JurnalPendidikanMatematikadanMatematika
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA PEMODELAN DATA CACAH DENGAN RESPON NOL BERLEBIH ( ZERO-INFLATED )
Viarti Eminita 1)* , Anang Kurnia 2) , Kusman Sadik 3)
1) Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Jakarta, Jln. KH Ahmad Dahlan, 15419
2,3) Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, IPB University Bogor, 16680
* phiartea.emn@gmail.com

## Abstrak
Overdispersi  pada  data  cacah  yang  disebabkan  karena  kasus  nol  berlebih  tidak  dapat ditangani  dengan  metode  model  linier  umum  biasa  seperti  Poisson  dan  Binomial  Negatif. Penanganan  overdispersi  karena  nol  berlebih  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  model Zero-Inflated.  Zero-Inflated  Poisson  (ZIP)  dan  Zero-Inflated  Binomial  Negatif  (ZIBN)  telah diyakini  performanya  dalam  menangani  masalah  ini.  Selain  menangani  masalah  tersebut kedua model ini juga dapat memberikan informasi mengenai penyebab nol berlebih pada data respon. Performa ke Empat model tersebut dibandingkan dalam menduga model dari jumlah anak yang tidak sekolah dalam keluarga di Provinsi Jawa Barat pada tahun 2017. Berdasarkan nilai dari ukuran Pearson Chi-Squares, Likelihood Ratio Chi-Square, dan Akaike Information Crieteria  (AIC). Pearson Chi-Squares, model  ZIP lebih baik dibandingkan ZIBN dan model lainnya, walaupun berbeda sedikit dengan ZIBN.
Kata Kunci: Overdispersi, Zero-Inflated Poisson, Zero-Inflated Negative Binomial

## PENDAHULUAN
Data cacah biasanya memiliki karakteristik  bersebaran  Poisson  yang dimodelkan  dengan  model  standar,  dengan asumsi  varians  respon  diharapkan  sama dengan  rata-rata.  Tetapi  McCullagh  dan Nelder (1989) menunjukkan bahwa overdispersi  tidak  jarang  terjadi  dalam prakteknya. Overdispersi
harus dipertimbangkan  dengan  hati-hati  dalam memodelkan  data  respon  cacah.  Model
linear  umum  Poisson  biasa  (GLM)  yang dikembangkan  oleh  Palmgren  (1981)  tidak dapat  digunakan  dengan  baik  jika  terjadi overdispersi. Overdispersi pada data biasanya  disebabkan  karena  efek  cluster (Nelder & Weddern (1972), McCullagh dan Nelder (1989)).
Metode  GLM  yang  dapat  menangani overdispersi  adalah  model  Quasi-Poisson dan model Binomial Negatif (BN). Hausman et.  al. (1984)  mengklaim  bahwa  model
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
Binomial  negatif  lebih  baik  dari  model Poisson  ketika  ada  overdispersi.  Seiring dengan berkembangnya  permasalahan data, metode yang ada sebelumnya tidak bisa lagi menangani  overdispersi  karena  nilai  nol yang  berlebih  pada  data,  sehingga  Lambert (1992)  mengembangkan  metode Zero- Inflated yang  memperhatikan  nol  berlebih dan menganggap bahwa nilai nol pada data sangat  bermanfaat  dan  dapat  memberikan informasi yang lebih mengenai data. Model Zero-Inflated Poisson baik dalam menangani overdispersi karena nol berlebih, namun  kurang  baik  jika  penyebab  lainnya (Jeong,  2018).  Jiang et.  al (2017) Zero- Inflated Binomial Negatif (ZIBN) juga baik dalam  menangani  overdispersi  karena  nol berlebih  dan  ukuran  contoh  yang  semakin besar. Zeileis et. al. (2008) mengimplementasikan Zero inflated Regression  models  in  R  program  yang membandingkan zero-inflated models dengan beberapa distribusi untuk menangani overdispersi  karena  nol  berlebih  pada  data cacah.
Pada  paper  ini  dikaji  karakteristik pendugaan  model  pada  data  cacah  yang diidentifikasi  memiliki  nilai  nol  yang berlebih  sehingga  menyebabkan  terjadinya overdispersi.  Keempat  model  yaitu  model Poisson, model BN, model  ZIP, dan model ZIBN dibandingkan dalam menduga model dari jumlah anak  yang tidak sekolah dalam keluarga di Provinsi Jawa Barat pada tahun 2017.

## Generalized Linear Model (GLM)
GLM  merupakan  pengembangan  dari model linier yang mensyaratkan terpenuhinya  asumsi  galat  yang  menyebar normal. Asumsi tersebut dapat dilonggarkan ke  sebaran  keluarga  eksponensial  yang dijadakan dasar dalam pendugaan kemungkinan  maksimum  (Nelder  dan
Wedderburn,
1972).
GLM juga mengakomodir  semua  peubah  respon  dan penjelas yang diukur dengan skala nominal, ordinal, dan kontinu (Dobson, 2002). GLM memiliki 3 komponen utama yang menyusun  model,  yaitu  komponen  acak (E[ Y ]  = μ ),  komponen  sistematik  ( η ),  dan funsi penghubung g (·) yang menghubungkan  komponen  acak  dengan komponen sistematik ( η = g ( μ )) (McCullagh dan Nelder, 1989).
Fungsi  kemungkinan  untuk  GLM yang mengasumsikan bahwa Y i mempunyai sebaran  dari  keluarga  eksponensial  dengan fungsi  kepadatan  peluang  yang  dapat dinyatakan dengan persamaan (1) berikut
𝑓 𝑖 (𝑦 𝑖 ; 𝜆, 𝜙) = exp ( 𝑦 𝑖 ∙ 𝜆 𝑖 − 𝑏(𝜆 𝑖 ) 𝑎 𝑖 (𝜙) + 𝑐(𝑦 𝑖 , 𝜙)) (1)
Dimana a i (.), b i (.), dan c i (.) merupakan suatu fungsi dan λ i adalah parameter kanonik dari keluarga  eksponensial  dengan ϕ diketahui. Nilai tengah dan ragam dari Y i adalah E[ Y i ] = μ i = b ’( λ i ) dan var[ Y i ] = b ”( λ i ) a i ( ϕ ). Dari persamaan 2.1 diperoleh fungsi log kemungkinan dari Y i , yaitu
𝑙(𝜆 𝑖 ; 𝑦 𝑖 , 𝜙) = ∑ log 𝑓 𝑖 (𝑦 𝑖 ; 𝜆 𝑖 , 𝜙) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑦 𝑖 ∙ 𝜆 𝑖 − 𝑏(𝜆 𝑖 ) 𝑎 𝑖 (𝜙) + 𝑐 𝑖 (𝑦 𝑖 , 𝜙) 𝑛 𝑖=1 (2)

## Model Poisson
Data  cacah  biasanya  merupakan peubah diskrit Y yang mempunyai distribusi dengan  fungsi  massa  peluang  hanya  pada nilai integer non-negatif saja, yaitu distribusi Poisson (Ismail dan Jemain, 2007). Misalkan Y i merupakan  peubah  acak  yang berdistribusi Poisson dengan fungsi kepadatan peluang
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 71 - 80.
𝑓 𝑖 (𝑦 𝑖 ; 𝜆) = 𝜆 𝑖 𝑦 𝑖 exp(−𝜆 𝑖 ) 𝑦 𝑖 ! , 𝑦 𝑖 = 0, 1, … (3)
dengan  nilai  tengah  dan  ragam, 𝐸(𝑌 𝑖 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑖 ) = 𝜆 𝑖 .
Regresi  Poisson  menghubungkan peubah respon Y dengan kovariat mempunyai  fungsi  penghubung  kanonik 𝑔(𝜇 𝑖 ) = log(𝜇 𝑖 ) ,  sehingga  nilai  tengah diasumsikan mempunyai sifat  multiplikatif, yaitu 𝐸(𝑌 𝑖 |𝐱 i ) = 𝜆 𝑖 = 𝑒 𝑖 exp(𝐱 i T 𝛽) , dengan e i merupakan ukuran eksposur, x i merupakan  vektor  kovariat p x 1  dan β parameter  regresi p x1.  Persamaan  skor kemungkinan  maksimum  untuk  menduga parameter β adalah
𝜕ℓ(𝛃) 𝜕ℓ(𝛽 𝑗 ) = ∑(𝑦 𝑖 − 𝜆 𝑖 )𝑥 𝑖𝑗 𝑗 = 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝 (4)
Selanjutnya β akan  diduga  menggunakan persamaan  di  atas  dengan  regresi  Kuadrat terkecil ( maximum likelihood (ML))
menggunakan  algoritma  kuadrat  terkecil terboboti  iteratif  ( iterative  weighted  least squares (IWLS)).
Sebaran  Poisson  memiliki  sifat  yaitu nilai  tengah  dan  ragamnya  memiliki  nilai yang sama (E[ Y ] = Var[ Y ]). Jika nilai ragam dari Y melebihi dari nilai harapannya, maka kondisi  ini  sering  disebut  overdispersi. Keragamana data pada Y biasanya ditunjukkan dengan  rasio dispersi  ( τ ),  yaitu ukuran  penyebaran  data  terhadap  nilai tengahnya  sedemikian  sehingga E ( Y )  = τ Var ( Y ).  Jika  nilainya  kecil,  maka  data memiliki  ragam  yang  homogen,  jika sebaliknya maka data memiliki ragam yang heterogen.  Jika  τ  >  1,  maka  data  cacah diidentifikasi mengalami overdispersi.

## Model Binomial Negatif
Salah satu pemodelan yang dilakukan untuk  mengatasi  overdispersi  pada  data cacah adalah dengan mengasumsikan bahwa
data  bersebaran  Binomial  Negatif.  Hal  ini dikarenakan parameter dispersi pada model ini diasumsikan bernilai 1 (𝜏 = 1) . Misalkan peubah
acak Y bersebaran Poisson( 𝜈 𝑖 𝜆 𝑖 ( x i , β ))  dengan υ diasumsikan bersebaran  Gamma  dengan  E[ υ i ]  =  1  dan Var[ υ i ]  = θ ,  sehingga Y memiliki  sebaran Binomial  Negatif  dengan  fungsi  kepekatan peluangnya, yaitu:
𝑓(𝑦; 𝜆, 𝜃) = Γ(𝑦 + 𝜃) Γ(𝜃) ∙ 𝑦! ∙ ( 𝜃 𝜃 + 𝜆 ) 𝜃 ( 1 − 𝜃 𝜃 + 𝜆 ) 𝑦 𝑖
dengan E ( Y )  = λ ,  dan var ( Y )  = λ + λ 2 /θ dengan θ merupakan  parameter shape sebaran  Gamma  dan  Γ(·)  adalah  fungsi gamma dan 1 𝜃 merupakan parameter dispersi.
Fungsi  kemungkinan  maksimum  bagi λ adalah
ℓ(𝜆, 𝜃; 𝑦) = ∑ {𝑦 𝑖 ln 𝜆 𝑖 + 𝜃 ln 𝜃 𝑛 𝑖=1 − (𝜃 + 𝑦 𝑖 ) ln(𝜃 + 𝜆 𝑖 ) + ln Γ(𝜃 + 𝑦 𝑖 ) Γ(𝜃) − ln 𝑦 𝑖 !}
θ  diasumsikan  bernilai  tetap,  sehingga sebaran  BN  merupakan  anggota  keluarga eksponensial.
Regresi    menghubungkan  peubah respon Y dengan kovariat mempunyai fungsi penghubung  kanonik 𝑔(𝜆 𝑖 ) = ln(𝜆 𝑖 ) = 𝜂 𝑖 , pemodelan λ i dengan  predictor  linier 𝜂 𝑖 = 𝐱 i T 𝛽 , x i merupakan vektor kovariat p x 1 dan β parameter  regresi p x1.  Persamaan  skor untuk kemungkinan maksimum pada pendugaan  parameter β dengan  θ  tetap adalah:
𝜕 2 ℓ 𝜕 2 𝛽 𝑗 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝜆 𝑖 ) 𝜆 𝑖 (1 + 𝜆 𝑖 𝜃 ) 1 𝑔′(𝜆 𝑖 ) 𝑥 𝑖𝑗 𝑛
𝑖=1 Pendugaan β biasanya  dilakukan  dengan metode Iterative  Reweighted  Least  Square (IRLS) dengan θ tetap dan V( λ ) = λ + λ 2 / θ .
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
Model Zero-Inflated Poisson
Lambert  (1992)  menyatakan  bahwa peubah  respon 𝑌 = (𝑌 1 , 𝑌 2 , … , 𝑌 𝑛 )′ yang saling  bebas  dalam  regresi  ZIP  memiliki sebaran yaitu
𝑌 𝑖 ~ 0 dengan peluang 𝑝 𝑖 𝑌 𝑖 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆 𝑖 ) dengan peluang 1 − 𝑝 𝑖
Dalam  hal  ini  berarti  bahwa  nilai  nol diasumsikan muncul dengan peluang p yang sering  disebut structural  zeros dan  data cacah  menyebar Poisson pada parameter λ dengan  peluang  (1- p )  yang  disebut  dengan sampling zeros (Jansakul dan Hinde, 2002).
Sehingga fungsi masa peluang Y i menyebar ZIP adalah
𝑃(𝑌 = 𝑦 𝑖 )
= { 𝑝 + (1 − 𝑝)𝑒 −𝜆 , 𝑦 𝑖 = 0
(1 − 𝑝) 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! , 𝑦 𝑖 = 1,2, … , 𝑑𝑎𝑛 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 (5)
dengan paramaeter 𝛌 = (𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑛 )′ dan 𝐩 = (𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 )′ dengan
fungsi penghubung
ln(𝜆) = 𝐁𝛃 dan 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡(𝐩) = ln ( 𝐩 1 − 𝐩 ) = 𝐆𝛄 (6)
Dimana B dan G merupakan  matriks kovariat  .  Jika B = G serta  λ  dan  p  tidak memiliki    hubungan  fungsional,  maka regresi  ZIP  membutuhkan  parameter  dua kali  lipat  dibandingkan  regresi  Poisson. Sedangkan  pada  kasus  lainnya,  yaitu  jika peluang  dari  kondisi  sempurna  tidak bergantung  pada  kovariat,  maka G adalah matriks 1 kolom dan regresi ZIP membutuhkan  minimal  satu  parameter dibanding regresi Poisson.
Nilai harapan dan ragam dari Y sebagai
berikut 𝐸(𝑌) = (1 − 𝑝)𝜆 = 𝜇 dan
(7)
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜇 + ( 𝑝 1 − 𝑝 )𝜇 2 (8)
Overdispersi pada Y terjadi jika sebaran dari marginal Y nilai p > 0 yang mengindikasikan
terjadi  peningkatan  nilai  nol  pada  peubah respon Y dan  pada  Persamaan  (7)  dan  (8) terlihat  bahwa  Var(Y)  >  E(Y)  yang mengindikasikan  bahwa  regresi  ZIP  dapat mengatasi overdispersi.
Metode kemungkinan maksimum digunakan untuk menduga parameter koefisien  regresi  ZIP  dengan  fungsi  log- kemungkinan
ℓ = ℓ(𝜆; 𝑝; 𝑦) = ∑{𝐼 (𝑦=0) ln[𝑝
𝑛
𝑖=1 + (1 − 𝑝)𝑒 −𝜆 ] + 𝐼 (𝑦>0) [ln(1 − 𝑝) − 𝜆 + 𝑦 ln 𝜆 − ln ( 𝑦 𝑖 !)]} (9)
dengan I (.) adalah  fungsi  indikator  kejadian tertentu.  Penduga  parameter  bagi  β  dan  γ pada  Persamaan  (6)  diperoleh  dengan menggunakan algoritma Expectation Maximization (EM).
Model Zero-Inflated Binomial Negatif (ZIBN)
Fungsi  masa  peluang Y i menyebar ZIBN adalah (Jiang dan House, 2017):
𝑃(𝑌 = 𝑦 𝑖 )
= { 𝑝 + (1 − 𝑝) ( 𝜃 𝜃 + 𝜆 ) 𝜃 𝐼 (𝑦=0) ,                                            , 𝑦 𝑖 = 0
(1 − 𝑝) Γ(𝑦 𝑖 + 𝜃) Γ(𝜃)Γ(𝑦 𝑖 + 1) ( 𝜃 𝜃 + 𝜆 ) 𝜃 (1 − 𝜃 𝜃 + 𝜆 ) 𝑦𝑖 𝐼 (𝑦>0) , 𝑦 𝑖 > 0 (10)
dengan  λ  adalah  nilai  tengah  dari  sebaran Binomial  Negatif  dan 1 𝜃 adalah  parameter dispersi.  Peubah  acak  Y  memiliki  sifat bahwa 𝐸[𝑌} = (1 − 𝑝)𝜇, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = (1 − 𝑝)𝜇 (1 + 𝜆 𝜃 + 𝑝𝜆) .  Fungsi  penghubung  dari model regresi binomial negatif sama dengan fungsi  penghubung  model  regresi  Poisson atau sebaran binomial negatif konvergen ke sebaran Poisson jika → ∞ .

## Identifikasi Sebaran Y
Identifikasi terhadap sebaran Y dilakukan  menggunakan  uji  Skor  dan  uji Chi-Square. Uji  skor  bertujuan  untuk memeriksa  berlebih  atau  tidaknya  peluang
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 71 - 80.
nol pada peubah respon. Hipotesis yang akan diuji adalah
H 0 : ω = 0 dan H 1 : ω > 0 (11) dengan  ω  adalah  peluang  nol  pada  peubah respon dan statistik ujinya adalah:
𝑆 𝜔 = (𝑛 0 − 𝑛𝑝 0 ) 2 𝑛𝑝 0 (1 − 𝑝 0 ) − 𝑛𝑦̅𝑝 0 2 (12)
dengan n 0 adalah  banyaknya  nilai  nol, n adalah ukuran data, 𝑝 0 = exp (𝜆̂ 0 ) dengan 𝜆̂ 0 merupakan  penduga  parameter  Poisson  di bawah kondisi H 0 atau 𝑦̅ , dan 𝑦̅ adalah nilai rataan  dari  peubah  respon.  Statistik  uji 𝑆 𝜔 pada  persamaan  (12)  bersebaran  chi-square ( 𝜒 2 ) dengan derajat bebas 1. Jika 𝑆 𝜔 > 𝜒 𝛼,1 2 , maka  tolak  H 0 pada  taraf  nyata  (α)  yang berarti  bahwa  terjadi  peluang  nol  berlebih pada  peubah  respon,  yang  menyebabkan overdispersi.
Uji Chi-square digunakan  untuk memeriksa  kesesuaian  sekumpulan  data terhadap sebaran tertentu. Dalam  paper ini, uji  ini  digunakan  untuk  menguji  apakah sekumpulan  data  cacah  bersebaran  Poisson dan ZIP. Hipotesis dalam uji ini adalah
H 0 : p = p 0 dan H 1 : p ≠ p 0 (13)
dengan p adalah  peluang  amatan  dan p 0 adalah  peluang  sebaran  Poisson  dan  ZIP. Statistik uji Chi-square diperoleh menggunakan formula berikut:
𝜒 2 = ∑ (𝑛 𝑙 − 𝑛𝑝 𝑙 ) 2 𝑛𝑝 𝑙 𝑚 𝑙=0 (14)
dengan 𝑛 𝑙 adalah  frekuensi  yang  diamati untuk  setiap  kategori  ke- l , p l adalah  fungsi massa peluang dari sebaran Poisson dan ZIP, n adalah ukuran contoh, dan m adalah jumlah kategori  yang  diamati .  Sebaran  asimtotik tatistik uji 𝜒 2 bersebaran 𝜒 2 dengan derajat bebas  ( m -p) ,  dan p adalah  jumlah  parameter diduga  oleh  data,  dalam  hal  ini penduga parameternya berjumlah 1, yaitu λ . J ika 𝜒 2 > 𝜒 𝛼,(𝑚−𝑝−1) 2 , maka H 0 ditolak  pada α berarti bahwa  tidak  terdapat  kecocokan  antara peluang  amatan  dengan  peluang  sebaran
Poisson  atau  dalam  hal  ini  peubah  respon tidak memiliki sebaran Poisson atau ZIP.

## Goodeness of Fit Tests
Ukuran kebaikan model yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah Pearson Chi-Squares , Likelihood Ratio Chi- Square ,  dan Akaike  Information  Crieteria (AIC). Pearson  chi-squares merupakan ukuran  kebaikan  yang  sering  digunakan dalam Generalized  Linear  Models (GLM).
Hipotesis pada uji ini adalah:
H 0
: τ = 1 dan H 1 : τ > 1 (15)
dengan  statistik  uji  Pearson chi-square adalah:
𝜒 2 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝜆 𝑖 ) 2 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1
Sebaran  asimtotik  dari  statistik  uji  ini menyebar chi-squares dengan derajat bebas n-p , dengan n adalah banyaknya amatan dan p jumlah parameter. Rasio dispersi ( τ ) untuk mengukur  keragaman  data  terhadap  regresi Poisson dan ZIP adalah
𝜏 = 𝜒 2 𝑛 − 𝑘 (16)
LR Chi-Square merupakan  salah  satu statistik  uji  untuk  menilai Goodness  of  Fit dalam  statistika  multivariat  seperti  regresi logistik,  dan  ketakbebasan  dalam  tabel kontingensi  dan  formula  statistik  ini  yaitu (Ozdemir dan Eyduran, 2005):
𝐺 = 2 ∑ 𝑓 ∙ ln 𝑓 𝑓 𝑖 𝑛 𝑖=1 dengan f adalah  frekuensi  amatan  dan f i frekuensi  harapan.  Model  terbaik  adalah model  dengan  LR Chi-square yang  kecil. Ukuran ketiga adalah AIC yang merupakan salah  satu  metode  yang  dapat  memberikan performa dari model kemungkinan maksimum  dapat  digunakan  menyesuaikan data. AIC didefinisikan sebagai berikut:
AIC = −2ℓ + 2𝑝
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
Dengan ℓ menyatakan  log  kemungkinan yang  dievaluasi  pada μ dan p merupakan jumlah  parameter.  Model  terbaik  adalah model dengan AIC yang lebih kecil.

## METODE PENELITIAN
Dalam paper ini dibandingkan performa ke empat metode pemodelan data cacah, yaitu Poisson, Negatif Binomial, ZIP,
dan  ZIBN  dalam  memodelkan  data  daftar anggota  rumah  tangga  yang  diperoeh  dari Data  Survey  Demografi  dan  Kesehatan Indonesia  (SDKI)  Tahun  2017.  Adapun ukuran contoh yang digunakan adalah 4731 Rumah  Tangga.  Data  jumlah  anak  yang tidak sekolah usia 7-15 dalam suatu keluarga di  Provinsi  Jawa  Barat  merupakan  peubah respon (Y) dengan peubah penjelas yaitu:
Tabel 1. Data peubah penjelas dan karakteristiknya No  Peubah Penjelas Keterangan 1 Indeks Kekayaan ( Wealth Index Composit (WIC)) (1) Poorest     (2)  Poorer    (3)  Midle (4) Richer       (5)  Richest 2 Tipe Tempat Tinggal (TPR) (1) Urban (2) Rural 3 Tingkat Pendidikan Orang Tua (TPO) (1) SD            (2) SMP       (3)  SMA
(4) D3            (5) ≥ S1       (8)  Tidak Tahu
Secara  garis  besar  adapun  langkah- langkah  metode  penelitian  pada  paper  ini adalah:
1. Identifikasi  karakteristik  data  pada peubah  Y  (ATS)  dengan  menghitung nilai p (peluang nol) dan n .
2. Eksplorasi  peubah  Y  secara  deskriptif dengan  histogram  untuk  mengetahui indikasi dari kondisi sebaran Poisson.
3. Melakukan  uji chi-square pada  peubah Y  untuk  mengidentifikasi  peubah  Y menyebar Poisson atau ZIP.
4. Melakukan uji skor pada peubah Y untuk mengetahui  terjadinya  peluang  nol berlebih atau tidak.
5. Melakukan analisis regresi Poisson, BN, ZIP,  dan  ZINB  kemudian  menguji penduga  koefisien  parameter  regresi dengan uji Wald. Analisis menggunakan
R Program versi 3.5.1
6. Membandingkan  dengan  mengevaluasi Goodness of Fit Model
7. Melakukan  analisis  regresi  terbaik  dan menguji  penduga  koefisien  parameter regresi dengan uji Wald.
8. Melakukan uji Pearson Chi-Square pada regresi terbaik untuk mengetahui terjadi overdispersi atau tidak.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Identifikasi terhadap peubah Y diperlihatkan pada Tabel 2 yang menunjukkan  bahwa  peubah  respon Y diidentifikasi mempunyai nol berlebih yaitu dengan frekuensi 4633 atau sebesar 97.93% dan  penduga  rata-rata  kejadian  ( 𝜆̂ )  adalah 0.022 yang nilainya hampir mendekati nilai 0. Namun, hal ini di identifikasi lebih lanjut melalui uji skor.
Tabel 2. Eksplorasi sebaran data Y
Data jumlah anak yang tidak sekolah Jumlah Persentase 0 4633 97.93% 1 93 1.97% 2 5 0.10% N 4731 100.00% 𝜆̂ 0.022
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 71 - 80.
Identifikasi awal dari pengaruh peubah  penjelas  terhadap  peubah  respon dapat dilihat dari Spinogram pada Gambar 1. Gambar  1  memperlihatkan  bahwa  setiap tingkatan  kategori  pada  peubah  penjelas
berpotensi memberikan peluang nol berlebih pada  peubah  respon  Y,  terlihat  dari  digram batang yang berwarna hitam bernilai 0 untuk peubah repon Y.
Tabel  3  menunjukkan  bahwa  jumlah kejadian anak tidak sekolah pada usia 7-15 dalam rumah tangga tidak menyebar Poisson dan  ZIP  pada  α  sebesar  0.05.  Namun,  jika dipilih dari kedua sebaran tersebut, sebaran Poisson  menghasilkan  nilai 𝜒 2 yang  lebih kecil  dibandingkan  ZIP,  maka Y dapat dikatakann  mendekati  sebaran  Poisson. Perhatikan  juga  bahwa  hasil  uji  skor  yang menolak H 0 pada α = 0.05 karena 𝜔 = 13.972 yang  lebih  besar  dari 𝜒 0.05,1 2 =  3.841 menunjukkan bahwa terjadinya peluang nol
berlebih sebagai penyebab terjadinya overdispersi  pada  paubah  Y  yaitu  berkisar 97.93%.  Oleh  karena  adanya  pelanggaran asumsi  dalam  regresi  Poisson  yaitu  E[ Y ]  > Var[ Y ]  dan  hasil  uji  skor  yang  berbeda dengan  hasil  uji Chi-square ,  maka  pada contoh  kasus  ini    penanganan  overdispersi menggunakan  dua  model  regresi  ZIP  dan ZIBN, yang juga akan dibandingkan dengan model regresi Poisson dan regresi Binomial Negatif  dari  peubah  respon  Y  dengan peubah bebas WIC, TPR, dan TPO.
Tabel 3. Identifikasi Sebaran Y
Tipe sebaran 𝝌 𝟎.𝟎𝟓;𝟏 𝟐 𝝌 𝒉𝒊𝒕𝒖𝒏𝒈 𝟐 Keputusan Poisson 3.841 12.898 Tolak Ho ZIP 5051.110 Tolak Ho
Gambar 1. Spinogram dari peubah penjelas
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
Pada  tabel  4  terlihat  bahwa  model regresi  ZIP  dengan  peubah  TPR  yang merupakan model terbaik untuk penanganan overdispersi.  Hal  ini  dilihat  dari  nilai  AIC dan BIC paling kecil diantara model lainnya, yaitu 944.11 dan 1028.1, begitu juga dengan nilai LR Chi-Square , yaitu 918.11, walaupun model  ZIBN dengan peubah TPR memiliki  nilai  yang  hampir  sama  dengan
model  ini.  Rasio  dispersi  untuk  model  ini adalah 0.878, nilai  ini hampir mendekati 1, walaupun rasio dispersinya tidak lebih baik dibandingkan model regresi Poisson, namun model  ZIP  dapat  menangani  overdispersi karena peluang nol  yang berlebih (Naya et. al., 2008).  Uji  pengaruh  peubah  penjelas terhadap Y adalah
Tabel 4. Pemilihan Model Terbaik Model AIC LR Chisq Rasio Dispersi Poisson 947.31 925.31 0.924 Binomial Negatif 945.93 921.93 0.889 ZIP(WIC+TPR) 948.72 914.72 0.876 ZIP(WIC) 952.53 920.53 0.893 ZIP(TPR) 944.11 918.11 0.878 ZIBN(WIC+TPR) 950.72 914.72 0.876 ZIBN(WIC) 954.53 920.53 0.894 ZIBN(TPR) 946.11 918.11 0.879 Hasil pendugaan parameter
menggunakan  model  ZIP  ditunjukkan  pada Tabel  5.  Terdapat  2  peubah  penjelas  yang signifikan terhadap  peubah Y,  yaitu WIC3, WIC4,  WIC5,  dan  TPR2.  Dugaan  untuk peubah  WIC3,  WIC4,  dan  WIC5  berturut- turut adalah -0.646, -1.545, dan -1.503. Hal ini  berarti  bahwa  Indeks  Kekayaan  untuk kategori “ Poorest /Termiskin” yang dijadikan  sebagai  referensi,  berpengaruh paling  besar  dalam  meningkatkan  jumlah anak  yang  tidak  sekolah  dalam  keluarga dibanding Indeks kekayaan lainnya. Keluaga dengan indeks kekayaan “ Middle / Menengah”  memiliki  kecenderungan  untuk meningkatkan  jumlah  anak  tidak  sekolah
adalah 𝑒 −0.069 atau  0.933  kali  dibanding keluarga dengan indeks kekayaan
“ Poorest /Termiskin” dan memiliki pengaruh yang signifikan terhadap peningkatan  jumlah.  Jika  dibandingkan dengan  keluarga  dengan  indeks  kekayaan “Termiskin”, indeks kekayaan “Menengah” memberikan  pengaruh  yang  hampir  sama dengan indeks kekayaan termiskin sedangkan  indeks  kekayaan  “Richer/Lebih kaya”  memberikan  pengaruh  yang  paling rendah  dibanding  yang  lain,  yaitu 𝑒 −1.545 atau  0.213  kali  dibanding  indeks  kekayaan “Termiskin”.
Tabel 5. Dugaan Parameter Model ZIP
Peubah Derajat bebas Dugaan 𝑾 𝒊 Keputusan Model data diskret untuk λ Intercept 1 -3.015 -6.183 Tolak H 0 WIC2 1 -0.069 -0.244 Terima H 0 WIC3 1 -0.646 -2.058 Tolak H 0 WIC4 1 -1.545 -3.886 Tolak H 0 WIC5 1 -1.503 -3.267 Tolak H 0 TPR2 1 -1.387 -2.925 Tolak H 0
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 71 - 80.
Peubah Derajat bebas Dugaan 𝑾 𝒊 Keputusan TPO2 1 0.102 0.366 Terima H 0 TPO3 1 -0.118 -0.375 Terima H 0 TPO4 1 -0.271 -0.253 Terima H 0 TPO5 1 -0.921 -1.180 Terima H 0 TPO8 1 -10.632 -0.014 Terima H 0 Model zero-inflation untuk p Intercept 1 -1.182 2.135 Tolak H 0 TPR2 1 -15.758 -0.009 Terima H 0 Peubah penjelas lain yang
berpengaruh  terhadap  jumlah  anak  tidak sekolah dalam keluarga adalah Tipe Tempat Tinggal  dengan  kategori  “ Rural /Pedesaan” yang memiliki kecenderungan untuk meningkatkan  jumlah  anak  tidak  sekolah sebesar 𝑒 −1.387 atau 0.250 kali dari keluarga yang tinggal di wilayah “ Urban /Perkotaan”.
Berdasarkan  Tabel  5  di  atas,  maka  model regresi  ZIP  pada  peubah  WIC,  TPR,  dan TPO terhadap Y (ATS) adalah:
1. Model data diskret untuk λ adalah 𝜆̂ 𝑖 = exp (−3.015 − 0.069WIC2
−  0.646WIC3 − 1.545WIC4 − 1.503WIC5  − 1.387TPR2 + 0.102TPO2 − 0.118TPO3
− 0.271TPO4 − 0.921TPO5
− 10.632TPO8)
2. Model zero-inflation untuk p adalah 𝑝̂ 𝑖 = exp (1.182 − 15.758TPR2) 1 + exp (1.182 − 15.758TPR2)
dengan  penduga y adalah 𝑦̂ 𝑖 = (1 − 𝑝̂ 𝑖 )𝜆̂ 𝑖 . Ukuran  kebaikan  dari  model  ini  adalah 944.11 untuk AIC, dan nilai LR Chi-square sebesar  918.11.  Sedangkan  nilai τ =  0.878 dengan  Statistik uji 𝜒 2 = 4144.929 bernilai lebih  kecil  jika  dibandingkan  dengan sebaran 𝜒 2 dengan derajat bebas 4718 nilai 𝜒 2 = 4878.908 ,  hal  ini  berarti  bahwa keputusannya adalah tidak tolak H 0 pada α, sehingga  hasil  ini  berarti  bahwa  peubah Y tidak terjadi overdipersi pada α=0.05. Hasil terbukti dari nilai rasio τ sebesar 0.878 yang menunjukkan bahwa rasio τ bernilai kurang dari 1.

## SIMPULAN
Berdasarkan ukuran Goodness  of  Fit model  ZIP  memberikan  performa  yang cukup  baik  dibanding  model  Poisson, Binomial  Negatif,  dan  ZIBN.  Walaupun berdasarkan  identifikasi  dari  sebaran Y tidak  mengikuti  sebaran  Poisson  dan  ZIP, namun berdasarkan uji skor, data Y terbukti mempunyai nilai amatan nol yang berlebih,
sehingga  pemodelan Zero-Inflated dapat digunakan  untuk  menangani  overdispersi karena  nilai  nol  berlebih.  Model  BN  baik dalam  mengatasi  masalah  overdispersi dibanding  model  Poisson,  namun  jika diidentifikasi data cacah memiliki nilai nol berlebih,  model  BN  belum  cukup  baik dibandingakan dengan model
Zero-Inflated.
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019

## DAFTAR PUSTAKA
Hausman, J, BH. Hall and Z  Griliches. 1984. “Econometric Models  for  Count  Data with  an Application to the Patents-R&D Relationship.” Econometrica. Vol. 52 (4), pp: 909-938.
Ismail,  N  and  Abdul  AJ.  2007.  Handling  Overdispersion  with  Negative  Binomial  and Generalized  Poisson  Regression  Models.  Virginia: Casualty  Actuarial  Society  Forum, Winter 2007.
Jansakul N, Hinde JP. 2002.  “Score  Test  for  Zero-Inflated Poisson  Models”. Computational Statistics and Data Analysis . Vol. 40 (1) :75-96.
Jeong, KM. 2017. “Modelling Count Responses with Overdispersion”. Communication of the Korean Statistical Society Vol. 19 (6), pp: 761-770.
Jiang, Y. and L. House. 2017. “Comparison of the Performance of Count Data Models under Different Zero-Inflation Scenarios Using Simulation Studies”. In 2017 Annual Meeting, July 30-August 1, 2017. Chicago. Agricultural & Applied Economics Association.
Lambert,  D.  1992.  “Zero-Inflated  Poisson  Regression  with  Application  to  Defects  in Manufacturing”. Technometrics . Vol. 34 (1), pp: 1-14.
McCullagh, P. and J. Nelder. 1989. Generalized Linear Models (second ed.). London: Chapman and Hall.
Naya  H,  Urioste  JI,  Chang  YM,  Motta  MR,  Kremer  R,  Gianola  D.  2008.  “A  comparison between  Poisson  and  zero-inflated  Poisson  regression  models  with  an  application  to number of black spots in Corriedale sheep”. Genetics Selection Evolution. Vol. 40 (4), pp: 379-394.
Nelder ,  J.A.  and Wedderburn ,  R.W.M. 1972 .  “Generalized  Linear  Models”. Journal  of  the Royal Statistical Society, Series A . Vol. 135 (3), pp: 370-384.
Özdemir, T and Ecevit E. 2005. “Comparison of Chi-Square and Likelihood Ratio Chi-Square Tests: Power of Test”. Journal of Applied Sciences Research . Vol. 1 (2), pp: 242-244.
Palmgren,  Juni.  1981.  “The  Fisher  Information  Matrix  for  Log-Linear  Models  Arguing Conditionally in the Observed Explanatory Variables”. Biometrika. Vol. 68 (2), pp: 563- 566.
Zeiless et. al. 2008. “Regression Models for Count Data in R”. Journal of Statistical Software Vol. 27 (8), pp: 1-25.