## Permodelan Kurva Ban Berparameter Mekanik Menggunakan Fungsi Bezier
M. SABRI
Departemen Teknik Mesin, Fakultas Teknik, Universitas Sumatera Utara Jln.Almamater Kampus USU Padang Bulan Medan

## ABSTRAK
Kajian  ini  menguraikan  model  kurva  ganda  yang  membangun  selongsong  untuk  analisis getaran  bebas  ban  radial.  Model  dibentuk  berdasarkan  teori  selongsong  dengan  deformasi geser  turunan  tinggi.  Geometri  ban  dan  medan  gerak  perubahan  bentuknya  diwujudkan berdasarkan  kaedah  polynomial  Bezier  dalam  koordinat  kurva  linier  orthogonal,  dan  kaedah Ritz  digunakan  untuk  menghitung  frekuensi  natural  ragam  perubahan  bentuk  ban.  Hasilnya menunjukkan  bahwa  kaedah  ini  memberikan  perubahan  bentuk  yang  lebih  tepat,  terkumpul lebih  cepat  dan  tidak  memerlukan  waktu  eksekusi  lama  dibanding  dengan  metode  elemen hingga tegangan geser benda solid turunan pertama. Kaedah ini menunjukkan juga jejak akibat dari  beberapa  parameter  fisik  seperti  tekanan  angin  ban,  massa  tapak  terhadap  frekuensi natural ban.
Kata kunci: Getaran bebas, ban, Polinomial Bezier.

## PENDAHULUAN
Analisis  prilaku  getaran  ban  dilalui dengan  kesulitan  yang  unik  berkaitan dengan  kompleksitas  mekanika  dari komposit  karet  –  tekstil,  kontur  ban yang  komplek  dan  deformasinya  yang besar. Hal ini akan meningkatkan waktu dan  biaya  komputasi.  Ketika  ini  model cincin  sederhana  masih  digunakan sebagai alat untuk memprediksi respon ban (Danielson, 1995). Model selongsong dua dimensi sudah diterapkan dengan sukses untuk menganalisis  deformasi  dan  geometri ban sehingga menambah baik ketepatan  dan  efisiensi  komputasi. Akan  tetapi  masih  ada  celah  akurasi dan efisiensi model mekanik yang perlu dilakukan  untuk  mengurangi  siklus design.  Hal  ini  sudah  mulai  disadari oleh fihak industry pembuat ban (Noor, 2005).
Di tahun tahun terakhir, para peneliti sudah  mengusulkan  fungsi  Bezier untuk menampilkan medan gerak
defleksi dari kurva ganda yang membentuk selongsong dalam koordinat kurva linier orthogonal.
Polinomial  kwintet  Bezier  digunakan untuk menganalisis getaran selongsong silindris yang tidak sirkular berdasarkan
pada  kaedah  Ritz.  Didapati  behwa polynomial Bezier memgumpulkan jauh lebih  cepat  dan  menggunakan  waktu komputasi  lebih  singkat  disbanding metode  strip  tehingga  konvensional. Metode ini dikembangkan pada getaran bebas  panel  fiber  kurva  ganda  yang dikuatkan  termasuk  teori  deformasi geser  turunan  tinggi  serta  analisis akibat  dari  inersia  putarannya.  Jia (2005)  dan  sejawatnya  mengusulkan metode Rayleigh-Ritz berdasarkan pada  penggunaan  polynomial  Bezier untuk  menganalisa  respon  static  dari ban  pneumatic,  dan  mengembangkan model  semi  analitik  untuk  menghitung tegangan serta deformasi ban dialamatkan  kepada  tekanan  angina dalam  ban  yang  seragam.  Xu  et  al. (2005) menerapkan metode yang sama untuk meperkirakan  interaksi jalan/ban, seperti bentuk bekas cetak dan distribusi  tegangan  ban  akibat  beban vertical.
Kajian  ini  menguraikan  masalah getaran  bebas  ban.model  selongsong baru  dihadirkan  berdasarkan  pada uraian teori selongsong yang
mendalam dengan deformasi tegangan geser  turunan  tinggi  dalam  koodinat kurva  linier  biasa,  dan  termasuk  efek inersia  putaran  ban.  Geometri  ban  dan
medan gerak defleksi dipaparkan dengan  tambalan  permukaan  Bezier dan  C (1) secara  kontinyu  dipaksakan Antara dua tambalan berdekatan.
Metode  Raleigh-Ritz  digunakan  untuk menghitung  frekuensi natural dan ragam  bentuk  defleksi  ban  pneunatik. Dengan  kaedah  tersebut  dilakukan evaluasi pengaruh beberapa parameter fisik  seperti  ikatan  (constrain)  dan massa  tapak  ban  pada  frekuensi natural.  Dilakukan  juga  studi  jejak karakter  konvergensi  dari  prosedur penyelesaian  ragam  bentuk  defleksi ban.

## KURVA BEZIER
Dr. Pierre Bezier mencipta kurva Bezier pada  awal  1960  sebagai  alat  untuk para  designer  dan  artis  yang  ingin membuat  garis  lekuk  secara  intuitif. Kurva  Bezier  dibuat  menggunakan kontrol polygon
yang dilukis berdasarkan  kontrol  titik  titik  dapat dilihat seperti dalam gambar 1. Kurva Bezier
curve dirancang sedemikian  rupa  sehingga  meniru bentuk  polygon  yang  dikawal,  berjalan melalui titik pertama dan terakhir dalam polygon,  dan  menjadi  tangen  terhadap control polygon di titik akhir.
Persamaan  matematik  untuk  kurva Bezier  serupa  dengan  persamaan untuk pusat massa dari titik massa.

## APROKSIMASI GEOMETRI BAN
Geometri  ban  adalah  sangat  komplek, khususnya  dalam  arah  radial.  Kurva kontur radial bagian dalam dapat dibagi kedalam  n  segmen  dan  untuk  setiap segmen  lakukan  pendekatan  dengan polynomial Bezier. Gambar 2 menunjukkan  geometrid  dan  sistim koordinate  kontur  kurve  bagian  dalam ban.  Lokasi  dari  berbagai  titik  pada kurva  bagian  dalam  dapat  diturunkan dengan memperhatikan rujukan titik B I titik B sepanjang  kurva.  Kurva  kontur bagian  dalam  dapat  diparameterkan dalm bentuk berikut:
( ) s f x 1 = , ( ) s f y 2 = (1)
Gambar  2. Pembagian segment untuk aproksimasi polinomial kontur ban.
Garis keliling kurva yang diperoleh dari persamaan (1) dapat membentuk permukaan kontur bagian dalam sekitar sumbu-x. kemudian dihasilkan permukaan
( ) s f x 1 = (2) ( ) t s f y cos 2 = , (3) ( ) t s f z sin 2 = , (4)
dimana t adalah sudut rotasi. Kemudian vektor  radius  dari  berbagai  titk r r pada permukaan  kontur  bagian  dalam  dapat disampaikan dengan
( ) ( ) ( ) ( ) k t s f j t s f i s f t s r r r r r sin cos , 2 2 1 + + = (5)
Radius  principil  pada  berbagai  titik adalah ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) s f s f s f s f s f s f R 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 ) ( ′′ ′ − ′ ′′ ′ + ′ = (6) dan Gambar 1 Kurva Bezier (  -----   ) dan kontrol poligon dengan titik ( ____ ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1       ′ ′ + = ′ ′′ ′ + ′ = s f s f s f s f s f s f s f s f R (7) Diperoleh 1 s s = η for 1 0 s s ≤ ≤ , (8) ( ) 2 1 s s s − = η for 2 1 1 s s s s + ≤ ≤ , (9) M ( ) n n s s s s s 1 2 1 − − − − − = L η
(10)
untuk n n s s s s s s s L L + + ≤ ≤ + + − 2 1 1 2 1 ,
dimana s 1 ,  s 2 @  adalah  panjang lengkungan  tiap  tambalan  selongsong sepanjang  arah s .  berbagai  titik  pada kurva  bagian  dalam  dapat  didekati dengan variable tidak berdimensi η :
( ) ( ) ( ) ∑ + = = = 1 1 1 n i i i B X f x η η η ,  (11) ( ) ( ) ( ) ∑ + = = = 1 1 2 n i i i B Y f y η η η , (12)
dimana X i , Y i mewakili n + 1 memuncak terhadap  karakteristik  polygon  dan dikenal  sebagai  titik  kontrol. B i ( η ) adalah fungsi Bernstein, yang diuraikan sebagai
( ) ( ) ( ) 1 1 1 , + − + − = i n i n i i n i C B η η η ,(13)
dimana  n  sebagai  turunan  polinomial dan koefisien binomial diuraikan dengan ( ) ( ) i i n n C n i 1 1 1 + − + = + (14)

## CONTOH NUMERIK MODEL BAN
Gambaran  geometri  batas  ban  sangat sesuai  menggunakan  kurva  Bezier. Kurva tertutup Antara geometri ban dan permukaan velag dari model sederhana ini dapat ditunjukkan dalam Gambar 3,
Gambar. 3  Geometri batas Ban-Velag
Gambar. 4 Beban tekanan dalam ban
Ban  masuk  menyentuh  ke  dalam caper velag roda. Velag roda domodelkan  sebagai  benda  kaku  yang tak terhingga. Keadaan sentuhan menguraikan kenyataan dimana deformasi ban dikekang oleh kekakuan velag. Dalam kajian ini, metode kekangan variable menggunakan perlakuan beban dengan kondisi sentuhan  tekanan  bahagian  dalam  yang dipaksakan  pada  ban..  untuk  analisis struktur ban terhadap kepentingan
perlakuan kondisi sentuh dibangun metode  kekangan  variable  asal  dan  baru yang  secara  detail  ditunjukkan  dalam Gambar 4.

## PERBINCANGAN DAN HASIL
Kondisi  simulasi  digolongkan  kedalam dua  kasus:  (1)  ban  tidak  berputar  dan (2) ban tidak berbeban. Kasus pertama menunjukkan keadaan ban tetap dalam kondisi batas bebas yang tidak mengikat.  Dalam  kasus  kedua,  ban terikat  pada  adaptor,  mensimulasikan ban tepasang pada kenderaan. Gerakan defleksi dalam frekuensi natural  ban  diperoleh  dari  amplitude fungsi respon frekuensi yang mereview aspek kualiti ban.
Gambar  5  Gerak  defleksi  ban  tidak berputar dan tidak berbeban
Simulasi  pertama  pad  Gamber  5, menggambarkan  analisis  statik  dari kondisi ban yang tak berangin. Analisis geometric  non  linier  digunakan  untuk proses  ban  tak  berangin.  Dari  hasil  ini dijadikan  rujukan  sebagai  keadaan seimbang, frekuensi natural dan beragam  bentuk  defleksi  ditentukan untuk  konfigurasi  getaran  linier  ban sebelum mengalami tegangan.
Gambar  6  membandingkan modal frekuensi  untuk  berbagai  model  ban bersama dengan velag. Hasilnya menunjukkan  frekuensi  natural  dari model  yang  lebih  rendah  disbanding frekuensi  natural  model  ban  tanpa velag.
GAMBAR 6  Bentuk gerakan defleksi ban-velag pada frekuensi natural
Hubungan  analitik  yang  diperoleh dari  gerak  defleksi  yang  dialami  ban pada  frekuensi  natural,  ditunjukkan dalam  plot  gambar  7.  Vektor  eigen yang  dialami  struktur  ban  pada  nomor ragam natural menunjukkan ragam pola getaran yang dialami.
Gambar  7    Vektor  eigen  gerak  defleksi ban-Velag.
Kurva  geometri  ban  ini  dapat memberikan  interaksi  dengan  beban yang  diterima  sehingga  mewujudkan kontur gerak defleksi struktur ban.

## KESIMPULAN
Pendekatan numerik yang efisien diuraikan  untuk  memprediksi  frekuensi getaran  ban  radial.  Polynomial  Bezier untuk medan gerakan defleksi diganakan  sebagai  fungsi  uji  coba. Untuk medan gerak defleksi menunjukkan  pendekatan  yang  akurat dan  efektif  untuk  komputasi  getaran ban. Dari penyelesaian numerik, menunjukkan  bahwa  banyak  pengaruh parameter  fisik  terhadap  getaran  ban. Metode ini akan diterapkan selanjutnya untuk  menganalisis  masalah  dinamik ban.

## REFERENSI
Danielson, K.T., Noor, A.K., and Green, J.S. 1995. Computational Strategies  for  Tire  Modeling  and Analysis,  Computers  &  Structures Vol. 61, No 4, pp. 673-693. Jia,  L.,  Xu,  Y.,  Zhang.  J.  2004.  Free vibration analysis of radial pneumatic tires using Bezier functions.  Journal  of  Sound  and Vibration 285, pp. 887-903.
Xu,  Y.  Jia,  L.,  Zhang,  J.,  2005. Modeling  tire/road  contact  using piecewise  Ritz  procedure.  Journal of Terramechanics 42 pp 99-113