## MODEL PERSEDIAAN PEMASOK-PEMBELI DENGAN PRODUK CACAT DAN KECEPATAN PRODUKSI TERKONTROL

## NELITA PUTRI SEJATI, WAKHID AHMAD JAUHARI, DAN CUCUK NUR ROSYIDI
Jurusan Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret Jl. Ir Sutami 36 A, Surakarta 57126, Indonesia
Surel: nelitaputri@gmail.com, wachid_aj@yahoo.com, cucuknur@gmail.com

## ABSTRAK
Penelitian ini mengembangkan model persediaan Joint Economic Lot Size (JELS) pada pemasok tunggal pembeli tunggal untuk jenis produk tunggal dengan mempertimbangkan produk cacat dan tingkat produksi terkontrol. Tingkat permintaan pada pembeli bersifat stokastik. Pengiriman dilakukan dari pemasok ke pembeli dalam ukuran lot pengiriman yang sama dan lead time pengiriman bersifat tetap. Produk cacat yang ditemukan oleh pembeli pada saat inspeksi disimpan secara sementara di gudang pembeli hingga pengiriman berikutnya tiba untuk selanjutnya produk cacat dikembalikan kepada pemasok. Fungsi tujuan dari model ini adalah meminimasi total biaya persediaan gabungan pemasok pembeli dengan variabel keputusan, yaitu frekuensi pengiriman, periode review, dan tingkat produksi. Analisis sensitivitas dilakukan untuk melihat pengaruh perubahan parameter-parameter tertentu terhadap model. Hasil yang didapatkan dari analisis sensitivitas menunjukkan bahwa total biaya persediaan gabungan sensitif terhadap perubahan nilai parameter persentase produk cacat, ketidakpastian permintaan, dan permintaan.
Kata Kunci : persediaan, permintaan stokastik, produk cacat, tingkat produksi terkontrol

## AbSTrACT
In this paper, we consider a joint economic lot size (JELS) model consisting of single vendor single buyer with single product. We intend to study the impact of defective items and controllable production rate on the model. The demand in buyer side is assumed to be stochastic. The delivery of lot from vendor to buyer is conducted under equal size shipment and the lead time is assumed to be constant. The defective items founded by the inspector in buyer side are carried in buyer’s storage until the next shipment and will be returned to the vendor. The goal of the proposed model is to determine optimal delivery frequency, review period and production rate by minimizing the joint total cost. A sensitivity analysis is performed to show the impact of the changes of the decision variables on model’s behavior. The result from the sensitivity analysis shows that the joint total cost is sensitive to the changes of defect rate, demand uncertainty and demand rate.
Key words: inventory, stochastic demand, defective items, controllable production rate

## PENDAHULUAN
Pada model persediaan tradisional, keputusan ukuran lot produksi pada produsen, dan ukuran lot pemesanan oleh pembeli ditentukan secara independen. Dengan kata lain, masing-masing pihak menentukan sendiri keputusannya sehingga berorientasi pada keuntungan masing-masing. Pendekatan  semacam  ini  akan  merugikan
salah satu pihak, oleh karena itu pengambilan keputusan mengalami perkembangan dimana tidak lagi dilakukan secara independen melainkan terintegrasi yang melibatkan seluruh pihak yang terkait  di  dalam supply  chain .  Produsen  dan pembeli bekerjasama dalam menentukan ukuran lot gabungan yang diharapkan dapat meminimasi total biaya gabungan. Model persediaan Joint
Economic Lot Size (JELS) yang mengintegrasikan seluruh pihak terkait dalam supply chain untuk menentukan ukuran lot gabungan dilakukan pertama  kali  oleh  Goyal  (1976).  Goyal  (1976) mampu  membuktikan  bahwa  dengan  adanya ukuran lot ekonomis gabungan menimbulkan pengurangan biaya yang cukup signifikan dalam supply  chain .  Penelitian  tersebut  diikuti  dan dikembangkan oleh beberapa peneliti lain seperti Banerjee (1986) dan Lu (1995) dengan berbagai parameter yang merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya.
Penelitian di atas (Goyal, 1976; Banerjee, 1986; dan Lu, 1995) menggunakan asumsi bahwa lead time dan tingkat produksi bernilai tetap. Jauhari (2012) mengembangkan sebuah model persediaan JELS pada sistem pemasok tunggal pembeli tunggal dimana permintaan pada pihak pembeli bersifat stokastik dengan melakukan sinkronisasi  siklus  pemesanan  oleh  pembeli, produksi oleh pemasok, dan pengadaan bahan baku yang mempertimbangkan tingkat produksi pada pihak pemasok yang bersifat terkontrol. Besarnya  tingkat  produksi  bervariasi  dan terbatas di antara P min dan P max ( P min < P<P max ). Untuk  menjamin  bahwa  kapasitas  produksi dapat  memenuhi  seluruh  permintaan,  maka diasumsikan bahwa nilai dari tingkat produksi lebih besar daripada permintaan ( P min >D ).
Beberapa model persediaan di atas, tidak ada yang mempertimbangkan adanya produk cacat yang dikirim oleh pemasok kepada pembeli. Lin (2010) mengembangkan sebuah model persediaan stokastik terintegrasi pada supplier - retailer . Pada penelitian ini, Lin mempertimbangkan adanya produk  cacat  yang  diproduksi  oleh supplier untuk retailer . Dengan pertimbangan tersebut, retailer melakukan inspeksi terhadap produk yang  datang  dengan  kecepatan  tertentu  ( x ), sehingga  pada  proses  tersebut  menimbulkan biaya inspeksi ( s ). Jika ukuran lot pengiriman adalah  sebesar DT dan  di  dalam  setiap  satu lot  pengiriman  yang  tiba  di retailer terdapat produk  cacat  dengan  persentase  tetap  yaitu g , maka besarnya produk cacat yaitu g DT dan besarnya produk tidak cacat adalah (1 - g ) DT .
Produk cacat disimpan terlebih dahulu di gudang retailer hingga waktu pengiriman berikutnya tiba, setelah itu dikembalikan kepada supplier . Oleh sebab itu, retailer menanggung biaya simpan untuk  produk  cacat  dan  produk  tidak  cacat. Lin (2010) menyimpulkan jika persentase dari produk cacat yang ada di setiap lot pengiriman dari supplier kepada retailer meningkat, maka akan mengakibatkan peningkatan biaya total persediaan gabungan per tahun pada sistem. Lin (2010) belum mempertimbangkan tingkat produksi  yang  terkontrol.  Oleh  karena  itu, penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan model persediaan JELS yang mempertimbangkan produk cacat berdasarkan penelitian Lin (2010), dan tingkat produksi terkontrol berdasarkan penelitian Jauhari (2012). Pada penelitian ini hubungan  antara  jumlah  produk  cacat  yang dihasilkan  dari  sistem  produksi  dan  tingkat produksi  yang  terkontrol  akan  diteliti  lebih dalam.  Adanya  fleksibilitas  sistem  untuk menentukan tingkat produksi optimal tentunya akan membantu supplier untuk mengelola berapa jumlah batch yang  harus  diproduksi  dengan memperhatikan  jumlah  produk  cacat  yang dihasilkan.

## PENGEMBANGAN MODEL
Penelitian  ini  membahas  tentang  model persediaan  JELS  pemasok  tunggal  pembeli tunggal untuk produk tunggal dimana permintaan produk  pada  pembeli  bersifat  stokastik  dan berdistribusi  normal.  Tingkat  produksi  pada pemasok dapat dikontrol berdasarkan kebutuhan tertentu, misalnya permintaan yang meningkat dari  periode  sebelumnya.  Besarnya  tingkat produksi bervariasi dan terbatas di antara P min dan P max ( P min <P<P max ).  Pembeli  mengelola persediaannya secara periodik dengan lead time pemesanan bersifat variabel, dimana besarnya lead time bergantung pada lama proses produksi dan pengiriman.
Pada  model  ini  pembeli  melakukan pemesanan kepada pemasok sebesar DT dengan frekuensi pengiriman sebanyak m kali dengan lot pengiriman q ( DT ). Untuk memenuhi permintaan
pembeli, pemasok melakukan produksi sebanyak mq ( mDT ).  Selanjutnya  pemasok  melakukan pengiriman kepada pembeli sebanyak q untuk setiap periodenya. Pengiriman tersebut mulai dapat dilakukan ketika proses produksi sudah menghasilkan  minimal  sejumlah q ,  sehingga tidak perlu menunggu satu batch ( mq ) produk selesai diproduksi. Pembeli melakukan inspeksi terhadap produk yang dikirim oleh pemasok untuk mengklasifikasikan produk cacat dan tidak cacat. Inspeksi dilakukan dengan kecepatan sebesar x dan  menyebabkan  pembeli  mengeluarkan biaya inspeksi produk per unit ( C ). Persentase produk cacat per pengiriman diasumsikan tetap sebesar g , sehingga besarnya produk tidak cacat adalah sebesar 1- g . Produk cacat akan disimpan
sementara di gudang pembeli hingga pengiriman berikutnya tiba, selanjutnya dikembalikan kepada pemasok. Oleh karena itu, pembeli menanggung biaya  penyimpanan  produk  tidak  cacat  ( H b1 ) dan  produk  cacat  ( H b2 ),  sedangkan  pemasok menanggung biaya perawatan produk cacat (v). Gambar 1 menunjukkan model persediaan pada pemasok dan pembeli.
Asumsi  yang  digunakan  pada  model  ini adalah sebagai berikut :
1.  Permintaan  pada  pihak  pembeli  bersifat stokastik dan berdistribusi normal.
2.  Tingkat produksi diasumsikan lebih besar daripada  permintaan  ( P min > D )  untuk menjamin bahwa kapasitas produksi dapat memenuhi permintaan dan terbatas oleh nilai
minimal dan maksimal ( P min <P< P max ). 3.  Proporsi produk cacat bernilai tetap.
4. Lead time bersifat tetap
Notasi  yang  digunakan  dalam  model  ini sebagai berikut: Q = mq = lot size per production run D = rata-rata permintaan pembeli per tahun d =  standar  deviasi  permintaan  per tahun P =  kecepatan produksi pada pemasok, P>D q = lot size per pengiriman dari pemasok ke pembeli
m =  frekuensi  pengiriman  per q dari pemasok ke pembeli (m ∈ positive integer) S =  biaya setup per production run A =  biaya pemesanan per periode pada pembeli F =  biaya transportasi per periode dari pemasok ke pembeli b =  lama  waktu  pengiriman  dari pemasok ke pembeli g =  persentase  produk  cacat  setiap pengiriman, 0 ≤ g <1 x =  kecepatan inspeksi C =  biaya  inspeksi  per  unit  pada pembeli h v =  biaya  simpan  per  unit  per  tahun pada pemasok H b1
=  biaya simpan produk tidak cacat per unit per tahun pada pembeli H b2 =  biaya simpan produk cacat per unit per tahun pada pembeli v =  biaya perawatan produk cacat per unit p =  biaya backorder per unit k
= safety factor T = review period a 1 =  biaya produksi tetap per unit a 2 =  biaya produksi variabel per unit
Fungsi  tujuan  dari  penelitian  ini  adalah ekspektasi  total  biaya  gabungan  ( TCj )  yang terdiri dari total biaya persediaan pemasok ( TCv ) dan total biaya persediaan pembeli ( TCb ).

## Formulasi Biaya Pemasok
Total ekspektasi biaya pemasok didapatkan dari penjumlahan beberapa komponen biaya,
diantaranya yaitu biaya setup produksi ( S v C ), biaya produksi ( PC ), biaya penyimpanan pemasok ( HC v ), biaya perawatan produk cacat ( TdC ) . Biaya penyimpanan  pada  pemasok  mengacu  pada penelitian Lin (2010) :
.............(1) Total  ekpektasi  biaya  pemasok  dapat diformulasikan dengan menambahkan biaya setup produksi, biaya produksi, dan biaya perawatan produk cacat, sehingga didapatkan formulasi 2 sebagai berikut :
......(2)

## Formulasi Biaya Pembeli
Total ekspektasi biaya pembeli didapatkan dari penjumlahan biaya pemesanan ( OC ), biaya transportasi ( T r C ), biaya penyimpanan ( HC b ), biaya shortage ( S h C ), dan biaya screening ( S c C) .
Biaya  penyimpanan  pembeli  mengacu  pada penelitian Lin (2010), dimana mencakup biaya penyimpanan produk tidak cacat ( HC b1 ) dan biaya penyimpanan produk cacat ( HC b2 ):
6

## = biaya produksi variabel per unit
Fungsi tujuan dari penelitian ini adalah ekspektasi total biaya gabungan ( TCj ) yang terdiri dari total biaya persediaan pemasok ( TCv ) dan total biaya persediaan pembeli ( TCb ).

## Formulasi Biaya Pemasok
Total  ekspektasi  biaya  pemasok  didapatkan  dari  penjumlahan  beberapa  komponen  biaya, diantaranya yaitu biaya setup produksi ( , biaya produksi ( , biaya penyimpanan pemasok ( , biaya perawatan produk cacat ( TdC ) . Biaya penyimpanan pada pemasok mengacu pada penelitian Lin (2010) :
Total  ekpektasi  biaya  pemasok  dapat  diformulasikan  dengan  menambahkan  biaya setup produksi,  biaya  produksi,  dan  biaya  perawatan  produk  cacat,  sehingga  didapatkan  formulasi sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Pembeli
Total ekspektasi biaya pembeli didapatkan dari penjumlahan biaya  pemesanan ( ), biaya transportasi ( ), biaya penyimpanan ( ), biaya shortage ( ), dan biaya screening ( ). Biaya  penyimpanan  pembeli  mengacu  pada  penelitian  Lin  (2010),  dimana  mencakup  biaya penyimpanan produk tidak cacat dan biaya penyimpanan produk cacat ( : .............................(3)
6
= biaya produksi variabel per unit
Fungsi tujuan dari penelitian ini adalah ekspektasi total biaya gabungan ( TCj ) yang terdiri dari total biaya persediaan pemasok ( TCv ) dan total biaya persediaan pembeli ( TCb ).

## Formulasi Biaya Pemasok
Total  ekspektasi  biaya  pemasok  didapatkan  dari  penjumlahan  beberapa  komponen  biaya, diantaranya yaitu biaya setup produksi ( , biaya produksi ( , biaya penyimpanan pemasok ( , biaya perawatan produk cacat ( TdC ) . Biaya penyimpanan pada pemasok mengacu pada penelitian Lin (2010) :
Total  ekpektasi  biaya  pemasok  dapat  diformulasikan  dengan  menambahkan  biaya setup produksi,  biaya  produksi,  dan  biaya  perawatan  produk  cacat,  sehingga  didapatkan  formulasi sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Pembeli
Total ekspektasi biaya pembeli didapatkan dari penjumlahan biaya  pemesanan ( ), biaya transportasi ( ), biaya penyimpanan ( ), biaya shortage ( ), dan biaya screening ( ). Biaya  penyimpanan  pembeli  mengacu  pada  penelitian  Lin  (2010),  dimana  mencakup  biaya penyimpanan produk tidak cacat dan biaya penyimpanan produk cacat ( : ......................................(4)
Formulasi  ekspektasi  jumlah backorder mengacu  pada  penelitian  Lin  (2010).  Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian
biaya backorder ( p ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam persamaan 5 berikut ini :
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana :
Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan . Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi
dan secara simultan.
Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi . ...........................(5) Dimana :
7
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana : Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan . Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan secara simultan. Variabel Keputusan P Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi . .........................(6) Dengan Fs  (k) merupakan cumulative distribution function dari safety factor k dan fs (k) merupakan probability density function dari safety factor k untuk distribusi normal standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan menambahkan biaya pemesanan, biaya transportasi, dan biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder
dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana :
Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan secara simultan.
Variabel Keputusan P Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi .
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana : Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan
secara simultan.
Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi . 7 Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana : Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan secara simultan.
Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi . ..(7)

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya total gabungan untuk pemasok dan pembeli diformulasikan dengan menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya ditunjukkan pada persamaan 9.
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder
dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana : Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan secara simultan.

## Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi .
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder
dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana :
Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan
secara simultan.
Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi .
+
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder
dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana :
Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan
. Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j (
) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan
secara simultan.
Variabel Keputusan P Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi .
Formulasi ekspektasi jumlah backorder mengacu pada penelitian Lin (2010). Adapun besarnya biaya shortage merupakan perkalian biaya backorder ) dengan ekspektasi jumlah backorder dalam satu periode yang ditunjukkan dalam formulasi berikut ini :
Dimana :
Dengan Fs  (k) merupakan cumulative  distribution  function dari safety  factor k dan fs  (k) merupakan probability  density  function  dari  safety  factor  k untuk  distribusi  normal  standar dengan rata-rata 0 dan standar deviasi 1.
Dengan  menambahkan  biaya  pemesanan,  biaya  transportasi,  dan  biaya screening didapatkan formulasi total ekspektasi biaya pembeli sebagai berikut :

## Formulasi Biaya Total Gabungan
Biaya  total  gabungan  untuk  pemasok  dan  pembeli  diformulasikan  dengan  menjumlahkan total ekpektasi biaya pada pemasok dan pembeli. Formulasinya adalah sebagai berikut :
+

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam sub bab ini akan dikembangkan solusi metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan . Dengan nilai m yang tetap, maka
TC j ( ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi dan secara simultan.
Variabel Keputusan P Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel  keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan  penurunan
parsial pertama pada persamaan terhadap P yang memenuhi . .......................(8)

## METODOLOGI SOLUSI
Dalam  sub  bab  ini  akan  dikembangkan metodologi solusi untuk mencari solusi optimal dari variabel keputusan biaya total gabungan TC j ( m*,P*,T* ). Dengan nilai m yang tetap, maka TC j ( m*,P*,T* ) akan mencapai nilai minimum pada titik ( P,T ) yang memenuhi persamaan 9 dan 10 secara simultan. .........................................(9) dan .......................................(10) Variabel Keputusan P
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel keputusan P (tingkat  produksi)  dilakukan penurunan  parsial  pertama  pada  persamaan TC j ( m*,P*,T* )  terhadap P yang  memenuhi persamaan 9.
Didapatkan formulasi tingkat produksi optimal ( P* ) sebagai berikut:
..............................(11)
Penurunan  parsial  kedua TC j ( m*,P*,T* ) terhadap P dilakukan untuk membuktikan bahwa besarnya P optimal yang dicari menggunakan penurunan  parsial  pertama  adalah  terbukti benar optimal dengan memenuhi ketentuan .......................................(12)
serta nilai m dan T tetap.
...(13)
Variabel Keputusan T
Penentuan  nilai  optimal  dari  variabel keputusan T ( review period ) dilakukan penurunan parsial pertama pada persamaan TC j ( m*,P*,T* ) terhadap T . .............................(14)
Dengan menggunakan persamaan 10 didapatkan formulasi tingkat produksi optimal ( T* ) sebagai berikut:
.................................................................(15)
Pencarian solusi terhadap nilai m*, P* dan T* untuk mendapatkan total biaya persediaan gabungan  yang  minimum  dapat  dilakukan dengan menggunakan suatu algoritma. Algoritma yang dibuat mengacu pada algoritma yang telah dikembangkan oleh Jauhari dkk. (2011). Langkah 1   :  Menetapkan n =1  dan  TC  (n-1) = ∞ Langkah 2  :  Menghitung nilai P awal dengan formulasi sebagai berikut :
.................................(16)
Langkah  3:  Langkah  selanjutnya  adalah menghitung besarnya T awal dengan cara mensubstitusikan besarnya P 0 ke  dalam  formulasi T 0 , dimana pada formulasi tersebut telah dihilangkan variabel T di dalamnya.
.................................................................(17)
Langkah 4   :  Menghitung  nilai P dengan mensubstitusikan nilai P 0 dan T 0 ke dalam formulasi berikut ini :
.......  (18)
Langkah 5  :  M e n g h i t u n g T d e n g a n mensubstitusikan nilai P dan T 0 ke dalam formulasi berikut ini
.................................................................(19)
Langkah 6   :  Membandingkan  nilai T sebelum denga n T sesud ah da n P sebelum dengan P sesudah , jika nilai T sebelum dengan T sesudah dan P sebelum dengan P sesudah sudah  konvergen,  maka iterasi untuk nilai n yang sama dihentikan. Sebaliknya, jika belum maka iterasi dilanjutkan hingga nilai T dan P konvergen.
Langkah 7  :  Menghitung nilai TC total dengan memasukkan hasil perhitungan nilai T dan P yang  sudah konvergen  ke  dalam  formulasi
TC total berikut ini :
Langkah 8  :  Selanjutnya  dilakukan  iterasi lagi mulai dari langkah 1 dengan (m+1)
•  Jika hasil TC m+1 lebih besar dari TC m , maka iterasi dihentikan.
•  Jika hasil TC m+1 lebih kecil dari TC m , iterasi dilanjutkan  dengan  penambahan  nilai m menjadi (m+1) dan iterasi akan berhenti jika TC m+1 lebih besar dari TC m

## CONTOH NUMERIK
Contoh  numerik  yang  akan  diberikan mengacu pada model Jauhari dkk. (2011).

## Tabel 1. Pengaruh Persentase Produk Cacat terhadap Model
Persentase Cacat (g) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Frekuensi Pengiriman (Kali/periode) 9 9 9 9 8 Review Period (Hari) 30 31 31 31 34 Tingkat Produksi (Unit/periode) 1500 1500 1500 1500 2113 Biaya Perawatan Produk Cacat ($) 500,00 1.000,00 1.500,00 2.000,00 2500,00 Total Biaya Pemasok ($) 5.950 4.449 4.949 5.448 5.643 Total Biaya Pembeli ($) 5.574 5.564 5.553 5.542 5.515 Total Biaya Gabungan ($) 9.524 10.013 10.502 10.990 11.158 B. Simpan Tidak cacat (HCb1) ($) 188 168 147 127 133 B. Simpan cacat (HCb2) ($) 11 22 34 45 71 Total Biaya Simpan Pembeli ($) 199 190 181 172 204
Tabel 2. Pengaruh Variasi Standar Deviasi Permintaan terhadap Model
s m T P Biaya Pembeli ($) Biaya Pemasok ($) Biaya Gabungan ($) 5 9 0,084 1500 5.553 4.949 10.502 10 9 0,085 1500 5.561 4.948 10.509 15 6 0,118 2624 5.557 4.698 10.255 20 6 0,118 2622 5.564 4.698 10.262 25 6 0,118 2621 5.570 4.698 10.269 30 5 0,136 2678 5.587 4.689 10.275
Tabel 3. Pengaruh Variasi Permintaan terhadap Model D m T P Biaya Pembeli ($) Biaya Pemasok ($) Biaya Gabungan ($) 500 4 0,22 2832 2.910,80 2.643,10 5.553,90 750 4 0,18 2790 4.265,40 3.682,80 7.948,20 1000 5 0,14 2678 5.586,70 4.688,60 10.275,30 1250 7 0,10 2491 6.899,90 5.644,10 12.544,00 1500 10 0,08 2158 8.211,80 6.534,70 14.746,50
D =  1000 unit/tahun d =  5 unit/tahun S =  $ 400/setup
A =  $ 50/pemesanan F =  $ 25/pengiriman C =  $ 5/unit h v =  $ 3/unit H b1 =  $ 5/unit H b2 =  $ 4/unit p =  $ 15/unit a 1 =  $ 2500/unit a 2 =  $ 0.0004/unit
v =  $ 5/unit b =  0,0833/pengiriman g =  0,5
x =  3000 unit per inspeksi
k =  1,645 y ( k )   =  0,561
Solusi optimal yang didapatkan berdasarkan perhitungan  contoh  numerik  menggunakan program Matlab 2009a, yaitu m = 8 kali, T = 34 hari, P = 2113 unit/periode dan total biaya gabungan $11.158.
Tabel 1 memberikan gambaran mengenai pengaruh  persentase  produk  cacat  terhadap model. Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa dengan meningkatnya persentase produk cacat memberikan pengaruh yang signifikan terhadap peningkatan biaya persediaan pada pemasok dan biaya persediaan gabungan. Pada pihak pembeli, terjadi peningkatan biaya penyimpanan produk cacat lebih besar dibandingkan penurunan biaya penyimpanan produk tidak cacat. Hal tersebut menyebabkan biaya persediaan pada pembeli cenderung  menurun  seiring  peningkatan persentase produk cacat. Dari Tabel 1 juga dapat dilihat bahwa frekuensi pengiriman dan review period cenderung tetap seiring meningkatnya persentase produk cacat.
Tabel 2 menunjukkan pengaruh perubahan ketidakpastian permintaan terhadap model. Dapat kita lihat bahwa semakin besar ketidakpastian permintaan menyebabkan frekuensi pengiriman semakin kecil. Pada Tabel 2 terlihat juga bahwa review period dan tingkat produksi semakin besar nilainya sering meningkatnya ketidakpastian permintaan. Sedangkan biaya total gabungan mengalami penurunan, hal ini disebabkan oleh penurunan  biaya  persediaan  pemasok  lebih besar dibandingkan dengan peningkatan biaya persediaan pembeli.
Tabel 3 memperlihatkan bahwa peningkatan permintaan  memberikan  pengaruh  yang signifikan terhadap variabel-variabel keputusan dan  fungsi  tujuan  dari  model.  Frekuensi pengiriman meningkat secara signifikan seiring dengan  meningkatnya  jumlah  permintaan, sedangkan review period dan tingkat produksi mengalami penurunan. Baik biaya persediaan pada pembeli maupun pada pemasok, keduanya
mengalami  peningkatan  yang  signifikan, sehingga biaya total gabungan ikut meningkat dengan perubahan nilai yang cukup besar.

## SIMPULAN
Pada  penelitian  ini  dikembangkan  model persediaan pemasok tunggal pembeli tunggal dengan  mempertimbangkan  produk  cacat dan  tingkat  produksi  terkontrol. Lead  time diasumsikan tetap dan besarnya permintaan mengikuti distribusi normal. Dalam penelitian ini juga mengasumsikan bahwa setiap lot produk yang dikirim dari pemasok ke pembeli terdapat produk  cacat  dengan  persentase  yang  tetap. Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan nilai  variabel  keputusan  yang  optimal  yang meliputi frekuensi pengiriman, review period , dan tingkat produksi, serta meminimasi biaya total gabungan. Hasil yang didapatkan dari analisis perubahan  nilai  parameter  terhadap  model dapat disimpulkan bahwa total biaya gabungan sensitif terhadap perubahan persentase produk cacat, ketidakpastian permintaan, dan jumlah permintaan.  Frekuensi pengiriman dan tingkat produksi  mengalami  penurunan  ketika  nilai persentase  produk  cacat  dan  ketidakpastian permintaan mengalami peningkatan. Sebaliknya, ketika  permintaan  mengalami  peningkatan, frekuensi permintaan ikut meningkat. Hal yang serupa terjadi pada tingkat produksi. Sedangkan biaya gabungan mengalami peningkatan yang signifikan ketika persentase produk cacat dan permintaan semakin besar nilainya, akan tetapi biaya total gabungan menurun ketika terjadi peningkatan nilai ketidakpastian permintaan.

## DAFTAR PUSTAKA
Banerjee, A., 1986. A Joint Economic-Lot-Size Model for Purchaser and Vendor, Decision Sciences , 17(3), 292-311.
Goyal, S.K., 1976. An Integrated Inventory Model for a Single Supplier – Single Customer Problem, International Journal of Production Research, 15(1), 107-111.
Jauhari,  W.A.,  Pujawan,  I.N.,  Wiratno,  S.E.,  and Priyandari, Y., 2011. Integrated Inventory Model
for Single Vendor-Single Buyer with Probabilistic Demand, International Journal of Operational Research , 11(2), 160–178.
Jauhari,  W.A.,  2012.  Integrated  Inventory  Model for Three-layer Supply Chain with Stochastic Demand, International Journal of Operational
Research , 13(3), 295-317.
Lin, Y.J., 2010. A Stochastic Periodic Review Integrated Inventory  Model  Involving  Defective  Items, Backorder Price Discount, and Variable Lead
Time, 4OR , 8, 281-297.
Lu, L., 1995. A One-vendor Multi-buyer Integrated Inventory  Model, European  Journal  of Operational Research , 81(2), 312–323.