ELEMEN SIMETRIS DAN SIMETRIS DIPERUMUM PADA RING DENGAN INVOLUSI
Titi Udjiani SRRM
Departemen Matematika, Fakultas Sains dan  Matematika, Universitas Diponegoro Email : udjianititi@yahoo.com ,
Abstract. The  definition  of  symmetric  element  in  a  ring  with  unity  and  equipped  with involution  can  be  generalized  to  generalized  symmetric  elements.  But  the  properties  of symmetric element not automatically can be generalized to generalized symmetric elements. In  this  paper,  we  discuss  the  property  of  symmetric  element  which  can  or  cannot  be generalized  to  generalized  symmetric  elements.  Because  of  at  least  there  is  an  element  of symmetric and generalized symmetric elements which   have the generalized Moore Penrose inverse, so method in this paper is by establishing a relationship between symmetric element, generalized symmetric element and generalized Moore Penrose inverse of element.
Keywords: inverse, symmetric, involution.
Abstrak. Definisi elemen simetris  pada ring  dengan elemen satuan yang  dilengkapi  dengan involusi  dapat  diperumum  menjadi  elemen  simetris  diperumum.  Akan  tetapi  tidak  secara otomatis  sifat  sifat  yang  dimiliki  oleh  elemen  simetris  juga  berlaku  atau  dapat  diperumum pada elemen simetris diperumum. Tulisan ini membahas sifat sifat elemen simetris baik yang dapat  maupun  tidak  dapat  diperumum  pada  elemen  simetris  diperumum.  Oleh  karena setidaknya  terdapat  sebuah  elemen  dari  elemen    simetris  dan  simetris  diperumum  memiliki invers  Moore  Penrose  diperumum,  maka  metode  yang  digunakan  pada  tulisan  ini  adalah dengan membangun hubungan antara elemen simetris, simetris diperumum dan invers Moore Penrose diperumumnya.
Kata kunci: invers, simetris, involusi.

## I. PENDAHULUAN
Diketahui 𝑅 adalah ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi " ∗ ". D. Mosic dan D.S.Djordjevic  [2]  dan  Koliha  JJ  et.all.  [3]  mendeﬁnisikan    involusi  " ∗ "  pada 𝑅 sebagai fungsi 𝑎 ∈ 𝑅 ↦ 𝑎 ∗ ∈ 𝑅 yang memenuhi
(𝑎 ∗ ) ∗ = 𝑎 (𝑎 + 𝑏) ∗ = 𝑎 ∗ + 𝑏 ∗ (𝑎𝑏) ∗ = 𝑏 ∗ 𝑎 ∗
untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 .
Tidak  setiap  elemen  di 𝑅 yang  dikenai  operasi  involusi  menghasilkan  dirinya  sendiri. Fenomena  ini  oleh    D.  Mosic  dan    D.S.Djordjevic  [1]  digunakan  untuk  mendeﬁnisikan elemen  simetris  di 𝑅. Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 disebut  simetris  jika  memenuhi 𝑎 ∗ = 𝑎 .  Himpunan elemen simetris di 𝑅 diberi simbol 𝑅 𝑠𝑦𝑚 .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34
Salah satu jenis invers pada ring adalah invers Moore Penrose diperumum. Menurut Titi [7] jika diketahui  elemen a,b ∈ R , maka elemen 𝑏 disebut  invers   Moore Penrose diperumum dari 𝑎 apabila syarat syarat sebagai berikut dipenuhi :
aba = a , (𝑎𝑏) ∗ = ab , (𝑏𝑎) ∗ = ba .
Selanjutnya  invers  Moore  Penrose  diperumum  dari a disimbolkan  dengan 𝑎 𝑔 + sedangkan 𝑅 𝑔 + adalah  symbol  untuk  himpunan  elemen  di 𝑅 yang  memiliki    invers  Moore  Penrose diperumumnya  tidak selalu tunggal. . Himpunan invers  Moore Penrose diperumum dari a ∈ R disimbolkan dengan (𝑎 𝑔 + ) − .

## II. PEMBAHASAN
Telah  dibahas  pada  Titi  [4]    Teorema  1  bahwa  jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ,  maka 𝑎 ∗ ∈ 𝑅 𝑔 + dan (𝑎 ∗ ) 𝑔 + = ( 𝑎 𝑔 + ) ∗ for  each 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − dan (𝑎 ∗ ) 𝑔 + ∈ ((𝑎 ∗ ) 𝑔 + ) − .  Selanjutnya  Titi  [5]        membangun Teorema 1 sebagai berikut :
Teorema 1. Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + . Jika 𝑎 adalah elemen simetris, maka 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Bukti :
Oleh  karena 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 𝑠𝑦𝑚 ,  maka    dengan  menggunakan  definisi  invers  Moore  Penrose diperumum dan involusi diperoleh ( 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = ( 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ = (𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑔 + 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .  Dilain  pihak  jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + ,  maka  ( 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎𝑎 𝑔 + untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .  Dapat  disimpulkan  bahwa 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − , sehingga Teorema 1 terbukti.
Teorema 1 tidak berlaku sebaliknya, sebagai contoh pada ring dengan elemen satuan 𝑀 2 (𝑍 2 ) yang dilengkapi dengan involusi transpose.      Untuk A = [ 1 1 0 1 ] ∈ 𝑀 2 (𝑍 2 ) diperoleh bahwa
𝐴 𝑔 + = [ 1 1 0 1 ] ,  sehingga      A 𝐴 𝑔 + = 𝐴 𝑔 + A .  Sementara  A  bukan    elemen  simetris    di 𝑀 2 (𝑍 2 ) sebab 𝐴 ≠  A 𝑇 . Selanjutnya dengan menambahkan sifat elemen simetris pada elemen 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + yang  memenuhi 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − ,  dapat  diperoleh  eksistensi  elemen

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34
simetris 𝑎 di 𝑅 𝑔 + .  Dimotivasi  oleh  D.  Mosic  dan    D.S.Djordjevic  [2],  selanjutnya  Titi  [5] mendapatkan hasil sebagai berikut.
Teorema 2. Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + .  Elemen 𝑎 adalah elemen simetris jika dan hanya jika 𝑎 ∗ = 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Bukti :
Oleh  karena 𝑎 adalah  elemen  simetris,  maka  dengan  menggunakan    Teorema  1  diperoleh bahwa 𝑎 ∗ = 𝑎 = 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 = 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − . Sebaliknya jika 𝑎 ∗ = 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − , maka 𝑎 = ( 𝑎 ∗ ) ∗ = ( 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = ( 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ then = 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 ∗ untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Syarat perlu dan cukup yang lainnya agar suatu elemen yang mempunyai invers Moore Penrose diperumum merupakan elemen simetris dibahas pada Teorema 3 dibawah ini :  D. Mosic dan  D.S.Djordjevic [2], selanjutnya Titi [6].
Teorema 3. Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + .  Elemen 𝑎 adalah elemen simetris jika dan hanya jika 𝑎𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 .
Bukti :
Jika 𝑎 adalah  elemen  simetris,  maka 𝑎𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 .  Sebaliknya  jika 𝑎𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 ,  maka 𝑎 ∗ = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎𝑎𝑎 𝑔 + untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − . Menurut    Teorema  2,  elemen 𝑎 adalah  elemen simetris.
Berdasarkan  definisi  involusi  telah  dijelaskan  bahwa  jika 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, maka (𝑎𝑏) ∗ = 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ . Selanjutnya   dengan mengaplikasikan definisi involusi pada 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑠𝑦𝑚 diperoleh (𝑎𝑏) ∗ = 𝑏𝑎. Untuk kejadian khusus,  dimana 𝑏 = 𝑎 kita mendapatkan (𝑎 2 ) ∗ = 𝑎 2 . Fenomena ini memotivasi      D.  Mosic  dan    D.S.Djordjevic  [2],  untuk    mendeﬁnisikan  elemen  simetris diperumum.  Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 disebut  elemen simetris  diperumum jika memiliki sifat (𝑎 𝑛 ) ∗ = 𝑎 𝑛 , untuk sebarang 𝑛 ∈𝑁 . Himpunan elemen simetris diperumum di 𝑅 diberi simbol 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 . Selanjutnya muncul pertanyaan apakah sifat yang dimiliki elemen simetris dapat diperumum pada elemen simetris diperumum.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34
Dengan  mempertimbangkan  bahwa  setidaknya  terdapat 1 ∈ 𝑅 yang  merupakan  elemen simetris  sekaligus  elemen  simetris  diperumum  dan  mempunyai  invers  Moore  Penrose diperumum,  maka  pembahasan  perumuman  sifat  elemen  simetris  pada  elemen  simetris diperumum dilakukan dengan mengeksplore sifat sifat invers Moore Penrose diperumumnya.
Dengan  menggunakan  definisi  elemen  simetris  diperumum,  sifat  elemen  simetris  yang disampaikan pada Teorema 1 dapat diperumum menjadi Lemma 3 sebagai berikut.
Lemma 3. Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 dan 𝑛 ∈𝑁 , maka 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 dan 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑛 .
Bukti :
Oleh karena 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 , maka 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ = (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 ∗ = (𝑎𝑎 𝑛 ) ∗ = 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ . Selanjutnya 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 ∗ = 𝑎𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 dan 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑛 .
Berikutnya  untuk  setiap  elemen  anggota  dari 𝑅 𝑔 + ∩ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 mempunyai  sifat  seperti  yang disampaikan pada Teorema 4 sebagai berikut.
Teorema 4. Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + dan 𝑛 ∈𝑁 . Jika 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 , maka 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 untuk setiap untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Bukti:
Karena 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 , maka 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎𝑎 𝑛 . Menggunakan Lemma 3 diperoleh bahwa 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑛 = (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑛 = (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 = (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 𝑎 𝑛 (𝑎 ∗ 𝑎 ) 2 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎 (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 = 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ (𝑎 ∗ 𝑎 ) 2 𝑎 𝑛 (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 = 𝑎 ∗ 𝑎 𝑎 𝑛 (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 = 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ 𝑎  (𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ) 2 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + (𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − .
Selanjutnya untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − berlaku
𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑔 + ( 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 𝑛 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 ∗ = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ ( 𝑎 𝑛 𝑎) ∗ = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ ( 𝑎 𝑛 ) ∗ = 𝑎 𝑔 + ( 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑛−1 = 𝑎 𝑔 + 𝑎𝑎 𝑛−1 = 𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34
Dimotivasi  oleh  Teorema  1  dan    Teorema  4  dapat  dibangun  Teorema  5  dibawah  ini,  yang merupakan perumuman dari sifat elemen simetris yang sudah disampaikan pada  Teorema 2.
Teorema 5 Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + . Elemen 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔𝑠𝑦𝑚 jika dan hanya jika (𝑎 ∗ ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + untuk setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) −

## Bukti :
Dengan  menggunakan  Teorema  1,  untuk  setiap 𝑎 𝑔 + ∈ (𝑎 𝑔 + ) − berlaku 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑔 + 𝑎 = 𝑎 𝑛−1 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 = 𝑎 𝑛 = (𝑎 ∗ ) 𝑛 .  Sebaliknya (𝑎 ∗ ) 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + = (𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎) 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + = (𝑎𝑎 𝑔 + ) 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎𝑎 𝑔 + 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + = 𝑎𝑎 𝑔 + (𝑎 ∗ ) 𝑛 = ( 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ (𝑎 ∗ ) 𝑛 = ( 𝑎 𝑛 𝑎𝑎 𝑔 + ) ∗ = ( (𝑎 ∗ ) 𝑛 ) ∗ = 𝑎 𝑛 .
Lemma 6. Diketahui 𝑎 ∈ 𝑅 𝑔 + .  Elemen 𝑎 adalah elemen simetris diperumum, maka 𝑎 𝑛 𝑎 = (𝑎 ∗ ) 𝑛 𝑎 .

## Bukti:
Dengan mengaplikasikan definisi elemen simetris diperumum maka Lemma 6 terbukti. Akan tetapi  pernyataan  pada  Lemma  6  tidak  berlaku  sebaliknya.  Sebagai  contoh,      untuk  A  =
[ 1 1 0 1 ] ∈ 𝑀 2 (𝑍 2 ) ,  diperoleh  bahwa A 3 A ≠ (A 𝑇 ) 3 A ,  sementara  A  elemen  simetris diperumum di 𝑀 2 (𝑍 2 ) sebab A 2 = (A 𝑇 ) 2 .

## III. KESIMPULAN
Tidak semua sifat yang dimiliki oleh elemen simetris dapat diperumum pada elemen simetris diperumum.    Hal  ini  ditunjukkan  dengan  membuktikan  bahwa  Teorema  3  tidak  dapat diperumum  pada  Lemma  6.  Sementara  Teorema  1  dan  2  berturut  turut  diperumum  menjadi Teorema 4 dan 5.

## REFERENSI
[1] D. Mosic dan  D.S.Djordjevic, “ Moore  Penrose  Invertible Normal and Hermitian Elements in Ring ”, Linear Algebra Appl , vol. 431,  pp. 732-745, 2009
[2]    D.  Mosic  dan  D.S.Djordjevic,  “ Partial  Isometries  and  EP  Elements  in  Rings  with Involution ”, A publication of the International Linear Algebra Society , vol. 18, pp. 761- 772, 2009
[3]   Koliha J.J., et al, “  ”,  . Linear Algebra Appl. , vol. 426, pp. 371-381, 2007
[4]    T.Udjiani,  B.Surodjo  and    S.Wahyuni  ,  “Generalized  Moore  Penrose  Inverse  in  Rings with Involution”, Far East Journal of Mathematical Sciences , vol. 92, pp. 29-40, 2014

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34
[5]    T.Udjiani,  Kartono  Suryoto  R.Heri  dan  Priyo.S,  “Generalized  Moore  Penrose  invers  of symmetric  elements  in  rings  with  an  Involution.”, Far  East  Journal  of  Mathematical Sciences , vol.102, no. 8, pp. 1635-1646,  2017
[6]  T. Udjiani, Harjito, Suryoto  dan Nikken Prima, “ Generalized Moore Penrose Inverse of Normal Elements in a Ring with Involution ”, IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering , no. 300 012074, 2018.
[7]  T Udjiani, S.Zaki,  Suryoto dan Harjito , “Normal Elements On The Generalized Moore Penrose  Inverse”, IOP  Conf.  Series:  Materials  Science  and  Engineering ,  no.  1217 012067, 2019

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.34