Vol. 12, No. 2,  131-139,  Januari  2016
Penaksiran  Kadar  Porositas Dengan Ukuran Grid Yang Kecil
Amran †

## Abstrak
Metode  dekomposisi  Lower-Upper  (LU)  banyak  digunakan  dalam  karakterisasi  reservoir secara geostatistik disebabkan karena mudah digunakan, melakukan simulasi bersyarat secara serempak,  tidak  terbatas  pada  bentuk  fungsi  kovariansi  sehingga  dapat  juga  dilakukan  pada kasus  anisotropik.  Untuk  matriks  kovariansi  data  dan  grid  berukuran  lebih  dari  1000x1000, metode  ini  tidak  memungkinkan  untuk  digunakan  lagi.  Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas  suatu pengembangan  metode  dekomposisi  LU  untuk  dimensi  matriks  kovariansi  lebih  dari  1000, melalui  teori  dekomposisi  ring  matriks  kovariansi  grid.  Dengan  menganggap  bahwa  matriks kovariansi  grid  sebagai  suatu  matriks  gelanggang  atas  lapangan  riil  (  ),  matriks  ini  dapat dinyatakan  sebagai  jumlah  langsung  dari  sub  modul.  Selanjutnya  dengan  dekomposisi  LU pada  sub  modul  ini  diperoleh  matriks  segitiga  bawah L yang  digunakan  untuk  membangun realisasi  dekomposisi  ring.    Dengan  menggunakan  data  eksperimental  dan  ukuran  grid  yang sama,  metode  dekomposisi  LU  dan  metode  dekomposisi  ring  membangun  realisasi  yang serupa  dan  variogram  yang  direproduksi  kedua  metode  ini  dapat  mempertahankan  bentuk variogram  data  eksperimental.  Dekomposisi  ring  secara  signifikan  memberi  peningkatan ukuran data eksperimental dan grid  yang akan disimulasikan.
Keywords: Karakteristik  reservoir,  simulasi  stokastik,  variogram,  dekomposisi  LU, kovariansi grid, gelanggang sub modul, dekomposisi ring.

## 1. Pendahuluan
Karakterisasi  reservoir  umumnya  didefinisikan  sebagai  suatu  proses  mendeskripsikan berbagai jenis karakteristik reservoir dengan menggunakan berbagai jenis data yang ada (Kelkar, 1994).
Ada dua tujuan Geostatistik dalam karakterisasi reservoir, yakni :
1. Mengestimasi  hubungan  spasial  nilai  variabel  pada  lokasi  yang  tidak  mempunyai  data eksperimental ( observed ).
2. Mensimulasi ketidakpastian estimasi yang dilakukan.
Metode  geostatistik  yang  biasa  digunakan  untuk  mencapai  kedua  tujuan  tersebut  ialah  metode kriging  dan    simulasi  stokastik  dengan  data  sampel  berfungsi  sebagai  data  kontrol  (syarat)  atau dikenal sebagai Simulasi Bersyarat . Perbedaan kedua metode ini terletak pada tujuannya (Journel & Huijbregts, 1978).
Jika ingin mengetahui variabilitas spasial atau distribusi variabel di suatu lokasi deposit maka  digunakan  simulasi  stokastik,  pada  simulasi  stokastik  gambaran  variabilitas  sebenarnya dapat  diperoleh,  disebabkan  karena  momen  orde  duanya  sama  dengan  momen  orde  dua  data eksperimental,  momen  orde  dua  menunjukkan  variabilitas  variabel  spasial  di  suatu  lokasi.
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Amran
Sehingga  untuk  mendapatkan  gambaran  tentang  variabilitas  spasial  pada  suatu  lokasi  deposit simulasi stokastik dapat melakukannya.
Salah  satu  metode  estimasi  yang  biasa  digunakan  dalam  simulasi  bersyarat  ialah Simulasi  Stokastik  dengan  Dekomposisi  LU  ( Lower-Upper ),  dan  untuk  kemudahan  disingkat dengan  SSDLU.  Dalam  melakukan  estimasi  dan  mensimulasi  ketidakpastiannya,  digunakan parameter variogram model. Parameter yang dimaksud antara lain : range ( a ), sill ( Co ), dan lain- lain. Berdasarkan nilai parameter ini dilakukan proses estimasi di lokasi yang tidak  mempunyai data eksperimental.
Dalam  prakteknya  SSDLU    membagi  suatu  lokasi  deposit  menjadi  beberapa  grid, seluruh  grid  yang  dibuat  menutupi  lokasi  yang  akan  diestimasi,  nilai  estimasi  lokasi  deposit dihitung berdasarkan nilai estimasi setiap lokasi grid yang telah dibuat. Dari hasil estimasi ini kita dapat  mendeskripsikan  reservoir  yang  dikenal  dengan  model  numerik  reservoir.  Simulasi stokastik  yang  menggunakan  grid  sebagai  representasi  lokasi  sebenarnya  disebut  simulasi berbasis grid.
Hasil  estimasi  SSDLU  selain  mendapatkan  nilai  variabel  pada  lokasi  yang  tidak mempunyai sampel, juga dapat mereproduksi variogram eksperimental baru, dengan  memeriksa variogram  yang  direproduksi  dari  data  estimasi  kita  dapat  mengukur  keakuratan  hasil  estimasi. Jika variogram data estimasi secara signifikan tidak berbeda atau „mirip‟ dengan variogram data eksperimental  dikatakan  hasil  tersebut  cukup  akurat  namun  sebaliknya  jika  variogram  data estimasi    secara  signifikan  berbeda  dengan  data  eksperimental  maka  perlu  dilakukan  perbaikan agar hasil estimasi menjadi akurat.
Jika  jumlah  data  dan  grid  sedikit  dan  banyak  realisasi  yang  diinginkan  maka  SSDLU mampu  memberikan  solusi  yang  cepat  (Deutsch  &  Journel,  1992) , namun  di  sisi  lain  SSDLU cukup efektif jika jumlah data dan grid kurang dari seribu (Dowd & Sarac, 1992) . Sehingga untuk jumlah data dan grid yang lebih dari seribu dan beberapa realisasi yang diinginkan, SSDLU sudah tidak  akurat  lagi  mengukur  variabilitas  spasial  variabel  di  lokasi  deposit  yang  diamati.  Ini disebabkan karena keterbatasan komputasi yang harus digunakan untuk metode ini.
Untuk  mengatasi  masalah  tersebut,  dapat  digunakan  Simulasi  Stokastik  dengan Dekomposisi  Ring  (SSDR).  SSDR  merupakan  pengembangan  baru  dari  SSDLU.  SSDR  dapat dilakukan untuk jumlah data dan grid serta realisasi yang lebih banyak.
Penelitian ini bermaksud untuk memberikan alternatif pengembangan dekomposisi LU dengan  ukuran  data  eksperimental  dan  grid  yang  besar.  Sedangkan  tujuan  dari  penelitian  ini adalah  untuk  membuat  prediksi  variabilitas  spasial  porositas  dengan  metode  dekomposisi  ring pada suatu lokasi deposit khususnya prediksi variabilitas porositas lapangan minyak Jatibarang.
Lapangan minyak Jatibarang terletak di Kabupaten Indramayu memanjang dari timur ke barat  16  km  dan  dari  utara  ke  selatan  10  km.  Minyak  dan  gas-bumi  ditemukan  pada  basin Jawa  Barat  yang  merupakan  suatu  antiklinal  di  bawah  permukaan  yang  tidak  selaras  dari  zona 400 sampai 1200m, memanjang dari timur-barat. Dua patahan besar melintang dari utara-selatan membagi  lapangan  menjadi  tiga  blok  atau  patahan.  Selain  patahan besar juga  terdapat  beberapa patahan  kecil.  Dalam  penelitian  ini  akan  digunakan  83  data  sumur  sampel  dengan  koordinat 11700m sampai 18300m arah timur-barat dan -3400m sampai  3400m arah utara-selatan.
Karakterisasi  reservoir  merupakan  suatu  proyek  multidisiplin  dan  melibatkan  banyak data sehingga karena faktor tersebut dan keterbatasan waktu studi ini dibatasi sebagai berikut :
1. Karakteristik reservoir yang diteliti ialah porositas.
2. Data  porositas  yang  digunakan  diasumsikan  homogen  dan  mengikuti  proses  spasial stasioner orde dua.
3. Metode simulasi yang digunakan ialah Simulasi Bersyarat dekomposisi Ring.
4. Model  grid  yang  digunakan  ialah  grid  persegi.  Model  variogram  node  dipilih berdasarkan informasi dari lokasi data eksperimental.

## 2. Metode Dekomposisi Ring
Metode  dekomposisi  ring  merupakan  pengembangan  metode  dekomposisi  LU  yang terbatas  pada  jumlah  data  eksperimental  dan  grid  yang  kecil.  Dengan  dekomposisi  ring  dapat dilakukan dekomposisi matriks yang mempunyai jumlah grid dan data eksperimental yang besar. Teori dekomposisi ring dapat digunakan untuk mereduksi pemakaian memori secara signifikan.
Suatu R -modul  adalah  perumuman  dari  suatu  ruang  vektor  dengan  skalar  merupakan unsur    suatu  ring  (gelanggang).  Jumlah  subgroup  suatu R -modul  adalah  sub-modul. R -modul adalah jumlah langsung  (  ) dari sub-modul (Kasch, 1982). M disebut jumlah langsung dari himpunan { B i  i  I } sub-modul dari M , dilambangkan dengan :
M = i I i B   
    
             ) 2 ( ] 0 [ , ) 1 ( j i I i i I i i B Bj I j B M 
dimana
             i i finite i I i i B b b
B . M = i I i B   , disebut juga sebagai dekomposisi langsung M atas sub-modul   { B i  i  I },  dan  diasumsikan  0  B i ,  i  I. Dalam kasus I = {1, 2, …, n } hingga, M juga ditulis sebagai :
M = B 1  B 2  …  B n
Teorema  : Misal { B i  i  I } sub-modul, B i  M dan    M =   I i i B , maka    persamaan ( 2 ) ekuivalen dengan :  x  M , penulisan x =   ' I i i b , dengan Bi  Bi , I   I , I  hingga, adalah tunggal.
Bukti.
Andaikan x =   ' I i i b tidak tunggal, maka
x =   ' I i i b =   ' I i i c    ' I i i b -   ' I i i c = 0 0 ) ( '     I i i i c b (3)
karena b i , c i  B i ,  i  I. Jadi b i - c i  B i  i  I . Akibatnya,  persamaan (3) hanya dipenuhi oleh b i - c i = 0, sehingga b i = c i ,  i  I.
Corollary. Jika  M  adalah  suatu  matriks  gelanggang  atas  lapangan  ,    maka  M  adalah  suatu jumlah langsung B i , dengan B i adalah baris ke-i elemen M.

## Amran
Berdasarkan  corollary  ini  dan  karena C dapat  juga  dipandang  sebagai  matriks  gelanggang  atas lapangan  , maka C adalah jumlah langsung dari B i . Misal C = ( C ij ) nxn, e i = (0, …, 0, I , 0, …, 0), I matriks identitas. Definisikan B i = e i C , maka
C =  B i dan e i C = ( C i 1 , C i 2 , …, C in )
Karena vektor  ( C i 1 , C i 2 , …, C in ) dapat diidentifikasi dengan B i , akibatnya :
C = e 1 C  e 2 C  …  e n C = B 1  B 2  …  B n
Selanjutnya dekomposisikan B i menjadi matrik segitiga bawah dan matriks segitiga atas sebagai berikut :
dapat digunakan dekomposisi :
L 11 U 11 =  C 11 (gunakan dekomposisi LU) L i 1 =  C i 1 i  2
L ij =  C i,j- 1 - C ij 2  j  i- 1 L ii U ii =  C i,i- 1 - C ii i  2 (gunakan dekomposisi LU)
L ij =   0 j > i
Contoh. Misal diketahui C matriks kovariansi, grid simulasi berukuran 500( nx ) x 3( ny ), jumlah grid = 500x3 = 1500 grid. Partisi matriks C menjadi,
C =       GG DG DG DD C C C C
C GG berukuran  1500 x 1500, selanjutnya lakukan partisi pada C GG menjadi :
C GG =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 C C C C C C C C C
C i berukuran (500 x 500) = ( nx x nx ) dan  ( ny x ny ) = (3 x 3). Gunakan teorema dekomposisi ring pada C GG diperoleh,
C GG = e 1 C GG  e 2 C GG  e 3 C GG e 1 = ( I , 0, 0) ,  e 2 = (0, I , 0)  dan e 3 = (0, 0, I ), maka
C GG =     
    
0 0 0 0 0 0 3 2 1 C C C +          
0 0 0 0 0 0
6 5 4 C C C +           9 8 7 0 0 0 0 0 0
C C C i i nn n n nn n n in i i i i U L u u u u u u L L L L L L C C C C e B                                                                      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 22 1 12 11 2 22 1 12 11 2 1
Penyelesaian untuk ny = 1,
          0 0 0 0 0 0 3 2 1
C C C =           3 3 2 3 1 1 0 0 0 L A A L A L           3 3 2 2 1 1 0 0 0 U B U B B U
L 1 U 1 = C 1 A 1 U 1 = 0 A 2 U 1 = 0 L 1 B 1 = 0 A 1 B 1 + L 2 U 2 = 0 A 2 B 1 + A 3 U 2 = 0
L 1 B 2 = 0 A 1 B 2 + L 2 B 3 = 0 A 2 B 2 + A 3 B 3 + L 3 U 3 = 0
diperoleh :
          0 0 0 0 0 0 3 2 1
C C C
=           0 0 0 0 0 0 0 0 1 L
            0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 L C L U
Penyelesaian untuk ny = 2,
    
     0 0 0 0 0 0 6 5 4 C C C =           3 3 2 3 1 1 0 0 0 L A A L A L           3 3 2 2 1 1 0 0 0 U B U B B U L 1 U 1 = 0 A 1 U 1 = C 4 A 2 U 1 = 0 L 1 B 1 = 0 A 1 B 1 + L 2 U 2 = C 5 A 2 B 1 + A 3 U 2 = 0 L 1 B 2 = 0 A 1 B 2 + L 2 B 3 = C 6 A 2 B 2 + A 3 B 3 + L 3 U 3 = 0
diperoleh :
          0 0 0 0 0 0 6 5 4 C C C =
           0 0 0 0 0 0 0 4 5 4 C C L c               0 0 0 ) ( 0 4 6 1 4 5 4 5 C C L U I I I C C C C Penyelesaian untuk ny = 3,
          9 8 7 0 0 0 0 0 0
C C C =           3 3 2 3 1 1 0 0 0
L A A L A L           3 3 2 2 1 1 0 0 0 U B U B B U L 1 U 1 = 0 A 1 U 1 = 0 A 2 U 1 = C 7 L 1 B 1 = 0 A 1 B 1 + L 2 U 2 = 0 A 2 B 1 + A 3 U 2 = C 8 L 1 B 2 = 0 A 1 B 2 + L 2 B 3 = 0 A 2 B 2 + A 3 B 3 + L 3 U 3 = C 9 diperoleh :
          9 8 7 0 0 0 0 0 0
C C C =   
    
 
  8 9 7 8 7 0 0 0 0 0 0 C C L C C C            8 9 0 0 0
C C U I I I I I
Amran
dimana L Ck  –  Cl dan U Ck  –  Cl masing-masing adalah matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas yang diperoleh melalui dekomposisi LU.
Untuk menentukan nilai simulasi bersyarat pada setiap grid dapat digunakan persamaan :
y G = L GD L DD -1 z D + L GG w G
dimana L GD dan L DD dapat dicari dengan menggunakan persamaan (3).

## 3. Hasil dan Analisis
Berdasarkan  83  data  eksperimental  yang  digunakan,  diperoleh  statistik  deskriptif  dan grafik histogram sebagaimana yang diberikan pada tabel dan gambar berikut.
Tabel 1. Statistik Deskriktif  83 Data Eksperimental
Statistik 83 Data eksperimental Mean 13.19518 St.Deviasi 2.766257 Koef.variasi 0.209641 Minimum 5.57 Maksimum 21.14
Gambar 1. Histogram 83 Data Eksperimental.
Model variogram 83 data eksperimental ini dapat dihampiri dengan :
Model (isotropik)  : Spherikal
Range                    : 2000m,    dan Sill                           : 7.5
Lokasi  83  data  eksperimental,  didefinisikan  grid  33  x  35  berukuran  200m  x  200m,  sehingga jumlah  grid  keseluruhannya  ialah  1155,  total  data  dan  grid  yaitu  :  1155  +  83  =  1238,  sehingga ukuran  matriks  kovariansi  yang  akan  terbentuk  yakni    1238  x  1238  merupakan  jumlah  yang sangat besar bagi dekomposisi LU.

## Amran
Dengan  menggunakan  dekomposisi  ring  pada  matrik  kovariansi  grid,  diperoleh  hasil estimasi dengan statistik deskriptif dan histogramnya sebagai berikut.
Tabel 2.  Statistik Deskriptif Hasil Estimasi Dekomposisi Ring
Statistik 83 Data eksperimental Mean 13.36273 St.Deviasi 1.946215 Koef.variasi 0.209641 Minimum 6.252587 Maksimum 20.51739
Gambar 2. Histogram Hasil Estimasi Dekomposisi Ring.
Jika  dibandingkan  antara  hasil  estimasi  dekomposisi  ring  matriks  kovariansi  grid  dengan  data eksperimental  maka  dapat  disimpulkan  bahwa  nilai  rata-rata  distribusinya  mempunyai  selisih yang amat kecil yakni hanya : 0.16755, sehingga boleh dikatakan bahwa nilai rata-rata distribusi metode dekomposisi ring hampir sama dengan nilai rata-rata distribusi data eksperimental.
Pada  Gambar  3  ditunjukkan  perbandingan  variogram  data  eksperimental  dengan variogram  hasil  estimasi  dekomposisi  ring  yang  menunjukkan  kemiripan  bentuk  dan  nilai parameternya.
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 5 10 15 20 25 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 0 5 10 15 20 25 hasil ring N ila i Va rio gra m Jarak (m) sampel

## Amran
Gambar 3.    Perbandingan Variogram Hasil Estimasi Dekomposisi Ring dan Variogram Data Eksperimental.
Berdasarkan  uji fit  comparison untuk  kedua  variogram  diperoleh  nilai p -value  =    0.848401  > 0.05 =  , sehingga disimpulkan bahwa kedua grafik tidak berbeda secara signifikan pada tingkat kepercayaan 95%.
Dari hasil estimasi ini pada lapangan minyak Jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan  variogram  hasil  estimasi  dekomposisi  ring  serupa  dengan  distribusi  dan  variogram  data eksperimental.    Berikut  disajikan  hasil  estimasi  porositas  pada  lapangan  minyak  Jatibarang menggunakan  83  data  eksperimental  melalui  dekomposisi  ring  matriks  kovariansi  grid    dengan 103 realisasi yang ditampilkan dalam kontur kadar porositas.
Gambar 4. Hasil Estimasi Porositas Lokasi Minyak Jatibarang dengan Dekomposisi Ring.
Dari   Gambar  4  terlihat   bahwa   pada  koordinat  14.000 < x < 16.000   dan y > 2200, x > 17.000 dan y > 2000,  13600 < x < 15000  dan y < -2600, serta 13600 < x < 15600 dan 0 < y < 1800, merupakan daerah potensial untuk dikelola karena memiliki nilai rata-rata kadar porositas lebih tinggi daripada kadar porositas lokasi lainnya.

## 4. Kesimpulan
Metode  Dekomposisi Lower-Upper (LU)  banyak  digunakan  dalam  karakterisasi reservoir karena mudah untuk digunakan, menjalankan simulasi dengan data bersyaratnya secara serempak,  tidak  terbatas  pada  bentuk  fungsi  kovariansi,  sehingga  dapat  pula  digunakan  pada kasus anisotropik.
Metode  Dekomposisi  Ring  merupakan  pengembangan  dari  metode  dekomposisi  LU untuk  dimensi  matriks  kovariansi  yang  cukup  besar.    Dengan  asumsi  bahwa  matriks  kovariansi sebagai  suatu  matriks  gelanggang  atas  lapangan  riil  (  ),  matriks  ini  selanjutnya  dinyatakan

## Amran
sebagai jumlah langsung dari sub modul. Dekomposisi LU dilakukan pada sub modul ini untuk membuat suatu realisasi dekomposisi ring.
Dengan  menggunakan  83  data  eksperimental  pada  lapangan  minyak  Jatibarang,  dapat dilihat bahwa hasil estimasi pada lapangan minyak Jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan variogram  hasil  estimasi  dekomposisi  ring  serupa  dengan  distribusi  dan  variogram  data eksperimental.hal  terlihat  dari  nilai  rata-rata  distribusinya  mempunyai  selisih  yang  amat  kecil yakni hanya  sebesar 0.16755.
Penggunaan  dekomposisi ring  pada  matrik  kovariansi  lokasi  grid,  dapat  meningkatkan ukuran data eksperimental dan grid yang akan disimulasikan.

## Daftar Pustaka
[1]   Armstrong, M., 1998, “ Basic Linier Geostatistics ”, Springer, Berlin.
[2]  Cressie,  N.A.C.,  1993,  “ Statistics  for  Spatial  Data , Revised  Edition ”,  John  Wiley  &  Sons Inc., New York.
[3]  Deutsch, C.V., and Journel, A.G., 1992, “GSLIB Geostatistical Software Library and User‟s Guide”, Oxford University Press, New York.
[4]   Fetkovich, M.J., 1980, “Decline curve analysis using type curves”, SPE 4629 , pp : 1065  – 1077.
[5]  Hohn,  M.E.,  1999,  “ Geostatistics  and  Petroleum  Geology , Second  Edition ”,  Kluwer Academic Publisher, Dardrecht.
[6]  Kitanidis,  P.K.,  1999,  “ Introduction  to  Geostatistics:  Applications  to  Hydrogeology ”, Cambdridge University Press, New York.
[7]   Matheron, G., 1963, “Principles of geostatistics”, Economic Geology , 58, pp : 1246 - 1266.