporsi  individu  yang  mengambil  asuransi  pada  waktu 𝑡 , 𝛽(𝑡) yaitu  tingkat  interaksi  dengan individu  terinfeksi  pada  waktu 𝑡 , 𝜇 𝑆 (𝑡) yaitu  tingkat  pembatalan  polis  asuransi  dan  kematian dengan penyebab selain penyakit pada waktu 𝑡 , 𝛾(𝑡) yaitu tingkat kesembuhan pada waktu 𝑡 , 𝑣(𝑡) yaitu proporsi pemegang polis yang sembuh dari penyakit dan melanjutkan perlindungan asuransi pada  waktu 𝑡 , 𝜙(𝑡) yaitu  proporsi  pemegang  polis  yang  sembuh  dari  penyakit  tapi  tidak
56 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang

## Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
melanjutkan  perlindungan  asuransi  pada  waktu 𝑡 dan 𝜇 𝐼 (𝑡) yaitu  tingkat  kematian  individu terinfeksi pada waktu 𝑡 . Diketahui 𝜙(𝑡) = 1 − 𝑣(𝑡) .
Sistem  Persamaan  Diferensial (SPD) untuk  model  kompartemen  yang ditunjukkan pada Gambar 1, dirujuk pada [8], dan berlaku untuk 𝑡 ≥ 0 sebagai berikut:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜇(𝑡)𝑁(𝑡) − 𝛽(𝑡) 𝑆(𝑡) 𝑁(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝜇(𝑡) − 𝜇 𝑆 (𝑡)𝑆(𝑡) + 𝑣(𝑡)𝑅(𝑡), (1)
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽(𝑡) 𝑆(𝑡) 𝑁(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝜇(𝑡) − 𝛾(𝑡)𝐼(𝑡) + 𝜇 𝐼 (𝑡)𝐼(𝑡), (2)
𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛾(𝑡)𝐼(𝑡) − 𝑣(𝑡)𝑅(𝑡) − 𝜙(𝑡)𝑅(𝑡), (3)
𝑑𝐷(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝜇 𝐼 (𝑡)𝐼(𝑡), (4)
dengan nilai awal 𝑆(0) > 0, 𝐼(0) ≥ 0, 𝑅(0) ≥ 0, dan 𝐷(0)   ≥  0 serta berlaku hubungan
𝜇(𝑡)𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) + 𝐷(𝑡) (5)
Persamaan  diferensial  untuk 𝑁(𝑡) akan  dicari  dengan  memanfaatkan  Persamaan  (5)  sehingga dapat diperoleh Persamaan (6)
𝑁(𝑡)   = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) + 𝐷(𝑡) 𝜇(𝑡) (6)
dan diperoleh bentuk sebagai berikut
𝑑𝑁(𝑡) 𝑑𝑡 = ( 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐷(𝑡) 𝑑𝑡 )  𝜇(𝑡)   −   ( 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) + 𝐷(𝑡) )𝜇′(𝑡)
𝜇(𝑡) 2 = ( 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐷(𝑡) 𝑑𝑡 )  𝜇(𝑡) 𝜇(𝑡) 2 − ( 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) + 𝐷(𝑡))𝜇 ′ (𝑡) 𝜇(𝑡) 2 = 𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑑𝐷(𝑡) 𝑑𝑡 −  𝑁(𝑡)𝜇′(𝑡) 𝜇(𝑡) (7)

## 2.2. Perhitungan Premi berdasarkan Model Penyebaran SIDRS
Perhitungan  premi  pada  model  asuransi  kesehatan  dan  asuransi  jiwa  ini  memerlukan perhitungan  aktuaria  yang  melibatkan  peluang  kejadian  pada  kompartemen  yang  terdapat  pada Gambar 1. Pengaruh model kompartemen SIDRS terhadap perhitungan premi asuransi kesehatan dan asuransi jiwa ini, dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Hubungan Kompartemen SIDRS dengan Premi dan Manfaat Asuransi Pada  kompartemen  tersebut,  digambarkan  alur  bahwa  premi  dibayarkan  oleh  pemegang polis yang termasuk dalam golongan manusia rentan untuk periode waktu tertentu. Dalam sebuah kontrak polis asuransi, perusahaan asuransi berkewajiban untuk menyediakan manfaat yang akan diberikan  pada  pemegang  polis  yang  termasuk  dalam  golongan  manusia  untuk  periode  waktu tertentu. Pada skema yang digunakan dalam penelitian ini, premi asuransi hanya akan dibayarkan oleh pemegang polis sebelum yang bersangkutan terinfeksi suatu penyakit. Dalam hal ini, premi berupa anuitas akan dibayarkan oleh orang yang masuk dalam kompartemen 𝑆 . Manfaat asuransi kesehatan akan dibayarkan kepada tertanggung yang masuk dalam kompartemen 𝐼 dan manfaat asuransi  jiwa  akan  dibayarkan  kepada  tertanggung  yang  masuk  dalam  kompartemen 𝐷 yang mengajukan klaim asuransi. Skema perhitungan nilai-nilai aktuaria pada paper ini akan dilakukan menggunakan konsep perhitungan secara diskrit.
Pada perhitungan matematika aktuaria, lebih mudah jika digunakan nilai peluang daripada digunakan  banyaknya  kejadian  yang  sesungguhnya.  Untuk  itu  dimisalkan, 𝑠(𝑡) = 𝑆(𝑡) 𝑁(𝑡) , 𝑖(𝑡) = 𝐼(𝑡) 𝑁(𝑡) , 𝑑(𝑡) = 𝐷(𝑡) 𝑁(𝑡) , dan 𝑟(𝑡) = 𝑅(𝑡) 𝑁(𝑡) .  Sehingga,  diperoleh  sistem  persamaan  diferensial  yang  baru adalah sebagai berikut,
𝑠′(𝑡) =  𝜇(𝑡)   − 𝜑(𝑡)𝑠(𝑡)𝑖(𝑡) − 𝜇 𝑆 𝑠(𝑡) + 𝑣(𝑡)𝑟(𝑡) − 𝑠(𝑡)𝑛(𝑡) (8) 𝑖′(𝑡) = 𝜑(𝑡)𝑠(𝑡)𝑖(𝑡) − 𝛾(𝑡)𝑖(𝑡) − 𝜇 𝐼 (𝑡)𝑖(𝑡) − 𝑖(𝑡)𝑛(𝑡) (9) 𝑟′(𝑡) = 𝛾(𝑡)𝑖(𝑡) − 𝑣(𝑡)𝑟(𝑡) − 𝜙(𝑡)𝑟(𝑡) − 𝑟(𝑡)𝑛(𝑡) (10) 𝑑′(𝑡) = 𝜇 𝐼 (𝑡)𝑖(𝑡) − 𝑑(𝑡)𝑛(𝑡) (11)
dengan 𝑠(0) = 𝑠 0 , 𝑖(0) = 𝑖 0 , 𝑟(0) = 𝑟 0 , 𝑑(0)   =   𝑑 0 , dan 𝜑(𝑡) = 𝛽(𝑡) 𝜇(𝑡) . Proporsi 𝑠(𝑡), 𝑖(𝑡), 𝑑(𝑡), dan 𝑟(𝑡) merupakan peluang seseorang termasuk ke dalam kelompok rentan, terinfeksi, meninggal
58 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
karena  penyakit,  dan  sembuh  dari  penyakit  secara  berturut-turut.    Selanjutnya,  akan  dijabarkan nilai-nilai aktuaria yang digunakan dalam perhitungan premi dan manfaat pada beberapa kasus. 2.2.1. Perhitungan Premi dengan Manfaat Berupa Sekali Pembayaran
Perhitungan premi dari polis asuransi ini dipengaruhi oleh Nilai Tunai Aktuaria (NTA) untuk anuitas pembayaran premi, anuitas manfaat kesehatan maupun jiwa. Pada kasus ini, manfaat yang diberikan  perusahaan  asuransi  hanya  akan  dibayarkan  sekali  saja,  yaitu  ketika  tertanggung terinfeksi virus COVID-19 dan memerlukan perawatan inap di rumah sakit atau ketika tertanggung akhirnya meninggal karena penyakit ini.
NTA premi yang dibayarkan secara diskrit selama 𝑇 periode akan dinotasikan dengan 𝑎 𝑠 [0,𝑇] karena dipengaruhi oleh banyaknya orang yang masuk ke kompartemen 𝑆 . Formula perhitungan NTA premi tersebut adalah sebagai berikut,
𝑎 𝑠 [0,𝑇] = ∑ 𝑒 −𝛿𝑡 𝑠(𝑡),
𝑇 𝑡=0 (12)
dengan 𝛿 adalah suku bunga kontinu per tahun yang diasumsikan konstan.
NTA manfaat kesehatan akan dinotasikan dengan 𝐴 𝑖 [0,𝑇] karena dipengaruhi oleh banyaknya orang yang termasuk dalam kompartemen 𝐼 sedangkan NTA manfaat kematian akan dinotasikan dengan 𝐴 𝑑 [0,𝑇] karena dipengaruhi oleh banyaknya orang yang termasuk dalam kompartemen 𝐷 . Formula NTA manfaat kesehatan adalah
𝐴 𝑖 [0,𝑇] = ∑ 𝑒 −𝛿𝑡 𝜑(𝑡)𝑠(𝑡)𝑖(𝑡), 𝑇 𝑡=0 (13)
dengan 𝜑(𝑡)𝑠(𝑡)𝑖(𝑡) menyatakan  peluang  seseorang  baru  terinfeksi  pada  waktu  ke- 𝑡 .  Formula NTA manfaat kematian adalah
𝐴 𝑑 [0,𝑇] = ∑ 𝑒 −𝛿𝑡 𝜇 𝐼 (𝑡)𝑖(𝑡), 𝑇 𝑡=0 (14)
Dengan  menggunakan  Prinsip  Ekuivalensi  Fundamental  pada  ilmu  aktuaria  untuk menentukan  besaran  premi  [10]  dan  menganggap  besaran  manfaat  kesehatan  adalah 𝐵 𝑖 dan manfaat  kematian  adalah 𝐵 𝑑 ,  formula  perhitungan  premi  untuk  polis  dengan  manfaat  yang dibayarkan dalam sekali pembayaran, adalah sebagai berikut,
𝑃 𝐿𝑆 𝑎 𝑠 [0,𝑇] = 𝐵 𝑖 𝐴 𝑖 [0,𝑇] + 𝐵 𝑑 𝐴 𝑑 [0,𝑇]
𝑃 𝐿𝑆 = 𝐵 𝑖 𝐴 𝑖 [0,𝑇] + 𝐵 𝑑 𝐴 𝑑 [0,𝑇] 𝑎 𝑠 [0,𝑇] (15)

## 2.2.2. Perhitungan Premi dengan Manfaat Berupa Anuitas
Pada  kasus  ini,  perhitungan  NTA  premi  masih  sama  seperti  perhitungan  premi  dengan manfaat  berupa  sekali  pembayaran.  Namun,  untuk  perhitungan  NTA  manfaat  kesehatan  dan kematian akan berbeda karena manfaat kesehatan dan kematian memiliki skema pembayaran yang berupa anuitas. NTA manfaat kesehatan akan dinotasikan dengan 𝑎 𝑖 [0,𝑇] karena dipengaruhi oleh peluang  orang  yang  masuk  ke  kompartemen 𝐼 yang  disimbolkan  dengan 𝑖(𝑡) ,  sedangkan  NTA manfaat kematian akan dinotasikan dengan 𝑎 𝑑 [0,𝑇] karena dipengaruhi oleh peluang orang yang masuk  ke  kompartemen 𝐷 yang  disimbolkan  dengan 𝑑(𝑡) .  Formula  perhitungan  NTA  manfaat kesehatan adalah
𝑎 𝑖 [0,𝑇] = ∑ 𝑒 −𝛿𝑡 𝑖(𝑡) 𝑇 𝑡=0 . (16)
Formula perhitungan NTA manfaat kematian adalah
𝑎 𝑑 [0,𝑇] = ∑ 𝑒 −𝛿𝑡 𝑑(𝑡) 𝑇 𝑡=0 . (17)
Dengan menggunakan prinsip perhitungan premi yang sama seperti pada Persamaan (15), formula perhitungan  premi  untuk  polis  asuransi  yang  manfaatnya  dibayarkan  secara  berkala,  diperoleh dengan cara sebagai berikut,
𝑃 𝐴 𝑎 𝑠 [0,𝑇] = 𝐵 𝑖 𝑎 𝑖 [0,𝑇] + 𝐵 𝑑 𝑎 𝑑 [0,𝑇]
𝑃 𝐴 = 𝐵 𝑖 𝑎 𝑖 [0,𝑇] + 𝐵 𝑑 𝑎 𝑑 [0,𝑇] 𝑎 𝑠 [0,𝑇] (18)

## 3 Hasil dan Pembahasan
Dalam simulasi pada penelitian ini, akan digunakan data penderita COVID-19 di Indonesia. Data  tersebut  berupa  banyak  orang  yang  terinfeksi  COVID-19,  banyak  orang  yang  meninggal akibat COVID-19, dan banyak orang yang sembuh setelah terinfeksi COVID-19. Data tiap bulan dari bulan Maret 2020 sampai Juli 2021 akan dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3. Grafik Banyaknya Manusia Terinfeksi dan Sembuh per Bulan
Gambar 4. Grafik Banyaknya Manusia Meninggal per Bulan
Data  diperoleh  dari  situs  resmi  yang  dikembangkan  oleh  Kementerian  Komunikasi  dan Informatika Republik  Indonesia (Kemkominfo)  [2]. Data menunjukkan bahwa selama 17 bulan sejak awalnya virus COVID-19 menyebar di Indonesia, banyaknya manusia yang terinfeksi dan meninggal  melonjak  tinggi  pada  2  bulan  terakhir.  Akan  tetapi,  hal  tersebut  diikuti  juga  oleh banyaknya orang yang sembuh setelah terinfeksi COVID-19. Selain data di atas, digunakan juga data berupa angka kematian penduduk Indonesia dan proporsi penduduk Indonesia yang memiliki polis  asuransi  yang  akan  digunakan  dalam  penentuan  nilai  parameter.  Penggunaan  parameter tersebut akan dibahas pada subbab selanjutnya.

## 3.1  Penentuan Parameter dan Solusi Numerik dari SPD
Parameter-parameter yang diperlukan untuk melakukan simulasi ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Parameter yang Digunakan dalam Simulasi Notasi Keterangan Nilai 𝜇 Tingkat membeli asuransi 0,05555 + 0,0031𝑡 𝜇 𝐼 Tingkat kematian diakibatkan penyakit 0,0277 − 0,0007𝑡 𝜇 𝑆 Tingkat kematian diakibatkan selain penyakit 2,82 ∗ 10 −4 + 0,00005𝑡 𝛾 Tingkat pemulihan 0,2582 + 0,0266𝑡 𝛽 Tingkat transmisi penyakit 0,0876 + 0,34𝑡 𝑣 Proporsi manusia sembuh yang kembali membeli asuransi 0,1721 + 0,0177𝑡 𝛿 Tingkat suku bunga 0,03 𝑇 Masa tenggang polis 12
*dengan 𝑡 menyatakan waktu dalam bulan
Keterangan penentuan parameter:
1. Nilai 𝜇 didasari oleh berita yang menyatakan bahwa 2 dari 3 penduduk Indonesia memiliki asuransi jiwa dan kesehatan [11]. Selama 3 tahun terakhir, banyak orang yang memiliki asuransi  mengalami  peningkatan  sebesar 11% .  Peningkatan  pemilik  asuransi  terhadap waktu diasumsikan sama dengan peningkatan 3 tahun terakhir. Sehingga,
𝜇(𝑡) =   ( 2 3 ) ( 1 12 ) + 11%  ( 1 12 ) ( 1 3 ) 𝑡 = 0,0555 + 0,0031𝑡 .
2. Nilai 𝜇 𝐼 didasari oleh analisis data banyaknya orang meninggal karena COVID-19 (𝐷(𝑡)) dan  terinfeksi  setiap  bulan  akibat  COVID-19 (𝐼(𝑡)) .  Parameter 𝜇 𝐼 adalah  perbandingan antara 𝐷(𝑡) dan 𝐼(𝑡) .  Setelah  memperoleh  nilai 𝜇 𝐼 setiap  bulan,  hampiran 𝜇 𝐼 diperoleh dengan menggunakan regresi linear sederhana.
3. Parameter 𝜇 𝑆 didasari oleh data proyeksi banyaknya orang yang meninggal pada tahun 2020.
Proyeksi  data  ini  tidak  dipengaruhi  oleh  pandemi  COVID-19  karena  dibuat  sebelum terjadinya  pandemi  tersebut.  Tingkat  kematian  adalah  perbandingan  antara  banyaknya orang yang meninggal dan besar populasi. Diketahui pada tahun 2020, kira-kira sebanyak 900.000 orang meninggal dengan total populasi penduduk Indonesia adalah 265.185.520 orang. Dari tahun 2015  sampai 2020, secara rata-rata banyaknya orang  yang meninggal adalah 850.000. Nilai 𝜇 𝑆 (𝑡) akan dihitung dengan menjumlahkan tingkat kematian pada tahun 2020 dan peningkatannya terhadap waktu. Peningkatan kematian diasumsikan sama dengan peningkatan kematian pada tahun 2015 sampai 2020. Sehingga,
62 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
𝜇 𝑆 (𝑡) =   ( 900.000 265.185.520 ) ( 1 12 ) + ( 850.000 265.185.520 ) ( 1 12 ) ( 1 5 ) 𝑡 = 2,8282 ∗ 10 −4 +
0,000053𝑡 .
4. Nilai 𝛾 didasari oleh perbandingan antara 𝑅(𝑡) dan 𝐼(𝑡) . Dengan memperhitungkan tingkat pemulihan/bulan dari para penderita COVID-19 yang diamati selama pengumpulan data dalam 17 bulan, hampiran 𝛾(𝑡) diperoleh dengan menggunakan regresi linear sederhana.
5. Diasumsikan 2 3 orang yang sembuh membeli polis asuransi kembali. Jadi, nilai 𝑣(𝑡) adalah 2 3 𝛾(𝑡) , sehingga 𝑣(𝑡) =   ( 2 3 ) 𝛾(𝑡) = ( 2 3 ) (0,2582  +  0,0266𝑡) = 0,1721  +  0,0177𝑡 6. Parameter 𝛽 dan 𝛿 di  Indonesia  diasumsikan  sama  dengan  nilai  tersebut  di  Nigeria.
Sehingga, nilai 𝛽(𝑡) dan 𝛿(𝑡) pada paper ini akan dikutip dari [8].
7. Polis diasumsikan berlaku selama 12 bulan sehingga 𝑇 = 12 .
Selanjutnya  nilai 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝐷(𝑡), dan 𝑁(𝑡) untuk  setiap 𝑡 dari  Persamaan  (1),  (2),  (4),  dan  (7) perlu  dihitung  agar  dapat  menentukan  besaran  premi  asuransi  jiwa  dan  kesehatan.  Akan  tetapi, karena  tidak  mudah  menentukan  solusi  dari  SPD  Persamaan  (1)-(4)  dan  (7),  maka  dengan menggunakan perangkat lunak Maple, akan digunakan solusi numeriknya dengan asumsi durasi waktunya  12  bulan  ( 𝑇 = 12 ).  Parameter  yang  dijabarkan  pada  Tabel  1  akan  digunakan  dalam mencari  solusi  numerik  ini.  Nilai  awal  ditentukan  berdasarkan  data  lapangan  yang  digunakan, yaitu 𝑁(0) = 265.185.520, 𝑆(0) = 14.716.722, 𝐼(0) = 1.018, 𝐷(0) = 2 .
Hasil numerik dari 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝐷(𝑡), dan 𝑁(𝑡) ditampilkan dalam grafik pada Gambar (5). Pada Gambar (5) diperlihatkan banyaknya total populasi, manusia rentan, manusia terinfeksi, dan manusia meninggal selama 12 bulan. Grafik tersebut memperlihatkan bahwa seiring berjalannya waktu banyak manusia rentan, terinfeksi, dan meninggal akan bertambah pesat pada suatu waktu tertentu.
Setelah memperoleh nilai 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝐷(𝑡), dan 𝑁(𝑡) untuk 𝑡 = 1, 2, . . . , 12 , dapat diperoleh nilai 𝑠(𝑡), 𝑖(𝑡), dan 𝑑(𝑡) dengan 𝑠(𝑡) = 𝑆(𝑡) 𝑁(𝑡) , 𝑖(𝑡) = 𝐼(𝑡) 𝑁(𝑡) , dan 𝑑(𝑡) = 𝐷(𝑡) 𝑁(𝑡) . Selanjutnya sudah dapat diperoleh  nilai 𝑎 𝑠 [0,12] , 𝑎 𝑖 [0,12] , 𝑎 𝑑 [0,12] , 𝐴 𝑖 [0,12] , 𝐴 𝑑 [0,12] dengan  menggunakan  Persamaan  (12)  - (14), (16) dan (17). Perhitungan premi akan dilakukan pada 2 jenis kasus pembayaran manfaat seperti yang akan dijelaskan berikut ini.
Gambar 5 . Solusi Numerik dari SPD 3.2  Hasil Simulasi dengan Manfaat Berupa Sekali Pembayaran
Simulasi dilakukan dengan menggunakan hasil solusi numerik yang didukung dengan nilai-nilai parameter  yang  telah  ditentukan  pada  Tabel  1.  Dari  persamaan  (12),  diperoleh  nilai 𝑎 𝑠 [0,12] = 0,778383 ,  dari  Persamaan  (13),  diperoleh  hasil 𝐴 𝑖 [0,12] = 0,043913 ,  dan  dari Persamaan  (14), diperoleh nilai 𝐴 𝑑 [0,12] = 0,000247 .
Diasumsikan 𝐵 𝑖 = 𝑅𝑝60.000.000 dan 𝐵 𝑑 =  𝑅𝑝150.000.000 .  Dengan  asumsi  tersebut, dari Persamaan (15) akan dihitung besar premi/bulan untuk asuransi  yang memberikan manfaat kesehatan dan kematian sebagai berikut:
𝑃 𝐿𝑆 = (60.000.000)(0,043913)+(150.000.000)(0,043913) 0,778383 = 𝑅𝑝 3.432.723,678 /bulan.
3.3  Hasil Simulasi dengan Manfaat Berupa Anuitas
Dengan menggunakan cara yang sama, dari Persamaan (12) diperoleh 𝑎 𝑠 [0,12] = 0,778383 , dari Persamaan  (16),  diperoleh 𝑎 𝑖 [0,12] = 0,013056 dan  dari  Persamaan  (17),  diperoleh 𝑎 𝑑 [0,12] = 0,000085.
Diasumsikan 𝐵 𝑖 = 𝑅𝑝5.000.000 /bulan  yang  dibayarkan  sejak  penderita  terinfeksi  COVID-19 selama  12  bulan.  Akan  tetapi,  jika  tertanggung  tersebut  meninggal  akibat  COVID-19,  maka
64 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
pembayaran 𝐵 𝑖 akan berhenti dan digantikan dengan 𝐵 𝑑 =  𝑅𝑝12.500.000 /bulan yang dibayarkan selama 12 bulan. Maka, besar premi/bulan untuk asuransi  yang memberikan manfaat kesehatan dan kematian dapat ditentukan dengan menggunakan Persamaan (18).
𝑃 𝐴 = (5.000.000)( 0 , 013056 )+(12.500.000)( 0 , 000085 ) 0,778383 = 𝑅𝑝 85.225,976 /bulan.

## 3.4  Simulasi Perhitungan Premi Akibat Perubahan 𝑆(𝑡)
Pada subbab ini akan disimulasikan pengaruh banyaknya pemegang polis terhadap besar premi. Diasumsikan kasus 1 dengan banyaknya pemegang polis pada saat awal meningkat sebesar 10% dan kasus 2 dengan banyaknya pemegang polis pada saat awal menurun sebesar 10%. Pada kasus 1, nilai 𝜇(𝑡) = 0,0611 + 0,0031𝑡 dan pada kasus 2, nilai 𝜇(𝑡) = 0,05 + 0,0031𝑡 .
Gambar 6. Grafik 𝑆(𝑡) Terhadap 𝑡
Nilai 𝜇(𝑡) yang  berubah  akan  memengaruhi  solusi  numerik 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝐷(𝑡), dan 𝑅(𝑡) .  Secara khusus, perubahan grafik 𝑆(𝑡) akibat perubahan 𝜇(𝑡) dapat dilihat pada Gambar (6) sehingga pasti akan  memengaruhi  besar  preminya.  Selanjutnya  akan  dilakukan  perhitungan  premi  dengan manfaat yang dibayarkan dalam sekali pembayaran dan dengan manfaat berupa anuitas.
Hasil  perbandingan  perhitungan 𝑎 𝑠 [0,12] , 𝑎 𝑖 [0,12] , 𝑎 𝑑 [0,12] , 𝐴 𝑖 [0,12] , dan 𝐴 𝑑 [0,12] beserta perbandingan  besar  premi  untuk  kedua  kasus  tersebut,  dengan  asumsi  besar  manfaatnya  masih sama  seperti  contoh  kasus  sebelumnya,  dapat  dilihat  semua  hasilnya  pada  Tabel  2.  Untuk mempermudah  menganalisis  hasil  secara  keseluruhan,  ditambahkan  juga  hasil  perhitungan  dari kasus awal yang telah dihitung di subbab sebelumnya.

## Tabel 2. Perbandingan Premi Kasus 1 dan Kasus 2
Kasus 𝑎 𝑠 [0,12] 𝑎 𝑖 [0,12] 𝑎 𝑑 [0,12] 𝐴 𝑖 [0,12] 𝐴 𝑑 [0,12] 𝑃 𝐿𝑆 /bulan (Rupiah) 𝑃 𝐴 /bulan (Rupiah) 1 0,839246 0,012933 0,000083 0,044114 0,000245 3.197.728,607 78.288,652 Awal 0,778383 0,013056 0,000085 0,043913 0,000247 3.432.723,678 85.225,976 2 0,717492 0,013199 0,000087 0,043681 0,000251 3.705.212,408 93.493,171

## 3.5  Hasil Analisis Studi Kasus
Pada  studi  kasus  perhitungan 𝑃 𝐿𝑆 dan 𝑃 𝐴 ,  diperoleh  hasil  yang  berbeda  antara  keduanya. Didapatkan  hasil 𝑃 𝐴 jauh  lebih  kecil  dibandingkan  hasil  dari 𝑃 𝐿𝑆 .  Perbedaan  nilai  premi  ini, disebabkan oleh perbedaan skema pemberian manfaat yang berbeda di masing-masing skemanya dengan  kelebihan  dan  kekurangan  masing-masing  sesuai  dengan  kemampuan  keuangan  dari pemegang polisnya. Kelebihan yang diperoleh tertanggung jika mengambil skema manfaat yang berupa sekali pembayaran adalah tertanggung dapat langsung memperoleh manfaat kesehatan dan kematian secara utuh tanpa harus menunggu pembayaran manfaat yang dicicil selama 12 bulan. Namun, premi yang harus dibayarkan pada skema ini memang lebih tinggi dibandingkan premi dengan skema manfaat berupa anuitas.
Sebaliknya, untuk skema manfaat berupa anuitas, kelebihannya adalah besaran premi yang harus dibayarkan relatif lebih murah. Harapannya dengan skema manfaat yang dibayarkan secara anuitas,  dengan  pembayaran  premi  yang  lebih  murah,  maka  pembelian  polis  ini  semakin terjangkau  oleh  masyarakat,  sehingga  proteksi  asuransi  kesehatan  dapat  dirasakan  manfaatnya oleh masyarakat dengan beragam tingkat pendapatan.
Selanjutnya, dari simulasi pengaruh banyaknya pemegang polis (𝑆(𝑡)) terhadap besar premi yang ditampilkan dalam Tabel 2 yang telah memperhitungkan juga penerapan data COVID-19 di Indonesia, dapat dianalisis pengaruh 𝜇(𝑡) terhadap besar premi, baik 𝑃 𝐿𝑆 maupun 𝑃 𝐴 . Jika 𝜇(𝑡) semakin  membesar  yang  mengakibatkan  nilai 𝑆(𝑡) membesar,  maka  baik 𝑃 𝐿𝑆 maupun 𝑃 𝐴 akan mengecil.  Penerapan  hasil  analisis  ini  secara  langsung  di  perusahaan  asuransi  adalah  dengan meningkatnya banyaknya pemegang polis, maka perusahaan asuransi dapat menekan harga premi menjadi semakin rendah dan lebih terjangkau oleh masyarakat dari kalangan yang lebih luas. Hal ini sesuai dengan hasil yang telah disampaikan dalam penelitian sebelumnya [9].

## 4 Simpulan
Peluang  terinfeksi  virus  COVID-19  berbeda  dengan  peluang  terkena  penyakit  kritis  yang ditanggung oleh perusahaan asuransi pada umumnya, sehingga penyebaran virus COVID-19 harus
66 Simulasi Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan dan Jiwa pada Penderita Covid-19 yang Dipengaruhi Model Penyebaran Penyakit Menular SIDRS
dipertimbangkan  dalam  perhitungan  besar  premi  asuransi.  Pada  penelitian  ini,  parameter- parameter yang digunakan dalam model SIDRS ditentukan berdasarkan data lapangan COVID-19 di Indonesia. Oleh karena itu, penerapan model SIDRS pada penyebaran penyakit COVID-19 ini mempunyai peran yang besar dalam memperhitungkan besar premi asuransi jiwa dan kesehatan.
Penelitian  ini  menelaah  skema  perhitungan  premi  dengan  dua  pendekatan  pembayaran manfaat  yang  berbeda  yaitu  manfaat  berupa  sekali  pembayaran  dan  manfaat  berupa  anuitas. Dengan  skema  manfaat  berupa  sekali  pembayaran,  tertanggung  dapat  memperoleh  manfaat kesehatan  dan  kematian  secara  sekaligus  walaupun  premi  yang  dibayarkan  lebih  tinggi dibandingkan dengan premi dari skema manfaat berupa anuitas. Namun, skema manfaat berupa anuitas ini, tetap memiliki kelebihan karena dengan harga premi yang lebih rendah, skema polis asuransi ini akan lebih terjangkau oleh kalangan masyarakat yang lebih luas.
Banyaknya  pemegang  polis  akan  memengaruhi  hasil  perhitungan  premi.  Jika  banyak pemegang polis meningkat, maka harga premi akan menjadi lebih  rendah. Dengan harga premi yang lebih rendah, diharapkan masyarakat dari berbagai kalangan dapat memperoleh proteksi yang memadai terhadap risiko akibat virus COVID-19.
Hasil  dari  penelitian  ini  diharapkan  dapat  diterapkan  oleh  perusahaan  asuransi  agar  tidak sampai terjadi kerugian yang menyebabkan perusahaan asuransi tersebut bangkrut. Persiapan ini sangat  diperlukan  agar  perusahaan  asuransi  dapat  mengantisipasi  pembayaran  manfaat  jika  ada pengajuan klaim dari para tertanggungnya.
Saran untuk pengembangan penelitian ini adalah penelitian difokuskan pada area yang lebih kecil misalnya pada propinsi atau kota, sehingga data yang diterapkan dalam model ini dapat lebih akurat. Selain itu, dapat digunakan juga model kompartemen lain yang lebih sesuai dengan model penyebaran dan pemberian manfaat asuransi kesehatan dan kematian akibat terinfeksi COVID-19.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer yang sudah memberikan masukan yang berharga untuk perbaikan materi dalam paper ini. Tidak lupa penulis juga berterima kasih kepada Kementerian Komunikasi dan Informatika Republik Indonesia (Kemkominfo) untuk data yang  disediakan  untuk  mendukung  riset  ini.  Terakhir,  dukungan  dari  Universitas  Katolik Parahyangan agar penulis terus berkarya dalam penelitian sangat penulis hargai.

## 6 Daftar Pustaka
[1] K. N. Azizah, “Kronologi 2 Pasien Pertama Virus Corona covid-19 di Indonesia,” Detik Health , 2020. https://health.detik.com/berita-detikhealth/d-4922758/kronologi-2-pasien- pertama-virus-corona-covid-19-di-indonesia/1 (accessed Jul. 12, 2021).
[2] Satuan Tugas Penanganan COVID-19, “Peta Sebaran COVID-19,” 2021. https://covid19.go.id/peta-sebaran (accessed Nov. 18, 2021).
[3] R. Widiyani, “Empat Sekawan Penyebab DBD,” 2013. http://health.kompas.com/read/2013/ 04/03/18534298/Empat.Sekawan.Penyebab.DBD.
[4] J. Suaya, D. Shepard, J. Siquera, C. Martelli, L. Lum, and L. Tan, “Cost of Dengue Cases in Eight Countries in The Americas and Asia : A Prospective Study,” Am. J. Trop. Med. Hyg. , vol. 80, no. 05, pp. 846–855, 2009.
[5] R. A. Hemmins, J. Harkensee, and M. Rowell, “System and Method for Providing Immediate, Short-Term Life Insurance Coverage and Facilitating Offers of Longer-Term Insurance,” United States Pat. Appl. Publ. , pp. 1–13, 2012.
[6] R. Feng and J. Garrido, “Actuarial application of epidemiological models,” North Am. Actuar. J. , vol. 14, no. 1, pp. 112–136, 2011.
[7] D. L. M. . Samaranayake, D. I. J. Samaranayake, “Insurance Contract for Epidemiological Diseases Spread,” Sri Lanka J. Econ. Res. , vol. 5, no. 2, pp. 103–124, 2018.
[8] C. Nkeki and G. Ekhaguere, “Some Actuarial Mathematical Models for Insuring the Susceptible of a Communicable Disease,” Int. J. Financ. Eng. , pp. 1–45, 2020.
[9] P. Louis, F. Kristiani, and B. Yong, “Pengaruh Banyaknya Populasi Manusia Rentan dalam Penyebaran Penyakit Menular pada Perhitungan Premi Asuransi Kesehatan,” 2021.
[10]  N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, and C. J. . Nesbitt, Actuarial Mathematics . Society of Actuaries, 1997.
[11]  M. Nafi, “1 dari 3 Penduduk Tidak Punya Asuransi Kesehatan,” 2021. https://lokadata.id/artikel/1-dari-3-penduduk-tak-punya-asuransi-kesehatan.