Journal of Mathematics and Its Applications. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 16, No. 1, Agustus 2019,  39-49

## Kontrol Optimum pada Model Prey-Predator dengan Pemanenan pada Ikan Prey dan Ikan Predator
Oryza Safitri 1 , Mardlijah 2
1,2 Institut Teknologi  Sepuluh  Nopember (ITS) Jl. Raya ITS, Keputih,  Kec. Sukolilo,  Kota Surabaya, Jawa Timur 60111
1,2 Departemen Matematika Pasca Sarjana, Fakultas Matematika, Komputasi,  dan Sains Data e-mail:  safitrioryza@gmail.com 1 ,  mardlijah@matematika.its.ac.id 2

## Abstrak
Model prey-predator didasari  oleh  hubungan  interaksi  predasi  antara  suatu  organisme  yang memakan suatu organisme lainnya, dalam kasus ini yaitu ikan prey dan ikan predator . Selanjutnya diberi perlakuan pemanenan pada ikan prey dan ikan predator . Untuk menjaga agar tindakan pemanenan tidak mengakibatkan  kelangkaan  suatu  jenis  ikan,  dilakukan  kontrol  optimum  berupa  penambahan  makanan lain  pada  ikan predator .  Kontrol  optimum  ini  dimaksudkan  agar  hasil  pemanenan  yang  didapatkan maksimal  sekaligus  menjaga  keberlangsungan  ekosistem  pada  ikan prey dan  ikan predator. Kemudian didapatkan  titik-titik  ekuilibrium  dengan  satu  titik  ekuilibrium  yang  stabil  yaitu  di  titik  (75.39  ,  4.20). Selanjutnya  hasil  kontrol  optimal,  populasi  ikan prey dan  ikan predator lebih  banyak,  dibandingkan populasi  ikan prey dan ikan predator sebelum dikontrol.
Kata kunci : Model Prey- Predator , Kontrol Optimum,  Penambahan Makanan

## Abstract
The pre-predator model is based on the interaction of predation between an orga nism th a t eats another  organism,  in this case the prey and  predatory fish. Furthermore, they were given harvest treatment on prey and predatory fish. Extreme harvesting can result in a scarcity of fish. So that optimu m control is needed in the form of adding other foods to predatory fish. This is in tend ed  to  ma ximize th e yield of harvesting while preserving the ecosystem sustainability of prey an d p red atory fish . Th en th e equilibrium points are obtained with one stable equilibrium point, namely at the point (75.39, 4.20). Furthermore, the results of optimal control, prey and predatory fish populations were higher, comp a red to prey and predatory fish populations before being controlled.
Keywords : Prey-Predator Model,Optimum Control, Additional Food

## 1 Pendahuluan
Ekosistem  merupakan  sistem  ekologi  yang  terbentuk  oleh  hubungan  timbal  balik  antara mahluk  hidup  dengan  lingkungannya.  Suatu  tingkatan  organisasi  dikatakan  sebagai  suatu  sistem karena  memiliki  komponen-komponen  dengan  fungsi  berbeda  yang  terkoordinasi  secara  baik sehingga  masing-masing  komponen  terjadi  hubungan  timbal  balik.  Hubungan  timbal  balik terwujudkan  dalam  rantai  makanan  [1].  Rantai  makanan  terjadi  karena  adanya  interaksi  antar mahluk  hidup.  Bentuk  interaksi  pada  rantai  makanan  salah  satunya  yaitu  predasi  (mangsa-
40 Kontrol  Optimum Pada Model Prey-Predator Dengan  Pemanenan  pada Ikan Prey dan Ikan Predator
pemangsa).  Predasi  adalah  bentuk  interaksi  antara  suatu  organisme  yang  memakan  suatu organisme  lainnya  pada  suatu  tempat  tertentu.  Dalam  matematika,  suatu  bentuk  interaksi  predasi dimodelkan  sebagai  model prey-predator.
Model  p rey-predator adalah  model  matematika  dengan  asumsi  bahwa  adanya  interaksi predasi  antara predator sebagai  organisme  pemangsa  dan prey sebagai  organisme  yang dimangsa.  Dalam  model prey-predator yang  diberi  perlakuan  pemanenan  biasanya  banyak terjadi  pada  ekosistem  perairan  dengan  ikan  berukuran  besar  yang  menjadi  pemangsa  ( predator ) dan ikan  berukuran  kecil  yang  dimangsa  ( prey ).
Dalam  memenuhi  kebutuhan  hidup,  manusia  aktif  melakukan  ekploitasi  pada  segala bidang,  termasuk  pada  pemanenan.  Khususnya  nelayan  sebagai  mata  pencaharian,  aktif melakukan  pemanenan  pada  ikan.  Pada  umumnya  nelayan  memanen  lebih  dari  satu  jenis  ikan. Namun  ekosistem  perairan  sering  kali  terganggu  dengan  kegiatan  ekploitasi  manusia  yang berlebihan.  Pemanenan  ikan  yang  berlebihan  dapat  menyebabkan  kelangkaan  bahkan  punahnya suatu  spesies  ikan.  Sehingga  menjaga  keberlangsungan  ekosistem  perairan  sekaligus  dapat memenuhi  kebutuhan  hidup  manusia  dari  kedua  pemanenan  tersebut  adalah  sangat  penting.  Oleh karena  itu,  dalam  penelitian  ini  akan  dilakukan  optimal  kontrol  pemanenan  ikan prey dan  ikan predator pada model prey-predator .
Beberapa  penelitian  yang  telah  dilakukan  terhadap  sistem prey-predator ,  yaitu  penelitian [2]  tentang  analisis  model  mangsa-pemangsa  Michaelis-Menten  dengan  pemanenan  konstan pada  populasi prey .  Penelitian  [3]  tentang Effort  Dynamics  in  a  Prey-Predator  Model  with Hervesting .  Pada  penelitian  tersebut  membahas  kestabilan  model prey-predator dengan perlakuan  pemanenan  pada prey dengan  kontrol  optimal.  Penelitian  selanjutnya  [4]  tentang Analisis  Kestabilan  Model Prey-Predator dengan  pemanenan  konstan  pada  ikan prey . Pada  penelitian  tersebut  membahas  analisis  kestabilan  model prey-predator dengan  perlakuan pemanenan  konstan  pada  ikan prey .  Penelitian  lainnya  [5]  tentang  Analisa  Kestabilan  dan Kendali  Optimal  Pada  Model  Pemanenan Prey - Predator dengan  Fungsi  Respon  Tipe  III. Penelitian  selanjutnya  juga  penelitian  [6]  tentang  Kendali  Optimal  pada  Sistem Prey-Predator dengan  Pemberian  Makanan  Alternatif  pada Predator. Model Prey-Predator dalam  paper tersebut  kondisi  kematian predator disebabkan  karena  perebutan  makanan  sesama predator diabaikan.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  didahului  penentuan  titik  ekuilibrium  dari  model matematika  prey-predator.  Dilanjutkan  dengan  uji  stabilitas  titik  ekuilibrium  dengan  cara
memasukkan  nilai  titik  ekuilibrium  ke  dalam  matriks  Jacobian  yang  diikuti  pencarian  nilai  eigen dari  matriks  tersebut  untuk  menentukan  kestabilannya.  Selanjutnya  ditentukan  model  fungsi objektif dari model prey-predator. Berikutnya dilakukan perhitungan kontrol  optimal berdasarkan  fungsi  objektif  yang  diperoleh  dilanjutkan  dengan  penyelesaian  menggunakan prinsip  maksimum  Pontryagin.  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  perangkat  lunak Matlab.  Dari  hasil  simulasi  dilakukan  analisa  untuk  mendapatkan  simpulan.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Model Prey-Predator
Populasi  ikan prey 𝑥 terus  tumbuh  secara  alami  dengan  laju  pertumbuhan  sebesar 𝑟 terhadap 𝑡 waktu.  Sedangkan  laju  perkapita  populasi  ikan prey berkurang  sebesar 𝑥 𝐾 untuk  setiap bertambahnya  ikan prey karena  keterbatasan  daya  dukung  lingkungan.  Terdapat  interaksi  antara ikan prey dan  ikan predator yang  mengakibatkan  populasi  ikan prey berkurang  dengan  adanya laju  peningkatan  relatif  akibat  predasi,  sebanding  dengan  laju  kelahiran  populasi  ikan prey sebesar 𝛼 𝑎+𝑥 dan  mengakibatkan  pula,  laju  pertumbuhan  ikan predator semakin  meningkat sebesar 𝛽 .  Adanya  interaksi  antara  ikan prey dan  ikan predator menyebabkan  dampak  negatif bagi  ikan predator karena  terjadinya  persaingan  antar  sesama  ikan predator dalam memperebutkan  makanan,  sehingga  meningkatkan  laju  kematian  sebesar 𝛾 .  Ikan predator mengalami  kematian  secara  alami  sebesar 𝑏 [3].  Selanjutnya  diberi  perlakuan  pemanenan  pada ikan prey dan ikan predator, yang  dituliskan  dalam  model prey-predator [3] berikut  :
𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − 𝛼𝑥 (𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) − ℎ 1 𝑥(𝑡) (1) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽𝛼𝑥 (𝑡)𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) − 𝑏𝑦(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 − ℎ 2 𝑦(𝑡) (2)
dengan  :
𝑥(𝑡) adalah  banyaknya  populasi  ikan prey terhadap  t waktu,
𝑦(𝑡) adalah  banyaknya  populasi  ikan predator terhadap  t waktu,
𝑟 adalah  laju  pertumbuhan  interistik  populasi  ikan prey,
𝑏 adalah  laju  kematian  alami  populasi  ikan predator,
𝛼 𝑎+𝑥 adalah  laju  penangkapan  relatife  maksimum  akibat  predasi  oleh  ikan predator ,
𝛽 adalah  pertumbuhan  populasi  ikan predator,
𝛾 adalah  laju  kematian  ikan predator akibat  perebutan  makanan  sesame  predator,
K adalah  daya  kapasitas  maksimum  populasi  ikan prey,
h 1 , h 2 adalah  konstanta  pemanenan dan 𝑥(𝑡) , 𝑦(𝑡) , 𝑟 , 𝑏 , 𝑎 , 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , K, h 1 , h 2 adalah  parameter  positif.
42 Kontrol  Optimum Pada Model Prey-Predator Dengan  Pemanenan  pada Ikan Prey dan Ikan Predator

## 3.2 Titik  Ekuilibrium
Dalam  proses  mencari  titik  ekuilibrium  atau  titik  setimbang,  diperlukan  parameter- parameter  yang  didapatkan  berdasarkan  kondisi  dilapangan.  Parameter  yang  digunakan  dalam model prey-predator dengan  pemanenan  konstan  pada  ikan prey menggunakan  parameter  dan nilai  awal  yang  dirangkum  dalam  Tabel  1 [3].
Tabel  1. Nilai  Awal  yang  digunakan Variabel Nilai 𝒙(𝒕) 80 y(t) 20 Tabel  2. Nilai  Parameter Parameter Nilai 𝒓 0.8 K 100 𝜶 0.75 𝜷 0.75 𝜸 0.08 𝒂 10 𝒃 0.001 h 1 0,16 h 2 0,16
Berdasarkan  persamaan  (1)  dan  (2)  dicari  titik  ekuilibriumnya  dengan 𝑥̇ = 0 dan 𝑦̇ = 0 ,  lalu subtitusi  nilai  pada  Tabel  1  dan  Tabel  2.  Selanjutnya  didapatkan  titik-titik  ekuilibrium  yaitu: (0,0),  (0,  -2.0125),  (80,  0),  (75.39,  4.20),  (-7.697+8.48i,  2.921+7.723i),  (-7.697-7.42i,  2.921- 7.723i).

## 3.3 Menguji  Kestabilan  Titik  Ekuilibrium
Titik  ekuilibrium  yang  didapatkan  pada  tahap  sebelumnya  selanjutnya  akan  diuji stabilitasnya.  Untuk  menguji  kestabilan  titik  ekuilibrium,  dilakukan  pencarian  nilai  eigen  pada setiap  titik  kestabilan.  Tahap  pertama  dalam  mencari  nilai  eigen  adalah  menentukan  matriks Jacobian  berdasarkan  persamaan  (1) dan  (2), yaitu:
𝐴 = [ 𝑟 (1 − 𝑥 𝐾 ) − 𝑟𝑥 𝐾 − 𝛼𝑦 𝑎 + 𝑥 + 𝛼𝑥𝑦 (𝑎 + 𝑥) 2 − ℎ 1 − 𝛼𝑥 𝑎 + 𝑥 𝛽𝛼𝑦 𝑎 + 𝑥 − 𝛼𝑥𝑦 (𝑎 + 𝑥) 2 −𝑏 + 𝛽𝛼𝑦 𝑎 + 𝑥 − 2𝛾𝑦 − ℎ 2 ]
Kemudian  dicari
det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0
 Untuk  titik  (0,0)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = −0.161 dan 𝜆 2 = 0.64 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa  di titik  ekuilibrium  (0,0) tidak  stabil  dengan  jenis  kestabilan sadle node .
 Untuk  titik  (0,  -2.0125)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = 0.161 dan 𝜆 2 = 0.79 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa  di titik  ekuilibrium  (0, -2.0125) tidak  stabil.
 Untuk  titik  (80,  0)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = −0.64 dan 𝜆 2 = 0.339 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa  di titik  ekuilibrium  (80, 0) tidak  stabil  dengan  jenis  kestabilan sadle node .
 Untuk  titik    (75.39,  4.20)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = −0.56 dan 𝜆 2 = −0.345 .  Hal  ini menunjukkan  bahwa  di  titik  ekuilibrium  (75.39,  4.20)  stabil  dengan  jenis  kestabilan  stabil asimtotik.  Artinya  ketika  ikan prey sebanyak  75.39  satuan  dan  ikan predator sebanyak 4.20 satuan,  kedua jenis  ikan  tersebut  dapat hidup  secara berdampingan.
 Untuk  titik  (-7.697+8.48i,  2.921+7.723i)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = 0.6 + 0.98𝑖 dan 𝜆 2 = −0.21 − 0.94𝑖 . Hal ini menunjukkan bahwa titik ekuilibrium (-7.697+8.48i, 2.921+7.723i)  tidak  stabil  dengan  jenis  kestabilan sadle node .
 Untuk  titik  (-7.697-8.48i  ,  2.921-7.723i)  didapatkan  nilai 𝜆 1 = 0.6 − 0.98𝑖 dan 𝜆 2 = −0.21 + 0.94𝑖 . Hal ini menunjukkan bahwa titik ekuilibrium (-7.697+8.48i, 2.921+7.723i)  tidak  stabil  dengan  jenis  kestabilan sadle node .

## 3.4 Kontrol  Optimal
Pada  sistem  diberi  perlakuan  kontrol  berupa  pemberian  makanan  tambahan  pada  ikan predator. Sehingga  pada persamaan  (1) dan (2) ditambahkan  fungsi  kontrol:
𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − 𝛼𝑥 (𝑡)(1−𝐶 )𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) − ℎ 1 𝑥(𝑡) (3)
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛽𝛼𝑥 (𝑡)(1−𝐶)𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) + 𝐶𝑦 − 𝑏𝑦(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 − ℎ 2 𝑦(𝑡) ,   (4)
Daerah  penyelesaian  pada  bidang  biologi  khususnya  pertumbuhan  adalah  pada  kuadran  positif yaitu ℝ 2 +.

## 3.5 Penyelesaian  Kontrol  Optimal

## Fungsi  Obyektif
Pada  kontrol  yang  diterapkan  adalah  memaksimumkan  populasi  ikan prey dan  ikan predator dan meminimumkan  ongkos.  Maka fungsi  J adalah:
𝑀𝑎𝑥 𝐽 = 𝑝 1 𝑥(𝑡) + 𝑝 2 𝑦(𝑡) − 𝑝 3 ∫ 𝐶 2 𝑡 𝑓 0 𝑑𝑡 (5)
44 Kontrol  Optimum Pada Model Prey-Predator Dengan  Pemanenan  pada Ikan Prey dan Ikan Predator
Dengan 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 adalah  konstanta  pembobot 𝐶 adalah  variabel  ongkos.  Dengan  syarat  batas: 𝑥(0) = 𝑥 0 ; 𝑦(0) = 𝑦 0
𝐶 𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝐶 ≤ 𝐶 𝑚𝑖𝑛

## Fungsi  Hamiltonian
Berdasarkan  fungsi  J dan persamaan  (1) dan  (2) dibuat  fungsi  Hamiltonian  sebagai  berikut  :
𝐻 = −𝑝 3 𝐶 2 + 𝜆 1 (𝑟𝑥(𝑡) (1 − 𝑥(𝑡) 𝐾 ) − 𝛼𝑥(𝑡)(1−𝐶 )𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) − ℎ𝑥(𝑡)) +
𝜆 2 ( 𝛽𝛼𝑥(𝑡)(1−𝐶 )𝑦(𝑡) 𝑎+𝑥(𝑡) + 𝐶𝑦 − 𝑏𝑦(𝑡) − 𝛾𝑦(𝑡) 2 −ℎ𝑦(𝑡) )

## Kondisi  Stasioner
Selanjutnya  dicari  titik  stasioner  pada fungsi  Hamiltonian  berikut:
𝜕𝐻
𝜕𝐶 = 0
Didapatkan
𝐶 ∗ = 𝑦 + 𝜆 1 𝛼𝑥𝑦 𝑎 + 𝑥 − 𝜆 2 𝛼𝛽𝑥𝑦 𝑎 + 𝑥 2𝑝 3
Sehingga  didapatkan  kontrol  optimal
𝐶 = { 𝐶 𝑚𝑖𝑛 ,                                     𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜕𝐻 𝜕𝐶 > 0 𝐶 ∗ = 𝑦 + 𝜆 1 𝛼𝑥𝑦 𝑎 + 𝑥 − 𝜆 2 𝛼𝛽𝑥𝑦 𝑎 + 𝑥 2𝑝 3 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜕𝐻 𝜕𝐶 = 0 𝐶 𝑚𝑎𝑥 ,                                     𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜕𝐻 𝜕𝐶 < 0

## Persamaan  State
Selanjutnya  berdasarkan  fungsi  Hamiltonian,  didapatkan  persamaan  state berikut:
𝑥̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 1 = 𝑟𝑥 − ℎ 1 𝑥 − 𝑟𝑥 2 𝐾 + 𝛼𝑥(𝐶−1)𝑦 𝑎+𝑥 𝑦̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 2 = − 𝛽𝛼𝑥 (𝐶−1)𝑦 𝑎+𝑥 − 𝑏𝑦 − 𝛾𝑦 2 − ℎ 2 𝑦

## Persamaan  Co-State
Selanjutnya  berdasarkan  fungsi  Hamiltonian,  didapatkan  persamaan  co-state berikut  :
𝜆 1 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑥 = −𝜆 1 𝑟 + 𝜆 1 ℎ 1 − 𝛼𝜆 1 𝑦(𝐶−1) 𝑎+𝑥 + 2𝜆 1 𝑟𝑥 𝐾 + 𝛼𝛽 𝜆 2 𝑦(𝐶−1) 𝑎+𝑥 + 𝛼𝜆 1 𝑥𝑦(𝐶−1) (𝑎+𝑥) 2 − 𝛼𝛽𝜆 2 𝑥𝑦(𝐶−1)
(𝑎+𝑥) 2
𝜆 2 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑦 = −𝐶 + 𝛼𝛽𝜆 2 𝑥(𝐶−1) (𝑎+𝑥) + 𝑏𝜆 2 − ℎ 2 𝜆 2 + 2𝛾𝜆 2 𝑦 − 𝛼𝜆 1 𝑥(𝐶−1) 𝑎+𝑥

## 3.6 Hasil  Simulasi
Pada  simulasi  ini  dibuat  3  kondisi.  Kondisi  pertama  ketika  tanpa  kendali  dimana predator tidak  diberikan  makanan  alternatif  ( 𝐶 = 0 ),  kondisi  kedua  ketika  tanpa  kendali  dimana predator diberikan  makanan  alternatif  secara  penuh  ( 𝐶 = 1 )  dan  kondisi  ketiga  ketika  dengan  kendali dimana predator tidak  diberikan  makanan  alternatif  secara penuh 𝐶 𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝐶 ≤ 𝐶 𝑚𝑖𝑛 .
Kemudian  dibandingkan  untuk  kombinasi  beberapa  nilai 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 .  Simulasi  yang dilakukan  menggunakan  program  DOT  cvp  dengan  aplikasi  MATLAB.  Berikut  kombinasi  nilai 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 .
Berikut  simulasi  hasil running program :
 Simulasi  ke I dengan  nilai-nilai  parameter 𝑝 1 = 0.04 ; 𝑝 2 = 0.05; 𝑝 3 = 0.05 yang hasilnya  ditunjukkan  pada Gambar  1
(a) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan prey (b) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan predator (c) Grafik kontrol  terhadap waktu Gambar  1. Grafik  Hasil  Simulasi  I
46 Kontrol  Optimum Pada Model Prey-Predator Dengan  Pemanenan  pada Ikan Prey dan Ikan Predator
 Simulasi  ke II dengan  nilai- nilai  parameter 𝑝 1 = 0.1 ; 𝑝 2 = 0.9; 𝑝 3 = 0.05 yang hasilnya  ditunjukkan  pada Gambar  2
(a) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan prey (b) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan predator (c) Grafik kontrol terhadap waktu
Gambar  2. Grafik  Hasil  Simulasi  II
 Simulasi  III  dengan  nilai-nilai  parameter 𝑝 1 = 0.01 ; 𝑝 2 = 0.9; 𝑝 3 = 0.05 yang  hasilnya ditunjukkan  pada Gambar  3
(a) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan prey (b) Perbandingan setelah dan sebelum dikontrol  ikan predator (c) Grafik kontrol terhadap waktu
Gambar  3. Grafik  Hasil  Simulasi  III
Berdasarkan  Simulasi  I,  Simulasi  II,  dan  Simulasi  III,  didapatkan  bahwa  nilai 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 yang  optimum  adalah 𝑝 1 =  0,04, 𝑝 2 =  0,05, 𝑝 3 = 0,05 dengan  hasil 𝐶 sebesar  228,73  satuan dalam  waktu 0  <   𝑡  < 60 .  Banyaknya  ikan prey 𝑥 dan  dan  ikan predator 𝑦 pada  setiap  kondisi parameter  yang  berbeda-beda  adalah  sama.  Sementara  biayanya  semakin  tinggi  bila  konstanta pembobot 𝑝 2 , semakin  besar.  Hal  ini  disebabkan  karena  bobot  pemberian  makanan  yang  besar, akan menyebabkan  biaya  yang  besar.
Selanjutnya  digunakan  kondisi  paling  optimum  yaitu  simulasi  I  untuk  menunjukkan perubahan  populasi  ikan prey sebelum  dan sesudah  dikontrol.
1. Pertumbuhan  Populasi Prey
Berikut  merupakan  grafik  populasi  ikan prey sebelum  dan setelah  dikontrol:
Gambar  4 . Grafik  Populasi Prey di Semua  Kondisi
Berdasarkan  Gambar  4,  dapat  dilihat  bahwa  ketika 𝐶 = 0 ,  faktor  laju  pertumbuhan intrinsik  dan  daya  dukung  lingkungannya  lebih  besar  dari  pada  faktor  predasi  dari predator dan  faktor  upaya  pemanenan.  Sehingga prey dapat  tumbuh  dengan  baik  karena masih  didukung  oleh  tersedianya  logistik  dan  ruang  untuk  hidup.  Sedangkan  ketika 𝐶 =
1 ,  pertumbuhannya  meningkat  dengan  cepat.  Hal  ini  terjadi  karena  tidak  adanya  laju predasi predator ke prey serta  laju  pertumbuhan  intrinsik  dan  kapasitas  daya  dukung lingkungan  yang  besar.  Hal  ini  juga  disebabkan  oleh  pemberian  makanan  tambahan  pada ikan predator ,  sehingga  menyebabkan  ikan predator mendapatkan  pilihan  makanan  lain. Sehingga  mengakibatkan  populasi  ikan prey meningkat.  Secara  keseluruhan  pertumbuhan populasi  ikan prey setelah  diberi  kontrol  berupa  pemberian  makanan  tambahan  pada  ikan predator, populasi  ikan prey lebih  banyak  atau dapat dikatakan  mengalami  penambahan.

## 2. Pertumbuhan  Populasi Predator
Berikut  merupakan  grafik  populasi  ikan predator sebelum  dan setelah  di  kontrol  :
Gambar  5. Grafik  Populasi Predator di Semua  Kondisi
Berdasarkan  Gambar  5,  dapat  dilihat  bahwa  ketika 𝐶 = 0 ,  pertumbuhan predator menurun.  Hal  ini  terjadi  karena  jumlah prey yang  sedikit  dari  pada predator
48 Kontrol  Optimum Pada Model Prey-Predator Dengan  Pemanenan  pada Ikan Prey dan Ikan Predator
mengakibatkan  kebutuhan predator kurang  terpenuhi.  Selain  itu  juga  terdapat  faktor kematian  alami predator serta  upaya  pemanenan  terhadap predator. Sedangkan  ketika 𝐶 = 1 ,  pertumbuhannya  meningkat.  Hal  ini  terjadi  karena  Adanya  makanan  tambahan diberikan  pada  ikan predator ,  sehingga  menyebabkan  ikan predator mendapatkan  pilihan makanan  lain.  Melimpahnya  makanan  ikan predator menjadi  faktor  utama  meningkat populasi  ikan predator. Secara  keseluruhan pertumbuhan  populasi  ikan predador setelah diberi  kontrol  berupa  pemberian  makanan  tambahan  pada  ikan predator, populasi  ikan predator lebih  banyak  atau  dapat dikatakan  mengalami  penambahan.
3. Pemberian  Makanan  Tambahan  pada Ikan Predator
Untuk  mendapatkan  populasi prey dan predator yang  maksimal  maka  pemberian makanan  alternatif  pada predator harus  sesuai  dengan  grafik  kendali  optimal  seperti  yang ditunjukkan  pada Gambar  6 berikut:
Gambar  6. Grafik  Kontrol  Optimal  Pemberian  Makanan  pada waktu 0  <  𝑡  <  60
Dari  awal  hingga  waktu  59  satuan,  jumlah  makanan  alternatif  yang  diberikan  sebanyak  1 artinya  pemberian  makanan  diberikan  secara  penuh.  Kemudian  diwaktu  59  satuan berangsur  menurun  hingga  waktu  60  satuan.  Waktu  60  satuan  ke  atas  tidak  diberikan makanan  tambahan.  Dari  perhitungan  fungsi  obyektif  didapatkan  bahwa  biaya  yang dikeluarkan  saat  diberikan  makanan  alternatif  secara  optimal  nilainya  jauh  lebih  kecil dari  pada  saat  diberikan  makanan  alternatif  secara  penuh.  Dan  jumlah  populasi prey dan predator di  waktu  awal  saat  diberikan  makanan  alternatif  secara  optimal,  nilainya  jauh lebih  besar dari  pada saat tidak  diberikan  makanan  alternatif.

## 4 Simpulan
Dari  penelitian  ini  dapat disimpulkan  bahwa  :
1. Analisis  kestabilan  menunjukkan  bahwa  terdapat  6  titik  kekuilibrium  dengan  1  titik  yang stabil  dengan  jenis  kestabilan  stabil  asimtotik,  yaitu  di  titik  (75.39, 4.20).
2. Berdasarkan  kontrol  optimal  berupa  pemberian  makanan  tambahan,  jumlah  populasi prey dan predator saat  diberikan  makanan  tambahan  secara  optimal,  nilainya  jauh  lebih  besar dari  pada  saat  tidak  diberikan  makanan  alternatif.  Semakin  tinggi  konstanta  pembobot pada ikan predator diberikan,  semakin  tinggi  biayanya.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Indriyanto.  2012. Ekologi Hutan: Cetakan ke-4. Jakarta:  PT Bumi  Aksara.
[2] Dwaradi,  H.  2011. Analisis  Model  Mangsa-pemangsa  Michaelis-Menten  dengan Pemanenan pada populasi Mangsa . Bogor:  Institut  Pertanian  Bogor.
[3] Kar  dan Chakraborty. 2010. Effort Dynamics in a Prey-Predator Model with Hervesting . International  Journal  of Information  and Systems  Sciences.  Vol.  6 No. 3 pp. 318-332.
[4] Afifah,  Luluk  Ianatul.  2015. Analisis  Kestabilan  Predator-Prey  dan  Model  Pemanenan pada Ikan Prey. Malang:  Universitas  Islam  Negeri  Maulana  Malik  Ibrahim.
[5] Rifa’i  dan  Subchan.  2015. Analisa  Kestabilan  dan  Kendali  Optimal  pada  Model Pemanenan  Prey  Predator  dengan  Fungsi  Respon  Tipe  III. Prosiding  Seminar  Nasional Pendidikan  Matematika  UMS 2015.
[6] F.  Resmi  dan  Subchan.  2014. Kendali  Optimal  pada  Sistem  Prey  Predator  dengan Pemberian  Makanan  Alternatif  pada  Predator, http://digilib.its.ac.id/public/ITS-paper- 33870-1210100069-paper.pdf .