Determinan Matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 Bentuk Khusus 𝒏 × 𝒏, 𝒏 ≥

## 𝟑 Menggunakan Metode Salihu

## Ade Novia Rahma, Kartika Swandayani, Corry Corazon Marzuki
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293, Indonesia
Korespondensi; Kartika Swandayani, Email: ade.novia.rahma@uin-suska.ac.id, kartikaswandayani00@gmail.com

## Abstrak
Determinan mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan beberapa persoalan dalam matriks dan banyak dipergunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu terapannya. Kondensasi Salihu merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo 𝒏 × 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟑 . Metode Kondensasi Salihu merupakan metode gabungan antara Kondensasi Dodgson dan Kondensasi Chio. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan determinan matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 bentuk khusus dengan menggunakan metode Kondensasi Salihu. Dalam menentukan determinan matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 bentuk khusus terdapat beberapa langkah yang dikerjakan. Pertama diperhatikan pola detrminan matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 bentuk khusus  berode 𝟑 × 𝟑 sampai 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎 .  Kedua  pembuktian  bentuk  umum  determinan  menggunakan  metode  induksi matematika. Hasil yang diperoleh adalah didapatkannya bentuk umum dari matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 bentuk khusus. Aplikasi juga dibahas didalam bentuk contoh.
Kata Kunci Determinan; Induksi Matematika; Kondensasi Salihu; Matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓

## Abstract
Determinants have an important role in solving several problems in the matrics and are widely used in mathematics and applied sciences. Salihu condensation is one method that can be used to determine the determinant of a matrics that  has  an  order 𝐧 × 𝐧, (𝐧 ≥ 𝟑. The  Salihu  Condensation  Method  is  a  combined  method  between  Dodgson Condensation and Chio Condensation. This study aims to determine the determinant of a specially 𝐅𝐋𝐒𝐜𝐢𝐫𝐜 𝐫 matrics form using the Salihu Condensation method. In determining the determinant of a specially 𝐅𝐋𝐒𝐜𝐢𝐫𝐜 𝐫 matrics there are several steps taken. First, attention the determinant pattern of a specially 𝐅𝐋𝐒𝐜𝐢𝐫𝐜 𝐫 matrics in orde of 3×3 to 10×10. Second, prove of the general form of determinant using the mathematical induction method. The result obtained is the determination of the general determinant from of a specially 𝐅𝐋𝐒𝐜𝐢𝐫𝐜 𝐫 matrics.
Keywords Determinant; Mathematical Induction; 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 matrics; Salihu Codentation

## Pendahuluan
Menurut  Howard  Anton  [1]  Sebuah  matriks  adalah  susunan  segi  empat  siku-siku  dari  bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Ukuran (ordo) suatu matriks dijelaskan dengan  menyatakan  banyaknya  baris  (garis  horisontal)  dan  banyaknya  kolom  (garis  vertikal)  yang  terdapat dalam matriks tersebut. Menurut Zhao Lin Jiang dan Zong Ben Xu [2]  Suatu matriks bujur sangkar dikatakan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 jika memenuhi formula pada persamaan dibawah ini
𝐴 = [ 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 2 𝑟𝑎 𝑛−1 𝑎 0 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 1 𝑟𝑎 𝑛−2 𝑟𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑎 0 + 𝑎 𝑛−1 ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−3 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−4 𝑎 𝑛−3 ⋯               ⋯                       ⋯ ⋯ ⋯                 ⋯ 𝑟𝑎 2 𝑟𝑎 3 + 𝑎 2 𝑟𝑎 4 + 𝑎 3 𝑟𝑎 1 𝑟𝑎 2 + 𝑎 1 𝑟𝑎 3 + 𝑎 2 ⋯ ⋯ 𝑎 0 + 𝑎 𝑛−1 𝑎 1 𝑟𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑎 0 + 𝑎 𝑛−1 ] (1)
Dapat ditulis dengan 𝐴 = 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 (𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … 𝑎 𝑛−1 ) .
Salah  satu  pembahasan  dalam  teori  matriks  adalah  menentukan  determinan  suatu  matriks.  Determinan mempunyai peranan penting dalam menyelesaikan beberapa persoalan dalam matriks dan banyak dipergunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu terapannya. Nilai determinan matriks dapat menentukan invers matriks. Jika nilai determinan matriks tidak nol, maka matriks tersebut punya invers. Namun jika nilai determinannya nol, maka matriks tidak mempunyai invers. Nilai determinan juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier ini banyak digunakan oleh bidang ilmu optimasi, ekonomi dan lainnya.
Menghitung  nilai  determinan  suatu  matriks  dapat  menggunakan  beberapa  metode,  diantaranya,  Metode Sarrus, Metode Ekspansi Kofaktor, Metode Kondensasi Chio, Metode Eliminasi Gauss, Metode Dekomposisi. Pada makalah ini metode yang akan digunakan adalah Metode Kondensasi Salihu, dimana kondensasi salihu terbentuk dari menggabungkan dua metode yaitu Metode Kondensasi Chio dan Dodgson. Menentukan nilai determinan suatu matriks berukuran kecil tidaklah begitu sulit. Namun jika matriksnya berukuran besar, maka menentukan determinan suatu matriks lumayan sulit. Artinya dieprlukan formula yang tepat utuk memudahkan menentukan determinan suatu matriks. Tujuannya, untuk memudahkan mendapatkan nilai determinan matriks. Hanya dengan mensubsitusi entri-entri mariks maka nilai determinannya didapat tanpa melalui proses yang panjang. Makalah ini membahas determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan bentuk khusus. Pembahasan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 telah dikaji oleh peneliti Zhao Lin Jiang dan Zong Ben Xu [3] yang berjudul " Effiecient Algorithm for Finding the Inverse and the Group Inverse of 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 matrix". Pada makalah kali ini penulis akan menentukan rumus umum untuk determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus sebagai berikut:
𝐴 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎] dengan 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ. (2)

## Metode Penelitian
Adapun  tinjauan  pustaka  yang  penulis  gunakan  dalam  menyusun  penelitian  ini  adalah  matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 , determinan, determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 , serta induksi matematika. Terdapat banyak jenis-jenis matriks, salah satunya adalah matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 . Berikut diberikan definisi matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 .
Definisi 1 (Zhao Lin Jiang dan Zong Ben Xu, 2005) Suatu matriks bujur sangkar dikatakan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 jika memenuhi formula pada Persamaan (1).
Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar yaitu metode sarrus, metode minor dan kofaktor, metode kondensasi chio, metode eliminasi gauss, metode dekomposisi matriks. Berdasarkan 5 metode diatas, penulis hanya menggunakan metode salihu dalam mencari determinan suatu matriks.

## Metode Salihu
Metode Salihu ditemukan oleh Armend Salihu. Metode salihu dihasilkan berdasarkan pada metode Dodgson dan  metode  Chio.  Sebelum  pembahasan  lebih  lanjut,  akan  diperkenalkan  beberapa  istilah  yang  berkaitan dengan metode Salihu.
a. Determinan Interior
Determinan interior adalah determinan yang berorde (𝑛 − 2) × (𝑛 − 2) dari  sebuah matriks  berode 𝑛 × 𝑛, 𝑛 ≥ 3 yang diperoleh dengan cara mengapus baris pertama, menghapus kolom pertama, menghapus baris terakhir dan menghapus kolom terakhir.
Misalkan matriks 𝐴 adalah matriks 4 × 4 :
Determinan Matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 Bentuk Khusus 𝒏 × 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟑 ...… 29
𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ]
Maka determinan interiornya: |𝐵| = | 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 32 𝑎 33 |
b. Determinan Unik Determinan unik adalah determinan yang berorde (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) dari sebuah matriks berorde 𝑛 × 𝑛 (𝑛 ≥ 3) .  Dalam  metode  Salihu,  terdapat  empat  buah  determinan  unik,  yaitu |𝐶|, |𝐷|, |𝐸| dan |𝐹| yang  diperoleh  dengan  cara  menghapus  baris  terakhir  dengan  kolom  terakhir,  menghapus  kolom pertama dengan baris terakhir, menghapus baris pertama dengan kolom terakhir dan menghapus baris pertama dengan kolom pertama.
Misalkan matriks 𝐴 yang berukuran 4 × 4 :
𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ] Maka determinan uniknya: (|𝐶|) = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ] = | 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 | (|𝐷|) = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ] = | 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 | (|𝐸|) = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ] = | 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 | (|𝐹|) = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 14 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 41 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 ] = | 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 24 𝑎 32 𝑎 33 𝑎 34 𝑎 42 𝑎 43 𝑎 44 |
Berdasarkan  penjelasan  dari  metode  kondensasi  Salihu  diatas  maka  dapat  dibentuk  rumus  determinan menggunakan metode kondensasi Salihu dalam teorema berikut:
Teorema 1 (Armend Salihu, 2012) Setiap determinan yang berorde 𝑛 × 𝑛 (𝑛 ≥ 2) dapat direduksi menjadi determinan yang berorde 2  2 , dengan menghitung 4 buah determinan yang berorde (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) dan sebuah determinan yang berorde (𝑛 − 2) × (𝑛 − 2) , dengan syarat (𝑛 − 2) × (𝑛 − 2) ≠ 0 . Bentuk  umum  dari  metode  Salihu  untuk  menghitung  determinan  matriks  berorde 𝑛 × 𝑛, ( 𝑛 ≥ 3) adalah sebagai berikut:
|𝐴| = | 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 … 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … 𝑎 𝑛𝑛 | = 1 |𝐵| . | |𝐶| |𝐷| |𝐸| |𝐹| | , |𝐵| ≠ 0
dimana |𝐵| adalah determinan interior yang berorde (𝑛 − 2) × (𝑛 − 2) sementara |𝐶|, |𝐷|, |𝐸| dan |𝐹| adalah determinan unik yang berorde (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) .
Ada  beberapa  penelitian  yang  terkait  dengan  penelitian  yang  akan  dikaji  kali  ini.  Diantara  penelitian- penelitian  tersebut  yang  sangat  mendukung  adalah  Andi  Bahota  dkk[5].  Yang  menjelaskan  tentang  kajian tentang Metode Kondensasi Salihu pada Determinan Matriks 𝑛 × 𝑛, 𝑛 ≥ 3 .
Salah satu metode pembuktian yang digunakan untuk membuktikan rumus yang diperoleh dari pola rekursif tersebut adalah induksi matematika. Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian dari banyak teorema dalam teori bilangan maupun dalam matematika lainnya. Induksi matematika merupakan salah satu argumentasi pembuktian suatu teorema atau pernyataan matematika yang semesta pembicaraannya himpunan bilangan bulat atau lebih khusus himpunan bilangan asli Sukirman [6].
Misalkan 𝑝(𝑛) adalah suatu proporsi/pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan asli 𝑛. Langkah-langkah pembuktiannya dengan induksi matematika adalah sebagai berikut:
1. Langkah (1) : Ditunjukkan bahwa 𝑝(1) benar.
2. Langkah (2) : Diasumsikan bahwa 𝑝(𝑘) benar untuk suatu bilangan asli 𝑘 dan akan ditunjukkan bahwa 𝑝(𝑘 + 1) juga benar.
Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur terdapat beberapa langkah yang dikerjakan. Pertama menentukan determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus 3 × 3 sampai 10 × 10 , menduga bentuk umum  determinan  matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk  khusus  dengan  memperhatikan  pola  rekursifnya.  Kedua membuktikan bentuk umum determinan menggunakan metode induksi matematika.

## Hasil dan Pembahasan
Diberikan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus orde 3 × 3 sampai 10 × 10 sebagai berikut:
𝐴 3 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 ]
Sehingga determinan dari matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus menggunakan kondensasi Salihu diatas adalah:
|𝐴 3 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 𝑎 |−𝑟𝑎 2 0 𝑟 2 𝑎 2 −𝑟𝑎 2 | = 𝑟 2 𝑎 4 𝑎 = 𝑟 2 𝑎 3
Lalu diberikan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus orde 4 × 4 sebagai berikut:
𝐴 4 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 ]
Sehingga determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus menggunakan kondensasi Salihu adalah:
|𝐴 4 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 −𝑟𝑎 2 |𝑟 2 𝑎 3 0 𝑟 3 𝑎 4 𝑟 2 𝑎 3 | = 𝑟 4 𝑎 6 −𝑟𝑎 2 = −𝑟 3 𝑎 4
Lalu diberikan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus orde 5 × 5 sebagai berikut:
Determinan Matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 Bentuk Khusus 𝒏 × 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟑 ...… 31
𝐴 5 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎]
Sehingga determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus menggunakan kondensasi salihu adalah:
|𝐴 5 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 𝑟 2 𝑎 3 |−𝑟 3 𝑎 4 0 𝑟 4 𝑎 4 −𝑟 3 𝑎 4 | = 𝑟 6 𝑎 8 𝑟 2 𝑎 3 = 𝑟 4 𝑎 5
Dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya didapat determinan matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus menggunakan kondensasi Salihu sebagai berikut.
𝐴 6 = [
0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 0 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎]
|𝐴 6 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 −𝑟 3 𝑎 4 |𝑟 4 𝑎 5 0 𝑟 5 𝑎 5 𝑟 4 𝑎 5 | = 𝑟 8 𝑎 10 −𝑟 3 𝑎 4 = −𝑟 5 𝑎 6 𝐴 7 =
[ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎] |𝐴 7 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 𝑟 4 𝑎 5 |−𝑟 5 𝑎 6 0 𝑟 6 𝑎 6 −𝑟 5 𝑎 6 | = 𝑟 10 𝑎 12 𝑟 4 𝑎 5 = 𝑟 6 𝑎 7 𝐴 8 =
[ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎] |𝐴 8 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 −𝑟 5 𝑎 6 |𝑟 6 𝑎 7 0 𝑟 7 𝑎 7 𝑟 6 𝑎 7 | = 𝑟 12 𝑎 14 −𝑟 5 𝑎 6 = −𝑟 7 𝑎 8
𝐴 9 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎] |𝐴 9 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 𝑟 6 𝑎 7 |−𝑟 7 𝑎 8 0 𝑟 8 𝑎 8 −𝑟 7 𝑎 8 | = 𝑟 14 𝑎 16 𝑟 6 𝑎 7 = 𝑟 8 𝑎 9 𝐴 10 = [ 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎] |𝐴 10 | = 1 |𝐵| | 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 | = 1 −𝑟 7 𝑎 8 |𝑟 8 𝑎 9 0 𝑟 9 𝑎 9 𝑟 8 𝑎 9 | = 𝑟 16 𝑎 18 −𝑟 7 𝑎 8 = −𝑟 9 𝑎 10
Setelah kita mendapatkan nilai-nilai determinan dari matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus yang berorde 3 × 3 sampai 10 × 10 ,  maka  akan  dibuatkan  bentuk  umum  dari  determinan  matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk  khusus tersebut. Terlihat dalam Teorema 2 berikut.
Teorema 2. Diberikan 𝐴 𝑛 suatu matriks 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 𝑟 bentuk khusus berorde 𝑛 × 𝑛, 𝑛 ≥ 3 pada Persamaan (2) maka nilai determinan dari matriks 𝐴 𝑛 adalah:
|𝐴 𝑛 | = (−1) 𝑛−3 𝑟 𝑛−1 𝑎 𝑛 , 𝑛 ≥ 3
Bukti: Pembuktian teorema tersebut menggunakan induksi matematika. Untuk 𝑛 ganjil pembuktiannya sebagai berikut:
1. Basis Induksi. Akan ditunjukkan 𝑝(3) benar.
Perhatikan bahwa:
𝑝(3) : |𝐴 3 | = (−1) 3−3 𝑟 3−1 𝑎 3 = 𝑟 2 𝑎 3
Dengan memperhatikan bentuk umum determinan 3 × 3 maka 𝑝(3) benar.
2. Langkah  induksi.  Asumsikan 𝑝(𝑘) benar,  yaitu 𝑝(𝑘): |𝐴 𝑘 | = (−1) 𝑘−3 𝑟 𝑘−1 𝑎 𝑘 , 𝑘 ≥ 3 .  Selanjutnya akan dibuktikan 𝑝(𝑘 + 1) juga benar, yaitu
𝑝(𝑘 + 1): |𝐴 𝑘+1 | = (−1) 𝑘−2 𝑟 𝑘 𝑎 𝑘+1 ,   𝑘 ≥ 3 (3)
Determinan Matriks 𝑭𝑳𝑺𝒄𝒊𝒓𝒄 𝒓 Bentuk Khusus 𝒏 × 𝒏, 𝒏 ≥ 𝟑 ...… 33
Pembuktian dimulai dari:
|𝐴 𝑘+1 | = | | | 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 | | | 𝑘+1 = −𝑟𝑎 | | | 0 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎
𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑟𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 ⋯ 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑟𝑎 + 𝑎 𝑎 | | | 𝑘 = −𝑟𝑎 |𝐴 𝑘 | = −𝑟𝑎 (−1) 𝑘−3 𝑟 𝑘−1 𝑎 𝑘 = (−1) 𝑘−2 𝑟 𝑘 𝑎 𝑘+1
Dengan memperhatikan Persamaan (3) maka 𝑝(𝑘 + 1) benar. Berdasarkan langkah 1 dan langkah 2 maka Teorema 2 terbukti.
■
Contoh 1. Tentukan determinan dari matriks dibawah ini
A 4 = [ 0 1 1 1 3 1 1 1 3 4 1 1 3 4 4 1 ]
Berdasarkan  soal  dapat  ditulis 𝐴 4 = 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 3 (0,1,1,1) dengan 𝑛 = 4, 𝑟 = 3 dan 𝑎 = 1. Berdasarkan Teorema 2 maka determinannya adalah
|𝐴 𝑛 | = (−1) 𝑛−3 𝑟 𝑛−1 𝑎 𝑛
|𝐴 4 | = (−1) 4−3 𝑟 4−1 𝑎 4
= −27.

## Contoh 2 Tentukan determinan dari matriks berikut
𝐴 5 = [ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 1 2]
Berdasarkan  soal  dapat  ditulis 𝐴 5 = 𝐹𝐿𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐 2 (0, 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 ), dengan 𝑛 = 5, 𝑟 = 2 dan 𝑎 = 1 2 . Berdasarkan Teorema 4.1 maka determinannya adalah
|𝐴 𝑛 | = (−1) 𝑛−3 𝑟 𝑛−1 𝑎 𝑛
= (−1) 5−3 2 5−1 1 2 5 = 1 2 .

## Kesimpulan
Bentuk umum dari determinan matriks bentuk khusus seperti Persamaan (2) adalah:
|𝐴 𝑛 | = (−1) 𝑛−3 𝑟 𝑛−1 𝑎 𝑛 , 𝑛 ≥ 3

## Referensi
[1] Anton, Howard., dan Rorres, Chris., Dasar-Dasar Aljabar Linear Versi Aplikasi, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2004.
[2] Sukirman., Pengantar Teori Bilangan, Hanggar Kreator, Yogyakarta, 2006.
[3] Jiang, Zhaolin., dan Benxu, Zong., Efficient Algorithm For Finding The Inverse And The Group Inverse Of FLScirc Matrix, Journal of Application Math and Computing, Vol 18, No 1-2, 2005.
[4] Rinaldi, Munir., Matematika Diskrit, Edisi Kelima, Informatika, Bandung, 2012.
[5] Sumitro, Adrianus dkk., Kajian Metode Kondensasi Chio Pada Determinan Matriks 𝑛 × 𝑛, 𝑛 ≥ 3 , Buletin Ilmiah Mat. Stat. Dan Terapannya, Vol 04 No. 03, Hal 279-284, 2015.
[6] Olson, Brian. J, dkk. Circulant Matrices and Their Application to Vibration Analysis”. Vol 66. 2014.
[7] Salihu, A. “ New Method to Calculate Determinants of Matrix, by Reducing Determinants to 2 nd Order”.Vol 6(19) Hal 913-917. 2012.