## PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL FOKKER-PLANCK DENGAN METODE GARIS

## Siti Muyassaroh
Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: muy.sms@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan  Fokker-Planck  merupakan  persamaan  diferensial  parsial  yang  menggambarkan  fungsi distribusi  partikel  dalam  suatu  sistem  yang  berisi  banyak  partikel  yang  saling  bertumbukan.  Digunakan metode  garis  untuk  menyelesaikan  solusi  numerik  pada  persamaan  Fokker-Planck.  Metode  ini merepresentasikan bentuk  persamaan  diferensial parsial ke dalam bentuk sistem  persamaan  diferensial biasa  yang  ekuivalen  pada  bentuk  persamaan  diferensial  parsialnya.  langkah  pertama  yang  dilakukan untuk  menyelesaikan  persamaan  Fokker-Planck  dengan  metode  garis  yaitu  mengganti  turunan  ruang dengan  metode  beda  hingga  pusat,  sehingga  diperoleh  bentuk  sistem  persamaan  diferensial  biasa. Langkah  kedua  yaitu  menyelesaikan  sistem  persamaan  diferensial  biasa  yang  telah  diperoleh  pada langkah  pertama  dengan  metode  penyelesaian  yang  berlaku  pada  persamaan  diferensial  biasa  yaitu metode  Runga-Kutta.  Hasil  solusi  numerik  dengan  metode  garis  kemudian  dibandingkan  dengan  solusi eksak  menghasilkan  galat  yang  sangat  kecil  atau  mendekati  nol.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa metode garis merupakan metode yang baik untuk menyelesaikan persamaan Fokker-Planck.
Kata kunci : persamaan Fokker-Planck, metode garis, metode Runga-Kutta.

## ABSTRACT
Fokker-Planck  equation  is  partially  differential  equation  that  describe  distribution  function  of particles  on  system  contain  many  particles  that  collide  each  other.  The  method  of  lines  is  used  to  solve numerical  solution  of  Fokker-Planck  equation.  This  method  represents  form  of  partially  differential equation  into  the  form  of  ordinary  differential  equation  that  equivalent  to  the  form  of  its  partially differential equation. The first step to solve Fokker-Planck equation using line method is replacing spatial derivative  with  center  finite  difference,  in  order  to  obtain  system  of  ordinary  differential  equation.  The second  step  is  solving  the  system  of    ordinary  differential  equation  that  have  been  obtained  in  the  first step using the method of lines using the solving method that used at ordinary differential equation, that is Runga-Kutta  method  of  fourth  order.  Then    numerical  solution  obtained  by  using  the  method  of  lines  is compared to the exact solution   and produce  error that very  small or tend to zero. Therefore,  it can  be concluded that the method of lines is good method for solving Fokker-Planck equation.
Keywords: Fokker-Planck equation, Line method, Runge-Kutta method.

## PENDAHULUAN
Persamaan  Fokker-Planck  merupakan persamaan yang menggambarkan fungsi distribusi partikel dalam suatu sistem yang berisi banyak  partikel  yang  saling  bertumbukan. Persamaan  ini  berisi  komponen  difusi  partikel dan  interaksi  antar  partikel  (Palupi,  2010). Bentuk umum persamaan Fokker-Planck adalah:
𝑣 𝑡 (𝑥, 𝑡) = −𝐴𝑣 𝑥 (𝑥, 𝑡) + 1 2 𝐵𝑣 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) (1)
dengan 𝑣 merupakan fungsi distribusi partikel, 𝐴 disebut sebagai koefisien apung ( drift coefficient ) dan 𝐵 disebut sebagai koefisien diffusi (Zauderer, 2006).  Persamaan  Fokker-Planck  termasuk persamaan diferensial parsial karena
mengandung  turunan  parsial,  yaitu  turunan dengan dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 .
Salah  satu  metode  untuk  menyelesaikan persamaan  diferensial  parsial  adalah  dengan metode  garis  ( method  of  lines ).  Metode  garis merupakan  metode  beda  hingga  khusus  yang menghasilkan  solusi  numerik  yang  mendekati solusi  sebenarnya.  Ide  dasar  metode  ini  yaitu mengubah  bentuk  persamaan  diferensial  parsial ke dalam bentuk persamaan diferensial biasa.
Metode  garis  telah  banyak  diterapkan pada beberapa permasalahan persamaan diferensial parsial. Beberapa penelitian terdahulu yang  membahas  metode  garis  antara  lain  yaitu membahas solusi numerik persamaan Korteweg- de  Vries  dengan  metode  garis  (Ozdes  &  Aksan, 2006).  Penelitian  lain  membahas  penerapan
metode garis pada persamaan Laplace (Sadiku & Obiozor, 1997).
Metode garis memiliki beberapa keunggulan  antara  lain  metode  ini  sangat  efisien dalam  perhitungan  karena  menghasilkan  solusi yang  akurat  dengan  sedikit  waktu  yang ditempuh.  Selain  itu  metode  ini  juga  mudah dalam menentukan kestabilannya dengan memisahkan  antara  variabel  ruang    dan  waktu (Sadiku & Obiozor, 1997).

## KAJIAN TEORI

## Persamaan Diferensial Parsial Fokker-Planck
Persamaan
Fokker-Planck merupakan persamaan yang menggambarkan fungsi distribusi partikel dalam suatu sistem yang berisi banyak  partikel  yang  saling  bertumbukan (Palupi,  2010).  Persamaan  ini  pertama  kali dikenalkan  oleh  Fokker  dan  Planck.  Beberapa penerapan  persamaan  Fokker-Planck  antara  lain pada  gerakan  tidak  menentu  partikel  kecil  yang direndam dalam suatu cairan, fluktuasi intensitas sinar  laser,  dan  distribusi  kecepatan  partikel cairan  dalam  aliran  turbulen.  Secara  umum persamaan  Fokker-Planck  dapat  diaplikasikan pada sistem keseimbangan maupun ketakseimbangan (Frank, 2004).
Awal  terbentuknya  persamaan  nonlinier Fokker-Planck  merupakan  akibat  terjadinya tumbukan  antara  partikel,  sehingga  mengalami perubahan  arah  gerak  secara  acak  ( Brownian Motion ).  Partikel  yang  disebut  sebagai  partikel Brownian  tersebut  mengalami  proses  diffusi. Gerakan  partikel  bersifat  acak  dan  gerakan partikel  tidak  dipengaruhi  oleh  gerakan  partikel sebelumnya (Palupi, 2010).
Persamaan Fokker-Planck termasuk persamaan  diferensial  parsial  (PDP)  karena persamaan  ini  menggambarkan  laju  perubahan terhadap  dua  variabel  bebas  yaitu  waktu  dan jarak  (ruang).  Jika  dilihat  dari  persamaan  (1), maka  persamaan  Fokker-Planck  merupakan  PDP orde satu terhadap variabel bebas 𝑡 dan orde dua terhadap  variabel  bebas 𝑥 .  Persamaan  Fokker- Planck merupakan PDP tipe parabolik.

## Metode Beda Hingga Persamaan Fokker-
Planck
Untuk  persamaan  Fokker-Planck  yang mengandung  variabel x dan t ,  perkiraan  beda hingga  dilakukan  dengan  membuat  jaringan  titik hitungan  pada  bidang x - t yang  dibagi  dalam sejumlah  pias  dengan  interval  ruang  dan  waktu adalah  Δ x dan  Δ t .  Turunan  parsial  pada  setiap titik grid didekati dari nilai-nilai tetangga dengan menggunakan  deret  Taylor.  Berikut  merupakan
turunan  pertama  dan  kedua  variabel 𝑥 dengan metode beda hingga pusat:
𝑣 𝑥 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) ≈ 𝑣 𝑖+1 𝑛 − 𝑣 𝑖 𝑛 ∆𝑥 (2)
𝑣 𝑥𝑥 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) ≈ 𝑣 𝑖+1 𝑛 − 2𝑣 𝑖 𝑛 + 𝑣 𝑖−1 𝑛 ∆𝑥 2 (3)
Sedangkan  untuk  turunan  pada  variabel 𝑡 dilakukan dengan cara yang sama seperti di atas.

## Metode Garis
Metode  garis  merupakan  salah  satu  dari metode  numerik  yang  paling  efisien  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  parsial. Metode  ini  banyak  diaplikasikan  pada  beberapa masalah  di  bidang  fisika teori . Metode  garis pertama  kali  dikenalkan  oleh  matematikawan asal  Jerman  bernama  Erich  Rothe  pada  tahun 1930 (Pregla, 2008).
Ide dasar metode garis adalah mengganti turunan  ruang  (nilai  batas)  pada  persamaan diferensial  parsial  dengan  pendekatan  aljabar. Setelah  ini  dilakukan,  turunan  ruang  tidak  lagi dinyatakan secara eksplisit dalam variabel bebas ruang. Dengan demikian, hanya ada variabel nilai awal  saja  artinya  dengan  adanya  satu  variabel bebas  yang  tersisa  maka  diperoleh  sistem persamaan diferensial biasa (PDB) yang mendekati  persamaan  diferensial  parsial  yang asli.  Kemudian  selanjutnya  adalah  merumuskan pendekatan  sistem  persamaan  diferensial  biasa. Setelah  ini  dilakukan  maka  bisa  diterapkan beberapa pendekatan untuk nilai awal persamaan  diferensial  biasa  guna  menghitung solusi numerik dari persamaan diferensial parsial (Hamdi, Schiesser, & Griffiths, 2009).

## Metode Runga-Kutta
Penyelesaian  PDB  dengan  metode  deret Taylor  tidak  praktis,  karena  metode  tersebut membutuhkan  perhitungan  turunan 𝑓(𝑥, 𝑦) . Disamping  itu,  tidak  semua  fungsi  mudah dihitung  turunannya,  terutama  bagi  fungsi  yang bentuknya rumit. Oleh karena itu metode Runga- Kutta  merupakan  alternatif  dari  metode  deret Taylor  yang  memberikan  ketelitian  hasil  yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan fungsi (Triatmodjo, 2002).
Bentuk umum metode Runga-Kutta:
𝑣 𝑟+1 = 𝑣 𝑟 + ℎ𝜃(𝑥 𝑟 , 𝑣 𝑟 , ℎ) (4)
dengan 𝜃(𝑥 𝑟 , 𝑦 𝑟 , ℎ) adalah  fungsi  pertambahan yang menggambarkan kemiringan pada interval.
Ada  beberapa  tipe  metode  Runga-Kutta yaitu  metode  Runga-Kutta  orde  satu,  dua,  tiga dan  empat.  Metode  Runga-Kutta  orde  empat banyak  digunakan  karena  mempunyai  ketelitian
yang  lebih  tinggi  (Chapra  &  Canale,  2002). Berikut  merupakan  bentuk  metode  Runga-Kutta orde empat:
𝑣 𝑟+1 =   𝑣 𝑟 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ (5)
dengan: 𝑘 1 = 𝑓(𝑥 𝑟 , 𝑣 𝑟 ) 𝑘 2 = 𝑓 (𝑥 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑣 𝑟 + 1 2 𝑘 1 ) 𝑘 3 = 𝑓 (𝑥 𝑟 + 1 2 ℎ, 𝑣 𝑟 + 1 2 𝑘 2 ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑥 𝑟 + ℎ, 𝑣 𝑟 + 𝑘 3 )

## PEMBAHASAN

## 1. Penerapan Metode Garis pada Penyelesaian Persamaan Fokker-Planck
Ide  dasar  metode  garis  terdiri  dari  dua langkah,  pertama  mengganti  turunan  ruang dengan  menggunakan  metode  beda  hingga sehingga  diperoleh sistem  persamaan diferensial biasa. Kemudian menyelesaikan
sistem persamaan diferensial biasa yang sudah diperoleh dengan menggunakan metode penyelesaian  pada  persamaan  diferensial  biasa, seperti  metode  Euler,  metode  Runga-Kutta  dan lain-lain.  Metode  ini  dinamakan  metode  garis karena solusi ditentukan pada setiap garis 𝑥 = 𝑥 𝑖 dimana  daerah  solusi  dibagi  menjadi  beberapa garis  lurus  yang  sejajar  dengan  sumbu- 𝑦 pada batas tertentu (Sadiku & Obiozor, 1997).
Berikut  merupakan  model  persamaan yang akan diselesaikan dengan metode garis:
𝑣 𝑡 − 𝑥𝑒 3𝑡 𝑣 𝑥𝑥 − 𝑣 𝑥 = 2𝑥𝑒 2𝑡 − 𝑒 2𝑡 (6)
Dengan nilai awal yang diberikan yaitu 𝑣(𝑥, 0) = 𝑥 ,  untuk 𝑥 ∈ (0,1) dan  nilai  batas 𝑣(0, 𝑡) = 0, 𝑣(1, 𝑡) = 𝑒 2𝑡 . Daerah solusi dibatasi pada 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 (Hussain & Alwan, 2013).
Langkah  pertama  yang  harus  dilakukan pada  metode  garis  adalah  mengganti  turunan ruang pada persamaan diferensial parsial dengan menggunakan  metode  beda  hingga  pusat. Transformasi beda pusat untuk turunan pertama dan kedua variabel ruang:
𝑣 𝑥 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛
) ≈ 𝑣 𝑖+1
𝑛 − 𝑣 𝑖 𝑛 ∆𝑥 (7) 𝑣 𝑥𝑥 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛
) ≈ 𝑣 𝑖+1
𝑛 − 2𝑣 𝑖 𝑛 + 𝑣 𝑖−1 𝑛 ∆𝑥 2 (8)
subtitusi  pada  persamaan  (6)  sehingga  akan diperoleh bentuk berikut:
𝜕𝑣 𝜕𝑡 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) = 𝑥 𝑖 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣𝑖+1 𝑛 −2𝑣 𝑖
𝑛+𝑣 𝑖−1 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣𝑖+1 𝑛 −𝑣 𝑖−1 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 𝑖 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 (9)
Ketika  turunan  variabel  ruang  sudah diganti dengan beda hingga, maka turunan ruang
tersebut  tidak  lagi  dinyatakan  secara  eksplisit dalam  variabel  bebas  ruang.  Sehingga  tersisa variabel  nilai  awal  saja  yaitu  variabel 𝑡 .  Dengan demikian  karena  tersisa  satu  variabel  bebas  saja maka  diperoleh  sistem  persamaan  diferensial biasa (PDB) yang mendekati PDP aslinya (Hamdi, Schiesser,  &  Griffiths,  2009).  Maka  persamaan diferensial  parsial  di  atas  berubah  menjadi bentuk persamaan diferensial biasa berikut:
𝑑𝑣 𝑑𝑡 (𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) = 𝑥 𝑖 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣𝑖+1 𝑛 −2𝑣 𝑖 𝑛+𝑣 𝑖−1 𝑛 ∆𝑥2 ) +
𝑣𝑖+1 𝑛 −𝑣 𝑖−1 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 𝑖 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 (10)
Jika  dipilih ∆𝑥 = 0,25 maka  daerah  solusi  terdiri dari 𝑥 𝑖 , dengan 𝑖 = 0,1,2,3,4 dan ∆𝑡 = 0,01 atau 𝑛 = 0,1,2, ⋯ ,101 . Sehingga akan diperoleh sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut:
𝑑𝑣0 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑥 0 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣1 𝑛−2𝑣 0 𝑛+𝑣 −1 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣1 𝑛−𝑣 −1 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 0 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 𝑑𝑣1 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑥 1 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣2 𝑛−2𝑣 1 𝑛+𝑣 0 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣2 𝑛−𝑣 0 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 1 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 𝑑𝑣2 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑥 2 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣3 𝑛−2𝑣 2 𝑛+𝑣 1 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣3 𝑛−𝑣 1 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 2 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 𝑑𝑣3 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑥 3 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣4 𝑛−2𝑣 3 𝑛+𝑣 2 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣4 𝑛−𝑣 2 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 3 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛 𝑑𝑣4 𝑛 𝑑𝑡 = 𝑥 4 𝑒 3𝑡𝑛 ( 𝑣5 𝑛−2𝑣 4 𝑛+𝑣 3 𝑛 ∆𝑥2 ) + 𝑣5 𝑛−𝑣 3 𝑛 2∆𝑥 + 2𝑥 4 𝑒 2𝑡𝑛 − 𝑒 2𝑡𝑛
Langkah  kedua  setelah  diperoleh  sistem PDB  adalah  menyelesaikan  PDB  tersebut  dengan metode  Runga-Kutta  orde  empat.  Bentuk  umum metode Runga-Kutta orde empat yaitu sebagaimana pada persamaan (5). Hasil perhitungan  solusi  metode  garis  digambarkan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Solusi Metode Garis Persamaan Fokker-Planck (6)
Iterasi 𝒕 𝒙 𝟎 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟑 𝒙 𝟒 1 0 0 0,25 0,5 0,75 1 2 0,01 0 0,2549 0,5100 0,7651 1,0202 3 0,02 0 0,2600 0,5202 0,7804 1,0408 4 0,03 0 0,2652 0,5306 0,7961 1,0618 5 0,04 0 0,2704 0,5412 0,8121 1,0833 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 101 1 0 1,8091 3,9021 5,1894 7,3891
2. Perbandingan Solusi Analitik dan Solusi
Numerik Metode Garis pada Persamaan Fokker-Planck Solusi eksak (analitik) persamaan Fokker-Planck  (6)  adalah  sebagai  berikut (Hussain & Alwan, 2013):
𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑥𝑒 2𝑡 Bertujuan  untuk  menunjukkan  bahwa solusi  dengan  metode  garis  adalah  mendekati solusi  analitik  maka  keduanya  digambarkan dalam  bentuk  plot.  Solusi  analitik  persamaan Fokker-Planck (6) sebagai berikut:

## Gambar 1. Solusi analitik persamaan Fokker-Planck (6)
Sedangkan  plot  solusi  numerik  dengan  metode garis sebagai berikut:

## Gambar 2. Solusi numerik persamaan Fokker-Planck (6)
Penyelesaian  secara  numerik  hanya menghasilkan  nilai  yang  mendekati  pada  solusi analitiknya. Bertujuan untuk mengetahui besarnya error metode  garis  terhadap  solusi eksaknya,  dapat  dilakukan  dengan  menghitung selisih  antara  nilai  eksak  dan  nilai  pendekatan dengan metode garis. Besarnya error digambarkan pada tabel berikut.
Tabel 2. Perbandingan Solusi Numerik dan Analitik
𝒙 𝒕 Solusi Numerik Solusi Eksak Nilai error
𝒗(𝒙, 𝒕) 𝒗(𝒙, 𝒕) 0,25 0,01 0,2549 0,2551 0,0002 0,25 0,02 0,2600 0,2602 0,0002 0,25 0,03 0,2652 0,2655 0,0003 0,25 0,04 0,2704 0,2708 0,0004 0,25 0,05 0,2758 0,2763 0,0005 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0,75 1 5,1894 5,5418 0,3524
Sedangkan  untuk  mengetahui error pemotongan yang  dihasilkan  oleh  persamaan  Fokker-Planck, dilakukan  diskritisasi  dengan  metode  beda hingga pusat, sehingga terbentuk skema berikut:
𝑣 𝑖 𝑛+1 −𝑣 𝑖 𝑛−1 2∆𝑡 + 𝐴 ( 𝑣 𝑖+1 𝑛 −2𝑣 𝑖 𝑛 +𝑣 𝑖−1 𝑛 ∆𝑥 2 ) − 1 2 𝐵 ( 𝑣 𝑖+1 𝑛 −𝑣 𝑖−1 𝑛 2∆𝑥 ) = 𝑓(𝑥, 𝑡)
(11)
Konsistensi  dapat  dicari  dengan  menggunakan ekspansi  deret  Taylor  pada  masing-masing sukunya. Kemudian suku-suku sejenis dikelompokkan,  sehingga  diperoleh  persamaan berikut:
( 𝑣 𝑡 + 𝐴 𝑣 𝑥 − 𝐵 2 𝑣 𝑥𝑥 ) | 𝑛 𝑖 + 1 6 ∆𝑡 2 𝑣 𝑡𝑡𝑡 | 𝑛 𝑖 + ∆𝑥 2 ( 𝐴 6 𝑣 𝑥𝑥𝑥 − 𝐵 24 𝑣 𝑥𝑥𝑥𝑥 )| 𝑛 𝑖 + 1 120 ∆𝑡 4 𝑣 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 | 𝑛 𝑖 + ∆𝑥 4 ( 𝐴 120 𝑣 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − ⋯ )| 𝑛 𝑖 = 𝑓(𝑥, 𝑡) (12)
Dari  persamaan  (12)  dapat  diketahui  bahwa error pemotongan  yang  dihasilkan  mempunyai orde  dua  yaitu 𝒪(∆𝑡 2 , ∆𝑥 2 ) .  Persamaan  (12) dikatakan konsisten jika
lim (∆𝑡,∆𝑥)→0 1 6 ∆𝑡 2 𝑣 𝑡𝑡𝑡 | 𝑛 𝑖 + ∆𝑥 2 ( 𝐴 6 𝑣 𝑥𝑥𝑥 − 𝐵 24 𝑣 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) | 𝑛 𝑖 =  0
Jika ∆𝑡 dan ∆𝑥 sangat kecil maka jumlah dari limit tersebut  akan  semakin  kecil,  karena  berapapun nilai 𝑣 𝑡𝑡𝑡 ,  𝑣 𝑥𝑥𝑥 ,  𝑣 𝑥𝑥𝑥𝑥 jika  dikalikan  dengan  nilai dari ∆𝑡 dan ∆𝑥 akan  ikut  mengecil. Error pemotongan  yang  dihasilkan  akan  menuju  nol untuk ∆𝑡 → 0 dan ∆𝑥 → 0 .

## 3. Interpretasi Hasil
Metode garis merupakan metode numerik yang lebih akurat dibandingkan metode beda  hingga  biasa  karena  menghasilkan  solusi yang  akurat  dengan  waktu  perhitungan  yang dibutuhkan  lebih  efisien.  Penyelesaian  dengan metode  garis  terdiri  dari  dua  tahap,  yaitu mengganti  turunan  variabel  ruang  dengan metode  beda  hingga  sehingga  diperoleh  sistem PDB  yang  mendekati  bentuk  PDP  asli,  kemudian langkah  kedua  yaitu  menyelesaikan  sistem  PDB
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 2 4 6 8 x SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN FOKKER-PLANCK t v (x ,t ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 0 2 4 6 8 x Solusi Numerik Metode Garis t v (x ,t )
dengan  metode  penyelesaian  PDB.  Bentuk metode  beda  hingga  yang  digunakan  yaitu  beda hingga  pusat  karena  titik-titik  yang  dihitung dipengaruhi oleh titik-titik  disekitarnya sehingga beda  hingga  pusat  dianggap  lebih  baik  daripada beda  hingga  maju  dan  mundur.  Kemudian penyelesaian  PDB  menggunakan  metode  Runga- Kutta orde empat karena metode ini mempunyai ketelitian yang lebih tinggi
Bertujuan
untuk mengetahui perbandingan  solusi  analitik  dan  solusi  metode garis, maka keduanya digambarkan dalam bentuk plot di atas. Hasil plot menunjukkan bahwa solusi analitik dan solusi metode garis pada persamaan (6)  hampir  sama  atau  dapat  dikatakan  bahwa solusi metode garis mendekati solusi analitiknya.
Hasil perhitungan menghasilkan nilai error yang  sangat  kecil  menunjukkan  bahwa  solusi metode  garis  hampir  mendekati  solusi  analitik. Error pemotongan  pada  persamaan  Fokker- Planck dilihat dengan cara ekspansi deret Taylor pada tiap suku-sukunya sehingga dihasilkan error pemotongan  yang  mempunyai  orde  dua  yaitu 𝒪(∆𝑡 2 , ∆𝑥 2 ) .

## PENUTUP
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh  kesimpulan  bahwa  langkah  pertama untuk  menyelesaikan  persamaan  Fokker-Planck dengan  metode  garis  adalah  mengganti  turunan variabel  ruang  dengan  metode  beda  hingga, sehingga  diperoleh  bentuk  sistem  persamaan diferensial biasa. Langkah kedua yaitu menyelesaikan  sistem  PDB  yang  terbentuk dengan  metode  Runga-Kutta  orde  empat.  Solusi yang  dihasilkan  dengan  metode  garis  mendekati nilai  eksaknya.  Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa metode garis merupakan metode yang baik untuk menyelesaikan  permasalahan  solusi  numerik pada persamaan Fokker-Planck.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chapra,  S.C.  dan  Canale,  R.P.  (2002). Numerical  Methods  for  Engineers  with
Software  and  Programing  Applications. Fourth Edition. New York: The Mc Graw-Hill Companies, Inc.
[2] Frank,  T.  (2004). Nonlinear  Fokker-Planck Equation. Munster: Springer-Berlin.
[3] Hamdi  S.,  William  E.  Schiesser,  Graham  W. Griffiths. (2009). Method of Lines. Scholarpedia , 5.
[4] Hussain,  E.  d.  (2013).  The  Finite  Volume Method  for  Solving  Systems  of  Non-linear Initial-Boundary  Value  Problems  for  PDE's. Applied Mathematical Science , 1737-1755.
[5] Ozdes A. dan Aksan E.N. (2006). The Method of  Lines  Solution  of  the  Korteweg-de  Vries Equation  for  Small  Times. Int.  J.  Contemp. Math. Science , 639-650.
[6] Palupi, D. (2010). Persamaan Fokker-Planck dan  Aplikasinya  dalam  Astrofisika. Jurnal Berkala Fisika , A1-A6.
[7] Pregla,
R. (2008). Analysis of
Elegtromagnetic  Fields  and  Waves:  The Method  of  Lines. British:  John  Wiley  &  Sons, Ltd.
[8] Sadiku,  M.N.O  dan  Obiozor,  C.N.  (1997).  A Simple Introduction to the Method of Lines .
International Journal of Electrical
Engineering Education , 282-296.
[9] Triatmodjo,  B.  (2002). Metode  Numerik Dilengkapi  dengan  Program  Komputer. Yogyakarta: Beta Offset.
[10] Zauderer,  E.  (2006). Partial  Differential Equations  of  Applied  Mathematich. New York: Wiley-Interscience.