Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.7, No.2, Juli 2021, pp. 146~156
DOI:10.31605/saintifik.v7i2.336
ISSN 2622-8904 (online)

## Metode Elemen Hingga Untuk Perpindahan Panas Konduksi Steady State pada Domain 2D dengan Menggunakan Elemen Segitiga

## Surya Ningsih
Universitas Sembilanbelas November Kolaka e-mail: sningsih993@gmail.com

## Abstrak
Perpindahan  panas  konduksi  adalah  perpindahan  panas  antar  molekul  tanpa  disertai  pergerakan aktual dari molekul tersebut. Tujuan utama dari analisis konduksi adalah menentukan distribusi temperatur pada  medium,  baik  pada  kasus  tunak  (steady  state)  maupun  tak  tunak  (bergantung  waktu  atau  transient). Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persoalan  tersebut  adalah  metode  elemen hingga  (finite  element  method  atau  FEM).  Dengan  metode  pendekatan  ini  akan  membentuk  persamaan- persamaan numerik yang harus diselesaikan dengan cermat dan teliti untuk memperoleh hasil yang akurasi. Untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dan akurasi , maka domain akan dibagi dalam beberapa bagian elemen  dimana  dalam  setiap  sudut  garis  elemen  akan  terdapat  node/simpul  pada  jarak  tertentu.  Semakin banyak elemen pada sebuah benda yang dianalisis, maka tingkat akurasinya semakin bagus. Persoalan akan menjadi lebih sulit  jika diselesaikan secara manual dalam penyelesaian numeriknya. Oleh karena itu, dalam tulisan  ini  penyelesaian  metode  numerik  tersebut  akan  diselesaikan  dengan  menggunakan  software MATLAB.  Hasil  dari  pemodelannya  adalah  distribusi  temperatur.  Konduktivitas  panas  juga  divariasikan untuk mengetahui hubungan antara distribusi temperatur dengan konduktivitas panas bahan..
Kata Kunci : Elemen Segitiga, Perpindahan Panas Konduksi 2D, Kondisi Steady State, FEM

## 1. PENDAHULUAN
Perpindahan panas dapat terjadi dalam tiga cara, yaitu: konduksi, konveksi, dan radiasi. Namun pada  tulisan ini  hanya  membahas  perpindahan  secara  konduksi.  Perpindahan  panas  atau  disebut  juga  distribusi  panas adalah proses berpindahnya panas dari benda yang mempunyai suhu tinggi ke suhu lebih rendah. Salah satu jenis  perpindahan  panas  adalah  konduksi  yang  merupakan  suatu  proses  yang  jika  dua  benda  suhunya disentuhkan dengan yang lainnya maka akan terjadilah perpindahan panas (Kreith, 2005) (Yunus, 2009).
Perpindahan  panas  secara  konduksi  adalah  ketika  energi  berpindah  karena  adanya  getaran  molekul pada  batuan.  Perpindahan  panas  yang  terjadi  di  dalam  bumi  merupakan  persoalan  kompleks  karena melibatkan  banyak  parameter  dan  bersifat  inhomogen  dan  anisotropi.  Sehingga  penyelesaian  persoalan perpindahan  panas  dalam  bumi  memerlukan  asumsi  asumsi  untuk  menyederhanakan  permasalahan.  Untuk masalah yang kompleks dapat dikerjakan dengan menggunakan metode numerik. Salah satu metode numerik yang  dapat  digunakan  adalah  Metode  Elemen  Hingga  ( Finite  Element  Method ).  Metode  elemen  hingga adalah  salah  satu  metode  numerik  yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persoalan  syarat  batas  yang diatur  oleh  persamaan  diferensial  dan  suatu  syarat  batas  (Katili,  2006).  Ide  utama  dalam  metode  elemen hingga adalah membagi  geometri domain dari permasalahan menjadi sub-sub domain yang lebih kecil atau sering  disebut  sebagai  elemen  hingga.  Bentuk  elemen  yang  sering  digunakan  adalah  elemen segitiga  dan quadrilateral.  Pada  tulisan  ini  Penulis  melakukan  perhitungan  solusi  permasalahan  syarat  batas  dengan menggunakan  metode  elemen  hingga  pendekatan  Galerkin.  Metode  elemen  hingga  diterapkan  pada persamaan perpindahan panas konduksi dengan solusi berupa distribusi temperatur pada domain 2 dimensi.
Functionally  Graded  Materials (FGMs). Functionally  Graded  Materials (FGMs)  adalah  kelas material maju dari material komposit yang memiliki sifat material yang bervariasi dari satu titik ke titik
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
lainnya (Mas Irfan, 2014). Dalam literatur lain, FGMs adalah material yang dalamnya terdapat beberapa sifat fisik particular yang berubah ditiap dimensi (El-Wazery dan El-Desouky, 2015). Dengan demikian, FGMs  memiliki  gradient  komposisional  dari  satu  komponen  ke  komponen  lainnya.  Karakteristik  sifat material yang kontinyu tersebut menghilangkan masalah-masalah terkait diskontinyuitas interface yang lazim  dijumpai  di  material  komposit  biasa,  sehingga  FGMs  dapat  didesain  berdasarkan  fungsi  tertentu yang  dikehendaki.  FGMs  juga  dapat  dikembangkan  menggunakan fiber-reinforced dengan  fraksi volume serat secara konstanta, dengan  memperhatikan produksi sifat set optimal atau respon (Birman, 1995; Birman, 1997).

## 2. METODE PENELITIAN
Dalam penulisan ini, metode penelitian yang digunakan yaitu :
1. Mengumpulkan data dan informasi mengenai materi terkait melalui studi kepustakaan
2. Menggunakan  metode  elemen  hingga  untuk  mendapatkan  solusi  yang  terkait  dengan  menggunakan program  MATLAB.  Metode  ini  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  parsial  dengan  membagi setiap  sistem  menjadi  elemen-elemen  dengan  geometri  tertentu.  Dari  elemen-elemen  tersebut  akan tersusun matriks persamaan linear. Dalam proses penyelesaian elemen hingga diperlukan elemen dengan geometri  tertentu  beserta  fungsi  bentuk  atau shape  function, yang  mempresentasikan  ciri  solusi  dari setiap elemen. Dalam penelitian ini digunakan elemen segitiga (2-D) dengan fungsi bentuk linear.
3. Elemen Segitiga linier
pada  elemen  segitiga,  interpolasi  linear  untuk  aproksimasi  fungsi  tertentu  dapat  dinyatakan  sebagai berikut (Zienkiewick dkk., 2005);
y x y x u 3 2 1 ) , (       (1)
Pada gambar 1, nilai T pada masing-masing titik adalah:
k k k j j j i i i y x T y x T y x T 3 2 1 3 2 1 3 2 1                  
(2)
Yang menghasilkan koefisien-koefisien                         k u i x j x j u k x i x i u j x k x A k u j y i y j u i y k y i u k y j y A k u i y j x j y i x j u k y i x i y k x i u j y k x k y j x A                   2 1 3 2 1 2 2 1 1    (3) dengan A adalah luas elemen segitiga.
Gambar 1. Elemen Segitiga
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dengan mensubstitusikan 1  , , 2  dan 3  akan diperoleh fungsi bentuk untuk elemen segitiga.
                k j i k j i k k j j i i T T T N N N T N T N T N T (4)
dimana  
    y c x b a A N y c x b a A N y c x b a A N k k k k j j j j i i i i          2 1 2 1 2 1 (5) dan i j j i k k i i k j j k k j i y x y x a y x y x a y x y x a       j i k i k j k j i y y b y y b y y b       i j k k i j j k i x x c x x c x x c      
Metode  residual  adalah  metode  aproksimasi  untuk  menyelesaikan  persamaan  differensial  dengan memberikan  nilai  bobot  pada  residual  atau  sisa  dari  persamaan  aproksimasi  (zienkiewicz  dkk.,  2005). Formulasi Galerkin digunakan agar  residual  menjadi minimal dengan mengalikan integrasi residual dengan suatu fungsi bobot w i (x) ;
   0 ) ( ) ( dx x R x w i (6)
Fungsi  bobot  diganti  dengan  fungsi  bantu  atau shape  function dari  metode  elemen  hingga  yang  digunakan sebagai aproksimasi. Dengan meninjau persamaan kecepatan aliran fluida dan persamaan perpindahan panas konduksi-konveksi pada  keadaan  tunak serta  menerapkan metode residual dan  syarat batas Neumann maka diperoleh:
                                         dxdy y N k x N k dxdy y N u x N u C N K e j y i x j y j x p i e ij  (7)
   e Qdxdy N f i e i (8)
    
  
      e dl n y T k n x T k N p y y x x i e i (9)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Pemodelan Pada Plat
Pada  pemodelan  ini  menggunakan  domain  persegi  panjang  yang  memiliki  panjang  x  pada  arah horizontal dan kedalaman y pada arah vertikal. Adapun bentuk domainnya sebagai berikut:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 1. Bentuk domain persegi panjang
Domain  ini  kemudian  di  diskritisasi  dengan  elemen  persegi  empat  sebanyak  20000  elemen  dan setiap  elemen  persegi  empat  dibagi  menjadi  dua  elemen  segitiga  seperti  yang  ditunjukkan.  Untuk  mencari kecepatan aliran fluida domain dikenakan syarat batas Neumann di semua sisi. Untuk arah aliran dari kiri ke kanan  domain  batas  sisi  kiri  diberi  nilai  q in =30  m/s  dan  domain  batas  sisi  kanan  diberi  nilai  q out =-30  m/s, sedangkan batas sisi atas dan bawah diberi nilai q=0. Untuk arah aliran dari bawah ke atas domain batas sisi bawah diberi nilai q in =30 m/s Domain pada sisi kiri diberi nilai temperatur sebesar 200 0 C , sisi bagian bawah diberi  nilai  temperatur  sebesar  150 0 C,  sedangkan  sisi  kanan  dan  atas  diberi  nilai (isolator).Setiap elemen  kemudian  diberikan  nilai  konduktivitas.  Distribusi  temperatur  kemudian  dihitung  dengan menggunakan metode elemen hingga seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya.

## 3.2 Syarat Batas Model
Untuk memperoleh solusi dari metode elemen hingga untuk model ini diperlukan syarat batas pada bagian  batas  luar  domain.  Diasumsikan  tidak  ada  panas  yang  keluar  dari  sisi  kanan  dan  sisi  atas  pada domain,  sehingga  syarat  batas  yang  diberlakukan  untuk  bagian  sisi  kanan  dan  sisi  atas  adalah  syarat  batas neumann:
0     n T
(10)
Sedangkan pada sisi kiri dan sisi kanan diberlakukan syarat batas Dirichlet:
0 T T   (11)

## 3.3 Hasil Pemodelan untuk Domain dengan Konduktivitas Homogen
Pemodelan  distribusi  temperatur  dilakukan  dengan  menggunakan  metode  elemen  hingga.  Hasilnya berupa  nilai  temperatur  pada  titik  simpul  elemen  segitiga  yang  tersebar  di  dalam  domain.  Berikut  ini  hasil pemodelan distribusi temperatur pada medium dengan konduktivitas panas homogen.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 2. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen tanpa G dengan konduktivitas panas 40
W/m. 0 C.
Gambar 3. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen yang diberi G dengan konduktivitas panas 40
W/m 0 C.
154.5455 154.5455 159.09 09 159.0 909 163. 6364 163 .636 4 168 .18 18 16 8.1 81 8 172 .727 3 17 2.7 27 3 17 7. 27 27 17 7.2 72 7 18 1. 81 82 18 1. 81 82 18 6. 36 36 18 6. 36 36 19 0. 9 09 1 19 0. 9 09 1 19 5. 4 54 5 19 5. 4 54 5 Length (meter) W id th ( m et er ) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
154.5455 154.5455 159.0909 159.0 909 163.6 364 163 .636 4 168.1 818 16 8.1 81 8 172 .727 3 17 2.7 27 3 17 7.2 727 177 .27 27 18 1. 8 18 2 18 1.8 18 2 18 6. 36 36 18 6. 3 63 6 1 9 0 .9 0 9 1 1 9 0 .9 0 9 1 1 9 5 .4 5 4 5 1 9 5 .4 5 4 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 4. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen tanpa diberi G dengan konduktivitas panas 380 W/m 0 C.
Gambar 5. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen dengan diberi G dengan konduktivitas panas 380 W/m 0 C 155 155 160 160 165 165 165 170 17 0 17 0 17 5 17 5 17 5 18 0 18 0 1 8 5 18 5 1 9 0 1 9 0 1 9 5 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 155 155 160 160 165 165 165 170 17 0 17 0 17 5 17 5 17 5 1 8 0 18 0 1 8 0 18 5 18 5 1 9 0 1 9 0 1 9 5 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 6. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen tanpa diberi G dengan konduktivitas panas
420 W/m 0 C
Gambar 7. Hasil pemodelan distribusi temperatur 2D homogen dengan diberi G dengan konduktivitas panas 420 W/m 0 C 155 155 160 160 165 165 165 170 17 0 17 0 17 5 17 5 17 5 18 0 18 0 18 5 18 5 1 9 0 1 9 0 1 9 5 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
155 155 160 160 165 165 165 170 17 0 17 0 17 5 17 5 17 5 1 8 0 18 0 1 8 0 18 5 18 5 1 9 0 1 9 0 1 9 5 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dapat terlihat perbedaan pada gambar diatas, bahwa pada Gambar yang dikarenakan adanya sumber panas sebesar 320 W/m 3 , menyebabkan distribusi temperatur meningkat dibandingkan pada Gambar dengan distribusi temperatur pada plat tanpa  sumber  panas. Dapat terlihat juga bahwa  semakin besar  konduktivitas termal maka distribusi temperatur akan semakin kecil. Pernyataan ini sesuai dengan hukum Fourier tentang konduksi panas.

## 3.4 Hasil pemodelan pada domain dengan dua nilai konduktivitas panas dengan 2 nilai yang berbeda
Pemodelan distribusi pada plat campuran dengan dua nilai konduktivitas panas yang berbeda. Berikut ini gambar model dan hasil kontur distribusi temperatur.
Gambar 8. Plat campuran baja dan perak dengan konduktivitas panas 40 W/m. 0 C dan 420 W/m. 0 C.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 9. kontur distribusi temperatur pada plat campuran tanpa nilai G
Gambar 10. kontur distribusi temperatur pada plat campuran dengan nilai G 154.5 455 154.5455 15 9.0 90 9 159. 0909 163 .63 64 1 6 3 .6 3 6 4 1 6 8 .1 8 1 8 1 6 8 .1 8 1 8 17 2. 7 27 3 17 2. 72 73 1 7 7 .2 7 2 7 17 7. 2 72 7 1 8 1 .8 1 8 2 1 8 1 .8 1 8 2 1 8 6 .3 6 3 6 1 8 6 .3 6 3 6 1 9 0 .9 0 9 1 1 9 0 .9 0 9 1 1 9 5 .4 5 4 5 1 9 5 .4 5 4 5 Length (meter) W id t h ( m e t e r ) Distribusi Temperatur 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 155 155 160 16 0 160 165 16 5 165 17 0 1 7 0 17 0 1 7 5 1 7 5 18 0 18 0 1 8 5 18 5 1 9 0 1 9 0 1 9 5 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 11. Kontur distribusi temperatur pada plat berlapis tanpa nilai G (L1=420,L2=40).
Gambar 12. Kontur distribusi temperatur pada plat berlapis dengan nilai G (L1=420,L2=40).
Pada  plat  berlapis  diatas  dapat  disimpulkan  bahwa  distribusi  temperatur  pada  lapisan  pertama  lebih  besar dibandingkan dengan lapisan kedua, hal ini disebabkan karena lapisan pertama konduktivitas panas nya lebih kecil  dibandingkan  konduktivitas  panas  pada  lapisan  kedua.  Pernyataan  ini  sesuai  dengan  hukum  Fourier tentang konduksi panas.
155 155 160 160 165 165 170 170 17 0 175 175 17 5 180 180 18 0 185 185 18 5 190 190 19 0 19 5 195 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
155 155 160 160 165 165 170 170 17 0 175 175 17 5 180 180 18 0 185 185 1 8 5 190 190 1 9 0 195 195 1 9 5 Length (meter) W id th ( m e te r) Distribusi Temperatur 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 4. KESIMPULAN
Pada  tulisan  ini  telah  dilakukan  penyelesaian  permasalahan  syarat  batas  pada  domain  2D. Permasalahan  yang  ditinjau  adalah  perpindahan  panas  konduksi  dengan  solusi  berupa  distribusi  temperatur pada  domain.  Dari  hasil  yang  diperoleh,  didapatkan  bahwa  distribusi  temperatur  bergantung  pada konduktivitas  panas  suatu  bahan.  Semakin  besar  konduktivitas  panas  maka  distribusi  temperatur  semakin kecil hal ini bersesuaian dengan persamaan yang dijelaskan oleh Hukum Fourier. Distribusi temperatur juga berpengaruh  pada  sumber  panas  yang  diberikan.  Jika  ada  sumber  panas  yang  diberikan  maka  distribusi temperatur menjadi meningkat dibandingkan domain yang tidak diberi sumber panas.

## DAFTAR PUSTAKA
Birman, V., (1995), “Stability of Functionally Graded Hybrid Composite Plates”, Composites Eng., 5, hal. 913–921.
Birman, V., (1997), “Stability of Functionally Graded Shape Memory Alloy Sandwich Panels”, Smart Mater. Struct., 6, hal. 278–286.
EL-Wazery, M. S. dan EL-Desouky, A. R., (2015), “A Review on Functionally Graded Ceramic-Metal Materials”, Menoufiya University, Shebin ElKom, EGYPT, hal. 1369-1376.
Katili, I., 2006, Metode Elemen Hingga , Program UI, FEAP, FTUI, Depok.
Kreith, Frank, 1994, Prinsip-prinsip Perpindahan Panas , Arko Prijono (alih bahasa), Jakarta: Penerbit Erlangga.
Mas Irfan. P.H, dkk, (2014), “Meshless Local B-Spline-FD Method and its Application for 2D Heat Conduction Problems with Spatially Varying Thermal Conductivity”, Applied Mathematics and Computation, 242, hal. 236–254.
Yunus, A. D., 2009, Perpindahan Panas dan Massa , Diktat Kuliah, Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Darma Persada, Jakarta.
Zienkiewicz, R. T., R. L. Taylor, and P. Nithiarasu, 2005 , The Finite Element Method for Fluid Dynamics , 6 th ed., Elsevier Butterworth-Heinemann, Jordan Hill, Oxford.