Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 183-189 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.9790

## Homomorfisma Ring Matriks atas Ring Semigrup
Listiana 1 , Ahmad Faisol 2 *, Fitriani 3
1, 2, 3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Bandar Lampung, Lampung, Indonesia E-mail: 1 listiana864@gmail.com, * 2 ahmadfaisol@fmipa.unila.ac.id, 3 fitriani.1984@fmipa.unila.ac.id
Diajukan: 22 Juli 2021, Diperbaiki: 27 Juni 2022, Diterima: 7 Nopember 2022

## Abstrak
Diberikan sebarang ring 𝑅𝑅 dan semigrup 𝑆𝑆 . Ring semigrup 𝑅𝑅 [ 𝑆𝑆 ] adalah himpunan semua fungsi 𝑓𝑓 dari 𝑆𝑆 ke 𝑅𝑅 dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) berhingga yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang sama pada ring polinomial 𝑅𝑅 [ 𝑋𝑋 ] . Di sisi lain, ring matriks 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ) adalah himpunan semua matriks atas ring 𝑅𝑅 berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Di dalam penelitian ini, didefinisikan ring matriks 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 ring dan 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 2 semigrup. Selain itu, didefinisikan pemetaan 𝜏𝜏 dari 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) ke 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan menggunakan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 . Selanjutnya, dibuktikan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring. Lebih lanjut, diberikan syarat cukup agar 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma. Kata Kunci :  ring semigrup, homomorfisma semigrup, homomorfisma ring, matriks atas ring, ring matriks.

## Abstract
Let 𝑅𝑅 be a ring, and 𝑆𝑆 be a semigroup. The semigroup ring 𝑅𝑅 [ 𝑆𝑆 ] is the set of all functions 𝑓𝑓 from 𝑆𝑆 to 𝑅𝑅 with finite 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) , which is completed with the same addition and multiplication operations on the polynomial ring 𝑅𝑅 [ 𝑋𝑋 ] . On the other hand, the matrix ring 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ) is the set of all matrices on the ring 𝑅𝑅 of size 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 equipped with addition and matrix multiplication operations. In this research, the matrix rings 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) and 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) are constructed with 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 are rings, and 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 2 semigroups. In addition, a mapping 𝜏𝜏 from 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) to 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) is defined using semigroup homomorphism 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 and ring homomorphism 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 . Furthermore, it is proved that 𝜏𝜏 is a ring homomorphism. Moreover, sufficient conditions are given for 𝜏𝜏 to be a monomorphism. Keywords :  semigroup rings, semigroup homomorphisms, ring homomorphisms, a matrix over rings, matrix rings.

## 1 Pendahuluan
Di dalam [1]  telah dijelaskan bahwa matriks adalah susunan objek-objek matematika dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang yang diapit oleh kurung siku atau kurung biasa. Objek-objek matematika ini biasa disebut entri-entri. Jika entri-entri matriks merupakan anggota dari suatu ring, maka matriks tersebut disebut matriks atas ring [2]. Beberapa penelitian terkait matriks atas ring dapat dilihat pada [3-6]. Suatu ring didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dua operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma [7]. Contoh ring yang sudah dikenal diantaranya ring polinomial 𝑅𝑅 [ 𝑋𝑋 ] dan ring deret pangkat 𝑅𝑅 [[ 𝑋𝑋 ]] [8]. Ring
polinomial 𝑅𝑅 [ 𝑋𝑋 ] dapat dipandang sebagai himpunan semua fungsi 𝑓𝑓 dari semigrup ℕ⋃ {0} ke ring 𝑅𝑅 dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) = { 𝑠𝑠 ∈ ℕ⋃ {0}| 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) ≠ 0} berhingga yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan fungsi dan pergandaan konvolusi. Selanjutnya, Gilmer [9]  memperumum ring polinomial 𝑅𝑅 [ 𝑋𝑋 ] dengan cara mengeneralisasi semigrup ℕ⋃ {0} menjadi sebarang semigrup 𝑆𝑆 . Ring ini selanjutnya disebut ring semigrup dan dinotasikan dengan 𝑅𝑅 [ 𝑆𝑆 ] . Beberapa penelitian terkait ring semigrup dapat dilihat pada [10-12].
Himpunan semua matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 atas ring 𝑅𝑅 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 ) merupakan suatu ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Ring ini selanjutnya disebut ring matriks.  Salah satu konsep penting di dalam struktur ring adalah homomorfisma ring, yaitu suatu pemetaan dari ring ke ring yang mempertahankan operasi biner pada ring-ring tersebut. Di dalam [13], telah dikaji tentang homomorfisma ring matriks 𝜎𝜎 dari 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 ) ke 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 ) yang didefinisikan oleh 𝜎𝜎��𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝜇𝜇�𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� untuk setiap 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑅𝑅 1 dengan 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 merupakan homomorfisma ring. Dalam perkembangannya, beberapa penelitian terkait homomorfisma ring matriks dapat dilihat pada [14-16].  Konstruksi homomorfisma ring matriks ini, memberikan motivasi untuk mengkaji homomorfisma ring pada ring matriks atas ring semigrup. Oleh karena itu, pada  penelitian  ini dikonstruksi ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 adalah ring dan 𝑆𝑆 1 , 𝑆𝑆 2 adalah semigrup. Selanjutnya, didefinisikan suatu pemetaan 𝜏𝜏 dari 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) ke 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan menggunakan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 .  Kemudian ditunjukkan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring matriks. Selain itu, diberikan syarat perlu dan cukup agar 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.

## 2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan di dalam penelitian ini adalah studi literatur berupa buku-buku dan jurnal-jurnal imiah, khususnya terkait teori semigrup, teori ring, teori homomorfisma semigrup, teori homomorfisma ring, teori ring polinomial, teori ring semigrup, teori matriks atas ring, dan teori homomorfisma matriks atas ring.
Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1) Menentukan ring 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 serta semigrup 𝑆𝑆 1 dan 𝑆𝑆 2 .
2) Mendefinisikan ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] .
3) Mendefinisikan ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) .
4) Mengkonstruksi homomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 .
5) Mendefinisikan pemetaan 𝜏𝜏 : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) → 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 �
untuk setiap 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) .
6) Membuktikan pemetaan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring
7) Menentukan syarat cukup 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Diberikan ring 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 serta semigrup 𝑆𝑆 1 dan 𝑆𝑆 2 terhadap operasi penjumlahan, sehingga dapat dikonstruksi ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] , yaitu himpunan
𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] = { 𝑓𝑓 : 𝑆𝑆 1 → 𝑅𝑅 1 | 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) berhingga } (1)
dan
𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] = { 𝛼𝛼 : 𝑆𝑆 2 → 𝑅𝑅 2 | 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) berhingga } (2)
dengan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) = { 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 1 | 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) ≠ 0 } dan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) = { 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆 2 | 𝛼𝛼 ( 𝑡𝑡 ) ≠ 0 } , yang dilengkapi operasi penjumlahan fungsi
( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 )( 𝑠𝑠 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) + 𝑔𝑔 ( 𝑠𝑠 ) dan ( 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 )( 𝑡𝑡 ) = 𝛼𝛼 ( 𝑡𝑡 ) + 𝛽𝛽 ( 𝑡𝑡 ) (3)
dan operasi perkalian fungsi
( 𝑓𝑓𝑔𝑔 )( 𝑠𝑠 ) = ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝑠𝑠 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦∈𝑆𝑆 1 dan ( 𝛼𝛼𝛽𝛽 )( 𝑡𝑡 ) = ∑ 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) 𝑔𝑔 ( 𝑣𝑣 ) 𝑢𝑢+𝑣𝑣=𝑡𝑡 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣∈𝑆𝑆 2 , (4)
untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 1 , 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆 2 , 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] .
Selanjutnya dikonstruksi ring matriks 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) , yaitu himpunan semua matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 atas ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) = ��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]; 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛� (5)
dan
𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) = ��𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]; 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛� (6)
yang dilengkapi operasi penjumlahan matriks
�𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � dan �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 � (7)
dan operasi perkalian matriks
�𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �ℎ 𝑖𝑖𝑖𝑖 � dan �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝛾𝛾 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , (8)
dengan ℎ 𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∑ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 dan 𝛾𝛾 𝑖𝑖𝑗𝑗 = ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 , untuk setiap �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , �𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) .
Selanjutnya, diberikan homomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 . Sebelum membuktikan hasil utama penelitian ini, diperlukan dua lema berikut.

## Lema 1
Diberikan ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] . Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 , maka 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) + ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) dan 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) untuk setiap 𝑓𝑓 , 𝑔𝑔 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] .
Bukti Untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆 2 , 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 � ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� . Berdasarkan operasi penjumlahan (3) didapat 𝜇𝜇 � ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� = 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � + 𝑔𝑔�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� . Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, diperoleh 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � + 𝑔𝑔�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� = 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� + 𝜇𝜇 �𝑔𝑔�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� . Oleh karena itu, 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝑡𝑡 ) + ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝑡𝑡 ) . Dengan kata lain terbukti 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) + ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) .
Selanjutnya, untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆 2 , 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜇𝜇 � ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� .  Berdasarkan operasi perkalian (4) didapat 𝜇𝜇 � ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� = 𝜇𝜇 �∑ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦∈𝑆𝑆 1 � . Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, diperoleh
𝜇𝜇�∑ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � = ∑ 𝜇𝜇�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) � = 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦∈𝑆𝑆 1 ∑ 𝜇𝜇�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) �𝜇𝜇�𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) � 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦∈𝑆𝑆 1 .
Karena 𝛿𝛿 isomorfisma semigrup, terdapat 𝑠𝑠 , 𝑣𝑣 ∈ 𝑆𝑆 2 sehingga 𝛿𝛿 −1 ( 𝑠𝑠 ) = 𝑥𝑥 dan 𝛿𝛿 −1 ( 𝑣𝑣 ) = 𝑦𝑦 . Akibatnya,
∑ 𝜇𝜇�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) �𝜇𝜇�𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) � 𝑥𝑥+𝑦𝑦=𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦∈𝑆𝑆 1 = ∑ 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑠𝑠 ) �� 𝜇𝜇 �𝑔𝑔�𝛿𝛿 −1 ( 𝑣𝑣 ) �� 𝛿𝛿 −1 ( 𝑢𝑢 ) +𝛿𝛿 −1 ( 𝑣𝑣 ) =𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) .
Oleh karena itu,
𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) = ∑ ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝑠𝑠 )( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝑣𝑣 ) = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝑡𝑡 ) 𝑢𝑢+𝑣𝑣=𝑡𝑡 . Dengan kata lain terbukti 𝜇𝜇 ∘ ( 𝑓𝑓𝑔𝑔 ) ∘ 𝛿𝛿 −1 = ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 )( 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) . ∎
Selanjutnya, eksistensi 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] dengan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 , diberikan pada lema berikut. Lema 2 Diberikan ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] . Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 , maka untuk setiap 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] dengan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 .
Bukti Untuk membuktikan  terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] dengan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 , cukup ditunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) berhingga. Jika himpunan tak kosong 𝑌𝑌 berhingga,  maka jelas sebarang 𝑋𝑋 ⊆ 𝑌𝑌 juga berhingga. Karena 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] , jelas 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) berhingga. Akibatnya, 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) � juga berhingga karena 𝛿𝛿 merupakan  isomorfisma semigrup. Berdasarkan fakta-fakta ini, untuk menunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) berhingga  cukup dengan menunjukkan 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) ⊆ 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) � . Untuk sebarang 𝑡𝑡 ∈
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) , jelas 𝛼𝛼 ( 𝑡𝑡 ) ≠ 0 . Akibatnya, 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) ≠ 0 . Dengan kata lain, 𝜇𝜇 �𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� ≠ 0 . Karena 𝜇𝜇 homomorfisma ring, maka didapat 𝑓𝑓�𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � ≠ 0 . Oleh karena itu, terdapat 𝑠𝑠 ∈ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) sehingga 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿 ( 𝑠𝑠 ) . Dengan kata lain, 𝑡𝑡 ∈ 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) � . Jadi, terbukti 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) ⊆ 𝛿𝛿�𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑓𝑓 ) � yang berakibat 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛼𝛼 ) berhingga. ∎ Teorema 3 Misalkan 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]
, 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] adalah ring semigrup, dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) , 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) adalah ring matriks atas ring semigrup. Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 , maka  pemetaan 𝜏𝜏 : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) → 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � untuk setiap �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) , merupakan homomorfisma ring.
Bukti Berdasarkan Lema 2, untuk 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 ,  didapat 𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] untuk setiap 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] . Oleh karena itu, 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � well-defined . Selanjutnya, akan  dibuktikan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� + 𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� dan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� untuk setiap �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) .
(i) Dari definisi pemetaan 𝜏𝜏 dan operasi penjumlahan matriks pada (7), didapat 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∘ 𝛿𝛿 −1 � . Berdasarkan Lema 1, �𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∘ 𝛿𝛿 −1 � = ��𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � + �𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 �� = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � + �𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� + 𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� . Dengan kata lain terbukti 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� + 𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� .
(ii) Berdasarkan definisi pemetaan 𝜏𝜏 dan operasi perkalian matriks pada (8), didapat 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��∑ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 �� = �𝜇𝜇 ∘ �∑ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 � ∘ 𝛿𝛿 −1 � .
Berdasarkan Lema 1, �𝜇𝜇 ∘ �∑ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 � ∘ 𝛿𝛿 −1 � = �∑ 𝜇𝜇 ∘ �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑔𝑔 𝑘𝑘𝑖𝑖 � ∘ 𝛿𝛿 −1 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 � = �∑ ( 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 ∘ 𝛿𝛿 −1 ) �𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑘𝑘𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 � = [ 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑘𝑘 ∘ 𝛿𝛿 −1 ] �𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� . Dengan kata lain terbukti 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ��𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� .
Dari (i) dan (ii), terbukti pemetaan τ merupakan homomorfisma ring. ∎
Syarat cukup pemetaan 𝜏𝜏 : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) → 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) merupakan monomorfisma, diberikan pada proposisi berikut.
Proposisi 4 Diberikan ring matriks atas ring semigrup 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) , 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) . Jika 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 isomorfisma dan 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 monomorfisma, maka  pemetaan 𝜏𝜏 : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) → 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � untuk setiap �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) , merupakan monomorfisma.

## 188
Bukti Akan ditunjukkan 𝜏𝜏 injektif. Jika 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� , maka �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � = �𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � . Berdasarkan definisi kesamaan dua matriks, diperoleh 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 untuk setiap 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 . Dengan kata lain, untuk setiap 𝑡𝑡 ∈ 𝑆𝑆 2 dan 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 berlaku 𝜇𝜇 �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� = 𝜇𝜇 �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) �� . Karena diketahui 𝜇𝜇 monomorfisma, diperoleh 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � = 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝛿𝛿 −1 ( 𝑡𝑡 ) � untuk setiap 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 . Karena 𝛿𝛿 isomorfisma, berlaku 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝑠𝑠 ) = 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝑠𝑠 ) untuk setiap 𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆 1 dan 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 . Dengan kata lain, 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 untuk setiap 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 yang berakibat �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � . Jadi terbukti jika 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = 𝜏𝜏��𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� , maka �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑔𝑔 𝑖𝑖𝑖𝑖 � . Dengan kata lain 𝜏𝜏 injektif. Berdasarkan Teorema 3, 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring. Jadi, terbukti 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma.
∎

## 4  Simpulan
Dari sebarang ring 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 serta semigrup 𝑆𝑆 1 dan 𝑆𝑆 2 , dapat dikonstruksi ring semigrup 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] dan 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] serta ring matriks 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) dan 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) . Jika diberikan isomorfisma semigrup 𝛿𝛿 : 𝑆𝑆 1 → 𝑆𝑆 2 dan homomorfisma ring 𝜇𝜇 : 𝑅𝑅 1 → 𝑅𝑅 2 , maka terdapat 𝛼𝛼 ∈ 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ] dengan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 ∘ 𝛿𝛿 −1 ,  untuk setiap 𝑓𝑓 ∈ 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ] . Hal ini yang mengakibatkan dapat didefinisikannya pemetaan 𝜏𝜏 : 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) → 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 2 [ 𝑆𝑆 2 ]) dengan 𝜏𝜏��𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 �� = �𝛼𝛼 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝜇𝜇 ∘ 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∘ 𝛿𝛿 −1 � , untuk setiap �𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ∈ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ( 𝑅𝑅 1 [ 𝑆𝑆 1 ]) . Selanjutnya, telah ditunjukkan pemetaan 𝜏𝜏 merupakan homomorfisma ring. Selain itu, 𝜏𝜏 merupakan monomorfisma jika 𝛿𝛿 isomorfisma dan 𝜇𝜇 monomorfisma.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada para reviewer atas saran yang diberikan untuk kesempurnaan artikel ini. Selanjutnya penulis mengucapkan terima kasih kepada Lembaga Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat Universitas Lampung atas dukungan dan pendanaan penelitian ini berdasarkan Kontrak Penelitian No: 661/UN 26.21/PN/2022.

## 6 Daftar Pustaka
[1]  H. Anton and C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, 9th Edition . New Jersey, 2005.
[2]  W. C. Brown, Matrices Over Commutative Rings . New York: Marcel Dekker Inc., 1993.
[3]  A. Faisol and Fitriani, “Idempotent Matrix over Skew Generalized Power Series Rings,” J. Fundam. Math. Appl. , vol. 5, no. 1, pp. 9–15, 2022.
[4]  S. Rugayah, A. Faisol, and Fitriani, “Matriks atas Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” BAREKENG  J. Ilmu Mat. dan Terap. , vol. 15, no. 1, pp. 157–166, 2021.
[5]  A. Faisol and F. Fitriani, “Matriks Bersih Kuat atas Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” J. Mat. UNAND , vol. 10, no. 3, pp. 385 – 393, 2021.
[6]  T. Petik, “On Characterization of Tripotent Matrices in Triangular Matrix Rings,” Turkish J. Math. , vol. 45, no. 5, pp. 1914–1926, 2021.
[7]  D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra , Third Edit. John Wiley and Sons, Inc., 2004.
[8]  T. W. Hungerford, Algebra . New York: Springer-Verlag New York, Inc., 1974.
[9]  R. Gilmer, Commutative Semigroup Rings . Chicago and London: The University of Chicago, 1984.
[10]  A. Oneto and T. G., “On semigroup rings with decreasing Hilbert function,” J. Algebr. , vol. 489, pp. 373–398, 2017.
[11]  Y. Ji, “The Strong Nil-Cleanness of Semigroup Rings,” Open Math. , vol. 18, no. 1, pp. 1491–1500, 2020.
[12]  V. Barucci, R. Fröberg, and M. Şahin, “On Free Resolutions of Some Semigroup Rings,” J. Pure Appl. Algebr. , vol. 218, no. 6, pp. 1107–1116, 2014.
[13]  A. Kovacs, “Homomorphisms of Matrix Rings into Matrix Rings,” Pacific J. Math. , vol. 49, no. 1, pp. 161–170, 1973.
[14]  Y. Du and Y. Wang, “Jordan homomorphisms of upper triangular matrix rings over a prime ring,” Linear Algebra Appl. , vol. 458, pp. 197–206, 2014.
[15]  A. Faisol and Fitriani, “The Ring Homomorphisms of Matrix Rings over Skew Generalized Power Series Rings,” CAUCHY J. Mat. Murni dan Apl. , vol. 7, no. 1, pp. 129–135, 2021.
[16]  A. Faisol and Fitriani, “Homomorfisma Modul Deret Pangkat Tergeneralisasi Miring,” J. Mat. Integr. , vol. 17, no. 2, pp. 119–126, 2021.