## Perbedaan Kemampuan Pemecahan Masalah dan Penalaran Matematis Siswa yang Diajar Menggunakan Model Pembelajaran Problem

## Based Learning (PBL) dan Discovery Learning
Raudah Ummu Fahda Damanik 1  , Sahat Saragih 2 , Arnita 3
1,2,3 Pendidikan Matematika Pascasarjana, Universitas Negeri Medan, Jalan William IskandarPasar V, Medan, Indonesia raudah_damanik96@yahoo.com

## Abstract
This study aims to produce: To find out whether there are differences in mathematical problem solving abilities between  students  who  are  given  the  Problem  Based  Learning  (PBL)  model  and  students  who  are  given  the Discovery  Learning  learning  model;  To  find  out  whether  there  are  differences  in  mathematical  reasoning abilities between students who are given the Problem Based Learning (PBL) model and students who are given the  Discovery  Learning  learning  model.  This  type  of  research  is  a  quasi  experiment  (quasi  experiment).  This research  was  conducted  at  SMK  Negeri  9  Medan  in  the  odd  semester  of  the  2022/2023  Academic  Year.  The results  showed  that:  There  were  differences  in  the  ability  to  solve  students'  mathematical  problems  between students  who  were  given  the  Problem  Based  Learning  and  Discovery  Learning  learning  models,  where  the application of the Problem Based Learning model was better than students who received the Discovery Learning cooperative  learning  model  for  students'  mathematical  problem  solving  abilities;  There  are  differences  in students'  mathematical  reasoning  abilities  between  students  who  are  given  the  Problem  Based  Learning  and Discovery Learning learning models, where the application of the Problem Based Learning model is better than students who receive the Discovery Learning  cooperative learning  model for students' mathematical  reasoning abilities.
Keywords: Difference, Problem Solving Ability, Reasoning, Problem Based Learning, Discovery Learning

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menghasilkan:  Untuk  mengetahui  apakah  terdapat  perbedaan  kemampuan pemecahan  masalah  matematis  antara  siswa  yang  diberi  model  pembelajaran Problem  Based  Learning (PBL) dengan  siswa  yang  diberi  model  pembelajaran Discovery  Learning ;  Untuk  mengetahui  apakah  terdapat perbedaan  kemampuan  penalaran  matematis  antara  siswa  yang  diberi  model  pembelajaran Problem  Based Learning (PBL) dengan siswa yang diberi model pembelajaran Discovery Learning . Jenis penelitian ini adalah eksperimen semu ( quasi experiment) ). Penelitian ini dilaksanakan di SMK Negeri 9 Medan pada pada semester ganjil  Tahun  Ajaran  2022/2023.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa:  Terdapat  perbedaan  kemampuan pemecahan  masalah  matematis  siswa  antara  siswa  yang  diberi  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan Discovery  Learning, dimana  penerapan  model Problem  Based  Learning lebih  baik  daripada  siswa  yang memperoleh  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery  Learning untuk  kemampuan  pemecahan  masalah matematis  siswa;  Terdapat  perbedaan  kemampuan  penalaran  matematis  siswa  anata  siswa  yang  diberi  model pembelajaran Problem  Based  Learning dan Discovery  Learning, dimana  penerapan  model Problem  Based Learning lebih baik  daripada siswa yang memperoleh model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning untuk kemampuan penalaran matematis siswa.
Kata  Kunci: Perbedaan,  Kemampuan  Pemecahan  Masalah,  Penalaran, Problem  Based  Learning,  Discovery Learning
Copyright (c) 2023 Raudah Ummu Fahda Damanik, Sahat Saragih, Arnita  Corresponding author: Raudah Ummu Fahda Damanik Email Address: raudah_damanik96@yahoo.com (Jalan William IskandarPasar V) Received 31 March 2023, Accepted 02 May 2023, Published 15 May 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i1.2350

## PENDAHULUAN
Kemampuan  pemecahan  masalah  merupakan  salah  satu  dari  proses-proses  kognitif  manusia yang  fundamental,  serta  merupakan  kemampuan  paling  penting  yang  harus  dimiliki  oleh  para  siswa untuk  mempersiapkan  mereka  agar  mampu  bertahan  menghadapi  tantangan-tantangan  yang  akan mereka hadapi di masa depan. Sejalan dengan pendapat tersebut, (Cooney, 1985) menyatakan bahwa
Arnita
kemampuan  pemecahan  masalah  sangat  penting  agar  siswa  dapat  menyelesaikan  masalah  yang dihadapinya  dan  membantu  siswa  berpikir  analitis  dalam  mengambil  keputusan  dalam  kehidupan sehari-hari.
Tidak  hanya  itu  saja,  tingginya  kemampuan  pemecahan  masalah  dalam  diri  seorang  siswa dapat membuatnya merasa “lebih bahagia, lebih percaya diri, serta lebih mandiri”. Ketika para siswa berupaya  untuk  mengatasi  suatu  masalah,  baik  secara  sendiri  maupun  dalam  suatu  kelompok,  maka hal  ini  dapat  melatih  mereka  untuk  menjadi  pribadi  yang  tangguh.  Para  siswa  belajar  melihat tantangan atau masalah dari perspektif-perspektif baru, dan oleh sebab itu, mereka bisa menumbuhkan rasa  keberanian  untuk  mengambil  lebih  banyak  risiko-risiko  yang  sebelumnya  telah  diperhitungkan. Pemecahan masalah sangatlah penting dalam perkembangan para siswa, karena jika siswa senantiasa melatih kemampuan pemecahan masalah mereka secara konsisten, maka siswa dapat mengembangkan kesadaran  situasional  dan  sosial  yang  lebih  besar.  Selain  itu,  mereka  juga  dapat  belajar  mengatur waktu serta melatih kesabaran ketika melakukan pemecahan masalah.
Sedangkan untuk kemampuan penalaran matematis, (Branca, 2017) menyatakan bahwa orang yang bernalar  dan  berpikir  secara  analitik  akan  cenderung  mengenal  pola,  struktur,  atau  keberaturan baik di dunia nyata maupun pada simbol-simbol. Kemampuan penalaran matematis sangatlah penting karena  dapat  membantu  siswa  untuk  memecahkan  masalah,  menghasilkan  ide-ide  kreatif  dan menetapkan  tujuan-tujuan  -  yang  mana  semuanya  diperlukan  untuk  mengembangkan  karier  mereka kelak  ketika  berada  di  dunia  kerja.  Dengan  semakin  terlatihnya  kemampuan  penalaran  matematis seseorang,  maka  akan  semakin  mudah  pula  ia  menemukan  solusi-solusi  dari  segala  permasalahan yang ditemuinya dalam kehidupan sehari-hari.
(Aini,  R.  M.,  &  Siswono,  2014)  menyatakan  bahwasanya  hasil  studi  PISA  merupakan  salah satu  ukuran  untuk  melihat  kemampuan  pemecahan  masalah  matematika.  Studi  PISA  ini  menuntut peserta  didik  untuk  memiliki  kemampuan  berpikir  tingkat  tinggi  serta  kemampuan  pemecahan masalah  matematis.  Soal-soal  matematika  dalam  studi  PISA  lebih  banyak  mengukur  kemampuan menalar,  pemecahan  masalah,  dan  berargumentasi  daripada  soal-soal  yang  mengukur  kemampuan teknis  baku  yang  berkaitan  dengan  ingatan  dan  perhitungan  semata  (Purnama.  S  &  Mertika,  2018). Adapun (Kartika, R., Rohaeti, E. E., & Afrilianto, 2018) menyatakan bahwa dalam tes PISA, peserta didik Indonesia hanya mampu menjawab soal dalam kategori rendah dan sedikit sekali bahkan hampir tidak ada yang dapat menjawab soal yang menuntut pemikiran tingkat tinggi.
Dalam  menyelesaikan  suatu  permasalahan  matematika,  terdapat  banyak  hal  yang  perlu diperhatikan  mengingat  materi-materi  dalam  pelajaran  matematika  tersusun  secara  hierarkis  dan konsep  matematika  yang  satu  dengan  yang  lainnya  berkorelasi  membentuk  satu  konsep  baru  yang lebih  kompleks.  Siswa  yang  tidak  dapat  menyelesaikan  masalah  mungkin  disebabkan  oleh  tingkat kemampuan  awal  matematika  siswa  tersebut  yang  masih  kurang.  Siswa  harus  mampu  untuk menghubungkan  konsep  matematika  yang  telah  dimilikinya  dalam  struktur  berpikirnya  dengan
permasalahan yang dia hadapi. Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dikatakan bahwa kemampuan awal matematika siswa perlu mendapat perhatian karena hal ini dapat mempengaruhi kemampuannya untuk menyelesaikan suatu permasalahan matematika (Asis, A., Busnawir, 2017).
Berdasarkan  penjabaran  tersebut,  maka  peneliti  memutuskan  untuk  melakukan  tes  observasi awal yang bertujuan untuk mengukur kemampuan awal pemecahan masalah dan penalaran matematis siswa. Adapun berdasarkan hasil tes observasi kemampuan awal siswa untuk kemampuan pemecahan masalah matematis yang dilakukan di SMK Negeri 9 Medan, dapat diketahui bahwa kemampuan awal siswa untuk kemampuan matematis tersebut masih rendah. Hal ini ditunjukkan dari hasil tes observasi awal sebagai berikut:

## Gambar 1. Salah Satu Jawaban Siswa
Dari  penjabaran  diatas  dapat  diketahui  bahwa  kebanyakan  siswa  masih  belum  memenuhi keempat aspek kemampuan pemecahan masalah. Namun, terdapat beberapa siswa yang sudah mampu menyebutkan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan secara tepat, merancang model matematika dan  menjalankan  rancangan  model  secara  tepat,  serta  melakukan  penarikan  kesimpulan  meskipun penyelesaiannya  masih  belum  maksimal.  Kemudian  dapat  diketahui  bahwa  presentase  penyelesaian permasalahan  oleh  siswa  pada  soal  nomor  4  untuk  aspek  kemampuan  menafsirkan  hasil  yang diperoleh  sangatlah  kecil  jika  dibandingkan  dengan  ketiga  aspek  lainnya.  Hal  ini  mengindikasikan bahwa  siswa  masih  mengalami  kesulitan  untuk  menafsirkan  hasil  yang  diperoleh  setelah  melakukan suatu penyelesaian masalah matematika.  Oleh sebab itu, dapat disimpulkan bahwa kemampuan awal siswa untuk kemampuan pemecahan masalah matematis masih tergolong rendah.
Selain  rendahnya  kemampuan  pemecahan  masalah  para  siswa  di  Indonesia,  terdapat  juga kemampuan matematis lainnya yang terbukti rendah, yaitu kemampuan penalaran matematis. Adapun hal  ini  ditunjukkan  dari  hasil  tes  observasi  kemampuan  awal  siswa  untuk  kemampuan  penalaran matematis sebagai berikut:
Gambar 2. Salah Satu Jawaban Siswa
Pada gambar di atas, terlihat bahwa siswa memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran teorema  Phytagoras  meskipun  jawabannya  tersebut  masih  kurang  sesuai  dengan  permasalahan  yang ditanyakan  pada  soal.  Meskipun  penyelesaiannya  tersebut  masih  belum  sempurna,  hal  ini menunjukkan  bahwasanya  siswa  tersebut  telah  memenuhi  aspek  kemampuan  penalaran  matematis yang  pertama  yaitu  aspek  kemampuan  menyajikan  pernyataan  matematika  secara  lisan,  tertulis, gambar, dan diagram.
Adapun  data  dari  penjabaran  diatas  diperoleh  berdasarkan  hasil  observasi  awal  untuk kemampuan penalaran matematis  siswa yang telah dilakukan di SMK Negeri 9 Medan. Berdasarkan data tersebut, dapat diketahui bahwa kemampuan penalaran matematis siswa juga masih rendah. Hasil analisis  data  observasi  awal  tersebut  turut  didukung  pula  oleh  hasil  wawancara  dengan  guru  bidang studi matematika di SMK Negeri 9 Medan. Salah satu guru bidang studi matematika di SMK Negeri 9 Medan menyatakan bahwa pada umumnya kesulitan siswa dalam belajar matematika adalah pada saat menyelesaikan  soal  cerita.  Ketika  suatu  soal  yang  diberikan  tidak  sama  dengan  contoh,  siswa kesulitan untuk menemukan penyelesaiannya. Hal ini berarti siswa belum mampu memahami konsep, sehingga  kemampuan  berpikir  tidak  maksimal  dan  dampaknya  kemampuan  bernalar  juga  menjadi rendah.
Dalam  upaya  mengembangkan  kemampuan  penalaran  dan  pemecahan  masalah  matematis siswa,  salah  satu  hal  yang  paling  berpengaruh  adalah  proses  pembelajaran  yang  diimplementasikan oleh guru kepada siswa. Misalnya dalam suatu proses pemecahan masalah khususnya masalah dalam matematika, siswa harus paham apa yang menjadi masalah dan menentukan rumus atau teorema apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah berdasarkan data yang diberikan di dalam soal. Karena itu, proses pembelajaran yang terjadi di dalam kelas harus dapat mendorong siswa untuk mengembangkan kemampuan  berfikirnya.  Oleh  karena  itu,  guru perlu  menerapkan  pemilihan  model atau  pendekatan  pembelajaran  yang  tepat  sehingga  mampu  melibatkan  siswa  secara  aktif  baik  fisik, emosi maupun sosial.
Jerome  S.  Bruner  dalam  teorinya  menyatakan bahwa  belajar  matematika  akan  lebih berhasil jika  proses  pengajaran  diarahkan  kepada  konsep-konsep  dan  struktur-struktur  yang  terbuat  dalam pokok bahasan yang diajarkan, di samping hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan struktur-
struktur  (Sinaga,  2007).  Dalam  matematika,  setiap  konsep  berkaitan  dengan  konsep  lain,  dan  suatu konsep  menjadi  prasyarat  bagi  konsep  yang  lain.  Oleh  karena  itu,  siswa  harus  lebih  banyak  diberi kesempatan  untuk  melakukan  keterkaitan  tersebut.  Dalam  belajar,  siswa  tidak  menerima,  tetapi mengkonstruk sendiri konsep-konsep yang dipelajari. Oleh karena itu diperlukan model pembelajaran yang memberi kesempatan siswa untuk mengkonstruk sendiri bukan sekedar menerima pembelajaran itu.  Beberapa  model  pembelajaran  yang  menekankan  konsep  tersebut  adalah  model  pembelajaran Discovery Learning dan Problem Based Learning (PBL).
Model  pembelajaran Discovery  Learning merupakan  pembelajaran  dimana  peserta  didik menemukan  sendiri,  menyelidiki  sendiri  hal-hal  yang  baru  sehingga  hasil  yang  akan  diperoleh  akan tahan lama dalam ingatan, tidak akan mudah dilupakan siswa. Menurut (Zulfah, 2017), hal-hal yang baru  tersebut  dapat  berupa  konsep,  teorema,  rumus,  pola,  aturan,  dan  sejenisnya,  untuk  dapat menemukan  mereka  harus  melakukan  terkaan,  dugaan,  coba-coba,  dan  usaha  lainnya  dengan menggunakan  pengetahuan  yang  telah  dimilikinya.  Dalam  model  pembelajaran  ini  guru  berperan sebagai pembimbing dengan memberikan masalah pada peserta didik kemudian peserta didik disuruh memecahkan  masalah  tersebut  seperti  melakukan percobaan,  mengumpulkan data,  menganalisis  dan mengambil  kesimpulan  dari  suatu  hal  yang  baru.  (Ahmad,  2015)  menyatakan  bahwa  model pembelajaran Discovery  Learning memberi  kesempatan  kepada  siswa  dalam  mengembangkan  dan menemukan  pemahamannya  sendiri  sehingga  belajar  matematika  menjadi  bermakna,  informasi- informasi  yang  disajikan  mudah  diserap,  diproses  dan  disimpan  dengan  baik  oleh  sistem  memori siswa serta memberikan kesempatan kepada siswa untuk lebih banyak berperan secara aktif di dalam kelas.
Penerapan  model  pembelajaran Discovery  Learning diharapkan  mampu  mendukung peningkatan  kemampuan  penalaran  dan  pemecahan  masalah  matematis  siswa.  Dalam  model pembelajaran  ini  siswa  dapat  menemukan  konsep-konsep  atau  ide-ide  baru  dalam  matematika  yang belum pernah diketahui sebelumnya dan mengkonstruksi pengetahuannya sendiri, lalu menyelesaikan suatu  permasalahan  matematika  melalui  pengetahuan  yang  telah  diperolehnya  tersebut.  Dari penjabaran  tersebut  dapat  disimpulkan  bahwa  model  pembelajaran Discovery  Learning dapat meningkatkan kemampuan penalaran serta pemecahan masalah matematis siswa.
Sedangkan  untuk  model  pembelajaran Problem  Based  Learning (PBL),  (Glazer,  2013) menyatakan  bahwa  model  pembelajaran  PBL  menekankan  bahwa  belajar  itu  adalah  membangun pengetahuan,  menggabungkan  pengetahuan  baru  dengan  pengetahuan  yang  sudah  ada/dimiliki  dan bukanlah  selalu  menerima  pengetahuan.  Artinya,  kondisi  sekarang  yang  ditemui  dan  dirasakan  di lingkungan pendidikan atau sekolah baik itu dari penggunaan model pembelajaran konvensional yang kurang  efektif  maupun  siswa  yang  kurang  aktif  bisa  diubah  menjadi  lebih  baik  ke depannya  dengan menggunakan  suatu  inovasi  model  pembelajaran  yaitu  model  pembelajaran  PBL.  Hal  ini  dipertegas kembali  bahwa  model  pembelajaran  PBL  adalah  model  pembelajaran  yang  bersifat  konstruktivisme
Arnita 1337
(membangun)  pengetahuan  secara  nyata  dengan  tujuan  untuk  meningkatkan  kemampuan memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan nyata sehingga siswa dituntut untuk mandiri.
Selanjutnya,  (Simamora,  R.  E.,  Saragih,  S.,  &  Hasratuddin,  2018)  dalam  penelitiannya menyatakan  bahwa  kemampuan  penalaran  siswa  dengan  menggunakan  model  pembelajaran Discovery  Learning lebih  baik  dari  pada  kemampuan  penalaran  siswa  dengan  menggunakan  model pembelajaran Problem Based Learning berbantuan Wingeom . Hal ini dapat dilihat dari hasil  analisis data  hasil  belajar  siswa,  dimana  pola  jawaban  siswa  di  kelas  yang  diajarkan  dengan  model pembelajaran Discovery  Learning lebih  baik  daripada  pola  jawaban  siswa  yang  diajarkan  dengan menggunakan  model pembelajaran Problem Based Learning . Hal  ini  disebabkan  karena  pada  model pembelajaran Discovery  Learning siswa  dituntut  untuk menemukan  sendiri  konsep  sehingga  apabila siswa  sudah  menemukan  sendiri  konsep  maka  siswa  akan  lebih  mudah  menyelesaikan  berbagai masalah yang diberikan guru dan dapat memenuhi deskriptor-deskriptor dari indikator pola jawaban. Sedangkan pada model pembelajaran Problem Based Learning siswa hanya terpaku pada contoh soal yang diberikan guru dan soal pada LAS sehingga siswa kesulitan apabila diberikan soal dalam bentuk yang  lain  maka  bentuk  penyelesaian  masalah  siswa  tidak  memenuhi  deskriptor-deskriptor  dari indikator pola jawaban yang lengkap.
Setiap  siswa  memiliki  kemampuan  yang  berbeda-beda.  Ada  siswa  yang  tergolong  pada kemampuan  tinggi,  sedang  dan  rendah.  Heterogenitas  kemampuan  siswa  ini  juga  menjadi salah  satu penyebab  perbedaan  kemampuan  berpikir  siswa  khususnya  dalam  kemampuan  pemecahan  masalah dan  penalaran  (Agustina,  L.,  &  Lestari,  2020).  Oleh  sebab  itu,  kemampuan  awal  matematis  (KAM) siswa  juga  harus  menjadi  perhatian  guru.  Kemampuan  awal  matematis  (KAM)  memegang  peranan yang  sangat  penting  untuk  penguasaan  konsep  baru  matematika  sehingga  informasi  yang  diperoleh melalui  kemampuan  awal  siswa  perlu  diperhatikan  untuk  mengetahui  peningkatan  dan  interaksinya dengan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan discovery  learning terhadap  kemampuan pemecahan  masalah  dan  penalaran  siswa.  Analisis  terhadap  interaksi  tersebut  dilakukan  untuk mengetahui  keberartian  penerapan  pembelajaran  kepada  masing-masing  kategori  kemampuan  awal matematis siswa. Dapat diduga bahwa siswa berkemampuan tinggi memiliki kemampuan belajar yang lebih  stabil  meskipun  pendekatan  pembelajaran  yang  digunakan  bervariasi.  Sedangkan  bagi  siswa berkemampuan  rendah,  penggunaan  pendekatan  pembelajaran  yang  sesuai  dengan  karakteristiknya dapat membantu meningkatkan kemampuan matematisnya (Nurhayati, S., 2013).
Merujuk  pada  uraian-uraian  di  atas  maka  penulis  terdorong  untuk  melakukan  penelitian, pengkajian  serta  analisis  terhadap  perbedaan  kemampuan  pemecahan  masalah  dan  penalaran matematis  siswa  yang  diajar  menggunakan  dua  model  pembelajaran  yang  berbeda  melalui  suatu penelitian  eksperimen  dengan  judul  “Perbedaan  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  dan  Penalaran Matematis Siswa yang diajar menggunakan Model Pembelajaran Problem Based Learning (PBL) dan Discovery Learning ”.

## METODE
Penelitian  ini  dilaksanakan  sebagai  suatu  penelitian  eksperimen,  dimana  jenis  penelitiannya adalah  eksperimen  semu  ( quasi  experiment) .  Pada  eksperimen  semu  tidak  dapat  dilakukan pengontrolan  terhadap  semua  variabel  luar  yang  mempengaruhi  jalannya  eksperimen.  Penelitian  ini dilaksanakan  di  SMK  Negeri  9  Medan  yang  memiliki  akreditas  A.  Adapun  waktu  penelitian  ini direncanakan  akan  dilaksanakan  pada  semester  ganjil  Tahun  Ajaran  2022/2023.  Pelaksanaan penelitian  berlangsung pada  bulan  Juli  selama  4  kali  pertemuan  untuk masing-masing  kelas  sampel. Populasi dalam penelitian ini adalah seluruh siswa Kelas X TKJ SMK Negeri 9 Medan tahun ajaran 2022/2023  yang  terdiri  dari  5  kelas,  yaitu  Kelas  X  TKJ-1  sampai  Kelas  X  TKJ-5.  Adapun  sampel dalam penelitian ini ditentukan dengan menggunakan teknik cluster random sampling.
Pada  tes  kemampuan  kemampuan  pemecahan  masalah  dan  penalaran  dianalisis  dengan validitas,  reliabilitas,  tingkat  kesukaran  soal  dan  daya  pembeda  soal,  matematis  dianalisis  dengan validitas,  reliabilitas  untuk  memperoleh  hasil  tes  yang  baik.  Perhitungan  uji  coba  ini  menggunakan rumus Alpha Cronbach untuk mengetahui reliabilitas serta bantuan aplikasi Microsoft Excel 2010 .
Tabel 1. Rangkuman Hasil Perhitungan Uji Coba Tes Matematis Butir Soal Validitas 1 2 𝑟 𝑥𝑦 0,805 0,683 𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 7,176 4,950 𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 1,701 1,701 Interpretasi Valid Valid Reliabilitas 1 2 𝑟 11 0,726 Interpretasi Baik Daya Beda 1 2 Indeks 0,288 0,213 Interpretasi Cukup Cukup Tk. Kesukaran 1 2 Indeks 0,717 0,683 Interpretasi Mudah Sedang
Pada tabel menunjukkan bahwa tes kemampuan pemecahan masalah dan penalaran matematis sudah  valid  dengan  koefisien  reliabilitas  0,726  dengan  kategori  tinggi.  Berdasarkan  hasil  uji  coba yang dilakukan. Diperoleh bahwa tes kemampuan pemecahan masalah dan penalaran matematis dapat digunakan sebagai alat ukur untuk mengetahui kemampuan pemecahan masalah matematis.
Perangkat  pembelajaran  dan  instrumen  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini terlebih dahulu divalidasikan oleh validator agar menghasilkan perangkat pembelajaran dan instrumen penelitian yang layak sebagai alat ukur. Perangkat pembelajaran yang digunakan dalam penelitian ini adalah  Rencana  Pelaksanaan  Pembelajaran  (RPP)  serta  Lembar  Kerja  Peserta  Didik  (LKPD)  untuk masing-masing  kelas  eksperimen  1  dan  2.  Adapun  hasil  validasi  perangkat  pembelajaran  tersebut disajikan pada tabel 2. berikut:
Arnita 1339 Tabel 2. Rangkuman Hasil Validasi Perangkat Pembelajaran No. Objek yang dinilai Nilai Rata-rata Total Validitas Tingkat Validasi 1. RPP Kelas Eksperimen 1 4,6 Valid 2. RPP Kelas Eksperimen 2 4,6 3. Lembar  Kerja  Peserta  Didik  (LKPD) Kelas Eksperimen 1 4,7 4. Lembar  Kerja  Peserta  Didik  (LKPD) Kelas Eksperimen 2 4,6
Berdasarkan  tabel  diatas,  diperoleh  rata-rata  nilai  total  validasi  untuk  RPP  dan  Lembar  Kerja Peserta Didik (LKPD) tingkat validasi dinyatakan valid.

## HASIL DAN DISKUSI
Hasil  dari  penelitian  sehingga  mampu  memenuhi  tujuan  dari  penelitian  ini.  Adapun  tujuan utama  penelitian  ini  adalah  untuk  menganalisis  perbedaan  kemampuan  Pemecahan  Masalah  dan Penalaran matematis siswa yang diajarkan dengan model pembelajaran Problem Based Learning dan Discovery  Learning. Selain  itu  juga  untuk  mengetahui  bagaimana  interaksi  antara  model pembelajaran dan kemampuan awal matematika siswa terhadap kemampuan Pemecahan Masalah dan penalaran matematis siswa.

## Deskripsi Kemampuan Awal Matematika
Tes  Kemampuan  Awal  Matematika  (KAM)  digunakan  untuk  mengetahui  kesetaraan  kelas sampel  penelitian  dan  kemampuan  matematika  siswa  yang  telah  dimiliki  siswa  sebelum  proses pembelajaran dalam penelitian ini. Untuk memperoleh gambaran KAM siswa, dilakukan perhitungan rerata dan simpangan baku, hasil rangkuman tersajikan pada Tabel 3. berikut:
Tabel 3. Nilai Tes Kemampuan Awal Matematika Kelas N X max X min 𝑥̅ SD Kelas Eksperimen I 30 100 40 71 14,01 Kelas Eksperimen II 30 95 45 70 14,83
Adapun  hasil  rangkuman  dari  prhitungan  uji  normalitas  data  KAM  menggunakan  SPSS disajikan pada Tabel 4. sebagai berikut:
Tabel 4. Hasil Uji Normalitas Data KAM Kelas Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. Nilai Eksperimen 1 ,115 30 ,200 * ,977 30 ,732 Eksperimen 2 ,131 30 ,199 ,942 30 ,103
Dari  tabel  di  atas  terlihat  bahwa  nilai  signifikansi Kolmogorov-Smirnov >  0.05  untuk  kelas eksperimen I dan kelas kelas eksperimen II. Nilai signifikansi kedua kelas lebih besar dari nilai taraf signifikansi  0,05  sehingga  hipotesis  nol  yang  menyatakan  data  distribusi  normal  untuk  kedua  kelas
dapat diterima. Dengan kata lain, data populasi yang berasal dari masing-masing sampel berdistribusi normal.

## Deskripsi Tes Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa
Kemampuan  Pemecahan  Masalah  matematis  siswa  dikumpulkan  dan  dianalisis  untuk mengetahui  kemampuan  Pemecahan  Masalah  matematis  siswa  sesudah  pemberian  perlakuan pembelajaran. Data ini diperoleh dari hasil posttest kemampuan Pemecahan Masalah matematis siswa. Untuk  memperoleh  gambaran posttest tes  kemampuan  Pemecahan  Masalah  matematis  siswa dilakukan perhitungan rerata dan simpangan baku. Hasil perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran D, sedangkan hasil rangkuman disajikan pada Tabel 5 berikut:
Tabel 5. Deskripsi Posttest Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa
Kelas X min X max X SD Kelas Eksperimen I 65 95 80 8,26 Kelas Eksperimen II 60 90 76,5 10,81
Berdasarkan  Tabel  5  terlihat  bahwa  skor  minimal posttest kemampuan  pemecahan  masalah matematis  siswa  di  kelas  yang  diajar  dengan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning lebih tinggi  daripada  siswa  di  kelas  yang  diajar  dengan  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery Learning, begitu pula skor maksimal kemampuan pemecahan masalah matematis siswa di kelas yang diajar dengan model pembelajaran Problem Based Learning lebih tinggi dibanding siswa yang diajar dengan dengan model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning. Adapun hasil Perhitungan uji statistik Kolmogorov-Smirnov dengan bantuan program SPSS Tersajikan pada Tabel 6. berikut:
Tabel 6. Hasil Normalitas Posttest Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa
Tests of Normality Kelas Kolmogorov-Smirnov a Statistic df Sig. Nilai Eksperimen 1 ,157 30 ,056 Eksperimen 2 ,158 30 ,054
Berdasarkan tabel di atas terlihat bahwa nilai Sig. (p-value) berturut adalah 0,056 dan 0,054. Dari  hasil  tersebut  dapat  disimpulkan bahwa nilai  Sig.  (p-value) ≥ 0,05 ,  maka 𝐻 0 diterima.  Artinya untuk  kelas  yang  diajar  dengan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan  model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning berdistribusi normal . Dengan kata lain data Posttest untuk  kelas  yang  diajar  dengan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan  model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning mempunyai data yang berdistribusi normal.

## Deskripsi Tes Kemampuan Penalaran Matematis Siswa
Kemampuan  penalaran  matematis  siswa  dikumpulkan  dan  dianalisis  untuk  mengetahui kemampuan  penalaran  matematis  siswa  sesudah  pemberian  perlakuan  pembelajaran.  Data  ini
diperoleh  dari  hasil posttest kemampuan  penalaran  matematis  siswa.  Untuk  memperoleh  gambaran posttest tes kemampuan penalaran matematis siswa dilakukan perhitungan rerata dan simpangan baku. Hasil perhitungan selengkapnya dapat dilihat pada lampiran D, sedangkan hasil rangkuman disajikan pada Tabel 7. berikut:
Tabel 7. Deskripsi Posttest Penalaran Masalah Matematis Siswa
Kelas N X min X max X SD Kelas Eksperimen I 30 65 95 80,33 9,33 Kelas Eksperimen II 30 55 95 77,67 10,93
Dari Tabel 7. terlihat bahwa skor minimal posttest kemampuan penalaran matematis siswa di kelas yang diajar dengan model pembelajaran Problem Based Learning lebih tinggi daripada siswa di kelas  yang  diajar  dengan  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery  Learning, sedangkan  pula skor  maksimal  kemampuan  penalaran  matematis  siswa  di  kelas  yang  diajar  dengan  model pembelajaran Problem  Based  Learning sama  dengan  siswa  yang  diajar  dengan  dengan  model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning . Hasil Perhitungan uji statistik Kolmogorov-Smirnov dengan bantuan program SPSS Tersajikan pada Tabel 8. Berikut.
Tabel 8. Hasil Normalitas Posttest Kemampuan Penalaran Matematis Siswa Tests of Normality Kelas Kolmogorov-Smirnov a Statistic df Sig. Nilai Eksperimen 1 ,156 30 ,061 Eksperimen 2 ,150 30 ,084 a. Lilliefors Significance Correction
Dari  Tabel  8  terlihat  bahwa  nilai  Sig.  (p-value)  berturut  adalah  0,061  dan  0,084.  Dari  hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa nilai Sig. (p-value) ≥ 0,05 , maka 𝐻 0 diterima. Artinya untuk kelas yang diajar dengan model pembelajaran Problem Based Learning dan model pembelajaran kooperatif tipe Discovery Learning berdistribusi normal . Dengan kata lain data Posttest untuk kelas yang diajar dengan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery Learning mempunyai data yang berdistribusi normal.

## Diskusi
Disaat  pembelajaran  menggunakan  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery  Learning, siswa kurang dalam berdiskusi atau kerja kelompok. Sehingga tidak setiap anggota kelompok terlibat dalam  memecahkan  masalah  yan  diberikan.  Sedangkan  model  pembelajaran  ini  yang  mengharuskan peserta  didik  untuk  belajar  lebih  aktif  dengan  menemukan  sendiri,  menyelidiki  sendiri  pengetahuan atau  hal-hal  yang  baru  tidak  melalui  pemberitahuan  langsung  dari  guru  sehingga  hasil  yang  akan diperoleh akan tahan lama dalam ingatan, tidak akan mudah dilupakan oleh siswa. Dalam upaya untuk bisa  menemukan  hal  baru  tersebut,  peserta  didik  harus  melakukan  terkaan,  dugaan,  coba-coba,  dan
usaha  lainnya  dengan  menggunakan  pengetahuan  yang  telah  dimilikinya.  Namun  saat  sedang berdiskusi, siswa cenderung kebingunan untuk menemukan sendiri.
Hal  ini  sejalan  dengan  penelitian  (Hajar,  S.,  Bernard,  H.,  &  Djam’an,  2018)  dalam penelitiannya  yang  berjudul  “ Perbedaan  Model  Problem  Based  Learning  dan  Discovery  Learning Ditinjau  dari  Hasil  Belajar  Matematika  Siswa  Kelas  4  SD ”  menyatakan  bahwa  hasil  belajar matematika  siswa  yang  menggunakan  model  pembelajaran Problem  Based  Learning lebih  tinggi secara signifikan dibandingkan dengan model pembelajaran Discovery Learning .
Berdasarkan  data  hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  model  pembelajaran  kooperatif memberikan pengaruh positif dan dapat meningkatkan beberapa kemampuan matematis di antaranya adalah  hasil  penelitian  dari  (Minarni,  A.,  Napitupulu,  2020)  dengan  judul “The  Difference  of Students’  Mathematical  Communication  Ability  Taught  by  Cooperative  Learning  Model  Think  Talk Write Type and Numbered Head Together Type”. Menyatakan kegiatan yang dapat diterapkan untuk membuat  pembelajaran  aktif  serta  untuk  mengembangkan  kemampuan  Penalaran  matematis  siswa adalah  dengan  menerapkan  tipe  TTW  dan  tipe  NHT.  Salah  satu  manfaat  pembelajaran  kooperatif adalah proses berbagi antar siswa. Berbagi dapat berupa brainstorming, nasehat kelompok, kerjasama kelompok,  presentasi  kelompok,  dan  umpan  balik  dari  guru  sehingga  dapat  meningkatkan kemampuan mereka untuk mempertajam pemikirannya baik secara lisan maupun tulisan. kemampuan mengidentifikasi  unsur-unsur  yang  diketahui,  ditanyakan,  dan  kecukupan  unsur  yang  diperlukan, mampu  membuat  atau  menyusun  model  matematika,  dapat  memilih  dan  mengembangkan  strategi pemecahan, mampu menjelaskan dan memeriksa kebenaran jawaban yang diperoleh.
Pembicaraan  mengenai  pemecahan  masalah  matematika  tidak  dapat  terlepas  dari  tokoh utamanya, yakni (Polya, 1973). Menurut Polya terdapat empat tahapan penting yang harus ditempuh siswa  dalam  memecahkan  masalah  yakni  memahami  masalah,  menyusun  rencana  penyelesaian, melaksanakan  rencana  penyelesaian,  dan  memeriksa  kembali.  Melalui  tahapan  yang  terorganisir tersebut,  siswa  akan  memperoleh  hasil  dan  manfaat  yang  optimal  dari  pemecahan  masalah (Sholikhah, M., & Hartono, 2015).

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  analisis  dan  pembahasan  dalam  penelitian  ini,  dikemukakan  beberapa simpulan  sebagai  berikut:  Terdapat  perbedaan  kemampuan  pemecahan  masalah  matematis  siswa antara  siswa  yang  diberi  model  pembelajaran Problem  Based  Learning dan Discovery  Learning, dimana penerapan model Problem Based Learning lebih baik daripada siswa yang memperoleh model pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery  Learning untuk  kemampuan  pemecahan  masalah  matematis siswa.  Terdapat  perbedaan  kemampuan  penalaran  matematis  siswa  anata  siswa  yang  diberi  model pembelajaran Problem  Based  Learning dan Discovery  Learning, dimana  penerapan  model Problem Based  Learning lebih  baik  dari  pada  siswa  yang  memperoleh  model  pembelajaran  kooperatif  tipe Discovery Learning untuk kemampuan penalaran matematis siswa.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih saya ucapkan kepada dosen pembimbing  Bapak Prof. Dr. Sahat Saragih, M.Pd dan Ibu Dr. Arnita, M.Si Terima kasih juga saya ucapkan untuk semua pihak yang membantu dalam menyelesaikan penelitian ini.

## REFERENSI
Agustina,  L.,  &  Lestari,  A.  P.  I.  (2020).  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  Matematika  dengan Metode Problem Posing. SINASIS (Seminar Nasional Sains) , 1 (!) , 425-432.
Ahmad,  H.  (2015).  Peningkatan  Kemampuan  Penalaran  Matematika  Materi  Trigonometri  Melalui Penerapan Model Pembelajaran Discovery Learning dengan Pendekatan Saintifik pada Kelas X SMA Negeri 11 Makassar. Jurnal Daya Matematis , 3 (3) , 299-307.
Aini,  R.  M.,  &  Siswono,  T.  Y.  E.  (2014).  Analisis  Pemahaman  Siswa  SMP  dalam  Menyelesaikan
Masalah Aljabar pada PISA. Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika , 3(2) , 158—164.
Asis,  A.,  Busnawir,  S.  H.  (2017).  Perbedaan  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  Matematika  Siswa SMP  yang  Diajar  dengan  Model  Pembelajaran  Inquiry  Terbimbing  dan  Problem  Based Learning. Jurnal Pendidikan Matematika , 8 (2) .
Branca, N. . (2017). Problem Solving as a Goal, Process, and Basic Skill . NCTM.
Cooney,  T.  J.  (1985).  A  beginning  teacher’s  view  of  problem  solving. Journal  for  Research  in Mathematics Education , 16 (5) , 324–336.
Glazer.  (2013).  Problem  Based  Instruction.  In  M.  Orey  (ED),  Emerging  Perspective  on  learning,
teching, and technology. Online . http://www.coe.uga.edu/epltt/ProblemBasedInstruct.htm.
Hajar, S., Bernard, H., & Djam’an, N. (2018). Karakteristik Pemecahan Masalah Matematika Ditinjau dari Gaya Kognitif Siswa. Issues in Mathematics Education (IMED) , 2 (1) , 92-99.
Kartika,  R.,  Rohaeti,  E.  E.,  &  Afrilianto,  M.  (2018).  Analisis  Kemampuan  Pemecahan  Masalah Matematik Siswa SMP Kelas VII pada Materi Persegi Panjang. JPMI – Jurnal Pembelajaran Matematika Inovatif , 1 (4) , 773–778.
Minarni,  A.,  Napitupulu,  E.  (2020). Kemampuan  Berpikir  Matematis  dan  Aspek  Afektif  Siswa . Harapan Cerdas Publisher.
Nurhayati,  S.,  dkk.  (2013).  Kemampuan  Penalaran  Siswa  Kelas  VIII  Dalam  Menyelesaikan  Soal Kesebangunan. Jurnal Mahasiswa Teknologi Pendidikan , 2(1) .
Polya, G. (1973). How to Solve It. Princeton University Press.
Purnama.  S  &  Mertika.  (2018).  Analisis  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  Siswa  Ditinjau  dari  Self Confidence. Journal of Educational Review and Research , 1 No 2 (2597–9760, p-ISSN: 2597- 9752), 59 – 63.
Sholikhah,  M.,  &  Hartono,  H.  (2015).  Perbandingan  Keefektifan  antara  Problem-Based  Learning Setting  Numbered  Head  Together  dan  Setting  Jigsaw. Jurnal  Riset  Pendidikan  Matematika ,
2(1) , 63–77.
Simamora, R. E., Saragih, S., & Hasratuddin, H. (2018). Improving Students’ Mathematical Problem Solving  Ability  and  Self-Efficacy  through  Guided  Discovery  Learning  in  Local  Culture Context. International
Electronic Journal of Mathematics Education . https://doi.org/10.12973/iejme/3966.
Sinaga, B. (2007). Pengembangan Model Matematika Berdasarkan Masalah Berbasis Budaya Batak . Universitas Negeri Surabaya.
Zulfah, Z. (2017). Pengaruh Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Think Pair Share dengan Pendekatan  Heuristik  terhadap  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  Matematis  Siswa  MTs Negeri Naumbai Kecamatan Kampar. Jurnal Cendekia: Jurnal Pendidikan Matematika , 1(2). , 1-12.