Vol. 13, No. 2,  162-170,  Januari  2017
Orbit Fraktal Himpunan Julia
Andi Kresna Jaya  ,  Niswar Aliansa 

## Abstrak
Makalah  ini  membahas  kumpulan  titik-titik  yang  berada  dalam  daerah  himpunan  Julia  di  ruang kompleks  dan  memperlihatkan  sebuah  algoritma  untuk  membangkitkan  fraktal  pada  himpunan Julia  sekaligus  memperlihatkan  orbit  fraktalnya.  Himpunan  Julia  dibentuk  dari  persamaan
c z z n n    2 1 , dimana z n dan c adalah bilangan kompleks dengan iterasi ke- n . Nilai c tergantung pada  parameter  masukan x dan y ,  yaitu c = x + iy ,  nilai c selalu  tetap  untuk  setiap  iterasi.  Nilai awal dari iterasi adalah z 0 adalah bilangan kompleks. Hasil iterasi ini akan membentuk orbit yang terbatas dan orbit yang tidak terbatas. Himpunan dari semua titik-titik yang membentuk orbit yang terbatas akan  selalu berada dalam daerah himpunan Julia ( filled Julia set ), sedangkan Himpunan dari semua titik-titik yang membentuk suatu orbit yang tidak terbatas dikatakan escape set (di luar dari daerah himpunan Julia). Batas antara filled Julia set dengan escape set adalah himpunan Julia itu sendiri ( unit circle ). Untuk menunjukkan perilaku orbit fraktal pada himpunan Julia dilakukan dengan  membuat  suatu  software  hasil  interpretasi  algoritmanya  yang  mampu  memperlihatkan bentuk-bentuk  fraktal  Julia  secara  visual,  baik  orbit  konvergen  maupun  orbit  yang  tidak konvergen.
Kata Kunci: himpunan Julia, filled Julia set, escape set, orbit.

## 1. Pendahuluan
Pada  tahun  1975,  Benoit  Mandelbrot  memperkenalkan  fraktal  untuk  pertama  kali dalam  bukunya  yang  berjudul A  Theory  of  Fractal  Sets .  Secara  umum,  fraktal  dapat  dikatakan sebagai suatu  teknik  pembangkitan  citra  atau  gambar  dengan  cara  melakukan  iterasi  pada  suatu fungsi  tertentu  [3].  Lewat  iterasi  inilah,  akan  didapatkan  suatu  gambar  yang  alami.  Fungsi penghasil  fraktal  dapat  berupa  fungsi  matematika  ataupun  fungsi  grafik,  salah  satunya  adalah fraktal  yang  berbasis  bilangan  kompleks  seperti  himpunan  Mandelbrot  dan  himpunan  Julia.
Fraktal  keduanya  diperoleh  dengan  melakukan  iterasi  atas  fungsi c z z n n    2 1 dengan j z , j =1,…, n dan c adalah  bilangan  kompleks.  Iterasi  dilakukan  sampai  didapatkan  suatu  kondisi bahwa . divergensi batas  n z Himpunan  Julia  dibuat  dengan  memilih  titik  tertentu  dan mengalikan  setiap  titik-titik  yang  lain  dengannya  secara  berulang-ulang,  kemudian  hasilnya ditambahkan ke titik aslinya.
Proses  iterasi  yang  dilakukan  untuk  suatu  fungsi  adalah  melakukan  perubahan  pada komposisi fungsi itu sendiri secara berulang kali (rekursi). Misalkan   z f adalah fungsi dari z ,
 Staf  Pengajar pada  Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Makassar, e-mail akresna@fmipa.unhas.ac.id
 Mahasiswa pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
Iterasi kedua dari f yaitu       z f f z f  2 dan untuk iterasi ketiga adalah             z f f f z f f z f   2 3 maka untuk iterasi ke- n dari
                z f f f f f z f f z f n n ....... 1    (1)

## 2. Definisi dan Teorema
Fungsi ) ( z f dengan  titik  awal z 0 yang  kemudian  membentuk  suatu  urutan  bilangan         ..... , ..., , , , 0 0 2 2 0 1 0 z f z z f z z f z z n n    disebut  orbit  dari z 0 untuk  fungsi ) ( z f . Terdapat  dua  tipe  orbit  menurut  [2],  yaitu  orbit fixed  point dan  orbit periodic  point .  Fungsi f dikatakan orbit fixed point jika ada titik z 0 sedemikian sehingga   0 0 z z f  . Misalkan z 0 adalah fixed point, maka
        0 0 0 0 2 z z f z f f z f  
 ,
sehingga akan membentuk orbit   . .......... , , .......... , , , , 0 0 0 0 0 z z z z z .
Fungsi f dikatakan orbit periodic point jika ada titik z 0 sedemikian sehingga   0 0 z z f n  , untuk n > 0.
Orbit dari z 0 itu  dapat  juga  dikatakan dengan n -cycle.  Misalkan z 0 adalah periodic  point dari    periode    ke- n ,  maka  orbitnya  dapat  dituliskan  sebagai  berikut  
  , ......, , , 0 1 0 0 z f z f z n 
  ... , ), ( ..., , , 0 0 1 0 0 z z f z f z n 

## 2.1. Attracting Fixed Point dan Repelling Periodic Point
Titik z o dikatakan attracting  fixed  point terhadap f jika z 0 berada  dalam  daerah persekitaran D .    Jika z  D ,  maka   0 ,   n D z f n dan      n z z f n , 0 .  Titik z 0 dikatakan repelling  fixed  point pada f jika z 0 tidak  berada  dalam  daerah  persekitaran  D,   D z f maka D z n   , untuk suatu n > 0.
Teorema 1.
Diberikan f ( z ) memiliki  titik  z 0 , maka  z 0 attracting,  jika   , 1 0 '  z f dan  repelling  jika   . 1 0 '  z f Jika   , 1 0 '  z f maka  z 0 dikatakan  neutral . Jika  z 0 titik  periodik  dengan periode n untuk f ( z ), maka z 0 adalah fixed point untuk f n ( z ).
Bukti . Pembuktian Teorema 1 ini diberikan secara jelas pada [2].

## 2.2. Prisoner Set dan Escape Set
Definisi 2.
Jika diberikan suatu persamaan c z z n n    2 1 , n = 1,2,3,… dan membentuk suatu orbit z 0 , z 1 , z 2 , ….. dengan titik awal z 0 , maka orbit tersebut dikatakan escape set untuk parameter c apabila
Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
| z n |   , n   .        n jika z z E n c : 0 adalah  prisoner  set  untuk  parameter  c   c c E z z
P   0 0 : . Hal  ini  dikemukakan  di [4], sehingga  P c merupakan  komplemen  dari  E c . Himpunan Julia untuk parameter c adalah batas dari escape set E c .

## 2.3. Fungsi Linier
Misalkan fungsi   az z f  , dimana a bilangan kompleks  konstan yang tidak nol, dan z adalah  suatu  bilangan  kompleks z  =  x  +  iy .  Dengan  menuliskan a dan z dalam  bentuk persamaan  polar   i
e a  ,  dan  i e r z  0 ,  maka           i re az z f 0 0 .    Besarnya  nilai fungsi f akan  tergantung  pada  besarnya  radius r dengan    faktor  dan  sudut  putar  .    Dengan melakukan iterasi seperti pada persamaan (1) maka didapatkan          2 2 2 0 0 2     i re z a az a z f . Orbit dari 0 z yaitu:
, 0  i re z    , 1      i re z   , 2 2
2      i re z …,   ... ,    n i n n re z   karena
  1     n i e ,
maka modulus dari n z adalah     r e r re z n n i n n i n n             .

## 2.4. Persamaan Kuadrat Bilangan Kompleks
Dengan meninjau persamaan kuadrat Bilangan Kompleks
  c z z Q c   2 , (2)
dimana c adalah  bilangan  kompleks  yang  konstan.  Misalkan 2 0 ) ( z z Q  ,  dengan  i re z  0 , maka  orbit z 0 di Q 0 adalah  berturut-turut , 0  i re z    , 2 2 1  i e r z    , 4 4 2  i e r z  ...,
   n n i n e r z 2 2  .  Jadi  dapat  diketahui  bahwa  perubahan  orbit  dari z 0 sangat  bergantung  dengan radius dari z 0 itu sendiri. Jika r < 1,  maka 0 2  n r selama n →  , jadi orbit dari z 0 akan menuju ke titik asal dengan catatan titik asal tersebut adalah attracting fixed point pada   2 0 z z Q  . Jika
r > 1,  maka   n r 2 selama n   , jadi orbit dari z 0 akan menuju ke  ( unbounded ). Jika r =  1  dan z 0 berada  dalam  lingkaran  satuan,  maka 1 2  n r ,  jadi  orbit  dari z 0 akan  selalu  berada dalam lingkaran satuan [2].

## 3. Analisis Himpunan Julia
Daerah Himpunan Julia ( Filled Julia ) untuk fungsi
c z Q   2 0 (3)
adalah himpunan dari semua titik-titik yang memiliki orbit yang terbatas. Himpunan Julia adalah batas  antara filled  Julia  Set dan  himpunan  titik-titik  yang  memiliki  orbit  yang  tidak  terbatas ( escape  Set ).  Tinjau  persamaan 2 0 z Q  ,  dapat  diketahui  dari  persamaan  kuadrat  bilangan
Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
kompleks bahwa jika 1 0  z , maka orbit akan menuju ke 0 dan orbit akan  terbatas ( bounded ).
Jika 1 0  z ,  maka  orbit  akan  selalu  berada  dalam  lingkaran  satuan  dan  orbit  ini  juga  terbatas
( bounded ).  Jika 1
0  z ,  maka  orbit  akan  menuju  ke  tak  hingga,  dan  orbit  ini  tidak  terbatas ( unbounded ).  Dengan  melihat  kumpulan  dari  orbit-orbit  tersebut,  dapat  diketahui  bahwa himpunan Julia untuk persamaan (3) di c = 0 merupakan suatu lingkaran satuan.
Teorema 2.
Diberikan suatu fungsi kuadrat Q ( z ) = z 2 + c , dimana | c | < 2 dan z 0 titik awal.  Jika hasil iterasi dari Q ( z ) adalah titik dalam suatu orbit dari z 0 dimana titik itu memiliki nilai absolut lebih besar dari 2, maka orbit tersebut adalah escape atau bukan filled Julia .
Bukti:
  c z z Q z    2 0 0 1 , dengan menggunakan ketaksamaan segitiga,
c z c z z     2 0 2 0 1 karena c z  0 , maka
  0 0 0 2 0 1 1 z z z z z     (4)
dan bilamana 2 0  z , maka terdapat  > 0 sehingga
   2 0 z atau     1 1 0 z (5)
dengan mensubsitusikan persamaan (5) ke persamaan (4) maka didapatkan
  0 1 1 z z    ,
jadi jika diiterasi sampai n kali, maka didapatkan
0 ) 1 ( z z n n    .
Sehingga jika n   , maka orbit dari z 0 akan menuju ke tak hingga atau orbit dari z 0 ini adalah escape set.
Untuk  membuat  fraktal  himpunan  Julia,  harus  ditentukan  terlebih  dahulu  nilai parameter c ,  yang  bagian  real  dan  imajinernya  dalam  interval  tutup  [-2,2].  Misalkan c =  -0.5  + 0.5 i , dan ambil enam titik ( x + i y ), antara lain :
Titik 1 = (1.00, 0.00) ,  Titik 2 = (0.50, 0.25), Titik 3 = (0.00, 0.88),
Titik 4 = (0.000, 0.000), Titik 5 = (0.500, -0.250), Titik 6 = (-0.250, 0.500).

## Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
Dengan melakukan sebanyak n iterasi pada masing-masing titik, maka hasil iterasi tersebut  akan membentuk  orbit  dari  titik  itu  sendiri  dan  orbit-orbit  itulah  yang  akan  memperlihatkan  bentuk- bentuk fraktal pada himpunan Julia.
Orbit 1 : z 0 = 1+0 i ,
i i i c z z
50 . 0 50 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 0 1 ( 2 2 0 1          berhingga tak i i i c z z i i i c z z  ) 50 . 0 ( 25 . 1 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 00 . 1 50 . 0 ( 00 . 1 50 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 50 . 0 50 . 0 ( 2 2 2 3 2 2 1 2                     
Orbit 2 : z 0 = 0.50+0.25 i i i i c z z 75 . 0 31 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 25 . 0 50 . 0 ( 2 2 0 1
          berhingga tak i i i c z z i i i c z z  44 . 0 43 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 03 . 0 96 . 0 ( 03 . 0 96 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 75 . 0 31 . 0 ( 2 2 2 3 2 2 1 2                     
Orbit 3 : z 0 = 0.00+0.88 i ,
i i i c z z 50 . 0 27 . 1 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 88 . 0 00 . 0 ( 2 2 0 1           berhingga tak i i i c z z i i i c z z  ) 85 . 0 ( 34 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) ) 77 . 0 ( 87 . 0 ( ) 77 . 0 ( 87 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 50 . 0 27 . 1 ( 2 2 2 3 2 2 1 2                       
Jadi orbit 1, orbit 2 dan orbit 3 akan menuju tak berhingga ( escape set ). Keragaman titik iterasi diperlihatkan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Orbit 1, 2 dan 3 yang Menuju Tak Hingga. Orbit 1 Orbit 2 Orbit 3 x Y x Y x Y z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 1.00 0.50 -0.50 -1.25 0.81 -2.90 -3.26 -347.46 0.00 0.50 1.00 -0.50 1.75 3.34 -18.91 123.68 0.50 -0.31 -0.96 0.43 -0.51 -1.01 0.37 -2.04 1.53 -28.01 0.25 0.75 0.03 0.44 0.88 -0.39 1.30 1.46 -5.46 -16.27 0.00 -1.27 0.87 -0.34 -1.12 -0.41 -3.93 10.79 -124.77 0.88 0.50 -0.77 -0.85 1.07 -1.90 2.04 -15.52 -334.49
Orbit 4 : z 0 = 0.000+0.000 i ,
i i i c z z 500 . 0 500 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 000 . 0 000 . 0 ( 2 2 0 1           i i i c z z i i i c z z 275 . 0 408 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 275 . 0 408 . 0 ( 000 . 0 500 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 500 . 0 500 . 0 ( 2 2 499 500 2 2 1 2                       
Orbit 5 : z 0 = 0.500+(-0.250) i ,
i i i c z z
250 . 0 313 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) ) 250 . 0 ( 500 . 0 ( 2 2 0 1            i i i c z z i i i c z z 275 . 0 408 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 275 . 0 408 . 0 ( 344 . 0 465 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 250 . 0 313 . 0 ( 2 2 499 500 2 2 1 2                       
Orbit 6 : z 0 = 0.250+0.500 i ,
i i i c z z 250 . 0 688 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 500 . 0 250 . 0 ( 2 2 0 1           i i i c z z 156 . 0 090 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 250 . 0 688 . 0 ( 2 2 1 2            275 . 0 408 . 0 ) 5 . 0 5 . 0 ( ) 275 . 0 408 . 0 ( 2 2 499 500            i i c z z 
Orbit 4,  orbit 5 dan  orbit 6  tidak  menuju  tak  hingga,  tetapi  konvergen  ke  titik    z  0.408 + 0.275 i , sebagaimana yang ditunjukkan pada Tabel 2 di bawah.
Tabel 2. Orbit  4,  5 dan 6 yang Konvergen ke z  0.408 + 0.275 i. Orbit 4 Orbit 5 Orbit 5 x Y x Y x y z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 ; z 100 : : 0.000 -0.500 -0.500 -0.250 -0.688 -0.090 -0.516 -0.456 -0.292 -0.653 -0.119 : -0.473 : : 0.000 0.500 0.000 0.250 0.250 0.156 0.471 0.456 0.488 0.214 0.219 : 0.291 : : 0.500 -0.313 -0.465 -0.402 -0.371 -0.488 -0.318 -0.471 -0.386 -0.387 -0.475 : -0.393 : : -0.250 0.250 0.344 0.180 0.355 0.237 0.269 0.329 0.189 0.354 0.226 : 0.290 : : -0.250 -0.688 -0.090 -0.516 -0.456 -0.292 -0.653 -0.119 -0.533 -0.415 -0.328 : -0.438 : : 0.500 0.250 0.156 0.472 0.013 0.488 0.214 0.219 0.448 0.021 0.481 : 0.217 : :
Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
z 200 : z 300 : z 400 -0.394 : -0.411 : -0.408 0.279 : 0.273 : 0.276 -0.411 : -0.409 : -0.409 0.271 : 0.276 : 0.275 -0.409 : -0.407 : -0.409 0.290 : 0.272 : 0.276
Dalam  bentuk  pencitraan,  fraktal  himpunan  Julia  model  orbit  konvergen  dan  tak  hingga ditunjukkan pada Gambar 1 dan  Gambar 2 berikut, sebagai hasil visualisasi program yang telah dimodifikasi  ke  Bahasa  Turbo  Pascal  dari  algoritma    yang  ditampilkan  dalam  [1]  dengan pemrograman menggunakan Fortran, dan modifikasi program di [5] menggunakan bahasa C.
Pada  Gambar  1  di  atas  diperlihatkan  orbit  melalui  titik-titik  sudut  yang  menghubungkan  setiap garis putih di daerah himpunan Julia pada persamaan (3), dengan titik awal z 0 = 0 yang konvergen ke titik z = 0.408 + 0.275 i .  Sebaliknya pada Gambar 2, orbitnya tidak konvergen ke sebuah titik, jika titik awal yang diambil terletak di escape set , yang diwakili oleh titik z 0 = 0.8851717 i .  Titik- titik sudut garis putih semakin tidak beraturan.
Gambar2  Himpunan Julia, orbit a = 0.000+0.000 i
Gambar 2. Himpunan Julia, Orbit a = 0.00 + 0.88i.
Gambar 1.  Himpunan Julia, Orbit a = 0.000+0.000i.

## Andi Kresna Jaya,  Niswar Aliansa
Bentuk visualisasi fraktal himpunan Julia yang lain diberikan oleh bentuk fraktal ” Crab Claws ”, yang  memperlihatkan  orbit  titik  dalam  himpunan  Julia  dan  di escape  set -nya.  Pada  Gambar  3, diperlihatkan himpunan Julia berbentuk kepiting dengan jepitan di kedua sisi miring. Pada jepit kepitingnya terdapat lagi kepiting dengan jepitan lagi, dan seterusnya. Inilah yang menyebabkan sehingga visualisasi fraktalnya disebut Crab Claws .
Dari  Gambar 3,  diperlihatkan  orbit  fraktal  untuk  titik  awal z 0 =  0,  dan  nilai  masukan c adalah  - 0.0024  +  0.006 i .  Titik c terletak  dalam  himpunan  Julia,  sehingga  orbitnya  akan  konvergen  ke sebuah  titik  dalam  himpunan  Julia.  Pada  dasarnya  sembarang  titik c yang  diambil  di  daerah himpunan  Julia,  akan  selalu  berorbit  konvergen  ke  titik  tersebut.  Hasil  simulasi  memberikan bahwa  titik  konvergen  dari  iterasinya  adalah  di  sekitar  titik z n =  -0.207+0.399 i .    Kekurangan simulasi ini adalah terbatasnya iterasi hingga iterasi ke 64.  Sebaliknya pada Gambar 4, jika titik c dipilih dari escape set -nya, maka terlihat orbitnya tidak konvergen ke suatu titik.
Gambar 3.  Fraktal dari Himpunan Julia Crab Claws.
Gambar 4.  Orbit untuk Titik di Luar Himpunan Julia.

## 4. Algoritma Fraktal pada Himpunan Julia
Algoritma  Himpunan  Julia  yang  diterjemahkan  ke  dalam  bahasa  program  adalah sebagai berikut :
a. Menentukan  banyaknya  titik-titik  ( n )  dari  setiap  orbit  yang  akan  diuji.  Menentukan warna pada titik-titik yang berada dalam himpunan Julia dan menentukan warna pada titik-titik yang berada diluar himpunan Julia.
b. Input bilangan kompleks c .
c. Memilih titik-titik dari ruang/bidang untuk diuji
d. Untuk setiap titik-titik dari bagian bidang yang telah dipilih , lakukan perhitungan dari titik awal orbit dengan menggunakan fungsi Q ( z ) = z 2 + c .
e. Jika  terdapat  titik  dari  suatu  orbit  terletak  di  luar  lingkaran  dengan  radius  2,  hentikan iterasi  dan  warna  untuk  titik  ini,  misalkan  warna  kuning  kehitam-hitaman  atau  merah kehitam-hitaman.
f. Jika  semua  dari  titik-titik  dari  suatu  orbit  terletak  dalam  lingkaran  dengan  radius  2 maka membuat warna hitam pada himpunan julia.
g. Jika semua titik-titik yang berada dalam bidang telah dihitung maka selesai.

## 5. Kesimpulan
Himpunan Julia merupakan kumpulan dari beberapa titik-titik yang berada dalam batas antara escape set dan prisoner set . Daerah himpunan Julia ( filled Julia set ) dapat dibentuk apabila z memiliki radius kurang dari 2, atau kurang dari | c |, dan harus berada dalam interval –2  x  2 dan –2  y  2.
Fungsi  yang  digunakan  untuk  membangkitkan  fraktal  pada  himpunan  Julia  dan himpunan  Mandelbrot  adalah  sama,  yaitu c z z n n    2 1 , n =  1,2,3,…..  dan z , c bilangan kompleks.
Dengan  adanya  bantuan  algoritma  dan  program  untuk  melihat  secara  visual  terhadap fraktal  pada  himpunan  Julia,  maka  dapat  diketahui  titik-titik  orbit  mana  saja  yang  merupakan himpunan Julia, daerah himpunan Julia ( Filled Julia Set ), dan di luar daerah himpunan Julia.

## Acknowledgments
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Eric  Kuennen  atas  kesediannya  untuk diskusi, melalui balasan email dan paper yang membantu dalam penulisan makalah ini.

## Daftar Pustaka
[1] E. Kuennen. 2005. Chaotic Dynamics and Fractals. [10 Februari 2007]
[2] D. Oliver. 1997. Memandang Realita dengan Fractal Vision. Edisi 1, Cetakan 1. Penerbit Andi, Yogyakarta.
[3] Peitgen, J ü rgens, dan Saupe. 1992. Fractal for the classroom part two: Complex system and Mandlebort set . National Council of Teachers of Mathematics , Springer-Verlag.
[4] R. T. Steven. 1989. Fractal Programming in C .  M&T Publishing, California. http://www.geocities.com/CapeCanaveral/4257/Paper.html.  [7 Desember 2001]