Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 167-182 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.9027

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
Natasha Maria 1 , Felivia Kusnadi 2 *, Farah Kristiani 3 1,2,3 Pusat Studi Matematika dan Masyarakat, Jurusan Matematika, Universitas Katolik Parahyangan e-mail: felivia@unpar.ac.id
Diajukan: 13 April 2021, Diperbaiki: 5 Mei 2022, Diterima: 30 Mei 2022

## Abstrak
Ternak sapi merupakan salah satu bentuk usaha yang banyak diminati oleh masyarakat Indonesia sebagai sumber penghasilan. Jika terdapat sapi yang terinfeksi suatu penyakit menular, maka sapi tersebut bisa  sakit atau bahkan mati, sehingga sapi yang terinfeksi tidak bisa memberikan manfaatnya secara maksimal. Akibatnya, penghasilan peternak akan menurun atau bahkan merugi. Maka dari itu, asuransi bencana kematian pada ternak sapi menjadi salah satu cara preventif untuk mengalihkan risiko kerugian finansial yang ditanggung para peternak sapi. Ekspektasi besar kerugian ternak sapi ditentukan dengan memperhitungkan pengaruh fatal shock yaitu waktu kedatangan bencana penyakit Brucellosis pada sapi yang merupakan suatu proses Poisson. Diperlukan distribusi dari besar kerugian yang terjadi sebagai distribusi gabungan binomial dan degenerasi dengan variabel acak sisa masa hidup sapi dengan fatal shock . Kemudian  dimodelkan dengan mencari distribusi dari kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi sebagai suatu modifikasi polis asuransi dengan deductible , limit polis, dan koasuransi. Premi asuransi dihitung menggunakan Metode Premi Murni dari ekspektasi besar kerugian tersebut. Berdasarkan simulasi perhitungan menggunakan data populasi sapi di Kabupaten Bogor, tarif premi meningkat seiring meningkatnya limit polis, tingkat kedatangan penyakit, banyak sapi yang diasuransikan, dan usia sapi. Namun, tarif premi akan menurun jika deductible meningkat. Kata Kunci : Deductible , Limit Polis, Koasuransi, Fatal Shock , Brucellosis , Asuransi Ternak Sapi

## Abstract
Cattle farming is one of the highest demands of occupation by Indonesians as the source of income. If in a farm there are cattle with an infectious disease, thus it will cause them sick or even die, hence the infected cattle cannot provide maximum benefits. As a result, the farmer's income will decrease or incurred losses. Therefore, cattle insurance become one preventive way to divert the risk of financial losses incurred by cattle breeders. The expectation of losses is determined by the effect of fatal shock, namely the arrival time of the Brucellosis disease which follows a Poisson process. The distribution of loss amounts occurs as a mixture distribution of the binomial and degenerate distribution from a random variables of remaining cattle's future lifetime with influence of  fatal shock, which is then  modeled by determining the loss distribution incurred by the insurance company as a modification of the insurance policy with deductible, policy limit, and co-insurance. Insurance premium is obtained using the Pure Premium Method which uses the expectation of losses. Based on the calculation that used cattle population data in Bogor Regency, the premium rate increases as the policy limits, rate of Brucellosis disease arrival time, number of cattles insured, and cattle’s age increase. However, the premium rate will decrease if the deductible increases. Keywords : Deductible, Policy Limit, Coinsurance, Fatal Shock, Brucellosis, Cattle Insurance
168

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock

## 1 Pendahuluan
Ternak sapi merupakan  salah satu bentuk usaha yang banyak diminati oleh masyarakat Indonesia sebagai sumber penghasilan, sekitar 36% pekerja menekuni bidang ini [1]. Manfaat yang diperoleh dari seekor sapi bukan hanya untuk dikonsumsi daging dan susunya, melainkan juga sebagai biogas atau pupuk kompos, hewan kurban, dan sebagainya. Banyaknya kegunaan sapi untuk berbagai kepentingan tersebut, menjadikan sapi sebagai aset yang berharga bagi peternak sapi. Jika seekor sapi mati atau jatuh sakit dalam suatu peternakan, maka manfaat yang diperoleh peternak dari sapi tersebut akan berkurang  atau  bahkan  tidak  ada  sama sekali,  sehingga penghasilan peternak sapi akan turun atau bahkan merugi. Penyakit menular pada sapi merupakan salah satu faktor yang dapat menyebabkan kematian pada ternak sapi. Terdapat 15 jenis penyakit menular pada sapi di Indonesia berdasarkan Keputusan Menteri Pertanian Republik Indonesia No. 4026/Kpts/OT.140.2013 tentang Penetapan Jenis Penyakit Hewan Menular Strategis (PHMS), seperti penyakit Brucellosis, IBR ( Infectious bovine rhinotracheitis ), Surra , dan Anthrax .
Asuransi ternak sapi menjadi salah satu cara preventif untuk mengalihkan risiko finansial yang ditanggung para peternak akibat kematian atau menurunnya manfaat yang diberikan sapi yang disebabkan penyakit menular. Asuransi ternak sapi banyak diterapkan di Kenya dan Ethiopia dengan konsep asuransi berbasis indeks [2]. Di Indonesia, terdapat peningkatan jumlah peternak sapi yang mengikuti program Asuransi Usaha Ternak Sapi (AUTS) yang realisasinya selama 4 tahun dari tahun 2016 hingga pertengahan tahun 2019, dari 12.285 peternak sapi menjadi 74.508 peternak sapi. Namun, pertanggungan untuk satu ekor sapi maksimal sebesar 10 juta rupiah padahal harga 1 ekor sapi dapat bervariasi bergantung jenis dan usia sapi [3].  Oleh karena itu, dibentuk model asuransi bencana kematian ternak dengan pengaruh fatal shock yang sudah pernah diterapkan pada peternakan babi di Amerika dan Kanada [4].
Makalah ini membahas model asuransi bencana kematian ternak sapi dengan adanya pengaruh deductible 𝑑𝑑 , limit polis dengan maximum covered loss 𝑢𝑢 , dan koasuransi 𝛼𝛼 yang digunakan  untuk menghitung besar premi asuransi tersebut yang dipengaruhi oleh waktu kedatangan penyakit Brucellosis sebagai fatal shock . Brucellosis adalah penyakit infeksi akibat bakteri Brucella yang menyerang sistem reproduksi sapi yang dapat menyebabkan sapi mandul, keguguran, produksi susu menurun, dan terinfeksinya organ tubuh sapi lainnya  [5].  Penyakit Brucellosis dipilih karena memiliki dampak kerugian ekonomi yang besar bagi Indonesia sekitar Rp 3,6 triliun per tahun akibat menjadi faktor penghambat perkembangan populasi sapi [6].
Untuk menghitung besar premi, dimodelkan distribusi dari peubah acak banyak ternak mati sebagai besar kerugian yang dialami peternak  untuk menentukan distribusi dari peubah acak banyak ternak mati atau besar kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi dengan adanya
pengaruh deductible , limit polis, dan koasuransi. Diperoleh ekspektasi besar kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi yang digunakan sebagai estimasi dari kerugian ( losses ) dalam penentuan premi menggunakan Metode Premi Murni. Setelah itu, dilakukan simulasi perhitungan premi ternak sapi di Kota Bogor dan analisis pengaruh perubahan parameter terhadap besar premi.

## 2 Metode Penelitian

## 2.1. Model Fatal Shock
Menurut  [7], common shock berarti  variabel acak kontinu dari waktu kedatangan suatu bencana dibagi menjadi dua berdasarkan dampak yang dihasilkan dari bencana atau syok, yaitu fatal shock dan non-fatal shock . Fatal  shock merupakan common shock di mana syok yang dihasilkan dapat mengakibatkan kehancuran suatu populasi dan berujung pada pengajuan klaim, sedangkan non-fatal shock masih memberikan kesempatan pada individu untuk bertahan hidup. Pada makalah ini, digunakan fatal shock yaitu variabel acak kontinu dari waktu kedatangan suatu bencana penyakit menular pada ternak yang dapat menyebabkan kematian atau kegagalan kepada suatu individu atau objek.
Definisi 1 [8] Variabel acak gabungan dari sisa masa hidup ternak dan fatal shock
𝑇𝑇 𝑖𝑖 = min[ 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ , 𝑍𝑍 ] , 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ,
dengan 𝑍𝑍 adalah fatal shock dari penyakit menular pada ternak, sedangkan 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ adalah sisa masa hidup ternak ke- i dari 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ternak hidup dari kelompok usia ternak 𝛽𝛽 . Variabel acak 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ dan 𝑍𝑍 diasumsikan berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝜃𝜃 𝛽𝛽 dan 𝜆𝜆 sehingga diperoleh:
𝑞𝑞 = 𝐹𝐹 𝑇𝑇 𝑖𝑖∗ ( 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ) = 1 − 𝑒𝑒 −𝜃𝜃 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝛽𝛽 . (1)
𝑝𝑝 = 𝑆𝑆 𝑇𝑇 𝑖𝑖∗ ( 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ) = 𝑒𝑒 −𝜃𝜃 𝛽𝛽 𝑡𝑡 𝛽𝛽 . (2)
𝑎𝑎 = 𝑆𝑆 𝑍𝑍 ( 𝑧𝑧 ) = 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 . (3)
Persamaan (1) merupakan peluang seekor ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 mati bukan karena penyakit (mati normal) dalam 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun, sedangkan Persamaan (2) adalah peluang seekor ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 hidup setidaknya selama 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun. Terakhir, Persamaan (3) adalah  peluang seluruh ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 hidup setidaknya selama 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun dari serangan penyakit. 2.2. Distribusi Banyak Ternak Mati dari Kelompok Usia 𝛽𝛽
Misalkan 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 sebagai variabel acak yang menyatakan banyak ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 mati dalam 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun. Kematian yang dimaksud ialah hilangnya manfaat yang diberikan seekor ternak sehingga tidak memberikan penghasilan pada peternak. Distribusi dari peubah acak 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽
170

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
dimodelkan  dengan mencari fungsi massa peluang dari 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 yang ditinjau dalam 2 kasus  dan memakai variabel acak gabungan dari sisa masa hidup ternak dan fatal shock yang saling bebas.
1. Kematian ternak bukan karena fatal shock :
𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 ~ Binomial( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 , 𝑞𝑞 ).
• Peluang 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0 yaitu tidak ada ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 yang mati:
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0 � = 𝑃𝑃 �� 𝑇𝑇 𝑖𝑖 > 𝑡𝑡 𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=1 � = 𝑃𝑃 �� min [ 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ , 𝑍𝑍 ] > 𝑡𝑡 𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=1 � = 𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 .
• Peluang 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 1 yaitu terdapat 1 ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 yang mati:
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 1 � = 𝑃𝑃 �� Ternak ke − 𝑖𝑖 mati 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=1 � = 𝑃𝑃 �� �𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ ≤ 𝑡𝑡 𝛽𝛽 � 𝑇𝑇 𝑗𝑗 > 𝑡𝑡 𝛽𝛽 𝑗𝑗≠𝑖𝑖 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=1 �
= � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 1 � 𝑞𝑞𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −1 𝑎𝑎 .
Perhitungan peluang dari 2 hingga 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 ternak mati diperoleh dengan cara yang sama, yakni dari fungsi massa peluang banyaknya ternak untuk kasus hanya sebagian ternak mati adalah berdistribusi Binomial( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 , 𝑞𝑞 ) yaitu
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑘𝑘� = � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑘𝑘 � 𝑞𝑞 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1.
2. Kematian ternak dapat disebabkan oleh fatal shock :
𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ~ Degenerasi( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ).
Peluang seluruh ternak mati atau 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ternak mati ialah peluang seluruh ternak mati bukan karena penyakit menular atau semua ternak mati karena pengaruh fatal shock :
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 � = 𝑃𝑃 ��� 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ∗ ≤ 𝑡𝑡 𝛽𝛽 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=1 � ∩ 𝑍𝑍 > 𝑡𝑡 𝛽𝛽 � + 𝑃𝑃�𝑍𝑍 ≤ 𝑡𝑡 𝛽𝛽 � = 𝑞𝑞 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑎𝑎 + (1 − 𝑎𝑎 ).
Berdasarkan kedua kasus tersebut, diperoleh fungsi massa peluang untuk peubah acak 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽
𝑃𝑃 { 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑘𝑘 } = � � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑘𝑘 � 𝑞𝑞 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1; 𝑞𝑞 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑎𝑎 + (1 − 𝑎𝑎 ), 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 . (4)
Dari persamaan (4),  dapat dilihat bahwa untuk 𝑘𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 berlaku distribusi Binomial( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 , 𝑞𝑞 )  dengan bobot 𝑎𝑎 dan untuk 𝑘𝑘 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 berlaku distribusi degenerasi( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 )  dengan bobot 1 − 𝑎𝑎 . Distribusi 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 adalah gabungan dari distribusi binomial dan distribusi degenerasi.

## 171

## 2.3. Estimasi Parameter Distribusi 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽
Untuk mencari estimasi  parameter dari distribusi 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 yaitu parameter 𝜃𝜃 𝛽𝛽 , digunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Untuk mengestimasi 𝜃𝜃 𝛽𝛽 , , ditinjau fungsi massa peluang saat 𝜆𝜆 = 0 (tidak ada penyakit yang menyerang peternakan). Persamaan (4) ditulis menjadi:
𝑓𝑓 ( 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 , 𝑛𝑛 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 , 𝑞𝑞 ) = � 𝑛𝑛 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 � 𝑞𝑞 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 −𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 , 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑚𝑚
Indeks 𝑗𝑗 menyatakan wilayah ke- 𝑗𝑗 dari 𝑚𝑚 wilayah yang ada di suatu tempat. Notasi 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 menyatakan banyaknya ternak mati di wilayah ke- 𝑗𝑗 dari kelompok usia 𝛽𝛽 dan notasi 𝑛𝑛 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 menyatakan banyaknya ternak hidup di wilayah ke- 𝑗𝑗 dari kelompok usia 𝛽𝛽 .
MLE digunakan untuk memaksimumkan fungsi massa peluang gabungan dari 𝑚𝑚 barisan sampel acak 𝑊𝑊 𝑗𝑗 , 𝑡𝑡 𝛽𝛽 , sehingga diperoleh estimator dari distribusi tersebut adalah
𝜃𝜃 𝛽𝛽 � = 1 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ln � 1 + ∑ 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ∑ �𝑛𝑛 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 − 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 � 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � . (5)
2.4. Asuransi Bencana Kematian Ternak dengan Modifikasi Polis Asuransi Asuransi bencana kematian ternak dengan pengaruh fatal shock akan dipengaruhi oleh deductible, limit polis, dan koasuransi. Deductible adalah besar kerugian yang harus ditanggung pemegang polis sebelum perusahaan asuransi mulai membayar kerugian, sedangkan limit polis adalah maksimum besar kerugian yang bersedia dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Koasuransi ialah kebijakan asuransi yang membagi besar kerugian dalam suatu proporsi tertentu yang dibebankan kepada perusahaan asuransi dan pemegang polis.
Misal terdapat 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ekor ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 yang akan diasuransikan dengan besar deductible 𝑑𝑑 ternak mati dan maximum covered loss sebesar 𝑢𝑢 ternak mati, artinya besar limit polisnya adalah 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ternak mati. Variabel acak diskret 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) yakni besar kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi dengan satuan banyak ternak dari kelompok usia 𝛽𝛽 yang mati dalam 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun didefinisikan sebagai
𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = � 0, 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0, 1, 2, … , 𝑑𝑑 ; 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 − 𝑑𝑑 , 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑑𝑑 + 1, 𝑑𝑑 + 2, 𝑑𝑑 + 3, … , 𝑢𝑢 − 1; 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 , 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 + 1, 𝑢𝑢 + 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 . (6)
Persamaan (6) dapat direpresentasikan juga dalam satuan nominal uang. Dengan mengalikan variabel acak 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 dengan 𝑃𝑃 𝛽𝛽 , diperoleh harga ternak per ekor dari kelompok usia 𝛽𝛽 . Variabel acak diskret besar kerugian yang ditanggung oleh perusahaan asuransi dalam 𝑡𝑡 𝛽𝛽 tahun dengan satuan nominal uang didefinisikan sebagai
172

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 ⋅ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 ⋅ � 0, 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0, 1, 2, … , 𝑑𝑑 ; 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 − 𝑑𝑑 , 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑑𝑑 + 1, 𝑑𝑑 + 2, 𝑑𝑑 + 3, … , 𝑢𝑢 − 1;
𝛼𝛼 ( 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ), 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 + 1, 𝑢𝑢 + 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 . (7)
Terdapat proporsi 𝛼𝛼 sebab kematian seluruh ternak terjadi karena adanya campur tangan dari pemerintah. Banyak ternak yang mati sebanyak 𝑢𝑢 atau lebih artinya kematian yang dialami ternak disebabkan penyakit menular, sehingga pemerintah memotong paksa semua  ternak yang berinteraksi dengan ternak yang mati demi mencegah tersebarnya penyakit. Alhasil, perusahaan asuransi tidak akan menanggung semua ternak yang mati akibat pemotongan paksa yang dilakukan pemerintah.
Selanjutnya, dapat dicari fungsi massa peluang untuk variabel acak diskret 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) dengan meninjau 3 kasus berdasarkan deductible dan maximum covered loss .
1. Tidak ada kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi yaitu 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 0 terjadi saat
𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 0, 1, 2, … , 𝑑𝑑 . Peluang terjadinya kasus ini adalah
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 0 � = 𝑃𝑃 �� 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑖𝑖=0 � = 𝑎𝑎 � � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖=0 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖
2. Kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi hanya sebanyak 1 hingga 𝑢𝑢 − 1 − 𝑑𝑑 ternak mati yaitu 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 − 𝑑𝑑 terjadi saat 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑑𝑑 + 1, 𝑑𝑑 + 2, … , 𝑢𝑢 − 1 − 𝑑𝑑 .
• Untuk 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 1 terjadi saat 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑑𝑑 + 1, peluangnya adalah
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 0 � = 𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑑𝑑 + 1 � = 𝑎𝑎 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑑𝑑 + 1 � 𝑞𝑞 𝑑𝑑+1 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑑𝑑−1
Dengan cara yang sama, digunakan untuk mencari 2 hingga 𝑢𝑢 − 1 − 𝑑𝑑 ternak mati yang ditanggung perusahaan asuransi, sehingga diperoleh
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 − 𝑑𝑑 = ℓ� = 𝑎𝑎 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑑𝑑 + ℓ� 𝑞𝑞 𝑑𝑑+ℓ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑑𝑑−ℓ , ℓ = 1, 2, … , 𝑢𝑢 − 1 − 𝑑𝑑 .
3. Kerugian yang ditanggung perusahaan asuransi cukup 𝛼𝛼 persen dari 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ternak mati yaitu 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 terjadi saat 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 + 1, 𝑢𝑢 + 2, … , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 . Peluang terjadinya kasus ini:
𝑃𝑃 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝛼𝛼 ( 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ) � = 𝑃𝑃 �� 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 = 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=𝑢𝑢 � = 𝑎𝑎 � � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽
𝑖𝑖=𝑢𝑢 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖 + (1 − 𝑎𝑎 ).
Berdasarkan penurunan pada ketiga kasus tersebut, diperoleh fungsi massa peluang untuk variabel acak diskret 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) adalah
𝑃𝑃 { 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = ℓ } = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑎𝑎 � � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖=0 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖 , ℓ = 0; 𝑎𝑎 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑑𝑑 + ℓ� 𝑞𝑞 𝑑𝑑+ℓ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑑𝑑−ℓ , ℓ = 1, 2, … , 𝑢𝑢 − 1 − 𝑑𝑑 ; 𝑎𝑎 � � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽
𝑖𝑖=𝑢𝑢 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖 + (1 − 𝑎𝑎 ), ℓ = 𝛼𝛼 ( 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ). (8)
Dari Persamaan (8), dapat dicari momen pertama dan kedua dari 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) yaitu:
• Momen pertama dari 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ):
𝐸𝐸 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � = 𝑎𝑎 � 𝑤𝑤 𝑢𝑢−1−𝑑𝑑 𝑤𝑤=1 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑑𝑑 + 𝑤𝑤� 𝑞𝑞 𝑑𝑑+𝑤𝑤 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑑𝑑−𝑤𝑤 + 𝛼𝛼 ( 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ) �𝑎𝑎 � �� 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖 � + (1 − 𝑎𝑎 ) 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=𝑢𝑢 � . (9)
• Momen kedua dari 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ):
𝐸𝐸 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 2 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � = 𝑎𝑎 � 𝑤𝑤 2 � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑑𝑑 + 𝑤𝑤� 𝑞𝑞 𝑑𝑑+𝑤𝑤 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑑𝑑−𝑤𝑤 𝑢𝑢−1−𝑑𝑑
𝑤𝑤=1 + 𝛼𝛼 2 ( 𝑢𝑢 − 𝑑𝑑 ) 2 �𝑎𝑎 � �� 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖 � 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝛽𝛽 −𝑖𝑖 � + (1 − 𝑎𝑎 ) 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑖𝑖=𝑢𝑢 � (10)
Kedua momen tersebut dapat digunakan untuk mencari ekspektasi dan variansi dari 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) . Untuk  memperoleh 𝐸𝐸 [ 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 )] dan Var[ 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 )], digunakan hubungan 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 ⋅ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) sehingga diperoleh:
• Ekspektasi dari 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) :
𝐸𝐸 �𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 ⋅ 𝐸𝐸 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � . (11)
• Variansi dari 𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) :
Var �𝐿𝐿 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑
, 𝑢𝑢 ) � = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 2 ⋅ Var �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � = 𝑃𝑃 𝛽𝛽 2 ⋅ �𝐸𝐸 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 2 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � − �𝐸𝐸 �𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) �� 2 � (12)

## 2.5 Metode Premi Murni
Metode Premi Murni adalah metode sederhana untuk menghitung average indicated premium rate yang dibebankan perusahaan asuransi kepada pemegang polis dengan melibatkan
174

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
estimasi dari ekspektasi besar kerugian [9]. Artinya, metode ini digunakan untuk menentukan rata- rata tarif premi suatu produk asuransi baru yang belum memiliki data historis.
Menurut  [10],  definisi premi murni atau yang biasa disebut sebagai loss cost adalah ekspektasi besar kerugian yang terjadi per eksposur (unit dasar risiko). Perhitungannya dilakukan dengan persamaan dasar asuransi ( fundamental insurance equation ) yaitu
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑒𝑒𝑚𝑚𝑖𝑖𝑢𝑢𝑚𝑚 = 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐸𝐸 + 𝑈𝑈𝑊𝑊 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝐿𝐿𝑒𝑒𝐿𝐿 + 𝑈𝑈𝑊𝑊 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐿𝐿𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡
(13) Tabel 1. Keterangan Persamaan Dasar Asuransi Komponen Rumusan Premium ialah besar premi yang dibebankan perusahaan asuransi kepada pemegang polis yang sudah mencakup semua biaya pengeluaran dan keuntungan perusahaan asuransi untuk kelompok usia ternak 𝛽𝛽 .
𝑃𝑃 𝐼𝐼𝛽𝛽 Losses merupakan besar kerugian yang merupakan kompensansi atau tanggungan perusahaan asuransi kepada pemegang polis.
𝐿𝐿 = 𝐸𝐸 �𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) �
Loss Adjustment Expenses/LAE m erupakan biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi untuk menyelesaikan klaim, seperti biaya pengacara, biaya pengadilan, biaya pengatur ( adjustor ) besar klaim, dan lain-lain.
𝐸𝐸 𝐿𝐿 = 𝜌𝜌 ⋅ 𝐸𝐸 �𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � dengan persentase konstan 𝜌𝜌 sebagai konstanta pembandingnya
Underwriting Expenses adalah biaya operasional dan biaya administrasi yang dikeluarkan perusahaan asuransi untuk dapat melayani nasabah. Biaya ini dibagi menjadi 2 macam yaitu biaya tetap ( 𝐸𝐸 𝐹𝐹 ) dan biaya variabel ( 𝐸𝐸 𝑉𝑉 )

## 𝑈𝑈𝑊𝑊 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝐿𝐿𝑒𝑒𝐿𝐿 = 𝐸𝐸 𝐹𝐹 + 𝐸𝐸 𝑉𝑉
• Biaya tetap ( 𝐸𝐸 𝐹𝐹 ) didefinisikan sebagai 𝐸𝐸 𝐹𝐹 = 𝜂𝜂 ⋅ 𝐸𝐸 �𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � dengan persentase konstan 𝜂𝜂 .
• Biaya variasi 𝐸𝐸 𝑉𝑉 didefinisikan sebagai 𝐸𝐸 𝑉𝑉 =
� Var[ 𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 )]
Underwriting profit atau laba operasional adalah hasil
dari penjualan produk asuransi.
𝑈𝑈𝑊𝑊 𝑃𝑃𝑃𝑃𝐿𝐿𝑓𝑓𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝑄𝑄 𝑇𝑇 ⋅ 𝑃𝑃 𝐼𝐼𝛽𝛽 dengan 𝑄𝑄 𝑇𝑇 adalah persentase target keuntungan/laba
Persamaan (13) kemudian disubstitusikan  dengan  notasi dan persamaan yang diperoleh pada kelima poin di atas sehingga Persamaan (13) dapat ditulis menjadi
𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 = ( 1+𝜌𝜌+𝜂𝜂 ) ⋅𝐸𝐸�𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) �+�Var [ 𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 )] ( 1−𝑄𝑄 𝑇𝑇 ) . (14)
Persamaan (14) dibagi dengan 𝑿𝑿 ( in-force exposures : besar unit yang diasuransikan) sehingga ditulis 𝑿𝑿 = 𝒏𝒏 𝜷𝜷 ⋅ 𝑷𝑷 𝜷𝜷 dan menjadi 𝑷𝑷 𝑰𝑰 𝜷𝜷 ����� yang merupakan persentase tarif premi rata-rata ( average indicated premium rate ).

## 175
𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� = ( 1+𝜌𝜌+𝜂𝜂 ) ⋅𝐸𝐸�𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) �+�Var�𝐿𝐿 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ⋅𝑃𝑃 𝛽𝛽 ⋅ ( 1−𝑄𝑄 𝑇𝑇 ) . (15)
Substitusikan Persamaan (11) dan (12) ke Persamaan (15), sehingga menjadi
𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� = ( 1+𝜌𝜌+𝜂𝜂 ) ⋅𝐸𝐸�𝑊𝑊 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) �+�Var�𝑊𝑊 𝑡𝑡𝛽𝛽 ( 𝑑𝑑 , 𝑢𝑢 ) � 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ⋅ ( 1−𝑄𝑄 𝑇𝑇 ) . (16)
Premi total yang dibayarkan pemegang polis ditentukan dengan menghitung
𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� ⋅ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ⋅ 𝑃𝑃 𝛽𝛽 . (17)

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bab ini, dilakukan simulasi dan analisis pengaruh perubahan  parameter pada hasil perhitungan premi asuransi bencana kematian ternak sapi dengan pengaruh fatal shock menggunakan data populasi sapi dari Kota Bogor yang bersumber dari Dinas Ketahanan Pangan & Peternakan Provinsi Jawa Barat dan Dinas Perikanan & Peternakan Kabupaten Bogor. Berikut adalah kategori data yang digunakan:
1. Banyak populasi sapi potong dan sapi perah per kategori umur sapi dari 40 kecamatan di Kabupaten Bogor dari tahun 2016-2019.
2. Banyak sapi yang terinfeksi penyakit Brucellosis dari 18 kabupaten di Provinsi Jawa Barat dari tahun 2016-2019.
3. Banyak populasi sapi dari 18 kabupaten di Provinsi Jawa Barat dari tahun 2016-2019.
4. Tingkat kematian sapi potong dan sapi perah di Provinsi Jawa Barat tahun  2019 yaitu masing-masing sebesar 1,55% dan 1,77%.
Data yang diperoleh membedakan sapi potong dan sapi perah, namun untuk menyederhanakan pemodelan, perhitungan akan menggabungkan banyaknya sapi potong dan sapi perah.
Diasumsikan tahapan produksi sapi dibedakan menjadi 3 berdasarkan kategori usia sapi, yaitu anak sapi atau pedet dengan usia 0-1 tahun untuk 𝛽𝛽 = 1 , sapi muda dengan usia 1-2 tahun untuk kategori 𝛽𝛽 = 2 , dan sapi dewasa dengan usia 2-4,5 tahun untuk kategori 𝛽𝛽 = 3 . Artinya, interval masa hidup sapi untuk setiap kategori usia sapi ( 𝛽𝛽 ) adalah 𝑡𝑡 1 = 1 , 𝑡𝑡 2 = 1 , dan 𝑡𝑡 3 = 2,5 .
3.1 Nilai Parameter 𝜆𝜆 dan 𝜃𝜃 𝛽𝛽 �
Parameter 𝜆𝜆 menyatakan  tingkat kedatangan penyakit Brucellosis dan estimator 𝜃𝜃 𝛽𝛽 � dari distribusi 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝛽𝛽 . Kejadian terjadinya penyakit Brucellosis yang menyerang ternak sapi adalah suatu peristiwa atau bencana yang jarang terjadi, sehingga jumlah kejadian terjadinya serangan penyakit
176

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
Brucellosis dalam interval waktu 𝑡𝑡′ yang dinyatakan dalam bentuk 𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 ′ ) diasumsikan sebagai suatu proses  Poisson( 𝜆𝜆 )  dan  berlaku  rataan 𝐸𝐸 [ 𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 ′ ) ] = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑡𝑡′ . Data populasi yang terinfeksi penyakit Brucellosis dari dinas yang diberikan adalah per tahun, maka nilai 𝑡𝑡 ′ = 1 . Nilai 𝜆𝜆 cukup dicari dengan menghitung 𝐸𝐸 [ 𝑁𝑁 ( 𝑡𝑡 ′ )] dengan membagi banyak sapi yang terinfeksi Brucellosis dalam interval waktu 1 tahun dengan total sapi hidup pada interval waktu tersebut. Data banyak sapi yang digunakan diasumsikan berasal dari peternakan yang berbeda (saling bebas).
Tabel 2. Tingkat Kedatangan Penyakit Brucellosis ( 𝜆𝜆 ) yang Diperoleh dari Tahun 2016-2019.
Tahun ( 𝒊𝒊 ) 2016 2017 2018 2019 𝝀𝝀 𝒊𝒊 0,00029 0,00015 0,00078 0,00050
Selanjutnya, akan dicari nilai dari 𝜃𝜃 𝛽𝛽 � menggunakan Persamaan (5). Berdasarkan persamaan tersebut, perlu dicari data 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 , dengan 𝑗𝑗 menyatakan 40 kecamatan di Kabupaten Bogor dan 𝛽𝛽 ∈ {1,2,3} . Untuk memperoleh nilai 𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝛽𝛽 , diperlukan tingkat kematian sapi per tahunnya untuk tahun 2016-2019. Tingkat kematian sapi yang diperoleh dari dinas hanya diketahui untuk tahun 2019. Maka dari itu, diasumsikan tingkat kematian sapi untuk tahun-tahun sebelumnya sebagai berikut.
𝐷𝐷 𝑖𝑖 , Ω = 𝑁𝑁 𝑖𝑖 , Ω 𝑁𝑁 𝑖𝑖+1 , Ω ⋅ 𝐷𝐷 𝑖𝑖+1 , Ω ,
untuk setiap tahun 𝑖𝑖 ∈ (2018, 2017, 2016) dan jenis sapi Ω ∈ {potong, perah} . Perhatikan bahwa 𝐷𝐷 𝑖𝑖 , Ω adalah tingkat kematian sapi pada tahun 𝑖𝑖 jenis Ω dan 𝑁𝑁 𝑖𝑖 , Ω adalah total sapi hidup pada tahun 𝑖𝑖 jenis Ω di Kabupaten Bogor.
Tabel 3. Tingkat Kematian Sapi Potong dan Sapi Perah untuk Tahun 2016-2019.
Tingkat kematian sapi pada Tabel 3 dikalikan dengan banyak sapi potong dan sapi perah yang hidup di tahun tersebut sehingga diperoleh banyak sapi potong dan sapi perah yang mati dari tahun 2016-2019, seperti yang ditampilkan dalam Tabel 4.
Tingkat Kematian ( 𝑫𝑫 𝒊𝒊 , 𝛀𝛀 ) Tahun ( 𝒊𝒊 ) 2019 2018 2017 2016 Sapi Potong ( 𝐷𝐷 𝑖𝑖 , potong ) 0,015500 0,015595 0,020517 0,033915 Sapi Perah ( 𝐷𝐷 𝑖𝑖 , perah ) 0,017700 0,017269 0,016343 0,017447
Tabel 4. Banyak Sapi Potong dan Sapi Perah yang Mati per Kategori Umur Sapi dari 40 Kecamatan di Kabupaten Bogor dari Tahun 2016-2019.
Dapat  dicari nilai 𝜃𝜃 𝛽𝛽 � untuk setiap 𝛽𝛽 menggunakan  Persamaan (5)  digunakan untuk menghitung nilai 𝑞𝑞 menggunakan Persamaan (1). Nilai 𝜃𝜃 𝛽𝛽 � dan 𝑞𝑞 yang didapat ditampilkan dalam Tabel 5.
Tabel 5. Estimasi Parameter 𝜃𝜃 𝛽𝛽 � dan 𝑞𝑞 𝜷𝜷
1 (Anak Sapi)  2 (Sapi Muda)  3 (Sapi Dewasa) 𝜽𝜽 𝜷𝜷 � 0,0197 0,0202 0,0093 𝒒𝒒 0,0195 0,0200 0,0231
3.2    Simulasi Perhitungan Premi untuk Kelompok Usia Sapi yang Sama
Misalkan terdapat 3 orang peternak sapi di Bogor yang ingin mengasuransikan seluruh sapinya, di mana seluruh sapi setiap peternak berada pada kategori umur yang sama  dan diasumsikan 𝑑𝑑 = 1 , 𝑢𝑢 = 7 , 𝑛𝑛 𝛽𝛽 = 7 , 𝛼𝛼 = 80% , dan 𝜆𝜆 = 0,00078. Peternak pertama ingin mengasuransikan 7 ekor anak sapi seharga 𝑃𝑃 𝐼𝐼 1 =  Rp 9.497.500 , peternak kedua mengasuransikan 7 ekor sapi muda seharga 𝑃𝑃 𝐼𝐼 2 = Rp 14.937.500, dan peternak ketiga akan mengasuransikan 7 ekor sapi dewasa  seharga 𝑃𝑃 𝐼𝐼 3 =  Rp 17.525.000 .  Dengan program Matlab, diperoleh  nilai 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� dari Persamaan (16) dengan 𝜌𝜌 = 𝜂𝜂 = 10% dan 𝑄𝑄 𝑇𝑇 = 15% untuk setiap peternak sesuai jenis kelompok usia sapi yang diasuransikan, sehingga  didapat  besar premi total per tahun yang dibayarkan setiap peternak pada Tabel 6.
Tahun ( 𝒊𝒊 ) Banyak Sapi yang Mati ( 𝒘𝒘 𝒋𝒋 , 𝛃𝛃 ) Anak ( 𝒘𝒘 𝒋𝒋 , 𝟏𝟏 ) Muda ( 𝒘𝒘 𝒋𝒋 , 𝟐𝟐 ) Dewasa ( 𝒘𝒘 𝒋𝒋 , 𝟑𝟑 ) Potong  Perah  Potong Perah Potong Perah 2016 83 14 159 14 1.147 117 2017 42 20 86 25 376 82 2018 32 23 64 26 196 89 2019 29 30 67 31 188 83 Total 273 4721 2.278
178

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
Tabel 6. Premi Setiap Peternak dengan Jenis Sapi yang Diasuransikan Sama.
Peternak ke- 𝑷𝑷 𝑰𝑰 𝜷𝜷 ����� 𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 Premi per Ekor Sapi per Tahun 1 0,0294 Rp 1.954.586 Rp 279.227 2 0,0298 Rp 3.115.963 Rp 445.138 3 0,0439 Rp 5.385.433 Rp 769.348
Berdasarkan hasil simulasi perhitungan pada Tabel 6, dapat dilihat bahwa terjadi kenaikan premi dari kelompok usia anak sapi ke sapi muda sebesar Rp 1.161.377 ( 59 % dari total premi) jika sapi yang diasuransikan berasal dari kelompok usia anak. Namun, jika sapi yang diasuransikan berubah dari kelompok usia anak ke sapi dewasa, kenaikan yang terjadi hampir 1,75 kali dari premi pada anak sapi yaitu Rp 3.430.847 . Hal ini dapat terjadi karena semakin tua sapi, maka semakin rendah sistem imunitas tubuh sapi sehingga rentan akan berbagai faktor-faktor penyebab kematian. Jadi, semakin tua seekor sapi yang diasuransikan maka semakin mahal atau semakin besar kenaikan premi yang harus dibayarkan peternak.
3.3   Simulasi Perhitungan Premi untuk Kelompok Usia Sapi yang Berbeda
Pada subbab ini, disimulasikan perhitungan besar premi untuk jenis sapi yang diasuransikan berasal dari kategori usia yang berbeda-beda. Artinya, untuk setiap 𝛽𝛽 ∈ {1,2,3} masing-masing memiliki jumlah sapi yang diasuransikan berbeda ( 𝑛𝑛 𝛽𝛽 )  dan parameter 𝜃𝜃 𝛽𝛽 yang berbeda juga bergantung pada kelompok usia sapinya. Kemudian, untuk setiap kelompok usia sapi akan dicari persentase tarif premi rata-rata  ( 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� ) dengan mensubstitusikan nilai-nilai untuk masing-masing kelompok usia ternak sapi ke Persamaan (16). Nilai 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� untuk setiap 𝛽𝛽 ∈ {1,2,3} digunakan untuk mencari total harga premi dari setiap kelompok usia sapi dengan menghitung 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� ⋅ 𝑛𝑛 𝛽𝛽 ⋅ 𝑃𝑃 𝛽𝛽 . Terakhir, total premi dari masing-masing kelompok usia ternak dijumlahkan sehingga diperoleh
𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐿𝐿 = 𝑃𝑃 𝐼𝐼 1 ���� ⋅ 𝑛𝑛 1 ⋅ 𝑃𝑃 1 + 𝑃𝑃 𝐼𝐼 2 ���� ⋅ 𝑛𝑛 2 ⋅ 𝑃𝑃 2 + 𝑃𝑃 𝐼𝐼 3 ���� ⋅ 𝑛𝑛 3 ⋅ 𝑃𝑃 3 . (18)
Misal  terdapat 3 peternak sapi di Bogor yang ingin mengasuransikan sapinya  dan diasumsikan 𝑑𝑑 = 1 , 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 , 𝛼𝛼 = 80% , 𝜌𝜌 = 𝜂𝜂 = 10% dan 𝑄𝑄 𝑇𝑇 = 15% . Peternak pertama ingin mengasuransikan 2 ekor anak sapi, 2 ekor sapi muda, dan 3 ekor sapi dewasa dengan pilihan 𝜆𝜆 = 0 dan 𝜆𝜆 = 0,00078 . Peternak kedua ingin mengasuransikan 3 ekor anak sapi dan 5 ekor sapi dewasa  dengan 𝜆𝜆 = 0,00078 serta  pilihan 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 dan 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 .  Peternak  ketiga ingin mengasuransikan 6 ekor anak sapi, tetapi masih belum bisa menentukan apakah ingin mengasuransikan 1, 2, 3, atau 4 ekor sapi dewasa. Diasumsikan harga sapi per kelompok usia adalah 𝑃𝑃 𝐼𝐼 1 =  Rp 9.497.500 , 𝑃𝑃 𝐼𝐼 2 = Rp 14.937.500, dan 𝑃𝑃 𝐼𝐼 3 =  Rp 17.525.000 .

## 179

## 1. Peternak pertama:
Sapi yang diasuransikan adalah 𝑛𝑛 1 = 2 , 𝑛𝑛 2 = 2 , dan 𝑛𝑛 3 = 3 . Dari Persamaan (16) dan menggunakan perangkat lunak Matlab untuk menghitung 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� , diperoleh 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� untuk setiap kategori usia sapi dengan 𝜆𝜆 = 0 dan 𝜆𝜆 = 0,00078 . Total premi yang dibayarkan peternak pertama dari Persamaan (18) seperti pada Tabel 7.
Tabel 7. Premi Total per Tahun Milik Peternak Pertama.
𝝀𝝀 𝑷𝑷 𝑰𝑰𝜷𝜷 ����� 𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝝀𝝀 𝑷𝑷 𝑰𝑰𝜷𝜷 ����� 𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 0 𝑃𝑃 𝐼𝐼1 ���� = 0,0094 Rp 1.054.193/tahun. 0,00078 𝑃𝑃 𝐼𝐼1 ���� = 0,0167 Rp 2.606.667/tahun. 𝑃𝑃 𝐼𝐼2 ���� = 0,0096 𝑃𝑃 𝐼𝐼2 ���� = 0,0168 𝑃𝑃 𝐼𝐼3 ���� = 0,0112 𝑃𝑃 𝐼𝐼3 ���� = 0,0340
Perhatikan Tabel 7, dapat dilihat bahwa semakin tinggi tingkat 𝜆𝜆 maka semakin besar nilai 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� yang menyebabkan preminya juga semakin mahal. Hal ini disebabkan penyakit akan meningkatkan risiko terjadinya kematian pada ternak.

## 2. Peternak kedua:
Sapi yang diasuransikan adalah 𝑛𝑛 1 = 3 dan 𝑛𝑛 3 = 5 .  Dari  Persamaan  (16)  dan menggunakan perangkat lunak Matlab untuk menghitung 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� , diperoleh 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� untuk setiap kategori usia sapi dengan 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 dan 𝑢𝑢 = 𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 . Total premi yang dibayarkan peternak kedua dari Persamaan (18) seperti pada Tabel 8.
Tabel 8. Premi Total per Tahun Milik Peternak Kedua.
𝒖𝒖 𝑷𝑷 𝑰𝑰𝜷𝜷 ����� 𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒖𝒖 𝑷𝑷 𝑰𝑰𝜷𝜷 ����� 𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻
𝑛𝑛 𝛽𝛽 − 1 𝑃𝑃 𝐼𝐼1 ���� = 0,0144
Rp 3.310.680/tahun. 𝑛𝑛 𝛽𝛽 𝑃𝑃 𝐼𝐼1 ���� = 0,0230 Rp 4.212.903/tahun. 𝑃𝑃 𝐼𝐼2 ���� = 0,0331 𝑃𝑃 𝐼𝐼2 ���� = 0,0406
Berdasarkan Tabel 8, nilai 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� dan total premi akan semakin besar seiring meningkatnya 𝑢𝑢 yang berarti  pembayaran  menjadi  bertambahnya  kewajiban perusahaan asuransi untuk menanggung  kerugian peternak.  Untuk mengurangi risiko bagi perusahaan asuransi, dibebankan premi yang tinggi.
3. Peternak ketiga:
Sapi yang diasuransikan adalah 𝑛𝑛 1 = 2 dan 𝑛𝑛 3 = 1 , 𝑛𝑛 3 = 2 , 𝑛𝑛 3 = 3 , atau 𝑛𝑛 3 = 4 . Dari Persamaan (16) dan  menggunakan  perangkat lunak Matlab untuk menghitung 𝑃𝑃 𝐼𝐼 𝛽𝛽 ���� , diperoleh 4 kemungkinan bagi peternak ketiga pada Tabel 9.
180

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
Pada peternak ketiga ini, dipilih jumlah sapi dewasa yang berbeda-beda karena ingin melihat pengaruh dari deductible terhadap harga premi asuransi.
Tabel 9. Premi Total per Tahun Milik Peternak Ketiga untuk Jumlah Sapi Dewasa yang Diasuransikan Bervariasi dari 1 hingga 4 Ekor.
𝒏𝒏 𝟑𝟑 𝑷𝑷 𝑰𝑰 𝟑𝟑 ���� 𝑷𝑷 𝑰𝑰 𝟏𝟏 ����
𝑷𝑷 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻 per Tahun 1 0,1751 0,0285 Rp 4.692.700 2 0,0248 0,0285 Rp 2.493.313 3 0,0340 0,0285 Rp 3.411.623 4 0,0381 0,0285 Rp 4.294.883
Dari  Tabel  9,  jika hanya satu ekor sapi dewasa  yang diasuransikan, maka total premi untuk mengasuransikan 1 ekor sapi dewasa dan 6 ekor anak sapi adalah Rp 4.692.700 per tahun, jauh lebih besar dari yang mengasuransikan 2 hingga 4 ekor sapi dewasa. Hal ini dapat terjadi sebab pada saat hanya satu ekor sapi dewasa yang diasuransikan artinya tidak ada deductible . Tanpa adanya deductible ( 𝑑𝑑 = 0 ) , maka setiap terjadinya kematian yang merugikan peternak, perusahaan asuransi akan tetap membayar kerugian yang dialami peternak tanpa ada pengurangan. Pemegang polis akan merubah perilakunya dalam mengurangi risiko yang dapat terjadi pada sapi karena tidak ada biaya yang terlebih dahulu dibebankan pada peternak apabila terjadi risiko kerugian. Artinya, risiko yang ditanggung perusahaan asuransi sangat besar yang menyebabkan preminya tentu akan lebih mahal. Dengan adanya pembebanan 𝑑𝑑 , maka premi menjadi lebih murah. Saat 𝑛𝑛 3 ≥ 2 , total premi membesar  karena  faktor pengali 𝑛𝑛 3 nilainya semakin besar yang mengakibatkan total preminya juga semakin mahal. Kasus  ini menunjukkan bahwa semakin banyak sapi yang diasuransikan maka preminya akan semakin mahal.

## 4  Simpulan
Berdasarkan pembahasan dan simulasi yang sudah dilakukan pada bab sebelumnya, diperoleh bahwa besar premi per ekor lebih tinggi dari premi pada program Asuransi Usaha Ternak Sapi (AUTS) milik pemerintah. Tarif premi yang dibebankan akan semakin kecil seiring meningkatnya d sebab dengan adanya faktor deductible, kerugian tidak sepenuhnya akan ditanggung perusahaan asuransi  sehingga  memperkecil risiko kerugian yang akan ditanggung perusahaan asuransi. Sebaliknya, tarif premi yang dibebankan berbanding lurus seiring membesarnya variabel u , 𝝀𝝀 , 𝒏𝒏 𝜷𝜷 , dan usia sapi.
Beberapa saran untuk pengembangan penelitian ini adalah dapat dibuat model asuransi yang memperhitungkan premi asuransi dari beberapa kelompok sapi dengan kombinasi jumlah dan
kategori umur ternak. Selanjutnya dapat digunakan juga variabel acak yang bersifat dependen dengan menggunakan kopula Gaussian atau Archimedes untuk pemodelan asuransi bencana kematian untuk ternak.

## 5  Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer yang sudah memberikan masukan yang berharga untuk perbaikan materi dalam makalah ini. Tidak lupa penulis juga berterima kasih kepada Dinas Ketahanan Pangan dan Peternakan Propinsi Jawa Barat dan Dinas Perikanan dan Peternakan Kabupaten Bogor untuk data yang disediakan untuk mendukung riset ini. Terakhir, dukungan dari Universitas Katolik Parahyangan agar Penulis terus berkarya dalam penelitian.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  Dahiri and R. Wardianingsih, “Review Asuransi Usaha Ternak Sapi,” Bul. APBN , vol. IV, pp. 8–11, 2019.
[2]  Insyafiah and I. Wardhani, Kajian Persiapan Implementasi Asuransi Pertanian Secara Nasional . Kementerian Keuangan Badan Kebijakan Fiskal Pusat Pengelolaan Risiko Fiskal, 2014.
[3]  OJK, “Lokakarya Pembangunan Perikanan Budidaya Berkelanjutan: Udang dan Rumput Laut  -  Asuransi Usaha Tani Padi, Asuransi  Usaha Ternak Sapi, Asuransi Perikanan Pembudidaya Ikan Kecil, Asuransi Nelayan,” 2019. https://wri- indonesia.org/id/events/lokakarya-pembangunan-perikanan-budidaya-berkelanjutan- udang-dan-rumput-laut (accessed Nov. 17, 2020).
[4]  J. Pai and N. Ravishanker, “Livestock mortality catastrophe insurance using fatal shock process,” Insur. Math. Econ. , vol. 90, pp. 58–65, 2020, doi: 10.1016/j.insmatheco.2019.11.001.
[5]  M. Z. Khan and M. Zahoor, “An overview of brucellosis in cattle and humans, and its serological and molecular diagnosis in control strategies,” Trop. Med. Infect. Dis. , vol. 3, no. 2, 2018, doi: 10.3390/tropicalmed3020065.
[6]  C. Basri and B. Sumiarto, “Taksiran Kerugian Ekonomi Penyakit Kluron Menular (Brucellosis) pada Populasi Ternak di Indonesia,” J. Vet. , vol. 18, no. 4, pp. 547–556, 2017, doi: 10.19087/jveteriner.2017.18.4.547.
[7]  S. Anastasiadis and S. Chukova, “Multivariate insurance models: An overview,” Insur. Math. Econ. , vol. 51, no. 1, pp. 222–227, 2012, doi: 10.1016/j.insmatheco.2011.01.013.
182

## Pemodelan Premi Asuransi Bencana Kematian pada Ternak Sapi dengan Pengaruh Fatal Shock
[8]  J. LeMaire, N. Bowers, H. Gerber, J. Hickman, D. Jones, and C. Nesbitt, Actuarial Mathematics , vol. 57, no. 2. THE SOCIETY OF ACTUARIES, 1997.
[9]  G. Werner et al. , Basic Ratemaking , 5th ed., no. October. USA: Casualty Actuarial Society, 2016.
[10]  R. L. Brown and L. R. Gottlieb, Introduction to ratemaking and loss reserving for property and casualty insurance , 3rd ed. USA: ACTEX Publications, 2001.