## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 5, No. 1, 2023, pp. 6-14.
Simulasi Numerik Model Arus Lalu Lintas dengan Pengaruh Kepadatan Kendaraan dan Kondisi Jalan
Nashrul Millah 1,*
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga *Corresponding author: nashrul.millah@fst.unair.ac.id
Abstract. Traffic  jams  are  common  in  developing  countries.  This  is  generally  caused  by  traffic density, road conditions, and the driver's personality. This phenomenon can be simulated using a mathematical model, allowing it to be seen how these factors affect traffic conditions. The goal of this study is to simulate the effect of traffic density and road conditions using the Lighthill-Whitham- Richard (LWR) model. This model is used to describe macroscopic traffic flow conditions, which are affected by traffic density and speed. The Greenshield model with the influence of road condition parameters  added  is  used  for  the  speed.  In  numerical  solutions,  the  Upwind  method  is  used  to evaluate midpoint values. The simulation results demonstrate the model's ability to describe traffic conditions  that  are  affected  by  traffic  density  and  road  conditions.  The  level  of  traffic  density  is inversely proportional to road conditions and traffic speed.
Keywords: Greenshield, LWR, mathematical model, traffic, Upwind

## 1 Pendahuluan
Kemacetan  merupakan  salah  satu  masalah  yang  terjadi  di  negara-negara  berkembang, termasuk  Indonesia.  Kemacetan  berkaitan  erat  dengan  kondisi  arus  lalu  lintas  di  suatu jalan.  Banyak  model  matematika  yang  telah  dikembangkan  untuk  menggambarkan kondisi  arus  lalu  lintas  [1]-[3].  Model  tersebut  umumnya  bersifat  mikroskopik,  yaitu memandang  kendaraan  secara  individu.  Cara  lain  yang  lebih  mudah  adalah  dengan memandangnya secara makroskopik [4]-[6]. Model yang umum digunakan adalah model Lighthill-Whitham-Richard  (LWR)  [7]-[9].  Pada  model  ini,  pergerakan  kepadatan kendaraan dianggap menyerupai sebuah aliran yang berjalan dengan kecepatan tertentu. Kecepatan  lalu  lintas  dipengaruhi  oleh  tingkat  kepadatan  lalu  lintas  [10],  karakter pengemudi [11], dan kondisi jalan. Kondisi jalan dapat berupa bentuk jalan [12] maupun tingkat  kerusakan  jalan.  Salah  satu  model  yang  bisa  digunakan  untuk  menyatakan kecepatan  arus  lalu  lintas  adalah  model  Greenshield  [13],  [14].  Model  Greenshield mengasumsikan  kecepatan  dipengaruhi  oleh  tingkat  kepadatan  lalu  lintas.  Pada kenyataannya,  kondisi  jalan  juga  memberikan  dampak  yang  signifikan  terhadap kecepatan lalu lintas. Hal ini disebabkan karena pengemudi akan cenderung menurunkan kecepatannya saat melalui jalanan dengan kondisi kurang baik atau rusak. Penelitian ini menggunakan  model  LWR  dengan  memodifikasi  komponen  kecepatan  Greenshield,
dimana kecepatan maksimum kendaraan diasumsikan bergantung pada kondisi jalan yang dilalui. Pendekatan numerik dengan metode upwind digunakan untuk menentukan tingkat kepadatan  dan  kecepatan  lalu  lintas  di  setiap  satuan  waktu.  Selanjutnya,  simulasi dilakukan  untuk  melihat  pengaruh  kepadatan  lalu  lintas  dan  kondisi  jalan  terhadap kondisi lalu lintas.

## 2 Model Arus Lalu Lintas
Pergerakan kendaraan pada suatu ruas jalan dapat dipandang secara makroskopik sebagai suatu aliran fluida. Dimana kendaraan diasumsikan sebagai partikel pada aliran tersebut yang  bergerak  dengan  kepadatan  tertentu  menyusuri  ruas  jalan 𝑥 sepanjang  waktu 𝑡 . Misalkan 𝑛 menyatakan kepadatan lalu lintas (unit/km), yaitu banyaknya kendaraan pada tiap ruas jalan di waktu tertentu, dan 𝑓 adalah flux (unit/jam), yaitu banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan tertentu di setiap satuan waktu, hubungan flux dengan kepadatan lalu lintas dapat dinyatakan sebagai [14]

## 𝑓 = 𝑣 × 𝑛
dengan 𝑣 adalah rata-rata laju kendaraan (km/jam).
Laju kendaraan umumnya dipengaruhi oleh karakter pengemudi, tingkat kepadatan lalu lintas,  dan  kondisi  jalan.  Rata-rata  laju  kendaraan  yang  melintas  pada  suatu  ruas  jalan dapat  dianggap  sebagai  kecepatan  lalu  lintas  pada  jalan  tersebut.  Pada  model  ini kecepatan lalu lintas memodifikasi model Greenshield [15], di mana kecepatan lalu lintas sebanding  dengan  kepadatan  lalu  lintas  dan  kecepatan  maksimum  dipengaruhi  oleh kondisi jalan, sebagai berikut.
𝑣(𝑛) = 𝛼(𝑥)𝑣 𝑚 (1 − 𝑛 𝑛 𝑚 ) (1)
dengan 0 < 𝛼(𝑥) ≤ 1 konstanta yang merepresentasikan kondisi jalan di setiap ruas jalan 𝑥 , 𝑣 𝑚 adalah laju kendaraan maksimum (km/jam) dan 𝑛 𝑚 adalah kepadatan lalu lintas maksimum  (unit/km).  Model  di  atas  cukup  rasional,  di  mana  ketika  jalanan  sepi, kendaraan akan cenderung melaju lebih cepat. Meski demikian, jika kondisi jalan tidak baik  atau  rusak  ( 𝛼 < 1 ),  maka  kendaraan  tidak  akan  bisa  mencapai  kecepatan maksimumnya. Sebaliknya, semakin padat suatu ruas jalan, maka kecepatan kendaraan semakin  berkurang.  Saat  kepadatan  jalan  mencapai  nilai  maksimum,  maka  kendaraan akan berhenti ( 𝑣 = 0) .
Gambar 1 Ilustrasi volume kontrol [𝑥, 𝑥 + Δ𝑥] dengan hubungan keluar-masuk
Ilustrasi kepadatan lalu lintas yang bergerak satu arah, misalkan arah 𝑥 , pada ruas jalan [𝑥, 𝑥 + Δ𝑥] ditunjukkan  pada  Gambar  1.  Kurva  pada  gambar  tersebut  menunjukkan tingkat kepadatan  lalu lintas. Pada selang waktu Δ𝑡 , jumlah kendaraan pada ruas  jalan tersebut  mengalami  perubahan  dari 𝑛(𝑥, 𝑡)Δ𝑥 menjadi 𝑛(𝑥, 𝑡 + Δ𝑡)Δ𝑥 .  Hal  ini  terjadi akibat adanya kendaraan yang masuk melalui batas 𝑥 dengan flux 𝑓(𝑥, 𝑡)Δ𝑡 dan keluar dari 𝑥 + Δ𝑥 dengan flux 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑡)Δ𝑡 . Di samping itu, terdapat kendaraan yang keluar atau  masuk  dengan  laju 𝛽 (kendaraan/km.jam).  Dengan  menggabungkan  kondisi  yang telah diuraikan tersebut diperoleh hubungan keluar-masuk berikut.
𝑛(𝑥, 𝑡 + Δ𝑡)Δ𝑥 − 𝑛(𝑥, 𝑡)Δ𝑥 =  𝑓(𝑥, 𝑡)Δ𝑡 − 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑡)Δ𝑡 + 𝛽Δ𝑥Δ𝑡
atau
𝑛(𝑥, 𝑡 + Δ𝑡) − 𝑛(𝑥, 𝑡)
Δ𝑡 + 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑡) − 𝑓(𝑥, 𝑡) Δ𝑥 = 𝛽.
Untuk Δ𝑡 → 0 dan Δ𝑥 → 0 , diperoleh
𝜕 𝑡 𝑛 + 𝜕 𝑥 𝑓(𝑛) = 𝛽. (2)
Jika tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar, maka persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk persamaan LWR homogen [8],[9] berikut
𝜕 𝑡 𝑛 + 𝜕 𝑥 𝑓(𝑛) = 0. (3)
Berdasarkan persamaan (1) dan (3), diperoleh model arus lalu lintas dengan pengaruh kepadatan lalu lintas dan kondisi jalan
𝜕 𝑡 𝑛 + 𝜕 𝑥 𝑓(𝑛) = 0, 𝑓(𝑛) = 𝑛𝛼(𝑥)𝑣 𝑚 (1 − 𝑛 𝑛 𝑚 ). (4)

## 3 Solusi Numerik Model Arus Lalu Lintas
Model arus lalu lintas dapat diselesaikan secara numerik menggunakan Metode Volume Hingga (MVH). Suatu MVH didasarkan pada pemecahan domain ruang menjadi banyak sel seperti diilustrasikan pada Gambar 2. Misalkan formulasi diskrit dari persamaan (4) didefinisikan  pada  domain [0, 𝑋] .  Domain  tersebut  dipartisi  menjadi 𝑁 sel  tengahan dengan lebar Δ𝑥 , yaitu: 𝑥 1 2 = 0, 𝑥 3 2 = Δ𝑥, … , 𝑥 𝑖+ 1 2 = 𝑖Δ𝑥, … , 𝑥 𝑁+ 1 2 = 𝑁Δ𝑥 = 𝑋 . Untuk sel
𝐶 𝑖 = [𝑥 𝑖− 1 2 , 𝑥 𝑖+ 1 2 ] , nilai 𝑛 dinyatakan sebagai
𝑛 𝑖 𝑗+1 = 𝑛 𝑖 𝑗 − Δ𝑡 Δ𝑥 (𝐹 𝑖+ 1 2 𝑗 − 𝐹 𝑖− 1 2 𝑗 ). (5)
Persamaan  (5)  menunjukkan  bahwa  kepadatan  lalu  lintas  pada  waktu 𝑡 𝑗+1 dipengaruhi oleh  kepadatan  pada  waktu 𝑡 𝑗 dan flux yang  masuk  melalui  batas  kiri 𝑥 𝑖− 1 2 dan  keluar melalui batas kanan 𝑥 𝑖+ 1 2 . Flux pada persamaan (5) didefinisikan pada sel tengah sehingga memerlukan pendekatan numerik tertentu untuk menghitung nilainya. Metode yang bisa digunakan diantaranya adalah metode upwind .
Gambar 2 Diskritisasi domain
Metode upwind mengevaluasi  nilai flux 𝐹 𝑖+ 1 2 berdasarkan  tanda  dari  laju  sinyal  di  sel tengah 𝑥 𝑖+ 1 2 yang didekati dengan nilai 𝑓′ ̅ = 1 2 (𝑓 𝑖 ′ + 𝑓 𝑖+1 ′ ) . Berdasarkan metode upwind,
nilai flux dapat dihitung menggunakan formula berikut.
𝐹 𝑖+ 1 2 𝑗 = { 𝑓 𝑖 𝑗 jika 𝑓′ ̅ > 0 𝑓 𝑖+1 𝑗 jika 𝑓′ ̅ < 0 (6)
Berdasarkan persamaan (6), dapat kita simpulkan bahwa jika laju sinyal di sel tengah 𝑥 𝑖+ 1 2 bernilai  positif  maka  sinyal  berjalan  dari  kiri  ke  kanan,  sehingga  nilai 𝐹 𝑖+ 1 2 𝑗 didekati dengan nilai 𝑓 dari arah kiri, yaitu 𝑓 𝑖 𝑗 = 𝑛 𝑖 𝑗 𝛼 𝑖 𝑉 𝑚 (1 − 𝑛 𝑖 𝑗 𝑁 𝑚 ) . Sebaliknya ketika laju sinyal
bernilai  negatif,  maka  sinyal  berjalan  dari  kanan  ke  kiri,  sehingga  nilai 𝐹 𝑖+ 1 2 𝑗 didekati
dengan nilai 𝑓 dari arah kanan, yaitu 𝑓 𝑖+1 𝑗 = 𝑛 𝑖+1 𝑗 𝛼 𝑖+1 𝑉 𝑚 (1 − 𝑛 𝑖+1 𝑗 𝑁 𝑚 ) .

## 4 Hasil Simulasi
Simulasi numerik model arus lalu lintas dilakukan dengan dua skema, yaitu saat kondisi jalan seragam dan baik ( 𝛼 = 1 ) dan saat kondisi jalan bervariasi ( 0,7 ≤ 𝛼 ≤ 1 ). Untuk setiap skema diberikan kondisi awal kepadatan lalu lintas 𝑛(𝑥, 0) yang sama sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 3. Kepadatan di titik awal (0 km) diasumsikan konstan, yaitu sebesar 75 unit/km.
Kecepatan  maksimum  ( 𝑣 𝑚 )  dan  kepadatan  maksimum  ( 𝑛 𝑚 )  kendaraan  diasumsikan berturut-turut bernilai 60 km/jam dan 250 unit/km. Domain posisi didiskritisasi dengan Δ𝑥 = 0,2 , sedangkan domain waktu didiskritisasi dengan Δ𝑡 = 0,0001 .
Gambar 3 Kepadatan kendaraan saat 𝑡 = 0

## 4.1.1 Kondisi Jalan Baik dan Seragam
Simulasi  pertama  dilakukan  untuk  kondisi  jalan  yang  seragam  dan  ideal,  yaitu  dengan nilai 𝛼 = 1 . Pada kasus ini, kondisi jalan baik sehingga tidak mengganggu jalannya lalu lintas.  Kendaraan  dimungkinkan  bergerak  mencapai  kecepatan  maksimum  jika  jalanan lengang ( 𝑛(𝑥, 𝑡) = 0 ).
Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh profil kepadatan dan kecepatan lalu lintas seperti ditunjukkan pada Gambar 4. Pada Gambar 4(a) dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu,  kepadatan  lalu  lintas  semakin  terurai  dan  stabil.  Kondisi  ini  ditandai  dengan semakin berkurangnya jumlah gelombang dan semakin kecilnya amplitudo gelombang. Jika  diperhatikan,  tampak  bahwa  kepadatan  lalu  lintas  mendekati  nilai  75.  Hal  ini
disebabkan karena di posisi 0 km kepadatan lalu lintas diasumsikan bernilai konstan, 75 unit/km.
(a) (b)
Gambar 4 (a) Profil kepadatan lalu lintas (b) Profil kecepatan lalu lintas untuk t = 2, 4 dan 6 menit
Gambar 4(b) menunjukkan profil kecepatan lalu lintas yang berbanding terbalik dengan kepadatannya. Semakin padat suatu lalu lintas, maka kecepatan kendaraan semakin kecil, begitu juga sebaliknya. Meski demikian, kecepatan lalu lintas menunjukkan perilaku yang sama dengan kepadatan lalu lintas, dimana nilainya semakin stabil dan menuju ke suatu nilai  tertentu,  yaitu:  42  km/jam.  Nilai  ini  dapat  dengan  mudah  kita  buktikan  dengan menggunakan hubungan antara kecepatan dan kepadatan lalu lintas.
𝑣(𝑛) = 𝑣 𝑚 (1 − 𝑛 𝑛 𝑚 ) 𝑣(75) = 60 (1 − 75 250 )
= 42 km/jam

## 4.1.2 Kondisi Jalan Tidak Seragam
Simulasi  kedua  dilakukan  untuk  kondisi  jalan  yang  tidak  seragam,  yaitu  dengan  nilai 0,7 ≤ 𝛼 ≤ 1 . Sebaran kondisi jalan ditunjukkan pada Gambar 5. Pada kasus ini, kondisi jalan tidak cukup baik dengan tingkat gangguan yang beragam, sehingga mengganggu jalannya lalu lintas. Kondisi ini mengakibatkan berkurangnya kecepatan kendaraan selain karena adanya pengaruh kepadatan lalu lintas.
Gambar 5 Sebaran parameter kondisi jalan ( 𝛼 )
Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh profil kepadatan dan kecepatan lalu lintas seperti ditunjukkan oleh Gambar 6 dan Gambar 7. Pada Gambar 6(a) dan 7(a) dapat dilihat bahwa kondisi  jalan  memberikan  pengaruh  yang  sangat  signifikan  terhadap  arus  lalu  lintas. Seiring  berjalannya  waktu,  kepadatan  lalu  lintas  mendekati  nilai  tertentu  dengan mengikuti  pola  kondisi  jalan.  Semakin  baik  kondisi  jalan,  maka  kepadatan  lalu  lintas semakin kecil. Hal ini karena kendaraan dapat melaju lebih cepat sehingga tidak terjadi penumpukan  kendaraan.  Sebaliknya,  saat  kondisi  jalan  terganggu  maka  kendaraan cenderung  akan  menurunkan  kecepatan  sehingga  terjadi  penumpukan  kendaraan  yang mengakibatkan lalu lintas menjadi padat. Pada kasus ini, kepadatan kendaran berada di kisaran nilai 80-100 unit/km.
(a) (b)
Gambar 6 (a) Profil kepadatan lalu lintas (b) Profil kecepatan lalu lintas untuk kondisi jalan yang beragam saat t = 2, 4 dan 6 menit
(a)
(b)
Gambar 7 (a) Profil kepadatan lalu lintas (b) Profil kecepatan lalu lintas untuk kondisi jalan yang beragam saat t = 15 menit, 30 menit dan 1 jam
Seperti  pada  kasus  pertama,  Gambar  6(b)  dan  7(b)  menunjukkan  profil  kecepatan  lalu lintas yang berbanding terbalik dengan profil kepadatannya. Meski demikian kecepatan yang dihasilkan lebih kecil, yaitu di kisaran 25-30 km/jam, yang merupakan dampak dari kondisi jalan.

## 5 Kesimpulan
Berdasarkan pemaparan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa model arus lalu lintas LWR dengan modifikasi model Greenfield mampu menunjukkan pengaruh tingkat kepadatan dan  kondisi  jalan  terhadap  arus  lalu  lintas.  Semakin  padat  suatu  lalu  lintas,  maka kecepatan kendaraan akan semakin kecil. Begitu juga sebaliknya, jika jalanan lengang, maka kendaraan dapat melaju lebih cepat bahkan mencapai kecepatan maksimum. Selain itu, kondisi  jalan juga  memberikan pengaruh yang sangat signifikan  terhadap arus lalu lintas.  Pada  skema  pertama,  di  mana  kondisi  jalan  baik  ( 𝛼 = 1 )  dan  seragam  serta kepadatan lalu lintas di posisi awal konstan, kepadatan dan kecepatan lalu lintas semakin stabil seiring berjalannya waktu. Hal ini membuktikan bahwa kemacetan pada dasarnya bisa terurai jika kondisi jalan baik dan kepadatan lalu lintas yang  masuk di  tiap waktu lebih kecil dari tingkat kepadatan di titik macet . Simulasi skema kedua, di mana kondisi jalan bervariasi dengan 0,7 ≤ 𝛼 ≤ 1 , menunjukkan bahwa kepadatan lalu lintas sangat bergantung  dengan  kondisi  jalan.  Pola  kepadatan  lalu  lintas  cenderung  menyesuaikan pola kondisi jalan dengan nilai yang berbanding terbalik. Artinya, semakin rendah kondisi jalan, maka tingkat kepadatan lalu lintas semakin tinggi.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Park, M., Kim, Y. dan Yeo, H., 2019, Development of an asymmetric car-following model and simulation validation , IEEE Trans. Intell. Transp. Syst., 21 , pp. 3513- 3524.
[2] Ruan,  X.,  Zhou,  J.,  Tu,  H.,  Jin,  Z.  dan  Shi,  X.,  2017. An  improved  cellular automaton with axis information for microscopic traffic simulation , Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 78 , pp. 63-77.
[3] Wang, Y., Li, X., Tian, J. dan Jiang, R., 2020, Stability analysis of stochastic linear car-following models , Transportation Science, 54 (1), pp. 274-297
[4] Yan, F., Qiu, J., dan Tian, J., 2022, An iterative learning identification strategy for nonlinear macroscopic traffic flow model , Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 604 , 127901
[5] Van  Wageningen-Kessels,  F.,  Lint,  H.V.,  Vuik,  K.  dan  Hoogendorn,  S., 2015, Genealogy of traffic flow models . EURO J. Transp. Logist., 4 , 445–473.
[6] Wang, Y., Yu, X., Guo, J., Papamichail, I., Papageorgiou, M., Zhang, L., Hu, S., Li,  Y.,  Sun,  J.,  2022, Macroscopic  traffic  flow  modelling  of  large-scale  freeway networks  with  field  data  verification:  State-of-the-art  review,  benchmarking framework,  and  case  studies  using  METANET ,  Transportation  Research  Part  C: Emerging Technologies, 145 . 103904
[7] Lighthill, M.J. dan Whitham, G.B., 1955, On kinematic waves I: Flood movement in long rivers , The Royal Society: Proceedings A.
[8] Lighthill, M.J. dan Whitham, G.B., 1955, On kinematic waves II: A theory of traffic flow on long, crowded roads , The Royal Society: Proceedings A.
[9] Richards, P.I., 1956, Shock waves on the highway , Operation Research.
[10] Pratama, M.I., Firmayasari, D., Rasyid, N.A., dan Harianto, 2021, Simulasi numerik model matematika arus lalu lintas berbasis fungsi velositas Underwood , Journal of Mathematics, Computations, and Statistics, 4 (1), pp. 9-20.
[11] Ma, G., Li, K. dan Sun, H, 2023, Modeling and simulation of traffic flow based pn memory effect and driver characteristics , Chinese Journal of Physics, 81 , pp.144- 154
[12] Sarah, Y., Helmi dan Partiwi, W.B., 2019, Penerapan Model  Lightwill  Whitham Richard  (LWR)  pada  Jalan  Tanjungpura  Pontianak  menggunakan  pendekatan merging dan diverging, Buletin Ilmiah Math. Stat. dan terapannya, 8 (2), 297-306.
[13] Pudjaprasetya,  S.R.,  Bunawan,  J.  dan  Novtiar,  C.,  2015, Traffic  lights  or roundabout? Analysis using the modified kinematic LWR model , East Asian Journal on Applied Mathematics, 6 (1), pp. 80-88.
[14] Pudjaprasetya, S.R., 2018, Transport phenomena euations and numerical methods, ITB Press, pp. 70-80.
[15] Ni,  D.,  2016, Traffic  flow  theory  characteristics  experimental  methods  and numerical techniques , Elsevier Inc.