Kestabilan Parsial Untuk Sistem Linear Melalui Konsep Sistem Auxiliary
Firman †

## Abstrak
Tulisan  ini  membahas  kestabilan  parsial  untuk  sistem  linear  dengan  koefisien  konstan. Berkenaan dengan itu akan dikonstruksi suatu sistem auxiliary dari persamaan diferensial. Dari  sistem  auxliliary  akan  dianalisis  kestabilan  dari  sistem  yang  berkenaan  dengan bagian variabel.
Keywords: Kestabilan, kestabilan parsial, sistem auxiliary.

## 1.  Pendahuluan
Pandang unperturbed motion
p m n p m z y z z y y x t f x t f x T T p m T         , 0 , 0 ), , ( ) ,..., , ,..., ( , 0 ) 0 , ( ), , ( 1 1  Stabilitas pada titik kesetimbangan 0 ... 2 1     n x x x dari perturbed motion system dalam kaitannya  dengan  semua  variabel n x x x ,..., , 2 1 telah  banyak  dibahas  dalam  literatur  yakni mengenai teori kestabilan Lyapunov.
Namun demikian suatu masalah yang lebih umum dapat dipandang sebagai masalah kestabilan  dari  gerakan  yang  sama,  akan  tetapi  bukan  dalam  kaitannya  dengan  semua kuantitas yang menentukan masalah gerakan tersebut. Hal ini berarti masalah kestabilan pada titik  keseimbangan 0 ... 2 1     n x x x relatif  hanya  terhadap  sebagian  dari  variabel- variabel m x x x ,..., , 2 1 ( m < n ).  Nilai  dari  variabel-variabel ) ,..., 1 ( ), ( n i t x i  dan  bukan dari  nilai  semua  variabel ) ,..., 1 ( , ( n t x i yang  harus  tetap  kecil,  apabila  nilai-nilai  awal  dari
) ,..., 1 ( ), ( n i t x i  dipilih cukup kecil.
Masalah  kestabilan  dalam  kaitannya  dengan  bagian  dari  variabel-variabel  sering disebut dengan istilah masalah stabilitas parsial.

## 2. Rumusan Masalah
Pandang  sistem  persamaan  diferensial  linear pertubed  motion dengan  koefisien konstan berikut :
   n i j ij i x A dt dx 1 ) ,..., 1 ( n i  ), , ( ) ,..., , ,..., ( ) ,..., ( 1 1 1 T T p m n T z y z z y y x x x   
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Firman , 0  m , 0  p p m n  
Sistem tersebut punya bentuk dalam variabel y , z sebagai berikut:
              p l l jl m k k jk j p l l il m k k ik i p j z d y c dt dz m i z b y a dt dy 1 1 1 1 ) ,..., 1 ( ), ,..., 1 ( (1) dengan jl jk il ik d c b a , , , adalah  konstanta-konstanta.  Akan  dibahas  masalah  kestabilan (stabil asimtotik)  dari  sistem unperturbed  motion (1) ) ,..., 1 ; ,..., 1 ( 0 , 0 p j m i z y j i     berkenaan  dengan m i y y ,..., .  Berkenaan  dengan  itu  akan  dikonstuksi  suatu  sistem  auxiliary dari  persamaan  diferensial.  Dari  sistem  auxiliary  akan  dianalisis  kestabilan  Lyapunovnya untuk  sampai  pada  kesimpulan  tentang  kestabilan  dari  sistem  (1)  berkenaan  dengan  bagian variabel.

## 3. Sistem Persamaan Auxiliary
Pandang vektor T ip i i b b b ) ,..., ( 1  ), ,..., 1 ( m i  dengan i b seperti pada sistem (1).
Tanpa  mengurangi  keumuman,  misalkan ) ( ,..., 1 , 1 m m b b m  adalah  vektor-vektor  bebas linear,  maka  vektor-vektor m m b b ,..., 1 1  diekspresikan linear dalam  bentuk  sistem  (1).  Untuk membentuk sistem persamaan auxiliary, dimisalkan variabel baru sebagai berikut:
   p i i il i z b 1  ) ,..., 2 , 1 ( 1 m i  (2)
dengan  koefisien ) ,..., 1 ; ,..., 1 ( 1 p l m i b il   merupakan  Himpunan  bebas  linear  dari  kolom . ,..., 1 1 m b b Dengan variabel baru tersebut diperoleh sistem auxiliary dari sistem (1)
   
            1 1 1 1 1 1 1 ) ,..., 1 ( ) ,..., 1 ( m l l jl m k k jk j m l l il m k k ik i m j a y a dt d m i a y a dt dy   
Tipe sistem persamaan tersebut dinamai  -sistem auxiliary terhadap sistem (1).
Lemma  1. Suatu  -sistem  auxiliary  untuk  sistem ( 1 ) selalu  dapat  dikonstruksi  dengan pengenalan  himpunan  variabel  baru p R  .  Dimensi  dari  -sistem  tidak  akan  melebihi dari sistem asli ( sistem ( 1 )) .
Bukti. Misalkan p b b ,..., 1 adalah vektor-vektor bebas linear.
Definisikan:    l v jl p l j z b 1  ); ,..., 1 ( p j  ) ,..., 1 ( 1 m j b b jl v jl   . Misalkan
     l v r p p l r p z b 1
 ( r =1,2,...,). Claim : r p   adalah kombinasi linear dari p   ,..., 1 . Bukti Claim. Misal ) ( v il v b B  ) ,..., 1 , ( p l i  . Perhatikan det 0  v B . Juga ,... ... ,... ... , 1 1 1 , 1 1 11 v p r p pr v pp r v p v r p pr v p r v b b b b b b             ,... 2 , 1   r Dari ) ... , 1 , 1 , p v p r p v p l p p l l v l r p r p z b z b z b  
         p pr r p v pp v p pr p v p v r p pr v pp r v p pr v p r v b z b b z b z b b z b b                              ... )) ( ... ( ... )) ( ... ( ) ... ( ... ) ... ( 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 Jadi r p   adalah kombinasi linear dari p   ,..., 1 . Dengan demikian dimensi maksimum dari
 -sistem adalah p m n   .

## Dimensi dari Suatu Sistem Auxiliary
Sistem (1) yang dinyatakan dalam bentuk vektor
, Bz Ay y    Dz Cy Z    ) * ( x A x  
(3)
dengan D C B A A , , , ,  adalah matriks konstan.
Masalahnya adalah mencari syarat untuk menentukan dimensi sistem auxiliary.
Misalkan  variabel  baru , 1 , p i i    yang  diperlukan  untuk  membentuk  -sistem,  adalah dipilih dari variabel BZ   dan juga dari variabel
) 1 1 ( ,..., , ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 (          p k Z BD BZ Z BD BZ BDZ Z B k k k    
dimana ) ( k  adalah diferensial  kali.
Lemma  2. Misalkan ) ) ( ,..., , ( 1 T p T T T T p B D B D B
K   .  Misalkan  -sistem  auxiliary  dari sistem original (1), maka  -sistem berdimensi h m  jika dan hanya bisa jika rank h K p  . Bukti. (i) 
Misalkan dimensi dari  -sistem adalah h m  . Akan ditunjukkan Rank h K p  . Terlebih dahulu ditunjukkan claim sebagai berikut : Jika setiap kolom dari matriks T s T B D ) ( adalah kombinasi linear dari kolom-kolom matriks s K ,  maka  untuk  setiap ) ( s i i  ,  sebarang  kolom  dari  matriks T i T B D ) ( juga  merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom matriks s K .
Bukti  Claim. Misal ) ,..., 1 ( m i b i   adalah  kolom-kolom  dari  matriks T B .  Maka ). ) ( ,..., ) ( ) ( 1 m s T s T T s T b D b D B D  Karena j s T b D ) ( adalah  kombinasi  linear  dari  kolom- kolom matriks s K , maka j s T b D ) ( dapat ditulis sebagai :
           m k k s jk m k m k k T jk k jk j s T b b D b b D 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 0 ( ... ) (    dengan ) 1 ( ) 0 ( ,...,  s jk jk   adalah konstanta-konstanta. Maka:
) ) )(( ( ) ( 1 j s T T j s T b D D b D           m k k s T s jk m k k T jk b D b D 1 ) 1 ( 1 ) 0 ( ) ( ...  
Dalam  hal  ini  setiap  kolom  dari  matriks
T s T B D 1 ) (  adalah  kombinasi  linear  dari  kolom- kolom matriks s K . Dari claim di atas, akan ditunjukkan bahwa rank h K p  . Andaikan rank h r K p   .
(1)   Misalkan h r  . Karena  dimensi  dari  -sistem  adalah h m  dan  variabel  baru  yang  dibutuhkan untuk  membentuk  -sistem  dipilih BZ p k Z BD k k       ), 1 ,..., 1 ( , ) ( ,  maka terdapat ) ( p s s  sedemikian  hingga  matriks s K mempunyai  kolom  bebas  linear sebanyak h .  Perhatikan  bahwa  setiap  kolom  matriks
) ( ) ( s i B D T i T  adalah kombinasi  linear  dari  kolom-kolom  matriks s K .  Jadi  hanya  terdapat h kolom matriks di p K yang bebas linear. Hal ini bertentangan dengan asumsi diatas.
(2)  Misalkan r<h.
Maka  dimensi  dari  -sistem  tidak  akan  pernah  sama  dengan m+h .  Dengan demikian haruslah rank h K p  . (ii) 
Jika rank h K p  , akan ditunjukkan dimensi dari  -sistem adalah m+h .
Karena rank h K p  , maka terdapat h kolom matriks p K yang  bebas linear.  Sementara itu dipihak lain variabel i y ( i =1,2,..., m ). Jadi dimensi dari  -sistem adalah m+h
Akibat  1. Suatu  -sistem  yang  dimensinya  lebih  kecil  dari  sistem  (1)  jika  dan  hanya  jika rank h K p  <p .
Bukti. (i) 
Karena dimensi dari  -sistem adalah m+h , juga dimensi dari sistem (1) adalah m+p , maka rank h K p  < p
(ii) 
Perhatikan  dimensi  dari  -sistem  adalah p rankK m  .  Karena  rank p K p  dan p m rankK m p    .  Dengan  demikian  dimensi  -sistem  lebih  kecil  dari  dimensi  sistem (1).
Struktur, Spektrum dan Matriks Fundamental dari Sistem Auxiliary
Misalkan s adalah bilangan minimum sedemikian hingga rank   1 s K rank s K . Definisikan matriks ) 5 ,..., 2 , 1 (  i L i sebagai berikut:
a. Baris  dari  matriks 1 L ukuran hxp adalah  kolom  dari  matriks 1  s K yang  bebas linear.
b. Kolom dari matriks 2 L ukuran h x h adalah kolom h pertama dari matriks 1 L . c. Baris h pertama  dari  matriks 3 L ukuran p  x  h adalah  baris  dari  matriks 1 2  L .  Sisa baris-baris matriks 3 L adalah vektor baris nol.
d. , 0 0 1 4        L I L m , 0 0 3 5        L I
L m dengan m I adalah Matriks identitas orde- m.
Lemma 3.
1. Suatu sistem auxliary dari sistem (1) diperoleh persamaan :
  5 4 L A L   
2. Himpunan  akar  persamaan  karakteristik  dari  -sistem  adalah  subset  dari himpunan akar persamaan karakteristik dari sistem ( 1 ) .
3. Misalkan ) ( t X adalah matriks fundamental dari sistem ( 1 ) , kemudian G(t) adalah matriks fundamental dari  -sistem, maka ), ( ) ( 4 t X L t G  0 t t 
Bukti.
1. Dari sistem (1) ekivalen dengan variabel vektor , Lx w  dimana
, 0 0         L I L m          L L L 1
Dengan  L adalah  matriks  sebarang  dengan  ukuran xp h m n ) (   sedemikian  hingga matriks L nonsingulir. Perhatikan bahwa
w L LA w L A L x A L x L w 1 1 * ) ( ( ) (           Misalkan kr l adalah unsur-unsur matriks L. Maka diperoleh:
p m m r n h m k p m m r h m m k m r m m k p m m r m k r k m r m k m r k r k l l l ij ij kr                                      ,..., 1 ;
,..., 1 ,..., 1 ; ,..., 1 ,..., 1 ; ,..., 1 ,..., 1 ; ,..., 1 ; ,..., 1 ; ,..., 1 ,..., 1 , , 0 , 0 , 0 , 1 , , , , 1 Jadi ) ( 4 ij l L  ) ,..., 1 , ,..., 1 ; ,..., 2 , 1 ( p m m m j h m i      .
Misalkan ) ,..., 2 , 1 , ( n r k l kr   adalah unsur-unsur  matriks 1  L .  Karena  kolom h pertama dari 1 L adalah bebas linear, kita dapat ambil kolom nol sebagai kolom h pertama L unsur- unsur dari matriks 1  L dirumuskan sebagai berikut:
L L l rk r k kr det det ) 1 (     ( ) ,..., 1 n r k  
dengan matriks rk L diperoleh dari matriks L dengan menghapus baris ke- r dan kolom ke- k .
Karena det Matriks 2 L tidak nol, dapat dipilih ). , 0 ( h p I L    Jadi
Firman h m r m r h m m r n h m k h m m k m k l m r k r k r k l kr kr      
                      ,..., 1 ,..., 1 ,..., 1 ; ,..., 1 ; ,..., 1 ; ,..., 1 untuk 0 ; ,..., 1 , , , 0 , 1 Kemudian ) ,..., 1 , ( det det det ) 1 ( det det ) 1 ( 2 2 2 , h s v L L L L l vs v s vs v s p m s m          
dimana  matriks vs L 2 diperoleh  dari  matriks 2 L dengan  menghilangkan  baris  ke- v dan kolom  ke- s. Jadi ) ,..., 1 ; ,..., 1 ( ) ( 5 h m j n i l L ij      .  Akibatnya  unsur-unsur  dari matriks
5 4 L A L  adalah  unsur-unsur  dari  matriks 1 4   L A L untuk h m j i   ,..., 1 , .  Jadi
untuk  -sistem auxiliary diperoleh persamaan . 5 4   L A L    2. Perhatikan  bahwa
0 ) det( dan 0 ) det( 1 *       m m I L LA I A   mempunyai akar persamaan karakteristik yang sama. Kemudian 5 4 L A L  adalah unsur dari 1   L A L untuk h m j i    ,..., 1 .  Jadi  ada  akar  persamaan  karakteristik
) ,..., 1 ( n i i   dari sistem (1), sedangkan dipihak lain akar persamaan karakteristik ) ,..., 1 ( h m j ij    dari  -sistem  .  Dengan  demikian  himpunan  akar  persamaan  karakteristik  dari  -sistem adalah subset dari himpunan akar persamaan karakteristik dari sistem (1).
3. Misalkan ) ( t X dan ) ( * t X masing-masing  merupakan  matriks  fundamental  dari  solusi sistem (1) dan sistem . 1 * w L LA w   
Perhatikan dengan , Lx w  maka x L w    . Jadi ada
0 * ), ( ) ( t t t LX t X   . Karena sistem persamaan (m+h) pertama:
   w L LA w 1 *  w L A L 5 4 
adalah bentuk  -sistem, maka 0 4 ), ( ) ( t t t X L t G   .

## 4. Kriteria  Kestabilan  Yang  Berkenaan  dengan  Bagian  dari Variabel-Variabel
Pada bahasan ini, akan ditunjukkan bahwa solusi nol dari  -sistem auxiliary adalah stabil  Lyapunov  (stabil  asimtotik),  jika  dan  hanya  jika  solusi  nol  dari  sistem  (1)  yang berkenaan  dengan  variabel-variabel m y y ,..., 1 adalah  stabil  (stabil  asimtotik).  Hal  ini  dapat dilihat dalam teorema berikut ini.
Teorema  1. Jika  solusi  nol  dari  -sistem   5 4 L A L    adalah  stabil  asimtotik  Lyapunov maka untuk suatu unpertubed motion 0  x dari sistem ( 1 ) adalah stabil asimtotik berkenaan dengan m y y ,..., 1 .
Bukti. Karena sistem (1) adalah stabil asimtotik berkenaan dengan m y y ,..., 1 , maka dipenuhi asimtotik eksponensial, sepanjang trajektori sistem (1) dipenuhi:
Firman
) ,..., 1 ( ) ( ) ( 1 0 m i e t z b t t i l p l il i        
dengan i i   , adalah konstanta positif. Jadi dipenuhi 0 ,       j .
Teorema 2. Jika solusi nol dari  -sistem   5 4 L A L    adalah stabil Lyapunov maka Solusi
0  x dari sistem ( 1 ) adalah stabil ( non asimtotik ) berkenaan dengan variabel m y y ,..., 1 .
Bukti. Misalkan  solusi  nol  dari  -sistem   5 4 L A L    adalah  stabil  Lyapunov.  Maka
) ,..., ,..., ( , 0 , ) ( h m m i t         . Jadi 0 , ) ( ) (        t y t i . Dalam hal ini 0 ) ,..., 2 , 1 ( ) (       m i t y i . Dengan demikian unpertubed motion 0  x dari
sistem (1) adalah stabil berkenaan dengan m y y ,..., 1 .
Akibat 2.
1. Misalkan hanya m akar persamaan karakteristik dari sistem ( 1 ) mempunyai bagian real  yang  negatif.  Untuk  sistem  unpertubed  motion ( 1 ) adalah  stabil  asimtotik berkenaan dengan m y y ,..., 1 jika dan hanya jika sistem ( 1 ) mempunyai bentuk
Dz Cy Z Ay
Y      , Dan setiap akar persamaan ) det( m I A   mempunyai bagian real yang negatif .
2. Jika  persamaan  karakteristik  dari  sistem ( 1 ) mempunyai  paling  sedikit  satu  akar persamaan  karakteristik  dengan  bagian  real  positif  dan  rank p K p  ,  maka unpertubed motion dari sistem ( 1 ) tidak stabil berkenaan dengan m y y ,..., 1 . Bukti. (1)  (i) 
Andaikan sistem (1) tidak terbentuk
Dz Cy Z Ay Y      , . Maka dimensi dari  - sistem melebihi m . Karena himpunan akar persamaan karakteristik dari  -sistem termuat pada  himpunan  akar  persamaan  karakteristik  sistem  (1),  maka  terdapat  akar  persamaan karakteristik dengan bagian real non negatif, maka solusi nol dari  -sistem tidak stabil asimtotik. Dengan demikian dengan teorema (1), maka unpertobed motion dari sistem (1) mempunyai bentuk Dz Cy Z Ay Y      , , dan setiap akar persamaan ) det( m I A   mempunyai bagian real yang negatif.
(ii) 
Karena setiap akar persamaan karakteristik dari ) det( m I A   = 0 mempunyai bagian real yang  negatif,  maka  solusi 0  y dari  sistem Ay Y   adalah  stabil  asimtotik.  Jadi unpertubed motion sistem (1) adalah stabil asimtotik berkenaan dengan m y y ,..., 1 .
Akibat  3. Jika  rank p K p  ,  maka  untuk  unpertubed  motion  sistem ( 1 ) adalah  stabil ( asimtotik ) berkenaan  dengan m y y ,..., 1 jika  dan  hanya  jika  unpertubed  motion  sistem ( 1 ) adalah stabil ( asimtotik ) Lyapunov . Bukti. (i) 

## Firman
Karena  rank p K p  ,  maka  dimensi  dari  -sistem  adalah n p m   .  Maka  terdapat sebanyak n akar persamaan karakteristik dengan bagian realnya negatif. Jadi sistem (1) adalah stabil (asimtotik)
(ii) 
Karena  sistem  (1)  adalah  stabil  (asimtotik),  maka  ada n akar  karakteristik  dengan  bagian realnya  negatif.  Jadi  dipenuhi  ada  m  akar  karakteristik  dengan  bagian  real  negatif.  Dengan demikian  suatu  unpertubed  motion  sistem  (1)  adalah  stabil  (asimtotik)  berkenaan  dengan
m y y ,..., 1 .  Jadi  persamaan 0 ) det( 2 5 4    I L A L  adalah: 0 ) 1 ( 2     .  Dalam  hal  ini didapat . 1 12    Dengan  demikian  solusi  nol  dari  -sistem   5 4 L A L    atau 2 2 2 1 ,             adalah asimtotik.
Akibatnya,  dengan  Teorema  1  maka unperturbed  motion 0 2 1 1    z z y adalah  stabil asimtotik berkenaan dengan 1 y .
Contoh  Kestabilan Parsial yang Asimtotik
Contoh 1 .
Misalkan sistem (1) punya bentuk sebagai berikut :
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 , 4 , 2 z z y z z y z z z y y             Perhatikan:
) 2 1 (   B                      2 1 2 1 1 0 1 1
2 K
Dapat dilihat bahwa rank
1 2  K . Kemudian
, 0 0 1 0 0 1 , 1 1 2 0 1 4 2 1 1 , 2 1 0 0 0 1 5 * 4                                  L A L
Jadi  persamaan 0 ) det( 2 5 * 4   I L A L  adalah: . 0 ) 1 ( 2     Dalam  hal  ini  diperoleh
. 1
12    Dengan demikian solusi nol dari  -sistem   5 4 L A L    atau
2 2 2 1 ,             adalah  asimtotik.  Akibatnya,  dengan  Teorema  1  maka
unperturbed motion 0 2 1 1    z z y adalah stabil asimtotik berkenaan dengan 1 y .
Contoh 2. Misalkan
3 2 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 1 3 1 1 1 2 4 2 8 2 4 2 z z z y z z z y z z z y z z z y y                   Perhatikan
) 2 0 1 (   B             1 1 1 0 0 4 0 2 1 D
Rank 1 2  K .
         1 0 1 1 5 * 4 L A L
Jadi  persamaan 0 ) det( 2 5 * 4   I L A L  adalah: . 0 ) 1 ( 2     Dalam  hal  ini  didapat
. 1 12    Dengan demikian solusi nol dari  -sistem   5 4 L A L    adalah stabil asimtotik.

## 5. Kesimpulan dan Saran
Dengan  teknik  -sistem  kestabilan  parsial  dari  suatu  sistem  dapat  dianalisis. Diharapkan dalam penelitian selanjutnya dapat dibuat tentang analisis kestabilan parsial untuk sistem  non linear.  Dari hasil  yang  diperoleh  disarankan  dapat  dikaji  hubungan  antara teknik  -sistem dengan metode fungsi Lyapunov.

## 6. Open Problem
Pandang sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan
, Bu Ax x    ) ,..., , ,..., ( 1 1 p n T z z y y x  p m n p m z y T T      , 0 , 0 . ), , (
Dalam  variabel y , z sistem  tersebut, , , Ru Dz Cy z Pu Bz Ay y         adalah persamaan  yang  terbentuk,  dengan x adalah  vektor  keadaan  dan u adalah  vektor  kontrol. Masalahnya  adalah  bagaimana  mencari  kontrol u yang  menjamin  sistem  tersebut  adalah stabil asimtotik berkenaan dengan m y y ,..., 1 .

## Daftar Pustaka
[1]   Vorotnikov,  V.I.,  Birkhauser,  1998, “Partial  Stability  and  Control”. Boston,  Basel, Berlin.
[2]  Naiborhu, J., Nababan, S.M., Saragih, R., Pranoto, I., “Direct Gradient Descent Control as A Dynamic Feedback Control for Linear System” .
[3]  Sun,  Y.,  Molchanov,  A.  P.,  Michel,  A.N., “Partial  Stability  of  Dynamical  Systems”. Departement of Electrical Engineering University of Notre Dame South Bend, IN, 46556 USA.
[4]  Isidori,  A.,  1995, “Nonlinear  Control  System,  Third  Edition” .  Springer-Verlag Heidelberg, Berlin.