## Pelatihan  Cara  Berpikir  Simbolik-Matematik  Di  Sma  Bopkri  2 Yogyakarta
Raden Gunawan Santosa 1* , Junius  Karel Tampubolon 2
1,2 Universitas Kristen Duta Wacana

## A B S T R A K
Berpikir  Simbolik-Matematik  adalah  teknik  berpikir  untuk menyelesaikan  problem  Matematika.  Teknik  ini  merupakan  hasil kombinasi  Logika  Simbolik  dan  Matematika.  Secara  umum  ada  tiga aktivitas  logika  simbolik  yang  diaplikasikan  pada  Matematika  yaitu membaca  simbol,  ekuivalensi  logis  dan  implikasi  logis.  Pengabdian kepada  Masyarakat  (PkM)  ini  mempunyai  aktifitas  kegiatan  untuk pelatihan  cara  berpikir  Simbolik-Matematik  dengan  menggunakan  15 strategi. Hasil dari pelatihan ini ada tiga hal penting .Hasil yang pertama adalah jenis problem yang paling sulit dihadapi para siswa adalah jenis problem  yang  memerlukan  penarikan  kesimpulan  yang  mengacu  pada definisi  matematika  yang  baku.  Hal  yang  kedua  adalah  untuk  jenis penggunaan  strategi    penyelesaian  model  pada  sebuah  sistem  dan jenis  melihat  pola,  para  siswa  cenderung  dapat  menyelesaikan  soal setelah  diberi  petunjuk  bagaimana  model  yang  cocok  pada  problem serta  pola  yang  dimiliki  problem.  Sedangkan  yang  ketiga  adalah    dari dua kelompok kelas siswa ternyata bahwa kelas yang kontinu mengikuti pelatihan  lebih  mendapatkan  peningkatan  kemampuan  berpikir simbolik-matematik daripada kelas yang lainnya.

## A B S T R A C T
Symbolic-Mathematical Thinking is a technique of thinking to solve mathematical problems. This technique is the result of a combination of Symbolic Logic and Mathematics. In general there are three symbolic logic activities that are applied to Mathematics,  namely reading symbols, logical  equivalents and logical  implications This Pengabdian kepada Masyarakat (PkM)  has activities to train Symbolic- Mathematical    thinking  using  15  strategies  for  BOPKRI  2  high  school  students.  The  results  of  this training  are  three  important  things.  The  first  result  is  the  type  of  problem    that  is  most  difficult  for students  to  face  is  the  type  of  problem  that  requires  drawing  conclusions  that  refer  to  standard mathematical  definitions.  The  second  thing  is  for  the  type  of  use  of model  settlement  strategies  in  a system and the type of seeing patterns, students tend to be able to solve problems after being given instructions on how the model fits the problem and the pattern the problem has. Whereas the third is from  two  groups  of  students  the  class  turns  out  that the  continuous  class  attending  the  training  gets more symbolic-mathematical thinking skills improvement than the other classes.
Copyright © Universitas Pendidikan Ganesha. All rights reserved.
* Corresponding author.
E-mail addresses: radengunawan12@gmail.com (Raden Gunawan Santosa)

## A R T I C L E I N F O
Article history: Received 10 December 2019 Received in revised form 01 January 2020 Accepted 30 January 2020 Available online 28 February 2020
Kata Kunci: Simbolik-Matematik, ekuivalensi logis , implikasi logis , pola, kontinu
Keywords: Symbolic-Mathematical, logical equivalence, logical implications, patterns, continuous

## 1. Pendahuluan
Pada  era  globalisasi  seperti  saat  ini,  pendidikan  merupakan  merupakan  hal  yang  sangat  penting dalam  menyiapkan  generasi  yang  cerdas,  berdaya  saing  tinggi  serta  membentuk  kepribadian  suatu masyarakat.  Sekolah  merupakan  salahsatu  lembaga  pendidikan  formal  yang  secara  tersistematis menyiapkan  generasi  bangsa  ini  untuk  menghadapi  berbagai  tantangan  perubahan  yang  akan  datang tersebut. Dalam kehidupan sosial, masyarakat cenderung akan selalu berubah, pendidikan memiliki peran dalam merespon perubahan tersebut (Sholeh, 2018).
Kelurahan Seperti kebanyakan siswa SMA di Indonesia, siswa SMA BOPKRI 2 (BODA) juga banyak mengalami  kesulitan  dalam  memahami  dan  manipulasi  simbol  terutama  dalam  Matematika.  Salah  satu cara  menyelesaikan  kesulitan  ini  adalah  dengan  cara  meningkatkan  kemampuan  berpikir  Simbolik- Matematik  bagi  siswa.  Berpikir  simbolik-matematik  adalah  teknik  berpikir  yang  mengkombinasikan Logika  Simbolik  dan  Matematika.  Dalam  logika  simbolik,  penggunaan  simbol  bertujuan  agar  aktivitas berlogika tetap berlandaskan pada “makna tunggal”. Dengan acuan “makna tunggal” aktivitas logis seperti ekuivalensi  logis  dan  implikasi  logis  dapat  dilakukan  dengan  runtun  sehingga  tetap  mempertahankan larangan  melakukan  kontradiksi  .  Hal  ini  juga  menjadi  landasan  bagi  sistem  di  dalam  dunia  komputer (Huth  &  Ryan,  2004)  (Ben-Ari,  2012).  Logika  Simbolik  memiliki  sebutan  lain  yaitu  Logika  Matematika. Walaupun  memiliki  nama  yang  mirip,  Logika  Matematika  (Logika  Simbolik)  dan  Matematika membicarakan dua hal yang sangat berbeda. Matematika membicarakan beberapa topik seperti Aljabar, Aritmatika  dan  Geometri,  sedangkan  Logika  Simbolik  membicarakan  obyek  berupa  pernyataan- pernyataan  dan  relasi  antar  pernyataan  tersebut  (Smullyan,  2009).  Secara  khusus Logika  Simbolik  juga membicarakan sistem yang disebut sistem aksioma.
Walaupun  berbeda,  Logika  Simbolik  dan  Matematika  memiliki  hal  yang  sama  yaitu  keduanya menggunakan simbol-simbol yang hanya memiliki satu buah makna. Pola berpikir logis kedua bidang ini juga  sama.  Secara  khusus  dapat  dikatakan  pola  logis  di  dalam  Logika  Simbolik  dapat  diterapkan  pada Matematika. Dengan kata lain, Logika Simbolik dapat diaplikasikan untuk Matematika (Smullyan, 2009).
Pada  hakekatnya  berpikir  matematik  adalah  sesuatu  hal  yang  penting,  dengan  alasan  sebagai berikut (Stacey, 2005):
1. Berpikir matematika penting sebagai tujuan dari sekolah umum.
2. Berpikir matematik penting sebagai cara belajar matematika.
3. Berpikir matematik penting untuk mengajarkan matematika. Pemikiran  matematika adalah  kegiatan yang sangat kompleks, dan yang telah  banyak ditulis  dan dipelajari  oleh  para  ahli  matematika  maupun  oleh  para  ahli  pendidik.  Secara  sederhana  berpikir matematik memuat dua hal yang sangat penting, yaitu “Specialising and Generalizing” dan  “Conjecturing and Convincing”. Mason, Burton and Stacey mengidentifikasi empat proses  fundamental dalam  berpikir matematik (Mason, Burton, & Stacey, 1982), yaitu :
1. Specialising (mengkhususkan diri) - mencoba kasus khusus, melihat contoh yang lebih sederhana.
2. Generalizing (membuat lebih umum) - mencari pola-pola dan hubungan-hubungan secara lebih luas.
3. Conjecturing (menduga) - memprediksi hubungan-hubungan dan hasil-hasil  dari suatu relasi.
4. Convincing  (meyakinkan)  -  menemukan  dan  mengkomunikasikan  alasan  mengapa  sesuatu  hal  atau keadaan  itu benar.
Pada  dasarnya  berpikir  simbolik-matematik  adalah  bentuk  praktis  kombinasi  Logika  Simbolik dengan  fundamental  berfikir  Matematika.  Bentuk  praktis  berpikir  simbolik-matematik  adalah  berupa teknik-teknik  logis  dalam  menyelesaikan  problem  Matematika.  Secara  umum  ada  tiga  aktivitas  logika simbolik yang diaplikasikan pada Matematika yaitu membaca simbol, ekuivalensi logis dan implikasi logis (Copi, Cohen, & McMahon,  2014). Membaca simbol adalah aktivitas menangkap arti simbol. Ekuivalensi logis  melakukan  penyederhanaan  simbol  dan  implikasi  logis  melakukan  penarikan  kesimpulan (Grassmann & Tremblay, 1996). Teknik berpikir logis yang diaplikasikan pada program ini, adalah :
1. Larangan melakukan kontradiksi.
2. Reduksi Semesta Pembicaraan
3. Penarikan Kesimpulan Universal Generalization.
4. Binary thinking.
5. Informal Reasoning.
6. Konstruksi Logis Berdasarkan Pola
7. Diagram pohon (tree diagram)
8. Diagram Venn
Sedangkan untuk berpikir secara matematik  ada 5 asumsi dasar yang penting (Mason, Burton, & Stacey, 1982),  yaitu :
1. ASUMSI  I  :  Kita  dapat berpikir secara matematis
2. ASUMSI 2  :  Pemikiran matematika dapat ditingkatkan dengan latihan refleksi
3. ASUMSI 3  :  Berpikir secara  matematik  dapat  di provokasi oleh contradiction (kontradiksi), tension (ketegangan)  dan surprise (kejutan)
4. ASUMSI 4  :  Berpikir secara  matematik  didukung oleh suasana mempertanyakan , menantang   dan me refleksi kan
5. ASUMSI 5  :  Berpikir secara matematik  membantu dalam memahami diri sendiri dan dunia Dengan melatihkan teknik berpikir Simbolik-Matematik ini, diharapkan terjadi peningkatan kemampuan logika siswa dalam menghadapi problem Matematika.
Salah  satu  kemampuan  berpikir  yang  utama  dalam  Matematika  adalah  Problem  Solving  atau Pemecahan  Masalah.  Problem  Solving  menjadi  penting  karena  melibatkan  cara  berpikir  yang  berbeda untuk pembuatan keputusan . Unsur dalam Problem Solving yaitu berpikir kreatif  dan berpikir analitis. Berpikir  kreatif  memberikan  perspektif  baru  atau  menangkap  peluang  baru  dalam  bentuk  ide-ide  baru yang  belum  pernah  ada.  Berpikir  Analitis  adalah  berpikir  yang  menggunakan  sebuah  tahapan  atau langkah-langkah  logis.  Langkah  berpikir  analitis  ialah  dengan  menguji  sebuah  pernyataan  atau  bukti dengan  standar  objektif,  melihat  masalah  tidak  hanya  di  permukaan  saja  tapi sampai  dengan  akar-akar permasalahan,  kemudian  menimbang  atau  memutuskan  atas  dasar  logika.  Kedua  cara  itu  tidak  saling bertentangan,  tetapi  saling  melengkapi  sesuai  konteksnya.  Sebagai  contoh,  berpikir  kreatif  dalam memecahkan  sebuah  persoalan    juga  memerlukan  cara  berpikir  analitis  untuk  memutuskan  mana  yang terbaik diantara kemungkinan ide-ide baru sebagai hasil yang kreatif.

## 2. Metode
Metode Kegiatan  PkM ini akan menghasilkan beberapa output, yaitu :
1. Pembuatan  Modul  Simbolik-Matematik  dari  beberapa  sumber  (Mujiyati,  2015)  dan  dari  tim  Pustaka Cerdas  (-, 2016)
2. Pelatihan  Simbolik-Matematik untuk para siswa yang dilakukan sesuai jadwal. Evaluasi dan laporan sebagai bentuk laporan pertanggung-jawaban Pertama-tama yang dilakukan sebelum melakukan pelatihan bagi para siswa terlebih dahulu dibuat Modul  pelatihan  Simbolik-Matematik.  Modul  ini  terdiri  atas  11  bagian.  Bagian-bagian  dari  modul  ini adalah sebagai berikut  : bagian yang pertama adalah  bagian diagnosis yaitu modul untuk  mendiagnosis kemampuan siswa. Sedangkan modul yang lain  terdiri dari 10 modul yaitu modul 1 sampai dengan modul 10. Sebagai satu contoh suatu problem yang harus diselesaikan (Wibowo & Singgih, 2012) adalah :
Seorang  ilmuwan  melakukan  percobaan  terhadap  50  ekor  kelinci.  Dan  hasil  laporannya  sebagai berikut :
1. 25 ekor di antaranya kelinci jantan.
2. 25 ekor dilatih menghindari jebakan, 10 ekor di antaranya jantan.
3. 20 ekor ( dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan.
4. 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor di antaranya jantan. Banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan adalah Ada dua  cara solusi untuk menyelesaikannya Cara 1 Dengan menggunakan logika  dalam bahasa formal sebagai berikut :
1. Semuanya ada 50 ekor kelinci.
2. 25 ekor di antara nya adalah kelinci jantan. Berarti , terdapat 25 ekor kelinci betina.
3. 25 ekor  dilatih menghindari jebakan, 10  ekor di antaranya jantan . Berarti, terdapat 15  ekor kelinci betina yang dilatih. Ini berarti pula terdapat 10 ekor kelinci betina yang tidak dilatih.
4. 20 ekor ( dari total 50 ekor ) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan. Berarti ada 16 ekor kelinci betina yang berhasil menghindari jebakan dan ada 9 ekor kelinci betina yang gagal.
5. 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Berarti terdapat 12  ekor  kelinci  betina  yang  dilatih  dan  berhasil  menghindari  jebakan  dan  ada  3  ekor  kelinci  betina yang dilatih dan gagal.
Jadi diperoleh informasi bahwa kelinci betina yang tidak dilatih tapi berhasil menghindari jebakan ada  sebanyak  16  –  12  =  4  .  Berarti  banyaknya  kelinci  betina  yang  tidak  dilatih  dan  tidak  dapat menghindari jebakan ada 10 – 4 = 6 ekor.
Cara 2 : Dengan menggunakan pohon atau Tree , lihat gambar ilustrasi dibawah sebagai berikut :
Gambar 1. Ilustrasi Penggunaan Tree
Dari gambar 1 dan dengan menggunakan pemodelan aljabar sederhana , maka didapat :
x + y = 4 (4 ekor jantan yang berhasil menghindari jebakan) t + z = 16 (karena total yang berhasil adalah 20) t = 12 (12 ekor betina yang dilatih dan berhasil menghindari jebakan)
Sehingga  z  =  4.  Dengan  demikian  kelinci  betina  yang  tidak  pernah  dilatih  dan  tidak  dapat menghindari jebakan adalah : 10 – 4 = 6 ekor.
Pelajaran matematika di Jepang, terutama untuk kelas dasar, sebagian  besar menggunakan metode Problem-Solving (pemecahan masalah). Takahashi (2006) menggunakan pendekatan Problem-Solving ini, yang  disebut  penyelesaian  masalah  terstruktur,  metode  ini  dirancang    untuk  menciptakan  minat  dalam pelajaran  matematika  dan  merangsang  aktivitas  kreatif  di  kelas  melalui  kerja  kolaboratif  para  siswa.
Pelajaran matematika di sana biasanya dimulai dengan siswa yang bekerja secara individu untuk memecahkan masalah yang diberikan oleh guru dengan menggunakan pengetahuan matematika mereka sendiri. Setelah bekerja dengan masalah tersebut, siswa membawa berbagai pendekatan dan solusi untuk diskusi  kelas.  Guru  kemudian  memimpin  siswa  dalam  diskusi  seluruh  kelas  untuk  membandingkan pendekatan  penyelesaian  masalah  dan  solusi  setiap  individu.  Kegiatan  di  kelas  ini  memberikan  siswa dengan  kesempatan  untuk  mengembangkan  kemampuan  matematika  mereka  termasuk  pemahaman konseptual dan prosedural (Takahashi, 2006).
Metode  Pelatihan Simbolik-Matematik bagi para siswa SMA BODA  mengadopsi dan memodifikasi dari metode Takashi tersebut . Metode ini terdiri dari beberapa tahapan sebagai berikut : 1. Mendiagnosis  permasalahan  siswa  dalam  melakukan  aktvitas  logika  simbolik  dengan  cara  siswa diberikan problem diagnosis untuk dikerjakan. Kemudian setelah hasil pengerjaan siswa dikumpulkan, maka intrukttur dan siswa bersama-sama mendiskusikan cara menyelesaikan masalah tersebut.
2. Membagikan modul yang berbeda- beda sesuai dengan jadwal pelatihan.
3. Membahas  dan  mendiskusikan  cara  penyelesaikan  problem  dalam  modul  yang  telah  dibagikan tersebut.
4. Menyimpulkan cara menyelesaikan problem dalam pertemuan pada hari itu juga. Kesimpulan tersebut diperoleh  dengan  membagikan  kuisioner  tentang  cara  atau  strategi  yang  digunakan  untuk menyelesaikan  problem  tersebut.  Dan  siswa  boleh  memilih  cara  (strategi)  yang  digunakan  untuk menyelesaikan problem. Untuk jawabannya, siswa boleh memilih lebih dari satu macam strategi.  Ada lima belas strategi yang digunakan dalam pelatihan Simbolik-Matematik , yaitu :
a. Guess and check (tebak dan periksa)  strategi 1
b. Make an organized list  (membuat daftar terorganisir)  strategi 2
c. Eliminate possibilities (menghilangkan kemungkinan)  strategi 3 d. Use symmetry (gunakan simetri)  strategi 4
e. Consider special cases (mempertimbangkan kasus khusus)  strategi 5
f. Use direct reasoning (gunakan penalaran langsung)  strategi 6
g. Solving  equation (memecahkan persamaan )  strategi 7
h. Look for a pattern (cari polanya)  strategi 8
i. Draw a picture (menggambar)  strategi 9
j. Solve a simpler problem (memecahkan masalah yang lebih sederhana)  strategi 10
k. Use a model (gunakan model)  strategi 11
l. Work backward (bekerjalah mundur)  strategi 12
m. Use a formula (gunakan formula/rumus)  strategi 13
25 jantan 25 betina 10 dilatih 15 dilatih 10 tidak dilatih x berhasil tidak berhasil y berhasil tidak berhasil t berhasil tidak berhasil
tidak berhasil
15 tidak dilatih
n. Be ingenious  (cerdik)  strategi 14
o. Consider extremes (pertimbangkan ekstrem)  strategi 15
Siswa diberi tugas untuk membuat kesimpulan berdasarkan cara menyelesaikan problem solving tersebut dari 15 strategi yang ada . Lima belas strategi tersebut merupakan “nama” yang diberikan sesuai dengan diskusi dan proses cara menyelesaikan pada tahap 3.
Adapun  jadwal  kegiatan  yang  akan  dilaksanakan  adalah  sekitar  awal  bulan  Juli,  akan  tetapi berhubung  ada  beberapa  pertimbangan  faktor  maka  kegiatan  tersebut  diundur  sampai  dengan  awal Agustus . Jadwal pelatihan yang akan diadakan adalah seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Jadwal Pelatihan Simbolik-Matematik SMA BOPKRI 2
No  Tanggal Pertemuan Waktu Materi Instruktur 1 Pertemuan 1 9 Agustus 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Diagnosis (untuk siswa kelas XII ) Junius Karel Tampubolon R. Gunawan Santosa 2 Pertemuan 2 23 Agustus 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Modul 1 R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon 3 Pertemuan 3 06 September 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Modul 2 Junius Karel Tampubolon R. Gunawan Santosa 4 Pertemuan 4 04 Oktober 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Modul 3 R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon 5 Pertemuan 4 08 Oktober 2019 Selasa 11.00 – 12.00 Diagnosis (untuk siswa kelas X ) R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon 6 Pertemuan 5 11 Oktober 2019 Jumat 08.00 – 09.00 Modul 1 Junius Karel Tampubolon R. Gunawan Santosa 7 Pertemuan 6 18 Oktober 2019 Jumat 08.00 – 09.00 Modul 2 R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon 8 Pertemuan 7 22 Oktober 2019 Selasa 11.00 – 12.00 Modul 3 Junius Karel Tampubolon R. Gunawan Santosa 9 Pertemuan 8 25 Oktober 2019 Jumat 08.00 – 09.00 Modul 4 R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon 10  Pertemuan 9 01 November 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Modul 5 Junius Karel Tampubolon R. Gunawan Santosa 11  Pertemuan 11 08 November 2019 Jumat 13.00 – 15.00 Modul 6 R. Gunawan Santosa Junius Karel Tampubolon
Waktu pelatihan sangat fleksibel karena banyaknya kegiatan siswa SMA BODA saat ini, tetapi waktu pelatihan tersebut dapat dipenuhi sesuai dengan yang direncanakan yaitu sebanyak 11 kali pertemuan ( 4 kali pertemuan dengan kelas XII dan 7  kali pertemuan dengan kelas X) Kegiatan suasana pelatihan yang terjadi di kelas dapat dilihat pada gambar 2.
Gambar 2. Gambaran Suasana Pelatihan

## Gambar 3. Gambaran Diskusi yang Terjadi di Kelas
Pada gambar 3 terlihat suasana diskusi dalam kelas yaitu diskusi yang terjadi antara siswa dengan siswa ataupun diskusi antara siswa dan pengajar.
Bagian akhir dari kegiatan Pengabdian masyarakat ini adalah evaluasi dan laporan akhir. Evaluasi dilakukan  pada  setiap  akhir  pelatihan  tapi  selain  itu  evaluasi  juga  diadakan  pada  akhir  periode pengabdian sebelum pembuatan laporan akhir. Selain laporan akhir, pada pengabdian ini  juga dihasilkan Modul Pelatihan Simbolik-Matematik

## 3. Hasil dan pembahasan
Hasil  dari  kemampuan  siswa  dalam  mengikuti  pelatihan  Simbolik  –Matematik  dapat  dilihat  pada Tabel 2 dan Tabel 3. Untuk menjaga privasi siswa maka nama siswa diganti dengan kode Siswa 1 samapai dengan Siswa 34.
Tabel 2 . Hasil  Cara Berpikir Dalam Penyelesaian  Modul  Pada Siswa Kelas XII BODA
Modul No Nama Diagnosa Modul 1 Modul 2 Modul3 1 Siswa 1 kurang 2 Siswa 2 cukup cukup baik kurang kurang 3 Siswa 3 cukup 4 Siswa 4 cukup Kurang 5 Siswa 5 cukup 6 Siswa 6 cukup Kurang kurang 7 Siswa 7 cukup baik Cukup kurang 8 Siswa 8 kurang kurang kurang 9 Siswa 9 kurang kurang kurang 10 Siswa 10 cukup kurang cukup 11 Siswa 11 cukup kurang kurang 12 Siswa 12 cukup 13
Siswa 13
cukup 14
Siswa 14
cukup 15 Siswa 15 cukup 16 Siswa 16 cukup baik Kurang 17 Siswa 17 cukup Cukup 18 Siswa 18 cukup Kurang 19 Siswa 19 cukup Cukup kurang 20 Siswa 20 cukup Kurang kurang 21 Siswa 21 cukup Kurang kurang 22 Siswa 22 Kurang cukup 23 Siswa 23 Kurang 24 Siswa 24 Cukup kurang 25 Siswa 25 Cukup 26 Siswa 26 kurang 27 Siswa 27 kurang
Modul No Nama Diagnosa Modul 1 Modul 2 Modul3 28 Siswa 28 kurang 29 Siswa 29 cukup 30 Siswa 30 kurang 31 Siswa 31 kurang 32 Siswa 32 kurang 33 Siswa 33 kurang 34 Siswa 34 kurang kurang 3 8 10 13 cukup 16 5 0 3 cukup baik 2 0 0 0 Jumlah 21 13 10 16
Dari  Tabel  2  terlihat  bahwa  jumlah  siswa  mempunyai  kriteria  “kurang”  adalah    semakin  banyak karena  banyaknya  siswa  yang  mengikuti  kegiatan  pelatihan  ini  tidak  kontinu.  Ketidak  kontinuan  ini disebabkan  adanya  banyak  kegiatan  yang  dilakukan  oleh  para  siswa.  Dari  tabel  tersebut  juga  terlihat bahwa banyak siswa yang tidak masuk (absen) pada pelatihan untuk siswa kelas XII di BODA. Siswa 26 sampai dengan Siswa 34 tidak mengikuti pelatihan di Modul Diagnosa, Modul 1 dan Modul 2 , sehingga mereka langsung mengikuti modul 3.

## Tabel 3 . Hasil  Cara Berpikir Dalam Penyelesaian  Modul Pada Siswa Kelas X BODA
Modul No Nama Diagnosa Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4 Modul 5 Modul 6 1 Siswa 1 kurang kurang kurang cukup cukup cukup kurang 2 Siswa 2
kurang kurang kurang kurang cukup cukup 3 Siswa 3 kurang kurang kurang kurang kurang kurang 4 Siswa 4 kurang kurang kurang kurang cukup cukup 5 Siswa 5 kurang cukup kurang kurang cukup kurang 6 Siswa 6 kurang kurang kurang kurang cukup kurang 7 Siswa 7 kurang kurang
kurang cukup kurang cukup cukup 8 Siswa 8 kurang kurang 9 Siswa 9 kurang kurang kurang cukup cukup bagus 10 Siswa 10 kurang kurang 11 Siswa 11 kurang cukup
kurang kurang kurang kurang kurang 12 Siswa 12 kurang kurang kurang 13 Siswa 13 kurang kurang cukup kurang cukup cukup 14 Siswa 14 kurang
kurang kurang kurang kurang cukup cukup 15 Siswa 15 kurang cukup bagus 16 Siswa 16 kurang kurang kurang kurang 17 Siswa 17 cukup kurang kurang cukup kurang cukup cukup 18 Siswa 18 cukup kurang
kurang kurang kurang kurang cukup 19 Siswa 19 cukup
kurang
kurang kurang kurang cukup kurang 20 Siswa 20
kurang
kurang kurang
kurang kurang cukup
kurang 21 Siswa 21 kurang cukup kurang kurang cukup bagus 22 Siswa 22 kurang kurang kurang
kurang cukup cukup 23 Siswa 23 kurang kurang kurang 24 Siswa 24 kurang kurang kurang kurang cukup 25 Siswa 25
kurang
kurang
kurang cukup
kurang kurang cukup kurang 19 16 20 14 16 5 8 cukup 3 2 1 4 1 14 10 bagus 0 0 0 0 0 0 3
Dari  Tabel  3  terlihat  bahwa  jumlah  siswa  mempunyai  kriteria  “kurang”  adalah    semakin  banyak pada  Modul  Diagnosa,  Modul  1  sd  Modul  4.  Dari  tabel  tersebut  juga  terlihat  bahwa  banyak  siswa  yang mempunyai  kriteria  “cukup”  semakin  banyak  untuk  Modul  5  dan  Modul  6.  Hal  ini  terjadi  karena perbedaan jenis isi Modul. Dari tabel di atas juga terlihat bahwa siswa kelas X BODA lebih kontinu dalam mengikuti kegiatan ini.
Biasanya keberhasilan program pelatihan diukur dengan menggunakan perbandingan nilai Pre-tes dan  Post-tes,  seperti  dilakukan  oleh  Behlol  ,  Akbar  dan  Sehrish  (2018)  .  Mereka  melakukan  penelitian untuk  menyelidiki  efektivitas Problem-Solving  Approach (PSA)  atau  Pendekatan  Pemecahan  Masalah dalam pengajaran matematika untuk siswa kelas 8 di sekolah umum. Desain kesamaan kelompok Pre-test dan  Post-test  digunakan  untuk  melakukan  penelitian  ini.  Peneliti  ini  menerapkan  teknik matching (pencocokan)  untuk  menempatkan  siswa  dalam  kelompok  eksperimen  dan  kelompok  kontrol  (Control Group).  Tes  prestasi  digunakan  sebagai  Pre-test  dan  Post-test  dalam  penelitian  ini.  Penelitian    ini mengungkapkan bahwa tingkat pencapaian siswa yang diajarkan melalui  PSA berbeda secara signifikan dibandingkan dengan kinerja siswa yang diajarkan melalui metode pengajaran tradisional pada nilai Post- test  (Behlol,  Akbar,  &  Sehrish,  2018).  Dengan  selesaianya  pengabdian  pada  masyarakat  ini  dan  karena adanya ke tidak kontinuan para siswa dalam mengikuti kegiatan pelatihan lewat modul modul yang ada, maka ukuran keberhasilan pelatihan ini digunakan metode secara deskriptif saja.
Untuk  sementara  dapat  disimpulkan  bahwa  pelaksanaan  program  pengabdian  masyarakat  ini masih  berjalan  sesuai  dengan  jadwal  yang  direncanakan.  Tapi  pelatihan  yang  dilaksanakan  tidak  bisa sampai  Modul  10  .  Modul  yang  berhasil  dijalankan  hanya  sampai  dengan  Modul  6  karena  keterbatasan waktu.    Ada  empat  jenis  berpikir  simbolik  matematik  yang  dilatihkan  yaitu  :  penalaran  langsung, penggunaan  model  pada  sebuah  sistem,  melihat  pola  dan  penarikan  kesimpulan  yang  mengacu  pada definisi matematika yang baku.
Tabel 4 . Klasifikasi Jenis Berpikir yang Dituangkan dalam Bentuk Modul Pelatihan
Jenis Berpikir Simbolik Matematik (Strategi) Problem yang diberikan pada Modul Penalaran langsung Modul diagnosa problem 1; modul 5 problem 1,2; modul 6 problem 1 Penggunaan model pada sebuah sistem Modul diagnosa problem 2;modul 1 problem 1;modul 2 problem 1,2. Melihat pola Modul diagnosa problem 3; modul 1 problem 2;modul 2 problem 3 Penarikan kesimpulan yang mengacu pada definisi matematika yang baku Modul diagnosa problem 4;modul 3 problem 1,2,3,4;modul 4 problem 1,2,3,4.
Dari lembar jawaban dan pengamatan langsung, dapat disimpulkan bahwa para siswa cenderung lebih mudah menyelesaikan problem dengan jenis penalaran langsung. Problem jenis ini diberikan dalam bentuk kata-kata untuk kasus yang biasa mereka hadapi sehari-hari. Hal ini tampak pada hasil diagnosa kelompok kelas XII  ( Tabel 2) dan hasil modul 5 dan modul 6 kelompok kelas X ( Tabel 3) . Untuk kelas X, hasil  diagnosa  memang  menunjukkan  hasil  kurang,  namun  untuk  problem  jenis  yang  sama  selanjutnya (modul 5 dan 6), kelompok ini menunjukkan jenis problem ini lebih mudah mereka hadapi dan selesaikan dibandingkan jenis problem lainnya. Jenis yang paling sulit dihadapi para siswa adalah jenis problem yang memerlukan  penarikan  kesimpulan  yang  mengacu  pada  definisi  matematika  yang  baku.  Untuk  jenis penggunaan  strategi    penyelesaian  model  pada  sebuah  sistem  dan  jenis  melihat  pola,  para  siswa cenderung dapat menyelesaikan soal setelah diberi petunjuk bagaimana model yang cocok pada problem serta pola yang dimiliki problem.

## 4. Simpulan dan saran
Beberapa kesimpulan yang didapat dari kegiatan pengabdian pada masyarakat ini  adalah sebagai berikut :
1. Pembuatan  modul  dan  pelatihan  ini  dapat  dilaksanakan  dengan  baik  meskipun  waktunya  sangat mepet. Waktu pelatihan sangat fleksibel karena banyaknya kegiatan siswa SMA BODA saat ini, tetapi waktu  pelatihan  tersebut  dapat  dipenuhi  sesuai  dengan  yang  direncanakan  yaitu  sebanyak  11 pertemuan ( 4 kali pertemuan dengan kelas XII dan 7  kali pertemuan dengan kelas X)
2. Adanya dukungan dari pihak SMA BODA terutama  dalam memberi fasilitas berupa penyediaan waktu sehingga acara ini dapat berlangsung. Kegiatan ini juga merangsang daya pikir siswa, sehingga secara tidak sadar mereka dapat menerapkan cara berpikir problem solving.
3. Jenis  yang  paling  sulit  dihadapi  para  siswa  adalah  jenis  problem  yang  memerlukan  penarikan kesimpulan yang mengacu pada definisi matematika yang baku.
4. Untuk jenis penggunaan strategi  penyelesaian model pada sebuah sistem dan jenis melihat pola, para siswa cenderung dapat menyelesaikan soal setelah diberi petunjuk bagaimana model yang cocok pada problem serta pola yang dimiliki problem.
5. Dapat  dilihat  dari  dua  kelompok  kelas  siswa  bahwa  kelas  yang  kontinu  mengikuti  pelatihan  lebih mendapatkan peningkatan kemampuan berpikir simbolik-matematik.
6. Dalam  kegiatan  pengabdian  pada  masyarakat  dibutuhkan  kerjasama  dan  sistem  yang  lebih  fleksibel lagi berhubungan dengan jadwal masing-masing organisasi yang sangat padat.
.
Daftar Rujukan
Behlol, M. G., Akbar, R. A., & Sehrish, H. (2018, April). Effectiveness of Problem Solving Method in Teaching Mathematics at Elementary Level . Bulletin of Education Research Vol. 40 No. 1 , pp. 231-244.
Ben-Ari, M. (2012). Mathematical Logic for Computer Science third Edition. London: Springer-Verlag.
Copi,  I.  M.,  Cohen,  C.,  &  McMahon,  K.  (2014). Introduction  to  Logic  Fourteenth  Edition. Pearson  New International Edition.
Grassmann,  W.  K.,  &  Tremblay,  J.  P.  (1996). Logic  and  Discrete  Mathematics,  A  Computer  Science Perspective. New Jersey : Prentice Hall.
Huth, M., & Ryan, M. (2004). Logic in Computer Science, Modelling and Reasoning about System. Cambridge University Press.
Mason, J., Burton, L., & Stacey, K. (1982). Thinking Mathematically. Addison-Wesley Publishing Company.
Mujiyati. (2015). Siap Jadi Juara Nasional Matematika SMA. Pustaka Baru Press.
Sholeh, Badrus. 2018. Pengaruh Motivasi Belajar Dan Fasilitas Belajar Terhadap Prestasi Belajar Ips Siswa Smp Nurul Iman Parung Bogor Tahun Ajaran 2017/2018 . Jurnal Pendidikan, Ekonomi dan Bisnis Vol 3 No 2 Oktober 2018.
Smullyan, R. M. (2009). Logical Labyrinths. Wellesley, Massachusetts : A K Peters, Ltd.
Stacey,  K.  (2005).  The  Place  of  Problem  Solving  in  Contemporary  Mathematics  Curriculum  Documents. The Journal of Mathematicsal Behavior 24 (3-4) , 341-350.
Takahashi,  A.  (2006).  Characteristics  of  Japanese  Mathematics  Lessons. Tsukuba  Journal  of  Educational Study in Mathematics Vol. 25 .
Wibowo, & Singgih, S. (2012). Menyongsong OSN Matematika SMP. Pustaka Pelajar.