Vol. 17, No. 2,  314-324,  January, 2021 DOI: 10.20956/jmsk.v17i2.10994
___________________________  Program Studi Magister Matematika, FMIPA-UNHAS Email : 1 Surianiyani01f@gmail.com, 2 syamsuddint@gmail.com, 3 kasbawati@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## MSEICR Fractional Order Mathematical Model of The Spread Hepatitis B
Model Matematika Orde Fractional MSEICR pada Penyebaran Penyakit Hepatitis B
Suriani.M 1* , Syamsuddin Toaha ,2* , Kasbawati 3*

## Abstract.
This research aims to develop the MSEICR model by reviewing fractional orders on the spread of Hepatitis  B  by  administering  vaccinations  and  treatment,  and  analyzing  fractional  effects  by numerical  simulations of the  MSEICR  mathematical  model using the  method Grunwald Letnikov. Researchers  use  qualitative  methods  to  achieve  the  object  of  research.  The  steps  are  to  determine the MSEICR  model by reviewing the  fractional order, looking  for endemic equilibrium points  for each  non-endemic  and  endemic  equilibrium  point,  determining  the  equality  of  characteristics  and eigenvalues  of  the  Jacobian  matrix.  Next,  look  for  values (Basic  Reproductive  Numbers), analyze  stability  around  non-endemic  and  endemic  equilibrium  points  and  complete  numerical simulations.  From  the  simulation  provided,  it  is  known  that  by  giving  a  fractional  alpha  value  of
and ,  the  greater  the  value  of  the  fractional  order  parameters  used,  the movement  of  the  solution  graphs  is  getting  closer  to  the  equilibrium  point.  If  given and still endemic, whereas if and the value  is increased to non-endemic, then the number of hepatitis B sufferers will disappear.
Keywords : Hepatitis B, Fractional orde MSEICR model, Stability analysis.

## Abstrak
Peneletian  ini bertujuan  untuk  mengembangkan  model MSEICR dengan  meninjau orde fraksional pada  penyebaran  penyakit  Hepatitis  B  dengan  pemberian  vaksinasi  dan  pengobatan,  dan menganalisis  efek  fraksional  dengan  simulasi  numerik  model  matematika  MSEICR  menggunakan metode Grunwald  Letnikov. Peneliti  menggunakan  metode  kualitatif  untuk  mencapai  objek penelitian.  Langkah-langkahnya  adalah  menentukan  model  MSEICR  dengan  meninjau  orde fraksional, mencari titik kesetimbangan endemik untuk setiap titik kesetimbangan non-endemik dan endemik,  menentukan  persamaan  karakteristik  dan  nilai  eigen  matrik  Jacobian.  Selanjutnya, mencari  nilai (Bilangan  Reproduksi  Dasar),  menganalisis  kestabilan  disekitar  titik kesetimbangan  non-endemik dan endemik dan menyelesaian simulasi numerik. Dari simulasi yang diberikan diketahui bahwa dengan memberikan nilai alpha fraksional sebesar dan ,  semakin  besar  nilai  parameter  orde  fraksional  yang  digunakan, maka  pergerakan  grafik  solusi  semakin  mendekati  titik  kesetimbangan.  Jika  diberikan dan masih terjadi endemik sedangkan jika nilai ditingkatkan menjadi dan maka terjadi non-endemik, akibatnya jumlah penderita hepatitis B akan hilang.
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Kata kunci : Hepatitis B, Orde fraksional, Analisis kestabilan.

## 1. Pendahuluan
Hepatitis  adalah  penyakit  peradangan  hati.  Kondisi  ini  dapat  membatasi  diri  atau dapat berkembang  menjadi fibrosis (jaringan parut), sirosis atau kanker hati. Ada lima virus hepatitis  utama,  yaitu  tipe  A,  B,  C,  D  dan  E.  Kelima  jenis  ini  menjadi  perhatian  terbesar karena beban penyakit dan kematian yang ditimbulkannya dan potensi penyebaran wabah dan epidemi. Infeksi hepatitis B dan C menyebabkan penyakit hati kronis pada ratusan juta orang. Sehingga  menjadi  penyebab  paling  umum  dari  sirosis  hati  dan  kanker  hati  [12].  Virus hepatitis  telah  menjadi  tantangan  kesehatan  masyarakat  secara  global.  Meskipun  ada 5 jenis virus hepatitis yang berbeda, hepatitis B kronis dan C menyebabkan 95% mengidap penyakit hepatitis  dan  kematian  dini.  Hepatitis  D  kurang  umum  dan  hanya  terjadi  dalam  hubungan dengan  Hepatitis  B.  Virus  lain  (yaitu  hepatitis  A  &  E)  menyebar  melalui  makanan  dan  air yang terkontaminasi dan menyebabkan infeksi akut serta wabah di daerah-daerah yang miskin sanitasi  dan  pembuangan  limbah  yang  tidak  memadai.  Infeksi  akut  sering  berumur  pendek dan sembuh dalam beberapa minggu. Epidemi virus hepatitis B dan C menyebabkan 325 juta orang secara global dan 10 kali lebih besar dari epidemi HIV secara global. Setiap hari, lebih dari  3600  orang  meninggal  karena  penyakit  hati  yang  disebabkan  virus  hepatitis,  gagal  hati dan kanker hati [13]. Pemberian vaksinasi pada bayi yang baru lahir dapat berpengaruh dalam upaya  pencegahan  penyakit  hepatitis  B.  Salah  satu  pencegahan  penyakit  hepatitis  B  yang paling  efektif  yaitu  dengan  melakukan  suntik  vaksinasi  hepatitis  B.  Pemberian  vaksin dilakukan sebanyak 3 kali, yaitu pada saat bayi baru lahir, anak usia 1 bulan dan 3-6 bulan. Maka  dari  itu,  pemerintah  mewajibkan  pada  orang  tua  untuk  melakukan  imunisasi  hepatitis pada bayi dan anak-anak untuk mencegah dan melindungi dari penyakit hepatitis B.
Model  matematika  merupakan  sekumpulan  persamaan  dan  pertidaksamaan matematika  yang  menginterpretasikan  permasalahan  dunia  nyata  dalam  bahasa  matematika. Model  matematika  juga  dipandang  sebagai  proses  membangun  suatu  model  untuk menggambarkan  dinamika  suatu  sistem,  sehingga  dapat  diketahui  atau  diperkirakan  sesuatu yang  akan  terjadi  pada  sistem  tersebut  dalam  jangka  waktu  tertentu  [11]. Pemodelan matematika  banyak  digunakan  dalam  berbagai  disiplin  ilmu,  salah  satunya  adalah  ilmu kesehatan.  Pemodelan  matematika  dibidang  kesehatan  dikenal  sebagai  model  epidemiologi [10] Muin dkk [8] menganalisis suatu modifikasi model SEIR untuk mengetahui penyebaran penyakit  hepatitis  dengan mengambil  vaksin  dan  pengobatan  kepada  kelompok  yang  masuk sebagai  penyakit  hepatitis,  yang  membagi  kompartemen  menjadi  enam  MSEICR  yaitu immunized individual (M), susceptible (S), exposed (E), infection indivisuals (I), carriers (C), recovered  (R) dan  menganalis  model  tersebut dalam  bentuk  sistem  persamaan  differensial biasa  (SPDB).  Pendekatan  turunan  fraksional  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah turunan  fraksional  Caputo.  Angstman  dkk  [1]  menganalisis  dan  memodifikasi  model matematika SIR yang berbentuk SPDB nonlinear kedalam bentuk SPDF. Das dan Gupta [3] sistem  persamaan  differensial  orde  fraksional  (SPDF)  diperoleh  dari  sistem  persamaan differensial  nonlinear  sehingga  turunan  pertama  dari  sistem  persamaan  differensial  tersebut menjadi turunan fraksional orde dengan pada model Lotka-Volterra.

## 2. Model Matematika Orde Fraksional MSEICR
Model  MSEICR  merupakan  pengembangan  dari  model  SEIR  yang  secara  umum terbagi  menjadi  empat  kompartemen  yaitu susceptible ( ), exposed ( ), infected ( ),  dan recovered [7].  Pada  tulisan  ini,  penyakit  hepatitis  B  dikembangkan  menjadi  model MSEICR  orde  fraksional  dengan  membagi  populasi  manusia  menjadi  enam  kompartemen yaitu: immunized  individuals  (M) , susceptible  individuals (S), exposed  (E) , infection individuals  (I) , carriers  (C), dan recovered  (R) seperti  yang  telah  dilakukan  oleh  Muin  dkk [8].  Model  MSEICR  diasumsikan  bayi  baru  lahir  yang  diimunisasi  masuk  ke  dalam kompartemen immunized  individuals  (M) dengan  laju .  Bayi  baru  lahir  yang  tidak

## Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
diimunisasi  dengan  laju
dan  yang  telah  habis  pengaruh  imunisasinya  dengan  laju masuk  ke  dalam  kompartemen  rentan.  Individu  yang  masuk  ke  dalam  kompartemen rentan, jika mendapatkan vaksin dengan laju maka akan berpindah ke kompartemen pulih recovered (R).
Individu  yang  rentan  melakukan  kontak  dengan  individu  yang  terinfeksi  dan pembawa. Individu tersebut berpindah ke kompartemen exposed (E) dengan laju . Individu  yang  telah  terpapar  penyakit  dalam  kompartemen exposed  (E) berpindah  ke kompartemen  infeksi  dengan  laju .  Individu  infeksi  akut  berpindah  ke  kompartemen carriers  (C) dengan  laju , dan  individu  infeksi akut  dengan  HBV jernih  berpindah  dari kompartemen infection  individuals  (I) ke  kompartemen recovered  (R) dengan  laju
.  Individu  pembawa  jika  mendapatkan  pengobatan  maka  akan  berpindah  ke kompartemen recovered  (R) dengan  laju dan  pemulihan  spontan  individu  dan  bergerak dari  kompartemen carriers  (C) ke  kompartemen recovered  (R) dengan  laju .  Hilangnya kekebalan  individu  yang  sebelumnya  dari  kompartemen recovered  (R) berpindah  ke kompartemen susceptible (S) dengan laju konstanta sebesar . Setiap kompartemen dari 6 kompartemen dalam populasi memiliki tingkat kematian sendiri. Berdasarkan asumsi tersebut diperoleh sistem persamaan orde fraksional sebagai berikut
,
, , (2.1) ,
.
Keterangan variabel dan parameter model diberikan pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 . Keterangan variabel dan parameter model MSEICR
Parameter/Variabel Deskripsi Nilai Populasi kelahiran baru 0.1 Kematian alami 0.0121 Laju tranmisi 0.8-20.49 Tingkat berakhirnya keberhasilan vaksin 0.0015 Infeksi pembawa relatif terhadap infeksi akut 0-1 Laju perpindahan individu terpapar ke terinfeksi akut 0.6 Laju dimana individu meninggalkan kompartemen infeksi akut 0.8 Laju perpindahan individu pembawa ke kompartemen pemulihan 0.025 per year Laju hilangnya pemulihan 0.6 per year Proporsi individu infeksi akut menjadi pembawa 0.1 Proporsi perpindahan individu dari kompartemen rentan ke kompartemen pemulihan dengan vaksinasi 0.11 Proporsi pembawa yang pindah ke kompartemen pemulihan dengan pengobatan 0.1 Jumlah individu yang diimunisasi 0.2 Jumlah individu yang rentan 0.94
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Jumlah individu yang terpapar hepatitis B 0.8 Jumlah individu yang terinfeksi hepatitis B 0.5 Jumlah individu yang pembawa hepatitis B 0.9 Jumlah individu yang sembuh dari penyakit 0
Gambar 2.1. Skema penyebaran penyakit hepatitis B MSEICR dengan pemberian vaksin dan pengobatan.
Persamaan  differensial (PD)  adalah  persamaan  yang  memuat  hubungan  antara suatu fungsi  yang  tidak  diketahui  dengan  satu  atau  lebih  turunannya.  Berdasarkan  banyaknya variabel bebas, persamaan differensial dibagi menjadi dua yaitu, persamaan differensial biasa (PDB)  dan  persamaan  differensial  parsial  (PDP).  Persamaan  differensial  biasa  adalah persamaan  differensial  yang  hanya  memuat  satu  variable  bebas.  Persamaan  differensial parsial adalah persamaan differensial yang memuat lebih dari satu variable bebas [2].
Pada  tahun  1918,  lacroix  menjadi  matematikawan  pertama  yang  mendefinisikan turunan  fraksional.  Misalkan ,  dengan adalah  bilangan  bulat  positif  dan adalah bilangan rasional. Lacroix mendefinisikan turunan ke- dari suatu fungsi sebagai berikut :
(2.1) [4]

## 3. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan  sistem  (2.1),  jumlah  populasi  konstan/tetap  sehingga .  Persamaan  (2.1)  dapat  disederhanakan  dengan  membentuk menjadi  bentuk  proporsi  antara  banyaknya  individu  dalam  suatu  subpopulasi  dengan banyaknya populasi total. Misalkan
yang jika disubtitusikanke sistem (2.1) maka diperoleh
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
, , , ,
, .
(
(3.1)
Karena  model  (3.2)  adalah  sistem non -linear,  maka  hanya  akan  diselidiki  dan dianalisis  perilaku  titik-titik  kesetimbangan  lokal  pada  model.  Dari  sistem  (3.2)  diperoleh matriks Jacobian
(
) (3.2)
Titik-titik kesetimbangan non-endemik dan endemik dari sistem (3.2) tercapai ketika semua  laju  kompartemen  ditetapkan  menjadi  0,
,
Dengan demikian diperoleh
, , , , ,
. (3.3)
Titik  kesetimbangan  non-endemik  pada  sistem  (3.2)  tampil  pada  saat  tidak  ada penyebaran  penyakit    hepatitis  B  pada  populasi.  Kondisi  ini  terpenuhi  ketika yang
kemudian diikuti oleh . Subtitusi pada persamaan (3.4), diperoleh titik kesetimbangan non-endemik ( ) (3.4)
Titik  kesetimbangan  endemik  merupakan  keadaan  saat  penyakit  menular  menyebar  dalam suatu populasi dan terjadi pada saat
sehingga diperoleh
( ( ) ) ( 3.5) dimana ,  keberadaan
akan  dibuktikan  melalui  bilangan  reproduksi  dasar yang  dijelaskan  pada  bagian  selanjutnya.  Jika  sistem  (3.2)  dilinearkan  di  sekitar dan ( , maka diperoleh matriks Jacobi
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
[
] [ ] di mana , , , , , , , , , , , . Kestabilan dapat ditentukan melalui nilai eigen dari matriks Jacobi . Nilai  eigen  tersebut  merupakan  solusi  dari  persamaan  karakteristik [9],
yaitu | | | | | | | | | | | | sehingga diperoleh .
Karena dan  memenuhi |      |
maka  untuk  menentukan  kestabilan  titik kesetimbangan adalah dengan menyelesaikan

## Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
di mana
Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik kesetimbangan yang merupakan polinomial ada 3 orde yaitu
maka dapat didefinisikan
| | | | .
Maka kestabilan ditentukan dengan proposisi 1. Jika untuk semua atau 2. Jika , dan 3. Jika , , untuk semua [6].
Suatu  model  biasanya  memiliki  parameter threshold yang  dikenal  sebagai  bilangan reproduksi  dasar  ( ),  sedemikian  sehingga  jika maka  titik  kesetimbangan  non- endemik  stabil  asimtotik  lokal  dan  penyakit  tidak  menyerang  populasi,  namun  jika maka  titik  kesetimbangan  non-endemik  tidak  stabil  dan  penyakit  sangat  mungkin  untuk menyebar [5]. diperoleh dengan memisalkan sebagai laju penambahan infeksi baru pada kompartemen dan adalah laju perpindahan individu pada kompartemen , maka dan dari sistem (3.2) adalah sebagai berikut ( ) , (3.6)
( ) . (3.7)
dari persamaan (3.7) dan (3.8) diperoleh matriks dan sebagai berikut ( ) , (3.8) ( ) , (3.9) dengan , , . Invers dari matriks adalah:
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
( )
.
(3.10)
Nilai bilangan reproduksi dasar dari sistem (3.2) dapat ditentukan melalui matriks dan tersebut. Dari persamaan (3.9) dan (3.11) diperoleh
( ) ( ) , ( ) .           (3.11) Selanjutnya nilai eigen dari matriks diperoleh degan menyelesaikan persamaan berikut: ( ( ) ) , dengan  menyelesaikan  persamaan
,  maka  diperoleh  persamaan
karakteristik
(( )) Akar-akar  dari  persamaan  karakteristik  tersebut  adalah dan  nilai eigen . Berdasarkan akar-akar persamaan karakteristik tersebut, spektral radius dari matriks next generation adalah .Selanjutnya tersebut disebut sebagai . (3.13) Jika nilai dan persamaan (3.12) disubstitusi ke persamaan (3.12) diperoleh (                      ) (                      ) (3.14) Hasil  yang  diperoleh  dari bentuk
dan menunjukkan  bahwa  semakin  besar proporsi  efek  vaksinasi  dan  pengobatan  pada  populasi  hewan  maka akan  semakin  kecil sehingga titik kesetimbangan  non-endemik stabil dan wilayah bebas dari penyakit.

## 4. Simulasi Numerik
Hasil  solusi  numerik  solusi  sistem  3.1  untuk  mengilustrasikan  hasil  analisis  pada subbab  sebelumya.  Simulasi  numerik  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Grunwald Letnikov nilai  parameter  yang  digunakan  dalam  dengan  mengasumsikan  dan  berdasarkan parameter-parameter yang digunakan dilihat pada tabel berikut
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel 3.1 Nilai Parameter Parameter Nilai Parameter Parameter Nilai Parameter 0.1 0.6 0.0121 0.8 0.5 0.025 0.0015 0.6 0.5 0.1 0.1 0.11 Nilai  awal  yang  digunakan  dalam  simulasi  ini .  Berdasarkan  nilai  parameter  pada  tabel  3.1  serta  nilai dan maka  diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas penyakit , dan 0.9961. (a)
(b)
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
(d)
(e) Gambar 3.1 Perubahan jumlah individu terhadap waktu  dengan parameter imunisasi pada bayi  yang baru lahir dan alpha fraksional = 0.5, 0.75, 0.8, 0.9, dan 0.95.
Gambar  3.1  menggambarkan  perilaku  solusi  dari  sistem  persamaan  (3.1)  dengan  beberapa parameter  orde  fraksional  orde- yang  berbeda.  Gambar  3.1  (a)  menunjukkan  grafik  solusi pada  saat pada  gambar  tersebut  dengan  nilai  awal  yang  digunakan.  Grafik  pada subpopulasi dan mengalami kenaikan namun seiring bertambahnya waktu pergerakannya menjadi  konstan  dan  konvergen  menuju  suatu  titik.  Pada  subpopulasi
bahwa  grafik awalnya  bergerak  naik  lalu  mengalami  penurunan  namun  kemudian  pergerakannya  menjadi konstan  dan  konvergen  menuju  suatu  titik.  Sedangkan  subpopulasi grafik  menunjukkan peningkatan lalu kemudian pergerakannya menjadi konstan dan konvergen menuju suatu titik.
Pada gambar 3.1 (a) ini dengan rentang waktu sampai tahun, pergerakan grafik
belum mendekati titik
.

## 5. Kesimpulan
Hasil  analisis  dan  simulasi  yang  diberikan  dapat  disimpulkan  bahwa  model matematika  MSEICR  pada  penyebaran  penyakit  hepatitis  B  dengan  pemberian  vaksin  dan pengobatan dengan meninjau nilai alpha fraksional diperoleh dua titik kesetimbangan, yaitu titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  ( )  dan  endemik  ( ).  Titik  kesetimbangan  bebas penyakit  stabil  jika  nilai dan  terjadi  endemik  jika .  Jika  diberikan  alpha fraksional maka
yang  berarti  terjadi  endemik.jika  nilai  alpha  fraksional
ditingkatkan menjadi maka yang berarti populasi bebas dari penyakit.
Dari  simulasi  yang  diberikan  diketahui  bahwa  dengan  memberikan  nilai  alpha fraksional  sebesar dan
,  semakin  besar  nilai  parameter  orde fraksional  yang  digunakan,  maka  pergerakan  grafik  solusi  semakin  mendekati  titik kesetimbangan. Pada gambar 4.1 (a) diberikan dan masih terjadi endemik sedangkan  jika  nilai ditingkatkan  menjadi dan maka  terjadi  non-endemik, akibatnya jumlah penderita hepatitis B akan hilang.

## Daftar Pustaka
[1] Angstmann,  C.  N.,    Henry,  B.  I.,  McGann  A.V.,  2016.  A  fractional-Order  Infectivity SIR Model, Physica A , vol. 2016, pp. 86–93.
[2] Boyce,  W.E.  &  DiPrima,  R.C.,  2009 .  Elentary  differential  equation  and  boundary value problems 9th edition, New York : John Wiley & Sons Inc.
[3] Das,  S.  &  Gupta,  PK,    2011.  A  Mathematical  model  on  fractional  lotka  volterra quations. Journal Of  Theoretical Biology , 277: 1-6.
Suriani.M, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
[4] Diethelm, K., 2010. The analysis of fractional differential Equations . Berlin : Spinger- Verlag.
[5] Driessche.  &  Watmough.,  2002.  Reproduction  numbers  and  sub-threshold  endemic equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission. Mathematical Biosciences , Vol. 2002, No. 180, 29-48.
[6] Huo, H.F., Rui, C., Xu-Yang, W., 2016. Modeling and stability of HIV/AIDS epidemic model with treatment. Applied Mathematical Moduling , Vol 2: 6550-6559.
[7] Jinhong,  2014.  Analysis  of  an  SEIR  epidemic  model  with  saturated  incidence  and saturated treatment unction. The Scientific World Journal , Vol.2014:1-11.
[8] Muin, R. M., Toaha, S & Kasbawati, 2019. Effect of vaccination and treatment on the MSEICR  model  of  the  transmission  of  hepatitis  B  virus. J.  Phys.:  Conf.  Ser . 1341062031, doi: 10.1088/1742-6596/1341/6/062031.
[9] Rida, S.Z & Arafa, A.A.M., 2011. New method for solving linear fractional differential equations. Int. J. Differ. Equations , Vol. 2011, p. 814132.
[10] Tri,  W.,  Bayu,  P.,  &  Nirmalasari,  K.,  2005.  Pemodelan  matematika  dan  analisis stabilitas  dari  penularan  penyakit  gonore. Buletin  Ilmiah  Mat.  Stat.  dan  Terapannya (Bimaster), Vol. 4, No. 1, 47-56.
[11] Winarno,  2009. Buku  Ajar:  Analisis  Model  Dinamika  Virus  dalam  Sel .  Semarang: Universitas Negeri Semarang.
[12] World Health Organization, 2019. Hepatitis in the Western Pasific. https://www.who.int/westernpacific/health-topics/hepatitis.  Diakses  pada  tanggal  9 Maret 2019.
[13] World  Health  Organization,  2017.  Hepatitis.  https://www.afro.who.int/health- topics/hepatitis. Diakses pada tanggal 9 Maret 2019.