J .   M a t h . a n d   I t s   A p p l . I S S N :   1 8 2 9 - 6 0 5 X V o l .   1 3 ,   N o .   1 ,   M e i   2 0 1 6 ,   1 - 1 0

## ANALISIS MODEL LINTASAN NANOPARTIKEL MAGNET PADA

## PEMBULUH DARAH DI DALAM MEDAN MAGNET DENGAN METODE RUNGE KUTTA ORDE KE-EMPAT
Tahiyatul Asfihani 1 , Hesti Hastuti 2 , Chairul Imron 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia t_asfihani@matematika.its.ac.id , hesti.hastuti.its@gmail.com , imron- its@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Nanopartikel  magnetik  memiliki  peran  penting  dalam  dunia  kedokteran modern yaitu sebagai obat yang ditargetkan oleh magnet. Obat yang ditargetkan oleh  magnet  tersebut  disuntikan  kedalam  tubuh  kemudian  akan  dibawa  oleh darah mengalir ke seluruh tubuh. Untuk memperoleh hasil yang lebih optimal, diperlukan suatu model lintasan nanopartikel magnet didalam embuluh darah. Sistem tersebut dibantu dengan medan magnet  yang diposisikan diluar tubuh. Dengan  menggunakan  metode  Runge-kutta,  diperoleh  jarak  antara  pusat pembuluh darah dengan pusat medan magnet yang lebih tepat adalah 0.025 m dimana  posisi  lintasannya  menuju  kearah  pusat  medan  magnet  yaitu  nol (z/Rm=0).
Kata  Kunci: Nanopartikel  magnetik,  Obat yang  ditargetkan  oleh  magnet, Lintasan nanopartikel magnetik, Metode Runge Kutta

## 1. Pendahuluan
Nanoteknologi merupakan teknologi yang memungkinkan sebuah benda dipecah dalam skala nanometer atau satu per semiliar meter yang mampu mendorong pertumbuhan industri dan  ekonomi  di  segala  bidang.  Salah  satunya  adalah  nanopartikel  magnetik  yang  telah dipelajari dan diaplikasikan secara luas dalam bidang biomedis. Nanopartikel magnetik ini merupakan  suatu  partikel  dengan  ukuran  nanometer  yaitu  sekitar  1-100nm.  Hal  ini  akan menyebabkan  nanopartikel  dalam  proses  ekstraksinya  mudah  larut  dan  memiliki  efisiensi penyerapan yang tinggi di usus sehingga nanopartikel memiliki peran penting dalam dunia
kedokteran modern. Dengan sistem aplikasi klinis, nanopartikel tersebut digunakan sebagai agen  kontras  dalam  pencitraan  untuk  obat-obatan  dan  pembawa  gen  yang  dikirimkan  ke tumor. Salah satunya yang sering digunakan adalah nanopartikel jenis besi oksida [1,2,3].
Agar memperoleh hasil yang optimal dalam proses penargetan obat magnet, maka perlu dilakukan suatu model matematik untuk menentukan posisi lintasan nanopartikel magnet di dalam  pembuluh  darah  dengan  bantuan  medan  magnet  yang  diposisikan  diluar  tubuh tersebut. Kemudian hasil dari model matematik tersebut, akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode runge kutta orde ke-4.

## 1. 1 Gerak Nanopartikel Magnet di dalam Pembuluh Darah
Nanopartikel ini sangat penting dalam proses pengantar obat secara intravena sehingga dapat  melewati  pembuluh  darah  terkecil  secara  aman.  Ketika  partikel  magnetik  yang memiliki  suspensi  homogen  disuntikan  pada penderita menuju  daerah  penargetan  magnet didalam pembuluh darah. Partikel-partikel homogen tersebut secara bersamaan mengalami gaya magnet, gaya fluida dan gaya apung akibat dari gaya gravitasi seperti pada Gambar 1 di bawah ini [4]:
Gambar 1. Nanopartikel magnet didalam pembuluh darah dengan bantuan medan magnet yang diposisikan diluar tubuh
Berdasarkan hukum Newton kedua gaya yang terjadi pada nanopartikel magnet adalah sebagai berikut:
= Karena hasil dari
sangat kecil dan mendekati nol maka persamaan menjadi :
∑ = 0
(1)
= + +
Jika  partikel  magnetik  tersuspensi  dalam  cairan  dengan  permeabilitas ,  gaya  yang dialami oleh  partikel  magnetik  dalam  medan  magnet  H  adalah  gaya  magnetik  dengan perhitungan sebagai berikut:
⃗ = ( ) (∇. )⃗ ⃗ (2) dimana adalah  kerentangan  magnetik pada  partikel  yang  bertipe  ferromagnetik dan adalah  permiabilitas  ruang  hampa  dengan  besarnya 4 × 10 / .  Besarnya  gaya magnet pada partikel ferromagnetik selalu dari rendah ke medan magnet  yang lebih tinggi dan  sebanding  dengan  gradient intensitas  medan  magnet  kuadrat.  Sedangkan  nanopartikel magnet  yang bergerak  di dalam  pembuluh  darah  dengan  aliran  darah  laminar  akan menghasilkan gaya stokes yaitu gaya gesek yang terjadi pada benda yang bergerak dengan jari-jari dalam aliran seragam, dimana dan adalah  viskositas  dan kecepatan  fluida, dan adalah  kecepatan partake dan dirumuskan dengan persamaan berikut:
= = ( − )
dimana
= 6
adalah koefisien viskositas, maka :
= 6 ( − )
(3)
Jika  diasumsikan  bahwa pembuluh  darah  berbentuk  silinder  dan  aliran  darah adalah aliran laminar parallel.
Gambar 2. Aliran laminar pada pembuluh darah untuk itu, kecepatan fluida dapat dirumuskan sebagai berikut:
( ) = 2 [1 − ( ) ]
(4)
Gaya apung yang terjadi pada partikel tersebut dipengaruhi oleh gaya gravitasi didalam viskositas fluida. Besarnya gaya tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
= = − (5) dengan dan adalah massa  jenis partikel dan fluida serta diketahui bahwa percepatan gravitasi = 9.8 / . Gaya apung hanya terjadi terhadap sumbu x karena dipengaruhi oleh gaya gravitasi bumi, sementara terhadap sumbu z besar gayanya adalah nol.

## 1. 2 Gerak Kecepatan Partikel
Berdasarkan  hasil  perhitungan  gaya  yang  bekerja  pada  nanopartikel  magnet  yang dilakukan  oleh  Shasi  Sharma  dkk diperoleh  Komponen  kecepatan  dari  partikel magnet terhadap sumbu x dan z dengan perhitungan sebagai berikut[2] :
, = ( ) − − (6)
dan
, = ( ) − 2 1 − (7)

## 2. Hasil dan Pembahasan
2.1 Model  Lintasan  Nanopartikel  Magnet  didalam  Pembuluh  Darah dengan Bantuan Medan Magnet diluar Tubuh
Berdasarkan (1) lintasan nanopartikel magnet terhadap hukum Newton 1 adalah:
∑
= + + = 0 (8)
dimana merupakan gaya magnet akibat dari medan magnet yang diposisikan diluar tubuh. Dengan  menggunakan  persamaan  Maxwell  maka  diperoleh  gaya  magnet  seperti  pada persamaan dibawah ini [5]:
⃗ = 2 (∇. )⃗ ⃗ dengan = 2 adalah  keliling  partikel  dan = adalah  koefisien  hanyut
magnetik pada nanopartikel jenis ferromagnetik[4]. Sehingga persamaan gaya magnet yang diperoleh adalah seperti pada persamaan dibawah ini:
⃗ = 2.2 (9 1 + 3 ) (∇. )⃗ ⃗
⃗ = 4 (9 3 3 + ) (∇. )⃗ ⃗
⃗ = 4 3 3 + (∇. )⃗ ⃗
Sesuai dengan (2) maka:
⃗ = ( ) (∇. )⃗ ⃗ (9)
dengan ( , ) = ( , ) ⃗ + ( , ) ⃗ yaitu medan magnet dengan komponen arah sumbu x dan arah sumbu z. Akibatnya total gaya magnet yang terjadi pada nanopartikel pembawa magnet tersebut menjadi:
= ⃗ + ⃗ ⃗ = ( , ) = ( , ) ( , ) + ( , ) ( , ) (10) ⃗ = ( , ) = [ ( , ) ( , ) + ( , ) ( , ) ] (11)
Sedangkan medan  magnet  pada  silinder  magnet  yang  tidak  terbatas  dan  tegak  lurus terhadap sumbu-sumbunya dapat dirumuskan sebagai berikut:
( , ) = [( ) ] [( ) ] (12) ( , ) = ( ) [( ) ] (13)
dan  diperoleh turunan  parsial  dari  medan  magnet  terhadap  sumbu x dan  z  seperti  pada persamaan dibawah ini:
( , ) = 2
2( + )[( + ) + ] − [( + ) − ]2[( + ) + ]2( + ) [( + ) + ] ( , ) = − ( )[( ) ] [( ) ] (14a)
( , ) = 2
−2 [( + ) + ] − [( + ) − ]2[( + ) + ]2 [( + ) + ]
( , ) = − [ ( ) ] [( ) ] (14b)
( , ) = [( + ) + ] − ( + ) 2[( + ) + ]2( + ) [( + ) + ] ( , ) = [ ( ) ] [( ) ] (14c)
( , ) = ( + )[( + ) + ] − ( + ) 2[( + ) + ]2 [( + ) + ]
( , ) = ( ) ( ) [( ) ] (14d) Dengan menggunakan (12), (13) dan (14) maka (10) dan (11) menjadi: ( , ) = 3 + 3 [( + ) − ] 2[( + ) + ] − ( + )[( + ) − 3 ] [( + ) + ] + 2( + ) 2[( + ) + ] − [3( + ) − ] [( + ) + ] ( , ) = 3 + 3 [( + ) − ] 2[( + ) + ] [ − 3( + ) ] [( + ) + ]
+ 2 2 ( + ) 2 [( + ) 2 + 2 ] 2 2 ( + )[( + ) 2 − 3 2 ] [( + ) 2 + 2 ] 3
Misal ( + ) = , maka : ( , ) = − ( ) (15)
( , ) = − ( ) (16) Diketahui  bahwa nanopartikel  jenis  ferromagnetic  ini memiliki ≫ 1 artinya suspensinya sangat besar sehingga + 3 ≥ . Dan nilai dari ≪ 1 artinya nilai x sangat kecil sehingga ≈ 0 . untuk itu, (15) dan (16) menjadi: ( , ) = −3 ( ) (17) ( , ) = −3 ( ) (18)
Berdasarkan (3) dan (4), gaya fluida juga dipengaruhi oleh arah sumbu x dan sumbu z sehingga:
= ⃗ + ⃗ = 6 ,
(19) = 6 ( , − , ) = 6 ( , − 2 1 − ) (20)
Berdasarkan (1), (5), (17), (18), (19) dan (20) maka kecepatan partikel terhadap sumbu x:
+ + = 0 −3 2( + ) + 6 , + − = 0 6 , = 3 2( + ) − − , = 3 4 18 2( + ) − 4 18 − , = = ( ) − − (21)
Sedangkan terhadap sumbu z diperoleh keccepatan partikel sebagai berikut:
+ + = 0 = 0 −3 2( + ) + 6 ( , − 2 1 − ) = 0 6 , = 3 2( + ) + 12 1 − , = 3 4 18 2( + ) + 12 6 1 −
, = =
( ) + 2 1 − ) (22)

## 2.2 Penyelesaian Numerik Model Lintasan Nanopartikel Magnet di dalam Pembuluh Darah
Penyelesaian  numerik  yang  digunakan  adalah  metode  Runge-Kutta  orde  ke- empat. Metode ini mempunyai suatu galat pemotongan ℎ . Integrasi numerik dari persamaan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dinyatakan sebagai berikut:
= + ( , + 2 , + 2 , + , ) ,
= + ( , + 2 , + 2 , + , ) , = ℎ , ( , , ) ,
, = ℎ , ( , , ) , = ℎ , + , + , , + , , , = ℎ , + , + , , + ,
, = ℎ , + , + , , + , , , = ℎ , + , + , , + ,
, = ℎ , + , + , , + , , , = ℎ , + , + , , + ,

## 2.3 Simulasi
Partikel yang berjenis ferromagnetik ini (Fe3O4) memiliki jari-jari ( = 300 ) di
dalamnya  serta mengandung nanopartikel magnetik dengan massa jenis
= 5000 /
yang akan ditransportasikan kedalam pembuluh darah dengan medan magnet. Diasumsikan bahwa suspensibilitas magnet dari partikel Fe3O4 sangat luas dalam perbandingan ( ≫ 1). Dengan  dipasangkan  magnet  berbentuk  silinder  yang  diposisikan  diluar  tubuh  yang berdiameter  4  cm  ( = 2) dan  besarnya  magnetisasi  ( = 10 / ). Jari-jari  dari pembuluh  darah  ( = 75 dan  rata-rata  kecepatan  aliran  ( = 10 / ). Dengan viskositas  ( )  dan  massa  jenis  ( ) dari  darah  diasumsikan 3,2 × 10 / dan 1060 /
serta waktu  yang  dibutuhkan  130  detik maka  hasil  simulasi  menggunakan metode  Runge-Kutta  dengan software Matlab  akan  menghasilkan  gambar  seperti  dibawah ini :
Gambar 3. Lintasan nanopartikel didalam pembuluh darah dengan posisi yang bervariasi
untuk d=2,5cm
Analisis  dari  gambar  3  adalah  lintasan  nanopartikel  magnet  yang  mengalir  didalam pembuluh darah dengan menggunakan persamaan (21) dan (22) dan posisi partikel bervariasi = −0.03 , −0.02 , −0.01 , 0, 0.01 , 0.02 , 0.03 Berdasarkan gambar tersebut
dapat  diamati  bahwa  semua partikel  bergerak  menuju  ke  pusat  medan magnet  ( /
=  0)
dengan waktu yang bersamaan dan posisi awal yang sama
Gambar 4. Lintasan nanopartikel didalam pembuluh darah dengan posisi x=0 dan
untuk d=2,5cm
Gambar 5. Lintasan nanopartikel didalam pembuluh darah dengan posisi x =0.2Rv dan untuk d=2,5cm
Gambar 6. Lintasan nanopartikel didalam pembuluh darah dengan x =-0.4 dan untuk d=2,5cm.
Analisis pada gambar 4,5,6 menunjukan hal yang sama dengan gambar 3 bahwa setiap partikel bergerak menuju ke pusat medan magnet ( / = 0) misalnya = 0, = 0.2 , =
− 0.4
Gambar 7. Lintasan nanopartikel dengan d (pusat magnet dengan pusat pembuluh darah yang berbeda)
Analisis dari Gambar 7 terdapat perbedaan pada lintasan nanopartikelnya jika jarak pusat magnet dengan pusat pembuluh darah dibuat bervariasi. Lintasan  yang paling tepat adalah lintasan yang memiliki jarak 0.025 m yaitu mendekati pusat medan magnet ( / = 0).
Gambar 8. Komponen medan magnet (
) terhadap pusat pembuluh darah.
Analisis  pada Gambar  8 membuktikan  bahwa  komponenmedan  magnet  terhadap pembuluh darah ( −3 ≤ ≤≤ 3 ) dengan menggunakan (12) dan (13) untuk = 0.025 terbukti  bahwa  nilai  maksimal  pada  komponen =  4.10 5 =  4000
terhadap pusatmagnet ( / = 0). Sedangkan
beroksilasi didaerahpusat pembuluh darah dan menunjukan puncak menuju ke tepmagnet ( / =±1) itu yang berubah arahnya dari satu sisi ke sisi yang lainnya.
Gambar 9. Komponen gaya magnet ( ) terhadap sumbu pembuluh darah.
Analisis pada Gambar 9 menunjukan bahwa komponen-komponen pada gaya magnet terhadap  pembuluh darahdengan menggunakan (17)  dan (18). Hal ini  dapat diamatibahwa komponen  horizontal  dari  gaya  magnet  ( ) memiliki  bentuk  profil  yang  sama  dengan medan  magnet dengan  arah  sebaliknya.  Oleh  karena  itu,  ( ) berosilasi  di sekitar  pusat sumbu pembuluh darah dan menunjukkan nilai maksimum terhadap tepi magnet ( / =±1). Akibatnya,partikel  magnetik  perjalanan  horizontal  di  atas  magnet  dari kiri  ke  kanan  itu mengalami  percepatan  horisontal  saat melewati  tepi  magnet. Namun, mengalami perlambatan setelah  selesai  melewati  tepi  magnet.  Akibatnya,  komponen horizontal  gaya magnet ( ) bertanggung jawab untuk gerakan osilasi dari nanopartikel dalam pembuluh darah. Selain  itu,  komponen  vertikal  gaya  magnet  ( )  adalah terkuat  di  pusat  magnet
( / =0) dan kekuatannyamenurun seiring menuju tepi magnet ( / =±1). Nilai dari = 3,5 = 3,5 10 − 12 di pusat magnet.

## 3. Kesimpulan/Ringkasan
Dari analisis yang telah dilakukan pada lintasan nanopartikel magnet didalam pembuluh darah, maka diperloleh kesimpulan bahwa:
1. Model  matematika  yang  digunakan  dalam  menentukan  lintasan  nanopartikel  magnet untuk memperoleh hasil yang lebih baik adalah:
= 3 ( + ) − 2 9 − =
3 ( + ) + 2 1 −
2. Hasil  lintasan  nanopartikel  magnet  di dalam  pembuluh  darah,  semakin  pendek  jarak antara pusat pembuluh darah dengan pusat medan magnet maka semakin banyak partikel- partikel  dari  nanopartikel  magnet  yang  tertarik  oleh  medan  magnet  yang  diposisikan diluar tubuh. Sedangkan jarak yang lebih tepat adalah 0.025 m dari pusat medan magnet.

## 4. Daftar Pustaka
[1] Iswandana,  R.  Anwar,  E.  Jufri,  M. (2013) “ Formulasi  Nanopartikel  Verapamil
Hidroklorida  dari  Kitosan  dan  Natrium  Tripolifosfat  dengan  Metode  Gelasi  Ionik”. Universitas Indonesia, Jakarta
[2] Alexiou, C. A. Schmidt, R. Klein, P. Hullin, et al., (2002)  “Magnetic drug  targeting : biodistribution and dependency on magneticfield strength”, J. Magn. Magn.Mater. 252 (2002) 363 – 366
[3] Kingsley,  J.D.H.  Dou,  J.  Morehead,  B.  Rabinow,  H.E.  Gendelman,  C.J.  Destache, (2006),  “Nanotechnology:  a  focus  on  nanoparticles  as  a  drug  delivery  system”,  J. Neuroimmune Pharma. 1 (2006) 340 – 350.
[4] Nacev,  A.C.  Beni,  O.  Bruno,  B.  Shapiro,  (2011)  “The  behavi ors  of  ferromagnetic nanoparticles  in  and  around  blood  vessels  under  applied  magneticfields”,  J.  Magn.
Magn.Mater. 323 (2011) 651 – 668.
[5] Shaw,  S.  Murthy,  P.V.S.N.  Pradhan,  S.C. (2010)  “Effect  ofnon  Newtonian characteristics  of  blood  on  magnetic  targeting  in  the  impermeable  microvessel”,  J. Magn. Magn.Mater. 322 (2010) 1037 – 1043.
[6] Wahyuni,  Nurdin,  Juarlin,  E.  Solution  Nanomagnetic  Particle  Motion  in  a  Fluid Environment  Under  the  Influence  of  Magnetic  Field  with  Finite  Difference Meth od”.University of Hasanuddin,.
[7] Sharma, S. Katiyar, V.K. Singh, U. (2015) ” Mathematical modelling for trajectories of magnetic  nanoparticles  in  a  blood  vessel  under  magneticfield”.  Indian  Institute  of Technology, Roorkee 247667, India.
[8] Martien, R. Adhitamika, Iramie D.K, Iranto, Farida V, Sari D.P, (2012) “ Perkembangan
Teknologi  Nanopartikel  sebagai  Sistem  Penghantaran  Obat”  Fakultas  Farmasi Universitas  Gadjah  Mada,  Minat  Studi  Rekayasa  Biomedis,  Sekolah Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Fakultas Farmasi Universitas Ahmad Dahlan,Program  Studi Farmasi,    Fakultas  Kedokteran  dan    Ilmu  Kesehatan    Universitas    Muhammadiyah Yogyakarta.
[9] Alexiou,  C.  Ardold,  W.  Klein,  R.J.  Parak,  F.G.  Hulin,  P.  Bergemann,C. Erhardt,  W. Wagenpfeil,  S.  Lubbe,  A.S.  (2000). ”Locoregional  Cancer  Treatment  with  Magnetic Drug Targeting”, Technical University of Munich.
[10] Hakim,  L.,  (2008)  “Kontrol  ukuran  dan  dispersitas  nanopartikel  besi  oksida”. Departemen Kimia, Fakultas MIPA, Universitas Indonesia:Jakarta.
[11] Zagarola, M.V. Smits, A.J. (1996), "Experiments in High Reynolds Number Turbulent Pipe  Flow",  AIAA  paper  96-0654,  34th  AIAA  Aerospace  Sciences  Meeting,  Reno, Nevada.
[12] Utomo,  P.  (2010)  “Hukum  Newton  tentang  gerak  dan  gravitasi” departemen  Fisika, fakultas FMIPA. Institut Teknologi Sepuluh Nopember: Surabaya.
[13] Zaki, M. (2012) “Medan Elektromagnetik”, fakultas FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember: Surabaya.
[14] Luknanto, D. (2005) “Mekanika Fluida”. UGM: Jogjakarta.
[15] Fleisch, D, (2008) “A student’s Guide to Maxwell’s Equations”, Wittenberg University.
[16] Schenck,  J.F.,  (1995)  “The  role  of  magnetic  susceptibility  in  magnetic  resonance magnetic  compatibility  of  the  first  and  second  kinds”,  general  electric  corporate research and sevelopment center. New York: Schenectady 12309.
[17] Subakti,I. (2006) “Metode Numerik”.Fakultas Teknologi Informasi. Institut Teknologi Sepuluh Nopember: Surabaya.