JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 4, Tahun 2021, Halaman 562 - 572 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## COPULA FRANK UNTUK PERHITUNGAN VALUE AT RISK PORTOFOLIO BIVARIAT PADA MODEL EXPONENTIAL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY
Eka Anisha 1 , Di Asih I Maruddani 2 , Suparti 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : ekaanisha29@gmail.com

## ABSTRACT
Stocks are one type of investment that promises return for investors but often carries a high risk. Value at Risk (VaR) is a measuring tool that can calculate the amount of the worst loss that occurs in a stock portfolio with a certain level of confidence and within a certain time period. In general, financial data have a high volatility value, which causes the residuals are not  normally distributed. ARCH/GARCH  modoel  is used to solve the heteroscedasticity problem. If the data also have an asymmetric effect, it is modelled with Exponential GARCH model. Copula-Frank is part of the Archimedian copula which is used to solve empirical cases. The data on this  study  were  BBCA  and  KLBF  stock  price  return  data  in  the observation  period  30  December 2011  –  6 December 2019. Furthermore, to test the validity of the VaR model, a backtesting test will be carried out using the Kupiec Test. The results showed that the best model used for BBCA stocks was ARIMA (1,0,1) EGARCH (1,1) and for KLBF stocks was ARIMA (1,0,1) EGARCH (1,2). The amount of risk with a 95% confidence level used a combination of the EGARCH and Copula-Frank models was 2.233% of today's investment. Based on the backtesting test used the Kupiec Test, the VaR model of the portfolio obtained was declared valid.
Keywords: Value at Risk, EGARCH, Copula-Frank, Backtesting, Kupiec Test.

## 1. PENDAHULUAN
Kehidupan masyarakat yang sudah sangat berkembang diikuti dengan kebutuhan yang sangat  banyak  membuat  masyarakat  harus  cermat  menyimpan  uang  atau  modalnya  untuk kebutuhan  di  masa  mendatang  yang  tidak  terduga.  Salah  satu  caranya  yaitu  dengan berinvestasi. Ada dua pilihan aset yang dapat dipilih investor untuk berinvestasi, yaitu aset riil dan aset keuangan. Wujud dari aset keuangan dapat diwakili oleh sebentuk kertas sebagai bentuk  bukti  klaim  pada  pihak  yang  menerbitkan,  contohnya  adalah  saham  dan  obligasi (Jones, 2007). Saham dapat didefinisikan sebagai tanda penyertaan atau pemilikan seseorang atau  badan  dalam  suatu  perusahaan  atau  perseroan  terbatas  (Darmadji,  2001).  Pada umumnya  tujuan  investor  melakukan  investasi  adalah  untuk  mendapatkan  keuntungan maksimal  dengan  risiko  yang  minimal,  sedangkan  untuk  memaksimalkan  keuntungan ( return) dan  meminimalkan  resiko  ( risk), maka  seorang  investor  harus  membentuk  suatu portofolio saham.
Pembentukan portofolio ditujukan untuk memperoleh suatu investasi yang memberikan return yang sama namun memberikan risiko rendah, atau dengan risiko yang sama namun memberikan return yang lebih tinggi. Untuk mengetahui saham mana yang memiliki tingkat keuntungan yang tinggi dengan risiko tertentu serta meminimalkan risiko tersebut, salah satu metode analisis risiko yang dapat digunakan adalah Value at Risk (VaR). VaR merupakan alat ukur yang dapat menghitung besarnya kerugian terburuk yang terjadi pada portofolio saham dengan tingkat kepercayaan tertentu dan dalam periode waktu tertentu.
Pada umumnya data return finansial kebanyakan memiliki volatilitas yang tinggi dan biasanya memiliki kecenderungan berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu sehingga varian dari residualnya akan selalu berubah setiap waktu atau tidak konstan. Hal ini disebut sebagai kasus heteroskedastisitas. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk mengatasi masalah  heteroskedastisitas,  yaitu  metode  ARCH/GARCH.  Model  ARCH/GARCH mempunyai kelemahan dalam menangkap fenomena ketidaksimetrisan good news dan bad
news pada volatilitas sektor keuangan, artinya antara gejolak positif ( good news) dan gejolak negatif ( bad news) tidak seimbang. Menurut Tsay (2002), kelemahan model ARCH/GARCH tersebut bisa diperbaiki dengan menggunakan model GARCH asimetris yaitu Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (EGARCH).
Pada  kenyataanya  dalam  data  keuangan  banyak  ditemukan  data  tidak  berdistribusi normal dan terdapat ketergantungan di antara return saham. Sehingga diperkenalkan suatu alat yaitu copula untuk mengatasi masalah tersebut. Teori copula merupakan suatu alat yang sangat powerful untuk memodelkan distribusi gabungan karena tidak mensyaratkan asumsi normalitas  dari  data  sehingga  cukup  fleksibel  untuk  berbagai  bentuk  data terutama  untuk data return saham dan dapat menangkap tail dependence diantara masing-masing variabel. Copula Archimedian, memiliki  beberapa  anggota  keluarga,  yaitu  copula  Clayton,  copula Gumbel dan copula Frank. Copula Frank cukup terkenal untuk beberapa alasan, yaitu copula Frank  dapat  menyatakan  hubungan  dependensi  dalam  positif  maupun  negatif,  struktur dependensi copula Frank simetris, dan cakupan jarak dependensi yang diijinkan sangat luas (Arna et  al, 2017).  Selain itu,  copula  Frank  adalah  bagian  dari copula Archimedian yang paling  sering  digunakan  dan  merupakan  copula Archimedian yang  paling  dikenal  dalam menyelesaikan kasus empiris (Cherubini et al, 2004). Xu (2012) mengukur Value at Risk (VaR) portofolio dengan copula dan menunjukkan struktur dependensi. Dari berbagai metode pengukuran risiko yang dapat dilakukan, tentu akan  timbul  petanyaan  bagaimana  memilih  metode  terbaik  dalam  pengukuran  risiko (perhitungan VaR), hal tersebut dapat dilakukan dengan melakukan backtesting. Backtesting merupakan metode  untuk  mengevaluasi Value  at Risk dengan  memeriksa  nilai-nilai  yang dihasilkan  pada  periode  yang  lalu  (Danielsson,  2011).  Berdasarkan  fenomena  tersebut, penelitian ini bertujuan untuk menghitung nilai VaR dengan menggunakan kombinasi antara model  asimetris Exponential  Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity (EGARCH) dengan copula Frank, kemudian untuk menguji validitas model Value at Risk (VaR) maka akan dilakukan uji backtesting pada portofolio saham KLBF dan BBCA pada periode 30 Desember 2011 – 6 Desember 2019.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Stasioneritas
a. Uji Stasioneritas dalam Mean
Uji Augmented Dickey-Fuller  (ADF)  merupakan  salah  satu  uji  yang  paling  sering digunakan  dalam  pengujian  stasioneritas  data  yakni  dengan  melihat  apakah  terdapat  akar unit  (kondisi tidak  stasioner)  pada  model  atau  tidak.  Uji  ADF  memiliki  hipotesis sebagai berikut:
Hipotesis: H 0 : 𝛿 = 0 , data tidak stasioner H 1 : 𝛿 < 0 , data stasioner Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝑇 = 𝛿̂ 𝑆𝐸 (𝛿) ̂ (1)
Kriteria uji:
H 0 ditolak jika nilai T lebih besar dari titik kritis T * pada tabel Dickey-Fuller atau jika nilai p-value < α
b. Uji Stasioneritas dalam Varian
Transformas Box-Cox dapat dilakukan untuk menstasionerkan data runtun waktu yang tidak stasioner dalam varian. Secara matematis transformasi Box-Cox menurut Soleymani (2018) dapat dirumuskan:
𝑌 (𝝀) = { (𝑌 𝜆 −1) 𝜆 ,   𝝀  ≠ 𝟎 𝑙𝑜𝑔 𝑌, 𝝀 = 𝟎
2.2. Analisis Runtun Waktu
a. Automatic ARIMA
Menurut  (Rosadi,  2008)  untuk  menentukan  model  ARIMA  terbaik  dapat  diperoleh melalui  fungsi auto.arima(). Penggunaan  fungsi auto.arima() ini  menggunakan variasi  algoritma  Hyndman-Khandakar  yang  menggabungkan  uji unit  root ,  nilai  AIC terkecil, dan MLE untuk mendapatkan model ARIMA terbaik (Hyndman dan Khandakar, 2008). Algoritma Hyndman-Khandakar untuk pemodelan automatic ARIMA adalah sebagai berikut:
1. Menentukan  jumlah  differensi  0 ≤ 𝑑 ≤ 2 menggunakan  uji  KPPS  (Kwiatkoski- Phillips-Schmidt-Shin test ) atau uji akar unit berulang.
2. Menentukan nilai p dan q dengan meminimalkan nilai AIC setelah dilakukan differensi d. algoritma  ini  menggunakan  pencarian bertahap  untuk  pemodelan,  sehingga  tidak perlu lagi mempertimbangkan setiap kemungkinan kombinasi antara p dan q .
Nilai  AIC  ( Akaike’s  Information  Criterion )  dapat  digunakan  untuk  menentukan pemilihan model terbaik. Model yang terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC yang minimal. Rumus untuk memperoleh nilai AIC ditulis sebagai berikut (Rosadi, 2012):
AIC = 𝑛 log ( 𝑆𝑆𝑅 𝑛 ) + 2𝑘 (2)
b. Uji Lagrange Multiplier (LM)
Uji  Lagrange Multiplier (LM)  diperkenalkan  oleh  Engle  (1982)  digunakan  untuk mengecek ada tidaknya efek ARCH. Berikut merupakan langkah pengujian hipotesis untuk mengetahui ada atau tidaknya efek ARCH/GARCH Hipotesis:
H 0 : 𝛼 1 =   𝛼 2 = ⋯ = 𝛼 𝑚 = 0  (tidak  ada  efek  ARCH/GARCH  dalam  residual sampai lag ke- m )
H 1 : paling sedikit ada satu 𝛼 𝑖 ≠ 0 i = 1,2,…, m (ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke- m)
Taraf Signifikansi: 𝑎 Statistik uji: LM = nR 2 (3) Kriteria uji:
H 0 ditolak jika nilai probabilitas LM > 𝜒 𝑚 ² atau p-value < 𝑎
c. Model ARCH dan GARCH
Model  pertama  yang  digunakan  untuk  memodelkan  volatilitas  residual  data  adalah model Autoegressive  Conditional  Heteroscedasticity (ARCH)  yang  diperkenalkan  oleh Engle (1982). Bentuk umum dari model ARCH( p ) menurut Tsay (2002): 𝜎 𝑡 2 =   𝛼 0 + 𝛼 1 𝑎² 𝑡−1 + ⋯ +  𝑎 2 𝑡−𝑝 (4)
Bollerslev  (1986)  mengembangkan  model  ARCH  ke  dalam  model  yang  lebih  umum yang  dikenal  sebagai Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity (GARCH). Secara matematis model GARCH( p,q ) dapat dibuat dalam bentuk berikut (Tsay, 2002):
𝜎 𝑡 2 =   𝛼 0 + ∑ 𝛼 0 𝑎² 𝑡−1 𝑝 𝑖=1
+ ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 𝑡−1 2 𝑞 𝑗=1 (5)

## d. Uji Sign Bias
Uji sign  bias digunakan  untuk  mengetahui  apakah  terdapat  pengaruh  asimetrik  atau tidak pada data. Untuk memeriksa apakah terdapat pengaruh asimetris, data terlebih dahulu dimodelkan ke dalam model GARCH dan diambil residual datanya. Kemudian lakukan uji efek asimetris berdasarkan persamaan regresi berikut (Brook, 2008):
𝑎 𝑡 2 = 𝜑 0 + 𝜑 1 𝑆 𝑡−1 − + 𝜑 2 𝑆 𝑡−1 − 𝑎 𝑡−1 + 𝜑 3 𝑆 𝑡−1 + 𝑎 𝑡−1 + 𝑒 𝑡 (6)
Pengujian parameter pada persamaan (27) dilakukan dengan langkah berikut: Hipotesis:
H 0 : 𝜑 1 = 𝜑 2 = 𝜑 3 = 0 (residual tidak bersifat asimetris) H 1 : paling sedikit ada satu 𝜑 𝑗 ≠ 0 untuk j = 1,2,3 (residual bersifat asimetris) Taraf signifikansi: α Statistik uji: LM = nR 2 (7) Kriteria uji:
H 0 ditolak jika LM > 𝜒 (𝛼,3) 2 atau p-value < α
e. Model EGARCH
Exponential GARCH  diajukan  Nelson  pada  tahun  1991  untuk  menutupi  kelemahan model ARCH/GARCH dalam menangkap fenomena ketidakseimbangan (ketidaksimetrisan) antara gejolak positif ( good news ) dan gejolak negatif ( bad news ) dalam volatilitas. Secara umum, proses EGARCH pada orde p dan atau EGARCH( p,q ) didefinisikan sebagai berikut: ln 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + ∑ 𝛼 1 𝑝 𝑖=1 | 𝛼 𝑡−1 𝛼 𝑡−𝑗 | + ∑ 𝛽 𝑗 𝑞 𝑖=1 ln(𝜎 𝑡−𝑗 2 ) + ∑ 𝛾 𝑗 𝛼 𝑡−𝑘 𝜎 𝑡−𝑘 𝑗=1 𝑝 𝑟 𝑘=1 (8)
Dengan 𝛼 0 , 𝛼 𝑖 , 𝛽 𝑗 merupakan konstanta parameter model EGARCH( p,q ).

## 2.3. Copula
Menurut  Sklar  (1959),  copula  digambarkan  sebagai  suatu  fungsi  yang  menjaring berbagai  bentuk  distribusi  marginal  kesuatu  bentuk  distribusi  gabungan.  Copula Archimedean memiliki 3 kelompok penting yang disebut dengan keluarga Gumbel, Frank dan Clayton. Keluarga copula Archimedean paling banyak digunakan dalam kasus bivariat. Menurut  Nelson  (2006)  Copula Archimedean yang  memiliki  dimensi d, dapat didefinisikan dengan:
𝐶(𝑢 1 , … , 𝑢 𝑑 ) = 𝜙 −1 (𝜙(𝑢 1 ) + ⋯ + 𝜙(𝑢 𝑑 )) (9) Fungsi 𝜙 disebut  sebagai  generator  copula,  dengan  asumsi  bahwa  generator 𝜙 hanya memiliki satu parameter, yaitu θ.
Fleksibilitas copula Arcimedian diberikan oleh fungsi 𝜙 , misal dari copula Clayton, copula Frank, dan copula Gumbel (Scholzel, 2008) adalah sebagai berikut:
𝜙 𝐶 (𝑢) = 1 𝜃 𝐶 (𝑢 −𝜃 𝐶 − 1), 𝜃 𝐶 > 0 (Clayton)                                                    (10)
𝜙 𝐹 (𝑢) = log ( 𝑒 𝜃 𝐹 𝑢 −1 𝑒 𝜃 𝐹−1 ) , 𝜃 𝐹 ≠ 0 (Frank)                                                         (11) 𝜙 𝐺 (𝑢) = −log 𝑢 𝜃 𝐺 , 𝜃 𝐺 ≥ 1 (Gumbel)                                                           (12) Untuk copula Archimedian pada kasus bivariat dapat ditulis sebagai berikut: 𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝜙 −1 (𝜙(𝑢 1 ) + 𝜙(𝑢 2 )) (13)
a. Copula Frank
Copula Frank adalah bagian dari copula Archimedean yang paling sering digunakan dan merupakan copula Archimedean yang paling dikenal dalam menyelasaikan kasus empirisis (Cherubini et al, 2004). Diketahui fungsi generator copula Frank dan invers fungsi generator copula Frank
𝜑(𝑢) = −𝑙𝑛 𝑒 −𝜃𝑖 −1 𝑒 −𝜃 −1 (14) dengan  fungsi  generator  diatas,  akan  menghasilkan  masing  masing  fungsi  distribusi kumulatif copula Frank sebagai berikut:
𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = − 1 𝜃 ln (1 + (𝑒 −𝜃𝑢1 −1)(𝑒 −𝜃𝑢2 −1) 𝑒 −𝜃 −1 ) (15)
b. Uji Saling Ketergantungan
Uji saling ketergantungan dilakukan untuk mengetahui adanya dependensi di antara masing-masing variabel dalam sebuah pemodelan distribusi bersama. Korelasi Kendall ( 𝜏) adalah  korelasi  berbasis  rank  dan  tidak  memerlukan  asumsi  kenormalan  data.  Menurut Genest dan Favre (2007) pengukuran koefisien korelasi Kendall ( 𝜏) secara empiris ditulis sebagai berikut:
𝜏 = 𝑃 𝑛 −𝑄 𝑛 ( 𝑛 2) (16)
Hipotesis:
H 0 : 𝜏 = 0 (tidak ada korelasi) H 1 : 𝜏 ≠ 0 (ada korelasi) Taraf signifikansi: α Statistik uji:
𝑍 = √ 9𝑛(𝑛−1) 2(2𝑛+5) |𝜏| (17)
Kriteria uji:
H 0 ditolak jika |Z-hitung| > quantil 𝛼 2 dari distribusi Normal baku atau p-value < 𝛼
c. Estimasi Copula Frank
Menurut  Cherubini et  al. (2004)  satu-satunya  teori  yang  dapat  digunakan  untuk mendapatkan estimasi parameter copula yakni menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).  Bentuk  fungsi likelihood L  dalam  kasus  bivariat  dapat  ditulis  sebagai berikut:
𝐿 =   ∏ 𝐶(𝑢 1 , 𝑢 2 ) 2 𝑖=1 {𝐹 1 (𝑥 1 ), 𝐹 2 (𝑥 2 )} 𝑓 1 (𝑥 1 )𝑓 2 (𝑥 2 ) (18)
Dapat diuraikan menjadi: 𝑙𝑛 𝑓(𝑥 1 ; 𝑥 2 ; 𝜃; 𝜌) = 𝑙𝑛 𝑐(𝐹 1 (𝑥 1 ; 𝜃), 𝐹 2 (𝑥 2 ; 𝜃); 𝜌) + 𝑙𝑛 𝑓 1 (𝑥 1 ; 𝜃) + 𝑓 2 (𝑥 2 ; 𝜃) (19) Dimana parameter 𝜌 menunjukkan dependensi keseluruhan antara dua variabel random dan 𝜃 adalah kumpulan dari semua parameter marginal dan copula

## 2.4. Value at Risk
VaR merupakan alat ukur yang dapat menghitung besarnya kerugian terbentuk yang dapat terjadi dengan mengetahui posisi aset, tingkat kepercayaan akan terjadinya risiko, dan jangka  waktu  penempatan  aset  ( time  horizon )  (Jorion,  2006).  Menurut  Maruddani  dan Purbowati (2009), nilai VaR pada tingkat kepercayaan (1 − 𝛼 ) dalam periode waktu t hari pada return tunggal maupun portofolio dapat dihitung dengan:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑊 0 𝑅 ∗ √𝑡 (20) Penelitian  ini  menggunakan  metode  simulasi  Monte-Carlo.  Simulasi  Monte-Carlo digolongkan metode sampling karena input dibangkitkan secara random dari suatu distribusi probabilitas untuk proses sampling dari suatu populasi nyata.

## 2.5. Backtesting
Menurut  Christianti  (2010) backtesting berguna  bagi  pengguna  VaR  dan  manajer risiko  untuk  mengkaji  apakah  peramalan  VaR  telah  terkalibrasi  dengan  baik.  Metode backtesting yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah Kupiec  Test. Untuk  menentukan
validitas pengujian model VaR dapat menggunakan pendekatan loglikelihood ratio (Jorion, 2007) dengan persamaan sebagai berikut:
𝐿𝑅 =   −2ln [(1 − 𝑝 ∗ ) 𝑛−𝑥 (𝑝 ∗ ) 𝑥 ] + 2ln [(1 − [ 𝑥 𝑛 ]) 𝑛−𝑥 ([ 𝑥 𝑛 ]) 𝑥 ] (21)
Pengujian dilakukan dengan membandingkan nilai perhitungan likelihood ratio (LR) dengan critical value (CR) distribusi Chi-square ( 𝜒²) . Apabila nilai dari LR lebih kecil dari CR, maka hipotesis nol diterima yang menunjukkan bahwa model VaR valid.

## 3. METODE PENELITIAN
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  harga  penutupan ( closing price) saham harian PT. Kalbe Farma Tbk (KLBF) dan PT. Bank Central Asia Tbk (BBCA) pada periode 30 Desember 2011  – 6 Desember2019 pada hari aktif. Data  harga penutupan saham tersebut dapat diakses pada situs www.finance.yahoo.com.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam melakukan analisis data estimasi VaR dari portofolio saham menggunakan metode copula-EGARCH adalah :
1. Menghitung return berdasarkan data closing price.
2. Menghitung dan menganalisis statistika deskriptif return saham.
3. Melakukan pengujian kestasioneran data return saham menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller dan Transformasi Box-Cox.
4. Melakukan pemilihan model terbaik dengan fungsi auto.arima().
5. Melakukan  verifikasi  model  yang  meliputi  uji  diagnostik  yang  terdiri  dari  uji independensi residual dan uji normalitas model.
6. Melakukan  uji Lagrange  Multiplier untuk  mengetahui  apakah  ada  efek ARCH/GARCH dalam model.
7. Melakukan identifikasi model ARCH/GARCH.
8. Melakukan  uji  efek asimetris  dengan  menggunakan  uji sign  and  size  bias  test pada model GARCH .
9. Melakukan identifikasi model EGARCH.
10. Melakukan  uji Lagrange  Multiplier untuk  mengetahui  masih  ada/tidaknya  efek ARCH/GARCH dalam model.
11. Menghitung korelasi antara saham BBCA dan KLBF dengan menggunakan korelasi Tau-Kendall.
12. Membentuk  dan  mengombinasikan  residual  model  ARIMA-EGARCH  ke  Frank- copula.
13. Menghitung nilai Value at Risk (VaR) dari persentil-persentil dengan menggunakan metode simulasi Monte-Carlo.
14. Melakukan  uji backtesting dengan  menggunakan  metode Kupiec  Test untuk mengetahui keakuratan nilai Value at Risk (VaR) yang telah dihasilkan .
15. Membuat  kesimpulan  dari  hasil  analisis  berdasarkan Value  at  Risk (VaR)  dari kombinasi saham dan didapatkan nilai Value at Risk (VaR) dengan selang kepercayaan (1- 𝛼 ) dengan taraf signifikansi 𝛼 .
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Karakeristik Data Saham
Data yang digunakan pada penelitian ini yaitu data sekunder harga penutupan ( closing price ) saham harian dari PT. Bank Central  Asia, Tbk (BBCA) dan PT. Kalbe Farma, Tbk (KLBF)  periode  30  Desember  2011  –  6  Desember  2019  pada  hari  aktif  (Senin  sampai Jumat).
Gambar 1 . Plot Return Closing Price Saham BBCA dan KLBF Terlihat bahwa plot data return saham BBCA dan KLBF menunjukkan pola fluktuasi naik  turun  sepanjang  periode.  Fluktuasi  yang  tinggi  menunjukkan  volatilitas  yang  tinggi pula. Selain itu terjadi volatility clustering yakni terjadi variabilitas data yang relatif tinggi juga,  terlihat  pada  suatu  waktu  dan  terjadi  kecenderungan  yang  sama  dalam  kurun  waktu selanjutnya.  Sehingga  secara  visual,  data return menunjukkan  adanya  kasus heteroskedastisitas.
Karakteristik  data return saham  BBCA  dan  KLBF  pada  periode  30  Desember  2011 sampai dengan 6 Desember 2019 dapat disajikan dalam Tabel 1.
Tabel  1 . Statistik Deskriptif Data Return Saham BBCA dan KLBF
Variabel BBCA KLBF Jumlah Observasi 1984 1984 Mean 0,00069 0,00042 Skewness -0,06121 0,19226 Kurtosis 6,77475 6,11547
Dari  Tabel  1  dapat  diketahui  bahwa  kedua  saham  tersebut  memiliki  nila  rata-rata bernilai positif yakni untuk saham BBCA sebesar 0,00069 dan untuk saham KLBF sebesar 0,00042. Hal ini menunjukkan bahwa kedua saham tersebut akan memberikan keuntungan bagi para investor. Selain itu, nilai kurtosis return kedua saham memilik nilai kurtosis lebih besar dari 3 sehingga menghasilkan kurva leptokurtosis (meruncing). Data return tersebut mengindikasikan bahwa adanya ekor gemuk dan tidak berdistribusi secara normal.

## 4.2. Automatic ARIMA
Penentuan  model  ARIMA  terbaik  dapat  diperoleh  secara  otomatis  dengan menggunakan fungsi auto.arima() yang terdapat pada package forecast dalam software R.  Model  ARIMA( p,d,q )  terbaik  yang  terbentuk  dengan  menggunakan  fungsi auto.arima() untuk data return saham BBCA yaitu ARIMA (1,0,1) dengan konstanta sedangkan untuk data return saham KLBF yaitu ARIMA (1,0,1) tanpa konstanta.
4.2.1 Estimasi Parameter Model
Model  ARIMA(1,0,1)  dengan  konstanta  untuk  data return saham  BBCA  dan ARIMA(1,0,1)  tanpa  konstanta  untuk  data return saham  KLBF  dapat  digunakan  analisis lebih lanjut karena pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% semua parameternya signifikan terhadap model  dengan  memiliki  nilai p-value lebih  kecil  dari 𝛼 = 0,05 seperti  yang  tersaji  pada Tabel 2.
Tabel  2. Hasil Estimasi Parameter Model ARIMA Saham Model Parameter Koefisien P- value Keputusan BBCA ARIMA(1,0,1) C 0,000696 0,002227  H 0 ditolak ϕ 1 0,717363 < 2,2e-16  H 0 ditolak 𝜃 1 -0,801223 < 2,2e-16  H 0 ditolak KLBF ARIMA(1,0,1) ϕ 1 0,791726 < 2,2e-16  H 0 ditolak 𝜃 1 -0,854917 < 2,2e-16  H 0 ditolak

## 4.3. Uji Lagrange Multiplier (LM)
Uji Lagrange  Multiplier (LM)  digunakan  untuk  mengetahui  ada  atau  tidaknya  efek ARCH/GARCH atau efek heteroskedastisitas pada residual model ARIMA yang terbentuk
sebelumnya.  Hasil  yang  diperoleh  untuk  model  ARIMA  dari  data return saham  BBCA maupun  data return saham  KLBF  H 0 ditolak  karena  mempunyai  nilai p-value < 𝑎 =  5% sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  terdapat  efek  heteroskedastisitas  pada  residual  maka dilanjutkan dengan pemodelan ARCH/GARCH.

## 4.4. Model ARCH dan GARCH
Alternatif  model  yang  digunakan  adalah  model  GARCH( p,q )  dengan  orde p dan q sebesar ≤ 2 untuk menghindari pemodelan volatilitas dengan orde yang tinggi pada model ARCH( p )  (Rosadi,  2012).  Model  awal  yang  terbentuk  untuk  data return saham  BBCA maupun  KLBF  adalah  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  dan  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2). Selanjutnya dilakukan dilakukan estimasi parameter dan uji signifikansi parameter diperoleh bahwa  model  terbaik  untuk  data return saham  BBCA  maupun  untuk  data return saham KLBF  yaitu  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  dan  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2)  dapat digunakan  untuk  analisis  lebih  lanjut  karena  pada  taraf  signifikansi  α  =  5%  H 0 ditolak, sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  semua  parameternya  telah  signifikan  terhadap  model dengan memiliki nilai p-value yang lebih kecil dari α = 0,05.

## 4.5. Uji Efek Asimetris
Pengujian  ini  dilakukan  untuk  mengetahui  apakah  terdapat  perbedaan  pengaruh residual  positif  ( good  news )  dan  residual  negatif  ( bad  news )  terhadap  volatilitas  data. Diperoleh bahwa untuk data return saham BBCA cukup digunakan model ARIMA(1,0,1) GARCH(1,1) karena memiliki nilai p-value untuk uji negative size bias sebesar 0,02623 dan uji join effect sebesar 0,04981 sehingga H 0 ditolak karena nilai p-value lebih kecil dari α = 0,05.  Untuk  data return saham  KLBF  pada  model  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,1)  memiliki nilai p-value untuk uji negative size bias sebesar 0,00472 dan uji join effect sebesar 0,0437 sehingga sehingga H 0 ditolak karena nilai p-value lebih kecil dari α = 0,05 sedangkan untuk model  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2)  memiliki  nilai p-value untuk  uji negative  size  bias sebesar 0,0286 sehingga H 0 ditolak karena nilai p-value lebih kecil dari α = 0,05. Jadi, pada taraf signifikansi α = 0,05 dapat disimpulkan bahwa untuk data return saham BBCA pada model ARIMA(1,0,1) GARCH(1,1)  data return saham KLBF pada model ARIMA(1,0,1) GARCH(1,1)  dan  ARIMA(1,0,1)  GARCH(1,2)  mengindikasikan  terdapat  efek  asimetris sehingga untuk mengatasinya dapat dilakukan analisis lebih lanjut menggunakan GARCH asimetris yaitu dengan pemodelan EGARCH.

## 4.6. Model EGARCH
Model EGARCH yang terbentuk untuk data return saham BBCA adalah ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,1)  sedangkan  untuk  data return saham  KLBF  adalah  ARIMA(1,0,1) EGARCH(1.1)  dan  ARIMA(1,0,1)  EGARCH(1,2).  Setelah  dilakukan  estimasi  parameter dan  uji  signifikansi  parameter  diperoleh  bahwa  model  untuk  data return saham  BBCA adalah  ARIMA(1,0,1)  EGARCH(1,1)  sedangkan  untuk  data return saham  KLBF  adalah ARIMA(1,0,1)  EGARCH(1,2)  dapat  digunakan  analisis  lebih  lanjut  karena  pada  taraf signifikansi 𝑎 = 5% semua parameternya signifikan terhadap model dengan memiliki nilai p-value lebih kecil dari 𝛼 = 0,05 .
4.7. Uji Lagrange Multiplier Model EGARCH
Uji Lagrange  Multiplier digunakan  untuk  mengetahui  apakah  masih  terdapat  efek ARCH/GARCH  atau  heteroskedastisitas  pada  residual  model  EGARCH  yang  terbentuk sebelumnya . Diperoleh  hasil  bahwa  H 0 diterima  untuk  semua  model  karena  nilai p-value lebih besar dari 𝑎 = 0,05. Jadi, pada taraf signifkasi 𝑎 = 5% dapat disimpulkan bahwa sudah tidak terdapat efek heteroskedastisitas pada residual maka model yang terbentuk dari data return saham BBCA yaitu model ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,1) sedangkan dari data return saham  KLBF  yaitu  model  ARIMA(1,0,1)  EGARCH(1,1)  dan  ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,2).

## 4.8. Pemilihan Model Terbaik
Model  terbaik  merupakan  model  yang  memiliki  nilai  AIC  dan  SBC  yang  minimal (Rosadi, 2011). Diperoleh hasil bahawa untuk data return saham BBCA telah didapatkan model ARIMA-EGARCH yaitu ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,1) sedangkan untuk data return saham KLBF perlu adanya pemilihan model terbaik berdasarkan nilai AIC dan SBC terkecil terdapat pada Tabel 3.
Tabel  3 . Pemilihan Model Terbaik Data Return Saham KLBF Model Nilai AIC ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,1) -5,1928 ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,2) -5,1959
Dari Tabel 3 dapat diketahui bahwa model ARIMA(1,0,1) EGARCH(1,2) merupakan model terbaik karena memiliki nilai AIC dan SBC yang paling kecil yaitu sebesar  -5,1959 dan -5,1761 sehingga diperoleh persamaan  model masing-masing saham sebagai berikut:
Untuk data return saham BBCA 𝑍̂ 𝑡 = 0.791726𝑍 𝑡−1 −  0,681505 𝑎 𝑡−1 +  𝑎 𝑡 ln 𝜎̂ 𝑡 2 = −0,529132 − 0,056485 | 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 | + 0,936119  ln(𝜎 𝑡−1 2 ) + 0,198011 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 Untuk data return saham KLBF 𝑍̂ 𝑡 = 0,701227𝑍 𝑡−1 −  0,779134 𝑎 𝑡−1 +  𝑎 𝑡 ln 𝜎̂ 𝑡 2 = −0,472894 − 0,071725 | 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 | + 0,581170  ln(𝜎 𝑡−1 2 ) + 0,357247(𝜎 𝑡−2 2 ) + 0,253540 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 4.9. Copula
Pada pembentukan Copula, data yang digunakan adalah  residual return saham BBCA dan KLBF pada model ARIMA-EGARCH.
a. Transformasi Uniform [0,1]
Transformasi  merupakan  langkah  awal  yang  dilakukan  untuk  melakukan  analisis terhadap copula.
Gambar 2 . Scatterplot Residual Model ARIMA-EGARCH Saham BBCA dan KLBF pada Transformasi Uniform [0,1]
Pada Gambar 2 terlihat bentuk scatterplot setelah ditransformasi menunjukkan adanya sebaran titik yang tidak hanya terkonsentrasi pada bagian ujung bawha saja melainkan juga terkonsentrasi pada bagian ujung atas. Hal ini mengindikasikan adanya tail dependence bagian atas dan bawah yakni Copula-Frank.
b. Uji Dependensi Residual Korelasi Kendall (𝜏) digunakan untuk mengukur dependensi antara residual return saham BBCA dan KLBF pada model ARIMA-EGARCH. Diperoleh hasil nilai p-value sebesar <  2,2e-16 dan  nilai 𝜏 sebesar  0,223491  sehingga  pada  taraf  signifikansi 𝛼 =  0,05  H 0 ditolak karena nilai p-value lebih kecil dari 𝛼 = 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data return saham BBCA-KLBF memiliki korelasi yaitu sebesar 0,2234914.
c. Estimasi Parameter Copula
Estimasi  parameter  copula  dihitung  dengan  menggunakan maximum  likelihood estimation (MLE) dengan menggunakan nilai Kendall ( 𝜏 ) dari residual model ARIMA- EGARCH  saham  BBCA  dan  KLBF yakni  sebesar 𝜏 sebesar  0,223491.  Didapatkan estimasi  parameter  Copula-Frank 𝜃̂ = 2,097 .  Sehingga  model  Copula-Frank  untuk residual ARIMA-EGARCH saham BBCA dan KLBF adalah
𝐶 2,097 𝐹𝑟 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = − 1 2,097 log (1 + (𝑒 −2,097𝑢1 −1)(𝑒 −2,097𝑢2 −1) 𝑒 −2,097 −1 )
Nilai 𝜃̂ > 0 menunjukkan copula memiliki dependensi positif yang artinya jika residual model ARIMA-EGARCH saham BBCA naik, maka residual model ARIMA-EGARCH saham KLBF akan naik.

## 4.10. Perhitungan Value at Risk
Perhitungan  VaR  dalam  penelitian  ini  menggunakan  simulasi  Monte-Carlo  dengan membangkitkan  data  1984  data  bangkitan  dan  dengan  100  kali  perulangan.  Berdasarkan hasil perhitungan nilai VaR dengan ukuran dependensi Copula-Frank diperoleh nilai VaR pada tingkat kepercayaan 95%  yaitu sebesar  -0,02233, maka kemungkinan kerugian pada satu hari ke depan yang ditanggung oleh investor sebesar 2,233% dari investasi hari ini.

## 4.11. Uji Validitas VaR
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui model VaR yang digunakan valid atau tidak. Pada  penelitian  ini  uji  validitas  menggunakan  metode backtesting dan Kupiec  Test . Berdasarkan perhitungan rasio pelanggaran pada tingkat kepercayaan 95% diperoleh  nilai LR = 0,4506823 lebih kecil dari CV = 3,84 maka H 0 diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa perhitungan VaR menggunakan ARIMA-EGARCH Copula-Frank dinyatakan valid dan baik digunakan.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  mengenai  perhitungan Value  at  Risk dengan menggunakan  kombinasi  antara  model  asimetris  EGARCH  dengan  Copula-Frank  pada saham PT. Bank Central Asia, Tbk dan saham PT. Kalbe Farma, Tbk periode 30 Desember 2011 – 6 Desember 2019, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Model ARIMA-EGARCH terbaik pada model return saham BBCA dan KLBF sebgai berikut:
Untuk data return saham BBCA
𝑍̂ 𝑡 = 0.791726𝑍 𝑡−1 −  0,681505 𝑎 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 ln 𝜎̂ 𝑡 2 = −0,529132 − 0,056485 | 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 | + 0,936119  ln(𝜎 𝑡−1 2 ) + 0,198011 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 Untuk data return saham KLBF 𝑍̂ 𝑡 = 0,701227𝑍 𝑡−1 −  0,779134 𝑎 𝑡−1 + 𝑎 𝑡 ln 𝜎̂ 𝑡 2 = −0,472894 − 0,071725 | 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 | + 0,581170  ln(𝜎 𝑡−1 2 ) + 0,357247(𝜎 𝑡−2 2 ) + 0,253540 𝛼 𝑡−1 𝜎 𝑡−1
2. Estimasi  parameter  copula-Frank  diperoleh  berdasarkan  metode  MLE.  Estimasi parameter  copula-Frank  yang  didapatkan  yaitu 𝜃̂ = 2,097 dan  nilai 𝜏 = 0,2234914. Sehingga didapatkan model copula-Frank sebagai berikut:
𝐶 2,097 𝐹𝑟 (𝑢 1 , 𝑢 2 ) = − 1 2,097 log (1 + (𝑒 −2,097𝑢1 −1)(𝑒 −2,097𝑢2 −1) 𝑒 −2,097 −1 )
3. Perhitungan Value at Risk yang didapatkan menggunakan metode copula-Frank dengan simulasi Monte-Carlo pada periode waktu 1 hari kedepan dengan tingkat kepercayaan 95% yaitu sebesar  0,02232676.
4. Berdasarkan hasil Kupiec backtesting pada tingkat kepercayaan 95% perhitungan Value at  Risk dengan  menggunakan  metode  ARIMA-EGARCH  copula-Frank  dinyatakan valid  dan  baik  digunakan  untuk  menghitung Value  at  Risk indeks  saham  yang kebergantungan antar saham dalam portofolionya tidak linier.

## DAFTAR PUSTAKA
Arna, N. U. S., Raupong dan Anisa. 2017. Pemodelan Dependensi Distribusi Variabel Non Gaussian Dengan Copula Frank Menggunakan Korelasi Rho Spearman. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Hasanuddin. Makassar.
Brook,  C.  2008. Introductory  Eonometrics  for  Finance  Second  Edition. New  York: Cambridge University Press.
Cherubini,  U.,  Luciano,  E.,  dan  Vecchiato,  W.  2004 .  Copula  Methods  in  Finance .  Wiley Finance Series. UK: John Wiley and Sons, Chichester.
Christianti,  dan Ari. 2010. Risiko Pasar:  Perbandingan Model EWMA dan  GARCH  Pada Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar . JRMB . Vol. 5, No. 2. Danielsson, J.  2011. Financial  Risk  Forecasting  The  Theory  and  Practice  of  Forecasting Market Risk with Implementation in R and Matlab. United Kingdom: John Wiley & Sons.
Darmadji, T. dan Fakhruddin, H. 2001. Pasar Modal di Indonesia Pendekatan Tanya Jawab . Jakarta: Salemba Empat.
Embrechts, P., Lindskog, F. dan McNeil, A. 2001. Modelling Dependence with Copulas and Aplication  to  Risk  Management. Switzerland:  Departement  of  Mathematics, ETHZ CH-8092 Zürich.
Genest, C. dan Frave, A. C. 2007. Everything  You Always Wanted to know about Copula Modeling but Were Afraid to Ask. Inggris: Hydrol.
Hyndman, R. J. dan Khandakar, Y. 2008. Automatic Time Series Forecasting: The Forecast Package for R. Journal of Statistical Software , Vol. 27, No. 3: 1-26.
Kupiec,  P.  H.  1995.  Techniques  for  Verifying  The  Accuracy  of  Risk  Measurement Models.The Journal of Derivatives . A Publication of Institusional Investor . New York.
Maruddani, D. A. I. dan Purbowati, A. 2009. Pengukuran Value at Risk pada Kurs Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo. Media Statistika Vol. 2 Hal. 259- 264.
Nelson,  D.  B.  1991 . Conditional  Heteroscedasticity  in  Asset  Return:  A  New  Approach . Journal of Econometrica . Vol. 59, No.2, 357-370. Rosadi, D. 2012. Ekonometrika dan Analisis Waktu Terapan dengan Eviews. Yogyakarta: Andi Offset.
Sklar, A. 1959 . Fonctions de Repartition an Dimensions et Leurs Marges . Publications de I’Institut Statistique de I’Université de Paris, Vol 8 Hal 229-231.
Tsay, R. S. 2002 . Analysis of Financial Time Series. Canada : John Wiley and Sons, Inc.