## KOMBINASI ESTIMATOR KERNEL GAUSSIAN ORDER TINGGI DENGAN SIMULASI HISTORIKAL TERHADAP PENGUKURAN VALUE AT RISK (VaR)

## RETURN PORTFOLIO
Zulfikar 1) ,  Muhyiddin Zainul Abidin 1) , Ali Priyono 2) , Ali Mudlofar 2)
1) Fakultas Teknologi Informasi Universitas KH. A. Wahab Hasbullah
2) Prodi Pendidikan Agama Islam, STAI Bahrul ‘Ulum Tambakberas Jombang, Jawa Timur Email: zulfikardia@gmail.com https://zulfikarmsi.wordpress.com

## Abstract
Experts assume that measures the risk of financial asset returns generally have a normal distribution. Reality often shows asset returns are not normally distributed, so that the constraints and  make  it  difficult  to  estimate  the  risk  of  taking  the  measurements.  For  it  is  necessary  to develop methods of risk measurement, VaR on asset returns regardless of the form of distribution as a form of financial risk estimation.
In this research the size of the financial risk VaR calculation that will be developed in the form  of  High-order  kernel  estimator  of  VaR  with  historical  simulation  method  approach.  This method  implements  the  VaR  measurement  and  VaR  sensitivity  of  the  asset  return  data  are  first estimated using a combination of historical simulations and high-order kernel estimators.
The  data  used  is  the  return  data  obtained  from  the  calculation  of  the  closing  price (closing  price)  daily  stock  of  PT  Astra  International  Tbk  (ASII)  and  PT.  Telekomunikasi Indonesia  Tbk.  (TKLM)  trading  for  one  year  ie  from January  2,  2012  until  December  28,  2012 are taken from the Indonesia Stock Exchange (IDX). Return assumed to be independent for each time period.
Test  results  obtained  Portfolio  Return  value  estimate  VaR  with  Historical  Simulation estimation  methods  and  the  combination  of  high  order  kernels  increase  with  increasing  order kernel  estimates  and  tend  to  be  larger  than  the  Historical  Simulation  estimation  methods. Statistical  properties  indicates  that  the  value  of  symmetry  (Skewness)  data  distribution  is generally  obtained  values  close  to  zero  ie  between  values  of  0.06  and  1.06,  which  means  the portfolio return data distribution approximates the shape of a symmetrical distribution. Moderate slope  values  (the  kurtosis)  showed  the  highest  value  of  -1.53,  which  means  the  value  of  the distribution of the portfolio return data are within the scope of normal distribution in which the kurtosis value for the normal distribution is 3. Test sensitivity of VaR portfolio return data shows that the assumption of 99% for a confidence level and a one-year time horizon, VaR at 4,396% a year means 252 days of hope in the risk by 11 days on market movements .
Keywords: Return of assets, Value at Risk, High-order kernel estimator, Historical Simulation

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  konsep  usaha  telah  lama  dikenal  interaksinya  antara  resiko  dan  keuntungan, sehingga dalam dunia usaha pengelolaan keuangan untuk investasi diperlukan manajemen khusus yang  dapat  menangani  segala  kemungkinan  resiko  yang  timbul.  Manajemen  tersebut  harus
mampu  mengeluarkan  konsep-konsep  yang  dapat  menekan  resiko  dan  mampu  meningkatkan keuntungan yang dikenal dengan manajemen resiko.
Sebelumnya  banyak  ahli  financial  mengasumsikan return  asset berdistribusi  normal. Markowitz  (1952),  telah  menyusun  secara  eksplisit  resiko  dan  keuntungan  dalam  konteks  asset financial  portofolio.    Pendapat  lain  seperti  Ross  (1976)  menggunakan  argument  pengembangan model-model  asset  berharga  seperti  teori Capital  Asset  Pricing  Model (CAPM)  dan  teori Arbitrage Princing Teory (APT) berkaitan  dengan return asset pada  faktor-faktor resiko  lainnya yang secara umum return asset berdistribusi normal.  Permasalahannya model tersebut tidak bisa dibuktikan  secara  empiris  (Bradley  dan  Taqqu,  2001),  bahkan  kadang-kadang return  asset memiliki  distribusi heavy  tail seperti  diperkenalkan  oleh  Mandelbrot  (1963)  bahwa  distribusi heavy tail ditunjukkan secara jelas pada financial berbentuk time series .
Setiap pendekatan untuk pengembangan statistik ukuran resiko yang menyeluruh berguna untuk  menyaring  informasi  dari  pendugaan  distribusi return dalam  portofolio  perdagangan  di akhir  periode  holding  (biasanya  satu  hari).    Perhatian  praktisi  keuangan  berpusat  pada  rujukan umum  statistik  pada Value  at  Risk (VaR).    VaR  adalah  tingkat return yang  mungkin  diberikan (biasanya, 5%, 3%, 2% atau 1 %) pada perjalanan return yang kurang dari tingkat itu. Selain itu, VaR  adalah  estimasi  titik  pada  perolehan  persentil  pada  fungsi  distribusi  kumulatif  (cdf= cumulative  distribution  function )  pada return portofolio.    Pada  semua  kasus  yang  ada,  estimasi titik ini hanya statistik dari pendugaan distribusi return yang digunakan dalam analisis VaR.
Untuk  itu  perlu  dikembangkan  metode  pengukuran  resiko  VaR  pada return  asset tanpa  melihat bentuk  distribusinya  sebagai  bentuk  estimasi  resiko  finansial.    Ukuran  perhitungan  resiko financial  VaR  yang  dikembangkan  berupa  VaR  Estimator  Kernel    dengan  pendekatan  simulasi historikal.  Metode ini menerapkan pengukuran VaR dan sensitivitas VaR pada data return asset yang terlebih dahulu diestimasi dengan menggunakan kombinasi simulasi historical dan estimator kernel order tinggi. Keputusan menggunakan estimator kernel ini diharapkan  model estimasi dari analisis  kernel  order  tinggi  menjadi    valid  yang  ditunjukkan  dengan  nilai Mean  Square  Error (MSE) yang  semakin  kecil.  Diharapkan  metode  ini  memberikan  solusi  yang  praktis  terhadap penyelesaian  masalah  perhitungan  resiko return  asset bagi  kebijakan  manajemen  resiko  pada perusahaan  dengan  melihat  sifat-sifat  estimator  VaR  dan  koherensi  sebagai  syarat  kecukupan ukuran resiko finansial.

## 2. KAJIAN LITERATUR

## a. Estimator Parametrik
Metode parametric secara khusus adalah bentuk f , dan estimasi f dapat ditulis sebagai,
  2 1 1 exp 2
2 x f x                   
    
(1)
Dimana μ dan 2  diestimasi secara konsisten dari data masing-masing sebagai,
1 1 n i i x n      dan   2 2 1 1 1 n i i x n         

## b. Estimasi Nonparametrik
Kelemahan  metode  paramterik  adalah  perlu  menetapkan  fungsi  densitas  parametric  yang sebenarnya.  Dalam  nonparametric f ( x )  alternative  secara  langsung  diestimasi  tanpa mengangsumsikan bentuknya. Sesuai dengan pendapat Davidson (2004), estimasi dengan metode nonparametric  merujuk  pada  jenis  teknik  estimasi  yang  tidak  eksplisit  termasuk  estimasi parameter.
1)  Estimator kernel  Gaussian Fungsi kernel yang digunakan adalah  Kernel Gaussian
         2 exp 2 1 ) ( ) ( 2 u u u K   , .      u
2)  Kernel Order Tinggi
Dalam penelitian ini digunakan kernel order p batasan-batasan:
a).   1 ) ( dz z K b).     1 ,..., 2 , 1 , 0 ) ( p i dz z K z i

## c. Value at Risk(VaR)
VaR dapat didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang akan didapat selama periode  waktu  ( time  period )  tertentu  dalam  kondisi  pasar  normal  pada  tingkat  kepercayaan ( confidence  interval )  tertentu.  Setiap  perubahan  nilai  ini  akan  memberikan  kerugian  semakin meningkat,  walau  kelihatannya  kecil.    Sepakat  dengan  RMG  (1999),  bahwa  tidak  ada  yang  tak masuk  akal  tentang  tingkat  konfidensi.    Pemilihan  tingkat  konfidensi  untuk  resiko  pasar, perusahaan-perusahaan  rekomendasi  umumnya  adalah  menempatkan  tingkat  konfidensi  tidak terlalu  tinggi,  yaitu  nilai  95%  sampai  99%..  Aturan  konversi  waktu  dalam  perhitungan  VaR dinyatakan  sebagai  ‘ Square  root  of  time  rule’ ,  sehingga  konversi  periode  waktu  dalam perhitungan VaR dapat dituliskan sebagai berikut (Tsay, RS, 2005):
( ) VaR t t VaR  (2)
Selain itu diperlukan juga asumsi bahwa distribusi return harian tidak bisa berubah pada horizon panjang,  yang membatasi kelas distribusi sehingga disebut family stable , dimana normal sebagai anggotanya. Dengan demikian ukuran VaR adalah,
    1 * VaR T days VaR day T  (3)

## d. Simulasi Historikal
Simulasi  historikal    menggunakan  portofolio  asset  pada  poin  utama  dalam  waktu  dan kemudian  menilai  kembali  sejumlah  waktu  portofolio,  menggunakan  riwayat  harga  untuk  asset- asset  dalam  portofolio.      Penilaian  portofolio  menghasilkan  distribusi  keuntungan  dan  kerugian yang  dapat  diuji  untuk  menentukan  VaR  pada  portofolio  dengan  pemilihan level  confidence . Definisikan  besaran  waktu  sebagai  t;    diamati  data  dari  satu  sampai  ke- t .    Arus  nilai  portofolio adalah P t ,  yang  mana  merupakan  fungsi  pada  arus  faktor-faktor  resiko  digunakan  untuk membentuk nilai hopitetik pada arus portofolio dengan skenario baru:
1 2 , ,..., k k k k N P P f f f
     (4)
Kita  sekarang  bisa  menghitung  perubahan  nilai  portofolio  dari  posisi  arus   / k k t t R P P P   .
Kita  pilih return dan  pilih  secara  teliti  yang  berpasangan  pada  quantile, R p (c ).    VaR  didapatkan dari perbedaan antara rata-rata dan quantile : VaR = E[R p ] – R p (c) (5)

## 3. METODE PENELITIAN
Tahapan  penelitian  meliputi,  diawali  dengan  tahapan  estimasi  parameter  dengan menggunakan  fungsi  densitas  kernel  dalam  bentuk  fungsi  padat  peluang  ( pdf ),  dan  fungsi distribusi  cumulative ( cdf ).  Tahapan penelitian ini lebih jelasnya  dapat dilihat pada  gambar 3.1 berikut:
Gambar 3.1 . Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan berdasarkan tahapan penelitian dapat dijelaskan sebagai berikut :

## a. Kajian Teoritis VaR
Mengkaji estimator kernel Gaussian order tinggi untuk mengukur VaR dan    sensitivitas VaR pada return asset portofolio, dengan langkah-langkah:
1) Mengestimasi  fungsi  pada  peluang  ( pdf )  dan  fungsi  distribusi  kumulatif  sebuah  portofolio return asset.
2) Mengetsimasi fungsi padat peluang ( pdf ) dengan kernel Gaussin order ke-j. 3) Mengestimasi fungsi kernel Gaussian dalam ukuran VaR untuk: 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) T t t VaR a z VaR a f z dz T h             
   
 mendapatkan fungsi, (Vargas and Coria, 2003)
4) Menguji  syarat-syarat  kecukupan  VaR  untuk  ukuran  resiko  return  asset  (Gourieroux,  et.  al., 2001).
Membangun  kombinasi  estimator  ernel  order  tinggi  dengan    simulasi  historikal  untuk mengukur VaR  dengan tiga langkah (Butler and Schacter, 1996 and 1998), yaitu:
1) Menaksir fungsi padat peluang ( pdf ) ( ) P f x  dan fungsi distribusi frekuensi ( cdf ) ( ) P f x  pada return portopolio;
2) Menaksir distribusi order statistik berkorespondensi dengan taraf konfiden, dan;
3) Mengestimasi  VaR  menggunakan  momen pdf untuk  order  statistik ,* , i R ditentukan  oleh quantile (1  – α).    Moment    pertama  ,  nilai  rata -rata, , i k ER ,  menaksir  –VaR,  dan  moment kedua,  variansi, , i k VarR ,  mencermin  secara  seksama  estimasi  VaR.    Standart  deviasi  dapat digunakan untuk membangun interval konfiden.

## b. Implementasi VaR
Menghitung  VaR  dan  sensitivitas  VaR return  asse t  portofolio  terhadap  saham  ASII      dan TKLM dari data BEI tahun 2012, yaitu:
1) VaR dengan Simulasi Historikal dengan pendekatan Kernel Gaussian
2) VaR dengan Simulasi Historikal dengan pendekatan Kernel Order Tinggi.

## 4. ANALISIS DAN IMPLEMENTASI
a . Analisis pada Estimasi Densitas Kernel
Misalkan pada estimasi kernel untuk nilai rata-rata dan variansi pada sebuah titik khusus x, dan menggunakan teorema Taylor dalam densitas.
1 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 n i n i x X E f x
E K n h h x X E K h h x t K
f t dt h h K u f x hu du h u K u f x huf x f x o h du h f x f x K u u du o h                                                       
          Karena ( ) 1
K u du   dan, ( ) 0 uK u du   .  Jika 2 2
( ) K K u u du    ,   maka bias  estimasi  densitas  kernel adalah:
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 K n h f x
E f x f x o h           (6)
Sehingga bias akan menjadi nol jika bandwidth mendekati nol.
Untuk menghasilkan variansi, dengan sekali lagi menggunakan teorema Taylor:
ISSN : 1979-7141 53
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 ( ) ( ) n x X Var f x
Var K n h h x X x X E K E K n h h h h x t K dt f x O h n h h K u f x hu du f x O h n h K u f x hu n h                                                                                            
        2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1/ )
f x du f x O h
f x K u du O n
hn        

 
 Nilai akan menjadi nol jika , nh   sehingga n   .   Dengan demikian kesimpulan ini sama seperti pada histogram: h menuju ke nilai nol, tetapi lebih lambat dari pada 1/n.
Ketika expected error kuadrat  di x adalah  bias kuadrat ditambah variansi,
  2 4 4 2 ( ) ( ) ( ) 4 K h f x f x K u du kecil hn     
Error kuadrat integrated expected adalah:
  2 4 4 2 ( ) ( ) 4 K K u du h ISE f x dx nh      
Diferensiasi h untuk bandwidth optimal h opt ,  didapatkan
      2 2 3 4 1/ 5 2 1/ 5 1/ 5 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) opt K opt K K u du h f x dx nh K u du
h n O n f x dx        
            
(7)

## b. Estimasi VaR Kernel
Dengan menggunakan kernel Gaussian yang dipilih secara teorikal untuk mendapatkan h optimal seperti persamaan  berikut:
1/ 3 3 1/ 3 4 2 2 ( ) ( ) p K opt K p f v b h n f v             
Disini K b dan 2 K  dikenal setelah pemilihan K .  Pendekatan  yang digunakan  dalam  metode ini adalah untuk mendapatkan h dalam estimasi ( ) p f v dan ( ) p f v  dalam rumus di atas.
Sebagai bentuk aplikasi metode VaR dengan menggunakan estimator kernel, misalkan:
  1 1 . . ... . n n w w w w w    
               , 1 * n p t i i t i R w R w R        ( , ) ( , ) ( ) t VaR a P w R VaR a
f z dz         (8)
Dengan  menempatkan  kembali  fungsi f ( z )  yang  tidak  diketahui  oleh  estimasi  kernel  kita dapatkan:
1 1 ˆ ( ) T t i z z f z
K Th h           Sehingga: 1 ˆ ( , ) ( , ) 1 ˆ ( ) T t t VaR a z VaR a f z dz T h                
Maka didapatkan:
  2
1 ˆ , 1 ˆ ( , ) arg min T t t z VaR a VaR a
T h                       
  (9)

## c. Sensitivitas VaR
Pertimbangkan bahwa VaR pada 1 horisontal yang didefinisikan sebagai:
1 ( , ) . t t P t P a VaR a            (10)
Nilai  VaR  tergantung  pada  vector  pada  alokasi  portofolio.    Dalam  prakteknya,  pengelola portofolio harus meng-update portofolio secara runtin, dan harus memiliki konsentrasi yang besar dan berdampak pada updating resiko (atau dalam pelayanan keuangan).  Oleh karena itu, seorang menejer harus konsentrasi besar terhadap efek alokasi portofolio dalam VaR.
Gambaran  secara  analitik  pada  turunan  order  pertama  dan  kedua  VaR  dengan  nilai  pada alokasi portofolio yang diturunkan dalam Gourieroux, Laurent, Scaillet (2000):
i)   1 1 , ( , ) . t t t t t VaR a E p a p VaR a a                
ii)     2 , 1 1 1 1 ( , ) , ( , ) ( , ) t a t t t t t t t t t t z VaR a Logq VaR a VaR a V p a p VaR a a a z V p a p z z             
                           
(11)
dimana , a t q menandakan  fungsi  padat  peluang  ( pdf )  kondisional  pada  VaR  yang  bisa  ditulis dalam  sebutan  moment  kondisional  order  pertama  dan  kedua  pada  perubahan  harga  disekitar kondisional: 1 ( , ). t t a p
VaR a     
Sensitivitas VaR bisa  diuji secara langsung  untuk perubahan  harga berdistribusi normal.
Misalkan  kita  tandai  dengan , t t   masing-masing  sebagai  rata-rata  dan  variansi  kondisional pada 1 t p   .  VaR adalah diberikan oleh:
1 2 1 ( , ) (1 )( ) .
t t t
VaR a a a a            
Sebagai contoh, kita dapatkan:
    1 1 2 1 1 ( , ) (1 ) ( , ) ( , ) . t t t t t t t t t t t t VaR a a a a a a VaR a a a a
E p a p
VaR a
 
 
        
             
         (12)
Bentuk  formula  tertutup  pada  sensitivitas  VaR  adalah  digunakan  untuk  adjustment  granulasi pada kredit portofolio yang besar (Wilde, 2001).

## d. Standart Error Estimasi
Kernel  K 1 dapat  menjadi  persamaan  kernel  dengan  pemilihan  bandwidth b yang  secara obyektif sebagai fungsi meminimalkan b adalah:
  2 1
ˆ ( ) ( ) ( ) j b j nj j T R b q m m n       (13)
Didefinsikan dengan pembobot     nj n q I j K   , dimana k n adalah integer tergantung pada n . Jika  nilai  kn  =  [0,05n],  yang  berarti  hanya  10%  periodogram  tertutup  untuk  nilai  frekuensi  nol. Secara alami, ketertarikan untuk estimasi hanya φ(0).   Sekali lagi estimasi I n (0) oleh pemilihan j Є T ,  sebagai I n (0) termasuk asimptotik berbeda. Diferensiasi ditunjukkan dalam estimasi unbias R(b) adalah:
  2 2 1 4 (0) ˆ ( ) ( ) 1
6 nj j b j nj J T j T K r b q W m q n nb     
            (14)
Penolakan istilah tanpa melibatkan b , fungsi obyek dibutuhkan untuk meminimalisasi maka:
  3 2
1 2 (0) ˆ ( ) 3 j j b j j j T j T K q W m q n nb    
    (15)
Dalam estimasi pada ( ), p f v secara sederhana kita pilih: ˆ ˆ ˆ , , 0,05
ˆ ˆ ( ) ( ) p ph v f v v     ,                                     (16)
Yang diperoleh pada pemilihan bandwith- h seperti yang dijelaskan sebelumnya.

## e. Implementasi VaR
Pada  sub  bagian  ini  akan  dibahas  tentang  perhitungan  VaR  dan  sensitivitas  VaR return asse t portofolio terhadap saham ASII dan TKLM dari data Simulasi.
Misalkan keuntungan  dari dua aset dalam portofolio adalah R1 untuk saham  ASII dan R2 untuk  saham  TKLM.  Juga,  asumsikan  bobot  dari  dua  aset  dalam  portofolio  adalah  w1  dan  w2. Perhatikan bahwa jumlah bobot dari aset dalam portofolio harus 1. Pengembalian  dari portofolio
hanya  akan  menjadi  rata-rata  tertimbang  dari  pengembalian  dari  dua  aset,  seperti  yang ditunjukkan di bawah ini:
Rp = w 1 R 1 + w 2 R 2 Keuntungan Diharapkan untuk Portofolio Aset Dua adalah tingkat pengembalian diharapkan dari portofolio  adalah  sama  dengan  rata-rata  tertimbang  dari  pengembalian  aset  individu  dalam portofolio.
R p = w 1 R 1 + w 2 R 2 , dimana: R p =  return ekspektasi  portofolio w 1 = proporsisi portofolio investasi asset 1 R 1 = return ekspektasi asset 1 w 2 = proporsisi porotfolio investasi asset 2 R 2 = return ekspektasi asset 2
Berdasarkan  perkembangan  harga  saham  portofolio  dari  dua  asset  yang  telah  diinvestasikan selama 252 hari tahun 2012 seperti terlihat pada gambar berikut:
Gambar 2. Perkembangan Harga Saham Portofolio dari ASII dan TKLM
Pada  gambar  2  di  atas  terlihat  bahwa  ada  kecenderungan  penurunan  harga  baik  yang ditunjukkan oleh ASII dan TKLM selama 252 hari perdagangan saham berlangsung.
Berdasarkan  tampilan  dari  return  portofolio  pada  gambar  3  selanjutnya  dilakukan pengukuran  Value  at  Risk  (VaR)  terhadap  data  return  portofolio  harga  sama  ASII  dan  TKLM selama  252  hari  perdagangan.    Ada  dua  metode  yang  digunakan  untuk  mengukur  VaR,  yaitu metode Simulasi Historikal dan metode Simulasi Historikal dengan pendekatan Kernel Gaussian order tinggi.

## 1) VaR dengan Simulasi Historikal dengan Pendekatan Kernel Gaussian
Perhitungan VaR dengan metode ini dimulai dengan rumusan VaR = E[R p ] – R p (c) dari persamaan 5 , yaitu:
Dimana VaR (1 – α) adalah  estimasi VaR pada tingkat confiden 100 x (1 - α)%, (R)   adalah nilai rata-rata series pada return simulasi atau P&L portofolio dan R α adalah return terburuk series simulasi  P&Ls  portofolio,  dengan  kata  lain  return  series  simulasi  P&L  yang  berkorespondensi dengan tingkat α signifikansi.
Perhitungan  VaR  portofolio  dengan  pendekatan  Kernel  Gaussian  bersadarkan  bentuk aplikasi metode VaR dengan menggunakan estimator kernel seperti terlihat pada persamaan 11 , perhitungan VaR dengan pendekatan kernel sebagai:
  2 1 ˆ , 1 ˆ ( , ) arg min T t t z VaR a VaR a T h  
          
        
 

## 
Berdasarkan  fungsi  kernel  untuk  perhitungan  VaR  pada  persamaa  11.  dan  persamaan  2  di  atas maka  perhitungan  VaR  dengan  metode  Simulasi  Historikal  dan  pendekatan  Kernel  Gaussian terlihat pada table 1.
Tabal 1. Hasil perhitungan VaR Return asset Portofolio
Berdasarkan  hasil  VaR  pada  tabel  di  atas  terlihat  bahwa  nilai  VaR  dengan  metode  Simulasi Historikal  cenderung  lebih  rendah  dibandingkan  dengan  metode  pendekatan  Kernel  Gaussian.
Untuk  melihat  sifat-sifat  statistik  dari  perhitungan  VaR  didapatkan  nilai  rata-rata  dan standar deviasi seperti ditunjukka table berikut:
No.  VaR Portofolio Tail Probability 99% 95% 90% 85% 1. Simulasi Historikal 43.958,57  33.874,13  22.655,22  15.669,50 Persentase 4,396% 3,387% 2,266% 1,567% 2. Pendekatan Kernel Gaussian 44.061,78  33,977,34  22.702,55  15.772,71 Persentase 4,406% 3,398% 2,270% 1,577%
Volume 7 no. 2 Oktober 2014                                          SAINTEKBU: Jurnl Sains dan Teknologi
Tabel 2. Nilai rata-rata dan Standar Deviasi Portofolio
Pada tabel 2 terlihat bahwa dengan pendekatan kernel portofolio return asset  memberikan angka yang lebih rendah  pada nilai standat deviasi dan variansi, baik untuk asset ASII maupun TKLM.
Hubungan  antara  metode  perhitungan  VaR  dengan  Simulasi  Historikal  dan  Pendekatan Kernel Gaussin jelasnya dapat dilihat pada gambar 4 berikut:
Gambar 4. Perkembangan Harga Saham
Keterangan Gambar: HSASII : Simulasi Historikal untuk saham ASII HSTKLM : Simulasi Historikal untuk saham TKLM KHSASII : Simulasi Historikal pendekatan Kernel Gaussian untuk ASII KHSTKLM : Simulasi Historikal pendekatan Kernel Gaussian untuk YKLM
Pada  gambar  terlihat  bahwa  tampilan  grafik  dengan  pendekatan  kernel  cenderung  lebih  halus dimana sesuai dengan fungsi kernel sebagai penghalus persamaan fungsi.
No. Metode Saham ASII Saham TKLM Nilai rata-rata Standar Deviasi  Varians Nilai rata-rata Standar deviasi Varians 1.  Simulasi Historikal 858,04 17.078,55 130,69 520,25 6.287.58 79,29 2.  Pendekatan Kernel Gaussian 1.129,84 6.772,96 82,30 351,67 2.783,25 52,76
2) VaR dengan Simulasi Historikal dengan Pendekatan Kernel Order Tinggi .
Estimasi VaR  dengan  metode Semulasi Historikal  dengan  pendekatan  kernel sampai pada order 4 terlihat pada tabel 3.
Tabel 3. Estimasi VaR dengan Simulasi Historikal dengan Kernel Order Tinggi
(100%- α) HSK order 4 HSK order 2 HS VaR % VaR % VaR % 99% 45.037  4,504  44.061  4,406  43,958  4,396 95% 34.953  3,495  33.967  3,397  33.874  3,387 90% 23.678  2,368  22.702  2,270  22.655  2,266 85% 16.748  1,675  15.772  1,577  15.669  1,567
Keterangan:
HSK  : Simulasi Historikal pendekatan Kernel
HS : Simulasi Historikal
Pada  tabel  3  terlihat  bahwa  nilai  estimasi  VaR  semakin  meningkat  dengan  meningkatnya  order estimasi  kernel.  Pola  hubungan  estimasi  VaR  metode  Simulasi  Historikal  dengan  pendekatan kernel order tinggi terlihat pada gambar sorted P&L sebagai berikut:
Gambar 5. Sorted P&L estimasi VaR
Keterangan gambar: HSK4 : metode Simulasi Historikal pendekatan Kernel order 4 HSK2 : metode Simulasi Historikal pendekatan Kernel order 2 HS      : metode Simulasi Historikal
Hasil  analisis  deskriptif  estimasi  harga  saham  dengan  metode  Simulasi  Historikal  dengan pendekatan Kernel order Tinggi pada tabel 4.
Volume 7 no. 2 Oktober 2014                                          SAINTEKBU: Jurnl Sains dan Teknologi
Tabel 4. Hasil Analisis Deskriptif Harga Saham ASII TKLM HS HSK2 HSK4 HS HSK2 HSK4 Mean 948,05 946,77 944,72 1310,20  1309,70  1316,60 SE-mean 7,28 6,53 8,07 3,23 2,59 2,65 Standart Deviasi 115,57 103,68 128,09 51,30 41,10 42,00 Variansi 13356,01  10748,96  16407,24  2635,60  1690,00  1766,70 Co-var 12,19 10,95 13,56 3,92 3,14 3,19 Skewness - 0,20 0,06 - 0,76 0,81 1,06 0,80 Kurtosis - 0,96 - 1,53 - 0,10 - 0,40 - 0,36 - 0,70
Hasil analisis pada tabel 4 menunjukkan bahwa nilai skewness berkisar antara 0,06 dan 1,06 yang berarti mendekati nilai nol sebagai bentuk distribusi data simetris.  Sedangkan untuk nilai kurtosis berada  dikisaran  -0,10  sampai  dengan  nilai  -1,53  yang  berarti  data  cenderung  berada  dalam cakupan distribusi normal karena nilai kurtosisnya kurang dari 3.

## 2. Estimasi dan Sensitivitas VaR
Estimator kernel untuk mengukur VaR dan sensitivitasnya pada tiap-tiap factor.  Prosedur empiris  akan  dipertimbangkan  sama  seperti  pemilihan  metode  Delta-Normal.    Proses  metode tersebut adalah:

## a.  Langkah Pertama. Estimasi PDF dan  CDF Return Portofolio
Estimator  kernel  digunakan  untuk  menghitung  fungsi  padat  peluang  (PDF)  return  pada portofolio liquilitas.
Sebut saja estimator kernel seperti yang ada pada persamaan 4.6 sebagai berikut:
1 1 ˆ ( ) n i h i x x f x K hn h      
    1 2 2 ( ) (2 ) exp 2 u
K u          
Dimana K ( u )  adalah fungsi kernel Gaussian.
Dalam  kasus  ini  kita  estimasi  PDF  Return  portofolio,  yang  berada  pada  wilayah  data
  ,    , sehingga dirancang kernel Gaussian untuk pendekatan pada tipe data ini.  Estimator kernel  sangat  sensitive  pada  nilai  parameter  bandwidth  h,  sehingga  aturan  pemilihan  digunakan “ Rule of Thumb ”.
Perbandingan  nil  ai  kurtosis  dan  skewness  distribusi  normal  dan  nilai  return  portofolio terlihat pada tabel 5.
Tabel 5. Perbandingan Nilai Kurtosis dan Skewness Distribusi Normal Portofolio Skewness 0,0000 - 0,0375 Kurtosis 3,0000 1,4840
Berdasarkan  tabel  5  di  atas  terlihat  bahwa  portofolio  tidak  berdistribusi  normal,  sehingga pengukuran VaR tidak  melibatkan  kekhususan  distribusi return portofolio  yang bisa  ditunjukkan untuk estimasi unbias.

## b. Langkah Kedua. Estimasi VaR dan  Sensitivitasnya
Pada  perhitungan  VaR  yang  menggunakan  Fungsi  Densitas  Kernel,  penyelesaian  terhadap nilai VaR dengan meminimalisir persamaan berikut:
1
ˆ ( , ) 1 T t t z VaR a T h              2 1 ˆ ( , ) 1 ˆ ( , ) arg min T t t z VaR a VaR a T h           
     
    

Sehingga didapatkan nilai seperti terlihat pada tabel 4.6.
Tabel 6. Nilai Kurtosis, Skewness dan VaR Skewness - 0,0375 Kurtosis 1,484 VaR 99% 4,396
Langkah  berikutnya  menghitung  sensitivitas  VaR  untuk  tiap-tiap  faktor  resiko,  sesuai  dengan persamaan berikut:
1 1 ˆ ( , ) 1 ( ) ( , ) ˆ ( , ) 1 T t t t T t t w R VaR w R K Th h VaR w w w R VaR w
K Th h                             
Tabel 7. Nilai VaR untuk estimasi Simulasi Historikal dan Pendekatan Kernel
Portofolio VaR HS HSK ASII 0,012 0,038 TKLM 0,042 0,075
Pada  asumsi  99%  untuk  tingkat  kepercayaan  dan  waktu  horizon  satu  tahun,  VaR  pada  4,396% berarti  satu  tahun  dalam  252  hari  harapan  resiko  sebesar  11  hari  pada  pergerakan  pasar.  Untuk resiko  dekomposisi  teramati  kontribusi  yang  cukup  besar  bahwa  ASII  memberikan  kontribusi kerugian  sebesar  1,2%  untuk  metode  Simulasi  Historikal  dan  3,8%  untuk  metode  Simulasi Historikal  dengan  pendekatan  Kernel.    Begitu  juga  untuk  TKLM  yang  memberikan  kontribusi kerugian  sebesar  4,2  %  untuk  metode  Simulasi  Historikal  dan  7,5  %  untuk  metode  Simulasi Historikal pendekatan Kernel.

## 5. KESIMPULAN
Konsep  manajemen  resiko  terhadap  pengukuran  VaR  Portofolio  menggunakan  metode estimasi  Simulasi  Historikal  dengan  pendekatan  Kernel  Order  Tinggi  dari  penelitian  yang  telah dilakukan diperoleh hasil sebagai berikut:
a. Hasil  kajian  estimator  Gaussian  Order  Tinggi  untuk  mengukur  VaR  dan  Sensitivitas  VaR berdasarkan  estimasi  fungsi  PDF  dan  CDF  diperoleh  fungsi  Kernel  Gaussian  dalam  ukuran VaR dalam bentuk persamaan:
  2
1 ˆ , 1 ˆ ( , ) arg min T t t z VaR a VaR a
T h                         
Dan sensitivitas VaR dengan bentuk persamaannya:
1 1 ˆ ( , ) 1 ( ) ( , ) ˆ ( , ) 1 T t t t T t t w R VaR w R K Th h VaR w w w R VaR w K Th h                 
          

## 
b. Hasil  pengujian  data  keuangan  Return  Portofolio  saham  ASII  dan  TKLM  dengan  metode kombinasi  pengukuran  VaR  Portofolio  pendekatan  Kernel  order  tinggi  dan  Simulasi Historikal dilakukan tiga tahapan dengan hasil sebagai berikut:
1) Nilai  estimasi  VaR  Return  Portofolio  dengan  metode  estimasi  kombinasi  Simulasi Historikal  dan  kernel  order  tinggi  semakin  meningkat  dengan  meningkatnya  order estimasi  kernel  dan  cenderung  lebih  besar  dibandingkan  dengan  metode  estimasi Simulasi Historikal.
2) Berdasarkan  sifat-sifat  statistik  menunjukan  bahwa  nilai  kesimetrisan  (Skewness) distribusi  data  secara  umum  didapatkan  nilai  mendekati  nol  yaitu  antara  nilai  0,06  dan 1,06,  yang  berarti  distribusi  data  return  portofolio  mendekati  bentuk  distribusi  yang simetris.  Sedang  nilai  kemiringan  (kurtosis)  menunjukkan  nilai  paling  tinggi  sebesar - 1,53, yang berarti nilai distribusi data return portofolio berada didalam cakupan distribusi normal dimana untuk distribusi normal nilai kurtosisnya adalah 3.
3) Hasil uji sensitivitas VaR data  return portofolio  menunjukkan bahwa asumsi 99%  untuk tingkat kepercayaan dan  waktu horizon satu tahun, VaR pada 4,396%  berarti satu tahun dalam 252 hari harapan resiko sebesar 11 hari pada pergerakan pasar.

## 6. REFERENSI
Abdurrakhman  (2007),  Buku  Ajar  Pengantar  Statistika  Keuangan,  Universitas  Gajah  Mada, Yogyakarta.
Agarwal  and  K.  Nataraj  (2010).  Improvising  Portfolio  Value  at  Risk  Using  Filtered  Historical Simulation. Greater Noida, India: Birla Isntitute of Management Technologi (BIMTECH).
Artzner, P. Delbaen, F., Eber, J. M. and Heath, D. (1977). Thinking Coherently. Risk, 10 , 68-71.
Best, Philip, (1998). Implementing Value at Risk, John Wiley & Sons Ltd, England.
Bosq,  D.  (1998).  Nonparametric  Statistics  for  Stochastic  Processes,  Lecture  Note  in  Statistics, vol. 110.  Heidellberg: Springer-Verlag.
Breadley, B. O. and Taqqu, M. S., (2001), Financial Risk and Heavy Tails, Svectlor T., Rachev, editor, North Holland. 63 p.
Butler, Cormac, (1999). Mastering Value at Risk, Pearson Education Limited, Great Britain.
Butler,  JS.,  and  B.  Schacter,  (1996).  Improving  Value-at-Risk  Estimates  by  Combining  Kernel Estimation  with  Historical  Simulation,  Office  of  the  Comptroller  of  the  Currency,
Economic & Policy Analysis, Working Paper 96-1.
Butler,  JS.,  and  B.  Schacter,  (1998).  Estimating  Value  at  Risk  with  a  Precission  Measure  by Combining  Kernel  Estimating  with  Historical  Simulation,  forthcoming,  Review  of Derivatives Research.
Cai,  Z-W.,  and  G.  G.  Roussas.  (1998).    “Efficient  Estimation  of  a  Distribution  Function  Under Quadrant Dependence”. Scandinavian Journal of Statistics 25, 211-224.
Chen, S. X. and Cheng Y. T., (2005). “Nonparamteric Inference of Value-at-Risk for Dependent Financial returns”.  Journal of Financial Econometrics, vol. 3 (2), 227-255.
Darmawi. 2004. Manajemen Risiko. Cetakan Kedelapan. Bumi Aksara, Jakarta.
Davidson,  R.  and  MacKinnon,  J.  (2004).  Econometric  Theory  and  Method.  New  York,  Oxford University Press.
Djohanputro. 2006. Manajemen Risiko Korporat Terintegrasi. Cetakan kedua. PPM,Jakarta.
Gourieroux,  C.,  Laurent,  J.P.,  and  Scaillet,  O.,  (2001).  Sensitivity  Analysis  of  Values  at  Risk.
Journal of Empirical Finance, Vol. 7(3-4), 225-245.
Hardle,  W.    (1991),  Applied  Nonparametric  Regression,    Cambridge  University  Press,
Cambridge.
Husnan,  S.,  (1994).  Dasar-dasar  Teori  Portofolio  dan  Analisis  Sekuritas,  Edisi  Kedua,  Unit Penerbit dan Percetakan AMP YKPN, Yogyakarta.
Jogiyanto, P., (2003), Teori Portofolio dan Analisis Investasi, edisi 3, BPFE, Yogyakarta.
Jorion, Phillipe, (2002). Value at Risk: The New Benchmark  for  Managing  Financial Risk, The McGraw-Hill Companies, Inc,.
Kountur. 2004. Manajemen Risiko Operasional. PPM, Jakarta.
Markowitz, H., (1952). ”Portfolio Selection,” Journal of Finance, 7 (1):  77-91.
Murphy,  K.  M.,  and  Welch,  F.,  (1990),  Empirical  Age-Earning  Profiles,  Journal  of Labour Economic 8 (2), 202-229
Racine,  J.  (1998),    Bias-Corrected  Kernel  Regression,  Department  of  Economics,  University  of South Florida, Tampa, FL., USA 33620.
RiskMetrcs Group. (1999). Risk Management: Practical Guide. Fisrt Edition, RiskMetrics Group.
Ross, S. A., (1976), The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing, Journal of Economic Theory,
13 : 341 – 360
Ruppert, D., Statistic and Finance an Introduction, Springer, New York, 2004
Sartono,  R.  A.,  (2006),    Var  Portfolio  Optimal:  Perbandingan  Antara  Metode    Markowitz  Dan Mean Absolute Deviation, Jurnal Siasat Bisnis, 11 (1) : 37 – 50
Situngkir, Hokky,  (2006), Value at Risk yang Memperhatikan Sifat Statistika Distribusi  Return, Munich Personal RePEc Archive (MPRA) Paper,  895: 1- 10
Sofyan. 2005. Manajemen Risiko. Edisi Pertama. Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta.
Stambaugh, F., (1996). ”Risk and value at risk,” European Management Journal. 14 : 612-621.
Tsay, R. S., (2005), Analysis of Finance Time Series, second edition, John Willey and Son, New York.
Vargas, D. D, and Coria, D. E. Z.,(2003).  Non-Parametric  Method: An  Application  for the  Risk Measurement. 3er Encuentro de Economistas de Bolivia.
Wilde, T. (2001). Probing Granularity, Risk Magazine, 14, 103-106.
Yokoyama,  R.  (1980).  “Moment  Bounds  for  Stationary  Mixing  Squences”.  Probability  Theory dan Related Fields 52, 45-87.
Zulfikar,  (2005),  Komponen  Bias,  Variansi  dan  MSE  Estimator  Kernel  dalam  Regresi Nonparametrik, Tesis, Program Studi Statistika ITS, Surabaya, 66 hal.
Zulfikar,  (2010),  Kernel  Order  Tinggi  untuk  Estimasi  Value  at  Risk  (VaR)  Manajemen  Resiko Tenaga  Kerja,  Proseding  Seminar  Nasional  Manajemen  Teknologi  XII,  MMT  ITS, Surabaya. Hal ; C .1 – 6.
ISSN : 1979-7141 65