## OPTIMASI TINGKAT PERSEDIAAN TERHADAP TINGKAT PERMINTAAN TIDAK PASTI DENGAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYES
(Optimization of Inventory Level to Uncertain Demand Using Bayesian Approach)

## M. Isnaini, I Made Tirta, dan Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email: itirta.fmipa@unej.ac.id, agustina.fmipa@unej.ac.id
Abstract . The decision to determine grade of optimum supply on uncertainty demand or mainly  unknowing  could  accomplish  with  Buyer-approach  method.The  demand  with mainly unknowing can assumed as Poisson distribute.Completion with Buyer-approach method  could  be  starting  with  count  of  posterior  Gamma  have  distributed  from  prior Gamma with  and  parameter.At the end the result of counting above can compared with proportion between supply and demand until we get a stable-grade of supply.
Key words: optimal, Poisson distribution, Bayes Approach, Gamma distribusi, prior distribusi, posterior distribution, Negatif Binomial distribution.
MSC 2020: 62C10

## I. Pendahuluan
Ketersediaan  obat-obatan  adalah  salah  satu  faktor  penting  yang  berhubungan  dengan kecepatan  pelayanan  kesehatan.  Tetapi  terkadang  persediaan  obat-obatan  tersebut  tidak mencukupi yang menyebabkan operasional pelayanan kesehatan terganggu. Begitu pula jika persediaan terlalu banyak tidak sesuai dengan yang dibutuhkan, hal ini menyebabkan obat- obatan tersebut harus dimusnahkan karena kadaluwarsa. Oleh karena itu meskipun tidak bisa melaksanakan konsep just in time secara tepat dalam arti seimbang antara permintaan dan persediaan setidak-tidaknya  harus diusahakan agar obat-obatan yang disimpan seminimal mungkin  tanpa  mengganggu  operasional  pelayanan  dan  mencegah  kelebihan  obat-obatan kadaluwarsa.
Model  persediaan  barang  yang  akan  dibahas  dalam  penelitian  ini  adalah  model  dengan jumlah permintaan tidak pasti, mengikuti suatu distribusi Poisson dengan rata-rata (  ) tidak diketahui.  Untuk  mengoptimalkan  persediaan  barang  selanjutnya  digunakan  pendekatan Bayes.
Pendekatan  Bayes digunakan untuk  mencari distribusi  probabilitas prior variabel  random dalam hal ini  berdasarkan informasi sampel Y . Misalkan A 1 , A 2 , … , A k adalah kejadian- kejadian yang membentuk partisi dalam ruang sampel S dengan A i  A j =  untuk semua i  j , S A k i i    1
, dan P( A i )>0 dan B sebarang kejadian yang independen sehingga P( B )>0. Probabilitas untuk k i ,... 2 , 1  adalah:    k j j j i i i A B P A P A B P A P B A P 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( .
Probabilitas  P( A i )  disebut  distribusi  probabilitas  prior  yang  selanjutnya  disebut  dengan distribusi prior saja. Distribusi prior adalah probabilitas yang menunjukkan kemungkinan suatu  kejadian  terjadi  sebelum  kejelasan  eksperimen  yang  berkaitan  dengan  kejadian tersebut  diteliti.  Probabilitas ) ( B A P i disebut  distribusi  posterior  yaitu  probabilitas  yang menunjukkan  kemungkinan  dari  suatu  kejadian  sesudah    kejelasan  eksperimen  yang berkaitan  dengan  kejadian  tersebut  diteliti.    Oleh  karena    kejadian B bersifat  independen maka P ( B  A i ) =  P ( B )  dimana  
  k i i B A P B P 1 ) ( ) ( .  Fungsi  kepadatan  posterior  dari kuantitas  yang  tidak  diketahui  (  )  pada  masalah  inferensi  bersifat  kontinu  dapat  ditulis sebagai berikut:
                  d X f f X f f X f . . (1)
Pendekatan Bayes juga dapat dipergunakan pada kasus diskrit dan kontinu. Pada penelitian ini, kasus yang dipakai adalah kasus diskrit (Soebanar, 1988), yang dinyatakan dengan :             pri pri post P P P , dimana post P = probabilitas posterior, pri P = probabilitas prior, dan
 = likelihood dari data.
Distribusi  posterior  dapat  dihitung  apabila  telah  dirumuskan  distribusi  prior  dan  fungsi likelihood dari parameter distribusi data. Distribusi posterior merupakan fungsi  dengan X tetap (sama dengan nilai observasi X) dari informasi sampel. Untuk mencari distribusi prior melalui  konsep  tentang  distribusi  prior  sekawan.  Distribusi  prior  sekawan  merupakan keluarga distribusi yang tergantung pada model statistik yang kita pilih.
Distribusi  tingkat  permintaan diuji  menggunakan uji Goodness  of  Fit dengan chi-square , yaitu uji kesesuaian antara distribusi teoritis dengan distribusi data. Langkah-langkah yang dilakukan sebagai berikut :
1.  Hipotesis. ,
H 0 :distribusi data sesuai dengan distribusi teoritis H 1 :distribusi data tidak sesuai dengan distribusi teoritis
2. Menentukan taraf signifikansi (  ), yang bergantung pada kondisi dilapangan.
3. Menentukan statistik uji chi-square dan derajat kebebasan (  ),
Statistik uji yang digunakan:        n i i i i hitung fe fe fo 1 2 2 2  
fo i = frekuensi observasi dalam interval klas tertentu fe i = frekuensi teoritis = f(x).n f(x) = fungsi kepadatan distribusi dengan derajat bebas  = n–k– 1 n = banyaknya data k = banyaknya parameter populasi yang diduga.
Menentukan  daerah  penolakan  dengan  membandingkan  antara  2 hitung dengan  2 tabel .  2 tabel =  2 (  ,  ). Jika  2 hitung >  2 tabel l, maka H 0 ditolak yang berarti bentuk distribusi data yang diuji tidak sesuai dengan distribusi dugaan dan jika  2 hitung <  2 tabel maka H 0 diterima yang  berarti  bentuk  distribusi  data  yang  diuji  sesuai  dengan  distribusi  dugaan  (Paul, 1998).

## 2. Hasil dan Pembahasan
Data  primer  yang  digunakan  diambil  dari  permintaan  pemakaian  infus  RSAD  Dekate Kabupaten Jember pada bulan September 2002 sampai dengan Januari 2003, dan persediaan infus per bulan. Jenis infus yang diteliti adalah yang paling banyak dibutuhkan pasien (sering digunakan), yaitu Dextrose 5 %, NaCl 0,9 %, Ringer Lactat, dan Ringer Dextrose.
Tabel 1. Data permintaan pemakaian dan persediaan infus
No. Jenis infus Sep-02 Okt-02 Nov-02 Des-02 Jan-03 Persediaan infus Per bulan 1  Dextrose 5% 793 729 622 557 503 600 2  NaCl 0,9% 193 205 170 186 143 200 3  Ringer Lactat 1653 1531 1214 1446 1744 1200 4  Ringer Dextrose 203 194 80 131 63 400

## Pengujian Kesesuaian Distribusi Data
Bentuk fungsi probabilitas Poisson adalah:
  ,... , , X ; ! X e X f X 2 1 0     
sedang fungsi likelihood data dengan parameter  dari proses Poisson adalah:
 
  Y nλ nλ e Y! λ Y f   1 (2)
dengan n banyak permintaan dan
   n i i X Y 1 .
Tabel 2. Hasil uji kesesuaian distribusi data  dengan distribusi teoritis (Poisson).
No. Jenis infus Bulan- Tahun Chi-square hitung Chi-square tabel Kesimpulan hipotesis 1  Dextrose 5% Sep-02 11,565 37,652 H o diterima 2 Okt-02 8,972 38,885 H o diterima 3 Nov-02 28,041 37,652 H o diterima 4 Des-02 15,467 38,885 H o diterima 5 Jan-03 12,819 38,885 H o diterima 6  NaCl 0,9% Sep-02 5,863 37,652 H o diterima 7 Okt-02 10,275 38,885 H o diterima 8 Nov-02 5,207 37,652 H o diterima 9 Des-02 6,919 38,885 H o diterima 10 Jan-03 3,168 38,885 H o diterima 11  Ringer Lactat Sep-02 25,220 37,652 H o diterima 12 Okt-02 22,496 38,885 H o diterima 13 Nov-02 19,465 37,652 H o diterima 14 Des-02 22,841 38,885 H o diterima 15 Jan-03 27,184 38,885 H o diterima 16  Ringer Dextrose Sep-02 16,203 37,652 H o diterima 17 Okt-02 5,529 38,885 H o diterima 18 Nov-02 0,658 37,652 H o diterima 19 Des-02 11,451 38,885 H o diterima 20 Jan-03 2,033 38,885 H o diterima Keterangan:
1. Derajat kebebasan untuk bulan September dan November 2002 =30-4-1=25.
2. Derajat kebebasan untuk bulan Oktober, Desember 2002, dan Januari 2003 =31-4-1=26.
Pada tabel 2 dapat dilihat bahwa dari 20 kali pengujian untuk permintaan pemakaian infus jenis  Dextrose  5%,  Natrium  Chlorida  0,9%,  Ringer  Lactat,  dan  Ringer  Dextrose menunjukkan H 0 diterima pada taraf signifikansi  = 0,05 ini menunjukkan bahwa distribusi data sesuai dengan distribusi teoritis (distribusi Poisson).

## Optimasi Tingkat Persediaan terhadap Tingkat Permintaan
Langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  analisis  optimasi  tingkat  persediaan  terhadap tingkat permintaan dengan pendekatan Bayes adalah sebagai berikut :
1. Menentukan fungsi likelihood,
Fungsi likelihood data dengan parameter  dari proses Poisson adalah:
 
  Y n n e Y Y f      ! 1
dengan statistik cukup
   n i i X Y 1 ; dimana n = interval waktu tertentu.
Jika X 1 ,X 2 ,…,X n variabel  random  Poisson  independen  dengan  ekspektasi  ,  maka  fungsi kepadatan probabilitas Poisson adalah
    n n X X n n n X X n n n e X X X e X e x X x X P          ... 1 1 1 1 1 1 ! !... 1 ! ... ! ,...,        dengan statistik cukup           n i i n n X X X X X g 1 1 1 ...
,..., .

## 2. Menentukan distribusi prior sekawan,
Distribusi  prior  sekawan  untuk  adalah  fungsi  kepadatan  probabilitas  Gamma  G(  ,  ) dengan parameter  dan  disajikan :
   
        
  e f 1 ;  >0 dan  >0                              (3)
3. Menentukan distribusi posterior f(  Y ),
Fungsi kepadatan posterior untuk  dengan pendekatan Bayes adalah
             
   0 1 1 ! 1 ! 1                   d e Y e e Y e Y f Y n Y n              n Y Y e Y n          1 (4)
Jadi  distribusi  posterior  untuk  adalah  distribusi  Gamma  G(  ’,  ’ )  dengan  parameter  ’=Y +  dan  ’=  + n .

## 4. Menentukan distribusi marginal untuk menghitung  dan 
Data penelitian menunjukkan bahwa fungsi likelihood berdistribusi Poisson dan distribusi prior  sekawan  berdistribusi  Gamma.  Distribusi  Poisson  dan  distribusi  Gamma  menurut Praptono [3] mempunyai distribusi marginal   Y  berbentuk distribusi Binomial Negatif.
                                        0 n 1 Y Y 1 0 n Y Y d e Y n d e Y e n Y f   ! . !         1 1 1 1 1                                              Y Y Y n n n Y n Y . !. Y n (5)
Bentuk  distribusi  marginal  diuraikan  dalam  bentuk  fungsi  pembangkit  moment,  yang menghasilkan mean dan variansi data dari distribusi marginal untuk mengestimasi  dan  . Hasil  secara  lengkap  perhitungan  dan  dengan  pendekatan  dalam  bentuk  distribusi marginal dapat dilihat dalam Tabel 3.
Tabel 3. Hasil perhitungan dengan pendekatan dalam bentuk distribusi marginal
No Jenis infus Bulan-Tahun  Prob. C1 k   1  Dextrose 5% Sep-02 0,8 77.17 76.17 16 2 Okt-02 0,81 73.81 72.81 17.05 3 Nov-02 0,81 67.26 66.26 17.05 4 Des-02 0,79 56.44 55.44 15.05 5 Jan-03 0,78 50.75 49.75 14.18 6  NaCl 0,9% Sep-02 0,8 20.53 19.53 16 7 Okt-02 0,81 21.51 20.51 17.05 8 Nov-02 0,79 18.04 17.04 15.05 9 Des-02 0,8 18.93 17.93 16 10 Jan-03 0,8 14.86 13.86 16 11  Ringer Lactat Sep-02 0,81 178.99 177.99 17.05 12 Okt-02 0,81 160.18 159.18 17.05 13 Nov-02 0,81 130.81 129.81 17.05 14 Des-02 0,8 148.73 147.73 16 15 Jan-03 0,81 181.21 180.21 17.05 16  Ringer Dextrose Sep-02 0,75 20.32 19.32 12 17 Okt-02 0,8 20.18 19.18 16 18 Nov-02 0,82 8.68 7.68 18.22 19 Des-02 0,75 12.71 11.71 12 20 Jan-03 0,78 6.36 5.36 14.18
Perintah Minitab: MTB > let c4=c2*c3#c2=jumlah frekuensi rata-rata permintaan,c3=probabilitas permintaan(poisson),c4=nilai k perbulan MTB > let c5=c4-1#c5=nilai parameter alpha MTB > let c6=(c3*4)/(1-c3)#c6=nilai parameter betha MTB > print c1-c6

## 5. Menghitung nilai distribusi posterior Gamma
Setelah  diketahui  nilai  dan  ,  selanjutnya  nilai  tersebut  disubstitusikan  ke  dalam Persamaan  (2.4).  Distribusi  posterior  dijumlahkan  untuk  mengetahui  besar  probabilitas posterior gamma.
Tabel 4. Distribusi posterior Gamma dengan parameter  +Y dan  +n diketahui.
No Jenis infus Data bulan  + Y  + n Nilai posterior 1  Dextrose 5% Sep-02 172.635 20 0,0011999 2 Okt-02 163.936 21,05 0,0012549 3 Nov-02 149.293 21,05 0,0010117 4 Des-02 126.888 19,05 0,0004799 5 Jan-03 114.826 18,18 0,0003113 6  NaCl 0,9% Sep-02 45.1898 20 0,0000715 7 Okt-02 47.0609 20 0,0000767 8 Nov-02 39.8818 16,05 0,0000184 9 Des-02 41.5898 20 0,0000620 10 Jan-03 32.4278 20 0,0000414 11  Ringer lactat Sep-02 398.977 21,05 0,0078345 12 Okt-02 356.928 21,05 0,0065993 13 Nov-02 291.313 21,05 0,0045249 14 Des-02 333.64 20 0,0053728 15 Jan-03 403.922 21,05 0,0079695 16  Ringer dextrose Sep-02 46.4057 16 0,0000237 17 Okt-02 44.4176 20 0,0000694 18 Nov-02 18.272 22,22 0,0000291 19 Des-02 28.6555 22,22 0,0000548 20 Jan-03 13.5266 16 0,0000036
Perintah Minitab: MTB > PDF 'minggu' 'posterior';#distribusi posterior dg alpha+Y dan betha+n diketahui(post*10^-2) SUBC>   Gamma 1.14757 0.20. MTB > let c8=c7/100#nilai distribusi posterior sebenarnya MTB > let c9=sum(c8)#jumlah distribusi posterior

## 6. Menentukan besar proporsi tingkat persediaan terhadap tingkat permintaan,
Distribusi posterior Gamma diperoleh dari distribusi prior sekawan Gamma yang melibatkan C 1 sebagai  permintaan  pemakaian  infus  ( holding  cost )  serta  C 2 sebagai  persediaan  infus ( stock out cost ) dalam satuan botol infus. Proporsi antara permintaan dan persediaan menurut Nusyirwan [1] adalah
2 1 2 C C C 
7. Perbandingan  nilai  distribusi  posterior  Gamma  dengan  besar  proporsi  dari  tingkat persediaan terhadap tingkat permintaan.
Jika
   4 1 i i X Y = jumlah data permintaan pemakaian infus dalam satu bulan maka tingkat persediaan diperoleh dengan menggunakan pertidaksamaan sebagai berikut:
      2 1 2 n 1 Y Y C C C e Y n                  (6)
Untuk mengantisipasi kekurangan persediaan hasil perhitungan harus bernilai positip. Hasil perbandingan antara nilai distribusi posterior Gamma dan proporsi dari tingkat persediaan terhadap tingkat permintaan dapat dilihat dalam tabel 5.
Tabel  5.  Hasil  perbandingan  nilai  distribusi  posterior  Gamma  dengan  besar  proporsi  dari  tingkat persediaan terhadap tingkat permintaan . No Jenis infus Bulan-Tahun Nilai posterior Proporsi C 2 /(C 1 +C 2 ) 1  Dextrose 5% Sep-02 0,0011999 0,454 2 Okt-02 0,0012549 0,460 3 Nov-02 0,0010117 0,492 4 Des-02 0,0004799 0,521 5 Jan-03 0,0003113 0,544 6  NaCl 0,9% Sep-02 0,0000715 0,511 7 Okt-02 0,0000767 0,494 8 Nov-02 0,0000184 0,539 9 Des-02 0,0000620 0,522 10 Jan-03 0,0000414 0,582 11  Ringer Lactat Sep-02 0,0078345 0,421 12 Okt-02 0,0065993 0,439 13 Nov-02 0,0045249 0,499 14 Des-02 0,0053728 0,455 15 Jan-03 0,0079695 0,409 16  Ringer Dextrose Sep-02 0,0000237 0,664 17 Okt-02 0,0000694 0,672 18 Nov-02 0,0000291 0,835 19 Des-02 0,0000548 0,753 20 Jan-03 0,0000036 0,864
Perintah Minitab: MTB > let c10=(sum(c4))/(sum(c2+c4))#besar proporsi persediaaan thdp permintaan
Pada Tabel 5 diketahui nilai probabilitas posterior dalam data permintaan lebih besar dari proporsi  persediaan  terhadap  permintaan,  menunjukkan  bahwa  ada  kelebihan  persediaan yang  disediakan  pihak  rumah  sakit  selama  ini.  Kelebihan  persediaan  ini  diperoleh  dari probabilitas tak optimal yaitu besar proporsi dikurangi dengan jumlah probilitas posterior, sedang rata-rata persediaan diperoeh dari probabilitas optimal.
Tabel 6. Hasil perhitungan nilai persediaan yang optimal untuk setiap infus per bulan
no jenis infus Bulan-Tahun  prob.tak optimal Kelebihan Persediaan yg optimal 1 Dextrose 5% Sep-02 0,453 170 430 2 Okt-02 0,459 161 439 3 Nov-02 0,491 137 463 4 Des-02 0,520 109 491 5 Jan-03 0,544 93 507 6 NaCl 0,9% Sep-02 0,510 40 160 7 Okt-02 0,494 44 156 8 Nov-02 0,539 33 167 9 Des-02 0,522 36 164 10 Jan-03 0,582 26 174 11  Ringer Lactat Sep-02 0,413 433 767 12 Okt-02 0,433 370 830 13 Nov-02 0,494 265 935 14 Des-02 0,449 331 869 15 Jan-03 0,402 451 749 16  Ringer Dextrose Sep-02 0,664 31 369 17 Okt-02 0,672 31 369 18 Nov-02 0,835 11 389 19 Des-02 0,753 17 383 20 Jan-03 0,864 7 393
Perintah Minitab: MTB > let c4=c2/c3#c2=nilai k, c3=probabilitas tak optimal, c4=kelebihan persediaan MTB > let c5=600-c4#600=persediaan yang selama ini dilakukan RS, c5=persediaan yang optimal perbulan MTB > print c1-c5
Pada Tabel 6 menunjukkan bahwa adanya kelebihan persediaan infus perbulan dalam satuan botol.  Sehingga  persediaan  yang  optimal  ditentukan  dari  persediaan  yang  selama  ini dilakukan rumah sakit dikurangi dengan kelebihan persediaan infus perbulan. Perusahaan dalam hal ini rumah sakit diharapkan mempertahankan persediaan secara optimal, dengan menyediakan  rata-rata  jenis  infus  Dextrose  5%  sebanyak  466  botol  perbulan,  Natrium Chlorida 0.9% sebanyak 164 botol perbulan, Ringer Lactat sebanyak 830 botol perbulan, dan Ringer Dextrose sebanyak 380 botol perbulan.

## 3. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  data  dan  pembahasan  pada  bab  sebelumnya  dapat  diambil kesimpulan bahwa model tingkat persediaan terhadap tingkat rata-rata permintaan barang yang tidak pasti yang mengikuti distribusi Poisson dapat  diselesaikan dengan pendekatan Bayes.
Langkah pertama dengan mencari distribusi prior sekawan berupa distribusi Gamma dari fungsi  likelihood  data  permintaan  berdistribusi  Poisson  yang  menghasilkan  distribusi posterior  Gamma.  Selanjutnya  fungsi  likelihood  data  Poisson  dimarginalkan  dengan distribusi  prior  sekawan  Gamma  untuk  mengestimasi  parameter  dan  ,  sehingga menghasilkan  bentuk  marginal  berbentuk  distribusi  Binomial  Negatif.  Langkah  terakhir membandingkan nilai distribusi posterior dengan besar proporsi tingkat persediaan terhadap tingkat permintaan barang berupa infus jenis tertentu.
Perusahaan  dalam  hal  ini  rumah  sakit  diharapkan  mengetahui  besar  rata-rata  permintaan pemakaian dan persediaan infus perbulan serta mengetahui proporsinya, dengan begitu maka rumah  sakit    dapat  mempertahankan  persediaan  infus  dan  meminimalkan  terjadinya penumpukan barang di gudang serta menghindari barang mengalami kadaluarsa.

## Daftar Pustaka
[1] Nusyirwan, 1997, “Optimasi Tingkat Persediaan Jika Permintaan Berdistribusi Poisson dengan Rata- rata Tidak Diketahui”, Jurnal Sains dan Tehnologi, Jakarta.
[2] Paul  G. Hoel,1998,  Introduction to  Mathematical  Statistics, third edition, New York- London.
[3] Praptono, 1986, Pengantar Proses Stokastik I, Jakarta: Universitas Terbuka.
[4] Soebanar, 1988, Inferensi Bayesian, Jakarta: Universitas Terbuka.