## Penerapan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Pengguna Narkoba dengan Aspek Edukasi dan Tindak Pidana
Application of Optimal Control on Mathematical Model of Drug Distribution with Education and Criminal Law Aspect
Merry Yulianti Padja 1 , Annisa Rahmita Soemarsono 1*) , Irma Fitria 2
1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan
2 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Institut Teknologi Kalimantan *E-mail: annisarahmitas@lecturer.itk.ac.id

## ABSTRACT
Drugs  are  substances  that,  when  used,  can  impact  the  body,  particularly  the  central  nervous system/brain. Prolonged drug use can lead to  various disorders affecting physical, psychological, and social functioning. Generally, drug use cases occur among teenagers due to a lack of education and  low  literacy  levels  about  the  dangers  of  drug.  In  this  study,  control  efforts  by  modeling  the problem of drug use will be studied. In this study, modeling the problem of drug users with control efforts  will be studied.  There  were additional controls for preventing drug abuse through school education, contact prevention through security and healthy living campaigns, and the procedures to report all drug abuse activities. The Pontryagin Minimum Principle is used to shows that the optimal controls influence the level of drug user distribution.
Keywords: Drug user, optimal control, pontryagin minimum principle.

## PENDAHULUAN
Sustainable  Development  Goal’s  (SDGs) poin ketiga yaitu aspek kesehatan dan kesejahteraan yang  baik,  menjelaskan  bahwa  tujuan  dari pembangunan  berkelanjutan  adalah  untuk memastikan kualitas hidup sehat dan meningkatkan kesejahteraan seluruh warga, dari segala  rentang  usia  ( Wahyuningsih,  2018) . Dalam  rangka  mencapai  kehidupan  yang  sehat dan sejahtera pada tahun 2030, telah ditetapkan 13  tujuan  yang  akan  diukur  melalui  50 indikator.  Salah  satu  indikator  yang  berfokus pada  aspek  kesehatan  dan  kesejahteraan  yang baik adalah peningkatan upaya pencegahan dan perawatan terhadap penyalahgunaan zat, termasuk  penggunaan  narkotika  dan  alkohol yang  berbahaya.  Di  sisi  lain  transformasi  dan arus  global  merupakan  suatu  tantangan  yang dihadapi oleh setiap negara, termasuk Indonesia.  Hampir  semua  barang,  modal, teknologi,  pengetahuan,  kejahatan,  ideologi, dan  hal  lainnya  saat  ini  bergerak  dengan  cepat melintasi  batas  negara  karena  arus  globalisasi (Ermawan,  2017).  Oleh  karena  itu,  untuk mencapai  stabilitas  ekonomi  dan  pertumbuhan yang  berkelanjutan,  negara  telah  membuka pintu  bagi  partisipasi  negara  lain  dalam  pasar domestik. Meskipun keterbukaan dan kebebasan  ini  diharapkan  membawa  manfaat, namun  juga  menyebabkan  dampak  negatif
seperti meningkatnya perdagangan ilegal narkotika, psikotropika, dan obat-obat terlarang yang  lebih  dikenal  dengan  sebutan  narkoba, yang  berperan  merusak  pasar  melalui  berbagai kejahatan  pasar  gelap  (Herindrasti,  2018). Fenomena penggunaan narkoba tentu berpotensi  mengancam  pencapaian  Tujuan Pembangunan  Berkelanjutan  nomor  tiga,  yaitu menjamin kehidupan yang sehat dan meningkatkan  kesejahteraan  bagi  semua  orang pada segala usia.
Data dari Badan Narkotika Nasional (BNN) menyatakan  narkoba  menduduki  peringkat  ke- 20  sebagai  penyebab  kematian  di  dunia,  dan peringkat  ke-10  sebagai  penyebab  kematian  di negara berkembang termasuk Indonesia. Dalam artikel  bnn.go.id  (2019)  Menteri  Koordinator Bidang  Politik,  Hukum,  dan  Keamanan, Wiranto,  dengan  tegas  menyatakan  bahwa narkoba  menjadi  ancaman  paling  serius  bagi Indonesia  saat  ini,  dengan  30  orang  rakyat Indonesia  meninggal  setiap  harinya  akibat narkoba.  Selain  itu,  Badan  Narkotika  Nasional (BNN) juga melaporkan bahwa pada tahun 2022 terdapat  851  kasus  penggunaan  narkoba  di Indonesia. Jumlah tersebut mengalami peningkatan  sebesar  11,1%  jika  dibandingkan dengan  tahun  sebelumnya  yang  mencapai  766 kasus. Selain itu, jumlah tersangka dalam kasus narkoba sepanjang tahun 2022 mencapai 1.350 orang, mengalami peningkatan sebesar 14,02%
dari  tahun  2021  yang  tercatat  sebanyak  1.184 orang  (bnn.go.id,  2022).  Kepala  Badan
Narkotika Nasional menyebutkan bahwa pengguna narkoba dikalangan remaja mengalami  peningkatan  sekitar  24  hingga  28 persen  dengan  rentang  usia  pengguna  narkoba 15-64  tahun  yang  merupakan  usia  produktif (Putri,  2020).  Maraknya  kasus  narkoba  pada generasi  muda  ini  menimbulkan  kekhawatiran bagi  masyarakat.  Kehadiran  narkoba  sebagai kejahatan  ekstrem  membawa  ancaman  serius terhadap  stabilitas  pembangunan  sosial  suatu masyarakat  dan  bangsa.  Selain  itu,  ancaman narkoba juga menjadi salah satu alat proxy war yang berpotensi merusak bonus demografi suatu negara. Bonus demografi adalah situasi di mana populasi  usia  produktif  lebih  banyak  daripada usia non-produktif. Oleh karena itu, Indonesia, yang  diproyeksikan  akan  mengalami  bonus demografi pada tahun 2030, harus meningkatkan kesadaran tentang bahaya narkoba.
Kontrol optimal pada penyebaran pengguna narkoba  bertujuan  untuk  menentukan  strategi yang  optimal  dengan  menggunakan  tindakan pengendalian. Pada penelitian ini akan dibahas konstruksi  model  matematika  yang  merujuk pada  model  matematika  transmisi  narkoba dengan  edukasi  keluarga  dan  kesehatan masyarakat Jun Li & Mingju Ma (2018) dengan pemberian  variabel  kontrol  berupa  pendidikan wajib  terkait  bahaya  narkoba  di  sekolah, kampanye  keamanan  dan  hidup  sehat,  dan sosialisasi  tentang  ajakan  untuk  melaporkan segala kegiatan penggunaan narkoba. Selain itu, merujuk  pada  model  matematika  penggunaan narkoba pada waktu diskrit (Labzai et al ., 2020) subpopulasi pengguna narkoba  berat kemudian dibagi menjadi pengguna berat yang mempengaruhi  individu  lain  (pengedar)  dan pengguna  berat  yang  tidak  mempengaruhi individu lain. Berdasarkan penjelasan sebelumnya,  penelitian  yang  akan  dilakukan berjudul  "Kontrol  Optimal  dalam  Model Matematika  Penyebaran  Pengguna  Narkoba dengan  aspek  Edukasi  dan  Tindak  Pidana." Metode yang akan digunakan dalam penelitian ini  adalah  Prinsip  Minimum  Pontryagin  dan Runge-Kutta orde 4.

## METODE

## Studi Literatur
Tahapan  penelitian  ini  diawali  dengan  identifikasi masalah  dan  studi  literatur  dari  beberapa  sumber yakni  skripsi,  jurnal  ilmiah,  buku,  serta  penelitian yang berkaitan dengan masalah pengendalian dalam
fenomena sosial seperti kasus pengguna narkoba dan tindak pidana bagi pengguna narkoba.

## Formulasi Kontrol Optimal
Kontrol  optimal  bertujuan  untuk  menentukan  hasil paling  optimal  dengan  memperhatikan  kondisi  dan kendala  yang  ada  pada  sistem.  Sistem  yang digunakan  dalam  masalah  kontrol  optimal  dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk persamaan seperti persamaan  diferensial  biasa,  persamaan  diferensial parsial,  persamaan  diskrit,  persamaan  diferensial stokastik,  dan  lain-lain.  Dalam  penelitian  ini, permasalahan  kontrol  optimal  diselesaikan  dengan memanfaatkan tiga variabel kontrol, yaitu pendidikan bahaya  narkoba  di  sekolah (𝒖 𝟏 ), kampanye keamanan dan hidup sehat (𝒖 𝟐 ), dan sosialisasi tata cara  pelaporan  kegiatan  penggunaan  narkoba (𝒖 𝟑 ). Tujuan dari pemberian kontrol tersebut adalah untuk meminimumkan  individu  pengguna  narkoba  ringan maupun  berat,  dengan  biaya  yang  optimal.  Secara matematis,  peminimuman  fungsi  tujuan (𝑚𝑖𝑛 𝐽 ) tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
min 𝐽 = 1 2 ∫ [𝐶 1 𝐼 𝐿 2 + 𝐶 2 𝐼 𝐻 2 + 𝐶 3 𝑢 1 2 +𝐶 4 𝑢 2 2 + 𝐶 5 𝑢 3 2 ]𝑑𝑡 𝑡 𝑓 𝑡 0 .
dengan 𝐼 𝐿 adalah subpopulasi pengguna narkoba ringan dan 𝐼 𝐻 adalah subpopulasi pengguna narkoba berat.  Waktu  awal  direpresentasikan  oleh  notasi 𝒕 𝟎 , sedangkan  waktu  akhir  digambarkan  sebagai 𝒕 𝒇 . Parameter 𝑪 𝒊 merupakan  bobot  yang  berfungsi sebagai  penyeimbang  dalam  fungsi  biaya,  dimana 𝑪 𝒊 > 𝟎 untuk setiap 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … 𝟓.
Berikut merupakan diagram kompartemen model matematika  pengguna  narkoba  menurut  penelitian Jun Li & Mingju Ma (2018).
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model
Matematika Transmisi Narkoba
dengan  variabel 𝑆 menyatakan  subpopulasi individu  rentan  narkoba  yang  tidak  mendapatkan edukasi  kesehatan  masyarakat, 𝐶 subpopulasi individu  rentan  narkoba  yang  mendapatkan  edukasi kesehatan  masyarakat, 𝐿 subpopulasi  pengguna
narkoba  ringan, 𝐻 subpopulasi  pengguna  narkoba berat, 𝑊 subpopulasi  pengguna  narkoba  yang mendapatkan  penanganan  dan 𝑅 subpopulasi individu yang berhenti menggunakan narkoba secara permanen.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan model referensi sebelumnya, maka dibentuk  model  penyebaran  pengguna  narkoba dengan aspek edukasi dan tindak pidana adalah sebagai berikut:
Gambar  2.  Diagram  Kompartemen  Model Matematika Penyebaran Pengguna Narkoba Model penyebaran narkoba dengan
pengaruh pemberian pendidikan bahaya narkoba  di  sekolah,  kampanye  keamanan  dan hidup sehat, dan sosialisasi tata cara pelaporan kegiatan  penggunaan  narkoba  adalah  sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝐻 𝑑𝑡 = (1 − 𝑞)𝛬 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 −𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝜇 + 𝜔)𝑆 𝐻
𝑑𝑆 𝐿 𝑑𝑡 = 𝑞𝛬 + 𝜔𝑆 𝐻 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − (𝜇 + 𝛾)𝑆 𝐿
𝑑𝐼 𝐿 𝑑𝑡 = 𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 + 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝛼 1 + 𝜇)𝐼 𝐿 𝑑𝐼 𝐻 𝑑𝑡 = 𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 + 𝛼 1 𝐼 𝐿 + 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 −(𝛼 3 + 𝜎 1 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝐻
𝑑𝐼 𝑃 𝑑𝑡 = 𝛼 3 𝐼 𝐻 − (𝜎 2 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝑃 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝜎 1 𝐼 𝐻 + 𝜎 2 𝐼 𝑃 − (𝜇 + 𝜌)𝑇
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜌𝑇 + 𝛾𝑆 𝐿 − 𝜇𝑅
dimana  variabel  penelitian  yang  digunakan ialah sebagai berikut (soleh, 2018):
Tabel 1 Variabel Penelitian Variabel Definisi 𝑺 𝑯 (𝒕) Subpopulasi  individu  rentan tinggi pada waktu ke- 𝑡 , 𝑺 𝑳 (𝒕) Subpopulasi  individu  rentan rendah pada waktu ke- 𝑡 , 𝑰 𝑳 (𝒕) Subpopulasi pengguna narkoba  ringan  pada  waktu ke- 𝑡 , 𝑰 𝑯 (𝒕) Subpopulasi pengguna narkoba berat pada waktu ke- 𝑡 , 𝑰 𝒑 (𝒕) Subpopulasi pengguna narkoba  berat  dan  pengedar pada waktu ke- 𝑡 , 𝑻(𝒕) Subpopulasi pengguna narkoba yang mendapat tindak pidana pada waktu ke- 𝑡 , 𝑹(𝒕) Subpopulasi  yang  berhenti menggunakan narkoba waktu ke- 𝑡 ,
Berdasarkan  permasalahan  pada  penelitian ini dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut:
𝐻 = 𝑉(𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡), 𝑡) + 𝝀 ′ (𝑡)𝑓(𝒙(𝑡), 𝒖(𝑡), 𝑡)
𝐻 = 1 2 [𝐶 1 𝐼 𝐿 2 + 𝐶 2 𝐼 𝐻 2 +𝐶 3 𝑢 1 2 + 𝐶 4 𝑢 2 2 + 𝐶 5 𝑢 3 2 ] +𝜆 1 ( (1 − 𝑞)𝛬 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 − 𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 −(𝜇 + 𝜔)𝑆 𝐻 ) +𝜆 2 (𝑞𝛬 + 𝜔𝑆 𝐻 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − (𝜇 + 𝛾)𝑆 𝐿 )
+𝜆 3 (𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 + 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝛼 1 + 𝜇)𝐼 𝐿 ) +𝜆 4 (𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 + 𝛼 1 𝐼 𝐿 + 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝛼 3 + 𝜎 1 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝐻 ) +𝜆 5 (𝛼 3 𝐼 𝐻 − (𝜎 2 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝑃 ) +𝜆 6 (𝜎 1 𝐼 𝐻 + 𝜎 2 𝐼 𝑃 − (𝜇 + 𝜌)𝑇) +𝜆 7 (𝜌𝑇 + 𝛾𝑆 𝐿 − 𝜇𝑅)
Kemudian  diperoleh  nilai  kontrol  optimal 𝑢 1 (𝑡) , 𝑢 2 (𝑡) dan 𝑢 3 (𝑡) menggunakan  Prinsip Minimum Pontryagin adalah sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 {1, 𝑚𝑎𝑥 {0, (𝜆 3 − 𝜆 2 )𝛽 1 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝐶 3 𝑁 }}
𝑢 2 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 {1, 𝑚𝑎𝑥 {0, (𝜆 3 − 𝜆 1 )𝛽 1 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝐶 4 𝑁 }}
𝑢 3 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 {1, 𝑚𝑎𝑥 {0, (𝜆 4 − 𝜆 1 )𝛽 2 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝐶 5 𝑁 }}
Selanjutnya, diperoleh hasil persamaan state dan  costate  yang  optimal  secara  berturut-turut, yaitu:
𝑆̇ 𝐻 ∗ (𝑡) = (1 − 𝑞)𝛬 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 − 𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝜇 + 𝜔)𝑆 𝐻 ,
𝑆̇ 𝐿 ∗ (𝑡) = 𝑞𝛬 + 𝜔𝑆 𝐻 − 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ∗ ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − (𝜇 + 𝛾)𝑆 𝐿 , 𝐼̇ 𝐿 ∗ (𝑡) = 𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝐿 𝑁 + 𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ∗ ) 𝜂𝑆 𝐿 𝐼 𝐿 𝑁 − 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝛼 1 + 𝜇)𝐼 𝐿 ,
𝐼̇ 𝐻 ∗ (𝑡) = 𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝐼 𝑃 𝑁 + 𝛼 1 𝐼 𝐿 + 𝛼 2 𝐼 𝐿 𝐼 𝑃 𝑁 − (𝛼 3 + 𝜎 1 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝐻 , 𝐼̇ 𝑃 ∗ (𝑡) = 𝛼 3 𝐼 𝐻 − (𝜎 2 + 𝜇 + 𝛿)𝐼 𝑃 ,
𝑇̇ ∗ (𝑡) = 𝜎 1 𝐼 𝐻 + 𝜎 2 𝐼 𝑃 − (𝜇 + 𝜌)𝑇,
𝑅̇ ∗ (𝑡) = 𝜌𝑇 + 𝛾𝑆 𝐿 − 𝜇𝑅
𝜆 1 ∗ ̇ (𝑡) = (𝜆 1 − 𝜆 3 )𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ∗ ) 𝐼 𝐿 𝑁 + (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ∗ ) 𝐼 𝑃 𝑁 + 𝜆 1 𝜇 + (𝜆 1 − 𝜆 2 )𝜔, 𝜆 2 ∗ ̇ (𝑡) = (𝜆 2 − 𝜆 3 )𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ∗ ) 𝜂𝐼 𝐿 𝑁 + (𝜆 2 − 𝜆 7 )𝛾 + 𝜆 2 𝜇, 𝜆 3 ∗ ̇ (𝑡) = −𝐶 1 𝐼 𝐿 + (𝜆 1 − 𝜆 3 )𝛽 1 (1 − 𝑢 2 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝑁 + (𝜆 2 − 𝜆 3 )𝛽 1 (1 − 𝑢 1 ∗ ) 𝜂𝑆 𝐿 𝑁 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝛼 2 𝐼 𝐻 𝑁 + 𝜆 3 𝜇 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝛼 1 ,
𝜆 4 ∗ ̇ (𝑡) = −𝐶 2 𝐼 𝐻 + 𝜆 4 (𝜇 + 𝛿) + (𝜆 4 − 𝜆 5 ) 𝛼 3 + (𝜆 4 − 𝜆 6 ) 𝜎 1 , 𝜆 5 ∗ ̇ (𝑡) = (𝜆 1 − 𝜆 4 )𝛽 2 (1 − 𝑢 3 ∗ ) 𝑆 𝐻 𝑁 + (𝜆 3 − 𝜆 4 )𝛼 2 𝐼 𝐿 𝑁 + 𝜆 5 (𝜇 + 𝛿)   + (𝜆 5 − 𝜆 6 )𝜎 2 ,
𝜆 6 ∗ ̇ (𝑡) = (𝜆 6 − 𝜆 7 )𝜌 + 𝜆 6 𝜇, 𝜆 7 ∗ ̇ (𝑡) = 𝜆 7 𝜇.
Dampak  dari  penerapan  kontrol  optimal pada model, dapat dilihat pada simulasi numerik dengan  metode  Runge-Kutta  orde  4.  Simulasi ini  bertujuan  untuk  membandingkan  dinamika model  penyebaran  narkoba  dengan  dan  tanpa
pemberian kontrol optimal. Dengan menggunakan  simulasi  numerik,  kita  dapat dengan  mudah  mengamati  perbandingan  laju perubahan  setiap  variabel  sebelum  dan  setelah penerapan kontrol optimal.
Tabel 2. Nilai Parameter Notasi Nilai Sumber 𝜦 50 Asumsi 𝝁 0.04 Abderrahim et al ., 2020 𝜶 𝟏 0.01 Asumsi 𝜶 𝟐 0.02 Asumsi 𝜶 𝟑 0.1 Abderrahim et al ., 2020 𝜹 0.001 Asumsi 𝝆 0.25 Jun Li & Mingju Ma, 2018 𝜸 0.01 Jun Li & Mingju Ma, 2018 𝒒 0.03 Asumsi 𝝎 0.1 Labzai et al ., 2020 𝜷 𝟏 0.045 Asumsi 𝜷 𝟐 0.5 Labzai et al ., 2020 𝜼 0.9 Jun Li & Mingju Ma, 2018 𝝈 𝟏 0.05 Abderrahim et al ., 2020 𝝈 𝟐 0.7 Abderrahim et al ., 2020 𝒕 𝒇 50 Asumsi
Berikut  adalah  nilai  awal  yang  digunakan untuk variabel (Fitria, 2021).
𝑥(0) = (10.000, 3000, 2000, 150, 100, 150, 200)
Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  tujuan untuk mengidentifikasi pengaruh dari pemberian kontrol optimal pada setiap variabel. Hasilnya  akan  dianalisis  melalui  perbandingan antara kondisi sebelum dan sesudah penerapan kontrol optimal.
Gambar  3.  Perubahan  setiap  Variabel  tanpa Kontrol Optimal
Terlihat  bahwa  tanpa  adanya  upaya pengendalian,  angka  populasi  rentan  rendah (𝑆 𝐿 ) tidak  terlalu  tinggi  karena  banyaknya individu  yang  keluar  dari  subpopulasi  rentan rendah  dan  menjadi  pengguna  narkoba  ringan (𝐼 𝐿 ) .  Kemudian,  populasi  rentan  tinggi (𝑆 𝐻 ) mengalami penurunan dengan sangat cepat. Hal ini  terjadi  akibat  tingginya  tingkat  perubahan populasi  rentan  tinggi  yang  menjadi  pengguna narkoba  ringan (𝐼 𝐿 ) dan  pengguna    narkoba berat (𝐼 𝐻 ) .  Selanjutnya,  populasi  pengguna narkoba berat yang mempengaruhi individu lain (𝐼 𝑃 ) mengalami peningkatan, sehingga mengakibatkan  tingginya  angka  populasi  yang mendapat tindak pidana (𝑇) dan populasi yang berhenti narkoba (𝑅) setelahnya. Berdasarkan kondisi tersebut, model sebelum  diberikan  kontrol  optimal  dapat dikatakan  belum  cukup  baik  dikarenakan tingginya angka subpopulasi pengguna narkoba ringan dan pengguna narkoba berat. Selanjutnya, pemberian kontrol optimal
diharapkan mampu mengurangi jumlah pengguna  narkoba  ringan  dan  pengguna narkoba berat.
Gambar  4.  Perubahan  Setiap  Variabel  dengan
Kontrol Optimal
Berdasarkan  gambar  di  atas,  kita  dapat mengamati  bagaimana  setiap  variabel  berubah ketika pemberian kontrol optimal diberlakukan. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa penerapan  pendidikan  tentang  bahaya  narkoba di  sekolah (𝑢 1 ) pada  individu  yang  berisiko rendah  dapat  mengakibatkan  penurunan  pada jumlah  individu  yang  mengonsumsi  narkoba dengan  tingkat  penggunaan  yang  ringan. Pemberian  kontrol  optimal  berupa  kampanye keamanan  dan  hidup  sehat (𝑢 2 ) pada  individu rentan tinggi juga dapat menyebabkan pengurangan pada subpopulasi individu pengguna narkoba ringan. Kemudian, Pemberian  kontrol  optimal  berupa  sosialisasi tata  cara  pelaporan  kegiatan  penggunaan
narkoba (𝑢 3 ) pada  individu  rentan  tinggi menyebabkan  pengurangan  pada  subpopulasi pengguna  narkoba  berat.  Berikut  beberapa analisis  perubahan  pada  variabel  dengan  dan tanpa kontrol optimal
1. Tingkat  perubahan  subpopulasi  pengguna narkoba ringan
Gambar  5.  Perubahan  Subpopulasi  Pengguna Narkoba Ringan
Hal  ini  terjadi  karena  keberhasilan  dari pemberian  pendidikan  bahaya  narkoba  di sekolah (𝑢 1 ) pada  subpopulasi  rentan  rendah serta pemberian kampanye keamanan dan hidup sehat (𝑢 2 ) pada  subpopulasi  rentan  tinggi sehingga,  individu  pengguna  narkoba  ringan keluar  dari  sistem  dan  tidak  dapat  kembali menjadi  individu  rentan  tinggi  dan  rentan rendah.  Artinya,  efektifitas  berupa  pemberian kontrol  sangat  efektif  dalam  mengurangi subpopulasi peengguna narkoba ringan.
2. Tingkat  perubahan  subpopulasi  pengguna narkoba berat
Gambar  6.  Perubahan  Subpopulasi  Pengguna Narkoba Berat
Terlihat  perubahan  subpopulasi  pengguna narkoba  nilai  awal  150  sebelum  diberikan kontrol optimal mengalami peningkatan hingga tahun  ke-6  kemudian terjadi penurunan hingga tahun  ke-50  mencapai  121  orang.  Kemudian,
setelah  diberikan  kontrol  optimal  subpopulasi mengalami  penurunan  hingga  tahun  ke-50 mencapai 12 orang. Hal tersebut terjadi karena keberhasilan  pemberian  sosialisasi  tata  cara pelaporan  kegiatan  penggunaan  narkoba (𝑢 3 ) pada  subpopulasi  rentan  tinggi  sehingga, individu  pengguna  narkoba  berat  keluar  dari sistem dan tidak dapat kembali menjadi individu rentan  tinggi.  Artinya,  efektifitas  pemberian kontrol  sangat  efektif  dalam  mengurangi subpopulasi pengguna narkoba berat.
3. Tingkat  perubahan  subpopulasi  pengguna narkoba berat dan pengedar
Gambar  6.  Perubahan  Subpopulasi  Pengguna Narkoba Berat dan Pengedar Berdasarkan Gambar 6 perubahan
subpopulasi  pengguna  narkoba  berat  yang mempengaruhi  individu  lain  dengan  nilai  awal 100  sebelum  diberikan kontrol  optimal mengalami  penurunan  hingga  tahun  ke-2 kemudian konstan hingga tahun ke-8 dan turun kembali hingga tahun ke-50 mencapai 17 orang. Selanjutnya,  setelah  diberikan  kontrol  optimal subpopulasi  mengalami  penurunan  hingga tahun  ke-50  mencapai  2  orang.  Penurunan tersebut  terjadi  akibat  keberhasilan  sosialisasi tata  cara  pelaporan  kegiatan  penggunaan narkoba (𝑢 3 ) yang  menyebabkan  individu pengguna  narkoba  berat  yang  mempengaruhi individu lain berkurang seiring waktu.

## KESIMPULAN
Dalam penelitian ini, telah dibangun sebuah model  matematika  yang  menggambarkan penyebaran  narkoba.  Model  ini  dijabarkan menjadi  sistem  persamaan  diferensial  biasa. Model  tersebut  memperkenalkan  variabel kontrol  optimal  seperti  pendidikan  wajib mengenai bahaya narkoba di sekolah, kampanye tentang  keamanan  dan  gaya  hidup  sehat,  serta sosialisasi  mengenai  cara  melaporkan  kegiatan penggunaan  narkoba.  Tujuan  dari  pemberian
kontrol optimal ini adalah untuk meminimalkan jumlah  pengguna  narkoba  ringan  dan  berat dengan biaya pengendalian yang optimal.
Penyelesaian  permasalahan  kontrol  optimal
dilakukan dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin, dan hasilnya
disimulasikan  secara  numerik.  Hasil  simulasi menunjukkan bahwa pemberian kontrol berupa pendidikan tentang bahaya narkoba di sekolah, kampanye  tentang  keamanan  dan  gaya  hidup sehat, serta sosialisasi mengenai cara melaporkan kegiatan penggunaan narkoba dapat mengurangi  jumlah  pengguna  narkoba  ringan dan berat.
Secara  keseluruhan,  upaya  pengendalian yang  diterapkan  memberikan  efek  yang signifikan dalam mengurangi jumlah pengguna narkoba ringan dan berat. Penelitian selanjutnya yang  dapat  dilakukan  adalah  memodifikasi kontrol yang berpengaruh pada jumlah pengguna  narkoba  berat  dan  pengedar,  serta membagi subpopulasi tersebut menjadi pengedar  yang  bukan  pengguna  dan  pengedar yang juga pengguna.

## DAFTAR PUSTAKA
BNN. 2022. Penggunaan Narkotika di Kalangan Remaja Meningkat. BNN.go.id . Burden  RL  &  Fires  JD.  2011. Numerical Analysis 9th Ed, USA: Brooks/Cole. Ermawan  DT.  2017. Pengaruh  Globalisasi terhadap Eksistensi Kebudayaan Daerah di Indonesia.
Fitria I, Hanifa N, Soemarsono AR & Nugraheni K.  2021.  Konstruksi  Model  Pengaruh
Pertumbuhan Pengangguran Terhadap
Dinamika  Angka  Kriminalitas  Melalui Pemberian  Kontrol  Optimal. SPECTA Journal of Technology . 5 (1): 58-67.
Göksel  NK.  2004.  Globalization  and  the  state.
PERCEPTIONS:  Journal  of  International Affairs . 9 (1): 1-12.
Herindrasti  VLS.  2018.  Drug-free  ASEAN
2025: Tantangan Indonesia dalam
Penanggulangan  Penyalahgunaan  Narkoba . Jurnal Hubungan International. 7 (1): 19-33 . Husain MR, Nurwan N, & Resmawan R. 2020. Analisis  Kestabilan  Model  Penyebaran Pengguna Narkoba Dengan Faktor Edukasi. BAREKENG : Jurnal  Ilmu  Matematika  dan terapan. 14 (1): 69-78 Labzai  A,  Kouidere  A,  Khajji  B,  Balatif  O  & Rachik  M.  2020.  Mathematical  Modeling and Optimal Control Strategy For A Discrete Time  Drug  Consumption  Model .  Discrete
Dynamics in Nature and Society. 2020 : 1-10. Lenhart  S  &  Workman  JT.  2007. Optimal Control Applied to Biological Models , UK: Chapman & Hall/CRC.
Li  J  &  Ma  M.  2018.  The  Analysis  of  A  Drug
Transmission Model With Family Education and  Public  Health  Education .  Infectious Disease Modelling. 3 : 74-84 . Naidu DS. 2002. Optimal Control System, New York: CRC Press.
Puspitasari  A.  2019. Analisis  Kestabilan  Dan Kontrol Optimal Model Matematika Penyalahgunaan Narkoba Dengan Memperhatikan  Tipe  Perawatan  Beserta Tingkat  Resiko (Doctoral  dissertation, Universitas Airlangga).
Putri  SS  &  Budyanra  B.  2020.  Determinan Status  Penyalahgunaan  Narkoba  Pada
Remaja  Usia  15-24  Tahun  di  Indonesia
Tahun  2017.  In Seminar  Nasional  Official Statistics. 2020 (1).
Soleh  M  &  Mandasari  PR.  2018.  Model Matematika Pengaruh Program Rehabilitasi dan  Penerapan  Hukuman  Terhadap  Jumlah Pemakai Narkoba. Jurnal Sains Matematika dan Statistika. 4 (2): 9-17. Wahyuningsih W. 2018. Millenium Develompent Goals (Mdgs) dan Sustainable Development Goals (Sdgs) Dalam Kesejahteraan Sosial. BISMA: Jurnal Bisnis dan Manajemen . 11 (3): 390-399.
88                                                             Penerapan Kontrol Optimal …                      (Padja, dkk)